WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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DAS HANDBUCH

DES

BAUTECHNIKERS

c) Rechnerische Zusammensetzung und Zerlegung von ebenen Kräften.

III. Anwendung der statischen Gesetze auf die Baukonstruktionen.

S = F-y = 2(f.y).

Fig. 219 und 220.

46)

68)

v = p.(

+3R2 = »- b+ 9l.a =

Berechnung der Säulenfüsse.

e) Horizontal belastete Säulen.

In der nachstehenden Tabelle sind die Resultate vo

2 M = 0,

2,0-

Verlag von Bernh. Friedr. Voigt in Leipzig

BAUTECHNIKERS

Prof. A. Opd erb ecke und H. Wittenbecher, Der Steinmetz,

BAUTECHNIKERS

EINE ÜBERSICHTLICHE ZUSAMMENFASSUNG DER AN BAUGEWERKSCHULEN GEPFLEGTEN TECHNISCHEN LEHRFÄCHER

ZUM GEBRAUCHE

FÜR

STUDIERENDE UND AUSFUHRENDE BAUTECHNIKER

UNTER MITWIRKUNG

VON

ERFAHRENEN BAUGEWERKSOHULLEHRERN

HERAUSGEGEBEN

VON

HANS ISSEL

ARCHITEKT, ORDENTLICHER LEHRER FÜR HOCHBAU AN DER KGL. BAUGEWERKSCHULE

IN HILDESHEIM

XVI. BAND

DIE STATIK UND FESTIGKEITSLEHRE

LEIPZIG 1908

VERLAG VON BERNH. FRIEDR. VOIGT.

DIE STATIK

UND FESTIGKEITSLEHRE

DES HOCHBAUES

EINSCHLIESSLICH DER THEORIE DER BETON- UND BETON EISEN KONSTRUKTIONEN

FÜR DEN SCHULGEBRAUCH UND DIE BAUPRAXIS

BEARBEITET

VON

R. SCHÖLER

DIREKTOR DER A Nil A LT ISCHEN BAUSCHULE ZU ZERBST

ZWEITE VERBESSERTE UND ERWEITERTE AUFLAGE

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MIT 612 TEXTABBILDUNGEN, 13 ZUM TEIL FARBIGEN TAFELN UND 15 QUERSCHNITTSTABELLEN

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LEIPZIG 1908

VERLAG VON BERNH, FRIEDE. VOIGT.

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BIBLIOTEKA POLITECHNICZIjA

KRAKÓW

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Vorwort

ersten Auflage

Die fortschreitende Entwickelung der Hochbautechnik verlangt von jedem in der Praxis stehenden Techniker, dass er mit den Gesetzen der Statik und Festigkeitslehre so vertraut ist, dass er seine Konstruktionen statisch begründen kann. Mit Recht verlangen die Baupolizeibehörden überall den Nachweis der Stabilität für alle Konstruktionen. deren Standsicherheit nicht von vornherein klar erkennbar ist. ln erster Linie gilt dies für alle Eisenkonstruktionen und die Konstruktionen des Beton- und Eisenbetoubaues, die in neuerer Zeit eine ungeahnte Einführung in die Hochbaupraxis gefunden haben.

Die Gesichtspunkte, welche mich bei der Abfassung der „Eisenkonstruk-tionen des Hochbaues“, Band IX dieses Werkes, geleitet haben, sind für mich auch mafsgebend gewesen für die Bearbeitung des vorliegenden Bandes.

Mitten in der Praxis stehend und daher wohl bekannt mit ihren stets zunehmenden Bedürfnissen, habe ich gleichzeitig auf Grund meiner Erfahrungen als Lehrer für Statik und Eisenkonstruktionen, nur das gegeben, was der Bautechniker wirklich braucht.

Das Buch ist daher von dem Bauschüler ebenso mit Nutzen zu studieren, wie von dem in der Praxis stehenden Techniker. Die Ableitungen sind so elementar gehalten, dass ihnen jeder folgen kann; die gewählten Beispiele sind direkt der Praxis entnommen.

Was die Gliederung des Buches anbetrifft, so zerfällt es in drei Teile.

Im ersten Teil sind die Gesetze der Statik behandelt und angewandt auf den Balken auf zwei Stützen, die Schwerpunktsbestimmungen, die Auflagerung der Träger und das Fachwerk, wobei sowohl- das Eisenfachwerk als das Holzfachwerk eingehend besprochen wurde.

• Im zweiten Teil sind die Gesetze der Festigkeitslehre entwickelt und an einer grossen Anzahl von Beispielen erläutert. Abweichend von der Ansicht

mancher Schulkollegen, dass die Bedeutung der Begriffe Dehnung, Dehnungskoeffizient, Elastizitätsmodul, nur obenhin behandelt zu werden brauche, bin ich der Meinung, dass gerade hier eine eingehende BesprechuDg stattzufinden habe, da auf diesen Gesetzen doch die ganze Festigkeitslehre steht. Ich habe daher um so weniger gezaudert, diesen Abschnitt ausführlich zu behandeln, als die vorkommenden Ableitungen sich äusserst elementar entwickeln lassen.

In der Biegungsfestigkeit habe ich ausser den gewöhnlichen Belastungsfällen die Träger mit ungleich hohen Stützen aufgenommen und der Durchbiegung der Träger besondere Aufmerksamkeit geschenkt.

Dies geschah aus zwei Gründen. Erstens macht sich der Techniker selten ein Bild von der Durchbiegung und ist später nach der Ausführung meist sehr überrascht von der Grösse derselben. Zweitens wollte icli gegen den in manchen elementaren Lehrbüchern immer wieder auftauchenden Satz, dass der Balken mit dem Seitenverhältnis 5 : 7 die grösste Tragfähigkeit besitze, Stellung nehmen.

Die Tragfähigkeit hat mit dem Verhältnis 5 : 7 nichts zu tun, sie ist lediglich abhängig vom Trägheitsmoment des Querschnittes. Man sollte doch endlich einmal auf hören, dieses Verhältnis, welches nur noch historischen Wert hat, der Bestimmung von Balkenquersehuitten zugrunde zu legen.

Die Berechnung der Schubspannung in der Längsrichtung der Träger, die sich ebenfalls ganz elementar ableiten lässt, habe ich aufgenommen, weil auch hier viele unklare Vorstellungen in der Praxis vorhanden sind.

Die Gesetze der Durchbiegung habe ich benutzt zur Untersuchung der kontinuierlichen Träger.

In der Knickfestigkeit findet sich ausser der Berechnung zentrisch belasteter Säulen auch die Berechnung der Säulenfüsse und der an Säulen befindlichen Konsolen und Rippen. Ausserdem ist hier die Berechnung der aus mehreren Teilquerschnitten bestehenden schmiedeeisernen Säulen durchgenommen worden.

Die exzentrisch belasteten Säulen und solche Stützen, die durch horizontale Kräfte beansprucht werden, sind in dem Kapitel über die zusammengesetzte Festigkeit berechnet.

Den Ansprüchen der modernen Technik glaubte ich dadurch Rechnung tragen zu müssen, dass ich die Berechnung der Beton-und Betoneisenkonstruktionen in dieses Lehrbuch aufnahm und einfache Formeln znr Bestimmung der Abmessungen derartiger Konstruktionsteile ableitete. Hierbei ist der ministerielle Erlass vom 16. April 1904 über die Ausführung und Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen bei Hochbauten gebührend berücksichtigt worden.

Im dritten Teile sind die Theorie der Reibung, der Stützmauern, Schornsteine und Gewölbe behandelt und zwei Musterbeispiele statischer Berechnungen gegeben worden, wie sie bei Behörden angefertigt und von dem die Bauerlaubnis nachsuchenden Bautechniker zweckmässig der Baupolizeibehörde eingereicht zu werden pflegen.

Der Text ist durch eine äusserst grosse Anzahl Skizzen erläutert. Wesentlich beitragen zum Verständnis werden auch die farbigen Tafeln, die eine grosse Zahl von Kräfteplänen enthalten, wie sie in der Praxis meist angefertigt werden. Auch die Untersuchungen der Stützmauern, Schornsteine und Gewölbe sind auf den Tafeln in den üblichen Farben durchgeführt.

Die im Au hang befindlichen Tabellen der deutschen Normalprofile für Bauhölzer und Walzeisensorten, der Säulenquerschnitte, der Rundeisen und endlich der jetzt viel benutzten Differdinger Trägerprofile dürften die Brauchbarkeit des Buches wesentlich erhöhen.

Wie hieraus erhellt, hat der Herr Verleger keine Kosten gescheut, die Ausstattung des Werkes, den Ansprüchen entsprechend, die man heute an ein Lehrbuch der Statik und Festigkeitslehre stellt, würdig zu gestalten. Mein herzlicher Dank sei dem Herrn Verleger hierfür an dieser Stelle ausgesprochen.

Möge sich das Werkchen als nutzbringend erweisen für die Herren Fachkollegen, die lernenden Bauschüler und die in der Praxis tätigen Techniker.

ELBERFELD, im Dezember 1904

R. Schöler

Vorwort zur zweiten Auflage

Die erste Auflage dieses Bandes ist in kurzer Zeit vergrilfen gewesen. Aus der Praxis und von Fachkollegen ist mir eine Reihe anerkennender Zuschriften zuteil geworden, die mir den Beweis liefert, dass das Buch in der vorliegenden Form sich als brauchbar erwiesen hat. Wesentliche Aenderungen habe ich daher nicht vorgenommen. Dem vielfach geäusserten Wunsche aber, die Berechnung der Betoneisenkonstruktionen ausführlicher zu behandeln, bin ich dadurch entgegengekommen, dass ich die Berechnung doppelt armierter Betonkonstruktionen aufgenommen und ausserdem die Behandlung der Aufgaben, unter der Voraussetzung, dass der Beton Zugspannungen aufnehmen darf, elementar durchgeführt habe.

Viii

Hierbei sind die neuen Ministerialbestimmungen für die Ausführung voü Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907 zugrunde gelegt worden.

Auch das Kapitel über Schwerpunktskonstruktionen ist durch Mitteilung einiger sehr einfacher Bestimmungen des Schwerpunktes von Trapezen erweitert worden.

Sonst ist die vorliegende Ausgabe im wesentlichen ein Abdruck der ersten. Nur dass eine gründliche Revision des Textes und eine nochmalige Durchrechnung der Beispiele stattgefunden hat, wobei eine Auzahl Druckfehler beseitigt wurde.

Den Herren Fachkollegen und Freunden dieses Buches, die mir durch Berichtigung von Druckfehlern oder sonstigen Mitteilungen ihr Interesse an dieser Arbeit bekundet haben, sage ich an dieser Stelle meinen herzlichen Dank.

Die Verlagsbuchhandlung ist meinen Wünschen über die Ausstattung des Werkes in jeder Weise entgegengekommen. So hat sie sich entschlossen, meiner Anregung, die wichtigeren Gleichungen durch fetteren Druck und Einrahmung dem Auge sofort sichtbar zu machen, Folge zu geben und hat dadurch der Brauchbarkeit des Bandes einen hoffentlich grossen Nutzen geleistet. Für ihre Bemühungen und ihre Bereitwilligkeit, dem Buche eine klare und übersichtliche Anordnung zu geben, sage ich der Verlagsbuchhandlung daher an dieser Stelle ebenfalls herzlichen Dank.

ZERBST, im November 1907

R. Schöler

Inhaltsverzeichnis

Seite

Vorwort .

Erster Teil

Statik

I.    Grundbegriffe, Erklärungen........

r-H

Aufgabe der Statik .........

Grundbegriffe .........

Bestiminungsstiicke einer Kraft .    .    .

Darstellung der Kräfte .........

Kräfteplan ...........

Mittelkraft ..........

Gleichgewicht ..........

Gleichgewicht zweier Kräfte ........

Satz von der Verschiebung des Angriffspunktes ....

II.    Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften ....

a)    Die Kräfte wirken in derselben Geraden .....

1.    Die Kräfte sind gleichgerichtet ......

2.    Die Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet ....

a) Gegeben zwei Kräfte .......

ß) Gegeben beliebig viele Kräfte .....

b)    Die Kräfte wirken an einem Punkte nach verschiedenen Richtungen

1.    Gegeben zwei Kräfte ........

a) Bestimmung der Resultierenden, Satz vom Gleichgewicht dreier Kräfte ........

ß) Zerlegen einer Kraft R nach zwei Richtungen Pi und P2

CO CO CO CO Tfi ^

ri i-H rH f-i rH rH rH

2.    Gegeben beliebig viele an einem Punkte wirkende Kräfte

c)    Rechnerische Zusammensetzung und Zerlegung von ebenen Kräften

1.    Die Kräfte wirken in einer Geraden .....

2.    Die Kräfte wirken in einem Punkte nach verschiedenen Richtungen

a) Der Winkel, den die Kräfte miteinander bilden, sei 900 ß) Der Winkel der beiden Kräfte ist verschieden von 90 ⁰

3.    Beliebig viele Kräfte an einem Punkte ....

Seite

d)    Die Kräfte wirken zerstreut in der Ebene .

1.    Das Resultanten- oder Mittelkraftpolygon

2.    Das Seilpolygon.....

3.    Die Kräfte sind parallel

«) Ungleich gerichtete parallele Kräfte ß) Zwei gleich gerichtete parallele Kräfte

4.    Eine Kraft R in zwei ihr parallele, der Lage nach gegebene Kräfte zu zerlegen ........

5.    Auflagerdrücke eines Balkens ......

6.    Zwei entgegengesetzt gerichtete Kräfte ....

7.    Die beiden entgegengesetzten Kräfte sind gleich gross .

8.    Von den Kräftepaaren .......

e)    Von den statischen Momenten der Kräfte .....

1.    Der Momentensatz .......

2.    Graphische Ermittelung des Momentes beliebig vieler Kräfte

3.    Rechnerische Ermittelung des Momentes beliebig vieler Kräfte

4.    Rechnerische Bestimmung der Resultierenden beliebig vieler paralleler Kräfte

5.    Rechnerische Bestimmung der Resultierenden aus beliebig vielen Kräften .........

6.    Die Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in der Ebene III. Anwendung der statischen Gesetze auf die Baukonstruktionen

a)    Der durch Einzellasten beanspruchte Balken

1.    Die Au flagerdrücke ....

2.    Die Biegungsmomente

3.    Die Vertikalkräfte ....

b)    Der Schwerpunkt .....

1.    Der Mittelpunkt paralleler Kräfte

2.    Der Schwerpunkt ....

3.    Bestimmung von Schwerpunkten . a) Schwerpunkte von Linien ß) Schwerpunkte von Flächen y) Vom statischen Moment der Flächen

c)    Von der Standsicherheit ....

d)    Von der Auflagerung der Träger

e)    Von den Fachwerkträgern ....

1.    Allgemeines .....

2.    Belastung der Dachbinder .

3.    Formen der Dachbinder

4.    Kraftpläne der Dachbinder .

5.    Holzbinder .....

6.    Winddruck .....

. 16 . 16 . 18 . 22 . 22 . 23

. 24 . 25 . 27 . 28 . 29 . 32 . 32 . 33 . 35

. 35

co œ c

. 40 . 40 . 41 . 46 . 50 . 50 . 54 . 55 . 56 . 56 . 63 . 65 . 67 . 69 . 69 . 74 . 77 . 79 . 88 . 92

Seite

Zweiter Teil

Festigkeitslehre

Ï. Einleitung

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a)    Formänderung und Spannung

b)    Dehnung, Dehnungskoëffîzient, Elastizitätsmodul

c)    Proportionalitätsgrenze, G-renzkraft, Festigkeit

d)    Zulässige Beanspruchung, Sicherheitskoëffizient

e)    Festigkeitsarten .....

f)    Zulässige Beanspruchung ....

II.    Zugfestigkeit.......

III.    Druckfestigkeit......

IV. Schubfestigkeit......

V. Bieguugsfestigkeit.....

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a)    Entwickelung der Biegungsgleichung .....

1.    Neutrale Faserschicht, neutrale Achse ....

2.    Spannungsgesetz, Lage der neutralen Achse

3.    Trägheitsmoment, Widerstandsmoment, Biegungsgleiehung

4.    Trägheits- und Widerstandsmomente .....

Trägheitsmoment des Rechteckes .......

Trägheitsmoment des Quadrates .......

Widerstandsmoment des Rechteckes ......

Widerstandsmoment des Quadrates ......

Hauptachsen ..........

Trägheitsmoment fiir parallele Achsen ......

Trägheitsmoment des Dreiecks .......

Trägheitsmoment des Kreises .......

b)    Die meist vorkommenden Belastungsfälle .....

1.    Freiträger (Belastungsfälle 1 bis 4) .

2.    Träger auf zwei Stützen (Belastungsfälle 5 bis 12)

3.    Stützweite der Träger .......

4.    Beispiele .    .    .......

5.    Träger mit ungleich hohen Stützen .....

0. Von der Durchbiegung der Träger .....

u) Der eingespannte Träger ......

ß) Träger auf zwei Stützen ......

Die allgemeine Durchbiegungsgleichung ......

Der symmetrisch belastete Träger .......

Anwendung auf die einfachen Belastungsfälle 6, 6a, 7, 10 Einige allgemeine Bemerkungen ..•••••

•Graphische Konstruktion der Biegungslinie .

7.    Träger mit überhängendem Ende (Belastungsfall 13 und 14)

8.    Die statisch unbestimmten Träger .....

a) Die eingespannten Träger (Belastungsfall 15 und 16) ß) Die kontinuierlichen Träger auf drei Stützen (Belastungsfall 17, 18 und 19)

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Seite^

y) Die kontinuierlichen Träger auf vier Stützen (Belastungsfall

20 und 21)    .........

9. Die Lager der Träger ........

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i7a

TI. Knickfestigkeit............

a)    Berechnung der Säulen .........

b)    Berechnung der Säulenfüsse ........

c)    Trägeranschlüsse an gusseiserne Säulen ......

1.    Berechnung der Rippen ........

2.    Berechnung der Konsolen ........

d)    Schmiedeeiserne Säulen, deren Querschnitt aus zwei Q-Eisen besteht

e)    Frontstützen aus Q-Eisen .........

VH. Schubspannungen in der Längsrichtung der Träger .    . •

VIII.    Zusammengesetzte Festigkeit........

a)    Die auf Doppelbiegung beanspruchten Träger .    .    .    .    .

b)    Biegung und Zug .....

c)    Biegung und Druck ....

d)    Der exzentrische Druck ... d) Horizontal belastete Säulen

1.    Die Säule ist oben frei beweglich . .

2.    Die Säule ist beiderseits eingespannt

IX.    Beton- und Betoneisenkonstruktionen

a)    Zentrischer Druck .....

b)    Beanspruchung auf Zug ....

c)    Schubfestigkeit .....

d)    Biegung .......

e)    Adhäsion zwischen Eisen und Beton .

f)    Berechnung der Betoneisenkonstruktionen .

1.    Achsialer Druck ohne Knickgefahr .

2.    Achsialer Druck mit Knickgefahr

3.    Biegung einfacher Platten

4.    Die Plattenbalken .    ...

5.    Betonplatten mit doppelter Armierung

6.    Biegung einfacher Platten mit Berücksichtigung der Betonzugspannungen ..........

7.    Schubspannungen im einfachen Balken und Plattenbalken

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Dritter Teil

Anwendungen auf grössere Konstruktionen

a)    Reibung ..........

b)    Erddruck .........

1.    Grösse, Richtung und Angriffspunkt des Erddruckes .

2.    Wasserdruck ........

. 228 .    231

. 232 .    235

3.    Druckverteilung in Mauer werkskörpern

«) Die Mauer ist zentral und senkrecht belastet ß) Die Mauer ist zentrisch aber schief belastet y) Die Mauer ist exzentrisch belastet

4.    Stabilitätsuntersuchungen .....

a) Stützmauern ......

ß) Die Stützlinie der Mauer y) Die unterschnittenen Stützmauern

c)    Die freistehenden Schornsteine .....

1.    Untersuchung der Standsicherheit

2.    Kern des Querschnittes .....

3.    Untersuchung eines Schornsteines

d)    Die Gewölbe ........

1.    Allgemeines .......

2.    Das symmetrische und symmetrisch belastete Grewölbe

3.    Das einseitig belastete Gewölbe

4.    Unsymmetrische und beliebig belastete Gewölbe .

5.    Die Widerlager ......

6.    Zwischenpfeiler ......

7.    Gewölbestärken ......

8.    Beispiele ........

e)    Musterbeispiele für die Anfertigung statischer Berechnungen Anhang ..........

Tabelle 1 bis 15........

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Literatur

Bach, Elastizität und Festigkeit. Springer, Berlin.

Centralblatt der Bauverwaltung. Ernst & Sohn, Berlin.

Deutsche Bauzeitung. Berlin.

Föppl, Vorlesungen über technische Mechanik. B. G. Teubner, Leipzig.

Keck, Mechanik. Helwing, Hannover.

Landsberg, Statik der Hochbaukonstruktionen. A. Kröner, Stuttgart.

Lang, Schornsteinbau. Helwing, Hannover. •

Lauenstein, Graphische Statik. A. Kröner, Stuttgart.

— Festigkeitslehre. A. Kröner, Stuttgart.

Mehrtens, Technische Mechanik. Deutsche Bauzeitung, Berlin.

Müller-Breslau, Graphische Statik. Baumgartner, Leipzig.

Sch öl er, Eisenkonstruktionen. Bernli. Friedr. Voigt, Leipzig.

Walter und Weiske, Statische Berechnung der Träger und Stützen aus Beton mit Eiseneinlagen im stabilen Spannungszustande. F. Kessler, Kassel.

Wayss und Freytag, Der Betoneisenbau. K. Wittwer, Stuttgart.

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Erster Teil.

Statik.

I. Grundbegriffe, Erklärungen.

Aufgabe der Statik. Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der an einem Körper wirkenden Kräfte. Die Anwendung dieser Lehre auf die Baukonstruktionen ist für den Techniker von grösster Wichtigkeit, weil er dadurch in den Stand gesetzt wird, seine Konstruktionen so auszubilden, dass sie auch den allerungünstigsten Belastungen hinreichenden Widerstand leisten.

Grundbegriffe. Kraft ist die Ursache einer eintretenden Bewegung oder Bewegungsänderung. Die Erfahrung lehrt, dass, welcher Art die Kräfte auch sein mögen, sie immer an Stoff oder Materie gebunden sind. Jede Kraftäusserung, die mau an einem Körper beobachtet, geht daher stets von einem anderen Körper aus. Die Erfahrung bestätigt ferner, dass, wenn ein Körper eine Kraftwirkung auf einen zweiten ausübt, der zweite Körper auf den ersten mit derselben Kraftäusserung einwirkt. Diese Gegenseitigkeit der Wirkung hat man zusammengefasst in den

Satz 1. Jede Kraft erzeugt einen Widerstand, der der Grösse der Kraft gleich und ihrer Richtung entgegenge g etzt ist.

So ist z. B. der Druck, den ein Körper auf seine Unterlage ausübt, gleich dem Gegendruck der Unterlage auf den Körper.

Die Wirkung einer Kraft kann eine zweifache sein.

Satz 2. Ist der Körper frei, so bewegt er sich geradlinig in der Richtung der Kraft.

Satz 3. Wird er dagegen an der Bewegung verhindert, so erzeugt sie in dem Widerstand leistenden Körper eine Spannung. Diese Spannung ist entweder ein Zug oder ein Druck, dessen Grösse gleich der Kraft ist.

Ist die wirkende Kraft die Schwere, so ist die Zugspannung des Fadens, an welchem der Körper hängt und die Druckspannung, die er in einer festen Unterlage erzeugt, gleich dem Gewicht des Körpers.

Das Gewicht eines Körpers ist also ein Mafs für die Grösse der Schwerkraft.

Die Grösse einer beliebigen Kraft wird gemessen durch Vergleich ihrer Wirkung mit derjenigen der Schwerkraft. Da diese sich in Kilogramm (kg) aus-

S chöler, Statik und Festigkeitslehre.    1

In Fig. 1 greift die Kraft P im Punkte A au und wirkt von A nach B, in Fig. 2 wirkt die im Punkt A tätige Kraft von B nach A. Die erste würde entsprechend mit dem „ + “ Zeichen, die zweite mit dem „ — “ Zeichen zu versehen sein.

drücken lässt, so lässt sich auch eine beliebige andere Kraftwirkung in kg angeben. Unter einer Kraft von 150, 400, 1200 kg versteht man demnach eine Kraft, die ebenso wirkt wie ein Gewicht von 150, 400, 1200 kg.

Bestiinmimgsstücke einer Kraft. Wenn eine Kraft von aussen her auf einen Körper übertragen wird, so verteilt sie sich stets über einen gewissen Teil der Oberfläche. Man kann aber diese Angriffsstelle beliebig klein machen und sich vorstellen, dass die ganze Kraft in einem einzigen Punkte wirkt. Dieseu Punkt nenut man den Angriffspunkt der Kraft.

Die Richtung, in welcher sich der Körper unter der Einwirkung der Kraft bewegt, nennt man die Richtung der Kraft. Zur vollständigen Bestimmung der Kraft gehört jetzt nur noch die Angabe ihrer Grösse in kg. Eine Kraft als Zug oder Druck ist eindeutig bestimmt, sobald ihre Grösse, ihre Richtung und ihr Angriffspunkt (Lage) bekannt sind.

Darstellung der Kräfte. Zeichnerisch stellt man eine Kraft durch eine gerade Linie dar. Der Angriffspunkt wird durch einen kleinen Kreis, die Richtung durch einen Pfeil angedeutet. Bei der rechnerischen Untersuchung von Kräften ist man übereingekommen, die Richtung durch das Vorzeichen -j- oder -anzugeben, und zwar erhalten nach rechts oder nach oben gerichtete Kräfte das Vorzeichen „ + nach links oder unten wirkende Kräfte das Vorzeichen „ —

Fig. 1.

tc?n =iooo fîg

B s^ooKgr.

Fig. 2.

i cm

* 500 Jfg.

Kräfteplan. Die zeichnerische (graphische) Darstellung der an einem Körper wirkenden Kräfte nennt man Kräfte plan. Um einen solchen zeichnen zu können, ist noch die Festsetzung eines Kräftemafs-stabes erforderlich. Je nach Grösse der Kräfte nimmt mau an, dass einer Linie von 1 cm Länge eine Kraft von 200, 500, 1000 kg usw. entspricht. Die Grösse F = 1500 7£y. einer gegebenen Kraft ist dann durch die Länge der Kraftlinie bestimmt. Die in Fig. 1 gezeichnete Kraft ist gleich 2500 kg, da 1 cm = 1000 kg sein soll, während die in Fig. 2 dargestellte Kraft = 1500 kg ist, da 1 cm = 500 kg gesetzt wurde.

Mittelkraft. Wie viele Kräfte auch auf einen Körper wirken mögen, so werden sie diesem doch nur eine Bewegung nach einer bestimmten Richtung mitteilen. Es lässt sich daher eine Kraft denken, welche für sich allein dieselbe Wirkung hervorbringt, also jene Kräfte vollständig ersetzen kann. Diese Kraft heisst die Mittelkraft, Resultante oder Resultierende, während die Einzelkräfte Komponenten oder Seitenkräfte genannt werden.

Die Gesamtheit der auf einen Körper wirkenden Kräfte nennt man ein Kräftesyst e m.

Gleichgewicht. Verharrt ein Körper unter der Einwirkung eines Systems von Kräften im Zustande der Ruhe, so sind die Kräfte miteinander im Gleich-

gewicht, d. h. die Wirkungen der Kräfte heben sich derart auf, dass keine Bewegung des Körpers eintritt. Die Resultierende ist alsdann gleich Null.

Fig. 3.

Unter dem Angriff einer einzigen Kraft P kann demnach ein Körper nicht im Gleichgewicht sein.

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-O

Fig. 4.

F.

-~Pj

O <r-

Bringt man aber an dem Körper im Angriffspunkt der Kraft P eine zweite Kraft Pt an von gleicher Grösse mit P, aber entgegengesetzt gerichtet, so kann sich der Körper weder in der Richtung von P noch von Pi bewegen (Fig. 3 und 4). Er verharrt also in Ruhe, er befindet sich im Gleichgewicht. Hieraus folgt der wichtige Satz:

Satz 4. Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie in einem Punkte angreifen, gleich gro ss un d en tg eg en ges e tzt g eric h t e t sind.

Fig. 5.

Aus diesem Satz folgt noch ein anderer wichtiger Satz, der unter dem Namen des Satzes von der Verschiebung des Angriffspunktes bekannt ist. An einem Körper, Fig. 5, wirke im Punkt A eine Kraft P.

"°B~ *~P

Pz

Bringt man zwei weitere Kräfte Pi und P₂ von gleicher Grösse mit P an dem Körper an, von denen Pi im Punkte A der Kraft P entgegengesetzt gerichtet angreift, während P₂ in einem beliebigen Punkt B der Wirkungslinie in gleicher Richtung mit P wirkt, so sind die Kräfte P und Pi nach Satz 4 im Gleichgewicht und es bleibt die Kraft P₂ als Ersatz von P übrig. Dieser Satz lässt sich also folgendermafsen aussprechen :

Satz 5. Den Angriffspunkt einer Kraft kann man in der Richtungslinie beliebig verschieben, ohne an der Kraftwirkung etwas zu ändern.

Befestigt man ein Seil an einem Körper, so ist es offenbar gleichgültig, an welchem Punkte des Seiles die ziehende Hand angreift. Ebenso greift das Gewicht eiuer Uhr bald an einem kürzeren, bald an einem längeren Faden an.

Mit Rücksicht auf Satz 5 gilt der Satz 4 auch in der erweiterten Fassung:

Satz (i. Zwei Kräfte sind im Gleich ge wicht, wenn sie in ders eiben Geraden wirken, gleich gross und entgegengesetzt gerichtet sind.

Für die Untersuchungen des Gleichgewichtes der Baukonstruktionen genügt es in den allermeisten Fällen, die Kräfte in einer Ebene, der sogen. Belastungsebene, wirkend anzunehmen.

Kräfte zusammen setzen heisst, aus beliebig vielen gegebenen Kräften deren Resultierende bestimmen. Eine Kraft zerlegen heisst, aus einer Kraft, welche man als Resultierende auffasst, zwei Kräfte bestimmen, die zusammengenommen dieselbe Wirkung wie die Mittelkraft hervorrufen.

Die Lösung beider Aufgaben ist für den Techniker gleich wichtig und kann sowohl auf zeichnerischem als rechnerischem WTege erfolgen. Man wird in der Regel diejenige Methode wählen, welche am schnellsten zum Ziele führt.

II. Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.

a) Die Kräfte wirken in derselben Geraden.

1. I)ie Kräfte sind gleichgerichtet.

Zwei an einem Körper in derselben Linie und in derselben Richtung wirkende Kräfte sind gleich der doppelten, drei gleiche Kräfte gleich der dreifachen Kraft

zu setzen. Sind die in derselben Richtung wirkenden Kräfte verschieden, so ist deren Mittelkraft offenbar gleich ihrer Summe. Bezeichnet man die Resultierende aus den Kräften Pi, P2, P3, P4 (Fig. 6) mit R, so ist also:

Fig. 6.

Q-

Pj

■*>

My~

Pj

-*>-

■*?

<!>

R = Pi + P2 + P₃ + P₄.

Fig. 7.

5200

/ cm

Fig. 8.

^o-vooKy 1)

Pt

7600

Kürzer schreibt man dies:

R = 2' P (R = Summe P).

Beispiel. Drei übereinander stehende Säulen eines Speichers erhalten aus den Decken Belastungen von 5200, 7600 und 9200 kg, Fig. 7. Der Druck auf das Säulenfundament ist daher:

P₂

0200

11

f‘C

P{

'/////.

'77/.

R = vP = 5200 + 7600 + 9200 = 22000 kg.

Die graphische Zusammensetzung ist in Fig. 8 ausgeführt unter der Annahme eines Kräftemafs-stabes von 1 cm = 4000 kg. Man reiht die Kräfte aneinander nach Grösse und Richtung, so dass der Endpunkt der ersten Kraft mit dem Anfangspunkt der zweiten usw. zusammenfällt. Die Grösse der Resultierenden R ist gleich der Kraft, welche durch die Linie a-d dargestellt wird.

2. Die Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet. a) Gegeben zwei Kräfte.

Wirken an einem Punkte A eines Körpers zwei Kräfte Pi und P2 in derselben Geraden, aber entgegengesetzt gerichtet, so ist die Resultierende gleich

der Differenz der Kräfte.

R = Pj —P₂.

Ist Pi > P₂, so erfolgt Bewegung in der Richtung von Pi, im entgegengesetzten Fall nach der Richtung von P₂.

In Fig. 9 wirkt die Kraft Pi = 900 kg nach rechts, P₂ = 600 kg nach links, die Resultierende R ist daher:

R = 900 — 600 = + 300 kg und wirkt nach rechts. Die graphische Aneinanderreihung der beiden Kräfte liefert als

Fig. 9.

ao

■*

->

’Jfy -sooTiff.

— B ->

«-

Pt

lvm 200 K(f.

Resultierende die Kraft a-c ebenfalls nach rechts wirkend. Greifen die beiden Kräfte nicht an demselben Punkte der Wirkungslinie an, so kann man sie nach Satz 5 dahin verlegen.

ß) Gegeben beliebig viele Kräfte.

Wirken an einem Körper in derselben Geraden beliebig viele Kräfte, so kann man nach Satz 5 deren Angriffspunkte alle nach einem Punkt verlegen (Fig. 10). Vereinigt man dann die nach denselben Richtungen wirkenden Kräfte zu je einer Mittelkraft Ri bezw.

R₂, so ist nach der vorigen Aufgabe die

Gesamtresultierende R gleich der Differenz Ri — R₂. Die Kräfte Pi, P3, P« in Fig. 10 wirken nach rechts, die Kräfte P₂, P4, P5 nach links, daher die Resultierende

R = Pi -p P3 "pPe — (P2 + P4 + P5)

Fig. 10.

Pi =

300

U30

£30

500

250

?6~

roo Kg.

o*

jl

<2>

p±

->°~r

r3

■>-0

R₂

Ri

Bezeichnet man die algebraische Summe auf der rechten Seite der Gleichung mit 2 P, so kann man kürzer schreiben :

2)

R = A P (R = der algebraischen Summe P).

Ist der Wert der Summe = Null, so sind die Kräfte im Gleichgewicht. Daraus folgt:

Satz 7. D ie Resultierende aus beliebig vielen in einer Geraden wirkenden Kräften ist gleich deren algebraischen Summe.

Ist die Summe gleich Null, so sind die Kräfte im Gleich

gewicht.

Für das in Fig. 10 angegebene Kräftesystem erhält man rechnerisch :

R = v p ₌ 300 + 450 -F 700 - 150 - 500 - 250 = + 550 kg.

Denselben Wert erhält man auf graphischem Wege. Die Reihenfolge der Zusammensetzung ist dabei gleichgültig, ln Fig. 11 wurde die Addition in der

Ct

Fig. 11.

Pf

->■

Pô

j cm - 300 Kg.

P't

p₆

Pj

Als Resultierende ergibt sich

Reihenfolge Pi, P₆, P₄, Ps, P3, P2 vorgenommen, die Kraft a-g = 550 kg nach rechts wirkend, in Uebereinstimmung mit dem obigen Resultat. Der Kräftemafsstab ist 1 cm = 100 kg gewählt.

b) Die Kräfte wirken an einem Punkte nach verschiedenen Richtungen.

1. Gregeben zwei Kräfte. a) Bestimmung der Resultierenden.

Satz 8. Die Resultierende aus zwei an einem Punkte eines Körpers wirkenden Kräften ist nach Grösse und Richtung gleich der Diagonale des Parallelogramms, welches man aus den Kräften bilden kann.

Wirken im Punkte A des Körpers die beiden Kräfte Pi und P₂ (Fig. 12), deren Grösse und Richtungen durch die Strecken a-b und a-d dargestellt sind (Fig. 13), so ist die Resultierende R gleich der Diagonale a-c des Parallelogramms a-b-c-d nach Grösse und Richtung. Der Pfeil der Mittelkraft ist stets vom Anfangspunkte weg gerichtet.

Fig. 12.

-Trf

T' /

Pi

Fig. 14.

Fig. 13.

Um die Richtigkeit des Satzes einzusehen, denke man den Körper z. B. als Kugel, die in einer Rinne von der Kraft P₂ in einer Sekunde von a nach d getrieben wird (Fig. 14). In dem Augenblick, wo die Kugel zu laufen beginnt, möge die Kraft Pi nun die ganze Rinne in derselben Zeit parallel verschieben und in die Lage b-c bringen, dann wird der Weg, den die Kugel tatsächlich zurückgelegt hat, die Diagonale a-c sein. Eine Kraft, deren Grösse und Richtung demnach durch die Diagonale a-c bestimmt sind, ruft also dieselbe Wirkung hervor, wie die Kräfte Pi und P₂ zusammengenommen und ist somit deren Resultierende.

Zieht man daher durch den Punkt A (Fig. 12) eine Parallele zu a-c und lässt in dieser Linie eine Kraft R = a-c wirken, so ersetzt diese die Kräfte Pi und P2 vollständig.

pa

Fig. 15.

PL

Pt

Es ist indessen nicht nötig, das ganze Parallelo-, gramm a-b-c-d zu zeichnen, sondern man erhält die c Resultierende R ebenso gut, wenn man nur eines der ja Dreiecke a-b-c oder a-d-c zeichnet (Fig. 15 und 16). Zu / diesem Zwecke zeichne man in Fig. 15 zuerst die KraftPi G nach Grösse und Richtung und trage vom Endpunkte b ₍l aus die Kraft P₂ nach Grösse und Richtung = b-c an, dann ist die Verbindungslinie a-c gleich der Resultierenden R nach Grösse und Richtung.

Fig. 16.

Den Linienzug a-b-c nennt man Kräftezug, die Linie a-c die Schlusslinie des Kräftezuges.

Dasselbe Resultat würde man erhalten haben, wenn man in Fig. 16 zuerst P₂ = a-d und sodann Pi = d-c gezeichnet hätte. Man kann daher sagen:

Satz 1). Die Resultierende zweier an einem Punkte eines Körpers wirkenden Kräfte Pi und P2 ist nach Grösse und Richtung g 1 e ich der Schlusslinie des Kräftezuges, den man aus den beiden Kräften bilden kann. Die Richtung geht immer vom Anfangs-zum Endpunkte des Kräftezuges.

Unter der Wirkung zweier solcher Kräfte ist ein Körper niemals im Gleichgewicht. Bringt man aber im Punkt A (Fig. 12) eine Kraft Ri = R, aber dieser entgegengesetzt gerichtet an, so ist Ri mit R im Gleichgewicht, oder wenn man statt R wieder die Kräfte Pi und P₂ setzt, so befindet sich Ri mit Pi und P₂ im Gleichgewicht. Bildet man jetzt aber den Kräftezug, so fällt der Anfangspunkt mit dem Endpunkt zusammen (Fig. 17), der Kräftezug schliesst sich zu dem a Dreiecke a-b-c bezw. a-d-c.

Ein solches Dreieck nennt man ein Kräftedreieck. Hieraus ergibt sich der wichtige

Satz 10. Drei Kräfte sind im Gleichgewicht und nur dann im Gleichgewicht, wenn sie an einem Punkte angreifeu und sich zu einem Kräftedreieck vereinigen lassen.

Man beachte, dass in Fig. 15 und 16 die Pfeile der Kräfte Pi und P2 einander folgen, während derjenige der Resultierenden diesen entgegengesetzt gerichtet ist. ln Fig. 17 dagegen folgen die Pfeile sämtlich aufeinander. In Fig. 15 und 16 ist a-b-c bezw. a-d-c der Kräftezug, a-c die Resultierende, in Fig. 17 ist a-b-c-a bezw. a-d-c-a der Kräftezug, die Resultierende ist = Null.

Greifen die Kräfte Pi und P₂ nicht in demselben Punkte an, so kann man nach Satz 5 den Schnittpunkt A der Wirkungslinien beider Kräfte als Angriffspunkt wählen (Fig. 18).

Fig. 18.

Fig. 17.

PfL

(Px

’d

Fig. 19.

Fig. 20.

ec«

I ff

b/

■fo“

läooh'ff.

Jtl

i’i

Aufgabe 1. Auf eine Stützmauer wirkt eine Kraft E = 1800 kg, herrührend von dem Drucke der dahinter

1 cm^zoooltg.

R    ff -~

fS 000 Hg

der Mauer mit 6000 kg. Jene greift an der Rückwand in ^3 der Höhe, diese im Schwerpunkt der Mauer an. Gesucht die Resultierende R. Kräftemafsstab 1 cm = 2000 kg (Fig. 19).

Man zeichne (Fig. 20) die Kraft a-b parallel zu G in Fig. 19 und mache a-b unter Berücksichtigung des Kräftemafsstabes =3 cm, ziehe hierauf b-c in Fig. 20 parallel zur Kraft E (Fig. 19) und mache b-c = 0,9 cm. Die Schluss-

liegenden Erde und das Eigengewicht G

linie a-c stellt alsdann die Resultierende R dar nach Grösse und Richtung. Die Lage der Resultierenden ist gegeben durch den Schnittpunkt der Kräfte G und E in Fig. 19. Zieht man daher durch diesen Punkt eine Parallele zu a-c, so ist die Aufgabe gelöst. Aus den Kräfteplane ergibt sich die Grösse von R zu 7020 kg.

Anmerkung. Man nennt Fig. 19 den Bauplan, Fig. 20 den Kräfteplan. Im Bauplan zeichnet man die Kräfte nicht ihrer Grösse nach, sondern gibt hier nur die Angriffspunkte und die Richtungen an und schreibt die Grösse der Kräfte in kg an die mit Richtungspfeilen versehenen Kraftlinien. Im Kräfteplane sind die Kräfte selbstverständlich nach Grösse genau aufzutragen. Das Aufträgen der Kräfte im Kräfteplan derart, dass ihre Richtungen den im Bauplane angegebenen parallel sind, — wobei auf die Pfeilstellung zu achten ist, — und ihre Grösse den gegebenen Werten entspricht, nennt man: „Die Kräfte zu einem Kräftezug aneinanderreihen“ oder auch: aus den gegebenen Kräften den Kräftezug bilden.

Nach dieser Erklärung ergibt sich die Lösung der Aufgabe kurz wie folgt: Man reihe die Kräfte G und E zu dem Kräftezuge a-b-c aneinander, dann ist die

Schlusslinie a-c die gesuchte Resultierende nach Grösse und Richtung. Sie greift im Schnittpunkte der beiden Kräfte im Baupläne an.

Aufgabe 2. Die auf einen Mauerpfeiler wirken-r- den Ivämpferdrücke Ki = /    5100, K2 = 9000 kg sind

zu einer Resultierenden zu / vereinigen (Fig. 21).    1 cm

= 3000 kg.

Man bilde aus den Kräften Ki und K2 den Kräftezug a-b-c (Fig. 22), dann ist a-c die gesuchte Resul-

Fig. 21.

/    /a

ta

Fig. 22.

4cm=30oo}£g. j

vff77\

'/(((///////// //////z//A

i A*

Fig. 23.

P* -ióoohg.

Fig. 24.

D=

ïsoüffg.

pc

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JL

/

i)/ .

/R

)/

>•

tierende nach Richtung und Grösse. Ihre Lage ist bestimmt durch den Schnittpunkt von Ki und K₂ in Fig. 21. Man erhält R = 10800 kg.

Aufgabe 3. Es ist die Resultierende zu bilden aus den Kräften P = 1500 kg und D = 4800 kg, welche der Pfosten und die Strebe eines Dachbinders auf den

ßinderbalkeu übertragen (Fig. 23).    1 cm = 1500 kg. Der Kräfteplan (Fig. 24)

liefert die Schlusslinie a-c des Kräftezuges als Resultierende R nach Grösse und Richtung. Sie greift im Schnittpunkte der beiden Kräfte im Bauplan (Fig. 23) an.

ß) Zerlegen einer Kraft R nach zwei Richtungen Pi und P₂.

Gegeben sei die im Punkte A angreifende Kraft R, Fig. 25, nach Grösse, Lage und Richtung, und ferner die beiden ebenda angreifenden Kräfie Pi und P₂ nach Lage und Richtung. Gesucht wird deren Grösse.

Man zeichne die Kraft R nach Grösse und Richtung (Fig. 26), ziehe durch den einen Endpunkt a eine Parallele zu Pi, durch den anderen Endpunkt b eine Parallele zu P₂, bringe die Parallelen zum Schnitt im Punkte c, dann ist Pi = a-c,

P₂ = c-b. Dasselbe Resultat erhält man nach Fig. 27, wenn man die Parallelen in umgekehrter Reihenfolge zeichnet. Hier ist a-d = P₂ und d-b = Pi. Man achte darauf, dass die

Fig. 25.

Fig. 26.

Fig. 27.

.1

c₍

Fi

>d

"i

Fig. 28.

Fig. 29.

8000

)CO

t/m/.

7777777)

V/,

icsn- sooüliff-

SO

et

O—«

ct

,c

Fig. 30.

Fig. 31.

Pfeile von Pi und P₂ im Kräfteplane dem Pfeil R wieder entgegengesetzt laufen.

Aufgabe 1. Die Säule eines Hängewerkes ist belastet durch 80Ü0 kg. Wie gross sind die Kräfte Di und D₂ in den Streben? (Fig. 28). Kräftemafsstab 1 cm — 2000.

Man zeichne P nach Grösse und Richtung, ziehe durch a die Parallele zu Di, und durch b die Parallele zu D2, dann ist a-c = Di = 5800kg und c-b = D₂ = 7300 kg.

Anmerkung. Um zu entscheiden, ob die ermittelten Kräfte Zug- oder Druckspannungen in den Konstruktionsteilen hervorrufen, verfahre man nach folgender Regel. Man bringe im Bauplan die Pfeile so an dem Konstruktionsteil an, wie sie sich im Kräfteplan ergeben. Weist der Pfeil in den Körper, so erhält er Druck, weist er nach aussen, so erhält er Zug. Nach dieser Regel erhalten die Streben, da die Pfeile von Di und D₂ nach innen gerichtet sind, Druckspannung.

Fig. 32.

H J000 7€gr.

Aufgabe 2. Die Strebendrücke Di und D2 in voriger Aufgabe zerlegen sich an den Strebenfüssen in eine horizontale und eine vertikale Komponente. Wie gross sind diese Kräfte?

Y/.

Man trage (Fig. 30) Di nach Richtung und Grösse auf und zerlege die Kraft nach den Richtungen von IR und V1 ; ebenso Zerlege man D2 (Fig. 31) nach den Richtungen von H₂ und V₂. Man findet alsdann

l-r*

M-l

= a-d = 5100 kg und ₂ — e-b = 5100 kg und

7.

II

2 iooo~h(f. Fig. 33.

Vi = d-c = 2900 kg;

V₂ = c-e = 5200 kg. Die Zerlegung von Di und D₂ hätte man auch gleich in Fig. 29 vornehmen können. Hi und H₂ sind einander gleich, aber

entgegengesetzt gerichtet. Sie erzeugen in dem

Binderbalken eiue

AJ

Fig. 34.

S“l

= ZoooWg.    Ą0

Zugspannung. Vi und V₂ sind die Drücke, welche die Mauern erhalten.

Aufgabe 3. Am

vorderen Ende eines durch eine Strebe unterstützten Erkerträgers wirkt eine Kraft P = 1500 kg. Wie gross werden die Kräfte H und D im Träger und der Strebe ? 1 cm = 1000 kg (Fig. 32). Durch Zerlegung von P nach H und D in Fig. 33, findet man H = 2600 kg, D = 3000 kg. Bringt man die Pfeile in Fig. 32 an, so überzeugt man sich, dass H im Träger Zugspannung, D in der Strebe Druck erzeugt. Der Träger ist daher in der Mauer zu verankern.

Cj

J)

Fig. 35.

Vj

2 cm- - JOOO firj-

V,.

V/

TS Fig. 36.

«-sr*

Aufgabe 4. Die Hängesäulen des doppelten Hängewerks nehmen jede eine Last von 2000 kg auf. Wie gross sind die in den Streben, dem Spannriegel und dem Binderbalken auftretenden Kräfte? Fig. 34. 1 cm = 1000 kg.

Wegen der symmetrischen Anordnung des Hängewerkes nnd der Belastung ist die Spannung Di = D₂, Si = S₂, Hi = H₂, Vi ■= V₂.

Durch Zerlegung von Pi nach den Richtungen von Di und Si findet man aus dem Kräfteplan Fig. 35, Di = 2550 kg, Si = 1550 kg.

Der Strebendruck Di zerlegt sich im Punkte C in eine horizontale und vertikale Komponente, deren Grösse aus Fig. 36 sich ergibt zu IL = 1550 kg; Vi — 2000 kg. Di = D₂ und Si = S₂ sind Druckspannungen, Hi = II₂ erzeugen im Binderbalken Zugspannungeu. Vi = V₂ sind die Drücke, welche die Mauern erhalten.

2. Gegeben beliebig viele an einem Punkte wirkende Kräfte.

Am Punkte A eines Körpers wirken die Kräfte Pi,P₂,P3,P4 Fig. 37. Um die Resultierende zu erhalten, vereinige man zunächst die Kräfte Pi und P₂ zur Resultierenden R

1-21

Fig. 38, setze diese mit der Kraft P₃ zur Resultierenden Ri_s, diese wiederum mit der Kraft P₄ zu der Resultierenden Rj_₄ zusammen, dann ist diese die Resultante aus den Kräften Pi — P4.

Fig. 39.

B,

Fig. 38.

(B,

ti

Fig. 37.

•R\ /

rt

/'

'/V

°C

Ć Fig. 42.

ïTj-

a'

Ri-4

’e

Fig. 41.

a.

,e

Ri"*

.e

yC

Fl

■j

-J

Fig. 40.

b'

)d

Vergleicht man Fig. 39 mit 38, so sieht man, dass man zu demselben Resultat gelangt, wenn man die gegebenen Kräfte Pi,P₂,P3,R4 zu dem Kräftezuge a-b-c-d-e aneinanderreiht. Als Resultierende Ri_4 ergibt sich dann die Sehlusslinie a-e des Kräftezuges.

In dem Kräftezuge a-b-c-d-e folgen die Pfeile stetig aufeinander, man kann ihn umfahren, von Anfang bis zu Ende, ohne dass sich zwei Pfeilspitzen begegnen. Der Richtungs pfeil der Resultierenden aber ist diesem Umfahrungssinn entgegengesetzt gerichtet.

Die Reihenfolge der Aneinanderreihung der Kräfte ist gleichgiltig. In Fig. 40 ist die Reihenfolge P4, P2, Pu, Pi, in Fig. 41 P₃, P2, P-ł,Pi; man gelangt stets zu derselben Resultierenden Ri_4, wenn man die Aufeinanderfolge der Pfeile beachtet. Hieraus ergibt sich der wichtige

Satz 11. Die Mittelkraft aus beliebig vielen an einem Punkte angreifenden Kräften ist nach Grösse und Richtung gleich der Schlusslinie des aus den Kräften gebildeten Kräftezuges.

Bringt man also im Punkte A (Fig. 37) die Resultante Ri_4 an, so ersetzt diese die Wirkung der Kräfte I\ — P₄ am Körper. Dieser wird sich also in der Richtung der Mittelkraft Ri_₄ bewegen. Fügt man im Punkte A noch eine Kraft Ri_4, aber in entgegengesetzter Richtung an, so ist Gleichgewicht vorhanden.

umzukehren: Anfangs-

1-4

Im Kräfteplane ist dann der Richtungspfeil von R und Endpunkt des Kräftezuges fallen zusammen, der Kräftezug bildet ein geschlossenes Vieleck, welches den Namen Kräftepolygon erhalten hat. In ihm können sich nie zwei Pfeile begegnen, der Umfahrungssinn ist also stetig. In Fig. 42 ist dieser Fall dargesellt. Es folgt daraus:

Satz 12. Beliebig viele an einem Punkte angreifende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn der Kräftezug geschlossen ist.

Aufgabe. Die in Fig. 43 im Punkte A des Körpers wirkenden Kräfte Pi = 1500, P‘2 = 4700, P₃ = 3600 und P4 = 2900 kg sollen durch eine Kraft Ri ins

Fig. 43.

'    --O

(T

Tj isoolfy. dt

C7Tt- lOOO ffg-

/'/

■2 Fig. 44.

Gleichgewicht gebracht werden, wie gross ist diese und in welcher Richtung ist sie am Körper anzubringen. 1 cm = 1000 kg.

Man reihe die Kräfte Pi, P2, P₃, P4, zu dem Kräftezuge a-b-c-d-e (Fig. 44) aneinander, dann ist a-e = 4550 kg die Resultierende R aus diesen Kräften. Die Kraft, welche Gleichgewicht hält, ist daher Ri = R = e-a, weil sie den Kräftezug schliesst. Bringt man im Punkte A also die Kraft Ri nach Grösse und Richtung an, so ist das Kräftesystem im Gleichgewicht.

Anmerkung. Das Aufsuchen derjenigen Kraft, welche ein an einem Punkte angreifendes System von Kräften ins Gleichgewicht bringt, findet bei der Be-

Stimmung der Spannungen in fachwerkartigen Dachsystemen ausgedehnte Anwendung. Im Kapitel III e wird davon eingehend die Rede sein.

c) Rechnerische Zusammensetzung und Zerlegung von ebenen Kräften.

Wie bereits auf Seite 2 mitgeteilt wurde, werden die nach rechts und oben wirkenden Kräfte mit dem Zeichen    die nach links und unten wirkenden

Kräfte mit dem Zeichen „—“ versehen, wodurch die Kraftrichtung hinlänglich bestimmt ist.

1. Die Kräfte wirken in einer Geraden.

Die rechnerische Bestimmung ist in diesem Falle der graphischen vorzu-ziehen, weil sie weit schneller zum Ziele führt.

Wie schon früher ermittelt (s. Seite 4) ist die Resultierende R:

R = ^P.

Ihre Richtung ist durch das Vorzeichen des Summenwertes bestimmt.

Aufgabe. Im Punkte A eines Körpers wirken die Kräfte Pi = GOO kg, P₂ = 800 kg, P₃ = 300 kg, P₄ = 100 kg nach rechts, P₅ = 900 kg, Pg = 700 kg, P₇ = 400 kg nach links, dann ergibt sich für R der Wert:

R = 2 P = 600 + 800 4- 300 + 100 — 900 — 700 — 400 = — 200 kg.

Das negative Vorzeichen sagt aus, dass die Kraft R nach links gerichtet ist.

2. Die Kräfte wirken in einem Punkte nach verschiedenen Richtungen.

a) Der Winkel, den die Kräfte miteinander bilden, sei 90°.

Bildet man aus den Kräften Pi und P2 den Kräftezug (Fig. 45), so ergibt sich für die Grösse von R nach dem Pythagoreischen Lehrsätze:

3)

R = |/'Pi² + P₂².

Fig. 46.

Fig. 45.

r~ e±oo?ty. P±

Tz= 3800 hff.

Bezeichnet man den Winkel, den R mit der horizontalen Kraft P2 bildet, mit «, so ergibt sich für die Richtung der Resultierenden:

4)

Pi

fg« = p₂-

Aufgabe. Die Kräfte seien Pi = 2400, P2 = 3800 kg (Fig. 46). Nach Gleichung 3) ist:

R - Y2400² + 3800² = 4500 kg,

und nach Gleichung 4) der Winkel a mit der horizontalen Kraft P₂

tg« =

2400

3800

= 0,7365, woraus a = rd 36⁰ 20'.

Soll die Resultierende R in Fig. 45 in zwei aufeinander senkrecht stehende Seitenkräfte zerlegt werden, so ergeben sich für die Kräfte Pi und P₂, wenn man den Winkel, den R mit P₂ einschliesst, mit « bezeichnet:

I\ = R • sin «,

P‘2 = R • COS a.

Fig. 47.

St

1 cm - zoaohff

"T

Aufgabe. Eine Strebe, welche unter 40° gegen die Horizon-^ tale geneigt ist (Fig. 47), hat einen Druck von 4800 kg, wie gross ist die horizontale und die vertikale Komponente H und V ?

Man findet:

H - 4800 • cos 40⁰ - 4800 • 0,766 = 3677 kg

und

V - 4800 • sin 40⁰ = 4800 • 0,643 = 3086 kg.

Man prüfe das Resultat durch die graphische Zerlegung, indem man einen möglichst grossen Kräftemafsstab annimmt, z. R. 1 cm = 500 kg.

ß) Der Winkel der beiden Kräfte ist verschieden von 90°.

Der Winkel der beiden Kräfte « sei kleiner als 90°. Zeichnet man den Kräftezug (Fig. 48), so ergibt sich nach einem trigonometrischen Satze für die Grösse von R und Fig. 49a:

r = Kiv"4- p₂^ Pi • p₂ • Xcos « r/+    **«■

Fig. 49 a.

Fig. 48.

Fig. 49.

fjy

Ist der Winkel a grösser als 90°, so folgt mit Beziehung auf Fig. 49:

R = |/~Pi² + P₂²—2Pi-P₂-cos(180 '-«)

Das Rechnen nach diesen Formeln ist ziemlich umständlich, man kommt viel schneller mit der graphischen Methode zum Ziel. Die Formeln sind hier auch nur der Volllständigkeit wegen mitgeteilt.

3. Beliebig viele Kräfte an einem Punkte.

Am Punkt A, Fig. 50, wirken die Kräfte Pi, P₂, P3, P4, P5. Um die Resultierende R zu fiuden, lege man durch A zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen x—x und y—y, wovon x—x horizontal liegen möge. Die Winkel, welche die gegebenen Kräfte mit der Achse x—x einschliessen, seien «1

«3, «4, «5.

«2,

Mit Hilfe von Gleichung 5) lässt sich nun jede Kraft in zwei Komponenten zerlegen, wovon die eine in die horizontale x-Achse, die andere in die vertikale

y Achse fällt. Fasst mau die horizontalen Komponenten zu einer Resultierenden II, die vertikalen Komponenten zii einer Resultierenden V zusammen, so erübrigt nur noch, diese beiden im Punkt A angreifenden Kräfte nach Gl. 3) zu einer neuen Resultierenden zu vereinigen.

+y

Fj Sincc^i.

Mit Rücksicht auf Fig. 50 erhält mau unter Beachtung der Kraftrichtungen für die horizontalen Komponenten in der x-Achse die Werte F Pi • cos m, F P2- cos 02,

4 IVCOS «3,— P4• COS «4,-Pö- COS «5

deren gemeinschaftlicher Angriffspunkt A ist. Die Resultierende II ist mithin :

Fig. 50,

F. cos cc

_______ \P.smccs

'S

(cc

[Ö)

OCf

P₃ cos cc

V&

PfCOÜtX.

ri

II = Pi • COS «1 -P P2 • COS C*2 + P3 • COS «3 — P4 • COS di — P₅ • COS a5 oder kürzer:

j ’ Pi ■ sin a

6)

H = 2? (P • cos «

_.y

Für die im Punkt A angreifenden vertikalen Komponenten findet man aus der Fig. 50:

F Pi • sin ai, F P2 • sin a2, -- P3 • sin »3, — P4 • sin «₄, F P5 • sin a5 und für deren Resultierende V:

Y = Pi • siu «1 F P2 • sin «2 — Pa • sin 0:3 — P4 • sin «4 F Pr. • sin a₅ oder kürzer:

6 a)

V = .2 (P • sin «).

Die Resultierende R aus V und H ist nun nach Gl. 4):

• 7)

R = KH²F,V².

Der Winkel «, den die Resultierende mit der x-Achse einschliesst, sei n, dann ist die Richtung von R bestimmt durch die Gleichung:

8)

tg

Aufgabe. Die Resultierende R der in Fig. 51 angegebenen Kräfte zu be- | stimmen.

A'

iv

Für die Horizontalkomponenten der Kräfte ergibt sich :

zo°

Fig. 51.

+ 1500 • cos 30⁰ = + 1500 • 0,866 = + 1299 kg F 4000 • cos 45⁰ ^ 4- 4000 • 0,707 - + 2828 kg

—    2500 • cos 60⁰ = — 2500 • 0,500 - — 1250 kg

—    5200 • cos 20⁰ - - 5200 • 0,934 - — 4847 kg Demnach die Resultierende H:

H - + 1299 F 2828 —1250 — 4847 = — 1980 kg, d. h. sie wirkt im Punkte A nach links (Fig. 52).

4/

--O

,

>45°

Fig. 52.

Æ 19807fCf.

*- Y

CC-18⁰10\'

//

Die Vertikalkomponenten werden:

+ 1500 • sin 30⁰ = + 1500 • 0,500 = + 750 kg

—    4000 • sin 45⁰ - — 4000 • 0,707 = — 2828 kg

—    2500 • sin 60° = - 2500• 0,866 = — 2165 kg + 5200 • sin 20⁰ = + 5200 • 0,302 = + 1778 kg

Mithin die Yertikalresultante Y:

V = 4- 750 — 2828 — 2165 + 1778 = - 2455 kg,

d. h. sie wirkt im Punkte A nach unten (Fig. 52). Die Resultierende R wird jetzt :

R = KHM⁷V² - K1O8O² + 2455² = 3154 kg.

Der Winkel, den R mit der x-Achse bildet, ergibt sich aus:

2455

tg« =

= 1,24 zu:

2980 « = 75 HO'.

Gleichgewicht der Kräfte. Sind II und V = 0, so ist auch R = 0, d. h. die Kräfte sind im Gleichgewicht. Man kann daher den Satz aufstellen:

Satz 13. Beliebig viele an einemPunkte angreifende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn gleichzeitig die Summe der Horizontalkomponenten und der Vertikalkomponenten gleich Null ist. (Vergleiche hierzu Satz 12.)

d) J)ie Kräfte wirken zerstreut in der Ebene.

Wenn die auf einen Körper wirkenden Kräfte sich nicht mehr in einem Punkte schneiden, sondern an verschiedenen Punkten angreifen, so lässt sich ebenfalls stets eine resultierende Kraft angeben, welche die gegebenen Kräfte zu ersetzen vermag. Diese Resultierende kann auf zwei Wegen bestimmt werden.

1. Das Resultanten- oder Mittelkraftpolyg'on.

Au dem Körper (Fig. 53) mögen die Kräfte Pi, P2, P3, P4, P5 angreifen. Nach Satz 5 kann mau den Angriffspunkt einer Kraft in ihrer Richtung

beliebig verschieben. Bringt man daher die Kräfte Pi und P₂ zum Schnitt im Punkte A, so muss deren Resultierende durch diesen Punkt gehen. Mit Hilfe des Kräftezuges in Fig. 54 bilde man die Resultierende Ri_2 = a-c, verlege sie nach dem Punkte A (Fig. 53), • bringe Pi_2 jetzt zum Schnitt mit P3 im Punkte Bund vereinige beide zur Resultieren-

Kd

d %

Fig. 54.

ly

Jt ^ ;d.

A

Ps

h—

Fig. 53.

Js

= a-d, und fahre auf diese Weise fort, bis alle Kräfte zu der Resultierenden Ri_5 vereinigt sind. Die Grösse und Richtung der einzelnen Mittelkräfte ergibt sich dabei aus dem Kräftezuge a-b-c-d-e-f.

Das Polygon ABCD heisst das Mittelkraftpolygon, weil jede Polygonseite die Lage der Resultierenden aus sämtlichen vorhergehenden Kräften an gibt.

Bei der Untersuchung von Stützmauern, Schornsteinen, Gewölben und ihrer Widerlager findet diese Methode vielfach Anwendung.

Aufgabe 1. Auf die in Fig. 55 dargestellte Kaimauer möge im Punkte 31 der Wasserdruck W mit 2000 kg, im Punkte 33 der Erddruck E mit 3200 kg und im Schwer-

punkte (S das Gewicht G der Mauer mit 8300 kg angreifen. Verlangt wird die Resultierende nach Richtung,

Grösse und Lage.

1 cm = 2000 kg.

Man konstruiere zunächst die Resultierende Ri aus E und G (Fig.56),ziehe durch den Schnittpunkt A von G und E in Fig. 55 eine Parallele zu Ri bis zum Schnitt mit der Richtung von W im Punkte B. Nun vereinige man im Kräfteplan Ri und W zur Resultierenden R2 und ziehe durch B (Fig. 55) hierzu die Parallele, so ist damit die Lage und Richtung von R2 gefunden. Die Grösse ergibt sich aus dem Kräfteplan zu 5150 kg.

Aufgabe 2. Gegen einen Mauerpfeiler stützen sich zwei Gewölbebögen und übertragen auf jenen die Kämpferdrücke Ki = 1800kg,K2 = 2300kg. Das Gewicht des Pfeilers ist G = 8100 kg.

Verlangt wird die Resultierende der Kräfte (Fig. 57 u.58). 1 cm = 1500 kg.

Die Resultierende Ri aus Ki und G (Fig. 58) geht durch den Schnittpunkt A von Ki und G (Fig. 57) ; die Resultierende R₂ aus Ri und K2 geht durch deren Schnittpunkt B und ist 11550 kg.

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4-.00

2,00

gl A

20CüïkA

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j* - -7r60- -

Fig. 56.

JE,

Fig. 55.

30°

G\

1 cm, = zoooJZg.

C -pyr d

Fig. 57.

Zj^lSOOHgr.

Cf* t¹ ; eiooW^ j

JSTg* 2300ftgr-

Fig. 58. jicm-rsoo/f^g.

li

Jij

Aufgabe 3. Auf den Mittelpfeiler einer hölzernen Brücke wirken die in Fig. 59 angegebenen Kräfte. Gesucht wird die Resultierende sämtlicher Kräfte.

Mau vereinige zuerst Pi und P2 zur Resultierenden Ri setze diese mit dem Gewichte G zusammen zur Resultierenden R₂, konstruiere dann die G Resultierende R₃ aus P₃ und P4 und ermittele endlich die Resultierende R4 ausR₃ und r R₂ (Fig. CO).

Fig. 59.

Fig. GO.

soooTSg.

Pf ^TÏOOftg,

Pa =*soo7i.gr.

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TT

i< o,s>o\

k/

\X

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&3 I \

Ps

2. Das Seilpolygon.

Der vorstehende Weg führt zu grossen Ungenauigkeiten,wenn sich die Kräfte unter sehr spitzem Winkel schneiden, da in diesem Falle ihr Schnittpunkt schwer zu bestimmen ist. Sind die Kräfte parallel, so ist das Verfahren überhaupt unbrauchbar. Man gelangt dann aber auf folgende Weise zum Ziel.

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\ üj/

-Rjj.

Fig. Gl.

Fig. 62.

Jh

Pn

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Gesucht sei die Resultierende aus den Kräften Pi, P₂, P3, P4 (Fig. Gl). Man reihe die Kräfte Pi, P₂, P₃, P4 zuerst zu einem Kräftezuge a-b-c-d-e aneinander (Fig. G2), dann ist die Schlusslinie a-e die Resultierende nach Grösse und Richtung.

Um ihre jetzt noch unbekannte Lage am Körper zu linden, bringe man in einem beliebigen Punkte A der Kraft P zwei Kräfte Si und s₂ an, die mit Pi

im Gleichgewichte sind. Nach Satz 10 muss sich dann aus diesen Kräften ein geschlossenes Kräftedreieck bilden lassen. Zieht man daher im Kräfteplane Fig. G2 durch a und b die Parallelen zu Si und S2 und bringt die Pfeile sinngemäss an, so ergibt sich das Kräftedreieck a-b-O, in welchem O-a = sL und b-0 = S2 ist. Die Kraft S2 bringe man in Fig. 61 zum Schnitt mit P2 im Punkte B und bringe hier eine der Kraft S2 gleiche aber entgegengesetzte Kraft S2 an. INIit Hilfe des Kräftedreiecks suche man nun diejenige Kraft 83, die mit S2 und P₂ im Gleichgewicht ist. Grösse und Richtung von s₃ liefert das Kräftedreieck O-b-e-O. Die Pfeile müssen wieder aufeinander folgen, für Kraft s₂ gilt daher der Doppelpfeil, weil sie jetzt in der Richtung O-b wirkt. In Fig. 61 bringe man nun die Kraft s₃ zum Schnitt mit P₃ im Punkte C und füge hier die Kraft s3 entgegengesetzt gerichtet an. Zu s₃ und P₃ suche man die Gleichgewicht haltende Kraft S4, die sich im Kräfteplan nach Grösse und Richtung als die Seite d-0 des Kräftedreiecks 0-c-d-0 ergibt. Im Schnittpunkte D von S4 mit P4 füge man die Kraft S4 wieder entgegengesetzt an und bestimme mit Hilfe des Kräftedreiecks 0-d-e-0 die Kraft s₅ , die mit s₄ und P4 im Gleichgewicht ist. Sie ist nach Grösse und Richtung gleich der Seite e-0 des Kräftedreiecks O-d-e-O.

An jedem der Punkte A, B, C, D greifen jetzt also drei miteinander im Gleich- ' gewicht befindliche Kräfte an, so dass das ganze System im Gleichgewicht ist.

Nun ist aber die Kraft s₂ mit s₂, s₃ mit s₃ und endlich S4 mit S4 nach

Satz 6 im Gleichgewicht. Man kann daher die Kräfte s₂, s₃, S4 vom Körper entfernen, ohne seinen Gleichgewichtzustand zu ändern. Die Kräfte Si und s5 müssen daher mit den Kräften Pi bis Pj, also auch mit deren Resultierenden R, im Gleichgewicht sein. Nach Satz 10 folgt aber, dass sich dann si,s₃ und R in einem Punkte schneiden müssen. Verlängert man daher die Kräfte Si und s3 bis zum Schnitt in S, so muss R durch diesen Punkt gehen. Damit ist aber die Lage von R bekannt.

Den Linienzug F-A-B-C-D-G nennt man Seilpolygon, weil ein Seil unter der Einwirkung der Kräfte Si, Pi, P₂, P₃, P4, s₅ die Form des Polygons annehmen würde.

Die Geraden O-a, O-b, O-c, O-d im Kräfteplan heissen Polstrahlen, den Punkt 0 nennt man den Pol, a-e die Schlusslinie des Kräftezuges, F-A und F-G die äussersten Seilpolygon seiten. Die Polstrahlen geben nach der vorstehenden Entwickelung die Grösse der Spannungen an, welche ein Seil unter der Wirkung der gegebenen Kräfte erleidet. Da die Lage des Pôles 0 sich aus der ganz willkürlichen Annahme der Kraft si ergab, so folgt, dass der Pol 0 selbst ganz beliebig gewählt werden kann. Zur Bestimmung der Resultierenden R ergibt sich somit folgende

Regel: Man reihe die Kräfte Pi,P₂,P₃,P4 zu einem Kräftezuge aneinander, dann stellt die Schl usslinie die Resultierende nach Grösse und Richtung dar. Um die Lage der Resultieren den zu finden, konstruiere man mit Hilfe eines beliebigen Pôles 0 zwischen den gegebenen Kräften ein Seil polygon, dann geht die Resultierende R durch den Schnittpunkt der äussersten Seilpolygonseiten.

Der erste Seilstrahl muss immer zur ersten Kraft, der letzte Seilstrahl von der letzten Kraft aus gezogen werden.

Nach vorstehender Regel ist in Fig. 63 die Resultierende aus den Kräften Pi — P4 konstruiert worden.

Was das Zeichnen des Seilecks anbetrifft, so bilde man zuerst den Kräftezug a-b-c-d-e, dann ist a-e die Resultierende R nach Grösse und Lage. Nun wähle man den Pol 0, ziehe Polstrahl 1 und hierauf parallel dazu Seilstrahl I, dann Polstrahl II und parallel dazu Seilstrahl II u. s. f., endlich Polstrahl V und dazu parallel Seilstrahl V. Die äussersten Seilstrahlen I und V bringe man zum Schnitt in S und ziehe durch diesen Punkt die Parallele zur Resultierenden R (Fig. 64).

Fig. 63.

Fig. 64.

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Cy

fs

4\ i

Aus dem Vorstehenden folgt noch, dass sich zu einem gegebenen Kräftesystem unendlich viele Seil polygone zeichnen lassen. Die Schnittpunkte der äussersten Seilpolygonseiten liegen stets auf der Richtung von R.

In Fig. 65 und 66 wurden zu dem Kräftesystem Pi — P5 mit Hülfe der Pole Oi und O2 die beiden Seilpolygone I—VI bezw. 1 — 6 ge-zeichnet. Die Schnittpunkte Si und S2 der äussersten Seiten liegen auf der Richtung von R.

Gleichgewicht. Fügt man in Punkt S (Fig. 65) eine Kraft Ri = R entgegengesetzt hinzu, so sind die Kräfte im Gleichgewicht. Der Pfeil von R ist dann aber auch im Kräfteplan umzukehren, so dass jetzt der Doppelpfeil gilt, der Kräftezug ist zu dem geschlossenen Polygon a-b-c-d-e-a geworden, aber auch das Seilpolygon bildet jetzt eine geschlossene Figur.

Um dies besser zu erkennen, sind in Fig. 67 und 68 die im Gleichgewicht befindlichen Kräfte Pi, P2, P3, P4, P5 zusammengesetzt. Das Kräftepolygon ist

Fig. 65.

.JS\

,    Fig. 66.

Rj

geschlossen, aber auch das Seilpolygon bildet jetzt die geschlossene, schraffierte Figur.

Wie nämlich im Kräfteplan und Bauplan Strahl 11 zwischen Pi und P₂, Strahl 111 zwischen P₂ und P₃, Strahl IV zwischen P₄ und P₄ liegt, so liegt

Fig. 67.

-A.

m:

fl

Fig. 68.

il

II

Strahl V zwischen P₄ und P₅ • S und endlich Strahl I zwischen ! P₅ und Pi.

ui

P5 IV

\d

In Fig. 63 sind die gestrichelten Linien A-S und B-S Hülfslinien, in Fig. 67 sind A-S und B-S Seilstrahlen.

Noch deutlicher wird das vorstehend Gesagte, wenn man den Pol 0 innerhalb des Kräftezuges legt. Wir empfehlen dem Leser das Seilpolygon mit einem solchen Pole zu zeichnen.

Für den Fall, dass Gleichgewicht unter den Kräften herrscht, kann man demnach den Satz ausspreehen :

Satz 14. Beliebig viele in der Ebene zerstreut wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht,

Kräfte- und Seilpolygon geschlossen sind.

wenn f

Fig. 69.

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1)

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TL

Fig. 70.

JV

Aufgabe. Man konstruiere die Resultierende aus den in Fig. 69 angegebenen Kräften.

Man reihe die Kräfte K, G und E unter Berücksichtigung des Kräftemafsstabes 1 cm = 2000 kg aneinander (Fig. 70), dann ist a-e die Resultierende nach Grösse und Richtung.

Nun konstruiere man mit Hilfe des beliebigen Pôles 0 das Seilpolygon 1-11-1II-1V, bringe I und IV zum Schnitt in S, ziehe durch diesen Punkt eine Parallele zu a-e, so ist auch die Lage von R gefunden.

3. Die Kräfte sind parallel.

Bei der statischen Untersuchung von Baukonstruktionen liegt häufig der Fall vor, dass die Kräfte parallel wirken. Die vorstehend abgeleiteten Sätze behalten selbstverständlich hier ihre Gültigkeit, da die Parallelität nur als Sonderfall aufzufassen ist.

Die Mittelkraft R der parallelen Kräfte Pi, P2, P3, P* wird demnach erhalten (Fig. 71), wenn man die Kräfte zu dem Kräftezug a-b-c-d-e aneinanderreiht,

der jetzt eine gerade Linie, die sogen. Kraftlinie bildet. Die ganze Linie a-e stellt die Resultierende R nach Grösse und Richtung dar (Fig. 72).

Die Grösse der Mittelkraft ist demnach gleich der iß algebraischen Summe der Kräfte. Man kann also wieder schreiben :

Fig. 71.

Fig. 72.

ti

Vs

P3

Pl

1ct

\>

P3

,d

9)

R = 2P.

Die Resultierende ist den gegebenen Kräften stets parallel. Unter Annahme eines beliebig gewählten Pôles konstruiere man nun das Seilpolygon zwischen den gegebenen Kräften, der Schnittpunkt S der äussersten

Polygonseiten ist dann ein Punkt der Resultierenden.

Hebt man die Kraft R im Schnittpunkte S durch eine gleich grosse, aber entgegengesetzte Kraft P₅ auf, so sind Kräfte und Seilpolygon, wie dies in ⁰ Fig. 73 und 74 besonders dargestellt ist, geschlossen. Der Satz 14 lässt sich daher für parallele Kräfte wie folgt ausdrücken:

Satz 15. Parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn Kräfte-und Seilpolygon sich schliessen.

Fig. 73.

Fig. 74.

Pa

ti

e,

«) Ungleich gerichtete parallele Kräfte.

Die angegebene Konstruktion zur Bestimmung der Resultierenden bleibt natürlich auch dann gültig, wenn die Kräfte ungleiche Richtung haben. In Fig. 75 sind z. B. die Kräfte Pi und P₅ nach oben, die Kräfte P2,IJ3,P4 nach unten gerichtet.

Man zeichne zuerst wieder den Kräftezug; derselbe ist a-b-c-d-e-f. Die Kräfte überdecken sich zum Teil, worauf man besonders achte (Fig. 76).

Die Resultierende R ist a-f und nach unten gerichtet. Sie ist gleich der algebraischen Summe der Kräfte.

Bei der Konstruktion des Seilpolygons mit Hilfe des beliebigen Pôles 0 beachte man genau die Folge der Aneinanderreihung der Kräfte.

Man ziehe also Polstrahl 1 von 0 nach a und dazu parallel Seilstrahl I, dann Polstrahl II nach b, dazu parallel Seilstrahl II, dann Polstrahl III nach c, dazu parallel Seilstrahl III u. s. f. Der letzte Polstrahl VI geht von 0 nach dem Ende f des Kräftezuges.

Durch den Schnittpunkt S von Seilstrahl I und VI geht dann die nach unten gerichtete Resultierende R.

fr

fr

Fig. 75.

fr

/ v

Fig. 76.

fr

fr fr

Tb

xjr

fr

VI

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'fr

fr

T/

i A

Li

\is

ß) Zwei gleich gerichtete parallele Kräfte.

In Fig. 77 und 78 sind die beiden Kräfte Pi und P2 zu einer Resultierenden R zusammengesetzt. Es ist R = Pi -f- P₂, sie geht durch den Schnittpunkt S der äussersten Polygonseiten I und III und liegt stets der grösseren Kraft näher.

Fig. 77.

Fig. 78.

cc

Betrachtet man A und B in Fig. 77 als die Angriffspunkte der Kräfte Pi und P2 und ist C der Schnittpunkt der Resultierenden R mit der Geraden AB, so ist:

\f

fr

fr

fr

y fr

fr

_ŁŁi

AACScc AOba, mithin    ^ ^

und ferner:

A B C S 00 a O b c, mithin

B C O b

CS ~ bc

Durch Division der beiden Gleichungen erhält man:

AC _ bc P2 BC “ ab ""Pr

Hiernach ergibt sich der Satz:

Satz 10. Die Resultierende z weier gleichgeric hteten parallelen Kräfte teilt die Verbindungslinie ihrer Angriffspunkte innerlich im umgekehrten Verhältnis der beiden Kräfte.

4. Eine Kraft R m zwei ilir parallele, der Lage nach gegebene Kräfte zu zerlegen.

Mit Hilfe der vorigen Aufgabe ist es nun leicht, die in der Ueberschrift gestellte Aufgabe zu lösen.

Es sei in Fig. 79 die Kraft R zu zerlegen in zwei parallele Kräfte, deren Lage durch die Punkte A und B gegeben ist.

Man mache in Fig. 80 a-b = R, ziehe vom beliebigen Pol 0 die Polstrahlen 1 und II und durch den beliebigen Punkt S auf der Resultierenden R in Fig. 79

die Parallelen dazu, die Pi in A und P2 in B treffen mögen. Zieht man dann in Fig. 79 die Linie A-B als Seilstrahl III und durch 0 eine Parallele dazu, die die Resultierende R in c trifft, so ist a-c = Pi und c-b = P2. Kehrt man die Kräfte Pi und P2 in Fig. 79 um, so sind Pi und P2 im Gleichgewicht mit R. Man erhält alsdann Fig. 81 und 82, Kräftepolygon und Seilpolygon sind geschlossen. Die Kraft Pi ist jetzt = c-a, P₂ = b-c. Die Seilpolygonseite A-B heisst die Schlusslinie s des Seilpolygons.

v._

Fig. 79.

Fig. 80.

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—-^zzr

-P/

M -V—

—ar

ix

cc

Fig. 82.

-Ï8)0

Fig. 81.

yJl

In gleicher Weise lässt sich jetzt leicht die für die bautechnische Praxis so wichtige Aufgabe lösen:

Zwei der Lage nach gegebene Kräfte A und B zu finden, welche den ihnen parallelen Kräften I\,P₂,P3,P4 das Gleichgewicht halten. Fig. 83, 84.

Man reihe die Kräfte Pi—P₄ zu dem Kräftezuge a-b-c-d-e aneinander (Fig. 84), dann ist a-e die Resultierende aus diesen Kräften. Um deren Lage zu linden, konstruiere man mit Hilfe des beliebiges Pôles 0 zwischen den Kräften das Seilpolygon I-IÏ-III-IV-V, dann geht die Resultierende Ri_₄ durch den Schnittpunkt S der Polygonseiten I und V. Hiermit ist aber die Lösung der Aufgabe

zurückgeführt auf die vorige. Bringt man daher den Seilstrahl I zum Schnitt mit der Kraftrichtung A im Punkt Ai und den Seilstrahl V zum Schnitt mit der Kraftrichtung B in Bi und zieht man sodann die Schlusslinie Ai-Bi und durch den Pol 0 eine Parallele dazu, welche die Kraftlinie a-e in f schneidet, so ist f-a gleich der gesuchten Kraft A und e-f gleich der gesuchten Kraft B. Wie man sich leicht überzeugt, ist es zur Bestimmung der Kräfte A und B nicht erforderlich,

li

Fig. 83.

TI"

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Fig. 84.

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Y/

fl

_ V-

nr

y¹

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7 y---

s)0

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die äussersten Seilstrahlen zum Schnitt zu bringen und die Lage von Ri_i einzuzeichnen.

5. Auflagerdrücke eines Balkens.

Die Lösung der vorstehenden Aufgabe ist jedesmal auszuführen, wenn es sich darum handelt, die Stützendrücke eines irgendwie senkrecht belasteten Balken graphisch zu bestimmen. Jeder Balken nämlicli übt auf die stüzenden Mauern, die man Auflager, Widerlager oder Stützen nennt, einen gewissen lotrechten, nach unten wirkenden Druck aus. Da der Balken sich im Gleichgewicht befindet, so muss jede Mauer nach Satz 1 und 4 einen gleichen, aber entgegengesetzten, also vertikal nach oben gerichteten Gegendruck ausüben. Diese nach oben wirkenden Drücke heissen A uflager- ode r Stütz endrücke.

Die Summe beider Stützendrücke ist gleich der Belastung des Trägers, oder mit andern Worten, die Summe aller senkrechten Kräfte, wozu auch die Stütz e n drücke zählen, ist gleich Null.

£ A fl, fl

Fig. 85.

Die Entfernung der Angriffspunkte der Stützendrücke nennt man die Stütz-weite des Trägers (Fig. 85). Diese ist nicht gleichbedeutend mit der freien Länge, da an der Vorderkante des Mauerwerkes keine Kräfte übertragen werden können. Die Angriffspunkte der Stützendrücke liegen vielmehr um ein gewisses Mafs hinter der Vorderkante des aufgehenden Mauerwerks zurück, wovon später noch eingehend die Rede sein wird.

Man bezeichnet den linken Stützendruck stets mit A, den rechten mit B. Dieselbe Bezeichnung erhalten auch die entsprechenden Angriffspunkte.

Nach den vorstehenden Ausführungen lassen sich die Auflagerdrücke des in Fig. 86 gezeichneten Balkens wie folgt ermitteln:

Kogel. Man reihe die Kräfte Pi bisPs zu dem Kräftezuge a-b-c-d-e-f aneinander (Fig. 87), mit Hilfe des beliebig angenommenen Pôles 0 konstruiere man zwischen den Kräften das Seilpolygon ziehe die Schlusslinie Ai-Bi und zu dieser durch den Pol 0 die Parallele O-g, dann schneidet diese auf dem Kräftezuge die Auflagerdrücke A und B ab.

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Fig. 87.

Tt

a Hi

At

Aß,

MI

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JT

T-/B'

Fig. 86.

UL

IV

Der linke Stützendruck A ist immer gleich dem oberen Abschnitt g-a, der rechte Stützendruck gleich dem unteren Abschnitt f-g.

Aufgabe. An den in Fig. 88 dargestellten Unterzug sind Kappenträger genietet, welche die dort angegebenen Lasten auf den Unterzug übertragen. Wie gross sind die Auflagerdrücke A und B des Unterzuges?

Unter Zugrundelegung des Kräftemafsstabes 1 cm = 1000 kg sind in Fig. 88 und 89 die Auflagerdrücke A und B ermittelt nach vorstehender Regel mit Hilfe des Pôles 0 und des Seilpolygons I—II-III usw. 1 cm = 1000 kg.

Man findet A = 4600 kg, B = 5000 kg.

Ist der Träger symmetrisch belastet, so sind die Auflagerdrücke einander gleich.

Anmerkung 1. Damit das Seilpolygon nicht zu flach wird, was, abgesehen von der unschönen Form, zu mehr oder weniger grossen Ungenauigkeiten führt, nehme man den Polabstand etwa Vs bis V* der ganzen Länge der Kraftlinie an. Man erhält dann stets klare und übersichtliche Figuren. Sodann sei noch bemerkt, dass man das Seilpoygon stets soweit unterhalb des Trägers zeichnet, dass der Bauplan (Fig. 88), in welchem die Abstände der Lasten von einem der Lager eingeschrieben werden, nicht von dem Seilpolygon berührt wird. Die Uebersichtlichkeit gewinnt dadurch ausserordentlich.

Anmerkung 2. Aus Gründen der Uebersichtlichkeit wird auch der Punkt, der auf dem Kräftezuge die Auflagerdrücke abschueidet, doppelt eingekreist, wie dies die Fig. 84, 87, 89 zeigen.

Nimmt man, nachdem die Auflagerdrücke A und B auf dem Reissbrett in Blei ermittelt sind, wobei die Schlusslinie s im allgemeinen eine geneigte Lage

_Z'

77-

hat, den Pol 0 auf der durch g (Fig. 89) gehenden Horizontalen an und zieht nun das Seilpolygon 1-2-3-4-5-6, so wird die Schlusslinie horizontal. Das erste Polygon I-II-1II wird fortgenommen und nur das zweite ausgezogen, wodurch die Lösung sich noch eleganter darstellt.

1600 2000 2200

2000 1800

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~K

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4-

0,o —J

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*.8

'x'

'Co I

VA

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'6

Fig. 89.

O-

Fig. 88.

Im allgemeinen wird der Träger wie in Fig. 86 als stark gezeichnete Gerade und nicht, wie in Fig. 88 dargestellt, als Balken gezeichnet.

6. Zwei entgegengesetzt gerichtete Kräfte.

Die Kräfte Pi und P2 seien entgegengesetzt gerichtet, Pi A> P2, dann ist die Resultierende R:

R = Pi - Pa.

Die Lage von R wird wieder durch den Schnittpunkt S der Seileckseiten I und III bestimmt. Wie aus der Fig. 90 und 91 ersichtlich, liegt jetzt die Resultierende nicht mehr zwischen, sondern seitlich von Pi als der grösseren

der beiden Kräfte Pi und P2. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke O-b-c und S-B-C.

sowie der Dreiecke O-a-b und S-A-C folgt, dass sich verhält Pi : P2 = B C AC.

Satz 17. Die Resultierende R zweier entgegengesetzt gerichtete n parallelen Kräfte teilt die Verbindungslinie der Angriffspunkte

äusserlich im um-Ver-

Fig. 90. t

A.

Fig. 91.

II

TT

9)°

\t

-»«-

gekehrten hältnisse der beiden Kräfte zwar liegt die Resultierende immer auf der Seite der grö sse r en Kraft.

und

7. Die beiden entgegengesetzten Kräfte sind gleich gross.

Wenn Pi = P₂ = P

wird, so ist die Resultierende R = Pi — P2 = 0. Konstruiert man mit beliebigem Pole 0 das Seilpolygon, so findet man, dass die äussersten Seilpolygonseiten 1 und III parallel werden, somit das Polygon sich nicht schliesst (Fig. 92, 93).

Trotzdem also die Resultierende R = 0 ist, kann kein Gleichgewicht am Körper vorhanden sein, da nach Satz 14 hierzu erforderlich ist, dass sich Kräfte- und Seilpolygon schliessen. Die Wirkung der beiden Kräfte kann aber durch eine Einzelkraft nicht aufgehoben werden, da diese dem Körper eine geradlinige Bewegung erteilen würde. Dies ist aber wegen des Verschwindens der Resultierenden unmöglich. Es bleibt daher keine andere Möglichkeit als die, dass die Kräfte l\ und P₂ dem Körper eine drehende Bewegung erteilen. Man nennt daher zwei derartige Kräfte ein Drehpaar oder Kräftepaar.

Die Grösse des Drehbestrebens wird durch das Produkt P • a ausgedrückt, wobei a den senkrechten Abstand der beiden Kräfte bedeutet. Die Drehbewegung infolge des Kräftepaares erfolgt entweder im Sinne des Uhrzeigers oder dieser entgegengesetzt. Die erste wird auch wohl rechtsdrehend oder positiv, die letzte linksdrehend oder negativ genannt.

Das Produkt P-aheisst das s t ati s c h e M 0 m e n t und a der Hebelarm oder kurz Arm des Kräftepaares.

Das statische Moment wird immer mit dem Buchstaben M bezeichnet, so dass also die Gleichung besteht:

S)

Pig. 92.

Pig. 93.

C2

cc

CL -,

10)

M = P • a.

In dem Produkte P-a ist die Kraft P in kg, der Hebelarm a in m oder cm zu nehmen. Die Einheit, mit welcher Kräftepaare gemessen werden, ist daher

entweder das „Kilogrammmeter“ (kgm) oder das „Kilogrammcentimeter“ (kgcm). Zwischen beiden besteht die Beziehung

1 kgm = 100 kgcm.

Eine Einzelkraft kann nur eine geradlinige Bewegung hervor-rufen, ein e Drehbewegung nur durch ein Kräftepaar erzeugt werd en.

Auch bei beliebig vielen parallelen Kräften kann die Resultierende Null werden, ohne dass Gleichgewicht vorhanden ist. Es sei, um dies zu beweisen,

Fig. 95.

in Fig. 94 und 95 die Kraft

P5 = Pi +P2 + P3+P4,

aber diesen entgegengesetzt gerichtet, dann schliesst sich der Kräftezug, aber nicht das Seilpolygon, da die äussersten Seilstrahlen I und VI wieder parallel werden. Fasst man die Kräfte Pi — P4 zu einer Resultierenden Ri— 4 = Pô zusammen, so bildet diese mit der Kraft P₅ ein Kräftepaar am Hebelarm a.

Fig. 94.

j.

T)

.7

ITT

J7I\

JE

7. Ton den Kräftepaaren.

Die Wirkung eines Kräftepaares kann, wie oben bereits bemerkt wurde, durch keiue Einzelkraft aufgehoben werden, da diese eine fortschreitende, jenes eine drehende Bewegung erzeugt.

Was den Punkt anbetrifft, um welchen die Drehung stattfindet, so kann man diesen beliebig wählen. Hält man den Körper (Fig. 96) im Punkte A fest, so wird der Körper um A herum drehen, hält man ihn im Punkte B fest, so geschieht die Drehung um diesen Punkt und zwar in beiden Fällen mit einer Wucht, deren Grösse bestimmt ist durch das Moment P • a des Paares. Die Drehung geschieht auch immer in demselben Sinne, ganz gleichgültig, wo der Drehpunkt liegt.

Fig. 96.

r

L.

qH

Mehrere in einer Ebene wirkende Kräftepaare lassen sich zu einem einzigen Paare vereinigen. Das Moment dieses Paares ist gleich der algebraischen Summe der Einzelpaare. Wirken zwei Kräftepaare von gleichem Drehsinn, so ist das Moment des resultierenden Paares gleich der Summe der Momente der Einzelpaare; ist dagegen der Drehsinn entgegengesetzt, so ist der Wert beider Paare gleich deren Differenz.

°A

Sind die Kräftepaare gleich gross, aber von entgegengesetztem Drehsinn, so ist Gleichgewicht gegen Drehung vorhanden. Die Momentensumme ist dann = Null.

Satz 18. Ein Kräftepaar kann durch ein anderes von gleichem Drehsinn ersetzt werden, wenn die statischen Momente beider gleich sind.

Es sei in Fig. 97 Pi = P2 — P ; Qi — Q2 = Q.

Das Kräftepaar I\ P₂ wirke am Arme a, das Kräftepaar Qi Q₂ am Arme b, dann kann man das eine für das andere setzen, wenn

M = P • a = Q • b ist.

Mithin muss entweder:

H)

oder:

12)

P-a

«oi s

sein. Hiernach folgt :

Satz 19. Dividiert man e in Mo m ent dure h den H eb eiarm, so erhält man die Kraft; dividiert man dagegen das Moment durch die Kraft, so erhält man den Hebelarm.

Fig. 98.

Fig. 97.

«/

—nB

h_ h _*|

J*s m*

Rz

Satz 20. Ein Kräftepaar kann in seiner Ebene parallel mit sich selbstverschoben werden, ohne dass sich seineWirkung ändert.

ln Fig. 98 sei Pi P₂ das gegebene Kräftepaar ; es sei also Pi = P₂ == P. Man verschiebe den Arm A-B in die parallele Lage Ai-Bi. Bringt man imPunkte Ai

,A

die Kräfte P₃ = P₄ = P entgegengesetzt an und ebenso im Punkte Bi die Kräfte Ps = Po = P, so wird dadurch am Zustande des Körpers nichts

Fig. 99.

JL

•./

geändert. Die Kräfte Pi und P₅ lassen sich nun zu der Resultierenden Ri zusammenfassen, die im Halbierungspunkte C der Verbindungslinie A-Bi angreift. Ebenso haben P2 und P₄ eine Resultierende R₂, die im Punkte C wirkt, aber in der Ri entgegengesetzten Richtung. Nun sind Ri und R₂ einander gleich, heben sich also auf und es bleibt nur das Paar P₃ Po am Körper übrig.

Satz 2t. Jedes Kräftepaar lässt sich in seiner Ebene um einen beliebigen Winkel drehen ohne Aenderung seiner Wirkung.

Nacli der Drehung möge (Fig. 99) der Arm A-B des Kräftepaares Pi P2 in Lage A1-B1 gekommen sein. Bringt man nun in Ai wieder die Kräfte P3 = P4 und in Bi die Kräfte P5 = Pc an, die alle mit Pi = P2 = P seien, so lassen siel) nun Pi und P₄ zur Resultierenden Ri, P2 und P₅ zur Resultierenden R2 zusammensetzen, die einander gleich im Punkte B entgegengesetzt wirken und sich auf-heben. Es bleibt daher wieder nur das Paar P3 Po übrig.

Aus den beiden vorigen Sätzen folgt dann aber ohne weiteres

Satz 22: Man kann ein Kräftepaar in seiner Ebene beliebig ver

schieb en.

Einzelkraft und Kräftepaar. An einem Körper, der an einer fortschreitenden Bewegung gehindert ist, möge im Punkte A eine Einzelkraft R und ein Kräftepaar Pi P₂ tätig sein (Fig. 100), so lassen sich Einzelkraft und Kräftepaar auf folgende Weise vereinigen. Mau ersetze zunächst das Kräftepaar durch ein anderes, dessen Kraft R ist, dann muss sein, wenn b der Hebelarm des letzten ist:

R • b = P • a

oder :

. P -a b =

Dies Kräftepaar Ri R2 verschiebe man so in der Ebene (Fig. 101), dass sein Arm b senkrecht zur Einzelkraft R im Angriffspunkte A steht. Hier greifen alsdann zwei Kräfte R und R2 an von gleicher Grösse und entgegengesetzter Richtung, die sich scheinbar tilgen und es bleibt eine Einzelkraft Ri über, die am Hebelarm b um den Punkt A dreht. Eine Drehung kann aber, wie oben bereits bemerkt wurde, nur durch ein Kräftepaar bewirkt werden. Die Tilgung der beiden Kräfte ist daher nur eine scheinbare, das Kräftepaar Ri R2 dreht um den Punkt A, während R den Druck angibt, den der Körper im Punkte A erleidet.

Fig. 102.

Fig. 101.

Fig. 100.

Pj

'Cb

■Pt/R

Ri

Pt*

'II

tRg

o-

tP

Der Einfachheit wegen sagt man jedoch, die Kraft Ri = R drehe um den Punkt A und nennt das Produkt

13)

M = 1t • b das statische Moment

der Kraft li in bezug auf den Punkt A als Drehpunkt. In Wirklichkeit aber hat man hierdurch das Moment des Kräftepaares Ri R2 bezeichnet.

Unter dem statischen Moment einer Kraft P in bezug auf einen Punkt A versteht man demnach das Produkt aus Kraft und Hebelarm ; also (Fig. 102) :

M = P • a.

Der Hebelarm a ist der senkrechte Abstand der Kraft vom Drehpunkte A. Die Drehung mit dem Uhrzeiger oder die Rechtsdrehung wird durch das „ + “Zeichen, die entgegengesetzte durch das „ — “Zeichen angedeutet.

Um sich eine klare Vorstellung von dem Vorstehenden zu machen, nehme man an, dass ein im Punkte A unterstützter Wagebalken an seinen Endpunkten die Kräfte P und Q trägt. Die Säule trägt dann doch die Kräfte P und Q und drückt mit gleicher Grösse nach oben. Im Punkte A wirken also die Kräfte Pi und P2 = P und Qi = Q2 = Q entgegengesetzt vertikal (Fig. 103).

Das Kräftepaar PP2 will den Wagebalken links herum, das Kräftepaar QQ2 rechts herum drehen. Sind die Momente Pa und Qb einander gleich, so ist Gleichgewicht gegen Drehung vorhanden. Pi + Qi = P + Q ist der Druck, den 'q die Säule im Drehpunkte erleidet.

Da die im Punkte A wirkenden Kräfte sich scheinbar tilgen, so sagt man einfacher, die Kraft P dreht am Hebelarm a, Q am Arme A b um den Punkt A.

Fig. 103.

7>

Pz

cu Aj

ca

Würde man mit Hilfe des Seilpolygons die Resultierende aus den Kräften P und Q konstruieren, so würde diese durch A gehen und abwärts gerichtet sein. Da Gleichgewicht vorhanden ist, wirkt im Punkte A die Resultierende auch aufwärts. Nach Satz lß verhält sich P : Q = b : a oder es ist:

P • a = Q • b.

Man hat diesem Gesetz den Namen Hebelgesetz gegeben.

e) Von den statischen Momenten der Kräfte.

1. Der Momentensatz.

Ist P eine Kraft, welche am Hebelarm a um den Punkt C dreht (Fig. 104) so lässt sich das statische Moment

M = Pa

darstellen als der doppelte Inhalt des Dreiecks ABC, welches man erhält, wenn man die Endpunkte A und B der Kraft P mit dem Drehpunkte C verbindet. Mit Hilfe dieser Beziehung ist es nun leicht, den allerwichtigsten Satz der Statik zu beweisen, der unter dem Namen „Momentensatz“ bekannt ist. Er lautet:

Satz 23: Die algebraische Summe der Momente beliebig vieler Kräfte in bezug auf ein en beliebigen Dreh punkt ist gleich dem Mo ment der Resultierenden für denselben Drehpunkt.

Fig. 105.

Fig. 104.

A*

Ift

iß

fr?

il__-V____^

Der Beweis für die Richtigkeit dieses Satzes braucht nur für den Fall gezeigt zu werden, dass zwei Kräfte um einen Punkt drehen, da er sich dann leicht auf beliebig viele Kräfte ausdehnen lässt.

In Fig. 105 sei R die Resultierende der beliebigen Kräfte Pi und P2, C sei der Drehpunkt. Bezeichnet man die statischen Momente von Pi und P2 für den Punkt C mit Mi und M₂, das Moment von R mit M, so ist, wenn man den Drehpunkte mit den Endpunkten A, B, D und E der Kräfte Pi, P₂ und R verbindet:

M = 2 A AEC = AC-li.

Ebenso folgt:

Mi = 2 A A B C = A C • lu

und :

M₂ = 2aADC = AC-1i2

mithin :

Mi -j- M2 — AC- (hi -f- h₂).

Nun ist aber hi -f- h₂ = h, folglich:

M1+M2 =AC-h

oder:

Mi + M₂ = M.

Damit ist der Satz bewiesen für zwei Kräfte. Würde eine dritte Kraft um den Punkt C drehen, so könnte man diese mit der Resultierenden R zu einer neuen Resultierenden Ri zusammensetzen und den Beweis für diesen Fall ganz analog führen. Der Momentensatz ist daher ganz allgemein gültig.

2. Graphische Ermittelung des Momentes beliebig vieler Kräfte.

Die Anwendung dieses Satzes kann mit Vorteil benutzt werden, wenn es sieh darum handelt, das Moment von n Kräften in bezug auf einen gegebenen Drehpunkt zu bestimmen.

Man konstruiere mit Hilfe des Seilpolygons (Fig. 106 und 107) die Resultierende R aus den gegebenen Kräften. Ist C der Drehpunkt, 1 sein Abstand von der Resultierenden R, so ist nach dem Momentensatz das Moment der Kräfte :

14) M = R • 1.

Ist, wie in Fig. 106, die Resultierende nach unten gerichtet und liegt der Drehpunkt rechts von ihr, so ist das M oment negativ; liegt der Drehpunkt links, so ist das Moment positiv; geht R durch den Drehpunkt, so ist das Moment gleich Null, da der Hebelarm gleich Null ist.

Eine äusserst wichtige und fruchtbare Beziehung zwischen Seil- und Kräftepolygon erhält man, wenn man durch den Drehpunkt C eine Parallele zur Resultierenden R zieht und sie bis zum Schnitt mit den äussersten Seilpolygonseiten

•i \.r-

Fig. 106.

\$c

y-⁴-

O-

c.

)o

d'

vs

Fig. 107.

in A und B bringt. Die beiden in Fig. 106 und 107 schraffierten Dreiecke sind wegen der Parallelität ihrer Seiten ähnlich. Fällt man vom Pole 0 die Senkrechte H auf die Resultierende, so verhält sich

1 :XB = H : R

woraus

R.1 = H. AB.

Nun ist R-l = M, mithin, wenn man die Länge von A-B mit y bezeichnet,

15)

M = ß.l = H-y.

Man nennt H die Polweite der Kraft R. Hiernach ergibt sich der wichtige

Satz 24. Das statische Moment beliebig vieler Kräfte ist gleich der Polweite ihrer Resultierenden R mal der Strecke, welche von den aussersten Seilpolygonseiten auf einer durch den Drehpunkt zur Resultierenden gezogenen Parallelen abgeschnitten wird.

In dem Produkt H-y ist H als Kraft, y als Länge einzuführen.

Noch eine audere Folgerung lässt sich jetzt ohne Schwierigkeit ziehen: Fügt man im Schnittpunkte S der äussersten Polygonseiten eine Kraft Ri gleich, aber entgegengesetzt R hinzu, so sind die Kräfte im Gleichgewicht, denn Kräfte-uud Seilpolygon sind geschlossen. Die Resultierende ist Null, aber auch das Moment der Kräfte für den beliebig gewählten Drehpunkt ist Null, die Momente von R und Ri heben sich auf, denn es ist:

Ri • 1 — R • 1 — 0, weil Rt = R ist.

Den Satz 14 über das Gleichgewicht beliebiger Kräfte kann man daher wie folgt aussprechen:

Satz 25. Beliebige in derEbene wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn gleichzeitig

1.    die Resultierende gleich Null ist,

2.    die Momentensumme für einen beliebigen Drehpunkt gleich Null ist.

Vorstehende Sätze gelten natürlich auch dann, wenn die Kräfte parallel sind. Sie sind, wie sich später ergibt, äusserst vorteilhaft bei der Untersuchung vertikal belasteter Balken anzuwenden.

0Ą OPj

__1___

Ï.

Fig. 108.

Resultierenden. schnitt y, also:

Moment paralleler Kräfte.

Es seien die parallelen Kräfte Pi, P₂, P3 gegeben, von denen Pi aufwärts P₂ und P₂ abwärts, gerichtet sind. Gesucht das Moment für den Punkt C (Fig. 108 und 109).

Man konstruiere nach den früheren Regeln die Lage der dann ist das Moment der Kräfte gleich Poldistanz mal Ab-

(^C'

Vä

I*-“

A Tj

& Pj

Fig. 109.

n\

-Xd

M = H • y.

H ist im Kräftemafsstabe, y im Längenmafsstabe zu messen.

3. Rechnerische Ermittelung des Momentes beliebig vieler Kräfte.

Ohne die Grösse, Lage und Richtung der Resultierenden aus den gegebenen Kräften zu kennen, findet man das Moment der Kräfte, indem man vom Drehpunkt Lote auf die Richtungen der Kräfte fällt und nun mit Rücksicht auf den Drehsinn die algebraische Summe der Momente bildet.

Gegeben seien (Fig. 110) die Kräfte Pi P₂, P₃, P₄ und der Drehpunkt C. Es seien ferner ai,a₂,a₃,a₄ die Hebelarme der entsprechenden Kräfte, so ist das Moment für den Punkt A mit Rücksicht auf den Drehsinn:

M = Pi • at — P₂ • a₂ — P₃ • a₃ -f- P₄ • a4 oder kürzer:

Fig. 110.

\«/

Pe

-o

Ot/Ï

16)

M = A (P • a).

4. Rechnerische Bestimmung der Resultierenden beliebig vieler paralleler Kräfte.

Gegeben seien die Kräfte Pi,P₂,P3,P4, von denen Pi und P₃ nach oben, P₂ und P4 nach unten wirken (Fig. 111). Verlangt wird die Resultierende R nach Richtung, Grösse und Lage.

Die Richtung von R ist nach früherem parallel zu den Kräften, also bekannt und zwar entweder nach unten gerichtet, wie in Fig. 111 angenommen, oder nach oben gerichtet.

Nach Gleichung 9) findet man für die Grösse von R:

R = Pi -Pi+P» -P₄ = ^P.

Um die Lage von R endlich zu erhalten, be- jfi achte man, dass nach Satz 23 das Moment der Resultierenden gleich ist der algebraischen Summe der Momente der Einzelkräfte für jeden beliebigen Dreh- <> punkt. Man wähle daher einen beliebigen Punkt C als Drehpunkt, bestimme die Abstände ai,a₂,a₃,a4 1 der Kräfte Pi—P₄ von C, dann ist, wenn man den j unbekannten Abstand der Resultierenden vom Punkte 1 C mit x bezeichnet:

17)

Ql'z

Fig. 111.

yf

o---

>c

k-

f----^

k------^ _

— R • x = Pi • ai — P₂ • a₂ -f P₃ • a₃ — P₄ • a₄.

Wenn man die algebraische Summe auf der rechten Seite mit A (P-a) be

zeichnet, so folgt:

18)

oder :

R • x — A (P a)

18 a)

„    2(P-a)    5(P-a)

R    AP •

Um zu entscheiden, ob R rechts oder links vom Drehpunkte liegt, beachte man, dass das Vorzeichen von R-x dasselbe sein muss, wie das Vorzeichen des Wertes von A (P-a) in GL 18).

Aufgabe. Die Resultierende der in Fig. 112 gegebenen Kräfte ist zu be

stimmen.

Es ist :

R = 2 P - - 1500 + 2200 + 3200 - 2700 = + 1200 kg, d. h. die Resultierende ist nach oben gerichtet, da R positiv ist. Fig. 112.

ts~oo

2200

3200

%°°

£»1200 Ho.

\ ł

Nach Gleichung 18) findet man für den Abstand x der Resultierenden vom Drehpunkte C: 1200 • x = - 1500 • 3,8 + 2200 • 2,9 + 3200 • 1,7 - 2700 • 0,8 = 4 3960 kgm

o-

- -o

oder :

3960

= 3,30 m.

---o

f----w---4

----jo= .3,3 _

1200

Da die Resultierende nach oben gerichtet ist und der Wert der ^(P-a) positiv ist, so muss demnach R die in der Figur angegebene Lage haben.

5. Rechnerische Bestimmung der Resultierenden aus beliebig vielen Kräften.

Gegeben seien die Kräfte Pi,P2, P3, P4 (Fig. 113), deren Resultierende ermittelt werden soll.

Die Anwendung des Momentensatzes erweist sich auch hier wieder von grösstem Nutzen. Um die Resultierende R zu erhalten, lege man durch einen beliebig angenommenen Drehpunkt C zwei rechtwinkelig zueinander stehende Achsen h und v, von denen die b-Achse horizontal, die v-Achse demnach vertikal gerichtet ist. In den Angriffspunkten der Kräfte zerlege man nun jede Kraft in

Zu

ri

ri

-Q\ i

--

---w a

i .    :

— *___l'- —L. x

7*

Fig. 113.

tVLx_.

V-

e------------^

zwei Komponenten, von denen die eine parallel zur h-Achse, die andere parallel zur v-Achse läuft. Auf diese Weise erhält man zwei Systeme paralleler Kräfte. Die Resultierende aus den wagerechten Kräften sei H, diejenige aus dem System der senkrechten Kräfte sei Y.

Die Winkel, welche die Kräfte Pi—P₄ mit der h-Achse einschliessen, seien «i, «2, «3, «4, dann erhält man für die horizontalen Komponenten der Kräfte mit Rücksicht auf ihre Richtung die Werte

+ Pi • COS ai, 4 P2 • cos «2, 4 P3 • cos OC3, — P₄ • cos «4

und für deren Resultierende den Wert:

H = Pi • cos «i -f P₂ • cos «2 + P3 • cos a₃ — P4 • cos a4

oder:

19)

II = 2 (P • cos «).

Die vertikalen Komponenten werden Pi-sinon, — P2-sin«₂, +P3-sina3 — P4 • sin <u und deren Summe Y :

V = Pi • sin ai — P2 • sin a₂ + P3 • sin a$ — P4 • sin ai

oder:

19 a)

V = 2 (r • sin a).

Die beiden Kräfte II und V lassen sich nun zu einer Resultierenden R zusammensetzen, die gleichzeitig die Resultierende aus den gegebenen Kräften darstellt.

Nach Gleichung 7) ist ihre Grösse:

20)

R = K H² + V².

Bezeichnet man den Winkel der Resultierenden R mit der h-Achse mit «, so ist ihre Richtung bestimmt durch die Beziehung:

20 a)

tg «

Es erübrigt jetzt nur noch die Lage der Resultierenden aufzusuchen, d. h. einen Punkt ihrer Richtung zu bestimmen. Ein solcher Punkt ist aber der Schnittpunkt von V und H. Mit der Kenntnis der Lage von V und II ist daher auch die Lage von R bekannt.

Bezeichnet man den Abstand der Mittelkraft V vom Drehpunkt C oder, was dasselbe ist, von der v-Achse mit x und die Hebelarme der Vertikalkompo-neuten mit hi, h₂, h₃, lu; den Hebelarm von H mit y und die Hebelarme der llorizontalkomponenten mit vi,V2,V3,V4, so hat man nach dem Momentensatz:

— V • x = — Pi • sin a\ • hi -j- P₂ • sin a₂ • h₂ — P3 • sin a₃ • h₃ -f P4 • sin ai • lu oder kürzer:

V • x = 2 • (P • sin a ■ h) = 2 (P • h • sin a).

Ebenso wird ;

H • y = Pi • cos ai • Vi + P₂ • cos a₂ • V₂ + ?3 COS a₃ • V₃ — P4 COS ai • V₄

oder kürzer:

H y = Z (P • cos a • v) = 2 (P • v • cos a).

In diesen beiden Gleichungen sind alle Grössen bekannt bis auf x und y. Man erhält:

_ 2 (P • h • sin a) X== V

und y =

2 (P • V • COS a)

oder wenn man für V und H die Werte aus Gleichung 19) und 19a) einsetzt:

21)

r 2 (P • h • sin a) 2 (P • sin «)

und y =

2 (P • V • COS a)

(P • cos «).

Durch diese beiden Gleichungen ist ein Punkt der Resultierenden und damit diese selbst bestimmt. Die Anwendung der vorstehend entwickelten Gleichungen möge an dem folgenden Beispiel gezeigt werden.

Aufgabe. Es ist die Resultierende des in Fig. 114 gegebenen Kräftesystems zu bestimmen.

Nach Gleichung 19) findet man für die Grösse der horizontalen Resultierenden H:

H - 2 (P • cos a) = 2400 • cos 60° - 2900 • cos 25° — 2100 • cos 68° + 1800 • cos 32° = 2400 • 0,50 — 2900 • 0,906 + 2100 • 0,375 — 1800 • 0,848 = 1200 - 2627 + 788 - 1526 = — 2165 kg, d. h. sie wirkt nach links.

'W

~s

Fig. 114.

■Ą

M-~ xlù'ô H'y. ---

8'9

TZ:76707ï(f.

\

ÎT\1

--ps ^---^-j«

I § ^ cfi

8627

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¹ CM

788

5ź

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*1

7200 y

kr

_ s/-

4-

^-1,4 -A

-H

$,<r

Die Yertikalresultierende V wird nach Gleichung 19 a):

V = 2 (P • sin «) = 2400 • sin 60° — 2900 • sin 25° + 2100 • sin 68° — 1800 ■ sin 32° = 2400 • 0,866 - 2900 • 0,423 + 2100 • 0,927 - 1800 • 0,530 = 2078 — 1227 + 1947 — 954 = -f 1844 kg, d. h. sie wirkt nach oben.

Der Abstand der Kraft Y = 1844 kg vom Drehpunkt C wird nach Gleichung 21): - 2078 • 1,1 + 1227 • 4,4 — 1947 • 4,9 4- 954 • 5,6

-1085

1844

1844

= 0,59 m

und der Abstand der Kraft H vom Drehpunkt C :

+ 1200 • 0,8 - 2627 • 2,8 -788 • 3,4 + 1526 • 1,5

— 6786

2165

2165

= 3,13 m.

Da die Momentensummen in den Ausdrücken für x und y (Nenner der Brüche) beide negativ sind, so müssen sowohl Y als H linksdrehend wirken an

woraus:

a — rd 40° 30'.

In Fig. 114 ist die Lage der Resultierenden eingezeichnet.

0. Die Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte in der Ebene.

Wird ein Körper von beliebig vielen Kräften angegriffen, die alle in derselben Ebene wirken, so ist der Körper nur dann im Gleichgewicht, wenn die Kräfte weder eine fortschreitende noch eine drehende Bewegung hervorbringen. Damit die fortschreitende Bewegung fehlt, muss die Resultierende aller Kräfte gleich Null sein. Damit keine Drehung eintritt, muss die algebraische Summe der Momente gleich Null sein. Beide Bedingungen waren früher schon abgeleitet und in den Sätzen 14 und 25 auf Seite 21 und 34 niedergelegt.

Bei der rechnerischen Untersuchung beliebig vieler Kräfte waren diese nach zwei aufeinander senkrecht stehenden Achsenrichtungen zerlegt worden, wodurch man zwei Systeme paralleler Kräfte erhalten hatte. Die Bedingungen für das Gleichgewicht sind daher hier folgendermafsen zu erweitern.

Damit in horizontaler Richtung keine Bewegung stattfinde, muss die Summe der Horizontalkomponenten gleich Null sein; desgleichen die der Vertikalkomponenten, damit keine Bewegung in vertikaler Richtung eintrete. Und damit endlich keine Drehung erfolge, muss die Momentensumme für einen beliebigen Dreh-puukt verschwinden. Hieraus ergibt sich für das Gleichgewicht der folgende Satz:

Satz 26. Beliebige auf einen Körper wirkende Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn gleichzeitig

1.    die Summe der Horizontalkräfte gleich Null,

2.    die Summe der Vertikalkräfte gleich Null und

3.    die Summe der Momente für einen beliebigen Drehpunkt gleich Null ist.

Algebraisch drückt man dies aus durch die Gleichungen:

22)

den Hebelarm 0,59 bezw. 3,13 m. Demnach haben diese Kräfte die in Fig. 114 angegebene Lage.

Die Resultierende R ist nun nach Gleichung 20):

R - VT² + H² = K1844² + 2165² = 2844 kg, undderWinkel, den sie mitder Horizontalen bildet, ergibt sich nach Gleichung 20 a)aus:

1844 2165

tg« =

c. <

= 0.851

1)2H = 0; 2) AY = 0; 3)21 = 0.

Der theoretische Teil der Statik kann mit der Ableitung dieses Satzes als abgeschlossen betrachtet werden. Es erübrigt jetzt nur, die bisher abgeleiteten Sätze auf die Konstruktionen des Hochbaues anzuwenden und einfache Regeln abzuleiten, mit deren Hilfe der Gleichgewichtszustand einer Baukonstruktion leicht erkannt werden kann.

III. Anwendung der statischen Gesetze auf die Baukonstruktionen.

a) Der durch Einzellasten Beanspruchte Balken.

1. Die Auflagerdriicke.

Die graphische Bestimmung der Auflagerdrücke ist bereits auf Seite 25 angegeben worden. Die nachstehenden Ableitungen geschehen unter der Annahme, dass der Balken senkrecht belastet ist und die Stützendrücke an zwei bestimmten Punkten angreifen. Die rechnerische Ermittelung der Stützendrücke A und B

eines Balkens, der durch beliebig viele Einzellasten beansprucht ist, kann auf folgende Weise geschehen. Der Balken (Fig. 115) sei durch die Kräfte Pi — P4 belastet, seine Stützenweite, d. h. die Entfernung der Angriffspunkte der Stützendrücke sei 1. Der Träger ist ein im Gleichgewicht befindliches System paralleler Kräfte, bestehend aus den nach unten wirkenden Lasten und den nach oben wirkenden vorläufig noch unbekannten Auflagerdrücken.

Da horizontale Kräfte nicht vorhanden sind, so reduzieren sich die in Gleichung 22) aufgestellten Gleichgewichtsbedingungen auf die beiden Gleichungen:

2Y = 0 und 2 M = 0.

Fig. 115.

ą ^ -a

Wb

- OCj—&--

r-

h—-

k---

I*

—f —^    ,—n

h - ->]

-sk---L - -4

I    i

----a,*-----4* _ b^-

-- aj-~

--TT

Es muss demnach sein:

oder:

oder:

A + B — Pi — P₂ — P₃ — P₄ = 0

A+B-2P=0

23)

A + B = 2P,

d. h. die Summe der Auflagerdrücke ist gleich der Summe der nach unten wirkenden Belastungen.

Die zweite Gleichung SM = 0 bietet nun ein bequemes Mittel, die Stützendrücke zu bestimmen. Da die Momentensumme für jeden beliebigen Drehpunkt gleich Null sein muss, so wähle man den Punkt B als Drehpunkt zur Ermittelung des Stützendruckes A, dann hat der Stützendruck B den Hebelarm Null, also kein Moment; in der Momentengleichung für diesen Punkt kommt daher nur der Auflagerdruck A als einzige Unbekannte vor.

Bezeichnet man die Stützweite mit 1 und die Abstände der Kräfte von der Stütze B mit bi,b₂, b₃, b₄, so lautet die Momentengleichung für den Auflagerpunkt B: A • 1 — Pi • bi — P₂ • b₂ — P₃ • b₃ — P4 • b4 = 0

oder kürzer :

A • 1 - 2 (P • b) = 0,

24)

Die Abstände der Kräfte vom Lager A seien ai, a2, a₃, a4, dann erhält man aus der Momentengleichung für den Punkt A:

Pi • ai -f- P2 • a2 -j- P3 • a₃ -j- P4 • a4 — B • 1 = 0

oder :

B • 1 = 2 (P • a)

woraus :

24 a)

2(P-a)

Zur Berechnung der Stützendrücke kann man demnach die Gleichungen 24) und 24a) verwenden. Indessen wird man, um die langwierigen Multiplikationen zu umgehen, entweder nur A oder nur B nach diesen Gleichungen berechnen. Hat mau A aus Gleichung 24) bestimmt, so ergibt sich B einfacher aus Gleichung 23) zu:

B = JSP — A.

woraus :

24 b)

Ist B nach Gleichung 24a) berechnet Gleichung 23):

24 c)

so

wird der Auflagerdruck A nach

A = 2P-B.

2. Die Biegungsmomente.

Die äusseren Kräfte haben das Bestreben, den Träger durchzubiegen. Hierdurch werden im Innern des Balkens Kräfte hervorgerufen, welche diese Biegung zu verhindern suchen. Da der Träger im Gleichgewicht ist, müssen die äusseren mit den inneren Kräften im Gleichgewicht sein.

Fig. 116.

P*

Infolge der Durchbiegung werden die oberen Schichten des Balkens verkürzt, erleiden also Druckspannung (Fig. 116), die unteren Fasern werden verlängert, erhalten also Zugspannung.    ,

Legt man durch den Punkt C der £

Stabachse einen Yertikalschnittt a-b, so ^ wird das Gleichgewicht gestört. Bringt man aber die dort vor der Trennung wirkenden Widerstände als äussere Kräfte am linken und rechten Trägerteil an, so ist jeder für sieh wieder im Gleichgewicht.

Die Grösse der inneren Widerstände im Querschnitt a-b ist nun aber abhängig von zwei durch die äusseren Kräfte bedingten Faktoren, nämlich:

1.    von der Resultierenden der äusseren Kräfte, welche auf einer Seite des Querschnittes wirken und

2.    von dem statischen Momente dieser Resultierenden in bezug auf den betrachteten Querschnitt C.

Um dies darzutun, konstruiere man zunächst mit Hilfe des Kräfte- und Seilpolygous Fig. 117 und 118 die Stützendrücke A und B nach der auf Seite 26 angegebenen Regel. An dem linken Teil des Balkens, der zunächst der Betrachtung unterzogen werden soll, wirken dann die Kräfte A und Pi, sowie die Zug- und Druckspannungen der Faserschichten.

G Jj

-P+

Fig. 118.

Fig. 117.

a.

S-X_i

--

—6----

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F3

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Da der linke Teil im Gleichgewicht ist, so müssen die an ihm tätigen Kräfte    den    drei    Bedingungen SH    = 0, 2? V — 0 und SM = 0 genügen. Die

einzigen    Horizontalkräfte sind die    rechtwinklig zum    Querschnitt a-b wirkenden

Druck- und Zugspannungen. Die ersten lassen sich zu einer Resultierenden D, die letzten zu einer ebensolchen Z zusammenfassen (Fig. 119), deren Grösse und Lage liier gleichgültig sind. Nach der ersten Bedingung .211 = 0 muss also sein: ^    Z — D = 0, oder Z = 1)

1 d. h, die Summe der Zugspannungen im Querschnitt z a —b ist gleich der Summe der Druckspannungen.

Fasst man    die Kräfte A und    Pi zu einer Resultierenden

R zusammen, so    ist deren Grösse    R = A — Pi im Kräfteplan

(Fig. J20a), bestimmt durch die Strecke f-b. Sie wirkt nach oben. Ihre Lage ist gegeben durch den Schnittpunkt S der äussersten Seilpolygonstrahlen s und 2 (Fig. 120). Trägt man in Fig. 121 an dem

Fig. 120 a.

Fig. 119.

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Ai?

Fig. 120.

Fig. 121.

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R'

linken Trägerteil die Resultierende R und die Kräfte Z und D ein, so führt die Anwendung der zweiten Gleichgewichtsbedingung 2 V = 0 zu dem Schlüsse,

dass R nicht die einzige vertikale Kraft ara linken Trägerstück sein kann, da diese von Null verschieden ist. Bringt man im Punkte C die Kräfte R' und R" = R entgegengesetzt an, so ist an den Gleichgewichtszustand nichts geändert worden. Die weitere Untersuchung der Bedingung 2 V = 0 wird weiter unten erfolgen, da die dritte Bedingung 2? M = 0 jetzt mehr Interesse hat.

Die gleichen, aber entgegengesetzt gerichteten Kräfte D und Z bilden nämlich ein Kräftepaar, welches den Querschnitt a-b im umgekehrten Sinne des Uhrzeigers zu drehen strebt (Fig. 121). Da Gleichgewicht vorhanden ist, muss ein zweites Kräftepaar von gleicher Grösse aber entgegengesetztem Drehsinn vorhanden sein. Dieses zweite Paar ist das am Hebelarm r wirkende und rechtsdrehende Drehpaar RR', welches dem ersten Paar ZD das Gleichgewicht hält.

In Wirklichkeit wird sich die Sache umgekehrt abspielen. Das Kräftepaar RR' will den Querschnitt a-b rechts herum drehen, aber das Kräftepaar ZD wirkt dieser Drehung entgegen. Das Moment des Kräftepaares RR' ist bekannt, weil sowohl R als auch der Hebelarm r bekannt ist.

Da die Kraft R' sich scheinbar aufhebt mit R", so kann man wieder sagen, die Kraft R dreht am Hebelarm r um den Punkt C, während die Drehung tatsächlich durch das Paar R R' hervorgerufen wird.

Es bleibt nun noch die zweite Bedingung 2 V = 0 zu untersuchen übrig. An dem linken Trägerstück Fig. 121 wirken als vertikale Kräfte R = R' = R". Die Kräfte R und R' bilden das Drehpaar, ihre Resultierende ist Null. Es bleibt also R" als einzige Vertikalkraft übrig, die, da sie von Null verschieden ist, eine geradlinige Bewegung des Trägerstückes senkrecht nach oben bewirken müsste. Da Gleichgewicht bestehen sollte und in Wirklichkeit auch besteht, so ist man gezwungen anzunehmen, dass in der Ebene des Querschnittes a-b noch Spannungen vorhanden sind, welche zusammengenommen gleich R sind, aber dieser entgegengesetzt wirken.

P₂ Fj R

Um den Einfluss dieser im Querschnitt a-b wirkenden Einzelkraft R noch näher kennen zu lernen, ist es notwendig, das Verhalten des rechten Trägerstückes unter der Wirkung der Kräfte P2 P3 P4 B, sowie der inneren Kräfte noch kurz zu untersuchen.

Die Resultierende der Kräfte P2 P3 P4 B ist Ri = — P2 — P.3 — P4 + B. Man findet sie im Kräfte- £_

Fig. 122.

Fig. 122 a.

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plane Fig. 122 a gleich der Strecke b-f, sie ist nach unten gerichtet. Die Resultierende R aus A und Pi war gleich f-b (s. oben). Die Resultierenden der auf dem linken und rechten Trägerteil wirkenden Kräfte sind also der Grösse nach gleich, der Richtung nach entgegengesetzt, halten sich demnach das Gleichgewicht.

Die Lage von Ri ist gegeben durch den Schnittpunkt S der äussersten Seilstrahlen. Diese sind nach Fig. 122 und 117 wieder 2 und s. Sie wirkt also an demselben Punkt mit R (Fig. 117), aber nach unten.

R"

Fig. 123.

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R±

R'

Bringt man nun in Fig. 123 wieder Ri und im Punkte C der Stabachse daselbst die der Resultierenden Ri = R gleichen Kräfte R' und R" an und ausserdem die Kräfte Z und D, so bildet Ri mit R" ein am Hebelarm r drehendes Kräftepaar, welches das zweite Paar Z D nach der Bedingung 2" M = 0 tilgt. Die Momente der am linken und rechten Trägerteile wirkenden Kräftepaare sind einander gleich, da sie bei gleichen Kräften an demselben Hebelarm drehen. Der Drehsinn ist jedoch verschieden. Sie halten sich demnach ebenfalls im Gleichgewicht. Es bleibt daher die Kraft R' als einzige Vertikalkraft im Querschnitt a-b, nach unten tätig, welche durch die in der Fläche ai bi wirkenden Spannungen t aufgehoben wird.

Fügt man jetzt in Fig. 124 die linke und rechte Trägerhälfte aneinander unter Weglassung der Kräftepaare, so sieht man, dass die Wirkung der in der

R"

Fig. 124.

er

Uj

Fläche a-b und ai-b) nach oben bezw. unten wirkenden Kräfte R"=R'=R darin besteht, den Träger vertikal glatt zu durehschneiden. Noch deutlicher tritt ‘ dies hervor, wenn man sich einmal vorstellt, die beiden Trägerstücke seien an dieser Stelle nachlässig zusammenge-B leimt; unter der Wirkung der Scherkräfte R" und R' würde dann in der Tat eine Verschiebung der Flächen a-b und ai - bi gegeneinander stattfinden. Dass dieses nicht eintritt, ist aber der Festigkeit der Fuge zu danken, in welcher die Kräfte t der Verschiebung entgegen arbeiten.

Den in der Fläche a-b bezw. ai-bi wirkenden Spannungen hat man daher den Namen Schub- oder Scherspannungen gegeben, während die äussere im Querschnitt wirkende Einzelkraft R, welche gleich der Resultierenden aus dem links oder rechts vom betrachteten Querschnitt wirkenden Kräften ist, und welche jene Schubspannungen t verursacht, den Namen Schub - oder Scherkraft erhalten hat. Ausserdem wird sie häufig Vertikal kraft oder auch Transversal kraft genannt, weil sie vertikal gerichtet ist und den Balken quer durehschneiden will.

Die vorstehenden Untersuchungen gelten für jeden Querschnitt, da über die Lage des betrachteten Querschnittes keine besondere Annahme gemacht wurde.

Die in einem Balkenquerschnitte auftretenden inneren Kräfte sind also abhängig von der Grösse der Resultierenden aus den links oder rechts von ihm liegenden Kräfte und deren Moment in bezug auf den betrachteten Querschnitt.

Die Untersuchung zeigt weiter, dass, da die Resultierenden der Kräfte auf beiden Seiten des Schnittes a-b einander gleich sind und ebenfalls deren Momente, es gleichgültig ist, ob man den linken oder rechten Träg erteil betrachtet. Tn nachstehendem wird stets der linke Trägerteil der Untersuchung zugrunde gelegt.

Nach Satz 24 auf Seite 34 (siehe auch den Abschnitt: Moment paralleler Kräfte auf Seite 34) ist das Möment der äusseren Kräfte A und Pi am linken Trägerteil in bezug auf den Querschnitt C (Fig. 125) gleich der Polweite H mal der Strecke y, welche die äussersten Seilpolygonseiten s und 2 auf der durch C parallel zu den Kräften gezogenen Linie abschneidet, also, wenn man das Moment mit M bezeichnet:

25)

wobei II im Kräftemafsstabe, y ira Längenmafsstabe zu messen ist. Dieses Moment heisst das Biegungsmoment, Angriffsmoment oder kurz das Moment der äusseren Kräfte in bezug auf deu Querschnitt C.

Fig. 125 a.

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Fig. 125

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Wegen der Eigenschaft, dass für einen ganz beliebigen Querschnitt das Biegungsmoment gleich ist der senkrechten Ordinate unter dem Querschnitt mal der Polweite, hat man die von der Schlusslinie s und dem Seilpolygon eingeschlossene Fläche die Momentenfläche genannt.

Aus der Betrachtung der Momentenfläche ergibt sich, dass für die Trägerenden das statische Moment gleich Null ist, weil y = o ist, dass ferner die Momente mit der Ordinate y zu- oder abnehmen und dass die Momente unter den Einzellasten Maxima werden. Das grösste Moment aber tritt im vorliegenden Fall unter der Einzellast P₂ auf. Dort, wo am ersten der Träger brechen wird, liegt der gefährliche Querschnitt:

Die Resultierende R aus A und Pi wirkte im Schnittpunkt der Seilstrahlen s und 2 vertikal aufwärts. Sie dreht im Sinne des Uhrzeigers um den Punkt C, das Moment der Kräfte A und Pi ist daher positiv.

Legt man durch einen beliebigen Punkt I zwischen den Kräften P3 und P4 einen Vertikalschnitt, so ist die Resultierende Ri aus den Kräften des linken Trägerstückes A — Pi — P2—P3. Sie ist gleich der Strecke fd im Kräfteplan Fig. 125a und nach unten gerichtet. Sie geht durch den Schnitt Si der für diese Kräfte äussersten Seilstrahlen s und 3, der jetzt aber rechts vom Träger liegt. Die Kraft Ri *= A — Pi—P2—P3 dreht gleichfalls rechts herum, ihr Moment ist demnach ebenfalls positiv. Man kann daher den Satz aussprechen:

Satz 27: Das Moment der äusseren Kräfte ist für alle Trägerquer schnitte positiv.

Rechnerische Bestimmung der Biegungsmomente.

Die rechnerische Ermittelung des Biegungsmomentes für einen beliebigen Querschnitt C des Balkens in Fig. 126 gestaltet sich äusserst einfach. Nachdem die Auflagerdrücke nach den Gleichungen 24 bis 24c ermittelt sind, stelle man für den linken Trägerteil das Moment der Kräfte für den Punkt C auf. Nach den Bezeichnungen der Fig. 127 ist alsdann, wenn M das Moment bezeichnet:

26)

M = A • a — Pi • Ci - P2 c₂.

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Fig. 126.

Fig. 127.

Fig. 128.

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Legt man den rechten Trägerteil zugrunde, so ist nach Fig. 128:

M = B b-P₄ C4—P3.C3.

26 a)

Beide nach den Gleichungen 25) und 26) berechneten Momente haben selbstverständlich denselben Wert.

3. Die Ycrtikalkräfte.

Unter der Vertikalkraft (Schub-, Scher- oder Transversalkraft) in einem Trägerquerschnitte versteht man die Resultierende der links oder rechts vom Querschnitte liegenden Kräfte. (Vergl. die Ausführungen auf Seite 44.)

Mit Trägerfeld oder Trägerfach bezeichnet man den zwischen zwei Kräften liegenden Teil eines Trägers.

Die Vertikalkraft wird in der Regel mit dem Buchstaben V bezeichnet, dem man die Nummer des Trägerfeldes als Zeichen anfügt.

Im ersten Trägerfeld (Fig. 129) wirkt in jedem Querschnitt nur die linksliegende Kraft A. Die Vertikalkraft V ist daher gleich dem Auflagerdruck A, also V, = a.

Für das zweite Trägerfeld ergibt sich für jeden Querschnitt als Vertikalkraft die Resultierende A — Pi, demnach V₂ = A — Pi.

Ebenso ergibt sich für das dritte Trägerfach V3 = A - Pi — P₂ usw.

Hieraus folgt, dass die Vertikalkraft sich spruugweise in den Belastungspunkten ändert und innerhalb eines Trägerfeldes konstant ist.

(Von A bis Pi ist Vi = A,

» P2 „ V₂ = A — Pi,

„ P₃ „ V₃ = A — Pi - P₂

» P*

27)

» P2

„ P₃ „ P4 „ V4 = A-P₁-P₂-P₃

„ V₅ = A - Pi - P₂ - P₃ - P4 = - B.

„ p*

Im Kräfteplaue, Fig. 130, werden diese Kräfte dargestellt durch die Strecken f-a, f-b, f-c, f-d, f-e. Die ersten beiden sind nach oben gerichtet, also positiv, die letzten drei sind nach unten gerichtet, also negativ.

Zieht man daher

F2

durch f eine Horizontale Fig. 130 und 131, welche die Stützenvertikalen in A₂ und B₂ schneidet und projiziert dann die Kräfte f-a, f-b, f-c, f-d, f-e auf die Richtungen der Kräfte Pi— P4, so erhält man einentreppen-förmigenLinienzug,mit dessen Hilfe man die Vertikalkraft für einen beliebigen Querschnitt sofort abgreifen kann.

Die Fläche, welche die Linie A₂ B₂ mit der gebrochenen Linieein-schliesst, heisst daher die Fläche V e rtikalkräf te.

Oberhalb

Linie A₂-B₂ sind die Vertikalkräfte positiv, unterhalb negativ. Aus dieser Fläche erkennt man sofort, dass die Vertikalkraft am grössten ist an den Trägerenden, wo das Moment gleich Null ist.

Durch Vergleich der Momentenfläche mit der Vertikal kraftfläche findet man ferner, dass das Moment seinen grössten Wert an demjenigen Querschnitt

B Fig- 129.

Fig. 130.

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der

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der

Fig. 131.

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erreicht, wo die Vertikalkraft ihr Vorzeichen ändert. Dies ist in der vorliegenden Aufgabe unter Last P2 der Fall, denn links von P2 sind die Vertikalkräfte positiv, rechts negativ.

Die vorstehenden Ausführungen lassen sich in die folgenden Sätze zusammenfassen :

Satz 28. Die auf einen Balken auf zwei Stützen wirkenden Kräfte verursachen in sämtlichen Querschnitten ein positives Moment, dass für die Trägerenden gleich Null ist und seinen Grösstwert an derjenigen Stelle erreicht, wo die Vertikalkraft ihr Vorzeichen wechselt.

Satz 29. Das Moment an einem beliebigen Querschnitt ist gleich der Polweite mal der senkrecht unter dem Querschnitt liegenden Ordinate der M omentenfläche.

Satz 30. Die in den verschiedenen Balkenquerschnitten auftretenden Vertikalkräfte sind am grössten an den Auflager punkten, wo sie gleich dem Auflagerdrucke sind und am kleinsten an demjenigen Querschnitt, wo das Biegungsmoment seinen Grösstwert erreicht.

Die verschiedenen möglichen Belastungsfälle werden im zweiten Teil bei der Berechnung der Träger einheitlich untersucht werden.

Aufgabe. Für den in Fig. 132 dargestellten Träger sind graphisch und rechnerisch die Auflagerdrücke, die Vertikalkräfte, sowie die Momente unter den Einzellasten zu bestimmen. Der Längenmafsstab des Bauplanes ist 1 : 100, der Kräftemafsstab 1 cm = 2000 kg.

1. Graphische Lösung.

Man trage zuerst die Kräfte der Reihe nach, wie sie auf dem Träger stehen, nach Grösse und Richtung auf und konstruiere dann mit Hilfe des Pôles 0 das Seilpolygon, ziehe die Schlusslinie Ai Bi und parallel dazu durch 0 den Strahl 0-g, der auf dem Kräftezuge die Stützendrücke A = g-a und B = f-g abschneidet. Hierauf ziehe man durch die Punkte a, b, c, d, e, f die Horizontalen bis zum Schnitt mit den Kraftrichtungen, so erhält man in der von der Linie A₂ B₂ und dem treppenförmigen Linienzuge eingeschlossenen Fläche die Fläche der Vertikalkräfte.

Im Kräfteplane findet man die Auflagerdrücke A zu g-a = 6050 kg und B zu f-g = 5650 kg.

Die Polweite wurde zu 4000 kg angenommen. Für die Längen der Ordinaten unter den Kräften erhält man aus der Momentenfiäche die Werte yi = 1,36 m, y2 = 2,11 m, y₃ = 2,48 m, y₄ = 2,14 m, y₅ = 1,70 m. Nach Gleichung 27) werden dann die Momente unter den Kräften P1 — P5, wenn man dieselben mit Mi, M2, M₃, M₄, M5 bezeichnet.

Mi    = H    • yi    = 4000 • 1,36 =    5440    kgm,

Die Vertikalkräfte sind links von P₃ positiv, rechts davon negativ. Unter P₃ findet demnach der Vorzeichenwechsel statt. Hier muss also das grösste

Moment auftreten. Dies ist in der Tat der Fall, da M3 nach der vorstehenden Zusammenstellung den grössten Wert besitzt.

Die Yertikalkräfte in den einzelnen Trägerfeldern werden der Reihe nach zwischen A und P] :

11

Pi „ P2: P2 „ P₃ •’ P3 „

P₄:

P4

Ps „

Vi = A = + 6050 kg,

V₂ = A — Pi = g-b = -f- 3650 kg,

V₃ =    A — Pi —    P₂    = g-c = 4- 2150 kg,

V₄ =    A - Pt -    P₂    - P₃ = g-d = -1150    kg,

V₅ =    A — Pt —    P₂    — P₃ — P4 = g-e = —    2950 kg,

V₆ =    — B = g-f    =    — 5650 kg.

20-00 1S00 33 00    iS 00 zrooTig.

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Fig. 132.

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2. Rechnerische Lösung.

a) Aufl agerdrücke. Nach Gleichung 24) ist :

^ (P • b) _ 2400 • 4,5 + 1500 • 3,68 + 3300 3,0+ 1800-1,8 + 2700 • 1,2

5,4

= 6050 kg,

ferner nach Gleichung 24 b):

B = 2? — A = 2400 + 1500 + 3300 + 1800 + 2700 - 6050 = 5650 kg,

Schölor, Statik und Festigkeitslehre.

beide Werte wie oben graphisch gefunden. Bei Verwendung der Gleichungen 21) und 23) würde man dieselben Werte erhalten, nämlich:

- = 5650 kg

2(P-a)    2400-0,9+ 1500-1,72+ 3300-2,4+ 1800-3,6 + 2700-4,2

5.4

und

A = 2P -A = 2400 + 1500 + 3300 + 1800 + 2700 — 5650 = 6050 kg.

ß) V erti ka 1 kräfte. Die Vertikalkräfte sind oben bereits rechnerisch ermittelt. Der Zeichenwechsel findet unter P₃ statt, somit liegt hier der gefährliche Querschnitt.

7) Momente. Nach Gleichung 26) erhält man für die Momente Mi, M2, M₃: Fig. 133, Mi = 6050-0,9 = 5445 kgm,

Fig. 134, M₂ = 6050 • 1,72 - 2400 ■ 0,82 = 8438 kgm,

Fig. 135, M₃ = 6050 • 2,4 — 2400 -1,5 — 1500 • 0,68 = 9900 kgm.

Fig. 135.

Fig. 134.

Fig. 133.

Z900 1S00 3300

2000

2900 1500

-A-

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Die Momente M₄ und M₅ stellt man einfacher für den rechten Trägerteil auf, nämlich :

Fig. 136, M* = 5650 • 1,8 — 2700 ■ 0,6 = 8550 kgm Fig. 137, M₅ = 5650 • 1,2 = 6780 kgm.

Fig. 136.

Die geringen Abweichungen zwischen diesen und den graphisch ermittelten Werten finden ihre Erklärung darin, dass die Ordi-naten yt, y2 usw. nicht mit absoluter Schärfe am Maisstabe abgelesen werden können. Die kleinen Fehler kommen für die Baupraxis aber gar nicht in Betracht.

Fig. 137.

2700

1800 Z700

5650 hg [

V-*⁸ —A

Anmerkung. Die Polweite H nimmt man zweckmäfsig als eine runde Zahl an, damit die auszuführenden Multiplikationen bei der Momentenberechnung sich leicht bewerkstelligen lassen. Auch sei hier nochmals auf die Anmerkung 1 (Seite 26) aufmerksam gemacht. Die ganze Belastung beträgt in unserem Beispiel 11700 kg. Da nach jener Bemerkung der Polabstand rund % der Last betragen soll, wurde in Fig. 132 die Polweite = 4000 kg gemacht, eine Zahl, mit welcher sich leicht multiplizieren lässt.

b) Der Schwerpunkt.

1) Der Mittelpunkt paralleler Kräfte.

Auf Seite 23 war bewiesen worden, dass, wenn zwei parallele Kräfte Pi und P2 an zwei festen Punkten A und B eines Körpers angreifen, die Resul-

tierende R die Verbindungslinie AB der Angriffspunkte in einem Punkte C so trifft, dass stets die Beziehung

Ph CU

BC

AC

gilt (Fig. 138).

Denkt man nun die Kräfte in ihren Angriffspunkten um den Winkel a gedreht, so wird die Resultierende R durch denselben Punkt C gehen, da sich das

Pi

BC

nicht geändert hat. Sind beliebig

Verhältnis also auch das Verhältnis r 2

viele parallele Kräfte gegeben, die an bestimmten Punkten eines Körpers angreifen , so hat deren Resultierende R eine ganz bestimmte Lage, die durch das Seilpolygon ermittelt werden kann. Dreht man sämtliche Kräfte um denselben Winkel a, so wird die Resultierende sich um denselben Winkel drehen müssen, da sie stets den Kräften parallel bleiben muss. Diese Drehung wird ebenfalls um einen festen Punkt geschehen, der sich als der Schnittpunkt beider Resultierenden ergibt.

Diesen Punkt, durch den die Resultier ende , stets hindurchgeht, wie man die Kräfte auch drehen möge, nennt man den Mittelpunkt der parallelen Kräfte.

Graphische Lösung.

Die Lage des Mittelpunktes der parallelen Kräfte ist nach dem Vorstehenden auf graphischem Wege wie folgt leicht zu finden. Mit Hilfe des Seilpolygons

AC

Fig. 138.

Fig. 139.

Fig. 141.

Ri

c^L

Pj

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Fig. 142. -Pj _ Pi

Pi

Fig. 140.

Pu

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n ⁷⁷

2)0

W^Br—

X...

1-II-11Ï-IV-V (Fig. 139 und 140) bestimme man die Lage der Resultierenden R. Sodann drehe man die Kräfte um einen beliebigen Winkel, am zweckmäfsigsten um 90°,

und bestimme nun mit Hilfe des Seilpolygons I-3-1-4-5 (Fig. 139 und 141) die zweite Lage Ri = R.

Der Schnittpunkt S beider ist dann der gesuchte Mittelpunkt (Fig. 139).

Die Aneinanderreihung der Kräfte nehme man stets in der Reihenfolge vor, wie sich die Kräfte von links nach rechts bezw. von oben nach unten ergeben. Man erhält dadurch immer übersichtliche Seilpolygone. In vertikaler Richtung sind daher die Kräfte in der Folge Pi,P₂,P3,P4, in horizontaler Richtung in der Folge P₂, P35 Pi, P4 zusammengesetzt (Fig. 140 und 141).

Das Zeichnen der Seilpolygone kann natürlich mit demselben Pol geschehen (Fig. 142), wodurch die Darstellung noch etwas vereinfacht wird.

Rechnerische Lösung

Die rechnerische Bestimmung des Kräftemittelpunktes erfordert die zweimalige Lösung der auf Seite 35 gestellten Aufgabe, die Resultierende R aus n

parallelen Kräften zu ermitteln.

Man wähle einen beliebigen Drehpunkt C und messe den Abstand der Kräfte xi,x₂,X3,X4 (Fig. 143), dann drehe man die Kräfte um 90° und messe den Abstand

yi> ya, ya, y*

Kräfte vom Drehpunkte. Die vor-x läufig noch unbekannten Abstände der Resultierenden R vom Punkte C seieng und Nach dem Momentensatz muss dann sein:

Fig. 143.

A--

-0---*

À"

A"

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ç---*

—----

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oder:

R*® — Pl - Xi -p P2 • X₂ ~p P3 • X3 -p P4 • X4

Pl * Xi -p P₂ • X₂ -p P3 • X3 -p P4 • X4

wofür man kürzer schreiben kann:

28)

Ebenso folgt:

oder :

R • 9 = Pi • yi + P2 • y2 -P P₃ • y 3 -1 P4 • y4

Pi • yi + P2 • y₂ -P P₃ • y₃ +;P₄ • y 4

Ÿ =----

kürzer:

29)

2(P-y)

s p ‘

bestimmt.

Durch die beiden Werte von g und f ist die Lage des Kräftemittelpunktes

Schreibt man Gleichung 28) und 29) in der Form g-2P = 2(P-x) bezw. f- 2 P = ^ (P • y), so hat man wieder den Momentensatz: Das Moment der Resultierenden ist gleich der algebraischen Summe der Momente der Einzelkräfte. Die Gleichungen 28) und 29) sind daher nichts Neues, sondern weiter nichts als der Momentensatz in anderem Kleide. Er wird weiterhin noch öfters sein Gewand wechseln.

Bei der Ableitung der Gleichungen 28) und 29) geht man von der Vorstellung aus, dass im Punkt C senkrecht zur Ebene der Zeichnung eine Achse durch den Körper gelegt ist, um welche die Kräfte drehen.

Durch eine andere Art der Vorstellung, von der später mehrfach mit Nutzen Gebrauch gemacht wird, kommt man zu demselben Ziel. Man nehme an (Fig. 144), dass die parallelen Kräfte senkrecht zur Ebene der Zeichnung stehen und eine Drehachse Y — Y in der Zeichenebene liege, um welche die Kräfte an den Hebelarmen Xi,X2 usw. drehen. Das Moment der Kräfte lässt sich ebenfalls durch das Moment ^

-(g

Resultierenden /

R = 2 P ersetzen, £ welche am Hebelarm $ drehen möge. Die Gleichung 28) behält also ihre Gültigkeit. Nimmt man nun eine zweite Achse x—x an, welche mit der ersten den einen Winkel von 90° bildet und nennt die Abstände von dieser Achse yi,y2 usw., so werden jetzt die Kräfte um diese Achse drehen. Das Moment der Einzelkräfte 2 (P • y) kann man aber auch jetzt wieder ersetzen durch das Moment der Resultierenden R = J£P und nach Gleichung 29) deren Abstand ^ von der Achse x—x bestimmen. Durch ^ und f ist dann derjenige Punkt S der Ebene festgelegt, durch den die Resultierende gehen muss.

Nach dieser Vorstellung kann man also auch sagen, die Kräfte Pi, P2 usw. drehen um die Achse x—x, bezw. y—y (Fig. 143) und von den Moment der Kräfte in bezug auf eine angenommene Gerade (Achse) sprechen.

Die Gleichungen 28) und 29) lassen sich demnach in folgenden Satz zusammenfassen:

Fig. 144.

•.........OCV

#!/

ly

der

JL

K- zP

Satz 31. Um den Abstand des Mittelpunktes paralleler Kräfte von einer beliebigen G eraden (Achse) zu finden, dividiere man die

Summe der statischen Momente dieser Kräfte für jeneAchse durch die Resultierende der Kräfte.

->n

-9---?

Fig. 145.

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Aufgabe. Gegeben seien die in Fig. 145 gegebenen Kräfte, gesucht der Mittelpunkt derselben.

Nach Gleichung 28) findet man:

^x) _

® “ 2?

800 • 0,9 + 700 • 2,5 + 900 • 3,3 + 600 • 4,6

800 + 700 + 900 + 600

= 2.69 m

und nach Gleichung 29) :

2.01 m.

800 + 700 + 900 + 600

_ 2(P • y) _ 800 • 1,6 + 700 • 3,2 + 900 • 1,0 + 600 • 2,4 V ~ 2P

Die Resultierende R = 2 P hat demnach die in Fig. 90 eingetragene Lage.

2. Der Schwerpunkt.

Jeder Körper besteht aus kleinen Massenteilchen. Jedes dieser Massenteilchen besitzt ein bestimmtes Gewicht. Die Summe dieser kleinen Gewichte, die alle einander gleich angenommen werden dürfen, bilden das Gewicht des ganzen Körpers. Die Richtung dieser Gewichte, die man als parallele Kräfte auffassen kann, ist die lotrechte. Die Resultierende jener ist gleich ihrer Summe, also gleich dem ganzen Gewicht und geht zu den Komponenten parallel, mithin lotrecht nach unten. Die Angriffspunkte der parallelen Kräfte sind die kleinen Massenteilchen selbst und haben in dem Körper eine unveränderliche Lage. Nach dem Satze über den Mittelpunkt paralleler Kräfte muss sich somit ein Punkt angeben lassen, durch den die Resultierende geht, wie man auch die Kräfte oder was dasselbe ist, den Körper, drehen mag. Diesen Punkt nennt man den Schwerpunkt. Teilt man den Körper in mehrere Teile, so hat jeder Teil seinen besonderen Schwerpunkt. Durch Zerlegen eines Körpers in unendlich dünne Plättchen ergibt sich hieraus, dass jedes seinen Schwerpunkt besitzt. Es folgt weiter, dass, wenn man sich Flächen als sehr dünne Plättchen denkt, sich für diese Flächen der Schwerpunkt muss konstruieren lassen.

Zerschneidet man jedes Plättchen in sehr schmale Streifchen, so besitzt jedes wieder seinen Schwerpunkt. Fasst man ein solches Streifchen als Linie auf, so kann man demgemäfs auch von dem Schwerpunkte einer Linie sprechen.

Besteht der Körper, die Fläche oder die materielle Linie aus durchweg gleichmässig dichtem Material, so ist die Lage des Schwerpunktes vom Material unabhängig und nur von der geometrischen Form des Gebildes abhängig.

Aus den vorstehenden Betrachtungen ergeben sich unmittelbar folgende Sätze:

Satz 32. Das Gewicht eines Körpers (einer Fläche, einer materiellen Linie) kann man sich im Schwerpunkt vereinigt denken und alle materiellen Teilchen als gewichtslos ansehen.

Satz 33. Die Lage des Schwerpunktes gegen die Massenteilchen ist unveränderlich.

Satz 34. Jede durch den Schwerpunkt gehende Linie heisst Schwerlinie oder Schwerachse. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt zweier Sch wer achsen.

Satz 35. Besitzt ein materielles Gebilde eine Symmetrieachse, so liegt der Schwerpunkt in ihr.

3. Bestimmung- von Schwerpunkten.

Die graphische Bestimmung des Schwerpunktes geschieht in derselben Weise wie diejenige des Mittelpunktes paralleler Kräfte; die rechnerische Bestimmung durch Anwendung der Gleichungen 28) und 29).

Fig. 146.

---*-

-ft*

'ft V

■te*

Jo

ft

Hiernach kann man also sagen:

Der Schwerpunkt eines materiellen Gebildes ist derjenige Punkt, der von zwei beliebig angenommenen Achsen x—x und y—y die Abstände:

^x)

®    vp

besitzt.

31)

und:

a) Schwerpunkte von Linien.

Der Schwerpunkt einer geraden Linie liegt offenbar in ihrem Halbierungspunkt.

Der Schwerpunkt eines gebrochenen Liaienzuges wird am einfachsten graphisch durch zweimalige Konstruktion des Seilpolygons erhalten.

Zu diesem Zwecke nehme man an, dass jede materielle Linie so viel Gramm oder Kilogramm wiege, als sie Zentimeter lang ist und behandele dann die Linien selbst als Kräfte pi,p2,p3 usw., die im Kräfteplane nach einem angenommenen Mafsstabe sich auftragen lassen, am besten als ein aliquoter Teil der Linienlängen.

In Fig. 146 ist die Konstruktion für den Linienzug a-b-c-d durchgeführt, ln den Halbierungspunkten f, g, h sind die den Linien entsprechenden Kräfte pi,P2,pa angebracht und für zwei Lagen der Kräfte die Schwerlinien ermittelt. Ihr Schnittpunkt S ist der gesuchte Schwerpunkt. Im Kräfteplan sind die Kräfte gleich l[z der Linienlängen angenommen.

Kreisbogen. Der Schwerpunkt eines Kreisbogens liegt auf der Halbierungslinie des Zentriwinkels im Abstande.

32)

r • s Radius x Sehne

*-n

Bogenlänge

(Fig. 147).

Halbkreisbogen. Für die Lage des Schwerpunktes des Halbkreisbogens erhält man hieraus leicht:

2r

33)

ß) Schwerpunkte von Flächen.

Die Bestimmung des Schwerpunktes eines Querschnittes ist für den Techniker eine Aufgabe, deren Lösung von ihm öfter verlangt wird, ln folgendem wird daher die Bestimmung der Schwerpunkte ebener Flächen eingehend behandelt.

Schwerpunkt des Dreiecks (Fig. 148).

Zerlegt man das Dreieck parallel zu der Seite A C in parallele Streifen, so liegt der Schwerpunkt jedes Streifens in seiner Mitte. Die Verbindungslinie

dieser Schwerpunkte ist aber die Mitteltransversale B F. Auf ihr muss also auch der Schwerpunkt desDreiecksliegen. Er muss aber auch auf den Mitteltransversalen G C und H A liegen. Ihr Schnittpunkt ist daher

Fig. 147.

__.ft.__

Fig. 148.

o.

S,

aLl_

auch der Schwerpuukt des Dreiecks.

l\

F (/

Die beiden Dreiecke ABC = Fi und ADC = F2 (Fig. 150) haben dieselbe

Grundlinie AC. Bezeichnet man die Höhen der Dreiecke mit h' und h", so

verhält sich nach einem geometrischen Satz

Ft

F₂ h"’

Da nun nach einem geometrischen Satze der Schnittpunkt der Mittellinien in l/3 der Höhe des Dreiecks liegt, so ergibt sich :

Satz 36. Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt auf derMittel-linie nach der Spitze in ¹/₃ der Höhe über der Grundlinie.

Schwerpunkt einer regelmässigen Fläche. Der Schwerpunkt eines regelmässigen n-ecks ist dessen Mittelpunkt.

Zu den regelmässigen Flächen kann man auch das Parallelogramm, das X-Eisen, _|“-Eisen usw. zählen, da diese unzählige Symmetrielinien besitzen deren Schnittpunkt der Schwerpunkt ist.

Das unregelmässige Viereck. Man teile das Viereck A ß C D durch eine Diagonale z. B. A C in zwei Dreiecke (Fig. 149), und ermittele deren Schwer-

Fig. 149.

Fig. 150.

Hx,

BL

'D

punkte Si und S2. Die Verbindungslinie Si S2 schneide die Diagonale AC im Punkte e. Macht man dann S2 S = si e (oder was dasselbe ist, si • S = S2 e), so ist S der gesuchte Schwerpunkt.

Fig. 151.

Fig. 152.

óv

JS

•V

Ft

Bz

B'

h' , v h'/3 —, also auch = -t-A-.

a / 3

Fällt man in den Dreiecken Sief und S2ef die Höhen, so sind die schraffierten Dreiecke ähnlich, mithin ist:

h'/₃

also auch

Si e

h"/₃ ’ s₂ e’

Fi _ sie F2 S2 6

Bringt man in den Punkten Si und s₂ (Fig. 151) die Dreiecke Fi und F2 als Gewichte an, so muss der Schwerpunkt S so liegen, dass er nach Satz 16 die Linie Si s₂ im umgekehrten Verhältnis der Kräfte teilt. Macht man daher s₂ S = Si e, so ist die Bedingung erfüllt, mithin die Konstruktion richtig.

Trapez. Die für das Viereck angegebene Konstruktion bleibt hier natürlich ebenfalls gültig.

Eine andere Konstruktion ergibt sich aus folgender Betrachtung (Fig. 152). Halbiert man die parallelen Seiten und verbindet die Halbierpunkte E und F, so ist E F eine Schwerlinie. Zieht man B G parallel zu C D und bezeichnet den Schwerpunkt des Parallélogrammes BCD G mit 1, den des Dreiecks B G A mit K, so ist KI eine zweite Schwerlinie, welche die erste E F im Schwerpunkte S schneidet.

Zieht man nämlich IH parallel zu B C, so ist aKHIoj aKA L, mithin :

H K : K A = HI : L A,

oder da K A = 2 H K ist, so folgt L A = 2 HI = BC.

Ferner ist A LID kongruent A BIM, mithin BM = DL, also auch CM = D A, Hieraus ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 153).

Fig. 153.

Man verbinde

Fig. 154.

die Mitten der parallelen Seiten miteinander und verlängere die parallelen Seiten nach entgegengesetzten Richtungen. Hierauf trage man auf der oberen Ver-^ längerung die untere, auf der

unteren die obere Seite ab und verbinde die beiden Endpunkte. Diese Verbindungslinie schneidet sodann die erste Schwerachse im gesuchten Schwerpunkte.

Eine dritte sehr einfache Bestimmung ist folgende (Fig. 154). Man ziehe die Halbierlinie EF und BG parallel zur Diagonale AC. Teilt man F G hierauf in drei gleiche Teile, so ist der untere Teilpunkt S der gesuchte Schwerpunkt.

Die nachstehenden drei Schwerpunktskonstruktionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie ganz innerhalb des Trapezes liegen.

Zieht man in Fig. 155 die Halbierungslinie EF, die Linie BF und die Diagonale A C, macht F G = ^ B F und zieht endlich G S || A C, dann ist S der Schwerpunkt.

Die folgende Konstruktion wird mit Vorteil bei der Untersuchung von . Futtermauern verwandt (Fig. 156). Man ziehe die Diagonalen A C und B D und ziehe C E || A B, mache AF = GD = l/3 E D, zeichne F S || A C und G S || B D, dann ist S der Schwerpunkt.

Nach dieser Konstruktion kann man die Schwerpunkte der gleichhohen Futtermauerabschnitte wie folgt schnell finden (Fig. 157). Man ziehe die Mittellinie E F, mache in jeder Fuge a-b = l|3 B C und ziehe durch b die Parallelen zu den entsprechenden Diagonalen, so sind deren Schnittpunkte mit der Mittellinie E F die Schwerpunkte der Teiltrapeze.

b-

Ti/ \

.c

Eine sehr einfache Konstruktion der Schwerpunkte von Trapezen, die sich bei der Untersuchung von Gewölben und Biegungslinien anzuwenden empfiehlt, ist endlich die folgende (Fig. 158). Man ziehe die Diagonalen AC und B D,

Fig. 155.

Pig. 157.

Cf

>J3

ly

'nt.

'J*

Fig. 156.

7l

f-ä

7l

"ec

Ll

ÄVr

mache AF = EC, ferner FG= ^3 GE. Zieht man dann durch G eine Parallele A B, so ist der Schnittpunkt S mit der Mittellinie G H der Schwerpunkt.

Da es bei Gewölbeuntersuchungen nur auf die Lage der Schwerlinien in den einzelnen Lamellen ankommt, so kann man das Ziehen der Mittellinien G H sparen. Hiernach ergibt sich die in Fig. 159 angegebene Konstruktion der Schwerlinien.

Rechnerisch findet man die Lage des Schwerpunktes durch Anwendung der Gleichungen 30) uud 31). Da der Schwer-punkt auf der Verbindungslinie der Halbierpunkte der parallelen Seiten liegt, so braucht man nur seinen Abstand y von der längeren Seite ^ a zu bestimmen, aus

Gleichung 31). Nennt man die kürzere Seite b, die Höhe h, so folgt:

h a + 2 b y = ~3 ‘üTb~

Kreisausschnitt. Zerlegt man den Kreisausschnitt (Fig. 161) in eine grosse Anzahl kleiner Kreisausschnitte, so kann man jeden Teilausschnitt als ein Dreieck betrachten, dessen Schwerpunkt um ^3 R von der Grundlinie, also um ²/3 R

ZU

Pig. 158.

Pig. 159.

ft

(Fig. 160).

vom Mittelpunkt M entfernt ist. Die Schwerpunkte sämtlicher Ausschnitte liegen auf einem Kreisbogen Ai Bi, dessen Radius = ²/₃ R ist. Der Schwerpunkt dieses

Bogens muss daher auch der des Kreisausschnittes sein. Nun beträgt m aber nach Gleichung 32) die Entfernung des Schwerpunktes einesKreis-bogens vom Mittelpunkt :

Fig. 160.

Fig. 161.

^ ---M-

o—

—+.

___jV i

■r

•i*--

\ V-

'jif

Radius • Sehne Bogen

mithin ergibt sich für die Lage des Schwerpunktes des Kreisausschnittes der Wert:

Nun ist :

Bogen Ai Bi '

und :

folglich :

Sehne Ai Bi = ²/₃ Sehne AB = ²|₃s Bogen Ai Bi = ²/₃ Bogen AB = ²/₃b

34)

²/₃ R ■ ²/₃ s

y = —91 vT

R • s 2 Radius X Sehne

j    3 Bogenlänge

²/₃ b

Für den Halbkreis ergibt sieli nach dieser Gleichung für den Abstand des Schwerpunktes vom Mittelpunkt:

~ (Fig. 162).

Parabelsegment. Nach den Bezeichnungen der Fig. 163 liegt der Schwerpunkt des Parabelsegmentes auf der Achse im Abstande

y = ²/s h

35)

36)

von der Sehne A B entfernt.

05

Unregelmässige Flächen. Den Schwerpunkt erhält man am leichtesten, wenn man sie in Teilflächen zerlegt, deren Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind, also in Dreiecke, Parallelogramme usw. In diesen Schwerpunkten bringe man die den Teilflächen entsprechenden Gewichte an. Die Schwerpunktslage der ganzen Fläche ergibt sich dann entweder durch zweimalige Anwendung des Seilpolygones und Konstruktion zweier Schwerachsen oder auf rechnerischem Wege durch sinngemäfse Benutzung der Gleichungen 30 und 31). Bezeichnet man die Inhalte der Teilflächen mit fi,f2,f₃ usw., die ganze Fläche mit F, so dass also F = JSf ist, so lassen sich die Gleichungen 30) und 31) in der Form schreiben:

-s(f-y)

37) u. 38)

und f

Die nachstehenden Aufgaben mögen zur Erläuterung der obigen Ausführung dienen.

-£g- >K-—>!

-*■

Aufgabe 1. Für den in Fig. 164 in natürlicher Grösse gezeichneten Winkeleisen-Querschnitt 30/45/5 ist die Lage des Schwerpunktes graphisch und rechnerisch zu ermitteln.

Fig. 162.

jś

Fig. 163. — 1

Fig. 164.

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x-

Fig. 1G5.

vT

4l.

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Fl

15,0

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Fig. 167.

Fig. 166.

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flT?. 0.8    0.8 0.3    0.8

Fig. 168.

fi

.SL.

sx

\k

14 *

!/> A

xr/.

F Zf

•Graphische Lösung. Man zerlegt den Querschnitt in zwei Rechtecke L und f₂, deren Inhalte fi = 30-5 = 150 qmm und f₂ = 40-5 = 200 qmm sind. Im Kräfteplan sind diese Flächen im Mafsstabe 1 mm = 20 qmm aufgetragen und hierauf mit Hilfe des Pôles 0 die beiden Seilpolygone I, II, III und I, 2, 3 ge-

zeichnet, wodurch man den Schwerpunkt als Schnittpunkt der beiden Schwerlinien F erhält.

Rechnerische Lösung. Wählt man die Winkelecke C (Fig. 165) als Drehpunkt und bestimmt die Abstände der Kräfte fi und f₂ für deren vertikale und horizontale Lage vom Punkte C, so erhält man für g und ■f nach Gleichung 37) und 38) die Werte:

_ -S(f-x)

© F

und

150 • 2,5 + 200 • 25 150 + 200“

= 15,3 mm

2'(f-y)    150-15,0 + 200-2,5

f- F

350

= 7,86 mm.

Aufgabe 2. Es ist der Schwerpunkt zu ermitteln für den Querschnitt des hochstegigen J - Eisens 30/30/4. (Fig. 166).

Der Schwerpunkt liegt in der Symmetrieachse, es ist daher nur eine Schwerlinie zu konstruieren. Durch Teilung des Querschnittes in zwei Rechtecke findet man ft = 30 • 4 = 120 qmm, U = 26 • 4 = 104 qmm, somit F = 120 + 104 = 224 qmm. Unter Annahme eines Kräftemafsstabes 1 mm = 10 qmm ist die Lage der Schwerlinie und damit der Schwerpunkt S ermittelt.

Zur rechnerischen Bestimmung wähle man die untere Kante x—x als Drehachse. Mit Beziehung auf die Mafse in Fig. 166 erhält man dann den Abstand f von der Achse aus der Gleichung:

/ F

120-2,0+104-17

224

= rd. 9 mm.

Aufgabe 3. Bei der Untersuchung von Stützmauern ist man häufig genötigt, die vertikale Schwerlinie des Mauerquerschnittes zu suchen. Wo liegt diese für das in Fig. 167 gezeichnete Profil?

Durch Teilung des Querschnittes in vertikale Streifen erhält man nach den in Fig. 167 eingeschriebenen Mafsen für die Grössen der Teilflächen die Werte 0,9 - 8,6

= 3,87 qm, f₂ = 1,0 • 8,6 — 8,6 qm, f₃ = 8,1 • 0,4 = 3,24 qm, f₄ = 5,4

• 0,4 = 2,16 qm und f₅ = 2,7 • 0,4 = 1,08 qm.

Der Kräfteplan wurde angefertigt unter Zugrundelegung des Kräftemafsstabes 1 cm = 4 qm. Die Resultierende F hat die in der Figur angegebene Lage.

Denkt man aus der Stützmauer senkrecht zur Bildebene ein Stück von 1,0 m herausgeschnitten, so stellen die Inhalte fi, f₂ usw. die Kubikinhalte der entsprechenden Mauerkörper in Kubikmetern und jene Zahlen multipliziert mit dem Einheitsgewichte, die Gewichte der Mauerkörper dar, die in den Schwerpunkten der Teilflächen angreifen. Die Schwerlinie F = 2 f stellt demnach auch die Schwerlinie des Mauerkörpers dar, deren Lage zu kennen sich als notwendig erweist bei der Berechnung der Stützmauer.

Die Teilung des Querschnittes hätte ebensogut durch horizontale Linien in Höhe der Mauerabsätze erfolgen können, jedoch hätte man dann erst die Schwerpunkte der entstehenden Trapeze aufsuchen müssen.

Aufgabe 4. Die Lage der vertikalen Schwerachse des in Fig. 168 dargestellten halben Gewölbes wird verlangt.

Nimmt man wieder an, dass aus dem Gewölbe senkrecht zur Bildebene ein Streifen von 1 m Länge herausgeschnitten ist, so stellt der Inhalt der Fläche,

fi =

IO

wenn man ihn mit dem Gewichte pro cbm multipliziert, gleichzeitig das Gewicht der Gewölbehälfte dar. Es wird dabei angenommen, dass 1 cbm Mauerwerk und 1 cbm Ueberschüttungserde gleichschwer sind. Die vertikale Schwerachse des Querschnittes ist daher gleichzeitig die Schwerlinie des halben Gewölbes.

Man teile den Querschnitt in vertikale Lamellen am besten von gleicher Breite; bestimme deren Inhalte fi, f₂, fs, f^, fs und denke diese in den Schwerpunkten der LamellenHächen, die man mit hinreichender Genauigkeit als Trapeze ausehen kann, angebracht. Reiht man nun die Kräfte aneinander in einem passenden Mafsstabe und zeichnet mit Hilfe des beliebig angenommenen Pôles das Seilpolygon zwischen den Kräften, so geht die Resultierende F = .2f durch den Schnittpunkt der äussersten Seilstrahlen I und VI.

Anmerkung. Die Schwerlinien der Teilflächen lassen sich nach dem in Figur 158 und 159 angegebenen Verfahren ermitteln, es genügt indessen die Mittellinien als Schwerlinien anzusehen.

}) Vom statischen Moment der Flächen.

Es sei eine beliebige Fläche F gegeben, S deren Schwerpunkt und y dessen Abstand von einer ebenfalls gegebenen Achse x—x (Fig. 169).

Man zerlege diese Fläche in eine grosse Anzahl gleich breiter Streifen, am besten parallel zur Achse x—x. Stellt man sich dann die Fläche als eine dünne materielle Platte vor, so kann man sich die Flächeninhalte fi, f₂, fs, f4 usw. der schmalen Streifen als Gewichte in deren Schwerpunkten angebracht denken.

Nimmt man weiter an, dass die Fläche horizontal liegt, so würden die kleinen Gewichte fi,f₂,f3 usw. senkrecht nach unten gerichtet sein und an ihren Hebelarmen yi, y2, y3 usw. um die Achse x —x drehen, mit einer Wucht, deren Grösse bestimmt wäre durch die Momente fi - yi, f2 • y2, f3 -y3 usw.

Nach dem Momentensatz ist aber das Moment der Resultierenden F gleich der Summe der Momente der Einzelkräfte, mithin:

Fig. 169.

o-

*■

ce

'■s

CC--

--a- : r

___L»

F- y — 2(î -y),

d. h. multipliziert man jedes kleine Flächenelement f mit seinem Abstande y von der gegebenen Achse, so ist die Summe dieser Produkte gleich der Fläche F mal dem .Schwerpunktsabstand y von der Achse x—x.

Das Produkt F -y oder, was dasselbe ist, 2 (f • y) nennt man das statische Moment der Fläche in bezug auf die Achse x—x. Fis wird in der Regel durch den Buchstaben S bezeichnet. Hiernach ist:

39)

S = F-y = 2(f.y).

Unter dem statischen Moment einer Fläche in bezug auf eine angenommene Achse versteht man das Produkt aus Fläche und Abstand des Schwerpunktes von der Achse.

Legt man die Achse x—x durch den Schwerpunkt (Fig. 170), so ist.

y = o, also:

5(f.y)=F*OaO,

das heisst :

Satz 37. Das statische Moment einer Fläche in bezug auf eine beliebige Schvverachse ist gleich Null.

Fig. 170.

Umgekehrt kann man also auch schliessen, wenn:

- (f ■ y) = o

ist, so ist die Achse eine Schwerachse, d. h. :

Satz 38. Istdas statische Moment einer Fläche in bezug auf eine gegebene Achse gleich Null, so ist die Achse eine Schwerachse.

x!

Eine Drehung um die Schwerachse kann also nicht stattfinden. Man kann sich von der Richtigkeit leicht überzeugen, wenn man ein Stück Karton von beliebiger Form benutzt, dessen Schwerpunkt bestimmt, — am einfachsten durch Balancieren auf einer Nadelspitze, — und sodann den Karton so auf eine Schneide legt, dass diese durch den Schwerpunkt geht; der Karton wird sich im Gleichgewicht befinden. Geht die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt, so tritt Drehung um diese Achse ein.

Diese beiden Sätze werden später bei der Ableitung der Biegungsgleichung und bei der Bestimmung der Schubspannungen im Stege der Träger mit Vorteil benutzt werden.

Aufgabe 1. Es ist das statische Moment der in Fig. 171 und 172 gezeichneten Winkelquerschnitte für die daselbst angegebene Achse x—x zu berechnen.

Zerlegt man die Winkel in zwei Rechtecke, so findet man mit Beziehung auf die daselbst eingeschriebenen Mafse nach Gleichung 39) :

S = 2 • 10,0 • 1,2 • 36,4 + 2 • 8,8 • 1,2 • 31,4 = 1536,8 Einheiten bezogen auf cm.

8,8

37.0

.r

Fig. 171.

lo/xo/t,ä

----“Â

'A~

12

3&+

37,0

_Y

y.

«XL

Fig. 172.

L *o,o/*qo/*,z

"ir

2,9

JX

In deu Profilbüchern der verschiedenen Walzeisensorten ist die Lage der Schwerpunkte der einzelnen Profile sowie deren Flächeninhalt angegeben. Hat man ein solches zur Hand, so vereinfacht sich vorstehende Berechnung wesentlich. Nach dem Normalprofilbuch ist der Querschnitt des Winkels 10,0/10,0/1,2 = 22,7 qcm, der Schwerpunkt 2,9 cm von der Aussenkante entfernt. Nach Fig. 172 ist daher:

S = 2- 22,7 -34,1 = 1548 Einheiten bezogen auf cm.

Der geringe Unterschied zwischen diesem und obigem Resultat erklärt sich daraus, dass bei der obigen Rechnung keine Rücksicht genommen ist auf die Abrundung bezw. Ausrundung der Winkelecken.

Aufgabe 2. Wie gross ist das statische Moment des halben Trägerquer-sclmittes in Fig. 173?

Der Winkel 80,/8,0/1,0 besitzt eine Fläche von 15,19 cm, der Schwerpunkt liegt 2,3 cm von der Aussenkante Winkel. Das statische Moment wird daher:

ss

Fig. 173.

S = 25,0 -1,0- 29,5 +2.15,1- 26,7 + 29,0 1,0-14,5 = 1964,3 Einheiten bezogen auf cm.

c) Yon der Standsicherheit.

Wenn ein Körper auf einer horizontalen Unterlage ruht (Fig. 174), so verteilt sich sein im Schwerpunkt S angreifendes Gewicht G J0 über die Berührungsfläche zwischen Körper und Unterlage. Diese wird nach dem Gesetze von Wirkung und Gegenwirkung mit kleinen x-*-Kräften nach oben drücken; die Resultierende Gi dieser Gegendrücke muss notwendig gleich G sein und durch deu Schwerpunkt gehen, da sonst kein Gleichgewicht vorhanden sein kann. Vergl. Satz 6.

Da nach Satz 16 die Resultierende aus gleichgerichteten Parallelkräften stets zwischen diese fällt, so muss also, sofern Gleichgewicht bestehen soll, die Schwerlinie G, also auch die Richtungslinie von Gi, die Berührungsfläche AB zwischen Körper und Unterlage treffen. Ist das nicht der Fall, so tritt nach Fig. 175 ein Kippen um die Kante B ein.    ^|^fl

Geht die Schwerlinie G gerade durch die Kippkante (Fig. 176), so ist zwar noch Gleichgewicht vorhanden, aber die kleinste äussere Kraft P reicht hin, um den Körper umzuwerfen.

Unter der Standsicherheit oder Stabilität eines Körpers versteht man seinen Widerstand gegen Umkippen. Der Körper in Fig. 176 besitzt eine Standsicherheit gleich Null, der in Fig. 175 überhaupt keine, er fällt um.

J5. /

1,0

26,7    25,5

Fig. 174.

Gjl

<£C

Fig. 175.

Fig. 176.

Fig. 177.

7

!r

X

Die Standsicherheit ist um so grösser, je weiter die Schwerlinie von der Kippkante entfernt liegt; sie ist am grössten, wenn sie durch den Schwerpunkt der Grundfläche geht.

Tritt zu dem Gewichte G eine äussere Kraft P (Fig. 177), so hat diese das Bestreben, den Körper um die Kante A zu kippen, wenn man ein Gleiten des Körpers durch einen Vorsprung am Boden verhindert. Die Resultierende R aus

Sch51 er, Statik und Festigkeitslehre.

G und P treffe die Bodenfläche in einem Punkte t, dann muss der von der Unterlage ausgeübte Gegendruck Ri = R ebenfalls in diesem Punkte t angreifen, aber der Richtung von R entgegengesetzt wirken, da nur in diesem Falle nach Satz 6 Gleichgewicht vorhanden ist. Man nennt t den Druckpunkt. Er muss innerhalb der Grundfläche liegen, wenn kein Kippen um A stattfinden soll. Geht R durch die Kante A, so ist unsicheres Gleichgewicht vorhanden, die kleinste Vermehrung von P wird den Körper um A drehen. Je näher der Druckpunkt also an die Kippkante tritt, um so geringer ist die Standsicherheit des Körpers; diese ist = 0, wenn t mit der Kante A zusammenfällt. Am grössten wird sie, wenn der Druckpunkt t wieder mit dem Schwerpunkt der Unterstützungsfläche zusammenfällt; denn wenn t jenseits des Schwerpunktes der Grundfläche läge, so würde jetzt für die Kante B gelten, was vorhin für die Kante A zutraf.

Mit Rücksicht auf die Standsicherheit der Baukonstruktionen verlangt man mit Recht, dass der Druckpunkt t um ein bestimmtes Mafs von der Kippkante entfernt bleibt, damit man die Gewähr hat, dass ein Kippen des Baukonstruktionsteiles nicht eintreten kann. Wie gross dieses Mafs ist, davon wird später noch die Rede sein.

Bringt mau im Druckpunkte t den Gegendruck Ri am Körper an, so sind die Kräfte P, G und Ri im Gleichgewicht (Fig. 178 und 178a). Das Kräftedreieck ist geschlossen.

Zerlegt man Ri imPunkte t in die Komponenten Gi und Pi, parallel zu G undP, so sind nunmehr die Kräfte G, P, GL und Pt miteinander im Gleichgewicht. Nach Gleichgewichtsbedingungen 2 H = 0, 2 V = 0, ^ M = 0 muss daher Pi = P und Gi = G sein. Das Kräftepaar P Pi vom Momente P • b will nun den Körper um den

Fig. 178 a.

Fig. 178.

'a

o-

Fig. 179.

Os

i\k

a t £

' l/a ---

i jC-jÀ

hj à G

^ ■?

Punkt A drehen, da dieser festgehalten wird, also die Drehachse bildet. Diesem entgegen wirkt aber das Kräftepaar G Gi am Arme a, also vom Momente

Fig. 180.

G-a. Das Gleichgewicht verlangt, dass G-a=P-b ist. Dies ist aber stets der Fall, so lange der Druckpunkt t innerhalb der Grundfläche AB liegt.

-o- —

Wächst die Kraft P, so wächst auch das Moment P • b. Der Druckpunkt t rückt dann aber auch näher an ÜL die Kippkante A, der Arm a des Paares G Gi wird grösser und damit auch das Moment G • a, so dass wieder G • a = P • b wird.

Wird P so gross, dass der Druckpunkt mit der Kante A zusammenfällt, so hält das Moment G • a (Fig. 179) gerade uoch das Gleichgewicht. In diesem Augenblick hat aber das Moment des Paares G Gi seinen grössten Wert erlangt, da der

Hebelarm seine grösste Länge erreicht hat. Mit P • b = G • a ist also die Grenze des Gleichgewichtszustandes erreicht. Würde P, also auch das Moment P-b des Paares PPi noch grösser, so würde, da diesem nur das kleinere Moment G-a entgegenwirkt, ein Kippen um die Kante A eintreten. Da die Kräfte Gi und Pi durch den Drehpunkt gehen, so kann man der Einfachheit wegen wieder sagen, dass die Kräfte P und G um die Achse A drehen (Fig. 180), während die Drehung in Wirklichkeit durch die Kräftepaare P Pi und G Gi erfolgt.

Gleichgewicht herrscht also, so lange das Moment P • b kleiner als oder höchstens gleich ist dem Moment G-a. Man nennt P-b das Kippmoment, G-a das Stabilitätsmoment.

Die Sicherheit verlangt, dass bei den Baukonstruktionen das Moment G • a dasjenige P-b um ein mehrfaches übertrifft, was oben durch die Bedingung ausgedrückt wurde, dass der Druckpunkt t nur bis zu einer gewissen Grenze an die Kippkante herantreten darf.

d) Ton der Auflagerung der Träger.

Fig. 182.

Ein auf zwei Stützen liegender Träger sei durch die beliebigen Kräfte Pi — P5 beansprucht, deren Resultierende R nach Grösse, Lage und Richtung bekannt sein möge (Fig. 181). Ersetzt man die Kräfte durch ihre Resultierende, so wirken an dem Träger nunmehr drei Kräfte, nämlich die beiden Auflagerdrücke A und B und die Mittelkraft R. Von den Kräften A und ß ist aber weder die Grösse, noch die Richtung, noch die Lage (Angriffspunkt) bekannt. Es sind daher sechs unbekannte Grössen zu bestimmen, was auf statischem Wege nicht möglich ist. Da Gleichgewicht vorausgesetzt wird, müssen sich nach Fig. 181.

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Satz 10 die Kräfte A, B und R in einem Punkte schneiden und sich ausserdem zu einem Kräftedreieck vereinigen lassen. Es gibt aber unzählig viele Kräfte A und B, die dieser Forderung genügen, so dass sich die wirklichen Auflagerdrücke A und B nicht angeben lassen.

Zwei von diesen sechs unbekannten Grössen kann man aber dadurch beseitigen, dass man den Kräften A und B zwei ganz bestimmte Angriffspunkte anweist, indem man den Träger nach Ait der Fig. 182 auflagert. Es sind dann nur noch die Richtung und die Grösse der Stützendrücke A und B unbekannt. Aber auch jetzt lassen sich diese vier Unbekannten nicht eindeutig bestimmen, da sich auf der Richtung von R unendlich viele Punkte angeben lassen, in denen sich die Kräfte A, B und R schneiden, die sich ausserdem zu einem Kräftedreieck vereinigen lassen. Der Träger ist also immer noch statisch völlig unbestimmt.

Ordnet man nun aber die Auflagerung des Trägers nach Fig. 183 an, indem man das Lager A beweglich macht und den Kräften A und B die Punkte a und b als Angriffsstellen anweist, so kann das Lager A nur lotrechte Drücke

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ausüben. Am Lager A ist daher nur noch die Grösse des Stützendruckes A unbekannt.

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Fig. 183.

Fig. 184.

Da zum Gleichgewicht erforderlich ist dass sich die Kräfte A, B und R in einem Punkte schneiden, so ist nun aber auch die Richtung des Stützendruckes B bekannt, da dieser durch den Schnittpunkt S der Kräfte A und R gehen muss. Verbindet man daher den Punkt S mit b, so ist damit die Richtung von B gegeben. Da die Lage von B ebenfalls bestimmt ist, so ist vom Stützendruck B also auch nur noch die Grösse zu ermitteln. Unbekannt sind daher jetzt nur noch zwei Stücke, nämlich die Grösse der Auflagerdrücke A und B. Damit ist die Aufgabe zurückgeführt auf die auf Seite 9 gelöste, nämlich eine nach Grösse, Lage und Richtung gegebene Kraft R in zwei der Lage und Richtung nach bekannte Seitenkräfte zu zerlegen.

Konstruktion der Auflagerdrücke.

Trägt man R somit in Fig. 184 nach Grösse und Richtung auf, zieht durch den einen Endpunkt eine Parallele zu S-a, durch den anderen Endpunkt eine solche zu S-b, so ist i-g gleich dem Auflagerdruck A, h-i gleich dem Stützendruck B.

An dem einen Ende muss der Träger mit dem Lager unwandelbar befestigt sein (in Fig. 183 Auflager B), damit kein Abschieben des Trägers von den Lagern erfolgen kann. Zerlegt man nämlich die Mittelkraft R am Träger in eine horizontale und vertikale Komponente H und V, so will H den Träger in der Richtung des Pfeiles über das Lager B hinweg schieben. Dieses muss daher horizontale Kräfte aufnehmen können; es muss mit derselben Kraft H entgegendrücken. Die Grösse von H findet man im Kräfteplan durch Zerlegen von R nach den Richtungen von H und V. Man erhält II = k-h; V = g-k. Zerlegt man B ebenfalls in eine horizontale und vertikale Komponente Hi und Vi, so findet mau Hi = h-k, also gleich aber entgegengesetzt H und Vi = k-i.

Während das Lager A somit nur lotrechte Stützendrücke ausüben kann, muss das Lager B lotrechte und wagerechte Stützendrücke übertragen können.

Einen Träger, der diesen Auflagerbedingungen entspricht, nennt man einen statisch bestimmten Träger, da sich alle an ihm auftretenden Kräfte nach den einfachen Regeln der Statik eindeutig bestimmen lassen. Ueber andere Gründe, die für diese Anordnung sprechen, und über die konstruktive Ausbildung der Lager sehe man Band IX dieses Handbuches, Seite 71 bis 82 (Schöl er, Eisenkonstruktionen).

Nimmt der Träger nur lotrechte Lasten auf, so erhalten die Lager ebenfalls nur lotrechte Drücke, die Bestimmung derselben kann nach den Regeln auf Seite 25 und 40 entweder graphisch oder rechnerisch erfolgen. Wirken schiefe Kräfte auf den Träger, z. B. Winddruck bei Dachbindern, so übt das bewegliche Lager nur senkrechte, das feste dagegen schiefe Drücke aus, die sich nach den vorstehenden Regeln ermitteln lassen.

Ueber die Höhenlage der Auflager waren keine einschränkenden Bestimmungen gemacht worden, so dass die Berechnung der Auflagerdrücke in derselben Weise erfolgt, wie bei Trägern auf gleich hohen Stützen.

Ebenso war über die Form und den konstruktiven Aufbau, d. h. ob der Träger vollwandig oder aus einzelnen Stäben zusammengesetzt ist (Fachwerkträger), kein Vorbehalt gemacht, so dass die vorstehenden Untersuchungen ganz allgemeine Gültigkeit haben. Man kann daher den Satz aufstellen:

Satz 39. Die bekannten Konstruktionen bezw. Berechnungen zur Ermittelung der Auflagerdrücke gelten für alle statisch bestimmten Träger, gleichgültig ob sie vollwandig oder gegliedert sind, gleich hohe oder ungleich hohe Stützen haben.

e) Ton den Fachwerkträgern.

1. Allgemeines.

Fig. 185.

Ein ebenes Fachwerk ist ein in einer Ebene liegendes System von Stabdreiecken, von denen je zwei benachbarte eine Seite gemeinsam haben. Die Eckpunkte der Dreiecke, in denen immer mindestens zwei, oft drei oder mehr Stäbe gelenkartig zusammenstossen, nennt man die Knotenpunkte des Fachwerks. Die Stabreihen, welche das Fachwerk (Fig. 185) oben und unten ab-schliessen, heissen die Gurtungen, die

in ihnen liegenden Stäbe die Gurtstäbe. Die Stäbe, welche die Gurtungen miteinander verbinden, werden Wandglieder oder Gitterstäbe genannt,

Fig. 187.

Fig. 186.

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auch Diagonalen oder Vertikalen, je nachdem sie schräg oder senkrecht stehen.

Legt man ein solches Fachwerk auf zwei Stützen, von denen die eine nur lotrechte Drücke übertragen kann (Fig. 186), so nennt man ein solches Fachwerk einen Fachwerkträger.

Die auf einen Fachwerkträger wirkenden äusseren Kräfte lässt man nur in den Knotenpunkten angreifen. Die Stäbe erhalten dadurch, wie dies gleich nachgewiesen werden wird, nur Zug- oder nur Druckspannungen, die bei richtig konstruierten Knotenpunkten sich gleichmäfsig über die Stabquerschnitte verteilen, so dass das aufgewandte Material voll ausgenutzt wird.

Legt man durch einen solchen Fachwerkträger einen Schnitt parallel zu einem Wand stabe, so trifft er höchstens drei Stäbe (Fig. 187). Bringt man in den geschnittenen Stäben Kräfte an, welche der Wirkung des weggenommenen rechten Teiles gleichwertig sind, so müssen diese Kräfte mit den Achsen der Stäbe zusammenfallen, da sich sonst die Stäbe um ihre gelenkartig angeordneten Enden drehen würden. Hieraus folgt, dass alle Stäbe nur durch Längskräfte beansprucht werden, die entweder nur Zug- oder nur Druckkräfte sein können, je nachdem sie eine Verkürzung oder Verlängerung des betreffenden Stabes bewirken.

Die durch die Knotenpunktslasten hervorgebrachten Stabspannungen lassen sich stets mit Hilfe der statischen Gesetze bestimmen, wenn die Auflagerung des Fachwerks in der besprochenen Weise erfolgt und durch einen Schnitt parallel zu einem Wandgliede höchstens drei Stäbe getroffen werden.

Das so gestaltete Fachwerk ist daher statisch bestimmt.

Bestimmung der Stabspannungen. Die in den Knotenpunkten wirkenden Kräfte Pi P₂ usw. sind gegeben aus der Belastung des Trägers. Nach Ermittelung der Auflagerdrücke sind die auf den Träger wirkenden äusseren Kräfte sämtlich bekannt. Die Spannkräfte der einzelnen Stäbe lassen sich jetzt nach folgendem Verfahren ermitteln.

Da der Fachwerkträger ein im Gleichgewicht befindliches System von Kräften ist, so müssen notwendig die an jedem Knotenpunkte wirkenden äusseren Kräfte im Gleichgewicht sein mit den inneren Kräften (Spannungen) der dort zusammentreffenden Stäbe. Denkt man sich aus dem Träger (Fig. 188) z. B. den Knotenpunkt III durch einen Schnitt herausgelöst (Fig. 190) und bringt jetzt in den geschnittenen Stäben ihre Spannungen als äussere Kräfte an, so müssen sich alle am Knotenpunkt angreifenden Kräfte nach Satz 12 zu einem geschlossenen Kräftepolygon vereinigen lassen, in welchem die Pfeile alle denselben Fahrsinn zeigen (Fig. 190). Es werde zunächst einmal vorausgesetzt, dass die Spannungen der Stäbe 8,2, 3, 9 bekannt seien; reiht man alsdann die Kräfte in der Reihenfolge 8, 2, P₂, 3,9 aneinander (Fig. 191), so würde man den Kräftezug g-f-b-c-h-g erhalten, in welchem die Pfeile stetig folgen.

Ausser der Kraft P₂ ist aber im Knoten III keine Kraft bekannt. Da sich eine gegebene Kraft aber nur in zwei Komponenten zerlegen lässt, so lassen sich die Kräfte 8, 2, 3, 9 nicht eindeutig bestimmen, da es unendlich viele Kräfte von den Richtungen der Stäbe 8,2,3,9 gibt, die sich mit P₂ zu einem geschlossenen Kräftepolygon zusammensetzen lassen, also mit P₂ im Gleichgewicht sind. Wären aber ausser der Kraft P₂ im Knotenpunkt III die Spannungen der

Stäbe 8 und 2 bekannt, so würden sich die Spannungen der Stäbe 3 und 9 eindeutig bestimmen lassen.

Reiht man nämlich die Kräfte 8,2, P2 zu dem Kräftezuge g-f-b-c aneinander, so würde die strichpunktierte Linie g-c die Resultierende R der ge-

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Fig. 188. Ą

Fig. 191.

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nannten Kräfte sein, deren Pfeil dem Fahrsinn der Pfeile des Kräftezuges entgegenläuft. Zerlegt man nun diese Resultierende in zwei Komponenten nach den Richtungen 3 und 9, indem man durch c eine Parallele zum Stabe 3, durch g eine solche zum Stabe 9 zieht, so wäre c-h gleich der gesuchten Spannung im Stabe 3, h-g gleich derjenigen des Stabes 9. Da R mit diesen Kräften im Gleichgewicht sein muss, so muss das Kräftedreieck g-c-h-g geschlossen sein, die Pfeile müssen also wieder einander folgen, wie dies in Fig. 191 der Fall ist.

Hieraus ergibt sich, dass an einem Knotenpunkt nur zwei Stabspannungen unbekannt sein dürfen, wenn deren Bestimmung eindeutig erfolgen soll.

Das Einzeichnen der Resultierenden R ist aber überflüssig, wie man leicht einsieht. Ist der Kräftezug g-f-b-c gezeichnet, so kann man durch Ziehen der Parallelen zu Stab 3 und 9 den Kräftezug schliessen und die Spannungen 3 und 9 erhalten.

Mit der Bestimmung der Stabspannungen des Trägersystems kann man also nicht an jedem beliebigen Knotenpunkt beginnen, sondern man muss einen Knotenpunkt suchen, an welchem ausser der bekannten äusseren Kraft nur zwei unbekannte Stabspannungen auftreten. Und dies ist stets an den beiden Auflagern der Fall.

Nunmehr kann man die Bestimmung der Stabspannungen des Trägers in Fig. 188 und 189 wie folgt vornehmen.

Man bestimme zuerst die Auflagerdrücke A und B mit Hilfe des Pôles 0 und des Seilpolygones a, fl, 7. Man erhält A = d-a und B — c-d in Fig. 189. Nun denke man den Knotenpunkt A herausgeschnitten (Fig. 192). Bekannt ist die Kraft A, unbekannt sind die Spannungen der Stäbe 1 und 4. Trägt man A nach Grösse und Richtung auf, zieht durch a eine Parallele zu Stab 1, durch d eine solche zu Stab 4, so ist a-e gleich der gesuchten Spannkraft 1, e-d gleich der Spannkraft 4. Da A mit 1 und 4 im Gleichgewicht ist, so müssen die Pfeile aufeinanderfolgen, der Umfahrungssinn im Kräftezuge ist daher d-a-e-d.

Es bleibt nun noch zu bestimmen, ob die ermittelten Kräfte 1 und 4 der Stäbe 1 und 4 Zug- oder Druckkräfte sind. Dies lässt sich aber leicht nach der folgenden Regel angeben:

Regel. Man bringe am Knotenpunkt den Pfeil an dem betreffenden Stabe so an, wie er sich im Kräftepolygon ergeben hat. Zeigt der Pfeil in den Knotenpunkt, so hat der Stab Druckspannung, zeigt er vom Knotenpunkt weg, so besitzt er Zugspannung.

Bringt man nach dieser Regel am Knoten A die Pfeile an den Stäben 1 und 4 an, so zeigt der Pfeil 1 in den Knotenpunkt, so dass dessen Spannung Druckspannung ist; der Pfeil von 4 weist aus dem Knotenpunkt, demnach besitzt Stab 2 Zugspannung.

Geht man zum Knotenpunkt I über und denkt ihn sich herausgeschnitten, so ist im Stabe 1 jetzt der Pfeil in den Knotenpunkt zu richten, wie dies Fig. 193 der Doppelpfeil andeutet. Bekannt sind die Kräfte 1 und Pi, unbekannt die Spannungen 2 und 7. Man reihe im Kräfteplan (Fig. 193) 1 und Pi zum Kräftezuge e-a-b aneinander, ziehe durch b die Parallele zu 2, durch e die Parallele zu 7, dann ist b-f die gesuchte Spannung 2, f-e die gesuchte Spannung 7. Die Pfeile müssen aufeinander folgen, die Pfeilrichtung ist daher e-a (Doppelpfeil) -b-f-e. Ueberträgt man die Pfeile von 2 und 7 aus dem Kräfteplan an den Knotenpunkt, so ergibt sich für 2 Druck-, für 7 Zugspannung.

Am Knoten II sind jetzt bekannt die Kräfte 4 und 7, unbekannt 8 und 5. Reiht man die Kräfte in der Reihenfolge 4, 7, 8, 5 aneinander (Fig. 194), also im Kräfteplan mit d beginnend, d-e-f-g-d, so ergeben sich mit Rükcsicht auf die Pfeile für 8 und 5 Zugspannungen.

Im Knotenpunkt III (Fig. 190) sind jetzt 8, 2 und P2 bekannt, gesucht werden 3 und 9. Das Kräftepolygon mit g beginnend, g-f-b-c-h-g liefert die Spannungen 3 und 9 als Druckspannungen.

Im Knoten IV (Fig. 195) sind die Spannungen 5 und 9 bekannt, 6 ist unbekannt. Das Kräftedreieck d-g-h-d ergibt 6 als Zugspannung.

Am Lager B endlich wirken jetzt die bekannten Kräfte 6, 3 und B (Fig. 196), die sich zu dem Kräftedreieck d-h-c-d schliessen.

Die den einzelnen Knotenpunkten entsprechenden Kräftepolygone brauchen nun aber nicht gesondert gezeichnet zu werden, wie dies in den Fig. 190, 192, 193, 194, 195, 196 geschehen ist, weil, da jeder Stab zwei Knotenpunkten angehört, jede Kraft zweimal gezeichnet werden muss. In den Figuren sind die zum zweitenmal gebrauchten Kräfte durch Doppelpfeile gekennzeichnet.

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Schiebt man das Kräftepolygon Fig. 193 so au dasjenige in Fig. 192, dass die Kräfte 1 = ea sich decken, hierauf den Plan Fig. 194 so an die vereinigten Polygone, dass die Kräfte 4 = ed aufeinander fallen, sodann den Plan Fig. 190 weiter au, dass 7 mit 7 und 2 mit 2 zur Deckung kommt, fügt man jetzt den Plan Fig. 195 so an, dass 5 mit 5 und 9 mit 9 zusammenfällt und reiht endlich den Plan Fig. 196 passend an, so erhält man den in Fig. 197 gezeichneten Kräfteplan, in welchem jede Kraft nur einmal vorkommt. Die gedrückten Stäbe sind in Fig. 197 durch stärkeres Ausziehen hervorgehoben.

Die äusseren Kräfte A, Pi,P₂,B reihen sich zu dem geschlossenen Kräftezuge d-a-b-c-d aneinander.

Einen solchen übersichtlichen Kräfteplan erhält man stets, wenn man mit dem Punkte A anfangend an jedem Knotenpunkt die Kräfte im Sinne des Uhrzeigers aneinan de rreiht, indem man jedesmal mit der am meisten links gelegenen bekannten Kraft beginnt. Dies Verfahren bleibt für alle statisch bestimmten Fachwerkträger dasselbe, gleichgültig wie das Trägersystem aufgeb aut is t.

Die für den Techniker wichtigsten Bindersysteme sind ohne Zweifel die Dachbinder. Sie sollen daher zunächst einer Besprechung unterzogen werden.

2. Belastung der Dachbinder.

Die in der Praxis verwendeten Bindersysteme sind meist symmetrisch zur Mitte angeordnet und besitzen in der Regel gleiche Feldlängen, wenn man darunter den horizontalen Abstand je zwei belasteter Knotenpunkte versteht (Fig. 198).

Fig. 198.

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Die Uebertragung der Lasten auf die Knotenpunkte geschieht immer durch Pfetten, die aus Holz oder Eisen T,-, |~- oder “|_-Eisen, bestehen; diese erhalten die Lasten durch die Sparren.

Der Bequemlichkeit wegen wird die Belastung pro Quadratmeter Grundriss angegeben in den Tabellen.

Ist e die Binderentfernung (Fig. 198), 1 die Stützweite in m, so ist, wenn man die Last pro Quadratmeter Gruudriss mit p bezeichnet, (p kg), nach der im Grundriss schraffierten Belastungsfläche die Gesamtlast, welche der Binder erhält, p • 1 • e kg.

Jeder mittlere Knotenpunkt erhält von dieser Last, wenn n die Anzahl der Felder ist, den n ten Teil, also P = —

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oder wenn die Feldbreite mit a be-

zeichnet wird, wegen a = —:

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V20 auf 3,5 cm starker Schalung und 7 cm Kieslage 200 kg.

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In den Endknotenpunkten greift nur die Hälfte dieser Last an. Die in den Endknoten wirkenden Lasten haben aber keinen Einfluss auf die Grösse der Spannungen, da sie direkt vom Lager der Träger aufgenommen und ins Mauerwerk geleitet werden (Fig. 199). Die mittleren Knotenlasten dagegen werden erst durch die Stäbe des Binders zu den Lagern geleitet und erzeugen dadurch die Stabspannungen.

Bei symmetrischer Anordnung des Binders sind die Auflagerdrücke A und B einander gleich und zwar bei n-Feldern:

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p

Für die Bestimmung der Stabspannungen geht hiervon jedoch

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ab, so dass

die hierfür in Betracht kommenden Auflagerdrücke

42)

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werden.

Bei 6 gleichen Feldern wird demnach z. B. A = B — —P

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1. Tabelle der bleibenden Last in kg pro Quadratmeter Grundriss.

Art der Eindeckung

45°    33°41' 26°34/

Belastung. Die Belastung der Binder setzt sich zusammen aus der bleibenden umLzufälligen Last. Die erste besteht aus dem Gewicht der Deckung, der Latten

bezw. Schalung, der Sparren, der Pfetten und des Binders ; die zufällige Last aus dem Winddruck und dem Gewichte des Schnees.

Je nach der Neigung des Daches ist die Grösse der bleibenden und der zufälligen Last verschieden.

Bleibende Last. Für die verschiedenen Dachneigungen kann das Gewicht der bleibenden Last der vorstehenden Tabelle entnommen werden.

Das Gewicht der eisernen Binder beträgt bei gut konstruierten Dächern selten mehr als 25 kg/qm Grundriss. In den Werten der vorstehenden Tabelle ist dasselbe mit 22 kg als Mittelwert enthalten, so dass jene Werte das Gewicht der Eindeckung, Lattung bezw. Schalung, Pfetten und Binder angeben.

Schneelast. Das grösste Gewicht der Schneelast auf 1 qm horizontaler Fläche beträgt in unseren Gegenden etwa 75 kg. Ist der Winkel a grösser als

35°,—>•—so rutscht der Schnee ab und man kann daher bei solchen s 1,4⁷

Dächern von dem Gewicht der Schneelast absehen.

Für die verschiedenen Dachneigungen wird der Schneedruck auf 1 qm Grundriss meist der nachstehenden Tabelle entnommen.

2. Tabelle des Sclmeedruckes.

Man rechnet für das Quadratmeter Grundriss der Dachfläche, wenn

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Winddruck. Je steiler das Dach ist, um so grösser ist der Einfluss des Windes. Aus einer Reihe von Beobachtungen ergibt sich, dass die Windrichtung etwa 10° gegen die Horizontale geneigt ist. Die Grösse des Winddruckes wird zu W = 125 kg pro Quadratmeter senkrecht getroffener Fläche angenommen.

Zerlegt man den Winddruck W in eine Komponenten 4to normal zur Dachfläche und in eine in diese fallende (Fig. 200), so ergibt sich für 1 qm geneigter Dachfläche für 4io der Wert

m = W • sin² (a -f 10°) = 125 • sin² (a +> 10°).

Nach dieser Formel sind die in nachstehender Tabelle enthaltenen Werte berechnet.

Fig. 200.

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3. Tabelle des Winddruckes pro Quadratmeter schräger Dachfläche in kg.

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29    24    21    19    17

Die in die Dachfläche fallende Komponente ist ohne Einfluss auf die

Spannungen.

Da der Wind immer nur eine Dachfläche treffen kann (Fig. 201), so wird man für den Wind zwei Kräftepläne anfertigen müssen, einmal für den Fall, dass er die Seite des Daches trifft, an welcher das bewegliche Lager liegt, das andere Mal für den Fall, dass er die Seite trifft, auf welcher sich das feste Lager befindet.

^Zerlegt man dagegen den Winddruck W in eine lotrechte Seitenkraft V und eine andere in die Dachfläche fallende (Fig. 202), so ergibt sich für V pro Quadratmeter r Grundriss der Wert:

Fig. 201.

Fig. 202.

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W • sin² (ni -f lO'Q _ 125 • sin² (« + 10°) cos² «

cos² «

Für die verschiedenen Dachneigungen ergeben sich nach dieser Formel die in nachstehender Tabelle mitgeteilten Werte. Die in die Dachfläche fallende Komponente ist wieder ohne Einfluss auf die Spannungen.

4. Lotrechter Winddruck in kg pro Quadratmeter Grundriss der Dachfläche.

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57

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17

Diese Last Y wird nun, obwohl der Windxnur eine Seite des Daches treffen kann, auf beiden Dachhälften wirkend angenommen.

Die Gesamtbelastung des Daches pro Quadratmeter Grundriss erhält man durch Addition der Werte in den Tabellen 1, 2 und 4. Die Resultate sind in der Tabelle Seite 78 enthalten.

3. Formen der Dachbinder.

Die in der Praxis meist üblichen Dachbinder sind in den Fig. 203 bis 215 dargestellt. Je nach der Anordnung der Wandglieder unterscheidet man bei den Satteldachbindern folgende Systeme:

Fig. 203.

1.    Der deutsche Binder (Fig.

-x--

203), besitzt eine Mittelvertikale und in jeder Dachfläche eine Diagonale; er ist nur für geringe Spannweiten brauchbar und wird wenig angewandt.

2.    Der englische Binder (Figur 204), ist bei enger Pfetten-anordnung üblich, die Diagonalen

5. Gcsamtlast in kg pro Quadratmeter Grundriss der Dachfläche.

Art der Eindeckung

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fallen nach der Dachmitte zu, die Vertikalen stehen lotrecht. Die Anzahl der Felder richtet sich nach der Spannweite des Daches, die bis zu 20 m reicht.

Fig. 204.

3.    Der belgische Binder (Figur 205 und 206), besitzt nach dem First ansteigende Diagonalen. Die Vertikalen sind entweder lotrecht oder rechtwinkelig zum Obergurt angeordnet. Spannweite bis zu 20 m.

4.    Der französische oder Po-lonceau-Binder ist eine

Kombination mehrerer Hängewerke. Fig. 207 zeigt den einfachen, Fig. 208

Fig. 206.

Fig. 205.

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den doppelten Polonceau-Binder. Er ist für alle Spannweiten geeignet und wird sehr häufig ausgeführt.

Bei den vorstehend genannten Dächern lässt man den Untergurt in der Regel etwa Vio der Dachhöhe ansteigen (Fig. 203 bis 208). Die Binder erhalten dadurch ein gefälligeres Ansehen.

Fig. 208.

Fig. 207.

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5. Die Sheddach-Binder werden meist nach den Systemen in Fig. 209 und 210 ausgeführt, der erste bis zu 5,0 m, der zweite bis zu 7,5 m Spannweite.

Die in Fig. 211 u. 212 dargestellten Systeme sind vom Yerf. wiederholt ausgeführt, wenn keine Säulenstellung im Fabrikgebäude angeordnet werden durfte.

Spannweite bis zu 20 m.

Der horizontale Pfetten-abstand bei allen diesen Bindern wird nicht über 3,0 m angeordnet, weil sonst die Sparren zu weit frei liegen (Fig. 198).

G. Die Pultdach - Binder werden meist nach dem belgischen oder englischen System angeordnet (Fig. 213 und 214).

7. Für Fabrikbauten ist vom Verfasser für Man-, sardendächer der in Figur 215 dargestellte Dachbinder öfter konstruiert worden.

Fig. 209.

Fig. 210.

Fig. 211.

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Fig. 212.

4. Kraftpläne der Dachbinder.

Von den meisten Satteldachbindern braucht, da sie symmetrisch zur Mitte angeordnet werden, und symmetrisch belastet sind, nur

für eine Dachhälfte der Kräfteplan angefertigt zu werden, da die entsprechenden Stäbe rechts und links gleiche Spannungen erhalten. Wir empfehlen dem An-

Fig. 213.

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Fig. 214.

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Fig. 215.

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fänger die nachstehend ausgeführten Kräftepläne unter Zugrundelegung eines grösseren Kräftemafsstabes zu zeichnen.

Deutscher Binder, ln Fig. 216 ist der Kräfteplan für einen deutschen Dachbinder gezeichnet. Die Spannweite beträgt 6 m, die Dachhöhe 2 m, demnach

s 6,U    1,5 ‘

Die Eindeckung ist Schiefer, mithin nach der Tabelle 5 auf Seite 78 die Last pro Quadratmeter Grundriss 277 kg. Die Binderentfernung sei 3,6 m, dann ist die Knotenlast nach Gleichung 40):

= rd. 1500 kg;

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Fig. 216.

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6,0

■}

’S

A = B = —tJ-i • P = 1,5 • 1500 kg.

LJ

die Auflagerdrücke werden nach Gleichung 42), da vier gleiche Felder vorhanden sind:

Die Ermittelung der Stabspannungen beginnt man damit, dass man zuerst die Kräfte Pi, P2, P3 zu dem Kräftezuge b-c-d-e aneinander fügt und die Auflagerdrücke A = a-b und B = e-a einträgt.

Zerlegt man jetzt    im Kräfteplan A    nach den Richtungen der Stäbe 1 und 3,

so    wird die Spannung    im Stabe 1 = b-f,    im Stabe 3 = f-a. Das Kräftedreieck

a-b-f-a ist geschlossen, die Pfeilrichtung geht von a über b und f nach a zurück. Bringt man die erhaltenen Pfeilrichtungen am Knotenpunkt A an, so ergibt sich, dass 1 Druckspannung, 2 Zugspannung ist.

Im Knotenpunkt 1    sind die Kräfte    1    und Pi bekannt, 2 und 4 unbekannt.

Da    die Kraft 1 für diesen Knotenpunkt    I    ebenfalls Druck ist, so muss der Pfeil

(Doppelpfeil) in den Knotenpunkt I zeigen. Setzt man die Kräfte in der Reihenfolge 1, Pi, 2, 4 zusammen, so erhält man das Polygon f-b-c-g-f, in welchem die Pfeile in der Richtung der vorstehenden Buchstaben folgen. Durch Anbringung der Pfeile am Knotenpunkt I findet man, dass beide Stäbe Druckspannung erhalten.

Geht man jetzt zum Knotenpunkt II, so sind die Kräfte 2 und P2 bekannt, 2' und 5 unbekannt. Der Pfeil von 2 (Doppelpfeil) zeigt in den Knotenpunkt. Die Reihenfolge der Kräfte ist 2, P2, 2', 5. Im Kräfteplan ergibt sich folglich das Polygon g-c-d-h-g. Verlegt man die Pfeile an den Knoten zurück, so folgt für Stab 2' Druckspannung, für Stab 5 Zugspannung.

Damit sind alle Stabspannungen bekannt. Im Kräfteplan sind auch die Polygone der übrigen Knotenpunkte gezeichnet. Man überzeugt sich, dass, wie der Binder symmetrisch zu seiner Mitte ist, auch der Kräfteplan symmetrisch zu einer durch den Punkt a gelegten horizontalen Linie ist.

Das Resultat der graphischen Spannungsermittelung trägt man zweckmässig in eine Tabelle ein, deren Anordnung nachstehend angegeben ist. Daselbst sind auch die Spannungen der Stäbe eingetragen.

Stab

Nr.

Spannungen in kg. Zug.

Druck.

6200 4200

5300

1700

3050

Englischer Binder. Fig. 217 zeigt den Kräfteplan für den englischen Binder.

Spannweite 12,0 m

h 3

Binderentfernung 4,0 m, Dachneigung — = Grundriss 272 kg nach Tabelle 5) auf Seite 78.

Anzahl der gleichen Felder 6, Eindeckung: Falzziegel,

=    ; die Belastung pro qm

Die Knotenlast daher nach Gleichung 40):

19 0

P = 272 • 4,0 ■    = rd 2200 kg,

mithin die Auflagerdrücke A und B nach Gleichung 42):

⁶^-P = -|-2200 k?- --ssv*

Schüler, Statik und Festigkeitslehre.

Im Kräfteplan werden zuerst die Kräfte Pi — P5 zu dem Kräftezuge b — g vereinigt und in die Auflagerdrücke A und B = -g-P zerlegt.

j'

KV

Slab

Spannungen in Hg.

fe,

Zugr.

DriccH.

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0,¥0

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8000

Fig. 217.

JT2600

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2700

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icm

- z 000 Hg-

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50-00

Im Knotenpunkt A beginnend findet man die Spannung der Stäbe 1 und 4 im Kräftedreieck a-b-h-a. Stab 1 erhält Druck-, Stab 4 Zugspannung.

Im Knotenpunkt I sind 1 und Pi bekannt, 2 und 6 unbekannt. Die Reihenfolge der Kräfte ist 1, Pi, 2, 6, entsprechend dem Polygone h-b-c-i-h. Stab 2 und 6 erhalten beide Druck.

Im Knoten II sind jetzt 4 und 6 bekannt, 8 und 5 unbekannt. Die Reihenfolge der Kräfte ist 4, 6, 8, 5, die sich zu dem geschlossenen Polygone a-h-i-k-a zusammen setzen lassen. Man findet für die Spannung des Stabes 5 die Grösse k-a, also Zugspannung; für Stab 4 war vorher die Grösse der Spannung = h-a gefunden. Die Spannungen der Stäbe 4 und 5 fallen also, da sie dieselbe Richtung haben und beide durch den Punkt a gehen, teilweise zusammen.

Knoten III. Bekannt sind die Kräfte 8, 2 und P2, unbekannt 3 und 7. Kraftfolge 8, 2-, P₂,3,7, entsprechend dem Polygon k-i-c-d-l-k. Man findet Spannung 3 = d-1, Druck und Spannung 7 = 1-k, Druck.

Knoten IV. Bekannt sind die Kräfte 3 und P₃ ; gesucht 3' und 9; Kraftfolge 3, P₃, 3'; 9; Kräftepolygon 1-d-e-m-l. Es ist 3' = e-m Druck, 9 = 1-m Zug.

Damit sind die Stabspannungen sämtlich bekannt. Vollendet man den Kräfteplan für die übrigen Knotenpunkte, so sieht man, dass derselbe symmetrisch zu einer durch den Anfangspunkt gelegten Horizontalen ist. Die Stabspannungen sind in der neben dem Binder befindlichen Tabelle übersichtlich zusammengestellt.

Stab

Spannungervm Hg.

<-Off'p

Zug.

Dä'tacK

±9-000

'i

±3 ±20

±2980

± 200

5920

Fig. 218.

6720

7060

A.= 25 r

2560

2560

v**

iO

00 SO

9/

(0

±cm — tôOOÏÏg

Belgischer Binder. (Fig. 218). Für den belgischen Binder wurde nur der halbe Kräfteplan gezeichnet. Stützweite 14,40 m, Binderentfernung 4,4 m, Dach-

höhe 3,8 m, somit

3.8

= rd 1:2; Eindeckung: Teerpappe, Last pro qm

14,4y₂

Grundriss nach Tabelle 5 = 188 kg, folglich die Knotenlast, da 6 gleiche Felder vorhanden sind:

14.4

P = 188 • 4,4 •

rd 2000 kg

und der Stützendruck :

⁶ 2^* P = 4-2000 kg.

Nachdem die Kräfte Pi — P3 aufgetragen und der Stützendruck A gezeichnet ist, zerlegt man diesen nach den Richtungen der Stäbe 1 und 4. Man findet Spannung 1 = b-e (Druck), 4 = e-a (Zug).

Knoten I. Bekannt die Kräfte 1 und Pi ; gesucht 2 und 7. Reihenfolge 1, Pi, 2, 7. Das Polygon e-b-c-f-e liefert Spannung; 2 = c-f (Druck), Spannung 7 = f-e (Druck).

Knoten II. Bekannt sind die Kräfte 4 und 7, unbekannt 9 und 5. Kraftfolge 4, 7, 9, 5. Aus dem Polygon a-e-f-g-a findet man Spannung 9 = f-g (Zug), Spannung 5 = g-a (Zug). Spannung 4 und 5 decken sich wieder zum Teil, weil sie gleiche Richtung haben und beide durch den Anfangspunkt a gehen.

Knoten III. Hier sind die Kräfte 9, 2, P2 bekannt, 3 und 8 zu bestimmen. Kraftfolge 9, 2, P2, 3, 8 entsprechend dem Polygon g-f-c-d-h-g. Es ist Spannung 3 = d-h (Druck) und Spannung 8 = h-g (Druck).

Knoten IV. Die Spannungen 5 und 8 sind bekannt, gesucht werden 10 und 6. Folge der Kräfte 5, 8, 10, 6, demnach das Kräftepolygon a-g-h-i-a, in welchem Spannung 10 = h-i (Zug) und Spannung 6 = i-a (Zug) ist.

Hiermit sind alle Stabspannungen bekannt. Sie sind in der neben Fig. 218 befindlichen Tabelle eingetragen.

In den Kräfteplänen Fig. 197, 216 bis 218 wurden die Druckspannungen durch starke, die Zugspannungen durch dünne Linien dargestellt.

Uebersichtlicher gestalten sich die Kräftepläne, wenn man, wie dies in der Praxis üblich ist, die Druckspannungen durch rote, die Zugspannungen durch blaue, die äusseren Kräfte durch starke schwarze Linien angibt. Die Pfeile lässt man im Kräfteplan dann fort, mit Ausnahme derjenigen der äusseren Kräfte.

Die Tafeln I bis III zeigen noch verschiedene Kräftepläne für den Polonceau-binder, einen Mansardendach- und einen Sheddachbinder, sowie mehrere Pult-dachbiuder.

Der einfache Polonceaubinder (Fig. 219 und 220 auf Tafel 1) hat eine Spannweite von 12,0 m, die Dachhöhe ist 4,0 m, demnach — =

4,0

= 1 : 1,5.

12,0/2

Die Binderentfernung ist zu 4,25 m angenommen, die Deckung besteht aus Pfannen auf Lattung. Nach Tabelle 5 ist die Last pro Quadratmeter Grundriss 283 kg. Hieraus berechnet sich die Knotenlast, da vier gleiche Felder vorhanden sind, zu:

19 0

283 • 4,25 • ==¥ = rd. 3600 kg.

Die Auflagerdrücke werden :

Der einfache Kräfteplan wurde angefertigt unter Zugrundelegung eines Kräftemafsstabes 1 cm = 2400 kg. Nimmt man die Knotenpunkte in der Reihenfolge A, I, II vor, so stösst man auf keine Schwierigkeiten.

Der doppelte Polonceaubinder (Fig. 221 und 222 auf Tafel I) besitzt eine

Die Dachhöhe beträgt 6,0 m, also — =

s

Spannweite von 24,0 m.

-6,0

= 1:2.

24,0/2

Die Eindeckung besteht aus doppelter Ziegellage, die Last pro Quadratmeter Grundriss demnach 283 kg. Da acht gleiche Felder vorhanden sind und die Binderentfernung zu 4,25 m angenommen wurde, berechnet sich die Knotenlast zu:

94 0

= rd. 3600 kg.

O

P = 283 - 4,25 ■

Die Auflagerdrücke A und B werden:

¹ - P - 3,5 - 3600 kg.

A= B =

Beginnt man beim Auflager A mit der Kräftezerlegung, so bieten sich für die Knotenpunkte I und II keine Schwierigkeiten, die Spannungen der Stäbe 1, 2, 5, 6, 8 und 11 lassen sich in der bekannten Weise ermitteln.^Am Knoten 111 und IV treten jetzt aber drei unbekannte Spannungen auf, so dass sich für diese Knotenpunkte ohne weiteres keine Kräftepläne aufzeichnen lassen. Mau kann nun aber die Spannung S im Stabe 7 auf folgende Weise ermitteln. Denkt man sich durch den First und den Stab 7 einen Schnitt gelegt und im Stabe 7 seine Spannung S angebracht, so muss das Moment der auf der linken ßinderhälfte wirkenden Kräfte für jeden beliebigen Drehpunkt = 0 sein. Wählt man den Firstpunkt F als Drehpunkt, so ist nach den Bezeichnungen in Fig. 22l:

M = A-4a —P(3a+2a + a)-S-h = 0, woraus, da A = 3,5P ist, sich ergibt:

Jh - 8 P • a = S • h.

Hierfür kann man schreiben:

2 P • 4 a = S • h, oder es verhält sich :

4a

2 P h '

Dieser Ausdruck lässt sich aber leicht konstruieren. Verlängert man nämlich den Stab 7 bis    zum    Schnitt    mit    der Auflagervertikalen im Punkte C und

verbindet C mit F,    so entsteht    das    Dreieck CDF, in welchem CD = 4a und

DF = h ist. Trägt    mau    von D    aus    auf DF die Kraft 2P in dem gewählten

Kräftemafsstabe auf    und    zieht durch    den Endpunkt eine Parallele zu FC, so

wird auf DC die gesuchte Spannung abgeschnitten. Das Ziehen der Parallelen kann aber auch im Kräfteplan direkt geschehen. Durch a ziehe man die Horizontale, mache a-b = 2P und ziehe durch b die Parallele b-c, dann ist a-c die gesuchte Spannung im Stabe 7.

Die Spannung im Stabe 7 ist aber Zugspannung; denn im Kräftedreieck a-b-c-a müssen die Pfeile im Sinne der Kraft 2P = a-b folgen, so dass im Stabe 7 der Pfeil von c nach a weist. Bringt man am Knoten IV den Pfeil an, so weist er aus dem Knoten, so dass also Stab 7 Zugspannung hat^>

Im Knotenpunkt IV sind jetzt die Kräfte 7 und 6 bekannt, 9 und 13 unbekannt. Setzt man die Kräfte in der Reihenfolge 7, 6,9, 13 zusammen, so erhält man im Kräftepolygon c-a-e-f-c die Spannung 9 = e-f als Druck, die Spannung 13 = f-c als Zug.

Im Knotenpunkt III sind jetzt nur die Spannungen der Stäbe 3 und 12 unbekannt. Die Kraftfolge ist 9, 11, 2, P₂, 3, 12 entsprechend dem Polygon f-e-g-h-i-k-f. Spannung 3 wird Druck, 12 Zug.

Der Kräfteplan kann jetzt leicht vollendet werden.

Die Spannungen von 5 und 6 decken sich wieder teilweise im Kräfteplan, Kraft 5 = d-a, Kraft 6 = e-a. Ebenso kommen die Spannungen der Stäbe 13 und 14 zur teilweisen Ueberdeckung. Man findet Spannung 13 = f-c, 14 = b-c.

Ist der Kräfteplan richtig gezeichnet, so muss die Spannung des Stabes 10 = k-1 in die Verlängerung der Spannung 8 = d-g fallen.

Unter Berücksichtigung des Kräftemafsstabes 1 cm = 2400 kg ergeben sich aus dem Kräfteplan die in nachstehender Tabelle enthaltenen Spannungen.

4320

10

2160

Slieddachbinder. Bei dem Sheddachbinder in Fig. 223 und 224 auf Tafel II wurden für die Anfertigung des Kräfteplanes folgende Annahmen gemacht. Binderentfernung e = 5,0 m, Dachneigung 1:1,5, Eindeckung: Teerpappe. Der Einfachheit wegen wurde für die Glasfläche und die Dachfläche dasselbe Gewicht und zwar 217 kg/qm nach Tabelle 5 angenommen.

Nach den in Fig. 223 eingeschriebenen Mafsen werden dann die Knotenpunktslasten :

1,3 + 1,85

P 1 ⁼⁼ P 5 =5,0-

Stab

Spannungen in kg

Stab

Spannungen in kg

Stab

Spannungen in kg

No.

Zug

Druck

No.

Zug

Druck

No.

Zug

Druck

21600

19300

11

2760

20650

16700

12

2760

19300

10300

13

6950

18200

2160

14

9500

• 217 = rd. 1700 kg

P₂ = P₆ = 5,0 • 1,85 • 217 = rd. 2000 kg 1,85 + 0,76

Pa = 5,0.

. 217 = rd. 1400 kg

0,76+1,30

• 217 = rd. 1100 kg.

P₄ = 5,0 •

Nach Gleichung 20) erhält man für den Auflagerdruck A :

1700 • 9,46 + 2000 • 7,61 + 1400 • 5,76 + 1100 • 5,0 + 1700. 3,70 + 2000 • 1,85 ~    10,76

= 5098 kg,

demnach für:

B = 2 • 1700 + 2 • 2000 + 1400 + 1100 - 5098 = 4802 kg.

Ebensogut hätte man mit Hilfe des Seilpolygones die Auflagerdrücke ermitteln können.

Nachdem man die Kräfte Pi bis Pr, zu einem Kräftezuge aneinandergetragen und die Auflagerdrücke A und B angegeben hat, beginne man mit der Kräftezerlegung beim Auflager A. Man findet, dass die Stabspannung 1 gleich dem Lagerdrucke A, die Stabspannung 2 gleich Null ist. Dies wird noch deutlicher, wenn man die Stäbe 1 und 2 beseitigt und das Auflager im Knotenpunkt I anordnet. Die Stäbe 1 und 2 gehören gewissermafsen zum Lager A und nicht zum Bindersystem. Für den Stab 1 ist daher die Last Po zu berücksichtigen, wie dies bei der Berechnung des Lagers A ebenfalls geschehen muss, also Stabspannung 1 = A + Po.

Geht man jetzt zum Knotenpunkt I und zerlegt den Auflagerdruck A = 5098 kg nach den Richtungen der Stäbe 6 und 3, so stösst man auf keine

T₃ = 3600 Kff.

Fig. 219 und 220.

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= 1,25 m.

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Doppeldach

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Fig. 221 u. 222.

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weiteren Schwierigkeiten. In Stab 13 ist die Spannung 0, er ist ein überflüssiger Stab; die Stabspannung 10 = Stabspannung 14.

Denkt man sich nämlich Knotenpunkt z herausgeschnitten (Fig. 224 a auf Tafel II), so müssen die in diesem Punkte wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sein; der Kräftezug muss also geschlossen sein. Trägt man daher die Kraft 10= a-b auf, so muss man zum Punkte a zurück. Dies ist nur möglich, wenn Spannung 13 = Null wird. Spannung 14 ist dann = b-a, also entgegengesetzt der Kraft 10.

Beim Knotenpunkt y ergibt sich, dass Stab 26 ebenfalls die Spannung Null hat. Für die Stäbe 26 und 29 gilt dasselbe, was von den Stäben 1 und 2 gesagt wurde; dies ergibt sich sofort, wenn man das Lager im Punkte x angebracht denkt.

Für den Stab 29 ist die Last P₇ noch zu berücksichtigen, so dass die Stabspannung 29 = B -p P₇ ist.

Mansardendachbinder. Für die Anfertigung des Kräfteplanes des in Fig. 225 bis 227 auf Tafel III dargestellten Binders wurde vorausgesetzt, dass eine lotrechte Belastung nur durch den flacher liegenden, mit Teerpappe gedeckten Teil des Daches erfolgt. Die steile Dachfläche wurde als Glaswand gedacht, deren Gewicht direkt vom Lager aufgenommen wird. Dagegen wurden die auf die Glaswand wirkenden Winddrücke berücksichtigt und hierfür die Stabspannungen besonders bestimmt, wovon später noch die Rede sein wird.

Die Last des Daches wurde zu rd 150 kg/qm Grundriss, die Binderentfernung 4,0 m angenommen. Nach den in Fig. 225 eingeschriebenen Mafsen wird daun die Knotenlast:

P = 150-4,0.2,0 = 1200 kg;

auf die äusseren Knotenpunkte kommen davon die Hälfte, also Pi = Ps = 600 kg. Die Auflagerdrücke werden;

9.6

A = 600 • 8,0 + 1200 (6,0 + 4,0 + 2,0) + 600-0 = mo kg

und :

B = 4 -1200 — 2000 = 2800 kg.

Am Lager A beginnend, findet man die Spannungen der Stäbe (Fig. 226) ohne auf Schwierigkeiten zu stossen. Die Stäbe 14, 15, 16 sind spannungslos. Ebenso herrscht im Stabe 13 keine Spannung, während Stab 25 den Auflagerdruck B aufnimmt.

Pultdachbinder. Die Anfertigung der Kräftepläne für Pultdachbinder beginnt man, nachdem die äusseren Kräfte aneinandergereiht sind, am besten am freien Ende. Um das Kippen des Trägers zu verhindern, ist am Knotenpunkte x (Fig. 228, 229, 230 und 231 auf Tafel II und III) eine Verankerung mit der Mauer notwendig. Die Richtung des Ankers ist willkürlich, wird jedoch zweck-mäfsig horizontal genommen. Das Auflager B muss dann aber zur Aufnahme auch von horizontalen Kräften geeignet sein, da die Spannung des Ankers Hi durch die gleich grosse, aber entgegengesetzte Kraft H2 aufgehoben werden muss, nach der Bedingung JSH = 0. Der vertikale Auflagerdruck B ist gleich ISP, nach der Bedingung 2 V = 0. Die Spannung Hi wird Zug, H2 Druck, sie überdecken sich im Kräfteplane.

Der Binder (Fig. 228 und 229) ist mit Wellblech gedeckt, die Neigung des Daches rd. 1:6, die Belastung wurde zu 153 kg/qm Grundriss angenommen; die Pfettenentfernung beträgt 0,75 m, die Binderentfernung 3,2 m, demnach die Knotenlast:

P = 153 • 3,2 ■ 0,75 = 367 kg. Dafür 375 kg.

In den äusseren Knotenpunkten wirkt die Hälfte davon. Der Auflagerdruck B wird:

B = 4-375 = 1500 kg.

Die Bestimmung der Spannungen in den Stäben mit Ausnahme der Spannung des Stabes 12 bietet zu keinen besonderen Bemerkungen Veranlassung.

Am Knoten x sind die Kräfte 4 und 15 von den vorhergehenden Knotenpunkten aus bekannt. Die äussere Kraft ist ebenfalls bekannt. Unbekannt sind die Ankerspannung Hi und die Spanuung des Stabes 12. Spannung 4 ist Zug, 15 Druck. Bildet man den Kräftezug in der Reihenfolge 15, 4, P₅, Hi, 12, so erhält man das Polygon e-f-g-h-i-e, in welchem 12 = i-e Druck, Hi = h-i Zug ist.

Am Auflager B sind jetzt alle Kräfte bis auf ID bekannt. Durch Aneinanderreihung der Kräfte in der Folge B, 8, 12, H2 findet man II2 = i-h, also Druck.

Die Spannungen der Stäbe 5, 6, 7, 8 überdecken sich. Es ist 5 = a-b, 6 = a-c, 7 = a-d, 8 = a-e.

Das Vorhallendach (Fig. 230) ist mit Glas abgedeckt, die Neigung ist 1:5, die Binderentfernung 3,0 m, der Pfettenabstand 0,6 m, die Last pro qm 145 kg, demnach die Knotenlast:

P = 145 ■ 3,0 • 0,6 = 260 kg.

Der vertikale Auflagerdruck ist

B = 4 • 260 = 1040 kg.

Man beginne mit dem Kräfteplan am freien Ende. Am Knoten x angelangt, sind die Spannungen Hi und 10 unbekannt. Das Polygon der Kräfte 4, P/2, Hi, 10, nämlich g-h-b-i-g liefert Hi = b-i (Zug) und 10 = i-g (Druck).

Am Knoten B sind alle Kräfte bis auf H2 bekannt. Setzt man die Kräfte in der Reihenfolge B, 7, 13, 10, H₂ aneinander, so erhält man das Polygon b-a -e-g-i-b, in welchem H₂ = i-b, also Druck ist. Der Grösse nach ist H₂ = Hi.

Die Spannungen der Kräfte 5, 6, 7 überdecken sich wieder teilweise. Man findet 5 = a-c, 6 = a-d, 7 = a-e.

Zusammenfassung. Aus den besprochenen Kräfteplänen folgt:

1.    Bei den Satteldachbindern e rh al te n d i e Stä b e des Obergurtes immer Druck-, die Stäbe des Untergurtes immer Zugspannungen, die Wandglieder Zug- oder Druckspannungen, j e nach ihrer Anordnung.

2.    Bei den Pultdachbindern ist der Obergurt stets gezogen, der Untergurt stets gedrückt.

5. Holzbinder.

Die Holzbinder sind in den wenigsten Fällen als statisch bestimmte Binder ausgebildet. Erstens bilden die Verbindungsstellen der Hölzer keine gelenk-\ artigen Knotenpunkte; zweitens sind die Auflagerbedingungen nicht erfüllt, weil

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nie ein festes und ein bewegliches Lager angeordnet wird. Ausserdem werden \ die im Gebäude befindlichen Mittelmauern stets zur Unterstützung des Daches herangezogen. Der Untergurt (Binderbalken) bildet daher einen Träger auf drei und mehr Stützen (Fig. 232 bis 241 auf Tafel IV), der durch Einzellasten auf Biegung beansprucht wird, aber keine Stabspannungen erhält. Endlich fehlen häufig Stäbe, welche zur Bildung unverschieblicher Dreiecke notwendig sind und die geometrische Bestimmtheit des Daches gewährleisten.

Die auf Tafel IV dargestellten

Binder mit stehendem Stuhl

sind dem ersten, von Direktor Professor Opderbecke verfassten Bande dieses Handbuches, „Der Zimmermann“, Seite 92 ff., entnommen, den wir den Lesern wegen seiner überaus klaren Anordnung und Besprechung der Konstruktionen bestens empfehlen können.

Die durch die Pfetten übertagenen Lasten P in Fig. 232 und 233 werden von den Stielen s direkt auf den Binderbalken übertragen. Die Zangen z sind spannungslos.

Ist im First keine Pfette angeordnet (Fig. 234, 238, 239), so zerlegt sich in jedem Sparrenpaar die aus einem Sparrenfelde herrührende Last P in die Sparrendrücke di und d2 (Fig. 235). Der untere Teil der Sparren ist ohne Spannung, da die schiefen Drücke als Einzellasten auf die Pfette wirken (Fig. 236). Die Pfette ist in diesem Falle demnach ein Träger, der durch schiefe Einzellasten belastet ist. Liegen zwischen den Bindern n Sparren paare, so werden (n p l)*d. solcher schief gerichteten Sparrendrücke im Knotenpunkte I aufgenommen. Hier wirken demnach die Kräfte Pi, (n + 1) • d, z und s. Die ersten beiden sind bekannt, zu bestimmen sind z und s. Der untere Teil Si des zum Binder gehörenden Sparrens ist gleichfalls ohne Spannung infolge seiner Auflagerung auf die Pfette (Fig. 237).

Macht man im Kräfteplane f-b = (n + 1) • d„ so ergibt sich für die im Knoten I wirkenden Kräfte das Polygon f-b-c-e-f, in welchem f-e die Spannung des Stieles s, c-e diejenige der Zange z ist. Die Streben und die unteren Zangen in Fig. 238 und 239 sind ohne Spannung.

Das in Fig. 242 auf Tafel IV dargestellte Fachwerk heisst „einfaches Hängewerk“, wenn die Last am Untergurt angreift; einfaches Spreugewerk“, wenn die Last am Obergurt wirkt (Fig. 245 auf folgender Seite); „einfaches Hänge- und Sprenge werk“, wenn sowohl am Knoten I als am Knoten II Lasten aufgenommen werden (Fig. 247). Die Auflagerdrücke werden einander gleich, wenn das Fachwerk symmetrisch ist. Die Anfertigung der Kräftepläne geschieht genau in derselben Weise wie bei eisernen Bindern.

Für das einfache Hängewerk ist in Fig 242a auf Tafel IV der Krafte-/\ plan gezeichnet. Man zerlege den Auflagerdruck A = b-c nach den Richtungen der Stäbe 1 und 2. Man findet Spannung 1 = c-d, 2 = d-b. Am First zerlegt sich die Spannung 1 nach den Richtungen 4 und 3. Man erhält Spannung 4 = c-e, 3 = e-d. Am mittleren Knoten des Untergurtes ist nur die Spannung 5 unbekannt. Reiht man die Kräfte-in der Folge 2,3,5, P aneinander, so ergibt das Kräfteviereck b-d-e-a-b die Kraft 5 = e-a. Am Lager B sind alle Kräfte bekannt. Den Kräften 4, 5, B entspricht das Dreieck c-e-a-c.

Fig. 246 zeigt den Kräfteplan für das einfache Sprenge werk (Fig. 245). Der Stab 3 ist spanaungslos.

Bei den in Fig. 240 und 241 auf Tafel IV dargestellten Bindern bildet der obere Teil ein für sieb bestehendes Sprengewerk, dessen Auflager mit dem Knotenpunkt I zusammenfallen. Die Stabspannungen des Sprengewerkes können nach der vorigen Aufgabe bestimmt werden.

Im Knotenpunkt I wirkt also die Last P₂ +dem Auflagerdruck

Fig. 245.

Fig. 246.

Lp

y_

Pi

des Sprengewerkes.

Diese Kraft wird von dem Stiele s in Fig. 240 bezw. s₂ in Fig. 241 auf den Binderbalken übertragen. Die Sparren sind spannungslos, sie bilden Träger auf zwei oder mehreren Stützen mit ungleichhohen Auflagern. Ebenso sind die Streben sti und st₂ sowie die Zangen zi und z₂ in Fig. 241 ohne Spannung.

Fig. 243 auf Tafel IV zeigt das doppelte Hängewerk. Der Kräfteplan Fig. 244 wird in folgender Weise erhalten. Die Auflagerdrücke A und B sind einander gleich, da Pi = P₂ vorausgesetzt wird. Man beginne mit dem Auflagerdruck A und zerlege ihn nach den Richtungen 1 und 2. Im Knoten I lassen sich die Kräfte 4 und 3 durch das Kräftedreieck c-b-d-c bestimmen; es ist b-d = 4, d-c = 3. Die unbekannte Spannung 5 am Knoten II liefert jetzt das Kräfteviereck a-c-d-b-a. Man findet 5 = d-b, der Grösse nach gleich 4, aber als Zugspannung. Damit sind alle Spannungen bekannt. Durch Zusammensetzen der Kräfte an den Knoten 111, IV und B kann man den Kräfteplan vervollständigen.

Auch bei dem kombinierten Hänge- und Sprengewerk Fig. 247 stösst man auf keine Schwierigkeiten, wenn man den Kräfteplan schematisch anfertigt.

Pi + Pa

Die Auflagerdrücke A und B sind =

Zerlegt man A nach denRichtungen von 1 und 2 (Figur 248), so sind am Knotenpunkt I die Spannungen 4 und 3 unbekannt. Das Kräfteviereck c-b-d-e-c liefert d-e = 4 (Druck), e-c = 3 (Zug). Im Knoten II ist jetzt nur

5 unbekannt. Das Kräfteviereck a-c-e-f-a liefert diese Spannung = e-f (Zug). Damit sind alle Spannungen bestimmt.

Fig. 247.

Fig. 248.

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Fig. 232.

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a Fig. 234. Fig. 235.

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Fig. 233.

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Fig. 242.

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Fig. 244.

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Bei den

Bindern mit liegendem Stuhl

auf Tafel V hat man es mit Spreugewerken zu tun, deren Stabspannungen nach den bekannten Regeln ermittelt werden können.

Für den einfachen liegenden Stuhl in Fig. 249 ist in Fig. 250 der Kräfteplan gezeichnet. Der Binderbalken b erhält die Zugspannung f-e.

Für den oberen Teil des Binders in Fig. 251 gilt das, was für die Binder in Fig. 234, 238 und 239 auf Tafel IV gesagt wurde.

Im Knotenpunkte 1 sind demnach die Kräfte Pi, (n-f-l)-di, z und s im Gleichgewicht. Das Kräfteviereck a-b-c-d e (Fig. 252) liefert als Zangenspannung z — c-d, als Druck der Stuhlsäule s = d-a.

P₂

Der Auflagerdruck A des Binders in Fig. 253 ist A = Pi +    .

Zerlegt man A in Fig. 254 nach den Richtungen der Stäbe 1 und 2, so ist 1 = b-c (Druck), 2 = c-a (Zug). Im Knoten I sind unbekannt die Kräfte 3 und 4. Das Polygon c-b-d-e-c liefert für 3 die Spanuuug d-e (Druck), für 4 die Zugspannung e-a.

Der obere Teil des Binders in Fig. 255 ist ein Sprengewerk, dessen Stabspannungen wie bei Fig. 240 und 241 bestimmt werden können. Das Sprengewerk

P    Pi

gibt seinen Auflagerdruck ^-im Knotenpunkt I ab, so dass hier die Kraft P2 +

im Gleichgewicht ist mit den Kräften d2 und si.

p

Durch Zerlegung von P₂ + -~- (Fig. 255 und 256) nach den Richtungen von

u

d₂ und si ergibt sich d₂ = c-a, Si = b-c ; beide sind Druck.

Im Punkte A zerlegt sich d₂ in den Auflagerdruck A = c-d und die Zugspannung des Binderbalkens h = d-a. Im Punkte B zerlegt sich B in den Vertikaldruck B = e-c und die Zugspannung hi = b-e. Es ist lu = h, wie es das Gleichgewicht verlangt.

Die Sparren in Fig. 253 und 255 erhalten keine Spannung.

Die Binder mit hängendem Stuhl.

Fig. 257 und 258 auf Tafel Y sind kombinierte Hänge- und Sprengewerke. Der einfachste Fall in Fig. 257 ist bereits durch Fig. 247 a. v. Seite erledigt.

Der Binder in Fig. 258 ist infolge der Lasten Pi, P₂, P₃ als Sprengewerk, durch die Last P4 als Hängewerk aufzufassen. Der Kräfteplan ist in Fig. 259 konstruiert. Die Auflagerdrücke werden, da Pi = P3 angenommen wird:

A = B = ¹/₂ (Pi -p P₂ -f* P3 4~ P4).

Macht man a-b = A und zerlegt A nach den Richtungen von 1 und 2, so findet man b-c = 1 (Druck), c-a = 2 (Zug). Am Knoten I sind 5 und 3 unbekannt. Aus dem Kräfteviereck c-b-f-g-c folgt 5 = f-g (Druck), 3 = g-c (Druck). Am Knoten II sind 4 und 8 unbekannt. Das Kräftepolygon a-c-d-e-a liefert 4 = c-d (Zug), 8 = d-e = Spannung 2 (Zug). Am Knoten III sind 6 und 7 unbekannt. Aus dem Kräftezuge d-c-g-h-d ergibt sich 6 = g-h (Zug) = Spannung 4, 7 = h-d (Druck) = Spannung 3.

Im First wirken die Kräfte 6, 5, P₂ und 9, die sich zu dem Viereck h-g -f-i-h vereinigen. Die Kräfte 7, 9, P₃, 10 am Knoten V schliessen sich zu

dem Kräfteviereck d-h-i-k-d und am Auflager B sind die Kräfte 8, 10 und B im Gleichgewicht, da sie sich zu dem Dreieck e-d-k-e zusammenfügen. Die Sparren gehören nicht zum Bindersystem. Sie erhalten daher keine Spannung.

0. Windedruck.

Die vorstehenden Kräftepläne sind gezeichnet worden unter der Annahme lotrechter Lasten. Genauere Resultate erhält man, wenn man für die Binder Kräftepläne anfertigt, bei welchen der Einfluss der lotrechten Lasten und der Belastung durch Wind gesondert bestimmt ist.

Die lotrechte Belastung setzt sich dann zusammen aus den in Tabelle 1 und 2 Seite 74 angegebenen Werten für Eigengewicht und Schnee; der senkrecht zu einer Dachfläche wirkende Wiuddruck ist der Tabelle 3 zu entnehmen. Namentlicli bei steileren Dächern wird sich diese Berechnung empfehlen, da die einseitige Belastung durch Wind einen um so grösseren Einfluss auf die Stabspannungen haben wird, je grösser der Neigungswinkel des Daches ist.

Die Spannungen der Stäbe sind verschieden, je nachdem der Wind von der Seite des beweglichen oder von der Seite des festen Lagers kommt. Für beide Fälle sind daher die Kräftepläne zu zeichnen.

Auflagerdrücke. Die Bestimmung der Auflagerdrücke kann nach Kapitel 111 d Seite 67 ff. leicht erfolgen.

Die Grösse des auf eine Dachfläche wirkenden Winddruckes ist gegeben durch die Länge R der schrägen Dachfläche, der Binderentfernung e und dem

Fig. 260.

Drucke wo pro qm geneigter Fläche. Ist W der in der Mitte der Dachfläche an-

IA

greifende ganze Winddruck (Fig. 260), so folgt:

W — wo • R • e kg.

Die auf einemmittleren Knotenpunkt fallende Belastung W ergibt sich hieraus, wenn n die Anzahl der Felder ist, zu:

44)

45)

Der Fuss- und Firstpunkt erhalten hiervon die Hälfte.

I Der Winddruck muss mit den Auflagerdrücken A und B im Gleichgewicht sein, sich mit diesen Kräften also in einem Punkte schneiden. (Satz 10).

Wirkt der Wind auf der Seite des beweglichen Lagers (Fig. 261), so bringe man die Richtungen von A und %[) zum Schnitt in S, der Stützenwiderstand B hat dann die Richtung B S. Die Grössen von A und B ergeben sich jetzt leicht durch Zerlegung von W nach den Richtungen von A und B (Fig. 262).

Tn derselben Weise verfahre man, wenn der Wind auf der Seite des festen Lagers wirkt. Man bringe die Richtungen von W und A zum Schnitt in Si (Fig. 263), dann hat der Stützendruck B die Richtung Si B. Durch Zerlegung von W nach den Richtungen von A und B (Fig. 264) erhält man dann ihre Grösse.

Die Ermittelung der Stabspannungen erfolgt nun in der bekannten Weise, indem man beim Auflager A beginnend die Kräftezüge für die einzelnen Knotenpunkte zeichnet.

Fig. 249.

Fig. 250.

Fig. 251.

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Fig. 259.

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Das Verfahren möge an dem auf Tafel VI gezeichneten lieispieUgezeigt werden. Der belgische Binder besitzt eine Stützweite von 13,2 m, die Binderentfernuug beträgt 5,0 m, die Dachhöhe 4,4 m, die Dachneigung ist demnach=

4,4

13,2/a

= 1:1,5; die Eindeckung besteht aus Pfannen auf

Fig. 263.

Fig. 261.

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Fig. 262.

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Fig. 264.

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Lattung, das Eigengewicht beträgt nach Tabelle 1: 130 kg/qm Grundriss, der Schneedruck nach Tabelle 2: 65 kg/qm Grundriss. Die Anzahl der Trägerfelder ist 10, mithin die Knotenpunktlast:

(130 + 65) • 13,2 • 5,0 ¹ “ 10 Die Auflagerdrücke werden

A = B =

= rd 1300 kg.

10—1

. 1300 =    1300 kg.

In Fig. 270 auf Taf. VI ist der Kräfteplan für diese lotrechte Belastung gezeichnet, zu welchem eine weitere Erläuterung nicht erforderlich ist.

Die Länge des Obergurtes ist 7,93 m, nach Tabelle 3 wird der Winddruck pro qm schräger Dachfläche 4w = 60 kg, mithin die Knotenlast (nach Gleichung 45):

W = 60-5,0-

7 43

—— = 476 kg, dafür rd 500 kg, da in einer Binderhälfte 5 gleiche Trägerfelder sind.

Der First und Fusspunkt erhalten je 250 kg Winddruck.

In Fig. 266 ist der Kräfteplan für den Winddruck auf der Seite des beweglichen Lagers gezeichnet.

Zuerst werden die in den Knotenpunkten wirkenden Winddrücke in Fig. 266 zu dem Kräftezuge a-g aneinandergereiht, sodann in Fig. 265 der Schnittpunkt S von A und 2 W mit dem Auflager B verbunden. In Fig. 266 wird jetzt 2 W nach den Richtungen der Auflagerdrücke A und B zerlegt, wodurch man A = h-a, B = g-h erhält.

Am Auflager B ist der Auflagerdruck B im Gleichgewicht mit den Spannungen V und 6'. Sie vereinigen sich zu dem Kräftedreieck h-r-g-h.

Fig. 268 zeigt den Kräfteplan für den Winddruck auf der Seite des festen Lagers. Nachdem die Winddrücke aneinandergereiht sind zu dem Kräftezuge a-g Fig. 268, wird in Fig. 267 die Richtung des Auflagerdruckes B festgestellt, indem man 2 W zum Schnitt mit der Richtung des Auflagerdruckes A bringt und den Schnittpunkt Si mit B verbindet. Zerlegt man nun in Fig. 268 2 W nach den Richtungen von A und B, so findet man Auflagerdruck A = h-a, B = g-h.

Im Knotenpunkt A wirken die Kräfte A,

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1, 6, wovon 1 und 6 unbe

kannt sind. Der Kräftezug h-a-b-i-h ergibt für 1 die Spannung b-i (Druck), für 6 die Zugspannung i-h.

Die weitere Zerlegung geht aus nachstehender Zusammenstellung hervor. Die Druckspannungen sind durch das Zeichen „—die Zugspannungen durch hervorgehoben.

Knotenpunkt unbekannte Kräfte Kräftepolygon Gefundene Spannungen

i-b-c-k-i h-i-k-l-h 1-k-c-d-m-l h-l-m-n-h n-m-d-e-o-n h-n-o-p-h p-o-e-f-q-p q-f-g-r-q h-p-q-r-h

In den folgenden Knotenpunkten der rechten Binderhälfte findet man, dass die Spannung sämtlicher Wandglieder gleich Null, die Gurtspannung 5' = 4' = 3' == 2' = 1' und ferner 9' = 8' = T — 6' ist.

2, 10

VI

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First

VIII

5,    13 5', 17

13', 9'

2    = c-k — ;    10 = k-i —

14= k-1 -f;    7 = 1-h +

3    = d-m—; ll=m-l —

15    = m-n -f- ;    8 = n-h -f-

4    = e-o — ;    12 = o-n —

16    = o-p +;    9 = p-h —[-

5    = f-q —;    13 = q-p —

5'=g-r — ; 17 = r-q —J-

13'= Null; 9'= r-h —

Am Knotenpunkt A ist der Auflagerdruck A im Gleichgewicht mit den Stabkräften 1 und 6. Aus dem Kräftepolygon h-a-i-h folgt Spannung 1 = a-i (Druck), 6 = i-h (Zug).

Zu den folgenden Knotenpunkten übergehend findet man, dass die Spannung der Wandglieder der linken Binderhälfte = Null sind. Die Gurtspannung 1 ist = 2 = 3 = 4 = 5 und ebenso die Gurtspannung 6 = 7 = 8 = 9.

Im First sind jetzt die Kräfte 5' und 17 unbekannt. Das Kräftepolygon

i-a-b-k-i ergibt für 5' die Druckspannung b-k, für 17 die Zugspannung k-i. Am Knotenpunkt VIII wirken die Kräfte 9, 13 (=Null), 17, 13', 9'; davon sind 13' und 9' unbekannt. Man findet sie aus dem Kräftepolygon h-i-k-l-h, nämlich 13' = k-1 (Druck), 9' = 1-h (Zug).

Die weitere Anfertigung des Kräfteplanes bietet nun keine Schwierigkeiten mehr.

Aus der vorstehenden Untersuchung folgt noch der Satz:

Bei Satteldachbindern sind bei linksseitigem Winde die Wand-Iglieder der rechten Binderhälfte, bei rechtsseitigem Winde die -Wandglieder der linken Binderhälfte spannungslos.

In der nachstehenden Tabelle sind die Zahlenresultate eingetragen. Aus den Spannungen der lotrechten Belastung und der Windbelastung ist die ungünstigste Spannung eines jeden Stabes zu ermitteln. Hierbei ist zu beachten, dass sich gleichartige Spannungen, also Druck und Druck und ebenso Zug und Zug, addieren, ungleichartige Spannungen dagegen tilgen.

Die Aufstellung der Tabelle erleichtert späterhin wesentlich die Bestimmung der Stabquerschnitte, der Vernietung und daher die Konstruktion des Binders.

Zusammenstellung der Spannungen.

Stab

Spannungen in kg

aus

Eigengewicht u. Schnee Nr. . Zug

Druck

Wind links Zug Druck

Wind rechts Zug Druck

Grösste Spannung in kg

Zug

Druck

Obergurt

15600

14700

12500

10500

8400

8400

10500

12500

14700

15600

3125

3125

2500

1825

1100

5200

1300

1300

1300

1300

2200

2200

2200

2200

2200

2050

2750

3450

4000

4000

18725

17825

17000

12700

10600

13600

13250

15950

18700

19600

Untergurt

13300

11800

10200

2600

1900

8700

8700

10200

11800

13300

1875

1175

425

1900

1900

1900

300 2650 300 3250 300 4050 300 4700

15900

13700

12100

10600

11350

13450

15850

18000

Vertikalen

Diagonalen

ohimwmnhö TjHioccc-cbib^t¹

H t-H t—I rH tH •*—< t-H r-H t—I H t—I t-H t-H H H

1200

1600

2000

2700

2700

2000

1600

1200

1500

1700

2000

8400

2000

1700

500

750

1000

1250

1250

1000

750

500

650

875

1050

1100

2150

2575

3050

2150 10550 1050 3050 875 2575 650 2150

1700

2350

3000

3950

3950

3000

2350

1700

Auf Tafel III ist noch der Kräfteplan für den Mansardenbinder in Fig. 227 konstruiert worden. Die auf die steilere Dachfläche wirkenden Winddrücke berechnen sich wie folgt.

Der Winkel «, den die Glasfläche mit der Horizontalebene bildet, berechnet sich aus der Gleichung:

3,5

tg « J ß

= 2,1875

zu:

« = 65° 30'.

Demnach ist :

(« + 10°) = 75° 30' sin (« + 10°) = sin 75° 30' = 0,968

und da nach Gleichung 43) der Winddruck mo pro qm schräger Dachfläche

4io = 125 • sin² (a + 10°)

ist, so ergibt sich:

-w = 125-0,968² = 117 kg, wofür rd 120 kg gesetzt wurden.

Die Binderentfernung beträgt 4,0 m, die Feldlänge 1,45 m bezw. 1,0 m folglich die Knotenlast durch Wind:

1.45

Am Knotenpunkt A : Wi = 4,0 • —    • 120 = rd 350 kg

I: W₂ = 4,0 • 1,45 • 120 = rd 700 kg 1,45 + 1,0

II: W.3 = 4,0-

------------120 = rd 600 kg

1,0

III : Wr4 = 4,0 • -=f- • 120 = rd 250 kg.

Der sehr geringe Winddruck auf die obere flache Dachebene wurde ver

nachlässigt.

Das Lager A ist als festes Lager gedacht. Die Resultierende 2 W wirkt in der Mitte der vorderen Dachfläche. Bringt man 2 W zum Schnitt mit der Auflagervertikalen durch B im Punkte S, und verbindet S mit A, so ist die Richtung des Lagerdruckes A bekannt.

Im Kräfteplan (Fig. 227) werden jetzt die Winddrüeke aneinandergereiht, wobei 1 cm = 500 kg gesetzt wurde und die Resultierende nach den Richtungen von A und B zerlegt, wodurch sich A = c-a, B = b-c ergibt.

Im Knotenpunkt A anfaugend wurde jetzt der Kräfteplan begonnen, wodurch sich die Spannungen sämtlicher Stäbe ergaben.

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Fig. 268.

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Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

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Zweiter Teil.

Festigkeitslehre.

I. Einleitung.

a) Formänderung und Spannung.

Unter Festigkeit versteht man allgemein den Widerstand, den ein Körper den auf ihn wirkenden Kräften (Belastungen) entgegensetzt. Dieser Widerstand wird von den zwischen den kleinsten Körperteilchen wirkenden Kohäsionskräften geleistet. Sobald auf einen Körper äussere Kräfte einwirken, erleiden seine kleinsten Teilchen eine Verschiebung ihrer gegenseitigen Lage, sie werden entweder einander genähert oder voneinander entfernt.

Mit der Aenderung der Lage ist eine entsprechende Formänderung des ganzen Körpers verbunden.

Um dies an einem bestimmten Beispiel zu erläutern, mögen in der Achse eines Stabes von 1 cm Länge und f qcm Querschnitt zwei gleich grosse Kräfte P entgegengesetzt wirken (Fig. 271). Unter dem Einfluss dieser Kräfte wird der Stab offenbar eine « doppelte Formänderung erfahren und zwar:

1.    eine Verlängerung um li — 1 = X cm und

2.    eine Zusammenziehung des Querschnittes.

Die letzte Formänderung ist aber bedeutend kleiner als die erste und für die nachfolgende ohne Belang

völlig ausser acht gelassen werden soll.

Denken wir nun irgend einen Schnitt a-b senkrecht zur Stabachse gelegt, Fig. 272, so werden in der Schnittfläche Kräfte tätig sein, welche sich gleich-

S chöler, Statik und Festigkeitslehre.

Betrachtung weshalb sie

Fig. 272.

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Fig. 271.

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mäfsig darüber verteilen. Diese inneren Kräfte nennt man Spannungen, und da sie normal zum Quer schnitt wirk en, Norm al-sp annung en.

Die Summe der auf einen Querschnitt wirkenden Normalspannungen muss gleich der Kraft P sein und ihre Resultierende in die Richtungslinie von P fallen, weil sonst kein Gleichgewicht vorhanden ist.

Um die Spannungen verschieden belasteter Stäbe miteinander vergleichen zu können, ist es notwendig, die auf die Flächeneinheit (qcm) der Stäbe kommende Spannung, die sogenannte spezifische Spannung, zu ermitteln.

Für das obige Beispiel ergibt sich für die auf die Flächeneinheit wirkende Spannung a der Wert:

46)

b) Dehnung, Dehnungskoeffizient, Elastizitätsmodul.

Infolge der Belastung P hatte sich der Stab um R-l = X cm verlängert. Diese Längenänderung ist abhängig von der Grösse der Kraft P und der Länge des Stabes 1. Um auch hier wieder einen Vergleich ziehen zu können zwischen den Verlängerungen, welche Stäbe von verschiedener Länge bei verschiedenen Belastungen erfahren, ist es erforderlich, die Verlängerung zu bestimmen, die die Stäbe für die Längeneinheit (also für 1 cm) erleiden. Bezeichnet man diese Verlängerung mit s, so folgt ohne weiteres:

li-l

47)

Diese verhältnismäfsige (spezifische) Längenänderung wird Dehnung genannt. Unter Dehnung versteht man demnach die auf die Längeneinheit bezogene Längenänderung.

Die Dehnung s wurde hervorgebracht durch die spezifische Spannung a. Die spezifische Spannung 1 kg erzeugt daher eine Dehnung, die a mal so klein ist. Bezeichnet man diese mit a, so erhält man für a die Beziehung:

48)

1 a

Diese Zahl a, welche angibt, um welche Strecke ein Stab von der Längeneinheit sich ausdehnt bei einer Belastung von 1 kg auf die Flächeneinheit, heisst Dehnungskoöffizient.

Der reziproke Wert dieser Zahl wird Elastizitätsmodul genannt.

Es ist demnach :

49)

oder:

50)

ms| rÿ

H H-

spez. Spannung

Dehnung

Man kann also sagen :

Elastizitätsmodul ist diejenige Zahl

welche man erhält, wenn man die spezifische Spannung durch die Dehnung dividiert.

Aus Gleichung 49) folgt noch:

50 a)

s = -T-

E’

c) Proportionalitätsgrenze, Grenzkraft, Festigkeit.

Die Bedeutung dieser Begriffe soll an einem Zerreissversucb, der mit einem Eisenstab von nebenstehenden Abmessungen vorgenommen wurde, erläutert werden (Fig. 278).

Der iStab wurde in eine Zerreissmaschine gespannt und Fig. 273. von 0 kg anfangend allmählich bis zum Zerreissen belastet. Mit der Maschine war ein Apparat verbunden, der in jedem Augenblick die der jeweiligen Belastung entsprechende Verlängerung aufzeichnete. Hierdurch wurde das in Fig. 274 dargestellte Schaubild gewonnen. Die Schaulinie AB CD weist in ihrem Verlauf drei besondere Punkte B C D auf.

Zwischen A und B ist die Linie gerade. Bei gleicher Zunahme der Kraft hat sich der Stab also immer gleichviel verlängert. Nach Fig. 274 sind die Verlängerungen demnach bis zur Belastung von 9100 kg proportional der aufgewandten Kraft.

Dies ist aber nicht mehr der Fall, nachdem der Stab mit mehr als 9100 kg gezogen wurde. Die Verlängerungen wachsen schneller als die Belastungszunahmen, so dass vom Punkte B an die Schaulinie eine krumme Linie wird.

Man nennt den Punkt B, bis zu welchem die Verlängerungen proportional den entsprechenden Belastungen waren, die Proportionalitätsgrenze.

Aberauchsonstist diese Grenze bedeutungsvoll für die Festigkeit des Materials. Würde mau den Versuch

Fig. 274.

0,02Ht    ;______

A

*000

ooov

rooo

°4-

f-j. eyom

TTTTITF

innerhalb der Proportionalitätsgrenze unterbrechen, so würde der Stab genau seine frühere Form wieder annehmen.

Belastet man dagegen den Stab über die Proportionalitätsgrenze hinaus und unterbricht alsdann den Versuch, so kehren die einzelnen Körperteilchen nicht in ihre frühere Lage zurück, der Stab behält die durch die äussere Belastung verursachte Formänderung. Die El astizität des Materials, d. h. die Eigenschaft desselben, nach Aufhören der Einwirkung der äusseren Kräfte seine ursprüngliche Form wieder anzunehmen, ist überwunden, weshalb man die Proportionalitätsgrenze auch als Elastizitätsgrenze bezeichnet.

Der Querschnitt des Stabes beträgt nach Fig. 273:

f = 4,0 • 0,8 = 3,2 qcm.

Die Gesamtbelastung an der Proportionalitätsgrenze beträgt in unserem Beispiele 9100 kg, die spezifische Belastung also :

9100

3 2 -rd 2850 kg.

7*

Diese Spannung hat man die Grenzkraft oder theoretische Tragfähigkeit genannt.

Die Grenzkraft ist somit die spezifische Spannung an der Proportionalitätsgrenze.

Bei fortgesetzter Steigerung der Belastung tritt schliesslich ein Zerreissen des Stabes ein. Unsere Schaulinie zeigt, dass die Belastung im Punkt C ihren Höhepunkt erreichte, von hier an bis zum Punkt D jedoch wieder abnahm, wo das Zerreissen des Stabes erfolgte.

Die grösste zur Aufhebung des Zusammenhangs des Stabes erforderlich gewesene Kraft A Ci heisst die Bruchbelastung, die dieser Belastung entsprechende spezifische Spannung die Festigkeit des Materials. Diese ist somit, wenn man sie mit K bezeichnet:

51)

Bruchbelastung P Stabquerschnitt— f

max

Unter Festigkeit versteht man demnach die spezifische Spannung an der Bruchgrenze.

Für den vorliegenden Yersuchstab ergibt sich für die Zugfestigkeit

12200

g g = rd 3800 kg/qcm.

Wie die Schaulinie zeigt, beträgt die Verlängerung an der Elastizitätsgrenze 0,028 cm. Die Länge des Stabes ist 20 cm, mithin die Dehnung:

X 0,028

S = -r-

20

= 0,0014 cm.

Nach Gleichung 49) erhält man daher für den Elastizitätsmodul: a 2850 K “ s “ 0,0014

Dasselbe Resultat erhält man natürlich aus Gleichung 50), nämlich : _ P 1    9100    20

^ “ f * X “ 3,2 ‘0,028

= rd 2036000 kg.

= rd 2036000 kg.

Würde man an einer beliebigen anderen Stelle innerhalb der Elastizitätsgrenze die spezifische Spannung durch die Dehnung dividieren, so würde sich ebenfalls dieselbe Zahl ergeben. So beträgt z. B. bei der Belastung von 6000 kg die

6000

Verlängerung X = 0,0184 cm, mithin a = -gg- und s = chung 49 und 50:

0,0184- gom|£ Qiej_

20

6000 20 3,2 ‘0,0184

Würde man den Probestab Druckkräften ausgesetzt haben, so würde man zu demselben Resultat gekommen sein, nur dass die Dehnungen jetzt negativ, d. h. Verkürzungen, Stauchungen sind. Die Gleichung

= rd 2036000 kg.

to i tu

gilt daher sowohl für Zug- wie für Druckspannungen.

Für Eisen und Holz ist der Elastizitätsmodul bis zur Elastizitätsgrenze konstant. Trägt man auf einer senkrechten Linie von einem beliebigen Punkte a

d) Zulässige Beanspruchung, Sicherheitskoeffizient.

Es ist von vornherein klar, dass man in der Praxis die Baumaterialien nicht bis zur Bruchbelastung, ja nicht einmal bis zur Proportionalitätsgrenze beanspruchen darf. Man wird vielmehr immer so konstruieren müssen, dass die verschiedenen Bauteile ihre Belastungen mit mehrfacher Sicherheit zu tragen vermögen. Man wird um so mehr dazu gezwungen sein, als man nicht in der Lage ist, den Einfluss aller zufälligen Belastungen, von heftigen Stössen, Erschütterungen und etwaigen Fehlern des Materials zu berücksichtigen.

Das praktische Tragvermögen (Tragfähigkeit) ist daher nur ein Bruchteil der wirklichen Bruchbelastung.

Aus demselben Grunde ist die entsprechende innere spezifische Spannung, welche das Material erleidet, ebenfalls nur ein Bruchteil seiner wirklichen Festigkeit.

So beträgt z. B. für Holz die höchste zulässige Spannung Vio, für Schmiedeeisen x/₄ und für Gusseisen ¹/₈ der tatsächlichen Festigkeit. Die Grenze, bis zu der man die verschiedenen Materialien pro qcm anstrengen darf, heisst die zulässige Beanspruchung.

Bezeichnet man dieselbe mit k, so muss nach Gleichung 51) stets sein :

51a)

i rrrrr X max

k>“f—>

darf höchstens gleich sein der zulässigen Beanspruchung.

d. h.

aus die Zug- und Druckspannungen auf und rechtwinklig zu diesen die Dehnungen bezw. Stauchungen s als Ordinaten, so liegen die Endpunkte der Dehnungen und Stauchungen je auf einer Geraden (Fig. 275).

DaE =— konstant ist, so liegen, wenn man in jedem f

Spannungspunkte den Elastizitätsmodul aufträgt, die Endpunkte auf einer Geraden d e, welche parallel zu b c ist. Die Fläche bced, welche man die E-Fläche nennt, ist daher für Eisen ^ und Holz ein Rechteck.

Der Elastizitätsmodul ist ein Mafs für die innere Güte a des Materials.

Für andere Materialien, für Steine und insbesondere I Beton treffen diese einfachen Beziehungen nicht zu. Im Ë.

Kapitel IX über die Betoneisenkonstruktionen wird davon noch die Rede sein.

Fig. 275.§

2000

1500

1QOO

500

§1-500

1000

1500

2000

b jE

Grösste Belastung Stabquerschnitt

Den Nenner des Bruches Vio, l/₄, ^g, also diejenige Zahl, welche angibt, mit dem wievielten Teil seiner Festigkeit man ein Material in der Praxis beanspruchen darf, hat man den Sicherheitskoëffizienten genannt.

e) Festigkeitsarten.

Je nach der Einwirkung der äusseren Kräfte und der dadurch bedingten Formänderung unterscheidet man folgende Festigkeitsarten.

Fig. 276. Y//////////////A

Fig. 277.

Fig. 278.

1. Zugfestigkeit.

Die Kraft P wirkt in der Achse des Stabes und bewirkt eine Verlängerung derselben (Fig. 276).

2. Druckfestigkeit.

Die Kraft P wirkt in der Achse des Stabes und bewirkt eine Verkürzung derselben. Die Länge des Stabes ist aber im Vergleich zu seinem Querschnitt so gering, dass nur ein Zerdrücken möglich ist (Fig. 277).

Fig. 279.

11

I i!

Fig. 281.

8. Schubfestigkeit.

Die Kräfte bewirken ein Hinwegschieben eines Querschnittes über den anderen (Fig. 278 und 279).

4. Diegungsfestigkcit.

Die Kräfte wirken senkrecht zur Stabachse und verursachen eine Durchbiegung des Stabes (Fig. 280).

V///////////

Fig. 280.

5. Knickfestigkeit.

Die Kraft P wirkt in der Achse des Stabes, dessen Länge grösser ist als etwa 5 Durchmesser bezw. ]Zf, wenn man mit f die Grösse des Querschnittes bezeichnet (Fig. 281).

f=

=f

Fig. 282.

(c

6. Drehungsfestigkeit.

Die Kraft sucht den Körper um seine Längsachse zu verdrehen (Fig. 282).

Die Verdrehungs- oder Torsionsfestigkeit kommt im Hochbau kaum vor. s*Deswegen wird von deren Besprechung in diesem Bande abgesehen.

7. Zusammengesetzte Festigkeit.

Der Körper wird gleichzeitig durch mehrere der vorgenannten Festigkeiten beansprucht.

f) Zulässige Beanspruchung.

Hinsichtlich der Zug-, Druck- und Schubfestigkeit zeigen die verschiedenen Materialien ein verschiedenes Verhalten. Die Festigkeitszahlen sind durch praktische Versuche für die wichtigsten Baumaterialien ermittelt. In der nachstehenden Tabelle sind diese Zahlen mitgeteilt, jedoch nur als Mittelwerte aufzufassen.

M aterial

Schweisseisen . Flusseisen .    .

Tabelle der Festigkeitszahlen

Zulässige Beanspruchung in kg pro qcm

Zug I Druck Schub Zug Druck Schub

Festigkeit in kg pro qcm

Elastizitätsmodul in kg pro qcm

3700

3700

4000

4000

O Q

o o

SO

TO SO

900    900    600    2000000

900— 900- 600— 2000000 1000 1000 800

Flussstahl ......

Gusseisen......

Buchenholz......

Eichenholz......

Kiefernholz......

Basalt.......

Granit.......

Sandstein......

Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel, gewöhnlich .    .

Gutes Ziegelmauerwerk in

Zement......

Bestes Ziegelmauerwerk in

Zement......

Guter Baugrund ....

Beton, je nach der Mischung und der Güte der verwendeten Materialien .

Die zulässige Beanspruchung wird von der Baupolizei in den verschiedenen Städten festgesetzt. Mit den in den Baupolizeiordnungen angegebenen Werten sind die statischen Berechnungen durchzuführen. In dem vorliegenden Bande werden jedoch den Berechnungen die in vorstehender Tabelle enthaltenen Werte zugrunde gelegt.

6000

1800

600

1000

900

O oq

CO T—I

tH

10-30

6000

6000

350

600

400

1500

1000

600

70

100

140

4000

1000

so

so

60

lii)

20

0,7 5

4,o

100-

450 20—36

O IO

1500

500

100 80 100 80 100 60

1000 2200000 200 1000000 10 120000 10 120000 10 110000

0,7

75

45

15-30

1 10

1,4

14

2,5

0,07 5

0,4

140000— 20-45 2—4,5    300000

II. Zugfestigkeit.

Es bedeute:

P die ziehende Kraft in kg, f die Grösse des Querschnittes in qcm,

1 die Länge des Stabes in cm,

X die Verlängerung des Stabes in cm, k die zulässige Beanspruchung gegen Zug in kg, E den Elastizitätsmodul, dann ist nach Gleichung 51a):

52 y

oder:

Mj

oder:

s*r

Sind von diesen Grössen zwei gegeben, so lässt sich die dritte mit Hilfe von einer dieser Gleichungen berechnen. Will man ausserdem die Verlängerung kennen, so hat man nach Gleichung 50) :

IQ

ffo

>■*

In dieser Gleichung ist P in kg, f in qcm, 1 in cm einzusetzen, um À in cm zu erhalten.

Die zweite der Gleichungen 52) ist wohl diejenige, welche am meisten in der Praxis benutzt wird. Denn die Belastung eines Stabes ist in der Regel bekannt und man sucht nun den Querschnitt, der den Anforderungen der Festigkeit genügt. Man nennt den aus Gleichung 52) berechneten Querschnitt den erforderlichen Querschnitt, im Gegensatz zu demjenigen, den man zur Ausführung wählt, welcher der gewählte oder vorhandene Que r schnitt genannt wird. Ist der Stab an irgend einer Stelle geschwächt, wie z. B. durch Niet- oder Schraubenlöcher, oder bei Holzverbindungen durch Zapfenlöcher, Versatzungen und dergl., so muss selbstverständlich der an der schwächsten Stelle wirklich vorhandene Querschnitt, der sogenannte nutzbare Querschnitt gleich dem aus Gleichung 52) ermittelten, erforderlichen Querschnitt sein.

Aufgabe I. Die Hängesäule eines Hängewerkes erhält eine Belastung von 11000 kg. Welche Abmessungen muss der Querschnitt erhalten, wenn die zu lässige Zuganstrengung des Holzes k = 100 kg/qcm beträgt? (Fig. 283).

Nach Gleichung 52) ist:

„ P 11000

Fig. 283.

Fig. 284.

2,0

Inooo Tty

2rO

= 110 qcm.

*⁼ T

Ein quadratischer Pfosten von 15 cm Kantenlänge besitzt nach Fig. 284 einen • nutzbaren Querschnitt von f = (15,0 - 4,0) • 11,0 = 121 qcm.

_*1'0

100

15,0

j.

und ist also ausreichend.

Aufgabe 2. Ein schmiedeeiserner Anker von 3,6 m Länge besitzt eine Spannung von 6300 kg. Welchen Durchmesser erhält die Rundstange und wie gross ist die Verlängerung, die sie erfährt? Die zulässige Inanspruchnahme des Eisens sei 900 kg/qcm.

Es ist:

6300

900

7,0 qcm.

Diesem Querschnitt entspricht ein Rundeisen von 3,0 cm Durchmesser mit f = 7,07 qcm. Nach Gleichung 53) hat man für die Verlängerung:

x-Z.i

f E'

Da für Schmiedeeisen E = 2000000 ist, so folgt:

360

— 0,16 cm = 1,6 mm.

,    6300

~ 7,07 '2000000

Aufgabe 3. Der 1,76 m lange Stab 6' des auf Tafel VI untersuchten Dachbinders erhält nacli der Tabelle auf Seite 93 eine Zugspannung von 18000 kg.

Er soll entweder aus zwei Flacheisen oder zwei Winkeleisen hergestellt werden; welche Abmessungen erhalten diese, wenn die Befestigung durch Niete von 2,3 cm Durchmesser bewirkt wird und wie gross ist die Verlängerung, die der Stab erleidet? Es ist:

18000

900

= 20,0 qcm.

Fig. 286.

Ti i |    xg s qcm

lf,J JÊ.

L Sfb</a

Fig. 285.

Wählt man nach Fig. 285 2 Flacheisen 125/10, so ist der nutzbare Querschnitt f = 2 • (12,5 — 2,3) • 1,0 = 20,4 qcm, also ausreichend.

Wählt man dagegen nach Fig. 286 zwei Winkeleisen 80/80/8, deren Querschnitt nach Tabelle 4 im Anhang 2 12,3 = 24,6 qcm ist, so beträgt der nutzbare Querschnitt f =. 2 • 12,3 — 2 • 2,3 • 0,8 = 20,92 qcm, ist also ebenfalls hinreichend.

Die eintretende Verlängerung beträgt bei den Flacheisen, da die Stablänge 1,76 m = 176 cm beträgt:

18000    176

20,4    2000000

= 0,078 cm = 0,78 mm

und für die Winkeleisen:

} _ 18000    176

“ 20,9~ *2000000

= 0,076 cm = 0,76 mm.

IIL Druckfestigkeit.

Ist k die zulässige Beanspruchung gegen Druck, so stehen für die Berechnung auf Druck beanspruchter Körper dieselben Gleichungen 52) und 53) zur Verfügung, k bedeutet jetzt aber die zulässige Beanspruchung gegen Druck, X die eintretende Verkürzung.

Aufgabe 1. Ein T-Eisen N. P. 36 überträgt auf eine Mauer einen Druck von 8400 kg. Wie gross ist die Lagerplatte zu machen, wenn diese auf einem Unterlagsstein liegt, der mit 20 kg/qcm gedrückt werden darf, und wie gross ist die Grundfläche des Steines zu machen, wenn die zulässige Belastung des Mauerwerks 7 kg/qcm beträgt?

Fig. 287.

Die Grösse der Unterlagsplatte muss

= 420 qcm werden.

Der Flansch des T-Eisens 36 ist rd 14 cm breit. (Siehe Tabelle 2 im Anhang). Lässt man die Platte zu beiden Seiten rd 3,5 cm überstehen (Fig. 287), so wird die Platte 21 cm breit und ihre Länge ist

ATP3f>

420

21

20 cm.

Man wird die Platte zweckmässig quadratisch machen. Die Fläche des Auflagersteins muss mindestens sein

= 1200 qcm = rd 35 • 35 qcm,

wofür man das Steinmafs 38 • 38 wählen wird.

Die Dicke des Auflagersteines macht man rd gleich ³U bis ⁴/5 der grössten Längenabmessung.

Im vorliegenden Falle wäre dies, da der Stein quadratisch ist, ⁴/s • 38 = rd 30 cm, wofür man in Uebereinstimmung mit der Schichtenhöhe 32 cm anordnen wird.

Aufgabe 2. Eine Säule aus Gusseisen überträgt eine Last von 65000 kg auf einen in Zement gemauerten Pfeiler.

Fi*. 288.

f.o

Es ist zu untersuchen, ob der kreisringförmige Querschnitt der Säule (Fig. 288) genügt. Wie gross muss der Durchmesser der kreisförmigen Lagerplatte werden, wie gross der Auflagerstein, wie gross die T Seite des quadratischen Pfeilers und wie gross endlich die Fun-£o,o damentsohle?

7] V

Für Gusseisen ist k = 500 kg/qcm, daher muss der Querschnitt der Säule mindestens

Fig. 288 a.

65000

500

= 130 qcm sein.

JL\

0,58-'

0,76

Der vorhandene Querschnitt beträgt nach Fig. 288: f - (20,0² - 15,0²) ~ = 137 qcm.

= 2616 qcm

Das Gewicht der Säule möge 400 kg betragen. Die Grösse fi der Fussplatte ergibt sich aus der Gleichung, wenn der Auflagerstein mit 25 kg/qcm gedrückt werden darf: 65000 + 400

25

- fo. i

-5Ä?

entsprechend einem Durchmesser von 58 cm.

Die Lagerfläche des Auflagersteines muss sein, wenn der zulässige Druck auf das Zementmauerwerk 12 kg pro Quadratzentimeter beträgt und das Gewicht des Steines zu 700 kg angenommen wird:

65400 + 700

f-2 =

12

— 5508 qcm

was eine Kantenlänge ai :

ai = [^5508 = 75 cm ergibt.

Dafür wird man 78 cm in Uebereinstimmung mit dem Steinmafs nehmen. Die Dicke des Steines ist % • 78 = rd 64 cm.

Das Gewicht des Mauerpfeilers berechnet sich nach Fig. 288a, da 1 cbm 1600 wiegt, zu:

[2,4 -0,78² + 0,4(1,03² + 1,29² -f 1,55² + 1,82²)] • 1600 = rd 7700 kg.

Der Baugrund nimmt daher insgesamt eine Last von 65400 -f 700 -f 7700 = 73800 kg auf. Die zulässige Beanspruchung des Baugrundes beträgt 2,5 kg/qcm, mithin muss die Bodenfläche des Pfeilers

fs =

— 29520 qcm werden.

Dies ergibt für die Seite a2 des Quadrates

a₂ = 1^29520 = 1,72 m.

In Uebereinstimmung mit dem nächsten Steinmafs wird man 1,82 m zur Ausführung wählen.

IV. Schubfestigkeit.

Der Fall der Inanspruchnahme auf Schub ist immer dann vorhanden, wenn die äusseren Kräfte ein Hinwegschieben des einen Stabquerschnittes über den anderen erstreben.

Wie bei der Beanspruchuog auf Zug und Druck sich die Spannung gleich-mäfsig über den ganzen Querschnitt verteilt, so kann man auch hier voraussetzeu, dass sich die Schubspannung gleichmäfsig über den ganzen Querschnitt verteilt (Fig. 279).

Die Gleichungen 52) behalten demnach auch hier ihre Gültigkeit unter der Annahme, dass k die zulässige Beanspruchung gegen Schub und f die Grösse der abzuscherenden Fläche bedeutet.

Die Schubfestigkeit ist für die meisten Metalle und Hölzer durch Versuche ermittelt worden. Man hat dabei zugleich gefunden, dass bei den Metallen die Schubfestigkeit etwa ⁴/s der Zugfestigkeit und bei Hölzern in der Richtung der Fasern etwa ^io derselben beträgt.

Es ist also:

54)

P    P

4, f =4 undP-k f. f ’    k

Die Schubfestigkeit kommt im Hochbau namentlich bei Niet- und Bolzenverbindungen, bei Versatzungen und dergl. Konstruktionen in Betracht.

Fig. 290.

Wegen ihrer Wichtigkeit sollen diese Verbindungen noch einer näheren Unter- *■ suchung unterzogen werden.

JL

Fig. 291.

Aufgabe 3. Eine gusseiserne Säule von 4,0 m Länge bat den in Fig. 289 dargestellten Querschnitt. Welche Last darf sie gegen Druck aufnehmen und wie gross ist alsdann die Verkürzung, die sie erfährt?

Der vorhandene Querschnitt ist

j (28,0² - 24,0²) = 1(33 qcm,

demnach die gegen Druck zulässige Belastung P = 163 • 500 = 81500 kg.

Die eintretende Verkürzung ist, da der Elastizitätsmodul E = 1000000 beträgt, nach Gleichung 53):

P 1    81500    400

A “ f *E "" 163 '1000000

Fig. 289.

\TTTT

HE

= 0,2 cm = 2 mm.

ZĄO

Z8f0

Eine Niet- und Bolzenverbindung ist einschnittig, wenn nur ein Querschnitt auf Abscheren beansprucht wird, zweischnittig, wenn zwei Querschnitte auf Abscheren beansprucht werden (Fig. 290 und 291).

Unter der Tragfähigkeit eines einschnittigen Nietes versteht man die Kraft, welche der Niet praktisch zu übertragen vermag.

Berechnung gegen Abscheren. Bezeichnet man die Tragfähigkeit eines einschnittigen Nietes oder Bolzens gegen Abscheren mit N, seinen Durchmesser mit d (cm), so ist, da die zulässige Inanspruchnahme des Eisens 600 kg

d2 ff

pro Quadratzentimeter und der Querschnitt des Nietes —qcm beträgt :

55)

d² n

• 600 kg.

Sind n einschuittige Niete zur Uebertragung der Kraft P erforderlich. so muss offenbar sein:

n-N = P

woraus sich ergibt:

56)

N d² TT,

— .000

Bei zweischnittigen Nieten oder Bolzen ist die Tragfähigkeit N gegen Abscheren doppelt so gross, also:

d² n

2 • —t— • 600 kg.

57)

Zur Uebertragung einer Kraft P sind somit:

58)

¹¹ N ₀d²/r A 4

•600

werden am besten einer Kreistabelle ent-

Aï —

Niete erforderlich. Die Werte —-r—

4

nommen.

Die so berechneten Verbindungen werden den Anforderungen der Festigkeit gegen Abscheren der Nieten völlig genügen. Aber sie können noch auf zwei anderen Wegen zerstört werden und zwar:

1.    dadurch, dass das vor und zwischen den Nietschäften sitzende Material der Stäbe längs der Flächen ab, cd, b f und d g durch Abscheren herausgerissen wird (Fig. 292), und

2.    dadurch, dass die durch den Nietschaft im Lochmantel hervorgerufene Pressung zu gross wird (Fig. 293).

Fig. 292.

AA-⁵A f

Fig. 293.

!•

iCC Z>5-5<1

Die erste Möglichkeit der Zerstörung umgeht man dadurch, dass man mit dem letzten Niet 2 Durchmesser vom Blechrande bleibt, in der Kraftrichtung gemesseu und 1,5 d vom Rande rechtwinklig dazu, während man die Entfernung der Nieten unter sich zwischen 2,5—5 d anordnet. Diese Mafse sind durch praktische Rücksichten geboten und man soll nie von ihnen abweichen. Den Durchmesser der Nieten wählt man zweckmässig zwischen 16 und 26 mm.

Berechnung gegen Lochwanddruck. Bei jeder Niet- oder Bolzenverbinduug werden zwischen dem Umfange des Schaftes und der Lochwandung Pressungen auftreten. Uebersteigen diese eine gewisse Grösse, so wird das Material des Bleches hinter dem Nietschaft zerdrückt und seitlich herausgequetscht werden. Man nennt diese auf die Lochwandung wirkenden Pressungen den Lochwand-dr uck.

Dieser ist aber nicht gleichmässig über die Zylindermantelfläche verteilt, sondern wie aus Fig. 294 ersichtlich, ist er am grössten im Scheitel, von wo aus er seitlich bis zu Null abnimmt. Durch viele Versuche hat man festgestellt, dass der mittlere Druck 1200 bis höchstens 1400 kg für jedes Quadratzentimeter des Rechteckes aus Durchmesser d und Blechdicke b erreichen darf, wenn keine schädlichen Quetschungen ein- ? treten sollen.

Man denkt also den runden Bolzen durch einen quadratischen ersetzt, dann werden die Pressungen in der Lochwand an allen Stellen gleich gross sein (Fig. 294).

Als mittlerer zulässiger Wert für den Lochwanddruck sollen für unsere Rechnungen stets 1200 kg pro qcm eingeführt werden.

Die Grösse des Rechteckes aus Durchmesser d und Blechdicke S ist d • b mithin ergibt sich für die Tragfähigkeit Nt eines Nietes gegen Lochwanddruck:

Nt = dS-1200.

Fig. 294.

fl

Pij \ lim

+p

59)

Die Zahl m der zur Uebertragung einer Kraft P erforderlichen Nieten ist somit zu berechnen aus :

nt • Nt = P,

woraus sich :

60)

lll =

Nt 1200 d è

ergibt. Sind die Bleche verschieden stark, so bezeichnet b die Stärke des dünneren Bleches.

man

Bei zweischnittigen Nietverbindungen ist die Stärke des mittleren Bleches stets kleiner als die Stärke der äusseren Bleche zusammen genommen (Fig. 291). Die Gleichungen 59) und 60) behalten daher auch hier ihre Gültigkeit, wenn unter b die Stärke des mittleren Bleches versteht.

Ergibt die Berechnung einer Nietverbindung gegen Abscheren und Lochwanddruck verschiedene Werte für die Anzahl der erforderlichen Anschlussniete, so ist selbstverständlich die grössere Zahl bei der Konstruktion zu verwenden.

Am festesten werden die Verbindungen, wenn die Blechstärken so bestimmt werden, dass die Verbindungen gegen Abscheren und gegen Lochwanddruck gleiche Festigkeit besitzen. Dies ist aber der Fall, wenn bei zweischnittigen Nietver-.1 2 ₇

bindungen 2 •    600 = d § • 1200 wird, wobei b die Stärke des mittleren Bleches

bedeutet. Hieraus folgt für b :

d ix

61)

= 0,785 d. 4    ’

lio

Sonach ergeben sich für die gangbarsten Nietsorten vom

d = 16,

Durchmesser

20, 23, 26 mm

für 5 die Werte 5 = 12,5, 16, 18, 20 mm.

Näheres über die Berechnung und Anordnung der Nietverbindungen findet man in des Verfassers Werk „Die Eisenkonstruktionen“, welche den IX. Band dieses Handbuches ausmachen. Nur so viel sei hier noch erwähnt, dass man die einschuittigen Nietverbindungen nur als Notbehelf anordnen soll. Die zweischnittigen verdienen aus mancherlei Gründen den Vorzug. Alle Niet- und Schrauben Verbindungen sind sowohl auf Abscheren als auf Lochwand druck zu berechnen.

Aufgabe 1. Die in Aufgabe 1 auf Seite 104 auf Zug berechnete Säule eines Hängewerks erhielt 11000 kg Belastung. Welche Abmessungen erhält das zum Anschluss erforderliche Flacheisen, wie viel Bolzen von 2,3 cm Durchmesser sind

zum Anschluss erforderlich, wie weit müssen die Bolzen auseinander stehen bezw. muss der unterste vom Ende abbleiben? (Fig. 295).

Der erforderliche Querschnitt des Flacheisens beträgt

Fig. 295.

er

er

A—®

ec

£ ----- 3

Fig. 296.

2,3

Fl.

11000

900

= 12,22 qcm.

Wählt man ein Flacheisen ⁸⁵/io, so ist mit Rücksicht auf die Verschwächung durch Schraubenlöcher, da das Flacheisen zweiseitig angebracht wird, der nutzbare Querschnitt

f = 2 • (8,5 — 2,3) • 1,0 = 12,4 qcm. (Fig. 296).

Die Bolzenverbindung kann dadurch zerstört werden, dass 1. die Bolzen längs der Säule abscheren, 2. das unter und zwischen den Bolzen befindliche Holz herausschlitzt.

Die Bolzen sind zweischnittig, ihr Durchmesser beträgt 2,3 cm. Nach Gleichung 58) ist daher gegen Abscheren die zum Anschluss erforderliche Anzahl von Bolzen:

11000

11000

²4

• 600

•600

4990

= 3 Stück.

Gegen Lochwanddruck im Flacheisen sind nach Gleichung 60)

2 Stück

Ui =

11000

d • b • 1200

Fig. 297.

2,3-1,0-2-1200

erforderlich. Da gegen Abscheren eine grössere Zahl notwendig ist, muss diese angeordnet werden.

.r

Jeder Bolzen überträgt somit    = 3667 kg.

w-Hf    •    ⁰

I ;    #    Bezeichnet man den Abstand der Bolzen voneinander und vom

fr Ende mit x, so muss, damit das Holz nicht herausschlitzt unter der

VL

*■ Annahme, dass gegen Abscheren das Holz mit 10 kg/qcm angestrengt werden darf, die Bedingung erfüllt sein (Fig. 297 und 284):

2 • 15,0 • x • 10 = 3667 kg, woraus:

= 12.2 cm.

3667

2 • 15,0 • 10 wofür man vielleicht 15 cm wählen wird.

Fig. 298.

Aufgabe 2. Wie lang muss das am oberen Ende der Hängesäule über der Yersatzung stehen bleibende Ende der Säule mindestens werden, damit kein Abscheren des Holzes längs den Flächen a—a und b—b eintritt (Fig. 298).

Jede der Scherflächen nimmt

11000

= 5500 kg auf, mithin muss sein man ihre Länge mit y bezeichnet;

wenn

ü_r

15,0 ■ y ■ 10 = 5500,

also :

5500

150

= 36,3 cm.

Aufgabe 3. Wie viel doppeltschnittige Nieten von 2,3 cm sind zum Anschluss des in Aufgabe 3 auf Seite 104 berechneten Zugstabes erforderlich (Fig. 299). Gegen Abscheren sind nach Gleichung 58):

18000

= 4 Niete erforderlich.

d²n

Z~T~

Wählt man die Dicke des Knotenbleches 15mm, so sind gegen Loch-wandd ruck:

•600

2,3² n

•600

18000

1200 • d • à ~ 1200 • 2,3 • 1,5

Hätte man das Knotenblech in Uebereinstimmuog mit Gleichung 61) für die 23 er Niete das Knotenblech 18 mm stark genommen, so würden ' gegen Lochwanddruck

18000

Û1 “ 1200-2,3.1,8

notwendig sein, so dass gegen Abscheren und Lochwanddruck die gleiche Zahl zum Anschluss erforderlich ist.

In diesem Falle würde die Verbindung am festesten und billigsten sein.

Aufgabe 4. Ein T-Eisen N. P. 26 überträgt auf einen Unterzug T-Eisen 36 eine Last von 5400 kg. Der Anschluss soll durch Niete von 16 mm Durchmesser und Winkel 70/70 9 erfolgen. Wie viel Niete sind zum Anschluss erforderlich? (Fig. 300).

= 5 Niete notwendig.

Fig. 299.

o/\a

TT⁵

= 4 Niete

CT

Fig. 300.

,o

UïJVP J6

Im Stege des j_-Eisens 28 sind die Niete zweischnittig, daher nach Gleichung 58)

= 3 Niete

5400

• 600

₀ 1,6²-tt *    4~

gegen Abscheren erforderlich.

Der Steg des T-Eisens N. P. 26 ist 0,94 cm stark, mithin sind nach Gleichung 60) gegen Lo chw and druck

5400

= 3 Niete erforderlich.

1200 • 1,6 • 0,94

Im Stege des T-Eisen N. P. 36 sind die Niete einschnittig, also nach Gleichung 56) gegen Abscheren

= 5 Niete notwendig.

5H00

^-•600 4

Gegen Lochwanddruck sind, da die Dicke der Winkelflansche 0,9 cm die des Steges des T-Eisen 36 1,3 cm beträgt:

= 4 Niete notwendig.

5400

1200-1,6-0,9

Man wird daher im T-Eisen 26 3 Niete, im T-Eisen 36 6 Niete, auf jeder Seite des T-Eisens 26 3 Stück, anordnen, wie dies Fig. 300 zeigt. Da hier noch hinreichend Platz ist, wird in jedem Winkel noch ein vierter Niet gestellt, der aber lediglich dazu dient, die Winkel, die gleichzeitig zur Aussteifung des Trägersteges dienen, mit dem T-Eisen 36 zu verbinden.

V. Biegimgsfestigkeit.

a) Entwickelung der Biegungsgleichung.

1. Neutrale Faserschicht, neutrale Achse.

Fig. 301.

Va

Ein stabförmiger Körper mit gerader Achse sei an einem Ende fest eingespannt und am anderen Ende durch eine Last P in der Symmetrieebene des Stabes vertikal belastet (Fig. 301). Da der Stab sich unter dieser Voraussetzung nur in der Symmetrieebene durchbiegen kann, so wird diese auch Biegungsebene genannt. Ferner werde angenommen, dass sämtliche Quer-schnittsflächen senkrecht zur Stabachse eben seien und unter der Einwirkung der Belastung eben bleiben.

Y//////Æ

Die Last P bewirkt eine Biegung des Stabes, der aus lauter parallelen Fasern bestehend gedacht wird, wie dies annähernd 'p bei Holz und Schweisseisen zutrifft.

Die vorher gerade Achse des Stabes ist jetzt gekrümmt und die vor der Einwirkung der Kraft P parallelen Querschnitte sind jetzt gegeneinander geneigt.

Ausserdem haben die Fasern an der konvexen Seite eine Verlängerung, auf der konkaven Seite eine Verkürzung erfahren. Diese Verlängerung bezw. Verkürzung ist um so grösser, je näher die Fasern der oberen bezw. unteren Begrenzung des Stabes liegen, so dass die äusserste Faser an der konvexen Seite am meisten verlängert, an der konkaven Seite am meisten verkürzt wird.

neutrale Schicht

Fig. 302.

Die Verlängerungen können nun aber nur durch Zugspannungen, die Verkürzungen nur durch Druckspannungen hervorgebracht worden sein. Von den äussersten Fasern ausgehend, wo die ^ grössten Zug- bezw. Druckspannungen ^ herrschen, nehmen die Spannungen entsprechend der geringerenLäugenänderung der Fasern, nach dem Innern immer mehr ab. Es muss demnach eine Faserschicht existieren, die weder Druck- noch Zugspannungen erleidet. Man hat diese Faserschicht die n eu trale Faserschicht des Stabes genannt. Jede Querschnittsebene wird von der neutralen Faserschicht in einer Geraden geschnitten, der man den Namen neutrale Achse oder Nullachse beigelegt hat (Fig. 302).

2. Spannungsgesetz, Lage der neutralen Achse.

Der eingespannte Träger ist, nachdem er sich durchgebogen, mit der Kraft P im Gleichgewicht. Durchschneidet man den Träger nach A-B (Fig. 302) und bringt in der Querschnittsfläche in jeder Faser die entsprechende Spannung an, so muss ebenfalls wieder Gleichgewicht vorhanden sein.

Fig. 303.

Nimmt man nun vorläufig an, die Spannungen der äussersten gezogenen und gedrückten Fasern seien bekannt, und bezeichnet man die Spannung der äussersten gezogenen Faser mit S, diejenige der gedrückten Faser mit Si, die Spannung einer beliebigen Faser in der Entfernung y von der neutralen Achse mit s, so folgt aus der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke (Fig. 303):

mithin:

62)

OB

S.y

s = —-

> (bezw-Si=-Ëkr)

-D

wenn a bezw. ai die Abstände der äussersten gezogenen und gedrückten Faser von der neutralen Faserschicht bedeuten.

Diese unter dem Namen Hooksches Gesetz bekannte Gleichung sagt aus:

Satz 40. Die Spannung der Fasern ist proportional ihrem Abstande von der Nullachse.

Alle Fasern, welche denselben Abstand von der neutralen Achse haben, besitzen dieselbe Spannung. Dies gilt sowohl für die Zug- wie für die Druckzone des Querschnittes.

Die Lage der neutralen Achse ist aber noch unbekannt. Nimmt man nun vor der Hand an , es sei die in Fig. 304 gezeichnete Achse n-n die neutrale

Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

Achse und zerlegt man dann den Querschnitt in schmale Streifchen fi, f₂, f3 usw. parallel zu dieser Achse, so lässt sich die Gesamtheit aller Zugspannungen wie folgt bestimmen.

Ist s die Spannung einer beliebigen Faser im Abstande y von der Nullachse, so ist f-s die Spannung aller Fasern in dem dort liegenden Flächenstreifchenf; also nach Gleichung 62):

s-y

Fig. 304.

n-

Werden die Abstände der Flächenstreifchen fi,f₂, f₃ usw. von der Nullachse mit yi,y₂, y» usw. bezeichnet, so ergibt sich für die Summe aller Zugspannungen Z der Wert:

so in

• f₂ • y 2 +

B9 c/j

•fa • ys -f .. . USW.

In diesem Ausdruck sind S und a als bekannt vorausgesetzt und unveränderlich, während die Grössen f und y alle verschieden sind. Man kann daher

- - als gemeinschaftlichen Faktor herausziehen und schreiben:

CO ; c3

z = -f- (fl • yi + f₂ • y₂ -f f₃ • y₃ + . . .),

d

wobei die Summenbildung in der Klammer über den ganzen gezogenen Teil des Querschnittes, also zwischen den Grenzen o und a, zu erstrecken ist.

Man kann daher kürzer schreiben:

Z = |-.2(f.y). a o

Bezeichnet D die Summe aller Druckspannungen im Querschnitt (Fig. 303), so lässt sich für D auf dieselbe Weise die Gleichung ableiten: wobei jetzt die Summierung über den ganzen gedrückten Teil des Querschnittes, also zwischen den Grenzen o und ai auszudehnen ist.

Nun sind Z und D aber die einzigen am Balken wirkenden horizontalen Kräfte. Nach der Bedingung, dass .211 = Null sein muss, folgt daher:

Z = D,

also :

Q a

— 2(f* y) =

a o

Si %    .

ai o

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke dbc und dgh (Fig. 303) ergibt sich nun:

C/J

63)

_sL

ai’

folglich kann die vorige Gleichung nur richtig sein, wenn:

2 (f • y) = i (f • y) ist.

0 0 a

Nun ist aber ^(f-y) das statische Moment des gezogenen Teiles des Quer-o

Schnittes, in bezug auf die Achse n-n; ^(f-y) das statische Moment, des ge-

drückten Teiles des Querschnittes, hinsichtlich der Achse n-n. Sollen diese Momente einander gleich sein, so muss die Achse n-n durch den Schwerpunkt des Querschnittesgehen. Vergleich Satz 37 und 38 auf Seite 64. Hieraus ergibt sich also der: Satz 41. Die neutrale Achse des Querschnittes ist eine Sch wer-

ac lise.

8. Trägheitsmoment, Widerstandsmoment, Iiiegungsgleicliuiig.

Unter dem Einfluss der Last P am freien Ende des Stabes hatte sich der Querschnitt b c gegen den Nachbarquerschnitt gh um ein gewisses Mafs verdreht (Fig. 305). Bringt man im Schwerpunkt d zwei gleiche aber entgegengesetzte Kräfte l\ — P₂ = P an (Fig. 306), so folgt ohne weiteres, dass diese Drehung durch das Kräftepaar P P2 hervorgerufen worden ist, während die Kraft Pi nur eine Verschiebung des Querschnittes b c gegen den '/%rp77 Querschnitt g h erstrebt //

(Fig. 305 und 306).

Wir empfehlen dem Leser, die Ausführungen auf Seite 40 ff. nochmals aufmerksam zu studieren, da diese von besonderer Wichtigkeit für die folgenden Ableitungen sind.

Diese Kraft Pi ist also wieder die am linken oder rechten Trägerteil wirkende Vertikalkraft (Transversalkraft).

Und in der Tat, wenn man bedenkt, dass die am vorderen Ende wirkende Kraft P durch alle Querschnitte des Trägers hindurchwandern muss, um in das Lager zu gelangen, so ist es sofort klar, dass in jedem Querschnitte eine Vertikalkraft von der Grösse der Kraft P tätig ist.

Um dies noch deutlicher zu machen, denke man den Träger aus lauter Scheiben zusammengeleimt, und betrachte den rechts von einem beliebigen Querschnitt liegenden Teil, der durch einen Schnitt vom Balken abgetrennt sein möge (Fig 307). Bringt man nun die Kräfte P2 = Pi = P im Querschnitt an, so will das Kräftepaar P2 P den vorderen Balkenteil um d drehen. Diesem Kräftepaar hält das Paar Z D das Gleichgewicht. Die Kraft Pi will den vorderen Teil glatt abschneiden. Die Festigkeit der r"

Leimfuge, oder was dasselbe ist, die Schubspannungen t im Querschnitt verhindern dies jedoch.

Diese Beziehungen finden aber in jedem Querschnitt statt, so dass in der Tat die Last P von Querschnitt zu Querschnitt weiter transportiert wird bis zum Lager.

Da die Kräfte P2 und Pi sich scheinbar wieder aufheben, so kann man wie früher wieder sagen, dass die Kraft P um den Punkt d dreht. Bringt man statt der Kräfte Z und D die Faserspannungen an,

Fig. 305.

ffćf

rC.

'4.

Fig. 306.

Fig. 307.

I_____Î

Tp

8*

so dreht jede Spannung in demselben Sinne um d, aber der Kraft P entgegengesetzt (Fig. 308).

Das Gleichgewicht verlangt, dass das Moment der Kraft P gleich ist der Summe der Momente der Spannungen für den Drehpunkt d, oder da dieser

die Projektion der neutralen Achse darstellt, für die neutrale Achse n-n.

Ist f*s wieder die Spannung einessehr kleinen Flächenteilchens im Abstande y von der neutralen Achse (Fig. 303, 304, 308), so istdas Moment m dieser Spannung für die Ache n-n: m = f • s • y,

Fig. 308.

£.<s

-f

YÆM.

V,

oder mit Berücksichtigung der Gleichung 62):

. S

m = f-~-y-y =

d

Die Summe der Momente sämtlicher Spannungen ist dann aber:

SS CO

.(f,.yi2) ₊ l.(f₂.y₂₂)₊|

*(fs *ysa) 4- • • •

oder:

•-(f- y²)-

Da nach Gleichung 63) — — —¹ ist, so folgt :

a ai

GO öS

ai

wobei die Summierung der Grössen (f • y²) sich über den ganzen Querschnitt zu erstrecken hat.

Ist nun M das Moment des Kräftepaares P P2 also der Kraft P in bezug auf die neutrale Achse n-n, so muss sein:

64)

m = sm =|--2(f-y²)=^---(f-y²)-

d    dl

Der Ausdruck 2 (f • y²) ist völlig unabhängig von der Belastung des Stabes und nur abhängig von der Form des Stabquerschnittes. Er heisst das Trägheitsmoment des Querschnittes und wird gewöhnlich mit J bezeichnet.

Erklärung. Unter Trägheitsmoment eines Querschnittes in bezug auf eine Schwerachse versteht man die Summe der Produkte aus den Flächenelementen und den Quadraten ihrer Abstände von der Schwerachse.

Für Gleichung 64) kann man somit schreiben:

GO : cö

-• J =

-• J.

oder:

65)

’-i cz

ai

Besitzt das Material des Stabes gegen Zug und Druck gleiche Festigkeit, so würde, wenn a grösser ist als ai, ein Bruch des Stabes zuerst in der äussersten gezogenen Faser eintreten, weil dann S grösser ist als Si.

Der Ausdruck —ist in diesem Falle aber kleiner als—.

ai

Aus Gleichung 65) erhält man daher die grössere Spannung S zu:

66)

M-a

ueren Wert

Um die grösste Spannung zu erhalten, hat mau demnach stets den klei-zu berücksichtigen. Für symmetrische Querschnitte ist a=ai,

also auch:

P «H

D er A usdruck — ist ebenfalls nur von der Form des Quer-

et

Schnittes abhängig. Man nennt ihn das Widerstandsmom e nt und bezeichnet ihn mit W.

Erklärung. Unter dem Widerstandsm ornent eines Querschnittes versteht man die Grösse, die man erhält, wenn man das Trägheitsmoment des Querschnittes dividiert durch den Abstand der äussersten Faser von der neutralen Achse.

Mit:

67)

geht Gleichung 66) über in :

68)

oder :

69)

M = W-S.

Diese Gleichung heisst die Biegungsgleichung.

Die grösste Spannung S der äussersten Faser darf natürlich niemals die zulässige Beanspruchung des Trägermaterials überschreiten.

Bezeichnet man diese wieder mit k, so erhält man aus Gleichung 69):

70)

M = W k.

Es

Das Moment M der äusseren Kräfte (Biegungsmoment oder Angriffsmoment) ändert seine Grösse mit der Lage des Stabquerschnittes. Unter all diesen Biegungsmomenten erreicht eines den grössten Wert. Derselbe sei M ist klar, dass die Gleichung 70) für diesen Grösstwert des Momentes erfüllt sein muss, so dass man als endgültige Biegungsgleichung erhält:

71)

max

= Wk.

Das Gesetz, das durch diese Gleichung ausgedrückt wird, lautet:

Satz 42. Das grösste Biegungsmoment, welches in einem Träger auftritt, darf höchstens gleich sein dem Widerstands-

moment des Trägerquerschnittes m ultipliziert mit der zulässigen Beanspruchung.

Der Trägerquerschnitt, in dem das grösste Moment auftritt und in welchem folglich zuerst ein Bruch des Trägers eintreten würde, heisst der gefährliche Q uerschnitt.

In Gleichung 71) kommt durch M

max

die Belastung, durch W die Grösse und Form des Querschnittes, durch k die Güte des Materiales zum Ausdruck.

In der vorliegenden Form dient daher die Gleichung zur Bestimmung der Tragfähigkeit, sie beantwortet die Frage: welche Belastung kann ein Träger, dessen Dimensionen bekannt sind, aufuehmen.

In der Form :

72)

bietet die Gleichung dagegen eine Handhabe zur Ermittelung der Dimensionen des Trägerquerschnittes, wenn die Belastung gegeben ist.

Und in der Formel endlich:

max

73)

erledigt sie die Frage : Wie hoch beläuft sich die grösste Spannung der äussersten Faser, wenn die Belastung des Trägers und die Abmessungen des Trägerquerschnittes vorliegen.

Am häufigsten kommt die Biegungsgleichung indessen in der Form der Gleichung 72) zur Anwendung.

Es wird sich jetzt also zunächst darum handeln, Ausdrücke zu gewinnen für die Trägheits- und Widerstandsmomente verschiedener Querschnittsformen.

4. Trägheits- und Widerstandsmomente.

Das Trägheitsmoment eines beliebigen Querschnittes in bezug auf eine Schwerachse x-x ist bestimmt durch die Formel:

Jx = - (f * y²)-

, Trägheitsmoment des Rechteckes. Demgemäss hat man das Rechteck von eher Höhe H und der Breite B in eine sehr grosse Anzahl schmaler Flächenstreifehen, deren Inhalt f sein möge, zu zerlegen, jedes Streifchen mit dem Quadrate seines Abstandes y von der Achse x-x zu multiplizieren und die Produkte sämtlich zu addieren.

Die Flächeninhalte f der Streifchen sind für den rechteckigen Querschnitt einander gleich und zwar, wenn man die Dicke der schmalen Streifchen mit b bezeichnet f = B ■ b.

Das Trägheitsmoment ist daher nach Fig. 309:

Jx = 2 • [B ■ 5 • (a² b² + c² + d² + . . . À²)]

JC

-T l *

pliLl.L-,

Fig. 309.

oder:

Jx == 2• B• (a²• ó -f b²• è -|-c²• ô -f d²• ó + . . .X²-b).

Nun ist aber:

c³ = b³ 4- 3b²• â + 3b ■ b² + b³, d³= c³ + 3c²-ô + 3c-a² + ê³,

b = a + 5, folglich: b³ = a³ 4- 3 a²• b + 3a• b² + b\ c = b + 5, d = c + b

Da nun b eine sehr kleine Grösse ist, so sind b² und b³ erst recht klein, so dass die Glieder mit b² und 5³ ohne Fehler vernachlässigt werden können.

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt somit:

a² • b —

b³ — a³

b²-5 =

c³ — b³

c² • b =

d³ — c³

usw.

oder:

Setzt man diese Werte in die Gleichung für J ein, so erhält man: /b³ a³ c³ b³ d³ c³

V3“3" ⁺ y~T ⁺ T“y⁺• '

Jx = 2. B.

• •+¥)

Nun ist a sehr klein, folglich a³ erst recht; wenn man wird daher:

a³

vernachlässigt,

Jx =

2-B-X³

Fig. 310.

Für X kann man aber ohne Fehler - einsetzen, so dass sich schliesslich für dasTrägheitsmomentdesRechteckes ergibt:

Jx =

oder:

74)

=il B H-

Bezeichnet man das Trägheitsmoment für die Achse y-y (Fig. 310) mit Jy, so ist folglich:

Jy = ^HB».

Trägheitsmoment des Quadrates. Geht das Rechteck in ein Quadrat über (Fig. 311) mit der Kante B, so wird:

74a)

75)

Jx — jy —

•B⁺.

Fig. 311.

Æ-------%--

-B\

oc

Widerstandsmoment des Rechteckes. Für das Rechteck lässt sich ein einfacher Ausdruck für das Widerstandsmoment in bezug auf die durch den Schwerpunkt gehende Achse x-x ableiten.

Da der Abstand der am weitesten von dieser Achse liegenden Fasern

ist, so ergibt sich aus Gleichung 74:

w„ = 4

76)

h/a 12

JIbhsJ

cs i—*■

B H²

und für die Achse y-y folgt:

76 a)

Wy =

irHB2

Widerstandsmoment des (Quadrates. Für das Quadrat wird

77)

1 B⁴

Wx Wy 12'B/₂

Hauptachsen. Durch den Schwerpunkt S des Rechteckes lassen sich unendlich viele Schwerachsen legen und zu jeder derselben das zugehörige Trägheitsmoment nach der Gleichung J = ^(f-y²) berechnen. Unter all diesen Trägheitsmomenten wird eines den grössten, ein anderes den kleinsten Wert besitzen. Diese beiden Trägheitsmomente nennt man die Hauptträgheitsmomente und die zugehörigen Achsen die Hauptachsen des Querschnittes.

Die Hauptachsen werden stets mit x-x und y-y bezeichnet und zwar so, dass zur Achse x-x das grösste, zur Achse y-y das kleinste Trägheitsmoment gehört.

Für das Rechteck sind die in Fig. 309 und 310 angegebenen Achsen die Hauptachsen.

Ueber die Hauptachsen lassen sich noch die folgenden wichtigen Sätze aussprechen, deren Beweise hier als über den Rahmen des Bandes hinausgehend nicht mitgeteilt werden.

Satz 43. Die Hauptachsen stehen immer senkrecht aufeinander im Schwerpunkt des Querschnittes.

Satz 44. Bei regelm äfsigen Figuren (gleichseitiges Dreieck, Quadrat, regelmäfsiges n-eck, Kreis) sind alle durch den Mittelpunkt gehenden Achsen Hauptachsen. Das Trägheitsmoment ist für alle Achsen gleich gross.

Satz 45. Besitzt ein Querschnitt eine Symmetrieachse, so ist diese eine Hauptachse.

Satz 46. Besitzt ein Querschnitt z wei Symmetrieach s en, so sind diese die Hauptachsen.

Die Widerstandsmomente für die Hauptachsen ergeben sich aus den Hauptträgheitsmomenten, indem man diese durch den Abstand der äussersten Faser von der neutralen Achse dividiert.

/ 1

Aus der Formel Jx = — b -h³ für das Rechteck lassen sich die Trägheits-

JL u

momente für eine grosse Zahl von im Hochbau gebräuchlichen Querschnitten berechnen.

xff pc ~ 'v/Y/v/Ä Th ac co

T' —

b-,//

1 JJp^

dividiert. Für Fig. 312

Aus der Bedeutung der Formel J = J2(f-y²) folgt, dass man Trägheitsmomente ohne weiteres addieren und subtrahieren kann.

Mit Rücksicht auf die Fig. 312 bis 316 lassen sich die schraffierten Querschnitte auffassen als die Differenz der Rechtecke B-H und b-h. In bezug auf die Achse x-x ergibt sich somit für das Trägheitsmoment Jx der Wert:

Ab-h³

78) J,-lg

Fig. 312.

Fig. 313.

~*b-h³ =    (B-H³ — b-h³).

Fig. 314.

'////////,

Fig. 315.

P'

Fig. 316. Ÿ////A

TT

JB

II

cc

_JL

'/ h V. //////y //

B-

"    y, h

_\/

L—jB —»1

H---

oc

I—-ff —J

4z?-»

Die schraffierten Querschnitte in Fig. 317 bis 319 lassen sich auffassen als Summen der Rechtecke B-H und b-h, demnach ist das Trägheitsmoment Jx:

-B-H³+~-b-h³ =

79) J,-lT Fig. 317.

12

-^2 • (B • H³ -f b-h³).

Fig. 318.

Fig. 319.

Die Widerstandsmomente dieser Querschnitte erhält man, wenn man die Trägheitsmomente in Gleichung 78) und 79) durch bis 316 erhält man:

80)

w* = ir

1 B • H³ — b • h³

und für die Querschnitte in Fig. 317 bis 319:

1 B • H³-f- b • h³

81)

w< = 1

Die Querschnittsabmessungen werden in der Kegel in cm angegeben, die Trägheits- und Widerstandsmomente daher auf cm bezogen.

Fig. 320.

Das Trägheitsmoment ist eine Grösse vom vierten Grade, die Einheit daher cm⁴. Das Widerstandsmoment ist eine Grösse dritten Grades, die Einheit daher cm³.^ ^Aufgabe 1. Es sind die Trägheitsmomente und Widerstandsmomente Jx, Jy, Wx und Wy für den in Fig. 320 dargestellten rechteckigen Querschnitt zu bestimmen.

Es ist:

Jx =

~ ■ b . h³ = i • 15 • 24³ = 17 280 cm⁴

12

12

mithin :

wx = 2

J ₌ 17280 a ~ hl₂ ~    12

— 1440 cm³;

ferner ist:

Jy ⁼ T^‘h'b3 ⁼l2'24,153 = 6750 cm4

folglich :

Wy =

6750

Fig. 321.

,y

1,5

1 eCIcT ⁼ 900 cm³.

15/2

Aufgabe 2. Es ist Jx, Jy, Wx und VVy für den in Fig. 321 dargestellten T-Eisenquerschnitt zu bestimmen. Man findet:

27,0

Jx

3C--

-30

30/)

wx =

tH Ci

— • (12,5 • 30³ - 2 • 5,7 • 27³) = 9426 cm⁴

30/2

= 628 cm³

L4-J

Jï~ 12

• (2-1,5-12,5³ -f-27 • 1,1³) = 491 cm‘

'y

Wy

491

12,5/₂

= 78.5 cm³.

Ć.

Fig. 322. Fl iói°Ą>

s¥f,₀

Aufgabe 3. Wie gross ist Jx und Wx für den Trägerquerschnitt in Fig. 322?

Es ist :

Jx = ^ [(23,0-2-2,0)42,0³—2 -3,0-40,0³—2-

<!

38,0

*0,0

*2.0

(7,0 - 2,0) • 38,0³ — 2 • 1,0 24,0³] - 37275 cm⁴, demnach :

wx =

37275

= 1775 cm³.

1,0

tF.o

42/2

k Trägheitsmomente für parallele Achsen.

Die Formel Jx = —b • h³ für das Trägheits-

1Z

moment des Rechteckes gilt nur für die durch den Schwerpunkt gehende Achse x-x. Ist das Trägheitsmoment für eine Achse z-z zu bestimmen, die im Abstande e parallel zur Achse x x liegt, so kann dies mit Hilfe des folgenden Satzes geschehen.

Das Trägheitsmoment für eine zur Schwerachse parallele Achse ist gleich dem Trägheitsmoment für die Schwerachse, vermehrt um das Produkt aus Querschnitt und dem Quadrat des Abstandes der beiden Achsen.

Fig. 323.

2.0

10

k--S3.0

Satz 47.

Dieser Satz lässt sich wie folgt beweisen.

Es sei F der Inhalt des Querschnittes, Jx das Trägheitsmoment für die Schwerachse x-x, dann erhält man nach Fig. 323 das Trägheitsmoment des Querschnittes für die Achse z-z, wenn man jedes Flächenstreifchen f mit dem Quadrate seines Abstandes von der z Achse multipliziert. Ist y der Abstand eines beliebigen Streifchens von der Achse x-x, so ist, da die Achsen den Abstand e haben, der Abstand des Streifchens von der z Achse = (y -\~ e).

X--

.f

oder:

Bezeichnet man das Trägheitsmoment für die Achse z-z mit Jz, so ist also:

J. = 2f.(y + e)²

oder:

Jz = ^f-(y² + 2y-e + e²)

Jz = ^(f.y²)4-2.e.S(f.y) + e²-Sf.

Nun ist .2 (f y²) = Jx nach Voraussetzung. JS(f-y) ist das statische Moment des Querschnittes für die neutrale Achse; dies ist aber Null nach Satz 37, Seite 64, daher der zweite Ausdruck in obiger Gleichung Null. Sf ist der Inhalt des Querschnittes, also = F. Somit folgt:

82)

Jz = Jx + ©* • F-v-" . ---

\Hiernach ist das Trägheitsmoment eines Rechteckes bezogen auf eine mit einer Rechtecksseite zusammenfallenden Achse z-z, da e = 4| , F =

^'b'h3'X>

Mit Hilfe der Gleichung 83) ist es leicht, die Trägheitsmomente zusammengesetzter Querschnitte, wie Fig. 324, 325 und 326, für die Schwerachse x-x zu

Fig. 324.

oder:

83)

Fig. 325.

Fig. 326.

b-h:

7a

er---^—__.oc

W////AV///77A

OC___

V777//A

W777////////7Ó

~z

berechnen. Man ermittele zunächst mit Hilfe der Gleichung 83) das Trägheitsmoment für die Achse z-z und dann mit Hilfe der Gleichung 82) dasjenige für die Schwerachse. Ist die Lage des Schwerpunktes nicht bekannt, so kann dieselbe nach Gleichung 38)

Seite 60 berechnet werden.

Aufgabe. Das Trägheitsmoment Jx des in Figur 327 dargestellten Querschnittes zu berechnen.

Nach Gleichung 38) & auf Seite 60 ist der Schwerpunktsabstand e von der ź Achse z-z:

Fig. 327.

e-0,85

r—f.

yC

3,0

_ 3,0 0,4-1,5 + 2.1,5-0,4-0,2 3,0- 0,4 + 2 -1,5 0,4 Das Trägheitsmoment für die Achse z-z wird jetzt nach Gleichung 83):

Y • 0,4.3,0³ + Y. 2 • 1,5.0,4³ = 3,664 cm⁴.

2,04

2,4

= 0,85 cm.

Aus Gleichung 82) folgt nun:

J* = Jz-e²-F,

mithin ist das Trägheitsmoment Jx des Querschnittes für die Achse x-x:

Jx = 5,664 — 0,85² • 2,4 = 1,934 cm⁴.

Das Widerstandsmoment für die Achse x-x wird jetzt nach Gleichung 67) da der Abstand der äussersten Faser von der Schwerachse 2,15 cm beträgt:

Jx _ 1,934 “ 2,15

Trägheitsmoment des Dreiecks. Nach Gleichung 39) versteht man unter dem statischen Moment einer Fläche das Produkt aus Flächeninhalt und dem Abstand ihres Schwerpunktes von der Drehachse

Ist nun Fig. 328 eine beliebige Fläche F gegeben, welche um die Achse x-x dreht, S deren

Wx = —

= 0,89 cm³.

Fig. 328.

x-x.

oc<3-

ly

Schwerpunkt, so ist

Trägt man nun über jedem Flächenstreifchen seinen Abstand y von der Drehachse als Höhe auf, so entsteht eine Säule (Zylinder), dessen Endfläche unter 45° gegen die Ebene F geneigt ist. Bezeichnet F man den Inhalt dieser Säule mit V, so ist 84) y = 2(f.y) = F.fl, d. h.

Satz 48. Das statische Moment einer Fläche lässt sich auffassen als der Inhalt einer Säule, deren Oberfläche unter 45° gegen die Fläche F geneigt ist und durch die Drehachse geht.

Ist M der Schwerpunkt des Körpers, so kann man sich nach Satz 32 das Gewicht desselben in M vereinigt denken. Nimmt man nun an, dass die Säule V um die Achse x-x dreht, so erhält man, wenn y der Abstand der Schwerlinie V von der Achse x-x bezeichnet, für das Drehmoment den Wert V • 9. Nach dem Momentensatz erhält man aber denselben WTert, wenn man jedes Säulchen (f-y) mit seinem Hebelarm y multipliziert und die Produkte addiert.

Demnach ist

ri

oM

o

oder:

86)

V • ^ = — (f • y²)-

Nun ist aber S(f-y²) das Trägheitsmoment der Fläche für die Achse x-x. Dies ergibt den Satz:

Satz 49. Das Trägheitsmoment einer beliebigen Fläche F für eine Achse x-x, ist gleich dem Säulenmoment für dieselbe Achse.

Mit Hilfe dieses Satzes ist es nun leicht, das Trägheitsmoment eines Dreiecks zu bestimmen für eine Achse z-z, welche durch die Spitze gelegt ist parallel zur Grundlinie (Fig. 329.)

Trägt man über jedem Flächenstreifchen f seinen Abstand y von der Spitze als Höhe auf, so entsteht eine Pyramide, deren Spitze mit der Spitze A des Dreiecks zusammenfällt und deren Grundfläche ein Rechteck b • h ist, wenn b

die Grundlinie, h die Höhe des Dreiecks ist.

b h li _ b-h². 3    3

Der Inhalt der Pyramide ist aber V =

Der Abstand des Schwerpunktes M der Pyramide 3

von der Spitze ist ^    ^ h, mithin nach Gleichung 86):

b-h² 3 .    b-h³

“3—'T '    4

oder, wenn man das Trägheitsmoment 2 (f-y²) für die Achse z-z mit Jz bezeichnet:

2{ f-y²) = y.^ =

A.

Fig. 329.

0-

87)

Jz = -p- b • h³. 4

Nach Gleichung 82) erhält man jetzt für das Trägheitsmoment des Dreiecks in bezug auf die durch den Schwerpunkt S gelegte Achse x-x (Fig. 330):

² v

- 3 h,

b - h³

6m

b-h

Jx = Jz — F • e², mithin, da F

bir4*h)2

88) Jx = i-b-h³

2~1 6

Trägheitsmoment des Kreises. Zerlegt man den Kreis in sehr viele kleine Sektoren (Fig. 331), so kann man jeden betrachten als ein Dreieck von der Höhe r und der Grundlinie

s. Das Trägheitsmoment jedes Dreiecks für die __

Fig. 330.

Fig. 332.

J

•r“5

Fig. 33t.

t,

Nun ist aber 2 s gleich dem Kreisumfang 2 • r • n, folglich :

89)

r⁴ • n

Jc = -Ą- • 2 • r • n —

Man nennt dieses Trägheitsmoment das polare Trägheitsmoment.

Ist nach Fig. 332 der Abstand eines kleinen Flächenteilchens f von den Achsen x-x und y-y bezw. y und x, so wäre das Trägheitsmoment für die Achse x-x: Jx = S(f-y²) und für die Achse y-y: Jy = • 2'(f• x²). Ebenso wäre das polare Trägheitsmoment, wenn §• der Abstand des Teilchens f vom Mittelpunkt ist: Jt,. = 2 (ç² • f). Nun ist aber:

ç² = y² + x²; f • ç² = f• y² f • x²

ac

-5Ł-

--T3r

y\

also auch: oder:

J₀=S(f.s*) = 2(f.y*) + 2(f.x*)

Jo = Jx F J

Nach Satz 44 ist aber Jx = Jy, mithin :

Je

Je — 2 Jx, also Jx — g ,

folglich das Trägheitsmoment des Kreises für die Achse x-x:

90)

T _ r+ ⁷¹ _ r* ' ⁷¹

Jx22~4

Führt mau den Durchmesser d = 2r eiu, so wird:

cc

Tt

_oc

91)

d⁴ • n

64

Fig. 333.

Für den Kreisring (Fig. 333) erhält man jetzt:

(R⁴ — r⁴)-Tt (D⁴—d⁴)-/r

R.

Abstand a der äussersten Faser

91 a) Jx =

Das Widerstandsmoment der Kreisfläche auf einen Durchmesser bezogen, wird, da der

vom Durchmesser = r =

ist:

64

92)

r³ • n

d³ • Tt

32

und für den Kreis ring, da a=R = ~ :

(R⁴ — r⁴) Tt

93)

4R

(D⁴ — d⁴) n

32 D

Nr.

Form des Querschnittes

Trägheitsmoment J

Widerstandsmoment W

Fläche f

IL

b-h³

b-h²

12

b-h

----h~

u__

6-H

• (H³ —h³)

b • (H — h)

TO fil

-B -*¹

B-H³-b-h³

B-H³-b-h³

WĘl.JW

Ii    i źih.

12

6-H

Fürden“^-Quer-

schnitt

B-H-b-(2 -h-H)

r-H

(M

Nr.

Form des Querschnittes

Trägheitsmoment J

Widerstands-moment W

Fläche f

-ff

JS

élu:

B • H³-}- b • h³

12

6 II

If—a

.1

p^

r—I J tO

ec

C5

•a

ec

12

-a⁴

^—1 P

U| W

tOl

a²

7 i.

wn l

^ w⁻ ~^

A⁴ — a⁴

bzzàL J

12

— ko

[C

A² - a²

rr

A⁴ - a⁴

A⁴ — a⁴

12

6-A-K2

A²-a²

b-h³

b-h²

36

24

5-

n • d⁴

n • r⁴

10

64

= 0.0491-d4 = 0,7854-r⁴

7T •

^-^-=0,0982-d³

ô2j

n r³

d ² • TT

4    ’

r² • Tr

11

tT"

-J) r-

= ^-(R⁴-r⁴)

/r D⁴ — d⁴

32

/r R⁴ — r⁴

s Ha

&0 S

tC tO

-i    O-

>c ^

Nr.

Form des Querschnittes

Trägheitsmoment J

Widerstandsmoment W

Fläche f

Ji

12

0.638 • R⁴

0.691-R³

2,8284 ■ R²

13

0,638 • (R⁴ - r⁴)

0,691 • (R⁴ - r⁴)

2,8284 • (R² - r²)

In der vorstehenden Tabelle sind die Trägheitsmomente und Widerstandsmomente der im Hochbau gebräuchlichsten Querschnitte znsammengestellt. Die Angaben über die Querschnittsgrössen der im Hochbau zur Verwendung gelangenden Normalprofile finden sich im Anhang.

b) Die meist Yorkommenden Belastungsfälie.

Wie oben schon bemerkt, liegt in der Praxis meist der Fall vor, dass die Belastung des Trägers bekannt ist und die Abmessungen des erforderlichen Querschnittes gesucht werden. Bei der Untersuchung der verschiedenen Belastungsfälle wird es sich immer darum handeln, zuerst die Auflagerdrücke zu bestimmen, sodann die Lage des gefährlichen Querschnittes und die Grösse des Maximalbiegungsmomentes zu ermitteln, hierauf das erforderliche Widerstandsmoment zu berechnen und daraus endlich die Abmessungen des Querschnittes festzustellen.

In der Gleichung:

M

Ri max

zunächst in Kilogrammmeter und drückt alsdann erst den Wert in Kilogrammzentimeter aus durch Multiplikation mit 100.

ist k stets in Kilogramm pro Quadratzentimeter gegeben, das Widerstandsmoment wird, wie oben bemerkt, auch immer auf Zentimeter bezogen, daher ist das Biegungsmoment in die Biegungsgleichung in Kilogrammzentimeter einzuführen. Um nicht mit zu grossen Zahlen rechnen zu müssen, berechnet man M

Fig. 334.

-y

T ³

ft

1. Freiträger.

Belastungsfall 1. Ein Balken sei an einem Ende fest eingespannt, am auderen Ende durch eine Einzellast P belastet (Fig. 334).

In irgend einem Querschnitt F im Abstaude x vom Ende ist das Moment der äusseren Kraft:

M = P • x.

Dieser Ausdruck wächst mit x und erreicht seinen Grösstwert für x = 1.

Hiernach ist:

94)

Umax = N,

das heisst:

Satz 50. Bei einem Freiträger tritt das grösste Momentimmer an der E inspannsteil e auf.

Denkt mau die Momente für die Querschnitte in den Entfernungen Xi, x₂,x₃ usw. berechnet und dieselben in einem beliebig gewählten Mafsstabe (1000, 1500, 2000 kgcm = 1 cm) unter den zugehörigen Querschnitten senkrecht zur Trägerachse aufgetragen, so liegen die Endpunkte der Ordinaten auf einer Geraden B C, wrelche die Morne ntenlini e heisst. Sie zeigt durch ihren Verlauf, wie sich die Momente von Querschnitt zu Querschnitt ändern. Die von der Momentenlinie B C und der Stabachse eingeschlossene Fläche wird die Mo mentenfläche genannt.

Belastungsfall 2. Auf dem einseitig eingespannten Träger befinden sich mehrere Einzellasten (Fig. 335).

Fig. 336.

Das grösste an der Einspannstelle auftretende Moment wird in diesem Falle

7s

7s

fPKg/m

= Pi • B + P2 • E + P3 • I3 T~ •. • •

95) Mmax = -(P • 1).

Belastuugsfall 3.

Ein einseitig eingespannter Träger ist auf seine ganze Länge mit

Fig. 335.

.oc

p kg pro lfd. m belastet (Fig. 336).

'A

-i?

Für einen beliebigen    ^

Querschnitt im Abstande    7

x Meter vom Rande ist das Moment :

P3

Pt

.i

-"1

\wr<'

p • X²

M = p • x •

Der Ausdruck erreicht seinen Grösstwert für x — 1, folglich:

aAl

96)

Mmax =

P'l*

so folgt :

Setzt man die Gesamtlast:

P-1 = P,

Fig. 337.

96 a)

M

-t’Ainax

P-l

7s

— 4-4

Die Momentenlinie ist hier eine Parabel, deren

Scheitel in B liegt und deren Höhe ist. Die Kon-

struktion dieser Parabel ist in Fig. 336 angedeutet.

Belastungsfall 4. Die Belastung des Trägers besteht aus Einzellasteu und einer gleichmäfsig verteilten Last (Fig. 337).

Das Einspannmoment wird:

■i i*

■i

97)

max

„ v(P l) ₊ E^.

Was die Frage der Einspannung anbetriift, so sehe man hierüber Band IX dieses Handbuches, Seite 50.

Schüler, Statik und Festigkeitslehre-

Aufgabe 1. Am vorderen Ende eines 1,3 m ausladenden Freiträgers be-findet sich ein Flaschenzug, mit dem Lasten bis zu 600 kg gehoben werden. t> Welcher Balkenquerschnitt genügt den Anforderungen der Festigkeit?

Nach Gleichung 94) ist, da am ziehenden Seil ebenfalls 600 kg wirken:

Mmax = P • 1 = 1200 • 1,3 = 1560 kgm = 156000 kgcm.

Für Holz ist die zulässige Beanspruchung k = 60 kg, mithin das erforderliche Widerstandsmoment:

156000

60

= 2600 cm³.

Fig. 338.

Fig. 339.

Hierfür genügen nach der im Anhang befindlichen Tabelle 1 für die Trägheits- und Widerstandsmomente die in Fig. 338 und 339 angegebenen Querschnitte 24/26 und 22/28 mit Wx = 2704 bezw. 2875 cm³ und den Inhalten 624 und 616 qcm. Der zweite Querschnitt ist daher günstiger, weil er bei kleinerem Flächeninhalt ein grösseres Widerstandsmoment besitzt.

*— Bit

Aufgabe 2. Welches T-Eisen müsste gewählt werden, wenn statt des Balkens ein T-Eisen verlegt würde?

Hier wird k = 900 kg, das erforderliche W somit:

= 174 cm³.

156000

900

Dafür genügt ein j_-Eisen N. P. Nr. 19 mit Wx = 185 cm³. (Siehe Tabelle 2 im Anhang).

Aufgabe 3. Ein Balkonträger von 1,4 m Ausladung erhält durch das Brüstungsmauer werk eine gleichmäfsig verteilte Belastung von 500 kg in und am vorderen Ende von dem Stirnträger eine Einzellast von 900 kg. Welches T-Eisen ist zu wählen? (Fig. 340).

Fig. 340.

Nach Gleichung 97) ist

oo 7cff/m

S>00 hg

= 900 • 1,4 + 500 •    = 1750 kgm

— 175000 kgcm, mithin das erforderliche Widerstandsmoment: 175000

M

iUmax

Werf =

900

= 195 cm³.

Dafür genügt j_-Eisen N. P. 20 mit Wx = 214 cm³.

2. Träger auf zwei Stützen.

Belastungsfall 5. Ein Träger ist mit mehreren Einzellasten belastet. Die graphische und rechnerische Ermittelung der am Balken wirkenden Vertikalkräfte und Biegungsmomente ist bereits im ersten Teil, Kapitel III Seite 41 bis 48 durchgeführt. Der Vollständigkeit wegen genügt es hier kurz die gefundenen Resultate zu wiederholen. Wir empfehlen dem Leser aber dringend, die Lösung nochmals genau durchzuarbeiten und auch die Beispiele nochmals durchzurechnen. Mit Beziehung auf Fig. 341 berechnen sich die Auflagerdrücke A und B zu:

98)

2(P -b)

;B=2P- A.

99)

I(P.ą)

; A-2P-B

Das Maximalmoment tritt unter derjenigen Einzellast auf, wo die Vertikal kraft das Vorzeichen ändert. Ist dies unter der Einzellast P2 der Fall (Fig. 342), also: A—Pi positiv, A—Pj— P2 negativ, so ist das Maximalmoment:

= A • a2 — Pi Ci.

Belastungsfall 6. Gegeben ein Träger mit einer Einzellast PimAbstande a und b von den Stützen. Die sehr einfache Konstruktion der Momentenfläehe und der Fläche der Vertikalkräfte ist in Figur 343 dargestellt. Hiernach liegt der gefährliche Querschnitt unter der Last P. Rechnerisch findet man aus Gleichung 98):    _

M

iUmnx

Fig. 342.

zr

Fig. 341.

Ft

■f.

4*-C i—t-

a₃

l.

->■

100)

Pb

Pa

und:

101)

max

Pa b

i*

Fig. 343.

Fig. 344.

H«**

T

F ab

t:ś

Steht die Last in der Mitte (Fig. 344), ist also a = b, so ist:

102)

A =B = £■

9*

103)

M

max —

PI

Belastungsfall 7. Gegeben ein Träger mit zwei gleichen Lasten P im Abstande a Meter von den Stützen. In Fig. 345 ist die graphische Lösung durchgeführt.

1. Auflagerdrücke. Hier ist:

104)

V erti k al kräfte.    Zwischen A    und C    ist    V = A = P,

„ c    „ D    „    V = A —P = 0,

„ D    „ B    „    V = A-P-P=    -p.

Im mittleren Trägerfach ist demnach die Vertikalkraft gleich Null.

3. Momente. Nach der Mo-mentenfläche ist das Moment im ganzen mittleren Trägerfache k o n-st an t und zwar gleich dem Maximalmoment. Man findet:

tP

Fig. 345. p

iV

k-- «

-kB

—5

105)

Minnx

= A • a = P • a.

Pa

Belastungsfall 8. Ein Träger ist über einen Teil seiner Länge gleichmäfsig mit p kg pro lfd.Meter belastet (Fig. 346).

©o

Man kann die gleichmäfsig verteilte Belastung ansehen als bestehend aus einer sehr grossen Anzahl kleiner Einzellasten. Fügt man diese kleinen Einzellasten, deren Angriffspunkte in den Schwerpunkten der Lamellen liegen, zu einem Kräftezuge aneinander, so lassen sich mit Hilfe des Seilpolygons die Momente und Vertikalkräfte wie früher bestimmen.

«) Graphische Lösung.

1. Auflagerdrücke. Man teile die Last in mehrere Lamellen von gleicher Breite und bringe die diesen Lamellen entsprechenden Gewichte in den Schwerpunkten an. Mit Hilfe eines beliebigen Pôles zeichne man in der gewöhnlichen Weise Kraft- und Seilpolygon. Je grösser man die Zahl der Teile nimmt, um so mehr wird sich das Seilpolygon zwischen den Punkten Ci und Di einer Kurve nähern und bei unendlich vielen Teilen in eine Kurve, die Seil kurve übergehen. Die Polygonseiten berühren diese Kurve. Ci und Di, sowie die senkrecht unter den Lamellengrenzen liegenden Punkte des Polygons sind Berührungspunkte der

Seilkurve. Eine Parallele zur Schlusslinie durch den Pol 0 schneidet auf dem Kräftezuge wieder die Stützendrücke ab.

2. Vertikalkräfte. Die Vertikalkraft ist von A bis C unveränderlich und gleich dem Stützendruck A. Entsprechend den Teillasten würde man die in der Fig. 346 punktiert gezeichnete treppenförmige Linie als Begrenzung der Fläche für die Vertikalkräfte erhalten. Bei unendlich vielen Teilen geht die treppenförmige Linie indessen in eine gerade über. Zwischen C und D nimmt die Transversalkraft gleichmäfsig ab, so dass C₂ D₂ eine Gerade ist. In D erreicht sie ihren grössten uegativen Wert, den sie bis B beibehält und gleich

Fig. 346.

dem negativen Stützendruck B ist. Das Moment ist nun am grössten da, wo die Vertikalkraft ihr Vorzeichen ändert; dies geschieht im Schnittpunkte F₂ von C₂ D2 mit A₂ B₂, wo die Vertikalkraft zu Null wird. Senkrecht über F₂ tritt also das grösste Moment auf im Querschnitt F. Hieraus folgt der wichtige Satz:

-V

su

\j

v 1

V-i

Vi

F»

l_N

- -l-ir

Satz 51. Ist ein Träger gleichmäfsig belastet, so liegt der gefährliche Querschnitt an der Stelle, wo die Vertikalkraft gleich Null wird.

3. Momente. Von Ai bis Ci und von Di bis Bi ist die Momentenlinie geradlinig. Das Moment an einer beliebigen Stelle ist wie früher: M = H • y, also gleich Polweite mal Ordinate. Ist y Querschnitt F, so ist das grösste Moment:

Mma* = H • y

max

die Ordinate der Momentenfläche am

max*

ß) Rechnerische Lösung.

Die Last erstrecke sich über die Länge d des Trägers.

1. Stützendrücke. Die Gesamtlast, die auf den Träger liegt, ist dann:

P = p • d kg.

Denkt man dieselbe im Schwerpunkt der Belastungsfläche vereinigt, so ist, wenn der Schwerpunkt von der Stütze B den Abstand ß hat:

ist die Vertikalkraft gleich Null.

Da für den linken Trägerteil der Stützendruck A die einzig nach oben gerichtete Kraft ist, so folgt weiter, dass die Belastung links vom gefährlichen Querschnitt gerade gleich dem Stützendruck A sein muss, da sonst die Resultate aus beiden Kräften nicht Null sein könnte.

Satz 52. Der gefährliche Querschnitt teilt denTrägerso, dass die Last links gleich demStützendruckA und die Last rechts gleich dem Stützendruck B ist.

3. Momente. Nach den vorstehenden Untersuchungen ist es leicht, einen Ausdruck für das Maximalmoment zu finden. Man hat nach den Bezeichnungen der Fig. 348 :

Fig. 348.

106)

P - d-0

2. Vertikalkräfte. Nach Satz 51 liegt der gefährliche Querschnitt an der Stelle, wo die Vertikalkraft Null ist. Der Querschnitt, für den dies der Fall ist, habe von der Stütze A den Abstand x Meter, dann muss nach den Bezeichnungen

der Fig. 347 sein:

If- -

Fi*. 347. d----,

Hieraus folgt:

A — p • (x — a) = 0.

II

107)

—y*—-

J^ß.d

---Cf----*----y

--

d. h. im Abstande a +

Meter von der Stütze A

Mmax — A • X

oder:

-A

108)

Mmax — A •

a 4- x 2 *

c----

. oc . _

Fig. 349.

In dieser Gleichung ist für x der aus Gleichung 107 gefundene Wert einzusetzen.

Da es gleichgiltig ist, welchen Trägerteil man betrachtet, 3 so kann man auch von der Stütze B aus die Vertikalkräfte und Momente aufstellen. Ist y der Abstand des gefährlichen Querschnittes von der Stütze B, so ist nach Fig. 349:

y = b H—

109)

k-----V—

und das Maximalmoment:

109 a)

Belastungsfall 9. Ein Träger ist von der Stütze A über d Meter gleichmässig belastet mit p kg pro lfd. Meter (Fig. 350).

1. Stützendrücke. Die Gesamtlast ist P = p-dkg.

Man bestimmt in diesem Falle zuerst B aus der Gleichung:

Mmax = B •

bjF y

109)

dann wird A = p • d — B.

2. Vertikalkräfte. Stütze A = 0, dann ist:

Pd

21

Die Vertikalkraft sei im Abstande x Meter von der

also sehr einfach:

110)

3. Momente. Da die Last links vom gefährlichen Querschnitt gleich dem Stützendruck A ist, so ergibt sich sofort nach Fig. 351

A • x

Mmax — A • X

oder :

111)

max —

worin x =

<! . p-

einzuführen ist.

Fig. 350.

71 ty/m

Fig. 351.

Fig. 352.

-A.

ji My/m,

-f-

-ä-X~ %-*

P=nd

■CC

+-V-—*

CC

Reicht nach Fig. 352 die Last bis zur Stütze B und ist y der Abstand des gefährlichen Querschnittes von B, so wird

crv    '    """    1K *

112)

y = — und P

113)

By

Fig. 353.

M — _

iUraax — g

-AK

Belastungsfall 10. Der Träger ist über seine ganzeLänge gleichmässig belastetmit pkg pro lfd. Meter (Fig. 353).

«) Rechnerische Lösung.

Die Gesamtlast des Träger ist:

P —- p ■ 1.

1. Auflager drücke. Die Belastung verteilt sich zu gleichen Teilen auf die Stützen, demnach ist:

.-JC—,

-li

lii)

. Mit A = erhält man :

2. Transversal kräfte. Nach Gleich. 110 wird die Transversalkraft zu Null für x = -

P    2

_p-i_1

X 2p 2’

d. h. der gefährliche Querschnitt liegt in der Mitte.

Dies Resultat kann man auch direkt aus der Fig. 353 ableiten wie folgt: In einem beliebigen Querschnitt F im Abstande x von der Stütze a wirkt die Vertikalkraft:

p-1

-P

P-x

oder:

—--X

v = p.(

Dieser Ausdruck wird zu Null für:

3. Momente. Nach Gleichung 111) wird M

A _ P-1 A 2

max —

und x = -g-

hieraus erhält man mit

u

115)

Mrnax —

i'fv-

Dasselbe Resultat erhält man nach Fig. 354 wie folgt; es ist :

Al A • 1

Fig. 354.

Mmax —    ^

oder:

M =

-L'Amax — g

4    8 P

Mit P = p-1 kann man hierfür schreiben:

116)

Mmax —

PI.

Berechnet man nach Gleichung 116) die Momente für alle Querschnitte und trägt die erhaltenen Werte in einem passenden Mafsstabe senkrecht zur Stabachse auf so liegen die Endpunkte der Ordinaten auf einer Parabel, deren Pfeil in

der Mitte

p • l² ist Eine einfache Konstruktion der Momentenlinie ist in Fig. 353 dargesetellt.

ß) Graphische Lösung.

1.” Transversalkräfte. Unter dem Lager A ist die Transversalkraft:

V — + A — + p • -g-und über der Stütze B ist:

PT

bindet D mit E, so schliesst A₂ B₂ mit DE die Fläche der Vertikalkräfte ein. DE schneidet A₂ B₂ in der Mitte, hier ist also V = 0, in Uebereinstimmung mit dem Re-sultat der rechnerischen Untersuchung.

2. Momente. Die Seilkurve (Pa- jĄ rabel) erhält man dadurch, dass man die Belastung in eine Anzahl gleicher Teile zerlegt.

der Mo-

irax

OS

Da die Transversalkräfte von Querschnitt zu Querschnitt stetig ahnehmen, so ist die Begrenzung der Fläche der Vertikalkräfte eine Gerade (Fig. 355).

Trägt man daher in A₂ der horizontalen Geradeu A₂ B2 die Strecke —-

u

oben und in B2 nach unten

P-1

p-1

nach

ab und ver-

Fig 355.

Trägt man die Kräfte aneinander und konstruiert mit einem beliebig gewählten Pol das Seilpolygon, so berührt die Seilkurve die Polygonseiten. Den Pol wählt man zweckmäfsig so, dass die Polstrahlen Oa und Oc gleich werden, die Schlusslinie Ai Bi wird dann horizontal. Die äussersten Seilpolygonseiten schneiden sich auf der Vertikalen, welche in der Trägermitte errichtet wird, da die Resultierende aus den Kräften — hier das ganze Gewicht — durch den Schnitt der äussersten Seilpolygonseiten gehen muss. Die grösste Ordinate y mentenfläche liegt senkrecht unter der Trägermitte, im Einklang mit der Untersuchung der Transversalkraftfläche.

Belastungsfall 11. Ein Träger ist von der Stütze A über d Meter gleichmäfsig belastet mit p kg pro lfd. m, von der Stütze B über di Meter mit pi kg pro lfd. m (Fig. 356.)

1) Stützendrücke.

Mit den Bezeichnungen in Fig. 356 erhält man für die Stützendrücke:

Fig. 356.

117)

p.d (i — --) +P,~

A =-r

ji h'y/m-

jvJCgr/m

118)

da

B = p • d -f pi • di - A

2) Transversalkräfte und Momente.

p.d

Der gefährliche Querschnitt teilt nach Satz 52 den Träger so in zwei Teile, dass die Belastung des linken Teiles gleich dem Auflagerdruck A, die Belastung des rechten Trägerteiles gleich dem Stützendruck B ist.

Ist daher die Last p-d grösser als A, so liegt der gefährliche Querschnitt innerhalb der Strecke A C. Ist dagegen die Last p • d kleiner, als A, so muss der gefährliche Querschnitt im Trägerteil DB liegen.

Es sei nun p • d > A.

Nach Gleichung 110) hat dann der gefährliche Querschnitt von der Stütze A den Abstand:

119)

und das Maximalmoment ist alsdann nach Gleichung 111):

120)

M

max

_ A ~A 2

Es sei p-d<^A (Fig. 357).

Betrachtet man den rechten Trägerteil und nennt y den Abstand des gefährlichen Querschnittes von der Stütze B, so muss die auf der Strecke liegende

Fig. 357. JPr'V

Last

Pi • y = B

sein. Hieraus folgt aber

121)

Demnach wird das grösste Moment:

pi

1.2-

122)

M

tu max

By

Belastungsfall 12. Der Träger ist durch Einzellasten und durch eine gleichmäfsig verteilte Last beansprucht (Fig. 358).

a) Graphische Lösung.

Man konstruiere die Momentenfläche und die Vertikalkraftfläche für jede Belastung besonders mit derselben Poldistanz und demselben Kräfte-mafsstabe und addiere die Resultate mit Rücksicht auf das Vorzeichen.

Damit sich die Summe der Ordinaten der beiden Momentenflächen bequem als eine gerade Linie abgreifen lässt, konstruiere man die Seilkurve unterhalb, das Seilpolygon für die Einzelkräfte oberhalb der Horizontalen Ai Bi.

Für die gleichmäfsig verteilte Last liegt der Pol dann rechts, für die Einzelbelastung links von dem Kräftezuge. Ausserdem sind die Pole auf derjenigen Horizontalen anzunehmen, die durch den Punkt gehen, der auf den Kräftezügen die Auflagerdrücke abteilt. In Fig. 358 ist die Konstruktion durchgeführt.

Hinsichtlich der Lage des gefährlichen Querschnittes sind zwei Möglichkeiten vorhanden, er liegt entweder unter einer Einzellast oder zwischen zwei Einzellasten.

In Fig. 358 ist der letzte Fall dargestellt; der gefährliche Querschnitt liegt bei F senkrecht über dem Punkte Fi der addierten Vertikalkraftfläche. Die Vertikalkraft ist hier gleich Null.

ß) Rechnerische Lösung:

1. Stützendrücke. Nach den Bezeichnungen in Fig. 359 ergibt sich für den Stützendruck A:

demnach :

123)

124)

A P'1 A~ 2

B = p-1 + 2P — A.

2(P-b)

2. Yertikalkräfte und Momente. Ist die Vertikalkraft V₂ unmittelbar vor der Last P₂ noch positiv, also V₂ =A — p-a₂ —Pi>0, unmittelbar hinter P₂ dagegen negativ, also V3 = A — p • a₂ — Pi -P₂<0,

Fig. 358.

7T

AÀ

so liegt der gefährliche Querschnitt unter der Last P₂, da hier der Zeichenwechsel stattfindet.

Nach Fig. 360 wäre das Maximalmoment in diesem Fall :

125) M p • a₂²

— A ■ a2 — Pi • (a₂

max

"" T

— ai).

Ist V3 hinter P2 ebenfalls noch positiv, vor P₃ aber negativ, so liegtder gefährliche Querschnitt zwischen P₂ und P3. Angenommen dies f sei der Fall für den Quer- y* schnitt x, so müsste hier . die Vertikalkraft zu Null werden (Fig. 361.)

Demnach :

A — Pi — P₂ — p . x = 0, woraus sich x ergibt zu :

A — P1 — P₂

111111111 IT

A

•Ç-

1...J

-B.

~S>-

— II —

In diesem Falle wäre das grösste Moment:

Mmax == A x

126) p • x²

HW

JS

+0

Pl • Ci — P₂ • c₂

3. Stützweite der Träger.

In dem Abschnitt über die Auflagerung der Träger Seite 67 ff., war die Notwendigkeit

nachgewiesen, jeden Träger so zu lagern, dass die Auflagerdrücke an bestimmten Punkten angreifen. Die Lagerplatten sind demnach so anzuordnen, dass diese Bedingung erfüllt ist. Die Stützweite ist daher verschieden von der freien Länge der Träger, da die Auflagerdrücke nie an der Vorderkante des Mauerwerks angreifen können und auch nicht sollen. (Siehe Band IX, Seite 71 ff*.)

Fig. 360.

Fig. 359.

A,

Lu

Fig. 361.

UM

a3

ae~ai

Af

Liegt daher ein Träger auf zwei Mauern auf, so liegen die Angriffspunkte um ein gewisses Mafs hinter Vorderkante des aufgehenden Mauerwerks.

Bezeichnet man nach Fig. 362 mit L die freie Länge in m, 1 die theoretische Stützweite, so ergibt sich für 1 ein sehr brauchbares Mafs aus der Gleichung:

127)

l = 1,04 L -J- 0,1 m.

Liegt der Träger nur mit einem Ende in der Mauer, mit dem andern dagegen auf einer Säule, so ist nach Fig. 363:

128)

1 = 1,02 L-f 0,05 m.

Ist nun ein Träger auf seiner lichten Länge L gleichmäfsig mit p kg pro lfd. Meter belastet, wie es z. B. bei Unterzügen, die eine Scheidewand zu tragen

haben, der Fall ist, so theoretisch

Fig. 362.

Fig. 363.

der

•p“

___/

wäre

Träger nach Belastungsfall 8 zu behandeln. Praktisch dagegen wird man die Belastung bis zu den theoretischen Stützpunkten verteilt denken und

nun die Berechnung nach Belastuugsfall 10 bezw. 9 durchführen. Der Fehler, den man macht, ist so gering, dass man ihn völlig vernachlässigen kann. Man wird stets dasselbe Trägerprofil erhalten.

Die Einführung der theoretischen Stützweite ist unter allen Umständen erforderlich, da bei der Berechnung der Träger mit der freien Länge als Stützweite sich Fehler ergeben, die bis zu 12% und mehr, je nach der Belastung, anwachsen können.

4. Beispiele.

Aufgabe 1. Ein Unterzug von 5,4 m freier Länge trägt fünf gleiche Einzellasten (Fig. 364). Welches T-Eisen genügt den Anforderungen der Biegungsfestigkeit?

Die Stützweite ist Dach Gleichung 127)

1 = 1,04.5,4 + 0,10 = 5,72 m.

Auflagerdrücke. Da der Träger symmetrisch belastet ist, sind die Auflagerdrücke einander gleich und zwar wird:

A = B = 2 lh • 2000 = 5000 kg.

Vertikalkräfte. Einzellast statt, denn:

Der Vorzeichenwechsel findet unter der mittleren

5000 — 2 • 2000 = + 1000 kg und 5000 - 3 • 2000 = - 1000 kg.

Fig. 364.

eOOO 2000    *000    2000

MODO

Fig. 365.

2000

2000

2000

Jl ~

8000

t 0,9 + 0,9 Hjt- 0,9    0,9 -4*

, _—5,0-0 —

5000

*Ä7

Sooo

-1 0,90-, -

!»

_ s.ye

-Sr

2.86

■V

Momente. Das Maximalmoment wird jetzt nach Fig. 365:

Mmax = 5000 • 2,86 - 2000 (1,8 + 0,9)

= 8900 kgm = 890000 kgcm.

Widerstandsmoment. Das erforderliche Widerstandsmoment wird:

Werf -

= 990 cm³.

890000

900

Querschnitt. Dafür genügt T-Eisen N.P. 36 mit Wx = 1088 cm³. Aufgabe 2. Ein Unterzug ist durch einen Mauerpfeiler belastet, dessen Gewicht 7700 kg beträgt. Welches 7-Eisenprofil ist zu wählen, wenn zwei Träger die Belastung aufnehmen? (Fig. 366).

Auflagerdrücke. Nach Gleichung 106) wird

Fig. 366.

7700kg.

P-p 7700-2,1

4.6

= 3515 kg

^■ar

3515

mithin :

B = 7000 - 3515 = 4185 kg.

■*.*

2.0

9185

Vertikalkräfte. Die Last pro lfd. Meter beträgt 7700

-V

- *r

8,10

2,2

= 3500 kg.

60

Ist x der Abstand des gefährlichen Querschnittes von der Stütze A, dann folgt nach Gleichung 107):

- = 1,4 +

3515

= 2.4 m.

x = a 4--

P

Momente. Das grösste Moment wird nach Gleichung 108):

1,4 + 2,4

3500

a+^ = 3515-

Li

= 6678,5 kgm = 667850 kgcm. Widerstandsmoment. Das erforderliche Widerstandsmoment ist daher:

Mmax = A-

Querschnitt. Da zwei Träger zur Unterstützung dienen sollen, muss der 742

= 371 cm³ besitzen; dem entsprechen zwei T-Eisen

Querschnitt eines jeden ——-

z

N. P. 25 mit W = 2 • 396 cm³.

Aufgabe 3. Ein Träger ist nach Fig. 367 durch einen Mauerpfeiler mit 5980 kg belastet. Welches Trägerprofil genügt?

Auflagerdrücke. Für den Auflagerdruck ziso p findet man nach Gleichung 109):

5980 • 2,3

Fig. 367.

383 0~*    ₂

2-3,2

Werf =

667850

900

= 742 cm³.

= rd 2150 kg,

daher :

A = 5980 — 2150 = 3830 kg.

Vertikalkräfte. Der gefährliche Querschnitt liege xm von A entfernt, dann ist nach Gleichung 110), da die Last pro lfd. Meter

5980

2,3

= 2600 kg beträgt.

3830

2600

= 1,47 m.

Mmax =

Momente. Für das grösste Moment erhält man jetzt nach Gleichung 111): A x _ j⁸³⁽ł_M⁷ ₌ 2815,05 kgm = 281505 kgcm.

Widerstandsmoment. Hiernach wird das erforderliche Widerstands-

moment:

Fig. 368.

Werf =

281505

900

313 cm³.

5.2»

0,70

Querschnitt. Dafür genügt T-Eisen N. P. 23 mit Wx = 314 cm³.

g.¹ ■    .....

X—3:/77////// / ///ZZ/Zj /// / ///////77///// Ł 0.7o

f    m

Aufgabe 4. Die Balken eines Speichers liegen von Mitte zu Mitte 0,70 m auseinander. Das Gewicht der Decke beträgt pro qm 120 kg, die Schütthöhe des Getreides 1,0m, das Gewicht desselben 800 kg pro cbm. Welcher Balkenquerschnitt genügt, wenn die zulässige Beanspruchung 70 kg/qcm beträgt? (Fig. 368).

0,70

3007*9

5,oo

Fig. 369.

Die freie Länge des Trägers ist 5,29 m, demnach die Stützweite nach Gleichung 127) :

1 = 5,29 • 1,04 + 0,1 = 5,60 m.

i—i

so

Belastung. Die Gesamtlast pro qm Decke beträgt 800 + 120 = 920 kg, mithin ist die Last pro lfd. m Balken

p - 920 • 0,7 = 644 kg

und die Gesamtlast

P = 644 • 5,29 = 3407 kg.

Verteilt man diese Last über die theoretische Länge des Trägers (Fig. 364), so ist nach Gleichung 116) das Maximalmoment:

Minax = -Tr- • 3407 • 5,6 = 2384,9 kgm = 238490 kgcm.

O

Widerstandsmoment. Das erforderliche Widerstandsmoment berechnet sich daher zu :

Werf =

238490

70

= 3407 cm³.

Querschnitt. Dafür genügt ein Balkenquerschnitt von 26/28 mit Wx = 3397 cm³ oder ein solcher von 24/30 mit Wx = 3600 cm³. Siehe Tabelle 1 im Anhang.

Aufgabe 5. Eine durch zwei Träger unterstützte Mauer von 1J/₂ Stein Stärke hat eine Türöffnung von 1,1 m Breite (Fig. 370). Der linke Pfeiler wiegt 7800 kg, der rechte 12600 kg. Welches Trägerprofil ist zu wählen?

Auflagerdrücke. Nach Fig. 370 erhält man für die Auflagerdrücke A und B die Werte:

und

7800-3,85 + 12600-1,05

4,5

= 9613 kg

B = 7800 + 12600 - 9613 - 10787 kg.

Vertikalkräfte. Die Vertikalkraft wird zu Null innerhalb der rechten Belastungsstrecke, da die linke Pfeilerlast kleiner ist als der Auflagerdruck A. Betrachtet man daher    ^ x

den rechten Trägerteil und bezeichnet den Abstand des gefährlichen Querschnittes von der Stütze B mit y, so ist:

yéOoAy.

Fig. 370.

rsoooftg’

A= *

lüllltlllllll

S.J

- * t,os

*■

a.ts

B.

j 107J7?T<}

i

«r

&SO

woraus mit p =

12600

2,1

B-py = o,y = —

= 6000 kg nach Gleichung 121)

10787

6000

= rd 1,80 m.

¹’|5. = 9708,3 kgm - 970830 kgcm.

Mraax

Momente. Nach Gleichung 122) wird jetzt = B.-|- = 10787-

Li

= 1320500 kgcm.

1, SV-

Widerstandsmoment. Das erforderliche Widerstandsmoment ist daher:

970830

Werf =

900

= 1078 cm³.

1082 cm³.

Querschnitt. Dafür genügen zwei T-Eisen N. P. 28 mit W = 2-541 =

Aufgabe 0. Zur Ueberdeckung einer Schaufensteröffnung dienen drei Träger. Das Gewicht des Brüstungsmauerwerks ist 2100 kg, dasjenige des auf dem linken Trägerteil liegenden Mauerpfeilers 26700 kg. Welches Profil ist zu wählen? (Fig. 371).

Auflagerdrücke. Die Auflagerdrücke berechnen sich nach Fig. 371 zu:

2100    26700-1,93

' 2 ⁺    3,20

und B = 2100 + 26700— 17150 = 11650 kg. Vertikalkräfte. Der gefährliche Iaies-ofy. Querschnitt liegt offenbar innerhalb der linken Streckenlast. Bezeichnet man den Abstand des gefährlichen Querschnittes von A mit x, so muss für diesen die Vertikalkraft Null sein.

Fig. 371.

ÏÏÏÏÎTT

= rd 17150 kg

Z, trc

-y

<—«• = —i-

3,SO

Die Last pro lfd. m aus der gleichmäfsig verteilten Last ist pi =

26700 2,55

2100

3,2

== 656 kg, diejenige aus der Streckenlast p₂ =

p = 656 + 10470= 11126 kg.

Demnach muss sein:

= 10470 kg, beide zusammen

n A

= 0, x == —

1*

17150

= 1,54 m.

11126

Momente. Nach Satz 52 ist die links vom gefährlichen Querschnitt liegende Fig. 372.

Last gleich dem Auflagerdruck A, mithin nach Fig. 372

Mmax - 17150-1,54- 17150-

1,54

= 13205 kgm

Dasselbe Resultat hätte man ohne weiteres nach Gleichung 111) erhalten.

Widerstandsmoment. Hiernach wird das erforderliche Widerstands-

moment:

W.rf =

1320500

900

= 1467 cm³.

Querschnitt. Hierfür genügen 3 T-Eisen N. P. Nr. 27 mit W* = 3-491 = 1473 cm³.

Aufgabe 7. Die Belastung eines Unterzuges von 4,90 m Stützweite besteht aus

1.    einer gleichmäfsig verteilten Deckenlast von 12600 kg,

2.    zwei Mauerpfeilern, von denen der linksliegende 11800, der rechtsliegende 10200 kg überträgt,

3. zwei Einzellasten von 2600 bezw. 8500 kg, herrühend von zwei durch Vernietung angeschlossenen Trägern. Der Unterzug soll aus zwei Trägern gebildet werden, welches T-Eisenprofil genügt (Fig. 373). Stützendrücke. Nach Gleichung 123) und Fig. 373 erhält man für die Stützendrücke die Werte:

₌ 12600    11800 • 4,20 + 2600 • 3^80 + 10200 • 1,7 + 8500 • 1,5

= 24570 kg B = p • 1 + 2 P - A

= 12600 + 11800 + 2600 + 10200 + 8500 — 24570 = 21130 kg.

Vertikalkräfte. Aus der gleichmässig verteilten Decken-

12600 Fig. 373.

4.0

2600

ssoo

last erhält der Träger

4,0

= rd 2570 kg pro lfd. Meter. Bei einer gemischten Belastung stellt man zuerst annähernd die Grenze fest, zwischen denen die Vertikalkräfte ihr Vorzeichen ändern oder zu Null werden.

Im Punkte C ist V = 24570

—    2600 — 11800 — 2570 • 1,4 > 0

Im Punkte D ist V = 24570

—    2600 - 11800 — 2570 • 2,6 > 0

Direkt vor der Last 8500 kg ist

A.

2lssro

<r—    J,+0

V = 24570 — 11800 — 2600 -2570 • 3,4 -

■t-têoo

-r,&o

■x=

2,91

3,90

10200

1,2

10 2 00

liîïiOitiiil

12 300

mm

i Hin I

ur

1X0

-kW

-y

9.90

*,20

*■t.SO

- • 0,8 < 0.

-4*- / 'O -a ■ zjtaoUg.

1,60    —ł-

*,*0

Der gefährliche Querschnitt muss demnach innerhalb der Trägerstrecke DE liegen, weil hier der Zeichen Wechsel eintritt. Die Yertikalkraft muss also zwischen D und E an einer Stelle zu Null werden. Angenommen, dieser Punkt habe vom Auflager A den Abstand x (Fig. 373), so muss mithin sein:

24570 — 11800 — 2600 - 2570 • x

• (x — 2,6) = 0

10200

1,2

10170 - 2570 x - 8500 x + 22100 = 0 11070 x =32270 x = 2,91 m.

Man tut stets gut, wenn man das erhaltene Resultat nochmals mit der gemachten Annahme vergleicht, um sich vor groben Fehlern zu schützen. Es war angenommen, dass der gefährliche Querschnitt zwischen D und E liege, dass also x grösser sei als 2,6 und kleiner als 3,4 m. Gefunden wurde x = 2,91, so dass die Voraussetzung erfüllt ist.

Momente. Mit Beziehung auf Fig. 374 wird das grösste Moment:

Mmax = 24570 • 2,91 - 11800 • 2,21 - 2600 • 1,81 -

2570-2,91²    8500 - 0,31²

= 29422,75 kgm = 2942275 kgcm.

Fig. 374.

7.600

Widerstandsmoment. Das erforderliche Widerstandsmoment wird hiernach: 2942275

A~

,8500 tig/m ZiroKg/m.

J.700O

w„, =

Querschnitt. Dafür genügen zwei T-Eisen N. P. 42¹/* mit Wx = 2-1739 = 3478 cm³.

900

= 3269 cm³.

,    u .0,8 *.

(*■---7.81----4

----

____.

5. Träger mit ungleich hohen Stützen.

In dem Abschnitt über die Auflagerung der Träger Seite 67 ff. ist schon darauf hingewiesen worden, dass die Höhenlage der Stützen keinen Einfluss ausübt auf die Beanspruchung der Träger. Vorausgesetzt war dabei, dass das eine Lager beweglich, das andere fest angeordnet sei. Das feste Lager war erforderlich, um bei schiefer Belastung deren Horizontalkomponente aufnehmen zu können. Das bewegliche Lager erhält aber bei jeder Belastung nur vertikal gerichtete Drücke.

Sind von einem Träger nur vertikale Lasten aufzunehmen, so können die Stützendrücke am festen und beweglichen Lager ebenfalls nur vertikal gerichtet

sein. EinSchub in horizontaler Richtu ug kann daher nich t v ork ommen. Dies ergibt sich schon aus den Gleichgewichtsbedingungen, dass sowohl 2 V wie J2 H = 0 sein muss.

Ein nach Fig. 375 und 376 aufgelagerter Träger ist daher, wenn nur vertikale Lasten aufzunehmen sind, zu berechnen wie ein horizontaler Träger. Als Stützweite istdabei die horizontale Entfernung der Angriffspunkte der Auflagerdrücke einzuführen, wie auch die Ąr⁵ Abstände der Lasten untereinander und von den Stützen im Grundriss zu messen si nd

^------

Fig. 375.

////

-G

- -f—l1* i-■ t—\h r

- aj    2

—> — — — — ^

Die auf einer schrägen Dachfläche von der Länge L liegende Schneelast ist genau dieselbe, wie die auf einer horizontalen Dachfläche liegende Last von der Länge l (Fig. 376). Die Gesamtlast, welche ein Sparren von der Länge L aufnimmt, übt daher denselben Einfluss aus auf einen horizontalen Sparren von der Länge l. In den Belastungtabellen ist daher der Bequemlichkeit wegen die Belastung pro qm Grundriss angegeben.

Aufgabe l. Die Entfernung der Sparren eines Daches, dessen Neigung 1:1 ist, beträgt 0,60 m. Das Dach ist als Falzziegeldach ausgebildet. Die hori-

*r—¹

zontale Entfernung der Pfetten ist 3,2 m. Welchen Querschnitt müssen die Sparren erhalten? (Fig. 377).

Nach der Tabelle 5 auf Seite 78 ist die Belastung pro qm Grundriss rd 400 kg. Die Last pro lfd. m Sparren im Grundriss ist daher 400-0,6 = 240 kg. Nach Gleichung 115) ist daher:

VA///////////////,

Fig. 376.

/// v/- ^

'//////////////;

Fig. 377.

y/////////////,

to

uf

Fig. 378.

■i

nHiiniiiiiiiiiiir.iiiiiiiiililiimil

Ai i.

Ti*

<-

l---

Mmax = -g- p • l² =

rH i X

• 240 • 3,2² = 307,2 kgm - 30720 kgcm

mithin das erforderliche Widerstandsmoment:

Werf -

= 384 cm³.

30720

80

Dafür genügt ein Querschnitt 12/14 mit Wx = 392 cm³. (Siehe Tabelle 1 im Anhang).

Aufgabe 2. Die in Fig. 378 dargestellte Treppe werde durch eine Kleine’sche Decke getragen. Eigenlast 350 kg, Nutzlast 500 kg, also Gesamtlast 850 kg/qm Grundriss. Welches T- oder “-Eisen ist für die Wange zu wählen?

Die Belastung einer Wange beträgt:

4 ß . 1 5

’ ₂ * • 850 - 2932 kg,

demnach :

Mraax = 4- - 2932 • 4,6 = 1685,9 kgm = 168590 kgcm

O

mithin :

168590

= 187 cm³.

Werf =

Dafür genügt ein T-Eisen N. P. 20 mit Wx = 214 cm³ oder T-Eisen N. P. 20 mit Wx = 191 cm³.

900

6. Yon der Durchbiegung der Träger.

a) Der eingespannte Träger.

Die Durchbiegung eines Trägers ist offenbar abhängig von drei Faktoren. 1. Sie ist um so grösser, je grösser die Biegungsmomente in den einzelnen Trägerquerschnitten sind;

io*

2.    ist sie um so kleiner, je besser das Material des Trägers, also je grösser der Elastizitätsmodul E ist;

3.    ist sie abhängig von der Form des Querschnittes. Da diese sich ausdrückt im Trägheitsmoment, so kann man schliessen, dass die Durchbiegung um so kleiner ist, je grösser das Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes ist.

In den allermeisten Fällen besitzen die im Hochbau verwandten Träger an allen Stellen denselben Querschnitt; das Trägheitsmoment J ist somit für alle Querschnitte gleich. Ebenso ändert sich der Elastizitätsmodul E nicht. Dagegen sind die Biegungsmomente an allen Stellen verschieden. In dem Ausdruck für die Durchbiegung eines Trägers werden sich daher die konstanten Grössen E und J unter dem Bruchstrich, die von den Momenten abhängigen Glieder auf dem Bruchstrich befinden müssen.

k- - -

--ar--

£L6

d\

-J-*-

; \t^\

QL

'V

1/

Die krumme Linie, welche die neutrale Faserschicht nach der Durchbiegung bildet, nennt man die elastischeLinieoderBiegungs-linie (Fig. 379). Diese kann man sich aus lauter kleinen Kreisbögen zusammengesetzt denken Radien verschieden gross sind.

Teilt man die elastische Linie in sehr kleine Teile £ (sprich xi) und legt durch d und f zwei Querschnitte, die ursprünglich parallel waren, so bilden sie nach der Durchbiegung einen kleinen Winkel ą (sprich Phi) miteinander. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke fbc und

deren

(/

\!

Fig. 379.

fdO folgt

d f r ’

Nun ist aber b c die Dehnung, welche das Faserstückchen gc=df=£ erfahren hat. Bezeichnet man den Elastizitätsmodul des Trägers mit E, die Faserspannung mit <r, so ist nach Gleichung 50a)

CT

df E

mithin :

CT

df

Bezeichnet man das Biegungsmoment für den Punkt d mit Mx, so ist nach der Biegungsgleichung 66)

Mx _ Mx • a

IT ~~T~

wenn a der Abstand der äussersten Faser von der neutralen Faserschicht und J

CT —

das Trägheitsmoment des Querschnittes bedeutet. Setzt man diesen Wert von er in die vorige Gleichung ein, so folgt:

129)

Mx •

Da Mx für jeden Querschnitt einen anderen Wert hat, so folgt, dass die Krümmungsradien für alle Querschnitte verschieden sind, in Uebereinstimmung mit der obigen Annahme (Fig. 380).

IL

Fig. 380.

CB

Der Winkel ß, den der Querschnitt d mit dem Endquerschnitt bildet, setzt sich nun zusammen aus den Winkeln </>i, </>2,9.3 usw., den die aufeinanderfolgenden Querschnitte miteinander bilden.

Aus dem Dreieck f d 0 (Fig. 379) folgt nun allgemein:

SU

= r • (f, also (p =

oder wenn man den Wert für r aus Gleichung 129) einsetzt:

Mx • $

⁹ - irr

Aus Fig. 380 ergibt sich daher (/1 _

EJ

r-—

1    1

I _ . J _ _

I

=s**-L- -

x ! st, 7xjx

..

-V

A. _

>u

zi

£/

130)

MX2.£

E-J

<f 3 =

MX3-

¹ >f} !    >'

¹/

ąĄ''

. /PK/

O/

su

JVt

mithin ß — (fi -f ÿ>2 + 93 + . .. = 2' ff = oder kürzer:

Ę-j- (MXl •    + MX2 •    + MX8 •£+...)

131)

-Z(Mx-£).

Dieser Ausdruck lässt sich geometrisch wie folgt deuten:

Trägt man über jedem Teilchen £ der Stabachse das zugehörige Biegungsmoment als Ordinate auf (Fig. 381), so stellt der Ausdruck -2(Mx-£) den Inhalt der dadurch erhaltenen Momentenfläche dar, so dass Gleichung 130) übergeht in:

132)

Inhalt der Momentenfläche

E-J

d. h.

Satz 53. Der Winkel, den ein beliebiger Querschnitt mit dem Endquerschnitt bildet, ist gleich dem zugehörigen Inhalt der Mo-mentenfläche dividiert durch EJ.

Die ganze Durchbiegung b des Trägers setzt sich nun zusammen aus den Einzelteilen 5i, §2, bi usw., die man erhält, wenn man in den Endpunkten der Achsenteilchen £ die Tangenten an die Biegungslinie zieht. Die Winkel, den zwei aufeinanderfolgende Tangenten miteinander bilden, ist gleich dem Winkel, den die entsprechenden Krümmungsradien miteinander einschliessen, Wegen der Klein-

Satz 54. Die Durchbiegung eines eingespannten Trägers erhält man, wenn man das statische Moment der Momentenfläche in bezug auf das freie Stabende dividiert durch das Produkt E• J.

Fig. 382.

Fig. 383.

heit der Teilchen 5i, §2, §3 usw. kann man diese auffassen als Kreisbögen, die aus den Mittelpunkten i, h, d usw. geschlagen sind. Aus Fig. 380 folgt dann sofort, wenn man für (fi, </>?, <f₃ usf. die Werte aus Gleichung 130) einsetzt:

Si = Xi • (fi = Xi •

MXl • £

EJ

^2 — X‘2 • <p2 =

X2.J^

² E • J

bz = X₃ • (f z — x₃ •

Mx₃ ' £

wobei Xi, X2, x₃ usw. die Abstände der Querschnitte vom Stabende bedeuten. Durch Addition erhält man:

b = 5i -}- Ô2 -f- 5.₃ -|- . . .

oder kürzer:

(xi • MXl • £ 4- x₂ • MX2 • £ + x₃ • MX3 •£+...)

133)

2[x.(M,.g)

0

Betrachtet man nun in Fig. 381 ein Flächenteilchen Mx • £, so bedeutet x • (Mx • £) das statische Moment dieses Flächenteil-

Fig. 383.

chens für den Endpunkt A des Stabes. 2 fx • (Mx • £)]

⁰

ist daher das statische Moment der Momentenfläche in bezug auf den Endpunkt A des Stabes. Man kann somit schreiben, wenn man das statische Moment mit 9Jla bezeichnet:

----OC -

134) b =

Moment der Momentenfläche E J

ET*

Ueber die Art der Einspannung war keine Einschränkung gemacht, der Satz gilt demnach auch für schief eingespannte Träger nach Figur 382 und 383.

Belastungsfall 1. Für den in Fig. 334 dargestellten Belastungsfall erhält man, da die Momentenfläche ein Dreieck vom P-l²

Inhalte —^— ist und der Schwerpunkt vom Stabende den Abstand ²/₃ 1 hat, für die Durchbiegung den Wert: ^

135)

1 P-l² 2 ö ~ E- J 2 ' 3

P-l³

3-E-.P

Mit P • 1 = M erhält man:

Mi2 3 • E • J*

ln den Gleichungen 135) und 13G) ist 1 in cm, M in kgem einzusetzen, man erhält dann b in cm. Dies gilt für alle folgenden Gleichungen.

Aufgabe. WTie gross ist die Durchbiegung des Freiträgers in Aufgabe 1 Seite 130? Der Balkenquerschnitt 22/28 hat ein Trägheitsmoment von Jx = 40245 cm⁴ (siehe Tabelle 1); Mraax war 156000 kgcm; 1 = 1,3 m = 130 cm; E ist rd 110000, mithin:

136)

156000-130-130

3-110000-40245

= 0,2 cm.

Belastungsfall 2. Für den Belastungsfall in Fig. 336 erhält man

p-l² 1 p-l³

die Durchbiegung b wie folgt : Der Inhalt der Momentenfläche ist - • ----^ —

3

der Abstand des Schwerpunktes vom Stabende ~ 1, mithin:

₌ _PJÜ_

8-E-J

137)

p-l³

E-J 6

50 ht

p-l²

ist, so folgt:

138)

Mjuax •

l²

-f (M in kgcm, 1 in cm).

ß) Träger auf zwei Stützen.

Die allgemeine Durchbiegungsgleichung.

Die vorstehenden Ableitungen lassen sich direkt auf den Träger auf zwei Stützen anwenden. Will man für den in Fig. 384 dargestellten und beliebig belasteten Träger die Durchbiegung b im Punkte C erhalten, der von den Stützen den Abstand a und b hat, so denke man sich den Stab nach erfolgter Durchbiegung im Querschnitt C eingespannt. Die Tangente im Punkte Ci betrachte man jetzt als den Träger, dessen Enden sich unter der Wirkung der links bzw. rechts

Querschnitt liegenden Kräfte (einschl. Auflagerdrücke) um die Strecken 5a '

■p

-~T

■y

Fig. 384.

-H

vom

bezw. Sb durchgebogen haben. Die Stützweite sei 1,

Nach einer einfachen geometrischen Beziehung ist:

a • öb

b-5a

-4-

Die mit Hilfe des Pôles 0 gezeichnete Momentenfiäehe wird durch die durch C gehende Ordinate C2 C3 in zwei Teile Fa und Fb zerlegt. Nach Satz 54 lassen sich daher die Durchbiegungen 5a und 5b berechnen. Bezeichnet man das statische Moment der Fläche Fa in bezug auf die Stützenvertikale A mit 9J}a5 dasjenige der Fläche Fb in bezug auf die Stützenvertikale B mit 9Kb, so ist

und §b =

folglich, wenn man diese Werte in die vorige Gleichung einsetzt:

EJ’

139)

bE + alb

In dieser Gleichung sind a, b und 1 in cm, 9fta und 9ftb bezogen auf cm einzusetzen, um 5 in cm zu erhalten.

Nach dieser Gleichung lässt sich für jeden Querschnitt die Einsenkung berechnen. Trägt man diese in natürlicher Grösse von der Stabachse aus ab, so

erhält man die Biegungslinie verzerrt, da der Träger in —

Grösse gezeichnet ist.

In der Praxis genügt es stets, die grösste Einsenkung zu kennen. Es reicht daher aus, nach Gleichung 139) für einige Querschnitte b zu berechnen und aufzutragen und die Endpunkte durch eine Kurve zu verbinden, welche mit genügender Genauigkeit als die Biegungslinie angesehen werden kann. Aus ihr ergibt sich dann die grösste Durchbiegung.

Für symmetrisch belastete Träger ist die Durchbiegung in der Mitte am grössten, sie tritt stets da» auf, wo M trifft für beliebig belastete Träger nicht zu.

Bei symmetrisch belasteten Trägern ist die Momentenfiäehe ebenfalls symmetrisch zu der Mittelvertikalen, die statischen Momente 9)ta und 9Jîb für die Stützenvertikalen werden daher einander gleich. Setzt man SDl« = 9ttb = 9P, so

folgt aus Gleichung 139), da a = b = ~ ist, für die grösste Durchbiegung in der Trägermitte:

seiner wirklichen

maz

auftritt. Dies

140)

E J*

Satz 55. Die in der Mitte auftretende grösste Durchbiegung eines symmetrisch belasteten Trägers ist gleich dem statischen Moment der halben Momentenfiäehe für eine Stützenvertikale dividiert durch das Produkt E • J.

Anwendung auf die einfachen Belastungsfälle in Fig. 343, 344, 345 und 353. Belastungsfall 6 und 6a. Die Durchbiegung unter der Last P in Fig. 343

Pa•b a 2

ergibt sich aus Gleichung 139). Es ist 9fta = P•b³•a

P • a³•b

3-1

, mb=

3-1

mithin:

141)

P ■ a³ • b² + P • a² • b³

P • a² - b²

3 • l² • E • J

mithin die Durch-

Steht die Last in der Mitte (Fig. 344), so ist a = b =

biegung :

l²

142)

px-

P • l³

48 • E • J'

3 • 1 • E-J

Belastungsfall 7. Die Durchbiegung in der Trägermitte bei Fig. 345 ergibt sich aus Gleichung 140).

Es ist

i!

a²

3K = Pa-4--|-a + P-a-Z à

mithin :

(y_8)'T'(T+a)⁻x'(

143)

a²

3/

Da P.a=M

max)

so folgt auch :

144)

Mmax

/1²    a²\

⁽ '    3/

2 • E • J \ 4

Belastungsfall 10. Für die gleichmäfsig verteilte Belastung (Fig. 353) ist die Durchbiegung in der Trägermitte ebenfalls aus Gleichung 140) zu ermitteln.

2

Die Momentenfläche ist eine Parabel, der Inhalt der halben Fläche Q • —

tH cc

p-l²-2

----g-, mithin:

145)

p • l³

2^ Der Abstand des Schwerpunktes von der Stützenvertikalen ist

xC (00

1    p-1³ 5    1

Ë• J 24 ' 8 * 2 “ 384-E-J '

Da E, J und 1 sich auf cm beziehen, so bedeutet hier p die Last pro lfd. cm.

5 • p • l⁴

Nun ist M

max —

Ce h-*-

•p-1², setzt man diesen Wert ein, so erhält man

146)

5 Mmax * l2 48 * E-J ’ worin Mmax in kgcm, 1 in cm einzusetzen ist.

Aufgabe. Wie gross ist die Durchbiegung der Balken in Aufgabe 4 Seite 142 und 143?

Es war Mmax = 238490 kgcm, ferner 1 = 560 cm, ferner ist nach der Tabelle 1 im Anhang das Trägheitsmoment des Balkenquerschnittes 24/30 Jx = 54000 cm4 endlich E = 110000, mithin:

238490-560-560

= 1,31 cm.

48    110000-54000

a-4

Einige allgemeine Bemerkungen. Wie oben schon bemerkt wurde, ist die Durchbiegung eines Trägers um so kleiner, je grösser das Trägheitsmoment seines Querschnittes ist. Bei der Berechnung hölzerner Träger findet man vielfach, dass als zweckmäfsigstes Verhältnis der Seiten das Verhältnis b : h = 5 : 7

angegeben wird. Dies hat durchaus keine Berechtigung. Mau wird unter allen zur Verfügung stehenden Querschnitten von gleichem Wiederstandsmoment denjenigen wählen, der das grösste Trägheitsmoment besitzt, da dieser Balken am wenigsten durchbiegt, also am steifsten ist.

Dieser Querschnitt hat ausserdem den geringsten Flächeninhalt.

Für die Balkenquerschnitte z. B.

ist Ws = dagegen Jx = und f =

11,5/30 1725 cm3 24150 25875 cm4 345 qm

Der Balken 11,5/30 besitzt dasselbe W wie die anderen, er hat aber das grösste Jx und das kleinste f. Er biegt am wenigsten durch und ist billiger wie die andern. Heute werden von den Holzhandlungen die Hölzer nach den in der Tabelle 1 im Anhang angegebenen Normalabmessungen auf Lager gehalten, man wird sich daher an diese Norraalhölzer halten.

18/24

1728

20736

432

15,3/26

13,2/28

1724

1725

22412

398

370

Graphische Konstruktion der Biegungslinie.

Die elastische Linie des beliebig belasteten Trägers in Fig. 385 lässt sich in folgender Weise konstruieren.

Man zeichne mit Hilfe des Pôles 0 das Seilpolygon Ai Di Bi. Das Moment an einer beliebigen Stelle C ist dann:

p p

r3

^ Fig. 385 a.

S -+

-5<r- i

M = H • y,

wenn H die Polweite, y die senkrecht unter C liegende Ordinate der Momen-tenfläche ist. Aus der vorstehenden Gleichung folgt:

Al

fr

y ist also proportional den Momenten M.

Fig. 385 b.

aT

'Û

E.J

Nimmt man an, dass die Momente an allen Stellen bekannt wären, so liessen sich die y für alle Querschnitte berechnen, indem man die Momente durch die Polweite H divi-

diert. Die Seillinie Ai Bi Di liesse sich dann durch Aufträgen der sämtlichen

y finden.

Nach Gleichung 139) ist die Durchbiegung 5:

E-J

Bringt man jetzt die Momenten-fläche Ai, Bi, Di als Belastung auf den Träger, so lässt sich nachweisen, dass

der Ausdruck

b.3tta-pa-2K„

das Biegungsmoment für den Querschnitt C ist.

Denkt man nämlich zuerst nur die Belastung fi und f₂ auf dem Träger, so ergibt sich oacli Fig. 386 für den rechten Stützendruck 33 der Wert: fi • ai + f₂ • a2 = 3W.

33 =

Pig. 386.

und das Biegungsmoment für den Punkt C wäre 3Wi = 33 • b.

In gleicher Weise würde die Belastung ^ f3, f45 f5^ f6 nach Fig. 387 den Stützendruck 91:

_ G • bą -f- f-t • b4 -j- fs • bs -j- fe • by 907 erzeugen und im Punkt C das Biegungsmoment:

3)l₂ = 2t-a hervorrufen.

Fig. 387.

Die Gesamtbelastung fi—f₆ bringt daher in C das Biegungsmoment % + hervor.

Es ist also :

b-3R. + a-3Rb

+3R2 = »- b+ 9l.a =

Setzt man -f 9)1₂ = 907, so folgt mithin :

EJ

147)

Setzt man E ■ J = Hi, so folgt

148)

Die Uebereinstimmung dieser Gleichung mit derjenigen für y lehrt, dass sich die Biegungslinie konstruieren lässt als eine Seillinie, deren Ordinaten an jeder Stelle proportional sind den Biegungsmomenten 907 und die mit einer Polweite Hi = E*J gewonnen wird. Da die Ordinaten y der Momentenfläche Hfach verkleinert sind, so muss, damit die Einsenkungen b mafsstäblich erhalten werden, die Poldistanz Hi Hmal grösser genommen werden, so dass die wirkliche Polweite für die Biegungslinie

E-J

1,1—ff

149)

zu setzen ist.

Zerlegt man jetzt die Momentenfläche in eine Anzahl Teilflächen fi f₂ fß usw., reiht dieselben zu einem Kräftezuge aneinander und zeichnet zu diesen Kräften

so umhüllt dieses Seil-

Ë * J

das Seilpolygon A₂ ß₂ D₂ mit der Polweite Hi = —„

polygon die Biegungslinie.

Da der Träger in — seiner natürlichen Grösse gezeichnet ist, so wird sich

die Biegungslinie, da die Einsenkungen b sehr klein sind, kaum von der Geraden A₂ B₂ unterscheiden. Die Deutlichkeit erfordert, dass die Durchbiegungen in der Zeichnung vergrössert erscheinen. Will man sie in natürlicher Grösse haben, so ist die Polweite Hi nmal kleiner zu macheu, also

E-J nH

zu setzen. Sollen die Durchbiegungen in m fâcher Grösse erscheinen, so würde die Polweite in mal kleiner zu machen, also

E-J m • n • H

151)

zu setzen sein.

H:

Das Verfahren soll an dem nachfolgenden Beispiel gezeigt werden.

Aufgabe. Es ist die Biegungslinie für den in Fig. 388 dar gestellten Träger zu zeichnen, so dass die Durchbiegungen in dreifacher Vergrösserung erscheinen. Der Träger ist im Mafsstab 1:100 gezeichnet, die Polweite H = 4000 kg angenommen.

Nachdem man die Kräfte zu einem Kräftezuge aneinandergereiht und mit Hilfe des Pôles 0 die Momentenfläche konstruiert hat, findet man, da y unter der Last P₃ = 2,48 m ist, für das grösste Biegungsmoment Mraax = H • y = 4000- 2,48 = 9920 kgm = 992000 kgcm. Das erforderliche Widerstandsmoment 992000

max

ist somit

900

= 1102 cm³. Dafür genügt T-Eisen N. P. 36 mit Wx = 1088 cm³.

Das Trägheitsmoment Jx ist nach Tabelle 2 im Anhang Jx = 19576 cm⁴.

Jetzt denke man den Träger durch die Momentenfläche belastet. Der Belastung entsprechend wurde hier die Momentenfläche in 6 Teile zerlegt. Die Grösse der Flächen werden:

fi -

0,9 • 1,36

= 0,612 qm = 6120. qcm

f₂ =0,82-

1,36 + 2,11

= 1,4227 „ = 14227 „

f₃ = 0,68 •

2,11 + 2,48

= 1,5606 „ = 15606 „

fé = 1,2 •

2,48 + 2,14

= 2,772 „ = 27720 „

fs = 0,6 •

2,14 + 1,70

= 1,152 „ = 11520 „

fe = 1,2*    = 1*032 „ = 10320,,

Der Elastizitätsmodul des Schmiedeeisens ist 2000000, die Polweite für die Momentenfläche ist H = 4000 kg, die Vergrösserung der Durchbiegung soll

eine dreifache sein, also m

= 3, der Träger ist seiner Grösse gezeichnet.

n = 100, mithin ist die Polweite für die Biegungslinie nach Gleichung 151), da J = 10576 cm⁴ ist :

Hi =

2000000 • 19576

zu setzen.

3 • 100 • 4000

= 32677 qcm

Die Flächen werden jetzt als Kräfte aufgetragen in einem beliebigen Mafsstab — hier wurden 10000 qcm = 1 cm angenommen — und nun das zweite Seilpolygon gezeichnet. Hätte man statt der 6 Teilflächen deren unendlich viele angenommen, so würde das Seilpolygon in eine Seilkurve übergehen, welche der Biegungslinie entspricht. Die in das Polygon eingezeichnete Kurve ist daher die Biegungslinie. Die grösste Ordinate ist in der Zeichnung 21,9 mm, die grösste

21 9

Einsenkung daher —^ 3

7,3 mm.

Die Stelle, an welcher die grösste Durchbiegung auftritt, kann gefunden ^werden, indem man die Vertikalkraftfläche für die Belastung fi,f2,f3 usw. kon-

= aoooftg.

Z£-

fOooTOj

2*00

7500

00P8

§    | Fig. 888.

5 k

2 1O0

f.

P3

f.

Ù----

JL

J.

/■

«i

Jii\gung$Unie 31* l.

Os i

3262? Cf-cm.

* cm - 40000 c/ym

-h

---Ô--------

—i—

struiert. Die grösste Durchbiegung liegt dann Wechsel eintritt. Dies geschieht im vorliegenden Falle bei F.

an

der Stelle, wo der Zeicken-

7. Träger mit überhängendem Ende.

Die Träger mit überhängendem Ende kommen im Hochbau vielfach bei der Konstruktion der Baikone zur Anwendung.

Belastungsfall 13. Die Belastung besteht aus einer gleichmäfsig verteilten Last p kg/m und einer am vorderen Ende angreifenden Einzellast P (Fig. 389).

Au flag er drücke. Um den Auflagerdruck A zu erhalten, stelle man die Momentengleichung für B auf, dann folgt:

c    A • 1 — p • 1 ~ + p • a •

Fig. 389.

AaÏ-

mmm

pi,

jP'

4 P . a = o,

i*-- ir—l t-J-

woraus :

-A

152)

ą _ P * 0² — a²) — 2 P • a

21

Aus der Bedingung SV=o ergibt sich dann für B:

153)

B = p (1 4 a) 4- P — A.

A kann positiv und negativ werden, je nachdem p • (l² — a²) grösser oder kleiner als 2-P-a ist. Im ersten Falle wirkt A von unten nach oben, im anderen Falle von oben nach unten.

Wird A negativ, so liegt das grösste Moment stets über B und berechnet sich zu:

154)

Mb = P • a +

Ist dagegen A positiv, so tritt das grösste Moment M, welches zwischen A und B wirkt, da auf, wo die Vertikalkraft = o wird, das ist in der Entfernung:

155)

von der Stütze A der Fall und bestimmt sich nach Gleichung 111) zu: 156)

Mmax =

A-x

2 '

Das Stützenmoment M» bleibt wie in Gleichung 154).

Das grössere der beiden Momente ist für die weitere Berechnung entscheidend. Belastungsfall 14. Liegt der Belastungsfall in Fig. 390 vor, der z. B. dann vorhanden ist, wenn der Balkon durch Personen besetzt, das Zimmer hingegen leer ist, so werden die Fig. 390.

j?

Au flagerd rücke:

p-1² — 2-P-a — q-a²

158)

21

und:

159)

y-Ci

Das Moment über der Stütze B wird:

• a²

160)

Mb — P a 4 ■—g—*

Wird A negativ, so ist MB das grösste am Träger auftretende Moment. Ist A dagegen positiv, so tritt das grösste Moment, welches zwischen den Stützen A und B wirkt, da auf, wo die Vertikalkraft = o wird und berechnet sich zu:

zu setzen ist.

Fig. 391.

161)

M.max

Ins X

Aufgabe. Ein ausgekragter Erkerträger erhält die in Fig. 391 angegebene Belastung.

Welches Profil ist zu wählen?

Auflagerdrücke. Nach Gleichung 158) f.____

und 159) werden die Auflagerdrücke A und B:

700 • 5,2² - 2 • 1800 • 1,46 - 1600 • 1,462 2-5,2

B = 700 • 5,2 + 1600 -1,46 + 1800 — 987 = 6789 kg.

Zoo

zeooHc/lm

- S.S

987 kg.

Momente. Das Moment über der Stütze B wird nach Gleichung 160):

1600 -1.46²

Mb = 1800-1,46 +

= 4332 kgm = 433200 kgcm.

Da A positiv ist, liegt das grösste Moment, welches zwischen den Stützen auftritt, im Abstand:

A 987

p 700

von A entfernt und wird nach Gleichung 161) :

1.41

= 1,41 m

M —

1TAraax —

A-x

2    = 987 •

\    == 695,8 kgm = 69580 kgcm.

Ll

Widerstandsmoment. Das absolut grösste Moment ist Mb, mithin wird das erforderliche Widerstandsmoment:

Werf =

= 480 cm³.

432200

900

Quer-schnitt. Dafür genügt T-Eisen N. P. 27 mit Wx = 491 cm³.

8. Die statisch unbestimmten Träger.

Zu den statisch unbestimmten Trägern gehören die eingespannten und die kontinuierlichen, d. h. die über mehr als zwei Stützen reichenden Träger. Bei diesen lassen sich die Auflagerdrücke imd Biegungsmomente nicht mehr mit Hilfe der drei Gleiehgewichtsbedingungen JSH = 0, 2 V = 0, 3M = 0 bestimmen. Zur Be- ? Stimmung der unbekannten Grössen sind hier stets die Gleichungen, nach welchen die Durchbiegungen zu berechnen sind, die sogenannten Elastizitätsgleichungen erforderlich.

Bei symmetrischer Belastung der Träger ist die Anwendung der Elastizitätsbedingungen nicht allzu schwierig, bei beliebiger Belastung indessen stellen sich der Untersuchung dem in der höheren Mathematik nicht bewanderten Techniker ausserordentliche Schwierigkeiten entgegen. Die einfacheren Fälle sollen daher hier behandelt, für andere Fälle nur die Resultate mitgeteilt werden.

a) Die eingespannten Träger.

Belastungsfall 15. Der beiderseits eingespannte Träger ist gleichmäfsig über seine ganze Länge belastet.

Die Belastung sei p kg/m. Läge der Träger frei auf seinen beiden Stützen, so würde er nach Fig. 392 durchbiegen. Wie oben auf Seite 46 bereits nachgewiesen, sind dann die an dem Träger wirkenden Momente sämtlich positiv.

Ist der Träger dagegen an beiden Enden fest eingespannt, so wird sich der Träger nach Fig. 393 durchbiegen. In dem mittleren Teile D F, dessen Länge noch unbekannt ist, biegt der Träger wie ein einfacher Träger nach oben konkav (^) durch, in den beiden Seitenstücken A D und B F ist dies gerade umgekehrt. Die Punkte D und F, in denen die Krümmung der Stabachse in die entgegengesetzte übergeht, heissen die Wendepunkte der elastischen Linie.

Da die Momente im mittleren Teile den Träger nach oben konkav (w) durchbiegen, in den Seitenteilen nach oben konvex (✓—'), so müssen die Momente im mittleren Teile entgegengesetzt drehen wie in den seitlichen Teilen. In diesen Trägerstücken sind die Momente also negativ.

Der mittlere Teil D F verhält sich demnach wie ein in den Punkten D und F frei aufliegender Träger, die seitlichen Teile bilden dagegen Träger, die an einem Ende eingespannt und durch eine Einzellast, herrührend vom Auflagerdruck des mittleren Trägers, so wie eine gleichraäfsig verteilte Last belastet sind. Durchschneidet man daher den Träger im Punkte F und bringt am linken Teil die

4.

Fig. 392.

-tr* - -

jfP^

%pis

Fig. 393.

Fig. 395.

p Zm

^4

\e

t*----- -*|

<---

--

JVCC

nach oben gerichtete Kraft p • a, am rechten die nach unten gerichtete Kraft p • a an, so wird am Gleichgewichtszustand nichts^geändert.

Linker Teil. Denkt man sich den linken Teil (Fig. 394) nur mit

p kg/m belastet, so wäre nach Gleichung 137) die Durchbiegung

P-(T+a)‘

, die

nach oben gerichtete Kraft p • a erzeugt eine Durchbiegung in entgegengesetztem

Siane, die nach Gleichung 135) = — biegung des Endpunktes F ist daher:

(W

ist. Die wirkliche Durch-

p-(Ÿ+a)

(W

3 • E • J

Rechter Teil. Die Durchbiegung des Endpunktes ist nach denselben Gleichungen :

8 • E • J

Da beide Durchbiegungen gleich sein müssen, so folgt:

(ir + a)

a(ir+a)

CW

Aus dieser Gleichung ergibt sich für a der Wert: 162)

a — —    .

2 F3

Momente. Im mittleren Teil DF tritt das grösste Moment Mm in der Mitte auf. Da die Stützweite 2 a =

K3

ist, so folgt nach Gleichung 115):

, woraus:

Mm =

pl²

24

Das Moment an der Einspannstelle wird mit a =

2V 3 '

Ma = Mb =

P‘2K3 '

I CM

t«h=(

)'

woraus :

Ma = Mb

P l².

164)

In den Punkten D und F sind die Momente Null.

Von D und F aus wachsen die Momente nach der Mitte zu bis auf^pl²

nach den Enden A und ß zu bis auf^pl². Die letzten drehen aber, wie oben

bereits gesagt, entgegengesetzt, also negativ. Der Verlauf der Momente ist iu Fig. 393 dargestellt.

Das grösste zur weiteren Berechnung dienende Moment ist demnach das pl². Aus Gleichung 162 folgt, dass die Wendepunkte rd ¹/₅ 1

Stützenmoment

12

vom Ende entfernt liegen.

Schüler, Statik und Festigkeitslehre.

“ 12

Belastungsfall 16. Der beiderseits eingespannte Träger ist durch eine Einzel last P in der Mitte belastet.

Der Belastungsfall ist in Fig 395 dargestellt. Eine ähnliche Betrachtung wie beim vorigen Belastungsfall führt hier zu folgenden Resultaten.

Fig. 393.

Die Momente an den Stützen und in der Trägermitte sind einander gleich und zwar ist :

PI

165) Ma = Mb = Mm =

Die Wendepunkte liegen ^ 1 von den

— I-

->

Stützen entfernt.

Fi >₈p.i \

ß. Die kontinuierlichen Träger auf drei Stützen.

-z.

Belastungsfall 17. Die Felder sind gleich lang und mit p kg/m belastet.

Es wird angenommen, dass die Stützen A, B und C gleich hoch liegen (Fig. 396). Aus der Durchbiegung des Trägers folgt, dass die Momente in der Nähe der Stütze B negativ sind, weil der Träger hier nach oben — konvex (^) — durchbiegt. In den Punkten A und C liegt der Träger frei auf, hier müssen demnach die Momente Null sein. Zwischen A und B und ebenso zwischen B und C sind

die Momente in den Strecken AD bezw. CF positiv. Tn den Wendepunkten D und F wechseln die Momente ihr Vorzeichen. Das Moment selbst ist in diesen Punkten gleich Null.

Fig. 396.

--4-

T.

TT

vi*'⁹

ą pt

Stützendrücke.

Die Stützendrücke seien A, B, C. Wegen der Symmetrie des Trägers und der Belastung muss A = C sein.

Der Träger verhält sich wie ein bei B horizontal eingespannter Träger. Betrachtet man das linke Trägerfeld, so wirken an ihm als äussere Kräfte der Auflagerdruck A und die Last p kg/m. Die Durchbiegung des Endpunktes A ist = 0. Nach den Glei-

ehungen 135) und 137) muss daher sein:

A • l³

3 • E • J

Aus dieser Gleichung folgt:

p • l⁴

~ 8vÊD J

= 0.

ac cc

QC CC

Aus der Gleichgewichtsbedingung 2 Y = 0 ergibt sich dann für B der Wert-

CO GC

B = 2 • p • 1 — 2 • -pl

oder:

ft

t-

Momente. Das Moment Mb über der Stütze B berechnet sich zu:

Mb = A-l— pl.-i

3

woraus mit A =—-p-1 folgt:

O

Q    12

Mb = yp- l² — p • y

oder :

00 1—k

Das S tützenmom e nt Mb ist also genau so gross wie das Moment in der Mitte eines frei aufliegenden Trägers von der Spannweitei.

Die Lage der Wendepunkte folgt aus der Bedingung, dass daselbst das Biegungsmoment Null sein muss. Ist x der Abstand des Punktes D von der Stütze A, so ist:

x²

<70 iCO

.p.j.x —p._ = 0

woraus :

³ ! x = ~r • 1.

4

169)

weite

Da der Trägerteil AD sich wie ein frei aufliegender Träger mit der Stütz-3

-£-•1 verhält, so ist das grösste in seiner Mitte auftretende Moment:

oder

170)

M -0²

h—4---’

Fig. 397.

or

•pl².

Die Momente sind in Fig.

396 zur Anschauung gebracht.

lielastungsfall 18. Inder Mitte der gleich langen Felderste htdieEinzell.a st P.

Für diesen Belastungfall (Fig. 397) werden die Stützendrücke:

'j| PI

11

pV?

/ A

I

Cx

v

Momente. Die Momente über den Endstützen sind Null, das Moment über der Mittelstütze B wird:

A.p. 1 16 ’

Mb = —

172)

b = p.

16

173)

also negativ, wie dies selbstverständlich ist.

g

Die Wendepunkte liegen in der Endfernung x =^-yl von den Stützen A und C. Das grösste Moment in der Strecke AD liegt unter der Last P und ist

174)

i=£pi.

32

Das absolut grösste Moment liegt also über der Stütze B und ist für die Querschnittsbestimmung zu benutzen.

Belastungsfall 19. Die Felder sind ungleich lang. Die Feldweiten seien L und 1₂; die Belastungen pi und p₂ pro lfd. m; die Stützendrücke A, B und C, die Momente über den Stützen M₀, Mi und M₂ (Fig. 398).

Es ist:

Fig. 398.

Mo = M₂ =0; Mi =

ferner:

176) C

Pl ‘li³ + P2 'U³

8 • (li + 1₂)    ’

A __ PLliî P2 L

in •

tr

•-'V¹

J₁_Mi_Mi 2 U 1₂

und

Das Moment über der Mittelstütze ist stets negativ, hierauf ist besonders zu achten, wenn man den Wert von Mi in die Gleichungen 176) einsetzt.

— sind daher auch negativ und D₀ und D₂ daher stets kleiner als 1 1₂ 2

U P2 • I2 bezw.    —.

Die in den Trägerfeldern zwischen den Stützen auftretenden Momente sind teils positiv, teils negativ. Ihrem absoluten Werte nach sind diese Momente indessen stets kleiner als Mi, so dass dieses für die Bestimmung des Trägerquerschnittes mafsgebend ist.

Aufgabe. Die Balken eines Speichers werden durch einen Unterzug unterstützt. Die Feldweiten betragen 5,7 und 3,9 m. Die auf einen Träger entfallende Last sei 960 kg pro laufenden m.

Nach Gleichung 175) wird, da pi = p₂ = 960 kg/m

960 • (5,7³ 4- 3,8³)

Mi =

P'li³ + p -1₂3 8-(li + 1₂)

8-(5,7+3,8)

— 3056,4 kgm.

Demnach werden die Stützendrücke nach Gleichung 176): 960 ■ 5,7    3056,4

5,7

= 2200 kg

960 • 3,9    3056.4

3 9    = 1088 kg

960-5,7    960-3,8 , 3056,4 , 3056,4

2 +

Das erforderliche Widerstandsmoment ist :

305640

5,7

3,9

= 5928 kg.

W«

900

— = 340 cm³.

Dem genügt J-Eisen N. P. Nr. 23 mit W = 353 cm³.

y) Die kontinuirliehen Träger auf vier Stützen. Belastungsfall 20. Träger auf vier Stützen, ungleiche Feldweiten, ungleiche Belastung.

Die Belastung sei durch Fig. 399 veranschaulicht. Die Länge der äusseren Felder sei li, diejenige des mittleren Feldes L. Die Stützenmomente seien M₀, Mi, M2, M3.

Die Momente Mo und M₃ über den Endstützen sind gleich 0; die Grösse der über den Mittelstützen auftretenden negativen Momente Mi und M2 sind zu bestimmen aus der Gleichung:

Pl • ll ³ + P2 • 1₂ 3 4 -(2 1t -f 3-l₂)'

Die Stützendrücke werden :

177) Mi = M₂ = -

Fig. 399.

p-if™ ^

Fr/™

p PiL

c=“2“

Bei der Berechnung der Stützendrücke ist darauf zu achten, dass Mi negativ

? B = C grösser als    -f ^²^² wird.

Das grösste positive Moment in den Endfeldern tritt auf in einem Querschnitt, der von den Endstützen den Abstand hat:

178)

P2 • I2 Ml

4--K

ist, so dass A = D kleiner als

li •

JJ

179)

und besitzt den Wert:

180)

Im Mittelfelde tritt das grösste positive Moment im mittleren Querschnitt auf und ist :

X == —

3Ki=A--

Pi

181)

Belastungsfall 21. Sind die Felder gleich lang und der Träger gleichmäfsig über seine Länge mit p kg/m belastet, so ergibt sich mit h — L = 1 (Fig. 400) :

3JL = -Q- • P2 • L² + Mi.

Fig. 400-

und

AC

-w*

v:/.

183)

A = I) =

² 1

rPl

11

10 V L

Die Momente in den Feldern sind stets kleiner als Mi, so dass dieses für die Quer-

Schnittsbestimmung mafsgebend ist.

Aufgabe. Ein Träger mit den Feldweiten 3,0, 4,0 und 3,0 m ist belastet in den äusseren Feldern mit 1200 kg/m und im Mittelfeld mit 800 kg/m.

Nach Gleichung 177) findet man:

M₂ = Mi = -

und aus Gleichung 178):

A = D =

1200 • 3,0³ 4- 800 • 4,03 4 (2 -3,0 + 3 -4,0)

— 1161,11 kgm

1200-3,0    1161,11

1413 kg

1161,11

1200 • 3,0

800 • 4,0

3787 kg.

Die grössten positiven Momente in den Endfeldern werden nach Gleichung 179) und 180):

1413²

+ 832 kgm,

2-1200

während im Mittelfeld das grösste Moment aus Gleichung 181) sich berechnet zu

3Ji₂ =

4 • 800 • 4,0² — 1161,11 = + 438,89 kgm.

Dem absoluten Werte nach ist Mi das grösste Moment, daher das erforderliche Widerstandsmoment:

= 129 cm³

Mi 116111

900

wofür 7- Eisen Nr. 17 mit W = 137 cm³ ausreicht.

Bei ungleichen Feldweiten ist die Berechnung eines Trägers auf vier Stützen sehr umständlich. In diesem Falle tut man besser, den Träger auf den Mittelstützen gestossen zu denken und nun die einzelnen Träger zu berechnen. Den ermittelten höchsten Träger lässt man dann durchgehen.

Bie Resultate der verschiedenen Belastuugsfälle sind in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt.

Nr.

Belastungsweise

Lage des ge-Auflagerdrücke fährt. Querschnittes

Grösstes

Moment

Durch

biegung

Einspann

stelle

P-l

| am freien Ende

p.p

^3-E-J‘ 1 in cm

Nr.

Belastungsweise

Lage des ge-Auflagerdrücke fährl. Querschnittes

Grösstes

Moment

Durch

biegung

■L¹»

ts

■>1

Einspann

stelle

H*⁻

Pl ' Il + P2 'L -j⁻ P3 ‘ L + • • = 2'(P-l)

am freien Eude

ÎO

p-l²

• 1*

8- E-J

p = Last pro lfd cm,lio cm

•-N

rf-

p • i²

2(P-1)+ f

“5r

«»

A 2(P-b) B_ ^(P a)

®v

«s

\-

Unter derjenigen Last, wo die Vertikalkraft das Vorzeichen ändert

Mmax = A • X — 2 (P • C)

*, ^ 4

cr

sc

Ji

A-P-

OA

Unter P

b = p-5

B-b

Unter P ist P-aM)2 3-E-J-l a.bu.linem

’S)

Ci

sc

■m

MtVl

k-

A = B = 4-

Unter P

TT

Mmax

P-l

Unter P ist PP 48-E-J* 1 in cm

±OL.*

An allen Stellen zwischen C u. D

in Mitte der Pa

M max • P ■ a

2-E-J-l² a²

,4

a u. 1 in cm

Nr

Belastungsweise

Auflagerdrücke

Lage des ge-j fährt. Querschnittes j

Grösstes

Moment

Durch

biegung

K-CC

CO

[Lülülülll

l-,3

A = P-f

P (1-0)

X — a p " Mmax —

A-(a-fx)

cr

y ==b + —

b 4- y

b«

p-'K'-s)

zo

*•<&>

p • d²

M

^max

Ax

2-1

d.

Age

p • d²

CQ

-.-d

Z

2-1

PQ

. (N

In derMitte

384’

p-1

2 in derMitte M

max-

8-rP

P-l⁴

EJ

1 in cm ; p = Last pro cm

!

1-d->

11

ł0

Für p* d>A

0-ï)₊«-T istx=7

Ax

M —

iTAmax-    2

l-ét

<g

\j2 B =

' ^jyci L~ ' 'Ą-i

Für p • d<^ A B

ist y = —

M

-UJ-max

Byi

Pi

12

An.y,

2(V-3)

Entweder unter der Einzellast, wo Y das Vor-2 Zeichen ändert ; p . J oder zwischen zwei Einzellasten, wenn V = 0 wird

Mm ax = A • 3,2 —

P* 32*

~2— Pi • (32 — ai)

Mmax = A • X

P’ X²

Pl • Ol—P₂-C2

~Nr.

Belastungsweise

Auflagerdrücke

Lage des gefährd. Querschnittes

Grösstes Moment

Durch

biegung

|P

13

p(l²—a²)—2 Pa

Jp*

2-1

->

B=p (l-j-a)-f-P-A

Ueber B, falls A < 0.

Ist A>0, so ist ein grösstes Mo-

mentbeix = —

Mb = P-a4

pa²

14

p l²—2 P a—q a²

2-1

Ist A >• 0, so tritt ein grösstes Moment auf bei

Mb = Pa +

q • a²

<r

a-+

ß=p ]_pq.a-(-P-A

15

Ą fl¹⁷*?/™'    £

|Plill1ll!ll!]]lllTïïïïïïïïTIïïi

l-

In der Mitte

pl

An den Stützen

Ma=Mb= bpV ä

p;¹²

384-E J

1 in cm,

]> Last pro cm

Ci

N|«s.

¹ i

«Nsi

Ö0

An den Stützen

GOj g

b = Mc

PI

Unter P P-P 192-EJ 1 in cm

s?

tH

ÎS *

ccj 05

Ueber B

O*

Pi

th’ico

(N

18

‘A

* a = c = ttp

rn

<— i —>

«-A-

22

B = ^P

Ueber B Mb=-^-P1

16

<r

16

A=

p • li , Mi

M.

mb =

19

T HT

le

p•P , q/JU

Ueber B

p Ii³ + q • I2³

lx ~ >    £

~2

HS

Mi

8 • (b + 1₂)

A=D

pi -li , Mi

li

20

Pl -li

Mi = M₂ =

>k- 4 >

-M/.

P* • b

or

Ueber B. C

pr I1M-P2I2³

4t(2.1i+3-1₂)

Nr.

Belastungs weise

Auflagerdrücke

Lage des ge-fährl. Querschnittes

Grösstes Moment

Durch

biegung

21

A = D = *-p-l

Mi = M₂ =

<- *

l «t- l

11

Ueber B, C

J3

B = C= -p..

¹ 12

iTP'¹

9. Die Lager der Träger.

Die Abmessungen der Lagerplatten sind abhängig:

1.    von dem Auflagerdruck und

2.    von der zulässigen Druck-Beanspruchung der Unterkonstruktion. Diese kann der Tabelle auf Seite 103 entnommen werden.

Bei geringerer Belastung legt man die Lagerplatte meist direkt auf das Mauerwerk, bei höherem Drucke wird jedoch ein Auflagerstein aus mehr oder minder hartem Material zwischen Platte und Mauerwerk verlegt werden müssen.

Bezeichnet man den Auflagerdruck mit P, die zulässige Beanspruchung des Mauerwerks mit p, die Grösse der Lagerplatte mit f, so folgt:

184)

t-L.

Die Breite B der Platte richtet sich nach der Breite b des Trägerflansches; hat man dieselbe angenommen, so ist damit die Länge 1 der Platte gegeben.

Fig. 401.

Zweckmässig macht man die Breite der Platte gleich der Flansch breite des Trägers + 5 bis 10 cm.

l'

Um die Dicke b der Platte zu erhalten, betrachte man sie als einen längs der Linie , m — m eingespanuten Träger, dann ist nach den Ą Bezeichnungen der Fig. 401 das auftretende : grösste Moment:

c.

~h

h-----ß -

A~ “

■<VT

M = ¥<4

Ist k die zulässige Beanspruchung des Materials der Platte gegen Zug, b ihre Dicke, 1 ihre Länge, so muss nach Gleichung 71) sein:

also:

185)

GO

Mmax = W- k

• (B — b) =

3²-l-k, woraus:

-1/

3 P (B — b) 4 1k

Hiernach ergibt sich für gusseiserne Platten da k = 250 kg/qcm ist:

3-P-(B —b) 1000-1 '

Setzt man P in Tonnen ein, so wird:

186)

/3P (B-b)

so wird die Dicke

Nimmt man für Schmiedeeisen k = 750 kg/qcm an schmiedeeiserner Platten :

187)

-v

P (B -b)

In diesen Formeln ist also P in t, B, b, 1 in cm einzusetzen.

Aufgabe. Ein T-Eisen N. P. Nr. 30 gibt an sein eines Auflager einen Druck von 4900 kg ab, wie gross sind die Abmessungen der schmiedeeisernen Lagerplatte, wenn das Mauerwerk mit 10 kg/qcm gedrückt werden darf?

Es ist:

4900

-Q = 490 qcm.

Die Flanschbreite des T-Eisens N. P. Nr. 30 beträgt 12,5 cm. Macht man die Platte 22 cm breit, so wäre ihre Länge

490

22

= rund 22 cm.

Hiernach ermittelt sich die Stärke der Platte nach Gleichung 187) aus:

-v

4,9 • (22 - 12,5)

— 1,5 cm.

Die Lagerplatte muss oben etwas abgerundet sein, damit der Träger nur an einer bestimmten Stelle aufliegt. Für diese Abrundung sind 2 bis 3 mm zur berechneten Stärke hinzuzugeben. Ueber die Konstruktion und weitere Berechnung siehe Band IX Seite 71 ff.

22

VI. Knickfestigkeit.

a) Berechnung der Säulen.

Wenn eine Kraft P in der Richtung der Achse eines geraden Stabes wirkt, dessen Querdimensionen im Verhältnis zur Länge klein sind, so wird der Stab nur auf Druck beansprucht und es ist kein Grund vorhanden, weshalb der Stab eine andere Formänderung als eine Zusammendrückung erleiden sollte.

Die Spannung im Querschnitt f des Stabes wäre dann nach Gleichung 46):

a~J

und die Verkürzung nach Gleichung 50):

X-P 1 A ~ TË'

Sobald aber die Achse des Stabes sich durch irgend einen Umstand — sei es durch einen seitlichen Stoss, oder fehlerhafte Stellen im Material, oder exzentrische^ Lagerung der Last P — seitlich ausbiegt, werden infolge des Biegungsmomentes, welches nun der Stab aufzunehmen hat, Biegungsspannungen im Stab entstehen, die sich mit den ersten Spannungen addieren (Fig. 402).

Die Grösse der Ausbiegung hängt nun offenbar ab:

1. von der inneren Beschaffenheit und Güte des Materials, also vom Elastizitätsmodul E,

2.    von der Grösse der Last P,

3.    von der Länge 1 des Stabes,

4.    von der Form und Grösse des Querschnittes, also vom kleinsten Trägheitsmoment Jmin desselben,

5.    von der Befestigung des Stabes.

Fig. 402.

Die Kraft P, welche hinreicht einen Stab zu knicken, ist nun proportional der Güte des Materials, also dem Elastizitätsmodul E; ferner ist sie direkt proportional dem kleinsten Trägheitsmoment Jmi„; aber umgekehrt proportional der Länge und zwar dem Quadrate der Länge, Die Theorie liefert für die Last P, welche ein Stab gerade noch tragen kann, ohne zu knicken, den Wert:

y —a-"-*

lii

188)

JT² • E • Jmin

l²

•n,

WÆ///Æ

rt * *

:    wobei n einen Koeffizienten bedeutet, der von der Befestigung der

^ Stabenden abhängt.

In der Praxis darf ein Stab natürlich niemals bis zu dieser Grenze ; belastet werden, sondern man verlangt mit Recht, dass er die Last i mit einer s-fachen Sicherheit zu tragen vermag. Hiernach geht Gleichung 188) über in:

189)

TC² • E • J

min

s • l²

welche den Namen Euler’sche Knickungsformel führt.

Der Sicherheitskoeffizient s beträgt:

s = 10. s = 8.

für Holz für Gusseisen für Schmiedeeisen s = 5.

Die Ausbiegung erfolgt immer nach der Seite, welche den kleinsten Widerstand entgegensetzt. Aus diesem Grunde ist daher stets das kleinste Trägheitsmoment in die Gleichung 189) einzuführen. Da J und E in Einheiten bezogen auf cm ausgedrückt werden, so ist die Länge 1 des Stabes ebenfalls in cm ein-zuführen.

In der vorstehenden Form wird man vermittelst der Gleichung 189) die Last berechnen können, wenn die Länge 1 des Stabes und das kleinste Trägheitsmoment seines Querschnittes gegeben sind.

Gewöhnlich liegt aber in der Praxis der Fall vor, dass die Last und die Länge gegeben und die Abmessungen des Querschnittes, also das Trägheitsmoment, gesucht werden. Aus Gleichung 189) folgt alsdann:

Jmin —

190)

Pl²s n² • E • n ’

worin P in kg, 1 in ein einzusetzen ist.

l—l

JO

Ausser dieser Bedingung muss der Querschnitt noch der Bedingung gegen einfache Druckfestigkeit genügen, es muss mithin sein:

f =• -4-

Hinsichtlich der Befestigung der Stabenden sind nun folgende Fälle möglich: 1. der Stab ist an einem Ende fest eingespannt, am anderen frei beweglich

(Fig. 403). Für diesen Fall ist n = —, demnach:

Fig. 403.

191) Jmin =

P-P-s

= 4 • P »l² • S

7T²

7T² • E

Fig. 404.

Fig. 405.

2. der Stab ist an beiden Enden frei

beweglich, aber in der Achse geführt (Fig. 402). Hier ist n = 1 folglich :

III

ff\

-----

192) J

P-P-s

Hl

f/

hl

min —

7T²-E ’

3. das eine Ende ist fest eingespannt, das andere frei beweglich, aber in der Achse geführt (Fig. 404). Für diesen Fall ist n = 2, somit:

193) Jrain = -^

u * TI

² • E’

Hl

V,

h^yß//yf

4. der Stab ist an beiden Enden fest eingespannt (Fig. 405). Hier ist n = 4, daher:

194)

Jmin —

4 • TT² • E

Wie oben schon bemerkt, handelt es sich in der Praxis meist darum, die Abmessungen des Querschnittes, also das Trägheitsmoment zu bestimmen; ausserdem liegt meist der zweite Fall vor, so dass also Gleichung 192) die meiste Anwendung findet. Die abgeleiteten Formeln 191) bis 194) sind indessen für den Gebrauch sehr unbequem, weil das Rechnen mit den durch P, P und E hineinkommenden grossen Zahlen sehr unübersichtlich wird. Formel 192) als die wichtigste soll daher noch durch eine kleine Umformung wesentlich vereinfacht werden.

Setzt man in Gleichung 192) den Wert n² <= rd 10, P in Tonnen und 1 in m ein, so folgt für Holz mit s = 10 und E = 100000:

P-1000-P.100-100.10

Jmin =

10-100000

oder:

195)

Jmiu = 100P P.

Für Gusseisen mit s = 8 und E = 1000000 ergibt sich ebenso:

P • 1000-P-100 -100* 8

J min —

oder :

196)

Jmin — 8 • P • l².

Auf gleiche Weise erhält man für Schmiedeeisen mit s = 5, E = 2000000:

P • 1000 l² • 100 100 - 5

Jmin "—

oder :

10-2000000

Jmin = 2,5 P l².

197)

In diesen Formeln ist also jetzt P in t, 1 in m einzusetzen. Setzt man in Gleichung 190) den Ausdruck:

Tr² • E • n

so wird:

198)

Jmin = m P l²

und man erhält für Holz, Gusseisen und Schmiedeeisen und für die vier Belastungsfälle die in nachstehender Tabelle angegebenen Werte für m.

Material

Elastizitätsmodul E

Sicherheit s

Wert m =

Tr² • E • n Fall 1 Fall 2 Fall 3

für

Fall 4

Holz

Gusseisen Schmiedeeisen 2000000

100000 1000000

rH

4—

t5 OO O

>o

CM

25

0,625

Die Berechnung gegen Knicken hat jedesmal stattzufinden, wenn die Stablänge grösser ist als öKf, wenn f den Inhalt des Qu er-sc hnittes bedeutet.

Aufgabe 1. Die 2,4 m lange Strebe eines einfachen Hängewerks erhält einen Druck von 14200 kg. Die Breite der Häugesäule ist 16 cm. Welche Abmessungen muss die Strebe erhalten?

Gegen Knicken muss sein nach Gleichung 195):

Jmiu = 100-P-1² = 100-14,2-2,4² = 8179 cm⁴.

Gegen Druck ist die Bedingung zu erfüllen:

P __ 14200 k ”    60

—y    Macht man die Breite des Strebenquerschnittes

gleich derjenigen der Hängesäule, also 16 cm, so ergibt sich die Höhe h desselben aus der Bedingung, dass, da das kleinste Trägheitsmoment des .rechteckigen Querschnittes (Fig. 406) für die Achse y—y vorhanden ist, Jmin = Jy sein muss. Also:

j _J_

Jy “ 12

Fig. 406.

= 237 qcm.

r*

. JL.

G--Ti

• h • 16³    8179.

woraus :

12-8179

16³

= 24 cm.

Der Querschnitt f besitzt einen Inhalt von

f = 16 • 24 = 384 qcm

ist also mehr als ausreichend.

Aufgabe 2. Eine gusseiserne Säule von 4,2 m Länge überträgt eine Last von 56500 kg. Sie soll einen kreisringförmigen Querschnitt erhalten. Die Abmessungen desselben sind zu ermitteln.

Gegen Knicken ist nach Gleichung 195):

Jmin = 8 • P • l¹ = 8 • 56,5 • 4,2¹ = 7973 cm⁴.

Gegen Druck muss sein:

56500

113 qcm.

Die Dicke der Säulen ist meist durch architektonische Rücksichten bestimmt. Ist man frei in der Wahl, so wird man am einfachsten den erforderlichen Querschnitt der Tabelle 12 im Anhang entnehmen können. Nach dieser genügt ein Querschnitt von 22,5 cm Durchmesser und 2,5 cm Wandstärke mit Jmin = 7977 cm⁴ und f= 157 qcm (Fig. 407).

Ist der äussere Durchmesser D vorgeschrieben, so wäre der innere d zu berechnen aus der Gleichung des Trägheitsmomentes des ringförmigen Querschnittes, für welchen man nach Gleichung 91a hat:

500

Fig. 407.

Z,5

Jx==^'(D4-d4) ⁼

• (R⁴ - r⁴).

oder:

Da dieses gleich J 198) d = y

Ist also D = 25 cm, oder R = 12,5 cm gegeben, so wäre: d = |/25;0⁴ -

min

sein muss, so folgt:

D⁴-

64-J

min

3.14

oder auch: r

64•7973

3,14

-V

R⁴-

4-J

min

3,14 ‘

21,8 cm

-Ÿ

12.5⁴ -

4 ■ 7973

3,14

= 10,9 cm.

■>

25-21,8

= 1,6 cm. Der Querschnitt dieser

D¹ - d¹

25¹ - 21,8¹

• 3,14 = 117,6 qcm

ist also ausreichend.

Eisend hergestellt

Die Querschnitte in Fig. 408 entsprechen alle den Anforderungen der Festigkeit. Bei freier Wahl würde man den letzten Querschnitt nehmen, da er bei kleinster Fläche das grösste Trägheitsmoment besitzt, also am steifsten ist. Aufgabe 3. Die Säule in voriger Aufgabe soll aus Quadrant-Eisen werden. Welches Normal-Profil muss gewählt werden?

Für Schmiedeeisen gilt gegen Knicken nach Gleichung 196): Jmin = 2,5. P • l² = 2,5 • 56,5.4,2² = 2492 cm⁴.

Fig. 408.

1,25

J- 7SSS cm? £= lit 7gern.

.2,0

6432 cm? I

8636cm? £=&5(fcm.

23

k----*6 ■

Fig 409.

Gegen Druck muss sein:

56500

62,8 qcm.

Dafür genügt Normalprofil 75/40/10 mit J = 2982 cm⁴ und f = 80,2 qcm. (Siehe Anhang Tabelle 10) (Fig. 409).

900

¹

ie Wandstärke wäre demnach Säule hat den Inhalt

Berechnung der Säulenfüsse.

Die Säulenfüsse haben den Zweck, die von der Säule aufgenommene Belastung auf das Fundamentmauerwerk zu übertragen. In der Regel ist die Anordnung so, dass zwischen Mauerwerk und Säulenfuss ein Auflagerstein als Zwischenglied eingeschaltet wird. Zur Ausgleichung der Unebenheiten des Auflagersteines wird ausserdem noch eine Zement- oder Bleifuge von 1 cm Stärke vorgesehen.

Bei gusseisernen Säulen giesst mau den Fuss entweder direkt an die Säule, oder aber, was bei weitem vorzuziehen ist, man stellt den Säulenfuss besonders her. Man vermeidet dadurch die schädlichen Spannungen im Innern des Materials, die infolge der ungleichmässigen Abkühlung des dünneren Säulenschaftes gegen

Fig. 410.

Fig. 412.

-A'"

CÜ

T*

Fig. 411.

__ \>

|---1 '

!

C-

■4

Fig. 413.

s-y

-i ..j

Y,

'/bŹi

-%b

.0

..y.

UL

D

den dickeren Fass entstehen. Die Säulenfüsse sind entweder quadratisch oder kreisförmig (F'ig. 410 und 412). Die letzte Form ist vorzuziehen, da die Druckübertragung im Innern eines Körpers, der an eiuem Punkte belastet ist, kegelförmig nach unten stattfindet. Bei sehr grossen Säulenfüssen werden die Fuss-platten durch Rippen verstärkt.

201)

a=rd 0,4 b.

Die Fläche der Fussplatte und damit die Seite a bezw. der Durchmesser d berechnen sich aus der Bedingung, dass der Druck pro qcm auf den Auflagerstein die zulässige Höhe nicht überschreiten darf.

Ist P die zu übertragende Last, p die zulässige Druckbeanspruchung pro qcm des Steines, so folgt:

199)

f-2

Um einen Ausdruck für die Dicke 8 der Fussplatte ohne Rippen zu erhalten, betrachte man den schraffierten Teil der Platte als einen längs des Querschnittes C D eingespannten Träger, der von unten gleichmäfsig belastet ist.

Für die quadratische Platte erhält man dann nach Fig. 411 aus der Biegungsgleichung :

Mmax

= W-k,

= -i- • a • 8² • k

also :

200)

Für die runde Platte fasse man den schraffierten Teil als Parabelfläche

2

auf, dann ist nach den Bezeichnungen der Fig. 412 der Inhalt der Fläche =    • a • b,

ö

mithin die Belastung =- -abp.

2

Der Schwerpunkt des Parabelsegments liegt —g- - b vom Querschnitt C D entfernt; mithin erhält man als Bieguugsgleichung nach Fig. 413:

v ² K -• a b • p • £-• b —

ICO

Ol CO

4-a-ä²-k

b

woraus :

200 a)

er

QO iQ

iO -łt>2

Hoc i +lł-tO(y K

Gusseiserne Platten. Für Gusseisen ist gegen Biegung k== 250 kg/qcm mithin wird, wenn man einen Auflagerstein verlegt, der mit"20 bis 25 kg gedrückt werden darf pro qcm, 8 für quadratische Platten aus Gleichung 200):

= rd¥;

und für runde Platten wird 8 aus Gleichung 200a):

202)

Schmiedeeiserne Platten. Für Schmiedeeisen ist k = 900 — 1000 kg/qcm ; setzt man die Werte ein in Gleichung 200 und 200a), so ergibt für 8 die Hälfte des Wertes wie für gusseiserne Platten.

Für quadratische Platten wird demnach, falls Auflagersteine verwendet werden, die mit 20 bis 25 kg/qcm gedrückt werden dürfen:

Sch öl er, Statik und Festigkeitslehre.

203)

und für runde bezw. achteckige Platten:

©ff -

204)

Näheres über die Berechnung der Säulenfüsse siehe Band IX, Seite 122 ff.

S stark.

1    3

Am Rande macht man die Säulenfüsse meist bis

2    5

Aufgabe. Welche Abmessungen erhält der gusseiserne Säulenfuss, der in Aufgabe 2 auf Seite 175 berechneten Säule, wenn der Auflagerstein aus Granit besteht, der mit 45 kg/qcm gedrückt werden darf?

Die Grösse der Platte wird nach Gleichung 199):

t-l

p ^- = 1256 qcm,

entsprechend einem Durchmesser von 39,9 cm, wofür 40 cm genommen werden.

40 — 22,5

Der Ueberstand der Platte vom Säulenschaft ist b — die Dicke S des Fusses nach Gleichung 200 a):

= rd9cm, mithin

5 = 9,0 •

i/

8-45

rd 5 cm.

5 • 250

Wäre der Unterlagsstein aus Sandstein gefertigt, so müsste die Grösse der

Platte

^25^ = 2260 qcm sein,

entsprechend einem Durchmesser von 53,6 cm. 53,6 - 22,5

Der Ueberstand b wird dann

15,5 cm und die Dicke 5 nach Gleichung 202) : 5 = 0,4- b = 0,4 15,5 = 6,2 cm.

c) Trägeranschlüsse an gusseiserne Säulen.

1. Berechnung der Rippen.

Muss eine Säule durch mehrere Stockwerke hindurchgeführt werden, so kommt man häufig in die Lage, Träger mit der Säule in der Weise zu verbinden, dass man den Steg des Trägers an Rippen schraubt, die an den Schaft der Säule angegossen werden, wie dies Fig. 414 näher veranschaulicht. Der Anschluss geschieht hierbei immer zweischnittig.

Die Verbindung kann auf viererlei Weise zerstört werden:

1.    dadurch, dass die Rippen längs der Säule abscheren,

2.    dadurch, dass ein Abscheren der Schrauben eintritt,

3.    dadurch, dass der Lochwanddruck in den Rippen zu gross wird,

4.    dadurch, dass der Loch wanddruck im Stege des Trägers zu gross wird. Bezeichnet man die Rippenhöhe mit h, die Dicke der beiden Rippen zusammen mit è, die zu übertragende Last mit P, so muss sein, damit die Rippen nicht abscheren:

h • 5 • 200 = P,

Gegen Loch wanddruck in den Rippen müssen angeordnet werden:

= 3 Schrauben

7600

ni =

wobei 200 kg die zulässige Beanspruchung des Gusseisens gegen Abscheren ist. Hieraus folgt :

205)

200 h

min-

Ergibt sich g kleiner als die Wandstärke der Säule, so macht man

destens gleich dieser, niemals aber unter 15 mm.

Ist d der Durchmesser der doppeltschnittigen Schrauben, n die zum Anschluss erforderliche Zahl, so ist, um das Abscheren der Schrauben zu verhindern, nach Gleichung 58) die Bedingung zu erfüllen:

d² 7t

2.a”.Q00

4

Damit der Lochwanddruck in den Rippen die zulässige Grösse von 500 kg/qcm überschreitet, muss die erforderliche Anzahl m der Schrauben mindestens sein:

Fig. 414.

206)

ni =

d-5-500 *

Und damit endlich der Lochwanddruck im Stege des J-Eisens innerhalb der zulässigen Grenzen bleibt, hat man für die Anzahl n2 der Schrauben:

{.....i_

n₂ =

Die grössere Zahl der Schrauben muss dabei stets angeordnet werden. Lässt sich die Zahl der Schrauben nicht unterbringen in der Höhe des Trägers, so ist entweder d oder b so zu vergrössern^ dass die vorstehenden Bedingungen erfüllt werden.

Aufgabe. Ein T-Eisen 30, welches 7600 kg an eine gusseiserne Säule abgibt, soll vermittelst zweier gusseiserner Rippen an diese angeschlossen werden. Die Verbindung ist zu berechnen. Die Höhe der Rippen ist 24 cm, der Schraubendurchmesser 2,0 cm.

Nach Gleichung 205) ist die Stärke der Rippen:

7600

= 1,6 cm

200-24

Da dies nicht zur Ausführung kommen darf, ist ^ destens 1,5 cm zu machen, die gesamte Rippenstärke also b = 3,0 cm. Gegen Abscheren sind erforderlich:

7600

jede demnach 0,8 cm.

min-

2 *’°²-

*    4"

-•600

= 2 Schrauben.

2.0 • 3.0 • 500

Werden die Träger auf Konsolen gelagert, so kann die Berechnung der Konsolen in folgender Weise geschehen (Fig. 415).

Fig. 415.

"’T

und gegen Lochwanddruck im Stege des J-Eisens 30, da dessen Stärke 1,08 ctn ist:

= 3 Schrauben.

n₂ =

7600

2,0-1,08-1200 Diese müssen also angebracht werden.

2. Berechnung der Konsolen.

Man nimmt die Stärke des Konsol-

steges an zwischen 2 und 5 cm. Die Platte der Konsole wird nicht berücksichtigt. Um die Höhe h des Steges zu erhalten, betrachte man die Konsole als einen längs der Säule eingespannten Träger. Ist P die Last, 1 der Abstand des Angriffspunktes vom Säulenschaft in cm, so wird nach der Biegungsgleichung (k für Gusseisen 250 kg/qcm):

• h² • S • 250 = P • 1

6

woraus :

CM

=-

cs| h-

Go .

Aufgabe. Wie hoch wird die Konsole für das T-Eisen in voriger Aufgabe, wenn die Ausladung 8,0 cm und die Stärke des Steges 4 cm beträgt?

Nach Gleichung 207) wird :

<-W

7600 • 8.0

4.0

= 21 cm.

d) Schmiedeeiserne Säulen, deren Querschnitt aus zwei [-Eisen besteht.

Schmiedeeiserne Säulen werden vielfach aus mehereren [-Eisen zusammengesetzt. Wegen der schlecht auszuführenden Vernietung bei T-Eisen ist deren Verwendung nicht zu empfehlen.

Fig. 416.

Wird die Säule aus zwei [-Eisen gebildet (Fig. 416, 417), so muss sowohl für die x—x Achse wie für die Achse z — z das berechnete Trägheitsmoment Jmin vorhanden sein.

Aus den Normalprofiltabellen sind die auf die Schwerachsen x—x und y— y bezogenen

___.T.jl 1 III____ Trägheitsmomente Jx und Jy bekannt.

II f\    .    Zur Erfüllung der gestellten Bedingung hat

man daher in bezug auf die Achse x—x zu setzen : 2Jx = Jmin, woraus

min

208)

Für die z — z Achse ist die Bedingung:

Jz — J min

ebenfalls zu erfüllen. Ist der Schwerpunktsabstand der beiden Eisen = 2 e, so ist aber Dach Gleichung 82), wenn der Querschnitt eines Q-Eisen F genannt wird:

Jz=(Jy + e²F)-2, folglich mit Rücksicht auf die vorige Gleichung:

Jmin = 2 (jy + e² F).

Hieraus erhält man für e den Wert:

209)

Jmin 2 Jy

Macht man daher die Entfernung der Schwerpunkte der Teilquerschnitte = 2 e, so ist damit die Knicksicherheit der Säule gewährleistet.

--

Fig. 418.

Die vorstehende Betrachtung gilt indessen æ nur unter der Voraussetzung, dass die Teilquerschnitte wie ein einheitlicher Querschnitt zur Wirkung gelangen. Würden daher die Q-Eisen nicht miteinander verbunden sein (Fig. 418), so würden die Stäbe in der Ebene der x — x Achse ein-knicken (Fig. 416 und 417). Es entsteht daher noch die Frage, wie oft müssen die Stäbe miteinander gekuppelt werden?

p

Jeder Stab nimmt die Last auf. Die freie Länge X der

•    u

Q-Eisen muss, damit kein Knicken stattfindet, so beschränkt werden,

p

dass sie der Bedingung genügt: 2,5-dem kleinsten

Trägheitsmoment des Q-Eisenquerschnittes. Dieses ist aber der in der Tabelle enthaltene Wert Jy, mithin hat man zur Bestimmung von X die Gleichung:

woraus :

210)

'-V

2,5 P

worin P die ganze auf der Säule liegende Belastung in Tonnen bedeutet. Kleiner darf man X machen, aber nicht grösser.

Aufgabe. Eine aus 2 Q-Eisen zu bildende Säule von 5,5 m Länge erhält eine Belastuug von 66400 kg. Welches Q-Eisen ist zu wählen und wie oft sind die Q-Eisen zu verbinden?

Zunächst ist gegen Knicken nach Gleichung 197):

Jmin = 2,5 • 66,4 • 5,5² = 5020 cm⁴

und gegen Druck:

66400

900

= 74 qcm.

Wählt man zwei [-Eisen 22, so besitzen diese einen Querschnitt 2F = 2 • 37,4 = 74,8 qcm und für die Achse x — x ein Trägheitsmoment 2 Jx =2 -2690 = 5380 cm⁴. Sie genügen also den Anforderungen gegen Knicken und Druck. Nach Gleichung 209) muss der Schwerpunktsabstand 2 e, da Jy nach der Tabelle Jy = 197 cm ist:

2e = 2-l/

5020 — 2-197

2 • 37,4

= 15,8 oder rd 16,0 cm werden.

höchstens

Der grösste Abstand der Querverbindungen darf nach Gleichung 210)

i/

2-197

= 1,54 m betragen.

2,5-66,5

Demnach sind bei der 5,5 m langen Stütze zwischen den Endpunkten drei

5,5

Querverbindungen erforderlich, deren Abstand ’

= rd 1,4 m wäre.

e) Erontstützen aus [-Eisen.

Um möglichst schmale Frontstützen zu erhalten, werden diese vielfach aus mehreren [-Eisen zusammengesetzt. Die Anzahl der [-Eisen richtet sich nach der Mauerstärke und ist entweder gerade oder ungerade (Fig. 419, 420). Ist P die Last in Tonnen, 1 die Länge, so ist wie früher:

Fig. 420.

Fig. 419.

und

Jmin = 2,5-P-1²

ILt

"'"V

-MN

uu

l*S>

I«)

Das Jmin muss sowohl für die Achse g—-g als auch für die Achse f—f vorhanden sein. Man überzeugt sich aber leicht, dass für die Achse f —f das vorhandene Trägheitsmoment stets bedeutend grösser ist als das erforderliche. Man hat daher nur nötig, die Knicksicherheit für die Achse 'ß—'ß nachzuweisen.

Ist n die Anzahl der [-Eisen, so muss der Querschnitt von jedem mindestens ein Trägheitsmoment:

211)

und einen Querschnitt:

j.-l

min

F

f = — besitzen, n

Um die Anzahl der Querverbindungen zu erhalten, sei \ wieder die grösste

p

Entfernung derselben (Fig. 421). Jedes [-Eisen nimmt die Last -- auf. Das in der Tabelle enthaltene kleinste Trägheitsmoment sei Jy, dann muss sein:

P

Jy = 2,5 •

—-X², woraus: u

212)

x-V

n • Jy

2.5 • P’

Aufgabe. Eine in einer 2 Stein starken Frontwand stehende schmiedeeiserne Stütze von 3,8 m Länge erhält einen Druck von 49000 kg. Wie ist die Stütze anzuordnen, wenn sie möglichst schmal sein soll? Es ist:

Jerf = 2,5 • 49,0 • 3,8² = 1770 cm⁴

und :

Fig. 421.

49000

900

54,4 qcm.

™-T

Diesen Bedingungen würden 5 [-Eisen N. P. Nr. 12 entsprechen (Fig. 421) mit

und

Jx = 5• 364 = 1820 cm⁴

F = 5 • 17 — 85 qcm.

Das Trägheitsmoment Jy des [-Eisens Nr. 12 ist 43,2 cm⁴, mithin wird nach Gleichung 212) die Entfernung X der Querverbindungen :

x.

5 • 43,2

1,32 m,

so dass mindestens 2 Querverbindungen anzuordnen wären.

Anmerkung. Die exzentrisch belasteten Säulen, sowie die Säulen mit horizontaler Belastung sind im Kapital VIII d und e /m behandelt.

2.5-49.0

II ii i\

VII. Schubspannungen in der Längsrichtung der Träger.

Wenn ein auf zwei Stützen liegender Träger beliebig belastet wird, so biegt er durch (Fig. 422). In der oberen Hälfte werden die Fasern verkürzt, in der unteren Hälfte verlängert. Die Endquerschnitte des Trägers behalten bei der Formänderung ihre ebene Gestalt. Teilt man den Stab der Länge nach in zwei Teile, so entstehen zwei Balken, die nun die auf dem Träger liegende Last gemeinschaftlich tragen. Jeder Balken hat seine besondere neutrale Faserschicht. An der Trennungsfläche berühren sich aber jetzt gezogene und gedrückte Fasern, die mithin verschiedene Länge haben müssen (Fig. 423). Die Endflächen der Balken können daher nicht mehr in einer Ebene liegen. Vor der Teilung waren die Fasern unmittelbar oberhalb und unterhalb der Trennungsfläche gleich lang, es muss daher in ihr eine Kraft tätig gewesen sein, welche verhinderte, dass sich die obere Faser verlängerte, die untere verkürzte, der obere Trägerteil über den unteren hinwegschob.

Mit den Biegungsspannungen treten in der Längsrichtung des Trägers also Schubspannungen auf, deren Grösse nachstehend ermittelt werden soll.

Zu diesem Zwecke denken wir aus dem gleichmäfsig belasteten Träger im Abstand x von der linken Stütze ein kleines Stückchen von der Länge X herausgeschnitten (Fig. 422). Das Biegungsmoment für den Querschnitt x sei M, dasjenige für den Querschnitt Xi = (x -j- X) sei Mi, das Trägheitsmoment des ganzen

Querschnittes für die neutrale Achse sei Jx. Auf das im Abstande y von

der neutralen Achse gelegene Flächenelement f der Stirnfläche C D E (Fig. 424),

wirkt nun nach Gleichungen 62 und 66 die Faserspannung:

Jx

M-y , n = t “ • f.

Die gesamte auf die Fläche C D E wirkende Faserspannung N ist daher :

v^-y

Jx

Jx

2 (f • y) ist aber das statische Moment der Fläche C D E in bezug auf die neutrale Achse. Bezeichnet man dasselbe mit s, so ergibt sich für N der Wert:

213)

N = -y~* S.

«X

Fig. 422.

JbKg./m-

X-

Fig. 424.

neuttcöl^ .—• — Schicht-

nl.

Z

rv

«SV

• ¹¹ >© \

<k

i.

•\ 'AT*

Fig. 423.

neutrale Schicht.

{§> \\ _ \ \\2 \ A

^TTTZ

neutrale Schicht.

In derselben Weise ergibt sich für die gesamte Faserspannung auf die Stirnfläche F GH der Wert:

Ni =

Mi

37

Da nun Mi ]> M, so ist auch Ni > N. Es folgt daher :

XT AT Mi M

Jx

Ni-N = ^.8-j-.8

oder:

Jx

Ni — N = y- • (Mi — M).

Die Differenz Ni — N der Faserspannungen muss nun durch die in der Fläche C F GD wirkenden Schubspannungen übertragen werden. Ist die auf ein

qcm (Flächeneinheit) wirkende Schubspannung t, so ist die ganze Schubspannung T in der Fläche CFGD:

T = X • b • t,

wenn b die Breite der Fläche ist. Es muss also sein:

folglich :

T *= Nł - N,

À • b • t = j- • (Mi — M).

Das Biegungsmoment für den Querschnitt x (Fig. 422) ist nun aber:

und dasjenige für den Querschnitt xi :

Mi =

p • Xi

Setzt man die Werte in die Gleichung ein, so erhält man: X-b-t= 7-

p • Xi

durch Auflösen der inneren Klammern und durch Zusammenfassen entsprechender Glieder erhält man hieraus:

Jx L 2

•(1-xi)-

J/ 1T’(Xi -x) — -|-(xi²-x²)

oder:

⁼ jtLV (xi-x)-

oder da Xi — x = X ; Xi -f x = 2 • x + X, s • x pp -1 TLIT

• (xi — x) • (xi + x) ,

p-Xn

s (“p-1

“ Tx'lT

— p -x +

■X

Da X sehr klein ist, so kann man das Glied —~~ vernachlässigen, so dass:

_s

V2

Nun ist aber ^ -

Li

erhält also schliesslich; 214)

p x die Vertikalkraft V für den Querschnitt x. Man

VT-⁷* b t

d. hi die gesamte in der Fläche CFGD wirkende Schubspannung ist

V-s

Jx *

Hieraus ergibt sich für die auf die Flächeneinheit (qcm) wirkende Schub

spannung t:

215)

V-s

Jx*b-

Mit der Lage des Querschnittes x ändert sich auch die Transversalkraft V, sie ist am grössten über dem Auflager. Mit der Grösse der Stirnfläche C D E ändert sich aber auch das statische Moment s, welches seinen Grösstwert S er-

reicht, wenn die Stirnfläche bis zur neutralen Achse reicht. Ist V Transversalkraft, so erhält man für die überhaupt grösste Schubspannung im Träger den Wert:

die grösste

inax

216)

t= Vmax ' S

Hierin bedeutet Jx das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes für die neutrale Achse, S das statische Moment des halben Trägerquerschnittes für dieselbe Achse und b die Dicke des Trägers an dieser Stelle. Die Gleichung sagt aus:

Satz 56. Die Schubspannung in einem Träger ist am grössten in der neutralen Fasersicht über dem Auflager.

Die Grösse der Schubspannung darf natürlich die für das Trägermaterial zulässige Höhe nicht überschreiten.

Man wird sich in vielen Fällen, namentlich bei kurzen und schwer belasteten Trägern über die Grösse der Schubspannungen unterrichten müssen. Mehr als bei den Normalprofilen ist dies bei genieteten Trägern der Fall, denn bei jenen ist die Stegstärke so bestimmt, dass sie die Schubspannung aufnehmen kann, bei diesen muss man sich stets überzeugen, dass keine Ueberanstrengung des Steges durch Schub stattfindet.

Die Kenntnis der Schubspannung ist weiter erforderlich zur Bestimmung der Nietteilung genieter Träger, wie dies in Band IX Seite 69 ff. näher dargelegt ist.

Aufgabe. Der in Fig. 425 dargestellte Träger ist zu untersuchen und die grösste Schubspannung zu bestimmen.

Au flag er drücke. Nach Belastungsfall 6 Seite 131 wird

Fig. 425.

ttoooTig.

A

.....t,o.....^

- -2,*--

18000 1,6

= 12000 kg, ß - 18000 - 12000 = 6000 kg.

2,4

Momente. Es ist:

Mmax — 12000-0,8 = 9600 kgm = 960000 kgcm. Widerstandsmoment. Hiernach wird das erforderliche Widerstands

moment:

Wer, =

960000

900

= rd 1070 cm³.

Querschnitt. Daher genügt J-Eisen N. P. 36 mit Wx = 1088 cm³. Das Trägheitsmoment des Querschnittes ist 19576 cm⁴.

Schubspannung. Nach Gleichung 216) ist die grösste Schubspannung

2,0

Fig. 426.

vmax-s

-f

si—

' J'b

:    Die grösste Vertikalkraft ist in diesem Falle gleich dem

§    ^ Auflagerdruck A, also Vraax =• A = 12000 kg.

I ^ j    Nach Fig. 426 wird das statische Moment des halben

y    il--*—y Trägerquerschnittes für die neutrale Achse:

S - 14,3 • 2,0 • 17,0 + 16,0 • 1,3 • 8,0 = rd 652 Einheiten bezogen auf cm.

b ist gleich der Stegstärke = 1,3 cm, Jx = 19576 cm⁴

12000-652 19576 • 1,8

Da die Schubspannung 600 kg/qcm betragen darf, ist sie in diesem Falle massig zu nennen.

mithin :

= 308 kg/qcm.

VIII. Zusammengesetzte Festigkeit.

a) Die auf Doppelbiegung beanspruchten Träger.

Bei der Berechnung der Träger ist bisher stets vorausgesetzt worden, dass die Ebene, in welcher die Belastung wirkt, den Balkenquerschnitt in der Hauptachse y—y schneidet.

Für manche Belastungen trifft diese Annahme indessen nicht zu, wie dies z. B. für Pfetten, deren y—y Achsen rechtwinkelig zur Dachfläche stehen und

Fig. 427.

Fig. 428.

.cP

bei Trägern, die einem Gewölbe als Widerlager dienen, der Fall ist (Fig. 427 bis 429).

Ist « der Winkel, welchen die Last P mit der Hauptachse y—y bildet, so sind die Komponenten von P nach der Richtung der Achsen x —x und y—y P • sin « bez. P • cos « (Fig. 430).

Man denke nun den Träger zuerst belastet durch die Kraft P • cos a (Fig. 431) und nenne das

Fig. 429.

Fig. 430.

Fig. 431.

er

■V

ts

<r'

.A

07___

[ÎCOS.CÙ

JP

f.c

öS*

3/

grösste Moment dieser Last Mi. Die Fasern der Kante A B erleiden dann Zug- (-f ), die Fasern der Kante DC Druckspannung (—), deren Grösse ki sich ergibt aus der Gleichung:

Ms

kl — Wx’

wenn Wx das Widerstandsmoment des Querschnittes für die Achse x—x bedeutet.

Ist jetzt der Träger nur mit der Last P-sina belastet (Fig. 432), und ist deren Maximalmoment M2, so erhalten die Fasern der Kante DA Zug- und diejenigen der Kante CB Druckspannung, deren Grösse k2 sich ermittelt aus der Gleichung :

M₂

k2 ± Wy 5

wenn Wy das Widerstandsmoment für die Achse y—y bedeutet.

Aus der Belastung P • cos « erhält der Punkt A Zugspannung, aus der Belastung P-sina erhält er ebenfalls Zugspannung, demnach die Gesamtspannung

Mi M₂

Wxf Wy*

Fig. 432.

----

im

ki -f- k₂ =

Punkt B erhält aus der Belastung P-cos-a^Zug, aus der Belastung P-sin « Druck, daher die Gesamt-

v    1    , M

'«y Spannung ki — k₂ =

m₂

Wx Wy-

F.sincc

Punkt C erhält aus der Belastung P • cos « Druck, aus der Belastung P • sin a Druck, also die Gesamtspannung — ki — k₂ = —

Mi M₂\

Wx ⁺ wy/

Punkt D endlich erhält aus der Belastung P • cos « Druck, aus der Belastung

P-sina Zug, mithin die Gesamtspannung —ki —k₂ = —

M₂

x ‘ Wy*

In den Punkten A und C addieren sich also die aus beiden Belastungen hervorgerufenen Faserspannungen; in den Punkten B und D heben sich die Spannungen teilweise auf.

Durch die Achsen x—x und y—y wird der Querschnitt in vier Quadranten zerlegt, man findet jetzt leicht :

Alle Punkte der beiden Quadranten, die von der Kraft P geschnitten werden, erhalten aus beiden Momenten entweder nur Druck oder nur Zug, in den beiden anderen Vierteln sind die

Spannungen aus beiden Momenten entgegengesetzt.

Die grösste Spannung tritt also auf in den Punkten A und C. Bezeichnet

Fig. 433.

'x

man dieselbe mit 0, so besteht demnach die Gleichung:

«r

Ml.

m₂

*V= xa⁰z6‘

T-

Y---' &

so muss demnach die Bedingung erfüllt sein:

Wy-

Die Gesamtspannung a muss natürlich innerhalb der zulässigen Grenzen bleiben. Wird die zulässige Zug- oder Druckspannung wieder mit k bezeichnet,

Wx

217)

Mi , M₂

Wx ' Wv

<k.

Anfgabe. Die T-Eisen-Pfette eines eisernen Dachbinders steht rechtwinklig zur Dachfläche (Fig. 438). Der Winkel der Dachfläche mit der Horizontalen ist a = 18° 26' entsprechend einer Dachneigung 1:3. Die Pfetten werden auf den Bindern gestossen. Die Binderentfernung ist 3,2 m, die horizontale Entfernung der Pfetten voneinander 2,25 m, die Last pro qm Grundriss rd. 150 kg. Welches T-Eisen ist zu wählen?

Die lotrechte Belastung der Pfette beträgt:

P = 3,2 -2,25 150= 1080 kg.

Der Winkel, den die Last P mit der y—y-Achse bildet, ist gleich dem Neigungswinkel a = 18° 26'.

Nun ist cos 18°26'= 0,949, sin 18°26' = 0,316, mithin:

und

demnach :

P • cos « = 1080 • 0,949 = 1025 kg P • sin « = 1080 • 0,316 = 341 kg

Mi = -Q- • 1025 • 3,2 = 410 kgm = 41000 kgcm

und :

M₂ =

• 341 ■ 3,2 = 136,4 kgm = 13640 kgcm.

Für Eisen ist k = 900 kg, mithin muss nach Gleichung 217) sein: 41000 . 13640 —___

Wx

wy

< 900.

Wählt man zunächst T-Eisen N. P. 17 mit Wx = 137 und Wy = 17,1 cm³, so wird die grösste Faserspannung:

41000 , 13640

137

17,1

= 1097 kg/qcm

also viel zu gross.

Für T-Eisen N. P. 18 ist Wx = 161, Wy = 19,8 cm³, folglich:

13640

41000

161

= 844 kg/qcm.

19,8

Demnach wäre J-Eisen Nr. 18 für die Ausführung zu wählen.

Beabsichtigt man hölzerne Pfetten zu verlegen, so müsste, da für Holz k = 70 — 80 kg/qcm ist, die Bedingung erfüllt sein:

41000

13640

Wx

Wy

^70 kg.

Wählt man den Querschnitt 20/14, für welchen nach der Tabelle 1 im Anhang Wx = 933 und Wy = 653 cm³ ist, so wird:

41000 , 13640

933

653

= rd 65 kg/qcm.

Der Querschnitt würde also ausreichen.

Weiteres über die Berechnung der Pfetten siehe Band IX, Seite 288 bis 294.

b) Biegung und Zug.

Wenn ein Stab, wie das öfter bei Hänge- und Sprengewerken und manchen anderen Konstruktionen vorkommt, gleichzeitig auf Biegung und Zug beansprucht wird, so muss die Berechnung in folgender Weise vorgenommen werden.

Der Stab AB sei durch die Kraft P auf Zug, durch die auf ihr liegende Last auf Biegung beansprucht (Fig. 434).

Die Kraft P ruft im Stabe Zugspannungen hervor, die sich gleichmässig über den Querschnitt verteilen. Ist f dessen Grösse, so ist die spezifische Beanspruchung ki:

T’

Wie dies in der Praxis üblich ist, sollen die Zugkräfte durch das Vorzeichen „p“, die Druckkräfte durch das Vorzeichen „ — “ bei Eisen und Holzkonstruktionen bezeichnet werden.

Infolge der Biegung erleidet ein Teil der Fasern Zug-, der andere Teil Druckspannungen. Ist M das grösste Biegungsmoment am Stabe, welches im

Fig. 434.

2*.

«-

Querschnitt m — n auftreten möge, so ist, wenn man das Widerstandsmoment des gefährlichen Querschnittes mit Wx bezeichnet, die grösste Zugspannung der äussersten Faser:

k2 — +

Wx

die grösste Druckspannung der äussersten Faser:

k₂ =

Wx*

Fig. 435 zeigt die Spannungsverteilung infolge der Zugbeanspruchung durch

die Kraft P, Fig. 436 die Spannungsverteilung infolge der Biegung.

In der Zugzone des Querschnittes addieren sich

P    M

die Spannungen^- mit den Spannungen

die grösste im Querschnitt auftretende Zugspannung k :

Fig. 435.

Wx

so dass

218)

Ë'ig. 436.

JVT

wird. In der Druckzone des Querschnittes heben sich

P    M

die Zugspannungen y mit den Druckspannungen

zum Teil, so dass die Spannung k der äussersten Faser an der Druckzone:

Wx

ta

k' =

f Wx

wird.

Fig. 437. + y-

+ T1Z

gestellt.

In Fig. 437 ist die Spannungsverteilung dar

Die Randspannungen k und k' müssen natürlich innerhalb der Grenzen der zulässigen Beanspruchung liegen.

Aufgabe. Das in Fig. 438 dargestellte Hängewerk erhält aus der Dachbelastung 2800 kg, die durch die Firstpfette auf die Stuhlsäule übertragen wird.

Der Binderbalken AC ist durch das Gewicht der Bodendecke mit 600 kg pro lfd. m belastet und bei B an die Stuhlsäule aufgehängt. Der Binder ist berechnen.

zu

Infolge der Aufhängung bei B ist der Binderbalken als Balken auf drei Stützen behandeln. Die Auflagerdrücke durch die gleichmässig verteilte Belastung werden daher nach Gleichung 166):

ZU

|-p-l = !" 600-4,0 = und B =^-p l = !" 600-4,0= 3000 kg.

900 kg

Fig. 438.

= Z8 OoKg.

taniffinniDiÄfÄs

-

I*-*'0-

*,o

Diese 3000 sind am unteren Ende der Hängesäule aufgehängt. Am oberen Ende derselben wirken die 2800 kg aus der Dachlast, so dass das Bindersystem die in Fig. 439 angegebene Belastung trägt. Die Ermittelung der Stab-spannuugen ist in Fig. 440 durchgeführt, nach welcher der Binderbalken (Stab 2 und 5) 4100 kg Zugspannung erhält.

Stab 3 erhält Zug und ist nach den Regeln der Zugfestigkeit und Schubfestigkeit zu berechnen. (Siehe Aufgabe 1 Seite 110 und Aufgabe 1 Seite 104).

Für den Binderbalken ist der Querschnitt 20/26 gewählt, dessen Widerstandsmoment Wx =

2253 cm³ und dessen Querschnitt f = 520 qcm ist.

Die Zugspannung 4100 kg verteilt sich gleichmäfsig über den Querschnitt.

Der Balken wird aber durch die gleichmäfsig verteilte Last ausserdem auf Biegung beansprucht. Der gefährliche Querschnitt liegt bei B. Das grösste Moment an dieser Stelle ist Fig. 440. nach Gleichung 168):

¹ 12

F'P'¹ =

Fig. 439.

zsooTCg.

i cm ^ 1 Sooft cf.

~ • 600 • 4,0²

O

= — 1200 kgm = — 120000 kgcm.

Der Balken biegt also hier nach oben durch wie Fig. 438 veranschaulicht.

Die grösste Spannung der gezogenen oberen Faser ist nach Gleichung 218) : P M

~c r

Wx

4100

120000

8 + 53 = 61 kg/qcm Zug

Fig. 441.

520 T 2253

und die kleinste Spannung der unteren Faser:

In Fig. 441 ist die Spannungsverteilung dargestellt. Die neutrale Faserschicht liegt also nicht mehr in der halben Querschnittshöhe, sondern sie hat sich der unteren Seite genähert.

k' =

I neutrale -

Schicht

= 8 — 53 = — 45 kg/qcm Druck.

c) Biegung und Druck.

Fig. 442.

Ein Stab (Fig. 442) sei durch die Kraft P auf Druck, durch die Belastung auf Biegung beansprucht. Ist f der Querschnitt des Stabes, so sind die spezifischen Druckspannungen im Stabe:

ki = —

.p

Ist M das grösste Moment, Wx das Widerstandsmoment des gefährlichen Querschnittes, so sind die daselbst auftretenden Biegungsspannungen :

i    i M

Wx

k₂=±

wobei das -{--Zeichen für Zug, das —Zeichen für Druck gilt.

Die grösste Druckspannung k im Querschnitt ist daher:

Fig. 443.

fi

220)

P M f Wx’

die kleinste Faserspannung:

__P

221)

k' =

P M f ⁺WX*

In Fig. 443, 444, 445 ist die Spannungsverteilung dar

gestellt.

fi

Aufgabe. Der in Fig. 446 dargestellte armierte Träger ist zu berechnen.

Der Obergurt ist ein Träger auf vier Stützen. Aus Gleichung 177) folgt für die Momente über den Stützen B und C:

Fig. 444.

jvr

Mi = M₂ =

720-(3,0³4-4,0³)

4 • (2 • 3,0 -1- 3 • 4,0)

=» — 910 kgm.

“—    TV

_ " x

Die Stützendrücke werden nach Gleichung 178): 720-3,0    910

3,0

= 777 kg

fi

und

720-3,0    720-4,0    910

2823 kg.

Die Stützendrücke A und D werden direkt vom Lager aufgenommen, die Stützendrücke B und C erzeugen in den Stäben des Fachwerks Spannungen, die in Fig. 447 und 448 ermittelt sind.

Hiernach herrscht im Obergurt (Stab 1, 4, 7) eine Druckspannung von rd 4100 kg.

Die Dimensionierung der Stäbe 2, 5, 8 muss nach den Regeln der Zugfestigkeit, die der Stäbe 3 und 6 nach denjenigen der Knickfestigkeit geschehen.

Fig. 445. ~JL> M

/ H

3,0

Die Stäbe 1, 4, 7 erhalten Druck und Biegung. Sie sind daher wie folgt zu berechnen. Das grösste positive Moment in den Endfeldern tritt nach Gleichung 179) in einem Querschnitt auf, der von der Stütze A den Abstand:

Fig. 447.

T₂=z823ltg.

Fig. 446. 7*oKy/m.

■f-

A\

V)

4.

'S

777

720

= 1.08 m

hat. Die Grösse des Momentes folgt aus Gleichung 180) zu:

9)ti = A •    = 777 •    419,58 kgm.

Das grösste in der Mitte des Mittelfeldes auftretende positive Moment ist nach Gleichung 181) :

aWa«-g-p-l2² + Mi

• 720 • 4² — 910 = 530 kgm = 53000 kg cm.

Fig. 448.

icm-g'OOÖJtg.

— T

Da der mittlere Stab ein grösseres Biegungsmoment auf- 3 nimmt als die Endstäbe, ausserdem länger ist als diese, so ist er für die weitere Rechnung mafsgebentl.

Gegen Knicken muss sein nach Gleichung 195):

Jmi0 = 100 • P • l² = 100 • 4,1 • 4,0² - 6560 cm⁴, gegen Druck muss der Stab einen Mindestquerschnitt besitzen von :

---;r

'S

4100

ö - =    60 qcm

und gegen Biegung ein kleinstes Widerstandsmoment

Diesen Bedingungen genügt ein Balkenquerschnitt von 16/20 cm mit Jy — 6827 cm⁴, f = 320 qcm und Wx = 1067 cm³.

Die grösste Spannung der äussersten gedrückten Faser wird dabei nach Gleichung 220):

53000

70

= 757 cm³.

P_ M f Wx 4100    53000

320    1067

von:

= — 62 kg Druck,

bleibt also in den zulässigen Grenzeu.

13

rtchöler, Statik und Festigkeitslehre.

Die kleinste Spannung im Querschnitt wird:

P . M

k' =

Wx

4600    53000

320 + 1077

Fig. 449.

- 62Kg

= 4-37 kg Zug.

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 449 angegeben. Die neutrale Faserschicht hat sich danach nach unten verschoben. Die darüber liegenden Fasern ' erhalten Druck-, die darunter liegenden ■*n, Zugspannungen.

(1) Der exzentrische Druck.

Wenn die Belastung, welche eine Säule aufzunehmen liât, nicht durch den Schwerpunkt des Querschnittes geht, so gelten die oben abgeleiteten Formeln für die Berechnung der Säule nicht mehr. Die Säule ist alsdann exzentrisch belastet. Dieser Fall liegt z. B. immer vor, wenn zwei Träger an eine Säule angeschlossen werden, welche ungleiche Lasten auf diese übertragen, oder wenn wie dies in Speichern usw. häufiger vorkommt, die an die Säule angeschlossenen Träger wechselnde Belastung übertragen.

Am ungünstigsten wird in diesem Falle die Säule beansprucht, wenn der eine Träger vollbelastet, der andere unbelastet ist (Fig. 450).

+37Kg.

--IG .

Fig. 450.

Ist Pi die vom belasteten, P₂ die vom unbelasteten

Träger übertragene Last, so geht die Resultierende R = Pi + P₂ aus beiden nicht mehr durch die Säulenachse, sondern entfernt sich von dieser um das Mafs e, welches sieh aus der Gleichung:

t-\

a_

R e = Pi • ai — Pa ■ a₂

berechnen lässt, ln der Regel sind die Abstände ai und a2 der Angriffspunkte von Pi und P₂ von der Säulenachse einander gleich, so dass man mit ai = a₂ = a erhält:

222)

Hieraus folgt:

R e = a • (Pi — P₂).

a • (Pi — P₂) e~ ~ R ’

Denkt man nun im Schwerpunkte des oberen Säulenquerscbnittes zwei gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte Ri und R₂ = R angebracht (Fig. 451), so ist am Gleichgewichtszustände nichts geändert worden. Fs ergibt sich aber sofort, dass die Säule von der im Schwerpunkte des Querschnittes nach unten gerichteten Kraft Ri auf Druck (Knicken) beansprucht wird. Die beiden anderen Kräfte RR₂ dagegen bilden ein Kräftepaar, dessen Moment M = R e im Säulenquerschnitte Biegungspannungen hervorruft.

Infolge der zentrisch wirkenden Einzelkraft werden in jedem Säulenquerschnitte Druckspannungen verursacht, deren Grösse ki = halt des Säulenquerschnittes bedeutet.

223)

ist, wenn F den In-

Die Grösse k₂ der Biegungsspannung der äussersten Fasern ist gegeben durch die Gleichung :

Re

W ⁵

worin W das Widerstandsmoment des Querschnittes, M das Biegungsmoment der Kraft R in bezug auf den Mittelpunkt des Säulenquerschnittes bezeichnet.

Die grösste Druckspannung k tritt auf der Seite des vollbelasteten Trägers im Säulenquerschnitt ein und beträgt:

Fig. 451. R Rt

*■

224)

ß__M

F W

Auf der gegenüberliegenden Seite ist die Druckbeanspruchung am kleinsten und zwar gleich:

225)

k'

-TT "f

Wird

Re

R

y, so wird k' positiv, d. h. im Querschnitte werden alsdann

Zugspannungen auftreten.

Es braucht wohl nicht besonders hervorgehoben zu werden, dass der Säulenquerschnitt auch gegen Knicken sicher sein muss.

Die Berechnung einer solchen Säule wird man daher in folgender Weise vornehmen. Zuerst berechne man die Stütze für Vollbelastung beider Träger und achsialer Wirkung der Lasten nach den oben angegeben Regeln. Hierauf nehme man den einen Träger vollbelastet, den anderen unbelastet an und untersuche, ob die Kantenpressungen k und k' innerhalb der zulässigen Grenzen bleiben. Findet eine Ueberschreitung statt, so muss der Querschnitt vergrössert werden.

Beispiel. Eine gusseiserne Säule dient einem Unterzuge in einem Magazin zur Unterstützung. Das Gewicht der unbelasteten Decke sei 300 kg, der belasteten Decke 1000 kg/qm. Die Länge der Säule sei 3,5 m. Das Obergeschoss dient zu Wohnzwecken. Die dieses tragenden Säulen geben an die unteren Säulen eine achsiale Last von 18000 kg ab (Fig. 452).

Nimmt man den Unterzug zuerst vollbe-

so überträgt er auf die Säule eine j_ U achsiale Last von

lastet an

■k-

Fig. 452.

5,0-5,0- 1000 = 25000 kg.

Die Gesamtlast der Säule ist alsdann:

P = 25000 + 18000 = 43000 kg, folglich gegen Knicken nach Gleichung 196) :

J = 8 - P l² = 8 43,0 • 3,5² = 4214 cm⁴.

Hierfür genügt ein Säulenquerschnitt von 20 cm Durchmesser und 1,8 cm Wandstärke mit J = 4303 cm⁴ und F = 103 qcm. (Siehe Tabelle 12 im Anhang) (Fig. 453).

s,o

S,0

X/

“-o

k- SO-    50- -sjf. 5,0 _>

13*

Ist der Unterzug CD unbelastet, BD belastet, so überträgt CD auf die Säule eine Last von

2,5 • 5,0 • 300 - 3750 kg

und B D eine solche von

2,5-5,0-1000 - 12500 kg.

Die Angriffspunkte dieser Kraft mögen von der Säulenachse den Abstand a = 14 cm haben. Die Resultierende aus den auf der Säule wirkenden Lasten

ist in diesem Falle:

Fig. 453.

R = 18000 + 12500 + 3750 - 34250 kg und nach Gleichung 223) ihr Abstand von der Säulenachse : 14,0 (12500 —3750)

⁶    34250

Das Widerstandsmoment des gewählten Querschnittes ist nach Gleichung 67):

= rd 3,6 cm.

4303

20

7jr

= rd430 cm³,

1U

mithin die grösste Druckspannung nach Gleichung 224): 34250    34250 • 3,6

103

430

= — rd 620 kg/qcm Druck.

Da für Gusseisen k höchstens 500 kg/qcm betragen darf, so ist demnach ein grösserer Querschnitt zu wählen.

Nach der Tabelle 12 im Anhang besitzt ein Querschnitt von 22,5 cm Durchmesser und 2 cm Wandstärke ein Trägheitsmoment von 6831 cm⁴ und einen Inhalt von 129 qcm (Fig. 454). Mit dem grösseren Durchmesser nimmt aber gleichzeitig der Abstand der Angriffspunkte der Lasten von der Säulenachse zu. Er sei jetzt 15 cm von der Ache entfernt.

Dann wird

Fig. 454.

Ferner ist:

15,0 -(12500 — 3750) 34250

= 3,9 cm.

6831

22,5/a

= rd 607 cm³.

... -2S,S - -

•r

folglich die grösste Druckspannung im Säulenquerschnitt auf der Seite des belasteten Trägers:

34250    34250 3,9

129

607

= —rd 485 kg/qcm Druck

und die kleinste Druckspannung:

34250    34250 • 3,9

k' - —

129

607

= —rd45 kg/qcm Druck.

Hiernach herrscht in jedem Säulenquerschnitt zwischen Kopf und Fuss nur Druckspannung, die mit 45 kg/qcm auf der Seite des unbelasteten Trägers beginnend bis auf 485 kg/qcm nach der Seite des vollbelasteten Trägers anwächst.

Bei Vollbelastung der Säule würde die gleichmässig verteilte Pressung im Säulenquerschnitt nur:

43000

129

= 333 kg/qcm sein.

Man erkennt an dem Beispiel, wie wichtig es ist, sich über die Beanspruchung der Säulen, sobald die Träger seitlich angeschlossen werden, zu uuter-richten und zwar sowohl bei achsialer Vollbelastung wie bei einseitiger Ueber-last; man erkennt ferner, wie notwendig es ist, der Forderung nach zentrischer Lastübertragung Genüge zu leisten, da schon bei geringer exzentrischer Wirkung der Lasten bedeutende Unterschiede in der Beanspruchung des Säulenmaterials auftreten.

So lange k' negativ bleibt, d. h. so lange für k' sieh noch Druckspannung ergibt, ist ein Abheben des Säulenfusses von seiner Unterlage nicht zu befürchten. Sobald aber für k' Zugspannungen sich ergeben, wird dies eintreten, wenn nicht durch geeignete Verankerung der Säule mit dem Fundament gesorgt wird. Ueber die Berechnung dieser Verankerung siehe Band IX, Seite 158 ff.

e) Horizontal belastete Säulen.

Horizontal belastete Säulen sind aufzufassen als eingespannte Träger, die auf Druck und Biegung beansprucht werden. Man unterscheidet zwei Fälle, entweder ist der Säulenkopf frei beweglich, wie dies bei Hallensäulen vorkommt (Fig. 455), die am Kopfe den Winddruck aufnehmen, oder der Säulenkopf ist ebenfalls eingespannt, wie dies bei Säulen in Fabrikgebäuden vorkommt, an denen die Lager der Transmissionen befestigt sind (Fig. 456). Diese Träger sind wegen ihrer Beanspruchung auf Druck selbstverständlich auch auf Knicken zu berechnen.

1. Die Säule ist oben frei beweglich.

Jmin = m • P • l²,

wobei für m die in der Tabelle auf Seite 174 in der Rubrik Fall 1, n — ł/«i

Die vertikale Belastung sei P, die horizontale H. Nach Gleichung 198) Seite 174 ist gegen Knicken:

Fig. 456.

Fig. 455.

angegebenen Koeffizienten zu setzen sind. Gegen Druck ist die Bedingung:

f = X

zu erfüllen. Und gegen Biegung muss der Querschnitt ein Widerstandsmoment be-sitzen von:

-s

-y

rzz

Werf ⁼

!'

i . rr *—>

k₂ '

//

/'

Mit M = H-l (Fig. 455) ist somit:

Hl k₂

Die grösste Druckbeanspruchung des ^ Querschnittes tritt an der Einspannstelle auf und ist:

Werf =

226)

k= —

//

II

PHI

f W ’

.\

»

i'

die kleinste Spannung im Querschnitt daselbst wird:

227)

P Hl

Aufgabe. Die 5,6 m lange Säule eines offenen Hallendaches erhält eine achsiale Belastung von 7000 kg. Der am oberen Ende wirkende Winddruck ist

im ungünstigsten Fall 1200 kg (Fig. 457). Welcher Querschnitt ist zu wählen?

Wird die Säule in Schmiedeeisen ausgeführt, so muss gegen Knicken sein :

Jmln = m • P • l² = 10 • 7,0• 5,6² = 2195 cm⁴.

Der Druckquerschnitt muss mindestens be-

?ooo7tg.

Fig. 457.

IT

-±I20o7î<?.

tragen

‘7000

5,0

=    8 qcm

JC

cc

900

und dass erforderliche Widerstandsmoment muss.

da M = 1200 • 5,6 = 6720 kgm = 672000 kgcm ist, mindestens betragen:

Wert

672000

900

747 cm³.

Für Quadranteisen 125/14 (siehe Tabelle 10 im Anhang) ist J = 15788 cm4 f = 169 qcm und Wx = 867 cm³, er genügt somit den Anforderungen der Festigkeit. Die grösste Druckspannung im Querschnitt wird dabei nach Gleichung 226): 7000    672000

=■ — 816 kg/qcm Druck,

k= —

die kleinste Spannung:

k' = —

Ueber die Verankerung solcher Säulen siehe Band IX Seite 157 ff.

169

867

7000 . 672000

169

867

= + 734 kg/qcm Zug.

2. Die Säule ist beiderseits eingespannt (Fig. 456).

Gegen Knicken ist:

Jmin = m • P- T²,

wobei m die in der Tabelle auf Seite 174 unter Fall 4 aufgeführten Werte hat. Gegen Druck ist:

ki’

Für den in Fig. 458 dargestellten Belastungsfall eines eingespannten Trägers gelten folgende Beziehungen.

Das Einspannmoment bei A ist :

228)

und dasjenige bei B:

Ma

Hab²

l²

229)

Mb =

H • a²•b

l²

Die Stützendrücke A und B werden: 230)

oder, wenn man-^ = n setzt:

a²

l²

2-^ J l³

und

231)

A = H (3 n² — 2 n³)

B = P — A.

232)

Das Moment unter der Last P wird mit a = n

233)

M = 2H 1 (n⁴

2n³ -f n²).

Die Stützendrücke A und B müssen vom Säulen-fuss und Säulenkopf aufgenommen und auf das Fundament bezw. Gebälk übertragen werden.

Bezeichnet man das dem absoluten Werte nach grösste Moment mit 9ÏÏ, so muss der Säulenquerschnitt der Bedingung genügen:

Fig 458.

w„,=-=.

—«-*-* --fs

-i—§

w-

k₂ ‘

Die grösste Druckspannung wird dann:

? m

234)

und die kleinste Spannung:

235)

f Wx

k' — —

cl, ;=+h

Wx'

Aufgabe. Eine 4,5 m lange Säule nimmt 3,0 m über den Fundament einen Horizontalzug von 600 kg auf. Die achsiale Last beträgt 32000 kg. Sie soll aus 2 Q-Eisen konstruiert werden. Welches Profil genügt?

Gegen Knicken ist:

Jmin = m • P • l² = 0,625 • 32,0 • 4,5² = 405 cm⁴.

Gegen Druck muss sein:

32000

900

= 36 qcm.

Die Momente an den Einspannstellen werden:

600- 3,0 • 1,5²

4,5²

= — 200 kgm

und

Mb= -

600 • 3,0²-1,5

4,5²

Das Moment an der Last H, da n =

= — 400 kgm = — 40000 kgcm. t ist:

3,0

4.5 “3

M = 2-600-4,5-

+ 266,7 kgm.

Das grösste Moment ist demnach MB.

Diesen Bedingungen genügen zunächst 2 Q-Eisen N.-P. 14 mit f = 2 • 20,4

= 40,8 qcm, Jx = 2• 605 = 1210 cm⁴ und Wx = 2• 86,4 cm³.

Die grösste Kantenpressung wird nach Gleichung 234):

40000    1A51 , ,    n ,

Y~qqJ    1031 kg/qcm Druck,

L-

32000

40,8

Die kleinste Spannung wird nach Gleichung 235) :

W ⁺ ^W = -669 k^CmD™Ck-

Da die erste die zulässige Grenze überschreitet, ist ein grösseres Profil zu wählen. Nimmt man 2 J~-Eisen N.-P. 16, so ist Jx = 2 • 925 = 1850 cm⁴, f = 2 • 24 — 48,0 qcm und Wx = 2 • 116 = 232 cm³.

Jetzt wird:

32000    40000

k' = —

Fig. 459.

48

232

= — 839 kg/qcm Druck

und

LU

32000 , 40000    .₀_ . , n .

—|g- + —232“ = — 495 kg/9cm Druck.

Diese ^-Eisen würden also ausreichen. Ihre Stellung ist in Fig. 459 angegeben.

Die Entfernung der Schwerpunkte der [VEisen, sowie die Anzahl der Querverbindungen ist nach den auf Seite 181 ff angegebenen Regeln zu bestimmen.

k'= —

IX. Beton- und Betoneisenkonstruktionen.

ln der Einleitung zur Festigkeitslehre wurde schon darauf hingewiesen, dass der Elastizitätsmodul für Beton keine konstante Grösse ist.

a) Zentrischer Druck.

Ein Betonkörper von rechteckigem Querschnitt f werde in seinem Schwerpunkt von Null anfangend belastet. Die spezifische Druckspannung o für einen beliebigen Belastungszustand P kg ist dann :

Die Zusammendrückung, welche der Körper auf die Längeneinheit erfährt (die sogen. Stauchung), sei s. Dann ist nach Gleichung 50) der Elastizitätsmodul E:

Hat man für jeden Spannungszustand a die Dehnung s bestimmt, so hat der Elastizitätsmodul E für jedes a einen anderen Wert. Trägt man in Fig. 460 auf einer senkrechten Geraden a-b die Spannungen a auf, und die zugehörigen € dazu als Ordinaten, so liegen die Endpunkte auf einer Kurve, welche die Stauchungskurve genannt wird. Aus derselben geht hervor, dass die Stauchungen schneller zunehmen als die Spannungen. Trägt man auf der anderen Seite der Linie a-b den zu jeder Spannung zugehörigen Wert E auf, so liegen die Endpunkte ebenfalls auf einer Kurve (E-Kurve), welche zeigt, dass der Elastizitätsmodul mit wachsender Spannung kleiner wird.

Die Fläche, welche von der E-Kurve und der Spannungslinie a-b eingeschlossen wird, heisst die E-Fläche; Für Eisen und Holz ist diese ein Rechteck.

Der Elastizitätsmodul für die spezifische Spannung a — 1 kg sei Ei, dann lässt sich für zusammengehörige Werte von a und s folgende Beziehung aufstellen:

; am = Ei • g,

236)

am

£~EC‘a

wobei m eine Zahl ist, welche zwischen 1,1 und 1,2 liegt.

Für fette Betonmischungen 1:3 bis 1:4, die mit 8 Prozent Wasser angemacht sind, ergibt sich aus zahlreichen Versuchen als Mittelwert, für die in der Technik in Betracht kommenden Spannungsgrenzen, für Ei der Wert 300000 und m = 1,15, so dass Gleichung 236) übergeht in:

u¹’¹⁵

E = ³⁰⁰⁰⁰⁰

Die Druckfestigkeit des Betons richtet sich nach dem Mischungsverhältnis, den Eigenschaften des Sandes und Kieses, dem Wassergehalt, dem Stampfen usw. Sie nimmt mit dem Alter zu und beträgt 28 Tage nach der Herstellung der Betonkörper in obiger Mischung 200 bis 250 kg pro qcm. Als zulässige Beanspruchung gegen Druck dürfte Vs dieser Festigkeit, also höchstens 40bis 50 kg/qcm, anzunehmen sein. Bei mageren Betonmischungen muss man natürlich geringere Werte zulassen und zwar höchstens 20 bis 30 kg/qcm.

; ffU5 = 300000- £.

AcTvse

dero

IL.

VC"

^ Fig. 460.

b) Beanspruchung auf Zug.

Die Zugfestigkeit des Betons ist im Vergleich zur Druckfestigkeit nur sehr gering und beträgt bei Mischungen 1:3 nach 28 Tagen im Mittel 25 kg/qcm.

Dabei ist ausser den für die Druckfestig-tigkeit in Betracht kommenden Verhältnissen namentlich die Form des Probekörpers von Einfluss.

Hat man bei den Zugversuchen für die verschiedenen Spannungszustände a die Dehnungen s bestimmt, so lassen sich die entsprechenden Elastizitätsmodul E

wieder aus der Gleichung E = ° berechnen.

JE** 300000

ln Fig. 461 sind auf der Geraden a-c die Spannungen a, dazu rechtwinkelig nach links die Dehnungen s, nach rechts die E-Werte aufgetragen, wodurch man die Dehnungskurve und E-Kurve bezw. E-Fläche erhält.    _

Für fette Betonmischungen 1:3 bis 1:4 er- < gibt sich, dass die Dehnungen für niedere Spannungen (bis etwa a = 14 kg/qcm) ziemlich proportional

J2- 230000

Ą

Si

uichse

■fc

■I

Fig. 461.

den Spannungen sind, für höhere Spannungen bis zur Zugfestigkeit bei a = 25 kg/qcm, viel schneller als diese wachsen.

Innerhalb der Grenzen a = 0 bis a = 14 kg lässt sich für die Grössen a, s und E die Gleichung aufstellen:

£ —

<7m

• (T¹’².

Ex ’ £    250000

während für die Spannungen a = 14 bis a = 25 die Gleichung:

om

•<T³'⁶

£ Ei ’⁶    150000000

gilt. Ei würde dabei den Elastizitätsmodul für a = 1 kg/qcm bedeuten, die letzte Gleichung auch für den ersten Teil der Kurve Gültigkeit hätte.

wenn

c) Schubfestigkeit.

Die Schubfestigkeit des Betons erweist sich aus zahlreichen Versuchen grösser als die Zugfestigkeit und wird für fette Mischungen 1:3 bis 1:4 zu 30 bis 36 kg/qcm angegeben. Für magere Mischungen sinkt der Wert bis auf 15 kg/qcm.

Die zulässige Schubanstrengung soll 3 bis 4 kg/qcm nicht überschreiten.

(1) Biegung.

Bei der Berechnung von auf Biegung beanspruchten Betonkörpern wird vorausgesetzt, dass die Querschnitte bei der Durchbiegung eben bleiben.

Die Linie der Dehnungen ist alsdann eine Gerade CD (Fig. 4(32) und es verhält sich, wenn man die Dehnung im Abstande x von der neutralen Schicht mit £x nnd die Dehnung am oberen Rande mit s„ bezeichnet:

So

a ’

wenn a der Abstand der neutralen Schicht vom oberen Rande bedeutet. Für den gezogenen Teil des Querschnittes verhält sich ebenso:

Sx

^11

wo die Buchstaben die entsprechenden Bedeutungen haben. Nach Gleichung 236) lassen sich die den Dehnungen entsprechenden Spannungen berechnen. Denkt

Fig. 463.

man diese Berechnungen ausgeführt und die Spannungen rechtwinkelig zur Querschnittsfläche aufgetragen, so erhält man die in Fig. 463 veranschaulichte Spannungsverteilung.

Es bezeichne a₀ die grösste z Druckspannung am oberen Rande, u,, die grösste Zugspannung am unteren Rande, <tx die Spannung im Abstande x von der Nulllinie, so verhält sich mit Rücksicht auf Gleichung 236):

Fig. 462.

neutrale

Schicht

237)

« -H

<*c

Î-:;

(J

ffo’m

= — bezw.

Ux“¹

ffu“¹

* ei*

wobei m und nu die für den betreffenden Beton für Druck und Zug gütigen Exponenten bedeuten. Ist D die Gesamtheit der Druckspannungen im Querschnitt, Z die Gesamtheit der Zugspannungen, so verlangt das Gleichgewicht die Erfüllung der Bedingung :

D = Z.

D und Z können in den Schwerpunkten der Spannungsflächen angreifend gedacht werden. Ist y der Abstand der Schwerpunkte, so ist das Moment des von D und Z gebildeten Kräftepaares der inneren Kräfte D y — Z y. Da dieses dem Biegungsmoment M der äusseren Kräfte das Gleichgewicht hält, so ist folglich:

M = Dy.

Aus der Bedingung D = Z folgt, dass in Fig. 463 die Druckfläche gleich der Zugfläche sein muss, dass also zu jeder Druckspannung eine ganz bestimmte Zugspannung gehört.

Ist die Spannungskurve für den betreffenden Beton bekannt, so lässt sich für die zulässige Druckbeanspruchung des Betons die zugehörige grösste Zuganstrengung am unteren Rande des Balkens dadurch finden, dass man durch eine Parallele zur Nulllinie aus der Spannungsfläche für Zug eine Fläche abschneidet, die der Druckfläche inhaltsgleich isf.

Dies kann auf dem Wege des Versuches geschehen, aber auch mit Hilfe des Seilpolygons, wodurch zugleich die Lage der Schwerpunkte gefunden würde.

In der Praxis wird diese genaue Methode, weil sie zu umständlich ist, nicht angewandt, so dass es sich erübrigt, hier auf die genaue Berechnung einzugehen. Nach den n eu bearbeiteten ministeriellen „Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten“ vom 24. Mai 1907 (siehe Zentralblatt der Bauverwaltung Nr. 46) sind ausserdem die Spannungen des auf Biegung beanspruchten Körpers unter der Annahme zu berechnen, dass sich die Dehnungen und Spannungen wie die Abstände von der Nulllinie verhalten, d. h. mit anderen Worten, dass an Stelle der Gleichung 237) die früher abgeleitete Gleichung 62) zu treten hat. In sämtlichen nachfolgenden Ableitungen wird daher m = mi =1 gesetzt.

Näherungsverfahren.

Setzt man in Gleichung 237) m = mi = 1, so geht Fig. 463 in Fig. 464 über, die Spannungsverteilung im Querschnitt ist dann also geradlinig, die Spannungen verhalten sich wie die Abstände von der Nulllinie.

Vergleicht man die wirklichen Spannungsfiguren — in Fig. 464 punktiert —

Fig. 464.

mit den geradlinig begrenzten, so folgt, dass sich bei dem Näherungsverfahren die Randspannungen a₀ und uu etwas

Fig. 465.

4,

zu gross ergeben, dass also bei dieser Berechnungsweise eine etwas grössere Sicherheit vorhanden ist.

IC,

Li

i.

Der in Fig. 465 gezeichnete Stab sei 1cm breit, li cm hoch. Die Nulllinie habe vom oberen und unteren Rande die Abstände x₀ und xu cm. Die obere Randspannung habe Wert <r₀, die untere aa k^/qcm.

Die Gesamtheit der Druckspannungen sei D, die der Zugspannungen sei Z; wegen des Gleichgewichts ist dann D = Z.

Die Elastizitätsmodul für Druck und Zug sind, wie oben bereits ausgeführt, verschieden. Ea bezeichne einen Mittelwert für Druck, Ez einen solchen für Zug,

Ed

— n.

das Verhältnis-pr-Ez

lm ganzen sind dann vier Unbekannte <r₀, <ru, x₀ und xu zu bestimmen. Hierzu hat man folgende Gleichungen. Es ist:

I.

x₀ + xu = h.

oder:

Aus D = Z folgt:

(To * X₀

(Tu ' X u

11

Go ' Xo — Gu * Xu.

Ferner ergibt die Bedingung, dass die Querschnitte eben bleiben sollen nach Fig. 466, dass sich die Dehnung sQ der obersten Schicht zur Dehnung der

v

untersten Schicht verhält wie x₀:xu, also — = - -.

'    ^ ^

Fig. 466.

Nun ist aber:

Ed =

nn no c o

ł -r»*

mithin ist:

X₀

xu

G₀    0u

1 -l-Jz —

So    Su

Spannung

Dehnung

So

E;

Go

1 Go

£u

«i

n Ga

oder:

III.

Go

Xo

Ga

Xu

Das Moment des Kräftepaares D Z ist endlich, da der Schwerpunktsabstand der Spannungsflächen h ist,

Go • Xo 2 ,

2--¥h“

Da dieses Moment gleich dem Moment der äusseren Kräfte sein muss,, so ergibt sich, wenn man dieses mit M bezeichnet:

h = M (kgcm).

Aus Gleichung II. und III. folgt nun :

xu = x₀ Kn

Setzt man diesen Wert in Gleichung I, so erhält man :

Ga ’ Xu

IV.

Xo =

und hiermit folgt aus Gleichung IV: 238)

Ebenso findet man:

1 + Kn

Go =

p--0+ ^/“)

239)

3M

h2

Ed

Das Verhältnis g- = n hängt ab von der Zusammensetzung und Verarbeitung des Betons. Für guten Beton kann man n mindestens = 9, für mittleren Beton n = 16 und für gewöhnlichen Beton n = 25 setzen, so dass die Gleichungen 238) und 239) übergehen in:

12 M h2 ;

15 M

240)

(To = '

4M

- h2

für n = 9;

241)

(To

fl* ’

(Tu =

15 M

für n = 16;

242)

(To =

18 M

18

für n = 25.

(TU -    ₅

ln der Regel ist das Moment M gegeben und man sucht die Stärke h der Betonplatte. Lässt man für eine gute Betonmischung (n = 9) einen Druck (To = 30 kg/qcm, für eine mittlere Mischung (n = 16) einen Druck a₀ = 25 kg/qcm und für gewöhnlichen Beton (u = 25) <r₀ = 20 kg/qcm zu, so ergeben sich für h die in nachstehender Tabelle angegebenen Werte:

h²

(To =

30

25

20

kg

0,95 KM

0,77 YM

0,63 Km

Hierin ist M das Biegungsmoment der äusseren Kräfte für 1 cm Breite der Platte ausgedrückt in kgcm.

ln der Regel wird das Moment M für lm = 100 cm Plattenbreite berechnet. Führt mau dann das Moment in kgm ein, so behalten die in der Tabelle angegebenen Werte für h ihre Richtigkeit.

Für Decken in Wohnhäusern wird man den besten Beton nicht verwenden. Druckspannungen bis zu 30 kg/qcm kommen jedoch vor. Setzt man in Gleichung 242) (To = 30, 25, 20 kg enthaltenen Werte:

h ==

cm

so

ergeben sich für h die in nachstehender Tabelle

(To =

30 kg/qcm

25 kg/qcm

20 kg/qcm

0,77 Km

o,85 Km 0,95 Km

Hierin bedeutet M das Moment für 1 m Plattenbreite in kgm.

Für Decken, welche zwischen T-Eisen eingestampft sind, sei die Last p kg

Setzt man diesen

pro qm, 1 die Spannweite in Meter, dann wird M =

Wert ein, so erhält man die Deckenstärke unmittelbar aus der folgenden Tabelle:

(To —

30 kg/qcm

25 kg/qcm

20 kg/qcm

0,272 1-Kp 0,300 1 • V p 0,335 1-Kp

Aufgabe. Eine zwischen “-Eisen eingestampfte Decke sei aus Beton hergestellt, dessen Druckbeanspruchung 25 kg/qcm betragen darf. Die Spannweite sei 1,6 m, die Last pro qm 800 kg. Wie stark muss die Decke werden?

Es ist :

h = 0,300 • 1 • Kp = 0,300.1,6 • K"800 = 13,6 cm.

e) Adhäsion zwischen Eisen und Beton.

Aus den zahlreichen Versuchen, die von einer Reihe hervorragender Forscher über die Haftfestigkeit zwischen Eisenstäben und Beton augestellt worden sind, geht hervor, dass diese 40 bis 47 kg'qcm Oberfläche des Stabes beträgt. Sie ist namentlich abhängig von dem Wasserzusatz und am grössten, wenn der Beton im plastischen Zustand eingestampft wird. Ueber die Grösse der Haftfestigkeit in kg/qcm Oberfläche gibt die nachstehende Tafel über verschiedene Betonmischungen Aufschluss. Sie ist entnommen dem Werke von Wayss und Freitag „Der Betoneisenbau“.

Wasserzusatz

1:1 1:2

1:3

Mischungsverhältnis 1:4 I 1:5 I

1:7

1:8

10 %

15

19

19

26

30

27

16

12

15 %

46

49

40

38

21

19

15

10

Bei Mischungen 1:3 bis 1:4 kann man als zulässige Beanspruchung 4 bis 5 kg/qcm Oberfläche annehmen.

f) Berechnung der Betoneisenkonstruktioneu.

Die Tragfähigkeit der Betoneisenkonstruktionen beruht darauf, dass infolge der grossen Adhäsion zwischen Eisen und Beton beide Baustoffe unter der Wirkung irgend welcher äusseren Kräfte gleich grosse Formänderungen, seien diese Dehnungen oder Stauchungen, erleiden.

Wird ein Betoneisenkörper auf Druck beansprucht, so ist also die Verkürzung, bei Zugbeanspruchungen die Verlängerung beider Stoffe gleich.

1. Achsialer Druck ohne Knickgefahr.

So lange ein auf Druck beanspruchter Stab nicht das 18fache seiner Querschnittsabmessung überschreitet, ist er nur auf Druck zu berechnen. (Siehe amtliche Vorschriften.)

Die über den Querschnitt des Betoneisenkörpers gleichmäfsig verteilte Druckkraft sei P.

Aus dem Umstande, dass die Verkürzungen beider Stoffe einander gleich sind, lässt sich alsdann mit Hilfe der Elastizitätsgesetze für Beton und Eisen feststellen, mit welchen Anteilen diese Körper an der Druckübertragung beteiligt sind.

Es sei: erb die Spannung des Betons in kg/qcm, ffe die Spannung des Eisens in kg/qcm, fb der Querschnitt des Betons in qcm, fe der Querschnitt des Eisens,

Eb der Elastizitätsmodul des Betons,

Ee der Elastizitätsmodul des Eisens,

P = fb • ffb +fe • Ge-

Sb die Dehnung (Stauchung) des Betons, So die Dehnung (Stauchung) des Eisens. Für die Kraft P besteht zunächst die Bedingung : 243)

Ferner ist :

t b — £e,

oder, da nach Gleichung 50) sb = —und

So =

ist:

Oe

oder :

Eb Ee

244)

ffb

Eb

Ee’

d. h. die Spannungen des Betons und des Eisens verhalten sich wie ihre Elastizitätsziffern.

Bezeichnet man das Verhältnis - mit n, so folgt:

Oe

Oe

Oe — II • O b

245)

(7b =

oder:

Setzt man den Wert von oe aus Gleichung 243) ein, so folgt:

P = fb • <7b + fe • n • (7,„

246)

P = (7b (fb + n • fe)

Dies ergibt den wichtigen Satz:

Satz 57. Ein auf Druck beanspruchter Betoneisenkörper lässt sich berechnen wie ein einfacher Körper, wenn man den Eisenquerschnitt mit dem n —

e i n f ü h r t.

Jg

-p-fachen Betrage in die Querschnittfläche

El,

Nach den amtlichen Vorschriften über die Berechnung der Betoneisenkonstruktionen wird verlangt, dass das Verhältnis Ee 2000000

ii —

Eb

140000

= rd 15 gesetzt werde.

Damit würde Gleichung 246):

P — Ob (fb + 15 fe)

247)

0 b ⁼⁼⁼

fb + 15 IV

(Tb muss natürlich in den Grenzen der zulässigen Beanspruchung bleiben, die bei Stützen als x/io der Betonbruchfestigkeit festgesetzt wird (siehe amtliche Vorschriften).

Aufgabe. Ein Betoneisenpfeiler von 32 32 qcm Querschnitt mit 4 Rundeisenstäben von 2 cm Durchmesser ist mit 30300 kg belastet. Wie gross sind die auftretenden Spannungen des Betons und des Eisens?

Fig. 467.

Fig. 467.

Der Eisenquerschnitt ist fe = 4 •

2,0² • 3,14

= 12,56 qcm

der Betonquerschnitt fb = 32 • 32 = 1024 qcm, mithin nach Gleichung 247):

32

__v_

<Ju =

30300

1024 + 15 12,56 und nach Gleichung 245):

= 25 kg/qcm

t"

_ . 32. .

(Te = 15 • 25 = 375 kg/qcm.

2. Achsialer Druck mit Knickgefalir.

Nach Gleichung 188) ist die Kraft P, welche einen Stab von der Länge 1 cm zu knicken vermag:

TT²- E-J

l²

Bezeichnet Eb den Elastizitätsmodul des Betons, Ee denjenigen des Eisens. Jb das Trägheitsmoment des Betonquerschnittes, Je dasjenige des Eisenquerschnittes für die Achse x-x bezw. y-y (Fig. 468), so ist mithin die Tragfähigkeit einer Betoneisensäule:

5T² -Eb • Jb

7T² ‘ Ee ' Je

Fig. 468.

l²

l²

__2

71

JE

Mit ~ =n geht diese Gleichung über in: h-b

- (J -f- n Je).

—    — U'

TT² E

l²

Bei 10fâcher Sicherheit gegen Knicken, die bei Betoneisensäulen vorge-schriebeu wird, ist somit die Kraft, welche eine Säule aus Betoneisen höchstens aufnehmen darf:

248)

Hierbei ist vorausgesetzt, dass die Säule an beiden Enden frei beweglich ist. Mit Eb = 140000 und n = 15 folgt:

h ² • 140000 101²

Setzt man 7r² — rd 10 und 1 in m ein, so wird :

TT² 'Eb

10 -1²

‘ ('Jb "j“ n • Je) •

240)

(Jb+ 15 Je).

250)

14

P — "p" • (Jb “p 15 ' Je)-

Gegen Druck müssen ausserdem die Gleichungen 245) und 247) erfüllt sein, wobei ae und ab innerhalb der Grenzen der zulässigen Beanspruchung liegen müssen.

Liegt der Fall 1 der Einspannung vor (siehe Seite 173), d. h. ist der Stab an einem Ende fest eingespannt und am anderen frei beweglich (Fig. 403), so

rH

der vorigen, also:

ist die Tragfähigkeit nur

251)

Ist der Stab an einem Ende fest eingespannt, am anderen in der Achse geführt (Fig. 404) so ist die Tragfähigkeit doppelt so gross, also:

252)

P = 28

Jb + 15 • Je

l²

Bei fester Einspannung (Fig. 405) ist die Tragfähigkeit viermal grösser,

also:

253)

P = 56 •

Jb + 15 • Je

l²

In den Gleichungen 250) bis 253) ist 1 in m, P in kg einzusetzen. Aus der vorstehenden Ableitung ergibt sich der wichtige Satz:

Satz 58. Eine Betoneisensäule lässt sich berechnen

wenn man

wie eine Säule aus homogenem Material den Querschnitt und das Trägheitsmoment der Eisen-

Fig. 469. dzj~

einlagen mit dem a fachen (15 fachen) Betrage in die -^-4 Rechnung einführt.

X-

~T

Damit die dünnen Eiseneinlagen nicht für sich wegknicken, sind diese durch Quereisen zu verbinden. Bei der Berechnung der Eiseneinlagen auf Knicken ist nach den amtlichen Vorschriften 5fache Knicksicherheit anzunehmeu. Der Abstand der Quereisen lässt sich ermitteln aus der Knickformel für Eisensäulen,

wenn die Spannung ae, welche ein Eisenstab erhält, nach Gleichung 245) bestimmt ist. Ist d der Durchmesser der Eiseneinlage, so ist mit Beziehung auf Fig. 469 nach Gleichung 197):

Jmiu = 2,5

worin P in Tonnen, X in m zu setzen ist.

d² ■ n

71

Nun ist für den Rundeisenquerschnitt Jmi„ = ^j-d⁴, P = Tonnen, mithin:

d²-

•⁷¹    i

i--®* kS =

ffe

4    1000

d⁴ • Tt „ r ß4 = ffe '

d² • TC

4000

•X².

woraus: ausgedrückt in m erhalten wird. Will man X in cm erhalten, so folgt:

14

SchSler, Statik und Festigkeitslehre.

254)

500. d

In dieser Gleichung ist d in cm, oe in kg einzusetzen.

Die Bügel werden aus 7 bis 10 mm starken Drähten gebildet (Fig. 470). Der Abstand der Bügel soll indessen nie über das 30fache des Durchmessers der Eiseneinlage gehen (siehe amtliche Vorschriften).

Aufgabe. Eine 5,0 m lange Eisenbetonsäule von 34-34 qcm Querschnitt und 4 Rundeiseneinlagen von 2,5 cm Durchmesser erhält eine Belastung von

37000 kg. Sie ist an beiden Enden frei beweglich. Es soll ihre Tragfähigkeit nachgewiesen werden (Fig. 471).

Der Betonquerschnitt ist fb = 34 • 34 = 1156 qcm. Der 15 fache Eisenquerschnitt

fe = 4 • 15 • 2,5² • ^ = 295 qcm.

Die Druckspannung des Betons wird daher nach Gleichung 247):

ffü = iW^96 = rdSOkg;qCm

und die Druckspannung des Eisens nach Gleichung 245): oe = 15 • 30 = 450 kg/qcm.

Das Trägheitsmoment des Betonquerschnittes auf die Achse x-x bezogen ist nach Gleichung 75):

Fig. 470.

Fig. 471.

!'

kr-

r~~ Tip-~

jc ta

- ->i

d -- Z.5 cm

Jb = ^-34,0⁴ =111261 cm⁴.

Das Trägheitsmoment Je eines Eisenquerschnittes ist nach Gleichung 82) :

rï4 n _i_ e2. f 64 +e L .

d ⁴ 7T

sehr klein ist, so kann man mit hinreichender Genauigkeit Je = e²•f setzen.

Demnach ist das löfache Trägheitsmoment der vier Eiseneinlagen:

2,5²-7T r-nnAO a i— = 57742 cm⁴ ;

4

Da der Wert

OS

Je =

15-Je = 15• 4• 14,0² •

folglich ist die Tragfähigkeit der Säule gegen Knicken nach Gleichung 250):

111261 -F 57742

P = 14.

5,0²

= 94640 kg.

Da die Säule nur mit 37000 kg belastet ist, liegt also keine Knick

gefahr vor.

höchstens

Die Querverbindungen zwischen den Eiseneinlagen dürfen nach Gleichung 254)

.    500 • d 500 • 2,5

v*r⁼

= 59 cm

K 450

entfernt sein; dies würde etwa dem 24fachen Durchmesser der Eisen entsprechen.

Nur in denwenigstenFällen wird einbesondererNachweisder Knicksicherheit nötig sein. Dies rührt daher, dass wegen der vorhandenen grossen Querschnittsfläche derSäulen stetsnur geringe Materialbeanspruchung sowohl des Betons wie des Eisens auftritt.

4. Biegung einfacher Platten

(ohne Berücksichtigung der Betonzugspannungen).

Die Berechnung eisenarmierter Platten geschieht in der Praxis meist unter Vernachlässigung, der Zugspannungen des Betons. Erstens ergeben sich dadurch für den täglichen Gebrauch leicht anzuwendende Formeln, zweitens ist der Sicherheitsgrad ein grösserer, wenn man den Querschnitt der Eiseneinlagen so bestimmt, dass diese sämtliche in einem Querschnitt auftretenden Zugspannungen aufnehmen können.

Ausserdem wird bei der Berechnung der eisenarmierten Balken stets Proportionalität zwischen Dehnung und Spannung vorausgesetzt.

Nach d en ne uen amtli chen Vorschri f ten soll die grösste Druckspannung des Betons den sech sten Tei 1 seiner Br uc hfestigkeit, die Zugspannung des Eisens 1000 kg/qcm nicht überschreiten.

Der in Fig. 472 dargestellte Balken sei 1 cm breit und es sei gb die Dehnung der obersten Betonschicht, se die Dehnung der Eiseneinlage, h der Abstand der Eiseneinlage von der oberen Kante, x der Abstand der neutralen Schicht von der oberen Kante, dann ist :

«b : x = £e : (h — x).

Nun ist nach Gleichung 50):

Cb    j    (Te

und £e =

-Ejb    B<e

Fig. 472. 7 ?

Sb

oc

wobei Eb und Ee die früheren Bedeutungen haben, so dass:

(Tb

Eb :X

Hieraus folgt:

= I7: (»-*)•

h • ffb • E,

neutrale ;    ^

S'chichi ^ "4

Ce ' E b -j“ ff b ' Ee

Ee

Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches durch Eb und setzt -rr- = n

Jlib

so erhält man:

h n Cb

Ce 4" 11 • Cb

255)

Damit wäre die Lage der neutralen Schicht bekannt, wenn h bekannt wäre. Ist fe der Eisenquerschnitt, so ist die gesamte Zugspannung f₀ • <re (Fig. 473). Die ganze Druckspannung der Druckzone ist, wenn cb die Spannung der obersten

Beide sind einander gleich. Die Druckspannung D

x

Schicht bedeutet, Cb*-g-. greift im Schwerpunkte des Druckdreiecks an. Das Moment des Kräftepaares Z D

ist D • ^h--Dieses muss gleich dem Moment M der äusseren Kräfte sein,

so dass die Bedingung besteht:

*-f0— •>

Setzt man x aus Gleichung 255) hier ein, so ergibt sich:

256) M =

2 • (3 (Te + 2 n • (Tb).

h² • (Tb² • n 6 • (<xe + n ffb)

In dieser Gleichung ist nur h unbekannt, für welches man erhält:

257)

(Te 11 ■ (Tb

GM

(Tb

n • (3 (Te + 2n • (rb)

Ist h berechnet, so folgt nun x aus Gleichung 255). Die Grösse des erforderlichen Eisenquerschnittes ergibt sich aus der Gleichung:

t    x

Ie * tfe —    * c\

Fig. 473.

zu :

CC

neutrale ! 3chie hi ^

-k- -

\~T

(Tb - ^

2 • (Te *

Mit x aus Gleichung 255) wird für 1 cm Balkenbreite:

258) fe

259) fe =

h (Tb² • n 2 (Te • ((Te + II • (Tb)'

In Gleichung 257) ist M das Moment für 1cm Balken breite und in kgcm einzustellen. In der Praxis wird das Moment gewöhnlich für lm Plattenbreite berechnet. In Gleichung 256) wäre dann die rechte Seite noch mit 100 zu multiplizieren und in Gleichung 257) unter dem Wurzelzeichen im Nenner ebenfalls noch der Faktor 100 einzusetzen.

Drückt man das Moment für 1 m Breite aber in kgm aus, so behält Gleichung 257) ihre Giltigkeit.

Mit dem Verhältnis n =    = 15 liefert Gleichung 257) für a₀ = 1000

Eb

kg/qcm und für Betonmischungen, deren Druckspannungen ah = 20, 25, 30, 35, 40 und 45 kg betragen darf, die in nachstehender Tabelle aufgeführten Werte für h. Daselbst ist auch der erforderliche Eisenquerschnitt für 100 cm Plattenbreite angegeben. Das Moment M ist in kgm einzusetzen.

Ee

n = =- = 15, (Te = 1000 kg/qcm.

Eb

<Tb

(Te

kg/qcm

kg/qcm

in cm

fe in qcm für 100 cm Breite

Abstand x der neutr. Schicht von der Oberkante

20

1000

25

1000

30

1000

35

1000

40

1000

45

1000

0,686 KM 0,554 KM 0,490 KM 0,433 KM 0,390 KM 0,357 KM

0,232 h 0,350 h 0,465 h 0,602 h 0,750 h 0.907 h

0,230 h 0,272 h 0,310 h 0,345 h 0,375 h 0,403 h

E

Wählt man das Verhältnis n = —= 10, so ergeben sich nach den Gleich

chungen 257), 259) und 255) die nachstehenden Werte für h, fe und x. ae werde wie oben zu 1000 kg/qcm angenommen.

Eo

n =    = 10, ao = 1000 kg/qcm.

fih

tfb

kg/qcm

kg/qcm

in cm

fe in qcm für 100 cm Breite

Abstand x der neutr. Schicht von der Oberkante

20

1000

25

1000

30

1000

35

1000

40

1000

45

1000

0,797 KM 0,655 KM 0,559 KM 0,491 KM 0,440 KM 0,400 KM

0,167 h 0,250 h 0,346 h 0,454 h 0,571 h 0.698 h

0,167 h 0,200 h 0,231 h 0,259 h 0,285 h 0,310 h

h bedeutet den Abstand des Schwerpunktes der Eiseneinlage von der Plattenoberkante. Zu dem berechneten Werte von h sind noch 1 bis 2cm zu addieren, um die ganze Plattenstärke zu erhalten. Dies ist notwendig, damit die Eiseneinlagen ganz in Beton eingehüllt werden.

wenn

Aufgabel. Eine zwischen T-Eisen eingestampfte Betoneisendecke von 2 m Spannweite trägt eine Gesamtlast (Eigengewicht -f Nutzlast) von 1600 kg/qm. Wie stark wird die Decke und wieviel Eiseneinlagen sind erforderlich der Beton mit 30 kg/qcm gedrückt werden, das Eisen eine Zugspannung von

= 15 zu setzen ist? Fig. 474. Das Biegungsmoment für 1 m Plattenbreite ist M = 4 • 1600 • 2,0² = 800 kgm.

O

Aus der ersten Tabelle findet man für (Tb = 30 kg,

F

1000 kg aufnehmen darf und das Verhältnis T,-

Eb

Fig. 474.

^eooh(j^n

TÏÏÏÏÏÏTTTm

A.

h = 0,490 KM = 0,490 V$ÖÖ= 13,9 cm

und für den Eisenquerschnitt:

fe = 0,465 h

= 0,465 • 13,9 = 6,5 qcm.

Dafür würden 10 Rundeisen von 0,9 cm Durchmesser genügen, deren

Querschnitt

fe = 10 • 0,64 = 6,4 qcm ist.

Die Plattenstärke müsste, damit die Eisen völlig einbetoniert sind d = 13,9 -f- 1,1 = 15,0 cm betragen.

Der Abstand der neutralen Schicht von der Oberkante beträgt: x = 0,31 • h = 0,31 • 13,9 = 4,3 cm.

Aufgabe 2. Eine eisenarmierte Betonplatte von 3,0 m Spannweite ist beiderseits eingespannt (Fig. 475). Die Last pro qm Grundriss einschl. Eigen-

gewicht beträgt 1260 kg/qm. Der Beton

Fig. 475.

darf mit 40 kg/qcm gedrückt, das Eisen mit 1000 kg^em beansprucht werden. Das

Verhältnis ^ = 10, entsprechend einer ^    —»—'    ^

Betonmischung etwa 1:4. Die Abmessungen sind zu bestimmen.

/TT

T--V-

zu:

Für den eingespaunten Träger tritt das grösste Moment an den Einspannstellen auf und berechnet sich nach Gleichung 164)

1 12 TT?'¹

A • 1260• 3,0² — 945 kgm.

Für (Tb = 40 kg folgt aus der zweiten Tabelle:

cm

h = 0,440 KM = 0,440 K945 = 13,5 und der Eisenquerschnitt auf 1 m Breite :

fe = 0,571 -h = 0,571-13,5=7,7 qcm.

Dafür würden 10 Rundeisen von 1,0 cm genügen mit fe = 10 • 0,79 = 7,9 qcm.

Damit die Eisen völlig in Beton eingehüllt sind, ist die Plattenstärke

13,5 -(- 1,5= 15,0 cm zu machen.

Vom Wendepunkt der Biegungslinie an bis zu den Stützen sind die Momente negativ, die gezogenen Schichten Tiegen daher jetzt oben, die gedrückten unten. Das grösste Moment in der Balkenmitte ist nach Gleichung 163):

1 12 24 P 1

• 1260 -3,0² = 472,5 kgm.

Die Plattenstärke brauchte hier also nur

h = 0,440 V472£ = rd 9,6 cm

stark zu sein, wozu etwa 1,4 cm zur Einhüllung des Eisens kämen, so dass die ganze Stärke d = 9,6 + 1,4 = 11,0 cm wäre.

Der Eisenquerschnitt fe würde

fe = 0,571 • 9,6 = 5,5 qcm

betragen, entsprechend 7 Rundeisen von 1,0 cm Durchmesser, deren Querschnitt

7 • 0,79 = 5,53 qcm beträgt.

Die Anordnung wäre wie in Fig. 475 angegeben zu treffen.

Aufgabe 3. Die eisenarmierte Decke in einem Lagerhaus wird durch einen ebensolchen Unterzug der Länge nach unterstützt (Fig. 476). Das Eigengewicht beträgt 240 kg, die Nutzlast 1400 kg/qm. Der Unterzug und die Decke sind

to

Oi

zu berechnen unter der Vorraussetzung, dass <rb = 35 kg/qcm, fe = 1000 kg/qcm E

betragen und -fA = 10 gesetzt werden dart.

■Łb

a) Decke. Die Decke ist aufzufassen als ein Träger auf 3 Stützen. Die Last pro qm beträgt insgesamt 240    1400 =

1640 kg. Das grösste Moment tritt, über dem Unterzug auf und ist nach Gleichung 168) :

m=-A-pp=

M = — 415,125 kgm.

Nach der zweiten Tabelle wird mit (Tb = 35 kg/qcm :

h = 0,491 • KM - 0,491K415,125 = 10,0 cm.

Zur Ausführung werden noch 1,5 cm zugegeben, so dass die Deckenstärke 10,0 + 1,5 = 11,5 cm wird.

Der Eisenquerschnitt fe wird nach der Tabelle fe - 0,454 h = 0,454• 10,0 = 4,5 qcm.

Dafür genügen 10 Rundeisen von 0,8 cm Durchmesser mit fe = 10-0,5 = 5,0 qcm. Da das Moment über der Stütze negativ ist, liegen hier die gezogenen Teile oben, die gedrückten unten, so dass die Eisen in der in Fig. 476 angegebenen Weise anzuordnen sind.

h) Unterzug. Er ist ein Träger auf 4 Stützen. Die Last pro lfd. m beträgt 1640- 4,5 = 7380 kg. Die grössten Momente treten über den Säulen auf und sind nach Gleichung 181):

M =

/J64o7€p./m

pnnmimnin^Mnmnnnmia

.....Jfc Fig. 476.

X ////////////////////,

ifS ....

*/>

-ff

}-

vz/jr^y/////.

4--1640-4,5²

O

if,o

/y////////,-///////////, 77AW77Z

7380- 4,0².

10

¹ 12 Io'¹”¹

M=- 11808 kgm.

Macht man den Unterzug 50 cm breit, so ist das Moment auf 1 cm Breite

• 100 = — 23 616 kgm.

11808

50

und für 100 cm Breite

Aus der zweiten Tabelle folgt daher für die Höhe des Unterzuges mit (Tb = 35 kg/qcm :

h = 0,491 V23616 = 75,6 cm,

wozu noch 2,4 cm für die Einbetonierung der Eiseneinlagen kommen.

Für 1 m Breite ist der erforderliche Eisenquerschnitt fe = 0,454 h, für 50 cm Breite daher:

fc = 0,227 • h = 0,227 • 80,5 = 18,3 qcm.

Dazu reichen 5 Rundeisen von 2,2 cm Durchmesser aus, deren Querschnitt fe = 5 • 3,80 = 19,0 qcm ist.

Die Anordnung der Eisen hat in der in Fig. 476 angegebenen Weise zu geschehen, da über den Stützen die gezogenen Fasern oben, die gedrückten unten liegen.

4. Die Plattenbalken.

Unter Plattenbalken versteht man eine Betonplatte, die durch eine eisenarmierte Rippe unterstützt ist und demnach einen -förmigen Querschnitt besitzt (Fig. 477).

-h    Es möge Fig. 478 der

Querschnitt einer eisenarmierten Platte sein, n-n die neutrale Achse, dann würde der schraffierte Teil ^ Druckspannungen erhalten. Da der Beton keine Zugspannungen aufnehmen soll, ist die Betonfläche unterhalb der n-n Achse spannungslos; die in diesem Teile des Querschnittes gleicli-mäfsig verteilten Eiseneinlagen übernehmen die gesamte Zugspannung.

Der Beton unterhalb der n-n Achse ist daher gewissermafsen überflüssig, und man kam deswegen auf den Gedanken, den erforderlichen Eisenquerscbnitt

auf einen kleinen Teil der Zugzone ein-/////A zubetten und den übrigen Beton fortzu-; - lassen. Dadurch ergibt sich der in Fig. 477 dargestellte Plattenbalken-Querschnitt.

Aus dieser Entstehungsweise folgt nun aber sofort, dass die Berechnung der Plattenbalken in derselben Weise geschehen kann, wie die der einfach en Platten.

Fällt die Nulllinie nicht mit der Plattenunterkante zusammen, sondern innerhalb der Platte, so wird an der Berechnung ebenfalls nichts geändert. Fällt dagegen die Nulllinie in den Steg (Fig. 479), so können die geringen im Steg

Fig. 479.

Fig. 478.

"Y/

Fig. 477.

— 4-

d Sr V-**-t-D

~rr~

•••

K-jc+y

ül—

auftretenden Druckspannungen vernachlässigt werden, so dass die Berechnung auch dann in der früheren Weise erfolgen kann.

In der Regel schlägt man bei der Berechnung folgenden Weg ein.

Es sei b die Breite der Platte, x der Abstand der Nulllinie von der Oberkante, d die Dicke der Platte, die zulässige grösste Druckspannung der obersten Schicht, (Tu die Spannung an der Plattenunterkante, ae die Spannung der Eiseneinlage, k deren Abstand von der Oberfläche (Fig. 479), dann ist :

x—d

(Tu

oder:

(Tu

260)

(Tn — (Tb*

x-d

Nach Fig. 480 ist ferner :

Sb

£e

k—x

oder, da = -sr imd se = 4^- ist, und wenn man -

Eb    Ee    b

n • cTb • (k—x)

(7e —

wieder = n setzt:

261)

Fig. 480.

Sb

Aus der Bedingung, dass D = Z sein muss, folgt weiter:

(Tb + (Tu

Jr

• b • d = (Te • fe.

'h■

Setzt man die Werte cru und ae aus Gleichung 260) und 261) hier ein, so erhält man:

262)

2 n k fe + b d²

2 (n fe + b • d)

*e

Bezeichnet man den Abstand des Druckmittelpunktes von der Nulllinie mit y, so ist dessen Abstand x-y von der Oberkante:

(Siehe Teil I, Seite 59)

d (Tb “I“ 2 Ga 3 (Tb -f- (Tu

Durch Einsetzen des Wertes von au aus Gleichung 259) erhält man daher

für y:

262 a)

to; &

4-

P-

to

Ci;

Der Arm des Kräftepaares DZ ist jetzt k — x -f- y. Da das Moment desselben gleich dem Biegungsmoment M der äusseren Kräfte sein muss, so ist folglich, wenn man den Querschnitt der Eiseneinlage mit fe bezeichnet:

mithin:

M = fe • (Te (k — X + y)

263)

<Te fe • (k — x + y) ‘

Endlich folgt nun aus der Gleichung 261) für (Tb der Wert:

264)

X • (Te

n(k — x)*

Bei der Berechnung der Plattenbalken nimmt man die Abmessungen der Konstruktionsteile als vorläufig gegeben an und untersucht, ob <rb und <re innerhalb der zulässigen Grenzen bleiben.

Aufgabe. Ein auf 2 Stützen liegender Plattenbalken von 8,75 m Spannweite und 2,0 m Breite nimmt eine Last von 1840 kg pro lfd. m auf. Der Quer-

E

schnitt wird gesucht unter der Voraussetzung, dass n =    = 15 ist und die zu-

Eb

lässige Druckbeanspruchung des Betons 30 kg nicht überschreiten soll.

und 213.

Mit n = 15 und (rb = 30 nämlich findet man, wenn man die Konstruktion zunächst als volle Platte ausgeführt denkt, für deren Höhe aus der Tabelle auf Seite 212:

h = 0,490 KM (M in kgm für 100 cm Breite).

Nun ist für 200 cm Breite M = 17609 kgm, also für 100 cm Breite =

h = 0,490 V8804,5 = 45,9 cm,

8804,5 kgm, mithin:

wofür 46 cm genommen werden.

Der erforderliche Eisenquerschnitt für 100 cm Breite ist nach derselben Tabelle fe = 0,465 • h, demnach für 200 cm Breite

fe = 2 • 0,465 • 45,9 = 42,69 qcm.

Vorhanden sind 42,76 qcm. Für die Lage der neutralen Achse gibt die Tabelle den Wert:

x = 0,31 • h

an; dies liefert im vorliegenden Falle:

x = 0,31 • 45,9 = 14,2 cm.

Wählt man den in Fig. 481 dargestellten Querschnitt mit fünf Eisenein-

3 32.3 i4

lagen von 3,3 cm Durchmesser mit einer Fläche von fe = 5 • ——— so wird nach Gleichung 262):

42,76qcm

2 -15 -46 -42,76 + 200-122 2(15-42,76 + 200.12)

—14,2 cm

und nach Gleichung 262a):

y = 14,2-Das Biegungsmoment ist :

12,0

1    12,0²

2    6 (2 -14,2 — 12,0)

M = 4 • 1840 • 8,75² = 17609 kgm = 1760900 kgcm.

ö

= 9,66 cm.

Die Spannung der Eiseneinlage wird jetzt nach Gleichung 263) :

1760900

42,67 (46,0 - 14,2 + 9,66) und die Betonspannung nach Gleichung 264):

14,2 - 995

Cb~ 15(46,0- 14,2)

Da die „amtlichen Vorschriften“ für a₀ eine Spannung von 1000 kg/qcm zulassen, genügt der gewählte Querschnitt. Die Breite des Steges ist so be-

dass die fünf

ffe =

= 995 kg/qcm

= 30 kg.

2,00

Fig. 481.

3,0

messen Rundeisen bequem unter-**,0 gebracht werden können. *    Einfacher

langt man zum Ziel mit Hilfe der Ta-

ge-

bellen auf Seite 212

Aus der vollen Platte lässt sich jetzt der in Fig. 481 angegebene Querschnitt herausschneiden, wobei die Breite des Steges von der Anzahl der gewählten Eiseneinlagen abhängt.

Die Anwendung der Tabellen ist also für die Berechnung der Plattenbalken bei weitem einfacher als die Benutzung der Gleichungen 262) bis 264).

Bei Plattenbalken, die über mehrere Stützen hinweggehen, werden die Bieguogsmomente über den Stützen negativ. Die Zugzone des Querschnittes liegt also jetzt oben, die Druckzone uuten. Die den Momenten entsprechenden Eiseneinlagen sind daher an diesen Stellen im oberen Teil unterzubringen.

5. Betonplatten mit doppelter Armierung.

In der Druckzone des Betonbalkenquerschnittes Eiseneinlagen anzuordnen, entspricht eigentlich nicht dem Wesen der Eisenbetonkonstruktionen, da bei Betonbalken der Beton die in den einzelnen Querschnitten auftretenden Druckspannungen aufnehmen soll. Immerhin wird, wenn besondere Vorsicht walten auch die Druckzone zu-

muss

weilen durch Eiseneinlagen, deren Querschnitt im Verhältnis zur Grösse der Druckzone sehr ge- T«=i-y--y--ring ist, verstärkt.    _    ;    *

Neben den früheren Be- ^ ~T

Fig. 482.

■M

k—

-n.

Zeichnungen sei noch

fe' der Eisenquerschnitt    c

der Druckzone für

m-2>

Z=4-©e

9 9®_© 9

1 cm Querschnittsbreite,

(Je die Druckspannung der Eiseneinlage,

a der Abstand der Eiseneinlage von der Betonoberkante,

ab' die Spannung des Betons im Abstande x-a von der neutralen Achse.

Nach den Bezeichnungen der Figur 482 ist dann der Druck Di, welchen die Eiseneinlage fe' enthält:

Di = fe' • (Je',

der Druck D2, welchen der Beton aufnimmt, ist:

mithin der Gesamtdruck D:

d₂ =

(Jb‘ 2

fe' • (Jb,

(Tb- ₂

- fe' • «Tb' + fe' • (Je'.

Nun folgt aus der Figur:

so dass:

(Tb'

(Tb

X—-, also (Tb'

gb (x—a)

(Tb - (x- a)

D= ffb_x ^fe' tfi

Da fe' wie oben bereits erwähnt im Verhältnis zur ganzen Drucksache sehr klein ist, kann man das zweite Glied ohne grossen Fehler vernachlässigen, so dass man setzen darf:

-f fe' • (xe' wird.

Die Eiseneinlage in der Zugzone nimmt den Gesamtzug Z = fe-(Te auf.

• (h — y) + fe' • (Te' • (h -a).

II.

Hiermit folgt:

Das Moment M der äusseren Kräfte muss nun gleich dem Moment des Kräftepaares Z D sein, mithin hat man ferner:

I.

fe ' (To

Aus Gleichung 255) folgt weiter:

265)

ebenso ist endlich:

266)

(7e =

<Te' =

n ■ (Tb • (h—x)

n • (Tb • (x—a)

In diesen 4 Gleichungen nimmt man h, fe, fe' und M als Bekannte, x, cr„, (Te' und (Tb als Unbekannte an.

Setzt man oe und a₀' aus Gleichung 265) und 266) in Gleichung I. ein, so erhält man für x den Wert:

— n • (fe -f- fe') -f- J4 n¹ ■ (fe + fe')² + 2 n • (h • fe 4- a • fe').

Nachdem man x berechnet hat, findet man <rb aus Gleichung II. zu:

267)

268)

(Tb =

tNt X

(Te und <re' folgen dann endlich aus den Gleichungen 265) und 266).

In allen Gleichungen bedeuten, darauf sei nochmals besonders hingewiesen, fe und fe' die angenommenen Eisenquerschnitte, M das Moment in kgcm für 1 cm Querschnittbreite.

Die Berechnung eines doppelt armierten Betonträgers ist also eine Proberechnung, indem man die Abmessungen annimmt und zusieht, ob die eintretenden Beanspruchungen des Betons und der Eiseneinlagen sich innerhalb der zulässigen Grenzen halten.

Das nachstehende Beispiel möge dies erläutern.

Fig. 483.

iJ.O

43,0

4-5

Beispiel. Ein Betonbalken von 4 m Stützweite nimmt pro lfd. m eine Last von 1650 kg auf. Gewählt wird vorläufig der Querschnitt in Fig. 483 mit 3 oberen Rundeisen von 1,1 cm Durchmesser und 5 unteren Rundeisen von 1,5 cm. Wie gross sind die Spannungen der Eiseneinlagen und die grösste Druckspannung des Betons?

Der Gesamtquerschnitt der oberen Rund-

eisen ist:

--1    ³    4T~

*    mithin, da die Breite des Balkens 33 cm ist:

9 85

fe' = ^ = 0,087 oder rd 0,09 qcm.

2,85 qcm,

Der Gesamtquerschnitt der unteren Eiseneinlagen ist:

1,5² • Tt

8,84 qcm

mithin :

fe = -^^ = 0,27 qcm.

Das grösste Moment, welches am Balken auftritt, ist:

Mmax = -i-• 1650 • 4,0² = 3300 kgm.

Auf 1 cm Breite entfalt demnach ein Moment von: 3300

oder:

100 kgm = 10000 kgcm.

Mit n = 15 erhält man jetzt aus Gleichung 267) :

- 15 (0,27 + 0,09) + V225 (0,27 + 0,09)² -f- 2 • 15 (43.0,2 + 2,0 • 0,09)

33

x= 14,17 oder rd 14,2 cm.

X

Hiernach wird

u

= 7,1 cm, ^h-^ = 43,0

14,2

38,3 cm, (x—a) =14,2

— 2,0 = 12,2 cm, (h — a) = 43,0— 2,0 = 41 cm, folglich nach Gleichung 268):

10000

CTb ==

7,1 • 38,3 -f 15 • 0,09 •

12,2

= 31,3 kg/qcm.

14,2

• 41

Aus Gleichung 265) ergibt sich nun:

15.31,3.(43 - 14,2) a‘    14,2

952 kg/qcm

und aus Gleichung 266):

15.31,3.(14,2 — 2,0)

14,2

Die Spannungen bleiben demnach innerhalb der zulässigen Grenzen.

ffe'

= 403 kg/qcm.

6. Biegung: einfacher Platten mit Berücksichtigung der Betonzugspannungen.

Nach den amtlichen Vorschriften dürfen die Zugspannungen des Betons bei der Bestimmung der Querschnittabmessungen berücksichtigt und mit ²/₃ der durch Versuche nachzuweisenden Zugfestigkeit in die Rechnung eingeführt werden. Fehlt der Nachweis der Zugfestigkeit, so darf die Zugspannung j /io der Druckfestigkeit betragen. Es $ bedeute

Fig. 484.

u t-t-f—

J I A-x ₂

liUhLÆ-

«—

.Jt

V,;

(Td die Spannung der äusser-sten gedrückten Betonfaser,

az die Spannung der äussersten gezogenen Betonfaser, ff₀ die Spannung der Eiseneinlage bezogen auf 1 cm Querschnittbreite, dann ist nach Fig. 484:

h+CL-X

Mi

■ (7d — fe ' (7e "I⁻ (7* '

h + a—x

Nun ist: 269)

(7Z — (7d ‘

h-x

(7e = n • a à. •

mithin :

= n • (7d •

h-

(li + a—x)²

woraus:

TI

n ■ f. • h + ÜL+JÛ?

(h -j- a) + n • fe

Aus der Bedingung, dass das Moment der inneren Kräfte gleich dem Moment der äusseren Kräfte sein muss, folgt dann weiter:

2

• <7*- g- (h 4- a —x) 4- fe • (Je • (h—x)

• (7d •

h -|- a—x

woraus mit Rücksicht auf Gleichung II. und III. folgt:

+ n-fe- (h-x)² .

(7d r x³

xl3- ⁺

(h 4- a — x)³

Löst man diese Gleichung nach (7<i auf, so erhält man:

272)

(7d =

x³

M-x

(h 4- a—x)

4 n • fe- (h—x)²

Aus den Gleichungen 269) bis 272) lassen sich die Unbekannten x, ad, dz und (7e finden, wenn die übrigen Stücke gegeben sind. Bei der Untersuchung eines Betonbalkens hat man also, wenn man die Zugspannungen des Betons berücksichtigen will, zunächst einen Querschnitt anzunehmen und dann zuzusehen, ob die aus obigen Gleichungen sich ergebenden Spannungen innerhalb der zulässigen Grenzen bleiben. Die Rechnung kann daher für den nicht geübten Statiker ziemlich umständlich werden, ehe er einen geeigneten Querschnitt gefunden hat.

Wie zu Anfang des Kapitels IX f. 4. Seite 211 gesagt wurde, ist es daher zweckmässiger, die Zugspannungen des Betons nicht zu berücksichtigen bei der Bestimmung der Balkenquerschnitte. Interessant aber ist es dann, den gewählten Querschnitt zu untersuchen, mit Rücksicht auf die Zugspannungen des Betons. Man wird finden, dass die tatsächlich auftretenden Spannungen sich von den in der Rechnung vorausgesetzten bezw. gefundenen wesentlich unterscheiden werden und dies umso mehr, als ja die Spannungen und Dehnungen nicht dem Proportionalitätsgesetz folgen. Das nachfolgende Beispiel möge dies erläutern.

Aufgabe 1. Die in Aufgabe 1, Seite 213, berechnete Betonplatte ist zu untersuchen unter der Voraussetzung, dass der Beton Zugspannungen erhält.

Die untersuchte Platte war 100 cm breit. Ihre theoretische Stärke war h = 13,9 cm, die auszuführende Stärke h 4- a = 15 cm, der Eisenquerschnitt für 100 cm Plattenbreite 6,4 qcm, also für 1 cm Plattenbreite

n werde wie in der obigen Aufgabe auch hier zu 15 angenommen. Nach Gleichung 271) wird dann:

15,0²

15 • 0,064 • 13,9 + —~

7,8 cm

Breite

fe

6,4

100

0,064 qcm.

Das Biegungsmoment für lm Plattenbreite war 800 kgm, also für 1cm

800

100

8 kgm = 800 kgcm.

15,0 + 15 • 0,064

ferner nach Gleichung 272):

ffdSS= 7,8³ . (15,0 — 7,8)3 3

weiter nach Gleichung 269):

ff* = 19,6 •

und endlich nach Gleichung 270):

800 • 7,8

4- 15-0,064- (13,9 -7,8)²

= 19,6 kg/qcm,

15,0 - 7,8

7,8

18,2 kg/qcm

(Te =15-19,6-

13,9 - 7,8

7,8

220 kg/qcm.

In der nachstehenden Tabelle sind die Resultate von Seite 213 und die hier gefundenen gegenübergestellt.

ffe

cm

kg/qcm kg/qcm kg/qcm

30

Nach Seite 213 war .

0    1000    4,3

Hier ist .    .

19,6    9,4    220

7,8

Aufgabe 2. Der in Aufgabe 3 auf Seite 215 berechnete Unterzug werde untersucht unter Berücksichtigung, dass der Beton Zugspannungen aufnimmt.

Gewählt war der in Fig. 485 dargestellte Querschnitt. Der gesamte Eisenquerschnitt ist 19,0 qcm, theoretisch erforderlich waren 18,3 qcm, mithin die Eisenspannung:

1000-18,3

Fig. 485.

''64'®

fcsD

19

963 kg/qcm.

Der Eisenquerschnitt auf 1 cm Querschnittbreite ist : 19.0

fe

50.0

0,38 qcm.

Das grösste Moment, welches der Unterzug aufnimmt, war 11808 kgm, also für 1 cm Querschnittbreite:

11808

50

= 236,16 kgm = 23616 kgcm.

Aus den Gleichungen 269) bis 272) findet man:

78 O²

15 • 0,38 • 75,6 + —

78,0 + 15 • 0,38

= 41.5 cm.

ae =15-22,8-

= 281 kg/qcm.

75,6 - 41,5

41,5

Nach den amtlichen Vorschriften ist eine Betonspannung von 20,4 kg/qcm zulässig, wenn durch Zugversuche für den zu verwendenden Beton eine Zugfestigkeit von f • 20,4 = 30,6 kg/qcm nachgewiesen wird. Geschieht dies nicht, so muss der Beton eine Druckfestigkeit von mindestens 10 • 20,4 = 204 kg/qcm besitzen. Die Gegenüberstellung der früheren und der jetzigen Kesultate zeigt, dass die Betondruckspannung von 35 auf 22,8 kg/qcm, die Eisenspanuung von 963 auf 281 kg/qcm gesunken ist, die Betonzugspannung in der äussersten Faser auf 20,4 cm angewachsen ist.

7. Schubspannungen im einfachen Balken und Platten!)alken.

Fig. 486.

Im Kapitel VII, Seite 183, wurde nachgewiesen, dass in der Längsrichtung der Träger Schubspannungen auftreten. Die Kenntnis der Grösse dieser Schubspannungen in eisenarmierten Betonträgern, namentlich der Plattenbalken, ist von grosser Wichtigkeit, da an der Ueber-gangsstelle zwischen Steg und Platte leicht ein Hinwegschieben der Platte über den Steg ein-treten kann (Fig. 486).

Wie auf Seite 186 abgeleitet wurde, sind die Schubspannungen am grössten in der neutralen Schicht. Denkt man aus der Platte, deren Breite b sein möge, im Abstande z vom Auflager A ein schmales Stückchen À herausgeschnitten und in den Querschnittsflächen die dort herrschenden Druckspannungen D und Di angebracht (Fig. 487 bis 490), so muss deren Differenz D—Di durch die in der neutralen Schicht wirkenden Schubspannungen aufgehoben werden. Ist t die Grösse derselben, so ist also:

b • X • t = D — Di.

Ist M das Biegungsmoment im Querschnitte z, Mi dasjenige im Querschnitt z + X, so folgt aus Fig. 490 :

= 20,4 kg/qcm.

(Ja =

41,5³ . (78,0 - 41,5)³

3    ^--

23616 • 41,5

+ 15 • 0,38-(75,6-41,5)²

22,8 kg/qcm.

= 22,8 •

7,8-41,5

41,5

= D.(h-f)

wenn x der Abstand der neutralen Schicht von der Oberkante, h der Abstand der Eiseneinlage von der Oberkante ist. Es ist also: ebenso:

h-3"

also:

h-

(Mt — M)

oder:

1 Mt - M.

h-

Mi — M

Wie auf Seite 185 abgeleitet wurde, ist aber -r-

À

gleich der Vertikalkraft V für den Querschnitt z. Sonach beträgt die ganze in der Fläche a, b c, d (Fig. 489) wirkende Schubspannung:

273)

Fig 487.

Fig. 489.

S'chzchl

Z>

— A*

JSisen -evnlage

Jl— Z

k

•V

N.

JL-k

Fig. 488.

vx I

N_____)

D.

Fig. 490.

neutrale

•Schicht

/%

4»

Hh

Li__I

Da die Vertikalkraft V am Auflager ihren grössten Wert hat, so ist die ganze daselbst in der neutralen Schicht wirkende Schubspannung pro lfd. cm Trägerlänge:

274)

wobei A den Auflagerdruck bedeutet. Für die an dieser Stelle auf die Flächeneinheit wirkende Schubspannung ergibt sich also:

275)

er

-=

co X

Dieser Wert darf natürlich die zulässige Beanspruchung des Betons gegen Schub mit 4,5 kg/qcm nicht überschreiten.

Im gezogenen Teil des Plattenquerschnittes treten zufolge der Voraussetzung, dass der Beton keine Zugspannungen besitzt, da diese vom Eisen aufgenommen werden, keine Schubspannungen auf. Die in Gleichung 273) und 275) berechneten Schubspannungen müssen aber gleich der Adhäsionsspannung sein zwischen Eisen und Beton, da sonst kein Gleichgewicht zwischen den horizontalen Schubspannungen vorhanden wäre.

Hiermit ist dann auch die Haftspannung zwischen Eisen und Beton bekannt. Ist der Gesamtumfang der Eisenstäbe für 1 cm Länge u, so muss also sein, wenn man die Haftspannung mit t bezeichnet:

u • t = b • t,

woraus :

Ij t

276)

folgt. Die Haftspannung soll die Grösse von 4,5 kg/qcm nicht überschreiten.

Fig. 491.

Bei den Plattenbalken wird die in Gleichung 273) bezw. 274) berechnete Schubspannung b • t *|- auf den Steg übertragen. Ist die Breite desselben bi, so ist die an der Uebergangsstelle a-b herrschende Schubspannung ti pro qcm (Fig. 491).

Mt

277)

ti

bi •

Aufgabe 1. Wie gross ist die Schubspannung t in der neutralen Schicht am Auflager für die in Aufgabe 1 Seite 213 berechnete Eisenbetondecke?

Die Breite der Platte war 100 cm. Der Auflagerdruck beträgt:

A = 1600 • 1,0 = 1600 kg.

Der Abstand der neutralen Schicht von der Oberkante ist oben zu 4,3 cm, die Höhe der Platte zu 13,9 cm berechnet worden, somit ergibt sich für die Schubspannung t der Wert nach Gleichung 267):

= 1,3 kg/cm.

1600

100(13,9 — 4,3/3)

Bei den gewöhnlichen Platten braucht man die Schubspannung nicht zu untersuchen, da sie stets weit unterhalb der zulässigen Grenze bleibt.

Aufgabe 2. Wie gross ist die Schubspannung zwischen Steg und Platte des auf Seite 217 berechneten Plattenbalkens und wie gross ist die Adhäsionsspannung zwischen Beton und Eisen am Auflager?

Es war b = 200 cm, bi = 30 cm ; h = 46 cm, x = 14,2 cm. Ferner ist der Auflagerdruck:

8,75 • 1840

₂    =8050 kg.

Die ganze Schubspannung am Auflager in der Breite b der Platte wird nach Gleichung 274):

= 3,8 kg/qcm

195

51,8

tc

200 -1 =

8050

= 195 kg,

460—

3

mithin nach Gleichung 277) die Schubspannung pro Quadratzentimeter zwischen Platte und Steg:

ti —

195

= 6,5 kg.

30,0

Da diese Spannung zu gross ist, muss der Steg verbreitert werden. Dies kann dadurch geschehen, dass die Ecken ausgerundet werden (Fig. 492). Damit die Schubspannung auf 4 kg/qcm sinkt, müsste die Breite des Steges am Flansch

Fig. 492.

f— Sf-9 »i    1

tr

Der Umfang der 5 Rundeisen von 3,3 cm Durchmesser auf 1 cm Länge beträgt 5 • 3,3 • 3,14 = 51,8 qcm.

Nach Gleichung 276) ist daher die Haftspannung zwischen Eisen und Beton

betragen.

195

bi =    .— = 49 cm

4

also zulässig.

Aufgabe 3. Wie gross ist die Schubspannung t in der ueutralen Schicht der Eisenbetondecke in Aufgabe 2 auf Seite 214 und wie gross die Haftspannung zwischen Beton und Eisen an der Einspannstelle?

Der Auflagerdruck ist

1260-3,0

= 1890 kg.

Die neutrale Faserschicht an der Einspannstelle hat von der Plattenunterkante den Abstand:

x = 0,285 • h (vergl. Tabelle 2 auf Seite 213) ;

h war zu 13,5 cm berechnet, also:

x = 0,285 -13,5 = 3,85 cm.

Für 1 m Plattenbreite ist nach Gleichung 275) die Schubspannung:

= 1,54 kg/cm.

1890

100 ( 13,5 -

3 J

Der Umfang der eingelegten 10 Rundeisen von 1,0 cm Durchmesser ist: u = 10 • 1,0 • 3,14 = 31,4 qcm, somit nach Gleichung 276) die Haftspannung:

= 4,9 kg/qcm

100-1,54

31,4

also nicht zulässig.

Legt man 10 Rundeisen von 1,2 cm Durchmesser ein, so wird, da der Umfang 10 • 1,2 • 3,14 = 37,7 cm ist,

100-1,54

37,7

= 4,1 kg/qcm.

16*

Dritter Teil.

Anwendungen

auf grössere Konstruktionen.

a) Reibung.

Die Erfahrung lehrt, dass, wenn ein Körper vom Gewichte Q auf einer horizontalen Ebene gleitend verschoben werden soll, dazu eine bestimmte horizontal gerichtete Kraft P erforderlich ist. Die Grösse dieser Kraft lässt sich in der Weise bestimmen, dass man den Körper mit einem Faden verbindet, diesen über eine leicht bewegliche Rolle leitet, am anderen Ende mit einer Wagschale versieht und nun so lange Gewichtsstücke auflegt, bis der Körper gerade anfängt zu gleiten. Das Gewicht der Wagschale plus den aufgelegten Gewichten wäre dann die gesuchte Kraft P (Fig. 493).

Das Gleichgewicht gegen horizontale Verschiebung erfordert, dass eine zweite Kraft am Körper tätig ist, die der ziehenden Kraft P das Gleichgewicht

hält. Diese in der Berührungsfläche zwischen den beiden Körpern wirkende Kraft nennt man die Reibung. Bezeichnet man diese mit R, so folgt:

Fig. 493.

■>-

'mmmmmm

R = P.

Um Q kg zu bewegen, sind R kg erforderlich, mithin sind, um 1 kg zu bewegen,

kg nennt man den Reibungskoeffizienten.

Der Reibungskoeffizient ist somit die Reibung, welche ein Normaldruck von 1 kg hervorruft. Bezeichnet man den Reibungskoeffizienten mit f, so ist die durch einen Normaldruck N hervorgerufene Reibung R;

pd 'o*

kg erforderlich. Diesen Bruch

P5 iO?

278)

Die Erfahrung hat die Richtigkeit der nachstehenden Gesetze bestätigt.

Die Reibung ist proportional dem Normaldruck zwischen den beiden Körpern. Die Grösse der Reibung ist unabhängig von der

Grösse, aber abhängig von der rauhen Beschaffenheit der Berührungsflächen.

Aus der Gleichung R = N-f lässt sich die Kraft berechnen, welche nötig ist, um einen Körper auf einen anderen zu verschieben, wenn der Reibungskoeffizient bekannt ist.

Aufgabe. Ein Träger überträgt auf eine schmiedeeiserne Auflagerplatte einen Druck von 4200 kg. Der Reibungskoeffizient von Eisen auf Eisen ist 0,44, wie gross ist die Reibung, welche der Träger überwindet, wenn er infolge einer Temperaturerhöhung sich ausdehnt?

Es ist:

R = N ■ f = 4200 • 0,44 = 1848 kg.

Fig. 404.

^ Legt man den Körper auf eine schiefe Ebene, welche den Winkel « mit der Horizontalen bildet (Fig. 494), so wird der Körper erst dann gleiten, wenn der Winkel a eine gewisse Grösse erreicht hat, dieser Winkel heisst der Reibungswinkel.

Es lässt sich nun leicht beweisen, dass die Tangente des Reibnngswinkels gleich dem Reibungskoeffizienten ist. Zerlegt man nämlich das Gewicht G des Körpers in eine Komponente rechtwinklig und eine solche parallel zur geneigten Ebene, so ist:

G • cos a = N

gleich dem Normaldruck, den der Körper gegen die geneigte Ebene ausübt:

G • sin a = Z

diejenige Kraft, welche für sich allein den Körper längs der Ebene hinabziehen würde. Diesem Hinabgleiten wirkt der Reibungswiderstand R entgegen. Dieser ist aber:

R = N • f.

Solange nun R = N • f grösser ist als Z, wird eine Bewegung des Körpers nicht eintreten; ist dagegen R = N-f kleiner als Z, so gleitet der Körper abwärts; in dem Falle aber, wo R = Nf gleich Z ist, hat der Winkel a die Grösse erreicht, bei welcher der Reibungswiderstand gerade noch ausreicht, das Gleiten zu verhindern. Dieser Winkel ist demnach der Reibungswinkel.

Fig. 495.

Bezeichnet man denselben mit <y (Fig. 495), so ist der Normaldruck: N = G • cos (f,

die Parallelkomponente Z :

Z = G • sin ff

und der Reibungswiderstand:

R = N • f == f • G ■ cos (f. Da nun R —Z sein soll, so folgt:

f • G • cos (f = G • sin (f

oder :

f = tg<*>,

d. h. der Reibungskoeffizient ist gleich der Tangente des Reibungswinkels.

Hat man durch Versuche z. B. den Reibungswinkel <f zu 26° 40' ermittelt, so wäre der Reibungskoeffizient:

f = tg 26⁰ 40' = 0,5.

co

<M

Nachstehende Tabelle enthält sowohl die Reibungskoeffizienten als auch die Reibungswinkel einiger Körper für den Anfang ihrer Bewegung:

Beschaffenheit

Reibende Körper

der

7 = rd

Holz auf Holz .    .

71

Oberfläche

trocken wenig fettig

CD lO

INS 05

GC

Schweisseisen auf Gusseisen . .    .

Schweisseisen auf Schweisseisen Stein auf Stein oder Ziegel . . Mauerwerk auf Beton . .

Mauerwerk auf Baugrund .

trocken

0,19

11°

wenig fettig

mit frischem Mörtel

trocken

mittel

nass

0,13

7°

0,53-0,73

2836°

0,76

0,65

0,45

tSE 05 05

0,30

17°

Für den Zustand der Bewegung sind die Werte der Tabelle etwas geringer. '^Es soll noch die Frage untersucht werden, wann ein Körper ins Gleiten gerät, wenn er durch eine schief gerichtete Kraft gegen sein horizontales Lager gepresst wird (Fig. 496).

Der Winkel, welchen die Kraftrichtuug mit der Normalen zur Gleitebene bildet, sei a. Zerlegt man nun P in eine Komponente rechtwinklig und in eine solche parallel zur Gleitebene, so folgt :

Fig. 496.

N = P • cos a

und :

Z ^ P • sin a.

Der Reibungswiderstand infolge der Komponente N ist nun aber:

N ■ f = f • P cos «.

Solange Z < N • f, solange ist ein Gleiten des Körpers ausgeschlossen.

Nach Einsetzung der Werte für Z und N erhält man:

P • Sin a < f • P ■ COS a

frc

oder:

tg « < f.

f ist aber der Reibungskoeffizient der beiden Körper und gleich der Tangente des Reibungswinkels (f.

Setzt man daher:

so erhält man:

oder:

tg « < tg

«Oj

d. h., solange die schräg gerichtete Kraft mit der Normalen zur Gleitebene einen Winkel a einsch Messt, der kleiner ist als der Reibungswinkel y, ist ein Gleiten unmöglich. Das Gleiten tritt erst dann ein, wenn der Winkel « gleich oder grösser ist als der Reibungswinkel (f.

Innerhalb eines Mauerkörpers darf der Winkel <p höchstens 30°, an der ßodenfuge bei gutem Baugrunde höchstens 20° betragen. Auf die Bindekraft des Mörtels wird dabei keine Rücksicht genommen.

b) Erddruck.

Fig. 497.

Die Seitenflächen lockerer Erdmassen schliessen mit der Horizontalebene einen Winkel ein, welcher der natürliche Böschungswinkel genannt wird. Seine Grösse ist abhängig von der Art und dem Feuchtigkeitsgehalt der Erdmasse. Sticht man die Erde steiler ab, so stürzen die Massen nach, bis der natürliche Böschungswinkel wieder erreicht ist. Dieser entspricht daher dem Reibungswinkel, weil Erdteilchen, welche man auf die Böschung aufwirft, stets abgleiten, bis der Böschungswinkel wieder hergestellt ist (Fig. 497).

In der folgenden Tabelle sind die Mittelwerte der Böschungswinkel, die Reibungskoeffizienten und die Gewichte pro cbm der gewöhnlich vorkommenden Erdarten zusammengestellt.

Erdarten

'f

f = tg <f‘

Gewicht in kg pro cbm

trockene Tonerde . . nasse

trockener Lehmboden nasser trockene Dammerde . nasse

ii

feiner Sand, trocken

11

11

natürlich feucht

11

11

nasser Kies oder grober Sand eckiger Steinschotter .    .    .

rundlicher

ii

OOOOOOOOOOOO

»OOOOOOlOOOlOlOO

rf (M «I to m

TJI CO CO 50

1,000

0,364

0,839

0,577

0,839

0,577

0,700

0,839

0,577

0,700

1,000

0,577

1600

2000

1500

2040

1400

1800

1500

1800

2000

1700

1800

1800

Fig. 498.

JE

Soll eine Erdmasse unter einem Winkel anstehen, der grösser ist als (f, so kann sie nicht mehr für sich im Gleichgewicht sein, sondern muss durch eine Wand abgestützt werden (Fig. 498).

Diese Wand erfährt dann von der Erdmasse einen Druck, den Erddruck E, der bei der Stabilitätsuntersuchung von Stützmauern zu bestimmen ist.

1. Grosse, Richtung und Angriffspunkt des Erddruckes.

Es sei in Fig. 499 A D die natürliche Böschung des von der Mauer zu stützenden Erdreiches. Weicht die Mauer etwas aus, wobei sie in die punktierte Lage übergeht, so wird nicht der ganze'Erdkörper ABD ins Rutschen kommen,

Fig. 499.

i.

sondern nur ein Teil ABC desselben. Hierbei muss die Reibung überwunden werden, welche an dem Mauerrücken A B und in der Fläche AC auftritt. Nach den Entwickelungen des vorigen Abschnittes muss daher der auf die Fläche A B ausgeübte Erddruck E um den Reibungswinkel ff ' von der Senkrechten zum Mauerrücken abweichen. In der Regel wird angenommen, dass dieser Winkel gleich dem Böschungswinkel <f ist. Indessen ist dies jedoch nur bei rauher Wand und trockener Hinterfüllung zulässig. Bei Kai- und Schleusenmauern, bei stark durchnässter Erde oder schlüpfriger Hinterfüllung nimmt man besser an, dass keine Reibung an der Rückwand der Mauer auftritt, so dass also <p' — 0 zu setzen wäre. In diesem Falle würde der Erddruck rechtwinklig zur Mauerfläche wirken.

Die Fläche AC, längs welcher das Prisma ABC gleitet, heisst die Gleitfläche, das Prisma ABC das Prisma des grössten Druckes.

Fig. 500.

Ol

CO

L\£>

Die Lage der Gleitebene sowie die Grösse des Erddruckes lassen sich nach Re b han durch folgende einfache Konstruktion finden.

Man bringe die natürliche Böschungslinie zum Schnitt mit der Terrainoberfläche (Fig. 500), ziehe B D unter dem Winkel 2 <f gegen die Rückenfläche der Wand, beschreibe über AC einen Halbkreis und ziehe D F _L zu AC. Mache AG = A F, ziehe G H || B D, mache GJ = GH und ziehe endlich noch H J, so ist GHJ das Erddruckdreieck.

Hat man die Untersuchung für lm Tiefe durchgeführt, so ist der Erddruck E, wenn y das Gewicht pro cbm Erde bedeutet:

E = r aGHJ.

Die Linie BD wird die Stellungslinie genannt. Verbindet man A mit H, so ist A H die Gleitebene.

Liegt der Punkt C sehr weit ab (Fig. 501), so schlage man den Halbkreis über AB, ziehe BD unter 2<p gegen AB und DDi ||BC, ferner Di F J_zu AB,

mache AGi = AF, ziehe Gi G || B C. Nachdem der Punkt G festgelegt ist, erhält man das Dreieck GHJ, genau wie oben.

Ist der Winkel 5, den die Terrainlinie mit der Horizontalen einschliesst, gleich dem Böschungswinkel fp (Fig. 502), so mache man AVinkel ABD = 2 (f, ziehe durch eiuen beliebigen Punkt H der Ter-rainlinie eine Parallele GH zu BD, mache GJ = GH, verbinde H mit J, so ist G H J das Erddruckdreieck.

In dem Falle, wo die Terrainlinie geknickt ist, wie in Fig. 503, ziehe man die Gerade AK und verwandele das Dreieck ABK in das inhaltsgleiche Dreieck A Bi K, indem man B Bi || A K zieht und Bi mit A verbindet. Nun mache man Winkel ABD = 2<j, ziehe durch Bi die Parallele Bi Di zu BD, errichte Di F JL zu A C und verfahre weiterhin wie früher.

Um den Angriffspunkt des Erddruckes zu finden, verwandele man das Dreieck GHJ in ein inhaltsgleiches Dreieck a-b-c von der Höhe der Stützmauer. Zu diesem Zwecke ziehe man in Fig. 504 HHi || GJ, verbinde J mit b, dann ziehe man Hi c || J b und

verbinde endlich b mit c, dann ist a-b-c das gesuchte Dreieck.

Fig. 501.

?777a

7m

v.

'■ ff

22

//.

Fig. 502.

I?

ß.

Cf

Fig. 503.

4-

ji

Cr

fr

B,'

Dieses Dreieck zeigt, dass der Erddruck gegen

iz

Fig. 504.

Vi

S///Ą-

[!/

/Ji

5 /skü,

/.

v////A

die Wand AB mit der Tiefe zunimmt. Der Schwerpunkt S des Dreiecks bestimmt den Angriffspunkt des Erddruckes E. Zieht man durch S eine Horizontale bis zum Schnitt mit dem Mauerrücken in M, so ist M der Angriffspunkt von E. Errichtet man in M eine Normale zu AB, so schliesst der Erddruck E mit dieser

deu Böschungswinkel (f ein. Da der Schwerpunkt des Dreiecks in ¹/3 der Höhe des Dreiecks liegt, so ergibt sich der Satz:

Satz 59. Der Erddruck greift in l/₃ der Mauerhöhe unter dem Böschungswinkel gegen die Normale zum Mauerrücken an.

Für die Praxis sind noch die nachstehenden beiden Erddruckbestimmungen von Wichtigkeit.

Ist die Rückenfläche der Mauer geknickt (Fig. 505), so konstruiere man zunächst für den oberen Teil A B der Mauer das Erddruckdreieck G H J und verwandele dieses in das inhaltsgleiche Dreieck a-b-c von der Höhe A B. Der Angriffspunkt des Erddruckes Ei liegt im Schnittpunkt der Schwerpunktshorizontalen mit dem Mauerrücken.

Um den auf den unteren Mauerteil Ai A wirkenden Erddruck zu finden,

J7

ff

Fig. 505.

ff

ff

b"

'/A

c%

(Z

~R

ICE

2%:

verlängere man Ai A bis zur Terrainlinie, betrachte Ai Bi als Rückenfläche der Mauer und konstruiere hierfür das Erddruckdreieck Gi Hi Ji, welches in das inhaltsgleiche Dreieck ai-bi-Ci verwandelt wird. Der Inhalt dieses Dreiecks wäre also gleich dem Erddruck, welchen die Mauer Ai Bi erleiden würde. Da nun von dieser Mauer nur das untere Stück Ai A vorhanden ist, dem das trapezförmige Stück ai-ci-d-a des Dreiecks ai-bi-Ci entspricht, so ist der Inhalt des Trapezes ai-bi-d-a gleich dem Erddruck auf die Mauerfläche Ai A.

Zieht man durch den Schwerpunkt Si des Trapezes eine Horizontale, so schneidet diese den Mauerrücken im Angriffspunkt des Erddruckes E2.

Die Richtungslinie von E2 bildet mit der Normalen zu Ai A den Winkel (f.

Ruht auf dem Erdkörper noch eine zufällige Belastung p kg pro qm, wie dies bei Kaimauern immer der Fall ist, so lässt sich diese durch eine entsprechende Erhöhung des Erdkörpers ersetzen (Fig. 506).

Ist z. B. p = 400 kg pro qm, das Gewicht von 1 cbm Erde 1600 kg, so wäre die Höhe der Erdschicht, welche die gleiche Belastung darstellt:

400

1600

Man verlängere in diesem Falle die Rückenwand AB bis Bi und konstruiere das Erddruckdreieck G H J, als ob A Bj. der Mauerrücken wäre. Das mit diesem

= 0,25 m.

Dreieck inhaltsgleiche Dreieck a-bi-Ci von der Höhe hi, würde dann den Erddruck darstellen, der auf die Mauer A Bi wirkt. Da der Teil B Bi der Mauer nicht vorhanden ist, so wird der Erddruck dargestellt durch das Trapez abdci.

'c

Fig. 506.

B.

- - ---

dl

-----

Zieht man durch den Schwerpunkt S des Trapezes eine Horizontale, so ist der Schnittpunkt mit dem Mauerrücken der Angriffspunkt des Erddruckes, dessen Richtung mit der Normalen zu A B den Winkel ff einschliesst.

Wäre die zufällige Last nicht vorhanden, so würde ab c das Erddruckdreieck sein; das Parallelogramm ccidb gibt daher den Einfluss der Ueberlast an.

2. Wasserdruck.

Für alle Flüssigkeiten ist der Reibungswinkel q> = 0. Der Druck, den sie gegen eine Wand ausüben, muss deshalb rechtwinklig zur Wand stattfinden.

Der Druck, den Wasser auf 1 qcm des Bodens eines Gefässes ausübt, beträgt soviel Gramm, als die Höhe der Wassersäule Zentimeter misst.

Fig. 507.

Der seitwärts gegen die Gefässwand gerichtete Druck wächst gleichmäfsig von oben nach unten und ist für 1 qcm an einer beliebigen Stelle ebenso gross, wie der Druck auf 1 qcm horizontale Fläche in derselben Höhe. An der Oberfläche ist der Druck gleich Null.

In der Tiefe 1, 2, 3, 4, 5 . . . h m beträgt der Druck 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ... 0,1-h kg.

- IV

7i *

■>)

Der Druck des Wassers gegen eine senkrechte Wand lässt sich nach vorstehendem, wenn man einen Streifen von 1 cm Mauerlänge betrachtet, darstellen als ein Dreieck, dessen Grundlinie gleich der Wasserhöhe h ist (Fig. 507). Der gesamte Wasserdruck ist daher, wenn man die Höhe in cm angibt:

W = Gramm.

den Böschungswinkel (f ein. Da der Schwerpunkt des Dreiecks in ¹/$ der Höhe des Dreiecks liegt, so ergibt sich der Satz:

Satz 59. Der Erddruck greift in l/₃ der Mauerhöhe unter dem Böschungswinkel gegen die Normale zum Mauerrücken an.

Für die Praxis sind noch die nachstehenden beiden Erddruckbestimmungen von Wichtigkeit.

Ist die Rückenfläche der Mauer geknickt (Fig. 505), so konstruiere man zunächst für den oberen Teil AB der Mauer das Erddruckdreieck GHJ und verwandele dieses in das inhaltsgleiche Dreieck a-b-c von der Höhe A B. Der Angriffspunkt des Erddruckes Ei liegt im Schnittpunkt der Schwerpunktshorizontalen mit dem Mauerrücken.

Vw

Um den auf den unteren Mauerteil Ai A wirkenden Erddruck zu finden,

Fig. 505.

ff

b~’

ff

y/A

Y,

y*,

c%

ICE

3Ê

verlängere man Ai A bis zur Terrainlinie, betrachte Ai Bi als Rückenfläche der Mauer und konstruiere hierfür das Erddruckdreieck Gi Hi Ji, welches in das inhaltsgleiche Dreieck ai-bi-Ci verwandelt wird. Der Inhalt dieses Dreiecks wäre also gleich dem Erddruck, welchen die Mauer Ai Bi erleiden würde. Da nun von dieser Mauer nur das untere Stück Ai A vorhanden ist, dem das trapezförmige Stück ai-Ci-d-a des Dreiecks ai-bi-Ci entspricht, so ist der Inhalt des Trapezes ai-bi-d-a gleich dem Erddruck auf die Mauerfläche Ai A.

Zieht man durch den Schwerpunkt Si des Trapezes eine Horizontale, so schneidet diese den Mauerrücken im Angriffspunkt des Erddruckes E2.

Die Richtungslinie von E2 bildet mit der Normalen zu Ai A den Winkel <f .

Ruht auf dem Erdkörper noch eine zufällige Belastung p kg pro qm, wie dies bei Kaimauern immer der Fall ist, so lässt sich diese durch eine entsprechende Erhöhung des Erdkörpers ersetzen (Fig. 506).

Ist z. B. p = 400 kg pro qm, das Gewicht von 1 cbm Erde 1600 kg, so wäre die Höhe der Erdschicht, welche die gleiche Belastung darstellt :

400

1600

Man verlängere in diesem Falle die Rückenwand AB bis Bi und konstruiere das Erddruckdreieck GHJ, als ob A Bi der Mauerrücken wäre. Das mit diesem

= 0,25 m.

Dreieck inhaltsgleiche Dreieck a-bi-Ci von der Höhe hi, würde dann den Erddruck darstellen, der auf die Mauer A Bi wirkt. Da der Teil B Bi der Mauer nicht vorhanden ist, so wird der Erddruck dargestellt durch das Trapez abdci.

'v

fl

Fig. 506.

ft.

dl

-----4. ...Nt.

Zieht man durch den Schwerpunkt S des Trapezes eine Horizontale, so ist der Schnittpunkt mit dem Mauerrücken der Angriffspunkt des Erddruckes, dessen Richtung mit der Normalen zu A B den Winkel (f einschliesst.

Wäre die zufällige Last nicht vorhanden, so würde a b c das Erddruckdreieck sein; das Parallelogramm ccidb gibt daher den Einfluss der Ueberlast an.

2. Wasserdruck.

Für alle Flüssigkeiten ist der Reibungswinkel cp = 0 Der Druck, den sie gegen eine Wand ausüben, muss deshalb rechtwinklig zur Wand stattfinden.

Der Druck, den Wasser auf 1 qcm des Bodens eines Gefässes ausübt, beträgt soviel Gramm, als die Höhe der Wassersäule Zentimeter misst.

Fig. 507.

Der seitwärts gegen die Gefässwand gerichtete Druck wächst gleichmäfsig von oben nach unten und ist für 1 qcm an einer beliebigen Stelle ebenso gross, wie der Druck auf 1 qcm horizontale Fläche in derselben Höhe. An der Oberfläche ist der Druck gleich Null.

In der Tiefe 1, 2, 3, 4, 5 . . . h m beträgt der Druck 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ... 0,1-h kg.

LZ

Der Druck des Wassers gegen eine senkrechte Wand lässt sich nach vorstehendem, wenn man einen Streifen von 1 cm Mauerlänge betrachtet, darstellen als ein Dreieck, dessen Grundlinie gleich der Wasserhöhe h ist (Fig. 507). Der gesamte Wasserdruck ist daher, wenn man die Höhe in cm angibt:

h²

Gramm.

Auf einen Mauerstreifen von 1 m Länge ist der Druck 100 mal so gross. Setzt man h in m ein, so bleibt die Gleichung richtig, wenn man den Zähler mit 100 • 100 multipliziert. Um endlich den Druck in kg zu erhalten, müsste man die Gleichung noch durch 100 dividieren, so dass der Wasserdruck:

100-h²•100•100

2-1000

oder:

279)

W = 500 h²

wird.

Der gesamte Wasserdruck geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks und ist senkrecht zur Mauerfläche gerichtet. Er greift also in ^ der Wasserhöhe an.

Fig. 508.

X'

Ist die Wand gegen die Horizontalebene geneigt (Fig. 508), so wird der Wasserdruck dargestellt durch das rechtwinklige Dreieck abc, dessen Seite ac=h ist. Da dieses inhaltsgleich ist dem Dreieck abd, so folgt, da der Inhalt beider

—ist, für den Wasserdruck W mit

A-,

Beziehung auf Gleichung 279):

W = h-hr 500

279 a)

kg auf 1 m Wandlänge, wobei h die Wasserhöhe, hi die schräge Länge der benetzten Wand in m bedeutet.

Der Wasserdruck greift auch hier in ¹/s der Höhe normal zur Rückenlinie der Mauer an.

3. Druckverteilung in Mauerwerkskörpern.

Die im Kapitel VIII für eine beliebige Belastung abgeleitete GleichiiDg

k = ±

behält natürlich für Mauerkörper ihre Gültigkeit. Da Mauerwerk im allgemeinen keine Zugspannungen aufnehmen soll, so geht die Gleichung, wenn man, wie dies üblich ist, beim Mauerwerk die Druckspannungen mit    die Zug

spannungen mit „ — “ bezeichnet, über in:

280)

Bei der Untersuchung der Standsicherheit einer Mauer betrachtet man in der Regel einen Streifen von 1 m Länge, ln der vorstehenden Gleichung hat man, da man k stets in kg/qcm ausdrückt, f in qcm, M in kg cm und W in cm³ einzusetzen.

Je nach der Lage des Angriffspunktes der Resultierenden aus den auf 1 m Mauerlänge wirkenden Kräften, hat man dieser Gleichung eine andere Form gegeben, wodurch man die Notwendigkeit umgeht, das Biegungsmoment M und das Widerstandsmoment W zu berechnen. Hinsichtlich der Lage der Resultierenden können nun folgende Fälle eintreten.

cc) Die Mauer ist zentral und senkrecht belastet.

Wirkt eine Kraft P senkrecht in der Fugenmitte und bezeichnet f den Querschnitt der Mauer für 1 m Länge (wie dies bei den folgenden Untersuchungen stets vorausgesetzt wird), so ist M = 0. Die Kraft P verteilt sich gleichmäfsig über den ganzen Querschnitt und man erhält für den Druck auf 1 qcm :

281)

Fig. 5C9.

Ist G das im Schwerpunkt angreifende Gewicht der Mauer, so ist die Pressung in der Fuge m—n:

P 4- G

282)

Fig. 509 zeigt diesen Belastungsfall. ß) Die Mauer ist zentrisch aber schief belastet.

Wenn im Schwerpunkte eines Mauerquerschnittes eine Kraft R unter dem Winkel a gegen die Normale angreift, so zerlege man R in zwei Komponenten P und H normal und parallel zur Mauerfuge (Fig. 510). Die Normalkomponente P belastet die Mauer gerade und zentrisch, während die Parallelkomponente H den oberen Mauerkörper gegen den unteren seitlich verschieben will. Auf die Grösse der Pressung in der Fuge m—n hat daher nur die Kraft P = R-cos« Einfluss, und es ist nach Gleichung 281):

k= p

ni

TTV

//

771

TV

rt

Fig. 510.

ct

Damit kein Abschieben erfolgt, muss der Winkel « kleiner sein, als der Reibungswinkel (f, der innerhalb des Mau er werks 30°, an der Bodenfuge bei gutem Baugrunde 20° angenommen werden darf. Siehe Seite 231.

7) Die Mauer ist exzentrisch belastet.

Ist die Kraft R schief gegen die Mauerfuge gerichtet (Fig. 511), so zerlege man R wieder in eine Normalkomponente P und eine Parallelkomponente H, die keinen Einfluss auf die Grösse der Spannungen ausübt.

Um die Spannungsverteilung im Querschnitt m-n kennen zu lernen, bringe man im Mittelpunkte S zwei der Komponente P gleiche und parallele aber entgegengesetzt gerichtete Kräfte Pi und P2 an, wodurch am Gleichgewichtszustand nichts geändert wird (Fig. 512). Durch die in S nach unten gerichtete Kraft Pi wird eine über den Querschnitt gleichmäfsig verteilte Druckspannung ki hervorgerufen, deren Grösse:

kt-U

Fig. 512.

Fig. 511.

‘>2

II

Tn

CK

11

°p

oor

ist. Die beiden anderen Kräfte P und P₂ bilden ein Kräftepaar vom Momente M = P • e, wodurch im Querschnitte Biegungsspannungen erzeugt werden, die auf

Fig. 513.

der Seite der Achse x-x, auf welcher die Kraft P liegt, gleichmäfsig zunehmen, nach der anderen Seite gleichmäfsig abnehmen und in den Kanten m und n ihren grössten Wert k₂ erreichen.

Nach der Biegungsgleichung ist die Grösse von k₂ :

Wx

k₂ = ±

und in n:

A ai

yy-~ \r

wobei das Zeichen „ + “ für Druck, „—“ für Zug gilt (Fig. 513). Die Gesamtspannung km im Punkte m ist daher:

,,1 P , M

= ki -f k₂ = Y + W

T

— k₂ = ^ —

Nach Fig. 512 folgt nun mit M = P • e und

W = 4-l°0-b² =

o

kn =

kl

• f • b aus diesen Gleichungen :

Fig. 514.

283)

km

•(H

•>

und

284)

Ge

Von besonderer Wichtigkeit ist der

Wert—r-. b

rn

—tUlDllin^

•x- m

Ist nämlich e = 0, wirkt also die Kraft P in der Fugenmitte, so ist nach Fall 1:

k-£

p AI

X TTL

die gleichförmig über den Querschnitt verteilte Spannung.

Wirkt P dagegen ausserhalb der Mitte, so sind folgende Fälle möglich:

0*6

—<^1, die Klammer ist also stets positiv, d. h. sämtliche Spannungen sind Druckspannungen. Demnach:

b

1. e ist kleiner als ^ , dann ist

•—tej Mjj l"d

0+

Ge

Die Spannungsverteilung ist in Fig. 514 dargestellt. 2. e =    • b, dann ist = 1, folglich :

286)

km —

2 P

V-, ku = 0.

In m wird die Pressung also gerade doppelt so gross, als wenn P in der Mitte angreift, während in n die Spannung gerade 0 wird. Die Spannungsverteilung ist in Fig. 515 dargestellt.

3.e>-|

tiv, d. h., bei n würden Zugspannungen auftreten.

dann ist

^^>1, folglich der Klammerwert ^1—

nega-

Fig. 515.

Fig. 516.

//

31

W    LÜJ

X    rrt

n.

■rv

r?

.n

Da Mauerwerk im allgemeinen keine Zugspannungen aufnehmen kann, so ist derjenige Teil ni n der Fuge, in welchem diese auftreten würden, spannungslos und infolgedessen verteilt sich die Spannung nur über den Teil m ni der Mauerfuge (Fig. 516).

Fig. 517.

Fig. 518.

Die in einer Entfernung e = -jj- von der Fugenmitte

71

CNçj-

Ä_

in

liegenden Punkte sinddemnach von besonderer Bedeutung und heissen die Kernpunkte, der zwischen ihnen liegende Raum der Kern des Mauerquerschnittes (Fig. 517). So lange die Kraft P innerhalb des Kernes angreift, sind sämtliche Spannungen positiv, also Druckspannungen, rückt P in einen Kernpunkt, so ist an der entgegengesetzten

Kante n die Spannung 0; tritt P aus dem Kern heraus, so verteilt sich die Spannung nur über einen Teil m m des Querschnittes.

Da in m die Spannung 0 herrscht, so ist der Angriffspunkt der Kraft P die Kerngrenze für die Fuge mni. Bezeichnet man den Abstand der Kraft P von der Kante m mit x (Fig. 504), so muss folglich m m = 3 x sein. Die in m auftretende Kantenpressung ist mithin nach Fall 2:

287)

f 3x 100*

Die aus den vorstehenden Gleichungen ermittelten Werte für k müssen natürlich innerhalb der Grenzen der für Mauerwerk zugelassenen Inanspruchnahme bleiben.

Beispiel 1. Die Resultierende aus den äusseren Kräften, welche auf 1 m Mauerlänge von dem in Fig. 519 dargestellten Querschnitt wirken, greife im Abstande e = 8 cm aus der Mitte an und habe eine Grösse von 18360 kg. Wrie gross sind die Pressungen in den Kanten m und n.

Die Kernweite ist = 8,5 cm. Der Angriffspunkt liegt also im Kern des Querschnittes. Nach Gleichung 285) findet man daher:

J = 7,0 kg/qcm

• (i — ⁶5f^) = °>²² kg/qcm.

km —

18360

und

kn =

51 •100 18360

51-100

•0+

6-8,0

51,0

Fig. 519.

Fig. 520.

G'Si

- 0,73

■m

rrv

$ cm

TT9,

KrO'2ZK₉

^^qnÏÏIÏÏÏÏÏÏÏÏÏÏTmTmnm^.t

77Z    ri n

Beispiel 2. Wie gross werden die Kantenpressungen für den in Fig. 520 dargesteilten Belastungsfall, vorausgesetzt, dass die Kraft P = 23400 kg für l m Mauerlänge in Betracht kommt.

78

Die Kernweite ist = 13 cm.

b

Die Kraft greift demnach im Kernpunkte an. Gleichung 286):

Man erhält somit aus

km —

2 • 23400

78 • 100

= 6,0 kg/qcm

k„ = 0.

Beispiel 3. Eine Kraft von 16300 kg für 1 m Mauerlänge greift 0,H m von der Kante m des in Fig. 521 dargestellten Mauerquerschnittes an. Wie gross ist die Kantenpressung km?

64

Die Kernweite des Querschnittes ist

Fig. 521.

~6

0,6*

= 10,7 cm, die Kraft greift also ausserhalb des Kernes an. Nach Gleichung 287) ist mithin:

2-16300

T77-

TI

km —

= 6,4 kg/qcm.

Im Punkte m , der 3 • 17,0 = 51 cm von der Kante m entfernt liegt, wird die Spannung Null, der Teil der Fuge m n ist spannungslos.

3-100-17

e - o,/3

0,53

4. Stabilitätsuntersuchungen.

Bei allen Stabilitätsuntersuchungen von Mauerkörpern kommt es zuerst darauf an, die Lage des Angriffspunktes der Resultierenden der auf eine Mauerfuge wirkenden äusseren Kräfte (die Lage des Druckpunktes) zu bestimmen. Ist die Lage des Druckpuuktes bekannt, so ist auch die Spannungsverteilung in der betreffenden Fuge nach den vorstehend abgeleiteten Gleichungen bekannt.

«) Stützmauern.

Auf eine Stützmauer vom Gewichte G wirke der Erddruck E (Fig. 522). Die Resultierende R aus diesen Kräften schneide die Fuge DA im Punkte t. Soll die Mauer stabil sein, so müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

1.    die Mauer darf nicht um die Kante D kippen, R muss daher die Fuge zwischen den Kanten D und A treffen,

2.    die Mauer darf in der Fuge A D nicht gleiten. Der Winkel « der Resultierenden R mit der Normalen zu der Fuge muss daher kleiner sein als der Reibungswinke],

3.    die Kantenpressung in D darf das zulässige Mafs nicht überschreiten.

Liegt der Druckpunkt t

innerhalb des Mauerkernes, so sind die Spannungen in D und A zu ermitteln nach den Gleichungen 285; liegt t ausserhalb des Kernes , so ergibt sich die Kantenpressung in D nach /

Gleichung 287; fällt t mit J. dem Kernpunkt zusammen, so ist Gleichung 286) zu c benutzen. Die Vertikalkomponente P ergibt sich leicht aus dem Kräfteplane (Figur 523) gleich der Strecke a-d.

Sehöler, Statik und Festigkeitslehre.

Fig. 523.

Fig. 522.

ct

A.

MÂ

G'/

JE

//

ß) Die Stützlinie der Mauer

erhält man, wenn man von oben anfangend für jede Fuge den Druckpunkt konstruiert und diese Druckpunkte miteinander verbindet. Der Verlauf dieser Linie gibt ein anschauliches Bild von der Druckverteilung im Innern des Mauer-quersehnittes.

Um z. B. die Drucklinie für die Mauer A-B-C-D zu erhalten (Fig. 524, 525), konstruiere man zuerst das Erddruckdreieck a-b-c, und teile sodann die Mauer und das Erddruckdreieck in dieselbe Anzahl Lamellen. Auf den oberen Mauerteil F-B C-ll vom Gewichte Gi wirkt alsdann der Erddruck Ei = A b-d-e. Die Resultierende aus Gi und Ei sei ri. Zieht man dann durch den Schnittpunkt von Gi und Ei eine Parallele zu ri, so ist L der Druckpunkt für die Fuge II-F. Auf die Fuge K-J wirkt das Gewicht ö₂ der Mauer B-J-K-C und der Erddruck E2 = A b-f-g. Die Resultierende r₂ aus G₂ und E₂ schneidet die Fuge K J im Druckpunkt t₂. Für die Fuge D-A kommt das Gewicht G₃ der Mauer A-B-C-D und der Erddruck E₃ = A b-a-c in Betracht. Die Resultierende r3 aus G3 und E₃ schneidet die Fuge D-A im Druckpunkt t₃. Die Resultierende r₃ wird schliess-

rm

Fig. 524.

_ h_

Fig. 525.

AI

22.

Al

--J

<~o

lieh noch zusammengesetzt mit dem Gewicht G₄ des Fundamentes zu der Resultierenden r₄, welche die Fundamentsohle im Druckpunkt t₄ schneidet.

Die Verbindungslinie der Punkte ti, t2, t3, t₄ ist dann ein Polygon, welches die Drucklinie berührt. Sind die Lamellen sehr klein, so ist die Verbindungslinie die Drucklinie selbst.

y) Die unterschnittenen Stützmauern.

Die Resultierende R aus dem Erddruck E und dem Gewichte G schneidet die Basis A-D in den meisten Fällen ziemlich an der Vorderkante. Dadurch werden aber ungünstige Beanspruchungen des Mauerwerks hervorgerufen. Man hat daher vielfach die Stützmauern unterschnitten, wodurch man erreicht, dass die Basis A-D von der Resultierenden R etwa in der Mitte getroffen wird. Für die Druckverteilung ist dies vorteilhaft, da sich die Pressungen gleichmäfsig über die ganze Fuge verteilen (Fig. 526).

Fig. 526.

'E

Die Unterschneidung darf jedoch ein gewisses Mafs nicht überschreiten, damit die Mauer, sofern sie während ihrer Herstellung nicht mit hinterfüllt wird, auch für sich stabil ist. Die Richtung vom Gewichte G muss in diesem Falle die Fuge innerhalb der Punkte A und D treffen und es darf die im Punkte A erzeugte Pressung das praktisch zulässige Mafs nicht überschreiten.

Die Untersuchung einer solchen Mauer A Ai B C D wird zweckmäfsig in folgender Weise vorgenommen (Fig. &

Fig. 527. ^ J

E,

-o

oi

Bz

al/r

£_

-O

/TP*

527). Auf den oberen Teil Ai-B-C-F der Mauer wirkt das Gewicht Gi und der dem Dreieck b-ai-ci entsprechende Erddruck Ei. Die Resultierende ri schneidet die Fuge F Ai im Druckpunkt t. Um den Druckpunkt t₂ in der Fuge A D zu erhalten, betrachte mau den Teil F-At-A-D der Mauer für sich. Auf diesen wirken folgende Kräfte: 1. die Resultierende ri im Punkte ti, 2. das Gewicht G₂, 3. der dem Tra-peza-d-Ci-c entsprechende Erddruck E₂. Man vereinige E2 und G₂ zur Resultierenden r2 und setze n mit r₂ zur Gesamtresultierenden R zusammen (Fig. 527 und 527 a). Um nun den Schnittpunkt t₂ von R mit der Fuge A-D zu erhalten, konstruiere man mit dem beliebig gewählten Pol 0 das Seilpolygon I, II, 111, so geht die Resultierende R durch den Schnittpunkt s der Polygonseiten I und III und trifft A-Dindem gesuchtenPunktet₂.

Ty 5

Fig. 528. C

Fig. 527 a

<?

Aus der Lage der Druckpunkte ti und t₂ und der Grösse der Normalkom-ponenten aus ri und R ergeben sich sodann die Kantenpressungen.

Fig. 529.

Die Lagerfugen der Mauern werden so angeordnet,

dass der Winkel, welchen die Resultierende mit der Normalen zur Fuge bildet, kleiner ist als der Reibungswinkel. Dieses gilt namentlich für das Fundament, weil dort die Gefahr des Abschiebens am grössten ist.

In Fig. 528 und 529 sind die zu den Fugen F-Ai und D-A wirkenden Normalkomponenten konstruiert. Die Werte Pi bezw. P2 sind zur Bestimmung der Kantenpressungen zu verwenden.

Die Untersuchung der Stützmauern setzt voraus, dass das Profil der Mauer vorläufig angenommen ist. Gute Resultate erhält man, wenn man die Basis der Stützmauer etwa ²/₅ bis ³/₇ der Höhe- annimmt, und die Vorderfläche abböscht im Verhältnis 1:10 bis 1:5.

Auf Tafel VII ist die Untersuchung einer unterschnittenen Stützmauer durchgeführt. Fig. 530 zeigt die Ermittelung des Erddruckes, welche für den oberen Teil der Mauer nach der Methode in Fig. 500, für den unteren Teil nach der Methode in Fig. 501 ausgeführt wurde.

Fig. 531, Taf. VII, zeigt die Konstruktion der Druckpunkte. Die Berechnung der Gewichte und Erddrucke der einzelnen Mauerteile befindet sich auf der Tafel.

Gi, G2 usw. bedeuten die Gewichte der einzelnen Mauerabschnitte, welche in den Schwerpunkten Si, S2, S3 usw. angreifen. Die auf die einzelnen Mauerabschnitte wirkenden Erddrücke Ei, E2 usw, greifen in den Schwerpunkten Si, S2 usw. der Erddrucktrapeze an. Im Kräfteplan wurden zuerst die Gewichte Gi und.2fi, G2 und E2 usw. zu den Resultierenden Ri, r2, r₃, r₄ zusammengesetzt. Sie greifen in den Schnittpunkten ai, a2, a₃, a₄ der betreffenden Kräfte an. Sodann wurden die Kräfte Ri, r₂ zur Resultierenden R₂, die Kräfte R2, r₃ zur Mittelkraft R₃ usw. zusammengesetzt. Die Lage dieser Resultanten wurde mit Hilfe des mit dem Pole 0 gezeichneten Seilpolygons 1, 2, 3, 4, 5 gefunden, welche durch die Schnittpunkte x, y, z der äussersten Seileckseiten 1 bis 3, bezw. 1 bis 4, 1 bis 5 gehen.

Die Resultierende Ri schneidet die Fuge I im Druckpunkte U ; R₂ schneidet Fuge II im Druckpunkte t₂ usf.

Ist die Lage der Druckpunkte ermittelt, so ergeben sich die Kantenpressungen nach den Gleichungen 285 bis 287.

Es sei hier nochmals darauf aufmerksam gemacht, dass die Druckspannungen der Fugen sich aus den Komponenten der Resultierenden ergeben, welche normal zu den Fugen stehen.

Auf der Tafel VII wurden die Pressungen für die Fugen IV und V ermittelt. Die zur Fuge IV rechtwinklig wirkende Komponente ist P == 16900 kg.

Sie greift 6,0 cm aus der Mitte an. Die Kernweite ist = rd 33 cm, die Kraft

greift also innerhalb des Kernes an, mithin ist die Gleichung 285) zur Berechnung der Randspannungen zu benutzen.

Die Kantenpressung im Punkte A ist somit: 16900

1 +w)^¹’00 kg/qcm’

^ = 0,60 kg/qcm.

In gleicher Weise ergeben sich die Randpressungen in der Bodenfuge V.

ka =

diejenige im Punkte B:

ki, =

200 • 100

16900 200•100

6-6

200

----—

Taf. Vü.

/ tuS/ßy oo<?

/Tn

K-

'/

* |f

IJ

ff    " In

⁹

Überlast

//

tr

Gs

Uhier^ucTiunt/ einer *SÏJÏtzmazeer.

\r

Fig. 531.

Gewichte. ^

-1,42- 1600 = 3000 kg

1,48 + 1,15

Gi

• 1,42 • 1600 = 3730 kg 90 kg = 3780 kg

= 35!

1,80 + 1,48

1,90 + 1,80

r-

Gr2 —

(X3 =

7—

ap

Fig. 53Œ

3

* / / K

w#

* * cc

I, 114

ojr

5>

il/

/ //Î?

*

sS

k Ą-

J=l,35 kg/qcm | )=0,45 kg/qcm.

1,42 - 1600 = 670 kg

• 1,42-1600 = 1500 kg

-1,21 • 1600 = 1500 kg

• 1,21 • 1600 = 1960 kg

Rb bleibt im Kern; e = 22,0 cm.

6-22,0

Gi =

Gb = 2,60 • 1,50 • 1600 = 6240 kg.

• 1,21 -1600

2,00 + 1,90

Erddrticke.

E 0,48 + 0,11

t, _ 0,85 + 0,48 2

T3,    0,90 + 0,65

Ls =-g-

E* = ¹>¹² + °.9Q

Fuge C — D.

Kantenpressungen.

d

Iß

>

260

6-22,0

260

f,)-

23100

260 • 100 23100

0-

ko=

kd =

260-100

o*

-ZT

XKtL

k--2,00

rL-r*-

Fuge A—B.

Ri bleibt im Kern ; e = 6,0 cm.

•(¹~w)=0,69kg,'lom-

16900

200-100

16900

ka=

J kb—;

200-100

e=o,06

₍ 2,60

Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

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K R A K o w

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«”

c) Die freistehenden Schornsteine. 1. Untersuchung der Standsicherheit.

Die statische Untersuchung der freistehenden Schornsteine kann in derselben Weise vorgenommen werden wie diejenige der Stützmauern, nur dass an Stelle des Erddruckes der Winddruck tritt.

Die Neigung der Windrichtung gegen die Horizontale wird bei den statischen Untersuchungen = 0 angenommen.

Was die Grösse des Winddruckes anbetrifft, so wird sie je nach der mehr oder weniger freien Lage des Schornsteines und nach seiner Höhe zu 125 bis 175 kg i. M. zu 150 kg pro qm senkrecht getroffener Fläche angenommen. Nach dem Ministerialerlass vom 30. April 1002 ist die Standsicherheit der Schornsteine für einen Winddruck von 150 kg/qcm nachzuweisen, wobei die Zugspannungen im Mauerwerk vernachlässigt werden sollen.

Ist W der gesamte, in wagerechter Richtung auf einen Schornstein wirkende Winddruck, F die Vertikalprojektion des Schornsteinschaftes und p der Winddruck für 1 qm senkrecht getroffener Fläche, so wird :

W = p • i) • F,

worin y eine Erfahrungszahl bedeutet, die für:

quadratische Schornsteine = 1 achteckige kreisförmige

= 0,71 = 0,667

zu setzen ist.

Hierbei wird vorausgesetzt, dass bei dem quadratischen und achteckigen Schornstein der Wind rechtwinklig zu einer Seite gerichtet ist, da alsdann die grösste Gefahr des Umkippens vorhanden ist (Fig. 532, 533, 534).

Fig. 532.

Fig. 533.

Fi g. 534.

Mit p = 150 kg pro qm ist daher für quadratische Schornsteine:

W = 150- F.

288)

für achteckige Schornsteine:

289)

für runde Schornsteine:

290)

Der Schornstein ist nun stabil, wenn an keiner Stelle die Kantenpressungen die für Mauerwerk zulässigen Grössen überschreiten.

Die quadratischen Schornsteine werden nur noch selten ausgeführt, weil sie dem Winde eine zu grosse Aogriffsfläche bieten; am günstigsten ist der kreisringförmige Querschnitt, weil für diesen nach Gleichung 290) der Wind-druck am kleinsten wird.

Da die Mauerstärke sich sprungweise ändert für jeden Absatz ausgeführt werden.

W = rd 106 F.

W = 100 F.

so

muss die Untersuchung

Die Angriffslinie der Gewichte der einzelnen Absätze (Schüsse) fällt mit der Achse des Schornsteines zusammen, die Winddrücke greifen in den Schwerpunkten der zugehörigen Trapeze an.

Die Untersuchung kann nun in folgender Weise geführt werden (Fig. 535).

Es sei Gi das Gewicht des obersten Schusses, G2 das der beiden oberen, G3 das der 3 oberen, G4 das Gewicht des ganzen Schornsteinschaftes, Gs das Gewicht des Schornsteinfundamentes.

Ferner sei Wi der Winddruck auf den obersten Absatz, W2 derjenige für die beiden oberen Absätze usw.

Man setze nun nacheinander die Kräfte Gi und Wi, G2 und W2 usw. zu den Resultierenden Ri, R₂ . . . zusammen, dann schneiden diese die Fugen I, II usw. in den gesuchten Druckpunkten ti, t2 usw. Die Verbindungslinie von ti, t2, t3 usw. bildet die Drucklinie. Da die Windkräfte im Vergleich zu den Gewichten sehr klein sind, so trägt man die Windkräfte besser in n fâcher Grösse auf. Man erhält dadurch eine verzerrte Drucklinie. Um die wirkliche Lage der Druckpunkte zu erhalten, hat man natürlich deren Abstand vom Mittelpunkt des Querschnittes durch n zu dividieren.

Fig. 535.

——^5 —----t]

-U

Gt

V,

V.

V,

ty

G3

ty

Va

// Q

Ul V,

i.

CH+

Jł

.■>

V»

n3

JF

Hat man die Lage der Druckpunkte gefunden, so sind die Kantenpressungen zu berechnen. Hierzu dient wieder die Gleichung:

i p , M k ~ f ± W '

an

In dieser Gleichung bedeutet P das Gewicht des oberen Teiles des Schornsteines bis zu der betreffenden Fuge, f den Inhalt des Querschnittes in qcm

dieser Stelle, M das Biegungsmoment von P in bezug auf den Mittelpunkt des Querschnittes in kg/cm und endlich W das Widerstandsmoment des Querschnittes für die Achse x-x (Fig. 536).

Ist a der Abstand des Druckpunktes t vom Mittelpunkt, so ist M = P -a, mithin :

Fig. 536.

P-a W *

Die Pressung im Punkte n ist:

291)

und diejenige im Punkte m:

292)

ku =

P-a

r?t

ci ■

in

P-a

so wird km negativ, d. h. es treten

daselbst Zugspannungen auf. Das Auftreten solcher Zugspannungen soll nun möglichst vermieden werden. Die Spannung km darf also höchstens Null werden und der Druckpunkt t daher nur um ein bestimmtes Mafs vom Mittelpunkt abstehen. Dieses Mafs e ergibt sich aus der Bedingung:

Ist in der letzten Gleichung >

km —

Pe

woraus :

293)

folgt.

3. Kern des Querschnittes.

Lässt mau den Druckpunkt t mit dem aus dieser Gleichung gefundenen Wert von e um den Mittelpunkt wandern, so erhält man eine geschlossene Figur, welche man den Kern des Querschnittes nennt. So lange die Kraft P innerhalb des Kernes bleibt, sind die im Querschnitte auftretenden Spannungen nur Druckspannungen. Liegt der Angriffspunkt von P auf der Kerngrenze, so ist die Spannung in dem dem Druckpunkte abgewandten Punkte des Querschnittumfanges gerade gleich 0. Liegt endlich t ausserhalb des Kernes, so treten an der entgegengesetzten Stelle des Umfanges Zugspannungen auf.

In der nachstehenden Tabelle sind die Kerne der am meisten gebrauchten Querschnitte zusammengestellt. Die daselbst angegebenen Werte werden erhalten, wenn man in Gleichung 293) für W und f die in der Tabelle auf Seite 127 und 128 angegebenen Werte eiusetzt.

Aus Gleichung 293) folgt noch:

W = e • f.

Setzt man diesen Wert von W ein in die Gleichungen 291) und 292), so erhält man für die grösste Kantenpressung:

294)

•Gl —

und für die kleinste;

"M

iß

TT

«H

e = 0,244 • R²-f r²

MME

-b~

y. y/////,.

/////A

'a

!>

n

-6-lb

B² + b²

g'",

4-,

-*-e-

b-

-y

e, = -g

D² + d²

SL

R² + r²

<x>

5-

2K

<N

QO

Querschnitt

Kernweiten

Querschnitt

Kernweiten

\*e*

ei = 0,2256 R e = 0.244 R

<9

e! = 0,2256 ■ R² + r²

777Ż

777Z

Bei hohen Schornsteinen lässt man, da ja immer eine solide, fachmännische Ausführung vorhanden ist, eine Zugspannung bis zu

ki = 1,3 (I 4- 0,01 H) kg qcm

296)

und eine Druckspannung von

k2 = 5 (1 + 0,03 H) kg/qcm zu.

297)

Dabei ist H die Höhe des Schornsteins über Terrain ausgedrückt in m.

3. Untersuchung eines Schornsteines.

Für den auf Tafel VIII dargestellten Schornstein (Fig. 537) ist die Berechnung vollständig durchgeführt.

Der Sockel des Schornsteins wurde zylindrisch angeordnet. Der Querschnitt des Schaftes ist kreisringförmig, das Fundament cpiadratisch.

Der Schornstein besitzt sechs Trommeln von gleicher Höhe, deren Stärke von oben nach unten um je 5 cm zunehmen. Die oberste ist 20 cm, die unterste 45 cm stark.

Die Gewichte der einzelnen Trommeln wurden nach der Guldinschen Regel ermittelt, welche besagt, dass der Inhalt eines Umdrehungskörpers gleich ist dev

g»

- ( 3,36²-J - 1,5² -*) • 1,05-1800 = 13400 kg,

glO =

( 3,68² • A _ 1,52    . 1;05 • 1800 = 16800 kg.

Das Fundament wurde in Beton hergestellt, dessen Gewicht 2400 kg/cbm beträgt. Das Gewicht beläuft sich auf:

gu = 4,0 • 4,0 • 0,7 • 2400 = 26900 kg.

Die Winddrücke sind nach Gleichung 282) berechnet worden. Ist d der obere, D der untere Durchmesser einer Trommel, deren Höhe h ist, so hat man also mit h = 4,1 m :

w = 100 • F = 100 •

- h = 205-(D + d)

Hiernach erhält man für die Grösse des Winddruckes auf die einzelnen Trommeln von oben nach unten:

W4 = 205 (1,9 + 2,1) = rd 820 kg Ws = 205(2,1 + 2,3)= „ 900 „ w₆ = 205(2,3 + 2,5)= „ 980 „

erzeugenden Fläche mal dem Wege des Schwerpunktes. Nennt man die Höhe einer Trommel h, deren Stärke 5, den Abstand des Schwerpunktes der Fläche von der Drehachse r, und das Gewicht pro cbm Mauerwerk 7, welches bei Schornsteinen, da diese aus besonders dichtem Material hergestellt werden, 1800 kg/cbm beträgt, so ist demnach das Gewicht g einer Trommel:

g = h b • 2m • 1800.

Mit h = 4,1 m ist also

g = 4,1 • 5 • 2 r • 3,14 -1800 = 46356 • r - b.

Setzt man hierin für die aufeinanderfolgenden Trommeln die Werte von r und 5 ein, so folgt :

gi = 46356 - 0,6    • 0,2 =    5560    kg    g₄    = 46356 • 0,825 • 0,35 =    13400    kg

g2 = 46356 • 0,675 • 0,25 =    7820    „    g₅    - 46356 • 0,90 • 0,40 =    16700    „

g₃ = 46356-0,75 -0,3 =    10400    „    g₅    = 46356• 0,975• 0,45 =    20400    „

Die Gewichte des Sockels und der Fundamenttrommeln werden am besten ermittelt aus der Gleichung:

DL n

Cl

woraus man findet:

g₇ = 'v2,72²

-£)• h « 1800,

1,5₄2 n) - 2,0 -1800 = 14600 kg,

CO

hß

05

to

1.5² •

-A • 1,05 • 1800 = 10400 kg,

W! = 205 (1,3 + 1,5) = rd 580 kg W2 = 205(1,5 + 1,7) = „ 660 „

W3 = 205(1,7 + 1,9)= „ 740 „

Für den Sockel findet man:

W7 = 100 F = 100 - 2,72 • 2,2 = rd 600 kg.

Das Aufsuchen der Druckpunkte geschah in folgender Weise. — Zuerst wurden die Schwerpunkte der Ansichtsflächen ermittelt. Und zwar ist Si der Schwerpunkt der obersten Trommelhöhe, S2 derjenige der Fläche bis zur Fuge II, S3 derjenige der Fläche bis zur Fuge III usw., s? ist derjenige der Sockelfläche.

t— tNtl

Die Winddrücke wurden in achtfachem Mafsstabe der Gewichte auf

getragen.

Im Schwerpunkt si greifen wi und gi an. Ihre Resultierende ist Ri, welche die Fuge im Punkte t'i schneidet. Im Schwerpunkte s₂ wirken Wi + w₂ und gi -f- g₂. Ihre Resultierende ist R₂, welche die Fuge II im Punkte t'₂ trifft.

In dieser Weise wurden die Punkte t'i bis t'e gefunden.

Auf die Fuge VII wirken die Resultierende Ru, der W:inddruck w- des Sockels und dessen Gewicht

Rg und W7 ergeben die Resultierende r (gestrichelt im Kräfteplan). Ihre Lage ist durch den Schnittpunkt b' von w? und R(i bestimmt. Zieht man durch b' die Parallele zu r, so schneidet diese die Mittellinie des Schornsteines im Punkte a'. Vereinigt man jetzt r und g7 zur Resultierenden R₇ und zieht durch a' dazu die Parallele, so schneidet diese die Fuge VII im Punkte t'₇.

g7.

Die Gewichte g₈, g9 usw. werden nun der Reihe nach mit den Resultierenden R₇, R₈ usw. zusammengesetzt, welche alle durch den Punkt a' gehen und die Punkte t'₈, t'9 usw. in den Fugen festlegen.

Die wirklichen Druckpunkte findet man jetzt, indem man den Abstand der Punkte t'i, t'₂ usw. von der Schornsteinachse durch 8 dividiert, da die Verzerrung der Drucklinie eine 8fache ist.

Die Lage und der Abstand der Druckpunkte ist in den betreffenden Querschnitten angegeben.

Die Berechnung der Randspannungen kann jetzt nach Gleichung 294) und 295) erfolgen.

Um das Verfahren zu zeigen, mögen die Randspannungen für Fuge III ermittelt werden.

Die Querschnittsfiäche des Schornsteins über Fuge III ist:

f = (D² — d²) • ^ = (1,9² - 1,3²) •

Das Gewicht des oberhalb der Fuge liegenden Schornsteins beträgt: P - 5560 + 7820 -f 10400 = 23780 kg.

■— 1,508 qm = 15080 qcm.

Seite 248:

Die Kernweite für den kreisringförmigen Querschnitt ist nach der Tabelle

D² + d²

also für den vorliegenden Fall:

1,9² + 1,32 e~ 8-1,9

= 0,35 m = 35 cm.

= 46 cm.

Der Abstand des Druckpunktes (siehe Querschnitt III) beträgt 0,46 m

An der dem WTinde abgekehrten Seite des Schornsteins findet man daher nach Gleichung 294) für die Randspannung:

ki

-tO+ï)-

23780

15080

0 + = 3,64 kg,qcm

Druck,

und an der Windseite nach Gleichung 295):

(l —1|) = — 0,49 kg/qcm Zug.

fs /,3 0~ S

A faßstab für die Winddrücke.

00    4000

Vs

P .500 n /MO 3000 M

H++4++4—[—T—1

Ź0.61

TaL Vlll

⁷¹ r W« 7V, n\ 7tj

*j? *X*K <\ ^

gjo Die tfinddriuke sind in achtfacher Größe aufifttra/ßen.

*ï\j

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Maßstab für die Oemiektr.

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0,66;

Schöler, Statik und Festigkeitslehre,

Fig. 537.

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%

.......

co

>c

Nr.

Quer

schnitt

I 150    110    22500    i 12100

170    120    28900    j 14400

¹ 190    130    36100    16900 35

210    140    44100    19600

230    150    52900    22500

250    160    62500    25600

272    150    73984    22500    44.4

304    150    92416    22500

336    150 ; 112896    22500

36b    150 ! 135424    22500

□400

000091 !

iŒ

iV

Durchmesser in cm

66,7

53.6

50,2

47,2

44

41

38

31,8

29

47.3

47

54

62

70

70

65

57

46

36

22

JKernweite Druck-D² + d² punktab-stand a in cm

in cm

8D

11379

15080

19242

23877

28981

40436

54912

70997

88691

160000

8168

qcm

Fläche (D² - d²) j

Am schnellsten kommt man zum Ziele, wenn man die Rechnung schematisch vornimmt, wie dies in der nebenstehenden Tabelle geschehen ist.

Für Querschnitt XI in der Tabelle tritt für e die Gleichung ein:

e = b (Siehe Tabelle Seite 248).

Nach Gleichung 296) darf die grösste Zugspannung betragen : kt = 1,3 (1 + 0,01 H).

Mit H = 26,8 m würde ki -1,3 (1 + 0,01 • 26,8) = 1,75 kg qcm sein dürfen.

Als zulässiger grösster Wert für die Druckspannungen erhält man nach Gleichung 297):

k₂ = 5(1 + 0,03 H)

= 5(1 + 0,03 • 26,8) = 9,3 kg/qcm.

An keiner Stelle werden diese Spannungen erreicht. Die am meisten gefährdete Fuge VI erhält nur 6,65 kg/qem Druck, und 1,53 kg/qcm Zug.

13380    1,18

23780    1,57

37180    1,93

53880    2,26

74280    2,56

88880 2,20 99280    1,80

1126801 1,58 129480    1,46

; 156380; 0,98

5560

äi[

Grewicht

0.68

kg/qcm

JD O»—L>—iH-iH-LH^v—‘I—*■‘—^0 'oa 'co ~o 'bô b>l 'gï 'ai 'o* "os 'h-*-^GO^MGOOOCGOI^œ

J-¹ JM> JDS J^ JD J^ jê* 03 JM) JD 'cd ^ Ind T-* s<d a» 'co "bo 'cr* 'a* ^^^OiCCO^GCOî^OW,

ïî

iî

i-j

PT-

+ 0,16 Druck

-    0,14 Zug -0,49 „

—    °>⁹6 » -1,35 „ -1,53 „ -1,27 „ -0,56 „ -0,11 „

+ 0,18 Druck + 0,34 Zug

(t-0

d) Die Gewölbe.

1. Allgemeines.

Gewölbe sind gebogene (meist nach einer Kreislinie, einem Parabeloder Korbbogen gekrümmte) Konstruktionsteile, die infolge ihrer Belastung schiefe Drücke gegen die sie stützenden Bauteile (Widerlager) ausüben. Von allen Gewölben ist das am meisten vorkommende und praktisch wichtigste Gewölbe das symmetrische Tonnengewölbe bezw. Kappengewölbe. Die nachstehenden Untersuchungen beschränken sich lediglich auf diese Gewölbearten.

Bei der statischen Untersuchung wird meist ein Gewölbestreifen von 1 m Breite zugrunde gelegt.

Im Hochbau dienen die Gewölbe zur Unterstützung von Mauerpfeilern

und Decken; bei den Gewölben der Strassen- und Eisenbalmbrücken besteht die Belastung aus der Ueberschüttung, der Fahrbahn und der zufälligen Last. Je nach der Grösse des Verkehrs und der Schwere der darüberrollenden Fahrzeuge werden für die zufällige Last 400 bis 1200 kg/qvn Grundriss in Ansatz gebracht.

Sofern die Belastung des Gewölbes nicht aus Mauerwerk besteht, muss diese erst auf Mauerwerk reduziert werden. Ist z. B. ein Gewölbe mit Erde überschüttet, welche 1600 kg pro cbm wiegt, während sich das Gewicht des

_____________Mauerwerks auf 2000 kg pro cbm beläuft, so

d    wäre die Belastungshöhe h a

I h x£*Ustu'n'9f*Uni ^    1600

2000 'h ~

zu verkleinern (Fig. 538). Die obere Be-greuzungslinie des Belastungskörpers heisst die (reduzierte) Belastungslinie, die Fläche A Ai DF Bi B die Belastungsfläche.

Fig. 538.

Jf

2. Das symmetrische und symmetrisch belastete Gewölbe.

Betrachtet man das Gewölbe als einen gekrümmten Träger, der an den Kämpfern seine Auflager hat, so müssen die schief gerichteten Auflagerdrücke Ki und K2, hier Kämpferdrücke genannt, mit der Belastung 2 G im Gleichgewicht sein. (Man vergleiche hierzu die Ausführungen im Kapitel 111 d, Teil 1, Seite 67ff. Diese drei Kräfte müssen sich, da sie sich im Gleichgewicht befinden, nach Satz 10 in einem Punkte S schneiden (Fig. 539). Zerlegt man Ki und K₂ in ihre horizontalen und vertikalen Komponenten, so müssen nach den Gleichgewichtsbedingungen folgende Gleichungen erfüllt sein:

2 H = 0, also Hi - H₂ = 0 Hi = H₂,

oder:

‘ 1)

d. h. die Horizontalschübe an beiden Widerlagern sind gleich.

2) SV = 0, also Vi + V₂ — 2G = 0,

Fig. 539.

mithin :

zG

Vi + V₂=2G,

d. h. die senkrechten Komponenten der Kämpferdrücke sind gleich der Gewölbelast.

3)

2 M = 0,

d. h. das Moment der Kräfte für einen beliebigen Drehpunkt muss Null sein.

Nun sind aber die Angriffspunkte der Kämpferdrücke Ki und K₂ unbestimmt und ebenso deren Richtungen, so dass sich unendlich viele Schnittpunkte S ergeben. Um diese Unbestimmtheit fortzuschaffen, nimmt man an, dass das Gewölbe sich an den Kämpfern gegen zwei in der Mitte der Kämpferfuge liegende Gelenke stützt, durch welche nun die Kämpferdrücke gehen müssen.

Um die Richtungen der Kämpferdrücke festzustellen, denke man sich durch den Scheitel einen Vertikalschnitt gelegt und die rechte Gewölbehälfte entfernt. Dann muss der Schub den die rechte Gewölbehälfte gegen die linke ausiibte,

durch eine Kraft ersetzt werden, die in diesem Falle, da das Gewölbe symmetrisch belastet ist, notwendig horizontal gerichtet ist. Da der Angriffspunkt dieser Kraft nicht bekannt ist, so nimmt man an, dass auch in der Mitte der Scheitelfuge ein Gelenk vorhanden sei, an welchem die horizontale Kraft H2 angreift (Fig. 540).

In den letzten Jahren sind diese Gelenke vielfach zur Anwendung gekommen und dadurch ist von vornherein die statische Unbestimmtheit beseitigt worden.

uT—ä

Da jede Gewölbehälfte für sich im Gleichgewicht sein muss, so müssen sich die drei auf die Gewölbehälfte wirkenden Kräfte in einem Punkte Si schneiden. Damit ist aber auch die Richtung a> des Kämpferdruckes gegeben als Verbindungslinie des Schnittpunktes Si mit dem Kämpfergelenk A.

Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt nun:

1.

II, - H

d. h. der Gewölbeschub (Horizontalschub) im Scheitel ist gleich dem Horizontalschub am Kämpfer,

lug. 540 a.

V, = G,

2 M = 0.

Wählt man das Kämpfergelenk als Drehpunkt, so folgt nach den Bezeichnungen der Fig. 540:

mithin :

Gx-Hy^O,

298)

hiermit ist auch die Grösse des Horizontalschubes bekannt.

Auf graphischem Wege erhält man K, und H, indem man G nach den Richtungen dieser Kräfte zerlegt (Fig. 540a).

Aus Gleichung 298) ergibt sich, dass der Horizontalschub um so grösser ist, je grösser das Gewicht G, je grösser die Spannweite und endlich je geringer der Pfeil y ist. Da H und K bekannt sind, so sind jetzt auch die Pressungen in der Scheitel- und Kämpferfuge bekannt.

Um über die im Innern des Gewölbes auftretenden Spannungen Klarheit zu erlangen, ist es erforderlich, die Druckpunkte in den einzelnen Gewölbefugen zu konstruieren oder was dasselbe ist, die Lage der Drucklinie zu bestimmen (Fig. 541).

Da das Gewölbe symmetrisch zur Mitte ist, so genügt es, nur die eine Hälfte zu untersuchen. Man teile das Gewölbe und die darauf ruhende Be

lastung durch Vertikalschnitte in schmale Lamellen, deren Querschnitte genau genug als Trapeze angesehen werden können und bestimme deren Gewichte gi, g2, g3 usw. Nun zeichne man mit einem beliebigen Pole Oi das Seilpolygon nl, 2, 3 . . . . m. Die Resultierende ,2 g aus den Gewichten gi g2 g:$ . . geht durch den Schnittpunkt S, der äussersten Seilpolygonseiten. Da der Kämpferdruck K, der Gewölbeschub H und das Gewicht 2fg sich in einem Punkte schneiden müssen, so ergibt sich die Richtung von K, indem man durch das Scheitelgelenk

K,

-u-

w.

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W%z

-jk

Fig. 541.

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B __

V7

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eine Horizontale legt, diese zum Schnitt mit der Resultierenden ^g bringt und nun den Punkt S mit dem Kämpfergelenk A verbindet. Die Grösse von K und H findet man aus dem Kräfteplan, indem man durch den Punkt g eine Parallele zu AS legt. Es ist dann gO = K und a 0 = H. Man betrachte nun 0 als neuen Pol und ziehe die Polstrahlen Ob, 0c, 0 d usw. Auf die Fuge Fi wirken die Kräfte H und gi Resultierende ri durch den Schnittpunkt I von H und gi geht und gleich und parallel Okb ist. Die Fuge Fi wird von ri im Druckpunkte ti getroffen. Auf die Fuge F2 wirken jetzt die Kräfte ri und g2, deren Resultierende r2 durch II geht und gleich und parallel 0 c ist. Die Fuge F3 wird von r2 im Punkte t₂ getroffen.

In derselben Weise erhält man die Druckpunkte t₃ ,t₄ . . ., in denen die'Tugen F2 F₄ . . . von den Kräften r₃ r₄ . . . geschnitten werden.

Konstruiert man also mit dem Pole Oi ein Seilpolygon, dessen erster Strahl durch das Scheitelgelenk B

deren

geht, so geht der letzte Strahl durch das Kämpfergelenk A und die Seilpolygonseiten schneiden die Fugen in den gesuchten Druckpunkten.

Die Verbindungslinie der Punkte B, ti t₂ . . . . A ist demnach die Drucklinie des Gewölbes. Da diese indessen mit dem Seilpolygon H, I, II . . . . K fast zusammenfällt, so kann mau mit hinreichender Genauigkeit das Seilpolygon als Drucklinie gelten lassen.

Aus der Lage der Druckpunkte lassen sich nun die in den einzelnen Gewölbefugen auftretenden Spannungen mit Hilfe der Gleichungen 285) bis 287) ermitteln.

Im allgemeinen verlangt inan, dass die Drucklinie im mittleren Drittel des Gewölbequerschnittes bleibt. In diesem Falle treten im Gewölbe nur Druckspannungen auf, das Gewölbe ist also stabil. Geht die Drucklinie an einer Stelle aus dem Kern, so treten an der abgewandten Kante Zugspannungen auf, die man beim Gewölbe nicht duldet. In diesem Falle hat man die Form des Bogens nach der Drucklinie entsprechend zu verändern und die Untersuchung zu wiederholen.

3. Das einseitig belastete Gewölbe.

Bei dem einseitig belasteten Gewölbe wird die Drucklinie eine unsymmetrische Form annehmen. Man muss daher die Stabilitätsuntersuchung über das ganze Gewölbe erstrecken.

Am ungünstigsten ist das Gewölbe beansprucht, wenn sich die Belastung (Verkehrslast) über die eine Gewölbehälfte erstreckt, vom Kämpfer bis zum Scheitel (Fig. 542).

Um die Drucklinie zu erhalten, teile man das Gewölbe wieder in schmale Lamellen, deren Gewichte gi,g2,gs . . . seien. Nun bestimme man mit Hilfe eines beliebig angenommenen Pôles 0 das Seilpolygon 1, 2, 3, 4 . . 9.

Die Drucklinie ist ein Seilpolygou, welches durch die Punkte ABC des Gewölbes gehen muss. Um den Pol für dieses Seilpolygon zu erhalten, betrachte man jede Gewölbehälfte als einen Träger auf zwei Stützen und bestimme deren Auflagerdrücke A und B bezw. B und C. Zu diesem Zwecke ziehe man die Schlusslinie Ai Bi des Seilpolygons Ai Bi und durch den Pol 0 die Parallele Oc dazu, welche auf dem Kräftezuge die Auflagerdrücke ac = A und b c = JB abschneidet (vergl. Teil 1, Seite 25). Ebenso schneidet die durch den Pol 0 zur Schlusslinie Bi Ci gezogene Parallele auf dem Kräftezuge die Auflagerdrücke eb = B und fe — C der rechten Gewölbehälfte ab.

Die Schlusslinien für das zu suchende Seilpolygon, welches durch die Punkte A, B, C gehen soll, sind aber A B und B C. Der Pol für das gesuchte Seilpolygon muss daher der Schnittpunkt derjenigen Linien sein, welche man durch die Punkte c und e parallel zu A B bezw. B C legt.

Zieht man also im Gewölbe die Linie A B und durch den Punkt c des Kräftezuges dazu eine Parallele, ferner B C und durch e dazu eine Parallele, so schneiden sich diese in dem gesuchten Pole 0

Konstruiert man mit Hilfe dieses Pôles ein Seilpolygon, dessen erster Strahl durch A geht, so gebt dasselbe auch durch die Gelenke B und C und entspricht mit genügender Genauigkeit der Drucklinie.

4. Unsymmetrische und beliebig- belastete Gewölbe.

Die im vorigen Abschnitt mitgeteilte Konstruktion der Drucklinie für das einseitig belastete Gewölbe bleibt in allen Teilen gültig für beliebig gestaltete und belastete Gewölbe. Mau hat nur nötig, drei Gelenkpunkte anzunehmen (Fig. 543), durch welche das Seilpolygon gehen soll. Vorteilhaft wird man das

Fig. 543.

Mittelgelenk in die Schwerlinie des Gewölbes verlegen. Bleibt die Drucklinie nicht im Kern, so muss mau die Gewölbeform ändern. Oft gelingt es aber, durch eine andere Lage des Mittelgelenkes die Stützlinie im Gewölbekern unterzubringen.

Zu den unsymmetrischen Gewölben gehören vor allen die steigenden Gewölbe, wie sie sehr oft bei Treppenläufen Vorkommen.

An der belasteten Seite nähert sich das Seilpolygon dem Gewölberücken, an der unbelasteten der Gewölbeleibung. Das Seilpolygon soll auch jetzt im

Kern des Gewölbes verlaufen, damit keine Zugspannungen auftreten.

In den Kämpferfugen und in der Scheitelfuge verteilt sich die Spannung gleichmäfsig über die Querschnitte, in \ den anderen Fugen da-gegen nicht. Man wird daher namentlich die Spannungen noch an den Stellen des Gewölbes zu untersuchen ha-si ben, wo sich das Seilpolygon am meisten von der Mittellinie des Gewölbes entfernt. Hierzu dienen die Gleichungen 285) bis 287).

Fig. 542.

A/Z

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5. Die Widerlager.

Auf ein Widerlager, gegen welches sich ein Gewölbe lehnt, wirken ausser dem Eigengewicht Q und der über dem Widerlager liegenden Belastung Qi noch der schräg gerichtete Kämpferdruck K des vollbelasteten Gewölbes (Fig. 544). Durch Zusammensetzung dieser Kräfte erhält man die auf die Basis wirkende Resultierende R, welche die bei den Stützmauern mitgeteilten Bedingungen zu erfüllen hat. Sie muss also die Basis im mittleren Drittel schneiden, mit der

Senkrechten einen Winkel « bilden, der kleiner ist als der Reibungswinkel und Kantenpressungen erzeugen, die unter der zulässigen Grenze bleiben.

Wirkt auf der Rückseite des Widerlagers noch der Erddruck E (Fig. 545), so wird die Stützlinie mehr nach der Mitte zu gedrängt, was also günstig für die Stabilität des Widerlagers ist.

Will man nicht nur die Endresultierende haben, sondern die ganze Stützlinie des Widerlagers, so ist es genau zu behandeln wie die Stützmauern. In

Fig. 545.

Fig. 544.

JE-

Fig. 546.

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sehr vielen Fällen ist es zweckmäfsig, den Gewölbebogen bis zum Fundamente fortzusetzen, wodurch eine bedeutende Materialersparnis erzielt wird (Fig. 546). Diese sogenannten verlorenen Widerlager werden dann gewöhnlich verkleidet.

ß. Zwischeiipfeiler.

Auf einen Mittelpfeiler wirken folgende Kräfte: 1. das Eigengewicht Q des Pfeilers und die darauf ruhende Last Q2 und die von rechts und links kommenden Gewölbeschübe. Sind die Gewölbe von gleicher Spannweite und gleich belastet, so sind die Kämpferdrücke Ki und K₂ gleich und gegen die Horizontale unter demselben Winkel geneigt.

Ihre Resultierende geht daher durch die Mittellinie des Pfeilers und ist gleich dem Gewichte G der beiden anschliessenden Gewölbehälften (Fig.

547). Der Pfeiler ist also

Sch öl er, Statik und Festigkeitslehre.

Fig. 547.

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Fig. 548.

17

gerade und zentral belastet. Sind veränderliche Lasten zu tragen, so tritt der ungünstigste Fall dann ein, wenn das eine Gewölbe voll belastet, das andere leer ist. Die Resultierende aus den Kämpferdrücken ist alsdann nicht mehr vertikal, sondern geneigt. Man setzt in diesem Falle die Kämpferdrücke Ki und mit dem Gewichte Q zu einer Resultanten zusammen und bestimmt sodann den Druckpunkt t in der Basis (Fig. 548).

7. GewöHbestärken.

Zur vorläufigen Bestimmung der Schlusssteinstärke gibt es eine Reihe von empirischen Formeln, von denen nachstehend die einfachsten angegeben sind.

Ist d die Scheitelstärke in m, s die Spannweite in m, r der Radius in m, so ist nach Perronnet:

d = 0,035 s -f 0,325,

nach Lesquiller:

nach Rankine:

d = 0,2 Ks + 0,1

d = 0,346 Kr.

Ist Q das Gewicht der Gewölbehälfte einschliesslich Uebermauerung und Belastung, f die Pfeilhöhe, k die zulässige Beanspruchung pro qcm, so ist nach

s ist :

Schwarz, wenn f <

o

21000-k-f

und wenn f > ~

o

s ist:

7000 • k ‘

Hierin bedeutet n einen Koeffizienten, der für schwer belastete Gewölbe, wie bei Speichern, Brücken =0,2 m, für mittelstark belastete Gewölbe, wie in Wohngebäuden = 0,1 m, für wenig belastete Gewölbe, wie in Kirchen = 0,05 m zu setzen ist.

8. Beispiele.

Auf Tafel IX sind die Fensterbögen und der Zwischenpfeiler eines Geschäftshauses graphisch untersucht worden.

Die Belastungen sind in Fig. 549 eingeschrieben.

Fig. 550 zeigt den Kräfteplan für den Bogen mit kleinerer Spannweite, Fig. 551 für den grösseren Bogen.

Mit Hilfe des Pôles 0 wurde zuerst das rotgezeichnete Seilpolygon für den kleineren Bogen gezeichnet. Dann wurden die Schlusslinien Ai Bi und Bi Ci eingetragen und durch 0 dazu die Parallelen O a und 0 b gelegt. Hierauf wurden die Schlusslinien A B und B C gezeichnet und durch a und b die Parallelen dazu, die sich im Pole Oi schneiden. Das mit diesem Pole konstruierte Seilpolygon (blau), dessen erster Strahl durch A gelegt ist, geht auch durch die Punkte B und C. Es bleibt im mittleren Drittel des Bogens, so dass dieser stabil ist.

halten.

In gleicher Weise wurde die Drucklinie des weiter gespannten Bogens er

In Fig. 552 sind die Kämpferdrücke K2 und K₃ mit dem Gewichte des Pfeilers zur Resultierenden R2 zusammengesetzt worden, welche die Fuge am Fusse des Pfeilers im Druckpunkte t trifft. Da dieser ziemlich dicht an die Kante fällt, so ist ohne weiteres ersichtlich, dass die Beanspruchung des Pfeilers eine sehr ungünstige ist. Es muss daher eine Verankerung der Bögen eintreten oder aber es müssen Entlastungsträger über den Bögen angeordnet werden, so dass diese nur ihr eigenes Gewicht an den Pfeiler abgeben. Hierüber sehe man Band IX dieses Handbuches, Kapitel III, 2, Seite 95 ff.

Zur Erklärung der statischen Untersuchung des steigenden Treppengewölbes auf Tafel X mögen folgende Bemerkungen dienen.

Das Gewölbe wurde vollbelastet angenommen durch eine Verkehrslast von 450 kg/qm. Auf Mauerwerk reduziert entspricht diese Last einer Belastungshöhe von

450

= 0,28 m.

1600

Den Stufen entsprechend wurde das Gewölbe in 14 Lamellen eingeteilt.

Das Gewicht der gleichbreiten Lamellen ist aber proportional ihren mittleren Höhen. Ist nämlich b die Breite und sind hi und h2 die Höhen zweier Lamellen, so sind bei einer Tiefe von 1 Meter b - hi • 1,0-1600 und bh₂ • 1,0-1600 deren Gewichte gi und g2 und es verhält sich:

b- hL. 1,0 -1600 ~ b • h₂ • 1,0 • 1600

Man kann daher die Gewichte als einen Bruchteil der mittleren Höhen auftragen. Man muss dann aber den Kräftemafsstab berechnen.

Berechnung des Kräftemafsstabes. Der Längenmafsstab der Zeichnung

gi

g2

PH ET to H*-

sei 1 : n, und die Kräfte seien gleich

der Lamellenhöhen im Kräfteplan auf

getragen. Der Kräftemafsstab sei 1 cm = k kg. Ist die Lamellenbreite in der

b • n

Zeichnung b cm, so ist die wirkliche Breite

100

Meter. Ebenso ist die mittlere

Höhe einer Lamelle, wenn sie in der Zeichnung h cm ist, der Lamelle also:

100

Meter. Der Inhalt

b • n h • n

TÖÖ“ 'IW

und deren Gewicht g, wenn 7 das Gewicht pro cbm Mauerwerk bedeutet:

•1,0

b • n h • n

TOÖ“ 'IW

•1,0.

y-

Dies Gewicht ist aber gleich —

m

• k. Man hat also

b • n h • n

lW ' IW

.1,0.₇ =

woraus:

299)

m • b n²

1001Ö0- ⁷

Die Zeichnung sei z. B. im Längenmafsstab 1: 50 angefertigt, also n = 50,

T—! : 70

und die Kräfte seien =

der Höhe aufgetragen, also m = 3, so wäre für y

= 1000 kg pro cbm, wenn die Breite der Lamellen in der Zeichnung 1,5 cm beträgt:

• 1600 = 1800 kg,

3-1,5 • 502 100 • 100

d. h. 1 cm wäre gleich 1800 kg zu setzen.

In dem auf Tafel X (Fig. 553 bis 556) dargestellten Beispiel sind die Kräfte

gleich

der Höhen angenommen, mit Ausnahme der Pfeilergewichte, die selbst-

verständlich zu berechnen und dann in dem gewählten Mafsstabe zu zeichnen sind. Mit dem Pole 0 wurde nun das Hilfspolygon (rot) konstruiert und durch den Schnittpunkt S der äussersten Seilseiten ein Punkt der Schwerlinie des Gewölbes bestimmt. Auf dieser wurde das dritte Gelenk B im Gewölbe gewählt, durch welches die Drucklinie gehen soll.

Durch Einzeichneu der Schlusslinien Ai Bi und Bi Ci und durch Ziehen der dazu parallelen Linien durch den Pol 0 werden die Punkte a und b des Kräftezuges gewonnen. Zieht man jetzt die Schlusslinien AB und BC und legt dazu durch a und b die Parallelen, so hat man in deren Schnittpunkte Oi den Pol für die Drucklinie des Gewölbes gefunden. Zieht man den ersten Strahl Ki durch A, so geht die Drucklinie auch durch B und C. Bleibt sie im Kern, so ist das Gewölbe stabil. Im anderen Falle muss die Form des Bogens der erhaltenen Drucklinie entsprechend abgeändert und die Untersuchung erneuert werden.

ln Fig. 555, 556 auf Tafel X sind auch die Widerlager des Gewölbes untersucht worden mit einem Kräftemafsstab gleich der Hälfte desjenigen für die Untersuchung des Gewölbes.

Die Berechnung der Kantenpressungen auf Tafel X ist wohl ohne weitere Erklärung verständlich.

Auf Tafel XI (Fig. 557 bis 564) ist ein Brückengewölbe auf seine Standsicherheit untersucht worden und zwar für den unbelasteten Zustand, für Vollbelastung und einseitige Belastung. Zwischen den Widerlagern wurde das Gewölbe in 12 gleiche Teile geteilt.

In die linke Gewölbehälfte wurde die Drucklinie für die unbelastete Brücke konstruiert. Hierzu gehört der Kräfteplan in Fig. 558. Die Kräfte wurden in l/± der Lamellenhöhe aufgetragen, mit Ausnahme des Gewichtes der ersten Lamelle, welches, da diese eine andere Breite besitzt, berechnet wurde. Durch Zeichnen des gestrichelten roten Seileckes wurde die Schwerlinie X'gi_7 gefunden, die durch den Schnittpunkt Si der Strahlen 1 und 8 geht.

Zieht man jetzt durch das Gelenk B die Horizontale bis znm Schnitt mit X’i_7 im Punkte Si, verbindet sodann Si mit A und zieht dann im Kräfteplane durch b (Fig. 558) dazu die Parallele Ki, so schneidet diese auf dem ersten Pohlstrahl den Horizontalschub Oi a ab. Das mit Hilfe des Pôles Oi im Gewölbe blau eingezeichnete Seilpolygon stellt dann die Drucklinie für die unbelastete Brücke dar.

ln derselben Weise wurde für den rechten Teil des Gewölbes die Drucklinie für die vollbelastete Brücke gewonnen. Hierzu gehört der Kräfteplan in Fig. 559.

600

Z0O0\2500\26002700 \2850 kg.

\500\600lèû.

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Fig. 549.

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600 K5Oo\S0()Ąf.

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Fig. 550.

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ôl Fig. 551.

Fig. 552.

Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

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Fig. 554.

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Verkehrslast 450 kg/qm.

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16,0 cm.

Kantenpressungen.

Fuge m—n.

Der Druckpunkt liegt im Kern; e

j = 1,24 kg/qcm.

) = 0,12 kg/qc

6 • 16,0

116

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116

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km =

Fuge nn—m.

Der Druckpunkt liegt auf der Kerngrenze

1,5 kg/qcm.

2•8560

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krij = 0 kg.

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Fig. 553.

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Fig. 556. jieehLes Widerlager.

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Fig. 555.

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Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

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KRAKÓW

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jVlaßslab für die Kräfte.

fłtrfMŚlunfL-

5m.

cm.

Untersuchung eines BrücHengervölbes.

Spannweite 7,92 WV.

Fig. 557.

Verfiehrslasl JäOOKgy'ym.

ä/inie

j0600 Kg.

Taf XI.

Kantenpressungen.

Gewölbefuge a—b.

Die Remitierende liegt ausserhalb des Kernes, 17 cm von der Kante.

2 • 130GO 3 17,0 • 100

Gewölbefuge c — d; e = 7,0 cm.

6 • 7,0

kb

5,1 kg/qcm.

/'

,    13100 (, ,

kd    64,0-100 V ^

13100

9e

kc

64,0-100

•(

j 6 - 7,0

₆4    ) = ³>4 kg/q°m

64    ) = 0,74 kg'c10111

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76800

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16800

km⁼

Widerlager.

Fuge m —n; e = 24 cm.

6 • 24,0

9,

-<L

*2

kn =

44100 309-100' 44100 309 • 100

(h

) = 2,1 kg/qcm

(l-?w)⁼⁰’7Ukg,C|Cm

309

Zga-r

ÈgS-42

s.

' X[

■t- '

ko =

Fuge o — p; e = 45 cm. 50400

<?x

/>;

9t

15

kp =

309 • 10 50400

309 • 100

r(¹XSX°’21kg,qom

) = 3,06 kg/qcm

•(M

6 - 45,0

309

Nv/

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rz

O,

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G;

3,03 -/

Bas Gewölbe ist voll belastet

dcm= 2539hg.

rn

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\ 0=0,26

Bas Gewölbe ist unbelastet 7 c/n — ■ 2584 hg.

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e=0,65

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44100hg.

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Fig. 558.

Bas Gewölbe ist einseitig belastet / cm -= 2584 Kg.

LinKes Widerlager bei unbelasteter-Brüche.    ä cm — 3000Kg.

Fig. 563.

Schöler, Statik und Festigkeitslehre.

NI

Fig. 560.

Fig. 561.

Fig. 564.

Bectäes Widerlager bei voll belasteter Brüche. jc/n= 3000hg.

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Fig. 562. Fig. 559.

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BIBLIOTEKA flinr:GM:ïltîZBâ

KRAKÓW

Sodaun wurde das Gewölbe für eiuseitige Last untersucht. Mit Hilfe des Kräfteplanes in Figur 560 wurde zuerst das rote, nach oben konkave (^) Seilpolygon gezeichnet. Hierauf wurden durch Einträgen der Schlusslinien Ai Bi und Bi Ci die Punkte a und b auf dem Kräftezuge bestimmt. Sodann wurden die Schlusslinien AB und BO gezeichnet und durch a und b die Parallelen dazu gezogen, wodurch sich der Pol 0₅ für die gesuchte Drucklinie ergibt. Sie wurde in grüner Farbe hervorgehoben.

Auf der unbelasteten Seite nähert sich diese Drucklinie der Leibung, auf der belasteten dem Kücken des Gewölbes. Die gefährlichsten Stellen befinden sich an den Fugen a-b und c-d.

Auf die Fuge a-b wirkt die Kraft 5, die sich auf 17 cm der Leibung des 64 cm starken Gewölbes nähert, also ausserhalb des Kernes angreift, da die

(54

Kernweite -g- = rd 11 cm beträgt.

In Fig. 561 wurde diese Kraft zerlegt in eine Komponente rechtwinkelig zur Fuge a-b und in eine in diese fallende. Die erste dient zur Berechnung der Kantenspannungen, die sich auf Tafel XI befindet.

Ebendaselbst sind auch die Pressungen in der Fuge c-d und den Fundamentfugen der Widerlager berechnet (Fig. 562, 563, 564).

Das linke Widerlager zeigt die Drucklinie bei unbelastetem, das rechte Widerlager diejenige bei vollbelastetem Gewölbe. Der Erddruck E wurde auf besonderer, hier nicht angefügter Zeichnung bestimmt, um die Tafel nicht unübersichtlich zu machen.

Die Schlussresultierenden Ri bezw. R₂ sind in eine Komponente rechtwinkelig zur Fundamentfuge und in eine in diese fallende zerlegt worden. Die erste dient wieder zur Ermittelung der Pressungen (Fig. 563, 564).

Der Kräftemafsstab für die Gewölbeuntersuchung geschah mit Hilfe der Gleichung 299). Der Längenmafsstab ist 1: 60, die Lamellenbreite in der Zeichnung 1,1 cm. Die Kräfte sind gleich x/₄ der Höhe aufgetragen, mithin

- 2534 kg,

4 • 1,1 • 60² • 1600

100-100

wie auf der Tafel angegeben.

Bei der Ermittelung der Standsicherheit der Widerlager wurde 1 cm = 3000 kg angenommen.

e) Musterbeispiele für die Anfertigung statischer Berechnungen.

Die Anfertigung von statischen Berechnungen bietet Anfängern in der Regel grosse Schwierigkeiten. Daher mögen hier noch zwei Musterbeispiele folgen. Wir wählen hierzu eine Form, die bei vielen Behörden innegehalteu wird und sich durch Einfachheit und Klarheit auszeichnet.

Die statischen Berechnungen werden auf gebrochenem Bogen (Aktenformat) aufgestellt. Die rechte Hälfte dient zur Niederschrift des Textes, die linke Hälfte für die Ueberschriften, die Skizzen und die etwaigen Bemerkungen und Berichtigungen des revidierenden Technikers. In der Einleitung zur Berechnung werden jedesmal die Annahmen über die der Rechnung zugrunde gelegten Belastungen und zulässigen Beanspruchungen vorausgeschickt, damit der mit der Revision beauftragte Techniker sofort über alles Notwendige unterrichtet ist.

Nach diesen einleitenden Bemerkungen empfehlen wir dem jungen Techniker die nachfolgenden Beispiele aufmerksam nachzurechnen.

Beispiel 1,

Tafel XII.

Statische Berechnung der Eisenkonstruktionen im Neubau des Herrn Eduard Berger, Elberfeld,Hochstr.42.

I. Allgemeines.

Der Berechnung werden nachstehende Belastungsannahmen zugrunde gelegt.

Es wiegt ein Quadratmeter Decke über dem Kellergeschoss „    „ Erdgeschoss

„ der ersten und zweiten Etage 500 kg „ dem Dachgeschoss Für das Falzziegeldach wird ein Gewicht von 300 kg pro qm Grundriss eingeführt.

1000 kg 700 kg

250 kg

Ferner wiegt

eine ^2 St. st. Mauer pro qm 230 kg

» » 440 kg » » 650 kg

„ Fachwerkwand aus Schwemmsteinen .... 130 kg.

II. Die Deckenträger über dem Kellergeschoss.

1. Die massive Decke.

Die zulässige Beanspruchung des Schmiedeeisens gegen Zug und Druck

beträgt......

gegen Abscheren .    .    .

des Gusseisens gegen Druck . . gegen Zug und Biegung gegen Schub ....

900 kg 'qcm

600

500

250

200

Die Decken über dem Keller- und Erdgeschoss gelangen als Koenen’sche Voutenplatte zur Ausführung.

Die grösste Spannweite ist 2,12 m.

Mit Rücksicht auf die „Amtlichen Vorschriften“ über die Ausführung der Betoneisenkonstruktionen wird die Stärke der Decke, wenn man für den Beton einen Druck von 30 kg/qcm zulässt;

h = 0,490 V M-

Nun ist für 1 m Deckentiefe:

M = ~ • 1000 • 2,12² = 374 kgm

mithin :

h = 0,490 K374 = rd 10,0 cm

wozu noch 1,5 cm für die Einbettung der Eiseneinlagen kommen.

Der Eisenquerschnitt für 100 cm Decken-

breite wird :

fe *= 0,465 • h = 0,465 • 10,0 = 4,65 qcm,

2. Träger a.

entsprechend 10 Rundeisen von 8 mm Durchmesser.

Die Spannweite beträgt 4,50 ra, die Belastung :

4,5 • 2,12 • 1000 = 9540 kg.

Demnach wird:

mithin:

M _

1Timax —

TH ;GC

• 9540 • 4,5 = 5360 kgm,

536000

N. P. 29.

900

= 596 cm³.

594 cm³.

Dafür genügt ^-Eisen N. P. Nr. 29 mit Wx =

3. Träger d.

b77C

Die Spannweite ist rd 4,40 m.

Die Belastung besteht aus einer Einzellast von rd 4770 kg herrührend vom Deckenträger a.

Nach nebenstehender Skizze werden die Auflagerdrücke :

4770-2,12

<—z, za

Z, 1Z

4.4

= 2298 kg und

B = 4770 — 2298 = 2472 kg.

Das grösste Moment berechnet sich zu: Mmax = 2298 • 2,28 = 5239 kgm,

demnach :

523900

900

= 582 cm³.

N. P. 29.

594 cm³.

Dafür genügt Eisen N. P. Nr. 29 mit W =

4. Träger l).

Die Spannweite ist rd 5,44 m. Die Belastung setzt sich zusammen aus:

1. einer gleichmäfsig verteilten Deckenlast

yop

Q3S0- / 7 ZO h,*jj/i

rd 5,29 • 2,12+-1,45 • 1000 = rd 9350 kg,

—J= zi9z - ^es —

-S -

2. einer Einzellast von 2472 kg, herrührend vom Auflagerdruck B des Trägers d.

Demnach werden die Auflagerdrücke:

9350 , 2472-4,68

5,44

= 6800 kg und

B = 9350 + 2472 - 6800 = 5022 kg.

Der gefährliche Querschnitt liege y m von der Stütze B, dann muss sein:

5022 - 1720 • y = 0,

folglich :

5022

1720

n = 2,92 m.

Das Maximalmoment ist daher: 5022 - 2,92

Mmax =

= 7332 kgm

mithin :

7332

900

815 cm³.

N. P. 34.

922 cm³.

Dem entspricht T-Eisen N. P. 34 mit W =

5. Träger c, e, f.

6. Unterzug a.

Für Träger c wird das Profil des Trägers a, für Träger e dasjenige von d und für Träger f dasjenige von b gewählt.

Die Spannweite ist rd 3,44 m. lastung setzt sich zusammen aus:

1. einer gleichmäfsig verteilten Deckenlast 1 73

rd 3,40 •    • 1000 = 2940 kg.

Die Be-

V770

4,6 V

4,»0

HM

2. einer Einzellast von 4770 kg als Auflagerdruck des Trägers a.

Die Auflagerdrücke berechnen sich zu:

2940    4770-1,80

~ ⁺    3,44

B = 2940 + 4770 — 3960 = 3750 kg.

Der gefährliche Querschnitt liegt offenbar unter der Einzellast, mithin wird das grösste Moment:

Mmax = 3690 • 1,64- 855-

A ==

InL

= rd 3960 kg und

N. P. 28.

1 64²

= 4906 kgm.

Li

Danach wird das Widerstandsmoment:

4906    __

—q~ = 54o cm.

<M

cc

Dafür genügt T-Eisen N. P. 28 mit W — 541 cm³.

7. Unterzug 1».

Die Spannweite beträgt rd 5,2 m. Der Träger ist belastet durch:

. 1000 = 4325 kg ;

1. eine gleichmäfsig verteilte Deckenlast: 5,0 1,73

5022

v770

40 Z 5= SSOKyfn,

LMM

3.7Z

2.    einer Einzellast vom Träger f mit rd 5022 kg (siehe Träger b);

3.    einer Einzellast vom Träger c mit rd 4770 kg (siehe Träger a).

Die Auflagerdrücke werden:

4325 .

2 ⁺

B = 4325 + 5022 + 4770 - 7550 = 6567 kg.

Der gefährliche Querschnitt liege x Meter von A, dann muss sein:

7550 - 5022 - 830 • x = 0

5022-3,72 + 4770-1,96

5,2

= 7550 kg,

5022

oder:

x = 3,05 m.

Hiernach wird Mmax:

Mmax - 7550 - 3,05 - 5022 • 1,57 — 830 • ^ - 11283 kgm,

3,05²

somit:

N. P. 38.

—= 1253 cm³,

9

wofür T-Eisen N. P. 38 mit W = 1262 cm³ ausreicht.

III. Die Deckenträger über dem Erdgeschoss.

1. Die massive Decke.

Die weitest gespannte Decke hat 3,28 m Spannweite. Der Beton darf mit 30 kg/qcm gedrückt werden (vergl. II, 1, Seite 252).

Die Stärke der Decke wird : h = 0,490 ■ KM.

Das Moment M berechnet sich zu:

• 700 • 3,28² - 627,66 kgm,

12

folglich :

h = 0,490 - V 627,66 = rd 13 cm.

Der auf 1 m entfallende Eisenquerseimitt

ergibt sich aus:

fe = 0,465 • h zu :

fe = 0,465 • 13 = 6,0 qcm,

2. Träger a.

8 no

rf

*~Z3Z—*|

5,S *-

«-Z3Ï

->

N. P. 40.

wofür 8 Rundeisen von 10 mm Durchmesser genügen.

somit :

Für die 2,55 m weit gespannten Decken wird -L- • 700 ■ 2,55² = 378 kgm,

h = 0,490 ]/378 = rd 10,0 cm.

Der Eisenquerschnitt auf 1,0 m wird: fe = 0,465 • 10 = 4,65 qcm ; dafür 10 Rundeisen von 8,0 mm.

Für beide Decken kommt zu h noch ein Zuschlag von 1,5 cm.

Die 1,79 m weite Decke erhält die Abmessungen der vorigen.

Die Spannweite beträgt rd 5,54 m. Die Belastung besteht aus:

1. Der Deckenlast:

1,03 + 3,28

■ 700 = 8120 kg.

2. Dem Gewichte der Fachwerkwand aus Schwemmsteinen.

Da die Türe in der Mitte der Wand liegt, so überträgt jeder Pfeiler: a) Eigengewicht:

rd -i- • [5,40 • (3,5 + 3,5 + 3,3) - 2 •

2,2-0,9]-130 ß) Gewicht des Daches:

1    -^3,08 + 3,18

(-?|i + 2,90)

rd 5,40 •

= rd 3340 kg,

•300    =    2100 „

5440 kg.

Die Belastung ist nebenstehend dargestellt. Die Auflagerdrücke berechnen sich zu:

+ 5440 = 9500 kg.

u

zus.

Der gefährliche Querschnitt liegt in der Mitte und es wird:

Mmax = 9500-2,77-

8120 2,77²

5,54

-5440-1,61

mithin:

= 11933 kgm 11933

q— = 1326 cm³. DafürgenügtNormalprofil40mitW = 1464cm³.

tet

3. Träger c.

izyoo

,8390

Spannweite = 5,54 ra.

Die Belastung besteht aus: 1. Der Deekenlast:

3,28 + 2,55

rd 5,40 •

• 700 = 12900 kg.

2. Dem Gewichte der Schwemmsteinfachwerkwand. Die Türe liegt in der Mitte, daher erhält jeder Pfeiler: a) Eigengewicht:

rd -i- • jj),40 • (3,5 + 3,5 + 3,3) - 2 • 1,8 • 2,7J • 200

= 4590 kg.

ß) Dachlast: 1 r/3,18 + 2,52

+ 0,12).    - + 2,9o)

•300

55*

= 3780 „ zus. 8370 kg.

Nach der nebenstehenden Belastungsskizze werden die Auflagerdrücke:

19Q00

—+ 8390 = 14840 kg.

u

Das in der Mitte auftretende Maximalmoment

wird :

Mmax = 14840 • 2,77

12900 2,77²

5,54

~ - 8390 • 1,86

u

= 16578 kgm

und folglich:

16578

II

= 1842 cm.

N. P. 34.

Dafür genügen 2 T-Eisen N. P. 34 mit W = 2- 922 = 1844 cm³.

4. Träger b.

Die Spannweite beträgt 5,54 m. Die Belastung aus der Decke ist rd 5,40 • 2,55 • 700 = 9640 kg.

Die Auflagerdrücke werden:

A = B = 4820 kg.

Mmax

wird :

Mmax —

■ 9640 • 5,54 = 6675 kgm

somit:

6675

__N. P. 32.

g— = 742 cm³.

Daher wird T-Eisen N. P. 32 gewählt mit W = 781 cm³.

IV. Dio Unterzüge über dem Erdgeschoss.

1. Unterzug a.

Die Spannweite ist rd 3,80 m.

Die Belastung besteht aus:

1. Der gleichmäfsig verteilten Deckenlast, 3,660/79 700 = 2.290 kg>

2. Der l¹^ Stein starken Mittelwand. Die Türe liegt in der Mitte des Trägers. Die Mauer überträgt:

«) Eigengewicht,

[3,66 • (3,5 + 3,5) — 2 - 0,9 • 2,2] • 650 + (3,66 • 3,3 - 0,9 • 2,2)

•230

ß) Deckenlasten über der Ï. und 2. Etage,

— 16400 kg,

2-3,66-

5,10 -f 1,60

• 500 = 12260 „

y) Kehlbalkenlage,

3,66 -

2,90 +1,60

• 250 = 2060 „

95*00

-J-53Ó0 liyo .J5l60

qgo

0,51

3 2g

VX* 1, 925

zus. 30720 kg.

Jeder Pfeiler rechts und links der Türe erhält davon die Hälfte, also 15360 kg.

3. Einer Einzellast von 9500 kg vom Träger a. Die Belastung ist nebenstehend dargestellt. Danach werden die Auflagerdrücke:

3,28

2290

3 80

+ 15360 -f 9500 •

LJ

3,8

24705 kg

9500

und

B 2290 + 2 • 15360 + 9500 - 24705 = 17805 kg.

Der gefährliche Querschnitt liege x Meter von A entfernt, dann muss sein:

(10105) (603)

15360    2290

24705 - 9500 -

SO-*

JO-iOSkgjTn T'ioyo8~<

1,52

3,8

24705 - 9500

10105 -I- 603

= 1,42 m.

1.42²

J__L N. P. 34.

Mmax = 24705 • 1,42 - 9500 • 0,90 - 10708 • ’9 = 15823 kgm,

w 15823    ₁₇_ö    3

W = —ö— — cm³.

Dafür genügen 2 T-Eisen N. P. 34 mit W = 2.922 — 1844 cm³.

folglich :

2, Unterzug b.

Die Spannweite ist rd 5,37 m. Die Belastung besteht aus;

1. einer gleicbmäfsig verteilten Deckenlast —⁰y1,60 • 700 = 2860 kg;

2. aus der ll/₂ Stein starken Mauer: a) linker Pfeiler,

«) Eigengewicht,

[o,72(8,5 + 3,5)-2.^9. 2,ä]

• 650 + (o,72 • 3,3

•230

f.2.2)

= rd 2300 kg,

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

2-0,72-

-------500 = rd2410 „

y) Kehlbalkenlage, 2,90 + 1,60

0,72 -

• 250    = rd 400 „

zus. rd 5100 kg,

b) der mittlere Pfeiler, a) Eigengewicht,

4-0,9

-2,2

^2,50- (3,5+3,5)

•650 +(2,50-3,3 -0,9-2,2)

•230

= 9340 kg,

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

rd 2-2,50-

5,10 + 5,70

. 500 = 13500 „

y) Kehlbalkenlage 2,90 + 3,20

-2,5-250    = 1900 „

zus. 24740 kg,

c) rechter Pfeiler, a) Eigengewicht,

2,0 - 7,0 —

2- ^--2,2 -650

+ ^2,0 • 3,3

• 230 = 9100 „

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

2-2,0- ₂

5,10 + 5,70

• 500    =10800 „

zu übertragen 19900 kg,

2,90 + 3,20

7) Kehlbalkenlage,

2,0-

Uebertrag 19900 kg,

₂--250    = 1520 „

5100

h&lO

XOV. ²⁸⁶⁰ V*ZÜ

qqoV—o° —■ 3

—    2 8Z

—    3. ‘iO -*

zus. 21420 kg,

3. einer Einzellast von 4820 kg, herrührend vom Träger b.

Die Belastung ist nebenstehend dargestellt. Danach werden die Auflagerdrücke:

. 2860 ,

A=^-+

5100-5,24 + 24740 - 3,40 + 4820-2,82 + 21420-0,85

SV

5,37

= rd 27800 kg.

B = 2860 + 5100 + 24740 + 4820 -f 21420 - 27800 = 31140 kg.

Der gefährliche Querschnitt liegt unter der Einzellast, denn:

27800 - 5100

lO

(534)

1,6

■1.38-

2860

5.37

. 2,55 = + 4

sioo

y&ZO

--'15

Jm

und

27800 - 5100 — 15462 • 1,38 — 534 • 2,55 - 4820 = - 4817 kg.

Das grösste Moment wird daher:

2,55²

Mmax = 27800 ■ 2,55 - 534 •

5100-2,41

255-

— 15462-

1,38²

₂    = 40405 kgm,

mithin:

40405

= 4489 cm³.

J__L N. P. 50.

Dafür genügen 2 T-Eisen N. P. 50 mit W = 2-2750 = 5500 cm³.

T. Die Fronttriiger.

1. Frontträger a.

a) Der vordere und mittlere Träger.

Die Stützweite ist rd 3,80 m.

Die Belastung besteht aus

1.    dem Brüstungsmauerwerk;

3,61 • 1,20 - 650    = rd 2820 kg,

2.    dem linken Pfeiler A;

«) Eigengewicht:

6,20-1,42— 2-    1,90)

- 650 + 1,0 • 1,42 • 440    =    5000 „

zu übertragen 7820 kg,

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage :

Uebertrag 7820 kg,

5.10

2- 1,42-500

=    3620 „

y) Dachlast:

600 „

9 84

1,42 •    • 300

u

3. dem Pfeiler B; a) Eigengewicht:

^6,20- 2,19

•650 + 1,0-2,19.440

2-³^⁾-1,90)

zus. 9220 kg,

= rd 8460 kg,

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage :

= rd 5600 „

5 10

2 • 2,19 •    • 500

u

y) Dachlast:

2.84

2,19 •    • 300

= rd 940 „

5000

*-s,c 6-4 /10

-46* -

zus. 15000 kg.

Von diesen Lasten nimmt jeder der drei hintereinanderliegenden Träger ¹/₃ auf, also 940 kg bezw. 3070 kg bezw. 5000 kg.

Nach der nebenstehenden Belastungsskizze

werden die Auflagerdrücke:

940 , 3070-3,27 + 5000-0,82

2~ +

3,80

= 4200 kg,

3 90

B = 940 + 3070 + 5000 - 4200 = 4810 kg. Der gefährliche Querschnitt liege y Meter von B entfernt, dann muss sein:

4810 —

(3050)

5000

3,80 'y 1,64

•y = °,

3050Äqi

-Jl" L-ti. 3Z$S n

woraus

4810

248 + 3050

1,45 m.

M

iT1max

wird jetzt:

4810- 1,45

= 3487 kgm

Li

folglich :

N. P. 26.

3487

= 387 cm³.

Dafür genügtT-Eisen N.P.25mitW = 396cm³. Gewählt wird indessen N. P. 26 in Uebereinstim-mung mit Frontträger c.

b) Der innere Träger.

Ç5ÛO

w /3°7⁰

5000

Th

Der innere Träger erhält ausser den vorstehenden Lasten noch eine Einzellast vom Deckenträger a in Höhe von 9500 kg.

Die Auflagerdrücke werden daher:

9500 • 3,28

A =4200 +

5 ïgA'yjtri, --à Z 8

3,80

= 12400 kg

lJł

und

3,8

9500-0,52 A1in,

-₃₈’    - = 6110 kg.

Der gefährliche Querschnitt liege x Meter von A, dann muss sein:

B = 4810 +

0500

12400 - 9500

3070

woraus:

' 1,06 'X x = 0,92 m.

— 248 • x = 0

ZÿOO 2 ¥6

Hiernach wird:

Mmax

0 92²

= 12400 • 0,92 — 9500 • 0,40 — 3148 •

vCi

demnach :

= 6276 kgm,

N. P. 32.

w 6276 W 9

Dem entspricht T-Eisen N. P. 30. mit W = 652 cm³. Gewählt wird indessen N. P. 32 in Uebereinstimmung mit Frontträger c.

697 cm³;

‘2. Frontträger b.

Die Spannweite beträgt 1,45 m. Die Belastung besteht aus:

1.    Dem Brüstungsmauerwerk :

1,45 -1,20 -650 . . . .    =

2.    Dem Gewicht des Pfeilers C; a) Eigengewicht,

1,11-6,20 —

1130 kg

o 11£

2

- 650 + 1,11 - 1,0 • 440 • - rd 3600 kg

•1,9

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

5.1

2-1,11-

7) Dachlast,

9 84

1,11-^-300    .

u

2840 kg

. = rd 480 kg

zus. 6920 kg.

Diese Last wird von den drei hintereinanderliegenden Frontträgern gemeinschaftlich aufgenommen.

to

CO

3. Frontträger c.

a) Der vordere und mittlere Träger.

Die Auflagerdrücke werden:

6920

= 3460 kg.

In Uebereinstimmung mit den Frontträgern c werden für den Frontträger b dieselben Profile gewählt.

Die Spannweite ist rd 3,58 m. Die Belastung besteht aus:

1.    dem Brüstungsmauerwerk;

3,40-1,20-650 .....

2.    dem Pfeiler D; a) Eigengewicht.

= 2650 kg

5500

zsso

ff

880

MIT

A‘i

/ 50-

0,21

2Ä1.9)

(6,20

+ 2,4-1,0-440 . .

•2,4-

-650

= 9370 „

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

5 10

2 • 2,40 •    • 500 . .

y) Dachlast,

2,40

. = 6120 „

2.84

•300 . .

= 1020 „

zus. 16510 kg

3. dem Pfeiler E; a) Eigengewicht,

(6,20-1,34 - 2-1,90

-650 + 1,34-1,0-440    .    .    =4640 kg

ß) Deckenlasten über der 1. und 2. Etage,

5.10

2 • 1,34 •

y) Dachlast,

2.84

ł>³⁴ 2

•500 . .

- 300 . .

. = 3420 „

.    = 570 „

zus. 8630 kg

Yon diesen Lasten nimmt jeder der drei Träger Va auf, also rd 880 kg bezw. 5500 kg bezw. 2880 kg.

Die Auflagerdrücke werden nach der nebenstehenden Belastungsskizze :

880    5500-2,72 + 2880 • 0,48 ₌

3,58

5005 kg

und

B = 880 + 5500 + 2880 - 5005 = 4255 kg.

*+2 3 0 ka/wi 2^-6 »

Der gefährliche Querschnitt liege x Meter von A, dann muss sein:

5005-

880

5500

(x - 0,21) = 0

-/3 ']■

oder :

3,58‘X 1,30 5005 - 246 x - 4230 x A 888 - 0

woraus :

N. P. 26.

b) Der innere Träger.

5005 + 888 246 -f- 4230 Demnach wird Mmax:

Mmax = 5005 • 1,31 - 246 •

= 3797 kgm,

³⁷⁹⁷    ,->    3

^    = 422 cm³.

Dafür genugtT-EisenN. P. 26 mit W = 441 cm³.

= 1.31 m.

1,31²

2    -4230-

1,10²

folglich :

5-820

5500

zs#o

Ausser der Belastung der vorhergehenden Träger nimmt dieser noch eine Einzellast auf von 4820 kg, herrührend vom Deckenträger b.

Z,55

UJ1ILLJL

50 Kg/ f+v

3 58

Die Auflagerdrücke werden :

1 03

A = 5005 + 4820 • 4^ - 6392 kg

o,Oo

und

* aio

550C

‘îWn 8-169—^ -2 55->

•4-

N. P. 32.

TI. Die innere Siiule.

2,55 3£8

Der gefährliche Querschnitt liegt unter der Einzeliast. Demnach wird M

B = 4255 + 4820 •

= 7688 kg.

max •

Mm,x = 6392 • 2,55 - 246 •

= 6205 kgm

folglich :

781 cm³.

2,552 3,58

-5500-1,69

6205

= 689 cm³.

Dafür genügt T-Eisen N. P. 32 mit W =

Die Belastung der inneren Säule setzt sich zusammen aus :

1.    dem Auflagerdruck B des Unterzuges a mit    . .

2.    dem Auflagerdruck A des Unterzuges b mit    . .

3.    dem Auflagerdruck B des Trägers c mit

. . 17805 kg

. . 27800 „

oder rd 60500 kg.

. . 14840 „ zus. 60445 kg

20

/

/V>

Die Säule wird aus Gusseisen liergestellt. Gegen Knicken muss sein:

Jmin — 8 • 60,5 • 3,7² = 6626 cm⁴

und gegen Druck:

60500

500

= 121 qcm.

Dafür genügt der nebenstehende Querschnitt mit J = 6831 cm⁴ und f = 129 qcm.

Die Grösse der Fussplatte muss sein, da der unter der Säule angeordnete Auflagerstein mit 25 kg gedrückt werden darf:

60500 + rd 500

25

= 2440 qcm

entsprechend einem Durchmesser von 55,7 cm. Die Stärke der Platte muss dabei ²

5 •¹⁴’⁵

= 5,8 oder rd 6,0 cm

werden.

Der Pfeiler wird in Zement gemauert. Der Auflagerstein muss daher eine .Lagerfläche, von rd 61000

12

= 5100 qcm

besitzen, entsprechend einer Kantenlänge von 71 cm.

-5^7-

Der Pfeiler wiegt rd

2,6 - 0,78² • 1600 =    . .

für die Bankette rd .    .

kg,

zus. 4600 kg.

Die Fundamentfuge erhält demnach eine Last von 61000 + 4600 = 65600 kg. Die Fundamentfuge muss daher eine Fläche von 65600

= 26240 qcm

entsprechend einer Kantenlänge von 162 cm, wofür in Uebereinstimmung mit dem Steinmafs eine Länge von 1,68 m gewählt wird.

2,5

VII. Die Frontsäulen.

Die Frontsäulen werden aus Q-Eisen hergestellt. Am ungünstigsten belastet ist die Säule S. Sie erhält

1.    den Auflagerdruck B des Frontträgers a mit 2-4810

+ 6110    .......= 15730kg

2.    den Auflagerdruck A des

Frontträgers b .    .

3.    den Auflagerdruck des

Deckenträgers c .    .    .

.    - 3460 „

oder rd 34000 kg.

•    - 14840 „

zus. 34030 kg

34000

900

x-v

= rd 1,7 m

50

Die Knicklänge ist 5,3 m. Gegen Knicken muss sein:

Jmin = 2,5 • 34,0 • 5,3² = 2388 cm4 und gegen Druck:

= 38 qcm.

Dafür genügt der nebenstehende Querschnitt von 4 [[-Eisen N. P. 14 mit

Jx = 4 • 605 = 2420 cm⁴ und f = 4-20,4 = 81,6 qcm.

Die Zahl der Querverbindungen zwischen Kopf und Fuss ergibt sich aus:

n-Jy 2£P‘

Nun ist für Q-Eisen 14 Jy = 62,7, also wird

i₌i /HE

V 2,5-34,0

so dass mindestens 3 Querverbindungen erforderlich werden.

Die Grösse der Fussplatte wird: 34000 4- rd 600

= 1384 qcm,

wofür die nebenstehende Platte ausreicht. Die Stärke ist mit 2 cm reichlich bemessen.

25

Sö

VIII. Die Lagerplatten. 1. Kellerträger b u. f.

Die Lagerplatten werden aus Schmiedeeisen hergestellt. Die Auflagersteine dürfen mit 25 kg gedrückt werden. Der grösste Lagerdruck ist 6800 kg, demnach :

= 272 qcm = 17.17 qcm.

Die Dicke der Platte ist:

-V

P(B-b)

6,8(17 - 12)

17

= 1,4 cm.

Dafür 1,5 cm.

2. Kellerträger d u. e.

<-/3 -f»

Auflagerdruck rd 2500 kg.

,2500 • 25

dafür 13/13 cm bei einer Stärke von 1 cm.

= 100 qcm,

8. Kellerunterzug a u. b.

■*Wß

00

V

i-

Auflagerdruck 7550 kg (siehe I, 7) 7550

f =    = 302 qcm = 18-18 cm.

s 1/7,55(18-15) _

rd 1 cm,

V.

ï.

CO

—w—

____JS. j

■z,zo—

if

ro

CO

—OS'7

I-

9*

«s

■3 30

05 P—-

f- 4,«r

\~Ü5 V---

-5,ZO—-

—>1«—Z,û —»

%Vo

r—2-,<9 »f-fy'i'l-»!«—Z,50—-^3*^-

b icdn b

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Taf. XII.

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BIBLIOTEKA FßLITECIIIliOZBI

KRAKÓW

4. Unterzug a u. b über dem Erdgeschoss.

N. P. 50

Auflagerdruck 31140 kg (siehe IV, 2)

— 1245 qcm = rd 40 • 30 qcm.

Die Stärke b ist mit 1,5 cm reichlich bemessen.

9qO-

5. Frontträger a u. c.

demnach

Die Gesamtlast bei Träger a ist 2 • 4200 + 12400 = 20800 kg,

20800

832 qcm,

wofür eine Platte von 51/20 genügt, bei einer Stärke von 1,5 cm.

25

IX. Trägeranschlüsse.

1. Kellerträger a.

Der Auflagerdruck beträgt 4770 kg.

Es ist anzuschliessen T-Eisen N. P. 29 an 3|-Eisen N. P. 29. Die Stegstärke ist 1,04 cm. Der Nietdurchmesser wird 1,6 cm angenommen. Gegen Abscheren sind erforderlich:

4770    _

1 6² • TZ

2 •    -j-— • 600

4

gegen Lochwanddruck:

4770

1200.1,6 • 1,04 welche angeordnet werden.

Der Anschluss des Trägers c geschieht in derselben Weise.

= 2 Niete

ni =

= 3 Niete

2. Träger a über dem Erdgeschoss.

Dieser (T-Eisen N. P. 40) ist anzuschliessen an Unterzug a (2 T-Eisen N. P. 34) bezw. an den inneren Frontträger a (T-Eisen 32). Anzuschliessen sind 9500 kg.

Die Stegstärke für T-Eisen 40 ist 1,44 cm. Der Nietdurchmesser wird 2,0 cm gewählt. Gegen Abscheren sind notwendig:

9500

= 3 Niete,

2,0² 7T

4

gegen Lochwanddruck:

9500

1200-2,0.1,44 welche auch angeordnet werden.

Aufgestellt: Elberfeld, im Oktober 1904.

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•600

= 3 Niete,

H. Spies.

Beispiel 2. Tafel 13.

Statische Berechnung des eisernen Dachbinders über der Wagenhalle der Bergischen Kleinbahngesellschaft.

Für den Dachbinder wurde das auf Tafel 13

1. Allgemeines.

2. Ermittelung der Stabspannungen.

4. Berechnung der Stabquerschnitte.

4. Vernietung.

dargestellte Bindersystem gewählt.

Die lichte Weite zwischen den Pfeilervorlagen beträgt 13,12 m, demnach berechnet sich die Spannweite zu:

1 - 1,04 • 13,12 + 0,1 = 13,74 m.

Das Dach wird mit Falzziegeln gedeckt. Die Neigung des Daches ist rd 1:1,5. Die Last pro qm Grundriss einschliesslich Schnee- und Winddruck wird zu 307 kg angenommen.

Die Binderentferuung beträgt 4,6 m, so dass sich die Kuotenlast zu:

4,6 13,74-307

= rd 3200 kg

P = berechnet.

Die für die Spannungsermittelung mafsgeben-den Auflagerdrücke werden

A = B - 2,5 P = 2,5 • 3200 = 8000 kg.

Die Stabspannungen wurden graphisch ermittelt auf Blatt 1 (Tafel 13) und in der daselbst befindlichen Tabelle übersichtlich zusammengestellt.

Für die Bestimmung der Stabquerschnitte wnrde eine zulässige Beanspruchung des Schmiedeeisens von 900 kg/qcm angenommen.

Die für die gedrückten Stäbe erforderlichen Trägheitsmomente wurden nach der Formel Jmin =2,5 PP

berechnet, also unter Annahme einer fünffachen Sicherheit gegen Knicken.

Was die Vernietung anbetrifft, so wurden die Stäbe mit höheren Spannungen durch Niete von 20 mm Durchmesser angeschlossen und die Stärke des Knotenbleches 15 mm gewählt. Der Anschluss der übrigen Stäbe geschah durch Niete von 16 mm Durchmesser.

Die Tragfähigkeit eines zweischnittigen Nietes von 2,0 cm Durchmesser gegen Abscheren ist:

• 600 = rd 3700 kg,

2* 2,0² • n

wie diese bei der gewählten Knotenblechstärke von 15 mm gegen Loch wand druck ebenfalls Ni - 2,0 • 1,5 ■ 1200 - rd 3700 kg

beträgt.

Die Niete von 16 mm Durchmesser besitzen

eine Tragfähigkeit gegen Ab scheren von;

• 600 - 2400 kg

2.1,6²-TT

und gegen Lochwanddruck eine solche von:

Nx = 1,6 • 1,5 ■ 1200 - rd 2900 kg.

Die zum Anschluss der Stäbe erforderliche Anzahl der Nieten ergibt sich daher durch Division der Stabspannungen durch 3700 bezw. 2400.

Die Resultate der sehr einfachen Rechnungen befinden sich in der Tabelle auf Tafel 13 übersichtlich geordnet.

Bei der Bestimmung der Stabquerschnitte wurden die Nietlöcher in Abzug gebracht.

5. Berechnung¹ der Pfetten.

j» „ VfloKgint,

Die Pfetten gelangen als kontinuierliche Trägerauf vier bezw. fünf Stützen zur Ausführung und werden auf einem der mittleren Binder ge-stossen. Die Feldbelastung ist 3200 kg. Dies ergibt für den laufenden Meter eine Belastung von :

3200

4.6

= rd 700 kg.

2)

Das grösste über einer Mittelstütze (siehe nebenstehende Textzeichnung) auftretende Moment ist:

M max —

iop12

_- ₁₀.700.4,6²

= rd — 1480 kgm = — 1480Q0kgcm.

Das erforderliche Widerstandsmoment wird

daher :

— 164 cm³.

148000 900

L_ N. P. 20.

Dafür genügt der nebenstehende Querschnitt mit W = 191 cm³.

Die Pfetten auf der Laterne erhalten die Hälfte der obigen Belastung, demnach ist auch | nur die Hälfte des berechneten Widerstands-

164

N. P. 14.

6. Die Lager.

momentes für sie erforderlich. Es ist also für diese

g— = 82 cm³,

wofür das nebenstehend angegebene Q-Eisen 14 ausreicht.

Für die Fusspfette und die Pfette am La-ternenfuss wird aus konstruktiven Gründen f- Eisen N. P. 20 gewählt.

Die Lager der Binder erhalten einen Druck von 3 • 3200 = 9600 kg.

Der Auflagerstein unter den Lagern darf mit 20 kg/qcm gedrückt werden. Die Grösse der schmiedeeisernen Lagerplatte ist daher:

,    9600

f =    = 480 qcm.

Sie werden quadratisch angeordnet und erhalten aus Gründen der Konstruktion eine Kantenlänge von 25 cm. Die Stärke von 2,0 cm ist mehr als ausreichend bemessen.

Aufgestellt:

Elberfeld, im Oktober 1907.

Karl Schmahl.

Taf. XIII.

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KRAKÓW

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Anhang.

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1. Tabelle für Bauhölzer.

(Normalprofile.)

Höhe

Breite

Fläche f = b • h

Trägheitsmomente

cm⁴

Widerstandsmomente

■<

cm

cm

qcm

Jx

Jy

Wx

Wy

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341

341

85

85

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133

107

10

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833

833

167

167

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200

12

144

1728

1728

288

288

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2287

1167

327

233

14

12

156

2744

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392

336

14

196

3201

3201

457

457

12

192

4096

2304

512

384

16

14

224

4779

3659

597

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16

256

5461

5461

683

683

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252

6804

4116

756

588

18

16

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18

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8748

8748

972

972

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13333

1333

1333

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352

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18

432

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24

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26

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26

728

28

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24

720

26

780

28

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14198

15972

17746

20736

23040

27648

29293

32223

35152

38081

40246

47562

51222

54000

58000

63000

7509

10692

14667

11664

16000

27648

17333

23071

29952

38081

24845

41011

51222

34560

43940

54880

1291

1452

1613

1728

1920

2304

2253

2479

2704

2929

2875

3397

3659

3600

3900

4200

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1188

1467

1296

1600

2304

1733

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2496

2929

2259

3155

3659

2880

3380

3920

2. Normalprofile für J-Eisen.

X-------i---------X

\b—-

Bis h = 250 mm ist b = 0,4- h -f 10 mm;

d = 0,03 • h -f- 1,5 mm Für h > 250 mm ist b = 0,3 • h -f- 35 mm ; d = 0,036 • h

Neigung der inneren Flanschüächen 14 %. R = d ; r = 0,6 d.

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Abmessungen in mm

Quer

schnitt

in qcm

Gewicht für 1 m in kg

Momente in cm für die x—x Achse

Trägheils- Widerstandsmoment Jx icmt) | Wx (cm*)

moment

Momente m cm für die y—y Achse

Trägheits- Widerstandsmoment J y fern*)

moment W y (cm*)

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46

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3. Normalprofile für [-Eisen.

b = 0,25 h + 25 mm

Neigung der inneren Flanschflächen 8°/o.

X-.......------X

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R = t; r —

~2

Profil-Nr.

Abmessungen in mm

Querschnitt F in qcm

Gewicht für 1 m in kg

Schwerpunktsabstand w ia mm

Momente in cm Momente in cm für die x—x Achse

für die Y-Y Achse

y 2 Eisen. Il X Kleinste

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(in cm) lür die Achse y—y

Trägheitsmoment I J x (cm*)

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Widerstandsmoment VV₂ (emS)

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co"o"

cl

Die Hauptachsen sind : X — X und Y — Y.

dmin ~\~ d

raax

Y Xu,

-Z

Die Momente sind bezogen auf cm.

v-

Profil Nr.

Abmessungen cl, der Profile in mm

Querschnitt in qcm

CT

Gewicht Gl in kg für A. m

Abstand des Schwerpunktes v in cm

Zwei zusammen- V^zusammen

Momente

Momente für die Achse für die Achse

gesetzte

: J;h> Winkel- JL x Winkel-ir eisen.

gesetzte

XX

eisen.

Kleinste Momente für die Momente fürdie Achse XX AchseXXod.YY

Kleinste

Trägh.- Widerst.- Trägh.- Widerst moment moment moment Jx(cml) Wx(cm4) Jy(cm-t) Wy (cm3)

moment

Trägh.- Widerst.- Trägh.- Widerst.-moment moment moment moment Jo (cmł) Wo (cm3) J₄ (cm*) W₄ (cm3)

to

to

Ol

o_ ______p

to

lO

CM

50

50

05

05

O'

4—

43*

iT-

rO

CH

Ch

iO

to

O¹

03

o.

O GO 03 00003    —-ICQQl CQ —3 Qr GC034H 034^- 03 4h 4HQI 4HQC 4hOS

(MO CMO (MO t— l— CO p HTt H^CC O J^ CM

O T-H

r- l— co oo O O co nt O co

cop^ O^pCO^ pp 50 CC^p(M_ po^o CM 50 CM" 50" SO" P iO" Pidt'- P cd CO" *o" cd ö'

h—

pp

oo©

*3 05 H —3 05

0,64

0.82

0,87

1.13

1.11

1.44

tO t—L

OxP

cn —3

2,08

3.02

2.40

3,49

4.52

co c— so

ÎO lO tH

so" P IO SO iO CO Tjt co t- iO C— GO

iO CM 50 CM CM >C 03 ^ SO

*Pr-3P. ppco 50 o co

1.02

0.99

1,40

1.36

1.77

1.74

2.11

2.04

2.50

2.42

2.88

2,80

2,72

3.22

3,14

3.06

3,60

3.51

3.44

3,94

3,86

3.78

4,31

4,23

4.15

nt¹ 03 CM r— c— t—i (M CM CO L— CM CO_

cdcd o"o"

iO i--t CO o

00^03^ COp

cofsd Pcd

4h os to to to >-n

J-Hp*j*3 ppp ppp ppj*3

PPP PPP ppp PcOO

oo co

50 CO CM <M

o" o"

» oo

o o cdc"

pp

P'o

O GO

0.44

0‘55

0.15

0.19

0,72

0.31

0.91

1,35

1.84

1.90

2.63

2,50

3.52

4,38

3.91

5.16

6,24

4,91

6.53

7.94

7,04

8,96

10,64

0.40

0,76

1.06

1.24

1.77

1.86

2,67

3.38

3,25

4,39

5,40

4,59

6,02

7,67

7,24

9,35

11,27

t— -T—I O t— HCO

<M 50 co cor*

o" cd cT cT o cd

0,88

1.15

1,17

1,57

1.81

1.80

2,28

2.65

2,32

2,85

3.47

3,27

4,03

4.64

pp pp

4o PP

03-3    -3 0

03 r* io h

CM 50 lO L—

o" o" o" e"

GO 05 j4H 05

jfH 05

loP

CO 4^*

03 50

peM

O T—I

1,57

2.15

1,58

2.01

3.61

4.96

JO (—r J-i O

PP Pp

CH CO

5,92    2,37

8,26    3.41

OS to to ł—1 pp hj4 pp bot 4o4o PP ______tpp

—3 4h pp

05 P

05 ü¹

Ht¹ T-H Hft QO L— 50__ pp cd 05

03

bä

I 7 8,70 65 9 10,98 |1113,17

ppp

ppp

O 03 CO

4,65

4,57

4,50

1-H t—I rH C03^

co" co" >d' 50 ro" cd 50 tu io lOcor*

8,51

10,9

13,0

11,5

14.2

16.7

9.43

3,95

12.1

4,85

14,6

5.58

13,8

17.2

20,7 I

5.25

6.31

7.30

COOOG3 03 OH 4n O¹ 4n OS 05 tO CO tO tO j*3top pGOp    JCnp JO> ppp¹ OtjsS CO

PPP PPP PtoP PPp ioa *i PPP

4-

p oo Ci po pp* cnpos P OsP io 03 P PpP

co co O O Qr OS —3 OWH

C— lO 05 co' r-T SO"

rH t—I

CCCOp

o" so" co*' P cd tP

t—I ł-H (M

50 t—I rO rO <0^03 5o"r-ToT oT\0r-T PCO CM 50 rO CO iOQOtH CO r—l iO

OS tO 1—*•    tO h-*

PjOsp jł—p OS —JtO CO

PPbs Pco io PPP

T-i t^

50 C— CM

Hl—IM

O O rH r- 50 d r—i (M CM

(M 03 CO iO(MO CM 50 Tft

co^<m_co so^so ^ co iO ecf<yfcT od'od'oo' cd cT <m~

03 50 *^ CM 50 ^    50 lO CO

Profil Nr.

Abmessungen der Profile in mm

Querschnitt F in qcm

Gewicht G in kg für 1 m

Abstand des Schwerpunktes v in cm

Momente Momente für die Achse für die Achse YY

XX

Zweizusammen-r gesetzte Winkel-eisen. Kleinste Momente für die Achse XX

* J'L *

-3

70 9

75 10

H

'bs'cO'if-

CO CD CO CONtH

¹ t-4 oT th'

Trägh.- Widerst.- Trägh.- Widerst.-moment moment moment moment .Tx (cmł) Wx (cmS) Jy(cm⁴) Wy (eiriS)

Trägh.- I Trägh.-moment j moment J₂ (cm⁴) W₂ (cm³)

Vierzusammen-Y gesetzte _I L Winkel-

irX eisen. r Kleinste Momente fürdie AchseXXod.YY

Trägh.- i Trägh.-moment I moment J₄(cm⁴) jw₄(cm3)

12

GO

80; io

112

05

9011

13

10

100 12

14

xQ^rH C— SO rH 05^ lO^C^GC^ 03 I"^03^

h4co"' oT xcTt—" xcTco'r—" 05 <oTco'

j H rH H 03 rH 03 03

8.94

11,00

13.00

9.57

11.78

13,94

45- tO

17,0

O5J05 J05    O3J03J33 J23J03JJ3 j|Hj)HJJ3 !

bs'bs'45- bon 'lo'to'bs 'oo'co O

O GO 05 co 05 4- HCOH —3 03 OS

I—¹ 4-x

05 OS I—x OS H CO CO CO C5 I—x CO 03 O OS OS J-JJOSj-4 'bs 'bs'x—x'x—x

^ CO o CO rH XD i—I 03 03

CD 05 OS "*-3 C0 05

to to 05

0 0 05

05 t— xO 03^x0 CO

crT co

tsC O GO 45- 03 Ji-

05

00^03^^

co' i-4 xcT

H 03 03

10

110 12

21.2

14

25,1

29.0

11

25.4

rH

03

12043

15

29,7

33.9

tNl tS H IO — r— LnO 1— 1—

05 OS CO tO CDJ35 JO —3 4-'05'05'b3    *-'*-3'*CO

03 t\£) GO

CO O 03 SO xO 05 CO 05 h o 05 CO t— COjD^

r— L— tO [0^ t— i— co co co

000(53 CO CM t-03 SO SO

03 45- OS O 4H -3 03 45- CO

i-i xO xO tH03O xCCOt-

414    58,3

470    67,0

xQOCO H 05    050SO SO-^CO

i—l t—I O ^ co C- SO CO 03 CD CO CO SO nf xO 'tfxOCO xO CO CO CO O 03

rH rH

4n h-x CD O GO 05 CO —3 O* -3 0 45 -5 COO* JnSJD'j-3 Orfa-JO JsSGOO⁴

'co 'co'o'bs '05 00Yo 'bs'05'0

GO -3 05    05 03 4-

^03 03 03    45*-J-3JX)

'ks'H'oo 'co'h-x'Hi

aoio so

05 H SO

4-- H-x

CO 05 4-05 to o

SO

12

130 14

30,0

34,7

16

39,3

4x-

13

35;o

140 15

40.0

17

45,0

xO

14

150 16

40,3

45.7

18

51.0

15

46.1

H-x

CO

160

17

51.8

19

57.5

O 0- 05 xO xO xO t- CO 05

O co GO 45-^05^-"

'os'o5

to tO -Ot tO CO H W|4

4^. 4^. os os os to toroto

05 InS j-3 j-3JWJD> JOJOJsC

H]'4-'cc    to'i-xAj

00 o co r— co so ^ xO co

00-30 CD GO CO

h-x -3 O

InSOCO O CC COO ^

03 rf 05^ CO_t-^

co'ol'io thcoth co t- co c~ 05 O OHSO

t-H rH H t-H

1317 132 1593 159 1871 187

1753 159 2118 193 2486 226

2505 209 2979 248

3456

3476

4079

4685

288

267

314

360

ÜO H 1—    - H-x 4^    H-x    H- 4—

4-x CO —3    05 03 0S    iS    HO

Os 4*. 4h    <05045-    -345-4-x

-3 0>03    CJ3-30S    05    GO 4H

102

116

129

03 CO CO 05 (TO 03 03 (70

SO^CO^O^ co iO iO

CO CD O

r—    T-1

03 co

rH rH

t-iON 03 Tjt CD

HHrH

4702

5454

6215

03 4n tO -3 tO -3

03 05 iOl>CO

r— i-i co so co qo

05 SO xO O xO SO SO    iO    iO

SOjT^tH_ SO^TtJCO

co t-T t-T co io co r- c— t— co

1690 157 1898 177 2103 198

6235

7160

8091

OOHlO 05 xO 05

rH CO 03 03 03

H r— 05 rH SO H 03 03

8110

9232

10362

336

390

444

416

477

539

507

577

648

; r = ~rr

5. Normalprofile für ungleichschenkelige Winkeleisen.

p + "<mp

Zwei zusammengesetzte Jl_-Eisen. * H*- Kleinste Momente für die Achse YY

Widerstandsmoment W₂ (cm3)

05 Ci Cl t— GO

t— O Tt* O (MCO c— ^ 'ch'co t- 05 O Co O tH co" cc" io" t- th" lO lO t-T co" r-T O H t-h rH CO CC rf kO 0005

Trägheits-moment J₂ (cm»)

GO 07) lO rH

lOH (MO^    co

" cl t-" oT    ho    CO CO    iOCO    HiO    OCO

COCC    »O L—    CO O    ^ 1—I    o hJH

rH CO CC ^ GO 05

PQ p

Verhältnis der Schenkellängen

; jedoch mit geringfügigen Abweichungen; R

Cl

min

"3

Momente

für die Achse YY

Momente

für die Achse XX

Widerstandsmoment W y (cm3)

Trägtieits-

Jy (cml)

Trâgheits- j Widerstandsmoment Wx (cro3)

moment ( Jx (cm*)

Lage der Hauptachse Y—Y

tg a

Abstand

des Schwerpunkts in cm

Gewicht

in kg für 1 m

cqC5_ cc^»r^ co co ceTtH rt* sq CO 50 iO co CC >0

O O t-

C-^CO —j CO 00pH t-r^H C^co OCT CO CO Hco" O <cT COCO COlO CO CO

hh coco co -C¹ r-co

cc co t—

1,42

1,82

6,63

8,01

19,8

26,3

53,1

65,4

160

189

317

370

i- -H

r^H lO

l— GO

CO r-1    CC 05    CO GO    Ot—    Ol—    1ÛO    CO-rfl

COCO    CC CO    COCO    COCO    rHO    CCCC    cc cc

HtHrtl    r^Htł    H^rfl    H    rt³    Hf*    Hfi

o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"

ii    05 Ht*    Ht* CO    t— O    Ht* Od    05 t—    »o    co    coo

r    |    hTiO^    t-^c-    O5^0    Od^CO^    »OCO    05    0    h)*_iO

J    O O⁵    O³ O³    O³ rH    rH rH    rH rH    rH    CO    CO CO

05 CC    COCO    iO Ht*    t—    CO    rHO    C0O    05 t—

CO    050    Ht* »O    050    Hf    lO    CO Ht*    o5 0    0005

cT rH    HH    H co'    co    co"    cc" ce"    ce" H    H H

tH    ^ lO    rH O¹ O

HH Cl cT cc" lO~ co" GO

CC Tf t— co »o

rH rH rH rH CO CO

Y*

Quer

schnitt

in qcm

1,42

1,85

2,87

3,53

4,79

6,55

8,33

10,5

14,2

I‘LT

19,1

22,7

28,7

33,2

'S,-'

Ó ,Q

Abmessungen der Profile in mm

CC ^ tJH lO Ot- t- 05    05 rH OCO CO 3*

rH

20 : 30

<- i' -r

30 ! 45

40 ! 60

50    75

65    100

80 I 120

loo ; 150

*r

vA

Profil

Nr.

CO CC CC

jo²- ^ leo lO lo²- O

H    t- co ItH

i co ^0 | »o

^ rH rH rH

l£

max

Zwei zusammen-T gesetzteJ^-Eisen.

Kleinste Momente Y für die Achse YY

Widerstandsmoment \V₂ (cm3)

O Ol CO Ol Ci Ci

X H o O    1> Ol H rjl t-

Ot-t coH crTco co i—' co io oi oT H o

r—i rH Ol CO lO CO Ci rH

6. Normalprofile für ungleichschenkelige Winkeleisen.

Ol

Verhältnis der Schenkellänge

dmin d

*JL»

Trägheits

moment

J2 (cm*)

CO GO

coo^-r-^cooo On h ci oT co co~ co~ co c~-

H CN CO CO co

187

229

417

495

947

1097

; jedoch mit geringfügigen Abweichungen; R

b 4- B

min

-a

r---— fT-V_

ki 1

Momente

für die Achse YY

Trägheits- j Widerstandsmoment

Jy (cml) j Wy (cm3)

moment

CO Hfi COH Oco H co CO Ol 50 Ci 50 r—ll> CO O h CO IC-lO CO lO OO Oh Ol OÎ -f H <0 O COCO OH rH rH rH 50 CO

rH O H CO O r—I

CO Hfł tr— Ol O    COCO -^50 HłH o

CO CO hoT rfo” NTjT 1ÛH O CO Ol O ' -H CO Hfl tH CO CO iO

rH Ol

Momente

für die Achse XX

Widerstandsmoment Wx (frai)

Trägheitsmoment Jx (cral)

Lage der H aupt-achse

y-y

tg «

I Abstand

Quer- Grewicht j des Schwerpunkts schnitt G-

in kg für 1 m

in cm

in qcm

Is

fr» Ol O

rrr^ Oq CO TH CO 05 CO Ol Ol Hh CO

~ H O Oł" r-l CO 50 O CO'hH'iOOI rH rH Ol ^ ^ O 00 CO lO

O GO

Ci l- rO^OO co co^

(M~ 50 co'H o' rH 03 Hfi CO

123

150

339

395

762

875

1754

1978

•^OOCOCOCOCDOlCiiOCOt-iOCOCO

^    OO ©_    r- Oq Tr iO; i>    co    —-    O;

CO O¹ O¹ CO    O¹ CO rH rH rH rH    r—i    Ol    Ol

co N- lOhHiO-+ Ci C'- >C iO Ol H Ol o Hfl hJH r-^OI O0_C^ »O^CO_ œ (- 1- co

''ofofoîofcOCOTji'HtiOiOt'^t^

Ol

-ef CO iO co t— co co

50    50 rQ CO^OO^OiO^O^iOCO^hHcO

rH rH CO H lO t— OO H H^tH H tJ< H ifl rH rH rH (T<1 ^3 70 70

»O Ci iCi Ci H

COO^iO^CDH lO CO CO l>^

” oT H icT co oś" h rf co oT ih~ h ö' »o

HH rH Ol Ol CO ^fHfl

Abmessungen der Profile in mm

50 lOtH COCO COO O Ol OlTfi r^CO

H rH rH H rH rH rH

40

09

80

100

130

160

200

20

30

40

50

65

80

100

Profil-

Kr.

o. \th co i co ^ ico io |© co i® ©

01

co

CC

Momente für die Achse YY

Widerstandsmoment Wy (cm³)

1,11

1,83

2,76

3,73

6,44

9.26

12,5

991

21,4

27.0

33,4

Trägheits

moment

Jy (cm*)

1,54

3,05

5.23

7.60

14,7

24,6

37,7

56,4

79,5

110

147

7. Normalprofile für Z-Eisen.

b = 0,25 • h + 30 mm.

d = 0,035-h +3 mm; jedoch auf halbe Millim. abgerundet, t = 0,05 • h + 3 mm.

R = t. r = 4-.

Momente für die AchseXX

Widerstands

moment

Tx

VVx = -

(cm³)

Y.

4,69

6,72

9.76

13,5

24,4

868

60,6

088

121

164

213

Trägheitsmoment Jx (cm¹)

Lage der Hauptachse Y-Y

tg a

Gewicht

Gr

in kg für 1 m

Querschnitt

in qcm

05 N

CCT cd'    (N

H (M    Cû

270

470

768

1184

1759

2509

1,655

1,181

0,939

0,779

0,588

0,492

0,433

0,385

0,367

0,329

0.313

t'- CO GO t— r—

SO    T-^ CD^ CO_    lO^ O^ <3^

CO -tf O CD*' 00 -r t-r CD cT t-H t-H 03    03 CO

>0

^lOiCfcOt^aOCiOT—i 03 CO

Abmessungen der Profile in mm

vO^ iO^

TU t)T Vû O CO œ t- co œ oT O

iC

iQ

38

40

43

45

50

55

09

65

70

75

80

Ua

30

40

50

09

80

100

120

140

160

180

200

•h

rC3

Profil

Nr.

10

12

14

16

18

20

X-----0

----X

Y-Sr

8. Normalproüle für hochstegige T-Eisen.

h = b : d = 0,1 h -j- 1 mm ; R = d ;

R

= (auf halbe Millim. abgerundet).

r 2 ’ p

Neigung im Fuss 2°/o, auf jeder Seite des Steges 2°/o.

Profil Nr.

Abmessungen der Profile in mm

Querschnitt F in qcm

Gewicht G in kg für 1 m

Schwerpunktsabstand w in cm

Momente für die Achse XX

Momente für die Achse YY

Zwei zusammenge-Y setztef-Eisen, v-LyKleinste Mo-T mente für die Achse YY

Widerst.-moment

moment Jx (cm*)

Tx

Ws = — (cm3)

Trägheitsmoment Jy (cm4)

Widerst.-moment

Wy =

(cm3)

Tv

Trägheitsmoment J₂ (cm*)

Widerst.-momeut W₂ (cm3)

,    ,    4X1^,    05 05    tc bö

⁵⁰ c°l co H ^ 051 cs 0*1 OT    4^    ^ os| v> ^ tc| te

20 20 3    1,12

25 25 3,5 1,64

30 30 4    2,26

35 i 35 4,5 2,97

40 40 5    3,77

45

50

60

70

80

90

0,87

1.42

0.38

0.27

0.20

0,20

0,39    0,39

1.28

1.77

0,87

0.49

0.43

0,34

0.85

■>

0,68

1,76

2.32

2.94

2,15

1.72

0.80

0.87

0.58

1.73

1.16

2.51

2.88

3.10

1.23

1.57

0.90

3.14

1.80

5,28

1.84

2.58

1.29

5.16

2,58

45 5,5 4,67

50 6    5,66

60

70

80

90

3.64

3.24

8.13

2.51

4.01

1,78

8.03

3.57

4.42

3,61

12.1

3.36

6,06

2,42

12,1

4,85

7    7.94

8 10,6

9    13.6

10    17.1

6,19

4.34

23.8

5,48

12.2

4.05

24.3

8.11

8,27

10,6

13.3

5,06

5,78

6,52

44,5

8.79

22.1

6,32

44,3

12,6

73,7

119

12,8

37.0

9.25

74.0

18,5

18,2

58,5

13.0

117

26.0

O IO (M|(M Ti* |T*I

t-H ; rH t—< ' rH rH ¹ rH

100

120

140

100

120

140

11    20,9

13    29,6

15    39,9

16,3

7,26

179

24,6

88.3

17,7

177

35.3

23.1

31.1

8.72

366

42,0

178

29,7

356

59.4

10,2

660

64,7

330

47.2

660

94.3

■Y

? , <?

9. Normalprofile für breitfüssige | -Eisen.

m—»j

k-cz ¹

k ; d = 0,15 h + 1mm; R =

u

(auf halbe Millim. abgerundet).

toi ’-s

4- -s

b.

Neigung im Fuss 2 °/₀, an jeder Seite des Steges 4°/₀.

Profil Nr.

Abmessungen der Profile in mm

ïr

a.

Querschnitt F in cm

Gewicht G in kg für 1 m

os Oï

60

OS

O’

"en

4-

os

fc®

Schwerpunkts-Os abstand w in cm

(N

Momente für die Achse XX

Momente für die Achse

YY

Zwei zusammengesetzte T-Eisen

X _p X Kleinste Mo-} - mente für die Achse YY

moment J x (cm*) j

| Widerst.-moment

Tx

Wx =— (cm³)

2.58; 1.11

Trägheit*- Widerst.-moment ! moment J y (cmi) j Wy (cm³)

Trägheitsmoment J₂ (cm*)

Widerst.-

moment

W, (cm³)

8.62

2.87

9,39

3.13

os

70

35 6    5.94 4.63 2.73

■>

4,49    1,65

15,1

4.32

16.0

4,57

80

40 7    7,91 6,17 3,12

7,81    2,50

28,5

7.13

27.9

6.99

r te

901 45 8

10.2    7,93 3,50

12.7

3,64

46.1

10,2

45,9

10,2

100 ; 50] 8,5

12,0    9,38 3,91

18,7 . 4,78

67.7

13,5

66.1

13.2

120 60|10

17,0 13,2 4,70

38,0    8,09

137

22.8

133

22.2

140 70 11,5

22,8 17,8 5,49

68.9

12,6

258

36,9

242

34,6

CCI O

160 80 13

29,5 23,0 6,28

117

18,6

422

52,8

408

51.0

i-M t® jol

o; o 00

180 90 14,

200 100,16

,0 28,8 7,07

45,4 35,4 7,86

185

277

26,1

670

74,4

646

71.8

35,3

1000

100

972

97.2

10. Normalprolile für Quadrant-Eisen.

b = 0,2R -f 25 mm; r = 0,12 R; q = 0,06 R;

So der Schwerpunkt der vollen Röhre.

Profil Nr.

Abmessungen der Profile in mm

S5

TS

UiOuiNStoOO-o-ri Cu CU

|_l 1—1 )_L |_Ł I—l I—>■

mcutsstNSOO-u-ocucu

OOCUCUOOCUCUOO

CU_0 <È> £u CU

I—¹‘

(X) CS 4i-O C5 CC O O GO »t-

■ >—*■ h—⁴ H—¹ ►— h—¹ H—*

-1 o- CO CsS c O CO X c~-

OS

CU Cu OU CU rf*. CU CU O O CU

4^-jc^tsSCsSCOcocuH|i-tO j Querschnitt F der

o CO CO CO O GO o ^ CO CO .    ;

HMOO co vollen Rohre in qcm

Gewicht G der vollen Röhre in kg für 1 m

23,3

37.4

42,8

62,5

68,7

94,0

101

132

140

194

Volle Röhre. Träg-

heitsmoment für

jede Achse J (cm⁴)

576

906

2068

2982

5511

7478

12161

15788

23637

32738

'S¹

Grösstes Widerstandsmoment für die ZZ-Achse

>

■<i>

x

Kleinstes Widerstands-X moment für die XX- oder YY-Achse

W iderstandsmoment Wz (cm³)

W iderstandsmoment Wx = Wy (cm³)

89,3

66,2

135

102

tsD i—¹ >—L

KOłOW W

175

248

370

495

676

lOtOH CD r—I lO

867

1120

1530

11. Wellblech- und Trägerwellblech-Profile.

Trägheitsmomente J für die wagerechte Schwerachse für 1 m Breite. Flaches Wellblech: J = (0,105 -f 0,180 n)h²ci.

S Trägerwellblech : J = (0,100 -f 0,193n) h² 5.

Die Dicke 5 ist in Millim. zu nehmen.

Breite der Welle: b.

Höhe der Welle: h.

fS— $ -~ij

n = -7-

h⁻

Gattung

l/n = b/h

er

Widerstandsmoment W für 1 m Breite und für d =

1,5    2 I 2,5

50

20

Flaches Wellblech

100

150

2,5 200

250

300

80

2,0

120

160

200

300

40

60

80

100

120

40

60

80

100

120

6,6

13,8

20,6

27.5

34.4

46,3

15.3

22,9

30,5

38.2

45.8

CO CO

CO QO

C— C-OT t-T O CM CO

CM^CO^CM^O^ co" ctT' t-T in t—i oa —ti io

CU 05 .

l⁻¹ I

b -l b' CU

00 CO CO GO

i—I CM

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i (N r(i iC I I

CM CO

I CO O» | i i

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I T—I T—I

I TjH CO

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T—I T—I r-^.

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289,1

O 00^5^ I <m'<mco~ ¹ (Moce

T—I 1—I

L—^iCCO

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l\S

tNS CO

co >—¹

O O

274.8

Gattung

l/n=b/h

er

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CD

tH

Trägerwellblech

Oi

OOOOOOOOOO

CD05 03iOCOCDC00030

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05

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CO <M

P so

t'- T—I

i—I CM

03_p

SO O c— 1—1 CM CO

266,6

Millim.

Gewichte: g — (55 + 134n) b f. 1 qra flaches gi = (44 + 150n) b f. 1 qm Träger-b in cm genommen.

cm

Zentimeter

Wellblech.

— .'r__

12. Hohle runde Säulen.

P} F = Flächeninhalt. J = Trägheitsmoment. Dimensionen in Zentimetern.

«H

<=b

«-I

I—J. |—⁴ I—⁴ I—⁴ 1—⁴    t—⁴    (—1⁴    I—⁴    I—⁴    I—>-    I—LI—LI—⁴    I—l•    H-⁴    I—¹-I—l-I—l⁴    !—⁴l—⁴j—⁴l—⁴l—⁴

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oo'bi'oi oo oGoito

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CD CD 4- Oi CO    InS CD O* CD 05    CO 45- 05 4- GO    CO    h-    -3 InS Oi    qi O 05 O 05

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COCOTflTtlTtl    lO lO CD CD CD    O-    r- CO    05    05    00r-l-r-!03

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i—I lO t— tJH i—I H 05 CD CD Tf+ CO CO TT¹

i—I rH i—l

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rH H

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I—'• i—⁴ h-⁴

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to t\S «NS to INS 05 «NS 4- ł—⁴ O Ins i—1L CD O O* GO 4^. CD «NS 05

InS InS InS InS InS 05 05 05 Ol 45-CD 05 4- I—*• CD GO CC 05 -3 GO

i—⁴ p os to to i-⁴ ins ^ p 05 GoTnS 00 'biOi'GOtO

h-⁴ h-⁴

GO I-⁴ CD O «NS Ins 45- INS Ins 05

4-L 4-L I—⁴ I—⁴

CD O 05 to O —3 CD ins cp h-⁴

CD CO CM CM O CM CD "Ch CO CO

r- co O O ï—t

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L— i—I i—I tJH CD cd r- co o- CO

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tH

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03 00 O CO hP

TH T—I T—1

19

20

2,2

18

1,8

19

3,5

20

2,5

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rH G''! tH G'd H

00 CM lO lO cm oT CO oîco'

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195

207

175

236

196

217

231

264

239

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CO 03 CD O lO CDO^OIM CM CO CO CO CO

11321

12222

12778

14098

14022

15493

16782

17585

19405

22362

iC hp hp c— O c*jqeiOH

o hp o o

CO CD GO O hP CM CM CM CO CO

QO 05 Oî CD 05 —3 te rfn CD *CD 4H rfn O rfn OO te O C OS GO

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374

327

349

401

54593

56925

60066

67450

-, ô

13. Hohle quadratische Säulen.

F = Flächeninhalt.

J — Trägheitsmoment. Dimensionen in Zentimetern.

o O O    O    T-H    Ht-I    tH    <M    T—I    03 HP CO CO CO

rH t-H t-H    r—I    t-H    t-H rH    t-H    t—I    t-H    t-H tH t-H rH t-H

CMiO^GO CM îOCO O^iO

t-H tH -rH 03 ■rH t-H CM t-H 03 CO t-H tH CM 03

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rH

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rH rH rH rH rH

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rH H rH rH rH

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rH rH rH i-H t—H

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t—I t—I    rH t—(    -rH    H    CM    CM SO 50

14. Tabelle für Rundeisen.

Durch

messer

Gewicht für 1 m in

mm

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

CO iO CO SO OONCOIN OH^OU- GO CO SO 05 <X)

s 8S8SS i3sąąs.sąs,25 ^sąąsą.

ö'cT o~ cT cT cf o o o o donn-i r-i^rn^iM

Fläche in qcm von

1 Stück , 2 Stück j 3 Stück ; 4 Stück j 5 Stück | B Stück | 8 Stück

10 Stück

OS tu tu tu IU ►— r— i—¹- »» o O OjCb’J-"’ JCJC OjCJC 4—‘'co'bftu'O l O' bi i—- io '’-bblb' Oslo tu )— o c o 4^ 4n 4n ~j h» -5^î»wtn cc^ococc OW-J WO

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15. Breitflanschige Differdinger Spezial-Tragerprolile.

(System Grey).

Deutsch-Luxemburgische Bergwerks- und Hütten-Aktien-Gesellschaft. Abteilung: Differdingen (Luxemburg).

Profil Nr.

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Quer

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Gewicht für 1 m in kg

Momente in cm für die x—x Achse

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Verlag von Bernh. Friedr. Voigt in Leipzig

R. S c h ö 1 e r

Die Eisenkonstruktionen des Hochbaues umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen, der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen, Dächer und Oberlichter. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verbesserte Auflage. Mit 833 Textabbildungen, darunter 9 Tafeln und 18 Tabellen. Lex.-8.

Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

H. Hab erstroh

Der Eisenbeton im Hochbau

umfassend: Die für den Eisenbeton verwendeten Baustoffe, die Eiseneinlagen im Eisenbeton, die Zurichtung der Eiseneinlagen, die Grundformen für die Anordnung der Eiseneinlagen und die Schalungen, Steinkonstruktionen mit Eiseneinlage und Ummantelungen von Eisenkonstruktionen, ferner Leitsätze für die statische Berechnung, Rechnungsverfahren mit Beispielen, Formeln für das Entwerfen und einen Anhang von Tabellen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 400 Textabbildungen und 12 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

L. H i n t z

Die Baustatik

Ein elementarer Leitfaden zum Selbstunterricht und praktischen Gebrauch für Architekten, Baugewerksmeister und Schüler bautechnischer Lehranstalten. Vierte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 354 Textabbildungen und einer Tafel. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 9 Mark.

C. F r o h n

Die graphische Statik

Zum Gebrauche an technischen Unterriehtsanstalten, zum Selbststudium und für die Bureaupraxis. Mit 115 Textabbildungen und 3 Tafeln. Lex.-8. Geh. 3 Mark

50 Pfg. Geb. 4 Mark 50 Pfg.

Dr. P. J. Johnen

Elemente der Festigkeitslehre

in elementarer Darstellung mit zahlreichen, teilweise vollständig gelösten Uebungs-beispielen, sowie vielen praktisch bewährten Konstruktionsregeln. Für Maschinenutul Bautechniker, sowie zum Gebrauche an technischen Lehranstalten. Mit 176 in den Text gedruckten Abbildungen und mehreren Profiltabellen, gr. 8.

Geh. 6 Mark 75 Pfg.

W. Jeep

Das graphische Rechnen und die Graphostatik

in ihrer Anwendung auf Baukonstruktionen. Zum Gebrauche für Baugewerksmeister, Baugewerkschulen usw. Zweite Auflage. Mit einem Atlas von 35 Foliotafeln. gr. 8. Geh. 5 Mark.

Ankündigung

DAS HANDBUCH

DES

BAUTECHNIKERS

EINE ÜBERSICHTLICHE ZUSAMMENFASSUNG DER AN BAUGEWERKSCHULEN GEPFLEGTEN TECHNISCHEN LEHRFÄCHER

UNTER MITWIRKUNG

VON

ERFAHRENEN BAUGEWERKSCHULLEHRERN

HERAUSGEGEBEN

VON

HANS ISSEL

ARCHITEKT UND KGL. BAUGEWERKSCHULLEHRER

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NEUNZEHN BÄNDE, LEX.-8⁰, MIT ÜBER 10000 TEXTABBILDUNGEN UND 300 TAFELN

PREIS EINES JEDEN BANDES 5 Mk. GEH.; 6 MK. GEB.

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LEIPZIG 1908

VERLAG VON BERNH. FRIEDR. VOIGT

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Aus Band III: Die Bauformenlehre zweite Auflage

Einführung

In unserer reichhaltigen technischen Literatur vermissten wir noch immer ein umfassendes und dabei brauchbares und billiges Handbuch, das dem Bautechniker bei seinen Studien auf der Schule und zugleich bei seinem Wirken in der Praxis förderlich zur Seite stehen konnte. Ein solches Handbuch muss drei Haupt-Anforderungen erfüllen: Es muss kurz, klar und sachlich geschrieben sein; es muss durch eine möglichst grosse Zahl guterlllustrationen erläutert werden und endlich, es muss handlich im Gebrauche sein.

Diesen Bedingungen suchte die Unterzeichnete Verlagshandlung bei der Herausgabe des vorliegenden „Handbuches des Bautechnikers“ in erster Linie gerecht zu werden, indem sie mit einer Anzahl von bewährten Baugewerkschulmännern in Verbindung trat, die für die Bearbeitung der einzelnen technischen Lehrfächer gewonnen wurden. Die ungemeine Billigkeit und grosse Reichhaltigkeit der Einzelbände konnte aber nur dadurch erreicht werden, dass sich die Autoren sowohl als der Verleger in opferwilliger Weise dem Gesamtinteresse unterordneten. Nur so war es möglich, ein Handbuch zu schaffen, das der gestellten Grundbedingung „billig und gut“ zu entsprechen vermochte.

Die einzelnen Bände lehnen sich in der Vorführung des Lehrstoffes zunächst an die Anforderungen der Baugewerkschule an; sie sind aber zugleich derart erweitert worden, dass sie auch dem aus der Schule in die Praxis hinaustretenden Bautechniker von wirklichem Nutzen sein können. Die einzelnen Titel derselben sind auf der folgenden Seite in eingehender Weise wiedergegeben.

Schon jetzt beweist die günstige Aufnahme, die unser Unternehmen in den betreffenden Kreisen gefunden hat, dass wir hier ein Lehr- und Hilfsbuch bieten, das seinen Namen mit Recht verdient. Nicht minder ist aus den zahlreichen anerkennenden Aeusserungen der Fachpresse über die bisher erschienenen Bände zu ersehen, dass wir im „Handbuch des Bautechnikers“ tatsächlich ein Werk veröffentlichen, das den Bedürfnissen der Schule und den Anforderungen der Praxis in gleicher Weise entspricht.

Leipzig, 1908

Die Verlagsbuchhandlung'

Benüi. Friedr. Voigt

Das Handbuch des Bautechnikers

Seite

Band I. Der Zimmermann, umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die Fach werk wände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen und die Baugerüste, von Direktor Prof. A. Opderbecke. Vierte verm. Aufl. Mit 912Textabbldgn. und 27Taf. 4—5 Band II. Der Maurer, umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- und Fugearbeiten, bearbeitet von Direktor Prof.

A. Opderbecke. Dritte vermehrte Auflage. Mit 743 Textabbildungen und 23 Tafeln    6—7

8—9

Band III. Die Bauformenlehre, umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke.

Zweite vervollständigte und berichtigte Auflage. Mit 537 Textabbildungen und 18 Tafeln Band IV. Der innere Ausbau, umfassend Türen und Tore, Fenster und Fensterverschlüsse,

. 14—15

. 18—19

Wand- und Deckenvertäfelungen, Treppen in Holz, Stein und Eisen, bearbeitet von Prof. A. Opderbecke. Zweite verm. Auflage. Mit 600 Textabbildungen und 7 Tafeln 10—11 Band V. Die Wohnungsbaukunde (Bürgerliche Baukunde), umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung, bearbeitet von Architekt Hans Issel. Zweite verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln . 12—13 Band VI. Die allgemeine Baukunde, umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen, bearbeitet von Professor A. Opderbecke. Zweite verbesserte und erweiterte Auflage. Mit 694 Textabbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln Band VII. Die landwirtschaftliche Bauknnde, umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld- und Hofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe, bearbeitet von Hans Issel. Zweite Auflage. Mit 684 Textabbildgn. u. 24 Taf. 16—17 Band VIII. Der Holzhau, umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständer- und Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung, bearbeitet von Architekt Hans Issel. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln ...

Band IX. Die Eisenkonstruktionen des Hochbaues, umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen, der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen,

20—21

. 22—23

24—25

Dächer und Oberlichter, bearbeitet von Oberlehrer Ingenieur R. Schöler in Barmen-Elberfeld. Zweite verbesserte Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen Band X. Der Dachdecker und Banklempner, umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen und die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 745 Textabbildungen und 17 Tafeln Band XI. Die angewandte darstellende Geometrie, umfassend die Grundbegriffeder Geometrie, das geometrische Zeichnen, die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen, die Dachausmittelungen, Schraubenlinien, Schraubenflächen und Krümmlinge sowie die Schiftungen, bearbeitet von E rieh Geyger. Z weite Auflage. Mit 570 Textabbildungen. .

Band XII. Die Baustillehre, umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monu-mental-Baukunst in den verschiedenen Stilarten, mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen, bearb. von Hans Issel. Mit 454 Textabbldgn. u. 17 Taf. 26—27 Band XIII. Die Baustofflehre, umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Mörtelarten, sowie die Verbindungs-, Neben- und Hilfsbaustoffe, bearbeitet von Prof. Ernst Nöthling in Hildesheim. Mit 30 Doppeltafeln .    *    .    .    .28

. 32—33

Band XIV. Das Veranschlagen im Hochhau, umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag, bearbeitet von Prof. A. Opderbecke. Mit 20 Textabbildgn. u.22Doppeltaf. 29 Band XV. Der Steinmetz, umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen, bearbeitet von Direktor Prof. A. Opderbecke und Architekt H. Wittenbecher in Zerbst. Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln 30—31 Band XVI. Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen, bearbeitet von Ingenieur R. Schöler. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen Tafeln und 15 Querschnittstabellen Band XVII. Das Entwerfen der Fassaden, entwickelt aus der zweckmässigen Gestaltung der Einzelformen und deren Anwendung auf neuzeitliche bürgerliche Bauten in Bruchstein-, Werkstein-, Putz- und Holzarchitektur, bearbeitet von Hans Issel, Architekt

in Hildesheim. Mit 350 Textabbildungen und 24 Tafeln...... .34

Band XVIII. Die Schattenkonstruktionen, die axonometrische Projektion und die Perspektive, bearbeitet von L. Haass, Architekt. Mit 255 Textabbildungen und 16 Tafeln 34 Band XIX. Der Eisenbeton im Hochbau, umfassend die für den Eisenbeton verwendeten Baustoffe, die Eiseneinlagen im Eisenbeton, die Zurichtung der Eiseneinlagen, die Grundformen für die Anordnung der Eiseneinlagen und die Schalungen, Steinkonstruktionen mit Eiseneinlage und Ummantelungen von Eisenkonstruktionen, ferner: Leitsätze für die statische Berechnung, Rechnungsverfahren mit Beispielen, Formeln für das Entwerfen und einen Anhang von Tabellen, bearbeitet von H. Hab erstroh in Holzminden.

Mit 400 Textabbildungen und 12 Tafeln..........34

Jeder Band ist einzeln käuflich. Preis eines jeden Bandes 5 Mk. geheftet, 6 Mk. gebunden.

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Direktor A. Opderfoecke, Der Zimmermann,

umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die Fachwerkwände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen und die Baugerüste.

Vierte vermehrte Auflage. Hit 912 Textabbildungen und 27 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort............... .

A.    Allgemeines.................

Zimmerplatz, Werkstätte. — Schnürboden, Werkzeuge, Maschinen, Rüstzeug. — Die vom Zimmermann benutzten Hölzer. — Schwere, Schwinden, Festigkeit, Tragfähigkeit des Holzes. — Härte, Fällen, Fehler und Krankheiten des Holzes. — Vorsichtsmass-regeln gegen die Entstehung des Hausschwammes. — Vertilgung des Hausschwammes. — Vorbeugungsmittel gegen das Faulen des Holzes. — Zurichtung des Bauholzes.

B.    Die Verbindung der Hölzer untereinander..........

Die Verlängerung der Hölzer. — Die Verknüpfungen der Hölzer. — Die Verstärkung der Hölzer.

C.    Fachwerkwände................

Die Hölzer des Wandgerüstes. — Vortretende Balkenköpfe. — Ausmauerung der Wandfache.

düngen der Hängewerkshölzer. — Sprengwerke.

D.    Balkenlagen.................

Benennung der Gebälke. — Benennung der Hölzer einer Balkenlage. — Mauerlatten. — Schutz der Balkenköpfe gegen Faulen. — Das Zeichnen der Balkenlagen. — Befestigung der Holzbalken zwischen Eisenträgern. — Balkenlagen in Speichern. — Verankerungen. — Zwischendecken. — Verkleidung der Deckenunterfläche. — Holzfussböden.

E.    Dächer einschliesslich Schiften.............

v—VI

1—9

10-24

24-40

Fachwände für stark belastete Gebäude. — Hängewände. — Die Verbin-

46-81

81—279

Dächer ohne Stützen zwischen den Aussen

Allgemeines, Dachformen. — Satteldäche ohne Kniestock. — Dächer ohne Dachstuhl. — Dächer mit Dachstuhl. — Dächer mit Kehlbalkenlage. — Dächer ohne Kehlbalkenlage. — Satteldächer mit Kniestock. — Satteldächer ohne Balkenlage. — Dächer mit Stützen zwischen den Aussenwänden.

hause.

Zeltdach über halbem Achteck. — Mollersche Regeln für Turmkonstruktionen. — Mollerscher Turmhelm. — Rhombenhaubendach. — Turm der Kirche zu Geithe. — Achtseitiger Turmhelm über einem Treppenhause. — Kuppeldächer. — Geschweifte Dächer. — Dachgauben.

wänden. — Bohlendächer. — Parallel-, Säge- oder Sheddächer. — Mansardendächer. — Pultdächer. — Walmdächer. — Schiften. — Das Schiften auf dem Lehrgespärre. — Wahre Länge der Gratsparren. — Abgratung der Gratsparren. — Einzapfen der Gratsparren in die Gratstichbalken. — Wahre Länge der Schiftsparren. — Lot- und Backenschmiegen. — Wahre Länge der Kehlsparren. — Aufklauung der Gratsparren. — Austragung der Reitersparren. — Bohlenschiftung. — Das Schiften auf dem Werksatze.— Das Schiften auf dem Gratsparren. — Das Schiften bei Walmdächern mit ungleicher Steigung. — Regeln für das Zeichnen der Walmdächer. — Binderstellung bei Walmdächern mit Kniestock. — Zelt- und Turmdächer. — Zeltdach über einem Treppen-Zeltdach über einem Zirkus. — Zeltdach über regelmässigem Achteck. —

280-300

F. Baugerüste .................

Stangengerüste. — Rüst- oder Spiessbäume. — Streichstangen. — Gerüstbinder. Netzriegel. — Rüstbretter. — Bauzäune. — Abgebundene Gerüste. — Schiebebühnen. Leitergerüste. Bau von Pfeilern fflr Wege- und Eisenbahnbrücken.

Ans „Direktor A. Opderbecke, Der Maurer“. Dritte Auflage

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Direktor A. Opderbecke, Der Maurer,

umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- und

Fugearbeiten.

Dritte vermehrte Auflage. Mit 743 Textabbildungen und 23 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort Allgemeines A. Gebäudemauern

v—VI

1-4

4—131

Bezeichnung der Mauern nach ihrer Lage . Unterscheidung der Mauern nach Baustoffen

1. Mauern aus Ziegelsteinen.....

Läuferverband......

Binderverband, Blockverband, Endverband .

Kreuzverband.......

Holländischer, polnischer, Stromverband

Verblendmauerwerk......

Eckverbände.......

5-71

11

12

13

16

Einbindende Mauern.

Sich kreuzende Mauern. — Pfeilervorlagen. — Freistehende Pfeiler. — Schornsteinverbände. — Luft- oder Isolierschichten. — Maueröffnungen. — Mauerbögen. — Bogen- und Widerlagerstärke. — Ueberdeckung der Oeffnungen mit Eisenbalken. — Untere Begrenzung der Maueröffnungen

2.    Mauern aus natürlichen Steinen...........

Mauern aus unbearbeiteten Bruchsteinen. — Mauern aus bearbeiteten Steinen. — Ueberdeckung der Oeffnungen. — Fenstersohlbänke.

3.    Mauern aus Stampf- oder Gussmassen..........

Erdstampfbau. — Kalksand-Stampfbau. — Betonbau.

4.    Leichte Mauern aus verschiedenen Baustoffen

Rabitzwände. — Brucknersche Gipsplatteuwände. — Stoltes Stegzementdielenwände. — Monierwände. — Magnesitwände.

B.    Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit.....

a)    Der Grundwasserspiegel bleibt dauernd unter der Sohle der Fundamentmauern

b)    Der Grundwasserspiegel befindet sich über der Kellersohle ....

c)    Schutz der Holzfussböden in Kellerräumen gegen Bodenfeuchtigkeit .

C.    Decken .................

1.    Eiserne Balkendecken mit Ausfüllung der Deckenfelder durch Steine oder Mörtel

körper ................

Kleinesche Decke. — Schürmannsche Decke. — Förstersche Decke. — Horizontaldecke.

Decken.

2.    Gewölbte Decken oder Gewölbe...........

Tonnengewölbe. — Preussische Kappengewölbe. — Klostergewölbe. — Muldengewölbe. — Spiegelgewölbe. — Kuppelgewölbe. — Hänge- oder Stutzkuppeln. — Elliptische Gewölbe. — Böhmische Kappengewölbe. — Kreuzgewölbe. — Sternoder Netzgewölbe. — Fächer- oder Trichtergewölbe.

D.    Die Konstruktion und das Verankern weit ausladender Gesimse ....

E.    Fussböden ....    ..........

1.    Fussböden aus natürlichen Steinen........

Pflasterungen. — Plattenbeläge. — Mosaik- und Terrazzo-Fussböden.

2.    Fussböden aus künstlichen Steinen........

Ziegelsteinpflaster. — Thonplatten. — Zementfliesen. — Kunststein- und Terrazzo-Fliesen.

3.    Estrich-Fussböden.............

Lehmestrich. — Gipsestrich. — Kalkestrich — Zementestrich. — Asphaltestrich.

F.    Putz- und Fugearbeiten..............

Vorbereitung des Holzwerkes zur Aufnahme von Putz. — Rappputz, Gestippter Putz, Rieselputz, Ordinärer Putz, Spritzputz, feiner oder glatter Putz, Stuckputz. — Ausbesserungen am Putz. — Das Fugen.

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Betondecken. — Koenensche Voutendecke.

Terrast. — Stoltesche

165-264

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278—280

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284—296

Aus „Direktor A. Opderbecke, Die Bauformenlehre“. Zweite Auflage

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Direktor A. Opderfoeeke, Die Bauformenlehre,

umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen. Zweite vervollständigte und berichtigte Auflage. Mit 537 Abbildungen und 18 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

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Vorwort.................

I. Abschnitt. Der Backsteinbau............

Entwickelung des Backsteinbaues..........

1.    Normale Formsteine.............

2.    Aussernormale Formsteine............

Sockelgesimse..............

Fenstersohlbänke.............

Gurtgesimse..............

Haupt- oder Traufgesimse...........

Fenster, Hauseingänge und Giebelbildungen.......

H. Abschnitt. Der Werksteinbau für mittelalterliche Formen.......

Entwickelung des mittelalterlichen Werksteinbaues......

Die Gesimse..............

Die Sockelgesimse. — Die Gurtgesimse. — Die Hauptgesimse. — Die Fenster. —

Die Hauseingänge (Portale). — Giebelbildungen.......

III. Abschnitt. Der Werksteinbau in Renaissanceformen........

1.    Allgemeines..............

a)    Das Werksteinmaterial...........

b)    Die Bearbeitung der Werksteine.........

c)    Die Fehler der Werksteine..........

d)    Die Stärken der Werksteine..........

e)    Das Versetzen der Werksteine.........

2.    Die Kunstform des Werksteines.........

3.    Das profilierte Quadermauerwerk (Rustica)......

a)    Geschichtliches.............

b)    Die Sichtflächen der Quader..........

c)    Die Sicherung des Quaderverbandes .......

d)    Die Formenbehandlung der Quader    .    .....

e)    Der Quader in der Fassade..........

4.    Die Gesimse..............

a)    Die Profilierung der Gesimse (Gesimselemente)......

b)    Fussgesimse und Gebäudesockel.........

c)    Gurtgesimse und Zwischengebälke.........

d)    Hauptgesimse.............

5.    Fenstergestaltung.............

a)    Die Form der Fensteröffnung..........

b)    Das Fenster im Quadermauerwerk.........

c)    Das Fenstergestell aus Werksteinen........

d)    Zusammengezogene Fenster..........

e)    Untergeordnete Zimmerfenster..........

f)    Verhältnisregeln.............

6.    Die Loggia (Hauslaube)...........

7.    Die Haustür- und Haustor-Umrahmung......,

a)    Türen ohne besonderen Rahmen.........

b)    Türen mit architektonischer Umrahmung.......

8.    Giebel und architektonische Aufbauten.......

9.    Vorbauten........ .    .    . '    •

Die Erker. — Die Baikone.

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Aus „Direktor A. 0pd erbecke, Der innere Ausbau“. Zweite Auflage

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Innere Ansicht.

Direktor A. Opderbecke, Der innere Ausban,

umfassend Türeu und Tore, Fenster und Fensterverschlüsse, Wandvertäfelungen, Deckenvertäfelungen,

Treppen in Holz, Stein und Eisen.

Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 600 Textabbildungen und 7 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort

I. Die Türen und Tore..............

1.    Zimmertüren ......... ...    .

a) Das Material und die Konstruktion des Türgestelles. — b) Die Verkleidung des Türgestelles. — c) Die Türflügel. — d) Einflügelige und zweiflügelige Türen. — e) Schiebetüren..........

2.    Vorplatz- und Aussentüren und Tore......

Glastüren, Glasabschlüsse und Windfänge.

3.    Türen zu inneren Wirtschaftsräumen a) Einfache Brett- und Lattentüren. — b) Verdoppelte Türen .

4.    Türen und Tore zu äusseren Wirtschaftsräumen

a) Schlichte Brettertüren. — b) Verdoppelte Türen. — c) Jalousiettiren. — d) Flügeltore. — e) Schiebetore.........

5.    Eiserne Türen............

6.    Die Türbeschläge...........

a) Die Bänder. — b) Die Türverschlüsse.......

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— b) Haustüren. — c) Haustore 24—41

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II.    Die Fenster...............

1.    Gewöhnliche Zimmerfenster.........

a) Baustoff und Herstellung des Gestelles. — b) Die Fensterflügel. — c) Di Fensterbrüstung............

2.    Drei- und mehrteilige Fenster........

3.    Doppelfenster............

a) Bewegliche Winterfenster. — b) Feststehende Doppelfenster (Kastenfenster), c) Siering’sche Fenster. — d) Spengler’sche Patent-Spangenfenster. — e) Spengler sehe Panzerfenster. — f) Doppelfenster von Prof. Rinklake •    4. Kippfenster.............

5.    Schiebefenster............

Das englische Schiebefenster ...    ..,•••

6.    Schaufenster..... .......

7.    Eiserne Fenster............

Eiserne Schaufenster...........

8.    Oberlichtfenster............

Deckung mit Glas............

Holzsprossen. — Eisensprossen........

9.    Fensterbeschlag und Fensterverschlüsse .    .    .    •

a) Beschläge zum Festhalten der Fenster. — b) Fensterverschlüsse für ein flügelige Fenster. — c) Fensterverschlüsse für zweiflügelige Fenster

10. Die Laden Verschlüsse..........

a) Fensterläden, sogen. Klappläden.—b) Roll-Läden. — c) Roll-oder Zug-Jalousien 105—112

III.    Wandvertäfelungen..............

1.    Geschichtliche Entwickelung........

2.    Einfache Täfelungen...........

3.    Gestemmte Täfelungen ...........

4.    Die Holz-Intarsia...........

IV.    Deckenvertäfelungen.............

1.    Die geschichtliche Entwickelung.......

2.    Moderne Holzdecken..........

a) Das Material und die Konstruktion. — b) Die Füllungen. — c) Kassette decken. — d) Felderdecken..........

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V.    Die Treppen

1.    Allgemeines............

a) Das Steigungsverhältnis. — b) Die Grundrissform. — c) as erzieh (Wendeln) der Treppenstufen.......

2.    Die hölzernen Treppen.......•    •    •

a) Die eingeschobenen Treppen. — b) Die eingestemmten Treppen. c) D aufgesattelten Treppen. — d) Gewendelte Treppen.....

3.    Die Treppen aus Werkstein.....•

a) Der Baustoff. — b) Das Steigungsverhältnis. — c) Die Grundrissform, d) Das Versetzen der Stufen. — e) Freitreppen. — f) Innere Wangentreppen, g) Freitragende Treppen. — h) Spindeltreppen. — i) Werkstein-Treppen zw sehen T-Trägern. — k) ünterwölbte Werkstein-Treppen. — 1) Treppen a Backstein. — m) Treppen aus Kunststeinen. — n) Das Geländer

4.    Eiserne Treppen............

VI.    Preisangaben für Bautischler-Arbeiten des inneren Ausbaues

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Hans Issel, Die Wohnungsbau künde,

umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung.

Zweite bedeutend erweiterte uud verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage

Seite

I. Das Einfamilienhaus...............

1.    Allgemeines............

Der Lageplan des Hauses. Die Billigkeit des Hauses. Der Grundriss. Die Ausbildung der Fassade .    ...........

2.    Freistehende kleinste Einfamilienhäuser (Arbeiterhäuser)

a) Einzelhäuser, b) Doppelhäuser, c) Arbeiterhäuser für 4 Familien .

3.    Freistehende bürgerliche Einfamilienhäuser (Einzel- und Doppelhäuser)

a) Allgemeine Grundregeln für den Entwurf. — b) Bürgerliche Einfamilienhäuser (ohne besonderes Treppenhaus). — c) Bürgerliche Einfamilienhäuser (mit besonderem Treppenhause). — d) Einfamilienhäuser mit turmartigem Treppen« hause. — e) Herrschaftliche Einfamilienhäuser mit Diele und grösseren Treppeuanlagen .............

4.    Herrschaftliche Landhäuser .......    .

a) Häuser zum ständigen Wohnsitz. — b) Kleinere Landhäuser, Sommerhäuser .

5.    Eingebaute Einfamilienhäuser..........

a) Allgemeines. — b) Einfamilien-Reihenhäuser für kleinste Wohnungen (Arbeiterhäuser) — c) Vorstadt-Reihenhäuser für je eine Familie. — d) Eingebaute städtische Einzelhäuser. — e) Eingebaute herrschaftliche Etagenhäuser

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II.    Miethäuser

1.    Allgemeines...... ........

Das Treppenhaus. Die Zugänglichkeit und Verbindung der Räume. Die Grundrissgestaltung. Die Höfe. Die Höhe der Häuser. Die Stockwerkshöhen. Die Tiefe 86—89

2.    Fr e is t eh en de Mi.e th aus e r    .........

a) Arbeiterhäuser. — b) Bürgerliche Miethäuser. — c) Herrschaftliche Miethäuser

3.    Eingebaute Miethäuser...........

a) Vorstadt-Reihenhäuser mit kleinen Wohnungen. — b) Städtische Miethäuser mit grösseren Wohnungen..........

III.    Die innere Einrichtung der Wohnhäuser ......    .....

1.    Die Mauerstärken .........    ...

2.    Die Oeffnungen im Mauerwerk.........

3.    Die üblichen Grössen der Hauptmöbel.......

4.    Durchfahrten, Hausflure und Korridore.......

5.    D ie Treppen............

6.    Die Rauchrohre.............

7.    Die Heizanlagen........ ....

8.    Die Wohnräume.............

Die Grundform der Räume. Berliner Zimmer. Das Familienwohuzimmer. Das Zimmer des Herrn. Das Zimmer der Frau. Das Kinderzimmer. Die Diele

9.    Die Gesellschaftsräume...........

Das Empfangszimmer (Salon). Der Gesellschaftssaal. Das Speisezimmer. Der Speisesaal. Das Billardzimmer ..........

10.    Die Schlafzimmer mit Zubehör......... •

Schlafzimmer der Eltern. Schlafzimmer der Kinder. Ankleidezimmer. Schrankzimmer 155—158

11.    Badezimmer ..............

Die Badenische. Badewanne mit eigener Heizung. Badewanne mit Dampfheizung Badeöfen. Der Wasserabfluss. Versenkte Wannen.....

12.    Die Abortanlage.............

Die Abortgrube. Das Tonnensystem. Spülaborte (Wasser-Klosetts). Das Torf mull-Streu-Klosett. Abortkammer. Abortsitze......

13.    Nebenräume ............. •

Die Garderobe. Wandschränke. Lichthöfe. Der Erker. Der Balkon. Die Loggia Der Altan. Hallen. Veranden. Terrassen und Perrons ....

14.    Die Wirtschaftsräume..........

Die Kochküche. Die Speisekammer. Der Speiseaufzug. Das Anrichtezimmer Die Waschküche. Das Bügelzimmer. Die Keller.......

IV.    Städtische Wohn- und Geschäftshäuser....... ...

1.    Allgemeines....... ......

2.    Grundrissanordnungen...........

3.    Der Laden und seine Nebenräume........

4.    Das Warenhaus .    .    .........

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V. Gesamtkosfen von Wohnhäusern

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Aus „Prof. A. öpderbecke, Die allgemeine Baukunde“ Zweite Auflage

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Prof. A. Opderbecke, Die allgemeine Baukunde,

umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen.

Zweite verbesserte und erweiterte Auflage. Mit 694 Textabbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort.................

I.    Die Wasserversorgung der Gebäude........... .

1.    Beschaffenheit des Wassers.......,

2.    Wasserb edarf...............

3.    Wasserbeschaffung.............

4.    Einführung des Wassers in die Gebäude........

5.    Hausleitungen..............

6.    Auslaufhähne und Durchlaufhähne.........

7.    Küchenausgüsse und Spüleinrichtungen .    .......

8.    Waschbecken und Waschstände..........

9.    B adeeinrichtungen.............

II.    Die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe aus den Gebäuden und deren näherer Um

gebung ................

1.    Die fortzuschaffenden Stoffe ..    ..........

2.    Beseitigung der Abwässer und der Abfallstoffe......

3.    Die Rohrleitungen.............

a) Die Strassen-Kanäle. — b) Die Grundleitung. — c) Die Fallstränge im Innern der Gebäude ..............

4.    Die Sicherungsvorrichtungen gegen das Eindringen der Kanalgase

5.    Die Sicherungsvorrichtungen gegen das Verschlammen der Grund

leitung und der Strassen-Kanäle.........

6.    Die Sicherheitsvo rrichtungen gegen das Eindringen von Kanal wasser

III.    Die Abort- und Pissoir-Anlagen.............

A.    Die Abort-Anlagen.............

Der Abortraum. — Der Abortsitz. — Das Abortbecken. — Aborte ohne Wasserspülung. 1. Das Gruben-System. — 2. Das Tonnen-System.......

B.    Die Pis soir - Anlagen.............

IV.    Feuerungsanlagen für gewerbliche und private Zwecke.........

A.    Allgemeines...............

Der Feuerraum. — Die Feuerzüge. — Die Schornsteine......

B.    Feuerungs-Anlagen für gewerbliche Zwecke.......

1.    Die Dampfkessel-Einmauerungen..........

a) Einfache zylindrische Kessel (Walzenkessel). — b) Kessel mit Siederohren. — c) Kessel mit Flammrohren. — d) Feuerröhrenkessel. — e) Wasserröhrenkessel. — f) Kombinierte Dampfkessel-Systeme eigenartiger Form. — Polizeiliche Bestimmungen betreffend die Einrichtung der Dampfkessel

2.    Brennöfen für Tonwaren............

a) Oefen mit unterbrochenem Betrieb. — b) Oefen mit ununterbrochenem Betrieb.

3.    Brennöfen für Kalk und Zement..........

a) Oefen für unterbrochenen Betrieb. — b) Oefen für ununterbrochenen Betrieb.

4.    Backöfen...............

a) Backöfen für unterbrochenen Betrieb, b) Backöfen f. ununterbrochenen Betrieb.

C.    Feuerungs-Anlagen für private Zwecke........

1. Kochherde. — 2. Waschkessel-Einmauerungen.

V.    Die Anlagen zur Erwärmung und Lüftung von Räumen, die dem Aufenthalte von Menschen dienen

Die Einzel- oder Lokalheizung...........

a) Allgemeines. — b) Kamine und Kaminöfen. — c) Oefen mit gewöhnlicher Feuerung. — d) Oefen mit Füllfeuerung. — e) Oefen für Leuchtgas-Heizung.

Die Sammel- oder Zentralheizung.....

a) Feuerluftheizung (Luftheizung). — b) Wasserheizung .

1. Niederdruck-Warmwasserheizung. — 2. Mitteldruck-Warmwasserheizung. — 3. Heisswasserheizung.

c) Dampfheizung..........

Bestimmungen betr. die Ausführung von Sammelheizungen.

Vereinigung der Heizungsarten. — Die Lüftung der Räume

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Hans Issel, Die landwirtschaftliche Baiikunde,

umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld- und Ilofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe. Zweite erweiterte und verb. Auflage. Mit 684 Textabbildungen und 24 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage...........

Erster Abschnitt. — Ländliche Wohngebäude...........

1.    Bauernhäuser und Bauerngehöfte.........

A. Die geschichtliche Entwickelung. — a) Die fränkische Bauweise. — Das alte fränkische, das linksrheinische, alemannische, Schwarzwälder, schweizerische, oberbayerische Bauernhaus, das bayerische Bauerngehöft, das Bauernhaus aus den Böhmerwaldgerichten, ostdeutsches Bauernhaus. — b) Die sächsische Bauweise. — Das westfälische, Altländer, friesische, schleswig-holsteiner, ostdeutsche Bauernhaus. — B. Neue bäuerliche Gehöftanlagen. — a) Das Raumbedürfnis. — Das kleinste Bauernhaus. Kleine und mittlere Bauernhäuser. Grosse Bauernhäuser. —

b)    Die innere Einrichtung. — c) Der konstruktive Ausbau. — d) Beispiele.

2.    Gutsbesitzer- und Gutspächterhäuser. Gutsgehöfte.....

a) Die äussere Gestaltung. Rampen und Freitreppen. — b) Die innere Einrichtung. Der Flur oder die Diele. Die Wohnzimmer. Gesellschaftsräume. Die Schlafzimmer. Zubehör. Wirtschaftsräume. Dienstbotenräume. Korridore und Treppen. Beispiele von Gutsbesitzerhäusern. — c) Gutspächterhäuser. Die Einrichtung des Gutspächterhauses. Konstruktive Bestimmungen für Pächterwohnungen. Beispiele von Pächterwohnhäusern. — d) Gutsgehöfte. Die Grundrissform der Hofaulage. Der Lageplan der Einzelbauten nach der Himmelsrichtung. Der Lageplan der Einzelbauten nach den Grundsätzen des Wirtschaftsbetriebes. Nebenanlagen. Beispiele. — e) Der Hoffmannsche Tiefbau.

3.    Beamten- und Dienstwohnungen für Gutsbezirke......

4.    Arbeiter-Wohnhäuser............

A. Arbeiter-Familienhäuser. — a) Einfamilienhäuser, b) Häuser für zwei und mehrere Familien, c) Beispiele. — B. Wanderarbeiter-Häuser.

5.    Konstruktive Behandlung von Wohngebäuden auf den Kgl. Preuss.

Domänen ..............

Zweiter Abschnitt. Ländliche Wirtschaftsgebäude.........

1.    Wasch- und Backhäuser...........

a) Das Waschhaus, b) Die Bäckerei, c) Beispiele für Wasch- und Backhäuser.

2.    Eisbehälter und Kühlräume..........

a) Allgemeines, b) Eismieten auf Gutshöfen, c) Eiskeller, d) Eishäuser, e) Eiskeller mit Kühlräumen.

3.    Räucherkammer.........

4.    Baukosten von ländlichen Wirtschaftsgebäuden......

Dritter Abschnitt. Gebäude für Unterbringung der Feldfrüchte und Ackergeräte .

1.    Feldscheunen...............

Die Lage. Die Konstruktion. Die Bedachung. Die Baukosten

2.    Ilofscheunen...............

a) Die Raumgrösse, b) Die Grundrissausbildung, c) Das Dach, d) Die Aussenwände. e) Der innere Ausbau, f) Beispiele, g) Zusammenstellung der Kosten für Scheunen

3.    Speicher und Kornböden........... •

Die Geschosshöhen. Die Decke. Die Balkenlagen. Die Raumgrösse. Die IIolz-verbindungen. Die Umfassungswände. Die Fenster. Die Treppen. Die Winde-und Aufzugsvorrichtungen. Die Schüttbretter. Das Dach. Die Kosten. Beispiele.

4.    Wagen- und Geräteschuppen...........

Vierter Abschnitt. Stallgebäude nebst Zubehör..........

Die Grundbedingungen für die Anlage........

1.    Stallgebäude für Einzelgattungen .    .......

A. Pferdeställe, a) Stallgebäude für Ackerpferde, b) Stallgebäude für Zuchtpferde.

c)    Stallgebäude für Kutsch- und Luxuspferde. — B. Rindviehställe. — C. Schafställe. — D. Schweineställe.

2.    Stallgebäude für gemischte Viehgattungen......

A. Kleine Ställe. — B. Freistehende Ställe für kleine landwirtschaftliche Betriebe. — C. Grössere Stallgebäude für gemischte Viehgattungen.

3.    Federviehställe..............

4.    Dungstätten und Jauchenbehälter.........

fl. Kostenberechnung für Geflügelställe........

Fünfter Abschnitt. Gebäude für landwirfschaftliche Gewerbe........

1.    Molkereien...............

2.    Schmieden und Stellmachereien..........

Nachtrag: Blitzschutzanlagen...........

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Hans Issel, Der Holzban,

umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständer- und Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite . VII—VIII

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage Erster Abschnitt. — Allgemeines .    .

1.    Bauholz. — A. Einheimische Bauhölzer. — a) Nadelhölzer, b) Laubhölzer. —

B. Fremdländische Bauhölzer. — a) Nadelhölzer, b) Laubhölzer

2.    Die Fällzeit des Holzes...........

3.    Die Fehler des Holzes ............

4.    Holzprüfung zum Erkennen seiner Fehler.......

5.    Das Arbeiten des Holzes. — 1. Das Schwinden. 2. Das Quellen

6.    Die Verarbeitung des Holzes .    .......

7.    Das Beschlagen der Stämme zu Balken........

8.    Die Ausnutzung des Bauholzes. Tabelle der Normalprofile für Bauhölzer

in Zentimetern. Tabelle für Schnittmaterial (Bretter, Bohlen, Pfosten, Latten)    13—14

9.    Die nationalökonomische Bedeutung des Holzbaues ....

Zweiter Abschnitt. — Der Fachwerkbau...........

1.    Die Wiederbelebung der Holzbaukunst........

2.    Die Fachwerk- oder Riegelwand, a) Die frühere Konstruktionsweise. —

b)    Die heutige Konstruktionsweise. Die Ausmauerung und innere Verkleidung

der Fachwerkwand ............

3.    Die Balkenlage und die Vorkragung der Stockwerke. — a) Die frühere

Konstruktionsweise. — b) Die heutige Konstruktionsweise. — c) Das Stichgebälk. — d) Die Balkenköpfe. — e) Knaggen und Kopfbänder ....

4.    Verkleidung der Zwischendecke. — a) Die Füllbretter. — b) Die Füll

hölzer. — c) Die Brettergesimse. — d) Ausgemauerte Zwischenfüllungen

5.    Die Giebelausbildung. — a) Schlichte Giebelbildungen.— b) Doppelgiebel. —

c)    Giebel mit vorgelegten Freigebinden .    ......

6.    Die Fenster. — a) Die frühere Fensterumrahmung. — b) Die moderne Fenster

umrahmung. — Das Anschlägen des Futterrahmens......

7.    Türen und Torfahrten. — a) Die frühere Umrahmung. — b) Die moderne

Umrahmung. — c) Ueberbaute Haustüren mit Vordächern und Veranden. —

d)    Ein- und zweiflügelige Haustüren.........

8.    Die Schmuckmittel des Fach werkbaue s. — a) Verzierungen durch ver

schränkte Fachwerkhölzer. Riegelkreuze. Winkelbänder. — b) Ausgestochene Verzierungen. Geschnitzte Ständer. Geschnitzte Eckpfosten. Geschnitzte Schwellen. Geschnitzte Fensterbrüstungsplatten. —

Schriften. — d) Gemusterte Backsteingefache. — e) Farbig verzierte Fachwerkfelder. — f) Die Bemalung des Holzes......

9.    An- und Aufbauten. — a) Erker. Rechteckige Erker. Ueber Eck gesetzte

rechteckige Erker. Dreieckige Erker. Vieleckige (polygonale) Erker. Die Konstruktion der Erker. Die Decke........

b)    Veranden, Altane und Baikone. Die Pfosten. Die Brüstung. Der obere

Abschluss der Veranda. Altane und Baikone

c)    Lauben, Gartenhäuser, Pavillons.....

d)    Dacherker und Dachgauben......

e)    Türme. Die Umfassungswände. Der Turmhelm. Dachspitzen und Wetterfahnen.

Die Eindeckung der Türme und Dächer. Materialbedarf bei Ziegeldeckung 185—197 Dritter Abschnitt. — Der neuzeitliche Bohlenbau. — Amerikanische Bauweise. Deutsche Bauweise, Blockhäuser von H. Witte. Zerlegbare Holzbauten für Holzbearbeitung 198—204 Vierter Abschnitt. — Der Blockbau. Allgemeines......

1.    Die Blockwand. — a) Umfassungswände. — b) Scheidewände

2.    Türen und Fenster. — Die Eingangstüren (Haustüren). — Die Fenster. —

Klebdächer .............

3.    Das Dach und die Giebelbildung. — Norwegisches Blockhaus.— Russisches

Blockhaus. — Schweizerisches Blockhaus.......

4.    Seitenlauben und Galerien. — Schweizerische und norwegische Blockhäuser 218—221

5.    Die Schmuckmittel des Blockbaues.— a) Geschnitzte Wandverzierungen. —

b) Die Anwendung der Farbe im Blockbau .

Fünfter Abschnitt. — Der schweizerische Ständer- und Riegelbau .

Die Ständerwand. — Das Dach. — Die Riegelwand. — Die Fenster. — Galerien 230—237

Sechster Abschnitt. — Der norwegische Stab- und Blockbau........

Die Wandbildung. — Die Holzkirchen. — Die Dachkonstruktion. — Stabure, Speicherbauten. — Die norwegischen Bauernhäuser (Blockbauten). — Die

Schmuckmittel.............

Verzeichnis der bei der Bearbeitung dieses Bandes benutzten Werke und Zeitschriften 245—246

c) Geschnitzte In-

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It. Scliöler, I)io Eisenkonstruktionen des Hochbaues,

umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der Verbindungen und Stösse der Walzeisen , der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen, Dächer und Oberlichter. Zweite Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage Erstes Kapitel. Die Konstruktionselemente

1. Die verschiedenen Walzeisensorten

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2. Die Yerbindungsmittel der Ei se n k o nstr u kti o ne n.....

a) Nietverbindungen. — b) Berechnung und Anordnung der Nietverbindungen, c) Schraubenverbindungen. — d) Berechnung der Schrauben. — e) Gelenkverbindungen ..............

Zweites Kapitel. Die Verbindungen und Verlängerungen der Walzeisen......

1.    Verlängerungen (Stösse) .    ..........

a) Verlängerung auf Zug beanspruchter einfacher Stäbe. — b) Verlängerung auf Druck beanspruchter Stäbe. — c) Verlängerung von Stäben, deren Querschnitt mehrteilig ist. — d) Stossdeckung von Stäben, die auf Biegung beansprucht sind

2.    Anschlussverbind un gen............

a) Die Knotenpunkte. — b) Trägeranschlüsse.......

a) Eck Verbindungen. — ß) Endverbindungen. — y) Kreuzverbindungen .

3-29

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Drittes Kapitel. Die Träger.............

1.    Berechnung der Träger...........

a) Die Freiträger. — b) Träger auf zwei Stützen. — c) Träger auf mehreren Stützen. — d) Vernietete Träger. — e) Die Lager der Träger .

a) Die festen Lager. — ß) Die beweglichen Lager ....

2.    Die Verwendung der Träger..........

a) Die Unterzüge. — b) Die Decken.......

a) Decken in Holz und Eisen. — ß) Decken in Eisen und Stein bezw.

Mörtel. — y) Decken mit eisenarmierter Füllung. — tf) Eiserne Decken 89—109

Viertes Kapitel. Die Säulen und Stützen..........

a) Berechnung der Stützen. — b) Berechnung der Säulenfüsse. — c) Ausführung der gusseisernen Säulen. — d) Ausführung der schmiedeeisernen Säulen. — e) Be

rechnung auf Druck und Biegung beanspruchter Säulen.....

Fünftes Kapitel. Frontstützen, Ladeneingänge und Schaufenster......

Gusseiserne und schmiedeeiserne Frontstützen. — Schaufensteranlagen .

Sechstes Kapitel. Eiserne Wände............

a) Allgemeines. -d) Eiserne Wände

Siebentes Kapitel. Baikone und Erker...........

a) Baikone. — b) Erker............

Achtes Kapitel. Eiserne Treppen............

1)    Mas sive Treppen............

2)    Eiserne Treppen.............

a)    Gusseiserne Treppen. — «) Gerade Treppen. — ß) Wendeltreppen

b)    Schmiedeeiserne Treppen. — a) Gerade Treppen. — ß) Wendeltreppen

Neuntes Kapitel. Fachwerk.............

a) Allgemeines. — b) Dachbinder..........

Zehntes Kapitel. Eiserne Dächer ............

a) Allgemeines. — b) Pfetten. — c) Berechnung der kontinuierlichen Gelenkpfetten. — d) Sparren, Latten, Deckung. — e) Fuss- und Firstpuuktc. — f) Der Windverband.—

g) Wellblechdächer..............

Elftes Kapitel. Die Oberlichter. — a) Allgemeines. — b) Die Glasdecke. — c) Die Sprossen. -

d)    Die Bildung des Firstes. — e) Bildung der Traufe. — f) Anschluss au

lotrechte Mauern. — g) Sheddächer.........

Zwölftes Kapitel. Bedingungen über die Lieferung von Eisenkonstruktionen.....

a) Allgemeines. — b) Beschaffenheit des Materials. — c) Vorschriften über die Herstellung der Eisenkonstruktionen. — d) Abnahme.—

e)    Abrechnung. — f) Gewichtsberechnung Anhang. — Tabellen 1 bis 18

b) Eisenfachwerkwände.

c) Konstruktion der Wände.

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Aus „Prof. A. Opderbecke, Per Dachdecker und Bauklempner“. Zweite Auflage

Fig. 287.

Fig. 290.

Fig. 288.

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Prof. A. Opderbecke, Der Dachdecker und Bauklempner,

umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen und die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre.

Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 745 Textabbildungen und 17 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort

Seite

Allgemeines..............

A.    Die Eindeckung der Dachflächen............

1.    Deckung mit organischen Stoffen........

1 a. Teer- oder Steinpappdächer..........

Deckung mit offener Nagelung. — Deckung mit verdeckter Nagelung auf Leisten Unterhaltung der Pappdächer. — Das doppellagige Klebepappdach .

lb.    Holzzementdächer............

Das Holzzement-Papierdach. — Das Holzzement-Pappdach ....

lc.    Deckung mit imprägnierten, wasserdichten Leinenstoffen ....

2.    Deckung mit künstlichem Steinmaterial.......

la)    Deckung mit Dachsteinen aus gebranntem Ton ......

Die Flachziegel. — Die Hohlziegel. — Die Dachpfannen. — Die Falzziegel. — Handwerkszeuge des Ziegeldeckers........

lb)    Deckung mit Zementplatten..........

3.    Deckung mit natürlichem Steinmaterial.......

a)    Englische Doppeldeckung..........

b)    Deutsche Deckung............

c)    Französische Deckung...........

Handwerkzeuge des Schieferdeckers........

4.    Deckung mit Metallen (Allgemeines)........

a)    Deckung mit Zink............

Deckung mit gewalzten glatten Tafeln. — Aeltere Ausführuugsweise der Leisten deckung. — Berliner (Wusterhausensche) Leistendeckung. — Rheinische oder Belgische Leistendeckung.

Leistendeckung. — Deckung mit gewelltem Zinkblech. — Deckung mit doppelt gerippten Tafeln (System Baillot). — Deckung mit quadratischen Rauten (Vieille Montagne). — Deckung mit quadratischen Rauten (Lipine). — Deckung mit Spitzrauten. — Deckung mit Schuppenblechen

b)    Deckung mit Eisen.....

Deckung mit Eisenwellblech. — Deckung mit Rauten aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Dachplatten aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Falzziegeln aus verzinktem Eisenblech. — Deckung mit Platten aus Gusseisen 154—172

c)    Deckung mit Kupfer............

d)    Deckung mit Blei.............

5.    Deckung mit Glas..............

Glasdeckung auf Holzsprossen. — Glasdeckung auf J_-förmigen Eisensprossen. — Glasdeckung auf -f - förmigen Eisensprossen. — Glasdeckung auf Flacheisensprossen. — Glasdeckung auf rinnenförmigen Sprossen. — Verhinderung des Abgleitens der Glastafeln. — Unterstützung der Glastafeln durch Quersprossen 182—198

B.    Die Entwässerung der Dachflächen

Allgemeines ....

a)    Freitragende Hängerinnen

b)    Aufliegende Hängerinnen .

c)    Freitragende Standrinnen .

d)    Auf liegende Standrinnen .

e)    Eingebettete Standrinnen .

f)    Kehlrinnen ....

Die Abfallrohre

Fricksche Leistendeckung.

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Prof. E. Geyger, Die darstellende Geometrie,

umfassend die Grundbegriffe der Geometrie, das geometrische Zeichnen, die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen, die Dachausmittelungen, Schraubenlinien, Schraubenflächen und Krümmlinge sowie die Schiftungen. Zweite verbesserte Auflage. Mit 570 Textabbildungen.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort .    .......... .

Einführung.................

Einige Bemerkungen über die Beschaffenheit der Zeichen-Instrumente und -Materialien,

ihre Prüfung und Anwendung...........

Erstes Kapitel. Die wichtigsten Erklärungen und Grundbegriffe der Geometrie.....

1.    Körper, Flächen, Linien, Punkte, Masseinheiteu.......

2.    Lage einer Ebene im Raume. Gerade, Winkel und Figuren in der Ebene

3.    Gerade und Ebene im Raume...........

4.    Lage zweier Ebenen zu einauder..........

Zweites Kapitel. Das geometrische Zeichnen...........

1.    Die Elementaroperationen...........

2.    Konstruktion des Massstabes...........

3.    Konstruktion von Dreiecken und Vierecken; Fundamentalkonstruktionen am Kreise

4.    Konstruktion der wichtigsten regulären Vielecke.......

5.    Konstruktion der regelmässigen Vielecke aus der gegebenen Seite

6.    Konstruktion verschiedener Gewölbebogen, welche in der Baukunst häufig Vor

kommen ...............

7.    Affine und affin gelegene Figuren..........

8.    Projektive Figuren in perspektiver Lage........

9.    Die Zentralprojektion eines Kreises; die Kegelschnitte.....

10.    Konstruktion der Ellipse, ihre Tangenten und Normalen.....

11.    Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern

12.    Drei Konstruktionen der Parabel; Tangente und Normale der Parabel.

13.    Konstruktion der Hyperbel; Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels .

Drittes Kapitel. Die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen (Beschreibende oder darstellende

Geometrie)...............

1.    Die verschiedenen Projektionsmethoden..... .    .    .

2.    Das Verfahren der orthogonalen Parallelprojektion; Grundriss, Aufriss, Seiten

riss. Vereinigung der Tafeln mit der Zeichenebene.....

3.    Punkt, Gerade, Ebene und einfache Körper in orthogonaler Projektion. Seiten

riss und Einführung einer 3. (4.) Projektionsebene.....

4.    Die regulären Polyeder. Rotationskörper und Rotationsflächen .

5.    Ableitung neuer Projektionen aus Grund-Aufriss; die schiefe und orthogonale

axonometrische Projektion...........

G. Wahre Länge und Tafelneigung einer durch ihre Projektionen gegebenen Strecke; Spurpunkte einer Geraden .    .......

7.    Die Spurgeraden einer Ebene. Tafelneigung 'einer Ebene. Bestimmung der

wahren Gestalt einer ebenen Figur.........

8.    Gerade und Ebene. Projektion eines rechten Winkels in einem rechten Winkel;

Ebene und Ebene; Körper und Ebene........

9.    Ebene Schnitte und Netze von Prismen und Zylindern; Rektifikation von

Kurven; Wendepunkt einer Kurve; Schraubenlinie .    .    .    .    .

10.    Ebene Schnitte und Netze von Pyramiden und Kegeln .    .    .    .

11.    Tangentialebenen, Schnitte und Netze von Rotationskörpern

12.    Durchdringungen Viertes Kapitel. Dachausmittelungen

1.    Allgemeines; Einteilung der Dächer

2.    Ausmittelung von Dächern, deren Traufen in einer Horizontalebene liegen und

deren Dachflächen eben und von gleichem Gefälle sind.....

3.    Ausmittelung von Dächern, deren Traufen in verschiedenen Ebenen liegen und

deren Dachneigungen ungleich sind.....

4.    Dächer mit ebenen und krummen Dachflächen

5.    Turmdächer...........

Fünftes Kapitel. Schraubenlinien, Schraubenflächen, Schrauben und Krümmling Sechstes Kapitel. Schiftungen.........

1.    Die Schiftung auf dem Lehrgespärre.....

2.    Die Schiftung auf dem Werksatze......

3.    Die Schiftung auf Dachflächen oder die Bohlenschiftung

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Aus „Hans Issel, Die Baustillehre“

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Hans Issel, Hie Baustillehre,

umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monumental-Baukunst in den verschiedenen Stilarten, mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen.

Mit 454 Textabbildungen und 17 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort ....    ...........

Erster Abschnitt. Die monumentale Baukunst der vorklassischen Zeit.....

I.    Die ägyptische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die monumentalen Bauwerke........

C.    Die ägyptischen Bauformen.........

II.    Die babylonische Baukunst..........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die babylonischen Monumental-Bauwerke......

III.    Die assyrische Baukunst...........

A.    Land und Baumaterial der Assyrer.......

B.    Die assyrischen Monumentalbauten.......

IV.    Die persische Baukunst...........

A.    Das Land und sein Baumaterial........

B.    Die persischen Monumentalbauten.......

Zweiter Abschnitt. Die monumentale Baukunst der klassischen Zeit.....

I. Die griechische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung ......

B.    Die griechischen Monumentalbauten.......

C.    Die Bauformen...........

D.    Gesamtbild der griechischen Architektur......

II.    Die römische Baukunst...........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die römischen Konstruktionsweisen.......

C.    Die römischen Bauformen.........

D.    Die römischen Bauwerke.........

E.    Die technische Darstellungsweise im Altertum.....

Dritter Abschnitt. Die Baukunst des Mittelalters.........

I.    Die römisch-altchristliche Monumental-Baukunst im weströmischen Reiche

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die altchristlichen Monumentalbauten.......

II.    Die altchristliche Monumental-Baukunst im oströmischen Reiche

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die byzantinischen Monumentalbauten......

III.    Die Monumentalbauten der romanischen Baukunst.....

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    Die Grundrissanlage der romanischen Kirchen.....

C.    Der romanische Stil in Deutschland.......

D.    Der romanische Stil in Frankreich.......

E.    Der romanische Stil in England.......

F.    Der romanische Stil in Spanien........

G.    Der romanische Stil in Italien........

H.    Der romanische Stil in den nördlichen Ländern ....

IV.    Die monumentale Baukunst des Islam........

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung ......

B.    Die monumentalen Kultbauten der Mohammedaner ....

C.    Der maurische Stil .    ........

V.    Die Monumentalbauten der gotischen Baukunst......

A.    Allgemeine baukünstlerische Entwickelung......

B.    System der gotischen Bauweise........

C.    Die Verbreitung des gotischen Stiles durch die Bauhütten

D.    Die Grundrissanlage der gotischen Kathedrale in Frankreich .

E.    Die innere Ausgestaltung der Kirchen......

F.    Die gewölbten Decken..........

G.    Die Gotik der Uebergangszeit in Deutschland.....

H.    Die gotischen Bauformen.........

I. Die norddeutsche Backsteingotik........

K. Die Wandlungen der Gotik in den übrigen Ländern

Vierter Abschnitt. Die monumentale Baukunst der neueren Zeit......

I. Die Renaissance in Italien. — II. Die Renaissance in Deutschland, Holland und Dänemark. — III. Die Renaissance in Frankreich, Spanien und England. — IV. Der Barockstil. — V. Rokoko- und Zopfstil .....

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. 236-329

Prof. Ernst Nöthling, Die Baustofflehre,

umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Metalle, sowie die Verbindungs-, Neben- und Ililfsbaustoffe. Mit über 300 Abbildungen auf 30 Tafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort......

Einleitung. — Prüfung der Baustoffe Erster Teil. Die Hauptbaustoffe

1-2

I. Die Bausteine..........

A.    Natürliche Steine........

a)    Einfache kristallinische Gesteine

b)    Gemengte kristallinische Gesteine .

c)    Verkittete Trümmergesteine ....

d)    Lose Trümmergesteine und Erden .

e)    Eigenschaften und Prüfung der natürlichen Steine

f)    Die Gewinnung der natürlichen Steine .

g)    Die Bearbeitung der natürlichen Steine .

h)    Die Erhöhung der Dauer von Hausteinen

B.    Die künstlichen Bausteine......

a)    Gebrannte künstliche Steine ....

b)    Ungebrannte künstliche Bausteine ....

II. Die Bauhölzer .............

Allgemeines — Bau und Gefüge des Holzes — Allgemeine Eigenschaften der Hölzer — Beschreibung der wichtigsten Bauhölzer — Die Bearbeitung der Hölzer

III. Die Metalle

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. 138—177 . 177-204

1. Das Eisen als Baustoff. — 2. Kupfer. — 3. Zink. — 4. Blei. — 5. Zinn. — 0. Aluminium. — 7. Nickel. — 8. Metalllegierungen. — 9. Thermit Zweiter Teil. Die Verbindungsstoffe Einleitung

I.    Die Mörtel

A.    Die Luftmörtel

a)    Der Lehmmörtel

b)    Kalkmörtel .

Das Brennen des Kalkes. - Brennöfen für Kalk und Zement. — Verpackung und Aufbewahren des Kalkes. — Das Löschen des gebrannten Kalkes. — Die Zubereitung des Mörtels. — Die Mörtelmaschinen. — Mischungsverhältnisse für Kalkmörtel. — Saud und Kies. — Die Erhärtung des Kalkmörtels. — Wirkung von Eisen im Mörtel. — Mauerfrass. — Weitere Verwendungen des gebrannten Kalkes.

c)    Gipsmörtel .

Allgemeines. — Eigenschaften des Gipses. — Das Brennen des Gipses. — Prüfung des Gipses auf seine Güte. — Schnelles und langsames Erhärten des Gipses. — Verwendungen des Gipses.

B.    Wasscrmörtel oder hydraulische Mörtel.......

a)    Die Trasse............

b)    Die Zemente...........

C.    Feuerfeste Mörtel...........

II.    Asphalt...............

III. Die Kitte...............

. 177-204 . 205-290

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. 205-275 . 205-242

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Dritter Teil. Die Neben- oder Hilfsstoffe

I.    Das Glas und das Wasserglas

II.    Harze und Teere......

III.    Farben, Firnisse und Lacke

IV.    Kautschuk und Guttapercha V. Dachpappe, Holzzement, wasserdichte Gewebe

VI. Asbest und Uralith.....

VII Linoleum.......

VIII. Filz, EisenfiL, Unterlagsfilzpappcn ilX. Tapeten, Lincrusta.....

X.    Hanf und Hanfseile .    ...

XI.    Stroh, Rohr, Moos und Torf XII. Deckengewebe, Rohrgewebe, Matten .

XIII.    Das Papier als Baustoff ....

XIV.    Verschiedene andere Baustoffe ...

XV.    Verschiedene Baustoffe, welche zur Isolierung gegen Wärme und Kälte usw. dienen 328—332

319

. 319-320 . 320-323 . 323—324 . 324—325 . 326—327 . 327—328

328

Prof. A. Opderbecke, Das Veranschlagen im Hochhau,

umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag.

Mit 20 Textabbildungen und 22 Doppeltafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort A. Allgemeines

Seite

1-22

Kostenüberschlag. — Bestandteile der speziellen Entwürfe. — Zeichnungen. — Erläuterungsbericht. — Anschlag. — Massenberechnung der Erdarbeiten, der Maurerarbeiten, der Steinmetzarbeiten, der Zimmerarbeiten, der Eisenarbeiten. — Materialienberechnung zu den Maurer- und Zimmererarbeiten. — Vorschriften für die Kostenberechnung der einzelnen Anschlagstitel.....

B.    Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge..........

Erd- und Maurerarbeiten............

Asphaltarbeiten..............

Steinmetzarbeiten..............

Zimmererarbeiten..............

Staker- und Dachdeckerarbeiten...........

Klempner- und Tischlerarbeiten...........

Schlosser-,, Glaser-, Anstreicher-, Tapezierer- und Ofenarbeiten ....

Bauführungskosten .............

Allgemeines...............

C.    Bestimmungen über die Aufstellung von statischen Berechnungen zu Hochbauten, sowie über die

hierbei anzunehmenden Belastungen bezw. Beanspruchungen

D.    Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe......

Bruch- und Feldsteine. — Werksteine. — Ziegelsteine.

Fussboden- und Wandbekleidungsplatten.

Schwemmsteine. — Fetter Kalk. — Hydraulischer Kalk. — Zement. — Sand. — Mörtel. — Beton. — Kunststein. — Bauholz. — Schiefer. — Dachpappe. — Holzzement. — Asphalt. — Eisen und Stahl. — Zink. — Blei. — Kupfer. — Glas................

E.    Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten...........

Chamottesteine. — Dachziegel. — Rheinische

Erdarbeiten. — Maurerarbeiten. — Steinmetzarbeiten. — Zimmererarbeiten. —

Dachdeckerarbeiten. —

Stakerarbeiten. — Schmiede- und Eisenarbeiten.

Klempnerarbeiten. — Tischlerarbeiten. — Schlosserarbeiten. — Anstreicherund Malerarbeiten. — Tapeziererarbeiten. — Stückarbeiten, arbeiten und Zentralheizungen. — Gas- und Wasseranlagen. — Elektrische

Haustelegraphen. — Sprachrohre. — Blitzableiteranlagen.....

F. Bauentwurf nebst Kostenanschlag betr. den Neubau eines Familienhauses.....

Erläuterungsbericht .    ...........

Kostenberechnung..............

Vorberechnung..............

Massenberechnung der Erdarbeiten..........

„ Maurerarbeiten.........

„ Steinmetzarbeiten.........

„ Zimmererarbeiten.........

Statische Berechnung der gewalzten -Träger........

Gewichtsberechnung der gewalzten Träger.........

Maurormaterialicnberecbnung ...    .

Ofensetzer

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Prof. A. Opd erb ecke und H. Wittenbecher, Der Steinmetz,

umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen.

Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Vorwort.................

I.    Allgemeines...............

Eigenschaften guter Bausteine. — Gewinnung natürlicher Bausteine. — Lage und Einrichtung des Werkplatzes. — Steinhauerhütten. — Das Aufbänken. — Das Werkzeug. — Die Bearbeitung.......•

II.    Das Versetzen der Werksteine..........

Hebezeuge. — Baugerüste. — Das Vergiessen. — Ausbesserung beschädigter Werkstücke..............

III.    Mauern aus Bruch- und Feldsteinen.........

IV.    Mauern aus bearbeiteten Werksteinen........

Form und Grösse der Quader. — Läuferverband. — Blockverband. — Eckverbände. — Freistehende Mauern. — Verblendung mit Platten. — Steinliste .

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V. Die Gesimse

43-53

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Fuss- und Sockelgesimse. — Gurtungen. — Hauptgesimse, Trauf- und Kranzgesimse ....    ..........

VI. Maueröffnungen..............

Ueberdeckung der Oeffnungen. — Fensteröffnungen. — Kellerfenster. — Stockwerkfenster. — Die Sohlbank. — Die Gewände. — Gerader Sturz. — Flach-und Rundbögen. — Gekuppelte Fenster. — Tür- und Toröffnungen. — Türschwellen. — Türgewände. — Zwischensturze. — Haustore.

Torpfeiler...........

Tür- und

54—75

76—141

VII. Hausgiebel

Grundform der Giebel. — Traufgesimse an den Giebeln VIII. Erker und Baikone........

Unterstützung der Erkerplatten. — Baikone. — Balkonbrüstungen

IX. Treppen

76-141 . 142—159 . 142—159 . 160—167 . 160—167 . 168—196

Steigungsverhältnis. — Grundrissform. — Das Verziehen der Stufen. — Freitreppen. — Innere Wangentreppen. — Freitragende Treppen. — Spindeltreppen ...............

X. Gewölbe

169—196

197—222

1.    Böhmisches Kappengewölbe..... .....

2.    Kreuzgewölbe .    .........

a)    Kreuzgewölbe mit wagerechten Scheitellinien und gleichhohen Rand-

und Diagonalbogen (römische Gewölbe).......

b)    Kreuzgewölbe mit geradem Stiel und gleichhohen Rand- und Diagonal

bogen (romanische Gewölbe).........

c)    Gebuste Kreuzgewölbe (gotische Gewölbe).......

3.    Sterngewölbe..............

199

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BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA

KRAKÓW

II. Schüler, Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues

einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen Tafeln und 15 Querschnittstabellen.

Preis 5 Mark geheftet; 6 Mark gebunden.

Seite

Vorwort .

Erster Teil. Statik

v—VI 1—94

I.    Grundbegriffe, Erklärungen...........

Aufgabe der Statik. Grundbegriffe. Bestimmungsstücke einer Kraft. Dar Stellung der Kräfte. Kräfteplan. Mittelkraft. Gleichgewicht. Gleich gewicht zweier Kräfte. Satz von der Verschiebung des Angriffspunktes.

II.    Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften.......

a)    Die Kräfte wirken in derselben Geraden .    .....

b)    Die Kräfte wirken an einem Punkte nach verschiedenen Richtungen .

c)    Rechnerische Zusammensetzung und Zerlegung von ebenen Kräften .

d)    Die Kräfte wirken zerstreut in der Ebene......

e)    Von den statischen Momenten der Kräfte......

III.    Anwendung der statischen Gesetze auf die Baukonstruktionen

a)    Der durch Einzellasten beanspruchte Balken......

b)    Der Schwerpunkt...........

c)    Von der Standsicherheit ..........

d)    Von der Auflagerung der Träger........

e)    Von den Fachwerkträgern..........

Zweiter Teil. Festigkeitslehre............

I. Einleitung..............

1—4

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a)    Formänderung und Spannung.........

b)    Dehnung, Dehnungskoeffizient, Elastizitätsmodul .

c)    Proportionalitätsgrenze, Grenzkraft, Festigkeit.....

d)    Zulässige Beanspruchung, Sicherheitskoeffizient.....

e)    Festigkeitsarten............

f)    Zulässige Beanspruchung..........

II. Zugfestigkeit..............

III.    Druckfestigkeit.............

IV.    Schubfestigkeit.............

V.    Biegungsfestigkeit.............

a)    Entwickelung der Biegungsgleichung ......

b)    Die meist vorkommenden Belastungsfälle......

VI.    Knickfestigkeit.............

a)    Berechnung der Säulen..........

b)    Berechnung der Säulenfüsse.........

c)    Trägeranschlüsse an gusseiserne Säulen .    .    .    _ .

d)    Schmiedeeiserne Säulen, deren Querschnitt aus zwei |_-Eisen besteht

e)    Frontstützen aus |“-Eisen.........

VII.    Schubspannungen in der Längsrichtung der Träger......

VIII.    Zusammengesetzte Festigkeit..........

a)    Die auf Doppelbiegung beanspruchten Träger.....

b)    Biegung und Zug...........

c)    Biegung und Druck...........

d)    Der exzentrische Druck..........

e)    Horizontal belastete Säulen.........

IX. Beton- und Betoneisenkonstruktionen.........

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a)    Zentrischer Druck.........

b)    Beanspruchung auf Zug........

c)    Schubfestigkeit..........

d)    Biegung...........

e)    Adhäsion zwischen Eisen und Beton.....

f)    Berechnung der Betoneisenkonstruktionen ....

Dritter Teil. Anwendungen auf grössere Konstruktionen......

a)    Reibung...........

b)    Erddruck    ..........

c)    Die freistehenden Schornsteine .    .    .    •

d)    Die Gewölbe..........

e)    Musterbeispiele für die Anfertigung statischer Berechnungen

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201

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m ENTWERFEN DER FASSADEN

ENTWICKELT

AUS DER ZWECKMÄSSIGEN GESTALTUNG DER EINZELFORMEN UND DEREN ANWENDUNG AUF NEUZEITLICHE BÜRGERLICHE BAUTEN IN BRUCHSTEIN WERKSTEIN-, PUTZ- UND HOLZARCHITEKTUR

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Behse, Dr. W. H., Treppen aus Holz. Eine kurze Anweisung zum Gebrauch für Treppenbauer, Baugewerksmeister, Zimmerleute und Bauschüler. Sechste Auflage, herausgegeben von E. Lorenz, Architekt. Mit 100 Abbildungen auf 6 Tafeln, gr. 8. Geh. 1 Mark 50 Pfg.

Behse, Dr.W.H., Der Zimmermann. Eine umfassende Darstellung der Zimmermannskunst. Elfte erweiterte Auflage, herausgegeben von H. Robrade, kaiserl. Postbaninspektor. Mit einem Atlas von 44 Gross-Foliotafeln, enthaltend 685 Abbildungen, gr. 8. Geh. 12 Mark. Geb. 16 Mark.

Berger, Alfons, Moderne Fabrik- und Industriebauten. Eine Sammlung von Entwürfen und ausgeführten Anlagen zum Gebrauche für Architekten, Baugewerksmeister und Bauschüler, dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten und Teilzeichnungen. 28 Tafeln mit Text. gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Beriidt, H., Hauser iu Stein» und Putzbau. Eine Sammlung von Entwürfen zu bürgerlichen Bauten und Villen in verschiedenen Stilarten,' vorwiegend in Putzbau mit Stein- und Holzarchitekturteilen. Zum Gebrauch für Baumeister, Architekten, Bauunternehmer und Bauschüler. 26 Tafeln mit Text. 4. In Mappe. 4 Mark 50 Pfg.

Bleichrodt, W. G., Meister-Examen der Maurer und Zimmerleute. Ein Nach-schlagebuch für die Praxis nach den neuesten Konstruktionsgebräuchen und Erfahrungen und Wiederholungsunterricht für Innungs-Kandidaten und Bauschul-Abiturienten zur Vorbereitung für die Prüfung. Vierte völlig umgearbeitete und vermehrte Auflage, zusammengestellt u. herausgeg. von Paul Gründling. Mit einem Atlas, enthalt. 16 Tafeln mit über 600 Figuren, gr. 8. Geh. 9 Mark.

Bock, 0., Die Ziegelfabrikation. Ein Handbuch, umfassend die Herstellung aller Arten von Ziegeln, sowie die Anlage und den Betrieb von Ziegeleien. Neunte gänzlich neubearbeitete Auflage. Mit 353 Textabbildungen und 12 Tafeln. Lex.-8. Geh. 10 Mark 50 Pfg. Geb. 13 Mark.

Böhmer, E. und Neumann, Fr., Kalk, Gips, Zement. Handbuch bei Anlage und Betrieb von Kalkwerken, Gipsmühlen und Zementfabriken. Fünfte verbesserte Auflage, bearbeitet von Fr. Neumann, Ingenieur. Mit einem Atlas von 10 Foliotafeln und 40 in den Text eingedruckten Holzschnitten, gr. 8. Geh. 6 Mark 75 Pfg.

Böttger, C. A. und A. und M. Graef, Die Arbeiten des Schlossers. Zweite Folge. Der Kunstschlosser. Vorbilder für Bauschlosserei, Gebrauchsartikel, Hausgeräte und Beleuchtungsgegenstände, sowie Einzelheiten und Verzierungen, welche der Ornamentik des Schlossers angehören. In herrschendem Stil und gangbarsten Verhältnissen, nach genauem Mass entworfen und gezeichnet. 30 Foliotafeln in Farbendruck, gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Büchner, Dr. 0., Die Konstruktion und Anlegung der Blitzableiter. Zum Schutze aller Arten von Gebäuden und Seeschiffen nebst Anleitung zu Kostenvoranschlägen. Dritte vermehrte Auflage. Mit einem Atlas von 8 Foliotafeln. 8. Geh. 3 Mk. 60 Pfg.

Christiansen, 0., Der Holzbaustil. Entwürfe zu Holzarchitekturen in modern-deutschem, norwegischem, schweizer, russischem und englisch-amerikanischem Stil. Eine Sammlung von Sommersitzen, Villen, Land- und Touristenhäusern, Jagdschlössern, Wirtschafts- und ähnlichen Gebäuden. 30 Tafeln mit Text, gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Deutsch, S., Der Wasserbau, I. Teil, umfassend: Die Meteorologie, den Kreislauf des Wassers, die stehenden und fliessenden Binnengewässer, die Talsperren, die Messung der Wasserstände, der Wassergeschwindigkeiten und Wasserabflussmengen, den Flussbau und den Wehrbau. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 218 Textabbildungen und 32 Tafeln. Lex.-8. Geh. 6 Mark. Geb. 7 Mark 50 Pfg.

Deutsch, S., Der Wasserbau, II. Teil, umfassend: Natürliche und künstliche Wasserstrassen, Schiffahrtsschleusen, Schiffshebeeinrichtungen, Hafenbauten, Flusskanalisierung, Bekämpfung des Hochwassers der Flüsse und Ströme, Deichbauten, Berechnung der durch Schütze fliessenden Wassermenge, Berechnung der Werkkanäle, Berechnung von Kaimauern und Notizen über die wichtigsten Flüsse des deutschen Reiches. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 135 Textabbildungen und 37 Tafeln. Lex.-8. Geh. 6 Mark. Geb. 7 Mark 50 Pfg.

Erlach, H., Sprüche und Reden für Maurer bei Legung des Grundsteins zu allerlei öffentlichen und Privatgebäuden. Zweite vermehrte und verbesserte Auflage. 8. Geh. 1 Mark 80 Pfg.

Faber, R., Schulhäuser für Stadt und Land. Eine Sammlung ausgeführter Entwürfe von Dorf-, Bezirks- und Bürgerschulen, Realschulen und Gymnasien, mit und ohne Turnhallenanlagen, sowie Kinderbewahranstalten oder Krippen, unter besonderer Berücksichtigung der bewährtesten Subsellien. 27 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 12 Mark.

Frohn, C., Die graphische Statik. Zum Gebrauche an technischen Unterrichtsanstalten, zum Selbststudium und für die Baupraxis. Mit 115 Textabbildungen und 3 Tafeln. Lex.-8. Geh. 3 Mark 50 Pfg. Geb. 4 Mark 50 Pfg.

Gerstenbergk, H. v., Der Holzberechner nach metrischem Masssystem. Tafeln zur Bestimmung des Kubikinhalts von runden, vierkantig behauenen und geschnittenen Hölzern, sowie des Quadratinhalts der letzteren; ferner der Kreisflächen und des Wertes der Hölzer. Siebente Auflage. 8. Geb. 3 Mark 75 Pfg.

Gerstenbergk, H. v., Neuer Steinberechner nach metrischem Masssystem. Mit einem Anhang, enthaltend die wichtigsten Formeln zur Flächen- und Körperberechnung, sowie deren Anwendung auf die Praxis und eine arithmetische Tabelle. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von Ed. Jentzen, Direktor. Mit 36 Textabbildungen. 8. Geb. 2 Mark 50 Pfg.

Geyger, Erich, Die angewandte darstellende Geometrie, umfassend die Grundbegriffe der Geometrie, das geometrische Zeichnen, die Projektionslehre oder das projektive Zeichnen, die Dachausmittelungen, Schraubenlinien, Schraubenflächen und Krümmlinge sowie die Schiftungen. Zweite verbesserte Auflage. Mit 570 Textabbildungen. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Graef, M., Dekorativer Holzbau. Zeitgemässe Entwürfe zur inneren und äusseren Ausgestaltung des Hauses und seiner Umgebung durch Holzarchitektur. Vorlagen von Einzelheiten und Baulichkeiten für die Praxis. Zweite vollständig neubearbeitete Auflage. 36 Foliotafeln mit erläuterndem Texte, gr. 4. ln Mappe. 9 Mark

Graef, A. und M., Die moderne Bautischlerei für Tischler und Zimmerleute, enthaltend alle beim inneren Ausbau vorkommenden Arbeiten des Bautischlers. Dreizehnte vollständig ueubearbeitete Auflage. Mit 63 Text-Holzschnitten und einem Atlas, enthaltend 40 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 10 Mark 50 Pfg. Geb. 13 Mark.

Graef, A. und M., Moderne Ladenvorbaue und Schaufenster mit Berücksichtigung der inneren Einrichtung von Geschäftsräumen. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. 26 Foliotafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Graef, A. und M., Das Parkett. Eine Sammlung von farbigen Vorlagen massiver und fournierter Parkette in einfacher und reicher Ausführung. 24 Foliotafeln mit 300 Mustern nebst ausführlichem Text. gr. 4. In Mappe. 10 Mark.

Graef, A. und M., Moderne Türen und Tore aller Anordnungen. Eine Sammlung von Originalzeichnungen zum praktischen Gebrauch für Tischler und Zimmerleute. Zweite vollständig neubearbeitete Auflage. 24 Foliotafeln in Tondruck, gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Graef, M., Die innere Ausstattung von Verkaufsräumen in Tischlerarbeit. Moderne Ladeneinrichtungen für alle Geschäftszweige. 26 Foliotafeln in Farbendruck. gr. 4. ln Mappe mit erläuterndem Text. 9 Mark.

Graef, A. und M., Werk Zeichnungen für Glaser und Bautischler, insbesondere jede Art von Fenstern und alle damit verwandten Arbeiten zum Zwecke der inneren und äusseren Ergänzung und Ausstattung der Wohnhäuser und anderer Gebäude. Ferner eine grosse Anzahl aller möglichen Profile und Durchschnitte von Fenstern, sowie auch Jalousie-, Roll- und anderer Verschlussläden usw. Zweite verbesserte Auflage. 28 Foliotafeln mit erklärendem Text, gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Gründling, P., Bürgerliche Bauten im Rohbaustil. Ein Skizzen- und Nach-schlagebuch für alle vorkommenden freistehenden und eingebauten bürgerlichen und öffentlichen Bauten, dargestellt in Grundrissen, Fassaden und Teilzeichnungen für Verblendbau-Ausführung. Zweite verbesserte Auflage. 25 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Gründling, P., Neue Garten-Architekturen. Praktische Motive zu Eingängen, Toren, Einfriedigungen, Lauben, Pavillons, Ruheplätzen, Terrassen, Veranden,

Laubengängen nebst 2 Lageplänen zu Garten- und Park-Anlagen. 24 Tafeln mit Text. gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Gründling, P., Moderne Architekturen. Entwürfe zu Miet-, Geschäfts- und Einfamilienhäusern im Stile der Neuzeit. Zum Gebrauche für Baugewerksmeister, Bauunternehmer und Bauherren. 30 Tafeln mit erklärendem Text, gr. 4. In Mappe. 9 Mark.

Gründling, P., Motive für die Gesamt-Innen-Dekoration. Ein Skizzen- und Nachschlagebuch für Architekten, Bauunternehmer usw., enthaltend Darstellung von Arrangements zur Innen-Dekoration der Decken und Wände aller verkommenden Räume des bürgerlichen Hauses. In Gesamt-Ansichten, Grundrissen und Details des Einzel-Ornaments. 25 Tafeln mit erläut. Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Gründling, P., Moderne Wohnhäuser und Tillen. Eine Sammlung von Entwürfen und Darstellungen ausgeführter Bauten zu Miethäusern, W^ohn- und Geschäftshäusern, sowie Einfamilienhäusern und Tillen in der Stadt und auf dem Lande. 30 Tafeln in gr. 4. Mit Text in Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Gründling, P. und Hanne mann, F., Theorie und Praxis der Zeichenkunst für Handwerker, Techniker und bildende Künstler. Eiu Vademekum über alle Zweige und Gebiete des Zeichnens. Vierte Auflage. Mit Atlas von 30 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 9 Mark.

Haass, L., Die Schattenkonstruktionen, die axonometrische Projektion und die Perspektive. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 255 Textabbildungen und 16 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Haberstroh, H., Der Eisenbeton im Hochbau, umfassend: Die für den Eisenbeton verwendeten Baustoffe, die Eiseneinlagen im Eisenbeton, die Zurichtung der Eiseneinlageu, die Grundformen für die Anordnung der Eiseneinlagen und die Schalungen, Steinkonstruktionen mit Eiseueinlage und Ummantelungen von Eisenkonstruktionen, ferner: Leitsätze für die statische Berechnung, Rechnungs-Verfahren mit Beispielen, Formeln für das Entwerfen und einen Anhang von Tabellen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 400 Textabbildungen und 12 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Hintz, L., Die Baustatik. Ein elementarer Leitfaden zum Selbstunterricht und zum praktischen Gebrauch für Architekten, Baugewerksmeister und Schüler bautechnischer Lehranstalten. Vierte neubearbeitete Auflage. Mit einer Tafel und 354 Textabbildungen. Lex.-8. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 9 Mark.

Issel, H., Die landwirtschaftliche Baukunde, umfassend Bauernhäuser und Bauerngehöfte, Gutshäuser und Gutsgehöfte mit sämtlichen Nebenanlagen, Feld-und Hofscheunen, Stallungen für Gross- und Kleinvieh und Gebäude für landwirtschaftliche Gewerbe. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite erweiterte und verbesserte Auflage. Mit 684 Textabbildungen und 24 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Die Baustillehre, umfassend die wichtigsten Entwickelungsstufen der Monumental-ßaukunst in den verschiedenen Stilarten. Mit besonderer Berücksichtigung der massgebenden Einzel-Bauformen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 454 Textabbildungen und 17 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Das Entwerfen der Fassaden, entwickelt aus der zweckmässigen Gestaltung der Einzelformeu und deren Anwendung auf neuzeitliche bürgerliche Bauten in Bruchstein-, Werkstein-, Putz- und Holzarchitektur. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 350 Textabbildungen und 24 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Der Holzbau, umfassend den Fachwerk-, Bohlen-, Block-, Ständerund Stabbau und deren zeitgemässe Wiederverwendung. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite bedeutend erweiterte Auflage. Mit 500 Textabbildungen und 15 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Issel, H., Die Wohmmgsbaukunde (Bürgerliche Baukunde), umfassend das freistehende und eingebaute Einfamilienhaus, das freistehende und eingebaute

Miethaus, das städtische Wohn- und Geschäftshaus und deren innere Einrichtung. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite bedeutend erweiterte und verbesserte Auflage. Mit 583 Textabbildungen und 23 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Jeep, W., Der Asphalt und seine Anwendung in der Technik. Gewinnung, Herstellung und Verwendung der natürlichen und künstlichen Asphalte. Zweite neubearbeitete Auflage, herausgegeben von Prof. Ernst Nöthling, Architekt und Oberlehrer der Kgl. Baugewerkschule zu Deutsch-Krone (Westpr.). Mit 30 in den Text gedruckten Abbildungen, gr. 8. Geh. 6 Mark.

Jeep, W., Die Einrichtung und der Bau der Backöfen. Ein Handbuch für Bau- und Maurermeister, Bäcker und alle diejenigen, welche sich mit dem Bau und Betriebe der Backöfen und Bäckereien befassen. Zweite sehr vermehrte Auflage. Mit einem Atlas von 15 Tafeln. 8. Geh. 5 Mark.

Jeep, W., Einfache Buchhaltung für baugewerbliche Geschäfte. Zum Gebrauche für Bauhandwerker und technische Lehranstalten. Nebst einem Anhang: Die gesetzlichen Bestimmungen über die Arbeiter-Versicherungskassen. Dritte vermehrte und verbesserte Auflage, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Jeep, W., Die Eindeckung der Dächer mit weichen und harten Materialien, namentlich mit Steinen, Pappe und Metall. Eine Anleitung zur Anfertigung der verschiedenen Dacheindeckungen für Schiefer- und Ziegeldecker, Klempner, Bauhandwerker und Bauunternehmer. Vierte Auflage. Mit Atlas von 12 Foliotafeln. 8. Geh. 4 Mark 50 Pfg.

Jeep, W., Die Anfertigung der Kitt- und Klebemittel für die verschiedensten Gegenstände. Zum Gebrauch für Maschinenfabrikanten, Ingenieure, Architekten, Baumeister, Bauunternehmer, Schlosser, Schmiede, Tischler, Drechsler etc. Vi erte völlig veränderte Auflage von Thons Kittkunst, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Jeep, W., Das graphische Rechnen und die Graphostatik in ihrer Anwendung auf Baukonstruktionen. Zum Gebrauche für Baugewerksmeister, Baugewerksschulen usw. Zweite Auflage. Mit Atlas von 35 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 5 Mark.    >

Jentzen, Ed., Die Flächen- und Körperberechnungen. Nebst zahlreichen Beispielen zum praktischen Gebrauch für Bau- und Maschinentechniker. Dritte erweiterte und verbesserte Auflage, herausgegeben von F. Hartmann, Ingenieur in Zerbst. Mit 125 Textabbildungen und Tabellen, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Johnen, Dr. P. J., Elemente der Festigkeitslehre in elementarer Darstellung mit zahlreichen, teilweise vollständig gelösten Uebungsbeispielen, sowie vielen praktisch bewährten Konstruktionsregeln. Für Maschinen- und Bautechniker, sowie zum Gebrauche in technischen Lehranstalten. Mit 176 in den Text gedruckten Abbildungen und mehreren Profiltabellen, gr. 8. Geh. 6 Mark 75 Pfg.

Keller, 0., Das A-B-C des Zimmermanns oder die ersten Begriffe der Zirnmer-kunst für Lehrlinge und angehende Gesellen. Zweite, gänzlich neubearbeitete Auflage. Mit 12 Figurentafeln, kl. 4. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Keller, 0., Kleine Häuser. Eine Sammlung von einfachen und reicheren Entwürfen für Baugewerksmeister, Bauschüler und Bauunternehmer. Fünfte vollständig neubearbeitete Auflage. 30 Tafeln mit Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Keller, 0., Architektonische und konstruktive Details zum Gebrauch für Bauausführende und Schüler des Baufaches. 10 Grossfoliotafeln mit Text in Mappe. 6 Mark.

Keller, 0., Architektonische Holzverzierungen zum Aussägen. Eine Sammlung von Entwürfen zum praktischen Gebrauch für Architekten und Baugewerksmeister, sowie als Wandtafelvorlagen für Fachschulen. Dritte vermehrte Auflage. 10 Tafeln in grösstem Folioformat in Mappe, gr. 4. 5 Mark.

Keller, 0., Yorlegeblätter für das Tiefbauzeichnen zum Gebrauche an Tiefbauschulen. 26 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 5 Mark.

Kellers tJnterrichtsbücher für das gesamte Baugewerbe. Für Praxis, Selbstunterricht und Schulgebrauch.

Band 1. Die Mathematik I. Gemeine Arithmetik und bürgerliches Rechnen, allgemeine Arithmetik sowie Algebra und Trigonometrie. Dritte vermehrte Auflage. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    2. Die Mathematik II. Planimetrie, Stereometrie, darstellende Geo

metrie und Schattenlehre. Vierte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 323 Figuren auf 26 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    2a. Die Mathematik IIa. Perspektive, Schiften, Austragen der Treppen,

Krümmlinge und Steinschnitt. Mit 89 Figuren auf 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„ 3.

Technische Naturlehre, mit besonderer Berücksichtigung der Physik, Baumechanik, Chemie und Baumaterialienlehre. Dritte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 7 Tafeln, enthaltend 77 Figuren. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

»    4.

Die Baukonstruktionslehre I. Steinkonstruktionen, enthaltend die Arbeiten des Maurers und Steinmetzen. Dritte gänzlich neubearbeitete Auflage. Mit 215 Abbildungen auf 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

Die Baukonstruktionslehre II. Holzkonstruktionen, enthaltend die Arbeiten des Zimmerers und Bautischlers. Vierte gänzlich umgearbeitete Auflage. Mit 202 Figuren auf 22 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark. „    6. Die Baukonstruktionslehre III. Enthaltend die Elemente der

Eisenverbindungen sowie die einfachen Konstruktionen des Hoch- und Brückenbaues. Zweite vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 171 Abbildungen auf 10 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

Die Baukonstruktionslehre IV. Enthaltend die Feuerungs- und Heizanlagen, die Ventilation und Beleuchtung für häusliche und gewerbliche Zwecke. Dritte vollständig neubearbeitete Auflage. Mit 12 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„ 8.

Die Bauformenlehre. Enthaltend die Entwickelung und die Verhältnisse der Bauformen, den Fassadenbau und architektonische Einzelheiten mit besonderer Berücksichtigung des modernen Stiles. Dritte neubearbeitete Auflage. Mit 234 Abbildungen auf 20 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    9. Die Tiefbaukunde l. Enthaltend die verschiedenen Gründungsarten

und die Elemente des Wasserbaues. Zweite verbesserte Auflage. Mit 86 Abbildungen auf 8 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

,, 10. Die Tiefbaukunde II. Enthaltend die Feldmesskunst, den Erdbau, den Strassen- und Eisenbahnbau, sowie den städtischen Tiefbau. Zweite verbesserte Auflage. Mit 210 Abbildungen auf 17 Tafeln. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

„    11. Die Tiefbaukunde III. Enthaltend die Baumaschinen und die

Elektrotechnik im Baufach. Bearbeitet von K. v. Auw. Lex.-8. Geb. 1 Mark 50 Pfg.

„    12. Die Allgemeine Baukunde. Die Einrichtung der landwirtschaft

lichen, bürgerlichen, gewerblichen und gemeinnützigen Gebäude. Dritte vermehrte Auflage. Mit 12 Tafeln, enthaltend 160 Figuren. Lex.-8. Geb. 3 Mark.

Kl as en, L., Landhäuser im Schweizer Stil und ähnlichen Stilarten. Eine Sammlung billig zu erbauender Villen für eine oder zwei Familien. 25 Tafeln in Quart mit erläuterndem Text. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Klep sch, Th., Der Fluss-Schiffsbau und seine Ausführung in Eisen, Holz und Komposit-Metall. Ein Wegweiser für Schiffsbauer, Ingenieure, Rhedereien und Schiffsbauunternehmer, nach praktischen Erfahrungen zusammengestellt und mit Tabellen versehen. Z weite Auflage. Mit 9 Foliotafeln, gr. 4. Geh. 3 Mark.

Köllig, A., Ländliche Wohngebäude, enthaltend Häuser für den Landmann, Arbeiter und Handwerker, sowie Pfarr-, Schul- und Gasthäuser mit den dazu erforderlichen Stallungen. Nebst ausführlicher Angabe des zu ihrer Erbauung nötigen Aufwandes an Materialien und Arbeitslöhnen. Fünfte vollständig neubearbeitete Auflage von Paul Gründling, Architekt in Leipzig. Mit einem Atlas, enthaltend 16 Foliotafeln, gr. 8. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 10 Mark.

Ko pp, WT. und Graef, A. und M., Die Arbeiten des Schlossers. Erste Folge. Leicht ausführbare Schlosser- und Schmiedearbeiten für Gitterwerk aller Art. In herrschendem Stil und gangbarsten Verhältnissen, nach genauem Mafs entworfen. Zweite vermehrte Auflage von „Böttger und Graefs Arbeiten des Schlossers“. 24 Foliotafeln, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Kreuzer, Herm., Farbige Bleiverglasungen für Profan- und Kirchenbauten.

Für Architekten und praktische Glaser.

Zweite Auflage. 10 Blatt Folio in Farbendruck. Geh. 5 Mark.

I. Sammlung: Profanbauten.

Kühn, A. und Rolide, H., Entwürfe für Gast- und Logierhäuser in Bade-und Luftkurorten. 26 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Lande, R., Stadt- und Landhäuser. Eine Sammlung von modernen Entwürfen in gotischen Formen. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten, Perspektiven und Teilzeichnungen mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 24 Tafeln mit Text in Mappe, gr. 4.    7 Mark 50 Pfg.

Lande, R., Villa und Stadthaus. Eine Sammlung von Entwürfen und ausgeführten Bauten in Formen der Renaissance und des Barockstils. Dargestellt durch Grundrisse, Ansichten, Perspektiven und Teilzeichnungen mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 24 Tafeln mit Text in Mappe, gr. 4. 7 Mark 50 Pfg.

Lande, R. und Krause, 0., Mein Haus — meine Welt. Eine Sammlung von Entwürfen für Einfamilienhäuser. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten und Perspektiven mit Aufstellung der annähernden Baukosten. 25 Tafeln mit Text. gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Lindner, M., Die Technik des Blitzableiters. Anleitung zur Herstellung und Prüfung von Blitzableiteranlagen auf Gebäuden jeder Art; für Architekten, Baubeamte und Gewerbetreibende, die sich mit Anlegung und Prüfung von Blitzableitern beschäftigen. Mit 80 Abbildungen, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Manega, R., Die Anlage von Arbeiterwohnungen vom wirtschaftlichen, sanitären und technischen Standpunkte, mit einer Sammlung von Plänen der besten Arbeiterhäuser Englands, Frankreichs und Deutschlands. Dritte neubearbeitete Auflage, herausgegeben von Pani Gründling, Architekt in Leipzig. Mit einem Atlas von 16 Tafeln, enthaltend 176 Figuren, gr. 8. Geh. 7 Mark 50 Pfg.

Mii lila u, P., Tore, Türen, Fenster und Glasabschlüsse im Stile der Neuzeit. Eine Sammlung mustergültiger Original-Entwürfe von Toren, Haus-, Zimmer-und Korridortüren, Windfängeu, Glasabschlüssen, Fenstern und Wandvertäfelungen in einfacher und reicher Ausführung. Zum unmittelbaren Gebrauch für die Praxis bearbeitet. 30 Tafeln mit erkl. Text. gr. 4. ln Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Müller, W., Der Bau eiserner Treppen. Eine Darstellung schmiedeeiserner Treppen mit besonderer Berücksichtigung der neuesten Konstruktionen. Vierundzwanzig Tafeln und 2 Detailblätter, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Müller, W., Der Bau steinerner Treppen. Eine Darstellung steinerner Treppen in praktischen Beispielen mit besonderer Berücksichtigung der neuesten Konstruktionen. 24 Tafeln und 4 Blätter mit Teilzeiehuungen in natürlicher Grösse, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Neupert, F., Geschäftshäuser. Eine Sammlung von Entwürfen zu eingebauten Geschäfts- und Lagerhäusern für grössere und kleinere Städte. 25 Tafeln mit erklärendem Text in Mappe, gr. 4. 9 Mark.

Nieper, F., Das eigene Heim. Eine Sammlung von einfachen, freistehenden Einfamilienhäusern. Dargestellt durch Grundrisse, Schnitte, Ansichten und Perspektiven. 26 Tafeln mit erklärendem Text. gr. 8. In Mappe. 3 Mark.

Nöthling, E., Die Baustoff lehre, umfassend die natürlichen und künstlichen Bausteine, die Bauhölzer und Mörtelarten, sowie die Verbindungs-, Neben- und Hilfsbaustoffe. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 30 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Nöthling, E., Die Eiskeller, Eishäuser und Eisschränke, ihre Konstruktion und Benutzung. Für Bautechniker, Brauereibesitzer, Landwirte, Schlächter, Konditoren, Gastwirte u. s. w. Fünfte umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 161 Figuren, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Nöthling, E., Der Schutz unserer Wohnhäuser gegen die Feuchtigkeit. Ein

Handbuch für praktische Bautechniker, sowie als Leitfaden für den Unterricht in Baugewerksschulen. Mit 24 eingedruckten Figuren, gr. 8. Geh. 1 Mark 20 Pfg.

Opderbecke, A., Der innere Ausbau, umfassend Türen und Tore, Fenster und Fensterverschlüsse, Wand- und Deckenvertäfelungen, Treppen in Holz, Stein und Eisen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite erweiterte Auflage. Mit600Textabbildungen und 7 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6Mark.

Opderbecke, A., Die Bauformen des Mittelalters in Sandstein. 36 Blatt in Folio mit Text in Mappe. Zweite Auflage. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die Bauformenlelire, umfassend den Backsteinbau und den Werksteinbau für mittelalterliche und Renaissance-Formen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite vervollständigte Auflage. Mit 537 Textabbildungen und 18 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die allgemeine Baukunde, umfassend die Wasserversorgung, die Beseitigung der Schmutzwässer und Abfallstoffe, die Abortanlagen und Pissoirs, die Feuerungs- und Heizungsanlagen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verb. und erweiterte Auflage. Mit694Textabbildungen und 6 zum Teil farbigen Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Dachausmittelungen mit besonderer Berücksichtigung des bürgerlichen Wohnhauses. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. 24 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark.

Opderbecke, A., Der Dachdecker und Bauklempner, umfassend die sämtlichen Arten der Dacheindeckungen mit feuersicheren Stoffen und die Konstruktion und Anordnung der Dachrinnen und Abfallrohre. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verbesserte Auflage. Mit 745 Textabbildungen und 17 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Die Dachschiftungen. Ein Leitfaden für Baugewerkschüler und ausführeude Zimmerer. Mit 69 Textabbildungen und einer Doppeltafel. Zweite verbesserte und erweiterte Auflage. Lex.-8. Geh. 1 Mark. Geb. 1 Mark 75 Pfg.

Opderbecke, A., Darstellende Geometrie für Hochbau- und Steinmetz-Techniker, umfassend: Geometrische Projektionen, die Bestimmung der Schnitte von Körpern mit Ebenen und unter sich, das Austragen von Treppenkrümmlingen und der Anfängersteine bei Rippengewölben, die Schattenkonstruktionen und die Zentralperspektive. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. 32 Tafeln mit 186 Einzelfiguren und erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark 75 Pfg.

Opderbecke, A., Der Maurer, umfassend die Gebäudemauern, den Schutz der Gebäudemauern und Fussböden gegen Bodenfeuchtigkeit, die Decken, die Konstruktion und das Verankern der Gesimse, die Fussböden, die Putz- u. Fugearbeiten. Für den Schulgebrauch u. die Baupraxis bearbeitet. Mit 743 Textabbild, und 23 Tafeln. Dritte vermehrte Auflage. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Opderbecke, A., Stadt- und Landkirchen nach Entwürfen und Ausführungs-Zeichnungen hervorragender Architekten zusammengestellt und bearbeitet. 24 Tafeln mit erklärendem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark.

Opderbecke, A., Das Veranschlagen im Hochbau, umfassend die Grundsätze für die Entwürfe und Kostenanschläge, die Berechnung der hauptsächlichsten Baustoffe, die Berechnung der Geldkosten der Bauarbeiten und einen Bauentwurf mit Erläuterungsbericht und Kostenanschlag. Für den Schul-

gebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 20 Textabbildungen und 22 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

©pderbecke, A., Der Zimmermann, umfassend die Verbindungen der Hölzer untereinander, die Fachwerkwände, Balkenlagen, Dächer einschliesslich der Schiftungen und die Baugerüste. Für den Schulgebrauch u. die Baupraxis bearbeitet. Vierte vermehrte Auflage. Mit 912 Textabbildungen und 27 Tafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

©pderbecke, A. und Wittenbecher, H., Der Steinmetz, umfassend die Gewinnung und Bearbeitung natürlicher Bausteine, das Versetzen der Werksteine, die Mauern aus Bruch-, Feld- und bearbeiteten Werksteinen, die Gesimse, Maueröffnungen, Hausgiebel, Erker und Baikone, Treppen und Gewölbe mit Werksteinrippen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 609 Textabbildungen und 7 Doppeltafeln. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Rebber, W., Fabrikanlagen. Ein Handbuch für Techniker und Fabrikbesitzer zur zweckmässigen Einrichtung maschineller, baulicher, gesundheitstechnischer und unfallverhütender Anlagen in Fabriken, sowie für die richtige Wahl des Anlageortes und der Betriebskraft. Neubearbeitet von C. G. 0. Deckert, Ingenieur. Zweite vermehrte Auflage, gr. 8. Geh. 3 Mark 75 Pfg.

Reich, A., Der städtische Tiefbau, umfassend die Bebauungspläne, die Befestigung der Strassen, die Reinigung der Strassenflächen und Beseitigung des Kehrichts, die Wasserversorgung der Städte, die Entwässerungsanlagen der Städte und die Reinigung und Beseitigung städtischer Abwässer. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 386 Textabbildungen und 5 Tafeln. Lex.-8. Geh. 6 Mark. Geb. 7 Mark 50 Pfg.

Reinnel’s, F., praktische Vorschriften für Maurer, Tüncher, Haus- und Stubenmaler, Gips- und Stuckaturarbeiter, Zementierer und Tapezierer, zum Putzen, Anstreichen und Malen der Wände, Anfertigung von baulichen Ornamenten aus Kunststein, Zement und Gips, zur Mischung der verschiedenartigen Mörtel, Anstriche auf Holz, Eisen usw. Dritte Auflage, vollständig neubearbeitet von Ernst Nöthling, Architekt und Kgl. Baugewerkschullehrer. Geh. 4 Mark 50 Pfg.

Ritter, C., Die gesamte Kunstschmiede- und Schlosser-Arbeit. Ein Muster-und Nachschlagebuch zum praktischen Gebrauch für Schlosser und Baumeister, enthaltend: Türen und Tore, Geländer und Gitter aller Art, Bekrönungen und Füllungen, Bänder und Beschläge u. dergl. in einfacher und reicherer Ausführung mit Angabe der gebräuchlichen Mafse. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. 26 Tafeln mit Text. gr. 8. In Mappe. 4 Mark 50 Pfg.

Robrade, H., Taschenbuch für Hochbauteclmiker und Bauunternehmer.

Fünfte erweiterte Auflage. Mit 232 Textabbildungen. 8. Geb. 6 Mark. Roch, F., Moderne Fassadenentwürfe. Eine Sammlung von Fassaden in neuzeitlicher Richtung. Unter Mitwirkung bewährter Architekten herausgegeben. 24 Tafeln, gr. 4. In Mappe. 7 Mark 50 Pfg.

Schloms, 0., Der Schnittholzberechner. Hilfsbuch für Käufer und Verkäufer von Schnittmaterial, Zimmermeister und Holzspediteure. Zweite Auflage. Geb. 2 Mark.

Schmidt, 0., Die Anfertigung der Dachrinnen in Werkzeichnungen. Mit

Berücksichtigung der in der Abteilung für Bauwesen im Königlich Preussischen Ministerium für öffentliche Arbeiten entworfenen Musterzeichnungen. 12 Planotafeln mit 106 Figuren und erläuterndem Text. In Mappe. 5 Mark. Schüler, R., Die Eisenkonstruktioneu des Hochbaues, umfassend die Berechnung und Anordnung der Konstruktionselemente, der N^ąrbindungen und Stösse der Walzeisen, der Träger und deren Lager, der Decken, Säulen, Wände, Baikone und Erker, der Treppen, Dächer und Oberlichter. Für den Schulgebrauch

Robra de, H., Die Heizungsanlagen in ihrer Anordnung, Berechnungsweise und ihren Eigentümlichkeiten mit besonderer Berücksichtigung der Zentralheizung und der Lüftung. Ein Hilfsbuch zum Entwerfen und Berechnen derselben. Mit 117 Abbildungen, gr. 8. Geh. 4 Mark.

Robrade, H ¹

und die Baupraxis bearbeitet. Zweite verbesserte Auflage. Mit 833 Textabbildungen und 18 Tabellen. Lex.-8. Geb. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Schöler, R., Die Statik und Festigkeitslehre des Hochbaues einschliesslich der Theorie der Beton- und Betoneisenkonstruktionen. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 570 Textabbildungen, 13 zum Teil farbigen. Tafeln und 15 Querschnittstabellen. Lex.-8. Geh. 5 Mark. Geb. 6 Mark.

Schräder, L., Her Fluss- und Stromhau mit besonderer Berücksichtigung der Vorarbeiten. Mit 7 Foliotafeln, gr. 4. Geh. 3 Mark 75 Pfg.

Schubert, A., Diemenschuppen und Feldscheunen, ihre zweckmässige Konstruktion, Ausführung und deren Kosten, für Landwirte und Techniker. Mit 20 Textillustrationen und 8 Tafeln, gr. 8. Geh. 1 Mark 80 Pfg.

Schubert, A., Kleine Stallbauten, ihre Anlage, Einrichtung und Ausführung. Handbuch für Baugewerksmeister, Bautechniker und Landwirte. Mit 97 Textfiguren und 3 Kostenanschlägen, gr. 8. Geh. 2 Mark 50 Pfg.

Schubert, A., Landwirtschaftliche Raukunde. Ein Taschenbuch, enthaltend technische Notizen, sowie Tabellen und Kostenangaben zum unmittelbaren Gebrauch beim Entwerfen und Veranschlagen der wichtigsten landwirtschaftlichen Bauten. Für Techniker, technische Schulen und Landwirte. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage. 8. Geb. 1 Mark 80 Pfg.

Scriba, E., Moderne Bautischlerarbeiten. Eine Sammlung mustergültiger Entwürfe zum Ausbau der Innenräume im Stile der Neuzeit. 24 Tafeln mit erläuterndem Text. gr. 4. Geh. 6 Mark. Geb. 8 Mark.

Seidel, Fr., Sprüche für Haus und Gerät. 12. Geh. 2 Mark.

Seyffarth, C. v., Modell der zeichnerischen Darstellung für ein freistehendes bürgerliches Einfamilienhaus. Dargestellt durch Zeichnungen im Massstab 1 : 100. Zum Gebrauche beim Unterricht im Entwerfen und Veranschlagen an Baugewerk- und technischen Mittelschulen, sowie zum Privatstudium für Bauschüler. 15 farbige Tafeln mit erklärendem Text. gr. 4. In Mappe. 6 Mark.

Strohmeyer, K., Der Eisenbahnbau, I. Teil, umfassend die Geschichte der Eisenbahn, die amtlichen Vorschriften, das Aufsuchen einer Eisenbahnlinie, die Vorarbeiten, den Unterbau, den Schutz der Eisenbahnen gegen Wasser, Frost, Feuer und Schnee, die Wegübergänge in Schienenhöhe, den Oberbau, insbesondere der preuss. Staatsbahn, die Weichen. Drehscheiben und Schiebebühnen, die Betriebsmittel, die Signalordnung, den Eisenbahnbetrieb, die Unterhaltung des Oberbaues. Für den Schulgebrauch und die Baupraxis bearbeitet. Mit 312 Textabbildungen und 8 Tafeln. Lex.-8. Geh. 6 Mark. Geb. 7 Mark 50 Pfg.

Tor min, R., Der Bauratgeber. Ein alphabetisch geordnetes Nachschlagebucb für sämtliche Baugewerbe. Neubearbeitet von Professor Ernst Nöthling, Architekt und Oberlehrer an der Königl. Baugewerkschule zu Hildesheim. Mit 206 Textabbildungen. Vierte bedeutend erweiterte Auflage von Tormins, Bauschlüssel. Lex.-8. Geh. 7 Mark 50 Pfg. Geb. 9 Mark.

Torrn in, R., Kalk, Zement und Gips, ihre Bereitung und Anwendung zu baulichen, gewerblichen und landwirtschaftlichen Zwecken, wie auch zu Kunstgegenständen. Für Zement- und Kunststein-Fabrikanten, Techniker, Architekten, Maurermeister, Fabrikbesitzer usw. Vierte bedeutend erweiterte Auflage,

% bearbeitet von Professor Ernst Nöthling, Architekt, gr. 8. Geh. 3 Mark.

Weicliardt, C., Motive zu Garten-Architekturen. Eingänge, Veranden, Brunnen, Pavillons, Bäder, Brücken, Ruheplätze, Volieren usw. 25 Blatt, enthaltend 20 Projekte und etwa 100 Skizzen in Randzeichnungen, nebst 6 Tafeln Details in natürlicher Grösse. Folio in Mappe. 12 Mark.

äuden usw. Neunte neu durchgesehene und vermehrter Mark 25 Pfg.

Zinimermanns-Sprüche und Kranzreden, die mustergültigsten, beim Richten neuer Gebäude, namentlich von bürgerlichen Wohn- und Wirtschaftsgebäuden, Kirchen, Türmen, Gerichtsgdfciuden, Rathäusern, Waisen-, Schul- und Pfarrhäusern, Hospitälern, Fabrji^R»

Auflage. 12_ GjXÏÏz

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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