WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Ausgleichungsrechnung

nach der Methode der kleinsten Quadrate

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Von

Prof. Wilhelm Weitbrecht

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Mit 15 Figuren und 2 Tafeln

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$ammluitg Göschen ssr

80 Pf.

6.7* 6öfcbetiTcbe Verlagsb.nicUung, Ł-etpztg.

Üer3eid)nts ber erfdfienenen Bänöe.

iAdtct luut-ti.ptlamcnlnutlcljvctiou §Utalt)|t0, flicbct**, oon prof. Dr. Dr. Paul Rippert in Berlin u. (Ernft Bcnebift Sporer in (Ebingen. Rtit £angenbec! in Bodjurn. Rr. 232.    5 5ig. Rr. 53.

2Uutftüt. ïEljeoret. ptjqfiï I.ïEeil-.Rte* ^pbcitcrfvag*, gie getttcvblidjc, d|ani!u.RfuftiE. BonDr.(5uft.3ägcrf    oon tDerner Sombart, profeffor an

Profejfor an ber Unioerjität IBien.    öer Rnioerfität Breslau. Rr. 209.

Rtit 19 flbbilbungen. Rr. 70. ^trb*itcv»tet*ftdjn*ttnfl, yU, oon Dr.

—    2,i1ttr*Jt«itrdic,o.Dr.Karl£.Sd)äfer, ~ Rlfreb Rtanes in Berlin. Rr. 267.

«" «nioerjität Berlin. ^Htbmctih «üb Algebra non Dr. ITîtt 35 flbbtib. Br. 21.    Rerm. säubert, profejiot an 6er

^    fa ?^P.r' <BeIei|rtenjd)uIe 6es 3<*I)anneums in

R.Sd|ubert,prof.a.b.®elef)rtenfd|ule    Rambura. llr. 47.

6.3o|anneums inRambura. Hr.47. _ J_ Belfpielfammlung ₃ur HritRmetif »•?*«. #wv®°» Pf- Kob Sieger, pro.    u. flIgc£ra J, Dr. Rermonn Säubert,

feRor an öer Unioerfttot unö an 6er    pcof *an 6cc ffie[ci,rtenfd|ule 6es 3o-

Œjportafabemie bes t I. Ranöeternu-    ÇatIncums in Ramburg. tlr. 48.

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1 Karte Rr 129    gljH-ommue. ©rofee, Betoegung unb

Eitert linier, ïl'ie öcntrrtic», o. Dr.    6er t).imm.cIst“peroon

5ran3 5ui)le, Dircftor 6. ftäöt. Î1!ufe= ,^.5r.Ino[»us'nc“ 6ca^- »• °r-    £•

ums tn Braimfd|n>eig. Bl« 70 flbb.    ro.sliccnusproa. 6 Uninerf. Straß.

Rr. 124.    bürg. Ritt36 Rbb.u.l Stern!. Rr.ll.

Altcvihtm*»ttmbc, (övtcdjirdjc, oon ^Jfraplwftb* Die Befdjaffenljeit ber Prof. Dr. Kid). Rtaifd), neubearbeitet Ijimmelsförper oon Dr. Rlalter $. oon Reltor Dr. $ran3 pol)Il)ammer. RKslicenus, Prof, an ber Rnioerfität Rtit 9 DoIIbilbern. Rr. 16.    Stra&burg. Rtit 11 Hbbilb. Rr.91.

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R)ten. Rttt 8 BoIIb. Rr. 4o.    tttetei* b. ©benco. (D. ©l).Bürflen,

gltmlt)fe,    oon Dr. ©. prof. am Realgqmnafium in Sd)to.*

£unge₍ prof. a. b. Œtbgen.p°lptecÿt. ©münb. Rtit 32 Figuren. Rr. 250.

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^ttffabcittumofc oon ©berftubienrat Dr. £. tö. Straub, Rettor oes (Eber* l)arb*£ubtoigs*©t)mnajiums in Stutt* gart. Rr. 17.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Ä Katlsgpmnafium in Stutt. in’«Ä l Ät°en. A gart. Rtit 68 $ig. Rr. 87.

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dttttiißtollt, )beringenieur 1: Die mit totoren nebft Irtfdjaffungs* tit 14 Hbbit*

Dr.Sriebr. 3unfer, Prof, am Karls* gpmnafium in Sł,,łłnrt** tm± /i& a*

Rr. 140.

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5riebr. 3unfer nafium in Stu Rr. 88.

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fammlung 3ur Dr. 5riebr. 3« gpmnafium in i Rr. 147.

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—    &.nali)tifri)c. uon Dr. 3ol)annes hoppe. I: SĄeorie unö ©ang öer Hnalqfe. Br. 247.

--II : Beaîtion öer Bîetalloiôe unö

metalle. Br. 248.

—    ^not*0c*mfd)c, uon Dr. 3of. Klein in HlannĄeim. Br. 37.

--fielje aud): metalle. — metalloiöe.

©tyemte, Cßcfldjidtt* ber, non Dr. hugo Bauer, Hffiftent am d)em. £aboratorium öer Kgï. Sed)nifd)en l)od)fd)ule Stuttgart. I: Bon Öen älteften 3eiten bis 3ur Berbrennungs* tijeorie non £auoifier. Br. 264.

—    bei* Boblcnllolfucvbtnbungcn ron Dr. Efugo Bauer, Hffiftent am djem. Caboratorium öer Kgl. Sed)n. I)od)fd)uIe Stuttgart. I. II : Hü* pi)attfd)e Berbinöungen. 2 Seile. Br. 19t. 192.

--III: Karbocqflifdfe Berbinöungen.

Br. 193.

--IV: f}eteroct}!Iifd)e Berbinöungen.

Br. 194.

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—    3B)»>rt0l0gtrdre, non Dr. med. H. £egal)n in Berlin. I : Hffimilation. ÎTÎit 2 Safein. Br. 240.

—    - II: Diîîimilation. Bîit 2 Safein. Br. 241.

<ffi!/ewtirdi-®«rl)mrdir Witalnie »on Dr. ©. £unge, profesor an öer Siö* genöff. polqtedjn. Sdmle in 3ürich. Bîit 16 Hbbilö. Br. 195.

Kur3gefafjtes£el)r* bud) mit Beispielen für öas Selbft* ftuöium u. ö. praïtifdjen ©ebraud) uon $rieörid) Bartl), ©beringenieur in Bürnberg. Bîit 67 5iguren. Br. 9.

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glrtmpftnvbmcit, glte, iljre tDir* fungstueife unö Konftruftion uon 3n* genieur Hermann tDilöa in Bremen. Bîit 89 Hbbilöungen. Br. 274.

&>id)tutt0ctt a. «itttcUt<»d)betttrd)cv ^Hiljjcit. 3n Hustuai)I m. (Einltg. u. IDörterb. Ijerausgegeb. u. Dr. fferm. 3an^en, Bireftor öer Königin £uife* Sdjule in Königsberg i. pr. Br. 137.

gUetvidtepen. Kuörunu. Bietridjepen. Bîit (Einleitung unö IBörterbud) uon Dr. ©. £. 3iric3ef, profeffor an öer Uniuerfität Uîünfter. Br. 10.

3c in elegantem £eimoanbbanb

6. X Göfcben'fcbe Verlagsbandlung, Hetpzig.

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©dftein, pröf. an ber 5orftal ©berstoalbe, Hbteilungsbirig ber t^auptftation bes forfttiq fudjsroefens. Br. 159. garmcllammlttua, lUatljrmat., u. Bepetitorium b. mattjematif, entt). bie roidjtigften Formeln unb £et)rfä£e b. Rritt)metif, Rlgebra, algebraifdjen Rnalpfis, ebenen (Beometrie, Stereos metrie, ebenen u. fpt)ärifd)en ©rigo* nometrie, matt). ©eograpt)ie, analpt. (Beometrie b. (Ebene u. b. Baumes, 6. Different.* u.3ntegralred)n. o. (D. ©t). Dürften, Prof, am Kgt. Bealgpmn. in Sd)to.*©müno. mit 18 $ig. Br. 51. — piipltlmlifriic, oon ©. mal)Ier, Prof, am ©qmnafium in Ulm. Br. 186.

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--2. ©eil. mit 50 Rbbilbungen.

Br. 269.

Färberei. ©ertil*3nbuftrie III : B)äfd)erei, Bleicherei, $ärberei u.itjre Ijilfsftoffe ü. Dr. tDill). Ulaffot, £et)rer a. 6. preufe. I)öt). 5ad)fd)ute f. ©eytilin* öuftriei.Krefelö. m.285ig. Br. 186.

£tvnfpv*ditvtfen% gin*, oon Dr. £ubtoig Hellftab in Berlin, mit 47 Figuren unb 1 ©afel. Br. 155.

4f«rtioluit*ldrt‘« oon tD. Räuber, Diplomingenieur, mit 3at)Ireid)en 5iguren. Br. 288.

$UffabtfJtaff*m ©ejtil*3nbuftrie Ils tDeberei, B)ir!ereif pofamentiererei, Spieen* unö ©arbinenfabrifation unb $il3fabrifation oon Prof, Utaj (Bürtier, Direftor ber Königl. ©ed)n. Sentralftelle für ©eçtil=3nbuftrie 3U Berlin, mit 27 5tg. Br. 185. mminulTritrrijaft o. Präfibeut Dr. H. oan ber Borget in Berlin. Br. 148. frficrd nttb ^ifdi?ttd)t o. Dr. Karl

caoemte ent bei en Der*

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Sammlung Gösehen

Ausgleichungsrechnung nach der

Methode der kleinsten Quadrate

von

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Wilh. Weitbrecht

Professor der Geodäsie in Stuttgart

Mit 15 Figuren und 2 Tafeln

Leipzig

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung 1906

Kö*>i<dJ8/.Z

Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Spamersche Buchdruckerei in Leipzig-R.

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Inhaltsverzeichnis.

Einleitung ............

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler......

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe aus einer Reihe gleich genauer, mit zufälligen Fehlern behafteter Beobachtungsresultate .........

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Einteilung der Ausgleichungsaufgaben ...........

Seite

10

15

I. Abschnitt.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

1.    Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

§ 4. Untersuchung der einer Einzelbeobachtung innewohnenden Genauigkeit..........

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und der Summe der Fehlerquadrate [v v] aus den Beobachtungswerten l.

§ 6. Mittlerer Fehler M des Mittelwertes L aus n gleich genauen Beobachtungen l........ .

§ 7. Größter Betrag des unvermeidlichen Beobachtungsfehlers

2.    Kapitel.

Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 8. Wahrscheinlichster Wert einer Beobachtungsgröße aus einer Reihe verschieden genauer Beobachtungen. Gewicht der Beobachtung. Gewichtseinheit ....

§ 9. Eigenschaften des allgemeinen arithmetischen Mittels

23

28

30

37

40

46

§ 10. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und des Trägheitsmomentes [pvv].......

§11. Erreichte Beobachtungsgenauigkeit. Gewicht und Genauigkeit des Endwertes.........

Beispiel...........

Seite

48

49

56

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

Fortpflanzung von Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

§ 12. Mittlerer Fehler M und Gewicht P einer Funktion F der beobachteten Größen Ly ... Ln, welche mit den mittleren

Fehlern Wi ... mn behaftet sind......

Beispiele...........

2. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder gleich genauer Beobachtungen.

§ 13. Graphische Ausgleichung zusammengehöriger, beobachteter Argument- und Funktionswerte bei bekannter oder unbekannter Beziehung. Beobachtungsfehler

Beispiel...........

§ 14. Rechnerische Ausgleichung in überschüssiger Zahl vorhandener Beobachtungswerte L bei bekannter Beziehung zwischen ihnen und den von ihnen abhängigen, gesuchten Größen X, F... bis zur Aufstellung der Normalgleichungen § 15. Allgemeine Auflösung der Normalgleichungen

a)    für eine Unbekannte........

b)    für zwei Unbekannte ........

c)    für drei und mehr Unbekannte.....

§ 16. Bestimmung der mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L aus den ihnen zuzuschlagenden Verbesserungen v

§ 17. Ableitung des Wertes der Fehlerquadratsumme [««] als Nebenprodukt der Reduktion der Normalgleichungen § 18. Mittlerer Fehler M und Gewicht P der berechneten Unbekannten aus den Verbesserungen v der Beobachtungswerte ............

§ 19. Praktische Ausrechnung der Koeffizienten für die Normalgleichungen. Bedürfnis veränderter Größe der Unbekannten oder der Maßeinheit. Vereinfachte Schreibweise. Rechnungsproben.......

59

61

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3. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 20. Erweiterung der für gleichwertige Beobachtungen aufgestellten Ausgleichungsgrundsätze auf ungleichwertige Beobachtungen ..........

Seite

111

4. Kapitel.

Anwendung der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen auf trigonometrische Punkteinschaltung.

§ 21. Graphisches Ausgleichungsverfahren für Vorwärts- und vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden .

§ 22. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für trigonometrische Punkteinschaltung durch Vorwärtseinschnitt .

§ 23. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für trigonometrische Punkteinschaltung durch Rückwärtseinschnitt .

§ 24. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für vereinigtes Vor-und Rückwärtseinschneiden.......

119

128

135

144

III. Abschnitt.

§ 25.

§ 26.

§ 27.

Bedingte Beobachtungen.

Aufstellung der Bedingungsgleichungen.....

Zurückführung der Ausgleichung bedingter, direkter auf

vermittelnde Beobachtungen.......

Ausgleichung bedingter, direkter, gleich genauer Beobachtungen mittels Korrelaten.......

Ausgleichung bedingter, ungleich genauer Beobachtungen mittels Korrelaten.........

155

163

166

Einleitung.

Bei der Feststellung von Tatsachen und Größen mittels sinnlicher Wahrnehmung sind wir Irrtümern und Fehlern unterworfen, welche teils der menschlichen Unvollkommenheit, teils der Mangelhaftigkeit der angewandten Hilfsmittel und Methoden entspringen. Dies zeigt sich, sobald irgend ein von mehreren Menschen beobachteter Vorgang genau festgestellt werden will, oder wenn auch nur ein einziger Beobachter die Ausdehnung oder die physikalischen Eigenschaften eines und desselben Gegenstandes mehrmals unabhängig bestimmt. Es zeigt sich auch, wenn man mehrere Größen, welche vermöge eines Naturgesetzes in bestimmter Beziehung zueinander stehen, einzeln und unabhängig mißt (z. B. die beiden Katheten und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, die drei Winkel eines Dreiecks usw.).

Will man daher Widersprüche in der Feststellung von Größen oder Tatsachen vermeiden, so muß man entweder die Augen vor etwa vorhandenen überschüssigen und daher unter allen Umständen widersprechenden Beobachtungsergebnissen verschließen, oder — auf überschüssige Beobachtungen überhaupt verzichten. Beide Auskunftsmittel wären identisch mit dem Verfahren eines Richters, der über jeden einzelnen Vorgang nur einen einzigen Zeugen hören wollte, auch wenn er von mehreren mehr oder weniger abweichend beobachtet wurde. Das Ergebnis einer solchen Untersuchung hätte wenig Aussicht, die

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler.

Wahrheit zu treffen. Dagegen wird man der gesuchten Wahrheit um so näher kommen, je mehr Beobachtungen bei der Feststellung eines Vorganges oder einer Größe berücksichtigt werden und je zuverlässiger sie sind.

Wollen wir alle, teilweise widersprechenden Beobachtungen zu einem einheitlichen Ergebnis — dem richterlichen Urteil gleich — verarbeiten, so müssen wir jede von dem ihr anhaftenden Fehler zu befreien, „auszugleichen“ suchen. Auf sachlichem Gebiet kann die Fehlerursache außer in der Unzulänglichkeit unserer Sinne bloß noch in der Mangelhaftigkeit der verwendeten Methoden und Instrumente liegen. Die Untersuchung von Größe und Ursache der Fehler liefert daher neben ihrem eigentlichen Zwecke (der Schaffung eines einheitlichen Resultates) noch wertvolle Fingerzeige für künftige Einschränkung der Beobachtungsfehler.

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler.

Die Ursache, welcher ein Fehler seine Entstehung verdankt, ist häufig auch bestimmend für dessen Eigenschaft und Größe, so daß man umgekehrt aus letzteren häufig auf die Ursache schließen kann.

Entspringt der Fehler z. B. äußeren Einflüssen (Witterungsunbilden und anderen Naturereignissen, Böswilligkeit dritter usw.), oder ungewöhnlicher Nachlässigkeit des Beobachters, so läßt er die Beobachtungsgröße meist um erhebliche Beträge und zwar ebenso wahrscheinlich in der einen, wie in der anderen Richtung unrichtig erscheinen, er ist ein „grober Fehler“.

Die groben Fehler lassen sich in den meisten Fällen vermeiden, jedenfalls aber durch überschüssige Beobachtungen und geeignete Beobachtungsverfahren ihrer Größe und Richtung nach erkennen und ausmerzen. Sie gehören nicht zn denjenigen, welche der Ausgleichung unterliegen, und wir werden uns mit ihnen im folgenden nicht beschäftigen.

Außer diesen, sowohl nach Richtung und Größe, als auch nach ihrer Ursache meist leicht erkennbaren groben Fehlern gibt es aber noch kleinere Fehler (Abweichungen des Beobachtungsresultates vom wahren Wert), die sich zwar durch geeignete Hilfsmittel und Beobachtungsverfahren und namentlich durch erhöhte Aufmerksamkeit und Erfahrung des Beobachters wesentlich einschränken, niemals aber ganz vermeiden lassen. — Die Feststellung dieser unvermeidlichen Fehler an den Beobachtungsergebnissen nach wahrscheinlicher Ursache und Größe und ihre Ausmerzung bildet die Aufgabe der Ausgleichungsrechnung.

Auch sie zeigen übrigens bei näherem Zusehen prinzipielle Verschiedenheiten, die der Verschiedenartigkeit der Fehlerquellen entstammen, und die uns zwingen, sie in zwei Gruppen getrennt zu betrachten. Wenn es nämlich im einzelnen Beobachtungsfall auch kaum möglich ist, jede einzelne Fehlerquelle und ihren Anteil am schließlichen Gesamtfehler der Beobachtungsgröße festzustellen, so zeigt doch die einfachste Überlegung, daß die eine Fehlerursache eine nach ihrem Vorzeichen sich gleich bleibende, in gesetzmäßiger Abhängigkeit von der Beobachtungsgröße wachsende Fehlerwirkung ausüben kann, während die andere einen Fehleranteil erzeugt, der nach Größe und Vorzeichen von Beobachtung zu Beobachtung wechselt. Wird z. B. eine Strecke durch mehrfaches Anlegen eines Maßstabes gemessen, der um ein gewisses, wenn auch kaum erkennbares Maß zu kurz ist, so liefert dieser Maßstab,. falls sein Längenabmangel die einzige Fehlerquelle

§ 1. Einteilung- der Beobachtungsfehler.

darstellt, unter allen Umständen ein zu großes Maß für die Strecke, und zwar wächst der hieraus entspringende Streckenfehler proportional zur festgestellten Anzahl von Maßstablagen, also proportional zur Streckenlänge. Einen solchen Fehler nennt man „regelmäßigen Fehler“.

Hat umgekehrt der Maßstab zwar die richtige Länge, schleicht sich aber bei jeder neuen Lage ein zufälliger kleiner Anlegefehler ein, so wird dieser ebenfalls das Gesamtresultat der Strecke schädlich beeinflussen. Da aber der Fehler in der Maßstablage gleich wahrscheinlich in der Vorwärts- wie in der Rückwärtsrichtung wirken kann, so werden einige der entsprechenden, positiv wirkenden Fehlerelemente einige der negativen auf heben. Als Gesamtwirkung dieser Fehlerquelle auf die Strecke wird daher nur der Überschuß der einen Fehlerrichtung über die andere auftreten. Dieser kann ebensogut positiv wie negativ, und wird seiner absoluten Größe nach im günstigsten (aber unwahrscheinlichen) Fall = 0 sein, wenn nämlich die Gesamtwirkung der positiven gleich derjenigen der negativen Fehlerteile ist. Im ungünstigsten, ebenso unwahrscheinlichen Fall (wenn alle Fehlerelemente in gleicher Richtung wirken) wäre die Gesamtwirkung, wie im Fall des regelmäßigen Fehlers, proportional zur Streckenlänge. Weder der eine noch der andere dieser äußersten Fälle wird regelmäßig auftreten. Sicher ist daher, daß die wahrscheinliche Gesamtwirkung dieses „zufälligen“ (unregelmäßigen) Fehlers langsamer wächst, als die des regelmäßigen Fehlers.

Wenn nach Vorstehendem das Wachstum des regelmäßigen und des unregelmäßigen Fehlers verschiedenen Gesetzen folgt, und wenn weiter die Möglichkeit vorliegt, daß beide Fehlergruppen in den auszugleichenden Beob-

achtungsresultaten gleichzeitig auf treten, so wird nur die Trennung beider die richtige Erkenntnis der Fehlerursachen und die Fehlerverbesserung an der richtigen Stelle ermöglichen.

Eine solche Trennung läßt sich in einzelnen Fällen durch einfache Überlegung ermöglichen.

"Wird z. B. ein und dieselbe Größe (etwa eine Strecke) mit denselben Geräten unter denselben äußeren Umständen und nach derselben Methode mehrmals gemessen und weisen die Messungsresultate Unterschiede auf, die zu klein sind, um als Folgen grober Fehler angesehen werden zu können, so können diese Unterschiede nur zufälligen, unregelmäßigen Fehlerquellen entspringen. Sind aber die verschiedenen Wiederholungen der Messung je mit anderen Geräten nach anderen Methoden oder unter veränderten Umständen ausgeführt worden, so können die kleinen Unterschiede zwischen den verschiedenen Resultaten ebensowohl zufälligen, als regelmäßigen Fehlern und ihrem Zusammenwirken entspringen. Durch Vergleichung beider Fehlerbe träge können wir den Anteil beider Gruppen von Fehlern am Gesamtunterschied ermitteln.

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe aus einer Reihe gleich genauer, mit zufälligen Fehlern behafteter Beobachtungsresultate.

Ist die Beobachtung einer Größe mit denselben Hilfsmitteln und Methoden und unter denselben äußeren Verhältnissen mehrfach ausgeführt worden, kann also jedes der erhaltenen, um geringe Beträge voneinander abweichenden Resultate als gleich zuverlässig angesehen Averden, so würde die Annahme irgend eines dieser Beobachtungsresultate als endgültigen Wertes der Beobachtungsgröße eine Verge Aval -

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe usw. 11

tigung der übrigen und eine nutzlose unwirtschaftliche ArbeitsVergeudung darstellen. Denn letztere hätten, falls es sich bei ihrer Beobachtung etwa nur um Schutz gegen grobe Fehler handelte (Kontrollbeobachtungen), zum mindesten mit geringerem Aufwand an Sorgfalt und Zeit ermittelt werden können. Wählen wir dagegen den endgültigen Wert der Beobachtungsgröße unter gleichmäßiger Berücksichtigung aller beobachteten Einzelwerte aus, so erzielen wir damit zweifellos eine Genauigkeitssteigerung, weil zum mindesten ein Teil der zufälligen, ebenso wahrscheinlich positiven wie negativen Einzelfehler sich dabei auf hebt.

Die Voraussetzung, daß sämtliche Beobachtungen mit gleicher Sorgfalt, also vermutlich auch gleicher Genauigkeit ausgeführt sind, führt zum Zweck der Auswahl eines endgültigen ausgeglichenen Mittelwertes L für die Beobachtungsgröße zu der Forderung, an sämtlichen Beobachtungswerten l gleich große, im Vorzeichen wechselnde Verbesserungszuschläge v anzubringen, welche dem bei der Beobachtung ein geschlichenen gleich wahrscheinlich positiven wie negativen und gleich großen zufälligen Fehler entsprechen. Diese Forderung läßt sich aber nur im Fall zweifacher Beobachtung erfüllen.

Trägt man nämlich die Beobachtungswerte lx l₂ . . . als Ordinaten zu einer beliebigen Abszisse auf (Fig. la), so läßt sich nur dann ein Punkt finden, der von den Endpunkten der Ordinaten gleichen Abstand v hat, wenn die Zahl der letzteren =2 ist.

In diesem Fall sind die Verbesserungszuschläge i\ = —v₂ . Legt man der vom Endpunkt der l aus in der Ordinatenrichtung verlaufenden Verbesserung v das Vorzeichen der andern das Vorzeichen — bei, so wird v± + v₂ = 0

-k — h + Vi L = l₂ + v₂

und

h ~t~ h ~t~ vi ~4~ v2_h ~f~ h

Ist die Zahl der BeobachtungsWiederholungen 2n und trägt man die Beobachtungswerte l± . . . als Ordinaten

o,~

sä-

5:

1, 1.1 1, 1.

1, 1. I, 1.1 1.

L",

E₂ l₃

L\

L'₄

Fig. la.

Fig. Ib.

zu beliebigen Abszissen auf, so ist es unmöglich, eine Parallele zur Abszisse zu ziehen, deren Abstände v von allen Ordinatenendpunkten gleich groß sind. Wir müssen also auf die Forderung verzichten:

absolut vl = absolut i\₂ = ■ • • = absolut vr = • • •

(Fig. lb). Immerhin kann man zwei der Beobachtungs-

L + L

werte, z. B. lY und Z₂, zu einem Resultat L{ = —-—-

u

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe usw. 13 zusammenfassen, ebenso ^    ^ = L'₂ nsw. und erhält

u

damit ebenso viele Werte Z/, als Beobachtungspaare vorhanden sind. Gleichzeitig ist dann wie vorhin

vi + V2 = 0

«'s+ *4 = 0 l[v]*) = 0.

Faßt man jetzt je zwei der so gefundenen Werte L' wieder zu einem Wert L" zusammen und heißt die an den Werten U anzubringenden Verbesserungen F, so ist wieder K + ^2 = 0 VS +    = 0 " M ⁼ 0

und man hat nur noch den vierten Teil der ursprünglichen Beobachtungswerte.

Fährt man mit der paar weisen Zusammenfassung der gewonnenen Werte zu Mittelwerten Z/", L"ff. . . fort, wobei wieder

[v'r] = 0

[v,n] — 0 usw., so bleibt schleißlich ein Wert!/ als endgültiger Mittelwert übrig. Heißen die an den ursprünglichen Beobachtungswerten l anzubringenden Zuschläge, welche nötig sind, um sie auf diesen Mittelwert L zu bringen, F, so wird*.

(l) (L-4)+(L-y+...=M+[t/]+K]+...=[F]=o

*) Das von K. F. Gauß (geb. 30. April 1777, gest. 23. Febr. 1855), dem Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, eingeführte Zeichen [ ], für die Summe einer endlichen Zahl gleichartiger Größen, entsprang dem griechischen 2 = Summe aller. Der einfacheren Schreibweise halber entstand daraus [ und, zur genauen Begrenzung des zusammenzufassenden Ausdrucks, []. Es wird aus sachlichen und aus Gründen der Pietät im folgenden beibehalten wrerden.

als Eigenschaft des endgültigen Mittelwertes L aus einer An zahl 2n gleich genauer Beobachtungen.

Die in (1) gefundene Eigenschaft des endgültigen Mittelwertes L aus einer Anzahl 2n nur mit zufälligen Fehlern behafteter, gleich genauer Beobachtungen l wohnt dem wahrscheinlichen Mittelwerte inne, auch wenn die Beobachtungszahl nicht gerade =2n ist. Denn die ungefähr gleich großen zufälligen Beobachtungsfehler V werden gleich wahrscheinlich positiv wie negativ auftreten, sich also bis auf einen im Vergleich zu [l] sehr kleinen Rest um so eher auf heben, je größer die Zahl der Beobachtungen l ist. Mit großer Wahrscheinlichkeit dürfen wir daher Gleichung (1) als allgemein gültige Bedingung für die Auswahl des wahrscheinlichsten Mittelwertes L einer beliebigen Anzahl gleich genauer Beobachtungen l festsetzen. Wir gewinnen damit allerdings nur eine Hypothese für ein Naturgesetz, die aber um so gesicherter ist, je mehr daraus zu ziehende Schlüsse mit der Wirklichkeit übereinstimmen. Wie man nun aber auch den wahrscheinlichsten Wert L der Beobachtungsgröße wählen möge, immer wird die Beziehung bestehen:

Verbesserung V= L — l, oder (wenn man V durch v ersetzt): L = lt-f- Vj

L = l₂    V 2

“b Vn

n L = [Z] + [v] . Für (1): [v\ = 0 wird daraus

(2) Endwert L — — = dem arithmetischen Mittel der

Beobachtungswerte, übereinstimmend mit unserem natürlichen Empfinden.

Wir erkennen, daß jeder neue Beobachtungswert l einen neuen Widerspruch v gegen den Mittelwert L und damit eine kleine Veränderung des letzteren bedingt. Je größer aber die Zahl n der zur Mittelbildung bereits verwendeten Beobachtungswerte l und je größer ihre Genauigkeit ist, um so geringer wird der Einfluß einiger neu hinzukommender Beobachtungswerte auf das Endergebnis sein. Die Veränderung des Endresultates durch neu hinzutretende Beobachtungswerte würde aber erst dann gleich 0, wenn die Zahl der bereits verwendeten oo groß wäre. Dann hätte man den auf dem Weg der Beobachtung tatsächlich unerreichbaren wahren Wert der Beobachtungsgröße gefunden.

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Einteilung der Ausgleichungsaufgaben.

Die Bedingung (1) führt auf einem sehr einfachen Weg zur eindeutigen Erlangung des wahrscheinlichsten Wertes L aus einer Anzahl gleich genauer Beobachtungen Z, wenn, graphisch betrachtet, die gesuchte Ausgleichungslinie (s. Fig. lb) ihrer Richtung nach (hier als Parallele zur x-Achse) zum voraus bekannt ist. Trifft dies nicht zu, so genügt die Bedingung \v\ = 0 nicht zur eindeutigen Auswahl dieser Ausgleichungslinie. Ist z. B. die beobachtete Größe L (statt wie bisher konstant) abhängig von einer zweiten veränderlichen Größe, so kann man zwar die Beobachtungswerte Z, wie in Fig. 1 a und 1 b, als Ordinaten und zwar diesmal zu den korrespondierenden Werten der zweiten Veränderlichen als Abszissen aufzeichnen.

Mögen z. B. bei gleich bleibender Temperatur, aber veränderlichem Luftdruck an einem Quecksilber- und gleichzeitig an einem Federbarometer korrespondierende Ablesungen gemacht worden sein, um die Beziehung zu finden zwischen der Anzahl von Teilen, um welche sich der Zeiger des Aneroidbarometers fortbewegt, und der Anzahl von mm, um welche sich aus denselben Ursachen die Höhe der Quecksilbersäule verändert. Es sei ferner festgestellt worden, daß die gesuchte Beziehung zwischen den Quecksilberhöhen b und den Aneroid-ablesungen a von linearer Form ist:

+ 'X' = fZ Achse,

i-*r-

b — ax-\- c .

cis

a₄

(i₃

txjci* Rijdüumx], ko effizient * MuttipL -Konftantejß

O't

TJX

++y

- b- Achse/

Fig. 2.

Trägt man nun die Quecksilberablesungen b als Ordinaten zu den zugehörigen Aneroidablesungen a als Abszissen auf und verbindet die so erhal-Vsj/â? tenen Bildpunkte, so ist bei fehlerfreien Ablesungen deren Verbindungslinie eine Gerade. Ihr Richtungskoeffizient (tgdes Richtungswinkels) stellt die gesuchte Multiplikationskonstante x vor, ihr Abschnitt auf der y -Achse die (uns zunächst nicht interessierende) Additionalkonstante c. Nun sind aber die Ablesungen an beiden Barometern mit kleinen Fehlern behaftet, welche zur Folge haben, daß die Verbindungslinie der Bildpunkte keine Gerade wird, wenn die Zahl der letzteren > 2, d. h. wenn Überbestimmung vorhanden ist. Die Abweichungen einer den Bildpunkten möglichst angepaßten Geraden von diesen sind auch hier nichts anderes, als die Verbesserungen v (s. Fig. 2), welche an den Quecksilberablesungen b anzubringen sind, damit die der Aneroidablesung a entsprechende gemittelte Quecksilberablesung B erscheint, deren algebraische Summe wir laut Bedingung (1) = 0 machen sollen.

Nun kann man aber jede Richtung parallel mit sich selbst so verschieben, daß schließlich [algebr. v\ = 0 wird, jede liefert ein anderes c und x, d. h. es gibt unendlich viele Gerade, welche der gestellten Bedingung [v\ — 0 entsprechen. Zur Auswahl der best-[absolut r] = Minimum.

möglichen Ausgleichungslinie brauchen wir eine weitere Bedingung, welche die unter (1) aufgestellte ersetzt oder ergänzt. Als solche weitere Bedingung könnte man etwa wählen:

Diese Form wurde in der Tat von Laplace im Jahre 1802 aufgestellt und begründet.

Sie leidet aber an verschiedenen Mängeln. In erster Linie tut sie den Verbesserungen^, welche ohne Vorzeichen undenkbar sind, Zwang an, indem sie ihnen das Vorzeichen raubt.

Sodann verursacht die Aufstellung eines allgemein gültigen Ausdruckes für den absoluten Wert jedes einzelnen v oder für deren Summe [abs. v], welche zum Minimum werden soll, erhebliche Schwierigkeiten. Denn je nach der Größe des Beobachtungswertes l, bzw. desjenigen von L ist abwechselnd abs. v = L — l oder abs. v = l — L.

Endlich nimmt die Bedingung [abs. v\ = Min. keine Rücksicht auf die Wertung der einzelnen Beobachtungsfehler v nach ihrer Größe. Handelt es sich nämlich darum, die Güte einer Beobachtungsreihe im ganzen zu beurteilen, so wird man dazu am besten den Wert derjenigen Funktion der Beobachtungsfehler v verwenden, die man zum Zweck und anläßlich der Auswahl des bestmöglichen Mittelwertes L zum Minimum gemacht hat, im vorliegenden Fall also [abs. v\ oder

(3)

, [abs. v] d = ---- .

Der Wert d stellt dabei den absoluten Durchschnittswert aus n Beobachtungsfehlern v, den „durchschnittlichen Fehler einer Beobachtung“ vor.

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Schleife

Abschlußdifferenz v + mm - mm

Schleife

Abschlußdifferenz v + mm

- mm

co

r-H

Ol

oi

O Ol

r-H H

Ol

Oi cn

lO

CD üi O l—¹

OJ

CO

(Ol

48

Möge nun z. B. ein bestimmter Beobachter mit einem gewissen Instrument und unter Einhaltung einer gewissen Messungsmethode beim Nivellement gleich langer geschlossener Schleifen etwa folgende Abschluß-ditferenzen gegen den (in diesem Fall bekannten) Sollwert 0 erzielt haben:

Ein zweiter Beobachter habe dagegen beim Nivellement derselben Schleifen mit anderem Instrument und nach anderer Methode folgende AbschlußdifFerenzen erzielt :

[abs. r] = 50 .

[abs. v] _ K — 0 .

[abs. v] = 50

d==fcÖ₌₅.

Beide Beobachtungsreihen zeigen denselben Betrag für [abs. v] und daher denselben durchschnittlichen Fehler d. Trotzdem sind die dadurch ausgeführten Höhenbestimmungen durchaus nicht gleich zuverlässig. Schon der Umstand, daß die Zahl der positiven Abweichungen v in der zweiten Reihe gegenüber derjenigen der negativen erheblich verschieden ist, widerspricht ihrer Eigenschaft als zufällige Fehler und weist auf

die Einwirkung grober oder regelmäßiger Fehler hin, die sich möglicherweise bis auf den schließlich festgestellten Betrag gegenseitig aufgehoben haben können.

Noch mehr aber spricht die absolute Größe der Abschlußdifferenzen gegen die Gleichwertigkeit der beiden Gruppen von Messungen. Jede dieser Differenzen setzt sich nämlich zusammen aus einer Reihe von in ihrer Ursache und Wirkung teilweise unbekannten Fehlerelementen, die sich teils addieren, teils gegenseitig aufheben. Die Abschlußdifferenz ist nur ihr in die Erscheinung tretender Rest. Ist dieser Rest in den einzelnen Beobachtungsfällen sehr verschieden, so beweist dies, daß die Fehlerelemente selbst verhältnismäßig groß sind, so daß einige von ihnen, welche ausnahmsweise der Regel widersprechen, gleich wahrscheinlich positiv wie negativ zu sein, hinreichen, das Beobachtungsresultat und die Abschlußdifferenz merklich zu beeinflussen. Das zufällige, eben hieraus erklärliche Vorkommen einiger auffallend kleiner Abschlußdifferenzen ändert an der Tatsache der geringen Zuverlässigkeit ebensowenig, als etwa einige zufällige Kernschüsse denjenigen zum hervorragenden Schützen stempeln, der mit anderen seiner Schüsse nicht einmal die Scheibe trifft. Wird ja auch nicht derjenige Mensch als der brauchbarere von zweien angesehen, der zwar im Falle zufällig glücklicher Disposition einmal eine ganz hervorragende Leistung hervorbringt, aber zwischenherein, vielleicht gerade wenn man ihn nötig braucht, versagt!

Sollen aber nach dem Ausgeführten die Beobachtungsfehler v in dem Sinne gewertet werden, daß größere Fehler progressiv wachsend in die Wagschale fallen, so bleibt nichts übrig, als irgend eine Potenz von ihnen in Vergleich zu ziehen. Dabei hat eine Potenz mit geradem Exponenten noch den Vorzug, das lästige Vorzeichen des Fehlerbetrages v auf natürliche Weise zum Verschwinden zu bringen. Die Frage, welche gerade Potenz der v gewählt werden soll, beantwortet sich aus der Eigenschaft der Fehler als Naturerscheinungen, die gewissen (uns zunächst unbekannten) Gesetzen unterworfen sind : Im Zweifelsfalle ist die einfachste Form die richtige, sofern sie anderen, bereits festgestellten Gesetzen

(im vorliegenden Falle (1): [algeb. v] = 0 und (2):

nicht widerspricht.

Unter letzterer Voraussetzung und an Stelle der als unrichtig erkannten Annahme [abs. v\ — Min. setzen wir jetzt für die Wertung der erreichten Beobachtungsgenauigkeit sowohl, als für die Auswahl des wahrscheinlichsten Wertes der Beobachtungsgröße L die Bedingung

(4)

\yv\ = Min.

Ob diese Bedingung den für gleich genaue Beobachtungen einleitend bewiesenen, oben angegebenen Gesetzen (1) und (2) nicht widerspricht, untersuchen wir wie folgt:

Behaftet man die .

[vv] = nL² — 2L[l] + [ll].

welcher Wert -—-

auch für L ge- [v\ = nL— [l] wählt werdęn möge :

Soll nun der wahrscheinlichste Wert L so ausgewählt werden, daß \vv\ = Min., wobei also A die einzige Veränderliche der rechten Seite ist, so muß sein

d[v v]

^ = 2nZ-2ra = 0

oder

L==m ro

woraus

-ra=o

[r] = n •

in Übereinstimmung mit Gleichungen (2) und (1).

Die Gleichung (4) bildet die grundlegende Bedingung für die gesamte Ausgleichungsrechnung. Nach ihr erhielt letztere clie Bezeichnung „Methode der kleinsten Quadrate“ (besser: Methode der kleinsten Quadratsumme). Sie läßt, wie Gleichung (1), eine bemerkenswerte mechanische Deutung zu. Denkt man sich nämlich die Beobachtungswerte l (wie in Fig. 1) als Or-dinaten aufgetragen, so stellen deren Abweichungen v vom Mittelwert L die Ordinaten ihrer Endpunkte vor in bezug auf die durch den Endpunkt dieses Mittelwertes parallel zur Abszisse gezogene Achse. Betrachtet man diese Ordinatenendpunkte als Massenpunkte, denen vermöge der gleichen Beobachtungsgenauigkeit je dasselbe Gewicht 1 zukommt, und denkt sich die Gewichte in ihnen angreifend und parallel zur Achse wirkend, so bedeutet [v] die Summe der statischen Momente für Drehung um den Endpunkt des Mittelwertes L, und (1) [v\ = 0 das vorhandene Gleichgewicht. \yv\ stellt das axiale Trägheitsmoment für die durch den genannten‘Endpunkt gehende Achse vor, und (4) [^v]=Min. bedeutet wie (1)' [v] = 0, daß dieser Endpunkt des Mittelwertes L den Schwerpunkt des Systems gleich gewichtiger Massenpunkte vorstellt; ganz in Übereinstimmung mit unserem praktischen Gefühl.

Zum Schluß möge noch untersucht werden, welche Werte die Summen der Quadrate der Abschlußdifferenzen in beiden Beobachtungsreihen (s. S. 18) annehmen.

Die erste Reihe liefert:

16 + 25 + 36 + 25 + 25 + 25 + 25 + 36 + 25 + 16 = 254 .

Die zweite Reihe liefert:

1 + 1 + 1 + 100 + 144 + 0 + 1 + 0 + 225 + 81 == 554 .

Es ist also, wie vorauszusehen war, die Summe der Fehlerquadrate in der zweiten Reihe größer, die Beobachtungsgenauigkeit geringer als in der ersten.

Einteilung der Ausgleichungsaufgaben.

In den §§ 2 und 3 sind zwei Aufgabenfälle an gedeutet worden, deren erster durch die Bedingung, daß die Summe der an den einzelnen Messungsresultaten anzubringenden Verbesserungen gleich 0 sein soll, ([v] = 0), eindeutig gelöst werden konnte, während dieser Bedingung im zweiten Falle eine unendlich große Zahl von Lösungen entsprach. Dies zeigt, daß beide Fälle prinzipielle Verschiedenheiten aufweisen müssen. In der Tat hat es sich im ersten um die Auswahl eines bestmöglichen Wertes für die direkt und mehrfach beobachtete Größe L gehandelt, während im zweiten Falle andere, zu ihr in Beziehung stehende Größen beobachtet wurden, durch deren Vermittlung die gesuchte Multiplikationskonstante x erschlossen werden mußte.

Im ersten Falle handelte es sich um die Ausgleichung direkter Beobachtungen, im zweiten um die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen.

Es ist auch möglich, daß zwar die mehrfach beobachteten Größen selbst gesucht, daß sie aber unter sich nicht unabhängig sind, sondern streng zu erfüllenden Bedingungen unterliegen (Winkel im Dreieck usw.). In diesem Falle spricht man von der Ausgleichung bedingter direkter Beobachtungen. Endlich können die direkt beobachteten Größen zur Bestimmung anderer Größen dienen, die aber ihrerseits gewisse Bedingungen erfüllen müssen (z. B. Einschaltung eines durch Winkelbeobachtung bestimmten Dreiecknetzes in ein als fehlerfrei anzunehmendes Netz höherer Ordnung): man hat den Fall der Ausgleichung bedingter, vermittelnder Beobachtungen. Für jeden dieser Aufgabenfälle wird ein besonderer Gang der Lösung aufzustellen sein, der ge-rade für ihn zweckmäßig ist. Doch ist diese Unterscheidung keineswegs so scharf, daß sich nicht auf spezielle Aufgaben sowohl die eine als die andere Lösung anwenden ließe.

Die Ausgleichung selbst kann auf rein rechnerischem Wege durchgeführt, oder durch graphische Darstellung unterstützt werden. Das erstere Verfahren hat den Vorzug größerer Genauigkeit, das letztere denjenigen größerer Übersichtlichkeit und des Erkennenlassens etwaiger bei der Beobachtung unterlaufener grober Fehler vor Abschluß der Ausgleichung.

I. Abschnitt.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

1. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

§ 4. Untersuchung der einer Einzelbeobachtung innewohnenden Genauigkeit.

Die wichtigste Aufgabe der Ausgleichungsrechnung : Feststellung des wahrscheinlichsten Wertes der Beobachtungsgröße, haben wir für den Fall gleich genauer, direkter Beobachtungen gelöst. Von Interesse, namentlich im Hinblick auf die Auswahl möglichst zweckmäßiger Beobachtungsmethoden ist nun noch ein Einblick in die bei der Einzelbeobachtung erreichte Genauigkeit. Wir haben zu diesem Zwecke schon auf S. 17 die durchschnittliche Abweichung d der Beobachtungen vom wahren Sollwert der beobachteten Größe berechnet. Wir haben aber dabei erkannt, daß dieser Durchschnittsbetrag d einen

Maßstab für die erreichte Genauigkeit der Einzelmessung nicht abzugeben vermag, weil Beobachtungsreihen von ganz verschiedener Zuverlässigkeit identische Werte für d ergaben.

Um die größeren Abweichungsbeträge v stärker in die Wagschale zu werfen, haben wir statt ihrer selbst eine Potenz von ihnen verglichen und hierfür die zweite Potenz gewählt. Wir haben schließlich für die richtige Auswahl des wahrscheinlichsten Wertes der Beobachtungsgröße die Bedingung festgesetzt : [v v\ = Min. Diese zum Minimum zu machende Quadratsumme der Abweichungen v kann nämlich aus dreierlei Ursachen heraus einen großen Betrag erreichen: 1. durch unzweckmäßige Auswahl des End wertes L aus den Beobachtungs werten Z, 2. durch fehlerhafte Beobachtungen Z und 3. durch große Anzahl n der Beobachtungen Z, also der Abweichungen^. Wurde L nach Gleichung (2) gewählt, so ist \vv\ = Min., also ein kleinerer Wert [vv\ durch andere Auswahl von L nicht .zu erreichen. Dann ist der Wert von [vv\ lediglich noch abhängig von der Beobachtungsgenauigkeit und von der Zahl n der Beobachtungen. Da die Genauigkeit jeder Einzelbeobachtung von deren Zahl unabhängig ist, so ist zu ihrer Erkenntnis die Quadratsumme [vv\ durch Division mit der Wiederholungszahl n auf das Quadrat des Fehlers einer Beobachtung zurückzuführen, und man erhält unter der Voraussetzung, daß die Abweichungen vw wahre Beobachtungsfehler vorstellen, als Maß stab für die im Mittel bei einer Beobachtung erreichte Genauigkeit:

m² —

mittlerer Fehler einer Beobachtung.

Die Voraussetzung, daß wir es mit wahren Beobachtungsfehlern zu tun haben, trifft in denjenigen Fällen zu, in denen der Sollwert der Beobachtungsgröße zum voraus bekannt ist (Winkelsumme im Dreieck oder im Vieleck; Summe der Projektionen der Seiten eines geschlossenen Polygons auf eine beliebige Achse; Summe der Höhenunterschiede einer Nivellementsschleife, bei welcher an identischem Punkt an- und abgeschlossen wurde usw.).

So liefert das hierhergehörige Beispiel S. 18 und 21

als mittleren Fehler einer Beobachtung der ersten Reihe

=+]/^jj:=±5>04 mmi

pl = bl •

+22

(38) K p^ (/l _ 3) [cc .2] y _ 3) [cc . 2]

\ vr=y.\+dy

=•»«]/-

°F2(X, ¥...) = 0

 II : Beöeutungsleljre unö Stjntaç

so m.

Grundriß der HandeMruphie

Leitfaden der KandeMrapliie

AllSemeine und spezielle (DirtscluiftsseiMie von

m,

⁼+]/^jj:=±⁵>04 mmi

als mittleren Fehler einer Beobachtung der zweiten Reihe

, i/554

m2 = ±1/    = ±7,45 mm .

Der Vergleich mit dem durchschnittlichen Fehler d = 5 mm (s. S. 18) zeigt nebenbei, daß der mittlere Fehler nicht bloß ein gerechterer, sondern auch ein strengerer Richter ist, als der durchschnittliche Fehler.

Ist der Wert der Beobachtungsgröße nicht zum voraus bekannt, muß er vielmehr erst aus einer endlichen Zahl von Beobachtungen nach Gleichung (2) erschlossen werden, so ist er selbst nicht fehlerfrei, also sind es auch nicht die aus ihm abgeleiteten Verbesserungsbeträge v der Beobachtungswerte l.

Möge der nach Gleichung (2) berechnete Mittelwert L um den nach Vorzeichen und Größe unbekannten Betrag j-M unrichtig sein, so daß sein wahrer (aber unzugänglicher) Wert = L + M ist, möge ferner die unzugängliche, wahre Abweichung jedes einzelnen Beobachtungswertes l von ihm mit vw, die uns zugängliche Abweichung vom Mittelwert L mit v bezeichnet werden, so ist

V = (L + M)-l₁=L-l₁+M = v₁ + M vlCi = (L + M)-li = L-li + M=vi + M

vtrn = (L + M) - ln = L - l„ +M=vn+M

\?tv Vir ]

und, da nach Gleichung (1) [v] = 0 ,

(6)

[vw • vw] = [v t?] + n M².

Jedes der drei Glieder ist als Summe quadratischer Einzelsummanden positiv, folglich \vw vu] > [v v].

Hieraus geht hervor: Treten an Stelle der wahren Abweichungen vt€ in Gleichung (5 a) die wahrscheinlichen Abweichungen v, so wird dadurch der Zähler [v i?] kleiner, also muß dies beim Nenner n im gleichen Verhältnis der Fall sein. Die Bestimmung des Reduktionsverhältnisses ist aber einwandfrei jetzt noch nicht möglich, weil wir den Fehler M des Mittelwertes L der Beobachtungsgröße [s. Gleichung (6)j noch nicht berechnen können. Immerhin können wir jetzt schon erkennen, daß der an Stelle von n in (5 a) tretende Nenner so beschaffen sein muß, daß er: 1. im Falle mangelnder Überbestimmung, d. h. wenn nur eine Beobachtung l vorhanden ist, für die dabei erreichte Genauigkeit einen unbestimmten Wert liefert, weil diese hieraus überhaupt nicht erschlossen werden kann; 2. im Falle vorhandener Überbestimmung gegen die Wiederholungszahl n konvergiert, wie der Ausdruck [vv\ gegen [vwvu]. Beides trifft zu für den Nenner n — 1.

Denn im Falle einer einzigen Beobachtung wird die Abweichung v ihres Resultates vom Mittelwert L, gleich 0, ebenso der Nenner n — 1 = 0 r folglich

m²

= unbestimmt.

[v v] _0

n — 1    0

Im Falle einer sehr großen Zahl n von Beobachtungen nähert sich L dem wahren Wert, v der wahren Abweichung vw, n — 1 der Wiederholungszahl n, folglich

[v v]

oo

K »J

n — 1

Wir setzen daher vorbehaltlich später zu erbringenden Beweises (s. S. 35) unter Ersetzung der wahren, unzugänglichen Abweichung vw durch die zugängliche Abweichung v einer Beobachtung l vom wahrscheinlichen Wert L

[v v)

m² —

(5 b)

mittlerer Fehler einer Beobachtung.

Satz. Das Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung ist gleich der Summe der Quadrate ihrer Abweichungen je vom Mittelwert, dividiert durch die Zahl der überschüssigen Beobachtungen.

Aus den Fehlergleichungen S. 14 und 20 v — L — l oder L = l-\-v

erkennen wir, daß die Abweichungen v Größen gleicher Art und Gattung vorstellen, wie die Beobachtungsgrößen l, sie bedeuten Verbesserungszuschläge zu den Beobachtungswerten l, welche nötig sind, um diese in den Mittelwert L überzuführen. Als benannte Größen lassen sie sich aber weder quadrieren noch differenzieren, wie dies S. 20, 25 und 26 geschah!

Den hierin liegenden Widerspruch überwinden wir, indem wir jedes v mittels Division durch seine eigene Maßeinheit auf eine unbenannte Zahl zurückführen, ohne

dabei an der absoluten Zahlen große etwas zu ändern. Zum Schlüsse führen wir dann für den mittleren Fehler m die der Verbesserung v geraubte Benennung wieder ein.

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und der Summe der Fehlerquadrate [vv\ aus den Beobachtungswerten l.

Sind die Beobachtungswerte l durch große Zahlen, oder gar durch Benennungen ausgedrückt, deren Beziehung nicht dezimal ist (z. B. Winkel in alter, sexa-gesimaler Teilung), so wird die Ausrechnung des Mittelwertes L nach Formel (2) L = — sehr schwerfällig.

n

Führen wir dagegen einen dem Mittelwert L sich möglichst anschmiegenden Näherungswert N ein und bezeichnen die an diesem anzubringenden kleinen Zuschläge mit v, so daß

Beobachtungswert lx = N -f- vx k = A -j- v₂

h, = N+vn

so wird

[2] = n ■ N + [v] ,

(?)

• n

Zur Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung brauchen wir nach Gleichung (5 b) die Summe \vv\ der Fehlerquadrate, welche wir durch Quadrierung der Verbesserungszuschläge v = L — .1[s. Gleichung (1)] erhalten. Um die Fehlerquadratsumme direkt zu finden, setzen wir

vn = L — ln ;

<=i²-2£L+ZÎ

und durch Einsetzung von

ra

- + PQ.

Diese Gleichung ist praktisch nicht verwertbar. Dagegen können wir sie verbinden mit der zur Ableitung von (7) verwendeten Gleichung v — l — N. Aus dieser kommt

v\ = l\ — 21, N+ N²

vl = ll-2lnN+N>

[vv] = [li] — ‘2N[l] + n-Ni.

Durch Einsetzung von [Z l]

= [«»] + — J n

und L

₌ia

kommt

[v v] = [v v] -|- n L² — 2 N • n L -f- n N² = [vv]-\-n(L — N)2 oder

[v v] = [v v] — n (L — N)² und unter Beachtun g von ( 7 )

(8)

M²

= \v v\--.

n

Damit läßt sich der mittlere Fehler einer Beobachtung ohne vorgängige Ausrechnung der einzelnen Beobachtungsfehler v, ja sogar ohne Berechnung des Mittel-

wertes L der Beobachtungsgröße gewinnen. Gleichung (8) zeigt in Übereinstimmung mit (4), daß für L ^ N unter allen Umständen [v v] > \v v].

§ 6. Mittlerer Fehler M des Mittelwertes L aus n gleich genauen Beobachtungen l.

Wir haben schon S. 26 das Bedürfnis empfunden, einen Einblick in die Genauigkeit des Mittelwertes

(2) L = — zu erlangen. Auch praktisch ist es oft wich-n

tiger, die Genauigkeit des schließiichen End wertes L, als diejenige der einzelnen Beobachtungswerte l zu kennen. Um hierüber Klarheit zu erhalten, ziehen wir in (2) den Summenzähler [/] auseinander und schreiben

Wir erkennen dann, daß von jedem Beobachtungswert Z der w-te Teil in den schließiichen Mittelwert L übergeht, der sich derart aus n Teilen zusammensetzt. Unsere Aufgabe besteht daher jetzt darin, zu ergründen :

1.    Welcher Teil des mittleren Fehlers m einer Beobachtung l der Größe L geht auf den Anteil — über?

n l

2.    Wie pflanzen sich die Fehler der Einzelgrößen — auf

deren Summe fort?    n

Die Frage 1. fassen wir allgemeiner wie folgt: Wie groß ist der mittlere Fehler einer Bestimmung eines Vielfachen a • l der Beobachtungsgröße L, wenn der mittlere Fehler m einer Beobachtung l bekannt und a ein fehlerfreier Faktor ist? Wir werden in § 12 die Fortpflanzung Yon Beobachtungsfehlern auf beliebige Funktionen der Beobachtungsgrößen allgemein behandeln. Hier wollen wir vorläufig durch Überlegung an einem speziellen Beispiele uns Klarheit verschaffen:

Das Gewicht a • L eines Wagens Kohle ist zu bestimmen aus der Anzahl a darauf geschütteter gefüllter Körbe und aus dem durch n- fache Wägung lx, l₂ . . . gefundenen mittleren Nettogewicht L einer solchen Korbfüllung, wo

und [v] — 0 .

L — K + vi — h ~b v2 + ⁼

Würde man den ersten Beobachtu ngswert lt des Nettogewichtes jener Korbfüllung der Bestimmung des Gesamtgewichtes aL zugrunde legen, so erhielte man gleichsam als dessen ersten Beobachtungswert: a •    ,

würde man den zweiten Beobachtungswert l₂ seines Nettogewichtes der Bildung von aL zugrunde legen, so erhielte man als dessen zweiten Beobachtungswert : a • l₂ ,

würde man den w-ten Beobachtungswert ln jenes Nettogewichtes der Bildung von aL zugrunde legen, so erhielte man als dessen w-ten Beobachtungswert : a • ln .

wert:

Aus allen diesen n Bestimmungen des Gesamtgewichtes ergäbe sich als dessen endgültiger, bestmöglicher Mittelöt li -j- a l₂ “j⁻ * * * ~\~ # ln

Bezeichnet man die Abweichung einer derartigen Bestimmung a • l vom Mittelwert a L mit F, so wird :

Vt = a L — a lx = a{L — /,) — a • vx V₂~aL — al.₂ = a(L —1₂) = a • v₂

Vn = aL - aln = a(L — ln) = a ■ vn

[ V] = [a • v] = a [v] = 0 und [ V V] = a² [vv] .

Nach Gleichung (5 b) wird demnach der mittlere Fehler einer Bestimmung der Größe aL:

(9) ma.L '=

,1 /[rrj ₌ i/a*M

= a • mi.

Die Frage 2. fassen wir ebenfalls allgemeiner wie folgt: Wie groß ist der mittlere Fehler der Größe

L ⁼ Li + L₂ -f- • • • + L

wenn die mittleren Fehler mLl,    . . . der Summan

den Ajl , L₂ . . . bekannt sind?

Die Art der Größenbestimmung selbst unterscheidet sich von der vorigen dadurch, daß dort der wahrscheinlichste Wert L eines, aber nur dieses einzigen Teiles der Beobachtungsgröße (durch beliebig oft wiederholte Beobachtung) ein für allemal gemessen wurde. Die gesuchte Größe wurde dann durch Multiplikation dieses Wertes mit einem (fehlerfreien) Faktor a gewonnen, während hier für jeden einzelnen der n Teile je in fâcher Wiederholung sowohl dessen Mittelwert L, als der mittlere Fehler m einer Beobachtung ermittelt wird. Angewandt auf das vorige Beispiel wird jetzt jeder einzelne Korb Kohlen, der auf den Wagen auf- oder von ihm abgeladen wurde, w-mal gewogen und hieraus gleichzeitig der mittlere Fehler einer Wägung jedes Korbes bestimmt.

so liefert für dieses

der

Für das auf dem Wagen schließlich vorhandene Quantum Kohlen hat man daher ebenso viele (nämlich w) Wägungen, als für jeden der n auf- oder abgeladenen Körbe ausgeführt wurden. Bezeichnet man die Ordnungszahlen n Körbe mit Indices 1 w Wägungen mit Akzenten J ’.

Quantum die

Daraus ergibt sieh nach Gleichung (2) das wahrscheinlichste Gesamtgewicht za

L_ L'    L" -\— • + jL-

L₂ . . . je das Mittel aus den w verschiedenen

wenn L

Wägungsergebnisssen des 1-ten, 2-ten . . . Korbes vor-stellen.

Bezeichnet man die an den einzelnen Wägungen jedes Korbes anzubringenden Verbesserungen, welche nötig sind, um die w Wägungsresultate des gesamten Quantums einander gleich, d. h. U — L,r = • • • = L- = L zu machen, unter Beibehaltung der Akzente und Indices mit v, so liefert als Gesamtgewicht des Wagens die

2-te

1 -te Wägung jedes Korbes das G-ewicht L' = l[ + • • • + l'n 2-te

11

»    L"=v±---±v;

w- te

ii

ii

1 -te Wägung jedes d. Körbe L = (l[ + v[ ) + • • • + ft + Ki) „ ,i „ L = (l'₁' + v'₁') + ••• + (*" + <)

»    «    » L = (li+vi)±---±(ln+Vn'>-

n Körbe-

Hieraus ergibt sich als Verbesserungszuschlag für die 1-te, 2-te ... w-te Wägung des Gesamtquantums aus der

1 -ten Wägung jedes Korbes L — U = Vf =v[ + • * * + K L — L" = 7" = v[' + •.. + v"

w-te

2-ten

w-ten

ii

-<

ii

ii

ii

ii

ii

Z-ZÏ=FS = ^±...±^.

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Gleichzeitig haben wir aber nach Gleichung (1) für die Abweichungen v der w verschiedenen Wägungsergebnisse eines und desselben Korbes je vom Mittelwerte:

[Wäg.-Verbesserungend. 1.Korbes] — v[ -]— • -f- vf = [t?J = 0

„    „    „2. „    =V2 + * —b vf = [^₂] — 0

woraus analog Gleichung (1).

Nach Gleichung (5 b) haben wir endlich als Quadrat des mittleren Fehlers einer Wägung

des 1-ten Korbes m* =

«**+«?*+•••+«?*

Kl

ic — 1

„ 2-ten

[»3

ic — 1

und analog als mittleren Fehler einer Wägung des ganzen Wagens

-±m

mL₁±h±--- ±L„

-±v

K] + [^] + --- + K3 + 2t>;^+--- + 2^_₁^

W — 1

Entsprechend der Eigenschaft der v als zufälliger Fehler und der Gleichung [V] = [vj -f- • • • = 0 sind die einzelnen Summanden von der Form 2 vrvr+i im Zähler des Radikanten im Gegensatz zu den quadratischen Summanden gleich wahrscheinlich positiv, wie negativ. Ihre algebraische Summe tritt also gegenüber derjenigen der quadratischen Summanden um so mehr zurück, als

sie überdies als Produkte ungleicher Faktoren durchschnittlich kleiner sind, als letztere.    , v

DO $

Trotzdem die Zahl dieser doppelten Produkte =w I ),

also (n — l)-mal größer ist, als die Zahl w • n der quadratischen Summanden, läßt sich demnach ihre Summe gegenüber derjenigen der letzteren vernachlässigen, so daß wir erhalten:

'^L₁±L-2± ••• ±Ln

~±y

M + \A\ H----+ M

(10)

~ +]/ — — \w

14}

[4]

+ ••• +

Kl

l    oo ±p>\ + m'l H-----h m\n .

Nun kehren wir zur eigentlichen Aufgabe des § 6 zurück. Gleichung (9) zeigt, daß, wenn einer Bestimmung der Größe L der mittlere Fehler m zukommt, auf die durch Multiplikation erlangte a-fache Größe auch der a -fache

über-

VYl

Fehler, auf die —fache Größe also der Fehler —

tu

(11) Ml=±

m\¹ 2

m\²

+ “7= •

\n

Die Gleichung (11) kann man sich durch folgende Überlegung plausibel machen. Die Genauigkeit des Resultates aus einer Reihe gleich genauer Beobachtungen kann nur abhängen von der Genauigkeit der Einzelbeobachtungen und von ihrer zur Mittelbildung verwendeten Anzahl. Kann man — etwa durch Wahl einer besseren Beobachtungsmethode — den Fehler jeder Einzelbeobachtung l reduzieren, so wird im gleichen Ver-hältnis auch der Fehler des Mittelwertes L abnehmen. Ebenso läßt sich der letztere aber auch verringern durch Steigerung der Wiederholungszahl n . Nur wird die Wirkung dieser Genauigkeitssteigerung unmöglich proportional zur Wiederholungszahl sein können, weil der wahre Wert der Beobachtungsgröße, d. h. der Fehler 0 für den Mittelwert erst durch oo viele Beobachtungswiederholungen erzielt werden könnte (s. S. 15). Denkt man sich die Zahl der Wiederholungen als Abszissen, die zugehörigen, im Mittelwert L noch zurückbleibenden Fehler als Ordinaten aufgetragen und die so erhaltenen Punkte durch + IJ -M-Âêhse eine stetige Linie verbunden, so muß demnach diese Linie sich der Abszissenachse asymptotisch nähern. Dies trifft zu für

die Beziehung M — -—

Jt

zahl

0f4Ö 77W

0~50m

10,58 m

0,71 Tu.

Mittlerer Fehler' des Mittelwerts

-i r TTC

Fig. 3.

1In

(s. Fig. 3). Die langsame Abnahme von M im Falle auch erheblicher Steigerung der Wiederholungszahl über 2 oder 3 hinaus zeigt, daß es i. A. viel wirtschaftlicher ist, etwa wünschenswerte Genauigkeitssteigerung durch Verbesserung der Beobachtungsmethoden und -Instrumente, als durch Steigerung der Wiederholungszahl herbeizuführen.

Setzen wir den gefundenen Ausdruck für den mittleren Fehler M des Mittelwertes L in Gleichung (6) S. 26 ein, so erhalten wir

K« »J = L« «] + »i:

und durch Benutzung von Gleichung (5 a) n • m² = [vw vw] = [v v\ + m¹ ,

woraus

-±i/s

[vv\

n — 1

in Übereinstimmung mit der S. 27 durch direkte Überlegung gewonnenen Gleichung (5 b).

§ 7. Größter Betrag des unvermeidlichen Beobachtungsfehlers.

Für viele praktische Aufgaben ist die Kenntnis des mittleren Fehlers von geringerer Bedeutung, als diejenige des äußerstenfalls zu befürchtenden Maximal-fehlers.

Soll z. B. eine bauliche Anlage (Brücke usw.) auf Grund vorgängiger Messung konstruiert und zum Versetzen fertig hergerichtet werden, so darf der Fehler der Maßangabe ohne erhebliche Unzuträglichkeiten einen gewissen Maximalbetrag nicht überschreiten. Ebenso werden amtliche Genauigkeitsvorschriften da, wo solche im öffentlichen Verkehr nötig werden, die äußerstenfalls noch zulässige Abweichung des durch Messung oder Wägung usw. ermittelten Maßes eines Gegenstandes vom richtigen Betrag feststellen müssen. —

In Übereinstimmung mit dem Bisherigen nehmen wir an, daß grobe Fehler durch entsprechende Sicherungs-maßregeln erkannt undaus den Beobachtungsresultaten ausgemerzt sind, ehe die Weiterverarbeitung der letzteren beginnt. Diese enthalten also nur noch die aus mehr oder weniger Fehlerelementen sich zusammensetzenden unvermeidlichen Fehler. Die Fehlerelemente sind uns nun weder nach Ursache, noch nach Größe und Vorzeichen im einzelnen sicher bekannt. Wir wissen von ihnen nur, daß sie gleich wahrscheinlich positiv, wie negativ; bald größer, bald kleiner sind, sich das eine Mal häufen, das andere Mal ganz oder teilweise aufheben können. Der mittlere Fehler einer Beobachtung ist ihre im Mittel, d. h. unter Ausschluß der besonders günstigen und der besonders ungünstigen Fälle am Schlußresultat in die Erscheinung tretende Summe. Aber auch im ungünstigsten Falle, in welchem die einzelnen Fehlerelemente ihren Maximalbetrag und dazu noch gleiches Vorzeichen erlangen, wird ihre Summe, d. h. die Abweichung irgend eines Beobachtungs- vom wahren oder vom Mittelwert ein gewisses Maß nicht überschreiten, das abhängig ist einerseits von der möglichen Größe der Fehlerelemente, d. h. der Beobachtungsgenauig-keit bzw. dem mittleren Beobachtungsfehler³), und andererseits von der Zahl der Beobachtungs Wiederholungen. Dieses Maß ist der Maximalfehler einer Beobachtung. Ihn bei irgend einer der Beobachtungen einmal zu erreichen ist um so mehr Wahrscheinlichkeit vorhanden, je öfter die Beobachtung wiederholt wird.

Durch nähere Untersuchung auf Grund der Wahrscheinlichkeitsrechnung findet man, daß durch Häufung der unvermeidlichen Fehlerelemente der:

1 fache mittl. Fehler m unter

„ 2m „

„ 3m „

„ 4m „ „5m

22

3 Beob. wahrscheinl. 1 mal 1 „

368

1 „

15800    „

„ 1750000    „

1 „

1 „

überschritten wird. (Vgl. hierüber Ko 11, Methode d. kl. Quadr.; Jordan, Ausgleichungsrechnung u. a. a. O.)⁴)

Benützt man also, wie man zumeist genötigt ist, die Größe der auftretenden Beobachtungsdifferenz zur Entscheidung darüber, ob man es im einzelnen Falle mit einem groben (durch Nachbeobachtung auszumerzenden), oder mit einem unvermeidlichen (einteilbaren) Fehler zu tun hat, so läuft man Gefahr, ohne daß tatsächlich ein grober Fehler vorläge, der zur Nachbeobachtung zwingt: unter je 3 Beob. 1 wiederholen zu müssen, wenn man 1 m

„    2 m

„ 368    „    1

„    3 m

als äußerste Abweichung einer Beobachtung vom Mittelwert noch zuläßt.

Die Annahme des dreifachen mittleren, als äußerstenfalls zu tolerierenden Maximalfehlers einer Beobachtung :

(12)

A]yiax — 3 'YYl

ist in der Yermessungspraxis allgemein.

Sie zwingt im Laufe eines Jahres zur unverschuldeten Aufwendung einer Tagesarbeit für Nachmessungen, weil grobe Fehler da vermutet wurden, wo der durch unglückliche Häufung der Fehlerelemente entstandene unvermeidliche den dreifachen mittleren Fehler zufälligerweise überschritt, läßt aber andererseits auch tatsächlich grobe Fehler bis zum Betrage 3 m durchschlüpfen!

eine nach der anderen, abrollen, und bringt man, beliebig verteilt, Hindernisse (etwa in Form eingeschlagener Stiftchen) an, welche die abrollenden Körper vorübergehend ebenso vom richtigen Wege (der Linie des stärksten Gefälles) ablenken, wie die während der Beobachtung auftretenden Fehlerelemente das Messungsergebnis vom Ziele der Messung, dem wahren Werte der Beobachtungsgröße, so werden die Kugeln den Fuß der Ebene in verschiedenen Punkten erreichen. Größere Abweichungen vom mittleren Ort des Auftretens werden aber, entsprechend den vorstehenden Zahlen, viel seltener sein als kleine. Eine gewisse, nur bei sehr vielen Kugeln einmal erreichte Maximalabweichung wird keine der Kugeln überschreiten.

2. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit,

§ 8. Wahrscheinlichster Wert einer Beobachtungsgröße aus einer Reihe verschieden genauer Beobachtungen. Gewicht der Beobachtung. Gewichtseinheit.

Wir haben in Gleichung (2) das einfache arithmetische Mittel als den wahrscheinlichsten Wert einer Beobachtungsgröße festgestellt: L = —, unter der Voraussetzung,

n

daß den Beobachtungswerten l gleiche Genauigkeit innewohnt. Trifft diese Voraussetzung nicht zu, d. h. ist ein Beobachtungswert einer schärferen Beobachtung entsprungen, als der andere, so wäre es eine unbillige Zurücksetzung des genaueren ersteren, wollte man dem letzteren wahllos denselben Einfluß auf die Gestaltung des endgültigen Resultates einräumen, wie ihm. Niemanden würde es z. B. einfallen, als wahrscheinlichsten Wert L für eine Streckenlänge das einfache arithmetische Mittel zweier Beobachtungswerte l einzuführen, deren einer mittels genauer Meßgeräte und -Methoden, der andere durch bloßes Abschreiten erlangt wurde ! Dagegen verursacht die Frage, auf welche Weise der verschiedenen Zuverlässigkeit der Einzelbeobachtungen bei der Bildung des gemeinsamen Endresultates Rechnung getragen werden soll, zunächst noch Schwierigkeiten⁵).

Der Unterschied in der Genauigkeit der beobachteten

Einzelwerte kann verschiedenerlei Ursachen entspringen.

11    4

”    hi

Hat z. B. die mehrfache Beobachtung einer Größe L ^-mal den Wert lx w₂-mal „ nu-mal „

ergeben, so ist ohne weiteres klar, daß nicht etwa

L = h + h + --±]u

sondern nach Gleichung (2) zu setzen ist:

-<-«i->-    -<-»<₂->-    -<-»n->-

4~t~* *    • • + hi

(13 a)

+ n₂ 4-----h nn

nl h “t“ n2 4 4“ * * * 4“ nn ln _ \_n 4

U1 4~ n2 + * * * 4~ nn

Den fehlerfreien Zahlen wert n , welcher im vorliegenden Falle angibt, wie oft ein und derselbe Wert i bei mehrfacher Beobachtung einer gewissen Größe aufgetreten ist, nennt man das ihm zukommende ,, Gewicht“.

Es ist nun aber auch denkbar, daß die Werte 4 bzw. l₂... nicht eigentliche Beobachtungswerte darstellen, sondern selbst wieder entstanden sind als Mittel aus bzw. n₂..., Beobachtungen von durchweg gleicher Genauigkeit, die man aus irgendwelchen Gründen (z. B. infolge zeitlicher Beobachtungsunterbrechung) gruppenweise zusammengefaßt hat.

tungen bei der Bildung des Endergebnisses überhaupt zu verzichten. Dies geschieht z. B. in bezug auf eine vielumstrittene, häufig mehr nach politischen, als sachlichen Erwägungen beurteilte Frage: die des politischen Wahlrechtes (allgemeines, gleiches Wahlrecht, Ausschluß als inferior gehaltener Personen vom Wahlrecht).

Bezeichnen wir sie zur Unterscheidung gegen vorhin diesmal mit l". . . und die zu ihrer Gewinnung verwendeten Urbeobachtungen mit

7/7/    7/    .    ///;//    /// .    7- 7-

so daß nach Gleichung (2) gewonnen wurde

*,₌E1 P = ZI...^₌₌B,

so könnten wir zur Bildung des Endwertes L die ursprünglichen Beobachtungswerte benützen, d. h. die bereits gemittelten Werte V wieder auseinanderziehen. Gleichung (2) würde dann liefern:

L = tj + r,+- + q,, + *f+••• + % + ••• + *" + •••+%,

»I + »2 H-----h »„

[?] + [*"] + • •• + [<*]

»1 + »2 H-----h »„

Nun ist aber nach Gleichung (2) auch nx • l' = [/'] usf., so daß der obige Bruch übergeht in

(13b) L =

V + n₂l" + • • • + nu l-

[n¥\

niJrn2Jr * * * nn

wo V die aus den Urbeobachtungen gewonnenen Zwischenmittel und n die dazu jeweils verwendete Anzahl der ersteren vorstellen.

Die Gleichung (13 b) entspricht vollkommen der Gleichung (13 a) und zeigt, daß das jedem Einzelwert zukommende Gewicht n auch gedeutet werden kann als Anzahl der zu seiner Bildung verwendeten gleich genauen Urbeobacht un gen.

Der Wert L des endgültigen Mittels der Beobachtungsgröße bleibt ferner unverändert, wenn man jedes der Gewichte n mit einer konstanten Zahl q multipliziert, denn man hat:

9 ni l' + 9 n2 V' “b----b 9 nn

9 »i + 9 H-----b 9 nn

^ nt V 1" ...

- n₁ + n₂-[----

oder durch Einsetzung von qu = p

(13c) L =

Pvl' + Th l" + • • • +P»F- ₌ [pj\

Pi +P2 H-----1-P»    iv]

Bei den bisherigen Betrachtungen wurde angenommen, die Beobachtungen seien ursprünglich von gleicher Genauigkeit und ihre in Gleichung (13 a) bis (13 c) einzuführenden Beträge l bzw. V nur deshalb verschiedenwertig, weil sie als Extrakt aus einer verschieden großen Zahl von Urbeobachtimgen gewonnen seien. Die Gewichte ergaben sich in diesem Falle gleich, oder proportional den Repetitionszahlen.

Entspringt die Verschieden Wertigkeit anderen Ursachen, z. B. der Verwendung verschieden genauer Instrumente oder Beobachtungsmethoden usw., so müssen die den einzelnen Beobachtungswerten l zukommenden Gewichte p erst erschlossen werden, etwa aus der ihnen innewohnenden Genauigkeit, d. h. ihrem irgendwie festgestellten mittleren Fehler m. Möge der mittlere Fehler m einer solchen Beobachtung l bekannt, derjenige einer — mit irgend einem Instrument, nach irgend einer Methode, oder vielleicht nur gedachten, überhaupt nicht ausgeführten — Normalbeobachtung = p festgesetzt sein, so kann man jeden der Beobachtungs werte l sich gewonnen denken als Mittel aus einer Anzahl p solcher Normalbeobachtungen, durch deren Zusammenfassung statt des Einheitsfehlers p, für das Zwischenresultat lx . . . der mittlere Fehler . . . erzielt wurde. Die hierfür nötige Zahl p von Normalbeobachtungen stellt vor: das

Gewicht einer solchen wirklichen Beobachtung und ergibt sich nach Gleichung (11) aus

fp

zu

(14a)

m²

Die nach dem Vorstehenden eventuell nur gedachte (nicht wirklich ausgeführte) Nor m a 1 b eobachtung heißt „Gewichtseinheit“, ihr mittlerer Fehler /m „mittlerer Fehler der Gewichtseinheit“. Damit geht die Gleichung (13 b) bzw. (13 c) über in

ix²

\pi]

Kl²

(13d)

m\

m'n

m m

Das Verschwinden von /a aus der Gleichung (13d) sagt: Das Resultat L einer Beobachtungsreihe wird durch veränderte Annahme der Gewichtseinheit nicht geändert.

Sind endlich die Beobachtungen l nicht bloß mit verschieden großen mittleren Fehlern m behaftet, sondern die in (13d) einzuführenden Werte l selbst wieder je aus einer veränderlichen Zahl n solcher Beobachtungen gemittelt, so wächst ihr Gewicht entsprechend Gleichung (13 a) proportional dieser Wiederholungszahl und es ist allgemein :

das Gewicht p des aus w-facher, je mit dem mittleren Fehler m behafteter Wiederholung erschlossenen Beobachtungswertes

n • ja²

m²

(14)

der wahrscheinlichste Wert, das „allgemeine arithmetische Mittel“ aus einer Reihe verschieden genauer Beobachtungen

n /J,² V

(13)

ipi]

m²

[P]

nixr '

Aus (14 a) ergibt sich für das Verhältnis der Gewichte zweier, aus gleich oftmaliger Wiederholung ungleich genauer Beobachtung entsprungener Beobachtungswerte lx und 4 , denen bzw. die mittleren Fehler m₁ und m₂ zukommen :

py:p₂ = m\\

Pi = ^ m{

,U2

ml

P2 = r\

(15)

mx : m₂ = ^p₂ : fpx ,

d. h. die mittleren Fehler verhalten sich umgekehrt, wie ihre Gewichtswurzeln.

Die Gleichung (13) läßt eine schöne Deutung aus dem Gebiete der Mechanik zu: Denkt man sich die Beobachtungswerte l als Ordinaten zu einer beliebigen Abszisse aufgetragen und die Endpunkte je mit dem Gewicht p der zugehörigen Beobachtung behaftet, so bezeichnet das endgültige Mittel L die Ordinate des Schwerpunktes des so gewonnenen Systems von Massenpunkten, weil die Summe der statischen Momente ist [p]L-[pl} = 0.

§ 9. Eigenschaften des allgemeinen arithmetischen Mittels.

Wir haben in Gleichung (13) für den endgültigen Wert L aus einer Reihe verschieden genauer Beobachtungen Z, denen die Gewichte p zukommen, ermittelt:

[p] •

L-m

Rückwärts können wir jetzt die Verbesserungen (Zuschläge) v berechnen, welche an den einzelnen Beobachtungswerten l anzubringen sind, um sie zum Mittelwert zu ergänzen:

tM Im

analog

Hieraus erhalten wir

P\ vi —Pi L—Pi h

Pn\=PnL~Pnln

(16) PlVl +M H-----\-PnVn = j>»] = L[jp] — \\jpl\

wegen Gleichung (13)

^0,

übereinstimmend mit Gleichung ( 1 ), wo/Jt =p₂ = ■•• =pn — 1 und [V] = 0 war. Gleichung (16) liefert eine wertvolle Rechenprobe für die richtige Bildung des Mittelwertes L . Sie zeigt aber auch eine schöne Analogie mit der Statik (Kräftepolygon).

Wir haben schon im vorigen Paragraphen aus der Gleichung [p] L — [p l] == 0 erkannt, daß der endgültige Mittelwert L die Ordinate des Schwerpunktes vorstellt, eines Systems von Massenpunkten (nämlich der Endpunkte der Ordinaten /), wenn man jeden von ihnen mit dem der betreffenden Beobachtung l zugehörigen Gewichte p behaftet. Die Abstände der einzelnen Massenpunkte von der durch den Schwerpunkt gezogenen Parallelen zur x-Achse sind dann L — l = v und es muß sein — als Eigenschaft des Schwerpunktes — das Trägheitsmoment in bezug auf diese Parallele = [pvv\ = Min.

(17)

Zur Probe bilden wir

v\ = L² — 2 L l, + l]

Lln+Pn,

also

Pi »i «i =PiL² — 2 pl Lll+pl ll

Pn % vn = Pn ^    Pn Lln+Pn ll

[pvv] = L² [p] — 2 L [p l]-\-[pll\ .

[pvv] = Min.,

Verlangen wir nun die Auswahl des endgültigen Wertes L so, daß

so erhalten wir

d [p v v]

dL

2 L [p] — 2 [p 1] = 0

L=m

[p\

in Übereinstimmung mit Gleichung (13) und mit Gleichung (4), wenn man beachtet, daß die Gewichte der einzelnen Beobachtungswerte dort =1 waren.

§ 10. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und des Trägheitsmomentes [pvv\.

Die Berechnung des Mittelwertes L mittels Gleichung (13) ist schwerfällig. Führen wir dagegen einen Näherungswert N möglichst nahe bei L ein und betrachten als neue Unbekannte den an ihm anzubringenden Zuschlag x, so daß L — N -f- x, zerlegen wir ferner die Beobachtungswerte l in zwei Summanden, so daß

k = N+vx

‘ so wird

Pih=plN+p₁v₁

P„ ln = P„N + P„

somit

und

[pl] = N[p] + [pv]

(18)

[Pi\

\v »’]

[P\

[P]

analog Gleichung (7), wenn man beachtet, daß jedes Gewicht p dort =1 war.

vl = l₁-N,

Den Wert des Trägheitsmomentes [pvv\ entwickeln wir wie folgt:

also

= — 21x N+ N²

und

Pi n n =Pi i\ — vvx kN+Pi n*

[pvv\ = {pll\ — îN[pl] + Ni[p] .

Um [pll] zu eliminieren und gleichzeitig [pvv\ in die Gleichung einzuführen, substituieren wir aus der S. 47 angeschriebenen Minimumsbedingung

[pvv] = L> [p]-2L[pl] + [pll\,

oder weil L =

[p]

wodurch

[pvv]-^[pi

[plf s [ptf

[pw] = [pvv]-{

[Plf

W-2N[pT\+N°[p]

[pl]

*).

also (in Übereinstimmung mit Gleichung (8), wo Pi =P2 = ••• = !) (19)

Der Subtrahend ist unter allen Umständen positiv, also [pvv] <[pvv]j solange L — N nicht gleich 0, in Übereinstimmung mit Gleichung (17).

§ 11. Erreichte Beobachtungsgenauigkeit. Gewicht und Genauigkeit des Endwertes.

Im § 8 haben wir festgestellt, daß das Gewicht p einer Beobachtung / nichts anderes ist, als diejenige Anzahl von (wirklich ausgeführten oder nur gedachten) Beobachtungswiederholungen je vom mittleren Fehler ja, welche nötig ist, um den mittleren Fehler m der l zu erreichen. Dasselbe trifft natürlich auch zu für das Gewicht P des endgültigen Wertes L : es ist gleich der Anzahl der zur Erzielung seines mittleren Fehlers M benötigten Beobachtungen je vom mittleren Fehler ja. Sind die zur

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Ermittlung des Endwertes L benützten Beobachtungswerte l ungleich genau und kommt dem Beobachtungswerte :

lx d. Gewicht px zu, so sind zu seiner Bildg. px Beob. v. Gew. 1 h n

P2 11    17

P2 11

verwendet worden. Die Zahl der zur Bildung des Endwertes L verwendeten — gleichgültig, ob tatsächlich ausgeführten oder (vgl. § 8) nur substituierten — Beobachtungen vom Gewicht 1 ist daher

Pi+P%-\----Pn 1 d-h-

der aus einer Anzahl von Beo bach tungs werten l± l₂ . .., denen bz w. die Gewichte px, p₂ . . . zukommen, gebildete Endwert L hat das Gewicht

¹

l n

geht. Demgemäß kommt jedem der Teile —, —

²

n n

aus denen sich (s. S. 30) der Mittelwert L gerade so zusammensetzt, als ob jeder von ihnen nur einmal beobachtet

VYh

worden wäre, der mittlere Fehler — zu, und der Summe der

n

Teile, d. h. dem Resultat L aus n gleich genauen Beobachtungen l je vom mittleren Fehler m nach Gleichung (10) der mittlere Fehler:

³

Die mehrfache Messung z. B. einer Streckenlänge wird erheblich größere unvermeidliche Abweichungen gegenüber dem Mittelwert ergeben, wenn sie mittels optischer Distanzmessung, oder Abschreitens, oder gar Schützens, als wenn sie normalerweise mit Meßgeräten erfolgte.

⁴

Läßt man von einer und derselben Stelle einer schiefen Ebene aus auf ihr nach Größe und Gewicht gleiche Kugeln,

⁵

Diese Schwierigkeiten können dazu zwingen, vorübergehend, d. h. bis zu ihrer Überwindung, entweder auf die differentielle Behandlung verschieden genauer Beobachtungen, oder auf die Mitbenützung weniger zuverlässiger Beobach-

(20)

pl = bl •

Diese Eigenschaft des Endwertes L entspricht der in §§ 8 und 9 gegebenen statischen Deutung: Die im Schwerpunkt angreifende Gegenresultante muß beim Vorhandensein nur parallel wirkender Einzelkräfte p gleich der Summe der letzteren sein, wenn Gleichgewicht bestehen soll.

Ist — etwa aus der Beobachtungsreihe heraus oder durch Schätzung — der mittlere Fehler /u einer Normalbeobachtung (Gewichtseinheit) bekannt, so sind wir jetzt imstande, sowohl den mittleren Fehler mr irgend eines Beobachtungswertes lr als auch den mittleren Fehler M des Endwertes L abzuleiten. Die Gleichung (15) liefert hierfür:

mm

m\

Bei der Ableitung der Gleichungen (20) bis (22) haben wir vorausgesetzt, es sei nicht bloß das Gewicht p jedes einzelnen Beobachtungswertes /, sondern auch der mittlere Fehler p der Gewichtseinheit von vornherein bekannt, (etwa bei Bildung der in die Rechnung einzuführenden Werte l als Teilmittel aus gleich genauen, wirklich ausgeführten Reihen von Normalbeobachtungen erschlossen). Sie benützend, ist es gelungen, vor der Ausgleichung der Beobachtungen und der Ausrechnung des Endwertes L die ihm innewohnende Genauigkeit, seinen mittleren Fehler Jf, zu ermitteln: auf die Kenntnis von p und p gründete sich die Ableitung von P, m und M.

[pi]

und nach Gleichung (16) die

an den Beobachtungswerten anzubringenden Zuschläge v berechnen :

[p\

/u? :m?r = pr: 1 , also m²r =

p²

Pr

(21)

/<²:M²=P: 1, also

Pi

p-2

*51

5$. H

u>

rH

(22)

In vielen praktischen Fällen der Vereinigung ungleichwertiger Beobachtungsresultate ist aber neben deren Werten l nur ihr Gewicht/? oder ihr mittlerer Fehler m bekannt. Auch in diesem Falle muß uns ein Einblick in die erreichte Beobachtungsgenauigkeit möglich sein, denn wir können nach Gleichung (13) den End wert der Beobachtungsgröße L =

4*

vx = L — lx vi = L — l₂ .

Je kleiner die nötigen Zuschläge („Verbesserung en'“) v sind, um jeden Beobachtungswert l zum wahrscheinlichen, dem Endwert L, zu ergänzen, um so genauer sind offenbar die Beobachtungen l ausgeführt, um so sicherer ist also auch der Endwert L bestimmt.

Die Genauigkeitsermittlung stützt sich in diesem Falle auf das Ergebnis L der Ausgleichung, ein etwa daraus er-rechneter mittlerer Fehler m der Beobachtungswerte l, und M des Endwertes L, muß im Gegensatz zum Vorhergehenden als mittlerer Fehler nach der Ausgleichung bezeichnet werden. Selbstverständlich müßten, strenggenommen, der mittlere Fehler vor uud der mittlere Fehler nach der Ausgleichung, da, wo beide sich überhaupt berechnen lassen, einander gleich sein. Entgegengesetzten Falles wäre zu ergründen, wodurch eine Verschiedenheit beider Werte für dieselbe Größe verursacht werden kann (s. S. 58).

Wären statt der n Beobachtungswerte l± . . . ln, denen je bzw. die Gewichte p₁ . . . jpn zukommen, die Werte l der — gleichgültig, ob tatsächlich ausgeführten oder nur gedachten — Urbeobachtungen je vom Gewicht 1 bekannt, von denen

Pi

px zur Ermittlung des Wertes lx

;/ + X" h-----1-1-

Pn

n ¹ n ¹    ¹ n

Pu

dienten, so hätte man den Fall gleich genauer Beobachtungen. Man erhielte nach Gleichung (5 a) und

(5 b) den mittleren Fehler einer solchen Urbeobachtung

(23)

[<p,° <pw]

[<pcp\

tP]

[P\~ 1 ’

wenn die Werte 90 die Verbesserungszuschläge darstellen, welche jeden eingeAvichtigen Beobachtungswert A zum Endwerte L ergänzen und Avelche sich aus den Fehlergleichungen ergeben:

<p'i=L — A[

'S

H- !

pn j ,Pn cp = L — /.

rn    n

Je größer die Zahl der eingewichtigen Urbeobach-tungen A und ihre Genauigkeit ist, um so näher kommt der Endwert L dem wahren Wert, um so näher kommen also die Verbesserungszuschläge 99 den wahren Verbesserungen cpw der Urbeobachtungen A, und Avir können nach Gleichung (5a) sehr genähert setzen: Mittlerer Fehler einer Urbeobachtung A, berechnet aus der :

1-ten Beobachtungsgruppe lx

'/<=±^ ft

[ft ft]

2-ten

h v = +]/•

n-ten

[ft, ni

Damit liefert Gleichung (11):

Mittlere Fehler m der Teilresultate l aus denen der eingewichtigen Beobachtungen X

4== +~ V to* n\ ■

Wir haben damit die Möglichkeit erlangt, die mittleren Fehler m der (verschieden-gewichtigen) Beobachtungen l aus den Verbesserungen cp der Urbeobachtungen zu errechnen. Zwar sind diese selbst nicht bekannt, wohl aber die an den Beobachtungswerten l (deren jeder als Resultat aus p Urbeobachtungen erscheint) anzubringenden Verbesserungen v.

Die zwischen v und cp bestehende Beziehung können wir aber aus Gleichungen (5b) und (11) ermitteln:

nach (5b) ist das Quadrat des mittleren Fehlers einer von n gleich genauen Beobachtungen

m²

[v v]

n — 1 n — 1

nach (11) ist das Quadrat des mittleren Fehlers des Resultates von n gleich genauen Beobachtungen

M² =

m²

[v r]

n • (n — 1)

i—i

d. h. das Quadrat des mittleren Fehlers vom Resultat und das Quadrat der an den Beobachtungen

09² = V²--₀ == V² • p .

anzubringenden Verbesserungen v wachsen im gleichen Verhältnis, oder

m² : /u² = v² : (p² ;

li²

Man könnte jetzt zur Bestimmung des mittleren Fehlers ja der Gewichtseinheit die aus v errechnete Verbesserung 99 einer Beobachtung vom Gewicht 1 in Gleichung (23) einsetzen. Allein diese Gleichung setzt das Vorhandensein von [p] solcher Verbesserungen cp voraus, während wir deren, entsprechend der Anzahl von Verbesserungen V, nur n besitzen. Wir müssen daher entweder [cp cp\ auf den Betrag erweitern, den diese Summe annimmt, wenn die Zahl der Verbesserungen cp von n auf [j?]

erhöht wird, d.h. [9999] — [pvv\ mit erweitern, wodurch wir erhalten

[y.»_ LH ₌ i/[wJ

n —f n ’

oder besser der Zahl n von Summanden entsprechend den Nenner reduzieren, wodurch der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird

(23a)

li

₌ ,i/IpH

~ X n — 1 *

Wir erhalten schließlich durch Einsetzung von ja in (21) und (22) als mittlere Fehler nach der Ausgleichung:

(23 b)

(23 c)

mittl. Fehl. d. Beob.-Wertes lr

mittl. Fehler d. | Endwertes L \

• mr =

^ = ±l/

M>r    '

■ M= ¹¹

[pvv\

(n — l)p,.’

[pvv]

56

Beispiel. Eine Strecke Z wurde je mit gleicher Genauigkeit gemessen:

L — 285,40 c) mit Meßkette / Z₈ = 285,30

L = 285,46

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

à-3

S*

5-    § w*

+1    +1 i g

§11.

I — 285,34 b) mit Meßband

a) mit Meßstangen

l₆ — 285,56

Z₇ = 285,51

die mittleren Fehler vor der Ausgleichung

Gleichung (11)

Gleichung (5 b)

L = 285,40

Z₃ = 285,30

11. = 285,44

+ 3,1 cm.

«I

CO

zu

Es liefert:

die Messungs- das Messungsergebnis

Gleichung (2)

gruppe

CO ^ N ÎO 100 !M rrt t> r-H - CO - CM * ö K’ H CO IH (M IH H £

(N *1 O rH

00

CO*

+1

M„= +

mk=±

fl

flî|

II

in ça

116

cm

3    ±6,2

+ 8,2 cm

T3 l~<

2- 11 o. S ³

+j ® °a

P3

/i

CO CM

rH g S?

285,87 mst = +

33

Stangenmessung Z

.SP®

11

05

285,49

II

°a

Bandmessung

Il 1*

I    |<§

s 1?g

? s

S g|

kO~ ^ j®

S ë|

II

^ 6ß N

g.Sa

.SPSs

Kettenmessung Z

,g

PI

>S

g |>

N g

CO

CO

<D

Gewichtseinheit eine einmalige Kettenmessung, welcher der mittlere Fehler

CM

4-128

116

CO

8‘ll += 821/1+

a.

anhaftet, so wird nach Gleichung (14)

als mittlerer Fehler des Endresultates

vor der Ausgleichung.

c—

lO

rao g‘g +

Cfl (N

O t-

OO

CM

8-128

HH j CO (M

r-H !

«?

Kl

woraus nach Gleichung (20) und (22)

6l06 = M = ⁷d

r-H

+1

*|Ç.

+1

Vereinigung der drei Ergebnisse: Für V=285,30 liefert Gleichung (18) und (19)    ^

v raob ^ aad

Beobachtungsgenauigkeit.

cm cm h io Abrundungsfehler gegen S SS ^ g 583 (s. links) =2

57

cm

cm

pvv

qcm

p \ pv

cm

cm

+ 44,9

+ 3,4

-48,9

— 8,6

-48,9

+ 4,8 + 49,7

Abrundungsdifferenz 0,8

+ 2,4

646,8

2057,7

128,0

2832,5

pvv = 2832₆ — 20,9 • 10,42 = 2832B —2250=583

OT

N od co"

Ci O H H

+216,7

CO

c-

lO M

+-10,4 cm

285,40t

Lst=285,37 Z^ = 285,49 ZAr = 285,88

216,7

20,9

[d d]

[p]

lpv]

[d]

somit

L = N+

als Endresultat aus den drei Messungsgruppen.

Ausgleichung direkter Beobachtungen. Hieraus liefert:

(23 a)

+ 17,2 cm '

,i/ 585 i“ ⁼ —[/ 2~

(23 b)

Mst=±y

585

2-13,2

+ 4,7 cm

•5,7

+ 7,2 cm

,-±1/

585

als mittlere Feh-> 1er nach der Ausgleichung.

2-2

+ 12,1 cm

=±1/

+ 3,7 cm *

(23 c) M

585

2 • 20,9

Die mittleren Fehler vor der Ausgleichung weichen von denjenigen nach der Ausgleichung erheblich ab (vgl. S. 56). Die Abweichung hat ihre Ursache teils in Ungenauigkeiten der mittleren Fehler m, welche durch solche Beobachtungsfehler erzeugt werden, die, ihrem Betrag nach zwar nicht erheblich genug, um zur Nachmessung zu veranlassen, nach ihrer Entstehung doch den groben Fehlern zugerechnet werden müßten und welche das Messungsergebnis und die Bestimmung des mittleren Fehlers um so stärker beeinflussen, je kleiner die Wiederholungszahl ist. Namentlich wird die Abweichung aber hervorgerufen durch regelmäßige Fehler, die, bei den verschiedenen Beobachtungsgruppen in verschiedenem Betrag auf tretend, innerhalb jeder einzelnen Gruppe gleich wirken, in ihr also überhaupt nicht bemerkbar werden.

Hierher gehören : Unrichtigkeiten in der Länge der Meßwerkzeuge (die bei derselben Messungsgruppe überhaupt nicht, wohl aber beim Vergleich der Resultate zweier Gruppen, z. B, einer Stangen- mit der Bandmessung, in die Erscheinung treten), oder in den zur Wägung benutzten Gewichten; Beleuchtungsphasen und Abweichungen von der Vertikalstellung der Signalstangen beim Anzielen; regelmäßige Teilungsfehler an Kreisteilungen usw.

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

Fortpflanzung von Beobachtungsfehlern auf Funktionen der Beobachtungsgrößen.

§ 12. Mittlerer Fehler M und Gewicht P einer expliziten Funktion F der beobachteten Größen welche mit den mittleren Fehlern m₁, m.₂ ... mn behaftet sind.

Die gesuchte Größe X sei als explizite Funktion der Beobachtungsgrößen L±, L₂... Ln ausgedrückt:

(24a)

£i,

-Dg ... Ln >

X 4= F{LX, I/₂ ... Ln).

Die Beobachtungsgrößen L seien mit den mittleren Fehlern +mi ?    7 • • • dz mn behaftet. Denken wir uns

jeden der Beobachtungswerte um seinen (zunächst als positiv vorausgesetzten) mittleren Fehler m vergrößert, so wird der Einfluß dieser Änderung der Bestimmungsgrößen L auf den Funktionswert X sein:

E = F(Ll+m₁, L₂ + m₂,...Ln+mn)—F(L₁, L₂...LJ.

Entwickeln wir den Minuenden mittels der Taylor-schen Reihe, und setzen die mittleren Beobachtungsfehler m als so klein voraus, daß wir berechtigt sind, Potenzen von ihnen, gegenüber den Beobachtungs werten selbst, zu vernachlässigen, so erhalten wir

Dieser Ausdruck geht über in

E =    mi h + m₂l₂ -}-----\- mn ln ,

wenn man den Differentialquotienten

dF

= lr

dLr

= mx

ÉF

dLx

f»»2

+ mn

ÔF

ÖL₂

ÔF

dLn

F(Lt, L±,... Ln)

dF

* A. '

dF

f m2

¹ ÖLt

dF

dL₂

(24 b)

setzt.

Nun werden wir berechtigt sein, die Gesamtwirkung der mittleren Fehler m der Beobachtungsgaben L auf die Funktion X als deren mittleren Fehler Mx zu bezeichnen, wenn es uns gelingt, bei Berechnung dieser Gesamtwirkung der Tatsache Rechnung zu tragen, daß diese mittleren Fehler im Vorzeichen unbestimmt sind, sich also im Zusammenwirken teilweise aufheben können. Der soeben berechnete Fehlereinfluß E setzt aber, im Gegensatz hierzu, alle mittleren Beobachtungsfehler m als gleich gerichtet voraus, ist also jedenfalls ^>MX. Immerhin wird er uns zum gesuchten mittleren Fehler Mx führen, wenn wir durch Quadrieren die Vorzeichen der m eliminieren. Kehren wir zu diesem Zwecke zur tatsächlich vorhandenen Unbestimmtheit der Vorzeichen von m zurück, so erhalten wir als Quadrat des Einflusses der Änderungen -j-m an den Beobachtungsgrößen L

E² — m\ l\ -f-m\ l\ -|-----1-m²n l²u + 2wq m₂ lx l₂ -f- 2wq lxl%

+ 2 m₂m₃ Z₂ Z₃ -f • • • -f 2 mn_ ₁mnln_ tln .

Die Zahl der Summanden von der Form ist = n • (n — 1), diejenige der quadratischen Summanden nur gleich n . Dem absoluten Wert nach ist aber die Summe je zweier quadratischer Summanden unter allen Umständen größer als das zugehörige doppelte Produkt (a²-f- 6²>2ß&, weila²-f-6² —2ab = \a — b\² = positiv). Überdies sind die quadratischen Summanden alle positiv, die anderen gleich wahrscheinlich + und von ähnlicher Größe, so daß sie gegen die ersteren um so mehr zurücktreten, je größer ihre Zahl ist. Die Unbestimmtheit des Vorzeichens von m hat also zur Folge, daß die letzteren Summanden sich in der Hauptsache gegenseitig aufheben und daß der ermittelte Wert für E² übergeht in das Quadrat des mittleren Fehlers:

(24c) = m\ l\ + l\ -f- • • • + Ç = \rnmll\ .

Das Gewicht Px der Unbekannten X erhalten wir durch Vergleichung der mittleren Fehler nach Gleichung (15). Ist nämlich p der (event. beliebig festgesetzte) mittlere Fehler der Gewichtseinheit (p — 1), so ist

fe!

Px:l

(24d) Px

rH

CT¹

's ! §

Cl .H

K*

MHIN

's I §

to I toto

toto

Durch Einführung der Gewichte p für die Beobachtungsgrößen L und unter Benutzung von (14) wird hieraus

4 = 1

Px Pi

(24 d)

^ I ^

»o j toto

in

Q-leichung (24c) liefert:

M*l = [mmll\ — m²    = (t² ma

^aL — CL-Ml

in Übereinstimmung mit der früher abgeleiteten Gleichung (9). Gleichung (24d) liefert:

ll

a²

Px

p\ P '

px z==Pa-L==z~2 i

wenn p das Gewicht der Beobachtungsgröße L vorstellt.

wenn

2. Beispiel. Wie groß ist der mittlere Fehler M und das Gewicht P der Größe X = Lx +L₂ -j- • • • -j-L Lx ... beobachtete Größen sind, denen die Gewichte pl ... und die mittleren Fehler m₁ ... zukommen.

Gleichung (24c) liefert:

= m\ -j- m\ -|-----1—

in Übereinstimmung mit Gleichung (10). Gleichung (24d) liefert:

-L= [—1 =

px [p\

*TS I-

+1+... + 1.

Pl Pt    Pn

Sind die Gewichte und die mittleren Fehler der Einzelgrößen L einander gleich (wie das z. B. beim Wägen einer Masse in n Teilen, beim Messen von Strecken für jede einzelne der n Stangenlagen, oder bei Bildung eines Winkels durch Zusammensetzung aus n Teilen usw. der Fall ist), so wird

Pi

Pi

PLi ±L₂± • • •

PL\ ± L₂ ± • • •

d. h. der mittlere Fehler einer Summe oder Differenz gleichwertiger Einzelgrößen wächst proportional der Wurzel aus ihrer Anzahl,

das Gewicht einer Summe oder Differenz gleichwertiger Einzelgrößen nimmt ab proportional ihrer Anzahl.

Es zeigt sich hier ein bemerkenswerter Unterschied, der

für die Genauigkeit einer Größe bezeichnend ist:

Wird eine Größe gewonnen als Mittel aus n Beobachtungen je vom Gewicht p = 1, so ist das Gewicht des Mittelwertes P = n,

wird eine Größe gewonnen durch Addition oder Subtraktion von n Einzelgrößen je vom Gewicht p = 1 , so ist ihr Gewicht P = —, n

wird eine Größe gewonnen durch Multiplikation einer beobachteten Größe vom Gewicht p = 1 mit einer Konstanten n,

so ist ihr Gewicht P= (Distanzmesser usw.).

Es bedürfte also im zweiten Falle n-fâcher, im dritten Falle n²- fâcher Beobachtungswiederholung der Teilgröße, um das Gewicht und die Genauigkeit einer einzigen einfachen direkten Beobachtung für die gesuchte Größe zu erzielen.

3. Beispiel. Wie groß ist der mittlere Fehler einer Dreiecksseite AB = c und ihr Gewicht, wenn gemessen wurde :

b — AC = 106,00 + 0,06 m <£/? = 29° 39' +1'

<7 = 120° 07'+ 2' ? Die Trigonometrie liefert die Beziehung b .

sin/?

woraus mittels Gleichung (24 c)

—ä S1IU i

m*=(w)*<+[¥ßim2ß+

cos/?) +

+ c² ctg²/? m²ß + c² ctg²y • m²

_ sin² y 2 sin²/? mb _ sin² y sin²)?

(piß und my in analytischem Maß ausgedrückt).

+(■

b sin y

sin²/?

cos y

M²

cm.

Ml = 3,06 • 36 + 90,25 • 1 + 9,78 • 4 = 110 + 90 + 39 = 239= [mmll] , Mc = ±i239 = 15,5

Also ist

c — 185,35 + 0,15s m.

loge = logh -f- log siny — log sin/? ,

Einfacher noch läßt sich der mittlere Fehler einer Funktion von der obigen Form mittels Logarithmieren finden. Wir haben

somit nach Gleichnng (10)

^log c Kg b    m\og sin y    ^log sin ß *

[ logé |

Man hat jetzt nur beim Aufschlagen von < log sin y > gleich-

l log sin ß J

zeitig zu notieren, welchen Einfluß auf die letzte (fünfte) Stelle

'6 cm

des log eine Änderung des numerus um < 2'

Statt die mittleren Beobachtungsfehler niß und my durch Division mit q' auf analytisches Maß zurückzuführen, können wir auch die zugehörigen partiellen Ableitungen mit q' dividieren und als Winkeleinheit die Minute, als Längeneinheit das cm wählen, wodurch wir erhalten:

c² ctg²/?

Ml =

sin² y sin²/?

• 6²-|

p'²

•1²-+

c² ctg² y

e'²

• 2²

90,25 = l\

1*9528

0-9764

siny 185,35 = c

2-02531

0*30566

9-93702

2*26799

CO

CO

’m "55

9*6943

9-9370

0-2427

0-4854

€ Qf

ctg y

0*2447

4-2680

6-4637

9-7635

9,78 = il

0-4952

0-9904

a us übt (s. unten).

b 2*02531 esmß 0-30566 sin 7 9*93702

mlog "»log

24₆    605

22    484

49

185,3.5 + 0,15 = c | 2-26799 + 34    1138 woraus mlogc = + 1/1138

=+34 .

Ein mittlerer Fehler des loge von + 34 Einheiten der fünften Stelle liefert (gleichzeitig mit dem Aufschlagen von c) den mittleren Fehler des numerus Mc= +15 cm.

Das Gewicht P der berechneten Seite c erhalten wir mittels Gleichung (24 d)

239

[m mil]

p₀ ^

Geben wir der Messung der Seite b das Gewicht 1, so wird fi — 6 cm und fP — 36 , somit

1    239

ft,“ ÖH

36

0,15 .

36

239

2. Kapitel.

Ausgleichung vermittelnder gleich genauer Beobachtungen.

Durch den Abschnitt I wurden wir in die Lage versetzt, den wahrscheinlichsten Wert einer direkt und mehrfach beobachteten Größe, seinen mittleren Fehler und sein Gewicht zu bestimmen. Dagegen hat er uns nicht gelehrt, in überschüssiger Zahl vorhandene Beobachtungen auszugleichen, welche zur Bestimmung einer oder mehrerer anderer, von ihnen abhängiger Größen dienen sollen.

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Auch das 1. Kapitel des gegenwärtigen Abschnittes zeigte uns nicht, wie die Werte L für solche vermittelnde Größen auszugleichen, wenn sie in überschüssiger Zahl vorhanden sind, sondern nur, wie sich der ihnen anhaftende Fehler m auf einen (nicht überbestimmten) Funktionswert fortpflanzt.

Jetzt wollen wir B,eobachtungswerte, welche zur Berechnung anderer, von ihnen abhängiger Größen dienen sollen und in überschüssiger Zahl vorhanden sind, so aus-gleichen, daß letztere sich übereinstimmend ergeben, gleichgültig, welche der ersteren auch zur Rechnung benützt werden mögen.

Ist die Zahl der gesuchten Unbekannten nicht größer als 2, so läßt sich die Ausgleichung der zu ihrer Berechnung dienenden Beobachtungswerte häufig auf graphischem Wege bewirken, womit der Vorzug erhöhter Anschaulichkeit und der alsbaldigen Erkenntnis etwaiger grober Beobachtungsfehler verbunden ist. Wir behandeln daher zuerst die:

§ 13. Graphische Ausgleichung zusammengehöriger, beobachteter Argument- und Funktionswerte bei zwischen ihnen bestehender bekannter oder unbekannter Beziehung. Beobachtungsfehler.

Um zu untersuchen, ob zwei Größen voneinander abhängig sind, und zutreffendenfalls, welche Beziehung zwischen ihnen besteht, kann man korrespondierende (zusammengehörige) Beobachtungswerte beider als Abszissen und Ordinaten in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem auftragen und die dadurch erhaltenen Punkte durch eine stetige Linie (Funktionskurve) verbinden. Verläuft die Linie gesetzlos oder parallel, bzw. senkrecht zur Abszisse, so besteht entweder keine Beziehung zwischen den korrespondierenden Beobachtungswerten, sie

sind voneinander unabhängig, oder die beobachteten Funktionswerte sind nicht bloß von den der Beobachtung unterworfenen, sondern überdies noch von anderen Argumenten abhängig.

Im letzteren Falle kann man die korrespondierenden Beobachtungen unter gewissen abgewarteten oder künstlich herbeigeführten, die Wirkung jener weiteren Argumente vorübergehend ausschaltenden Umständen wiederholen.

Läßt die „Funktionskurve“ nach den Sätzen der analytischen Geometrie ein gewisses Gesetz erkennen — gerade Linie zeigt lineare Beziehung, n- fache Oszillation algebraische Beziehung (n -f- l)-ten Grades an —, so kann man der Zeichnung die Lage- und Formbeziehungen (Abschnitt auf der y- Achse, Richtungskoeffizient, Parameter usw.) entnehmen: Die Verbindungslinie der mit den zusammengehörigen Beobachtungs-werten als Koordinaten aufgetragenen Punkte (Funktionslinie) vermittelt uns die Kenntnis der zwischen beiden bestehenden Beziehung.

Dabei wird das Wesen der Funktionskurve von der Wahl der Verjüngungsverhältnisse für die Abszissen und die Ordinaten und von der Lage der Koordinatenachsen nicht berührt. Ja, es kann sich sogar empfehlen (auch ohne daß die zusammengehörigen Beobachtungswerte Größen verschiedener Gattung sind, in welchem Falle für jeden von beiden je ein passendes Verjüngungsverhältnis gewählt werden muß), Ordinaten und Abszissen in verschiedener Verjüngung zu zeichnen, wenn sie sich erheblich voneinander unterscheiden, oder wenn man auf schärfere Darstellung von Veränderungen einer von ihnen besonderen Wert legt.

Wären die Beobachtungswerte fehlerfrei, so müßte die zu zeichnende Funktionskurve durch sämtliche auf

Grund solcher zusammengehöriger Werte gezeichnete Punkte gehen. Es zeigt sieh in der Durchführung jedoch, namentlich wenn ein genügend großer Maßstab gewählt wird, sofort, daß die derart zu zeichnende Linie Unregelmäßigkeiten aufweisen würde, die nicht in der Natur der Beziehung zwischen beiden Beobachtungsgrößen liegen können. Dies tritt besonders in solchen Fällen in die Erscheinung, in denen das Wesen der Beziehung auch noch auf deduktivem Wege erschlossen werden kann. Solche Unregelmäßigkeiten rühren von den den Beobachtungswerten anhaftenden Fehlern v her, und unsere Aufgabe besteht jetzt darin, eine der erschlossenen Beziehung entsprechende oder (falls diese nicht erschlossen werden kann) eine möglichst einfache Funktionslinie den gezeichneten Punkten so anzupassen, daß die in der Ordinatenrichtung gemessenen Abweichungen v der Linie von jenen Punkten den Bedingungen (1) [F] = 0 und (4) \yv\ = Min. entsprechen.

Als Nebenprodukt dieser Lösung ergibt sich dann auf bequemste Weise:

a)    diejenige Stelle, wo zur sicheren Ermittelung der bestehenden Beziehung, und Zeichnung der Funktionslinie die korrespondierenden Beobachtungen zu häufen sind, bzw. wo andererseits Häufung unnütz wäre,

b)    der Nachweis etwaiger grober Fehler,

c)    der dem einzelnen Beobachtungswerte anhaftende, durch Ausgleichung wegzuschaffende Fehler v,

d)    der irgend einem Argumentwerte zugehörige ausgeglichene Funktionswert.

Beispiel. Zum Zwecke der Wiederherstellung der wahrscheinlichen Lage einer Baulinie an einer bauplanmäßig 15,00 m breiten Straße wurde eine Anzahl sicherer Gebäudeecken auf eine vorläufige, zu ihr im Abstande von 3 m ungefähr parallel

verlaufende Abszisse aufgenommen. Gesucht ist die Lage der allen Gebäudeecken möglichst sich anpassenden, endgültigen Parallelen.

9s = 2/ß — «2

^4 = 2/4 — »4

nach Richtung und Größe auftragen. Die wahre gegenseitige Lage beider Geraden ist dann in der Figur direkt ersichtlich : Die Funktionslinie stellt die Solllinie vor. Da die berechneten und für die gesuchte Lage der Solllinie bestimmenden Ordinaten p von Punkten der letzteren sehr klein sind im Verhältnis zu den zugehörigen Abszissen, so wird man beide in verschiedenem Maßstabe (etwa die Abszissen im Maßstabe 1:1000, die Ordinaten p in 1:10) auftragen.

Würde nun die (durch Überlegung als Gerade erkannte) Funktionslinie durch alle derart gezeichneten Punkte gehen, so wären Lage der Gebäudeecken und eigene Messung fehler-

bi = 2/i — «i §2 ~ 2/2 a2

Lösung. Die abgesteckte Abszisse sowohl, als die gesuchte endgültige Parallele zur wahrscheinlichen Baulinie sind gerade Linien. Wäre es daher möglich, die Entfernungen irgendwelcher, einander gegenüberliegender Punkte beider Geraden zu finden, so könnte man sie als Ordinaten zur abgesteckten Linie als Abszissenachse und zu den zugehörigen Abszissenmaßen auftragen. Die Verbindungslinie der dadurch erhaltenen Punkte müßte dann eine Gerade sein und die Abszissenachse in demselben Punkte schneiden, in dem in Wirklichkeit die gesuchte Parallele die abgesteckte Aufnahmelinie schneidet. Daran würde nichts geändert, auch wenn die genannten Entfernungen (die nur klein sein können) etwa in größerem Maßstabe als die Abszissen aufgetragen würden. Diese Entfernungen zwischen beiden, nur um weniges divergenten Geraden lassen sich nun wie folgt berechnen: Setzen wir voraus, daß die aufgenommenen Gebäudeecken genau auf den Baulinien liegen, also genau den Abstand — 3 m bzw. a₂ = 12 m von der gesuchten Parallelen haben. Setzen wir ferner voraus, daß ihre von uns aufgenommenen Ordinaten y fehlerfrei gemessen sind, so erhalten wir von der abgesteckten Abszisse aus je einen Punkt der gesuchten Parallelen, wenn wir (unter .Beachtung, daß wegen der geringen Divergenz von abgesteckter und Solllinie die bezüglichen Ordinaten ihrer Lage nach zusammenfallen) im betreffenden Fußpunkt die Ordinate

frei und eine Ausgleichung unnötig. Anderenfalls muß jetzt diejenige Gerade gesucht werden, für welche die algebraische Summe der in der Ordinatenrichtung gemessenen Abstände v von den Fehlerbildpunkten = 0 ([«?] = 0) und, da die Zahl solcher Geraden oo ist, gleichzeitig [vv] = Min. wird.

Alle die Geraden, für welche [v] = 0, gehen durch einen Punkt, den Schwerpunkt S des Systems gezeichneter Punkte, dessen Koordinaten

y<? — —-    sind.

^ n

Zahlenbeispiel.

Punkt

Gemessen

Abszisse

Ordinate

Sollordinate

Nr.

t) = y — a

cm

53,95

57,02

72,54

94,86

140,22

161,05

212,84

221,95

245,36

—    3,06 + H,94 + 11,98

—    2,94 +12,08

—    2,95

—    3,00 + 12,07

—    2,90

-    3,00 + 12,00 + 12,00

+ 10

¹

Beispiel. Wie groß ist der mittlere Fehler rn und das Gewicht P von X= a L, wenn a ein fehlerfreier Faktor und L eine mit dem mittleren Fehler m beobachtete Größe ist?

1259,79 x* =    9 -

= 139,98 m

+22

= +2,44 cm

Um die Lage der Geraden zu finden, für welche [vv] — Min., kann man jetzt für 3 oder mehr verschiedene, durch den Schwerpunkt 8 gehende Versuchsgeraden die Abstände v von den Fehlerbildpunkten (in der Ordinatenrichtung) abgreifen (wobei [t?] = 0 sein wird) und je [vv] berechnen. Trägt man dann diese Werte [«+ als Ordinaten in den Schnittpunkten

I, II usw. dieser Yersuchsgeraden mit irgend einer der ursprünglichen Ordinaten als Fußpunkten auf und zeichnet durch die erhaltenen Punkte eine zu dieser neuen Ordinatenrichtung (# zur alten x- Achse) symmetrische Kurve, so stellt die Ordi-

AbgeJie/m& ) r Soll-

fint/:

yz—r

TH;

-fs r /

*OCs

TLchtin er Punkt der jti ■ abgeäeckt&v Geraderpj j

//

I!

*3

là

-y+

fr

Fig. 4.

nate des unteren Kulminationspunktes den niedersten Wert für [v v\, deren Fußpunkt einen zweiten Punkt der Sollgeraden vor. Nach Ein Zeichnung der letzteren wird man für das gegenwärtige Beispiel aus der Figur ablesen: Die gesuchte

Gerade schneidet die abgesteckte bei der Abszisse 98 m und ist gegenüber der letzteren um 6 cm auf 100 m Länge im positiven Sinn verdreht.

Das gezeigte Verfahren zur rein graphischen Auffindung der Funktionslinie ist schwerfällig. Bequemer ist es, zu diesem Zweck das graphische Verfahren durch Rechnung zu unterstützen.

Zieht man durch S eine beliebige Gerade S — I und greift in der Ordinatenrichtung deren Entfernungen V von den gezeichneten Punkten ab, so wird für sie zwar [ V] = 0, aber nicht [ V V] — Min. sein. Es ist vielmehr zu diesem Zwecke noch eine gewisse Verdrehung um den unbekannten Winkel £ und um den Schwerpunkt S nötig. Diese Verdrehung ändert sämtliche Entfernungen V um den Betrag £ • £, wenn £ die Entfernungen der Fußpunkte vom Schwerpunkt 8 darstellen. Es wird daher an Stelle von V der Abstand v der endgültigen Funktionslinie vom Fehlerbildpunkte treten, wo bei Einführung von Vorzeichen für die verschiedenen Richtungen von £, v, V und £ allgemein gültig

v = V—1£

und wobei wir verlangen:

[v v] = Min.

Es muß demnach sein

[(V-im = Vl-2Vllçli; + ?l? + ~- + VÏ-îVnlnt;

+ Ä f* = Min.

für

Die einzige Veränderliche ist jetzt £, und man hat FW = l(V-l f)²]=Min.

dF

2^ï„ + 2ï’f,

__0 = -27lïl + 2ïî?

woraus

[v%\

[o] :

£_2 TPi Ei ~f~ % ^2 h H-----h 2 Vn in

2£Î + 2£* + ... + 2£*

Für die praktische Durchführung wird man natürlich nicht eine beliebige Gerade verwenden, von der aus der Verdrehungswinkel £ berechnet wird, sondern eine Parallele zur

Aufnahmelinie durch den Schwerpunkt 8. Damit wird allgemein gültig:

[*]

£ = X — Xs—X —

Man hat also nur die Durchschnittswerte der Abszissen und der Ordinaten je von den letzteren abzuziehen, ein Verfahren, das wir noch des öfteren, z. B. bei der trigonometrischen Punktbestimmung durch Rückwärtseinschnitt anwenden werden. Die obige Tabelle liefert jetzt

Punkt

ï = x — xs

Nr.

cm

i-v

(Rechenschieber) j £ £

86,03

82,96

67,44

45,12

-H

cd cd -d

725

7 401

700

299

O    QO    tO

Üi    M    W    H    O

CO    GO    b    To

OO    -sl    Ol    -1    ^

CO CO CO lO lO lO

cd io

CO CO lO lO

54

374

797

6 882 | 4 548 161 2 086

444

178    5 309

6 719

11 105

281,52 281,55 23,80 23,76    2950    339 | 44 444

+ 2611

Abrundung- 3 .

26,11

oder

26,11 für v in Mtrn.

analytisch

44 444

f 0,000 587 ,

also : nötige Verdrehung £ in positivem Sinn um 5,9 cm auf 100 m. Schnittpunkt der Solllinie mit der Abszisse

vom Schwerpunkt 8 rückwärts um d. h. bei Abszisse 139,98 — 41,5 = 98,5 m.

41,5 m,

100 • 2,44

5,87

§ 14. Rechnerische Ausgleichung in überschüssiger Zahl vorhandener Beobachtungswerte L bei bekannter Beziehung zwischen ihnen und den von ihnen abhängigen, gesuchten Größen X, Y ... bis zur Aufstellung der Normalgleichungen.

Die zwischen den Beobachtungsgaben L und den von ihnen abhängigen Unbekannten X, Y . . . bestehenden Beziehungen mögen von der Form sein:

(25)

F(X, Y, Z ...)-L= 0,

so daß sie jede Beobachtungsgröße L als explizite Funktion der Unbekannten X, Y . . . ergeben. Diese Gleichungen werden von den Beobachtungswerten L nur dann scharf erfüllt sein können, wenn letztere entweder fehlerfrei sind, oder wenn keine Überbestimmung vorhanden ist. Beides ist für unsere gegenwärtige Betrachtung ausgeschlossen. Wir müssen vielmehr, um die Beziehungen scharf zu erfüllen, unseren Beobachtungswerten kleine, zunächst noch unbekannte Verbesserungszuschläge beifügen, die wir wie bisher mit v bezeichnen wollen. Dann stellt L + v den wahrscheinlichsten Beobachtungswert und v den Beobachtungsfehler vor, und die Gleichung (25) geht über in die Form

(25 a)

Wir suchen nun zunächst diese Beziehungen in lineare Form überzuführen, eine Aufgabe, die allgemein nur möglich ist, wenn es uns gelingt, die Unbekannten X, V, Z . . . durch andere x, y, % zu ersetzen, die so klein sind, daß wir höhere Potenzen von ihnen vernachlässigen dürfen. Zu diesem Zweck schlagen wir folgenden Weg ein: Wir zerlegen jede der Unbekannten analog Gleichung (7) und (18) in 2 Summanden, nämlich einen möglichst genauen, irgendwie zu gewinnenden Näherungswert Nx • • • und einen kleinen, nach Richtung und Größe unbekannten Zuschlag x . . unsere Gleichung (25 a) übergeht in

wodurch

(25b) ^{(iVx + x), (Ny + y), (Nz +    — L =

Sodann entwickeln wir nach Taylor in eine Reihe und erhalten unter vorstehender Voraussetzung:

(25 c).

F (Nx, Ny, Nz .., ) -f- x

6F

dF

dNx

+ y dNy

CF

BNX

Fassen wir die bekannten Summanden zusammen (wozu jetzt auch F(Nx, Ny, Nz . . .) gehört) und führen zur Vereinfachung der Schreibweise folgende Bezeichnungen ein:

dF

dF

dF

dNz

(25 d)

so geht die gegebene Beziehung (25) in die Form der „Fehlergleichung“ über:

(25 e)

Solcher Fehlergleichungen haben wir ebenso viele, als Beobachtungen A vorhanden sind, nämlich X. Überbestimmung ist vorhanden und Ausgleichung der Werte l kann also erst eintreten, wenn die Zahl X der Beobachtungen größer ist, als die Zahl x der Unbekannten. Für X = k werden die Verbesserungen v der Beobachtungswerte = 0 : für die Unbekannten x,.'.. ist in diesem Falle keine Überbestimmung vorhanden.

Aus den 1 Fehlergleichungen für die x Unbekannten «i * + \ y + e, z H-----Hi = », |

«2 » + t>2 y + C2 2 H-----j- = »2 j?

'S

ax x + h y + °i² H-----I- h = »i » 7

-<—» Unbekannte-^ wo 2 > ^, ergeben sich die Werte der unbekannten Zuschläge æ, y . . ., die wir künftig kurz als Unbekannte bezeichnen wollen, eindeutig, wenn wir noch die in Gleichung (4) ausgedrückte Bedingung zu Hilfe nehmen, daß die Summe der Quadrate der an den Beobachtungswerten L anzubringenden Verbesserungen v ein Minimum sei:

[v v] = Min.

Man erhält nämlich:

v\ — o\ x² -{- 2 a, ä, x y -\- 2 cx x z -f- • • • -f- 2 ax x -f- b\ y¹

-\-2biC₁yz-\-----4-26j ky + clz²-]— • -f-2cl z-f- • • • -f-1\

v\ — a\ x² -f- 2 a₂ b₂ x y -f- 2 a₂ c₂ x z + • —|- 2 a₂l₂ x -f- b\ y2 -\-2b₂c₂yz-1-----\~2b₂hy + c\z²-|-----\- 2c₂l₂ z-\-----\-l\ ,

woraus durch Addition

[v²] = [a a] x² -|- 2 [a 6] x y -|- 2 [a c] x z -|-----f 2 [a 1] x -f- [6²] y²

4~ 2 [b c] y z -j- • • • -j- 2 [61\ y + [c²] z²-1- • —b 2 [c l] z -f- [7²] .

2 [a a] x -|t 2 [a b] y + 2 [a c] z -)— • -j- 2 [a l] — 0

Wir haben jetzt diejenigen Werte für er,... zu suchen, für welche [vv] = Min. Hierfür haben wir: d[vv\

dx

ô [v v\

dy

2[ab]x + 2[bb]y + 2[bc\z-{-----2 [b Z] = 0

<9.[w v]

dz

2 [a c] x + 2 [b c] y -j- 2 [c c].z -|-----(- 2 [c Z] = 0 .

Eine kurze Betrachtung zeigt, daß wir auf dieselbe Weise ganz allgemein ebenso viele Gleichungen für x, y, x . . . in der vorstehenden Form erhalten, als Unbekannte vorhanden sind, und damit ein Mittel für die eindeutige Bestimmung der letzteren. Durch Kürzung mit 2 erhält man aus ihnen die ,,Normalgleichungen“ [a a\ x +    \a b]    y +    \a e] z    -f *    • •    +    [ß l\    = 0

(26)

[a b) x +    [b 5]    y +    [6 c\ %    -f- •    • •    +    [b Ź]    = 0

[a c] x +    [b c]    y    [c c] z    + •    • •    -f-    \c l]    = 0 mit deren Aufstellung die Ausgleichungsaufgabe prinzipiell gelöst ist.

§ 15. Auflösung der Normalgleichungen.

a) Ist nur eine einzige Unbekannte X vorhanden, welche mit den A Beobachtungswerten L in der Beziehung steht

F(X) - L = 0 ,

so erhält man nach § 14 durch Einführung eines Näherungswertes Nff für X (so daß X = Nx -f- x) die / Fehlergleichungen von der Form

dF

— X + (FNx-L) = v,

oder mit Benützung der unter (25 d) eingeführten Zeichen a₁xJrl₁=v1 a₂ x -\-l₂ = v₂

woraus

Aus

v\ = a\ x² + 2 ax lx x -f-1\ v\ = a\ x² -j- 2 w₂ h xJrl2

[v v] = [a a] x² 2 [a l\ x + [l l\ = Min.

erhält man die Normalgleichung d[vv]

^    = 2 [a a\ x -f- 2 [a fl =0

und aus ihr den gesuchten Zuschlag

woraus X = Nx + x .

(27) x =

[al]

[aa] ’

Die Gleichung (27) steht im Einklang mit Gleichung (7 )

L == jV + — , wonach der gesuchte Zuschlag zum

fl    r i

\v\

>>

Näherungswert N war x = -— . Denn die Koeffizien-

ten a der Unbekannten in (27) waren dort alle = 1. Nur ist zu beachten, daß der zur Berechnung dieses gesuchten Zuschlages xdienende reduzierte Beobachtungswert dort hieß v = Beobachtung — Näherung = l — N, während er jetzt heißt l = F(NX . . .) — L , d. h. Näherung — Beobachtung. Das Absolutglied l ist also jetzt mit entgegengesetztem Vorzeichen eingeführt.

Auch die Gleichung (1) \y\ = 0 findet mit

ax = a₂ = • • • = 1

ihre Bestätigung:

Multiplizieren wir nämlich jede Fehlergleichung des gegenwärtigen Paragraphen mit ihrem Koeffizienten a, so erhalten wir

a\ x + ax lx = cij vx a\x-\-a₂l₂ = a₂ v₂

und durch vertikale Addition die linke Seite der Normalgleichung

b) Beim Vorhandensein von zwei Unbekannten X und Y laute die Form der Beziehung zwischen ihnen und der Beobachtung L

F (X, Y) — L = 0 ,

woraus durch Einführung der Näherungswerte Nx und Ny (so daß X = Nx + x, Y = Ny + y) und der Bezeichnungen

ÔF

6F

l = F(NX, Ny) — L

a - 6NX ’    ⁶ “ dNy '

die Fehlergleichungen entstehen:

V + k = vi a₂x + b₂y + l₂ = v₂

Aus ihnen ergeben sich durch partielle Differentiation des Ausdruckes für [vv\ die zwei Normalgleichungen zur Bestimmung der unbekannten Zuschläge x und y :

[a a] x -[- [a b] y -f- [a Z] == 0 [a b]x+[b b]y+[bl\ = 0.

Zum Zwecke der Reduktion der Zahl der Unbekannten um eine und Ausrechnung der anderen könnte man irgend eine der bekannten algebraischen Methoden anwenden, ln Rücksicht auf möglichst bequeme, schematische Durchführung der Rechnung und unter Berücksichtigung der symmetrischen Anordnung der Koeffizienten von x und y (in der einen Diagonalen, von links 'oben nach rechts unten, stehen nur Quadratsummen, in der anderen identische Produktensummen) hat jedoch der Schöpfer der Methode der kleinsten Quadrate, Gauß, im Jahre 1810 einen vom üblichen etwas abweichenden Rechnungsweg gewiesen, dem wir folgen wollen. Hiernach wird grundsätzlich zuerst die links stehende Unbekannte eliminiert

2 Koeffiz. der I. Reihe

und zu diesem Zwecke die mit —

1 Koeffiz. der I. Reihe multiplizierte erste Gleichung zur unveränderten zweiten Gleichung addiert. Dabei ergibt sich als erste und einzige Reduktionsstufe

([bb]

[ab]

[ab]

[a a]

M) =0 ,

[bl]

woraus

[a a]

[al]

[bb]

[ab]

[a a]

[ab]

Für die schwerfälligen Differenzausdrücke im Zähler und im Nenner hat Gauß Symbole eingeführt, welche durch die Ziffer 1 ausdrücken, daß es sich um Erzeugnisse der ersten Reduktionsstufe handelt. Jeder Ausdruck der ersten Reduktionsstufe hat (vgl. obige Reduktionsregel) als Nenner des Subtrahenden das Summenglied [aa] ? also braucht das Symbol diesen Nenner nicht besonders anzugeben. Der Zähler des Subtrahenden ist ein Produkt zweier Faktoren, deren jeder wieder die Summe von Produkten je zweier Faktoren ist, von denen je einer a heißt, während der andere je einer der Faktoren des Minuenden ist. Es genügt daher zur eindeutigen Bezeichnung

[ab]

des Zählers [è Z]

[a Z] das Symbol [b l • 1]

„ Nenners [Z>6] —

allgemein d. | .Ausdruckes J

M-

[a

[a a]

[as] „

„ [bs. 1]

usw.,

§ 15. Auflösung der Normalgleichungen, womit die obige Gleichung übergeht in

(30)

[&M]

[bb-l] '

Um den Wert der links stehenden Unbekannten x zu berechnen, könnte man jetzt entweder den berechneten Wert der anderen in eine der Normalgleichungen ein-setzen, oder statt der links stehenden jetzt die rechts stehende Unbekannte eliminieren. Damit würde aber der Schematismus in der Berechnung gestört, auf den man Wert zu legen hat, wenn es sich um häufig auf tretende Rechenarbeiten handelt, deren mechanische Ausführung man untergeordneten Hilfskräften übertragen will. Der erstgenannte Weg der Einsetzung verhindert überdies die Berechnung des Gewichtes und mittleren Fehlers der zuletzt bestimmten Unbekannten, wie wir später sehen werden. Man zieht es daher vor, die Normalgleichungen so umzustellen, daß die Diagonale der Quadratsummen dieselbe Richtung hat wie zuerst, aber die bisher links stehende Unbekannte x nun rechts erscheint:

[b b\y + [a b]x+[b l]^ 0

[ab]y -\-[aa]x -\-[al] = 0 .

Jetzt ergibt sich der Wert von x genau auf demselben Wege, wie vorher derjenige von y.

2.

Auch im Falle der Berechnung zweier Unbekannten erhält man ein Analogon zu Gleichung ( 1 ) : Multipliziert man die

1. Fehlergl. mit ax, so erhält man a\x-\-alb₁y-\-a₁l₁=aiV1 „    „ alx+a₂b₂y-\-a₂l₂ = a₂v₂ .

Vertikale Addition ergibt die erste Normalgleichung: \a a\ x + [ab]y [a l] = \a v\ = 0 .

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Durch Multiplikation der Fehlergleichungen mit \, b₂ . . . und vertikale Addition erhält man ebenso [bv] — 0 in Übereinstimmung mit Gleichungen (1) und (28), die nur spezielle Fälle des gegenwärtigen darstellen.

c) Auflösung der Normalgleichungen für drei und mehr Unbekannte.

Die Normalgleichungen für drei Unbekannte x , y , % sind in § 14 aufgestellt worden und lauten

' [a a\ x [ab\ y -\- [a c] z -\- \al\ — 0 [ab]x + [6 b\y+[bc]z+[bl\ = 0

[a c] x + [6 c] y + [c cj z + [c Z] = 0 .

(xerade wie bei der Bestimmung zweier Unbekannten zeigt sich auch hier in der Anordnung der Koeffizienten eine bemerkenswerte Symmetrie. Die Diagonale durch die Koeffizienten von links oben nach rechts unten trifft die Quadratsummen. Zu beiden Seiten von ihr symmetrisch angeordnet sind identische Produkten summen. Die Entwicklung in § 14 läßt erkennen, daß dieselbe Symmetrie auch für 4,5 ... x Unbekannte zutrifft. Wir verwenden daher in allen Fällen das dieser Eigentümlichkeit Rechnung tragende Gaußsche Reduktionsverfahren, mit Hilfe dessen wir grundsätzlich

in der 1. Reduktionsstufe die 1. Unbekannte links eliminieren,

2.

u    ii    n    ii

3.

n ß*    ii    ii    ii

bis schließlich in der (x — l)-ten Reduktionsstufe von den x Unbekannten nur noch eine übrig ist.

und daraus die letzte, dritte Unbekannte:

[6c-l]

Die Eliminierung der linksstehenden Unbekannten erfolgt allgemein in jeder Reduktionsstufe, indem wir zur 2. Koeff. der I. Reihe

2.Normalgl. die mit

3,

l.KoefF. der I.Reihe 3. Koeff. der I. Reihe

multipl. 1. Gl. addieren,

”    ” 1. Koeff. der I. Reihe

4. Koeff. der I. Reihe ”    ” 1. Koeff. der I. Reihe

1. »

wodurch jede folgende Reduktionsstufe gegenüber der vorhergehenden eine Unbekannte und eine Gleichung verliert. Auf obige drei Gleichungen angewandt, ergibt dieses "Verfahren unter Benutzung der Symbole (29) als erste Reduktionsstufe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und derselben bemerkenswerten Symmetrie der Koeffizienten wie bisher:

I. Reduktionsstufe

[b b • 1] y + [b c • 1] z + [b M] = 0

[6c.l]y + '[ccl]i+[cM] = 0

Wenden wir das Gaußsche Reduktionsverfahren jetzt auf die erste Reduktionsstufe an, und addieren die mit

[bb-1]

so erhalten wir aus den obigen Gleichungen mit den Unbekannten y und % die zweite Reduktionsstufe:

V>c-1]

multiplizierte erste Gleichung zur zweiten,

[cM]

[bb-l]

[6 M] + z j[cc • 1]

[bb-1]

[bc-

1]}=0

[b M]

[cc-1]

[6c -1] [6 6-1]

[6c-1]

ein Ausdruck, so schwerfällig, wie der auf S. 80 für y erhaltene.

Für die zweite und (im Falle von mehr als drei Unbekannten) jede folgende Reduktionsstufe müssen wir daher zur Schreib Vereinfachung die in (29) eingeführte Symbolik fortsetzen. An Stelle des Nenners [aa\ der ersten tritt für die zweite Reduktionsstufe der Nenner [bb • 1], und es bedeutet in ihr ganz analog wie in (29) [bei]

[Ol- 1]-

(29)

[df.l]-

[M-l]

[b d ■ lj

[b l. 1] = [c l • 2]

usw..

[bb-1]

[bf.l] = [df.2]

für die dritte Reduktionsstufe kommt der Nenner [c c • 2], und es bedeutet beispielsweise [ce • 2]

Vf- 2]-

(29)

[fl • 2]

LO IO

[cf. 2] = [e f • 3]

> USW.,

[cl • 2] = [fl . 3]

[cc • 2]

für die vierte Reduktionsstufe kommt der Nenner [d d • 3], und es bedeutet

(29) [fl • 3] -

[df.s]

[dl • 3] = [fl • 4] usw.,

[dd • 3]

für die fünfte Reduktionsstufe kommt der Nenner [e e • 4], und es bedeutet u. a.

(29) [fl ■ 4] -

[ee • 4]

[e l ■ 4] = [fl • 5]

usw. Damit geht der oben gefundene Ausdruck für % über in:

[cl - 2]

[cc • 2] ’

Auch bei drei und mehr Unbekannten erhält man durch Multiplikation der Fehlergleichungen 1, 2 ... 1 der Reihe nach mit ax, a₂ ...    , bzw. bt, b₂ ... b^,

bzw. Cj, c₂ . . . Ci, Addition der vertikalen Reihen und Yergleichung mit den Normalgleichungen:

(33)

Auf gleiche Weise bestimmen wir jetzt die bisher vorletzte Unbekannte y, nachdem wir die Normalgleichungen so umstellten, daß sie als letzte erscheint und die Quadratsummenkoeffizienten in derselben Diagonale von links oben nach rechts unten stehen wie folgt: [c c] z \a c\ x [b c] y + [c Z] = 0

[a c] z -j- [a a] x -f- [a 5] y -j- [a l] == 0 [5 c] z -f- [a 6] x -f [b b] y + [b l] = 0 .

Ist y bestimmt, so sorgen wir endlich durch abermalige Umstellung nach der vorgeführten Regel, daß die jetzt zu bestimmende Unbekannte x hinten steht. Die Anordnung der Gleichungen wird dann die folgende:

[b b] y + [b c] z + [a b\ x + [b l\ = 0

[b c] y -p [c c\ z + [a c] x -f- [c J] = 0

[a b] y + [a c] z -f- [a a] x -f- [a l\ = 0 .

Die Arbeit der Reduktion und Auflösung der Gleichungen kann auf diese Weise völlig schematisch erfolgen.

Wir haben damit einen Weg der Auflösung gefunden, der sich in ganz gleicher Weise für beliebig viele Un-

bekannte an wenden läßt. Die Zahl der nötigen Reduktion s-stufen ist dabei immer um eins kleiner als die Zahl der Unbekannten.

Das Ergebnis der Auflösung war für: eine Unbekannte zwei Unbekannte

[al]

<3- »

i]

[a v\ = 0

(27) u. (28)

i,} <3o)

M =

M =

[av\ = 0 [bv] = 0 [cv] = 0 .

Die Fortsetzung des Verfahrens ergibt (was sich durch Analogieschluß voraussehen läßt) als Wert der letzten von :

\a ¹ = 0

Lèè-i]

[c l • 2]

drei Unbekannte ' \cc • 2] ’

vier Unbekannten

[dl • 31

[d d . 3] ¹

u. (31)

(32) u. (33)

(34) u. (35)

= 0,

fünf Unbekannten

[el- 4]

[e e • 4]

(34) u. (35)

[e v\ = 0

usw.

§16. Bestimmung der mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L aus den ihnen zuzuschlagenden Verbesserungen v.

Die ursprünglichen Beziehungen zwischen den Unbekannten X ... und den Beobachtungswerten Lx ... Ln hießen

Ą(x, r...)-4-o.

Da die Beobachtungswerte L unmöglich fehlerfrei sein können, sahen wir uns genötigt, ihnen — zunächst noch unbekannte — Verbesserungsbeträge -\-v zuzuschlagen, so daß wir uns mit den Gleichungen genügen lassen mußten:

(25 a)

^(X, r...

womit die wahrscheinlichsten Werte der Beobachtungsgrößen lauteten

Wir haben sodann zum Zweck der Einführung linearer Form der Beziehungen die Unbekannten

Nx + x

ersetzt durch < XY -(- y

wobei Nx, NY ... Näherungswerte der Unbekannten und x, y ... die jetzt als neue Unbekannte aufzufassenden kleinen Zuschläge zu diesen Näherungswerten darstellten. Die Fehlergleichungen gingen damit über in die Form:

(25 e)

| a, x + bi y H-----f h = »! ,

so daß an Stelle des negativen Wertes der Beobachtung L der Überschuß l desjenigen Wertes über ihn trat, den man durch Einsetzen der Näherungswerte Nx, NY ... in die Beziehungen X(X, Y) errechnete.

Der an der Beobachtungsgröße L anzubringende Verbesserungszuschlag -\-v erlitt durch diese Additionalkonstante F(NX, Ny . . . ) natürlich ebensowenig eine Änderung, als die der Beobachtung oder der gesuchten Größe X . . . (s. § 18) innewohnende Genauigkeit.

Die den Beobachtungswerten L zuzuschlagenden Verbesserungen v lassen sich nun nach erfolgter Ausrechnung der neuen Unbekannten x, y ... oder der Unbekannten X, Y . . . aus Gleichung (25 e) bzw. (25a)

dieser Verbesserungszuschläge einen

berechnen. Je kleiner diese nötigen Verbesserungen sind, um so genauer ist die Beobachtung ausgeführt. Als Kriterium für die erreichte Beobachtungsgenauigkeit kann demnach die Größe dieser Verbesserungszuschläge v dienen. Dabei hat uns aber schon die bisherige Untersuchung gezeigt, daß nicht etwa der durchschnittliche [absol. v]

Wert d =

zutreffenden Genauigkeitsmaß stab liefert, sondern daß wir, um größere Beobachtungsfehler stärker in die Wagschale zu werfen und gleichzeitig den störenden Vorzeichenunterschied wegzubringen, die Quadrate dieser Verbesserungen betrachten müssen. Wir verfahren dabei in Übereinstimmung mit der Bedingung [vv\ = Min., welche uns die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten lieferte. Denn es liegt nichts näher, als den Wert derjenigen Funktion der Beobachtungsfehler, welche wir durch entsprechende Auswahl der Unbekannten zum Min. machen wollen, gleichzeitig als Maßstab für die erreichte Beobachtungsgenauigkeit zu benutzen.

Ist nur eine einzige Unbekannte vorhanden, zu deren Bestimmung n Beobachtungswerte L dienen, so daß unsere Fehlergleichungen heißen

«i * + *1 — »i = 0 ,

so tritt ax an Stelle von L in Gleichung (2), und wir haben wie dort nach Gleichung (5 b) direkt den mittleren Fehler einer Beobachtung

m=+im

— r n —

Es fragt sich aber, ob der Nenner (n — 1) auch im Falle der Bestimmung von 2 , 3 . . . k Unbekannten aus

\vv J

X Beobachtungen bzw. X unabhängigen Bestimmungsgleichungen gilt. Diese Frage läßt sich durch direkte Entwicklung, einfacher aber noch durch folgende Überlegung beantworten:

a) Welches auch die allgemeine Formel für die Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung aus den Verbesserungen v sein möge, für den Fall der Bestimmung einer einzigen Unbekannten aus X Beobachtungen heißt sie:

m² =

(5 b)

X- 1 ‘

b)    Ist X < x, so lassen sich aus den Gleichungen nicht einmal die Werte der x Unbekannten, also noch viel weniger die bei der Beobachtung erreichte Genauigkeit errechnen. Die Einsetzung von X und x in die gesuchte Formel für m muß also zu einem imaginären Wert führen.

c)    Ist X = x, so lassen sich wohl die Werte der Unbekannten X, Y. . ., aber keine den Beobachtungswerten zuzuschlagenden Verbesserungen v berechnen. Die zwischen den Werten für die Unbekannten und den Beobachtungsgrößen bestehenden Beziehungen werden durch die Beobachtungswerte, so fehlerhaft sie sein mögen, genau erfüllt. Der mittlere Beobachtungsfehler m bleibt somit unbestimmt, was die für ihn aufzustellende Formel zum Ausdrucke bringen muß.

d)    IstX>x, so ist für die Unbekannten Überbestimmung vorhanden, folglich gehen jetzt die Beziehungen (25) in die Fehlergleichungen (25 a) und (25 e) über. Letztere liefern X, den Beobachtungs werten L zuzuschlagende Verbesserungen v, aus denen sich der mittlere Beobachtungsfehler m um so sicherer ergibt, je größer X .

e) Der gesuchte Ausdruck für den mittleren Beobachtungsfehler m kann nach dem Vorstehenden nicht bloß abhängig sein von \yv\ und der Zahl k von Bestimmungsgleichungen, sondern auch von der Zahl x der Unbekannten, muß also lauten:

m — F([v v], A j k) .

f) Er darf nur für den Fall m — 0 ergeben, wenn die Beobachtungswerte fehlerfrei sind, v± = v₂ — • > • = 0 (was bei wirklichen Beobachtungen nie zutrifft).

chung :

Alle diese Forderungen sind erfüllt durch die Glei

(36)

[vv]

Sie liefert:

[v v]

;

a) für x = 1 m² = j

[v v]

negativ

negativ |

was auch v sein möge, folglich m imaginär ;

[vv]

c) für A = * m²

unbestimmt (weil v₁ = v₂ = • • • = 0) ;

>1 *

d) für A > *    m²

Je größer A , um so größer auch die Zahl der zur Berechnung von m verwendeten v. Um so sicherer also die Bestimmung von m.

f) für x wird m nur = 0 , wenn [v v] — 0, weil jeder Einzelbetrag v² eine endliche positive Größe darstellt, die mit A — x wächst.

§ 17. Ableitung des Wertes der Fehlerquadratsumme [vv] als Nebenprodukt der Reduktion der Normalgleichungen.

Die Berechnung der zur Erkenntnis der Beobachtungsgenauigkeit nötigen Fehler quadratsumme [v v] durch Einsetzung der für die Unbekannten x . . . erhaltenen Werte in die Fehlergleichungen ist schwerfällig. Wir suchen daher auf anderem Wege zum Ziele zu gelangen. In § 14 haben wir für [vv] beim Vorhandensein von drei Unbekannten die Gleichung aufgestellt:

[v v] = [a a] x² -f- 2 [a b] x y -|- 2 [a c] x z -f- 2 [a l] x [b b] y2 “1“ 2 [b c] y z -j- 2 [fr l] y -j- [c c] z¹ -f- 2 [c l] z -j- [ll],

welche für jede beliebige andere Zahl von Unbekannten ganz analog lautet (vgl. z. B. § 15 für eine Unbekannte). Aus obiger Gleichung wollen wir nun versuchen, die Unbekannten #,?/, % zu eliminieren. Zu diesem Zwecke kehren wir zur Auflösung der Normalgleichungen zurück (S. 82), deren erste wir — quadriert und durch \aa] dividiert — von dem obigen Ausdruck für \yv\ subtrahieren. Unter gleichzeitiger Einsetzung der Gaußschen Symbole erhalten wir dann:

[w] = [b b • 1] y² + 2 [& c • 1] y z -f 2 [61-1] y + [c c • 1] z1 + 2 [c l • 1] z + [ll • 1] .

Subtrahieren wir von dem jetzt gewonnenen Ausdrucke für [vv\ die linke Seite der quadrierten und mit \b b • 1] durchdividierten ersten Gleichung der ersten Reduktionsstufe (s. S. 83), so erhalten wir unter wiederholter Anwendung der Gaußschen Symbolik

[vv] — [c c • 2] z¹ + 2 [c l • 2] z -f [ll • 2] .

Subtrahieren wir endlich von dem obigen Ausdrucke für [v v] die linke Seite der quadrierten und durch [c c • 2] dividierten Gleichung der zweiten Reduktionsstufe [c c • 2] % + [c l • 2] = 0 , so erhalten wir als Quadrat-summe der Verbesserungen der Beobachtungen im Falle von drei Unbekannten:

(37)

[v v\ = [ll • 3] .

Im Falle der Bestimmung von x Unbekannten ergibt sich genau auf demselben Wege:

(37)

[v v] = [ll- x] .

[v v] = [a a] x² -f- 2 [a 1} x -f- [l l] .

So liefert z. B. die Bestimmung einer einzigen Unbekannten

Setzt man nach (27)

[alf

so kommt

[a a] ¹

[a a]2 1

<³⁷>

[al]

[aa]

[aZ] = [ZM] .

Erwägt man,

daß aus : [l 1} sich ergibt [l l • 1] = [l l]

[al]

[a a]

[al]

ii ii P J • 1] ii

[cl- 2]

[cl- 2]

, „ [H-2] „    „    PZ.8] = PI.2]

so wird klar, daß man die Quadratsumme der Verbesserungen v gelegentlich der Reduktion der Normalgleichungen in demselben Augenblick erhält, in welchem die zuletzt stehende, also zuerst gesuchte Unbekannte gefunden wird. Man hat zu diesem Zwecke außer den Koeffizienten [aa\, [ab], [ac\, [al] nur noch die Quadratsumme [l l] einzuführen und bei der Reduktion ebenso zu behandeln, wie jene.

f c c • 2]

Da die Beobachtungsverbesserung v, also auch \vv\ ihren Wert nicht ändert, wenn man statt der zuletzt stehenden nach erfolgter Umstellung die vorher zweitletzte Unbekannte usw. bestimmt, so erhält man dadurch eine Rechenprobe für die richtige Durchführung der ganzen Reduktionsarbeit, daß die End werte [ll>x\ der Reduktion für alle Unbekannte einander gleich sein müssen.

§ 18. Mittlerer Fehler M und Gewicht P der berechneten Unbekannten aus den Verbesserungszuschlägen v der Beobachtungswerte JL.

Von den gesuchten Größen Y... besitzt jede dieselbe Genauigkeit, wie die ihr entsprechende, durch Subtraktion des Näherungswertes Nx, Ny • . . daraus entstandene neue Unbekannte x, y . . . Beide bedürfen derselben unbekannten Yerbesserung, um zum unzugänglichen wahren Wert bzw. Zuschlag ergänzt zu werden, beide haben denselben mittleren Fehler M.

Dieser mittlere Fehler M hängt jedenfalls vom mittleren Fehler m, oder den wahrscheinlichen Verbesse

[a a]x[ab] y Ą-----f- [a l] — 0

rungen v der Beobachtungswerte L ab, denn je kleiner diese (und je größer ihre Zahl), um so genauer lassen sich auch die gesuchten Größen bestimmen, deren Kenntnis sie vermitteln (s. Satz S. 54/55). Nachdem wir mittels Gleichung (36) gelernt haben, aus den Verbesserungen v die — im vorliegenden Falle gleich großen — mittleren Fehler m der Beobachtungswerte L zu berechnen, gibt uns § 12 die Möglichkeit, auch diejenigen der unbekannten Zuschläge æ, y . . . oder der Unbekannten X, Y. . . zu finden, sobald es uns gelingt, aus den Normalgleichungen

explizite Funktionen für die Unbekannten zu bilden von der Form X = F(Lt ,L₂    oder x = 99 (^, l₂ • . . ),

oder

(a)

i «/

— ai K + a2 h H-----b an Ki Î

y = ßi K + ß% hH-----ßnK •

Dabei steht von vornherein fest, daß die zu bestimmenden Koeffizienten

, <x₂... ß\i ß% •••

Funktionen der Koeffizienten a, b . . . der Fehlerglei-chungen sind.

Zur Umwandlung der Normalgleichungen in explizite Form für die Unbekannten nehmen wir den Fall zweier Unbekannte^ für welchen Gleichung (30) lieferte:

PM]

[bb-l] *

Der Nenner ist unabhängig von l, kommt also für die gewünschte auseinandergezogene Form (a) nicht weiter in Betracht. Der Zähler lautet auseinandergezogen

[6M] = [U]

M.

[aa]

[al]

— ^^1+^44-----b K Ki

woraus wir erhalten

[ab]

[aa]

Wi+a₂44-----\~anKßi

(b)

V P-1]

j(>.

[ab]

[aa]

ai j h “b {^2

[aft]

+ (ÖH

[aa]

Die Vergleichung der Gleichungen (a) und (b) liefert

ßr =

[ab]

(c)

[6Ö-1]

SÄ

<h

[è&.i]

[a a]

••• »

).

und mit diesen Koeffizienten die Möglichkeit, den Wert der Unbekannten y nach Gleichung (a) zu berechnen. Daran haben wir nun kein Interesse, wohl aber an der Berechnung von

weil nach Gleichungen (24 b), (24 c) und (24 d)

H#)I

Setzen wir den allen Beobachtungswerten gemeinschaftlichen mittleren Beobachtungsfehler m gleichzeitig als mittleren Fehler y der Gewichtseinheit fest (behaften jede der Beobachtungen mit dem Gewicht 1), so kommt daraus:

Ml = m² [ (- HÏ]

(d)

CT) 1^0

(e)

i=[(#)■]•

Wir erhalten nun aus Gleichung (a) und (c)

dy

dl.

(»,

[«&]

dy

dl₂

also

(Jf)’

•T"

[b b • l]²

1

~ [ft 6 • l]²

[bb-1]

fFl]

(b\ — 2 a, 6,

(bl — 2    &₂

[ab]

ai

ü2

+ al

USW.,

M!

[a a]²

[ab]

² [a a]²

l(f)1

[b b • l]²

[ab]

[a a]

[b b • I]²

([6 6]

[a6]

[a a1

V>b-1] *

Einsetzung in (d) und (e) und in Gleichung (36) liefert für den Fall der Bestimmung von zwei Unbekannten:

(38) Ml =

m²

[vv\

{ll- 2)

[6è.l] (A — 2) [fefe • 1]    (>1 — 2) [66 • 1]

(39) Py =

dy

21

dl

Der Ausdruck [bb - 1] für das Gewicht der Unbekannten y ist [in Übereinstimmung mit Gleichung (2)] der Nenner des zur Bestimmung dieser Unbekannten dienenden Bruchs. Er ergibt sich gelegentlich der Reduktion der Normalgleichungen.

Durch Analogieschluß, oder durch Überlegungen und Ableitungen, ähnlich den vorhergehenden, kommt man zum Gewicht P und zum mittleren Fehler M der bei der Reduktion der Normalgleichungen jeweils zu hinterst stehenden Unbekannten, gleichgültig, wie groß ihre Zahl auch sei.

Z. B. liefert Gleichung (32) für drei Unbekannte

(39)

1\ = [eo • 2],

woraus

[ll- 3]

[vv\

(³⁸) K    p^    (/l _ ₃₎ [cc .2] y _ ₃₎ [cc . 2]

Gleichung (34) für vier Unbekannte

(39)

Pxt = [dd • 3] ,

woraus

(38) Ml =

\vv]

[H- 4]

PXi (Â - 4) [dd • 3] (k — 4) [dd • 3]

usw.

§ 19. Praktische Ausrechnung der Koeffizienten für die Normalgleichungen. Bedürfnis veränderter Größe der Unbekannten, oder der Maßeinheit. Vereinfachte Schreibweise. Rechnungsproben.

In § 14 haben wir erfahren, wie wir aus den vorhandenen Beziehungen zwischen den Unbekannten X, Y... und den Beobachtungsgrößen L von der Form (25) F(X. Y...) — L — 0 die Fehlergleichungen

ax-\-by -^-1 = v

(25 e)

und aus ihnen die Normalgleichungen

(26)

| [a a] x -j- [a b] y -f-----J- [a /] '= 0

erhalten.

Die darauf folgenden Paragraphen haben uns die Auflösung dieser Normalgleichungen gezeigt. Jetzt handelt es sich um die praktische Ausführung der Rechnung.

Die Koeffizienten a, b ... der Fehlergleichungen mögen bereits gewonnen sein. Diejenigen der Normalgleichungen sind zu berechnen. Sie sind teils Quadratsummen [a a], [bb] ... [II] ^ teils Produkten summen [a b], {ac\ ... \b c\ .. . . Für die Bildung der einzelnen Quadrate und Produkte, wie für die Reduktion der Normalgleichungen verwendet man, soweit die Genauigkeit von drei Stellen ausreicht, den gewöhnlichen loga-rithmischen Rechenstab, für größere Genauigkeit Quadrat-bzw. Produktentafeln, oder größere Rechenschieber bzw. Rechenwalzen, und, falls auch deren Stellenzahl nicht ausreicht, Logarithmentafeln bzw. Rechenmaschinen.

Sind die einzelnen Koeffizienten und Absolutglieder a, b, ... I sehr ungleich, so nötigt das Vorhandensein besonders kleiner Werte (<1), wenn sie neben den großen überhaupt noch zum Ausdruck kommen sollen, zum Mitschleppen vieler Stellen, zumal

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

in den quadratischen Summen. Dadurch wird die praktische Rechnung erheblich erschwert. Eine Vereinfachung ergibt sich, wenn es gelingt, den Koeffizienten und Absolutgliedern ungefähr gleiche Stellen zahl zu verschaffen. Hierfür gibt es zwei Wege. Bei dem einen führen wir statt der Unbekannten mit den abnorm kleinen oder großen Koeffizienten in den Fehlergleichungen ihren 10-ten, 100-ten . . . Teil oder ihr 10-faches, 100-faches ... als neue Unbekannte ein, wodurch die zugehörigen Koeffizienten auf den 10-fachen, 100-fachen . . . Betrag steigen, bzw. auf den 10-ten, 100-ten Teil ermäßigt werden. Bei Begehung des andern wählen wir die Maßeinheiten für die Unbekannten und die Beobachtungsgrößen nach Bedarf in Abweichung von den bisher eingeführten. (Längen in m oder dm oder cm usw., Winkel in Minuten oder Sekunden oder in analytischem Maß, Gewichte in kg oder g usw., jedoch konsequent in einer und derselben Aufgabe immer gleich.)

Die schon in § 15 erkannte symmetrische Anordnung gleicher Koeffizienten der Normalgleichungen, welche zu einem eigentümlichen Reduktion s- und Auflösungsverfahren führte, ermöglicht uns auch eine einfachere, abgekürzte Schreibweise. Betrachten wir z. B. die Normalgleichungen für vier Unbekannte:

[a a] xx -f- [a b] x₂ -f- [a c] xs -j- [a d] x₄ -f- [a l] = 0 [a b] xx -f- [b b] x₂ + [6 c] x₃ -f- [b d] x^ [bl] = 0 [a c] x₁ + [b c] x₂ + [c c] a:₃ -f- [c d] x₄ -f- [c l] = 0

[a d] x₁ -f [& d] x₂ -|- [c d] x₃ + [d d] xL 4* [dl] = 0 ,

so erkennen wir, daß wir genau dieselben Koeffizienten in derselben Reihenfolge erhalten, wenn wir statt der Glei-

chungen selbst jede Zeile zunächst vertikal von oben nach unten bis zur Diagonale der Quadratsummen und dann von ihr ab nach rechts horizontal weiter lesen. Unter dieser Voraussetzung können wir also den Aufschrieb der Glieder links von der Quadratsummendiagonale sparen; daß sie gemacht ist, deuten wir durch Unterstreichen des ersten (quadratischen) Koeffizienten auf jeder Zeile und eventuell durch Punkte an. Den Anschrieb x, y . . . der Unbekannten müssen wir in diesem Fall sparen, weil er, solange wir in vertikaler Dichtung lesen, nicht richtig wäre.

Abgekürzter

Anschrieb

der

[H]

Koeffizienten der Hormal-gleichungen

[c c] [c d]

[cl]

[dd] [d l\

Genau dieselben Schreibkürzungen wenden wir bei jeder Reduktionsstufe an.

Ein wichtiges Erfordernis für die stufenweise Ausführung längerer Rechnungen, von denen sich eine auf der anderen auf baut, ist die Herstellung von Rechen-proben. Die bloße Wiederholung der Rechnung genügt hierfür nicht.

Eine durchgreifende Probe für die Bildung der Koeffizienten der Normalgleichungen, wie auch für deren Reduktion erhält man durch Einführung der Summe s der Zahlenwerte der Koeffizienten und Absolutglieder jeder Fehlergleichung :

(40)

si — ai “f⁻ ^1 4" ci * * * + h

S2 = a2 + ^2 + C2 ~ł~ " •    h

7*

Multipliziert man nämlich die erste Zeile dieser Summengleichung (40) mit die zweite mit a₂ usw. und addiert vertikal, so erhält man die Kontrollgleichung (41) [a s] = [a a] + [ab] -f- [etc] -f- • • • + [a Z] •

Führt man dieselbe Multiplikation mit bt, b₂ ...

■V,

durch und addiert, so erhält man

(41)

[/s] — [al] 4- [b Z] -f- [c /] + ••• + [Z Z] [ss] = [as] + [ós] + [es] H----+ [Is]

Rechnet man also außer den zur Gewinnung der Unbekannten jedenfalls erforderlichen Produktsummen

[a a] [a ô] [a c] ... [6 6] [6c] ...

noch die Produktensummen

. . . O- ö

lÜi Ä

[Is]

so ist nach Gleichung (41) durch jede dieser letzteren eine Zeile der Koeffizienten der Normalgleichungen summarisch geprüft. Die Quadratsumme [Z l], welche zum Zweck der Ableitung von [vv] nach Gleichung (36) berechnet werden muß, wird durch dje vorletzte der Kontr ollgleichun gen (41), und sämtliche Koeffizienten der

Normalgleichungen einschließlich der Kontrollprodukten-summen \a s] . . . [I s] werden durch [s s] geprüft.

Will man daher auf die zeilenweise Kontrolle verzichten, so genügt nach (41), letzte Gleichung als einzige summarisch durchgreifende Probe die Berechnung von

[88] = [aa] + [ab] + - + [bb] + [b c] + ••• + [cl\ + [ll]

(s. schematische Darstellung unten, in welcher jede Zeile rechts und links des Yertikalstrichs und die beiden durch fetten Druck hervorgehobenen Flächen je gleiche Wertsummen beherbergen).

Koeffiz. der Normalgleichungen

Probe

(41)

[a a] [a b] [ac] ... \a l]

[ab]    [bb] [bc] ... [bl\

[ac]    [bc] [cc]

[cl\

[6 s]

[cs]

[al\ [6Ü1 fcl]

[S*l

[as] [6s] [cs] ... [Is]

oder abgekürzt geschrieben

Probe

[a a] [a 61    [

-- y

T->-

[ac] ... [a I]

[as]

(41)

[6 61    [6o] ... \bl\

- Y—^

[cc] ... [c l]

[6 s]

[es]

: Y_

• [H\

P*] Y

[*g]

Bei der Reduktion der Normalgleichungen zum Zwecke der Gewinnung von xx. x₂ ... spielen diese Unbekannten nur die passive Rolle, daß in jeder neuen Reduktionsstufe eine von ihnen, nämlich die in der vorhergehenden Stufe links aufgeführte, verschwindet. Man kann daher den Anschrieb der Unbekannten selbst füglich unterlassen, geändert werden durch die Reduktion nur die Koeffizienten [aß], [ab] usw. Dehnt man die Reduktionsarbeit auch auf die Summenglieder [a s], [65]... der Kontroli gleichungen (41) aus, so ändert sich dadurch an den zur Berechnung der Unbekannten dienenden Koeffizienten der verschiedenen Reduktionsstufe n natürlich nicht das geringste.

Man erhält aber auch für sie Kontrollgleichungen:

-[bs- 1] = 0 — [cs - 1] = 0

+ [ss-l] = 0

[&&-l] + [b<M]+...+ [6M] [bel] + [ce-1] H-----1- [eil]

(42)

— [6s-l]— [c«. 1]-----[ls- 1J

oder abgekürzt geschrieben:

Probe

[6 b ■ 1] [&<?•!] ... [bl-\]

[bs-l]

(42)

• [II. 1|

[/ s • 1]

d. h. dieselbe zeilenweise und Gesamtsummenprobe, wie in Gleichung (41) für die Koeffizienten der Normalgleichungen.

Die Fortsetzung der Reduktion liefert die Koeffizienten der zweiten Reduktionstufe, welche den Kontrollgleichungen genügen müssen:

\c c • 2] -f- • • • -f- [c X • 2]

— [c s • 2] = 0

(43)

[cl-2] H- • • • H- l • 2]

_ [/ ₅ . 2] = 0

— [c s • 2]- — • • — [/ 5 • 2] oder abgekürzt geschrieben

+ [s s • 2] — 0

Probe

[cc-2] ... [cU2] \c s • 2]

CO

Iw

\l s • 2]

[s s • 2]

Ist die Zahl der Unbekannten = 3, so fallen die obigen, weitere Glieder andeutenden Vorzeichen und Punkte weg. und es ergibt sich die bei der Reduktion noch übrig gebliebene rechtsstehende Unbekannte

[cl- 2]

[c c • 2]

Die Fortsetzung der Reduktion liefert dann als dritte Reduktions?tufe, welche keine Unbekannte mehr enthält:

(44)

(44)

[/1 • 3] -|7s.3] = 0 — [Is • 3] + [ss • 3] = 0 , oder als Haupt- und Schlußprobe in Verbindung mit (37) [/ /. 3] = [/ s • 3J = \s s • 3J — [v v]

drei absolut gleich große Zahlen, deren Wert die Fehlerquadratsumme [vv] vorstellt.

Ist die Zahl der Unbekannten = x, so liefert die tt-te Reduktionsstufe

[ll - K 1 = [/ S • k\ = [s 8 • x] = [ü v\ .

Zahlenbeispiel (für von Haus aus lineare Funktion zwischen den Unbekannten und den Beobachtungsgrößen).

Zur Bestimmung der Richtungsunterschiede zwischen vier von einem Punkte 0 ausgehenden Strahlen OA, OB, OG', OD wurden sämtliche zwölf, zwischen je zweien von ihnen vorhandene Winkel je mit gleicher Genauigkeit gemessen (Winkelmessung in allen Kombinationen) und zwar:

7.    BOI) = 178° 74' 13" n. T.

8.    BOA =293° 47'50" „ „

9.    COA = 193° 69' 29" „ „

Lösung: Zur gegenseitigen Festlegung von vier Strahlen genügen drei voneinander unabhängige Winkel. Die Zahl der überschüssigen Stücke ist also 12 — 3 == 9, die Zahl der Fehlergleichungen 12, die Zahl der Unbekannten 3.

Winkel AOB = X, „ BOC=Y, COD = Z .

Die gesuchten („Soll“-) Werte für die Richtungsunterschiede mögen sein:

In § 14 haben wir für die zwischen den Unbekannten und den Beobachtungsgrößen L bestehenden Beziehungen allgemein folgende Normalform gewählt:

(25)

F(X, Y, Z) — L = 0 .

Diese Normalform ging durch Einführung von Näherungswerten Nx, Ny, Nz für die Unbekannten und unter Beachtung, daß die Beobachtungswerte L nicht fehlerfrei sind, sondern Yerbesserungszuschläge v verlangen, in die Form der Fehlergleichungen über:

ax-\-by-\-cz-\-l = v.

(25 e)

Soll — Ist = Verbesserung.

Da allgemein die Funktion F(X, Y, Z) lediglich den Sollwert der betreffenden Beobachtungsgröße L darstellt, so ist im gegenwärtigen Beispiele die dem jeweiligen Beobachtungswert L entsprechende Funktion F der Unbekannten einfach durch sinngemäße Addition, bzw. Subtraktion der letzteren zu gewinnen, und es ergeben sich die Fehlergleichungen nach der Regel:

Im Interesse bequemer Rechnung [also nicht, wie im Falle nicht linearer Funktion, zur Linearmachung der Beziehungen (25)] führen wir auch hier Näherungswerte für die Unbekannten ein und setzen:

AOB=X = Nx + x= 106° 52'43"+ æ ,

= Y=Ny + y = - 99°78' 12" + y ,

COD — Z = Nz-\- z — 78° 95' 97" + z .

Damit erhalten wir durch Subtraktion jedes gemessenen Winkelwertes je von dem durch entsprechende Zusammensetzung der Unbekannten gewonnenen Sollwerte die 12 Fehlergleichungen :

-\-y+z — 4" = o, + 7" = o8 + 16" = o9 + 10" = o₁₀

—y—z + l" = r„

-*+ 3" =«„

Die Koeffizienten der Unbekannten sind demnach alle = 1 oder 0. Zur bequemeren Rechnung ist es wünschenswert, daß auch die Absolutglieder l möglichst nahe dem Werte 1 liegen. Dies wird erreicht, wenn man als Einheit sowohl für die Absolutglieder l, als auch für die unbekannten Zuschläge x,y, z statt der Sekunden Dekasekunden (Zehnersekunden) wählt. Damit erhält man tabellarisch angeordnet folgende Koeffizienten der Fehler- und der Normalgleichungen:

+ 0 = y +o =^2 *+o

4.    — x — y — £ + 13" =

5.    +x + y    —13" = *₅

6.    + #+?/+£ — 8" =v₆

1.

2.

3.

7.

10.

u.

12.

—y

aa\ab\ac\al\as bb bc bl bs cc cl es U + + + — |+ + — ~b +

1 OOP 1 O 0 0 0    0 0 p o p

cc

rC>

8nmp

1+1 O O O +1

2    0+1 O O +1    0 0-0 0    0    1    0 0    1 O 10    0    0    0

3 I! O 0 +1 i O 1+1 O | O O 10 O O I 0 0 O 1 jO 1 ooi

— 1,7    1    1    1    1,8 1,7    1    1    1,3 1,7    1    1,3 1,7 1,69 2,21    2,89    g

----—------------------₁-    <t>

O| —1,3 I +0,7    1    1    O    1,3 0,7    1    O    1,3 0,7    0    0    0    1,69 0,91    0,49    ^

<D

H3

-1-1 -1 +1,3

1+1+

+ 1 +1    +1 —0,8    +2,2    1    1    1    ;0,8 2,2    1    1    0,8 2,2    1    0,8    2,2    0,64    1,76    4,84    W

0 +1    +1 —0,4    +1,6    0    0    0    0 0    1    1    0,41,6    1    0,4    1,6    0,16    0,64    2,56    f

— —----------—--------'---------c?

0 O +0,7 —0,3    1 O O 0,7 0,3 O O O O 0 0 0 0,49 0,21 0,09    |

0+1,6    —0,4    1    1    O    1,60,4    1    O    1,6 0,4    0    0    0    2,56    0,64    0,16    g

I-

x- i-

o-l o+l

10

1    1 0,1 1,9 1 0,1 1,9 0,01 0,19 3,61

0 [0 I 0 ! 0 |o |0 I 1 10,310,710,0910,21 f 0,49

5,716,3| 8 ! 4 16,519,51 6 12,919,118,8316,77118,13

0 -1 -11+0,1 —1,9 0 0 0

12 o! 0 —1+0,3 | — 0,7 0 0 0

= 0 o . 0 +2,5 +2,5 1! 6 ! 4

Ausrechnung mittels Rechenschiebers:

Koeffiz. der Normalgleichungen u. Reduktion

+ 6,3

(- 4,2)

+ 9,5

(- 2,1)

+ 9,1

(+ 5,98)

- 6,77

(- 6,62)

+ 18,13

(-M2)

+ 8,33

Probe

+ 6,3

+ 9,5

+ 9,1

- 6,77

1. Reduktionsstufe u. Reduktion

+5*    +2|    -2,7

(-H)    (+1,35)

-1,0

(-1,37)

+ 2,91

+ 5,3 (- 2,65) + 7,0 (+ 2,68) - 0,79 (- 5,27) + 11.51

+ 18,13

Probe

+ 5,3

+ 7,0

- 0,79

+ 11,51

2. Reduktionsstufe u. Reduktion + 4    +0,35    +4,35

(-0,02)    (-0,38)

+ 1,54    +1,89

(-4,74) +6,24

Probe + 4,35

+1,89

+ 6,24

Hieraus

[c 1-2]

0,35

[c c . 2]

Z = 78° 95' 97" — 0,9" = 78° 95' 96,1" PB=[cc- 2] = 4 .

0,09 Dekasekd. =—0,9"

3. Reduktionsstufe u. Schlußprobe, [v v].

+ 1,52    +1,51

+ 1,50.

rH

Mittlerer Fehler einer Messung

=±v¥

+ 0,41 Dekasekd. = +4,1",

mittlerer Fehler des Winkels Z , r m

i*.

4,1

= ±f = ±2".

Zum Zwecke der Berechnung der vorletzten Unbekannten y erfolgt Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen und Wiederholung des Verfahrens:

Koeffiz. der Normalgleichungen u. Reduktion

+ 9,1 (- 3,0)

+ 6,3 (- 6,07)

+ 9,5 (+ 4,40)

+ 6,77 (-13,8)

+ 18,13

+ 6    +2    +4    -2,9

(-Î)    (-lł) (+0,97)

+ 6    +4    +5,7

(-2|) (+1,93)

Probe + 9,1

+ 6,3

+8

-6,5

+ 9,5

(-1,40)

+ 8,38

-, 6,77

1. Reduktionsstufe u. Reduktion + 5j    +21    -4,73

(-H)    (+2,37)

-4,57 (-4,20)

+6,93

+-H

+ 3,27

(-1,64)

+3,43

(+2,90)

-2,37

(-2,00)

+4,33

+ 18,13

Probe

+ 3,3

+ 3,43

-2,37

+ 4,33

2. Reduktionsstufe u. Reduktion +4    -2,20    +1,80

(-1,21)    (+0,99)

+ 2,73    +0,53

(-0,81) +2,33

Probe

+ 1,79

+ 0,53

+ 2,33

Hieraus

[er 2]

also

[cc- 2]

_2,20 = +^55 Dekasekd< = i

r= 99° 78' 12" + 5,5" = 99° 78' 17,5" P„ = [cc-2] = 4.

3. Reduktionsstufe u. Schlußprobe. v].

+ 1,52    +1,52

+ 1,52

in Übereinstimmung mit der Reduktion für Z.

Die Berechnung ergibt für die Winkel y und z dasselbe Grewicht 4 . Dies war angesichts der symmetrischen Anordnung der Winkelbeobachtung vorauszusehen, denn jeder der drei gesuchten Winkel erscheint durch die zwölf gemessenen Winkel viermal bestimmt. Wir sind aber dadurch der nochmaligen Umstellung und Reduktion für die Berechnung von x enthoben. Diese letzte Unbekannte x werden wir durch Einsetzung von y und z in eine der Normalgleichungen ermitteln.

Z. B. liefert die erste Normalgleichung:

6^ + 42/ + 2 £ — 5,7 = 0

5,7 - 4 • 0,55 - 2 • (- 0,09)

5,7 — 2,2 + 0,18 _ 3,68

und

= +0,61 Dekasekd. = + 6,1"

= 106°52'43" + 6,1" = 106° 52'49,1"

=+2" .

Mx

Wir haben also als Schlußresultat:

X = 106° 52' 49,1" + 2"

Y= 99° 78'17,5"+ 2" Px = Pr = P* = 4.

Y= 78° 95'96,1"+ 2"

Eine durchgreifende Probe erhalten wir schließlich durch Einsetzung der gefundenen Werte für x, y, z in die Fehler-

gleichungen. Die berechneten v müssen alsdann den Gleichungen (33) entsprechen:

[a v\ = 0 , [b v] = 0, [c v] — 0,

und es muß überdies

[v v] = 1,52.

Fehler-

Glei

chung

0,61

0,61

0,37

0,55

0,55

0,30

0,09

0,09

0,01

0,23

0,23

0,23

0,23

0,05

0,14

0,14

0,14

0,02

0,27

0,27

0,27

0,27

0,07

0,06

0,06

0,06

0,09

0,09

0,01

0,44

0,44

0,44

0,19

10

0,45

0,45

0,20

11

0,36

0,36

0,36

0,13

12

0,39

0,39

0,15

[ ] == 0,88

0,90

1,24

1,26

0,69

0,71

1,50

0,02 0,02

0,02

statt

1,52

(Abrundungsdifferenzen)

Anmerkung. Hätten wir den Beobachtungswert jedes Winkels mit demjenigen seines Implementes zu einem Werte

vereinigt (gemittelt), so wäre die Zahl der Fehlergleichüngen auf die Hälfte reduziert, das Gewicht jedes so gewonnenen Winkels auf das Doppelte gesteigert worden. Im übrigen wäre der Weg der Rechnung derselbe geblieben.

3. Kapitel.

Ausgleichung* vermittelnder Beobachtungen von verschiedener Genauigkeit.

§ 20. Erweiterung der für gleichwertige Beobachtungen aufgestellten Ausgleichungsgrundsätze auf ungleichwertige Beobachtungen.

Wenn die einzelnen Beobachtungswerte L, aus denen die Unbekannten X, Y. . . errechnet werden sollen, von ungleicher Genauigkeit sind (etwa deshalb, weil sie mit verschiedenerlei Instrumenten, oder nach verschiedenerlei Beobachtungsmethoden, oder auf Grund verschieden oftmaliger Wiederholung gewonnen wurden), so ändert dies weder an den zwischen beiderlei Größen bestehenden Beziehungen (25) F(X, Y.. .) — L — 0, noch an den durch Einführung von Näherungswerten Nx . . . für X... gebildeten Beziehungen (25 e) ax -f . . . -j- Z = v das geringste. Nur wird der — im Falle vorhandener Überbestimmung jedem Beobachtungswert L zuzuschlagende und etwa durch Einsetzung der gefundenen Werte für die Unbekannten in Gleichungen (25 a) oder (25 e) zu ermittelnde — Yerbesserungsbetrag 0, welcher durch die unvermeidlichen Beobachtungsungenauigkeiten nötig wird, um so kleiner sein, je genauer die Beobachtungswerte L sind. Es ist daher nicht mehr angängig, diese Verbesserungszuschläge unterschiedslos den weiteren Untersuchungen zugrunde zu legen, wie es im vorigen Kapitel geschah. Vielmehr werden wir den Weg wieder beschreiten müssen, den wir im 2. Kapitel des I. Abschnittes eingeschlagen haben: den Weg der Einführung von Gewichten p für die einzelnen Beobachtungswerte L. Dabei ist klar, daß der negative Wert von L in Gleichung (25) dieselbe Genauigkeit, also auch dasselbe Gewicht hat, wie der eigentliche (positive) Beobachtungswert und wie das Absolutglied l in (25e), welches gewonnen wurde durch Zuschlag der fehlerfreien Größe F (Nx, Ny .. .) zum negativen Beobachtungswert, Sind die Gewichte p der Beobachtungswerte L bekannt, so können wir damit die an den letzteren anzubringenden Verbesserungen v auf diejenigen Beträge zurückführen, welche sich ergeben hätten, wenn den einzelnen Beobachtungswerten L nicht diese veränderlichen Gewichte pt . . . pn, sondern allen das gleiche Gewicht 1 zukäme. Durch die Steigerung des Beobachtungsgewichtes von 1 auf p wurde nämlich auch die Beobachtungsgenauigkeit, und zwar auf das |/j?- fache gesteigert (Gleichung 15), also der mittlere Beobachtungsfehler m und der nötige Verbesserungsbetrag v im* selben Verhältnis herabgedrückt. An Stelle des nötigen Verbesserungsbetrages v der mit dem Gewichte p behafteten Beobachtung L wäre daher v ]!p getreten, wenn die Beobachtung nur das Gewicht 1 gehabt hätte. Wir können also alle an den Beobachtungswerten vom Gewicht p₁, p₂ . . . anzubringenden Verbesserungen v auf die im 2. Kapitel behandelten ein gewichtigen Verbesserungen und die jetzt zu suchende Lösung auf die dort gefundene zurückführen, wenn wir jeden dieser Verbesserungszuschläge mit der Wurzel aus dem zugehörigen Beobachtungsgewicht multiplizieren, statt v setzen v^p. Für die Auswahl der wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten haben wir daher statt der Bedingung [vv\ — Min. (s. S. 76) die schon in § 9 auf gestellte Bedingung (.17):

[pvv] — Min.

Wenden wir sie auf die Fehlergleichungen (25 e) an, indem wir aus diesen, wie in § 14, zunächst v\, c\ ... bilden, jeden der dafür gewonnenen Ausdrücke sodann mit , p₂... durchmultiplizieren und schließlich addieren, so erhalten wir die durch entsprechende Auswahl der Unbekannten x, y ... zum Min. zu machende Summe:

[p v v] — [p a a] x² -(- 2 [p a b] x y -f- 2 [p a c] x z -\-----1- 2 [p a l] x

-i-    +    -----1-2 [pbl]y

+ [pcc]2²H-----1-2[pcl\z + [pll\ .

[paa]x[pab] y + [pac]z-1-----[pal] = 0

Durch partielle Ableitung und Kürzung mit 2 entstehen die Normalgleichungen: ô [pvv]

* ôx

(26 a)

ł-

ô [pvv]

dy

[pab] x + [pbb] y -f [pbc] z-j-----1- [pbl] = 0

ł-

ô [pvv]

[pac] x -f [pbc] y -f [pce] z-\-----|- [pci] = 0

Die Normalgleichungen (26 a) unterscheiden sich von den entsprechenden Gleichungen (26) in § 14 nur dadurch, daß an Stelle jedes der dortigen Koeffizienten a, b . . . oder Absolutglieder l der Fehlergleichungen jetzt getreten sind: a^p, b^p ... Zj/p, gerade wie auch jeder dortige Verbesserungszuschlag v hier in vrfp überging.

Es ist daher nicht nötig, die auf die Normalgleichungen gegründeten Ableitungen des 2. Kapitels hier zu wiederholen. Wir erhalten vielmehr durch Beachtung dieser Modifikation a) im Falle der Bestimmung einer einzigen Unbekannten x:

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

[pal]

(27 a)

(28 a)

(37 a)

und für die mittleren Fehler und Gewichte nach der Ausgleichung: mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1

[p a a]

[p a v] = 0

[p v »] = [p l M]

(36 a)

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht p

(36 b)

!-'~±ł-±K

[p v v]

PQ-1)⁷

Gewicht P der Unbekannten x

Px — [Pa i mittlerer Fehler der Unbekannten x

(39 a)

(38 a)

ik~± Ÿ

[p V v]

[p aa] (1 — 1) *

Analog ändern sich die Gleichungen des § 15 bei Bestimmung von zwei, drei oder mehr Unbekannten und lauten z. B. :

b) im Falle der Bestimmung von vier Unbekannten:

[p d l • 3] = [p d l • 2]

[p c d • 2]

(29 a)

[p d d • 3] = [p d d • 2]

[pcc-2] [pc d- 2]

[pcl- 2]

[p c d • 2]

[i? d d • 3]

0<n.3]

(34 a)

a?₄

(35 a)

(37 d)

_    [pdZ-3]

— [pdd - 3]

• [par] =0

[p 6 fl] = 0

[p c v] = 0 . [p dv] = 0 [i> v t?] = [jp £ Z • 4] .

Für die mittleren Fehler und Gewichte nach der Ausgleichung erhält man:

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1

(36 a)

! [p v v]

I—T ¹

mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht p

(36 b)

--f-iVïT¹

-4) *

Gewicht der bei der Reduktion rechts stehenden Unbekannten (39 a)

mittlerer Fehler der rechts stehenden Unbekannten

P=[pdd- 31 ,

(38 a)

[pw]

[pdd- 3] (A — 4)

usw.

Auch die in § 19 aufgestellten Rechenproben durch Einführung der Summen s der in jeder Fehlergleichung vorhandenen Koeffizienten a, b . . . und des Absolutgliedes l bleiben analog bestehen.

Wenn die ursprünglich zwischen den Unbekannten X, Y... und den Beobachtungswerten Lx ... vorhandenen Beziehungen lauteten

F,(X, Y...)-Lx= 0 F₂ (X, Y...) — L₂ = 0 usw.,

(25)

wobei den Beobachtungs werten Lx, L₂... die Gewichte px, p₂ ... zukamen, so haben wir diese Urbeziehungen durch Einführung von Näherungswerten Ax, NY... nach dem in § 14 gezeigten Verfahren linear gemacht und die Fehlergleichungen geschaffen :

axx Ą-bxy cx z Ą-----b h = vi

(25 e)

a₂x + b₂y + c₂z-\-----b

Den Absolutgliedern lx ... kamen dabei dieselben Gewichte px, p₂ ••• zu, wie den Beobachtungs wert en Lx, A₂... • Wir haben sodann, um die Verbesserungen v je auf die Gewichtseinheit zurückzuführen, die Fehlergleichungen (25 e) in die Form umgewandelt:

ai]/pl x + \ ]/pï y + c, Vpt z-\-----HiVft =«i

(25f) {    * + 5₈Vi>4 y + «stPa«4-----W₂VS = »’2Ü^ so daß die Koeffizienten und Absolutglieder der neuen Fehlergleichungen heißen

usw.

«iVpi , fcjfe, CjKp,, ... Upl Wir können jetzt für die Ausgleichung ungleichwertiger Beobachtungen genau dieselben Summengleichungen (40) bilden, welche wir in § 19 zur Schatfung von Rechenproben gebildet haben, indem wir setzen

(40 a)

«i tpT,+ &, ü*T+ «i b>, 4—f h i/pi_=s,

«2 V/»a + bz ][Pi + c₂ |/ps H-----1-ljpt = si ïp₂

Durch Multiplikation der ersten Zeile mit ax YPi •> der zweiten Zeile mit a₂]/p₂ usw\ und vertikale Addition kommt:

(41a) [p a a] -f- [p a b] -f [p cl c] -\-----f- [p a Z] — [p a ś],

durch Multiplikation mit b₁Yp₁ bzw. b₂^p₂ usw. kommt: (41a) [pab] + [pbb}+[pbc] + - + [pbl] = [pb8], durch Multiplikation mit px bzw. l₂^p₂ usw. kommt:

(41a) [p al] + [pbl] + [pcl] + ---+[pll] = [pls], durch Multiplikation mit sx^P\ bzw. s₂^P2 usw. kommt: (41a) [p a s*] -f- [p b s] -f- [p c s] -|-----h [p l «1 = [p s $].

Wir haben also für die Koeffizienten der Normalgleichungen hier genau dieselben Rechenproben, wie in § 19, sobald wir nicht bloß jeden Koeffizienten und jedes Absolutglied der Fehlergleichungen, sondern auch ihre Summe s mit der Wurzel aus dem zugehörigen Gewicht multiplizieren.

Ganz ebenso verhält es sich mit den Koeffizienten der ersten Reduktionsstufe, wo

[pbb-\\ + [pbc-\\Ą-----hb&M]

—    [p b s - 1] = 0

—    [p c s - 1] — 0

[pbc-X] + [pcc-\]-\-----KpcM]

(42 a)

[pbl-\\ + [pcl-X\Ą-----\-[pll 1]

-[pis- 1] = 0

— [pbs - l\ — [p C S - l\------[pis - 1]

Probe [p b s -1] [p cs -1]

oder abgekürzt geschrieben:

\j) b b 1 ] [p b c • 1] ... [p bl 1] [pcc 1] ... [pcl -1]

(42 a)

. [pll 1\

[pis-1]

— [p CS- 2] = 0

In der zweiten Reduktionsstufe ist: [pcc-2\Ą-----X[pcl -2]

(43 a)

[pcl 2]H-----\-[pll-2\

-[pis- 2] — 0

. — [p c s - 2]-----

oder abgekürzt geschrieben:

[pis - 2]

Probe

[p c c - 2]... f p c l • 2] [p cs - 2]

(43 a)

. 1pll 2\ [pis - 2]

[ p s s - 2] .

[p U . 3] = [p l s • 3] = [p s s • 3] = [p v v] .

Endlich kommt die Schlußprobe: (44 a)

Sind die einzelnen L gleichartige, mit demselben Instrument und nach denselben Methoden gewonnene Beobachtungswerte, so sind die Gewichte p, die wir bisher als bekannt annahmen, einfach proportional den Wiederholungszahlen. Sind sie aber ungleichartig, oder mit verschiedenen Methoden und Instrumenten gewonnen, so wissen wir über ihre Gewichte zunächst nichts.

Wir schätzen in diesem Falle zweckmäßigerweise die ihnen anhaftenden mittleren Fehler m und berechnen hieraus unter beliebiger Annahme eines Gewichtseinheitsfehlers fi das zugehörige Gewicht nach Gleichung (15)

mx : ^ = fi : VK

m\

Pi =

oder für ju = 1

usw.

))l]

Führt man mit den so erhaltenen Gewichten, denen gewisse angenommene mittlere Fehler m zugrunde liegen (mittlere Fehler vor der Ausgleichung), die Ausgleichung durch, so erhält man nach Gleichungen (36 a) und (36 b) mittlere Fehler nach der Ausgleichung, welche mit den ersteren übereinstimmen müssen, wenn diese richtig gewählt wurden und keine einseitigen Fehlerquellen auf die Beobachtungen einwirkten. Nötigenfalls kann man die Rechnung mit ihnen bzw. den aus ihnen abgeleiteten Gewichten wiederholen.

Nach dem soeben Erkannten ist

Pl -² ’ Pt' ml

m\

USW.,

folglich der Faktor, mit dem sämtliche Koeffizienten und die Absolutglieder und Verbesserungszuschläge v

einer Fehlergleichung multipliziert wurden, Vp = — .

m

Da m eine Größe gleicher Gattung ist wie l und v, so werden diese durch die Multiplikation mit ]/p un-benannte Zahlen, was schon zur Ermöglichung der durchzuführenden Differentiationen, Multiplikationen und Quadrierungen vorausgesetzt war.

4. Kapitel.

Anwendung der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen auf trigonometrische Punht-einschaltung.

§ 21. Graphisches Ausgleichungsverfahren für Vorwärts- und vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden.

Die trigonometrische Punkteinschaltung bildet eine der häutigst auftretenden Ausgleichungsaufgaben aus dem Gebiete der Geodäsie. Sie bezweckt die Bestimmung der rechtwinkligen Koordinaten xp und yP von „Neupunkten“ P auf Grund von Bestimmungsstrahlen, die von „Festpunkten“ ausgehen und deren Richtung çiurch Beobachtung der Winkel a im Neupunkt zwischen ihnen selbst, oder der Winkel ß in den Festpunkten zwischen ihnen und den Verbindungslinien nach anderen Festpunkten („Feststrahlen“) festgelegt wird. Sind solche Winkel ß nur in (mindestens zwei) Festpunkten gemessen, so hat man die Aufgabe des „Vorwärtseinschnittes“. Sind nur Winkel im Neupunkt zwischen den (mindestens drei) Bestimmungsstrahlen gemessen, so hat man die Aufgabe des „Rückwärtseinschnittes“. Wurden Winkel sowohl im Neupunkt zwischen den Bestimmungsstrahlen selbst (a), als in den Festpunkten zwischen Fest-und Bestimmungsstrahlen (ß) gemessen, so wird der Neupunkt durch „vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden“ bestimmt. In jedem Falle orientieren wir die beobachteten Winkel oder Richtungen a oder ß zu Richtungs- (Neigungs-) winkeln y der von den Festpunkten gegen den Neupunkt gerichteten Bestimmungsstrahlen. Jede (gleichgültig, ob rein rechnerische oder graphische) Lösung geht aus von einem seinen Koordinaten xN und yN nach irgendwie ermittelten, möglichst nahe dem endgültigen Neupunkt gelegenen „Näherungs“- oder „vorläufigen Punkt“ JV, so daß als neue Unbekannte nicht mehr die Koordinaten a? und y des Neupunktes P selbst, sondern, in Übereinstimmung mit dem bisherigen, die Zuschläge dx und dy gelten, deren Addition die vorläufigen Koordinaten zu den endgültigen ergänzt.

(45)

( xp = Xy + d X

\ vr=y.\+dy

Um diese Zuschläge zu finden, beachten wir, daß die Bestimmungsstrahlen infolge von Ungenauigkeiten in unserer eigenen Winkelmessung, sowie infolge von Projektionsverzerrungen und Mißstimmigkeiten zwischen den gegebenen Koordinaten der Festpunkte und dem Standort der letzteren sich nicht in einem Punkte und noch viel weniger gerade im Näherungspunkte N schneiden, sondern eine fehlerzeigende Figur miteinander bilden werden, in deren Nähe N liegt und innerhalb welcher wir den wahrscheinlichsten Punkt P auswählen müssen. Es wird sich also zunächst darum handeln, die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen und des vorläufigen Punktes N zu erkennen, — in möglichst großem Maßstabe (etwa 1:10) aufzuzeichnen. Zu diesem Zwecke berechnen wir aus den orientierten Richtungswerten y entweder die Entfernungen der Punkte von N, in denen die Bestimmungsstrahlen die eine oder die andere der durch N gezogenen Parallelen zu den beiden Koordinatenachsen schneiden. Diese tragen wir sodann im gewählten Maßstabe von N aus auf den Parallelen in der festgestellten Richtung ab, um schließlich durch ihre Endpunkte die Bestimmungsstrahlen entsprechend ihrer tatsächlichen Lage unter den orientierten Richtungen y gegen die Parallele zur — x - Achse zu zeichnen. (Zur —x-Achse, weil die jetzt zu zeichnenden, vom Neupunkte P ausgehenden Strahlen statt der Neigung /u = nAP usw. den Richtungswinkel y -j- 2 P = nPA usw. besitzen.) Oder wir berechnen außer den orientierten Richtungen y noch die entsprechenden Richtungs- (Nei-gungs-)winkel v von den Festpunkten nach dem vorläufigen Punkte N und aus der Differenz ô = y — v und der Strahlengesehen nach

länge s die Querabweichung b des Bestimmungsstrahles vom vorläufigen Punkte N. Sie wird (vom Festpunkte aus

für ó = +) von N im ausgewählten

links

rechts

Maßstabe senkrecht zu der wie oben bestimmten orientierten Richtung fi abgetragen, um durch den Endpunkt den Be-

Parall£l& | zur+JOAchśe^

>1»

■gr

'iX- V

'jubC.ParalLel&

— + y Achse,

zur

F'

Fig. 5.

stimmungsstrahl parallel zu ebendieser Richtung ^ zu zeichnenist derart, auf die eine oder die andere Weise die gegenseitige Lage der Bestimmungsstrahlen unter sich und zum Näherungspunkt N zeichnerisch bekannt, so handelt es sich um die

Auswahl des endgültigen Punktes P in der „fehlerzeigenden Figur“. Dabei ist zu beachten, daß bei gleichem Fehler in der Winkelbeobachtung die lineare

Abweichung des Bestimmungsstrahles vom wahren Punkt wächst proportional der Strahlenlänge s und demgemäß das Strahlen gewicht für die Punktbestimmung umgekehrt proportional zum Quadrat der Strecke s. Auch wird ein Strahl, der bloß im Festpunkt oder bloß im Neupunkt beobachtet wurde, nur das halbe Gewicht gegenüber einem Strahl besitzen, der mit gleicher Genauigkeit in beiden Punkten beobachtet wurde. Folglich wird das Bestim-mungsgewicht

(46)

'“l j %

sein, wenn die Beobachtung einseitig,

zweiseitig

erfolgte. Allgemein

s²

jps ⁼⁼ —~r, wobei nach dem Vorhergehenden t~l

oder 2 sein kann. Wo auch immer der endgültige Punkt P innerhalb der Fehlerfigur gewählt werden möge: seine Abstände h von den Bestimmungsstrahlen stellen deren Quer Verfehlung dar, aus welcher sich rückwärts die an den beobachteten orientierten Richtungen anzubringenden Verbesserungszuschläge v nach Richtung und Größe berechnen lassen:

(47)

xT =

o".

Gleiche Genauigkeit der Winkelbeobachtung vorausgesetzt, ist das Richtungsgewicht pu =p₀ = t, und wir müssen daher nach Bisherigem verlangen:

h²

(48a) [tvv] — ż— £>²= Q² yi—j + h-ï 4----

= Min.

Setzen wir in (48 a) nach Gleichung (46) p =

beachten, daß q konstant, so geht (48a) über in:

[tvv\ = g² (p, hl 4-----1-PnK) = Min.,

d. h. wir haben in der Fehlerfigur den endgültigen Punkt P so auszuwählen, daß

[phh] = Min.

(48 b)

s²

, und

Ton den verschiedenen Verfahren der Punktauswahl in der fehlerzeigenden Figur benutzen wir das von Bertöt 1876 erstmals gezeigte, welches sich auf den Satz stützt: „Sind r Gerade (Strahlen) La, L. .Lu vom Gewicht PalPb • • -Pr gegeben, so ist derjenige Punkt P, für welchen die Summe der Quadrate seiner Abstände h je multipliziert mit dem Strahlengewicht p ein Minimum ist, zugleich der Schwerpunkt des aus seinen Lotfußpunkten F gebildeten Systems von Massenpunkten, wenn jedem von ihnen das Gewicht seines Strahles beigelegt wird.“

Würden wir hiernach durch Schätzung in der Fehlerfigur zufälligerweise den richtigen Punkt P gefunden haben, für welchen [p h h] = Min., so würden wir diese Tatsache daraus erkennen, daß er der Schwerpunkt >8 seiner eigenen Lotfußpunkte F wäre, d. h. daß [p-xF]

(49)

und

yp =

[P-Vf]

XP= r n

[P]

Um P aufzusuchen, benutzen wir den zweiten Satz: „Sind mehrere Gerade L gegeben, und ist wieder für Punkt P die Summe der Quadrate seiner Abstände h je multipliziert mit dem Strahlengewicht p ein Min., so ist für irgend einen anderen Punkt A der Schwerpunkt seiner Lotfußpunkte Sa , denen wieder je das Strahlen gewicht Pa - • • zugeschrieben wird, ein Punkt >8, welcher zugleich

[pj '

der Schwerpunkt der mit denselben Gewichten bedachten Massenpunkte Q ist, in denen ein Kreis über AP als Durchmesser die von A nach den Strahlen gezogenen Projektionslote schneidet.u

Nun kennen wir zwar zunächst den Kreis M nicht, auf dem P als gesuchter Gegenpunkt des beliebigen Punktes A

Fr

?>

6S\

Jr

\wg''

F}r

\ OfL' @ 0 \ \

skA'Q

01

Fig. 6.

liegt, also auch nicht die Schnittpunkte Q der Projektionslote mit ihm. Dagegen können wir einen beliebigen, den gesuchten Kreis M schneidenden zweiten Kreis 3K durch A mit dem beliebigen Halbmesser r zeichnen, der dem ersten (wie alle Kreise untereinander) ähnlich ist. Erklären wir, was bei sich schneidenden Kreisen zulässig ist,

A als inneren Ähnlichkeitspunkt beider, so schneidet jede durch A gehende Gerade die letzteren nach einem homologen Punktpaar, folglich sind die Schnittpunkte O des Kreises SR mit den Projektionsloten homolog den Schnittpunkten Q der letzteren mit dem gesuchten Kreise M. Dann ist aber auch ihr Schwerpunkt @ homolog dem Schwerpunkt S der Q und g. Die Mittelpunkte SR und M beider Kreise sind einander selbstverständlich homolog, während der auf dem Kreise SR liegende, zu A auf Kreis M homologe Punkt St der Schnittpunkt der Tangente in A an Kreis AI mit Kreis SR ist.

Bestimmen wir demnach in der fehlerzeigenden Figur nach Gleichung (49) jetzt den Schwerpunkt @ der O

Ip ■ Pal 2/6 ” Lp]

Lp-*q]

Lp] ’

und den Schwerpunkt S der (Q und) g [P ■ Sg]

I> • yg]

Vs

[P]

XS —

so haben wir in ihnen ein Paar homologer Punkte beider Systeme gefunden. Auch ohne den Schnittpunkt H des Ähnlichkeitsstrahles AS mit dem Kreise M zu kennen, finden wir ferner seinen homologen Punkt $ auf dem Kreise SR als Schnitt dieses Ähnlichkeitsstrahles mit ihm. Da die Verbindungslinien homologer Punkte in ähnlichen Figuren homolog sind und andere homologe Linien in homologen Punkten schneiden, so ist die Gerade HS . homolog der Geraden und der dadurch zu findende Kreispunkt 21 homolog A. Dann ist aber A 2t Tangente in A an den gesuchten Kreis M, sein Durchmesser AP steht somit _L21M und geht durch den Gegenpunkt von 21 im Kreis SR . Für die Strecke AP = 2 r folgt aus der Ähnlichkeit der Kreise M imd SR die Proportion:

(AP= 2 r) : 2 v = AS : 91©

d. h.

(50)

AP=2r =

AS

Ist mittels des berechneten Maßes AP der endgültige Punkt P in die fehlerzeigende Figur auf der Geraden eingetragen, so bilden seine der Figur 5 zu entnehmenden Koordinaten die Zuschläge dx und dy, womit man mittels Gleichung (45) die gesuchten Koordinaten xP und yP gewinnt.

Also Lösung: Nach Aufzeichnung der Fehlerfigur Zeichnung eines beliebigen Kreises 9K durch einen beliebigen Punkt A dieser Figur. Bestimmung der Schwerpunkte S (der g) und © (der D). Zeichnung des Linienzuges AS$ , «£©21, 2l3ft$ß und _L A21.

• 2 r im gewählten Maß-

Abtragen der Strecke AP =

stabe, Abgreifen von dx und dy.

Will man sich über die bei der Punktbestimmung erreichte Genauigkeit Aufschluß verschaffen, so entnimmt man die Querverfehlungen h aus der fehlerzeigenden Figur und erhält unter Beachtung, daß zwei von den r beobachteten Strahlen zur Bestimmung nötig waren, die Zahl der überschüssigen also r — 2 beträgt, die mittlere lineare Querverfehlung eines Strahles vom Gewicht 1:

AS

2Î©

(51)

[p h h]

(*“2) ’

die mittlere Querverfehlung eines Strahles vom Gewicht

[p h h]

(r - 2)p ’

(51)

M= +

[phh\

(r - 2) \jp\ ’

den mittleren Fehler einer einseitig beobachteten Richtung

(51)

l/M -

fr - 2 '

±e"

s²

Wird ein Punkt, wie im vorliegenden Fall, als Schnitt von Strahlen bestimmt, so ist seine Genauigkeit nach verschiedenen Richtungen verschieden, sobald diese Strahlen nicht    r~

Fi g. 7.

gleichmäßig und gleich gewichtig über den Horizont verteilt sind.

Z. B. wird in Figur 7

jede kleine Unsicherheit in der Richtung auch nur eines der beiden Bestimmungsstrahlen deren Schnittpunkt erheblich in der Richtung AB, nur wenig dagegen in der Richtung CD verschieben. Es wird möglich sein, unendlich viele Punkte zu finden, für welche die mittlere Querverfehlung M (oder der mittlere Fehler einer Richtung) einen bestimmten Wert annimmt. Die stetige Verbindung dieser Punkte (Linie gleichen mittleren Fehlers) wird eine Ellipse (,,Fehlerellipseu) um den

Schnittpunkt P ergeben, deren größten kleinsten

Achse die Rich-Bestimmungs un Sicherheit und deren

große kleine

tung der

Achsen Verhältnis das Verhältnis der letzteren anzeigt.

Ebensolche Fehlerellipsen können wir auch im Falle der Verwendung beliebig vieler Bestimmungsstrahlen zeichnen. Wir werden in diesem Falle nur für eine Anzahl — etwa in profilartigen Reihen angeordneter — Punkte nach Gleichung (51) je die mittleren Fehler M oder bestimmen, sodann nach Art der Interpolation von Horizontalkurven in den Profilrichtungen Punkte bestimmter runder M oder aufsuchen und schließlich diese durch stetige Kurven verbinden. Wenn wir Wert darauf legen, einen Neupunkt mit möglichst großer und nach jeder Richtung gleicher Zuverlässigkeit zu bestimmen, so müssen wir dafür sorgen, daß nicht bloß die (bezüglich der Richtung neutralen) Fehlerausdrücke pt, m, M, absolut möglichst klein werden, sondern auch, daß die Fehlerellipsen sich möglichst der Kreisform nähern.

§ 22. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für trigonometrische Punkteinschaltung durch Vorwärtseinschnitt.

Zur rechnerischen Bestimmung der den Näherungskoordinaten Nx und Ny für den Neupunkt beizufügenden Zuschläge dx und dy [s. Gleichung (45)] wollen wir vorbereitend die Beziehung feststellen, welche zwischen kleinen Koordinatenänderungen dx und dy des Endpunktes B einer Strecke AB und der dadurch hervorgerufenen Änderung dop ihres Richtungs- (Neigungs-)win-kels 9) = nAB besteht. Für die Koordinaten des Endpunktes B einer unter dem Richtungswinkel nAB von A ausgehenden Strecke AB=s hat man allgemein:

yB = yA    AB • sinn AR

xB = xA + AB • cos nAB ,

woraus

(52)

XgnAB =

y_l - y a ₌ ày_

Xß — &A Ax

und

(52)

nAB = arctg

Ax *

Daraus folgt durch Differentiation, wenn man AB = s und nAB = 99 setzt:

Ja?

z(«/

d(nAB) = d(f = ——d y —    - dx

analyt. ^

oder

dtp" =

(53)

cos 99

COS ² 99

Q"dy -    o"rfa:

sin² 99

Ax

Q dy —

Ay

Qf'dx

Setzen wir

Ja?

COS£

Ir

cos²99 n sin² 99 rt

A    Î?

-

wobei also & das Vorzeichen von vosnAB bzw. Ja?, a das entgegengesetzte Vorzeichen des sin bzw. zlî/ zukommt, so erhalten wir die Veränderung ^99", welche der Richtungswinkel nAB = cp dadurch erleidet, daß man den Endpunkt B der Strecke um die kleinen Beträge dx und dy parallel den Koordinatenachsen verschiebt.

(54)

a cc

Q" =

Ay

dcp" = adx + b dy .

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

Die Koeffizienten a und b heißt man „Richtungskoeffizienten“.

Verschiebt man statt des Endpunktes E den Anfangspunkt A der Strecke um dieselben Beträge, so

Parallele zur +æ Achse

«■

,S'

ändert sich (wie auch geo-^ metrisch klar) der Rich-ą rß& tungswinkel op um den-‘ . selben Betrag dop, aber ^ in entgegengesetztem ! i Sinne.

A-OJb-JJa)

Fig. 8.

Wir können nun zur eigentlichen Aufgabe der Punkteinschaltung übergehen. Die in jedem der n0 zur Neubestimmung benutzten Festpunkte nach dem Neupunkte beobachteten „äußeren“ oder „Vorwärts“-Rich-tungen x seien auf Grund von rif weiteren, von den ersteren nach anderen Festpunkten gemessenen Richtungen x und den zugehörigen, aus den Koordinaten ihrer Endpunkte berechneten Richtungs- (Neigungs-)winkeln <p orientiert. Die orientierten Richtungs werte ß nach dem Neupunkt erhalten dabei das Gewicht 1, 2 . . . w/, wenn zu ihrer Gewinnung 1, 2 ... Uf gemessene Winkel zwischen dem Neustrahle und 1, 2 ... nf Feststrahlen verwendet worden sind. Ist die Beobachtung satzweise ausgeführt, und sind in die Sätze außer dem Neustrahle noch rif Richtungen xt . . . xHjf nach Festpunkten (Feststrahlen) aufgenommen worden, so ist das beobachtete Richtungsbüschel (x zur Orientierung um den Winkel œ zu verdrehen, der sich ergibt als arithmetisches Mittel

"/

co = ———. Damit wird die orientierte Richtung

nach dem Neupunkte P A- • ß =* (Xp-\

W — a]

= dp -j- oo

nf

und ihr mittlerer Fehler niß = +y. Setzt man die Richtungswinkel cp der Feststrahlen als fehlerfrei voraus, so ist der mittlere Fehler von [cp — oc) gleich demjenigen von a, somit, da zur Bildung von aoA-*nf

inf

Werte verwendet wurden, mM = 7Y^~. Damit wird

nf

—1/”!

nf

und wir erhalten aus der Proportion (15) Pß\p^ — m\ das Gewicht der in den Festpunkten satzweise beobachteten und orientierten „äußeren“ oder „Vorwärts“-Richtungen ß nach dem Neupunkte:

(56)

nf

w/+ 1

Für Pa = 1 wird pß =

nf

nf-\- 1

Wir haben nun dreierlei von jedem der Festpunkte A, B . . . ausgehende, gegen den Neupunkt gerichtete Strahlen zu unterscheiden, nämlich:

1.    Die aus der Winkelmessung gewonnenen, zur Bestimmung des Neupunktes dienenden orientierten Richtungen ß, welche sich infolge von Ungenauigkeiten (in der Messung, den Festpunktskoordinaten usw.) nicht, wie es sein sollte, in einem Punkte schneiden werden und die wir mit nAP, nBP . . . bezeichnen wollen.

2.    Die Verbindungslinien der benutzten Festpunkte mit dem vorläufigen Punkt W, deren aus den Koordinaten

zu berechnende Richtungs- (Neigungs-)winkel mit (nAP), (nBP) . . . bezeichnet sein mögen.

3. Die Verbindungslinien der Festpunkte mit dem endgültigen, seiner Lage nach zunächst noch unbekannten Neupunkt P, deren zunächst unbekannte Richtungswinkel wir mit [nAP], [nBP]*) . . . bezeichnen.

Wir erhalten nun folgende Gleichungen für die auftretenden kleinen Winkeländerungen (linksläufige Drehung in Fig. 9 bedeutet negativen Wert):

v'^=[nAP] — nAP „ ß Bz=zV'ß—[nBP] nBP

Verbesserungszuschlag an ßA

(a)

nAN= (nAP) nBN=(nBP)

Veränderung dcp des Richtungswinkels j

d"q)A — [nAP] — (nAP) d"cpß— [nBP] — (nBP)

welche eintritt, wenn man den vorläufigen Endpunkt N um die zunächst unbekannten Beträge dx, dy nach P verschiebt :

(b)

Ersetzt man die endgültigen Richtungswinkel [nAP],... in Gleichungen (b) durch nAP v±, . . . aus Gleichungen (a), so erhält man

)A= nAP— (nAP) + v"A

(c)

)ß=z nBP— (■nBP) -f- v"B

*) [] hat hier und im folgenden jeweils nicht die dem Zeichen bisher allein zugeschriebene Summenbedeutung, sondern auch noch die Aufgabe, endgültige Winkel- oder Richtungswerte als solche zu kennzeichnen ! Ob die eine oder andere Bedeutung in Frage kommt, ergibt sich aus dem Sinne der Ableitung.

Die Änderungen dop der Richtungswinkel können wir mittels Gleichung (55) in den Koordinaten Zuschlägen dx

dy

oder

(c)

v'l~ d(pA-\- (nAP) — nAP = d(pB-\- (nBP) — nBP

'KÆ/À

Tb

/h

\\

Fig. 9.

und dy ausdrücken. Bezeichnen wir ferner die Unterschiede (nAP) — nAP . . . zwischen den (Näherungs-) Richtungswinkeln nach dem vorläufigen Neupunkt N und den gemessenen, orientierten Richtungen ß analog Gleichung (25 d) mit Ia, h- • dann gehen die obigen Glei-

chungen in die gewöhnliche Form der Fehlergleichungen (25e) über:

a dx -f- b dy -f-1 = v ,

deren wir zur Berechnung der Koordinatenzuschläge dx und dy ebenso viele (nämlich nv) erhalten, als orientierte, gemessene Richtungen ß nach dem Neupunkt vorhanden sind. Die Gewichte p der Absolutglieder l sind nach §20 gleich denen der orientierten Richtungen ß, welche wir oben abgeleitet haben.

Wir können daher jetzt die Koeffizienten der Normal-gleichungen

(26 a)

[p ad\ dx + [p ab] dy [p al\ = 0 [p ab\dx -f- [p. bb\dy + [p b /] = 0

und die zur Rechenprobe und zur Fehlerermittlung weiter erforderlichen Produkt- und Quadratsummen

[pli], [pas] , [p b s] , [pl s]

[pss]

ermitteln und sodann, wie in § 20 gezeigt, zuerst die

[pbl-l\

[pbb • 1]

Py = [pbb • 1] und dann nach erfolgter Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen den Zuschlag dx berechnen. Schließlich ergibt Gleichung (45) die gesuchten Koordinaten xp und yp. Wir erhalten weiter, wie in § 20 gezeigt,

Unbekannte dy —

und deren Gewicht

Ipvv] = [pll- 2]

(37 b)

und, da zur Punktbestimmung zwei Strahlen nötig, also (nv — 2) davon überschüssig sind,

[p 11 • 2]

(57) J4-±y-

[pll- 2]

K— 2)[pbb- lj '

§ 23. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für trigonometrische Punkteinschaltung durch Rückwärtseinschnitt. (Beobachtung nur im Neupunkt.)

Für die Lösung ist zu unterscheiden zwischen A) Winkel- und B) Richtungsbeobachtung.

A) Lösung bei Winkelbeobachtung.

Wie bisher setzen wir wieder voraus, daß uns die Koordinaten æ/y, yN eines vorläufigen Punktes N möglichst nahe dem gesuchten Punkt P bekannt und daß nur die kleinen Zuschläge dx und dy gesucht sind, durch deren Addition wir nach Gleichung (45) die Koordinaten xp und yp des Neupunktes erhalten. Wären letztere schon gefunden, so könnten wir die endgültigen Richtungswinkel \n PA], [n PB] . . . der Verbindungslinien vom Neupunkt nach den benutzten Festpunkten ableiten und aus ihnen durch Subtraktion die endgültigen Werte K] r= [APB] = [n PB] — [n PA]

[a₂] = [BPC] = [n PC] - [n PB] der gemessenen Winkel. Dann könnten wir auch die den Messungsergebnissen (xx = A PB, oc.₂ = BP C usw. zuzufügenden Verbesserungszuschläge v₁₁ v₂ . . . ermitteln:

vi — [ai\ — ai — [APB] — al=[n PB] — [n PÄ] — a1 (a) * v₂= [a₂] — a₂ = [BPC] — <x₂= [nPC] — [n PB] — a₂

Nun können wir aus den Koordinaten des Näherungspunktes ATfür Pdie vorläufigen Richtungswinkel (nPA\ (n PB) . . , (Scheitel in N), und. aus ihnen durch Subtraktion Näherungswerte (ocx), (oc₂)... für die beobachteten Winkel ableiten:

(ax) — ANB = (A PB) = (n PB) — (n PA) (a₂) = BNCee (.BPC) =•(» PC) — (n PB)

(b)

Wir können weiter die Veränderungen dcp±, dq?ß • • welche die vorläufigen Richtungswinkel (n PA), (n PB)... dadurch erleiden, daß man den vorläufigen Punkt N nach

Parallele zur +æ Achse/

o—

.--'SV

prA

'XC

>Qd>

Fig. 10.

P verschiebt, mittels Gleichung (55) in den (zunächst unbekannten) Verschiebungen dx und dy ausdrücken, wobei wir allerdiugs beachten müssen, daß wir jetzt nicht den Endpunkt, sondern den Anfangspunkt der Strecke verschieben, wodurch dcp das entgegengesetzte Vorzeichen erhält. Setzen wir daher

sin 99

(54 a)

a = —— q" s

eT,

COS (p

so wird

(c)

dq?i = [n PA] — (n PA) = aA dx -(- bA dy d<pB = [n PB] — (n PB) = aBdx-\- hB dy

oder

(c)

[n PA] = [n PA) aA dx -f- hA dy [n PB] = (*n PB) -|- aB dx-\-hB dy

Setzen wir die gewonnenen Werte für \nPÄ\... in Gleichung (a) ein, so erhalten wir die Fehlergleichungen :

( vx =(nPB)-\-aBdx-\-hBdy — (nPA) — aAdx—hAdy —

(d) \ v₂=(nPC) + acdx+hcdy — (nPB) — aBdx — hBdy — a₂

Wenn wir unter Benutzung der Gleichungen (b) wie bisher setzen: l = Näherungswert — gemessener Wert des beobachteten Winkels:

0nPB) — (nPA) — at = (at) — al=l1 (nPC) — (nPB) — a₂ = (a₂) — a₂ — l₂

und ferner

^des rechten Schenkels    ^des linken Schenkels    ^

^des rechten Schenkels    ^des linken Schenkels    ^ 1

so erscheinen die Fehlergleichungen (d) in der gewöhnlichen Form:

Normalform

(25 e)

v₁ = <$l₁dx -f- 33₁ dy + v₂ = dx -f- 33₂ dy -f~ 4 ’ der Fehler-'• ) gleichungen.

Ihre Zahl nr ist gleich derjenigen der im Neupunkt beobachteten Winkel oc. Letztere, folglich auch die Absolutglieder l sind gleichgewichtig. Wir erhalten daher die gesuchten Koordinatenzuschläge dx und dy aus den zwei Normalgleichungen :

(26 a)

[9191] dx + [9153] dy + [9t l] = 0 [5133] dx+ [3333] dy + [33/] = 0.

Zum Zweck von Rechenproben und zur Fehlerberechnung führen wir analog Gleichungen (40) bis (44) in die Reduktion weiter ein die Produkt- und Quadratsummen :

pq, [«©], [®@], P@]f [@@]

und erhalten:

die rechts stehende Unbekannte dy

PBM]

[33 33-1]

ferner (37 b)

und ihr Gewicht Pdx = Px = [3333 • 1] ,

[”] = [H-2] ,

und (weil zwei der ne in P gemessenen Winkel oc zur Bestimmung von P nötig, also (nr — 2) überschüssig sind)

(58)

(n, - 2) [33 33 • 1] *

Die zweite Unbekannte dx, ihr Gewicht und mittlerer Fehler ergibt sich nach erfolgter Umstellung der Normalgleichungen auf dieselbe Weise.

B) Lösung bei Richtungsbeobachtung.

Das soeben vorgeführte Verfahren läßt sich ohne weiteres auch auf Richtungsbeobachtungen an wenden, wenn man die als gemessen vorausgesetzten Winkel durch Subtraktion je zweier Richtungswerte oc gewinnen will. Die Zahl der zu verwendenden Winkel und Fehlergleichungen wä£e aber dann beim Vorhandensein von nr beobachteten und gleichmäßig zu berücksichtigenden

Richtungen = ^ j , also sehr groß. Wir suchen daher

ein einfacheres Verfahren. Wie bisher mögen die Koordinaten    y y eines in möglichster Nähe des gesuchten

Neupunktes P gelegenen vorläufigen Punktes N bekannt, also die ihnen zuzufügenden Zuschläge dx und dy [s. Gleichung (45)] gesucht sein.

Das im Neupunkte P gemessene Richtungsbüschel oc kann man nun, ohne an der gegenseitigen Lage der Strahlen, also an der Eigenschaft der Richtungen als Messungsresultaten etwas zu ändern, um den zunächst unbekannten Betrag Z derart verdrehen, daß die Individuen dieses mit dem Scheitel nach dem zunächst unbekannten endgültigen Punkte P gelegten Strahlenbüschels von den Verbindungslinien dieses Neupunktes mit den Festpunkten möglichst wenig ab weichen. Wären Messung der Richtungen und Lage der Festpunkte fehlerfrei und Projektions Verzerrung nicht vorhanden, so müßten dann sogar sämtliche Strahlen durch die entsprechenden Festpunkte gehen; der Unterschied (endgültiger Richtungswinkel \nPÄ\... — endgültig orientierter Richtungswert [oca] . . . ) wäre = 0 . Trifft dies nicht zu, so stellt der Unterschied direkt die am endgültig orientierten Richtungswert [oca] • • . anzubringende Verbesserung v dar. Den unbekannten Verdrehungswinkel Z zerlegen wir, wie gewohnt, in einen Näherungswert œ und den unbekannten Zuschlag %, womit wir erhalten :

und womit die im Neupunkt P endgültig orientierte gemessene Richtung wird:

(60)

M = (X -f- CO + % .

Den Näherungsbetrag co gewinnen wir, wenn wir das gemessene Strahlenbüschel mit dem Scheitel — statt auf den endgültigen, aber unbekannten Punkt P —- vorerst auf den vorläufigeu Punkt Ń legen und dann um co so verdrehen, daß die Summe der Abweichungen V der vorläufig orientierten Richtungswerte &a + co, + co,. . . von den zugehörigen vorläufigen Richtungswinkeln (n PA), (n PB)... wird = 0, d. h.

(n PA) — (aA    ao) Ą- (n PB) — (a B -f- oo) -f- • • •

-I----= [H =,0.

= VA

aA + VB ~    a°-

In diesem Falle ist also der vorläufige Verdrehungs

winkel :

co ==

(n PA) — aA-\-(n PB) — aB -f-----1- (n PB,) — &R

nr

(61) co

2 d. vorl. Rieht.-Winkel — 2 d. gemess. Richtgen.

nr

Die durch Addition von co zu den gemessenen Richtungswerten oc vorläufig orientierten, aber in ihrer gegenseitigen Lage dadurch nicht veränderten Richtungen oc + co mögen heißen oc°. Wir haben für jeden Bestimmungsstrahl jetzt vier Werte zu unterscheiden, nämlich

1.    die im Punkte iV vorläufig orientierte, gemessene Richtung (X° ,

2.    den Richtungswinkel (n PA), (n PB) . . . der Verbindungsstrecke vom vorläufigen Punkte N zum Festpunkte A, B . .

3.    die im Neupunkte P endgültig orientierte, gemessene Richtung [oc] = (X -f co + % = oc° + %,

4. den Richtungswinkel [n PA], [n PB] . . . der Verbindungsstrecke vom endgültigen Neupunkte P zum Festpunkte A, B . . .

Die Werte (2) und (4) unterscheiden sich um die Änderung dcp" am Richtungswinkel (n PA) . . ., welchen eine Verschiebung des Anfangspunktes N der Strecke NA . . . um die Koordinaten Zuschläge dx und dy, d. h. nach P hervorruft. Nach Gleichung (c) von § 23 ist also [NPA] = (n PA) + aA dx -f- hA dy [n PB] = (n PB) -f- aB dx -f hB dy

Bezeichnen wir endlich, wie gewohnt und schon oben angegeben, den Unterschied: vorläufiger Wert — Beobachtungswert hier    nPA) = v) — oc\ mit V und die

Verbesserung des (endgültig orientierten) Beobachtungswertes [oc] mit v, so erhalten wir die Fehlergleichungen : vA — [n PA] — [aA] = in PA)-\- cla dx-\-hAdy — a°A — z = aAdx + hA dy -z-\-l'A

vß — [n PB] — [aö] = (n PB) -(- aBdx A-bßdy — a°ß — z = aBdx+hBdy — z-f l'B

Ihre Zahl ist gleich derjenigen der beobachteten inneren Richtungen, also gleich nr. Setzen wir, um den Koeffizienten der dritten Unbekannten positiv zu erhalten, dco = —&, so daß der gesuchte Verdrehungswinkel

(59)

Z — o) -\- z — cjo — dco , so gehen die Fehlergleichungen über in:

(25 e)

vA = dco + aA dx bA dy -f- l'A vB = cloj + ajidx + bßdy + 4

Die inneren Richtungen oc, folglich auch die Absolutglieder V sind gleichwertig. Man erhält daher unter Beachtung, daß der Koeffizient der ersten Unbekannten da) (sonst a) jetzt 1 heißt, für die Bestimmung der drei Unbekannten dco ,    dx, dy die drei Normalgleichungen :

Der normale Weg der Auflösung erfordert nun zweimalige Reduktion der Normalgleichungen. Der Umstand aber, daß alle Koeffizienten der ersten Unbekannten da) in den Eehlergleichungen einander gleich sind, ermöglicht eine Vereinfachung durch vorausgehende Eliminierung dieser Unbekannten.

so er-

Addiert man nämlich sämtliche Fehlergleichungen und beachtet, daß nach Gleichung (33) allgemein [av\ = 0, also bei — aß = . . . an = 1, hier [V| = 0 hält man

[v] = nr • dœ + [a] dx + [b] dy + [V] = 0 , woraus die Durchschnittsgleichung

(62) M ₌ dco + ^-dx + dy + H = 0 .

nr

nr

nv

nr

Subtrahiert man diese Durchschnittsgleichung von jeder Fehlergleichung, so erhält man ein System reduzierter Fehlergleichungen mit nur zwei Unbekannten.

Setzt man noch die dabei entstehenden Differenzen, nämlich :

(63 a)

\ nr !    \ nr j    \ nr /

§ 23. Kechn. Ausgleichung*sverfahren f. Rückwärtseinschn. 143 usw., so gehen die Fehlergleichungen (25 e) über in

Va

■? Ls

(63)

vB

= dx + y$Ady + Sa

- (“• - *)ix + (⁶* - *)*»+(r‘- lB

= $lBdx + dy + ÜB

Das Absolutglied S der Gleichungen (63) unterscheidet sich dabei in keiner Weise von dem Absolutgliede V der Gleichungen (25 e), weil infolge der Orientierung des gemessenen inneren Richtungsbüschels oc nach den vorläufigen Richtungswinkeln v wird [/'] == 0 , also auch

EQ = o.

nr

Aus den Fehlergleichungen (63) erhält man jetzt zwei Normalgleichungen für die Berechnung der unbekannten Koordinatenzuschläge, nämlich

[VW] dx + [218] dy + [512] = 0 [«8] dx + [88] dy + [88]. = 0

(64)

und durch Reduktion

[SS • 1]

\m-i\

{ Pd!)=Py = m- 1]

und, da die Zahl der nötigen Richtungen = 3 , die der überschüssigen also = nr — 3 ist,

(65)

dy =

(66)

M,

[SS • 2]

womit im Abriß noch die Probe sich ergibt, daß der bei der Richtungsorientierung im endgültigen Neupunkt P auftretende Verdrehungswinkel sein muß

(59)

Z==co + z= co — dco.

Umstellung der Koeffizienten der Normalgleichungen liefert auf gleiche Weise die zweite Unbekannte dx, ihr Gewicht Px und ihren mittleren Fehler Mx.

§ 24. Rechnerisches Ausgleichungsverfahren für vereinigtes Vor- und Rückwärtseinschneiden.

Sind zur Bestimmung der Koordinaten xP und yP eines Neupunktes P Winkel oder Richtungen sowohl in den Festpunkten A, B . . . nach dem Neupunkt (äußere oder Vorwärtsrichtungen), als auch im Neupunkt nach den Festpunkten beobachtet (innere oder Rückwärtsrichtungen), so kann man für die ersteren die Fehlergleichungen des § 22, für die letzteren diejenigen des § 23 gleichzeitig zur Anwendung bringen.

nr

Wollen wir schließlich noch den Verdrehungs-zuschlag % = —dco berechnen, so liefert Gleichung (62)

dx -f- — dy +

(67)

und da [/'] = 0 ,

nr

Ny

nr

(67)

IS

nr

Hy

dy

Man hat also statt nV) wie im Falle des Vor-, oder wie im Falle des Rückwärtseinschnittes, jetzt (nv -f nr) Fehlergleichungen, wenn von den Festpunkten zum Neupunkt herein nv, vom Neupunkt zu den Festpunkten hinaus nr Strahlen beobachtet wurden. Die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen

setzen sich also ans (nv + n,) Summanden zusammen. Wir erkennen ferner, daß die Richtungskoeffizienten a und a, bzw. b und b der Fehlergleichungen nach Richtung und Größe einander gleich sind, wenn sie sich auf denselben Bestimmungsstrahl beziehen, d. h. wenn dieser zweiseitig, sowohl von außen nach innen, als von innen nach außen beobachtet wurde. Für den Strahl AP ist z. B.:

sinwAP „    .

AP e =•+ cos nAP -jp-e

sin nPA „ Ap-e=aA

cos nPA

AP ~ Q = 6jt ’ ebenso für den Strahl BP bzw. PB usw.

Nur die Gewichte p der Absolutglieder G, lD . .

, 4 . . ., I'a , Vß . . . bzw. 2a , 2B . . . verlangen jetzt, da gleichzeitig innere und äußere Richtungen zur Bestimmung der Unbekannten verwendet werden, noch eine ;■ vergleichende Untersuchung.

Als Gewicht p einer äußeren Richtung oder der Absolutglieder lA, lB . . . haben wir in § 22 für den Fall des Yorwärtseinschnittes festgestellt:

a)    im Falle der Winkelmessung: pi — 1, 2 . . . wenn der Neustrahl durch 1, 2 ... nj gemessene Winkel mit 1, 2 ... nj Feststrahlen verbunden ist,

b)    im Falle der Richtungsbeobachtung: Pi=Pß=—7—,

n/~T 1

wenn außer dem Neustrahl noch nj Feststrahlen dem beobachteten Richtungsbüschel angehören.

Die Gewichte^- der inneren Winkel und Richtungen, oder der betreffenden Absolutglieder lx, l₂ . . . bzw. I'a , Iß und Si, 2B sind für den Fall des Rückwärtsein-schnittes je unter sich gleich, also nicht weiter zu be-

10

We i t b r e c h t, Ausgleiehungsiechnung.

rücksichtigen. Sollen sie aber mit äußeren Richtungen in Verbindung gebracht werden, so müssen wir das Verhältnis der beiderseitigen G-ewichte feststellen.

Dies ist bei vorhandener Winkelmessung sehr einfach, da bei gleich genauer Beobachtung jedem Winkel — gleichviel, ob sein Scheitel im Festpunkt oder im Neupunkt liegt — gleiches Gewicht zukommt.

Etwas anders ist es bei der Richtungsbeobachtung.

Denken wir uns das innere Richtungsbüschel mit dem Scheitel im endgültigen Neupunkt P nach den benützten fehlerfreien Festpunkten A, B. . . orientiert, so wird jede beobachtete, orientierte Richtung um einen gewissen Fehlerbetrag von ihrem wahrscheinlichen Wert, dem Richtungswinkel [nPA], [nPB] . . . abweichen, der sich wie bei der Ableitung S. 131 zusammensetzt aus dem Beobachtungsfehler mÄ einer inneren Richtung und aus dem

771

Fehler mz = —~r des Verdrehungswinkeis Z [s. Glei-

\nr ■

chung (59)]. Daher ist der mittlere Fehler einer orientierten inneren Richtung (im Falle der Beibehaltung dreier Unbekannten dco, dx, dy gleich demjenigen des Absolutgliedes V) analog (S. 131):

mi = YYly

=•»«]/-

nr

und da für innere und äußere Richtungen gleich ist, analog Gleichung (56)

(68)

Pi=Pe =

nr + 1

Wendet man das Verfahren der vorgängigen Eliminierung von dco an, so wird das Absolutglied statt Z' :

§24. Rechn. Ausgleichungsverf.f.Vor-u.Rückwärtseinschn. 147 und sein mittlerer Fehler

«2 =

»r+l

M,

*»«•

W) + 1

»r

(68a)

P& =

Damit wird

wf.

nr + 1 /

* und

Mit wachsendem nr konvergieren

ïly —{“ 1

gegen 1. Da nun nr einschnittes überhaupt von Ausgleichung die Rede sein soll, so setzen amtliche Vermessungsanweisungen der Einfachheit halber

4, wenn im Falle des Rückwärts-

Pi=Pr=Pä=l-Die Zahl der überschüssigen Richtungen zum Zwecke der Fehlerberechnung ergibt sich aus der Betrachtung, daß im Falle der Richtungsbeobachtung zur Berechnung der drei Unbekannten dx, dy und % jedenfalls drei Bestimmungsstücke nötig, also (nv -f- nr — 3) Stücke überschüssig sind.

"Wir haben also bei vereinigtem Vor- und Rückwärt sein schneid en:

A) Im Falle der Winkelbeobachtung Fehlergleichungen vA=aAdx 4 bAdy + lA

vB=aßdx-\-bBdy-\- lB

Gewicht p

nv Gleichungen für nv Zielungen vorwärts

nfA

v₂ = 2l₂ dx + $ö₂ dy -f U

nr Gleichungen für ( vx = dx -f- dy -j- lx nr Zielungen rückwärts

Normalgleichungen

([paa] + [3l5K])tó + ([Pab] + [9IS8])<ty + M + [*JJ)=U, {[P ab] + [3158]) dx+ {[p bb] + [33 33]) dy + ([P b l] + [8 J])=0.

Führt man für die Koeffizienten von dx und dy in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein, und setzt z. B.

{[p a a\ -f- [51 51]) = [p a a\ usw.,

so erhält man

[pbl-l] [pbb-l]

Py = [p b 5-1]

dy

M„ = ± ]/■

[pll- 2]

[pbb- \](nv+nr — 2) *

B) Im Falle der Richtungsbeobachtung und:

1. der Beibehaltung der dritten Unbekannten dco :

Gewicht p der Beobachtung oder des Absolutgliedes

Fehlergleichungen

n₀ Gleichungen für nv Zie- < lungen vorwärts

vk~

aAdx + bAdy + lA

nfA

nfA+ ¹

.. »?

aBdx + bBdy+lB

nfS+¹

nr Glei-chungen für nr Zielungen rückwärts

vA — dco aAdx-\-hAdy

vB=dco-{- aBdx-{-hBdy

nr

nr + l

oder genähert 1

»V + l.

Normalgleichungen

b,.] dco+[pr a] dx+[pr b] dy+[pr G=° >

[P,r a] dco + ([pvaa\ + [pra a]) dx+{[pvab\ + [prah]) dy+{[p₀al] + [prcil']) = Q , [pr b] dco + {\pDab] +[pr ab]) dx+([pv b b] +[pr b b]) dy+([pvbl\ +[prb l'])=0 .

Führt man für die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein und setzt:

[?,] = [?««],    0,a] = l>«&] , \P,M = [pac\,

([P„ a «] + [Pr « «]) = [P & &] ,    ([p„ a 6] + [pr a 6]) = [pbc]

usw.,

[p c l • 2]

so hat man

dy

[p c c • 2] 1 P?/ = [pcc2] ,

[p / / • 3]

[p c c • 2] (n +n — 3) *

Im Falle der Richtungsbeobachtung und:

2. der vorgängigen Eliminierung der Unbekannten dco :

Gewicht p der Beobachtung oder des Absolutgliedes

Fehlergleichungen

nv Gleichungen für nv Zie- < lungen vorwärts

vA=aAdx+bidy + lA

vb~ aß dx -f- bB dy -f- lB

nfA

"/.4+¹

n,

Jb

%+¹

ur Gleichungen für nr Zielungen rückwärts

va —    dy +

vB=‘*hdx+®Bdy+"li

(-üü²)

W+i/

nr

»,.+1

oder ge-² nähert 1

Norm al gl eichun gen

<[?„««] + [/>,• St 31]) dx + ([/>„ « Ł] + [/V SI ®], d y + ([/>„ « /] + [p, SI S]) = 0. ([ P₀ “ *>] + Ii'r 319]) d X + ([ /v b h] + [p SB 8]) dy + ([ pr b I] + [p,. 33 S]) = 0•

Zahlenbeispiel.

Zur Bestimmung der rechtwinkligen Koordinaten des trigonometrischen Neupunktes 1 wurden auf ihm Dichtungen nach benachbarten Dreieckspunkten und in letzteren solche nach dem Neupunkte beobachtet. Die Koordinaten der benutzten Dreieckspunkte sind bekannt und als fehlerfrei anzunehmen.

Gemessen wurde:

399° 99'64" 122°19'08" 189° 23' 41" 232° 97'25" 355° 00'62" 399° 97' 65" 4° 68' 37" 16° 78¹ 41" 49°14'48" 399° 98'99" 2° 37' 63" 0° 03'93" 49° 27'69" 57° 66'26" 67°53'09"

Führt man für die Koeffizienten der Unbekannten in den Normalgleichungen wieder die bisherigen Bezeichnungen ein, setzt also

so wird

(!>„««] + [p, 2t 2t}) = [paa] usw.,

[pb M]

[pbb-1] '

Pv=[pbb-1],

dy

=±1/

[pll -21

[pbb-l](nv+nr — 3] ‘

Im Neupunkte 1 nach Killesberg Feuerbach Eychen Zuffenhausen

In Sandäcker nach Eychen

Feuerbach Neupunkt 1 Killesberg

In Eychen nach Feuerbach Neupunkt 1 Killesberg

In Killesberg nach Feuerbach Eychen Neupunkt 1 Stammheim

In Killesberg nach Kornwestheim 89° 31' 12" Cannstatt

172° 27' 10"

Berg

191°02'75" 314°31'56"

Falget

Weil im Dorf 392° 84' 22" .

Gegebene Koordinaten:

30796,55

31781.93 32632,85 31114,51

31962.93 Killesberg 31690,30 Kornwestheim 38572,02 Sandäcker Stammheim Zuffenhausen

Berg

Cannstatt

Eychen

Falget

Feuerbach

31940,47 36512,78 34691,00 Weil im Dorf 32949,64

11731,96

12010,25

8101,42

8061,89

7858,74

8485,65

10181,79

7360.85

7999.98

9175.86

4372.99

Lösung: Für den Neupunkt 1 seien auf irgendwelche Weise die Näherungskoordinaten:

Ny = -f- 8428,22

Nx = +31909,96,

ermittelt worden.

Mittels der Formel:

t gnAB

Vb ~ Va _ Ay

XB XA ~~ Ax

seien ferner die in Spalte 4 von Formular 1 (Abriß) mit senkrechten Ziffern eingetragenen Richtungswinkel cp der Yerbindungsstrecken zwischen den durch obige Koordinaten bestimmten Festpunkten berechnet. Damit erfolgt die Orientierung der in den Festpunkten beobachteten und in Spalte 3 des Formulares 1 eingetragenen Richtungsbüschel a .

Der hierfür nötige Yerdrehungswinkel co ist in Spalte 5, die orientierten Richtungen ß (worunter auch diejenige des

nf

Neustrahles) sind in Spalte 6 und die hiernach sich ergebenden BeobachtungsVerbesserungen v für die Feststrahlen in Spalte 7 berechnet.

Die orientierten Richtungen ß werden jetzt aus Formular 1 als „Richtungen vorwärts“, die im Neupunkte beobachteten Richtungen a direkt aus dem Feldbuch als „Richtungen rückwärts“ in das Formular 2, Abteilung 1, Spalte 3 übertragen. Gleichzeitig erfolgt der Eintrag der in Formular 1 zur Orientierung der Vorwärtsrichtungen benutzten Zahl von Feststrahlen ny in Spalte 5 und die Berechnung der Rich-

(den Richtungen rückwärts möge

tungsgewichte p

W/ +1

durchweg das Gewicht 1 zugeschrieben werden). Hieraus ergeben sich die Gewichtsfaktoren ^ p in Spalte 8 des Formulares 2 (Abteilung 1). Durch die Orientierung der Vorwärtsrichtungen (Verdrehung des ganzen Büschels der in den Festpunkten beobachteten Richtungen um den Winkel co) in Formular 1 ist an deren gegenseitiger Lage, also an ihrer Eigenschaft als Beobachtungs werte, materiell nichts geändert. Mit ihnen werden nun die aus den Näherungskoordinaten für den Neupunkt abgeleiteten Richtungswinkel v = (NAP), (NBP)... (s. Spalte 4 der Abteilung 1 von Formular 2) verglichen, wobei sich in Spalte 6 die Absolutglieder l der Fehlergleichungen für die Vorwärtsrichtungen ergeben.

Auch die Rückwärtsrichtungen oc sollten, und zwar zunächst nach den vorläufigen Richtungswinkeln v (s. Spalte 4 von Formular 2), vorläufig orientiert werden:

Oy = oc + c° ,

wodurch sich dann die Absolutglieder V ergeben würden aus: V = v — a₀ — (v — a) — co .

Die letztere Gleichung zeigt aber, daß zur Bildung dieser Absolutglieder die Durchführung der vorläufigen Orientierung entbehrlich ist:, wir finden sie kürzer als Überschuß der Einzel werte (v — a) für den Verdrehungswinkel über dessen Mittelwert co .

Gleichzeitig mit der Berechnung der Richtungswinkel cp der Verbindungsstrecken vom vorläufigen Funkte 1 nach

den zu seiner endgültigen Bestimmung zu benützenden Festpunkten oder umgekehrt mögen die Strecken selbst

Ay_

Ax

sin cp    cos 9ö

und die Richtungskoeffizienten sin cp

cos cp

(cp vom Neupunkt zum Festpunkt) logarithmisch oder mittels eines speziellen Hilfsmittels (Tabelle, Rechenschieber, Diagramm) gewonnen worden sein. Letztere werden in Spalte 7 des Formulares 2 eingetragen.

Zur Erzielung bequemer Rechnung sind möglichst gleiche Zahlenwerte für die Absolutglieder i bzw. V und für die Richtungskoeffizienten a und16 (Koeffizienten der Fehlergleichungen) erwünscht. Dies wird erreicht durch Wahl solcher Maßeinheiten, welche der normalen Beobachtungsgenauigkeit und der mittleren Strahlenlänge angepaßt sind. Im vorliegenden Beispiele wird als Winkeleinheit (für l, Z', q) die Dekasekunde, als Streckeneinheit (für dx, dy, s) das Dezimeter gewählt.

Nun bilden wir in den Spalten 9—11 des Formulares 2, Abteilung 1 durch Multiplikation der Koeffizienten a und b und der Absolutglieder l je mit VPß die Koeffizienten a}^,    lYpp

der Fehlergleichungen für die Vorwärtsrichtungen, durch Subtraktion der Durchschnittswerte ct₀

[«,]

nr

und b₀

[BJ

nr

für

a und b von diesen Richtungskoeffizienten und Multiplikation mit YPi diejenigen für die Rückwärtsrichtungen

(9t = (d — a₀) ]fpt; $B = (6-6„)IJV;    = *'!>,)•

Für letztere besteht die Trobe:

[21] = 0, [95] = 0, [S] = 0. Schließlich erfolgt die Bildung der Summenglieder fpß = a iYß + 6 Ypß +1 Mvfl

für die Vorwärts-, bzw.

= 2t + 93 + S

für die Rückwärtsrichtungen, wobei die Rechenprobe sich ergibt:

⁶Vpß . ivFß _

^ 8

[^Pß\ ■

(Durch Benutzung dekadischer Ergänzungen wird die Summierung hier, wie auch später in Abteilung 2 des Formulares 2, erheblich bequemer.)

Die Berechnung der Koeffizienten der Normalgleichungen erfolgt in Abteilung 2 des Formulares 2. Zur Ausrechnung der einzelnen, hernach zu addierenden Quadrate und Produkte werden Logarithmen-, Quadrat- und Produktentafeln, Rechenmaschinen, oder — bei ungefähr gleich- und nicht allzu großen Koeffizienten — Rechenschieber benutzt. Die in Abteilung 2 gebildeten Koeffizienten der Normalgleichungen werden nach Abteilung 3 des Formulares 2 übertragen, wo die Reduktion der Gleichungen unter Beachtung der Rechenproben entsprechend dem Vordrucke und den früheren Ableitungen erfolgt. Abteilung 4 ist für die Berechnung der mittleren Fehler der Beobachtungswerte und der Unbekannten bestimmt.

Eine durchgreifende Rechenprobe erzielt man in Formular 1 nach Gewinnung der endgültigen Koordinaten des Neupunktes durch Aufstellung des „Abrisses“ auch für ihn. Die Richtungswinkel <p von ihm nach den benutzten Festpunkten oder umgekehrt mögen nach den in der Einleitung hierfür angegebenen Formeln berechnet, und nach Spalte 3 des Abrisses sowohl zu den Festpunkten, als zum Neupunkt übertragen sein (vgl. schräge Ziffern). Das auf letzterem beobachtete Richtungsbüschel a wird, wie bisher, zum Zwecke

verdreht,

[cp — a]

der Orientierung um den Winkel co

wobei die orientierten Richtungswerte ß erscheinen. Dann muß dieser endgültige Verdrehungswinkel co von dem in Spalte 5 der Abteilung 1 vom Formular 2 benutzten vorläufigen um den Betrag

z = —- dx -|- -ËL dy = o₀ dx -f- B₀ dy

nr

nr

nr

ab weich en:

^endgültig — œvorläufig + Z •

Bildet man schließlich die Differenzen v = y — ß , und multipliziert jede Verbesserung v mit dem zugehörigen Vjp, so muß sein

[P v v] = [p ll • 2] .

III. Abschnitt.

Bedingte Beobachtungen.

§ 25. Erklärung. Aufstellung der Bedingungsgleichungen.

Wir haben bisher vorausgesetzt, daß die Beobachtungsgrößen an sich voneinander unabhängig sind, bzw. nur insoweit Zusammenhängen, als sie zur Ermittelung anderer Größen gemeinsam beitragen.

Nun gibt es aber eine Reihe von Aufgaben, in denen die mehrfach beobachteten Größen einer Anzahl (ß) voneinander unabhängiger, streng zu erfüllender mathematischer Bedingungen genügen müssen, „bedingte, direkte Beobachtungen“.

Sind z. B. die drei Winkel «■, ß, y eines Dreiecks je mehrfach gemessen, so müssen sie (unbeschadet der Berech-

[pl]

[P]

nung jedes einzelnen von ihnen nach der Formel L der Bedingung genügen:

a-\-ß-\-y—2R-{- sphär. Exz.

Die (etwa durch Einwägung ermittelten) Höhenunterschiede A h der Endpunkte der Seiten eines geschlossenen Polygons müssen (abgesehen von der Mittelbildung im Falle mehrfacher Bestimmung jedes einzelnen Ah) der Bedingung genügen \Ah\ = 0.

Ebenso müssen die Seiten s und die Brechungswinkel ß eines geschlossenen Polygons, gleichgültig, ob sie je aus mehr-fâcher Beobachtung gemittelt sind oder nicht, den drei Bedingungen genügen:

[ß] = (2 n — 4) • R bzw. c -2 R \A x] = [s • cos cp] — 0 [Ay] = [s-siny] =0 ,

wo <p die aus den Brechungswinkeln ß abzuleitenden Rieh-tungswinkel jeder Polygonseite in bezug auf ein beliebiges Koordinatensystem darstellen.

Die erste, wichtigste und häufig schwierigste Aufgabe der Ausgleichung ist im vorliegenden Falle die nach Zahl und Form richtige Aufstellung der Be-dingungsgleichungen.

Bedingungsgleichungen zwischen den Beobachtungswerten mehrerer Größen können auftreten, wenn zwischen diesen Größen ein mathematischer Zusammenhang infolge ihrer Zugehörigkeit zu einem abgeschlossenen Gebilde besteht. Ist die Zahl der beobachteten, nur durch jenen mathematischen Zusammenhang miteinander in Verbindung stehenden, sonst aber voneinander unabhängigen Größen gleich der Zahl der zur individuellen Existenz jenes Gebildes nötigen Bestimmungsstücke, so ist keine Überbestimmung vorhanden, also tritt auch keine Bedingungsgleichung auf. Jede weiter hinzutretende Beobachtungsgröße, welche in jenen mathematischen Zusammenhang eingeschlossen ist, liefert eine weitere Bedingungsgleichung.

Die Aufgabe der Ausgleichung bedingter Beobachtungen tritt in der geodätischen Praxis am häufigsten auf bei der Einschaltung von Nivellements- und Dreiecksnetzen.

Suchen wir daher als Beispiel die an einigen Dreiecksnetzen auftretenden Bedingungsgleichungen auf.

Im Falle ausgeführter Winkelbeobachtungen haben wir dreierlei Gruppen solcher Gleichungen, nämlich:

1.    Punktgleichungen. Die Summe der in ununterbrochener Folge um einen Punkt herumliegenden Winkel soll 4 R betragen. Zur gegenseitigen Festlegung von s Strahlen braucht man

w = (s —1)

unabhängige Winkel.

Jeder weiter gemessene liefert eine Punktgleichung.

2.    Winkelsum-m engleichungen.

Die Summe der drei Dreieckswinkel soll betragen :

Fig. 11.

2 R -j- Exzeß.

Jedes Dreieck, in welchem drei, jedes Viereck, in welchem vier usw. Winkel gemessen sind, liefert eine Winkelsummengleichung.

3.    Seitengleichungen. Reiht sich Dreieck an Dreieck so an, daß man von einer gegebenen Dreiecksseite ausgehend die anderen nur in bestimmter Reihenfolge auf bestimmtem Weg ableiten kann, „Dreieckskette“ (s. Fig. 11), so können

in 2 Dreiecken 1 Seite und 6 Winkel = 7 Stücke

« 9 „ 12

bekannt sein, mittels welcher die gegenseitige Lage von 4 , 5 , 6 ... Punkten bestimmt ist.

Notwendig zu dieser Bestimmung sind bei p Punkten allgemein (2 p — 3) voneinander unabhängiger Stücke (worunter sich etwa befinden können 1 Seite und 2^—4 Winkel), also

bei 4 Punkt, od. 2 Dreieck. 5 unabhäng. Bestimmungsstücke, 51 5    „

„ 6    „

= 10 Stücke usw.

Also sind unter obiger Voraussetzung im Falle der aus 2 Dreiecken bestehenden Kette 2 Stücke

55 n 3

4

55    55    *

55

55

55

55

55

55

55

55

55

55

55

überschüssig-, welche 2, 3 , 4 ... Winkelsummengleichungen (für jedes Dreieck eine) liefern. Für Seitengleichungen bleibt in diesem Falle kein Raum.

Sind diagonale Strahlen beobachtet (s. Fig. 13), oder die Dreiecke so gruppiert, daß man zur Berechnung der Länge

irgend einer ihrer Seiten von einer bekannten Seite ausgehend verschiedenerlei Winkel und Dreiecke wählen kann, „Dreiecksnetze¹¹ (s. Fig. 12 -p u. 14), so gewährleistet die Erfüllung der Punkt- und Winkelsummengleichungen noch nicht eine geschlossene Figur. Denn keine Methode der Winkelausgleichung wird uns die wahren Werte der gemessenen Winkel oc verschaffen, auch die ausgeglichenen Werte sind noch mit Fehlern behaftet. Demgemäß werden sich für irgend eine der Strecken verschiedene Längen ergeben, wenn wir sie, unter Benutzung der, wenn auch nach Punkt- und Winkelsummengleichungen verbesserten Winkel, je aus anderen Dreiecken berechnen.

Im ganzen sind (wie oben angegeben) zur Bestimmung der gegenseitigen Lage von p Punkten 2 p — 3 unabhängige Stücke nötig. Sind eine Dreiecksseite und [w] Winkel bekannt, so ist demnach die Zahl der überschüssigen Beobachtungen:

A<

(Je

VM

,    (Z,

yWvjv*⁴

V \ jr /

a %XV

Fig. 12. F

Fig. 18.

Dies ist gleichzeitig die Zahl der aufzustellenden Bedingungsgleichungen.

In Fig. 13 der gegenseitigen Festlegung von vier Punkten sind 2 p — 3 = 5 unabhängige Bestimmungsstücke nötig. Sind acht Winkel gemessen und eine Seite bekannt, so sind also 9 — 5 = 4 Stücke übrig: wir müssen ß — 4 unabhängige Bedingungsgleichungen aufstellen. Durch die drei unabhängigen W inkelsummengleichungen

(a)

ai “1“    4“ a3 a8 — 2 -ß

«1 + *3 = *6 + *7

a4 ~f" aS — a2 + a8

sind alle in der Figur möglichen Winkelsummengleichungen mit ausgedrückt. Als vierte Bedingung brauchen wir noch eine

(b)

(c)

VI

TX

vm

vn

Fig. 14. J

Seiten gl eich ung, welche den linearen Schluß der Figur gewährleistet. Wir erhalten sie, wenn wir, von irgend einer Umfangsseite a (gleichgültig, ob ihre Länge bekannt ist oder nicht) ausgehend, die Umfangsseiten des Vierecks der Reihe nach eine aus der anderen ableiten, bis wir wieder zu a gelangen. Dann hebt sich a weg und wir erhalten:

(d)

sin<x₃ sin<%₂ sina₇ sin<x₅

sintf₈ sin sin aL sino^

In Fig. 12 haben wir neben einer Punkt- und sechs Winkel-summengleichungen die auf gleiche Weise erhaltene Seitengleichung :

sin^j sin<x₂ sina₃ sina₄ sin<x₅ sin<x₆ _^

sin/j smy₂ sin^₃ sin7₄ sin7₅ sin^6 usw.

Da wir eine Seitengleichung im Falle der Dreiecks kette nicht nötig hatten, dagegen eine solche (und eine weitere Winkelsummengleichung) bekommen, sobald wir in die Kette noch irgend einen zweiseitig beobachteten diagonalen Strahl einschalten (Fig. 13) oder die erstere durch Rückkehr auf die Ausgangsbasis zum Netz ausgestalten (Fig. 12), so erkennen wir: Ist nur eine Dreiecksseite bekannt, so ist die Zahl der Seitengleichungen gleich der Zahl der Dreiecksseiten, welche gestrichen werden müssen, um aus dem Dreiecksnetz eine Kette zu machen, die Zahl der Winkelsummengleichungen ist im Falle bloß zweiseitig beobachteter Strahlen gleich der Zahl von Dreiecken der durch Strahlenausschaltung erzielten Kette -j- der Zahl der gestrichenen Seiten. (Ist ein Punkt im Netz durch reinen Vorwärts-oder Rückwärtseinschnitt festgelegt, so liefert seine Existenz und diejenige seiner Bestimmungsstrahlen keine Winkelsummengleichung, beide bleiben für die Feststellung der Zahl der Bedingungsgleichungen außer Betracht.) Für jeden bloß einseitig beobachteten Strahl kommt aus der nach Vorigem festgestellten Zahl von Winkelsummengleichungen eine in Fortfall. Die übrigen Bedingungsgleichungen bis zur Gesamtzahl von ß = [w] — 2_p —4 sind Punktgleichungen.

In Fig. 14 sind in 10 Dreiecken 30 Winkel gemessen, 1 Seite muß mindestens bekannt sein, gibt zusammen 31 bekannte Stücke. Nötig sind für die gegenseitige Festlegung der 10 Punkte: 2 —- 3 = 17 unabhängige Stücke. Also haben wir im ganzen 31 — 17 = 14 Bedingungsgleichungen, und zwar 2 Punktgleichungen (bei D und F⁷), 10 Winkelsummengleichungen und 2 Seitengleichungen. (Zum Zwecke der Zurückführung auf die Kette seien z. B. die Seiten AK und KJ gestrichen).

Man kann die Zahl der Bedingungsgleichungen statt in der Zahl der gemessenen Winkel auch in der Zahl der beobachteten Strahlen ausdrücken. Sind in einem Punkte w

unabhängige Winkel gemessen, so ersetzen sie w -f 1 Richtungen. Folglich ersetzen [w] in p Punkten gemessene unabhängige Winkel [w] -f- p Richtungen. Setzen wir jeden Strahl als zweiseitig beobachtet voraus, so haben wir also mit [w] in p Punkten gemessenen unabhängigen

M +P

Winkeln: s

je zweiseitig beobachtete Strahlen. •

Daraus erkennen wir: Sind « je zweiseitig beobachtete Strahlen im Dreiecksnetz vorhanden, so ist — eine einzige Dreiecksseite als bekannt vorausgesetzt — die Zahl der Bedingungsgleichungen im ganzen

(70)

ß — [iv] — 2p-\- 4 = 2s — 3ff + 4 .

Daraus ergibt sich folgende

Zusammenstellung der obigen Untersuchungen.

Zahl der Netz-_ punkte (exkl. „ reine Vor-od.

¹ Rückwärts-einschnitte)

Zahl der zur Kettenverbindung nötigen Dreiecke

Zahl der zur Kette nötigen Strahlen

Von s zweiseitig beobachteten Netzstrahlen sind für die Dreieckskette überschüssig

Zahl der

Winkelsummen

gleichungen

3 s—3 = 0 5 s— 5 7 s —7

+ 1 — 1 (s— 5) + 2 = s—3 (s —7) + 3=s—4

•V

p — 2 2p — 3 s — {2p — 3)

{s—(2p— 3)}+p—2 =s—p+l

Sind von den s Strahlen s' nur einseitig beobachtet, so tritt an Stelle von s in obiger Gleichung die Differenz s — s', also Zahl der Winkelsummengleichungen

(71)

(s-s')-p-fl .

Treten Richtungs- an Stelle der bisher vorausgesetzten Winkelbeobachtungen, so fallen die Punktgleichungen weg.

Die Zahl der zur Festlegung unserer p Dreieckspunkte je zweiseitig beobachteten Strahlen sei wieder«,

11

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

d. Gesamtzahl d. Bedingungsgleichungen also ß = 2s—3^>-)-4, die Zahl der Winkelsummengleichungen ist folglich die Zahl der Seitengleichungen

s—2> + l,

s — 2.P+3 .

Sind unter den s Strahlen s' nur einseitig beobachtete (etwaige * reine Vor- oder Rückwärtseinschnitte bleiben für die Zählung der Punkte und der Richtungen außer Betracht), so wird

die Zahl der Winkelsummengleichungen = (s — s') —p -J- 1 die Zahl der Seitengleichungen

= s —    + 3

d. Gesamtz. d. Bedingungsgleichungen /? = 2 s — s'—    4 -

Sind mehr als 2 Festpunkte durch ihre Koordinaten gegeben, so liefert der Anschlußzwang weitere Bedingungen. So sind in Fig. 15 in 6 Dreiecken 18 Winkel gemessen

Fig. 15.

und überdies durch die 4 Festpunkte A, B, G und H 5 unabhängige Stücke unabänderlich bekannt. Nötig sind für die Bestimmung der gegenseitigen Lage der 8 Punkte 13 unabhängige Stücke, also brauchen wir für die Ausgleichung 18 —f- 5 — 13 ⁼⁼⁼ 10 Bedingungsgleichungen. Hierunter sind 6 Winkelsummen- und 4 weitere Gleichungen, welche die Festhaltung der als fehlerfrei vorausgesetzten Bestimmungselemente für die gegenseitige Lage der 4 Festpunkte verbürgen. Von den letzteren sichern zwei das fehlerfrei gegebene Verhältnis der Streckenlängen AB und ćrLT, AG und BH, zwei deren gegebene Divergenz.

§ 26. Ausgleichung bedingter, direkter, durch Zurückführung auf vermittelnde Beobachtungen.

Das Verfahren möge an einem Beispiele gezeigt werden :

Die Beobachtung der drei Winkel eines Dreieckes habe die gleich genauen Werte ergeben:

lx an Stelle von a

^2 11    11    11    ß

h ii u Die Bedingungsgleichung

.i 7 •

(72 a)

oc -j— ß -{- y — 2 R -J- Exz.

wird durch die Beobachtungswerte l nicht scharf erfüllt sein. Vielmehr wird ein Widerspruch w sich einstellen, über dessen Vorzeichen wir dem allgemeinen Gebrauche folgend verfügen wollen :

Wir erhalten dann:

(72b)

w = Ist — Soll.

h h — (2 R -f- E) — w .

Wir müssen nun jedem der Beobachtungswerte l für die Unbekannten a , ß und y eine Verbesserung v zuschlagen, so daß die Bedingungsgleichung (72 a) durch die verbesserten Beobachtungswerte erfüllt ist:

(72 c) (lx + ^i) + (4 + v₂) -j- (4 + r₃) = 2 R + E und wobei sich aus (72c) und (72b) ergibt:

Vl + V2 + V3 + w = 0 .

Dabei müssen diese Verbesserungszuschläge v noch der allgemeinen Ausgleichungsbedingung entsprechen :

für gleich genaue Beobachtung :    [vv\ = Min.

für verschieden „    „    [p v v\ = Min.

Die bisherigen Untersuchungen haben uns nun noch nicht gelehrt, auf welche Weise wir außer der letzteren und Hauptbedingung noch die Nebenbedingung (72 a) bzw. (72 d) berücksichtigen können. Am liebsten werden wir daher diese wegschaffen, indem wir mit ihrer

(72 d)

Hilfe eine der Unbekannten (etwa y = l₃ -)- v₃) in den beiden anderen ausdrücken.

Exzesses)

Wir erhalten dann (unter Weglassung des sphärischen

(X — lj —}- Vx

ß = \ + V2

y — h H“ v₃ = 2 R — (oc -f- ß) = 2 R —    -f-    -f- l₂ -f- Vçl) .

Führen wir, wie bisher, für die Unbekannten a und ß Näherungswerte ein und bestimmen die ihnen noch zuzufügenden Zuschläge x und y als neue Unbekannte, erklären wir endlich die Beobachtungswerte lx und Z₂ selbst als solche Näherungswerte, womit

a = lt -|- x

ß = h + y

y — 2R — (a ß) , so erhalten wir die Fehlergleichungen vx = a — lx V₂ = ß — l₂

v3 — 7 — h = 2 R — (lr    vx -f-1₂ -j- Vi) — l₃

= 2 jtt — (J₁ + l2 + lz) — v₁ — v₂ = —x — y — w\

deren Absolutglieder 0, 0, —w durch Abzug der festen und als solche fehlerfreien Näherungswerte an Stelle von ln l₂, l₃ getreten sind und mit ihnen gleiches Gewicht haben. Aus den Koeffizienten und Absolutgliedern dieser Fehlergleichungen erhalten wir wie bisher diejenigen der Normalgleichungen:

r—i (M cô

Koeffizient der Fehler- Probe gleichungen a b l

Koeffizienten der Normalgleichungen

Probe

aa ab al bb bl ll

<—> r—t

+1

o o o o

4-w4-w² (w²-4-Aw-f-4)

+1

[] O 0|—w —w -f-2 +1 -\-w\-\-2 -\-w -\-w²\ w*-\-Aiv-\-6

womit letztere lauten:

2 x -f- y -|- w = 0 x-\-2y-\-w = 0

oder in abgekürzter Form samt den Koeffizientenproben:

-j- 2 -J-1 -{- w    3 -f- w

.    4-2 +w    3 + w

w²

w² 4- 2 iv

w² 4" 4 w 4~ 6 (in Übereinstimmung mit der direkten Rechnung).

Die früher gezeigte, gewöhnliche Reduktion liefert —w

womit

ß = h~

wie vorauszusehen war.

Das Gewicht des ausgeglichenen Winkels ß ist: p -p -³

der mittlere Fehler des Beobachtungswertes eines Winkels

w²

_3_ ₌ w_

1 ~±fs

*=±m-±

M„ = Mß

woraus wir erhalten: den mittleren Fehler des ausgeglichenen Winkels

]/l

V 2

Ist die Zahl der Unbekannten wie bisher ==x₎ die Zahl der zwischen ihnen bestehenden, streng zu erfüllenden Bedingungsgleichungen = ß (wobei natürlich ß < x), so können wir mittels der letzteren, wie vorstehend für eine Bedingungsgleichung gezeigt, immer ß der Unbekannten in den übrigen ansdrücken und damit diese ß Unbekannte samt den Bedingungsgleichungen wegschaffen.

Die allgemeine Ausgleichungsbedingung

[vv\ = Min. oder [pvv] — Min. liefert dann die Normalgleichungen zur Bestimmung der x — ß übrigen Unbekannten, ihrer Gewichte und mittleren Fehler für das Verfahren nach vermittelnden Beobachtungen.

§ 27. Ausgleichung bedingter, direkter, gleich genauer Beobachtungen mittels Korrelaten.

Die Wegschaffung der ß Bedingungsgleichungen durch Eliminierung einer gleich großen Zahl von den x Unbekannten ist theoretisch zwar immer möglich, führt aber häufig zu schwerfälligen Koeffizienten der Fehlergleichungen. Bequemer ist es in vielen Fällen, sämtliche x Unbekannte beizubehalten, sie aber in ß neuen Unbekannten k auszudrücken, über die wir hernach verfügen. Durch sie, die „Korrelaten“, vermehren wir allerdings die Zahl der Unbekannten auf (x + ß), während wir sie nach dem Verfahren des § 26 auf (x — ß) herabdrückten. Gelingt es uns aber, die Beziehungen zwischen den ß neuen und den x eigentlichen Unbekannten einfach genug zu gestalten, so wird eine Rechen Vereinfachung gegenüber dem Verfahren des § 26

d. h. ß^.

eintret en können, sobald ß x — ß,

Um jene Beziehungen zwischen den x ursprünglichen und den ß neuen Unbekannten (Korrelaten) einfach zu gestalten, sorgen wir zunächst dafür, daß die ß durch die Werte der Unbekannten streng zu erfüllenden Bedingungsgleichungen lineare Form annehmen. Zu diesem Zwecke führen wir die Beobachtungs- als Näherungswerte für die Unbekannten X . . . ein, und betrachten die ihnen zuzufügenden Verbesserungen v als eigentliche Unbekannte x, y..., so daß X= l₁-\-v₁ = li-\-x, Y=l₂-\-v₂ = l₂Ą-y usw. Mit diesem Kunstgriffe erzielen wir nebenbei noch eine erhebliche Rechenvereinfachung.

Die ursprünglichen, durch die gesuchten endgültigen Werte JV, Y. . . der Beobachtungsgrößen zu erfüllenden ß Bedingungsgleichungen :

Ą F±{X, Y. . .) = 0

(73a)

°F₂(X, ¥...) = 0

l:    : :

-*<—* Unbekannte—>-

*i(4,

i,

sind voraussichtlich durch die Beobachtungswerte ^ , Z₂... nicht scharf erfüllt. Letztere liefern vielmehr die Gleichungen :

(73b)

wobei die Werte w die Einflüsse der Beobachtungsfehler auf die Bedingungsgleichungen darstellen.

Die zur Wegschaffung der Widersprüche w den Beobachtungswerten l zuzufügenden Verbesserungen v sind gegenüber den Beobachtungs werten selbst jedenfalls so klein, daß wir höhere Potenzen von ihnen vernachlässigen dürfen. Dann liefert die Taylor sehe Reihe an Stelle der Bedingungsgleichungen (a) die Gleichungen:

{Fx(X, ¥...) = Fx(l₁+v₁,l₂+v,:..)

dFx

6FX

(73 c)

+ ••• = 0

— Fi (4> 4 • • •)’ + vi -ÿj" + v2

Y ...) = F₂(lx vx, 4 + v2 • • ■ )

= F₂(lx, l₂. . .) + vx^ + v₂ ^ + • • • = 0.

dl₂

die reduzierten Bedingungsgleichungen:

’ | Oi vx -f- a₂ v₂ -j— • -\-w₁ = 0 oder [a v\ = —w1 ( 7 3 d) < ^    —f- ^2 ^2 H“ * * * “f“ ^2==::: ^    [6 v\ = — ^2

;+'i    :    :    :

-<—x Unbekannte 0—>-

Da > ß, reichen diese reduzierten Bedingungsgleichungen zur eindeutigen Bestimmung der unbekannten Zuschläge v nicht aus. Letztere müssen noch der allgemeinen Ausgleichungsbedingung genügen : [vv\ = Min.

Für den jetzt vorliegenden Fall, in welchem die ^ gesuchten Verbesserungsgrößen v außer der gewöhnlichen Minimumsbedingung noch ß Nebenbedingungen genügen müssen, haben wir bekanntlich allgemein folgenden Weg der Lösung: Soll irgend eine Funktion <p(X, Y, Z . . .) zum Minimum werden, während die Veränderlichen X, Y, Z... noch ß Bedingungen von der Form

...) = 0 . . .) = 0

Bedingte Beobachtungen. Durch Subtraktion (c) — (b) erhalten wir -|-----j- wx = 0

dFx . 6Ą ir +

dlx

dl₂

6F₂

SF₂ .

VlW,+v*Jh

und mittels der schon früher benutzten Substitutionen

dFt

• • —; — CLft

dl*

i    dF* i

= b₂ ... -ttt- = 0«

ol„

cF,    ÖF,

~~r = «n

(25 d)

cv>

JJt ~a* ’

Ą(X, ,

streng erfüllen müssen, so bilden wir an Stelle der Funktion y eine andere, welche die erste samt den/? Bedingungsgleichungen enthält. Werte für X, Y, Z, welche dieser neuen Funktion genügen, erfüllen auch die Bedingungen F. Eine solche Funktion ist z. B.

^(X, Y,Z...) = <p(X, Y,Z...) + QlFx(X, Y, Z...)

+ q,F₂(X, Y,Z...)+••• = Min.

wobei , £2 •.. Koeffizienten sind, über die wir nach Bedarf verfügen.

Wegen der Minimumsbedingung setzen wir

d<Pi _A d<Pi ._A

ôy ⁰¹ ez ⁰•• •

i^=o

ÔX U ’

für

und erhalten damit ebenso viele Gleichungen, als Unbekannte vorhanden sind; nämlich x. Wir besitzen also jetzt einschließlich der ß Nebenbedingungen (x -f- ß) Gleichungen die x -f- ß Unbekannten X, Y, Z ... q₁₁ q₂ . . .

Multiplizieren wir im vorliegenden Falle die ß Bedingungsgleichungen (73 d) der Reihe nach mit

Zu ihrer Summe addieren wir die zum Minimum zu machende Funktion

<p(v) = [vv] = v\ + vl-\----

und ordnen nach v, womit wir erhalten:

<Pi (»1 ,vi...vx) = v\ — 2    + b+ cjcs + • • •)

+ v\ — 2 v₂ («₂ /cL + b₂ k₂ + c₂ k₃ -}----)

—{— • • • — 2 (kL w^ —{— k₂ w9 -j— • • •) ==;: Min.

Partielle Ableitung von cp₁ nach den x Unbekannten v₁, v₂ . . . liefert die ,,x Korrelatengleichungen“:

= 2 v₁ — 2 (a{ \ -f-    &₂ -f- c±k₃ -j- * * •) ⁼ 0

’ d<Pi

(75)

dv-f

S<Pi

dv%

= 2 v₂ — 2 (a₂ kx b₂k₂ c₂ks -]■...) = 0

oder vereinfacht:

-<k Unbek.t>>-

(75)

v₁ = kt -f- k₂ -f- ct k₃ + • • • " v₂ t= ci2 k^ —|— b₂ k₂ —}- Ä/g -j- • • •

-ß Korrelaten k

Damit haben wir die x unbekannten Zuschläge v in den ß zunächst ebenfalls noch unbekannten Korrelaten k ausgedrückt. Um letztere selbst zu finden, setzen wir die Verbesserungen v aus (75) in die ß reduzierten Bedingungsgleichungen (73d) ein.

Durch Zusammen ziehen erhalten wir dann ß Normalgleichungen zur Berechnung der ß Korrelaten k :

ß Gl.->-

\a a\ k± + [a b\ k₂ [a c]kH • (76) 1 [a b) kt + [6 5] k₂ + [5 c] kB -\----

-<-ß Unbekannte k

Zur Ermittelung der Korrelaten k werden wir jetzt dasselbe Reduktionsverfahren und dieselben Rechenproben verwenden, wie bei der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen. Zur Erlangung der Unbekannten v, bzw. X, Y. . . setzen wir schließlich die berechneten Werte der Korrelaten in die Korrelatengleichungen (75) ein.

Hieraus ergibt sich allgemein folgender Weg der Ausgleichung bedingter, direkter, gleich genauer Beobachtungen mittels Korrelaten:

1. Aufstellung der ß Bedingungsgleichungen zwischen den x Beobachtungsgrößen W, Y. . . in der Form

(73 a)

FAX, r...) = o.

2. Berechnung der Werte w, welche die rechte Seite dieser Bedingungsgleichungen annimmt bei Einsetzung der beobachteten Werte l an Stelle der gesuchten W, Y...

(73b)

(h, h • • • ) ~ wi •

3. Berechnung der x Koeffizienten a, ß Bedingungsgleichungen F

dF,

Cß

s

O

CD

>-t

ÖF,

si₂

a₃ =

(25 d)

ÔF,

öf₂

dl, ’ b'²~ ÖL ’ bs

co KO <0

(73 d)

und Anschrieb der /?reduzierten Bedingungsgleichungen [a v] = at v± + a₂ v₂ + • • • = — w1 [b v\ = b₁v₁ + b₂ v₂ H----= — w₂

4. Berechnung der Koeffizienten [aa],

und An schrieb der ß Normalgleichungen für die ß Korrelaten

| \a a\ kx -f- \a b\ k₂ -f- • • • -f-    —

*•70

(76)

5.    Reduktion der Normalgleichungen und Ausmittelung der rechts zuletzt stehenden Korrelaten k . Umsetzung der Koeffizienten und Berechnung der nun zuletzt stehenden Korrelaten usw.

6.    Einsetzung der gefundenen Korrelaten in die Korre-latengleichung (75). Addition der nach Gleichung (75) gefundenen Verbesserungszuschläge

vx = ax Zq -j- bx k₂ -)-•••

zu lt, /₂ . . ., wodurch

h + vi = X l₂ -f v₂ — Y

7.    Bildung von [vv] aus den Korrelatengleichungen (75).

8.    Berechnung des mittleren Fehlers m einer Beobachtung. Durch die ß Bedingungsgleichungen sinkt die Zahl der unabhängigen Unbekannten auf (x — ß). Die Zahl der Beobachtungen ist = x, folglich haben wir x — [x — ß] — ß überschüssige Beobachtungen und und als mittleren Fehler einer Beobachtung:

(77)

=±r

!\vv\

~T '

Die Bildung der Fehlerquadratsumme [vv] direkt aus den Verbesserungen v ist zwar deshalb nicht allzu umständlich, weil die letzteren (als Unbekannte) doch berechnet werden müssen. Gleichwohl ist es schon der Probe wegen wünschenswert, wie bei den vermittelnden Beobachtungen [vv] auf î'nderem Wege zu gewinnen. Quadrieren wir jede der Korrelatengleichungen und addieren, so erhalten wir

[v v] =    [a    a\ k, k,    -f-    [a b] k, k₂ -)- [a c] k,ks-\----

“t~    [a    b] k, k₂    -f-    [6 b] k₂ k₂ [b c] k₂k₂ -j-    • • •

+    [ß    c] k, kB    -f-    [& °] k₂ ks -f- [c c] kQ k₂ -j----

woraus durch Vergleichung mit den Normalgleichungen (76):

(78) [v v] = — k₁w₁ — k₂ w₂ — k₃ ivs — • • • = — [k w] .

Das in § 26 durch Zurückführung auf vermittelnde Beobachtungen gelöste Beispiel gestaltet sich jetzt wie folgt:

1.    Einzige Bedingungsgleichung :

F{oc, ß, y) = oc + ß + y — 2R = 0.

2.    Einsetzung der Beobachtungswerte liefert:

F (ln l₂ -, h) == l\ “h l₂ “h h — 2 jR = w .

6F ,

1 - #2 }

8.

«9.F

ÔF

<9i»    ¹    “³¹

so daß die reduzierte Bedingungsgleichung lautet: v\ +    + va = — tü .

4. Hieraus kommt [aa] = 3 und die Normalgleichung 3 k, + w = 0 ,

dl,

1 = «i ;

dl₂

woraus

5.

““3 *

Nun liefert die Korrelatengleichung (75) die Unbekannten :

und

damit

! § <w § 631 S

vz = ask₁ = — —

a — h + v, = l, —

— h~\~v2 — h —

[vv]=—k₁wl    =

7.

8.

V,

fs ■

§ 28. Ausgleichung bedingter, ungleich genauer Beobachtungen mittels Korrelaten.

Der Bau und Inhalt der von den Unbekannten streng zu erfüllenden Bedingungsgleichungen (73a) und der reduzierten Bedingungsgleichungen (73 d) wird durch den Genauigkeitsgrad der Beobachtungen l bzw. der Zuschläge v nicht beeinflußt.

Deren ungleiche Genauigkeit ändert nur die Minimums-bedingung in q?v = [p vv] = Min., so daß die Gleichung (74) jetzt lautet:

(74 a)

Damit wird ( d(Pi

(75a)

woraus die Korrelatengleichungen:

+ \k₂ -\---- ax    \

Pi    Pi ¹

$2 ^1 “f” ^2 ^2 ~"f~ * * *

vi =

P\

Ä;₂ + • • •

= —kt -1—- &₂ + • • •

Wir erkennen, daß durch Einführung von Beobachtungsgewichten jh -> P2 • • • lediglich die Koeffizienten a, b . . . der Korrelatengleichungen in

3* Ls*

<h

a₂

’ P2 ¹ P2 übergehen.

Setzen wir die Ausdrücke für v wieder in die un

veränderten reduzierten Bedingungsgleichungen (73 d) ein und ziehen wieder zusammen, so erhalten wir wieder ß Normalgleichungen zur Berechnung der ß Korrelaten k :

aa

ab

ac

-P

h d----+ w± = 0

(76 a) <

k±

bb

/% + • • • + w2 — 0 p J

Die ganze Auflösung ist also gleich der des § 27, nur ist die rechte Seite der Korrelatengleichungen mit dem de wicht derjenigen Beobachtung durchzudividieren, welcher die linksseitige Verbesserung v angehört.

Noch einfacher ist es, schon die reduzierten Bedingungsgleichungen (7 3 d) umzuformen, so daß sie lauten :

7= v, ^ + ^LrvJpi -f-----[-»1=0 t

\lh    KPs    2

Mp

<-

« Unbekannte v— Durch Substituierung von

i'-s'

:T

gehen sie über in:

ûj t)x -j- û₂ b₂ -f* * ’ * + wi == 6 &i hi -|- B₂ b₂    w₂ = 0 .

Jetzt hat man mit den Koeffizienten a, b, c . . . genau das Verfahren des § 27 anzuwenden und nur am Schluß bei Berechnung der gesuchten Zuschläge v zu beachten, daß:

(*1^ +    Cjfrg -[----— t) = v₁Yp₁ ,

folglich

bi

Vä

b₂

Zur Fehlerberechnung braucht man [pvv] = [b b], woraus der mittlere Beobachtungsfehler: der Gewichtseinheit

[»»]

einer Beobachtung vom Gewicht p

m = -~r .

Yp

Zahlenbeispiel.

Mittels geometrischer Einwägung wurden folgende Höhenunterschiede zwischen fünf Punkten A, B, C, D, E bestimmt :

Die Höhe des Festpunktes A ist zu 201,754 m gegeben. Welches sind die Höhen der übrigen Punkte?

Lösung. Die eingewogenen Strecken bilden zusammen vier geschlossene Figuren:

EDB, CDA, ADE, BDC.

Bezeichnen wir die ausgeglichenen, zunächst noch unbekannten Werte für die eingewogenen Höhenunterschiede der Strecken mit X, wobei jeder dieser Unbekannten die in der Aufgabe gewählte Streckennummer als Index zukommt, so erhalten wir hieraus vier Bedingungsgleichungen, nämlich:

*;(*...)=

E,(X...) =

F%(X...) =

F₄(X...) = +X₅-X₄ + X₅ = 0.

Strecke

Nr.

von

nach

Lösung der nivellierten Strecke

Zahl der Niv. Wiederholungen

+ 10,194 m + 10,659 „ + 20,871 „ + 40,791 „ + 19,930 „ + 38,460 „ + 28,248 „• + 69,076 „

3,5 km

2,6 „

1,7 „

1,0 „

2,3 „

4,2 „

1,9 „

2,8

“^1 + ^2 - ^3 ⁼⁼ 0 ,

X₄ - Xs + X₇ = 0 ,

*1 - ^6 + ^7 ⁼ 0 1

Durch partielle Ableitung der Bedingungsgleichungen nach den Unbekannten erhalten wir für den Fall gleichwertiger Beobachtungen die Koeffizienten der Korrelatengleichungen : Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

6FX

6X,

«1 = + 1 i

⁶Il

öF,

(9X₃

oXa

SFi

«* = 0 ;

e Ft

ÖX₅

«5=0;

6F\

cX₆

«6 = 0;

ÔF,

ex,

« 7=0;

6F,

6F%

ex,

&!=0;

ÊF-2

eXi

b.₂ — 0 ;

exs — - 0 ;

dFt

exs

&₃ = 0;

ÖF₂

öf₂

ex,

ex,

cF₂_

ex,

&e = 0 ;

ÔF-2

ex,

&6 = 0;

= 6, = + l;

c>X₈

dF.

= Ci

ex,

—hi ;

iE*.

ex₂

c2 = 0;

ex,

c₃ = 0;

6Fz

hx7 = C4

= 0;

iE*

iE*

ex,

ÖX₆

= c8 = 0 ;

ÖX₈

eE

<5X,

di = 0 ;

eFt

ex,,

<?₂ = 0 ;

ext

<3X₄

ex,

= d₄ = —1 ;

<?X₄

ex,

Lh —Hi;

ex,

da =0 ;

eF,

<9X,

= d₇ = 0 ;

Die Einsetzung der beobachteten an Stelle der ausgeglichenen (zunächst unbekannten) Werte von X... liefert die Widersprüche:

Setzen wir als Gewichtseinheit eine einfach eingewogene Strecke von 1 km Länge fest und beachten, daß (gleiche Zielweiten vorausgesetzt) der mittlere Fehler einer geometrischen Einwägung wächst proportional zur Wurzel aus der Länge, ihr Gewicht also umgekehrt proportional zur Länge, so erhalten die beobachteten Höhenunterschiede die Gewichte:

Pa 1,7 ⁵ Pi 1,0

Pl ~ 3,5 ’

Pi 2,6 ’

Pe =

4,2

Pl ~ 1,9 ; Ps — 2,8 •

Damit gehen die Koeffizienten der Korrelatengleichungen

über in:

V.Pi

Ji>2

a₃ = ^=-l''P;

ÏPS

6, = 6₂ = B₃ = 0 ; b₄ =

VÄ

*5

°7    ^8

= =0;

O- *

0.

6₇

^,5 ;

/P

Cl

Cl Va

c₆ =

= -] ₂

C7

1.9

VA

rp; b₄ = -p Vi>.

b₆ = -i= = yp; b₆ = b₇ = b₈ = o.

c7₃

}fPs

Va

Wir haben damit die Koeffizienten der reduzierten Bedingungsgleichungen gefunden, welche uns diejenigen der Normalgleichungen zur Berechnung der vier Korrelaten vermitteln.

b ctaabacctbBb bcbbcccbbb

+ +-++-+ +

1.    +1,87    0    +1,87 0

2.    +1,61 0 0 0

PO~ o o o

co

Cn

O l ,..o

co

lO

Ô⁻

3 -1,30 0    0 +1,30 1,7 0 0 1,70

4. 0    1    0 -1,00 0 0 0 0 1

5.

0    0    0    +1,52|0    0 0 0 0

G.

7.

0    -1,45

+0,97+0,97

10

0 0 2,1 0

0 0 0 0,950,950 0,95; 0

8. ! 0 —1,18 0

0    0    0 0 0 1,4 0    0 0    0 0

|7,8| 0 3,51,73,350,951,06,55 0 5,0

Aus den Normalgleichungen

7,8 kx + 0 k2    +    3,5 k₃ — 1,7 k₄ — 1,8 = 0,

Ö\    + 3£5 k2 + 0,95 k, - 1,0 k₄ - 3,7 = 0,

3,5 kx + 0,95 k₂ + 6^5 k₃ + 0 k₄ — 1,8 = 0,

—1,7 kx — 1,0 k2 + 0 k?t + 5,0 k₄ + 1,0 = 0

ergeben sich auf bekannte Weise die vier Korrelaten kx ... k4 und aus ihnen mittels der Korrelatengleichungen die eingewichtigen Verbesserungen fc , welche durch Division mit ] p in die gesuchten, den Beobachtungswerten zuzuschlagenden Verbesserungen v übergehen.

Zu § 24.

Abriß.

Formular 1.

Zielpunkte

Ob 1- oder 2seitig beobachtet

Beobachtete

Richtungen

<x

Endgültige

Richtungs

winkel

Unterschiede cp — <x

Orientierungs

winkel

Orientierte

Richtungen

ß = 01 + 03

verbesse-rung

’3 = (p-ß

(v in Dekasekunden)

03

//

\P

pvv

1.

CO

4.

5.

6.

7.

Eychen.....

Feuerbach . . . Neupunkt 1 . . Killesberg . . .

lO OO lO 05 CO CO

rH

CŁ C* rfa.    05 CD O

Co    oo    ct    oo    oo    -j    o

Ki    Kl    o    iK    CO    05    05

--i    to    CT    M    —3    CT    fcO

A. Festpunkte.

Standpunkt Sandäcker.

97 13 97 15

14 01 13 01 101    83 21

113    93 25

CO Ol Kl to

05 CO

CO co

CO Ul ki to

101

03 48

97 14 84

13 59

(o = 91 14 I 53

Standpunkt Eychen.

113

Oo    Ki I CO CO ł—i

Ki    n    ^ 00 Üi

►K

Oo

114

83

31

31

114 ¹ 114

145 114

53

0,9

7,80

Feuerbach . . . Neupunkt 1 . . Killesberg . . .

222

172

175

12

56

172

98

08

222

96

35

91

75

172

98

12

172

175

Oo

O Ob

rH CO

i-H ^ »O tO Ob ^

45

22

(o = 172

98

10

ÎSO    Kl K. -1 C CJ1

ISO    Oo    CO Co OO

0,8

2,08

ISO

Oo I    to

Feuerbach . . Eychen.... Neupunkt 1 . Stammheim . Kornwestheim Cannstatt . .

Berg.....

Falget .... Weil im Dorf

Standpunkt Killesberg.

326    11 47    326 07 ! 54

375

383

393

15

98

117

240

318

15

Î3

(1

18

10

;9

91

75

70

02

41

53

32

08

68

326

326

326

326

326

326

326

08

07

07

07

07

07

07

06

93

29

43

57

52

46

326

375

383

05

CO

CO lO CO t>-07) T—I 05 T-H

O CO

i-H ^    i-H

T—I CnJ    CO

COOO^COOSOS^COh-^

►-‘COO^OOOCoUiK

oot-^coKiKiobOoboui

b005UiObOCOObCOCtf

CO

oo

CO

05

Co

h i> co oo

CO r-H    r—•

0,9

2,08

co

co    Ob    b3

Ob    Oo    Kl

Kl    bK    Kl

R)    C    R)

i5

96

80

03 = 326

07 60

CO CO 1K ^ I Oi

co    I *o

oi    I ; ob

Kl

co

Ob

co

CO

Killesberg . . . Feuerbach . .

Eychen.....

Zuffenhausen .

05 Od 05 Cd 05    CO    CO

CO rH t—I GS1

05    05    CO    IK I 05    *0    I

05    H    (M    05 I CO    Ob «O

-H 00    lO I OO O*

co o ^ I co *o ! Ob

B. Neupunkte.

Standpunkt: Neupunkt 1.

183 74 183 73 183    73

183 74

06

68

50

29

183

305

372

16

VJ ÎO    K?

Ki VJ INS Co

Kl INS 50 CX Co 50 Oi INO

k<

0o

Ki

CO co

O* CO

34 91

15 53

34 90    59    58

03 = 183    73 88

183° 73' 02" = "vorläufig O- Form. 2)

Abrundungsfehler = 3"

z = +86" soll (s. Abt. 4 von Form. 2) = +89"

3,24

4,00

14,44

16,81

[p v v\ = 50,45 (soll = 48,0

[pH-2]) Abrundungsfehler =2,4

Bemerkung: Die senkrechten Ziffern beziehen sich auf beobachtete oder gegebene, die schrägen auf gewonnene Größen.

We i t b r e c h t, Ausgleichungsrechnung.

neu

Ę W ■

m

4

—

—

, ¹

Zu § 24.

Formular 2.

P. Neupunkt 1.

Näherungskoord.: Nx = ±31909,96 A±=±8428,22; Verbesserg.: dx= —0,23 dy = ±0,12; Endgült. Koord.: X = ±31909,73 ± 0,03 Y= ± 8428,34 ± 0,01

Abt. 1. Bildung der Fehlergleichungen.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Laufende ^r.

Bezeichnung

Beobachtete:

Richtungen

vorwärts

Anzahl d.

der

Festpunkte

Richtungen

rückwärts

= CX

benützten

AusNäherung festen berechnete Richtungswinkel

Gewicht

Rich-

tungen

Pß

nf

l = v — ß nfJr 1 l'=(v—a)

Koeffizienten der Unbekannten

dx

dy

nf

— co

Unterschied v — a v — a

[f>r]

.    a y Pß

st = (a — a₀) fPi

6 fpß

•*±l (°g — g) = ß

Up

& = l'ŸPi

CO —

nr

Deka-

nr

nr

/ //

/ //

//

Sek.

±1

±1

±!

Richtungen

r-l 04 CO O O- GO

H t-H CO

O CO co Ci o 00

04 M CO CO 05 U-

t—l 04 CO

o 00

t-H t-H CO

04 CO O CT) O O

i-H l>-    04

CO 05 l>

CO (M CO

i = 0,8

1 = 0,7

CD

00

~Ci co

CO T—^ CD CO

1    Killesberg . . .

2    Feuerbach . . .

3    Eychen . . . .

4    Zuffenhausen .

Ol (M 05 (M 05 (M CO CO

CO r—i r—ł Ol

O lO CD CO O    O    Ci

04 O t>- t-H

U— C7> CT)

CO

CO

b—¹ H-¹    H-⁴

00 00 CO CO

CO

00

Richtungen

72    36 -

71    37 — 16,5

6,6 ±

± ±11

04^ CO, T—^

cT i> i>

04

Ci 00 Ci

cT o o

73

65    ±

6,3

T—^ o CO

74    68    ±

16,6 ±

I I ±    ±11 +

05 Js2 OT Ci ^

(O M O OO CO Oi V 00

±111

J73    0>

co U, U) Co

00 <N E-

oó~ cT

^ ^ i, co

to

bO

±± I I

*D

05

CD

CO_ IO CO CO

iO t-H 04 CO

T—^ t-H 00 CO

12 06

23,1) ±

7,7 ±

27,2

± IM

22,9

14,4

CO

183    73

02

6,7

16,7

Ûo- J" ⁶o-+^~ = + 4,2

= -1,7

H U 05;

rH t-H H ;

1 O 'cji

I—‘ to    fco    fcO

CO JO    j-3    co    JO

w b    m    b    co

W    ^    W    U)    to

cn    00    fco    co    yo

to    co    œ    t-¹    co

±1 + 11

cT

Abt. 2. Bildung der Koeff. für die Normalgleichungen.

Abt. 3. Auflösung der Normalgleichungen.

Pßaa

9 t 91

± Ö3

±<±±

2158

Pß a l

918

a]

I. Für

Unbekannte

b]

fl

*]

Probe

[pss]

29,16

1,1

6,76

40,96

77,44

88,36

2,56

5,29

39,69    275,56    158,76

73,96 ¹ ±

15,1

14,5

47,5

0,5

106,8

58,2

155,2

10,1

38,2

1,8

1,2

407,5

151,1

85,8

72,5

104,6

[p a a]

[pa

[pl

[pal j

[paa]

[pa

±    250,5

426,5 ± 1352,4 —

726,2 —

66,3

646,9

112,9

987,4

17,6

•1] l-l]

743,3

1132,0

1265,5

406,8 ist 2282,1 soll 2282,3

196,7

•1]

250,53

1352,43

987,43 2282,35

±    426,5

241,4

175,1

OO GO CO *00

[pbl-1]

[pbb-l\

[pb j±

626,2

[p a a]

[p b 5]

[p ll] [ps s]

[pab]

±    66,3

[P a l]

646,9

[Pbl]

[pl

759.8

969.8

133,5 (statt—133,6) 210,1 (statt ±210,0)

—759,8    [pbl-1]

626,2    [pbb-1]

[pb

921,9

162,0

Normale Bezeichnung

— ±1,2 dm

l- 2]

s ■ 2]

Abt. 4.

[pl ±    47,9

48,1

dx = —0,23 m

Jfx = ± 0,03 m

[p v v] — [p II - 2] n = nv ± nr — 3 [pli-2]

48,0

a]

II. Für

&]

l]

s]

»«² =

12,0

[pa

1352,4

426,5

646,9

dy = +0,12 m My — ±0,01 m

z = a₀ dx-\r b₀ dy

VPx=UPbb-l]u ]fpY = y [p b b - l]j m

x ./—

VPx

3,5 Dekasekd. 1116 = ±10,8 1626,2= ±25 0,32 dm

[pb

250,5

66,3

1132,0

743,3

[p a b] [paa]

-4L P a

[pl

[pal]

[paa]

[pa

134,5 ±

204,0

987,4

309,4

357,0

406,8 [] ist 2282,1 soll 2282,3

541,5

= (-1,7) (-2,3) ±4,2 ±1,2 = ±3,9 ± 5,0 = 8,9 Dekasekd.

= ±89" soll (s. Abriß):

183° 73'88"— 183°73'02"

= ±86"

(Abrundungsfehler 3")

0,14 dm

dx

[Pbl-1]

[Pbb- IL

270,3    [pbl-1]

~ 116,0    [pbb-1]

= —2,3 dm

[pb

b -1] Ml

•*1]

116,0

270,3

678,0

629,9

l- 2]

[pl

±    48,1

386.3    (statt ±386,3)

948.3    (statt ±948,3)

900,1

s - 2]

±    48,2

Weitbrecht, Ausgleichungsrechnung.

-

-,

govtfeifung he* 3. Rot-fai*feite.

Sammlung Göscfren

80 m.

3e in elegantem £eimoanbbanb

0. 3. ©öfcbenTcbe Verlagsbancilimg, Leipzig,

oon

#orftmi(Tenrdrafi oon Dr. Hb. SĄtoap* pad), profesor an ber 5orftafabemie (Eberstoalbe, Hbteilungsbirigent bet ber Ijauptftation bes forftlidjen Per» fud)stoefens. Rr. 10G.

Ifremhwotrt, Ra*, im Rentfdten oon Dr. Rubolf Kleinpaul in £eip3ig. Kr. 55.

4fremhntatrterbttdi, Hentfdjes, üon Dr. Rubolf Kleinpaul in £eip3ig. Rr. 273.

©arhinenfabtrikation. ©ejtil * 3n» buftrie II: Weberei, tDirîerei, pofa* mentiererei, Spieen* unb ©arbinen* fabrifation unb 5il3fabri!ation oon Prof. IRaç ©ürtler, Direftor ber Königl. ©ed)nifd)en Sentralftelle für ©eçtil*3nbuftrie 3U Berlin. IRit 27 Stguren. Rr. 185.

©eohälte oon Dr. (E. Reinljerfe, pro* feffor an ber ©ed)nifd)en fjod)fd)uIe tjannooer. IRit 66 Hbbilb. Rr. 102.

©eograpki** gtftranomifdie, oon Dr. Siegin. ©üntljer, profeffor a. b. ©ed)nifd)en £jod)fd)uIe in IRündjen. IRit 52 Hbbilbungen. Rr. 92.

—    pimüldie, oon Dr. Siegm. ©Untrer, Profeffor an ber Königl. ©ed)nifd)en I}od)fd)uIe in IRünd)en. IRit 32 Hbbilbungen. Rr. 26.

—    f. aud): £anbesfunbe. — £anber!unbe.

©eologtc d. profeffor Dr. (Eberl). $raas in Stuttgart. IRit 16 Hbbilb. unb 4 ©afeln mit über 50 Figuren. Rr. 18.

©eontett-ir^naltitirdje, her ©bette d. profeffor Dr. IR. Simon in Strafe» bürg. IRit 57 Figuren. Rr. 65.

--^nfgabettfammlttttg fur^tta-

Itjtifdjea ©contettrie her ©bette ©. ©I). Bürïlen, profeffor am Kgl. Realgqmnafium in Sd)toäb.» ©münb. IRit 32 Figuren. Rr. 256.

—    ^Utaitttifdte, he* |launtco oon prof. Dr. IR. Simon in Strafeburg. Rlit 28 Hbbilbungen. Rr. 89.

©eonteiHe, Dar Rcllenbe, o. Dr. Rob. ïfaufener, prof, an ber Unioerfitat 3ena. I. IRit 110 $iguren. Rr. 142.

—    ©bette, oon ©. Rîafeler, profeffor am ©pmnafium in Ulm. IRit llî 3toeifarb. $ig. Rr. 41.

—    Rrofektiue, in fandet. Beïjanblung oon Dr. Karl Doefylemann, prof, an ber Unioerfitât IRünd)en. IRit 91 Figuren. Rr. 72.

©efdtidtte, Rahifate, oon Dr. Karl Brunner, prof, am ©pmnafium in Pfor3l)eim unb Prioatbo3ent ber ©e» fd)id)te an ber ©ed)n. ïjod)fd)ule in Karlsruhe. Rr. 280.

—    Ratret-ifdre, non Dr. îjans ©del in Hugsburg. Rr. 160.

—    be* Rtj;antinirdten Reidjco oon Dr. K. Rotl) in Kempten. Rr. 190.

—    PctitMic, ittt ptittelalter (bis 1500) oon Dr. $. Kur3e, (Dberl. am Kgl. £uifengpmn. in Berlin. Rr. 33.

--ittt Zeitalter her Reformation

tt. her Religionskriege oon Dr. $. Kur3e, Oberlehrer am Kgl. £uifen* gpmnaftum in Berlin. Rr. 34.

--fietje aud): (Quellenfunbe.

— £Franfö(tfd|e, non Dr. R. Sternfelb, prof. a. b. Unioerf. Berlin. Rr. 85.

—    ©ricritifdie, oon Dr. Ijeinrid) Stooboba, profeffor an ber beutfd)en Unioerfität Prag. Rr. 49.

—    he* 19. fai;rknttherts 0. ©sïar 3äger, 0. Ijonorarprofeffor an ber Unioerf. Bonn. l.Bbdjn.:1800—1852. Rr. 216.

--2.Bbd)n.: 1853 bis (Enbe b. 3abrb.

Rr. 217.

—    ^Israels bis auf Me gried). 3eit oon Lie. Dr. 3. Ben3inger. Rr. 231.

—    $dtl}ringens, oon Dr. tferm. Perid)stoeiIerr ©ei). Regierungsrat in Strafeburg. Rr. 6.

—    he* alten £Uorgenlanbe# oon Dr. $r. ffommel, prof. a. b. Unioerf. IRündjen. IR. 6 Bilb. u.l Kart. Rr. 43.

3e in elegantem £eintoanbbanö

6. J. ©öfchenTche Verlagsbandlung, Leipzig.

283.

e. Der Uibe*

©rfdjiriite, ©fterreidtirdte, I: Don

6er Ur3ett bis 1439 oon prof. Dr. 5ran3 oon Krones, neubearbeitet oon Dr. Karl Uljlir3, prof. an 6er Unio. ©ra3. Itr. 104.

--II: Don 1526 bis 3ur ©egemoart

oon ïjofrat Dr. $ran3 oon Krones, Prof, an 6er Unio. ffira3. Ur. 105.

—    fjlmttifdjc, oon RealgtjmnafiaI*Dir. Dr.3ul.Kodj in ffirunetoalö. Ur.19.

—    Ihtritrdje.o. Dr. tüilt). Reeb, ©beri. am(DftergtjmnafiuminïRain3. Ur.4.

—    ^ädinrilic, oon profeffor ©tto Kaemmel, Re!tor 6es Uilolaigtjm* nafiums 3U £eip3tg. Ur. 100.

—    jfrditueitcrirdje, oon Dr. K. Dänö* Iifer, prof. a. 6. Unio. 3üridj. Ur. 188.

—    Spanifdje, non Dr. ©uftao Dierds. Ur. 266.

—    betr ©kernt* fielje: ©firnie.

—    betr lit u terri fiet>e : RTalerei.

—    be* lltrttljcmrttik f. : IRatljemati!.

—    ber ptuftk fielje: IRufi!.

—    betr piibagogth fielje: päöagogtt.

—    bet* ÎUmltlt fietje: pijtjfif.

—    be* beutfrlte» $anwn* f.: Roman.

—    ber bewtfdten §pradj* fielje: ffirammatil, Deutfdje.

—    be* beutrd)eit |Cnterridjt*-tnelen* fiet<e: Unterridjtsioefen.

©*rdjidrt*t»ilT**ird)aft, ©iwleitmtg in bie, oon Dr. (Ernft Bernljeim, profeffor an öer Unioerfität ©reifs* toalö. Ur. 270.

<j$erunblteit*ielire. Der menfdjltdje Körper, fein Bau unö feine ©ätig* feiten, oon (E. Rebmann, (Dberfdjul* rat in Karlsruhe. IRit ©efunö* Ijeitsleljre oon Dr. med. Q. Seiler. IRit 47 Rbb. u. 1 ©af. Ur. 18.

©enjeebetuefen oon tDerner Sombart, profeffor an 6. Unioerfität Breslau. I. II. Ur. 203. 204.

©emid|t*ttferen. IRajj*, IRün3* un6 ©etoidjtstoefen oon Dr. Rug. Blinb, prof. an 6er fjanöelsfdjule in Köln. Itr. 2

©leidiRrammnrdiine, fite, oon ©. Kin3brunner, Sngenieur unö Dozent für ©leftrotedjni! an öer IRunicipal Sdjool of ©edjnologtj in IRandjefter. IRit 78 Siguren. Ur. 257.

©leirdterkunbe oon Dr. $ritj Uta* djaèef in IDien. IRit 5 Rbbilö. im ©eft unö 11 ©afeln. Ur. 154.

©rttfrieb »an $tt*a$kttt*g. Ijart* mann oon flue, IDoIfram oon ©fdjenbadj u. ffiottfrieö oon Strasburg. Rustoaljl aus öem Ijöf. ©pos mit Rnmerfungen unö IDörterbudj oon Dr. K. IRaroIö, prof. am Kgl. 5riebridjsloIIegium 3U Königsberg i. Pr. Ur. 22.

©trttmntatik, DeutMie, unö lurçe ©efdjtdjte öer öeutfdjen Sprache oon Sdjulrat profeffor Dr. ©. £tjon in Dresöen. Ur. 20.

—    ©eiediifdje, I: $ormenIeljre oon Dr. Ijans IRelfcer, profeffor an öer Ktofterfdjule 3u IRaulbronn. Ur. 117.

--II : Beöeutungsleljre unö Stjntaç

oon Dr. Ifans meiner, profeffor an öer Klofterfdjule 3U IRaulbronn. Ur. 118.

—    gateinifdte. ©runbrijj öer Iatei* nifdjen Spradjleljre oon profeffor Dr. U). Dotfd) in IRagöeburg. Ur.82.

—    |tlitteU|ori)bcntfd|

Iunge Uöt ln Rustoaljl unö mittel* tjodjöeutfdje ffirammati! mit furçem IDörterbudj oon Dr. U). ©olttjer, Prof. a. ö. Unioerfität Roftod. Ur. 1.

—    JUnffirdn?, oon Dr. ©ridj Benteler, profeffor an öer Unioerfität Prag. Ur. 66.

--Jieïje audj : Ruffifdjes ©efprädjs*

budj. — £efebudj.

fjaubelakorrriponbe»?, D entrrite, oon prof. ©lj. öe Beauj, ©fficier öe l’3nftruction publique. Ur. 182.

—    ©ngUrdta, oon <E. (E. IDljitfielö, M. A., ©berleljrer an King ©öroarö VII ©rammar Sdjool in Khtg’s £pnn. Ur. 237.

3ein elegantem £eintoanbbanb

0. 3. Göfcben'fcbe Verlagsbandlung, Leipzig.

«ton

Rr. 234.

Ütortenknnbe,

Rlufüalifdie $ormenlehre oon Stephan KrehL I. II. Rlit oielen Rotenbeifpielen. Rr. 149. 150.

Danbelokarrefpanbenf, Ifranfä-ftfrije, o. profeffor ŒI). be Beauj, ©ffi* cier be I’3nftruction publique. Ilr. 183. Jttniienifdje, oon profeffor Alberto beBeauj, (Oberlehrer am Kgl 3nftitut S. $. Annuziata in $loren3. nr. 219.

—    gtpunifdie, oon Dr. fllfrebo Rabal be Ittarie3currena. Ilr. 295.

gfanbetepoiitik, ^n*toa«rtige, oon Dr. ffeinr Sieoefing, prof. an ber Unioerfität Rlarburg. Rr. 245.

Danbetentefen, $u*, non Dr. RMIJ. £efis, Profeffor an ber Unioerfität (Böttingen. I: Das Ejanbelsperfonal unb ber IDarenhanbel. Ilr. 296.

--II: Die (Effeftenbörfe unb bie

innere Ifanbelspolitif. Ilr. 297.

$a«rmanieieb«re oon fl. tfalm. Rlit Dielen Rotenbeilagen. ITr. 120.

$urtmaun «tangue, HHalfranttrnn (gfdjenfcadj unb (öottfrieb »frtt-afMturg. Auswahl aus bem ĘofifĄen (Epos mit flnmerhmgen unb U)örterbu<h Don Dr. K. ITCaroIb, Profeffor am Königlidjen 5riebrid)s* IolIegium3U Königsberg i. pr. Ilr. 22.

DanptUteirnturen, |>ie, b. ©rient* D. Dr. Rl.ïfaberlanbt, Prioatbo3. a. b. Unioerfität tDien. I. II. Rr. 162.163.

$elbenfage, glie bcutfdjc, oon Dr. (Otto Cuitpolb 3iric3e!f prof. an ber Unioerfität Rlünfter. Rr. 32.

—    fiel}e auch: Rlqthologie.

^nbujtrie, ^nargnnifrire ©ijenti-

fdje, 0. Dr. ©uft. Rauter in ©har* Iottenburg. I: Die £ebIancfobainbu* ftrie unb ihre Reben3toeige. Rlit 12 ©afeln. Rr.205.

--II: Salinentoefen, Kalifate,

Diingerinbuftrie unb Derioanbtcs. mit 6 ©afeln. Rr. 206.

--III: flnorganifä)e ©l)emifcf|eprä*

parate. Rlit 6 ©afeln. Rr. 207.

—    ber Silikate, ber knn(U. #au-ßeinemtb be* iPI artet*. I: ©lass unb Jeramifdje 3ubuftrie oon Dr. ©uftao Rauter in ©harlottenburg. Rlit 12 ©afeln. Rr. 233.

--II: Die 3nbuftrie ber fünftlidjen

Baufteine unb bes Rlörtels. Rlit 12 ©afeln.

Jtntegralredntnng oon Dr. $riebr 3unfer, profeffor am Karls gpmn in Stuttgart Rlit 89 $ig. Rr. 88 Ifntegralredjnnng. Repetitorium unb flufgabenfammlung 3ur integral* redjnung oon Dr. $riebrid) 3unfer, profeffor am Karlsgqmnafium in Stuttgart. Rlit 50 $iguren. Rr. 147.

gefduditlidi bargeftellt oon ©. ©elcich, Direftor ber !. !. Rautifdjen Sd)ule in Cuffinpiccolo unb $. Sauter, profeffor am Real» gqmnafium in Ulm, neu bearbeitet oon Dr. Paul Dinfe, flffiftent ber ffiefcIIfcĄaft für ©rbfunbe in Berlin. Rlit 70 flbbilbungen. Rr. 30. $ird?enlieb. Rlartin Cutter, ©hom. Rlurner, unb bas Kirchenlieb bes 16. 3aî)ïl)unberts. flusgetoäljlt unb mit ©inleitungen unb An» merfungen oerfeljen oon profeffor ffi. Berlit, Oberlehrer am Ritolai* gqmnafium 3U £eip3ig. Rr. 7. i'Uiiîmlcljrc oon profeffor Dr. R). Koppen, Rleteorologe ber Seetoarte Hamburg. Rlit 7 ©afeln unb 2 Figuren. Rr. 114.

$alanialgerdtidtte oon Dr. Dietrid) Schäfer, profeffor ber ©efdjiĄte an ber Unioerfität Berlin. Rr. 156.

ftarper, ber mc»rd)lid)c, fein $an nnb fritte Tätigkeiten, oon ©. Rebmann, ©berfdjulrat in Karls* ruhe. Rlit ©efunbheitslehre oon Dr. med. Ï). Seiler. Rlit 47 flbbilbungen unb 1 ©afel. Rr. 18. giriltaUagruphie oon Dr. R). Brunns, Profeffor an ber Unioerfität Straft* bürg. Rlit 190 flbbilb. Rr. 210. glubrun nnb glietridiepen. Rlit (Einleitung unb tDörterbud) oon Dr. ©. £. 3inc3eî, Profeffor an ber Unioerfität Rlünfter. Rr. 10.

--fiel)e aud| : £eben, DeutfĄes, im

12.3ahrl)unbert.

3c in elegantem £eintoanbbanb

6.% ©öfchenTchc Verlagsbandlung, Leipzig.

oon

—    tm»

Prof.

13 flbbilbungen unb 1 Karte. Rr. 284.

—    ttstt ©Ifah-gathtf «0ett non prof. Dr. R. £angenbecf in Strafeburg i. ©. mit 11 flbbilbgn. u.l Karte. Rr.215.

—    ber gtoerifdirn Balbinie! uon Dr. $rife Regel, profeffor an ber Rnioerfität U)ür3burg. mit 8 Kart» dien unb 8 flbbilbung. int ©ejt unb 1 Karte in 5arbenbru<J. Rr. 235.

—    nan ©fterreidf - glngatm oon Dr. fllfreb ©runb, prioatbo3ent an ber Rnioerfität R)ien. mit 10 ©ejt» illuftration. unb 1 Karte. Rr. 244.

—    bes £*mi0*eid|S gadrfen o. Dr. 3. 3emmrid|, ffiberlehrer am Real» gpmnaf. in piauen. mit 12 flb» bilbungen u. 1 Karte. Rr. 258.

11 flbbilb. unb 1

mit

gtaltur, glie, ber BettaiflTanre. ©e» Uttung, $orfdjung, Did}tung Dr. Robert $. flrnolb, prioatbo3ent an bet Unioerfität tOien. Rr. 189. üuUurgerdjidite, Drutfrijc, oon Dr. Reinlj. ffiiinther. Rr. 56. &uttße, glie grnpltirdtc«, oon (Earl Kampmann, $ad}Iehrer a. b. f. f. ©raphifdjen £el)r* unb Derfudjs* anftalt in R)ien. ITXtt sahlreidjen flbbilbungen unb Beilagen. Rr. 75. gtarirdjrifi fiehe: Stenographie, gänberkunbe ttati ©urapa non Dr. $ran3 ïfeiberid}, profeffor am $rancisco»3ofephinum in Rlöbling. Rlil 14 ©ejtfärtchen unb Dia» grammen unb einer Karte ber fllpeneinteilung. Rr. 62.

—    ber attßerenrapäirdiett ©rb-teile oon Dr. 5ran3 fjeiberid|, Prof, a. $rancisco*3ofephinum in Rlöbling. IRit ll©eytfärtd)en u. profil. Rr. 68.

ganbeakitnbe oon Baben oon prof. Dr. ©.Kienife in Karlsruhe, m.profil, flbbilbungen unb 1 Karte. Rr. 199.

—    bes BimigretdfS B<*nertt non Dr. R). ©öfe, profeffor an ber Kgl. ©ed)n. Ijochfdiule Ktünd)en. mit Profilen, flbbilb. u. 1 Karte. Rr. 176.

Britirdf-gtarbamerika oon Dr. fl. ©ppel in Bremen, mit

ganbeskunbe nan ^kanbittauien (Schweben, Rortoegen u. Dänemar!) oon l^einr. Kerp, Cehrer am ©pmna* fium unb £ehrer ber ©rbfunbe am ©omenius»Seminar 3U Bonn, mit Karte. Rr. 202. — bes Böitigreidr* UUiirttember© uon Dr. Kurt ffaffert, profeffor ber ffieographie an ber ffanbelshodifdjule in Köln, mit 16 DoIIbilbern unb 1 Karte. Rr. 157.

ganbmirtrdjaftlhhe Betriebslehre oon (Ernft £angenbed in Bodjum. Rr. 227.

geben, Reutfriiciv, im 12. fahr-Ijunbcrt. Kulturhiftorifdje ©r» Iäuterungen 3um Ribelungenlieb unb 3ur Kubrun. Don profeffor Dr. 3ul. Dieffenbadjer in 5reiburg t. B. mit 1 ©afel unb 30 flb» bilbungen. Rr. 93.

ge put0* ©milia ©alatti. mit ©in-Ieitung unb flnmerfungen oon Prof. Dr. R). Dotfdj. Rr. 2.

—    Ifliima n. gavnlftltn. mit flnm. oon Dr. ©omafdjef. Rr. 5.

gidit. ©heoretifdie Phpfif II. ©eil: £id)t unb R)ärme. Don Dr. ©uft. 3äger, profeffor an ber Unioerfität RKen. mit 47 flbbilbungen. Rr. 77.

giteratnr, ^Ithodibeutfdfe, ©rammatif, Uberfe^ung unb ©r» Iäuterungen uon ©h. Sd)auffler, Profeffor am Realgqmnafium in Ulm. Rr. 28.

giteratnrbenkmaler bes 14. n. 15. |lahrhnnberts. flusgeroählt unb erläutert non Dr. Hermann 3<wfeen, Direftor ber Königin £uife*Sd)uIe in Königsberg i. J)r. Rr. 181.

—    besl6. fahrljnnberts I: Martin gnther, ®bom. iilurncr n. bas Birdjenlieb bes 16. 3aijr-hunberts. flusgeroählt unb mit (Einleitungen unb flnmerfungen ocr» fehen »on prof. ©. Berlit, ©ber» Iebrer am Rifolaigqmnafium 3u £etp3ig. Rr. 7.

3e in elegantem £eintoanbbanb

G.J. Göfcberi’fche Verlagshatidlung, Leipzig.

oon

oon

braud) oon $r. Bartl), ©beringenieur in Aürnberg. mit 86 $iq. Ar. 3.

giteratuvbeuhmäiei: bea 16. gtalrr-lf unberta II: Üatta gadta. Aus* geroäblt unö erläutert oon prof. Dr. 3ul. Saljr. Hr. 24.

--III: |ta« gvant M» liallett-

lyagen :    $«tte«, ifirdjavt,

ramie ®te*epaa unb gäbet. Aus* geroäI)It unö erläutert oon Prof. Dr. 3ultus Satjr. Ar. 36.

giteratitven, Pie, bea ©rient». I. ©eil: Die Citeraturen ©ftafiens unö 3nöiens o. Dr. IÏÏ. Ijaberlanöt, PriüatÖ03ent an öer Unioerfität IDien. Ar. 162.

—    II. TEetI : Die Oteraturen öer per* fer, Semiten unö dürfen, non Dr. Aï. tfaberlanöt, prioatÖ03ent an öer Unioerfität A)ien. Ar. 163.

giterattirgefdiidfte, ^eutfdje, non Dr. Aîaj Kod), profeffor an öer Unioerfität Breslau. Ar. 81.

—    Detttfdje, ber ^lalTiherfeit ©arl A>eitbred)t, profeffor an öer ©ed)nifd)en tfodjfdjule Stuttgart. Ar. 161.

—    Jletttlrlie, be^ 19. flabeiinnberi»

oon (Earl tDeitbredjt, profeffor an öer ©ed)nifd)en Ijod)fd)ule Stuttgart. I. II. Ar. 134. 135.

—    ©ngliltije, oon Dr. Karl IDeifer in AKen. Ar. 69.

--©runÖ3üge unö tfaupttqpen öer

englifdjen £iteraturgefd)id)te oon Dr. Arnolö AI. AI. Sdjröer, Prof, an öer lfanöeIsI)od)fd|uIe in Köln. 2 ©eile. Ar. 286. 287.

—    ©riedfifdre, mit Berüdfidjtigung öer ffiefd)id)te öer A)iffenfd)aften oon Dr. Alfreö ©erde, Profeffor an öer Unioerfität ©reifstoalö. Ar. 70.

—    Hialienirdje, oon Dr. Karl Doller, Profeffor a. ö. Unioerfität Ijeibel* oerg. Ar. 125.

—    ilatrbiWie, I. ©eil: Die islänöifdje unö nortoegifd)e£iteratur öes mittel» alters oon Dr. IDoIfgang ©oltljer, Profeffor an öer Unioerfität Roftocf. Ar. 254.

giieratttrge fcitidite.yartttgie ftrdj e, oon Dr. Karl oon Reinl)aröftoettner, Profeffor an öer Kgl. ©edmifdjen Ąod)fd)ule in Rîünd)en. Ar. 213.

—    iUmttlTrfie, oon Dr. Hermann 3oad|im in Hamburg. Ar. 52.

—    Ultime, oon Dr. ©eorg polonsüi in Rîünd)en. Ar. 166.

—    §lamfd)c, oon Dr.„ 3ofef Karäfe! in Alien. 1. ©eil: Altere £iteratur bis 3ur AHeöergeburt. Ar. 277.

--2. ©eil : Das 19. 3al)*bunöert.

Ar. 278.

—    gpanirdje, oon Dr. Ruöolf Beer in IDien. I. II. Ar. 167. 168.

gagaritynten. Dierftellige ©afeln unö ©egentafeln für logaritl)mifd)es unö trigonometrifdjes Redjnen in 3toei 5arben 3ufammengeftellt Dr. tfermann Sdjubert, profeffor an öer ©elel)rtenfd)ule ö. 3ol)am neums in Hamburg. Ar. 81.

gagib. Pfqdjologie unö £ogif 3ur ©infüljrung in öie pi)iIofopt)ie oon Dr. ©t). ©Ifenljans. IRit 13 Figuren. Ar. 14.

gutbev, lUaititt, föbaut. ptnrner mtb ba» $U*djenüeb bea 16. gtaljfljtwberta. Ausgeroäl)It unö mit-©inleitungen unö Anmerfungen oerfeben oon Prof. ©. Beritt, ©ber» Iefyrer am Aifolaigqmnafium 3u £eip3ig. Ar. 7.

Ptagnetiamna. ©beoretifdje pbqfit

III.    ©eil: ©Ieltri3ität unö Aîagnetis» mus. Don Dr. ffiuftao 3äger, profeffor an öer Unioerfität R)ien. AAt 33 Abbilö. Ar. 78.

Plaierei, ©eltyidite ber, I. II. III.

IV.    V. oon Dr. Rid). Aîutljer, Pro» feffor an öer Unioerfität Breslau. Ar. 107-111.

Plardjtnenelentente, Pie. Kur3» gefaxtes £el)rbud) mit Beifpielen für öas Selbftftuöium unö öen pralt. ©e»

3c in elegantem £eintoanbbanb

6. % GöfchenTcbe Verlagsbandlung, Leipzig.

Hla$-, IWünt- ttttb ©emidrt*-wefen oon Dr. RuguftBlinb, Prof, an berljanbelsfd)ule in Köln. Kr. 283.

Ptaßanalqfe »on Dr. Otto Köf)m in Stuttgart. Kr. 221.

Utatyematik, ©eWjidite ber, oon Dr. R. Sturm, profeffor am ©ber» gqmnafium in Seitenftetten. Kr. 226.

IHedrauik. ©l)eoret. pi)t)fil I. Ocil: IKedjani! unb Rluftif. Kon Dr. ffiuftao 3äger, prof, an ber Unio. ÏDien. KTit 19 Rbbilb. Kr. 76.

2$leere*kttnbr, $tkn|trd|e, t)on Dr. ©erwarb Sdjott, Rbteilungsoorftel)er an ber Deutfd)en Seeroarte in ïjam» burg. ÎKit 28 Rbbilb. im ©e£t unb 8 ©afeln. Kr. 112.

2$tetalle (Rnorganifdje ©hernie 2. ©eil) o. Dr.OsfarSdjmibt, bipï.3ngenieur, Rffiftent an ber Königl. Baugetoer!» fdjule in Stuttgart. Kr. 212.

Hftetallaibe (RnorganifĄe ©l)emie î. ©eil) non Dr. (Dsfar SĄmibt, bipl. Ingenieur, Rffiftent an ber Kgl. Baugeroertfdjule in Stuttgart. Kr. 211.

2$tetear*l*gie oon Dr. K), ©rabert, profeffor an ber Unioerfitât 3mts» brud. mit 49 Rbbilbungen unb 7 ©afeln. Kr. 54.

$|Hneral*gie oon Dr. K. Brauns, profeffor an ber Unioerfitât Kiel, mit 130 Rbbilbungen. Kr. 29.

Ptinnefong uitb $prud)biditung.

tüaltljer o. b. Dogeltoeibe mit Rus» toal)l aus minnefang unb Sprud)» bid)tung. mit Rnmerïungen unb einem ÎDôrterbud) oon ©tto ©iintter, profeffor an ber ©berreal* fdjule unb an ber ©ed)n. ï}od)fd)ule in Stuttgart. Kr. 23.

Htarpkalogie, Anatomie

ftalagie ber Pflaufeu. Don Dr.

K), Kttgula, prof. a. b. $orfta!abemte (Eifenad). ÎUit 50 Rbbilb. Kr. 141.

lit tlmmc l'eu. Ktafe», Ïttün3» unb ©e* totd)tstoefen oon Dr. Rug. Blinb, Profeffor an ber ïjanbelsTdmle in Köln. Kr. 283.

tourner, ©Ijama*. Ktartin Cutter, ©bornas murner unb bas Kirdjenlieb bes 16. 3al)rl). RusgetoäI)lt unb mit ©inleitungen unb Rnmerîungen oerfeljen oon prof. ©. Berlit, ©beri. am Kifolaigqmn. 3U £eip3ig. Kr. 7.

|Uu|tk, (*5erd)idite ber alten unb «tittelaltcrlidjcn, oon Dr. R. mouler, mit 3al}lreid)en Rbbilb. unb IKufilbeilagen. Kr. 121.

ÜUuftlmUrdTe Ifarmenleljre (Üant-parttionelelire) o. Stephan Krel)I. I. II. mit oielen Kotenbeifpielen. Kr. 149. 150.

itlnrtkcerdiidite be* 17. nnb 18. Aakrkmtbert* oon Dr. K. ©runs» !t) in Stuttgart. Kr. 239.

—    fcc* 19. ^aljrljunbert* oon Dr. K. ©runsït) in Stuttgart. I. II. Kr. 164. 165.

ittultklclrre, Allgemeine, o. Stephan Kreï)l in £eip3ig. Kr. 220.

gttttikalagie, gleutfdie, oon Dr. Śriebrid) Kauffmann, profeffor an ber Unioerfitât Kiel. Kr. 15.

—    GSriedjirdje trob römifriie, oon Dr. ïjerm. Steubing, profeffor am Kgl. ©pmnafium in Û)ur3en. Kr. 27.

—    fiel)e aud): ïjelbenfage.

Itautik. Kur3er Rbrife bes täglid) an

Borb oon l)anbelsfd)iffen anae» roanbten ©eils ber Sd)iffal)rtsîunbe. Don Dr. 5ran3 Sd)ul3e, Direftor ber Kaoigations»Sd)ule 3U £iibed. mit 56 Rbbilbungen. Kr. 84.

Itikelnnge, $er, |löt in Rustoal}! unb mitteIl)od|beutfd|e ©rammatif mit furçem IDôrterbud) oon Dr. K), ©oltljer, profeffor an ber Unioerfitât Koftod. Kr.l.

--fiel)e aud): £eben, Deutfdjes, im

12. 3al)rl)unbert.

3ein elegantem £einroanbbanb

0. J. GörcbenTcbe VerlagsbancUutig, Leipzig.

oon

r £eben ennert.

Pftanfen-^lorphMogie» -&nato-ntie M»tb -Phnftologte non Dr. m. migula, profeffor an ber Forft* aïabemie (Eifenad). mit 50 Hb* bilbungen. Ur. 141.

non

ihtfepHamen oon prof. D r. 3. Behrens, Dorft. b. ©ro&h- Ianbtoirtf<haftlichen DerfuĄsanftalt Huguftenberg. XlTit 53 Figuren. Itr. 123.

püîmgogih im ©runbrijj t)on pro* f eff or Dr. U). Hein, Direftor bes Päbagogifdjen Seminars an ber Unioerfitat 3ena. Hr. 12.

— <Æefri)iH|te fcev, non Oberlehrer Dr. ï). IDeimerinmiesbaben. Itr.145.

Paläontologie t>. Dr.. Rub. fjoernes, prof, an ber Unioerfitat ©ra3. XTtit 87 Hbbiltyntgen. Itr. 95.

PavaUelpevfpektioe. ReĄttoinflige unb fchieftoinflige Hjonometrie Profeffor 3- Donberlinn in Breslau, îtîit 121 Figuren. Ur.260.

Peolpektioc nebft einem Hnhang üb. Sdjattenfonftruftion unb parallel* perfpeftioe oon Hrdjiteft ffans Fret}* berger, Oberlehrer an ber Bauge* toerffĄuIe Köln. Htit 88 Hbbilb. Ur. 57.

Petrographie oon Dr. U). Bruljns, prof. a. b. Unioerfitat Strasburg i. <E. Htit 15 Hbbilb. Ur. 173.

Pflanze» ihï Bau unî) Hu oon Oberlehrer Dr. ©. D mit 96 Hbbilbungen. Ur. 44.

Pftanienbiologie oon Dr. U). ïïïiguïa, prof. a. b. Forftafabemie ©ifenad). mit 50 Hbbilb. Ur. 127.

Pflamenreirh, Pa*. ©inteilung bes gefamten Pflan3enreid}s mit ben toidjtigften unb beîannteften Hrten oon Dr. F- Reinecfe in Breslau unb Dr. m. migula, Profeffor an ber Forftafabemie ©ifenad}. mit 50 Figuren. Ur. 122.

Pftanfenmelt» Pie» Me <Æen»â|Ter oon Dr. m. migula, Prof, an ber Forftafabemie ©ifenad}. mit 50 Hb--bilbungen. Ur. 158.

pi;artnakognofte. Don Hpothefer F- SĄmitthenner, Hffiftent am Bo» tan. Snftitut ber ©edjnifchen f)och' fd)ule Karlsruhe. Ur. 251.

Philolophie, ©infithrung in Me» oon Dr. ïîtay tDentfcher, prof a. b. Unioerfitat Königsberg. Ur. 281.

—    Pft)d)ologie unb £ogif 3ur (Einführ, in bie Philofophie »on Dr. ©h-©Ifenhans. mit 13 Fig Ur. 14.

Photographie Don prof £j. Kefjler, Fachlehrer an ber f. t. ©raphiiehen Celjr* unb DerfuĄsanftalt in IDien. mit 4 ©afeln unb 52 Hbbilb. Ur. 94.

Phkftk» ®ljeavetifd|e» l. ©eil : ÏÏIecha» ni! unb Hfuftiî. Don Dr. ©uftao 3ager, profeffor an ber Unioerfitat U)ien. mit 19 Hbbilb. Ur. 76.

—    — II. ©eil: £id)t unb tDärme. Don Dr. ©uftao 3âger, profeffor an ber Unio. mien, mit 47 Hbbilb. Ur. 77.

--III. ©eil: ©Ieftri3ität unb magne*

tismus. Don Dr. ©uftao 3üger, Prof, an ber Unioerfitat mien, mit 33 Hbbilb. Ur. 78.

—    <$efri)iri)te her, oon H. Kiftner, Profeffor an ber ©rofeh- Realfchule 3u Sinsheim a. © I: Die Phqfif bis Uetoton. mit 13 Fig. Ur 293

—    — II: Die Phpfif »on Ueroton bis 3ur ©egentoart. mit 3 Figuren. Ur 294.

$M;tjrtkalir<i?e Aufgoltcnfummlnng oon © mahler, Prof b. tîtathem. u. Phpfi! am ©pmnafium in Ulm. mit ben Refultaten. Ur. 243.

Phtlltkalilthe formclfantmlnug ©. mahler, prof, am ©pm* nafium in Ulm. Ur. 136.

piafttk» Pie» fcca AkcitMaubco oon Dr. îfans Stegmann, Konferoator am ©erman. Uationalmufeum 3U Uürnberg. mit 23 ©afeln. Ur. 116.

Poetik» peutfihe» oon Dr. K.Borinsfi, Do3ent a. b- Unio. münden. Ur. 40.

Pofantentiererei. ©eçtil*3nbuftrie II: meberei, mirferei, pofantentiererei, Spi^en* unb ©arbinenfabrifation unb Ftl3fabriïation oon Profeffor lïïaç ©ürtler, Direftor ber Königl. ©edjn. 3entralftelle für ©eytil*3nb. 3U Berlin, mit 27 $iq. Ur. 185.

80W.

fir^rffotogiemtb £oßih 3ur Œinfüfjr.

(Eliencansmit 13 $ig” Xbc.lL IFfadtoptftjfth. ©rtmbriff ber,

Dr. © $. £ipps in £eip3ig.

Hr. 98.

ffumpe», ljt)braulirdje unb trneu-ntatifiije Anläßen. (Ein fur3er Überblid oon Hegicrungsbaumeiiter Rubolf Dogbt, ffiberleÇrer an ber !gl l)öl7crcn Itlafd)inenbaujd)ule in Pofen mit 3at)IreiĄen flbbilbungen. Hr. 290.

(QueUenkunbe für beuteten ©e-fdlirfite oon Dr. (Earl 3acob, Prof, a. b. Unioerfität {Tübingen. 2 Bänbe. Hr. 279. 280.

g^edrnett, fiaufmüimirdico, non Hidjarb 3uftr ©berlel)rer an ber ©ffentlid)en fjanbetslef)ranftalt ber BresbenerKaufmannfdjaft. I. II. III. Hr. 189. 140. 187.

Steditolcljre, 3Ulßeni eine, non Dr. ŒI). Sternberg in (Efyarlottenburg. I : Die IHefljobe. Hr. 1G9.

—    II : Bas Stetem. Hr. 170.

$er internationale ßetoerblidte, oon 3. Heuberg, Kaiferl Regierungsrat, Hlitglieb bes Kaijerl.patentamts 3uBeriin. Hr.271. $Ubctcljrc, Peutfdje, 0. Ifans probft, ©qmnafialprofeffor in Bamberg. Httt einer ©afei. Hr. 61. ^eltßionoßerdjidfie, ^Ittertaroent-lidje, non D. Dr. Rtaj £öljr, Prof, an ber Unioerfität Breslau. Hr. 292.

—    Stnbtrdje, oon profeffor Dr. <Eb= munb ïfarbt). Hr. 83.

--fiel)e aud} Bubbtja.

$elißionotoi|Tcnrdjaft, glbrifc ber nerßleidjenben, non prof. Dr. ©I}. Rd)elis in Bremen. Hr. 208. Koman. ffiefdpdite b. beutfdjen Romans Dr. Ijellmutf) ïttielfe. Hr. 229. $uffirdt-Beutrrite£ ©efpriidjobudj oon Dr. (Erid| Bernefer, profeffor ber Unioerfität präg. Hr. 68. ÿurftrdYC0 gefebudj mit ©loffar oon Dr. (Erid) Berne!erf profeffor an ber Unioerfität Prag. Hr. 67.

--fielje audj: ©rammatif.

3 5iguren.

oon

oon

mu

$ad?o, $an*. Husgetoäf)lt unb er» läutert oon prof. Dr. 3ulius Sal)r. Hr. 24.

gangetiere. Bas ©terreidj I : Säuge* tiere oon ©berftubienrat prof. Dr. Kurt £ampert, Dorftetjer bes KgL Haturalienfabinetts in Stuttgart, mit 15 Rbbilbungen. Hr. 282.

$djattenkonftruktionen 0. Prof. 3. Bonberlinn in Breslau, mit 114 5ig. Hr. 236.

gdjmarofeer u. gdwtarobertun» in ber föiertuelt. (Erfte (Einführung in bie tierifdie Sd)marofcerfunbe 0. Dr. 5ran3 0. tDagner, a. 0. Prof, a. b. Unioerf. ffiiefcen. mit 67 Hb* bilbungen. Hr. 151.

§dmle, flie beutrdie,im^n*lanbe, oon Ifans Rmrhein in Ralle a. S. Hr. 259.

§djulprari*. metfjobif ber Bolïs» fdptle oon Dr. R. Sepfert, Seminar» oberIeI}rer in Rnnaberg. Hr. 50. ^intplieiua dimpltriflTttmte oon Ifans 3ctfob (Tljriftoffel 0. ©rimmels* Raufen. 3n Rustoal)l Ijerausgegeb.

prof. Dr. 5. Bobertag, Bo3ent an ber Unioerfität Breslau. Hr. 138. gtorioloßie oon prof. Dr. ©liomas Rdjelis in Bremen. Hr. 101.

oon

fpibenfabrikation. tEejtil*3nbuftrie II: ÏDeberei, tDirîerei, pofamen* tiererei, Spieen» unb ffiarbinen*

an

fabrifation unb $Ü3fabrifation oon profeffor maj ©ürtler, Bireftor ber Königl. ©ed)nifdien Sentralftelle für (EeçtiWnbuftrie 3U Berlin, mit 27 Figuren. Hr. 185.

$prad)benkntäler, ©otifdje, mit ©rammatif, Uberfe^ung unb (Er* läuterungen 0. Dr. Iferm. 3antjen, Bireftor ber Königin £uife*Sdiule in Königsberg i. pr. Hr. 79.

gtpradjntiJTenrdiaft, ©erntanifdie, o. Dr. Rid}. £oetoe in Berlin. Hr.238.

— gUtboßermantrd|c,o. Dr.R.merin* ger, Prof, a b. Unio. ©ra3. mit einer Gafel. Hr. 59.

80Pf.

gtpradjntilTcttrdraft, ftantanifdre, non Dr. flbolf Sauner, Prioatbo3ent an ber Unioerfität IDien. I: £aut* lehre u. IDortlehre I. Itr. 128.

—    — II : IDortlehre II u. Sqntaj. Itr. 250.

—    gemitirriie, oon Dr. d. Brodel* mann, profeffor an ber Unioerfität Königsberg. Ur. 291.

gtaataredft, PreußiM*#, oon Dr. $ritj Stier*Somlo, profeffor an ber Unioerfität Bonn. 2 deile. Ur. 298 U. 299.

§»łamme*kuttb*, gtautfdj** oon Dr. Rubolf Ittud}, a. o. profeffor an b. Unioerfität IDien. Ittit 2 Karten unb 2 dafeln. Ur. 126.

I. deil : Die ©runblehren ber Statif ftarrer Körper o. ID. Räuber, biplom. 3ng. Ittit 82 5ig. Hr. 178.

—    II. deil: Angetoanbte Statt!. Ittit

5a

unb

oon Dr. Arnolb

61 Figuren. Ur. 179. $t*nagrapki* nad) bem Sqftem oon $. X. ©abelsberger oon Dr. Albert Sd)ramm,lttitglieb bes Kgl. Stenogr. 3nftituts Dresben. Ur. 246.

— £el)rbud) ber Dereinfadjten Deutfdjen Stenographie (dintg.*Si)ftem Stol3e* SĄretj) nebft Schlüffe!, £efeftü<fen u. einem Anhang o. Dr. Amfel, ©ber* leerer bes Kabettenhaufes ©ranien* ftein. Ur. 86.

oon Dr. d. IDebetinb, Profeffor a. b. Unioerfität dübingen. lUit 34 Abbilb. Ur. 201. §Uvtxmutvit non Dr. K. ©lafer in Stuttgart. Ittit 44 5iguren. Ur. 97. $tilkunbe oon Karl ©tto Ifartmann, ©etoerbefchuloorftanb in £al)r. Ittit 7 DoIIbilbern unb 195 dejt*3IIu* ftrationen. Ur. 80.

Çfcdfnolagi*, Allgemein* djnntrdje, oon Dr. ©uft. Kauter in ©har* lottenburg. Ur. 113.

mit befonberer Berüdftdjtigung ber fpntgetifĄen Ittethoben oon Dr. Ifans Budjerer, Profeffor an ber Kgl. dedjn. Ijod}* fajule Dresben. Hr. 214. QfcUgoaplri*, Pie elektviTdje, oon Dr.£ub.KeIlftab. Itt.l9$ig. Ur.172.

©clament. Die dntftehung bes Alten deftantents non Lie. Dr. U). Staerï in 3ena. Itr. 272.

—    Die dntftehung bes Heuen defta» ments oon prof. Lie. Dr. (Earl dienten in Bonn. Itr. 285.

afcytU-gnfcttJtri* II: IDeberei, IDir* terei, pofamentiererei, Spieen* unb ©arbinenfabrilation unb $ü3fabri* fation oon Prof. Ittaj ©ürtlcr, Dir. ber Köntglidjen dedjn. Sentralftelle für de£til*3nbuftrie 3u Berlin. Xlîit 27 $tg. Itr. 185.

—    III: IDäfdieret, BleiĄerei, $ärberet unb ihre Ijilfsftoffe oon Dr. tDilï). Ittaffot, teurer an ber Preufe. I)öl).

dtfĄuIe für deçtilinbuftrie in Krefelo. Ittit 28 5ig. Hr. 186.

®Jjerm0fctjni*tuik(decI)nifdie IDärme* legre) non K. IDaliher unb ITT. Röttinger, Dipl. Ingenieuren. Ittit 54 $ig. Itr. 242.

QUerkioiagi* I: dntftehung IDeiterbilbung ber dienoelt, Be* 3iel)ungen 3ur organifdjen Itatur oon Dr. Heinrich Simrotl), profesor an ber Unioerfität £eip3ig. Ittit 33 Abbilbungen. Itr. 131.

—    II: Be3iel}ungen ber diere jjur or* ganifĄen Itatur oon Dr. tjeinrid) Simrotl}, prof, an ber Unioerfität £eip3ig. Ittit 35 Abbilb. Itr. 132.

fötergeographte

3acobi, profeffor ber 3ooIogie an ber Kgl. 5orfta!abemie 3U dbaranbt. Ittit 2 Karten. Ur. 218. ftievkuttbe o. Dr. $ran3 o. tDagner, profeffor an ber Unioerfität ©iefcen. Ittit 78 Abbilbungen. Ur. 60. Sfartreidr,    I: Säugetiere oon

©berftubienrat prof. Dr. Kurt £am* pert, Dorfteher bes Kgl. Haturalien* ïabinetts in Stuttgart. Ittit 15 Ab* bilbungen. Ur. 282. QtfcrfudjtUlitr*, Allgemeine unb fpe3i* eile, oon Dr. Paul Rippert in Berlin. Ur. 228.

^oiganamettrit, (iHtcite uitb fplfä-Hfdjr, oon Dr. ©er!). Ifeffenberg, prioatbo3. an ber dedjn. Ijodjfdjule in Berlin. Ittit 70 $iguren. Ur. 99.

6. J. GöfcbenTcbe Vcrlagsbandlimg, Leipzig.

JUaltlfcr ttim ber Dogclnuibc mit

Hustoahl aus tttinnefang u. Sprud}* bidjtung. ITÎit Hnmerfungen unb einem tDörterbudj oon (Dtto ®üntter, Prof. a. b. (Dberrealfdjule unb Œedjn. ffochfdj. in Stuttgart. Ur. 23. piarenltimb«, non Dr. Karl I>affacfr profeffor an ber töiener ffanbels* afabemie. I. ÎEeil : Unorganifdje tDaren. ITtit 40 Hbbilbungen. Hr.222. — II. Heil : <Drganifd)e tDaren. ÎTÎit 36 Hbbilbungen. Hr. 223. ptävme. ÎEt)eoretifd}e Phqfif II. Heil : £tdjt unb EDärtne. Don Dr. ®uftao 3ägerf profeffor an ber Unioerfüät tDien. mit 47 Hbbilb. Itr. 77. ptäirmeUtjre, ®*diwtfd)e, (CTIjcr-tnübifttamik) non K. tDaltljer u. m. Röttinger, Dipl.*3ngenieuren. mit 54 Figuren. Kr 242. ptäfdierei.

il*3n*

r.185.

|lnterrid)tdntefen, Po« öffeittlidje, Dcutlïhlanbe i. I». ©egemvart

oon Dr. Paul Stötjner, ®tjmnafial» Oberlehrer in 3toidau. Itr. 130.

— (*5cfdiirijtc bc* bcutrdjcn llntcr-vidjtöntcfcn^ oon prof. Dr. $rieb* ridj Seiler, Direftor bes Kgl. ®qm* nafiums 3U £udau. I. tEeil: Don Hnfang an bis 3um (Enbe bes 18. 3at)rl)unberts. Itr. 275.

--II. ÎEeil: Dom Beginn bes 19.

3ahrl)unbcrts bis auf bie ®egen* roart. Itr. 276.

Ilnufiijidite PUttEdilteit o. Dr. mori3 fjoernes, Prof, an ber Unit). tDien. mit 53 Hbbilb. Itr. 42.

Urlreberredit, Pa# beutfdt*, an

literarifdjen, funftlerifdjen unb ge* »erblichen Sdjöpfungen, mit befon* berer Berücffidjtigung ber inter* nationalen Derträge non Dr. ®uftat> Kauter, patentanroalt in Charlotten* bürg. Itr. 263.

rfirf)ernng*nuit!)cnmtilt oon Dr. HIfreb £oetotj, prof, an ber Unit). 5reiburg i. B. Ur. 180.

$Urfuh****ng*tt>*fen* »on Dr. iur. Paul Utolbenhauer, Do3ent ber Derfidjerungsioiffenfchaft an ber ffanbelshochfdjule Köln. Ur. 262.

^äikerkunbe non Dr. Ittidjael ff aber* Ianbt, prioatbo3ent an ber Unioerf. tDien. mit 56 Hbbilb. Ur. 73.

gloUtdlieb,    betttfdje, aus*

geroählt unb erläutert non profeffor Dr. 3ul. Safjr. Ur. 25.

gt^Ut^ntirirdiaft*!*!)?* o. Dr. Carl 3ol)s. 5udjs, profeffor an ber Uni* oerfüät 5reiburg i. B. Ur. 133.

PoUtaroirtrdtaftepalitilt non Prä* fibent Dr. H. oan ber Borget in Ber* Iin. Ur. 177.

ptaltyarfUtfe,    im Dersmafce

ber Urfdjrift überfe^t unb erläutert oon Prof. Dr. ff. Hithof, Oberlehrer a. ReaIgpmnafiumi.U)eimar. Ur.46.

a. b.

Ceçtil*3nbuftrie III: tDäfdjerei, Bleicherei, Färberei unb ihre Ąilfsftoffe oon Dr.tDtlh.ntaffot, £ehrer an ber preufe. höh- 5ad)fchule für Ceçtilinbuftrie in Krefeib. mit 28 $ig. Ur. 186.

IPalTer, ila*, unb feine Dertoenbung in 3nbuftrie unb ®etoerbe oon Dr. Crnft £eher,DipI.*3ngen. inSaalfelb. mit 15 Hbbilbungen. Ur. 261. pttberci. îEejtiI*3nbuftrie II: IDe» berei, IDirferei, pofamentiererei, Spieen* unb ®arbinenfabritation unb 5il3fabrifation oon profeffor Utaj ®ürtler, Direftor ber Königl. îEedjn. 3entralftelle für ÎEertf buftrie 3U Berlin, mit 27$ig. U plirherei. Ce£til*3nbuftrie II: IDe* berei, IDirferei, pofamentiererei, Spitjen* unb ®arbinenfabrifation unb 5il3fabrifation oon profeffor Utaj ®ürtler, Direftor ber Königl. ÎEedjn. 3entralftelle für îEeçtilOn* buftrie 3U Berlin, mit 27$ig. Ur. 185. plotfraro voit ©fd|*nbad). Efart* mann o. Hue, IDolfram o. Cfdjen* badj unb ®ottfrieb oon Stra&bur^. Hustoahl aus bem höf- Cpos mtt Hnmerfungen u. tDörterbudj o. Dr. K. marolb, prof. a. Kgl. $riebrichs* folleg. 3. Königsberg i. pr. Ur. 22.

so m.

Jj&lärterbttd? nadj ber neuen beutfdjen HeĄtfdjreibung non Dr. tjeinrid} KIen3. Itr. 200.

— £)cutrriî*tf, non Dr. $erb. Detter, Prof, an b. Unioerfitât Prag. ttr. 64.

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tDeitere Bättöe erfdjeinen in rafler 5°l9e-

Qammlung Qchubert

Sammlung mathematischer Lehrbücher,

die, auf wissenschaftlicher Grundlage beruhend, den Bedürfnissen des Praktikers Rechnung tragen und zugleich durch eine leicht faßliche Darstellung des Stoffs auch für den Nichtfachmann verständlich sind.

G. J. Göschen 'sehe Verlagshandlung in Leipzig.

Verzeichnis der bis jetzt erschienenen Bände:

von Prof. Dr. Hermann Schubert in Hamburg. M. 2.80.

2    Elementare Planimetrie von Prof. W. Pflieger in Münster i. E. M. 4.80.

3    Ebene und sphärische Trigonometrie von Dr. F. Bohnert in Hamburg. M. 2.—.

4    Elementare Stereometrie von Dr. F. Bohnert in Hamburg. M. 2.40.

5    Niedere Analysis 1. Teil: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kettenbrüche und diophantische Gleichungen von Professor Dr. Hermann Schubert in Hamburg. M. 3.60.

6    Algebra mit Einschluß der elementaren Zahlentheorie von Dr. Otto Pund in Altona. M. 4.40.

7    Ebene Geometrie der Lage von Prof. Dr. Rud. Böger in Hamburg. M. 5.—.

8    Analytische Geometrie der Ebene von Professor Dr. Max Simon in Straßburg. M. 6.—.

9    Analytische Geometrie des Raumes I. Teil: Gerade, Ebene, Kugel von Professor Dr. Max Simon in Straßburg. M. 4.—.

10    Differential- und Integralrechnung

I.    Teil: Differentialrechnung von Prof. Dr.W. Frz. Meyer in Königsberg. M. 9.—.

11    Differential- und Integralrechnung

II.    Teil: Integralrechnung von Prof. Dr. W. Franz Meyer in Königsberg. M. 10.—.

l Elementare Arithmetik und Algebra 12 Elemente der darstellenden Geo-

metrie von Dr. John Schröder in Hamburg. M. 5.—.

13    Differentialgleichungen von Prof. Dr. L. Schlesinger in Klausenburg. 2. Auflage. M. 8—.

14    Praxis der Gleichungen von Prof. C. Runge in Hannover. M. 5.20.

19    Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichungs-Rechnung von Dr. Norbert Herz in Wien. M.8—.

20    Versicherungsmathematik von Dr. W. Grossmann in Wien. M. 5.—.

25 Analytische Geometrie des Raumes II. Teil: Die Flächen zweiten Grades von Professor Dr. Max Simon in Straßburg. M. 4.40.

27 Geometrische Transformationen I. Teil: Die projektiven Transformationen nebst ihren Anwendungen von Prof. Dr. Karl Doehlemann in München. M.10.—. 29 Allgemeine Theorie der Raumkurven und Flächen I. Teil von Professor Dr. Victor Kommereil in Reutlingen und Professor Dr. Karl Kommereil in Heilbronn. M. 4.80.

Oberlehrer E.

Straßburg. M. 8.50.

32 Theorie und Praxis der Reihen von Prof. Dr. C. Runge in Hannover. M. 7.—.

34 Liniengeometrie mit Anwendungen I. Teil von Professor Dr. Konrad Zindler in Innsbruck. M. 12.—.

31 Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale von Landfriedt in

G. J. Göschen’sche Verlagshandlung, Leipzig.

35    Mehrdimensionale Geometrie I. Teil: 44 Allgemeine Theorie der Raum-

Dle linearen Räume von Prof. Dr.P. kurven und Flächen II. Teil von H.Schoute in Groningen. M.10.—.    Professor Dr. Victor Kommereil in

36    MehrdimensionaleGeometrie II.Teil: Reutlingen u. Professor Dr. Karl Die Polytope von Prof. Dr. P. H. Kommerell in Heilbronn. M. 5.80. Schoute in Groningen. M. 10.—. 45 Niedere Analysis II. Teil: Funk-

38    Angewandte Potentialtheorie in eie- tionen, Potenzreihen, Gleichungen mentarer Behandlung I. Teil v. Prof. von Professor Dr. Hermann E. Grimsehl in Hamburg. M. 6.—. Schubert in Hamburg. M. 3.80.

39    Thermodynamik I. Teil von Prof. 4g Thetafunktionen u. hyperelliptische

x-.gen* Jr*    Funktionen von Oberlehrer E.

40    Mathematische Optik von Prof. Dr. Landfriedt in Straßburg. M. 4.50.

41    łhe.Vf.SednermE“tt Äs ⁴⁸ STwvS'Göttingen™ ïo°-

un^nElektroklnetlk"von*⁸prot* Dn Nicht-Euklidische Geometrie v. Dr! J. Classen in Hamburg. M. 5.—.    Liebmann, Leipzig. M. 6.50.

42    Theorie der Elektrizität u.d. Magne- 50 Gewöhnliche Differentialgleichun-tismus II. Teil: Magnetismus und gen beliebiger Ordnung von Dr.J. Elektromagnetismus von Prof. Dr. Horn, Professor an der Bergaka-J. Classen in Hamburg. M. 7.-. demie zu Clausthal. M. 10.—.

43    Theorie der ebenen algebraischen 51 Liniengeometrie mit Anwendungen Kurven höh. Ordnung v. Dr. Heinr. II. Teil von Professor Dr. Konrad Wieleitner in Speyer. M. 10.—. Zindler in Innsbruck. M. 8—.

In Vorbereitung bzw. projektiert sind:

Elemente der Astronomie von Dr. Allgem. Formen- u. Invariantentheorie.

Ernst Hartwig in Bamberg. Kinematik von Professor Dr. Karl Mathematische Geographie von Dr. Heun in Karlsruhe.

Elektromagnet. Lichttheorie von Prof.

Dr. J. Classen in Hamburg. Gruppen- u. Substitutionentheorie von Prof. Dr. E. Netto in Gießen. Theorie der Flächen dritter Ordnung. Mathematische Potentialtheorie v.Prof.

Dr. A. Wangerin in Halle. Elastizitäts- und Festigkeitslehre im Bauwesen von Dr.ing.H.Reißner in Berlin.

Elastizitäts- und Festigkeitslehre Im Maschinenbau von Dr. Rudolf Wagner in Stettin.

Graphisches Rechnen von Prof. Aug. Adler in Prag.

Partielle Differentialgleichungen von Professor J. Hora in Clausthal. Grundlagen der theoretischen Chemie von Dr. Franz Wenzel in Wien.

Ernst Hartwig in Bamberg.

Darstellende Geometrie II. Teil: Anwendungen der darstellenden Geometrie v. Prof.ErichGeyger in Kassel Geschichte der Mathematik von Prof.

Dr. A. von Braunmühl und Prof.

Dr. S. Günther in München.

Dynamik von Professor Dr. Karl Heun in Karlsruhe.

Technische Mechanik von Prof. Dr.

Karl Heun in Karlsruhe.

Geodäsie von Professor Dr. A. Galle in Potsdam.

Allgemeine Funktionentheorie von Dr.

Paul Epstein in Straßburg.

Räumliche projektive Geometrie.

Geometrische Transformationen II.Teil von Professor Dr. Karl Doehle-mann in München.

Elliptische Funktionen von Dr. Karl Boehm in Heidelberg.

G. J. Göschen'sche Verlagshandlung in Leipzig.

Grundriß der HandeMruphie

von

Dr. Max Eckert

Privatdozent der Erdkunde an der Universität Kiel 2 Bände

I: Allgemeine Wirtschafts- und Verkehrsgeographie

Preis: Broschiert M. 3.80—, geb. in Halbfranz M. 5.—

II: Spezielle Wirtschafts- und Verkehrsgeographie

Preis: Broschiert M. 8.—, geb. in Halbfranz M. 9.20

Fieser Grundriß ist ein Versuch, die Handelsgeographie als ein ein-heitliches wissenschaftliches System, das die gesamte Wirtschaftsund Verkehrsgeographie umfaßt, darzustellen. Ihr Wesen und ihre Aufgaben bestimmt der Verfasser dahin, daß sie von der Kenntnis der allgemeinen Lage und der orographischen und hydrographischen Voraussetzungen aus die gründliche Einsicht in die Erwerbs- und Verkehrsverhältnisse sowohl eines einzelnen Landschaftsgebietes bzw. eines einzelnen Wirtschaftsreiches, als auch der gesamten Erde, unter steter Berücksichtigung der wichtigsten klimatologischen, geologischen, volkswirtschaftlichen und politischen Faktoren, vermittelt.

Leitfaden der KandeMrapliie

von

Dr. Max Eckert

Preis: In Leinwand geb. M. 3.—

P\ieser Leitfaden ist für die Hand des Schülers bestimmt. Er ist im ^ allgemeinen ein Auszug aus dem vorstehenden „Grundriß der Handelsgeographie“; wenn sich'aber auch die stoffliche Verteilung im großen und ganzen nach diesem Werk richtet, so sind doch in einzelnen Punkten bedeutende Veränderungen vorgenommen worden. Außerdem wurde das statistische Beiwerk auf ein Minimum beschränkt.

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G. J. Göschen’sche Verlagshandlung irt Leipzig.

AllSemeine und spezielle (DirtscluiftsseiMie von

Dr. Ernst Friedrich

Privatdozent an der Universität Leipzig

Mit 3 Karten

Preis: Broschiert M. 6.80, geb. in Halbfranz M. 8.20

r\ieses Buch sucht in ein hologäisches Verständnis der Wirtschaft (Produktion und Verkehr) einzuführen, indem es zeigt, wie jede örtliche Wirtschaft als Teil in dem zusammenhängenden und durch tellurische Faktoren bestimmten Wirtschaftsleben der Erde dasteht. Dabei wird, wie es richtig ist, die Produktion, der Länder in den Vordergrund gestellt, der Verkehr an zweiter Stelle behandelt.

Zcichcnl^unst

Methodische Darstellung des gesamten Zeichenwesens unter Mitwirkung erster Kräfte herausgegeben von

Karl Kimmich

582 Seiten, mit 1091 Text-Illustrationen, sowie 57 Farb- und Lichtdrucktafeln

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Preis: gebunden M. 25.—

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