WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Repetitorium und Aufgabensammlung

zur

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Integralrechnung

Von

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Prof. Dr. Fr. Junker

Mit 52 Figuren im Text

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allgemeinöerffänbticfyen

©injelbarftellungen

3ebe Kummer in eleg. ßeinmanbbanb 80 ©.S.ööfcfjen’fcfie 93er(agśf)anblung, Seidig

OtvccEunb 3ietber„Sammlung ©öfcfyett" ift, in©in* 'vJ jelbarffellungen eine flare, leicfytnerftänblicfye unb

tematifcfie en bürfte.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

überftd)t(id)e ©infüfjruttg in fämtlid>e ©ebiete ber <2ßiffenfd)aft unb 5ed>nit ju geben; in engem ‘îRa^men, auf ffreng tt>iffenfd)aftlid)er ©runblage unb unter 93e--rüdjid)tigung beé neueften Gtanbeé ber <5orfd)ung be--arbeitet, foli jebeé Bänbcfyen jutterläfftge ‘Belehrung bieten. 3ebe$ einjelne ©ebiet ift in ftd) gefd)loffenbar= geftellt, aber bettnod) fteften alle Bänbd)en in innerem 3ufammenf>ange miteinanber, fo baff baé ©anje, wenn eé öottenb'⁻'

©arftellun

©in auëfül Hummern

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Mathematische Bibliothek uns der Sammlung Göschen.

Jedes Bändchen eleg. ln Leinwand gebunden 80 Pfennig.

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Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Professor O. Th. Bünden. Nr. 250.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 8 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen.    Nr. 309.

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Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Differential» rechnung m. 46 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 146.

Repetitorium und Aufgabensammlung zur Integralrechnung m. 50 Figuren v. Prof. Dr. Friedr. Junker. Nr. 147.

Projektive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Fig. von Professor Dr. K. Doehlemann.    Nr. 72.

Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik mit 18 Fig. von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 51.

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Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate ra. 15Fig. u.2Taf.v. Prof.Wilh.Weitbrecht. Nr.302.

Vektoranalysis mit 11 Figuren von Privatdoz. Dr. Siegfr.Valentiner.

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Determinanten von Paul B. Fischer, Oberlehrer an der Oberrealschule zu Groß-Lichterfelde.    Nr. 402.

Astronomische Geographie mit 52 Figuren von Professor Dr. Siegm. Günther.    Nr. 92.

Astronomie mit 36 Abbildungen und einer Karte von Professor Dr. Walter F. Wislicenus.    Nr. 11..

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Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn.    Nr. 58.

Otto <£hcrt

ptcetô. CanÎMnciîec.'-

Sammlung Göschen

Repetitorium und Aufgabensammlung

zur

Integralrechnung von

Dr. Pr. Junker

Professor am Karlsgymnasium in Stuttgart

Mit 52 Figuren im Text

Zweite, verbesserte Auflage

Neudruck

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung :i9io

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Spamersche Buchdruckerei, Leipzig-R.

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Inhalt.

I. Abschnitt. Einfache unbestimmte Integrale.

Seite

§ 1. Das Integral eines Differentials.......

§ 2. Die einfachsten Integralformen. Beispiele 1—11 § 3. Sätze und Integrationsmethoden. Beispiele 12—18 § 4. Übungsbeispiele 19—40..........

iQ O CD GO

II. Abschnitt. Integration rationaler algebraischer Differentiale.

§ 5. Integration echt gebrochener rationaler Funktionen. Beispiele 41—42..........

§ 6. Übungsbeispiele 43—54 ...........

§ 7. Mehrfach vorkommende Wurzelfaktoren im

Nenner. Beispiele 55—59 ..........

§ 8. Übungsbeispiele 60—73 ...........

III. Abschnitt. Integration irrationaler Differentiale.

§ 9. Gebrochene Exponenten von x oder «te Wurzel

aus a Ą- bx in f{x). Beispiele 74—75    .....

§ 10. Übungsbeispiele 76—87 ...........

§ 11. Ausdruck zweiten Grades unter dem Quadratwurzelzeichen. Beispiel 88........

§ 12. Übungsbeispiele 89—141..........

IY. Abschnitt. Integration transzendenter Differentiale.

§ 13. Exponential- und logarithmische Funktionen. Beispiele 142-174 ..............

§ 14. Trigonometrische Funktionen. Beispiele 175—242    35

§ 15. Vermischte transzendente Funktionen. Beispiele 243—258.................

Y. Abschnitt. Bestimmte Integrale.

§ 16. Regeln und Lehrsätze über das bestimmte Integral.

Beispiele 259—264 .............

§ 17. Übungsbeispiele 265—280 .......-, - -

10

13

14

18

20

21

22

24

32

42

44

48

VI. Abschnitt. Anwendung der Integralrechnung auf die ebene Geometrie.

54

62

70

§ 23. Übungsbeispiele 315—331 . .........

76

§ 24. Oberflächenberechnung der Körper. Beispiele

332—334.................

81

§ 25. Übungsbeispiele 335—355 ..........

.    91

93

95

97

. 100

§ 30. Schwerpunkt von ebenen Flächengebilden. Beispiele 370—372 ....

§ 31. Übungsbeispiele 373—384

104

§ 32. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden. DieGuldi-

109

nischen Regeln. Beispiele 385—392 ......

§ 33. Übungsbeispiele 393—409 ..........

IX. Abschnitt. Anwendung von Doppelintegralen zur Berechnung von Flächen- und Raumgebilden.

114

§ 34. Quadratur und Kubatur mit Doppelintegralen.

Beispiele 410—412.............

120

§ 35. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen.

123

Beispiele 413-414.............

§ 36. Übungsbeispiele 415—422..........

X. Abschnitt. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 37. Integration der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele 423—425 . . 127 § 88. Übungsbeispiele 426—437

I. Abschnitt.

Einfache unbestimmte Integrale.

§ 1. Das Integral eines Differentials.

Die Integralrechnung hat die Aufgabe, zu einem gegebenen Differential die ursprüngliche Funktion aufzusuchen. Sie ist demnach als Umkehrung der Differentialrechnung anzusehen.

Das Integral des Differentials dy — f(x) dx, geschrieben

y = / fix) dx — F(x)

und gelesen „Integral f(x)dxuy ist die Funktion, welche nach x abgeleitet f(x) gibt. Dasselbe ist somit definiert durch

dx

dy djf(x)dx

dx f(x} = F\x).

Diese Beziehung ändert sich nicht, wenn man F(x) um eine beliebige Konstante G vermehrt (oder vermindert). Man nennt deshalb

y=jf(x)dx + C = F(x) + C

das unbestimmte Integral von f(x) dx und bezeichnet G als Integrationskonstante.

§ 2. Die einfachsten Integralformen.

Durch einfache Umkehrung der entsprechenden Formeln der Differentialrechnung gelangt man zu folgenden fundamentalen Integralformeln:

1. fadx = ax + G.

xn+l

2.

xn dx =

+ 0.

3.

C dx

J x

Ix + C.

4. Jex dx = e? + G. ax

clx dx = -— -f~ G. la

6.    J cos xdx = sinæ -f G.

7.    J sinæ dx = — coscc + G.

f dx

J cos²#

fdt

5.

8.

9.

sin²#

>»■ /* n. / -

= tg# + G.

= — ctgæ + G.

1 + x²

arc tg# + (7 = — arc ctg# 4* G' .

yl—X²

arc sin# + (7 = — arc cos# -f G'.

§ 3. Sätze und Integrationsmethoden.

a) Konstante Faktoren unter dem Integralzeichen dürfen vor dasselbe gesetzt werden.

J a f(x) dx == aj f(x) dx .

b) Das Integral einer Summe von Differentialen ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Differentiale.

/ {f(x) + 9?(^) + .. •} dx =/f(x) dx+j cp(x) dx + ...

c) Integration durch. Substitution einer neuen Veränderlichen.

zu er

mitteln.

12. Beispiel. Das Integral J(a + bx)n dx

dy

Setze a -j- bx = y, so ist bdx = dy, dx — und

J(a + bxydx=±fy«dy = ±.^₁

(a + bx)n+1 (n + l)b

13. Beispiel.

ftgxdx geht mit cos x = y, —sin xdx = dy über in /tg x dx = — J— — —ly = —£cos x.

14. Beispiel Das Integral

dx

\a² — b²x²

zu be-

rechnen.

Setze b²x² = a²sm²t oder bx — asintf, so ist bdx — a cos t dt und

y&² — b²x² = a ]/l —sin ²1 = a cosi .

Damit geht das gegebene Integral über in

i/"-

1    . bx

= — arc sm — . b    a

d) Ist der Zähler eines Bruches gleich der Ableitung des Nenners, so ist das Integral desselben gleich dem Logarithmus des Nenners.

f\x) dx

f(x)

-/

df(x)

f(x)

= lf{x) + G.

15. Beispiel.

Jctg x dx —J

cos a; _ —— dx sma;

d sina;

sin x

l sin x + G.

16. Beispiel.

(4 a;³ — 14 a;) dx

a;⁴ — 7 x² -f- 8

= l(x± — 7a;² + 8).

e) Die teilweise Integration beruht auf der Anwendung der Formel

judv = uv — fv du ,

wo u und v als Funktionen von x zu betrachten sind.

17.    Beispiel, jx cos xdx zu berechnen.

Für x = u und cos xdx = d sin x = dv ist

Jx cos x dx = x sin x — J sin x dx = x sin x + cos x + G.

18.    Beispiel. J = fcos²xdx zu berechnen.

Es ist

J = jcos²a;dx = jcosxd sinx — cosa;sina; + Jsin²xdx = cosa; sina; -f J(1 — cos²a;) dx = cosa; sina; + x — J woraus folgt J = ^ (cosa; sina; -f- x).

§ 4. Übungsbeispiele.

19. jßx¹dx = f-a;⁸ .

a;⁵

20.    J(a⁴ + a;⁴) dx = a⁴ a; + -jr •

21.    ^6 /æda; = 4 J/aï³ .

to

f dx _

- = 2]/*. J yx

23.

i + i*) dx = % + f .

24.

Ra+^ ⁺ ä

dx — ax + blx--.

25.

l'{tJx — f]/^ dx =    — l-ajł +    — ^-æ³.

26.

dx

- fä + *

2 l/a + z.

27.

J ekxdx=^ekx.

28.

1 + (& — 2)

= arctg (æ — 2) .

29.

ÿx

30.

y«—1

xddx

dx=2^x -\-x+2l(^x — l) []/æ—-1 = ?/] .

a + 2bx²

31.

32.

(a + bx²)s 2 xdx l+x± f{x)dx

Ab² (a + &æ²)

= arctg x².

i*² = »j •

/■(*)

33.

34.

= \l (a b sinæ). b

1- = l(ex--a) . a

cos xdx

a -f- 6 sinæ

exdx

ex —

dx

= l (arc tg x) .

35.

(1 + x²) arc tg x

36.    Judv = uv—Jvdu.

37.    J(x — l)² ex dx — ex (x² —    + 5)

« n.

(1 + x)² — 1/x6 (1 + x) dx .

38.    Jx⁵ (1 + x)² dx =

39.    Jsm²xdx = ^(x — sinxcosx) .

40.    fx²cosxdx = (x² — 2) sinæ + 2æcosæ .

II. Abschnitt.

Integration rationaler algebraischer Differentiale.

§ 5. Integration echt gebrochener rationaler Funktionen.

a) Zur Ermittlung des Integrals

f(x) dx

J F(x) J

(x — a) (x — b)... (x — n)

zerlege man in Partialbrüche

f(x)

F(x) x — a

+ --h+ ••• +

x — b

dann folgt

/■(«)

(a — b) (a — c) ... (a — n) ’

A»)

(b - a) (b-c) ...(b- n) ’

A")

(n — a) (n — b) ... (n — m) ’

§ 5 Integration echt gebrochener rationaler Funktionen. 11 oder auch

A«)

f(n)

.F» ‘

Nach Berechnung der Zähler A, B, ... ergibt sich für das gesuchte Integral der Ausdruck

Y(®)

F(x)

F(b) ⁵ *

dx = Al (x — ö) +    (& — 5) +... + NI(x —h).

41. Beispiel.

x² — x + 4

F(x) {x¹ — 1) (x + 2) x + 1 1 + 1 + 4

(—2) (+1)

= -3,

— 1 x + 2 1—1+4    2

2-3

4 + 2 + 4    10

(—1) (—3)

daher ist f x² — x + 4

(;X² — 1) (x + 2)

dx = — 3 l (x + 1) + J-1 (x — 1) + i£l(x+2)+C.

b) Enthält der Nenner imaginär konjugierte Faktoren, z. B. x — a — ib und x — a + ib, und ergibt die Partialbruchzerlegung

x — a — ib

x — a + ib

für die Zähler

f(a + ib)

N(a + ib)

P + iq, B

f(a - ib)

=p—iq,

F'(a — ib)

so erhält man durch Vereinigung der Brüche

2p (x — a) — 2 bq

P + iq

x — a — ib

. p — iq r x — a + ib

(x — a)² + b²

und hieraus durch Integration f Adx J x — a

Bdx

— ib

— a + ib

2»,/

= pl{(x — a)² + b²} — 2 q arc tg X ^    .

zu berechnen.

-pt

2 (x — a)

(x — a)² + b²

dx —

d(x — a)

(x — a)² -f- b²

42. Beispiel. Man erhält

r_dx

J

x³ + l

x³ + 1    x+1

CO

/3    x-^ + ^^3

Da nun f(x) = 1, F(x) = x³ + 1, i^(æ) = 3 x² ist,

+ |</3

-j>y*

so folgt

n-i) = 3, ^(I + |y₃) =

F'

CO |<M

1-1 | CO

tö

iH |cO

o|

|co

iH | CO

co|

/3

r_dx

J 1

<B⁸ + 1

⁼ 1 2 (* + 1) — -kHx2 — ³⁵ + 1)

/3

+ -^arctg

Vs *

§ 6. Übungsbeispiele.

43.

4 x³ — 7 x + 2

dx —    a;³ — \ x² — 3 x

|-Z(2 Œ + 1) .

31 a; — 96

44.

₆ (*2 _ 3 3 _ 18)dx = f'¹ (* - ⁶) + i *(* + ³) •

45 f dx 1 f dx__1 f dx ₌ 1 ^ — a

J x² — a² 2 a) x —a 2 aj xa 2 a x-\-a *

46.

47.

dx=%l(x-\- l)-\-l(x—3) — 2l(x—ï).

2 a;²— 8a;-fl4

(x²— l)(æ—3)

48.

2 a;³ — 16 ax² — 8 a² x + 16 a³

(a;² — a²) (x² — 4 a²)

dx = l (x² — a²)

-ux-

x -f 2 a *

49.

5a;² + 3aa;-|-9a²

x³ — 3aæ² + 2a²x

dx = \ lx — 11 l(x — a)

+ ^l(x-2a).

50.

J^fTdx== i^æ2+ ¹)— 3arctgx .

51.

dx

a; (a;² + a; + 1)

= l x — -J- Z (a;² + a; -f- 1) 2a; -f 1

--— arc tg

/3

ys

52.

— 2x² + 6x + 13

(x — 1) (x² + 5 x + 11)

dx =* l (x — 1)

— fl(x² + 5x + 11) H-

11

53.

2x² — 2 x + 3

yï9

arctg

2x + 5

yiö ’

x³+ 1

dx — 2 l (x + 1)

54.

2 x⁴-2x³ + 3 x²—2

x²—x

2x — 1

arc tg

V3 •

dx=-|x³ -f 3x + /(x—l)-f-2/x.

y?

§ 7. Mehrfach yorkommende Wurzelfaktoren im Nenner.

a) Das Integral

/■(æ) dx (x — a)n

zu ermitteln, wenn der

Grad von f(x) kleiner als n ist. Man setze

f(x) ₌ An (x — a)n    (x — a)

+ • ••

A-n -1

(x — a)w_1

An- 2

(x — ą)M"²

H--

(x — a)

dann ist

fix) = An-\- J„-i(x — a) + j„-s(x — a)² + ...

w-1

+ A(* — «)

woraus folgt

A = f(a), A-i=dj-f(a), ^»-2 =-gj/'"(«),•••,

(w — 1) !

und es ist das gesuchte Integral angegeben durch

An

f(x) dx

(x — a)n

(n — 1) (x — a)

An-1

(n — 2) {x — a)

n-2* * *

~ + A l (x — a) .

55. Beispiel.

A₂

z³ + 1

(x-iy (x- iy^(x- i)»— i)²^ <r-i * Man setze

/■(«) = æ³ + 1 = A± + As (x — 1) + A₂ (x — l)²

+ A (x — i)

dann ist

f{x) = 3x² = A₃ + 2 A₂ (x — 1) + 34l (æ - l)2 (æ) = 6 æ = 2 ^1₂ + 6 ^ (x — 1) f"{x) ^6    = 6Ą ,

somit ist für æ = 1

und

/,

-4 = f(l) = 2 ,

A = ini) = 3, A={ni)=i

-4 = r(i) = 3

æ³+ 1

(x-l)

— dx = —

56. Beispiel.

3 (* - l)³    2 (x - 1)2    * - r

+ / (* — 1).

. 1 ___

X-\~l    4:(X² + 1)

^-arctgcr.

(x² + l)²{x² - 1) b) Wenn der zu integrierende Bruch von der Form

xm

(x — a)n

wo m <n ist, so kann auch die Methode der

teilweisen Integration zur Reduktion des Integrals angewendet werden.

Man erhält

___fx m

(n — l){x — af'¹^ n — 1J (x — af“¹*

~¹dx

xm

xm dx (x - af

57. Beispiel. Nach dieser Formel ist

(x - af x² dx

dx = —

3 (x — a)

+/

x² dx

(x — a)3 xdx

(x — a)3 xdx

(x — a)²

2 (x —a)

f_dx

x — a J x

(æ — a)²

d),

f dx u

/-= l(x —

J x — a

somit

x³ dx

x³

x²

2

(1+*)«    2(1+*)» ' l—x + l{-X+1)-

c) Das Integral zu ermitteln ,/=J

(x — a)⁴

58.

3(aj — «)³    2 (*—«)² x—

f{x)dx (x — af cp (x)

Setzt man

f(x)

•4t

Ai-\

(x— a)k <p (x)    (x—af

(x-af-¹

ip(x)

x — a cp(x)

§ 7. Mehrfach vorkommende Wurzelfaktoren im Nenner. 17 so folgt hieraus

f{x) = (fix) {Ak + (x — a) + ... + At (x — a)*"¹} + yj(x)(x — a)k,

und man erhält zur Bestimmung von Ak, i, ... die Gleichungen f(a) = Akcp{a)

f(a) = Ak(p'(a) + ({) 1 ! Ak_₁cp{d) f"{a)=Ak<p"(a) + (\) 1! Ak.± cp'{a) + (1)2! Ak_₂<p(a) f'"(a) = W» + (?)1 ! 4fc-i ?>"(<*)

+ (|)^ • -4fc-2^(ß) + (|)3 ! Ak_z(p(a)

Das Integral der ursprünglichen gebrochenen Funktion ergibt sich alsdann durch Integration der einzelnen Partialbrüche.

59. Beispiel. J-{?-+!_ -

dx.

Setze

/■(*)

x³ -f- 3 x + 2

x² (x — l)³

x² (x — l)³

i éi | A i y («fl (æ — l)³ ^ (æ - l)² ^ x — 1 ^ x²

dann ist

f(x) = xs + 3x + 2 = x² {A₃ -f A₂ (x — 1) +At (x— 1 )²} + yj(x)(x— 1)

woraus folgt

Al) = 6 = A f'( 1) = 6 = 2 Ą+Ą f"(l) = 6 - 2 As + 4 A₂ + 2 Ą , A₃ = 6, A₂ —    6 , A₁ = 9 .

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

Setzt man ebenso

f(p)

(x — l)³ ’

X² (x — l)8 so folgt

f(x) = x³ + 3æ + 2 = (x — l)³ {B₂ + B±x} + yj(x)^x2 und f(0) = 2 = -B₂ , f(0) = 3 = 3 B₂ - B₁ ,

z²(æ- l)³

x²

X²

woraus folgt B₂ = — 2 , Ą = — 9 . Das gesuchte Integral ist somit 6 dx

-/

6 dx

(x i)

f 9 dx _    _ C9d_

J x—1 J x² J x

(* — i)

(*-i)

4--^—+ -+ 9Z(æ — 1)— 9 Za:.

£C — 1 X

60.

Æ² —

(* + 2)

§ 8. Übungsbeispiele.

^—dx= —

ï ⁺ ÏT2⁺⁷⁽* + 2)i

2 (x + 2)

61.

62.

(x — a) (x + l)³

— dx ~ —

4

(x — a)

(x — a)²

-q.

x — a)

9x² — 6 x -f- f-

dx = —

(- l{x— 1) .

6s- /*' ¹ ^ 1+'»+-1) •

1    _ 1 ^x—_ a

a (x — à) a² x

,    1—x

dx==TT~l—\

1 +*

{x — l)⁴

(x - l)³

x (x — a)

x⁴ — 5xs — 30x² — 36æ

(*+ l)⁸(a:² — 4) x -j~ 2

+ 21

CD

CD

dx

2x — 1

2 (æ — l)³    2 (® — 2)

CD

(®-l)»(®-2)*®

+ 2i(®- l)-^Z*-^i(®_2).

T5 + *¹?

dx

4x —

(x— l)³(x+2)²    54 (x— 1)

x+2

27 (æ + 2) *

00

/■

SC

(æ² + l)²(æ² - 1)

x + 1    4 (x² + 1)

— ^ arc tg x .

05

05

x⁶ dx

=    ³+l)-f

(sc³ + l)2 f3x³ + 10sc² — x

J M - !)■ dX

3(x³+ 1)* 5æ+ 1

x² —

(sc³ + 3sc² + 3sc + 2)dx

x³ (sc + 1)

«J-

_ ₊ 4I(« - 1) — I (x + 1) . — — + 2 Ix

(æ³ + 4aj² + llx + 18

(x + l)² (x + 3)²

— Kx + i) •

i(x+1)

2 (x T)

f 2Z(® + 3).

CO

(sc + 1) dx

(x — 1) (*² + 1)

'2 (x + 3)

2 (sc² -f- 1)

— \ arc tg x .

III. Abschnitt.

Integration irrationaler Differentiale.

f{y) dy

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raumes.

Schwerpunktsbestimmungen.

iiii

SRr. 42.

Integration irrationaler Differentiale.

§ 9. Gebrochene Exponenten von x oder nte Wurzel aus a+ bx in f(x).

a) Sind in dem Integral J f(x) dx neben ganzen Potenzen von x auch solche mit gebrochenen Exponenten vorhanden, deren kleinstes gemeinschaftliches Yielfache k ist, so setze man x = tk, dx = ktJc~¹ dt, dann geht obiges Integral in ein rationales über.

dx

jf(x) dx — kJf(tk) tk~¹ dt.

74. Beispiel. Zu integrieren J =

Setze x = ź⁶, so ist dx = §fidt, womit das Integral übergeht in t² dt

j-ef

t-\-l

= 3 t² — 6 £ + 6 Z (ź -f- 1) oder in

/=    6z(|/* + l).

b) Integrale von der Form Jf(x,    + bx) dx werden

rational gemacht, indem man setzt

j (yn - «)

75. Beispiel. Zu integrieren J = jx']/a — xdx. Setzt man a — x = ², so folgt x — a — y²,

J=—2jy²{a — y*) dy =— %ay* + %y6 J = —    (2 a + 3x) /(ä — x)³ .

a + bx = yn ,

dx — ^ yn~¹dy .

= — 2 y dy und

oder

f    dx = — x— Ll[x — AlÇjx — l).

76.

77.

78.

j i — y x

Vs+T-1

y^+r -j-1

_|_ Yx +1

jg-i

+ f)^ +    + 2-fx + §Yx + $}l!c

+ 9l§[x— l) + 3l$x + l) .

dæ = fæ|/æ + -f-æ)/æ + æ

r dx 79.    / --

j y« + bx

80.

J/(a + èæ)m

dx =

.    + bx)m+2 .

(m + 2)£r v    '

= — *yr^(a. + 2a).

81.

J |/a — æ 82. fx²^a + xdx

= ia + x(8a* — 4a²æ -f⁻ 3ax² + 15æ³).

83.

y a -)- ôæ — ]/a

ya+ &æ + /â 84.

85.

ya — x xdx

yâ~+Tæ

36ô²

y(a + &æ)⁴ (4&æ — 5 a).

86.

dx

87.

= ^{(a;+ # + (*-#}•

X    --

— dx = ]/1 — x² + arc sin x.

y* + a — yx — a

yi-

§ 11. Ausdruck zweiten Grades unter dem Quadratwurzelzeichen.

Das Integral zu ermitteln J = J f{x, ]/a + 2bx -f- cx²) dx = Jf(x, W) dx . Kommt die Quadratwurzel JF in irgend einem Glied der Funktion f im Zähler vor, so schaffe man sie in den Nenner, indem man mit W =    + 2 bx -f- cx² er

weitert; dann bleiben nur Glieder von der Form

xn

oder

{x - <x)kW

zu integrieren.

Da die letzteren durch die Substitution x — oc = —

in solche der ersten Art übergehen, so hat man nur noch Integrale von der Form zu behandeln

a₀ xn + % x?¹-¹ + ... + an

fxn

J W

welche sich mittels der Methode der unbestimmten

[dx

Koeffizienten zurückführen lassen auf das Integral indem man setzt

— dx oder

dx,

a₀ xn + % x?-¹ + ... + a„ ^

>w+?fw

woraus die Koeffizienten oc und ß nach beiderseitiger .Differentiation dieser Gleichung durch Koeffizientenvergleichung gewonnen werden.

In betreff des Integrals

dx

]/a + 2 bx + ox²

unterscheidet man folgende Fälle:

Erster Fall: Der Koeffizient c von x² ist positiv, also c > 0 , dann ist

dx

'ja -f 2 bx + cx²

= Ai{h

cx — yê" • w) oder ]=l{b + cx + fć -w) ,

r°

1°

W — "ja + 2 bx + cx² .

Zweiter Fall: Der Koeffizient c von x² ist negativ, also c < 0 , dann ist

dx

1    . b -f cx

arc sin -==

]/&² —

-j-c

oder

ac

1    . — (b + cx)

V-*

=== arc sin —......    .

]/&² — ac

Wird in diesem Fall b² — ac = 0 , was nur sein kann, wenn außer c auch a negativ wird, so ist

W = ~ja + 2 bx + cx² = x /c"+ /a

= ]/—1 (# ]/— c + ’j—a)

und es läßt sich das Integral nach dem ersten Fall leicht ermitteln. Wie man sieht, wird das Integral imaginär.

9xs - 3x² + 2

88. Beispiel.

dx zu ermitteln.

yi — 2 a5 + 3 a:2 Zur Reduktion des vorliegenden Integrals setze man

'9æ³-3æ² + 2

]/l — 2x — 3x²

dx = (oc₂ x² -f- oc±x-{- <x₀) W + ß

'dx

WJ

ocx, &₀ und /> unbestimmte Koeffizienten be-

wo ÖC₂

deuten. Um dieselben zu bestimmen, differentiiere man vorstehende Gleichung und multipliziere mit

W — yi — 2 æ + 3 æ2 durch, dann ergibt sich die Gleichung

9 xd — 3 x² + 2 = (2 ćx₂ æ +    (1 — 2 x + 3 x²)

+ (#2    ^ + #o) (— 1 + 3 æ) + ß j

woraus durch Koeffizientenvergleichung folgt

«₂ = 1, «! = i , «o = — i , £ = £ •

Da nun der Koeffizient von x² in ]/l — 2 a; + 3 a;2 positiv ist, so folgt

dx

,_    l + 3a:+y3Vl — 2a:+3a;²}.

|/l —2a;+3a;²    ^

4’+f

-łK

Das gesuchte Integral ist daher dargestellt durch /*9 a;³ — 3 a;² + 2

i

+    -\-Zx + fàW\.

3|3

§ 12. Übungsbeispiele.

W bedeutet die zu dem betreffenden Integral gehörige Wurzel.

89.

a) Reduktionen. f 4æ² + 7x+ 5 J ]/2x²+ ßx+ 7

90.

91.

92.

93.

94.

—(T + èH+îff*

4Rc — 3Cb

dx ~{x —

l + 2g + 2^^

y 1 — 2æ — 4æ²

dx

TF *

]/a+ 2 ôæ+cx²

¹ (° ,

2 \c ^

c²

)tf

Gac + 4Rèc — 3(76²j y' dx

xdx

2 c²

TF*

y a + 2 ôæ + ca;2 c x²dx

TF jdx

TF*

\2 e 2c²/    ^

3S'-*r

2 c²

TF*

y*]/a + 2 bx + cæ² dx — J

TF

-(T+ry+fe-rJ/^

TF *

95. fil + 8x-5x*dx = ₁Lç(5x — 4:)W+^JdX

fdx

b) Integrale von der Form / -

TF *

96.

dx

,-= ±=l{S + 2x + f2W).

y2o;² + 6a;+7    ]/2

97.

y 1 — 2 a; — 4 a;²

\ arc sin

/5 *

98.

dx

]/l + x + o?²

= l(t + x+W).

99.

dx

]/ 7 + 8a; — 5æ²

100.

dx

1    . 4 — 5x

=--— arc sm ———

/öl

1    . 5x — 4

=    —arcsin——=— .

yö yöi

yö

oder

101.

y»² + 2 x — 3

f__^

il'

= 1(1+ x + W) . = + 4₌Z(6a:±y6. TF) .

102.

da?

103.

104.

J ]a — bx²

f dx

il

f dx

J

=--ŚL arc sin £

y 2 6a; + cx²

y 2 bx — cx²

= + -p= l(b cx + Yc- W) .

fc

1    . b-

—= arc sm —-

y^ b

cx

oder

1    . cx — b

= —— arc sm--

i/7T    b

105.

dx

j/3 + 6x — 4*²

= \ arc sin

4 a? — 3

]/2l

== — \ arc sin —

106.

dx

y —9 + 6 a? —a?²

yii '

—y=ï~A—^—

•i ya?² — 6a? + 9

§ 12. Übungsbeispiele, c) "Weitere Integrale mit Reduktionen.

107.

[l/a + bz*dX=^W+-^=l(bX + -/b • W) . J    ²    2 yb

108.

/y.-

109.

110.

111.

112.

113.

114.

n-

~rW-1--%=. arc sin x

— bx²dx =

jf

2 ax — x² dx

J x y~2

ax — x² dx

/x²

~ VT

ax

-t)-

a³ . x — a

— arc sm-

2    a

xdx

]/a² + x2 xdx

y a² — x2 x dx

y&² + •

= — ]/ a² — x² .

= i yâ -f-    .

b

^a-\-bx²

\a + bx2 x² dx

f-

-JL₌l(bx+ VF TF). 2&/F

—--^W

3& 3W

r

d) Integrale von der Form J = ermittelt, indem man setzt

115.

116.

r xs dx /

J y& + bx² \

(x — oc)W

werden

x— a = —

dx = —

dy

2/²’

womit das Integral übergeht in

dy

/<? + 2 (6 + ca)?/ + (a + 26a + coc²)y²’ worin a+26a + ca²>0 oder <0 nnd gleich Null sein kann und die oben betrachteten Fälle eintreten können.

117.

dx

(x — 2) yx² — 4æ + 1

118.

dx

(x^l)^x² — 4x—2

119.

dx

120.

(x—3)]/æ²— 8æ + 8

= -arcsin—.

C_dx_

J X^X² — 1

J}f1^3y

i . yïï

=--— arc sin —--•

x — 2

x -\- 4

(x — l)]/6 '

x 4

(aj—3)/8 ’

Vs

=--jL arcsin

Vs

=--^Larc sin

/7

121.

dx

= — arc sin -

æ/5

J X^X² + X — 1 Allgemein ist für a -f 26a + c&²> 0 imd =p:

122.

dx

= q=

J (x — a) \a + 2 bx + c#2 1 a + 6a + (6 + ca)x + rfp • W

ip

x — a

Für a + 26a + ca²< 0 und =—q, wo q positiv ist, erhält man:

123.

dx

124.

(x — (x)ya + 2bx + ex²

1    ^ a + b oc + (b + coc)x

= —— cirC S1I1--

(x — <x)^b² — ry 1 ^a+bx+'fa

dx

y?

ac

xya-\-2bx-{-cx²

ra

(a positiv.)

125.

dx

126.

1    .    — a-\-bx

_= — arc sin ———•.

y — a-\-2bx-\- ex²    y a    x\b²+ac

(a positiv.)

dx    i x -f- 2 —f- 2 ~W

Jxfi -f X — *²

Auch die Integrale von der Form

dx

J (x — oc)k W — in solche von

y

übergeführt. Letztere werden wie

das Integral 88 reduziert und schließlich integriert. Man erhält beispielsweise mit dieser Substitution:

werden durch die Substitution x — oc =

der Form

Cyk-ldy

J W

127.

dx

(x — oc)n \a + 2 bx -f- cx²

__Vn'ldy_

)/c + 2 (b + ca)y Ą- (a -f 21 a + ccx,²) y²

-/

128.

dx

(a?— l)²y 6 — 6 a? -f- x²

129.

dx

x²\a + 2bx + cx²

W

aJ,

ax

130.

dx

x³ y 1 — 4 x — 2 x²

(— + —) w

\2x² ^ x)

+ 7 l-

-2 x—.W

131.

dx

(x + l)² ]/'x² — 2x — 2

132.

dx

133.

J x²^l + æ²

r_

05+1 + 21—

w-ii InE.

X

2a;²

— 4a; — 2a;²

¹+Qx w

+ 71

e) Integrale von der Form J= / -

A») J

— 2x— W

X+l

2£C²

1 — 2a; — W

dx werden da-

2^(0?) IT in Partialbrüche zerlegt,

durch ermittelt, daß man

wodurch das Integral J in eine Summe von solchen der seitherigen Arten übergeht.

F{x)

134.

f__ch_₌ I/7_i___L_l^

J(x²-4)IF ij \x — 2 x + 2}W

135.

/■

(o; + 2) dx

(a - 3)²TF

₌ 1 f ^    _ 1 f

IJ {x-2)W ij (x+2)W ‘ • ‘/ *

(æ - 3)²TF

(X_3)TF *

136.

(x — 2) dx

x² yx² + 6æ + 45

45 x

17    ,a;+15 + V5Tr

45/5

f) Besondere irrationale Integrale. Durch. Einführung neuer Veränderlichen lassen sich folgende Integrale auf einfachere zurückführen und integrieren.

xdx

137.

138.

\a²—x2 xs dx

y a + c#⁴

Tr/~, = — — — Vß2 — x2 [æ²=«i •

₌₌J_₁^+^r.

139.

dx = —

dy

³ J w — y²

2    .    -| / £C³

= — aro sin

O

as

[*³ = 2/²].

140.

St+x

dx =

xdx

C dx

= a arc sin--Va² — a;²

a '

y a² — x²

]/a² — x²

141.

/f:

a² + æ²

dx =

x² — 2 a²

)/a⁴ — a;⁴

a⁴

x²

--- arc sin —

a² ’

IY. Abschnitt.

Integration transzendenter Differentiale.

§13. Exponential- und logarithmische Funktionen.

a) Grundformeln.

ex dx — ex .

142.

ax

axdx = —

la *

b) Integration durch Substitution.

143.

j f{ekx) ekxdx = j jf{y) dy,

144.

f— =

J ekx

fee⁴*

145.

/■

146.

(e* + a)w (w — 1) (e* + af-¹.

dy

ekx = y , dx — rr^-

ky '

147.

e*+ 1

148.

e*— 1

r

dx = J(e* — 2 + e⁻*) .

i(yi + e* - l) - Z(|/l + e* + l) .

yl +e*

Jf(aX)a% dx = f(y) dv •

ax = y, axladx = dy .

150.

ax dx

ax + a~x

151.

ax = y y ax ladx = dy .

152.

a* + 1

1 (ax - l)²

— dx =— l 1 Za

153. Jf(ax) dx — jf(ekx) dx.

a = e!c y k = la .

ax —

ax

154.

155.

f *—dx= I

J ax — 1    J

f **    f

J ax + a~x J

eliX dx

dx

çkx g-kx

= — arctg 9ix k

= — arctga* .

la

156.

fm ~ =fm dix = ff(y) dy.

lx — y

dx

— = dy . x *

157.

fl^dx=fyd1J =

(z*)

158.

159.

j' dx

x(lx -f- 1)

-f.

dy

= l(lx + 1).

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

c) Die Methode der teilweisen Integration nach der Formel Judv = uv — jv du wird mit Yorteil angewendet, wenn es sich darum handelt, Integrale von folgender Art zu ermitteln :

160.    Jx²exdx = Jx² de? — x² ex — 2 jxe? dx.

Jx e? dx = Jxdex = xex — Je?dx = æe* — ex Jx²e?dx — e? (x² — 2 x Ą- 2).

161.    Jx³e?dx = ex (x³ — 3 x² + 6 x — 6).

162.    Jxne?dx — xnex — njx”-¹ ex dx

= ex {xn — nxn~l + n (n — 1) xn~2 — n (n — 1) (n — 2) xn~³ + ...}.

_1 dx.

^    xnekx Ti C

163.    I xnelxdx ------— I łxxn

164.    fx² eBxdx — ^(x² — -Ja; -f- J)e8a! •

C    e!tx

165.    I (a + bx)n ekxdx — — (a + bx)n

n~¹ekxdx .

—Är/(a +bx)

166.

ekxdx

(a -f

— 1) + __k__C __êxdx

b(n — 1)J (a +

ekxdx a bx

durch Eeihenentwicklung ermitteln.

w-1 *

Integrale von der Form

lassen sich nur

168.

+ 7T7 + • • dx

3!

<7*2 rp 3

= J* + *+T+18 ⁺ -

— dx usw.

Cexdx __    e? fe*

J x²    x ^ J x

169.    Jlxdx = x(lx — 1) .

170.    J(lx)²dx = x{{lx)² — 2 Ix + 2} .

171.    j(lx)ndx = x(lx)n — nj(lx)n~¹dx . ccM+1 Za;

172 .Jxnlxdx

— f

n + 1 w + lj

xn+l

xndx

173. f—^dx J xn

(n— l)xn~

174. y (a + bx)²lxdx =

-.(ö + s4r)-

(a + bx)³ Ix

dx.

1 f(a + bx)

~ 3bJ

§ 14. Trigonometrische Funktionen.

a) Grundformeln.

175.    J cosa; dx — sina;.

—cosa; .

176.    Jsinxdx =

— sinwa;.

177.    j cos nxdx =

178. jsinw« dx = —— cosw« .

179.

180.

r_dx J

f dx

J

COS²X

sin²«

= tg x .

== — ctg«.

b) Integration durch Substitution.

181. f /‘(sinx) cosx dx = Jf(y) dy .

sin« = y, cos« dx = dy .

dcosx

Jtgxdx = J

sin« _

-dx

COS«

183.    J(tg« -f- ctg«) dx = Zsin« — Zcos« — ltgx .

184. y*cosMcc sin« dx sin xdx

cosM«    (n — 1) cosn+1« *

186.    Jf(smx) cos2n+1xdx = J f(smx)(l —sin² x)nd sinx.

187.    jsin³« cos³« dx = jsin³« (1 — sin²«) dsin«

sin⁴«

182.

185.

cos«

Zcos« .

---cosM+1«.

n + 1

sin⁶«

6 •

188.    Jsin⁴« cos³« dx = sin⁵« — -f sin⁷« .

189.    Jsin⁴« cos⁵« dx = \ sin⁵« — f sin⁷« + -J- sin⁹« . sin²«

190.

sin³«

dx

lcos« .

191.

cos«

sin⁵«d«

cos«

= cos²«

cos⁴«

— Zcos« .

192.

sin³# dx

cos# +

cos²#

193.    Jsin2M+1#d# = — /(1— cos²#)wdcos# •

194.    Jsin³#dx = — j(l — cos²#) dcos#

cos³#

= —cos# -\---— .

O

195.    fsm⁵xdx ==— J(1 — cos²#)²dcos#

= — cos# + cos³# — -J- cos⁵# .

196.    jsin ¹xdx = — cos# + cos³# — f cos⁵# + -f cos⁷#. (1 — cos²#)w

cos2w+1#

198.    ftgtxdx = -J-tg²# + lcos# .

199.    Jtg⁵xdx = £tg⁴# — -^-tg²# — /cos# .

iz -f^^k

dx = J tgsxdtgx = dx = j tgnxdtgx =

COS#

197.

200.

201.

202.

203.

204.

jtg2w+lx dx —_J

=Jf{tgx)dtgx .

d cos#.

sin#

cos³#

sin³#

cos⁵#

sinw#

cosw+2#

sin# cos#

= J tgxdtgx =

tg² #

tg⁴#

tgw+i#

n+ 1 *

ć/tg#

Durch die Substitution

sin²#

tg²#

1 + t g²#    1 + y

= d tg# = dy

cos²#

1+V²¹

cos²#

werden folgende Integrale rational gemacht und leicht integrierbar:

207.

d#

sin2w# cos2w#

-/■

dtg#

(1 + tg²#)™*”“¹

-/

tg2m#

(1 + y*)»+»-i

2m

dy.

208.

i + tg²#

sin²# cos²#

tg²#

dtgx

tg#

~—f- tg# = —2 ctg2# .

= tg# — 2 ctg# — ctg³# .

209.

sin⁴# cos²#

Setzt man sin# = y , cosxdx — dy, so ergeben sich folgende Integrale, die durch Partialbruchzerlegung weiterzubehandeln sind:

210.

/(sin#) dx

cos2w_1# f,f(sinx)

dsin#

(1 — sin²#)

f{y) dy

(1 — y²)n *

211.

sinM# dx

cos#

-/■

sinw#dsin#

1 — sin²#

-n

yndy

-y²'

212.

sin² a;

cosse

dx = —sinsc — \ l

sino; — 1

sinsc 4- 1 *

213.

sin⁴ se

214.

/■

cosse sin⁶ se

dx —

n³æ .    (n sc\

s—“-'Mi-ï/'

cosse

dx —

sin ⁵ se    sin³ se

sinsc

Wï + t)-

215.

Jîjrtsm*-«,,**)

-tits(y ⁺ t)-

X

Die Substitution tg — = y gibt

U

sin⁴se

COS³SC

dx —

sin sc

2ÿ

1 + 2/²

cosse =

1 — y²

r+ÿ*’

22/

-y

et g SC = —

— y²

2ÿ

, dx =

2dy

216.

/•^₌₌r%₌    *

J sin* J y y 8 2

217.

1 + cosse

= Jdy = y

r.

218.

dx

219.

a cosse -f- & sinse

/ *

= tg2":

sin sx se + &

~irlte-T-

= ctgaj •

cos*

+ sin* j/2

+i)'

1 a sin« — b cos«

d«

a cos« + & sin« + c c a cos« + & sin« + c *

(Für c² = a² -f b².)

Formel

c) Integration durch allmähliche Reduktion nach der Judv = uv — jvdu .

221. J sinnxdx — — J sin”⁻¹ xd cos x = — cos «sin”"¹« + (n — 1) Jsin”"²« cos²« dx = — cos x sin”"¹« -\-(n — 1) j sin”"²« (1 — sin²«) dx = —cos«sinM_1«-)-(n — 1 )/ sin”⁻²«d«

— (n — 1) Jsin” « dx .

Hieraus folgt sin”« dx = —

— cosæsin”“¹« 4- —-- f sinn~²xdx .

n    n J

Setzt man« = ^

nachher wieder « für y, so folgt hieraus

n—

-2/,

dx = — dy und schreibt

222. y cos ”«d« =

— cosw_1«sin« 4 n

=V-

n J

cos””²« cZ«.

Werden diese Formeln umgekehrt und wird alsdann n — 2 durch —n ersetzt, so ergeben sich hieraus die weiteren Formeln:

223.

dx

COS«

sin”«

n — 1 sin”"¹«

224.

r*

1 sin«

cos”« n — 1 cos”⁻¹«

, n — 2 r dx n — 1J sin”⁻²« * n — 2 f dx_

w — 1J COS”"²« *

/ dX

r

227. fsin³xdx = — -|-(sin²« -f 2) cos«. j sin⁴ xdx =    — cos x

229.    Jsin⁵« dx = — cos« (^- sin⁴« + sin²« + -Ą-) •

230.    Jsin⁶« dx = x — cos« sin⁵« + Ą sin³«

+ Ä sina;) .

sin²«

= — ctg x

cos²«

— tgx.

228.

231.

cos«

sin³«

2 sin²«

U_ + _U

\3 sin³« ' 3 sin«/

= — ctg« — -J- ctg³« .

Anf Integrale dieser Art lassen sich auch die folgenden zurückführen:

232.

f dx

J

sin⁴«

= — cos«

233.    Jcos2w«sin2w«(/« == J(1 — sin²«)wsin2nxdx .

234.    J sin²k« cos²« dx = J(1 — cos²«) cos²« dx

= J cos²« dx — J cos⁴« dx

/sin³« sin«\

V 4

= — + cos«

235.

sin⁴« cos²« dx —

16

/sin⁵« sin³« sin« \ 6

+ cos«

236. J/(sin«) cos²^« dx = [/(sin«) (1 — sin²«)w dx .

24    16

237. ^sin⁵#cos²#d# = j sin⁵#(l — sin ²x)dx — J sin⁵# dx — J sin⁷# dx . '1 — cos²# cos⁵#

f dx f dx

Die teilweise Integration führt auch zu folgenden Formeln:

238.

sin²# dx

cos⁵#

cos³# *

239.

/1gnxdx = —1__ tg"-¹# — ftg J    n — 1    J

n~²xdx

240.    J tg²# dx = tg # — # .

241.    Jtg³#d# =tg²# +/cos# .

242.    Jtg⁴# dx = \ tg³# — tg# + # .

§ 15. Vermischte transzendente Funktionen, a) Integration durch Substitution.

243.

fl — a;2 arc sin a; =

Jf(y) dy.

dx

y, ~rr :    ~

y 1 — æ²

244.

arc sin#

y 1 — a;²

= (arc sin#)².

245.

Jf (arc tg x)    =ff(y) dy .

arc tg# =

dx

= dy.

f . dx /arc tga:

1+x²

= Jarctgxdarctgx

= ł{arctgx}² .

b) Vermittels der teil weisen Integration ergeben sich die Integrale:

247.    jarc sina: dx = x arc sina: + ]/l — x² .

248.    Jarc tgx dx = x arc tga: — Z ]/l + x² .

arc sina? dx — a: — ]/l — a:² arc sin a:.

249.

250.

a:w arc sina: da: =

a^n+i

arc sina:

a:M+1

251.

Jxn arc tga: dx

»+ Ijyi—æ»

a:M+1

da:.

n -f- 1

arc tga:

-f-

n + lj 1 + a:²

252. y"a:M sina: da: = — a:Mcosa: + nfxn~¹cosxdx .

/sina: _

/-dx =

J xn

xn+1

dx .

253.

sina:

(n — 1) af“¹

-J-É

n — 1J xn~

cosa:

jda:.

254.

f xn

cosa: 7 -dx —

cosa:

-J-ß

n — 1J xn~

sina:

(n — 1) xn ~¹

255.    Je?sinxdx = —exeosx-\-fe?:GOSxdX'

256.    fe?cosxdx = e^sina; — Jexsinxdx .

- dx.

Aus den beiden letzten Integralen folgt:

257.

ßX

ex sinxdx = — (sinx — eosæ).

258.

Jexcosxdx = (sina; cosa;).

Y. Abschnitt.

Bestimmte Integrale.

§ 16. Regeln und Lehrsätze über das bestimmte Integral.

a

a) Regel. Das bestimmte Integral J f{x)dx

b

zwischen den Grenzen a und b wird erhalten, indem man ohne Rücksicht auf die Konstante G das unbestimmte Integral F(x) ermittelt und hierauf die Differenz der Werte bildet, welche dasselbe für x = a und x = b annimmt.

/ f(x) dx = F(a) — F(b).

b

259. Beispiel.

x³dx =

Hl

16    1 _ 15

4’

b) Satz. Ein bestimmtes Integral geht in seinen entgegengesetzten Wert über, wenn man die Grenzen miteinander vertauscht.

a

f f{x) dx = — J f(x) dx .

b    a

Satz. Ein bestimmtes Integral verschwindet, wenn die Grenzen einander gleich werden.

Jfix) dx=* 0 .

a

Satz. Anstatt die Integration von der Grenzet bis zur Grenze a direkt auszuführen, kann man eine (oder mehrere) Zwischengrenze c einführen und zunächst von b bis c integrieren und nachträglich die Integration von c bis a fortsetzen.

a    c    a

J f[x) dx = J f{x) dx + f f{x) dx .

b    b    c

c) Integration bis x = oo. Wird eine der Grenzen, z. B. die obere, imendlich groß, so wird der Grenzwert

lim Jfix) dx = lim {F(x) — Ffi)}

35 = 00 b

35 = 00

als der Wert des Integrals bezeichnet für die obere Grenze x = oo .

260. Beispiel.

35 = 00

f dx

J1 + x²

(Siehe Fig. 1.)

== lim {arc tgx — arc tg&} = ~ — arc tgb .

35 = 00

tfrr **

Fig. L

261. Beispiel.

+ oo

f dx

J1 + x²

(Siehe Fig. 2.)

lim arctgcc — lim arctgæ =

x= — oo

x= +oo

toi a

— 71 •

— oo

y*i+æz

•» oo

Fig. 2.

d) Integration bis zueinerUnstetigkeitsstelle von f{x).

Wird f(x) für eine der Grenzen, z. B. für die obere x = a selbst unstetig durch Unendlichwerden, so heißt

x=a

j f{x) dx = 6

lim Jf(x) dx = lim {F(x) — F(b)}

x=a

x=a b

der Wert des Integrals für den Fall, daß sich hierbei überhaupt ein bestimmter endlicher Grenzwert ergibt. Ist dies nicht der Fall, so darf die Integration auch nicht bis x = a ausgedehnt werden.

262. Beispiel.

/■

0

dx    „    . X 71

== lim arcsin — = —

x=a

e) Integration über eine Unstetigkeitsstelle von f{x).

Wird f(x) für einen Wert x =» c, der zwischen den Grenzen dun b a des Integrals liegt (b < c < a), unstetig,

so ist der Wert des bestimmten Integrals dargestellt durch den Grenzwert

2a

dx ,

(sc — a)ł

= 3 ya -f 3]/a=6|a.

Jl

mT

w:

ym

r iii

É)

l||

iliy

JL

i?

CL

CL

Fig. 3 b.

Fig. 3 a.

f) Geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Das bestimmte Integral zwischen den Grenzen a und x läßt sich als Grenzwert definieren, welchem die Summe

U?i = Ax {f(x) + f(x + A x) + ... -f fix + [n— 1] A x)}

der n elementaren Flächenstreifen (Fig. 3) bei unendlich wachsendem n zustrebt, und stellt geometrisch den Inhalt der Fläche PABQ = U dar, die von der Ab-szissenach.se, den Ordinaten PA und QB und der Kurve y = f(x) begrenzt wird.

a

U = lim Un = J f{x) dx = F(a) — F(x).

X

a

Satz. Das bestimmte Integral jf(x)dx zwischen

X

den endlichen Grenzen a und x läßt sich, wenn f(x) innerhalb derselben endlich und stetig ist, in eine konvergente nach Potenzen von (a — x) fortschreitende Potenzreihe entwickeln, deren Koeffizienten durch Ableitung von f(x) gewonnen werden:

/f(x) dx — {a    x) f{x) + ~{a — xff(x)

C    ^ *

3!

+ A(a -x)*f"(x) + ...

x²

2p

264. Beispiel. Für y = — ist

f^—dx = (a — x)^- + ^-(a — x)² —    -î-(a—æ)³—

J 2p K J 2p 2! v ¹ p ¹ 3!v    } p

X

§ 17. Übungsbeispiele.

2

265. f(xs — 3x² + 2x)dx=—

71

1 + x² 4

/"

o

i    i

267.    fa**dx = —(a* — 1).

of    kla    '

l

268.    jxexdx = 1 . o

i

(n + 1)2 ’

269.    jxnlxdx o

oo

270.

Ix

xn (n — l)² *

271.    jńtfcpdcp = j.

2n

272.    J( 1 — cosq))²dy> = o

TT

273.

T

/■

0

dx

cos⁴#

= i-.

oo

274. je~liXdx = — .

-oo

275. faxdx = o

si-

+ oo

276.

dx

-oo

oo

277. jxne~xdx = n! o

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

oo

278.

/sina? _ i In

)T*ix=y*-

0

oo

279.

sina? _ 7i -dx = —

a?

280.

xdx

}/a² — a?²

= a . (Fig. 21.)

YI. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die ebene Geometrie.

§ 18. Rektifikation ebener Kurven.

a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Die Länge s des Bogens PQ der Kurve y = f{x) (Fig. 4) zu bestimmen.

Die gesuchte Länge ist dargestellt durch das bestimmte Integral

a    a

=y* y i + yr 2 dx=/ yr+rw dx.

6    b

CL

281. Beispiel. Die Länge des Kreisbogens zu be

rechnen.

Die Gleichung des Kreises sei x² -\- y² — a² = 0 .

Hieraus folgt

y² = a² —x²,

y =/■(*)= /a² — *², vf

]/a² — x² *

ds = ]/l tf² dx =

adx

]/a² — x²

, somit

. X a    71

s — ds = a arc sin— = — a . o    a o    2

Der Umfang des Kreises ist demnach 2jici.

282. Beispiel. Die Länge des Bogens der Epizykloide mit den Gleichungen

x — (a + r) cos£ — r cos

a + r

¹ î

r

y = (a + r) sin t — r sin-----t

zu berechnen.

Vorstehende Gleichungen geben

daher ist

dx — — (a + r) ^sin t

dy= (« + »•)(

ds² = dx² + dy² = 2 (a + r)² jl — cos—1 dt²

— sin

cos t — cos

a 4- r \

—v"»

a + r \ , — tjat,

at

*= 4 (a + r)² sin²— dt² ,

u T

Der Winkel ć hängt mit dem Wälzungswinkel u des rollenden Kreises durch die Gleichung zusammen at=ru.

so erhält man

Wird nun u = 2 n, also t =

2 nr

hieraus als Länge einer Epizykloide s = — (a + r).

$

Ist der Radius des rollenden Kreises w-mal so groß als der feste Kreis a = nr, so schließt sich die Kurve ;

n + 1

und

at

ds = 2 (a + r) sin —- dt, s = 2 (a + r

— cos

t

A²’--'

o

at\ 8r    at .

> = — (a 4- r) sin²—

J a v    7 4r

2r

at

sin —    ,

man erhält als Länge eines Zweiges s = 8 r somit als ganze Länge der Kurve

S = ns — 8r (n + 1) .

Für den Fall n = 1 geht die Kurve in eine Kar-dioide über, deren Länge nach dem folgenden Beispiel S = 16 v ist.

b) Für Polarkoordinaten.

Die Länge des Bogens AB der Kurve r = f(cp) (Fig. 5) zu berechnen.

OL

§ 18. Rektifikation ebener Kurven. Man erhält als Länge des Bogens AB

lX

= J )V² -f- r'\ dcp

gesetzt ist.

283. Beispiel. Die Länge des Bogens der Kardioide (Big. 6), deren Gleichung r = 2a(l + cos99) ist, zu berechnen.

Es ist

iJ = — 2 a sin 99,

ds = 2al/2(l + coscp) dcp = 4 a cos^-dcp,

09    .    99

— dcp = 8 a sin-g" •

cos

/J«

v>

Ftf

za.

2a

Für op = n ergibt sich hieraus als halber Umfang der Kardioide

-ö = ⁸«;

somit ist S = 16 a .

§ 19. Übungsbeispiele.

284. Die Länge des Parabelbogens (Fig. 7) zu be

rechnen.

f(xy) = xi — 2py = 0,

y' =

JC

+ JC

Fig. 7.

285. Die Länge der Evolute der Ellipse (Fig. 8)

zu berechnen, wo

ai

a² — b²

und b± a² — b²

gesetzt ist.

♦y

Fig. 8.

Setzt man x = ax cos³1, so folgt y = \ sin³1 und

a2 ^ ą Msin2¹ + cos2 O⁸ - bl,

wobei s von der y-Achse aus gerechnet ist.

286. Den Bogen der feilschen Parabel f = ay² — xs = 0

zu berechnen.

sx =

LC 00

FaH-

287. Die Länge der Kurve r — 2 a (cos99 + sin9?) zu bereclmen.

56 Anwendung der Integralrechnung auf die ebene Geometrie. / = 2 a (cos (p — sin cp), fr² -|- /² == 2 a f~2 ,

v _

J2 af2 dcp = 2 af~2 • o

Ganzer Umfang £2Jr =    /2.

Die Kurve ist ein Kreis vom Radius r = 2 a f2 .

288. Zu beweisen, daß die Kreisevolvente mit den Gleichungen

x = a(cosź + t m\t), y = a(sinź— źcosź)

die Länge besitzt

289. Die Länge der Hypozykloide mit den Glei

chungen

Ci — T

x = (a — r) cosź + r cos —— t, y = (a — r) sin t — r sin a ■ - £

zu berechnen.

“’ïï’

Man erhält s

2 Tir

woraus für t =- als Länge einer Hypozykloide folgt

CL

8 r{a — r)

290. Den Bogen der archimedischen Spirale r = a cp zu rektifizieren.

s = y {(p fl + f² + *(<?> +1¹ + «p²)} •

§ 20. Quadratur ebener Kurven.

toi ö

291. Den Bogen der Kettenlinie vom tiefsten Punkt bis zum Punkt P(x, y) zu berechnen.

-t).

Ci ( —

Die G-leicbimgder Kettenlinie ist y = — [e a -f- e a

u

Man erhält hieraus

_£_\ 2 6 a/ dx

ds — V (1 + l/²) dx — 4" y 4 + (ea

u '

1 ( JL ~£\

= —\ea +e a) dx ,

u

x

=Jds

o

a ( JL ~j\ea

292. Die Länge der Zykloide zu finden. x = a(t — sinź) , y = a(l —- costf),

2jt    2jt

= aj^2(l — costf) dt = 2 a Jsin-^-dt = o    o

§ 20. Quadratur ebener Kurven.

a) Für Parallelkoordinaten.

oc. Für rechtwinklige Koordinaten.

Den Flächeninhalt U zu bestimmen (Fig. 9), der von der x-Achse, der Kurve y = f(x) und den Ordinaten der Punkte A und B begrenzt ist.

Zwei Parallelen zur ^/-Achse, in der Entfernung x und x + dx gezogen, schneiden aus der Fläche einen elementaren Streifen heraus, der näherungsweise gleich

dU — ydx — f{x) dx

ist. Der gesuchte Inhalt ist daher angegeben durch das bestimmte Integral

U = Jydx = J f(x) dx .

b    6

cc

Fig. 9.

293. Beispiel. Den Flächeninhalt der Ellipse von x — x₁ bis x = x₂ zu berechnen.

Die Gleichung der Ellipse ist

ŹL + t.

a²

iß

-1=0,

woraus folgt

y =±—F² — x2 •

Da man nur das obere Zeichen zu nehmen braucht, ist

U_ife=Ä.

xx

( x r—-- , a²    . xY*

—    — æ² + — arcsin— >

\2 P    T 2    aL

xy ab . x **

= — + —— arc sm —

2    '    2    a ^

M «J '

= i(*2ÿ₂ - *i2/i) + y |ar° sin— arcsin —

Für x₂ = a und    =— a folgt hieraus als halbe

Fläche der Ellipse

ab 7i ~2~ *

294. Beispiel. Den Inhalt der gleichseitigen Hyperbel xy = a² zwischen den Geraden x± = a und x₂ = x zu berechnen. (Fig. 10.)

cc

X.

XI

Fig. 10.

Man erhält

«    X

jy dx — a²J^ = a² {Ix — la) ,

a    a

Setzt man a == 1,    — 1 und = x, so er

hält man

295. Beispiel. Den Flächeninhalt der Zykloide zu berechnen.

Die Kurve ist dargestellt durch die Gleichungen x = a(t — sin/), y = a( 1 — cosZ) .

Es ist daher dx = a( 1 — cost)dt, also Ut= jydx = a²( 1 — cos t)²dt oder

Ut = ^-{3/ — sin/(4 — cos/)} .

•    u

Der Flächeninhalt eines Zykloidenabschnittes ergibt sich hieraus für / = 2 n ; es ist U2n = 3 jra².

ß. Für schiefwinklige Koordinaten ist der Flächeninhalt (Fig. 11), der von der x-Achse, der Kurve y = f(x) und den Ordinaten der Punkte A und B begrenzt ist, angegeben durch

TJ

'T

Fig. 11.

oc    cc

= sinyJy dx = sinyJ f{x) dx,

wo y den Winkel der Koordinatenachsen bezeichnet.

296. Beispiel. Den Flächeninhalt der Ellipse zu bestimmen, von welcher zwei konjugierte Durchmesser

von den Längen 2 a± und 2 \ bekannt sind, die miteinander den Winkel / machen.

Bezogen auf diese Durchmesser als Koordinatenachsen, erhält die Ellipse die Gleichung

rjn 2    oj2    lr\__

öf ⁺    ~ 1 = 0 °der V =~ ^ ~ X² '

«1 _

sin/J]/öf — æ² dx o

»t

Daher ist U

— = sinyfydx =

4L    Q

U = Ji sin/ al .

somit ist

b) Für Polarkoordinaten.

Den Flächeninhalt des Sektors OAB (Fig. 12) zu bestimmen, der von den Radien vektoren OA und OB und dem Bogen AB der Kurve r = f(cp) begrenzt ist.

-tnrrrJl

Fig. 12.

Der gesuchte Inhalt ist, da

r    r2

dü — rdcp • — = — 6?99 2    2

ist, angegeben durch

=    r² dcp = \jP{cp)d<p.

297. Beispiel. Den Inhalt der Fußpunktskurve der Ellipse (Fig. 13) r² = a² cos² cp -f- b² sin²cp zu berechnen.

Man erhält

2 re    2jt    2 7t

1 f    Ç    b² [ .

U — — I r²d(p ~    / cos²9?dcp -j-    / sin²ç> dcp

o    o    o

= f {a² + b²).

■«

+x

298. yn=pxm ist

Fig. 13.

§ 21. Übungsbeispiele.

Für die allgemeine parabolische Kurve

U=pn / xndx

xy .

299. Die Kurve

f(xy) = x² y² -f- a²y² — b²x² = 0

zu quadrieren.

ü =b

§21. Übungsbeispiele.

xdx

TT (y«² + X- — a) .

|/ a² -f

300. Quadratur der Kurve (Fig. 14)

y² = x3 — &² von æ = 1 bis x = æ .

U = fx^x — 1 dx = T²y (æ — 1)^ • (3# -f- 2).

i

♦y

a?

:x:

6?

Fig. 14.

Fig. 15.

301. Den Inhalt der Kurve (Fig. 15) a(y² — x²) + æ³ = 0

zu berechnen.

302. Quadratur der Kurve (Fig. 16)

f(x y) = y² (a² — x²) — a²x² — 0 •

axdx

]/a² — x²

= a² .

a\/a

rn

Fig. 16.

Fig. 17.

303. f = y² (a² — æ²) - a* = 0 (Fig. 17).

-a2 2 * •

r_jx

J ]/a² — æ²

O

304. Quadratur der Zissoide y²(2 a — x) — xs = 0.

17= a²

o    • æ a

= a²arcsm —    =

2 a — o;

dx — 3 ci² arc tg

l/—

r 2a — a;

somit ist 27= 3 na².

305. Der Flächeninhalt der Sternkurve f = $ł -j- 2/ï — ał = 0

ist angegeben durch

27 = f jra².

306. Den Inhalt des gemeinschaftlichen Flächen-Stücks der beiden Parabeln y² = 2px, x² = 2py zu bestimmen.

dx — j^p².

307. Archimedische Spirale r — acp.

<p

y-i |<M

J*r² dcp — ~q)^ = ^-r². o

308. Logarithmische Spirale r = aèw .

a²

^⁼ïi(e2tv-1) =

r² — a²

309. Quadratur der Kurve r = 2 a cosç? sin²99.

B JC

Fig. 18.

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

Der Inhalt einer Schleife (Fig. 18) ist

E ₌ ILa,

2 16 a ’

somit ergibt sich als Inhalt der ganzen Kurve U=

310. Die Fläche der Parabel y² — 2 px = 0 durch eine Parallele zur y-Achse im Verhältnis m : n zu teilen.

Die Abszisse x der teifenden Parallele berechnet sich aus

x    a

Jydx : jy dx =

o    x

m : n oder aus

oà : (câ — x%) = m : n,

womit sich ergibt

\m + nj

311. Den Quadranten der Lemniskate r² = a² cos 2 cp durch einen Radiusvektor r zu halbieren.

Man erhält als Bedingungsgleichung zur Berechnung des Azimuts (p

<p    T

Jcos 2 (pd<p = Jcos 2 cp dcp ,

o    <p

woraus sich ergibt

sin 2 cp = 1 — sin 2 cp oder 2 sin 2 cp = 1,

a r—

71

2cp =

’ 9? = 12 ;

womit eine einfache Konstruktion angezeigt ist.

Soll die Fläche durch einen Radiusvektor im Verhältnis m : n geteilt werden, so berechnet sich das zugehörige Azimut œ aus

n sin 2 cp — m (1 — sin 2 cp)

sin 2(p

m + n' womit r den Wert erhält

(p = \ arc sin

r = a{—) (2mn + n²)*.

YII. Abschnitt.

Anwendung der Integralrechnung auf die Geometrie des Raumes.

§ 22. Kubatur begrenzter Räume.

a) Yon beliebigen Flächen.

Schneidet eine Ebene parallel zur y%-Ebene aus der Fläche (Fig. 19), deren Gleichung F(x y %) = 0 sei, eine Scheibe vom Inhalt Ux = f(x) aus, so ist der Rauminhalt des ganzen Körpers zwischen den Ebenen x = a und x = b dargestellt durch

V=]üxdx=]f(x)dx.

b    b

oca

oc-b

JCjr

■4 I Ua

m j b\uą

fff

Fie:. 19.

JC

312. Beispiel. Den Rauminhalt des dreiachsigen Ellipsoids von der Gleichung

-1 = 0

*■«»**>-$+£+?

zu berechnen.

Eine Ebene, parallel zur yz-Ebene in der Entfernung x gelegt, schneidet dasselbe nach einer Ellipse mit den

Halbachsen

y&² — x² ,

]/a² — x²

bc

und dem Inhalt Ux = n — (a² — x²) .

Der Inhalt des ganzen Ellipsoids ist somit angegeben

durch

== /Jtbc ^1 — dx = 7i abc ,

woraus sich für c = b = a als Inhalt einer Kugel vom Radius a ergibt

V = jfjza³.

b) Yon Umdrehungsflächen.

Eine Kurve y = f(x) (Fig. 20) beschreibt bei der Drehung um die æ-Achse einen Rotationskörper, dessen Inhalt angegeben ist durch

a    a

= njy^dx = n J {f{x)Ydx .

ji

wjf

*]

■■

*!.

x>a

\i

Fig. 20.

313. Beispiel. Die Parabel y² = 2px erzeugt bei der Drehung um die x-Achse, bzw. y-Achse einen Umdrehungskörper vom Inhalt

Va

c) Yon zylindrischen Räumen.

Der RauminhaJt, der von den beiden Zylinderflächen (Mg. 21)

y = f(x)

« = <p(x),

der xy-Ebene, der -Ebene und den beiden Parallelebenen x = a und x = b begrenzt wird, ist angegeben durch

a    a

V= Jyzdx = If(x) (p(x) dx .

b    b

SD

'y

y-fwjj Fig. 21.

314. Beispiel. Den Rauminhalt zu bestimmen, der von der Zylinderfläche x² + z² — a² = 0 , der und yz-Ebene und von der Ebene x y — a = 0 begrenzt wird. (Fig. 22.)

Oh

Fig. 22.

Es ist y = f(x) — a — x, z = q?(x) = ]/a² — x2 somit ist

æ² dx

x-a

0,452 a³.

§ 23. Übungsbeispiele.

315. Den Inhalt des Kreiskegels von der Gleichung F(xyz) = y² + z² — px² = 0 zu berechnen.

Gleichung F

c²

bc xs

Vx = JUxdx =

ü

71

Für x = a folgt hieraus Va = —abc .

O

317. Den Inhalt des Paraboloids zwischen den Ebenen x = 0 und x = a zu berechnen.

Ist die Gleichung des Paraboloids

^) = g + ?-f = o

so erhält man Ux — Ttb

1 / x -i/x bcx

l/¥-77 = ⁷¹—

a    a

Jabc•

daher ist F =

J Uxdx = Jiż    dx =

0 0

Das Paraboloid halbiert also den zylindrischen Raum von der Grundfläche Ttbc und der Höhe a.

318. Den Inhalt des Körpers zu bestimmen, der von der Fläche F = xy² + cz² — a² x = 0 und den Ebenen x = 0 und x = x begrenzt wird.

Ux ist eine Ellipse von den Halbachsen a und a daher ist

Für x — c folgt Vc = f n a² c .

319. Ein Kreis bewegt sich stets parallel zur ?/2-Ebene mit seinem Mittelpunkt auf der Ellipse

ïî + ïi-i-o

und berührt beständig die x-Achse. Welches ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers?

b²

JJX — n z² = 7i —(a² — x²).

V a

— = fnz² dx — n b² a,    V=^7ib²a.

"    — a

320. Tritt an Stelle der Ellipse in der letzten Aufgabe die Sternkurve a?ł + z% — a? = 0, so ist JJX = n z² = n (ał — $ł)⁸ und ist

j — n j (a? — x*)³ dx =    .

0

321. Eine Gerade (Fig. 23) bewegt sich parallel zur yz-Ebene und schneidet beständig die beiden Ellipsen

X² Z²

= ° ^ + ^-1 = 0

aj2 „2

^ ⁺ P_1

in der xy- bzw. «a^-Ebene. Gesucht ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers.

— x²) y V = J Uxdx — ^ abc . o

2 a²

— (a²

Vx — I Uxdx = ji I a²

^dx = %jicl²x^~ .

[z

.-niM

]/_

1/

Fig. 23.

322. Ein sich ähnlich bleibendes Rechteck (z : y = X) bewegt sich parallel zur yz-Ebene mit einer Ecke A au! der x-Achse, einer anderen Ecke D auf dem Kreis x² + y² — a² = 0 in der a^-Ebene. Gesucht ist der Inhalt des erzeugten zylindrischen Raumes.

+a    +a

V — Jyzdx — Xj(a

-a    -a

— x²) dx = -J- X a³ .

323. Den Inhalt der Kugelzone von der Höhe h zu berechnen.

Ux = ji (a² — x²),

Es ist

c+h    (    h²    Ï

V = jij (a² — x²) dx = n h J a² —— — c (c + h) l.

F = %jzas.

Für c = 0 und h = a folgt hieraus als Inhalt der Halbkugel vom Radius a

324. Dreht sich die Ellipse p + p •— 1 = 0 um

die x-Achse bzw. y-Achse, so beschreibt sie einen Rotationskörper vom Inhalt

F= %jtab², bzw.    a²b.

325. Den Rauminhalt zu berechnen, den die Schleife der Kurve 9 ay² — x (x — Sa)² = 0 bei der Drehung um die æ-Achse beschreibt.

3 a

— 3 a)²dx = f Ti a* .

r-£/*(* 0

326. Welchen Rauminhalt beschreibt die Kurve x² y² + a² y² — b²x² = 0 bei der Drehung um die a>Achse?

V=nb²

x²dx

a² + x²

=    — aarctg-^-j .

327. Den Rauminhalt des Körpers zu bestimmen, der von den beiden Zylinderflächen z² = 2px, x²=2py, der xy- und &æ-Ebene und der Ebene x = x begrenzt ist.

j^^dx=*xS]/łp-

o

328. Den gemeinschaftlichen Raum der beiden Zylinderflächen (Fig. 24)

[z

Fig. 24.

§ 23. Übungsbeispiele. x* -|- y% —    = 0 , x% +    — cfi = 0

zu berechnen.

=/ yzdx = J(ai _ xïfdx o    o

t%«³, y=m^-

329. Welchen Eauminhalt schneiden die Ebenen x = O und æ + # — a = 0 aus der Zylinderfläche scł + 2/^ — cfi = 0 heraus?

a    a

= jyzdx = y (ał — æt)f (a — ») dæ o    o

_ f³⁷¹

” V32

--— 1 a³ .

105/

330. Die Durchdringung der Flächen 2 p (z — c) -J- x² = 0 und y a — bx = O (Teil eines parabolischen Klostergewölbes) zu bestimmen.

(-?)■

dx = —

1 bx²

Raumes

Für cc = ]/2^c ergibt sich als Inhalt des ganzen ^    1 b ₀

F" 2 «*" '

331. Den Inhalt des kreisförmigen Klostergewölbes zu bestimmen.

Dasselbe schließt den Raum ein, der von den Koor-dioatenebenen, dem Zylinder x² + z² — a² = 0 und der Ebene bx — a y = 0 begrenzt ist.

Jyzdx =    /ß² — dx = — .

o    o

76 Anwend. der Integralrechnung auf d. Geometrie d. Raumes. § 24. Oberfläclienberechnung der Körper,

a) Oberfläche von Rotationskörpern.

Die Oberfläche zu berechnen, welche eine Kurve y = f(x) bei der Drehung um eine der Achsen erzeugt.

x-b

\\

x,

ds

Fig. 25.

Irgend ein Punkt P(xy) der Kurve y = f(x) (Pig. 25) beschreibt bei der Drehung um die x-Achse einen Kreis vom Radius y = f(x), dessen Umfang 2 n y = 2 jr /*(£) ist.

Der Bogen PP' = ds beschreibt hierbei eine reifförmige Fläche vom Oberflächeninhalt

d 0 = 2 7t y ds = 2    /*(æ) cfe

und der Kurvenbogen BA einen Umdrehungskörper, dessen Oberfläche ist

//(æ) y 1 + »/² •

0 = 2 7i f y ds =

b

Bei der Drehung um die y-Achse wird ein Rotationskörper erzeugt vom Oberflächeninhalt

0 — 2 ji I x ds — 2 jz

/•HI

c

dy.

332. Beispiel. Die Oberfläche des Ellipsoids zu berechnen, das bei der Drehung der Ellipse

um eine ihrer Achsen entsteht.

Bei der Drehung um die x-Achse ist, wenn a² — b² = e²

gesetzt wird, erhält man

2bn

U • -T-

— e²x²dx

(    _ q rjß \ U

{x\aź — e²*² -I--arc sin —-S

(    e,    a* Jo

f    CL²    & 1

0 = 2 jiblb 4- — arc sin — > .

I    e    «J

Bei der Drehung um die y-Achse entsteht ein Ellip-soid vom Oberflächeninhalt

2 7i b

oder

2 an

è²

b

: r,_

/ ]/6⁴ + e,²y²dy

o

&²

oder

|2/]/6⁴ + e²2/² +    Z(e²?/ + e + ß²2/²)|

= 2 Tr a ja +

è² ₇ a +

~b~) ⁼

2na² n

aö² ₇ a + e

Für b — a wird e — 0 und es geht die Oberfläche beidemal in diejenige einer Kugel vom Radius a über.

b) Oberfläche von Zylinderflächen.

Stirn- und Scheitelfläche des Durchdringungskörpers (Fig. 26) der beiden Zylinderflächen

y = /■(*), * = <p(x)

zu berechnen.

p{

oy

Fig. 26.

Durchschneiden sich beide Flächen nach der Raum-kurve PQ und ist T ein Punkt derselben mit den Koordinaten xyz, so ist das Element der Stirnfläche PABQ angegeben durch

]/¹ + © dx

d 0Xy = TP • ds = % und das der Scheitelfläche PCDQ durch

dözx = TS»ds₁

-HS¹

dx.

Hieraus ergibt sich als Gesamtoberfläche:

Stirnfläche PABQ = Oxy =

M¹+(2)’*

b

= jcp (x) ]/l -f f'²(x) dx

b

Scheitelfläche PGDQ = Ozx = jy j/1 + dx

b

a

= J f(x) ]/1 + 9o'²(x) dx .

b

333. Beispiel. Es sollen Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Zylinderflächen

y = f(x) = ^ax — Æ²,    # = 99 (x) = 2 ]/aæ

berechnet werden. (Fig. 27.)

V /«*•<>)

'y

Fig. 27.

Es ist

dy

dx

a — 2 x

2 y<2£ — æ² ’

IMS)

2 ^ax — æ² ’

dx

1+^

somit Stirnfläche

rj

J \ax — æ2 0 r

a

r- f dx

J \a — x 0 r

= 2ß² j

80 Anwend, der Integralrechnung auf d. Geometrie d. Raumes. Scheitelfläche

x —J* iax    x² "j^/"

o

1 + — dx =

— x² dx

71 „

Ja ■

_£/ïrz^ ₊ ÿarosin£-_

2    2    Cb o

c) Ist an Stelle der einen Zylinderfläche, z. B. % = (p(x), eine allgemeine Fläche z — F(xy) gegeben, welche die Zylinderfläche nach der Kurve PQ durch-schneiden möge, so läßt sich nur die Oberfläche

PABQ = 0

dieses Zylinders, nicht aber diejenige der Fläche F(xy) in der obigen Weise berechnen. Man findet

0 — Jzds = jF(x y) ]/l + f'² ix) dx oder 0 =fF(x, f)^l+f'²(x)dx.

334. Beispiel. Die Oberfläche der Zylinderfläche

y = ]/a² — x² zwischen den Koordinatenebenen und der

zu be-

Kugelfläche

rechnen.

F(x y) = ya² k² — x² — y

Es ist

]/a² — x² ’

F{x, f) — y'a²k² — a² = a ~]fk² — 1

= a² ]//c² — 1 arc sin —    = -^- a² ]/&² — 1 .

a o ^

§ 25. Übungsbeispiele.

a) Umdrehungsflächen.

385. Die Mantelfläche eines Kegels zu berechnen, den die Gerade

-1 = 0

ü + L

a ' b

bei der Drehung um die x-Achse beschreibt. Es ist

y«² + 5² dx

ds =

somit U

1-t

a² — x²

dx

a^i

o

dx

\a² — x²

y = —(a x) , dy — daher

«=a

J:yds

= 2n—.

a²

fa² + J(a o

— æ) dx

= n b ya²    fr² •

336. Die Oberfläche einer Kugelzone von der Höhe h zu berechnen.

Es ist

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

2 nah ,

b)    Drehung um die y-Achse:

y

= ^fy²ipr+y* dy

o

338. Die Oberfläche des Körpers zu berechnen, welchen die Zykloide bei der Drehung um ihre Achse erzeugt.

Es ist x = a(t — sinź), y = a (1 — cosź),

y = y«² — a;² , y'

ya² — x² 7

ds —

ya² — x²

dx}

2n

0 = 2 na²J(1 — cos^y2 (1 — cos£)cZć o

2 jt    f

= 8 na² j sin³ — dt = tyjia². o *

339. Die Umdrehungsfläche der Sternkurve zu berechnen, deren Gleichung

x% -f- y% —    = 0 ist.

dx = §na* ;

somit ist

O =    71 Qr =    • 4 71 Ci² .

340. Die Umdrehungsfläche der Sinuslinie y — sin« zu berechnen.

X

Ux = %7ijy ds . o

Es ist î/,= cos«, ds = ]/l + cos²xdx , somit

x    _ o

£7* = 2 / sin«yi + cos²«d« = 2jz/y 1 + cos²« d cos«

O    a;

= 2 TT {cos«yi + COS²« + -|-Z(cOS« + yi + cos²«)}*. Ein Abschnitt der Sinuslinie beschreibt somit bei der

Drehung die Oberfläche

Uti = Atz f2 -7i l(3 - 2/2).

341. Die Oberfläche des Wulstes zu berechnen, der bei der Drehung des Kreises x² + y² — 2ay = 0 oder r = 2 a sin 99 um die «-Achse entsteht.

Es ist ds = 2adcp, somit

n

0 = 2 jrJV sin cp • 2 a dcp = 4 tt² a². 0

342. Fläche, erzeugt durch Drehung der Schleife der Lemniskate um die «-Achse.

Es ist

^ cos²<p — sin²9? ycos<p sin 99 a^2

und

r² = 4 a² coscp sin<p, somit / =

ds =

adcp

' ycos    sin 99    ycos 2 cp

84 Anwend, der Integralrechnung auf d. Geometrie d. Raumes, womit sich ergibt

T    T

U= 2 7t fy ds = 4:ji a² jsin(p dcp = 4 na² .

O    0

343. Den Flächeninhalt zn berechnen, den die Lem-niskate r² = 2 a² cos 2 cp bei der Drehung um die æ-Achse, bzw. «/-Achse beschreibt.

Man findet ds =

somit

a ]/2 dop

]/cos 2 cp

TT    T    T

—- = 2 njy ds = 2 jijr smcp ds = 4 a² (l — y2) . *    o    o

Die ganze Oberfläche, die von beiden Schleifen beschrieben wird, ist daher angegeben durch

J7.-8«*(l-łV2).

Ebenso ist

jj    T    _

-A = 2 njxds = 2 nfr cos (pds = 2 na² ^2 ,

Uy — 4: jza² Ÿ2 .

344. Fläche, erzeugt durch Drehung der Kardioide r = 2 a(l -f- cos ç?) um die Polarachse.

Es ist

ds = 4acos-^-d<p, y = rsinç? = 2 a (1 + cos^sinç? somit

TT

O = 2 njy ds = na² = ^2- • 4 a². o

b) Oberfläche von Zylinderflächen.

845. Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Kreiszylinder (Fig. 28)

y — ]/a² — x², x = y^² — x²

zu berechnen.

Oex

a

- Oxy =fx fl + y'² dx = a? . o

Oy

-h

Fig. 28.

346. Die Oberfläche der Durchdringung der beiden Flächen 2 p (x — c) + x² = 0 und ay — bx = 0 zu berechnen.

Stirnfläche Oxy    /(a² + b²) 2 p c,

o ct

(p² -f 2 pc)%.

Scheitelfläche Ozy =

3 ap

347. Desgl. für die Flächen

x² z2 _ a2 __ o j ay — bx = 0 (kreisförmiges Klostergewölbe).

a

Stirnfläche Oxy = / z^l + y'²dx o

V«² + fe² yy

Scheitelfläche Oei = Jy}/1    %^dx —

a ² — x² dx =

bdx

ya²—a;²

ab.

348. Die Oberfläche der Durchdringung der beiden Flächen (Fig. 29)

æ² + y² — a² = 0 , x² + (z —a)² — a² = 0 zu berechnen.

Fig. 29.

Stirnfläche 0^ =

aKw~

0

1-1

Scheitelfläche 02a? = ajdx = a².

349. Desgleichen für & = ]/a² — x², y = ^ax — i2 (Fig. 30).

Stirnfläche Oxy = — o

Scheitelfläche Ozx =

iM

o

dx

²

= a²/2 —— i(3 + 2]/2) .

-C

/ « / 1T

Fig. 30.

350. Die Oberfläche des gemeinschaftlichen Raumes der beiden Zylinderflächen

xi +    — cà = 0

+ x% — aff = 0

zu berechnen.

Man erhält als ganze Oberfläche

0=16 Oxy =16 f z fT+Y² dx o

a

= 16 ai f    (cfî — dx

o

oder

0= 16.f a² = -^a².

351. Stirn- und Scheitelfläche der Durchdringung der beiden Zylinderflächen (Fig. 31)

-f-    = 0 j y — b--x

zu berechnen. Man findet

Oa:^ —

— xi)$ dx=^n

32

0*3 =

/(J- *)*

o

idx = -faab .

|z

Jo.

/y

c) Besondere zylindrische Oberflächen.

352. Die Oberfläche des Kreiszylinders y = /2 ax — x2 zu berechnen, der unten durch die x ^/-Ebene und oben durch die Kugelfläche æ = ]/4 a² — x² — y² begrenzt ist.

dx = 2 a 1/2 a / —— = 4a².

J 2 i/ST

o r

353. Das Stück der Zylinderfläche y = ^2 ax — x2 zu berechnen, welches von der cc?/-Ebene und der parabolischen Fläche x² Ą- y² — 2 a & = 0 begrenzt ist.

2a

xdx

]/2 ax — x²

— na²,

0 = 2 71 CL² .

= 0 begrenzt ist. c¹

354. Berechne ebenso die Stirnfläche des Zylinders y = ^2ax — x² , der oben durch die Kegelfläche x² -f- y² x²

a²

dx

0 = c}'2a

JfTa

0

4ac .

355. Die Stirnfläche des Zylinders + y% — aï = 0

zu berechnen, der oben von der Kugelfläche x² y² x² — a² = 0 und unten von der xy-Ebene begrenzt ist.

0 —    7i a².

§ 26. Rektifikation der Raumkurven.

Eine Raumknrve (Fig. 32) kann als Schnittkurve zweier Flächen F(xyz) = 0, <P(xyz) = 0 oder als Schnitt zweier Zylinderflächen y = f(x) , x = (p{x) betrachtet werden. In letzterem Fall ist

dy

dx

fx=m, Tx-w

und ist das Linienelement der Raumkurve angegeben durch

ds

dx.

Hieraus ergibt sich als Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten P und Q mit den Abszissen x₀ und x

/ ]/l + î/² + xf²dx ,

Xo

P\

JC₀

Werden die Koordinaten eines Punktes der Raum-. kurve in Funktion eines Parameters t ausgedrückt

® = 9>(0 » y = v>(0> * = %(t),

so ist

= /l'V² + v'² + Z'²dt.

xQ = q}(to)

356. Beispiel. Die Länge der Schraubenlinie x = a cos t, y = asmt,    % =

2 n

zu bestimmen.

Es ist

dx

dy

dt

= —asinż, — = acostf,

dt

dz h dt 2 n'

somit

4 TZ²

dt — V/z² + 4 n² a² • t.

2 TZ

§ 27. Übungsbeispiele.

357. Die Län ge der Schnittkurve der beiden Zylinderflächen 2 x³ — 3 a² y = 0 , cc² — a & = 0 zu berechnen.

^    .    2x²

Man erhält y = —— , aL

ds

-)/x ₊

4a;²    4a;⁴ .    /    2a;²\ _

+ —-dx = 14--—\dx

a²

a⁴

2x³

3a²

dx = x +

358. Die Schnittlinie der beiden Zylinderfläcben 16 y² — 9 ax = 0 , 9 z* — 16 axs = 0 zu rektifizieren.

also

Man findet ds = 1+f

s = x -f- ~\fäx H~ alx .

359. Wird die archimedische Spirale als Zylinderfläche angesehen, so schneidet dieselbe den Kegel x² -j- y² — z² = 0

nach einer konischen Spirale, welche die Gleichungen erhält x = a cp cos cp , y = a cp sin cp , z = a cp .

Ihre Länge wird für cp = 0 bis cp — cp

(p +    + 2

64æ ⁹

360. Die parabolische Schraubenlinie ist die Schnittlinie der beiden Flächen

• x² y² — 2az = Q , z = 2 aarctg —

CO

und kann durch die Gleichungen dargestellt werden

2a]/^cosç?, y = 2 afipsmcp ,    % == 2 acp .

Ihre Länge wird

= f+37>

/- 2

s= ]/2^ + — o

361. Die Länge der konischen Spirale x = aek(Pç,o$cp , y — ae^^sinç?,    « = aek(P

zu finden.

Man erhält ds — aek(^ )/l -f* 2 k²dcp und

_<p    b _

= a y 1 + 2 k²féwd<p = -]/1 + 2 &²    — 1) .

o    a

\

362. Die Schnittlinie der beiden Flächen

3x(x — y) = /2 (x + y)

c% = /2 (x² — y²)

zu rektifizieren.

Man erhält für den Bogen vom Ursprung bis zum

Punkt P(x y %) die Länge

/2

x — y —-J- + Z.

Yin. Abschnitt.

Schwerpunktsbestimmungen.

§ 28. Schwerpunkt von ebenen Kurvenbögen.

a) Für rechtwinklige Koordinaten.

Die Schwerpunktskoordinaten grj des Kurvenbogens AB (Fig. 33) bestimmen sich aus

a    a    aa

śJds=JxdSj i]Jds = fyds.

b    b    b    b

wo

jds die Länge des Bogens AB bedeutet.

”7 ?!

cc

Fig. 33.

363. Beispiel. Den Schwerpunkt des Viertelskreisbogens zu bestimmen.

Tt

71

somit ergibt sich £ = rj = a² : — a = —

u

b) För Polarkoordinaten.

Wenn die Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten gegeben ist r = f(tp), so gelten für £, rj die Ausdrücke (Fig. 34)

71

r\a

Fig. 34.

«    a

£ = Jrcosyds: jds ,

Die Gleichung des Kreises sei x² -f- y² — a² = 0 , dann ist

y =*-Ja? — x*, y' =

y&² — x²

afxds=ljds = aaf^L= 111V«² - *²

, Ids =

b

= «2,

to a

a und

« » rj =fr sin(pds : f ds ß    ß

wo a und ß die Azimuts der Radienvektoren OA und OB bedeuten.

364. Beispiel. Den Schwerpunkt eines Kreisbogens zu bestimmen, dessen Gleichung r = a ist Man erhält ds = a dcp, somit

oc    cç    oc a

£ — J a² cos<p dcp: ja dcp , rj = J a² sin cp dcp ijadcp oder

sina — sin/?

cos a — cos/?

oc — ß

® <K-ß ’

71

Hieraus ergeben sich für ß = 0 , a = — als Schwer-

u

2 a

punktskoordinaten des Yiertelskreisbogens £ = r\ = — .

71

§ 29. Übungsbeispiele.

365. Den Schwerpunkt des Bogens der Zykloide x = a (t — sinź) , y = a (1 — costf) für t = 0 bis t = t zu bestimmen.

Man findet

t    1    t    t

sin—---— sin³—--— cos—

£= 2 a

2    3    2    2    2

1 — cos —

3

rj = 2 a —

---cos

4-+ic°s³4-

2    3    2

1 — cos—-

Für t = 2tz ergeben sich hieraus als Koordinaten des Schwerpunkts eines Zykloidenzweigs £ = 7i a , rj = £ a .

366.    Den Schwerpunkt eines Zweiges der Sterakurve

zu bestimmen, deren Gleichung xi +    — cà -= 0 ist.

Man erhält £ = ^ a .

367.    Den Schwerpunkt des Bogens der Kurve 9 ayl — æ(æ— 3 a)² = 0 zwischen den Ordinaten x = 0 und æ = o; zu bestimmen.

1 -i Ix x² — 3ax — 9 a²

’-sKr

t a; (3 a; + 5 a) f = 5 (a; + 3 a)

Für x = 3a folgt f = £a ,    =

368. Den Schwerpunkt des Bogens PA der Kurve (Kreis) r — 2 a cos 99 für cp = 0 bis 99 = cp zu bestimmen. (Fig. 35.) Es ist

$ = —■ (9? + \sin2<p), rj = sin²^ .

Für = — ergeben sich hieraus als Schwerpunkts-

2 a

Yj= — 71

tO| ö

/3.

koordinaten des Halbkreisbogens f = a,

4.

Fig. 35.

369. Den Schwerpunkt des Bogens der Kurve y² = 2 a x — x² von x = 0 bis x = x zu bestimmen.

]/ 2 ax — x²

Ti    . a — x

—--arcsm-

rj =

7i    . a — x

—--arcsin-

Für x = 2 a folgt hieraus, wie in 368,

f = a,

rj = —

7t

§ 30. Schwerpunkt von ebenen Flächengebilden, a) Den Schwerpunkt des Flächenstücks PABQ (Fig. 36) zu bestimmen.

Das Moment des schraffierten elementaren Flächenstreifens in bezug auf die «/-Achse, resp. x-Achse ist

_    _ y

ydx *x , resp. ydx»-^- ;

daher ist, wenn U

a

= fydx

den Inhalt der Fläche

PABQ und rj die Koordinaten des Schwerpunkts bezeichnen,

woraus folgt

a    a

ÇU = Jxydx, r]U=ify²dx,

b    b

= i fy² dx:U.

b

a

Ç = Jxydx: U, rj

b

fi

CL

Fig. 36.

Den Schwerpunkt des Kreis-

370. Beispiel, quadranten zu bestimmen. (Fig. 37.)

Für die Kreisgleichung x² + y² — a² = 0 erhält man

y = j/a² — X² ,

U=fydx = ^a², 0 ^

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

daher ist

Jxydx — — -J- (a² — x²)* |“ =

łf₉*dx-d

0

O    ^³\a

ax~^)r

w| %

»I*.

K'

Fi g. 37.

b) Den Schwerpunkt des Flächenstücks (Fig. 38) zu bestimmen, das von zwei Ordinaten und den Kurven y = f{x) und y — cp(x) begrenzt wird.

JC

Fig. 38.

Man erhält für die Koordinaten f und rj des gesuchten Schwerpunkts die Ausdrücke

Mx

WO

den Flächeninhalt und

TT — f {f{x) — 9?(æ)} dx

b

a

Mx = fx {f{x) — 9?(æ)} dx , bzw.

b

My = if{n(*)-<P²(*)}dx

b

die Momente des Flächenstücks PABQ in bezug auf die x-Achse, bzw. die y-Achse darstellen.

371. Beispiel. Den Schwerpunkt des gemeinschaftlichen Flächenstücks der beiden Parabeln (Fig. 39) y² = 2jpx und #² = 2py zu bestimmen.

■W:t

~/

\n

0 ²P %‘VfnP

Fig. 39.

Man setze

_ X 2

y = f2px = f{x) und y = -~ = (p{x),

2p

2p

dann ist TT ==

Mx

7{ft?* - $}

0

dx =    und

dx = f ps ,

2p

x-jj {***-$

0

dx =    ,

somit ergibt sich

ł=V = -W

Mx M

-jf=îp³-ip²=-&p •

372. Beispiel. Den Schwerpunkt des (kleineren) Kreissegments (Fig. 40) zu bestimmen, welches durch die Gerade x + y — a — 0 von dem Kreis x² y² — a² = 0

abgeschnitten wird. Man erhält U=

2) , Mx - My -

daher ist

2a

V 3 (ji — 2) *

?XTS

Öl

Fig. 40.

§ 31. Übungsbeispiele.

373.    Den Schwerpunkt der Parabelfläche vom Ursprung bis zur Ordinate des Punktes P (xy) zu bestimmen.

f ⁼    ~    •

374.    Den Schwerpunkt der Fläche der allgemeinen parabolischen Kurve yn = axm zu bestimmen.

4a

376. Den Schwerpunkt der Fläche der Zykloide mit den Gleichungen x = a (t — sin t), y = a (1 —■ cos t) zu bestimmen.

£ = jza j

377. Den Schwerpuokt des Asteroidenquadranten zu bestimmen.

Ist + 2/ł — ał = 0 die Gleichung der Kurve, so ist 256 a 315 TT

378. Den Schwerpunkt des Ellipsenquadranten zu berechnen.

Es ergeben sich als Koordinaten des Schwerpunkts

4a

^    3 71 ’    ^    3 71 *

379.    Den Schwerpunkt der halben Schleife der Kurve ay² = ax² — xd zu berechnen.

4"a > V ⁼⁼~ZYa -

380.    Den Schwerpunkt der Fläche der feilschen Parabel ay² = xs zu bestimmen.

£ — fyx , rj = -£-$y .

381.    Den Schwerpunkt der halben gemeinschaftlichen Fläche OAP (Fig. 41) der beiden Kreise

—ya² — x²

m + n m + 2nX ’

rj =

y-

2 w -f 2 m

375. Den Schwerpunkt des Halbkreises zu ermitteln.

y = f(x) = ]/a² — x² und y = cp{x) zu bestimmen.

Ö |<M

Ifj

Fig. 41.

382. Den Schwerpunkt der halben gemeinschaftlichen Fläche der Parabel x² — 2 py = 0 und des Kreises x² + V² — 8p² = 0 zu bestimmen. Man erhält

Z7 =

ft

0

J|*/8p

8p2 - 3:2 -    = (f +    ,

16/2 — 14 ,

-8-'* ’

2^

»JP

4j?

somit ist

ifa, 16/2 — 14 2 + ^

88^

1/

w = =_______

'    17    5(2 + 3tt)#

383. Den Schwerpunkt der Fläche (Fig. 42) zu bestimmen, die von den Parallelen x = a und x = 0 sowie den Parabeln x² — 2p (y — b) = 0 und x² — 2p y= 0 begrenzt ist.

|-tsJ

Fig. 42.

384. Den Schwerpunkt des Flächenstücks (Fig. 43)

/j»2    y2

zu bestimmen, das von der Ellipse - + ^-—1 = 0,

az b*

dem Kreis x² + y² — a² = 0 und der Ordinatenachse begrenzt ist.

Man findet

u=

^a{a-b), Mx=^(a-b), My = a{^-^± ,

somit ist £ = -—, 3 n ’

Man findet U=ab,

a²b

*'—r

womit sich ergibt £ = ~ ,

a

__ asb ab²

M" ” 6F + _T,’

a² + 3 6^ *

4 a    4 {a + b)

—

Fig. 43.

§ 32. Schwerpunkt von räumlichen Gebilden.

Die Guldinischen Regeln.

a) Schwerpunkt eines beliebigen Körpers.

Schneidet eine in der Entfernung x senkrecht zur x-Achse gelegte Ebene von dem Körper, dessen Oberfläche durch die Gleichung F(x y z) = 0 oder # = f(x y) dargestellt ist, eine scheibenförmige Figur vom Inhalt U aus, so berechnet sich die Schwerpunktsabszisse £ desjenigen Teils des Körpers, der zwischen den Ebenen x = a und x = b liegt, aus

woraus folgt

385. Beispiel. Den Schwerpunkt einer Zone des Ellipsoids

— 1=0

r x X² , W² Z²

F(xyz) = - + - + -zwischen den Ebenen x und x h zu berechnen.

Eine Ebene, senkrecht zur x-Achse in der Entfernung x gelegt, schneidet aus dem Körper eine Ellipse von

den Halbachsen b

x²

„fi

x²

--- aus, welche

hat. Es ist daher

demnach den Inhalt U = nbc

die Abszisse des Schwerpunkts der Zone angegeben durch

irr*

dx ,

wofür man erhält

| = £(2æ + h)

2x² + 2hx h² — 2a2 Sx² + 3 hx + h² — 2a2 Für x = 0 und h — a ergibt sich hieraus als Schwerpunktsabszisse des halben Ellipsoids f = f a .

b) Schwerpunkt von Rotationskörpern.

: Wird die ebene Kurve y = f(x) um die x-Achse gedreht, so beschreibt sie einen Umdrehungskörper, für welchen U = ny² = nf² {x) ist und dessen Schwerpunkt demnach vom Ursprung die Entfernung hat

| = fx f²(x) dx : Jf²(x) dx .

woraus folgt

c) Erste Guldinische Regel.

Der Rauminhalt V eines Rotationskörpers, der durch Drehung einer Figur — Meridianfigur (Fig. 44) — um eine in ihrer Ebene liegende Achse erzeugt wird, ist gleich dem Flächeninhalt U dieser Figur, multipliziert mit dem Weg 2 nrj} den ihr Schwerpunkt S bei der Drehung beschreibt.

F= 2 nrj • U.

x-\-h

x+h

Dieser Satz heißt die erste Guldinische Regel und gilt für jede beliebige Figur, welche Umgrenzung dieselbe auch haben möge.

Fig. 44.

2 jzU'

Wenn V und U bekannt sind, läßt sich hieraus auch die Ordinate rj des Schwerpunkts der Meridianfigur berechnen. Es ist

387. Beispiel. Den Kauminhalt zu bestimmen, den ein gleichseitiges Dreieck von der Seite a bei der Drehung um eine Seite beschreibt.

a² i—

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist U = — y 3 , die

/3,

X Ci /—

Schwerpunktsordinate rj = — • — y 3 =

Ü u

somit ist

V = 2nrj -U — 2 ji

/3-

/3=>.

388. Beispiel. Den Schwerpunkt der Halbkreisfläche zu bestimmen.

Wird dieselbe um den Durchmesser gedreht, so erzeugt sie eine Kugel vom Inhalt V = 4 na* . Die Fläche

71

des Halbkreises selbst ist U = — a² , daher ist, wenn rj

u

die zu suchende Schwerpunktsordinate ist,

TZ

2nr}* — a² — %na³ ,

woraus folgt

^ ⁼ '

d) Schwerpunkt von Umdrehungsflächen.

Das Bogenelement ds der Kurve y = f(x) erzeugt bei der Drehung um die cc-Achse eine reifförmige Fläche vom Inhalt 2 nyds, deren Moment in bezug auf eine durch den Ursprung senkrecht zur x-Achse gelegte Ebene x • 2 Ttxds ist. Ist daher f die Schwerpunktsabszisse derKotationsfläche zwischen den Ebenen x =* «und x = b,

so ist

a    a

f jyds =* Jxy ds

woraus folgt

a    a

£ = jxy ds : jy ds .

389. Beispiel. Den Schwerpunkt der Kegeloberfläche zu bestimmen, die dadurch erzeugt wird, daß sich

die Gerade

—-1 = 0 um die a;-Achse dreht.

Ł + L

a ^ b

Es ist y = — (a — x), y' = —— a    a

b ,-

—-/a² + b² und

u

ds

_ a

= /a² + b²dx, somit jyd o

af    ab i-

jxyds^-ritfTï* . 0    D

wie zu erwarten war.

390. Beispiel. Den Schwerpunkt der Halbkugel-flache zu bestimmen, die bei -der Drehung eines Yiertels-kreises um einen Halbmesser erzeugt wird.

Man findet

a

fyds = 0

g"

mrr

a,

CO

Co

•©

o<

co| ö

fl    flS    fl

a², jxy ds —    -, somit ist f = —

0    ^

e) Zweite Guldinische Regel.

Eine geschlossene oder offene ebene Kurve (Fig. 45) (oder irgend eine Figur) beschreibt bei der Drehung um eine außerhalb ihres Umfangs liegende Achse einen Flächeninhalt 0, der gleich dem Produkt aus der Länge S dieser Kurve mal dem Weg 2 jirj ihres Umfangsschwerpunktes ist.

0 — 2 7i t] S.

Fig. 45.

Dieser Satz kann auch dazu dienen, den Umfangsschwerpunkt einer Kurve zu bestimmen, wenn ihre Länge S und die Oberfläche 0 bekannt ist, welche sie bei der Drehung um eine Gerade beschreibt.

391. Beispiel. Die Oberfläche zu berechnen, welche ein gleichseitiges Dreieck von der Seite a bei der Drehung um eine Seite beschreibt.

=    =    -|/3 = |.y3,

0 — 2 Tirj • S = Tt'tfs a² .

392. Beispiel. Den Schwerpunkt des Halbkreisbogens zu berechnen.

Der Halbkreis erzeugt bei der Drehung um den Durchmesser eine Kugelfläche vom Inhalt 0 = 4 n a² ; da ferner S = na ist, so folgt

4zjia² = 27crj»7ta, r\ — —,

71

wie sich auch weiter oben schon ergeben hat.

§ 33. Übungsbeispiele, a) Schwerpunkt von beliebigen Körpern.

393. Den Schwerpunkt der Zone des Paraboloids y² z² 2x b² ^ c²

zwischen den Ebenen x = 0 und x — x zu bestimmen. Ein Schnitt parallel zur yz- Ebene ist eine Ellipse

von den Halbachsen b

l/2x -i/2x

]/T’ 77'

somit ist

bcx    f    bca

Ux= 2 7i--, V = / U dx = 7t-

ü    Q    (X

a    a

fxUdx = 2 n — jx² dx = n

i    a o

bc

— x³ und

Ç=JxUdx:JUdx = %x.

394. Den Schwerpunkt des einmantligen Hyper

boloids

a² ft² c² ^

zu bestimmen.

— a²), V = j Udx =

0

gOa²,-*²),

a

Jx Udx == o

(2 a² x² — *⁴),    | =

Für x = a folgt hieraus £ = a .

395. Die Schwerpunktsabszisse des gemeinschaftlichen Raumes der beiden Zylinderflächen

y =r ]/a² — x²,    % = ]/a² — æ²

zwischen den Ebenen æ = 0 und x — a, sowie y = 0 und y = a zu bestimmen.

JJX = y z = a² — £², F = f a³ ,

3x 2a² — x²

4 3 a² — x² *

a    a

J xUxdx — J(a²x 0 0

— æ³) dx —

a⁴

f : ła3 = la •

b) Schwerpunkt von Umdrehungskörpern. 396. Schwerpunkt der Halbkugel, erzeugt durch Drehung eines Kreisquadranten um einen Halbmesser.

Ux = 7i (a² — x²), V — J-tt a³ ,

f-fa.

a    JT

jxUxdx = — a⁴,

o    ^

397.    Den Schwerpunkt des Körpers zu bestimmen, den die Schleife der Kurve a (y² — x²) + x³ = 0 bei der Drehung um die x-Achse beschreibt, f = f a .

398.    Welchen Rauminhalt (Wulst) beschreibt ein Kreis vom Radius a bei der Drehung um eine Gerade, welche vom Mittelpunkt desselben die Entfernung^? hat?

V — 2 Tip • 7i a² — 2 7i²pa² .

399.    Den Rauminhalt zu bestimmen, den das gemeinschaftliche Flächenstück der beiden Parabeln y² — 2px und x² = 2py bei der Drehung um eine der Achsen beschreibt. V = Tip³ .

400.    Den Rauminhalt des Körpers zu berechnen, den das gemeinschaftliche Flächenstück der beiden Kurven

X² + y² — a² = 0 ,    +    —1 = 0

bei der Drehung um die Achsen beschreibt.

a)    Bei der Drehung um die x-Achse ist:

V    = f7i a(a²-b²).

b)    Bei der Drehung um die y-Achse ist:

V    = f 7i a² (a — b) .

Für b = 0 folgt hieraus beidemal V— fjza? als Inhalt einer Kugel vom Radius a . Für b = a dagegen ist V = 0 .

401.    Den Rauminhalt zu bestimmen, den das Segment des Kreises r = 2 a cos cp , welches durch den Yektor zum Azimut u abgeschnitten wird, bei der Drehung um die Polarachse beschreibt.

Ą. 7t CL³

Man erhält V = —-—cos³ a .

O

Für oc = 0 folgt hieraus als Inhalt der Kugel V = na³ .

402. Den Rauminhalt zu berechnen, den das schraffierte Flächenstück in Fig. 43 Nr. 384 bei der Drehung um die x-Achse beschreibt.

V= fjz a (a² — b²) .

Für a = b folgt hieraus V = 0 und für b = 0 V — a³

(Halbkugel), wie es sein soll.

403. Den Schwerpunkt des Ellipsenquadranten zu bestimmen.

Bei der Drehung um die ^/-Achse ist Vt = f n a² b.

„    „    „ x-Achse „    V₂ = -J n a b² .

7t

46

4a

— ab ist, so folgt nach der ersten Ghil-dinischen Regel V₁ = 2 nÇU, V₂ = 2 jzrj 17, woraus sich ergibt

404. Den Rauminhalt zu berechnen, den eine Zykloide bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt.

2 7t

5 Ti² a³.

— n a³J (1 — cosç?)³ dtp = 0

Da U = 3 jt a² mid rj = \ a ist, so gibt auch die Ghildinische Regel denselben Wert.

V= 2 7t • fa • 3 7t a² — 5 jz²a³.

c) Schwerpunkt von Umdrehungsflächen.

405. Den Schwerpunkt der Kugelzone zu berechnen.

(Kg. 46.)

X2

0-Ï

= 7i jxy ds = 2 n Jaxdx = na{x\ —    .

xx

Da 0 = 2 jt a (æ₂ — x^) ist, so folgt £ = i(xi +x2) •

Für die Kugelhaube x₂ = a und = æ folgt hieraus £ = -J- (a + x) und für die Halbkugelfläche Ç = ~ .

u

Fig. 46.

406. Den Schwerpunkt der Oberfläche zu bestimmen, den die Parabel y ² — 2px = 0 bei der Drehung um die æ-Achse beschreibt.

1 (p + 2x)i(6x²    px — p²) -\-p%

ö    (p 2 x)% — pi

407. Die Oberfläche zu berechnen, die eine Zykloide bei der Drehung um die Bahnlinie beschreibt.

0 == 2nrj • S = 27i»^a»8a = ££-7ia² = 2£-*4:jia² .

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

408.    Die Oberfläche zu berechnen, die das gemeinschaftliche Flächenstück der beiden Kreise

x² -j- y² — a² — 0 , (x — à)² + (y — a)² — a² = 0 bei der Drehung um eine der Achsen beschreibt.

a

0=2 jtrj S = 2 n •    • na — n² • a² .

u

409.    Den Schwerpunkt des Bogens der Zykloide zu berechnen.

0 = -tyjia², & = 8 a,

IX. Abschnitt.

Anwendung von Doppelintegralen zur Berechnung yon Flächen- undRaumgebilden.

§ 34. Quadratur und Kubatur mit Doppelintegralen.

a) Den ebenen Flächeninhalt (Fig. 47) zu berechnen, der von der Kurve y = f(x) und den beiden Koordinatenachsen begrenzt wird.

dr

dv

cc

Fig. 47.

Zieht man in der Entfernung x und x + dx zwei Parallelen zur y-Achse, so wird hierdurch aus der zu berechnenden Fläche ein Streifen ausgeschnitten, der als eine Summe von Rechteckchen von der Breite dx und der Höhe dy angesehen und demgemäß durch das Integral

y

dU = Jdy dx o

dargestellt werden kann, in welchem dx als konstant zu betrachten ist und y aus der Gleichung y = f(x) der begrenzenden Kurve in Funktion von x ausgedrückt werden kann. Will man alle derartige elementare Streifen von x = 0 bis x = a summieren, so kann dies durch Integration von d U nach x geschehen. Auf diese Weise erhält man das bestimmte Doppelintegral ai y=f(x)\

u=

JsJdy )dx

durch welches der gesuchte Flächeninhalt bestimmt ist. 410. Beispiel. Den Kreisquadranten zu berechnen.

dx = fy dx = j~]/a² — x² dx = ja² . 0 0 ^

y=\a'L-x‘l

U=f\fdy

o (o

Zusatz. Hierbei ist zu bemerken, daß man ebenso gut auch zuerst nach x integrieren und hernach durch Integration nach y alle horizontalen Flächenstreifen summieren kann.

b) Den ebenen Flächeninhalt (Fig. 48) zu berechnen, der von der Kurve r = f(<p) und den Yektoren der Azimuts q) = 0 und cp = a begrenzt ist.

Werden zu den Azimuts cp und cp + dcp die zugehörigen Yektoren gezogen und um den Pol 0 zwei

Fig. 48.

Kreise von den Radien r und r + dr beschrieben, so begrenzen diese vier Linien ein elementares Flächenstück, das näherungsweise gleich einem Rechteck von der Breite rdcp und der Höhe dr und dem Inhalt rdcpdr gesetzt werden kann. Die Summe aller derartigen elementaren Flächenstücke zwischen der Kurve und den Yektoren der Azimuts cp = 0 und cp =* oc ist angegeben durch das Doppelintegral

dtp,

U=

Ąfrdr |

das nach Ausführung der Integration nach dr direkt in das bekannte einfache Integral

2d<P

-/

0

übergeht.

c) Den Rauminhalt (Fig. 49) zu bestimmen, der von der Zylinderfläche y — cp(x), den Koordinatenebenen und der Fläche « = f(x y) begrenzt ist.

Legt man in der Entfernung x und x + dx zwei Ebenen senkrecht zur æ-Achse, so schneidet die erste derselben aus dem zu berechnenden Körper die Figur GDEF vom Inhalt

v=<p(x)    y=<p{x)

GDEF = Jzdy == J f(xy) dy o    o

\z

z -fforyl

F/\

fOC‘CL

y'

u*

Fig. 49.

heraus und beide zusammen aus dem Körper eine Scheibe heraus, welche näherungsweise den Inhalt

Udx =

Uf(xy)dy\dx

hat. Die Summe aller derartigen elementaren Scheiben zwischen den Ebenen x — 0 bis x — a ist alsdann angegeben durch das Doppelintegral

X=a ( y=<p{x)    \

I \}f(xy)dy\

dx ,

womit der gesuchte Rauminhalt ermittelt ist.

411. Beispiel. Zur Berechnung eines Oktanten des dreiachsigen Ellipsoids

x² y² %²

—r    zrr -j --1 = 0

C²

setze man

X = f(Xy) =

Die Fläche schneidet aus der xy-Ebene eine Ellipse

y = cp(x) = b^/l

aus, deren Gleichung ist

a² *

Der gesuchte Rauminhalt des Oktanten ist daher « y=<pW_

— y² dy\dx .

o [o

Für das innere Integral, in welchem x als konstant anzusehen ist, ergibt sich der Ausdruck

— y²dy

/lH-S

arcsin

&]/i

a²

der nach Einführung der Grenzen übergeht in

daher ist

nabo

Das Gesamtvolumen des Ellipsoids ist also F = 8    = j^nabc .

d) Den Rauminhalt (Fig. 50) zu berechnen, der von der Zylinderfläche r = f{cp)^ der xy- Ebene und der Fläche % = F(r, <p) begrenzt wird.

Der gesuchte Rauminhalt ist ausgedrückt durch das Doppelintegral

2n ( r=f(<p)

J    cp)rdr\d(p

wobei x = r cos cp, y = r sin cp, also x² + y² = r² ist.

z -Ffr/f)

iiii

03

•<

y.h

Fig. 50.

412. Beispiel. Den Rauminhalt zu bestimmen, der von der Zylinderfläche r = a, der xy-Ebene und der Fläche des Paraboloids 2pz =* x² -f y² begrenzt wird. Setzt man x = r cosç?, y = r sinç?, so folgt

x = F(r, cp) =    .

Der gesuchte Inhalt ist daher angegeben durch

2jc

r=a

y>2

——rdr) dcp =

2p

71

Für a = jp folgt hieraus V = — p³ .

Die Paraboloidfläche halbiert, wie leicht zu sehen ist, den entstehenden zylindrischen Raum, der die Höhe a²

h = — hat.

2p

§ 35. Oberflächenberechnung mit Doppelintegralen.

a) Um die Oberfläche desjenigen Teils der Fläche (Fig. 51) z = fipcy) zu berechnen, welcher senkrecht über der Kurve y = cp(x) oder x = yj(y) in der æ?/-Ebene liegt, zerlege man die letztere durch Ebenen parallel zur

dU

47

o>-f

y-b

^^(X)

JC-Ct

Fig. 51.

dU =

wobei cos / =

und

yi +p² + q

y Zr und &a;-Ebene in unendlich kleine Rechtecke vom Inhalt dx dy. Das senkrecht über einem solchen Rechteck liegende Element d U der Fläche & = f(xy) kann ohne Fehler als eben und in der Tangentialebene liegend angesehen werden. Ist alsdann y der Neigungswinkel desselben gegen die æ2/-Ebene, so ist dxdy = dU cos/ oder dx dy cos / ’

Da nun y auch der Winkel ist, den die Flächennormale mit der &-Achse macht, so folgt

dU=dxdy y1 + j?² + <7² , woraus sich U in Form des Doppelintegrals ergibt.

£7 =

/ ! / /1 +i?² + q² dy | cto oder

77=

& ( x=v(y)_ \

/1/ fr+p*~+ï? dx\dy .

413. Die Oberfläche der Kugel zu berechnen, deren Gleichung x² + y² + z² — a² = 0 ist.

Schreibt man die Gleichung der Kugel in der Form x = f(xy) = y«² — x² —y² , so folgt

a;

?=-

y«² — x² — y²

dz df

dx dx ^

—- == q gesetzt ist.

dy dy

ya² — a;² — y²

Da ferner y = q?(x) = ya² — x² ist, so ergibt sich für die Oberfläche des Kugeloktanten der Ausdruck

,o

y«² - æ²

dy

y«² — a;² — y²

dx .

Das innere Integral ist

ya2 _ a;2

dy

/"ya² — x² — y2 o

womit 77 übergeht in

arcsin Ł

Va²-«²

71

ya² — a;² o

-Ja dx = ^a\

somit ist U— 4 n a² .

b) Eine zur «-Achse parallel laufende Zylinderfläche habe in Polarkoordinaten die Gleichung r = f(cp) und werde nach oben durch die Fläche z = F(r, cp) begrenzt.

Es soll der Flächeninhalt der oberen Begrenzungsfläche bestimmt werden.

Das in Fig. 51 schraffierte Element der x y-Ebene hat den Inhalt rdcpdr. Das senkrecht darüber liegende Element der Fläche z = F(r, <p) ist

rdrdcp

dU =

cos/ ’

wo / den Winkel bezeichnet, den die zu dU gehörige Flächennormale mit der %- Achse einschließt. Die Ober

fläche U selbst ist somit ausgedrückt durch

2 71

u=

/M

rdr

lo

COS/

dtp,

wo cos / =*

ist und p und q in Funk-

n+P² + q

tion der Zylinderkoordinaten r, qp auszudrücken sind. Man hat

ÔF

dF sin qp

p = J-C0S(p-—. r ,

dF

...    , dF cos®

und

i+^² + ?² = i +

(«y₊4.ß£).

\ör/ r² \ocpJ

414. Beispiel. Die Oberfläche der Kugel x² + y² +    — a² = 0

zu berechnen.

Führt man Polarkoordinaten ein:

æ = rcos<p, y = r sin<p,

so ist

£ = F(r, <p) = \a² — r², r = f(cp) = a und

r sin 99

dz

dz

r cos <p

P~dx~    ya2 _ r2 ’ q== dy

und

cos y =

Daher ist

1 + i>² + <7²

2 7t

ardr

10

ya2 — 7*2

2 ic

d(p = ja² dop — 2 na² und

o

Z7 = 4 Ti a².

§ 36. Übungsbeispiele.

415. Inhalt und Schnittfläche des Körpers zu berechnen, der von der x y-Ebene, der Kegelfläche

x² + y² z²

c²

und der Zylinderfläche y² — ax + x² = 0 begrenzt wird. Werden Polarkoordinaten eingeführt, so folgt

* = F{r, <p) = -^ y»² + ?/² = ~, r — f(<p) = acosçi,

Cu    Cu

jt

Y ( « cos

fp

71

Y

• r dr > dcp = ^Jca² cos³ cp dcp = J- e a²,

o

V— fa² c.

Ferner ergibt sich

COS}' =

dz

dz

— — sin cp, a

yi +p² + q

y«² + o²

, somit ist

7t

Y a cos cp

J j ija² + c2 o [o

rdr ' dcp = —cl^cl² + c², 8

!7= jay»² + c².

416. Inhalt und obere Begrenzungsfläche des zylindrischen Baumes zu berechnen, der von der x y -Ebene, der Zylinderfläche r = b und von dem Paraboloid az — x² + y² begrenzt ist.

r=&

2 JT

y²

\0

2 Ti r = b

£7 =

rdr

J Jn+p² + q

O io

rl dcp — ~ a y»² + 4 b². 21    J

§ 36. Übungsbeispiele. Für b = a folgt hieraus

Z7=

-a*

2 a ’

417. Den Rauminhalt zu berechnen, der durch die beiden Zylinderflächen

æ² — aa; + V² = 0 und a;² +    -f- V² — 0

aus der Kugel æ² + ?/² + x² — a² = 0 herausgeschnitten wird.

Gemeinschaftlicher Rauminhalt der drei Flächen

Rest des Kugelinhalts

418. Rauminhalt und Scheitelfläche des Körpers zu berechnen, der von der xy-Ebene, der Zylinderfläche x² + y² — a² = 0 und der Kegelfläche

a²

c²

x² + y²    x² ^ ₀

begrenzt wird.

U= na^c² + a² .

— ctz*

419. Dieselbe Aufgabe zu lösen für die Zylinderfläche r = k(p und die Kegelfläche

c²    c²    c

x² = —- (x²    y²) = — r² oder x = — r.

a²    '    a²    a

2ji

r=kqp

— r²dr>d(p — jt⁴ kB — .

lo

2 n( r=Tcçp

r >d(f = jf7lS — ]/c² -f- ß² • 2    CL

r dr

lo

n+p² + q

420. Ein veränderlicher Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung dreht sich um die %-Achse und schneidet beständig den Kreis x² y² — 2 ax = 0 in der xy -Ebene. Gesucht ist der Rauminhalt des erzeugten Körpers.

Als Gleichung desselben ergibt sich

%² (x² + y²) -f- {%² + y²)² — 4 a²x² = 0 .

Führt man Polarkoordinaten ein, so ergibt sich als Rauminhalt

31    •

y    r=2acos<p

— = /1 /y4 a² cos²9o — r² • r dr\ dcp — tya³

somit V = ^a³ .

421. In der æ -Ebene liegt der Kreis r = 2 a cos 99. Eine veränderliche Gerade PQ schneidet beständig den - Kreis in P und die «-Achse in Q, so daß OQ = Je OP ist. Gesucht ist der Rauminhalt (und die Oberfläche) des erzeugten Körpers. (Fig. 52.)

y*²+2/s| •

x = F(x, y) = k

Als Gleichung der Fläche erhält man 2 ax

Fig. 52.

Für x = r cos op , y — r sin 99 ergibt sieh für den gesuchten Bauminhalt der Ausdruck

*>l TH

*®l »

( r=2acoaq?    \

kJ lj(2 acosq) —■ r)rdr >

0 [0    j

d cp = k a³ ,

somit ist

V=±^ka* .

422. Inhalt und Scheitelfläche des Körpers zu bestimmen, der von der Zylinderfläche x² + y² — a² — 0 und der Ebene

- + T + “-i = 0

<x ß y

begrenzt ist.

V — n y a² ,

X. Abschnitt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.

§ 37. Integration der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.

a) Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

dy

<pyxy >    =    2/0 = °

integrieren, heißt nun Funktion F(xy , G) suchen, welche, nach x differentiiert und gleich Null gesetzt, wieder auf cp{xy, t/) = 0 zurückführt.

So ist beispielsweise y dy — pdx = 0 eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung und

F(xy, G) — y² — 2p x -f- C = 0

die zugehörige Integralgleichung. Die Größe G heißt die Integrationskonstante.

b) Läßt sich die Differentialgleichung auf die Form

bringen

P(x) dx + Q(y) dy = 0 ,

wo P, bzw. Q nur eine Funktion von x, bzw. allein ist, so erhält man als zugehörige Integralgleichung unmittelbar

JPdx + J Qdy + (7=0.

423. Beispiel. Für welche Kurven ist die Länge der Subtangente gleich der doppelten Abszisse des Berührungspunkts?

Vf

Für St = \ = 2 x erhält man als Differentialgleichung

der gesuchten Kurvenschar

y') = ydx —2 xdy =0 , woraus nach Trennung der Veränderlichen folgt dx 2 dy

Die Integration gibt als Integralgleichung

Ix — ly²12p = 0 oder y²—2px.

Die gesuchten Kurven stellen somit eine Schar von Parabeln von veränderlichem Parameter p dar.

c) Für die homogene Differentialgleichung P(xy) dx+ Q (xy) dy = 0 ,

wo die Funktionen P und Q homogen und von gleichem Grad hinsichtlich der Veränderlichen x und y sind, ist

dy

P(xy)

dx

Q(xy)

so folgt

Setzt man alsdann y = zx

dy

dz

worin die Veränderlichen getrennt werden können. Man erhält als Differentialgleichung

dz

dx

x ip(z) — z

und hieraus als zugehörige Integralgleichung

Ix —

dz

-+0-FM+0-F

+ G.

424. Beispiel. Die Kurven zu bestimmen, deren Subnormale gleich y — x ist.

y

Es ist —, = y — x oder y dx =* (y — x) dy

y = zx,

dx z — 1    dz

— = ——-- dz=

x z (2 — z)

eine homogene Differentialgleichung. Setzt man dy = x dz + zdx , so folgt

dz

2 * ⁺ 2 (2 — *)

und hieraus durch Integration

Junker, Repetitorium zur Integralrechnung.

Ix = — -J- Iz — \ l (2 — z) + l G oder

Ix + l y* (2 — z) = IC oder 2 xy — y² = C² .

d) Die Differentialgleichung

Pdx Qdy = 0

ist.

läßt sich integrieren, wenn die linke Seite ein vollständiges Differential ist, wofür die Bedingung dP_chQ dy d x

Ist diese Bedingung erfüllt, so setze man

6 F    r „

dx

= P und integriere F — I Pcx ,

wobei das in P enthaltene y zunächst noch als konstant anzusehen ist. Da nun in der zu addierenden Integration skonstanten noch eine Funktion cp(y) von y enthalten sein kann, so ist diese zu dem erhaltenen Integral hinzuzufügen, wodurch F übergeht in F = JPdx + <p(y).

Der Wert von cp läßt sich ermitteln, indem man dieses Integral wieder nach x differentiiert, und das Resultat mit der gegebenen Differentialgleichung vergleicht.

425. Beispiel. Die Differentialgleichung (9 x² — 14 xy + 2 y) dx-f- (— 7 x² + 12 y -f- 2 x)dy — 0 zu integrieren.

Die Differentialgleichung ist eine vollständige, da

dP dy

ist. Setzt man — = 9x² — 14:Xy-\-2y

dF

so ist

F = j(9 x² — 14 xy + 2 y) dx + 99(2/)

= 3a;³— lx'-y + 2xy + <p{y).

Soll diese Funktion das gesuchte Integral sein, so muß sie, nach x differentiiert, auf die linke Seite der gegebenen Differentialgleichung zurückführen ; man erhält

(9 x²— 14 xy + 2y) dx-\-    Ix² + 2x + ~j~Jdy ⁼ 0 •

Durch Vergleichung mit derselben folgt

— 7 x²    \2 y Ą- 2 x = —7 x² + 2 x +

d(p

oder

Ô(p

Gy

= 12 y, cp~fl2ydy+C=Gy* + C.

Das gesuchte Integral ist daher F=Sxs-7x²y+2xy+ßy²+G=0.

gleichung die Bedingung

nicht erfüllt ist.

Anmerkung. Wenn für die gegebene Differential-dP_dQ dy dx

so ist die linke Seite derselben auch kein vollständiges Differential und kann die Integration nicht in der besprochenen Weise ausgeführt werden. Die Funktion ju(xy), mit der man die gegebene Differentialgleichung multiplizieren muß, damit deren linke Seite ein vollständiges Differential wird, heißt der integrierende Faktor. Die Bestimmung desselben hängt von der Gleichung

«M ö(pQ)

dy

dx

9*

ab, deren Auflösung im allgemeinen schwieriger als die der gegebenen Differentialgleichung selbst ist.

e) Jedem Wert der Konstanten C in der allgemeinen Lösung F (x y, C) = 0 der gegebenen Differentialgleichung entspricht eine besondere Lösung, die man als partikuläre Lösung oder partikuläres Integral bezeichnet.

Neben diesen partikulären Lösungen kann eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung noch eine singuläre Lösung besitzen, welche geometrisch als die Einhüllende der Kurvenschar F(xy, C) = 0 anzusehen ist. Dabei gilt die Regel: Die singuläre Lösung der Differentialgleichung (p{xy, yf) = 0 ergibt sich :

du

oc) durch Elimination von p = y' = —— aus

CLX

d(p

cp(xy, p) = 0 und = 0 oder

dp

ß) durch Elimination von 0 aus

ÔG

F(xy, G) — 0 und

f) Eine Linie, welche ein System von Kurven f(xy a) = 0 nach einem bestimmten Gesetz schneidet, heißt eine Trajektorie. Sie heißt eine isogonale Trajektorie, wenn sie jede Kurve dieser Schar unter einem Winkel & von konstanter Größe trifft, und speziell orthogonal, wenn dieser Winkel ein rechter ist.

§ 38. Übungsbeispiele.

426. Die Kurven zu bestimmen, deren Polarsubnormale von konstanter Länge a ist.

Die gesuchten Kurven sind archimedische Spiralen.

427. Die Kurven zu bestimmen, deren Tangente die Länge a hat.

Aus -~^i -\-yf² = a folgt x=^a²—y²—a la -f G.

428. Die Kurven zu bestimmen, deren Flächeninhalt vom Ursprung bis zur Ordinate des Punktes P(xy)

— x y ist.

dr

Aus — = a folgt r = a(p + (7.

d(p

gleich

Für die Fläche erhält man

X

U = jy dx =

nXy'

woraus durch Ableitung nach x folgt

dy

dx

ny dx = xdy + y dx oder - = (n — 1) —— .

Hieraus ergibt sich das Integral y = Cxn~x.

429. Für welche Kurven ist die Polarnormale konstant und gleich a ?

r = a sin {cp + G) .

430.    Für welche Kurven ist die Polarnormale gleich a².

r — a sin(ç?₀ — q>).

431.    Für welche Kurven ist das Lot vom Ursprung auf die Tangente gleich der Abszisse des Berührungspunktes?

Die gesuchten Kurven gehören einer Schar von Kreisen an: x² + y² — 2 Gx = 0 , welche die y-Achse im Ursprung berühren.

432. Die Differentialgleichung von der (Clairaut- <-sehen) Form y — xp + cp{p) zu integrieren.

Die Differentiation nach x gibt

dp dm dp

t-r + ’-âï + Ji-TÏ

oder

dp

dx

dp

Der erste Faktor gleich Null gesetzt, — = 0, führt

dx

zu dem Integral p — G und gibt demgemäß als allgemeines Integral y = x C (p(C) .

d op

Aus x +    = 0 und der gegebenen Gleichung folgt

op

endlich durch Elimination von p die singuläre Lösung der gegebenen Differentialgleichung.

433. Die Kurven zu bestimmen, für welche der Abschnitt der Tangente zwischen den Achsen gleich a ist.

Differentialgleichung : y = px Ą-

ap

y'l +p

Allgemeines Integral: y = Cx +

yi + g²

Singuläres Integral: x% + y% — aJ = 0 .

434. Die Kurven zu bestimmen, deren Tangente von den Koordinatenmassen Stücke von konstanter Summe a abschneidet.

Differentialgleichung : y = p x — —

ap

Allgemeines Integral: y = Cx —

Singuläre Lösung:

1- (7*

(x — y)² — 2a(x + y) +    = 0 .

435. Die Trajektorien zu bestimmen, welche jede Kurve der Schar f(xyX) = 0 unter dem Winkel # schneiden.

Es sei P(xy) ein Schnittpunkt einer Trajektorie mit einer bestimmten Kurve der Schar f\ die Richtungswinkel der Tangenten beider Kurven in P seien <x und od, dann

tgod — tgoc

ist # = od — oc, also auch tg #

nun tgoc — y' und tgod = —

öf.öf

öx ’ dy

1 -f igoc'tgoc

wo

ist. Durch

Öf

df

Elimination von X aus tg# =

dy

dy dxV

und

f(xyX) = 0 ergibt sich die Differentialgleichung ⁽p{xy^y') = 0 der gesuchten Trajektorienschar.

71

Für # = — erhält man die Differentialgleichung der

u

orthogonalen Trajektorien als X-Eliminât aus

™d f{xyX)⁼° •

436.    Die orthogonalen Trajektorien des Strahlenbüschels y = Xx zu bestimmen.

Differentialgleichung: x dx y dy = 0.

Traj ektorienschar :

437.    Die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar y² — 2Xx = 0 zu bestimmen.

Differentialgleichung: 2xdx y dy = Q .

y²

x² + ~

'2

Trajektorienschar :

x² + y² = G².

- G² - 0 .

N

Sammlung Goschen £ST

6. J. ßöfcben'fcbc VerUgsbandlimg, Leipzig.

so m

Bezeichnte ber erfdjienenen Bänbe.

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^emie ....

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Äunft .....

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Mecpanif ....

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23

B. Ver3eicbnis nacb Wiffenfcbaften.

Sibliot^cï 3ur HUjilofopIfte.

(Sinfitfjruno tu bie f£püüfoppic bon Dr. 9ïïa£ Senifcper, fJSrofeffot an ber

97r. 281.

Uniberfitât Königsberg.

©cfipirpte ber $fjilofopf|ic IV: teuere ^fiilofopüie bis Kant bon Dr. Sruno Saudf), Sribatboj. au ber Uniberf. £>alle a. S. fßfprfjolugie uitb Sogif jur ©tufitljrung in bic fßpilofoppie bon $rofeffor Dr.

2b. ©IfenpanS. 3Rit 13 giguren.    fflr. 14.

©runbrifê ber    bon ^Srofeffoc Dr. ©. 5- SippS i n Seipsig. 9ïïit 3

9?r. 98.

ftr. 394.

Figuren.

©tïjif bon $rof. Dr. 2pomma§ SidjeliS in Sreen.

9îr. 90.

SCHoemetne fRftfjetif bon $rof. Dr. gjîaj 2)iej, Serrer an ber Kgt. Siïabemie

Sftr. 300.

ber bilbenben fünfte in Stuttgart.

Weitere ßänbe finb in Vorbereitung.

ffiibHottieï 3ur Sprad)n»iffenf<baft.

Subogcrntaniftpc Spradjmiffenfdjaft bon Dr. 9î. Geringer, Srofeffor an ber

9tr. 59.

(fermaitifrt)C Spracpuiiffcnfcpaft bon Dr. 9îicp. Soetoe in Sertin. 9?r. 238. fRomanifrpe Spracptoiffcnfcpaft bon Dr. Slbolf Sauner, Sribatbojcnt an ber Uniberfitât SBieu. 2 Sänbe.    9îr. 128, 250.

Scmitifrpe Sprarpiutfieuftpaft bon Dr. (£. Srodelmamt, fßrofeffor au ber

*Rr. 291.

Sinnifcp«ugriftpeSpratpibiffcnffpaft bon fßrof.Dr.iftofefSsinnpei in Subapeft.

9îr. 463.

Scutfipe ©rammatif unb furje ©efdjidjte ber beittfcpen Spraye bon Scpulrat

Wt. 20.

ScutfcpcIJJoctitbonDr.K.SoriuSü, Srofeffor an ber Uniberfitât ^Jîüncpen. 9tr.40. 2>cutfrpc ffiebetepre bon ,£>an3 $robft, ©pmnafialprof. in Samberg. 9?r. 61. Sluffapeutmürfc boit Oberftubicnrat Dr. S. SS. Straub, ffteïtor beS ©berparb* SubtbigS=@pmnafiumS in Stuttgart. 2öörtcrbud)nacpberneucubeutfcpen9ted)tfd}reibungb. Dr.#einricp Kiens. fTir.200. $eutfcpe§ Sürtcrbwp bon Dr. fRicparb Soetoe in Serlin.    9îr.64.

$a§ fyrcmbtoort im Scntfcpcn bon Dr. 3iub. Kleinpaul in Seipsig. 9îr. 55. 2>euticpe£ ftrcmbioôrterPutp bon Dr. Dîubolf Kleinpaul in Seipsig. Sftr. 273. lßlattbeutfd)c9Jhtnb arten b. $rof. Dr. #ub.©rimme, greiburg(Scptoeis). 3îr.461. 2ic bcutfrfjcn 'Scrfoncunameu bon Dr. 9htbolf Kleinpaul tu Seipsig. ?îr. 422. (£nntifri)*beutfri)cy ©cfprâcpSPuip bon fßrefeffor Dr. ©. «ftauSïnecpt in Sau*

9tr. 424.

Uniberfitât ©ras. 9Wit 1 2afel.

Uniberfitât Königsberg.

Srofeffor Dr. 0. Spon in 2>reSben.

9îr. 17.

fanne.

©runbrifj ber lateiuifdjen Sprarplepre b. $rof. Dr. SS.Sotfcp i.9ttagbeburg. Sftr.82. IRuffifrpe ©ramntntif bon Dr. ©ricp Serneïer, $rof. an ber Uniberfit. $rag. 9îr. 66. 9iuffifip*$eutf(pe3 ©cfprâtpSûutp bon Dr. CSricf) Serncïer, fßrofeffor an ber

9îr. 68.

Uniberfitât ffkag.

9iuf|i|d)c§ Scfcbnd) mit ©loffar b. Dr. Erid) S3erne!er, ^Srof. a. b. Uitib. $rag. 97r.67. Sîuffifrfic Sitcratnr b. Dr. Erid) S3oeï)me, Scïtor an b. £anbetSl)od)id)ule Berlin. I. STeit: SluSmabl moberner S3*ofa unb $oe|ie mit auS|itl)rlid)en minuter»

9tr. 403.

--II. STeil: BceBOJio^T. rapinmn,, Pa3CKa3Li. 9Jîit2lnmcrïungen unb

Slfsentbeaeicbnung.

©cfri)id)te ber ïlnfiifdjctt Wlologie boit Dr. SSilf). Kroll, orb. $rof. an bec Itniberfität fünfter.    ftr. 3G7.

Sieïje aud) „^anbelStbiflenldjaftlidje S3ibliotljet".

Weitere Bänbe |inb in Vorbereitung.

lungen unb 2l!aentbeseid)nung.

9tr. 404.

fiUctaturgcf(^id)tlt^e ©ibliotbel.

Seutfdje 2itcraturgcfd)id)te bon Dr. üütaj Kodj, ißrofeffor an bec ltniberfität

97r. 31.

Scutfrfie 2iteraturgc|tf)itf)te ber Klaffilcrjcit bon$rof. Sari SSeitbredjt. Surdj* gelegen unb ergänzt bon Karl S3erger.    Wv. 161.

Seutfdje 2itcraturgcfd)idjte be§ 19. Sal)rl)unbert§ bon ©art SSeitbredjt. Surcfc gefeljen unb ergänzt bon Dr. ïïïidjarb SSeitbredjt in SSimbfen. 2 Seite.

97r. 134, 135. 9?r. 229.

SöreSlau.

©cfdiidjte bc§ bctttfdjen JRontanS bon Dr. £ellmutl) hielte.

©otifdje ©brndibenfmälct mit ©rammattf, Überlegung unb Erläuterungen Dr.^ernt.^antjen, Sir. b. Königin Suife=<Sdf)itIe in Königsberg i. SSr. 97r. 79. 2Utt)od)bcutfd)c Sitcratur mit ©rammatif, Überlegung unb Erläuterungen bon

97r. 28.

Ebbalicber mit ©rammatif, Überlegung unb Erläuterungen bon Dr. SSiïï).

9îani|dj, ©tjmna|ialoberIeI)rer in 0Snabrüd.

SaS Sßalttjari’fiicb. Ein #elbcu|ang aus bem 10. Saljrljunbert im SSerSmaüe ber Urfdjrift überlebt u. erläutert b. $rof. Dr. &. Slltïjof in SSeimar. 97r.46. Sidjtungen auS mitteKjodjbeutfdjer Srüfocit. Sn StuSmaljl mit Einleitungen unb SSörterbud) IjerauSgegeben bon Dr. Hermann Sanften, Sireïtor ber Königin 2uife=Sd)ule in Königsberg i. SSr.    97r. 137.

Scr 9îibelunge 9îôt in SluSmaljl unb mittelljotfjbentfdje ©rammatif mit furent

<Rr. 1.

Knbruu ttub Sictridjebcit. 2)Mt Einleitung unb SSörterbud) bon Dr. 0. ß.

Siricjef, i)3rof. an ber Uniberfität Sflünfter.

^artmamt bon 2lue, SSolfram boit Efdjcnbadj unb ©ottfricb bon Strafi* bürg. SluStoaljl aus bem bö|i|d)en EboS mit Slnmerfungen unb SSörterbud) b. Dr. K. Sïïarolb, $rof. a. Kgt. ÓftiebriĄStoIIegium SU Königsberg i. $r. 97r. 22. SSaltljer bon ber SBogcIiuctbe mit Slusmaljt aus SJiinnefang unb Sbrudj* bidjtuug. SDtit Stnmerlungen unb einem SBörterbud) bon 0. ©iiuttec, Ißrof. an ber 0berreal|djule unb an ber Sedjn. £od)fd)ule in Stuttgart. 97r.23. Sic Epigonen bc§ ftüfifdjcu EboS. StuSmaljl aus beutfdjen Sidjtungen beS 13. 3at)röunbertS bon Dr. SBiïtor Sun!, SIftuariuS ber Kaif. Slfabemie ber SSiffenfdjaften in SSien.    97r. 289.

ßitcraiurbenfmälcr bc§ 14. unb 15. SaftrftunbcrtS, auSgetoäljlt unb erläutert bon Dr. Hermann Sanften, Sireïtor ber Königin ßuife=(5d)ule in Königs*

97r. 181.

bon

Sb- ©tftauffler, Sßrof. am Uïealgtjmnafium in Ulm.

SSörterbud) bon Dr. SS. ©oltljer, $rof. an ber Uniber|ität 9îo|tod.

berg i. $r.

97r. 171.

9?r. 10.

Sitcraturbenfmälcr bcd 16. Sabrfiunbcrtd. I: ©lartiit Sutïjer, ©tjornad Gunter «nb ba§ Hirctfenlicb be§ 16. Saljrfjunbertë. 21u§gemäI)It unb mit Einleitungen unb Änmerlungen berfeïjen bon $rof. ©. Serlit, Oberer. 7.

—    II: &an§ Sad)§. Äu3gemäf)Itu. erläutert b. Srofeffot Dr. Suïhrê ©aljr. 9tr. 24.

—    III: Son ©rant JRolIcnljagen: ©rant, #utten, Sifdjart, fomic ©ierepo3

unb ftabel. Äuägemäijlt u. erläutert bon ©rof. Dr. Suliuâ <5a^r. gtft. 36. ©entfrfje Literaturbcnlntälcr bc3 17. unb 18. 3al)rfjunbert§ bon Dr. ©aul Leg-

ftr. 364.

6intpliciu§ 8impliciffimu§ bon £an8 3aïoB EÇrtftoffel bon ©rimmelê^aufen. Sn ÄuStoaljl ÇerauSgegeben bon ©rof. Dr. $. ©obertag, ©osent an ber

SRr. 138.

©a§ beutfrfje ©olfSIieb. ÄuSgetoäljlt unb erläutert bon SJSrofeffor Dr. SuliuS 6aï)r. 2 ©ânbdjen.

Engliftfic Litcraturgcfrfjidjte bon Dr. Harl Seifer in Sien.

©runbsiige unb #aupttppcn per cnglifdjcn Siteraturgefrfjirfjte bon Dr. SIrnoIb 9ÏÏ. 9ÏÏ. (Sdjrôer, ©rof. an ber #anbeISI)od)fd)uIe in Höln. 2 ©eile. 9îr. 286,287. Stalicniftbc gitcraturgcfdjidfte bon Dr. Harl Soûler, ©rof. an bet Uniberfität

9tr. 125.

<Spanifrf)c Siteraturgcftfiidjte bon Dr. 9?ubolf ©eet in Sien. 2 ©be. 57r. 167,168. ©ortugiefifrfje Sitcraturgefrf)irf)te bon Dr. Harl bon fReinljarbftoettner, ^Srof.

fttr. 213.

©uffifdje £iteraturgefd)id|te bon Dr. ©eorg ©oionSïtf in Mndjen. 97r. 166. ©labifdje 2iteraturgefd)id)te bon Dr. Sofef Harâfeï in Sien. I: Ältere Literatur bté sur Siebergeburt.

—    II: ©a§ 19. Sabrijunbert.

Korbifdje Literaturgefd)id)te. I: ©ie tétânbifdie unb nortoegifdje Literatur beâ

SKittelalterâ bon Dr. Solfgang ©oltljer, ^Srof. an ber Unib. fRoftod. 9îr. 254. ©ie &auptliteraturen be§ Orienta bon Dr. 9Ridj. #aberlanbt, ©ribatbosent an ber Uniberfität Sien. I: ©ie Literaturen Dftafien3 unbSnbien§. g^r.162.

—    II: ©ie Literaturen ber ©erfer, ©emiten unb ©ürfen.

©ricdjifdje 2iteraturgcfd|id>te mit ©erüdfid)tigung ber ©efd)tdjte ber Siffen-

fdjaften bon Dr. Sllfreb ©erde, ©rof. an ber Uniberf. ©reifâtoalb. 9tr. 70. fRôntifdje 8itcraturgefd)id)te bon Dr. £erm. Soadjim in Hamburg. 9tr. 52. ©ie 9Retantorpl)ofcn be§ ©. DbibiuS 9tafo. 3n Sluâmaïft mit einer Einleitung unb Änmerlungen berauêgegeben bon Dr. Suliuê ,8teijen iu Srauffurt a. 9R.

97r. 442.

Ieljrer am fftifolatgpmnafium su Leipsig.

banb in Berlin. 1. ©eil.

Uniberfität ©re§Iau.

97r. 25, 132. 9?r. 69.

£eibelberg.

an ber Hönigl. ©edjnifcben £oĄfd)uIe SRündjen.

97r. 277.

9?r. 278.

9îr. 163.

Weitere Bänöe finö in Vorbereitung.

@efd)td)tH<be ©ibliotbef.

Einleitung in bic ©efd)id)têmiffenfd)aft bon Dr. Enift ©entkeim, ©rof. an ber Uniberfität ©reifêtoalb.    9îr. 270.

ttrgefdjidjtc ber 2Jlcnfd)l)eit bon Dr. 9Roris #oeme§, ©rof. an ber Uniberfität in Sien. ©Ht 53 Sbbilbungen.    97r. 42.

©efdjidjte be§ alten 9JiorgenIanbc§ bon Dr. $r. Rommel, 0. ö. ff?rof. ber femi» tifĄen ©praĄen an ber Uniberfität in 9JUindjen. 9JMt 9 Soll- unb ©ejt-

ftr. 43.

©efĄiĄte Sfrûclâ bis auf bie grtedjifdje 3eit bon Lie. Dr. S- Sensinger. 97r. 231.

bilbern unb 1 Harte be§ 9JtorgenIanbe§.

9kntcftamcutlitfje .Seitgcfdjidjtc I: Xer hiftorifdje unb ïulturgeftfjichtliche tinter» grunb beS UrdjriftentumS boit Sic. Dr. SS. Staerï, ^Srofeffoc an ber Uni= berfitât gêna. 3Jîit 3 harten.

— II: Xie 9ïeligion beS gubentumS im geitalter beS Hellenismus unb ber 9iömerherrfd)aft. Mit einer fJManflisse.

©rtedjtfdjc öicfdjidjtc bon Dr.. Heinrich Stooboba, Sprof. an ber Xeutfchen

9k. 49.

9k. 325.

9k. 326.

Uniö. ^Srag.

©rtedjifdjc 9lltertunt?fuube bon fJSrof. Dr. 9?irfj. Maifrî), neubearbeitet bon 9îeïtor Dr. grans <J3oïjttjammer. Mit 9 SSolIbilbern.

Dlömtfdjc ©cidjidjte bon 9teaIgbmnafiaIbireïtor Dr. guliuS ®od) in ©rune»

9k. 19.

rnalb.

9k. 16.

9îümtfdje 2ÏItertnm§fuitbc bon Dr. Seo 23Iodj in SSien. Mit 8 SSoIIbilb. 9k. 45. ©efdjidjte bc§ 23tjsaitttmfdjcn 9kidjc§ bon Dr. 9ïotp in Kempten. 9k. 190. Xeittfdjc ©efdjidjte I: 9Rittelalter (bis 1519) bon $rof. Dr. g. $hirse, Ober* lefjrcr am &'gt. Suifenghmitaftum in 33erlin.

—    II: 3citnïtcr ber Mcfurmntum unb ber OkligtonSfriege (1500—1648)

bon ^rof. Dr. g. śhtrse, Oberlehrer am ®gl. Suifengpinn. in Berlin. 9k. 34.

—    III: SBom 233cftfälifrf)en ÎÇ-ricben biS s«r 2luflüfmig beS alten 9ieidjS (1648

bis 1806) bon fßrof. Dr. g. ®urse, Oberlehrer am ftgl. Suifenghmnafium

9k. 35.

9k. 33.

in Berlin.

Xentfdjc StammeSïnnbe bon Dr. Sfîubolf Mud), f]3rof. an ber Uniberfitât in SSien. Mit 2 harten unb 2 Xafeln.

Xie beutfrljeu îlltcrtiimer bon Dr. grans guhfe, Xireïtor beS Stabt. MufeumS in 93raunfchtoeig. 9Jîit 70 Slbbilbungcn.    9k. 124.

Stbrif? ber Surgcnfnnbc bon £ofrat Dr. Otto $iper in München. Mit 30 2lb* bilbungen.

Sentfrlje Mturgcfdjidjte bon Dr. dkinp. ©ünther.

XeutidjeS Scbctt tm 12. «. 13. gaprljimbert. Üîeaïïommentar su ben &olfS= unb śtunftepcn unb sum Minnefang. I: Öffentliches Seben. 9$ott 93rof. Dr. gui. Xief fenbarijer in greiburg i. 23. Mit 1 Xaf el u. Slbbilbungen. 9k. 93.

—    II: fßribatleben. Mit 2lbbilbungen.

Ducllettfuitbe sur Xeittfdjen ©efdjidjte bon Dr. (Sari gacob, fjkof. an ber

9k. 279.

Ofterreiri)ifd)C ©efdjidjte. I: 23on ber Urseit bis sum Xobe Sîônig 3lIbrecf)tS II. (1439) bon 93rof. Dr. gratis bon frottes, neubearbeitet bon Dr. ®arl Uplirs, 93rof. an ber Unib. ©ras. Mit il Stammtafeln.

—    Il: 2k nt Xobe ®önig 2llbred)tS II. bis sum SSeftfalifdjen grieben (1440

bis 1648) bon $rof. Dr. grans bon ®roneS, neubearbeitet bon Dr. ft'arl Uplirs, Xkof. an ber Uniberfitât ©ras. Mit 2 Stammtafeln.

©nnlifdje ©cidjidjte bon s$rof. S. ©erber, Oberlehrer in Xüffclborf. 9k. 375. grnusüfifrîjc ©cfrl)id)te bon Dr. 9Î. Sternfelb, i|kof. an ber Unib. 23erliu. 9k. 85. 9ktffifrfjc ©efdjidjte bon Dr. SSilpelm 9îeeb,. Oberlehrer am Ofterghmnafiuiu

9k. 4. 9k. 338. 9k 266.

Uniberfitât in Xübingen. 1. 23anb.

9k. 126.

9k. 119.

9k. 56.

9k. 328.

9k. 104.

9k. 105.

in Mains.

ißoluiidjc ©efdjidjte bon Dr. Siemens Söranbenburger in ffSofen. èpauiirhc ©cfd)id)tc bon Dr. ©uft. XiercfS.

Sdjmciscriidjc ©efdjidjte b. Dr. Xânbliïer, 33rof.a. b. Unib. Süricï). 9k 188. ©efdjidjte ber djriftlidjcn ©alfauftaaten (Bulgarien, Serbien, ^Rumänien, Montenegro, ©riedjenlanb) bon Dr. 9ïoth in Kempten.

9tr. 331.

83ûpetiftfee ©efd)id)te bon Dr. £an§ Odfel in 9lug3burg.    9h. 160.

®efd)id)te ftranfcnS bon Dr. ©Ijriftian Meper, ®gl. preufe. Staatéardjibar a. 2). in München.

Sädffifdje ©cfdjidjte bon fßrof. Otto ®aemmel, fReïtor be3 9hïolaigpmnaftum§

9h. 100. 9h. 352.

9h. 434.

gu fieipgig.

Süürtngifdie ©efdjidjte bon Dr. ©rnft 2)ebrient in Sena.

S3abifd)c ©efdjidjte bon Dr. ®arl 83runner, ffkof. am ©pmnafium in fßforgfeeim u. ijkibatbogent ber ©efdjicpte an ber jTedjn. #od)fd)ule in ftartérufee. 9h. 230.

2Bürttembergifd>e ©efd)id)te bon Dr. Starł SBeller, fßrofeffor am ®artègpmnaftum in (Stuttgart.

©efdjidjte Sotferingen^ bon ©efe. SReg.=fR. Dr. #erm. 2)erid)3meiler in (Strafe* bürg.

2>ie kultur ber fRcnaiffance. ©efittung, ftorfcfeung, 2)id)tung bon Dr. Robert 5lmoIb, 93rofeffor an ber Uniberfität SBien.    9h. 189.

©eftfeidjte be§ 19. Saferfeunberté bon Oêfar Säger, o. £onorarprofeffot an ber Uniberfität 23onn. 1. S3ânbdjen: 1800—1852.

— 2. 83ânbd)en: 1853 btë ©nbe be§ Saprljunbertâ.

$oïontalgefd)id)te bon Dr. 2)tetridj Sdjäfer, Sßrof. ber ©efdjidjte an ber Unib.

Sto. 156.

$ie Secmadjt tn ber beutfdjen ©efdjidfte bon SBirïI. 8lbmtralität8rat Dr. ©rnft

9h. 370.

9h:. 462.

9h. 6.

9h:. 216. 9h. 217.

83 erlin.

bon £alle, f)3rof. an ber Uniberfität Berlin.

Weitere Bänbe finö in Vorbereitung.

©eograpbifcfje Bibliotbef.

fßfipftfdje ©eograpfeie bon Dr. Siegm. ©üntfeer, SSrofeffor an bet ßönigl.

2kdmifdien ßocbfdmle in München. Mit 32 Slbbilbungen.

2lftronomifd)e ©eograpfeie bon Dr. (Siegm. ©üntfeer, 93rofeffor an ber ®öntgl.

5£edmifd)en #od)fdmle in München. Mit 52 SIbbilbungen.

Sîlimafunbe. I: Slllgemeine ßlimalctjrc bon ffSrofeffor Dr. 9B. $öppen, Meteorologe ber Seemarte Hamburg. Mit 7 Xafeln u. 2 Figuren. 9h. 114. Meteorologie bon Dr. SB. STrabert, fjkofeffor a. b. Uniberfität in Smrêbrud.

Mit 49 2lbbilbungen unb 7 Xafeln. fßbpfifdje Meereêfunbe bon 93rof. Dr. ©erljarb SĄott,9tbteiIung§borftefeer an ber 2)eutfd)en Seemarte in Hamburg. Mit 28 9lbb. im ïejt u. 8 tafeln. 9h:. 112. fßaläogeograpfjie. ©eologifdje ©efd)id)te ber Meere u. geftlänber b. Dr. Çrang

9h:. 406. 9h. 482.

2)aê ©iêgettalter bon Dr. ©mil SBertfe in 83erlin « 8Bilmer3borf. Mit 17 9lb*

9h. 431.

$ie 9Upen bon Dr. fRob. Sieger, fßrof. an ber Uniberfität ©rag. Mit 19 Slbbil* bungen unb 1 tate.

©letfdjerfunbe bon Dr. $rife Madjaöe! in SBien. Mit 5 Slbbilbungen im Zegt

9h. 154.

ff?flangeitgeograpf)ie bon f)3rof. Dr. Submig $tcfê, ffkibatbog. an ber Uniberf. 83 erlin.

Siergeograpljie bon Dr. 9lrnoIb Stocobt, ffkofeffor ber goologie an ber ®önigl. gorftaf ab emie gu ïfearanbt. Mit 2 harten.

floffmat in 8Bien. Mit 6 harten, fßaläoflimatologie bon Dr. SBilf). fR. ©darbt in Sladjen.

bilbungen unb 1 ®arte.

unb 11 Xafeln.

9h. 26.

9h. 92.

9h. 54.

9h. 129.

9h. 389.

9h. 218.

Sänbcrfunbe bon ©uroba bon Dr. granj #eibericb, ©rofeffor am Francisco* gofebhinum in SRöbling. TO 14 Xejtlärtdjen unb Diagrammen unb einer

$Rr. 62.

Karte ber Sllpenetnteilung.

— ber aufjereurobäifdien ©rbteile bon Dr. grana £eibericb, ©rofeffor am granctöco*gofebbinum in Döbling. TO 11 De^tlärtchen u. profil. SRr. 63.

SanbcSIunbe unb Sirtfdiaftégeograbhie bc§ geftlanbc£ Sluftralien oon Dr. Kurt Gallert, ^Srofeffor an ber £>anbel§l)OdE)fdE)ule in Köln. TO 8 9lb* bilbungen, 6 grabhifdfen Tabellen unb 1 Karte.

—    bon ©ab en bon ©rofeffor Dr. O. Kienijj ln Karlsruhe. 2Rit Profilen,

SIbbilbungen unb 1 Karte.

—    bc§ Königreid)§ ©apent oon Dr. SB. ©ö£, ^Srofeffor an ber Königl. Dechn.

£ocbfcöuIe TOndjen. TO Profilen, Slbbilbungen unb 1 Starte. fRr. 176.

—    ber fRcpublif ©rafüien bon fRobolpbo bon gering. 2Rit 12 Slbbilbungen

$Rr. 373.

—    bon ©ritifdj-iRorbamerifa bon ©rofeffor Dr. 91. Obbel in Bremen. TO

$Rr. 284.

—    bon ©lfafc«£othringen bon ©rof. Dr. fR. ßangenbed In ©tra&burg i. ©.

TO 11 Slbbilbungen unb 1 Starte.

—    be§ ©rof?bcraogtum§ Reffen, ber ©robina $effen'fRaffan unb be§ giirften-

lum§ SBalberf bon ©rof. Dr. ©eorg ©reim in Darmftabt. TO 13 9lbbil-bungen unb 1 Starte.

—    ber gberifdjen $albinfel b. Dr. grifc SRegel, ©rof. a. b. Unib. SBüraburg.

TO 8 Kärtdjen unb 8 2lbbilbungen im Dejt unb 1 Starte im garbenbrud.

SRr. 235.

—    bon £>fterrcidj*Ungarn bon Dr. Qllfreb ©runb, ©rofeffor an ber Unioerfität

Berlin. 9Jtit 10 Sejtilluftrationen unb 1 Starte.

—    ber fRheinbrobina bon Dr. ©. ©tetnede, Dtreïtor be§ SRealghmnafiumä

in (Sffen. TO 9 9lbb., 3 Kärtchen unb 1 Karte.

—    beê ©urobiitfdjen fRufilanbê uebft ginnlanb§ oon Dr. Sllfreb ©bilibbfon,

orb. ©rof. ber ©eographie an ber Unioerfität $alle a. ©. TO 9 Stbbilbungen,

$Rr. 359.

unb einer Starte.

13 91bbilbungen unb 1 Starte.

5Rr. 319.

$Rr. 199.

$Rr. 215.

$Rr. 376.

SRr. 244.

iRr. 308.

7 De;rtfarten unb einer Iitî)ograpt)ifcf)en Starte.

—    be§ Königreichs ©adjfen oon Dr. g. gemmridj, Oberlehrer am fReal=

SRr. 258

—    ber ©djmeia oon ^rofeffor Dr. #. ©Jalfer in ©ero. TO 16 Slbbtlbungen

fRr. 398.

ghmnaftum tn ©lauen. TO 12 Slbbübungen unb 1 Karte.

unb einer Karte.

—    bon ©fanbinabien (©cbloeben, SRortoegen unb Dänemark bon Heinrich

Kerp, Serrer am ©bmnaftum unb ßefjrer ber ©rbfunbe am (SomentuS* ©eminar au ©onn. TO 11 Slbbilbungen unb 1 Karte.

—    ber ©crcinigten Staaten bon fRorbantcriïa bon ©rof. Heinrich gifdjer,

Oberlehrer am Suifcnftäbtifchen fRealgpmnaftum in ©erlin. TO Karten, giguren im Dejt unb Dafein. 2 ©änbehen.

—    bcS Königreichs SSürttcmbcrg bon Dr, Kurt ^offert, ©rofeffor an ber

^anbelëhochfdjule in Köln. TO 16 ©ollbilbern unb 1 Karte. SRr. 157. Die beutfdien Kolonien I: Dogo unb Kamerun oon ©rof. Dr. Karl Dobe. TO 16 Dafein unb einer litbograpbifeben Karte.

fRr. 202.

SRr. 381, 382.

fRr. 441.

SanbeS* unb ©olfSîunbe ©aläftinaS bon ©ribotbojent Dr. ©. £ölfcbet in

SRr. 345.

4?alle a. ©. TO 8 ©ollbilbern unb einer Karte.

23ülïerïttnbe bon Dr. 9JîidjaeI ^aöerlanbt, fßribatbosent an ber Uniberfitât SBien. 9Jtit 56 Bïbbilbungen.

Sîartcitfuube, gefd)id)tlid) bargefteltt bon ©. ©elcid), Tircïtor ber ï. !. 2tau= tilgen ©djule in Suffinpiccolo, $. ©auter, fßrofeffor am iRealgpmnafium in Ulm unb Dr. $aut Tinfe, Bïîfiftent ber ©efettfcpaft für ©rbïittibe in SSertin, neu bearbeitet bon Dr. 2JÎ. ©roll, Slartograpb in S3erlin. SJtit

2ir. 30.

2tr. 73.

71 Slbbilbungen.

Weitere 13änbe finö in Vorbereitung.

SRatïicmûtif^e SBibliotljeï.

©efcbidjte ber Wtatljcmgtit bon Dr. 21. ©türm, fßrofeffor am Obergpmnafium in ©eitenftetten.    2tr. 226.

3tritljmctif imb 9Ugcbra bon Dr. ^ermann ©djubert, $rof. an ber ©elebrtcn* fd)itle beS $oI)anneum§ in Hamburg.    2ir. 47.

83cifpiclfammtuug sur 2ïritbmetif imb Algebra bon Dr. Hermann ©dmbert, 93rof. an ber öielef)rtenfd)ute be3 Sopauneunrô in Hamburg.

SUgcbraifrfjc Stürben bon ©ugen 23eutel, Oberreallcfirer in S3ail)ingen = ©na.

I: Slurbenbtèïuîfion. 33tit 57 Figuren im Te£t.

Determinanten bon $aul 23. 3rifd)er, Oberlehrer an ber Oberrealfdjule 51t ©roü=Sicf)terfelbe.    2ir. 402.

©bene Oieometric mit 110 stoeifarb. Touren bon 05. Gabler, $rof. am 05t)m* nafium in Ulm.    9tr. 41.

Darftellenbc Oieometric I mit 110 Figuren bon Dr. 2tob. ^aitßner, $rof. an ber Uniberfität $ena.    2tr. 142.

--II. 3EJtit 40 giguren.    9tr. 143.

©bene unb fptjärifrfjc Trigonometrie mit 70 $ig. bon Dr. OierTiarb £>effenberg, 23rofefior an ber Sanbmirtfcbaftl. Blfabemie 23onn = $oppel3borf. 2ir. 99. Stereometrie mit 44 Figuren bon Dr. 2t. 05lafer in ©tuttgart.

Dticbcrc 2ïnaU)fté mit 6 gig* bon $rof. Dr. 23enebi!t ©porer in ©pingen. 9îr. 53. 2$icrftcIIige Tafeln unb OJegeutafctu für togaritfjmifrbed unb trigouometrifrf)c3 Oîerfmctt in stuei garben aufammengeftettt bon Dr. .^ermann ©cpubert, $rof. an ber 05elel)rtenfdju(e beâ gopauneumâ in Hamburg, güufftclligc Sogarittjmcu bon ^rofeffor 21ug. 2tbler, Tireïtor ber !. !. ©taatS* oberrealfdmle in SEBien.    9ir. 423.

Slitalbtifdje Oieometric ber ©bcitc mit 57 Figuren bon $rof. Dr. 9)t. ©imoit in ©trajjburg.    9ir. 65.

Stufgabcnfammluug s«r anatptifrïjcn Oieometric ber ©beitc mit 32 gig. bon O. TI). SSürflen, ^rofeffor am 2tcalgpmnafium in ©d)tuâb.=OJmünb. 9tr. 256. 9(ualt)tifrt)C Oieometric bc3 Otaumcy mit 28 2ïbbilbuugen bon ißrofeffor Dr.

33t. ©imon in ©trapburg.    9îr. 89.

2lnfgabeufammtuug sur anatptiftfjcn Oieontctrie bc§ 2îaumc3 mit 8 gig.

bon 0. Tf). 23ürïlen, $rof. am 9îealgpmnafium in ©d)tt>âb.=05münb. 2tr. 309. &üfjere 2tnalt)fi§ I: Differcutiatrerfjuung mit 68 giguren bon Dr. griebrid)

2ir. 87.

9tr. 48.

9tr. 435.

m. 97.

9tr. 81.

gunfer, $rof. am Sïartëgpmnafium in ©tuttgart.

— II: gntcgralrctfmuug mit 89 Figuren bon Dr. griebrid) Runter, $rof. am Sîartégpmnafium in ©tuttgart.    2tr. 88.

fltcpctitorium unb Ütufgabenfammlung s«r Differentialrechnung mit 46 gig. bon Dr. griebr. iguuïer, $rof. am Sîarfôgpmnafium in ©tuttgart. 2tr. 146.

fRcpetitorium unb Slufgabcnfammlung 5ttr gntegralrerfjmtng mit 52 gig. bon Dr. gricbr. gunïer, Prof. am ^arllgpmnafium in Stuttgart. 9îr. 147. Projcftibc ©eometrie in fDntf)etif(Ącr 23epanblung mit 91 gig. bon Dr.

Soeplemann, Prof. an ber Uuibcrfität 9)7ünd)en.    97r. 72.

Pîatliematifrfie gormelfantmlung itub Diepetitorium bcr Sftatpcmatif, entp. bie mirfitigften gormeln unb Seprfäpe ber 2tritpmetif, 2tlgebra, alge&raifdjen 2tnalpfi§, ebenen ©eometrie, Stereometrie, ebenen unb fppörifdfen Srigono* metrie, matp. ©eograppie, analpt, ©eometrie ber ©bene unb be§ 9îaume§, ber Sifferential= unb gntegralrecpnung bon 0. Sb- Pürllen, Prof. am ®gl. fRealgpmnafium in Scbm.=@rnünb. 9>?it 18 giguren. PcrfidjerungSmatpematif bon Dr. 2llfreb Soemp, Prof. an ber Uniberfität greiburg i. Pr.

2tu§glcid)mtg§rerf)mmg nad) bcr 9ftcif)obe ber ïleinften üuabrate mit 15 gig. unb 2 Safeln bon 2Biflj. SBeitbrecpt, ^Srofeffur ber ©eobâîie in Stuttgart.

Pcftoranalpfiê bon Dr. Siegfr. Palenttner, Pribatbogent für Pïjpfiï «n bet Uniberfität Berlin. 9ïïit 11 giguren.

2tftronomifrî)c ©eograppie mit 52 giguren bon Dr. Siegm. ©üntber, Prof.

97r. 92.

9lftropppfif. Sie Pefdjaffenpeit ber $immeBïôrper bon Dr. Satter g. Si§= licenuë, Prof. an ber Uniberfität Strafjburg. 9)7it 11 Slbbilbungcn. 97r. 91. 2tftronomie. ©rôfje, Pemeguug unb ©ntfernung ber ^)immel§!ôrper bon 2t. g. 9)?ôbiu», neubearb. bon Dr. S. g. Stèlicemrê, ^Srof. an ber Unib. Strafjburg. 9)iït 36 2lbbilbungen unb 1 Sternïarte.

©eobäfie mit 66 2tbbilbungen bon Dr. ©. fReinperp, Prof. an ber Secpn. ^od)* fd)ule ^>annober.

fWautiï. Purger 2tbrif) be§ tägtid) an Porb bon $ûnbefêfcpiffen angemanbten Seifê ber Scpiffaprtâïunbe mit 56 2tbbitbungen bon Dr. grang Sdfulge, Sireïtor ber 97abigation§fd)uIe gu Sübed.    9îr. 84.

©eomctrifd)c§ ^Ptdjnen bon £. 23eder, 2trd)iteït unb Seprer an .ber 33au= gemerïfcpule in 9Ragbeöurg, neu bearbeitet bon Prof. g. Ponberlinn, Sireftor ber Ægl. Paugemertfcpule gu fünfter i. SB. 9Jîit 290 giguren unb 23 Safeln im Sert.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung. 6leicb3eitig macbt bie Verlagsbanölung auf bie „Sammlung Schubert", eine Sammlung matbematifeber Cebrbücber, aufmerkfam. Gin vollftänbiges Ver* 3eicbnis biefer Sammlung befinbet ficb am Scblufe öiefes Profpektes. flufcerbem kann ein ausführlicher matbematifeber Rata log ber 6. ]. Göfcben’fcben Verlagsbanblung koftenfrei bureb jebe Bucb* banblung be3ogen werben.

an ber Sedjn. £od)fdnde in 9)îünd)en.

9îaturu)tffenîd)oftltd)c SBibliotfiel.

9îr. 51.

9?r. 180.

9tr. 302.

97r. 354.

97r. ll.

9?r. 102.

97r. 58.

Paläontologie «nb 2löftammunn§tcpre bon Prof. Dr. Starł Siener in Sien. 9ttit 9 2tbbiibungen.

Ser inenfri)lid)e Körper, fein Pau unb feine Sâtigïcitcn, bon ©. Üîebmann, 0öerfdjulrat in ft'arfêrupe. 9J?it ©efunbpetfêlepre bon Dr. med. ,£>. Seiler. 9Jtit 47 2lbbilbungen unb 1 Safel.

97r. 460.

9?r. 18.

SRr. 42.

ttrgefcfitcf)te ber 9Renfd)beit bon Dr. 2Roris £oeme§, ©rof. an ber Uniberfitât SSten. 9Rit 53 UlBBilbungen.

©iillerïunbe bon Dr. aKtcfjael £>aBerIanbt, I. u. ï. ®ufto8 ber etljnogr. Santnt* Iung be$ naturbiftor. £ofmufeumź u. ©ribatbosent an ber Uniberfitât SSien. 9Rit 51 SIBbilbungen.

Sierïunbe bon Dr. grans b. SSagner, ©rof. an ber Uniberfitât ©ras. 9Kit 78 SlBBilbungen.

Slbrifj ber biologie ber Siere bon Dr. £einridj Simrotï), ^Srofeffor an ber

$Rr. 131.

$Rr. 73.

SRr. 60.

Uniberfitât Seipsig.

SRr. 218.

Siergeograpfjie bon Dr. Sïmolb SacoBi, ©rof. ber Soologie an ber Ægl. gorft* aïabemie su Xparanbt. 9Rit 2 harten.

$a§ îierreid). I: Säugetiere, bon OBerftubienrat ©rof. Dr. ®urt Sampert, ©orfteljer be§ ®gl. SRaturalienïabinettê in Stuttgart. 9Rit l52IBBitb. ÜRr. 282.

—    III: fReptilien unb2ïntpf)ibien. ©on Dr. Çrans SSerner, ©ribatbosent an ber

$Rr. 383.

Uniberfitât SSien. 9Rit 48 $T6Bilbungen.

—    IV: ftifdje, bon Dr. $Raj fRautper, ©ribatbosent ber Soologie an ber Uni»

berfität ©iefjen. 9Jtit 37 SiBBilbungen.    5îr. 356.

—    VI: $te ttJtrbellofen îiere bon Dr. Subtoig ©ôijmig, ^Srof. ber SooIogie

«Rr. 439.

an ber Uniberfitât ©ras. I: Urtiere, Schwämme, SReffeltiere, fRippen» quallen unb SSürnter. 9Rit 74 Figuren.

SRt. 378. fRr. 379.

Enth>itflungêgcfd)id)te ber ïicre bon Dr. $oB§. gjteifenbeimer, ©rofeffor ber Soologie an ber Uniberfitât 9Rarburg. I: fjurdjung, ©rimitibanlagen, Satoen, gormBilbung, EmBrponalbüllen. SRit 48 Sig.

—    II: OrganBilbung. 9Rit 46 Figuren.

Sdjntaroper unb Sdjmaropertunt tn ber Sicrtoelt. Erfte Einführung in bie

fRr. 151.

tierifdje Scbmaroberïunbe bon Dr. grans b. SSagner, ©rofeffor an ber Uniberfitât ©ras. 9Rit 67 SlBBilbungen.

©efdiidite ber Soologie bon Dr. fRub. ©urdbarbt, tneil. $treïtor ber Soolo» gifdjen Station be§ ©erliner 5lquariunt§ in IRobigno (Sftrien). SRr. 357. 2>ie ©flanse, ihr ©au unb itjr Seben bon ©rofcffor Dr. E. 2)ennert in ©obe§= Berg. ÏRit 96 SiBBilbungen.    SRr. 44.

fRr. 122.

$a§ ©fiaitsenrcid}. Einteilung be§ gefamten © flans enretcbS mit ben tuitf)» tigften unb Beïannteften Wirten bon Dr. $. iReinede in ©reêlau unb Dr. SS. SERigula, ©rof. an ber gorftaïabemie Eifenad). 9Rtt 50 gig. ©flan3cnbiologie bon Dr. SS. 2Rigula, ©rof. an ber gorftaïabemie Eifenad).

9Rit 50 mbbiibungen.    <Rr. 127.

©ftan3cngeograpi|ie bon ©rof. Dr. Subtoig SDiefê, ©ribatbos. an ber Uniberf.

©erlitt.    5Rr. 389.

9tr. 141.

ÜRorpljologie, Slnatomie unb ©bbftologie ber ©flansen bon Dr. SS. «DZigula, ©rof. an ber ^orftaïabemie Eifenad). ÏRit 50 Slbbilbungen.

SRr. 158.

$ie ©flanscmoelt ber ©eroäffer bon Dr. SS. SDUgula, ©rof. an ber ^orftaïabemte Eifenad). ÏRit 50 Slbbilbungen.

fRr. 268, 269.

Wt. 355.

Eïfurfionêftora bon 25eutfri)lanb sum ©eftimmen ber häufigeren in SDeutfd)» lanb toilbroacbfenben ©flansen bon Dr. SS. SRigula, ©rof. an ber Çorft» aïabemie Eifenad). 2 ieile. 9Rit 100 SiBBilbungen. e fRabelpoIser bon ©rof. Dr. g. SS. fReger in ïhûWbbt. 9Rit 85 3ibBiI» bungen, 5 Tabellen unb 3 harten.

IRuhPflanscn bon ©rof. Dr. & ©ehrend, ©orft. ber ©ro&h- lanbtoirtfdiaftl.

©erfud)êanft. SluguftenBerg. 9Rit 53 giguren.

«Rr. 123.

31 Figuren.

©Aftern ber Pliitenpflansen mit 21u3fcblufj bet ©pmnofpermen bon Dr. SR. tilget, 21fftftent am ®gl. Potanifcben ©arten in Perlin^Sablem. TO

9?r. 393.

Pflansenîranfbeiten bon Dr. SBeraer griebrieb Prutf in ©ie&en. TO l farb.

Safel unb 45 21bbilbungen.

fRr. 310.

fblineralogie bon Dr. 9t. Praunl, Profeffor an b. Uniberfität Pomt. TO 130 2lb* bilbungen.    fftr. 29.

©eologie in furgem 21u§sug für (Schulen nnb jur Selbftbelebrung jufammen* geftellt bon Prof. Dr. ©betfj. Sraal in (Stuttgart. Slftit 16 2lbbilbungen unb

4 Safeln mit 51 Sparen.

SRr. 13.

Paläontologie bon Dr. 9ïub. £oerne§, Profeffor an bet Uniberfität ©raj. TO 87 2lbbilbungen.    SRr. 95.

Petrographie bon Dr. 28. PrubnS, Profeffor an ber Uniberfität Strafjburg i. ©.

9ttit 15 21bbilbungen.    SRt. 173.

Æriftallograpbte bon Dr. 28. Prubn§, Prof. an ber Uniberfität (Strasburg.

TO. 210.

2ttit 190 2lbbilbungen.

TO. 293.

©efdjidjte ber Pbbfif bon 21. Æiftner, Prof, an ber ©rofjlj. SRealfĄule su Stn§* beim a. ©. I: Sie PbbftI bté fRemton. ETO 13 Figuren.

—    II: Sie Pbbfil bon fftemton bté sur ©egenmart. TO 3 Figuren. fftr. 294. Stjcoretifdje Pbbfif. L Seil: TOcbaniï unb 2lluftiï. Pon Dr. ©uftao Säger,

Prof, ber Pbbfif an ber Secbnifcben $ocbfcbuIe in 2Bten. TOl9 2lbb. Eftr. 76.

—    n. Seil: Siebt unb 28ärme. Pou Dr. ©uftab Säger, Prof. ber Pbbfif an ber

Secbnifcben £ocbfcbule in 28ien. TO 47 2lbbilbungen.    TO 77.

—    III. Seil: ©leftrisität unb TOgnettémul. Pon Dr. ©uftab Säger, Prof.

ber Pbbfif on ber Secbnifcben &od)fcbule in 2Bien. TO 33 2lbbtlb. TO 78.

—    IV. Seil: ©leftromagnetifebe Sicbttbeorie unb ©Ieftronif. Pon Dr. ©uftao

TO. 374.

Säger, Prof, ber Pbbfif an ber Secbnifcben #ocbf<bule in SBien. TO 21 Siguren.

TO. 317.

SRabioaïtioitât bon ÎBilb, Semmel. TO 18 Siguren.

TO. 301.

Pbbfilalifcbe ÜReffungêmetboben bon Dr. SBilbelm Pabrbt, Oberlehrer an ber Oberrealfcbule in ©rofj=Sicbterfelbe. TO 49 Siguren.

©efcbirf)te ber ©bemie bon Dr. #ugo Pauer, 2lffiftent am cbem. Saboratortum ber $gl. Secbnifcben ^ocbfcbule Stuttgart. I: Pon ben älteften Seiten

bté sur Perbrennungêtbeorie bon Saooifier.

— II: Pon Saooifier btë sur ©egenmart.

Sïnorgantfdje ©bemie bon Dr. Sof. ®lein in TOnnbeim.

TO. 264. TO. 265. TO. 37.

SRetalloibe (2lnorgantfcbe ©bemie I. Seil) bon Dr. OSïar Scbmibt, bibl. Su* genieur, 2lffiftent an ber ®gl. Paugemerffcbule in Stuttgart. TO. 211. föletalle (2lnorganifcbe ©bemie II. Seil) bon Dr. Oêïar Scbmibt, bipl. Suge* nieur, 21ffiftent an ber ®gl. Paugemerïfcbule in Stuttgart. TO. 212. Organifrije ©bemie bon Dr. Sof. ®lein in TOnnbeim.    TO. 38.

TO. 191, 192. TO. 193. TO. 194.

©bemie ber ^oblenftoffbcrbinbungcn bon Dr. $ugo Pauer, 2lffiftent am cbem. Saboratorium ber ®gl. Secbn. ^ocbfdjule Stuttgart. I. II: 2llipba* tifebe Perbinbungen. 2 Seile.

—    III: ®arboct)!Iifcbe Perbinbungen.

—    IV: £>eteroct)ÏIifcbe Perbinbungen.

TOtalptifcbe ©bemie bon Dr. Sobannel #oppe. I: Sbeorie unb ©ang ber

TO. 247. TO. 248.

2lnalpfe.

—    II: TOaftion ber TOtalloibe unb TOtalIe.

Wafmnaldfe bon Dr. Otto fïîôhm in (Stuttgart Mit 14 $ig. $cri)mfd)s(n)cmtfrf)c Utnaïtifc bon Dr. ©. Sunge, ^Srof. an ber Ètbgen. 93oIt)ted)n.

9îr. 221.

Sdmle in .gürid). Mit 16 5lbbilbungen.    Üîr. 195.

S ter c u d) etntc o. Dr. E. SSebeïinb, fj3rof. a. b. Unib. ^Tübingen. Mit 34516b. 9lr. 201. SUlgcmeine unb MUfifalifrije gfjemte bon Dr. Majç DUiboIplji, fjkofeffor an ber Xedjn. #ogfd)ule in Sarmftabt. Mit 22 fÇigitren.    9tr. 71.

Elcftroritcmie bon Dr. $einrid) ©anneel in $riebrid)SI)agen. I. SCeil: Xbeorctiïd)e Eleltrodjemie u if)rë :pl)t)fifal.=d)emifd)en ©runblagen. Mit 18 $ig. 9îr. 252.

—    II: Efberimenteile Elettrodjemie, Mefjmetljcben, Seitfaljigfeit, Söfungen.

Wit 26 Figuren.    0^r. 253.

£ojri‘ologifrf)e Eljcmie bon fjkibatboâent Dr. E. Mannheim in S3onn. Mit 6 Slbbilbungen.    Üßr. 465.

9lgri!ultnrd)einie. I: SSflausencvnôhruitg bon Dr. ®arl ©rauer. 9?r. 329.

agritulturdKmifdjeŚtontrolliocfeu b. Dr. SSauI^rifrbein ©öttingen. 9?r. 304. ^Ijijfioiogifdje ©hernie bon Dr. med. 51. Segahn in Berlin. I: 51ffimiIation. Mit 2 Xafeln.    9tr. 240.

9îr. 241.

—    II: SDiffimilation. Mit einer Xafel.

Meteorologie bon Dr. SS. Srabert, fJSrof. an ber Uniberfitat SnnSbrucf. Mit

49 5lbbilbungen unb 7 Xafeln.

ErbmaguetiSntuS, Erbftrom unb SMarlirttf bon Dr. 51. Sftibbolbt ir., Mitgüeb b. égl. SSreujj.Meteocol.SnftitutS su^otSbam. Mit 14 5lbb.it. 3 £af. 5tr. l75. Slftronontie. ©röfje, S3etoegung unb Entfernung ber 4)immeISlôrber bon 51. $. MöbiuS, neu bearb. bon Dr. SS. $. SSisiicenuS, fßrof. an ber Unib.

5Zr. 11.

5îr. 54.

Strafeburg. Mit 36 51bbilbungen unb l Sternîarte.

SIftrobbbfit $ie 53efd)affenheit ber $immelSïôrper bon fßrof. Dr. SSaïter SSiSIicenuS. 57eu bearb. b. Dr. -ô. Subenborff, SSotSbam. Mitl5 51bb. 9?r. 91. 5ïftronomifri)c ©eograbbie bon Dr. (Siegm. ©üntljer, ^Srof. an ber Xechn.

£od)fdiule in Mündien. Mit 52 51bbilbungen.    5Zr. 92.

f]Sl)ï)fifd)e ©eograbbte bon Dr. Siegm. ©itnther, ^Srof. an ber tönigl. $ed)n.

£od)fdmle in Mündjen. Mit 32 5lbbilbungen.    9îr. 26.

$l)ljfifd)e MccrcSfiutbe bon $rof. Dr. ©erharb Schott, 51bteilungSborfteher an ber 2)eutfd)en Seeioarte in Hamburg. Mit 28 51bbilbungen int Zejçt unb 8 Xafeln.

iUimnfitubc I: 5lllgemeine Sïlimalebre bon ^Srof. Dr. SS. ®öppen, Meteorologe

ber Seetoarte Hamburg. Mit 7 $af. u. 2 $ig.

9tr. 114.

Weitere Bänbe finb in Vorbereitung.

»ibliotbcf 3«r iptmft!.

9?r. 293.

©efdjidite ber TOjftt bon 51. ®iftner, fßrofeffor an ber ©rofîh- üîealfdfule su SinSbeim a. E. I: S)ie 55f)t)fiï bis Peloton. Mit 13 $ig.

—    II: $)ie 55bbfiï bon Peloton bis sur ©egenmart. Mit 13 Figuren. 9?r. 294.

îljeoretifdje    bon Dr. ©uftab Säger, 53rof. an ber iedntifcben £>od)*

fd)ule in SSien. I: Wechaniî unb 5l!ufti!. Mit 19 51bbilbungen. 9tr. 76.

5tr. 77.

9?r. 78.

—    II: £id)t unb SSärme. Mit 47 5lbbllbungen.

—    III: Eleïtrisitat unb Magnetismus. Mit 33 51bbilbungen.

—    IV: Eleftromagnetif be Sid)ttheorie unb Eleîtronif. Mit21 Figuren. 9tr.374.

Sîabioaftibitât bon SSilf). Rommel. Mit 18 $i0umu

5îr. 317.

^Ijtjiitaliidje McffungSmetljobcn bon Dr. SSilhelm S3ahrbt, Oberlehrer an ber Oberrealfdjule in ©rojj=Sid)terfelbe. Mit 49 Figuren.

BlMtfaliftfjc SlufgaBcnfatmntitng bon ©. 9ttabler, Btofeffor am ©ümnafium in Ulm. 9Jtit ben Uîefultaten.

BtUJfifalifrfjc Sormclfammlung bon ©. 3CRa^Ier^ ^Srofeffor am ©ptunafium in Ulm.    92c. 136.

9tr. 243.

Bt)t)fifaltfrf)=©f)cmtfd)e UlerijeitaufgaBen bon $rof. Dr. 91. 2IBegg unb $ribat= boxent Dr. 0. Satfur, beibe an ber Uniberfität Bre§lau.

Bcïturanalufté bon Dr. Siegfr. Baientiner, Briöatboseut für Bbbfi! on ber

9tr. 354.

9fr. 445.

Uniberfität 33 erlin. 9)tit 11 giguren.

iW“ Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

©tbliotljel 3ur (Śremie.

©cfrtjitfjtc ber ©Bemie bon Dr. $ugo ‘Bauer, 2tffiftent am d)ent. SaBoratorium ber ®gl. £ed)nifd)en $od)fd)uIe (Stuttgart. I: Bon ben älteften feiten Bté sur BerBrennungêtljeorie bon Saboifier.

—    II: Bon Saboifier Btè sur ©egenluart.

Stnorgauifdje ©Bemie bon Dr. ftof. Älein in 9ïïannBeint.

93ictal!oibe (2lnurganifd)C ©Bemie I) bon Dr. 0§ïar Sdjmibt, bipl. Ingenieur,

9tr. 211.

9TiCtaUe (2tnorgamfd)e ©Bernte II) bon Dr. 0«far Sdpnibt, bipl. Ingenieur, 2lffiftcnt an ber ègl. Baugetoerïfdjule in Stuttgart.

Cvganifrije ©Bemie bon Dr. 3of. ®lein in 2JîannBeim.

©Bemie ber ftoBleuftuffberBinbuugen bon Dr. $ugo Bauer, 2tffiftent am d)em. SaBoratorium ber ®gl. ïedjn. 4>od^fd)uIe Stuttgart. I, II: 2tlipBa* tifd)e BerBinbungen. 2 Steile.

—    III: ®arBoct)ïlifd)e BerBinbungen.

—    IV: £eteroct)Hifd)e BerBinbungen.

2tnalijtifd)C ©Bemie bon Dr. Sofy. $oppe. I: teorie u. ©ang b. 2tnalüfe. 9fr. 247.

9fr. 248. 9fr. 221.

2ed)uifrf}=©Bemtfd)e 2(italüfe bon Dr. ©. Sunge, Beofeffor an ber ©ibgenoff.

9tr. 195.

Stereodjcmie bon Dr. ©. BJebetinb, Beofeffor an ber Uuiberfität XüBingen. 9Jîit 34 2tBbilbungen.

Slllgemeiue unb PBBftfaltfrBe ©Bemie bon Dr. 9Jtaę 9îubolpBt/ Brofeffor an ber $ed)nifd)en 4?ocüfd)ule in ©armftabt. 9Jîit 22 $ig.    9fr. 71.

©leftrorfjcmie bon Dr.$einrid) SDanneel in griebricBdjagen. I. Xeil: XE)eoretifd)e ©leftrod)emie u. if)re pBBfifaIifcB=d)emifcBen ©runbïagen. 9Jlit 18 $ig. 9îr. 252.

—    II: experimentelle ©lettrodjemie, SKejjmetBoben, SeitfüBigïeit, Sofungen.

9fr. 253.

Soïiîologtfdie ©bernte bon Bribatbosent Dr. ©. 9JîanuBeint in Bonn. 9ttit

9fr. 465. 9fr. 329.

2lffiftent an ber ®gl. Baugetoerïfdjule in Stuttgart.

— II: 9îeaïtion ber 9J?etalIoibe unb Metalle.

SOiafianalpfe bon Dr. 0tto 9ïôBm in Stuttgart. SBÏit 14 fÇig.

BoIt)ted)n. Sdjule in Büricü. 9)?it 16 2lB6ilbungen.

Bîit 26 Figuren.

9fr. 264. 9fr. 265. 9fr. 37.

9tr. 212. 9fr. 38.

9fr. 191, 192. 9fr. 193. 9fr. 194.

9fr. 201.

6 9tBBiIbungen.

Stgrifulturrfjcntic I: BflansenentüBrung non Dr. ®arl ©rauer. 2loriîulturd)emifd)e UnterfudjungêmetBoben bon Brof. Dr. ©mil #afelBoff, Borfteber ber Ianbtoirtfd)aftI. Berfudjêftation in Marburg i. 9tr. 470. $a§ ngrifulturdjemifdje 5îoutroUmefcn b. Dr. Baulśfrifdje in ©ottingen.9tr.304. BBüfiologifdje ©Bemie bon Dr. med. 2t. Segaljn in Berlin. I: 2tffimilation.

9fr. 240. 9fr. 241.

9Jîit 2 Xafeln.

— Il: ©iffimilation. 9JHt 1 Stafel.

©töthiometrifche ©uigabenfammlung bon Dr. ©Jitheim ©aljrbt, Oberlehrer an ber Oberrealfcbule in ©rofcStchterfelbe. 9Rit ben SRefultaten. $Rr. 452. $hhfifalifth*©hemiftbe fRethenaufgaben bon ^Srof. Dr. IR. ©begg unb ©rioat*

bogent Dr. O. ©adur, beibe an ber Untberfität ©rellau.

Siebe aucb „technologie“. Weitere Bänöe ftnö in Vorbereitung.

«Rr. 445.

©ibltotJjeï 3ur technologie.

(£I)etmfd)e ledjnologte.

Allgemeine thcmiftbeSeihnologie b. Dr. ©ufti fRauter tnEbartottenburg. 5Rr.ll3. Sic ftette unb Ole fomie bie ëeifen* unb fôergenfabrifation unb bie fèarge, Sade, S'irniffe mit ihren michtigften #üfëftoffen bon Dr. ®arl ©raun. I: (Einführung i. b. ©hernie, ©efpredjung einig, ©alge u. b. gette u. Ole. SRr.335.

—    II: ®ie ©eifenfabriïation, bie ©eifenanalpfe unb bie Âergenfabriïation. îRit

25 ©bbilbungen.    IRr. 336.

—    III: £arge, Sade, f^trniffe.    *Rr. 337.

Aitjcrifthe Ole unb fRiechftoffe bon Dr. g. fRodjuffen in 9RiIti£. 9Rit 9 ©b*

IRr. 446.

bilbungen.

2>te @£plofibftoffe. Einführung in bie ©Demie ber e^plofiben ©orgünge bon

Dr. ©runêmig in ©eubabetèberg. üRit 16 ©bbilbungen.

$Rr. 333.

©ranercimefen I: ©lälgcrci bon Dr. ©aul $reoerhoff, 2)ireïtor ber ©rauer*

unb ©talgerfcbule in ©rimma. 9Rit 16 ©bbilbungen.

©taffer unb feine ©ermenbung in ^nbuftrie unb ©ewerbe bon 5E>ipl.*3ng. Dr. Emft Seher. 9Rit 15 ©bbilbungen.

©taffer unb ©bioüffer. Shre 3ufammenfe§ung, ©eurteilung unb Unterfudjung bon ©rof. Dr. ©mil #afelhoff, ©orfteher ber lanbmirtfchaftlidjen ©er* fud)§ftation in Marburg in Reffen.

©ttorganifrfie chcmiftbc ^nbuftrie oon Dr. ©uft. SRauter in ©horlottenburg.

I: $te Seblancfobatnbuftrte unb ihre SReb eng to eige. 9Rit 12 ïafeln. Ar.205. — II: ©alinemoefen, SÊalifalge, 2)üngerinbuftrie unb ©ermanbteS. 5Rtt 6 ïafeln.

«Rr. 206.

<Rr. 303.

Ar. 261.

<Rr. 473.

IRr. 207.

—    III: ©norganifehe ©hemifdje ©rdparate. SERit 6 Xafeln.

SOÎetallurgie bon Dr. ©ug. ©eifc in München. 2 ©be. 9Rit 21 $ig. IRr. 313,314. 2>ie ^nbuftrie ber ©ilifatc, ber filuftlidjcn ©aufteine unb be§ ÜRürtetë oon

Dr. ©uftao fRauter. I: ©Urê* unb leramifdje ftnbuftrte. 3Rit I2ïaf. fRr. 233.

—    II: $ie$nbuftrie per tünftlidjen ©aufteine unb beâ 9Rôrteté. 9Rtt 12 ïaf. fRr. 234. $ie Secrfarbftoffe mit befonberer ©erüdfid)tigung ber fpnthetifchen ÎRethoben

bon Dr. #an3 ©ucherer, ©rof. a. b. Ægl. Xed)n. #ochfchule Sreâben. SRr. 214.

9Red)antfd)e ledjttologte.

aRechanifihe ^ethnologie bon ©eh. &ofrat ©rof. 51. Sübide in ©raunfchtoeig.

SRr. 340, 341.

SRr. 185.

$c£til*3ttï>uftrie I : ©pinnerei unb 3toirnerei bon ©rof. 3Raj ©ürtler, ©eh-fRegierungêrat im Stönigl. Sanbeägemerbeamt gu ©erlin. 9Rit 39 Çig. ©r. 184. — Il : ©Seberei, ©Sirferei, ©ofamentiererei, ©pifcen* unb ©arbinenfabriïation unb fttlgfabriïation oon ©rof. ÎRaj ©ürtler, ©et). fRegierungârat im ®ônigl. Sanbeâgeroerbeamt gu ©erlin. 5Rit 27 Figuren.

Seïtiï-Rnbuftrie in: SBäfdjerei, öleld)erei, Rörberei unb i^re HilfSftoffe bon Dr. SBtlb. «Dîaffot, Serrer an ber öreufj. böb- Radjfcbule für Sejttl» Rnbuftrie in ®refelb. Mit 28 Riguren.    Sßr. 186.

9?r. 476.

Sie Materialien bc§ MafdjinenbaueS unb ber ©leïtrotecbniï bon Rngenieur örof. ^>erm. SBilba in öremen. Mit 3 Slbbilbungen.

Saê Hols. Slufbau, ©igenfebaften unb ôermeubung, bon $rof. ^erm. SBüba

in öremen. Mit 33 Sïbbilbungen.

Weitere Bänöe finö in Vorbereitung.

9ft. 459.

SBibliotbef 311 bcit 3«9enieMrtDtffenfĄoften.

$a£ Oîecfjnen in ber Serbni! u. feine Hilfsmittel (SRecbenfcbieber, ^Rechentafeln, 3îed)enmafd)inen ufm.) bon ängenieur Rob. ©ugen Maper in Karlsruhe u ö. Mit 30 2lbb.    9hr. 405.

MaterialpriifungSmefen. ©infübrung in bie moberne Sedbnif bet Materialprüfung bon Memmler, Siplom-Rngenteur, ftänb. Mitarbeiter am ®gl. Material» prüfungSamte su ©rofcßicbterfelbe. I: Materialeigenfcbaften. — ReftigïeitS-berfuĄe. — Hilfsmittel für ReftigfeitSberfucbe. Mit 58 Riguren. 9tr. 311.

—    II: Metallprüfung unb Prüfung bon Hilfsmaterialien beS Mafd)inenbaue3.

— öaumaterialprüfung. — öapierprüfung. — Scbmiermittelprüfung. — ©inigeS über Metallographie. Mit 31 Figuren.    5Rr.    312.

Metallographie. ®urse, gemeinfafjlicbe Sarftellung ber Rehre bon ben Metallen unb ihren Regierungen, unter befonberer Öerücfficbtigung ber Metallmitroffopie bon örof. ©. H^n unb örof. 0. öauer am ftgl. Materialprüfungsamt (©ro&=Ritf)terfelbe) ber ®gl. Secbnifcben H°tf)fcbule SU öerlin. I: Slllgemeiner Seil. Mit 45 Slbbilbungen im Sejt unb 5 Sicbtbtlbern auf 3 Safeln.    5Rr.    432.

—    II: SpesieHer Seil. Mit 49 Slbbilbungen im Sejt unb 37 Ridjtbilbern auf

19 Safeln.    <Rr.    433.

$Rr. 178. <Rr. 179.

Statt!. I: Sie ©runblebren ber Statiï ftarrer Körper bon SB. Hauber, Siplom-Rngenteur. Mit 82 Figuren.

—    II: Slngemanbte (Statiï. Mit 61 Figuren, fteftigfeitêlebre bon SB. Hauber, Siplom=Rngenieur. Mit 56 Figuren. 9?t. 288. Hpbraulif b. SB. Huuber, Siplom-Rngenteur in Stuttgart. Mit 44 Rig. 97r. 397. ©eometrifcbeS Seidjnen bon H- öeefer, Qlrcbiteft unb Rebrer an ber öau»

9tr. 58.

gemerlfcbule in Magbeburg, neubearbeitet bon örofeffot 3. öonberltnn in Münfter. Mit 290 Riguren unb 23 Safeln im Sejt. Sdjattenïonftruïiionen bon örof .R. öonberlinn in Münfter. Mit 114 Rig. <Rr. 236. öaraiielperfpeftiPe. fRecbtminflige unb fcbiefminïlige Ökonometrie bon ö^f-R. öonberlinn in Münfter. Mit 121 Figuren.    SRr. 260.

3cntral-öerfpeftibc bon Ölrtf)itc!t H<utS Rrepberger, neu bearbeitet bon örof.

SRr. 395. fRr. 396. SRr. 453.

RI. öonberlinn, Sir. b.$gl.öaugetuer!fcbule, Münfter i. SB. Mit 132 Rig. 97r.57. Sed)nifrf)e3 Börterbucb, entbaltenb bie miebtigften öluSbrüde beS Mafcbinen» baueS, Schiffbaues unb ber ©Ieïtroted)niï bon ©rid) ®tebS in öerlin. I. Seil: Seutfcb»@nglifcb.

—    n. Seil: ©nglifcb=Seutfcb.

—    III. Seil: Seutfcb*Rransöfifcb.

©leïtrotecbniï. ©infübrung in bie moberne ©leid)³ unb SBecbfelftromtecbni!

bon R. Hetrntann, örofeffor an ber königlich Sed)nifcben H^ilfcbule Stutt» gart. I: Sie pbbfüaiifcben ©runblagen. Mit 42 Rig. u. 10 Safeln. fftr. 196.

SRr. 197.

—    II: Sie ©Ieicbftromtecbntf. Mit 103 Riguren unb 16 Safeln.

©Ieftrotctfmiï. III: Sie ©edjfclftromted&niï. «mit 126 gig. u. in £af. mr. 198.

Sie ©leirtjftromntaitfjine uon ©. ßinsbrunner, Ingenieur u. Soient für ©leïtro* tedmifa. b. Municipal Scpool of Sedmologt) in «mandjefter. «mit 78gig. mr.257.

Ströme unb Spannungen in Stnrfftromnet?cn uon Diplom = ©Ieftroingenieur gofefHergbg in 23ubapeft u. fßrof. gelbmann in Seift. «mit68gig. mr. 456.

Saêgernfprcdpuefen u. Dr. Subtu. mellftab in ©erlitt, «mit 47 gig. u. 1 Saf. mr.155.

Sie elcftrifdjc Selcgrapptc uon Dr. Subtuig mellftab. «mit 19 giguren. mr. 172.

OJlourer* u. Stcintjauerarbciteu bon 33rof. Dr. phil. u. $r.=gng. ©bitarb Sdjmitt in Sarmftabt. 3 23änbd)en. «mit bieleń 2lbbilbttngen.

(Sifenfonftruftioneu im .ftorfjbau. śhttjgefafjteś ^anbbudf) mit 23eifpielen uon

mc. 322.

mr. 419—421.

Ingenieur ®arl Scpinbler in «meifjen. $Rit 115 giguren. Sermrffnng§litnbe Pon $ipl.=gng. Obererer 33. Sßerfmeifter. 2 ©änbdtett.

9J?it 255 2tbbilbungen.

Ser ©ifenbetonban uon meg.=23aurneifter Sïarl möjjle in SSerliii^cSteglitj.

mtit 77 2lbbilbu gen.    mr. 349.

teeiju g unb Stiftung Pott gngenieur gol)anne§ Körting, Sireïtor bet 2ïït.= ©ef. ©ebrüber Körting in Süffelborf. I: $a§ $Befen unb bie 23ered):tuug ber ^etgu g§= u ib Süftu ;g§a lagen, «mit 34 giguren.

—    II: Sie2lu3fül)ru g ber^eiju gś=u :b Sitftu ig§a läge t. m?itlOlgig. mr. 343. ©a$» uttb ÏÏJofferinftailntionen mit ©infriiluf; ber Stbortnniagen uon «JSrofeffor

Dr. phil. u. $r.=gng. ©buarb Sdpnitt in Sarmftabt. miit U92lbbilb. mr. 412. Sa§ Ü'crnnfdilngen im ^od)ban. àurjgefaüteâ ^anbbud) über ba§ 2Scfen be* ®oftenanfd)lage§ uon ©nul 23eutingcr, 2lrd)iteft 33.$>.21., 2lffiftent an ber $ed)= nifcbcit ^odifdmle in Sarmftabt. «mit uielen giguren.

33nufiibrung. S?ur^gefafde§ |>anbbud) über ba§ ÎBefen ber 23aufül)rung bon 2lrdiiteït ©mil ëeutinger, Slffiftent an ber Sedptifdjen ^odifdjule in Sarub ftabt. 9«it 25 giguren unb il Tabellen.

Sie öaufuuft bc§ Sd)ull)aufe§ uon 93rof. Dr.=gng. (Srnft 23etterlein in $arm= ftabt. I: $a§ SdjulpauS. «mit 38 2lbbilbungen.

—    II: Sie (Sdjulrtiume. — Sie mebenanlagen. «mit 31 21ôbilbungen. mr. 444. £>ffcntïtrt)c23abc*unb Srinuimmanftaltcn uon Dr. toi ÎBoIff, ©tabt=Oberbaurat

in ^annouer. 2mit 50 gig    mr. 380.

Sie miafrijincnelemcute. ®ursgefaüte§ Sefirbud) mit 23eifpieïen für baâ Selbft* ftubium unb ben praïtifeben ©ebraud) uon griebridj 23artl), Oberingenieur

mr. 3.

mr. 468, 469.

mr. 342.

mr. 385.

mr. 399.

mr. 443.

in mürnberg. «mit 86 giguren.

©ifeubütteufunbc uon 21. ®raufj, biplomierter Hütteningenieur. I: $a§ molp eifen. «mit 17 giguren unb 4 Safeln.

— II: $a§ Scpmiebeifen. TO 25 giguren unb 5 Safeln.

Serimifdic 2$ârmclcl)re (Sbcrmobpnantif) bon SBaltljer unb «m. môttinger,

mr. 242.

Sic Sûmpfmafdjine. Shirâgefafjteê Seprbud) mit S3eifpielen für ba§ Seïbftftubium u. b. praft. ©ebraud) u. griebr. 23artï), Obering.,mürnberg. «mit48 gig. mr.8.

Sie Sampffeffel. ŚhirsgefafcteS Seprbud) mit 23eifpiclcn für ba§ Selbftftubium u. ben praït. ©ebraud) u. griebv. 23artb, Obering., mürnberg. «mit 67 gig. mr. 9.

Sic ©aSfraftntûfrfjinen. Smrsgefafcte Sarftelluug ber tuicptigften ©a§ntafd)inen= 23auarten u. gngenieur 2üfreb ®irfd)ïe in Halle a. ©. 9ïïit 55 giguren. mr.316.

Sic Sampfturbinen, ipre Birïungêtueife unb ®onftruïtion uon gng. Hermann 2Silba, 3>rofefior am ftaatl. Secpnifum in Bremen. TO 104 2ïbb. mr. 274.

$ipIom=gngenieuren. ÏRit 54 giguren.

mr. 152. mr. 153.

Sie sujerfmnfiigfte Sctriclrêîraft Doit griebridj Sarth, Oberingenieur in Slitrn* berg. I: Einleitung. Sampffraftanlagen. Serfd)iebene ®raftmafd)inen. SJlit 27 Slbbilbungen.    Sir. 224.

—    II: (55a§=, 2öaffer= unb 2Sinb=®raftanIagen. SJlit 31 Slbbilbungen. Str. 225.

—    III : Eleftromotoren. Setriebêtoftentabellen. @raphif<f>e Sarftellungen. SBahl

Sir. 474.

ber Setriebêfraft. SJlit 27 Slbbilbungen.

Sie £cbcscuge, il)re Śtonftrultiou unb Seredjnung bon Ingenieur germanu SBilba, Srof. am ftaatl. Sed)niïum in Sremen. SJlit 399 Slbbiibmtgen.

Sir. 414.

$umpcu, ïitjbraiilifcfjc unb tmcumatifrtje Einlagen. Ein ïuraer ttberblid bon Slegierungëbaumeifter 9îuboIf Sogbt, Oberlehrer an ber Äönigl. höheren

Sir. 290.

SJlafcbinenbaufcljule in Sofen. SJlit 59 Sfbbilbungeu.

Sir. 407—409.

Sie lanbtuirtfrî)afilirf)cu SJlafd)incit bon ®arl Skltbet Siblonngngenieur in Mannheim. 3 Sänbchen. SJlit bieleń Slbbilbungeu fautif. Sturaer Slbrijj beâ täglich fin Sorb bon £anbeiôid)iffen angeioanbten Seitè ber (5d)iffal)rt3ïunbe. Son Dr. grana ©crçulae, Sireftor ber Wabi*

gation§fd)ule gu Sübed. SJlit 56 Slbbilbungen.

Sir. 84.

Ül^ Weitere Bänöe finö in Vorbereitung.

©ibltothc! 3U beit SRcdjts* u.Staafstmffeitidjufteit.

SUIgemeine Slctfjtêlchre bon Dr. Sh- (Sternberg, Sribatboaent an ber Unioerf. Saufanne. I: Sie SJlethobe.

—    II: Saä ©hftem.

Siecht be§ Siirgcdirfjen ©cfctjburf)e§. Erfte§ Sud): SUlgemeiner Seil.

I: Einleitung — Sehre bon ben Serfonen unb bon ben ©adjen bon Dr. Saul Oertmann, ^Srofeffor an ber lXniberfität Erlangen.

—    II: Ertuerb unb Serluft, Eeltenbmadmng unb ©cfmh ber Siechte bon

Dr. Saul Oertmann, ^Scofeffor an ber XXniberfität Ecla-igcn

—    .Stoeiteë Sud): ©d)itlbred)t. I. Abteilung: SUIgemeine Sehren boit Dr. Saul

Oertmann, Sntfeffor an ber XXniberfität Erlangen.

—    II. Slbteilung: Sie einaelnen ©d)ulbberl)ältniffe bon Dr. SûuI Oertmann,

Srofeffor an ber XXniberfität Erlangen.

—    Sierteä Sud): gamilienredjt bon Dr. Heinrich Si£e, Srofeffor an ber Unio.

©öttingen.

Scutfrfjed 3ibityr0ac9rerf)t bon Srofeffor Dr. SBifljelm ®ifd) in Strasburg i. E. 3 Sänbe.

Sir. 169. Sir. 170.

Sir. 447.

Sir. 448.

Sir. 323.

Sir. 324.

Sir. 305.

Sir. 428—430.

Seutfcheä &anbel§rctf)t bon $rof. Dr. 5XarI Sehmann in Sloftod. 2 Sänbdten.

Sir. 457, 458.

Sa§ bcutfd)c ©ecrerfjt bon Dr. Otto Sranbté, OberIanbe3gcrid)t3rat in Hamburg.

2 Sänbe.    Sir. 386, 387.

Softrcdjt bon Dr. SUfreb Söolde, Softinfbeïtor in Sonn.    Sir. 425.

SUIgemeine Staatslehre bon Dr. germanu 9lef)m, Srof. an ber XXniberfität ©trafcburg i. E.    Sir. 358.

SülgcmciucS StaatSrcdjt bon Dr. gitliirê £>atfd)ef, Srof. ber Siechte an ber ®gl. Slïabemie in Sofen. 3 Sänbchen.    Sir. 415—417.

Sreit9üd)cS StaatSrcdjt bon Dr. gril} ©tier=©omlo, «Prof. an ber Uniberf. Sonn. 2 Seile.

Śtirrf)cnrerf)t bon Dr. Emil ©ehling, orb. Srof. ber Sledjte in Erlangen. Sir. 377.

Sir. 298, 299.

SaS bcutfdje Urheberrecht an Itterarifchen, lünftlerifdhen unb gewerblichen Schöpfungen, mtt befonberer Perficïficbtigung ber internationalen Perträge bon Dr. ©uftab Aauter, Patentanwalt in (Sfjarlottenburg.

Ser internationale gewerbliche AcchtSfcbuh bon 3. Aeuberg, Æatferl. Ae*

Ar. 271.

£a§ Urheberrecht an SBerïen ber fîiteratur unb ber Sonïunft, bas PerlagSrecpt unb baS Urheberrecht an SSerîen ber bilbenben fünfte unb ber Photographie bon Staatsanwalt Dr. 3. Schlittgen in ©hemnit}.

SaS SSarenaeidjenrecht. AaĄ bem ©efeb gum Schuh ber SBarenbe&etchnungen bout 12. 9Aat 1894 bon 3. Aeuberg, Œaiferl. AegierungSrat, SAitglieb beS Æaiferl. Patentamtes ju P er lin.

Ser unlautere SBettbewerb bon AechtSanWalt Dr. SAarttn SBaffermann in

Ar. 339.

$eutfdje§ SMonialrecljt bon Dr. #. (£bler b. Hoffmann, Profeffor an ber ffigl.

Ar. 318.

AHlitärftrafrecht bon Dr. fAaç ©rnft SAahet, Prof, an ber Uniberfität Strafc

Ar. 371, 372.

Scutfche ASehrberfaffung bon ÆriegSgerichtSrat ©arl ©nbreS i. SBürsburg.    401.

fforenftfrhe Pfhdjiatrie bon Prof. Dr. 2B. SBepganbt, Sireïtor ber 3rrenanftalt griebricpSberg in Hamburg. 2 Pänbchen.    Ar. 410 u. 411.

Weitere Bänbe finö in Vorbereitung.

gierungSrat, SAitglteb beS Äatferl. Patentamts §u Perlin.

Hamburg.

Atabemie Pofen.

bürg i. ©. 2 Pänbe.

SBoIÏ5toirtî(hoftli(hc »ibliotbef.

Ar. 263.

Ar. 361.

Ar. 360.

PolïSwirtfihaftSlebre bon Dr. (Sari 3ohS. $ud)S, Profeffor an ber Uniberfität

Ar. 133.

PolïSwirtfchaftSpolitiï bon Präfibent Dr. A. ban ber Porght in Perlin. Ar. 177. ©ewerbewefen bon Dr. Sßemer Sombart, Profeffor an ber ^anbelShochfchuIe

Ar. 203, 204.

$>a$ ©enoffenfihaftSwefen in Sentfchlanb. Pon Dr. 0tto Sinbecfe, Sefretär beS #auptberbanbeS beutfcher gewerblicher ©enoffenfchaften.

$a3 &anbetSwefen bon Dr. SSSilh- SejiS, Profeffor an ber Uniberfität ©öt= tingen. I: SaS JpanbeISperfonal unb ber ŚBarenhanbel.

— II. Sie ©ffeïtenbôrfe unb bie innere ^anbeispolitil.

Auswärtige èanbelSpolitif bon Dr. Heinrich Siebeïing, Profeffor an ber Uniberfität Bürich.

$a§ PerfichcrungSwefen bon Dr. jur. Paul SAolbenhauer, Sojent ber Per*

Ar. 262.

Tübingen.

Perlin. 2 Pänbe.

Ar. 384.

Ar. 296. Ar. 297.

Ar. 245.

ftcherungSmiffenfdhaft an ber £>anbeIShochfchuIe ®öln.

Sie gewerbliche Arbeiterfrage bon Dr. Sßemer Sombart, Profeffor an ber #anbelShochfdhuIe Perlin.

Sie Arbeiterberficherung bon Profeffor Dr. Alfreb fAaneS in Perlin. Ar. 267. 3’inanswiffenfchaft bon Präfibent Dr. A. ban ber Porght in Perlin. I. Allgemeiner

Ar. 148. Ar. 391.

Sie Steuerfhftemc be§ AuSIanbeS bon ©eh. Oberfinansrat 0. SĄwara in

Ar. 426.

Sie ©ntwicflung ber AeidjSffttanaen bon Präfibent Dr. A. ban ber Porght

Ar. 427.

Seit.

— II. Pefonberer Seil (Steuerlehre).

Perlin.

in Perlin.

Ar. 209.

$ie ftinunsfafteme ber ©ro&mädjte. (internat, ©taatè» u. ©emeinbe=ginans» toefen.) ©on O. ©chmara, ©et). Oberfinanarat, Berlin. 2 ©bd). 9ir.450,451. Sosiologie non ©rof. Dr. Xboma§ Sldjeltè In ©remen.    9tr. 101.

2)ie ©ntroidlung ber f oktalen $ragc bon ©rof.Dr. gerb.XdnnteS in ©utin. 9tr. 353. Slrotenwcfen unb Slrmenfiirforge. ©infülfrung in bie foliale £ilfêarbeit bon Dr. 2lbolf SSeber, ©rofeffor an ber £anbelêïjodjfdjule in Sïbln. 9îr. 346. Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

SbeotaStftbe unb religtonstötffenfdjaftUibe SBibHotbc!.

î>te ©ntftebung bc§ üllten Seftamentê bon Sic. Dr. SS. ©taerï, ©rofeffor an ber

9tr. 272.

Sllttcftamentlidje 9îcligUmêgefdjidjte bon D. Dr. Söljr, ^ßrofeffor an ber

9tr. 292.

©efdjidne 3frael3 btè auf bie grtedjtfdje Seit bon Sic. Dr. $. ©enainger. 9tr. 231. Sanbe§* u. ©olfétunbe ^alüfiina§ bon Lie. Dr. ©uftab £ölfdjer in £alle.

9J?tt 8 ©ollbilbern unb 1 Starte.

$te©ntftebung b. 9teuen îefiament§ b. ©rf. Sic. Dr. (Sari ©lernen in ©onn. 9tr.285. 2>ie ©ntroitfluùg ber djriftlidjen 9îeltgion innerhalb beâ 9teuen ïeftamentâ

9tr. 388.

Weuteftamentlirfie 8eit0Cfd)id)te bon Sic. Dr. SS. ©taerï, ©rofeffor an ber Uniberfität tn^ena. I: 25er biftortfdje u. !ulturgefd)id)tlidje £intergrunb beâ Urd)riftentum3.

■— H: $ie Religion be3 3ubentum3 int $eitalter be§ £>ellentému§ unb ber biômerljerrftfjaft.

2>ie (Sntftebnng be§ îalmubê bon Dr. ©. ftunï in ©oâïomib.

9lbri§ ber bergleidjenben 9îeligionêtt>iffenfdjaft bon ©rof. Dr. %f). Sldjeliâ

9tr. 208.

2>ie 9teligionen ber Sîaturbblïer im Umrifj bon Dr. XÇ. Slcbeltè, meilanb ©rofeffor in ©remen.

Snbifdje 9teligion§gefd)id)te bon ©rof. Dr. ©bmunb £arbtj.

©ubbba bon ©rofeffor Dr. ©bmunb $arbt).

©riedjifdie unb rbmifdie 9Jît)tt)ologie bon Dr. germanu ©teubing, 9îeïtor

9tr. 27.

©ermanifdje ®îï)tl)ologie bon Dr. ©. üJtogï, ©rof. an ber Unib. Seibâig. 9îr. 15. $ie beutfdje fcclbcnfage bon Dr. Otto Suitpolb Siricaeï, ©rofeffor an ber

9tr. 32.

Uniberfität in Siena.

Uniberfität ©reêlau.

9tr. 345.

bon ©rof. Sic. Dr. ©arl ©lernen in ©onn.

in ©renten.

beô @t)mnafium3 in ©dnteeberg.

Uniberfität üJtünfter.

Weitere BänÖe finb in Vorbereitung.

9tr. 325.

9tr. 326. 9tr. 479.

9tr. 449. 9tr. 83. 9tr. 174.

©äbagogif im ©runbriß bon ©rofeffor Dr. SS. ötein, SHreltor beS ©äba*

9tr. 12.

©efdiidjte ber ©äbagogil bon Oberlehrer Dr. $. SSeimer in SSieSbaben. 9tr. 145. Sdjulprajié. ©tetbobiï ber ©olfêfdjule bon Dr. 9t. ©etjfert, ©eminarbireftor in 8id)opau.

8ei(benfdmle bon ©rofeffor St. StimmiĄ in Ulm. SDtit 18 tafeln in Son», Farben* u. ©olbbrud u. 200 ©oll» u. Xe^tbilbem.

gogifdjen ©eminarS an ber Uniberfität in 3ena.

9tr. 50.

9tr. 39.

tSeuicgunglfbicte bon Dr. E. ®oï)lraufd), 2kof. am Sîaï- Inifer Silhelml*

9k. 96.

©bmnaftutn su Hannober. 9Jïit 14 21bl)ilbungen.

Sa! ôffciitltcïic Unterridtflmcfen Scutfrfjlanbl in ber ©egemoart bon Dr.

fßaul Stötiner, ©bninafialoberlehrer in gtoidau.

©efrt)id)tc bel bentidjeu tluterrid)t§u>cfcu§ bon Xkofeffor Dr. Fricbrid} (Seiler, Sireftor bel Sîüniglicljen ©bmnafiuml 51t Surfau. I: 5Son 21ufattg an bil

9k. 275.

9k. 130.

511m Enbe bel 18. Stolkhnnbertl.

— II: Sßom SSeginn bel 19. jgahrhunbert! bil auf bie ©egemoart. 9k. 276. Sal bcutfrljc FortOilbunglfrimbocfcn naci) feiner gefdjidjtlidjen Enttoidlung unb in feiner gegenwärtigen ©eftalt bon £. Sierdl, Sirettor ber ftäbt. Fort&ilbunglftf)uIen in £eibe i. Holftein.

Sie bcutfdje Srîjitle im 2lu!lnube bon £>anl 2lmrhein, Sireftor ber beutfĄen

9k. 259.

9k. 392.

Sdjule in Süttidj.

Weitere Bänfce finö in Vorbereitung.

23ibUütl)eï 3«r Äunft.

Stilfunbe bon $rof. ®arl Otto Hartmann in Stuttgart. 9Jkt 7 SSoIIDttbern unb 195 Sextilluftrationen.

Sie SBauïunft bei 2lhcublanbe§ bon Dr. ®. Schäfer, 21ffiftent am ©emerhe* mufeum in Bremen. 9Dkt 22 21bl> Übungen.

Sic 9$laftif bei 21öcublaubcl bon Dr. £anl Stegmann, Streikt bei 23at)r.

9k. 116.

Sic UMaftif fett ©cgimt bei 19. ^aljrljimbcrtl bon 21. ^cilmetjer in SDkindjen.

9k. 321.

Sic grabljifdjen fünfte b. Earl ®ambmann, Ï. f. Seljrer an ber !. !. ©tabht|d)en Sehr= u. ©erfud)lanftalt in 2bien. SQÎit galjlreidjen 2lbf>ilb. u. ©eilagen. 9k.75.

Sic fßhotograbhie bon £. Skfjler, ©rof. an ber !. Ï. ©tabhifdjen Sehr* unb SBerfud)!anftalt in 2Sien. 9JHt 4 Safelit unb 52 21bbilbungen. 9k. 94. iSSF*⁻ Weitere Bänöe finö in Vorbereitung.

9Zationalmufeunt! in München. 9Jiit 23 Safein.

9Jcit 41 ©ollbilberit auf amerifaitifdiem Äuitftbrudbabier.

»iblictbc! 3«r Sïhifiï.

9k. 80.

9k. 74.

9k. 220.

SÜlnemciuc fôîufiflcljre bon Stebhmt Strebt in Seibsig.

ÜJUtiifalifrijc 21fuftif bon Dr. Star! £. Sdjäfer, Sosent an ber Uuiberfität Berlin. 9ftit 35 2lbbilbungen.

Harmonielehre bon 21. Halm. 9}?it bieleń 9îotenbeilagen.

ÜJiufifalifdjc Formenlehre (Slombofitioullchre) bon Stebhcw Strebt. I. II.

9Jtit bieten 9ktenbeifptelen.

Siontrabunft. Sie Sehre bon ber felbftänbigen Stimmführung bon Stebhcm Strebt in Seibstg-

Fuge. Erläuterung unb 21nlcitung gut föombofition berfelbcn bon Stcbhmt trehl in Seidig.    9k. 418.

Fuftrumentenlehrc bon 99kt|ifbireftor Frau] 9ïïaberhoff in Ehemnih. I: Xeçt,

9k. 437, 438. 9k. 344.

©efri)id)te ber alten uub mittelalterlidjeu 9Jiufif bon Dr. 21. 9Jkhler. 9Jiit

9k. 121, 347.

II : 9î .lenbeifbiele.

SÛktfifâithetiï boit Dr. ®. ©runlïti in Stuttgart.

5al)lreid)en 2lbbilbungen uub 2)htitlbeilagcn. I. II.

9k. 21.

9k. 120.

9k. 149, 150.

9k. 390.

SOiufifgefdjidjte be§ 17. u.l8.Fabrljuubert§ b. Dr. K. ©runSïp i. Stuttgart.9?r.239. — bcë 19. Fahrhunberté bon Dr. K. ©runSïi) in Stuttgart. I. II. SRr. 164,165.

Weitere Bänöe finb in Vorbereitung.

Bibliotticf 511t fiottb* uni) Srotftnmtfdjaft.

9Zr. 455.

Sobenïuitbe bon Dr. $. Sageier in Königsberg i. SSr.

9lr. 232.

Slrfcröau- unb ^flanacnbaulehre bon Dr. $aul Rippert in Berlin unb ©ruft Sangenbecf in Sodium.

Sanbmirtfdjaftlidje Setriebêlehre bon ©rnft Sangenbedf in Sodjum. 97r. 227.

Slllgemetue unb fpcaiclte îieraudjtlchre bon Dr. $aul Rippert in Berlin. 9tr.22S.

Slgrifulturchemie I: Sflanaenernährung bon Dr. Karl ©rauer. 9h. 329.

25a§ agrifulturdjcmifdje Kontrollmcfcn b. Dr. <J5auI Krifihe in ©öttingen. 9tr. 304.

Srlfd^ercl unb Fifdiaudjt bon Dr. Karl ©cfftein, Ijßrof. an ber Forftafabemte ©berSioalbe, SlbteilungSbirtgent Bei ber #auptftation bei forftlichen Ser-fuĄSioefenS.    9h. 159.

Forftmiffcnfchaft bon Dr. Slb.Schlbappadj, $rof. an ber Forftalabem. ©BerStoalbe, SlBteilungSbirigent Bei ber #auptftation b. forftltdjen SerfuĄStbefenS. 9h. 106.

9h. 355.

$ie Wabelhölaer bon $rof. Dr. F- SB. «Reger in $haranbt. TO 85 Slbbil-bungen, 5 2 aB eil en unb 3 Karten.

Weitere T3änbe finb in Vorbereitung.

9h. 115.

Sudjftihrung in einfachen unb boppelten Sofien bon ?J5rof. 9łoBert Stern, Oberlehrer ber öffentlichen ^anbelSIehranftalt unb Posent ber #anbeI§hoch* fchule au Seipaig. TO Formularen.

$eutfche &anbel§forrefponbena bon$rof.$h. be Seauj, Offiaier be rFnftruc-tion Subliciue, Oberlehrer a. ©. an ber öffentlichen #anbel§lehranftalt

unb Seltor an ber #anbeI§bocbfchuIe au Seipatg.

«Rr. 182.

Franaöfifdje $anbel§ïorrcfponbcna bon ißrofeffor %f). be Seauj, Offiaier be I’Fnftructton Sublique, Oberlehrer a. $. an ber öffentlichen £anbetè-Iehranftalt unb Seltor an ber £anbeI§hod)fcbule au Seipaig. SRr. 183.

©nglifdje &anbel§fomfponbcna bon ©. @. SBhitfielb, 2R.-51., Oberlehrer am

King ©btoarb VII ©rammar School in KingS Spnn.

«Rr. 237.

Staticnifdje £anbelêïomfponbena bon Srofeffor Sllberto be Seau£, Oberlehrer am Königlichen Fnftitut SS. Qlnnunaiata au Florena. 9h. 219.

Spanifdje $anbelêîorrefponbena b. Dr. Sïlfrebo 9?abal be TOrieacurrena. «Rr. 295.

«Ruffifdje &anbel§forrefponbena bon Dr. ïh- o. KamrapSIt) in Seipaig. «Rr. 315.

Kaufmänniftheä fRedjnen bon Sßrof. SRicharb Fuft, Oberlehrer,an b. öffentlichen #anbetölehranftalt ber S)reSbener Kaufmannfchaft. 3 Sbe. «Rr. 139,140,187.

SBarenïnnbe bon Dr. Karl #affad, «ßrofeffor an ber SBiener #cmbefêaïabemle. I: Unorganifdje SBaren. TO 40 Slbbilbungen.    «Rr. 222.

— II: Organifdje SBaren. TO 36 Slbbilbungen. ,    5Rr. 223.

îrogcnfunbe bon 9?tch. $orftetbt& in Seipaia unb ©eotg OtterSBadj in Hamburg.    "    9lx. 413.

ÜRafK SRiina» imb ©emidjtêmcfen bon Dr. 8Iug. ©linb, ^rofeffor an ber

$anbefêfdjule in ®öln.

SRr. 283.

2)ûê 2Sed)fclmefen bon fRedjtêantüalt Dr. fRubolf 9Rotbel in Seidig. 5Rr. 103.

Wettere Bänfce finb in Vorbereitung. Siebe auch „Volks* wirtfcbaftlicbe Bibliothek“. €in ausführliches Ver3eicbnts ber aufcerbem im Verlage ber 6. ]. Göfcben’fcben Verlagsbanblung erfebienenen banöelswiffenfcbaftlicben Werke kann bureb iebe Bucbbanblung koftenfrei bejogen werben.

®HIitär= unb inarinctDtffcnfc^afttidje

$a§ ntoberne Selbgefrfnü?. I: 2)ie ©nttoitflung bei $elbgefdjübel feit ©in* ffibrung bei gezogenen Slnfanteriegetoebrl bil einfcbliefelidj ber ©rfinbung bei rancf)Iofen $ulberl, ettoa 1850—1890. b. Oberftleutuant SS. £et)benreicb, Mitärlebrer an ber Mitürtecfen. 2l!abemie in Berlin. SRit 1 Slbbilb. ftr. 306.

—    II: Sie ©nttoicflnng bei heutigen fÇelbgefdbü^eS auf ©runb ber ©rfinbung

«Rr. 307.

bel raucblofen fßulberl, ettoa 1890 bil jur ©egemoart, bon Oberftleutnant SS. #ebbenreicf), Mitärleljrer an ber SRiUtärtecbn. Slfabemie in öerlin. SRit 11 Slbbübungen.

Sie ntobernen ©eftfeiUje ber Sfufeartincrie. I: SSom Auftreten ber gezogenen ©efebübe bil aur SSerioenbung bei raudf)fd)toad)en SMberl 1850—1890 bon 9Rutnmenboff, 9Rajor beim (Stabe bel 3rufeartillerie=9îeglmentl, ©eneral* felbaeugmeifter (SBranbenburgifcbel SRr. 3). 9Rit 50 Xejtbilbern. 9^r. 334.

—    II: Sie ©ntmicflung ber heutigen ©efĄfibe ber fÇu&artilleric feit ©inffibrurtg

bel raucbfcbtuacben $ulberl 1890 bil aur ©egemoart. 2Rlt 33 Seftbilbern.

<Rr. 362.

SRr. 366.

Sie ©ntmitffung ber £anbfeuertoaffen feit ber ïRitte bei 19. ^abrbunbertl unb i^r heutiger ©taub bon ©. SSraobef, Oberleutnant im 3nf.=fRegt. Freiherr piller bon ©ärtringen (4. fßofenfdbel) 5Rr. 59 unb Slffiftent ber Stönigl. ©e* tuebrbrfifunglfommiffion. SRit 21 Slbbilbungen.

Sie ©ntmirflung bei Śtrieglfrfeiffbauel bom SHtertum bil aur S^euseit. I. Seil: Sal Zeitalter ber fRuberfcbiffe unb ber ©egelfcbiffe für bie Ärieglfübrung sur ©ee bom Slltertum bil 1840. SBon Siarb ©ebrnara, ©eb. SRarinebaurat u. ©cfeiffbau*Sire!tor. 9Rit 32 Sfbbilbungen. $Rr. 471. SRilitftrftrafredjt bon Dr. 9Ra£ ©rnft SRaber, $rof. an ber Uuiberfität ©träfe*

bürg i. ©. 2 S3anbe.

«Rr. 371, 372.

ÜRr. 401.

Seutftbe SSeferberfaffuitg bon ®art ©ubrel, ßrieglgeridjtlrat bei bem ©eneral* ïommanbo bei ßgl. babr. n. Slrmeelorpl in SSüraburg.

Sie ©eemwfet tu ber beutfdjen ©cfifeirfjte bon SSirH. SIbmiralitätlrat Dr. ©rnft bon #alle, f|3rof. au ber Uniberfität S3erlin. •    5Rr. 370.

6-96

22

01

SBerfdjtebenes.

2$ibJiotI)cïs= uitî) 3«WM«9stJ)cfen.

Solfêbibliotbelen (Sficher* unb Seiehalten), ihre Einrichtung unb Sertoaltung bon Emit 3aefcf)!e, ©tabtbibliottjetar in Elberfetb.    Ar. 332.

$a§ bcutfctyc 3cituug3n>efeit b. Dr. Robert Srunbuber in Stöln a. Ah- Ar. ±00. $a§ mobcrnc 3citung3mefcn (©bftem ber 3citung§Iehre) bon Dr. Aobert Sruntjuber in Stöln a. At).    Ar. ³²°-

Ar. 351.

Allgemeine ©cf Richte bc§ 3cituug§wefcn§ bon Dr. Submig ©atomon in 3ena.

$t)gtene, aReî>t5ttt unb ^armaste.

Ernährung unb Aafjrungêmittcl bon Dberftablarst $rof. Dr. Sifchoff in Sertin. 9Ait 4 Figuren.

23cu»egmtg§fbiele bon Dr. GL Stohlraufd), $rof. am Stgt. Staifer SSilhetmS* ©hmnafium 31t £annober. AMt 15 Abbitbungen.    Ar. 96.

$er menfdjlidje Stößer, fein Sau unb feine Sâtigïeitcn, bon E. Aebmann, Oberfd)uIrat in StarBrutje. SCRit ©efunbheitdehre bon Dr. med. £. ©eiler. 9Ait 47 Abbitbungen unb 1 Xafet.    gffr. 18.

2>ie 3nfe!tion‘3ïranît)citcn unb ihre Scrtjiitung bon ©tab»arst Dr. A3. £off* mann in Serlin. 9Ait 12 bom Serfafter geâeidjneien Abbilbuitgen unb

Ar. 327.

ïrobeitlidgicne bon 9Aeb.*Aat ?ï?rof. Dr. Aod)t, 2)ireItor beâ ^nftituteâ für ©d)iff3* u. Xrobenïranïbeiten in Hamburg.

$ie &tjgicuc bcê ©tâbtebauê bon $. Ehr. Aufcbaum, «JSrof. an ber Secïjn.

£ochfchuIe in £annober. ÜAit 30 Abbitbungen.

$ie &ugienc be§ Sfôohnnng§mefen§ bon $. Ehr. Aujjbaum, tßrof. an ber Sedjn. ^odhfchule in $aunober. 5CRit 20 Abbilbungeit.

©cmerbchhgicne bon ©et). ÎAebiàinatrat Dr. Aotï) in $ot§bam. ^horntafoguofie. Son Apotheïer fÇ. ©cïjmitthenner, Aftiftent am Sotan.

Snftitnt ber ïechnifchen £ochfchute Starfêruhe.

2>rogcn!unbe bon Aidj. SJorftemih in Seidig u. ©eorg Ottersbad) in Hamburg.

Ar. 413.

einer fÇiebertafet.

Ar. 464.

Ar. 369.

Ar. 348.

Ar. 363.

Ar. 350.

Ar. 251.

Photographie.

$ic t^hoiograbhie. Son $. Stehler, Srof. an ber f. f. ©rabhifdjen Seïjr* unb Serfud)3anftalt in SBien. AUt 4 Saf. unb 52 Abbitb.    9fa. 94.

Sténographié.

Stenografie nach bent ©hftem bon $. X. ©abefêberger bon Dr. Albert ©chramm, Sanbe§amt3ai)effor in S)reêben.    Ar. 246.

Ar. 368.

©tubienrat be§ Stabettenlorf in Scnlberg.

$ie Acbcfrfjrift be§ QiabdSbcrgcrfcbeu Sbftcnrê bon Dr. Atbert ©chramm, Sanbeèamtâaiîeiîor in 2>re§ben. fiebrburb ber Sereinfachtcu 2>cutfd)eu Stenograf ie (Einig.*©t)ftem ©toise* ©ehret)) nebft ©c^tüffet, Sefeftüden unb einem Anhang bon Dr. Amfel,

Ar. 86.

Weiteret3änbeöieferein3elnen Abteilungen finb in Vorbereitung.

1-301645

Biblioteka Politechniki Ktakowskiej

100000296072