WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Der Theodolit. Trigonometrische und barometrische Höhenmessung Tachymetrie

Von

P. Werkmeister

Mit 109 Abbildungen

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Biblioteka Politechniki Krakowskie)

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Mathematische Bibliothek aus der Sammlung Göschen Jeder Band in Leinwand gebunden 90 Pfennig

Geschichte der Mathematik von Professor Dr. A. Sturm.

Nr. 226.

Arithmetik u. Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert. Nr. 47.

Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von

Professor Dr. Hermann Schubert.    Nr. 48.

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Höhere Analysis II: Integralrechnung mit 89 Figuren von Professor Dr. Friedrich Junker.    Nr. 88.

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zur analytischen Geometrie der

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Ebene mit 32 Figuren von Professor 0. Th. Bürklen.

Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Abbildungen von Professor Dr. M. Simon.    Nr. 89.

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Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie mit

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Funktionentheorie von Professor Dr. Konrad Knopp I: Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen. Mit 9 Figuren.    Nr. 668.

--IIi Anwendungen der Theorie zur Untersuchung spezieller analytischer Funktionen. Mit 10 Figuren.    Nr. 70.3.

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Vermessungskunde

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Der Theodolit. Trigonometrische u. barometrische Höhenmessung. Tachym itrie

Von

Dr.-Ing. P. Werkmeister

Oberlehrer an der Kaiserl. Technischen Schule in Straßburg i. E.

Mit 109 Abbildungen

Neudruck

Berlin und Leipzig

G. J. Göschen'sche Verlagshandlung G m. b. H. 1916

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten

CD

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Druck der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig

Inhaltsverzeichnis.

I. Abschnitt.

Horizontal- oder Lagemessungen.

1.    Kapitel. Der Theodolit und seine Verwendung zum Messen

von Horizontalwinkeln...................

§ 1. Der Bau des Theodolits...............

§ 2. Untersuchung und Berichtigung des Theodolits.....

§ 3. Winkelmessung ...................

2.    Kapitel. Polygonometrische Punktbestimmung......

§ 4. Allgemeines über Polygonzüge.............

§ 5. Messung von Polygonzügen..............

§ 6. Berechnung von Polygonzügen............

3.    Kapitel. Trigonometrische Punktbestimmung.......

§ 7. Selbständige Triangulierung..............

§ 8. Übersicht über eine Landesvermessung.........

§ 9. Kleintriangulierung..................

§ 10. Einfacher Vorwärtseinschnitt.............

§ 11. Einfacher Rückwärtseinschnitt.............

§ 12. Über^die Zentrierung der Standpunkte und Zielpunkte .    93

4.    Kapitel. Absteckungsarbeiten...............

§ 13. Die Übertragung von Entwürfen ins Feld .......

§ 14. Die Absteckung von Geraden mit Hilfe des Theodolits . .    09

§ 15. Die Absteckung von beliebig großen Winkeln § 16. Abstecken von Kreisbögen........

Seite

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II. Abschnitt.

Vertikal- oder Höhenmessungeil.

5. Kapitel. Trigonometrische Höhenmessung.........

§ 17. Höhenwinkelmessung.................

§ 18. Trigonometrische Höhenbestimmung auf kleinere Entfernungen .............. ........

§ 19. Trigonometrische Höhenbestimmung auf größere Entfernungen .............. ........

113

114

123

129

Seite

137

6. Kapitel. Barometrische Höhenmessung . /........

§ 20. Quecksilberbarometer.................

§ 21. Feder* oder Dosenbarometer (Aneroide)........

§ 22. Die barometrische Höhenformel und die Berechnung barometrisch gemesseneriHöhenunterschiede........

§ 23. Ausführung von barometrischen Höhenmessungen ....    155

137

142

148

DI. Abschnitt.

Tachymetrische Messungen.

7. Kapitel. Der Okularfadenentfemungsmesser.......

§ 24. Der Fadenentfemungsmesser.............

§ 25. Bestimmung der Konstanten eines entfernungmessenden

Fernrohres......................

§ 26. Verwendung des Fadenentfemungsmessers bei nichthorizontalen Zielungen...................

161

162

165

167

8. Kapitel. Ausführung von tachymetrischen Messungen . .    170

§ 27. Theodolittachymetrie . . .

§ 28. Meßtischtachymetrie . . .

§ 29. Phototachymetrie ....

§ 80. Topographische Aufnahmen

170

174

177

I. Abschnitt.

Horizontal- oder Lagemessungen.

Nachdem in Band I der Vermessungskunde die Aufnahme von kleineren Lageplänen oder einzelnen Grundstücken, die sog. Stückvermessung, besprochen wurde, sollen jetzt diejenigen Arbeiten beschrieben werden, die bei der Aufnahme größerer Lagepläne und der Ausführung von Absteckungen verschiedener Art vorzunehmen sind.

1. Kapitel.

Der Theodolit und seine Verwendung zum Messen von Horizontalwinkeln.

Die Aufnahme größerer Lagepläne und auch gewisse Absteckungsarbeiten können im allgemeinen nicht mehr nur unter Verwendung der Instrumente zum Abstecken von Winkeln von 90 und 180° ausgeführt werden; man hat vielmehr noch ein Instrument nötig, mit dessen Hilfe Winkel von beliebiger Größe gemessen bzw. abgesteckt werden können; das wichtigste hierbei in Betracht kommende Instrument ist der Theodolit.

§ 1. Der Bau des Theodolits.

Wie das Nivellierinstrument, besteht der Theodolit aus zwei Hauptteilen, dem Stativ¹) und dem eigent-

1) Siehe Band I, 5 20.

liehen Instrument; an letzterem kann man zwischen Unter- und Oberbau unterscheiden (Fig. 1).

1. Das Instrument im allgemeinen.

Der Unterbau endigt nach unten in die Fuß- oder Stellschrauben A, deren es beim Theodolit meistens

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fei

Oberbau

Unterbau

g-Big

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Fig. 1.

drei sind; nach oben erweitert er sich zum Limbus B, der den Teilkreis oder Horizontalkreis¹) trägt. Beim einfachen Theodolit (Fig. la) ist der Limbus und damit der Teilkreis mit dem ganzen Unterbau fest verbunden; beim Repetitionstheodolit (Fig. lb) dagegen läßt sich der Limbus um seine vertikale Achse UU im Unterbau drehen.

Der Oberbau, der im Limbus drehbar auf den Unterbau aufgesetzt ist, besteht aus der Alhidade C mit den zum Ablesen am Teilkreis nötigen Vorrichtungen, den Fernrohrträgern Z>, der Kippachse E und dem Fernrohr F.

Um dem Instrument mit Hilfe der Fußschrauben eine bestimmte Stellung geben zu können, ist es mit einer Libelle (Röhrenlibelle) versehen, die in der Hauptsache auf zweierlei Arten an dem Oberbau angebracht werden kann; entweder ist sie mit der Alhidade fest verbunden und dann an dieser oder dem Fernrohrträger (G in Fig. 1 a) befestigt, oder sie ist in Form einer Reiterlibelle H auf die Kippachse aufgesetzt (Fig. lb) und kann von dieser abgenommen werden; für die Zwecke der Feldmessung ist die erstere Anordnung die gebräuchlichere. Vorteilhaft ist es, wenn das Instrument für den Zweck der ersten, genäherten Einstellung noch mit einer Dosenlibelle¹) M versehen ist.

Die Befestigung des Instruments auf dem Stativ wird beim Theodolit in derselben Weise²) wie beim Nivellierinstrument vorgenommen.

Die Verbindung zwischen Unterbau und Oberbau zeigen die Fig. 2; beim einfachen Theodolit (Fig. 2 a) sitzt in dem als Büchse ausgebildeten Teil A des Unterbaus der zapfenartige Ansatz B des Oberbaus (der Alhidade), der an seinem unteren Ende durch die Plattfeder C entlastet wird. Beim Repetitionstheodolit (Fig. 2 b) ist der in der Büchse A sitzende, durch die Plattfeder C entlastete Zapfen des Limbus B

!) Bei kleineren Instrumenten genügt vielfach eine Dosenlibelle allein

*) Siehe Band I, § 20.

selbst wieder als Büchse ausgebildet, die den durch die Plattfeder E entlasteten Alhidadenzapfen D aufzunehmen hat. Um die Alhidade gegenüber dem Limbus, und beim Repetitionstheodolit den Limbus gegenüber den übrigen Teilen des Unterbaus in irgend einer Stellung festhalten zu können, sind die Alhidade, bzw. die Alhidade und der Limbus mit Bremsvorrichtungen versehen, wie sie in Fig. 3 für einen Repetitionstheodolit gezeichnet sind; die Wirkungsweise ist die folgende:

Cl

~b

]i

MÜ

-^4

CJ

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Fig. 2.

Durch Andrücken des Bremsklotzes

gegen den

Limbus B mit Hilfe der Schraube {?} wird

(Unterbau Dl    [dieAlhidade//

gegenüber dem < Lim^us ß r festgehalten; die Mikro-

|j| ermöglicht | um kleine Beträge.

des

meterschraube Limbus B Alhidade H

noch Drehungen j^er

Zur Aufnahme der Kreisteilung ist der Limbus meistens mit einem Silberstreifen versehen, der bei F in den eben oder konisch abgedrehten Limbus (Fig. 2 a und 2 b) eingelassen ist. Zum Schutz gegen Beschädigungen ist der Teilkreis durch ein mit der Alhidade verbun- . denes, für die Ab-lesevorrichtungen ausgeschnittenes Verdeck versehen.    Ë

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Die Teilungen werden mit Hilfe von besonders einge-    ^

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richteten Kreisteilmaschinen her gestellt. Der zwei aufeinanderfolgenden Teilstrichen entsprechende Winkel-wert, die Teilungs-einheit, ist bei verschiedenen Instru

Fig. 3.

menten verschieden; er ist außer vom Durchmesser des Teilkreises von der Art der Ablesevorrichtung abhängig; bei den für Feldmeßzwecke bestimmten Instrumenten kommen die Werte 1°, ¹L°, Vs⁰. V₆° und Vi2°. bzw. le, ¹/₂«, i/₄g und V₅g vor. Die Richtung der Bezifferung der Teilung folgt meistens dem Uhrzeiger.

Um eine bestimmte Lage der Alhidade zum Limbus festlegen zu können, ist die erstere mit einem Strich (Zeiger, Marke oder Index) versehen, durch den am Teilkreis eine gewisse Ablesung bestimmt ist; die Ablesung kann im einfachsten Fall durch Abschätzen zwischen den beiden nächstliegenden Teilkreisstrichen oder — und dies ist meistens der Fall — mit Hilfe von besonderen Ablesevorrichtungen gemacht werden, die die Ablesung in Teilen der Teilungseinheit zu machen erlauben.

2. Die Ablesevorrichtungen.

Die wichtigsten Ablese Vorrichtungen sind der Nonius und das Ablesemikroskop; bei letzterem unterscheidet man zwischen dem Strichmikroskop, dem Skalenmikroskop und dem — nur an Instrumenten für feinere Messungen angebrachten — Schraubenmikroskop. Zur Unschädlichmachung von gewissen Instrumentalfehlern und zur Verschärfung der Messung wird der Theodolit mit je zwei Ablesevorrichtungen versehen, die einander diametral gegenüberstehen.

a) Der Nonius

ist eine besondere, auf der Alhidade angebrachte, an der Ablesemarke (Nullmarke) beginnende und in der Richtung der Bezifferung des Teilkreises gehende Hilfsteilung, die derart eingerichtet ist, daß n ihrer Teile n — 1 Teile der Hauptteilung entsprechen. Bezeichnet man die Teilungseinheit des Limbus mit L und diejenige des Nonius mit N, so erhält man für ihren Unterschied:

l-n=l

Diesen Unterschied a—L — N bezeichnet man als die Angabe des Nonius. Fallen demnach irgend zwei Striche von Limbus und Nonius zusammen (Fig. 4), so ist der Unterschied zwischen den beiden nächstliegenden Limbus-

Fig. 5.

Fig. 5 zeigt (in halber Größe) eine einfache Längenteilung mit der Teilungseinheit 1 cm; 9 Teilen der Hauptteilung entsprechen 10 Noniusteile, so daß die Angabe des Nonius !/₁₀ cm = 1 mm beträgt. Die gesamte Ablesung setzt sich zusammen aus:

0,6 „ ,

bzw. Noniusstrichen gleich a, zwischen den beiden übernächsten gleich 2 a usw. Die Striche eines Nonius sind vom Nullstrich aus nach Vielfachen von a beziffert, so daß die an einem Noniusstrich angeschriebene Zahl bei seinem Zusammenfallen mit einem Limbusstrich den Unterschied zwischen dem Noniusnullstrich und dem diesem vorhergehenden Limbusstrich angibt.

lliLfsteilung (Nonius)

6a Sa/

3a Za

-r-a

llaziptteUwng

(Jji/fobuê)

TTTP^l

ft- ZjCl 3a/

JUxÂàcng derJtezifferuny

Fig. 4.

Um mit Hilfe eines Nonius eine Ablesung zu machen, liest man zunächst diejenige Zahl ab, mit welcher der letzte Limbusstrich vor dem Noniusnullstrich beziffert ist; sodann sucht man denjenigen Noniusstrich auf, der mit einem Limbusstrich zusammenfällt, und addiert die an ihm angeschriebene Zahl zu der zuerst abgelesenen.

_nM

0,5

40

33

30

Ablesung an der Hauptteilung 32 cm + Ablesung am Nonius

sie ist also bei dejn gezeichneten Beispiel 32,6 cm.

In Fig. 6 ist eine Kreisteilung gezeichnet, bei der die Teilungseinheit des Limbus ¹/₂°= 30' ist; der Nonius hat 15 Teile, denen 14 Limbusteile entsprechen, so daß seine

Angabe — = 2' ist. Für die in der Figur angegebene Stellung

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57° 00'

12'

zwischen Limbus und Nonius liest man am Limbus am Nonius

also zusammen 57° 12' ab. Die Angabe eines Nonius darf nicht zu klein gewählt werden, da sonst der Fall eintreten kann, daß nicht nur ein Noniusstrich, sondern mehrere mit Strichen der Hauptteilung zusammenfallen; an Stelle einer Ablesung erhält man dann mehrere, so daß die mit

30

zo

10

50

Fig. 6.

dem Nonius beabsichtigte Feinheit in der Ablesung nur eine scheinbare ist und diese nur unnötig erschwert wird. Ist die Angabe des Nonius zu groß gewählt, so wird häufig der Fall eintreten, daß gar kein Noniusstrich mit einem Limbusstrich zusammenfällt; obwohl dies bei der Ablesung weniger unangenehm empfunden wird, so wird man doch solche Fälle durch einen passend gewählten Nonius zu vermeiden suchen. Auch bei gut gewählten Noniusteilungen kann es gelegentlich Vorkommen, daß kein Noniusstrich genau mit einem Limbusstrich zusammenfällt; die betreffende Ablesung erhält man dann dadurch, daß man diejenigen beiden Noniusstriche aufsucht, die am besten mit Limbusstrichen zusammenfallen, und die zwischen beiden liegende Ablesung annimmt.

Um eine möglichst gute Ablesung am Nonius zu erhalten, vergleicht man stets die gegenseitige Stellung der rechts und links von den zusammenfallenden Strichen liegenden Strichpaare; um dies auch in solchen Fällen vornehmen zu können, in denen einer der ersten oder letzten Noniusstriche zusammenfällt, wird meistens die Noniusteilung nach rechts und links in einer „Überteilung“ (Fig. 5 und 6) durch einige Striche fortgesetzt.

Um die Ablesungen an Limbus und Nonius bequem vornehmen zu können, ist am Instrument eine Lupe an-

gebracht, die sich konzentrisch zu den Nonien vor diesen verschieben läßt.

Die Teilungseinheit des Limbus und die Angabe des Nonius stehen unter sich und mit dem Durchmesser des Teilkreises in einem gewissen Zusammenhang; in der nachstehenden Tabelle sind die bei Feldmeßtheodoliten üblichen Verhältnisse angegeben:

1.    Bei Einteilung des Vollkreises in 360 Grad.

(Alte Teilung.)

Kreisdurchmesser 20 cm 17 cm 15 cm 12 cm 10 cm 8 cm Limbuseinheit Noniusangabe

2.    Bei Einteilung des Vollkreises in 400 Grad.

(Neue Teilung.)

Kreisdurchmesser 20 cm 17 cm 15 cm 12 cm 10 cm 8 cm Limbuseinheit Noniusangabe

v₆° v₆°

10" 10"

V.°

20"

Vs⁰

20"

V2⁰

60"

V2⁰

60"

V₄g    i/₄g    i/ag    i/₂g    1/2 g    1/28

25"    50"    1'    1'    1'    1'

b) Das Mikroskop,

das sich auf verschiedene Weise zum Ablesen an Teilungen ausbilden läßt, ist in der Hauptsache ein Fernrohr, bei dem die Objektivlinse eine geringe Brennweite besitzt; es dient — im Gegensatz zum Fernrohr — zum Betrachten von nah gelegenen Gegenständen, im vorliegenden Fall der Kreisteilung. Um Ablesungen mit Hilfe des Mikroskops ausführen zu können, muß es — ähnlich wie das Fernrohr mit einem Fadenkreuz — mit einer Ablesemarke versehen sein, deren Abstand von dem vorhergehenden Limbusstrich beim Strichmikroskop geschätzt, beim Skalenmikroskop mit Hilfe einer besonderen Teilung (Skala) und beim Schraubenmikroskop mit Hilfe einer feinen Meßschraube gemessen wird. Das Ablesemikroskop ist ähnlich wie der Nonius mit dem Oberteil des Instruments, also entweder mit der Alhidade oder den Fernrohrträgern fest verbunden, so daß es mit diesen gegen den Limbus (die Teilung) gedreht werden kann. Bei einem gut gebauten Instrument wird bei der Drehung des Oberbaues der Abstand zwischen Mikroskop und Teilung sich gleich bleiben, so daß hier bei der Benützung die Entfernung des zu betrachtenden Gegenstands nicht wie beim Fernrohr fortwährend wechselt, und damit eine Neueinsteilung erforderlich ist, sondern eine Einstellung für längere Zeit ausreicht.

Während bei Anwendung von Nonienablesung nicht jeder einzelne Limbusstrich beziffert ist, sondern nur in Abständen von 5 oder 10 Grad die betreffenden Ziffern angeschrieben sind, muß bei Verwendung von Mikroskopen mit Rücksicht auf ihr kleines Gesichtsfeld jeder einzelne Gradstrich mit der ihm zukommenden Zahl voll beziffert sein.

a) Das Strichmikroskop.

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In bezug auf die Einfachheit bei der Ablesung nimmt unter sämtlichen Ablesevorrichtungen das Strichmikroskop den ersten Platz ein; es besteht aus einem gewöhnlichen, z. B. mit Ramsdenschem Okular versehenen Mikroskop (Fig. 7), das eine Ablesemarke, die ähnlich wie das Fadenkreuz des Fernrohrs auf einem Blendring B (Dia-CjL phragma) in Form eines Spinnen-%uF fadens oder eines auf einem Glas-Jj    plättchen eingravierten Striches

ff    angebracht ist, besitzt. Um die

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Fig. 7.

fj) Ablesemarke in die mit dem Beobachter wechselnde deutliche Sehweite bringen oder einstellen zu können, ist das Okular C für sich in der eigentlichen Mikroskopröhre F verschiebbar; diese selbst läßt sich in einer Röhre D zwecks Einstellung der Teilung A gegen diese verschieben. Die Röhre D ist mit der Alhidade oder mit dem Fernrohrträger in fester Verbindung. Bequem, aber nicht notwendig ist es, wenn das Diaphragma in derselben Weise wie beim Fernrohr mit Berichtigungsschrauben E versehen ist, mit deren Hilfe die Ablesemarke sich längs oder quer zur Teilung um kleine Beträge verschieben läßt.

Die Einstellung des Mikroskops wird derart ausgeführt, daß zunächst der Ablesestrich durch Verschieben des Okulars G in der Mikroskopröhre F in deutliche Sehweite gebracht wird; hierauf wird die Teilung A eingestellt, indem man das ganze Mikroskop in der Röhre D entsprechend verschiebt; endlich wird die Mikroskopröhre F in der Fassungsröhre D so gedreht, daß die Strichmarke parallel zu den Strichen der Teilung erscheint. Okular und Mikroskop lassen sich in den so'ermittelten Stellungen mit Hilfe von Schrauben festhalten. Sind von einem Beobachter Ablesemarke und Teilung scharf eingestellt, so daß keine Parallaxe stattfindet, und soll das Mikroskop von einem anderen Beobachter mit anderer deutlicher Sehweite benützt werden, so hat dieser nur das Okular gegenüber der Strichmarke zu verschieben, um zu gleicher Zeit ein scharfes Bild der Marke und der Teilung zu erhalten. An Stelle der im vorstehenden angegebenen Vorrichtungen, die das Einstellen der Teilung ermöglichen, sind auch noch andere denkbar; z. B. könnte man (Fig. 8) die Mikroskopröhre A mit dem Instrumentenoberbau fest verbinden, und würde dann entweder die Objektivlinse B in der Röhre A verschiebbar anbringen (Fig. 8 a), oder man würde — wie beim Fernrohr — das Diaphragma C gegen das Objektiv B verschiebbar einrichten (Fig. 8 b).

b.

Fig. 8.

Die Ablesung mit Hilfe des Strichmikroskops wird derart vorgenommen, daß man den Wert des der Marke vorangehenden Teilungsstriches mit Hilfe der — mit Rücksicht auf das kleine Gesichtsfeld des Mikroskops für jeden Gradstrich angeschriebenen — Bezifferung bestimmt und die Entfernung der Marke von jenem Strich zwischen diesem und dem folgenden schätzt.

Mit Strichmikroskopen abzulesende Kreisteilungen werden gewöhnlich derart ausgeführt, daß bei Einteilung des rechten Winkels in 90 Grad die Teilungseinheit ¹/₆ Grad oder 10 Minuten und bei Einteilung des rechten Winkels in 100 Grad die Teilungseinheit ¹/₆ Grad oder 20 Minuten beträgt, so daß man durch Schätzung die Ablesung auf einzelne bzw. doppelte Minuten machen kann. Fig.' 9 zeigt das Gesichtsfeld eines Strichmikroskops in scheinbarer Größe; die Ablesung an der in alter Teilung (Teilungseinheit ¹/₆ Grad) ausgeführten Kreisteilung ist 36° 46'.

Das Strichmikroskop kommt zunächst für solche Instrumente in Betracht, die zu Messungen verwendet werden, bei denen eine Genauigkeit von 1' bzw. 2' im Winkel genügt; bei solchen Instrumenten verdient es jedoch mit Rücksicht auf die einfache und bequeme Ablesung den Vorzug vor den anderen Hilfsmitteln zum Ablesen an Teilungen.

Das Strichmikroskop liegt in bezug auf seine Vergrößerung¹), die ungefähr eine 15—20 fache ist, zwischen der beim Nonius angewandten Lupe und dem Skalen- bzw. Schraubenmikroskop; es wird deshalb auch als Mikroskoplupe bezeichnet.

ß) Das Skalenmikroskop

ist ein Mikroskop mit 40—60fâcher Vergrößerung, bei dem auf dem Diaphragma ein sog. Glasmikrometer angebracht ist, das aus einer auf einem Glasplättchen angegebenen, der abzulesenden Kreisteilung ahgepaßten und dieser entgegen bezifferten Teilung (Skala) besteht. Die mikrometrische Teilung wird gewöhnlich derart ausgeführt, daß — im Mikroskop gesehen — der Abstand zwischen ihrem Anfangs-strich (der eigentlichen Ablesemarke) und ihrem Endstrich der Einheit der Limbusteilung entspricht, und daß dieser Abstand in zehn gleiche Teile geteilt ist.

Fig. 10 zeigt das Gesichtsfeld eines Skalenmikroskopes, das zum Ablesen an einer Limbusteilung mit der Einteilung in ¹/₃ Grade eingerichtet ist; zehn Mikrometerteile entsprechen 20 Minuten und ein Mikrometerteil entspricht 2 Minuten, so daß man unmittelbar die Ablesung auf 2 Minuten und durch Schätzung auf ²/₁₀ Minuten oder 12 Sekunden machen kann, die Angabe des Mikroskops also 12 Sekunden ist. Die Ablesung¹) bei der in der Figur angegebenen gegenseitigen Stellung zwischen Kreisteilung und Mikroskop ist 2° 49',2 oder 2° 49' 12". Beim Skalenmikroskop werden füi die einzelnen Gradstriche meist nur die Einer der Gradzahlen in einer für die Vergrößerung durch das Mikroskop bequemen Größe angegeben, während die vollen Zahlen von 10 zu 10 Grad für das unbewaffnete Auge genügend groß angegeben werden.

37

INI

10 0

Fig. 9.

Fig. 10.

Zu der beim Strichmikroskop beschriebenen Arbeit des Einstellens von Strich bzw. Skala und Teilung kommt beim Skalenmikroskop noch eine weitere, das „Abstimmen“ des Mikroskops auf die Teilung, hinzu; man hat nämlich dafür zu sorgen, daß — im Mikroskop gesehen — der Abstand s (Fig. 11a) zwischen Anfangs- und Endstrich der Skala mit der Einheit l der Limbusteilung genau übereinstimmt. Das Abstimmen wird am besten durch Versuche derart vorgenommen, daß man zuerst die Skala scharf einstellt, indem man das Okular A (Fig. 12) in der Mikroskopröhre B entsprechend verschiebt; hierauf erfolgt die Einstellung der Teilung, indem man das ganze Mikroskop in der Fassungsröhre G nach Bedarf verschiebt und zugleich das Mikroskop so dreht, daß die Skalenstriche parallel den Teilungsstrichen erscheinen. Stimmt in der so bewirkten Stellung die Skala s

¹) Zur Verschärfung der Ablesung werden meistens bei Verwendung von Skalen- und Schraubenmikroskopen die Striche der Hauptteilung in eine Spitze ausgezogen, an der die Ablesung bzw. Schätzung gemacht wird.

Werkmeister, Vermessungskunde II.

mit einem Limbusteil l (Fig. 11b und c) nicht überein¹), so muß man, wenn die Skala s

{größer} als die Teilungs-

c.

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<&>

1/

Fig. 11.

einheit l erscheint, das Mikroskopobjektiv in der Richtung

} verschieben; zu diesem Zweck ist das Objektiv 1 ei un§J    jn einer Röhre D gefaßt, die sich

zur

Bi

*1)

in der Hauptröhre B verschieben läßt. Nach einer Verschiebung des Objektivs muß die Teilung durch Verschieben des ganzen Mikroskops wieder neu eingestellt und der Vorgang so lange wiederholt werden, bis die Entfernung s der beiden äußersten Skalenstriche mit der Einheit der Limbusteilung scharf übereinstimmt.

Fig. 12.

Das Diaphragma wird beim Skalenmikroskop meistens fest in der Mikroskopröhre angebracht; um trotzdem den Nullstrich der Skala um kleinere Beträge in der Richtung der

*) Die Einstellung des Anfangsstrichs der Skala auf irgend einen Strich der Teilung wird mit Hilfe eines Mikrometerwerks (Fig. 3) bewirkt.

Kreisteilung verschieben zu können (was für gewisse Zwecke erwünscht ist), ist der Mikroskopträger E am Fernrohr -träger F so befestigt, daß er sich um kleine Beträge verschieben läßt.

Die nachstehende Tabelle enthält die bei Feldmeßtheodoliten üblichen Verhältnisse zwischen Durchmesser des Teilkreises, Wert der Limbuseinheit und Angabe des Mikroskops:

1. Bei Einteilung des Vollkreises in 360 Grad. (Alte Teilung.)

Kreisdurchmesser Limbuseinheit . . Mikroskopangabe

16—20 cm

V«°'

6"

10—12 cm

v₃°

12"

2. Bei Einteilung des Vollkreises in 400 Grad. (Neue Teilung.)

Kreisdurchmesser . Limbuseinheit . . . Mikroskopangabe .

17—20 cm    10—15 cm

Vs«

20"

V2g

50"

y) Das Schraubenmikroskop.

Beim Schraubenmikroskop, das nur bei Instrumenten für feinere Messungen Verwendung findet, tritt an die Stelle des Glasmikrometers ein Faden- oder Schraubenmikrometer. Das Fadenmikrometer (Fig. 13) besteht aus zwei parallelen, auf einem Schlitten B befestigten Spinnenfäden A; die Vorwärtsbewegung des Schlittens und damit der Fäden innerhalb des mit dem Mikroskop fest verbundenen Rahmens C wird mit Hilfe einer feingeschnittenen Schraube D ausgeführt. Die Schraube D ist mit einer Trommel E versehen, die eine der Teilungseinheit des Limbus entsprechende Teilung trägt. Bei einer bestimmten Entfernung des Mikroskopobjektivs von der Limbusteilung wird durch z. B. eine Schraubenumdrehung der Doppelfaden um die Teilungseinheit vorwärts bewegt; beträgt diese z. B. ¹/₁₂° = 5', und ist die Trommel in 60 Teile eingeteilt, so kann man an dieser unmittelbar auf 5" und durch Schätzung auf 0,5" ablesen. Die Nullmarke des Mikroskops, deren Abstand von dem ihr vorangehenden Limbus-strich mit Hilfe des Doppelfadens und der Schraube gemessen wird, ist z. B. durch ein rundes Loch F in der Deckplatte G

2*

bestimmt. 'Beim Schraubenmikroskop sind meistens Rah-C, Mikroskop, Mikroskop- und Fernrohrträger fest untereinander verbunden, um trotzdem die Nullmarke F kleine Beträge in der Richtung der Teilung verschieben zu können, läßt sich die Deckplatte G und damit die Nullmarke F mit Hilfe der Schraube H, der die Plattfeder J entgegenwirkt, im Rahmen G vorwärtsbewegen. Da die Trommelablesung bei Einstellung der Fäden auf die Marke F genähert gleich 0 sein soll, so ist, um dies nach einer Verschiebung F wieder erreichen zu können, die Trommel E auf ihrer Achse drehbar angebracht.

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von

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V7/7/7777///

Fig. 13.

Die Ablesung mit Hilfe des Schraubenmikroskops wird derart ausgeführt, daß auf Grund der — ebenfalls in möglichst kleinen Abständen ausgeführten — Teilungsbezifferung der Wert des der Nullmarke vorangehenden Striches bestimmt, und der gegenseitige Abstand mittels der Schraube dadurch gemessen wird, daß man den betreffenden Strich zwischen

den beiden Fäden (Fig. 14) scharf einstellt und an der Schraubentrommel die Ablesung an dem Zeiger K macht.

Die Abstimmung des Schraubenmikroskops wird in ähnlicher Weise wie diejenige des Skalenmikroskops ausgeführt.

Einige bei der Ablesung mit ! Schraubenmikroskopen gebrauch- i liehe Verhältnisse zwischen Kreis- V durchmesser, Teilungseinheit des ^

Limbus und Mikroskopangabe sind für alte Teilung die folgenden:

Kreisdurchmesser . . 25—30 cm    15—20 cm

Limbuseinheit . . .

Mikroskopangabe . .

3. Die Kippachse und das Fernrohr

sind fest miteinander verbunden ; die erstere ruht mit ihren Enden in den Fernrohrträgern (Fig. 15) so, daß sie sich samt dem Fernrohr um ihre horizontale Achse drehen läßt. Der eine der beiden Fernrohrträger (Fi-, gur 15) ist auf geschnitten, so daß mit Hilfe der Schraube B das eine Ende der Kippachse um kleine Beträge gehoben oder gesenkt werden kann. Das Fernrohr ist entweder in der Mitte (zentrisch) oder an ein em der beiden Enden (exzentrisch) der Kippachse angebracht (Fig. 16a und 16b).

Läßt sich das Fernrohr mit der Kippachse um deren mathematische Achse derart drehen, daß man die Lage von Okular und Objektiv jederzeit vertauschen (Fig. 17) oder das Fernrohr „durchschlagen“ kann¹), so be-

%y '

Vl2°

260

¹/ß °

5"

261

Ijii i I

Fig. 14.

12—15 cm

v₆°

10"

a.

fV|

JB.

tc

Fig. 15.

0 Beim exzentrischen Fernrohr ist dies im allgemeinen immer möglich.

zeichnet man das betreffende Instrument als Kompensationstheodolit. Ist bei einem Theodolit das Fernrohr aus optischen Gründen so lang, daß es sich nicht in der angedeuteten Weise durchschlagen läßt, so müssen die Kippachsenenden so gelagert sein, daß

4^44

Fi g. 16

Fig. 17.

die Kippachse samt Fernrohr sich bequem aus ihren Lagern nehmen läßt, um die Vertauschung von Objektiv und Okular trotzdem vornehmen zu können. Als „Um-

* 1 **    ** 1 k

ÄH ÄH

Fig. 18.

legen“ des Fernrohrs (Fig. 18) bezeichnet man das Vertauschen der beiden Enden der Kippachse; hierzu ist ebenfalls das Herausnehmen aus den Lagern nötig.

Da es bei gewissen Messungen nötig ist, Kippachse samt Fernrohr in einer bestimmten Lage festzuhalten, so sind die beiden, ähnlich wie Limbus und Alhidade, mit einer Bremsvorrichtung versehen (Fig. 19), die ebenfalls in Verbindung mit einem Mikrometerwerk steht, so daß nach Festhaltung mittels der Bremsschraube A das Fernrohr noch um kleine Beträge mit Hilfe der Mikrometerschraube B (Kippschraube) geneigt (gekippt) werden kann.

vom

Fernrohr, sondern hier, wo es sich hauptsächlich um den Yertikalfaden handelt, mit Rücksicht auf etwaige Okulargangfehler oben bzw. unten angebracht wird. An Stelle des einfachen Vertikalfadens treten beim Theodolit für manche Fälle zweckmäßiger zwei parallele Vertikalfäden. Zum bequemen und raschen Aufsuchen von Zielpunkten wird das Theodolitfernrohr vielfach mit einer einfachen Zielvorrichtung versehen.

Der Bau des Fernrohrs ist beim Theodolit in der Hauptsache derselbe wie beim Nivellierinstrument ; eine Änderung findet nur statt bei der Anbringung des Okulartriebs, indem dieser nicht wie beim Nivellierinstrument, wo der Horizontalfaden die Hauptrolle spielt, seitlich — rechts oder links

s\\W\\\\N\\V

Fig. 19.

§ 2. Untersuchung und Berichtigung des Theodolits.

Trotzdem man beim Theodolit — mehr noch als beim Nivellierinstrument — die Messung so anordnen kann, daß etwa vorhandene Instrumentalfehler im Messungsergebnis nicht enthalten sind, also unschädlich gemacht werden können, so wird man doch dafür Sorge tragen, daß die beim Theodolit auftretenden Instrumentalfehler möglichst klein sind; man wird deshalb den Theodolit von Zeit zn Zeit, z. B. nach größeren Transporten, untersuchen und, wenn nötig, berichtigen.

An einem Theodolit lassen sich in der Hauptsache vier Achsen unterscheiden (Fig. 1):

die Umdrehungs- oder Vertikalachse UU t die Kipp- oder Horizontalachse KK, die Ziellinie ZZ und die Libellenachse LL.

Nach der Gesamtanforderung, die an einen von Instrumentalfehlern freien Theodolit gestellt wird, muß beim Auf- und Abbewegen oder „Kippen“ des Fernrohrs die Ziellinie bei vertikal stehender Umdrehungsachse eine Vertikalebene beschreiben; dies ist der Fall, wenn

1.    die Umdrehungsachse UU senkrecht zu der jeweiligen Libellenachse,

2.    die Ziellinie Z Z senkrecht zur Kippachse KK und

3.    die Kippachse KK senkrecht zur Umdrehungsachse UU steht.

Je nach der Libellenanordnung ist die Untersuchung verschieden; man hat zu unterscheiden zwischen fest mit der Alhidade verbundener Röhren- oder Dosenlibelle (Fig. la), und auf der Kippachse aufgesetzter Reiterlibelle (Fig. lb).

Besitzt das Instrument eine

feste Alhidadenlibelle,

so sind die Einzelanforderungen die folgenden:

1.    Umdrehungsachse UU senkrecht Libellenachse LL, so daß bei einspielender Libelle die Umdrehungsachse vertikal steht;

2.    Ziellinie ZZ senkrecht Kippachse KK, so daß beim Kippen des Fernrohrs die Ziellinie eine Ebene beschreibt, und

3. Kippachse KK senkrecht Umdrehungsachse UU, so daß jene Ebene bei vertikaler Stellung der Umdrehungsachse eine Vertikalebene ist.

1.    Um zu untersuchen, ob die Umdrehungsachse senkrecht zur Libellenachse steht, verfährt man ähnlich wie beim Nivellierinstrument, indem man nach allgemeiner Horizontalstellung des Instruments mit Hilfe der zu untersuchenden Libelle diese in die Richtung zweier Fußschrauben einstellt und mit deren Hilfe ein-spielen läßt; hierauf dreht man die die Libelle tragende Alhidade um 180 Grad. Zeigt in dieser Stellung die Libelle einen Ausschlag, so entspricht er dem doppelten Libellenfehler und wird deshalb zur einen Hälfte mittels der beiden Fußschrauben und zur anderen mit Hilfe der zu diesem Zweck an der Libelle angebrachten Verbesserungsvorrichtung weggeschafft. Nachdem die Libelle auch in der um 90 Grad abhegenden Stellung mit Hilfe der dritten Fußschraube zum Einspielen gebracht worden ist, wird der ganze Vorgang wiederholt.

2.    Nachdem das Fernrohr in bezug auf Parallaxe untersucht und eine etwa vorhandene beseitigt ist, und der Vertikalfaden — in ähnlicher Weise wie beim Nivellierinstrument der Horizontalfaden — auf seine Lage zur Vertikalen untersucht ist, kann man die Stellung der Ziellinie zur Kippachse auf eine der beiden folgenden Arten untersuchen:

a) Man zielt in genügender Entfernung einen Punkt A — Blitzableiter, Kirchturmspitze oder einen Teilungs-strich an einem horizontal hegenden Maßstab — (Fig. 20) mit Hilfe des Vertikalfadens¹) scharf an und legt das

D Der Vertikalfaden spielt bei dem zunächst zum Messen von Horizontalwinkeln bestimmten Theodolit die Hauptrolle; das Anzielen selbst wird in der auf S. 43 angegebenen Weise ausgeführt.

Fernrohr um, indem man es aus seinen Lagern — falls dies ohne Erschütterungen des Instruments sich ausführen läßt — vorsichtig heraushebt und es mit vertauschten Kippachsenenden ebenso vorsichtig wieder hineinlegt. Zeigt sich, daß in der neuen Lage des Fernrohrs der Vertikalfaden sich nicht mehr deckt mit dem V. Ltige.

2.Lage.

fr fr

TTC

c'\

Fig. 20.

Punkt 4, sondern auf einen Punkt A' weist, so steht die Ziellinie (Fig. 20) nicht senkrecht zur Kippachse; den Winkel c, um den die Ziellinie von der Senkrechten zur Kippachse ab weicht, bezeichnet man als Ziellinienoder Kollimationsfehler. Um einen sich zeigenden Kollimationsfehler wegzuschaffen, muß man das Fadenkreuz mit Hilfe der in horizontalem Sinn wirkenden Diaphragmaschrauben²) so weit in der betreffenden Dichtung verschieben, bis die Zielung durch einen in der Mitte zwischen A und A' — die Strecke A A' ent-

Untersuchung und Berichtigung des Theodolits. 27

spricht dem doppelten Ziellinienfehler — gelegenen Punkt A" geht; verwendet man als Punkt A einen

fe}dk

Strich einer Maßstabteilung, so hat man, wenn

{zweiten}    b» {j]

gemachte Ab

in der

lesung ist, das Fadenkreuz so zu verschieben, daß die am Maßstab zu machende Ablesung das arithmetische

⁰¹⁺⁰² ist.

Mittel von ax und a₂, also

Beim Verschieben des Fadenkreuzes hat man dafür zu sorgen, daß nach endgültiger Einstellung auf A" die das Diaphragma haltenden Verbesserungsschrauben genügend angezogen sind, so daß das Diaphragma fest im Fernrohr sitzt und nicht durch leichte Erschütterungen aus seiner Lage gebracht werden kann; jedenfalls wird man beim Kippen des Fernrohrs dieses nicht am Okularkopf oder gar an den Diaphragmaschrauben anfassen.

Die vorstehend angegebene Methode zur Untersuchung des Theodolits in bezug auf einen Ziellinienfehler ist mit Rücksicht auf die beim Umlegen des Fernrohrs kaum ganz zu umgehenden Erschütterungen des Instruments nicht einwandfrei; bequemer auszuführen und schärfer ist die folgende:

b) Man zielt einen Punkt A an (Fig. 21), schlägt das Fernrohr durch und macht in der Lage Z₂ der Ziellinie an einem in der Entfernung von etwa 20 m senkrecht zur Zielrichtung, horizontal gelegten Maßstab die Ablesung l±. Nun dreht man den Oberbau des Instruments so, daß die Ziellinie in die Lage Z₃, nämlich wieder in die Richtung nach A kommt; die Kippachse erhält dadurch die Lage K₂K₂. Zielt man den Punkt A wieder an und schlägt das Fernrohr nochmals durch, so macht man in der Lage Z₄ der Ziellinie an dem Maßstabe die Ablesung l₂. Die Strecke BXB₂ = l₂— lx entspricht — wie aus der Figur leicht zu ersehen ist — dem vierfachen Ziellinienfehler c. Ist die Ablesung l₂ nicht gleich der Ablesung ll9 ist also ein Ziellinienfehler vorhanden, so

Z,

\c

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K...1

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Ą,

l*~T4c \

i,

Fig. 21.

\—\->i

wird dieser dadurch weggeschafft, daß man durch Verschieben des Fadenkreuzes bzw. des Diaphragmas am Maßstab einen Punkt B₃ einstellt, der so hegt, daß l₂ l±

B₂B₃ —1₂

ist. Hat man ein Instrument mit

exzentrischem Fernrohr, so hat man bei der auf den Ziellinienfehler sich beziehenden Untersuchung die Exzentrizität des Fernrohrs zu berücksichtigen, was bei

Untersuchung- und Berichtigung des Theodolits. 29

Verwendung eines horizontal liegenden Maßstabs in einfacher Weise zu machen ist.

3. Ist der Ziellinienfehler gleich Null, d. h. steht die Ziellinie senkrecht zur Kippachse, so beschreibt die Ziellinie beim Kippen des Fernrohrs eine Ebene¹); um zu untersuchen, ob diese — bei vertikaler Umdrehungsachse — eine Vertikalebene ist, vergleicht man sie mit einer vorhandenen oder künstlich hergestellten Vertikalebene, von der man zwei — in verschiedener Höhe gelegene — Punkte kennt; hieraus ergeben sich die folgenden Verfahren zur Untersuchung der gegenseitigen Stellung von Kippachse und Umdrehungsachse :

a) Man zielt bei vertikaler Stellung der Umdrehungsachse — also bei einspielender Libelle — die Schnur eines frei aufgehängten Senkels ungefähr in der Höhe der Kippachse (bei ungefähr horizontal liegender Ziellinie) an und kippt das Fernrohr so, daß die Senkelschnur an einer anderen, möglichst hoch gelegenen Stelle im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheint. Zeigt sich nun, daß in dieser Lage des Fernrohrs die Schnur nicht mehr an gezielt ist, so beschreibt die Ziellinie beim Kippen des Fernrohrs keine Vertikalebene, die Kippachse steht nicht senkrecht zur Umdrehungsachse, das Instrument ist mit einem Kippachsenfehler behaftet. Um einen vorhandenen Kippachsenfehler wegzuschaffen, muß man das entsprechend eingerichtete Lager (Fig. 15) je nach Bedarf heben oder senken, und zwar um einen solchen Betrag, daß bei der Zielung nach dem hoch-

*) Ist der Ziellinienfehler nicht gleich Null, so beschreibt die Ziellinie eine Kegelfläche; man hat demnach zuerst dafür zu sorgen, daß diese Kegelfläche in eine Ebene übergeht, dann erst kann man sie zur vertikalen Ebene machen.

gelegenen Punkt der Senkelschnur dieser ebenfalls angezielt ist³).

b) Nachdem die Umdrehungsachse mit Hilfe der Libelle vertikal gestellt ist, bestimmt man zwei einer Vertikalebene angehörende Punkte, indem man einen hoch (oder tief) gelegenen Punkt A (Fig. 22) in der Lage KlK₁ der Kippachse anzielt, das Fernrohr nach

i.Lage

Z.Lage

mim

Fig. 22.

unten kippt und bei nahezu horizontal liegender Ziellinie an einer Wand einen Punkt At einweist oder an einem horizontal Hegenden Maßstab die Ablesung lx macht. Hierauf schlägt man das Fernrohr durch, dreht den Oberteil des Instruments, um den Punkt A mit durchgeschlagenem Fernrohr in der Lage K₂K₂ der

Untersuchung und Berichtigung des Theodolits. Bl

Kippachse wieder anzuzielen, kippt das Fernrohr wieder nach unten und weist in gleicher Höhe wie A₁ einen zweiten Punkt A₂ ein, bzw. macht an dem Maßstab eine zweite Ablesung l₂\ fällt A₂ mit A₁ zusammen, oder ist l₂ =llf so beschreibt die Ziellinie des Instruments beim Kippen des Fernrohrs eine Vertikalebene. Ist dies nicht der Fall, so entspricht die Strecke AXA₂ oder l₂—lx dem doppelten Kippachsenfehler, den man dadurch entfernt, daß man den Mittelpunkt A'¹) der Strecke AXA₂

bzw. das arithmetisch© Mittel ^    - von lx und /a

Z

einstellt, das Fernrohr nach oben kippt, so daß der Punkt A im Gesichtsfeld erscheint und nun — wie bei a) — das zum Verbessern eingerichtete Kippachsenende nach Bedarf hebt oder senkt.

Ist der Theodolit mit einer auf die Kippachse aufgesetzten

Reiterlibelle versehen, so zerfällt die Hauptanforderung, nach der die Ziellinie beim Kippen des Fernrohrs eine vertikale Ebene beschreiben muß, in folgende Einzelanforderungen (Fig.lb):

1.    Libellenachse LL parallel Kippachse K K, so daß bei einspielender Libelle die Kippachse horizontal hegt ;

2.    Libellenachse L L senkrecht Umdrehungsachse U U, so daß diese bei einspielender Libelle vertikal und vermöge 1. senkrecht zur Kippachse steht;

3.    Ziellinie ZZ senkrecht Kippachse KK, so daß jene beim Kippen des Fernrohrs eine Ebene und vermöge 1. bei einspielender Libelle eine Vertikalebene beschreibt.

1. Um zu untersuchen, ob die Libellenachse parallel zur Kippachse, läßt man nach allgemeiner Horizontal-

M Der Punkt A' liegt mit dem Punkt A in einer vertikalen Ebene.

Stellung des Instruments mittels der zu untersuchenden Libelle die über zwei oder eine Fußschraube gestellte Libelle mit Hilfe der Fußschrauben einspielen und setzt sie hierauf um, indem man ihre Enden vertauscht (Fig. 23). Zeigt die Libelle nach dem Umsetzen einen Ausschlag,

L. V

*r~~

Fig. 23.

so entspricht dieser dem doppelten Winkel zwischen Libellenachse und Kippachse; er wird deshalb zur einen Hälfte mittels der YerbesserungsVorrichtung V an der Libelle und zur anderen Hälfte mit Hilfe der betreffenden Fußschrauben weggeschafft. Eine Wiederholung ist in *y den meisten Fällen empfehlenswert.

Fig. 24.

Sollen die beiden Geraden, Libellenachse und Kippachse, parallel gemacht werden, so müssen sie zunächst entweder in einer Ebene liegen oder doch so, daß die Projektion der Kippachse in die durch die Libellenachse gelegte Horizontalebene parallel zur Libellenachse liegt, so daß keine „Libellenkreuzung“ vorhanden ist. Will man untersuchen, ob eine Libellenkreuzung vorhanden ist, so dreht man die Libelle, die zu diesem Zweck nicht einspielen muß, um die Kippachse (Fig. 24), und zwar in den beiden möglichen Richtungen (von dem und gegen den Beobachter); zeigt die Libelle dabei Ausschläge, die bei der Drehung nach verschiedenen Seiten in verschiedenen Richtungen gehen, so besteht eine Kreuzung der beiden

Achsen. Zeigt die Libelle beim Drehen nach verschiedenen Seiten Ausschläge in derselben Richtung, so ist keine Kreuzung vorhanden; treten beim Drehen der Libelle überhaupt keine Ausschläge auf, so besteht keine Kreuzung, und es ist die Libellenachse bereits nahezu parallel der Kippachse.

n'

i:\

\k

UŁ

Um eine vorhandene Libellenkreuzung zu beseitigen, muß man die Libelle mit Hilfe einer horizontal wirkenden Verbesserungs-vorrichtung V so lange in ihrer Fassung der Ausschlagsrichtung entsprechend¹) verschieben, bis die Libelle bei seitlicher Drehung entweder Ausschläge stets in derselben Richtung oder überhaupt keine Ausschläge zeigt.

Fig. 25.

Die Untersuchung der Reiter-libelle auf Libellenkreuzung, die der eigentlichen Libellenuntersuchung, streng genommen, vorauszugehen hat, kommt nur bei Instrumenten für feinere Messungen in Betracht und ist auch bei solchen nur in größeren Zeitabschnitten vorzunehmen.

2. Um zu untersuchen, ob die Libellenachse senkrecht zur Umdrehungsachse steht, verfährt man in derselben Weise wie bei einer festen Alhidadenlibelle, indem man nach allgemeiner Horizontalstellung des Instruments die Libelle in die Richtung von zwei Fuß-schrauben einstellt, sie mit deren Hilfe einspielen läßt und den die Libelle tragenden Oberbau um 180 Grad dreht; zeigt die Libelle nun einen Ausschlag, so wird er zur Hälfte mit Hilfe der VerbesserungsVorrichtung am Fernrohrträger, zur Hälfte mit den Fußschrauben weg-

l) Schlägt die Libelle beim Drehen gegen den Beobachter nach links (Fig. 25) und beim Drehen von dem Beobachter nach rechts, so ist das linke Libellenende in der Richtung gegen den Beobachter zu verschieben, und umgekehrt.

Werkmeister, Vermessungskunde II.

geschafft. Wurde ein sich zeigender Ausschlag beseitigt, so dreht man den Oberbau um 90 Grad, bringt mit Hilfe der dritten Fußschraube die Libelle zum Einspielen und wiederholt den ganzen Vorgang.

3. Die Untersuchung, die sich auf die gegenseitige Lage von Ziellinie und Kippachse bezieht, wird genau so ausgeführt wie bei fester Alhidadenlibelle.

Während die im vorstehenden behandelten Instrumentalfehler: Fehler der Umdrehungsachse — davon herrührend, daß diese nicht senkrecht zur Achse der vorhandenen Libelle ist —, Ziellinienfehler — die Ziellinie steht nicht senkrecht zur Kippachse — und Kippachsenfehler — die Kippachse hegt nicht senkrecht zur Umdrehungsachse —, mit Hilfe von besonderen Verbesserungsvorrichtungen — an der Libelle, am Diaphragma und an einem Fernrohrträger — weggeschafft oder (da dies nie ganz möglich sein wird) doch genügend klein gemacht werden können; läßt sich ein anderer Instrumentalfehler, die Exzentrizität der Alhidade, nicht unmittelbar wegschaffen, sondern kann nur durch entsprechende Anordnung der Messung unschädlich gemacht werden, so daß er wie jene ohne Einfluß auf das Messungsergebnis ist. Eine Exzentrizität der Alhidade ist vorhanden, wenn der Schnittpunkt der Alhidadem drehachse (Umdrehungsachse) mit der Ebene des Teilkreises nicht mit dem Mittelpunkt des letzteren zusammenfällt, sondern zu diesem exzentrisch hegt.

§ 3. Winkelmessung.

Bevor auf die Winkelmessung selbst eingegangen werden soll, mögen zunächst diejenigen Verfahren angegeben werden, die dazu dienen, die besprochenen

Instrumentalfehler — soweit dies möglich ist — unschädlich zu machen.

1. Das Instrument besitze einen Ziellinienfehler, die Ziellinie falle also nicht mit der Senkrechten zur Kippachse zusammen, sondern bilde mit dieser den Winkel c, dessen Einfluß auf die Horizontalprojektion einer Zielung c' (Fig. 26 a und 27 a) sei, so daß bei der Zielung nach einem Punkt A an Stelle der Ablesung a am Teilkreis⁴), die der senkrechten Stellung der Ziellinie zur Kippachse entsprechen möge, die Ablesung a± gemacht wird.

ci.

b.

c'

Fig. 26.

Legt man das Fernrohr um, so ist der Punkt A infolge des Fehlers c' nicht mehr angezielt; um ihn wieder anzuzielen, muß man (Fig. 26 b) die Alhidade — in dem gezeichneten Beispiel gegen den Uhrzeigersinn — drehen um den Winkel 2 c'. Ist a₂ die Ablesung am Teilkreis in der neuen Lage des Fernrohrs, so ist

(1)

öi -f- Ü2

„Schlägt man das Fernrohr durch und dreht die Alhidade um (180 — 2 c') Grad (Fig. 27 b), so daß A wieder angezielt ist, so ist, wenn a₂ die Ablesung in der neuen Fernrohrlage und a₂' = a₂ — 180° ist:

(2)

al + a'₂

ou

c\

c'\

Qi* \

i»V

V'

• • \>k

Fig. 27.

Wie die Gleichungen (1) und (2) zeigen, läßt sich der Einfluß eines Ziellinienfehlers auf die Richtung der Horizontalprojektion einer einzelnen Zielung und damit auch auf einen Horizontalwinkel dadurch unschädlich machen, daß man jede Zielung außer in einer, noch in einer zweiten durch Umlegen oder Durchschlagen des Fernrohrs erhaltenen Fem-rohrlage macht; das Mittel der den beiden Fernrohrlagen entsprechenden Ablesungen am Teilkreis stellt diejenige Ablesung vor, die man bei fehlerfreier Ziellinie erhalten würde.

(Fig. 28) die Lage {§*£*} ein, je nachdem das |rechte}

Achsenende das höhere ist. Ist K₀ K₀ die Lage der Kippachse für den Fall, daß i — 0 ist, a die entsprechende Ablesung am

Teilkreis und    die Horizontalprojektion von

* 2. Ist das Instrument mit einem Kippachsenfehler behaftet, so daß bei einspielender Libelle die Umdrehungsachse wohl vertikal, die Kippachse jedoch nicht horizontal liegt, sondern einen Winkel i mit der Horizontalen bildet, so nimmt die Kippachse bei der Zielung nach einem Punkt A

j^j die entsprechende Ablesung am Horizontalkreis,

und

so schließen K[K[ und K₂K₂ einen Winkel gleich dem doppelten Einfluß i' des Kippachsenfehlers i ein, und es ist

ax + a2 k:

—

a--—

Fig. 28.

Die zweite Lage KZK₂ der Kippachse (Fig. 29) erhält man aus der ersten K±Kl9 wenn man das Fernrohr durch-

Fig. 29.

schlägt, den Oberbau des Theodolits um beiläufig 180 Grad dreht und den Punkt A wieder anzielt; hieraus folgt: Der

Einfluß eines Kippachsenfehlers auf die Richtung der Horizontalprojektion der Kippachse und damit auf einen gemessenen Horizontalwinkel läßt sich dadurch unschädlich machen, daß man jede Zielung in zwei verschiedenen Lagen der Kippachse, von denen man die zweite aus der ersten mittels Durchschlagen¹) des Fernrohrs erhält, ausführt; das Mittel der den beiden Kippachsenlagen entsprechenden Ablesungen am Teilkreis stellt die einer fehlerfreien Lage der Kippachse entsprechende Ablesung vor.

Fig. 80.

Wie aus dem bisher Gesagten hervorgeht, kann man Ziellinienfehler und Kippachsenfehler beide zusammen — bei einem Instrument mit exzentrischem Fernrohr zugleich auch den Einfluß der Femrohrexzentrizität — für die Messung von Horizontalwinkeln dadurch unschädlich machen, daß man jeden Punkt zweimal anzielt, wobei man zwischen beiden Zielungen das Fernrohr durchschlägt; nicht beseitigt wird dabei der Einfluß eines Fehlers der Umdrehungsachse in ihrer Stellung zur Libellenachse, der sich überhaupt nicht ⁵

um

beseitigen läßt, und der deshalb öfters einer Untersuchung unterworfen bzw. berichtigt werden muß.

3. Der Einfluß einer Exzentrizität der Alhidade auf einen gemessenen Winkel läßt sich durch Anbringen einer zweiten, zur ersten diametral liegenden Ablesemarke unschädlich machen. In Fig. 30 sei M der Mittelpunkt der Teilung, D der Alhidadenclrehpunkt; bei der Zielung nach dem Punkt A sei % die Ablesung an der einen Marke bei At und a₂ diejenige an der anderen Marke bei A₂; ferner sei bei einer Zielung nach einem Punkt B₁ bx die Ablesung an der ersten Marke bei B± und b₂ diejenige an der zweiten Marke bei B₂. Der gemessene Winkel ist A₁DB₁=a; der aus den Ablesungen an der ersten Marke sich ergebende Winkel ist A₁MB₁ — oct und der aus den Ablesungen an der zweiten Marke sich ergebende ist A₂ M B₂ — a₂. Zieht man die Gerade A₂Blf so ist A^A₁A₂B₁ ein zum Zentriwinkel a± gehörender Peripheriewinkel, also gleich ebenso ist A₂BtB₂ ein zu dem Zentriwinkel a₂ gehörender Peripheriewinkel, also gleich —■. In dem Dreieck DBXA₂ ist a Außen-

winkel, also gleich der Summe der beiden ihm nicht anliegenden Dreieckswinkel; es ist somit

fh , «a.

2 2

d. h. der tatsächlich gemessene Winkel a ist gleich dem Mittel der beiden durch die Ablesungen an den zwei Ablesemarken bestimmten Winkel a₁ und a₂; aus diesem Grunde versieht man den Theodolit allgemein mit zwei Ablesevorrichtungen (zwei Nonien oder zwei Mikroskopen), deren Ablesungen sich um rund 180® unterscheiden. Die Bedingung, nach der die Ablesemarken in bezug auf den Alhi-dadendrehpunkt diametral zueinander liegen sollen, muß nicht genau erfüllt sein; mit Rücksicht auf die Berechnung der Winkelmessung ist es jedoch in den meisten Fällen erwünscht, wenn der Unterschied zwischen zwei zusammengehörigen Ablesungen nur wenig von 180" abweicht. Bei Ablesung mit Hilfe von Nonien ist der Winkel zwischen den beiden Nullstrichen unveränderlich; bei Ablesung mit Hilfe von Mikroskopen läßt sich der Winkel zwischen den beiden

Nullmarken meistens verändern, beim Strichmikroskop (Fig. 7) durch Verschieben des Diaphragmas mittels der Schrauben E, beim Skalenmikroskop durch Verschieben des Mikroskopträgers gegenüber dem Fernrohr träger und beim Schrauben-mikroskop (Fig. 13) durch Verschieben der Nullmarke F mittels der Schraube H und der ihr entgegenwirkenden Plattfeder J.

Da beim Anzielen eines Punktes in zwei Fernrohrlagen (Fig. 27 a und b) die Ablesemarke nach Durchschlagen des Fernrohrs und Drehung der Alhidade in eine zu ihrer ersten Stellung diametral liegende kommt, so ist leicht einzusehen, daß sich ein Alhidadenexzentrizitätsfehler — ebenso wie der Ziellinien- und der Kippachsenfehler — auch dadurch unschädlich machen läßt, daß man das Fernrohr durchschlägt und sämtliche Zielungen in zwei Fernrohrlagen ausführt.

4. Etwa vorhandenen Teilungsfehlern im Horizontalkreis wird dadurch entgegengewirkt, daß man einen zu messenden Winkel nicht nur einmal, sondern — je nach der angestrebten Genauigkeit — öfters mißt, wobei man dafür Sorge trägt, daß die Ablesungen bei jeder neuen Messung an einer anderen Stelle des Teilkreises gemacht werden.

Abgesehen von der einfachsten Art der Winkelmessung in nur einer Fernrohrlage, kann man in der Hauptsache drei verschiedene Arten der Messung von Horizontalwinkeln unterscheiden, nämlich:

1.    einfache Winkelmessung,

2.    satzweise Winkelmessung oder Winkelmessung aus Richtungen und

3.    Repetitionsmessung.

Jeder Art der Winkelmessung voraus geht die Aufstellung oder Zentrierung des Theodolits in oder über demjenigen Punkt, der den Scheitel des zu messenden Winkels vorstellt oder „in dem“ der Winkel gemessen werden soll.

Der Theodolit ist in oder über einem Punkt aufgestellt, wenn seine mittels der Libelle vertikal gestellte und mit Hilfe eines an die hakenförmige Endigung des Unterbaus (Fig. 1) oder des Stengelhakens (Band I, Fig. 114a und b) angehängten Senkels verlängerte Umdrehungsachse durch

den Punkt (Nagel in einem Holzpflock, Zeichen auf einem Steinquader u. dgl.) geht. Das Aufstellen des Theodolits über einem bestimmten Punkt wird zuerst genähert mit Hilfe der Stativfüße und sodann genau durch Verschieben des ganzen Instruments auf dem Teller des Stativs ausgeführt. Ist die genäherte Aufstellung des Stativs fertig, so werden die Stativfüße in den Boden gedrückt und die am Stativ-köpf angebrachten Schrauben angezogen; um das Instrument vollends genau aufstellen zu können, muß die das Instrument auf den Stativteller drückende Schraube (Fig. 114, Band I) gelöst und die Umdrehungsachse mit Hilfe der Libelle vertikal gestellt werden; erst wenn durch Verschieben auf dem Stativteller das Instrument in eine solche Stellung gebracht worden ist, daß — bei immer noch einspielender Libelle — die Spitze des angehängten Senkels mit dem gegebenen Punkt übereinstimmt, wird das Instrument durch Anziehen der betreffenden Schraube auf das Stativ angedrückt.

1. Die einfache Winkelmessung

findet dann Anwendung, wenn in einem Punkt S, dem Standpunkt des Instruments, nur ein Winkel, zwischen den beiden Zielpunkten A und B, gemessen werden soll. Die Messung besteht darin, daß man den Winkel in jeder Fernrohrlage einmal mißt.

Der Messungsvorgang ist der folgende: Nachdem die Umdrehungsachse durch Einspielenlassen der Libelle in zwei zueinander senkrechten Eichtungen mit Hilfe der Fußschrauben vertikal gestellt ist, wird bei feststehendem Limbus — beim einfachen Theodolit steht der Limbus vermöge der Bauart des Instruments stets fest, beim Bepetitionstheodolit muß er mit Hilfe der Limbusbremse festgestellt werden — der links liegende Punkt, z. B. A, angezielt und an den beiden Nonien die Ablesungen a[ und gemacht; nach Drehung der Alhidade und Anzielung des Punktes B werden die dieser Zielung zukommenden Ablesungen b[ und b'± an den beiden Nonien vorgenommen, womit der Winkel in der ersten Fernrohrlage gemessen ist. Nach Durchschlagung des Fernrohrs und Drehung der Alhidade auf A zielt man diesen Punkt wieder an und macht die Ablesungen a" und a'{\ zum Schluß zielt man nach Drehung der Alhidade auch den Punkt B nochmals an und führt die Ablesungen und b'{ aus.

Bei der Berechnung bildet man zunächst die Mittel a', 6', a" und b" aus den Ablesungen an den zwei Nonien, man erhält:

a' =

a[ + a'₂

b' =

und

Aus den Mitteln a' und a!ł bzw. V und b" bildet man hierauf die Mittel a und b aus beiden Fernrohrlagen :

. y+b" b = -Y~;

und

. V+a"

den gemessenen Winkel ASB = (X erhält man jetzt als Differenz von a und b, nämlicb

oc ■— b ~~~ CL

oc =

oder nach Einsetzung der obigen Werte b'+b"    a'+a"

Zum Aufschreiben und Berechnen der Messung verwendet man zweckmäßigerweise ein Formular, das folgende Einrichtung haben kann:

Datum; ..Z.y.jy&Ż.    ..... Standpunkt.... x$......

Instrume20" Wetter: ^icudituiujrg

Fernrohrlage!

Fernrohrlage£

Nonius!

NonZ

Mittel

Nonius 1

Nonä

Z7°tt'Z0’

tü'zu-n-zo“

720° 45'00'

Mittel aus beiden Femrohrlagsr

15W27°1ö' 20"

WinKel

Mittel

ZO7°15'O015'W

4G'20"ti'w"

30Ü°4S'Z0"

45'20* 4S'20n 1zo°30 "

WJO'10"

Die den Ablesungen am Nonius 2 entsprechenden Gradzahlen, die man nur zur Kontrolle derjenigen von Nonius 1 abliest, braucht man nioht aufzuschreiben, da sie bei der Berechnung nicht benützt werden. Für die Mittel aus Femrohr-lage 1 und 2 wird man die für die Weiterrechnung bequemeren Gradzahlen einer der beiden Fernrohrlagen übernehmen.

Fig. 31.

Das Anzielen ei nesPunk tes wird derart vorgenommen, daß man — im vorliegenden Fall bei gebremstem Limbus — das Fernrohr durch Drehen der Alhidade gegen den Zielpunkt richtet, diesen in das Gesichtsfeld des Fernrohrs bringt, indem man zuerst über das Fernrohr weg und dann durch das Fernrohr zielend, die Alhidade und das Fernrohr von freier Hand entsprechend dreht bzw. kippt; erscheint der Zielpunkt im Gesichtsfeld, so werden Alhidade und Fernrohr mit Hilfe der vorhandenen Brems -schrauben festgehalten. Nachdem das Bild des Zielpunkts mittels des Okulartriebs scharf eingestellt ist, wird der Punkt vollends angezielt, indem man die Alhidade und damit das Fernrohr mit Hilfe der zu diesem Zweck vorhandenen Alhidadenmikrometerschraube derart dreht, daß Zielpunkt und Vertikalfaden sich decken, oder daß — wenn zwei Vertikalfäden vorhanden sind —

der Zielpunkt in der Mitte zwischen beiden Fäden erscheint; den Horizontalfaden bringt man mittels der Kippschraube des Fernrohrs in eine derartige Lage zum Zielpunkt (Blitzableiter, Fluchtstab u. dgl.), daß er diesen beiläufig an derjenigen Stelle schneidet, an der die eigentliche Zielung stattfinden soll (Fig. 31). Sind die Ablesungen Teilkreis gemacht, so hat man zuerst die das Fernrohr und die Alhidade festhaltenden Schrauben zu lösen, um dann den neuen Zielpunkt in derselben Weise wie den ersten anzuzielen.

2. Die satzweise Winkelmessung oder Winkelmessun

ß)

1. Exzentrizität des Standpunkts.

2 (ß + y) = {ai + a2) — 1^0° .

2. Der Bruch A der Gleichung (8) läßt sich auch in

Sachregister.

¹

) Die Vergrößerung von Mikroskopen und Lupen kann ähnlich derjenigen von Fernrohren bestimmt werden (vgl. Band I, $ 18).

²

Siehe Band I, Fig. 100.

³

) Die Verbesserung des Kippachsenfehlers am Lager muß bei der Zielung nach dem höher gelegenen Punkte stattfinden, da bei der Zielung nach dem mit der Kippachse gleich hoch gelegenen Punkt die Ziellinie durch Heben oder Senken des einen Kippachsenendes ihre Lage zum Zielpunkt nicht oder doch nur äußerst wenig verändert.

⁴

) Die mit der Alhidade (Fernrohrträger) fest verbundene Ablesemarke liege der Anschaulichkeit wegen mit der Horizontalprojektion der Kippachse in einer Geraden.

⁵

Umlegen genügt hier nicht; beim Ziellinienfehler handelt es sich die Vertauschung der beiden Kippachsenenden, hier um die Vertauschung der beiden Fernrohrträger.

am

2. Die satzweise Winkelmessung oder Winkelmessung aus Eichtungen

findet dann Anwendung, wenn es sich auf einem Standpunkt um die Messung der Winkel zwischen mehr als zwei Zielpunkten handelt.

Der Vorgang bei der Messung ist der folgende: Man zielt bei festem Limbus sämtliche Punkte der Reihe nach von links nach rechts (Richtung der Bezifferung der Kreisteilung) an und macht bei jeder Zielung die Ablesungen an den beiden Nonien; hierauf schlägt man das Fernrohr durch und wiederholt die Zielungen und Ablesungen in der zweiten Fernrohrlage. Eine solche Messung in zwei Fernrohrlagen heißt ein Satz.

Welchen der Zielpunkte man zuerst anzielt, wird im allgemeinen gleichgültig sein; aus Gründen, die mit der nachfolgenden Berechnung der Messung Zusammenhängen, wird man als ersten denjenigen Zielpunkt wählen, für den die Zielung sich am schärfsten ausführen läßt.

Während der Messung des ganzen Satzes bleibt der Limbus fest in ein und derselben Lage¹), das Anzielen der

Punkte geschieht nur mit Hilfe der Alhidade. Beim Bepe-titionstheodolit, wo der Limbus mittels der Bremsschraube festgehalten wird, hat man damit zu rechnen, daß beim Drehen der Alhidade von einem Zielpunkt auf den anderen der Limbus infolge der Beibung des Alhidaden-zapfens im Limbus (Fig. 2 b) dieser um kleine Beträge mitbewegt wird; um diesem „Mitschleifen des Limbus“ entgegenzuwirken, wird man einerseits zu Beginn der Messung die Bremsschraube zum Festhalten des Limbus genügend scharf anziehen, und andererseits wird man die Messung entsprechend anzuordnen versuchen, indem man bei der Messung in der zweiten Fernrohrlage die Punkte in umgekehrter Beihenfolge — also von rechts nach links — einstellt.

Die Lage des Limbus und damit des Nullpunkts der Kreisteilung während der Messung eines Satzes ist ohne Einfluß auf diese und kann deshalb beliebig gewählt werden; mit Bücksicht auf die Berechnung und die Übersichtlichkeit in der Anordnung der Messung von mehr als einem Satz wird man dem Limbus eine solche Lage zur Zielung nach dem ersten Punkt geben, daß für diese die Ablesung am Nonius 1 — in der ersten Fernrohrlage — eine zwischen 0 und 10° liegende Zahl ist¹).

Bei der Messung von mehreren Sätzen, die alle in der angegebenen Weise gemessen werden, mißt man einen folgenden Satz nicht in derselben Lage des Limbus oder in derselben „Kreislage“ wie den vorhergehenden, sondern man gibt dem Limbus (Teilkreis) vor jedem neuen Satz eine andere Lage, so daß mit Bücksicht auf etwa vorhandene Kreisteilungsfehler die

*) Dem Limbus bei der Satzmessung eine solche Lage zu geben, in der bei der ersten Zielung die Ablesung 0°00'00" gemacht wird, ist nicht zu empfehlen.

— um beiläufig — n

Ablesungen des folgenden Satzes an anderen Stellen der Kreisteilung gemacht werden. Eine neue Lage des Limbus stellt man her, indem man ihn —: bei n Sätzen

dreht; diese Drehung, die beim

180° *)

Repetitionstheodolit nach Öffnung der Limbusbrems-schraube einfach auszuführen ist, muß beim einfachen Theodolit dadurch ausgeführt werden, daß man das ganze Instrument auf dem Teller des Stativs nach Lösung der betreffenden Schraube entsprechend dreht.

Die Vertikalstellung der Umdrehungsachse des Theodolits, die vor Beginn des ersten Satzes mit Hilfe der vorhandenen Libelle vorzunehmen ist, muß zwischen je zwei Sätzen nachgesehen und unter Umständen verbessert werden; während der Messung eines Satzes darf man an der Stellung der Umdrehungsachse nichts ändern, die Fußschrauben also nicht berühren. Zeigt während oder am Schluß der Messung eines Satzes die Libelle einen erheblichen Ausschlag, der z. B. durch Anstoßen des Beobachters an das Stativ verursacht worden ist, so muß nach vorgenommener Berichtigung der Libelle der betreffende Satz ganz wiederholt werden. Zwischen je zwei Sätzen empfiehlt es sich, die Aufstellung (Zentrierung) des Theodolits nachzusehen und unter Umständen zu verbessern.

Zum Aufschreiben und Berechnen der Messung benützt man ein Formular²), das in der Hauptsache folgendermaßen aussehen wird:

300°

Drehung nicht an.

a) Dieses Formular läßt sich ohne weiteres auch zum Aufschreiben der einfachen Winkelmeosung benutzen.

Winkelmessung.

*<E

.................................'g5ppn5[9^'

»jnr .uaßun^jawag    :j3^a/v\ ÏOÛ/ ?fnF OZ

Reduziertes

Mittel

Mittel

ausdenbeidtn

Femrohrlagen

‘ £ iS

SS

» $ » Hl ®>> 3

159 23 06 157 39 SO 321 27 25 319 44 10

Datum:

Jnstrument: JSonUieod,_(2(f).. Beobachten

2, Fernrohrlage

Mittel Nonius 1 Non.2 |Mittel / i // "    o    /    //    /    "

43 30    181    45    20    42    40    US    OO

4$ 30    213    48    00    48    OO    48    OO

23 20    339    22    40    23    OO    22    50

27 ~3o    \ 141    27    40    27    OO    27    20

//

/. Fern roh rlage Nonius 1 I Non 2

Hl ' $ k

15.J

- 5 §

o& iz az zz ns

OO SZ !w SZ 5S1

Mundpjz ^j Ą %» C)

złeS H flundpucis öT

MW Off\0/\9h\00\87\0Z\94\0ZZ OS\9*\00\94\00m\05 v\n

B \122\54\ O0\ 53 140153 ! 50 302154 00\ 53 40 53 501122 \53\50\ 32 \05\3Q

C \208\28\40\28\20\28\30\ 68 \29\00\28\20\28\40\248\28\35\757\4O\f5

D 50 \33\20\32U0\33\00\230\33\20\33\00\33 10 50\33\05\319\44\45

Auch hier wird man bei den Ablesungen am Nonius 2 die Grade nur ablesen und nicht aufschreiben. Die „reduzierten Mittel“ erhält man, indem man die in der mit „Mittel aus den beiden Fernrohrlagen“ bezeichneten Spalte erhaltene Richtung für einen Zielpunkt von den den anderen Zielpunkten zukommenden Richtungen abzieht, indem man jenem die Richtung 0° 00' 00" gibt. Als denjenigen Zielpunkt, auf dessen Richtung man die anderen Zielungen „reduziert“, wird man meistens den an erster Stelle auf-geschriebenen wählen; notwendig ist dies jedoch nicht, es kann sogar der Fall eintreten, daß man auf Grund einer während der Messung gemachten Bemerkung¹) auf die Richtung eines anderen Punkts reduziert. Wenn keine sonstigen Rücksichten zu nehmen sind, würde man allgemein die Reduktion auf jene Richtung als die beste der verschiedenen möglichen bezeichnen, für die — bei der Messung von mehr als einem Satz — die einzelnen reduzierten Mittel der verschiedenen Sätze am wenigsten voneinander abweichen.

Die nur einziffrige Zahl von Graden für die Richtung der Zielung nach dem Punkt A (siehe das vorstehende Zahlenbeispiel) in der ersten Fernrohrlage von Satz I ermöglicht einerseits einen bequemen Überblick über die Limbusstellung bei den einzelnen Sätzen und bedingt andererseits — wenigstens bei Satz I — bei der Bildung der reduzierten Mittel²) eine kleine Bequemlichkeit, die aber um so mehr ins Gewicht fällt, je mehr Zielpunkte vorhanden sind. Hätte man den Limbus so eingestellt, daß für die erste Zielung die Ablesung am 1. Nonius 0° 00' 00" wäre, so hätte dies nur dann einen wesentlichen Vorteil³), wenn auch sämtliche andere auf den ersten Zielpunkt sich beziehende Ablesungen (in Fem-rohrlage 1 und 2) auf 0' 00" endigen würden.

lier

x) Ein zu Beginn einer Messung gut beleuchteter und deshalb scharf anzuzielender Punkt kann diese Eigenschaft während der Messung ver-en, bzw. an einen anderen abtreten. a) Vorausgesetzt, daß auf den Punkt A reduziert wird.

⁸) Ein kleiner Nachteil kann jedoch bei einer solchen Limbusstellung dadurch entstehen, daß eine der drei anderen auf A sich beziehenden Ablesungen etwas kleiner als 0° bzw. 180° ist, so daß für A in der Spalte der Mittel aus beiden Fernrohrlagen eine zwischen 359 und 360° liegende — also dreiziffrige — Zahl von Graden erscheint.

3. Die Repetitionsmessung kommt hauptsächlich dann zur Anwendung, wenn einzelne Winkel mit großer Schärfe zu messen sind.

Das Verfahren besteht darin, daß man einen Winkel in jeder Fernrohrlage nicht nur einmal, sondern mehreremal mißt, wobei an Ablesungen nur die auf die erste Zielung (nach dem links hegenden Punkt) und die auf die letzte Zielung (nach dem rechts hegenden Punkt) sich beziehenden gemacht werden. Mit Rücksicht auf eine vollständige Unschädlichmachung der Instrumentalfehler mißt man einen Winkel in beiden Fernrohrlagen gleich oft; hieraus ergibt sich, daß die Zahl, welche angibt, wie oft der Winkel überhaupt (in beiden Fernrohrlagen zusammen) gemessen ist, stets eine gerade sein muß.

Der Vorgang bei der Messung ist der folgende: Bei fester Alhidade wird der Zielpunkt hnks mit Hilfe der Limbusschrauben (Brems- und Mikrometerschraube) angezielt und die Ablesungen an beiden Nonien gemacht; hierauf wird bei festem Limbus mit Hilfe der Alhidaden-schrauben (Brems- und Mikrometerschraube) der Punkt rechts angezielt, womit der Winkel einmal gemessen ist. Um die Größe des einfachen Winkels hauptsächlich für die Zwecke der nachfolgenden Rechnung wenigstens genähert zu kennen, macht man jetzt — als einzige Zwischenablesung — die z. B. auf ganze Minuten abgerundete Ablesung am Nonius 1. Bei fester Alhidade, so daß die Ablesungen am Teilkreis dieselben bleiben, wird nun der Punkt hnks wieder mit Hilfe des Limbu-angezielt; ohne die dieser Zielung zukommenden Abs lesungen vorzunehmen, wird hierauf bei festem Limbus der Winkel durch Drehen der Alhidade und Anzielen des rechts hegenden Punktes unter Benützung der

Werkmeister, Vermessungskunde IL

Der Theodolit.

Alhidadenschrauben zum zweitenmal gemessen, der Winkel 2 nmal gemessen oder repetiert werden, so wird der Winkel in der ersten Fernrohrlage nmal in der angegebenen Weise — Anzielen des Punktes

des Limbus der Alhidade

Soll

f links 1 {rechts/

nur mit Hilfe

— gemessen,

das Fernrohr sodann durchgeschlagen und die w malige Messung des Winkels in der zweiten Fernrohr läge in derselben Weise ausgefiihrt. Ist der Winkel 2 wmal gemessen, so werden zum Schluß an beiden Nonien die Ablesungen gemacht.

Bei der Repetitionsmessung empfiehlt es sich, der Alhidade und dem Limbus vor Beginn der Messung eine solche Lage gegeneinander zu geben, daß die Ablesung nach der Zielung nach dem Punkt links am 1. Nonius 0° 00' 00" beträgt; man hat dann in der nach der ersten Messung des Winkels gemachten rohen Ablesung stets unmittelbar die Größe des zu messenden Winkels vor sich, was für die Zwecke der Messung¹) und der Berechnung bequem ist.

Um ein Mitschleifen des Limbus bei der Drehung der Alhidade auf den Punkt rechts soviel als möglich zu vermeiden, wird man beim Anzielen des links liegenden Punktes die Limbusbremse genügend gut anziehen; um denselben Fehler beim Drehen von Limbus und Alhidade zusammen auf den Punkt links ganz zu umgehen, faßt man beim Drehen das Instrument nicht an einem Alhidadenteil, sondern am Limbus² 3) an.

Für die Auf Schreibung der bei der Messung gemachten Ablesungen und ihre Berechnung verwendet man ein Formular, das etwa folgendermaßen eingerichtet sein kann:

Mittel .fâcherWinkel)

Zielpunkt

Anz.

der

MMh

Nonius 1

Nonius Z

links- A

00

//

00

180

7 T~~

00

20

redits ; JS

187

20

47

43

40

227

43

40

Differenz

1/27

43

40

1127

43

20

Einfacher Winkel

1/27° 43' 30"

187° 3*7' 73"

Bei der Berechnung muß man häufig (vgl. das angegebene Zahlenbeispiel), um zu dem einfachen Winkel zu gelangen, zu der Differenz zwischen den End- und Anfangsablesungen ein ganzzahlig Vielfaches von 360° addieren (im vorliegenden Beispiel 3 X 360® = 1080c); ob und in welchem Umfange dies nötig ist, ersieht man ans der Größe des einfachen Winkels.

2. Kapitel.

Polygonometrische Punktbestimmung.

Infolge der Beschaffenheit des Geländes oder der Ausdehnung des aufzunehmenden Gebietes können die in Band I angegebenen einfachen Verfahren zur Festlegung eines Netzes von Aufnahmslinien zwecks Aufnahme eines Lageplanes häufig versagen; an ihre Stelle tritt dann ein Verfahren, das darin besteht, daß man der Aufnahme einen oder mehrere, den jeweiligen Verhältnissen angepaßte Linienzüge oder Polygonzüge zugrunde legt. Die Festlegung der einzelnen Zugpunkte oder Polygonpunkte gegeneinander bezeichnet man als polygonometrische Punktbestimmung.

§ 4. Allgemeines über Polygonzüge.

Die Anlage der Polygonzüge, bei der der Zweck der Züge, die Grundlage für die nachfolgende Stückvermessung zu liefern, die Hauptrolle spielt, wird vielfach durch die jeweiligen örtlichen Verhältnisse beeinflußt; im allgemeinen wird man die Polygonzüge Straßen, Wegen und Grenzen entlang legen können.

Entsprechend der Lage des Anfangspunkts und Endpunkts eines Polygonzuges gegeneinander und gegen schon vorhandene, ihrer Lage nach gegebene Punkte, kann man die Polygonzüge ein teilen in:

a) Offene, nicht angeschlossene oder auch freie Züge, das sind Züge, bei denen Anfangspunkt (0) (Fig. 32) und Endpunkt (4) nicht zusammenfallen und keine ihrer Lage nach schon bekannte Punkte sind.

(4)

St

s.

Fig. 82.

b)    Geschlossene Züge oder geschlossene Polygone, das sind Züge, bei denen (Fig. 33) der Endpunkt mit dem Anfangspunkt zusammenfällt.

c)    Angeschlossene oder angebundene Züge, das sind solche, die zwei ihrer Lage nach gegebene, z. B. durch vorausgegangene Messung anderer Züge bestimmte Punkte verbinden.

Die eigentliche Messung der Polygonzüge zerfällt allgemein entsprechend der Messung der Polygonseiten und Polygonwinkel in Längenmessung und Horizontalwinkelmessung. Als Polygonwinkel bezeichnet man in der Zugmessung (Stationierung, Polygonisierung, Polygonmessung) diejenigen Winkel, die — in der Richtung der Zugnumerierung gesehen — links vom Zug hegen.

Mißt man die zur planimetrischen Festlegung eines Zuges nötigen Seiten und Winkel, z. B. bei dem freien Zug in Fig. 32 sämtliche Seiten slt s₂, h und $₄ und die Winkel ßl9 ß₂ und ßZf oder bei dem geschlossenen Zug¹) in Fig. 33 die Seiten «ls s₂, s₃, s₄, s₆ und s₆ und die Winkel ßx, ß₂, ßZy ßA und ß₅, so könnte man die Züge mit Hilfe von Maßstab und Transporteur aufzeichnen. Das Aufzeichnen der Polygonzüge mit unmittelbarer

ü)

Ai

ö)

(o)

' Fig. 33.

Benützung der gemessenen Längen- und Winkelgrößen ist im allgemeinen nicht üblich und wird nur bei untergeordneten Arbeiten angewandt; in den meisten Fällen trägt man die Zugeckpunkte nach ihren rechtwinkligen Koordinaten auf, die man in bezug auf ein bereits vorhandenes oder ein beliebig gewähltes Koordinatensystem mit Hilfe der gemessenen Zugseiten uncf Zugwinkel berechnet.

¹) Bei geschlossenen Zügen mißt man mit Rücksicht auf Kontrollen für die Messung und Rechnung nicht nur die zu ihrer planimetrischen Konstruktion notwendigen Stücke, sondern sämtliche Winkel und Seiten.

§ 5. Messung von Polygonzügen.

Die Zugmessung umfaßt außer der Messung der Zugseiten und Zugwinkel die Anlage des Zuges oder des Zugnetzes, die Auswahl der Polygonpunkte und deren Bezeichnung.

Bei der

Anlage der Züge ist zunächst darauf zu achten, daß sie mit Rücksicht auf die nachfolgende Stückvermessung günstig hegen, um so für diese bequeme Aufnahmslinien abzugeben.

Die einfachste Anlage für einen offenen und einen geschlossenen Zug zeigen die Fig. 32 und 33.

Wß»

(6)

(5)

(*)

(3)

ÏÏ)

(0)

(4a)l

Fig. 34.

Bei der Aufnahme einer Straße, die im allgemeinen mit Hilfe eines nicht geschlossenen Zuges sich durchführen läßt, tritt häufig der Fall ein, daß die Einmündungen von anderen Straßen oder Wegen auf ein größeres Stück mit auf genommen werden sollen als von dem Zuge. (0), (2), (2), (3), (4), (5), (6) (Fig. 34) zunächst möglich ist; man kann sich in diesem Fall in einfacher Weise dadurch helfen, daß man an die betreffenden Steilem Polygonpunkte legt — in Fig. 34 die Punkte (2) und (4) —, die zusammen mit den entsprechend gewählten Seitenpunkten (2a) und (4a) passende Aufnahmslinien liefern, die sich durch die^ Messung der Winkel yx und y₂ auf den Hauptzug festlegen lassen.

Handelt es sich um ein größeres Gebiet, für dessen Aufnahme die Anlage eines geschlossenen Zuges wohl das Gegebene ist, ein solcher aber nicht ausreicht, so erhält man die Aufnahmslinien für das zwischen dem Hauptzug (0)—(13) (Fig. 35) hegende Gebiet dadurch, daß man einzelne seiner Punkte durch passend — z. B. Wegen entlang — gelegte Zwischenzüge verbindet. Solche Zwischenzüge (Fig. 35) sind dann angeschlossene Züge und dementsprechend bei der Messung und Rechnung zu behandeln.

f//0

(es) (Ql

(7)M

/12)

(15)

fm

TW

\d)

re)

(/},

1(13)

(1)

(0$

09

Fig. 35.

Bei Aufnahmen, die in Ländern ausgeführt werden, in denen eine Landesvermessung vorhanden ist, tritt sehr häufig der Fall ein, daß man die neu auszuführenden Aufnahmen in die vorhandenen einzupassen hat; man ist dann bei der Anlage der Züge gezwungen, diese so zu legen, daß bei der nachfolgenden Berechnung die Koordinaten der Polygonpunkte in bezug auf das

Koordinatensystem der Landesvermessung ermittelt werden können.

Handelt es sieb. z. B. um die Aufnahme der in Fig. 36 schraffierten Fläche, und sind A und B Punkte,

(8)

(7)

(11)

> v>;

IG)

T)

Fig. 36.

deren Landesvermessungskoordinaten gegeben sind, so läßt sich das Zugnetz derart anlegen, daß man zunächst

(i)

(Z)

(4)

(5)

(1Z)

y,

v//

fr

y///

(15)

W/A

VA

Yy

(10)

<1)

])

Fig. 37.

A und B durch zwei voneinander getrennte Züge A, (.1), (2), (2), (4), (5), (fi), B und B (7), (8), (9), {10), (11) A verbindet, deren Eckpunkte teilweise unmittelbar — z. B. (2) mit (11) und (Ô) mit (7) — oder durch einen Zwischenzug — (4), (12), (13), (9) — zu passenden Aufnahmslinien verbunden werden können.

Fig. 37 zeigt ein Beispiel, bei dem die Koordinaten der Punkte A, B, C und D in bezug auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem — z. B. das einer Landesvermessung — gegeben sind; um die schraffierte Fläche aufzunehmen, legt man ein Netz von Zügen, das sich zusammensetzt aus den beiden die Punkte A und B bzw. G und D verbindendenHaupt-zügen und den zwischen diese eingebundenen Zügen (2) nach (7) und (5) nach (11).

15)

IS)

(3)

18)

Fig. 38.

Sind die drei Punkte A, B und C (Fig. 38) durch ihre Koordinaten gege- ^ ben, und handelt es sich um die Aufnahme eines zwischen ihnen liegenden Gebietes, so erhält man vielfach dadurch ein passendes System von Aufnahmslinien, daß man drei von A, B und C ausgehende Züge legt, die man in einem Punkt — z. B. (3) — verknotet. Eine solche Verknotung von Zügen kann natürlich auch bei mehr als drei Zügen von Vorteil sein.

Die Auswahl der Polygonpunkte hat man derart zu treffen, daß die nicht geschlossenen Züge möglichst gerade verlaufen. Die Unterschiede in den Längen der Zugseiten sollen nicht zu groß sein; ist man durch besondere örtliche Verhältnisse zu kurzen Zugseiten gezwungen, so sollte man dafür sorgen, daß kurze Seiten so viel als möglich beieinander hegen. Je kürzer die Seiten sind, desto mehr muß man darauf sehen, daß bei der Winkelmessung die beiden benachbarten — zum Zweck des Anzielens durch Fluchtstäbe bezeichneten — Punkte womöglich unten angezielt

J obere 1 [untere/

werden können. Als der Zugseiten lassen sich etwa

Grenze für die Länge

{ 60*} m an8eben-

Die Bezeichnung der Polygonpunkte

geschieht, je nachdem den Punkten eine nur vorübergehende oder dauernde Bedeutung zukommt, mit Hilfe von eisernen Marken¹), Steinen, eingehauenen Zeichen, Tonröhren, Gasröhren oder Holzpflöcken. Zum Bezeichnen für die Zwecke der Winkelmessung oder zum Aufstecken der Punkte benützt man Fluchtstäbe, die stets auf dem Punkt selbst, unter Umständen mit Benützung von Stabhaltern aufzustellen sind; das Auf-stecken eines Stabes hinter oder vor einem, z. B. durch einen Stein bezeichneten Polygonpunkt ist mit Rücksicht auf die durch eine ungenaue Aufsteckung (siehe unten) entstehenden großen Fehler in den zu messenden Winkeln in den meisten Fällen unzulässig. Eine besondere Sorgfalt ist auf die Vertikalstellung der Stäbe zu verwenden, und zwar um so mehr, je mehr man durch die Beschaffenheit des Geländes gezwungen ist, den Stab bei der Winkelmessung nicht an seinem Fuß, sondern weiter oben anzuzielen.

Die Winkelmessung,

für die ein kleiner Theodolit mit einer Ablesung auf 30, höchstens 20" genügt, wird mit Rücksicht auf Sei-

J) Über Punktbezeichnung im allgemeinen siehe Band I, § 1.

tenstrahlen (Fig. 34) am besten satzweise ausgeführt. Bei der Messung der — links vom Zug liegenden — Polygonwinkel hat man den in der Numerierung vorhergehenden Punkt als den links liegenden, also zuerst anzuzielen.

Das Hauptaugenmerk ist bei der Winkelmessung auf eine genaue Aufstellung des Theodolits über dem Scheitelpunkt des zu messenden Winkels und auf ein genaues Auf stecken und Anzielen der Nachbarpunkte zu richten.

Hat man in dem Punkt S (Fig. 39) den Winkel/? zwischen den Punkten M und N zu messen, und wird das Instrument nicht in S, sondern in S' auf-gestellt, so wird der gemessene Winkel ß' — je nach der Lage von S' zu S — kleiner, größer oder gerade so groß wie der zu messende Winkel ß; im letzteren -Fall liegt auf dem Umkreis des Dreiecks MSN. Ist ß nahezu gleich 180°, so ist eine Verschiebung des Winkelscheitels in der Zugrichtung am wenigsten schädlich; man hat deshalb bei der Zentrierung des Instruments hauptsächlich dafür zu sorgen, daß keine Abweichung in der Richtung quer zum Zug auftritt.

Der Einfluß einer exzentrischen, quer zur Zugrichtung stattfindenden Aufstellung des Instruments auf den zu messenden Winkel läßt sich mit Hilfe der Fig. 40 ableiten, in welcher S der Scheitel des Winkels und S' der Instrumentenstandpunkt sei. Unter Benützung der angeschriebenen Bezeichnungen hat man:

Oj.

jsr

ß\

o.

£'

Fig. 39.

ß' — ß £i + S2 •

Da aber

so wird

= 6-7- sin As » S2

ex — q — sin ßx    und

si

ß' — ß = p — sin^ + p    sin As i

si

««

*%

ß*

•S'' "    .. " ”5»

-'"S*

xS'

Fig. 40.

setzt man in dieser Gleichung der Einfachheit halber Sj = s2 = 90°, so erhält man

= 5 und ßi — ß2 ⁼

K)|*Oł

ß'-ß = 2±e.

Wie diese Gleichung zeigt, ist der Unterschied zwischen ß' und ß um so größer, je kleiner s ist, so daß die Zentrierung

4^"

Fig. 41.

des Instruments bei IT' kleineren Zugseiten sorgfältiger vorzunehmen ist als bei grö & ßeren.

Wird infolge einer unrichtigen oder mangelhaften Aufstockung eines Zielpunkts N (Fig. 41) nicht dieser, sondern ein Punkt N' angezielt, so erhält man für den Einfluß s auf den zu messenden Polygonwinkel, wenn e die Entfernung von N und N' ist:

Für den Fall, daß e = 1 cm und s = 100 m ist, beträgt die Abweichung des gemessenen Winkels von dem zu messenden bereits ß' — ß= 40".

Auch hier steht der Winkelfehler

in umgekehrtem Verhältnis zur Entfernung s des Zielpunkts, woraus sich

ergibt, daß die Aufsteckung der Zielpunkte um so sorgfältiger vorzunehmen ist, je kürzer die Zugseiten sind.

Nimmt man an, daß e = 1 cm und s = 100 m ist, so erhält man e — 20".

Trotzdem, daß die von einer unrichtigen Aufstellung des Instruments und einer mangelhaften Aufsteckung der Zielpunkte herrührenden Winkelfehler sich — wie leicht einzusehen ist — gelegentlich gegenseitig aufheben können, wird man doch ihnen die Hauptaufmerksamkeit zuwenden. Mit Rücksicht auf die großen Beträge, die — wie die vorstehende Betrachtung gezeigt hat — die besagten Winkelfehler erreichen können, wird man sich jedenfalls nicht mit mehrmaligem Messen der Winkel abmühen; in den meisten Fällen wird die einmalige Messung der Winkel in jeder Fernrohrläge, also ein Satz genügen.

Zum Aufschreiben der Winkelmessung läßt sich das für satzweise Messung angegebene Formular (S. 47) unmittelbar verwenden.

Die Seitenmessung

wird mit Hilfe von Meßlatten ausgeführt, deren wahre Länge vor oder nach der Messung festgestellt werden sollte. Zur Kontrolle und zur Verschärfung der Messung mißt man alle Seiten doppelt, und zwar hin und her; wobei man die beiden Messungen noch dadurch unterscheiden kann, daß man die eine als Staffelmessung unter Benützung des Senkels, die andere mit „hegenden“ Meßlatten unter Verwendung des Gradbogens ausführt.

§ 6. Berechnung von Polygonzügen,

Die bei der Berechnung von Polygonzügen üblichen Bezeichnungen, die auch hier benützt werden mögen, sind die folgenden:

ßr ist der Polygon winkel in der Zugecke (r); sr ist die Zugseite, die von der Ecke (r — 1) ausgehend, in der Ecke (r) endigt; ar ist der Richtungswinkel der Zugseite sr, den man erhält, wenn man die durch den Anfangspunkt der Seite — also den Punkt {r — 1) — gezogene Parallele zum positiven Ast der x-Achse im Uhrzeigersinn dreht, bis sie mit der Sei-

-+æ

te sr zusammenfällt.

Als Einleitung zur Berechnung der Polygonzüge mögen zunächst zwei trigonometrische Aufgaben vorausgeschickt werden:

1. Gegeben sind die rechtwinkligen Koordinaten (xr _ i, yr-1) des Punktes (r—1) und der Richtungswinkel ocr der von ihm ausgehenden Strecke sr; gesucht sind die Koordinaten (xr, yr) des Endpunkts (r) dieser Strecke.

Man erhält mit Hilfe der Fig. 42 die allgemein gültigen Formeln:

! 3^-/

(v->

(Z

fr

(rf

Fig. 42.

(1)

( xr — xr-i + sr cos(Xr und

l Vr = yr-1 + SrSmar .

2. Gegeben ist der Richtungswinkel <xr einer Geraden (r — 1) — (r); gesucht ist der Richtungswinkel ar+i einer zweiten Geraden (r) — (r + 1), die man dadurch erhält, daß man die erste im Punkt (r) um den Winkel ßr im Uhrzeigersinn dreht.

Mit Hilfe der Fig. 43 a und b erhält man die allgemein gültige Formel:

n.

h.

—ą

(r- /)

■ĄJC —ih

lccr

(r-i)

(r)

(rf

(r+/)

ccr+1=-CCr-⁺

Fig 43.

1. Die Berechnung des freien Zuges hat folgende Aufgabe zu lösen: Von einem Polygonzug (0), (1), (2), (5) ... (n) (Fig. 44) sind gegeben alle

^_±x

2/o\

roh

0)fff

0)

ÉL

Fig. 44.

Seiten sl9 s₂, s₃ ... sn, alle Polygonwinkel ßl9 ß₂, ßs. .    die Koordinaten (æ₀, ?/₀) des Anfangs

punkts (0)¹) und der Richtungswinkel oc± der ersten

x) Sind die Koordinaten des Anfangspunkts eines freien Zuges nicht gegeben, so wird man das Koordinatensystem beliebig annehmen, und zwar im allgemeinen am besten derart, daß sein Nullpunkt mit dem Anfangspunkt des Zuges und die + er-Achse mit der ersten Zugseite zusammenfällt.

Seite s± ; gesucht sind die Koordinaten aller Polygon -punkte (2), (2), (3) ... (n).

Unter Benützung der Formeln (1) und (2) findet man: a) Für die Richtungswinkel:

± 180° + ßt ± 180° + ß₂

(3)

0C₂ = (Kx OCo = OC

>    “ «»-1 ib 1^0° "4" ßn-v

Addiert man diese Gleichungen, so erhält man

(4)    ocn — oc₁ = 2ß — k 180° (wo k eine ganze Zahl)

und damit eine Rechenprobe für die Berechnung der Richtun gs winkel.

b) Für die Koordinaten:

Vi = y₀ + si sin«i

+ s₂ sin&₂

x₂ —

y2 = Vi 2/3 = y i    + s₃ sin a₃

' xx — x₀ + si cos^l + s₂ COS(X₂

(5)    x₃ = x₂ + s₃ cos oc₃

yn==«/n-l4-SnSin«n. Auch hier erhält man durch Addition der Gleichungen Rechenproben, nämlich:

(6) xn — x₀ = 2(s cos oc) und yn — yo = 2{s sin oc)x) .

Die Berechnung wird am besten mit Hilfe eines Formulars in der aus dem folgenden Zahlenbeispiel ersichtlichen Weise ausgeführt:

In dem polygonalen Zug (0), (2), (2), (3), (4) sind gemessen die Polygonwinkel:

*) Unter 2(scos«) und 2{ssin«) ist die algebraische Summe zu verstehen.

= 63,41 m, s₃ — 92,12 m,

98,89 m, s₄ = 95,31 m.

S2

ßx = 166° 47' 30" ,

ß₂ = 199° 49' 25" ,

ferner die Seiten:

= 177° 58' 41",

Gegeben sind die Koordinaten des Punkts (0), nämlich z₀ = + 31072,68 m, y₀ = + 64867,32 m

und der Richtungswinkel¹) (Xx = 313° 01'38" der ersten Zugseite.

Ecke(r)

Seite sr

Pr

( COS cCp loS ßr

(SrSinccr

sr cos a,r

xr

Sp sin cor

(0)

±31072,68 +64 867,32

(1)

313

01

38

9.83 400

1.63 6/6

+ 43,27

6341

166

47

- AS, 35

30

1.80 216

9.86 393n

7 66 609n +31115,93 +64 820,97

(Z)

299

49

08

9.69 668

1.69 173

+ 49,17

98,89

199

49

25

- 85,80

1.99 515

9.93 832n

1.93 347n+31 165,12

+64 735,17

(3)

319

38

33

9.88 197

1.84 632

+70,20

- 59,65

92,12

177

58

41

1.96 435

9. 81128ri

1.77563/1+31235,32 +64 675,52

(4)

317

37

14

9.86 847

184 761

95,31

1.97 914

+70,41

-64,24

9.82 869n

180 783n

+31305,73+64 611,28

l) Der Richtungswinkel der ersten Zugseite ist im allgemeinen nicht gegeben, sondern muß auf Grund besonderer Hilfsmessungen (vgl. die Berechnung des angeschlossenen Zuges) erst berechnet werden.

Werkmeister, Vermessungskunde II.

und

Als Rechenproben erhält man:

2ß = 544° 35' 36" = 3.180° + («₄ - ax) 2(scos(x) = +233,05 = x₄ — xx

^(ssina) = —256,04 = y₅ — y₁ .

2. Die Berechnung des geschlossenen Zuges möge an folgendem Beispiel gezeigt werden:

Von dem Viereck (0), (7), (2), (3), (0) (Fig. 45) sind gemessen die Winkel: ßx = 260° 45' 20", ß₃ = 299° 52' 20" ,

ß₂ = 269° 15' 35", = 250° 06' 05",

cc₃

(3)i

Lo>

la

und die Seiten:

Fig. 45.

sx = 87,30 m, s₃ = 127,48 m, s₂ = 58,45 m, s₄ = 84,92 m.

Die Koordinaten irgendeines Yiereckpunkts sind nicht gegeben¹), so daß das Koordinatensystem beliebig angenommen werden kann; wählt man die Ecke (0) als Ursprung und die Seite (0) (1) als + x - Achse, so ergibt sich die Berechnung auf Grund der Gleichungen (3) und (5). Da beim geschlossenen Zug die Ecke (n) mit der Ecke (0) zusammenfällt, so vereinfachen sich die Gleichungen (4) und (6) derart, daß man an ihrer Stelle erhält :

(*')

2ß — k 180° = 0 (wo k eine ganze Zahl)

und

(6')

^(scostt) = 0 bzw. ^(ssina) = 0 .

Die Gleichungen (4') und (6') bedeuten zunächst eine Meß probe; im allgemeinen wird infolge der Unvollkommenheit der Instrumente und der menschlichen Sinne keine der beiden Gleichungen vollständig erfüllt sein; man wird vielmehr an ihrer Stelle erhalten:

(4")

2ß - k 180° = wß

und

(6") JZ(sco30c) — wx bzw. JT($sinćx) = wy .

Den beim Anschreiben der Gleichung (4") sich ergebenden Widerspruch Wß verteilt²) man gleichmäßig auf die einzelnen Polygonwinkel; die bei der Bildung der Gleichungen (6") sich zeigenden Widersprüche wx und wy verteilt²) man auf die einzelnen Produkte

¹)    Beim geschlossenen Zug ist dies meistens der Fall; wenn ein solcher an ein vorhandenes Koordinatensystem angeschlossen ist, so wird dies meistens derart der Fall sein, daß von mindestens zwei Zugpunkten (in Fig. 36 von A und B) die Koordinaten gegeben sind; die Berechnung eines solchen geschlossenen Zuges zerfällt aber ln die Berechnung von zwei angeschiossenen offenen Zügen.

²)    Vorausgesetzt, daß die Widersprüche nicht eine solche Größe erreichen, die auf grobe Versehen bei der Messung schließen lassen und daher eine Nachmessung erforderlich machen.

s cos oc und ssin^c entweder im Verhältnis der Seiten s oder im Verhältnis der Produkte selbst.

Die Berechnung selbst läßt sich mit Hilfe eines Formulars folgendermaßen durchführen:

Ecke(r) Seite $r

fr

rr

COS ccr

Hi*«.

lOJ'

\srcosocp sr cos ocr (sPsinoc,

Srsinocr

Xp

(0)

± 0,00

+ 0,00

(1)

00

00

87,30

ZOO

45

zo

+87,30

-0,0/

+0,00

+10

+0,00

(z)

SO

45

30

A20 574

0.07252

58,45

260 15

35

1.76 678

+ 0,39

-0,00

+57,60

+ 0,02

+10 9.99433

7.76 111

+06,68

+57,71

(3)

170

01

15

9.99337n

127,48

299

52

20

2.10 544

2.09 68h

-125,55

- 0,02

+ 22,09 + 0,03

+10 0.23 877

1.34 421

-28,80

+ 79,83

<4)4o)

84.02

289 53

250 06

Z/3^7079

59

45

05

9.53 187

146000

192003

+28,00 - 0,07

“79,86 + 0,03

+10 0.97327n

1902307t

± 0,00

± 0,00

20

T£=+Q,04 TÇ--0,08

Bei der Berechnung bestimmt man zunächst den Widerspruch Wß, verteilt ihn und berechnet die s cos ot und ssina mit den ausgeglichenen Winkeln; hierauf ermittelt man wx und wy, verteilt sie und berechnet mit den ausgeglichenen s cos& und ssinoc die Koordinaten der Zugpunkte.

3. Der Berechnung des angeschlossenen Zuges

(Kg. 46)

vorauszugehen hat die Berechnung der Richtungswinkel (AC) und — zur Kontrolle für die Winkelmessung — (BD) der beiden vom Anfangs- und Endpunkt des Zuges ausgehenden, durch die Koordinaten der Punkte A, B, G und D gegebenen Geraden, gegen die die erste und letzte Zugseite durch die Messung der Winkel ßa und ßb festgelegt sind.

¹

) Die Limbusschrauben dürfen während der Messung eines Satzes nicht berührt werden.

²

)    Um während der Messung jederzeit rasch ermitteln zu können, wie oft der Winkel bereits repetiert ist.

³

)    Bei manchen Instrumenten ist der Limbus mit einer für diesen Zweck angebrachten Handhabe versehen.

ß)

-0-

Fig. 46.

Man hat dabei folgende allgemeine Aufgabe zu lösen:

Gegeben sind die rechtwinkligen Koordinaten (xlt yt) und (x₂, y2) der Punkte P₁ und P₂ (Eig. 47); gesucht ist der Richtungswinkel (Pi P₂) der Geraden P± P₂.

tg(p.pa) =

(Px P₂) findet man mittels der allgemein gültigen Formel: y2 —y 1 *2 — *1 *

Die Berechnung, die aus dem folgenden Zahlen -beispiel zu ersehen ist, stützt sich wieder auf die Glei-

clmngen (3) und (5); mit Benützung der in Fig. 46 eingeführten Bezeichnungen erhält man zur Kontrolle der Messung aus (4) und (6) die den Gleichungen (4") und (6") ähnlichen:

(BD) — (AG) = (Iß - 1c 180°) + wß

xb — xa = 2(S COSOC) + Wx bzW.

Vb — Va = 2(s sirux) + wy .

(?)

und

(8)

%r\

r-

Fig. 47.

Die sich ergebenden Widersprüche Wß, wx und wy werden in derselben Weise wie beim geschlossenen Zug eingeteilt.

Beispiel: Indem Polygonzug A, (2), (2), B (Fig. 46) sind gemessen die Winkel:

ßa = 123° 55' 30" ,    ßx = 175° 49' 26" ,

ß₂ = 165° 17' 34" ,    ßb = 93° 37' 38"

und die Seiten:

sx = 117,47 m, s₂ — 102,96 m, s₃ = 103,52 m.

Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A, B, C und D, nämlich:

ya = + 65015,05, yb =+64709,62, yc= +65031,43, yd =+64692,55.

xa =+31730,55 , xb = + 31829,00 , zc = + 31622,74 , xd = + 31732,36 ,

Die Rechnung, die am besten mit Hilfe eines Formulars (S. 72) ausgefiihrt wird, beginnt mit der Berechnung der Richtungswinkel (AC) und (BD); vor Berechnung der «cos/? und «sin/? wird der Widerspruch Wß bestimmt und verteilt. Die Koordinaten der Zugpunkte werden nach Ermittlung und Verteilung der Widersprüche wx und wy unter Benützung der verbesserten «cos# und «sin(X berechnet.

Allgemeine Bemerkungen zur Berechnung der Polygonzüge.

Die 8 cos a und « sin a werden im allgemeinen — ebenso wie die Koordinaten der Polygonpunkte — auf Zentimeter abgerundet angegeben; zu ihrer Berechnung benutzt man entweder eine Logarithmentafel¹) oder eine sog. Koordinatentafel, der die natürlichen Werte der «cos« und «sin« entnommen werden können.

Für die bei angeschlossenen und geschlossenen Zügen auftretenden Widersprüche oder Anschlußfehler wß, wx und wy bestehen — soweit es sich um Zugmessungen für Katasterzwecke handelt — Fehlergrenzen, innerhalb deren die Widersprüche¹ 2) sich bewegen müssen, andernfalls eine Nach- oder Neumessung des betreffenden Zuges vorzunehmen ist.

x-y,-4 i0'3S

1.2 t 435

y,-y- -nos?

1.Z3 232, n

xc-x- - 107,81

*„ ~>V

1.98 516 n

tg (AC)

£/<S 169 n

tg (BD)

9.2,4 716

EcKe(n)

Seite sr

ce,.

(cos«v loç s„

Sinccr

srsinw,

sr cos c*r

Sr sin cor

*r

yr

/7/

123

55

30

-9

+31 730,55 +-65 O/S,05

(1)

295

70

58

9.63 051

770 044

717,47

175

49

26

Zt06 993

+ 50,77 - 0,76

-700,22

0,09

995 627w

2.02 620n +31780,56 +64 908,74

(2)

291

06

15

9.55 638

7.50 905

+■ 37,07

102,96

765

17

34

201267

0,12

- 96,06

0,09

-10 996 985n

798 252n ±31817,51 +64 812,59

JB

276

23

39

904 676

106 178

103,52 _f£_

37

38

2.01 502

+ 7153 - 0,04

-702,87

0,10

-9

9 99 729n

Z 01231 n +31829,00 +64 709,62

1(3= 558

40

08

(BD) =190° Ol'08" +98,77

- 305,15

VI ^

/3

- 37" (AC)=177° 21'37" +98,45

~505,43

T)iff= 18° 39' 31"

Wx= -0,32    -0,27

Nach den in den verschiedenen Staaten aufgesteilten Vorschriften muß im Mittel sein: a) der Winkelfehler

wß < (l,5]/w)/ oder < (3,0yn)' , wenn n die Anzahl der gemessenen Tulygonwinkel ist; und

b) der sog. lineare Anschlußfehlcr

ws < 0,015 fSs ,

wenn ws =    + w²y ist.

Zum Schluß möge noch an einigen Beispielen auf

die Berechnung von mehreren zusammenhängenden Zügen (Zugnetzen)

hingewiesen sein. Allgemein wird man die Berechnung eines ganzen Netzes zerlegen in die Berechnung einzelner Züge. Soll das in Fig. 35 gezeichnete, in keinem Punkt angeschlossene Netz berechnet werden, so beginnt man mit der Berechnung des geschlossenen Zuges (0), (1), ... (3), ... (4), ... (77), ... (0); die dabei sich ergebenden Koordinaten der Punkte (0), (2), (5), (5), (9) und (10) werden sodann der Berechnung der Zwischenzüge von (0) nach (10), von (2) nach (9) und von (5) nach (8) zugrunde gelegt, so daß diese Züge als angeschlossene zu berechnen sind.

Die Berechnung des in Fig. 37 angedeuteten, in den vier Punkten A, B, G und D angeschlossenen Netzes beginnt mit derjenigen der beiden angeschlossenen Züge A, (7), (2), (3), (4), (5), B und G, (6), (7), (8), (9), (10), (11), D, zwischen denen die zwei Züge (2), (12), (13), (7) und (5), (14), (15), (11) eingebunden sind, also als angeschlossene berechnet werden.

Tritt in einem Zugnetz ein Knotenpunkt auf (Fig. 38), so bestimmt man zunächst die Koordinaten dieses Punkts (3) mehrfach, indem man die drei von den gegebenen Punkten A, B und G ausgehenden Züge A, (1), (2), (3); B, (4), (5), (6), (3) und G, (7), (8), (3) als freie Züge berechnet. Die aus den verschiedenen Werten für die Koordinaten des Knotenpunkts sich ergebenden Mittelwerte werden als endgültige beibehalten, womit der Knotenpunkt die Rolle eines gegebenen Punktes erhält.

3. Kapitel.

Trigonometrische Punktbestimmung.

Bei der Aufnahme eines größeren Gebietes reicht das im vorigen Kapitel kennen gelernte Verfahren der

Polygonzugmessung oder polygonometrischen Punktbestimmung nicht mehr aus; es tritt ein weiteres Verfahren hinzu, das als Triangulierung (Dreiecksmessung) oder trigonometrische Punktbestimmung bezeichnet wird.

Die trigonometrische Punktbestimmung tritt in zwei verschiedenen Formen auf; nämlich als selbständige Triangulierung oder Triangulierung ohne Anschluß und als sog. Kleintriangulierung, welche das Einschalten von neuen trigonometrischen Punkten in ein bereits bestehendes Netz alter Punkte bezweckt.

§ 7. Selbständige Triangulierung.

Die selbständige Triangulierung, wie sie z. B. bei der Aufnahme eines ganzen Landes (Landesvermessung) oder bei der Absteckung sehr langer Achsen (Tunnelachsen) auszuführen ist, beruht darauf, daß eine Kette von Dreiecken (Fig. 48), in der eine Seite — die sog. Grundlinie oder Basis — und alle Winkel gemessen sind, sich planimetrisch konstruieren oder trigonometrisch berechnen läßt. Im Unterschied zur Dreiecks kette spricht man auch von Dreiecks netz (Fig. 49) und versteht darunter eine Anzahl Punkte, die durch die verschiedenen, zwischen ihnen möglichen Geraden zu — sich teils überdeckenden — Dreiecken verbunden sind.

Für das Folgende möge vorausgesetzt sein, daß die Triangulierung ein Gebiet von nur wenigen Quadratkilometern umfaßt, so daß der Messung und Berechnung der Dreiecke als Vermessungsfläche die Ebene zugrunde gelegt werden kann.

Die Messung eines Triangulierungsnetzes zerfällt in die Anlage des Netzes bzw. Auswahl der Dreieckspunkte, Bezeichnung dieser Punkte überhaupt

und für die Zwecke der Messung, Ausführung der Winkelmessung und Messung einer Grundlinie.

Bei der Anlage des Netzes (oder der Kette), die auf Grund etwa vorhandener Karten und eingehender Erkundungen im Gelände vorzubereiten ist, hat man darauf zu achten, daß die Dreiecke eine günstige Form auf weisen; zu vermeiden sind große Unterschiede in den Dreiecksseiten; die günstigste Dreiecksform ist die des gleichschenkligen Dreiecks. Da das Dreiecks netz im

Ac

Fig. 48.

Fig. 49.

Gegensatz zur Dreiecks kette gewisse Proben für Messung und Rechnung mit sich bringt, so wird man bei der Anlage soviel als möglich diejenige eines Netzes anstreben ; ob und wieweit dies möglich ist, hängt hauptsächlich von der topographischen Gestaltung des zu vermessenden Gebietes ab. Bei der Netzanlage ist Rücksicht zu nehmen auf die später zu messende Grundlinie, und als solche eine passend, womöglich horizontal gelegene Dreiecksseite auszuwählen ; unter Umständen kann es nötig werden, daß man, um eine zwecks ihrer Messung günstig gelegene Grundlinie zu erhalten, das eigentliche Netz um mehrere Dreiecke erweitern muß.

Die Bezeichnung der ausgewählten Dreieckspunkte wird, je nachdem sie eine dauernde oder nur vorübergehende — z. B. für die Zeit einer Bauausführung ausreichende — sein soll, mit Hilfe von besonders behauenen Steinen mit entsprechenden Zeichen, Rohrstücken oder Holzpflöcken vorgenommen.

Fig. 50.

Für die Aufsteckung der Punkte zum Zwecke der Winkelmessung genügen mit Rücksicht auf die im allgemeinen großen Entfernungen die gewöhnlichen Fluchtstäbe nicht mehr; an ihrer Stelle verwendet man entweder 4—5 m lange bemalte Stäbe oder gewöhnliche — am besten nicht entrindete — Stangen, die man in Abständen von etwa einem Meter mit Papier umwindet. Anstatt eines einfachen Stabes oder einer Stange verwendet man auch Holzpyramiden (Fig. 50) zum Aufstecken der Punkte ; sie haben den Vorzug, daß sie eine genaue Aufsteckung der Punkte besser und für längere Zeit gewährleisten, bei der Winkelmessung einerseits eine zentrische Aufstellung des Instruments gestatten, ohne daß sie selbst zu entfernen sind, und andererseits als Zielpunkt im Gelände bequem aufzufinden sind.

Zur Messung der Dreieckswinkel benützt man einen mittelgroßen Theodolit mit einer Ablesung an Nonien oder Skalenmikroskopen auf 10—20"; die Messung auf den einzelnen Punkten wird nach Art der satzweisen Beobachtung¹) ausgeführt, und zwar derart, daß man

x) Bei Standpunkten — z. B. auf Turmbrüstungen —, die ein Herumgehen um das Instrument zur Vornahme der Kreisablesungen aus verschiedenen Gründen — z. B. infolge Platzmangels oder der mit dem Herumgehen verbundenen Erschütterung des Instruments — nicht gestatten, ist man zur répétitions weisen Winkelmessung gezwungen.

*— je nach Bedarf — 2—4 Sätze mißt. Bei der Aufstellung des Instruments über den festgelegten Dreieckspunkten und beim Anzielen der aufgesteckten Punkte wird man — ähnlich wie bei der Zugmessung — um so größere Sorgfalt verwenden, je kleiner die Dreiecksseiten sind.

Zur Messung der Grundlinien, deren Länge bei der angegebenen Voraussetzung — Ausdehnung des Triangulierungsgebiets auf nur wenige Quadratkilometer, wie es z. B. bei Vorauf nahmen für Ingenieurbauten vorkommt — etwa 100—400 m sein wird, benützt man hölzerne Meßlatten¹) mit Endschneiden, die man aneinanderlegt, und für jede Latte ihre Neigungskorrektion mit Hilfe eines aufgesetzten Gradbogens mittelbar oder unmittelbar bestimmt. Die Messung der Grundlinie wird mehrmals — z. B. viermal — wiederholt, wobei sich die Verwendung von zwei verschiedenen Lattenpaaren empfiehlt, deren wirkliche Längen unmittelbar vor oder nach der Ausführung der Messung bestimmt werden sollten.

Die Berechnung einer selbständigen Triangulierung

hat zu unterscheiden zwischen der Berechnung einer Dreieckskette und derjenigen eines Dreiecksnetzes. Zweckmäßigerweise legt man der Berechnung ein beliebig gewähltes Koordinatensystem zugrunde, dessen Ursprung z. B. mit einem der beiden Endpunkte der Grundlinie und dessen + x - Achse mit der Grundlinie selbst zusammenfällt; der Endzweck der Berech-

J) An Stelle der gewöhnlichen Meßlatten treten bei der Messung von längeren (mehrere Kilometer langen) Grundlinien besondere „Basismeßapparate“.

nung bestellt dann in der Ermittlung der Koordinaten der Dreieckspunkte.

Die Berechnung einer Dreieckskette möge an folgendem Beispiel gezeigt werden: Um die Gerade AE, deren Endpunkte gegenseitig nicht sichtbar sind, zum Zweck eines Tunnelbaus von A und E aus abstecken zu können, wurde die in Fig. 51 gezeichnete, A und E verbindende Dreieckskette A, B, G, D, E angelegt; gemessen wurden

Et

\9

MtöH

außer der Grundlinie A B — 212,345 m (als Mittel aus mehrmaliger Messung) sämtliche Dreieckswinkel, nämlich: 61° 47' 25"

84° 13'12"

33° 59' 41"

180° 00' 18"

4 = 43° 10' 15" 5= 91° 42' 17" 0 = 45° 07' 04"

eins

179° 59' 36"

7= 53® 40'48"

8    = 66® 27' 15"

9    = 59® 52' 09"

180° 00' 12"

\\

1A

//

Fig. 51.

Wie die Zusammenfassungen von je drei zusammengehörigen Winkeln zeigen, treten bei den Dreiecksschlüssen Widersprüche auf, die man zuvor wegzuschaffen hat, indem man sie auf die einzelnen Dreieckswinkel gleichmäßig verteilt; man erhält dann an Stelle der gemessenen Winkel die ausgeglichenen:

H}

an die Seite

aus kann

{*3

erhält

180° 00' 00"

180° QW 00"

180° 00' 00"

Wählt man A als Koordinatenursprung und A B als die -f- x - Achse und berechnet man die einzelnen Dreiecksseiten mit Hilfe des Sinussatzes der Trigonometrie aus:

sin 2 sin 3 *

BC = AB

sinl

sin 3 ’

AG = AB

AD = AG

sin 5

sin 6

und

sin 7 sin9 ⁹

so erhält man die Koordinaten von E mit Probe durch Berechnung der Polygonzüge ADE und ABGE.

Mit Benützung von fünfstelligen Logarithmen findet man für die Seiten:

BC = 334,73 m,

A G = 377,92 m,

GE = GD

sin 8

sin 9 ’

DE = GD

CD = 364,92 m, AD= 533,11 m,

CE= 386,79 m, DE= 339,95 m

= 61° 47' 19" = 84° 13' 06" = 33° 59' 35"

4= 43° 10'23" 5= 91° 42'25" 6 = 45° 07'12"

7 = 53° 40' 44" 8= 66° 27'11" 9 = 59° 52' 05"

und für die Koordinaten: von B: a?& = -f 212,35 m, yb=+ 0,00 m, von D: xa —— 137,64 m, yd — -\~ 515,04 m,

von G: xc = + 178,63 m, yq = -f* 333,03 m, von E: xe = -f 135,50 m, yg= +717,42 m.

Die Absteckung der Geraden AE von dadurch bewirkt werden, daß man in den Winkel    im Uhrzeigersinn an trägt; diesen

man als Differenz der aus den Koordinaten berechneten Richtungswinkel    O)} * ^nter Benützung der

auf S. 69 abgeleiteten allgemeinen Formel zur Berechnung des Richtungswinkels einer Strecke aus den Koordinaten ihrer Endpunkte findet man

(A E) = 79° 18' 16" und (A B) = 0° 00' 00" , bzw. (EA) = 259° 18' 16" und (ED) = 216° 32' 12" und hieraus

ZL BA E = 79° 18' 16" und ^LDEA = 42° 46' 04",

Der Berechnung eines Dreiecksnetzes bat eine Ausgleichung der gemessenen Winkel nach der Methode der kleinsten Quadrate¹) vorauszugehen ; nach erfolgter Ausgleichung läßt sich die Berechnung eines Netzes in ähnlicher Weise wie die einer Kette vornehmen.

§ 8. Übersicht über eine Landesvermessung,

Im Anschluß an die Angaben über die Ausführung einer selbständigen Triangulation und als Vorbereitung für die in den folgenden Paragraphen zu besprechende Klein triangulation oder Einschaltung von trigonometrischen Neupunkten in ein vorhandenes trigonometrisches Netz — z. B. das einer Landesvermessung — soll hier eine kurze Übersicht über eine Landesvermessung und die bei ihrer Ausführung auftretenden Arbeiten gegeben werden.

Die Grundlage für eine Landesvermessung bildet die Triangulation, die darin besteht, daß man das ganze Land mit einem Netz von Dreieoken überzieht, dessen Gestalt, Größe und Lage durch entsprechende Messungen und Berechnungen festzulegen sind. Das gesamte Dreiecksnetz zerfällt in ein solches I., II., III. und meistens auch noch IV. Ordnung; das Netz I. Ordnung umfaßt Dreiecke mit Seiten etwa zwischen 30 und 100 km, das II. Ordnung solche, deren Seiten etwa zwischen 10 und 30 km liegen, das III. Ordnung Dreiecke mit Seiten etwa zwischen 3 und 10 km, und das IV. Ordnung Dreiecke, deren Seiten nur wenige — etwa 1—3 — Kilometer lang sind. Während bei der Messung und Berechnung das Netz I. Ordnung als selbständige Triangulierung zu betrachten ist, hat man bei der Bearbeitung der

!) Vgl. Sammlung Göschen: Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Netze höherer Ordnung die Aufgaben der Kleintrianguliemng zu lösen, indem für jedes Netz das vorhergehende die Grundlage liefert.

Die Messung des Dreiecksnetzes I. Ordnung zerfällt in die Anlage des Netzes, die Festlegung und die Bezeichnung der Dreieckspunkte, die Winkelmessung, die Messung der Grundlinie und die zu seiner geographischen Lagebestimmung nötigen astronomischen Messungen.

Fig. 52.

Die Anlage des Netzes, bestehend in der Auswahl der Netzeckpunkte, wird unter Benützung etwa vorhandener Karten auf Grund von eingehenden, über das ganze Land sich erstreckenden Erkundungen vorgenommen; dabei ist besonders auf eine günstige Gestalt¹) der Dreiecke zu achten, bei denen große Unterschiede zwischen den Seiten oder sehr spitze Winkel möglichst zu vermeiden sind. Schon bei der Anlage des Netzes ist eine für die Zwecke ihrer Messung günstig gelegene Grundlinie zu suchen; als solche wählt man eine in horizontalem Gelände gelegene, wenige Kilometer lange Strecke²), die mit Hilfe eines besonderen Dreiecksnetzes — dem sog. Basisnetz — mit dem Hauptnetz in Zusammenhang gebracht werden muß. Als Beispiel für ein Dreiecksnetz I. Ordnung möge das in Fig. 52 gezeichnete Netz von Elsaß-Lothringen dienen; Fig. 53 zeigt das zugehörige Basisnetz.

Nach der Auswahl der Dreieckspunkte werden diese, soweit dafür nicht natürlich bezeichnete Punkte, wie Kirchtürme, Aussichtstürme u. dgl., gewählt wurden, versichert, indem man sie durch Granitquader von entsprechender Größe festlegt.

ł) Die beste Dreiecksgestalt ist die des gleichseitigen.

²) Eine Dreiecksseite unmittelbar als Grundlinie zu wählen, wird mit Rücksicht auf die Länge der ersteren in den seltensten Fällen möglich sein.

Werkmeister, Vermessungskunde II.

Die Winkelmessung, die mit Hilfe von großen Theodoliten mit Schraubenmikroskopablesung ausgeführt wird, erfordert zur Aufstellung des Theodolits, der wegen seiner Schwere und wegen der Sicherheit in der Aufstellung nicht mehr auf einem Stativ verwendet wird, besondere Vorrichtungen, die darin bestehen, daß über den Punkten je nach Bedarf Steinpfeiler oder Holzpyramiden, letztere mit Rücksicht auf notwendige Zielungen oft in der Höhe bis zu zwanzig und mehr Meter, errichtet werden müssen. Als Zielpunkte müssen die Punkte mit Hilfe eines besonderen — als Heliotrop bezeichnten — Instruments kenntlich gemacht werden; dieses Verfahren besteht darin, daß in dem etwa handgroßen Heliotropspiegel die Sonnenstrahlen aufgefangen und in der Richtung zum Theodolitstandpunkt weitergegeben werden. Die Anordnung der Winkelmessung ist meistens derart, daß jeder Winkel für sich, zur Unschädlichmachung etwa vorhandener Kreisteilungsfehler in verschiedenen Lagen des Limbus gemessen wird; der mittlere, bei Dreiecksnetzen I. Ordnung auf tretende Winkelfehler beträgt rund 1".

Fig. 68.

Zur Messung der Grundlinie dienen besondere Apparate¹); die am meisten angewandten werden nach Bessel, Brunner und Jäderin bezeichnet. Der Besselsche Grundlinienmeßapparat besteht aus zwei — je 2 Toisen langen — als Metallthermometer ausgebildeten Metallstäben, die bei der Messung auf Böcke aufgelegt werden, wobei die Zwischenräume mit Hilfe eines sog. Meßkeils gemessen werden. Der Brunnersche Apparat besteht aus nur einer 4 m langen Eisenstange, die an ihrer oberen Fläche auf Platinplättchen eingravierte Marken trägt; der Abstand zwischen zwei auf-

L) Sammlung Göschen: C. Beinhertz, Geodäsie.

einanderfolgenden Lagen der Stange wird mit Hilfe eines für sich auf gestellten Schraubenmikroskops gemessen. Der erstmals von Jäderin angewandte Apparat besteht aus einem — gewöhnlich 24 m langen — Draht, der neuerdings aus Invar — einer Nickelstahllegierung mit sehr geringem Wärmeausdehnungskoeffizienten — hergestellt wird; der Draht ist an seinen Enden mit in Millimeter geteilten Maßstäbchen versehen, mit deren Hilfe die Längen der in Stücke von ungefähr 24 m eingeteilten Grundlinie durch unmittelbares Anlegen und Ablesen bestimmt werden. Der mittlere Fehler bei der Messung einer Grundlinie beträgt etwa 1—3 mm für 1 km.

Die zur Bestimmung der geographischen Lage des Netzes nötigen Messungen zerfallen in die unmittelbare³) astronomische Messung der geographischen Koordinaten (Breite und Länge) irgendeines Dreieckspunkts und in die unmittelbare³) astronomische Messung des als Azimut bezeichnfiten Winkels, den eine von jenem Punkt ausgehende Dreieckseite mit der astronomischen Nordrichtung einschließt.

Bei der Berechnung desDreiecksnetzes I. Ordnung hat man folgende Arbeiten auszuführen: Ausgleichung der gemessenen Winkel nach der Methode der kleinsten Quadrate, Wahl eines sphärischen Koordinatensystems, Berechnung der Längen und Richtungswinkel der Dreiecksseiten und Berechnung der sphärischen und geographischen Koordinaten der einzelnen Dreieckspunkte. Die Ergebnisse der Berechnung und damit der ganzen Triangulation I. Ordnung werden in den sog. Abrissen zusammengestellt.

An die Triangulation I. Ordnung schließt sich die Bestimmung der trigonometrischen Punkte II., III. und IV. Ordnung an; das Gesamtnetz der trigonometrisch bestimmten Punkte bildet die Grundlage für die polygonometrisch zu bestimmenden Punkte. Die Stückvermessung stützt sich auf das trigonometrische und polygonometrische Punktnetz; ihre Ergebnisse werden in den Katasterkarten (Flurkarten) zusammengestellt.

§ 9. Kleintriangulierung.

Die Aufgabe der Kleintriangulierung bestellt in der Einschaltung neuer trigonometrischer Punkte, sog. Neupunkte, in ein vorhandenes Netz alter Punkte durch Winkelmessung allein; man spricht dabei von Netzeinschalt ung, bei der es sich um die mehrerer Punkte zusammen handelt, und von Punkteinschaltung, wenn jeder Punkt für sich eingeschaltet wird. Im folgenden soll nur von Punkteinschaltung die Rede sein.

Liegen die Scheitel der zu messenden Winkel in gegebenen Punkten, so wird der Neupunkt „vorwärts eingeschnitten“; liegen sie alle im Neupunkt, so wird dieser „rückwärts eingeschnitten“; entsprechend diesen beiden Fällen spricht man von Punktbestimmung durch Vorwärtseinschneiden und Punktbestimmung durch Rückwärtseinschneiden. Liegen die Scheitel der zu messenden Winkel teils in alten Punkten, teils im Neupunkt, so spricht man von einer Punktbestimmung durch Gegenschnitt oder durch vereinigtes — Vorwärts- und Rückwärts- — Einschneiden.

ß\B

joc

Fig. 54.

Zur Festlegung des Neupunkts P (Fig. 54) durch Vorwärtseinschnitt genügen die zwei in den gegebenen Punkten A und B zu messenden Winkel oc und ß, durch welche die beiden Strahlen A P und BP bestimmt sind. Zur Festlegung des Neupunkts P (Fig. 55) durch Rückwärtseinschnitt genügen die beiden, in P zu messenden Winkel oc und ß, durch welche die in P sich schneidenden Umkreise der beiden Dreiecke PAC und PBC bestimmt sind. Zur Festlegung des Neupunkts P (Fig. 56)

durch Gegenschnitt genügen die beiden Winkel oc und ß, durch welche der Umkreis des Dreiecks PAB und der ihn in P schneidende Strahl A P bestimmt sind. Die in

Fig. 56.

Fig. 55.

den Fig. 54, 55 und 56 angegebenen Arten der Punktbestimmung, bei denen nur die zur Festlegung des Neupunkts unbedingt nötige Anzahl von Winkeln gemessen wird, bezeichnet man als einfaches Einschneiden und unterscheidet demnach :    einfaches

\CC

V orwärtseinschneiden, einfaches Rückwärtseinschneiden und einfaches vereinigtes Einschneiden.

Fig. 57.

Im Gegensatz zum einfachen Einschneiden spricht man auch vom mehrfachen Einschneiden und bezeichnet damit diejenigen Arten von Punktbestimmung (Fig. 57.

58 und 59), bei denen mehr als die zur Festlegung des Neupunkts unbedingt erforderliche Anzahl von Winkeln gemessen wird. Fig. 57 zeigt einen mehrfachen Vor-~ wärtseinschnitt ; zur Festlegung des Neupunkts P durch Winkelmessung auf gegebenen Punkten wurden nicht nur zwei Winkel, sondern drei — oc, ß und y — in den Punkten A, B und C gemessen. Fig. 58 zeigt einen mehrfachen Rückwärtseinschnitt, bei dem im Neupunkt P nicht nur zwei, sondern mehr Winkel gemessen sind. Der Neupunkt P in Fig. 59 ist durch mehrfachen Gegenschnitt bestimmt, indem nicht nur zwei, sondern drei Winkel — zwei davon im Neupunkt — gemessen sind.

cc

Fig. 58.

©r

OC

ul

i)

Fig. 59.

Während beim einfachen Einschneiden der Neupunkt durch den Schnitt zweier Geraden, zweier Kreise oder

einer Geraden und eines Kreises, also eindeutig bestimmt ist, wird beim mehrfachen Einschneiden, wo man den Neupunkt als Schnitt von mehr als zwei Geraden oder Kreisen erhält, die infolge von nicht zu vermeidenden Messungsfehlern im allgemeinen nicht durch .einen Punkt gehen, der Neupunkt mehrdeutig bestimmt; man hat deshalb beim mehrfachen Einschneiden den Neupunkt durch ein graphisches oder rechnerisches Ausgleichungsverfahren¹) zu ermitteln.

§ 10. Einfacher Vorwärtseinschnitt.

Die Behandlung der Aufgabe des Vorwärtseinschneidens möge an folgendem Beispiel gezeigt werden:

Gegeben sind die Punkte A, B, C und D (Fig. 60) durch ihre rechtwinkligen Koordinaten in bezug auf ein vorhandenes Koordinatensystem, nämlich:

xa = + 170,32 m , ya =+375,42 m , xc—-\- 98,73 m , ye= +103,45 m ,

Xf, — +503,28 m , yb =+572,88 m , xd—-\-190,54 m , yd = +720,24 m .

Gemessen sind zur Bestimmung des Neupunkts P durch sechsfache Repetition im Punkt A²) der Winkel zwischen C links und P rechts (pa = 87 ° 45' 25" und in B der Winkel zwischen D links und P rechts cph = 113° 32'45".

Man berechnet zuerst die Richtungswinkel (AC)$ (BD) und (AB) bzw. (BA); auf Grund der auf S. 69 angegebenen Formeln hat man:

n Vgl. Sammlung Göschen: Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung. a) Die Punkte A und B rnd gegenseitig nicht sichtbar.

tg(AC)-

Vc — Va

Xc Xa

tg (BD) =

Vd — Vb

t g(AB) =

Vb — Va

Xb — xa

und (BA) = (AB) ± 180° .

-o-

+æ

A '■

Fig. 60.

Mit Benützung der gegebenen Zahlenwerte findet man (.AG) = 255° 15' 09" (BD) = 154° 46' 15" ,

(AB) = 30° 40' 12" (BA) = 210° 40' 12" .

Mit Hilfe dieser Richtungswinkel und der gemessenen Winkel erhält man allgemein für die Richtungswinkel (AP) und (BP):

(A P) = (AG) + <pa und (BP) = (BD) + <pb

oder

(A P) = 343° 00' 34" und (BP) = 268° 19' 00" .

Damit lassen sich die Winkel oc und ß bestimmen, nämlich :

ot =(AB) — (AP) und ß = (BP) — (BA)

oder

und

ß -57° 38' 48".

* - 47° 39' 38"

Mit Hilfe des Sinussatzes erhält man:

AP = AB

sinß

sin (oc + ß)

und BP = AB

sin&

sin(& -f- ß) '

Die Entfernung AB der Punkte A und B läßt sich entweder mit Hilfe des pythagoreischen Satzes aus ihren Koordinatendifferenzen oder bequemer mit Hilfe des schon berechneten Richtungswinkels (AB) bestimmen aus

oder

xb — xa cos (AB)

man findet AB = 387,09 m und damit ÄP = 339,02m und BP — 296,65 m. Mit Benützung der Formeln auf S. 62 findet man die Koordinaten (x, y) von P aus denen von A, dem Richtungswinkel (AP) und der Strecke AP, nämlich:

x — xa + A P cos (A P) und y = ya AP sin(^4 P)

und zur Kontrolle für die Rechnung aus den Koordinaten von B, dem Richtungswinkel (BP) und der Strecke (BP), nämlich:

x = xb + BP cos (BP) und y = ya + BP sin(BP).

AB =

Vb —V a

sin (A B)

Ł);

¹) Diese Formeln für die Berechnung der Länge einer Strecke aus den Koordinaten ihrer Endpunkte und ihrem Richtungswinkel sind allgemein gültig.

Nach Einsetzung der gegebenen Zahlen werte findet man im vorliegenden Beispiel

x — + 494,56 m und y = + 276,35 m.

Die Berechnung wird je nach der Größe des Dreiecks PAB mit Hilfe von fünf-, sechs- oder siebenstelligen Logarithmen vorgenommen.

§ 11. Einfacher Rückwärtseinschnitt.

Die Behandlung der Aufgabe des Rückwärtsein-sehneidens⁴) soll an folgendem Beispiel gezeigt werden:

♦a-

7,

\yi

Fig. 61.

Der Neupunkt P (Fig. 61) wurde durch Messung der beiden Winkel oc und ß in P über die Punkte A,

B und C rückwärts eingeschnitten ; gegeben sind die rechtwinkligen Koordinaten dieser Punkte, nämlich:

za = +521,43 m , xb = + 98,74 m , zc = +910,12 m , ya = +115,68m , yb = +750,48 m , yc = +660,55 m ; gemessen sind ferner in drei Sätzen

cc = 95° 16' 36" , ß = 121° 40' 12" .

Man beginnt mit der Berechnung der Richtungswinkel {CA) und {CB) und der Strecken CA und CB, die man erhält aus:

und

man:

t g {CA) =

ya — yc

Xa — xc

y a — yc

sin {CA)

t g{CB) =

oder

oder

yb — yc

xb — xc

ftq — cos {CA) xh — xc cos (CR)

yb — yc sin {CB)

Aus den Richtungswinkeln {CA) und {CB) findet y = (CA) - {CB)

CB =

und

(AC) = (CA) + 180° bzw. (BC) = {CB) + 180° .

Bezeichnet man die Winkel in A und B mit cp und \p, so hat man

(p + yj = 360° — {oc + ß + y)

(i)

und

AC

= tgA

sin yj

sin cp

sin&

BC

sin/5

(wo X ein Winkel zwischen 0 und 90°).

Durch Anwendung der korrespondierenden Addition

smxp sin cp

— tg/ nach ent-

und Subtraktion erhält man aus sprechenden Umformungen

*£^_tg£+JLolg(4S. + J)

und damit (p — xp.

Mit Hilfe von cp und xp findet man die Richtungs^ winkel (AP) und (BP) und die Strecken AP und BP aus

(3)

[AP) = {AC) cp ,

(BP) = (BC) - xp

(4)

und

AP = AC

sin(a + <p)

sin (ft + W)

BP = BC

sin ft

und mit diesen die Koordinaten x und y von P doppelt, nämlich :

sina

oder

x = xa + AP cos (AP) — xb + PP cos (PP), oder

y = Va + APsin (4P)    = yb + BPs'm(BP) .

Der Gang der Rechnung, die je nach der Größe der Dreiecke mit fünf-, sechs- oder siebenstelligen Logarithmen auszuführen ist, ist der folgende:

Nachdem die Richtungswinkel und die Längen der Seiten CA und CB berechnet sind, bestimmt man den Hilfswinkel A mit Hilfe der Gleichung (2); mit A und

(p -\- xp aus Gleichung (1) erhält man ^ — — aus Gleima

chung (3) und damit aus cp + xp und cp — xp die Winkel cp und xp selbst. Hiermit berechnet man die Richtungswinkel und Längen der Seiten AP und BP nach den

(5)

Gleichungen (4), und findet dann zur Probe doppelt die Koordinaten x und y von P mit Benützung der Gleichungen (5).

(CB) = 173° 40' 32"

In dem oben angegebenen Zahlenbeispiel findet man : (CA) = 234° 29'53" ,

logCM = 2-82 562

(AC) = 54°29'53" ,

y = 60° 49'21" ,

log CP = 2 • 91 188 ,

(BC) = 353° 40' 32" ,

X = 35° 01'14" ,

cp — xp

41°06"55",

cp = 49° 50'48" , (AP) = 104°20'41" , logiP = 2-58 472 , x = +426,22 m ,

= 8°43'53" ,

y> = 32° 23/ 02" , (BP) = 321° 17'30" , logBP = 2 • 62 291 , y = +488+4 m .

§ 12. Über die Zentrierung der Standpunkte und Zielpunkte.

Im vorhergehenden wurde stillschweigend angenommen, daß es stets möglich sei, den Theodolit unmittelbar in oder über dem Punkt aufzustellen, in dem die Winkelmessung ausgeführt werden soll; dies ist jedoch nicht immer der Fall, man ist vielmehr oft aus verschiedenen Gründen¹) gezwungen, den Theodolit „exzentrisch“ aufzustellen. Auch bei der Bezeichnung der Zielpunkte für die Zwecke der Winkelmessung tritt oft der Fall ein, daß ein Punkt nicht unmittelbar auf gesteckt werden kann; man ist aus irgend einem Grund¹) gezwungen, den Punkt „exzentrisch“ aufzustecken. Entsprechend diesen beiden Fällen spricht man von einer Exzentrizität des Standpunkts und einer solchen des Zielpunkts. Tritt einer dieser Fälle ein, so hat man die exzentrischen Punkte gegen die eigentlichen Punkte

Ł) Z. B. um gewisse Zielungen überhaupt möglich zu machen.

durch die Messung der nötigen Größen — der sog. Zentrier ungsele mente — festzulegen.

¹

)    Eine fünfstellige Tafel wird in den meisten Fällen ausreichen; bei untergeordneten Zügen wird oft eine vierstellige genügen.

²

)    Treten bei Polygonzügen auffallend große Widersprüche auf, so weisen diese auf grobe Messungsfehler; ob diese Winkel- oder Längenfehler sind, läßt sich mit Hilfe der für die Messungen bestehenden Kontroll-gleichungen rasch übersehen. Der fehlerhafte Winkel — in vielen Fällen auch die fehlerhafte Seite — läßt sich auf Grund einer einfachen pianinie trischen Überlegung ermitteln, so daß man der Nachmessung des ganzen Zuges meistens enthoben ist.

³

) An Stelle der unmittelbaren Messung tritt oft — z. B. bei dem Netz von Elsaß-Lothringen — die mittelbare, durch Übertragung von einem bereits festgelegten Netz.

⁴

) Die Aufgabe ist bekannt als Pothenotsche oder auch als Snelliussche

Aufgabe.

1. Exzentrizität des Standpunkts.

Im Punkt S (Fig. 62) soll der Winkel a zwischen den beiden Zielpunkten A und B gemessen werden; das Instrument kann nicht in S selbst, sondern muß in einem Punkt 8' aufgestellt werden, so daß an Stelle des Winkels AS B = a der Winkel A8'B = a' gemessen wird. Um die Punkte 8 und 8' gegenseitig festzulegen, mißt man die Strecke S'S = e und in S' einen der beiden Winkel ßl und ß₂, welche die Gerade S'S mit den Zielungen nach A und B einschließt.

a.

ä,

cc

cc'

<p

A{

's

h.

K'' B

d.

cc

'<x.

J' TS

Fig. 62.

Aufgaben der trigonometrischen Punktbestimmung, für welche Winkelmessungen auf exzentrisch liegenden Standpunkten vorhanden sind, können auf zweierlei Arten behandelt werden; entweder rechnet man die exzentrisch gemessenen Winkel um, oder man berechnet mit Hilfe der

Zentrierungselemente die Koordinaten von

gegeben sind berechnet wurden

aus denen

von

{ÎM

also S ein

wenn nachdem /gegebener Punkt! . , \ Neupunkt / lst*

diese

}•

wenn

a) U mrechnung der exzentrisch gemessenen Winkel.

In den Fig. 62 sind die vier möglichen Fälle in der Lage des Punkts S' zu dem Punkt S angegeben; für den umgerechneten Winkel a findet man mit Benutzung der eingeschriebenen Bezeichnungen:

= «' + <p + y> (Fig. 62a),

= a'— cp— yj (Fig. 62b),

= a'+cp — yj (Fig. 62c), a — a' — cp yj (Fig- 62d).

Für die Winkel cp und ip erhält man durch Anwendung des Sinussatzes auf die Dreiecke ASS' und BSS'

sin cp = —&mß₁

wo cp und ip kleine Winkel sind, da S' stets so nah als möglich bei S gewählt wird, e also im Verhältnis zu st und s₂ sehr klein ist; man darf deshalb schreiben:

cp = —q sin^

und

ßinip == — sin,

und

«i

V = — 6 sin ßt .

S2

Die Größen e und ß± bzw. ß₂ in diesen Gleichungen werden bei der Ausführung der Winkelmessung unmittelbar gemessen; die Entfernungen AS — s± und BS = s₂ der Zielpunkte müssen entweder durch Abstechen einer Karte entnommen werden, oder müssen aus den Koordinaten der Punkte A bzw. B und S berechnet werden, wobei, wenn einer der Punkte ein Neupunkt ist, dessen Lage in der Karte oder dessen Koordinaten zuvor genähert zu ermitteln sind.

Die Genauigkeit der Winkel cp und y und damit diejenige von a ist abhängig von der Genauigkeit, mit welcher die Größen e, s und ß ermittelt wurden, e und ß sind um so schärfer zu messen, je kleiner s ist; ß und s sind um so schärfer zu bestimmen, je größer e ist.

b) Umrechnung der Koordinaten.

Ist der Punkt S ein alter, durch seine Koordinaten gegebener Punkt, so lassen sich aus diesen mit Hilfe der Zentrierungselemente die Koordinaten des exzentrischen Standpunkts S' ableiten, und mit diesen die weiteren Berechnungen

durchführen. Ist S ein z. B. durch Rückwärtseinschnitt zu bestimmender Neupunkt, so berechnet man zunächst die Koordinaten von S' und leitet dann aus diesen mit Hilfe der Zentrierungselemente diejenigen des Punkts S ab. Für den letzteren Fall, bei dem S Neupunkt ist, ist die Berücksichtigung eines exzentrischen Standpunkts durch Umrechnung der Koordinaten am meisten zu empfehlen.

2. Exzentrizität des Zielpunktes.

Ein Punkt P soll zum Zweck der Winkelmessung als Zielpunkt aufgesteckt werden; aus irgendeinem Grund kann

man P nicht selbst, sondern einen Punkt P' aufstecken.

© Punkt P' gegen P fest-J* zulegen, mißt man (Figur 63) die Zentrierungs-elemente PP' = e und den Winkel a, den die Gerade PP' mit einer z. B. nach dem Punkt auszuführenden Zielung einschließt. Um die exzentrische Aufstockung des Zielpunkts P zu berücksichtigen, kann man wieder zwei Wege einschlagen; entweder, rechnet man die nach P' gemessenen Winkel auf P um, oder man bestimmt

die Koordinaten von

3*'

Fig. 63.

?}

JP’

Um den

aus denen von

{?}•

wenn P

ein

alter Punkt Neupunkt

| ist,

die Koordinaten von

jp/j also |

ge-

be

geben sind    \

rechnet werden können! *

a) Umrechnung der Winkel.

Die auf dem Standpunkt S (Fig. 63) gemessenen Winkel sind zu

ist. Den

{verkleinern} um ^ Winkel <p, je nachdem bei der Winkelmessung P' der w^btel Zielpunkt

Winkel cp findet man durch Anwendung des Sinussatzes auf das Dreieck SP'P, nämlich:

sin œ = — sin <x . s

Diese Gleichung geht, da e im Verhältnis zu s im allgemeinen klein gewählt werden kann, über in

<p =

— q sin a . s

Da diese Gleichung genau so gebaut ist, wie die bei der Exzentrizität des Standpunkts betrachtete, so gilt für die Abhängigkeit der Genauigkeit des Winkels cp von den Größen e, s und a dieselbe Bemerkung wie dort.

b) Umrechnung der Koordinaten.

Ist P ein Neupunkt, so bestimmt man zunächst z. B. durch Vorwärtseinschnitt die Koordinaten von P', und leitet aus diesen mit Hilfe der Zentrierungselemente diejenigen von P ab. Ist P ein alter, durch seine Koordinaten gegebener Punkt, so kann man aus diesen mittels e und a die Koordinaten von P' berechnen und rechnet mit diesem Punkt weiter.

4. Kapitel.

Absteckungsarbeiten.

Die bei Eisenbahn-, Straßen- und Wasserbauten für die Zwecke des Entwurfs vor der Bauausführung vorzunehmenden Arbeiten teilt man gewöhnlich ein in Voruntersuchungen, allgemeine Vorarbeiten und ausführliche Vorarbeiten; ein Teil der letzteren besteht in der Übertragung des in den Zeichnungen festgelegten Entwurfes ins Feld oder in der Absteckung einer aus Geraden und Kreisbögen sich zusammensetzenden Linie, der Achse des Bauwerks.

§ 13. Die Übertragung von Entwürfen ins Feld-

Die Übertragung der Entwürfe ins Feld ist abhängig von der Art und der Beschaffenheit der bei den ausführlichen Vorarbeiten für die endgültige Festlegung

Werkmeister, Vermessungskunde II.

des Entwurfes zur Verfügung stehenden Horizontalaufnahme; diese kann entweder schon fertig vorhanden sein, z. B. in Form von gedruckten Katasterkarten oder Flurkarten, oder sie muß für die Zwecke der ausführlichen Vorarbeiten erst ausgeführt werden.

Liegt eine ältere Aufnahme bereits vor, von der in den meisten Fällen nur die Ergebnisse in Form eines Planes oder einer Karte, nicht aber die Aufnahme selbst — also z. B. keine Messungszahlen — vorhanden sein werden, so ist die Übertragung oder Absteckung davon abhängig, ob jene genügend viele, unzweideutig in der Zeichnung und im Felde gegebene Punkte — wie z. B. Grenzsteine — enthalten, auf welche die abzusteckende Linie einwandfrei festgelegt werden kann. Ist das letztere der Fall, so besteht die Absteckung der Linie darin, daß man einzelne ihrer Punkte, ihre sog. Hauptpunkte, welche gerade Strecken oder Kreisbögen mit gleichem Halbmesser begrenzen — also Bogenanfänge, Bogenwechsel und Bogenenden —, in der Zeichnung durch Abstechen ihrer Entfernungen¹) von den nächstgelegenen Grenzsteinen u. dgl. auf diese festlegt und mit Hilfe der abgestochenen Maße ins Feld überträgt.

Sind — z. B. infolge weiter Parzellierung — nicht genügend viel Anhaltspunkte vorhanden, die die Absteckung sämtlicher Hauptpunkte ermöglichen, so überträgt man zunächst diejenigen Hauptpunkte, die sich mit genügender Sicherheit in der angegebenen Weise ab-stecken lassen; die zwischen diesen liegenden Punkte erhält man dann im Felde dadurch, daß man die sie verbindenden Polygonzüge — an Stelle der Kreisbögen der abzusteckenden Linie treten dabei deren Tangenten

— durch unmittelbares Abstecken bzw. Abmessen ihrer Winkel und Seiten überträgt.

Mußte man für die Zwecke des Entwurfes eine neue Horizontalaufnahme erst ausführen, so gestaltet sich die Übertragung des Entwurfes ins Feld im allgemeinen sehr einfach, da sich die Absteckung auf Grund der bei den Vor auf nahmen benutzten und im Feld versicherten Aufnahmslinien vornehmen läßt.

§ 14. Die Absteckung von Geraden mit Hilfe des Theodolits.

Bei der Absteckung sehr langer Geraden oder bei der Absteckung kurzer, jedoch mit großer Genauigkeit abzusteckender Geraden genügen die in Band I angegebenen Verfahren und Instrumente nicht mehr; man benützt dann den Theodolit.

Bei der Absteckung von Punkten einer durch zwei Punkte A und B gegebenen Geraden mit Hilfe des Theodolits sollen im folgenden drei Fälle unterschieden werden :

1. Der Theodolit kann in einem der beiden gegebenen Punkte, z. B. in A (Fig. 64), auf gestellt werden, und es sollen zwischen A und B liegende Punkte der Geraden abgesteckt werden.

AL

P₃ Ą    P₇    B

-os — o—-o2-©

Fig. 64.

Nehmen wir an, daß der Theodolit von Achsenfehlern frei ist, so wird die Absteckung derart vorgenommen, daß man, nachdem das Instrument mittels eines angehängten Senkels über A aufgestellt, und seine Umdrehungsachse mit Hilfe der Libelle und der Fußschrauben vertikal gestellt wurde, den Punkt B scharf anzielt und dann — bei festgehaltenem Limbus und festgehaltener Alhidade — die Punkte P₁, P₂, P₃ ... der Reihe nach einweist.

Ist über die Größe der Achsenfehler des zu verwendenden Instruments nichts bekannt, so genügt es trotzdem, die Absteckung in der angegebenen Weise vorzunehmen, solange die Zielungen nach B, P1} P₂ ... alle unter demselben Winkel gegen die Horizontale geneigt sind, so daß das Fernrohr zwischen den einzelnen Zielungen gar nicht oder doch nur wenig gekippt werden muß.

Weiß man von der Größe der Achsenfehler nichts, und haben die Zielungen nach B, Plf P₂ ... sehr verschiedene Höhen- oder Tiefenwinkel — hegt z. B. B auf einer Anhöhe, und liegen die anderen Punkte in einem Tale —, so genügt die Absteckung in einer Fernrohrlage nicht; man ist dann gezwungen, nach der Einweisung eines Punkts P in der angegebenen Art, das Fernrohr durchzuschlagen und die Einweisung in der zweiten Fernrohrlage zu wiederholen; erhält man dabei je einen zweiten Punkt, so stellt der Mittelpunkt der durch die beiden Punkte bestimmten Strecke den gesuchten Punkt vor.

2. Der Theodolit kann in einem der beiden Punkte, z. B. A (Fig. 65), aufgestellt werden, und es soll die Gerade über A hinaus verlängert werden.

Nachdem der Theodolit über A aufgestellt und seine Umdrehungsachse vertikal gestellt ist, zielt man den Punkt B an, schlägt das Fernrohr — bei festem Limbus und fester Alhidade — durch und weist den Punkt P' ein; hierauf zielt man durch Drehen des Limbus — oder auch nur der Alhidade — den Punkt B wieder an, schlägt das Fernrohr nochmals durch und weist den Punkt P" ein; der Mittelpunkt P der Strecke P'P" ist dann ein Punkt der Geraden BA.

Bei dieser Aufgabe empfiehlt es sich, die Absteckung stets in zwei Fernrohrlagen vorzunehmen.

Po.......

...........

Fig. 65.

3. Der Theodolit kann oder soll aus irgendeinem Grunde¹) in keinem der beiden Punkte A und B (Fig. 66) auf gestellt werden; man soll Punkte der Geraden AB zwischen den gegebenen bestimmen.

* ! czTe

Fig. 66.

Diese Aufgabe wird durch Versuche gelöst, indem man mit Hilfe eines der einfachen Instrumente zum Aufsuchen von Punkten einer Geraden (Kreuzscheibe, Spiegelkreuz, Prismenkreuz) einen Punkt P± bestimmt. In diesem Näherungspunkt Px mißt man mit dem Theodolit den Winkel AP^B = cc; bestimmt man durch Messen mit Meßlatten oder Meßband, durch Abschreiten oder nach Eintrag der Punkte A, B und Px in einen Plan durch Abgreifen aus diesem, die Entfernungen AP₁—sa und BP₁=sb, so kann man die Höhe

Z. B. kann die Entfernung zwischen beiden Punkten so groß sein, daß das Ein weisen von Zwischenpunkten nicht bequem auszuführen ist.

PXP = e des Dreiecks APXB, um die man den Punkt P1 noch verschieben muß, folgendermaßen berechnen:

Für den doppelten Inhalt J des Dreiecks hat man einerseits :

2 J = sa$&sin&

und andererseits, da A B näherungsweise gleich sa + sb ist:

2 J = (sfl H sb)e ;

aus diesen beiden Gleichungen erhält man:

SgSb sa + $b

(wenn ß = 180° — oc) .

sin oc

Sa sb ß ⁵a + sb Q

Nach Absteckung des Punktes P von aus wird man zur Probe den Winkel APB messen; zeigt dieser noch eine Abweichung von 180°, so berechnet man noch eine zweite Verschiebung.

§ 15. Die Absteckung von beliebig großen Winkeln.

Gegeben sind zwei Punkte S und A (Fig. 67); man soll eine Gerade SB abstecken, die mit SA den gegebenen Winkel oc einschließt.

Die Lösung dieser Aufgabe besteht darin, daß man zunächst einen Punkt, z. B. B, der gesuchten Geraden durch Versuche absteckt und sodann zwischen S und B weitere Punkte ein weist. Den Punkt B findet man folgendermaßen: Nachdem der Theodolit über S aufgestellt und seine Umdrehungsachse vertikal gestellt ist, zielt man den Punkt A an, macht an einem der beiden Nonien die Ablesung a, dreht die Alhidade um den Winkel oc, so daß man an demselben Nonius die Ablesung a + oc macht, und weist nun einen Punkt B₁ ein;

der Winkel ASBX ist dann genähert gleich oc. Um den richtigen Punkt B zu erhalten, bestimmt man die Strecke BXB =v, um die man Bx noch verschieben muß, indem man den Winkel ASBx = oc₁ scharf — z. B. mit vier- oder sechsfacher Repetition —, also mit Ablesung an zwei Nonien und in zwei Fernrohrlagen mißt. Mit Hilfe der Differenz oc-y — oc und der durch unmittelbares Messen oder durch Abschreiten bestimmten Entfernung SB₁=e findet man v aus

0t, — oc e —----.

.....<

cc

Fig. 67.

Nach der vorgenommenen Verschiebung von Bx wird man den Winkel ASB zur Probe messen, und wenn sich zwischen ihm und dem gegebenen Winkel oc noch eine merkliche — z. B. von einer ungenauen Ermittlung der Entfernung e herrührende — Differenz zeigt, eine nochmalige Verschiebung berechnen und vornehmen.

§ 16. Abstecken von Kreisbögen.

Das Abstecken von Kreisbögen zerfällt in das Abstecken der sog. Hauptpunkte und der sog. Zwischenpunkte. Als Bogenhauptpunkte bezeichnet man die Bogenanfangspunkte Ax und A₂ (Fig. 68), den Bogenmittelpunkt M und die Schnittpunkte Bt und B₂ der Tangente in diesem Punkt mit den Haupttangenten in Aj und A₂. Als Bogenzwischenpunkte bezeichnet man die zwischen den Hauptpunkten nach den jeweiligen Bedürfnissen abzusteckenden Bogenpunkte.

1. Die Berechnung und Absteckung der Bogenhauptpunkte

möge an den beiden folgenden Aufgaben gezeigt werden:

2cc\

£.

x\Ç

a) Auf dem Felde sind gegeben die beiden Geraden S T und S T₂ (Fig. 68), deren Schnittpunkt S zugänglich ist; man soll die beiden Geraden durch einen sie berührenden Kreisbogen mit dem Halbmesser r verbinden.

Fig. 68.

SAt = SA₂ = —

Man mißt im Punkt S den Winkel 2 oc, den die beiden Geraden Tq miteinander einschließen und berechnet dann:

tgOC ’

SB. = SB₂ = SA₁ -rtg (wo ß = 90° — oc) .

Damit kann man von S aus die Punkte Bx, Au B₂ und A₂ abstecken; M bestimmt man als Mittelpunkt der Strecke BXB₂, wobei zur Probe sein muß:

B,B₂ = 2rtg|-.

Eine weitere Probe für die Rechnung und die Absteckung erhält man dadurch, daß man SM berechnet

aus

SM = SO —

r    cos ß    r ;

es muß dann die berechnete Strecke S M, auf der Halbierungslinie von 2 a abgemessen, denselben Punkt M ergeben.

Bei sehr großen Kreisbögen steckt man als weitere Hauptpunkte auch noch die Mittelpunkte Mx und M2 der Bögen A±M und A₂M ab; man berechnet dazu ihre rechtwinkligen Koordinaten in bezug auf BaA₁ bzw. B₂A₂. Man findet

B, O, = Ba C₂ = r tg JL - r sin | = 2 r sin^ l tg l und

C,M, = CoM₂ = r — r cos ~ = 2 r sin² — .

2    4

Zur Probe rechnet man auch noch

Bx = B₂ M₂ = —-

2 r sin² -Ç-4

cos

fco

cos —-

b) Auf dem Felde sind gegeben die beiden Geraden S Tx und ST₂ (Fig. 69), ihr Schnittpunkt S ist nicht zugänglich; man soll zwischen die Geraden einen sie berührenden Kreisbogen vom Halbmesser r legen.

In diesem Falle kann man den Winkel 2 <x in S nicht unmittelbar messen; zu seiner Bestimmung wählt man auf den beiden Geraden die Punkte Cx und C₂ und mißt die beiden Winkel T₁C₁C₂ — y₁ und T₂C₂C₁ — y₂;

außerdem mißt man zur Festlegung der Punkte in bezug auf S ihre Entfernung C₁C₂ == a.

Winkel 2 ot findet man dann

2 « = 7i + y₂ -

Für den

180° .

dix

Mit Hilfe dieses Winkels lassen sich dann die unter a) angegebenen Größen berechnen. Da die Absteckung der Punkte Alf Blf A2 und nicht von S

A,

\ 4 Lp

"V

Fig. 69.

auf das Dreieck ÄCjOg an, so erhält man

aus vorgenommen werden kann, so muß man, um sie von 0₁ bzw. 0₂ aus abstecken zu kön-^ nen, noch die Strek-Tm ken SC₁ und SC2 berechnen. Wendet man den Sinussatz

sin y+

a-—— .

sin 2 oc

c) Gegeben sind auf dem Felde die beiden Geraden STX und ST₂ (Fig. 70), ihr Schnittpunkt S ist nicht zugänglich, auch lassen sich nicht zwei Punkte auf ihnen auswählen, deren Entfernung unmittelbar gemessen werden kann; man soll die Geraden durch einen sie berührenden Kreisbogen vom Halbmesser r verbinden.

Man wählt auf den Geraden die Punkte C₁ und C2 und verbindet diese durch einen Polygonzug, z. B.

SCl = a^ sm2 oc

und

S0₂ =

CiC₃C₂. Zur Bestimmung des Winkels 2 a in S mißt man die Winkel yl9 yz und y₂ in Glf 0₃ und C₂; es ist dann

2 a = y₁ — y₃ + y 2 •

2cc

Zur Festlegung der Punkte Gx und G₂ in bezug auf S mißt man die Strecken G₁G₂=a₁ und G₂C₃ =a₂\ in dem Dreieck GXC₂ (7₃ hat man dann

<p + y> = 180° — 7₃

und

sin cp    a₂

sin yj    ax

oder

sinç? — sin^; a% — sin (p + sin^; a₂ + % und hieraus erhält man

«Aar-pp* M, 5^X\\ *3    '

Fig. 70.

<p — v

a2 al

a2 + al

ctg

-    ^ bzw. cp und ip.

2t

und damit

a findet man aus

sin T'a

sim/;

SG₁ und SG₂ lassen sieli nun wie bei der 2. Aufgabe mit Hilfe des Sinussatzes aus dem Dreieck SG₁G₂ berechnen, in welchem man außer C'₁C'₂ = a die Winkel <S0₁C,₂ = 180o — fa+ę) und SC& = 180°—(y₂ +y>) hat; damit ist die Aufgabe auf die vorhergehende zurückgeführt.

a = ax

oder

a₂

sin 73 sin cp

Setzt sich der zwischen G₁ und 0₂ zu legende Polygonzug aus mehr als zwei Seiten zusammen, so kann man G^G2 und den Winkel SG-^G^ dadurch bestimmen, daß man mit Hilfe des Zuges die Koordinaten von 0₂ in bezug auf GXS berechnet.

2. Die Absteckung der Bogenzwischenpunkte

kann nach einem der folgenden Verfahren vorgenommen werden :

a) Durch rechtwinklige Koordinaten von der Tangente aus.

-C'

's-*

Ą.

-4-

-4.

oc

a jsr b

Fig. 71.

jsr

Gegeben ist die Tangente M N (Fig. 71) eines Kreisbogens vom Halbmesser r und der Berührungspunkt B\ man soll Punkte des Bogens mit Hilfe ihrer rechtwinkligen Koordinaten x und y in bezug auf die Tangente BN abstecken. Das Nächstliegende ist, die Abszissen x gleich runden Zahlen — z. B. in Abständen von 5 oder 10 m — anzunehmen und die zugehörigen y zu berechnen; es ist nämlich

r — ]/r² — x* = r — r j/1

X²

r2

oder nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes ♦ x² x*

y- 27 +~8^+

oder

x²

Anstatt für die Punkte A gleiche Unterschiede in den Abszissen anzunehmen, kann man die Punkte auch so wählen, daß die durch sie abgeschnittenen Bogenstücke b alle gleich — z. B. gleich 5 oder 10 m — werden. Man berechnet in diesem Fall zunächst den zu der angenommenen Bogenlänge b gehörenden Zentriwinkel op aus

lO I

(p = p

und sodann die Koordinaten x und y der Punkte aus x = r sinn op

und

y — r — r cos n cp ,

wo man für n der Reihe nach die Werte 1, 2, 3 ... einsetzt.

b) Durch rechtwinklige Koordinaten von der Sehne aus. Gegeben sind die Endpunkte A und B (Fig. 72) eines Kreisbogens vom Halbmesser r ; man soll Punkte P des Bogens von der Sehne AB aus mit Hilfe ihrer rechtwinkligen Koordinaten abstecken. Wenn s die Länge der Sehne und h die Länge ihrer Pfeilhöhe GM ist, so ist

und y = h — y'

±._X'

2 *

wenn x' und y' die Koordinaten von P in bezug auf die Tangente im Bogenmittelpunkt M sind; die Berech-

ming der Koordinaten x nnd y in bezug auf die Sehne ist damit zurückgeführt auf diejenige der Koordinaten x' und y' in bezug auf die Tangente. î)abei kann man auch wieder entweder gleiche Abszissenunterschiede oder gleiche Bögen annehmen; wählt man gleiche Abszissenunterschiede, so kann man diese dadurch erhalten, daß man die halbe Sehne in eine Anzahl gleicher Teile teilt.

'C

JSip

\c

fr"

Ej—

!

in

-H

Fig. 72.

Während für die Absteckung der Bogenzwischenpunkte nach rechtwinkligen Koordinaten von der Tangente oder der Sehne aus die einfachen Instrumente zum Abstecken rechter Winkel ( Kreuz scheibe, Winkelspiegel, Winkelprisma und Pentaprisma) genügen, braucht man für das folgende Verfahren den Theodolit.

c) Gegeben ist die Tangente MN eines Kreisbogens vom Halbmesser r und sein Berührungspunkt B. Man kann die Bogenpunkte Ax, A₂ ... von B aus mit Hilfe der Sehnen BA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ... = s und der Tangentensehnenwinkel A±BN = cp , A₂BN = 2 <p, AZBN = 3 cp ... abstecken ; man stellt zu diesem Zweck den Theodolit in B auf, zielt in der Richtung BN, macht an einem Nonius die Ablesung a₅ und stellt die Zielungen nach A1} A₂ ... ein, indem man mit

Hilfe desselben Nonius die Ablesungen a₀ — cp, aQ — 2 cp, a₀ — 3 cp ... einstellt und die Punkte Al9 A₂ ... so einweist, daß BA₁ = A₁A₂=... = s; die Sehne 5 mißt man dabei am bequemsten mit einem Meßbande ab, dessen vorderer Bandstöck unmittelbar eingewiesen werden kann. Den Winkel cp erhält man für eine bestimmte Sehnenlänge s und den Halbmesser r aus

fr

!*-"w

sin® = — r

! zcp

Zur Absteckung von Bogenzwischen-punkten nach einem der drei angegebenen _

Fig. 73.

Verfahren ist zu be- M merken, daß man der dabei angegebenen Berechnungen im allgemeinen enthoben ist, da es verschiedene Tafeln gibt, denen man die gewünschten Werte entnehmen kann; die bekanntesten Tafeln dieser Art sind enthalten in:

Kröhnke, Handbuch zum Abstecken von Kurven;

Kn oll, Taschenbuch zum Abstecken der Kurven;

Sarrazin und Oberbeck, Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen.

d) Sind von einem Kreisbogen drei Punkte, z. B. die beiden Bogenendpunkte A und B (Fig. 74) und der Bogenmittelpunkt M gegeben, so kann man weitere Bogenpunkte in bequemer Weise mit Hilfe der Prisme n-trommel (siehe Band I, § 3, Fig. 29) bestimmen. Das Verfahren beruht auf dem planimetrischen Satze, wonach die Peripheriewinkel über demselben Bogen gleich sind. Man stellt die Prismentrommel am besten mit Hilfe eines Stabes (Stockstatives) vertikal über M auf und verändert den Winkel zwischen den Hypotenusenflächen der beiden Prismen so lange, bis die in den Prismen erscheinenden Bilder der in A und B aufgesteckten Stäbe

C,

Fig. 74.

in einer Geraden liegen; diese Stellung der Prismen hält man fest und sucht nun Punkte Cx, C₂ ..., für welche die Stabbilder von A und B ebenfalls in einer Geraden liegen.

II. Abschnitt.

Vertikal- oder Höhenmessungen.

Nachdem in Band I die geometrische Höhenmessung (Nivellieren) behandelt wurde, sollen im folgenden die beiden anderen Verfahren zum Messen von Höhenunterschieden, nämlich die trigonometrische Höhenmessung und die physikalische oder barometrische Höhenmessung besprochen werden.

1 "i

5. Kapitel.

Trigonometrische Höhenmessung.

Fig. 75.

Während man bei der geometrischen Höhenmessung den Höhenunterschied zweier Punkte mit Hilfe von horizontalen Zielungen bestimmt, benutzt man bei der trigonometrischen Höhenmes- -4 sung schiefe oder geneigte Zielungen. '

Die trigonometrische Bestimmung des Höhenunterschieds h (Fig. 75) zweier Punkte Ä und B besteht darin, daß man den Neigungswinkel oc der zwischen ihnen möglichen Dielung gegen die Horizontale oder den Höhen- bzw. Tiefenwinkel dieser Zielung mißt; ermittelt man noch die horizontale Entfernung AC = e der beiden

Punkte, so läßt sich der Höhenunterschied h berechnen aus

h = e tg oc .

§ 17. Höhenwinkelmessung.

Die Höhenwinkel mißt man mit Hilfe des Theodolits, der für diesen Zweck mit einem Höhen - oder Vertikalkreis versehen sein muß. Der Höhenkreis ist mit dem Fernrohr fest verbunden, so daß er sich beim Kippen des Fernrohrs mit diesem bewegt. Für die Zwecke der Ablesung am Höhenkreis sind zwei Ablesevorrichtungen²) in Form von Nonien oder Mikroskopen vorhanden, die im Gegensatz zum Höhenkreis die Kippbewegungen des Fernrohrs nicht mitmachen, und die meistens so angebracht sind, daß ihre Verbindungslinie horizontal liegt. Der Höhenkreis ist entweder ein Vollkreis oder ein Kreissektor. Über die Teilung des Höhenkreises gilt in der Hauptsache das über die Teilung des Horizontalkreises Gesagte. Die Bezifferung der Teilung des Höhenkreises wird auf verschiedene Weise vorgenommen; entweder als sog. durchlaufende Bezifferung (Fig. 76 a) wie beim Horizontalkreis von 0° über 90, 180 und 270° bis 360°, oder zweimal in entgegengesetzter Richtung (Fig. 76b) von 0° über 90° bis 180°, oder viermal in entgegengesetzten Richtungen von 0° bis 90° (Fig. 76c). Je nach der Lage des Nullpunkts der Teilung — bei horizontal liegendem Fernrohr — zur Umdrehungsachse des Instruments stellen die Ablesungen Höhen- bzw. Tiefenwinkel oder Zenitdistanzen oder Nadirdistanzen²) vor. Die gebräuchlichste und im allgemeinen bequemste

Bezifferung des Höhenkreises ist die durchlaufende im Uhrzeigersinn, bei welcher — bei horizontal liegendem Fernrohr — der Durchmesser 0°—180° senkrecht zur Umdrehungsachse steht.

Für die Zwecke der Höhenwinkelmessung muß der Theodolit mit einer in der Richtung der Ziellinie angebrachten Röhrenlibelle³) versehen sein; diese kann in der Hauptsache auf drei verschiedene Arten am Instrument angebracht sein: Entweder am Fernrohrträger als feste Alhidadenlibelle G (Fig. la) oder auf dem Fernrohr (wie beim Nivellierinstrument) als Nivellierlibelle oder mit den Ablesevorrichtungen fest verbunden und mit diesen um kleine Winkel mit Hilfe einer Mikrometerschraube drehbar; die letztere Libellenanordnung findet hauptsächlich bei Instrumenten für astronomische Messungen Verwendung.

O.

.160

*90

Fig. 76.

Die bei der Messung von Höhenwinkeln mit Hilfe des Theodolits üblichen Verfahren lassen sich einteilen in: Messung des Winkels in einer Fernrohrlage und Messung des Winkels in zwei Fernrohrlagen.

Punkt A bestellt darin, daß man, nachdem die Umdrehungsachse TJU des Instruments vertikal gestellt wurde, den Punkt A — wie beim Nivellierinstrument mit Hilfe des Horizontalfadens — anzielt, an der Ablese -marke M (Nullstrich des Nonius) die Ablesung a macht, das Fernrohr sodann in eine solche Lage bringt, daß die Ziellinie horizontal liegt und die dieser Lage der Ziellinie zukommende Ablesung a₀ macht; den Höhenwinkel oc erhält man dann als Differenz der Ablesungen a und «o¹), nämlich

oc = a — a₀ .

ct.

jA

270

?v<

\06

ir

Fig. 77.

Um die Ziellinie horizontal legen zu können, muß auf dem Fernrohr eine Nivellierlibelle angebracht sein, deren Achse parallel zur Ziellinie sein muß. Der Winkelmessung muß demnach eine Untersuchung bzw. Berichtigung der gegenseitigen Lage dieser beiden Geraden vorausgehen; die Untersuchung wird in derselben Weise wie beim Nivellierinstrument durch Nivellieren aus der

x) Vorausgesetzt ist die in Fig. 76 a angegebene durchlaufende Bezifferung des Höhenkreises im Uhrzeigersinn.

Mitte oder, wenn eine Reversionslibelle¹) vorhanden ist, in zwei Lagen der Libelle vorgenommen; ein sich zeigender Fehler wird — wie beim Nivellierinstrument mit Elevationsschraube — nicht am Diaphragma, sondern an der Libelle beseitigt, die für diesen Zweck mit Verbesserungsschrauben versehen sein muß.

Bequem ist es, wenn die bei horizontaler Zielung gemachte Ablesung a₀, der sog. Indexfehler, gleich Null ist; es läßt sich dies dadurch erreichen, daß man die Ablesemarke (Nonius) entsprechend verschiebt.

um

mr

Fig. 78.

Um einen sich zeigenden Indexfehler wegschaffen zu können, läßt sich die Ablesemarke M mit Hilfe der beiden Schrauben Sx und S2 (Fig. 78) um kleine Beträge den Mittelpunkt des Teilkreises drehen. Diejenige Lage des Höhenkreises oder die horizontale Lage der Ziellinie, für welche a₀ = 0 ist, läßt sich mit Hilfe der Nivellierlibelle festhalten bzw. herstellen; um auch die entsprechende Lage von M festhalten bzw. jederzeit herstellen zu können," muß M mit einer Röhrenlibelle verbunden sein, die als feste Alhidadenlibelle LL (Fig. 78) am Fernrohrträger angebracht ist. Der Indexfehler aQ ist dann gleich Null, wenn bei einspielender Alhidadenlibelle und einspielender Nivellierlibelle die Ablesung 0° beträgt; ist dies der Fall, so vereinfacht sich die Höhenwinkelmessung in einer Fernrohrlage derart, daß die der

*) Bei kleineren Instrumenten, die für Höhenwinkelmessung in nur einer Fernrohrlage bestimmt sind, empfiehlt sich eine ReversionslibeUe mit Rücksicht auf die bequeme Untersuchung.

Zielung nach A (Fig. 77 a) zukommende Ablesung a unmittelbar den Höhenwinkel oc vorstellt, vorausgesetzt, daß während der Zielung nach A die Alhidadenlibelle einspielt.

In bezug auf die Empfindlichkeit der Nivellier-und Alhidadenlibelle ist zu bemerken, daß diese hinsichtlich ihrer Größe kleiner als die Angabe der Ablese Vorrichtung sein muß.

2. Messung eines Höhenwinkels in zwei Fernrohrlagen.

Die Bezifferung des Höhenkreises sei durchlaufend im Uhrzeigersinn, der Durchmesser 0°—180° liege bei horizontaler Zielung ungefähr horizontal (Fig. 76 a); der Höhenwinkel der Zielung nach A (Fig. 79) sei oc; ferner sei der unveränderliche Winkel zwischen der Verbindungsgeraden von Teilungsnullpunkt und Teilungsmittelpunkt 0 und der Projektion OA der Ziellinie in die Teilungsebene ß, und der unveränderliche Winkel zwischen der Horizontalen durch den Teilungsmittelpunkt 0 und der Verbindungsgeraden von diesem Punkt und der Ablesemarke M (Nullstrich des Nonius) y¹).

Wenn bei der Zielung nach A in der ersten Lage des Fernrohrs oder des Höhenkreises²) (Fig. 79 a) — bei „Höhenkreis rechts“ — die Ablesung an der Marke M ax ist, so hat man

(1)

a\ — oc + ß + y •

Schlägt man nach Ablesung von a± das Fernrohr durch und zielt nach Drehung des Limbus oder der

!) Vom Mechaniker werden Höhenkreis und Ablesemarke so angebracht, daß die Winkel ß und y klein sind.

a) Man unterscheidet bei der Höhenwinkelmessung die beiden Fernrohrlagen am besten dadurch, daß man die Lage des Höhenkreises — „Höhenkreis rechts“ und „Höhenkreis links“ — angibt.

Alliidade in der zweiten Lage des Höhenkreises — bei „Höhenkreis links“ — A wieder an, so erkält dieser und die Marke M die in Fig. 79 b gezeichnete Stellung zur Zielung; wenn a₂ die neue Ablesung ist, so findet man

a₂ ⁼⁼ 180° — oc -f- ß -f- y .

(2)

Hage

Z.lage

a.

à.

of

IM

°fte

U]

Fig. 79.

Durch Subtraktion der Gleichungen (2) und (1) erhält man

oder

a₂ — a₁ = 180° — 2 oc

(3)

a₂ — ax = 2 z . (wo z = 90° — oc)

Die Differenz der beiden Ablesungen stellt also die doppelte Zenitdistanz 2 z des gemessenen Höhenwinkels oc vor.

Die Größe der Winkel oc und ß ist mit Rücksicht auf die feste Zielung nach A für beide Kreislagen ohne weiteres dieselbe; um dafür Sorge tragen zu können,

daß auch der Winkel y für beide Kreislagen derselbe ist, muß man die Geraden OM oder die mit ihr fest verbundene Umdrehungsachse U U des Instruments in eine bestimmte Lage gegen die Horizontale einstellen können. Zu diesem Zweck ist die Ablesemarke mit einer Böhrenlibelle verbunden, die entweder am Fernrohrträger als feste Alhidadenlibelle (Fig. 78) oder unmittelbar an der Marke M (Fig. 80) und mit dieser mit Hilfe der Mikrometer schraube S drehbar angebracht sein kann.

"M ^Z///77,

Fig. 80.

Der Vorgang bei der Messung mit fester Alhidadenlibelle ist der folgende: Nachdem die Umdrehungsachse des Instruments beiläufig¹) vertikal gestellt ist, sucht man den Zielpunkt mit Hilfe des Fernrohrs auf, stellt ihn nach Festklemmung von Lim-bus und Alhidade mittels einer der beiden Mikrometerschrauben des Horizontalkreises mit dem Vertikalfaden ungefähr ein und zielt ihn, nachdem man die Alhidadenlibelle scharf zum Einspielen gebracht hat, mit dem Horizontalfaden an; nach Ausführung der Ablesung ax schlägt man das Fernrohr durch und wiederholt die Messung in der zweiten Fernrohrlage, welche die Ablesung a₂ ergeben möge. Zur Vornahme der Ablesungen ax und a₂ dreht man nach Öffnung von Limbus oder Alhidade den Höhenkreis in eine — besonders mit Bücksicht auf die Beleuchtung — bequeme Lage.

Ist die Libelle nicht mit dem Fernrohrträger, sondern mit der Ablesemarke fest verbunden (Fig. 80), so vereinfacht sich die Messung dadurch, daß man

*) Z. B. mit Hilfe einer Dosenlibelle.

die Libelle nicht vor der Zielung, sondern nur vor der Ablesung einspielen lassen muß; dies ist besonders von Vorteil, wenn der Zielpunkt kein fester Punkt, sondern ein beweglicher Punkt, z. B. ein Gestirn ist.

Durch Addition der beiden Gleichungen (1) und (2) (S. 118) läßt sich eine Probe für die Messung herleiten; man findet

(4)

ai + a2 == 180° + 2 (ß -f- y) .

Da ß und y unveränderliche Winkel sind, so muß für ein bestimmtes Instrument die Summe von je zwei zusammengehörigen (auf einen Zielpunkt sich beziehenden) Ablesungen ax und a₂ gleich einer unveränderlichen Zahl sein.

Theodolite, die zum Messen der Höhenwinkel in zwei Fernrohrlagen dienen sollen, besitzen auch am Höhenkreis zwei Ablesevorrichtungen, so daß sich auch hier der Einfluß einer Exzentrizität zwischen Teilungsmittelpunkt und Teilungsdrehpunkt unschädlich machen läßt. Sind die Ablesungen an einer zweiten Ablesemarke a[ und a₂, so erhält man aus diesen für die doppelte Zenitdistanz 2 z des gemessenen Höhenwinkels 2 z = a₂ — a[ ;

aus

dieser Gleichung und der Gleichung (3) (S. 119) findet man für 2 z im Mittel

2 2 = K(«2 — «l) + K — «0) •

Als Probe für die Ablesungen a[ und a₂ erhält man ähnlich der Gleichung (4)

a₁' + a₂' = 180° + 2(£/ + /).

Für die Aufschreibung der Ablesungen und die Ausführung der Kechnung verwendet man ein Formular, das folgende Einrichtung haben kann;

Für die Berechnung der doppelten Zenitdistanz 2 z aus der Differenz der Ablesungen ax und a₂, und zwar aus Ablesung in der zweiten Fernrohrlage minus Ablesung in der ersten Fernrohrlage wurde vorausgesetzt, daß die Teilungsbezifferung des Höhenkreises im Uhrzeigersinn ausgeführt ist, und daß in der |z^^n| Fernrohrlage der Höhenkreis j^kg⁸} Fegt (Fig. 79). Eine

besondere Regel für die Ermittlung von 2 z als Differenz der beiden Ablesungen ist so lange nicht erforderlich, als man durch unmittelbaren Anblick bestimmen kann, ob der beobachteten Zielung ein Höhen- oder Tiefenwinkel entspricht. Ist der gemessene Winkel ein    j

als 180° sein; aus dieser

Winkel, SO muB 2z

Überlegung ergibt sich für jeden einzelnen Fall, ob man 2 z aus Anfangs- minus Endablesung oder End- minus Anfangsablesung erhält.

In Gleichung

(4)

Br

.Si

N *»

links

rechts

Probe

2Z^

14 7

3Z

180

115

43

00

00

00

3Z7

Z1Z

539

33

00

00

55

00

09

00

115

11

OO

2 2 (im Mittel) m 11S°-YO' 00"

Datum

CL

S I

cO ûû

Zenitdistanz 2 ^    57° 35' 00"

l HöhenwinKel oe ^ + 3Z° 25’ #0"

Kreislage

Nonius 1

Nonius 2

a\ + a2 ⁼ 180° + 2 (ß + y)

bezeichnet man die Summe (ß + y) als den Indexfehler der betreffenden Ab lesemarke. Es gibt Fälle — z. B. Einstellung eines zum Voraus berechneten Höhenwinkels zwecks Aufsuchung eines Zielpunkts —, in denen es wünschenswert ist, wenn der Indexfehler gleich Null ist, so daß nach Gleichung (1), S. 118 ax = oc ,

d. h. die Ablesung ax unmittelbar den Höhenwinkel oc vorstellt. Will man für eine Ablesemarke untersuchen, ob sie mit einem Indexfehler behaftet ist, so mißt man nach einem beliebigen Zielpunkt den Höhenwinkel und erhält dann mit Benützung der Gleichung (4)

¹

) Unter Berücksichtigung des Papiereingangs.

²

) An kleineren, für untergeordnete Messungen bestimmten Instrumenten befindet sich vielfach nur ein Nonius.

a) Zenitdistanz = 90° — Höhenwinkel = 90° + Tiefenwinkel.

Nadirdistanz = 90° + Höhenwinkel = 90° — Tiefenwinkel.

³

Messung eines Höhenwinkels in einer Fernrohrlage.

Das nächstliegende und einfachste Verfahren zur Messung des Höhenwinkels oc (Fig. 77) nach dem

!) Eine Dosenlibelle allein genügt für die Höhenwinkelmessung im allgemeinen nicht.

2 (ß + y) = {ai + a2) — 1^0° .

Um einen so bestimmten Indexfehler wegzuschaffen, verschiebt man die Marke, die mit einer entsprechenden Vorrichtung (Fig. 78) versehen sein muß, derart, daß man bei einspielender Libelle während der Zielung nach dem benützten Punkt je nach der Fernrohrlage die Ablesung oc bzw. 180° — oc macht.

§ 18. Trigonometrische Höhenbestimmung auf kleinere Entfernungen.

Die Hauptaufgabe der trigonometrischen Höhenbestimmung ist die folgende:

Gegeben ist die N.N.-Höhe Ha eines Punktes A (Fig. 81); die N.N.-Höhe Hb eines Punktes B soll durch Höhenwinkelmessung bestimmt werden.

Man stellt den Theodolit über dem Punkt A auf und mißt den Höhenwinkel oc nach dem für diesen Zweck — z. B. mit Hilfe einer Zielscheibe — besonders bezeichneten Punkt B ; ist i der Höhenunterschied zwischen der Kippachse und dem Punkt A, z derjenige zwischen der Zielscheibe und B und e die Entfernung von A und B, so findet man für Hb mit Hilfe der Figur

Hb = Ha + i + ä — z . (wo h = e tg oc)

Diese Gleichung gilt jedoch mit Rücksicht auf die Erdkrümmung und die Refraktion nur für solche Punkte, deren Entfernung kleiner als etwa 500 m ist. Für diesen Fall zerfällt die Bestimmung von Hb in die Messung des Höhen winkeis <x₉ die Ermittlung der Entfernung e und die Berechnung des Höhenunterschieds h aus h = e tg (x.

ICC

jsrjsr.

Fig. 81.

Die Höhenwinkelmessung führt man je nach der Genauigkeit, mit der Hb und damit h bestimmt werden soll, in einer oder zwei Fernrohrlagen aus.

Die in Fig. 82 gezeichnete Tafel zeigt für a = 0° und oc — 45° den Einfluß A h eines Fehlers A a im Höhenwinkel auf den Höhenunterschied h. Soll z. B. bei einer Entfernung von rund 200 m und kleinem Höhenwinkel der Höhenunterschied h auf etwa 1 dem genau bestimmt werden, so genügt es, den Höhenwinkel auf rund 1' genau zu messen; es würde hierfür die Messung in einer Femrohrlage ausreichen. Soll bei einer Entfernung von 150 m h bei einem

Höhenwinkel von etwa 30° auf 5 cm genau bestimmt werden, so muß man den Höhenwinkel auf etwa 20" genau messen, wozu man die Messung in zwei Fernrohrlagen auszuführen hätte.

Die Entfernung e erhält man je nach der Genauigkeit, mit der sie mit Rücksicht auf h zu ermitteln ist, durch Abmessen in einer Karte oder einem Plane¹)

aJi

JPiircz=45

100

zoo

300

400

500m,

Fig. 82.

oder durch Berechnen aus den Koordinaten des Standpunkts und des Zielpunkts; ist eine Karte, die die Entfernung e genügend genau liefert, nicht vorhanden, und sind die Koordinaten nicht bekannt, so muß man e tachymetrisch oder mit Hilfe einer kleinen Triangulation bestimmen.

Die Tafel in Fig. 83 zeigt den Einfluß A h eines Fehlers A e in der Entfernung c auf den Höhenunterschied h. Soll bei

0 Unter Berücksichtigung des Papiereingangs

einem Höhenwinkel von etwa 10° h auf 1 dem genau bestimmt werden, so genügt es, e auf etwa 5 dem genau, also durch Abgreifen aus einem Plane zu ermitteln. Soll bei einem Höhen winkel von rund 30° h auf 5 cm genau ermittelt werden, so muß man e auf rund 1 dem genau, also aus Koordinaten¹) bestimmen.

Ah

^ .o,r

II

5 dem

3Ö

//

40?-

A e=o

10 dem

Fig. 83.

Die Berechnung des Höhenunterschiedes h nach der Gleichung h = e tg oc führt man je nach der Ge-. nauigkeit, mit der h zu bestimmen ist, mit Hilfe einer vier- oder fünfstelligen Logarithmentafel oder einer graphischen Tafel aus ; das letztere empfiehlt sich hauptsächlich dann, wenn die Entfernung e einer Karte entnommen wird.

Trigonometrische Höhenbestimmungen auf kürzere Entfernungen

— etwa bis zu 400 m — finden hauptsächlich Verwendung bei Höhenaufnahmen, wie sie zum Zweck

*) Wenn (xa, ya) und (s&, y^) die Koordinaten der Punkte A und B sind, so findet man die Strecke AB aus

AB = y(xi-xa)'‘ + {yb-Vay.

der Vorarbeiten bei Ingenieurbauten auszuführen sind, wo sie im steileren Gelände an Stelle des Flächennivellements treten. Voraussetzung ist für die Ausführung einer Höhenaufnahme durch Höhenwinkelmessung wie beim Flächennivellement, daß ein Lage-plan (z. B. in Form eines Katasterplanes) des aufzunehmenden Gebietes zur Verfügung steht, der genügend viele, ihrer Lage nach festgelegte Punkte enthält.

Der Aufnahme vorauszugehen hat ein Festpunktsnivellement, das die Grundlage in Form der N.N.-Höhen einer Anzahl fester, über das Gebiet verstreuter Punkte zu liefern hat.

Bei der Aufnahme selbst stellt man den Theodolit z. B. über einem nach Lage und N.N-Höhe gegebenen Punkt A (Fig. 81) auf und mißt den Höhenunterschied i zwischen der Kippachse und dem Punkt A, so daß Ht — Ha + i die N.N.-Höhe der Kippachse ist. Zur Bezeichnung der Zielpunkte verwendet man einen Fluchtstab, an dem eine Zielscheibe im Abstand z von seinem unteren Ende befestigt ist. Ist oc der Höhenwinkel der Zielung nach einem Geländepunkt B, in welchem vom Meßgehilfen der Stab mit der Zielscheibe aufgehalten wurde, und ist e die horizontale Entfernung dieses Punkts vom Instrumentenstandpunkt, so findet man (Fig. 81) die N.N.-Höhe Hb von B aus:

(1)

Hb = Ha + i + h — z . (wo h = e tg<x)

(2)

Befestigt man die Zielscheibe derart an dem Stabe, daß z = i ist, so geht die vorstehende Gleichung über in Hb = Ha + h = Ha + etgoc .

Bei Höhenaufnahmen für den angegebenen Zweck begnügt man sich in den meisten Fällen mit einer Genauigkeit von 1 dem in den zu bestimmenden N.N.-

Höhen; man mißt deshalb die Höhenwinkel nur in einer Fernrohrlage, indem man zuerst einen vorhandenen Indexfehler wegschafft, so daß bei einspielender Alhi-dadenlibelle die Ablesung am Höhenkreis unmittelbar den Höhenwinkel vorstellt.

-foĄ

PN

hx

hx

hx

hx

7i

\l \

v-

Li

**•

SS

e'

7i=e łg cc

Fig. 84.

Den Höhenunterschied h berechnet man nach der Gleichung h=e tg(X mit Rücksicht darauf, daß man e dem Plan entnimmt, am besten graphisch; man entwirft sich zu diesem Zweck eine Tafel wie die in Fig. 84 angegebene. Um für h eine größere Genauigkeit zu erreichen, zeichnet man eine solche Tafel überhöht auf, so daß man für eine bestimmte Entfernung e, die man dem im Maßstab 1 : M gezeichneten Plan mit

Hilfe des Zirkels entnimmt, als Abszisse, und einen bestimmten Höhenwinkel oc die zugehörige Höhe h als

M

10

Ordinate im Maßstab 1 : —— erhält. Um auch die Be-

rechnung der N.N.-Höhen Hb graphisch auszuführen, was sich besonders einfach gestaltet, wenn man nach Gleichung

Hb — Ha -j- ä

rechnen kann, versieht man die Tafel mit einer im Maß-

(2)

stab 1 : — gezeichneten Skala, in der man sich für

jeden Instrumentenstandpunkt die jeweilige N.N.-Höhe Ha angibt.

In den meisten Fällen wird die einem Plan entnommene Entfernung e infolge des Papiereingangs¹) zu klein sein; beträgt dieser p%, und ist die verbesserte Entfernung e', so erhält

man für diese e'

e' läßt sich aus e und p

= e(1 + Iw)-

ebenfalls graphisch ermitteln, wenn man die Tafel für h = e tg a mit einer entsprechenden Hilfstafel (Fig. 84) versieht.

Steht für eine Höhenaufnahme ein Lageplan, der genügend viele, ihrer Lage nach unzweideutig gegebene Punkte enthält, nicht zur Verfügung, so tritt an die Stelle des Flächennivellements oder der im vorstehenden beschriebenen trigonometrischen Höhenbestimmung die tachymetrische Punktbestimmung.

§ 19. Trigonometrische Höhenbestimmung auf größere Entfernungen.

Die trigonometrische Höhenbestimmung auf Grund der Gleichung

h — e tg&

ist nur für Entfernungen kleiner als etwa 500 m zulässig; bei Höhenbestimmungen auf größere Entfernungen tritt an ihre Stelle eine andere Gleichung, welche je ein die Erdkrümmung und die Refraktion berücksichtigendes Glied enthalten wird.

Der Einfluß der Erdkrümmung auf die Höhenbestimmung möge an folgendem Beispiel gezeigt werden:

C>4

Fig. 85.

Um die Höhe eines Turmes (Fig. 85) zu bestimmen, mißt man in einem Punkt A den Höhenwinkel nach der Spitze des Turmes ; ist der Turm von A genügend weit entfernt, so kann der Fall ein treten, daß infolge der Erdkrümmung der Höhenwinkel und damit auch die nach Gleichung (1) berechnete Turmhöhe gleich Null wird; man hat demnach etgoc um eine von der Erdkrümmung herrührende, und von der Entfernung e abhängige Strecke c± zu vergrößern, so daß man an Stelle der Gleichung (1) die Gleichung erhält:

(2)

h = e tgoc + cx .

Für cx findet man mit Hilfe der Fig. 85, wenn r der Erdhalbmesser ist:

Cl^27*

Eine Übersicht über die Werte von cx für verschiedene Entfernungen e gibt die folgende Zusammenstellung:

cx = 0,02 m 0,08 m 0,31m 0,71m 1,25 m 1,96 m

Infolge der Brechung der Lichtstrahlen bei ihrem Übergang in verschieden dichte Luftschichten oder der sog. Refraktion wird die Ziellinie bei der Höhenwinkel-messung von einem Punkt A nach einem Punkt B (Fig. 86) keine Gerade, sondern eine der Erde zu konkave

B'

[cc

“7\

Fig. 86.

Kurve sein. Man mißt für die Höhenbestimmung von 5 einen zu großen Höhenwinkel, nämlich oc statt und muß demnach den nach Gleichung (2) berechneten Höhenunterschied von A und B verkleinern .jim eine von der Refraktion herrührende Strecke c₂; an Stelle der Gleichung (2) erhält man

(3)

500 m

1000 m

2000 m

3000 m

4000 m

5000 m

h = etgoc +    — c₂ .

9*

Macht man die Annahme, daß die Zielung von A nach B ein Kreisbogen mit dem Halbmesser r' ist, so findet man für c₂ näherungsweise

e²

c2 ^ 2/ •

Setzt man r' =— r, wo Je eine durch Versuche zu

e²

bestimmende Größe, der sog. Refraktionskoeffizient ist, so wird

Mit den für cL und c₂ gefundenen Näherungswerten geht die Gleichung (3) über in

e²

(4)

Ist Ha die N.N.-Höhe von A, i die Instrumenten-höhe über Ha und z die Zielhöhe über B, so erhält man für die N.N.-Höhe Hb von B

(5)

rH

co

Hb = Ha + i + e tga +    (1 — k) — z .

Der Refraktionskoeffizient k ist abhängig von der Lufttemperatur, der Luftfeuchtigkeit und dem Luftdruck; er ist mit diesen an verschiedenen Orten und an einem Ort zu verschiedenen Zeiten großen Schwankungen unterworfen. Beobachtungen haben ergeben, daß k innerhalb eines Tages an einem Ort zwischen 0,08 und 0,20 schwanken kann, und zwar derart, daß die größten Werte morgens und abends, und der kleinste Wert mittags eintritt; bei Zielungen über Wasserflächen ist k noch größeren Schwankungen unterworfen. Als Mittel aus einer großen Zahl von Bestimmungen hat man k = 0,13 gefunden, welcher Wert in Deutschland den Berechnungen zugrunde gelegt wird. Die Genauigkeit der trigonometrischen Höhenbestimmung ist infolge der Un-

Sicherheit in k gering; ein Fehler an k von z. B. 0,1 ruft in der Höhe bei einer Entfernung von 5 km bereits einen Fehler von 0,2 m hervor.

Die Bestimmung des Refraktionskoeffizienten k kann nach einem der beiden folgenden Verfahren vorgenommen werden:

a) Bestimmt man den Höhenunterschied Hą— Hb der beiden Punkte A und B durch Nivellieren, so findet man k mit Hilfe der Gleichung (5) aus

k =    — Hb) + i + e tg« +    — zj

e2 v

b) Bestimmen zwei Beobachter die N.N.-Höhen Ha und Hb gegenseitig und gleichzeitig durch Messen der Höhen- bzw. Tiefenwinkel a± und a₂ in A und B, so hat man, abgesehen von Instrumenten- und Zielhöhen,

e²

Hb = Ha + e tgat +    (1 — k)

und

e²

Ha — Hb — etga₂ + gy (1 — k) .

Durch Addition dieser beiden Gleichungen erhält man

e²

0 = e (tga± — tga₂) + — (1 — k)

und hieraus

1 = (tg«i — tga₂)-^ .

Mit Rücksicht auf die Unsicherheit in k führt man trigonometrische Höhenbestimmungen auf Entfernungen von nur wenigen (etwa 2—3 km) Kilometern aus. Soll ausnahmsweise der Höhenunterschied Ti zweier Punkte A und B, deren Entfernung fünf oder mehr Kilometer beträgt, gemessen werden, so macht man sich von k überhaupt frei, indem man gleichzeitig auf beiden Punkten die Höhen- bzw. Tiefenwinkel mißt; ist dies mit Rücksicht darauf, daß zwei Beobachter und zwei Instrumente erforderlich sind, nicht möglich, so kann man den Einfluß einer Unsicherheit in k auf den zu bestimmenden

Fig. 87.

Höhenunterschied h bis zu einem gewissen Grad auch dadurch unschädlich machen, daß man von einem HilfspunktC (Fig. 87) aus, dessen Entfernungen ex und e₂ von A und B möglichst gleich sein müssen, die Höhenwinkel <xx und oc₂ mißt.

Bei gleichzeitiger Höhenwinkelmessung von A und B aus findet man für den Höhenunterschied h, wenn at und a2 die gemessenen Winkel, und il9 zt bzw. i₂, z₂ die Instrumenten- und Zielhöhen sind:

h = e tg«! +    (1 — k) + », — z.

und

e²

— h = — etgoc₂ + 2r (1 “ *) ⁺ *² ~~ ²² *

Durch Subtraktion dieser Gleichungen erhält man 2 h = e(tga₁ + tga₂) + (i± — i₂) — («₁ — z₂) .

erhält man, wenn und

Bei Höhenwinkelmessung von einem Hilfspunkt G aus der Höhenunterschied zwischen G

ist, und wenn die Entfernungen G A = et und G B = e₂, und die Zielhöhen in A und B z± und z₂ sind:

K = ei tg«i +    (! — k) — z, ,

e|

(1 — k) — z₂ .

K = e>tg«, + 27

Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen findet man

h = h₁ — h₃, = e₁ tgat — e₂tg «, — (z, — z₂) +

Wie diese Gleichung zeigt, ist der Einfluß von h auf h um so kleiner, je kleiner Ą — oder je mehr et & e₂ ist.

Die Messung der Höhenwinkel führt man bei Höhenbestimmungen auf größere Entfernungen in zwei Fernrohrlagen aus. Zur Bezeichnung der Zielpunkte für die Zwecke der Höhenwinkelmessung benutzt man — soweit die Punkte nicht schon natürlich bezeichnet sind — senkrecht in den Boden gesteckte Stangen, die man in passender Höhe mit einem horizontalen Lattenkreuz (Fig. 88) versieht, dessen Abstand z (Zielhöhe) von dem zu bestimmenden Punkt man mißt.

Fig. 88.

Auch bei Höhenbestimmungen auf größere Entfernungen hat man auf die Bestimmung der Entfernung e (vgl. die Tafel in Fig. 83) keinen zu großen Wert zu legen; ein Fehler in e von z. B. 1,0 m verursacht bei einem Höhenwinkel von 5° erst einen Fehler von nicht ganz 1 dem; es wird in den meisten Fällen genügen, e auf einige Dezimeter genau zu ermitteln.

Sind die Koordinaten (xa, ya) und (xb, yh) von Standpunkt und Zielpunkt unmittelbar gegeben, oder lassen sie sich auf Grund des in den Katasterkarten eingezeichneten Koordinatennetzes solchen Karten mit hinreichender Schärfe entnehmen, so findet man e aus

Wb - *aY + Wb — yä)² •

Stehen keine Koordinaten zur Verfügung, so ist man gezwungen, e mit Hilfe eines Dreiecks zu bestimmen, in dem man eine Seite und zwei Winkel mißt.

Als Zahlenbeispiel für eine trigonometrische Höhenrechnung kann das folgende dienen:

Um die N.N.-Höhe eines Punkts K (Kirchturmspitze) zu bestimmen, wurde von einem Punkt S der Höhenwinkel a = 0° 59' 26" nach K gemessen; gegeben ist die N.N.-Höhe von S, nämlich Hs = 494,46 m, und die Koordinaten von S und K, nämlich:

Xk = +30359,7 , Vk = +64924,6 .

xs = +299X2,8 , ys = +64533,3 ,

Die Instrumentenhöhe i wurde gemessen zu 1,30 m. Man rechnet nach der Gleichung

e²

Hk = H₈ + * + etg«.+ -gjr

(1 — k) .

Mit Hilfe der Koordinaten von S und K findet man 594,0 m; damit erhält man für ctg a mit Benützung von fünfstelligen Logarithmen e tg a = 10,27 m. Nimmt e²

man h = 0,13 an, so wird —- (1 — 1c) = 0,02 m; mit diesen Werten ergibt sich

Hk = 494,46 + 1,30 + 10,27 + 0,02 = 506,05 m.

Bei der trigonometrischen Höhenbestimmung auf Entfernungen größer als 500 m handelt es sich meistens nicht

Fig. 89.

um die Bestimmung der N.N.-B Höhe eines einzelnen Punktes, sondern um diejenige der N.N. -Höhen mehrerer Punkte, die man durch die Messung der verschiedenen zwischen ihnen möglichen Höhenunterschiede zu einem trigonometrischen Höhennetz verbindet. Die Fig. 89 zeigt ein solches Netz, in dem die N.N.-Höhen von A und B gegeben sind; zur Bestimmung der N.N.-Höhen der anderen Punkte wurden in +, B, E und D die durch Pfeile angegebenen Höhenwinkel gemessen. Die Berechnung eines solchen trigonometrischen Höhennetzes ist eine Aufgabe der Ausgleichungsrechnung.

CO

6. Kapitel.

Barometrische Höhenmessung.

Die barometrische Höhenmessung beruht auf der Abnahme des Luftdrucks mit zunehmender N.N.-Höhe; der Luftdruck nimmt um 1 mm ab, wenn die Höhe um rund 10 m zunimmt. Der Genauigkeit von ungefähr 0,1 mm, mit der sich der Luftdruck bestimmen läßt, entspricht eine Genauigkeit von rund 1 m in der Höhe.

Den Höhenunterschied zweier Punkte erhält man mit Hilfe der barometrischen Höhenformel aus den in den Punkten mit dem Barometer gemessenen Luftdrücken. Die Barometer oder Luftdruckmesser lassen sich einteilen in Quecksilberbarometer und Feder- oder Dosenbarometer oder Aneroide.

§ 20. Quecksilberbarometer.

Bei den Quecksilberbarometern unterscheidet man Gefäß-und Heberbarometer.

Ein Gefäßbarometer (Fig. 90a) besteht aus einem zum Teil mit Quecksilber gefüllten Gefäß G, das eine oben zugeschmolzene, je nach dem herrschenden Luftdruck mehr a oder weniger mit Quecksilber gefüllte Glasröhre R unten ab-schließt; die Länge l der Quecksilbersäule zwischen A und B mißt man mit Hilfe eines Maßstabs, der entweder beweglich oder fest mit Gefäß und Röhre verbunden ist. Um mit einem mit beweglichem Maßstab versehenen Instrument die Länge l zu messen, stellt man das untere in eine Spitze S (Fig. 90 b) auslaufende Ende des Maßstabs

Ni

■Â

a.n"

KZ)-;

Fig. 90.

C.

Jr

auf den Quecksilberspiegel A ein²) und macht 3odann die dem Quecksilberstand in B entsprechende Ablesung. Statt diese Einstellung von S vor jeder Ablesung auszuführen, stellt man bequemer die Spitze 8 bei einem bestimmten Barometerstand für immer scharf ein und berechnet die damit für andere Barometerstände sich ergebende Korrektion, die als Gefäßkorrektion bezeichnet wird. Sind Gefäß und Röhre mit dem Maßstab fest verbunden, so muß man entweder für jede Ablesung die Gefäßkorrektion berechnen, oder es wird diese vom Mechaniker in der Teilung des Maßstabs berücksichtigt. Besitzt da3 Gefäß anstatt eines festen Gefäßbodens einen beweglichen, z. B. in Form eines Lederbeutels (Fig. 90c), so lassen sich die Einstellungen des unteren Quecksilberspiegels auf die Spitze S mit Hilfe der Schraube G vor jeder Ablesung vornehmen.

Ein Heberbarometer (Fig. 91) besteht aus einer umgebogenen, an ihrem einen Ende zugeschmolzenen, zum Teil mit Quecksilber gefüllten Glasröhre, die meistens an den für die beiden Quecksilberstände in A und B in Betracht kommenden Stellen erweitert ist. Die Länge l der Quecksilbersäule zwischen A und B mißt man mit einem fest oder beweglich angebrachten Maßstab. Bei festem Maßstab erhält man l als Differenz der beiden Ablesungen in A und B; bei beweglichem Maßstab stellt man dessen Nullmarke auf A ein und liest dann in B unmittelbar l ab.

Fig. 91.

Je nach ihrer Transportfähigkeit teilt man die Quecksilberbarometer auch ein in Stations- oder Standbarometer und in Feldoder Reisebarometer. Im allgemeinen eignen sich die Heberbarometer besser zu Reisebarometern, doch werden auch Gefäß-barometer als' solche verwendet. Die Feldoder Reisebarometer besitzen besondere Vorrichtungen zum Abschließen des Quecksilbers während größeren Transporten.

Die an einem Quecksilber barometer gemachten Ablesungen geben nicht unmittelbar den Luftdruck an; man

hat an ihnen noch verschiedene Korrektionen anzu- .

bringen:

Für die schon erwähnte Gefäßkorrektion cl9 um die

je nachdem die Spitze S (Fig. 90b) bei A    l zu

vergrößern

meterstand br, wenn b₀ derjenige bekannte Barometerstand

[ verkleinern) findet man für einen bestimmten Baro-

d~

ist, bei welchem die Spitze S eingestellt ist, und wenn der Durchmesser j^jer^öhreS}

Um die Gefäßkorrektion bei einem bestimmten Instrument nicht für jede Ablesung berechnen zu müssen, entwirft man sich eine kleine Tabelle, der man für jede Ablesung br die entsprechende Korrektion entnehmen kann.

Infolge der Ausdehnung des Quecksilbers und des Maß-stabes durch die Wärme sind verschiedene Barometerablesungen nicht ohne weiteres vergleichbar; man muß sie zuvor auf eine Einheitstemperatur (0° Celsius) reduzieren, indem man die sog. Wärmekorrektion c₂ an ihnen anbringt. Um c₂ ermitteln zu können, muß jedes Quecksilberbarometer mit einem Thermometer versehen sein. Bedeutet b den abgelesenen Barometerstand, t die Temperatur von Quecksilber

und Maßstab, den Wärmeausdehnungskoeffizienten¹) des

, so ist

c₂ = —b(a — ß) t .

Quecksilbers Maßstabmaterials

Der auf die Temperatur 0° reduzierte Barometerstand b0 ist somit

b₀ — b (1 (a ß) f) .

Auch für die Temperaturkorrektion entwirft man sich für ein bestimmtes ß eine Tafel, der man für bestimmte b und t die zugehörigen c₂ entnehmen kann. ³

Infolge der gegenseitigen Anziehung des Glases und des Quecksilbers steht das Quecksilber in der Röhre stets zu tief (Fig. 92), und ist seine Oberfläche gewölbt. Der Betrag c₃, um den das Quecksilber zu tief steht, heißt Kapillardepression; diese ist abhängig von dem inneren Röhrendurchmesser d und der Kuppenhöhe h, und zwar derart, daß sie mit zunehmendem

zu }    Fig- 93 gibt eine

Tafel für die Kapillardepression.

Die Kuppenhöhe h hat man mit Hilfe des Maßstabes zu messen, so daß man für jeden Barometerstand zwei Ablesungen zu machen hat; beim Heber bar ometer hebt sich infolge ungleicher Kuppenhöhen die Kapillardepression am oberen und unteren Schenkel nicht auf, im allgemeinen wird — bei gleichem Rohrdurchmesser — die Kuppenhöhe im unteren Schenkel größer als die im oberen sein.

Ld+

„Ł

feil

Fig. 92

~y—-o

’Kupperihohe in mm.

58,

oĄ

—9

V/Ts'X V\ A

0/

6    6    7    8 S IO //    12 1Ö 14

Jirmerer Durchmesser der Glasröhre in vun Fig. 93.

Der Luftdruck wird beim Quecksilberbarometer durch das Gewicht einer Quecksilbersäule gemessen; da aber allgemein das Gewicht eines Körpers abhängig von der Fall-

beschleunigung g ist, und diese sich einerseits mit der N.N.-Höhe und andererseits mit der geographischen Breite verändert, so hat man, um in verschiedenen N.N. -Höhen und unter verschiedenen Breiten ausgeführte Barometerablesungen miteinander vergleichen zu können, diese auf dieselbe N.N.-Höhe — gewöhnlich auf N.N. — und dieselbe Breite — gewöhnlich 45® — zu reduzieren; man hat an den abgelesenen Barometerständen die in zwei Teile — c₄ und c₆ — zerfallende Schwerekorrektion anzubringen. — Wenn g0 die Fallbeschleunigung in der N.N.-Höhe 0 und in der Breite 45® ist, so läßt sich zeigen, daß die Fallbeschleunigung g in der Breite cp und der N.N.-Höhe H ist

⁼ 9o (l — ~j~) (1 — ß cos2 <p) ,

wo r der Erdhalbmesser und ß ein durch Pendelmessungen zu 0,00265 bestimmter Koeffizient ist. Wenn b ein in der N.N.-Höhe H und unter der Breite cp abgelesener Barometerstand ist, so erhält man für den auf die N.N.-Höhe 0 und die Breite 45® reduzierten Barometerstand bQ:

oder

9o

\ = b(i

6₀ äs 6 (l — und hieraus erhält man

— b ß cos2 cp = —c₄ — c₆ .

2 bH , —- und cg r

— b ß cos 2 <p entwirft man sich ebenfalls Tafeln, denen man c₄ und c₆ für bestimmte H und cp entnehmen kann.

Bringt man an der Ablesung an einem Gebrauchsbarometer die Gefäßkorrektion, die Wärmekorrektion und die Korrektion wegen Kapillardepression an und vergleicht die so reduzierte Ablesung mit derjenigen an einem in derselben N.N.-Höhe

oder

b₀ — b

(1 — ß cos2 cp) ß cos2 <pj ,

Für die beiden Schwerekorrektionen c₄ =

sich befindenden Normalbarometer, so zeigt sich im allgemeinen eine Differenz zwischen beiden, die als Standkorrektion c₆ bezeichnet wird. Die im allgemeinen bei verschiedenen Barometerständen verschieden große Standkorrektion eines Instruments bestimmt man durch längeres Vergleichen mit einem Normalbarometer bei verschiedenen Ständen.

Als Beispiel für die Reduktion einer Barometerablesung möge das folgende dienen:

Als Ablesungen an einem Gefäßbarometer wurden gemacht:

Kuppe oben 709,9 Temperatur +14,5.

„ unten 708,6

Der Durchmesser D des Gefäßes ist D = 10 cm, der Durchmesser d der Röhre d = 10 mm; die Gefäßkorrektion ist Null bei der Ablesung 700,0, so daß die Spitze (Anfangspunkt) des festen Maßstabs den Abstand ct von dem Quecksilberspiegel im Gefäß hatte. Der Maßstab ist aus Messing (Wärmeausdehnungskoeffizient ß = 0,000018). Die N.N.-Höhe des Beobachtungsorts war H — 660 m, seine geographische Breite cp = 48*40'.

Für die verschiedenen Korrektionen findet man:

1. Gefäßkorrektion c± = + (710—700)

100

10000

= + 0,10 mm.

2. Wärmekorrektion c₂ = —710 (0,00018—0,000018) 14

= —1,61 mm,

3. Kapillardepression c₃ = + 0,38 mm,

4. Schwerereduktion c₄ =

= -0,14,

2 • 710 • 660 6760000

c₆ = — 710 • 0,00265cos97*20' =+0,24,

5. Standkorrektion (aus einer Tafel für das betreffende Instrument entnommen) c₆ = — 0,20.

Man erhält damit für die reduzierte Ablesung b₀: b₀ = 709,9 + 0,10 — 1,61 + 0,38 — 0,14 + 0,24 = 708,9 mm.

§ 21. Feder- oder Dosenbarometer (Aneroide).

Bei den Aneroiden wird der Luftdruck mit Hilfe einer luftleeren Dose (Fig. 94) gemessen, deren Deckel sich bei

{^fallendem*} Luftdruck {hebt}’ Die Hebun«en und Sen‘ kungen des Dosendeckels, die proportional dem Luftdruck sind, sind sehr klein; sie betragen etwa 0,01 mm für eine Veränderung des Luftdrucks um 1 mm; will man also Luftdrucke auf 0,1 mm genau bestimmen, so muß man die Dosenbewegungen auf 0,001 mm genau

/naaaaaaa

messen.

Fig. 94.

Um diese kleinen Beträge bequem messen und mit Hilfe einer Skala ablesen zu können, vergrößert man sie; je nach der Art dieser Vergrößerung kann man drei verschiedene Arten von Dosen-barometern unterscheiden:

a)    das Aneroid nach Naudet mit mechanischer Vergrößerung;

b)    das Aneroid nach Goldschmid mit mechanisch-optischer Vergrößerung;

c)    das Aneroid nach Reitz - Deutschbein mit in der Hauptsache optischer Vergrößerung.

/0\

a) Das Aneroid nach Naudet (Fig. 95) besteht aus der Dose A, deren Bewegungen mit Hilfe der Hebel Verbindung BC DE F und des Gliederkettchens O auf den Zeiger Z übertragen und an der Skala S abgelesen werden. Die Skala ist gewöhnlich in halbe Millimeter (Luftdruck) eingeteilt, so daß man durch Schätzung auf i/20 mm ablesen kann.

Fig. 95.

Der Stand des Zeigers Z ist außer vom Luftdruck von der Temperatur der Instrumententeile abhängig; um diese Abhängigkeit zu vermindern, schließt man die Aneroide allgemein in Kästchen ein, so daß die Temperatur des Instruments möglichst dieselbe bleibt. Um die Abhängigkeit des Zeigerstands von der Instrumententemperatur bestimmen zu können, muß das Aneroid mit einem Thermometer versehen sein. Es werden auch sog. kompensierte Naudetsche Aneroide gebaut, bei denen der Zeigerstand unabhängig von der Temperatur ist.

b) Das Aneroid von Goldschmid (Fig. 96) besteht aus der Dose A, deren Bewegungen durch die Hebelverbindung BCDEF auf die an der Stirnseite des Hebels EF bei F angebrachte Marke Mt übertragen werden; der Stand dieser Marke wird mit Hilfe des bei G auf dem Hebel EF befestigten Fühlhebels GH und der Meßschraube J gemessen, indem man die Marke M₂ an der Stirnseite des Fühlhebels auf die Marke M₁ mittels einer vor den Marken angebrachten

l.

El

JE

BBE ą

Mt 2%

Fig. 96.

Lupe und der Schraube J einstellt (Fig. 95 b); die Ablesung wird an der neben der Marke Mt angebrachten Skala S± und mit Hilfe des Index K an der auf der Trommel der Schraube J angegebenen Skala S₂ vorgenommen. Um die Abhängigkeit der Ablesung von der Temperatur berücksichtigen zu können, ist das In-£ strument mit einem Thermo-) meter versehen.

Fig. 97.

J c) Beim Aneroid von Reitz-Deutschbein (Fig. 97) werden die Bewegungen der Dose A durch den Hebel BG auf eine bei G angebrachte Glas-skala übertragen, an der mit Hilfe des Fadenkreuzes eines gegen die Skala gerichteten Mikroskops die Ablesung gemacht wird; auch diesem Instrument ist zur Bestimmung seiner Innentemperatur ein Thermometer beigegeben.

Die an Aneroiden unmittelbar gemachten Ablesungen¹)

D Vor Ausführung einer Ablesung an einem Aneroid irgendwelcher Bauart empfiehlt es sich, den Deckel des Instruments leicht zu beklopfen.

stellen wie beim Quecksilberbarometer keine absoluten, ohne weiteres vergleichbaren Barometerstände vor. Um die bei verschiedenen Luftdrucken und bei verschiedenen Innen-temperaturen an einem Aneroid gemachten Ablesungen vergleichen zu können, muß man an den einzelnen Ablesungen gewisse Korrektionen¹) anbringen; diese zerfallen in die Wärmekorrektion, die Teilungskorrektion und die Standkorrektion. Diese Korrektionen Instrument wieder andere; sie müssen deshalb für jedes Instrument besonders durch entsprechende Untersuchungen bestimmt werden. Das Ergebnis der Untersuchung eines Instruments läßt sich in einer Gleichung von der Form

sind für jedes

Ar = A -|- a t -J- b (G — At) -J- c    (wo At = A -J- a t)

ausdrücken.

In dieser Gleichung bedeutet : Ar die reduzierte Ablesung, A die zu reduzierende Ablesung, at die Wärmekorrektion, a den sog. Wärmekoeffizienten, b (G — At) die Teilungskorrektion, b den sog. Teilungskoeffizienten, G einen unveränderlichen, beliebig, jedoch gleich einer runden Zahl angenommenen Barometerstand, At die mit der Wärmekorrektion versehene Ablesung und c die Standkorrektion.

Während der Wärmekoeffizient a für sich bestimmt wird, bestimmt man den Teilungskoeffizienten b und die Standkorrektion c zusammen; den Wärmekoeffizienten bestimmt man bei Annahme der obigen Gleichungsform zuerst.

Um den Temperaturkoeffizienten a für ein bestimmtes Instrument zu ermitteln, macht man an diesem bei möglichst verschiedenen Innentemperaturen Ablesungen, wobei man die in der Zeit zwischen den einzelnen Ablesungen unter Umständen eingetretenen Änderungen des Luftdrucks durch gleichzeitiges Ablesen an einem Quecksilberbarometer oder einem zweiten, den Temperaturschwankungen nicht unterworfenen Aneroid bestimmt. Die Untersuchung führt

*) Da beim Aneroid der Luftdruck nicht durch ein Gewicht wie beim Quecksilberbarometer gemessen wird, so hat man an den Aneroidablesungen keine Schwerekorrektion anzubringen.

²) Nach dieser Gleichung ist angenommen, daß die Wärmekorrektion a t proportional der Wärme t ist; dies ist bei den Instrumenten Naudetscher Bauart im allgemeinen der Fall. Zeigt die Untersuchung eines Instruments, daß die Wärmekorrektion nicht proportional t ist, so erhält man in der Gleichung an Stelle des einen Gliedes at die beiden att+ a₂t², und damit zwei Temperaturkoeffizienten.

10

Werkmeister, Vermessungskunde II.

man am besten im Winter aus, indem man das — seinem Etui entnommene — Aneroid zunächst ins Freie bringt und nach einiger Zeit die Ablesungen am Aneroid, an dessen Thermometer und an einem zweiten Barometer vornimmt; hierauf bringt man das zu untersuchende Aneroid in ein leicht erwärmtes Zimmer¹) und macht nach einiger Zeit wieder die drei Ablesungen; nach Erhöhung der Zimmer-und damit der Aneroidtemperatur macht man nach einiger Zeit drei weitere Ablesungen.

Als Beispiel einer Bestimmung des Temperaturkoeffizienten eines Aneroids Naudetscher Art möge das folgende dienen:

Zeit

Luftdruck

Ablesungen

V.M.

mm

am

Temp.

adeS M

Aneroids

₈h

741,3

744,3

+1,0

Reduzierte

Ablesungen

a am

Aneroid m m

Differenz der red. Ablesungen mm J

Temp.

Differenz

°c

746,3

0,9

741,0

744,9

+⁴0,0

#,o

746Z

741,2

745,9

+20,5

746,0

0,8

10,5

741,2

746,1

+12,6

746,2

0,8

127⁴

747,0

744,3

+4,0

744,0

0,6

8,4

Man findet im Mittel a — — 0,086.

Den Teilungskoeffizienten b und die Standkorrektion c findet man für ein bestimmtes Instrument dadurch, daß man eine größere Anzahl von Ablesungen am Aneroid bei möglichst verschiedenen Luftdrucken mit den gleichzeitig ausgeführten und reduzierten Ablesungen an einem Quecksilberbarometer²) vergleicht. Die verschiedenen Luftdrucke erhält man entweder auf natürlichem Wege dadurch, daß man die Vergleichung auf einen längeren Zeitabschnitt — z. B. ein ganzes Jahr — ausdehnt, oder auf künstlichem Wege durch Vergleichen in verschiedenen N.N.-Höhen oder mit Benützung der Luftpumpe.

Beispiel: Um den Teilungskoeffizienten und die Standkorrektion des Naudetschen Aneroids mit a — —0,086 zu ermitteln, wurde an ihm und einem Quecksilberbarometer gleichzeitig in fünf Punkten mit verschiedenen N.N.-Höhen abgelesen, und zwar:

Aneroid

Temp. des Aneroids

At=A+at

Quecks.Ban

reduziert

Ar

Differenz

C“At (C^r 700)

18,6

7,8

724,4

722,8

724,6

-22,8

18,3

2,0

716,7

716,1

717,1

-16,1

699,3

18,0

697,7

700,0

2,3

+2,3

18,0

+11,6

690,0

688,6

690,8

18,0

3,0

680,0

678,6

681,4

+21,6

•IJS^

A ä» |-

s^l i-

I! *

<X> xn

2.

«« I

■Sgs i 2 ⁰⁵

o bß bi)

■o

a

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60 .. ⁶⁸

'S 'S

--|----TI

\°

»

......yr

’p

.i i i i

-h Ä ä

Ua Tr

! sl ti •S a~. . \

g _ ö 1 i

°\

fr

- v- y -

-26    -20

rfO

+10

+ZO +2ö

-C-Ą-

Fig. 98.

die-(O — At) — für C wurde im vorliegenden Beispiel 700 angenommen — als Abszissen und die zugehörigen Differenzen (Ar — At) als Ordinaten aufträgt; die fünf so erhaltenen Punkte gleicht man durch eine nach Gutdünken gezogene Gerade aus und findet c = +2,30 und b = +0,025. Die Gleichung des untersuchten Aneroids lautet somit:

Ar = A — 0,086 t + 0,025 (700 — At) + 2,30 (wo At — A — 0,0861) .

Diese Gleichung gilt (vgl. die Untersuchung) für Temperaturen zwischen +1° und +20# und für Luftdrucke zwischen 670 und 730 mm.

Für die Temperatur- und Teilungskorrektion eines bestimmten Instruments entwirft man sich zweckmäßigerweise je eine Tafel.

Als reduzierte Ablesung Ar findet man z. B. für die an dem erwähnten Aneroid gemachte Ablesung A = 694,4 mm und t = +10,5°:

Ar = 694,4 — 0,90 + 0,16 + 2,30 = 695,96 mm.

In bezug auf die Größen a, b und c ist noch allgemein zu bemerken:

Der Temperaturkoeffizient a ist mit der Zeit veränderlich; er sollte deshalb in Zeitabschnitten von 1—2 Jahren neu bestimmt werden¹). Mit Rücksicht auf die Unsicherheit in der inneren Temperatur t eines Aneroids sollte a den Wert 0,13 nicht überschreiten; ein Instrument mit größerem a ist für den praktischen Gebrauch unbrauchbar.

Auch der Teilungskoeffizient b und die Standkorrektion c bleiben nicht unveränderlich und sollten deshalb von Zeit zu Zeit neu bestimmt werden; besonders c kann ich durch starke Erschütterungen des Instruments um erhebliche Beträge ändern.

Während gewisse Messungsverfahren sich auch mit einem Aneroid ausführen lassen, von dem man b und c nicht kennt, ist ein Aneroid, dessen Wärmekoeffizient unbekannt ist, ziemlich unbrauchbar.

§ 22. Die barometrische Höhenformel und die Berechnung barometrisch gemessener Höhenunterschiede.

Die barometrische Höhenformel beruht auf den drei folgenden physischen Gesetzen:

0 Auch bei solchen Instrumenten, die als kompensiert bezeichnet sind.

1.    Gesetz von Boyle-Mariotte: Die Dichtigkeit oder das spezifische Gewicht einer Gasmasse ist ihrem Druck direkt und ihrem Volumen umgekehrt proportional.

2.    Gesetz von Gay-Lussac: Bei gleichbleibendem Druck verursacht die Erwärmung eines Gases um 1 ° C eine Volumzunahme um a = —^ .

3.    Gesetz von Dalton: Der Druck und damit das spezifische Gewicht einer Mischung aus zwei Gasen ist gleich der Summe der Drucke bzw. spezifischen Gewichte, die beide Gase vor der Mischung besaßen.

FT

der N.N.-Höhe Hm =

Um die barometrische Höhenformel herzuleiten, betrachten wir (Fig. 99) eine Luftsäule vom Querschnitt 1 zwischen den N.N. -Höhen H₁ und H₂. Ist s das spezifische Gewicht der Luft in der Säule, g die Beschleunigung durch die Schwere in H₁ + H₂

*r

und unter der geographischen Breite (p der Luftsäule, so erhält man für das Gewicht oder den Druck dp einer unendlich dünnen Schichte der Säule von der Höhe dH in der Höhe H:

(1) dp =—dH sg !) .

nr

Fig. 99.

Das spezifische Gewicht s der Luftsäule setzt sich nach dem Daltonschen Gesetz zusammen aus dem spezifischen Gewicht Si der trockenen Luft und dem spezifischen Gewicht sw des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes, so daß

(2)

8 - 8l “j“ Sy) •

Ist j*¹ j die Temperatur der Luft in der N.N.-Höhe j#¹}» so ist die mittlere Temperatur t in der N.N.-Höhe Hm

h + h

x) Gewicht dp = Masse ldHs x Fallbeschleunigung g.

Setzt man die Gleichungen (3) und (4) in die Gleichung (1) ein, so erhält man

Mo _(i_    *)(j

p₀(l + at)\ ⁷ bj\

²y!1)(l—ßcos2(P)

(5) —

p

wobei in dem Faktor (l &i + b₂

dp =-dH

K— 2

und H₂ sind) gesetzt wurde.

Ist ferner s₀ das spezifische Gewicht der trockenen Luft bei po = 760 mm Druck und einer Temperatur von 0° C, y' Sq¹) das spezifische Gewicht des Wasserdampfes bei demselben Druck po und derselben Temperatur 0° C, p der Luftdruck in der N.N.-Höhe H und e der Druck des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes oder der sog. Dunstdruck, so erhält man nach den Gesetzen von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac

si = s₀

und

p₀(i + oct)

«w = y's«

p„(l + oct)’

Mit diesen Werten geht die Gleichung (2) über in

io

PoO + oct) oder mit y = 1 — y' x) in

(3)

_3lP—(i_ r±) .

PoU + «<)'    ⁷ P '

Wenn g₀ die Beschleunigung der Schwere in der N.N.-Höhe 0 und unter der Breite cp = 45 ° ist, so ist die Beschleunigung g

der Gleichung (1) in der N.N.-Höhe Hm —

H± + H₂

und unter

der Breite cp, wenn r der Erdhalbmesser ist:

(4)

= 9-0(1

— ß cos2 cp) .

für p näherungsweise (wenn b± und b₂ die Barometerstände in HL

‘) y' = 0,623 und damit y = 0,377.

Die Integration der Gleichung (5) ergibt:

v%l-

oder H₂ — H₁ = h —

so 9o

(* rJ(

1 — ^)(1 — ßcos2<p)H

h=h.

H=Ht

^o_A{i + at)—-

so 9o \    J

2Hm 1 —/?cos2(p *

~yK

Geht man vom natürlichen Logarithmus auf den gemeinen über, so wird, wenn M der Modul des letzteren ist,

- ^ 1 -f ö gesetzt wird:

und

loè₂ (1 +    + ri) (I + ²~)d + /? 00B2y).

Um in dieser Gleichung den unveränderlichen Faktor berechnen zu können, setzt man p₀ = 0,16sqg₀,

Po

So 9oM

wo sq das spezifische Gewicht des Quecksilbers ist, und findet

Po

0,76 • 13,596

_ 0,76 sq _

— s₀M ~ 0,001293 • 0,43429

s₀9oM

Damit geht die Gleichung (6) über in

= 18400.

(7) h = lflog| (l + «()jl+^)(l + ²-^)(1+/?coS2„) , wo K — 18 400, bt und b₂ die Barometerstände in den N.N.-

Höhen H₁ und H₂, a = der Wärmeausdehnungskoeffizient

die mittlere Lufttemperatur in der

der Gase, «_i+*

Luftsäule in, y = 0,377 der sog. Feuchtigkeitskoeffizient, die mittlere N.N.-Höhe, r der Erdhalbmesser, ß — 0,00265 der Schwerekoeffizient und cp die geographische Breite des Beobachtungsortes ist.

Die in Gleichung (7) gegebene Form der barometrischen Höhenformel ist für den praktischen Gebrauch ungeeignet; man stellt an ihrer Stelle eine für ein bestimmtes Gebiet

g

geltende Näherungsformel auf, indem man für , Hm und cp

die diesem Gebiet entsprechenden Mittelwerte einsetzt. Die für Deutschland üblichen Mittelwerte sind Hm = 500 m,

e 1

e — 7,16 mm und bm = 716 mm, so daß    wird, und

OfYl lw

(p = 50°; mit diesen Werten erhält man

(8)

K'\ogy-(l + oct) ,

wo K' = 18464 und a =    .

turen t± und t₂ zu messen; t ist dann gleich fc --. Zur

Bei Benützung dieser Formel hat man in den beiden Punkten At und A₂, deren Höhenunterschied h bestimmt werden soll, mit Hilfe eines Barometers die Luftdrucke bt und b₂ und mit Hilfe eines Thermometers die Lufttempera

Messung der Lufttemperaturen benutzt man ein sog. Sohleuderthermometer, d. i. ein an einer Schnur befestigtes Thermometer, das vor der Ablesung — zum Schutz gegen Wärmestrahlung — in der Luft geschleudert wird.

Für die Berechnung barometrisch gemessener Höhenunterschiede benützt man nicht unmittelbar die Formel (8), sondern eine der auf Grund dieser Gleichung entworfenen Tafeln, deren es zwei verschiedene Arten gibt; diese beruhen auf zweckmäßigen Umformungen der Formel (8).

mit

der beliebig anzunehmenden Größe C, so läßt sich die Gleichung auch folgendermaßen schreiben:

1. Erweitert man Zähler und Nenner des Bruches ^

CT3

•Fl o

low1 +

a t)

oder

h = Z'logf- (1 + « t) — Z' log    ( 1 + a t).

Setzt man hier

(9)

so wird

log y (1 + a t) = K' log y (1 + a t) — H

Hu und

(10)

h = H₀ — Hu .

Die „barometrischen Rechnungshöhen“ Hu bzw. H₀ lassen sich für verschiedene Werte von b₁ bzw. b₂ und t in einer Tafel zusammenstellen; die ausführlichste Tafel dieser Art stammt von Jordan¹), der für G — entsprechend dem mittleren Barometerstand in N.N. — 762 mm gewählt hat; Hu und Hq werden deshalb auch als „rohe Meereshöhen“ bezeichnet.    ^

¹

) Über seine Ermittlung siehe Band I, f 13. Werkmeister, Vermessungskunde II.

²

) Diese Einstellung läßt sich mit Benützung des Spiegelbildes von S sehr scharf vornehmen.

³

a = 0,00018, ß (für Messing) = 0,000018, ( „ Holz ) = 0,000004.

⁴

Falls das Aneroid im Zimmer nicht in derselbrn N.N.-Höhe liegt wie im Freien, ist bei der nachfolgenden Berechnung der Höhenunterschied zu berücksichtigen.

a) Oder an einem schon untersuchten Aneroid.

2. Der Bruch A der Gleichung (8) läßt sich auch in der Form schreiben:

6,-6«

+ b₂

Entwickelt man den Logarithmus dieses Bruches in eine Reihe, so erhält man:

°g

2M

Vernachlässigt man hier in der Klammer die Glieder von der 3. Potenz an¹ 2 3) und setzt das Gefundene in die Gleichung (8) ein, so geht diese über in

(1 + « t)

h = 2 M K'

oder

(1 + « 0 *

wo Z" —    8019 und a — rr—r .

273

+30

*570    680    690    700 710    720    730    740 750 700 770

•s

V7Ys

4y

V.

+30

Vi

\+20

/ y

/>

yy

20

yy

\zyio

/é'

--y

.z

10

rv>

7é

bs

-'-y

10

720 730 740 750 760 770

660 670 680 690 700 710

JAlvttel der Barometerstände in mm

-10

Setzt man hier

(1 + a t) = Ah ₉

(11)

so wird

K"

bx + \

Fig. 100.

(12)

h — A h(b₁ — &₂) .

Mit b₁ — b₂= 1 mm wird Ah= h; Ah ist demnach derjenige Höhenunterschied, um den man in die Höhe steigen muß, damit das Barometer um 1 mm fällt; A h wird deshalb als „barometrische Höhenstufe“ bezeichnet. Berechnet man auf Grund der Gleichung (11) eine Tafel, der man für die

halbe Summe    zweier gegebener Barometerstände und die mittlere Temperatur t die entsprechende Höhenstufe entnehmen kann, so findet man h in einfachster Weise nach Gleichung (12); eine graphische Tafel für Ah zeigt die Fig. 100.

§ 23. Ausführung von barometrischen Höhenmessungen.

Für die Bestimmung des Höhenunterschieds h zweier Punkte A₁ und A₂ genügt es nicht, nur in A± und in A₂ die Barometerstände b± und b₂ und die Lufttemperaturen t1 und t₂ zu bestimmen; dieses einfache Verfahren hätte nur Berechtigung, wenn der Luftdruck und die Lufttemperatur in der zwischen den Ablesungen in A± und A₂ liegenden Zeit sich nicht verändern würden; da dies aber infolge der periodischen und plötzlichen Schwankungen in Luftdruck und Lufttemperatur nicht ohne weiteres angenommen werden kann, so hat man bei der Ausführung der Messung Rücksicht auf solche Schwankungen zu nehmen, indem man die Schwankungen selbst bestimmt und dabei annimmt, daß sie innerhalb eines nicht zu großen Gebietes dieselben sind, und daß sie innerhalb kürzerer Zeitabschnitte proportional der Zeit sinej¹). Hie gebräuchlichsten Messungsverfahren sind die folgenden :

1. Man verwendet zwei Instrumente, ein Standbarometer und ein Feldbarometer. Das Messungsverfahren besteht darin, daß ein Beobachter mit Hilfe des Feldbarometers und eines Schleuderthermometers die Luftdrucke und Lufttemperaturen in den Punkten mißt, deren Höhenunterschiede bestimmt werden sollen; während dieser Zeit führt ein zweiter Beobachter regelmäßige Messungen des Luftdrucks und der Lufttemperatur an einem bestimmten Ort aus mit Hilfe des Standbarometers und eines Schleuderthermometers. Nach diesem Verfahren lassen sich die Höhenunterschiede, oder wenn die N.N.-Höhe eines Punkts gegeben ist, die N.N.-Höhen einer größeren Anzahl von Punkten bestimmen oder an Hand einer vorhandenen Karte ein „barometrisches Flächennivellement“ ausführen. U der ersten der beiden gemachten Annahmen — die Luftdruckschwan-

D Diese beiden Annahmen sind für ruhige Sommertage zulässig; bei stürmischer, zu Gewittern neigender Witterung sind sie nicht zulässig, weshalb man an solchen Tagen die barometrische Höhenmessung am besten unterläßt.

kungen am Orte des Standbarometers stimmen mit denen im ganzen Messungsgebiet des Feldbarometers überein — möglichst nahe zu kommen, wird man für das Standbarometer einen in der Mitte des aufzunehmenden Gebietes liegenden Ort wählen.

Als Feldbarometer verwendet man jedenfalls ein Aneroid, als Standbarometer¹) kann ein Quecksilberbarometer oder ein Aneroid zur Verwendung kommen.

Der das Feldbarometer bedienende Beobachter hat folgende Ablesungen und Auf Schreibungen auf jedem Punkt vorzunehmen: Zeit, Barometerstand, Temperatur des Aneroids und Lufttemperatur.

Am Orte des Standbarometers sind folgende Ablesungen und Aufzeichnungen vorzunehmen: Zeit, Barometerstand, Barometertemperatur in Zeitabschnitten von etwa 15 Minuten und Lufttemperatur in der Stunde etwa zweimal. Für die Aufschreibungen und nachfolgenden Berechnungen empfiehlt sich die Verwendung eines Formulars.

Einen Teil eines barometrischen Flächennivellements zeigt das folgende Beispiel, zu dem zu bemerken ist, daß die Ablesungen am Stand- und Feldbarometer bereits mit sämtlichen Korrektionen versehen sind:

a) Standbarometer.

Zeit

Luftdruck

Lufttenip

Schwankungen

mrr)

°c

Fm

LüftdrutK m m

m

LuÇtemp.

00

710,3

±126

±0,0

±0,0

iS

710,2

-0,1

28

710,2

±13,0

-0,1

+qs

SO

710,0

10

00

710,0

+13,d

-0,3

±0,8

‘) Für rohere Messungen — z. B. bei geographischen Forschungsreisen — kann das Standbarometer durch die von der nächstgelegenen meteorologischen Station gemachten Aufzeichnungen ersetzt werden.

2. Man verwendet zwei Instrumente, und zwar zwei Feldbarometer, also am besten zwei Aneroide, und bestimmt denHöhen-unterschied von je zwei Punkten dadurch, daß man in beiden Punkten gleichzeitig Luftdruck und Lufttemperatur mißt. Dieses Verfahren läßt sich verwenden bei der Aufnahme eines Profiles längs einer bestimmten Linie, von der einzelne Punkte ihrer Lage nach in einer Karte gegeben sind. Ist z. B. die N.N.-Höhe Ha eines Punktes gegeben, und sollen die N.N.-Höhen der Punkte 1, 2, 3, 4, ... bestimmt werden, so ist der Vorgang bei der Messung der folgende: Zunächst lesen beide Beobachter in A ihre Aneroide ab, sodann begibt sich der eine Beobachter nach Punkt 1, worauf zu gleicher Zeit¹) in A und 1 die Luftdrucke und die Lufttemperaturen gemessen werden; nachdem auf diese Weise der Höhenunterschied zwischen A und 1 bestimmt ist, begeben sich die Beobachter von 1 nach 2 bzw. von A nach 1 und bestimmen durch gleichzeitige Messungen in 1 und 2 den Höhenunterschied dieser Punkte usf.

Voraussetzung für dieses Mes-* sungsverfahren ist, daß die reduzierten Ablesungen von zwei gleichzeitig und in demselben

b) Feldbarometer.

N.N.

höhe

663±

672,9

689,4

697,7

Jh h-bl h

Barometer Luft', Korrektion wegen Reduz Reduz,    .

Schwankung Barometer Luft    Di⁺ °2    f

.desLafblderLuft, Ablesung temp. o °c drudtótemD. mm ' 'C

Ablesung temp.

mm

x) Die gleichzeitige Ablesung kann man in freiem Gelände durch Flaggenzeichen oder in bedecktem Gelände durch vorherige Festsetzung der Zeit der Ablesung erreichen.

Zeit

Piund

-A- 9 00 710,4 +1^5 ±0,0 ±Oß 710Ą +12,5    G \l2f5\11,81 \+0,8\ + 9,5

1 9 20 709,5 +12,8 +0,1 -0,3 709,6 +12,5

709    12,5    11,83 -f 1,4 \ +16,5

70S I 12,4    11,84 \+0,7 U8,3

2 \9 \35\ 708,0 +/JO +0,2\-0,6\ 708,2 \+72,4\

3    \50\ 707,Z \+/3,0\+0,3 \-0,7\ 707,5 +12,3

IC

00

N.N.

Höhe

610,5

Berechnung.

a h ^-bn h

Beobachtern

Beobachter I

Punrt Zeit Luftdruck Lufts j. Luftdruck Luft-, b +bn t Kt htm mm ÇgP-    mm    ~2~

A 712,4

A \ 7 \ 00\ 712,4

A    7    13    712,3 +10,2 1    711,5 +10,0    712    +10,1 11,69 +0,8    +9,6    649,9

1    7    25    7/1,4 +10,1 2    710,4 +10,0    711    +10,0 11,70 +1,0    +11,7 661,6

Z 7 40 \ 7/0,3 \+1oĄ 3    709,2\+10Ą 710 \+/0Ą 11,70 W/,1 I + 1ZJ8 [ 674,4

8 \00\ 709,1 W/OĄ 3 709,1 W /oĄ

Punkt an den beiden Aneroiden gemachten Ablesungen übereinstimmen; man wird deshalb zum Schluß der Messung wie in A, so auch im letzten Punkt beide Instrumente nochmals gleichzeitig ablesen oder vergleichen.

Ein Beispiel¹) für eine solche Punktbestimmung ist das nebenstehende.

3. Der Höhenunterschied zweier Tunkte A und A2 läßt sich auch mit einem Instrument dadurch bestimmen, daß man zuerst b1 und tx in A₁ mißt und sodann b₂ und t₂ in A₂; um zu untersuchen, ob zwischen beiden Ablesungen eine allgemeine Änderung des Luftdrucks oder der Lufttemperatur eingetreten ist, kehrt man nochmals auf A± zurück und macht dort die Ablesungen b{ und t{. Eine sich zeigende Differenz zwischen b± und b{ oder zwischen t± und t[ entspricht einer Schwankung des Luftdrucks bzw. der Lufttempe-

*) Die Ablesungen sind wieder bereits reduziert.

ratur, die sich, wenn man zu den einzelnen Ablesungen die Zeit aufgeschrieben hat, proportional der Zeit in b2 bzw. t₂ berücksichtigen läßt. Eine Verschärfung der Höhenbestimmung kann man in einfacher Weise dadurch erreichen, daß man die Messung wiederholt, indem man die Ablesungen in beiden Punkten abwechslungsweise mehrmals vornimmt. Nach diesem Verfahren lassen sich natürlich auch die N.N.-Höhen von mehreren Punkten von einem gegebenen Punkt aus bestimmen; zu beachten ist nur, daß der Unterschied in der Zeit zwischen der ersten und zweiten Ablesung im Ausgangspunkt nicht zu groß sein darf, so daß die Voraussetzung, wonach Schwankungen im Luftdruck und in der Lufttemperatur proportional der Zeit vor sich gehen, noch berechtigt ist¹).

Beispiel: Gegeben ist die N.N.-Höhe eines Punkts B zu 646,0 m; zur Bestimmung der N.N.-Höhe des Punkts P wurden der Reihe nach in B, P und B Luftdruck und Lufttemperatur gemessen:

Punkt

Zeit Luft"' Luft»Luftdruck druck temp. (reduz) mm °c mm

bl^ t jh *

N.N.

.O- h Höhe

B 8 30 712,8- +15,6 712,8

T S 50    70S,5 +150 709,6

B 10 20    712,6 +15,6 712,8

711    IS,3 11.01 3,2 381 <j/,6'°

----- 684,1

711    15? 11.913,2 38,1 6Ą6Q

4. Sehr einfach gestaltet sich die barometrische Höhenbestimmung für den Fall, daß von zwei in bezug auf ihre Höhen weit auseinander liegenden Punkten die N.N.-Höhen gegeben sind man findet dann diejenigen von Punkten, die der Höhe nach zwischen ihnen liegen, durch Interpolation mit Hilfe des Barometers (Aneroids). Sind gegeben die N.N.-Höhen Ha und He der beiden Punkte A und E (Fig. 101), und sollen die Höhen der Punkte 1, 2, 3 ... bestimmt werden, so mißt man der Reihe nach in ^4, 1, 2, 3 ... E den Luftdruck, indem man am Aneroid und am Aneroid-

0 An ruhigen Sommertagen ist diese Voraussetzung für die Dauer von etwa V₂—³/₄ Stunden zulässig.

JE©

thermometer abliest; sind die entsprechenden reduzierten Ablesungen^, bl9 b₂ , ... be, so findet man für die barometrische Höhenstufe

Ah =

Ha- H,

ba be

A®

Fig. 101.

und kann damit die einzelnen Höhenunterschiede berechnen. Bei diesem Einschalten von gesuchtenPunkten zwischen zwei gegebene Punkte braucht man die Lufttemperatur nicht zu messen; vom Aneroid muß man nur den Wärmekoeffizienten kennen, da Teilungs- und Standkorrektion mit interpoliert werden. Besonders einfach gestaltet sich diese Art der barometrischen Höhenmessung bei Benützung eines kompensierten Aneroids, da dann außer der Ablesung an diesem überhaupt keine Ablesungen zu machen sind.

Beispiel: Gegeben Ha — 548,3 m, He = 634,5 m; gesucht sind die N.N.-Höhen von drei zwischen A und E liegenden Punkten:

Punkt

Aneroid

(komp.)

mmr

715,5

Höhen#

unterschiede

N.N. Höhen

24,8

548,3

717,4

715,0

28,3

373,1

713,7

1,5

15,4

601,4

712,2

1,5

17,7

616,8

7,5

86,2

634,5

Man findet

7,3

III. Abschnitt. Tachymetrische Messungen.

Als Tachymetrie (Scłinellmessung) bezeichnet man diejenigen Messungsverfahren, bei denen die Lage und die Höhe von Punkten gleichzeitig bestimmt werden; die wichtigsten diesem Zweck dienenden Instrumente sind der Tachymetertheodolit, der Meßtisch mit der Kippregel und der Phototheodolit.

7. Kapitel.

Der Okularfadenentfernungsmesser.

Ein wichtiger Bestandteil des Tachymetertheodolits und der Kippregel ist das entfernungmessende Fernrohr.

Die Entfernungsmesser im allgemeinen beruhen darauf, daß man die zu messende Entfernung als Seite eines meist gleichschenkligen, sehr spitzen Dreiecks ansieht, von dem man entweder den spitzen (mikrometrischen oder parallaktischen) Winkel unveränderlich annimmt und die diesem gegenüberliegende Seite — Basis — mißt, oder von dem man die Basis unveränderlich annimmt und den mikrometrischen Winkel mißt; dabei ist zu unterscheiden, ob die Basis im Standpunkt oder im Zielpunkt sich befindet. Für geodätische Zwecke kommen nur die Entfernungsmesser mit Basis im Zielpunkt in Betracht; der wichtigste unter diesen ist der Okularfadenentfernungsmesser oder Reichenbachsche Fadenentfernungsmesser, oder auch kurzweg Fadenentfernungsmesser.

11

Werkmeister, Vermessungskunde II.

§ 24. Der Fadenentfernungsmesser.

Fig. 102.

Beim Fadenentfernungsmesser ist die Basis im Zielpunkt und veränderlich ; der mikrometrische Winkel im Standpunkt ist unveränderlich, er ist bestimmt durch den Abstand von zwei — außer dem eigentlichen Horizontalfaden — auf dem Diaphragma des Fernrohres aufgezogenen Horizontalfäden, den sog. Distanzfäden (Fig. 102). Das Messen einer Entfernung besteht darin, daß man im Zielpunkt einen Maßstab in Form einer Nivellierlatte aufstellen läßt und an ihm die mit der Entfernung veränderliche Basis zwischen den beiden Distanzfäden abliest; die zu bestimmende Entfernung E, der an der Latte abgelesene Abschnitt l und die Abmessungen des Fernrohrs, insbesondere der Abstand a der beiden Fäden, stehen in einer gewissen Beziehung zueinander, die für die verschiedenen Arten von Fernrohren verschieden ist.

1. Ramsdensches Fernrohr.

Wenn E die Entfernung der im Zielpunkt auf-gestellten Latte A B von der Umdrehungsachse U U des Instruments, d der Abstand der letzteren vom Objektiv und dessen Brennweite f ist, so liest man aus der Fig. 103, in welcher die durch die beiden Distanzfäden und den äußeren Brennpunkt F des Objektivs bestimmten Brenn strahlen eingezeichnet sind, unmittelbar folgende Beziehung ab:

E — (d + f) = — l

a

oder:

E = {d + f) + —-1.

a

Setzt man in dieser Gleichung und

so erhält man als Gleichung für das entfernungmessende Fernrohr nach Kamsdenscher Bauart:

(1) E = c+kl,

wo

c — d + f und k = — a

f*—d —’f— f —H

H- c -*-

h-E

-E-c

JB

«F

■H

Fig. 103.

In dieser Gleichung sind — mit d, f und a — c und k unveränderliche Größen; c heißt die Additionskonstante, k die Multiplikationskonstante des Fern-f

rohrs. Das Verhältnis — wählt man so, daß k gleich

einer runden Zahl — z. B. gleich 100 — wird.

Der Winkel e in F zwischen den beiden Brennstrahlen ist der unveränderliche mikrometrische oder parallaktische Winkel. Der Brennpunkt F heißt auch anallak* tischer Punkt.

2. Huygenssches Fernrohr.

Behält man die oben benützten Bezeichnungen bei und bezeichnet man noch den Abstand des Diaphragmas von der Kollektivlinse If mit y, die Brennweite dieser Linse mit /*', so erhält man (Fig. 104) mit Hilfe der beiden durch F', a, F und l bestimmten Brennstrahlen

E-

c = -C l.

TJ !

\B

Da

h—d —*— i*-- *

-F~c

JS

TT

Fig. 104.

a' = a

f'-y

so wird

e = 0 + ^{¹~7⁷)1;

diese Gleichung läßt sich in der Form schreiben:

(2)

wo c

E = c -f k'l,

= d + f und V = t(l- .

Da hier die Multiplikations,,konstante“ k' eine mit y veränderliche Größe ist, so findet das Huygenssche Fern-

Konstanten eines entfernungmessenden Fernrohrs. 165 rohr als entfernungmessendes 'wenig Verwendung. Der für ein bestimmtes y unveränderliche mikrometrische Winkel erscheint wieder im anallaktischen Punkt (Brennpunkt F) als Winkel s zwischen den beiden Brennstrahlen.

3. Porrosches Fernrohr.

Nach den Gleichungen (1) und (2) ist die vom anallaktischen Punkt aus gemessene Entfernung E—c unmittelbar proportional dem Lattenabschnitt l; soll die von der Umdrehungsachse aus gemessene Entfernung E proportional l sein, so muß der anallaktische Punkt mit der Umdrehungsachse zusammenfallen; dies wird nach Porro dadurch erreicht, daß man an Stelle der einen Objektivlinse ein System von zwei Linsen — eigentliche Objektivlinse und anallatische Linse — verwendet. Die Gleichung für das Porrosche Fernrohr lautet:

(3)

E = Tc"l.

§ 25. Bestimmung der Konstanten eines entfernungmessenden Fernrohrs.

1. Die Additions konstante c läßt sich — abgesehen vom Porroschen Fernrohr, wo sie gleich Null ist — durch unmittelbares Abmessen der Größen d —

Abstand der Objektivlinse von der Umdrehungsachse — und f — Brennweite der Objektivlinse — genügend genau bestimmen; man hat nach den Gleichungen (1) und (2)

c = d + f.

2. Für die Bestimmung der Multiplikatio ns konstante eines Fernrohrs genügt unmittelbares Abmessen der in Betracht kommenden Größen — besonders der

Fadenentfernung a — im allgemeinen nicht; man führt vielmehr die Bestimmung derart aus, daß man eine bzw. mehrere Entfernungen einerseits mit dem Entfernungsmesser und andererseits mit Meßlatten oder einem Meßband mißt. Wenn E₁ eine unmittelbar gemessene Entfernung und l± der ihr entsprechende Lattenabschnitt ist, so erhält man z. B. bei Bamsdenschem Fernrohr aus Gleichung (1)

?b -    * ~c

h '

Praktisch führt man die Bestimmung so aus, daß man für eine Anzahl Punkte zuerst die Lattenabschnitte l abliest und sodann vom anallaktischen Punkt aus die Entfernungen (E—c) ab mißt¹).

Beispiel für eine Konstantenbestimmung: An einem Fernrohr Ramsdenscher Bauart wurde abgemessen d = 8 cm, f= 18 cm, so daß c=d + f=8+18 = 26 cm.

Zur Ermittlung von k wurden fünf Punkte in den durch Abschreiten bestimmten ungefähren Abständen von 20 m gewählt und ihre Entfernungen durch Ablesen an einer vertikal in ihnen aufgehaltenen Nivellierlatte und sodann durch unmittelbares Abmessen mit Meßlatten bestimmt; dabei wurden die folgenden Werte gefunden:

Lattenabschnitt l

0,198 0,415 0,602 0,787 0,972

Die Gleichung des Fernrohrs ist somit E= 0,26 + 99,93 1.

Punkt

Crc CO to I—'

Entf. vom anallakt. Punkt (E-c)

19,73

41,45

60,28

78,68

97,22

99,65

99,88

100,13

99,98

100,02

k im Mittel 99,93

0 Für die folgende Rechnung wäre es bequem, die (E— c) gleich runden Zahlen zu machen; dies ist jedoch mit Rücksicht auf die dadurch eintretende Regelmäßigkeit in den Lattenabschnitten nicht zu empfehlen.

Für die Gleichung eines bestimmten Fernrohrs entwirft man eine Tafel, der man für einen Lattenabschnitt l die zugehörige Entfernung E entnehmen kann.

Die Unveränderlichkeit der Multiplikationskonstanten ist zunächst — beim Ramsdenschen Fernrohr überhaupt nur — abhängig von dem Fadenabstand a; um diesen unveränderlich zu erhalten, empfiehlt es sich, die Distanzfäden nicht in Form von Spinnenfäden auf dem Diaphragma aufzuziehen, sondern auf einem Glas plättchen, der sog. Fadenplatte, einzureißen.

§ 26. Verwendung des Fadenentfernungsmessers bei nicht horizontalen Zielungen.

Im vorhergehenden wurde vorausgesetzt, daß die Ziellinie — Verbindungsgerade zwischen Objektivmittelpunkt und mittlerem Horizontalfaden — senkrecht zum Lattenabschnitt l, also bei senkrecht gehaltener Latte horizontal liegt; ist dies nicht der Fall, bildet vielmehr die Ziellinie mit der Horizontalen den Höhenwinkel oc (Fig. 105), so erhält man für die horizontale Entfernung e des Lattenpunktes Z vom Instrumentenstandpunkt S, wenn E' die schiefe Entfernung zwischen Mitte M des Lattenabschnitts l und der Kippachse des Instruments ist :

e = E' cos oc .

Wenn V der zwischen den Distanzfäden abgelesene Abschnitt an einer durch M senkrecht zur Ziellinie gedachten Latte ist, so findet man

E' = e + kl' .

Bedenkt man, daß V & l cos <x ist, so erhält mąn E' = c kl cos&

und damit

e = ccos# + klcos²# .

Um diese Gleichung für die Rechnung bequemer zu gestalten, schreibt man näherungsweise

e c cos²# + kl cos²# (c + kl) cos²# .

Setzt man hier c + k l = E x), so wird e & E cos²# , wo E = c + kl.

(1)

b-

■f

Fig.105.

Für den Höhenunterschied h zwischen Kippachse K und Zielpunkt M findet man

h — e tg# ä# E cos²# tg#

h ^-2£sin2 # .

Für die Berechnung der horizontalen Entfernung e und des Höhenunterschieds h nach den Gleichungen (1)

x) E Hilfsgröße für cfie Rephnung.

oder

(2)

und (2) gibt es eine große Anzahl von Hilfsmitteln in Form von numerischen Tafeln¹), graphischen Tafeln²) und graphisch-mechanischen Vorrichtungen in Form von „Tachymeterschiebern“ ³).

Vielfach wurde auch der Versuch gemacht, besondere Instrumente zu bauen, welche die Berechnung der horizontalen Entfernung e und des Höhenunterschieds h „selbsttätig“ besorgen. Von den zahlreichen Instrumenten dieser Art seien erwähnt der Wagner-Fennelsche Tachymeter und die Schnellmesser von Puller-Breithaupt; diese — auch als Schiebetachymeter bezeichnete — Instrumente besitzen außer dem entfernungsmessenden Fernrohr eine besondere Vorrichtung zum Berechnen von e und h nach den Gleichungen (1) und (2); selbsttätige Tachymeter im eigentlichen Sinn sind diese Instrumente nicht, da nach Ablesung des Lattenabschnitts l und Ermittlung der Hilfsgröße E auf Grund der Konstanten c und k des betreffenden Fernrohrs zur Berechnung von e und h besondere Einstellungen gemacht werden müssen, die man in den meisten Fällen besser und bequemer an einem, getrennten Instrument (z. B. Wildscher Tachymeterschieber) oder mit Hilfe einer Tafel ausführt.

Ein selbsttätiger Tachymeter im eigentlichen Sinn ist der Hammer-Fennelsche Tachymeter; mit Hilfe von diesem Instrument liest man an der vertikal gehaltenen Nivellierlatte e und h — abgesehen von einer Multiplikation der zwei Lattenablesungen mit 100 bzw. 20 — unmittelbar ab.

0 Hilfstafeln für Tachymetrie von W. Jordan, Stuttgart, J. B. Metzlersche Buchhandlung. Diese Tafel ist für alte Kreisteilung und geht in E bis 250 m und in h bis rund 50 m. Tachymetertafeln für zentesimale Winkelteilung von Jadanza, deutsche Ausgabe besorgt von E. Hammer, Stuttgart, Verlag von Konrad Wittwer.

²)    Graphische Tachymetertafel für alte Kreisteilung, entworfen für Entfernungen von 5—500 m und für Höhenunterschiede von 0,1—70 m von P. Werkmeister, Stuttgart, Verlag von Konrad Wittwer. Diese Tafel läßt sich auch in einfacher Weise für neue Kreisteilung einrichten.

³)    Von den zahlreichen Schiebern seien erwähnt: die Tachymeterschieber von Puller, hergestellt durch F. W. Breithaupt & Söhne in Kassel; Logarithmisch-tachymetrischer Rechenschieber von Wild, hergestellt durch Kern in Aarau.

8. Kapitel.

Ausführung von tachymetrischen Messungen.

Die tachymetrischen Aufnahmeverfahren lassen sich einteilen in: Theodolittachymetrie, Meßtischtachymetrie und Phototachymetrie ; die dabei zur Verwendung kommenden Instrumente sind der Tachymetertheodolit oder kurz Tachymeter, der Meßtisch mit der Kippregel und der Phototheodolit.

Voraussetzung für die Verwendung der tachymetrischen Verfahren zur Ausführung von Höhenaufnahmen bei Vorarbeiten¹) ist, daß einzelne nach Lage und Höhe zum voraus — z. B. durch Polygonzugmessung und Längennivellements — festgelegte Punkte vorhanden sind.

§ 27. Theodolittachymetrie.

Der Tachymetertheodolit (Fig. 106) oder kurz Tachymeter, im Gegensatz zu den Schiebetachymetern auch Kreistachymeter genannt, ist ein Theodolit²), der außer mit einem Höhenkreis mit einem entfernungmessenden Fernrohr und in den meisten Fällen noch mit einer Aufsatz- oder Reitbussole versehen ist.

Die Festlegung von Punkten mit Hilfe des Tachymeters besteht darin, daß man ihre Polarkoordinaten mißt; den Richtungswinkel mißt man mit Hilfe des Horizontalkreises von einer in der Karte und im Feld festgelegten Richtung aus oder mit Hilfe der Bussole von der magnetischen Nordrichtung aus; zur Messung

L) Von diesen allein soll hier die Rede sein; auf die Verwendung der Tachymetrie als sog. Präzisionstachymetrie bei Horizontalaufnahmen soll nicht eingegangen werden.

a) Am besten ein „einfacher“ Theodolit mit festem Horizontalkreis.

von Entfernung und Höhenwinkel dienen der Faden-entfernungsmesser und der Höhenkreis.

Bei der Aufnahme hat man zu unterscheiden, ob die Aufnahme in offenem Gelände, also im freien Felde, oder in bedecktem, wenig übersichtlichem Gelände, z. B. im Wald, stattfindet.

Li«

Ist eine Höhenaufnahme in offenem Ge*-lande auszuführen, so wählt man einzelne, womöglich nach Lage und N.N.-Höhe gegebene Punkte als Instrumentenstandpunkte, von denen aus man größereFlächenstücke übersehen und auf nehmen kann.

Fig. 106.

Die Aufnahme zerfällt in das Aufnehmen einzelner Punkte, die je nach Bedarf ausgewählt werden ; zur Erleichterung bei der Ausarbeitung der Aufnahme fertigt man im Felde — am besten auf Grund einer vorhandenen Karte — eine Skizze über die Lage der aufgenommenen Punkte, die man dabei mit fortlaufenden Nummern versieht. Nach Aufstellung des Tachymeters über einem Punkte A mit der N.N.-Höhe Ha und Abmessung der Instrumentenhöhe i wählt man eine beliebige, in Feld und Karte gegebene Anfangsrichtung, für welche man die der jeweiligen Lage des Horizontalkreises entsprechende Ab-

lesung macht¹); hierauf läßt man durch einen Meßgehilfen in jedem der aufzunehmenden Punkte der Reihe nach eine — mit Rücksicht auf Entfernungen bis etwa 500 m — nur in Dezimeter bzw. halbe Dezimeter eingeteilte Latte (vgl. Band I, Fig. 142) vertikal aufhalten und mißt den Richtungswinkel, die Entfernung und den Höhenwinkel. Für die Messung des Richtungswinkels stellt man den Vertikalfaden auf die Mitte der aufgehaltenen Latte und macht am Horizontalkreis die Ablesung, für welche nur eine dem Maßstab, in dem die Aufnahme ausgearbeitet werden soll, entsprechende Genauigkeit angestrebt wird. Die Entfernungsmessung führt man so aus, daß man denjenigen Distanzfaden, dem die kleinere Ablesung an der Latte entspricht, auf eine runde Zahl, z. B. 1,00 m, einstellt und sodann die zugehörige Ablesung an dem anderen Distanzfaden vornimmt; die Differenz beider Ablesungen gibt den Lattenabschnitt l. Für die Ermittlung des Höhenunterschieds h genügt die Höhenwinkelmessung in einer Fernrohrlage; dabei empfiehlt es sich, vor Ablesung des Höhenwinkels oc den mittleren Horizontalfaden auf die nächstgelegene, für die Rechnung bequeme Zahl t der Latte einzustellen.

Der Vorgang bei der Messung ist demnach folgender: Einstellen des Vertikalfadens auf die Mitte der Latte; Einstellen des unteren — im Gesichtsfeld oberen — Distanzfadens auf eine runde Zahl der Latte; Ablesen am oberen Distanzfaden; Einstellen des horizontalen Mittelfadens auf eine runde Zahl; Ablesen am Horizontalkreis und am Höhenkreis.

*) Ist der zur Verfügung stehende Tachymeter ein Repetitionstheodolit, so kann man dafür sorgen, daß die der festen Richtung zukommende Ablesung gleich Null ist; nicht zu vergessen ist, daß bei einem solchen Instrument während der Messung auf einem Standpunkt der Limbus seine Anfangslage beizubehalten hat.

Sind c und Ic die Konstanten des benützten Instruments, so hat man für jeden aufgenommenen Punkt seine Entfernung e und seine N.N.-Höhe H zu berechnen mit Hilfe der Gleichungen

wo E = c + Je l

e = E cos²& ,

und

H = Ha + i±h-t,

wo h = -jr E sin2ot .

Die Ausarbeitung der Aufnahme besteht außer in der Berechnung der Entfernungen und N.N.-Höhen im Aufzeichnen der aufgenommenen Punkte mit Hilfe von Transporteur und Maßstab.

Zum Aufschreiben der bei der Aufnahme gemachten Einstellungen und Ablesungen benutzt man zweckmäßigerweise ein Formular, das etwa die folgende Einrichtung haben kann, und in dem die aufgenommenen Punkte der Karte entsprechend numeriert werden.

c - 0J k -WM

Datum:    14-. oidi 7908 Jnstrument JSßA

Beobachter: . _ M:N,......Wetter : Ilmmcl bedeçM, feti/tàrWmd

Richtung Jjöhent^sj E

Standpunkt

Latte

äußerelmittl. Fäden Faden

h h-t Horizoiil Höhe

7,00

2//3

7,70

+J°/0'    5#? ?

236,5° t0°₀₀>+3°lo' 142^7-9 +6,2 245,8 2520

*5°

221,7

Ô ^    70,1° ±(Ah)'-0°W 87,3 ~/,0 -2,5

wo man

Ist eine Höhenaufnahme in wenig übersichtlichem Gelände, z. B. im Wald, auszuführen, von einem Instrumentenstandpunkt aus nur wenige Geländepunkte festlegen kann, so zerfällt die Aufnahme in die Messung von einzelnen Polygon- oder Tachymeter-

zügen, die am besten von nach Lage und Höbe festgelegten Punkten ausgehen und in ebensolchen Punkten endigen. Die Seiten solcher Züge mißt man optisch mit Hilfe des Entfernungsmessers; die Messung der Polygonwinkel kann man dadurch umgehen, daß man unmittelbar die Richtungswinkel der Polygonseiten mit Hilfe der Bussole mißt, wozu man das Instrument nur in jedem zweiten Polygonpunkt aufzustellen braucht. Der Vorgang bei der Messung ist ähnlich dem bei der Aufnahme in offenem Gelände; zum Aufschreiben der Messungen läßt sich dasselbe Formular verwenden. Das Einzeichnen der Tachymeterzüge führt man am besten derart aus, daß man sie auf Pauspapier aufträgt und dann zwischen die gegebenen Endpunkte einpaßt.

§ 28. Meßtischtachymetrie.

Der Meßtischapparat (Fig. 107) besteht aus der durch ein Fußgestell mit dem Stativ verbundenen Meßtischplatte und der Kippregel. Die Meßtischplatte ist auf dem Fußgestell drehbar befestigt und läßt sich ähnlich wie der Limbus eines Repetitionstheodolits mit Hilfe einer Bremsschraube in Verbindung mit einer Mikrometerschraube in einer bestimmten Lage festhalten bzw. auf eine solche einstellen. Die Horizontallegung der Meßtischplatte wird mittels der Fußschrauben und einer als Tischlibelle ausgebildeten Dosenlibelle vor genommen. Die Kippregel unterscheidet sich vom Oberbau eines Tachymetertheodolits dadurch, daß der untere Teil der Alhidade in ein zur Fernrohrrichtung paralleles Lineal ausgebildet ist.

Der Unterschied zwischen der Meßtischtachymetrie und der Theodolittachymetrie besteht darin, daß bei der letzteren die Aufzeichnung der Aufnahme von dieser getrennt — in den meisten Fällen nicht im Felde, sondern im Zimmer — ansgeführt wird, während bei dem Meßtischverfahren die Aufzeichnung als ein Teil der Aufnahme anzusehen ist, also im Felde ausgeführt wird.

SB

Fi g. 107.

Auch hier hat man bei der Aufnahme zu unterscheiden, ob sie in offenem Gelände — freiem Felde — oder in wenig übersichtlichem Gelände — Wald — statt-

findet; im ersteren Fall gestaltet sich die Aufnahme überaus einfach und weist gegenüber der Theodolit-tachymetrie sogar gewisse Vorteile auf; für die Aufnahme in nicht offenem Gelände eignet sich dagegen das Meßtischverfahren mit Rücksicht auf den umfangreichen und schwerfälligen Apparat wenig.

Die Aufnahme beginnt mit der Aufstellung und Orientierung des Meßtisches über einem am besten nach Lage und Höhe gegebenen Punkt; man sagt, der Meßtisch ist orientiert, wenn die Meßtischplatte bzw. der auf dieser aufgezogene Plan eine solche Lage hat, daß der Standpunkt in der Natur und im Plan in einer Vertikalen liegen, und daß eine vom Standpunkt ausgehende Gerade — z. B. die mit Hilfe einer Bussole unter Berücksichtigung der Deklination bestimmte Nordrichtung — in der Natur und im Plan parallel sind; die Orientierung des Meßtisches erreicht man durch Versuche.

Der Vorgang bei der Aufnahme der einzelnen Punkte ist der folgende: Man verschiebt die Kippregel von freier Hand so, daß der Vertikalfaden des Fernrohrs ungefähr auf die in dem aufzunehmenden Punkt aufgehaltene Latte eingestellt ist, und daß die Linealkante durch das Bild des Standpunkts im Plane geht; hierauf ermittelt man den Lattenabschnitt l zwischen den beiden Distanzfäden und mißt nach einem Punkt mit der Lattenablesung t den Höhenwinkel oc; ist Hs die N.N.-Höhe des Standpunkts, i die Höhe der Kippachse der Kippregel über H₈, so hat man unter Beibehaltung der seither benützten Bezeichnungen für die Entfernung e und die N.N.-Höhe H des betreffenden Punkts e = Ecos²oc , wo E = c + kl

und

Die Entfernung e trägt man auf der entlang der Linealkante gezogenen Geraden im Maßstab des Planes ab, womit der Punkt in der Zeichnung festgelegt ist.

Zur Höhenwinkelmessung möge noch bemerkt sein, daß mit Rücksicht auf die kurzen Entfernungen — man geht bei dem Meßtischverfahren ebenso wie bei der Theodolittachymetrie nur in Ausnahmefällen über 500 m hinaus — die Messung in einer Fernrohrlage genügt; man wird deshalb, um in der Ablesung am Höhenkreis unmittelbar den gemessenen Höhenwinkel zu erhalten, die Kippregel in ähnlicher Weise wie den zum Höhen -winkelmessen eingerichteten Theodolit untersuchen und berichtigen.

§ 29. Phototachymetrie.

Der photo tachymetrischen oder photogrammetrischen Aufnahme dient eine für diesen Zweck besonders hergerichtete — dann als Photogrammeter bezeichnete — photographische Kamera oder ein Phototheodolit, d. i. ein mit einer photographischen Kamera ausgerüsteter, zum Messen von Horizontal- und Höhenwinkeln eingerichteter Theodolit.

Das Verfahren beruht darauf, daß man aus perspektivischen Bildern des Geländes sein geometrisches Bild oder die Lage und Höhe einzelner Geländepunkte ermitteln kann. Die perspektivischen Bilder erhält man durch photographische Aufnahme des aufzunehmenden Gebietes von passend gelegenen Punkten aus, wobei die gegenseitige Lage der Bilder zu deren „Orientierung“ auf irgendwelche Weise bestimmt werden muß.

Bei einem perspektivischen Bild unterscheidet man (Fig. 108) den Augpunkt 0, in der Bildebene den Horizont H H y in diesem den Hauptpunkt o und die Bildweite Oo = b; für das Folgende möge vorausgesetzt sein, daß

JMMebene

JT

21

b,'

Qfr~

Fig. 108

Werkmeister Vermessungskunde II.

12

Horizont, Hauptpunkt und Bildweite der perspektivischen Bilder bekannt sind.

Der Gang der Aufnahme und die Verwertung der photographischen Bilder zur Bestimmung von Lage und Höhe einzelner Punkte möge an dem folgenden, den ein

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Fig. 109.

fachsten Fall vorstellenden Beispiel gezeigt werden: Zur Aufnahme eines bestimmten Geländestücks wurde eine Grundlinie StS₂ (Fig. 109) gewählt und ihre Länge e mit dem Meßband gemessen; die Punkte und S₂ sind nahezu gleich hoch, so daß in ihnen die Kamera so aufgestellt werden konnte, daß der Augpunkt (Objektivmittelpunkt der Kamera) und damit auch der Horizont in beiden Punkten in derselben N.N.-Höhe H sich befand. Zur bequemen Orientierung der beiden in Sx und S₂ aufgenommenen Bilder wurde die Kamera

so auf gestellt, daß von    aus j$²j mit aufgenommen

wurde; die lichtempfindlichen Platten (Bildebenen) hatten bei der Aufnahme eine vertikale Lage.

Die Feldarbeit besteht demnach in der Auswahl der Punkte S± und S₂, Messung der Grundlinie $₂ = e, Bestimmung des Höhenunterschieds zwischen Sx und S₂ und Ausführung der photographischen Aufnahmen von den Endpunkten der Grundlinie aus.

Die Ausarbeitung beginnt nach Aufzeichnung der Grundlinie S₁S₂ in dem gewünschten Maßstab mit der Orientierung der beiden Bilder, die man mit Hilfe von si — Horizontalprojektion des Bildes s₂ des Punktes S₂ — und s( — Horizontalprojektion des Bildes s± des Punktes S± — in einfacher Weise erreicht; die beiden Lagen des Augpunktes seien o₁ und o₂. Um das Bild a₀ eines Geländepunktes A im Grundriß zu ermitteln, fällt man von seinen perspektivischen Bildern at und a₂ die Lote auf die Bildhorizonte H{H{ bzw. Hi Hi und verbindet deren Fußpunkte a” und ai' mit ot und o₂; der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist das geometrische Bild von A. Um die Höhe h des Punktes A in bezug auf den Bildhorizont zu erhalten, mißt man o₁ a± und a{ im natürlichen Maßstab und o± a₀ im Maßstab der Zeichnung ab; dann ist    __

h — al a{    .

°i ai

Mißt man ebenso o₂ air und a₂ ai im natürlichen Maßstab und o₂ a₀ im Maßstab der Zeichnung ab, so findet man zur Kontrolle    _

h = a₂ ai    .

°2 ai

Wenn H die N.N.-Höhe des Horizonts, so findet man für die N.N.-Höhe Ha von A:

Ha = H ± h ₉

je nachdem A    dem Horizont liegt.

Der Ermittlung von Lage und Höhe einzelner Gelände -punkte in der angegebenen Weise geht das Aufsuchen ihrer Bilder in den beiden perspektivischen Abbildungen voraus, was eine oft mühsame und zeitraubende Arbeit bedeutet. Ist die Orientierung der Bilder in der angedeuteten Weise nicht möglich, so mißt man anschließend an die photographische Aufnahme — aus diesem Grunde ist die Kamera mit einem Theodolit verbunden — den Horizontalwinkel zwischen Grundlinie und einigen unzweideutig bezeichneten Punkten.

Besonders einfach gestaltet sich das photogrammetrische Aufnahmeverfahren, wenn die Bildebenen zusammenfallen; dies ist der Fall bei der immer mehr in den Vordergrund tretenden Stereo photogram me trie, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann.

§ BO. Topographische Aufnahmen.

Außer für reine Höhenaufnahmen, wie sie hauptsächlich für Ingenieurzwecke auszuführen sind, finden die tachymetrischen Auf nähme verfahren ausgedehnte Verwendung bei topographischen Aufnahmen.

Als topographische Karten bezeichnet man hauptsächlich Karten in den Maßstäben 1 : 10 000, 1 : 25 000 und 1 : 50000 ; sie dienen in erster Linie militärischen Zwecken, indem sie die Grundlagen für die eigentlichen Kriegskarten in den Maßstäben 1 : 75 000, 1 : 100 000 und 1 ; 200 000 bilden; sodann liefern sie wertvolle Anhaltspunkte für die allgemeinen Vorarbeiten bei Ingenieurbauten. Die Aufgabe, die eine topographische Karte zu erfüllen hat, ist eine doppelte, indem sie einerseits alle die für die genannten Zwecke in Betracht kommenden topographischen Einzelheiten und andererseits eine übersichtliche, leicht lesbare Darstellung der Geländeformen enthalten soll. Die für topographische Karten zunächst in Betracht kommende Geländedarstellung ist diejenige in Höhenschichtlinien oder Höhenkurven.

Anlage, Ausführung und Bearbeitung einer topographischen Aufnahme sind davon abhängig, ob von dem aufzunehmenden Gebiet bereits eine zusammenhängende Karte in Form von Kataster- oder Flurkarten vorhanden ist oder nicht; ist das erstere der Fall — wie z. B. in Bayern und

Württemberg, wo gedruckte Flurkarten in den Maß-stäben 1 : 2500 und 1 : 5000 zur Verfügung stehen —, so bilden solche Karten naturgemäß die Grundlage für die topographische Aufnahme, so daß diese im Maßstab jener Karten ausgeführt wird. Bei einer solchen Aufnahme bestehen die auf den Grundriß sich beziehenden Messungen nur in Ergänzungsmessungen, so daß die Höhenaufnahme den wesentlichsten Teil der ganzen Arbeit ausmacht.

Sind keine Karten größeren Maßstabs oder Kataster karten vorhanden, so hat der eigentlichen topographischen Aufnahme eine Triangulation des betreffenden Gebietes vorauszugehen, welche genügend viele ihrer Lage nach festgelegte Punkte liefert. Als Maßstab der Aufnahme wählt man in diesem Fall denjenigen der zu fertigenden Karte oder jedenfalls einen nur wenig größeren.

Die Grundlage für die Höhenaufnahme gewinnt man in beiden Fällen durch die Anlage eines Nivellementsnetzes I. Ordnung, in das man nach Bedarf entweder weitere Nivellementsnetze II. und III. Ordnung oder trigonometrische Höhennetze mit genügend vielen Punkten einschaltet.

Bei Aufnahmen, die auf Grund von vorhandenen Karten ausgeführt werden, ist die Theodolittachymetrie, im anderen Fall die Meßtischtachymetrie im Vorteil. Die Photo-tachymetrie — hier auch Phototopographie genannt — findet in beiden Fällen Anwendung; sie eignet sich naturgemäß nur für wenig bedecktes, also z. B. unbewaldetes, nicht zu ebenes Gelände und findet deshalb zunächst im Gebirge Verwendung.

Bei der Geländedarstellung in topographischen Karten spielt die naturgetreue Darstellung der Geländeformen eine große Rolle, die Zeichnung der Höhenschichtlinien wird deshalb am besten im Felde, also im Anblick der wiederzugebenden Formen ausgeführt, wobei auf deren Entstehung bei Mulden-, Rücken- und Sattelbildungen möglichst Rücksicht zu nehmen ist.

¹

)    Barometrische Höhentafeln von Jordan, Stuttgart, J. B. Metzler.

²

)    M Modul der gemeinen Logarithmen.

³

)    Der durch diese Näherung entstehende Fehler in den berechneten Höhenunterschieden beträgt bei h = 1000 m erst 1,3 m.

Sachregister.

99.

Höhen-

Ausfüh-

82.

Ablesevorrichtungen 10. Abstecken von Geraden

—    von Kreisbögen 103.

—    von Winkeln 102. Absteckungsarbeiten 97. Additionskonstante 163,

165.

Alhidade 7.

—    Exzentrizität der 34,

39.

Ahidadenlibelle 7, 24. Aneroid nach Gold-schmid 144.

—    nach Naudet 143.

—    nach Reitz-Deutsch-bein 144.

Anzielen eines Punktes

43.

Barometer 137.

—    Feder- 142.

—    Quecksilber- 137. Barometrische Höhenformel 148.

Barometrische messungen, rung 155.

—    Berechnung 152. Basismessung 77, 82. Basisnetz 81. Bogenhauptpunkte 104. Bogenzwischenpunkte

108.

Distanzfäden 162. Dreieckskette 74, 78. Dreiecksnetz 74.

Einfacher Theodolit 6. Einfache Winkelmessung

Entfernungsmesser 161. Erdkrümmung 130. Exzentrizität der Alhi-dade 34, 39.

—    des Standpunkts 93.

—    des Zielpunkts 96.

Fadenentfernungsmesser 162, 167.

—    Bestimmung der Konstanten 165.

Fernrohr 21.

—Durchschlagen vom 21.

—    Umlegen vom 22.

Gefäßbarometer 137. Gefäßkorrektion 139. Grundlinienmessung 77,

Heberbarometer 138. Höhenformel, barometrische 148.

Höhenkreis 114. Höhenmessung, barometrische 137.

—    trigonometrische 113. Höhenwinkelmessung

114.

—    in einer Fernrohrlage

115.

—    in zwei Fernrohrlagen 118.

Horizontalkreis 6.

—    Teilungsfehler vom 40.

Indexfehler 117, 123.

Kapillardepression 140. Kippachse 21.

—    Fehler der 29, 36. Kleintriangulierung 84.

Kollimationsfehler 26. Kompensationstheodolit 22.

Kreisbogenabsteckung

103.

Kreisteilung 9.

—    Fehler der 40.

Landesvermessung 80. Libellenkreuzung 32. Limbus 6.

—    Mitschleifen des 50.

Meßtisch 174. Mikrometrischer Winkel 163.

Mikroskop 13.

—    Schrauben- 19.

—    Skalen- 16.

—    Strich- 14. Multiplikationskonstante

163, 165.

Netzeinschaltung 84. Nonius 10.

Phototachymetrie 177. Polygonpunkte, Auswahl der 57.

—    Bezeichnung der 58. Polygonzüge, angeschlossene 52, 69.

—    Anlage der 54.

—    Berechnung der 61.

—    geschlossene 52, 66.

—    Messung der 54.

—    offene, nicht angeschlossene 52, 63.

Punkteinschaltung 84.

Quecksilberbarometer

137.

Tachymetrie, Photo-177. Übertragen von Entwür-— Theodolit- 170.    fen ins Feld 97.

Teilkreis 6.    Umdrehungsachse 24, 38.

84.

—    einfaches 85, 90.

—    mehrfaches 86.

Satzweise Winkelmessung 44.

Schraubenmikroskop 19. Schwerekorrektion 141. Skalenmikroskop 16. Standkorrektion 142,146. Stativ 5.

Strichmikroskop 14.

Tachymetrie 161.

—• Meßtisch- 174.

Refraktion 131.

Reiterlibelle 7, 31.

Repetitionstheodolit 6.

Repetitionsweise Winkel- Teilungsfehler 40.

messung 49.    Teilungskoeffizient 146.

Rückwärtseinschneiden    Theodolit, der Bau vom 5.

— Berichtigung vom 23.

—    einfacher 6.

— Kompensations- 22. — Répétitions- 6.

— Untersuchung vom 23. Topographische Aufnahmen 180.

Triangulierung,Klein- 84.

—    selbständige 74. Trigonometrische Höhenmessung 113.

—    auf größere Entfernungen 129.

—    auf kleinere Entfernungen 123.

Vorwärtseinschneiden 84.

—    einfaches 85, 87.

—    mehrfaches 86.

139,

Wärmekorrektion 145.

Winkelmessung 35.

—    einfache 41.

—    repetitionsweiße 49.

—    satzweise 44.

Zentrierung des Stand Punkts *93.

— des Zielpunkts 96 Ziellinienfehler 26, 3 '<

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Grundriß der geographischen Ortsbestimmung aus astronomischen Beobachtungen

von Dr. K. Graff

Observator der Hamburger Sternwarte.

Mit 64 Figuren. Preis brosch. M. 8.—, geb. M. 8.80.

Dieses Lehrbuch nimmt in erster Linie auf die praktische Verwendung seines Inhalts Rücksicht, läßt den Benutzer jedoch nirgends, wo ihm ein tieferes Eindringen in die Sätze und Regeln der sphärischen Astronomie erwünscht erscheint, im Stiche. Gegenüber allen ähnlichen Werken finden sich daher in ihm fast sämtliche verwendeten Formeln und mathematischen Ausdrücke elementar abgeleitet vor. Durch eine vorausgeschickte übersichtliche Zusammenstellung der in der Ortsbestimmung gebräuchlichen trigonometrischen Sätze ist es trotzdem möglich geworden, das mathematische Gerüst des Buches auf ein Minimum zu reduzieren. Manche Vereinfachung ist dadurch erzielt worden, daß nur kleine Instrumente, die günstigenfalls etwa Winkel von 0,1 Bogenminuten abzulesen gestatten, in den Kreis der Betrachtungen gezogen worden sind.

In unserem Verlage erschien ferner:

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OB

• pH

von Professor Dr. A. Galle

Stand. Mitarbeiter am Königl. Preuß. Geodät. Institut, Privatdozent an der Königl. Techn. Hochschule zu Berlin.

Mit 96 Figuren. [Sammlung Schubert Bd. XXIII.] In Leinwand geb. M. 8.—.

Dieser Band der Sammlung Schubert behandelt vornehmlich die niedere Geodäsie als Anwendung der Mathematik. Die Anordnung weicht etwas von der anderer Lehrbücher ab, indem der erste Abschnitt die Flächenmessung und -berechnung begreift, der zweite den Linien und Kurven eingeräumt ist und der dritte der Punktbestimmung gewidmet wird. In jedem dieser Abschnitte wird zunächst dąs Messungsverfahren und dann seine Verwertung besprochen. Am Schluß wird im ersten und letzten Abschnitte die Krümmung der Erde anhangsweise berücksichtigt. Im zweiten hätte die Einfügung der Theorie der geodätischen Linie einen zu weiten Abstecher in das Gebiet der höheren Geodäsie veranlaßt, dagegen ist bei den Nivellements den theoretischen Anforderungen bei Landesvermessungen Rechnung getragen.

Bei den Horizontalmessungen wurden vor allem die preußischen Vermessungsanweisungen berücksichtigt, in dem Kapitel über Kurvenabsteckungen ist ein Überblick der wichtigsten Methoden gegeben. Die Grundlagen der Photogrammetrie sind bei der wachsenden Bedeutung dieses Verfahrens mathematisch und graphisch behandelt.

Während Beschreibungen und Abbildungen der Instrumente weggelassen werden mußten, wird überall der Einfluß der Beobachtungsfehler auf die Methoden und auf die Ergebnisse untersucht.

GEODÄSIE

Von

Dr. C. R ein hertz weiland Professor der Geodäsie in Hannover

2. Auflage. Neubearbeitet von

Dr. G}. Förster

Observator im Geodätischen Institut bei Potsdam

Mit 68 Abbild. (Sammlung Göschen Nr. 102)

Preis in Leinwand gebunden M. —.90

Die Darstellung lehnt sich an die geschichtliche Entwicklung der Geodäsie an und gibt einen Überblick über die gesamte niedere und höhere Geodäsie. In der vorliegenden zweiten Auflage sind die wichtigsten neueren Errungenschaften der höheren Geodäsie tunlichst berücksichtigt worden. Besondere Sorgfalt wurde auf die Abbildungen und Beschreibungen der Instrumente verwandt.

Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie

Von

| Professor Dr. Hans Dock

in Mähr.-Weißkirchen

= Mit 59 Abbild. (Sammlung Göschen Nr. 699) Preis in Leinwand gebunden M. —.90

Die vorliegende Darstellung der Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie verfolgt den Zweck, in möglichst einfacher Weise die Verwendung photogrammetrischer Meßmethoden klarzulegen. Besonderer Wert ist hierbei auf die Beschreibung der Apparate gelegt worden, während die theoretischen Entwicklungen eine Beschränkung auf das notwendigste Maß erfuhren, was mit Rücksicht auf den zur Verfügung stehenden Raum geboten erschien.

Im allgemeinen hat der Verfasser auf die Bedürfnisse des Geodäten und Topographen Rücksicht genommen, doch wurde das Werkchen nicht ohne Bedachtnahme auf die Aufgaben des Bodenkulturingenieurs — besonders des Forstmannes und Kulturtechnikers — abgefaßt.

1

Kartographische Aufnahmen und geographische Ortsbestimmung auf Reisen von

Prof. Dr. Ing. R. Hugershoff (Sammlung Göschen Nr. 607)

Preis in Leinwand gebunden M. —.90

In unserer Zeit haben Spezialforschungen in den Kolonialländern eine besondere Bedeutung erlangt. Die für alle derartigen Forschungen grundlegenden und unentbehrlichen kartographischen Aufnahmen hat sich dabei im allgemeinen der Beisende selbst zu beschaffen, wobei er aber nur in seltenen Fällen eine vollkommene Ausbildung in den für die besonderen Bedürfnisse der Beiseaufnahmen in Betracht kommenden Methoden erfahren haben wird.

Dąs vorliegende Bändchen befaßt sich nun in knapper, aber alles Wesentliche hervorhebender Form mit diesen speziellen Verfahren, die in einer Auswahl vorgetragen werden, wie sie für die laufende Praxis der Beisen allein in Frage kommt. Besonderes Gewicht ist dabei auf die Beschreibung der Aufnahmeinstrumente und ihrer Anwendung sowie der graphisch-mechanischen Hilfsmittel gelegt worden, welche die besonders dem Anfänger zu empfehlenden vorläufigen Kontrollrechnungen während der Beise erleichtern sollen. Eine Anzahl neuer Diagramme zusammen mit häufig gebrauchten Tabellen unterstützen dieses Bestreben in zweckmäßiger Weise. Auch die photographischen Methoden bei topographischen Aufnahmen und geographischen Ortsbestimmungen haben die ihnen gebührende Berücksichtigung gefunden.

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Das Aufnehmen von Architekturen

Eine allgemeine Übersicht über das Aufnehmen von Architekturen und die Hilfsmittel, im Zusammenhang mit der Entwickelung und Darstellung der Architektur im Bilde der Geschichte von

Karl Staatsmann

Regierungsbaumeister und Professor

I.    Teil

Das Y ermessen u. Darstellen von Architekturen

Mit 175 Abbildungen

Preis broschiert M. 7.50, gebunden M. 8.50

II.    Teil

Geschichte des Aufnehmens von Architekturen zugleich eine Geschichte der Arehitekturwandlung Mit 30 Abbildungen

Preis broschiert M. 9.—, gebunden M. 10.— Jeder Band ist einzeln käuflich

Ein zusammenfassendes Buchwerk über die Methoden des Aufnehmens von Architekturen hat bis jetzt gefehlt. Das vorliegende sucht diese Lücke auszufüllen; seine Gliederung in zwei Bände hat die Bewältigung des großen Stoffes ermöglicht. Die im ganzen populäre Darstellungsweise des Stoffes auch im mathematischen Teil des eigentlichen Vermessens mit Hülfe der Feldmeßkunde macht die beiden Bände geeignet, auch von Anfängern benutzt zu werden. Indessen findet auch der Sach- und Fachkenner, der wissenschaftlich Reifere, insbesondere im zweiten Bande, eine Fülle von Interessantem und Neuem.

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