WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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DAS HANDBUCH

DES

BAÜTECHNIKEBS

EINE ÜBERSICHTLICHE ZUSAMMENFASSUNG DER AN BAUGEWERKSCHULEN GEPFLEGTEN TECHNISCHEN LEHRFÄCHER

ZUM GEBRAUCHE

FÜR

STUDIERENDE UND AUSFÜHRENDE BAUTECHNIKER

UNTER MITWIRKUNG

VON

ERFAHRENEN BAUGEWERKSCHULLEHRERN

HERAUSGEGEBEN

VON

HANS ISSEL

ARCHITEKT, ORDENTLICHER LEHRER FÜR HOCHBAU AN DER KGL. BAUGEWERKSCHULE

IN HILDESHEIM

XVIII. BAND

DIE SCHATTEN-KONSTRUKTIONEN DIE AXONOMETRISCHE PROJEKTION UND DIE PERSPEKTIVE

812

LEIPZIG 1907

VERLAG VON BERNH. FRIEDR. VOIGT.

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DIE

SCHATTEN-KONSTRUKTIONEN

PROJEKTION

UND DIE PERSPEKTIVE

FUR DEN SCHULGEBRAUCH UND DIE BAUPRAXIS

BEARBEITET

VON

Architekt LUDWIG HAASS

OBERLEHRER AN DER KÖNIGL. BAUGEWERKSCHULE IN HILDESHEIM

MIT 255 TEXTABBILDUNGEN UND 16 TAFELN

LEIPZIG 1907

VERLAG VON BERNH. FRIEDR. VOIGT,

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ALLE RECHTE VORBEHALTEN

BIBLIOTEKA POLUECHHiGZHA

KRAKÓW

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Die Bestimmung dieses Buches — des 18. Bandes des „Handbuches des Bautechnikers“ — dürfte ohne weiteres klar sein.

Bei der Bearbeitung des vorliegenden Lehrstoffes bin ich in erster Linie bestrebt gewesen, weniger die Theorie, um so mehr aber den Anschluss an die Praxis in den Vordergrund zu stellen. Lehrt doch eine alte Erfahrung, dass der Lernende gerade dann ein reges Interesse und Verständnis zu zeigen beginnt, wenn er die praktische Anwendbarkeit des aufzunehmenden Stoffes erkennen kann.

Um dem lernenden Techniker das Studium dieses Werkes so viel wie möglich zu erleichtern und ihm ein jederzeit willkommenes Hilfsmaterial nicht allein für die Schule, sondern auch für seine spätere Praxis an die Hand zu geben, wurde dem mehr theoretischen Teil eine grössere Anzahl praktischer Beispiele für den Hochbau beigegeben, bei denen teilweise allerdings die Buchstaben-Bezeichnungen absichtlich vermieden wurden, um die zeichnerische Darstellung hinsichtlich ihrer Uebersichtlichkeit nicht ungünstig zu beeinflussen.

Im übrigen soll dieser Band gewisserraassen auch als Fortsetzung des von Professor Erich Geyger bearbeiteten 11. Bandes des „Handbuches des Bautechnikers“ — „Die angewandte darstellende Geometrie“ — angesehen werden. Es ist damit gleichzeitig auch gesagt, dass ein erfolgreiches Studium des vorliegenden Buches nur dann möglich ist, wenn der Lernende den in dem 11. Bande behandelten Stoff völlig beherrscht.

HILDESHEIM, im April 1907

Der Verfasser

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Vorwort

Erster Teil

Die Schatten-Konstruktionen.

Einleitung .............

Die Konstruktion der Schlagschatten von Punkten, geraden und krummen Linien, sowie von ebenen und gekrümmten Flächen .

1.    Schlagschatten von Punkten .........

2.    Schlagschatten von geraden und krummen Linien .

3.    Schlagschatten von ebenen und gekrümmten Flächen .

Die Konstruktion der Schlagschatten- und Eigenschatten-Grenzen von Körpern

1.    Allgemeines über den Eigenschatten von Körpern .    ...    .

2.    Die Konstruktion des Schlagschattens und des Eigenschattens eben

flächiger Körper .........

a)    Die Schatten des Prismas ........

b)    Die Schatten der Pyramide .......

3.    Die Konstruktion des Schlagschattens und des Eigenschattens des Zylinders

4.    Die Konstruktion des Eigen- und Schlagschattens des Holil-Zylinders

5.    Die    Konstruktion    des    Eigen-    und    Schlagschattens    des    Kegels

6.    Die    Konstruktion    des    Eigen-    und    Schlagschattens    des    Hohl-Kegels

7.    Die    Konstruktion    des    Eigen-    und    Schlagschattens    der    Kugel

8.    Die    Konstruktion    des    Eigen-    und    Schlagschattens    der    Hohl-Kugel

9.    Die Konstruktion des Eigenschattens und des Schlagschattens der Um

drehungskörper (Rotationskörper) .

Verschiedene Schattenkonstruktions-Beispiele für den Hochbau .    .    .    .

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Zweiter Teil

Die axonometrische Projektion

Die einzelnen axonometrischen Projektions-Arten .

Die trimetrische, dimetrische und isometrische Projektion Die Schatten-Konstruktion in axonometrischen Projektionen .

Dritter Teil

Die Perspektive

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Seite

Einleitung...........

Die Elemente der Perspektive ........

Die Durchschnitts- und Fluchtpunkts-Methode .....

Die Distanzpunkts-Methode ........

a)    Die Distanzpunkts-Methode unter Anwendung der ganzen Distanz

b)    Die Distanzpunkts-Methode unter Anwendung einer Teildistanz

c)    Die Teilungs- und Fluchtpunkts-Methode .... Die Konstruktion der Schatten bei perspektivischen Darstellungen

119

122

131

136

136

145

148

152

Anhang

Schattenkonstruktions-Beispiele aus der Praxis .

Erster Teil.

Die Schatten-Konstruktionen.

Einleitung.

Bei den in dem XL Bande des „Handbuches des Bautechnikers“ (Prof. E. Geyger, Die augewandte darstellende Geometrie) behandelten Darstellungen kam es lediglich darauf an, die Gestalt, die Grösse und die Lage der einzelnen Körper durch die. geometrischen Projektionen derselben zu bestimmen. Nötigenfalls kann man nun die Anschaulichkeit der geometrischen Darstellung eines Körpers noch dadurch erhöhen, dass man die zugehörigen Schatten konstruiert.

Naturgemäfs ist ein jeder Schatten durch eine Lichtquelle bedingt. Die Lichtquelle selbst kann nun entweder eine natürliche oder eine künstliche sein; im ersteren Falle ist es die Sonne, im zweiten Falle kann das Licht von einer Kerze, von einer Gaslampe u. a. m. erzeugt werden.

Bei zeichnerischen Darstellungen nimmt man fast ausnahmslos das Sonnenlicht als Lichtquelle an.

Stellt man sich beispielsweise vor, dass ein Körper abcdefgh (siehe Fig. 1) von einer Lichtquelle L aus beleuchtet wird, dann wird ein Teil der von der Lichtquelle L ausgehenden Lichtstrahlen, welche sich geradlinig fortpflanzen, auf der Oberfläche des angenommenen Körpers auftreffen und denselben dadurch beleuchten. Ein anderer Teil der von L ausgehenden Lichtstrahlen streift nur den gegebenen Körper, während weitaus die Mehrzahl der unendlich vielen Lichtstrahlen den betreffenden Körper überhaupt nicht treffen.

Derjenige Teil der Oberfläche des in der Fig. 1 angenommenen Körpers, welcher vou den Lichtstrahlen nicht erreicht wird, liegt im Schatten, den man dann den Eigenschatten des Körpers nennt.

Steht nun der in der Fig. 1 angenommene Körper abcdefgh auf einer horizontalen Ebene (= E) und die Lichtquelle (— L) hat genau die gleiche Stellung wie in der Fig. 1 (siehe Fig. 2), dann werden diejenigen Lichtstrahlen, welche auf die Oberfläche des gegebenen Körpers auftreffen, die Ebene E nicht erreichen und dadurch dieselbe auch nicht beleuchten können. Naturgemäfs tritt nunmehr der nichtbeleuchtete Teil der Ebene E dunkler in die Erscheinung als der von den Lichtstrahlen erreichte Teil dieser Ebene. Man nennt dann diesen

L. flaass, Die Schattenkonstruktionen.    1

nichtbeleuchteten Teil der Ebene E den Schlagschatten des Körpers ab cd e f g h.

Es soll hierbei aber der Schlagschatten des aneinen anderen Gegenstand, erstgenannten Körpers be-dass letzterer völlig oder des ersteren liegt. Man

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Aufgabe: In der Prisma abcdefgh ge-Grundfläche efgh auf der L sei die angenommene zontal-Projektion aufEinLi nun der Schlagschatten des

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auch gleichzeitig Erwähnung finden, dass genommenen Körpers ebensogut auch auf welcher sich in unmittelbarer Nähe des findet, fallen kann und zwar derart, nur teilweise in dem Schlagschatten vergleiche hierbei die Fig. 3. x Fig. 2 ist ein rechtwinkliges geben, welches mit einer Horizontal-Ebene E steht. Lichtquelle, deren Hori-ersichtlich ist. Es soll gegebenen Prismas ermittelt werden.

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Fig. 2.

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Auflösung: Zieht man von L aus einen Lichtstrahl durch die Ecke a des Prismas, dann ist Li e die Horizontal-Projektion dieses Lichtstrahles. Verlängert man nun den Lichtstrahl La sowie dessen Horizontal-Projektion Li e, dann treffen diese beiden Linien in a' zusammen; der Punkt a' ist somit der Schlagschatten des Prisma-Eckpunktes a auf der Horizontal-Ebene. Genau auf die gleiche Weise können nun auch die Schlagschatten der beiden anderen Prisma-Eckpunkte b und c ermittelt werden, wodurch sich die Schlagschattenpunkte b' und c' ergeben. Alle die Prisma-Kante a b streifenden Lichtstrahlen liegen, wie man sich leicht vorstellen kann, in einer Ebene, welche die Horizontal-Ebene E in der Linie a' b' durchschneidet sodass mithin in der Linie a' b' der Schlagschatten der Prisma-Kante a b zu sehen ist.

Fig. 3.

Ebenso wird nun auch die Linie b' c' als /

Schlagschatten von bc gefunden; ferner bilden die Linien a' e und c' g die Schlagschatten der beiden senkrechten Prisma-Kantęn a e und c g. Die Linien e f, f g, g c', c' b', b' a' und a' e bilden zusammen die Schlag- / schatten-Grenze des gegebenen Prismas.

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Diejenigen Oberflächenteile des in der Fig. 2 angenommenen Gegenstandes, welche nicht von den Lichtstrahlen erreicht werdeu, erscheinen nun dunkler als die durch die Licht strahlen er-

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hellten Oberfiächenteile des Prismas. Es sind dies die beiden Flächen e a b f und fbcg, welche somit in dem sogenannten Eigenschatten dieses Körpers liegen

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Fig. 4.

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(die letztgenannte Flasche des Prismas ist allerdings durch die Wahl der Körperstellung dem Auge des Beschauers nicht sichtbar).

Fig. 5.

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Als Lichtquelle wird bei technischen Zeichnungen sowohl als auch bei den perspektivischen Darstellungen, wie oben erwähnt, gewöhnlich das Sonnenlicht angenommen. Nach den neuesten Berechnungen beträgt die Entfernung der Sonne von unserem Planeten 148 bis 150 Millionen Kilometer. Man kann also in Anbetracht dieser unendlichen Entfernung als nahezu richtig annehmen, dass die Lichtstrahlen der Sonne in bezug auf unsere, im Verhältnis hierzu sein-kleinen Zeichnungen unter sich parallele Gerade sind.

Tn Hinblick auf das soeben Gesagte ist nun der Schlagschatten des in der Figur 2 dargestellten Prismas in der Figur 4 unter der Annahme paralleler Lichtstrahlen ermittelt worden. Hierbei ist L die ganz beliebig angenommene Lichtstrahl-Richtung und Li die Horizontal-Projektion derselben auf der Ebene E. Um nun den Schlagschatten des Prisma-Eckpunktes a zu konstruieren, zieht man parallel zu der Lichtstrahl-Richtung L den Lichtstrahl aa' sowie dessen Horizontal-Projektion (= eaj parallel zu Li ; es ist dann auch a'e zugleich der Schlagschatten der senkrechten Prisma-Kante a e. Weiter bestimmt man noch die Schlagschatten der beiden Eckpunkte b und c des Prismas auf die gleiche Weise, wodurch sich dann auch die Schlagschatten der übrigen Prisma-Kanten ergeben, mithin auch die zu ermittelnde Schlagschatten-Grenze des Prismas auf der Ebene E.

Hiernach kann man die folgende Schlussfolgerung ziehen :

Der Schlagschatten, welchen ein gegebener Körper auf die Horizontal-Ebene wirft, ist bei der Annahme paralleler Lichtstrahlen eine schiefe Parallel-Projektion dieses Körpers auf der Ebene E, während bei der Annahme endlicher Entfernung der Lichtquelle der auf der Ebene E ermittelte Schlagschatten eines Körpers eine Zentral-Projektion desselben auf der Ebene E ist.

In der Fig. 5 ist die beliebig gewählte Richtung des Lichtstrahles L sowie dessen Horizontal-Projektion Li eine andere, wie sie die Fig. 4 zeigt, wodurch naturgemäss auch der Schlagschatten des gleichen Prismas auf der Ebene E eine andere Gestalt annehmen muss.

Aus den bisher gegebenen Darstellungen und Erläuterungen ergibt sich ferner, dass der Umriss des Schlagschattens immer von den Grenzlinien zwischen den erleuchteten und den in dem Eigenschatten liegenden Teilen der Oberfläche eines Körpers — also von dessen sog. Eigenschatten-Grenze — herrührt. Zum Beweis konstruiere man beispielsweise in der Fig. 4 oder 5 den Schlagschatten der Prisma-Kante cd oder dh und mau wird alsdann ersehen können, dass der betreffende Schlagschatten innerhalb des schon ermittelten Schlagschatten-Umrisses oder auch ganz oder nur teilweise in die Grundfläche des Prismas fallen muss.

Ferner kanu man noch nach dem bisher Erläuterten als Regel aufstellen:

1.    Der Schlagschatten einer Geraden, welche auf der Ebene E sen krech t steht, m uss auf dieser Ebene E mit der Projektion des durch den unteren Endpunkt der Geraden gehenden Lichtstrahles Zusammentreffen.

2.    Der Schlagschatten einer Geraden, welche zu der Ebene E parallel liegt, muss auf dieser Ebene E parallel zu der angenommenen Geraden fallen.

Da sich nun die Stellung der Sonne in bezug auf unseren Planeten immer verändert, so hat dies auch eine sich stetig verändernde Richtung der Lichtstrahlen zur Folge, somit auch eine immer wechselnde Gestalt des Schattens. Dieser Umstand kann natürlich bei unseren technischen Zeichnungen keinerlei Berücksichtigung finden und man nimmt daher ganz allgemein an, dass die unter

sich parallelen Lichtstrahlen stets in einer ganz bestimmten Richtung auf die dargestellten Gegenstände auftreffen. Diese allgemein angenommene Fig. 6.

Richtung der unter sich parallelen Lichtstrahlen ist parallel zu der Diagonale a b des in der Fig. 6 dargestellten Würfels W. Die drei geometrischen Projektionen (Grundriss, Aufriss und Seitenriss) dieses Würfels W nebst seiner Diagonale a b,

Fig. 7.

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als der allgemein gebräuchlichen Lichtstrahl-Richtung, zeigt die Fig. 7. Erfahrungs-gemäfs erhalten auch bei der Annahme dieser Lichtstrahl-Richtung die zeichnerisch dargestellten Gegenstände eine Beleuchtung von recht guter Wirkung, und die Ermittelung ihrer Schatten kann so auch auf eine sehr bequeme Art erfolgen, indem man die Projektionen der Lichtstrahlen in dem Grundriss,

Aufriss und Seitenriss mit dem 45°-Winkel verzeichnen kann.

Die Konstruktion der Schlagschatten von Punkten, geraden und krummen Linien, sowie von ebenen Flächen.

1. Schlagschatten von Punkten.

Aufgabe. In der Figur 8a soll der Schlagschatten, welchen der Punkt P auf einer der beiden Projektions-Ebenen Ei und E₂ wirft, bestimmt werden.

Auflösung. Die Lage des gegebenen Punktes P ist durch seine Horizontal-Projektion Pi und durch seine Yertikal-Projektion P₂ festgelegt. Zunächst zieht man nun von Pi aus die Horizontal-Projektion des Lichtstrahles L (= Li) und von P₂ aus die Vertikal-Projektion desselben (— L₂) und findet dadurch, dass die Horizontal-Projektion des Lichtstrahles in dem Punkte p₀ auf die Vertikal-Ebene (= E₂) auftrifft, dass er mithin die Horizontal-Ebene (= Ei) nicht mehr erreicht. Eine von p₀ aus gezogene senkrechte Linie bestimmt nun auf der Vertikal-Projektion des Lichtstrahles diejenige Stelle ( = p₂), an welcher der Lichtstrahl selbst die Vertikal-Ebene trifft. Somit ist also p₂ der Schlagschatten

des gegebenen Punktes P. Es ist demnach, anders ausgedrückt, der Schlagschatten des Punktes P auf der Vertikal-Ebene zugleich auch die sogenannte Vertikal-Spur des durch den Punkt P gehenden Lichtstrahles.

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Fig. 8 b.

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Die in der Fig. 8 b gegebene Darstellung veranschaulicht das zu der Fig. 8a Erläuterte noch deutlicher.

Fig. 9 b.

Fig. 9 a.

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Kann mau also die Spur (bekanntlich auch Durchschnitt oder Schnittpunkt genannt) einer Geraden auf einer beliebig angenommenen Fläche bestimmen, so ist man damit auch in der Lage, den Schlagschatten eines gegebenen Punktes auf irgend einer Fläche zu ermitteln¹).

In der Figur 9 a ist die Lage des Punktes P durch seine beiden Projektionen (= Pi und P₂) gegeben. Sein Schlagschatten ist dadurch festgelegt

worden, dass man auch hierbei von Pi aus die Horizontal-Projektion des Lichtstrahls (= Li)und vonP₂ aus die Vertikalprojektion desselben (= L₂) zunächst gezogen hat, wodurch man findet, dass die Vertikal-Projektiou des Lichtstrahls in dem Punkte po auf die Horizontal-Ebene auftrifft; mithin erreicht derselbe die Vertikal-Ebene nicht mehr. • Eine von po aus gezogene Senkrechte zur Vertikal-Ebene bestimmt nun auf der Horizontal-Ebene in dem Punkte pi die-

Fig. 10 a.

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Fig. 10 b.

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jenige Stelle (pi ist also die sog. Horizontal-Spur des Lichtstrahles), an welcher der Lichtstrahl L die Horizontal-Ebene trifft. Somit ist also pi der Schlagschatten des gegebenen Punktes P auf der Horizontal-Ebene.

Die Figur 9 b veranschaulicht das eben Erklärte noch deutlicher.

In der Figur 10a ist die Horizontal-Spur (= Pi), sowie die Vertikal-Spur (= p₂) des Lichtstrahls L, welcher durch den gegebenen Punkt P geht, ermittelt worden. Von den beiden Spuren kann natürlich nur die Horizontal-Spur (=pi) als der tatsächliche Schlagschatten des Punktes P angesehen werden. Die Vertikal-Spur (= p₂) würde nur in dem Falle ein Schlagschatten sein, wenn man sich die Horizontal-Ebene weggenommeu gedacht hätte.

Die Fig. 10 b gibt hierzu eine weitere Erläuterung.

Aufgabe. In der Fig. 11 ist der Punkt P sowie die ebene Fläche ab cd durch ihre beiden Projektionen gegeben. Es soll nun der Schlagschatten des gegebenen Punktes ermittelt werden.

Auflösung. Zunächst zieht man von den beiden Projektionen des Punktes P (= Pi und P₂) aus die entsprechenden Projektionen des Lichtstrahles (= Li und L₂). Nun denkt man sich durch Li eine Hilfsebene gelegt, welche zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehen soll. Diese gedachte Hilfsebene, welche sich also in ihrer Horizontal-Projektion als die Linie Li darstellt, schneidet nun

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Fig. 11.

Fig. 12.

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die Horizontal-Projektion der gegebenen Fläche (= ai bi Ci di) in der Linie mi ni mithin in der Vertikal-Projektion der Fläche (= a₂ b₂ c₂ d₂) in der Linie m₂ n₂, was ja durch das Ziehen der Ordinaten mi m₂ und m n₂ leicht ermittelt werden kaum Die Vertikal-Projektion des Lichtstrahles (= L₂) trifft nun in dem Punkte p₂ auf die Vertikal-Projektion der Schnittlinie der angenommenen Hilfsebene mit der Fläche ab cd. Der Punkt p₂ ist mithin die Spur des Lichtstrahles L auf der Fläche a b c d und demnach auch zugleich der aufzusuchende Schlagschatten des Punktes P auf dieser gegebenen Fläche.

Aufgabe. Es soll der Schlagschatten des Punktes P auf der Oberfläche einer Pyramide konstruiert werden. Die Lage des Punktes P sowie der Pyramide ist durch ihre beiden Projektionen in der Fig. 12 festgelegt.

Auflösung. Man zieht, genau wie dies in der Fig. 11 geschehen ist, auch hierbei die beiden Projektionen des Lichtstrahles (=Li und L2) und denkt sich nun durch Li eine senkrecht zu der Horizontal-Ebene stehende Hilfsebene gelegt, welche die gegebene Pyramide nach einem unregelmässigen Viereck ab cd

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Fig. 14a.

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Fig. 13.

schneidet. Die Horizontal-Projektion dieses Viereckes ist also ai bi Ci di, wodurch alsdann auch die Vertikal-Projektion desselben (= a2 b2 C2 d2) ermittelt werden kann. Die Lichtstrahl-Projektion L2 trifft nun in dem Punkte p2 die Vertikal-Projektion der Schnittfigur (=a2b2C2d2); es ist somit p2 die Spur des Lichtstrahles L auf der Oberfläche der Pyramide und es ist damit auch zugleich in dem Punkte p2 der Schlagschatten des Punktes P ermittelt worden.

Aufgabe. In der Fig. 13 ist die Lage eines Punktes P sowie ein senkrecht auf der Horizontal-Ebene stehender Zylinder durch die beiden Projektionen gegeben. Es soll der Schlagschatten des Punktes P auf der Oberfläche des Zylinders ermittelt werden.

Auflösung. Nachdem man die beiden Projektionen Li und L₂ des Lichtstrahles gezogen hat, legt man durch Lt eine Hilfsebene, welche wiederum zu der Horizontal-Ebene senkrecht steht. Die Spur dieser gedachten Hilfsebene ist auf der Yertikal-Projektion des Zylinders in der Linie X2 y2 zu erkennen. Hiernach kann man leicht den zu ermittelnden Schlagschatten (= p₂) des Punktes P

Fig. 15.

Fig. 14 b.

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auffinden. Der Punkt p2 ist also die Spur des durch den Punkt P gehenden Lichtstrahles auf der Oberfläche des Zylinders.

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In der Fig. 14a ist die Ermittelung des Schlagschattens eines gegebenen Punktes P auf der Mantelfläche eines Kegels gezeigt. Die Konstruktion erfolgt genau nach der zu der Fig. 13 gegebenen Erklärung und kann daher keinerlei Schwierigkeiten bieten. Es sei nur angefügt, dass die wiederum durch die Lichtstrahl-Projektion Li gelegte Hilfsebene, welche senkrecht auf der Horizontal-Ebene stehend gedacht wird, an dem Kegel einen sogen. Hyperbel-Schnitt*) verursacht, dessen Yertikal-Projektion sodann konstruiert werden muss, der letzteren wird nun mit Hilfe der Lichtstrahl-Projektion L2 der Punkt p2

*) Näheres über den Hyperbel-Schnitt findet man im XI. Bande des „Handbuches des Bautechnikers“ — Prof. E. Geyger, Die angewandte darstellende Geometrie.

als Schlagschatten des gegebenen Punktes P auf dem Kegelmantel ermittelt. Durch die entsprechende Ordinate legt man die Horizontal-Projektion des Schlagschattens (= pi) fest.

ln der Fig. 14b ist genau die gleiche Aufgabe wie in der Fig. 14a gestellt worden, jedoch ist hierbei eine andere Lösung, welche dasselbe Ergebnis liefert, gegeben.

Dabei nimmt man eine zu der Vertikal-Ebene senkrecht stehende Hilfs

ebene E (= E2) an, in welcher auch gleichzeitig der Lichtstrahl L liegen muss. Diese so gedachte Hilfsebene schneidet nun den Kegel in der Schnittlinie ABC (= A2 B2 C2), wodurch man auch leicht die Horizontal-Projektion der durch die Hilfsebene verursachten Schnittfläche (= Ai Bi Ci) ermitteln kann. Jetzt zieht man von Pi aus die Lichtstrahl-Projektion Li und findet dadurch auf der Schnittkurve Ai Bi Ci die Spur des durch den gegebenen Punkt P gehenden Lichtstrahles. Es ist dies der Punkt pi, welcher nunmehr die Horizontal-Projektion des aufzusuchenden Schlagschattens darstellt. Man kann jetzt auch leicht durch das Ziehen der Ordinate pi p₂ die Vertikal-Projektion des Schlagschattens (= P2) auf der Oberfläche des gegebenen Kegels ermitteln.

Als letztes Beispiel dieser Art sei die Fig. 15 anzusehen.

Aufgabe. Der Punkt P sowie eine Halbkugel sind in ihrer Lage durch die beiden Projektionen als gegeben zu betrachten. Es soll der Schlagschatten des Punktes P auf der Oberfläche der Halbkugel konstruiert werden.

Auflösung. Die auf der Horizontal-Ebene senkrecht stehende Hilfsebene, in welcher auch der durch den gegebenen Punkt P gehende Lichtstrahl liegen muss, durchschneidet die Halbkugel. Die wahre Gestalt der durch die gedachte Hilfsebene verursachten Schnittfläche der Halbkugel wird sodann durch die Um-klappung der Schnittfläche ermittelt, damit die Konstruktion der Vertikal-Projektion der Schnittlinie ermöglicht wird. Nun ergibt sich durch die Verzeichnung der Vertikal-Projektion des Lichtstrahles (= L2) die Vertikal-Projektion des Schlagschattens (== P2), welche man nunmehr auch in der Horizontal-Projektion der gegebenen Halbkugel angeben kann; es ist also der Punkt pi die horizontale Projektion des gesuchten Schlagschattens.

2. Schlagschatten von geraden und krummen Linien.

Denkt man sich durch die unendlich vielen Punkte einer Geraden im Raume die Lichtstrahlen gezogen, dann bilden diese zusammengenommen eine Ebene, welche man gewöhnlich die „Lichtebene“ nennt. Die Spur oder die Schnittlinie dieser Lichtebene auf einer der beiden Projektions-Ebenen, auf irgend einer anderen Fläche oder auf einem Gegenstände ist dann zugleich auch der Schlagschatten der zuerst gedachten Geraden.

Aufgabe. In der Fig. 16a ist die Gerade AB durch ihre Projektionen gegeben, welche zu der Horizontal-Ebene eine senkrechte Richtuug einnimmt und deren unterer Endpunkt A die Horizontal-Ebene selbst berührt. Es soll nun der Schlagschatten dieser gegebenen Geraden ermittelt werden.

Auflösung. Um den Schlagschatten der Geraden AB aufzufinden, konstruiert man einfach die Schlagschatten ihrer beiden Endpunkte, wodurch man die beiden Punkte ai und bi findet. Da nun der untere Endpunkt (= A)

der Geraden die Horizontal-Ebene berührt, so muss naturgemäss der Schlagschatten (= ai) dieses Endpunktes mit seiner Horizontal-Projektion (= Ai) zu-

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B,

Fig. 16a.

Fig. 16 b.

B,

sammenfallen. Ist nun der Schlagschatten des oberen Endpunktes (=B) der Geraden ebenfalls ermittelt (= bi), dann werden die Schlagsehattenpunkte ai und

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Fig. 19.

Fig. 17. z

Fig. 18.

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bi mit einander verbunden und man erhält mit dieser Verbindungslinie den gesuchten Schlagschatten der Geraden A B auf der Horizontal-Ebene.

Die Fig. 16b gibt ein deutlicheres Bild dieser ganzen Konstruktion.

Die Fig. 17 weist eine andere Lage der hier ebenfalls zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehenden Geraden A B auf, wodurch der Schlagschatten derselben, wie die Konstruktion zeigt, auf die Vertikal-Ebene fallen muss.

Fig. 20 a. Fig. 20 b.

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In der Fig. 18 hat die Gerade A B, welche auch hier eine zu der Horizontal-Ebene senkrechte Richtung einnimmt, wiederum eine andere Stellung erhalten,

sodass nunmehr der Schlagschatten wieder auf der Fig. 21. Horizontal-Ebene sichtbar wird.

Weiterhin ist in der Fig. 19 die Lage der immer noch zu der Horizontal-Ebene senkrecht gerichteten Geraden derart gewählt, dass ihr Schlagschatten zum Teil auf die Vertikal-Ebene, zum Teil auf die Horizontal-Ebene fallen muss.

B₂

Eine umgekehrte Richtung der Geraden A B weisen dagegen die Figuren 20a 20b, 21, 22 und 23 auf und zwar derart, dass in allen vier Fällen die gegebene Gerade senkrecht zu der Vertikal-Ebene steht. Im übrigen bleibt aber die Konstruktion des Schlagschattens ebenso einfach wie in den vorher besprochenen Figuren IG bis 19.

ln den Figuren 24 a, 25 und 26 läuft die Gerade A B jeweils parallel mit den beiden Projektions-Ebenen, wobei allerdings in der Fig. 26 noch ausserdem angenommen wurde, dass der Abstand der gegebenen Geraden AfB von der Vertikal-Ebene der gleiche ist, wie derjenige von der Horizontal-Ebene. In dem letzteren Falle muss alsdann der zu ermittelnde Schlagschatten in die Achse der beiden Projektions-Ebenen fallen.

B,

Bei der Fig. 27a ist weiterhin angenommen, dass die Gerade AB zu der Vertikal-Ebene parallel liegt und zu der Horizontal-Ebene geneigte Lage hat.

Aa B₂

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Fig. 22.

Fig. 23.

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A,

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Es wird alsdann der zu ermittelnde Schlagschatten, falls derselbe auf die Vertikal-Ebene fällt, parallel zu der gegebenen Geraden sein müssen.

Bei der Fig. 27b liegt der Fall derart, dass die gegebene Gerade AB parallel zu der Horizontal-Ebene liegt, zu der Vertikal-Ebene aber geneigt ist.

Fig. 24 a.

Fig. 24 b.

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Hierbei wird also der zu ermittelnde Schlagschatten, falls derselbe auf die Horizontal-Ebene fällt, parallel zu der gegebenen Geraden sein.

Die Ergebnisse der in den Figuren 16 bis einschliesslich der Fig. 27 b zur Darstellung gelangten Konstruktionen liefern zugleich auch den Beweis für die nun

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folgenden Grundregeln:

Fig. 25.

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a,

a) Steht eine beliebige Gerade senkrecht zu der Horizontal-Ebene, dann läuft der zugehörige Schlagschatten auf der Vertikal-Ebene parallel mit der Geraden, oder gegebenenfalls auf der Horizontal-Ebene unter Neigung von 45° von vorn links nach hinten rechts.

ß) Steht eine beliebige Gerade senkrecht zu der Vertikal-Ebene, dann läuft derzugehörige Schlagschatten auf der Vertikal-Ebene von oben links nach unten rechts unter Neigung von 45°, oder auch gegebenenfalls auf der Horizontal-Ebene parallel mit der G eraden.

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Fig. 26.

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y) Liegt eine beliebige Gerade parallel zu den beiden Projektions-Ebenen, dann läuft auch der zugehörige Schlagschatten, mager nun auf die eine oder die andere Projektions-Ebene fallen, stets parallel zu der Geraden.

b) Liegt eine beliebige Gerade parallel zu der Vertikal-Ebene dann läuft der zugehörige Schlagschatten, falls derselbe auf die Vertikal-Ebene fällt,parallel zu der gegebenen Geraden. Oder auch: Liegt eine beliebige Gerade parallel zu der Horizontal-Ebene, dann läuft der zugehörige Schlagschatten, falls derselbe auf die Horizontal-Ebe ne fällt, parallelzu der gegebenen Gera d en.

Bi

•>

In der Fig. 28a ist nun die Lage der gegebenen Geraden AB derart gewählt, dass dieselbe zu keiner der beiden Projektions-Ebenen parallel läuft.

Mithin wird auch der zugehörige Schlagschatten weder mit der Vertikal-Projektion noch mit der Horizontal-Projektion der Geraden AB parallel laufen.

Fig. 27 a.

Für die Fig. 28b gilt genau das gleiche wie bei der Fig. 28a.

In der Fig. 29a ist die Richtung der gegebenen Geraden A B im Raume derartig gewählt worden, dass der zugehörige Schlagschatten, welcher hierbei auf der Horizontal-Ebene sichtbar wird, zum Teil mit der Horizontal-Projektion der Geraden zusammenfällt.

Bi

Wie die Fig. 29 b zeigt, hat hier die gegebene Gerade A B eine solche Lage erhalten, dass dieselbe die gleicheRichtung, welche die Lichtstrahlen einnehmen, hat. Dadurch erhält man als den zugehörigen Schlagschatten einen Punkt, welcher dann, je nach der Entfernung der Geraden AB von der Vertikal- oder Horizontal-Ebene, entweder auf der ersteren oder auf der letzteren Ebene gefunden wird.

Aufgabe. Iu der Fig. 30a ist die Lage der Geraden A B durch ihre beiden Projektionen gegeben. Es soll der zugehörige Schlagschatten ermittelt werden.

Auflösung. In diesem Falle sucht man zunächst sowohl die Horizontal-Spur als auch die Vertikal-Spur der sogen.

Fig. 27b.

„Lichtebene“; hierbei müssen sich die beiden Spurlinien in einem Punkte auf der Projektions-Achse treffen. Die folgende Konstruktion führt nun zu dem gewünschten Ergebnis. Man ermittelt zuerst die Horizontal-Spur des durch den Punkt A der Geraden A B gehenden Lichtstrahles und erhält dadurch den Punkt ai, sodann bestimmt man die Horizontal-Spur des durch den Endpunkt B dieser Geraden gehenden Lichtstrahles und erhält so den Punkt bi. Alsdann verbindet man diese beiden Spurpunkte ai und bi mit einander. Diese Verbindungslinie stellt nun den Schlagschatten der Geraden

L. Haass. Die Schattenkonstruktionen.

A B auf der Horizontal-Ebene dar. Der Schlagschatten selbst ist natürlich nur vor der Projektions-Achse auf der Horizontal-Ebene sichtbar; hinter der

Fig. 28 a.

B,

JB*

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ai

G-a

Fig. 29 a.

A,

A,

Fig.29b.

Ba

bi

Fig. 28 b.

A,

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Bi

ff

Projektions-Achse würde er nur dann auf dieser Ebene sichtbar sein, wenn man sich die Vertikal-Ebene weggenommen denken würde. Auf die gleiche Weise

B₂

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Fig. 30 a.

II

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’B,

sucht man sodann die Vertikal-Spur des durch den Endpunkt A der Geraden gehenden Lichtstrahles, sowie diejenige des durch den Endpunkt B gehenden Lichtstrahles, wodurch die beiden Spurpunkte a2 und b2 festgelegt werden.

Die Verbindungslinie von a2 und b2 ist nun der Schlagschatten der gegebenen Geraden A B auf der Verti-kal-Ebene, welcher jedoch hier nur über der Projektions-Achse dem Auge sichtbar ist.

Die Fig. 30 b, in welcher die in der Fig. 30a gegebene Gerade AB in ihrem Seitenriss darge-

Fig. 30 b.

B,*

H,

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stellt wurde, verdeutlicht noch mehr das ebengesagte; im übrigen vergleiche man auch die Figuren 10a u. 10b nebst der zugehörigen Beschreibung auf Seite 8.

2. \

Fig. 31.

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I.

y.

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a.

Die Anwendung des gleichen Konstruktions-Verfahrens führt auch bei der in der Fig. 31 gestellten Aufgabe, bei welcher die gegebene Gerade AB wiederum

eine andere Richtung zu den beiden Projektions-Ebenen erhalten hat, zu dem richtigen Ergebnis.

_ Soll

Schlagschatten irgend einer ebenen oder einer doppelt gekrümmten Kurve konstruiert werden, so ist die Ermittelung desselben sehr einfach. Man sucht nach den bisher gegebenen Anweisungen zunächst die Schlagschatten einer genügenden Anzahl von Teilpunkten der gegebenen Kurve auf und verbindet sodann in der richtigen Reihenfolge die Schlagschatten dieser Teilpunkte durch eine stetig gekrümmte Linie.

A«.

Ba

"Y

A,

O,

X>

\a

Fig. 32.

nun der

Mau vergleiche nun im Anschlüsse hieran die Fig. 32, in welcher die gegebene Linie AB CD eine einfach gekrümmte Kurve mit den Teilpunkten B und C vorstellt. Aus den beiden Projektionen dieser Kurve geht hervor, dass dieselbe über der Horizontal-Ebene und zwar parallel mit dieser schwebt. Auf die Konstruktion des zugehörigen Schlagschattens braucht nach dem vorausgeschickten wohl kaum näher eingegangen zu werden.

Fig. 33.

Pz

c„

ln der Fig. 33 ist der umgekehrte Fall angenomm en worden , so dass die gegebene einfach-gekrümmte Kurve AB CD parallel mit der Vertikal-Ebene läuft.

Fig. 34 a.

B,a

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al

fr,

^z

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Fig. 34 b.

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Die in der Fig. 34a verzeichnete einfach-gekrümmte Kurve AB CD ist parallel zu einer dritten Projektions-Ebene (dem sogen. Seitenriss) gelegt, sodass

Pi

B,

Fig. 35.

■h

C,

zu der Ermittelung des zugehörigen Schlagschattens, sowie zu der Festlegung der beiden Teilpunkte B und C der gegebenen Kurve der Seitenriss derselben benötigt wird. In der Fig. 34b ist demnach der Seitenriss der ^ d,L Kurve mit ihren beiden Teilpunkten verzeichnet, sodass man nun die letzteren in den beiden Projektionen der Fig. 34 a angeben kann, um alsdann den Schlagschatten, welcher in diesem Falle auf die Yertikal-Ebene fallen muss, konstruieren zu können.

In der Fig. 35 liegt die gegebene Kurve AD mit ihren beliebig angenommenen Teilpunkten B und C weder zu der Horizontal-Ebene, noch zu der Yertikal-Ebene, noch zu dem

Fig. 36 a.

Seitenriss parallel. Auch hierbei fällt der zugehörige Schlagschatten wiederum auf die Vertikal-Ebene.

Ca

Ei,

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fa.

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//

B,

/ / / // / / / //

//

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C,

Die Figuren 36a und 36 b zeigen jeweils die gleiche Richtung der gegebenen, doppelt-gekrümmten Linie A B, jedoch hat dieselbe in der Fig. 36 b einen grösseren Abstand von der Vertikal-Ebene erhalten. Dadurch fällt in der Fig. 36 a der zugehörige Schlagschatten auf die Vertikal-Ebene, während in dem zweiten Falle der Schlagschatten auf die Horizontal-Ebene fallen muss. Zu der Ermittelung der Schlagschatten-Kurve ist auch hierbei an ganz beliebiger Stelle auf den beiden Projektionen der gegebenen Kurve A B eine Anzahl von Teilpunkten angenommen worden, deren Schlag-

//

*>x

B*

Fa

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B,

Ei

B>₂

-rrrrr^rrrrr.

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Fig. 36 b.

//

schatten nunmehr nacheinander bestimmt wurden. Alsdann wurden die Schlagschatten dieser Teilpunkte in der richtigen Reihenfolge durch eine stetig gekrümmte Linie mit einander verbunden.

B,

Cx

c,

//

//

//

//

A.

A*

Fig. 37.

«a

Auch für die Ermittelung des Schlagschattens der in der Fig. 37 gegebenen Kurve A ß soll das ebengesagte massgebend sein.

Aufgabe. In der Fig. 38 ist die Gerade A B, sowie die zu den beiden Projektions-Ebenen geneigt liegende, ebene Fläche MN OP jeweils durch ihre beiden Projektionen gegeben. Fs soll der Schlagschatten der Geraden A ß bestimmt werden.

Auflösung. Die gegebene Gerade A B liegt senkrecht zu der Vertikal-Ebene, wodurch ihre Projektion auf dieser Ebene durch einen Punkt (= A2 B2) dargestellt ist. Man zieht nun zunächst von A2 B2 die Vertikal-Projektion des Lichtstrahles (= L₂) und denkt sich alsdann durch L₂ eine Hilfsebene gelegt, welche zu der Vertikal-Ebene stehen soll. Diese ange-Hilfsebene

senkrecht

nommene schneidet nun die gegebene Fläche M N O P in der Linie c d [man vergleiche die Vertikal-

Projektion dieser Fläche (= M₂ N2 0₂P₂) mit der Projektion der Schnittlinie (= c₂ d₂)]. Die Linie c₂ d₂ ist also die Spur der gedachten Hilfsebene auf der gegebenen Fläche M N O P, welche man jetzt auch in der Horizontal-Projektion dieser Fläche als Linie Ci di darstellen kann. Hierauf zeichnet man die Horizontal-Projektion des durch den Endpunkt B der gegebenen Geraden gehenden Lichtstrahles (= Bi bi) und findet dadurch auf der Spurlinie Ci di in dem Punkte bi den Schlagschatten des Endpunktes B der Geraden auf der Fläche MN OP. Diesen Schlagschattenpunkt bi der Linie Ci di kann man nunmehr auch auf der Linie c₂ d₂ als Punkt

Fig. 38.

N,

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Fig. 39.

■ 2.

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b₂ angeben. Die Strecke b₂ C2 bezw. bi Ci stellt nun denjenigen Teil des Schlagschattens der Geraden A B dar, welcher auf die Fläche M N 0 P fallen muss. Zieht man von Ci aus in der Richtung nach der gegebenen Geraden die Horizontal-Projektion des Lichtstrahles (= ci Ci), so findet man dadurch in dem Punkte C der Geraden AB den Punkt, durch welchen diejenige Strecke der Geraden A B bestimmt wird, welche ihren Schlagschattenaufdie Fläche M N O P wirft. Die Strecke AC (vergleiche A1C1) der gegebenen Geraden wirft ihren Schlagschatten auf die Vertikal-Ebene.

Aufgabe. In der Fig. 39 liegt die gegebene Gerade umgekehrt wie in der vorhergehenden Figur; dieselbe steht hier senkrecht auf der Horizontal-Ebene und berührt dieselbe. Ausserdem ist noch die Fläche M N O P durch ihre beiden Projektionen gegeben. Es soll der Schlagschatten, welchen die ge- Ba\ gebene Gerade A B verursacht, auf der Horizontal-Ebene und auf der Fläche M N O P ermittelt werden.

Auflösung. Zunächst zieht man von der Horizontal-Projektion der Geraden A B (= Ai Bi) die Hori-zontal-Projektion des Lichtstrahles (= Lj ), worauf man sich eine Hilfsebene durch Li gelegt denkt, welche auf der Horizontal-Ebene senkrecht steht. Diese gedachte Hilfsebene schneidet nun die gegebene Fläche MNOP in der Linie cd, welche Schnittlinie in der Hori-

Fig. 40.

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Fig. 41.

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c,

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zontal-Projektion dieser Fläche durch die Linie Ci di dargestellt wird. Durch die Linie Ci di kann man nun auch die Vertikal-Projektion der Schnittlinie c d leicht bestimmen, es ist dies die Linie C2 d2. dann zieht man von der Vertikal-Projektion des M    oberen Endpunktes B

¹    (=-= B₂) der gegebenen

Geraden die Vertikal-Projektion des durch den Endpunkt B gehenden Lichtstrahles und erhält somit auf der Spurlinie c₂ d2 in dem Punkte b2

Als-

den Schlagschatten des Punktes B der Geraden auf der Fläche M N 0 P. Dieser Schlagschattenpunkt 1)2 auf der Linie C2 d2 kann nunmehr auch auf die Linie Ci di als Punkt bi übertragen werden. Die Strecke bi Ci bezw. b2 C2 stellt nun denjenigen Teil des Schlagschattens der Geraden AB dar, welcher auf die Fläche MNOP fallen muss. Zieht man also von dem Punkt C2 aus in der Richtung nach der gegebenen Geraden die Vertikal-Projektion des Lichtstrahles, mithin die Linie C2 C2, so findet man dadurch in dem Punkte C der Geraden AB den Punkt, durch welchen diejenige Strecke der gegebenen Geraden bestimmt wird, welche ihren Schlagschatten auf die Fläche MNOP wirft, während der Teil AC der

Geraden A B seinen Schlagschatten auf die Horizontal-Ebene (als Strecke ai Ci) wirft.

al

B.

Li

2.

NL

Wl

Fig. 42.

-f

Aufgab e. In der Fig. 40 sollderSchlag-schatten der Linie A B auf der Fläche MNOP, welche beide durch ihre Projektionen gegeben sind, gesucht werden.

A uflös ung. Genau wie zu der Fig. 39 erläutert wurde, zeichnet mau auch hier

zunächst die Horizontal-Projektion des Lichtstrahles ( = Li) und denkt sich durch Li eine senkrecht zu der Horizontal-Ebene stehende Hilfsebene gestellt, welche nun die Fläche MNOP in der Linie cd (= Ci di) schneidet. Die Vertikal-Projektion dieser Schnittlinie cd wird mit Hilfe ihrer Horizontal-Projektion (= Ci di) jetzt leicht gefunden und zwar als Linie C2 d2 auf der Vertikal-Projektion der Fläche MNOP (= M? N₂ O2 P2)- Sodann zieht man von A2 bezw. von B2 aus die Vertikal-Projektion des durch den Endpunkt A bezw. B gehenden Lichtstrahles und erhält dadurch auf der Spurlinie C2 d2 die beiden Schlagschattenpunkte a2 und b2 und damit zugleich auch die Vertikal-Projektion des Schlagschattens, welcher von der gegebenen Geraden A B auf die Fläche MNOP geworfen wird. Durch die so ermittelte Vertikal-Projektion desSchlagschattens(= a2b2)

OłĄtł

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C,

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I.

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findet mao nunmehr auch leicht auf der Linie Ci di die Horizontal-Projektion des zu konstruierenden Schlagschattens (= ai bi).

Auch für die in der Fig. 41 dargestellte Schattenkonstruktion finden die zu den Figuren 39 und 40 gegebenen Erläuterungen sinngemässe Anwendung.

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Fig. 43.

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Fig. 44.

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B,

Aufgabe. Die Fig. 42 zeigt die beiden Projektionen einer einfachgekrümmten Kurve AD (mit ihren beiden beliebig gewählten Teilpunkten B und C), sowie diejenigen der ebeuen Fläche M N 0 P. Es soll der Schlagschatten der gegebenen Kurve konstruiert werden.

Auflösung. Auf der gegebenen Kurve AD nimmt man ganz beliebig eine Anzahl von Teilpunkten an und konstruiert hierauf deren Schlagschatten; beispielsweise findet man den Schlagschatten des auf der Linie AD beliebig angenommenen Teilpunktes C derart, dass man von Ci aus die Horizontal-Projektion des durch C gehenden Lichtstrahles ( = Li) zieht, alsdann denkt man sich durch Li eine Hilfsebene gelegt, welche senkrecht zu der Horizontal-Ebene steht. Diese Hilfsebene schneidet nun iu der Linie xw(=xiwi) die gegebene Fläche M N O P. Die Vertikal-Projektion dieser Schnittlinie xw kann nunmehr ebenfalls festgelegt werden; man erhält so die Linie X2 W2. Nunmehr zieht man von C2 aus die Vertikal-Projektion des durch den Teilpunkt C gehenden Lichtstrahles (= L2) und erhält dadurch auf der Linie X2 W2 den Punkt C2 als Vertikal-Projektion des Schlagschattens, welchen der Teilpunkt C auf die Fläche

M N O P wirft.

Für die

\.

^2,

Fig. 45.

Auffindung des Schlagschattens, welchen der Teil-punktB der gegebenen Kurve A D auf die Fläche MN OP wirft, gilt gleichfalls das soeben erläuterte, ebenso auch für die Konstruktion des welchen

ou.

Schlagschattens der Endpunkt D der Kurve A D auf die gegebene Fläche M N O P wirft, ln

gesucht

der gleichen Weise können nun noch eine beliebige*An-zahl von Zwischenpunkten auf der gegebenen Kurve angenommen und alsdann deren zugehörige Schlagschattenpunkte werden. Man kann jetzt die Schlagschatten der angenommenen Teilpunkte miteinander verbinden, wodurch man denjenigen Schlagschatten der Kurve A D erhält, welcher auf

Z.

Z.

C,

B,

die gegebene Fläche MN O P fällt. In der hier gestellten Aufgabe fällt jedoch auch

auf die Vertikal-Ebene noch ein Teil des Schlagschattens, dessen Ermittelung aber keine Schwierigkeiten mehr bereiten dürfte (man vergleiche hierzu die Fig. 33).

Die nun folgenden, in den Figuren 43 bis einschliesslich 51 gebotenen Beispiele zeigen jeweils die Konstruktion des Schlagschattens einer geraden oder gekrümmten Linie, welche denselben ganz oder teilweise auf einen gegebenen Körper wirft.

Aufgabe: ln der Fig. 43 ist die Gerade AB, welche senkrecht zu der Horizontol-Ebene liegt, sowie eine vierseitige Pyramide durch ihre beiden Projektionen gegeben. Es soll der Schlagschatten der angenommen Geraden A B ermittelt werden.

Auflösung. Von der Horizontal-Projektion der gegebenen Geraden (=AiBi) aus wird zunächst die horizontale Lichtstrahl-Projektion (= Li) gezogen. Sodann denkt man sich durch Li eine senkrecht zu der Horizotal-Ebene stehende Hilfsebene gestellt, welche nun die gegebene Pyramide durchschneidet. Die so entstandene Schnittfläche der Pyramide sei mit v x y z (= Vi xt yi z.i in der Horizontal-Projektion) bezeichnet. Nun kann auch leicht die Vertikal-Projektion X dieser Schnittfläche (= V2 X2 y2Z2) angegeben werden. Jetzt zieht man die Vertikal-Projek-tioneu der Lichtstrahlen, welche durch die beiden Endpunkte der Geraden A B gehen, und findet dadurch auf den Begrenzungslinien der vorerst ermittelten Schnittfläche die

Schlagschattenpunkte a2 auf _

der Linie X2 y2 und b2 auf der Linie V2 X2. Es bilden nun die beiden Strecken a2 X2 und X2 b2 zusammen den gesuchten Schlagschatten der Geraden A B. Auch die Horizontal-Projektion des Schlagschattens kann nunmehr leicht festgelegt werden, indem man die beiden Ordinaten a2 ai und 1)2 bi angibt, sodass die Strecke . ai Xi bi die Horizontal-Projek- ^ tion des Schlagschattens darstellt.

x:

xr

xr

Fig. 40.

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Z.

B,

Aufgabe: Die Fig. 44 zeigt eine Gerade A B sowie ein vierseitiges Prisma, welche beide als gegeben zu betrachten sind. Es soll der Schlagschatten der Geraden, welchen dieselbe auf die Oberfläche des angenommenen Prismas wirft, bestimmt werden.

Auflösung: Zuerst konstruiert man die leicht auffindbaren Schlagschatten der beiden Endpunkte der Geraden AB, indem man die entsprechenden Lichtstrahl-Projektionen von Ai beziehungsweise von Bi sowie von A21L aus angibt. Dadurch erhält man in den beiden Projektionen des gegebenen Prismas die vier Schlagschattenpunkte ai und bi sowie a2 und b2. Der durch die vorderste Kante des Prismas und gleichzeitig auch durch die Gerade A B gehende Lichtstrahl hat seine Horizontal-Projektion in der Linie Ci Ci und seine Vertikal-Projektion in der Linie C2 C2. Dieser Lichtstrahl zeigt uns also, au welcher Stelle auf der Geraden AB derjenige Teilpunkt (= C) liegen muss, welcher seinen Schlagschatten auf die vorderste Kante des angenommenen Prismas wirft. Im

Bei der Fig. 45 finden ebenfalls die zu der Fig. 44 gegebenen Erläuterungen sinngemäfse Anwendung.

übrigen sei hierbei auf die auf der Seite 16 unter ß gegebene Grundregel hingewiesen.

Auch für die in den Figuren 46, 47, 49 und 51 gestellten Aufgaben gilt das zu der Fig. 44 gesagte, nur wird man hierbei eine beliebige Anzahl von Zwischenpunkten zu Hilfe nehmen müssen, deren Schlagschatten zunächst ermittelt werden. Diese einzelnen Schlagschattenpunkte verbindet man nunmehr zu einer stetig gekrümmten Linie.

Aufgabe: In der Fig. 48 ist eine zu der Horizontal-Ebene senkrecht gerichtete Gerade A B gegeben, ebenso durch ihre beiden Projektionen eine Halbkugel. Es soll der Schlagschatten der Geraden A B bestimmt werden. *

Cx

Fig. 47.

\\_

Auflösung. Genau wie in der Fig. 15 schon erläutert wurde, denkt man sich eine auf

/o,

C, T>, E, B,

Geraden AB fällt nun, wie ja leicht an der Vertikal-Projektion ersichtlich ist, auf die Oberfläche der gegebenen Halbkugel (siehe a₂ c₂), während die Teilstrecke C B (siehe C₂ B₂) der Geraden A B ihren Schlagschatten auf die Horizontal-Ebene wirft, was durch die Linie Ci bi ausgedrückt wird.

Für die Fig. 50 gilt wiederum die auf der Seite 16 unter Absatz ß gegebene Grundregel, für welche auch in der hier gestellten Aufgabe der Beweis erbracht

der Horizontal-Ebene senkrecht stehende Hilfsebene, in welcher auch die Horizontal-Projektion sämtlicher durch die Gerade A B gehenden Lichtstrahlen (= Li) liegen muss. Diese gedachte Hilfsebene durchschneidet die Halbkugel und die wahre Gestalt der Schnittfläche (= Ci yi zL) wird sodann durch die Umklappung derselben gefunden. Nunmehr kann man auch die Konstruktion der Verti-kal-Projektion dieser Schnittfläche (= c₂ y₂ z₂) vornehmen, was durch das sogenannte Vergatterungs-Verfahren ge-geschieht. Der Schlagschatten der Teilstrecke

AC (siehe A₂ C₂) der

sein dürfte, nachdem man die Konstruktion des Schlagschattens eines beliebig angenommenen Zwischenpunktes C (= Ci bezw. C2) auf der Geraden AB ausgeführt hat.

Fig. 49.

Fig. 48.

Cx

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II

Aus „Prof. E. Geyger, Die darstellende Geometrie“. Zweite Auflage

HANS ISSEL

¹

In Rücksicht auf das Obengesagte sei besonders auf den XI. Band des „Handbuches des Bautechnikers“ — Die angewandte, darstellende Geometrie von Prof. Erich Geyger, Verlag vonBernh. Friedr. Voigt in Leipzig hingewiesen.

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A,B,

3. Schlagschatten von ebenen und gekrümmten Flächen.

Wenn man sich die Lichtstrahlen durch die sämtlichen Umrisspunkte einer vieleckigen, ebenen Fläche im Raume gezogen denkt, so bilden diese gedachten Lichtstrahlen ein entsprechendes Prisma, welches dann schlechthin, jedoch allgemein „Lichtprisma“ genannt wird. Ist eine ebene Fläche, welche von einer krummen Umrisslinie begrenzt wird, gegeben, dann bilden die durch die sämtlichen Umrisspunkte dieser Fläche gehenden Lichtstrahlen einen Zylinder, den sogenannten „Lichtzylinder“. Entschieden richtiger ist allerdings die

Bezeichnung „Schattenprisma“ bezvv. „Schattenzylinder“, welche hier auch gebraucht werden sollen.

Bi

Nach dem soeben vorausgeschiekten wird also der Schlagschatten, welchen eine ebene Fläche auf irgend eine andere Fläche wirft, durch den Durchschnitt Fig. 50.

B₂

Fig. 51.

\i

ai

der den Schlagschatten empfangenden Fläche mit dem sogenannten „Schattenprisma“ (bezw. mit dem „Lichtzylinder“) begrenzt.

Aufgabe. In der Figur 52 ist durch seine beiden Projektionen das Rechteck ABCD, welches senkrecht zu der Horizontal-Ebene und parallel zu der Vertikal-Ebene liegt, gegeben. Es soll der Schlagschatten dieses Rechteckes ermittelt werden.

Auflösung. Man konstruiert die Schlagschatten der Begrenzungslinien des gegebenen Rechteckes A B C D nach dem schon früher erläuterten Verfahren, indem man also jeweils die Schlagschatten der Endpunkte der einzelnen Umrisslinien ermittelt. Diese so erhaltenen Schlagschattenpunkte werden nun mit einander entsprechend verbunden, wodurch man dann die Begrenzungslinien des aufzusuchenden Schlagschattens der gegebenen Fläche bestimmt hat. Der auf diese einfache Weise festgelegte Schlagschatten wird nunmehr noch durch

Fig. 52.

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die Schraffierung oder durch einen entsprechenden Farbenton hervorgehoben.

Genau das gleiche Konstruktions-Verfahren findet auch bei den

in den Figuren 53 bis einschl. 59 gestellten Aufgaben Anwendung.

Fig. 53.

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B.

Al

Aufgabe. In der Fig. 60 ist das Dreieck ABC durch seine beiden Projektionen gegeben. Es soll der zugehörige Schlagschatten ermittelt werden.

di

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A,

Auflösung. Zunächst konstruiert man den Schlagschatten der Umrisslinien des gegebenen Dreiecks auf der Vertikal-Ebene, wobei man sich die Horizontal-Ebene weggenommen denkt (man vergleiche hierbei die zu den Figuren 30 a, 30 b und 31 gegebenen Erklärungen) und findet dadurch das Schlagschatten-Dreieck a₂b₂c₂. Ebenso wird

nun auch der Schlagschatten auf der Horizontal-Ebene ermittelt, indem man sich die Vertikal-Ebene weggenommen zu denken hat; man erhält dadurch das

Bz

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P.

A, Ct,

AG,

Fig. 54.

\A

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Fig. 55.

A,

A,

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B,

A.

Fig. 56.

Schlagschatten-Dreieck at bi Ci. Hierbei müssen sich die Schlagschattengrenzlinien ai Ci und a2 C2 sowie bi Ci und b2 C2 jeweilsin derProjektions-Achse kreuzen. Es hat also nur die

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AL

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v::

durch die Schraffierung hervorgehobene Fläche der beiden Schlagschatten-Dreiecke als der wirkliche Schlagschatten des gegebenen Dreieckes ABC zu gelten.

A u fg a b e. In der Fig. 61 erinnern die gegebenen beiden Flächen A BE F und BCDE

welche mit ihrer Umrisslinie BE zusammenstossen, an ein Vordach vor einer Haustüre. Es soll nun der zugehörige Schlagschatten werden.

aufgesucht

Auflösung. Auch hierbei werden zunächst die Schlagschatten der Umrissliuien er-

raittelt, wobei man gleichzeitig findet, dass der Schlagschatten der beiden Umrisslinien DE und EF mit diesen selbst zusammenfallen muss, da sie ja die Vertikal-Ebene selbst ihrer Länge nach berühren. Ausserdem sei noch hierbei auf die auf Seite 16 unter dem Absätze b aufgestellte Grundregel aufmerksam gemacht, wodurch sich auch erklärt, dass die Schlagschattenlinie a2 b2 parallel zu der Umrisslinie AB (= A₂ B2) liegen muss, ebenso gilt dies für die Schlagschattenlinie b2 C2, welche zu der Umrisslinie BC der gegebenen Fläche eine parallele Lage hat.

In der Fig. 62 ist die gleiche Fläche wie in Fig. 61 gegeben, jedoch hat dieselbe hier eine gewisse Entfernung von der Vertikal-Ebene erhalten. Die Konstruktion des Schlagschattens selbst dürfte keine Schwierigkeiten bereiten.

Aufgabe. In der Fig. 63 ist die gekrümmte Fläche A ß C D, welche durch ihre beiden Projektionen dargestellt ist, gegeben. Es soll der Schlagschatten dieser Fläche bestimmt werden.

Auflösung. Nach den zu der Fig. 33 gegebenen Erklärungen werden auch hierbei keine Schwierigkeiten mehr entstehen dürfen. Die Konstruktion des aufzusuchenden Schlagschattens kann jedoch sehr vereinfacht werden. Es geschieht dies dadurch, dass man die Schlagschatten der beiden Mittelpunkte M und N aufsucht (=m2 und 112) und alsdann von diesen Punkten aus mit dem Radius der Umrisslinie B₂ 0₂ S2 P2 C2 der gegebenen Fläche die Schlagschatten-Grenzlinie b2 o₂ s₂ P2 c₂ zieht. Man wird sodann feststellen können, dass man bei dem Ziehen dieser Kurve von b₂ nach c₂ durch die einzeln ermittelten Schlagschattenpunkte 02 S2 und p2 kommt.

-^2. (A

Fig. 57.

C*

Gl

Pl

C<

Fig. 58.

Für die Fig. 64 gelten gleichfalls die für die Fig. 63

gegebenen Erläuterungen. -

Wie die Fig. 65 zeigt, ist eine kreisrunde Fläche gegeben, welche parallel B, £ zu der Vertikal-Ebene liegt.

Der zugehörige Schlagschatten wird ebenfalls sehr leicht gefunden, indem man nur den Schlagschatten des a, Mittelpunktes M der ge-

7^

74,

ał

B*

Fig. 59.

A.

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Fig. 60.

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B,

Xc,

gebenen Kreisfläche aufsucht (= m₂) und um diesen Punkt einen Kreis schlägt, welcher der gegebenen Kreisfläche gleich ist. Die um den Punkt 1112 gezogene Kreislinie bildet nun die Grenzlinie des gesuchten Schlagschattens.

Aufgabe. Die Fig. 66 a zeigt eine kreisrunde Fläche, deren Lage parallel zu der Horizontal-Ebene und senkrecht zu der Vertikal-Ebene ist. Es soll der zugehörige Schlagschatten ermittelt werden.

Auflösung. Zunächst konstruiert man den Schlagschatten der gegebenen Kreisfläche auf der Horizontal-Ebene, was dadurch geschieht, dass man den Schlagschatten des Mittelpunktes M dieser Fläche festlegt. Man erhält dadurch den Schlagschatten mi, um welchen Punkt man nun den Schlagschattenkreis mit dem Radius mi ai = Mi Ai schlägt (man vergleiche c hierbei die in den Fig. 30 a und 30 b besprochene Schlag-

!C2

schatten-Konstruktion des Punktes A [=Ai bezw. A2]). Man wird also linden, dass ein Teil des auf der Horizontal-Ebene verursachten Schlagschattens sowie der Schlagschattenpunkt nu hinter die Projektions-Achse fallen müssen; es ist demnach nur der vor der Projektions-Achse auf der Horizontal-Ebene liegende Schlagschatten dem Auge sichtbar. Es muss daher in den auf der Projektions-Achse liegenden Punkten x und y der Schlagschatten der gegebenen Kreisfläche von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene übergehen. Nunmehr ermittelt man den auf die Vertikal-Ebene fallenden Schlagschatten, welcher der Ueber-sichtlichkeit wegen in der Fig. 66 a vollständig konstruiert wurde, obwohl auch hierbei wiederum nur der oberhalb der Projektions-Achse befindliche Teil des Schlagschattens

Fig. 61.

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Fig. 62.

B.

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sichtbar ist. Alsdann ist noch durch die Schraffierung die wirklich beschattete Fläche auf den beiden Projektions-Ebenen hervorgehoben worden.

Aufgabe. ln der Fig. 66 b liegt der Fall umgekehrt wie in der Fig. 66 a, es hat also hier die gegebene Kreisfläche eine senkrechte Lage zu der Horizontal-Ebene und eine parallele Lage zu der Vertikal-Ebene erhalten. Es soll der zugehörige Schlagschatten auf den beiden Projektions-Ebenen ermittelt werden.

Auflösung. Ganz in ähnlicher Weise wie in der Fig. 66a, nur mit entsprechender Umkehrung, kann hier die Konstruktion des aufzusuchenden Schlagschattens durchgeführt werden. Zunächst wird also auf der Vertikal-Ebene der Schlagschatten festgelegt, welcher auch in diesem Falle nur zum Teil dem Auge

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Fig. 63.

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Fig. 64.

sichtbar ist, d. li. nur oberhalb der Projektions-Achse durch die Schraffierung hervorgehoben wird. Sodann bestimmt man auf der Horizontal-Ebene den Schlagschatten, welcher ebenfalls der Vollständigkeit halber ganz konstruiert wird, obwohl auch hierbei nur ein Teil des Schlagschattens, d. h. derjenige vor der Projektions-Achse, sichtbar ist. Es tritt demnach in den auf der Projektions-Achse liegenden Punkten x und y der gesuchte Schlagschatten von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal Ebene über.

Aufgabe. In der Fig. 66 c hat die gegebene kreisrunde Fläche eine Lage erhalten, welche zu den beiden Projektions-Ebenen senkrecht steht. Es soll der zugehörige Schlagschatten bestimmt werden.

A uflösung. Um die Konstruktion des Schlagschattens zu ermöglichen, muss man einen Seitenriss der gegebenen Kreisflächezeichnen, oder man zeichnet sich wie es in diesem Falle geschehen ist, die sogen. Um-klappung der Kreisfläche. Auf dieser Umklappung sind alsdann zur Er-

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leichterung der Konstruktion eine beliebige Anzahl von Punkten (= AB C D E F G H) an der Umrisslinie angenommen worden, worauf dieselben in die Vertikal- und Horizontal-Projektion der gegebenen Kreisfläche eingetragen wurden (== A₂ B₂ C₂ D₂ E₂ F₂ G₂ H₂ bezw. Ai B Ci Dl Ei Fi Gi HO-man leicht die Schlagschatten der angenommenen Umrisspunkte auf den beiden Projektions-Ebenen bestimmen und man verbindet jetzt diese Schlagschattenpunkte entsprechend mit einander durch eine Kurve. Die ausgeführte Schraffierung zeigt alsdann, dass der gesuchte Schlag-

Nunmehr kann

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schatten in der Projektionsachse von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene Übertritt.

Aufgabe, ln der Fig. 67a ist ein Dreieck ABC gegeben, welches zu der Horizontal-Ebene unter einem Winkel von 45° geneigt liegt, zugleich aber eine senkrechte Lage zu der Vertikal-Ebene hat. Es soll der Schlagschatten dieses Dreieckes ermittelt werden.

Auflösung. Man sucht zunächst die Schlagschatten der drei Eckpunkte ABC und erhält dadurch auch den Schlagschatten der drei Umrissliuien A B,

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Fig. 66 b.

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B C und C A. Man wird nun dabei finden, dass der Schlagschatten der gegebenen Dreiecksfläche, welcher in diesem Falle auf die Vertikal-Ebene fallen muss, gar keine Fläche sondern, nur eine Linie bildet. Es ist die VerbinduDgs-linie des Punktes a2 C2 und des Punktes b‘2. Diese Gestalt des Schlagschattens ist durch die obenbeschriebene Lage des gegebenen Dreieckes bediugt, da hierbei die Lichtstrahlen die Dreiecksfläche streifen müssen. Das Dreieck ABC erhält mithin kein direktes Licht, sondern nur sogenanntes Streiflicht.

Dadurch, dass in der Fig. 67 b die Stellung des gegebenen Dreieckes A BC derart gewählt worden ist, dass es senkrecht zu der Horizontal-Ebene steht und zu der Vertikal-Ebene unter einem Winkel von 45° geneigt liegt, ergibt sich, dass der zugehörige Schlagschatten ( = Ci ai m ba) nur eine Linie bildet. Das Dreieck selbst erhält auch hier kein direktes Licht, sondern nur Streiflicht.

Aufgabe. In der Fig. 68 ist ein halbes Sechseck ABCDEA gegeben, welches senkrecht zu der Vertikal-Ebene und parallel zu der Horizontal-Ebene

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Fig. 66c.

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liegt. Seine Seite A E berührt ausserdem noch die Vertikal-Ebene. Der Schlagschatten dieser Fläche soll konstruiert werden.

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Auflösung. Ebenso wie dies bei den vorher gelösten Aufgaben geschehen ist, werden auch hierbei zunächst a die Schlagschatten der Umrisslinien der gegebenen Fläche ermittelt. Sodann wird der gefundene Schlagschatten -g noch durch die Schraffierung entsprechend hervorgehoben.

In der Fig. 69 steht das parallel zu der Horizontal-Ebene liegende, halbe Sechseck senkrecht auf einer angenommenen Fläche V W X Y. Die Auffindung des zugehörigen Schlagschattens dürfte keinerlei Schwierigkeiten mehr verursachen (man vergleiche hierbei die Figuren 45 und 46).

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Aufgabe. In der Fig. 70 erinnert die gegenseitige Stellung der beiden gegebenen Flächen EGF und AB CD zu einander an eine Dachfläche (A B C D), welcher ein Giebel (E G F) vorgelagert ist. Die Konstruktion des Schlagschattens, welchen die gegebene Dreiecksfläche auf das Rechteck wirft soll ausgeführt werden.

Auflösung. Bei der Bestimmung der Schlagschatten der drei Umrisslinien des gegebenen Dreieckes wird man finden, dass

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Fig. 68.

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der Schlagschatten der Seite E G mit dieser selbst zusammen fällt (man vergleiche ei gi bezw. e2 ga) Es bleibt also nur noch übrig, den Schlagschatten des Punktes F auf der Rechteckfläche aufzusuchen; es geschieht dies derart, dass man sich durch Fi und durch die Lichtstrahl-Projektion Li eine Hilfsebene gelegt denkt, welche zugleich auch senkrecht zu der Horizontal-Ebene steht. Diese angenommene Hilfebene schneidet nun die Horizontal-Projektion der Rechteckfläche ABCD (= Ai Bi Ci Di) in der Linie mi m, mithin in der Vertikalprojektion dieser Reckteckfläche A2B2C2D2) in der Linie m2 m. Die Linie m n ist also die Spur oder die Schnittlinie der gedachten Hilfsebene mit der gegebenen Rechteckfläche. Die Vertikalprojektion des durch den Punkt F der Dreiecksfläche E G F gehenden Lichtstrahles (= L2) trifft nun in dem Punkt f₂ auf die Schnittlinie ni2n2. Es ist also der Punkt f2 der Schlagschatten des Punktes F der Dreiecksfläche auf dem Rechteck ABCD.

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Fig. 69.

Verbindet man nun die Schlagschattenpunkte f2 e2 und f2 g2 bezw. fi ei und fi gi mit einander, dann erhält man die Grenzen des gesuchten Schlagschattens des Dreiecks E G F auf dem Rechteck ABCD.

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Bei der Hervorhebung ^ des betreffenden Schlagschattens durch die Schraffierung ist jedoch noch zu bedenken, dass der ermittelte Schlagschatten durch die gegebene Dreiecksfläche teilweise verdeckt wird.

Im übrigen vergleiche man noch die zu der Fig. 11 gegebenen Erklärungen.

In der Fig. 71 ist ein Dreieck ABC, welches parallel zu der Vertikal-Ebene und senkrecht zu der Horizontal-Ebene steht, sowie ein Rechteck E F G H, welches zu den beiden Projektions-Ebenen geneigte Lage hat, gegeben. Es ist der Schlagschatten des Dreiecks ABC auf der Rechteckfläche E F G H be-

stimmt worden, ebenso wurde auch der Schlagschatten dieses gegebenen Rechteckes auf den beiden Projektions-Ebenen ermittelt. Zur Lösung dieser Aufgabe greife man auf die Erläuterungen, welche zu den Figuren 39 bis 42 ausgeführt wurden, zurück.

Aufgabe. In der Fig. 72 erinnert das gegebene Rechteck ABCD an die Dachfläche eines Dachfensters, welche sich aus der Fläche eines Hauptdaches = der Rechteckfläche EFGH heraushebt. Es soll nun der Schlagschatten,

welchen die Rechteckfläche ABCD auf das Reckteck EFGH wirft, bestimmt werden.

Auflösung. Diese Aufgabe dürfte ohne Schwierigkeiten Zuhilfenahme des gegebenen Seitenrisses in dem Aufriss ermittelt werden können, ohne den gegebenen Grundriss zu benötigen. Der Schlagschatten in dem Grundriss kann alsdann ebenfalls

Hilfe des Aufrisses und des Seitenrisses dargestellt werden.

Aufgabe. Inder Fig. 73 sind jlurch ihre beiden Projektionen die Rechteckfläche ABCD und ein auf der Horizontal-Ebene senkrecht stehender Zylinder gegeben. Es soll der Schlagschatten der Rechteckfläche ABCD, welche ebenfalls senkrecht zu der Horizontal-Ebene steht., auf der Oberfläche des gegebenen Zylinders gesucht werden.

Auflösung. Hierzu vergleiche man die zu den Figuren 44 bis 49 ausgeführten Erklärungen. Im übrigen ist noch zu bemerken, dass der ermittelte Schlagschatten (= a₂ b₂ c₂ d₂) der Rechteckfläche ABCD auf der Oberfläche des gegebenen Zylinders zum Teil durch das Rechteck selbst verdeckt wird.

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Fig. 70.

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Die Konstruktion der Schlagschatten- und Eigenscliatten-Grenzen von Körpern.

1. Allgemeines über den Eigenschatten von Körpern.

Bei dem bisher Besprochenen handelte es sich nur um Punkte, Linien und Flächen, bei denen selbstverständlich nur von ihrem Schlagschatten die Rede sein konnte. Nun gibt es aber auf der Oberfläche eines jeden Körpers bekanntlich

auch Stellen, welche von den Lichtstrahlen nicht mehr getroffen werden. Diese Stellen erhalten also dadurch kein direktes Licht; es liegen demnach diese nicht beleuchteten Oberflächen-Teile eines jeden Körpers im Schatten, welchen man, im Gegensätze zu dem Schlagschatten dieses Körpers, den Eigenschatten desselben neunt. Andere Bezeichnungen für das Wort Eigeuschatten sind: Selbstschatten, Körperschatten und Streifschatten. Mithin kann man sich auch auf der Oberfläche eines von Lichtstrahlen erreichten Körpers einen

Fig. 71.

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Linienzug vorstellen, welcher die Grenze zwischen dem beleuchteten und dem nicht beleuchteten Teile seiner Oberfläche bildet. Dieser Linienzug wird nun entsprechend die Eigenschattengrenze, auch Selbstschattengrenze oder Streifschattengrenze des Körpers genannt.

Die den Körper streifenden Lichtstrahlen, welche also dessen Eigenschattengrenze berühren, sind die sogenannten Streifstrahlen. Dieselben

Eigentlich sollten nun die in dem Eigenschatten liegenden Teile der Oberfläche irgend eines beleuchteten Körpers ganz dunkel erscheinen. Da jedoch die in der unmittelbaren Nähe dieses Körpers befindlichen Gegenstände oder Ebenen, welche gleichfalls von derselben Lichtquelle beleuchtet werden, das auf sie fallende Licht zurückwerfen (d. h. reflektieren), so erhalten die in dem Eigenschatten liegenden Oberflächenteile des erstgenannten Körpers immerhin noch einen gewissen Grad von Helligkeit, es geschieht dies also durch das sogenannte „Reflexlicht“. Mit Recht werden daher bei unseren technischen

schliessen hinter dem in Betracht kommenden Körper einen dunklen Raum ein, welcher alsdann der Schattenraum des betreffenden Körpers genannt wird. Jede fremde Fläche oder jeder andere Gegenstand, welcher nun in diesen Schattenraum des Körpers hineinragt, erhält dadurch einen Schlagschatten, dessen Umrisslinie jeweils von der Eigenschattengrenze des schattenwerfenden Körpers abhängig ist.

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Fig. 72.

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Zeichnungen die in dem Eigenschatten befindlichen Teile der Oberfläche eines Körpers nicht ganz so dunkel darzustellen sein als diejenigen Flächen oder Gegenstände, welche den Schlagschatten des betreffenden Körpers erhalten.

Bei einem ebenflächigen Körper (Vielflach oder auch Polyeder genannt) besteht nun die Eigenschatten-Grenze aus gewissen, näher zu bestimmenden Kanten dieses Körpers, den sogenannten Schatten kauten, welche zusammen ein Vieleck (= Polygon) bilden. Dieses aus den Schattenkanten bestehende Vieleck nennt man alsdann das Eigenschattenpolygon.

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2. Die Konstruktion des Schlagschattens und des Eigenschattens eben flächiger K ö r p e r.

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Weist dagegen ein Körper eine ganz oder teilweise gekrümmte Oberfläche auf, dann muss seine Eigenschatten-Grenze durch Konstruktion zunächst ermittelt werden und dass

zwar derart man sämtliche Lichtstrahlen festlegt, welche die Oberfläche des betreffenden Körpers berühren oder, besser gesagt, streifen; es kommen also die sogenannten St reif str ah-    /

len hierbei in Be- ^ / tracht. Die einzelnen z • Berührungspunkte dieser Streifstrahlen mit der Körperoberfläche werden sodann zu einem Linienzuge, welcher nunmehr die Eigenschatten - Grenze bildet, vereinigt. _

Fig. 78.

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Wenn man nunmehr bestimmen will, ob eine gewisse Kante eines ebenflächigen Körpers eine sogenannte Schattenkante ist oder nicht, so nimmt man auf dieser Kaute einen beliebig gewählten Punkt an und zieht alsdann durch denselben die Horizontal-Projektion Li oder die Vertikalprojektion L₂ des Lichtstrahles. Sodann bestimmt man die Schnittlinie einer durch Li bezw. L₂ gelegten beliebigen Ebene mit den beiden Flächen des Körpers, welche die fragliche Kante bilden. Es

a) Die Schnittlinien der durch Li bezw. Li2 beliebig gelegten Ebene mit den beiden Flächen des Körpers, welche die zu untersuchende Kante bilden, haben «gegen die Projektion des Lichtstrahles diejenige Lage, wie sie in der Figur 74 a zur Darstellung gelangt ist. Man kann hierbei unschwer erkennen, dass die beiden Flächen a und b bezw. m und n beleuchtet sind und dass demnach die ihnen gemeinsame Kante keine Schattenkante (auch schattenwerfende Kante genannt) sein kann.

kann alsdann einer der drei Fälle, welche in den Figuren 74a, 74b und 74c einzeln dargestellt wurden, eintreten:

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Fig. 74 a.

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ß) Die Schnittlinien der durch Lt bezw. L₂ beliebig gelegten Ebene mit den beiden in Betracht kommenden Flächen des Körpers, welche die zu untersuchende Kante bilden, nehmen gegen die betreffende Projektion des Lichtstrahles diejenige Lage ein, wie sie in der Figur 74b dargestellt ist. Auch hier kann man wiederum leicht erkennen, dass keine der beiden Flächen a und b bezw. m und n beleuchtet ist, und dass mithin die ihnen gemeinsame Kante keine Schattenkante sein kann.

y) Aus der Fig. 74 c ist ersichtlich, dass die eine der beiden Flächen, welche die in Betracht kommende Kaute bilden, beleuchtet ist. Es ist dies hier die Fläche a bezw. m, wählend auf die Fläche b bezw. n des Körpers keine Lichtstrahlen auftreffen, diese mithin nicht beleuchtet sind. Die den Flächen a und b

bezw. m und n gemeinsame Kante trennt demnach eine beleuchtete von einer nicht beleuchteten Fläche, d. h. von einer in dem Eigenschatten liegenden Fläche des Körpers. Die in Betracht gezogene Kante ist somit eine Schattenkante des angenommenen Körpers.

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Fig. 75.

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a) Die Schatten des Prismas.

Bei den Prismen setzt sich die jeweilige Eigenschattengrenze meist aus zwei Seitenkanten und aus einer Anzahl Grundkanten zusammen, welche alsdann je nach der gegebenen Stellung des betreffenden Prismas zu den beiden Projektions-Ebenen entweder unmittelbar zu erkenuen oder im anderen Falle durch Konstruktion festzulegen sind.

So sind beispielsweise in der Figur 75 die schattenwerfenden Kanten die Schattenkanten — unschwer zu erkennen; es sind dies die beiden Seiten-

L. Haass, Die Schattenkonstruktiouen.

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kanten BF und DH, sowie seine beiden Grundkanten F G und GH. Die Seiten-Flächen BFGC und CGHD erhalten mithin kein direktes Licht, sie liegen demnach in dem Pligenschatten des gegebenen Körpers. (Würde z. B. dieses gegebene Prisma unter Beibehaltung seiner Richtung zu den beiden Projektions-Ebenen senkrecht in die Höhe gehoben werden, dann würden auch seine beiden Grund-kanten B A und A D sogenanute Schattenkanten sein, mithin würde dann auch seine Grundfläche A BC D in dem Eigenschatten liegen.) Um nunmehr auch den Schlagschatten dieses Prismas zu bestimmen, hat man nur nötig, die Schlagschatten sämtlicher Schattenkanten zu konstruieren und die dann so erhaltene Fläche innerhalb dieser ermittelten Schlagschattengrenzen durch Schraffierung oder eine geeignete Farbentönung kenntlich zu machen.

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Fig. 76.

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Aufgabe. In der Fig. 76 liegt nun das durch seine beiden Projektionen gegebene vierseitige Prisma geneigt zu der Horizontal-Ebene und parallel zu der Vertikal-Ebene. Es soll sein Eigenschatten und der zugehörige Schlagschatten ermittelt werden.

Auflösung. Zunächst muss stets der Eigenschatten des gegebenen Körpers bestimmt werden. In dem vorliegenden Falle geschieht dies am besten dadurch, dass man durch die Lichtstrahl-Projektion Li oder parallel zu derselben eine Hilfsebene annimmt, welche gleichzeitig auch zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehen muss. Diese gedachte Hilfsebene ist dann eine sogen. Lie ht ebene, welche nunmehr das gegebene Prisma in den Punkten mnop (= mi ni Oi pi) seiner Seitenkanten durchschneidet. Mit Hilfe der Horizontal-Projektion dieser Schnittpunkte findet man nun auch leicht die entsprechenden Punkte 1112 m 02 P2 in der Vertikal-Projektion des Prismas. Die durch die Randschraffur hervorgehobene Fläche nr)2 n2 02 P2 im stellt nun die vertikale Projektion der durch die gedachte Lichtebene verursachten Schnittfläche des Prismas dar. Zieht man nunmehr die Vertikal-Projektion der beiden Streifstrahlen an die entsprechende Projektion der Schnittfläche (es ist dies die Pfeillinie L2, welche durch den Punkt 102 bezw. durch den Punkt 02 geht), so wird damit festgelegt, dass die beiden Seitenkanten AE und CG (=A2Ü2 bezw. C2 G₂) des gegebenen Prismas schattenwerfende Kanten sein müssen. Mithin liegen auch die beiden Seitenflächen AEFB (= A2E2F2B2 und Ai Ei Fi Bi) und CGFB (= C₂ G₂ F₂ B₂ und Ci Gi ¥₁ Bi) des Prismas in dem Eigenschatten dieses Körpers; es sei hier auf die unter dem Absätze y auf Seite 49 gegebene Erklärung zu der Fig. 74c aufmerksam gemacht. Es liegt aber ausser diesen beiden Seitenflächen noch die Grundfläche E F G H ( = E₂ F₂ G2 H₂ und Ei Fi Gi Hi) in dem Eigenschatten des Prismas, während seine andere Grundfläche ABCD (=A2B₂C2D₂ und Ai Bi Ci Di) direktes Licht erhalten muss. Dies für die beiden Grundflächen des Prismas Gesagte kann leicht aus den beiden Darstellungen derselben erkannt werden, so dass hierfür eine besondere Konstruktion unnötig sein würde. Es setzt sich demnach die gesuchte Eigenschatten-Grenze des Prismas zusammen aus den beiden Seitenkanten AE und CG, sowie aus den vier Grundkanten AB und BC bezw. EH und H G. Um nun den Schlagschatten des gegebenen Körpers zu bestimmen, hat man also nur den Schlagschatten der soeben ermittelten Eigenschatten-Grenze zu konstruieren, was wiederum dadurch geschieht, dass man einzeln die Schlagschatten der Schattenkanten des Prismas festlegt. Der zum Teil auf die Horizontal-Ebene, zum Teil auf die Vertikal-Ebene fallende Schlagschatten des Prismas wird nun noch durch Schraffierung hervorzuheben sein.

Aufgabe. In der Fig. 77 sind durch ihre beiden Projektionen zwei Prismen von verschiedener Gestalt und Stellung gegeben. Es soll der Eigen- und der Schlagschatten dieser beiden Körper ermittelt werden.

Auflösung. Zuerst bestimmt man am besten den Eigenschatten, sowie hierauf den Schlagschatten des vorderen, senkrecht auf der Horizontal-Ebene stehenden Prismas, ohne dass das hintere, wagerecht auf der Horizontal-Ebene liegende Prisma zunächst berücksichtigt wird. Ist dies geschehen, so ermittelt man den Eigenschatten des hinteren Prismas und zwar dadurch, dass man eine sogenannte „Lichtebene“, welche dieses Prisma an einer beliebigen Stelle durchschneidet und welche auf der Horizontal-Ebene senkrecht stehen muss. Diese angenommene Lichtebene ist in ihrer Horizontal-Projektion durch die mit I bezeichnete, parallel zu Li gezogene Linie dargestellt. Die Vertikal-Projektion der durch diese Lichtebene I verursachten Schnittfläche wird sodann mittels ihres Grundrisses konstruiert und hierauf die zu L₂ parallele Projektion

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der beiden Streifstrahlen gezogen, wodurch nunmehr festgestellt werden kann, dass die beiden Seitenflächen E H J 0 und K F O J des hinteren Prismas sich in dem Eigenschatten befinden. Ferner ist noch unschwer zu erkennen, dass die Grundfläche EGFO ebenfalls in dem Eigenschaften dieses Körpers liegen muss. Die Schattenkanten des hinteren Prismas heissen also EH, HJ, J K, K F, F G und GE. Mit Hilfe dieser schattenwerfeuden Kanten kann nun auch der Schlag-

Fig. 77.

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teren Prismas fallen muss. Man nimmt daher eine weitere, senkrecht zu der Horizontal-Ebene stehende Lichtebene — die Lichtebene 11 — zu Hilfe, welche die Schattenkante DM des vorderen Prismas berühren soll und das hintere Prisma durchschneiden muss. Nunmehr bestimmt man an der Vertikal-Projektion dieser Lichtebene II denjenigen Teil des Schlagschattens der Kante DM, welcher auf das hintere Prisma fällt, dadurch, dass man die Vertikal-Projektion des durch den Eckpunkt D gehenden Lichtstrahles zieht ( = D2 d2). Die beiden Strecken S2 r2 und Ï2 d2 bilden nun den auf der Oberfläche des hinteren Prismas befindlichen Schlagschatten eines Teiles der senkrechten Kante D M des vorderen Prismas. Durch die so ermittelten Schlagschattenpunkte S2 r2 und d₂ kann man jetzt auch in der Horizoutal-Projektion die entsprechenden Schlagschattenpunkte Si ri und di festlegen. Genau das Gleiche gilt auch für die dritte angenommene Lichtebene — die Lichtebene III —, welche durch die Schattenkante AN des vorderen Prismas gelegt wird und welche ebenfalls das hintere Prisma durchschneidet. Dadurch wird der Schlagschattenpunkt a2 und hiernach durch denselben der Schlagschattenpunkt ai gefunden. Die anfänglich auf der Horizontal-Ebene ermittelten Schlagschatten ai bi und Ci di der Kanten AB und CD des vorderen Prismas bilden nun mit der Schlagschattenlinie ei lu der Kante E H des hinteren Prismas die beiden Kreuzungspunkte w'i und v'i, zu denen man alsdann die entsprechendenschattenwerfenden Punkte wi und Vi auf der Kante E H (also auf Ei Hi) des hinteren Prismas durch die ge-wissermassen rückwärts zu zeichnenden Lichtstrahl - Projektionen w'i wi und v'i vi aufsuchen kann.

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Durch diese so erhaltenen Punkte wi und vi kann man leicht auch deren Vertikal-Projektion (= W2 und V2) festlegen. Nunmehr ist man in der Lage, die Schlagschatten-Grenze auf der Oberfläche des hinteren Prismas in der Horizontal-Projektion sowohl als auch in der Vertikal-Projektion zu vervollständigen, indem man die Linien ai wi und di Vi bezw. a2 W2 und d2 V2 einzeichnet. Die sämtlichen Eigenschatten- und Schlagschatten-Flächen werden nun noch durch eine entsprechend ausgeführte (dunkle und helle) Schraffierung hervorgehoben.

Aufgabe. Die in der Fig. 78 durch ihre beiden Projektionen gegebene Körperzusammenstellung zeigt ein halbes sechsseitiges Prisma mit darauf gelegter, wagerechter Platte. Es soll der zugehörige Eigen- und Schlagschatten ermittelt werden.

Fig. 79.

Auflösung. Man sucht zunächst wiederum die in dem Eigenscliatten liegenden Flächen der gegebenen Körperzusammenstellung; es sind dies die beiden durch hellere Schraffierung gekennzeichneten Flächen auf der rechten Seite der Vertilcal-Projektion. Hiernach bestimmt man den vollständigen Schlagschatten der wagerechten Platte auf der Vertikal-Ebene, ohne vorläufig das untere Prisma zu berücksichtigen. Sodann legt man den Schlagschatten des letzteren fest und konstruiert hierauf den auf die Oberfläche des unteren Prismas fallenden Schlagschatten der aufgelegten Platte. Das ganze Ermittelungsverfahren dürfte nach dem Yorangegangenen keinerlei Schwierigkeiten mehr bereiten.

b) Die Schatten der Pyram ide.

Wenn eine Pyramide mit ihrer Grundfläche auf einer der beiden Projektions-Ebenen, beispielsweise auf der Horizontal-Ebene, steht, so ist die Ermittelung des zugehörigen Schlagschattens sehr einfach. Man konstruiert nur den Schlagschatten (= si)der Pyramiden-Spitze ( = S) auf der Horizontal-Ebene, welche man sich zu diesem Zwecke nötigenfalls noch hinter der Vertikal-Ebene fortgesetzt denken muss. Nach diesem Schattenpunkt Si Pyramiden-Spitze laufen naturgemäss auch die Schlagschatten sämtlicher Kanten der Pyramide; mau zieht also von dem Punkt Si aus die Verbindungslinien nach allen Ecken der Grundfläche der gedachten Pyramide (es sind dies alsdann die Schlagschatten der Seitenkanten der Pyramide). Hierbei

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wird man immer zwei Linien finden, welche jeweils nur eine Ecke der Grundfläche treffen, ohne diese Grundfläche selbst zu schneiden; mithin muss also der Winkel, welchen diese beiden Verbindungslinien miteinander bei dem Punkte Si bilden, die Grundfläche der Pyramide einschliessen. Es stellen nun auch diese beiden von Si ausgehenden Linien die Schlagschatten der schattenwerfenden

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Seitenkanten der Pyramide dar, womit auch dann gleichzeitig die Eigenschatten-Grenze der Pyramide gefunden ist.

Aufgabe. Dem soeben Erklärten entsprechend ist nun in der Fig. 79 eine vierseitige Pyramide durch ihre beiden Projektionen gegeben. Es soll der Eigenschatten und der Schlagschatten dieser Pyramide konstruiert werden.

Auflösung. Nachdem der Schlagschatten si der Pyramiden-Spitze S bestimmt worden ist, kann man die beiden Verbindungslinien Si Ci und Si Ai ziehen (würde man St mit Bi und Di verbinden, so würden diese Verbindungslinien die Grundfläche der Pyramide schneiden, sie können mithin nicht von schattenwerfenden Kanten herrühren). Es sind

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also die Seitenkauten CS und AS die Schattenkanten dev gegebenen Pyramide und sie grenzen dadurch die in dem Eigenschatten liegende Fläche ASC von den übrigen drei Seitenllächen der Pyramide ab. Als Beweis für die Richtigkeit dieses Konstruktionsverfahrens kann man eine senkrechte zu der Horizontal-Ebene stehende Lichtebene liebiger Stelle die Pyramide schneidet. Mit Hilfe der in der Horizontal-Projektion der Pyramide durch I be-zeichneten Lichtebene kann man nun die Vertikalprojektion der durch diese Lichtebene verursachten Schnittfläche ( = m₂ n₂ o₂) festlegen. Man zieht nun an die Vertikalprojektion dieser Schnittfläche die entsprechenden Lichtstrahl-Projektionen (— L₂), wodurch findet,

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ist nun der gefundene Eigenschatten sowie der auf die Horizontal-Ebene fallende Schlagschatten hervorgehoben worden.

Aufgabe. Tn der Fig. 80 ist die Grösse der Grundfläche der Pyramide und ihre Neigung zu der Vertikal-Ebene genau die gleiche wie in Fig. 79, jedoch ist hierbei der Abstand der Spitze von der Grundfläche etwas grösser angenommen worden.

Auflösung. Auch in diesem Falle ist zunächst der Schlagschatten Si der

Pyramiden-Spitze S auf der Horizontal-Ebene, welche man sich hierbei noch hinter der Vertikal-Ebene verlängert zu denken hat. ermittelt worden. Sodann

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wodurch auch

wurden die Schlagschattengrenzen Si Bi und si Ci gezogen gleichzeitig die in dem Eigenschatten der gegebenen Pyramide liegenden Flächen

(=BDS u ud C D S) bestimmt werden. Der mit Hilfe des Punktes Si ermittelte Schlagschatten der Pyramide geht natürlich in der Projektions-Achse bei den Punkten m und n von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über und endigt auf der letzteren in dem Schlagschattenpunkte S2 der Pyramiden-Spitze. Zur Beweisführung dafür, dass die Pyramidenseite C S D in dem Eigenschatten liegt, kann man auch hierbei eine Lichtebene I annehmen, an deren Vertikalprojektion nunmehr die entsprechende Projektion des Lichtstrahles (= L2) zeigt, dass die Seitenfläche CSD der gegebenen Pyramide keine direktes Licht erhalten kann.

Aufgabe. In der Fig. 81a ist eine einfache Turmform gegeben, welche aus einem vierseitigen Pyramidenstumpf mit darauf gestellter Pyramide zusammengesetzt ist. Es soll der Eigenschatten und der zugehörige Schlagschatten dieser Körperzusammenstellung gesucht werden.

Auflösung. Am besten sucht man in diesem Falle zuerst den Eigen-und Schlagschatten des Pyramidenstumpfes, welchen man zu diesem Zwecke durch die Verlängerung seiner Seitenkanten zu einer Pyramide mit der Spitze T (= Ti und T₂) vervollständigt. Sodann findet man durch die Ermittelung des

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Fig. 83.

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Schlagschattens ti der Pyramidenspitze T leicht die zugehörigen Schlagschatten-Grenzen ti Di und ti Fi ; somit liegt also nur die eine Seitenfläche D F G A (= Di Fi Gi Ai) im Eigenschatten. Nunmehr konstruiert man den Schlagschatten der aufgesetzten Pyramide auf der Horizontal-Ebene, welche hierbei noch hinter der Vertikal-Ebene verlängert gedacht werden muss, und findet so die Schlagschatten-Grenzen Si ai und si bi ; der Schlagschatten des Punktes G (= gi) fällt innerhalb der Linien Si ai und Si bi auf die Horizontal-Ebene, sodass hiermit der Nachweis erbracht ist, dass die beiden Seitenflächen SAG und SB G der aufgesetzten Pyramide im Eigenschatten derselben liegen müssen. In den auf der Projektions-Achse befindlichen Punkten m und n tritt der Schlagschatten der aufgesetzten Pyramide von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über. Ein Teil der Seitenkante BS der oberen Pyramide wirft aber, wie ja auch leicht ersichtlich ist, noch einen Schlagschatten auf die Seitenfläche EBGF des Pyramidenstumpfes. Man erhält diesen Schlagschatten mit Hilfe einer Lichtebene I, welche man durch den beliebig angenommenen Punkt C (= Ci und C2) auf der Seitenkante B S der oberen Pyramide legt, und zwar derart, dass diese Lichtebene

senkrecht auf der Horizontal-Ebene steht, ln der Vertikal-Projektion der durch die gedachte Lichtebene 1 verursachten Schnittfläche findet man nun durch den

Streifstrahl, welcherdeu gewähltenPunktC berührt, den Schlagschatten C2 dieses Punktes C auf der Seitenfläche des Pyramidenstumpfes. Die Linie B2 C2, welche man noch bis zu der Vertikal-Projektion

Fig. 84.

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Aufgabe, In der Fig. 81b ist durch ihre beiden Projektionen die Umrahmung einer achtseitigen Fensteröffnung gegeben, deren Leibungsflächen unter

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Fig. 85.

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sich eine abgestumpfte Hohl-Pyramide bilden. Es soll der in der Vertikalprojektion auftretende Eigen- und Schlagschatten konstruiert werden.

Auflösung. Man nimmt zunächst in der Horizontal-Projektion der gegebenen Fenster-Oeffnung die Lichtebene I an und ermittelt sodann die Schnittlinie derselben in der Vertikal-Projektion, zu welchem Zwecke man sich die Seitenfläche G H N M (= G₂ LL N2 M2 und Gi Hi Ni Mi) nach der Pyramiden-Spitze S zu verlängert denken muss. Die Vertikal-Projektion der Schnittlinie bilden die Linien A2 02 und 02 P2, welche mit Hilfe der Punkte Ai Oi und pi bestimmt werden. Nunmehr zieht man die Vertikal-Projektion des durch den Punkt A gehenden Lichtstrahles und findet so den Schlagschatten (= a2) des Punktes A auf der Schnittlinie 02 P2. Die Schlagschatten-Grenzlinie H2 a2 bildet nun den Schlagschatten der Grundkante HA (=H₂A₂). Durch die Horizontal-Projektion der durch die Grundkante BC (= Bi Ci und B2 C2) gelegten Lichtebene II findet man in der Vertikal-Projektion der Fenster-Oeffnung auf der nach S verlängert gedachten Seitenfläche CDS (= C2 D₂ S₂) die Vertikal-Projektion der durch diese Lichtebene II verursachten Schnittlinie Cm (= C2 m₂).

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Fig. 86.

Sodann zeichnet man die Vertikal-Projektion des durch ’ den Punkt B gehenden Lichtstrahles und findet dadurch den Schlagschatten (= b2) des Punktes B auf der Schnittlinie C2 m₂. Die Linie C₂ b2 bildet nun den Schlagschatten der Grundkante C B ( = C2 B₂ ), welcher natürlich nur auf der tatsächlich vorhandenen Fläche CDTR (= C₂ D₂ T2 R₂) des hohlen Pyramidenstumpfes sichtbar ist. Wie weiterhin leicht erkennbar ist, liegen noch die drei Seitenflächen CR WB (= C₂ R₂ W₂ B₂), B W V A (= Ba W₂ V₂ Aa) und A V N H (= A₂ V₂ N₂ H₂) der gegebenen Fenster-Oeffnung in dem Eigenschatten des hohlen Pyramidenstumpfes.

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Die in den Figuren 82, 83, 84, 85 und 86 durch ihre Projektionen gegebeoen Körperzusammenstellungen mit den zugehörigen Schatten-Konstruktionen sind derart gewählt worden, dass sie den in der Praxis vorkommenden Fällen möglichst nahe kommen; jedoch dürfte eine nähere Erläuterung dieser Beispiele hier überflüssig erscheinen, da keinerlei Schwierigkeiten mehr entstehen können, wenn das Vorangegangene mit Verständnis durchgearbeitet wurde.

In der Regel wird es sich ja für den Praktiker fast ausschliesslich nur darum handeln, die in dem Aufriss sichtbaren Eigen- und Schlagschatten anzugeben, was man auch vielfach statt unter Zuhilfenahme des Grundrisses durch einen Seitenriss erreichen kann (im Hinblick hierauf vergleiche man die in den Figuren 83 und 86 gegebenen Beispiele).

3. Die Konstruktion des Schlagschattens und des Eigenschattens

des Zylinders.

In ganz ähnlicher Art, wie bei dem Prisma, kann man auch bei der Ermittelung des Schlag- und Eigenschattens eines Zylinders verfahren. Man denke sich beispielsweise einen senkrecht stehenden Zylinder, dessen untere Grundfläche entweder die Horizontal-Ebene berührt oder parallel über derselben liegt; an diesen Zylinder kann man nun zwei Hilfsebenen — die sogenannten Berührungs-Ebenen I und II — derart legen, dass diese seine Mantelfläche berühren und gleichzeitig auch senkrecht auf der Horizontal-Ebene sowie parallel zu der Horizontal-Projektion des Lichtstrahles (= Li) stehen. Die Berührungs-linien, welche diese beiden Hilfsebenen mit der Mantelfläche des Zylinders bilden, sind nun diejenigen Mantellinien desselben, welche der Eigenschatten-Grenze angehören. Ausser diesen Mantellinien wird die Eigenschatten-Grenze noch von je einer Hälfte der Umrisslinie beider Grundflächen des Zylinders gebildet.

Liegt dagegen der gedachte Zylinder zu keiner der beiden Projektions-Ebenen parallel, so bestimmt man am besten zunächst die Schlagschatten-Grenze seiner beiden Grundflächen auf der Horizontal-Ebene (welche man sich nötigenfalls noch hinter der Vertikal-Ebene fortgesetzt denken muss) und zieht alsdann die beiden möglichen Tangenten, welche unter sich parallel sind und dabei jeweils die erstlich ermittelten Schlagschatten-Grenzen beider Zylinder-Grundflächen berühren. Diese beiden Tangenten sind nunmehr als die Schlagschatten derjenigen Mantellinien des Zylinders anzusehen, welche die Eigenschatten-Grenze auf der Mantelfläche des Zylinders bilden.

Aufgabe. In Fig. 87 ist durch seine beiden Projektionen ein auf der Horizontal-Ebene senkrecht stehender Zylinder gegeben, dessen Eigen- und Schlagschatten nach dem oben erwähnten Verfahren ermittelt werden soll.

Auflösung. Man zieht zunächst an die Horizontal-Projektion des gegebenen Zylinders die beiden zu der Lichtstrahl-Projektion Li parallelen Tangenten I und II, welche die beiden zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehenden Berührungs-Ebenen I und II darstellen sollen. Dadurch findet man die Mantellinien CD (= Ci Di bezw. C2 D2) und EF (= Ei Fi bezw. E₂ F2), welche nunmehr die Eigenschatten-Grenze auf der Mantelfläche des Zylinders bilden. Alsdann bestimmt man die Schlagschatten-Grenze der beiden Grundflächen des Zylinders¹) auf der Horizontal-Ebene, welche in dem vorliegenden Falle noch hinter der Vertikal-Ebene verlängert gedacht werden muss. Man ist jetzt in der Lage, die beiden unter sich parallelen Tangenten Ci d₍ und ei L an die Schlagschatten-

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Fig. 87.

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Man vergleiche hierzu die zu den Figuren 65 und 66 a gegebenen Erläuterungen.

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Aufgabe. Die Fig. 88 zeigt die beiden Projektionen eines Zylinders, dessen Achse parallel zu den beiden Projektions-Ebenen liegt. Es soll die zugehörige Eigen- und Schlagschatten-Konstruktion ausgeführt werden.

Auflösung. Zunächst bestimmt man am besten den Eigenschaften des gegebenen Zylinders und zwar dadurch, dass man eine Schnittebene — die Lichtebene I —, welche senkrecht zu der Horizontal-Ebene und parallel zu der Horizontal-Projektion des Lichtstrahles steht, annimmt. Sodann konstruiert man die V'ertikal-Projektion der durch diese Lichtebene entstandenen Schnittfläche,

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Fig. 88.

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an welche nunmehr die Vertikal-Projektion der beiden Streifstrahlen gezogen werden kann. Die jeweils durch die Punkte v₂ und W2 gehenden Mantellinien A B (= A₂ B2) und CD(=C₂D₂) bilden demnach die beiden Eigenschatten-Grenzlinien auf der Mantelfläche des Zylinders. Die in der Vertikal-Projektiou

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ermittelten Punkte v₂ und w₂ werden jetzt auch in der Horizonlal-Projektion des Zylinders festgelegt (= vi und wx), um auch hier die die Eigenschattengrenzen bildenden Mantellinien AB(= Ai Bi) und CD (— Ci Di) eintrageu zu können. Im übrigen liegt noch, was ja auch leicht erkannt werden kann, die Grundfläche B F N P D H K, deren wahre Grösse durch ihre sogenannte Umklappung gezeigt ist, in dem Eigenschatten des Zylinders. Nun erst ermittelt man den Schlagschatten des gegebenen Körpers, indem man die Schlagschatten seiner beiden Grundflächen und der beiden vorher festgelegten Mantellinien A B und C D konstruiert, wobei man alsdann finden kann, dass die beiden Schlagschatten-Grenzlinien ai bi und Ci di die beiden möglichen Tangenten sind, welche unter sich

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Aufgabe. In der Fig. 89 ist ein schiefer Zylinder, dessen eine Grundfläche auf der Horizontal-Ebene liegt, durch seine beiden Projektionen gegeben. Es soll der Eigenschatten und Schlagschatten dieses Zylinders ermittelt werden.

Auflösung. In diesem Falle bestimmt man am besten zunächst den Schlagschatten der oberen Grundfläche des Zylinders auf der Horizontal-Ebene¹) welche man sich hierbei noch hinter der Vertikal-Ebene verlängert denken muss. Alsdann zieht man die beiden Tangenten Ai bi und Ci di an die soeben ermittelte Schlagschattengrenze und an die untere Grundfläche des Zylinders. Diese beiden Tangenten bilden nunmehr die Schlagschatten derjenigen Mantellinien, welche

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die Eigenschatten-Grenzen bilden. Durch die beiden Lichtstrahl-Projektionen bi Bi und di Di bestimmt man nun auf der Umrisslinie der oberen Grundfläche des Zylinders diejenigen Punkte, welche mit Bi und Di bezeichnet sind und welche ihren Schlagschatten in den beiden Punkten bi und di besitzen. Von den Punkten Bi und Di kann man jetzt auch die parallel zu der Zylinder-Achse zu ziehende Projektion der beiden Mantellinien B A (= Bi Ai) und D C (= Di Ci) angeben und hat damit auch die Horizontal-Projektion der Eigenschatten-Grenzen auf der Zylinder-Mantelfläche festgelegt. Durch die Linien

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Ai Bi und Ci Di kann sodann sehr leicht die Vertikal-Projektion der auf der Mantelfläche befindlichen Eigenschatten-Grenzen konstruiert werden. In den auf der Projektions-Achse liegenden Punkten o und p tritt der Schlagschatten des gegebenen Zylinders von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über.

Fig. 92.

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Aufgabe. Zu der in der Fig. 90 durch ihre Projektionen gegebenen Körperzusammenstellung ist die Eigen- und Schlagschatten-Konstruktion auszu-führen.

Auflösung. Zuerst bestimmt man die leicht zu ermittelnde Eigenschatten-Grenze auf der Mantelfläche des Zylinders sowie den auf die quadratische

Platte fallenden Schlagschatten des obersten Teiles des gegebenen Zylinders. Die Kanten B F und B C sowie A D und D E der quadratischen Platte sind leicht als Schattenkanten zu erkennen, von denen die beiden erstgenannten grösstenteils ihren Schlagschatten auf die Oberfläche des Zylinders werfen, der kleinere Teil dieser beiden Schatten kanten sowie die beiden letztgenannten Schattenkanten geben ihren Schlagschatten teils auf die Vertikal-Ebene, teils auf die Horizontal-Ebene ab, was auch von den beiden senkrechten Schattenkanten EF und AC der quadratischen Platte gilt.

Fig. 93.

(Man vergleiche hierzu das an den Fig. 49 bis 51 und 73 Erläuterte).

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Aufgabe. In der Fig. 91 ist ein Teil eines Zylinders mit einem umgelegten Ringe gegeben und zwar durch seine Vertikal-Projektion und durch seinen Seitenriss. Es soll die zugehörige Schlagschatten-Konstruktion ausgeführt werden.

Auflösung. Durch den gegebenen Seitenriss können ohne Schwierigkeiten die sämtlichen Schlagschatten der auf der Umrisslinie der Ringmantelfläche beliebig angenommenen Teilpunkte ABC DEFG( = A₃ B₃CsD₃E₃FsG₃) ermittelt werden. Hiernach ist man in der Lage, diese in dem Seitenriss gefundenen Schlagschattenpunkte in den Aufriss entsprechend zu übertragen. Durch das Ziehen der Streifstrahlen an den Zylinder und an die Mantelfläche des umgelegten Ringes werden in dem Seitenriss diejenigen Mantellinien bestimmt, welche die jeweiligen Eigenschatten-Grenzen auf der

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Schraffierung der im Schatten liegenden Flächen des gegebenen Körpers drückt nun den ermittelten Eigen- und Schlagschatten aus.

4. Die Konstruktion des Eigen- und Schlagschattens des Hohl-

Zylinders.

Aufgabe. In Fig.92 ist eiu seiner Länge nach halbierter IIohl-Zylinder durch seinen Aufriss und seinen Seitenriss gegeben. Es soll der Eigen- und Schlagschatten auf der inneren Wandfläche des Hohl-Zylinders aufgesucht werden.

Auflösung. Um die Eigenschatten-Grenze zu bestimmen, nimmt man in dem Seitenriss die Berührungsebene L₃ an, welche selbstverständlich zu der dritten Projektion des Lichtstrahles (— L₃) parallel liegen muss. Diese Berührungsebene streift nun die innere Wandung des Hohl-Zylinders längs der Mantellinie mn (= m₃ 113), welche nunmehr auch in der Vertikal-Projektion angegeben werden kann (= m₂ n2). Es liegt demnach der Streifen A Bm n (= A₂ B₂ m₂ n₂) der inneren Wandfläche des Hohl-Zylinders in dessen Eigenschatten. Auf einen Teil der übrigen inneren Wandfläche muss nun noch der Schlagschatten der geraden Kante A B (=A₂B₂ und A₃ B₃) sowie der gekrümmten Kante ACm (= A₂ C₂ m₂ und A₃ C₃ m₃) fallen; es ist derselbe durch die ermittelte Kurve m₂ c₂ a2 festgelegt worden. Die entsprechende Schraffierung hebt nun den Eigen- und Schlagschatten hervor.

Aufgabe. Tn der Fig. 93 ist durch seine beiden Projektionen eine der Länge nach geteilter Hohl-Zylinder, welcher einen gewöhnlichen Zylinder teilweise umschliesst, gegeben. Die beiden Achsen dieser Zylinder stehen senkrecht zu der Horizontal-Ebene. Es sollen die in der Vertikal-Projektion dieser gegebenen Körperzusammenstellung sichtbaren Eigen- und Schlagschatten dargestellt werden.

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Zuerst ermittelt mon die Eigenschatten-Grenze v w (= vj W2) auf der inneren Wandfläche des Hohl-Zylinders, ebenso auch die Eigenschatten-Grenze GH (= G₂ H₂) auf der Mantelfläche des eingeschlossenen Zylinders mit Hilfe der in der Horizontal-Projektion angegebenen Berührungsebenen, welche zu der Lichtstrahl-Projektion L₃ parallel liegen. Sodann bestimmt man die Schlagschatten-Grenze t₂ a₂ auf der inneren Wandung des Ilohl-Zylinders und hierauf die Schlagschatten der auf der Umrisslinie der unteren Grundfläche des Zylinders angenommenen Teilpunkte A B C D E F G. Diese Schlagschattenpunkte a₂ b₂ c₂ d₂ e₂ f₂ g₂ verbindet man nunmehr durch eine entsprechende Kurve, um hiernach den Eigenschatten und den Schlagschatten durch eine richtige Schraffierung zu kennzeichnen.

5. Die Konstruktion des Eigen- und Schlagschattens des Kegels.

Um die Grenzen des Eigenschattens auf der Mantelfläche eines Kegels, sowie dessen Schlagschatten-Grenzen zu bestimmen, muss man seine beiden zu der Richtung der Lichtstrahlen parallel liegenden Berührungsebenen ermitteln. Es geschieht dies, indem man zunächst den Schlagschatten der Grundfläche und der Spitze des Kegels auf der Horizontal-Ebene konstruiert, welche dabei nötigenfalls noch hinter der Vertikal-Ebene verlängert angenommen werden muss. Nunmehr zieht man von dem Schlagschattenpunkte der Kegelspitze aus die beiden möglichen Tangenten, welche die Schlagschatten-Grenze der Grundfläche des Kegels berühren. Liegt nun gegebenenfalls die Grundfläche des Kegels auf der Horizontal-Ebene auf, dann fällt natürlich der Schlagschatten dieser Grundfläche mit ihrer Projektion zusammen. Jede der beiden oben erwähnten Berührungsebenen hat nun jeweils als Durchschnittsliuie mit der Horizontal-Ebene die entsprechende der beiden Tangenten und berührt ausserdem die

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Oberfläche des gedachten Kegels in einer Mantellinie

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dieses Kegels bildet. Die beiden zuerst ermittelten Tangenten stellen mithin den Schlagschatten der beiden Mantellinien dar, welche den Eigenschatten auf der Mantelfläche des Kegels begrenzen.

Aufgabe. In der Fig. 94 ist durch seine beiden Projektionen ein Kegel gegeben, dessen Grundfläche in der Horizontal-Ebene liegt. Es soll der zugehörige Eigen- und Schlagschatten aufgesucht werden.

Auflösung. Zunächst ermittelt man den Schlagschatten si der Kegelspitze S auf der Horizontal-Ebene, welche man sich hierbei noch hinter der

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muss. Sodann zieht man in bekannter Weise die beiden Tangenten Si ai und si bi an die Hori-zontal-Projektion des Schlagschattens

der Kegel-Grundfläche, welcher in diesem Falle mit derselben zusammenfällt. Die Senkrechten ai Si und bi Si zu den beiden Tangenten bilden nun die Horizontal-Projektion derjenigen Mantellinien des Kegels, in denen die berührenden Lichtebenen — die sogenannten Berührungsebenen — die Mantelfläche des Kegels

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streifen und welche dadurch den beleuchteten Teil des Kegelmantels von dem in dem EigenschattenliegendenTeile desselben abgrenzen. Mithin bilden die beiden Dreiecke Si ai Si undSi bi Si dieHorizontal-Projektionderbeiden gedachten Berührungsebenen, deren jeweilige Horizontal-Spur (= ai Si bezw. bi si) die Grenze des auf die Horizontal-Ebene fallenden Schlagschattens des gegebenen Kegels vorstellt. Durch die hier angenommene Lage des Kegels tritt nun in der Projektions-Achse sein Schlagschatten von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über. Den Beweis dafür, dass diese Schatten-Konstruktion ein richtiges Ergebnis liefern muss, kann man erbringen, indem man au einer beliebigen Stelle auf einer der beiden Eigenschatten-Grenzen, beispielsweise auf der Linie bi Si, den Punkt P au-nimmt, und alsdann durch denselben eine zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehende Lichtebene (welche hier mit I bezeichnet ist) stellt. Diese gedachte Lichtebene durchschneidet also den gegebenen Kegel und in der Verti-kal-Projektion des Kegels ist nunmehr die Projektion der verursachten Schnittfläche zu ermitteln. Jetzt kann man die zu der Lichtstrahl-Projektion L2 parallele Projektionslinie des Streifstrahles an die Vertikal-Projektion der Schnittfläche ziehen und man wird alsdann finden, dass die Projektion des Streifstrahles in dem auf der Eigenschatten-Grenze liegenden Punkte P (= P2) die Projektion der Schnittfläche berührt. Mithin muss auch der Schlagschatten des beliebig angenommenen Punktes P in dem Punkte pi auf den Schlagschatten (= bi Si) der Eigenschatten-Grenzlinie b S fallen.

Aufgabe. In der Fig. 95 sind die beiden Projektionen eines umgestürzten Kegelstumpfes gegeben. Es soll der zugehörige Eigen- und Schlagschatten konstruiert werden.

Auflösung. Man ermittelt zuerst die Schlagschatten-Grenzen der beiden Grundflächen des gegebenen Kegelstumpfes auf der Horizontal-Ebene und zieht alsdann an diese beiden Schlagschatten-Grenzen die Tangenten ai bi und Ci di, welche nun ihrerseits die Schlagschatten der beiden Mantellinien A B und C D darstellen. Mithin werden die auf der Mantelfläche des Kegelstumpfes befindlichen Eigenschatten-Grenzen durch die soeben ermittelten Mantellinien AB und CD gebildet. Man findet die Horizontal-Projektion der Mantellinie AB (= Ai Bi) nun dadurch, dass man jeweils die horizontale Lichtstrahl-Projektion von ai aus nach Ai bezw. von bi aus nach Bi gewissermassen rückwärts zieht, um sodann Ai mit Bi zu verbinden. Für die Auffindung der Horizontal-Projektion der Mantellinie CD (= Ci Di) gilt das gleiche. Durch die Linien Ai Bi und Ci Di ist nun auch leicht die Vertikal-Projektion dieser beiden Mantellinien auffindbar. Auch bei dieser Aufgabe tritt der zugehörige Schlagschatten in der Projektions-Achse von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über.

Aufgabe. In der Fig. 96 ist ein auf der Horizontal-Ebene stehender Kegel gegeben, dessen Schlagschatten zum Teil auf die Oberfläche eines Zylinders fällt. Die Achse des gleichfalls gegebenen Zylinders liegt parallel zu der Horizontal-Ebene und geneigt zu der Vertikal-Ebene. Es sollen die zugehörigen Eigen- und Schlagschatten-Grenzen konstruiert werden.

Auflösung. Man bestimmt zunächst ohne Rücksicht auf den Zylinder (da man ja noch nicht wissen kann, ab der Schlagschatten der Spitze des Kegels

auf die Mantelfläche des Zylinders fällt) den Schlagschatten Si der Kegelspitze S auf der Horizontal-Ebene, sowie hieran anschliessend die Schlagschatten- und Eigenschatten-Grenzen des gegebenen Kegels selbst. Nunmehr nimmt man einen Seitenriss an, welcher zu der Zylinder-Achse senkrecht steht, und in welchen

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man auch die schon ermittelten Eigenschatten-Grenzen des Kegels sowie die dritte Projektion des Lichtstrahles = S₃ s₃ einträgt. Selbstverständlich müssen nun in diesem Seitenriss die

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sämtlichen Projektionslinien der Lichtstrahlen parallel mit der ermittelten dritten Projektion der durch die Kegelspitze S gehenden Lichtstrahlen (= S₃ s₃) laufen. Durch die Angabe der dritten Projektion der den Zylinder streifenden Lichtstrahlen

(= v₃ und W3) findet man nunmehr diejenigen Mantellinien (= MN und OP) der Zylinder-Oberfläche, welche die Eigenschatten-Grenzen auf dem Zylinder-Mantel bilden. Durch die dritte Projektion dieser Mantellinien (= M3 N3 und O3 P3) kann man nun auch leicht deren Horizontal- und Vertikal-Projektion (=MiNi und Oi Pi bezw. M2 N2 und O2 P2) festlegen. Durch die Eintragung der dritten Projektion des durch die Kegelspitze S gehenden Lichtstrahles (= S3 S3) findet man ferner noch, dass die Spitze des Kegels ihren Schlagschatten auf die Mantelfläche des gegebenen Zylinders werfen muss, dass also der auf der Horizontal-Ebene liegende Schlagschattenpunkt si bezw. S3 in Wirklichkeit gar nicht bestehen kann. Durch den Schlagschattenpunkt S3 auf der Zylinder-Mantelfläche sind jetzt [auch leicht die Schlagschattenpunkte si und S2 zu bestimmen.

Fig. 97.

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Um die Grenze des von dem Kegel verursachten Schlagschattens auf der Zylinder-Oberfläche zu ermitteln, nimmt man noch in dem Seitenriss die beliebig gewählten Punkte ACE (= A₃ C₃ E₃) auf der Eigenschattengrenze SG (= S₃ G₃) des Kegels,

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sowie B D F (= B3 D3 F₃) auf S H (= S3 H3) an und legt sodann durch das Ziehen der entsprechenden Projektion des Lichtstrahles die Schlagschattenpunkte a₃ b₃ C3 d₃ e₃ f₃ auf der Mantelfläche des Zylinders fest, was nunmehr auch in der Horizontal- und Yertikal-Projektion angegeben werden kann (= ai bi Ci di ei fi bezw. a2 b2 C2 d2 e2 f2). Mau verbindet hierauf durch eine stetig gekrümmte Kurve die Scblagschattenpunkte si ai Ci ei und Si bi di fi bezw. S2 a2 C2 e2 und S2 b2 d2 f2 mit einander. Um die Deutlichkeit der zeichnerischen Darstellung nicht ungünstig zu beeinflussen, ist der Schlagschatten des gegebenen Zylinders auf der Horizontal-Ebene weggelassen worden, da ja im übrigen die Konstruktion desselben schon in den Figuren 88 und 89 zur Genüge erläutert worden ist. Durch die richtige Schraffierung werden nun die einzelnen Eigen- und Schlagschatten entsprechend hervorgehoben.

Aufgabe, ln der Fig. 97 ist durch ihre beiden Projektionen eine Körper-zusammenstellung gegeben, deren Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen ermittelt werden sollen.

Auflösung. Zunächst konstruiert man durch die Annahme der beiden mit I und II bezeichneten Lichtebenen die Eigenschatten-Grenzen auf den Wulstflächen sowie die Schlagschatten-Grenzen auf der Oberfläche des unter dem Wulste befindlichen Prismas. Sodann bestimmt man den Eigenschatten des Prismas und der auf dem Wulste liegenden Platte. Hiernach wird man dann auch leicht den von der Platte verursachten Schlagschatten auf die verschiedenen Wulstflächen ermitteln können. Auch die auf die Vertikal-Ebene fallenden Schlagschatten-Grenzen dürften unschwer festgelegt werden können. Im übrigen kann die Lösung der hier gestellten Aufgabe mit Hilfe der in den vorangegangenen Figuren erläuterten Schatten-Konstruktionen ohne weiteres ausgeführt werden.

6. Die Konstruktion des Eigenschattens und Schlagschattens des

Hohl-Kegels.

Aufgabe, ln der Fig. 98a steht der durch seine beiden Projektions-Ebenen gegebene Hohl-Kegel mit seiner Spitze S auf der Horizontal-Ebene, sodass seine innere Mantelfläche in seiner horizontalen Projektion sichtbar ist. Es sollen die zugehörigen Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen bestimmt werden.

Auflösung. Da der Grundkreis des gegeben Hohl-Kegels parallel zu der Horizontal-Ebene liegt, so ist sein Schlagschatten auf dieser Projektions-Ebene ein gleichgrosser Kreis, dessen Mittelpunkt (= mi) zugleich der Schlagschattenpunkt des Mittelpunktes M (= Mi und M2) ist. An diesen Schlagschattenkreis zieht man nunmehr von Si (der Schlagschatten von S ist Si, welcher Punkt in dem vorliegenden Falle mit dem Punkte S zusammenfällt) aus die beiden Tangenten ai Si und bi Si, welche somit den auf die Horizontal-Ebene fallenden Schlagschatten des Hohl-Kegels begrenzen. Durch die gegebene Entfernung des Hohl-Kegels von der Vertikal-Ebene tritt jedoch noch ein Teil dieses Schlagschattens in der Projektions-Achse \on der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über; die Ermittelung dieser Schlagschattengrenzen dürfte nicht schwer fallen.

Es sind nunmehr noch die auf der inneren Mantelfläche des gegebenen Hohl-Kegels vorkommenden Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen zu bestimmen, wofür es zwei Lösungsarten gibt.

Bei der ersten Lösungsart zieht man die Horizontal- und Vertikal-Projek-tion des Lichtstrahles, welcher durch den auf dem Grundkreis des Hohl-Kegels beliebig angenommenen Punkt D (= Di bezw. D₂) geht, sowie die Gerade S[ Pi bezw. S2 P2, welche von der Spitze des Hohl-Kegels ausgeht und zu der

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entsprechenden Lichtstrahl-Projektion parallel läuft. Denkt man sich nun eine Hilfsebene auf den Grundkreis des gegebenen Hohl-Kegels gelegt, so trifft die Linie SP (= Si Pi bezw. S2 P2) in dem Punkte P (= P2 bezw. Pi) auf diese gedachte Hilfsebene. Diejenige Ebene, welche man nunmehr durch die Gerade SP und durch den Punkt D legen kann, durchschneidet den Grundkreis des Hohl-Kegels in der durch die Punkte Pi und Di gehenden Sekante Di Ei ; da ausserdem diese Ebene durch die Kegel-Spitze gehen soll, so schneidet dieselbe den Mantel des Hohl-Kegels in den beiden Geraden SD und SE (= Si Di bezw.

S₂ D₂ und Si Ei bezw. S2 E₂), welche zugleich auch Mantellinien der Kegel-Oberfläche bilden. Da nun der durch den Punkt D gehende Lichtstrahl D d (= Di di bezw. D2 d₂) und die auf dem Kegel-Mantel liegende Schnittlinie S E (= Si Ei bezw. S2E2) in einer Ebene liegen, so treffen die beiden Linien Dd und S E in dem Punkte d (= di bezw. d₂) zusammen. Mithin ist der letztgenannte Punkt d auch der Schlagschatten des auf dem Grundkreise liegenden Punktes D auf der inneren Mantelfläche des gegebenen Hohl-Kegels. Genau wie man den Punkt D auf dem Grundkreise des Hohl-Kegels an beliebiger Stelle gewählt hat, kann man auch noch mehrere solcher Punkte wählen, um alsdann ihre Schlagschatten auf der Innenseite des Kegelmantels nach dem soeben erläuterten Verfahren zu bestimmen; es ist dies jedoch in der Fig. 98a unterlassen worden, um die Deutlichkeit der Zeichnung nicht zu beeinträchtigen. Den

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Fig. 98 b.

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Schlagschatten des Punktes C ( — Ci bezw. C2), welcher ebenfalls auf dem Grundkreise des Hohl-Kegels liegt, findet man durch die Aunahme einer zu der Horizontal-Ebene senkrecht stehenden Lichtebene; derselbe muss auf die Mantellinie SF(=SiFi bezw. S₂ F₂) fallen, sodass der Punkt c (=Ci bezw. C2) den

Schlagschatten des Punktes C darstellt. Die beiden Endpunkte A und B (= Ai bezw. A2 und Bi bezw. B2) der Schlagschatten-Kurve A d c B liegen auf dem Grundkreise des Hohl-Kegels und fallen mit den Berührungspunkten der von P (=Pi bezw. P2) aus an den Grundkreis gelegten Tangenten PA und PB zusammen. Es berühren ferner in den Mantellinien SA (Si Ai und S2 A2) und SB (= Si Bi und S2 B2) die durch die Gerade SP (= Si Pi und S2 P2) gelegten Berührungsebenen die Mantelfläche des Hohl-Kegels; demnach bilden diese beiden Mantellinien S A und S B die Grenzen des Eigenschattens sowohl auf der

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inneren als auch auf der äusseren Mantelfläche des gegebenen Hohl-Kegels.

Eine zweite Lösungsart zur Ermittelung der Schlagschatten-Grenze auf der inneren Mantelfläche des in den beiden Figuren 98 gegebenen Hohl-Kegels ist in der Fig. 98 b ausgeführt worden. Hierbei nimmt man zunächst eine den Hohl-Kegel durchschneidende Hilfsebene — die Ebene I — an, welche parallel zu

seinem Grundkreise liegt. Sodann bestimmt man den Schlagschatten, welchen der Grund kreis des Hohl-Kegels auf dieser Ebene I verursacht; man zieht demnach von Mi und M₂ jeweils die entsprechende Projektion des Lichtstrahles, um den Schlagschattenpunkt v (= vi und v₂) festzulegen (vi ist also der Mittelpunkt des Schlagschattenkreises). Die angenommene Hilfsebene I bildet in der Horizontal-Projektion des Hohl-Kegels den Schnittkreis 1, welcher sich mit dem um den Punkt vi geschlagenen Schlagschattenkreis in den beiden Punkten c und f kreuzt. Die Punkte c und f gehören nunmehr der auf der inneren Mantelfläche des gegebenen Hohl-Kegels auftretenden Schlagschatten-Grenze an. Zur genaueren Bestimmung dieser Schlagschatten-Grenze A c d e f B (= Ai Ci di ei L Bi) kann man, genau wie die Hilfsebene I, noch mehrere solcher Hilfsebenen annehmen, um alsdann das gleiche Verfahren wie bei der Ebene I, ausführen zu können. So sind in dem hier vorliegenden Falle mittels der Hilfsebeue II und des auf diese Ebene konstruierten Schlagschattens des Grundkreises des Hohl-Kegels die beiden Schlagschattenpunkte d und e, welche auf der zu ermittelnden Schlagschatten-Grenze auf der inneren Wandfläche des Hohl-Kegels liegen, gefunden worden. Durch die auf der Horizontal-Ebene festgelegten Schlagschatten-Grenze mit ihren beiden Tangential-Punkten ai und bi erhält man nunmehr auf dem Grundkreise des Hohl-Kegels die Endpunkte A und B der Schlagschatten-Grenze AcdefB, und zwar dadurch, dass man die beiden Lichtstrahl Projektionen ai Ai und bi Bi gewissermassen rückwärts einträgt. Die beiden Mantellinien AS (=AiSi und A₂ S₂) und BS (= Bi Si und B₂ S₂) bilden dann die auf der inneren und äusseren Mantelfläche des gegebenen Hohl-Kegels auftretenden Eigenschatten-Grenzen.

Als Beweis für die Richtigkeit dieser beiden Lösungsarten mag das gleiche Ergebnis gelten, welches sich in den Figuren 98a und 98 b zeigt.

Aufgabe. In der Fig. 99 sind die beiden Projektionen einer kreisrunden Fenster-Oeffnung gegeben, deren Leibungsfläche einem Hohl-Kegel angehört. Es sind die Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen zu bestimmen.

Auflösung. In dem vorliegenden Falle wurden die Eigenschaften- und Schlagschatten-Grenzen auf der inneren Mantelfläche des Hohl-Kegels auf gleiche Weise, welche in der Fig. 98b schon erläutert worden ist, ermittelt.* Die eingetragene Buchstaben-Bezeichnung erleichtert das Verfolgen der ausgeführten Konstruktion.

7. Die Konstruktion des Eigen- und Schlagschattens der Kugel.

Wenn man sich an eine Kugel parallel zu den Lichtstrahlen sämtliche möglichen Tangenten gezogen denkt, dann bilden diese gedachten Tangenten einen die Kugel umhüllenden Zylinder, welcher dieselbe in ihrem grössten Ober-fläcben-Kreise berührt. Demnach ist die Lage dieses grössten Kugelkreises jeweils senkrecht zu der Richtung der Lichtstrahlen, woraus sich folgende Grundregel ergibt:

Der senkrecht zu der Richtung der Lichtstrahlen stehende grösste Kugelkreis bildet die Eigenschatten-Grenze der Kugel.

Aufgabe, ln der Fig. 100a ist eine auf der Horizontal-Ebene liegende Kugel gegeben, deren Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen bestimmt werden sollen.

Auflösung. Man ermittelt zunächst den Schlagschatten (•= nu) des Mittelpunktes M (= Mi und M₂) der gegebenen Kugel auf der Horizontal-Ebene. So-

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dann nimmt man eine dritte Projektions-Ebene (=Em), welche senkrecht auf der Horizontal-Ebene (= Ei) steht und parallel zu der Richtung der Lichtstrahlen liegt, zu Hilfe. Es muss also die Projektions-Achse VW, welche diese dritte Projektions-Ebene mit der Horizontal-Ebene bildet, parallel mit der Horizontal-Projektion der Lichtstrahlen gezogen werden. Nunmehr denkt mau sich die

L. Haass, Die Schattenkoustruktioneu.

dritte Projektions-Ebene umgeklappt, sodass man jetzt in der Lage ist, den Seitenriss der Kugel sowie die dritte Projektion des Lichtstrahles M₃ m₃, welchen man sich durch den Mittelpunkt der Kugel gehend denken kann, darzustellen. Die dritte Projektion sämtlicher Lichtstrahlen muss also zu der Linie M₃ m3 parallel laufen. Senkrecht zu der Linie M₃ m₃ kann nun auch die dritte Projektion des grössten Kugelkreises (= A₃ G₃) eingetragen werden. Sämtliche Streifstrahlen, z. B. A₃ a₃, B₃ b₃, C₃ c₃, D₃ d₃ usw. müssen demnach diesen grössten Kugelkreis berühren; derselbe bildet somit auch die Grenze des auf der Oberfläche der Kugel auftretenden Eigenschattens. Ist also die dritte Projektion des grössten Kugelkreises bestimmt, so kann es nicht schwer fallen, seine Horizontal- und Vertikal-Projektion, mithin auch die Horizontal- und Vertikal-Projektion der Eigenschatten-Grenze darzustellen. Sodann bestimmt man noch den Schlagschatten der gegebenen Kugel, indem man den Schlagschatten ihrer Eigenschatten-Grenze aufsucht.

Aufgabe. In der Fig. 100b ist ein Beispiel für die Ermittelung der Eigenschatten-Grenze auf der Oberfläche einer Kugel, welche nur in ihrer Vertikal-Projektion dargestellt ist, gegeben.

Auflösung. Zunächst nimmt man hierbei den Kugel-Durchmesser ab, welcher senkrecht zu der Vertikal-Projektion des Lichtstrahles (= L2) liegt, an

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- rungsgemäss der zu

ermittelnden Eigenschatten-Grenze der Kugel au. Da die Vertikal-Projektion dieser Eigenschatten-Grenze sich als eine Ellipse darstellt, so ist es noch erwünscht, die Grösse der kleinen Achse der Ellipse zu erhalten. Dies wird erreicht, indem man durch einen der schon ermittelten vier Punkte efgh, etwa durch den Punkt g, die

Parallele g i zu der Lichtstrahl-Projektion L₂ zieht und dann von i aus den Kugel-Halbmesser i k einträgt. Die Linie i k durchschneidet die durch g gehende Parallele zu a b in dem Punkte 1. Setzt man nun in dem Mittelpunkt k den Zirkel ein und beschreibt einen Bogen mit dem Halbmesser kl, so findet man dadurch auf der Linie k c den Punkt o und auf der Linie k d den Punkt p. Es ist nunmehr in der Linie okp die kleine Achse der Ellipse, welche die Vertikal-Projektion der gesuchten Eigenschatten-Grenze der Kugel darstellt, ermittelt. Hierauf verbindet man durch eine stetig gekrümmte Kurve die der Eigenschatten-Grenze angehörenden Punkte aeogbfpha mit einander und hebt die in dem Eigenschatten liegende Oberfläche der Kugel, soweit dieselbe in der Vertikalprojektion sichtbar ist, durch Schraffierung entsprechend hervor.

8. Die Konstruktion des Eigenschattens und Schlagschattens der

Hohl-Kugel.

Aufgabe. In der Fig. 101 ist durch ihren Grundriss und Aufriss eine halbe Hohl-Kugel gegeben. Es soll die Grenze des auf ihre innere Wandfläche fallenden Eigen- und Schlagschattens in dem Aufriss ermittelt werden.

Auflösung. Man konstruiert zuerst den Schlagschatten m₂ des Mittelpunktes M (= Mi und M₂) auf der Vertikal-Ebene und nimmt darauf eine beliebige Anzahl von Lichtebenen (in der vorliegenden Aufgabe die Lichtebenen 1, II, III, IV), welche senkrecht auf der Vertikal-Ebene stehen und dabei parallel zu der Lichtstrahl-Projektion L₂ liegen, an. Ferner denkt man sich parallel zu diesen angenommenen Lichtebenen eine dritte Projektions-Ebene, deren Projektions-Achse (=ST) demnach ebenfalls parallel mit der Lichtstrahl-Projektion L2 laufen muss. Dadurch, dass man sich nun die dritte Projektions-Ebene umgeklappt vorstellt, kann man jetzt auf derselben auch die dritte Projektion (= den Seitenriss) desjenigen Schnittes der Hohl-Kugel, welcher durch die Lichtebene 1 verursacht wird, darstellen; ferner kann man nunmehr auch jeweils die dritte Projektion der durch die Lichtebenen II, III und IV bewirkten Schnitte eintragen. Ebenso zeichnet man die dritte Projektion des durch den Mittelpunkt M der Hohl-Kugel gehenden Lichtstrahles (= M₃ m₃). Hierauf zieht man parallel zu M₃ m₃ jeweils von den auf dem Rande der Hohl-Kugel liegenden Punkten I, H, G und F (=J₃H₃G₃ und F₃) aus nach der entsprechenden dritten Projektion der durch die Lichtebenen verursachten Schnittkreise die Lichtstrahl-Projektion und findet dadurch die Schlagschatten-Punkte i₃ h₃ g₃ und f₃, welche vier Punkte man sodann auch leicht in der Vertikal-Projektion der gegebenen Hohl-Kugel eintragen kann (= i₂ b₂ g₂ und f₂). Es bilden demnach die durch eine stetig gekrümmte Kurve mit einander verbundenen Punkte E₂ f₂ g₂ h₂ i₂ sowie die widergleichen •Punkte k₂1₂ n₂ 0₂ zusammen die Schlagschatten-Grenze auf der inneren Wandfläche der Hohl-Kugel. Die Eigenschatten-Grenze auf der Innenfläche der Hohl-Kugel ermittelt mau, indem man in der dritten Projektion jeweils die Tangenten, d. h. die Streifstrahlen an die Schnittkreise 1, II, III und IV der angenommenen Lichtebenen zieht, wodurch die Punkte a₃ b₃ c₃ d₃ festgelegt werden, sodass man hiernach auch in der Vertikal-Projektion der gegebenen Hohl-Kugel die Punkte a₂ b₂ c₂ d₂ der Eigenschatten-Grenze wiederum leicht angeben kann, um sie schliesslich mit einander zu verbinden.

Aufgabe. In der Fig. 102 sind die beiden Projektionen einer halbkreisförmigen Nische gegeben, deren oberer Teil der Fläche einer Hohl-Kugel angehört. Es sollen in der Vertikal-Projektion die Grenzen des Eigen- und Schlagschattens festgelegt werden.

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Auflösung. Die Ermittelung der Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenze auf der einer Hohl-Kugel angehörenden inneren Wandfläche der gegebenen Nische

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Aufgabe. In der Fig. 103 ist der Grundriss und der Aufriss eines halben Hohl-Zylinders mit seinem durch einen halben Kugel-Quadranten gebildeten,

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Fig. 103.

unteren Abschluss gegeben. Es sollen die Grenzen des in der Vertikal-Projek-tion auftretenden Eigen- und Schlagschattens konstruiert werden.

Auflösung. Auch in dem vorliegenden Falle sei ebenfalls auf die in den Figuren 93 undylOl ausgeführten Erläuterungen hingewiesen.

9. Die Konstruktion des Eigenschattens und des Schlagschattens der Umdrehungskörper (Rotations-Körper).

Aufgabe. In der Fig. 104 ist durch seine beiden Projektionen ein kreisförmiger Wulstkörper gegeben. Es soll die zugehörige Schatten-Konstruktion ausgeführt werden.

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Fig. 104.

Auflösung. Am besten zieht man zunächst an die vertikal-Projektion des gegebenen Körpers sowie an diejenige der angenommenen Lichtebenen (I, II, III, IV und V), welche in dem vorliegenden Falle auf der IIorizontal-Ebene senkrecht stehen, Tangenten, d. h. die Streifstrahlen, und ermittelt so die Punkte a und b (= a₂ und b2) bezw. efgh lm n o (= e2 f 2 g2 h₂ L m₂ n2 o₂). Ferner gewinnt man durch das Anträgen der Streifstrahlen an die Horizontal-Projektion des Wulstkörpers die Punkte d und k (= di und ki), deren Vertikal-Projektion (= d₂ und k?) man leicht bestimmen kann. Alle bisher aufgefundenen Punkte ( = abefghlmnod und k) gehören mithin sämtlich der Eigenschatten-Grenze an, welche man nunmehr durch das Zeichnen einer stetig gekrümmten Kurve in der Vertikal-Projektion darstellen kann. Hiernach lässt sich wiederum sehr leicht die Horizontal-Projektion der Eigenschatten-Grenze festlegen. Die Ermittelung der Schlagschatten-Grenze des gegebenen Wulstkörpers ist hierbei fortgelassen worden, um auf die Deutlichkeit der ganzen Darstellung nicht uu-

Fig. 105.

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Aufgabe. Die Fig. 105 zeigt denselben gleiehgrossen Wulstkörper, jedoch diesmal nur in seiner Vertikal-Projektion. In dem vorliegenden Falle ist aber die Art der Auffindung der zugehörigen Eigenschatten-Grenze nicht in dem Masse

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zeitraubend als diejenige, welche in der Fig. 104 angewandt wurde ; es werden hierbei nur die sogenannten acht wichtigsten Punkte der Eigenschatten-Grenze festgelegt.

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Auflösung. Man zieht zunächst parallel zu der Vertikal-Projektion des Licht-

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zn der Vertikal-Ebene gebrachte Lichtstrahl L; der Winkel ß ist demnach die wirkliche Grösse des Winkels, welchen der Lichtstrahl mit der Horizontal-Ebene bildet. Man vergleiche die unter der Vertikal-Projektion des in der Fig. 105 gegebenen Körpers befindliche Zeichnung). Durch den so gefundenen Berührungspunkt s zieht man sodann die Wagerechte su und beschreibt nunmehr um den Punkt u mit dem Halbmesser us einen Kreisbogen, welcher den unter dem Winkel von 45⁰ zu der Linie u s geneigten Strahl Li in dem Kreuzuugspunkte fi trifft. Alsdann zieht man die Linie fi f₂ senkrecht zu us, wodurch in dem Punkte h der gesuchte höchste Punkt der Eigenschatten-Grenze des gegebenen Körpers ermittelt ist. Auch für die Auffindung des tiefsten Punktes c (= C2) der Eigenschatten-Grenze gilt das gleiche Verfahren. Wenn man nun ferner bedenkt, dass die Eigenschatten-Grenze auf der Oberfläche eines jeden Umdrehungskörpers symmetrisch in bezug auf die durch den Körper-Mittelpunkt schneidende Eichtebene liegen muss, so erhält man auf Grund dessen sehr leicht die beiden Punkte d und g (= d<2 und g2). Man vergleiche beispielsweise in der Fig. 104 die symmetrisch zu der durch den Körper-Mittelpunkt gehende Lichtebene III liegenden Punkte ai und zi bezw. bi und yi. Den Punkt h (= h₂) findet man, indem man sich den grössten horizontalen Schnittkreis des Körpers umgeklappt denkt, um alsdann an denselben den zu Li parallelen Streifstrahl ziehen zu können, wodurch man den Punkt hi erhält. Nunmehr trägt man auf der Vertikal-Projektion dieses grössten horizontalen Schnittkreises die vertikale Projektion des Punktes h (= h₂) an. Das gleiche gilt auch für die Ermittelung des Punktes e (= 62).

Aufgabe. In der Fig. 106 ist ein durch seinen Grundriss und Aufriss gegebener eiförmiger Umdrehungskörper (FTlipsoid) dargestellt, dessen Eigenschatten-Grenze fesfcgelegt werden soll.

Auflösung. Man bestimmt zunächst den Schlagschatten (=mi) des Mittelpunktes M (= Mi und M₂) des gegebenen Elipsoides auf der Horizontal-Ebene. Sodann nimmt man, genau wie in der Fig. 100a, eine dritte Projektions-Ebene an, welche senkrecht zu der Horizontal-Ebene und parallel zu der Richtung der Lichtstrahlen steht. Die Projektions-Achse ST, welche diese dritte Projektions-Ebene mit der Horizontal-Ebene bildet, muss mithin parallel mit der horizontalen Projektion der Lichtstrahlen, z. B. mit Mi mi, liegen. Nunmehr denkt man sich die angenommene dritte Projektions-Ebene umgeklappt, sodass man in der Lage ist, den Seitenriss des gegebenen Ellipsoïdes und des Lichtstrahles M m (= M₃m3), welcher durch den Körper-Mittelpunkt gehend gedacht werden kann, darzustellen. Parallel zu M₃m₃, also auch zu der dritten Lichtstrahl-Projektion (= L₃) zieht man sodann die Projektion der beiden Streifstrahlen an den Seitenriss des gegebenen Körpers und findet dadurch den obersten Punkt a (= a₃) sowie den untersten Punkt g (= g₃) der zu ermittelnden Eigenschatten-Grenze. Wenn man jetzt durch eine Gerade a₃ und g₃ verbindet, so stellt diese Gerade a₃ g₃ die dritte Projektion der Eigenschatten-Grenze dar. Man nimmt alsdann eine beliebige Anzahl von Schnittebenen — die Ebenen I bis VII — an, welche zu der Horizontal-Ebene parallel sind und welche demnach auch in der dritten Projektion als die mit der Projektions-Achse S T parallel liegenden Geraden 1 bis VII erscheinen müssen. Diese sieben Horizontal-Schnitte treffen nunmehr die bereits in .'der dritten Projektion ermittelte

Eigenschatten-Grenze in den Punkten abcdefghikln (= a₃ b₃ c₃ d₃ e₃ f₃ g₃ b3 h k₃1₃ n₃), welche raan jetzt sehr leicht in die Horizontal-Projektion des Ellipsoïdes und hierauf in dessen Vertikal-Projektion eintragen kann. Es werden sodann die Punkte ai bi Ci di ei fi gi hi ii ki h ni sowie die Punkte a2 b2 c₃ d2 e2 f2 g2 h2 U lv212 n2 durch eine stetig gekrümmte Kurve jeweils mit einander verbunden, um dadurch auch die Eigenschatten-Grenze in dem Grundriss bezw. in dem Aufriss des gegebenen Körpers darzustellen. Um die zeichnerische Darstellung

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der Fig. 106 nicht undeutlich zu machen, ist die Konstruktion des Schlagschattens des Ellipsoïdes weggelassen worden. Die Schlag-

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Fig. 108.

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Man vergleiche hierzu die zu der Fig. G6a gegebene Erklärung.

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schatten-Grenze wird unschwer dadurch ermittelt werden können, dass man den Schlagschatten der Eigenschatten-Grenze bestimmt und die so begrenzte Fläche durch Schraffierung entsprechend hervorhebt.

Aufgabe. In der Fig. 107 ist ein Umdrehungskörper durch seinen Grundriss und seinen Aufriss gegeben. Es sollen die Grenzen des Eigen- und Schlagschattens auf der Oberfläche dieses Körpers festgelegt werden.

Auflösung. Genau wie in der Fig. 104 nimmt man auch in dem vorliegenden Falle eine beliebige Anzahl von Lichtebenen an, welche parallel zu

der Horizontal-Projektion der Lichtstrahlen nnd senkrecht auf der Horizontal-Ebene stellen. Nach der Ermittelung der Ver-

Fig. 109.

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tikal-Projektionen dieser Lichtebenen kann man alsdann ohne weiteres die Schlagschatten- und Eigenschatten-Grenzen auf der Oberfläche des gegebenen Körpers bestimmen und zwar zunächst in seinem Aufriss und alsdann auch in seinem Grundriss.

Verschiedene Schattenkonstruktions-Beispiele für den Hochbau.

Die in den Figuren 108 bis 133 gegebenen Darstellungen bilden eine Sammlung von Schattenkonstruktions-ßeispielen, welche besonders für den Hochbau entsprechende Verwendung finden können.

Zunächst sind zwei einfachere Körperzusaramenstellungen in den Figuren 108 und 109 dargestellt.

In der Fig. 108 ist durch seine beiden Projektionen ein vierkantiges und gleichseitiges Prisma gegeben, welches mit seinem oberen Teile durch eine quadratische Platte hindurchgesteckt ist. Die in dem Eigenschatten und Schlagschatten liegenden Flächen des gegebenen Körpers und der beiden Projektions-Ebenen sind durch eine hellere bezw. dunklere Schraffierung entsprechend hervorgehoben worden.

Fig. 110.

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Die Fig. 109 zeigt eine ähnliche Körperzusammenstellung. Es durchdringt hierbei das quadratische, auf der Horizontal-Ebene senkrecht stehende Prisma mit seinem oberen Ende eine achtseitige Platte. Die Konstruktion der zugehörigen Eigen- und Schlagschatten dürfte keinerlei Schwierigkeiten verursachen.

In der Fig. 110 ist ein einfaches, steinernes Grabdenkmal durch seinen Aufriss und seinen Seitenriss dargestellt. Es ist der zugehörige Schlagschatten auf der Vertikal-Ebene, an deren Stelle gegebenenfalls eine Mauer stehen könnte, ermittelt worden.

Die in der Fig. 111 gegebenen Darstellungen zeigen den Grundriss und den Aufriss eines rechteckigen Schornsteines, welcher seinen Schlagschatten auf

eine Dachfläche wirft. Um die Grenzen dieses Schlagschattens ermitteln zu können, ist ein Seitenriss notwendig, welcher über die Neigung des Daches Aufschluss gibt.

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Fig. 111.

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Die Fig. 112 zeigt ein schematisch dargestelltes Gurtgesims eines vor-spriugenden Teiles eines Gebäudes in seiner VOrderansicht. Zu der Bestimmung der Grenzen der Eigen- und Schlagschatten hat man die Seitenansicht welche auch gegebenenfalls durch den Grundriss ersetzt werden kann, nötig.

Fig. 112.

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In der Fig. 113 ist ein einfacher Fries, dessen Vorkommen in der Backstein-Architektur sehr häufig ist, zur Darstellung gelangt. (Der gegebene Fries ist ein sogenanntes „deutsches Band“.)

Auch die Fig. 114 zeigt einen Backstein-Fries in seiner Ansicht und seinem

Grundriss.

Für die Fig. 115 gilt ebenfalls das zu den Figuren 113 und 114 gesagte: Die Fig. 116 stellt die Vorder-Ansicht eines Daches mit einem Dachfenster dar. Auf der linken Seite wird die Dachfläche durch einen vorstehenden glatten

Fig. 113.

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Dach mit der Seitenansicht des Brandgiebels und des Dachfensters zur Verfügung haben, um den zugehörigen Schlagschatten ermitteln zu können.

Brandgiebel begrenzt, ferner ist noch das Hauptgesims, welches, ebenso wie das Dachfenster, nur schematisch dargestellt ist, angegeben. In dem vorliegenden Falle muss den Schnitt durch das

Die Fig. 117 zeigt eine Freitreppe zwischen zwei Wangenmauern in ihrem Grundriss und ihrer Vorderansicht. Es können die Schlagschatten-Grenzen sehr leicht mit Hilfe eines Schnittes durch die Treppe oder durch eine Seitenansicht derselben festgelegt werden.

Fig. 114.

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In der Fig. 118 hat die durch ihren Grundriss und ihre Vorderansicht dargestellte Freitreppe keine Wangenmauern erhalten, sodass die Bestimmung des vorkommenden Schlagschattens hierbei auch ohne Seitenansicht von statten

gehen kann.

mauern Freitreppe sungen durch ihre Vorderansicht und ihren Schnitt fest-

Auch die Fig. 119 zeigt eine zwischen zwei Waugenliegende steinerne deren Abmes-

gelegt sind. Hierbei sind die beiden Wangenmauern

treppenförmig abgesetzt angenommen worden.

In der Fig. 120 ist ein einfacher Strebepfeiler mit anschliessender Mauer durch seine drei Projektionen gegeben. Die Grenzen des zugehörigen Schlag-

Fig. 115.

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Schattens können in diesem Falle entweder mit Hilfe des Grundrisses oder durch die Seitenansicht allein unschwer bestimmt werden.

einer sogenannten Lisene —, welche noch mit

Die Fig. 121 zeigt einen Teil einer aus Quadern hergestellten Mauer mit einer entsprechenden Vorlage einem einfachen Sockel-Vorsprung ausgestattet ist. Auch hierbei können die

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Fig. 117.

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Grenzen der Schlagschatten entweder mittels des Grundrisses oder mit Hilfe der Seitenansicht der Lisene festgelegt werden.

In der Fig. 122 ist eine vorspringende Ecke eines Gebäudes, um welche sich ein abgefaster Sockel in gleicher Höhe herumzieht, durch ihren Grundriss

Fig. 119.

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und ihre Ansicht gegeben. Die Auffindung der Grenzen des zugehörigen Eigen- und Schlagschattens kann durch die Annahme der beiden Lichtebenen I und II, welche zu der Horizontal-Ebene senkrecht und zu der Richtung der Lichtstrahlen parallel stehen, ohne weiteres erfolgen.

Genau das gleiche gilt auch für die in der Fig. 123 gegebenen Darstellung, nur ist in diesem Falle der um die Gebäude-Ecke herumgeführte Sockel in ver-

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Fig. 118.

schiedeuer Höhe angenommen worden. Zu der Ermittelung der Eigenschatteu-und Schlagschatten-Grenzen wurden ebenfalls die beiden Lichtebenen 1 und 11 zu Hilfe genommen.

Fig. 120.

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Auch für die Fig. 124, Taf. 1, haben gleichfalls die zu den beiden vorangegangenen Figuren gegebenen Erläuterungen zu gelten. Doch war in diesem Falle zu der richtigen Festlegung der Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen noch die Annahme einer dritten Lichtebene, welche wiederum zu den Lichtebenen 1 und 11 parallel liegt, notwendig geworden.

Die Fig. 125 auf Taf. 2 weist einen sogenannten Staffelgiebel, wie er in der Backstein-Architektur sehr häufig vorkommt, nebst den anstossenden Teilen des Hauptgesimses auf. Die Ermittelung der Schlagschatten-Grenzen auf der hinter dem gegebenen Giebel befindlichen Dachfläche sowie auf dem Giebel selbst wird mit Hilfe des links gezeichneten Schnittes, durch welchen man auch die Schatten des Hauptgesimses festlegen kann, bewerkstelligt.

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In der Fig. 126 ist eine Dachfläche gegeben, welche über die unter ihr befindliche Frontmauer eines Gebäudes hinausragt und welche ausserdem noch durch einen staffelförmig ausgebildeten Brandgiebel begrenzt wird. Der zu der Ermittelung des zugehörigen Schlagschattens notwendige Schnitt zeigt die Seitenansicht der über die Dachfläche hinausragenden Brandmauer.

Taf. 1.

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In der Fig. 127 ist eine profilierte Sohlbank einer Fenster-Oeffnung durch ihre Vorder- und Seiten-Ansicht zur Darstellung gelangt. Die Sohlbank selbst liegt in gleicher Höhe des profilierten Sockelvorsprunges.

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Die Fig. 128 auf Taf. 3 zeigt den unteren Teil eines rechteckigen ausladenden Erkers eines Wohnhauses. Um die Grenzen der in der Vorderansicht des Erkers vorkommenden Schlagschatten bestimmen zu können, ist eine Seitenansicht derselben notwendig. Die Oberflächen der tragenden Teile des Erkers gehören jeweils der Mantelfläche eines Hohl-Zylinders an.

Für den in der Fig. 129 auf Taf. 4 durch seine drei Projektionen gegebenen dreiseitigen Erker gilt in bezug auf die Gestalt der ausladenden Teile desselben das gleiche, was schon in der vorangehenden Fig. 128 gesagt wurde. Die in dem Eigenschatten liegenden Flächen treten durch eine weiter gehaltene Schraffierung heller in die Erscheinung als dies bei denjenigen Flächen der Fall ist, welche Schlagschatten erhalten.

Fig. 126.

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In der Fig. 130 auf Taf. 5 ist das Kapital eines Pilasters durch seine Vor-der-Ansicht gegeben. Die Grenzen der zugehörigen Eigen- und Schlagschatten können mit Hilfe der beigegebenen Seiten-Ansicht des Pilasters leicht festgelegt werden.

Ebenso zeigt auch die Fig. 131 auf Taf. 6 eine architektonische Einzelheit, nämlich einen verkröpften Pilasterfuss. In diesem Falle kann die Ermittelung der Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzen nur mit Hilfe einer Seiten-An-sicht ausgeführt werden.

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Die Fig. 132 auf Taf. 7 weist den Grundriss und die Ansicht eines Säulen-fusses auf. In bezug auf die Auffindung der zugehörigen Eigen- und Schlagschatten sei hierbei auf die zu den Fig. 104 und 107 gegebenen Erläuterungen aufmerksam gemacht.

Mit Hilfe der wichtigsten Schnitte I bis V, deren Anzahl noch beliebig vermehrt werden könnte, die aber an den hier gewählten Hauptpunkten nicht fehlen dürfen, ist der Eigenschatten leicht zu bestimmen.

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Fig. 127. ' ą

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Es wird aber darauf aufmerksam gemacht, dass diese Schnitte nicht nur im Grundriss anzunehmen sind (vergl. I bis V), sondern dass auch im Aufriss Kehlen und Wülste Horizontalschnitte aufweisen müssen, die in den zugehörigen Grundriss zu projizieren sind.

Iu der Fig. 133 auf Taf. 8 ist das Kapital einer toskanischen Säule zur Darstellung gelangt. Auch in diesem Falle gilt hinsichtlich der Ermittelung der Eigenschatten- und Schlagschatten-Greiuen das zu den Figuren 104 und 107 Erklärte.

Selbstredend fallen bei Darstellungen auf Bauzeichnungen in kleinerem Mafsstabe derartige genaueste Hilfskonstruktionen für die Darstellung des Eigenschattens fort. Man trägt ihn hier einfach freihändig nach dem bekannten Muster ein.

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Zweiter Teil.

Die axonometrische Projektion.

Die einzelnen axonometrisclien Projektions-Arten.

Gewöhnlich wird ein Körper oder irgend eine Körperzusammenstellung in seiner Horizontal-Projektion (Grundriss) und seiner Yertikal-Projektion (Aufriss) dargestellt, denen nötigenfalls noch eine oder auch zwei seitliche Projektionen (Seitenrisse) beigegeben werden können. Will oder muss man diese zeichnerischen Wiedergaben eines Körpers noch mehr veranschaulichen, so kann dies entweder durch eine axonpm e tri sch e Projektion oder durch eine perspektivische Darstellung des betreffenden Körper geschehen. Auf die Konstruktion der perspektivischen Darstellungsweise soll jedoch erst im dritten Teile dieses Bandes eingegangen werden. Die axonometrische Zeichnung dient mehr den Zwecken der Ausführung des dargestellten Körpers, während das perspektivische Bild desselben mehr die malerische Wirkung von einem gewissen Standpunkt des Beschauers aus veranschaulichen soll.

Man unterscheidet nun bei der axonometrisclien Projektion drei verschiedene Arten:

1.    Die trimetrisehe Projektion (Trimetrie), bei welcher erfahrungs-gemäss das Verkürzungsverhältnis der Höhe (h) zur Breite (b)_.zur *UiJ**'*Ar*\ Tiefe (t) des darzustellenden Körpers = h : b : t == 10 :9 : 5 beträgt.

Das für diese axonometrische Projektionsart günstigste Achsenkreuz zeigt die Fig. 134.

2.    Die dimetrische Projektion, bei welcher man die besten Bilder

dann erhält, wenn das Verkürzungsverhältnis h:b:t= 2:2:1 jist. +*'‘**~ey**\ Das günstigste Achsenkreuz ist in der Fig. 135 angegeben.

3.    Die isometrische Projektion, bei welcher das Verkürzungs-Ver-hältnis h : b : t = 1:1:1 beträgt. Hierbei kann das Achsenkreuz be-liebig angenommen werden, gewöhnlich derart, wie es in den beiden Figuren 136 und 137 angegeben ist.

In den Figuren 138, 139 und 140 ist nun beispielsweise ein Würfel jeweils in seiner axonometrischen Projektion dargestellt worden, und zwar in der Fig. 138 trimetriscb, in der Fig. 139 dimetrisch und in der Fig. 140 isometrisch.

Fig. 135.

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In der Fig. 141 Gegensätze hierzu gleichgrosse Würfel durch seinen Grundriss und seinen Aufriss dargestellt.

Aus der Fig. 140 kann man nun ersehen, dass die isometrische Projektion im Vergleich zu der dime-

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Fig. 137.

trischen nnd trirnetrisehen Projektion ein unschönes Bild / des darzustellenden Körpers 300 liefert, da sich besonders der Tiefe nach eine bedeutende Unähnlichkeit und Verzerrungen ergeben. Trotz dieser grossen Mängel findet die isometrische Projektion die ausgedehnteste Anwendung, besonders zur Darstellung

einzelner Bauteile (z. B. beim Steinschnitt, bei Holzverbindungen und Maschinenteilen, bei schwierigeren Knotenpunkten eines Dachstuhles usw.), da einesteils die Herstellung der Zeichnung sehr leicht und wenig zeitraubend ist, und anderenteils diese Darstellungsart den grossen Vorteil bietet, dass aus der Zeichnung die wirklichen Abmessungen, die der auszuführende Gegenstand erhalten soll, unmittelbar entnommen werden können. Im Hinblick auf die eben erwähnten Vorteile, welche die Isometrie bietet, haben die trimetrische und die dimetrische Projektion hi dem folgenden keine Berücksichtigung mehr gefunden.

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Fig. 138.

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Man unterscheidet nun bei derselben Projektionsart noch vier verschiedene, axonometrische Bilder, nämlich:

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Fig. 144.

So sieht man beispielsweise in der Fig. 140 den isometrisch dargestellten Würfel in Obersicht links.

In der Fig. 141 ist die isometrische Darstellung des gleichen Würfels in Obersicht rechts, in der Fig. 143 in Untersicht rechts, sowie in der Fig. 144 in Untersicht links ausgeführt worden. Das Achsenkreuz wurde in diesen drei Fällen jeweils gleich angenommen.

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Fig. 145.

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b)    die Obersicht (Oberansicht) links,

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c)    die Untersicht (Unteransicht) rechts,

d)    die Untersicht (Unteransicht) links.

Fig. 143.

Beispielsweise ist in der Fig. 140 die vordere linke Seitenfläche L des Würfels dem Standpunkte des Beschauers näher gelegen als die vordere rechte Seitenfläche R desselben; ausser diesen

beiden Seitenflächen sieht der Beobachter noch die obere Fläche des Würfels, sodass demnach die isometrische Darstellung dieses Würfels in Oberansicht

links ausgeführt worden ist.

Fig. 146 a.

Bei der in der Fig. 143 erfolgten isometrischen Darstellung desselben Würfels liegt die vordere rechte Seitenfläche R dem Beschauer näher als die vordere linke Seitenfläche L, ausserdem ist noch die untere Fläche des Würfels sichtbar, sodass man

Fig. 146 b.

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es hier mit einer in Un ter sicht rechts erfolgten Darstellung dieses Würfels zu tun hat.

Zwei weitere isometrische Projektionsarten erhält man durch die Annahme der in den Figuren 145, 146 a und 146b zur Darstellung gelangten Achsenkreuze.

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In dem Falle, in welchem man das in der Fig. 145 gegebene Achsenkreuz verwendet man nun diejenige Projektions-Art, welche man » Vogelperspektive“ rU^' uiènnt.

Wird einesder in den beiden Fig.

Fig. 147 a.

146 a und 146 b zur Darstellung gelangten Achenkreuze angewendet, so erhält man alsdann die weitaus gebräuchlichste aller isometrischen Projektions-Arten, welche man als sogenannte „K a v a 1 i e r p e r s p e k t i v e“ bezeichnet.

In der Figur 147a bezw. 147b ist nunmehr ein Würfel, dessen Kantenlänge (=1) gegeben ist, in Vogelperspektive isometrisch dargestellt worden und zwar in der Fig. 147 a als Obersicht und in der Fig. 147 b als Untersicht.

In der Fig. 148a bezw. 148b ist ein Würfel von gegebener Kantenlänge 1 in Kavalierperspektive isometrisch zur Darstellung gelangt und zwar in dem ersten Falle als Obersicht rechts, in dem zweiten Falle als Untersicht links.

Fig. 147 h,

Aufgabe. In der Fig. 149 auf Tat'. 9 ist eine Körperzusammenstellung durch ihren Grundriss und ihren Aufriss gegeben. Es soll dieselbe in Kavalierperspektive isometrisch dargestellt werden.

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Auflösung. Man beginnt zunächst damit, dass man den untersten Teil der gegebenen Körperzusammenstellung (—Prisma) isometrisch zeichnet, worauf man die Pyramide einschliesslich ihrer nicht sichtbaren Spitze angibt. Die auf der Ober-(läche der Pyramide befindlichen Schnittlinien, welche durch das

Fig. 148 b.

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Durchdringen der Pyramide mit dem Zylinder gebildet werden, ermittelt man sodann und zwar derart, dass man einzelne Punkte der Schnittlinie bestimmt; beispielsweise bringt man die Linie ai bi des Grundrisses in die isometrische Projektion als Linie ab und trägt alsdann auf der in b errichteten Senkrechten die Entfernung b c = b₂ C2 im Aufriss ab. Nachdem man den Mittelpunkt m der Querschnittlläche des Zylinders festgelegt hat, zieht man die Hilfsachsen x und y und trägt auf diesen sodann die Eckpunkte des Ililfsquadrates defg ab und verbindet dieselben miteinander. Des weiteren zeichnet man das zweite Ililfsquadrat hi kl sowie die auf den

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Hilfsachsen x und y gelegenen Punkte nopq ein. Nun verbindet man inkqlo hpi durch eine Kurve miteinander und zieht die beiden senkrechten Tangenten ir und 11. Die isometrische Darstellung ist als Kavalierperspektive in Obersicht rechts erfolgt,

Aufgabe. In der Fig. 150 auf Taf. 9 ist eine sogen, verdeckte Eck-Ueberkämmung mit keilförmigem Haken gegeben und zwar in ihrem Grundriss (=A), ihrem Aufriss (— B) und durch eine Stirnansicht (= C) des Holzes M. Es soll die axonometrische Projektion des Holzes M der gegebenen Holzverbindung in Kavalierperspektive isometrisch als Obersicht rechts gezeichnet werden.

Auflösung. Zunächst trägt man die Höhe d an, sodann zieht man hieran unter einem Winkel von 45° die Kante mit den Entfernungen ab und c. Nun können auch die Querraafse e und f abgetragen werden, darauf die Höhenmafse g und h. Zuletzt gelangen in der Zeichnung die Gehrungsfläche und der keilförmige Haken zur Darstellung.

Aufgabe. In der Fig. 151 auf Taf. 10 ist in Ansicht und Schnitt ein Hausteinbogen gegeben, dessen Leibungsfläche auch teilweise einer Kegelmantelfläche angehört. Es soll der Schlussstein A des gegebenen Bogens in Kavalierperspektive isometrisch als Untersicht rechts dargestellt werden.

Auflösung. Man trägt zuerst die vordere in der Mauerflucht liegende Stirnfläche apqb des Schlusssteines sowie den zugehörigen Mittelpunkt m auf. Sodann bestimmt mau die äussere Leibungsfläche ab cd des Steines nebst den Entfernungen ae und bf und sucht die zugehörigen Mittelpunkte n und o. Weiter trägt man auf ne und nf die Entfernungen nh und hg, bezw. nk und ki ab und schlägt mit n als Mittelpunkt die beiden Bögen gi und hk sowie endlich sl mit dem Mittelpunkte o.

Aufgabe. In der Fig. 152 auf Taf. 10 ist ein Teil eines Tonnengewölbes mit einer flachbogigen, horizontalen Stichkappe durch seinen Grundriss, sowie durch seinen Längs- und Querschnitt gegeben. Es soll eine isometrische Projektion der Stichkappe in Kavalierperspektive als Untersicht rechts gezeichnet werden.

Auflösung. Zunächst stellt man die Untersicht des Tonnengewölbes dar, indem man mit Hilfe der Punkte vabcdf und der Abstände a g, b h, ci, d k, fl die Kurve vsrtul festlegt. Sodann zieht man die Mantellinien des Tonnengewölbes uk, ti, rh, sg, vx und trägt auf diesen Linien die Punkte k, i, h, g, x, welche im Längsschnitt und im Grundriss unmittelbar abgegriffen werden können, ab. Um den noch zum Teil sichtbaren Bogen nopq zu ermitteln, zieht man die Mantellinien der Stichkappenleibung von kihg aus und macht nun die Entfernungen k q = ki qi, i p = K pi, h o = hi Oi und g n = gi m. Uebrigens wird man leicht herausfinden, dass die Kurve vsrtul mit dem Zirkel geschlagen werden kann, ebenso auch die Kurven xg, wz und m y.

Aufgabe. In der Fig. 153 auf Taf. 11 ist eine Freitreppe durch ihren Grundriss und ihren Aufriss gegeben. Es soll eine isometrische Projektion dieser Freitreppe angefertigt werden und zwar, weil es am geeignetsten erscheint, eine Obersicht rechts.

Auflösung. Man vergleiche hierbei, die Fig. 153a auf Taf. 11. In derselben wurde zunächst die Linien ab parallel mit der Y-Achse des angenommenen

Achsenkreuzes gezogen. Sodann trägt man auf dieser Linie die in dem Grundriss abgreifbaren Auftrittsbreiten der Treppenstufen an, ebenso die beiden finden einhüftigen Bogen wichtigen Punkte c und r, deren Entfernung von dem Punkte a aus in dem Aufriss ersehen werden kann. Nunmehr zeichnet man die senkrechte Kante a 1 = a21 und zieht alsdann von dem Punkte 1 aus eine zu der zuerst gezogenen Linie ab eine Parallele, auf welcher jetzt die Entfernung ld (= 1 d₂ in dem Aufriss) abgetragen werden kann. Im weiteren Verlaufe der Konstruktion dürften kaum mehr Schwierigkeiten für den Lösendeii entstehen können.

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In der Fig. 155b auf Taf. 12 ist eine axonometrische Darstellung der in der Fig. 153 durch ihren Grundriss und Aufriss gegebenen Freitreppe ausgeführt und zwar als Kavalierperspektive isometrisch, ebenfalls in Obersicht rechts.

In der Fig. 154 auf Taf. 12 ist ein sogenannter Knotenpunkt eines Dachbinders durch seinen Querschnitt und seinen Längsschnitt gegeben. In der Fig. 154a ist ferner die isometrische Darstellung als Kavalierperspektive in Untersicht rechts, in Fig. 154 b als Kavalierperspektive in Obersicht links ausgeführt worden.

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Fig. 154 c.

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Die Schatten-Konstruktion in axonometrischen Projektionen.

Bei der axonometrischen Darstellung gegebener Körper oder Körperzusammenstellungen können auch die Eigenschatten und Schlagschatten ohne besondere Schwierigkeiten ermittelt werden. Es gibt zur Bestimmung der Eigen-und Schlagschatten-Grenzen zwei Arten; in dem einen Falle kann man das Ergebnis der Schattenkonstruktion aus der geraden Projektion (also die in Grundriss und Aufriss ermittelten Schattengrenzen) in die axonometrische Darstellung übertragen, in dem anderen Falle kann man auch in der axonometrischen Projektion selbständig die Grenzen des Eigen- und Schlagschattens festlegen.

Mnss man das zweite Verfahren wählen, ist also das axonometrische Bild und mithin auch der axonometrische Grundriss eines Gegenstandes gezeichnet, so nimmt man die Lichtstrahl-Richtung durch Grundriss und Bild beliebig an. Es sei auch ferner noch bemerkt, dass man, genau wie bei den Schatten-Konstruktionen (siehe 1. Teil dieses Bandes), der Einfachheit der Konstruktion halber den Lichtstrahlen eine unter sich parallele Richtung gibt.

Fig. 156.

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Aufgabe, ln der Fig. 155 ist beispielsweise das in der Fig. 136 dieses Abschnittes gegebene Achsenkreuz verwendet worden. Die angenommene Fläche ABCD steht in dem vorliegenden Falle senkrecht auf der Horizontal-Ebene ( = Ei) und berührt dieselbe mit ihrer Kante A D. Es soll nun der Schlag-

Grundriss-Projektion (= Li) als gegeben zu betrachten.

schatten dieser gegebenen Fläche, welcher zum Teil auf die Horizontal-Ebene, zum Teil auf die Vertikal-Ebene (=E₂) fallen muss, festgelegt werden. Die beliebig gewählte Richtung der Lichtstrahlen ist durch L und durch ihre axouo-

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Auflösung. Auch hier sucht man zuerst den Schlagschatten der einzelnen Kauten der gegebenen Fläche auf. Um nun den Schlagschatten des Punktes B zu ermitteln, zieht man von der Grund-riss-ProjektioudesPunktesB, welche in diesem Falle mit dem Puukte A zusammeufällt, eine parallele Linie zu Li sowie von B selbst eine Parallele zu L und findet dadurch auf der verlängert gedachten Horizontal-Ebene den Punkt b Schlagschatten von Punkt B. Der Schlagschatten der Flächenkante A B auf der Horizontal-Ebene ist demnach die Linie ai bi. Der Schnittpunkt x der Linie ai bi mit der X-Achse gibt diejenige Stelle an, woselbst der Schlagschatten von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene Übertritt. Da nun die Kante AB lotrecht ist, so muss auch ihr Schlagschatten auf der Vertikal-Ebene lotrecht verlaufen; man errichtet also auf Grund dieser Erwägung in dem Schnittpunkt x eine

Fig. 158.

des

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Senkrechte und findet dadurch in b2 den Schlagschatten des Punktes B auf der Vertikal-Ebene. Das gleiche Verfahren gilt natur-gemäss auch für die Ermittelung Schlagschattens der Kante C D, deren Schlagschatten durch die Linien dt y und y 1*2 dargestellt wird. Nun verbindet man noch

durch eine Gerade den Punkt b₂ mit c₂ und erhält dadurch den Schlagschatten < 1 er Kante BC auf der Vertikal-Ebene. Die Flächen aixydiUi und yc₂b₂xy bilden zusammen den zu ermittelnden Schlagschatten der gegebenen Fläche A B C D.

Fig. 160.

JD

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Des weiteren ist aus der Zeichnung sehr leicht ersichtlich, dass die dem Beschauer zugewandte rechte Seite der Fläche ABCD im Eigenschatten liegen muss.

Aufgabe. In der Fig. 156 steht die gegebene Fläche ABCD ebenfalls senkrecht auf der Horizontal Ebene und berührt dieselbe mit ihrer unteren Kante CD. Das gewählte Achsenkreuz ist dasjenige, welches in der Fig. 146a dieses Abschnittes dargestellt wurde. Die Richtung der Lichtstrahlen ist durch die Linie L bezw. Li festgelegt.

Auflösung. Parallel zu Li zieht man zunächst die Linie Ci bi, sodann den Lichtstrahl B bt parallel zu L von B aus, wodurch der Schlagschatten der

Kante C B = Ci bi bestimmt ist. Der Schlagschatten der Kante D A . auf der Horizontal-Ebene ist in di at zu ersehen. Der Punkt a2 ist der ^ Schlagschatten des Punk-z tes A auf der Vertikal-Ebene. Die Linie at bi gibt den Schlagschatten

- der Kante A B auf der

Horizontal-Ebene an. In dem Schnittpunkte x auf

Fig. 159.

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der X-Achse tritt jedoch der Schlagschatten der Kante A B von der Horizontal-Ebene auf die Vertikal-Ebene über. Die beiden Flächen di y x bi Ci d und ya2X bilden zusammen den zu ermittelnden Schlagschatten der Fläche ABCD. Die dem Auge des Beschauers zugekehrte Seite der gegebenen Fläche erhält unmitttelbare Beleuchtung, während die nicht sichtbare Rückseite der Fläche im Eigenschatten liegen muss.

Aufgabe, ln der Fig. 157 ist ein quadratisches, aufrecht stehendes Prisma durch seinen Grundriss und Aufriss zur Darstellung gelangt, einschliesslich seines Schlagschattens, welchen dasselbe auf die Horizontal- und Vertikal-Ebene wirft. Es soll nun dieses gegebene Prisma in axonometrischer Projektion isometrisch gezeichnet werden; es soll ferner auch der zugehörige Eigen- und Schlagschatten angegeben werden.

Auflösung, ln der Fig. 158 ist das in der Fig. 157 gegebene Prisma mit seinem dortselbst angenommenen Abstande von der Projektions-Achse isometrisch dargestellt worden nach den eingangs zu Grunde gelegten Regeln. Die

Grenzen seines Schlagschattens, welche in der geraden Projektion des Prismas (in der Fig. 157) ermittelt worden sind, wurden in dem vorliegenden Falle eben-

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Fig. 161.

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Fig. 162.

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falls in die axonometrische Darstellung übertragen. Es wurde also eine selbständige Konstruktion der Schlagschatten-Grenzen hierbei nicht ausgeführt. Ferner ist noch zu der weiteren Vervollständigung des Bildes die im Eigenschatten liegende Fläche C D G H mit einer helleren Schraffierung versehen worden. Die

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Fläche B C G F des Prismas liegt ebenfalls in dem Eigenschatten des Körpers, sie ist jedoch in dieser Darstellung nicht sichtbar.

Auch für die Fig. 3 59, welche das in der Fig. 157 gegebene Prisma nebst seinem Abstande von der Vertikal-Ebene in axonometrischer Darstellung isometrisch als Kavalierperspektive (Obersicht rechts) wiedergibt, gilt das Gleiche, wie

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Fig. 163.

(lies schon bei der big. 158 erläutert worden ist. Auch hierbei ist die Schatten-Konstruktion keine selbständige, sondern sie ist lediglich aus der geraden in die axouometrisehe Projektion übertragen worden.

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Auf der Fläche C DH G wird natürlich ebenfalls der Eigenschaften sichtbar.

164 a.

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Pig. 164.

Fur die Fig. 160 ist wiederum der gleiche Fall angenommen worden, nur erscheint hierbei die axonometrische Darstellung in Kavalierperspektive als Obersicht links. Das Prisma selbst verdeckt dabei einen grossen Teil seines Schlagschattens. Die beiden Flächen des Prismas, welche in seinem Figenschatten liegen, sind invorliegendem Fallenicht sichtbar. Eine selbständige Konstruktion derGrenzcn des Schlagschattens weisen die Figuren 161 bis einschliesslich 164 auf.

So ist beispielsweise in der Fig. 161 wiederum das in der Fig. 157 gegebene Prisma nebst seinem dortselbst angenommenen Abstande von der Vertikal-Ebene in Kavalierperspektive isometrisch als Obersicht rechts dargestellt worden (genau wie die Fig. 159 zeigt). Jedoch ist hier die Richtung der Lichtstrahlen durch L und dessen Grundriss-Projektion Li beliebig gewählt und als gegeben zu betrachten. Betreffs der Konstruktion des Schlagschattens, welchen die schattenwerfenden Kanten HD, DO, CB und BF auf die Horizontal-Ebene bezw. auf die Vertikal-Ebene werfen, sei auf die in den Figuren 155 und 156 gegebenen Erläuterungen hingewiesen.

Für die Fig. 162 gilt genau das gleiche, was schon zu der Fig. 161 gesagt wurde. Wie hierbei ersichtlich ist, haben die Lichtstrahlen eine andere Richtung erhalten, wodurch naturgemäss auch die Grenzen des zugehörigen Schlagschattens au eine andere Stelle kommen müssen.

In der Fig. 168 ist nochmals das in der Fig. 157 gegebene Prisma in Kavalierperspektive isometrisch zur Darstellung gelangt, jedoch ist in dem vorliegenden Falle die Vertikal-Ebene weggenommen gedacht, sodass der Schlagschatten nur auf die Horizontal-Ebene fallen kann. Die Richtung der Lichtstrahlen ist wiederum anders gewählt worden.

Aufgabe. Die in der Fig. 164 gegebene Körperzusammeustelluug ist durch ihren Grundriss und ihren Aufriss dargestellt. Es soll die axonometrische Darstellung derselben isometrisch ausgeführt werden und sodann an derselben selbständig, ohne den Grundriss und den Aufriss der geraden Projektion des Prismas zu benutzen, die Konstruktion der Grenzen des Eigen- und Schlagschattens vorgenommen werden. Die Richtung der Lichtstrahlen ist im Bilde und Grundriss ( = L und Li) beliebig gewählt und so als gegeben zu betrachten.

Auflösung. Man vergleiche die Fig. 164a hierzu. Um den Schlagschatten von dem Eckpunkte A zu ermitteln, zieht man von dessen Grundriss-Projektion (=Ai) eine Parallele zu Li sowie von A selbst eine Parallele zu L; der Schnittpunkt ai dieser beiden Parallelen ist demnach der Schlagschatten vom Eckpunkte A. Ferner zieht man parallel zu der Kante AJ von ai aus nach dem Schlagschattenpunkt u der Ecke J. Der Schlagschatten der Höhenkante G II wird in gi hi gefunden. Wie aus der Zeichnung nun ersichtlich ist, treffen sich die Schlagschattengrenzeu ai ii und gi hi in dem Schnittpunkte c, welcher zugleich den Schlagschatten des auf der Kante AJ liegenden Punktes d darstellt, wobei selbstredend der Lichtstrahl c d parallel zu L zu zeichnen ist. Auch die Schlagschattengrenzlinie d e muss parallel mit der Schlagschattengrenzlinie lu gi laufen, da die Fläche, auf der de liegt, parallel zu der Grundfläche liegt. Der Punkt e ist auch hier der Schlagschatten des Punktes f, der durch Lichtstrahl ef ermittelt wird. Die Auffindung der weiteren Schlagschattengrenzen sowie der in dem Eigenschatten liegenden Flächen des gegebenen Körpers dürften nun kaum mehr mit Schwierigkeiten verknüpft sein.

Dritter Teil.

Die Perspektive.

Geometrie“

Muu versteht uuter Perspektive denjenigen Zweig der „Darstellenden welcher die Herstellung von Abbildungen räumlicher Gebilde *auf einer Ebene, der sogen. Bildebene oder Bildfläche lehrt, wobei jedoch vorausgesetzt wird, dass sich das Auge des Beschauers in einer gewissen Entfernung von der Bildfläche und von den abzubildenden Gegenständen befindet. Es folgt daraus, dass die auf der Bildfläche darzustellenden Abbildungen sogen.

J+Jtuuy Zejitral-P rojek ti on en sein müssen.

Während die Darstellung eines Körpers in gerader oder auch in axono-metrischer Projektion lediglich technischen Zwecken dient, benötigt man die perspektivische Abbildung eines Gegenstandes in dem Falle, wenn man sich von der malerischen Wirkung desselben von einem gewissen Standpunkte aus überzeugen will.

Bei den perspektivischen Darstellungen unterscheidet man vier besondere Zweige derselben:

1 die L in i e n p e r sp e kti v e,

2.    die Sc hatten Perspektive,

3.    die Spiegel persp ektive,

4.    die L uftp erspe kti v e.

Die sogen. Lini enperspektive stellt die Form des abzubildenden Körpers in Linien dar; sie beschäftigt sich mit der Konstruktion der Umrisslinien von Gegenständen und räumlicher Gebilde auf der Bildfläche.

Die sogen. Schattenperspektive lehrt die Konstruktion der Schatten, welche beleuchtete Gegenstände auf der Grundfläche, auf anderen Ebenen oder auf anderen körperlichen Gebilden hervorrufen.

Die sogen. Spiegel persp ektive zeigt, nach welchen Regeln eine Spiegelung^^w^ von Gegenständen auf einer Wasserfläche, auf Glas- und Spiegelflächen oder auf poliertem Metall dargestellt wird.

Die sogen. Luftperspektive lehrt über die Erscheinungen im Hinblick auf Farbenstimmungen, hauptsächlich bei Landschaftsbildern.

Es soll jedoch in dem folgenden nur auf die Linienperspektive und auf die Schattenperspektive, dem Zweck dieses Buches entsprechend, näher eingegangen werden.

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Fig. 165.

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Unter der sogen, freien Perspektiven W versteht man diejenige Konstruktions-Methode der Linienperspektive, bei welcher die perspektivische Abbildung eines Gegenstandes ermittelt werden kann, ohne dass man die geometrischen Projektionen des in Betracht kommenden Gegenstandes — also dessen Grundriss, Aufriss und Seitenriss — zu Grunde legt.

Die Fig. 165 ver-anschaulich! beispiels-

weise, wie auf einer Bildfläche VWXY eine perspektivische Abbildung entsteht.

Das auf der Horizontal-Ebene — der sogen. Gru n df lâche — senkrecht stehende,[ä-p+ta**. vierseitige Prisma wird von dem Beschauer mit einem seiner beiden Augen, welches sich als Punkt A darstellt, betrachtet. Der Punkt A ist somit der sogenannte Augenpunkt. Zwischen dem Auge des Beschauers und dem Prisma befindet sich nun die senkrechte auf der Grundfläche stehende Bildfläche (== V WX Y)

(auch Bildebene genannt), welche man sich am besten durchsichtig vorzustellen

hat.

Nunmehr kann man sich von den Eckpunkten des gegebenen Prismas nacli dem Augenpunkt A die sogen. Se liStrahlern gezogen denken, welche mithin/***-*'■'-" die Bildfläche in den Punkten b c d e f g h i durchbohren müssen. Die Sehstrahlen nennt man auch die projizierenden Geraden, und ihre auf der Bildfläche VWXY liegenden Durchschnittspunkte heissen alsdann die perspektivischen Projektionen der Eckpunkte des Prismas. Werden hierauf diese auf der Bildfläche gefundenen Durchschnittspunkte in folgerichtiger Weise, wie es an dem gegebenen Prisma selbst zu ersehen ist, miteinander verbunden, so erhält i/^^pan dadurch das perspektivische Bild des Prismas auf der Bildfläche. Würde man dem Augenpunkte A eine andere Lage geben oder die Bildfläche ver-

Fig. 166.

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schieben, so muss sich begreiflicherweise dadurch auch die perspektivische Abbildung des Prismas verändern.

Die Elemente der Per spe k t i v e.

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Man stellt sich unter der sogenannten Grundfläche — auch G r und-ebene — diejenige horizontale Ebene vor, auf welcher sowohl der Beschauer selbst als auch die B ildfläch e, sowie der auf der letzteren darzustellende Gegenstand stehen. Mau vergleiche hierbei die Fig. 166. Allgemein nimmt dass die Bildfläche B senkrecht auf der Grundfläche G steht; die letztere bildet

Kiff. 167.

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somit eine Schnittlinie (=gg) mit deT Bildfläche. Diese Schnittlinie g g nennt man dann die G r u u d 1 i n i e.

Das Auge (^= A) des Beschauers kann man nun auf die Grundfläche projizieren; die Horizontal-Projektion des Auges wird dann Augenfusspunkt oder kürzer Fusspunkt (= Ai) genannt.

ln der Fig. 166 ist ferner auch der Beweis erbracht, dass ein Gegenstand um so kleiner auf der Bildfläche erscheinen muss, je weiter derselbe von dem Auge des Beschauers entfernt liegt. (Es sei in diesem Falle beispielsweise auf eine Telegraphenstange oder auf einen Pappelbaum hingewiesen). Der betreffende Gegenstand muss mithin auch auf der Bildfläche kleiner zur Darstellung kommen, als wenn derselbe sich in der unmittelbaren Nähe des Beobachters befindet. Man vergleiche hinsichtlich dessen in der Fig. 166 die Länge der Linie mn, welche kürzer als die Linien o p und q r sein muss.

ln der Fig. 167 ist der senkrechte Abstand (= Aa) des Auges von der Bildfläche zur Darstellung gelangt. Man nennt diese kürzeste Entfernung des Auges von der Bildfläche die sogenannte Augendistanz .oder Distanz, auch den Haupts eh strahl oder Hauptstrahl.

Denkt man sich nun von den beiden äussersten Punkten v und vv eines Gegenstandes, beispielsweise eines Pappelbaumes oder Turmes, die sogenannten u^vt^vSeh strahl en nach dem Auge (A) des Beschauers gezogen, so bilden diese beiden

Sehstrahlen mit einander einen Winkel («), den sogenannten Sehwinkel (siehe die Fig. 168). Wenn nun der betrachtete Gegenstand mit dem Auge noch be- ^ quem und ohne Verzerrung seiner Umrisse übersehen werden soll, so darf dieser Sehwinkel a erfahrnngsgemäss nicht grösser als 35° sein. Es ergibt sich hieraus, dass die sogen. Distanz (= Aa) mindestens das anderthalbfache (meistens liegt die Distanz zwischen den Vfc- bis 2-fachen) der grössten Ausdehnung hinsichtlich der Höhe oder der Breite des darzustellenden Gegenstandes betragen soll.

Fig. 168.

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Stellt man sich vor, dass man auf einem Eisenbahndamme, dessen Schienengleise in gerader und wagerechter Richtung verlaufen, stehen würde, dann wird man leicht entdecken können, dass die Eisenbahnschienen und die Drähte der

Fig. 170.

Fig. 169.

Horizont.

IfonzoM.

Telegraphenstangen scheinbar in einem fernen Punkte (= F in der Fig. 169) an dem sogenannten Horizont zusammenlaufen und verschwinden. Daher nennt man auch diesen Punkt F den Fluchtpunkt oder den Versch w in d u n gs-punkt. Ist der Standort des Beschauers etwas höher gewählt (steht derselbe

in dem angeführten Beispiele vielleicht auf der Plattform eines Eisenbahnwagens), dann scheint auch dieser Fluchtpunkt F eine höhere Lage einzunehmen. (Man vergleiche dementsprechend die Fig. 170). Der Horizont liegt also jeweils in der Augenhöhe.

Während nun die Figuren 169 und 170 die Abbildungen von unter sich parallelen Geraden mit ihren Fluchtpunkten zeigen, liefert die Fig. 171 den

Horizon?.

Fig. 171.

Beweis dafür, dass auch nic lit parallele horizontale Geraden auf der Bildfläche in Punkten zu verschwinden scheinen, welche ebenfalls in dem Hori-

Fig. 172.

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zonte liegen. (Die Fig. 171 zeigt beispielsweise eine Landstrasse sowie eine Eisenbahnlinie, welche sich beide kreuzen).

Eine Erklärung für die Fluchtpunkte weist nun die Fig. 172 auf. Die gerade Linie M R, welche auf der Grundfläche liegt, ist durch die Abschnitte M N, N 0, 0 P, P Q, Q R gleichmässig eingeteilt worden Diese unter sich gleichen Abschnitte der Linie MR erscheinen nun in ihrer perspektivischen Projektion mr auf der Bildfläche B ungleich lang und zwar werden dieselben nach der Richtung F hin immer kleiner, je weiter die einzelnen Abschnitte der Linien MR von der Bildfläche B entfernt liegen. Denkt man sich nun die gerade Linie M R nebst ihrer gleichmässigen Einteilung weiter verlängert, so wird sich auch die perspektivische Projektion der Linie MR = mr nach F hin weiter verlängern und die Abschnitte der Verlängerung von m r werden immer mehr an Länge abnehmen müssen. Wird nun die Länge MR bis ins Unendliche verlängert und denkt man sich von dem Auge des Beschauers (= A) aus einen Sehstrahl (= AZ) nach dem unendlich weit entfernten Endpunkte der verlängerten Linie MR gezogen, so wird dieser Sehstrahl parallel zur Linie MR laufen. Der Sehstrahl A Z wird dann die Bildfläche B in dem Punkte F durchschneiden. Es ist somit der Punkt F die perspektivische Projektion des unendlich entfernt ge-

Fig. 173.

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dachten Endpunktes der verlängerten Linie MR; mithin ist also auch F die äusserste Grenze der perspektivischen Projektion der bis ins Unendliche verlängert gedachten Linie MR. Man nennt daher diesen Punkt F den Verseil windungs punkt oder den Fluchtpunkt der Geraden M R und der Seil-strahl AZ ist dann der sogenannte Parallel strahl zur Linie MR. Dieser Parallelstrahl A Z muss aber auch parallel zu der Grundfläche G laufen, und sein Abstand von der Grundfläche ( = FFi) ist gleich der sogen. Augenhöhe, d. h. dem Abstande A Ai des Auges von der Grundfläche. Die Horizontal-Pro-

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welcher

Fig. 174.

jektion von dem Parallelstrahl A F ist Ai Fi, welclie Linie dann ebenfalls parallel zu MR laufen muss.

Nachdem soeben Erklärten ergibt sich also für die Konstruktion des Fluchtpunktes F das folgende Verfahren: man zieht aus Ai eine Parallele Ai,Fi zu der Linie MR, errichtet sodann in Fi die Senkrechte zu der Grundfläche und gibt von A aus den Parallelstrahl zu MR an; es ist alsdann der Schnittpunkt (F)der Senkrechten FiF und des Parallelstrahles der gesuchte Fluchtpunkt F natürlich auch auf dem Horizonte h h liegen muss.

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Fig. 175.

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Die Fig. 173 liefert ferner den Beweis dafür, dass auch die Gerade ST, welche parallel zu der auf der Grundfläche liegenden Geraden M R verläuft, ebenfalls denselben Parallelstrahl wie die Linie MR hat. Dadurch muss diese Gerade ST auch denselben Fluchtpunkt erhalten. Es dürfte somit nachgewiesen sein, dass die perspektivische Projektion von unter sich parallelen Geraden, welche horizontale Lage einnehmen, einen gemeinsamen Parallelstrahl und dadurch auch einen g e mein sch aft lie h en Fluc h t-pun kt haben.

Aus den in den Figuren 172 und 173 gegebenen Erklärungen geht ferner hervor, dass auch alle Geraden, welche senkrecht zu der Bildfläche B

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Fig. 176.

und mithin auch parallel zu der Grundfläche liegen, ihren gemeinschaftlichen Fluchtpunkt in dem Augenpunkt (siehe in der Fig. 167 Punkt a — Augenpunkt) besitzen. Die Fig. 174 zeigt also in dem Augenpunkt a den gemeinsamen Fluchtpunkt der Linien I, II, 111, IV und V.

Liegt nun eine Gerade parallel zu der Bildfläche B, so muss auch ihr Parallelstrahl parallel zu der Bildfläche laufen. Da nun der zugehörige Parallelstrahl die Bildfläche nicht erreicht, so können mithin die zu der Bildfläche

parallel liegenden Geraden auch keinen Fluchtpunkt haben. Es gilt dies für alle Geraden, sofern sie nur zu der Bildfläche parallel sind; ihre perspektivischen Projektionen sind mit diesen Geraden selbst parallel. Man folgert daraus den 8atz:

G e rade Linien, w eiche zu derBildflächeparallel liegen, haben keinen Fluchtpunkt und ihre perspektivischen Projektionen sind ihnen selbst parallel.

Tn der Fig. 175 liegen beispielsweise die beiden gegebenen Geraden MN und R S jeweils zu der Bildfläche parallel. Durch die Konstruktion ist bewiesen

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worden, dass die perspektivische Projektion mn sich parallel zu MN darstellt. Das gleiche ist auch der Fall mit der Geraden R S und ihrer perspektivischen Projektion r s.

Aufgabe. In der Fig. 177 ist ebenfalls ein unregelmässiges Viereck CDEG gegeben, und zwar durch seine drei geraden Projektionen (Grundriss, Aufriss und Seitenriss). Seine Lage im Raume ist derart, dass es zu der Bildfläche B geneigt liegt. Ai bezw. A₃ bezeichnet die Lage des Auges. Es soll die perspektivische Projektion des gegebenen Vierecks konstruiert werden.

Aufgabe. In der Fig. 176 ist ein unregelmässiges Viereck CDEG gegeben und zwar in seiner geraden Projektion (in seinem Grundriss = Ci Di Ei Gi, in seinem Aufriss — C2 D₂ E2 G2 und in seinem Seitenriss = C3 D;s E3 G3). Es soll die perspektivische Projektion dieses Vierecks dargestellt werden. Die Bild-flache B ist im Grundriss und Seitenriss durch die Linie Bi bezw. B.j angegeben, Ai bezw. A₃ soll die Lage des Auges des Beschauers bezeichnen.

Auflösung. Man zieht zunächst die gerade Projektion der vier Sehstrahlen sowohl im Grundriss als auch im Seitenriss und erhält dadurch die sogen. Durchstosspunkte (ci di ei gi bezw. c.3 ds e.s g3) der Sehstrahlen auf der Bild-k'*'»-' fläche. Zeichnet man nun in dem Aufriss die Sehstrahl-Projektionen, so kann man weiter auf denselben die Durchstosspunkte c d e g mit Hilfe ihrer Grundriss-und Seitenriss-Projektionen eintragen. Verbindet man alsdann cd eg miteinander, so erhält man die perspektivische Projektion des gegebenen Vierecks CDEG, und mau kann ferner feststellen, dass das Viereck und seine perspektivische Projektion einander ähnliche Figuren sind. Mithin kann mau den Satz aufstellen:

Die perspektivische Projektion einer ebenen Figur, welche zu der Bildfläche parallel liegt, ist immer eine ders eiben ähnliche Figur.

Auflösung. Die Ermittelung des perspektivischen Bildes auf der Bildfläche erfolgt genau so, wie dieselbe schon in der Fig. 176 erläutert wurde. Nach der Lösung der Aufgabe kann man jedoch feststellen, dass das gegebene Viereck und seine perspektivische Projektion einander unähnliche Figuren sind. Mithin dürfte auch der Beweis erbracht sein, dass eine Figur, welche zu der Bildfläche geneigt liegt, auf derselben als unähnliche, verzerrte Figur erscheinen muss.

Aufgabe. In der Fig. 178 ist ein vierseitiges Prisma, welches senkrecht auf der Grundfläche steht, durch seinen Grundriss und seinen Aufriss gegeben. Es soll die perspektivische Projektion dieses Prismas konstruiert werden, zu welchem Zwecke noch die Lage der Bildfläche B, des Horizontes durch die Augenhöhe v, sowie die Lage des Auges als gegeben zu betrachten sind.

Auflösung. Zunächst zieht man im Grundriss die Projektionen der Sehstrahlen (= Ci Ai, Di Ai, Ei Ai usw.); damit ist auch die Horizontal-Projektion der Durchschnittspunkte der Sehstrahlen auf der Bildfläche festgelegt ( = Ci di ei gi ii ki R mi). Nun gibt man die Horizontal Projektion Ai Fi des Parallelstrahles zu Ci Gi an und findet dadurch die Lage des rechten Fluchtpunktes auf der Bildfläche, indem man F senkrecht über Fi auf dem Horizont anträgt. Das gleiche gilt auch für die Auffindung der Lage des linken Fluchtpunktes F¹, welchen man durch den Parallelstrahl zu Ci Di ermittelt. Ferner findet man auf dem Horizont die Projektion A2 des Auges durch den sogen. Augenfuss-punkt Ai. Hat man hiernach die Vertikal-Projektion der einzelnen Sehstrahlen gezogen (C₂ A₂, D₂A₂, E₂ A₂ usw.), so kann man beispielsweise sehr leicht die perspektivische Projektion d des Eckpunktes D auf D₂ A2 ermitteln, wenn man

L. Ha as 9, Die Sehattenkonstruktionen.    9

die Horizontal-Projektion von d = di senkrecht herauf projiziert; es gilt dies auch für die Auffindung von c e g sowie für die oberen Eckpunkte des Prismas.

Die Auflösung der Fig. 178 ergibt ebenfalls die Richtigkeit des an den Figuren 172 und 173 erläuterten Satzes, welchen man nunmehr dahingehend

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Fig. 178.

erweitern kann:

Die Fluchtpunkte von horizontalen, parallelen Geraden müssen stets auf dem Horizonte liegen.

Das in der Fig. 178 angegebene Verfahren zur Erlangung der perspektivischen Projektion eines Gegenstandes nennt man die Durchschnitts- und Fluchtpunkts-Methode.

Die Durchschnitts- und Fluchtpunkts-Methode.

Aus den bisher gegebenen Erklärungen kann man die perspektivische Projektion eines jeden Gegenstandes durch die unmittelbare Benutzung seines Grundrisses und seines Aufrisses leicht ermitteln. Jedoch ist man bei grösseren und komplizierteren Körperzusammenstellungen in der Regel gezwungen, ihr perspektivisches Bild auf einem besonderen Blatte anzufertigen, wobei selbstverständlich die einzelnen Abmessungen des körperlichen Gebildes, welche zur Herstellung der perspektivischen Projektion not-^ wmndig sind, aus dessen Grundriss und Aufriss, bezw. Seitenriss entnommen werden.

Fig. 179.

Aufriß-

Grundriß.

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B*.

Augenhöhe.

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man

Zu der Ermittelung der Perspektive einer senkrechten Linie kann durch das in den beiden Figuren 179 und 180 ausgeführte Verfahren unschwer

gelangen.

Aufgabe. In der Fig. 179 ist die Länge sowie die Lage der Geraden MN, welche auf der Horizontal-Ebene senkrecht steht, durch ihren Grundriss

imd Aufriss gegeben. Es soll diese Linie in Perspektive gesetzt werden, wobei die Lage der Bildfläche B, die Augenhöhe sowie die Distauz Ai ai als gegeben zu betrachten sind.

Auflösung. Man zieht zunächst die beiden Sehstrahl-Projektionen Mi Ai und Ni Ai, welche zusammenfallen; dadurch erhält man auf der Bildfläche die Ilorizontal-Projektion mi und ni der beiden Durchschnittspunkte m und n. Nunmehr überträgt man die Strecke ai nu in der Fig. 179 auf die angenommene Grundlinie in der Fig. 180. Es liegt sodann senkrecht über dem Punkte nu der Fig. 180 das perspektivische Bild der Linie MN. Ferner nimmt man in der Fig. 179 eine beliebige, horizontale Gerade, welche gegen die Bildfläche geneigt liegt, an, beispielsweise die Gerade Mi si und gibt zu derselben die Horizontal-Projektion ihres Parallelstrahles (= Ai Fi) an, um dadurch den Fluchtpunkt F für die Gerade Si Mi zu erhalten. Es ist wiederum Si und Fi richtig auf der Grundlinie in der Fig. 180 anzutragen, wodurch senkrecht über Fi der Fluchtpunkt F auf dem Horizonte festgelegt werden kann. Zieht man nunmehr iu der Figur 180 die Fluchtlinie Si F, dann schneidet diese Fluchtlinie die über dem Punkte nu m errichtete Senkrechte in dem Punkte m. Die Strecke Si m ist sodann das perspektivische Bild der in der Fig. 179 beliebig gewählten Linie Si Mi und m in der Figur 180 ist die Perspektive des unteren Endpunktes der in der

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Fig. 180.

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Horizont.

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Fig. 179 durch ihre Projektionen gegebenen Geraden M N. Das perspektivische Bild des oberen Endpunktes dieser gegebenen Geraden M N findet dadurch, dass man in der Fig. 180 von Si aus die Senkrechte Si u (= der wahren Länge der Geraden MN) errichtet und alsdann den Punkt u mit dem Fluchtpunkte F verbindet. Die Senkrechte m n sowie die Fluchtlinie u F kreuzen sich nunmehr in dem Punkte n, welcher demnach das perspektivische Bild des oberen Endpunktes N der Geraden M N darstellt. Es ist somit die Linie m n in der Fig. 180 die Perspektive der in der Fig. 179 durch ihre beiden Projektionen gegebenen Geraden MN.

Wie man zur Lösung dieser Aufgabe die Linie Si Mi in der Fig. 179 beliebig annahm, so hätte man statt dessen auch die Linie L Mi wählen können. Verwendet man die in der Fig. 179 beliebig angenommenen Linien Si Mi und ti Mi gleichzeitig, dann kann auf die Sehstrahl-Projektion Mi Ai verzichtet werden; man findet dann die Perspektive der Geraden MN dadurch, dass man in der Fig. 180 die Kreuzungspunkte m und n der vier Fluchtlinien mit einander verbindet.

Genau das gleiche Verlahren hat auch in den Figuren 181 und 182 Verwendung gefunden.

Aufgabe. Es ist in der Fig. 181 eine gleichmässig gekrümmte Linie CDE, welche zu der Horizonfalebene parallel liegt, durch ihren Grundriss und ihren Aufriss gegeben; die Perspektive dieser Linie soll ermittelt werden, wobei die Lage der Bildfläche B, die Distanz sowie die Augenhöhe ebenfalls als gegeben zu betrachten sind.

Auflösung. Man zieht in der Fig. 181 zu den beliebig gewählten Paral-lenlen Ci mt, Di m und Ei Oi die Projektion des Parallelstrahles (= Ai Fi) und stellt weiter die Horizontal-Projektion der drei Sehstrahlen CA, DA, EA (= Ci Ai, Di Ai, Ei Ai) dar, wodurch man die Horizontal-Projektion der drei Durchschnittspunkte cde (= Ci di ei) auf der Bildfiäche erhält. Sodann überträgt man die Punkte nn m Ci di Oi ei und Fi der Fig. 181 auf die Grundlinie der Fig. 182.

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B,

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Fi g. 181.

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Dortselbst findet man nunmehr auf dem durch die gegebene Augenhöhe festgelegten Horizonte den Fluchtpunkt F senkrecht über Fi. Man errichtet nun in den auf der Grundlinie liegenden Punkten mi m und oi die Senkrechten mL m, m n und Oi o, deren Länge dem Abstande der Punkte CDE der gegebenen Linie von der Horizontal-Ebene gleich ist (siehe das Mass z in dem Aufriss der Fig. 181).

Alsdann zieht man die Fluchtlinien mF, nF und oF und trägt senkrecht über Ci den Punkt c auf mF an; das gleiche gilt für d auf nF und für e auf o F. Verbindet man jetzt cd und e durch eine stetig gekrümmte Kurve, so erhält man das perspektivische Bild der in der Fig. 181 gegebenen Kurve CDE.

Aufgabe. In der Fig. 183 ist ein steinernes Denkmal durch seinen Grundriss und seinen Aufriss gegeben. Es soll eine perspektivische Darstellung desselben angefertigt werden.

Auflösung. Zunächst zieht man die Horizontal-Projektion der gedachten Bildfläche (= Bi), welche hierbei zweckmässigerweise die vorderste, dem Auge des Beschauers also am nächsten liegende Kante des perspektivisch darzustellenden Gegenstandes berühren wird. Den Abstand des Auges von der Bildfläche (man vergleiche den senkrechten Abstand des Punktes Ai von der Linie Bi) — die sogenannte Distanz — macht man (wie dies schon in der Fig. 167 erläutert worden ist) gleich dem anderthalbfachen bis zweifachen des Abstandes der beiden, sich gegenüberliegenden Eckpunkte C und D (siehe Ci und Di im Grundriss). Die Linie Ai Fi ist die Horizontal-Projektion des Parallelstrahles zu der durchgehend gedachten Kante C E (vergl. im Grundriss Ci Ei). Der Punkt Fi ist mithin die Horizontal-Projektion des links liegenden Fluchtpunktes F, welchen man nun auf dem beliebig angenommenen Horizonte¹) angeben kann. Nun zieht man die Horizontal-Projektion der Sehstrahlen von Ai aus nach den für das Auge des Beschauers sichtbaren Punkten, wobei aber das vollständige Durchziehen jeder einzelnen Sehstrahl-Projektion überflüssig ist, da anderenfalls diejenige Stelle, auf welcher die perspektivische Darstellung des Gegenstandes später zu sehen sein wird, zu sehr mit Hilfslinien überhäuft werden würde. Es ist ferner angenommen, dass der rechts liegende Fluchtpunkt nicht mehr auf dem Zeichenbrette angegeben werden kann ; nach den den Figuren 180, 181, 182 und 183 beigefügten Erläuterungen kann derselbe ja auch leicht entbehrt werden. Im übrigen dürfte der Gang der Konstruktion ohne besondere

Horizont.

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Fig. 182.

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Grundlinie.

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Schwierigkeiten aus der Zeichnung selbst und im Hinblick auf die vorangegangenen Erklärungen (siehe die Figuren 179 bis 182) ersehen werden können.

Anmerkung. In bezug auf die Höhenlage des Horizontes sei hier anschliessend erwähnt, dass die Höhe des Auges über der Grundfläche (also die sogenannte Augenhöhe) im allgemeinen beliebig angenommen werden kann. Bei den perspektivischen Darstellungen von Gebäuden und Denkmälern ist die

Augenhöhe iu der Regel gleich der Höhe eines erwachsenen Menschen, mithin ungefähr 1,G0 in bis 2,00 in, welches Höhenmass selbstverständlich in den gleichen Massstab der Aufriss-Zeichnung des darzustellenden Gegenstandes zu übersetzen ist.

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Aufgabe. Die Fig. 184 weist den Grundriss eines kleinen Wohnhauses auf welches in Perspektive gesetzt werden soll (man ver-

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Fig. 183.

Grundriß der Bildfläche.

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gleiche hierbei die zugehörige Fig. 185 auf der Taf. 13).

Auflösung. Zunächst wählt man hierbei den Standort des Beschauers so güustig wie möglich, und zieht sodann von der Horizontal-Projektion des

Auges (= Ai) — also von dem sogen. Augenfusspunkt — die beiden äussersten Sehstrahl-Projektionen Ai Ci und Ai Di. Diese beiden Sehstrahl-Projektionen bilden einen Winkel a, welchen man sodann halbiert. Senkrecht zu der Winkelhalbierenden Ai ai wird nun der Grundriss der ßildfläche B (= Bi) gelegt und zwar in der Regel so, dass derselbe durch die dem Auge am nächsten liegende Hauskante oder durch den nächstliegenden Punkt geht. Die Distanz (Ai ai ist die Horizontal-Projektion der Distanz) ist hier so gewählt worden dass dieselbe das Anderthalbfache der Entfernung von Ci nach Di beträgt. Nun überträgt man (was auch praktisch mit Hilfe des Paus-papieres geschehen kann) diesen Grundriss, soweit er zu der Konstruktion des perspektivischen Bildes notwendig ist, ebenso auch die Projektion der Bildfläche (= Bi) und die beiden Sehstrahl-Projektionen Ai Ci und Ai Di mit dem richtigen Abstande des Punktes Ai von Bi auf das Blatt (siehe in der Fig. 185 auf der Taf. 13), auf welchem nunmehr die Perspektive des gegebenen Wohngebäudes dargestellt werden soll und beginnt alsdann mit der Aufzeichnung des perspektivischen Bildes, indem man zunächst den linken und den rechten Fluchtpunkt F¹ und F auf den Horizonte festlegt, was durch die beiden Parallelstrahl-Projektionen leicht erreicht wird. Im übrigen ist nunmehr der Gang der Konstruktion genau so, wie derselbe schon in der vorangegangenen Fig. 183 erläutert worden ist.

Fig. 184.

c.

Die Distanzpunkts-M ethode.

a) DieDistanzpunkts-Methode unter Anwendung der ganzen

Distanz.

Nach den zu den Figuren 172, 173 und 174 gegebenen Erläuterungen liegt der Fluchtpunkt einer horizontalen, zu der Bildfläche geneigten Geraden da, wo ihr sogenannter Parallelstrahl die Bildfläche auf dem Horizonte trifft.

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Fig. 185.

L. Haas s, Die Schattenkonstruktionen

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In der Fig. 186a ist nun ein ganz bestimmter Fall angenommen worden. Es ist hierbei eine zu der Horizontal-Ebene parallel liegende Gerade M N, welche unter einem Winkel von 45° zu der Bildüäcbe geneigt ist, durch ihren Grundriss und ihren Aufriss gegeben. Die Linie Bi Bi ist die Horizontal-Projektion der Bildfläche und Ai ai die Horizontal-Projektion der sogenannten Distanz (= der senkrechten Entfernung des Auges von der Bildfläche). Mithin erhält man die Horizontal-Projektion des zugehörigen Fluchtpunktes durch Darstellung der Horizontal-Projektion des Parallelstrahles AD(=AiDi). Es sei hierbei auf das

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Fig. 186 a.

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in den Figuren 172 und 173 Erläuterte hingewiesen. Man kann nun in dem vorliegenden Falle leicht feststellen, dass das Dreieck „Auge (A) punkt (a) — Fluchtpunkt (D)“, bezw. dessen Horizontal-Projektion Ai ai Di eine rechtwinklige und gleichschenklige Gestalt hat, und zwar deshalb, weil die an seiner Hypotenuse Ai Di liegenden Winkel jeweils 45° betragen, weil ferner ai Di gleich der Distanz Ai ai ist. In diesem besonderen Falle wird der Flucht-

punkt als Dis tan z punk t (= D) bezeichnet. Je grösser nun die Distanz ist (also je weiter das Auge von der Bildfläche entfernt ist), um so weiter muss der Distanzpunkt im vorliegenden Falle nach rechts gerückt sein. Liegt nun die horizontale Gerade, unter 45° = Neigung zur Bildfläche, nach links, dann liegt auch der Distanzpunkt links von dem Augenpunkt. Mithin kann man nun den folgenden Satz aufstellen :

Alle horizontalen, unter 45° zur Bildfläche geneigt liegenden Geraden habenihrenFluchtp un kt in dem sogen anntenDistanzpunkt.

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Fig. 186b.

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Diejenigen Linien, welche in dem Distanzpunkte ihren Fluchtpunkt haben, dienen nunmehr zum Abtragen gegebener Strecken auf solchen Geraden, welche

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Fig. 187 a.

ihren Fluchtpunkt in dem Augenpunkte haben (man vergleiche hierzu die Fig. 174).

Aufgabe. Die Fig. 186b zeigt nun die Konstruktion des perspektivischen Bildes der Geraden MN, welche in der Fig. 186a durch ihren Grundriss und ihren Aufriss gegeben wurde.

Auflösung. Man zieht zunächst in der Fig. 186a die beiden Sehstrahl-Projektionen Ai Mi und Ai Ni und denkt sich ferner die Linie MN bis zu der Bildfläche verlängert. Durch letzteres erhält mau si bezw. S2 ; der Punkt s ist dann der sogen. Spurpunkt auf der Bildfläche. Nachdem nun Si un ai ni und Di der Fig. 186a in gleichem Abstande auf der Grundlinie der Fig. 186 b aufgetragen sind und dadurch auch der Distanzpunkt D auf dem angenommenen Horizonte ermittelt worden ist, zieht man die Fluchtlinie sD und trägt alsdann auf dieser, senkrecht über hu und m, die Punkte m und n an. Die so gefundene Strecke mn ist nun das perspektivische Bild der in der Fig. 186a gegebenen Geraden MN.

Aufgabe. Das in der Fig. 187a gegebene Quadrat MNOP sowie das rechtwinkelige, gleichschenklige Dreieck KST, welch beide durch ihre Hori-zontal-Projektion dargestellt sind, liegen auf der Grundfläche und zwar derart, dass die Seite MN des Quadrates und die Dreieckseite ST die Bildfläche berühren. Bi ist die Horizontal-Projektion der Bildfläche, Ai die Horizontal-Pro-jektion des Auges. Es soll das perspektivische Bild der beiden gegebenen Figuren gezeichnet werden.

Auflösung. Nachdem in der Fig. 187a die Horizontal-Projektion der beiden Parallelstrahlen (= Ai Di und AiDi¹) zu den beiden Diagonalen des Quadrates bezw. zu der Dreieckseite KT gezogen wurden, kann man in der Fig. 187b auf der Grundlinie die Punkte Dflmn (= Mi Ni) ai st (=SiTi) und Di antragen, sodass man auch auf dem angenommenen Horizonte den rechts- und links-

Fig. 187 b.

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liegenden Distanzpunkt D und Dl, sowie den Augenpunkt a festlegen kann. Da nun die beiden Quadrat-Seiten MP und NO, sowie die Dreieck-Seite KS senkrecht zu der Bildfläche liegen, müssen dieselben ihren gemeinsamen Fluchtpunkt in dem Augenpunkte a haben (man vergleiche die Figuren 172, 173 sowie 174). Man zieht also auf Grund dessen die Linien ma und na sowie sa. Um nun die beiden hinteren Ecken o und p des Quadrates zu finden, denke man sich in seinem Grundriss die beiden Diagonalen gezogen, welche ihren Fluchtpunkt wegen ihrer 45° Neigung der Bildfläche in dem rechts- bezw. linksliegenden Distanzpunkte haben. Ebenso hat die Dreieck-Seite RT ihren Verschwindungspunkt in dem linksliegenden Distanzpunkte D¹. Man zieht demnach in der Fig. 187b die Linie mD und nDl sowie die Linie tDl, wodurch die hinteren

Eckpunkte des Quadrates (= o und p) sowie der hintere Eckpunkt des Dreiecks r ermittelt werden. Die Figuren mnop und rst in der Fig. 176b sind nun die perspektivischen Bilder der in der Fig. 187a gegebenen Figuren MNOP und RST. Die perspektivisch dargestellte Diagonale inD muss demnach auch den perspektivischen rechten Winkel pmn halbieren.

Aufgabe. In der Fig. 188a ist die Horizontal-Projektion des Quadrates MNOP gegeben, welches auf der Grundfläche liegt und zwar derart, dass seine beiden Seiten MN und OP parallel zu der Bildfläche B, die durch ihre Horizontal-Projektion Bi festgelegt ist, liegen. Das Quadrat MNOP umschliesst nun ein zweites Quadrat Y X W Y, welches zu der Bildfläche in symmetrischer Ueber-ecklage liegt. Die Augenhöhe und die Distanz sind ebenfalls als gegeben zu betrachten. Es soll das perspektivische Bild dieser gegebenen Figur ermittelt werden.

Auflösung. Zunächst bestimmt man in der Fig. 188a die Horizontal-Projektion der Parallelstrahlen ( = Ai Di und Ai DL l) zu den Diagonalen OM und P N, welche man bis zu der Bildfläche verlängert, um so die Punkte Si und

ti zu finden. Ebenso denkt man sich die Quadrat-Seiten P M und O N sowie die Hilfslinie Vi Wi bis zu der

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Fig. 188 a.

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Bildfläche verlängert. Nun überträgt man diese auf der Horizontal-Projektion der Bildfläche (= Bi) gefundenen Punkte, sowie den Augenpunkt und die beiden Distanzpunkte aus der Fig. 188a auf die Grundlinie der Fig. 188b. Sodann zieht man die Yerschwindungslinien entsprechend nach dem Augenpunkte a bezw. nach dem rechts- oder linksliegenden Distanzpunkte und ermittelt so das perspektivische Bild des Quadrates MNOP (=mnop). Die Linie Wi a teilt nun die Quadrat-Seiten mn und po in je zwei gleiche Teile, wodurch die Punkte v und w festgelegt werden. Jetzt kann man auch die Linie Dv ziehen und verlängert diese bis zu dem Punkt y auf der Linie pm, ebenso gilt dies für die Linie D^v, welche bis zu dem Punkte x geführt wird und dadurch auch die

Fig. 188 b.

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Linie on in zwei perspektivisch gleiche Strecken teilt. Mit den Linien wxD und wyD¹ geschieht das gleiche, wodurch das eiugeschlossene, übereckgelegte Quadrat ermittelt wird. Man kann auch noch auf eine andere Weise die Linie vx konstruieren und zwar so, dass man VJ Xi in der Fig. 188a bis zu dem Punkte Ui auf der Bildfläche verlängert, um in der Fig. 188 b die Fluchtlinie ui Dl ziehen zu können, auf welcher nunmehr die gesuchte Strecke vx liegt.

Aufgabe. In der Fig. 189 a ist die Horizontal-Projektion eines Kreises gegeben, welcher auf der Grundfläche aufliegt. Es soll das perspektivische Bild dieses Kreises konstruiert werden, wobei die Bildfläche, die Distanz und die Augenhöhe ebenfalls als gegeben zu betrachten sind.

Auflösung. Zunächst zieht man in der Fig. 189a um den Kreis ein Hilfsquadrat, dessen Seiten MN und OP parallel zu der Bildfläche liegen, sowie die Diagonalen dieser Hilfsfigur, wodurch acht Punkte des gegebenen Kreises festgelegt werden. Sodann bestimmt man nach dem an der vorhergehenden Figur erläuterten Konstruktions-Verfahren das perspektivische Bild des Hilfsquadrates MN OP nebst seinen Diagonalen, und zwar hier unter Verzicht auf den rechtsliegenden Distanzpunkt. Um das perspektivische Bild der auf den beiden Diagonalen liegenden Punkte 2 und 4 des Kreises aufzufinden, zieht man in der Fig. 189a parallel zu Pi Mi und Oi Pi die beiden Hilfslinien 2—2—2i und 4 — 4 — 4i und zeichnet nunmehr in der Fig. 189 b die beiden Fluchtlinien 2i a und 4i a, wodurch dann auf den beiden Diagonalen die vier Hilfspunkte bestimmt sind.

Bei der Einführung in die Distanzpunktmethode (siehe Seite 136) wurde behauptet, dass diejenigen Linien, welche in einem der Distanzpunkte ihren Fluchtpunkt haben, verwendet werden, um auf solchen Geraden, welche ihren Fluchtpunkt in dem Augenpunkt haben, perspektivisch gleiche Strecken abtragen zu können.

Aufgabe. In Fig. 190 ist beispielsweise die perspektivische Darstellung einer horizontalen Geraden mn gegeben, welche auf der Grundfläche liegt und senkrechte Richtung zu der Bildfläche hat. Es soll die Perspektive dieser Geraden m u perspektivisch in sechs gleiche Strecken geteilt werden.

Auflösung. Die perspektivisch dargestellte Strecke mn hat als wirkliche Länge die Entfernung von nu bis m, welche auf der Grundlinie abgetragen wird und zwar dadurch, dass man die durch den hinteren Endpunkt n der Geraden m n gehende Fluchtlinie ni D² zieht. Diese Fluchtlinie ist nämlich das

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Fig. 189 a. \

perspektivische Bild einer auf der Grundfläche unter 45° zur ßildfläche geneigt liegenden Geraden. Da nun mn, wie eingangs erwähnt wurde, senkrecht -zu der Bildfläche liegt, so muss die perspektivisch dargestellte Strecke mn

Fig. 189 b.

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geometrisch gerade so lang sein als die Strecke mi ni. Es ist also das Dreieck m n ni mi das perspektivische Bild eines rechtwinkeligen, gleichschenkligen

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Dreiecks, welches auf der Grundfläche liegt und dessen Seite mini die Bildfläche berührt (man vergleiche das in den Figuren 187 a und 187 b dargestellte Dreieck STR). Der perspektivische Winkel n m Di beträgt 90°. während

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die beiden Winkel mniu und nuirn jeweils 45° betragen; es ist ferner die Strecke m n in Wirklichkeit gerade so lang als die Strecke nu ni. Man führt nun die perspektivisch gleich-massige Teilung der Strecke m n dadurch aus, dass mau die gleichlange, auf der Grundlinie liegende, 5?' in wahrer Länge dargestellte Dreieck-Seite mi m in sechs gleiche Teile einteilt, um sodann von jedem einzelnen Teilpunkte die Fluchtlinie nach dem links-^ liegenden Distanzpunkte D¹ ziehen zu können. Man erhält so die zu suchenden Teilpunkte 1, 2, ^    3, 4 und 5 auf der Linie m n.

Mit Leichtigkeit kann man nun auch die ebenfalls senkrecht zu der Bildfläche liegende, horizon-kt tale Gerade s r perspektivisch in sechs gleiche Teile teilen, indem man durch unter sich und zu der

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Grundlinie parallele Hilfslinien die einzelnen, auf m n liegenden Teilpunkte auf die Strecke s r überträgt.

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Aufgabe. Die Fig. 191a zeigt in seiner Horizontal-Pro-jektion einen mit Platten belegten Weg, welcher an seinen "X beiden Seiten mit vierseitigen Obelisken besetzt ist. Es soll

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Fig. 191b.

Horizont

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Grundlinie.

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nun mit Hilfe der Distauz-punkts-Methode das perspektivische Bild dieses Weges konstruiert werden. Bi ist die Ho-rizontal-Projektion der Bildfläche. Ferner ist in der Fig. 191b die Lage des Horizontes des Augenpunktes a und diejenige der beiden Distanzpunkte D und D1 als gegeben zu betrachten.

Auflösung. Zunächst überträgt man die durch Hilfslinien gefundenen Punkte li bis 13i

Taf. 14.

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L. Haas s, Die Schaitenkonstruktionen

auf der Horizontal-Projektion Bi der Bildfläche in der Fig. 191 a nach der Grundlinie in der Fig. 191 b. Tn dieser letzten Figur bedeuten die punktierten Umrisslinien 2i nu Oi iii 4i 2i die auf die Bildfläche projizierte Vertikal-Projektion des Obelisken. Nun zieht man die perspektivischen Bilder aller senkrecht zu der Bildfläche liegenden Geraden und Hilfslinien nach dem Augenpunkte a sowie diejenigen aller Geraden und Hilfslinien, welche unter 45° zu der Bildfläche geneigt liegen, entsprechend nach dem rechts- oder linksliegenden Distanzpunkte D bezw. Dl. Den weiteren Gang der Konstruktion dürfte man ohne grosse Schwierigkeiten aus der Fig. 191b ersehen können.

Aufgabe. Die Fig. 192 auf der Taf. 14 zeigt die perspektivische Ansicht eines durch ein spitzbogiges Kreuzgewölbe abgedeckten Raumes, dessen Fuss-boden einige Treppenstufen aufweist und dessen Wände zum Teil mit Fliesen-Plättchen versehen sind.

Auflösung. Die Ermittelung der Perspektive dieses Raumes ist ohne das Vorhandensein und Benutzung des zugehörigen Grundrisses erfolgt. Auch in diesem Falle wird der Gang der Konstruktion des perspektivischen Bildes leicht zu verfolgen sein und es sei hierbei nochmals auf die Erläuterungen, welche zu der Fig. 190 gegeben wurden, aufmerksam gemacht.

b) Die Distanzpunkts-Meth od e unter Anwendung einer Teildistanz.

Wenn die zur Verfügung stehende Zeichenfläche nicht mehr die Möglichkeit bietet, dass die auf dem Horizonte liegenden Distanzpunkte angegeben werden können, so bedient man sich vorteilhaft einer sogenannten Teildistanz, meist der ¹/₂ Distauz, gegebenenfalls auch der l[s- oder ‘^-Distanz.

Aufgabe. In der Fig. 193a ist durch ihre Horizontal-Projektion Mi Ni die Gerade MN , welche auf der Grundfläche liegt, gegeben. Es soll ihre perspektivische Projektion ermittelt werden und zwar unter Anwendung der halben Distanz. Bi ist die Horizontal-Projektion der Bildfläche, Ai ai diejenige der Distanz, welcher die Strecke ai Di natürlich gleich sein muss. Die in der Fig. 193a angenommene Höhenlage desHorizontes soll ebenfalls als gegeben betrachtet werden.

Auflösung. Zunächst halbiert man in der Fig. 193a die Strecke ai Di auf der Horizontal-Projektion der Bildfläche, wodurch man die Horizontal-Projektion des ll 2 = Distanzpunktes (= */ ₂ Di) erhält. Sodann zieht man parallel zu der Linie Ai ¹j₂ Di die beiden Hilfslinien Mi Si und Ni ti ; mithin ist also Ai ¹/₂ Di die Horizontal-Projektion des Parallelstrahles der Linien Mi Si und Ni L. Die beiden senkrecht zu der Bildfläche liegenden Hilfslinien Mi wi und Nt vi haben ihren Fluchtpunkt natürlich in dem Augenpunkt a. Nun trägt man in dem richtigen Abstande die aufBi der Fig. 193a liegenden Punkte Di¹ Si Wi at ti vi V2D1 und Di auf der Grundlinie in der Fig. 193b ab, wodurch man auf dem Horizonte die Distanzpunkte Dl und D und den '/₂ = Distanz-punkt = V2 D sowie den Augenpunkt a festlegen kann. Ferner ist man jetzt in der Lage unter Benutzung des lj₂ = Distanzpunktes lh D die perspektivischen Bilder der Hilfslinien Si Mi (siehe in der Fig. 193a) = Si iru (siehe in der Fig. 193 b) bezw. H Ni = ti n darzustellen. Das gleiche, jedoch unter der Benutzung des Augenpunktes a, gilt für die Hilfslinie Wi Mi (siehe in der Fig. 193a) = Wi m (siehe in der Fig. 193 b), bezw. Vi Ni = vi n. Die so gefundenen Kreuzungspunkte m und n werden nunmehr mit einander verbunden. Diese Verbindungslinie m n ist alsdann die zu ermittelnde perspektivische Darstellung der in der Fig. 193a

Xj. Haass, Dio Schattenkonsti’uktionen.

gegebenen Geraden MN. Als Beweis für die Richtigkeit dieses Ermittelungs-Verfahrens kann man beispielsweise in der Fig. 193 b die Horizontal-Projektion Ai Fi des Parallelstrahles der Geraden MN ziehen, wodurch man aufBi die Projektion des Fluchtpunktes F = Fi der Geraden MN findet. Ferner bestimmt man auf Bi

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durch die Verlängerung der Linie Mi Ni deren Spurpunkt ih auf der Horizontal-Projektion der Bildfläche. Nun trägt man wiederum im richtigen Abstande die Punkte Fi und m nach der

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Man berücksichtige hierbei die dieser Erläuterung angeschlossene Anmerkung

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Grundlinie der Fig. 193b und ermittelt den Fluchtpunkt F auf dem Horizonte, um sodann die Fluchtlinie m F ziehen zu können. Man kann nunmehr feststellen, dass die Linie mn einen Teil der Fluchtlinie m F bildet. Eine praktische Anwendung des */2 — Distanzpunktes zeigt das in der Fig. 194 dargestellte.

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Aufgabe. Die Fig. 194 zeigt den Aufriss einer Holzkonstruktion, welche einen horizontalen Balken aufweist, der von hölzernen Stützen mit Kopf-

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bändern getragen wird. Die in geometrischer Projektion gegebene Aufriss-Zeichnung ist in halber Grösse der perspektivisch auszuführenden Abbildung dargestellt.

Auflösung. Die in dem Aufriss angegebenen

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Hilfspunkte ni U 2i 3i 4i ni 5i usw. werden auf der Grundlinie in gleichen Abständen und richtiger Reihenfolge abgetragen und sodann von diesen die Fluchtlinien nach dem ¹/2 = Distanzpunkt (= ^2 D) gezogen, wodurch sich auf der Fluchtlinie na die doppelten Abstände der Punkte 1234 5 usw. ergeben. Die Abstände der im Aufriss angegebenen Punkte m Si ri O! sowie diejenigen der Punkte utpmni sind natürlich ebenfalls bei der perspektivischen Darstellung zu verdoppeln. Auf welche Weise im übrigen die verlangte Perspektive zu vollenden ist, dürfte aus der Darstellung selbst leicht erkannt werden. Ferner dürfte es überflüssig sein, zu bemerken, dass man bei Verwendung der ganzen Distanz die Abstände der im Aufriss angegebenen Hilfspunkte m li 2i 3i 4i m 5i usw. in doppelter Entfernung voneinander auf der Grundlinie hätte abtragen müssen.

c) Die Teilungs- und Fluchtpunkts-Methode.

Die Teilungs- und Fluchtpunkts-Methode dient dazu, um gegebene Masse und Punkte auf horizontalen Geraden, welche zu der Bildfläche geneigt liegen,

abtragen zu können.

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In der Fig. 195a ist ausser der Horizontal-Projektion der Bildfläche (= Bi), der Horizontal-

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Projektion des Auges (— Ai) die horizontale, zu der Bildfläche geneigt liegende Gerade OX durch ihre Horizontal-Projektion Oi Xi gegeben. Der Endpunkt 0 der Geraden berührt in Oi die Bildfläche. Es sollen nun die beiden Strecken Oi m und ni mi, deren wahre Grössen auf Bi angegeben sind, auf der Geraden OX abgetragen werden. Es geschieht dies auf die sehr einfache Weise dadurch, dass man, in dem Punkt Oi einsetzend, den Punkt m durch einen Zirkelschlag nach Ni auf Oi Xi überträgt; das gleiche gilt auch für die Ermittelung des Punktes Mi auf Oi Xi. Die Horizontal-Projektion des Fluchtpunktes der Geraden O X ist der Punkt Fi, welchen man dadurch erhält, dass man aus Ai eine Parallele

zu Oi Xi zieht. Nim verbindet man die Punkte Ni und ni bezvv. Mi und nii durch eine gerade Linie und ermittelt sodann die Horizontal-Projektion Ai Ti des Parallelstrahles zu den beiden Linien Ni ni und MiHJi. Es ist nun Ti die Horizontal-Projektion des auf dem Horizonte liegenden Fluchtpunktes T der Geraden Ni ni und Mi mi.

Man kann nunmehr in der Fig. 195a feststellen, dass das gleichschenklige Dreieck Oi nu Mi dem Dreieck Fi Ai 1\ ähnlich ist; es kann also Ti auch durch einen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt in Fi liegt und dessen Radius gleich der Strecke F\ Ai ist, ermittelt werden. Den Fluchtpunkt T der Geraden Mi nu und Ni ui nennt man den Teilungspunkt für diejenigen Geraden, welche in F ihren/«”*"'#' Verschwindungspunkt haben.

Fs sei nun die Aufgabe gestellt, die in der Fig. 195a geometrisch dargestellte Gerade OX mit den auf dieser liegenden Punkten M und N perspektivisch darzustellen.

Auflösung. Zunächst trägt man die in der Fig. 195a auf Bi liegenden Punkte Oi Ti ni ai nu und Fi nach der Grundlinie der Fig. 195 b und legt alsdann

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den Fluchtpunkt F, den Teilungspunkt T und den Augenpunkt a (letzterer findet hierbei keine weitere Verwendung) auf dem als gegeben zu betrachtenden Horizonte fest. Nun zieht man die Fluchtlinie Oi F und hat damit das perspektivische Bild der Geraden O X ermittelt. Will man jetzt die Strecken Oi Ni und Ni Mi perspektivisch auf Oi x antragen, so hat man dieselben in der Fig. 195a abzugreifen, um sie auf der Grundlinie der Fig. 195b als Strecken oi ni und in mi anzutragen. Sodann zieht man die Fluchtlinien ni T sowie nu T und findet dadurch das zu ermittelnde perspektivische Bild des Punktes N = n bezw. '-des Punktes M = m auf der schon perspektivisch dargestellten Linien Oi x.

Aus dem soeben gesagten kann man nun folgenden Schluss ziehen:

Während die sogen. Distanzpunkte zum Abtrag en g ege bene^ Strecken auf horizontalen, senkrecht zu der Bildfläche liegenden Geraden, sowie zum „Teilen“ derselben dienen, haben die sogen. Te ilungsp unkte die gleichen Aufgaben bei horizontalen, aber zu der Bildfläche geneigt liegenden Geraden zu erfüllen.

Aufgabe, ln der Fig. 196a ist in seiner geometrischen Horizontal-Projektion das horizontale, zu der Bildfläche beliebig schräg gelegte Rechteck M N O P gegeben. Das Rechteck schliesst ferner noch seine 4 Winkelhalbierenden

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sowie die Linie K Z ein. Die Lage der Bildfläche ist durch ihre Horizontal-Projektion = Bi angenommen, ebenso die Projektion der Distanz (= Ai ai). Es soll die Perspektive der gegebenen Figur unter Anwendung der Teilungspunkte konstruiert werden.

Auflösung. Man zieht zunächst die Horizontal-Projektion der Parallel-strahleu zu den beiden Rechteckseiten ON und O P und findet dadurch die Projektion des rechts- und linksliegenden Fluchtpunktes F und F¹ ( = Fi und Fi¹). Hierauf wird durch Zirkelschlag die Projektion der beiden Teilungspunkte T undT¹

(= Ti und Til) festgelegt; es geschieht dies nach der zu der Fig. 195a gegebenen Erklärung.

ist also die Projektion des Parallelstrahles zu den Linien Pi pi und

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erhält dadurch an ihrer Kreuzungsstelle den Punkt m des perspektivischen Bildes des gegebenen Rechtecks. Durch die Fluchtlinie vt T ergibt sich auf der Rechteckseite op der Punkt v, welcher jetzt mit dem Fluchtpunkt F verbunden werden kann. Durch den Fluchtpunkt w erhält man nunmehr die Winkelhalbierenden Linien ok und m z.

Das an den beiden Figuren 195 und 196 erläuterte Konstruktionsverfahren hat als selbständige, perspektivische Projektionsart vielerlei Vorzüge vor der Durchschnitts- und Fluchtpunkts-Methode, sowie vor der Distanzpunkts-Methode.

Zwei Beispiele aus der Praxis weisen die Figuren 197 und 198 der Tafeln 15 und 16 auf.

Aufgabe. In der Fig. 197, Taf. 15, ist in geometrischer Projektion die Vorder- und Seiten-Ansicht sowie der Grundriss eines kleinen Hauses gegeben. Es soll eine perspektivische Darstellung dieses Hauses unter Anwendung der Teilungs- und Fluchtpunkts-Methode angefertigt werden.

Auflösung. Nach den zu den Figuren 167, 183 und 184 gegebenen Erläuterungen bestimmt man zunächst die erfahrungsgemäss beste Distanz (= das 1 Va-bis 2fache der grössten Ausdehnung nach Breite oder Höhe des darzustellenden Gegenstandes), sowie die Projektion der Fluchtpunkte und diejenige der Teilungspunkte auf der Ilorizontal-Projektion der BildHäche (= B^. ln der Fig. 198, Taf. 16, ist nun der perspektivische Grundriss des angenommenen Hauses nach den zu der Fig. 196 gegebenen Erklärungen beliebig unter dem Horizonte konstruiert worden. (Man hätte den perspektivischen Grundriss auch beliebig über dem Horizonte nach demselben Verfahren ermitteln können). Es sind also beispielsweise die Abstände n, Oi — nt 6 — n: 4 — nt 8 — nt 9 in der Fig. 197,

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der so gefundene Kreuzungspunkt sei h genannt. Man verbindet nun die auf SS liegenden Punkte h 10,11,12,13,14 und 15 mit den auf dem ganz beliebig gewählten Punkte X durch gerade Linien, wodurch die sogen. Höhenleiter vervollständigt ist. (Im übrigen können auch statt mit Hilfe dieser Höhenleiter die Höhenlage der zu ermittelnden Punkte nach dem in den beiden Fig. 183 und 185 angewendeten Verfahren konstruiert werden). Um nun beispielsweise den vorderen Firstpunkt it des perspektivisch dargestellten Hauses zu ermitteln, zieht man von dem Punkte i des Grundrisses eine Parallele zu der Grundlinie und erhält dadurch den Punkt t auf der Höhenleiter, dortselbst errichtet man die Senkrechte tlöi und eine aus 15t gezogene Parallele zu dem Horizonte ergibt auf der Senkrechten L über dem Punkte i des Grundrisses den Schnittpunkt in welcher nun das perspektivische Bild des vorderen Firstpunktes bildet. Eine weitere Beschreibung der Fig. 198, Taf. 16, dürfte bei der Einfachheit des Verfahrens überflüssig sein.

d) Die Konstruktion der Schatten bei perspektivischen

D a r s t e 11 u n g e n.

Sollen in einer perspektivischen Darstellung die Grenzen der Schatten angegeben werden, so kann die Ermittelung dieser Schattengrenzen auf eine der zwei nachfolgend beschriebenen Arten ausgeführt werden.

Die erste Art ist die, dass man die Schattengrenzen zunächst in der geometrischen Projektion des in Betracht kommenden Gegenstandes — also in dessen

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Eine zweite Art ist die, dass man die Schattengrenzen unmittelbar in der perspektivischen Darstellung selbst konstruiert, ohne die in der geometrischen Darstellung vielleicht schon ermittelten Schattengrenzen zu benutzen.

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Wegen der unendlichen Entfernung der Sonne nimmt man, genau wie schon in dem I. Teil dieses Bandes (Die Schatten-Konstruktionen) erläutert wurde, auch hier allgemein an, dass die Lichtstrahlen unter sich parallele Gerade sind.

den Fluchtpunkt der Lichtstrahlen nennt.

Sie haben demnach in ihrer perspektivischen Darstellung einen gemeinsamen Ver-schwindungspunkt, welchen

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Da die Lichtstrahlen unter sich parallel angenommen werden, so müssen folgerichtig auch ihre Horizontal-Projektionen — die sogen. Lichtstrahlen-Grund-risse^— unter einander parallel sein. Mithin haben die Lichtstrahlen-Grundrisse ebenfalls einen gemeinsamen Fluchtpunkt, welcher natürlich, bedingt durch die horizontale Lage der Lichtstrahlen-Grundrisse, immer auf dem Horizonte liegen muss.

Der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen selbst muss demnach stets auf einer Senkrechten, welche man sich von dem auf dem Horizonte liegenden Fluchtpunkte der Lichtstrahlen-Grundrisse abwärts gezogen denkt, seine Lage haben.

vorne links oben nach hinten rechts unten gerichtet sein, so liegt der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen-Grundrisse rechts von dem Augenpunkte.

Sind die Lichtstrahlen von vorne rechts oben nach hinten links unten ge-liegt naturgemäss der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen-Grundrisse links von dem Augenpunkt. Laufen die Lichtstrahlen-Grundrisse parallel zu der Bildfläche (etwa von links oben nach rechts unten), so haben diese keinen Fluchtpunkt; in diesem Falle haben aber auch die Lichtstrahlen selbst ebenfalls keinen Fluchtpunkt.

Die zwei Darstellungen auf Seite 152 und 153, die Figuren 199 und 200, sollen dieses Konstruktions-Verfahren näher erläutern.

Den Fluchtpunkt der Lichtstrahlen-Grundrisse kann man nun auf dem Horizonte au ganz beliebiger Stelle annehmen. Sollen beispielsweise die Lichtstrahlen von

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Aufgabe. Die Fig. 199 zeigt ein perspektivisch dargestelltes, vierseitiges Prisma, welches auf der Grundfläche steht und dessen Eigen- und Schlagschatten ermittelt werden soll.

Auflösung. Zunächst wird an beliebiger Stelle auf dem Horizonte der Fluchtpunkt S der Lichtstrahlen-Grundrisse angenommen, ebenso beliebig auf der Senkrechten V der Fluchtpunkt S¹ der Lichtstrahlen. Beispielsweise wird nun der Schlagschatten der vorderen Prismakante AD dadurch ermittelt, dass man zunächst den Lichtstrahl-Grundriss Lt nacli seinem Fluchtpunkt S zieht und sodann den durch den Eckpunkt A gehenden Lichtstrahl L nach seinem Fluchtpunkt S¹ darstellt. Der Kreuzungspunkt a dieser beiden Linien ist nun der Schlagschatten des oberen vorderen Eckpunktes A des Prismas, sodass der Schlagschatten der Prismakante AD von der Linie Da gebildet wird. Die Konstruktion der übrigen Schlagschattengrenzen ist leicht aus der Zeichnung zu ersehen, sodass ein näheres Eingehen hierauf unnötig wird. Ist nun die Schatten-Konstruktion vollendet, so kann man noch feststellen, dass die Schattengrenzlinie ab denselben Fluchtpunkt haben muss wie die zugehörige schattenwerfende Kante AB, da ab und A B in Wirklichkeit horizontale parallele Gerade sind; das gleiche trifft natürlich auch bei b c und B C zu.

Aufgabe: Die Fig. 200 zeigt die Perspektive eines einfachen Denkmals, dessen Eigenschaften und Schlagschatten konstruiert werden sollen. Die Richtung der Lichtstrahlen soll in dem vorliegenden Falle parallel mit der Bildfläche laufen und zwar derart, dass die Lichtstrahl-Richtuug selbst von oben links nach unten rechts geht.

Auflösung. Nach den bisher gegebenen Erläuterungen dürfte die Ermittelung der Eigenschaften- und Schlagschatten-Grenzen keinerlei Schwierigkeiten mehr bereiten.

Anhang.

Schattenkonstruktions-Beispiele aus der Praxis.

Die Fig. 201a zeigt einen einfachen Schornsteinkopf, der seinen Schlagschatten auf eine hinter demselben liegende Dachfläche wirft. Die Ermittelung der Grenzen des Schlagschattens kann ohne Schwierigkeiten dadurch geschehen, dass man einen Schnitt durch die Dachfläche, welche die Neigung derselben und die Seitenansicht des gegebenen Schornsteines zeigt, zu Hilfe nimmt (siehe Fig. 201b). Die fertige Schlagschattenkonstruktion lässt leicht erkennen, dass

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Die Fig. 202a weist den gleichen Schornsteinkopf auf, jedoch ist derselbe liier um 90° um seine Längsache gedreht. Auch in dem vorliegenden Falle ist

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Die Fig. 203a weist ebenfalls einen Schornstein, dessen Kopf durch eine aufgelegte Steinplatte gebildet wird, auf. Auch hierbei gilt für die Ermittelung der Schlagschatten-Grenzen das gleiche, was auf Seite 155 zu den Figuren 201 und 202 erläutert wurde.

In der Fig. 204 a ist ein Teil einer Sockeldeckplatte zur Darstellung gelangt, welche um einen vor die Baufluchtlinie vorspringenden Gebäudeteil (Risalit) herumgeführt gedacht ist. Der in der Fig. 204b gegebene Schnitt, welcher das Profil dieser Sockeldeckplatte sowie das Mass des Vorsprunges des Risalites angibt, ermöglicht die Konstruktion der Schlagschatten-Grenzen, ohne dass Schwierigkeiten entstehen können.

Für die Figuren 205a und 205b gilt das gleiche, was bei der vorausge-gaugenen Fig. 204 gesagt wurde.

Die Figuren 206a und 206b sowie 207a und 207b, für welche ebenfalls das zu der Fig. 204 erörterte Geltung hat, zeigen jeweils eine reichere Gliederung des Profiles der Sockeldeckplatte. Die eingetragenen Projektionsliuien der Lichtstrahlen erleichtern das Verfolgen des Konstruktions-Verfahrens zu der Ermittelung der Schlagschatten-Grenzen.

Fig. 205 b.

Fig. 205 a.

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Die Fig. 208 stellt ein Gurtgesims mit Fries und Architrav im Stile der italienischen Renaissance dar; dasselbe ist gleichfalls um einen vor die Bauflucht springenden Gebäudeteil herumgeführt angenommen worden. Die Festlegung der Schatten-Grenzen kann mit Hilfe des Grundrisses oder eines Vertikal-Schnittes ausgeführt werden. Der Vertikal-Schnitt kann auch, um eine neue Zeichnung zu vermeiden, gleichzeitig in den Aufriss des gegebenen Gurtgesimses eingetragen werden. Der Abstand der Risalit-Flucht (= A) von der Bauflucht des

Gebäudes (= B) ist durch das Mass my bezw. mi (im Grundriss) als gegeben zu betrachten. Die verschiedenen Projektionslinien der Lichtstrahlen sowie die

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Fig. 206 b.

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Hilfslinien verdeutlichen den Gang der Konstruktion, sodass auf ein näheres Eingehen auf die letztere hier verzichtet werden kann.

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Fig. 209.

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ln der Fig. 209 ist ein um eine Gebäude-Ecke herumgeführter Teil eines Hauptgesimses zur Darstellung gelangt, welches eine reichere Gliederung aufweist und ebenfalls im Stile der italienischen Renaissance gehalten ist. Die Festlegung der Grenzen der einzelnen Schattenflächen kann, wie das Beispiel hier zeigt, ohne Zuhilfenahme eines Schnittes oder eines Grundrisses erfolgen.

Die Fig. 210a zeigt einen sogenannten Bogenfries, wie er in der romanischen Stilperiode sehr häufig zur Ausführung gelangte. Durch den beigegebenen Vertikal-Scbnitt (siehe Fig. 210 b) kann die Begrenzung der im Eigen- und Schlagschatten liegenden Flächen sehr leicht bestimmt werden.

Die Fig. 211a weist einen Teil der Fassade eines niedersächsischen Fachwerkhauses aus der Zeit der Spät-Renaissance (etwa aus dem Jahre 1680) auf. Auch in diesem Falle können die Grenzlinien der vorkommenden Schatten flächen auf den zwischen den Balkenköpfen liegenden Füllhölzern sowie auf der Pfette ohne Schwierigkeit mit Hilfe des entsprechenden Vertikal-Schnittes (siehe Fig. 211b) festgelegt werden.

In der Fig. 212a sind mehrere Beispiele von Schattenkonstruktionen enthalten. Das Aufsuchen der Grenzen des Schlagschattens, welchen der in dieser Aufgabe vorkommende Schornsteinkopf auf der oberen Dachfläche des Mansard-daches verursacht, ist schon in den eingangs gegebenen Beispielen (vergl. die Fig. 201, 202 und 203) zur Genüge erläutert worden. Bei der Konstruktion des Eigenschattens auf die schematisch angenommene Sima des den Giebel nach

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In der Fig. 213a ist der Aufriss einer Giebel-Verdachung, wie sie sehr häufig bei den Fensteröffnungen zur Zeit der italienischen Renaissance Verwendung fanden, zur Darstellung gelangt. Die Konstruktion der Eigenschatten-und Schlagschatten-Grenzen des horizontalen Teiles der gegebenen Fenster-Ver-dachung dürfte ohne weiteres ausgeführt werden können; dagegen erfordert die Festlegung der Eigenschatten- und Schlagschatten-Grenzlinien der eigentlichen Verdachung die Annahme von Lichtebenen, deren Anzahl in dem vorliegenden Falle auf zwei beschränkt worden ist, um die Deutlichkeit der Zeichnung nicht zu beeinträchtigen. Man vergleiche hiernach die beiden Lichtebenen 1 und 11 in dem in der Fig. 213 b dargestellten Grundriss der gegebenen Fenster-Verdachung. Mit Hilfe der Grundriss-Projektion der angenommenen Lichtebenen kann man nunmehr deren Aufriss-Projektion konstruieren, sodass man hiernach in der Lage ist, die vorkommenden Eigen- und Schlagschatten der Verdachung ohne Schwierigkeiten zu bestimmen.

bemerkenswert, jedoch kann die Ermittelung desselben keineswegs Schwierigkeiten bieten, da der entsprechende Vertikal-Sclmitt (siehe Fig. 212b) beigegeben ist.

Die Fig. 214 zeigt einen Backsteingiebel mit Putzflächen, wie er in der norddeutschen Backstein-Gotik des 15. Jahrhunderts häufig hergestellt wurde. Jede der vier Seiten des quadratischen Unterbaues endigt in einem gleichen Giebel, sodass in der gegebenen Zeichnung ausser der Vorderansicht auch noch zwei Seitenansichten je eines Giebels sichtbar sind. Die Konstruktion des Schlagschattens, welcher von dem Giebel auf der dahinterliegenden Dachfläche verursacht wird, kann nun mit Hilfe einer der beiden Seitenansichten der an-stossenden Giebel unmittelbar ausgeführt werden, ohne dass eine besondere Seitenansicht aufgezeichnet werden muss.

In der Fig. 215 ist ein gedeckter Laubengang (Veranda) eines Wohnhauses dargestellt und zwar in seiner Ansicht, seinem Schnitt und Grundriss. Die in der Ansicht sichtbar werdenden Schlagschattenflächen sollen ermittelt werden, deren Grenzlinien entweder mit Hilfe des beigegebenen Schnittes oder auch durch den Grundriss allein leicht festgelegt werden können. Der Vollständigkeit halber sind die Grenzen der Schattenflächen, welche durch die Brüstungsmauer in der gegebenen Ansichts-Zeichnung verdeckt werden, durch punktierte Linien mit einer Randschraffierung ebenfalls eingetragen worden.

In der Fig. 216a ist ein Teil des Daches über einem freistehenden Wohn-hause zur Darstellung gelangt, dessen untere, durch Aufschieblinge gebildete Dachfläche teilweise noch über einen angenommenen Gebäudevorsprung verlängert („geschleppt“) gedacht wurde. Die Walmfläche des Daches zeigt als oberen Abschluss eine ebenfalls abgewalmte Dachgaube, über deren Gestalt die Fig. 216b weiteren Aufschluss gibt. Ferner ist in der Vorderansicht noch ein Schornstein dargestellt, dessen genaue Stellung durch die Fig. 216b ebenfalls festgelegt ist. Mit Hilfe der schon erwähnten Fig. 216b kann nun die Konstruktion der Grenzlinien der auftretenden Schlagschatten ohne Schwierigkeiten ausgeführt werden, auch die Grenze des auf die vordere Seitenfläche des Schornsteines fallenden Schlagschattens. Letzteres kann auf zweierlei Art erfolgen: erstmals dadurch, dass man die Lichtstrahlen, welche durch die auf der hinteren Dachfläche sich ergebenden Kreuzungspunkte a und b der Schlagschattengrenzen des Schornsteines und der Gratkante der vorderen Dachfläche gehen, gewisser-massen rückwärts verfolgt, bis man die entsprechenden Kanten der vorderen Schornsteinfläche trifft. Man erhält dadurch die beiden Punkte c und d, welche nunmehr miteinander verbunden werden. Verfolgt man weiter rückwärts den

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durch die beiden Punkte a und c bezw. durch b und d gehenden Lichtstrahl, so ermittelt man dadurch auch die Strecke e und f auf der Gratkante, deren Schlagschatten die Linie c d auf der vorderen Schornsteinfläche darstellt. Auf eine zweite Weise kann die Grenze des auf die vordere Schornsteinwand fallenden Schlagschattens bestimmt werden, indem man sich vorstellt, dass die vordere Wandfläche des Schornsteines nach allen Richtungen hin unbegrenzt erweitert sei; sodann nimmt man auf der Gratkante zwei an beliebiger Stelle liegende Punkte an, deren Schlagschatten nunmehr auf der unbegrenzt erweitert gedachten,

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vorderen Kanten des Schornsteines auszuziehen. Dieses zweite Verfahren zur Ermittelung des Schlagschattens auf der vorderen Wandfläche des Schornsteines ist in der Zeichnung (Fig. 216a und 216b) weggelassen worden, um die Deutlichkeit der Skizze nicht zu beeinträchtigen.

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Die Fig. 217 zeigt in ihrer Vorder- und Seitenansicht eine Sandstein-Konsole, wie solche häufig bei Gurt-, Haupt- oder auch Sohlbank-Gesimsen im Stile

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der italienischen Renaissance Verwendung lindeu. Die Ermittelung der Grenzlinien der vorkommenden Schlagschatten und Eigenschatten dürfte keinerlei Schwierigkeiten bereiten, da das Verfolgen der Konstruktion durch die dargestellten Projektionslinien der Lichtstrahlen sehr erleichtert wird.

Die Fig. 218a stellt einen Teil des Daches eines freistehenden Wohnhauses dar, welcher Ausbauten verschiedener Art aufweist. Durch die in der Fig. 218 b beigegebene Seitenansicht ist die Ermittelung der einzelnen Schlagschatten-Grenzen ermöglicht; das Verfolgen der Konstruktion selbst ist auch hierbei durch die in die Zeichnung eingetragenen Projektionen der Lichtstrahlen erleichtert worden.

Für die beiden Figuren 219a und 219 b gilt das gleiche, was bei der vorhergehenden Figur ausgeführt wurde, sodass auch hierbei keinerlei Schwierigkeiten entstehen dürften.

In der Fig. 220 ist der untere Teil eines auskragenden Erkers dargestellt worden und zwar in seiner Vorder- und Seitenansicht sowie in seinem Grundriss. Das Aufsuchen der verschiedenen Grenzlinien der Fügen- und Schlagschatten kann

Fig 222 b.

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entweder mit Hilfe des beigegebenen Schnittes oder auch mittels des Grundrisses geschehen, wobei man sich in den weitaus meisten Fällen ähnlicher Art der sogenannten Lichtebenen (man vergleiche hierzu die Fig. 76 nebst dem zugehörigen Texte auf der Seite 50 und 51) bedienen muss; in dem vorliegenden

Falle sind die benötigten zwei Lichtebenen mit I und II bezeichnet worden. Ein näheres Eingehen auf den Gang der Konstruktion dürfte auch hierbei überflüssig erscheinen, da das Verfolgen der Konstruktion selbst durch die in den gegebenen Zeichnungen eingetragenen Projektionslinien der Lichtstrahlen ebenfalls sehr erleichtert worden ist.

Auch für die folgende Figur 221, welche ein gleiches darstellt, gelten die zu der Fig. 220 gegebenen Erläuterungen. In diesem Falle sind fünf Lichtebenen = 1, II, III, IV und V zu Hilfe gezogen worden. Die engere und weitere Schraffierung soll hierbei den Unterschied der einzelnen Schlagschatten- und Eigenschatten-Flächen angeben. Auch gibt die Lichtebeue I gleichzeitig Aufschluss über das Profil der auskragenden Steine.

In der Figur 222a ist die Ansicht einer Einzelheit eines gotischen Facli-werkshauses in Hildesheim (etwa aus dem Jahre 1460) zur Darstellung gelangt. Die unter dem Winkel von 45° gestellte Holzkonsole nebst dem darüberliegenden Balkenkopfe (dem sogen. Gratstiche) liegt an der Ecke des erwähnten Gebäudes. Die Ausführung der mehr umfangreich als kompliziert erscheinenden Konstruktion der vorkommenden Eigen- und Schlagschatten kann durch die in der Zeichnung eingetragenen Projektionslinien der Lichtstrahlen, sowie durch den in der Fig. 222b beigegebenen Grundriss, welcher zu der Festlegung der Schattengrenzen erforderlich ist, leicht verfolgt werden.

Schlussbemerkung: Wie bereits im Vorwort zu diesem Buche, das ge-wissermassen eine Fortsetzung des von Prof. Erich Geyger in Kassel verfassten Werkes „Die angewandte darstellende Geometrie“ bildet, erwähnt wurde, ist ein erfolgreiches Studium der Ausführungen über die Schattenkonstruktionen, die axonometrische Projektion und die Perspektive nur dann möglich, wenn der Lernende den von Prof. Erich Geyger behandelten Stoff über die angewandte darstellende Geometrie völlig beherrscht. Das bekannte Wiener Blatt „Der Bautechniker“ schreibt über das Geygersche Buch folgendes:

„Als notwendiges Fundament alles technischen Zeichnens erfährt die „Darstellende Geometrie“ an den Bauschulen in erster Linie eingehende Behandlung und hohe Würdigung. Bisher verfolgte man vielfach bei Vorführung der Uebungs-und Anschauungsbeispiele rein theoretische Grundsätze, während man jetzt zu der Einsicht gelangt ist, dass an den Baugewerkschulen weniger Theorie und dafür mehr Anschluss an die Praxis bei der Behandlung des vorliegenden Lehrstoffes dem Schüler weit förderlicher sein dürfte. Im Anschlüsse au diese Auffassung ist auch der Verfasser bei der Bearbeitung dieses Lehrbuches bestrebt gewesen, die Grundsätze der Konstruktion an Beispielen aus der praktischen Tätigkeit des Bautechnikers mit Vorliebe durchzuführen, wobei Einfachheit und Klarheit als Hauptbedingungen vorangestellt wurden. Dies bezieht sich am meisten auf die Kapitel von den Durchdringungen und den Dachausmittelungen.

Die Ausstattung des durchaus preiswerten Werkes (5 Mark) ist vortrefflich und die Abbildungen sind sehr deutlich in grösserem Mafsstabe vorgeführt. Das Werk wird daher für den Unterricht au Baugewerk- und Staatsgewerbeschulen, sowie für den in der Praxis stehenden Bautechniker sehr gute Dienste leisten ; wir können dasselbe bestens empfehlen“.

Ankündigung

DAS HANDBUCH

DES

BAÜTEOHNIKERS

EINE ÜBERSICHTLICHE ZUSAMMENFASSUNG DER AN BAUGEWERKSCHULEN GEPFLEGTEN TECHNISCHEN LEHRFÄCHER

UNTER MITWIRKUNG

VON

ERFAHRENEN BAUGEWERKSCHULLEHRERN

IIERAUSGEGEBEN

VON

HANS ISSEL

ARCHITEKT UND KGL. BAUGEWERKSCHULLEHRER

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LEIPZIG 1907

VERLAG VON BERNII. FRIEDR. VOIGT

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Fig. 250.

Aus Band III: Die Bauformenlehre zweite Auflage

Einführung

In unserer reichhaltigen technischen Literatur vermissten wir noch immer ein umfassendes und dabei brauchbares und billiges Handbuch, das dem Bautechniker bei seinen Studien auf der Schule und zugleich bei seinem Wirken in der Praxis förderlich zur Seite stehen konnte. Ein solches Handbuch muss drei Haupt-Anforderungen erfüllen: Es muss kurz, klar und sachlich geschrieben sein; es muss durch eine möglichst grosse Zahl guter Illustrationen erläutert werden und endlich, es muss handlich im Gebrauche sein.

Diesen Bedingungen suchte die Unterzeichnete Verlagshandlung bei der Herausgabe des vorliegenden „Handbuches des Bautechnikers“ in erster Linie gerecht zu werden, indem sie mit einer Anzahl von bewährten Baugewerkschulmännern in Verbindung trat, die für die Bearbeitung der einzelnen technischen Lehrfächer gewonnen wurden. Die ungemeine Billigkeit und grosse Reichhaltigkeit der Einzelbände konnte aber nur dadurch erreicht werden, dass sich die Autoren sowohl als der Verleger in opferwilliger Weise dem Gesamtinteresse unterordneten. Nur so war es möglich, ein Handbuch zu schaffen, das der gestellten Grundbedingung „billig und gut“ zu entsprechen vermochte.

Die einzelnen Bände lehnen sich in der Vorführung des Lehrstoffes zunächst an die Anforderungen der Baugewerkschule an; sie sind aber zugleich derart erweitert worden, dass sie auch dem aus der Schule in die Praxis hinaustretenden Bautechniker von wirklichem Nutzen sein können. Die einzelnen Titel derselben sind auf der folgenden Seite in eingehender Weise wiedergegeben.

Schon jetzt beweist die günstige Aufnahme, die unser Unternehmen in den betreffenden Kreisen gefunden hat, dass wir hier ein Lehr- und Hilfsbuch bieten, das seinen Namen mit Recht verdient. Nicht minder ist aus den zahlreichen anerkennenden Aeusserungen der Fachpresse über die bisher erschienenen Bände zu ersehen, dass wir im „Handbuch des Bautechnikers“ tatsächlich ein Werk veröffentlichen, das den Bedürfnissen der Schule und den Anforderungen der Praxis in gleicher Weise entspricht.

Leipzig, 1907

Die Verlagsbuchhandlung'

Beruh. Friedr. Yoigt

Das Handbuch des Bautechnikers

Seite

Band I. Der Zimmermann, umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die “ Fach werkwände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen und die Baugerüste, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke. Dritte vermehrte Auflage. Mit

811 Textabbildungen und 27 Tafeln...........

Band II. Der Maurer, umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- und Fugearbeiten, bearbeitet von Direktor Prof.

A. Opderbecke. Dritte vermehrte Auflage. Mit 743 Textabbildungen und 23 Tafeln 6—7 Band III. Die Bauformenlehre, umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke.

Zweite vervollständigte und berichtigte Auflage. Mit 537 Textabbildungen und 18 Tafeln 8—9 Band IV. Der innere Ausbau, umfassend Türen und Tore, Fenster und Fensterverschlüsse,

Wand- und Deckenvertäfelungen, Treppen in Holz, Stein und Eisen, bearbeitet von Prof. A. Opderbecke. Zweite verm. Auflage. Mit 600 Textabbildungen und 7 Tafeln 10—11 Band V. Die Wohnungsbaukunde (Bürgerliche Baukunde), umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung, bearbeitet von Architekt Hans Issel. Zweite verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln . 12—13 Baud VI. Die allgemeine Baukunde, umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen, bearbeitet von Professor A. Opderbecke. Zweite Auflage. Mit 694 Textabbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln .

Band VII. Die landwirtschaftliche Banknnde, umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld- und Hofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe, bearbeitet von Hans Issel. Zweite Auflage. Mit 684 Textabbildgn. u. 24 Taf. 16—17 Band VIII. Der Holzban, umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständer- und Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung, bearbeitet von Architekt Hans Issel. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln ...

Band IX. Die Eisenkonstruktionen des Hochbaues, umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen,

Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen,

Dächer und Oberlichter, bearbeitet von Oberlehrer Ingenieur R. Schöler in Barmen-Elberfeld. Zweite verbesserte Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen . 20—21 Band X. Der Dachdecker und Banklempner, umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen una die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke. Mit 700 Textabbildungen und 16 Tafeln Band XI. Die angewandte darsteUende Geometrie, umfassend die Grundbegriffe der Geometrie, das geometrische Zeichnen, die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen, die Dachausmittelungen, Schraubenlinien, Schraubenflächen und Krümmlinge sowie die Schiftungen, bearbeitet von E rieh Gey ger. Zweite Auflage. Mit 570 Textabbildungen. . 24—25 Band XII. Die BanstiHehre, umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monu-mental-Baukunst in den verschiedenen Stilarten, mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen, bearbeitet von Hans Issel. Mit 454 Textabbildungen und 17 Tafeln .

Band XIII. Die Baustofflehre, umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Mörtelarten, sowie die Vcrbindungs-, Neben- und Hilfsbaustoffe, bearbeitet von Prof. Ernst Nöthling in Hildesheim. Mit 30 Doppeltafeln .    *    ... 28

Band XIV. Das Veranschlagen im Hochhau, umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag, bearbeitet von Prof. A. Opderbecke. Mit 20 Textabbildgn. u. 22 Doppeltaf. 29 Band XV. Der Steinmetz, umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke und Architekt II. Wittenbecher in Zerbst. Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln 30-31 Band XVI. Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen, bearbeitet von Ingenieur R. Schöler. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen Tafeln und 15 Querschnittstabellen Band XVII. Das Entwerfen der Fassaden, entwickelt aus der zweckmässigen Gestaltung der Einzelformen und deren Anwendung auf neuzeitliche bürgerliche Bauten in Bruchstein-, Werkstein-, Putz- und Holzarchitektur, bearbeitet von Hans Issel, Architekt

in Hildesheim. Mit etwa 400 Textabbildungen und 20 Tafeln.....

Band XVIII. Die Schattenkonstruktionen, die axonometrischo Projektion und die Perspektive, bearbeitet von L. Haass, Architekt. Mit 236 Textabbildungen und 16 Tafeln 34

Jeder Band ist einzeln käuflich.

Preis eines jeden Bandes 5 Mk. geheftet, 6 Mk. gebunden.

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Direktor A. Opderbecke, Der Zimmermann,

umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die Fachwerkwände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen und die Baugerüste.

Dritte vermehrte Auflage. Mit 811 Textabbildungen und 27 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort ..................

A.    Allgemeines.................

Zimmerplatz, Werkstätte, Schnürboden. — Werkzeuge, Maschinen, Rüstzeug. — Die vom Zimmermann benutzten Hölzer. — Schwere des Holzes. — Schwinden des Holzes. — Festigkeit, Tragfähigkeit, Härte, Fällen, Fehler und Krankheiten des Holzes. — Vor-sichtsmassregeln gegen die Entstehung des Hausschwammes. — Vertilgung des Hausschwammes. — Vorbeugungsmittel gegen das Faulen des Holzes. — Zurichtung des Bauholzes.

B.    Die Verbindung der Hölzer untereinander..........

Die Verlängerung der Hölzer. — Die Verknüpfungen der Hölzer. — Die Verstärkung der Hölzer.

C.    Fachwerkwände................

Die Hölzer des Wandgerüstes. — Vortretende Balkenköpfe. — Ausmauerung der Wandfache.

düngen der Hängewerkshölzer. — Sprengwerke.

D.    Balkenlagen.................

Benennung der Gebälke. — Benennung der Hölzer einer Balkenlage. — Mauerlatten. — Schutz der Balkenköpfe gegen Faulen. — Das Zeichnen der Balkenlagen. — Befestigung der Holzbalken zwischen Eisenträgern. — Balkenlagen in Speichern. — Verankerungen. — Zwischendecken. — Verkleidung der Deckenunterfläche. — Iiolzfussböden.

E.    Dächer einschliesslich Schiften.............

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23—41

Fachwände für stark belastete Gebäude. — Hängewände. — Die Verbin-

41-75

75—260

Dächer ohne Stützen zwischen den Aussen

Allgemeines, Dachformen. — Satteldäche ohne Kniestock. — Dächer ohne Dachstuhl. — Dächer mit Dachstuhl. — Dächer mit Kehlbalkenlage. — Dächer ohne Kehlbalkenlage. — Satteldächer mit Kniestock. — Satteldächer ohne Balkenlage. — Dächer mit Stützen zwischen den Aussenwänden.

hause.

Zeltdach über halbem Achteck. — Mollersche Regeln für Turmkonstruktionen. Mollerscher Turmhelm. — Rhombenhaubendach. — Turm der Kirche zu Geithe.

wänden. — Bohlendächer. — Parallel-, Säge- oder Sheddächer. — Mansardendächer. — Pultdächer. — Walmdächer. — Schiften. — Das Schiften auf dem Lehrgespärre. — Wahre Länge der Gratsparren. — Abgratung der Gratsparren. — Einzapfen der Gratsparren in die Gratstichbalken. — Wahre Länge der Schiftsparren. — Lot- und Backenschmiegen. — Wahre Länge der Kehlsparren. — Aufklauung der Gratsparren. — Austragung der Reitersparren. — Bohlenschiftung. — Das Schiften auf dem Werksatze. — Das Schiften auf dem Gratsparren. — Das Schiften bei Walmdächern mit ungleicher Steigung. — Regeln für das Zeichnen der Walmdächer. — Binderstcllung bei Walmdächern mit Kniestock. — Zelt- und Turmdächer. — Zeltdach über einem Treppen-Zeltdach über einem Zirkus. — Zeltdach über regelmässigem Achteck. —

Achtseitiger Turmhelm über einem Treppenhause. — Kuppeldächer. — Geschweifte Dächer. Stehende Dachfenster.

260—280

F. Baugerllste.................

Stangengerüste. — Rüst- oder Spiessbäume. — Streichstangen. — Gerüstbinder. — Netzriegel. — Rüstbretter. — Bauzäune. — Abgebundene Gerüste. — Schiebebühnen. — Leitergerüste. Bau von Pfeilern für Wege- und Eisenbahnbrücken.

Aus „Direktor A. öpderbecke, Der Maurer“. Dritte Auflage

Fig. 436.

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Direktor A. Opderbecke, Der Maurer,

umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- und

Fugearbeiten.

Dritte vermehrte Auflage. Mit 743 Textabbildungen und 23 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort Allgemeines A. Gebäudemauern

v—VI 1—4 4—131

Bezeichnung der Mauern nach ihrer Lage .

Unterscheidung der Mauern nach Baustoffen

1.    Mauern aus Ziegelsteinen . -    .

Läuferverband......

Binderverband, Blockverband, Endverband .

Kreuzverband .......

Holländischer, polnischer, Stromverband Verblendmauerwerk .

Eckverbände Einbindende Mauern, stehende Pfeiler. — Schornsteinverbände. — Luft- oder Isolierschichten. — Maueröffnungen. — Mauerbögen. — Bogen- und Widerlagerstärke. — Ueberdeckung der Oeffnungen mit Eisenbalken. — Untere Begrenzung der Maueröffnungen

2.    Mauern aus natürlichen Steinen...........

Mauern aus unbearbeiteten Bruchsteinen. — Mauern aus bearbeiteten Steinen. — Ueberdeckung der Oeffnungen. — Fenstersohlbänke.

3.    Mauern aus Stampf- oder Gussmassen..........

Erdstampfbau. — Kalksand-Stampfbau. — Betonbau.

4.    Leichte Mauern aus verschiedenen Baustoffen.......

Rabitzwände. — Brucknersche Gipsplattenwände. — Stoltes Stegzementdielen wände. — Monierwände. — Magnesitwände.

B.    Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit.....

a)    Der Grundwasserspiegel bleibt dauernd unter der Sohle der Fundamentmauern

b)    Der Grundwasserspiegel befindet sich über der Kellersohle ....

c)    Schutz der Ilolzfussböden in Kellerräumen gegen Bodenfeuchtigkeit .

C.    Decken .................

1.    Eiserne Balkendecken mit Ausfüllung der Deckenfelder durch Steine oder Mörtel

körper ...............

Kleinesche Decke. — Schürmaunsche Decke. — Förstersche Decke. — Horizontal decke.

Decken.

2.    Gewölbte Decken oder Gewölbe

Tonnengewölbe. — Preussische Kappengewölbe. — Klostergewölbe. — Muldengewölbe. — Spiegelgewölbe. — Kuppelgewölbe. — Hänge- oder Stutzkuppeln. — Elliptische Gewölbe. — Böhmische Kappengewölbe. — Kreuzgewölbe. — Stern oder Netzgewölbe. — Fächer- oder Trichtergewölbe.

D.    Die Konstruktion und das Verankern weit ausladender Gesimse......

Sich kreuzende Mauern. — Pfeilervorlagen. — Frei-

5-71

11

12

13

16

16—71

71—110

110—123

123-134

132—145

132

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142

146-264

146-165

Betondecken. — Koenensche Voutendecke. — Terrast. — Stoltesche

. 165-264

E. Fussböden ..............

1.    Fussböden aus natürlichen Steinen........

Pflasterungen. — Plattenbeläge. — Mosaik- und Terrazzo-Fussböden.

2.    Fussböden aus künstlichen Steinen........

Ziegelsteinpflaster. — Thonplatten. — Zementfliesen. — Kunststein- und Terrazzo-Fliesen.

265—271

271-283

274-278

278-280

3. Estrich-Fussböden

Lehmestrich. — Gipsestrich. — Kalkestrich. — Zementestrich. — Asphaltestrich.

. 280—283

F. Putz- und Fugearbeiten

Vorbereitung des Ilolzwerkes zur Aufnahme von Putz. — Rappputz, Gestippter Putz, Rieselputz, Ordinärer Putz, Spritzputz, feiner oder glatter Putz, Stuckputz. — Ausbesserungen am Putz. — Das Fugen.

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Direktor A. Opderbecke, Die Bauformenlehre,

umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen. Zweite vervollständigte und berichtigte Auflage. Mit 537 Abbildungen und 18 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort.................

I.    Abschnitt. Der Backsteinbau............

Entwickelung des Backsteinbaues..........

1.    Normale Formsteine.............

2.    Aussernormale Formsteine............

Sockelgesimse..............

Fenstersohlbänke.............

Gurtgesimse..............

Haupt- oder Traufgesimse...........

Fenster, Ilauscingänge und Giebelbildungen.......

II.    Abschnitt. Der Werksteinbau für mittelalterliche Formen.......

Entwickelung des mittelalterlichen Werksteinbaues......

Die Gesimse..............

Die Sockelgesimse. — Die Gurtgesimse. — Die Hauptgesimse. — Die Fenster. — Die Hauseingänge (Portale). — Giebelbildungen.......

III.    Abschnitt. Der Werksteinbau in Renaissanceformen........

1.    Allgemeines..............

a)    Das Werksteinmaterial...........

b)    Die Bearbeitung der Werksteine.........

c)    Die Fehler der Werksteine..........

d)    Die Stärken der Werksteine..........

e)    Das Versetzen der Werksteine.........

2.    Die Kunstform des Werksteines.........

3.    Das profilierte Quadermauerwerk (Rustica)......

a)    Geschichtliches.............

b)    Die Sichtflächen der Quader..........

c)    Die Sicherung des Quadervcrkandes........

d)    Die Formenbehandlung der Quader .    .....

e)    Der Quader in der Fassade...........

4.    Die Gesimse..............

a)    Die Profilierung der Gesimse (Gesimselemente)......

b)    Fussgcsimse und Gebäudesockel.........

c)    Gurtgesimse und Zwischengebälke.........

d)    Hauptgesimse .............

5.    Fenstergestaltung.............

a)    Die Form der Fensteröffnung..........

b)    Das Fenster im Quadermauerwerk.........

c)    Das Fenstergestell aus Werksteinen......

d)    Zusammengezogene Fenster..........

e)    Untergeordnete Zimmerfenster..........

f)    Verhältnisregeln.............

6.    Die Loggia (Hauslaube)...........

7.    Die Haustür- und Haustor-Umrahmung.......

a)    Türen ohne besonderen Rahmen.........

b)    Türen mit architektonischer Umrahmung.....

8.    Giebel und architektonische Aufbauten.......

9.    Vor bauten........

Die Erker. — Die Baikone.

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Direktor A. Opderbecke, Der innere Ausbau,

umfassend Türen und Tore, Fenster und Fensterverschlüsse, Wandvertäfelungen, Deckenvertäfelungen,

Treppen in Holz, Stein und Eisen.

Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 600 Textabbildungen und 7 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort

I. Die Türen und Tore..............

1.    Zimmertüren .........

a) Das Material und die Konstruktion des Türgestelles. — b) Die Verkleidung des Türgestelles. — c) Die Türflügel. — d) Einflügelige und zweiflügelige Türen. — e) Schiebetüren..........

2.    Vorplatz- und Aussentüren und Tore ......

Glastüren, Glasabschlüsse und Windfänge. — b) Haustüren. — c) Haustore

3.    Türen zu inneren Wirtschaftsräumen......

a) Einfache Brett- und Lattentüren. — b) Verdoppelte Türen .

4.    Türen und Tore zu äusseren Wirtschaftsräumen

a) Schlichte Brettertüren. — b) Verdoppelte Türen. — c) Jalousietüren. — d) Flügeltore. — e) Schiebetore.........

5.    Eiserne Türen............

6.    Die Türbeschläge...........

a) Die Bänder. — b) Die Türverschlüsse.......

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II.    Die Fenster...............

1.    Gewöhnliche Zimmerfenster.........

a) Baustoff und Herstellung des Gestelles. — b) Die Fensterflügel. — c) Die Fensterbrüstung............

2.    Drei- und mehrteilige Fenster........

3.    Doppelfenster............

a) Bewegliche Winterfenster. — b) Feststehende Doppelfenster (Kastenfenster), c) Siering’sche Fenster.— d)Spengler’sche Patent-Spangenfenster.— e) Spengler sehe Panzerfenster. — f) Doppelfenster von Prof. Rinklake

4.    Kippfenster.............

5.    Schiebefenster............

Das englische Schiebefenster ...    .......

6.    Schaufenster.............

7.    Eiserne Fenster............

Eiserne Schaufenster...........

8.    Oberli cht fe ns ter............

Deckung mit Glas............

Holzsprossen. — Eisensprossen........

9.    Fe ns te r be s ch lag und F en s terver schlü s s e.....

a) Beschläge zum Festhalten der Fenster. — b) Fensterverschlüsse für ein flügelige Fenster. — c) Fensterverschlüsse für zweiflügelige Fenster

10. Die Laden Verschlüsse...........

a) Fensterläden, sogen. Klappläden. — b) Roll-Läden. — c) Roll-oder Zug-Jalousien 105—112

III.    Wandvertäfelungen.............

1.    Geschichtliche Entwickelung........

2.    Einfache Täfelungen...........

3.    Gestemmte Täfelungen..........

4.    Die Holz-Intarsia...........

IV.    Deckenvertäfelungen.............

1.    Die geschichtliche Entwickelung.......

2.    Moderne Holzdecken...... .    •    .    .

a) Das Material und die Konstruktion. — b) Die Füllungen. — c) Kassetten decken. — d) Felderdecken..........

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V. Die Treppen ...............

1- Allgemeines............

a) Das Steigungsverhältnis. — b) Die Grundrissform. — c) Das Verziehe

(Wendeln) der Treppenstufen..........

2. Die hölzernen Treppen ..........

a) Die eingeschobenen Treppen. — b) Die eingestemmten Treppen. — c) D d) Gewendelte Treppen.....

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aufgesattelten Treppen. —

3- Die Treppen aus Werkstein

a) Der Baustoff. — b) Das Steigungsverhältnis. — c) Die Grundrissform, d) Das Versetzen der Stufen. — e) Freitreppen. — f) Innere Wangentreppen.— g) Freitragende Treppen. — h) Spindeltreppen. — i) Werkstein-Treppen zw sehen T-Trägern. — k) ünterwölbte Werkstein-Treppen. — 1) Treppen au Backstein. — m) Treppen aus Kunststeinen. — n) Das Geländer

4. Eiserne Treppen ............

VI. Preisangaben für Bautischler-Arbeiten des inneren Ausbaues

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Hans Issel, Die Wohnungsbankunde,

umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung.

Zweite bedeutend erweiterte und verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage

Seite

I. Das Einfamilienhaus...............

1.    Allgemeines ...............

Der Lageplan des Hauses. Die Billigkeit des Hauses. Der Grundriss. Die Ausbildung der Fassade.............

2.    Frei stehende kleinste Einfamilienhäuser (Arbeiterhäuser)

a) Einzelhäuser, b) Doppelhäuser, c) Arbeiterhäuser für 4 Familien .

3.    Freistehende bürgerliche Einfamilienhäuser (Einzel- und Doppelhäuser)

a) Allgemeine Grundregeln für den Entwurf. — b) Bürgerliche Einfamilienhäuser (ohne besonderes Treppenhaus). — c) Bürgerliche Einfamilienhäuser (mit besonderem Treppenhause). — d) Einfamilienhäuser mit turmartigem Treppen« hause. — e) Herrschaftliche Einfamilienhäuser mit Diele und grösseren Treppenanlagen ............

4.    Herrscha ftliche Landhäuser.........

a) Häuser zum ständigen Wohnsitz. — b) Kleinere Landhäuser, Sommerhäuser

5.    Eingeb aute Einfamilienhäuser.........

a) Allgemeines. — b) Einfamilien-Reihenhäuser für kleinste Wohnungen (Arbeiter häuser). — c) Vorstadt-Reihenhäuser für je eine Familie. — d) Eingebaute städtische Einzelhäuser. — e) Eingebaute herrschaftliche Etagenhäuser

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II.    Miethäuser................

1.    Allgemeines...... .......

Das Treppenhaus. Die Zugänglichkeit und Verbindung der Räume. Die Grundriss gcstaltung. Die Höfe. Die Höhe der Häuser. Die Stockwerkshöhen. Die Tiefe

2.    Freistehende Miethäuser...........

a) Arbeiterhäuser. — b) Bürgerliche Miethäuser. — c) Herrschaftliche Miethäuser 89—97

3.    Eingebaute Miethäuser............

a) Vorstadt-Reihenhäuser mit kleinen Wohnungen. — b) Städtische Miethäuse mit grösseren Wohnungen..........

III.    Die innere Einrichtung der Wohnhäuser...........

1.    Die Mauerstärken............

2.    Die Oeffnungen im Mauerwerk.........

3.    Die üblichen Grössen der Hauptmöbel.......

4.    Durchfahrten, Hausflure und Korridore .......

5.    Die Treppen..............

Die Grundform der Räume. Berliner Zimmer. Das Familienwohnzimmer. Da Zimmer des Herrn. Das Zimmer der Frau. Das Kinderzimmer. Die Diele

9.    Die Gesellschaftsräume...........

Das Empfangszimmer (Salon). Der Gesellschaftssaal. Das Speisezimmer. De Speisesaal. Das Billardzimmer..........

10.    Die Schlafzimmer mit Zubehör..........

Schlafzimmer der Eltern. Schlafzimmer der Kinder. Ankleidezimmer. Schrankzimmer 155—158

11.    Ba dezimmer...............

Die Badenische. Badewanne mit eigener Heizung. Badewanne mit Dampfheizung Badeöfen. Der Wasserabfluss. Versenkte Wannen.....

12.    Die Abortanlage.............

Die Abortgrube. Das Tonnensystem. Spülaborte (Wasser-Klosetts). Das Tor mull-Streu-Klosett. Abortkammer. Abortsitze......

13.    Nebenr&ume..............

Die Garderobe. Wandschränke. Lichthöfe. Der Erker. Der Balkon. Die Loggia Der Altan. Hallen. Veranden. Terrassen und Perrons ....

14.    Die Wirtschaftsräume...........

Die Kochküche. Die Speisekammer. Der Speiseaufzug. Das Anrichtezimme Die Waschküche. Das Bügelzimmer. Die Keller......

IV.    Städtische Wohn- und Geschäftshäuser...........

1.    Allgemeines..............

2.    Grundrissanordnungen...........

3.    Der Laden und seine Nebonräume........

4.    Das Warenhaus ...    .........

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V. Gasamtkosten von Wohnhäusern

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Prof. A. Opderbecke, Die allgemeine Bau künde,

umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen.

Zweite Auflage. Mit 694 Textabbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

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Vorwort..................

I.    Die Wasserversorgung der Gebäude.............

1.    Beschaffenheit des Wassers...........

2.    Wasserbedarf...............

3.    Wasserbeschaffung.............

4.    Einführung des Wassers in die Gebäude........

5.    Hausleitungen..............

6.    Auslaufbähne und Durchl aufb äh ne.........

7.    Küchenausgüsse und Sp üleinrichtungen........

8.    Waschbecken und Waschstände..........

9.    Badeeinrichtungen.............

II.    Die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe aus den Gebäuden und deren näherer Um

gehung ................

1.    Die fortzuschaffenden Stoffe...........

2.    Beseitigung der Abwässer und der Abfallstoffe......

3.    Die Rohrleitungen.............

a) Die Strassen-Kauäle. — b) Die Grundleitung. — c) Die Fallstränge im Innern der Gebäude ..............

4.    Die Sicherungsvorrichtungen gegen das Eindringen der Kanalgase .

5.    Die S icherungsvorr ichtungen gegen das Verschlammen der Grund

leitung und der St ras sen-K anale.........

6.    Die Sicherheitsvo rrichtungen gegen das Eindringen von Kanal wasser

III.    Die Abort- und Pissoir-Anlagen.............

A.    Die Abort-Anlagen.............

Der Abortraum. — Der Abortsitz. — Das Abortbecken. — Aborte ohne Wasserspülung. 1. Das Gruben-System. — 2. Das Tonnen-System .

B.    Die Pissoir-Anlagen.......

IV.    Feuerungsanlagen für gewerbliche und private Zwecke ....

A.    Allgemeines.........

Der Feuerraum. — Die Feuerzüge. — Die Schornsteine .

B.    Feuerungs-Anlagen für gewerbliche Zwecke .

1.    Die Dampfkessel-Einmauerungen.....

a) Einfache zylindrische Kessel (Walzenkessel). — b) Kessel mit Siederohren. — c) Kessel mit Flammrohren. — d) Feuerröhrenkessel. — e) Wasserröhrenkessel. — f) Kombinierte Dampfkessel-Systeme eigenartiger Form. — Polizeiliche Bestimmungen betreffend die Einrichtung der Dampfkessel

2.    Brennöfen für Tonwaren............

a) Oefen mit unterbrochenem Betrieb. — b) Oefen mit ununterbrochenem Betrieb.

3.    Brennöfen für Kalk und Zement..........

a) Oefen für unterbrochenen Betrieb. — b) Oefen für ununterbrochenen Betrieb.

4.    Backöfen...............

a) Backöfen für unterbrochenen Betrieb, b) Backöfen f. ununterbrochenen Betrieb.

C.    Feuerungs-Anlagen für private Zwecke .

1. Kochherde. — 2. Waschkessel-Einmauerungen.

V.    Die Anlagen zur Erwärmung und Lüftung von Räumen, die dem Aufenthalte von Menschen dienen

Die Einzel- oder Lokalheizung

a) Allgemeines. — b) Kamine und Kaminöfen. — c) Oefen mit gewöhnlicher Feuerung. — d) Oefen mit Füllfeuerung. — e) Oefen für Leuchtgas-Heizung.

Die Sammel- oder Zentralheizung.....

a) Feuerluftheizung (Luftheizung). — b) Wasserheizung .

1. Niederdruck-Warmwasserheizung. — 2. Mitteldruck-Warmwasserheizung. — 3. Heisswasserheizung.

c) Dampfheizung..........

Bestimmungen betr. die Ausführung von Sammelheizungen.

Vereinigung der Heizungsarten. — Die Lüftung der Räume

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Hans Issel, Hie landwirtschaftliche Baukunde,

umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld- und Hofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe. Mit 684 Textabbildungen und 24 Tafeln. Zweite erweiterte und verb. Auflage.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage...........

Erster Abschnitt. — Ländliche Wohngebäude...........

1.    Bauernhäuser und Bauerngehöfte.........

A. Die geschichtliche Entwickelung. — a) Die fränkische Bauweise. — Das alte fränkische, das linksrheinische, alemannische, Schwarzwälder, schweizerische, oberbayerische Bauernhaus, das bayerische Bauerngehöft, das Bauernhaus aus den Böhmerwaldgerichten, ostdeutsches Bauernhaus. — b) Die sächsische Bauweise. — Das westfälische, Altländer, friesische, schleswig-holsteiner, ostdeutsche Bauernhaus. — B. Neue bäuerliche Gehöftanlagen. — a) Das Raumbedürfnis. — Das kleinste Bauernhaus. Kleine und mittlere Bauernhäuser. Grosse Bauernhäuser. —

b)    Die innere Einrichtung. — c) Der konstruktive Ausbau. — d) Beispiele.

2.    Gutsbesitzer- und Gutspächterhäuser. Gutsgehöfte.....

a) Die äussere Gestaltung. Rampen und Freitreppen. — b) Die innere Einrichtung. Der Flur oder die Diele. Die Wohnzimmer. Gesellschaftsräume. Die Schlafzimmer. Zubehör. Wirtschaftsräume. Dienstbotenräume. Korridore und Treppen. Beispiele von Gutsbesitzerhäusern. — c) Gutspächterhäuser. Die Einrichtung des Gutspächterhauses. Konstruktive Bestimmungen für Pächterwohnungen. Beispiele von Pächterwohnhäusern. — d) Gutsgehöfte. Die Grundrissform der Hofanlage. Der Lageplan der Einzelbauten nach der Himmelsrichtung. Der Lageplan der Einzelbauten nach den Grundsätzen des Wirtschaftsbetriebes. Nebenanlagen. Beispiele. — e) Der Hoffmannsche Tiefbau.

3.    Beamten- und Dienstwohnungen für Gutsbezirke......

4.    Arbeiter-Wohnhäuser............

A. Arbeiter-Familienhäuser. — a) Einfamilienhäuser, b) Häuser für zwei und mehrere Familien, c) Beispiele. — B. Wanderarbeiter-Häuser.

5.    Konstruktive Behandlung von Wohngebäuden auf den Kgl. Preuss.

Domänen ...............

Zweiter Abschnitt. Ländliche Wirtschaftsgebäude..........

1.    Wasch- und Backhäuser............

a) Das Waschhaus, b) Die Bäckerei, c) Beispiele für Wasch- und Backhäuser.

2.    Eisbehälter und Kühlräume...........

a) Allgemeines, b) Eismieten auf Gutshöfen, c) Eiskeller, d) Eishäuser, e) Eiskeller mit Kühlräumen.

3.    Räucherkammer.......... .    .    .    .

4.    Baukosten von ländlichen Wirtschaftsgebäuden......

Dritter Abschnitt. Gebäude für Unterbringung der Feldfrüchte und Ackergeräte

1.    Feldscheunen...............

Die Lage. Die Konstruktion. Die Bedachung. Die Baukosten.

2.    Ho f scheune n...............

a) Die Raumgrösse, b) Die Grundrissausbildung, c) Das Dach, d) Die Aussenwände. e) Der innere Ausbau, f) Beispiele, g) Zusammenstellung der Kosten für Scheunen.

3.    Speicher und Kornböden............

Die Geschosshöhen. Die Decke. Die Balkenlagen. Die Raumgrösse. Die Holzverbindungen. Die Umfassungswände. Die Fenster. Die Treppen. Die Winde-und Aufzugsvorrichtungen. Die Schüttbretter. Das Dach. Die Kosten. Beispiele.

4.    Wagen- und Geräteschuppen...........

Vierter Abschnitt. Stallgebäude nebst Zubehör..........

Die Grundbedingungen für die Anlage..... .

1.    Stallgebäude für Einzelgattungen .    .......

A. Pferdeställe, a) Stallgebäude für Ackerpferde, b) Stallgebäude für Zuchtpferde.

c)    Stallgebäude für Kutsch- und Luxuspferde. — B. Rindviehställe. — C. Schafställe. — D. Schweineställe.

2.    Stallgebäude für gemischte Viehgattungen.......

A. Kleine Ställe. — B. Freistehende Ställe für kleine landwirtschaftliche Betriebe. — C. Grössere Stallgebäude für gemischte Viehgattungen.

3.    Federviehställe.............

4.    Dungstätten und Jauchenbehälter .    ......

5.    Kostenberechnung für Geflügelställe .    ......

Fünfter Abschnitt. Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe .    .....

1.    Molkereien......... .....

2.    Schmieden und Stellmachereien ....    .....

Nachtrag: Blitzschutzanlagen.........

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Hans Issel, Der Holzbau,

umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständer- und Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite . VU—VIII

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage Erster Abschnitt. — Allgemeines

1.    Bauholz. — A. Einheimische Bauhölzer. — a) Nadelhölzer, b) Laubhölzer. —

B. Fremdländische Bauhölzer. — a) Nadelhölzer, b) Laubhölzer

2.    Die Fällzeit des Holzes...........

3.    Die Fehler des Holzes............

4.    Holzprüfung zum Erkennen seiner Fehler.......

5.    Das Arbeiten des Holzes. — 1. Das Schwinden. 2. Das Quellen

6.    Die Verarbeitung des Holzes..........

7.    Das Beschlagen der Stämme zu Balken........

8.    Die Ausnutzung des Bauholzes. Tabelle der Normalprofile für Bauhölzer

in Zentimetern. Tabelle für Schnittmaterial (Bretter, Bohlen, Pfosten, Latten) 13—14

9.    Die nationalökonomische Bedeutung des Holzbaues ....

Zweiter Abschnitt. — Der Fachwerkbau...........

1.    Die Wiederbelebung der Holzbaukunst........

2.    Die Fachwerk- oder Riegelwand, a) Die frühere Konstruktionsweise. —

b)    Die heutige Konstruktionsweise. Die Ausmauerung und innere Verkleidung

der Fach werkwand ............

3.    Die Balkenlage und die Vorkragung der Stockwerke. — a) Die frühere

Konstruktionsweise. — b) Die heutige Konstruktionsweise. — c) Das Stichgebälk. — d) Die Balkenköpfe. — e) Knaggen und Kopfbänder ....

4.    Verkleidung der Zwischendecke. — a) Die Füllbretter. — b) Die Füll

hölzer. — c) Die Brettergesimse. — d) Ausgemauerte Zwischenfüllungen

5.    Die Giebelausbildung. — a) Schlichte Giebelbildungen.— b) Doppelgiebel.—

c)    Giebel mit vorgelegten Freigebinden........

6.    Die Fenster. — a) Die frühere Fensterumrahmung. — b) Die moderne Fenster

umrahmung. — Das Anschlägen des Futterrahmens......

7.    Türen und Torfahrten. — a) Die frühere Umrahmung. — b) Die moderne

Umrahmung. — c) Ueberbaute Haustüren mit Vordächern und Veranden. —

d)    Ein- und zweiflügelige Haustüren.........

8.    Die Schmuckmittel des Fachwerkbaue s. — a) Verzierungen durch ver

schränkte Fachwerkhölzer. Riegelkreuze. Winkelbänder. — b) Ausgestochene Verzierungen. Geschnitzte Ständer. Geschnitzte Eckpfosten. Geschnitzte Schwellen. Geschnitzte Fensterbrüstungsplatten.

Schriften. — d) Gemusterte Backsteingefache. — e) Farbig verzierte Fachwerkfelder. — f) Die Bemalung des Holzes

9.    An- und Aufbauten. — a) Erker. Rechteckige Erker. Ueber Eck gesetzte

rechteckige Erker. Dreieckige Erker. Vieleckige (polygonale) Erker. Die Konstruktion der Erker. Die Decke........

b)    Veranden, Altane und Baikone. Die Pfosten. Die Brüstung. Der obere

Abschluss der Veranda. Altane und Baikone

c)    Lauben, Gartenhäuser, Pavillons.....

d)    Dacherker und Dachgauben......

e)    Türme. Die Umfassungswände. Der Turmhelm. Dachspitzen undWetterfahnen.

Die Eindeckung der Türme und Dächer. Materialbedarf bei Ziegeldeckung 185—197 Dritter Abschnitt. — Der neuzeitliche Bohlenbau. — Amerikanische Bauweise. Deutsche Bauweise, Blockhäuser von H. Witte. Zerlegbare Holzbauten für Holzbearbeitung 198—204 Vierter Abschnitt. — Der Blockbau. Allgemeines......

1.    Die Blockwand. — a) Umfassungswände. — b) Scheidewände

2.    Türen und Fenster. — Die Eingangstüren (Haustüren). — Die Fenster. —

Klebdächer

3.    Das Dach und die Giebelbildung. — Norwegisches Blockhaus.— Russisches

Blockhaus. — Schweizerisches Blockhaus........

4.    Seitenlauben und Galerien. — Schweizerische und norwegische Blockhäuser 218—221

5.    Die Schmuckmittel des Blockbaues.— a) Geschnitzte Wandverzierungen.—

b) Die Anwendung der Farbe im Blockbau .

Fünfter Abschnitt. — Der schweizerische Ständer- und Riegelbau .

Die Ständerwand. — Das Dach. — Die Riegelwand. — Die Fenster. — Galerien 230—237

Sechster Abschnitt. — Der norwegische Stab- und Blockbau........

Die Wandbildung. — Die Holzkirchen. — Die Dachkonstruktion. — Stabure, Speicherbauten. — Die norwegischen Bauernhäuser (Blockbauten). — Die Schmuckmittel

Verzeichnis der bei der Bearbeitung dieses Bandes benutzten Werke und Zeitschriften 245—246

c) Geschnitzte In-

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. 206-208

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Fig. 403.

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II. Schüler, Die Eisenkonstruktionen des Hochbaues,

umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen, der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen, Dächer und Oberlichter. Zweite Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage..........

Erstes Kapitel. Die Konstruktionselemente..........

1.    Die verschiedenen Walzeisensorten.......

2.    Die Verbindungsmittel der Eisenkonstruktionen ....

a) Nietverbindungen. — b) Berechnung und Anordnung der Nietverbindungen c) Scbraubenverbindungen. — d) Berechnung der Schrauben. — e) Gelenk Verbindungen.............

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3-29

Zweites Kapitel. Die Verbindungen und Verlängerungen der Walzeisen......

1.    Verlängerungen (Stösse)...........

a) Verlängerung auf Zug beanspruchter einfacher Stäbe. — b) Verlängerung auf Druck beanspruchter Stäbe. — c) Verlängerung von Stäben, deren Querschnitt mehrteilig ist. — d) Stossdeckung von Stäben, die auf Biegung beansprucht sind

2.    Anschlussverbindungen............

a) Die Knotenpunkte. — b) Trägeranschlüsse.......

«) Eckverbindungen. — ß) Endverbindungen. — y) Kreuzverbindungen .

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30—36

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37- 38

38- 46

47

Drittes Kapitel. Die Träger..........

1.    Berechnung der Träger........

a) Die Freiträger. — b) Träger auf zwei Stützen. — c) Träger Stützen. — d) Vernietete Träger. — e) Die Lager der Träger . o) Die festen Lager. — ß) Die beweglichen Lager .

2.    Die Verwendung der Träger.......

a) Die Unterzüge. — b) Die Decken.....

o) Decken in Holz und Eisen. — ß) Decken in Eisen und Stein bezw.

Mörtel. — y) Decken mit eisenarmierter Füllung. — d) Eiserne Decken 89—109

Viertes Kapitel. Die Säulen und Stützen..........

a) Berechnung der Stützen. — b) Berechnung der Säulenfüsse. — c) Ausführung der gusseisernen Säulen. — d) Ausführung der schmiedeeisernen Säulen. — e) Be

rechnung auf Druck und Biegung beanspruchter Säulen.....

Fünftes Kapitel. Frontstützen, Ladeneingänge und Schaufenster......

Gusseiserne und schmiedeeiserne Frontstützen. — Schaufensteranlagen .

Sechstes Kapitel. Eiserne Wände............

a) Allgemeines. -d). Eiserne Wände

Siebentes Kapitel. Baikone und Erker............

a) Baikone. — b) Erker.............

Achtes Kapitel. Eiserne Treppen.............

1)    Massive Treppen.............

2)    Eiserne Treppen.............

a)    Gusseiserne Treppen. — «) Gerade Treppen. — ß) Wendeltreppen

b)    Schmiedeeiserne Treppen. — o) Gerade Treppen. — ß) Wendeltreppen

Neuntes Kapitel. Fachwerk..............

a) Allgemeines. — b) Dachbinder...........

Zehntes Kapitel. Eiserne Dächer.............

a) Allgemeines. — b) Pfetten. — c) Berechnung der kontinuierlichen Gelenkpfetten. — d) Sparren, Latten, Deckung. — e) Fuss- und Firstpunkte. — f) Der Windverband. —

g) Wellblechdächer..............

Elftes Kapitel. Die Oberlichter.— a) Allgemeines.— b) Die Glasdecke.— c) Die Sprossen.—

d)    Die Bildung des Firstes. — e) Bildung der Traufe. — f) Anschluss an

lotrechte Mauern. — g) Sheddächer.........

Zwölftes Kapitel. Bedingungen über die Lieferung von Eisenkonstruktionen.....

a) Allgemeines. — b) Beschaffenheit des Materials. — c) Vorschriften über die Herstellung der Eisenkonstruktionen. — d) Abnahme.—

e)    Abrechnung. — f) Gewichtsberechnung

Anhang. — Tabellen 1 bis 18......

b) Eisenfachwerkwände.

auf mehreren

c) Konstruktion der Wände. —

47-49

50-72

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Aus „Prof. A. Opderbecke, Der Dachdecker und Bauklempner“.

Fig. 265.

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Prof. A. Opderbecke, Der Dachdecker und Bankiem pner,

umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen und die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre. Mit 700 Textabbildungen und 16 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort

Seite

Allgemeines...............

A.    Die Eindeckung der Dachflächen.............

1.    Deckung mit organischen Stoffen.........

1 a. Teer- oder Steiupappdächer...........

Deckung mit offener Nagelung. — Deckung mit verdeckter Nagelung auf Leisten. Unterhaltung der Pappdächer. — Das doppellagige Klebepappdach .

1 h. Ilolzzementdächer.............

Das Ilolzzement-Papierdach. — Das Holzzement-Pappdach.....

1    c. Deckung mit imprägnierten, wasserdichten Lcinenstoffen.....

2.    Deckung mit künstlichem Steinmaterial........

2    a. Deckung mit Dachsteinen aus gebranntem Ton.......

Die Flachziegel. — Die Hohlziegel. — Die Dachpfannen. — Die Falzziegel. — Handwerkszeuge des Ziegeldeckers.........

2    b. Deckung mit Zementplatten...........

3.    Deckung mit natürlichem Steinmaterial........

3    a. Englische Doppeldeckung...........

3 b. Deutsche Deckung.............

3    c. Französische Deckung............

Ilandwerkzeuge des Schieferdeckers.........

4.    Deckung mit Metallen (Allgemeines).........

4    a. Deckung mit Zink.............

Deckung mit gewalzten glatten Tafeln. — Aeltere Ausführungsweise der Leistendeckung. — Berliner (Wusterhausensclie) Leistendeckung. — Rheinische oder Belgische Leistendeckung.

Leistendeckung. — Deckung mit gewelltem Zinkblech. — Deckung mit doppelt gerippten Tafeln (System Baillot). — Deckung mit quadratischen Rauten (Vieille Montagne). — Deckung mit quadratischen Rauten (Lipine). — Deckung mit Spitzrauten. — Deckung mit Schuppenblechen

4 b. Deckung mit Eisen......

Deckung mit Eisenwollblech. — Deckung mit Rauten aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Dachplatten aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Falzziegeln aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Platten aus Gusseisen 138—156

4 c. Deckung mit Kupfer............

4d. Deckung mit Blei.............

5.    Deckung mit Glas..............

Glasdeckung auf Holzsprossen. — Glasdeckung auf J_-förmigen Eisensprossen. — Glasdeckung auf -f- -förmigen Eisensprossen. — Glasdeckung auf Flacheisensprossen. — Glasdeckung auf rinnenförmigen Sprossen. — Verhinderung des Abgleitens der Glastafeln. — Unterstützung der Glastafeln durch Quersprossen 165—181

B.    Die Entwässerung der Dachflächen

Allgemeines ....

a)    Freitragende Hängerinnen

b)    Aufliegende Hängerinnen .

c)    Freitragende Standrinnen .

d)    Auf liegende Standrinnen .

e)    Eingebettete Standrinnen .

f)    Kehlrinnen ....

Die Abfallrohre

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Fricksche Leistendeckung.

Französische

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Aus „Prof. E. Geyger, Die darstellende Geometrie“. Zweite Auflage

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Prof. E. Geyger, Die darstellende Geometrie,

umfassend die Grundbegriffe der Geometrie, das geometrische Zeichnen, die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen, die Dachausmittelungen, Schraubenlinien, Schraubenflächen und Krümmlinge sowie die Schiftungen. Zweite verbesserte Auflage. Mit 570 Textabbildungen.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort    .    .......... ...

Einführung .    ...............

Einige Bemerkungen über die Beschaffenheit der Zeichen-Instrumente und -Materialien

ihre Prüfung und Anwendung..........

Erstes Kapitel. Die wichtigsten Erklärungen und Grundbegriffe der Geometrie . .

1.    Körper, Flächen, Linien, Punkte, Masseinheiten......

2.    Lage einer Ebene im Raume. Gerade, Winkel und Figuren in der Ebene

3.    Gerade und Ebene im Raume..........

4.    Lage zweier Ebenen zu einander.........

Zweites Kapitel. Das geometrische Zeichnen..........

1.    Die Elementaroperationen..........

2.    Konstruktion des Massstabes..........

3.    Konstruktion von Dreiecken und Vierecken ; Fundamentalkonstruktionen am Kreise

4.    Konstruktion der wichtigsten regulären Vielecke......

5.    Konstruktion der regelmässigen Vielecke aus der gegebenen Seite

6.    Konstruktion verschiedener Gewölbebogen, welche in der Baukunst häufig vor

kommen..............

7.    Affine und affin gelegene Figuren.........

8.    Projektive Figuren in perspektiver. Lage.......

9.    Die Zentralprojektion eines Kreises; die Kegelschnitte ....

10.    Konstruktion der Ellipse, ihre Tangenten und Normalen ....

11.    Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern

12.    Drei Konstruktionen der Parabel; Tangente und Normale der Parabel.

13.    Konstruktion der Hyperbel; Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels .

Drittes Kapitel. Die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen (Beschreibende oder darstellend

Geometrie)...............

1.    Die verschiedenen Projektionsmethoden........

2.    Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion; Grundriss, Aufriss, Seiten

riss. Vereinigung der Tafeln mit der Zeichenebene ....

3.    Punkt, Gerade, Ebene und einfache Körper in orthogonaler Projektion. Seiten

riss und Einführung einer 3. (4.) Projektionsebene ....

4.    Die regulären Polyeder. Rotationskörper und Rotationsflächen .

5.    Ableitung neuer Projektionen aus Grund-Aufriss; die schiefe und orthogonale

axonometrische Projektion..........

6.    Wahre Länge und Tafelneigung einer durch ihre Projektionen gegebener

Strecke; Spurpunkte einer Geraden........

7.    Die Spurgeraden einer Ebene. Tafelneigung einer Ebene. Bestimmung dei

wahren Gestalt einer ebenen Figur........

8.    Gerade und Ebene. Projektion eines rechten Winkels in einem rechten Winkel

Ebene und Ebene; Körper und Ebene.......

9.    Ebene Schnitte und Netze von Prismen und Zylindern; Rektifikation vor

Kurven; Wendepunkt einer Kurve; Schraubenlinie.....

10.    Ebene Schnitte und Netze von Pyramiden und Kegeln ....

11.    Tangentialebenen, Schnitte und Netze von Rotationskörpern

12.    Durchdringungen............

Viertes Kapitel. Dachausmittelungen...........

1.    Allgemeines; Einteilung der Dächer........

2.    Ausmittelung von Dächern, deren Traufen in einer Horizontalebene liegen une

deren Dachflächen eben und von gleichem Gefälle sind ....

3.    Ausmittelung von Dächern, deren Traufen in verschiedenen Ebenen liegen un<

deren Dachneigungen ungleich sind........

4.    Dächer mit ebenen und krummen Dachflächen......

5.    Turmdächer..............

Fünftes Kapitel. Schraubenlinien, Schraubenflächen, Schrauben und Krümmling

Sechstes Kapitel. Schiftungen............

1.    Die Schiftung auf dem Lehrgespärre........

2.    Die Schiftung auf dem Werksatze.........

3.    Die Schiftung auf Dachflächen oder die Bohlenschiftung ....

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Hans Issel, Die Baustillehre,

umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monumental-Baukunst in den verschiedenen Stilarten, mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen.

Mit 454 Textabbildungen und 17 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort ....    ...........

Erster Abschnitt. Die monumentale Baukunst der vorklassischen Zeit.....

I.    Die ägyptische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die monumentalen Bauwerke........

C.    Die ägyptischen Bauformen.........

II.    Die babylonische Baukunst..........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die babylonischen Monumental-Bauwerke......

III.    Die assyrische Baukunst..... .....

A.    Land und Baumaterial der Assyrer.......

B.    Die assyrischen Monumentalbauten.......

IV.    Die persische Baukunst...........

A.    Das Land und sein Baumaterial........

B.    Die persischen Monumentalbauten.......

Zweiter Abschnitt. Die monumentale Baukunst der klassischen Zeit.....

I. Die griechische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung .    ...    .

B.    Die griechischen Monumentalbauten.......

C.    Die Bauformen...........

D.    Gesamtbild der griechischen Architektur......

II. Die römische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die römischen Konstruktionsweisen.......

C.    Die römischen Bauformen.........

D.    Die römischen Bauwerke.........

E.    Die technische Darstellungsweise im Altertum.....

Dritter Abschnitt. Die Baukunst des Mittelalters.........

I. Die römisch-altchristliche Monumental-Baukunst im weströmischen Reiche

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die altchristlichen Monumentalbauten.......

II. Die altchristliche Monumental-Baukunst im oströmischen Reiche

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die byzantinischen Monumentalbauten......

III.    Die Monumentalbauten der romanischen Baukunst .....

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die Grundrissanlage der romanischen Kirchen ....

C.    Der romanische Stil in Deutschland.......

D.    Der romanische Stil in Frankreich.......

E.    Der romanische Stil in England......

F.    Der romanische Stil in Spanien........

G.    Der romanische Stil in Italien......

H.    Der romanische Stil in den nördlichen Ländern ....

IV.    Die monumentale Baukunst des Islam........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung ...    .

B.    Die monumentalen Kultbauten der Mohammedaner ....

C.    Der maurische Stil .    ........

V.    Die Monumentalbauten der gotischen Baukunst......

A.    Allgemeine baukünstlcrische Entwickelung......

B.    System der gotischen Bauweise........

C.    Die Verbreitung des gotischen Stiles durch die Bauhütten

D.    Die Grundrissanlage der gotischen Kathedrale in Frankreich .

E.    Die innere Ausgestaltung der Kirchen......

F.    Die gewölbten Decken..........

G.    Die Gotik der Uebergangszeit in Deutschland.....

II. Die gotischen Bauformen.........

I. Die norddeutsche Backsteingotik ........

K. Die Wandlungen der Gotik in den übrigen Ländern

Vierter Abschnitt. Die monumentale Baukunst der neueren Zeit......

I. Die Renaissance in Italien. — II. Die Renaissance in Deutschland, Holland t Dänemark. — III. Die Renaissance in Frankreich, Spanien und England. IV. Der Barockstil. — V. Rokoko- und Zopfstil.....

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236-329

Prof. Ernst Nöthling, Die Baustofflehre,

umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Metalle, sowie die Verbin-dungs-, Neben- und Hilfsbaustoffe. Mit über 300 Abbildungen auf 30 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort......

Einleitung. — Prüfung der Baustoffe Erster Teil. Die Hauptbaustoffe

1-2

I. Die Bausteine..........

A.    Natürliche Steine........

a)    Einfache kristallinische Gesteine

b)    Gemengte kristallinische Gesteine .

c)    Verkittete Trümmergesteine ....

d)    Lose Trümmergesteine und Erden .

e)    Eigenschaften und Prüfung der natürlichen Steine

f)    Die Gewinnung der natürlichen Steine .

g)    Die Bearbeitung der natürlichen Steine .

h)    Die Erhöhung der Dauer von Hausteinen

B.    Die künstlichen Bausteine......

a)    Gebrannte künstliche Steine ....

b)    Ungebrannte künstliche Bausteine ...

II. Die Bauhölzer ..............

Allgemeines — Bau und Gefüge des Holzes — Allgemeine Eigenschaften der Hölzer — Beschreibung der wichtigsten Bauhölzer — Die Bearbeitung der

Hölzer..............

III. Die Metalle...............

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2— 127 2—41 4—12

12-19

19—28

28-31

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33—39

39-41

41—128

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1. Das Eisen als Baustoff. — 2. Kupfer. — 3. Zink. — 4. Blei. —' 5. Zinn. — 6. Aluminium. — 7. Nickel. — 8. Metalllegierungen. — 9. Thermit Zweiter Teil. Die Verbindungsstoffe Einleitung

I.    Die Mörtel

A.    Die Luftmörtel

a)    Der Lehmmörtel

b)    Kalkmörtel .

Das Brennen des Kalkes. — Brennöfen für Kalk und Zement. — Verpackung und Aufbewahren des Kalkes. — Das Löschen des gebrannten Kalkes. — Die Zubereitung des Mörtels. — Die Mörtelmaschinen. — Mischungsverhältnisse für Kalkmörtel. — Sand und Kies. — Die Erhärtung des Kalkmörtels. — Wirkung von Eisen im Mörtel. — Mauerfrass. — Weitere Verwendungen des gebrannten Kalkes.

c)    Gipsmörtel

Allgemeines. — Eigenschaften des Gipses. — Das Brennen des Gipses. — Prüfung des Gipses auf seine Güte. — Schnelles und langsames Erhärten des Gipses. — Verwendungen des Gipses.

B.    Wassermörtel oder hydraulische Mörtel.......

a)    Die Trasse............

b)    Die Zemente...........

C.    Feuerfeste Mörtel...........

II.    Asphalt......... .....

III. Die Kitte.............

. 177—204 . 205-290

205

. 205—275 . 205-242

206

. 206—225

. 225—242

. 243-274 . 244-246 . 246-274 . 274-275 . 275—285 . 285-290 . 290-332

Dritter Teil. Die Neben- oder Hilfsstoffe

I. Das Glas und das Wasserglas

II.    Harze und Teere......

III.    Farben, Firnisse und Lacke

IV.    Kautschuk und Guttapercha V. Dachpappe, Holzzement, wasserdichte Gewebe

VI. Asbest und Uralith.....

VII. Linoleum.......

VIII. Filz, Eisenfilz, Unterlagsfilzpappen

IX.    Tapeten, Lincrusta.....

X.    Hanf und Hanfseile .    ...

XI.    Stroh, Rohr, Moos und Torf XII. Deckengewebe, Rohrgewebe, Matten .

XIII.    Das Papier als Baustoff ....

XIV.    Verschiedene andere Baustoffe ..........

XV.    Verschiedene Baustoffe, welche zur Isolierung gegen Wärme und Kälte usw. dienen 328—332

. 290—296 . 296—298 . 298-312 . 312-313 . 314-315 . 315-319

319

. 319-320 . 320-323 . 323—324 . 324-325 . 326—327 . 327—328

328

Prof. A. Opderbecke, Das Veranschlagen im Hochbau, umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag.

Mit 20 Textabbildungen und 22 Doppeltafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort

A. Allgemeines

1-22

Kostenüberschlag. — Bestandteile der speziellen Entwürfe. — Zeichnungen. — Erläuterungsbericht. — Anschlag. — Massenberechnung der Erdarbeiten, der Maurerarbeiten, der Steinmetzarbeiten, der Zimmerarbeiten, der Eisenarbeiten. — Materialienberechnung zu den Maurer- und Zimmererarbeiten. — Vorschriften für die Kostenberechnung der einzelnen Anschlagstitel.....

B.    Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge..........

Erd- und Maurerarbeiten............

Asphaltarbeiten ....    .........

Steinmetzarbeiten........... .    .    .

Zimmererarbeiten........... .

Staker- und Dachdeckerarbeitcu...........

Klempner- und Tischlerarbeiten...........

Schlosser-, Glaser-, Anstreicher-, Tapezierer- und Ofenarbeiten ....

Bauführungskosten.............

Allgemeines...............

C.    Bestimmungen über die Aufstellung von statischen Berechnungen zu Hochbauten, sowie über die

hierbei anzunehmenden Belastungen bezw. Beanspruchungen

D.    Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe......

Bruch- und Feldsteine. — Werksteine. — Ziegelsteine.

Fussboden- und Wandbekleidungsplatten.

Schwemmsteine. — Fetter Kalk. — Hydraulischer Kalk. — Zement. — Sand. — Mörtel. — Beton. — Kunststein. — Bauholz. — Schiefer. — Dachpappe. — Holzzement. — Asphalt. — Eisen und Stahl. — Zink. — Blei. — Kupfer. — Glas................

E.    Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten...........

Erdarbeiten. — Maurerarbeiten. — Steinmetzarbeiten. — Zimmererarbeiten. — Stakerarbeiten. — Schmiede- und Eisenarbeiten. — Dachdeckerarbeiten. — Klempnerarbeiten. — Tischlerarbeiten. — Schlosserarbeiten. — Anstreicherund Malerarbeiten. — Tapeziererarbeiten. — Stückarbeiten, arbeiten und Zentralheizungen. — Gas- und Wasseranlagen. — Elektrische Haustelegraphen. — Sprachrohre. — Blitzableiteranlagen .....

F.    Bauentwurf nebst Kostenanschlag betr. den Neubau eines Familienhauses.....

Erläuterungsbericht .    ...........

Kostenberechnung .    .............

Vorberechnung..............

Massenberechnung der Erdarbeiten..........

„ Maurerarbeiten.........

„ Steinmetzarbeiten.........

„ Zimmererarbeiten.........

Statische Berechnung der gewalzten T-Träger........

Gewichtsberechnung der gewalzten Träger.........

Maurermaterialienberechnung......

Chamottesteine. — Dachziegel. — Rheinische

Ofensetzer-

1—22

23-36

23

28

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37—50

51—120

51-120

121—172

121—172

173—250

173

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212

222

228

244

249

Aus „Prof. A. Öpderbecke und H. Wittenbecher, Der Steinmetz“

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Prof. A. Opderbecke und H. Wittenbecher, Der Steinmetz,

umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen.

Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort..................

I.    Allgemeines...............

Eigenschaften guter Bausteine. — Gewinnung natürlicher Bausteine. — Lage und Einrichtung des Werkplatzes. — Steinhauerhütten. — Das Aufbänken. — Das Werkzeug. — Die Bearbeitung.......•    .

II.    Das Versetzen der Werksteine..........

Hebezeuge. — Baugerüste. — Das Vergiessen. — Ausbesserung beschädigter Werkstücke..............

III.    Mauern aus Bruch- und Feldsteinen.........

IV.    Mauern aus bearbeiteten Werksteinen........

Form und Grösse der Quader. — Läuferverband. — Blockverband. — Eckverbände. — Freistehende Mauern. — Verblendung mit Platten. — Steinliste .

1-22

1-22

23-39

23-39

40-42

43—53

V. Die Gesimse..............

Fuss- und Sockelgesimse. — Gurtungen. — Hauptgesimse, Trauf- und Kranz

gesimse ....    .........

VI. Maueröffnungen.............

Ueberdeckung der Oeffnungen. — Fensteröffnungen. — Kellerfenster. — Stock werkfenster. — Die Sohlbank. — Die Gewände. — Gerader Sturz. — Flach und Rundbögen. — Gekuppelte Fenster. — Tür- und Toröffnungen. — Tür schwellen. — Türgewände. — Zwischensturze. — Haustore.

Torpfeiler...........

43-53

54-75

54—75

76-141

Tür- und

VII. Hausgiebel

Grundform der Giebel. — Traufgesimse an den Giebeln VIII. ErkerundBalkone........

Unterstützung der Erkerplatten. — Baikone. — Balkonbrüstungen

IX. Treppen

76-141

142-159

142—159

160—167

160—167

168-196

Steigungsverhältnis. — Grundrissform. — Das Verziehen der Stufen. — Frei treppen. — Innere Wangentreppen. — Freitragende Treppen. — Spindel treppen ..............

X. Gewölbe

169-196

197—222

1.    Böhmisches Kappengewölbe .....    ....

2.    Kreuzgewölbe .    ........

a)    Kreuzgewölbe mit wagerechten Scheitellinien und gleichhohen Rand

und Diagonalbogen (römische Gewölbe)......

b)    Kreuzgewölbe mit geradem Stich und gleichhohen Rand- und Diagonal

bogen (romanische Gewölbe)........

c)    Gebuste Kreuzgewölbe (gotische Gewölbe)......

3.    Sterngewölbe.........

199

201

203

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A/aßstab für die Gereichte.

60 Tonnen

AJaßstab für die Längen

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Tafel 8.

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KRAKÓW

K. Schöler, Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues

einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen Tafeln und 15 Querschnittstabellen.

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Erster Teil. Statik

1—94

I.    Grundbegriffe, Erklärungen............

Aufgabe der Statik. Grundbegriffe. Bestimmungsstücke einer Kraft. Darstellung der Kräfte. Kräfteplan. Mittelkraft. Gleichgewicht. Gleichgewicht zweier Kräfte. Satz von der Verschiebung des Angriffspunktes.

II.    Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.......

a)    Die Kräfte wirken in derselben Geraden.......

b)    Die Kräfte wirken an einem Punkte nach verschiedenen Richtungen .

c)    Rechnerische Zusammensetzung und Zerlegung von ebenen Kräften .

d)    Die Kräfte wirken zerstreut in der Ebene......

e)    Von den statischen Momenten der Kräfte......

ilŚ Anwendung der statischen Gesetze auf die Baukonstruktionen

a)    Der durch Einzellasten beanspruchte Balken......

b)    Der Schwerpunkt...........

c)    Von der Standsicherheit .    ......

d)    Von üer Auflagerung der Träger........

e)    Von den Fachwerkträgern..........

Zweiter Teil. Festigkeitslehre............

I. Einleitung..............

1—4

4-39

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a)    Formänderung und Spannung.........

b)    Dehnung, Dehnungskoeffizient, Elastizitätsmodul .

c)    Proportionalitätsgrenze, Grenzkraft, Festigkeit.....

d)    Zulässige Beanspruchung, Sicherheitskoeffizient.....

e)    Festigkeitsarten............

f)    Zulässige Beanspruchung..........

II.    Zugfestigkeit..............

III.    Druckfestigkeit.............

IV.    Schubfestigkeit.............

V. Biegungsfestigkeit.............

a) Entwickelung der Biegungsgleichung ......

bj Die meist vorkommenden Belastungsfälle......

VI. Knickfestigkeit.............

a)    Berechnung der Säulen..........

b)    Berechnung der Säulenfüsse.........

c)    Trägeranschlüsse an gusseiserne Säulen ...    .    .    .

d)    Schmiedeeiserne Säulen, deren Querschnitt aus zwei (“-Eisen besteht

e)    Frontstützen aus |_-Eisen.........

VII.    Schubspannungen in der Längsrichtung der Träger......

VIII.    Zusammengesetzte Festigkeit..........

a)    Die auf Doppelbiegung beanspruchten Träger.....

b)    Biegung und Zug...........

c)    Biegung und Druck...........

d)    Der exzentrische Druck..........

e)    Horizontal belastete Säulen.........

IX. Beton- und Betoneisenkonstruktionen.........

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101—103

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178

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183

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185

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189

192

195—217

a)    Zentrischer Druck.........

b)    Beanspruchung auf Zug........

c)    Schubfestigkeit..........

d)    Biegung......

e)    Adhäsion zwischen Eisen und Beton.....

f)    Berechnung der Betoneisenkonstruktionen ....

Dritter Teil. Anwendungen auf grössere Konstruktionen......

a)    Reibung...........

b)    Erddruck    ..........

c)    Die freistehenden Schornsteine......

d)    Die Gewölbe..........

e)    Musterbeispiele für die Anfertigung statischer Berechnungen

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Soeben gelangte zur Ausgabe:

Handbuch des Bautechnikers Band XVII:

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ENTWERFEN DER FASSADEN

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Haass, L., Die Schattenkonstruktionen, die axonometrische Projektion und die Perspektive. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 325 Textabbildungen und 16 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Hintz, L., Die Baustatik. Ein elementarer Leitfaden zum Selbstunterricht und zum praktischen Gebrauch für Architekten, Baugewerksmeister und Schüler bautechnischer Lehranstalten. Dritte vermehrte und verbesserte Auflage. Mit einer Tafel und 305 in den Text eingedruckten Abbildungen, gr. 8. Geh. 8 Mark. Geb. 9 Mark 50 Pfg.

Issel, H., Die landwirtschaftliche Baukunde, umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld-und Hofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite erweiterte uod verbesserte Auflage. Mit 684 Textabbildungen und 24 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Die Baustillehre, umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monumental-Baukunst in den verschiedenen Stilarten. Mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 454 Textabbildungen und 17 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Das Entwerfen der Fassaden, entwickelt aus der zweckmässigen Gestaltung der Einzelformen und deren Anwendung auf neuzeitliche bürgerliche Bauten in Bruchstein-, Werkstein-, Putz- und Holzarchitektur. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit etwa 400 Textabbildungen und 20 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Der Holzhau, umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständerund Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Die Wohnungshaukunde (Bürgerliche Baukunde), umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite bedeutend erweiterte und verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Jeep, W., Der Asphalt und seine Anwendung in der Technik. Gewinnung, Herstellung und Verwendung der natürlichen und künstlichen Asphalte. Zweite neubearbeitete Auflage, herausgegeben von Prof. Ernst Nöthling, Architekt und Oberlehrer der Kgl. Baugewerkschule zu Deutsch-Krone (Westpr.). Mit 30 in den Text gedruckten Abbildungen, gr. 8. Geh. 6 Mark.

Jeep, W., Die Einrichtung und der Bau der Backöfen. Ein Handbuch für Bau- und Maurermeister, Bäcker und alle diejenigen, welche sich mit dem Bau und Betriebe der Backöfen und Bäckereien befassen. Zweite sehr vermehrte Auflage. Mit einem Atlas von 15 Tafeln, enthaltend 158 Abbildungen. 8. Geh. 5 Mark.

Jeep, W., Einfache Buchhaltung für baugewerbliche Geschäfte. Zum Gebrauche für Bauhandwerker und technische Lehranstalten. Nebst einem Anhang: Die gesetzlichen Bestimmungen über die Arbeiter-Versicherungskassen. Dritte vermehrte und verbesserte Auflage, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Jeep, W., Die Eindeckung der Dächer mit weichen und harten Materialien, namentlich mit Steinen, Pappe und Metall. Eine Anleitung zur Anfertigung der verschiedenen Dacheindeckungen für Schiefer- und Ziegeldecker, Klempner, Bauhandwerker und Bauunternehmer. Vierte Auflage. Mit Atlas von 12 Foliotafeln. 8. Geh. 4 Mark 50 Pfg.

Jeep, W., Die Anfertigung der Kitt- und Klebemittel für die verschiedensten Gegenstände. Zum Gebrauch für Maschinenfabrikanten, Ingenieure, Architekten, Baumeister, Bauunternehmer, Schlosser, Schmiede, Tischler, Drechsler etc. Vierte völlig veränderte Auflage von Thons Kittkunst, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Jeep, W., Das graphische Rechnen und die Graphostatik in ihrer Anwendung auf Baukonstruktionen. Zum Gebrauche für Baugewerksmeister, Baugewerksschulen usw. Zweite Auflage. Mit Atlas von 35 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 5 Mark.

Jentzen, Ed., Die Flächen- und Körperberechnungen. Nebst vielen Beispielen zum praktischen Gebrauch für Bau- und Maschinentechniker. Mit 116 Figuren. Zweite vermehrte Auflage, gr. 8. Geh. 2 Mark 25 Pfg.

Johnen, Dr. P. J., Elemente der Festigkeitslehre in elementarer Darstellung mit zahlreichen, teilweise vollständig gelösten Uebungsbeispielen, sowie vielen praktisch bewährten Konstruktionsregeln. Für Maschinen- und Bautechniker, sowie zum Gebrauche in technischen Lehranstalten. Mit 176 in den Text gedruckten Abbildungen und mehreren Profiltabellen, gr. 8. Geh. 6 Mark 75 Pfg.

Keller, 0., Das A-B-C des Zimmermanns oder die ersten Begriffe der Zimmerkunst für Lehrlinge und angehende Gesellen. Zweite, gänzlich neubearbeitete Auflage. Mit 12 Figurentafeln, kl. 4. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Keller, 0., Kleine Häuser. Eine Sammlung von einfachen und reicheren Entwürfen für Baugewerksmeister, Bauschüler und Bauunternehmer. Fünfte vollständig neubearbeitete Auflage. 30 Tafeln mit Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Keller, 0., Architektonische und konstruktive Details zum Gebrauch für Bauausführende und Schüler des Baufaches. 10 Grossfoliotafeln mit Text in Mappe. 6 Mark.

Keller, 0., Architektonische Holzverzierungen zum Aussägen. Eine Sammlung von Entwürfen zum praktischen Gebrauch für Architekten und Baugewerksmeister, sowie als Wandtafelvorlagen für Fachschulen. Dritte vermehrte Auflage. 10 Tafeln in grösstem Folioformat in Mappe, gr. 4. 5 Mark.

Keller, 0., Vorlegeblätter für das Tiefbauzeichnen zum Gebrauche an Tiefbauschulen. 26 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 5 Mark.

Kellers Unterrichtsbüeher für das gesamte Baugewerbe. Für Praxis, Selbstunterricht und Schulgebrauch.

Bd. 1. Die Mathematik I. Gemeine Arithmetik und bürgerliches Rechnen, allgemeine Arithmetik sowie Algebra und Trigonometrie. Dritte vermehrte Auflage. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

Band 2. Die Mathematik II. Planimetrie, Stereometrie, darstellende Geometrie und Schattenlehre. Vierte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 323 Figuren auf 26 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    2a. Die Mathematik Ha. Perspektive, Schiften, Austragen der Treppen,

Krümmlinge und Steinschnitt. Mit 89 Figuren auf 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    3. Technische Naturlehre, mit besonderer Berücksichtigung der Physik,

Baumechanik, Chemie und Baumaterialienlehre. Dritte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 7 Tafeln, enthaltend 77 Figuren. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    4. Die Baukonstruktionslehre I. Steinkonstruktionen, enthaltend die

Arbeiten des Maurers und Steinmetzen. Dritte gänzlich neubearbeitete Auflage. Mit 215 Abbildungen auf 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    5. Die Baukonstruktionslehre II. Holzkonstruktionen, enthaltend

die Arbeiten des Zimmerers und Bautischlers. Vierte gänzlich umgearbeitete Auflage. Mit 202 Figuren auf 22 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    6. Die Baukonstruktionslehre III. Enthaltend die Elemente der

Eisenverbindungen sowie die einfachen Konstruktionen des Hoch- und Brückenbaues. Zweite vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 171 Abbildungen auf 10 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    7. Die Baukonstruktionslehre IV. Enthaltend die Feuerungs- und

Heizanlagen, die Ventilation und Beleuchtung für häusliche und gewerbliche Zwecke. Dritte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„ 8. Die Bauformenlehre. Enthaltend die Entwickelung und die Verhältnisse der Bauformen, den Fassadenbau und architektonische Einzelheiten mit besonderer Berücksichtigung des modernen Stiles. Dritte neubearbeitete Auflage. Mit 234 Abbildungen auf 20 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    9. Die Tiefbaukunde I. Enthaltend die verschiedenen Gründungsarten

und die Elemente des Wasserbaues. Zweite verbesserte Auflage. Mit 86 Abbildungen auf 8 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„ 10. Die Tiefbaukunde II. Enthaltend die Elemente der praktischen Geometrie und des Planzeichnens; Strassen- und Eisenbahnbau. Bearbeitet von A. Junglianss. Mit zahlreichen Figuren auf 15 Tafeln. Lex.-8. Geb. 1 Mark 50 Pfg.

„    11. Die Tiefbaukunde III. Enthaltend die Baumaschinen und die

Elektrotechnik im Baufach. Bearbeitet von K. v. Auw. Lex.-8. Geb. 1 Mark 50 Pfg.

„    12. Die Allgemeine Baukunde. Die Einrichtung der landwirtschaft

lichen, bürgerlichen, gewerblichen und gemeinnützigen Gebäude. Dritte vermehrte Auflage. Mit 12 Tafeln, enthaltend 160 Figuren. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

Kl as en, L., Landhäuser im Schweizer Stil und ähnlichen Stilarten. Eine Sammlung billig zu erbauender Villen für eine oder zwei Familien. 25 Tafeln in Quart mit erläuterndem Text. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Klep sch, Th., Der Fluss-Schiffsbau und seine Ausführung in Eisen, Holz und Komposit-Metall. Ein Wegweiser für Schiffsbauer, Ingenieure, Rhedereien und Schiffsbauunternehmer, nach praktischen Erfahrungen zusammengestellt und mit Tabellen versehen. Zweite Auflage. Mit 9 Foliotafeln, gr. 4. Geh. 3 Mark.

König, A., Ländliche Wohngebäude, enthaltend Häuser für den Landmann, Arbeiter und Handwerker, sowie Pfarr-, Schul- und Gasthäuser mit den dazu erforderlichen Stallungen. Nebst ausführlicher Angabe des zu ihrer Erbauung nötigen Aufwandes an Materialien und Arbeitslöhnen. Fünfte vollständig neubearbeitete Auflage von Paul Gründliug, Architekt in Leipzig. Mit einem Atlas, enthaltend 16 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 10 Mark.

Ko pp, W. und Graef, A. und M., Die Arbeiten des Schlossers. Erste Folge. Leicht ausführbare Schlosser- und Schmiedearbeiten für Gitterwerk aller Art. In herrschendem Stil und gangbarsten Verhältnissen, nach genauem Mafs entworfen. Zweite vermehrte Auflage von „Böttger und Graefs Arbeiten des Schlossers“. 24 Foliotafeln, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Koepper’s Handwerkerbibliothek Band II: Der Dachdecker-Lehrling. Praktischer Ratgeber für die Lehrzeit nebst Anleitung zur Gesellen-Prüfung, bearbeitet von Mitgliedern des S. W. D. Dachdecker-Verbandes. Mit 92 Textabbildungen. 8. Kart. 50 Pfg.

Koepper’s Handwerkerbibliothek Band 111. Der Maurer-Lehrling. Praktischer Ratgeber für die Lehrzeit nebst Anleitung zur Gesellen-Prüfung, bearbeitet von Georg Bier, Baugewerksmeister und Revisionsbeamter der Handwerkskammer zu Cohlenz. Mit 96 Textabbildungen. 8. Kart. 50 Pfg.

Koepper’s Handwerkerbibliothek Band VI. Der Zimmerer-Lehrling. Praktischer Ratgeber für die Lehrzeit nebst Anleitung zur Gesellen-Prüfung, bearbeitet von Georg Bier, Baugewerksmeister und Revisionsbeamter der Handwerkskammer zu Coblenz. Mit 144 Textabbildungen. 8. Kart. 50 Pfg.

Kreuzer, Herrn., Farbige Bleiverglasnngen für Profan- und Kirchenbauteü. Für Architekten und praktische Glaser. I. Sammlung: ProfanbauteD. Zweite Auflage. 10 Blatt Folio in Farbendruck. Geh. 5 Mark.

Kühn, A. und Rohde, H., Entwürfe für Gast- und Logierhäuser in Bade-und Luftkurorten. 26 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Lande, R., Stadt- und Landhäuser. Eine Sammlung von modernen Entwürfen in gotischen Formen. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten, Perspektiven und Teilzeichnungen mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 24 Tafeln mit Text in Mappe, gr. 4.    7 Mark 50 Pfg.

Lande, R., Villa und Stadthaus. Eine Sammlung von Entwürfen und ausgeführten Bauten in Formen der Renaissance und des Barockstils. Dargestellt durch Grundrisse, Ansichten, Perspektiven und Teilzeichnungen mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 24 Tafeln mit Text in Mappe, gr. 4. 7 Mark 50 Pfg.

Lande, R. und Krause, 0., Mein Haus — meine Welt. Eine Sammlung von Entwürfen für Einfamilienhäuser. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten und Perspektiven mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 25 Tafeln mit Text, gr. 4. ln Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Lindner, M., Die Technik des Blitzableiters. Anleitung zur Herstellung und Prüfung von Blitzableiteranlagen auf Gebäuden jeder Art; für Architekten, Baubeamte und Gewerbetreibende, die sich mit Anlegung und Prüfung von Blitzableitern beschäftigen. Mit 80 Abbildungen, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Manega, R., Die Anlage von Arbeiterwohnungen vom wirtschaftlichen, sanitären und technischen Standpunkte, mit einer Sammlung von Plänen der besten Arbeiterhäuser Englands, Frankreichs und Deutschlands. Dritte neubearbeitete Auflage, herausgegeben von Paul Gründling, Architekt in Leipzig. Mit einem Atlas von 16 Tafeln, enthaltend 176 Figuren, gr. 8. Geh. 7 Mark 50 Pfg.

Mühlau, P., Tore, Türen, Fenster und Glasabschlüsse im Stile der Neuzeit. Eine Sammlung mustergültiger Original-Entwürfe von Toren, Haus-, Zimmer-und Korridortüren, Windfängen, Glasabschlüssen, Fenstern und Wandvertäfelungen in einfacher und reicher Ausführung. Zum unmittelbaren Gebrauch für die Praxis bearbeitet. 30 Tafeln mit erkl. Text. gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Müller, W., Der Bau eiserner Treppen. Eine Darstellung schmiedeeiserner Treppen mit besonderer Berücksichtigung der neuesten Konstruktionen. Vierundzwanzig Tafeln und 2 Detailblätter, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Müller, W., Der Bau steinerner Treppen. Eine Darstellung steinerner Treppen in praktischen Beispielen mit besonderer Berücksichtigung der neuesten Konstruktionen. 24 Tafeln und 4 Blätter mit Teilzeichuungen in natürlicher Grösse, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Neu pert, F., Geschäftshäuser. Eine Sammlung von Entwürfen zu eingebauten Geschäfts- und Lagerhäusern für grössere und kleinere Städte. 25 Tafeln mit erklärendem Text in Mappe, gr. 4.    9 Mark.

Nieper, F., Das eigene Heim. Eine Sammlung von einfachen, freistehenden Einfamilienhäusern.. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten und Perspektiven. 26 Tafeln mit erklärendem Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Nöthling, E.,; Die Baustofflehre, umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Mörtelarten, sowie die Verbindungs-, Neben- und Hilfsbanstoffe. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 30 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Nöthling, E., Die Eiskeller, Eishäuser und Eisschränke, ihre Konstruktion und Benutzung. Für Bautechniker, Brauereibesitzer, Landwirte, Schlächter, Konditoren, Gastwirte u. s. w. Fünfte umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 161 Figuren, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Nöthling, E., Der Schutz unserer Wohnhäuser gegen die Feuchtigkeit. Ein

Handbuch für praktische Bautechniker, sowie als Leitfaden für den Unterricht in Baugewerksschulen. Mit 24 eingedruckten Figuren, gr. 8. Geh. 1 Mark 20 Pfg.

Opderbecke, A., Der innere Ausbau, umfassend Türen uud Tore, Fenster und Fensterverschlüsse, Wand- und Deckenvertäfelungen, Treppen in Holz, Stein und Eisen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 600 Textabbildungen und 7 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die Bauforinen des Mittelalters in Sandstein. 36 Blatt in Folio mit Text in Mappe. Zweite Auflage. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die Bauformenlehre, umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite vervollständigte Auflage. Mit 537 Textabbildungen und 18 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die allgemeine Baukunde, umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verb. und erweiterte Auflage. Mit694Text-abbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Dachausmittelungen mit besonderer Berücksichtigung des bürgerlichen Wohnhauses. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. 24 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark.

Opderbecke, A., Der Dachdecker und Bauklempner, umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen und die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 700 Textabbildungen und 16 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die Dachschiftungen. Zum Gebrauche für Baugewerkschüler und ausführende Zimmermeister. Mit 54 Textabbildungen und einer Doppeltafel. Lex.-8. Geh. 75 Pfg.

Opderbecke, A., Darstellende Geometrie für Hochbau- und Steinmetz-Techniker, umfassend: Geometrische Projektionen, die Bestimmung der Schnitte von Körpern mit Ebenen uud unter sich, das Austragen von Treppenkrümmlingen und der Anfängersteine bei Rippengewölben, die Schattenkonstruktionen und die Zentralperspektive. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. 32 Tafeln mit 186 Einzelfiguren und erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark 75 Pfg.

Opderbecke, A., Der Maurer, umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- u. Fugearbeiten. Für den Schulgebrauch u. die Baupraxis bearbeitet. Mit 743 Textabbild, und 23 Tafeln. Dritte vermehrte Auflage. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Stadt- und Landkirchen nach Entwürfen und Ausführungs-Zeichnungen hervorragender Architekten zusammengestellt und bearbeitet. 24 Tafeln mit erklärendem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark.

Opderbecke, A., Das Veranschlagen im Hochbau, umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 20 Textabbildungen und 22 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Der Zimmermann, umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die Fachwerkwände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen u. die Baugerüste. Für den Schulgebrauch u. die Baupraxis bearbeitet. Mit 811 Textabbild, u. 27 Taf. Dritte vermehrte Aufl. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A. und Wittenbecher, H., Der Steinmetz, umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Rebber, W., Fabrikanlagen. Ein Handbuch für Techniker und Fabrikbesitzer zur zweckmässigen Einrichtung maschineller, baulicher, gesundheitstechnischer und unfallverhütender Anlagen in Fabriken, sowie für die richtige Wahl des Anlageortes und der Betriebskraft. Neubearbeitet von C. G. 0. Deckert, Ingenieur. Zweite vermehrte Auflage, gr. 8. Geh. 3 Mark 75 Pfg.

Reinnel’s, F., praktische Vorschriften für Maurer, Tüncher, Haus- und Stubenmaler, Gips- und Stuckaturarbeiter, Zementierer und Tapezierer, zum Putzen Anstreichen und Malen der Wände, Anfertigung von baulichen Ornamenten aus Kunststein, Zement und Gips, zur Mischung der verschiedenartigen Mörtel, Anstriche auf Holz, Eisen usw. Dritte Auflage, vollständig neubearbeitet von Ernst Nöthling, Architekt und Kgl. Baugewerkschullehrer. Geh. 4Mark50Pfg.

Ritter, C., Die gesamte Kunstschmiede- und Schlosser-Arbeit. Ein Muster-und Nachschlagebuch zum praktischen Gebrauch für Schlosser und Baumeister, enthaltend: Türen und Tore, Geländer und Gitter aller Art, Bekrönungen und Füllungen, Bänder und Beschläge u. dergl. in einfacher und reicherer Ausführung mit Angabe der gebräuchlichen Mafse. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. 26 Tafeln mit Text. gr. 8. In Mappe. 4 Mark 50 Pfg.

Robrade, H., Die Heizungsanlagen in ihrer Anordnung, Berechnungsweise und ihren Eigentümlichkeiten mit besonderer Berücksichtigung der Zentralheizung und der Lüftung. Ein Hilfsbuch zum Entwerfen und Berechnen derselben. Mit 117 Abbildungen, gr. 8. Geh. 4 Mark

Robrade, H., Taschenbuch für Hochbautechniker und Bauunternehmer. Vierte verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 200 Textabbildungen. 8. Geb. 4 Mark 50 Pfg.

Roch, F., Moderne Fassadenentwürfe. Eine Sammlung von Fassaden in neuzeitlicher Richtung. Unter Mitwirkung bewährter Architekten herausgegeben. 24 Tafeln, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

von Geb. 2 Mark.

Schmidt, 0., Die Anfertigung der Dachrinnen in Werkzeichnuugen. Mit

Berücksichtigung der in der Abteilung für Bauwesen im Königlich Preussischen

Schloms, 0., Der Sclmittholzberechner. Hilfsbuch für Käufer und Verkäufer Schnittmaterial, Zimmermeister und Holzspediteure. Zweite Auflage.

Ministerium für öffentliche Arbeiten entworfenen Musterzeichnungen. 12 Plano« tafeln mit 106 Figuren und erläuterndem Text. In Mappe. 5 Mark.

Schüler, R., Die Eisenkonstruktionen des Hochbaues, umfassend die Berech nung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen, der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen, Dächer und Oberlichter. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verbesserte Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Schüler, R., Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen Tafeln und 15 Querschnittstabellen. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Schräder, L., Der Fluss- und Strombau mit besonderer Berücksichtigung der Vorarbeiten. Mit 7 Foliotafeln, gr. 4. Geh. 3 Mark 75 Pfg.

Schubert, A., Diemenschuppen und Feldscheunen, ihre zweckmässige Konstruktion, Ausführung und deren Kosten, für Landwirte und Techniker. Mit 20 Textillustrationen und 8 Tafeln, gr. 8. Geh. 1 Mark 80 Pfg.

Schubert, A., Kleine Stallbauten, ihre Anlage, Einrichtung und Ausführung. Handbuch für Baugewerksmeister, Bautechniker und Landwirte. Mit 97 Textfiguren und 3 Kostenanschlägen, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Schubert, A., Landwirtschaftliche Baukunde. Ein Taschenbuch, enthaltend technische Notizen, sowie Tabellen und Kostenangaben zum unmittelbaren Gebrauch beim Entwerfen und Veranschlagen der wichtigsten landwirtschaftlichen Bauten. Für Techniker, technische Schulen und Landwirte. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. 8. Geb. 1 Mark 80 Pfg.

Scriba, E., Moderne Bautischlerarbeiten. Eine Sammlung mustergültiger Entwürfe zum Ausbau der Innenräume im Stile der Neuzeit. 24 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark. Geb. 8 Mark.

Seidel, Fr., Sprüche für Haus und Gerät. 12. Geh. 2 Mark.

1 : 100.

Seyffarth, C. v., Modell der zeichnerischen Darstellung für ein freistehendes bürgerliches Einfamilienhaus. Dargestellt durch Zeichnungen im Massstab Zum Gebrauche beim Unterricht im Entwerfen und Veranschlagen an Baugewerk- und technischen Mittelschulen, sowie zum Privatstudium für Bauschüler. 15 farbige Tafeln mit erklärendem Text. gr. 4. In Mappe. 6 Mark.

Tormin, R., Der Bauratgeber. Ein alphabetisch geordnetes Nachschlagebucb für sämtliche Baugewerbe. Neubearbeitet von Professor Ernst Nöthling, Architekt und Oberlehrer an der Königl. Baugewerkschule zu Hildesheim. Mit 206 Textabbildungen. Vierte bedeutend erweiterte Auflage von Termins Bauschlüssel. Lex.-8. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 9 Mark.

Tormin, R., Kalk, Zement und Gips, ihre Bereitung und Anwendung zu baulichen, gewerblichen und landwirtschaftlichen Zwecken, wie auch zu Kunstgegenständen. Für Zement- und Kunststein-Fabrikanten, Techniker, Architekten, Maurermeister, Fabrikbesitzer usw. Vierte bedeutend erweiterte Auflage, bearbeitet von Professor Ernst Nöthling, Architekt, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Weichardt, C., Motive zu Garten-Architekturen. Eingänge, Veranden, Brunnen, Pavillons, Bäder, Brücken, Ruheplätze, Volieren usw. 25 Blatt, enthaltend 20 Projekte und etwa 100 Skizzen in Randzeichnungen, nebst 6 Tafeln Details in natürlicher Grösse. Folio in Mappe. 12 Mark.

Zimmermanns-Sprüclie und Kranzreden, die mustergültigsten, beim Richten neuer Gebäude, namentlich von bürgerlichen Wohn- und Wirtschaftsgebäuden, Kirchen, Türmen, Gerichtsgebäuden, Rathäusern, Waisen-, Schul- und Pfarrhäusern, Hospitälern, Fabrikgebäuden usw. Neunte neu durchgesehene und vermehrte Auflage. 12. Geh. 2 Mark 25 Pfg.

Druck von Straubing ti Mùüer, Weimar.

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