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HANDBUCH

DER

INGENIEURWISSENSCHAFTEN

in fünf Bänden.

Zweiter Band :

Der Brückenbau.

Herausgegeben von

Th. Landsberg, in erster und zweiter Auflagevon

Th. Schaffer und Ed. Sonne.

Zweite Abteilung.

JDrittc vermehrte Auflage.

Leipzig.

Verlag von Wilhelm Engelmann. ] 901.

DER

BRÜCKENBAU.

Handbuch der Ingenieurwissenschaften % Band.

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Zweite Abteilung.    i f

Die eisernen Brücken im allgemeinen. Theorie der eisernen Balkenbrücken.

Bearbeitet von

J. E. Brik, Th. Landsberg und Fr. Steiner, / horausgegeben von

Th. Landsberg*,

Geh. Bauvat, Professor an der Technischen Hochschule in Darmstadt,

in erster und zweiter Auflage von

Dr. Th. Schaffer,

und

Ed. Sonne,

Geheimerat in Darmstadt.

Geh. Baurat, Professor an der Technischen Hochschule in Darmstadt.

Dritte vermehrte Aixflag-e.

Mit 186 Textfiguren, Sachregister und 6 lithographierten Tafeln.

Leipzig*.

Verlag von Wilhelm Engelmann.

1901.

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Alle Rechte, insbesondere das Recht der Übersetzung, sind Vorbehalten.

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Vorwort zur dritten Auflage.

Die Herausgabe 'der zweiten Abteilung des Brückenbaues ist durch ungünstige Verhältnisse unliebsam verzögert worden; insbesondere waren die vielfachen dienstlichen und aufserdienstlichen Arbeiten des Professor Steiner in Prag, dessen wiederholtes Kranksein und neuerdings erfolgtes Ableben der rechtzeitigen Fertigstellung im Wege. Professor Steiner, dessen Hinscheiden wir tief beklagen, hat in der zweiten Auflage den gröfsten Teil der zweiten Abteilung (drei wichtige Kapitel) bearbeitet; in der vorliegenden 3. Auflage ist das wesentlich umgearbeitete und mit wichtigen Zusätzen bereicherte Kapitel VIII, die „Theorie der eisernen Balkenbrücken“, aus seiner Feder.

Der vorliegende Band bildet nach der neuen Einteilung die zweite Abteilung des Brückenbaues ; er umfafst die beiden Kapitel „Die eisernen Brücken im allgemeinen“ und die „Theorie der eisernen Balkenbrücken“. Die dritte Abteilung soll die beiden Kapitel „Konstruktion der eisernen Balkenbrücken“ und „Die Brückenbahn“ umfassen und binnen Jahresfrist erscheinen. Die Teilung der früheren zweiten Abteilung in der vorbesprochenen Weise war geboten, um das Erscheinen des Bandes nicht weiter zu verzögern; sie ist aber auch aus sachlichen Gründen zweckmäfsig.

Es hätte der neueren Auffassung vielleicht mehr entsprochen, wenn die Theorie der eisernen Balkenbrücken gemeinsam mit der Theorie der eisernen Bogen- und Hängebrücken behandelt worden wäre; mit Rücksicht jedoch auf die Entwickelung des Handbuches und die praktische Verwendbarkeit desselben ist die alte, bewährte Einteilung beibehalten worden. Dagegen wurde der Abschnitt über Zusatzkräfte und Nebenspannungen, welcher in der zweiten Auflage einen Teil des Kapitels „Theorie der eisernen Balkenbrücken“ bildete,

von diesem Kapitel abgetrennt. Dieser Abschnitt bildet ein Sondergebiet für sich und soll demnächst in einem besonderen Kapitel vorgeführt werden. Dabei wird es dann möglich sein, die ZusatzspaDnungen bei allen Arten von Brücken, sowohl bei den Balkenbrücken, wie den Bogen- und Hängebrücken gemeinsam zu behandeln.

Darmstadt, im September 1901.

Th. Landsberg.

Handbuch des Brückenbaues.

Übersicht des Inhaltes der einzelnen Kapitel.

Erste Abteilung.

I. Die Brücken im all gemeinen.

II. Steinerne Brücken.

III. Ausführung und Unterhaltung der steinernen Brücken. IY. Hölzerne Brücken.

Y. Wasserleitungs- und Kanal-Brücken.

YI. Die Kunstformen des Brückenbaues.

Zweite Abteilung.

VII. Die eisernen Brücken im allgemeinen.

VIII. Theorie der eisernen Balkenbrücken.

Dritte Abteilung.

IX. Konstruktion der eisernen Balkenbrücken.

X. Die Brückenbahn.

Vierte Abteilung.

XI. Bewegliche Brücken.

Fünfte Abteilung.

XII. Theorie der eisernen Bogenbrücken und der Hängebrücken.

XIII.    Konstruktion der Hängebrücken.

XIV.    Konstruktion der eisernen Bogenbrücken.

Sechste Abteilung.

XY. Eiserne Brückenpfeiler.

XYI. Ausführung und Unterhaltung der eisernen Brücken.

Seite

Inh alts -Verzeichnis

der zweiten Abteilung.

VII. Kapitel.

Die eisernen Brücken im allgemeinen.

Bearbeitet von J. E. Brik, k. k. Hofrat, o. ö. Professor an der Technischen Hochschule in Wien, und Th. Landsberg, Geh. Baurat, Professor an der Technischen Hochschule in Darmstadt.

(Hierzu Tafel I und 74 Textfiguren.)

§    1. Einleitung

A. Die angreifenden Kräfte.

I. Das Eigengewicht der Brücken.

Allgemeines..................

Das Eigengewicht der Eisenbahnbrücken .    ......

Das Eigengewicht der einzelnen Teile der Eisenbahnbrücken .

Das Eigengewicht der Strafsenbrücken .    .    .    .......

Das Eigengewicht der einzelnen Teile der Strafsenbrücken .    .

Einflufs der bei Annahme des Eigengewichtes gemachten Fehler

11

12

16

II. Die Vejkehrslasten der Brücken.

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Allgemeines...........................

Die Verkehrslasten der Eisenbahnbrücken.................

A.    Hauptbahnen :

a)    Verordnung für die preufsischen Staatsbahnen vom September 1895 .    .    .    .

b)    Bestimmungen für die Reichseisenbahnen in Elsafs-Lothringen von 1897    .    .

c)    Verordnung des österreichischen Handelsministeriums von 1887    .....

d)    Vorschriften in Frankreich vonl891...............

e)    Verordnungen für die schweizerischen Hauptbahnen von 1892 ......

f)    Belastungszug der bayerischen Staatsbahnen .............

g)    Belastungszug der sächsischen Staatseisenbahnen (von 1895)......

h)    Vorschläge von Engesser..................

Aufserge wohnliche Verkehrslasten................

B.    Nebeneisenbahnen........................

C.    Lokaleisenbahnen........................

D. Stellvertretende, gleichförmig verteilte Belastung bei Eisenbahnbrücken .    .

§ 10. Die Verkehrslasten der Strafsenbrücken..............

III. Winddruck und Fliehkraft.

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§ 11. Der Winddruck.....

§ 12. Die Fliehkraft in Krümmungen

IV. Dynamische Wirkungen der Verkehrslasten und sonstige angreifende

Kräfte.

Seite

§ 13. Dynamische Wirkung der bewegten Lasten.................

1.    Form der Bahnlinie für kurze vollwandige Träger .    .........

2.    Wirkung bewegter Lasten auf gröfsere Brücken............

3.    Schwingungsdauer der Brücke. Schwingungsimpulse...........

§ 14. Verschiedene angreifende Kräfte......................

a)    Die Reibungskräfte an den Auflagern................

b)    Die von den überfahrenden Zügen auf die Überbauten übertragenen Kräfte.

Bremskräfte.........................

39

40

44

53

57

57

59

Litteratur

63

B. Der Baustoff und seine Widerstände. Konstruktionselemente.

§ 15. Allgemeines

I. Allgemeine Eigenschaften des Baustoffes mit besonderer Rücksichtnahme auf Elastioität und Festigkeit.

§ 16. Einleitung......

§17. Das Roheisen (Gufseisen).

§ 18. Das Schmiedeisen .    .    .

a)    Das Schweifseisen

b)    Das Flufseisen .

§19. Der Flufsstahl...........

§ 20. Das Flufseisen im Brückenbau der Gegenwart Litteratur............

II. Wiederholte Beanspruchungen. Zulässige Inanspruchnahme.

§ 21. Verhalten von Schweifseisen und Stahl bei wiederholten Anstrengungen. Wohler’s Gesetz.

Bauschinger’s Versuche.......................

§ 22. Zulässige Inanspruchnahme des Eisens...................

104

110

III. Konstruktionsolemente.

§28. Eisensorten

128

1.    Bleche............

2.    Flacheisen. Breit- oder Universaleisen

8. Winkeleisen..........

4.    T-Eisen...........

5.    I-Eisen..........•    .

6.    C-Eisen...........

7.    Quadrant- und Sextant-Eisen .    .    .    .

128

124

125 128

129

132

134

§ 24. Verbindungsmittel ....

1.    Die Gclenkbolzen .

2.    Die Schraubenbolzen

3.    Die Niete ....

135

136

186

137

C. Allgemeine Anordnung der eisernen Brücken.

§ 25. Gröfse und Zahl der Öffnungen....................

1.    Pfeiler aus Mauer werk, eiserner Überbau..............

2.    Eiserne Pfeiler und eiserner Überbau................

a)    Pendelpfeiler und eiserner Überbau..............

b)    Turmpfeiler und eiserner Überbau ..............

c)    Gerüstpfeiler und eiserner Überbau..............

d)    Vergleich der verschiedenen Pfeileranordnungen..........

e)    Einige Formeln für Pfeilergewichte und Kosten..........

§ 26. Ermittelung der Gröfse und Zahl der Öffnungen mit Hilfe graphischer Darstellungen ,    ,

143

144

149

149

150

152

153

154

§ 27.

Allgemeine Grundlagen für die Anordnung des eisernen Überbaues. Hauptbestandteile desselben ..................

Seite

§ 28.

§ 29. § 30. § 31. § 32. § 33.

1.    Hauptteile der eisernen Überbauten..........

2.    Rücksichten auf die Lage der Brücke im Grundrifs.....

3.    Einflufs der Höhenverhältnisse............

4.    Einflufs der Breite................

Anordnung der Hauptträger der Eisenbahnbrücken........

1.    Brücken mit obenliegender Bahn...........

2.    Brücken mit zwischen den Trägern liegender Bahn.....

3.    Einflufs der Fufswege auf die Anordnung der Hauptträger .

4.    Einflufs der Lage der Bahn auf die Wirtschaftlichkeit der Anlage

Anordnung der Brücken für Nebenbahnen...........

Anordnung der Hauptträger der Strafsenbrücken.........

Vereinigte Brücken für Strafsen und Eisenbahnen.........

Allgemeine Anordnung der Zwischenkonstruktionen........

Schiefe Brücken und Fächerbrücken..............

1.    Schiefe Brücken.................

2.    Fächerbrücken..................

Litte ratur......................

158

158

160

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165

176

180

180

181

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191

191

196

197

VIII. Kapitel.

Theorie der eisernen Balkenbrücken.

Bearbeitet von Fr. Steiner, Diplom. Ingenieur, Professor an der deutschen Technischen Hochschule in Prag.

(Hierzu Tafel II his VI und 108 Textfiguren.)

§    1.    Einleitung .......

§    2.    Ebene Tragwerke.....

§    3.    Grundlehren der Formänderung

199

201

204

A. Allgemeine Trägerlehre.

I. Die inneren Kräfte und Arbeitsgröfsen bestimmt belasteter Tragkörper. (Theorie der Yollwandträger.)

Allgemeines............................

Die A.rbeitsgleichung der Formänderung..................

Die inneren Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten Yollstabes Die inneren Kräfte des geraden durch ein ebenes Kraftsystem belasteten Yollstabes .    .

211

214

217

219

II. Innere Kräfte und Arbeitsgröfsen des bestimmt belasteten Fachwerks.

§    8. Allgemeines. Die Arbeitsgleichung des Fachwerks..............

§    9. Das ebene Fachwerk.........................

§ 10. Spannungen in ebenen statisch bestimmten Systemen. Graphische Methoden .    .    .    .    .

§ 11. Rechnungsmäfsige Ermittelung der Spannungen (Bitter’s Methode)........

§ 12. Das räumliche Fachwerk........................

§ 13. Bestimmung der Spannungen im Raumfachwerk...............

III. Die Ermittelung der Formänderung.

§14. Allgemeines. Yerschiebungspläne ebener und räumlicher Kurven.........

§ 15. Yerschiebungspläne des ebenen Fachwerks. Allgemeine Beziehungen .......

§16. Yerschiebungspläne des Raumfachwerks..................

§17. Die Biegungslinie eine Seilkurve der Winkeländerungen.............

1.    Fachwerksträger.......................

2.    Yollwandträger........................

§ 18. Biegungslinien bestimmter Belastungsflächen.................

§ 19. Rechnungsmäfsige Ermittelung der Durchbiegungen für vollwandige und Fachwerksträger

225

227

229

234

235

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241

246

251

253

253

256

259

IY. Theorie der Einflulslinien und Ein fl ufs fläch en.

Seite

§ 20. Einflufsfläche, Einflufslinie....................

§ 21. Kinematische Bedeutung der Einflufszahlen und Einflufslinien .    .....

§ 22. Statische Ermittelung der Einflufslinien von Stabspannungen des Fachwerks .    .

267

273

276

Y. Allgemeine Theorie statisch unbestimmter Tragwerke. § 23. Allgemeines. Yerfahren bei Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke .    .    .

§ 24. Einflufslinien statisch unbestimmter Systeme..............

§ 25. Mathematische und zeichnerische Lösung der Gleichungen.........

278

281

283

B. Trägerlehre im Besonderen.

§ 26. Allgemeines

286

VI. Einfache ebene Balkenträger. Äufsere Kräfte.

§ 27. Stützendrücke, Querkräfte und Momente bei direkter Belastung.........

§ 28. Übersichtliche Darstellung der Querkräfte und der Momente bei direkter Belastung .    .

§ 29. Querkräfte und Momente bei indirekter Belastung..............

§ 30. Ersatz eines Einzellastensystems durch eine gleichmäfsig verteilte Last......

§ 31. Durchbiegung einfacher Träger....................

287

290

299

302

305

VII. Einfache Balken fach werksträger.

§ 32. Allgemeines........

§ 33. Parallelträger. Trapezträger .    .

§ 34. Gekrümmte und vieleckige Gurte . § 35. Mehrfaches Fachwerk (Gitterwerk)

308

315

318

329

VIII. Mehrteilige ebene Träger. Träger mit schwebenden Stützen

(Kragträger).

§ 36. Allgemeines. Ermittelung der äufseren und inneren Kräfte..........

§ 37. Besondere Arten von Ausleger-Fachwerksbrücken..............

IX. Statisch unbestimmte Trag werke.

334

339

§ 38. Allgemeines...................

§ 39. Zeichnerische Behandlung des durchlaufenden Trägers ....

Festpunkte .    .    ..............

Ermittelung der Stützenmomente..........

§ 40. Durchlaufende Träger. Einflufslinien der Momente und Querkräfte Litte ratur...................

342

345

345

346

352

360

Nachtrag¹ zu Kap. VII.

Neueste Belastungsvorschriften für Eisenbahnbrücken:

1.    Vorschriften des Vereins deutscher Eisenbahnverwaltungen........

2.    Belastungsvorschriften der preufsischen Staafsbahnvorwaltung vom April 1901 .    .

367

368

Berichtigungen

368

Sachregister

Atlas von 6 Tafeln, nebst Inhaltsverzeichnis.

VII. Kapitel.

Die eisernen Brücken im allgemeinen.

Bearbeitet von

Joli. E. BSrik.

k. k. Hofrat, o. ö. Professor an der k. k. Technischen Hoohschule in Wien

und

Th. Landsberg,

Geh. Baurat, Professor an der Technischen Hochschule in Darmstadt.

(Hierzu Tafel I und 74 Textfiguren.)

§ 1. Einleitung. Das nachstehende Kapitel schliefst sich an das erste Kapitel dieses Werkes an; auch wird dasselbe durch letzteres hinsichtlich verschiedener Punkte ergänzt. Es ist angezeigt, dieselben hier namhaft zu machen und weiter diejenigen Gegenstände hervorzuheben, welche behufs einer erschöpfenden Besprechung der eisernen Brücken an dieser Stelle eine ausführlichere Behandlung erfordern als dort.

Die §§ 2 bis 5 des ersten Kapitels haben die Grundzüge der geschichtlichen Entwickelung des Brückenbaues im allgemeinen und des Eisenbrückenbaues im besonderen gebracht und es ist nicht beabsichtigt, auf diesen Gegenstand hier zurückzukommen. Dagegen wird sich bei Besprechung der verschiedenen Arten der eisernen Brücken und bei Besprechung der eisernen Pfeiler Gelegenheit finden, eingehendere Mitteilungen über die Geschichte derselben zu machen.

Der Hauptsache nach unabhängig von dem bei einer Brücke verwendeten Hauptbaustoff und aus diesem Grunde hier nicht von neuem zu erörtern sind die folgenden im ersten Kapitel behandelten Punkte :

Die Bemerkungen über die Hauptarten der Brücken, über ihre Benennungen und ihre wesentlichsten Teile (§ 6 des ersten Kapitels), die Voruntersuchungen über Verkehr, über Bodenbeschaffenheit, Bodengestaltung und den ?u überbrückenden Wasserlauf (§§ 7 und 8 desselben), die Besprechung der Lage der Brückenachse und der Brückenbahn, sowie der Breite und der Querschnittsanordnung der letzteren (§§ 9 und 10, bezw. § 13),

die allgemeinen Erörterungen über Pfeilerbau und Überbau (§ 14), über Mittelpfeiler (§ 17), über Endpfeiler, Flügel, Brückenrampen und Treppen (§ 18) und über Nebenanlagen (§19 des ersten Kapitels).

Alles, was über diese Gegenstände als den eisernen Brücken eigentümlich, ergänzend mitzuteilen ist, wird bei geeigneter Gelegenheit in einem der späteren Kapitel Platz finden.

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

Als für die Kenntnis der Eisenbrücken besonders wichtig ist der die Konstruktionssysteme des Überbaues behandelnde § 15 des ersten Kapitels zu bezeichnen, an Avelchen sich in § 16 desselben Erörterungen über die Wahl des Konstruktionssystems und des Baustoffes für den Überbau anschliefsen. Die an erstgenannter Stelle aufgenommenen Untersuchungen gestatten, in Nachstehendem von Balkenträgern, Stützträgern und Hängeträgern, sowie von den verschiedenen Formen derselben, von statisch bestimmten und statisch unbestimmten Systemen, von durchgehenden Trägern, von Trägern mit freiliegenden Stützpunkten, Auslegerträgern u. s. w. als von bekannten Dingen zu sprechen. Auf die Wahl des Konstruktionssystems für den Überbau werden wir bei Besprechung ’ der einzelnen Brückenarten ergänzend zurückkommen. An dieser Stelle sei bemerkt, dafs bei solcher Wahl die Rücksichten auf die äufsere Gestaltung des Bauwerkes mitunter von grofser Bedeutung sind, und es sei daran erinnert, dafs der angemessenen Ausbildung der Formen der Brücken ein besonderes, nämlich das YI. Kapitel (Kunstformen des Brückenbaues) gewidmet ist. Dementsprechend werden ästhetische Erwägungen in den folgenden Abteilungen des Werkes nur vereinzelt Platz finden.

Nunmehr sind die Gegenstände namhaft zu machen, welche im ersten Kapitel zwar bereits besprochen sind, für den vorliegenden Zweck aber eingehender untersucht werden müssen. Dies gilt vor allem von den auf den Überbau der Brücken wirkenden Kräften, welchen die Bauwerke mit Sicherheit widerstehen müssen und welche gewöhnlich „angreifende Kräfte“ genannt werden, also von dem Eigengewicht der Eisenbrücken, den Yerkehrslasten und anderen weiter unten im einzelnen zu bezeichnenden Kräften. Dieselben bedürfen einer nochmaligen und ausführlicheren Behandlung, während wegen anderer verwandter Gegenstände (Einflufs der Temperaturänderungen, Beanspruchung der Pfeiler durch Erddruck, durch Wasser und Eis u. dergl.) auf den § 12 des ersten Kapitels verwiesen werden kann.

Auch die Hauptteile der eisernen Brücken, über welche, wie bereits erwähnt, in § 6 des bezeichneten Kapitels das Notwendige angegeben wurde, sollen zur Abrundung des zu entwerfenden Bildes nochmals und eingehender vorgeführt werden. Ferner bedarf die Besprechung der Zahl und der Gröfse der Öffnungen, welcher § 11 desselben gewidmet ist, einer Ergänzung, insoweit es sich um angemessene Berücksichtigung der Yerminderung der Baukosten der eisernen Brücken handelt. Bedenkt man schliefslich, dafs der Baustoff derselben und die betreffenden Widerstände in der ersten Abteilung dieses Werkes selbstverständlich nicht zu erörtern waren, so ergiebt sich, dafs die in Nachstehendem zu besprechenden Gegenstände im wesentlichen folgende sind.

A. Angreifende Kräfte.

Als auf den Überbau wirkend, sind hauptsächlich ins Auge zu fassen:

1.    Das Eigengewicht,

2.    die Yerkehrslasten,

3.    der Winddruck,

4.    die Fliehkraft,

5.    die dynamische Wirkung der bewegten Lasten,

6.    verschiedene Kräfte (Reibungskräfte an den Auflagern, Bremskräfte etc.),

7.    die Auflager- oder Stützendrücke.

Die unter 7. angeführten Stützendrücke fallen nicht in den Rahmen der nachstehenden Untersuchungen, über diese werden das YUL, XI. und XII. Kapitel das Erforderliche bringen.

B. Baustoff und Widerstände der Baustoffe. Konstruktionselemente.

Im Abschnitt B. sind zu -erörtern :

Die allgemeinen Eigenschaften der verschiedenen Arten des Eisens mit besonderer Rücksicht auf Elasticität und Festigkeit und auf die Verwendung der verschiedenen Eisenarten hei Brückenbauten, das Verhalten der bezeiebneten Baustoffe hei wiederholten Anstrengungen, die zulässige Inanspruchnahme des Baustoffes, die Eisensorten (Bleche, Flacheisen, Winkeleisen u. s. w.), die Verbindungsmittel.

Ausgeschlossen von dieser Besprechung und dem XIII. Kapitel überwiesen sind diejenigen Eisensorten, welche vorzugsweise beim Bau der Hängebrücken Verwendung finden, insbesondere der Eisendraht und die Drahtseile.

Insoweit es sich um Prüfungen der Beschaffenheit des Eisens handelt, welche an bestimmten Eisensorten vorzunehmen sind und dementsprechend als ein Teil der Ausführungsarbeiten auftreten, wird sich das XVI. Kapitel an den Abschnitt B., denselben vervollständigend, anschliefsen.

C. Anordnung der eisernen Brücken.

In diesem Abschnitt wird zunächst die Gliederung dieser Brücken in ihre Hauptbestandteile und sodann dasjenige besprochen werden, was hinsichtlich der Bestimmung der Gröfse und Zahl der Öffnungen den eisernen Brücken eigentümlich ist.

Sodann ist die Anzahl und die Entfernung der Hauptträger der Eisenbrücken eingehend zu erörtern und über die allgemeine Anordnung der Zwischenkonstruktionen das Wesentlichste zu sagen. —

Schliefslich sei noch bemerkt, dafs von den vorliegenden und den folgenden Abteilungen dieses Werkes die Wasserleitungs- und Kanalbrücken ausgeschlossen sind, weil die betreffenden Eisenkonstruktionen im V. Kapitel bereits Berücksichtigung gefunden haben.

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A. Die angreifenden Kräfte.

You Geh. Baurat Prof. Th. Landsberg.

I. Das Eigengewicht der Brücken.

§ 2. Allgemeines. Die Gröfse des Eigengewichtes der eisernen Brücken niufs für die Lösung verschiedener Aufgaben der Ingenieurkunst wenigstens annähernd ermittelt werden können, ohne dafs vorher ein Entwurf durchgearbeitet wird. Beim Entwerfen von Eisenbahnen und Strafsen mufs man für die Kostenüberschläge die Eisengewichte kennen, welche für die verschiedenen möglichen Lichtweiten und Systeme der Brücken erforderlich sind. Für solche Überschläge hat man mehrfach Tabellen oder graphische Darstellungen zusammengestellt auf Grund der Eisengewichte, welche sich bei ähnlichen Bauten ergeben haben; aus diesen Unterlagen kann man mit einer für diesen Zweck ausreichenden Genauigkeit die gewünschten Werte entnehmen. Die Tafel I zeigt eine solche Zusammenstellung, auf welche unter C. näher wird eingegangen werden.

Aber auch für die Bearbeitung des Brückenentwurfes selbst mufs man bereits bei Beginn der Berechnung wenigstens ungefähr die Gröfse des Eigengewichtes kennen, da dieses einen nicht unwesentlichen Teil der zu tragenden Lasten bildet. Einzelne Teile der Brücke, und zwar in den meisten Fällen die schwerst wiegenden, können freilich schon vor der eingehenden Bearbeitung hinreichend sicher festgestellt werden, so-dafs auch deren Gewicht mit grofser Annäherung ermittelt werden kann. Andere Teile aber, und zwar vor allem die Hauptträger, sind in ihren Abmessungen zunächst noch unbekannt. Bei kleinen, ja selbst noch bei mittelgrofsen Brücken ist der Einflufs des Hauptträgergewichtes auf die Gröfse der Querschnitte nicht grofs ; bei den Brücken mit grofsen Licht- und Stützweiten ist das freilich anders. Die Grenze dafür kann nicht scharf angegeben werden; einiges Licht über diese Frage werden die in § 7 (S. 16) folgenden Angaben verbreiten.

Man kann mittels theoretischer Untersuchungen und geleitet durch das Studium ausgeführter Bauwerke Formeln aufstellen, welche gestatten, aus den stets bekannten Gröfsen der Licht- und Stützweite, der Breite, der Anordnung der Fahrbahn u. s. w. das Eigengewicht des Überbaues angenähert zu ermitteln.

Je nachdem es sich um eine mehr oder weniger gröfse Annäherung an die Wirklichkeit handelt, wird man auch die besonderen, bei der zu entwerfenden Brücke vorliegenden Verhältnisse mehr oder weniger in Rechnung ziehen, so die Form der Gurtungen der Hauptträger, das Verhältnis der Mittenhöhe der Hauptträger zu deren Stützweite, die Anordnung der Wand (ob Blech oder Fachwerk, bezw. die Art des Fachwerks), die Lage der Fahrbahn (ob hoch oder tief), den Abstand der Hauptträger, die Quer- und Wind Verstrebung und anderes mehr. Werden alle diese mafsgebenden Gesichtspunkte bei Aufstellung der Formeln berücksichtigt, so werden die Formeln recht unbequem. Derartige Untersuchungen hat das XIY. Kapitel der ersten Auflage dieses Werkes gebracht; der Leser, welcher sich hierüber näher unterrichten will, wird auf dieselben verwiesen.

In den meisten Fällen handelt es sich jedoch nur um eine ungefähre Annahme des Eigengewichtes, besonders dann, wenn die infolge des Eigengewichtes in den ein-

zelnen Trägerteilen auftretenden Spannungen und daraus die Querschnittsgröfsen ermittelt werden sollen; es wird unten gezeigt werden, dafs bei nicht sehr weit gespannten Brücken selbst ein recht grofser Fehler in der Annahme des Gewichtes der Hauptträger — und nur bei diesem sind bei einiger Aufmerksamkeit grofse Fehler möglich — geringen Einflufs auf die Querschnittsbestimmungen hat. Dann aber empfiehlt es sich, möglichst einfache Formeln mit wenig Veränderlichen aufzusuchen; um bei Anwendung solcher Formeln sicher zu gehen, wird es zweckmäfsig sein, nach Vornahme der Berechnung und der Konstruktion das Eigengewicht auf Grund des ausgearbeiteten Entwurfes zu ermitteln und falls das gefundene Ergebnis zu sehr von den Annahmen ab weicht, Verbesserung vorzunehmen. Die Querschnitte sind bei der ersten Konstruktion so anzuordnen, dafs eine Vergröfserung oder Verringerung derselben ohne Schwierigkeit möglich ist.

Die vorstehend empfohlene zweite Berechnung auf Grund der wirklichen Eigengewichte und der gewählten Querschnitte wird besonders nötig bei den neuerdings immer mehr ausgeführten statisch unbestimmten Konstruktionen, bei welchen die Gröfsen der überzähligen Kräfte auch von der Gröfse der Stabquerschnitte abhängen.

Das Eigengewicht des Überbaues setzt sich aus zwei Hauptteilen zusammen: aus dem Gewichte der Fahrbahn nebst Zubehör und aus dem Gewichte der

Hauptträger. Zu dem ersten Teile gehören auch die etwa angeordneten Quer- und Längsträger, welche die Last der Fahrbahn und die Verkehrslast auf die Hauptträger übertragen, die Querversteifungen und Geländer. Die Windverstrebungen und Fufsweg-Ivragträger rechnet man bald zum ersten, bald zum zweiten Teile, je. nach der Anordnung.

Falls die Entscheidung über die zu wählende Fahrbahnkonstruktion und die Breite der Brücke getroffen ist, kann der erste Teil als eine von der Stützweite (nahezu) unabhängige Gröfse angesehen werden. Dagegen ist das Hauptträgergewicht in hohem Mafse von der Stützweite abhängig.

Das Eigengewicht der Brücke wird gewöhnlich in Kilogramm für das laufende Meter Brücke (bezw. für das Flächenmeter Brückenbahn) angegeben und soll in Folgendem stets mit q bezeichnet werden; q setzt sich also für eine bestimmte Querschnittsform der Brücke aus einem von der Stützweite unabhängigen und einem mit der Stützweite veränderlichen Teile zusammen.

§ 3. Das Eigengewicht der Eisenbahnhrftcken. Für überschlägliche Berechnungen können folgende Formeln eingeführt werden : q bedeutet hier das gesamte Eigengewicht für das laufende Meter Gleis, einschlicfslich Oberbau, Windverstrebung, Fufs-weg, Geländer; L ist die Stützweite in Metern. Das Gewicht wird in Kilogramm erhalten.

a) Balkenbrücken für Hauptbahnen (Fachwerksbrücken).

I. Parallelträger auf zwei Stützen, ohne Bettung auf der Brücke.

. . q = 660 + 37 L, . . q = 660 + 39 L.

Für

II. Träger mit einer oder mit zwei gekrümmten Gurtungen, ohne Bettung auf der Brücke (Parabel-, Schwedler-, Pauli-, Halbparabel- u. s. w. Träger).

Für L < 80 m

q = 660 -f- 35 L.

III. Parallelträger wie unter I., jedoch mit Bettung auf der Brücke.

Für L <1 40 m L > 40 m

q = 3240 -f 46 L, q = 3240 + 50 L.

IV. Träger mit einer geraden und einer gekrümmten Gurtung, bezw. mit zwei gekrümmten

Gurtungen, mit Bettung auf der Brücke.

q = 2830 + 41 L.

V. Engesser¹) giebt für das Gewicht der Eisenbahnbrücken auf das laufende Meter Gleis bei Stützweiten zwischen 10 m und 100 m die Formel

q = 650 + 24,5 L + 0,11 L\

Die Formel gilt, falls die Bettung auf der Brücke nicht durchgeführt ist. — Hach den Formeln I bis Y ist folgende Tabelle berechnet; es ist stets auf volle Zehner abgerundet.

Tabelle für die Eigengewichte von Eisenbahnbrücken.

Balkenbrücken (Gewicht f. d. lfd. m Gleis).

Stützweite L =

15

20    30

40

50

60

80

100 120

Bettung nicht auf der Brücke

Parallelträger (Formel I)    1220

Träger mit einer oder zwei gekrümmten Gurtungen (Formel II) 1190 Formel von Engesser (V).    .    . 1040

1400 1770 2140 2610 3000

1360 1710 2060 2410 2760 1270 1590 1910 2230 2550

3780 4560    5340

3460 4160    4860

3190 3830 (4470)

aq W era

Bettung Parallelträger (Formel III) .    .    . 4000 4260 4770 5410 5990 6540 7640 8740

auf der Brücke

9840

kg

Träger mit einer oder mit zwei gekrümmten Gurtungen (Formel IV) 3950

4180

4650 5120 5590 6060

7480 8540

9600

kg

b) Bogenbrücken für Hauptbahnen.

VI. Die Eigengewichte der Bogenbrücken fallen nahezu ebenso grofs aus, wie diejenigen der Balkenbrücken, wenn auch die Hauptträger bei letzteren etwas schwerer sind. Für überschlägliche Berechnungen kann man bei Brücken ohne durchgehende Bettung nach der Formel rechnen:

q = 720 + 30 L.

q ist wieder das Brückengewicht f. d. lfd. m Gleis. Man erhält für

L —    10    15    20    30    40    50    60    80    100 m

q = 1020    1170    1320    1620    1920    2220    2520    3120    3720 kg.

c) Blechbrücken für Hauptbahnen.

Eigengewicht f. d. lfd. m Gleis:

VII. Blechbrticken; Fahrbahn auf den Hauptträgern ohne durchgehendes Kiesbett.

q = 770 ~h 40 L.

Für L = 4    5    6    8    10    12    15 m

q = 930    970    1010    1090    1170    1250    1370 kg.

VIII. Blechbrücken; Fahrbahn zwischen den Hauptträgern, ohne durchgehendes Kiesbett.

q = 1060 + 32 L.

8    10    12    15 m

Für L —    4

<7 — 1190    1220    1250 1320    1380 1450 1540 kg.

IX. Blechbrücken mit durchgehendem Kiesbett. Fahrbahn zwischen den Hauptträgern.

q = 3800 + 55 L.

Für L= 4    5    6    7    8    9    10    12    15 m

q = 4020    4075    4130    4185    4240    4295    4350    4460    4625 kg.

d) Balkenbrücken für Lokalbahnen.

a) Normalspurige Lokalbahnen, auf welche die Lokomotiven der Hauptbahnen nicht übergehen.

. . q = 462 4~ 32 L.

Man kann als Mittelwert für Brücken von 10 bis 50 m Stützweite einführen: Fahrbahn: Holzquerschwellen auf den Hauptträgern q — 292 -}- 31 L. Fahrbahn zwischen den Hauptträgern, auf Quer-und Längsträgern, ohne Bettung

ß) Schmalspurige Lokalbahnen. Spurweite 1,0 m.

. . q = 425 + 27 L.

Fahrbahn: Holzquerschwellen auf den Hauptträgern q — 305 -f~ 26 L. Fahrbahn zwischen den Hauptträgern, auf Quer-und Längsträgern, ohne Bettung

Y) Schmalspurige Lokalbahnen. Spurweite 0,75 m.

Für diese Bahnen und Blechträgerbrücken stellt Lucas²) die nachfolgend angegebenen Formeln auf, in welchen bedeutet:

q das Eigengewicht der Brücke f. d. lfd. m Gleis; q₀ das Eisengewicht „    „    „ „ „ „    „

L die Stützweite in Metern ; 8 die Stärke der Blechwand in Centimetern.

A.    Träger von 10 bis 30 m Stützweite:

aa) Fahrbahn zwischen den Hauptträgern, hölzerne Querschwellen auf Zwischenträgern, Bohlenbelag 4 cm stark:

270 4- (8 4- 108 4- y l) L.

q₀ =

q = 390 + (8 4- 108 + -| L) L,

ßß) Fahrbahn auf einem Kiesbette zwischen den Hauptträgern:

q = 1390 + (9 + 11 8 + 0,4 L) L, q₀ = 330 + (9 + 11 8 + 0,4 L) L.

YY) Fahrbahn auf den Hauptträgern (wird bei der geringen Spurweite aus Rücksichten der Standsicherheit nur selten möglich sein):

q = 250 + (6,5 + 10,28 + 0,5 L) L, q₀ = 120 + (6,5 + 10,2 8 + 0,5 L) L.

B.    Träger von 1 bis 10 m Stützweite.

__q = 50 + 29 L.

’²) Lucas. Studie über die Gewichte von Blechträgern unter spezieller Anwendung auf schmalspurige Eisenbahnen von 0,75 m Spurweite. Civil-Ingenieur 1882.

§ 4. Das Eigengewicht der einzelnen Teile der Eisenbahnbrücken. Für

die einzelnen Teile der Eisenbahnbrücken, die Fahrbahn, die Hauptträger, die Wind-und Querversteifung ergeben sich nachstehende Werte:

a) Das Eigengewicht der Fahrbahn bei Eisenbahnbrücken.

Das Fahrbahngewicht umfafst:

a) Das Gewicht des eigentlichen Oberbaues (Schienen, Schwellen, Bohlenbelag, Bettung u. s. w.) nebst dem des Geländers.

Es kann angenommen werden bei Hauptbahnen :

1 lfd. m Oberbau (Schienen, Schwellen, Belag) und Geländer wiegt: qx = 420 bis 450 kg.

1 lfd. m Oberbau wie vor aber mit Bettung auf der Brücke wiegt: q₁ — 3000 kg bis 3200 kg.

ß) Das Gewicht des Fahrbahngerippes, d. h. der Querträger, Längsträger

2. Ordnung u. s. w.

Es kann eingeführt werden bei Hauptbahnen:

I. Eingleisige Brücke

II. Zweigleisige Brücke

l.

2.

Für das laufende Meter Gleis wiegen

Fahrbahn unten; Hauptträgerabstand von Achse zu Achse im Mittel = 4,5 m

Abstand der Querträger voneinander = e

Fahrbahn oben; Haupt-I trägerabstand von Achse zu Achse im Mittel = 3,0 m

kg

3.

4.

Fahrbahn unten; Abstand der Hauptträgerachsen von einander = 8,0 m im Mittel. '

Abstand der Querträger voneinander = e

Fahrbahn oben; Abstand der Hauptträgerachsen von einander = 5,5 m im Mittel

kg

Die Querträger .    .

240

Die Schwellenträger

24 -I---

e

32 + “ e

450

325

32

32 ä--

e

32 H--¹

e

32 + ^-e

668

66 -f --

e

32 + ^ e

Das Fahrbahngerippe #2 —.....

272

56 -)---

e

1--

77 H--

e

357

64 -f — e

98 +

700

Mittelwerte von q-2 =

Für normalspurige Nebenbahnen kann man einführen:

122

194

150

270

Bei tiefer Fahrbahn: q₂ — 67 -j---—, Mittelwert q₂ = 180 kg,

bei hoher Fahrbahn : q₂ = 45 -j—Mittelwert q₂ — 100 kg.

Das Eigengewicht der Fahrbahn f. d. lfd. m Gleis soll in der Folge mit a bezeichnet werden; dann ist

a = <h + <h

aus vorstehenden Angaben leicht zu ermitteln, sobald die Hauptkonstruktionsverhältnisse festliegen. Man erhält für a die in nachstehender Tabelle aufgeführten Mittelwerte:

Eigengewicht der Fahrbahn f. d. lfd. m Gleis

I. Eingleisige Brücke Fahrbahn auf der Brücke

II. Zweigleisige Brücke Fahrbahn auf der Brücke

ohne Bettung Fahrbahn

mit Bettung Fahrbahn

ohne Bettung Fahrbahn

mit Bettung Fahrbahn

oben

unten

oben

unten

oben

unten

oben

unten

570

640

3120

3400

600

720

3150

3470

Kilogramm

Kilogramm

b) Das Eigengewicht der Hanptträger bei den Eisenbahnbrücken,

a) Gewicht der Hauptträger für Balkenbrücken.

Das Eigengewicht der Hauptträger ist in hohem Mafse von der Stützweite L abhängig ; für vorläufige Überschläge, um welche es sich hier nur handelt, kann man dasselbe der ersten oder der ersten und zweiten Potenz der Stützweite proportional annehmen.

Schwedler²) setzt dasselbe qh — bL.

qh — a -j- ß L -j- y L².

Engesser³) führt ein b bezw. a, ß, q sind Festwerte, welche von der gewählten Trägerkonstruktion, der Fahrbahnanordnung und verschiedenen anderen Umständen abhängen.

Auf Grund theoretischer Untersuchungen erhält Schwedler für b den Ausdruck

(« + P)

C—L '

Hierin bedeutet :

a Das Fahrbahngewicht f. d. lfd. m Gleis (vergl. oben), p die gröfste gleichmäfsig verteilte Verkehrslast f. d. lfd. m Gleis, C einen Festwert.

Als Mittelwerte erhält man:

Für Parallelträger auf zwei Stützen

Für Träger mit einem gekrümmten Gurt und für solche mit zwei gekrümmten Gurtungen

I.

230 — L

II.

a +p 250 — L

Dabei ist das Verhältnis der Höhe zur Stützweite bei den Parallelträgern zu '/s, bei den Trägern unter II. ist das Verhältnis der Mittenhöhe zur Stützweite zu angenommen.

p = 4540 + p = 2840 +

folgende Werte, welche bei den Ausdrücken für das Gesamtgewicht (S. 5 u. 6) berücksichtigt sind:

Wird für L < 40

für L > 40

gesetzt⁴), so erhält man für b

Fahrbahn-

Anordnung

Hauptträger

15

20

30

40

50

60

80

100

120

Bettung nicht auf der Brücke

Parallelträger......

Träger mit einem gekrümmten Gurt bezw. mit zwei gekrümmten Gurten .    .    .    .

34

31

32,5

31,9

32,4

31,8

32

34,2

38,3

44,7

30

29

29,3

28,6

28,6

30

33,2

38

Bettung auf der Brücke

Parallelträger......

Träger mit einem gekrümmten Gurt bezw. mit zwei gekrümmten Gurten .    .    .    .

46

42

45

41

44,7

46

46

47

51,4

58

68

40,75

41,5

41,5

42,2

45,4

50,4

57,7

In die obigen Formeln I bis IY auf S. 5 u. 6 sind Mittelwerte der vorstehend gefundenen eingesetzt.

ß) Gewicht der Hauptträger für Bogenbrücken.

Für Zweigelenk-Bogenträger kann man nach Engesser (Theorie und Berechnung der Bogenfachwerksträger ohne Scheitelgelenk, Berlin 1880, S. 44, 45), folgende Annahmen machen, wobei Wind- und Querversteifung mit berechnet sind:

Für d. lfd. m Gleis beträgt das Gewicht der Hauptträger für L = 10    20    30    40    50    60    70    80    90    100 m Stützweite

qh = 450    750    1050    1350    1650    1950    2250    2560    2890    3280 kg.

Innerhalb der Grenzen L — 10 m bis L = 70 m entsprechen diese Werte der Formel qh = 150 -|- 30 A, wobei A in Metern einzusetzen ist.

Für Bogenträger mit 3 Gelenken kann man die obigen Zahlen werte um 15% vermindert einführen.

c) Das Eigengewicht der Windverstrebung und der Querversteifung

kann für das laufende Meter Gleis gesetzt werden:

Bei eingleisigen Brücken: q^ = 27 -f- 5,0 A, bei zweigleisigen Brücken: qw — 21 -j- 3,7 A.

L ist in Metern einzuführen; man erhält qw in Kilogramm.

d) Angaben über das Eisengewicht eiserner Eisenbahnbrücken.

v. Borries⁸) hat auf Grund ausgeführter Beispiele der preufs. Eisenbahndirektionen das Eisengewicht f. d. lfd. m Brücke bezogen auf ein Gleis und für Brücken mit Balkenträgern auf zwei Stützen ermittelt. Bezeichnet man das Eisengewicht f. d. m eingleisiger Brücke mit q^ so ergab sich für:

A. Brücken ohne durchgehendes Kiesbett.

a) Fachwerksträger:

Fahrbahn auf den Hauptträgern . . qe = 350 -j- 35 A. Fahrbahn zwischen den Hauptträgern . qe = 450 -f- 41 A.

ß) Blechträger:

Fahrbahn auf den Hauptträgern    qe — 350 -j- 40 A.

Fahrbahn zwischen den Hauptträgern . qe — 700 -f- 32 A.

B. Brücken mit durchgehendem Kiesbett.

Y) Blechträger oder Fachwerksträger:

Fahrbahn zwischen den Hauptträgern . qe — 800 -j- 55 A.

Bei B. ist das Kiesbett von Oberkante Buckelplatte bis Schienenunterkante 29 cm stark gerechnet; es sind ferner etwa 8 cm hohe, eiserne Querschwellen angenommen, weil es sich um Bauwerke mit geringer verfügbarer Konstruktionshöhe handelte. Die Untersuchungen von v. Borries bezogen sich auf Strafsenunterführungen, also auf kleinere Weiten, bis zu etwa L — 2Om. ⁵

§ 5. Das Eigengewicht der Strafsenbrücken. Das Eigengewicht der Strafsen-briicken wird zweckmäfsig für das Quadratmeter der Fahrbahn bezw. des Fufsweges angegeben.

a) Balkenbrücken.

Engesser⁷) hat für Strafsenbrücken mit zwei Hauptträgern und zwischen denselben angeordneten Quer- und Längsträgern unter der Annahme, dafs Parallelträger verwendet seien, die nachstehend vorgeführten Formeln ermittelt. Dieselben gelten von

L — 10 m an bis L — 100 m; die Hauptträgerhöhe ist für L — 10 m zu-^-L, für L = 100 m zu - L, für die Zwischenwerte allmählich von — L bis zu —— L abnehmend

1U    ö    1U

angenommen. Die zulässige Inanspruchnahme für ruhende Last allein ist zu 1200 kg, für bewegte Last allein zu 600 kg angenommen.

I. Landstrafsenbrücken mit doppeltem Bohlenbelag.

Eigengewicht für das Quadratmeter der Fahrbahn in Kilogramm: q = 215 + 2,3 L -+ 0,02 L2 (hierin der Bohlenbelag mit 110 kg f. d. qm).

Eisengewicht allein für das Quadratmeter der Fahrbahn in Kilogramm: qx = 105 + 2,3 L -+ 0,02 L\

Sind aufserhalb der Hauptträger noch besondere, mit Holz gedeckte Fufswege, so ist deren Eisengewicht auf das Quadratmeter, einschliefslich der erforderlichen Verstärkung der Hauptträger, aber ausschliefslich der Geländer

q₂ = 60 -+• 2,3 L.

In Folgendem haben q,    und q₂ die gleiche Bedeutung wie vorstehend unter I.

II. Landstrafsenbrücken mit Beschotterung.

q = 590 + 2,8 L 4- 0,025 L2 (hierin der Schotter mit 400 kg f. d. qm). qi = 190 + 2,81 + 0,025 L²

(einschliefslich des Gewichtes der Fahrbahntafel, welches etwa mit 65 kg eingeführt werden kann),

q₂ = 60 -)- 2,3 L.

III. Stadtstrafsenbrücken mit doppeltem Bohlenbelag.

q — 295 -+- 2,7 L + 0,021 L2 (hierin der Bohlenbelag mit 140 kg f. d. qm). qt = 155 + 2,7 L + 0,021 L2 q₂ = 80 + 2,7 L.

IV. Stadtstrafsenbrücken mit Beschotterung.

q = 730 + 3,2 L + 0,028 L (hierin der Schotter mit 480 kg f. d. qm), qx = 250 + 3,2 L + 0,028 L2 (einschliefslich der Fahrbahntafel, welche etwa 80 kg wiegt),

q, - 80 -+- 2,7 L.

V. Stadtstrafsenbrücken mit Pflasterung.

q = 960 + 3,7 L + 0,029 L2 (hierin das Pflaster mit 700 kg f. d. qm).

⁷) Zeitschr. f. Bauk. 1881, S. 63—68.

ß) Bogenbrücken.

qi = 260 + 3,7 L + 0,029 L²

(einschliefslich der Fahrbahntafel, wofür etwa 80 kg einzuführen sind),

q₂ = 80 + 2,7 L.

Vorstehende Formeln können als Annäherungswerte auch dann Verwendung finden, wenn es sich um Träger mit gekrümmten Gurtungen handelt und die Mittenhöhe — L bis ~ L beträgt.

Man kann für überschlägliche Berechnungen das Eigengewicht, auf das Quadratmeter Grundfläche berechnet, einführen wie folgt.

I. Landstrafsenbrticken mit doppeltem Bohlenbelag.

q = 250 + 1,9 L -f- 0,017 L\

Das Gewicht des Bohlenbelags ist in diesem Ausdruck zu 170 kg angenommen, dasjenige des Fahrbahngerippes zu 63 kg f. d. qm.

II.    Landstrafsenbrücken mit Beschotterung.

q = 610 -f 2,1 L + 0,022 L\

Das Gewicht des Schotters und der Fahrbahntafel ist hier zu 510 kg, dasjenige des Fahrbahngerippes zu 70 kg f. d. qm angenommen.

III.    Stadtstrafsenbrücken mit Beschotterung.

q = 655 -f 2,1 L + 0,022 L\

In diesem Ausdruck ist das Gewicht des Schotters und der Fahrbahntafel zu 540 kg, dasjenige des Fahrbahngerippes zu 85 kg f. d. qm angenommen.

IV.    Stadtstrafsenbrücken mit Steinpflasterung.

q = 712 + 6,0 L + 0,01 L\

Hierin ist das Steinpflaster einschliefslich der Fahrbahntafel zu 600 kg, das Fahrbahngerippe zu 100 kg f. d. qm angenommen.

V.    Stadtstrafsenbrücken mit Holzpflasterung.

q = 532 + 5,4 L -f 0,01 U.

Das Holzpflaster einschliefslich der Fahrbahntafel ist zu 420 kg, das Fahrbahngerippe zu 100 kg f. d. qm angenommen.

Das Eigengewicht der etwa noch aufserhalb der Hauptträger angeordneten Fufs-wege kann für die verschiedenen Anordnungen nach den Angaben unter a, S. 11 ermittelt werden.

§ 6. Das Eigengewicht der einzelnen Teile der Strafsenbrücken. Für die

1,0 2 3 5 8 10 20 30 m

2. Wirkung* bewegter Lasten auf gröfsere Brücken. Ang*enäherte Berechnung*.

V 2 g'

I. Allgemeine Eigenschaften des Baustoffes mit besonderer Rücksichtnahme auf

Z=2,5 + ^C + \Si + ±Mn,

Litteratur.

« = 12 (l +4^)

J = -1 [2 S 68 -f (A — 2 S) V].

~jp 4" Q 4" üt h.

Nach der im obigen Sinne geführten Rechnung ergieb

WIVIVI \k K\

% = {J z.dG

Fig. 10.

"Wir wollen nun annehmen, dafs in YII eine weitere

§ 17. Die Biegungslinie eine Seilkurve der Winkeländerungen.

lo) M. Tolle. Die steife Kettenlinie. Zeitschr. d.

V. Allgemeine Theorie statisch unbestimmter Tragwerke.

97x = y H,

Last.

is <jrr<

*, = 4A0f(l-D[1 + 2-V-(1

-1,0 -1,0 -1,0 -4,6 -6,7 -7,9 -1,0t

f Fig. 102.

Zu § 9. Die Yerkehrslasten der Eisenbahiibrücken.

¹

) Zeitschr. f. Bauw. 18 78, S. 203 u. ff.

²

)    Zeitschr. f. Bauw. 1861, S. 307; 1862, S. 300; 1863, S. 115 u. ff.

³

)    Zeitschr. f. Bauw. 1878, S. 203 u. ff.

⁴

⁶) Winkler. Theorie der Brücken, 3. Aufl. S. 330.

⁵

) Centralbl. d. Bauverw. 1897, S. 156.

§ 6. Das Eigengewicht der einzelnen Teile der Strafsenbrücken. Für die

einzelnen Teile der Strafsenbrücken, die Fahrbahn, die Fufswoge und die Hauptträger ergeben sich die nachstehenden Werte:

a) Das Eigengewicht der Fahrbahn

setzt sich aus zwei Teilen zusammen und zwar sind dieselben:

a) Das Gewicht der Fahrbahntafel und Fahrbahndecke,

ß) das Gewicht des Fahrbahngerippes (Querträger, Längsträger, Verstrebung). Wegen der grofsen Verschiedenheit in der Breite der Strafsenbrücken empfiehlt es sich, die Gewichte auf das Quadratmeter der Fahrbahn zu beziehen ; die Multiplikation des betreffenden Wertes mit der Fahrbahnbreite giebt dann leicht das Gewicht für das laufende Meter der Fahrbahn.

iSachstehend sind für eine Anzahl üblicher Fahrbahnanordnungen die Gewichte der Fahrbahntafel und Fahrbahndecke in Kilogramm für das Quadratmeter aufgeführt; dieselben sollen mit q, bezeichnet werden.

1.    Doppelter Bohlenbelag, im Ganzen d cm stark:

Aus Eichen- oder Buchenholz....... =10

aus Nadelholz............. =9

Bei einer Stärke des unteren Belages von 13 cm, des oberen Belages von 6 cm ist demnach................

2.    Buchenbohlen⁸), 8 cm stark, auf eichenen Langschwellen, welche durch

0,5 m voneinander entfernte Zores-Eisen getragen werden......

3.    Doppelter Bohlenbelag aus Kiefernholz, 11 -j-8 cm stark, der obere

Belag mit eisernen Nägeln beschlagen.............

Stahlplatten⁹) auf verzinktem Zores-Eisen........

Schotter auf Zores-Eisen, die Fahrbahndecke über höchster Stelle der

Zores-Eisen 0,2 m stark..................

Schotter auf Wellblech bezw. Trägerwellblech, sonst wie vor ....

Steinpflaster, 16 cm stark, in 5 cm starker Kiesbettung auf 8 mm starken, hängenden Buckelplatten..............

7a. Steinpflaster, wie vor, 12 cm stark, in 6 cm starker Kiesbettung über den höchsten Stellen der Buckelplatten.............

8.    Holzpflaster auf 6 cm starkem Asphaltbeton, über 8 mm starken,

hängenden Buckelplatten, die mit Beton ausgeglichen sind......

9.    Schotter, 20 cm stark auf Ziegelgewölben, 1 Stein stark, einschliefslich

des Gewichtes der I-förmigen "Walzbalken für die Gewölbe.....

10.    Klette’s Fahrbahn, Holzasphaltmasse auf Zores-Eisen......

Desgleichen auf Trägerwellblech...............

11.    Holzpflaster, 13 cm stark in Asphalt auf 10 cm starkem Beton über

einer ebenen, 8 mm starken Blechhaut, welche durch 6 cm hohe, in 60 cm Abstand angeordnete Z-Eisen ausgesteift ist ("Wormser Strafsenbrücke, s. Centralbl. d. Bauverw. 1896, S. 57).............

12.    Holzpflaster, wie vor, auf 12 cm starkem Betongewölbe über glattem,

gebogenem, 5 mm starkem, ausgesteiften Blech, die Gewölbezwickel mit leichterem Beton ausgefüllt, in welchen Drahtnetz gelegt ist (Centralbl. d. Bauvei;w. 1897, S. 190).................

(darunter 60 bis 80 kg Eisen).

s -ö

qi = 170-190 kg

qi = 170 kg

»O

• 05

qi = 237 „ qi = 180 „

qi - 540 „ qi = 510 „

qi = 640 „

qi = 570 „

qi = 420 „

er er er

= 920 „ — 435 „ = 320 „

qi = 440 „

qi = 700 „

Das Gewicht des Fahrbahngerippes für das Quadratmeter der Fahrbahn kann angenommen werden:

.    . q₂ = 100 kg,

. . q₂ = 85 kg,

. . q₂ = 67 kg.

Die vorstehend angegebenen Werte sind Mittelwerte, welche aus den von Winkler (Querkonstruktionon, 2. Aufl.) für Quer- und Längsträger aufgestellten Formeln berechnet sind.

Wenn die Fahrhahntafel (Bohlenbelag, Zores-Eisen, Wellblech u. s. w.) unmittelbar von den Hauptträgern getragen wird, so fällt das Glied q₂ fort.

Nach Yorstehendem kann das Gewicht f. d. lfd. m der Fahrbahn leicht für jede beliebige Fahrbahnanordnung ermittelt werden.

Für sehr schwere Wagen . für schwere Wagen . . . . für leichte Wagen . . . .

⁸)    Centralbl. d. Bauverw. 1881, S. 103.

⁹)    Daselbst.

b) Das Eigengewicht der Fufswege.

Auch das Eigengewicht der Fufswege wird zweckmäfsig für das Quadratmeter der Fufswegfläche angegeben. Das Gewicht des Fufsweggerippes kann für das Quadratmeter angenommen werden, wenn die Fufswege aufserhalb der Hauptträger, also auf Auslegern ruhen, im Mittel = 45 kg, wenn die Fufswege innerhalb der Hauptträger liegen, nahezu wie oben für leichte Wagen = 65 kg.

Nachstehend sind die Eigengewichte für das Quadratmeter Fufsweg für eine Reihe verschiedener Anordnungen zusammengestellt.

Anordnung

Gewicht für das Quadratmeter Fufswegfläche ohne

das Gewicht des Fufsweggerippes

kg .

einschliefslich des Gewichtes des

Fufswege aufserhalb der

Fufsweggerippes

Fufswege zwischen den

Hauptträger

Hauptträgern

kg

kg

1.    Einfach erBohlenbelag aus Eichen- oder Kiefernholz

2.    Steinplatten aus Granit, 15 cm stark.....

3.    Asphalt über Beton auf Belageisen oder Wellblech

bezw. Trägerwellblech...........

4.    Stehende Tonnenbleche bezw. Buckelplatten,

worüber Beton und Asphalt.........

70

115

135

400

230

300

445

465

275

295

345

365

Bezeichnet man die Eigengewichte für das Quadratmeter Fufswegfläche mit q₀, so ist für das laufende Meter Brücke das Eigengewicht von Fahrbahn und Fufswegen, welches mit a bezeichnet werden möge :

a — B (q, + I2) + b Io?

in welchem Ausdruck

B die Breite der Fahrbahn, b die Gesamtbreite beider Fufswege bedeutet.

Unter Benutzung vorstehender Angaben kann man leicht für jede Fahrbahn- und Fufsweganordnung den Wert von a ermitteln.

Beispiele: 1. Es sei die Breite der Fahrbahn B — 8 m, jederseits ein ausgekragter Fufsweg von 2,5 m Breite, also b = 2.2,5 = 5,0 m. Die Fahrbahn soll mit Holzpflaster auf Beton (nach Ko. 11, S. 13) und für sehr schwere Wagen hergestellt werden; die Fufswege erhalten Asphalt auf Beton und Belageisen (nach Ko. 3, S. 14). Dann ist qi = 440 kg, q2 = 100 kg, qo = 275 kg, mithin das Gewicht der Fahrbahn, des Gerippes und der Fufswege f. d. lfd. m der Brücke:

a = 8 . (440 -j- 100) -f 5.275 = 5695 kg, abgerundet 5700 kg.

Werden zwei Hauptträger verwendet, so entfällt auf d. lfd. m jeden Hauptträgers:

y = 2850 kg.

2. Die Fahrbahnbreite betrage B = 5,5 m, jederseits befinde sich zwischen den Haupttragwänden ein Fufsweg von 1,25 m Breite, d. h. es sei b — 2,5 m. Die Fahrbahn werde aus doppeltem, kiefernem, im Ganzen 18 cm starken Bohlenbelag, der Fufsweg aus einfachem Bohlenbelag hergestellt; es verkehren auf der mit Querträgern und Längsträgern zu erbauenden Brücke schwere Wagen. Dann kann das Gewicht der Fahrbahn einschliefslich des Gerippes und der Fufswege f. d. lfd. m Brücke angenommen werden zu:

a = 5,5 . (9 . 18 + 85) + 2 . 1,25 . 135 = 1696 kg, abgerundet a = 1700 kg.

c) Das Eigengewicht der Hanptträger der Strafsenbrücken.

a) Gewicht der Hauptträger für Balkenbrücken.

Wendet man das entsprechende Verfahren an, wie oben unter § 4 b, S. 9 bei den Hauptträgern der Eisenbahnbrücken, so erhält man das Gewicht der Hauptträger für das Quadratmeter Grundfläche der Fahrbahn qh. Für einige besonders häufige Anordnungen kann man nachstehende Mittelwerte verwenden.

Die Stützweiten L sind in Metern einzuführen; man erhält die Hauptträgergewichte für das Quadratmeter Fahrbahn bezw. Fufsweg.

Gewichte der Hauptträger für das Quadratmeter Grundfläche.

Anordnung der Fahrbahn

Parallelträger

Träger mit ein bezw. zwei gekrümmten Gurtungen.

I. Landstrafsenbrücken mit doppeltem Bohlenbeläge II. Landstrafsenbrücken mit Schotter auf eiserner

Fahrbahntafel.............

III. Städtische Strafsenbrücken mit Schotter auf eiserner Fahrbahntafel...........

IY. Städtische Strafsenbrücken mit Steinpflaster auf Kiesbettung; Fahrbahntafel aus Buckelplatten Y. Für Fufswege kann gerechnet werden als Hauptträgergewicht auf das Quadratmeter Fufsweg .    .

qh' = 3,45 L

qh‘ = 3,12 L

qh — 5,5 L

qh‘ = 6,1 L

qh“ = 3,84 L

qh' = 5,0 L

qh' = 5,5 L

qh¹ = 6,1 L

qh“ = 3,45 L

ß) Gewicht der Hauptträger für Bogenbrücken.

Bezeichnet¹⁰)

JB die Breite der Brücke in Metern, z die Anzahl der Hauptträger,

Y einen von der Stützweite und der Fahrbahnanordnung abhängigen Wert, so ist das Gewicht der Hauptträger bei Zweigelenkbogen für das laufende Meter Brücke,

qh = (y . B -f- 35 z) Kilogramm.

Die Werte q können, wie in nachstehender Tabelle angegeben ist, eingeführt werden.

L = ! 10    20    30    40    50    60    70    80    90    100 m

4 ahrbahn mit doppeltem Bohlenbelag ..........

Fahrbahn mit Beschotterung.

oc to tO GO

CO 03 iO CO

80    110    144

94    129    168

180 220    260    305

209    255    300    350

355

410

Bei vorstehenden Zahlenwerten ist das Pfeilverhältnis von */, bei L = 10 m bis yn für L — 100 m abnehmend angenommen.

Für Bogenbrücken mit drei Gelenken kann man die obigen Zahlenwerte um 15 °/₀ vermindert einführen.

Für eine 50 m weite, 8 m breite Strafsenb rücke mit beschotterter Fahrbahn kann man demnach setzen, falls 4 Plauptträger — Zweigelenkbogenträger — verwendet werden, qh — 168.8 -f 35.4 = 1484 kg auf das Meter der Brücke.

¹⁰) Engesser. Theorie und Berechnung der Bogenfachwerksträger ohne Scheitelgelenk. Berlin 4880.

S. 44 u. 45.

§ 7. Einflufs der bei Annahme des Eigengewichtes gemachten Fehler. Es ist von Interesse, zu untersuchen, welchen Einflufs die bei Annahme des Eigengewichtes gemachten Fehler auf die Querschnittsbestimmung bezw. auf die in den Stäben erzeugten Spannungen ausüben. Solche Fehler können nie vermieden werden; sie werden im allgemeinen um so gröfser ausfallen, je einfacher die verwendeten Formeln sind. Kann man nachweisen, dafs selbst bedeutende Fehler in diesen Annahmen nur geringen Einflufs haben, so ist damit auch bewiesen, dafs einfache Formeln zulässig sind. In der zweiten Auflage dieses Handbuches ist in Kap. YII eine derartige Untersuchung für eingleisige Eisenbahnbalkenbrücken geführt und nachgewiesen, dafs selbst bedeutende Fehler in der Annahme des Gewichtes der Hauptträger keinen wesentlichen Einflufs haben — und bei einiger Yorsicht sind nur in der Annahme des Eigengewichtes der Hauptträger gröfsere Fehler möglich, nicht aber in derjenigen des Fahrbahngewichtes. Es ist an der angegebenen Stelle nachgewiesen, dafs ein Fehler von 25°/o bei Annahme des Eigengewichtes der Hauptträger eine Erhöhung A 1c der Spannung in den Gurtstäben (gegenüber der rechnungsmäfsigen) zur Folge hat, welche beträgt bei einer Stützweite:

L =    10    20    30    40    50    60    70    80 m

Mc=    1,0    2,0    3,0    4,0    5,0    5,7    6,7    7,4 °/o.

Erst bei 50 m weiten Brücken beläuft sich die Spannungserhöhung in den Gurtstäben auf 5°/o. Bei den Diagonalen beträgt mit demselben Fehler von 25°/o die Spannungserhöhung A ki ungünstigsten-falls bei einer Stützweite:

L =    10    20    30    40    50    60    70    80 m

Afci=    0,8    1,7    2,7    3,5    4,4    5,4    6,0    6,8%.

Sowohl bei Berechnung der Gurtstäbe wie der Diagonalen ist demnach die Folge selbst grofser, bei Annahme des Hauptträgergewichtes gemachter Fehler verhältnismäfsig gering, demnach die Anwendung einfacher Gewichtsformeln für die Berechnung der Spannungen unbedenklich. — Dasselbe gilt in erhöhtem Mafse für Strafsenbrücken, weil bei diesen das Hauptträgergewicht gegenüber dem Fahrbahngewicht viel kleiner ist, als bei Eisenbahnbrücken, also die gemachten Fehler noch weniger Einflufs haben.

II. Die Verkehrslasten der Brücken.

§ 8. Allgemeines. Die Hauptaufgabe der Brücken ist, die Verkehrslasten zu tragen: zu diesem Zwecke werden sie gebaut. Man mufs deshalb verlangen, dafs auch bei ungünstigster Belastung in keinem Teile die als zulässig erachtete Inanspruchnahme überschritten wird. Zuerst erhebt sich die Frage, welche Verkehrslasten der Berechnung zu Grunde zu legen sind. Die Antwort erscheint auf den ersten Blick überaus einfach: man berechne für die wirklich verkehrenden schwersten und ungünstigsten Belastungen. Aber welches sind die ungünstigsten Lasten — sobald man an diese Untersuchung herantritt, wird die Lösung, wenigstens in Betreff der Eisenbahnbrücken, recht schwierig. Man ist geneigt, die schwersten auf der betreffenden Bahn verkehrenden Lokomotiven mit möglichst kleinem Achsstand als ungünstigste Belastung einzuführen. Kun ist aber die Achsbelastung der Lokomotive im Betriebe durchaus nicht unveränderlich. Beim Zusammentreffen der ungünstigsten Umstände können'¹) sich die Raddrücke um 50% und mehr erhöhen. Es genügt deshalb nicht, ohne weiteres die schwersten Achsbelastungen anzunehmen. Ferner ist aber zu beachten, dafs die Lokomotivgewichte und die Gewichte der schwersten Züge sich fortdauernd vergröfsern : seit der Zeit, in welcher ein grofser Teil unserer Eisenbahnbrücken gebaut ist, hat sich das Gewicht der Güterwagen von 16 t auf 22 t erhöht, der Achsdruck der Tender von 9 t auf 11,5 t, der Achsdruck der Lokomotiven von 13,5t auf 15,2 t; und diese Vergröfserung der Lasten ist voraussichtlich noch lange nicht zu Ende. Die Beförderung grofser Massen auf den Eisenbahnen wird durch die Einführung sehr schwerer Züge mit schweren

¹¹) Breuer. Vorschläge zur Verbesserung der Prüfungen eiserner Brücken. Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnwesens 1893, S. 15 und 48.

Lokomotiven wesentlich verbilligt. In Nord-Amerika verkehren auf einzelnen Bahnen Züge mit 2 Lokomotiven von je 17 m Länge und 145 t Gewicht einschliefslich des Tenders; die anschliefsenden Lastwagen weisen ein Gewicht von 5,90 t f. d. lfd. m Gleis auf. Der gröfste Aclisdruck dieser Lokomotiven beträgt bereits 22,5 t, während bei uns nach den Normen für den Bau und die Ausrüstung der Haupteisenbahnen Deutschlands vom 24. März 1897 der gröfste Aclisdruck erhebt sich so die wichtige Frage, ob die neu zu erbauenden Brücken nur für die gegenwärtig verkehrenden schwersten Lastenzüge berechnet werden sollen oder ob es sich nicht vielmehr empfiehlt, auf eine erhebliche Vergröfserung der Lasten Rücksicht zu nehmen : denn die Brücken sollen doch für eine längere Zeit ausreichende Sicherheit bieten. "Wird auf die mögliche Vergröfserung der Belastungen keine Rücksicht genommen, so ist man der Gefahr ausgesetzt, vielleicht schon nach wenigen Jahren eine Verstärkung der Brücke vornehmen zu müssen, welche Arbeit sehr schwierig und sehr kostspielig ist. Baut man dagegen unter Berücksichtigung der zu erwartenden schwereren Lasten, so erfordert wohl der gröfsere, sofortige Mehrverbrauch an Baustoff höhere Kosten und gröfseren Zinsenaufwand, der für eine Reihe von Jahren als Verlust zu gelten hat, aber die Brücke ist dann auch für geraume Zeit genügend tragfähig. Hinzu kommt ferner, dafs auch die Geschwindigkeit der Züge im Laufe der Jahre immer gröfser geworden ist und voraussichtlich weiter zunehmen wird, sodafs auch die dynamischen Inanspruchnahmen wachsen. Es ist deshalb in jedem Falle sorgfältigst zu überlegen, welches Berechnungs- und Konstruktionsverfahren das zweckmäfsigere ist. In dem letzten Jahrzehnt hat schon eine grofse Zahl von Brücken in Deutschland, England, Frankreich, Österreich und der Schweiz ausgewechselt oder verstärkt werden müssen, nicht weil die Bauwerke schlecht geworden waren, sondern weil die heute verkehrenden Lasten für die Tragkonstruktionen viel ungünstiger sind, als diejenigen, für welche man die Brücken gebaut hatte. Engesser¹²) hat diese wichtige, auch volkswirtschaftlich bedeutsame Frage mehrfach behandelt und Vorschläge gemacht, welche weiter unten näher vorgeführt werden. Allgemein schlägt er vor, dafs alle Neu- und Umbauten von Brücken in Hauptlinien des Massenverkehrs schon jetzt für die Bedürfnisse eines hochentwickelten Zukunft Verkehrs bemessen werden sollten. Umbauten von Brücken, die den jetzigen Anforderungen noch genügen, sollten so lange verschoben werden, als die Bauwerke den gesteigerten Verkehrslasten ohne Gefahr Genüge leisten. Es ist ja möglich, dafs die Vergröfserung der Lasten durch die Einführung der elektrischen Bahnen zeitweise oder überhaupt ihr Ende findet, doch ist in dieser Beziehung der Blick in die Zukunft noch sehr unsicher.

16 t betragen darf. Es

nur

Bei den Strafsenbrücken ist die Frage der Verkehrsbelastungen leichter zu beantworten, als bei den Eisenbahnbrücken: je nach der Eigenart der betreffenden Strafse kennt man die schwersten Wagenlasten, welche voraussichtlich auf der Brücke verkehren; schwerere Belastungen kann man verbieten. Es ist stets zu untersuchen, ob nicht durch Menschengedränge in einzelnen Teilen der Brücke gröfsere Inanspruchnahmen erzeugt werden können, als durch Wagenlasten ; auch sind gleichzeitige Belastungen durch schwere Wagenzüge und Menschengedränge in Betracht zu ziehen. Endlich ist zu beachten, dafs Strafsenwalzen, besonders aber die Dampfwalzen, sehr ungünstige Belastungen bilden.

¹²) Engesser. Die Eisenbahnbrücken und die künftige Verkehrsentwickelung. Deutsche Bauz. 1898, S. 253; ebenda 1894, S. 141. — Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner Eachwerksbrücken. Berlin 1892/1893.

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl.

Wichtig ist auch die Entscheidung, ob man die Berechnung unter Zugrundelegung von Lastenzügen mit Einzellasten vornehmen oder ob man mit stellvertretenden, über die ganze Brückenlänge bezw. einzelne Teile gleichmäfsig verteilten Lasten rechnen soll. In der ersten Zeit des Eisenbrückenbaues, als die Berechnungsverfahren noch wenig ausgebildet waren, wurde meistens mit stellvertretenden Lasten berechnet; die Schwierigkeit, aber auch die Genauigkeit der Berechnung wurde dadurch wesentlich verringert. Bei der gegenwärtigen Ausbildung der Theorie, besonders seit Einführung der graphischen Verfahren und der Einflufslinien, macht jedoch die Berechnung der Brücken für Züge mit Einzellasten keine nennenswerten Schwierigkeiten mehr, ist aber wegen ihrer Genauigkeit und Zuverlässigkeit jeder anderen Berechnungsweise weit vorzuziehen. Müfste man doch sowohl für die verschiedenen Arten der Haupt-träger — frei aufliegende Balkenträger, Auslegerträger, durchgehende Träger, Bogenträger — wie auch für die einzelnen Teile derselben Träger verschieden grofse stellvertretende Lasten, selbst unter Zugrundelegung desselben Belastungszuges einführen. Dennoch sind die Berechnungen mit stellvertretenden Lasten noch vielfach in Gebrauch; so sind sie in der Verordnung des k. k. Handelsministeriums in Österreich vom 15. September 1887 in weitgehendem Mafse vorgeschrieben. Wenn der Verfasser sich hiermit auch nicht einverstanden erklären kann, so giebt er doch zu, dafs in einer Reihe von Fällen sich ein Rechnen mit stellvertretenden Lasten empfiehlt. Hierher gehören die überschläglichen Berechnungen, die Aufstellung von Formeln für vorläufige Gewichtsermittelung, die Prüfungsrechnungen, vergleichende Rechnungen u. dergl. Auch bei gröfseren Strafsenbrücken ist das Rechnen mit gleichwertigen Belastungen vielfach ausreichend. Je kleiner die Brücken sind, insbesondere die Eisenbahnbrücken, mit desto geringerer Genauigkeit können die wirklich verkehrenden Lastenzüge durch gleichmäfsig verteilte Lasten ersetzt werden — bei Eisenbahnbrücken sollte man stets für Lastenzüge berechnen. —

Sowohl bei den Eisenbahn- wie den Strafsenbrücken ist auch der Fall ins Auge zu fassen, dafs die Lokomotiven bezw. Wagen, welche für die Hauptträger die ungünstigste Belastung bilden, für die Querträger und Längsträger 2. Ordnung weniger ungünstig sind, als andere Lokomotiven bezw. Wagen mit besonders stark belasteten Einzelachsen; auch für Hauptträger kleiner Brücken können diese letzteren Achsen die ungünstigste Inanspruchnahme erzeugen. Für diese Träger bezw. Teile der Brücke sind dann die besonders schweren Achsen der Berechnung zu Grunde zu legen.

§ 9. Die Verkehrslasten der Eisenbahnbrücken. Die ungünstigste Verkehrslast für die Hauptträger bildet ein mit zwei oder drei Lokomotiven in betriebsfähigem Zustande bespannter Güterzug; dabei können zwei der Lokomotiven mit den Köpfen einander zugekehrt sein. Je näher die schwer belasteten Achsen einander liegen und je gröfser deren Zahl ist, desto ungünstiger ist die Lokomotive. Im allgemeinen sind die schwersten Güterzugmaschinen und vollbeladene Güterwagen einzuführen. Obgleich der Fall eintreten kann, dafs die Brücke von einem aus lauter Lokomotiven bestehenden Zuge befahren wird (im Kriege oder falls neue Maschinen von der Fabrik nach dem Bestimmungsorte gefahren werden u. dergl. mehr), braucht darauf bei der Berechnung nicht Rücksicht genommen zu werden ; zunächst kommt dieser Fall nur ganz ausnahmsweise vor, sodann ist derselbe nur bei grofsen Brücken (von mehr als 40 m Stützweite) möglich ; bei diesen aber ist das Eigengewicht bereits so grofs, dafs die möglicherweise gegenüber der rechnungsmäfsigen eintretende Vergröfserung der

Spannung nicht so sehr ins Gewicht fällt,

um ungiinstigstenfalls die Elasticitätsgrenze erreichen. So lange aber diese, selbst in Ausnahmefällen, nicht erreicht wird, ist die Konstruktion nicht gefährdet.

zu

A. Hauptbahnen.

Die einzelnen Staaten und gröfseren Eisenbahnverwaltungen haben im letzten Jahrzehnt Vorschriften über die Berechnung der eisernen Brücken erlassen; in diesen Vorschriften sind auch die Angaben über die Gröfse und Art der Verkehrslasten enthalten, welche bei den Berechnungen zu Grunde zu legen sind. Nachstehend sind die Verkehrslasten von einigen dieser Vorschriften angeführt.

a) Die Verordnung für die preufsischen Staatsbahnen vom September 1895¹³) schreibt

betreffs der Verkehrslasten vor:

Es ist ein Zug aus zwei Lokomotiven in ungünstigster Stellung mit einer unbeschränkten Anzahl einseitig angehängter Güterwagen zu Grunde zu legen.

Für Lokomotiven und Güterwagen sind folgende Radstände und Achsbelastungen mafsgebend.

Tender

1,55    2,2    1,4    1,35    1,35    3,43    1,65    1,65    1,74 m

Abstände

Achsbelastungen

Lokomotive

9    12

12 t

Abstände Achsbelastungen

Gesamte Länge von Lokomotive und Tender: 16,32 m, gesamte Länge des Güterwagens : 6,6 m.

Bei der Berechnung kleinster Brücken (Stützweite < 3,3 m), sowie der Quer- und Schwellenträger sind aufserdem eine einzelne Achse mit 16 t Belastung, sowie zwei Achsen mit je 14 t Belastung und einer gegenseitigen Entfernung von 1,4 m zu Grunde zu legen, soweit diese Belastungen höhere Beanspruchungen hervorrufen, als die oben bezeichnete Lokomotive.

Um die Rechenarbeit möglichst zu vermindern, sind dieser Verordnung drei Tabellen beigegeben, aus welchen die gröfsten Momente und Querkräfte für frei aufliegende Balkenträger entnommen werden können. Diese Tabellen sind nachstehend als Tabelle I, II, III, abgedruckt. Tabelle I giebt die gröfsten Biegungsmomente Mmax für eine grofse Zahl von Stützweiten L und für ein Gleis. Tabelle II giebt das

AL

an beliebiger Stelle (x) des Trägers wirkende gröfste Moment Mx aus dem Verhältnis

. belle ist unter der Annahme berechnet, dafs die Kurve der gröfsten Momente Mx an den verschiedenen Stellen der Brücke genügend genau durch zwei Parabelstücke und eine zwischen denselben befindliche gerade Linie dargestellt wird, deren Länge gleich 0,12 L ist (Fig. 1). Es ist nach einem in Baden üblichen Verfahren das für die betreffende Stützweite ermittelte Gröfst-moment beiderseits im Abstande 0,06 L von der Mitte aufgetragen; es sind in den erhaltenen Endpunkten der Ordinaten Halbparabeln angeschlossen, welche diese Endpunkte zu Scheiteln haben und durch die Stützpunkte gehen.

Die derartig erhaltene Kurve stimmt mit der Kurve der Gröfstmomente genügend genau überein (angegeben von Baurat Gern et).¹⁴)

Eine dritte Tabelle dient zur Berechnung der gröfsten Querkräfte. Für einen um x vom linken Auflager entfernten Querschnitt tritt die gröfste Querkraft durch die Verkehrslast ein, wenn der rechts vom Schnitt belegene Teil der Brücke (von der Länge l—L — x) voll belastet ist (Fig. 2, S. 21). Bezeichnet man die Mittelkraft aller Verkehrslasten mit B, ihren Abstand vom rechten Auflager B mit r, so ist

QL = Br.

Diese Ta-

Fig. 1.

M

3C

max

kr

1S) Centralbl. d. Bauverw. 1895, S. 485 ff. — Die Hütte, XVII. Aufl. Teil II, S. 422. — Sonderdruck. Berlin, Ernst u. Sohn. 1899.

⁴) Hauger. Belastung eiserner Brücken. Wien 1896.

Tabelle I.

Gröfste Biegrungsmomente Mmax.

max

Für zwischenliegende Stützweiten ist geradlinig einzuschalten, wobei die angegebenen Werte A M,

benutzt werden können.

max

A M,

max

AI

Mmax

AM;

max

mt

mt

mt

®i ■'Ç. «O «o. o. <M CD 00

T-,    ri n rn ri    (M    CM of ©I' cF

4,0

4,8

5,6

6,4

7,2

8,0

8,8

9,6

10,4

11,2

4,0

4,0

4,0

4,0

4,0

4,0

4,0

4,0

4,0

® ® *» to    co ^ if

12,3

16,4

21,4

26,4

31,4

5,5

8,2

10,0

10,0

10,0

lO I CD t-" co of ( o    S' S' o S' o    S' S' S' I d

I-H    r-l rl rH tH    w    N IM O) O)

12,8

13,2

14,0

14,8

14,8

15,5

19,0

Or    ^    OD    CO    CO

O    Or    O    CO    CO    O

o    o    O    O    O    O

669

798

942

1150

1420

1710

43,0

48,0

52,0

54,0

58,0

60,0

2320

61,0

213

260

310

366

435

548

669

21,5

23,5

25,0

28,0

34,5

37,7

40,3

70,0

80,0

90,0

100,0

120,0

140,0

3000

3740

4540

5440

7440

9800

68,0

74,0

80,0

90,0

100,0

118.0

Tabelle II.

Gröfste Momente Mx an den verschiedenen Stellen (x) der Brücke.

Mx

CC

Für zwischenliegende Werte ist geradlinig einzuschalten, wobei die angegebenen Werte A

'    Irl

benutzt werden können.

<1

L-

M S

*st

<1

Sri

<1

»T J

; <J

o tj œ oo o. o. o. o o' o' cf o' o'

0,000

o

30 t- ira CO

O- ~ ©» <o o' o" cT o'

4,45

4,25

4,00

3,85

0,20

N rji CD CO Cd Cd (M

o' o' o' cf

0,703

O CO CC CO O 05 CO © G0_ GO

o' cT cT o'

2,35

2,15

0,40

0,992

O N    CO CO

1—1    T—t T-l    T—I

o' o' o' «o' o'

0,403

i-H ïO àO r-.

t⁻ CO 05 iO ^    CO

o' o' o' o'

3,60

3,40

3,20

3,00

2,80

0,30

0,32

0,34

0,36

JO

0,703

2,60

0,38

0,40

0,899

0,926

0,948

0,967

0,981

0,992

2,00

1,75

1,55

1,35

1,10

0,95

0,70

0,55

N œ te

T* Tfl

o' o o' cT

0,50

0,998

0,30

~o O “o

1,0

0,10

0,00

Der Ausdruck B r auf der rechten Seite der Gleichung bleibt unverändert, auch wenn sich die Stützweite ändert.

In nachstehender Tabelle III sind für die verschiedenen Werte von l die Ausdrücke Q L zusammengestellt und es können für jede Stützweite L die Werte Qx, welche zu den Querschnitten x gehören, leicht ermittelt werden. Für zwischenliegende Belastungslängen l ist geradlinig einzuschalten, wobei die angegebenen Werte A QL: A l benutzt werden können.

Fig. 2.

t---

kr — OC

----4

Tabelle III.

QL

A QL

Al

QL

A QL

Al

QL

A QL

Al

mt

mt

mt

co to tO i—i    t—*

JD

"00    7>a ~©

36,4

42,0

47,6

53,2

58,8

o «q ©. q_ ©

crf co    icf

66,1

86,1

108,0

132,0

158,0

S    85 S    8    §    8 s g s    nsss

©    © 00    O    "Ćn    © ■© "© ~®    “© "o "© ~© “©

jo 00 M 05 cn "© '©'©'© ©

158

211

264

321

383

©,    ©_    q_    o_    ©    ©^    ©_©_©_    ©_

©    of    t)T    «f    aj'    cf    of 4P tT    cf

t-I    rH    ,-t    Ol    Ol Ol Ol    CO

455

617

1440

1730

2020

2500

3040

53,0

53,0

57,0

62,0

72,0

81,0

86,0

92,5

108,0

125,0

145

145

160

180

30,0

4^ CO CO

ci o Q co "© "o 'o "o

50,0

© q_ ©_ ©_ © o' cT o'

<o t- OD Ol

100,0

120,0

140,0

3040

3600

4200

5050

6190

7430

10200

13300

16700

20600

24800

34200

45200

187

200

213

228

248

277

310

340

390

420

470

550

In der Verordnung ist auch ein zeichnerisches Verfahren zur Ermittelung der Werte Mx angegeben, wegen dessen auf die Quellen in der Fufsnote 13 verwiesen wird.

Die preufsische Verordnung schreibt demnach die Berechnung mit Einzellasten vor, sie trägt auch den schwersten verkehrenden Lokomotivachsen Rechnung; auf eine nennenswerte Vergröfserung der Achslasten nimmt sie keine Rücksicht. Achsbelastungen von 15 t kommen bereits heute bei den Schnellzug-Lokomotiven vor.

b) Bestimmungen für die Reichseisenbahnen in Elsafs-Lothringen vom Oktober 1897.

Die Vorschriften schliefsen sich den unter a) angegebenen preufsischen an, schreiben aber für den Belastungszug Lokomotivachsen mit 18 t vor. Der Belastungszug besteht aus zwei mit dem Schornstein voranfahrenden Lokomotiven nebst Tendern und einer unbeschränkten Zahl einseitig angehängter Güterwagen.

Es sind folgende Radstände und Achsbelastungen mafsgebend :

Güterwagen

Lokomotive

Tender

Abstände Achsbelastungen Ganze Länge

1,5    3,0    1,5

12 12 6 m.

2,7    1,7    1,4    4,0    1,5    1,5    1,7

18    18    18 I 12    12    12

14,5

c) Verordnung des österreichischen Handelsministeriums vom 15. September 1887.¹⁵)

In dieser Verordnung sind stellvertretende Belastungen vorgesclirieben. Der Berechnung der Lasten ist ein Zug zu Grunde gelegt, welcher aus drei Lokomotiven und Tendern hintereinander und darauf folgenden Lastwagen besteht. Die Hauptmafse und Achsbelastungen der Lokomotiven, Tender und Lastwagen sind nachstehend angegeben. Bei kleinen Stützweiten ist der Lokomötivachsdruck auf 14 t zu erhöhen, bei sehr grofsen Stützweiten dagegen ist er zu ermäfsigen, entsprechend der Wahrscheinlichkeit, dafs nicht alle Achsbelastungen und -Stände in der ungünstigsten Weise beschaffen sind.

Lokomotive

Tender

Lastwagen

Abstände Achsbelastungen Ganze Länge

Auch die Arlberg-Lokomotiven sollen auf allen Hauptlinien verkehren können, wobei aber nie mehr als zwei solche Lokomotiven verwendet werden dürfen. Die Arlberg-Lokomotive hat gleiche Achsenabstände wie*die obenbezeichnete, aber 14 t Achsbelastung.

Die vorgeschriebenen, gleichmäfsig verteilten Belastungen für das laufende Meter Gleis sind für die Teile, welche von den Momenten abhängen, andere als für diejenigen Trägerteile, deren Beanspruchung in erster Linie durch die Querkräfte bestimmt wird. Bei den ersteren, den Gurtungen, mufs die stellvertretende Last den ganzen Träger bedecken, bei den letzteren, den Wandstäben, darf nur ein Teil der Brücke belastet sein.

2,8    1,2    1,2    1,2    3,1

13    13    13    13

1,4    1,6    1,4    1,7

10 10 10

2,0    3,0    2,0 m

8 8t

9,5

6,1

7,0 m.

Gurtungen.

Für die verschiedenen Stützweiten L sind nachstehende, über die ganze Brückenöffnung gleichmäfsig verteilte Belastungen p f. d. lfd. m Gleis zu Grunde zu legen:

L= 1,0    1,5    2,0    2,5    5,0    10    15    20    40    80    120    160 m

p = 30    20    15    13,5    11,5    8,5    7,0    6,5    5,6    4,4    3,8    3,4 t.

Für zwischen obige Stützweiten fallende Weiten ist geradlinig einzuschalten. Bei durchgehenden Trägern sind die den Stützweiten der belasteten Brückenfelder zufallenden Belastungen nach der Tabelle einzuführen, dabei aber die Belastungsarten zu berücksichtigen, welche die gröfsten Momente erzeugen.

Gitterstäbe.

Yon dem mafsgebenden Querschnitte an bis zu dem einen oder anderen Auflager ist die Brücke mit nachstehender Last pi f. d. lfd. m Gleis gleichmäfsig belastet anzunehmen; dabei ist pi ohne Rücksicht auf die Stützweite L nur nach der Länge l des belasteten Brückenteiles, wie folgt, einzuführen: l = 1,0    1,5    2,0    2,5    5,0    10    15    20    40    80    120    160 m

pi=±= 30    25    20    18    14    10    8,5    7,6    6,2    4,8    4,0    3,5 t.

Für dazwischen fallende Längen ist gradlinig einzuschalten.

Bei durchgehenden Trägern sind innerhalb der betrachteten Öffnung die Belastungen nach der zweiten Reihe, für die gleichzeitig auf anderen Brückenfeldern anzunehmenden Belastungen sind die Werte der ersten Reihe einzuführen.

Bei Bogenträgern, Hängewerksträgern, Auslegerträgern sind entweder die vorstehenden Zahlenwerte zu wählen oder es ist als Yerkehrsbelastung der oben angegebene Zug einzuführen.

Zur Berechnung eines Zwischenquerträgers ist die Hälfte der Gesamtbelastung einer Brücke anzunehmen, welche sich aus den obenstehenden Werten p für eine Stützweite L ergiebt, die von dem nächsten linksseitig gelegenen bis zum nächsten rechtsseitig gelegenen Querträger gemessen ist.

d) Lokomotive, Tender und Lastwagen nach den Vorschriften in Frankreich.

(Verordnung vom 29. August 1891.)

Lokomotive

Tender

Lastwagen

Abstände

Achsbelastungen

2,6 1,2 1,2 1,2 2,6

14    14    14    14

2,0    2,5    2,0

12 12

1,5    3,0    1,5 m

8    8 t.

¹⁵) v. Leber. Die Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnwesens 1891, S. 153.

neue

BrückenverOrdnung des österr. k. k. Handelsministeriums. Wien 1888.

Es sind zwei Lokomotiven nebst Tendern und Lastwagen anzunehmen; für jedes Glied sind die einzelnen Teile auf das Ungünstigste zusammenzustellen. Für alle Brückenteile, aufser den Hauptträgern, ist eine Achse von 20 t Gewicht mafsgebend, wenn sie höhere Beanspruchung erzeugt, als obiger Zug in ungünstigster Stellung. Unter „ungünstigster Stellung“ ist offenbar auch die Stellung Kopf an Kopf der beiden Lokomotiven zu verstehen.

Überschreitet (im Betriebe) bei einer Lokomotive das auf die Länge gleiclimäfsig verteilte Ge-

6,36 t um mehr als 10°/o, oder ist eine Achse schwerer als 18 t, so hängt die Zulassung zur Fahrt über die Brücke von besonderer Genehmigung ab.

wicht das rechnungsmäfsige

56

8,8

e) Lokomotive, Tender und Lastwagen auf den schweizerischen Hauptbahnen.

(Verordnung des Bundesrates vom 19. August 1892.)

Lokomotive

Tender

Lastwagen

Abstände Achsbelastungen 15

2,8    1,3    1,3    1,3    3,0

15    15    15

2,0    3,5    2,0 m

10    10 t.

1,4    2,8    1,6

13,5    13,5

An drei Lokomotiven in ungünstigster Stellung sind einseitig Güterwagen in unbeschränkter Zahl anzuhängen.

Bei Stützweiten unter 15 m und für die Träger des Fahrbahnrostes (Querträger, Längsträger 2. Ordnung u. s. w.) sind die Lasten um 2 (15 — Lm) °/o zu erhöhen, wenn L die Stützweite bedeutet; demnach bei

9    10    11    12    13    14

28    26    24    22    20    18    16    14    12    10    8    6    4    2 °/o

Lokomotivachsdruck: 19,2 18,9    18,6    18.3    18    17,7    17,4    17,1    16,8    16,5    16,2    15,9 15,6 15,3 t

Tenderachsdruck:

Erhöhung um °/o :

17,28 17 16,74 16,47 16,2 15,93 15,66 15,39 15,12 14,85 14,58 14,31 14 13,77 t

f) Belastungszug bei den bayerischen Staatsbahnen.¹⁶)

Zwei Lokomotiven mit beliebig vielen Güterwagen. Die Lokomotiven können beliebig in den Zügen verteilt sein. Abmessungen und Achsbelastungen wie nachstehend angegeben.

Lastwagen

Lokomotive

2,1    1,4    1,4    1,4    1,4    2,1

16 16 16 16 16

2,1

4,2

2,1 m

Abstände Achsbelastungen Gesamtlänge

Für solche Brückenteile, zu deren Berechnung lediglich eine dieser Maschinen, ohne Güterwagen, ausreicht, ist die für die Bestimmung der gröfsten angreifenden Kräfte mafsgebendste Achse der Maschine mit 18 t in Rechnung zu bringen.

Auch bei den bayerischen Staatsbahnen wird danach mit Einzellasten gerechnet; der zukünftigen Vergröfserung der Lasten ist durch die grofsen Achslasten bei geringem Achsstande Rechnung getragen.

9,8

16

16

t.

8,4 m.

g) Belastungszug der sächsischen Staatseisenbahnen.

(Verordnung vom April 1895.)

Zwei sechsachsige Lokomotiven in ungünstigster Stellung mit nachfolgendem Wagenzug aus zweiachsigen Güterwagen von 8,0 t Achsdruck, 3,0 m Achsentfernung und 6 m Gesamtlänge.

Lokomotive

2,5    1,5    1,5    3,0    1,5    1,5    2,5

15    15    15    15    15    15

14 J

Lastwagen

1,5    3,0    1,5 m

8    8 t.

6,0 m.

Abstände Achsbelastungen Gesamtlänge

Ergiebt eine einzelne Achslast von 20 t für einzelne Brückenteile gröfsere Kraftwirkungen als der Belastungszug, so ist diese der Berechnung zu Grunde zu legen.

¹⁶) Ebert. Über zulässige Beanspruchungen von Eisenkonstruktionen. Deutsche Bauz. 1896, S. 27. Die dort angegebenen Achslasten von 14 t bezw. 16 t sind neuerdings auf die oben angegebenen Werte erhöht.

h) Vorschläge von Engesser. )

Mit Rücksicht auf die beständig schwerer werdenden Betriebslasten hat Engesser 1894 vorgeschlagen, Lokomotive und Tender wie folgt der Berechnung zu Grunde zu legen.

Tender

Lokomotive

1,3    1,3

1,3 m

1,3

1,3

Abstände Achsbelastungen

Der Belastungszug besteht aus zwei Lokomotiven mit Tendern, wie vorstehend angegeben, mit darauf folgenden Güterwagen von 5,5 t Gewicht f. d. lfd. m Gleis; die Lokomotiven haben 5 Achsen mit je 18 t Belastung und nur 1,3 m Abstand, die Tender 3 Achsen mit je 12 t Belastung und gleichfalls nur 1,3 m Abstand. Die für diesen Belastungszug konstruierten Brücken würden voraussichtlich für eine geraume Zeit allen Ansprüchen genügen können.

2,6    1,3    1,3

18

18

18

18

18

CO

12

12

12

t.

Aufsergewöhnliche Verkehrslasten.

Als aufsergewöhnliche Verkelirslasten kommen hauptsächlich selten vorkommencle Transporte von Panzerplatten, Marinegeschützen und dergl. in Betracht. Für solche seltene Fälle kann man eine ziemlich hohe Inanspruchnahme als zulässig einführen, welche unter Umständen nicht weit unter der Elasticitätsgrenze bleibt. Nachstehend ist (nach Engesser) das Lastschema eines Geschütztransport-Wagens von 16 Achsen zu je 14 t Gewicht vorgeführt.

Abstände

1,8 1,25 1,25 1,25 1,5 1,25 1,25 1,25    6 1,25 1,25 1,25 1,5 1,25 1,25 1,25 1,8 m

Achsbelastungen 14    14 14 14 14 14 14 14 | 14 14 14 14 14 14    14 14 t.

Auf S. 25 sind die vorstehend angegebenen Verkehrsbelastungen in einer Tabelle zusammengestellt; aus dieser Zusammenstellung ergiebt sich: Für die Vergleichung der Belastungen können mit ziemlicher Annäherung die in Spalte 11 angegebenen Gewichte von Lokomotive nebst Tender, berechnet auf das laufende Meter Gleis, als mafsgebend angenommen werden. Das von Engesser in Vorschlag gebrachte Gewicht, 8,1 t/m, ist bei den bayerischen Staatsbahnen bereits für die Berechnung vorgeschrieben; die anderen Bahnen bleiben mehr oder weniger weit hinter diesem Wert zurück; Sachsen um etwa 20°/₀, Preufsen um fast 30°/₀, Österreich und Frankreich um etwa 35°/₀. Freilich ist der angegebene Wert nicht ausschliefslich mafsgebend. Es kommt besonders bei kleinen Stützweiten auf die Zahl, die Belastungen und die Abstände der Lokomotivachsen an. In dieser Hinsicht sind die Annahmen der bayerischen Staatsbahnen mit 5 Achsen von je 16 t Belastung und 1,4 m Abstand sehr ungünstig, ebenso diejenigen der schweizerischen Bahnen mit 4 Achsen von je 15 t Belastung und 1,3 m Abstand. Alle Bahnen mit Ausnahme der österreichischen begnügen sich ferner mit einem Zuge, vor welchen zwei Lokomotiven gespannt sind, nur die österreichischen legen einen solchen mit 3 Lokomotiven zu Grunde. Bei den meisten Verwaltungen wird ein Zug mit einseitig angehängten Güterwagen angenommen, entsprechend den wirklichen Verhältnissen. Für diejenigen Brücken bezw. Brückenteile, bei denen nur eine Achsenbelastung mafsgebend ist, schreiben die meisten Verwaltungen besonders schwere Achsen, bis zu 20 t, vor. Zweck-mäfsig ist die Vorschrift des schweizerischen Bundesrates, wonach die Achslasten für Stützweiten unter 15 m und für die Träger des Fahrbahnrostes um eine Anzahl Hundert-Teile zu erhöhen sind; die Hundert-Teile bemessen sich nach bestimmter Formel um so höher, je kürzer die Stützweite ist. Bei den meisten Bahnen können die beiden Maschinen auch „Brust an Brust“ stehen; der jeweils ungünstigere Belastungsfall ist einzuführen. Endlich ist bemerkenswert, dafs nur die Brücken der österreichischen Bahnen mit gleichförmig verteilten Lasten, alle anderen mit Einzellasten berechnet werden.

Engesser. Die Zusatzkräfte und

¹⁷) Deutsche Bauz. 1894, S. 141. — Ebenda 1898, S. 253.

Nebenspannungen eiserner Fachwerksbrücken. Berlin 1892/93.

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bß

ci

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16

Bemerkungen.

siato ui -pjj -p -j 2 uaSBAviaing jap jqoiMao

14

EI

Stellung

Stellung

der

der

Last-

wagen

Loko-

motiven

saSnzsSurqsBjag sap

uaApouioqoq[ Jâp IMBZ sFIO UI -PJI 'P ’J •t3Pu3i ** pun aAijouioqoq; uoA iqornag

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™ ⁻PJI ‘P J iqopwaSjopuoT

Länge

Gewicht

des

Tenders

spto ui pj[ -p j tqopvtaS -Anouioqo'T

Gewicht Länge

der

Lokomotive

UI

puBisquuasqov

aajsuiai^j

Gröfster Achsdruck

für

Berechnung der

Fahr

bahn-

träger

Haupt

träger

Name der Bahnen

Die Länge der Lokomotiven und Tender sind in der Verordnung nur insgesamt angegeben ; demnach die Mafse in den Spalten 6 und 9, welche mit *) versehen sind, nicht ganz genau.

Wegen derMafse inSpalte 6 u. 9 vergl. die obenstehende Bemerkung.

-H

CO

CO*

00^

©r

of

àO

einseitig

angehängt

einseitig

angehängt

beliebig

verteilt

einseitig

angehängt

einseitig

angehängt

ungünstigst

6,47*)    5,1    5,7

39

6,1

9,85*)

1,35    60

16

14bezw.l6

1. Preufsische Staatseisenbahnen ......

Schornsteine voran

6,0*)    6,0 J 6,21

36

6,35

8,5*)

1,4    54

18

18

2. Reichseisenbahnen in Elsafs-Lothringen .    .

ungünstigst

ungünstigst

ungünstigst

ungünstigst

8,16

6,43

Bereits in den Lokomotivge wichten enthalten.

Desgl.

4,92    5,26

6,1

30

3,7    5,23

4,65    5,61

6,92    8,1

8,16

6,43

5,47

6,5

5,8

5,2*)

24

27

36

6,36

6,18

8,65

9,8

08 L‘l

18

91

3. Bayerische Staatsbahnen

14

1,5    90

20

15 bis 20

4. Sächsische Staatsbahnen

9,5

8,8

9,7

10,4*)

1,2    52

1,2    56

1,3    60

1,3    90

14

20

19,2

18

13bezw.l4

14

15 bis 19,2

18

5. Österreichische Bahnen .

6. Französische Bahnen .    .

7. Schweizer Bahnen .    .

8. Vorschlag Engesser .

B. Nebeneisenbahnen,

d. h. vollspurige, mittels Dampfkraft durch Lokomotiven betriebene Bahnen, auf welche Betriebsmittel der Hauptbahnen übergehen können, höchstens aber mit 40 km in der Stunde.

Wenn Aussicht vorhanden ist, dafs die Nebeneisenbahn in absehbarer Zeit in eine Hauptbahn umgebaut wird, so empfiehlt es sich, die Yerkehrslasten ebenso anzu-nehmen, wie bei den Hauptbahnen ; andernfalls werden leichtere Belastungen zu Grunde gelegt. Nachstehend ist eine Reihe von Yerkehrsbelastungen vorgeführt, welche in verschiedenen Ländern vorgeschrieben sind.

a) Preufsische Staatsbahnen.

(Erlafs vom 11./27. April 1894.)

Es sind folgende Tenderlokomotiven vorgeschrieben¹⁸):

Tender-Lokomotive

Tender-Lokomotive

2,183    3,0    2,45

13,6    12,15

7,633

2,35    2,1    1,6    2,62 m

10,18    12,8    12,8 t.

8,67 m.

Abstände Achsbelastungen Gesamtlänge

Die Güterwagen kann man wie bei den Hauptbahnen annehmen.

b) Bayerische Staatsbahnen.

Derselbe Belastungszug, wie unter A. angegeben, falls die Bahn zur Verbindung zweier Hauptbahnlinien dient oder eine Teilstrecke später auszubauender Hauptbahn ist, wobei die letztere zunächst als Lokalbahn betrieben wird.

c) Schweizerische Bahnen.

(Verordnung des Bundesrates vom 19. August 1892.)

11,25 t 10,13 t 7,5 t.

Die für die Hauptbahnen vorgeschriebenen Belastungen (S. 23) können bei Berechnung von Brücken in Nebenbahnen um 25% vermindert werden. Es würden demnach betragen die Achsbelastung der Lokomotive „    des    Tenders

„    des    Güterwagens

d) Österreichische Eisenbahnen.¹⁹)

Falls sie von den Hauptbahnen aus, in welche sie münden, mit den dort üblichen mittelschweren Lokomotiven befahren werden, ist ein Zug mit drei nachstehend angegebenen Lokomotiven, Schlepptendern und Wagen zu Grunde gelegt.

Lokomotive

Schlepptender

1,4    1,6    1,4    1,9

8    8,5    8,5

Güterwagen

Abstände

Achsbelastungen 12 Gesamtlänge

Für die Berechnung mit gleichmäfsig verteilten, gleichwertigen Lasten ist vorgeschrioben, dafs 80% der für Hauptbahnen unter c. (S. 22) angegebenen Belastungen einzuführen sind.

2,4    1,2    1,2    2,9

12 12

7,7

6,3

2,0    3,0    2,0 m

8,0    8,0 t

7,0 m

e) Die sächsischen Staatseisenbahnen

legen bei Normalspurbahnen dieselben Lasten wie unter A. zu Grunde.

¹⁸)    Glaser’s Ann. 1895, Bd. 36, Taf. XVI und Bd. 37, Taf. VI. — Hauger. Belastung und Berechnung eiserner Brücken, S. 22.

¹⁹)    v. Leber. Die neue Brückenverordnung. Wien 1888. S. 46.

C. Lokaleisenbahnen

d. h. solche Bahnen von normaler oder kleinerer Spurweite, welche dem öffentlichen Yerkehr, jedoch vorwiegend dem Nahverkehr dienen, mittels Maschinenkraft betrieben werden, bei denen aber die Fahrgeschwindigkeit in der Regel 30 km in der Stunde nicht überschreitet.

a) Bayerische Staatsbahnen.

Normale Spurweite.

Lokomotive

Güterwagen

Abstände Achsbelastungen Gesamtlängen

Zwei der vorstehenden Lokomotiven und beliebige Anzahl Güterwagen. Die Maschinen können im Zuge beliebig verteilt sein. Falls zu der Berechnung von Brückenteilen eine Maschine ausreicht, so ist die mafsgebendste Achse derselben mit 12 t Gewicht einzuführen.

2,45

1,4

1,4    1,4    2,45

10

10

10

10

9,1

1,4    2,8    1,4 m

10    10 t

5,6 m

b) Österreichische Eisenbahnen.

Normale Spurweite.

Lokomotive

1,9    1,1    1,1    3,1

8,5    8,5    8,5

Ein Zug mit drei Lokomotiven wird zu Grunde gelegt; für die Berechnung mit gleichmäfsig teilten, gleichwertigen Lasten ist vorgeschrieben, dafs 60% der für Hauptbahnen unter c. (S. 22) angegebenen Belastungen einzuführen sind.

Abstände

Achsbelastungen

Wagen

2,0    3,0

2,0 m

t.

ver-

c) Französische Eisenbahnen.¹)

Bahnen mit 1,0 m Spurweite.

Belastungszug mit zwei Lokomotiven und Wagen wie nachstehend, die Teile des Zuges möglichst ungünstig zusammenzustellen.

Lokomotive

Für jedes Brückenglied sind

Tender

Wagen

Abstände Achsbelastungen 10    10

Gesamtlänge

2,6 1,2 1,2 1,2 2,6

10 10

1,5    3,0    1,5

1,5    3,0    1,5 m

8 8t

8,8

6 m.

d) Schweizerische Bahnen.

Spurweite 1,0 m.

Zug aus drei vollbelasteten Lokomotiven der betreffenden Bahnen, deren Gewicht auf das laufende Meter Gleis nicht kleiner sein darf als 4 t; den Lokomotiven sind voll belastete Güterwagen in unbeschränkter Zahl von der auf der Linie verwendeten Art einseitig anzuhängen.

Bei Lokal- und Kleinbahnen sind zwei Lokomotiven mit einseitig angehängten Güterwagen der Linie einzuführen.

e) Die sächsischen Staatsbahnen

schreiben für Brücken in Schmalspurbahnen Tenderlokomotiven von nachstehenden Abmessungen und Gewichten vor, entlang der ganzen Brücke, sämtlich in gleicher Richtung stehend. Für Brückenteile, bei denen eine Achslast mafsgebend ist, soll diese 10 t betragen.

Abstände Achsbelastungen Ganze Länge

1,85    1,35    2,95    1,35    1,65 m

7,25    7,25    7,25    7,25 t

9,15 m.

D. Stellvertretende gleichförmig verteilte Lasten bei Eisenbahnbrücken.

Falls man unter Zugrundelegung stellvertretender Lasten berechnen will, so kann man die Werte einführen, welche (vergl. A. c. S. 22) in der österreichischen Verordnung vorgeschrieben sind. Auch können die nachfolgenden Angaben Verwendung finden.

Nach Engesser (Zeitschr. f. Bauw. 1878, S. 203 u. ff.) entsprechen einem Eisenbahnzuge mit drei schweren badischen Güterzugs-Maschincn und darauf folgenden beladenen Lastwagen f. d. lfd. m Gleis folgende stellvertretende Lasten:

Für die Gurtungen:

p-(** + $)

V = (V + -x") <5

für L = 10 m bis L = 50 m

für L 50 m.

Für die Gitterstäbe:

für L = 10 m bis L = 50 m

(4,6 + -^) t,

für L 50 m.

(3,6 -f x*) t

L ist hier überall die Stützweite.

Nach Winkler (Theorie der Brücken, I. Heft, 3. Auf!., S. 330) kann man annehmen für die Berechnung der Gitterstäbe auf das lfd. m Gleis:

VI = 4,54 + pt = 2,84 +

30,6

für l < 40 m

98,6

für / > 40 m.

Hier ist unter l die Länge des belastet anzunehmenden Brückenteiles

verstanden.

Bei Brücken auf Nebenbahnen können folgende Werte auf das lfd. m Gleis eingeführt werden: L ist die Stützweite der Brücke, l die Länge des belasteten Brückenteiles.

1. Normalspurige Lokalbahnen, auf welche die Lokomotiven der Hauptbahnen

nicht übergehen.

Für die Gurtungen:

L = 1,0    2

p = 20

50 m

2,3 t

o 00

Für die Gitterstäbe:

Pi

t-h QO

8    10    20    30    40 m

13,1    11,4    8,42    6,41    6,16    4,45    3,54    3,02 t.

3. Schmalspurige Lokalbahnen. Spurweite 0,75 m.

Für die Gurtungen:

CO ö

O to

•*

iO CO

Ol

GO tH

30 m

co

2,9 t

Für die Gitterstäbe:

¹

) Organ f. d. Fortsehr. d. Eisenbahnwesens 1893, S. 156.

1,0    2    3    5    8    10    20    30 m

Pi

17-,6    13,2    11,2    7,87    6,6    6,14    4,23    3,55 1.

§ 10. Die Verkehrslasten der Strafsenbrücken. Als Verkelirslast ist entweder Menschengedränge auf der ganzen Brücke bezw. einem Teil derselben einzufiiliren oder, wenn hierdurch eine höhere Beanspruchung hervorgerufen wird, ein bezw. zwei Lastwagen und Menschengedränge. Je nach der Bedeutung der Strafse, in welcher die zu erbauende Brücke liegt, sind mehr oder weniger schwere Lastwagen der Berechnung zu Grunde zu legen.

Über die Gewichte und Abmessungen dieser Lastwagen sind in den verschiedenen Ländern Vorschriften erlassen, von denen einige nachstehend angeführt sind. Man unterscheidet drei Arten von Strafsen:

1.    Hauptstrafsen in Verkehrsmittelpunkten.

2.    Nebenstrafsen in Verkehrsmittelpunkten, Staatsstrafsen, wichtige Gemeinde-strafsen.

3.    Sonstige öffentliche Strafsen, Ortsverbindungswege, Feldwege.

Längenachse der Brücke gestellt werden; wird aber ein besonders so ist derselbe in die ungünstigere Lage seitwärts

Der Teil der Fahrbahn, welcher nicht durch die Wagen eingenommen wird, ist mit Menschengedränge besetzt anzunehmen ; ebenso sind die Fufswege mit Menschengedränge belastet einzuführen. Da man zunächst nicht weifs, welche Belastungsart — Menschengedränge allein oder schwerste Lastwagen, verbunden mit Menschengedränge — ungünstiger für die einzelnen Brückenteile ist, so mufs man für beide Belastungsarten untersuchen. Für Berechnung der Hauptträger kann das Menschengedränge weniger schwer angenommen werden, als für Berechnung einzelner Teile der Fahrbahn und der Fufswege. In einigen der nachstehenden Verordnungen sind die wirklich verkehrenden Lastenzüge mit den vorgespannten Pferden als Belastung vorgeschrieben; in anderen nur die Wagenreihen. Die letztere Vorschrift ist besonders ungünstig, weil die Pferde eine verhältnis-mäfsig geringe Belastung auf die Flächeneinheit bilden. Es ist ferner zu beachten, dafs die Wagenreihe verschiedene Lagen in der Breite der Brücke einnehmen kann; handelt es sich um eine sogenannte Deckbrücke mit mehreren unter der Fahrbahn liegenden Hauptträgern, so ist für die Berechnung jedes derselben eine Radreihe lotrecht über demselben fahrend anzunehmen, handelt es sich um offene oder geschlossene Brücken mit zwei Hauptträgern, so können, wenn zwei Reihen von Wagen eingeführt werden, diese symmetrisch zur

schwerer Wagen zu Grunde gelegt, der Brückenachse zu bringen und jeder Hauptträger so zu berechnen, als ob diese seitliche Abweichung nach ihm zu stattfinde. Das Mafs dieser Abweichung kann nicht allgemein angegeben werden; man kann dasselbe je nach der Breite der Fahrbahn auf 0,5 bis 1,0 m annehmen.

Wenn stärkere Belastungen durch Dampfwalzen, Strafsenlokomotiven, schwere Maschinen u. dergl. zu erwarten sind, so ist die Berechnung auch für diese vorzunehmen. Dann genügt aber die Annahme, dafs wenn ein so schweres Gefährt auf der Brücke

ist, der übrige Teil derselben nur solche aufsergewöhnlichen Belastungen gestattet nähme, als in gewöhnlichem Betriebe.

noch durch Menschengedränge belastet wird.

man meistens eine gröfsere Inanspruch

Für

a) Verordnung für die Strafsenbrücken der sächsischen Staatseisenbahnen vom April 1895.

a) Menschengedränge...............

Desgl. für Berechnung einzelner Teile von Fufswegen .    .    .

ß) Ein oder mehrere Lastwagen nach folgender Darstellung:

Fig. 3. Für Strafsen mit starkem Verkehr.

400 kg/qm.

560 kg/qm.

12 t

2 Pferde, 2 Pferde

K- -1.3-i :----3,0---SŁ---2,0

1,5t

1,51

2,o    -----3,5----^-2,0-*

6t

6t

Fig. 4. Für Strafsen mit mittlerem Verkehr.

Fig. 5. Für Strafsen mit schwachem Verkehr (Wirtschaftswege).

3t

3o

U 1.3.    1,6—#-1,0 1— 2.6_ _ 1 1,0+

1st

1.51

1,51

1,5t

Breite der Wagen — 2,2 m, Spurweite derselben = 1,3 m. Die Lasten sind Achslasten.

Wo spätere Belastungen durch Dampfstrafsenwalzen von 10 t Achsdruck u. s. w. zu erwarten sind, sind diese der Berechnung zu Grunde zu legen. In der Regel ist nur ein solches Gefährt auf einem Öffnungsüberbau, der übrige Teil aber durch Menschengedränge belastet anzunehmen. Die hierbei sich ergebende Inanspruchnahme darf bis zum D/a fachen der sonst zulässigen Beanspruchung ansteigen.

b) Annahmen bei den bayerischen Staatseisenbahnen.

a) Menschengedränge für Berechnung der Hauptträger .    .    .    .

Desgl. für.Berechnung der Querträger, Zwischenträger, Längsträger, Konsolen u. dergl. ..........

360 kg/qm.

560 kg/qm.

ß) Lastwagen:

Fig. 6.

Fig. 7.

24 t

k—2,4 —>

C)

12 t

— *.o-----

*- -1,5---3,0--- A 1,5-*

12t

4t

Hauptstrafsen: Belastung durch einen Wagen nach Fig. 6 oder durch zwei Wagen nach Fig. 7, beide Male mittMenschengedränge nach a) auf der nicht vom Wagen bedeckten Fläche des Fahrweges und den Fufswegen.

Fig. 8.

Kebenstrafsen (Distr iktstr afsen): Zwei Wagen wie Fig. 7 und Menschengedränge wie vor.

Ortsverbindungs- und Feldwege: Belastung durch einen Wagen wie Fig. 8 und Menschengedränge wie vor.¹)

i O Oj

'»1,es±..-2.s-^f,es4

2t

2t

(t-2,2

c) Die Verordnung des österreichischen Handelsministeriums vom 15. September 1887

schreibt vor:

Gröfstmögliche Wagenansammlung auf dem Fahrbahnplanum und eine gleichzeitige Menschenansammlung auf dem Gehwegplanum, sowie auf dem übrig gebliebenen Teile des Fahrbahnplanums. Menschenansammlung sowohl auf dem Gehweg-, als auch auf dem Fahrbahnplanum.

Von diesen beiden Belastungsarten ist in jedem einzelnen Falle und für jeden einzelnen Konstruktionsteil die nachteiligere zu berücksichtigen.

Es sind einzuführen:

Für Brücken 1. Klasse.

Menschenlast von 460 kg/qm.

Vierräderige Lastwagen von 12 t Gesamtgewicht, 7,8 m Länge (ohne Deichsel), 2,5 m Breite, 3,8 m Radstand, 1,6 m Gleisweite mit Bespannung von 4 Pferden im Gesamtgewichte von 3 t auf 7,2 m Länge.

Für Brücken 2. Klasse.

Menschenlast von 400 kg/qm.

Vierräderige Lastwagen von 6 t Gesamtgewicht, 5,4 m Länge (ohne Deichsel), 2,4 m Breite, 2,8 m Radstand, 1,5 m Gleisweite mit Bespannung von 2 Pferden im Gesamtgewichte von 1,5 t auf 3,6 m Länge.

Für Brücken 3. Klasse.

Menschenlast von 340 kg/qm.

Vierräderige Lastwagen zu 3 t Gesamtgewicht, 4,8 m Länge (ohne Deichsel), 2,3 m Breite, 2,4 m Radstand, 1,4 m Gleisweite mit Bespannung von 2 Pferden im Gesamtgewichte von 1 t auf 3,2 m Länge.

Die grüfste zulässige Belastung soll bei jeder Brücke auf einer Tafel ersichtlich gemacht werden.

d) Verordnung des schweizerischen Bundesrates vom 19. August 1892.

Für die drei auf S. 29 angegebenen Arten von Strafsen ist vorgeschrieben:

1.

2.

3.

Menschengedränge .    .

Wagenlänge.....

Ladebreite.....

Zahl der Achsen .    .    .

Achsstand.....

Wagenende bis Achse .

Achslast......

Spurweite (Radstand)

450

350

8,0

2,5

4,0

2,0

10,0

1,6

6,0

2,2

3,0

1,5

6,0

1,6

250 kg/qm. 4,6 m 2,0 m

2.4    m 1,1 m 3,0 t

1.4    m.

e) Vorschriften in Frankreich.

Ein Unterschied in der Belastung nach der Art der Strafsen wird nicht gemacht. Die ein-zufiihi’enden Belastungen sind:

a) Menschengedränge: 400 kg/qm für die Grundfläche der ganzen Brücke einschliefslich der Fufswege.

ß) Karrenzüge oder Wagenzüge. Die ganze Fahrbahn ist mit Karrenzügen von 2,25 m Ladebreite zu besetzen, in denen je 2 Pferde vor jeder Karre hintereinander gehen, oder mit Wagenzügen derselben Breite, vor jedem Wagen mit 4 Zweigespannen. —- In dem Karrenzug ist an ungünstiger Stelle noch in eine Reihe ein besonders schwerer Karren von 11t Last mit 5 Pferden voreinander einzuschalten, falls hierbei ungünstigere Spannkräfte erzielt werden. Hierbei dürfen die Spannungen um 100 kg/qcm gröfser sein, als bei der anderen Belastung.

Karren

Wagen

Anzahl der Bespannungsreihen...........

Länge vom Kopf bis zum Schwerpunkt des Pferdes .    .    .    .

Länge zwischen den Schwerpunkten zweier sich folgenden Bespannungsreihen ...............

Länge vom Schwerpunkt der letzten Bespannungsreihe bis zur

Wagenachse ................

Achsstand der Wagen..............

Länge von Wagenachse bis Wagenende *........

Länge eines Fuhrwerkes im Zuge einschliefslich der Bespannung

Gewicht einer Bespannungsreihe ..........

Last einer Achse................

1,25

2,5

1,25 m

2,5 m

2,75    2,75 m

© GO

1,4 m

8 t.

Reben den Zügen sind die Fufswege mit 400 kg/qm zu belasten.

Auf Strafsen mit starken Steigungen, auf denen die vorstehenden Fuhrwerke nicht verkehren können, werden den Verhältnissen entsprechend geringere Rechnungslasten genehmigt; doch soll die gleichmäfsig verteilte Last mindestens 300 kg/qm betragen.

f) Einige besondere Belastungen.

Belastete Pferdebahnwagen weisen die in Fig. 9 angegebenen Gewichte und Abmessungen auf. In der Regel ist die Kastenbreite etwa 2,1, die Spurweite rd. 1,5 m.

Fig. 9.

Z«*

2Pferde

k---

__ 4,9-.

HZ

3^---4,55----

-f-2⁹⁵— *

1,5 t

4t 4t

Achslasten.

Strafsen walzen.

Einachsige, von Pferden gezogene Strafsenwalzen haben eine Breite von etwa 1,3 m, unbelastet für das Meter der Breite ein Gewicht von 5 t, voll mit Steinen oder Wasser belastet ein Gewicht von 8 t für das Meter der Breite. Demnach ergiebt sich das gröfste Gewicht solcher Strafsenwalzen zu 10,4 t (Fig. 10).

Fig. 10.

}- ^3- - x------3.0--------M------3,0 —

2 Pferde

2 Pferde

—>j(_---2,3-----tV---2,o---->j

2Pferde,

1,5t

1,5 t

1,5 t

10,9t

Fig. 13.

Dampfstrafsenwalzen. Man kann etwa die in Fig. 11 angegebenen Abmessungen und Gewichte der Berechnung zu Grunde zu legen. Die Breite der (kleineren) Lenkachse, welche einen mittleren Streifen walzt, ist etwa 1,3 m, die (gröfsere) Treibwalze besteht aus zwei Teilen von je (rund) 0,5 m Breite, welche einen Streifen von 1,25 m Breite zwischen sich frei lassen ; diese Achse walzt zwei äufsere Streifen.

Soll eine Dampfwalze von diesen Gewichten die

Fig. 11.

F³

GU-LTI

16t

I'"- V

Brücke regelmäfsig überfahren, so ist letztere für diese Belastungen zu berechnen; dieselben sind bedeutend gröfser, als die oben angegebenen.

2,2

k----1j5-----/S-

-W-

12 t

In Württemberg sind für Brücken, welche regelmäfsig mit der Dampfstrafsenwalze bearbeitet werden, folgende Mafse und Lasten vorgeschrieben: Gesamtlast 16 t, verteilt nach Angabe der Fig. 12.

Fig. 12.

if—

<X'"T

3,S

K-

2,9

■)

fr- — {?--r*‘i-r

ÖJ<V.V

0,65

4:

---1

6t

0.5

"T

*' i.,

7/

Ht

0„6

4__.

6t

.'V

Bei der König Karl-Brücke über den Neckar in Cannstadt betrug das Berechnungsgewicht der Dampfstrafsenwalze 20 t. Die Abmessungen sind in Fig 13 angegeben.

Die Belastung der elektrischen Hochbahn in Berlin besteht in Wagen von nachstehenden Altmessungon und Achslasten:

0,75    1,5    7,5    1,5    0,75 m

Abstände Achslasten Wagenlänge

Für die Berechnung der Querträger, Längsträger der Fahrbahn, der Fahrbahntafel, möge sie Bohlen, Zores-Eisen, Wellblech oder anderem bestehen, sind stets Einzellasten einzuführen, auch dann, wenn die Hauptträger für gleichförmig verteilte stellvertretende Lasten berechnet sind; die wirklich verkehrenden Einzellasten bilden für die Fahrbahnteile die weitaus ungünstigsten Belastungen.

12 m

aus

g) Gleichförmig verteilte, stellvertretende Last bei Strafsenbrücken.

Zur Berechnung' der Hauptträger und aus denselben Gründen, welche oben auf S. 18 entwickelt sind, führt man wohl stellvertretende, gleichmäfsig verteilte Last ein welche, wie bei den Eisenbahnbrücken, mit der Stützweite L veränderlich ist. Engesser²²) macht darüber folgende Angaben:

Bei Stadtstrafsenbrücken.

Y er kehrslast für das qm der Brücke p = (o,44 Lastwagen von 20 t Gewicht).

4-

-JJ-) t (entsprechend einem

²²) Engesser. Eigengewicht von Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

Strafsenbriicken. Zeitschr. f. Bauk. 1881, S. 63.

Bei Landstrafsenbrücken.

Verkehrslast für das qm der Brücke p = (o,36 -f—^ (entsprechend einem Lastwagen von 10 t Gewicht).

Die Formeln entsprechen bei gröfseren Brücken der Belastung durch Menschengedränge, hei kleineren einer Belastung durch Lastwagen.

Nach Winkler³) können folgende stellvertretende Werte zu Grunde gelegt werden:

Für die Berechnung der Gitterstäbe (gröfste Querkräfte), wobei p₀ die Belastung für das laufende Meter ist, welche einer Wagenreihe entspricht, und l die Länge des belasteten Trägerstückes bedeutet :

►Sehr schwere Wagen :

(1,02 + t.

Po =

r„ = (1,00 + t, Po = (0,90 + AA) t,

Schwere Wagen :

Leichte Wagen :

Für die Berechnung der Gurtungen (gröfste Momente) ergiebt sich bei jedem Querschnitt des Trägers eigentlich ein anderer Wert von p ; doch kann man angenähert die für den Querschnitt in der Mitte erhaltenen Werte auch für die anderen Querschnitte verwerten. Unter dieser Voraussetzung erhält Winkler folgende Ausdrücke von p, in welchen L die ganze Stützweite bedeutet, p wiederum einer Wagenreihe entspricht:

Sehr schwere Wagen : p — 0,94 p₀ = (o,94 -j-

P = (0,96 + t.

P = (0,85 + -îf) t.

Schwere Wagen :

18,8

)t.

Leichte Wagen:

Diese Lasten entfallen auf eine Breite von 2,3 m bis 2,5 m; wenn sie kleiner sind als Belastung durch Menschengedränge, so ist letztere einzuführen. —

Aufser den auf den Brücken verkehrenden Lasten, für welche die Bauwerke hergestellt und welche als Nutzlasten bezeichnet werden, wirkt auf dieselben noch eine Anzahl anderer Kräfte, welche als unvermeidliche Übel in den Kauf genommen werden müssen. Solche Kräfte sind: Der Winddruck, die Fliehkraft für in Krümmungen liegende Brücken, die Stöfse beim Überfahren der Verkehrslasten und verschiedene andere.

III. Winddruek und Fliehkraft.

§ 11. Der Winddruck. Die für die Gröfse des Winddruckes mafsgebenden Gesetze sind zur Zeit noch nicht vollständig bekannt; im allgemeinen nimmt man an, dafs der Winddruck dem durch den Wind getroffenen Flächeninhalt, sowie dem Quadrate der Windgeschwindigkeit proportional sei. Der erste Teil der Annahme scheint nach den neueren Untersuchungen²⁴) nicht ganz richtig zu sein, vielmehr nimmt der Druck auf eine ebene Platte wahrscheinlich von den Rändern nach der Mitte hin zu; der zweite Teil der Annahme ist wolt 1 nahezu richtig. Man kann den Druck, welchen der mit einer Geschwindigkeit von v Metern für die Sekunde wehende Wind gegen eine senkrecht getroffene Fläche von F Quadratmetern ausübt, setzen

üS) Winkler. Theorie der Brücken. I. Heft, 3. Aufl., 8. 330 u. 334.

²⁴) Gerlach. Widerstand von Platte und Keil im Flüssigkeitsstrom. Civil-Ingenieur 1885, S. 77 u. ff.

V~~ kg,

wenn *f das Gewicht eines Kubikmeters der Luft in kg, g die Beschleunigung des freien I-alles in Metern (= 9,81 m) bedeutet. Diese Formel stimmt nach Versuchen gut überein, bei welchen freilich v nur klein war. — ist bei 15° C. Wärme und 760 mm Barometerstand rund =0,125, demnach ist nahezu:

P₀ = 0,125 F v- kg.

Falls die Windrichtung mit der getroffenen ebenen Fläche einen Winkel « bildet, übt der V ind auf dieselbe einen Druck P aus, welcher auf Grund theoretischer Erörterungen früher allgemein gesetzt wurde: P = P₀sin²x. Untersuchungen, sowohl von Gerlach, wie v. Loessl ergeben, dafs diese Beziehung nicht richtig sein kann. Näher kommt man der Wahrheit mit der Formel (nach v. Loessl,

P = P₀ sin x = ?>² F — sin a.

Gerlach stellt (a. a. O.) die Formel auf :

it sin a 4 + Tc sin a

welche also gleichfalls der ersten Potenz von sin a proportional ist, aber sin a auch im Nenner enthält. Die letztere theoretisch gefundene Formel giebt für den wichtigsten Grenzfall a = 90° den Wert

Po =

*-(■

a. a.

Y.

Loessl*⁵) mit den

0.):

-T- . Vv- = 0,055 F v"

P = _

°    4 + K- g

(für 15° Celsius und 760 mm Barometerstand).

Dieser Ausdruck weicht sehr bedeutend von den bisherigen Annahmen und Erfahrungen ab, weshalb vorläufig, bis die Sache mehr geklärt ist, der v. Loess F sehe Ausdruck

P = P₀ sin a = v² F — sin a 9

den Berechnungen zu Grunde gelegt werden kann.

ver-

Die Gröfse der Höchstgeschwindigkeit des Windes, d. h. ymax, ist ebenfalls nicht genau bekannt; offenbar hat vmax in verschiedenen Gegenden wesentlich schiedene Werte. In Wien beobachtete man bis 36 m, in Hamburg² 3) bis 42 m Windgeschwindigkeit; denselben würden nach obiger Formel Winddrücke entsprechen, welche für das qm = 162 kg bezw. 220 kg wären. In Wirklichkeit müssen aber an besonders den Stürmen ausgesetzten Orten noch gröfsere Winddrücke Vorkommen, als die erwähnten. In der Nacht, in welcher die Brücke über den Tay in Schottland durch den Sturm umgestürzt wurde, zeigte der Winddruckmesser in Glasgow 204 kg Druck an; an der Unglücksstelle war der Winddruck zeitweise wahrscheinlich wesentlich gröfser, man vermutet zwischen 290 bis 340 kg f. d. qm. In Amerika hat man bei Wirbelstürmen sogar sehr bedeutende, lotrecht nach oben gerichtete Windkräfte beobachtet, welche schwere Brücken von den Pfeilern abgehoben und in die Ströme gestürzt haben; in besonderen Fällen ergaben sich die hierzu nötigen Kräfte für das Quadratmeter der wagerechten Grundfläche zu 200 bis 350 kg.

Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1881

In England ist neuerdings (infolge des Einsturzes der Taybrücke) vorgeschrieben, einen gröfsten Winddruck von 273 kg f. d. qm getroffener Fläche der Berechnung zu Grunde zu legen ; bei der Brücke über den Forth ist statt dessen 300 kg angenommen.

In den meisten Ländern legt man verschiedene Zahlen werte für belastete und unbelastete Brücken zu Grunde. Bei einem Sturme, welcher 150 bis 180 kg Druck auf 1 qm senkrecht getroffener Fläche ausübt, können Züge nicht mehr verkehren, da die Wagen alsdann durch den Wind umgeworfen werden. Winkler rechnet den Winddruck für das Quadratmeter belasteter Brücke mit 150 kg, für das Quadratmeter unbelasteter Brücke, welche ja allen Stürmen trotzen mufs, mit 250 kg.

Für Brückenberechnungen nimmt man allgemein den Winddruck wagerecht

wirkend an.

Die verschiedenen Brücken Verordnungen schreiben folgende Zahlenwerte vor:

V erordnung

für das Quadratmeter belasteter | unbelastete!⁻Brücke

kg

kg

Preufsische Staatsbahnen, September 1895 Österreichische Bahnen, September 1887 .    .

Bayerische Staatsbahnen.......

Sächsische Staatseisenbahnen, April 1895 Schweizerische Eisenbahnen, 19. August 1892

Französische Brücken.........

Reichseisenbahnen in Elsafs-Lothringen .

150

170

150

150

100

170

150

250

270

300

250

150

270

250

Selbstverständlich sind die Standsicherheits- und Spannungsberechnungen für beide Belastungsarten durchzuführen und es ist die ungünstigere der Ausführung zu Grunde zu legen.

Die Richtung des Windes weicht erfahrungsmäfsig etwas von der Wagerechten ab; vielfach nimmt man an, dafs der Winkel ß des Windes gegen die Wagerechte rund ■= 10° sei, welcher Wert als zweckmäfsiger Mittelwert eingeführt werden kann. Demnach wäre die wirkliche wagerechte Kraft gegen die lotrechten Brückenwände

P — P₀ cos ß.

Da aber cosß nur wenig kleiner als 1 ist, im übrigen nach dem Vorstehenden ganz genaue Zahlenwerte nicht bekannt sind, so sieht man besser von dem cos ß ab und führt einfach ein: P — P₀, d. li. man nimmt die Windrichtung als wagerecht an. Der Fehler ist zu Gunsten der Sicherheit.

Die Gröfse der vom Winde getroffenen Fläche.

Es sind drei Teile zu unterscheiden :

Der vom Winde unmittelbar, auf der Windseite, getroffene Träger, der vom Winde getroffene Träger, welcher auf der Unterwindseite liegt die bewegliche Belastung.

Der auf der Windseite liegende Träger ist mit seiner vollen Fläche in die Rechnung einzuführen ; der gesamte auf ihn wirkende Winddruck greift im Schwerpunkte dieser Fläche an, meistens genau genug in halber Trägerhöhe ; dagegen wird der auf der Unterwindseite liegende Träger nur in einem Teile seiner Fläche getroffen. Welcher Bruchteil dieser Fläche einzuführen ist, hängt von der Maschenweite der Hauptträger

ab. Das sicherste ist, beide Trägerwände etwas gegeneinander verschoben hintereinander zu zeichnen, und danach die Fläche zu ermitteln; doch setzt dieses voraus, dafs die Brücke bereits ganz entworfen sei. Die Vorschriften in den verschiedenen Ländern über die Gröfse der zu berechnenden Fläche sind nachstehend (S. 37 u. 38) angegeben.

Vas den Winddruck auf die bewegte Belastung anlangt, so ergeben sich wesentliche Unterschiede je nach der Lage der Fahrbahn. Liegt die Fahrbahn über den Trägern (gedeckte Brücke), so ist die ganze Verkehrslast dem Winddrucke ausgesetzt. Man kann den Eisenbahnzug als ein 3,0 m hohes, fortschreitendes, volles Rechteck betrachten, bei den Strafsenbriicken ein fortschreitendes, 2 m hohes, volles Rechteck einführen (österr. Verordnung). Winkler rechnet, dafs jeder Wagen sowohl bei Eisenbahn- wie Strafsenbriicken dem Win.de eine Fläche von 3,2 qm f. d. lfd. m bietet.

Liegt die Fahrbahn unten, sodafs die Verkehrslast zum Teil durch den dem Winde zunächst ausgesetzten Träger verdeckt wird, selber aber die hintere Trägerwand teilweise deckt, so wird man zunächst ein der Zughöhe entsprechendes volles Rechteck einführen, von dem Träger an der Windseite die ganze aufserhalb dieses Rechteckes liegende Fläche, von dem Träger an der Unterwindseite die entsprechend verringerte Fläche, soweit sie aufserhalb des Zugrechteckes liegt.

Vachstehend sind die in einigen Ländern erlassenen Vorschriften zusammengestellt.

Die Vorschriften für die preufsisehen Staatseisenbahnen schreiben vor;

Die Angriffsfläche der Brücke ist nach den wirklichen Abmessungen der Teile schätzungsweise zu bestimmen; die des Eisenbahnzuges ist als ein Rechteck anzusehen, dessen Höhe von Schienenoberkante an gerechnet 3,0 m beträgt.

Bayerische Staatsbahnen.

Bei Faclrwerksbrücken sind die Ansichtsflächen der beiden Träger, soweit dieselben nicht mit der Ansichtsfläche der Fahrzeuge und der Fahrbahntafel zusammenfallen, der Berechnung zu Grunde zu legen. — Als wirksame Ansichtsfläche der Fahrzeuge ist ein fortschreitendes volles Rechteck von 3,5 m Höhe über den Schienen bei Eisenbahnbrücken, von 2,5 m Höhe bei Strafsenbrücken in Rechnung zu ziehen.

Österreichische Verordnung vom 15. September 1887.

1. Bei der unbelasteten Brücke ist die eine der beiden Tragwände mit ihrer wirklich dem Winde ausgesetzten Fläche, die zweite hingegen mit ihrer auf gleiche Weise zu messenden, jedoch nach der nachstehenden Tabelle zu vermindernden Fläche in Rechnung zu bringen.

Tabelle für die Verminderung* der ausg*esetzten Fläche auf der zweiten Trag*wand.

Verhältnis der offenen Maschenfläche zur Gesamtumrifsfläche in der ersten Tragwand

Verminderungsverhältnis für die ausgesetzte Fläche der zweiten Tragwand.

oo

cf cf cf

^ o cf cf r-T

Für dazwischenfallende Werte ist geradlinig einzuschalten.

2. Bei der belasteten Brücke ist der Zug als ein 2,5 m hohes, mit der Unterkante 0,5 m über den Schienen befindliches, fortschreitendes volles Rechteck zu behandeln. Als Angriffsfläche ist hierbei die Fläche des Zuges und der aufserhalb des Zugumrisses befindlichen Teile der einen Tragwand, sowie

die nach vorstehender Tabelle berechnete Fläche dieser Teile iii der zweiten Tragwand in Rechnung zu bringen.

Bei den Strafsenbrücken ist das Yerkehrsband als 2,0 m hohes Rechteck einzuführen.

Französische Verordnung.

)•

In der Formel ist V

Für den Träger auf der Windseite ist die wirkliche Druckfläche F nach Abzug aller Öffnungen auszusetzen, für den Träger auf der Unterwindseite ist zu setzen: F ^1

die Umrifsfläche des Trägers ohne Abzug der Öffnungen. Bei Blechbrücken ist F = U, also der Träger auf der Unterwindseite nicht als vom Winde getroffen einzuführen.

Yerkehrsband reicht von 0,5 bis 3,5 m über Schienenoberkante. Die vor- und hinterliegenden Trägerteile sind bei der Flächenberechnung nicht in Ansatz zu bringen.

Schweizerische Verordnung

Die Gröfse der wirksamen Ansichtsfläche ist folgender Formel zu ermitteln:

vom 19. August 1892.

bei Brücken mit obenliegender Fahrbahn nach

F = (F'g-F'm) 4 (Fg — Fm) F

F'e

4 (FÏ'-F'")

Fm Fm F's F'

//

In der Formel bedeuten:

Fg, Fg, l'y ... die ganzen Umrifsflächen der hintereinander stehenden Tragwände.

Fm, Fm, Fm' . . . die Maschenflächen dieser Tragwände.

Bei Brücken mit zwischen den Tragwänden eingesattelter oder unten liegender Fahrbahn ist von de nWerten Fg und Fm der durch den Eisenbahnzug gedeckte Flächenteil in Abzug zu bringen.

Als wirksame Ansichtsfläche des Eisenbahnzuges ist ein fortschreitendes Rechteck von 3,0 m Höhe mit 2,0 m Schwerpunktabstand über der Schienenoberkante anzunehmen.

§ 12. Die Fliehkraft in Krümmungen. Wenn ein Körper vom Gewichte G und der Masse M eine Kurve vom Halbmesser r mit der Geschwindigkeit v durchläuft,

so entsteht eine Centrifugalkraft oder Fliehkraft

G v²

Mv²

9 r ’

in welcher Gleichung g — 9,81 m die Beschleunigung des freien Falles ist. Da die

Gröfsen », r und g, sowie G für jede Achse bekannt sind, so kann man für einen beliebigen Zug leicht den Wert der an jeder Achse wirkenden Fliehkraft ermitteln. Wegen der gröfseren Fahrgeschwindigkeit und weil v in der Formel im Quadrat vorkommt, werden die Schnellzüge in den meisten Fällen ungünstigere Fliehkräfte hervor-rufen, als die Güterzüge.

Als Belastung einer Lokomotivaclise kann man bei Güterzügen setzen: G — 15 t, als gröfste Geschwindigkeit v = 10 m;

153

t.

dann wird

Für Schnellzüge kann man setzen : G — 14 t,

v = 20 m

somit wird

570

t. .

Was den Zug selbst anlangt (ohne Lokomotive), so kann man der Einfachheit halber und genügend genau die Belastung als gleichmäfsig verteilt einführen. Iiechnet man diese Last bei Personenzügen zu 1,5 t, bei Güterzügen zu 3,6 t f. d. lfd. m Gleis, so ist die Fliehkraft für das laufende Meter Gleis :

beim Personenzuge c — beim Güterzüge

1,5.202 9,81 r

3,6 . 10* __ 36,7 9,81 r

Es empfiehlt sich, die Fliehkraft bei grölseren Brücken (etwa über 20 m Stützweite) als gleichmäfsig über die Zuglänge verteilte wagerechte Last f. d. lfd. m des Zuges einzuführen, aufserdem aber am Kopf des Zuges entsprechend den in sämtlichen Lokomotivachsen auftretenden Fliehkräften eine Einzellast anzunehmen, welche gleich deren Summe ist.

Bei Strafsenbriicken braucht man auf die Fliehkräfte wegen der geringen Geschwindigkeit der Yerkehrlast keine Rücksicht zu nehmen.

IV. Dynamische Wirkung¹ der Verkehrslasten und sonstige angreifende Kräfte.

mit einem Beiwert, der gröfser ist als 1, in die Rechnung

§ 13. Dynamische Wirkung der bewegten Lasten. Die Yerkehrslasten der Brücken treten mit einer gewissen, meist recht bedeutenden Geschwindigkeit auf ; hierdurch finden Beanspruchungen statt, welche (unter Emständen wesentlich) gröfser sind, als wenn die Lasten ruhend wirkten. Den Berechnungen werden wohl ausschliefslich ruhende Lasten zu Grunde gelegt : Man berücksichtigt die auftretenden Schwingungen und Stöfse, indem man die Yerkehrslast mit einem Beiwert multipliziert, den man als Stolsbeiwert bezeichnet. Dieses Yerfahren ist zuerst von Gerber eingeführt, der bei der Eisenbahnbrücke über den Rhein bei Mainz die Yerkehrslast in dreifacher Gröfse einführte, dann freilich aber auch die Inanspruchnahme an der Elasticitätsgrenze als zulässige, rechnungsmäfsige Inanspruchnahme annahm. Koch heute ist es üblich, die Verkehrslast — oder, was auf dasselbe hinauskommt, die durch die Yerkehrslast hervorgerufene Spannung

einzuführen. Dieses Yerfahren zu verbessern, sind in neuerer Zeit eine Anzahl Arbeiten veröffentlicht, in welchen die Frage theoretisch untersucht worden ist, welche Spannungserhöhung infolge der dynamischen Wirkung der Yerkehrslasten gegenüber derjenigen eintritt, welche den ruhenden Belastungen entspricht. Die letzteren Wirkungen sollen nachstehend kurz als statische Wirkungen bezeichnet werden. Der Lösung dieser Frage stellen sich aufserordentliche Schwierigkeiten entgegen. Der einfachste Fall eines kurzen, demnach gleichzeitig nur von einer Last besetzten Balkens, macht bei streng mathematischer Behandlung schon sehr grofse Schwierigkeit. Dieser Fall ist durch die ausgezeichneten Arbeiten von Dr. Zimmer mann⁴) geklärt. Sobald es sich aber um Träger von gröfserer Länge handelt, auf welcher die von den einzelnen Lasten ausgehenden Wirkungen (Schwingungen, Stöfse u. s. w.) nicht gleichzeitig auftreten, sich auch gegenseitig verstärken oder vernichten, wird die Aufgabe nahezu unlösbar, liier sind Erfolge nur von der Anstellung planmäfsiger, sorgfältig ausgeführter und genügend lange fortgesetzter Versuche zu erwarten, für welche wir in dem Fränkel’schen Dohnungs- bezw. Schwingungszeichner geeignete Apparate besitzen. Immerhin sind die bereits vorhandenen theoretischen Untersuchungen so bedeutsam, dafs über dieselben und deren Ergebnisse hier berichtet werden mufs.

Die dynamischen Einwirkungen der Vcrkehrlaston können in nachstehend aufgeführte Einzelwirkungen zerlegt werden :

1.    Vermehrung bezw. Vermindern des von der Last ausgeübten Druckes infolge der Krümmung der Bahnlinie.

2.    Auftreten von Schwingungen des ganzen Trägers bezw. einzelner Teile desselben infolge der mit grofser Geschwindigkeit eintretenden Belastung.

3.    Stofs Wirkungen infolge unvermeidlicher Fehler der Bahn, der Unebenheiten, der Schienenstöfse u. s. w.

4.    Änderungen in den Lastgröfsen, verursacht durch die an den Triebrädern der Lokomotiven angebrachten Gegengewichte ; durch diese werden abwechselnde Be- und Entlastungen der Triebräder hervorgerufen, welche die statische Wirkung der Last vergröfsern und weitere Schwingungen erzeugen.

5.    Bei sehr schnell eintretender Belastung ist es denkbar, dafs die Zeit nicht ausreicht, um den Träger seine volle Widerstandsfähigkeit entwickeln zu lassen. Die ferner gelegenen Fasern des Baustoffes werden erst nach einer gewissen Zeit in Anspruch genommen und ihren Widerstand zu Hilfe senden können. Yor dem Eintreffen dieser Hilfe entwickelt der Träger geringere Festigkeit, als die Berechnung annimmt.

Der zuletzt angeführte Punkt kann hier sofort erledigt werden. Die Spannungen in elastischen Körpern pflanzen sich nach den für die Schallgeschwindigkeit gütigen Gesetzen, also sehr schnell fort ; im Eisen beträgt diese Geschwindigkeit etwa 5000 m in der Sekunde. Dieselbe ist so grofs, dafs sie gegenüber derjenigen, mit welchen die Belastungen der Brücken ungünstigstenfalls erfolgen, als augenblickliche angesehen werden könnten. Die unter 5. erwähnte Befürchtung erscheint also nicht als begründet.²⁸)

1. Form der Bahnlinie für kurze, vollwandig'e Träger. Strenge Behandlung.

Ein Balken A B von der Länge L (Fig. IE) werde von einer Masse m mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit c überfahren. Die bewegte Masse m habe das Gewicht G, wo G — m g, und cj die Beschleunigung des freien Falles ist. Die lotrechte, nach unten wirkende Kraft, welche aufser dem Gewichte noch einen Federdruck enthalten kann, sei P. Beim Überfahren seien die Koordinaten des Lastpunktes bezw. x und y ■ der Anfangspunkt des Achsenkreuzes liege in der Mitte des Balkens. Wenn die Kraft P einen Punkt K des Balkens im Abstande x von der Mitte belastet und dabei langsam yorschreitet, so sei die Senkung y₀ ; diese Senkung bezeichnet man als diejenige für ruhende Last. Bei dieser Senkung mufs die vom Träger an dieser Stelle ausgeübte elastische Gegenkraft genau gleich P sein. Wir bezeichnen diese Gegenkraft mit Wy₀, d. h. es ist Wyo — P. Einer anderen Senkung y des Punktes K entspricht eine Gegenkraft W, so ist

Fig. 14.

Ajf-

..... I

......?!

-iB

y-, also W — P.—

Vo

Vo

Die belastete Masse m befindet sich in einem beliebigen Zeitpunkte der Bewegung bei der Senkung y unter dem Einflüsse einer beschleunigenden Kraft Q nach unten und

nun

zwar ist: Q = P — W — P (\ -die beiden Bewegungsgleichungen :

d²y

SO

Für die Bahn der bewegten Last gelten

= ”0

-)]

dt²

Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-

²⁸) Man vergl. jedoch: Steiner. Metallkonstruktionen der Zukunft. Ver. 1892, S. 113.

(die wagerechte Beschleunigung ist bei der Annahme der Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit c gleich Null). —

G

Nun ist m — —, also wird:

9 ’

d*y _ P dt* — G

A¹

£ «S

) ; und weiter:

dx

dt ⁼ X = C.t

t ist hier die Zeit, in welcher die Strecke x mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit c von der Masse m durchfahren wird.

Aus der Verbindung der beiden Gleichungen für d*y

d t²    d x²

d²y

dt²

und x = c . t folgt:

d*y

d*y

dx²⁵

d. h.

d*y

~dx* — ff -Q- — 9 ~G

Vo

dy _ g P g P y dx*    c² G

c* G y₀

2.

Gleichung 2 ist die Gleichung der gesuchten Linie. Mit den Bezeichnungen der Fig. 14 und wenn unter E und J bezw. Elasticitätsziffer des Baustoffes und mafsgeben-des Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes verstanden werden, ist²⁹)

PI³ (Z — xf (l + x)²

Vo 6EJ

Z⁴

3.

Führt man diesen Wert in Gleichung 2 ein, so ergiebt sich:

d²y __ g_ P___g.y

c² G

6EJ

««■(> -A(> + A ' '

Die Senkung für ruhende Last G in der Balkenmitte werde mit v/₀₀ bezeichnet, so folgt aus Gleichung 3 für x — 0:

c-

.    .    4.

l/oo -

Gls

6 EJ

und wenn dieser Wert in Gleichung 4 eingeführt wird,

d²y    g E__y

d x²    c² G

Endlich sei h die Höhe, welche die Masse m in derselben Zeit f₀ durchfallen würde, in welcher die Last die Länge l mit der Geschwindigkeit c überfährt; dann ist:

ct₀ = l, = d. h.

gl*

2 c² '

oc

Nun sei die unabhängige Veränderliche £ = -j ,

so ist d²*r\ =

hängige Veränderliche sei r\ = Differentialgleichung der Bahnlinie

d²y

so wird dx² = f d£²; die ab-Mit diesen Werten wird die

2 h -q . g

2 h d² Yj _ g P

■ ~dV ~ * ~G ~ y₀₀ c² (1 - i²)2 drrL_    gl²    P    gl²

dH² ~ 2hc²    G    c² y₀₀ (1 — £*)*

w +

d² yj

2 hr]

9oo (1 -

= 0.

²⁰) Vergl. Hütte, XIV. Aufl., S. 293.

Neu nt man abkürzungs weise der Bahnlinie:

Uoo

= ß, so ergiebt sieli die gesuchte Gleichung

d²r\

+ a _3_

^    • (l — £²)²

Gleichung I ist in dieser Form von Zimmer mann³⁰) entwickelt. Wegen der weiteren Behandlung der Differentialgleichung I mufs auf das ausgezeichnete Werk von Zimmermann: „Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last. Berlin, Ernst u. Sohn, 1896“ bezw. Centralbl. d. Bauverw. 1896. S. 249, 257, 264 und ebenda 1892, S. 215 verwiesen werden. Die schwierige Integration der Gleichung und Untersuchung der Kurve ist a. a. 0. mit aufserordentliehem Scharfsinn durchgeführt.

-ß = o

I.

Die Untersuchungen von Zimmermahn erweisen, dafs die Form der Bahnkurve

2 h

in hohem Mafse von dem Werte a = —

Oh²

Für die

abhängt; es ist aber h —

Grenzwerte von c, nämlich für c — 0. wird a. — oo und für c — oc wird a = 0. Der ruhenden Belastung entspricht also a = cx>, der mit unendlich grofser Geschwindigkeit überfahrenden Last entspricht a = 0.

2 c² '

Die Bahnlinie für a = oc ist demnach bekannt : es ist die Senkungslinie für ruhende Belastung. Die wirklichen Gröfsen von a liegen zwischen den Grenzen cg und Null. Yon der Gröfse des Gesamtdruckes P, vorausgesetzt dafs derselbe während der überfahrt unveränderlich bleibt, ist a unabhängig. Die Ordinaten der Senkungslinien ändern sich freilich mit P, aber für ruhende und bewegte Last im gleichen Verhältnis, wie P. Dagegen ist die Gröfse a abhängig von dem Verhältnis zwischen P und G. Der ganze Raddruck P setzt sich zusammen aus dem Gewichte G der Masse m und der durch Federung auf das Rad übertragenen Kraft G₁. Werden für beide recht gröfse Werte, entsprechend den heutigen Lokomotiven, eingeführt, so kann man in den Grenzfällen bei fehlender Federung und bei vollkommener Federung setzen:

Bei fehlender Federung

bei vollkommener Federung

P = 8 t G = 2 t

Gj = 6 t

Es ist also bei fehlender Federung G viermal so grofs, als bei vollkommener

Federung, also die oben für ruhende Last G in der Trägermitte mit y₀₀ bezeichnete

2 h

Senkung im ersten Falle viermal so grofs, als im zweiten Falle. Da aber a =

P = 8 t G = P=8 t Gt= 0

y oo

ist, so

ist bei fehlender Federung a viermal so klein, als bei vollkommener Federung. Bei fehlender Federung ist y₀₀ —

PI³

und a ==

2h _ <jP __ gl² 6EJ

6 EJ

Man kann a durch die gröfste Inanspruchnahme o in der Trägermitte ausdrücken. Wird die Trägerhöhe mit a bezeichnet, so ist für Last P = G in der Mitte :

y<>o °² • Voo

C*PlS '

PI

itte

= M.

mitte •

PI 2 Jo

mithin — — - und damit bei fehlender Federung :

3 Kg a 2 o e

au =

(ungefedert).

Pia

Für vollkommene Federung ist a viermal so grofs, d. h.

6 Eg a

av = 4au =

0 . c²

(vollkommen gefedert),

³⁰) Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last. Berlin 1896.

mithin ist:

„ _ A EVa

u 2 o. c²

5.

n Eg a av = 6 —~-

a . c²

Aus Gleichung 5 kann man a finden. Da es sich nur um kurze Träger (etwa bis 4 m Stützweite) handelt, so liegt a zwischen 30 und 50 cm. genommen werden: E = 2000 t/qcm, a = 0,6 t/qcm, g — 981 cm, c — 100 G (c bedeutet Geschwindigkeit in Centimetern, C die Geschwindigkeit in Metern für die Sekunde).

Man erhält

Es kann ferner an-

«u

= 500 ~ (abgerundet)

•>

= 2000

man a — 30 cm und die Fahrgeschwindigkeit C Geschwindigkeit einer Stundengeschwindigkeit von 100 km entspricht, so erhält man als kleinsten denkbaren Wert von

Setzt

av

28 m/Sek., welche

20 bei ungefederter Fahrt,

au =

aT — 80 bei vollständiger Federung.

Da die Lagerung nie ganz starr ist, so kann man als mittleren, ldeinst möglichen Wert von a einführen: a — 40.

Ein ungünstigerer Wert dürfte nicht Vorkommen. Für dieses a ergiebt sich nach Zimmermann in der Trägermitte gegenüber derjenigen bei ruhender Last eine ver-hältnismäfsige Zunahme der Senkung und der Beanspruchung von (rund) 14%.

Durch die vorstehend behandelten dynamischen Einflüsse ist also eine Steigerung der Inanspruchnahme um 14 °/₀ möglich.

Zimmermann kommt in der mehrfach erwähnten Arbeit zu der Differentialgleichung I, indem er die beim Durchfahren der gekrümmten Bahnlinie auftretende Flieli-

kraft N einführt. Die lotrechte Seitenkraft derselben

Fig. 15.

vermindert die lotrechte Kraft P um V —

COS cp

Wird die wagerechto Seitengeschwindigkeit der Masse m mit c, die tangentiale Geschwindigkeit des Durchfahrens der Kurve mit v, der Krümmungshalbmesser mit p bezeichnet, so ist (Fig. 15):

■f

AT

C — V . cos <p,

VI V²

ini

W/T

und da p =

(1 + tang- cp)

3/2

d² y d x²

öPy

ist:

COS³ cp .

N    T-r    o (Py

- = y — mc , o-.

cos cp    dx

Es wirkt also als Last nach unten:

m c2 cos² cp '

cos³ cp

Py

dx* '

d x²

Q = P — V= P — mc²

Py

dx²

P l³ (l — xf (l + xf

Die Einflufslinie der Durchbiegungen für die ruhende Last P ist (vergl. Gleichung 3, S. 41):

.    7.

y° ~ 6 ej

Bewegt sich nunmehr die mit c und p veränderliche Last Q über den Träger, so wird die Gleichung der Durchbiegungen erhalten, indem man statt P den Wert Q aus Gleichung 6 in Gleichung 7 einführt. Man erhält nach einfachen Umformungen:

cl²y

dx²

6EJ m c² Is

(’ - (U)

mc²

Aus dieser Gleichung ergiebt sich mit den vorstehend eingeführten Bezeichnungen ohne Schwierigkeit die oben mit I. bezeichnete Differentialgleichung der Bahnlinie.

¹

) Aach Deutsche Bauz. 1898, S. 575 scheint neuerdings als gröfste gleichmäfsig verteilte Verkehrslast 600 kg/qm Brückenoberfläche eingeführt zu werden; ferner wird beim Befahren mit Dampfstrafsenwalze diese im Dienste als 18,9 t schwer, 1,4 m breit in Rechnung gezogen.

²

)    v. Loessl. Studie über aerodynamische Grundformeln. S. 103 n. ff.; Centralbl. d. Bauverw. 1885, S. 203 u. 204.

³

)    Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1897, S. 291.

3*

⁴

) Die Schwingungen eines Trägers mit bewegter Last. Centralbl. d. Bauverw. 1896, S. 249 u. ff'.

2. Wirkung* bewegter Lasten auf gröfsere Brücken. Ang*enäherte Berechnung*.

Die Untersuchung der Wirkung bewegter Lasten auf gröfsere Träger stufst auf aufserordentliche Schwierigkeiten. Die nachstehend vorgeführte Behandlung (nach Mel an)³¹) kann nur angenäherte Ergebnisse zeitigen; bei der Untersuchung sind Fachwerkträger angenommen.

a) Einflufs der Schwingungen.

In den betrachteten Stab trete die Stabkraft S mit einer gewissen Geschwindigkeit. Die (positive und negative) Verlängerung setzt sich über diejenige Verlängerung hinaus fort, welche bei ruhender Stabkraft S auftreten würde. Die Spannung ist proportional der Verlängerung. Die über die statische Verlängerung hinaus auftretende Verlängerung, die halbe Schwingungsweite, wird die Gröfse der durch die Schwingung erzeugten Zusatzspannung bedingen. Die Schwingungsweite ist aber abhängig von der Geschwindigkeit v₀, welche die Stabkraft S im Schwingungsmittelpunkt hat. Diese wiederum hängt von der Geschwindigkeit ab, mit welcher die Last über den Träger fährt. Für die Ermittelung der Geschwindigkeit, mit welcher die Stab kraft in den Stab eintritt, werden mit Vorteil die Einflufslinien verwendet.

In dem betrachteten Stabe vom Querschnitt E. der Elasticitätsziffer E, der Länge /,

wirke die Stabkraft S. Bei ruhender Last erteile diese Kraft dem Stabe die Ver-

KF

Sl

längerung X. Dann ist bekanntlich X = also für einen bestimmten Stab konstant.

Sei in einem Zeitpunkte die gesamte Verlängerung : X -f- 7], die Geschwindigkeit des Endpunktes = v, so ist die Zunahme an lebendiger Kraft während der Zurück-legung der Strecke 7), wenn man die bewegte Masse m — -- setzt (jj ist die Beschleunigung des freien Falles):

FF

und S = E E

— k X. Es ist k —

~    — vo)'

Der Bewegung entgegen wirkt die elastische Gegenkraft = k (X -(- 7j); in der Richtung des Weges wirkt auf der ganzen Strecke die Kraft S — k X ; mithin ist die während des Weges yj verrichtete mechanische Arbeit

a — Sy —

Es mufs also sein:

J k (X + v]) d 7]

Ö

rz (f — vt) = —

— k X Tj — kXrj----

kr;²

k E²

kr;²

2g

8,

v wird Kuli für den Endpunkt der Schwingung; die halbe Schwingungsweite sei 7]„ so ist also v = 0 für r\ = vp, mithin heifst die Bedingungsgleichung für r\^ :

A „2 _

2 g Vo 2

Zeitschr. d. österr. Ing.- u.

S1) Melan. Über die dynamische Wirkung bewegter Lasten auf Brücken. Arch.-Ver. 1893, S. 293 u. f.

und mit S = JcX

lv₀²

±v-^/)

Bei dieser Entwickelung ist die Annahme gemacht, die schwingende Masse sei

s

gleich —, welche Annahme nicht zweifellos richtig ist. Die Bestimmung der Gröfse der in Betracht kommenden Masse bedingt bei der Lösung der Aufgabe die gröfste Schwierigkeit.

7]

9.

Die Stabspannung ist proportional der Verlängerung; folglich ist die der Verlängerung 7j, entsprechende Zusatzspannung AS zu finden aus:

AS

S ~~ AT’

AS == y rj, = k~r\

A S = ± 7c. v₀

(J

10.

In Gleichung 10 ist nur v₀ unbekannt, d. h. die Geschwindigkeit, mit welcher die Stabkraft am Endpunkte der statischen Verlängerung X anlangt. v₀ ist als Funktion der Spannungsänderung darzustellen. Es ist v₀ =

da X =

1 dS

v° k dt

CQ «

dl

dx

wenn t die Zeit bedeutet, und

Die gleichbleibende Geschwindigkeit, mit welcher die Last über den Träger führt, sei c, so ist x — ct und

dx

— c, also c dS

r° ⁼ T 'dcc

11.

dS g dx

In Gleichung 12 erscheint der gesuchte Zuwachs an Stabkraft, A S, ausgedrückt in der bekannten Fahrtgeschwindigkeit c, den bekannten Gröfson X (statische Verlänge-

A5 = ± c

12.

dS

rung) und g (= 9,81 m), sowie in Mit Hilfe der Einflufslinie kann man

Fig. 16.

dS

dx

ermitteln. Es

ir

6| ą\ ą\

ist, wenn (Fig. 16) die Einflufsordinaten yn «/₂, ya sind und Sq die Stabkraft durch das Eigengewicht bedeutet:

y, .....ct»

\s?

JS

demnach

S = Sq -f- Gtyi -f- G.₂y₂ -}-•••

S = Sq + S (G y),

L = S(eGf)) = S(ff(^a))

\J~j 2 (6r tang ct) .    .

13.

Bedeutet a die Spannung auf die Flächeneinheit des Stabquerschnittes für ruhend wirkende Stabkraft $, so ist

x = V lmd V

1000 kg/qcm wird 0,0064    0,0084

800

600

400

A = 0,0045    0,0055

Die Gleichung für A5 erhält mit dem Beiwert A die Form:

h.S=àic.A.yJîïi(G tang a) .    .    .

Für a =

13a.

I ist die Stablänge in Metern.

Die Anwendung wird für einige Beispiele gezeigt.

Beispiel 1. Gitterstab eines Balkenträgers (Fig. 17). Die Einflufslinie auf der belastet

Y

anzunehmenden Trägerseite ist eine Gerade, also ist a konstant, d. h tang a — —.

Setzt man E (G y) = Fig. 17.

so ist m ein Zahlenwert, welcher zwischen 1 und 2 liegt. Wäre

nämlich nur eine Einzellast G auf dem Träger im ungünstigsten Punkte, so wäre E (Gy) = Y E (6r), d. h. m = 1. Nur wenn alle Lasten an diesem

Y E (G)

Q*:

OC

Punkte liegen, ist naturgemäfs in — 1. Bei gleich -mäfsig über die ganze Länge x verteilter Last p für die Längeneinheit wird dagegen nahezu Yx

!D___Q_n.

Y>{Gy) = p. g und da hier S (G) = px ist, so ist

'Ei (G y) — E (G), also in — 2. 2

In allen anderen praktisch wichtigen Fällen, d. h. wenn eine Zahl von Lasten auf der Abteilung x liegt, hat m einen Wert zwischen 1 und 2. Der allgemeine Ausdruck für in ist:

rs(G)

S (£</)•

10

15    20    25    30    35    40 m

1,56    1,60    1,56    1,90    1,72    1,72    1,81    1,71.

Mel an erhielt für den Belastungszug der österr. Brückenverordnung (vergl. S. 22) und x = 2 m ----- 1,43

Setzt man S = Sq + S'p, wo Sq bezw. Sp die Stabspannungen durch Eigengewicht bezw. Yerkehrs-

Y

. Mit tanga —---wird Gleichung 13a:

VJY2(G)

last bedeuten, so ist Sp = S (G y) =

rs(67)

A S=±c.A.

und da Y E (G) — m 2(G y):

AS = ±

c, m

A VT

• S(6fy) = ± —

A VT

Sp. in.

AS = ±

Sp . m

14.

Für die gröfste Geschwindigkeit c — 20 m/Sek. und die Mittelwerte A = 0,006 und in = 1,7

ergiebt sich :

A S = 4-

0,2 V l

Sp-

x und l sind in Metern einzuführen.

Bedeutung hat bei Parallelträgern diese Erhöhung der Spannung nur für die Mittelfelder, weil in diesen die Kraft Sq gering ist. Melan berechnet die Schwingungsspannung in den mittleren Diagonalen bei einer Stützweite L:

= 16

25

50

4,2

3,0

100 m

2,1 %

A = 5,2

der durch statisch angenommene Yerkehrsbelastung Sv hervorgerufenen gröfsten Spannung.

Bei Trägern mit gekrümmten Gurten wird die Yergröfserung der Grenzspannung beträchtlich,

bis zu 23,4°,o.

Bei den Hilfspfosten für eine Knotenlast erhält man die Yergröfserung der statischen Yerkehrs-spannung Sv zu 4% bis 8,3°/o.

Beispiel 2. Gurtstäbe eines Balkenträgers. Die Einflufslinie für den untersuchten Stab ist in Fig. 18 dargestellt. Nach Gleichung 13“ ist :

A S — + c . A . V l E (G tang a).

Wenn sowohl die links, wie die rechts vom Momentenpunkte liegenden Lasten je die Gröfse G₀ hätten und wie diese Last am Momentenpunkte lägen, so wäre:

S (ß tang a) = G₀ tang ai -j- G₀ tang a , = G₀ Y ( ^ -{- —

Die wirkliche durch die Lasten G erzeugte Stabspannung Sp liât einen von Y . G₀ verschiedenen Wert; man kann wieder setzen:

m Sp — G₀ Y,

wo m ein besonders zu bestimmender Beiwert ist. hält demnach

Man er-

Fig. 18.

und

E (G tavg a) — m . SP +

+ e. A VT m Sp (“ + -j-

17~

ï)

b) ■

.    15.

Der Wert für m ergiebt sieli aus der Gleichung:

y.g₀

]CX

J j-JC .    *

O O

c2

JC

n n o__q

Y ist die Höhe des Einflufsdreiecks für Einzellast 1 ; bei der Auswertung des Quotienten fällt im Zähler und Nenner der Hebelarm der Stabkraft fort; es ist:

x (L — x)

Sp

-Sr

— (L — x) x

pL ’

also m

² G0 pL '

o ß

Mit G₀ = 13 t wird m =

Für verschiedene Stützweiten L und die entsprechenden gleich

en L *

wertigen Belastungen p der österreichischen Brückenverordnung erhält man für:

10

15

20.

30

40

80

m = 0,45    0,31    0,25

Für A = 0,005, c = 20 m/Sek. .

120 m

0,20    0,143    0,116    0,074    0,057 m.

. . findet Mel an:

0,785 m

Sp

16.

mithin für:

10

15

=    5

= 15,9    7,6    5,0

20    30

3,5

2,0

40

1,5

80 m

0,8 °/o von Sp.

Beispiel 3. Querträger (Fig. 19). Die gröfste statische Durchbiegung des Querträgers an den Anschlufsstellen der Längsträger zweiter Ordnung sei = u (u entspricht dem früheren Werte X), so

Fig. 19.

erhält man als halbe Schwingungsweite V]! (= Vergröfser-ung der Durchbiegung infolge der schnellen Bewegungen der Lasten) :

f-

(X

Cts

I;

X 'I

xc

",

-k

y/r

•fil = ± V₀ .

v₀ ist die Geschwindigkeit, mit welcher die Senkung im Schwingungsmittelpunkte vor sich geht. Es sei D der gröfste, im Anschlulspunkte des Längsträgers zweiter Ordnung auf den Querträger übertragene Druck, so kann man mit dem Beiwert k setzen: D = ku und da v₀ — -

1 d D    1 AD dx

dt    k    dx    dt'

l'a

ist:

Es ist (wie oben) c — —jy-, a^so •

dB

Der Senkung u -f v]i entspricht ein Zuwachs der Kraft D um:

u d D g dx '

Es ist also durch die Schwingung eine Vergröfserung des Druckes eingetreten:

u d D g d x

AD — k . ~r\i — + k . v₀

Bei den Bezeichnungen der Fig. 19 erhält man leicht:

De²

6EV

(Sb — 4 e).

Es ist zweckmäfsig, auch liier o, d. h. die gröfste statische Inanspruchnahme, in den Ausdruck zu bringen. Vernachlässigt man das Eigengewicht des Querträgers und nennt die Höhe des Querträgers h, so ist:

<3 =

hDe

also

S S'.

3 D h g

Man erhält mit g = 600 kg/qcm :

(Sb - 4 e).

\J J = 0,0055

(Sb —4 e).

Für eingleisige Brücke sei b = 5 m, e

Sh

1,6 m, so wird:

0,0118

Vh '

Es ist noch in Gl. 17 : wenn y die Ordinaten der Einflufslinie für D sind. Es ist den Gurtstabspannungen gezeigt ist, kann man setzen:

zu ermitteln. Abstand der Querträger sei a (Fig. 19), so ist D = Yi(Gy),

= S (6r tang a). Genau wie oben bei

dl)

= £ (G tang a) = D m.

Hier ist offenbar Y = 1, also:

dD

Melan setzt für:

dx

3,0

4,0

0,71

und man erhält mit diesen Werten aus Gleichung 17:

0,83

5,0 m

0,66 m

A D — c . 0,0055

V/'Ä(3 6

— 4 e)

in D

18,

Für eingleisige Bahn mit obigen Werten b = 5 m, e = 1,6 m und

0,0118

VT

wird

18“.

0,0118 a V h

Melan erhält mit c = 20 m für:

s-¹

=    0,6 in

h —    1,0 m

3,0

4,0

jy- —    0,084

0,054

5,0 m 0,04 m

j-— =    0,065

0,042

0,032 m

Die Spannungen erhöhen sich in den berechneten Verhältnissen; die Erhöhung beträgt von 3,2 bis 8,4 vom Hundert. Höhere Querträger sind günstiger als niedrigere, bei gröfseren Querträgerabständen nimmt der verhältnismäfsige Einflufs der Schwingungen ab.

Es möge noch einmal hervorgehoben werden, dafs die vorstehenden Rechnungen nur als Annäherungsrechnungen angesehen werden können.

b) Berücksichtigung der Fliehkräfte infolge der Bahnkrümmung.

Führt man die lotrechte Seitenkraft der Fliehkraft ein, nimmt ferner an, dafs die oben (S. 43) mit P bezeichnete Gesamtkraft nur das GeSvicht der bewegten Last bedeute (d. h. sieht man von der Federung ab), so ist die Belastung eines Bahnpunktes mit den Koordinaten y und x :

Q = P--— c²

Q = P (i

d²y dx* ’ c² d²y g dx²

Die Senkungslinie für Last P — 1 sei yt = f (tc), so wird diejenige für die Last P sein :

yx. p = p ■ f (*)

und diejenige für die Last Q :

) fix)

e² d² y g dx²

Um die schwierige Integration dieser Gleichung zu vermeiden, wird angenähert y = P f(x) gesetzt.

gefundene Wert, in

Gleichung 19 eingeführt, läfst die Druck Vermehrung infolge der Fliehkraft erkennen. Damit ist dann auch die Möglichkeit gegeben, die Yergröfserung der Inanspruchnahme zu finden. — Bei einer gröfseren Zahl von Einzellasten hat Melan eine gleichmäfsig verteilte, sich verschiebende Last p und diejenige Bahnlinie eingeführt, welche der Schwerpunkt der Last durchläuft. Yon der Gleichung dieser Kurve ist dann die zweite Abgeleitete ermittelt und in die Gleichung 19 gesetzt. Es liegt auf der Hand, dafs diese Rechnung nur ganz überschlägliche Ergebnisse zeitigen kann: sowohl die gleichmäfsig verteilte Belastung, wie die für zweimalige Differentiation gewählte Kurve entspricht den wirklichen Yei’hält-nissen nicht. Immerhin sind die gefundenen Annäherungsweise mangels genauerer wertvoll.

y = Qf(x) = p(i

20.

Da f(x) bekannt ist (s. oben Gl. 7, S. 43), so kann man

dx²

ermitteln. Der für

d²y

dx²

Für kurze Träger von der Länge 2 l mit Einzellast P ist die Gleichung der statischen Senkungslinie (s. oben S. 41):

P    (l² — x²)²

6 EJ l

also :

ä²y

dx²

2 P (l² — 3 x²)

3 EJl

In der Mitte des Trägei's, für x — 0 hat

d²y

dx²

seinen gröfsten, also p seinen kleinsten Wert.

Daselbst ist:

fä²y \    _

\dx² Jx = o

2 PI

3 EJ

und an dieser Stelle ist also nach Gleichung 19:

<2 = r(1 + T

2 PI

3 K .7 )

Sei g die gröfste statische Inanspruchnahme, h die Trägerhöhe, so ist g — ausgeübte Kraft:

PI h

2.2 J

, mithin die

8 o c2 3 g E h

Der zweite Summand in der Klammer stellt die Druckvermehrung dar.

Bei gröfseren Trägern, welche mehrere Lasten gleichzeitig aufnehmen, ist als f (#) die Bahn eingeführt, welche die Mitte der gleichmäfsig verteilten, gleichwertigen Last^x beschreibt. Man erhält bei den früheren Bezeichnungen:

Q = p{ i +

21.

(I - Xf { 8 l - (Ï - *) + y (l - X)² }

{ 48 l — 117 (l — *) -f -y- (l — .t)² j.

6 E ')

d²y _ p (/ — x) dx² 6 E J Die Werte x liegen zwischen x — — l und x — + l.

Bei voller Belastung des'Trägers liegt der Schwerpunkt der bewegten Last in der Mitte und

3 p V²

Y ~ÊT‘

es ist für x — 0:

d²y

dx²

wirkte.

Die Druckwirkung ist dann nach Gleichung 19 so, als ob statt p die Belastung:

/ c² 3 p l2 P‘ = T (l + —

2 EJ

Sei wieder g die bei ruhender Belastung auftretende gröfste Spannung, so ist:

p l² h    p l² h

2.2 J ~    4 J ’

mithin

/    o c² \

P‘ = p (l + C -JTJ X)

22.

Melan führt, weil vorstehend die Annahme konstanten Querschnittes und massiven Balkens gemacht war, für die Fachwerksträger eine gröfsere Durchbiegung ein und ersetzt den Koefficienten 6 in Gl. 22 durch 7,5. Das Eigengewicht f. d. lfd. m sei q, die gröfste Inanspruchnahme omax, diejenige durch Ver-

Mit omax = 800 kg/qcm, E = 2 000 000 kg/qcm wird:

kehrslast allein sei c, so ist o = o,nax •

800

E 2 000 000 ' p + q

= 0,0004

Führt man g h = 9,81 h ' — 21 — L ein, d. h. wählt man die Trägerhöhe rund zu l/io der Stützweite, so wird mit Beiwert 7,5:

0,003 . c² p P + q

Für eingleisige Eisenbahnbrücken mit c = 20 m erhält man bei nachstehenden Annahmen : Jj =    5

P' = (l +

)p

23.

Die Reihe der A p giebt die Yergröfserung der Inanspruchnahmen an, welche eine Folge der gekrümmten Foi’m der Bahnlinie sind.

c) Einflufs der an den lokomotivrädern angebrachten Gegengewichte.

Bei den Eisenbahnbrücken ist auf die Yergröfserung Rücksicht zu nehmen, welche der Achsdruck durch die zur Erzielung ruhigen Ganges an den Lokomotiven angebrachten Gegengewichte erfährt. Bei rascher Fahrt mit der Geschwindigkeit c

tritt infolge des Gegengewichtes eine Fliehkraft auf, welche sich bety v²

rechnet zu F — ———. Es bedeutet G das Gegengewicht, v die tangentiale Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Gegengewichtes, p dessen Abstand von der Radachse ; mit der Fahrgeschwindigkeit c und dem Halbmesser r des Rades erhält man — = —, also :

Fig. 20.

r*

Gc2 9 r2 P'

Diese Fliehkraft hat eine nach oben gerichtete, also entlastende Seitenkraft, wenn G auf der oberen Seite der durch die Achse gelegten Wagerechten liegt, eine nach unten gerichtete, also belastende Seitenkraft, wenn G auf der unteren Seite der Wagerechten liegt. Die lotrechte Seitenkraft wächst sowohl positiv wie negativ von 0 bis F und nimmt wieder auf 0 ab. Das Gegengewicht ist gegenüber der Kurbelachse angebracht; da beide Kurbeln um 90° gegeneinander verstellt sind, so ergiebt sich die gröfste Achsbelastung, wenn beide Gegengewichte in der unteren Hälfte liegen und je mit der Wagerechten den Winkel 45° einschliefsen. Dann ist die Yergröfserung des Achsdruckes = F VH — L41 F. Zu beachten ist, dafs [nach einer halben Umdrehung dieselbe Kraft, 1,41 F lotrecht nach oben wirkt.

Tabelle der Werte F für einige Maschinen.

Gegengewicht

Bezeichnung der Maschine

G am Triebrad

Gi am

Kuppelungsrad

F am Triebrad

Fi am Kuppelungsrad

kg

kg

kg

kg

Schnellzugsmaschine ; zwei gekuppelte Achsen ; Aufsencylinder.

Güterzugsmaschine; drei- u. vier-achsig.........

120 bis 160

200 bis 250

50 bis 70

0,85 bis

0,7 bis

20

4000 bis

1700 bis

1,0

0,8

5000

2000

100 bis 130 0,57 bis

0,7

0,32 bis 0,52 ;

12

3000 bis 3500

1500 bis

1750

Für eine Anzahl von Lokomotiven hat Melan die Zahlenwerte vorstehender Tabelle ermittelt und daraus die ebenfalls in der Tabelle angegebenen Werte für F berechnet.

Bei einer vieraclisigen Güterzugmascliine kann man demnach die Vergröfserung der Acbsdrücke annehmen: an der ersten, dritten und vierten Achse zu je 1,4 . 1500 = 2100 kg, an der zweiten Achse zu 1,4 . 3000 = 4200 kg. Nun ist es leicht möglich, die Vergröfserung des Momentes durch diese Lasten für einen beliebigen Momentenpunkt, also beliebigen Gurtstab zu ermitteln. Für einen im Abstande l vom linken Auflager belegenen Punkt eines Balkens auf zwei Auflagern mit Stützweite L sei, wenn die zweite Achse am Momentenpunkt liegt, das Zusatzmoment = A M. Das Moment durch die Last selbst

p x (L — x)

der Zuwachs A S der Stab-

ist bei gleichwertiger Last p auf die Längeneinheit : M = kraft verhält sich zu der durch die ruhend gedachte Verkehrslast p hervorgerufenen Stabkraf't SP:

2. Al

p x (L — x) ‘

Danach kann man leicht für verschiedene Träger und Stäbe die Werte A S finden; auch von der Trägerstützweite abhängig.

A/p

5p

ist

Melan findet für Gurtstäbe die Erhöhung gegenüber Sp wie folgt: Für L =    1    2    5    10

p — 30 A S = 28 A S' — —

120 m 3,8 t

4.3    °/o von ,9P

7.4    °/o    „    „

Die Werte A S‘ gelten unter der Annahme von zwei mit gleicher Kurbelstellung hintereinander fahrenden Lokomotiven.

hat man

Für Wandstäbe, bei welchen hauptsächlich oder ausschliefslieh die Querkraft mafsgebend ist, Wenn die Länge der belastet anzunehmenden Strecke — l ist, so ist:

P, l²

AS A Q

SP ~ QP ‘

Qpi =

(pi bedeutet liier die gleichwertige Last). A Q ist aus den Werten der Achsdrücke zu ermitteln. Man erhält:

SP

P i l²

Für die Wandstärke hat Melan berechnet:

s°

4,8

5,3

120 m 4,0 t

4,3 °/o von Sp 8,1 °/o    „    „

Die Werte A S‘ gelten unter der Annahme von zwei mit gleicher Kurbelstellung hintereinander fahrenden Lokomotiven.

Bei den Querträgern mit Abstand a voneinander beträgt die Vergröfserung A T) des Druckes aus gleichem Grunde:

Abstand der Querträger a = bis    1,5    2    3    4    5

AD=    43    25,1    22,8    21,8    21,4    21,1 von I).

Die Yergröfserungen der Belastungen durch die Gegengewichte können demnach betragen :

bei den Gurtungen bis zu 28%, im Mittel 10% bis 12%, bei den Wandstäben bis zu 20%, im Mittel 10%, bei den Querträgern bis zu 43%.

Je kleiner die Brücken bezw. bei den Querträgern die Abstände a sind, desto ungünstiger ist die Wirkung der Gegengewichte.

d) Die Stofswirkungen der bewegten Lasten.

Bei den Eisenbahnbrücken werden lotrecht gerichtete Stöfse hauptsächlich durch Mängel der Bahn und der Fahrzeuge hervorgerufen: durch Schienen stöfse in der Bahn

und unmnde Radbandagen (bei Bremsrädern). Bei Strafsenbrücken findet die Belastung durch die Tritte der Menschen und Tiere stofsweise statt; bei den Fuhrwerken werden Stöfse durch Mängel der Fahrbahn erzeugt — das Pflaster, schlechte Schotterbahn u. s. w. Die beim Stofse verloren gehende lebendige Kraft verwandelt sich zum Teil in Arbeit, welche von den Federn der Fahrzeuge und von der Brückenkonstruktion aufgenommen wird. Es ist sehr schwierig zu ermitteln, wie grofs der letztere Teil der Arbeit ist, und Avie grofs wiederum von diesem derjenige Teil, welcher die Spannungen der einzelnen Trägerteile vergröfsert, Formänderungen und Sclrwingungen erzeugt. Je kleiner dieser letztere Teil der lebendigen Kraft ist, desto besser für das Bauwerk. Um diesen Teil möglichst zu verringern, beseitige man zunächst die Ursache der Stöfse so Adel Avie möglich : man sorge für gute Lage des Gleises, besonders für sorgfältigste Instandhaltung der Schienenstöfse¹) ; bei kleinen Brücken vermeide man Schienenstöfse auf den Brücken, endlich widme man dem Übergange vom Damme auf den Überbau peinliche Sorgfalt, sodafs Dammanschlufs und Überbau stets gleiche Höhenlage haben. Auch bei den Strafsenbrücken halte man die Fahrbahn stets in gutem Zustande; am besten ist Asphaltfahrbahn. Da aber die Stöfse nie ganz vermieden werden können, so nehme man einen möglichst grofsen Teil der schädlichen lebendigen Kraft des Stofses durch elastische Körper auf, welche zwischen Fahrbahn und Tragkonstruktion eingeschoben werden. Solche Zwischenkörper sind u. a. Holzquerschwellen auf den Eisenträgern ; sehr zu empfehlen ist ferner ein vollständiges Schotterbett als ZAvischen-körper auf eiserner Fahrbahntafel (Buckelplatten, Belageisen, Tonnenblechen u. dergl.). Strafsenbrücken erhalten zweckmäfsig Holzpflaster. Der schliefslich verbleibende Rest an lebendiger Kraft wird desto weniger schädlich sein, je gröfser die gestofsene Masse ist. Es scheint, dafs die Wirkung der Stofskräfte nicht weit reicht — doch ist diese Frage noch ganz ungeklärt: jedenfalls ist es gut, die zunächst getroffenen Teile, in erster Linie Fahrbahnträger und Querträger, aber auch die Hauptträger kräftig und massig herzustellen. Für Fahrbahnträger sind Vollträger, besonders Walzbalken sehr zu empfehlen ; die früher für die SchAvellenträger gern geAvählten Fachwerkträger (Netzwerke, bei den älteren Schwedler’schen Brücken sehr oft ausgeführt) sind deshalb zu vermeiden. Melan hat in der Arbeit, auf welche schon mehrfach Bezug genommen ist, versucht, die Stofswirkungen durch eine Näherungsrechnung zu bestimmen. Mit der willkürlichen Annahme, dafs die relative Spannungsänderung in allen vom Stofse getroffenen Teilen gleich grofs ist und mittels einer Reihe von Schätzungen hat er folgende Werte ;x erhalten, für das Verhältnis der Spannungserhöhung AS infolge der Stofswirkung gegenüber derjenigen Spannung Sv, welche durch die ohne Stofs wirkende Verkehrslast auf-tritt. Es ist also :

ix =

AS

-5p '

Für die Stützweite L Avird erhalten:

1    2    5    10    15    20    30    40    80    120 m

[x = 0,72    0,415    0,152    0,08    0,068    0,06    0,052    0,048    0,045    0,044.

Dabei ist für L 10 angenommen, dafs sich die lebendige Kraft des Stofses nicht der ganzen Brücke, sondern nur einem 10 m langen Teile der Brücke mitteile.

e) Gesamte dynamische Wirkung der bewegten Lasten.

Die vorstehend aufgeführten Einzelwirkungen, welche hervorgerufen werden:

a)    durch die Schwingungen infolge der Geschwindigkeit c der Last,

b)    durch die Krümmung der Bahnlinie,

c)    durch die Gegengewichte,.

die prozentuale Yergröfserung der Spannungen,

d)    durch die Stofswirkungen, hat Mel an zusammengefafst und schlägt vor welche eine Folge der dynamischen Wirkung der Yerkehrslasten ist, durch die Formel auszudrücken: für Hauptbahnen:

800

100 cp = 14 -f

24.

L + 10

L ist die Stützweite in Metern. Wenn es sich um Berechnung von Gitterstäben (bezw. der Blechwand) handelt, so ist statt L die Länge l einzuführen, welche als belastet für die Berechnung des fraglichen Stabes (bezw. Querschnittes) angenommen werden mufs.

Man erhält für :

L= 2    4    5

100 cp = 80    71    6 7

30

80 120 m 23 20 %.

Um die dynamischen Einwirkungen der Yerkehrsbelastung zu berücksichtigen, würde also die Yerkehrslast mit (1 -f- <p) multipliziert in die Rechnung einzuführen sein. Man kann 9 als den Stofskoefficienten oder Stofsbeiwert bezeichnen.

Für Nebenbahnen kann man wegen der geringeren Geschwindigkeit der Züge setzen :

O»

O i—i

34

100 9 = 10 -f-

600

25.

L + 10

Bei Strafsenbrücken spielen nur die unter d. vorgeführten Umstände eine Rolle, da die Geschwindigkeit der Lasten verhältnismäfsig klein ist. Die Unebenheiten der Bahn sind hier hauptsächlich mafsgebend, was rechnerisch kaum verfolgt werden kann. Man wird hier je nach den Umständen 9 = 0,2 bis 0,1 setzen können.

3. Schwingungsdauer der Brücke. Sehwingungsimpulse.³³)

. . Die einer Brücke eigentümliche

Tritt infolge einer Belastung Schwingung der Brückenbalken ein, so ist die Schwingungsdauer von der Belastung und der Brückenkonstruktion abhängig : der Brücke ist eine gewisse Schwingungsdauer, bezw. eine gewisse Zahl von Schwingungen in der Zeiteinheit eigentümlich. Wenn eine schwingende Brücke einen neuen Schwingungs-anstofs erhält, nach der Zeit einer Schwingung oder zweier Schwingungen u. s. w., so wird die Schwingungsweite vergröfsert. Bei häufiger Wiederholung der Schwingungs-anstöfse in den angegebenen Zeitzwischenräumen kann eine bedeutende Yergröfserung der Schwingungsweite und damit eine Gefährdung der Brücke eintreten. Andererseits wird der neue Schwingungsanstofs die vorhandenen Schwingungen verkleinern, bezw. vernichten, wenn er nach der Zeit einer halben Schwingung eintritt, weil alsdann Wellenberg und Wellenthal der, Schwingung Zusammentreffen. Ist also die der Brücke eigentümliche Minuten-Schwingungszahl = w, so dürfen wohl 2 n Schwingungsanstöfse in der Minute eintreten, nicht aber ??, oder —,

3S) Steiner. Zeitsohr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1892, S. 113.

Schwingungszeit kann man bei bestimmter Belastung angenähert berechnen, ebenso die Zahl der Schwingungsanstöfse durch die Gegengewichte und die Schienenstöfse ; daraus findet sich dann diejenige Zuggeschwindigkeit, welche für eine bestimmte Eisenbrücke besonders gefährlich ist.

Für einen gewichtslos angenommenen Balken konstanten Querschnittes, von der Stützweite P, welcher in der Mitte seiner Länge mit dem Gewicht P belastet wird, sei die Dauer einer ganzen Schwingung (hin und zurück) gerechnet T; es sei ferner y₀ die Senkung des Lastpunktes für ruhende Last. Dann ist:

Vf

T= 2 k

TZ

Denn die Dauer t einer Schwingung hin oder zurück ist: t =    falls q die Schwingungs-

V q

beschleunigung im Abstande 1 vom Schwingungsmittelpunkt bezeichnet (Bitter. Techn. Mech., VII. Aufl., S. 103/104). Für irgend eine Senkung y = y₀ + yj, in welcher Gleichung yj positiv oder negativ genommen werden kann, sei die elastische Gegenkraft Wy. Dann ist offenbar Wyo — P und Wy : Wyo = y : yw

also : Wy — P ( 1 —(- — V Die der Bewegung entgegenwirkende (negativ beschleunigende) Kraft ist ' Vo '

Pf\ .

also Q — Wy — P —-im Abstande 1 vom Schwingungsmittelpunkte, d. h. für r> =

Qi = —

Vo

1, ist:

und die zugehörige, oben mit q bezeichnete Schwingungsbeschleunigung : q = (in ist die schwingende Masse).

Vo

P    q

Bei Vernachlässigung der schwingenden Masse des Balkens ist: m — —, also q = — ,

mithin

= 71 \ J und

V 9

T=2«\J-f

26.

Für gleichmäfsig über den ganzen Balken verteilte Last erhält man genügend genau :

¹

) Weyrich. Über dynamische Spannungen in Eisenbahnbrücken. Deutsche Bauz. 1889, S. 348 u. f. Gut angezogene Lasehensclirauben an den Stöfsen vermindern die dynamischen Stöfse wesentlich.

9o

V 2 g'

wo y₀ die Durchbiegung ist, welche eine der gesamten Balkenbelastung gleiche Last P in der Balkenmitte ruhend ebenda hervorruft. Dieses Ergebnis findet man wie folgt¹): Nimmt man zunächst an, dals zwei gleiche Lasten V symmetrisch zur Trägermitte ruhend je am Lastpunkte die Durchbiegung u erzeugen

Tritt an die Stelle von D die Last p d x, so bleibt der

(Fig. 19, S. 47, rechts), so ist wie oben T — 2 n Ausdruck derselbe, nur ist dann das nunmehr auftretende u einzuführen, Reicht die Last p für die

Für

Längeneinheit jederseits vom Auflager bis zur Mitte, so ist (näherungsweise): h — 2 r.

vollwandige Balken kann man bei Vernachlässigung der durch die Schubspannungen bewirkten Formänderungen für die symmetrisch im Abstande x von den Auflagern liegenden Lasten U setzen :

Dx²

EJ

(4

T«)

bei gleichmäfsig über den ganzen Balken verteilter Last p wird: £ (u) —

p Ll

ganze Belastung pL — P\ setzt: 2 (u) —

P, L3 96 EJ'

96 EJ

und wenn man die

P₁ L3 9 GEJ .g'

Wenn Einzellast in der Mitte liegt, so ist die Senkung daselbst: 8 =

Es ist demnach : rI) = 2 n

P, L³

48 EJ

Wert, welcher in Gleichung 26 mit y₀ bezeichnet war. In diesem Falle würde T = 2 k \/ Es ist also: ~ =    = \Joder: 7\ = ^Lr, d. li. Tx = 2    - ■ ■

; das ist der

P, L³

48 EJ.g

T₀ = 2 Lit

28,

Aus der Schwingungszeit T ergiebt sich die Zahl N der Schwingungen in der Sekunde: N —    .

Für einen Balken auf zwei Stützen mit Eigengewicht q und Verkeln-slast p f. d. lfd. m und der Stützweite L ist, da Pj = (p -j- q) L ist,

T\ — 2 re

(P + 9) L4 96 EJ.y '

Nimmt man mit den üblichen Bezeichnungen: J für das in Betracht kommende Trägheitsmoment des Querschnittes, E für die Elasticitätsziffer, Je für die zulässige Inanspruchnahme auf das Quadrat-centimeter, h für die Trägerhöhe an :

EL mitte

{p + q) L²

Je

so ist:

und

Ti = 2 K L .

6 E y h

Mit h    k = 800 kg/qcm, E = 2000000 kg/qcm, y = 9,81 m wird:

VT

19,31 19,31

VT'

Ti =

Ni =

Bei unbelasteter Brücke ist .Minute =

(L in Metern),

qU

und man erhält

27,

mitliin

=x/—g_

V p + q ’

Es ist also gefunden :

Für Yollbelastete Brücke:

t:

N₀

« hr

Schwingungsdauer: Tt

2 it L

Vl

29.

bez'v- r' = T95ï

19,31

Schwingungszahl in der Sekunde: Ni = Für unbelastete Brücke:

Sch wingungsdauer : T₀ = 2 L n y § p ^

p H- q

bezw. T₀

= VM,

30.

PS

Schwingungszahl in der Sekunde: N₀ — Ni \/1 -f-

S tein er erhält für verschiedene Stützweiten folgende Schwingungszahlen N1 bezw. N₀ :

Stützweite L

Wenn die der Brücke eigentümliche Schwingungszeit annähernd mit dem Zeitraum zwischen zwei Anstöfsen (Impulsen) übereinstimmt, so kann eine oftmalige Wiederholung des Impulses bedeutende Yer-gröfserung der Schwingungen hervorrufen. Bei jeder Umdrehung einer Lokomotivachse erfolgt durch die Gegengewichte ein Impuls; man kann nun leicht ausrechnen, wie viel Umdrehungen N pro Sekunde, also wie viel Impulse bei den verschiedenen Geschwindigkeiten pro Sekunde auftreten. Sei die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde = F, der Triebraddurchmesser in Metern = d, so ist :

= 0,0885 — ct

V . 1000

d . k . 3600

Bei Brücken von 40 m Stützweite ist die Anzahl der Schwingungen belasteter Brücken N = 3,1 ; bei d = 1,2 m ist bei 80 km/Std. Geschwindigkeit die Zahl der Impulse pro Sekunde = 5,9, d. h. nahezu doppelt so grofs, wie die Zahl der Schwingungen, also günstig, die Fahrtgeschwindigkeit V = 40 hat 3,0 Schwingungen zur Folge bei d= 1,2, ist also sehr ungünstig. — Nach Steiner ist es für das Auftreten der Schwingung nahezu gleichgiltig, wo der Impuls am Träger erfolgt. Weitere Impulse erfolgen durch das Überfahren von Schienenlücken an den Schienenstöfsen. Jede Lokomotivachse erneuert den Impuls. Ist der Abstand der Achsen gleich a, die Geschwindigkeit des Zuges (wie oben) = V km/Std., so ist die Zahl der Impulse hierdurch:

1000 . V

N„ —

Für V — und d =

20

40

60

80 km/Std.

1,2 m 1,5 m 1,8 m

ist N

1,5

1,2

1,0

3,0

4,4

5,9

2,4

3,5

4,7

2,0

3,0

3,9.

3600 . a '

Es wird demnach die Zahl der Impulse pro Sekunde (so lange Triebräder mit Abstand a überfahren):

Cl =

1,2 m 1,5 m

1,8 m

2V„ =

20

4,64

3,71

3,08

GS JD

^ 't>3 o

G W CO

60

13,92

11,12

9,26

80 km/Std. 18,56 14,83 12,35.

Die Wiederholung der Lastimpulse kann unter Umständen bedeutende Yergröfserung der Schwingungen und damit entsprechende Yergröfserung der Spannungen hervorrufen. Beispiele sind besonders auf Hängebrücken und Strafsenbrücken beobachtet, aber auch bei gewöhnlichen Balkenbrücken.

Bei einer Strafsenbrücke bei Pontoise²) stellten sich jedesmal erhebliche Schwingungen ein, wenn ein Fuhrwerk im Trabe die Brücke überfuhr: die Schwingungen schienen bei leichtem und schwerem Fuhrwerk gleich stark. Yersuche ergaben, dafs die Schwingungsdauer der Brücke (von 37,3 m Stützweite) etwas weniger als 7s Sekunde betrug, unabhängig von der Gfröfse der Einwirkung. Ein Pferd macht in kleinem Trabe etwas weniger, bei schnellerem Gange etwas mehr als drei Schritte in der Sekunde. Die Zahl der sekundlichen Einwirkungen stimmte also nahezu mit der Schwingungszahl der Brücke überein. Bei den weiteren Versuchen ergab sich Yergröfserung der Durchbiegung bis zu einer bestimmten Gröfse, wenn die Brücke mehr und mehr Stöfse vom Pferdehuf erhielt. Bei schnellerer Gangart vergröfserten sich die Durchbiegungen nicht; auch wenn mehrere Fuhrwerke sich gleichzeitig über die Brücke bewegten, ohne dafs die Gangart der Pferde übereinstimmte, hoben sich die Schwingungen ganz oder teilweise auf. Es ist also von Interesse, für eine Brücke wenigstens annähernd die sekundliche Schwingungszahl zu kennen. Bei Versuchen an der Strafsenbrücke bei Beaumont vergröfserte sich die Durchbiegung von 2,6 mm auf 9 mm bei nur fünf Schritten dreier Pferde.³)

Im allgemeinen ist jedoch die Gefährdung der Brücken durch häufig wiederholte Lastimpulse nicht grofs⁴) : dieselben treten meist unregclmäfsig ein oder stimmen zeitlich nicht zusammen und wirken nicht genügend häufig und stark auf die Brücke. Zudem treten hemmende Einflüsse auf: die Reibungskräfte der Auflager, die Formänderungsarbeit, auch der Luftwiderstand. Wenn früher Hängebrücken durch stets gröfser werdende Schwingungen bei wiederholten Lastimpulsen eingestürzt sind (unter takt-mäfsig marschierenden Menschenmassen), so waren die Überbauten unvollkommen ver-

steift. Solche Träger kommen heute nicht mehr zur Ausführung. Die wirklich auftretenden, sich verstärkenden Schwingungen müssen durch zweckmäfsige Konstruktion vermindert werden, worüber auf das auf S. 52 Gesagte hingewiesen wird.

§ 14. Verschiedene angreifende Kräfte. Aufser den vorgeführten äufseren Kräften ist noch eine weitere Gruppe und zwar von wagerechten Kräften zu erwähnen, welche nicht aufser Acht gelassen werden dürfen, da sie unter Umständen das Bauwerk gefährden und durch zweckmäfsige Konstruktion unschädlich gemacht werden können. Diese Gruppe umfafst:

a)    Die Reibungswiderstände an den Auflagern,

b)    die von den überfahrenden Zügen, gebremsten und nicht gebremsten, auf die Überbauten und von diesen auf die Pfeiler übertragenen Kräfte.

Die erwähnten Kräfte wirken teils in der Richtung der Brückenachse, teils quer

zu derselben.

a) Die Reibungskräfte an den Auflagern.

Infolge der Temperaturveränderungen findet eine Verlängerung bezw. Verkürzung

(positive oder negative Verlängerung) der Hauptträger statt, wrelcher durch teilweise Anordnung beweglicher Lager Rechnung getragen wird. Bei den Trägern, welche auf zwei Stützpunkten frei gelagert sind, soll stets der eine Stützpunkt beweglich sein, d. h. dem Träger den für die Verlängerung nötigen Spielraum gestatten. Dem Eintreten der beabsichtigten Bewegung wirkt aber der Reibungswiderstand am beweglichen Auflager entgegen; erst wenn dieser überwunden ist, findet die Bewegung statt. Daraus folgt, dafs in der Verbindungslinie beider Auflager eine Kraft II wirken kann, welche un-günstigstenfalls gleich dem Reibungswiderstande am beweglichen Auflager ist. Kennt man den Reibungskoefficienten /, den gröfsten in Betracht zu ziehenden Auflagerdruck A₁ so wird sein:

(q + p) L

ist,

max

H —f A und, da A

it = f (q + p)L max J

In dieser Gleichung bedeutet ą -f- p die gesamte Belastung f. d. lfd. m des Trägers, also das Eigengewicht und die Verkehrslast, wobei der ungünstigste Fall zu Grunde gelegt ist, dafs die letztere, die ganze Brücke belaste. Es kann zweifelhaft sein, ob es notwendig ist, den der voll belasteten Brücke entsprechenden Auflagerdruck einzuführen, da die Zeit der Belastung durch Verkehrslast meistens so kurz ist, dafs bedeutende Temperaturunterschiede während derselben kaum eintreten werden ; immerhin ist es nicht undenkbar, dafs diese grofse Kraft II einmal auf tritt. Aufserdem macht die Rücksicht auf die weiter zu betrachtenden Verschiebungen des Auflagers ohnehin die Zugrundelegung des Wertes A — (p -j- q) ■— nötig.

Bei breiten Brücken verwendet man neuerdings auch querverschiebliche Auflagerungen; dadurch wird dem Umstande Rechnung getragen, dafs auch die Querträger ihre Länge bei Temperaturänderungen vergröfsern bezw. verkleinern. Gewöhnlich ordnet man ein festes Auflager, ein nur längs- und ein nur querverschiebliches Lager an und das vierte versieht man mit Längs- und Querverschieblichkeit. Bei den nur in der Quere verschieblichen Lagern ermittelt sich die Gröfse der Reibungskraft, welche hier quer zur Brückenachse wirkt, ganz entsprechend der vorstehenden Entwickelung für Hmax ; bei den längs- und querverschieblichen Lagern hängt die Gröfse der bezw. nach der

1892, S. 386.

Länge bezw. Quere wirkenden Reibungskräfte von der Lagerkonstruktion ab. Falls die beiden Verschiebungen in verschiedenen, übereinander liegenden Ebenen stattfinden und der in Betracht kommende Auflagerdruck = R, die Eeibungsziffern bezw. f, und /„ in den beiden verschiedenen Ebenen sind, so können die betreffenden Reibungskräfte die Gröfstwerte annehmen:

und H„ == /„ . B.

Die Gesamtreibung ist dann :

Der Winkel ß von H mit der Brückenachse ist zu finden aus :

f„

tang ß = -jr.

Findet die Verschiebung in einer und derselben Ebene statt, so ist mit der Reibungsziffer / wiederum H — f B; die Richtung von II ist derjenigen der gesamten Verschiebung entgegen gerichtet.

Aufser durch die Temperaturveränderungen wird auch durch die Belastungen der Träger Verschiebung der Trägerenden auf den beweglichen Auflagern erstrebt. Die Belastung des Trägers ruft Durchbiegung hervor, welche eine Verlängerung der unteren Trägergurtung verursacht; die Endquerschnitte eines der Einfachheit halber vorausgesetzten Parallelträgers bilden alsdann mit der Lotrechten Winkel, die für eine bestimmte Belastung ermittelt werden können. Seien diese Winkel y₀, so ist für volle gleichmäfsige Belastung des ganzen Trägers mit der Last (q -f- p) auf die Längeneinheit :

tang y₀ =

demnach hat die Auflagermitte auf jedem Stützpunkt das Bestreben, um das Stück y tang /.o =

J das konstant angenommene Trägheitsmoment des ganzen Trägerquerschnittes für die wagerechte Schwerpunktsachse. Wird das eine Auflager fest mit dem Träger verbunden,

2 h

so mufs das andere um das ganze Stück tang y₀ =

können. Auch diesem Gleiten setzt sich der Reibungswiderstand am Auflager entgegen, welcher jedoch nicht gröfser werden kann, als II —

Gröfstwert einzuführen ist.

Wenn das bewegliche Lager ein sogenanntes Gleitlager ist, so ist die gleitende t Reibung zu überwinden. Für Eisen auf Eisen ist die Reibungsziffer / im Mittel = 0,2; es empfiehlt sich aber, / lieber 0,25 bis 0,3 anzunehmen, weil durch Schmutz, Staub u. s. w., welchen Einflüssen ein Brückenlager stets ausgesetzt ist, die Reibungsziffer wesentlich erhöht wird.

(q -f p) L³ h

48 E J

(q + P) Lä 24 E J ’

nach aufsen zu gleiten; h ist die Höhe des Trägers am Ende,

(q + p) L³ h

24 E J

f (q + v) L

nach aufsen gleiten

, sodafs also für Hdieser

Die Kraft II    ist    demnach von / (q -f- p) und    L abhängig ;    bei    gröfseren    Brücken

wächst (q -f-    p) mit    L,    sodafs    II bei diesen sehr grofse Werte annehmen    kann.    Werden

für eingleisige Eisenbahnbrücken die Werte eingeführt: q = 630 + 35 A,

p —    (42OO    -j-    ^    kg für L = 10 bis L    = 50 m und

p —    (3IOO    -j-    8Qj°Q-J    kg für L> 50 m

so ergiebt sich für einen Träger, falls (günstig gerechnet) f — 0,2 ist:

alles für das lfd. m Gleis,

für :

L =    10

80

100 m 3430    4130    kg

4100    3900    kg

18700    33400    49875    90500    150600    200750    kg

3,74    6,68    9,975    18,1    30,12    40,15    t.

CH ©

CO o

es

CO 00

CO ©

Die Kräfte H sind Lei gröfseren Brücken so grofs, dafs eine Verringerung unbedingt geboten ist; weder (q -j- p) noch L kann aber verringert werden. Dagegen kann die Reibungsziffer / erheblich verkleinert werden, wenn statt der gleitenden Reibung die rollende Reibung eingeführt, d. h. wenn das bewegliche Lager als Rollenlager hergestellt wird.

Der Beiwert der rollenden Reibung⁵ 6) i> ist umgekehrt proportional dein Durch-

2 7t

messer d des rollenden Körpers, sodafs man setzen kann: H = —. Für Eisen auf Eisen

* o 001

kann man nach Ritter annehmen: z, — 0,0005 m, mithin t> = —^—, wo d in Metern einzusetzen ist, Zu beachten ist jedoch, dafs bei den Rollenlagern die Rollen zwischen zwei Platten laufen, mithin der Widerstand hier zu setzen ist:

_ x X

Man erhält dann für:

0,15    0,2 m

0,01 A.

d = 0,1 W= 0,02    0,013

Der wirkliche Widerstand der rollenden Reibung wird in den meisten Fällen, weil es nicht möglich ist, Staub u. s. w. fernzuhalten, wesentlich gröfser sein, als hier ermittelt: Nimmt man y deshalb im Mittel gleich 0,083S) und zwar für kleine und grofse Weiten gleich grofs an, so erhält man folgende Gröfstwerte von II :

Für

(q + v) L

100 m

= 33400 49875 90500 150600 200750 kg

20

30

50

80

1,0    1,5    2,7

4,5

6,0 t.

Bei den grofsen Stützweiten ist eine weitere Verringerung durch Vergröfserung des Rollendurchmessers d erreichbar (Stelzen- oder Flachwalzcnlager).

Auf die Kräfte //, welche sowohl als Zug wie als Druck wirken können, mufs Rücksicht genommen werden. Wenn eine gerade Gurtung vorhanden ist, welche die Auflagerpunkte verbindet, so werden die Kräfte II in dieser wirken. Bei Trägern mit zwei gekrümmten Gurtungen findet freilich eine Bewegung infolge der Belastung nicht statt, die Verschiebung des einen Auflagers durch Temperaturveränderungen tritt jedoch auch liier auf. Die Kräfte H erzeugen dann in beiden Gurtungen Druck bezw. Zug, in den Pfosten Zug bezw. Druck; diese Inanspruchnahmen sind leicht mittels eines Cremona’schen Kräfteplanes (vergl. Kap. VIII) zu ermitteln.

b) Die von den überfahrenden Zügen auf die Überbauten übertragenen Kräfte. Bremskräfte.

Von grofser Wichtigkeit ist zunächst die zwischen den Triebrädern der Lokomotive und den Schienen auftretende Kraft, welche gewöhnlich (aber mit Unrecht) Adhäsion genannt wird. Diese Kraft ermöglicht die Fortbewegung des Zuges auf dem Gleise und kann nie gröfser werden, als die zwischen Schiene und Rad stattfindende Reibung ; wird die betreffende Reibungsziffer/, der Gesamtdruck auf die Triebräder der Lokomotive Q genannt, so ist diese Kraft höchstens :

W=fQ.

Der Beiwert / hat je nach der Witterung sehr verschiedene Gröfse ; für mittlere Witterungsverhältnisse ist / = 0,167; man kann hier:

/ = 0,25

einführen. Werden die Belastungen der Triebachsen zu je 13 t angenommen, so ergiebt sich für alle drei Achsen die Gesamtkraft:

W = 3 . 13.0,25 = 9,75 t, dafür rund 10 t.

An jeder Schiene wirkt die Hälfte dieser Kraft. Die Richtung derselben ist der Fahrrichtung entgegengesetzt; man kann nicht darauf rechnen, dafs sie durch die Schienenlaschen im Gleise unschädlich in die Bettung des Oberbaues geleitet wird, sondern wird der Sicherheit halber annehmen müssen, dafs sie die Brücke beansprucht lind erst an den festen Auflagern durch den Gegendruck der Pfeiler aufgehoben wird.

Eine der vorigen ganz entsprechende Kraft ist diejenige, welche bei Zahnradbahnen von dem Zahnrad der Lokomotive auf die längs der Strecke angeordnete Zahnstange und von dieser auf die Brücke übertragen wird ; für einen bestimmten Entwurf bei einer zu erbauenden Bahn ist die Gröfse dieser Kraft stets bekannt; sie kann etwa zu 6,0 t angenommen werden.⁷)

Auch von den auf dem Gleise rollenden Rädern, mögen sie frei im Zuge laufen oder gebremst sein, oder infolge des Zusammenhanges mit den gebremsten Rädern eine abnehmende Geschwindigkeit haben, werden Kräfte auf die Brücke übertragen, welche hier gleichfalls betrachtet werden müssen.⁸)

Für Brücken in Steigungen kommt eine weitere Kraft hinzu. Ist der Neigungswinkel gegen die Wagerechte a, so wirkt in der Richtung der Fahrbahn eine Seitenkraft der Belastung. Die gesamte Brückenlast ist genügend genau bei den geringen hier in Betracht zu ziehenden Werten von a:

G = (q+P)L.

In der Richtung der Fahrbahn wirkt abwärts :

G sin a = (q -j- p) L sin a.

Diese Kraft wird am festen Auflager auf den Pfeiler übertragen ; sie mufs durch die Konstruktion unschädlich gemacht werden.

a. Laufachse, welche im Zuge mit gleichförmiger Geschwindigkeit

fortschreitet.

Wäre die Reibung zwischen den Rädern und der Schiene nicht vorhanden, so würde kein Rollen, sondern Gleiten stattfinden; infolge der Reibung entsteht eine am Umfange des Rades der Bewegungsrichtung entgegenwirkende Kraft F, während nach dem Satz von Wirkung und Gegenwirkung eine gleich gröfse Kraft auf die Schiene

in der Bewegungsrichtung des Zuges ausgeübt wird. Diese Kraft F kann nie gröfser werden, als der Bei bungs widerstand zwischen Rad und Schiene; sie mufs durch die Brückenträger auf die festen Auflager übertragen werden; liegen dieselben auf derjenigen Seite der Brücke, nach welcher sich die Achse hinbewegt, so hat F im Träger einen Druck zur Folge; liegt das feste Brückenlager dagegen auf der Seite des Trägers, von welcher die Achse kommt, so entsteht im Träger ein Zug = F.

Wenn die Bewegung der Achse eine gleichförmig fortschreitende ist, so mufs das Moment von F für die Drehachse gleich und entgegengesetzt dem Momente der widerstehenden Kräfte sein, also wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt, gleich der Summe der Momente von Zapfenreibung und rollender Reibung. Bezeichnet man mit

r den Halbmesser des Rades, p den Halbmesser des Zapfens,

Qx die gesamte Belastung eines Rades,

Q₂ die Nutzlast eines Rades, fl- den Beiwert der rollenden Reibung, fx den Z apfenreibungsbeiwert,

so mufs die Gröfse der Kraft F sich aus der Gleichung ergeben:

^>'=/i<?2P + Qi & r,

also :

F —fi Q2    H Qi &•

so wird:

Man kann annehmen :

0,0005

-m,

r

'S* =

r = 0,5 m.

/. = 0,07,

p = 0,06 m.

0,07 . 0,06

0,0005

0,5

0,5

Qx = 0,0084 Q₂ + 0,001 Qx. '

Bei Güterwagen kann man setzen : Qx — 4000 kg, Q₂ = 3650 kg, bei Personenwagen : Qx = 3300 kg, Q₂ = 2950 kg.

Demnach ist für

Güterwagen :    F = 34,66 kg, dafür rund 35 kg,

Personenwagen : F = 28,08 kg, „    „ 30 kg.

Jede Güterwagenachse überträgt also auf die Brücke bei gleichförmiger Geschwindigkeit eine in der Richtung des Zuges wirkende Kraft 2 F — 70 kg, jede Personenwagenachse eine Kraft in derselben Richtung: 2 F — 60 kg. Es ist wohl zu beachten, dafs diese Kräfte auf die Brücke in der Fahrrichtung wirken, während die von den Triebachsen der Lokomotive ausgeübte Kraft einen der Fahrrichtung entgegengesetzten Sinn hat; daraus folgt, dafs die Wirkung dieser Kräfte durch die soeben besprochenen verringert wird. Befindet sich etwa ein Zug von 3 Lokomotivachsen, drei Tenderachsen und 20 Güterwagenachsen auf der Brücke, so wirkt entgegen der Fahrrichtung auf die Brücke, wie oben entwickelt ist, an den Triebrädern W= 3.13000.0,25 — abgerundet 10000 kg; in der Fahrrichtung wirkt, wenn der Einfachheit wegen angenommen wird, dafs Tender- und Güterwagenachsen gleiche Kräfte ausüben:

1 F = 23 . 70 = 1610 kg;

als Mittelkraft von Wund I (F) bleibt entgegen der Fahrrichtung wirkend:

Fi = 10000 — 1610 = 8390 kg.

Handelt es sich um die Ermittelung der betreffs der achsialen Kräfte ungünstigsten Belastung, so ist als gefährlichste Belastung diejenige einzuführen, bei welcher eine

bezw. mehrere Lokomotiven auf die Brücke gefahren sind, während die anderen Wagen sich noch nicht auf derselben befinden.

ß. Laufachse, welche im Zuge mit gleichförmig verzögerter Geschwindigkeit läuft: Nicht gebremste Achse im gebremsten Zuge.

Bei Aufsuchung der Kräfte, welche von einer solchen Achse auf das Gleis übertragen werden, soll die Annahme gemacht werden, dafs die Bewegung vom Beginne des Bremsens an bis zum Stillstände des Zuges gleichförmig verzögert sei. Dann mufs auch die Winkel Verzögerung s, also auch das Moment, welches s erzeugt, konstant sein, weil e = -j- ist. Verzögernde Kräfte sind zunächst der Zapfenreibungswiderstand und der Widerstand der rollenden Reibung; beide können gleichfalls als konstant eingeführt werden, ferner eine Kraft Fu welche am Radumfange, an der Berührungsstelle von Schiene und Rad angreift und der Drehbewegung des Rades entgegenwirkt. Soll also auch das Moment dieser, an einem konstanten Hebelarme (r) wirkenden Kraft konstant sein, so mufs dieselbe ebenfalls unveränderliche Gröfse behalten.

Es sollen nun bedeuten :

vor dem Bremsen des Zuges,

s den Weg, welchen die Achse vom Beginne des Bremsens an bis zum völligen Stillstände des Zuges noch zurücklegt, w die gleichförmige Winkelgeschwindigkeit c die gleichförmige fortschreitende Geschwindigkeit der Achse M den Teil der Masse des Zuges, welcher auf die Achse entfällt,

J das Trägheitsmoment der Achse,

Mc²

Joü

so ist c = r cd, und die während der Vernichtung der Geschwindigkeit c bezw. cd erzeugte lebendige Kraft :

die während dessen verrichtete mechanische Arbeit ist:

A = — Fi s — Qi fi- s — fi Qi -- s.

Die Gleichsetzung beider Ausdrücke ergiebt für Fx die Gleichung: F, = -A (-7<o! + Mc*) -Q,»-f,Qa jr,

h = 0,07

c — 10 m

Q₂ = 3650 kg r = 0,5 m

J — 8,5 (bezogen auf Meter und Kilogramm),

Sei Qi = 4000 kg

p = 0,06 m

& = 0,001,

s = 150 m

4000

9,81

= 408 (auf ein Rad bezogen),

so ergiebt sich:

F‘ = w(w+⁴⁰⁸)- ⁰'⁰⁰¹-⁴⁰⁰⁰-

also für die Achse 2 Fx — 225 kg (rund).

0,07.3650.0,06

0,5

= 112,64,

Wäre s = 300 m, so würde Fx — 43,0 kg, also für die Achse 2 Fi — 86 kg. Diese Kraft Fx wirkt auf den Zug in der BewegungsrichtUng, also auf die Brücke in einer Richtung, welche derjenigen der Bewegung entgegengesetzt ist.

Y- Gebremste Achse.

V ird von jedem Bremsklotz auf das Rad ein Druck N übertragen und ferner die Reibungsziffer zwischen Bremsklotz und Rad f genannt, so entsteht im Augenblicke des Bremscns

am Radumfange ein Reibungswiderstand 2 f N. So lange das Rad rollt, wirkt ferner zwischen Schiene und Rad, entgegengesetzt der Bewegungsrichtung des Zuges, aber das Drehen des Rades befördernd, eine vorläufig noch unbekannte Kraft F. Die Winkelbeschleunigung s ist dann:

also :

F ■=

F r — 2 f N. r— Q, & r — fi Q₂ p

•/

Die Kraft F ist also gleich der Summe

aus dem Reibungswiderstande an den Bremsklötzen, dem Widerstande der rollenden und Zapfenreibung und ~ s. s ist negativ, und wenn wieder gleichförmig verzögerte Bewegung vorausgesetzt wird, so ist die fortschreitende (negative) Beschleunigung :

c²

c²

2 s r

(r und s haben dieselben Bedeutungen wie oben). Demnach wird:

Je²

Je2 2 s r²

kann ebenso wie Çj fi- vielfach vernachlässigt werden.

2 s r'¹ '

ist meistens nicht grofs, besonders im Vergleich mit dem ersten Gliede ; es

F kann naturgemäfs nie gröfser werden, als der zwischen Schiene und Rad stattfindende Reibungswiderstand ; derselbe tritt auch voll auf, wenn das Rad ganz fest gebremst ist, sodafs nicht mehr Rollen, sondern Schleifen stattfindet. Da dieses Festbremsen (unzweckmäfsigerweise) vielfach stattfindet, so ist für F der gröfstmögliche Wert:

einzuführen.

Diese Kraft wirkt auf den Zug der Bewregungsrichtung entgegen; auf das Gleis also auch auf die Brücke in der Richtung, in welcher der Zug fährt. Dieselbe hat ungünstigstenfalls, wenn/== 0,25 gesetzt wird, folgende Gröfsen:

An einer Lokomotivachse : an einer Tenderachse : an einer Güterwagenachse :

an einer Personenwagenachse: Fr = 2 . 3300.0,25 = 1650 kg.

Fh = 2.6500.0,25 = 3250 kg, Ft = 2.4500.0,25 = 2250 kg, Fa = 2.4000.0,25 = 2000 kg,

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B. Der Baustoff und seine Widerstände. Konstruktionselemente.

Von K. K. Hofrat Prof. J. E. Brik.

§ 15. Allgemeines. Aus der Geschichte des Brückenbaues ersieht man, dafs die drei Arten des Eisens: Gufseisen, Schweifseisen und Flufseisen nacheinander als vorherrschender Baustoff zur Anwendung kamen.

Die ersten eisernen Brücken waren durchaus in Gufseisen ausgeführt. Auf - diese erste Periode des Brückenbaues in Eisen folgte eine Übergangszeit, - während deren neben dem Gufseisen auch Schmiedeisen (Schweifseisen) — letzteres zur Herstellung der auf Zug beanspruchten Bauglieder — Anwendung fand.

Der grofse Aufschwung, welchen die Entwickelung des Eisenbahnwesens nahm, namentlich die hierdurch notwendig gewordene Einführung schwerer Lokomotiven, sowie ungünstige Erfahrungen, welche an verschiedenen Orten mit gufseisernen Eisenbahnbrücken gemacht wurden, erschütterten das Vertrauen zu dem Gufseisen als Baustoff für Eisenbahnbrücken und hatten zur Folge, dafs das verläfslichere Schweifseisen mehr und mehr zur Verwendung gelangte. Die grofsen Fortschritte in der Herstellung des Schweifseisens und der daraus gefertigten Walzerzeugnisse, insbesondere die hierdurch erzielten Preisermäfsigungen, ermöglichten den vollständigen Sieg dieses Baustoffes, sodafs dieser bis zur Gegenwart eine fast ausschliefsliche Herrschaft behauptete. Dennoch konnte das Gufseisen nicht gänzlich aus der Reihe der Baustoffe der Brücken verdrängt werden, da es nicht blofs viele schätzbare Eigenschaften, die es zu verschiedenen Herstellungen vorzüglich geeignet machen, besitzt, sondern auch in Hinsicht auf manche wichtige Nebenkonstruktionen eine vorteilhaftere und zweckmäfsigere Anwendbarkeit als Schweifseisen gestattet. Das Gufseisen findet demnach immerhin vielfache Verwendung und zwar insbesondere zur Herstellung von Nebenbestandteilen, zu welchen die druckvermittelnden Zwischenglieder, Portale, Geländer u. s. w. gerechnet werden.

Die fast unbeschränkte Herrschaft des Schweifseisens als Baustoff der eisernen Brücken wurde jedoch seit Ende des achten Jahrzehnts dieses Jahrhunderts mit der Einführung des Flufseisens durchbrochen.

Obschon die Überlegenheit der Festigkeitseigenschaften dieses Baustoffes gegenüber jenem des Schweifseisens schon lange vorher bekannt war und es nicht an Versuchen gefehlt hat, dieselben bei Brückenbauten auszunutzen, so standen doch der allgemeinen Einführung des Flufseisens zu diesem Zwecke gewichtige Bedenken entgegen. Es war das namentlich der Zweifel an der Zuverlässigkeit dieses Baustoffes, welcher sich als sehr empfindlich gegen Temperatureinflüsse, mechanische Bearbeitung und gegen geringfügige Oberflächenfehler erwies.

insbesondere

Die Vervollkommnung der hüttentechnischen Prozesse, wodurch jetzt die sichere Erzeugung eines Baustoffes von verlangter Güte und Gleichmäfsigkeit erzielt werden kann, die fortgeschrittene Kenntnis der Eigenschaften und der Behandlungsart des Flufseisens und der hieraus hergestellten Walzerzeugnisse; endlich die Ergebnisse besonders' durchgeführter Versuchsreihen mit zusammengesetzten, genieteten Vollwand- und Facli-werksträgern führten zu der Erkenntnis, dafs weiches Flufseisen

basisches Martin-Flufseisen — für Brückenkonstruktionen vorzüglich geeignet sei und dafs die Leistungsfähigkeit dieses Baustoffes in derartigen Bauwerken jene des Schweifseisens weit übertreffe. Hiermit war der Sieg des Flufseisens über das Schweifseisen entschieden und zwar um so vollständiger, als hinsichtlich der Massenerzeugung der Wettkampf beider Materialien ohnehin zu Gunsten des Flufseisens ausfallen mufste.

Allerdings ist die Verwendung des Flufseisens zu genieteten Konstruktionen an die Einhaltung strenger Bedingungen für die Art der Anarbeitung gebunden. Gewisse Bearbeitungen und Verletzungen, welche gutes Schweifseisen zu vertragen vermag, dürfen dem Flufseisen nicht zugemutet werden ; auch ist jenes gegen Temperatureinflüsse weit weniger empfindlich als dieses.

Während in Deutschland nebst dem Martin-Flufseisen seit 1891 auch das Thomas-Flufseisen im Brückenbau ein weites Verwendungsgebiet gefunden hat, wird in Österreich zur Zeit nur das erstere zu Brückenbauten zugelassen. Indessen ist auch hier diese Frage nahezu spruchreif, nachdem der österreichische Ingenieur- und Architekten-Verein, welcher schon im Jahre 1889 die Vornahme grofser Versuche mit genieteten Vollwand- und Fachwerksträgern aus Schweifs-, Thomas- und Martin-Flufseisen veranlafst hat, im Jahre 1896 einen Ausschufs von Fachmännern mit der Aufgabe betraute, in Hinsicht auf die Fortschritte der Hüttentechnik neuerdings über die Verwendbarkeit des Thomas-Materials zu Brückenkonstruktionen Untersuchungen anzustellen. Dieser Ausschufs hat auf Grund zahlreicher Versuche und ausgedehnter Studien sich für die Zulässigkeit des Thomas-Materials zu Zwecken des Brückenbaues ausgesprochen, sodafs zu erwarten ist, dafs dieser Baustoff demnächst auch in Österreich zugelassen werden wird.

Im allgemeinen kann daher gesagt werden, dafs das Flufseisen der Baustoff der eisernen Brücken der Gegenwart ist und dafs dasselbe auch für die nächste Zukunft sich als solcher behaupten werde.

Über die Verwendung des Stahles im Brückenbau ist zu bemerken, dafs dieselbe zur Herstellung des Tragwerkes bisher selten und meist nur bei sehr grofsen Brücken stattgefunden hat. Auch in der Zukunft wird für den Bau solcher Bauwerke der Flufsstahl in Frage kommen. Für die Konstruktion wichtiger und stark beanspruchter Bestandteile von Brücken, selbst bei mittelgrofsen Spannweiten, findet der Stahl jedoch sehr oft Anwendung und zwar insbesondere für die Herstellung von Auflagern, Gelenken u. dergl. mehr.

Hinsichtlich der Benennung der verschiedenen Abarten des Eisens folgen wir den Vorschlägen, welche von einem Fachmännerausscliusse des österreichischen Ingenieur-und Architekten-Vereins im Jahre 1893 auf gestellt und von diesem Vereine angenommen worden sind.

3. Stahl:

a)    Schweifsstahl,

b)    Flufsstahl.

4. Gufswaren:

a)    Rohei sengufswaren,

b)    Flufseisengufswaren,

c)    Stahlgufswaren.

Nach diesem wird unterschieden :

1. Roheisen:

a)    Weifses Roheisen,

b)    halbiertes Roheisen,

c)    graues Roheisen.

2. Schmiedeisen:

a)    Schweifseisen,

b)    Flufseisen.

Für die Anwendung dieser Bezeichnungen dienen folgende Erläuterungen:

1. Roheisen.

Dieses ist das Erzeugnis des Hochofens ; es ist leicht schmelzbar, aber nicht schmiedbar. Aach seiner Farbe und seinem Gefüge wird es als „weifses“ (körniges, strahliges oder Spiegeleisen), „halbiertes“ und „graues“ Roheisen bezeichnet.

Unter der Bezeichnung Gufseisen ist in der Regel ein graues, ausnahmsweise ein halbiertes, zur Herstellung von Eisengufswaren bestimmtes Roheisen zu verstehen.

2. Schmiedeisen.

a)    Schweifseisen ist das im teigigen Zustande (durch das Herdfrisch- oder das Puddelverfahren) hergestellte schmied- und schweifsbare, aber nicht merklich härtbare Eisen;

b)    Flufseisen ist das im flüssigen Zustande (nach dem Bessemer-, Thomas- oder Martin-Verfahren) hergestellte schmiedbare, aber nicht merklich härtbare Eisen.

3. Stahl.

a)    Schweifs stahl ist das im teigigen Zustande (durch das Herdfrisch- oder Puddelverfahren) gewonnene schmiedbare, merklich härtbare Material;

b)    Flufs stahl ist das im flüssigen Zustande (nach dem Tiegel-, Bessemer-, Thomasoder Martin-Verfahren) hergestellte schmiedbare, merklich härtbare Material.

An Stelle der bisher üblichen Bezeichnung: „Gufsstahl“ tritt die Benennung: „Tiegolflufsstahl“.

4. Gufswaren.

a)    Roheisengufswaren (Eisengufswaren) sind die durch Gufs aus grauem oder halbiertem Roheisen hergestellten Gebrauchsgegenstände. Sind Eisengufswaren nachträglich schmiedbar gemacht worden, so tritt die Bezeichnung „schmiedbarer Eisengufs“, „Weichgufs“ oder „Tempergufs“ ein. Eisengufswaren, welche durch Giefsen des Eisens in eisernen Formen an ihrer Oberfläche besonders hart gemacht werden, heifsen „Hartgufswaren“. Sind Gufsstücke in offenen Formen oder in Sand, Masse oder Lehm geformt oder sollen sie nach Art der Herstellung besonders gekennzeichnet werden, so sind dieselben mit Herdgufs, Sand-, Masse- oder Lehmgufs zu bezeichnen ;

b)    Flufs eisengufs war en sind die aus Flufseisen in fertiger Form durch Gufs hergestellten Gebrauchsgegenstände ;

c)    Stahlgufswaren sind die aus Flufsstahl in fertiger Form durch Gufs hergestellten Gebrauchsgegenstände.

¹

) Engesser. Über die Schwingungsdauer eiserner Brücken. Zeitschi’, d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver.

²

)    Ann. des ponts et chaussées 1892, II. Heft 45. — Centralbl. d. Bauverw. 1893, S. 272.

³

)    Man vergl. auch: Kopeke. Über die Beseitigung dev Schwankungen ait einer Hängebrücke. Deutsche Bauz. 1885, S. 163.

⁴

)    Engesser. Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen, Band 2, S. 170.

⁵

)    Ritter. Technische Mechanik.

⁶

)    Bei der Hacker-Brücke in München mit 29 m Stützweite (Pendeldurchmesser d = 0,16 m) hat man / — 0,05 angenommen, um den denkbar ungünstigsten Verhältnissen Rechnung zu tragen. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1893.

⁷

)    Die Grenzen der Zugbelastung⁻ u. s. w. Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnwesens 18 79, S. 161 u. ft'.

⁸

)    Ferron. Theorie der Bremsen. Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnwesens 1878, S. 141 u. 204; 1879, S. 135. — Hutli. Inanspruchnahme eiserner Eisenbahnbrücken durch das Bremsen der Züge. Deutsche Bauz. 1885, S. 334. — Über die Wirkung der Bremsen auf Eisenbahnzüge. Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnwesens 1879, S. 152 u. 193.

I. Allgemeine Eigenschaften des Baustoffes mit besonderer Rücksichtnahme auf

Elasticität und Festigkeit.

§ 16. Einleitung. Genaue Kenntnis der allgemeinen, insbesondere jedoch der Festigkeitseigenschaften des Baustoffes ist eine der wichtigsten Vorbedingungen zur Erzielung zweckmäfsiger Einzeldurchbildung der Konstruktionen. Auf dieser Kenntnis beruht nicht allein die gesamte Berechnung der Querschnitte, sondern auch die Anordnung der Verbindungen.

zur

Es läfst sich behaupten, dafs für jeden Fall sogar die besondere Qualität des Verfügung stehenden Baustoffes Berücksichtigung bei der Anordnung der Einzel-

hoitcn finden müsse, wenn die Konstruktion durchaus entsprechen soll. Die auf Grund allgemeiner Eigenschaften des Baustoffes und mittlerer Festigkeitszahlen ermittelte konstruktive Anordnung wird in Hinsicht auf den zu erreichenden Sicherheitsgrad den Absichten des entwerfenden Ingenieurs nicht immer genügen. Lediglich völlige Kenntnis des vorhandenen Baustoffes und die darauf begründete besondere Anordnung der Abmessungen kann Gewähr bieten für die wirkliche Ausnutzung des Materiales und die geforderte Sicherheit.

Der deutsche Eisenbahn verein hat bereits im Jahre 1877 hierzu die Anregung gegeben, indem er die Einführung einer staatlich anerkannten Klasseneinteilung für Eisen und Stahl nach Eigenschaften und die Errichtung von Versuchsstationen u. s. av. anstrobte. Derartige Mafsnahmen sind geeignet, die Güte des zur Verfügung stehenden Baustoffes mit gröfserer Sicherheit beurteilen und wählen zu können.

Die Eigenschaften der verschiedenen Arten des Eisens sind in hohem Grade abhängig von dem Rohstoffe, den fremden chemischen Beimengungen, der Herstellungsart und der nachträglichen Behandlung. Die Berücksichtigung dieser Umstände verdient bei Beurteilung des Baustoffes volle Beachtung und soll insbesondere bei Wahl desselben zu Konstruktionszwecken keineswegs vernachlässigt werden. — Zur Erkenntnis der besonderen Eigenschaften des Baustoffes gelangt man durch Betrachtung des Äufseren, des Gefüges an Bruchstellen, durch Ätzung der Oberfläche mit Säuren, insbesondere jedoch durch Proben auf Festigkeit und Dehnbarkeit, Bearbeitungsfähigkeit u. s. av. Man vergleiche Kap. XVI, § 4 (Die Prüfungen des Materiales).

Wir schreiten nun zur Besprechung der Avichtigsten Eigenschaften des Eisens, indem wir die verschiedenen Eigenschaften desselben in Kurzem kennzeichnen.

§ 17. Das Roheisen (Gufseisen). Der hier in Betracht kommende Stoff ist das „graue“ Roheisen. Sein spezifisches Gewicht ist im Mittel 7,2, die Schmelztemperatur zwischen 1100 bis 1200° C. Das Gefüge ist krystallinisch körnig; am grobkörnigsten sind die dunkelgrauen, am feinkörnigsten die lichten Arten. Die Gröfse des Gufsstückes hat einen wesentlichen Einflufs auf die Gröfse des Korns. Dieselbe Roheisensorte, welche in einem Gufsstücke von vielleicht 30 cm Durchmesser auf dem Bruche ein sehr grobkörniges Gefüge von dunkler Farbe zeigt, wird als Stab von 3 cm Stärke eine hellgraue Farbe und dichte Textur besitzen. Ebenso übt die Art des Abkühlens auf die Textur Einflufs aus. Das Roheisen ist um so besser, je zackiger der Bruch erscheint und je dunkler und glänzender er ist. Die lichtgrauen oder schwach halbierten Eisensorten besitzen eine gröfsere Festigkeit als die dunkelgrauen. Wiederholtes Umschmelzen erhöht die Festigkeit; Fairbairn fand, dafs das Roheisen nach zwölfmaligem Umschmelzen die gröfste Festigkeit erlangte.

Die Festigkeit des Roheisens schwankt je nach der Güte in weiten Grenzen. Versuche, die in Woolwich angestellt wurden, ergaben die Festigkeit:

bis 2400 kg f. d. qcm, „ 9800 „    „ „    „

„ 800 „

gegen Zug zwischen......

gegen Druck zwischen.....

11 il

gegen Bruch durch Biegung zwischen Von Einflufs auf die Festigkeit ist die chemische Zusammensetzung und das Gefüge, welches teils durch die chemische Zusammensetzung, teils durch die Abkühlungsverhältnisse bedingt wird. Im allgemeinen besitzen solche Roheisensorten die gröfste Festigkeit, welche fremde, zur Bildung des Graueisens nicht erforderliche Körper in geringster Menge aufweisen. Zur Bildung des Graueisens sind Eisen, Kohlenstoff und

Silicium erforderlich; für die Menge des letzteren genügen 1 bis höchstens 2%. Die festesten Graueisensorten enthalten 3 his 3¹/₂% Kohlenstoff. Ein grobkörniges Gefüge beeinträchtigt die Festigkeit, ein hoher Graphitgehalt ist ungünstig, weil er die Entstehung grobkörnigen Gefüges, zwischen dessen Absonderungsflächen der Graphit eingelagert ist, befördert. (Ledebur, „Eisen und Stahlu, Berlin 1890.)

Auf die Beschaffenheit des Gefüges üben aufser der chemischen Zusammensetzung hauptsächlich auch die . Ab küli lungs Verhältnisse einen grofsen Einflufs aus und es kann ein und dasselbe Graueisen ziemlich abweichende Festigkeitsziffern aufweisen, je nachdem es in dickeren oder dünneren Querschnitten erstarrt und je nachdem es in Formen gegossen wurde, welche rascher oder allmählicher dem Metalle seine Wärme entzogen. Im allgemeinen wird rascher erkaltetes und deshalb feinkörneriges Roheisen die gröfsere Festigkeit besitzen. Bei Festigkeitsprüfungen ist es auch keineswegs gleich-giltig, ob die Gufsstücke mit ihrer Gufshaut geprüft werden, oder ob diese durch mechanische Bearbeitung vorher entfernt wird. Bach fand die Festigkeit bei bearbeiteten Gufsstücken um 11 bis 20% gröfser als bei unbearbeiteten.

Nach den Vereinbarungen deutscher Eisenhüttenleute, sowie nach den vom Verbände deutscher Architekten- und Ingenieur-Vereine aufgestellten Normalbedingungen soll die Zugfestigkeit des Roheisens (unbearbeitet) mindestens 1,2 t/qcm betragen. Die Biegungsfestigkeit soll eine derartige sein, dafs ein unbearbeiteter Stab von quadratischem Querschnitte bei 30 mm Seitenlange auf 1 m Abstand frei auf liegend, eine allmählich bis zu 450 kg zunehmende Belastung in der Mitte aufzunehmen vermag, bis er bricht. Diese Bruchbelastung würde eine Biegungsfestigkeit von 2,5 t/qcm ergeben.

Über das Verhalten gufseiserner Stäbe gegen Biegung giebt ein beachtenswerter Aufsatz von C. Bach in der Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1888, S. 193 u. ff. Auf-schlufs. Die wichtigsten Resultate jener Untersuchungen sind:

1.    Für auf Biegung beanspruchte Gufseisenstäbe ist eine Elasticitätsgrenze nicht vorhanden, gleichgiltig, ob man die letztere auffafst als die Spannung, bis zu welcher Proportionalität zwischen Dehnungen und Spannungen besteht, oder ob man sie als Grenze vollkommener Elasticität ansieht.

2.    Je mehr die Querschnittsfläche sich in zwei dünnen, von der Nullachse abstehenden, ihr jedoch parallelen Streifen (Flantschen) zusammendrängt, desto mehr nähert sich auch die auf Grund der Biegungslehre aus der Bruchbelastung berechnete Biegungsfestigkeit der Zugfestigkeit des gleichen Materiales, sowie der Biegungselasticitätsmodul dem Zugelasticitäts-modul.

3.    Der Elasticitätsinodul der verschiedenen übereinander befindlichen Schichten eines auf Biegung beanspruchten Gufseisenstabes ist nicht von gleicher Gröfse; derselbe nimmt mit wachsender Dehnung oder Spannung ab. Infolge dessen sind die Spannungen in den äufsersten Schichten thatsächlich bedeutend kleiner, als sie sich nach der Biegungslehre ergeben, während das nach der Nullachse hin gelegene Material im Verhältnis zu seinem Abstand von dieser stärker gespannt ist, als das weiter auswärts befindliche.

Die aus Biegungsversuchen auf Grund der Biegungslehre bestimmte Biegungsfestigkeit überschreitet die für dasselbe Material ermittelte Zugfestigkeit um so bedeutender, je mehr sich das Material verhält-nismäfsig nach der Nullachse hin zusammendrängt. So zeigte sich die Biegungsfestigkeit für ein Gufs-eisen, dessen Zugfestigkeit durch Zerreifsen zu 1369 kg/qcm gefunden worden war:

Für einen quadratischen Querschnitt, dessen Diagonale

.    .    3218    und    3323    kg/qcm,

in der Kraftebene liegt......

Nach Bach befragt das Verhältnis der Biegungsfestigkeit zur Zugfestigkeit des nämlichen Roheisens bei Quadratstäben 1,73 und ändert sich nach Mafsgabe des Einflusses der Lage des Querschnittes auf die Biegungsfestigkeit, wie oben mitgeteilt wurde.

Sehr verschieden sind die Angaben über die reine Druckfestigkeit des Roheisens ; als Mittelwert wird hierfür meist 7,0 bis 7,5 t/qcm angenommen.

Roheisen besitzt nach Bach’s Versuchen weder eine Elasticitätsgronze noch einen Festwert für den Elasticitätsmodul. Der letztere vermindert sich vielmehr von 1000 t/qcm stetig bis auf etwa 650 t/qcm an der Zugfestigkeitsgrenze. Neben der Festigkeit des Roheisens mufs auch dessen Zähigkeit, d. i. die Eigenschaft, Formveränderungen anzunehmen, ohne zu brechen, in Betracht gezogen werden. Auf den Grad der Zähigkeit ist in noch höherem Mafse als für die Festigkeit die chemische Zusammensetzung des Materiales von Einflufs. Alle Fremdkörper vermindern die Zähigkeit; doch ist die Gröfsc ihres Einflusses verschieden. Gebundener Kohlenstoff, wie im weif sen Roheisen, macht dieses in hohem Mafse spröde; einen weit geringeren Einflufs übt Silicium aus; selbst ein hoher Siliciumgehalt (2 bis 2,5%) ist weniger nachteilig als ein Gehalt von etwa 1% gebundenem Kohlenstoff (Ledebur). Auch ein Mangangehalt von 1% bewirkt eine deutliche Erhöhung der Sprödigkeit. Der gefährlichste Feind der Zähigkeit des Eisens ist jedoch der Phosphor. Ein Gehalt von mehr als 1% dieses Stoffes^ würde das betreffende Material schon zu Konstruktionszwecken unzulässig machen.

Ein sehr nachteiliger Einflufs auf die Zähigkeit eines Gufsstiickes kann auch entstehen, wenn einzelne Teile desselben beim Erkalten am Schwinden behindert werden und wenn das Schwinden nicht gleichzeitig im ganzen erfolgen kann, wodurch innere Spannungen auftreten. Geringfügige äufsere Veranlassungen, ein Stofs, einseitige Erwärmung u. dergl. reichen aus, um den Bruch eines solchen Gufsstückes herbeizuführen. Bei der Formgebung der Gufsstücke wird hierauf ebenso zu achten sein, wie auf die Gefahren, welche die beim Gusse entstehenden Hohlräume zur Folge haben können. Zur thunlichsten Vermeidung der letzteren sollen die Gliederungen und Abmessungen so gewählt werden, dafs übermäfsige Materialanhäufungen an einzelnen Stellen nicht Platz greifen und eine gleichmäfsige Abkühlung ermöglicht werde.

Im allgemeinen hängt die Güte des erzeugten Gufsstückes von derjenigen des Rohstoffes und von der Behandlung des Gusses ab. Guter Rohstoff, wiederholtes Umschmelzen und hauptsächlich grofse Sorgfalt für allmähliches und gleichmäfsiges Abkühlen der gegossenen Stücke läfst ausgezeichnete Ergebnisse erreichen, wie die amerikanischen Erzeugnisse, namentlich die dort gefertigten Lokomotivräder aus Gufs-eisen, die nach Tunner eine Dauer von 80000 bis 95000 durchlaufenen Kilometern und darüber auf weisen, lehren.

Im Brückenbau der Neuzeit findet das Gufseiscn Anwendung zur Herstellung von Auflagerkonstruktionen, Portalen, Geländern, zur Konstruktion eiserner Brückenstützen u. s. w.

Die vom Verein deutscher Hüttenleute aufgestellten Vorschriften für Lieferungen von Eisen und Stahl (Düsseldorf 1893) bestimmen für Gufseisen:

„Die Gufsstücke sollen aus grauem, weichem Eisen sauber und fehlerfrei gegossen sein. Es mufs möglich sein, mittels eines gegen eine rechtwinkelige Kante des Gufsstückes mit dem Hammer geführten Schlages einen Eindruck

zu erzielen, ohne dafs die Kante abspringt. Das Eisen der Köhren mufs feinkörnig und zäh sein und sieh mit Meifsel und Feile bearbeiten lassen“.

Über die Zug- und Biegungsfestigkeit wurde bereits oben gesprochen.

§ 18. Das Schmiedeisen. Vom Roheisen unterscheidet sich das Schmiedeisen in chemischer Beziehung durch seinen niedrigeren Gehalt an Fremdkörpern, insbesondere an Kohlenstoff, welcher selten über 0,2% hinausgeht und meist weniger als 0,1% beträgt, in physikalischer Beziehung durch seine höhere Schmelztemperatur, welche bei 1800° C. liegt, während jene des Roheisens 1100 bis 1200° C. beträgt.

a) Das Schweifseisen.

Die Herstellung desselben erfolgt zumeist mittels des Puddelverfahrens oder Flamm-ofenfrischens. Hierbei wird das Roheisen auf dem muldenförmigen Herde eines Flammofens durch die darüber hinstreichende Flamme geschmolzen und durch die Beimischung oxydreicher Schlacken oder vom Hammerschlag seiner fremden Bestandteile beraubt. Zur Erleichterung dieser Yermischung wird das Metallbad unausgesetzt umgerührt (ge-puddelt). Das Ergebnis dieses Verfahrens ist ein mit flüssiger Schlacke durchsetzter Eisenklumpen — die Luppe -—, welcher sich aus dem Metallbade ausscheidet. Ein Vorgang, der einigermafsen an die Erzeugung der Butter erinnert.

Durch Ausschmieden der weichen Luppe unter dem Dampfhammer wird die flüssige Schlacke zum gröfsten Teil ausgetrieben, worauf dann die Luppe zu Stäben -— Rohschienen, Luppenstäben — ausgewalzt wird. Die auf die entsprechende Länge geschnittenen Luppenstäbe werden zu prismatischen Körpern — Packeten — zusammengelegt, schweifswarm gemacht, zusammengeschweifst und verwalzt.

Jedes Schweifseisenstück besteht daher aus einzelnen, erst durch das Schweifsen verbundenen Teilen.

Schweifseisen besitzt ein spezifisches Gewicht von 7,6 bis 7,8. Dasselbe ändert sich mit der Beschaffenheit und wird durch die mechanische Behandlung beeinflufst. Hach Kirkaldy’s Versuchen wird das spezifische Gewicht vermindert durch kaltes Walzen und durch starke Beanspruchung auf Zug, obgleich im letzten Falle der Querschnitt sich verkleinert. Bei Gewichtsberechnungen ist nach Mafsgabe der „Normal-Bedingungen“ das spezifische Gewicht gleich 7,8 anzunehmen.

Gutes Schweifseisen zeigt einen körnig-zackigen Bruch von lichtgrauer Farbe. Im allgemeinen ist die gute Beschaffenheit bestimmt durch Gleichmäfsigkeit des Gefüges und die Zusammengehörigkeit eines hellen Farbentones mit mattem Glanz, oder dunkler Farbe mit starkem Glanz am frischen Bruche. Die Gröfse des Korns nimmt mit zunehmendem Kohlenstoffgehalt ab; durch Walzen, Schmieden, Strecken u. s. w. geht das körnige Gefüge in ein faseriges, sehniges über.

bei 1200° C. lichtes Glühen,

„ 1300° C. Weifsglühen,

„ 1500° bis 1600° C. blendendes Weifsglühen und „ 1800° bis 2100° C. Schmelzung.

Blankes Schweifseisen nimmt bei Temperaturen zwischen 300 bis 400° C. nach und nach Anlauffarben in der Reihenfolge : gelb, orange, violett, blau, grün, endlich farblos, an. — Hiernach erscheinen die Glühhitzen und zwar: bei 525° C. anfangendes Rotglühen,

„    700° C. Dunkelrotglühen,

„    800° bis 1000° C. Kirschrotglühen,

„ 1100° C. Dunkelorange,

Bevor das Schmelzen eintritt, nimmt das Eisen eine teigartige Beschaffenheit an, in welchem Zustande es schweifsbar ist. Durch plötzliches Abkühlen ist das Schmiedeisen gar nicht oder nur in sehr geringem Mafse härtbar.

Fremde Beimengungen beeinflussen die Beschaffenheit des Eisens in hohem Grade. So erzeugt der Gehalt an

Schwefel: Rotbruck (dunkelgraue Farbe, schwacher Glanz, fadiges Gefüge des Bruches),

Phosphor: Kaltbruch (hellweifs, starker Glanz, flaches schuppiges Korn),

Silicium : Faulbruch (kurzes und dickfaseriges Gefüge von dunkler Farbe und ohne Glanz, im Gemenge mit körnigem Gefüge).

Infolge von Fehlern bei der Fabrikation oder der Bearbeitung können entstehen :

Rohbruch, durch ungleichmäfsige und unvollkommene Puddel- oder Frischarbeit (der Bruch ist grobkörnig, glänzend, weifs, neben feinem Korn und dunkler Farbe) ;

Verbranntes Eisen. Dasselbe entsteht, wenn das Eisen längere Zeit einer trockenen Hitze ausgesetzt und dadurch kohlenstoffärmer geworden ist (der Bruch zeigt ein ungleiclimäfsiges, grobkörniges oder blätteriges Gefüge, starken Glanz, weifse Farbe mit einem Stich ins Gelbliche);

Iladriges, schiefriges, unganzes Eisen. Dasselbe entsteht infolge schlechter Schweifsung oder fehlerhafter mechanischer Behandlung (der Bruch zeigt eingemengte Schlacke oder Hammerschlag).

Die Festigkeit und Elasticität des Schweifseisens ist abhängig von der Herstellungsart, den fremden Beimengungen und der nachträglichen mechanischen Behandlung. Die Festigkeit gegen Zug schwankt nach Bauschinger zwischen 2300 bis 4890 kg, nach Kirkaldy sogar bis 6200 kg f. d. qcm. Die Ausdehnung beim Zerreifsen erreicht bei zähen Eisensorten bis 30% der Länge.

Der Einflufs der fremden Bestandteile auf die Festigkeit und Elasticität ist in Folgendem skizziert:

Kohlenstoff. Mit zunehmendem Kohlenstoffgehalt nimmt die Festigkeit gegen Zug zu, die Dehnbarkeit jedoch ab. Dieses Anwachsen der Festigkeit findet jedoch (nach Styffe) nur bis zu einem Kohlenstoffgehalte von 0,8% statt. Ein Überschreiten dieser Grenze hat wieder eine Abnahme der Festigkeit zur Folge.

Die Elasticitätsgrenze wächst in ähnlicher Weise, wie die Festigkeit mit dem Kohlenstoffgehalte.

Phosphor erhöht die Festigkeit und die Elasticitätsgrenze, vermindert dagegen die Dehnbarkeit.

Einflufs der mechanischen Behandlung. Strecken, Kaltwalzen, Hämmern und alle Arbeiten, welche ein Überschreiten der Elasticitätsgrenze im Gefolge haben, bewirken eine Erhöhung der Zugfestigkeit und der Elasticitätsgrenze, vermindern jedoch die Dehnbarkeit und Zähigkeit. Ausglühen hat dagegen eine entgegengesetzte Wirkung. Nach Kirkaldy’s Versuchen erhöhte sich die Festigkeit von 3220 kg f. d. qcm durch Kaltwalzen bis auf 6260 kg und sank durch Ausglühen wieder auf 3580 kg herab, in einem anderen Falle erhöhte sich die Festigkeit von 4260 kg f. d. qcm auf 5270 kg und sank durch Ausglühen auf 4380 bezw. 3970 kg f. d. qcm herab. Wiederholte Bearbeitung des Schmiedeisens, wie man dieselbe in England anzuwenden pflegt, um das beste und zäheste Eisen zu erhalten, ergaben eine Verbesserung der Qualität, zunehmend mit der Anzahl der Bearbeitungen, die jedoch eine gewisse Grenze erreichte, von wo ab wiederum Verminderung der Festigkeit eintrat.

Auf den Mersey Iron and steel works wurde von Clay ein Versuch gemacht, wonach eine Stange von gewöhnlichem faserigen, gepuddelten Eisen durchgeschmiedet und dann gewalzt wurde. Ein Stück wurde als Probe aus der Mitte entnommen, der Überrest wieder zusammengeschmiedet und dann ausgewalzt u. s. f., bis das letzte Stück 12 Bearbeitungen erlitten hatte. Die Festigkeit betrug bei den verschiedenen Stücken: 3086, 3716, 4189, 4189, 4031, 4346, 4189, 4031, 4031, 3804, 3653, 3086. Ähnliche Versuche mit Puddelstahl ergaben: 6813, 8555, 7846, 8555, 7846, 7846, 6407, 6407, 6407, 6407 (v. Kaven, Collectaneen).

Im allgemeinen erkennt man, dafs alle Umstände, welche eine Termehrung an Festigkeit im Gefolge haben, gleichzeitig eine Einbufse an Dehnbarkeit mit sich bringen.

Der Einflufs der Form des Stabes auf die Festigkeit wurde von Kir-kaldy und Vickers untersucht und hierbei gefunden, dafs Rundstäbe, die in kurzen Strecken auf einen kleineren Durchmesser abgedreht wurden, eine gröfsere Tragfestigkeit zeigten, als solche mit konstantem Durchmesser ; gröfsere Länge des eingedrehten Teiles ergab wieder Verminderung der Tragfestigkeit. Professor Weyrauch erklärt diese Erscheinung aus der Ungleichartigkeit des Stoffes, in deren Folge eine excentrische Beanspruchung und Biegung auf trete, wogegen bei kurz eingedrehten Stäben diese Biegung um so geringer werden müsse, je kürzer der eingedrehte Teil ist. Die Beobachtung Styffe’s, dafs jede auf Zug beanspruchte Stange bei starker Belastung Ausbiegungen annimmt, scheint diese Erklärung zu bestätigen.

Nach Bauschinger’s Versuchen hat die Form des Probestabes innerhalb der Grenzen, wie sie die Praxis braucht, nur Einflufs auf die prozentualische Bruchdehnung und wird dieser Einflufs vermieden, wenn die Mefslänge des Probestabes nach der Querschnittsgröfse bestimmt wird. Bauschinger fand hierfür die Beziehung:

l = 11,3 y/F,

wobei l die Mefslänge und F die Querschnittsfläche des Probestabes, auf Millimeter bezogen, bedeutet.

In Österreich ist der Gebrauch der Beziehung: l — y 80 F üblich.

Stäbe mit scharf absetzenden Querschnittsänderungen zeigen gegen wiederholte Anstrengungen geringere Widerstandsfähigkeit, als solche, bei welchen der Übergang mittels Hohlkehlen stattfindet (Wohler’s Versuche). Aus dem Mitgeteilten geht hervor, dafs mannigfache Ursachen die Festigkeit und Dehnbarkeit des Eisens beeinflussen, und dafs demnach Verschiedenheiten in dem Verhalten selbst gleichartig erzeugter Eisensorten gegen äufsere Kräfte zur Erscheinung gelangen können.

Ganz besonders bemerkbar machen sich diese Verschiedenheiten durch die Werte der Elasticitätsmoduln. Die Ermittelung dieser Gröfscn ist an und für sich eine schwierige und setzt eine aufserordentliche Genauigkeit und Sorgfalt bei den Versuchen voraus. Professor Jenny macht in seinem Werke: „Festigkeitsversuche und die dabei verwendeten Maschinen an der k. k. technischen Hochschule in Wien. 1878“ auf diesen wichtigen Umstand aufmerksam und betont ausdrücklich, dafs selbst bei einer Genauigkeit in den Ablesungen der Längen bis zu 0,001 mm die Werte der Elasticitätsmoduln, unter den günstigsten Umständen, bei den Mafseinheitcn des Kilogramms und des Millimeters, bis auf die Stelle der Hunderte richtig zu bestimmen aufserordentlich schwierig ^sei. So könne, einem berechneten Beispiele zufolge, dieser Wert für eine Eisensorte ebensowohl mit 19 700 als mit 20300 bemessen werden.

nur un-

Hieraus ergiebt sich, dafs Versuche, die mit minder genauen Apparaten und Vorrichtungen vorgenommen wurden, bezüglich der ermittelten Elasticitätsmoduln

genaue Resultate erwarten lassen. Aber selbst möglichst genaue Versuche ergeben erhebliche Verschiedenheiten der Elasticitätsmoduln, so zwar, dafs nach Jenny’s Versuchen z. B. für Eisenbleche diese Gröfse Werte zwischen 15200 bis 22900, bei Walzeisenstäben zwischen 20700 bis 22200 ergab, wobei das Kilogramm und das Millimeter als Mafseinlieit vorausgesetzt sind.

Man hat die Beobachtung gemacht, dafs auch die Querschnittsform der Walzeisen von Einflufs auf die Gröfse des Elasticitätsmodul sei. Diese Erscheinung findet eine Erklärung in dem Umstande, dafs der Baustoff während des Walzens Streckungen erleidet, welche seine Festigkeit und Dehnbarkeit beeinflussen. Dies wird insbesondere dann der Fall sein, wenn das Eisenstück in abgekühltem oder erkaltetem Zustande durch die Walzen geht. Die dabei auftretenden, die Elasticitätsgrcnze überschreitenden Dehnungen des Stoffes ändern dann die Festigkeit und Dehnbarkeit und mithin den Elasticitätsmodul.

Es läfst sich hierdurch auch die Erscheinung erklären, dafs selbst die aus ein und demselben Formeisenstabe geschnittenen Probestäbe verschiedenen Elasticitätsmodul zeigen, je nach den Orten im Querschnitt, aus welchen die Probestücke entnommen wurden. Die Streckungen, welche vom Stoff des Formeisens erlitten werden, sind nämlich keineswegs durchaus gleichmäfsig, sondern mit den Geschwindigkeiten der Walzenumfänge verschieden, daher wird auch das elastische Verhalten des Stoffes in demselben Querschnitte gegen ausdehnende Kräfte ein verschiedenes sein können.

Professor Jenny teilt in seinem oben genannten Werke aucli Versuche über die Festigkeit und Dehnbarkeit von Probestäben, welche aus verschiedenen Orten des Querschnittes dreier Rundeisenstangen A, B und (7, Fig. 21, S. 76, geschnitten wurden, mit. Nachfolgende Tabelle enthält die erhaltenen Resultate auszugsweise:

Zeichen des Probestabes

Spezifisches

Gewicht

Elasticitätsmodul E

Elasticitäts- Tragfestigkeit gegen Zug

grenze h,

Bleibende Ausdehnung nach dem Bruche

kg pro qmm

Ausdehnung an der Elasticitätsgrenze

pro Längeneinheit

Arbeitsmodul für die Elasticitätsgrenze.

*ï

kgmm

A II A III A IV

A VI A VII

B II

B III

G II

C III

7,750

7,710

7,806

7,781

7,805

7,750

7,753

7,505

7,464

7,497

7,843

7,785

7,740

19    600

20    700 20 000 20 800

16    300 20 300

17    700 22 500 ,22 500 20 700 20 000 22 800 20 600

12.91 14,40 13,60 14,71

13.60

13.42 13,37

15.60

15.91 15,19

14.42 14,30 14,39

34.71 37,80 38,88 37,38 26,73 32,35 32,23 35,97

36.72 38,60 39,65 39,34 40,18

0,00066

0,00070

0,00068

0,00071

0,00083

0,00066

0,00076

0,00069

0,00071

0,00074

0,00072

0,00063

0,00070

0,083

0,152

0,149

0,163

0,029

0,059

0,064

0,167

0,116

0,125

0,202

0,222

0,191

0,00425

0,00502

0,00463

0,00521

0,00566

0,00444

0,00505

0,00541

0,00563

0,00554

0,00518

0,00450

0,00502

Wenn von dem Probestabe A V, der im Bruche bedeutende Ungleichmäfsigkeiten zeigte, abgesehen wird, so erkennt man, dafs im allgemeinen der Elasticitätsmodul und die Festigkeiten der aus der Stange A geschnittenen Stäbe in die Augen fallende Verschiedenheiten aufwiesen. Zugleich bemerkt man, dafs die nahe der Oberfläche entnommenen Probestücke A I, A II, A III und A IV gröfsere Festigkeiten und Elasticitätsmoduln hatten als der mittlere Stab A VII.

Die beiden Stangen B und C zeigten ein gleichmäfsigeres Verhalten, was bei den verhältnis-mäfsig kleineren Querschnitten auch zu erwarten stand.

Die Verschiedenheit der Elasticitätsmoduln gab Veranlassung, mehrseitig zu bezweifeln, ob theoretische Ergebnisse, welche auf Grundlage vorausgesetzter Gleichartigkeit des Stoffes erhalten wurden, auf Brückenbauten anwendbar seien und dies dadurch

zu begründen, dafs letztere aus Konstruktionselementen zusammengesetzt sind, die eine Gleichartigkeit bezüglich des Elasticitätsmo-—■i(—-1—w\—-"-1—f—f—I-—-Jj-----i—)— duls nicht erwarten las

sen und deshalb der bei derBerechnung gemachten Voraussetzung der Gleichartigkeit nicht entsprechen.

Es ist wohl keine Frage, dafs bei einer aus mehreren Teilen von verschiedener Dehnbarkeit zusammengesetzten Konstruktion die Beanspruchung der einzelnen Teile verschieden ausfallen werde, da die dehnbaren Elemente durch eintretende Dehnung mehr nachgeben, als die steiferen, wodurch diese jedenfalls eine Mehrbeanspruchung erleiden. Besonders bei inniger Verbindung der verschiedenen Teile untereinander müssen infolge der verschiedenen Dehnbarkeiten derselben an den gegenseitigen Berührungsflächen Schubspannungen auftreten, welche durch die Verbindungsmittel auf die minder nachgiebigen Teile diese Spannungsunterschiede übertragen, hierdurch Mehrbeanspruchung daselbst hervorrufen und somit auch deren entsprechend stärkere Dehnung oder Streckung veranlassen. Schliefslich wird ein Zustand eintreten, in welchem der zusammengesetzte Stab ein ähnliches Verhalten annimmt, wie ein aus gleichartigem Stoff“ bestehender elastischer Stab mit gleichen Ausmafsen, jedoch einem verschiedenen, aus der Vereinigung ungleichmäfsig-elastischer Elemente folgenden mittleren Elasticitätsmodul.

Es wurde bereits darauf hingewiesen, dafs bei Walzeisen in den verschiedenen Orten des Querschnittes auch Verschiedenheiten in Bezug auf Festigkeit und Dehnbarkeit gefunden wurden. Auch hier ist das Verhalten dem vorhin erwähnten ähnlich und der Elasticitätsmodul gleichfalls blofs einem mittleren Werte entsprechend.

Fig. 21.

jL

7F

I-----JH1------

so\

/03

k----&0'~ J-----¹—^

II

75

-67-

Mittelwerte der Festigkeit und Elasticitat des Sehweifseisens.

(Nach Gr as h of.)

B austoff

Tragfestigkeit kg f. d. qcm

Elasticitätsgrenze kg f. d. qcm

Zug

Druck

Schub

Zug

Druck

Schub

Ausdehnung an der Elasticitätsgrenze pro Längeneinheit

Druck

Elasticitätsmodul f. d. qcm

Zug

Zug u. Druckt Schuh

4000

3500

6500

3500

3500

1400

1400

1050

3000

1400

2400

1400

1050

0,0007

0,0008

0,0012

0,0007

0,0008

2 000 000

1    750 000

2    000 000

750 000 656 200 7 500

Konstruktionen, die aus einzelnen Elementen zusammengesetzt und miteinander innig verbunden sind, wie dies beispielsweise durch die Nietung geschieht, werden demnach ebenso zu beurteilen sein, wie solche aus völlig gleichmäfsig elastischem Materiale. Der diesen Konstruktionen — als einem einheitlichen Ganzen — zukommende Elasticitätsmodul ist jedoch von vornherein nicht bestimmbar, er ist vielmehr ein aus dem Ver-

halten der entstandenen Konstruktion erst abzuleitender, aus der Gesamtwirkung der verbundenen Elemente sich ergebender Wert, dem dieselbe Bedeutung zukommt, wie für einfache ähnliche Gebilde aus gleichartigem Stoff. Hiernach können die theoretischen Ergebnisse ohne Bedenken auch auf genietete Brückenkonstruktionen angewendet werden, und zwar um so mehr, als die Ergebnisse der Erfahrung bisher durchaus zu keinem gegenteiligen Schlüsse berechtigen, sondern weit eher für die Giltigkeit derselben sprechen.

Hie mechanische Arbeit des elastischen Widerstandes eines in seiner

Längenachse beanspruchten Stabes gegen lebendige Kräfte ist durch den Wert:

W = -- —

YV 2 E ’

welcher sich auf die Raumeinheit des Stabes bezieht, ausgedrückt, wobei k die Spannung bedeutet.

Für die der Elasticitätsgrenze entsprechenden Spannung ergiebt sieb mit den Mittelwerten: Je — 1400 kg f. d. qcm und E = 2000000, der Arbeitsmodul:

= 0,49 kgem.

(1400)2 ' 2 000 000

Hie mechanische Arbeit des Widerstandes kommt in Betracht bei allen Konstruktionen, welche Erschütterungen und Stöfsc auszuhalten haben, also insbesondere auch bei Brücken. Im allgemeinen wird demnach die Güte des zu diesen Konstruktionen zu verwendenden Eisens nach dem Werte W — dem „Arbeitsmodul“ — zu beurteilen sein und der Vorzug ist jenem Stoffe einzuräumen, der einen gröfseren Wert hierfür auf weist.

Obwohl die Abmessungen der einzelnen Teile einer Eisenbrücke von dem Gesichtspunkte aus vorgenommen werden müssen, dafs nicht nur durch die statischen Lastangriffe, sondern auch durch die dynamischen Wirkungen der rollenden Lasten keine, die Elasticitätsgrenze überschreitenden, Anstrengungen des Materials hervorgerufen werden, so ist es dennoch nicht ausgeschlossen, dafs unter ungünstigen Umständen und Zufällen verschiedener Art auch höhere Spannungen auftreten könnten. In solchen Fällen gelangen neben den elastischen auch bleibende Form Veränderungen in Erscheinung : zu der Arbeit des elastischen Widerstandes gesellt sich dann die Arbeit der bleibenden Formänderung: die „plastische Formänderungsarbeit“. Bei zähen Materialien wird jene von dieser weitaus übertroffen, sodafs z. B. für mittelmäfsiges Schweifseisen die bis zur Festigkeitsgrenze geleistete plastische Formänderungsarbeit für das Kubik-centimeter fast 200 mal gröfser ist als die bis dahin vollzogene elastische Arbeit.

In dem plastischen Arbeitsvermögen eines Konstruktionsmaterials sehen wir daher einen Vorrat an Leistungsfähigkeit für den Fall von unvorhergesehener Überanstrengung überhaupt, insbesondere aber gegen Stösse und dynamische Wirkungen. Es entspricht dieses gewissermafsen einem die Sicherheit gewährleistenden Reservefonds, während das elastische Arbeitsvermögen mit dem Betriebskapitale verglichen werden könnte. Hie Gröfse der plastischen Arbeit ist aber sowohl von der Festigkeit, als auch von der Hehnbarkeit des Materials abhängig, sie kann näherungsweise durch das Produkt dieser beiden Gröfsen ausgedrückt werden und damit ein Mafsstab für den Konstruktionswert des Materials gewonnen werden. Prof. v. Tetmajer führte bei seinen Qualitätsbestimmungen der Eisenmaterialien hierfür die Wertziffer c = ß.X ein, wobei ß die Zugfestigkeit f. d. qcm in t und X — die durchschnittliche Längenänderung der Längeneinheit nach dem Bruche bedeuten.

Die Festigkeitszahl und die Tetmajer'’sehe Wertziffer ermöglichen eine ziemlich genaue Kennzeichnung des Konstruktionsmateriales; dennoch genügen diese Bestimmungen allein nicht und man verlangt überdies noch den besonderen Nachweis für die Zähigkeit desselben.

Für das Mafs der Zähigkeit wurde die Gröfse der Einschnürung an der Bruchstelle in Vorschlag gebracht und Wohl er’ s Wertziffer setzt sich aus der Summe von Zugfestigkeit in kg/qmm -f- Kontraktion in °/₀ zusammen. Sowohl der Verein deutscher Hüttenleute, als auch Prof. v. Tetmajer und Prof. Gollner sprachen sich jedoch dahin aus, dafs die Einschnürung des Bruchquerschnittes nicht mafsgebend für die Zähigkeit des Materiales sein könne, da dieselbe etwas ganz Örtliches ist, worin die durch TJngleichmäfsigkeit bedingte Weichheit einzelner Stellen des Materiales zum Ausdrucke komme.

Die Richtigkeit dieser Einwände erhellt schon aus dem Umstande, dafs an den Probestäben fast immer die eigentliche Brucheinschnürung eine deutliche Begrenzung erkennen läfst, sodafs an diesem Orte das Vorhandensein weicheren Materiales augenfällig wird. Ein Stab von vollkommen gleichartigem Stoffe würde eine derartige Einschnürung niemals annehmen, denn die Dehnung und die Kontraktion müfste in diesem Falle eine durchaus gleichmäfsige sein.

Wird die Länge des Probestabes in eine Anzahl gleicher — etwa 1 cm langer — Teile eingeteilt und wrerden die Dehnungen dieser Teile besonders gemessen und in

entsprechendem Mafsstabe als Ordinaten auf getragen, so erhält man durch Verbindung ihrer Endpunkte eine gebrocheneLinie, welche den Anteil eines jeden Stabteiles an der Gesamtausdehnung deutlich macht. Die auftretende Einschnürung macht sich örtlich durch das rasche Ansteigen dieser Linie bemerk-lich. In der Mehrzahl der Fälle erstreckt sich die Stelle der Einschnürung bei zähem Baustoff auf die Länge von 2 bis 4 cm, bei härterem Baustoff' auf noch geringere Länge. Fig. 22 stellt ein derartiges Schaubild dar.

Ein weiterer Umstand, wrelcher gegen die Einführung der Kontraktion als Zähig-keitsmafs spricht, ist die Schwierigkeit der genauen Ermittelung des Inhaltes der Bruchfläche, da dieselbe keinesw-egs eine ebene ist. Die Dehnungen lassen dagegen eine scharfe Messung zu. Mit Zuhilfenahme des Erfahrungssatzes, wonach der Rauminhalt des Probestabes unverändert bleibt, kann aus den gemessenen Dehnungsgröfsen auch die örtlich entsprechende Querzusammenziehung berechnet werden.

In „Über den Wert der Kontraktion als eines Maises der Zähigkeit des Eisens und über die Beurteilung der Qualität dieses Materiales“ gelangt Prof. Gollner⁰²) zu folgenden Ergebnissen:

1. Die Querdeformation ist in ihrer kräftigen und nahezu unvermittelten Ausbildung bei Zer-reifsprobestäben in erster Linie nur als örtliche Erscheinung aufzufassen.

Fig. 22.

.1    r t- mm

^ i max - JA»____

Am U 1,92

mm

A I    / n nm m

_____A Ljrn mj; !?___

JL

il2 I G

J6

J8

3    5    7    9    11    13    15    17    19

Abscissen 1 cm = 4 mm; Ordinaten 5:1.

ri) Techn. Blätter 188G u. 1887.

2.    Die an der Bruchstelle eingetretene gröfste Kontraktion darf nicht als Mafs der Zähigkeit des Materiales angenommen werden.

3.    Solche örtliche Erscheinungen müssen im Zusammenhang mit der minder entwickelten Gleichartigkeit des Materiales gebracht werden.

Weiter bemerkt Golin er: „Es ist daher die heute übliche Praxis, die gröfste Querschnitts-Verminderung eines bis zur Bruchgrenze für Zug in Anspruch genommenen Probemateriales zur Grundlage für die Beurteilung des Wertes der mit „Zähigkeit“ bezeichneten mechanischen Eigenschaft zu machen, entschieden unrichtig und um so mehr, als durch zahlreiche Versuchsreihen nachgewiesen ist, dafs die Entstehung, Art und Gröfse der Ausbildung von Hauptquerdeformationen wesentlich von Materialfehlern abhängig ist“.

Gollner bestreitet jedoch die allgemeine Giltigkeit des Tetmajer’schen Qualitätskoefficienten c (d. i. der Arbeitskapazität) als Mafs der Zähigkeit und weist nach, dafs Eisenstoffe von sehr verschiedenem Zähigkeitsgrade dennoch genau übereinstimmende Arbeitskapazitäten besitzen können, sodafs der Wert c allein nicht als Zähigkeitsmafs verwertet werden könne. Dagegen sieht Gollner in dem Mittelwerte Aml der Längsdehnungen der einzelnen Längencentimeter des Probestabes (s. Fig. 22, S. 78) das thatsächliche Mafs der Zähigkeit Da = Am 7, während er das relative Mafs derselben, die „Defor-

A m7

mationsfähigkeit“, mit Dr — 100

bestimmt.

max

ziehung :

Zur Bestimmung des Mafses der Gleichartigkeit des Baustoffes benutzt Gollner die Be-

Amin 7

Die diesfalls von ihm durchgeführten Untersuchungen verschiedener Schweifseisen-, Flufseisen-und Stahlsorten ergeben für den erstgenannten Baustoff das Ergebnis, dafs die Zähigkeit und Gleichartigkeit desselben von dem Gefüge abhängig und im allgemeinen stark veränderlich sei. Da schwankt zwischen 9 und 27 und es entspricht die geringste Zähigkeit dem „gemischten“, das gröfste Mafs derselben dem „schiefrig-feinsehnigen“ bis „milde feinsehnigen“ Gefüge. Die Gleichartigkeit ist am geringsten bei den zähesten Sorten und am besten bei dem „schiefrig“ bis „schiefrig-geschichteten“ Gefüge. Für

die am häufigsten untersuchte Sorte, welche durch das „geschichtete schwachsehnige“ Gefüge bestimmt ist, ergab sich der Wert:

ff°/o = 26.

Schliefslich stellt Gollner die folgenden Beziehungen zwischen den mafsgebenden Gröfsen: der Kontraktion und Zähigkeit, und der letzteren zur Zugfestigkeit auf. Es ist die Kontraktion :

Da°/o = 21;

C in °/o = — 8,0 + 2,47 Da;

Da = 4,04 -f- 0,395 C und Da = — 23,16 + 0,0117 K,., wobei Kz die Zugfestigkeit in kg f. d. qcm.

Der Einflufs des Gefüges auf die Festigkeit und Zähigkeit ist ersichtlich aus der folgenden Tabelle:

ferner

Rz

Am7°/o

C°lo

Gefüge

10

2900 3100 3300 3500    17

3700

16

13

15

20

24

29

34

41

3900

22

46

4100

24

51

4200

27

59

Gemischt.

Gemischt.

Schiefrig'.

Schiefrig-, geschichtet. Sehnig.

Sehnig.

Schiefrig-feinsehnig.

Milde-feinsehnig.

Zur praktischen Untersuchung der Zähigkeit des Konstruktionsmateriales dienen die sogenannten technologischen Proben. Hierbei werden die Probestäbe verschiedenen formändernden Bearbeitungen im kalten und warmen Zustande unterzogen, Biegungen im unverletzten und verletzten Zustande der Stäbe, Schlagproben, Schmiedeproben u. s. w. vorgenommen.

Den zuverlässigsten Aufschlufs über die Leistungsfähigkeit eines Materiales bei seiner Verwendung zu Brückenkonstruktionen geben nur Biege- und Bruchversuche an zusammengesetzten, genieteten, nach Art von Brückenträgern gebauten Trägern. Bei solchen Versuchen kommt insbesondere der Einflufs der Anarbeitung auf das Gesamtverhalten der Träger zum Vorschein ; sie bieten die Möglichkeit, den Grad der Übereinstimmung der theoretischen Rechnungsergebnisse mit den wirklich auftretenden Anstrengungen zu erproben, was zur Beurteilung der Sicherheit der Konstruktionen von gröfstem Werte ist, und können zur Entdeckung verborgener Materialfehler — insbesondere der Neigung des Materiales —, innere „falsche¹⁴ Spannungen anzunehmen, verhelfen.

Vom Standpunkte des Konstrukteurs wird übrigens bei Wahl des Baustoffes auch der besonderen Inanspruchnahme der Konstruktionsglieder Beachtung zu schenken sein, indem z. B. auf Druck widerstehende Teile streng genommen ein anderes elastisches Verhalten verlangen als Zugglieder. Es ist dies ein Umstand, auf den Prof. Krohn in einem Aufsatze im Civil-Ingenieur 1884 aufmerksam gemacht hat. Es ist ohne weiteres einzusehen, dafs härterer Baustoff für Druckglieder jedenfalls besser als weicherer geeignet sei, weshalb auch z. B. für Bogenbrücken die Anwendung von härteren Eisensorten und Stahl sich vorteilhafter erweisen könne.

Für die Zulässigkeit eines Schweifseisenmateriales zu Brückenkonstruktionen giebt v. Tetmajer die folgenden Mindestwerte:

Für Brücken- und Hochbau konstruktionen soll Sch weifseisen mindestens die nachstehenden Festigkeitszahlen und Qualitätskoefficienten aufweisen, wobei die Dehnung auf eine ursprüngliche Stablänge von 20 cm zwischen den Körnern zu beziehen ist.

1. Niet- und Schraubenmaterial :

Qualitätskoefficient c = 0,7 tcm.

Zugfestigkeit ß = 3,8 t f. d. qcm,

3

Scherfestigkeit nicht unter —- ß.

2.    Rund- und Stabeisen, Formeisen (Façoneisen, Profileisen) bis zu 1,6 cm Dicke:

c = 0,45 tcm.

ß = 3,5 t f. d. qcm,

3.    Trägerbleche bis zu 1,6 cm Dicke:

Für die Längsrichtung:

c = 0,45 tcm,

für die Querrichtung, deren Länge die D/afache mittlere Breite nicht überschreitet:

c = 0,15 tcm,

wenn die Länge gröfser ist als die U/s fache mittlere Breite:

c = 0,1 tcm.

Für Strafsenbrücken, wo wirtschaftliche Rücksichten verbunden mit der untergeordneten Bedeutung des Bauwerkes auf die Verwendung geringerer Eisensorten hinweisen, werden die nachfolgenden Zahlen als äufserste Grenzen bezeichnet.

ß = 3,4 t f. d. qcm.

ß = 3,0 t f. d. qcm,

ß = 2,8 t f. d. qcm,

1.    Niet- und Schraubeneisen:

ß = 3,6 t,

3

Scherfestigkeit nicht unter — ß.

2.    Stab- und Rundeisen:

c — 0,7 tcm,

ß = 3,4 t,

c = 0,38 tcm.

3.    Formeisen u. s. w. unter 1,5 cm Dicke:

ß = 3,2 t,

4.    Sogenannte Universaleisen bis zu 1,6 cm Dicke:

c = 0,38 tcm.

c = 0,38 tcm.

ß = 3,2 t,

5. Trägerbleche bis zu 1,6 cm Dicke:

Für die Längsrichtung:

ß = 3,2 t,

c = 0,36 tcm,

in Querrichtung für Bleche, deren Länge gleich oder kleiner als die fache mittlere Breite:

c = 0,1 tcm,

bei Längen gröfser als die 1 Qa fache mittlere Breite :

ß = 2,8 t,

ß = 2,8 t,

c — 0,05 tcm.

(Mitteilungen der Anstalt zur Prüfung von Baumaterialien am eidgenössischen Polytechnikum in Zürich. 3. Heft. 1S86.)

b) Das Flufseisen.

Je nach der Herstellungsart unterscheidet und benennt man die Flufseisensorten als Bessemer-, Thomas- bezw. Martin-Flufseisen.

Beim Bessern er-Verfahren wird geprefste Gebläseluft von unten her in zahlreichen Strahlen durch geschmolzenes Roheisen geleitet, welches in einem bimförmigen, an Zapfen aufgehängten und zum Kippen eingerichteten Behälter, der „Bessemerbirne“ oder dem „Konverter“, befindlich ist. Kohlenstoff, Silicium und Mangan verbrennen und durch ihre Verbrennung, zumal durch die des Siliciums, welches den eigentlichen Brennstoff bei diesem Vorgänge bildet, wird die Temperatur des geschmolzenen Metalles um mehrere hundert Grade gesteigert: aus dem flüssigen Roheisen wird flüssiges schmiedbares Eisen, Flufseisen. Man pflegt 5 bis 10 t Roheisen mit einem Male zu verarbeiten; die Umwandlung erfolgt in 15 bis 30 Minuten.

Bei diesem Verfahren findet eine Abscheidung des Phosphors nicht statt und man mufs, um ein brauchbares Flufseisen zu erhalten, phosphorarmes Roheisen verwenden.

Das Thomas-Verfahren unterscheidet sich von dem vorigen dadurch, dafs die „Bessemerbirne“ mit einem aus gebranntem Dolomit gefertigten Futter versehen, beim Blasen ein Zuschlag von gebranntem Kalk gegeben und das Blasen bis nach Ausscheidung des Kohlenstoffes fortgesetzt wird. Hierdurch wird der Phosphor in der „Bessemerbirne“ in die Schlacke übergeführt und es zeigt sich, dafs phosphorreiches Roheisen sich hierbei noch günstiger verhalte, weil der Phosphor bei diesem Verfahren als Brennstoff dient, sowie das Silicium beim Bessemer-Verfahren.

Das Thomas-Verfahren ist daher eine Abart des Bessemer-Verfahrens und wird im Gegensatz zu diesem — saueren — als basisches Verfahren bezeichnet.

Das Martfn-Verfahren oder Flammofenschmelzen besteht darin, dafs auf

dem Herde eines, zur Erzeugung hoher Temperaturen, mit Siemensfeuerung versehenen Flammofens Roheisen mit schmiedbarem Alteisen zusammen geschmolzen wird. Unter der oxydierenden Einwirkung der Flamme verbrennen Mangan, Silicium und ein grofser Teil des Kohlenstoffgehaltes des Einsatzes und es entsteht Flufseisen. Sind phosphorhaltige Materialien zu verarbeiten, so stellt man den Herd aus gebranntem Dolomit lier, wie das Futter der „Thomasbirne“, und giebt Kalk als Zuschlag (basisches Martin-Verfahren).

Vergleicht man die Erzeugnisse des Martin-Verfahrens mit jenen des Bessemer-bezw. Thomas-Verfahrens, so kann man folgende Unterschiede hervorheben: Da das , Martin-Verfahren nicht in 15 bis 30 Minuten, sondern in 4 bis 6 Stunden-und darüber verläuft, so ist es viel leichter, durch Hinausziehen des Prozesses die Abscheidung der Verunreinigungen des Eisens zu erzielen und den verlangten Grad der Härte zu erreichen. Da bei den erstgenannten Verfahren Luft durch das flüssige Metallbad hindurchgetrieben wird, so ist dort mehr Veranlassung zur Aufnahme von Gasen und somit zur Blasen-

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aull.

bi]düng geboten als beim Martin-Verfahren, wo die Luft nur über die mit Schlacke bedeckte Metallfläche hinweggleitet. Jedenfalls ist die Aufnahme, von Glasen bei diesem Verfahren weit geringer, als bei den crsteren.

Bei gleicher Beschaffenheit der verwendeten Rohstoffe würde das Erzeugnis des Martin-Verfahrens im allgemeinen freier an eingeschlossenen Gasen und gleichförmiger in der chemischen Zusammensetzung sein können. Auch wird dabei die Ausscheidung der Verunreinigungen und die verlangte Beschaffenheit und Härte leichter erzielt, als beim Bessemer- und Thomas-Verfahren.

Das durch den Bessemer-, Thomas- bezw. Martinprozefs erzeugte kohlenstoffarme Eisen, Elufseisen, dessen spezifisches Gewicht bei Gewdchtsberechnungen zu 7,85 angenommen wird, zeigt im Vergleiche mit Scliweifseisen wesentlich verschiedene Eigenschaften, die auf die Herstellungsart dieses Stoffes zurückzuführen sind.

Die Erkenntnis der feineren unterscheidenden Merkmale zwischen Schweifs- und Flufseisen wird besonders durch die mikroskopische Untersuchung des Gefüges unterstützt und es können auf Grund solcher Untersuchungen auch die Eigenschaften dieser beiden Materialien abgeleitet werden, wie dies Geh. Bergrat Dr. H. Wedding in einem Vortrage in der Versammlung des „Iron and Steel Institute“ am 7. Mai 1885 dargelegt hat.

Wir können es nicht unterlassen, die Ergebnisse dieses interessanten Vortrags in kurzem Auszuge nach dem in der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure von 1885 erschienenen Berichte im Folgenden hier anzuführen.

Nach unserer Quelle ist die Gröfse des Korns, welches, als dem regulären Kristallsystem angehörend, auf allen Seiten in der Form gleich erscheint, von zwei Umständen abhängig:

1.    von der Dauer des Abkühlungsprozesses,

2.    von der Natur und dem Vorkommen der fremden Elemente, welche entweder in Mischung oder in chemischer Verbindung in dem Eisen enthalten sind.

Unter sonst gleichen Umständen wächst die Gröfse des Korns mit der Dauer des Abkühlungsprozesses, während andererseits bei Gleichheit der Abkühlung die Korngröfse mit dem Gehalte an Kohlenstoff bis zu 2% abnimmt und darüber hinaus nach beiden Seiten wächst. Phosphor begünstigt die Ver-gröfserung, Silicium, Schwefel, ein geringer Gehalt an Mangan, Titan, Chrom und Wolfram dagegen bewirken eine Verkleinerung der Eisenkrystalle.

Jedes Korn von schmiedbarem Eisen ist dehnbar. Wenn ein Druck auf ein einzelnes Korn in der Richtung nur einer Achse ausgeübt wird, Avie beim Hämmern des Eisens auf einem Ambofs, so wird das vielseitige Korn zu einer Tafel oder Schuppe umgestaltet. Wirkt dagegen der Druck in Richtung zweier Achsen gleichzeitig, wie z. B. beim Walzen in Spitzbogenkalibern oder beim Walzen und Schmieden unter beständiger Wendung des Stabes um 90°, so wird das Koni in eine Säule verwandelt, welche ein verlängerter regulärer Krystall ist und Sehne genannt wird. Eine Sehne kann sich nicht über ein gewisses Mafs ausdehnen,*ohne schliefslich wieder zu zerfallen. Der Kohlenstoffgekalt ist für diese Erscheinung in erster Linie malsgebend; überschreitet derselbe 0,5°/o, so zerfallen die Sehnen schon nach geringer Streckung zu Korn. Dasselbe bewirkt neben geringem Kohlenstoffgehalt ein sehr geringer Gehalt an Phosphor oder ein grofser Gehalt an Silicium oder Schwefel. Das auf diese Weise durch Zerfallen der Sehne entstehende Korn ist stets kleiner als dasjenige, aus welchem die Sehne stammte. Hieraus erklärt sich, dafs kohlenstoffreicher Stahl und Feinkorneisen keine Sehne bilden und dafs kein Einflufs irgend welcher Art, mit Ausnahme einer höheren Temperatur, im Stande ist, aus sehnigem Eisen grobkörniges zu erzeugen. Der Bruch von seimigem Eisen kann nur ein dem Querschnitt der Sehne entsprechendes Korn zeigen oder ein feineres, wenn eine Streckung stattgefunden hat.

Obgleich kohlenstoffarmes Eisen allein zur Bildung von Sehne geeignet ist, so tritt doch eine solche nicht bei jedem solchen Eisen ein, wenn ein Druck in Richtung zweier Achsen ausgeübt wird. Es ist bekannt, dafs im Schweifseisen durch den Walzprozefs leicht Sehne erzeugt wird, dafs dagegen Flufseisen sehr selten Sehne bildet. Die mikroskopische Untersuchung des Schweifseisens zeigt, dafs die einzelnen Sehnen Bündel bilden, die parallel zueinander liegen. Dieselben haben aber niemals eine gröfse Länge ; es schliefsen sich vielmehr stets neue Sehnenenden an, "welche selten in dergleichen Achsenlinie, sondern meistens zu den ersteren versetzt, jedoch stets zu diesen parallel liegen. Hieraus läfst sich schliefsen,

dafs die Festigkeit des sehnigen Eisens von der Eigentümlichkeit abhängig ist, dafs die Enden der Sehnen in verschiedenen Querschnitten liegen, wie die Hanffäden in den Seilen.

Das Mikroskop zeigt ferner, dafs keine Sehne mit der nebenliegenden unmittelbar verbunden ist, weder in der Quer-, noch in der Längsrichtung. Eine Untersuchung der Ursache der Abscheidung der Sehnen untereinander ergiebt das Vorhandensein einer trennenden Schicht, welche von Schlacken oder Glühspan ( Fez 0₄) gebildet wird. Diese Schichten umgeben die Sehnen stets bis zu ihren Enden, um dort in Form einer feinen Umhüllung entweder die Verbindung mit dem nächstfolgenden Sehnenbündel zu bilden oder infolge einer kurzen Unterbrechung zu verschwinden, in welchem letzteren Falle an diesem Punkte stets ein körniges Gefüge erscheint. Ebenso wie diese Kornbildung zwischen den Sehnen nur da auftritt, wo keine trennende Schlackenschicht vorhanden ist, so ist die Bildung der Sehnen eng an die Schlackenschicht geknüpft; es folgt daraus, dafs Sehnenbildung ohne die Gegenwart der Schlackenschicht nicht eintritt.

Bei der mikroskopischen Untersuchung der verschiedenen Eisensorten erscheint nur Tiegelstahl, der eine verhältnismäfsig schnelle Abkühlung erfahren hat, annähernd von gleichem Gefüge. In allen anderen Sorten, zumal in Probestücken aus Blöcken von grofsem Querschnitt und verhältnismäfsig langsamer Abkühlung sind zwei verschiedene Beschaffenheiten durch Atzen erkennbar, von denen die eine in die andere eingelagert ist. Die eine bildet stets ein Netzwerk, welches die andere Sorte, winkelig geformte Körper, einschliefst. Die letzteren werden von Dr. Wedding „krystallinisches Eisen“ und die das Netzwerk bildenden Partien „homogenes Eisen“ genannt. Die krystallinischen Eisenkörper kommen um so häufiger, aber gleichzeitig in um so kleineren Abmessungen vor, je mehr der Gehalt an Kohlenstoff sich 2% nähert. In weichem Eisen sind sie oft weit voneinander entfernt, aber dann stets in ansehnlicher Gröfse vorhanden. Das krystallinisehe Eisen ist in sich nicht gleichartig ; das das Netzwerk bildende Eisen ist dagegen stets gleichartig und läfst sich, selbst bei sehr starker Ver-gröfserung, nicht in verschiedene Teile auflösen.

Die Sehnen» von geschweifstem Eisen sind, wie parallele Drähte, in einem Bündel nur verbunden oder vielmehr getrennt durch Schlacke ; wo aber die Sehnen durch Ivorn ersetzt sind, scheint dieses umgeben oder durchdrungen von homogenem Eisen. Die Ecken und Biegungen, welche durch letzteres bei der Umfassung der Körner gemacht werden, wachsen an Stärke mit den Krystallen, und dies erklärt die Brüchigkeit des grobkrystallinischen Eisens.

In Flufseisen anderseits bildet das Homogeneisen eine gleichmäfsige, das Krystall-eisen von allen Seiten umgebende Schicht und stellt in dieser Weise die verbindende Masse dar. Diese Thatsaclie erklärt die grofse Zugfestigkeit des Flufseisens im Vergleiche mit Schweifseisen, indem der Zug auf jede, einzelne Seime wirkt, wie etwa auf jeden Draht mit einem Drahtbündel.

zu

Nachdem die Elasticitätsgrenze überschritten ist, streckt sich jede Sehne für sich allein und bricht, wenn die Grenze der Tragfähigkeit überschritten wird, woraus hervorgeht, dafs Schweifseisen stets allmählich, niemals plötzlich zerreifsen oder brechen kann. Im Flufseisen dagegen strecken die Körner sich zwar unabhängig und verändern ihre Stellungen gegeneinander, aber der Verband löst sich nicht, denn das homogene Eisen bildet stets die Verbindung, bis die Grenze der Tragfähigkeit erreicht ist; dann erfolgt erst ein Bruch, nun aber ein plötzlicher Bruch. Die Gleichmäfsigkeit des Flufseisens im ganzen wird durch die vorhandenen Blasenräume, ohne welche dasselbe nicht darstellbar ist, unterbrochen. Die Festigkeit eines fertigen Stückes Eisen ist abhängig von der in dem beanspruchten Querschnitte enthaltenen Menge von Eisen, indem bei Schweifs-eisen die Schlackenmenge, bei Flufseisen die Fläche der Blasenquerschnitte in Abzug bringen ist. Diese Berechnung fällt für das Flufseisen entschieden günstig aus.

Aus den vorstehenden Untersuchungen Weddings ergiebt sich unter anderem, dafs das Yorhandensein von eingelagerter Schlacke im Gefüge des Eisens im allgemeinen als bezeichnendes Merkmal des Schweifseisens gelten kann.

Das Bruchgefüge des Flufseisens ist meist feinkörnig; bei weichen Sorten zeigt die Bruchfläche der zerrissenen Stäbe den sogenannten milden Bruch; das Gefüge ist weder entschieden sehnig noch körnig. In diesem Falle erscheint die Bruchfläche mit starker Einschnürung und der kennzeichnenden Furchen- bezw. Trichterbildung. Ziemlich häufig kann beginnende Sehnenbildung bis kurze Sehne beobachtet werden.

Die Farbe des Bruches ist verschieden, man findet dieselbe licht bis tiefgrau. Die erstere wird von dem fettig bis seidigen Glanze des milden bis schwachsehnigen Gefüges begleitet. Der feinkörnige Bruch ist licht und hell glänzend. Bisweilen wurden auch schieferige, löcherige und selbst amorphe Brüche beobachtet, welch’ letztere dann tiefgraue Färbung besassen. Bei gröfseren Querschnitten finden sich nicht selten Hohlräume — Blasen — vor, welche jedoch bei dünneren Walzstücken flach zusammengedrückt erscheinen.

Die Festigkeit des Flufseisens ist von der chemischen Zusammensetzung, insbesondere von dem Gehalte an Kohlenstoff, Mangan, Silicium und Phosphor abhängig; sie wird beeinflufst vom Walz verfahren, der mechanischen Bearbeitung und von der Einwirkung verschiedener Wärmezustände.

Der Kohlenstoff übt einen bedeutenden Einflufs auf die Festigkeit des Flufseisens aus, so zwar, dafs durch Erhöhung des Kohlenstoffgehaltes von 0,1 °/o auf 0,9% die Zugfestigkeit fast auf das Doppelte gesteigert werden konnte. Bauschinger⁴⁸) fand z. B. bei Versuchen mit Bessemer-Eisen die folgenden Verhältnisse :

Kohlenstoff

Zugfestigkeit

kg/qmm

Elasticitätsgrenze kg/qmm_

Dehnung auf 40 cm Mefsläqge

0,14

29.50 33,10

34.50

34.90 37,45

37.50

42.90 48,70

Bei ungefähr 1 °/₀ Kohlenstoffgehalt ist gewöhnlich die höchste Zugfestigkeit vorhanden; bei gröfserem Gehalte an Kohlenstoff nimmt dieselbe wieder ab.

Bauschinger’s Versuche über die Druckfestigkeit an Quadratstäben von 30 mm Seite und 90 mm Länge mit Reschitzaer Martin-Eisen ergaben:⁴⁴)

0,19

0,46

0,54

0,66

0,78

0,87

0,96

44.30 47,85

53.30 55,60 62,95 64,70 73,35 83,05

21,S

20,1

18,1

17,8

13,7

11,4

8,1

6,6

o- Cł

Elasticitätsmodul

kg/qmm

Elasticitätsgrenze

0,12

0,28

0,50

0,75

1.00

1,15

22 220 22 520 22 660 22 220 22 550 22 090

kg/qmm

14,44

17,84

17,90

20,00

34,40

37,78

Beginn der Zerdrückung bei kg/qmm

50,00

67,00

71,00

86,00

105,00

129.00

(ohne vollständige Zerdrückung) kg/qmm

105,00

91,00

114,00

140,00

216,00

211.00

Das Mangan bildet; einen regelmäfsigen Bestandteil des Flufseisens, bei dessen Erzeugung dieser Stoff als Spiegeleisen oder Ferromangan dem flüssigen Eisen zugesetzt wird, damit demselben der Sauerstoffgehalt entzogen werde.

Mangan erhöht wie Kohlenstoff die Festigkeit und Elasticitätsgrenze und verringert wie dieser die Zähigkeit.

Man nimmt an, dafs vier bis fünf Teile Mangan ungefähr die gleiche Wirkung auf die Elasticitätseigenschaften hervorrufen, wie ein Teil Kohlenstoff ; bei Zunahme des Mangangehaltes über 3% wird jedoch die Festigkeit verringert (Ledebur).

Siliciumgehalt erhöht die Festigkeit und vermindert die Zähigkeit.

Phosphor übt den nachteiligsten Einflufs auf die Zähigkeit des Flufseisens aus: dasselbe wird „kaltbrüchig“. Dieser Einflufs wächst mit dem Kohlenstoffgehalte des Eisens.

Der höchste noch zulässige Gehalt an Phosphor im Konstruktions-Flufseisen kann mit 0,1% angenommen werden.

Schwefel und Kupfer bewirken Rotbruch, wie beim Schweifseisen.

Kickei vermag die Festigkeit des Flufseisens bedeutend zu erhöhen, ohne die Zähigkeit zu schädigen. Zusätze von Nickel in 1 bis 3% und darüber werden gegeben, wo es sich um Erzielung möglichst hoher Festigkeit neben grofser Zähigkeit handelt, wie z. B. bei Lokomotivachsen und Bandagen, zur Herstellung von Panzerplatten u. dergl.

Der Einflufs der chemisch fremden Beimengungen des Flufseisens auf dessen Zugfestigkeit wurde wiederholt eingehend studiert und man war bemüht, die Abhängigkeit der Festigkeit von der Menge dieser Bestandteile durch Formeln zum Ausdruck zu bringen.

Y i kt or Deshayes stellte die Beziehung auf:

Z = 30 -f 18 G + 36 C 18 Mn + 15 P + 10 Si %, wobei Z die Zugfestigkeit in kg/qmm, C, Mn, P und Si den Gehalt an Kohlenstoff, Mangan, Phosphor und Silicium in Prozenten bedeuten.

Bauschinger giebt für Bessemerstahl die Formel: 21= 4,364 (1 -j- G²); Z in t/qcm, C in %•

Jüptner von Jonstorff⁴⁶) entwickelt die Beziehung:

Z=2,5 + ^C + \Si + ±Mn,

wobei Z in t/qcm, C, Si und Mn in %o einzusetzen ist.

Jüptner vergleicht die Ergebnisse seiner Formel mit unmittelbar erhobenen Festigkeitsziffern von Baustoffen, deren Festigkeiten zwischen 4,22 bis 10,47 t/qcm lagen und fand in den verglichenen 646 Fällen eine ziemlich befriedigende Übereinstimmung.

Weniger befriedigten die Vergleiche mit bearbeiteten Stoffen und findet Jüptner, dafs der Einflufs der Bearbeitung auf die Festigkeit besonders berücksichtigt werden müsse.

Er stellt die Beziehung auf:

2 = i + S,

wobei £ =

3 ^ y P -y- Mn bedeutet und der Wert A das Mafs für die Gröfse der Bearbeitung ist.

A selbst setzt sich zusammen aus dem Anteile der Zerreifsfestigkeit, welcher zusammen mit dem durch die fremden Bestandteile bedingten Werte S die Festigkeit des völlig ungehärteten und unbearbeiteten Stoffes darstellt, aus dem durch die Härtung bewirkten Festigkoitsanteile h und aus der durch mechanische Bearbeitung verursachten Festigkeitsänderung a.

i5) RésaJ. Fonte, fer et acier. Paris 1892. Pag. 264.

4C) „Beziehungen zwischen Zerreifsfestigkeit und chemischer Zusammensetzung von Eisen und Stahl.“

Leipzig 1895.

A — f + li + a.

Demnach ist:

Die Festigkeit der verschiedenen Eisenmaterialien besteht daher aus der natürlichen Festigkeit des Materiales, der Materialfestigkeit : 31 = f -f- 2 und aus der durch die Bearbeitung des Stoffes verursachten Festigkeitsänderung, der Bearbeitungsfestigkeit:

JB = h a — A — f.

Jüptner fafst die Ergebnisse seiner Untersuchungen zu folgenden Schlüssen zusammen:

1.    Die Zerreifsfestigkeit ist abhängig von der chemischen Zusammensetzung des Stoffes und von seiner Bearbeitung.

2.    Für (annähernd) gleich bearbeitete Stoffe läfst sich die Zerreifsfestigkeit (wenigstens annähernd) aus deren Zusammensetzung berechnen.

3.    Umgekehrt läfst sich aus der gegebenen Zusammensetzung und Zerreifsfestigkeit der Wert A berechnen, welcher gestattet, die Gröfse der Bearbeitung, welche der Stoff erfahren, zu schätzen.

4.    Die Gröfse von A kann neben den Qualitätszahlen von Tetmajer zur Beurteilung der Eigenschaften des betreffenden Materiales mit Vorteil herangezogen werden.

5.    Der Wert von A kann zur Erkennung, also auch zur Abstellung von Fehlern in der Herstellung der Stahlmaterialien dienen.

Deshayes hat auch die Abhängigkeit der Bruchdehnung von der chemischen Zusammensetzung durch die Formel:

X = 42 — 30 C — 5,5 Mn — 6,0 Si für die Mafslänge von 100 mm zum Ausdrucke gebracht.¹ 2)

Jüptner stellte für die Beziehungen zwischen der chemischen Zusammensetzung und der Kontraktion des Bruchquerschnittes die Formel auf:

? =    y Si -f -J- 3în)^)

Dabei bedeutet q die Kontraktion in °/o des ursprünglichen Querschnittes und b einen Festwert, dessen Gröfse (ebenso wie A in der Festigkeitsformel) von dem Grade der Stoffbearbeitung abhängig ist. Der Wert von 6 liegt nach den Ermittelungen Jüptnor’s durchschnittlich bei 60, sodafs für die Kontraktion:

⁷ (| C + y Si + y 3In)

folgt.

Der Vergleich der Ergebnisse dieser Formel mit jenen der unmittelbaren Messung bei 646 Fällon ergab eine befriedigende Übereinstimmung, wenn auch die Abweichungen hier — wie zu erwarten — gröfser waren, als bei der Zerreifsungsfestigkeit.

Jüptner gelangt zu den nachstehenden Schlufsfolgerungen :

1.    Die Querschnittsverminderung ist abhängig von der chemischen Zusammensetzung des Stoffes und von seiner Bearbeitung.

2.    Für (annähernd) gleich bearbeitete Stoffe läfst sich die Kontraktion (wenigstens annähernd) aus deren Zusammensetzung berechnen.

3.    Umgekehrt läfst sich aus der gegebenen Zusammensetzung und der Kontraktion der Wert von b berechnen, welcher gestattet, die Gröfse der Bearbeitung, welche der Stoff erfahren, zu schätzen.

4.    Die Gröfse von b kann gleichfalls zur Beurteilung der Eigenschaften des Stoffes heran-^ gezogen werden.

5.    Der Wert von b kann zur Erkennung, also auch zur Abstellung von Fehlern in der Herstellung der Eisenmaterialien dienen.³)

Durch mechanische Bearbeitung des Flufseisens, mit welcher eine Formveränderung verbunden ist, also durch Schmieden, Walzen u. s. w. werden die Festigkeitseigenschaften in hohem Grade beeinflufst. Die Gröfse dieses Einflusses ist jedoch von der Temperatur, in welcher die Bearbeitung stattfindet, abhängig.

Die Bearbeitung (Schmieden, Walzen u. s. w.) bei Rotglut erhöht die Festigkeit, ohne dafs die Zähigkeit merklich vermindert würde. Dagegen bewirkt die Bearbeitung in gewöhnlicher Temperatur eine Steigerung der Festigkeit und der Elasticitätsgrenze, jedoch zugleich eine Erniedrigung der Zähigkeit. Je gröfser die ursprüngliche Festigkeit des Flufseisens war, desto deutlicher zeigt sich dieser Einflufs der Bearbeitung im kalten Zustande. Durch Erhitzen auf Rotglut des durch Bearbeitung im kalten Zustande fester, härter und spröder gewordenen Eisens lassen sich dessen Festigkeitseigenschaften annähernd wieder auf das ursprüngliche Mafs zurückführen (Ledebur).

Zwei gleiche Gegenstände aus demselben Eisen gefertigt, können ein wesentlich abweichendes Verhalten zeigen, je nachdem die Herstellung in höherer oder niedrigerer Temperatur stattfand. So werden z. B. die Festigkeitseigenschaften von Walzstücken Abweichungen zeigen, je nachdem dieselben im rotwarmen oder bereits im abgekühlten Zustande die Walzen verlassen haben.

Eine ähnliche Beeinflussung der Festigkeitscigcnschaften, wie durch Bearbeitung im kalten Zustande, übt auch das plötzliche Ablöschen im glühenden Zustande aus ; auch in diesem Falle wird diese Wirkung durch nachfolgendes Ausglühen wieder aufgehoben.

Rachstehende Zusammenstellung Weddings von Versuchsergebnissen mit Peiner Thomaseisen⁸⁰) lassen den Einflufs der Bearbeitungen bei verschiedenen Temperaturen des Ablöschens und Ausglühens erkennen.

Zustand

°/o

Streckgrenze

kg/qmm

Zugfestigkeit

kg/qmm

Längen

ausdehnung

Querschnitts-

Verminderung

Vom Walzwerke kommend.......

Im Anlieferungszustande geglüht.....

In Rotglut auf 60°/o des ursprünglichen Querschnittes ausgeschmiedet.......

Blauwarm auf 55°/o des ursprünglichen Querschnittes ausgeschmiedet...... .

Rach dem blauwarmen Ausschmieden geglüht . Kalt auf 66°/o des ursprünglichen Querschnittes

ausgeschmiedet...........

Rach dem kalten Ausschmieden geglüht .    .    .

Aus Rotglut abgelöscht.........

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ganzen Querschnitte erfolgt. Quer zur Walz-

Einflufs von Verletzungen der Oberfläche. . Flufseisen, insbesondere härteres Flufseisen, zeigt sich gegen äufsere Verletzungen oft sehr empfindlich. Stäbe, gleichen Materiales und gleichen Querschnittes, die im kalten, unverletzten Zustande sich vollständig zusammenbiegen und flach niederschmieden lassen, ohne die Spur eines Risses aufzuweisen, erleiden durch eine leichte, durch Meifselhiebe erzeugte Einkerbung grofse Einbufse an ihrer ursprünglichen Zähigkeit, indem ein so verletzter Stab, derart gebogen, dafs die Verletzung auf der Zugseite liegt, schon bei weit geringeren Biegungen bricht, wobei oft der Bruch ⁴

richtung gebogen, ergiebt sich diese Empfindlichkeit meist in noch höherem Grade. Besonders bemerkbar wird der Einflufs solcher Verletzungen dann, wenn das Abbiegen der Stäbe stofs'weise, durch Hammerschläge erfolgt.

Unbeabsichtigte Verletzungen, hervorgebracht durch die Schärfe des Schelloisens beim Nieten, bewirkten in einigen zur Beobachtung gelangten Fällen eine örtliche Härtung des Stoffes : die in solche Stellen gefallene Bruchfläche zeigte teils deutlich die örtliche Härtung durch körniges, stahlartiges Gefüge und ebene, nicht eingeschnürte Fläche, während der übrige Teil der Bruchfläche mildes Gefüge, starke Einschnürung und die zähem Materiale eigentümlichen Furchenbildungen besafs.

Einflufs des Lochens. Das Durchlochen des Eisens mittels eines Stempels bewirkt eine Härtung der Lochränder und zwar insbesondere an der Austrittsstelle des Lochstempels. Stäbe und Platten, welche in ihrer Mitte eine gestanzte Lochreihe erhalten und dann so gebogen werden, dafs die Austrittstellen des Lochstempels auf der Zugseite liegen, zeigen bei noch verhältnismäfsig kleinen Biegungswinkeln schon das Auftreten von Rissen, welche von den Löchern aus nach verschiedenen Richtungen sich entwickeln und bei fortgesetzter Biegung zu vollständigem Aufplatzen der Lochränder führen.

Bruchversuche an zusammengesetzten, genieteten Trägern haben den sehr schädlichen Einflufs des Lochens der Nietlöcher mittels Durchstauzens auf das Yerhalten solcher Träger erwiesen.

Bei den vom österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereine im Jahre 1889 durchgeführten Versuchen wurden auch Parallelversuche zum Studium des Einflusses dieser Abarbeitung angestellt. Zwei Trägerpaare von durchaus gleichen Abmessungen, aus Material derselben Herkunft (Martin-Flufs-eisen) und nahezu gleicher Festigkeit wurden so hergestellt, dafs das eine gebohrte Nietlöcher erhielt, während bei dem anderen die Nietlöcher gestanzt und nur auf das Notwendigste nachgerieben wurden. Beide Trägerpaare (Fachwerksträger von 10,0 m Stützweite und 1,2 m Höhe) wurden stufenweise gesteigerten Belastungen unterworfen und zum Bruche gebracht.

Die Zugfestigkeit des Martin-Flufseisens dieser Träger betrug durchschnittlich 3,8 t/qcm. Der Bruch des ersteren trat bei einer rechnungsmäfsigen Spannung von 3,3 t/qcm, jene des zweiten bei einer solchen von 2,8 t/qcm ein, sodafs dieses gegen das erstere um etwa 18% zurückblieb. Noch gröfser war jedoch der Unterschied in der Gröfse der Widerstandsarbeit beider Träger: Während die Widerstandsarbeit der plastischen Formänderung der ersten Träger 277,o cmt betrug, erreichte jene der letzteren den Wert von 140,8 cmt, also fast nur die Hälfte des ersteren. Dazu ist zu bemerken, dafs der Baustoff ausgezeichnete Festigkeitseigenschaften besafs und zwar bei einer mittleren Festigkeit von 3,8 t/qcm eine durchschnittliche Bruchdehnung von 27,6% auf 200 mm. Gelegentlich einer zweiten Versuchsreihe, welche seitens desselben Vereines im Jahre 1897 durchgeführt worden ist, wurden an genieteten Fachwerksträgern aus Thomas-Flufseisen von gleicher Konstruktion, wie bei den früheren Versuchen, Biege- und ßruchversuche vorgenommen. Auch diesmal wurde der Einflufs der An-arbeitung an einem Trägerpaare untersucht, welches gestanzte Nietlöcher erhielt. Bei diesem Trägerpaare wurden die nachfolgenden Ergebnisse erhoben.

Die Festigkeit des ursprünglichen Materiales betrug 3,97 bis 4,4 t/qcm.

Bei einer Belastung, welche der rechnungsmäfsigen Spannung von 2,4 t/qcm entsprach, erschienen bereits die ersten, von den Nietlöchern ausgehenden Anrisse, welche bei Erhöhung der Spannung auf 2,6 t/qcm zu einem vollständigen Durchreifsen des betreffenden Teiles führten. Die Gröfse der plastischen Formänderungsarbeit der Träger betrug in diesem Falle nur 55,8 cmt.

Da die Gröfse der plastischen Formänderungsarbeit einen Mafsstab für den Widerstand der Träger gegen lebendige Kräfte und Stofswirkungen bietet, so ist aus dem Vorigen ersichtlich, dafs das Lochen an und für sich durch Herabsetzung dieses Widerstandes gerade nach dieser Richtung hin die nachteiligste Wirkung auszuüben vermag.

Es ist bekannt und durch zahlreiche Versuche erhärtet, dafs das Ausreiben oder Nachbohren der gestanzten Nietlöcher, wodurch das Material der Nietwände auf 1 bis 2 mm Breite entfernt wird, die schädliche Wirkung des Lochens beseitigt. Trotzdem

ist es z. B. in Österreich Vorschrift, dafs bei Verwendung von Flufseisen zu Brückenkonstruktionen die Herstellung der Nietlöcher nur durch Ausbohren geschehen darf.

Der Einflufs der Temperatur bei der Bearbeitung des Baustoffes wurde bereits insofern besprochen, als festgestellt wurde, dafs durch die Bearbeitung bei Kotglut keine Schädigung, vielleicht eher eine Verbesserung desselben bewirkt werde, dafs die Bearbeitung (Schmieden, Walzen u. dergl.) in gewöhnlicher Temperatur eine Erhöhung der Festigkeit, dagegen eine Verminderung der Dehnbarkeit zur Folge hat und dafs nachträgliches Ausglühen die durch Bearbeitungen hervorgebrachten Festigkeitsänderungen diese wieder nahezu auf den ursprünglichen Zustand zurückbringen läfst.

Von gröfstem und nachteiligstem Einflüsse auf die Festigkeitseigenschaften des Flufseisons ist jedoch dessen Bearbeitung bei Gelb- bis Blauwärme, d. i. bei Temperaturen, bei welchen blank poliertes Eisen die Anlauffarben von gelb bis dunkelblau annimmt.

Flufseisenstäbe, welche innerhalb dieser Temperaturen bearbeitet werden, zeigen nach dem Erkalten hohe Sprödigkeit und brachen, nach Verletzung der Oberfläche durch eine eingehobelte, etwa 1 mm tiefe Kerbe, bei dem Versuche, sie zu biegen, sofort wie Glas ab.

Es scheint, dafs die Gelbwärme von noch schädlicherem Einflüsse sei als die Blauwärme. Dieser Einflufs macht sich jedoch sowohl auf Flufs- als auf Schweifseisen geltend.⁵)

Ähnlich der Wirkung von Bearbeitungen in Blauwärme ist für das Flufseisen der Einflufs sehr niederer Temperaturen. Stäbe, welche durch Einlegen in feste Kohlensäure gekühlt worden waren, wobei — 60° C. gemessen wurde, zeigten sich aufserordent-lich spröde. Im verletzten Zustande ertrugen diese Stäbe keine merkliche Biegung und sprangen hierbei wie Glas entzwei.⁶)

Einflufs der Nietung. Das im glühenden Zustande eingebrachte, gestauchte und fertig geschlagene Niet giebt seine Wärme an die Umgebung ab, wodurch diese sehr leicht die gefährliche Temperatur der Gelb- oder Blauwärme annchmen kann. Erfolgt das Nieten mit Maschinen, wo unter ruhigem Drucke das Niet rasch fertig-gesetzt wird, so ist ein schädlicher Einflufs dieses Verfahrens nicht zu befürchten ; beim Nieten von Hand jedoch können die Schläge des Vorschlaghammers auf das Schelleisen bei der Kopfbildung auf die Umgebung des Nietes leichthin die Wirkung einer Bearbeitung bei kritischer Temperatur ausüben und hierdurch schädlich werden. Dies gilt auch ganz besonders von Fehlschlägen. Aufser diesem ist Gefahr vorhanden, dafs durch die Schärfe des Schelleisens Verletzungen der Eisenoberfläche nächst dem Nietkopfe entstehen, auf deren Schädlichkeit bereits oben hingewiesen worden ist.

Es ist daher bei Flufseisenkonstruktionen die Herstellung der Nieten mittels Maschinen soweit als möglich anzustreben.

Da der Einflufs kalter Bearbeitung und äufserlicher Verletzungen auf das Flufseisen um so gröfser ist, je härter der Stoff, bezw. je höher seine Festigkeit ist, so ist es angezeigt, die äufserste Grenze der noch zulässigen Festigkeit — die höchste Festigkeitsziffer — vorzuschreiben und zwar um so mehr, als die letzten Versuche des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins vom Jahre 1897 unzweifelhaft erwiesen haben, dafs Thomas-Flufseisen von höherer Festigkeit als etwa 4,3 t/qcm für Brückenkonstruktionen gewöhnlicher Anarbeitung nicht die Gewähr der erforderlichen Zuverlässigkeit bietet, während das aus gleichem Herstellungsverfahren hervorgegangene Material, dessen Festigkeit jedoch nur 3,5 bis 4,3 t/qcm betrug, allen Ansprüchen, die an ein gutes Konstruktionsmaterial gestellt werden können, vorzüglich Genüge geleistet hat.

Träger aus Martin-Flufseisen haben auch bei höherer Materialfestigkeit (4,5 bis 4,85 t/qcm) ein sehr gutes Verhalten gezeigt und keinen Anlafs gegeben, derartiges Material von der Verwendung zu Brückenbauten auszuschliefson. Trotzdem wird in Österreich das Martin-Material nur bis zur Höchstfestigkeit von 4,5 t/qcm zu Brückenkonstruktionen zugelasscn.

Die Festigkeitsverhältnisse des Materiales der wiederholt erwähnten Wiener Versuche vom Jahre 1889, erhoben an Stäben, welche aus verschiedenen Orten der gebrochenen Fachwerksträger entnommen wurden, sind in den nachstehenden Zusammenstellungen gegeben:

Herkunft des Stoffes und Ort des entnommenen Probestabes

Elasticitäts

grenze

Elasticitätsziffer

Zugfestigkeit

Bruchdehnung auf 200 mm

t/qcm

t/qcm

t/qcm

Martin-Flufseisen von Kladno-Teplitz:

Stehblech vom Trägerende.....

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1990

1950

2000

2000

2000

2070

2090

1920

1970

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2080

2030

1950

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1920

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17,0

31,5

28,3

(Die vorstehenden Ergebnisse wurden zum Teil von Prof. Jenny, zum Teil von Prot. Bock

ermittelt.)

Hiernach lagen die Festigkeitszahlen des ursprünglichen Stoffes dieser Versuchsträger zwischen 3,5 bis 4,85 t/qcm, die Elasticitätsziftern zwischen 1920 bis 2090 t/qcm, waren im Mittel 2013 t/qcm. Die Ziffern der Elasticitätsgrenzen eines und desselben Stoffes zeigen, insbesondere bei höherer Festigkeit, den Einflufs der überstandenen grofsen Anstrengungen durch eine oft beträchtliche Erhöhung; so z. B. bei dem Witkowi tzer Martin-Flufseisen, wo die ursprüngliche Elasticitätsgrenze im Mittel von 1,94 t/qcm auf 2,65 t/qcm, d. i. um 36°/o gehoben erscheint.

Die Festigkeit und die Elasticitätsziffer zeigten sich durch die hohen Anstrengungen kaum merklich beeintiufst. Das Verhältnis der Elasticitätsgrenze zur ursprünglichen Festigkeit betrug 0,4 bis 0,57, im Mittel 0,45.

Bei den Wiener Versuchen vom Jahre 1897 mit Fachwerksträgern aus Thomas-Flufseisen wurden die folgenden FestigkeitsVerhältnisse verschiedener Konstruktionsteile von Prof. Böck erhoben.

Herkunft des Stoffes, Satznummer, Ort des entnommenen Probestabes

Elasticitäts

grenze

Elasticitäts

ziffer

Streck

grenze

Zug

festigkeit

Bruchdehnung auf 150 mm

Kontraktion

t/qcm

t/qcm

t/qcm

Oqcm

°/o

°/o

Teplitz. Ch.-No. 32282:

Steliblech am Druckgurt im mittleren

Fache IT.......

Stehblech am Zuggurt nahe der

Bruchstelle IT......

Kladno. Ch.-No. 84133:

Stehblech am Druckgurt im mittleren

Fache II K........

Desgl. II K........

Steliblech am Zuggurt nahe der

Bruchstelle II K......

Kladno. Ch.-No. 84157:

Stehblech am Druckgurt im mittleren

Fache III K.......

Desgl. III K.......

Stchblech am Zuggurt nahe der

Bruchstelle III K......

Zugdiagonale im Mittel fache des

Trägers II K.......

Zugdiagonale im Mittelfache des

Trägers III K.......

Kladno. Ch.-No. 84158:

Gurtwinkel am Zuggurt in Trägermitte IIK........

Winkel der Druckdiagonalen im mittleren Fache II K ....

Stehblech IV K ......    .

Kladno. Ch.-No. 84137:

Druckdiagonale im Mittelfache III K Kladno. Ch.-No. 84173:

Gurtwinkel des Zuggurtes in Trägermitte III K........

Teplitz. Ch.-No. 32322:

Gurtwinkel des Zuggurtes in Trägermitte IT........

Teplitz. Ch.-No. 32316:

Zugdiagonale im Mittelfache I T . Druckdiagonale, L'Eisen im Mittelfache IT........

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2072

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Von den in Überlängen angelieferten Walzstücken wurden Stäbe zur Vornahme von technologischen Proben geschnitten und wurden an diesen auch im verletzten Zustande die gewöhnlichen Biegeversuche angestellt. Aus letzteren Stäben wurden zur Prüfung der ursprünglichen Festigkeit nach mäfsigem Ausglühen bei Kotglut noch Stäbe für die Festigkeitsversuche hergestellt, welche von Prof. Kirsch durchgeführt, die folgenden Ergebnisse lieferten:

Herkunft des Stoffes, Satznummer, Konstruktionselement

Elasticitäts- Elasticitäts-ziffer t/qcm

grenze

t/qcm

Streck

grenze

t'qcm

Zug

festigkeit

t/qcm

Bruch

dehnung

Kontraktion

o/o

o/₀

Teplitz. Ch.-No. 32282:

Stehblech .... Kladno. Ch.-No. 84133:

Stehblech .... Kladno. Ch.-No. 84157: Stehblech .... Zugband .... Kladno. Ch.-No. 84158: Stehblech .... Zugband .... Winkeleisen .    .    .

Kladno. Ch.-No. 84137;

Stehblech .... Kladno. Ch.-No. 84173:

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1865

2035

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3,94    28,7.    71

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Aus dem Vergleiche der Zahlen für Stücke aus ein und demselben Satze fällt sofort in die Augen, dafs namentlich die Elasticitätszilfer des geglühten Stoffes niedriger, die Bruchdehnungen und Kontraktionen höher geworden sind. Die Festigkeitszahlen des geglühten Stoffes lagen zwischen 3,74 und 4,57 t/qcm, jene des ungeglühten zwischen 3,5 bis 4,9 t/qcm. Die Elasticitätszilfer des geglühten Stoffes war im Mittel 1986 t/qcm, jene des ungeglühten Trägerbaustoffes 2159 t/qcm. Yerliältnismäfsig gering zeigte sich dieser Einflufs auf die Höhe der Streckgrenze und der Festigkeit.

Herkunft, Satznummer, Profilnummer und Ort

Elasticitäts- Elasticitäts-ziffer t/qcm

grenze

t/qcm

Streck

grenze

t/qcm

Zug

festigkeit

t/qcm

Bruch-    Ein_

dehnung    ..

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Kladno. Ch.-No. 84157: I No. 16:

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28,5

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Kladno. Ch.-No. 84132: 1 No. 18:

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Kladno (ohne Ch.-No. vom Stapelplatz entnommen) :

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O QO ^ »O

l m über die Festigkeitsverhältnisse des Materiales in verschiedenen Orten gewalzter I-Träger aus Thomas-Flufseisen Aufschlufs zu erhalten, ^ wurden Probestäbe aus den in Fig. 23 bezeichneten Orten von I-Trägern Ko. 16 u. 18 geschnitten und von Prof. Bock untersucht. Die Ergebnisse sind in der Tabelle auf S. 92 zusammengestellt.

Fig-. 23.

Nach Prof. Tetmajer⁵⁸) sollte zu Konstruktionszwecken nur solches Flufseisen verwendet werden, dessen Kohlenstoffgehalt unter 0,15%, dessen Phosphor-, Silicium- und Schwefelgehalt unter jo 0,1% liegt. Insbesondere für Kesselbleche soll die Zugfestigkeit von 3,6 bis 4,6 t f. d. qcm und die kleinste Qualitätsziffer (vergl. S. 77) c = 0,9 tcm, für die Querrichtung bei gleicher Festigkeit die Qualitätsziffer & — 0,8 tcm betragen. Bei dem zur Herstellung von Querschwellen, Trägern u. s. w. auf den Werken der Gebr. Stumm zu Xeunkirchen verwendeten Thomas-Flufseisen schwanken die chemische Zusammensetzung und die mafs-gebenden Festigkeitsverhältnisse innerhalb folgender Grenzen:

. 0,06—0,10%

. 0,01—0,05,,

. 0,06—0,10 „

.    0,03—0,04%

. 0,35—0,50 „

3,8—4,4 t f. d. qcm

22—30% bei 20 cm Länge

40—60%.

Kohlenstoff......

Silicium.......

Phosphor......

Schwefel.......

Mangan.......

Zugfestigkeit.....

Dehnung nach Bruch .    .

Kontraktion......

Die Versuche Tetmajer’s zur Qualitätsbestimmung dieses Stoffes wurden unter anderem auch mit Probestäben, die aus gewalzten I-Trägern geschnitten worden sind, durchgeführt. Die Ergebnisse dieser Versuche, in Mittelwerten, sind die folgenden:

Ort der Entnahme der Proben .

Anzahl der ausgeführten Proben

Elasticitätsziffer......

Spannung an der Elasticitätsgreze Spannung an der Streckgrenze .

Zugfestigkeit.......

Spezifische Formänderungsarbeit (bezogen auf 1 ccm)

Dehnung vor dem Bruch bei 10 cm......

90

rt    n n » v    »......

. Flantsch

Steg

30

30

2110,9

2,31

2,80

4,24

1,27

2099,9 t f. d. qcm

2,51

3,21

4,69

tcm

Kontraktion

* CO 05

Zum Vergleiche mit Schweifseisen dienen die folgenden Versuchsex’gebmsse letnxajer’s:

Ort der Entnahme der Pi-oben........

Anzahl der ausgeführten Proben.......

Elasticitätszilfer.............

Spannung an der Elasticitätsgrenze......

Spannung an der Streckgrenze........

Zugfestigkeit..............

Spezifische Formänderungsarbeit (bezogen auf 1 ccm) Dehnung vor dem Bruch bei 10 cm......

n 20    „......

Flantsch

30

2035,1

Steg

30

2053,1 t f. d. qcm

1,39

2,36

Kontraktion

25,7°/o 22,3 „ 32,7 „

3,46,    „

0,36 tcm

11,8%

10,7 „

16,2 „

Weitere Proben mit ganzen I-Trägern gegen Biegung und Stole ergaben, dals sowohl für Flufs-als für Schweifseisen mit zunehmender Trägerhöhe die Elasticitätsziffer, die Elastieitätsgrenze und die Spannung bei der gröfsten Tragkraft abnehmen.

So entsprach den verschiedenen Nummern der deutschen Normalprofile von No. 10 bis No. 24 in Flufseisen eine Abnahme der Elasticitätsziffer von 2100 f. d. qcm bis auf 1670 t f. d. qcm und bei Schweifseisen von 1940 bis auf 1650 t f. d. qcm. Die Elastieitätsgrenze der Flufseisenträger sank von 2500 bis auf 2000 kg, die des Schweifseisens von 1600 auf 1400 kg f. d. qcm herab.

Diese auffallenden Ergebnisse hinsichtlich der Erniedrigung der Elasticitätsziffer mit zunehmender Trägerhöhe werden von C. Bach (Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1888, S. 223) damit zu erklären gesucht, dafs bei der Berechnung der Elasticitätsziffer aus der Durchbiegungsgröfse der Einflufs der Schubkraft aufser Acht gelassen worden sei, wodurch z. B. bei Profil No. 24 ein Fehler von 34°/o entstehe, wie in der angegebenen Quelle rechnerisch ermittelt wurde.

Hinsichtlich der Widerstandsfähigkeit gegen Stofs folgert Tetmajer, dafs

1.    das Thomas-Flufseisen die dynamischen Belastungen, insbesondere zufällige Stofswirkungen, mit mindestens gleicher Zuverlässigkeit als das Schweifseisen aufzunehmen und zu übertragen vermag;

2.    dafs kleine, zufällige Beschädigungen, Fehler u. s. w. beim reinen weichen Thomas-Eisen bezüglich Sicherheit einer Konstruktion keine gröfsere Gefahr als beim Schweifseisen nach sich ziehen.

Als Ergebnisse der Versuche über den Einflufs der Lochung auf die Festigkeit des Flufseisens fand Tetmajer Folgendes:

1.    Durch Stanzen des Flufseisens wrird dessen ursprüngliche Zugfestigkeit abgemindert. Diese^ Abminderung kann etwa 30°/o der ursprünglichen Festigkeit betragen.

2.    Auf Grundlage der übereinstimmenden Brucherscheinungen kann als feststehend angesehen

werden, dafs durch Stanzen das Flufseisen am Lochumfange komprimiert, somit spröde wird, daher es auch hier reifsen mufs, bevor die durchschnittliche Zugfestigkeit des Materiales erreicht ist.    ,

3.    Durch Ausglühen des gestanzten Flufseisens oder durch gleichmäfsiges Ausreiben der gestanzten Löcher um 1 mm wird die ursprüngliche Festigkeit des Stoffes wieder hergestellt.

4.    Durch Bohren wird die Festigkeit des Thomas-Flufseisens nicht verändert.

Gollner’s Untersuchungen ergaben für das weiche Flufseisen das Mafs der Zähigkeit (vergl. S. 79)

Da°/o = 20 bis 24 und jenes der Gleichartigkeit mit IP jo = 14 bis 20, als wenig veränderliche Gröfsen. Die gröfste Zähigkeit ergab das Flufseisen mit „mildem-feinsehnigen“, den geringsten Wert solches mit „inildem-scliwachsehnigen“ Gefüge. Für die am häufigsten zur Untersuchung gelangte Sorte mit „gleich-mäfsig-mildem“ Gefüge ergab sich:

■ Da°/o = 21;

D°/o = 16.

Im Vergleiche mit Schweifseisen zeigen beide Materialien sonach ein gleiches Mafs von Zähigkeit, dagegen würde dem Schweifseisen ein höherer Grad von Gleichartigkeit zukommen.

Für Flufseisen findet Gollner die Beziehungen:

C — — 22,8 + 3,4 Da,

D« = 6,02 + 0,307 C und Da = — 7,98 + 0,0061 JP.

Den Einflufs des Gefüges auf die Festigkeit und Zähigkeit zeigt die nachstehende Tabelle:

A4

Am l °/o

C"j o

Gefüge

4000

4200

4400

4600

4800

5000

5100

5200

17

18

19

20

21

23

23

24

35

38

42

45

49

55

55

59

Milde-feinsehnig.

Milde-schwachsehnig.

Gleichmäfsig-feinkörnig.

§ 19. Der Fluisstalil. Der Stahl besitzt ein spezifisches Gewicht, zwischen

7,5 bis 8,0, das abhängig ist von ungehärtetem Stahl ist

es

Die Farbe ist weifsgrau bis weifs mit mattem Das Gefüge ist feinkörnig; der Härtegrad beeinfiufst dasselbe in hohem Grade. Je härter der Stahl, desto feiner und dichter ist das Gefüge im Bruche und lichter erscheint die Farbe, während sich der Glanz vermindert. Steigender Temperatur ausgesetzt nimmt der Stahl die folgenden Anlauffarben

dem Härtegrade und clem Kohlenstoffgehalt. Bei gröfser als bei gehärtetem. Bei Gewichtsberechnungen ist dasselbe, wie dasjenige des Flufseisens, gleich 7,85 anzunehmen. Der Kohlenstoffgehalt des Stahles liegt zwischen 0,5 und 1,5%.

Schimmer.

um so

an :

bei 220° C. blafsgelb,

„ 230° 0. strohgelb,

„ 265° C. purpurfleckig,

,, 277° C. purpurfarbig,

Das Schmelzen erfolgt zwischen 1700° bis 1900° C. Das bezeichnende Merkmal des Stahles

bei 288° C. hellblau,

„ 293° C. dunkelblau,

„ 316° 0. schwarzblau.

die Härtbarkeit

ist hauptsächlich von dem Kohlenstoffgehalte abhängig und der Härtegrad selbst ist mitbedingt durch die Gröfse des plötzlichen Temperaturunterschiedes, der bei der Härtung zur Anwendung kam.

Den Vorgang beim Härten des Stahles erklärt Ledebur⁷) folgendermafsen:

Der Einflufs des Kohlenstoffes auf den Härtegrad dos Eisens ist verschieden, je nach dem besonderen Zustande des Kohlenstoffes. Im hellrot glühenden Eisen ist aller Kohlenstoff gleichmäfsig mit dem Eisen vereinigt (gelöst, legiert). Kühlt man solches Eisen plötzlich ab, indem man es in kaltes Wasser taucht, so verharrt die gröfste Menge des Kohlenstoffes in jener legierten oder gebundenen Form und macht das Eisen hart, weshalb diese Form des Kohlenstoffes als Härtungskohle bezeichnet wird. Der Härtegrad des Eisens wächst im allgemeinen mit dem Gehalte an Härtungskohle. Läfst man dagegen das Eisen in gewöhnlicher Weise, also langsam abkühlen, so findet in einer Temperatur von 700° und 600° C. ein Zerfallen der erwähnten Eisenkohlenstofflegierung statt. Neben einer koldenstoffärmeren Grundmasse bildet sich, in feinster Verteilung innerhalb jener Grundmasse zurückbleibend, eine Eisenkohlenstofflegierung mit ungefähr 7% Kohle.

Je vollständiger jenes Zerfallen stattfindet, also je langsamer die Abkühlung vor sich geht, desto koldenstoff ärmer ist die Grundmasse und desto weicher das Eisen. Boi kohlenstoffarmen Eisen kann der Unterschied in seinem Gehalte an Härtungskohle bei rascher und langsamer Abkühlung nicht bedeutend sein und dementsprechend wird auch die Steigerung, welche der Härtegrad des Eisens durch das Ablöschen erfährt, um so weniger deutlich sich bemerkbar machen, je niedriger der Gesamtkohlenstoff des Eisens ist.

Erwärmt man den durch Ablöschen in Wasser hart gewordenen Stahl, so beginnt schon bei einer Temperatur von ungefähr 200° C. ein allmähliches Zerfallen der die Härtungskohle enthaltenden Eisenkohlenstofflegierung. Je länger die Erwärmung dauert und je höher die Temperatur dabei ist, desto ärmer an Härtungskohle wird die Grundmasse, desto weicher der Stahl. Da der Übergang des Kohlenstoffes in Form der Härtungskohle erst bei Temperaturen von mehr als 600° C. stattfinden kann, so findet eine erneute Härtung in denjenigen Fällen nicht statt, wo man den gehärteten und

gelinde angewärmten Stahl nach Erreichung einer bestimmten Temperatur in Wasser taucht, um eine durch längeres Warmbleiben zu weit gehende Härteverminderung zu vermeiden. Das Verfahren, den Härtegrad des gehärteten Stahles durch mäfsiges Erwärmen abzumindern, nennt man das „Anlassen“.

Während bei uns sowohl bei geschweifstem Eisen, als auch beim Flufseisen zwischen Schmiedeisen und Stahl dermafsen unterschieden wird, dafs jenes Eisen als Stahl bezeichnet wird, welches eine merkliche Härtung annimmt, pflegt man in Frankreich und England alles Flufseisen schlechtweg als Stahl zu benennen. Es ist zweifellos, dafs es mitunter recht schwierig sein dürfte, die scharfe Grenze zwischen Schmiedeisen und Stahl zu ziehen. Résal⁸) führt zwei in Creusot von Barba und Werth ausgeführte Versuche an, bei welchen Flufseisen (acier doux) und Schweifseisen eine bedeutende Härtung dadurch erfuhren, dafs dieselben bei Kirschrotglut (1000°) im Eis von — 15° abgekühlt wurden.

Die Ergebnisse dieser Versuche enthält nachstehende Tabelle:

Material

Chemische Zusammensetzung

C i Si

Mn

Zug

festigkeit

Bruch

dehnung

kg/qmm

Flufseisen .    .

0,16

0,09 I 0,38

0,02

0,05

45

30

117

10,5

Schweifseisen .

0,12

0,06 j 0,09

0,015

0,02

44

27

98,5

Im natürlichen Zustande, gehärtet in Eis.

Im natürlichen Zustande, gehärtet in Eis.

Nachdem die Erzeugung von Schweifsstahl in der Gegenwart ohne Interesse sei, ist es nach lté sal’s Ansicht genügend, das Eisenmaterial nach der Herstellungsart zu unterscheiden und daher zu erklären :

Eisen, als jenes Material, welches erhalten wird aus dem teigigen Zustand im Puddelofen, enthaltend 0,05 oder 0,08 bis 0,15°/o Kohlenstoff (ausnahmsweise 0,15 bis 0,3 für Sehienenmaterial) und

Stahl, als jenes Material, welches nach verschiedener Erzeugungsart im geschmolzenen Zustande hergestellt wird und einen Gehalt von 0,10 bis l°/o Kohlenstoff (ausnahmsweise l,5°/o für gewisse Zwecke) besitzt.

Je nach dem Kohlenstoffgehalte, dem Grade der Härtbarkeit wird der Stahl weiter unterschieden und bezeichnet als „besonders weich“ (extra-doux), „weich“, „halbweich“, „halbhart“, „hart“, „besonders hart“ (extra-dur).

Hinsichtlich der Bezeichnung der Herstellungsart kann unterschieden werden : Bessemer-, Thomas-, Martin- und Tiegelflufsstahl.

Der Tiegelflufsstahl wird aus den besten Rohstoffen, meistens aus Herdfrischoder Puddelstahl, bester Tiegelstahl, zur Erzeugung feiner Werkzeuge u. s. w. aus Cementstahlstäben durch Schmelzen in Tiegeln von 10 bis 35 kg Einsatz dargestellt. Tiegelstahl ist der in jeder Hinsicht beste, gleichartigste und vollkommenste, jedenfalls der edelste Stahl.

Jeder Flufsstahl ist mehr oder minder blasenhaltig. Tiegelstahl besitzt diesen Fehler im geringsten Grade. Die empfindlichste Stahlprobe auf Gleichartigkeit ist die sogenannte „Blauprobe“, d. i. die Bruchprobe bei Blauwärme. Während z. B. Bessemerstahl bei einer derartigen Probe eine unebene Bruchfläche mit gröfseren Vertiefungen neben gestreckten Hervorragungen auf wies und dadurch seine Ungleichartigkeit offenbarte, zeigte Tiegelstahl eine ebene Bruchfläche mit gleichmäfsig feinem Korn u. s. w.

technikum.

Die den Stahl überhaupt kennzeichnenden Eigenschaften des „Härtens“ und des „Anlassens“, vermöge welcher demselben Stoffe, je nach Erfordernis, Glashärte oder fischbeinartige Biegsamkeit und Elasticität gegeben werden kann, ist in besonders hohem Mafse dem Tiegelstahle eigen.

Fremde Beimengungen, die* mechanische Behandlung und Temperatureinflüsse üben auf die Eigenschaften des Stahles hervorragenden Einflufs aus.

Es erzeugen insbesondere :

Phosphor: Kaltbruch. Derselbe erhöht jedoch die Schweifsbarkeit.

Schwefel und Kupfer: Kotbruch. Ein Gehalt von 0,01% Schwefel ist hinreichend, den Stahl rotbrüchig zu machen; das Kupfer ist eine den Stahl aufserordentlich schädigende Beimengung, da, nach Eggertz, ein aus 0,5% Kupfer haltendem Schmiedeisen erzeugter Stahl völlig unbrauchbar war.

Die Festigkeit und Elasticität des Stahles wird gleichfalls durch fremde Beimengungen beeinflufst. Der bis zu einer gewissen Grenze zunehmende Kohlenstoff-gehalt erhöht die Festigkeit und die Elasticitätsgrenze.

Styffe findet für Bessemer-Stahl und Uchatius-Stahl die Höchstfestigkeit gegen Zug bei 1,2% Kohlenstoffgehalt. Nimmt dieser Gehalt über diese Grenze hinaus zu, so vermindert sich die Festigkeit.

Nach Karsten ist der Stahl mit 1,0 bis 1,5% am besten härtbar und besitzt die gröfste Festigkeit; mit darüber hinaus zunehmendem Kohlenstoffgehalt kann der Stahl noch gröfsere Härtegrade annehmen, verliert aber an Festigkeit. Bei Gehalt an 1,75% biifst er bereits die Schweifsbarkeit ein.

Nach Bauschinger’s Versuchen mit Ternitzer Bessemer-Stahl ergab sich die Festigkeit mit dem Kohlenstoffgehalt wachsend. In ähnlichem Verhältnisse wuchs auch die Elasticitätsgrenze. Weyrauch drückt auf Grund dieser Versuchsresultate den Einflufs des Kohlenstoffgehaltes auf die Zugfestigkeit durch die Beziehung: # = 4350 (1 -f- p-) aus, wo p den Prozentsatz an Kohlenstoff und z die Tragfestigkeit gegen Zug bedeutet.

Phosphor erhöht die Festigkeit und Elasticitätsgrenze, vermindert dagegen die Widerstandsfähigkeit gegen Stofswirkungen. Ein Gehalt von 0,2 bis 0,25% macht den Stahl bereits unbrauchbar. Silicium vermindert die Festigkeit.

Der Einflufs des Härtens macht sich insbesondere bei den kohlenstoffreichen Sorten bemerklich. Es werden hierdurch die Festigkeit, die Elasticitätsgrenze und die Elasticitäts-ziffer erhöht, dagegen die Zähigkeit verringert.

Einflufs der mechanischen Bearbeitung. Der Stahl wird um so gleichartiger und fester, je öfter er bearbeitet wird. Namentlich übt das Schmieden einen die Festigkeit wesentlich erhöhenden Einflufs auf das Bessemer-Metall aus. Gehämmerter Stahl hat eine gröfsere Festigkeit und eine höhere Elasticitätsgrenze, dagegen eine geringere Dehnbarkeit, als gewalzter Stahl.

Versuche, welche Styffe mit schwedischem Bessemer-Stahl durchführte, um unter Berücksichtigung des Kohlenstoffgehaltes den Einflufs der Bearbeitungsart auf die Festigkeit und Dehnbarkeit klar zu stellen, ergaben nach Eobert Lane Haswell:

Für gehämmerten Bessemer-Stahl:

35 + 45 p

Festigkeit f. d. qcm der ursprünglichen Fläche = (3500 -f- 4500 p) kg, Verhältnis der Bruchfläche zur ursprünglichen Fläche =

Gröfste Dehnung in Hundertein der Länge = 7,5 — 4 p,

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl.

Elasticitätsgrenze 0,67 (3500 -j- 4500 p), Elasticitätsziffer = 2150000 kg f. d. qcm;

für gewalzten Bessemer-Stahl:

Festigkeit f. d. qcm der ursprünglichen Fläche = (3000 -j- 5000 p) kg,

30 + 50 p

110

Verhältnis der Brachfläche zur ursprünglichen Fläche =

Gröfste Dehnung in Hundertein der Länge = 21,5 — 14 p,

Elasticitätsgrenze == 0,53 (3000 -j- 5000 p),

Elasticitätsziffer = 2150000 kg f. d. qcm.

Hierbei bedeutet p den Kohlenstoffgehalt in %.

Hiernach zeigt gehämmerter Bessemer-Stahl gröfserc Festigkeit und eine höher liegende Elasticitätsgrenze, jedoch eine viel geringere Dehnbarkeit als der gewalzte.

Kirkaldy’s Versuche mit Bessemer-Stahl von Fagersta bestätigten dieses Verhalten insoweit, als der Kohlenstoffgehalt niedrig ist (0,15%), während stärker gekohlter Bessemer-Stahl (1%) gehämmert zwar auch höhere Elasticitätsgrenze und geringere Dehnbarkeit, aber abweichend von obigem geringere Bruchfestigkeit ergab, als das gewmlzte Material. Die Festigkeit und die Elasticitätsgrenze zeigten sich um so niedriger, die Dehnbarkeit dagegen um so gröfser, je gröfser der Querschnitt der Versuchsstäbe überhaupt, und bei rechteckigem Querschnitt je geringer der Unterschied der Seiten war. Durch Ausglühen der fertigen Stäbe wurden diese Einflüsse der Querschnittsform verwischt.

Übersichtliche Darstellung der Längenänderung von Eisenstäben bei Zugversuchen durch Schaubilder. Für die Beurteilung des Konstruktionsmateriales ist aufser der Festigkeitsgröfse, der Bruchdehnung und der Quereinschnürung auch die Kenntnis der Elasticitätsziffer, der Elasticitäts- und Streckgrenze von Interesse. Wenn mittels eines rechtwinkeligen Achsenkreuzes die stufenweise gesteigerten Belastungen, welchen ein Versuchsstab unterworfen wird, als Ordinaten und die hervorgebrachten, auf die Längeneinheit bezogenen, Längenänderungen als Abscissen aufgetragen werden, so ergeben die durch einen Linienzug verbundenen Punkte ein Bild, aus welchem mehr oder weniger scharf die Elasticitäts- und die Streckgrenzen ersichtlich werden. Bei Stäben aus Schweifseisen, Flufseisen und Stahl zeigt dieses Schaubild eine von dem Ursprung ausgehende Linie, welche anfänglich gerade und steil ansteigt, dann sehr allmählich von der geraden Richtung abbiegt und in sehr sanfter Krümmung noch eine Strecke lang weiter ansteigt, bis zu einem Punkte, von wro an dieselbe mit einem mehr oder weniger scharfen Knie plötzlich die früher steile Richtung verläfst und von hier an einen flacheren Verlauf nimmt, mitunter (bei weichem Materiale) nochmals auf kurzer Strecke sich steiler erhebt, um sodann in immer sanfter werdenden Steigungen den der Bruchlast entsprechenden Höchstwert zu erreichen (Fig. 24).⁵⁶)

Der Ort der ersten, ganz sanft erfolgenden Abbiegung von der ursprünglichen geraden Richtung entspricht der Elasticitäts- oder Proportionalitätsgrenze, jener der scharf in die Augen fallenden zweiten Abbiegung der Streckgrenze.

Die Proportionalitäts- oder Elasticitätsgrenze entspricht daher der Ordinate des Berührungspunktes der durch den Ursprung gehenden und bis dahin mit der Schaulinie zusammenfallenden Tangente an die Schaulinie. Die trigonometrische Tangente des Steigungswinkels dieser Geraden mit der Abscissenachse entspricht der Elasticitätsziffer.

⁵⁶) ln dem Schaubilde Fig. 24 erscheint der Anfangspunkt desselben etwas oberhalb des Ursprungs, weil die Messungen der Längenänderungen erst nach einer dem Stabe erteilten kleinen Anfangsspannung (0,5 t) begonnen wurden.

Mccßstab der /ängenä/rderurigen^ (4:1)

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Fig. 24.

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O 1    13    4    5

A/a ßstab der pr'oeeiitcceJlerr /* üsigprurn derungen

Die von der Schaulinie, der Abscissenach.se und der letzten, der Bruchbelastung entsprechenden Ordinate begrenzte Fläche giebt ihrem Inhalte nach die Gröfse der Formänderungsarbeit an. "Wenn bei dem Versuche so vorgegangen wird, dafs nach jeder Belastung eine vollständige Entlastung vorgenommen und dabei jedesmal die Längenänderung gemessen wird, so findet sich, dafs bei Belastungen unterhalb der Elasticitätsgrenze die bleibenden Längenänderungen verschwindend klein sind und dafs diese erst nach Überschreitung jener Grenze eine mefsbare Gröfse annehmen, so dafs die Elasticitätsgrenze eigentlich mit dem Beginn der bleibenden Längenänderungen z us am m enf ällt.

Sondert man bei den höheren Belastungen die erhobenen bleibenden Längenänderungen im Schaubilde dermafsen ab, dafs deren Gröfsen von der jeweils erhobenen ganzen Längenänderung in Abzug gebracht werden, so ergiebt sich, dafs die so erhaltenen rein elastischen Längenänderungen sehr nahe in die durch den Ursprung gehende, die Schaulinie am Punkte der Elasticitätsgrenze berührende Gerade fallen’'), sodafs das rein elastische Verhalten von Schweifseisen, Flufseisen und Stahl ganz unabhängig ist von den gesamten Längenveränderungen und von der Gröfse der Belastung; dieses elastische Verhalten ist daher nicht an die Elasticitätsgrenze gebunden, die Elasticität bleibt vielmehr ungeschwächt bis nahe zum Bruche erhalten und es ist daher die Bezeichnung Elasticitätsgrenze unzutreffend, aufser in dem Sinne, dafs -nach Erhöhung der Inanspruchnahme über diese Grenze hinaus mefsbare bleibende Längenänderungen erscheinen.

Die elastischen Längenänderungen sind bis an die Bruchgrenze den Spannungen nahezu proportional, wogegen die bleibenden — besonders nachdem die Streckgrenze überschritten wird — unverhältnismäßig rasch anwachsen.

⁵⁷) Diese Eigenschaft des Schweifs- und Flufseisens wurde anliifslich der Versuche des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins vom Jahre 1889 (Zeitschrift 1891) vom Verfasser nachgewiesen und hei späteren Versuchen bestätigt gefunden (Zeitsehr. d. österr. Ing.- n. Arch.-Ver. 1896).

Trägt man nach dem Erscheinen der bleibenden Längenänderungen diese jedesmal nach Entlastung auf der Abscisscnaehsc auf und h'ifst man dann die Spannungen stufenweise bis zur Gröfsc der vorher erreichten gröfsten Spannung, welcher die letzte Entlastung folgte, ansteigen, so zeigt sich, dafs der Yerlauf dieser Linienzüge fast genau geradlinig geworden ist: die Proportionalitätsgrenze erscheint also bis zu dieser Spannung erhoben. Bei Erhöhung der Spannung zur nächsten Stufe bildet die Schaulinie am vorletzten Punkte eine scharfe Ecke, eine neue Streckgrenze. Die so entstandenen neuen Proportionalitätsgrenzen fallen mit den neuen Streckgrenzen zusammen. Wiederholung der Belastungen bis zu diesen Grenzen zeigen auch die bleibenden Längenänderungen oft ein fast proportionales Zuwachsen. Daraus folgt aber, dafs dann die Gröfsc des Elasticitätsmoduls, oder hier richtiger des Längenänderungsmoduls, sich verringerte und die Elastizitätsgrenze auf Kuli herabsank.

Bei

Da angenommen werden mufs, dafs jedem Materiale ein gewisses Mafs an plastischem, von den bleibenden Längenänderungen herrührenden Arbeitsvermögen zu-kommt, so folgt, dafs jede Anstrengung, deren Gröfse bleibende Längenänderungen hervorzubringen vermag, einen Teil dieses Arbeitsvermögens aufzehren und bei fortgesetzter Wiederholung endlich zur Erschöpfung desselben führen müssen. Zur Beurteilung der Dauerhaftigkeit des Widerstands Vermögens eines Konstruktionsmateriales ist daher dessen plastisches Arbeitsvermögen mafsgebend; die Arbeit der elastischen Formänderung an und für sich ist deshalb ohne Bedeutung, weil diese Arbeit sich stets in voller gesetzmäfsiger Gröfse entwickelt und zwar auch dann noch, wenn nur mehr ein Bruchteil des ursprünglichen plastischen Arbeitsvermögens vorhanden und die Zerstörung nahe bevorstehend ist.

Das plastische Arbeitsvermögen eines Eisenmateriales erscheint daher als die stoffliche Grundlage seines Bestandes, 'dessen unvergängliche Eigenschaft das elastische Arb e i ts vor mögen ist.

Aus der dargelegten Eigenschaft des Schweifs- und Flufseisens, vermöge welcher deren rein elastisches Verhalten bis nahe der Bruchgrenze erhalten bleibt, folgt, dafs die auf Grundlage der Festigkeitstheorie berechneten Spannungen eines Konstruktionsteiles auch dann noch zutreffend bleiben, wenn die Anstrengungen selbst die Elasticitäts-grenze weit übersteigen.

Des Weiteren folgt hieraus, dafs die Erhebung der blofsen elastischen Formänderung einer Eisenkonstruktion keinen Mafsstab für die Sicherheit derselben gewähren kann. Dagegen bieten die allenfalls auftretenden bleibenden Formänderungen das wertvollste Hilfsmittel zur Beurteilung des Zustandes der Eisenkonstruktionen. Bei Konstruktionsmaterialien von grofsem plastischen Arbeitsvermögen würden vorgeschrittene Erschöpfungszustände nicht leicht übersehen werden.

§ 20. Das Flufseisen im Brückenbau der Gegenwart. Die Frage der Zulässigkeit des Flufseisens zur YerWendung bei Brückenkonstruktionen wurde in Österreich auf Grund der Ergebnisse der mehrerwähnten grofsen Versuche des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins vom Jahre 1889 zu Gunsten des weichen basischen Martin-Flufseisens folgendermafsen beantwortet :

1.    Das weiche basische Martin-Flufseisen ist zur Herstellung von Brücken vollkommen geeignet.

2.    Ein solcher Baustoff soll für ein und dasselbe Bauwerk gleichmäfsige Festigkeitseigenschaften besitzen und zwar innerhalb der Grenzen von mindestens

3500 kg/qcm Festigkeit bei einer Bruchdehnung von 25% und höchstens 4500 kg/qcm Festigkeit bei einer Bruchdehnung von mindestens 20% für die Mefslänge von 200 mm bei 5 qcm Querschnittsfläche der Versuchsstäbe. Für ein und dasselbe Bauwerk darf der Festigkeitsunterschied des Materiales nicht mehr als 700 kg/qcm betragen. Aufserdem mufs der Stoff genügende Bearbeitungsfähigkeit im kalten und warmen Zustande und bei verletzter Oberfläche aufweisen.

3. Die Anarbeitung der Träger aus Hartin-Flufseisen kann in gleicher Weise wie bei Schweifseisen geschehen, wobei jedoch das Bohren der Nietlöcher vorgeschrieben wurde.

Die Verwendung des Thomas-Flufseisens zu Brückenkonstruktionen war bis jetzt in Österreich nicht zugelassen worden. Auch in Deutschland wurde für den Bau der Eisenbahnbrücken in Dirschau und Manenburg (1889 bis 1892) nur Martin-Flufs-eisen zugelassen, weil damals die Gleichartigkeit und Zuverlässigkeit des Thomasmetalles noch nicht dem Martin-Materiale als ebenbürtig anerkannt worden ist.

Die österreichischen Versuche gaben jedoch die Anregung zur Vornahme von vergleichenden Versuchen mit Thomas-Material, worüber Mehrtens ausführlich in „Stahl und Eisen“ 1891 berichtet. Die Ergebnisse dieser Versuche, welche auch auf Biege-und Bruchversuche mit genieteten Vollwandträgern von 3,0 m Länge und 0,4 m Höhe erstreckt wurden, führten zu dem Schlüsse, dafs die Frage der Zulässigkeit des Thomas-Materiales zu Brückenbauten bejaht werden konnte.

Die nach Mehrtens’ Entwurf im Jahre 1891 bis 1893 erbaute Weichselbrücke bei Fordon wurde gänzlich aus Thomas-Flufseisen hergestellt. Aus Anlafs dieses Baues wurden sehr zahlreiche Festigkeitsversuche mit Thomas- und Martin-Flufseisen ausgeführt, deren Ergebnisse Mehrtens in „Stahl und Eisen“ 1892 und 1893 mitgcteilt und dadurch dargethan hat, dafs das Thomas-Flufseisen dem Martin-Flufseisen eben

bürtig sei.

Die äufsersten Grenzen der Festigkeit und Dehnung der untersuchten beiden Eisenarten waren bei Thomas-Flufseisen:

Streckgrenze kg/qmm

24,9

Festigkeit kg/qmm

39,2

Dehnung¹

°/o

Arbeitsziffer

untere Grenze obere Grenze bei Martin-Flufseisen:

untere Grenze obere Grenze

Seit Erbauung der Weichselbrücke bei Fordon findet das Thomas-Flufseisen zu Brückenbauwerken in Deutschland grofse Verbreitung. Wie eingangs bereits erwähnt wurde, ist für dieses Material auch in Österreich die Zulassung zu Brückenkonstruktionen erwarten, nachdem die Untersuchungen seitens des österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereins zu günstigen Ergebnissen geführt haben. Allerdings sah man sich voranlafst, für die Zulassung des Thomas-Flufseisens die folgenden Bedingungen in Vorschlag zu bringen:

1. Die Festigkeit dieses Materiales soll 3,5 t/qcm bis höchstens 4,3 t/qcm und das Produkt aus der Festigkeitszahl und der Bruchdehnung (in % bezogen auf die Mefslänge \J 80 F ) mindestens 98 betragen.

32,6

24,0

35,8

43,8

39,0

45,0

Ol CO

CO CO

OO CO

20

814

37,5

1546.

zu

2.    Die Anarbeitung und die Montierung mufs durchaus sorgfältig ausgeführt und müssen bei den notwendigen Bearbeitungen alle das Material schädigenden Einflüsse vermieden werden.

3.    Das Material der Mete soll die Festigkeit von 3,5 bis höchstens 4,0 t/qcm. bei einem Produkte aus der Festigkeitszahl' und Bruchdehnung von mindestens 110 besitzen; die Mete dürfen nicht über helle Kirschrotglut erhitzt werden, die Metung soll thunlichst mit Maschinen erfolgen, bei Handnietung diese möglichst rasch ausgeführt und dabei Verletzungen der Eisenoberfläche vermieden werden.

Das Bohren der Metlöcher ist in Österreich ohnedies bereits für Martin-Flufs-eisen vorgeschrieben.

Nach der Schweizerischen Verordnung vom 19. August 1892 ist die Festigkeit des Flufseisens mit 3,6 bis 4,5 t/qcm und die Arbeitsziffer für die Längsrichtung mit 90. für die Querrichtung mit 80 vorgeschrieben.

Die Preufsische Ministerial Verordnung von 1892 bestimmt für die Festigkeit 37 bis 42 kg/qmm und für die Bruchdehnung 20%.

In den Vereinigten Staaten Amerikas wird in ausgedehntem Mafsc weicher Stahl zu Brückenbauten verwendet. Die Bedingungen, die man an diesen weichen Stahl stellt, sind: Festigkeit 3,8 bis 4,3 t/qcm, Elasticitätsgrenze etwa die Hälfte der Festigkeit, kleinste Bruchdehnung auf 20 cm Mefslänge 25%. Bei sehr grofsen Brücken und für einzelne Teile kleinerer Brücken wird auch sogenannter Mittelstahl verwendet, dessen Festigkeit 4,3 bis 4,8 t/qcm bei einer kleinsten Bruchdehnung von 20% beträgt/’⁸)

Obwohl beim Vergleiche von Martin- mit Thomas-Flufseisen beide Materialien innerhalb der Festigkeitsgrenzen von 3,5 bis 4,3 t/qcm derzeit volle Gleichwertigkeit besitzen, so ist es dennoch unzweifelhaft, dafs bei Ansprüchen an eine höhere Festigkeit als etwa 4,3 t/qcm das Thomas-Eisen für Brückenkonstruktionen nicht mehr den gleichen Grad der Zuverlässigkeit bietet, wie ersteres.

Die Festlegung einer oberen Grenze der Festigkeit für die Zulassung des Flufseisens zu Brückenbauten ist daher geboten. Fraglich könnte nur sein, ob cs angezeigt wäre, die zulässigen Höchstwerte der Festigkeit für beide Flufscisenarten verschieden zu halten. Unseres Erachtens ist diese Frage in so lange zu verneinen, als kein sicheres Mittel gefunden wird, die fertigen Erzeugnisse beider Herstellungsarten voneinander unterscheiden zu können.

Die Festigkeitsgrenzen des zulässigen Konstruktionsmateriales sollten indessen nicht enger gelegt werden, als etwa 5 bis 7 kg/qmm, weil der Walzprozefs an und für sich, die Temperatur des die Walzen verlassenden vollendeten Walzstückes, die Unterschiede der Abmessungen und die Gestalt des Querschnittes u. a. die Festigkeit des Walzerzeugnisses innerhalb jener Grenzen beeinflussen können.

¹

)    Résal. Fonte, fer et acier. Paris 1892. Pag. 266.

²

)    Hans Freiherr Jüptner von Jonstorff. Beziehungen zwischen der chemischen Zusammensetzung und den physikalischen Eigenschaften von Eisen und Stahl. Leipzig 1896.

³

)    Es möge zu den empirischen Formeln Jüptners bemerkt werden, dafs, obwohl der Zahlenwert S C -j- ² Si -f- — 31 n sowohl in dem Ausdruck für die Zugfestigkeit Z, als auch in jenem für die Kon-

3    7    7

traktion q erscheint, demselben jedoch hier und dort eine verschiedene Bedeutung innewohnt, indem derselbe bei Z einer Festigkeitszahl, bei q aber einer Verhältniszahl entspricht.

⁴

) Ledebur. „Eisen und Stahl“ a. a. 0.

⁵

) A. Kursswernhart. Über Blauwärme. „Stahl und Eisen“ 1890, No. 21.

⁶

5Ż) Bericht des Brückenmaterial-Ausschusses über die Zulässigkeit des Thomas-Flufseisens zu Brückenkonstruktionen. Zeitschr. d. üsterr. Ing⁻.- u. Arch.-Ver. 1899.

⁷

) „Eisen und Stahl“.

⁸

) Résal. Fonte, fer et acier, pag. 246.

Litteratur.

Von den zahlreichen Abhandlungen, in welchen die Eigenschaften des Eisens behandelt sind, werden hier nur die neueren, namentlich diejenigen, welche die Festigkeit des Eisens betreffen, angeführt. Man vergleiche hierzu die bei Kap. XVI

(Prüfungen des Materiales) angegebene Litteratur.

Bauschinger. Versuche über die Festigkeit des Bessemer-Stahles von verschiedenem Kohlenstotfgehalt. Zeitschr.

d. bayer. Arch.- u. Ing.-Ver. 1873, S. 62; 1874, S. 10.

Thurston. Versuche über die Festigkeit des Eisens in verschiedenen (niedrigen) Temperaturen. Deutsche Ind.-Ztg. 1874, S. 98; Polyt. Centralbl. 1874, S. 458. ¹

Bern 1894.

Gr a u han. Die Eigenschaften und Unterschiede der verschiedenen Eisen- und Stahlsorten. Zeitschr. d. Yer. deutscher Ing. 1877, S. 324.

Kerpely. Über homogenes Eisen. Mikroskopische Untersuchungen. Aus Zeitschr. d. Berg- u. Hüttenmännischen Vereins in Polyt. Journ. 1877, Bd. 226, S. 394.

Kirk. Über homogenes Eisen. Engineer 1877, S. 229; Polyt. Journ. 1877, Bd. 226, S. 55.

Martens. Mikroskopische Untersuchungen des Eisens. Zeitschr. d. Yer. deutscher Ing. 1878, S. 11. Thurston. Über die Festigkeit des kalt gewalzten Eisens. Deutsche Ind.-Ztg. 1878, S. 519.

Scientific American, Suppl. 1878, S. 2381.

Adamson. Über die Eigenschaften des Eisens und Stahles.

Wedding. Über das schmiedbare Eisen auf der Weltausstellung zu Paris 1878. Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleifses 1878. Sitzungsberichte, S. 196.

Welche Erfahrungen liegen bezüglich der Verwendung von Stahl bei Eisenbahnbrücken vor? Organ f. d. Fortschr.

d. Eisenbahnw. 6. Suppl.-Bd. Wiesbaden 1878. S. 97.

Perard. Versuche über die elastische Nachwirkung bei Eisen und Stahl. Revue universelle des mines 1880, Mai, S. 486.

Die Eigenschaften von Eisen und Stahl. Mitteilungen über die auf Veranlassung der technischen Kommission des Vereins deutscher Eisenbahnverwaltungen angestellten Versuche u. s. w. Wiesbaden 1880.

Barba. Über die Verlängerung des Metalls beim Zerreifsen. Mémoires des ingénieurs civils 1880, Juni, S. 682. Brücken aus Bessemer-Stahl der Lokalbahn Ebersdorf-Würbenthal. Wochenschr. d. österr. Ing⁻.- u. Arch.-Ver. 1880, S. 214.

Gau tier. Über Webster’s Erprobung der Festigkeit des Eisens und Stahles bei Temperaturen unter 0°. Génie civil 1881, S. 481; Polyt. Journ. 1881, Bd. 242, S. 288.

Die Festigkeitseigenschaften des Stahles, insbesondere des Siemens-Martin-Stahles. Engineer 1881, März, S. 183. Über die Verwendung von Stahl zu Brückenbauten. Deutsche Bauz. 1881, S. 388.

Gollner. Untersuchungen über die Festigkeit des Flufseisens. Techn. Blätter 1882, S. 197.

Clarke u. Reeves. Über die Festigkeit schmiedeiserner Säulen gegen Zerknicken. Transact, of the amer. soc.

of civil eng. 1882, Jan. — Auszug. Wochensehr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1882, S. 118.

Die Messung der Durchbiegung eiserner Brücken und die Verwendung des Stahles im Brückenbau. Deutsche Bauz. 1882, S. 423.

Martens. Die Feststellung der Güte von Eisen und Stahl u. s. w. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1883, S. 51. Zimmer mann. Über den Einflufs der Ungleichmäfsigkeit des Materiales auf die Tragfähigkeit gezogener Stäbe. Centralbl. d. Bauverw. 1883, S. 220.

Fehringer. Über Festigkeits-Vorschriften für Eisen und Stahl. Wochenschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1883, S. 311.

Die Frage der Verwendung des Flufseisens und Flufsstahles für Brücken. Wochenschr. d. Ver. deutscher Ing. 1883, S. 83.

Ileindl. Über die Verwendung des Flufseisens zu Eisenbahnbrücken. Centralbl. f. Eisenb. u. Dampfschiffahrt

1883,    S. 373.

Eigenschaften und Prüfung des Stahles für die Strafsenbrücke über den Monongahela bei Pittsburg. Engineering

1884,    I. S. 239.

Zur Frage der Verwendung des Stahles im Brückenbau. Centralbl. d. Bauverw. 1884, S. 134.

Welche Erfahrungen liegen vor über die Verwendung des Stahles und Flufseisens zu Baukonstruktionen, insbesondere zu Eisenbahnbrücken? Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnw. 9. Suppl.-Bd. Wiesbaden 1884. S. 95. Verwendung von Flufseisen bei nordamerikanischen Brücken. Wochenschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1885, No. 42. Considère. Über die Anwendung des Stahles und Eisens in Bauwerken. Ann. des ponts et chaussées 1885, I. S. 574.

Bausch in ge r. Über neuere Versuche mit Eisen und Stahl, insbesondere auch über Knickfestigkeit von Formeisen für Brückenbauzwecke. Centralbl. d. Bauverw. 1886, S. 351.

Tetmajer. Über den Einflufs der Lochung auf die Festigkeitsverhältnisse des Schweifseisens. Schweiz. Bauz. 1886, Febr., S. 33.

Flamant. Über die Festigkeit und die sonstigen mafsgebenden Eigenschaften des zu Bauzwecken benutzten Stahles. Ann. des ponts et chaussées 1886, I. S. 665.

Wedding. Über das mikroskopische Gefüge verschiedener Eisensorten. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1885,

S. 572. — Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleifses 1886, S. 293. — „Stahl und Eisen“ 1886, S. 633.

Lechner. Die Stahlwerke der Steel company of Scotland und die dort angestellten Materialprüfungen. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1886, S. 433.

Tetmajer. Per Wert des Tliomas-Flufs- und Sclimiedeisens als Baustoff. Zürich 1885. Vergl. Polyt. Journ. 1886, Bd. 261, S. 427.

Mehr tens. Eisen und Eisenkonstruktionen. Berlin 1887. (Allgemeine Geschichte des Eisens und der eisernen Tragwerke. — Darstellung des Eisens. — Formgebung des Eisens. — Eigenschaften und Prüfling des Eisens. — Herstellungsweise der Konstruktionen.) Mit vielen Litteratur-Angaben.

List. Die wichtigsten Ergebnisse neuerer Untersuchungen über die Einwirkung der Wärme auf die physikalischen Eigenschaften von Stahl und Eisen. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1887, S. 328.

Tetmajer. Mitteilungen der Anstalt zur Prüfung von Baumaterialien am eidgen. Polytechnikum in Zürich. (Verschiedene Jahrgänge.)

Bau selling er. Mitteilungen aus dem mechanisch - technischen Laboratorium der polytechnischen Schule zu München. (Verschiedene Jahrgänge.)

Wey rieh. Das Flufseisen als Brücken-Konstruktionsmaterial. Wochenbl. f. Bank. 1887, S. 344.

Mehr tens. Zur Frage der Verwendung des Flufseisens für Baukonstruktionen. Centralbl. d. Bauverw. 1888, S. 57.

Ledebur. Eisen und Stahl in ihrer Anwendung für bauliche und gewerbliche Zwecke. Berlin, S. Fischer 1890.

Bericht des Brückenmaterial-Comité’s über die Verwendung des Flufseisens zu Brückenkonstruktionen. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1891.

Brik. Fachwissenschaftliche Erörterungen zu dem obigen Berichte. Ebenda.

Krohn. Verwendung des Flufseisens im Brückenbau. Zeitschi', d. Ver. deutscher Ing. Bd. XXXV.

Mehrtens. Über die beim Bau der neuen Eisenbahnbrücken in Dirschau und Marienburg mit der Verwendung von Flufseisen gemachten Versuche und Erfahrungen. „Stahl und Eisen“ 1891.

Kintzlé. Über die Verwendung von Flufseisen zu Bauzwecken. „Stahl und Eisen“ 1892.

Mehrtens. Weichselbrücke bei Fordon (Versuche). „Stahl und Eisen“ 1892 bis 1893.

Grundzüge einer einheitlichen Benennung für Eisen und Stahl. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1893.

Zschokke, B. Vergleichende Betrachtungen über den Thomas- und Martin-Prozefs. Zeitschr. d. österr. Ing.-u. Arch.-Ver. 1893.

Vorschriften für Lieferung von Eisen und Stahl, aufgestellt vom Verein deutscher Eisenhüttenleute. Düsseldorf 1893.

Brik. Ergebnisse von Belastungsversuchen an einem der Bahnstrecke entnommenen alten Eisenbrückenträger. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1896.

Mehrtens. Der Brückenbau sonst und jetzt. Schweiz. Bauz. 1898. Auch im Buchhandel.

II. Wiederholte Beanspruchungen. Zulässige Inanspruchnahme.

§ 21. Verhalten von Schweifseisen und Stahl bei wiederholten Anstrengungen. Wöhler’s Gesetz. Bauschinger’s Versuche. Fairbairns im Jahre 1860 und 1861 angestellte Versuche mit einem genieteten 6 m weiten Blechträger erbrachten den Nachweis, dafs Belastungen, die weit unter der Bruchgrenze liegende Spannungen des Baustoffes hervorbringen, dennoch durch vielfache Wiederholung den Bruch des Trägers nach sich zu ziehen vermögen, aber Wöhler war es Vorbehalten, aus seinen in den Jahren 1859 bis 1870 ausgeführten, äufserst wertvollen Versuchen bestimmte Gesetze für das Verhalten von Eisen und Stahl gegen wiederholte Beanspruchungen zu entdecken und auszusprechen.

Das Wohl er’sehe Gesetz lautet:

„Der Bruch des Materiales läfst sich nicht nur durch eine, die absolute Festigkeit überschreitende, ruhende Belastung, sondern auch durch vielfach Aviederholte Schwingungen, von denen keine die Bruchgrenze erreicht, herbeiführen. Die Differenzen der Spannungen, welche die Schwingungen eingrenzen, sind dabei für die Zerstörung des Zusammenhanges rnafs-gebend. Die absolute Gröfse der Spannungen ist insoweit von Einflufs, als mit wachsender Spannung die Differenzen, welche den Bruch herbeiführen,

sich verringern. Für solche Schwingungen, bei denen dieselbe Faser aus Zugspannung in Druckspannung übergeht und umgekehrt, werden die Zugspannungen als positiv, die Druckspannungen als negativ betrachtet, sodafs also in diesem Falle die Differenz der äufsersten Faserspannungen gleich der gröfsten Zugspannung plus der gröfsten Druckspannung ist.“

Wühler giebt dann folgende, aus seinen Yersuchsresultaten entnommene Zusammenstellung von Seliwingungsgrenzen, bei denen der Bruch nicht mehr eingetreten ist:

1.    Bei Stäben aus Achsen, die im Jahre 1857 von der Gesellschaft „Phönix“ geliefert worden waren:

Schwingungen zwischen :

(+ 160) + 1170 kg und (— 160) — 1170 kg f. d. qcm⁵⁹),

Kuli

(-f 300) + 2190 „    „

(+ 440) + 3220 „    „ (+ 240) + 1750 „

2.    Bei Stäben aus Gufsstahlachsen, die Krupp im Jahre 1862 geliefert hatte:

Schwingungen zwischen :

(+ 280) -F 2050 kg und (— 280) — 2050 kg f. d. qcm,

Kuli

(+ 480) + 3510 „

(+ 800) + 5850 „    „ (F 350) -j- 2560 „

3. Boi Stäben aus ungehärtetem Gufsfederstahl:

Schwingungen zwischen :

Kuli

(4- 500) +    3660    kg    und

(+ 700) +    5120    „    „    (+ 250)    -f-    1830    kg    f. d. qcm,

(+ SOO) +    5850    „    „    (+ 400)    +    2930    „

(+ 900) +    6580    „    „    (+ 600)    -f-    4390    „    „

Wenn die unteren Schwingungsgrenzen orain als Abscissen und die Spannungsdifferenzen (amax — affiin) als zugehörige Ordinaten eines recht winkeligen Koordinatensystems auf getragen werden, so können die so erhaltenen Punkte nach Gerber durch eine Parabel verbunden werden, deren Gleichung lautet:

2 z²

31.

(<3m0x — Smin) = 4 Z%

worin « die Festigkeit gegen Zug bezw. Druck für ruhende Belastung und sa die „Schwingungsfestigkeit“, d. i. die Grenzspannung für den Wechsel der Inanspruchnahme im entgegengesetzten Sinne bei gleicher Spannungsgröfse gegen Zug und Druck.

Gl. 31 stellt sonach einen Ausdruck für das Wöhler’sche Gesetz dar. Aus dieser Gleichung berechnet sich:

-⁾max

Gmin T

Z²

) + ,V/4 + ⁴-f +

. . 32.

Für alllin = 0 sei omax = su, so folgt:

33.

WO c =

Weiter ist aus Gl. 33 :

•S₅ —

■c„

© 'S

= 2 - 2 —c

4 — c*    4 — c²

oder :

34.

_ 4 — c²

⁵⁰) Die eingeklammerten Zahlen sind die Wöhler’schen Werte in Zollzentnern für den Quadratzoll = 7,31 kg f. d. qcm.    '

Auf Grundlage der Gleichungen 33 und 34 können aus Versuchen Wöhlcr’s und Bauschinger’s⁶⁰) die folgenden Mittelwerte gezogen werden:

Für Schweifs- und Flufseisen:

c — 0,57,

su = 0,57 z und s₈ — 0,3 0, für Stahl:

c = 0,48,

s„ = 0,48 z und ss = 0,25 z.

Von Launhardt wurde im Jahre 1873 gleichfalls ein analytischer Ausdruck für das Wöhler’sche Gesetz auf gestellt, jedoch blofs für Beanspruchungen nach einem Sinne.

Prof. Weyrauch erweiterte, dem Gedankengange Lau n har dt’s folgend, dessen Formel auch für Spannungen, die in entgegengesetztem Sinne wechseln.

Die Launhardt-Weyrauch’schcn Gleichungen für das Wöhler’sche Gesetz sind die folgenden:⁶¹)

a. Für Beanspruchungen Smin und Smax nach einem Sinne:

^max

■Sjnin

' ~S

35.

mai

b. für Beanspruchung in entgegengesetztem Sinne:

^inax

su (l

Smi

36.

Der einfachste Ausdruck für das Wöhlor’sche Gesetz wurde von Prof. Winkler aufgestellt.⁸²) Derselbe lautet :

37,

G,„ax = (1 — Je) z -f Ic . G„lin

wobei

ist.

Z — S,

z + s.

38,

Bei den Wöhler’schen Ergebnissen ist das eine auffallend, dafs die Grenzspannungen der Schwingungen bei Anstrengung des Baustoffes nach einem Sinne über der Elasticitätsgrenze liegen und dennoch derartige Spannungswechsel in unbegrenzter Anzahl ungeschädigt ausgehalten werden konnten. Aufklärung über diese Erscheinung erhalten wir in den oben vorgeführten Mitteilungen des Prof. Bauschinger, dessen Forschungen im Gebiete der Festigkeit der Baustoffe neue und wichtige Ergebnisse geliefert haben. Die im XIII. Hefte der genannten Mitteilungen Bauschinger’s niedergelegten Ergebnisse sind in kurzem die Folgenden:

Bei elastischen Baustoffen gilt der Hooke’sche Satz über die Proportionalität der Verlängerungen oder Verkürzungen mit der Belastung, durch welche sie hervorgebracht wird, stets bis zu einer gewissen Grenze der Belastung. Wird diese Grenze überschritten, so wachsen die Längenänderungen rascher als die Belastungen.

Das Überschreiten der Proportionalitätsgrenze ist von einigen gleichzeitig auftretenden Erscheinungen begleitet, welche deren Bestimmung wesentlich erleichtern.

6Ü) Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Königl. technischen Hochschule in München von J. Bauschinger, XIII. Heft, S. 47.

1876.

cl) Festigkeit und Dimensionenberechnung der Eisen- und Stahlkonstruktionen mit Rücksicht auf die neueren Versuche von Dr. Jakob J. Weyrauch.

Wien 1877.

⁶²) Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1877. — Winkler. Wahl der zulässigen Inanspruchnahme für Eisenkonstruktionen.

Während nämlich

1.    die bleibenden Längenänderungen innerhalb der Proportionalitätsgrenze nur klein sind und nur ganz allmählich mit der Belastung wachsen, werden sie nach Überschreitung jener Grenze mit einem Male bedeutend gröfser.

2.    Während bei wiederholtem Hin- und Hergehen zwischen der Belastung Null und einer innerhalb der Proportionalitätsgrenze gelegenen immer wieder dieselben bleibenden und gesamten Längenänderungen erhalten werden, steigen beide bei einer oberen Belastung, welche über der Proportionalitätsgrenzc liegt, bei jedem neuen Wechsel zwischen dieser Belastung und Null.

3.    Während endlich innerhalb der Proportionalitätsgrenze die Zeit keinen Einflufs zeigt, erfolgt nach Überschreiten dieser Grenze eine elastische Nachwirkung.

Bause hing er folgert im weiteren: „Wenn in einem Stabe, welcher wechselnden Beanspruchungen zwischen einer unteren und oberen Grenze, von denen wenigstens die letztere über der ursprünglichen Elasticitätsgrenze liegt, ausgesetzt wird, die Lage der Elasticitätsgrcnze (Proportionalitätsgrenzc) nicht verändert oder erniedrigt wird, oder wenn dieselbe im Falle der Erhöhung unter jener oberen Grenze bleibt, so mufs durch solche Anstrengungen, wenn sie nur oft genug wiederholt werden, schliefslich der Bruch erfolgen ; denn jede neue Anstrengung bringt eine neue Yergröfserung der Längenänderung hervor. Wenn aber umgekehrt beide Grenzen der wechselnden Beanspruchungen unterhalb der Elasticitätsgrenze liegen und liegen bleiben, so kann auch durch noch so lange fortgesetzte Wiederholung der Anstrengungen der Bruch nicht erfolgen.

Bei Schweifseisen, Flufseisen und Stahl tritt bei allmählicher Yergröfserung der Belastung über die Elasticitätsgrenze ein zweiter merkwürdiger Punkt auf, wo nämlich die Längenänderungen, welche durch die fortwährend in gleichen Intervallen wachsenden Belastungen hervorgebracht werden, auf einmal sehr rasch wachsen. Das Schaubild, welches bis dahin sich nur wenig und ganz allmählich von der geraden Linie, die es innerhalb der Elasticitätsgrenze bildete, abgebogen hat, biegt sich nun plötzlich in einem mehr oder weniger scharfen Knie um (vcrgl. Fig. 24, S. 99). Bauschinger nennt den dabei stattfindenden Yorgang das Strecken und den Punkt, wo dies beginnt, die Streckgrenze.

Einflufs der Streckung.

1.    Die Streckgrenze wird stets bis zu der Belastung liinaufgehoben, mit welcher gestreckt wurde und zwar schon unmittelbar nach dem Strecken. In der Zeit der Ruhe aber, die nach der auf das Strecken vorgonommenen Entlastung verstreicht, hebt sich die Streckgrenze über jene Gröfstbelastung, mit welcher gestreckt worden ist, hinaus und zwar ist diese Hebung schon nach einem Tage sehr gut bemerkbar, dauert aber Wochen und Monate, vielleicht .Jahre fort.

2.    Die Elasticitätsgrenze wird durch Strecken herabgeworfen, oft bis auf Null, sodafs die Probestücke, wenn sie unmittelbar nach dem Strecken und Entlasten wieder gemessen werden, gar keine oder eine bedeutend niedrigere Elasticitätsgrenze haben. In der Zeit der Ruhe, die nach der auf das Strecken vorgenommenen Entlastung verstreicht, hebt sich auch die Elasticitätsgrenze wieder, erreicht nach mehreren Tagen die Belastung, mit welcher gestreckt wurde und wird nach genügend langer Zeit, sicher nach mehreren Jahren, selbst über diese Belastung hinausgehoben.

3.    Mit der Elasticitätsgrenze wird in der Regel auch die Elasticitätszilfer durch vorausgegangenes Strecken erniedrigt; sie erhebt sich, wie jene, in der Zeit der Ruhe nach dem Strecken und Entlasten wieder, wahrscheinlich aber langsamer. Nach mehreren Jahren findet sie sich stets beträchtlich über ihre ursprüngliche Gröfse hinausgehoben.

4.    Durch Dehnen mit Belastungen, die über der Elasticitäts-, aber noch unter der Streckgrenze liegen, wird die Elasticitätsgrenze erhöht und zwar sofort nach dem Entlasten und um so mehr, je höher die Belastung war. Wenn letztere in die Nähe der Streckgrenze kommt, erreicht die Elasticitätsgrenze einen Gröfstwert und wird bei Überschreiten der Streckgrenze herabgeworfen, entsprechend dem zweiten Satze.

Ein fl tifs von Erschütterungen.

Heftige Erschütterungen, wie sie bei Schmieden in kaltem Zustande und nachfolgendem Bearbeiten Vorkommen, erniedrigen die vorher durch Strecken und eine darauf verstrichene längere Ruhepause erhöhte Elasticitätsgrenze wieder. Die Streckgrenze wird durch eine solche Behandlung auch erniedrigt, jedoch nicht viel; sie bleibt noch weit über der Höhe, die sie im ursprünglichen Zustande des .Probestückes hatte.

Einflufs der Wärme.

1.    Die Wirkung der Erwärmung und darauf folgenden Abkühlung auf die Lage der Elasticitäts-und Streckgrenze wird beim Flufseisen erst von 350° an, wenn die Abkühlung rasch, und von 450° au, wenn diese langsam erfolgt, bemerklich. Temperaturen, welche unter jenen liegen, bringen keine Wirkungen auf die Lage jener beiden Grenzen hervor. Bei Schweifseisen beginnt diese Wirkung sowohl bei rascher, als bei langsamer Abkühlung von 400° an.

2.    Die Wirkung der Erwärmung über jene Temperaturen und der darauf folgenden langsamen oder raschen Abkühlung besteht immer darin, dafs die Elasticitätsgrenze sowohl als die Streckgrenze erniedrigt wird, und zwar um so mehr, je höher erwärmt wurde, jedoch so, dafs diese Einwirkung auf erstere Grenze bedeutend energischer ist, als auf letztere.

3.    Rasches Abkühlen nach dem Erwärmen erniedrigt die Elasticitäts- und Streckgrenze, besonders die erstere, weit stärker als langsames Abkühlen; rasches Abkühlen wirft die Elasticitätsgrenze meist schon bei einer Erwärmung auf 500°, sicher aber beim Kirschrotglühen auf Kuli oder nahezu auf Kuli herab, und zwar sowohl bei Schweifs- und Flufseisen, als auch beim Bessemer-Stahl, während langsame Abkühlung eine so tiefe Senkung der Elasticitätsgrenze selbst nach Kirschrothitze nicht hervorbringen kann.

Einflufs abwechselnder Belastungen auf Zug und Druck.

1. Durch Belasten auf Zug oder Druck über die Elasticitätsgrenze hinaus wird die Elasticitätsgrenze für Druck oder bezw. Zug bedeutend erniedrigt, umsomehr, je höher jene Belastungen über der betreffenden Elasticitätsgrenze liegen, und schon verbal tnismäfsig geringe Überschreitungen der Elasticitätsgrenze für eine Belastungsart werfen die Elasticitätsgrenze für die Belastung im entgegengesetzten Sinne bis auf Kuli herab. Wenn eine so erniedrigte Elasticitätsgrenze durch Belasten im gleichen Sinne wieder gehoben wurde und dann überschritten wird, so fällt sofort die Elasticitätsgrenze für die Belastung im entgegengesetzten Sinne wieder auf Kuli oder fast auf Kuli herab. Die Zeit ist bei diesen Vorgängen ohne oder doch nur von geringem Einflufs, d. h. die durch Zug oder Druck erniedrigte Elasticitätsgrenze für bezw. Druck oder Zug hebt sich, wenigstens im Verlaufe der nächsten 3 bis 4 Tage, nicht wieder und im Verlaufe der nächsten Wochen, wenn überhaupt, doch nur wenig. '

2: Durch allmählich anwachsende, zwischen Zug und Druck wechselnde Spannungen kann die Elasticitätsgrenze für entgegengesetzte Beanspruchungen erst dann erniedrigt werden, wenn jene Spannungen die ursprüngliche Elasticitätsgrenze überschreiten.

3. Wenn die Elasticitätsgrenze für Zug oder Druck durch vorausgegangenc Belastung auf Druck bezw. Zug, die über der ursprünglichen Elasticitätsgrenze lag, erniedrigt worden ist, so kann sie durch allmählich anwachsendc, zwischen Zug und Druck wechselnde Belastungen wieder gehoben werden, aber nur bis zu einer Grenze, die beträchtlich unter der ursprünglichen Elasticitätsgrenze liegt.

Einflufs wiederholter Anstrengungen.

1. Wenn bei wiederholten Anstrengungen auf Zug, deren untere Grenze Kuli ist, die obere Grenze in der Kähe der ursprünglichen Elasticitätsgrenze liegt, so wird auch durch 5 bis 16 millionenmalige Wiederholung dieser Anstrengung der Bruch nicht erreicht.

Bemerkung. Bei Anwendung auf die Praxis sind zwei wichtige Punkto nicht zu übersehen:

a)    Das Material mufs vollständig fehlerfrei sein. Die geringsten Fehler, die ursprünglich nicht oder kaum bemerklich sein konnten, veranlassen namentlich bei den homogenen Materialien (Flufseisen und Flufsstahl) den Bruch schon nach einer verhältnismäfsig geringen Zahl von Wiederholungen auch bei Anstrengungen, die unter oder nur wenig über der Elasticitätsgrenze liegen. Schweifseisen dagegen scheint .für kleine Oberflächenfehler fast unempfindlich zu sein.

b)    Die sogenannte ursprüngliche Elasticitätsgrenze ist, wie die obigen Sätze gezeigt haben, sehr veränderlich, sehr abhängig von der vorausgegangenen Behandlung des Probestückes. Sie kann sehr tief liegen, kann aber auch bis nahe an die Bruchgrenze gehoben werden. Man mufs sich also erst Rechenschaft darüber zu geben suchen, ob die für ein bestimmtes Material gefundene Elasticitätsgrenze nicht künstlich durch Strecken, Walzen u. s. w. gar zu hoch gehoben worden ist, bevor man sicher sein kann, dafs es Anstrengungen, deren obere Grenze in der Nähe der Elasticitätsgrenze liegt, auf unbeschränkte Dauer auszuhalten vermag.

2.    Durch oftmal wiederholte Anstrengungen zwischen Aull und einer oberen Spannung, welche in der Nähe oder auch mehr oder weniger über der ursprünglichen Elasticitätsgrenze gelegen ist, wird diese gehoben und zwar bis über, manchmal weit über die obere Grenze der Anstrengungen hinaus und um so hölier, je gröfscr die Anzahl der Anstrengungen ist, ohne jedoch eine gewisse J Loire überschreiten zu können.

3.    Wiederholte Anstrengungen (Schwingungen) zwischen Aull und einer oberen Grenze, welche die ursprüngliche Elasticitätsgrenze noch über ihre obere Spannung hinaus zu heben vermögen, führen den Bruch nicht herbei ; wenn aber ihre obere Grenze so hoch liegt, dafs die Elasticitätsgrenze nicht mehr darüber hinaus gehoben werden kann, so mufs der Bruch nach einer beschränkten Anzahl solcher Anstrengungen erfolgen.

4.    Die Zugfestigkeit zeigt sich durch millionenmal wiederholte Anstrengungen nicht vermindert, eher erhöht, wenn das Probestück nach jenen Anstrengungen mit ruhender Belastung abgerissen wird.

5.    Oftmal, millionenmal wiederholte Anstrengungen des Eisens und Stahles bringen keine Änderungen des Gefüges hervor.

Der Satz unter 2. über den Einflufs wiederholter Inanspruchnahmen giebt eine Erklärung für die merkwürdige, durch Wühler nachgewiesene Thatsache, wonach ein Stoff Anstrengungen, deren obere Grenze über der ursprünglichen Elasticitätsgrenze liegt, unter Umständen in unbeschränkter Anzahl auszuhalten vermag. Es wird eben nach obigem Satze die Elasticitätsgrenze durch wiederholte Anstrengungen, insofern diese anfänglich die Streckgrenze nicht erreichen, gehoben. Dieses Verhalten erinnert lebhaft an die Steigerung der Muskelkraft durch Übung, und es läfst sich die in Obigem besprochene Erscheinung vielleicht folgendermafsen erklären.

Es ist bekannt, dafs in verschiedenen Orten eines Eisenstabes die Elasticitäts-verhältnisse verschieden und dafs dehnbarere Teile neben minder dehnbaren aneinandergefügt sind, vergl. S. 93. Bei Krafteinwirkungen werden die minder dehnbaren Teilchen in ihrem Widerstande stärker in Anspruch genommen als die dehnbareren, welche in der Entfaltung ihres Widerstandes durch die infolge der Verschiedenheit der Dehnungen notwendig auf tretenden Schubspannungswiderstände behindert sind. Oftmalige Wiederholungen der Krafteinwirkung dürften geeignet sein, den mit molekularer Reibung vergesellschafteten Schubwiderstand zu verringern und so das Gleiten der dehnbareren Teile zu erleichtern, womit auch der volle Widerstand derselben freier zur Entfaltung gelangt. Alsdann wird ein Zustand eintreten, in welchem sowohl die minder dehnbaren, als auch die dehnbareren Teilchen, einander weniger behindernd, ihren Widerstand freier entwickeln können, wodurch die Gesamtheit der Widerstände nunmehr eine gröfsere ist, als bei der ersten Belastung.

L i 11 e r a t u r.

Wühler. Resultate der in der Central-Werkstatt zu Frankfurt a. d. O. angestellten Versuche über die relative Festigkeit von Eisen, Stahl und Kupfer. Zeitschr. f. Bauw. 1866, S. 67.

Spangenberg. Über das Verhalten der Metalle bei wiederholten Anstrengungen. Zeitsohr. f. Bauw. '1874, S. 474; daselbst 1875, S. 78.

Theune. Die bleibenden Spannungen gebogener Stäbe und die Wohlergehen Versuche. Organ f. d. Fortschr. d. Eisenbahnw. 1879, S. 224.

Bauschinger. Über die Festigkeitsverminderung und das Krystalliniscliwerden des Eisens durch den Gebrauch. Polyt. Journ. 1880, Bd. 235, S. 169.

Egleston. Über die Widerstandsfähigkeit der Metalle gegen wiederholte Inanspruchnahme, über die Ermüdung bezw. die Erholung der Materialien. Revue univers, des mines 1880, Mai, S. 521.

Bauschinger. Über die Veränderungen der Elasticitätsgrenze und des Elasticitätsmoduls verschiedener Metalle. Polyt. Journ. 1877, Bd. 224, S. 1 ; Civil-Ingenieur 1881, S. 290. — Hierüber berichtet Kirsch in Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1886, S. 791 und Daniel Mayer in Ann. des ponts et chaussées 1886, IL S. 726. Vergl. auch Centralbl. d. Bauverw. 1886, S. 351.

Wey rieh. Über die Wirkung dauernder oder häufig wiederholter Anstrengungen auf die Eigenschaften des Stahles. Deutsche Bauz. 1886, S. 471.

§ 22. Zulässige Inanspruchnahme des Eisens. Die Abmessung der Querschnitte der einzelnen Konstruktionsteile einer Eisenbrücke gründet sich

1.    auf die Kenntnis der Kräfte, welche dieselben beanspruchen, nach Gröfse und Sinn ihrer Wirkung mit Bezug auf den betreffenden Bauteil,

2.    auf die Bemessung der Gröfse des Widerstandes bezüglich der Querschnittseinheit des Baustoffes.

Die Ermittelung der unter 1. bezeichneten Kräfte erfolgt im Wege theoretischer Untersuchungen, welche den Kapiteln VIII, XI, XII und XV dieses Werkes Vorbehalten sind. Die Bemessung der Gröfse des Widerstandes beruht auf der Kenntnis der Festigkeitseigenschaften des Stoffes und der Abschätzung aller Einflüsse und Umstände, welche mit Rücksicht auf die dauernde Sicherheit des Bauwerkes von mafsgebender Bedeutung sind.

Indem hinsichtlich der Festigkeitseigenschaften der Baustoffe für eiserne Brücken auf die §§ 16 bis 19 verwiesen wird, erübrigt die Behandlung der Frage nach den mafs-gebenden Einflüssen, welche bei Bemessung der zulässigen Inanspruchnahme in Betracht kommen. Die hierbei anzustellenden Erwägungen werden der Hauptsache nach auf dem Gedanken fufsen, der Konstruktion die erforderliche Zuverlässigkeit zu sichern und dabei den Widerstand des gegebenen Baustoffes möglichst auszunutzen.

Die Konstruktion ist zuverlässig oder sicher, wenn sie den auf sie einwirkenden äufseren Kräften auf die Dauer zu widerstehen vermag und dies ist nur dann zu erreichen, wenn die Gröfse, der Sinn und die Wirkungsart dieser Kräfte in angemessenem Verhältnisse zur dauernden Widerstandsfähigkeit des Baustoffes stehen.

Die Festigkeitsgröfse des Stoffes ergiebt sich aus der äufsorsten Spannung, auf die Querschnittseinheit bezogen, welche den Bruch bei ruhiger Last-Einwirkung herbeiführt; die Elasticitätsgrenze entspricht dagegen jener äufsersten Spannung, bis zu welcher die Längenänderungen den Belastungen proportional wachsen und die bleibenden Längenänderungen von verschwindender Gröfse sind. So lange die Anstrengungen des Baustoffes innerhalb dieser Grenze sich bewegen, gilt auch das Grundgesetz der Festigkeitslehre — das Hooke’sche Gesetz (vergl. S. 106).

Spannungen, welche diese Grenze übersteigen, sind unzulässig, weil jede neue Überschreitung der Elasticitätsgrenze neue bleibende Längenänderungen zur Folge hat,

welche endlich zum Bruche führen würden. Hiernach würde also die Elasticitätsgrenze zugleich als äufserste Grenze der zulässigen Anstrengungen angesehen werden müssen.

A ürde die Kraft, welche den zu berechnenden Bauteil angreift, der Gröfse und dem Sinne nach genau bekannt und deren Wirkungsart eine ruhige, durchaus statische sein und dürfte ferner vorausgesetzt werden, dafs auch die Zeitdauer dieser Wirkung keine schädliche Änderung des ursprünglichen Zustandes hervorbringt, so könnte die Elasticitätsgrenze thatsächlich als gröfste zulässige Inanspruchnahme angenommen und es könnten auf Grund derselben die Querschnittsabmessungen bestimmt werden. Diese Voraussetzungen sind jedoch in den seltensten Fällen zutreffend; meistenteils machen sich Einflüsse von solcher Bedeutung geltend, dafs die wirklich zulässigen Inanspruchnahmen beträchtlich unter jene Grenze herabgesetzt werden müssen.

Diese Einflüsse sind hauptsächlich die folgenden:

1.    Die rechnungsmäfsig ermittelten Kräfte, durch welche die einzelnen Bauteile beansprucht werden, sind bei Baukonstruktionen in der Regel nur näherungsweise der Wirklichkeit entsprechend, denn die theoretischen Annahmen, auf welchen die Berechnung gegründet werden mufs, sind ebenfalls nur näherungsweise richtig. Schon die Gröfse der angenommenen Belastungen wird oft genug nicht unerhebliche Unterschiede gegen die wirklich auftretenden aufweisen. So sind z. B. die Raddrücke ein und derselben Lokomotivachse infolge des sogenannten Wankens der Lokomotiven oft gegen den halben Achsendruck erheblich verschieden; die wirkliche Druckverteilung des Lokomotivgewichtes auf die Achsen zeigt ebenso gegen die Annahmen nicht unbeträchtliche Abweichungen, welche noch sehr erhöht werden durch die schwingenden Bewegungen, das sogenannte Kicken, der fahrenden Lokomotiven infolge der Unebenheiten der Gleise u. a. m. Namentlich bei Brücken kleiner Spannweiten sind diese Unterschiede von merkbarem Einflufs.

Auch die übliche Annahme einer gleichmäfsigen Verteilung des Eigengewichtes der Hauptträger längs derselben ist nur annähernd richtig. Die Berechnung statisch bestimmter Konstruktionssysteme würde nur dann vollkommen zutreffende Ergebnisse liefern, wenn die gelenkförmigen Knotenverbindungen ohne Reibung zur Wirkung gelangen könnten. Statisch unbestimmte Systeme gestatten überhaupt nur näherungsweise Berechnungen, weil sie das Heranziehen der elastischen Formänderung nötig machen. Die Einbeziehung der letzteren kann jedoch wegen der Unbestimmtheit der Elasticitätsziffer auch nur zu Näherungswerten führen. Dasselbe gilt von den Nebenspannungcn, die infolge der Starrheit der Knotenpunktverbindungen bei den unter der Belastung entstehenden Formveränderungen sich einstellen.

2.    Die Einflüsse der mit Stöfsen und Erschütterungen zur Wirkung kommenden Belastungen, der Geschwindigkeit der rollenden Lasten und der dadurch hervorgebrachten Vergröfserung der Raddrücke, sowie der hiermit in Verbindung stehenden, fast plötzlichen Kraftwirkung, namentlich bei Brücken kleinerer Spannweiten.

3.    Der Einflufs ungleichmäfsigen elastischen Verhaltens des Baustoffes, bezw. der aus verschiedenen Konstruktionselementen zusammengesetzten und durch Nietung verbundenen Konstruktionselemente, der Arbeitsmängel, verborgener Materialfehler u. s. w.

4.    Die Montierungsspannungen infolge der zwangsweise in die Konstruktion eingefügten Konstruktionsglieder, sowie die unbeabsichtigten zufälligen Anfangsspannungen.

5.    Die ungleichmäfsige Anteilnahme an der Kraftübertragung solcher Bauglieder, welche in zwei oder mehrere Einzelglieder geteilt, der Berechnung nach gleiche Lastanteile aufzunelimen hätten, jedoch wegen des mehr oder minder excentrischen

Anschlusses der lastübertragenden Zwischenkonstruktion eine gleiche Lastverteilung nicht erwarten lassen.

6. Der Einflufs der Zeit, insofern angenommen werden mufs, dafs die ununterbrochene Wirkung des Eigengewichtes, der Temperaturschwankungen, dann der Erschütterungen durch die Yerkehrslasten und anderer zufälliger, im Laufe der Zeit eintretender schädlicher Umstände die ursprüngliche Widerstandsfähigkeit des Baustoffes herabmindern und zwar um so mehr, je gröfser die Inanspruchnahme ist.

Alle diese Umstände nötigen zum Herabsetzen der „zulässigen Inanspruchnahme“ unter die Elasticitätsgrenze und zwar um so mehr, als diese Gröfse selbst nicht genau bestimmt ist, vielmehr nur einem anzunehmenden und aus Yersuehsergebnissen abzuleitenden Mittelwerte entspricht. Hinsichtlich der Bemessung der Gröfse der genannten Einflüsse erübrigt nun kein anderer Weg als der der Schätzung.

Diese sämtlichen Einflüsse durch Einführung einer Ziffer, die einem Bruchteile der Spannung an der Elasticitätsgrenze entsprechen würde, decken zu wollen, geht nicht an, denn jeder dieser Einflüsse kommt z. B. nicht nur je nach der Gröfse der Spannweite mit verschiedener Gröfse in Betracht, sondern er mufs auch je nach dem Ivon-struktionssystom, ja sogar eigentlich für jedes Bauglied mit Berücksichtigung der besonderen Eigentümlichkeit desselben abgeschätzt werden. So ist es fraglos, dafs die dynamischen Wirkungen der bewegten Yerkehrslast auf kleine Brücken und Träger kleiner Spannweiten erheblich gröfser ist, als auf gröfse Brücken. Aber nicht nur dies. Genietete Gitter- und Fachwerksträger werden unter sonst gleichen Umständen derartigen Wirkungen besser widerstehen als Träger mit Knotengelenken und zwar deshalb, weil die Widerstandsarbeit der ersteren sowohl aus der achsialen Arbeit der Stabkräfte, als aus deren Biegungsarbeit sich zusammensetzt und daher etwa wie die eines Federwerkes wirkt, während die Widerstandsarbeit der letzteren blofs durch die wesentlich geringeren Längsschwingungen der Stäbe geleistet werden kann. Konstruktionsglieder von stärkerer Masse, die Gurtungen z. B., verhalten sich gegen Stofswirkungen wesentlich günstiger als schwache Stäbe. Zusammengesetzte Glieder werden anders zu beurteilen sein, als einfache, Druckglieder anders als Zugbänder u. s. w.

Derartige Erwägungen werden die Richtschnur bilden bei Abschätzung jener Ziffer, die, wie dargethan, nichts weniger als unveränderlich angesehen werden darf, sondern im Gegenteil verschiedene, den jeweilig zu bestimmenden Konstruktionsteilen angemessene Werte erhalten soll.

Nach dem älteren Verfahren der Quersclinittsbestimmung für die Konstruktionsglieder der Brücken nahm man in der Regel einen Bruchteil der Bruchfestigkeit als zulässige Inanspruchnahme an und bezeichnete mit dem Namen Sicherheitsgrad die Zahl, durch welche die Bruchspannung geteilt wurde.

Je nach den mehr oder minder günstigen Umständen, der Wirkung der Stöfse, der kürzeren oder längeren Dauer der Konstruktion bewegte sich jener Sicherheitsgrad bei Schvveifseisen zwischen 4 bis 6. Meistens lagen die zulässigen Inanspruchnahmen für Brückenkonstruktionen zwischen 600 bis 800 kg f. d. qcm.

Manche Konstrukteure wendeten auch veränderliche Inanspruchnahmen an, je nach der Gröfse der Spannweiten; so findet sich in Laissle und Sehübler, „Bau der Brückenträger“ als zulässige Inanspruchnahmen angegeben :

s = 600 kg f. d. qcm,

s = 700 „    „

s = 800 „    „

Für kleine Brücken .    .

„ mittelgrofse Brücken „ gröfse Brücken .    .

Gerber führte zuerst⁶³) deu Einflufs des Eigengewichtes und der bewegten, stofsweise wirkenden Yerkehrslast, mit verschiedenen Einflufsziffern versehen, in die Berechnung

ein, indem er die Spannung an der Elasticitätsgrenze erreichen liefs durch die Summe aus der einfachen Spannung durch das Eigengewicht und der dreifachen Spannung durch die Yerkehrslast, wobei die Elasticitätsgrenze mit 1600 kg f. d. qcm angenommen wurde.

Bezeichnet nämlich:

Se die vom Eigengewichte,

Sy die von der Yerkehrslast herrührende achsiale Stab kraft,

F den Querschnitt des Stahes,

so ist hiernach :

39.

1600 =

Sc -j- 3 Sv

Ist die Inanspruchnahme der Querschnittseinheit = s, so ist auch

Sc Sv

sonach :

s = 1600

Sc 4- Sv

40.

kg f. d. qcm

Durch Gerber fanden auch zuerst, und zwar schon seit dem Jahre 1872, die AYöhler’schen Yersuchsergebnisse praktische Yerwendung bei der Querschnittshestimmung der Brückenkonstruktionen. Derselbe entwickelte auf Grund des von ihm abgeleiteten Ausdruckes für das Wo hl er’sehe Gesetz (Gl. 31) ein besonderes Yerfahren zur Bemessung der zulässigen Inanspruchnahmen, welches von dem Königl. bayerischen Ministerium des Innern angenommen und für eiserne Strafsenbrücken am 13. Februar 1878 zur Vorschrift erhoben wurde. Diese Vorschrift trifft folgende Bestimmungen:

„Die Anzahl der Schwingungen, nach welcher Bruch entsteht, ist abhängig von der Gröfse der beiden die Schwingungen eingrenzenden Spannungen. Übersteigt für eine bestimmte Grenzspannung die Gröfse des Spannungswechsels nicht einen bestimmten Wert, so ist ein Bruch überhaupt nicht zu erwarten. Die Beziehung zwischen dieser Gröfse des SpannungsWechsels und der unteren und oberen Grenzspannung wird durch die Gleichung:

S₀ "h 3 Sy

(3 ₊ Ü9 + 4 (2 9 + l)²) - Ç

dargestellt, worin

o.

cp = —

das Verhältnis der unteren Grenzspannung a zur Gröfse des Spannungswechsels yj, und t derjenige Koefficient ist, mit welchem die Gröfse des Spannungs Wechsels multipliziert werden mufs, um mit der unteren Grenzspannung diejenige zu geben, welche als ruhend die statische Festigkeitsgrenze y bildet“.

„Sind für einen Träger die in einzelnen Konstruktionsteilen unter den gegebenen Verkehrs- und beständigen Belastungen überhaupt möglichen Maximal- und Minimalspannungen berechnet, so werden bei Brückenträgern aus Walzeisen die Querschnittsdimensionen der Teile für die statische Festigkeitsgrenze von 1,6 t auf das Quadratcentimeter entwickelt; es ist also mittels der aus obiger Gleichung bestimmten Koefficienten der Schwingungsfestigkeit der Bedingung a Ą- x vj = y = 1,6 t f. d. qcm zu genügen“.

„Zur Berücksichtigung der durch das Rollen der Räder über Unebenheiten der Fahrbahn und durch die Bewegungen der lebenden Lasten entstehenden Stöfse werden die sämtlichen veränderlichen Belastungen 1,5 fach als Verkehrslast in Rechnung gebracht“.

= — ein, so erhält man, wenn

Führt man nämlich in Gl. 31 den Wöhler’schen Versuchswert gleichzeitig om;n = a, Gmax — amin = 7] und z — y gesetzt wird,

et —

2~ ⁺

y Y-4

Setzt man weiter —• = cp, so ergiebt sich auch

(■ ⁺ i) - Gif) _ i Q)’

woraus

y = y + y Ü9 + 4 (2 cp +1)² = y (3 + \⁷9 + 4 (2 cp + l)²").

Wird nun die Bedingung⁻ eingeführt, dais die Summe aus den spezifischen Spannungen infolge der konstanten Last (a) und der t fachen veränderlichen Belastung (vj) gleich y sei, so folgt aus a + T7]=y

t ■=

^    “ — ? oder T (3 + VX9f 4(2? + 1)”) — 9,

wie die obige Vorschrift verlangt.

Schaffer änderte die Anwendungsweise Gerber’s folgendermafsen:

Ist s die Inanspruchnahme der Flächeneinheit, so ist

jji _

Mit

Smax

Smin

= A wird erhalten :

<1 ÖD

S max

Smin

S max

Werden die Erschütterungen durch Multiplikation der Verkehrslast mit dem Koefficienten m berücksichtigt, so ist

»Smax — Sc d” m Sv,

/Sniitt = S₀ -j- m »S',

wobei »S(!, Sv und S' algebraisch zu nehmen sind. Hiernach wird:

»Smax »Smin - VI (Sv Sv),

43.

m (Sv - SO

und

Sc m Sv

Sc vi Sv

Weiter ist

Smin — Smax — A . F == F (S — A).

Wird in GL 31

(o

Smax

Smin

'min ) -

z 3 ’

gesetzt, so folgt: (2 s — A)² -j- 6 z A = 4 z* und hieraus

max

— A, Gmax

\A - « 4]

oder —

= {[ +V/4-t    ]

<1 *

Diese Gleichung wird alsdann in die Form

3 (4) + VI6 — 16

(* - 4)’

gebracht, sodafs bei Zulassung von des Wertes z sich ergiebt:

-³(4) + V/ie-r06(A) + 13(A)’

(* - 4)s

44,

Bei der Anwendung ermittelt man, nachdem die Spannungen bestimmt wurden, .den Wert

m (Sv — Sv)

Se “P VI Sy

(4)

und damit den Wert s aus der letzten Gleichung, worauf mittels der Beziehung

Sc + m S,

4.ri,

die notwendige Querschnittsfläche F berechnet werden kann.

Schaffer setzt für — = 1600 kg f. d. qcm und für in — 1,5, wie Gerber. n

Die Berechnung der zulässigen Inanspruchnahme nach der Launhardt - Weyrauch’sehen Methode gestaltet sich einfacher als die vorhergehende.

Entsprechend den von Launhardt-Weyrauch aufgestellten Ausdrücken für das Wühl er’sehe Gesetz Gl. 35 u. 36, aus welchen durch Einführung der Wöhler’schen Versuchswerte sich ergiebt:

für Schweifseisen: —

— S„

Su

für Gufsstahl:

ZD zo

— z = 0,454 z und -

11

“ 15’ — s₈ _ 5

— Ï2’

lauten diese Beziehungen bei Beanspruchungen in nur einem Sinne:

für Schweifseisen:

Cmax

für Stahl:

und bei Beanspruchungen im entgegengesetzten Sinne:

für Schweifseisen:

Graax —

'-‘max

für Stahl :

Gmax

- Su ^1 4

Su ^1 4

= Su ^1 +

= s„(l +

5    ‘\nin (5 Sm

6    Sm in

5 S

7 Smin

15 S

).

max

5 iSmin Ä

ax '

12 Sm

Mit Rücksichtnahme auf Stofswirkungen und andere unvorhergesehene Einflüsse und Umstände wird als zulässige Inanspruchnahme nur ein Bruchteil von smax angenommen und der konstante Faktor des zweiten Gliedes entsprechend abgerundet.

Rach Weyrauch ist bei Beanspruchungen in einem Sinne:

= 700 (l +

s = lioo (l 4

Bei Beanspruchungen im entgegengesetzten Sinne:

für Schwreifseisen : s

für Stahl :

für Schweifseisen : s

für Stahl :

= 700 (l -F

s = lioo (l 4

1 Smi

:)1

max

9 Smin ^ j

11 &n

1    Suiin Ä I

2    Smax ) I

_5_ Smi 11 S

L)|

max x )

46,

47,

wobei Smin und S

max

algebraisch zu nehmen sind.

Gleichungen :

Rach AVinkler’s Anschauung⁶⁴) kann das Wöbler’sehe Gesetz ausgedrückt werden durch die

für Schweifseisen: amax = 0,55 z 4 0,45 aroin (vergl. Gl. 37), Omax = 0,44 z 4 0,56 G.nin (vergl. Gl. 37). Bei Druck setzt Winkler die bezügliche spezifische Festigkeit

für Stahl:

7

für Schweifseisen: z‘ — — z,

für Stahl :

und bestimmt

für Schweifseisen: Gm„x = 0,60 z' 4 0,40 omi„, 3,mx 4 0,37 Z' 4 0,63 Gmin -

für Stahl:

Allgemein ist hiernach

für Zug: Gmax == (1 — k) Z 4 /COmin, 1 für Druck: omax — (1 — k‘) z' 4 IS omilî I

48.

Unter Aroraussetzung «fâcher Sicherheit setzt Winkler

« ^min

Gmax -

max

jp ; Gmin -

mithin ist für Zug S

na

g

— (1 — h) — F 4 kSmiu, weil aber Smin

n

S,, S

max

— S₀ 4 S,, so folgt:

Smax    k Smin

S.

49

Für Druck ergiebt sich gleichfalls:

Smax k >Smin

Sa

Sv

c (t)    (t) '

C4) Zeitsehr. d. östen*. Ing.- u. Arch.-Yer. 187 7.

und

Wirkung von Zug und Druck bei überwiegendem Zuge.

Bezeichnet SY und Si die positive und negative Spannung infolge der zufälligen Last, so ist Stnax = Sa + Sy, Smin = S'y - Sc

Smax k $min :—

(1 - *) (~) F = SC + Sy + k (Sy - So)

Sc

Sy

kS'y

G)

o-KG)

Wirkung von Druck und Zug bei überwiegendem Drucke. Hier ist ähnlich dem Vorhergehenden:

Sc

F = —ï- +

(i)

Sy

k' S'y

52.

Diese Beziehungen gelten, wenn die zufällige Last ohne Stofs wirkt.

Winkler berücksichtigt die Stofswirkung durch Multiplikation der Spannung aus der Verkehrslast mit einer Zahl, die für Eisenbahnbrücken — 1,3, bei Strafsenbrücken = 1,2 ist.

Indem derselbe

für Schweifseisen: k = 0,45.

k‘ = 0,4,

G) =

1400;

für Stahl :

k = 0,56, k‘ == 0,63, setzt, erhält er für schwreifseiserne Brücken und zwar:

(v)-

1800;

—    1200 kg f. d. qcm,

—    2200 kg f. d. qcm

a) Für Eisenbahnbrücken:

bei Zug oder überwiegendem Zuge :

Sc H⁻ 2,37 Sy -f- 1,07 Sy

Sc

Sy

Sy

1400

1400

590

1300 ¹

53,

bei Druck oder überwiegendem Drucke:

So + 2,17 Sy + 0,87 S'y

Sc

Sy

S'y

1200

1200

550

1380 ’

54.

b) Für Strafsenbrücken:

bei Zug oder überwiegendem Zuge :

1200 ⁺ 600 ⁺ 1500

Seit Einführung des Wohl er’sehen Gesetzes in die Praxis der Quersehnitts-bemessung eiserner Brücken ist ein weitgreifender Umschwung in dem bis dahin üblichen Verfahren eingetreten. Es ist kein Zweifel, dafs durch die Wohl er’sehen Versuchsergebnisse ein grofser Fortschritt in der Erkenntnis der Festigkeitseigenschaften des Eisens gemacht ist und es wird dies auch allgemein anerkannt. Gegen die direkte Verwendung des in Formeln zum Ausdrucke gebrachten Wöhler’schen Gesetzes für die Querschnittsbestimmung von Eisenkonstruktionen ist jedoch trotz deren weitverbreiteten Anwendung-mehrseitig Widerspruch erhoben worden.

So unterzog Professor Mohr in einem beachtenswerten Aufsatze: „Über die Verwertung der Wöhler’schen Versuche für die Querschnittsbestimmung der Eisenkonstruktionen, insbesondere der eisernen Brücken“ im Civilingenieur 1881 die neuen Berechnungsmethoden einer eingehenden und scharfen Kritik. Ohne das Wöhler’sche Gesetz in der Form, in der dasselbe von seinem Entdecker ausgesprochen wurde, zu bezweifeln, wendet sich Mohr gegen die Anwendung desselben in Form eines allgemeinen Zahlenausdruckes zum Zwecke der Querschnittsbestimmung von Konstruktionsteilen, weil die Versuchswerte selbst blofs an schlichten Stäben gewonnen, die Spannungsschwingungen in sehr kurzen Zeitabständen ausgeführt wurden und auch Spannungswerte aus Biegungs versuch en abgeleitet worden sind für Be-

1200

Sy

S'y

1400

642

1400

55.

56,

anspruch ungen, die über der Elasticitätsgrenze lagen, wo also die Theorie nicht mehr giltig ist. Wenn jedoch auch hiervon abgesehen würde, hält Mohr die Anwendung einer empirischen Formel für die Abmessung von Eisenkonstruktionen schon deshalb für ungeeignet, weil darin aufser dem Wöhier’sehen Gesetze auch noch andere mafsgebende Umstände aufgenommen werden müfsten. So der Einflufs der Gröfse, Form und Zusammensetzung der Querschnitte, die Festigkeit der Verbindungen, die Dauer der Belastung, die Stöfse der Yerkehrslast, der ungleichmäfsige Anteil der Konstruktionsglieder an der Haltbarkeit der Brücke und die Ungenauigkeiten der Berechnung. Die Einführung eines konstanten Sicher-keitskoefficienten sei gänzlich unzutreffend; es müfste denn erst bewiesen werden, dafs

1.    „die Summe der Fehler und Irrtümer, welche man bei der Querschnittsbestimmung begeht, in jedem Falle genau oder doch wenigstens angenähert in einem konstanten Verhältnisse zu der gesuchten Querschnittsgröfse steht;“

2.    „dafs die Gefahr, welche mit einer Überschreitung der Wohl er’sehen Zahl verbunden ist,

eine konstante Gröfse hat“ ; und

für alle Werte von

Omin

Omax

3. „dafs die Gröfse der Fehler und die Gröfse der Gefahr durch den Koefficienten richtig abgeschätzt sind.“

Mohr weist insbesondere darauf hin, dafs bei den meisten Brücken, die gegenwärtig entworfen

zwischen Kuli und ¹/a liegen, während für dessen nega-

und ausgeführt werden, die Werte von

Omin

Omax

tive Werte die Zerknickungsgefahr mafsgebend ist und die neuen Vorschläge daher nicht in Anwendung kommen. Innerhalb der genannten Werte ergeben jedoch die neuen Formeln Inanspruchnahmen, welche mit wenigen Ausnahmen die früher üblichen weit überschreiten. Das Ergebnis wäre also, dafs die Querschnittsabmessungen der Brückenglieder kleiner ausfallen, als nach dem alten Verfahren.

Mohr hält die Anwendung eines Schätzungsverfahrens zur Bemessung der zulässigen Inanspruchnahme für notwendig; er schlägt vor, dieselbe in kg f. d. qmm oder in ganzen Hunderten von kg f. d. qcm anzunehmen und unterscheidet drei Gruppen von Konstruktionsteilen und zwar z. B. solche,

die mit 5, 6 oder 7 kg f. d. qmm in Anspruch genommen werden dürfen.

Die Begrenzung dieser Gruppen ist von den Umständen abhängig zu machen, welche einen allgemeinen Einflufs ausüben, also von der Zuverlässigkeit der bei der Berechnung angewendeten Theorie und von der Beschaffenheit des in Aussicht genommenen Baustoffes, insbesondere von dessen Gleich-mäfsigkeit und Zuverlässigkeit. Die Einteilung in Gruppen soll nach wichtigen Unterscheidungsgründen: nach der Form des Querschnitts, Einfachheit der Verbindungen, Wirkung der Stöfse, Gröfse der Spannungsschwingungen, Genauigkeit der Berechnung u. s. w. erfolgen.

Laissle und Schübler haben sich gleichfalls gegen die neuen Berechnungsverfahren ausgesprochen und zwar namentlich in einem Aufsatze „Zur Bestimmung der Festigkeitskoefficienten für Eisenbauten“, Centralblatt der Bauverwaltung 1885, S. 138. Die Genannten halten diese Methoden nicht nur

wegen der hohen Spannungen, welche sie ergeben, wenn

der Einheit nahe kommt, für bedenklich,

Gmin

Gmax

sondern auch für nicht folgerichtig. Sie folgern aus den Bauschinger’schen Versuchen, dafs zunächst bei den nur auf Zug in Anspruch genommenen Bauteilen die Zahl der Belastungswiederholungen ganz gleichgiltig sei; es sei nur erforderlich, dafs die in die Rechnung einzuführende zulässige Spannung so weit unter der Elasticitätsgrenze bleibe, dafs diese letztere durch Hinzutreten von zufälligen Mehrbelastungen, unvermeidlichen Fabrikationsfehlern, allmählichen Querschnittsverminderungen (durch Rostu. dergl.), unbeabsichtigten Nebenspannungen und namentlich von Stofswirkungen nicht erreicht wird. Die Elasticitätsgrenze des Schweifseisens liege zwischen */2 bis ³/s der Bruchlast, doch dürfe nur der kleinere dieser Werte mafsgebend sein. Die Genannten treteh für die Beibehaltung der bewährten Koefficienten ein und halten an denselben insbesondere mit Rücksicht auf die Zusatz- und Nebenspannungei] fest. Sie nehmen je nach Gröfse der Stofswirkungen für Eisenbahnbrücken, deren Gröfse zwischen 550 bis 800 kg f. d. qcm an und halten eine Erhöhung derselben um 10 bis 15°/o dann für zulässig, wenn Zusatzspannungen ausgeschlossen oder in der Rechnung genau berücksichtigt worden sind. Bei Wechsel zwischen Druck und Zug könne eine Ermäfsigung der obigen Festigkeitskoefficienten auf etwa ²/3 ihrer Gröfse Platz greifen, da Wö hier’ s Versuche für die „Schwingungsfestigkeit“ etwa 'l\% der Spannung an der Elasticitätsgrenze ergeben.

Professor Landsberg erhebt in einem Aufsätze „Über die Bestimmung der Querschnitte von Eisenkonstruktionen“ (Centralblatt der Bauverwaltung 1885) gegen die neuen Bereehnuugsverfähren ebenfalls den Vorwurf des Mangels an Folgerichtigkeit, anerkennt jedoch, dafs mit diesem Verfahren ein Fortschritt in der Kunst des Eisenbaues verbunden gewesen sei. Für nur gezogene bezw. nur gedrückte

Stäbe führt er aus, dafs man, ohne von den Wöhler’scben Verbuchen auszugeheu, aut anderem Wege zu Formeln gelange, welche den aus diesen Versuchen abgeleiteten ganz ähnlich, nahezu gleich sind.

Die Schlufsfolgerungen Landsbergs sind die folgenden: Die Elasticitätsgrenze dürfe nicht erreicht werden. Der Einflufs von Querschnittsverminderungen durch Rost u. dergl. und der Nebenspannungen, die man jetzt mit ziemlicher Genauigkeit berechnen könne, wird mit 33 % bis höchstens 50% gerechnet, so-dafs für die Elasticitätsgrenze von 1600 kg f. d. qcm die äufserste Grenze, welche mit Rücksicht auf die Stofswirkungen höchstens erreicht werden darf, 1200 bezw. 1050 kg f. d. qcm beträgt. Indem dor Stolswirkung durch Multiplikation der Verkehrslasten mit (1 -f- p) Rechnung getragen wird, erhält man die Beziehung

Gmin ~f” (I “h (^max ^min) - k ,

wenn K —, 1200 bezw. 1050 kg f. d. qcm ist.

Aus der obigen Gleichung folgt:

^max —

Gmin

57,

Landsberg bestimmt nun p so, dafs für ami„ — 0, cmax = 700 kg wird. Hiernach ergiebt sich p =

700

— 1, also für

I = 1200; Tc = 1050;

P = 0,7, p = 0,5.

Mit diesen Werten wird

1200

1,7-0,7

Omin

^max

bezw.

Gmax —

1050

57“.

1,5 — 0,5

Angenähert ist für den zweiten Fall

Gmin

Graax

Gmax

= 700 (l + j

Grain

).

Gmax

ein Ausdruck, welcher grofse Ähnlichkeit mit der Weyrauch’schen Gleichung hat.

In einem weiteren Aufsatze (Zeitsehr. d. Arch.- u. Ing.-Vex*. zu Hannover 1888, S. 575) erweitert Landsberg diese Entwickelungen auch für Beanspruchungen, welche zwischen Zug und Diuck wechseln. Wenn bedeuten: Po die Stabkraft, welche durch Eigengewicht allein, Pi diejenige, welche durch Verkehrslast allein in gleichem Sinne wie Po, JA diejenige, welche durch Verkehrslast im entgegengesetzten Sinne wie Po erzeugt wird, so ist die nötige Querschnittsfläche F

für nur gezogene oder nur gedrückte Stäbe ^wenn JA <C ~ Po^ :

^ + -

2    4 für gezogene uxid gedrückte Stäbe, falls JA > — Po und Pa — Pi < —

3    3

F%'-R

1050

Pi

700

öS,

Po ist:

Pi

JA

700

1575

2

für gezogeue und gedrückte Stäbe, falls JA j> —

3

F = - Po

Pi

2100 ’

58“.

Po und JA —

2', > 4

JA ist:

-JA

700

JA, JA, JA sind in absoluten Zahlenwerten einzuführen, also ohne Rücksicht auf die Vorzeichen.

In einem Vortrage des Professors Kr oh n⁶⁵) „Über Dimensionierung von Eisenkonstruktionen und über Wertziffern“ erörtert der Verfasser unter anderem auch den Einflufs der Stofs Wirkungen auf Konstruktionsteile der Brücken und die Bemessung der Stofskoefflcienten. Er gelangt zu dem Ergebnis, dafs dieser Koefficient nicht konstant genommen, sondern entsprechend der Anzahl der stofsenden Räder bemessen werden soll, und schlägt für denselben die nachstehenden AVerte vor:

5—6

Anzahl Räder:    1

1575

2100

58b.

Stofskoefficient: 2,0    1,8

CO

c,

7—9

10 u. mehr

1,4

1,3

1,2

Oo) Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1885, 8. 153 u. ff.

Für diesen Koefficienten nimmt G erber bekanntlich den Wert 1,5, Winkler den Wert 1,8 an. Es ist wahrscheinlich, dafs die Krohn’sche Bemessung dieser Gröfse im allgemeinen der Wirklichkeit näher kommt.

Es ist des weiteren interessant, wie Krohn die Gröfse der zulässigen Inanspruchnahme ermittelt. Er nimmt die La un har dt-Weyrauch’sehe Formel an in der Form

¹

) Ritter. Der Brückenbau in den Vereinigten Staaten Amerikas.

59,

« = 12 (l +4^)

für Kilogramm und Quadratmillimeter, behält jedoch nur jene Werte bei, die gleich oder kleiner als

12kg sind; d. h er benutzt die Formel nur für negative Werte von ~

max

o

Sein Verfahren der Querschnittsbestimmung besteht darin, dafs bei Stäben, die blofs in einem Sinne beansprucht werden, die mobile Belastung mit dem entsprechenden Stofskoefficienten multipliziert und die zulässige Beanspruchung mit 12 kg f. d. qmm angenommen wird; bei wechselndem Sinn der Spannungen dient die obige Gleichung zur Bestimmung der Inanspruchnahme.

Diesem Vorgänge ähnlich entwickelt Professor Häseler in „Über die Wahl der zulässigen Inanspruchnahme der eisernen Brücken“ (Deutsche Bauz. 1886) die folgenden Grundsätze.

Nach der statischen Berechnung der Stabspannungen durch Eigengewicht und die ungünstigste zufällige Belastung kommen zur Erörterung:

1.    Der Einflufs der Stöfse, welcher durch einen Koefficienten ; = 1,2 -f- — , wobei n die Anzahl der für den Konstruktionsteil ungünstigstenfalles in Betracht kommenden Achsen, zu bemessen ist.

2.    Die Nebenspannungen infolge der gehinderten freien Beweglichkeit der Knotenpunkte.

8. Die Zusatzspannungen infolge unvermeidlicher Material- und Fabrikationsfehler, mangelhafter Kraftübertragung durch die Niete, ungenauer Aufstellung und der Festigkeitsverminderung des Eisens durch die Bearbeitung, sowie endlich der Querschnittsverminderung durch Rost.

a)    Die unvermeidlichen Material- und Fabrikationsfehler werden mit 5°/o,

b)    die Festigkeitsverminderung durch Bearbeitung, die mangelhafte Kraftübertragung u. s. w. mit 15°/o,

c)    Fehler der Montierung mit 5°/o und

d)    Querschnittsverminderung durch Rost mit 5°/o, zusammen 30°/o bemessen.

bezeichnen nun

P die statisch berechnete Stabspannung vom Eigengewicht,

Q und Qi die gröfste bezw. kleinste statisch berechnete Stabkraft durch die Verkehrslasten, ą und die Stofskoefficienten dieser Verkehrslasten,

si die Spannung an der Elasticitätsgrenze,

s die zulässige Beanspruchung bei ruhender Last in kg f. d. qcm, p. ein Koefficient für Zusatz- und Nebenspannungen,

F die Querschnittsfläche,

/Smin und *Smax die absolut kleinsten bezAV. gröfsten Stabkräfte auf Grund des Eigengewichtes und der mit dem Stofskoefficienten multiplizierten Verkehrslast, so ist:

p (p + sQ)

si P -f- Q p P + s Q

P ± Q

Sl

Für den Fall, dafs kurz aufeinanderfolgend Zug-und Druckspannungen (ohne Zerknickungsgefahr) stattfinden, ist zu setzen :

P + £l Ql 2 P -j- s Q

Zur Bemessung des Koefficienten p. werden drei Gruppen von Trägern unterschieden und zwar: vollwandige, gegliederte mit steifen Knotenpunkten und solche mit gelenkartigen Knotenpunkten. Besonders für Balkenträger auf zwei Stützen giebt Häseler die folgenden Werte:

P+ Q

)0

2 S’m

P + Q

P -fs

cf) (

)•

Arten der T r ä g e r

Neben

spannungen

°l 0

Zusatz-

i Spannungen

°h

Zuschlag für etwaige Mehrbelastung

p.

o/il

Vollwandige Träger............

Gegliederte Träger mit starren Knotenpunkten .    .    .

„ gelenkartigen Knotenpunkten .

o« o o

I—^    to

c» c: o

H r-H rH

Prof. Melau gelangt in einem beachtenswerten Aufsatze⁶⁶) zu dem Ergebnisse, däfs die von der dynamischen Einwirkung der Yerkehrslasten herröhrende Yergröfserung der Spannungen ausgedrückt werden kann durch die Formel (Gl. 24 auf S. 53):

L + 10 ’

wobei für L die Stützweite der Träger, bezw. bei Gitterstäben die Länge der belasteten Strecke einzuführen ist.

<p = 0,14 -f-

Ist nun für einen Konstruktionsteil die Spannung durch das Eigengewicht = $c, jene durch die ruhend angenommene Yerkehrslast — Sv und die als zulässig angenommene Inanspruchnahme bei ruhender Belastung = s„, so folgt, wenn keine Knickung in Frage kommt, die Querschnittsfläche des Stabes aus:

«0

[$, + (1 + ff) £t].

Für Schweifseisen nimmt Mel an s₀ = 1000 kg/qcm.

Hiernach käme die Berücksichtigung der dynamischen Einwirkung darauf hinaus, dafs die Yerkehrslast in einem gewissen Yerhältnisse (1 -f- ®) vergröfsert in Rechnung gebracht wird; ein Yorgang, der im allgemeinen wohl zuerst von Gerber zur Anwendung gebracht worden ist.

Ingenieur Ebert (Deutsche Bauz. 1896) vertritt die Anschauung, dafs auf Grund der Baus chin g er’sehen Yersuche die zulässige Beanspruchung der Eisenkonstruktionen lediglich nach der Gröfse der natürlichen Elasticitätsgrenze zu beurteilen sei und greift zurück auf die einfachen Berechnungsformen, welche Gerber bei Herstellung seiner ersten Werke angewendet hat. Indem Ebert die durch die veränderliche Belastung hervorgebrachte Spannung in einem Brückenorgane mit dem G c r b e r 'sehen Koefficienten 1,5 versieht, stellt er für die zu berechnende Querschnittsfläche F des Stabes die Beziehung auf :

Sc -f" 1,5 Sy 1200 ’

wobei die Zahl 1200 die zulässige Inanspruchnahme des Materiales in kg/qcm bedeutet. Bei wechselndem Sinne der Stabkräfte setzt Ebert:

F= 1,5

Sz -f- Sv 1200 ’

indem sowohl die Stabkraft im Sinne des Zuges als auch jene im Sinne des Druckes mit den Stofskoofficienten multipliziert und arithmetisch summiert und dieser ideellen Stabkraft entsprechend die Querschnittsfläche für die zulässige Beanspruchung von 1200 kg/qcm gerechnet wird.

Aus der vorgeführten Übersicht geht hervor, dafs hinsichtlich der zulässigen Inanspruchnahmen drei verschiedene Auffassungen deutlich erkennbar sind.

Anfangs wurde ein ganz bestimmter Zahlenwert für alle Fälle zu Grunde gelegt, unbekümmert um die Art der Beanspruchung ; man nahm nur auf die, absolut genommen, gröfste Inanspruchnahme Rücksicht. Die Bestimmung dieses Zahlenwertes war, da Erfahrungen so gut wie gar nicht Vorlagen, in der Hauptsache ein praktischer Griff, der, wie man zugeben mufs, sehr glücklich gemacht wurde und sich auch bewährt hat. Hoch heutzutage und namentlich dann, wenn die zulässigen Spannungen durch Anordnungen der Behörden festgelegt sind, verfährt man nicht selten in der angegebenen Weise.

Die zweite Art der Behandlung kennzeichnet sich dadurch, dafs man, nachdem die Eigenschaften des Stoffes, zumal durch die Wohler’schen Yersuche, besser bekannt

6o) Über dynamische Wirkung bewegter Lasten auf Brücken. Zeitsohr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1893.

geworden waren, sich bestrebte, diese Kenntnisse und die Ergebnisse jener Versuche für die Ermittelung der zulässigen Inanspruchnahme zu verwerten. Man stellte Formeln auf, welche die zulässige Inanspruchnahme nicht nur aus der gröfsten auftretenden Spannung bemessen, sondern auch in hervorragendem Mafse die untere Spannungsgrenze berücksichtigen. Das letztere ist als entschiedener Fortschritt zu bezeichnen und wird voraussichtlich auch in Zukunft stets beibehalten werden. Dennoch ist auch diese Auffassung nahezu als überwunden zu betrachten, da wohl allgemein anerkannt ist, dafs die Wohl er’sehen Versuche, deren grofse Bedeutung stets anerkannt bleiben wird, in der vorgeschlagenen und oben beschriebenen Weise, bei welcher von der Bruchfestigkeit ausgegangen wurde, zur Ermittelung der zulässigen Inanspruchnahme nicht verwertbar sind.

Gegenwärtig wird nun die zulässige Inanspruchnahme vorzugsweise mit Rücksicht auf die Elasticitätsgrenze des Materiales bestimmt, dabei werden aber gleichfalls die Grenzen der Beanspruchung in Betracht gezogen. Die Grundlage für diese Bestimmung hat Bauschinger mit seinen bahnbrechenden Versuchen geliefert.

Für die praktische Anwendung wird die Gröfse der zulässigen Inanspruchnahme des Baustoffes meist durch besondere Verordnungen der mafsgebenden Behörden geregelt.

So schreibt die Verordnung des österreichischen Handelsministeriums vom 15. September 1887 hierfür im § 4 vor:

1.    Unter 40,0 m Stützweite 700 kg f. d. qcm nebst 2 kg Zuschlag für jedes Meter Weite.

2.    Yon 40,0 m Stützweite aufwärts und zwar

780 kg f. d. qcm 840    „

880 „

900    „

für 40,0 m .    .    .    .

« 80,0 ......

„ 120,0 ......

„ 160,0 „ und darüber

wobei für die dazwischen fallenden Stützweiten geradlinig zu interpolieren und für die Quer- und Längsträger jener Wert zu nehmen ist, welcher der Stützweite dieser Träger zufällt.

3.    Zur Berechnung der Niete auf Abscherung in nur einer Richtung 600 kg, bezw. in mehreren Richtungen 500 kg, wobei noch zu beachten ist, dafs die Projektion der Nietlochleibung mit nicht mehr als 1400 kg f. d. qcm beansprucht werden darf.

4.    Für die Berechnung des Widerstandes gegen Abscherung in der Walzrichtung 500 kg f. d. qcm. Der schweizerische Bundes rat giebt in der Verordnung vom 19. August 1892, betreffend

die Berechnung und Prüfung der eisernen Brücken und Fachkonstruktionen auf den schweizerischen Eisenbahnen die Bestimmung:

a) Für Zug und Druck.

Für Schweifseisen: sz — s<i = 0,700 + 0,20

min max'

für Flufseisen:

sz = Sd = 0,800 + 0,25 ~~x.

Hierin bedeutet min bezw. max die unter gleichzeitiger Berücksichtigung des Eigengewichtes, der Verkehrslasten, des Winddruckes, bei Eisenbahnbrücken in Kurven überdies der Fliehkraft abgeleiteten Kleinst- bezw. Gröfstspannungen. Dabei ist den Zugkräften -j-, den Druckkräften das —Zeichen vorzusetzen (die Zahlen sind t auf das qcm). Bei genieteten Flufseisenträgern ist die Biegungsspannung gleich 0,9 der entsprechenden Zug- oder Druckspannung anzunehmen.

b) Knickung.

Auf Druck beanspruchte Stäbe sind hinsichtlich ihrer Knickfestigkeit zu prüfen. Bezeichnet l die freie Knicklänge, i den kleinsten Trägheitshalbmesser des Stabquerschnittes, so darf die Inanspruchnahme höchstens betragen:

Für

für Schweifseisen:

für Flufseisen:

l: i — 10 bis 110,

Sk = 0,75—0,003 y ; Sk = 0,80—0,003 y;

/: t > 110,

für Schweifseisen : sk = 5000

für

(W

für Flufseisen:

Sk = 5500

(i)-

c) Abscherung.

Die zulässige Inanspruchnahme des Niet- und Bolzeneisens auf Abscherung ist gleich n/io der Inanspruchnahme auf Zug oder Druck anzunehmen.

d) Stauchdruck.

Der Stauchdruck, d. h. der mittlere Druck des Nietschaftes auf die Projektion der Lochleibung soll die dreifache zulässige Inanspruchnahme des Brückeneisens auf Zug oder Druck nicht überschreiten.

Die Preufsisclie Brückenverordnung vom September 1895 ordnet über die zulässige Inanspruchnahme an:

A. Glieder der Hauptträger.

1. Zugglieder: bei der Stützweite:

a)    s ohne Winddruck : 800

b)    s mit Winddruck: 1000 bis 1300 kg/qcm, bei Schweifseisen sind diese Zahlen um 10°/o zu ermäfsigen.

2. Druckglieder. Hier gelten dieselben Zahlen wie für Zug. Aufserdem ist nach der Euler-Formel fünffache Sicherheit gegen das Ausknicken hachzuweisen.

10    20    40    80    120    150 m,

850    900    950    1000    1050 kg/qcm,

B. Vollwandträger.

Bei Schweifseisen bis zu 700 kg/qcm,

„ Flufseisen

Die Scherspannung darf höchstens die unter A. 1. a) gegebenen Werte, der Lochleibungsdruck höchstens den doppelten Wert hiervon erreichen.

In Frankreich wurde die zulässige Inanspruchnahme durch die Verordnung vom 29. August 1891 geregelt. Diese giebt für Zug, Druck und Biegung die Grenzwerte :

für Schweifseisen : 6,5 kg/qmm,

„ Flufseisen :

„    „ 750

8,5

Diese Werte sind zu erniedrigen für Fahrbahn und Zwischenträger:

bei Schweifseisen auf 5,5 kg/qmm,

„ Flufseisen

für Gitterstäbe und andere Brückenteile, welche wechselweise Zug und Druck erleiden:

» 7,5

für Schweifseisen auf 4,0 kg/qmm, Flufseisen

„ 6,0

Für Brücken von gröfserer Spannweite als 30 m darf die Anstrengung der Hauptträger : bei Schweifseisen: 8,5 kg/qmm,

„ Flufseisen :

11,5

nicht überschreiten.

Die Scherspannung darf ⁴/s der zulässigen Inanspruchnahme auf Zug oder Druck nicht überschreiten. Falls Niete durch äulsere Kräfte in ihrer Längsrichtung auf Zug in Anspruch genommen werden, darf die Spannung höchstens 3 kg/qmm erreichen. Druckglieder sollen genügende Sicherheit gegen die Gefahr des Ausknickens bieten.

-    Litteratur.

Entwurf einer Verordnung für Österreich, die notwendige Sicherheit bei den Querschnittsbestimmungen eiserner Brücken betreffend. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1870, S. 205.

Über die zulässige Beanspruchung des Schmiedeisens bei Brückenkonstruktionen. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1873, S. 197.

Launhardt. Die Inanspruchnahme des Eisens. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1873, S. 139. Weyrauch. Festigkeit und Dimensionenberechnung der Eisen- und Stahlkonstruktionen. Broschüre.

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Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-

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Kherndl. Über die Feststellung der zulässigen Inanspruchnahme der Brückenbaumaterialien. Zeitschr. d. Arch.-u. Ing.-Ver. zu Hannover 1879, S. 482.

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Besprechung der deutschen Formeln für die zulässige Inanspruchnahme. Mém. des ing. civ. 1881, Juli, S. 39. Loewe. Zur Frage der zulässigen Inanspruchnahme. AVochenbl. f. Bauk. 1885, S. 148.

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Landsberg. Über die Bestimmung der Querschnitte von Eisenkonstruktionen. Centralbl. d. Bauverw. 1885, S. 357. Krohn. Über Dimensionierung von Eisenkonstruktionen und über Wertzitfern. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1885, S. 153.

Häseler. Über die zulässige Inanspruchnahme bei der Berechnung eiserner Brücken. Deutsche Bauz. 1886, S. 290. Tetmajer. Formeln für die zulässigen Inanspruchnahmen auf Grund der Versuche von Bauschinger. Schweiz. Bauz. 1886, Dez., S. 141; daselbst 1887, März, S. 75. Vergl. Centralbl. d. Bauverw. 1886, S. 517; daselbst 1887, S. 144.

Lands-berg. Über die Bestimmung der Querschnitte von Eisenkonstruktionen für Beanspruchungen, welche zwischen Zug und Druck wechseln. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1888, S. 575. Verschiedene Brückenverordnungen und weitere Litteratur siehe auch S. 64 u. 65.

III. Konstruktionselemente.

§ 23. Eisensorteii. Der Überbau der eisernen Brücken ist meist eine aus stab-und bandförmigen Elementen zusammengesetzte und durch besondere Yerbindungsmittel zu einem einheitlichen, nach statischen Bedingungen angeordneten Ganzen verbundene Konstruktion.

Das Material dieser Elemente und deren Yerbindungsmittel kann — vom Gufs-eisen abgesehen — Schweifseisen, Flufseisen oder Stahl sein; Form und Einzelanordnung derselben wird durch den Baustoff nicht wesentlich beeinflufst, sodafs die Behandlung der Konstruktionselemente an und für sich von einem allgemeinen, für jene drei Materialien gütigen Standpunkte erfolgen kann.

in Betracht. Die am meisten an-

Eisensorten

gewandten Eisensorten sind : Bleche, Flacheisen, Winkel- und andere Formeisen (Facon-eisen, Profileisen).

1. Bleche. Diese sind ebene Platten rechteckigen Querschnittes in Stärken von 7 bis 30 mm. Die Breite der Platten kann 600 bis 1800 mm, höchstens 2500 mm betragen.

Die Konstruktionselemente der eisernen Brücken sind gröfstenteils durch den Walzprozefs erzeugt: Walzeisen, deren Querschnittsformen meist sehr einfach sind und die in nur wenigen Arten, jedoch in den verschiedensten Abmessungen, zur Anwendung gelangen. Die verschiedenen Arten der Walzeisen in Bezug zu deren Querschnitten kommen als besondere Sorten

Die Herstellung der Bleche erfolgt in Blech walzen unter zweiseitigem Drucke aus gut durchgeschmiedeten und geschweifsten Packeten — Bramen — oder aus Flufs-eisenblöcken, deren Gröfse von den Abmessungen des zu fertigenden Bleches abhängt.

Bei gegebenen Querschnittsabmessungen der Bleche sucht man deren Länge mit Rücksicht auf die leichtere Handhabung so zu bemessen, dafs das Gewicht einer Blechtafel 500 kg nicht überschreite. Erhältlich sind solche Blechtafeln bis zu 1000 kg Gewicht, doch wird bei höherem Gewichte als 500 kg in der Regel ein Preiszuschlag erhoben. Das Gewicht des Bleches für das Quadratmeter beträgt bei Schweifseisen 78 8 kg, bei Flufseisen 78,5 § kg, wobei § die Dicke des Bleches in Centimetern ist. Das zu Zwecken des Brückenbaues verwendbare Blech inufs reine und ebene Oberflächen und reine Kanten zeigen und mufs eine gleichmäfsige Stärke besitzen. Sichtbare Materialfehler sind unzulässig.

Die Festigkeit der Bleche in der Walzrichtung und quer zu derselben, sowie die Dehnbarkeit des Materiales mufs bestimmten Anforderungen entsprechen; die Zähigkeit und Bearbeitungsfähigkeit der Bleche wird durch besondere Güteproben, zu prüfen sein.

Der Preis der Bleche ist im allgemeinen abhängig von der Beschaffenheit des Materiales, der Herstellung, dem Gewichte uud den Abmessungen des zu erzeugenden Stückes, sowie des damit zusammenhängenden gröfseren oder geringeren Aufwandes an Arbeitszeit und Brennstoff, von dem Risiko und endlich von der Nachfrage.

Jedes Walzwerk stellt für seine gangbaren Eisensorten einen von den derzeitigen Verhältnissen abhängigen Grundpreis für die Gewichtseinheit fest; für schwierigere Walzstücke, die einen erhöhten Aufwand an Arbeit und Zeit erfordern, werden Preiszuschläge festgestellt und zu den Grundpreisen hinzugeschlagen. Mit der Schwere der Bleche nimmt der Preiszuschlag zu, ebenso mit der gröfseren Breite (über 1800 mm).

Aus dem Gesagten folgt, dafs die im Brückenbau anzuwendenden Abmessungen der Bleche etwa innerhalb der folgenden Grenzen liegen werden: Breite der Bleche bis zu 1800 mm, ausnahmsweise (z. B. bei gröfseren Voll wandbrücken) bis zu 2500 mm, die Dicke des Bleches 10, 16 bis 25 mm und die Länge der einzelnen Tafeln desselben nach der Bedingung, dafs deren Höchstgewicht 500 kg nicht überschreite.

Bleche finden Anwendung zur Konstruktion der Wandbleche der Voll wandträger, der Knotenpunkte (Knotenbleche) und der Gurtungen grofser Brücken, zur Herstellung der End- und Mittelständer von Fachwerks- und Gitterbrücken, zu Anschlufsblechen (Diaphragmen) der Querträger, des Windverbandes u. s. w.

Aufser den gewöhnlichen ebenen Blechen werden, namentlich zu den Bahnunterlagen der Strafsenbrücken, auch eigenartig geformte Bleche (Buckelplatten, Wellenbleche u. s. w.) gebraucht.

2. Flacheisen, Breit- oder Universaleisen. Die Flacheisen werden meist durch vierseitigen Druck auf Universalwalzen, mitunter auch auf Kaliberwalzen, erwalzt. Sie kommen aus der Vollendwalze im fertigen Zustande, d. i. in der erforderlichen Breite hervor und bedürfen daher nicht des seitlichen Beschneidcns auf die richtige Abmessung, wie die Bleche.

Die Breiten betragen 10 bis 600 mm. die Dicken 3 bis 70 mm. Im Brückenbau kommen jedoch vorzugsweise die Mafse: Breite von 60 bis 500 mm, Dicke von 10 bis 25 mm in Betracht.

Die Länge der Flacheisen kann bis zu 12 und 14 m erhalten werden. Die Packetlänge beträgt erfahrungsgemäfs etwa V₃o der Länge des ausgewalzten Stückes.

Die Anforderungen, welche an geeignete Flacheisen bezüglich der Beschaffenheit zu stellen sind, entsprechen jenen bei Blechen.

Die Anwendung der Flacheisen im Brückenbau ist eine überaus mannigfache. Aus denselben werden die Gurtungen, Gitterstäbe, Windstreben u. a. m. hergestellt. Die Preise stellen sich — vom Baustoff abgesehen — mit zunehmender Breite höher. Ebenso sind dünne Flacheisen teurer als mittelstarke. Die Gründe hierfür stimmen mit jenen bei den Blechen angeführten überein.

Die für genietete Brücken zu wählenden Mafse der Flacheisen werden demnach für die Stärken zwischen 10 bis 25 mm, für die Breiten bis zu 500 mm und für die Gröfstlängen derart zu bestimmen sein, dafs das fertige Stück das Gewicht von etwa 500 kg nicht überschreite.

3. Winkeleisen. Winkel- oder Eckeisen sind Formeisen, deren Querschnitt einen rechten oder schiefen Winkel mit gleich oder ungleich langen Schenkeln bildet. Die Schenkellänge bewegt sich bei den im Brückenbau verwendeten Winkeleisen zwischen (50 bis 200 mm, die Dicke der Schenkel zwischen 6 bis 20 mm. Die Bezeichnung der Querschnittsabmessungen der Winkeleisen erfolgt in der Regel in Bruchform derart, dafs im Zähler die Länge der Schenkel, im Nenner dagegen die Schenkeldicke geschrieben wird. Aufserdem kommen noch andere Bezeichnungsarten der Winkeleisen-querschnitte vor. Für die Schenkellängen è, h und die Schenkelstärke o findet man ___

die Bezeichnungen: [ b . 8, j b . b . 5 für gleichschenkelige, und \h . §¹ | b. h. 8 für ungleich-schenkelige Winkeleisen.

Die Schenkeldicke ist entweder gleichmäfsig, oder sie nimmt gegen die Aufsen-ränder der Schenkel hin ab. Dieselbe stellt in Beziehung zur Schenkellänge und ist nach der Stärke der durch die Winkeleisen zu vereinigenden Bleche und der Ver-bindungsniete, sowie auch nach der Gröfse der aufzunehmenden Kräfte zu bemessen. Das Verhältnis der Schenkelstärke zur Schenkellänge dürfte mindestens mit ’/„, höchstens mit Ve anzunehmen sein. Die Schenkelstärke selbst ist entweder gröfser als die Stärke der zu verbindenden Bleche oder gleich derselben. Die Vereinigung beider Schenkel am inneren Scheitel des Winkels wird meist durch eine Materialansammlung in Form einer ausgiebigen Ausrundung vermittelt. Diese Anordnung ist nicht blofs mit Rücksicht auf das Walzen vorteilhaft, sondern zur Erzielung der Formerhaltung des Winkels selbst notwendig. Aufserdem ist gerade in diesem Punkte eine Materialzugabe um so wichtiger, als hier die Kraftübertragung von einem Schenkel zum anderen erfolgt.

Fig. 25.

YJ

cL~.

Nennt man b die Schenkellänge des einen, wagerecht gedachten Schenkels, h die Länge des lotrechten Schenkels, und § die mittlere Schenkeldicke, so ist die Querschnittsfläche des Winkeleisens: F — d (b -j- h — §), und das Gewicht für das laufende Meter desselben:

Jt

i" B

6r = 0,78 S {b -j- h — 8) kg, wobei die Mafse in cm einzusetzen sind. Denkt man sich die Lage des Schwerpunktes der Querschnittsfläche auf ein rechtwinkeliges Achsensystem, dessen Achsen in b bezw. h liegen, bezogen, so ist im Hinblick auf Fig. 25 die Entfernung des Schwerpunktes:

und x =

1    b² -f 8 (h — 8)

2    h -f- h — rJ

1 h² + 3 (b - 8)

V ~ 2 b + h- 8

ft

ft

Daher ist:

(6 — 8) (h - 3) " 2 (b + h — 8) (ft — 8) (ft — 8) 2 (ft + h ~ 3)~

T- und

, also

2 y 2

d. h. der Schwerpunkt des Winkeleisenquerschnittes liegt in gleicher Entfernung von den beiden durch die Mitten der Schenkel gezogenen und auf diesen senkrechten Geraden.¹)

Das Trägheitsmoment der Querschnittsfläche bezüglich der durch den Schwerpunkt gelegten, zu X bezw. Y parallelen Achse ist:

bezw.

X =41(4-8) [f

«A = I {(A - 8) [.*’ - (x

(.W-Ô)³] + 8 [y* 4- (A — y)s]}

Ô)³] + § [x³ + (6 — xf\{.

Das Trägheitsmoment, bezogen auf eine durch den Schwerpunkt gelegte Achse, die mit der X-Achse den Winkel a einschliefst, ist bekanntlich:

J — JY . cos² a    Jx . sw² a — (7. «9m 2 a, wobei C = f £"q.d F.

3 «J

Jx — Jy

-/ wird zum Maximum oder Minimum für = 0, d. i. für tang 2 a, = womit die Lage der Trägheitshauptachsen bestimmt ist.

Der Wert C kann bestimmt werden, indem für a — 4,5° das betreffende Ji berechnet wird; es ist:

J\ = y (Jy + Jx) ■— c, woraus C = ₂ (JY -j- Jx) — Jx.

Die im Brückenbau angewendeten Winkeleisen zeigen hinsichtlich ihrer Querschnittsabmessungen eine sehr grofse Mannigfaltigkeit; jedes gröfsere Walzwerk bietet eine hinreichend grofse Auswahl derartiger Querschnitte.

Die deutschen Normalprofile für Walzeisen zeigen hinsichtlich der Winkeleisen die folgenden Yerhältnisse:

1. Gleichschenkelige Winkeleisen.

Schenkeldicke, so ist

für b < 100 mm.

Ist b die Schenkellänge und b die

min o — — 6,

für b > 100 mm,

min b — —- b.

Die Abrundung in den Winkelecken erhält die mittlere Dicke als Radius, sodafs min 8 -(- max 3

die Abrundungen der Schenkelenden sind mit dem Radius r — 9 angenommen. Die Schenkellängen wachsen von 15 bis 160 mm und zwar von 15 bis 80 mm um je 5 mm, von 80 bis 160 mm um je 10 mm. Die Schenkeldicken sind für jede Schenkellänge (bei L-Eisen über 40 mm Schenkellänge) in drei Stärken angegeben, „ die um je 2 mm zunehmen.

2. Ungleichschenkelige Winkeleisen. Das Verhältnis der Schenkellängen wurde in zweifacher Weise festgesetzt und zwar wie 1:1 */₂ und 1:2. Ist die Länge

l> je(loch mit geringfügigen Abweichungen

min 8 + max 8    R

-*--^ r =

des gröfseren Schenkels = b und jene des kürzeren = A, so ist hiernach b = 1,5 h bezw. b = 2 A, min b — ~

Die Schenkellängen beginnen mit 20.30mm und schliefsen mit 100.200mm. Die Schenkeldicken eines jeden Profiles sind in zwei Stärken, die um je 2 mm zunehmen, angegeben. Die Bezeichnung der Profile erfolgt in Bruchform, so, dafs der Zähler die kürzere, der Nenner die längere Schenkellänge in Centimetern erhält. Bei gleichschenkligen Winkeleisen giebt die Profilnummer zugleich die Schenkellänge in Centimetern an.

Die vom österreichischen Ingenieur- und Architekten-Vereine angenommenen gleichschenkeligen Winkeleisenprofile weisen eine Reihe auf, welche mit der Schenkellänge von 20 mm beginnt, von wo diese Längen um je 5 mm bis zu 50 mm ansteigen. Yon da steigt die Reihe um je 10 mm und erreicht bei 120 mm Schenkellänge das gröfste Kaliber. Yon jeder Nummer zwischen 2 bis 6 sind zwei, von 6 bis 12 je drei verschiedene Schenkeldicken beantragt. Yon No. 8 bis No. 12 stimmen die österreichischen Profile mit den gleichbenannten deutschen völlig überein; bei den übrigen finden sich unbedeutende Abweichungen vor.

Hinsichtlich der ungleichschenkeligen Winkeleisen erscheint bei den österreichischen Profilen nur das Verhältnis b : h = 1,5 angewendet. Die angenommenen Profile sind:

, jj ,    lg , für jedes derselben sind zwei um je 1 mm verschiedene

Schenkelstärken, deren kleinste beim Profil -vf— = 5 mm und deren gröfste beim Profil

15

10 ' ⁴ '2 = 14 mm beträgt, vorgesehen.

Die Winkeleisen sind in Längen bis zu 10,0 m und darüber erhältlich.

Die Beschaffenheit des Materiales zur Herstellung der Winkeleisen soll eine durchaus vorzügliche sein; das erwalzte Produkt mufs reine Kanten, ebene glatte Flächen und bei Schweifseisen alle Merkmale vollkommener Schweifsung besitzen.

Die auf Kaliberwalzen neuerer Art ausgewalzten Winkeleisen, wo das Kaliber möglichst flach gehalten, der rechte Winkel jedoch allmählich herausgebildet wird, während die Schenkel in schwach gekrümmter Form erhalten und erst im letzten Kaliber gerade gerichtet werden, sind jenen auf Winkeleisen-Kaliberwalzen und Uni versai-Winkeleisen walzen erwalzten vorzuziehen, da vermöge der im ersten Falle gleichmäfsigeren . Umfangsgeschwindigkeit der Walzen die Streckungen und Zerrungen des Materiales durch den Walzprozefs möglichst gleichmäfsig werden und daher auch die Elasticitäts-verhältnisse des Produktes für verschiedene Stellen des Querschnittes jedenfalls geringere Unterschiede zeigen werden, als dies bei den auf den alten Winkeleisen-Kaliber walzen erzielten Walzstücken zu erwarten war.

abgesehen von der äufseren Vollkommenheit der

Es ist bekannt, dafs die durch die Vollende-Kaliber kalt gewalzten Formeisen sich durch Sauberkeit der Kanten und Oberflächen des erwalzten Produktes auszeichnen. Dies Verfahren ist jedoch weder für die Walzen noch für das Walzprodukt zuträglich. Das letztere erlangt wohl hierdurch

Form — eine Erhöhung seiner Festigkeit, verliert jedoch gleichzeitig an Dehnbarkeit.

Die Winkeleisen müssen alle für die Konstruktion erforderlichen Formveränderungen, Bearbeitungen und Lochungen ohne Schädigung des Materiales gestatten, also ein vorzüglich zähes Verhalten zeigen. Ausgeführte Proben mit kurzen Winkeleisenstücken werden ergeben, inwieweit ein im kalten und warmen Zustande ausgeführtes Zusammenbiegen und anderenfalls ein in die Ebene Strecken beider Schenkel getrieben werden kann, ohne dafs sich hierbei Risse zeigen u. s. w. So verlangt die K. deutsche Admiralität von den zur Verwendung beim Schiffbau geeigneten Winkeleisen die in der Fig. 26 a bis / dargestellten Formänderungsproben.

Die Anwendung der Winkeleisen im Brückenbau ist eine sehr weitgehende. Jede Vereinigung unter einem Winkel aufeinander stofsender Bleche wird mittels Winkeleisen bewirkt: dieselben sind also überall dort unersetzlich, wo aus Flacheisen oder Blechen ein T - oder kreuzförmiger Querschnitt gebildet, wo die Verbindung von in verschiedenen Ebenen befind-liefen Und zusammenstofsen-den Trägern vermittelt werden soll. Aber auch in selbstständiger Weise oder in Verbindung mit einem zweiten Winkeleisen dient dasselbe in den meisten Fällen bei genieteten Fachwerksbrücken zur Herstellung von Gliedern, die auf Druck in Anspruch genommen erscheinen.

Fig\ 26.

■I

Der Preis der Winkeleisen wird bedingt durch die Abmessungen des zu er-walzenden Produktes und die Güte des Stoffes. Bei Schweifseisen beeinflufst die Anzahl (2 oder 4) und Gröfse der in einem Packete anzuordnenden Deckplatten in hohem Grade den Materialwert und mithin auch den Preis. Mit der Länge der Schenkel nimmt der Preis zu, ebenso mit der Länge und dem Gewichte des geforderten Stückes. Sehr geringe Dicken bedingen gleichfalls höhere Kosten. Mit zunehmendem Gewichte wachsen die Überpreise. Meist wird für Längen über 10,0 m bereits ein Überpreis gezahlt, der entsprechend der Überlänge wächst. Die Länge der Winkeleisen ist in vielen Fällen durch die Länge des herzu stellenden Konstruktionsteiles schon gegeben ; wo dies nicht der Fall ist und die Längenbestimmung mehr willkürlich ist, wird man die Länge um so gröfser wählen können, je gröfser der Querschnitt ist.

4. T-Eisen. Die im Querschnitt T-förmig gestalteten Formeisen finden im Brückenbau ebenfalls Anwendung. Sie haben nicht jene vielseitige Verwendbarkeit, wie die Winkeleisen, sind jedoch zur Konstruktion verschiedener wichtigen Brückenbestandteile, beispielsweise zur Herstellung der Druckstreben in Fachwerken, zu Windverstrebungen u. s. w., vorzüglich geeignet.

Der Querschnitt entspricht etwa zweien mit den Schenkelebenen aneinander gelegten und vereinigt gedachten rechtwinkeligcn Winkeleisen. Bezüglich der Abmessungen der Querschnitte herrscht eine grofse Mannigfachheit, jedoch sind die gröbsten Mafse beschränkt durch die Schwierigkeit des Auswalzens.

Die deutschen Kor malprofile unterscheiden zwei Sorten und zwar: a) breit-füfsige und b) hochstegige T-Eisen.

a)    Breitfiifsige T-Eisen. Die mittlere Dicke des Fufses und Steges ist gleich grofs und ist nach der Beziehung: S = 1,5 A -f- 1 mm, wobei h die Höhe des Profiles, ermittelt. Die dem Stege zugekehrte Oberfläche des Fufses erhält auf beiden Seiten eine

Keigung von 2%, die Stegflächen eine solche von 4%. Die Breiten b dieser T-Eisen

6

sind durchweg doppelt so grofs als die Höhen h. Die Profile beginnen mit Ko. -7 — entsprechend : ~    ~ mm — und endigen mit Ko.

b)    Hochstegige T-Eisen. Die mittlere Dicke 8 — ebenfalls für Fufs und Steg gleich — ist 8 = 0,1 h -fl mm. Die Keigung der Stegseiten und jene der Oberflächen

des F ulses beträgt hier 2%. Fufsbreite b und Steghöhe h sind gleich grofs. Die Profile beginnen mit No. -J und schliefsen mit No.

Die Radien der Abrundung entsprechen jenen der Winkeleisen: B = 3, r — und für den Steg p =

Die österreichischen Normal profile der T-Eisen enthalten nur eine Gattung dieser Walzsorte, für welche:

3 = 0,16 b -f- 1 mm r = 0,4 3,

h = 0,77 b,

B = 0,8,

p = 0,2 3 ist.

Die Neigung der Seitenflächen des Steges ist mit 4°/₀ bemessen, während der

Fufs durchaus gleiche Stärke hat. Es sind 9 Profile 40, 50, 60, 70, 80, 100, 120 und 150 mm, und es wird die Profilnummer durch die in Centimetern

beantragt mit den Fufsbreiten: 30,

Fig. 27.

ausgedrückte Fufsbreite bezeichnet.

Im allgemeinen ist die Querschnittsflächo der T-Eisen F — b3 -j- (Ji — S)St (Fig. 27) und das Gewicht f. d. lfd. m G = 0,785 [ô 3 -f- {h — 5) SJ kg, wobei die Mafse in Centimetern einzuführen sind.

___i.

S'

-A----v>

TT :

Die Schwerpunktslage ist bestimmt durch:

■A-X

1    (b — oi) o² + 8i li²

~r

■f

Das Trägheitsmoment des Querschnittes in Bezug auf die zu X parallele Schwerpunktsachse ist:

jV = I [4 Vs - (.b - 8,) O - Sy + 8, (h - yj\,

jenes zur Symmetrieachse :

= T2^b³+ (h -S)S?].

Ist S = Sj, so erhält man:

F = S (6 -f Ä — S),    £ = 0,785 S [6 + h — S] kg,

1    (6 _ g) 8 4. 7l²

y = y • -b+T=ir

j_ 1 (1 __ 1\

' h \h h)

i i & _ ⁸

Das fertige Walzprodukt mufs im äufseren sowohl, als in Bezug auf die Güte allen Anforderungen entsprechen, die für die Winkeleisen namhaft gemacht wurden. Auch bezüglich der Preisverhältnisse gelten dieselben Erwägungen wie dort.

Die T-Eisen werden bis zu 10 m Länge und darüber gewalzt.

5. I-Eisen (Fig. 28). Die Formeisen I-förmigen Querschnittes sind die einfachsten Vertreter der schmiedeisernen Balkenträger mit zweckmäfsigster Verteilung der Querschnittsfläche. Die I-Eisen sind mit besonderer Rücksicht auf die Erreichung eines möglichst grofsen BiegungsWiderstandes gegen lotrechte, in die Stegebene fallende Kräfte im Querschnitt geformt und finden derartig beansprucht auch die meiste Verwendung.

Die Mafse, mit welchen diese Eisen ausgeführt werden, sind sehr verschieden. Im Brückenbau kommen meist Querschnitte zur Anwendung, bei denen

160 bis 500 mm

die Höhe zwischen..........

80 „ 150 „

20 „ liegen.

die Flantschenbreiten zwischen......

die Stegstärke und Flantschenstärke zwischen .

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

Das Walzen der I-Eisen ist um so schwieriger, je gröfser die Steghöhe und je breiter die Flantschen sind. Die Flantschenbreite selbst soll mit Rücksicht hierauf im

allgemeinen nicht gröfser als die halbe Querschnittshöhe sein. Für die meisten Fälle der Anwendung kann die Auswahl der betreffenden Querschnitte aus den in jedem Walzwerk vorhandenen Profilen erfolgen.

Wenn b die Flantschenbreite, ft die Trägerhöhe, b die mittlere Flantschenstärke und die Stegstärke bezeichnet, so ist die Querschnittsfläche F=2b.b + (ft — 2 SH und das Gewicht des I-Eisens f. d. lfd. m

G = 0,785 [2 b S + (ft — 2 8) §,] kg.

Das Trägheitsmoment des Querschnittes bezogen auf die wagerechte bezw. lotrechte Schwerpunktsachse ist:

Jy== 12

^x ~ 12

Fig. 28.

cf

I-------Y

jt.

k-

^------->

[ft (ft® — [ft. — 2 o]³) -f 8I Qi — 2 S):i]

[2 5 b³ + Qi — 2 S) 8?].

Benennt man die Querschnittsfläche eines jeden Flantsches mit f und den Abstand der Schwerpunkte beider Flantschen voneinander mit h₀, so ist mit Bezug auf Fig. 29 ein Näherungswert für das Trägheitsmoment:

Fig. 29.

<7* = y/*⁵ + A S' 7,° = {(/ + { ⁵‘ *>) «•

jo

P f

ills

Unter Yoraussetzung, dafs ft von ft₀ wenig verschieden ist, erhält man das angenäherte Widerstandsmoment : WY = fh₀ -j- * §t ft«.

Würde es sich darum handeln, bei gegebenem Inhalt des Gesamtquerschnittes F die Anordnung so zu treffen, dafs das Widerstandsmoment zu einem Maximum werde, so kann nach Dr. Zimmermann⁶⁸) folgendermafsen vorgegangen werden.

Es ist zunächst: und damit

f = Y (F — O, h₀)

L Fho _L §1 \\

Es werden nun zwei Fälle unterschieden:

a) Die Stegdicke gi ist unabhängig von der Höhe; dann ist

•=YF-Jt'h° = a

3

und daraus h₀ = — U, womit sich ergiebt f =

Das Maximum des Widerstandsmomentes ist hiernach:

I-

S Jlo

4- F.

|fAoi=lyAo.

Das Widerstandsmoment würde sonach in diesem Falle am gröfsten, wenn ³/4 der Querschnitts-Häche in den Steg und ¹/s derselben in jede Gurtung verlegt würde.

b) Die Stegdicke oj ist der Höhe 7?₀ proportional, sodafs oj = n h₀ ; dann ist:

3 Wy

d\

woraus 3j hü — F, hiernach folgt auch f — ~ F.

max Wy —

Wy = y F h₀ — Y n h° UT,d

⁶⁸) Centralbl. d. Bauverw. 1887, S. 103 u. f.

Es wird jetzt: max Wy — — Fh₀--ü . -i- Fh₀ — — Fli₀.

2    3    2    3

In diesem Falle müfste die Verteilung der Querschnittsfläche so erfolgen, dafs der Steg die halbe und jede Flantsche ¹/4 der Gesamtfläche erhalten.

])ie deutschen Normalprofile für I-Eisen zeigen die folgenden Verhältnisse:

Ist b die Flantschenbreite, h die Höhe des Profiles, 5, die Stegstärke und 8 die mittlere    Flantschenstärke, so    ist    8    = 1,5 S₁₅    Ti —    8 und    r = 0,6 5.

Für h < 250    mm    ist    b    — 0,4 h    + 10    mm, 5X    = 0,03 h -f-    L5    mm;

„ h > 250    „    „    b    = 0,3 h    4-35    „ 8t    = 0,036 h.

Hie    Neigung im    Flantsch    beträgt    14%-    Hie Nummern der    Profile, welche

zugleich den Höhen der I-Eisen in Centimetern entsprechen, beginnen mit 8 und schliefscn mit 50. Hie Höhen wachsen bis zu No. 24 um je 10 mm, von da an bis No. 40 um je 20 mm und von No. 40 an um je 25 mm.

Brückt man das Trägheitsmoment durch die Beziehung JY — C . F ff aus, so ergeben diese Profile bis zu No. 26 für C — 0,16 = in ziemlicher Übereinstimmung mit dem oben für das Maximum des Widerstandsmomentes gefundenen Werte:

max Wy — y F h₀,

mit welchem

JY = WY

j F hl folgt.

Hie Profilnummern von 26 an bis 50 liefern im Mittel C — 0,155.

Hes weiteren ist bei dem Gewichte G (für 1 m) für h — 8 cm bis h — 25 cm WY = 0,415 h . G und für h — 28 cm bis h = 50 cm

Wy = (1,0 4- 0,375 h) G.

Hie österreichischen Normalprofile erhielten:

Für h < 160 mm, b = 0,4 Ji 4- 20 mm; öj = 0,03 h 4- 1,6 mm,

„ h > 160 „ b — 0,3 h 4- 36 „ 5X = 0,04 li.

Bei den niederen Profilen ist die Stegstärke demnach nahezu übereinstimmend mit den deutschen Profilen ; mit zunehmender Höhe weicht dieselbe jedoch immer mehr von denselben ab und es erreicht z. B. bei No. 40 dieser Unterschied 1,6 mm.

Es ist dort ferner H = 1,2 S, und r — 0,6 8t. Hie Neigung der inneren Flantschen-seite ist, in Prozenten ausgedrückt : p — 0,02 h + 7.

Hie österreichischen Normalprofile der I-Eisen enthalten die Nummern : 8, 10, 13, 16, 18, 20, 22, 24, 24a, 26, 28, 28a, 30, 32, 35, 40, 50.

Hie Nummern 24a und 28a unterscheiden sich von 24 und 28 nur durch gröfsere Flantschenbreiten ; es beträgt diese Mehrbreite bei ersteren 27, bei letzteren 30 mm.

Hie I-Eisen werden bis zu 14 m Länge geliefert. Längen über 8 m bedingen einen Überpreis. Bei der Wiener Weltausstellung im Jahre 1873 waren I-Eisen von 18 in Länge, 355 mm Höhe, 142 mm Flantschenbreite und 13 mm Hicke von der Luxemburger Bergwerks- und der Saarbrücker Eisenhütten - Aktiengesellschaft zu Burbach ausgestellt. Hie Ausstellung zu Philadelphia im Jahre 1877 brachte von seiten der Union Iron Works der Union Iron Co. Buffalo, Erie County, New-York, I-Träger von 24,4 m Länge, 254 mm Höhe und 1090 kg Gewicht, ferner solche von 15,86 m Länge, 381 mm Höhe und 1040 kg Gewicht.

Zur Herstellung der I-Eisen ist sehr gutes, insbesondere jedoch sehniges, zähes Material erforderlich. Die Vereinigung des Stegs mit den Mantschen mufs durch einen allmählichen Übergang mittels ausgiebiger Ausrundung im Querschnitt bewirkt werden. Es ist darauf zu achten, dafs durch den Walzprozefs keine ungleichmäfsigen Streckungen in den Flantschen und dem Stege auftreten. Letzteres giebt sich durch einen unebenen, gewellt erscheinenden Steg zu erkennen. Es versteht sich von selbst, dafs dann Spannungen und zwar vornehmlich Schubspannungen zwischen Steg und Flantschen vorhanden sind, die gerade an diesen Orten gefährlich werden können, sodafs derartige Erscheinungen das betreffende Stück von der Verwendung zu wichtigen Konstruktionen ausschliefsen. Das Walzprodukt soll eine reine Oberfläche, ganze und gerade Kanten, einen ebenen Steg und symmetrisch gleichmäfsige Stärken der Flantschen aufweisen.

In Bezug auf die Anwendung der I-Eisen im Brückenbau ist zu bemerken, dafs diese Eisen meist als Träger und zwar ebensowohl als Hauptträger bei Brücken kleiner Spannweiten, als zur Herstellung von Längsträgern und Querträgern bei gröfseren Brücken benutzt werden. Sie finden überdies Anwendung als Druckglieder bei gröfseren Gitter- oder Fachwerkbrücken und namentlich auch bei Brücken nach amerikanischer Konstruktionsart zur Bildung der gedrückten Gurte von Parallel-Gitterträgern.

Die Preisverhältnisse, insbesondere die Überpreise, stellen sich um so höher, je schwieriger die Herstellung des geforderten Walzstückes ist. Dieselben wachsen sonach mit den Querschnittsabmessungen überhaupt, namentlich jedoch mit der Höhe des Querschnittes und der Breite der Flantschen. Aufserdem steigt der Überpreis proportional mit der Überschreitung der normalen, dem Grundpreise entsprechenden Länge. Ist z. B. P der Grundpreis f. d. Tonne bei der normalen Länge l und A P der Überpreis f. d. Tonne bei der Überlänge A ?, so ist: AP=a-f-c.A/, wobei a den Querschnittsabmessungen entspricht und mit denselben und der Länge veränderlich ist, c ist hingegen meist unveränderlich.

6. C-Eisen (U-Eisen). Der Querschnitt dieser Formeisen, welche man E-Eisen oder U-Eisen nennt, entspricht dem eines I-Eisens mit einseitig abgenommenen Flantschen.

Fig. 30.

,cf

Für Anwendungen im Brückenbau kommen Querschnittshöhen von 100 bis 300 mm, Flantschenbreiten von 50 bis 100 mm und Stegstärken von 6 bis 10 mm in Betracht. Die Berechnung der Querschnittsfläche, des Gewichtes und des Trägheitsmomentes bezüglich der wagerechten Schwerpunktsachse erfolgt nach denselben Gleichungen, wie bei den I-Eisen.

Die zum Stege parallele Schwerpunktsachse des Querschnittes liegt von der äufseren Stegebene entfernt um:

&²3    (h-2o) Si²

x =

das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse ist:

J, = J — Fx\

wo J das Trägheitsmoment in Bezug auf die äufsere Stegkante bedeutet; für diese ist:

.A

¹

) Zs oh etzs die. Zeitschr. d. österr. Ing'.- u. Arcli.-Yer. 1893.

J = -1 [2 S 6⁸ -f (A — 2 S) V].

Für die deutschen Kor mal profi le der U-Eisen gelten die folgenden Angaben: Die Flantschenbreite b und die Profilhöhe h stehen zueinander in der Beziehung b = 0,25 h -f- 25 mm. Die Neigung im Flantsch ist mit 8% festgesetzt. Die Profil-

nummern beginnen bei No. 3 und endigen mit No. 30. Yon No. 3 bis No. 5 nehmen die Höhen um je 10 mm, von No. 8 bis No. 22 um je 20 mm und von No. 22 bis No. 30 um je 40 mm zu. Die Stegstärke beträgt im Minimum 5 mm, im Maximum 10 mm, die Flantschenstärke im Minimum 7 mm, im Maximum 16 mm.

Bei den österreichischen Profilen ist

b — 0,25 h -f- 25 mm, = 0,025 h -f- 4 mm,

B = 1,5 8,,

8= 1,5 8t, r = 0,6 Sj.

Die Neigung der inneren Flantschenseiten beträgt in Prozenten: p = 0,01 h -f- 7. Es wurden 13 Nummern beantragt und zwar: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 u. 30.

Hiernach haben die österreichischen und deutschen Profile gleiche Flantschcn-breiten, dagegen zeigen die ersteren durchaus stärkere Flantschendicken, ferner bei den Nummern 8 und 12 übereinstimmende Stegdicken, während die übrigen Nummern durchaus um 0,5 mm gröfsere Stegstärken erhielten, als die letzteren.

Die Beurteilung der U-Eisen in Bezug auf Güte des Walzproduktes erfolgt in gleicher Weise, wie bei den I-Eisen, und es gelten hier dieselben Grundsätze und Erwägungen wie dort.

Die U-Eisen finden neuerdings ausgedehnte Anwendung zur Herstellung von Druckstreben bei Gitter- und Fachwerkbrücken, zur Bildung der Zug- und Druckgurte u. s. w. Vielfach verwendet man dieselben auch als Längsträger von Eisenbahn-und Strafsenbrücken.

Die Preisverhältnisse der U-Eisen werden in ähnlicher Weise wie bei den I-Eisen durch die Querschnitts- und Längenmafse des Walzproduktes beeinflufst. Die Überpreise wachsen auch hier mit der Steghöhe und ganz besonders mit der Flantschen-breite. Selbstverständlich erhalten Überlängen, also Längen über 8 bis 10 m, bereits Preisauf schlage.

An dieser Stelle seien auch die —[_-Eisen (Z-Eisen) erwähnt, welche unter Umständen auch beim Brückenbau mit Nutzen Verwendung finden können. Wegen der betreffenden Einzelheiten kann auf das deutsche Normalprofil-Buch verwiesen werden.

Anmerkung. Bei Berechnung der Querschnittsgröfsen, der Schwerpunktslage und der Trägheitsmomente der Walz trägerquers ch ni tte werden in der Regel die Ausrundungen der Kanten und die Neigungen der Seitenflächen aufser Acht gelassen. Der Einflufs der Ausrundungen ist geringfügig; dagegen kann die Vernachlässigung der Neigungen der Seitenflächen der Elantschen bei n -Eisen und der Stege bei X' Eisen unter Umständen immerhin beträchtlich werden, doch kann dieser Einflufs leicht berichtigt werden. Bezeichnet £ den Neigungswinkel der Flantschenseite eines n-Eisens gegen die X-Achse bezw. des Steges eines J_-Eisens gegen die Y-Achse, so ist für das erstere (Fig. 30):

1 (b — di)³ tang s

die Verschiebung des Schwerpunktes in Richtung der X-Achse und

A Jx --(b — di)³ (& + di — 2 A x) tang t

die Änderung des Trägheitsmomentes bezüglich der Achse Y. Für J.-Eisen (Fig. 27) folgt sinngemäfs:

und

1    (h — o)³ tang s

— (h — §)³ (h -f- o — 2 A y) tang £

6

7. Quadrant- und Sextant-Eisen. Diese in Fig. 31 dargestellten Eisensorten fanden Anwendung hauptsächlich im amerikanischen Brückenbau. Bei deutschen Brücken sind u. a. für die im Jahre 1868 unter Kupp ert erbaute, etwa 80 m weite Brücke der österreichischen Staatshahn über den Donaukanal bei Wien Quadrant-Eisen verwendet, ebenso

für die von Köstljn und Battig erbaute Tcgetthoff - Brücke über den Wienflufs in Wien. Mit diesen Formeisen ist für die säulenförmigen, auf Druck in Anspruch genommenen Konstruktionsglieder eine möglichst zweckmäfsige und vorteilhafte Materialanordnung des Querschnittes erzielt.⁶⁹) Die Textfigur stellt zwei Profile der Säulen dar; es gelangen jedoch auch 5-, 7- und 8-teilige Säulen zur Ausführung. Die zur Bildung einer Säule zusammenzusetzenden Formeisen müssen, neben anderen die Güte des Walzproduktes bezeugenden Eigenschaften, insbesondere die geometrische Form genau einhalten; namentlich ist es erforderlich, dafs die Flantschen ebene und genau radiale Flächen bilden, da sonst die aneinanderstofsenden Segmente nicht gut zusammenpassen und entweder die Anwendung von ausfüllenden Futterblechen zwischen den Flantschen oder doch

ein gewaltsames Zusammenspannen erheischen würden. Im letzten Falle werden die zur Verbindung angewendeten Mete in ungünstiger Weise beansprucht, sodafs eine Lockerung derselben eintreten könnte.

Das deutsche Mjrmalprofil - Buch bringt in seiner dritten Auflage auch Xormalprofile für Quadrant-Eisen. Diese erhielten Flantschenbreiten von b — 0,2 R -f~ 25 mm, wo R den mittleren Halbmesser der Ilöhre bezeichnet; des weiteren ist: r — 0,12 jß; p = 0,06 /?, vergleiche Fig. 32.

Schliefslich sei bemerkt, dafs die Besprechung derjenigen Eisensorten, welche bei der Herstellung der Bahnunterlagen der Strafsenbrücken Verwendung finden, also der sogenannten Zores- oder Q-Eisen (Belag-Eisen), der trogförmigen Formeisen u. s. w., dem IX. Kapitel zugewiesen ist, und dafs bei Erörterung der Hängebrücken (Kap. XIII) sich Gelegenheit finden wird, über Draht und Drahtkabel das Erforderliche mitzuteilen.

Fig. 31.

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Fig. 32.

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Litteratur.

Maurer. Die Formen der Walzkunst und das Façoneisen. Stuttgart 1865.

Heinzerling u. Intze. Deutsches Norraalprofü für Walzeisen. 2. Aufl. Aachen 1881; 3. Aufi. 1886. Zimmermann. Über Trägerquerschnitte von möglichst grofsem Widerstandsmomente. Centralbl. d. Bauverw. 1887, S. 103.

Zimmermann. Vorteile, welche schiefwinkelige Winkeleisen bei Druckstäben gewähren. Centralbl. d. Bauverw. 1887, S. 36.

Mehr tens. Eisen und Eisenkonstruktionen. Berlin 1887. (Abschnitt C. Formgebung des Eisens. Anhang. Tabellen über Abmessungen, Gewichte und Tragfähigkeit verschiedener Formeisen.)

⁶⁹) Gleim. Über amerikanische Brückenbauten. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1876.

§ 24. Yerbiudiuigsmittel. Dio Vereinigung stab- oder bandförmiger Konstruktionselemente zu Konstruktionsgliedern und dieser wieder zu einem Brückenträger erfolgt durch besondere „Verbindungsmittel“.

Die üblichen Yerbindungsmittel sind — von den Keilverbindungen abgesehen — cylindrische Eisenkörper, welche durch die zu vereinigenden Teile greifen und in ihrer Lage mittels besonderer Vorrichtungen oder vermöge geeigneter Gestaltung der Enden derart erhalten bleiben, dafs ein widerstandsfähiges Ganzes entsteht. Handelt es sich sonach um die Herstellung eines aus verschiedenen Konstruktionselementen zusammengesetzten Konstruktionsgliedes, so mufs die Verbindung eine derartige sein, dafs unabhängige Lage- und Formänderungen (Verschiebungen) der einzelnen Elemente verhindert werden, sodafs ein inniger Zusammenhang bedingt und ein einheitlicher Festigkeitswiderstand des Konstruktionsgliedes erzielt wird. Es fällt dann den Verbindungsmitteln die besondere Aufgabe zu, die verschiedenen, in den verbundenen Elementen auftretenden Spannungen aufzunehmen und zu übertragen. Infolge ungleichmäfsiger Längsspannungen der einzelnen verbundenen Elemente tritt insbesondere das Bestreben zu ungleichmäfsigen Längsverschiebungen auf : die Verbindungsmittel werden daher vornehmlich gegen diese Verschiebungen Widerstand zu leisten haben. — Zur Erreichung dieses Zweckes ist es erforderlich, dafs zwischen dem zu Verbindenden und den Verbindungsmitteln ein möglichst genauer Anschlufs bestehe und die Lage der Verbindungsmittel gegen das Verbundene gesichert bleibe. Es ist einleuchtend, dafs die zu dem Verbindenden normale Lage der Verbindungsmittel, ferner die cylindrische Querschnittsform derselben und damit die entsprechend kreisförmige Form der Bolzenlöcher am zweckmäfsigsten ist.

In erster Linie erscheint der „Schubwiderstand“ (die Scherfestigkeit) der Ycr-bindungsmittel in Anspruch genommen, deren Querschnittsgröfse, Anzahl und Anordnung durch den Vergleich des zu äufsernden Widerstandes mit den auftretenden Schubkräften nach statischen und konstruktiven Grundsätzen zu bestimmen sind.

Konstruktion der Verbindungsmittel. Zur Erzielung des inniges Anschlusses der Verbindungsmittel an die zu verbindenden Teile werden hauptsächlich zweierlei verschiedene Ausführungsarten angewendet; es sind dies:

1.    eine genaue mechanische Herstellung und sorgfältige Ausführung durch Abdrehen der Bolzen und Ausbohren der entsprechenden Bolzenlöcher,

2.    die xYusfiillung des Bolzenloches mit einem eingesetzten und dann durch Stauchung erweiterten Bolzen.

Zur Festlegung der Bolzen in ihrer Lage gegen die verbundenen Teile werden, je nach Konstruktionsart der Bolzen, verschiedene Vorkehrungen getroffen. Bei genau bearbeiteten gröfseren Bolzen finden meist Schraubenmuttern, die an beiden mit eingeschnittenen Gewinden versehenen Bolzenenden angebracht sind, Anwendung (Gelenkbolzen). Kleinere Bolzen, „Schraubenbolzen“, erhalten meist einerseits einen Schraubenkopf, anderseits die entsprechende Schraubenmutter. In selteneren Fällen kamen abgedrehte Bolzen mit durch Stauchung erbreiterten Enden (kalte Vernietung) im Brückenbau zur Anwendung.

Die gestauchten Bolzen — die „Niete“ — erhalten beiderseits erbreiterte knopfförmige Enden, „Köpfe“, von welchen der eine am Bolzen bereits vor der Verwendung angestaucht, der zweite erst während der Stauchung des Bolzens ausgebildet wird.

Man unterscheidet demnach Gelenkbolzen, Schraubenbolzen und Niete.

1. Die Gelenkbolzen. Genau bearbeitete, abgedrehte Eisencylinder kommen mit Durchmessern von 60 bis 165 mm, und mitunter mit beträchtlichen Längen (bis zu 1500 mm) zur Anwendung. Die Enden derselben sind meist mit Schraubengewinden und Muttern versehen. Die Gelenkbolzen werden zur Herstellung der Verbindung von Konstruktionsgliedern stets einzeln angeordnet und geben hierdurch der Verbindung selbst einen gelenkartigen Charakter. Im amerikanischen Brückenbau gelangten früher derartige Konstruktionen für die Knotenverbindungen bei Fachwerk- und Gitterbrücken fast ausschliefslich zur Anwendung.

Das Material der Bolzen, welche nicht blofs Schubwirkungen, sondern auch Biegungen zu erleiden haben, mufs von vorzüglicher Beschaffenheit sein; insbesondere eignet sich hierzu ein festes, nicht zu weiches Eisen. In Amerika benutzte man zu diesem Zwecke eigens kalt gewalztes, sehniges Eisen; gegenwärtig werden dort derartige Bolzen aus Stahl hergestellt.

Der Durchmesser des Bolzens wird statisch berechnet; dabei wird sowohl das Biegungsmoment, als der Stauchdruck und die Scherkraft in Rücksicht gezogen. In den vereinigten Staaten Amerikas wird die zulässige Inanspruchnahme auf Biegung bei Schweifseisen mit 1,0, bei Flufseisen bezw. Flufsstahl mit 1,2 bis 1,4 t/cm gerechnet; als zulässigen Stauchdruck ⁴/³ bis ³/2 mal und als zulässige Scherspannung etwa ,/a mal so viel. Der Durchmesser der Schraubenspindel ist in der Regel kleiner als der des Bolzens; der Unterschied beträgt 35 bis 40%. Die Schraubenmuttern werden aus schmiedbarem Gufs hergestellt. Ihre Innenfläche ist stets hohl, damit die Mutter, falls der Bolzen zu lang ist, nicht auf diesem, sondern auf den zu verbindenden Stäben aufruht.⁷⁰)

2. Die Schraubenbolzen. Diese sind cylindrisch oder mit schwachem Kegel abgedreht, einerseits mit einem angestauchten, vier- oder sechskantigen oder auch eylindrischen Kopfe, anderseits mit einem scharfgängigen Gewinde und der normalen Schraubenmutter versehen.

Die Schraubenbolzen haben die Bestimmung, die zu verbindenden Eisenteile auch in der Bolzenrichtung fest zusammenzuhalten und aneinander zu pressen. Sie unterscheiden sich hierdurch von den Gelenkbolzen, bei welchen die angebrachten Schraubenmuttern blofs den Zweck der Sicherung der Bolzenlage zu erfüllen haben. Kopf und Mutter der Schraubenbolzen erhalten demnach die gewöhnlichen Mafse der Befestigungsschrauben.

Im Brückenbau, im besonderen jedoch zur Verbindung von Konstruktionsbestandteilen werden Schraubenbolzen von 18 bis 35 mm Durchmesser angewendet.

Der Durchmesser der Schraubenbolzen mufs mit der Dicke der Platten in einem bestimmten Verhältnisse stehen, damit der Druck auf die Lochwand bezw. auf die ge-prefste Schaftfläche keine bleibenden Formänderungen daselbst hervorbringe. Überschreitet der auftretende Flächendruck eine gewisse, von der Härte der Materialien abhängige Grenze, so entsteht ein Auf stauchen der Lochränder, bezw. ein Eindrücken des Schaftmantels. Gerber hat durch Versuche ermittelt, dafs Drücke von 43 bis 60 kg f. d. qmm der geprefsten Lochwand bleibende Formänderungen der Löcher zur Folge hatten und bestimmt das Verhältnis der Scherfläche des Bolzens zur gedrückten Lochwand (die Projektion der gedrückten Lochwand = dd) aus:

: dd = 40 : 16 = 10 : 4, d. h. dd = 0,4 (^);

hieraus würde: 4

~ = 3,2 folgen.

⁷⁰) Ritter. Der Brückenbau in den vereinigten Staaten Amerikas. Bern 1894.

Nach Sc h w edler’s Annahme darf der Druck auf die ebene Projektion der Rück-wand des Loches 10 kg f. d. qmm betragen, demnach würde hei einschnittigen Bolzen,

die mit 6 kg f. d. qmm auf Abscherung in Anspruch genommen sind :

10 . dd = 6 .

7z d²    .    d

*y— und hiernach y = 2,1 sich ergeben.

Nach amerikanischen Vorschriften soll der Oberflächendruck auf die halbe Cylinder-Innenfläche des Bolzenauges nicht mehr als 8000 bis 10000 Pfund f. d. Quadratzoll, d. i. 562 bis 703 kg f. d. qcm betragen.

Wenn angenommen werden darf, dafs die Berührung zwischen den Bolzen und dem Bolzenloche in einem Halbkreiscylinder stattfinde, so ergiebt die theoretische Berechnung für den gröbsten Druck der Flächeneinheit: Je

2D

wobei D der Gesamt-

urS’

druck, den der Bolzen gegen die Lochwand ausübt, r der Halbmesser des Bolzens und 8 die Höhe des Berührungscylinders ist.

Bei einschnittigen Bolzen ist I) = Ttr't] wo t die Beanspruchung auf Scherfestigkeit bedeutet. Hiernach ist auch:

T'max = 2 r y = d y odd’ y

max

Je max

_ o d

— 2y.

Bei zweischnittigen Bolzen würde dann folgen:

Nimmt man als gröbsten zulässigen Stauchdruck 7rmax = 1400 kg f. d. qcm und für die zulässige Scherfestigkeit t — 600 kg f. d. qcm an, so ergäbe sich im ersten Falle:

7

— — 2,3, im zweiten Falle :

a.

= 1,16 = 1,2.

Obwohl die Schraubenbolzcn in den weitaus meisten Fällen Schubwirkungen zu widerstehen haben, so kommt dennoch auch die achsiale Längsspannung derselben infolge des Anziehens der Muttern zur Geltung.

Das Material der Schraubenbolzen mufs, entsprechend der Wirkungsäubserung der Bolzen, von vorzüglicher Beschaffenheit sein; am besten würde hierfür Feinkorneisen — unter Umständen auch Stahl — geeignet sein. Bei Ausführung der Verbindungen mit Schraubenbolzen ist Sorge zu tragen, dafs die Muttern nicht mit der Zeit lose werden, weshalb geeignete Sicherungen oder Verstemmen der Gewinde nach wiederholtem Anziehen der Muttern vorzunehmen sind.

Es ist selbstverständlich, dafs die Bolzenlöcher genau und übereinstimmend gebohrt, bei konischen Bolzen mittels entsprechend konisch geformter Reibahlen ausgerieben werden müssen. Die sorgfältig abgedrehten Bolzen sollen rein geschnittene Gewinde mit reinen, vollen Kanten und gut passenden Muttern haben.

Anwendung finden die Schraubenbolzen sowohl zur Verbindung von Konstruktions-elcmenten zu Konstruktionsgliedern, wie der letzteren zu konstruktiven Gebilden. Auch zur Verbindung von Konstruktionsteilen, wo die Verbindungsmittel in ihrer Achsenrichtung auf Zug in Anspruch genommen erscheinen, wie dies z. B. bei Verbindungen der Längsträger mit den Querträgern der Fall ist, sind Schraubenbolzen am besten geeignet. Überall dort, wo Nietung nicht anwendbar, insbesondere wo Nietstärken von mehr als 25 mm angeordnet werden müssen oder die Länge der Nietbolzen 90 mm überschreitet, können Schraubenbolzen vorteilhaft benutzt werden.

erst nach Einführung des Nietbolzens in das Nietloch

3. Die Niete. Die Niete sind aus unbearbeitetem Handolsrundeisen hergestellte, in selteneren Fällen cylindrisch oder mit schwachem Konus abgedrehte Bolzen, die an einem Ende einen bereits vorgebildeten Kopf — Setzkopf — erhalten,- wogegen der zweite Kopf — der Schliefskopf durch Stauchung und Formung des vorragenden Schaftes erzeugt wird. Jo nachdem

abgedrehte oder unbearbeitete Niete zur Verwendung kommen, ist das Verfahren beim Nieten verschieden.

Im ersten Falle wird der Anschlufs des Nietschaftes an die Nietloch wände infolge der genauen Bearbeitung erzielt; die Niete werden im kalten Zustande gesetzt und in diesem deren Schliefskopf gebildet. Es findet hier die sogenannte „kalte Vernietung“ statt.

Im zweiten Falle — der „warmen Nietung“ — werden die Niete in hellglühendem Zustande in die Nietlöcher eingeführt, daselbst mittels eines Gegenhalters oder Nietstockes festgehalten, an die zu vernietenden Eisen angeprefst und durch Hammerschläge, die in der Achsenrichtung des Schaftes erfolgen, im Nietloche derart gestaucht, dafs der so erbreiterte Schaft das Nietloch möglichst vollständig ausfüllt. Hierauf wird der Schliefskopf aus dem noch vorstehenden Schafte durch Breithämmern und mittels eines aufgesetzten Kopfgesenkes, des „Sclielleisens“, geformt. Gewöhnlich wird gefordert, dafs nach Vollendung der Arbeit der Schliefskopf in seiner Mitte noch einen dunkelrot glühenden Punkt zeige.

Damit das Stauchen des Schaftes ein vollständiges werde, ist es erforderlich, dafs das Gewicht der Stauchhämmer in einem bestimmten Verhältnisse zu dem Durchmesser und der Länge des Nietes stehe. Ein gleiches gilt vom Gewichte der Zuschlaghämmer für die Formung des Schliefskopfes. Durch Anwendung von Nietmaschinen wird die Nietung nicht blofs bei weitem rascher, sondern auch vollkommener. Insbesondere günstig wirken jene Maschinen, welche mittels eines starken, ruhigen Druckes, ohne Stofs, das Nieten bewerkstelligen. Die warme Nietung erfordert es, dafs die Nietschäfte in ihrem Durchmesser etwas schwächer, als die Nietlöcher gehalten werden, damit man das glühende Niet einführen kann. Man nimmt hierzu in der Regel den Bolzendurchmesser um V₂o schwächer.

Die Form und Gröfse des Nietkopfes ist mit Rücksicht auf Zweckmäfsigkeit zu bestimmen. Jedenfalls wird die Form die eines Umdrehungskörpers sein. Die Abmessungen desselben müssen im Verhältnisse zu den Widerstandsäufserungen des Nietes stehen. Das Niet, insbesondere das warm geschlagene, hat infolge der Zusammenziehung des Eisens beim Erkalten meist sehr beträchtliche Längenspannungen zu ertragen; es mufs daher die Höhe des Kopfes, im verlängerten Schaftmantel gemessen, zum mindesten eine solche Gröfse erhalten, dafs ein Abscheren der Kopfränder verhindert wird.

Stellt man die Bedingung, dafs der Widerstand gegen Abscheren der Kopfränder gleich dem Widerstand des Schaftes gegen Zugspannung werde, so ergiebt sich:

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—:— . s — % . d . h . t,

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woraus die Kopfhöhe h = y. y folgt, wobei d den Durchmesser des Nietschaftes, s die Zug- und t die Schubfestigkeit des Eisens bedeuten. Für y = y, würde h — 0,31 d folgen. Gewöhnlich wird jedoch h = 0,5 d gemacht:

Zur Bestimmung der Gröfse des um den Schaft vorstehenden Kopfrandes kann die Bedingung gelten, dafs der Einheitsdruck daselbst gleich der Spannung im Schafte werde, also : y d² — y (Z)² — <P), woraus sich der Durchmesser des äufseren Kopfrandes JJ = d y 2 = 1,4 d berechnet. Der hierfür gebräuchliche Wert ist dagegen D = 1,5 d.

Der Anschlufs des Kopfes an den Nietschaft wird entweder unvermittelt, durch scharfen Absatz oder mittels Einschaltung eines niederen Zwischenkegels — der Versenkung — bewerkstelligt. Versuche, die beim Bau der (alten) Dirschauer Brücke über die Zweckmäfsigkeit verschiedener Nietkopfformen angestellt wurden, ergaben, dafs die Anordnung von Versenkungen durchaus zweckmäfsig sei. Obwohl schon die Erwägung,

dafs die zur Formung des Kopfes nötige Mederstauchung der Eisenmassenteile um einen rechten Winkel unmöglich für die Festigkeit des Kopfes vorteilhaft sein könne und deshalb für einen vermittelten Übergang vom Schaft zum Kopfe spricht, so haben dies auch die Dirschauer Versuche vollends bestätigt, indem sich ergab, dafs bei Anwendung von Versenkungen der Bruch durch Keifsen des Metschaftes nahe in dessen Mitte, bei Meten ohne Versenkung jedoch stets am Kopfansatze erfolgte. Die Versenkung entspricht daher jedenfalls einer wesentlichen Verstärkung des Metes und sollte namentlich bei stark beanspruchten Meten nie fortgelassen werden. Die eben erwähnten Versuche ergaben, dafs die Tiefe der Versenkung mit yi0 bis */„ (7 vollständig genüge. Der Winkel des Versenkungskegels liegt meist zwischen 60 bis 80°.

Im Brückenbau werden vornehmlich die folgenden Formen für die Nietköpfe

angewendet :

1. Der Kugelabschnitt (Fig. 33). Wird keine Versenkung angeordnet, so ist der Körperinhalt des Kopfes F = y (y D² -j- H²) H, wo D der Durchmesser des Kopf-randes und H die Höhe des Metkopfes bedeutet. Setzt man H = y d und die Höhe im Schnitte des Metkopfes mit dem Cylindermantel des Bolzens h — 0,5 (7, so ergiebt sich D — 1,632 (7 und der Inhalt des Kopfes F = 0,851 d³. Das Gewicht desselben ist dann: G — 0,0066 d³ kg (d in cm). Ist eine Versenkung vorhanden und ist deren Tiefe v = ßd, so wird D — 1,56(7, der Inhalt des Kopfes F = 0,601 d³ und dessen Gewicht G = 0,00463 d³ kg.

2. Der ellipsoidisehe Kopf (Fig. 34, oben). Aus der Gleichung der erzeugenden

,72    7)²    9

Ellipse ergiebt sich: -jß -j- -jß — 1. Hieraus folgt für 1) — 1,5 d und H — —(7, h = 0,497 (7, der Inhalt V — y da = 0,785 d³ und das Gewicht G = 0,00605 d³ kg. Bei einer Versenkung v = y ist für die Annahme h = y, D = 1,51 (7, V = 0,5984 ds und G — 0,00461 d³ kg. In Fig. 36, oben, ist die Kopfform der bei der Dirschauer Brücke angewendeten Mete dargestellt. Für diese ist: D — 1,5 (7, h = 0,509 (7, F = 0,584 d3 und G = 0,0045 d³ kg.

Fig. 34.

Fig. 36.

Fig. 35.

Fig. 33.

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3.    Der ganz versenkte Kopf (Fig. 35, oben) entspricht der Form nach einem abgestumpften Kegel, dessen gröfsere Grundfläche mit der Oberfläche des vernieteten Eisentoiles zusammenfällt. Hier ist H — v = 0,4(7 bis 0,5(7; D — 1,5(7.

4.    Der halb versenkte Kopf (Fig. 36, oben und Fig. 33 bis 36, unten) besteht aus einem über die Oberfläche des vernieteten Eisenteiles vorstehenden Körper und dem einer beträchtlicheren Versenkung entsprechenden Kegelstumpf. Die Versenkungstiefe ist v — 0,3 (7 ; h — 0,5 (7 und D —■ 1,5 (7.

Mit Beibehaltung der beim Bau der Dirschauer Brücke gebrauchten Benennungen ergeben sich für die Anwendung der versenkten Mete die folgenden Kegeln:

a)    Klein-normal versenkte Niete (Fig. 36, oben). Für die Verwendung dieser Niete gilt als Regel: Wenn beide Nietköpfe voll sind, so darf die Nietlänge zwischen den Köpfen — gleich der zu vernietenden Eisendicke — nicht gröfser sein, als der doppelte Durchmesser des Nietes. Geringe Überschreitung ausnahmsweise.

Fig. 37.

b)    Grofs-normal versenkte Niete (Fig. 36, unten). Dieses Niet ist überall da anzuwenden, wo die zu vernietende Eisendicke gröfser ist als der doppelte Nietdurchmesser. Es ist nur dann von der Versenkung abzuweichen, wenn, ohne es vermeiden zu können, diejenige Eisendicke, in welcher die Versenkung anzubringen ist, gleich oder

kleiner als die vorgeschriebene Versenkungstiefe sein sollte. ^§r~ In diesem Ausnahmsfalle wird die Versenkung nach Fig. 37

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2 mm weniger tief gemacht, als die Eisendicke beträgt.    *

c) Ganz versenkte Niete (Fig. 35, oben). Tiefe der Versenkung gleich dem halben Bolzendurchmesser. Abweichungen nur unter Umständen wie vorhin angegeben. Die Anwendung dieser Niete findet nur statt, wenn eine glatte ebene Oberfläche der durch Nietung verbundenen Teile hergestellt werden soll. Wünschenswert ist immer, dafs das Niet nur dann verwendet wird, wenn die Nietlänge den doppelten Durchmesser bedeutend überschreitet.

Zur Herstellung des Kopfes und zur Stauchung des Nietbolzens ist eine Mehrlänge des Niotschaftes von 1,3 cl bis 1,7 d, im Mittel von 1,5 d erforderlich.

Die im Brückenbau gebräuchlichen Mafse der Niete bewegen sich für den Bolzendurchmesser zwischen 15 bis 26 mm. Die Länge des Nietschaftes (zwischen den Köpfen) bis zu 4 Durchmessern höchstens. Niete mit Längen von 4 d lassen sich schon schwer gleiclunäfsig stauchen und können infolge allzu gröfser Längsspannung auch reifsen.

Die Einzelheiten der Kopfformen sind keineswegs von untergeordneter Bedeutung, da die Güte der Nietung auch hiervon mit abhängt. Je vollkommener die Gestalt des Nietes — insbesondere des Nietkopfes — den im Niete auftretenden Spannungen entspricht, um so zweckmäfsiger und verläfslicher wird auch die damit hergestellte Verbindung sein. Die beträchtlichen Längsspannungen im vollendeten Niete gelangen zunächst an den Kopfansätzen zur Aufserung. Die oben erwähnten Versuche beim Baue der Dirschauer Brücke haben den Einflufs der Kopfform auf die Festigkeit des Nietes hinlänglich festgestellt. Es ist geraten, derartige Kopfformen zu wählen, dafs die Längsspannungen im Niete möglichst unschädlich werden. Je gröfser die Gesamtdicke der zu vernietenden Eisenteile ist, desto gröfser ist der dem sich zusammenziehenden Niete entgegengesetzte Widerstand, also auch dessen Längsspannung. Es ist demnach angezeigt, die Versenkungstiefen mit der Länge der Nietbolzen zunehmen zu lassen; es wird damit erreicht, dafs der zu stauchende, zwischen den Köpfen befindliche Teil kürzer und die Länge der Zusammenziehung verringert wird. Die zu wählende Form des Nietkopfes würde sonach von der Länge des Nietbolzens, bezw. der Gesamtdicke der zu vernietenden Eisen abhängig sein.

Über die Längsspannungen im Nietschafte ist Folgendes zu bemerken. Infolge des Erkaltens eines im glühenden Zustande eingezogenen und geschlagenen Nietes treten bei behinderter Zusammenziehung desselben durch den Widerstand der vernieteten Eisen Längsspannungen im Niete selbst auf, deren Gröfse abhängig ist von dem Unterschiede der Temperatur des erkalteten Nietes gegen jene, bei welcher die Zusammenziehung begann, ferner von dem Widerstande der vernieteten Eisen und dem Ausdehnungs- und Elasticitätskoefficienten des Nietes.

Das hellglühend eingezogene Niet teilt während des Stauchens den umgebenden Eisenmassen einen Teil seiner Wärme mit und veranlafst deren Ausdehnung, welche einer Verlängerung des Nietes entspricht. Nach Vollendung des Schliefskopfes findet die wirksame Zusammenziehung des Nietes, gleichzeitig jedoch auch jene der umgebenden Eisenteile statt und es ist der Temperaturunterschied des Nietes gegen jene der unmittelbaren Umgebung mafsgebend für die Spannung des Nietschaftes. Aufserdem ist die Zusammendrückbarkeit der vernieteten Eisenteile, insbesondere der Spielraum zwischen den verschiedenen übereinander befindlichen Eisenplatten, von wesentlichem Einflufs auf die Spannung. Wenn angenommen wird, dafs die Temperatur des vollendeten Nietes etwa 500° C. (im Dunkeln glühend), die der Umgebung, d. i. allenfalls jenes Teiles, der dem von den Kopfrändern gefafsten Ilohlcylinder entspricht, etwa 400° C. betrage, so

würden die vernieteten Teile mit der Kraft: P =

soböN * E ⁼ 800 E qcm Nietquerschnitt zusammengeprefst werden müssen und dem    Fi(1. ₃₈

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angenommenen Temperaturunterschied würde eine Zusammenziehung des Nietbolzens von */m seiner Länge ent- ^ sprechen. Wenn jedoch bedacht wird, dafs zwischen den übereinander liegenden Platten Zwischenräume bestehen, so §ü verringert sich der Widerstand der geprefsten Teile, indem die zusammendrückende Kraft des erkaltenden Nietes vielmehr eine Verkleinerung dieser Zwischenräume durch eine centrale Biegung der Platten um das Niet herum hervorbringt (Fig. 38). Wenn man die Gröfse des Zwischenraumes zwischen zwei Platten mit nur 720 eines Millimeters annimmt, so würde bei Vernietung zweier Platten von zusammen 20 mm Stärke, die Gröfse der Zusammenziehung des Nietes bei etwa 200° Temperaturunterschied gerade ausreichend sein, um die Platten an dem Niete zur Berührung zu bringen. Die Spannung des Nietbolzens entspräche dann dem Biegungswiderstande der Platten und dieselbe ist jedenfalls viel geringer, als gewöhnlich angenommen wird. Nur bei Verbindung mehrerer Plattenlagen oder bei verhältnismäfsig sehr dicken Platten kann der Biegungswiderstand derselben beträchtlicher und mithin die Spannung der Nietbolzen bedeutender werden.

Hiernach erscheinen die Niete durch elastische Federung „der vernieteten Eisenplatten gespannt. Die Gröfse der Spannung selbst könnte aus Versuchen, die zur Ermittelung der Reibung bei vernieteten Stäben angestellt wurden, beurteilt werden. Nach Lavaley’s bezüglichen Versuchen ergab sich für diese Reibung der Mittelwert von 15,8 kg f. 1 qmm des Nietquerschnittes bei zwei Reibungsflächen, somit 7,9 kg f. 1 qmm für einfache Reibung'. Versuche Harkort’s ergaben für die Reibung 0,176 der Zugfestigkeit, d. i. ca. 7,3 kg f. 1 qmm, also Werte, die mit Lavaley’s Resultaten ziemlich übereinstimmen. Unter Annahme eines Reibungskoefficienten von 0,3 ergäbe sich hiernach eine mittlere Spannung des Nietes von 25 kg f. 1 qmm.

Die Ursache der Längsspannungen der Niete liegt, wie oben bemerkt, in dem Unterschied der Temperatur des frisch vollendeten Nietes gegen jene seiner unmittelbaren metallischen Umgebung und der durch dessen Abkühlung hervorgerufenen Zusammenziehung. Da nun dieser Temperaturunterschied vornehmlich von der Temperaturhöhe des Nietbolzens während seines Stauchens abhängt, so ist auch jene Längsspannung’ im erkaltenden Mete durch diese Stauchtemperatur bedingt.

Die Gröfse des Einflusses der Stauchtemperatur auf den Gleitwiderstand und die Scherfestigkeit bei einer Metverbindung zeigt eine Reihe von Versuchen, welche Considère in den Ann. des ponts et chaussées 1886, S. 98 u. ff. mitteilt. Die Ergebnisse dieser Versuche sind in Kurzem die folgenden:

a) Bei Handnietung. Wenn die Stauchtemperatur zwischen 1000° (Hellkirschrot) und 800° (beginnendem Kirschrot) lag, so betrug der Gdeitwiderstand f. d. qmm des Nietquerschnittes etwa 10 kg; derselbe nahm zu bei abnehmender Stauch temperatur und erreichte das Maximum von 15 kg für die Stauchtemperatur von etwa 600° (fast verschwendendes Rot), von wro ab derselbe immer mehr und mehr mit der Temperatur abnahm und geringer wurde als 5,1 kg für kalt geschlagene Niete. Die Scherfestigkeit betrug 30,1 kg f. d. qmm solcher Niete, deren Stauchtemperatur 1000° bis 900° (Kirschrot) war; sie erhob sich wachsend auf 31,2, 36,9, 38,1 kg und erreichte den Höchstwert von 41,2 kg f. d. qmm bei der Stauch temperatur von 500° (im Dunkeln glühend). Yon da an fällt der Scherwiderstand mit der abnehmenden Stauchtemperatur und sinkt auf 32,4 kg bei kalt gesetztem Niete.

b) Mit der Presse gestauchte Niete. (Der Druck betrug ungefähr 100 kg f. d. qmm des Nietquerschnittes.) Der Gleitwiderstand ergab sich, wie im früheren Falle, bei der Stauchtemperatur von Hellkirschrot nahe an 10 kg und bei kalt gestauchten Nieten etwas kleiner als 5 kg f. d. qmm. Er erhob sich jedoch auf 16 und 17 kg für die Stauchtemperatur des beginnenden Kirschrot und des Dunkelrot. Die Scherfestigkeit fand man nahe an 32 und 33 kg für Niete, die sehr heifs und sehr kalt gesetzt wurden; sie erhob sich jedoch bis nahe an 40 kg für solche, deren Stauchtemperatur das verschwindende Rot war.

Den Einflufs wiederholter Anstrengung der Niete in entgegengesetztem Sinne unter Berücksichtigung der jeweiligen Stauchtemperatur zeigte eine neue Versuchsreihe und zwar für Niete, deren Stauchtemperaturen 900° (kirschrot), 700° (dunkelrot) und 650° (sehr dunkelrot) waren. Bei diesen Versuchen, bei welchen der Sinn der Anstrengungen je dreimal wechselte, sank der Gleitwiderstand für das bei 900° gestauchte Niet von 10,8 auf 5,1 kg, für das bei 700° gestauchte von 11,9 auf 9,7 kg und für das bei 650° gestauchte von 15,4 auf 9,7 kg f. d. qmm des Nietquerschnittes herab.

Der schädliche Einflufs wiederholter Anstrengungen in entgegengesetztem Sinne trat somit auch hier deutlich vor die Augen.

Das Material der Niete mufs von ausgezeichneter Qualität sein; am besten eignet sich feinsehniges zähes Eisen und für kalt zu setzende Niete Eeinkorneisen. Über die Proben, welche gutes Nieteisen bestehen mufs, vergleiche man § 4 und über die Einzelheiten der Ausführung der Vernietungen § 8 des XVI. Kapitels (2. Aufl.).

C. Allgemeine Anordnung der eisernen Brücken.

Die Paragraphen 25, 27 u. 33 sind von Prof. Landsberg, die Paragraphen 28 bis 32 von Prof. Brik bearbeitet; § 20 ist ein Beitrag des Prof. Fr. Steiner in Prag.

§ 25. Gröfse und Zahl der Öffnungen. Allgemeine Regeln darüber, welche Gröfsen den einzelnen Öffnungen einer eisernen Brücke gegeben werden sollen, bezw. welche Öffnungszahl bei gegebener Gesamtlichtweite zu wählen ist, können nicht aufgestellt werden; in jedem besonderen Falle sind die örtlichen und sonstigen Verhältnisse mafsgebend.

Die Herstellung von Zwischenpfeilern kann auf gewisse Längen wegen ungünstiger Gründungsverhältnisse, weil der Flufs zu reifsend oder das zu überschreitende Thal zu tief ist, unmöglich oder mit übermäfsig grofsen Kosten verbunden sein (wie z. B. bei dem Niagara); es kann auch die Lage der Baustelle mit zwingender Gewalt dazu führen, dafs man die Pfeiler an ganz bestimmten Stellen erbauen mufs. Letzteres tritt unter anderem ein, wenn im Strome für die Erbauung der Pfeiler besonders geeignete Inseln oder flache Stellen vorhanden sind, während derselbe an allen anderen Stellen bedeutende Tiefen aufweist. Als Beispiel wird die Insel Inchgarvie bei der Brücke über den Firth of Forth genannt.

Bei schiffbaren Strömen und Meeresarmen ist in hervorragender Weise die Rücksicht auf die Schiffahrt mafsgebend; es ist stets eine genügende AVeite und Lichthöhe über dem höchsten schiffbaren AVasserstande freizuhalten. Ferner dürfen die Einbauten (Pfeiler u. s. w.) das Abflufsprofil nicht in schädlicher Weise beeinflussen, insbesondere keinen nachteiligen Stau erzeugen; endlich ist auch der etwa auf dem Strome stattfindende Eisgang bei Abmessung der geringsten auszuführenden Lichtweiten gebührend zu berücksichtigen. Die Entscheidung über die Öffnungsweiten mit Rücksicht auf die erwähnten Gesichtspunkte — Schiffahrt, Durchflufsquerschnitt, Eisgang — ist nur in den seltensten Fällen Sache des Brückenbau-Ingenieurs. Gewöhnlich werden dem letzteren in Bezug darauf ganz bestimmte Vorschriften von der Landesbehörde gemacht. Eine Reihe einschlägiger Mitteilungen findet man im § 11 des I. Kapitels dieses AVerkes.

Unter Umständen kann auch die Rücksicht auf die Schönheit eine ausschlaggebende AVichtigkeit haben. AVährend man bei weit weniger wichtigen und monumentalen Bauwerken diese Rücksicht mit Recht an eine sehr hohe Stelle setzt, wurde früher vielfach bei dem Entwerfen von Brücken sehr wrenig AVert auf die Schönheit des Gesamtbildes gelegt; und doch sind die Brückenbauwerke von ganz aufserordentlicher Bedeutung für die Gegend, in welcher sie erbaut werden; sie können das Landschaftsbild sowohl im günstigen, wie ungünstigen Sinne wesentlich beeinflussen. ATelfach hat man sich damit begnügt, nach Fertigstellung des Entwurfes die Pfeiler und Geländer durch Aufbauten, Türmchen u. dergl. auszuschmücken. AVcit wichtiger für das Gesamtbild des Bauwerkes ist aber die richtige AArahl der Öffnungsweiten, die Abwägung der Pfeilermafse gegen diejenigen der eisernen Überbauten, die Führung der Hauptlinien der Träger; diese Verhältnisse fallen auch in der für die Beurteilung des Ganzen nötigen grofsen Entfernung vom Bauwerke sofort in die Augen, während der Schmuck der Einzelheiten gegenüber den grofsen Massen des Ganzen aus der Ferne gesehen fortfällt, in der Nähe gesehen kleinlich wirkt. Aus ästhetischen Gründen empfiehlt sich die AVahl

einer ungeraden Anzahl von Öffnungen, wenn nicht etwa die Zahl derselben so grofs ist, dafs man erst zählen mufs, um die Anzahl zu ermitteln. Eine Brücke mit zwei Öffnungen, also mit einem Mittelpfeiler im Strome, wirkt in der Regel unschön, sollte demnach, wenn nicht sonstige zAvingende Gründe für diese Einteilung sprechen, vermieden werden. Immerhin beweist die neue Rheinbrücke bei Düsseldorf (eröffnet 1898), dafs auch mit einem Mittclpfeiler günstige ästhetische Wirkung möglich ist.¹)

Die angeführten Rücksichten entziehen sich einer allgemeinen Behandlung und können nicht in eine mathematische Formel gebracht werden. Es kann aber recht wohl der Fall eintreten, dafs die örtlichen Verhältnisse es ganz oder nahezu gleichgiltig erscheinen lassen, ob man eine grofse oder geringe Zahl von Öffnungen wählt; es wird eine gewisse Gesamtlichtwreite verlangt, dabei aber dem Ingenieur freigestellt, dieselbe in vorteilhafter Weise in einzelne Lichtweiten zu zerlegen. Alsdann wird derselbe namentlich dahin streben müssen, die gestellte Aufgabe mit so geringem Kostenaufwande AAio möglich zu lösen.

Die hier zu behandelnde Frage kann demnach folgendermafsen ausgesprochen werden: In welcher Weise mufs die gegebene Gesamtlichtweite £ (Z) eingeteilt werden, damit die Gesamtkosten des, BauAverkes ein Kleinstwert Averden?

Diese Frage kann unter gewissen vereinfachenden Annahmen mathematisch behandelt werden.

1. Pfeiler aus Mauerwerk, eiserner Überbau. Die Kosten des gesamten Bauwerkes setzen sich zusammen aus den Kosten des Unterbaues — also der Mittel- und Endpfeiler (Widerlager) — den Kosten des eisernen Überbaues und denjenigen der Fahrbahn. Die letzteren sind bei den verschiedenen EinzelstützAveiten nicht verschieden, können also für den Vergleich aufser Acht gelassen werden. Je gröfser die Zahl der Öffnungen wird, je kleiner sich also die einzelnen Stützweiten ergeben, desto geringer Averden die Kosten für den Überbau, desto gröfser die Kosten für die Pfeiler; dagegen nehmen mit zunehmenden Einzelstützw^eiten die gesamten Pfeilerkosten ab, die Kosten des Überbaues Avesentlich zu. Bei irgend einer Öffnungszahl mufs die Kostensumme ein Kleinstwert AArerden.

Es sei die gegebene Gesamtlichtwreite = £ (Z), die Anzahl der Öffnungen = n,

..    y / T \

die für alle Öffnungen gleiche Einzellichtweite = X, so ist X = —V-Z.

Das Eigengewicht der Hauptträger des Überbaues für das laufende Meter der Brücke ist nach § 4 (S. 8 u. 9) direkt proportional der EinzelstützAveite Z, und kann geschrieben werden: qh = b L.

Nach § 4. c) [S. 10] ist auch das GeAvicht der Querversteifung und Windverstrebung mit der Weite Z veränderlich; man rechnet am einfachsten den dort angegebenen Behvert von Z mit in das vorstehende b ein, sodafs nunmehr als von der Stützweite abhängiges Eigengewicht des Überbaues gesetzt wird : q — b₁ L.

Die Kosten des Kilogramm fertig aufgestellten Eisenüberbaues seien = x Mark, so betragen die Kosten des Eisenüberbaues für das laufende Meter Bauwerk (abgesehen von den nicht aufgenommenen Kosten der Fahrbahn):

Z] = x &j Z.

Die Kosten der gemauerten Pfeiler sind von der Stützweite nicht ganz unabhängig; gröfsere Weiten verlangen im allgemeinen stärkere Pfeiler, als kleinere

H eiten. Für kleinere und mittlere Stützweiten wird aber die Pfeilerstärke in überwiegendem Mafse durch die Rücksicht auf die Stromverhältnisse — Eisgang, Gründungstiefe u. s. w. — bedingt, viel weniger durch die Notwendigkeit, einen gewissen Druck ertragen zu müssen : für die stattfindenden Drücke sind die Pfeiler meistens übermäfsig stark. Erst bei sehr grofsen Offnungsweiten ist die Gröfse der zu tragenden Last auf die Pfeilerstärke von bestimmendem Einflüsse.

Für eine Annäherungsrechnung wie die vorliegende kann man demnach die vereinfachende Annahme machen, dafs die Pfeil er stärken von den Stützweiten unabhängig seien. Nennt man die Kosten eines Mittelpfeilers P, so ergeben sich die Pfeilerkosten für das Längenmeter des Bauwerkes zu :

Die Kosten der Endpfeiler können als für die verschiedenen möglichen Einzelweiten konstant aufser Acht gelassen werden. Die in Betracht kommenden Kosten für

das laufende Meter Bauwerk sind demnach : K — k bt L -f-Kleinstwert für

Die Gröfse K wird ein

(1 K

P

= 0 z b, —~jj\ mithin wird

60.

Amin

Die Werte von 5, können für die verschiedenen möglichen Konstruktionsarten aus § 4 und 6 entnommen werden.

Eingleisige Eisenbahnbrücke.

Wählt man, falls die Bettung nicht auf der Brücke durchgeführt ist, im Mittel by = 31 -j- 5 = 36 (die Zahl 5 in vorstehendem Wert entspricht der Windverstrebung und Querversteifung), so wird:

min

•/.

61

Sei P — 30000 M., v. = 0,4 M. f. d. kg, so ist Lmin — 45,6 m, sei P — 10000 M.,    = 0,5 M. „ „

„    „ Pmin - 23,5 Hl.

Zweigleisige Eisenbahnbrücke.

Man kann bei gleicher Anordnung wie vor setzen: b₁— 64, und erhält:

-Lmin

i Jz

8 V 7.

62.

Sei P= 30000 M., sei P = 20000 M.,

V. = 0,4 M., so wird Zmin = 34 m, y. = 0,5 M, so wird Lmin = 25 m.

Strafsenbrücke.

b, ist unter Berücksichtigung der Breite der Brücke und der Zahlenwerte in § 6., c) [S. 15] zu bestimmen.

Für eine Landstrafsenbrücke von 7,0 m Breite und bei Verwendung von Trägern mit einer gekrümmten Gurtung und doppeltem Bohlenbelag kann man setzen:

b, = 3,12 .7 + 5 = 26,84

(die Zahl 5 in vorstehendem Wert entspricht der Windverstrebung und Querversteifung), dafür bx = 27 und

min

JL JJL

5,2 V 7.

Sei P = 10000 M.,

7. = 0,5 M., so wird Jjm\n — 27,2 m.

Bemerkt wird, dafs eigentlich by nicht unabhängig von L ist, demnach ist es nicht ganz richtig, wenn oben b bei der Differentiation als konstant eingeführt ist. Da es sich aber nur um angenäherte Berechnungen handelt, so ist die Ungenauigkeit als zulässig zu erachten.

Es wird empfohlen, eine zweite genauere Untersuchung durch Bearbeitung verschiedener Entwürfe vorzunehmen.

Rücksichtnahme auf die Veränderlichkeit der Pfeilerkosten bei Veränderung der Einzel-Lichtweiten.

In den vorstehenden Entwickelungen waren die Kosten eines Pfeilers als unabhängig von der Stützweite bezw. Einzellichtweite eingeführt; in Wirklichkeit sind die Pfeilerkosten in gewissem Grade von den Stützweiten abhängig. Man kann auch diese veränderlichen Pfeilerkosten in die Rechnung einführen, wie aus der nachfolgenden, von Weifs⁷²) angegebenen Untersuchung erhellt.

An der Hand ausgeführter Beispiele und auf Grund besonderer Untersuchungen kann man den Rauminhalt eines Mittelpfeilers als Funktion der Lichtweite ausdrücken. Bezeichnet F die Grundfläche, A die Länge, S die Breite des Pfeilergrundmauerwerkes, welches ohne Absätze angenommen wird und auf welches sich mit dem nötigen Absätze der mit Vorköpfen und mittlerem Böschungsverhältnisse versehene eigentliche Pfeiler aufsetzt, so ist genügend genau, bezogen auf Quadratmeter und Meter, für zweigleisige Eisenbahnbrücken:

b-v£

4-=⁴a

F = 20 -f 0,80 X, für eingleisige Eisenbahnbrücken:

= 2,6,

'S

U= 18 + 0,4 X,

Die Gesamthöhe von Unterkante Pfeiler bis zur Auflagerplatte sei /X, dann kann man den Rauminhalt V des Pfeilers setzen:

V — 0,85 . FII.

Sollen n Öffnungen angeordnet werden, so ist die Anzahl der Zwischenpfeiler = (n — 1); die Endpfeiler bleiben bei allen Entwürfen gleich, können also für den Vergleich aufser Acht gelassen werden.

Der Preis für ein Raummeter Pfeilermauerwerk einschliefslich aller Nebenkosten

für Gerüste, Gründung, Wasserhaltung, Anfuhren, Schiffahrt u. s. w. sei = B. derjenige einer Tonne fertig gestellten eisernen Oberbaues sei = %, so sind die Kosten der Pfeiler:

KP = 0 — 1) 0,85 . F H B.

Bezeichnet man das Eisengewicht dos Überbaues für die Längeneinheit, so weit es dem Eahrbahngerippe angehört, mit a1? so ist das Eisengewicht für das laufende Meter der Brücke:

ffeisen — Clt ~\~ b L,

und wenn angenähert die Einzelstützweite L durch die Einzellichtweite X ersetzt und die Trägerlänge gleichfalls mit X eingeführt wird,

bfc.Uen Gl I b X.

,2) F. J. Weifs. Dimensionierung’ und ökonomisch günstigste Anzahl von Zwischenpfeilern u. s. w. Zeitschr. <1. Ver. deutscher Ing. 1880, S. 169.

Das Eisengewicht für eine ganze Öffnung ist dann:

Gleisen Üb | b X) •

Daraus folgt für die Gesamtkosten (ohne die Endpfeiler) :

K = (n — 1) 0,85 . F HB + x . (at + b X) X . n,

K = (» — 1) 0,85 . FH B + x . (a, + b X) £ (77).

i ist von der Weite X abhängig; wird diese Abhängigkeit beachtet, so ergiebt sich eine sehr umständliche Untersuchung. Da jedoch für n nur die Werte brauchbar sind, welche ganze Zahlen ergeben und statt aller anderen Ergebnisse die nächst liegenden ganzen Zahlen zu wählen sind, da ferner die Annahme eines gleich grofsen II für alle Pfeiler gleichfalls nicht genau zutrifft, überhaupt aber H vor Beginn des Baues lediglich angenähert bestimmt werden kann, so ist offenbar nur eine überschlägliche Rechnung möglich, und es deshalb wohl zulässig, für b einen Mittelwert einzusetzen. Für eingleisige Eisenbahnbrücken ohne Bettung kann man setzen (vergl. S. 9, § 4):

b = 0,033,

bezogen auf Tonnen und Meter. Handelt es sich um zweigleisige Brücken, so soll die Annahme gemacht werden, es seien zwei eingleisige Brücken nebeneinander zu legen. Meistens wird ja zuerst nur eingleisiger Überbau ausgeführt, sodafs diese Annahme fast stets erfüllt ist.

(l K

Für eingleisige Eisenbahnbrücken erhält man mit F = 18 + 0,4 X == 18 -f 0,4 ^ :

K = (n — 1) 0,85 .TIB . (l8 + 0,4    -f * £ (II) (a, + 0,033

K = (« - 1) HB. (l5,3 + 0,34 ^-) + xS (L) («, + 0,033 Diese Kosten werden ein Minimum für denjenigen Wert von w, für welchen

ß

Man erhält auf diese Weise, wenn noch — — 4 gesetzt wird:

0,046 S( L)v/^4^3

Der Wert von X, welcher die Kosten zu einem Kleinstwert machen würde, ist dann

£(L)

— 0 wird.

^min

. . 63.

Xinin

— 21,7

'b HZ (Lj

Z(L) — 10,8 4 11

Xmin = 21,7

>bH

63“.

1 — 10,3

Z(L)

In entsprechender Weise ergiebt sich für zweigleisige Eisenbahnbrücken mit F = 20 + 0,8 X = 20 -f 0,8

K = (n — 1) 0,85 . HB . (20 -f 0,8 ^-) -f 2%. £(L) (a, + 0,033 K = (n — 1) II B (l7 + 0,68 -f 2 x S (L) («, + 0,033-^-).

„ = 0,064

Xmi„ = 1 0,6

Man erhält:

nmi

64,

V7

— 10,3

4 11

64“.

Z(l.)

Die in Gleichung 63“ und 64“ gefundenen Ausdrücke für Xmin haben keine hervorragende praktische Bedeutung ; denn sie sind von den Ausdrücken für nmin ohne Rücksicht darauf hergeleitet, dafs nur die Werte von nmin ohne weiteres gewählt werden können, welche ganze Zahlen sind. Immerhin gestatten sie einige interessante Schlüsse.

Setzt man Z (L) = <x>, so ergeben sich aus den genannten beiden Gleichungen die Grenzwerte, denen sich die vorteilhaftesten Lichtweiten bei zunehmender Gesamtlichtweite nähern. Man erhält:

Für eingleisige Eisenbahnbrücken: \'mia = 21,7 v <J> LT, für zweigleisige Eisenbahnbrücken: X"n = 15,6 74^*

Wenn z. B. 4 = —, H — 20 m ist, so wird XVn

= 47,8 m und X"în = 34,9 m.

Je gröfser 2 (L) wird, desto kleiner wird die vorteilhafteste Einzellichtweite.

Aus den Gleichungen für nmin kann man diejenige Gesamtlichtweite ermitteln, unterhalb deren überhaupt Zwischenpfeiler unzweckmäfsig sind. Wenn vmin <7 FA ist, so ist offenbar kein Zwischenpfeiler zu empfehlen ; demnach lauten die Bedingungsgleichungen für die entsprechenden Grenzwerte von Z (L) :

1,5 = 0,046 S(L)\/H| łS(Ł)

0,064 S(£)v/S|E_iMp,

Für eingleisige Eisenbahnbrücken : L‘ — 5,15^77^1 -f- \J\ -j- J für zweigleisige Eisenbahnbrücken: L“ — 5,15 4H J^l -f- \J 1

woraus folgt:

1,5 =

20,7

. . 65.

<\n a}

Man erhält z. B. für eingleisige Eisenbahnbrücken folgende Werte von 77:

10

12

und H

10 m 20 m 30 m

L‘ =

51,5

43,3

38

34

79

79

57,5

51,5

103

85

74

66

und für zweigleisige Eisenbahnbrücken folgende Werte von 77':

10

12

und H

10 m

20 m L" 30 m

34

29

26

52

45

40

84,5

69

59

52

Falls die Gesamtlichtweite kleiner ist, als die vorstehend entwickelten Werte von L' bezw. 77', so ist grofse Wahrscheinlichkeit vorhanden, dafs eine einzige Öffnung am

zweckmäfsigsten ist. Vollständige Sicherheit darüber ist aus der Rechnung allein wegen

Ji

der überaus schwierigen Bestimmung von 13 und damit von ó = —— nicht zu erlangen; es wird empfohlen, in solchem Falle vergleichende Entwürfe aufzustellen und zu veranschlagen.

2, Eiserne Pfeiler und eiserner Überbau. Es sind drei Arten eiserner Pfeiler zu unterscheiden :

Wand- oder Pendelpfcilcr,

Turmpf eiler,

Gerüstpfeiler.

Der Gang- nachstehender Untersuchung, bei welcher die Arbeit von Engesser: „Über das Eigengewicht schmiedeiserner Brückenpfeiler⁷⁸)“ zu Grunde gelegt wurde, ist folgender: Es wird das Eisengewicht der Eisenkonstruktion (der Überbau ohne Schienen, Schwellen, Bettung und das Pfeilergewicht) für das laufende Meter Bauwerkslänge als Funktion der Weite L der Einzelöffnung dargestellt. Die Kosten des Grundmauerwerks der Pfeiler werden dadurch berücksichtigt, dafs man dasjenige Eisengewicht ansetzt, welches gleiche Kosten verursacht, wie das Pfeilergrundmauerwerk auf die Einheitslänge des Bauwerkes. Nunmehr wird untersucht, für welche Weite L der Einzelöffnung das Eisengewicht zu einem Kleinstwert wird.

a) Pendelpfeiler und eiserner Überbau.

Es bedeutet:

I für das laufende Meter Überbau in Kilogramm;

L die Einzelstützweite in Metern; q das Eigengewicht p die Verkehrslast h die Pfeilerhöhe in Metern;

iv den Winddruck auf den Brückenträger und die Verkehrsbclastung für das laufende Meter Überbau; ivx den Winddruck auf das steigende Meter des Pfeilers.

man

Das Gewicht G eines Pendelpfeilers kann man dann nach Engesser setzen:

iv L h Ą- 0,5 ivi h²

1,1 • (q + 1,5 p) Lh 1000

-f 6,2 ä* + 1000 + 0,003 (f[ 4-1,5 p) L.

Die Formel ist für Schweifseisen entwickelt; für den vorliegenden Zweck kann dieselbe aber ohne bedeutenden Fehler auch für Flufseisen verwenden.

1000

12 + 200 h +

Eingleisige Eisenbahnbrücke. Das Pfeilergewicht für die Längeneinheit des Bauwerkes kann gesetzt werden:

200 h + 7 h² + 0,018 h³ + 1000

4- 28,8.

qx = 17,8 h 4“ 0,084 L h 4~

Das Eisengewicht des Überbaues beträgt nach § 4 (S. 8 u. 9) ohne das Gewicht des eigentlichen Oberbaues (Schienen, Schwellen, Bettung):

q.₂ =    4~ & L.

Die Werte für b sind in § 4 angegeben; es ist zu beachten, dafs in dem hier einzuführenden Zahlenwert für b auch der auf S. 10 ermittelte Beiwert von L enthalten sein mufs, der durch das Gewicht der Windverstrebung und Querversteifung bedingt ist.

Das Eigengewicht, welches gleiche Kosten verursacht, wie das Pfeilermauerwerk für die Längeneinheit des Bauwerkes, kann nach Engesser gesetzt werden:

¹

) Die neue Rlieinbrücke bei Düsseldorf. Centralbl. d. Bauverw. 1898, S. 557. — Deutsche Bauz. 1898, S. 629.

q₃ =

~jp 4" Q 4" üt h.

⁷³) Engesser, Fr. Über das Eigengewicht schmiedeiserner Brückenpfeiler. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1894, Heft 5.

Es ist demnach das in Betracht zu ziehende Eisengewicht für das laufende Meter Bauwerk:

q± = 17,8 h -J- 28,8 -f- 6f₂ -j- Q 4 R h 4 0,08 h L -j- b L 4 200 h + 7 h² -1- 0,018 h³ + 1000 4- P

Die günstigste Einzel weite folgt aus der Gleichung:

200 h -f 7 h² + 0,018 h³ + 1000 -f P

4t¹ = 0 = 0,08 h 4- b —

(l

L*

Lmin

200 h 4- 7 h* + 0,018 h³ + 1000 + P - h + b

66.

Nach Engesser kann man bei günstigen Verhältnissen P = 1000 kg setzen: führt man ferner, falls die Bettung nicht auf der Brücke durchgeführt ist, als Mittelwert b = 06 ein, so wird:

min

v/

2000 + 200 h + 7 7t* + 0,018 hs

Man erhält für:

0,08 h + 36

66\

10

20

30

40

50 m 28,2 m

15,4

Zweigleisige Eisenbahnbrücke. Das Pfeilergewicht für die Längeneinheit des Bauwerkes kann gesetzt werden:

q, = 32 h + 0,084 h L + 192 -f

das Eisengewicht des Überbaues für die Längeneinheit des Bauwerkes:

q₂ = 2 a₂ + 6 L;

Pmin - 11,31

19,6

23,9

200 h + 7 h² 4- 0,018 h³ + 1000

das dem Mauerwerk des Pfeilers gleichwertige Eisengewicht für die Längeneinheit des Bauwerkes :

Wenn man untersucht, für welches L die Summe + q₂ -{- q₃ ein Kleinstwert wird, erhält man:

200 h + 7 h³ + 0,018 h³ + 1000 + P

min

b 4- 0,084 h

. . 67.

und mit P — 2000 kg und b — 64 :

Pmin

3000 + 200 h 4- 7 li* + 0,018 h³

ô + 0,084 h

67*.

Die Formel giebt für:

h = 10    20    30

Lmin = 9,4    12,3    15,4    18,6

40

50 m

21,9 m.

b) Turmpfeiler und eiserner Überbau.

+ 7,2 L h -f 0,084 U h + 300 Ä + 11 h² -f-

Eingleisige Eisenbahnbrücke. Das Gewicht des Turmpfeilers einer eingleisigen Eisenbahnbrücke ist nach Engesser (a. a. O.) mit den obigen Bezeichnungen: (1,1 q + 4,2 p) L h

1000 + 0,07 h³ 4 1500 4 0,012 (q 4 1,5 p) L,

mithin das Eisengewicht für das laufende Meter des Bauwerkes:

h 4 7,2 h 4 0,012 (q 4 1,5 p) 4

300 h + 11 h² + 0,07 h³ -f 1500

(1,1 q 4- 4,2 p)

1000

4 0,084 Lh 4

Das Eisengewicht des Überbaues für das laufende Meter ist (s. o. § 4, S. 8 u. 9)

([i ⁼⁼ o₂ -)- b L,

in welchem Ausdruck a₂ das Eisengewicht des Fahrbahngerippes, (ohne das Gewicht des Oberbaues) bedeutet.

Das Eisengewicht, welches gleiche Kosten bedingt, wie das auf das Meter der Bauwerkslänge entfallende Pfeilermauerwerk, ist:

Ça ^ ~jj—b Q R h •

Das für eingleisige Brücke in Betracht zu ziehende Eisengewicht für das laufende Meter Bauwerk ist demnach insgesamt:

~b 7,2 h ~b 0,012 (q -j- 1,5p) + u₂ 4- Q R h

300 h + 11 h² + 0,07 h³ + 1500 + P

<Z< =

(1,1 g + 4,2 p) h

1000

4- (0,084 h + b) L +

Die Einzelweite, für welche das Eisengewicht ein Kleinstwert wird, folgt aus der Gleichung:

= 0 = 0,084 h + b —

300 h + 11 Ä* + 0,07 h³ + 1500 + P

P²

- = o,

/ 300 h -f 11 h² + 0,07 h³ + 1500 -f P V    0,084 h -f b

Setzt man P = 2000 kg, b = 36 (Bettung nicht auf der Brücke), so wird für eingleisige Brücke:

min

68.

3500 + 300 h + 11 h² + 0,07 h3 () 084 h +

Man erhält für eingleisige Brücke und:

Pmi«

68*.

10

20

30

40

50

60 m

Lmin = 14,4    19,5    25,1    30,9    36,9    43,2 m

als diejenigen Werte der Einzelweiten, bei denen der Baustoffaufwand ein Kleinstwert wird.

Zweigleisige Eisenbahnbrücke. Es ist das Pfeilergewicht: (1,1 q -f 3,5 jp) L h

1000

+ 7,2 L h + 0,084 U h + 300 h + 11 W + 0,07 ha -f -f 1500 + 0,02 (q -f 1,5 p) L

also :

<h =

(1,1 Ï + 3,5 TP) h

1000

4- 7,2 h -f 0,02 (q ,4- 1,5 p) 4 0,084 L h 4-

300 h + 11 h² + 0,07 h³ + 1500

ferner ist:

q₂ = a., 4- h L,

JL + q + Rh.

⁽h =

4- 7,2 h 4- 0,02 (q + 1,5 p) 4- o₂ 4- Ç 4- Il h -f

300 h + 11 h² + 0,07 h³ -f 1500 + P

fb =

Mithin ist das Gesamtgewicht auf das laufende Meter Bauwerk: (1,1 g + 3,5 p) h

1000

4- (0,084 h 4- b) L 4-

und

Emin

300 /i+ 11 h² 4- 0,07 h³ + 1500 + P

0,084 h + b

. . 69.

und mit P = 3000 kg und b — 64 für zweigleisige Brücke:

min

4500 + 300 h + 11 7i² -f 0,07 h³

0,084 h + 64

69*.

Man erhält für zweigleisige Brücke und:

10

20

30

40

50

-Üuin    11,6

15,3

60 m

19,5    23,9    28,6    39,4 m.

c) Gerüstpfeiler und eiserner Überbau.

Bei den Gerüstpfeilerbrücken werden abwechselnd je zwei Pfeilerjoche miteinander zu einem standfähigen Pfeiler verbunden; die Zwischenweiten der Joche und diejenigen der Pfeiler werden durch eiserne Überbauten überbrückt. Es sei die Ansichtsbroite eines Gerüstpfeilers = e, der Abstand zweier zu benachbarten Gerüstpfeilern gehörigen Joche == r, und es werde L — r -j- e gesetzt. Dann ist nach Engesser (a. a. 0.) das Pfeilergewicht:

Für eingleisige Bahn.

1500 4- 361 h + 13 h² + 0,07 h³

G = 24,5 h L + 0,048 h U + 1500 -f 361 Ji -f 13 lï -f 0,07 hs ~f 55 L, und qt = 24,5 h-f 55 + 0,048 hL +

Das Gewicht für das laufende Meter Überbau ist:

b (e² + r²)

(a? + b e) e -f («2 + br)r

Das Eisengewicht, welches den Kosten des auf das Längenmeter Bauwerk entfallenden Pfeilermauerwerkes entspricht, ist wie oben:

$3 = -jT- + Q + ^

mithin :

(ji — 24,5 h -j- 55 u2 Q fl 0,048 h L -f-

1500 4- 361 h 4- 13 h² + 0,07 hs + P + b (e² + r²)

Führt man ein e = r = d. h. wählt man den Abstand aller Joche gleich

L    L²

grofs = —, so wird e² -j- r² = --- und

CU — 24,5 h -f 55 + a₂ + $ + -ß -f 0,048 h L -\- b . ~ Ą-1500 4- 361 h 4- 13 h² 4~ 0,07 h³ + P

woraus folgt:

Bedingungsgleichung für Lmia ist dann: 0 = 0,048 h 4- -

1500 + 361 h + 13 h² 4- 0,07 h³ 4- P

/ 1500 4- 361 h + 13 h² + 0,07 h³ + P 0,048 h 4- y

Mit den Werten P — 1000kg und b = 36 wird:

min

.    .    70.

L.nin    4

! 2500 4- 361 h + 13 h² 4- 0,07 1P

Man erhält für :

18 4- 0,048 h

70a.

46

23

50 m, 55 m,

27,5 m.

I¹ ür zweigleisige Balm.

Man kann das Gewicht des Gerüstpfeilers für zweigleisige Eisenbahnbrücke setzen: G = 24 Lh + 0,047 hU -f 13 h² f 0,07 h³ -f- 358 h + 61 L -f 1500

also :

qt = 24 h -f 0,047 hL -f 61 +

1500 + 358 h + 13 h² + 0,07 h³

ferner wie oben:

bL

<h — «2 + —5 Indem man, wie oben, verfährt, erhält man:

71.

r __    / 1500 + 358 7t + 13 7ta + 0,07 7t³ + P

A,>in    . /    f

V    y + 0,047 h

Mit P — 2000 kg und b = 64 wird :

Man erhält für:

Emin

3500 + 358/1+ 13 /r + 0,07 ft³

32 + 0,047 ;»

7r.

50 m 42,6 m, 21,3 m.

00    05

d) Vergleich der verschiedenen Pfeileranordnungen. )

Unter Zugrundelegung der jeweils günstigsten Einzelweiten ergiebt sich:

Die Turmpfeil erb rücken verlangen am meisten Material, weniger Gewicht bedingen die Gerüstpfeilerbrücken, am leichtesten sind die Pendelpfeilerbrücken. In annähernd gleichem Verhältnis stehen die Kosten. Die gröfsero Billigkeit der Pendeipfeilerbriicken gegenüber den Gerüstpfeilerbrücken trifft jedoch nur zu, wenn das Bauwerk keine grofse Gesamtlänge hat. Bei grofser Gesamtlänge können die Haupt-träger wegen der Temperaturänderungen nicht auf die ganze Bauwerkslänge zusammenhängend ausgeführt werden. Es wird immer eine Anzahl von Öffnungen zu einer Abteilung vereinigt, zwischen den einzelnen Abteilungen werden Turmpfeiler angeordnet. Durch die höheren Kosten dieser Turmpfeiler ergeben sieli dann die Kosten für das gesamte Bauwerk mit Pendel- und einzelnen Turmpfeilern etwa ebenso hoch, wie diejenigen einer Gerüstbrücke.

Die Turmpfeilerbrücken fallen bei mittleren Höhen (bis zu etwa 30 m) erheblich schwerer aus, als die Gerüstbrücken: sowohl die Überbauten wie auch die Pfeiler selbst erfordern bei ersteren mehr Material, als bei letzteren. Die Überbauten sind schwerer, weil die Öffnungsweiten bei den Turmpfeilerbrücken gröfsere sind und nach § 3 u. 5 das Einheitsgewicht des Überbaues mit der Brückenweite wächst. Die Gewichte der Turmpfeiler sind gröfser als diejenigen der Gerüstpfeiler, weil sie von den Überbauten aus gröfsere Kräfte aufzunehmen haben und weil die durch Bremskräfte erzeugten Spannungen in den einzelnen Säulen gröfser sind als bei den Gerüstpfeilern: denn die Ansichtsbreite der Turmpfeiler ist kleiner, als der Jochabstand der Gerüstpfeiler. Auch zu dem Grundmauerwerk der Turmpfeiler wird mehr Material gebraucht, als zu demjenigen der Gerüstpfeiler: einmal sind bei den Turmpfeilern die

⁷⁴) Biedermann. Ein Beitrag zur Frage der Verwendung von Thalbrücken nach dem Gerüstbrückensystem. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1895, S. 376. — Biedermann. Die eiserne Thalbrücke über das Otterthal im Zuge der Eisenbahnlinie Ziegenrück-Hof. Zeitschr. f. Bauw. 1896, S. 531. — Meitzer, Die eisernen Gerüstbrücken der Lokalbahn Waldhofen-Gaming. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1899, S. 113.

auf die Sockel ausgeübten Zugkräfte gröfser als bei den Gerüstpfeilern, sodann kann man sich mit den vier vereinzelt stehenden Sockeln eines Gerüstpfeilers ganz dein Gelände anpassen und mit wenig Mauerwerk auskommcn. Aus diesen Gründen sind bei mittleren Höhen die Gerüstpfeilerbrücken wesentlich billiger, als die Turmpfeiler-briicken. Bei grofsen Höhen nimmt die für die Gerüstpfeilerbrücken günstige Ersparnis ab. Besonders tritt sie in Erscheinung bei langen Bauwerken mit nicht zu grofser Höhe (etwa 20 m), also bei langen Thal- und Yorflutbrückcn.

Als weitere Yorzüge der Gerüstbrücken mögen angeführt werden die Möglichkeit leichter Aufstellung und ihre Anpassung an selbst scharfe Krümmungen. Durch ihre kleinen Einzelstützwciten sind diese Brücken ganz besonders für Bauwerke in scharfen Kurven geeignet ; die Excentricität zAvischen Brückenachse und Kurvenachse fällt wegen der kleinen Weite gering aus.

Eine Weite von etwa 10 m zwischen den Einzeljochen scheint bei mittleren Höhen besonders zweckmäfsig zu sein : man wird diese meistens durch Blechträger überbrücken. Bei dem in der Fufsnote 74 angegebenen Beispiel ist diese Weite als der Minimalweite naheliegend ermittelt; auch in Amerika hat man für ähnliche Höhen vielfach Weiten gewählt, welche nahe an 10 m liegen.

e) Einige Formeln für Pfeilergewichte und Kosten.

Nachstehend sind einige Formeln zusammengestellt, welche Engesser⁷⁵) aufgestellt hat (/* =' Pfeilerhöhe in Metern, L = Einzel Stützweite in Metern).

I. Wandpfeiler, Pendelpfeiler.

1.    Pfeilergewicht für das steigende Meter in Kilogramm:

ei == 140 + 27 L + 6 //, y = 220 + 41 L + 6 /,,

a. Eingleisige Eisenbahn : ß. Zweigleisige Eisenbahn :

7. Strafsenbrücke von 7 m Breite mit Schotterbahn für Landstrafscn :

g = 140 + 27 Z + 6 h.

Die Formeln können angewendet werden innerhalb der Grenzen:

L — 25 m bis L — 80 m und h — 10 m bis h = 50 m.

2.    Günstigste Stützweite für eingleisige Eisenbahn:

L₀ = 7,5 + 0,42 /?<>,

h₀ und L₀ in Metern, k₀ ist die mittlere Bauwerkshöhe.

3.    Kosten für das Längenmeter des Bauwerkes bei eingleisiger Eisenbahn :

K = (280 + 26,5 h₀) Mark.

Giltig innerhalb der Grenzen: h₀ —10 m bis h₀ = 70 m.

Die Kosten für das Kilogramm Eisen sind dabei gerechnet : ~ = (30 + 0,2 /<„) Pf. Kosten für das Quadratmeter der Sichtfläche bei eingleisiger Eisenbahn:

x = (x + 26’⁵)Mark-

Gesamtkosten des Bauwerkes:

K —    + 26,5) F + W.

⁷⁵) Engesser, Fr. Über Jas Eigengewicht schmiedeiserner Brückenpfeiler. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zn Hannover 1894, Heft 5.

In dieser Formel bedeutet: F die Sichtfiäche des Bauwerkes zwischen den Endpfeilern, W die Kosten der Endpfeiler.

Vorstehende Formeln gelten unter der Annahme, dafs die günstigsten Einzel-weiten gewählt sind.

II. Turmpfeiler.

Pfeilergewicht für das steigende Meter in Kilogramm:

a. Eingleisige Eisenbahn: y = 40 L -j- 18/t (innerhalb der Grenzen L — 40 m bis L — 120 m und h = 30 m bis h — 70 m). ß. Zweigleisige Eisenbahn : y — 55 L + 19 A (innerhalb der Grenzen L — 50 m bis L = 100 m und h = 40 m bis h = 70 m).

III. Gerüstpfeiler.

Weiten: e — Abstand zweier zu einem Gerüstpfeiler verbundenen Joche, X — Abstand zweier nicht miteinander verbundenen Joche,

L = X + e.

Die Angaben gelten für eingleisige Eisenbahn.

1. Günstigste Weite: Lu — 7,5 -f- 0,8 /?₀, mit e =

f, X = 7,5 + 0,47 h₀.

2.    Eisengewicht für Pfeiler und Überbau auf das Längenmeter des Bau

werkes : e = (800 -f- 63,5 h₀) kg.

3.    Gesamtkosten der Längeneinheit des Bauwerkes, ausgedrückt in Kilogramm

Eisen : Je = (1190 4- 63,5 h₀) kg.

4.    Kosten in Mark für das Längenmeter des Bauwerkes : K — 280 4- 30 h₀.

(Die Kosten für das Kilogramm Eisen sind, wie oben, mit tz — (30 4- 0,2 h₀) Pfennige gerechnet.)

5.    Kosten für das Flächenmeter Sichtfläche:    —{~f~ 4 30^ Mark.

+ ³⁰) F + w-

Gesamtkosten des Bauwerkes: K —

In dieser Formel bedeutet: F die Sichtflächc des Bauwerkes zwischen den Endpfeilern, W die Kosten der Endpfeiler.

L111 e r a t u r.

Böhm. Zur Bestimmung der Öffnungszahl eiserner Brücken. Civ.-Iug. 1868, S. 299 bis 316.

Meyer. Ökonomisch vorteilhafteste Öffnungsweite bei Brückenbauten. Deutsche Bauz. 1874, S. 374 bis 375. Böhm. Bestimmung der Öffnungszahl eiserner Brücken. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1875, S. 248 u. 249. Winkler. Zweckmäfsigste Anzahl der Öffnungen oder Felder einer Brücke. Mitteilungen d. Arch.- u. Ing.-Ver. für Böhmen 1868, S. 41 u. 42.

Weifs. Dimensionierung und ökonomisch günstigste Zahl von Zwischenpfeilern mit eisernen Balkenträgern und mit gemauerten Pfeilern. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1880, Heft 4 bis 7.

Engesser, Fr. Über das Eigengewicht schmiedeiserner Brückenpfeiler. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1894, Heft 5.

Biedermann, E. Ein Beitrag zur Verwendung von Thalbrücken nach dem Gerüstbrückensystem. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1895, S. 376.

Biedermann, E. Die eiserne Thalbrücke über das Otterthal im Zuge der Eisenbahnlinie Ziegenrück-Hof. Zeitschr. f. Bauw. 1896, S. 531.

Meitzer. Die eisernen Gerüstbrücken der Lokalbahn Waldhofen-Gaming. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1899, S. 113.

§ 26. Ermittelung der Gröfse und Zahl der Öffnungen mit Hilfe graphischer Darstellungen. Die im vorstehenden Paragraphen besprochene Aufgabe läfst sich auch mit Hilfe graphischer Darstellungen nach Art der auf T. I vorgeführten mit Erfolg behandeln. Der Inhalt dieser Tafel ist den Vorlagen der K. K. Direktion der Staatseisenbahnen in Österreich durch gefällige Vermittelung des Professors Fr. Steiner in Prag entnommen, welcher auch die nachstehenden Erläuterungen geliefert hat. Es ist darauf aufmerksam zu machen, dafs Ausarbeitungen der in Rede stehenden Art nicht allein für den oben erwähnten Zweck, sondern überhaupt für Yorentwürfe, für Schätzungen bei näherungsweisen Kostenvoranschlägen, für Ermittelung des zu wählenden Kon-struktionssystems u. s. w. dienlich sind; solche Ausarbeitungen ermöglichen eine rasche Lösung der einschlägigen Aufgaben und aufserdem die Berücksichtigung mancher Umstände, z. B. einer schiefen Lage der Brücken oder Lage derselben in einer Krümmung, welche in § 25 unerwähnt geblieben sind. Allerdings erfordert die Herstellung von Darstellungen der fraglichen Art ausgedehnte Arbeiten ; dieselbe wird somit hauptsächlich bei den Vorarbeiten einer grofsen Eisenbahnverwaltung für den Bau längerer Bahnlinien am Platze sein, während man bei Untersuchungen über einzelne Bauwerke auf den in § 25 besprochenen Weg angewiesen ist.

Zur Erläuterung des auf T. I Gegebenen diene folgendes:

Die E. 1 bis 5 bringen Blechträgerformen für Lichtweiten von 2 bis 12 m. ferner findet man in F. 6 bis 12 Fachwerksbalkenträger, während F. 13 Bogenträger vorführt.

F. 18 giebt das Gewicht eiserner Brücken der Hauptbahnen für die in F. 1 bis 17 gezeichneten Konstruktionen. Als Abscissen sind die Stützweiten, als Ordinaten die Gewichte aufgetragen. Die Bestimmung der Stützweite aus der meist gegebenen Lichtweite erfolgt nach F. 14, die mafsgebenden Höhen sind nach F. 15 ermittelt, F. 17 giebt die Vermehrung der Konstruktionsgewichte infolge schräger Stellung der Brückenachse und durch Lage der Brücken im Bogen.

Das Gewicht der Lager ist in F. 18 unten ersichtlich. Zur Auflagerung dienen bis 20 m Stützweite Platten, von 20 bis 90 m Stelzenlager, von 90 bis 100 m Kipp- und Stelzenlager, in den Auflagergewichten sind Stahl und Blei mit einbegriffen.

Bei Bauten von mehr als 30 m Stützweite erhält das Gleis Auszugsvorrichtungen.

Hiernach ergiebt sich z. B. für eine Brücke von 36 m Lichtweite, Bahn „versenkt“, Parallelträger, 45° schief, 300 m Radius, Hauptbahn, allgemeine Anordnung nach F. 6:

37,3 m 4,0 „

Stützweite (F. 14) 36 -j- 2 . 0,65 = l

Trägerhöhe hi —    angenähert .

3,3 „

Breite (F. 16) 2,75 + ~ .    .    .    .

Gewicht :

.    62 480 kg

1 250 „

5 000 „

Schmiedeisen (Fig. 18) 1675 x 37,3 m Zuschlag nach A (F. 17) 2°/o . . . Zuschlag nach B (F. 17) 8°/o . . .

68 730 kg 4 400 kg

19 cbm.

Auflager (Fig 18, Striche unten)

Holz (Bemerkung bei F. 15) 37,3.0,5

In F. 19 u. 20 sind Formen eiserner Gerüstbrücken dargestellt, während F. 21 eiserne Turmpfeiler bringt. F. 28 giebt die zugehörigen Gewichte.

Beispiel. Gerüstbrücke mit Öffnungen von 20 m Stützweite, zwei Gerüstpfeiler von 50 m Höhe; über den Gerüstpfeilern Blechträger, Bahn oben, zwischen den Pfeilern drei Halbparabelträger, Bahn oben.

Brückenüberbau (F. 18) 2 . 570 . 10 -f 3 . 800 .20    ....    59 400 kg

Pfeiler (F. 28) 2 . 62 000

124 000

183 400 kg

Gesamtlänge 3 . 20 -f- 2 . 10 Verbaute Fläche 2 .

80 m

i-. 20.50 + 40 . 50

3 000 qm

Gewicht:

also für das Quadratmeter erbaute Fläche 61 kg.

F. 22 giebt Formen und Abmessungen von Steinpfeilern für Thalbrücken, bei deren Entwurf Folgendes angenommen ist: Die mittlere Pressung in den Mauerwerksfugen soll ohne Winddruck bei Vollbelastung der Brücken und bis 40 m Pfeilerhöhe nicht mehr als 7 kg f. d. qcm, bei höheren Pfeilern bis 40 m unter der Brückenbahn ebenfalls 7 kg f. d. qcm, in den unteren Partien aber 9 kg f. d. qcm betragen. Durch sämtliche Beanspruchungen einschliefslich des Winddruckes dürfen die äufsersten Fugen höchstens 1 kg Zug bezw. 14 kg Druck f. d. qcm erleiden. Das Pfeilermauerwerk mufs aus vorzüglichen lagerhaften Bruchsteinen in hydraulischem Mörtel bestehen.

Die unvermeidlichen elastischen Schwankungen beim Befahren während heftigen Windes betragen bei den Pfeilern wie F. 22 etwa 3 mm = 0,0015 l m x h m, bei Pfeilern wie F. 19 u. 20 § mm = 0,025 l m x h m, wobei l die halbe Summe der anschliefsenden Stützweiten und h die Pfeilerhöhe in Metern bedeuten. Pfeiler wie F. 19 u. 20 sind der Schwankungen wegen bei Höhen über 50 m ausgeschlossen.

F. 23 zeigt ein Baugerüst für Weiten bis 40 m. Die Anschalfungskosten werden mit etwa 300 M. f. d. m Stützweite angegeben. Die Umstellungskosten betragen etwa 1000 M. für eine Öffnung.

F. 24 enthält Gerüstanordnungen für Weiten über 40 m.

F. 27 bringt eine graphische Darstellung des Bedarfs an Holz und Schmiedeisen für diese Gerüste.

Beispiele. Die Konstruktionen F. 25 u. 2G spul hinsichtlich der Kosten zu vergleichen.

F. 25.

Erdaushuh .....

Pfeilergrundmauerwerk Steinpfeiler Mauerschliefsen Widerlager Gerüstholz Gerüsteisen Auflager Brückenüberbau Brückenbelag

1080 cbm zu 792    „    „

5270 „    „

. . 90 . 6 . =

. . 66 . 6 .    =

2540 + 2730 =

. 60 . 100 . 2 =

.    .    . 2 . 400 =

750 + 2 . 120 =

. 24 + 2.4,8 =

13,3 + 2 . 5,9 =

3 . 100 -f 2.0,85 . 45 = 466,5 t „ .    ...    190.0,5 — 95,0 cbm „

12 t

4 M. = 20 „ = 26 „ = 400 „ = 22 „

50 „

400 „

480 „

480 „

70 „ =

rrr:

4 320 M. 15 840 „ 137 020 „ 4 800 „ 17 600 „ 49 500 „ 13 440 „ 12 048 „ 223 920 „ 6 650

485 138 M.

F. 26.

. . 2680 cbm zu . . 2324 „ „

Erdaushub

Pfeilergrundmauerwerk .    .

Steinpfeiler . *.

9,8 t

800 cbm „

. . 2 . 400 =

.    38 . 150 =

.    . 5 . 4,4 =    22 t

5 . 1,5 . 38 =

. 190.0,45 =

285 t „ 85 cbm ,,

4 M.

476 266 M.

Es käme mithin die Konstruktions weise F. 26 um etwa 9000 M. billiger; auch die Möglichkeit der Anordnung, im Bogen und gröfsere Standsicherheit gegen Winddruek würden Vorteile der zweiten Anordnung sein, während Schönheitsrücksichten mehr für F. 25 sprechen würden.

Die mitgeteilten Eisengewichte sind seit Einführung der neuen Brückenverordnung in Österreich als etwas zu klein anzusehen. In der ganzen Darlegung der besprochenen Tafel wolle der Leser nur die Möglichkeit rascher oberflächlicher Orientierung, aber keineswegs unumstöfslich feststehende Zahlen sehen.

§ 27. Allgemeine Grundlagen für die Anordnung des eisernen Überbaues. Hauptbestandteile desselben. Für die Anordnung des eisernen Überbaues sind hauptsächlich mafsgebend:

Die Lage der Brücke im Grundrifs;

die gegenseitige Höhenlage der beiden Verkehrswege, welche sich an der Brückenstelle kreuzen;

die vorgeschriebenen Hauptmafse der Brücke, nämlich die Lichtweite und die Breite.

Bei Besprechung der einzelnen Punkte ist die Bekanntschaft mit den Benennungen der einzelnen Brückenteile notwendig, weshalb die Hauptbestandteile der eisernen Brückenüberbauten zunächst vorgeführt werden sollen; dabei möge sogleich hier darauf hingewiesen werden, dafs ein eiserner Brückenüberbau durchaus nicht alle nachstehend vorzuführenden Teile zu enthalten braucht, vielmehr meistens nur einige derselben auf weist.

1. Hauptteile der eisernen Überbauten.

a) Die Hauptträger. Dieselben übertragen die sämtlichen auf die Brücke wirkenden Lasten nach den Pfeilern, seien es gemauerte oder eiserne, End- oder Mittelpfeiler. Jeder eiserne überbau hat wenigstens zwei Hauptträger.

b) Die Querträger. Die Aufgabe der Querträger ist, sowohl das Gewicht der Fahrbahn, als auch das der Verkehrslast an einzelnen Punkten auf die Hauptträger zu übertragen. Sie stehen im Grundrifs in den weitaus meisten Fällen senkrecht zu den Hauptträgern; es kommen aber auch Querträger vor, welche mit den Hauptträgern spitze bezw. stumpfe Winkel bilden und deshalb schiefe Querträger genannt werden. Dieselben werden möglichst vermieden, da sie eine schwierige und damit teuere Arbeit verlangen.

Querträger sind nicht immer erforderlich, so beispielsweise dann nicht, wenn bei Eisenbahnbrücken die Schienen oder die Querschwellen unmittelbar auf den Hauptträgern angeordnet werden bezw. bei Strafsenbrücken, wenn die Fahrbahn direkt von den Hauptträgern getragen wird. Das ist nur möglich, wenn die Hauptträger einander sehr nahe liegen, also die Brücke kleine Spannweite hat. Querträger werden meistens angeordnet, bei gröfseren Brücken stets.

c) Die Längsträger zweiter Ordnung. Dieselben übertragen die Lasten auf die Querträger. Bei den Eisenbahnbrücken werden sie auch wohl Bahnträger, oder falls sie Querschwellen tragen, Schwellenträger genannt. Sie sind fast stets im Grundrifs den Hauptträgern parallel.

Wenn keine Querträger angeordnet sind, fehlen die Längsträger zweiter Ordnung ebenfalls; auch sonst werden sie fortgelassen, wenn die Querträger einander so nahe liegen, dafs die Schienen bezw. die für die Fahrbahntafel verwendeten Formeisen sich von einem Querträger zum anderen frei tragen können. Bei grofsen Brücken werden

sie wohl niemals fehlen, weil sonst die Querträger und damit auch die Knotenpunkte der Hauptträger einander zu nahe kommen würden.

d)    Quer- und Längsträger höherer Ordnung. Unter Umständen, besonders bei Strafsenbrücken, aber auch bei Eisenbahnbrücken, sobald bei diesen auch auf der Brücke eine durchgehende Kies- bezw. Schotterbettung gewählt ist, kann es empfehlenswert sein, noch Querträger zweiter Ordnung, auch wohl noch Längsträger dritter Ordnung anzubringen, so z. B. wenn es sich darum handelt, für die Buckelplatten der Fahrbahntafel rechteckige Felder zu bilden.

Wenn man die Querträger und die Längsträger als ein Ganzes betrachtet, so kann man dasselbe in Beziehung auf die Fahrbahn das „Fahrbahngerippe“ nennen.

e)    Die Fahrbahn ist sehr verschiedenartig, je nachdem es sich um eine Eisenbahn- oder um eine Strafsenbrticke handelt. Bei den Strafsenbrücken unterscheidet man die Fahrbahntafel, d. h. den die Fahrbahn tragenden Teil (Buckelplatten, Zorcs-Eisen, Hängebleche u. s. w.) und die Fahrbahn decke (Pflaster, Beschotterung u. dergl.). Bei den Fisenbahnbrücken mit Kies- oder Schotterbettung kann man die Fahrbahntafel und den eigentlichen Oberbau unterscheiden. Bei den Eisenbahnbrücken ohne durchgehende Bettung fehlt die Fahrbahntafel.

f)    Die Windverstrebung (auch wohl Horizontalverband genannt) dient dazu, die wagerechten Kräfte, welche auf die Brücke wirken, also die wagerechten Stöfse beim Überfahren der Züge und Wagen, die Fliehkräfte in den Kurven, den durch Wind auf die Konstruktion bezw. die Yerkehrslast ausgeübten Druck u. s. w. nach den Stützpunkten der Träger, demnach nach den Pfeilern zu übertragen. Die Wind Verstrebung darf bei einer gut konstruierten Brücke nicht fehlen; sie wird bei Strafsenbrücken mit starrer Fahrbahntafel (Wellblech, Buckelplatten u. s. w.) durch diese zum Teil ersetzt. Bei Brücken von geringer Trägerhöho wird gewöhnlich eine, bei Brücken mit hohen Trägern werden zwei Windverstrebungen angeordnet, meistens eine in der Höhe einer jeden Gurtung. Windverstrebungen in Ebenen, welche zwischen den Gurtungen, etwa in halber Trägerhöhe, liegen, sind fehlerhaft, es sei denn, dafs für dieselben besondere Windgurtungen angeordnet werden.

g)    Die Quer Versteifung (auch wohl Querverband genannt) dient dazu, eine Veränderung des rechteckigen Querschnittes der Brücke zu verhüten. Womöglich ist sie durch Anordnung von Diagonalen herzustellen, welche den Querschnitt in mehrere Dreiecke teilen; das ist stets möglich, wenn die Fahrbahn oben, also annähernd in der Ebene der oberen Gurtung liegt. Bei unten liegender Fahrbahn ist, falls die Trägerhöhe nicht eine Querverbindung über der Fahrbahn gestattet, nur eine mangelhafte Querversteifung möglich; solche sogenannten offenen Brücken sind deshalb möglichst zu vermeiden. 1st dagegen bei tief liegender Fahrbahn über dieser und den verkehrenden Wagen eine Querverbindung möglich, so ist die Querversteifung freilich besser, als bei den offenen Brücken, die ganze Querschnittsfigur ist aber noch immer eine verschiebliche, nämlich ein Rechteck. Um dieselbe einigennafsen un verschieblich zu machen, versteift man die Ecken, soweit der verlangte Lichtraum dies gestattet, durch Dreiecke, welche den Kopfbändern des Zimmerwerks entsprechen; dadurch befähigt man die Ecken, Momente aufzunehmen.

h)    Die Fufswege und Geländer. Die Fufswege liegen entweder zwischen den Hauptträgern oder auf Auslegern. Bei kleinen Brücken fallen sie nicht selten mit der Fahrbahn zusammen, wie weiter unten eingehender besprochen wird.

2. Rücksichten auf die Lage der Brücke im Grnndrifs.

a) Gerade Brücken. Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Achsen der beiden einander an der Brückenstelle kreuzenden Verkehrswege gerade Linien sind, welche einen rechten Winkel miteinander bilden. Man hat dann eine sogenannte gerade Brücke. Bei den geraden Brücken werden die Hauptträger einander und der Achse des überzuführenden Weges parallel angeordnet, die Querträger senkrecht zu ersteren, die Längs-trägor zweiter Ordnung den Hauptträgern parallel. Der Grundrifs des Überbaues ist ein Rechteck.

Auch Avenn der zu überbrückende Weg an der Überschreitungsstelle in einer Kurve liegt, ordnet man gerade Brücken an; denn es kommt hierbei von der Kurve nur ein Stück in Frage, dessen Länge gleich der verhältnismäfsig geringen Breitenabmessung der Brücke ist.

b)    Schiefe Brücken. Wenn der Winkel, unter welchem sich die Achsen der beiden Wege schneiden, ein spitzer bezw. stumpfer ist, so heifst die Brücke eine schiefe. Die schiefen eisernen Brücken machen bei dem heutigen Stande der Technik, wenn die Schnittwinkel nicht sehr spitz sind, keine besonderen Schwierigkeiten; eine sehr grofse Zahl schiefer eiserner Brücken ist ausgeführt. Immerhin ist eine schiefe Brücke stets schwieriger herzustellen und dadurch teuerer, als eine gerade. Der Grundrifs des t'ber-baues ist bei den schiefen Brücken in der Ilegel ein Parallelogramm.

Die Pfeiler, sowohl Mittel- wie Endpfeiler, müssen der Achse des zu tiber-brückenden Weges bezw. Stromes vollständig oder nahezu parallel sein, um der Bewegung des Wassers, der Wagen, Fufsgänger u. s. w. möglichst geringen Widerstand bezw. geringe Schwierigkeit zu bereiten. Die Hauptträger der Brücke dagegen werden zweck-mäfsig der Achse des überzuführenden Weges parallel gestellt, woraus die Notwendigkeit folgt, die Hauptträger in dieser Richtung gegeneinander zu verschieben. Das Mafs e der Verschiebung ist von dem Abstande der Hauptträger (6) und dem Schnittwinkel a der beiden Wege abhängig; es ist (vergl. Fig. 67 in § 33) gewöhnlich e — b cotang a.

Die schiefen Anschlüsse im Grundrifs, sowohl der Querträger an die Hauptträger, wie der Zwischenträger an die Querträger u. s. w. sind schwierig und teuer; sie sind möglichst zu vermeiden bezw. in ihrer Zahl zu verringern. Man setzt deshalb, soviel wie irgend thunlich, die Querträger und Querverbindungen senkrecht zu den Hauptträgern — im mittleren Teile der Brücke ist das stets ohne Schwierigkeit erreichbar; man vergleiche Fig. 69 in § 33.

Wegen der eingehenden Besprechung der schiefen Brücken wird auf § 33 verwiesen.

c)    Kurvenbrücken. Wenn die überzuführende Strafse in einer Kurve liegt, ist es oft notwendig, auch auf der Brücke die Kurve beizubehalten; man erhält dann eine sogenannte Kurvenbrücke.

Zunächst ist zu erwähnen, dafs es weder empfehlenswert noch üblich ist, die Hauptträger im Grundrifs nach einer Kurve zu krümmen; vielmehr werden dieselben in jeder Öffnung einander parallel und mit gerader Achse hergestellt. Zweckmäfsig ist es ferner, die Hauptträger parallel zu der in der Offnungsmitte an die Kurve gelegten Tangente anzuordnen. Die Träger zweier Nachbaröffnungen bilden demnach einen Winkel miteinander, welcher von 180° verschieden ist.

Hinsichtlich der Stellung der Brückenpfeiler sind zwei Anordnungen zu unterscheiden, welche man als gerade und schiefe Kurvenbrücken bezeichnen kann. Wenn für die Stellung der Pfeiler keine besonderen Bedingungen vorliegen, so wird man jeden

Fig. 39. Viadukt über die Ravenna-Schlucht (Höllenthal-Bahn).

M. 1 : 500.

u.

ii

yltH

Äufserer Träger X

35,255 m. Innerer Träger L = 34,745 m. Radius 240 m.

derselben so stellen, dafs seine lange Achse den Winkel halbiert, welchen die Haupt-träger der beiden Nachbaröffnungen miteinander bilden. Her Pfeilergrundrifs ist in diesem Falle ein Viereck, dessen lange Seiten genau oder nahezu radial stehen (Fig. 39); demnach kann man hier wohl von einer geraden Kurvenbrücke reden. Bei nicht sehr scharfer Kurve können beide Träger einer jeden Öffnung gleich lang gemacht werden, wobei dann die xVuflagermitten verschieden weit hinter der Pfeilervorderkante zurückliegen. Bei schärferen Kurven dagegen mufs man den äufseren Träger länger anordnen als den kürzeren.

Fig. 40. Unterführung der Strafse Alt-Moabit (Berliner Stadteisenbahn).

M. 1 : 400.

Ist die Stellung des Pfeilers durch die Richtung des zu überb rückenden Weges (des Flusses, der Strafse u. s. w.) vorgeschrieben, so schneiden die Pfeilerachsen die Kurventangenten unter Umständen in spitzen Winkeln (Fig. 40), sodafs man eine schiefe Kurvenbrücke erhält. Jede einzelne Öffnung wird alsdann einen Überbau aufweisen, welcher mit demjenigen einer schiefen Brücke fast ganz übereinstimmt ; der Schnittwinkel der Achse des zu überbrückenden Weges und der Achse des Überbaues ändert sich von Öffnung zu Öffnung. Hie Pfeiler werden auch hier rechteckig hergestellt, unter Umständen mit Yorköpfcn. Man setze die Querträger auch bei den Kurvenbrücken so viel wie irgend möglich senkrecht zu den Hauptträgern, und verweise die Unregelmäfsig-keiten auf die Endfelder.

d) Trapezförmige oder Fächerbrücken. Dieselben kommen neuerdings vielfach, hauptsächlich bei Unterführungen unter Bahnhöfen vor; aber auch bei Strafscn-brücken können sie wohl am Platze sein. Her Grundrifs des Überbaues ist ein Viereck, bei welchem entweder zwei Seiten einander parallel sind oder keine Seite ihrer Gegenseite parallel läuft. Diese Brücken haben grofse Ähnlichkeit mit den schiefen Brücken und werden in § 33 noch weiter besprochen.

11

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    8. Aul

3. Einflufs der Höhenverhältnisse.

Zunächst möge an die Erklärung des Begriffes Konstruktionshöhe erinnert werden, welche in Kap. I, S. 44 gegeben ist. Unter Konstruktionshöhe des Überbaues wird danach der Höhenabstand verstanden zwischen der Brückengradiente (Schienenunterkante bei Eisenbahnbrücken, Bordsteinoberkante bei Strafsenbrücken) und der tiefsten für die Konstruktionsunterkante zulässigen Linie. Für die Höhenlage der letzteren sind Hochwasser, Schiffahrts- und andere Verhältnisse mafsgebend und es ist dieselbe als etwas Gegebenes zu betrachten. Dieser Höhenabstand A/, den wir die verfügbare Konstruktionshöhe nennen wollen, ist meistens für die Wahl der Konstruktion ausschlaggebend. Die für die Konstruktion nötige Höhe zwischen Brückengradiente und wirklichem, tiefsten Punkte des Überbaues ist durchaus nicht genau vorgeschrieben ; bekannt ist meistens nur eine geringste Höhe, welche man wenigstens gebraucht. Je gröfser die verfügbare Konstruktionshöhe ist, desto billiger und besser kann im allgemeinen die Konstruktion hergestellt werden. Es ist zweckmäfsig, die nachfolgende Betrachtung für Balkenbrücken, Hängebrücken und Bogenbrücken getrennt vorzunehmen.

a) Balkenbrücken. Die Mittenhöhe A der Hauptträger ist mit der Stützweite L veränderlich; da sie aber für dieselbe Stützweite nicht sehr verschieden gewählt werden kann, so darf sie innerhalb gewisser Grenzen als gegeben angesehen werden. Betreffs der Konstruktionshöhe sind nun drei Fälle zu unterscheiden:

Wenn die verfügbare Konstruktionshöhe A' gröfser ist als die nötige Hauptträgerhöhe A, so liegt der Fall am günstigsten. Man kann und soll dann die Hauptträger ganz unter die Fahrbahn verlegen, sowohl bei Strafsen- wie bei Eisenbahnbrücken. Dadurch werden mannigfache Vorteile erreicht:

a. Die Hauptträger können so nahe aneinandergelegt werden, wie die Standsicherheit irgend zuläfst;

ß. die Querversteifungen können in vollkommener Weise hergestellt werden; der rechteckige Querschnitt der ganzen Brücke wird durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt, sodafs eine vollständig unverschiebliche Querschnittsfigur entsteht ;

7.    die Querträger werden infolge der geringen Hauptträgerentfernung kurz, also leicht und billig; die Brückenpfeiler erhalten aus demselben Grunde geringe Länge. Man kann die Fufswege und unter Umständen sogar einen Teil der Fahrbahn auf über die Hauptträger-Senkrechte hinausragende Teile der Querträger oder auf ausgekragte Ausleger legen. Man kann sogar die Querträger ganz fortlassen und Eisenbahn- bezw. Strafsenfahrbalm direkt auf den Hauptträgern anordnen ;

8.    kein Teil der Hauptträger ragt über die Fahrbahn hinaus, es wird also weder der Verkehr auf der Brücke noch die Aussicht von derselben irgendwie behindert.

Ist die verfügbare Konstruktionshöhe A' sehr gering und wesentlich kleiner als die nötige Hauptträgerhöhe A, so mufs man die Fahrbahn zwischen die Hauptträger verlegen, womit man eine sogenannte tiefe Konstruktion erhält. Dann sind Querträger und meistens auch Längsträger zweiter Ordnung zu verwenden. Diese Konstruktion ist wesentlich weniger gut, als die erstere, und zwar aus folgenden Gründen:

ol. Die Entfernung der Hauptträger wird im allgemeinen wesentlich gröfser, sowohl bei Eisenbahn- wie Strafsenbrücken. Bei ersteren mufs, falls es sich

um einigermafsen grofse Brücken handelt, die ganze Umgrenzung des lichten Raumes zwischen den Hauptträgern Platz finden, hei letzteren wenigstens die ganze Fahrbahn, wenn man es nicht vorzieht, um ungehinderten Querverkehr auf der Brücke zu erreichen, auch die Fufswege zwischen die Hauptträger zu verlegen. Jedenfalls erhält man lange, schwere Querträger; ß. gute Querversteifung ist sehr schwer, vielleicht unmöglich. Diagonalen, welche den Querschnitt zu einer unverschieblichen Figur machen würden, können wegen der freien Durchfahrt nicht angebracht werden; eine Verbindung der oberen Gurtungsknotenpunkte zweier Hauptträger ist aber nur zu ermöglichen, wenn die Trägerhöhe grofs genug ist, um unter den Querverbindungen her den Wagenverkehr zu gestatten. Iveincnfalls ist aber diese Yerbindung so gut wie Diagonalverbindung. Bei kleineren Brücken, bis etwa zu 35 m Stützweite, ist aber selbst diese Yerbindung nicht möglich ; die Anordnung mit tief liegender Fahrbahn bei solchen Brücken ist deshalb möglichst zu vermeiden.

Der dritte Fall tritt ein, wenn die verfügbare Konstruktionshöhe h' annähernd so grofs, auch wohl etwas kleiner ist, als die zweckmäfsige Trägerhöhe. //. Alsdann legt man, wenn irgend möglich, die Hauptträger ebenfalls unter die Fahrbahn und bringt, um dieses zu erreichen, Opfer bei der Konstruktion der Hauptträger. Man wählt die Hauptträgerhöhe so klein, dafs die erwähnte Lage derselben möglich wird; dadurch wird freilich der Eisenaufwand bei den Hauptträgern gröfser, als er günstigstenfalls zu sein braucht; dieser Nachteil wird aber durch die anderweitigen Yorteile bei weitem auf ge wogen.

Wenn es in diesem Falle nicht möglich ist, die Fahrbahn ganz über die Hauptträger zu verlegen, so läfst man die Hauptträger mehr oder weniger hoch über die Gradiente herausragen ; die Höhe des Herausragens bestimmt bei Eisenbahnbrücken sehr wesentlich den Abstand der Hauptträger, da dieselben entweder ganz unter die Umgrenzung des lichten Raumes fallen oder in einen Absatz desselben gelegt werden müssen.

Die Brücken, welche dem in Vorstehendem auf geführten ersten Falle entsprechen, nennt man auch Brücken mit oben liegender Bahn oder Deckbrücken, diejenigen dagegen, welche dem zweiten Falle entsprechen, Brücken mit unten liegender Bahn. Die letzteren werden offene Brücken genannt, wenn oberhalb der Fahrbahn keine Querverbindung der Hauptträger stattfindet, dagegen geschlossene Brücken, wenn daselbst eine Querverbindung vorhanden ist.

b)    Hängebrücken. Die Hängebrücken zeigen eine Brückenform mit sehr tief liegender Fahrbahn ; die notwendige Konstruktionshöhe ist annähernd so grofs, wie die Dicke der Fahrbahn einschliefslicli der Höhe der Querträger. Die Fahrbahn liegt stets zwischen den Hauptträgern ; die Konstruktion weist alle Mängel auf, welche für diese Anordnung oben (bei den Balkenbrücken) nachgewiesen sind. Gute Querversteifung ist sehr schwierig zu erreichen.

c)    Bogenbrücken. Die Bogenbrücken erfordern in gewissem Sinne eine sehr grofse, in anderem Sinne nur eine sehr geringe verfügbare Konstruktionshöhe. Man mufs zunächst fordern, dafs bei Strombrücken kein Teil der Eisenkonstruktionen in das Hochwasser eintauche bezw. durch vom Hochwasser mitgeführte Gegenstände beschädigt werde ; demnach mufs der ganze Bogen über Hochwasser liegen, es mufs also zwischen Hochwasser und Brückengradiente eine Höhe verfügbar sein, welche sich aus Bogenpfeil,

11*

Bogenhöhe, Fahrbahndicke und dem Mafse zusammensetzt, welches angiebt, wie tief das Hochwasser unter dem tiefsten Punkte der Eisenkonstruktion liegen mufs. Diese Höhe ist bei grofsen Brücken ziemlich bedeutend, sodafs bei Bogenbrücken eine grofse verfügbare Höhe zwischen Hochwasser und Brückengradiente verlangt werden mufs. Dagegen genügt als verfügbare Höhe über den höchsten Punkten der Schiffe, welche bei höchstem schiffbaren Wasserstande den Finis befahren, in der Pegel ein kleines Mafs. Da die freie Höhe, welche für die Schiffahrt erforderlich ist, meistens nicht auf die ganze Breite der Brückenöffnungen verlangt wird, so kann man den Bogen leicht so konstruieren, dafs er aufserhalb der verlangten Breite tiefer, bis zu den Kämpfern, hinabreicht. Daraus ergiebt sich dann das Mafs für die hier nötige Konstruktionshöhe als die Summe aus der Fahrbahndicke, der Bogenstärke im Scheitel und der Pfeilhöhe des mittleren Bogenteiles, welcher der vorgeschriebenen freien Breite entspricht. Es ist ein grofser Vorzug der Bogenbrücken, dafs man die unter der Fahrbahn verfügbare, mitunter sehr geringe Höhe vorzüglich ausnutzen kann.

Man hat hier alle Vorteile, welche bei der hohen Fahrbahnlage der Balkenträger angeführt sind: Die Hauptträger liegen ganz unter der Fahrbahn, sie können so angeordnet werden, dafs sie in jeder Hinsicht vorteilhaft liegen, die Querversteifung ist eine sehr vollkommene, die Fufswege können ausgekragt werden. Dazu kommt noch die schöne Form, welche unter Ilmständen für die Wahl des Systems ausschlaggebend ist.

4. Einflufs der Breite.

Unter Breite« der Brücke soll hier im besonderen der Abstand der beiden äufser-sten Hauptträger verstanden werden; in den meisten Fällen sind gewisse Grenzen gegeben, innerhalb deren dieses Mafs liegen mufs.

Bei den Eisenbahnbrücken ist die Breite hauptsächlich von der Höhenlage der Fahrbahn abhängig. Liegt die Fahrbahn oben, also ganz über den Hauptträgern, so ist man in der Breitenbemessung ziemlich unabhängig ; besonders darauf ist dann zu achten, dafs die Brücke genügende seitliche Standsicherheit gegen Umkanten durch Wind bietet. Ausführliches darüber bringt § 28. Liegt die Fahrbahn dagegen unten, also zwischen den Hauptträgern in der Höhe der unteren Gurtung derselben, so mufs man die Hauptträger mit ihren Achsen so weit auseinander legen, dafs zwischen ihnen mindestens die Umgrenzung des lichten Paumes Platz findet; demnach ist dann die lichte Breite zwischen den Hauptträgern bei eingleisigen Brücken wenigstens auf 4,0 m, bei zweigleisigen Brücken wenigstens auf 7,5 m zu bemessen. Wenn die Hauptträgerhöhe nach den Auflagern zu abnimmt und zwar bis zu einer Höhe, welche weniger als rund 3,20 m über Schienenoberkante liegt, sind die erwähnten Mafse noch jederseits so weit zu vorgröfsern, dafs kein Teil der oberen Gurtung in das Kormalprofil fällt. Allgemein ist jedoch zu beachten, dafs sowohl die Rücksicht auf den Betrieb, wie die LTnterhaltung des Bauwerkes und des Gleises einen zu engen Anschlufs des Bauwerkes an das lichte Profil verbieten. Man bemesse also den Spielraum zwischen dem Überbau und der Umgrenzung des lichten Raumes reichlich. Falls keine Fufswege ausgekragt werden, so empfiehlt es sich, die erwähnten Kleinstmafse jederseits so viel zu vergröfsern, dafs ein Arbeiter neben einem fahrenden Zuge Platz findet; es genügt dafür, weil zwischen dęn weitest vorspringenden Teilen des Zuges und der seitlichen Begrenzung des Lichtraumes noch 0,425 m freier Raum sind, etwa 0,40 bis 0,50 m. In Österreich ist als kleinstes zulässiges Mafs 0,15 m vorgeschrieben. Man vergl. Kap. 1, § 13, S. 77.

Bei einer mittleren Höhenlage der Fahrbahn gegen die Hauptträger bestimmen sich die Breiten der Brücken ebenfalls aus der Umgrenzung dos lichten Baumes und fallen um so gröfser aus, je höher die höchsten Punkte der Hauptträger über Schienenoberkante liegen. Hiervon wird in § 28 eingehender die Bede sein ; ebendaselbst sollen auch die Breiten der Kurvenbrücken erörtert werden.

Für Strafsenbrücken ist die Breite der Fahrbahn (zwischen den Bordsteinen) und der Fufswege meistens vorgeschrieben. Man vergleiche darüber Kap. I, § 13, S. 74 u. 75. Besonders wichtig ist hier die Lage der Fufswege gegen die Hauptträger.

Allgemein wird es stets günstig sein, die Fufswege auszukragen, also auf Auslegern anzubringen. Wenn die Fahrbahn oben liegt, so empfiehlt dies sich bei grofsen Brücken fast stets ; immerhin kann es unter Umständen, namentlich bei kleineren Brücken, billiger sein, einen besonderen, leichten Hauptträger aufsen zu verlegen, welcher den Querträgern bezw. den Belageisen der Fufswegtafel zur Stütze dient.

Liegt jedoch die Fahrbahn unten, so ist die Frage betreffs der Fufsweglagc und damit auch der Brückenbreite recht schwierig zu entscheiden. Werden die Fufswege zwischen die Hauptträger gelegt, so ergeben sich sehr lange und schwere Querträger; da in solchem Falle auch gewöhnlich geringe Konstruktionshöhe verfügbar ist, so wird die Anordnung für den Eisenaufwand der Querträger doppelt ungünstig. Dagegen erreicht man den Vorteil ungehinderten Querverkehrs auf der Brücke, welcher bei verkehrsreichen Strafsen von grofser Bedeutung ist. Falls dagegen die Fufswege ausgekragt werden, wenn also nur die Fahrbahn zwischen den Hauptträgern liegt, so ergeben sich kurze und billige Querträger. Man mufs dann die Hauptträger mit genügend grofsen Öffnungen konstruieren, um den Querverkehr zu ermöglichen. Die letzte Anordnung ist meistens vorzuziehen.

Nunmehr soll auf die Anordnung der Hauptträger gerader Eisenbahn- und Strafsenb rücken näher eingegangen werden.

§ 28. Anordnung der Hauptträger der Eisenbahnbrücken. Anzahl und Entfernung der Hauptträger stehen, dem besonderen Zwecke dieser Brücken gomäfs, in enger Beziehung zu den getragenen Gleisen und der Lage der Bahn in Bezug zu jener der Träger.

1. Brücken mit oben liegender Bahn.

a) Eingleisige Brücken.

1. Anordnung zweier Träger. Die Trägerentfernung mufs mindestens gleich der Entfernung der Schienenstränge sein.

Ist e die Trägerentfernung, s die Entfernung der Schienen, so ist demnach

mine = s, und für normale Spurweite: mine = 1,5m (s. Fig. 41).

Dieser Abstand der Träger hat jedoch nur für /“J gerade Bahnstrecken Geltung. Liegt die Brücke in ^ ^ einer Kurve, deren Krümmungshalbmesser = r ist, und bedeutet l die Trägerlänge, so rnüfste, damit die

Gleisstränge nicht aufserhalb der Mittelebenen der Träger fallen, mine — s -(-/werden, wobei / die Pfeilhöhe des Bogens bedeutet. Bei normaler Spurweite ist dann mit Beachtung, dafs

Fig. 41.

JUL

-min e-S-----■>'

's

, min e — 1,5 m -f

K» -

Diese Kleinstwerte von e sind blofs mit Rücksicht auf die Gleisweite ermittelt; es treten jedoch noch andere Umstände ein, welche auf dieses Mafs Einflufs haben. Es ist dies hauptsächlich die Forderung nach ausreichender Sicherheit der Brücke gegen seitlich wirkende wagerechte Kräfte. Dafs dieser Bedingung durch angemessene Entfernung der Hauptträger am zweckmäfsigsten entsprochen werden kann, bedarf wohl keiner Begründung.

Einflufs der wagerechten Kräfte auf die Trägerentfernung. Die zur Wirkung gelangenden seitlichen wagerechten Kräfte sind:

s* :

1.    Der Winddruck,

2.    die seitlichen Drücke, hervorgerufen durch Stöfse der rollenden Verkehrsmittel, und

3.    bei Brücken in Kurven die von den bewegten Lasten ausgeübte Fliehkraft.

Namentlich der Winddruck ist es, der vermöge seiner Stärke die anderen Kräfte

weitaus übertrifft, und dessen Wirkung demnach auch als mafsgebend für die Beurteilung der Standsicherheit der Brücke angesehen werden mufs. A

Nachdem der Eisenbahnverkehr während herrschender Orkane unstatthaft ist, und höchstens bei einem Winddrucke, welcher der Standsicherheit unbeladener Güterwagen entspricht, noch ausführbar ist, werden die anzustellenden Untersuchungen für Brücken unter zwei verschiedenen Annahmen durchzuführen, und wird das ungünstigere Ergebnis, als das mafsgebende, beizubehalten sein. Die erste Annahme setzt die Belastung der Brücke mit unbeladenen Güterwagen und die Wirkung eines Winddruckes voraus, der etwa der Stabilität der Wagen entspricht, die zweite Annahme die freie, dagegen dem gröfsten Winddrucke ausgesetzte Brücke. Für die erste Annahme möge hier die Gröfse des Winddruckes mit 150 kg auf 1 qm, für die zweite mit 280 kg auf 1 qm eingeführt werden. Man vergl. § 11 dieses Kapitels.

Sei nun :

F die dem Winddrucke ausgesetzte Fläche der Brückenträger f. d. lfd. m,

F' die dem Winddrucke ausgesetzte Fläche des Wagenzuges f. d. lfd, m. h die Trägerhöhe, l die Trägerlänge, e die Entfernung der Träger,

h' die Höhe des Schwerpunktes der vom Winde getroffenen Wagenfläche über Schienenhöhe,

mh die Höhe des Druckmittelpunktes der Trägerfläche über der Umsturzkante,

(f das Gewicht der Brücke f. d. lfd. m,

</ das Gewicht der Wagen f. d. lfd. m und W der Winddruck auf 1 qm der getroffenen Fläche,

Fig. 42.

fl

fl'

so ist für den Gleichgewichtszustand der Brücke mit Bezug auf Fig. 42 näherungsweise:

W [F.m .h + F (A + AO] = (ff + f/) • 1,

kmh y

woraus sich der erforderliche Kleinstwert von e ergiebt: min e — 2 W

F und mh sind von dem Trägersysteme und der Konstruktion der Träger abhängig; in dem Werte von F ist über-

F. m.h + F‘ (Ä -I- W)

a + g'

dies auch noch jener Anteil der Fläche des zweiten Trägers enthalten, der bei nicht normal gegen die Trägerebenen gerichtetem Winddrucke getroffen erscheint. Man kann F = n . h setzen, wobei n ein Beiwert ist, der sowohl dem Einflufs des Trägersystems, als dem erwähnten Flächenanteil der zweiten Wand näherungsweise entspricht, und etwa annehmen:

Für vollwandige Balkenbrücken: F — 1,3 /<, m — 0,5; für Parallel-Gitterträger: für Bogenträger:

F = 0,53 h, m = 0,5; F = 0,3 ä,

m = 0,7.

sodafs :

Entsprechend den Mafsen ausgeführter neuerer Güterwagen ist: F⁴ = 2,4 qm, h⁴ — 2,0 m,

F .m .h -j- 4,8 + 2,4 h

(j⁴ = 800 kg,

min e = 2 W

g + 800

Der ersten Annahme gemäfs ist W = 150 kg auf 1 qm, mithin

F. m . h -f- 4,8    2,4 h

min e = 300

9 + 800 ’ für die zweite dagegen, mit W = 280 kg auf 1 qm, folgt:

F.m.h

min e⁴ = 560

Um mittleren Verhältnissen entsprechende Werte zu erhalten, soll für g der Näherungsausdruck g = 301 -j- 800 kg zu Grunde gelegt und mit den Mittelwerten F — 0,4 h und m = 0,6 die Rechnung durchgeführt werden. Es ergiebt sich alsdann:

h² -f 10 Ti + 20 37+ 160    ’

min e =

7,2

mine⁴ = 13,5

h²

31 + 80 '

Unter der Annahme h = berechnet sich hiermit für

1 =    20    30    40    50    60    80    . 100    m

min e =    1,44    1,69    1,95    2,20    2,45    2,95    3,44    m

mine⁴ = 0,38    0,71    1,08    1,46    1,86    2,69    3,54 m.

Den Werten von mine entspricht die Gleichung:

min e — 0,94 -f- 0,25 h.

Die Annahme h = ~ l ergiebt für

l =    20    30    40    50    60    80    100    m

min e =    1,67    2,06    2,44    2,82    3,20    3,96    4,71    m

mine⁴ = 0,59    1,11    1,68    2,27    2,90    4,20    5,52 m,

wonach die Gleichung mine = 0,92 -f- 0,304 h angenäherte Werte für mine liefert.

Unter den angegebenen Verhältnissen ergiebt sich hiernach für Spannweiten bis zu 70m mine gröfser als mine⁴ und es würden daher die ersteren Werte als mafs-gebend anzusehen sein. Die eben gerechneten Entfernungen e der Hauptträger entsprechen aber dem mathematischen Gleichgewichtszustände; für die Ausführung ist es empfehlenswert, auch auf unvorhergesehene Zufälle Rücksicht zu nehmen, indem die erhaltenen Werte von min e noch mit einem Sicherheitskoefficienten multipliziert werden.

Obwohl die angenommene Gröfse des Winddruckes von 150 kg auf 1 qm die Standsicherheit unbeladener Güterwagen bereits gefährdet⁷⁶), also der Verkehr während

⁷⁶) Je nach Konstruktion der Wagen wechselt der dem Gleichgewichte entsprechende seitliche Druck f. d. qm Wagenfläche zwischen 100 bis 130 kg. Die bis zur vollen Tragfähigkeit belasteten Wagen sind noch bei einem Seitendrucke von 300 kg f. d. qm standtähig.

eines derartigen Sturmes nahezu unstatthaft ist, so liegt es dennoch im Bereiche der Möglichkeit, dafs einmal der Fall eintrete, wo ein Zug genötigt sein kann, auf einer Brücke stehen bleiben und einem heftigen Winde daselbst standhalten zu müssen (z. B. infolge von Schneeverwehungen oder anderen Unfällen). Erreicht dann auch die Gröfse des Winddruckes nicht jene angenommene Stärke (obschon dies nach dem Früheren auch nicht ausgeschlossen ist), so ist doch weiter zu beachten, dafs das angenommene und in Rechnung gezogene Gewicht der Brücke thatsächlich gröfser als das wirkliche Gewicht sein kann. Diese Erwägungen rechtfertigen die Einführung eines Sicherheitskoefficienten in die obigen Rechnungen. Nimmt man für denselben z. B. die Gröfse 1,5 an, so würde die den Hauptträgern zu gebende Entfernung e = 1,5. min e sein. Für diese Annahme ergiebt sich:

h² + 10 h + 20 _

3 l + 160

für h = ~ l würden e = 1,4 -j- 0,37 /?, und für k — I, genäherte Ausdrücke betrachtet werden können.

Nach diesen Beziehungen ergiebt sich für h —    /, für

1 =    20    30    40    50    60 m;    e    =    2,14    2,50    2,88    3,25    3,62 m.

Ausführungen der österreichischen Südbahn zeigen für 1 =    20    30    40    50    60 m;    e    =    2,2    2,5    3,0    3,5    4,0 m.

Die Brücken der österreichischen Nordwestbahn erhielten für 1 =    20    30    40    50    60 m;    e    =    2,6    2,6    3,0    4,0    4,0 m.

e = 10,8

e = 1,4 -f- 0,45 h als an-

Für die Brücken der österreichischen Staatsbahnen bei Bahn „oben“ (versenkt) wurde die Entfernung der Hauptträger

boi l =    12 m mit e = 1,8 m

„ l = 100 m

g = 5,0 m

und durch geradliniges Einschalten zwischen diesen beiden Grenzwerten für dazwischenliegende Spannweiten bestimmt. Diesen entspricht jedoch die Gleichung:

und für l = 10 h: also eine Beziehung, die nur unbedeutend von der obigen abweicht.

e = 1,4 —j— 0,036 l e = 1,4 -f 0,36 ä,

Für h =

folgen.

/, würde für

1= 20 30 40 50 60 m;

e = 2,52 3,08 3,65 4,20 4,77 m

Die in Obigem gefundenen Ergebnisse entsprechen selbstverständlich nur den gemachten Voraussetzungen. In jedem bestimmt vorliegenden Falle sind die thatsächlichcn Verhältnisse mafsgebend und es mufs dem Ermessen des Konstrukteurs überlassen bleiben, die Anordnung der Träger mit Rücksicht auf die Standsicherheit der Brücke je nach der Ortslage und der daselbst auftretenden Heftigkeit der Winde und nach anderen mafsgebenden Umständen vorzunehmen. Um sicher zu gehen, empfiehlt es sich, den Winddruck etwas gröfser in die Rechnung einzuführen, als er ungiinstigstenfalls je werden kann; die Breite, bei welcher unter dieser Annahme Gleichgewicht herrscht, ist als ausreichend zu bezeichnen.

Entfernung der Hauptträger bei Brücken in Kurven. Es wurde bereits erwähnt, dafs in diesem Falle die Brückenachse parallel zur Bogensehne, welche durch den Schnitt der Bahnkurve mit den die Lichtweite eingrenzenden Ebenen entsteht, zu

legen ist. Es handelt sich nun darum, die Entfernung der Brückenachse von der Bogensehne zu bestimmen, um hiernach die Hauptträger zweckmäfsig anordnen zu können.

\ on dem Grundsätze ausgehend, dafs Gleichartigkeit und Gleichmäfsigkeit der Konstruktion der Hauptträger Bedingung einer zweckmäfsigen Anordnung sei, wird man bestrebt sein, dieselbe so zu wählen, dafs die gröfste Beanspruchung für jeden Hauptträger annähernd die gleiche Gröfse erhalte. Die mit verschiedenen Geschwindigkeiten verkehrenden Züge werden die Hauptträger auch verschieden beanspruchen, da die Überhöhung des äufseren Schienenstranges der gröfsten Zuggeschwindigkeit angemessen ist. Es wird also durch Züge mit geringerer Geschwindigkeit der dem inneren Schienenstrang näher liegende Hauptträger mehr beansprucht als der zweite, für den wieder die Schnellzüge eine Mehrbeanspruchung bewirken. Wollte man diesen Umständen Rechnung tragen, so könnte dies in der Art geschehen, dafs der für jeden Hauptträger ungünstigst wirkende Belastungsfall ins Auge gefafst und die Lage dos Bogens zwischen den Trägern nach der Bedingung gleich gröfster Beanspruchung der Hauptträger ermittelt wird. Streng genommen läfst sich diese Aufgabe schwer lösen, da die Wirkungen der Fliehkraft auf die Beanspruchung der Träger mit berücksichtigt werden miifsten ; wenn es sich jedoch blofs um näherungsweise Ermittelungen handelt, so genügt die nachstehende einfache Berechnung, welche die seitlichen Beanspruchungen der Hauptträger aufser Acht läfst.

Nennt man :

l die Trägerlänge (im Grundrifs), e die Entfernung der Hauptträger, s die Entfernung der Schienenmitten, r den Krümmungshalbmesser des Bogens, f die Pfeilhöhe des Bogens,

z die Überhöhung des äufseren Schienenstranges, und nimmt — unter Voraussetzung einer rechtwinkeligen Kreuzung — den in die Brückenmitte fallenden Bogenscheitel O (Fig. 43) zum Ursprung eines rechtwinkeligen Achsenkreuzes, von welchem die beiden Hauptträger um ui bezw. ai abstehen mögen, so ist für einen Punkt m des Bogens näherungsweise

y =

Eig. 43.

'Si

d:o

dD ’

a;²

2 r *

Wird ferner vorausgesetzt, dafs eine gleichmäfsige Belastung p f. d. Längeneinheit mit der Geschwindigkeit v längs des Bogens über die Brücke bewegt werde, so wirkt in dem Querschnitte x das Gewicht des bewegten Lastelementes pdx und die von dem-

diiA

•V

"\y

Fig. 44.

m2«

»i

< >

) (pdx

AdD'

e*

selben geäufserte Fliehkraft pdx .--; wobei g — 9,81 m. Es

—>—k

Ct    i

gr

entstehen hierdurch in den Punkten a und b des Quersclinittes x

(s. Fig. 44) die lotrechten Drücke:

p d x

■>

dD =

«2 — —

xl

[c sin a

dD' —

pdx

ai -j-

x²

J e sin a

(y + o cosu -f J

( 2 T c cosa + w)j J ,

und

wobei w die Höhe dos Schienenkopfes der inneren Schiene über der Ebene des nächst liegenden Windverbandes bedeutet.

Setzt man:

ff

ic ! iNi

-f- c cos a -J- tv) — k ,

su ergiebt sich der Gesamtdruck des linken bezw. rechten Trägers mit:

+ //•!

-ff i-

7 1 J    P ï f    ,    1

— » } cZ æ = -— «2 — &--—

Z²

24 r

und

— Ui

+ i'i

D'

pZ I

=    — V

ai + ]c + IT “i •

— II2

Bei Balkenträgern, die auf zwei Stützen frei aufliegen, treten die gröfsten Biegungsmomente mit Rücksicht auf die Symmetrie der Anordnung in den Trägermitten auf. Bezeichnen M und M‘ diese Gröfstmomente für den linken bezw. rechten Hauptträger, so ist:

Dl

und entsprechend

M' =

pP

Vi

/

0

x . dB

-*f{-

— 1c--—

48

-I

I"¹ + * + -k -fl

Für die gröfste Zuggeschwindigkeit, welcher die Überhöhung z des äufseren Schienenstranges

F²    / z \

entspricht, ist v — V und - = tang a, mithin 1c — — ^    — ) tang “•

Dafür würde sich ergeben:

pP

My =

I a2 -f-    -f- tang a

_L_ _P_»

48 r ]

71/y

j a, - (w + ~) hoff» +

Dagegen ist in dem Falle, wo die Last ruhig auf der Brücke stellt: » = o und Je — c sin a — c . —,

s’

wofür

Mo =

pP i

(«* —

l<,‘ + cT ⁺ ^fl fol«‘-

CO

c--

48

-I

r i

und

SÏ

Der erste Fall findet für Schnellzüge, der zweite dagegen nur ausnahmsweise statt. Um den Einflufs der mit geringen Geschwindigkeiten verkehrenden, jedoch schweren Lastzüge zu berücksichtigen, nehme man die beiden äufsersten Fälle v — V und v — o in Rechnung. Selbstverständlich sind für den linken Träger My, für den rechten Träger M'₀ als die relativ gröfsten Biegungsmomente einzuführen. Setzt man nun My — M'₀, so folgt:

woraus :

a-i + (w -f- tangu —

1 P , z

---\- c —

r    s

«2 — rtl =

und mit tang u — —, a > -j- «i == e

<M

P    , z

■ — = ai + c — 48 r    s

(«' + -|) tangu,

, J_ JL

'48 r ’

+ -,

1 Z²

48

(«

- * -1)

und

_L JL

48 r

Der Abstand des Bogenscheitols von der Brückenachse bestimmt sich aus: f = «2 - ~

Für normalspurige Bahnen ist 2 s — 3m; führt man aufserdem die Pfeilhöhe des Bogens

P

- in die Rechnung ein, so folgt:

8 v

«i = —

iv--sich ergiebt.

1 P , ² (

48 r 2 s V

— io —

“)•

2/

Mit den Mittelwerten c — 1,3 m und (bei oben liegender Bahn) w = 0,34 m erhält man dann:

f' = J[f+z{\,V2-z)\

L + -(

6 T 3 V

-T-

Nach der im obigen Sinne geführten Rechnung ergiebt sich im Hinweis auf Fig. 43, S. 169 die Entfernung der Hauptträger, indem einerseits

8(r-y)

gesetzt wird, mit min e = s -j- ~

anderseits :

r--

2

— 2 /', bezw. für ay —    ,

min e = s -f- 2/'.

Yon diesen beiden Werten ist der gröfsere als mafsgebend beizubehalten.

Im beurteilen zu können, unter welchen Umständen der eine dieser Werte gröfser wird als der andere, bildet man die Differenz beider; das positive Vorzeichen derselben entspricht dann dem gröfseren Werte. Je nachdem nun

l²

r--

2

hat der erste bezw. der zweite Giltigkeit. Näherungsweise kann man:

- 4/' ? 0,

l²

setzen, wodurch sich die Beziehung / — 2 /' ^ 0 ergiebt. Wird für s der oft angewandte

40

Wert z = — angenommen und werden die Werte für f und f in die Rechnung eingeführt, so folgt :

₈₎. U£ + V(^-V)]

(4)’ 4 40 (i,92 - 49.

Da r > 180 m, so geht obige Beziehung annäherungsweise in die folgende über : l ^ 16,4 m, d. h. für Trägerlängen gröfser als 16 m würde die Entfernung der Hauptträger mit:

woraus

l²

AV

m in e

-2/,

für Trägcrlängen kleiner als 16 m dagegen mit:

min e = s -}- 2f

zu bemessen sein.

Gleichzeitig folgt aus dem angestclltcn Vergleiche,- dafs für Trägerlängen, die gröfser als 16 m sind, f 4> 2f wird, daher die Brückenachsc über den Halbierungspunkt der Pfeilhöhe gegen den Bogenscheitcl hin, bei kleineren Trägerlängen dagegen gegen die Sehne hin vorrückt.

Die geringste Trägerentfernung und damit die kürzesten Querträger würden erhalten werden, wenn die Brückenachse in den Halbierungspunkt der Bogenpfeilhöhe verlegt wird.

Dann ist:

M' —

4R+4-H

Von Interesse sind die beiden Fälle, wenn 1. ein Zug auf der Brücke stehen bleibt, also v — o wird und 2. wenn ein Zug mit der gröbsten Geschwindigkeit über die Brücke fährt.

Im ersten I alle ist :

Je — c . sin a. — c . —

und daher:

M₀ —

pl² / e

V VIF

-f

M' =

im zweiten Falle ist:

v²

yr

z

— tanga. = —

mithin :

und daher:

i)/v =

4[f + £ + 7(»+T)]

i/; =

00

z² r c

8 e L 2

/•

Bei einer derartigen Anordnung werden die gröfsten Biegungsmomente für jeden Hauptträger verschieden und nach dem Gröfstwerte zu berücksichtigen sein.

In Obigem ist vorausgesetzt, dafs die Hauptträger in lotrechten Ebenen liegen. Damit die seitliche Beanspruchung derselben infolge der Fliehkraft vermieden bezw. herabgemindert werde, hat man sie auch normal zur Gleisebene — entsprechend der Überhöhung — angeordnet. Hierdurch wird erreicht, dafs die Ebenen der Tragwände eine parallele Lage zur Richtung der aus dem Belastungsgcwichte und der Fliehkraft resultierenden Kraft erhalten und somit die Träger blofs normal beansprucht werden. Allerdings tritt dies nur auf für Züge, die mit einer der Überhöhung entsprechenden Geschwindigkeit verkehren. Die erwähnte Anordnung kann nur für kleine Brücken angewendet werden und dürfte dort, wo keine zu grofsen Überhöhungen Vorkommen und auf ästhetische Rücksichten nur ein geringes Gewicht gelegt wird, ganz vorteilhaft sein.

2.    Die Anordnung dreier Hauptträger findet nur in seltenen Fällen Anwendung und ist nicht zu empfehlen. Falls besondere Umstände eintreten, welche eine derartige Anordnung rechtfertigen, so können die Trägerentfernungen aus der Bedingung abgeleitet werden, dafs die Belastung sämtlicher Träger eine gleiche Gröfse erreiche; hiervon wird im X. Kapitel eingehender die Rede sein. Bei anderen Trägerentfernungen finden unglcichmäfsigc Belastungen der Träger statt, welche dann auch verschiedene Beanspruchungen der Träger oder verschiedene Abmessung der Trägerquerschnitte bedingen.

3.    Bei Anordnung von vier Hauptträgern ist es das beste, jeden Schienenstrang durch ein Trägerpaar derart zu stützen, dafs die Träger symmetrisch gegen die

Schienenmitte liegen (Fig. 45). Die Entfernung der ein Trägerpaar bildenden Träger ist dann jedoch so klein als möglich zu machen, damit der Unterschied der auf jeden Träger entfallenden Drücke möglichst klein werde. Die Gröfse dieser Entfernung würde ^ demnach zwischen 200 bis 300 mm zu wählen sein. Bei Brücken mit kleinen Spannweiten und bei beschränkter Konstruktionshöhe, insbesondere jedoch dort, wo kein Konstruktionsteil oberhalb der Schienen liegen darf, kann diese Anordnung vorteilhaft Verwertung finden.

Den Übergang von eingleisigen zu zweigleisigen Bauwerken bilden die Brücken, für welche — wie beispielsweise für die Weichselbrücke bei Graudenz — eine sogenannte Gleisverschlingung angeordnet ist. ln diesem Falle tritt eine angemessene Vermehrung der Breite und der Hauptträgerentfernung ein. Man vergleiche Kap. I, S. 78.

Fig. 45.

(-------min.= 2p------jjc-

min.^2,0

■i

11 i II

'W

b) ZweigleisigeBrücken. Ausführungen dieser Brücken zeigen die Anwendung von zwei, drei und vier Trägern; ausnahmsweise findet sich, insbesondere bei älteren Brücken, auch eine gröfsere Trägeranzahl vor.

1. Anordnung mit zwei Hauptträgern (Fig. 46). Hie Trägerentfernung ist mit Rücksicht auf den geringsten Abstand der Gleisachsen, welcher nach den Technischen Vereinbarungen 3,5 m beträgt,

min e — 3,5 -f- 1,5 = 5,0 m.¹)

Wenn dieses Mafs verglichen wird mit den aus Standsicherheitsrücksichten ermittelten Trägerentfernungen eingleisiger Brücken und wenn hierbei beachtet wird, dafs zweigleisigen Brücken nahezu das doppelte Eigengewicht zukommt, so ergiebt sich, dafs letztere eine jedenfalls ausreichende Sicherheit gegen wagerechte Seitenkräfte besitzen.

Fig. 46.

<-

,wm-r2₍ o o-

m/n = 3,50 —

3,00

-x

Anordnung in Bahnkurven.

Man ermittelt in ähnlicher Weise, wie dies bei eingleisigen Brücken geschehen, die Lage der Brückenachse gegen den Bogenscheitel, indem man einmal die beiden Gleise voll mit einer ruhenden Belastung, das zweite Mal mit einer der gröfs-ten Geschwindigkeit entsprechenden Belastung beider Gleise behaftet annimmt, wodurch im ersten Falle der innere, im zweiten hingegen der äufsere Hauptträger meist beansprucht erscheint, setzt die gröbsten Biegungsmomente für beide Träger gleich und bestimmt aus dieser Bedingung den Abstand der Brückenachse vom Bogenscheitel. Ist dieser Abstand = f, so ergiebt sich die Entfernung der Hauptträger:

—nun =5,00

>1

min e = s -(- 3,5 -j- 2 f min f = s + 3,5 — 2/ + ~ (r _    ,

welchen Werten der gröfsere mafsgebend ist. Für normalspurige Bahnen ist s — 1,5 in,

bezw. mit

l²

von mithin :

min e = 5,0 -j- 2 f

bezw.

min 6 = 5,0 — 2 f -}——

Hierbei ist:

-»-fl-

2. Die Anordnung mit drei Hauptträgern erfordert für den Fall, dafs die Gleisachsen in die Mitte zwischen je zwei Träger gelegt werden, eine Trägerentfernung e = 3,5 m, sodafs die äufseren Träger dann voneinander um 7,0 m abstehen.

Das Kleinstmafs der Trägerentfernungen ergiebt sich jedoch mit min e = 2,5 m, wobei die äufseren Schienenstränge über die äufseren Hauptträger zu liegen kommen.

Im ersten Falle ist die gröfste Belastung durch die zufällige Last für den mittleren Träger doppelt so grofs, wie für jene der äufseren; im zweiten Falle verhalten sich die

gröfsten Belastungen der äufseren 9 Träger zu jenen des mittleren wie 7:6. Sollen die gröfsten Belast-L ungen der Träger unter der zu-J fälligen Last gleiche Gröfse erhalten, so miifste e — 2,625 in, also der Abstand der äufseren Träger = 2 e — 5,25 m gemacht werden (Fig. 47).

3. Die Anordnung mit vier I Hauptträgern kann auf zweierlei Art bewerkstelligt werden:

Erstens. Jedes Gleis erhält zwei zu einer eingleisigen Brücke verbundene Hauptträger, derart, dafs die Anordnung aus zwei unmittelbar nebeneinander befindlichen eingleisigen, jedoch voneinander gänzlich unabhängigen Brücken besteht. Die Trägerentfernung ist dann für jede Brücke nach den Bestimmungen für eingleisige Brük-! ken zu ermitteln (Fig. 48).

Zweitens. Je zwei der die Gleise tragenden Hauptträger werden in verhältnismäfsig geringe Entfernungen voneinander gestellt und gegenseitig mittels Querverbänden in Zusammenhang gebracht (Fig.49). Die kleinste Entfernung der äufseren Hauptträger beträgt

min e — 3,5 —f- 1,5 = 5,0 m, wobei die äufseren Schienenstränge über den Hauptträgern liegen.

min - 2'00 k

,k-

min » 2 '00

Fig. 47.

iT

3,50

>:

=!F

Fig. 48.

min - 3 50

2S

mm-2‘00—

.3k

Fig. 49.

min = TOO ->

/■ i T

1,30--------->*------ljlO

•s-

1,30

■s

c) Brücken mit mehr als zwei Gleisen. Die Anordnungen der Hauptträger sind hier verschieden; die folgenden Arten sollen angeführt werden:

1.    Jeder Schienenstrang wird von einem Hauptträger direkt getragen; die Entfernung der Hauptträger ist dann gleich der Gleisweite. Diese Anordnung findet Anwendung bei Brücken mit geringen Spannweiten, insbesondere bei Bahnhofsgleisen.

2.    Jeder Schienenstrang wird von Zwillingsträgern aufgenommen. Bei kleinen Spannweiten bis zu etwa 10 m. Die Entfernung der Zwillingsträgermittel ist wie im früheren Falle gleich der Gleisweite.

3.    Jedes Gleis erhält ein besonderes Hauptträgerpaar, das wie bei eingleisigen Brücken angeordnet wird. Die Gleisachsen fallen mit den Achsen der so entstandenen eingleisigen Brücken zusammen.

4.    Man ordnet bei drei Gleisen vier, bei vier Gleisen fünf Hauptträger an, wobei die innen liegenden Hauptträger als gemeinsame Träger für je zwei Nachbargleise dienen. Die Entfernung der Hauptträger voneinander ist entweder gleich, oder es werden die äufseren Hauptträger in geringeren Entfernungen als die inneren angelegt. Im ersten Falle werden die inneren Träger stärker belastet, als die äufseren. Um eine gleichmäfsigere Druckverteilung zu erzielen, können die äufseren Schienenstränge über die äufseren Hauptträger gelegt werden, wobei man bei vier Gleisen Hauptträgerentfernungen von je 3,0 m erhält, während bei drei Gleisen die äufseren Hauptträger 3,0 m von den inneren und diese voneinander um 2,5 m abstehen.

5.    Wenn die Bettung auf der Brücke durchgeführt wird, so legt man die Hauptträger womöglich ebenfalls unter Rücksicht auf die Gleislage; es ist aber hier, besonders bei Anordnung von Weichen auf der Brücke, nicht immer möglich, regelmäfsige Beziehungen zwischen Hauptträgern und Gleislage zu erreichen.

Wertschätzung der verschiedenen Anordnungen. Bei eingleisigen Brücken ist die Anordnung zweier Träger nicht allein die einfachste und gebräuchlichste, sondern in den meisten Fällen auch die zweckmäfsigste und vorteilhafteste. Die gleich-mäfsige Yerteilung der Lasten auf jeden Träger ermöglicht es, dafs diese durchaus übereinstimmend durchgebildet und mit gleichen Querschnitten hergestellt werden können, wodurch die Möglichkeit gleichmäfsiger Bearbeitung geboten und die gute Herstellung-erleichtert wird. Die Stoffausnützung ist bei dieser Anordnung eine vollständigere, als dies bei einer gröfseren Trägerzahl erreichbar, da der zur Herstellung eines jeden Trägers erforderliche Aufwand den theoretischen Bedarf übertrifft, und sonach dieser Uberschufs um so gröfser ausfallen wird, je gröfser die Anzahl der Träger ist.

Mit der gröfseren Trägerzahl wächst die Arbeit, sowohl bei Anfertigung der Träger in der Fabrik, als bei der Montierung und Aufstellung am Bauplatz. Es ist leicht einzusehen, dafs diese Arbeit mit der zunehmenden Gröfse des Bauwerkes wiederum wächst.

• Es ist ferner erforderlich, dafs die Träger nicht blofs die genaue geometrische Gestalt erhalten, sondern sie müssen aufserdem in die richtige gegenseitige Lage gebracht und darin erhalten werden. Die genaue Herstellung der Träger und das Einbringen derselben in die richtige Lage, insbesondere die Gleichmäfsigkeit der Auflagerung auf den Widerlagern unter Erhaltung der vorgeschriebenen gegenseitigen Lage und das Anpassen der Verbandstücke ist um so schwieriger zu erreichen, je gröfser die Trägerzahl.

Aus allen diesen Erwägungen ist ersichtlich, dafs mit der Anordnung zweier Träger den gestellten Anforderungen am leichtesten entsprochen wird, und dafs nur unter zwingenden Umständen die Anordnung einer gröfseren Trägerzahl gerechtfertigt erscheint.

Bei zweigleisigen Brücken gelten die obigen Erwägungen gleichfalls, jedoch bleibt noch Folgendes hinzuzufügen.

Bei Anordnung zweier Hauptträger treten, unter Belastung nur eines Gleises, ungleichmäfsige Durchbiegungen der Träger auf, indem der dem belasteten Gleise nächst-liegende Träger eine verhältnismäfsig gröfsere Durchbiegung erleidet, als der entferntere.

Hierdurch vollzieht sich eine Verwindung- der Brücke — eine Torsion — die, wenn auch den Bestand des Bauwerkes nicht bedrohend, insbesondere die Querverbände, deren Zweck es ist, die Träger in ihrer gegenseitigen Lage zu erhalten, überaus ungünstig beansprucht. Eine gleiche Erscheinung findet auch bei Anordnung dreier Träger statt, wobei der mittlere derselben eine gröfsere Widerstandsfähigkeit besitzen mufs, als jeder der äufseren. In diesem Falle tritt noch der beachtenswerte Umstand hinzu, dafs der mittlere stärkere Träger andere Abmessungen erhalten mufs, als die beiden anderen, wodurch die Konstruktion notwendigerweise verwickelter wird.

Vier (nach Fig. 49, S. 174) miteinander verbundene Hauptträger, wovon je zwei einem Gleis zur Stützung dienen, werden bei Belastung eines Gleises gleichfalls verschiedene Formänderungen annehmen, indem die direkt belasteten Träger bei ihrer Durchbiegung vermittelst des lotrechten Querverbandes die nachbarlichen Träger in Mitleidenschaft ziehen und hierdurch eine seitliche Verdrehung der Konstruktion erstreben. Es erhellt jedoch aus der Natur der ganzen Anordnung, dafs in diesem Falle die Wirkung ungleicher Formänderung bei blofs einseitiger Belastung im Vergleich zu den früher besprochenen eine verhältnismäfsig geringe sein wird. Diese Anordnung gestattet eine gleiche Trägerausteilung und verhältnismäfsig geringe Breitenausmafse der Pfeiler.

Durch die Möglichkeit, die Träger nahe aneinanderrücken zu können, ohne die Standsicherheit der Brücke zu gefährden, wird es möglich, die Querträger der Bahn leicht zu halten, sodafs das Eisengewicht bei dieser Trägeranordnung im Vergleich zu anderen sich sehr günstig stellt.

Die Anordnung gesonderter Brücken für jedes Gleis erfüllt in vollkommenster Weise die Bedingung des von der Belastung des Nachbargleises unabhängigen Verhaltens der Träger; ein Vorteil, der mit Rücksicht auf die Schonung der Konstruktion nicht hoch genug anzuschlagen ist. Aufserdem ermöglicht diese Anordnung die dem ersten Bedürfnis oft genügende Ausführung von nur einer eingleisigen Brücke und erleichtert die Aufstellung der meist erst später erforderlichen zweiten Konstruktion. Hierdurch stellt sich das ursprüngliche Baukapital geringer und es wird, im Gegensatz zur Anlage einer gemeinsamen zweigleisigen Brücke, die durch Nichtausnützung des zweiten Gleises verlorene Verzinsung des bezüglichen Kapitalteiles vermieden.

Obschon im allgemeinen derartige Anlagen gröfsere Pfeilerbreiten notwendig machen, als dies von Brücken mit nur zwei Trägern erforderlich sein würde, so beträgt dennoch bei mittleren Spannweiten, bis zu 30,0 m, diese erforderliche Mehrbreite nur 0,5 bis 1,0 m, wogegen das Gewicht der Eisenkonstruktion im Gegenhalte zu jenem zweigleisiger Brücken mit gemeinsamen Trägern sich hier entschieden günstiger stellt. Man kann daraus schliefsen, dafs für Spannweiten über 30,0 m die Anordnung zweier und dreier Träger wirtschaftlich günstiger ist, als jene mit gesonderten Brücken für jedes Gleis, dafs hingegen bei geringeren Spannweiten der letzten Anordnung unbedingt der Vorzug gegeben werden mufs. Bei dieser Schlufsfolge ist jedoch die Notwendigkeit gleichzeitiger Ausführung der beiden Gleise vorausgesetzt; unter anderen Umständen niüfste erst eine besonders anzustellende Rechnung über die vorteilhafteste Anordnung entscheiden.

2. Brücken mit zwischen den Trägern liegender Bahn.

Die Entfernung der Hauptträger ist durch die Breitenmafse des für den Verkehr frei zu haltenden Raumes bestimmt, sodafs die Bahn seitlich durch die Träger abgegrenzt erscheint. In der Regel gelangen auch nur zwei Träger zur Verwendung und nur

ausnahmsweise, wenn die Bahn der Länge nach abgeteilt werden darf, oder bei kleinen Spannweiten und sehr beschränkter Konstruktionshöhe findet man mehrere Träger angeordnet. Die Trägerentfernung ist namentlich abhängig von der Umgrenzung des lichten Raumes, der Konstruktions- und der Trägerhöhe.

Die Umgrenzung des lichten Raumes ist gegeben durch die Bestimmungen der Technischen Vereinbarungen, die Konstruktionshöhe ist durch die örtlichen Verhältnisse bedingt. Die Trägerhöhe steht in Beziehung zur Spannweite, dem Trägersystem und wird auf Grund besonderer Erwägungen ermittelt.

In den nachfolgenden Erörterungen werden wir — wie fast überall üblich — die Bezeichnung „Bahnniveau“ auf die Höhenlage der „Schwellenoberfläche“ in der Bahnachse beziehen und dafür den Ausdruck „Schwellenhöhe“, „Schwellenoberkante“ gebrauchen.

a) Eingleisige Brücken.

1. Bei Anordnung zweier Hauptträger (Fig. 50 u. 51) ist die erforderliche geringste Trägerentfernung aus der Umgrenzung dos lichten Raumes (Fig. 50) und den über die Schienen hinausragenden Trägerhöhenabschnitten zu ermitteln. Nennt man : h die Trägerhöhe,

b die gröfste Breite des Trägerquerschnittes, h' den Höhenunterschied zwischen Schwellenhöhe und Unterkante der Träger und u die Schienenhöhe,

so ist die Differenz A h — h — h' im Zusammenhalte mit dem Lichtraum mafsgcbend für die kleinsten Trägerabstände.

Aus der Umgrenzung des lichten Raumes folgt beispielsweise :

für A A <y 0,76 m -f- w, für mine = 3,30 -f- b,

„ AA>0,76m-f-w, „ min e = 4,00 -f- b.

Die in Fig. 50 gezeichneten Linien entsprechen dem älteren Normalprofile, es ist jedoch zu beachten, dafs die unteren Stufen desselben in vielen Fällen als zu eng bemessen sich ergaben.

So z. B. haben die Schneepflüge einiger Bahnen gröfsere Breitenmafse, als die untersten Stufen des Normalprofiles ausweisen, und es ist ferner darauf aufmerksam zu machen, dafs selbst die Ausnutzung des Raumes der dritten Stufe in der Höhe A h —

Fig. 50.

U k-~-s

Fig. 51.

;< q,76—q

-tj52-------------)jfc

2f00-------->j-------*

1,65-

------1,52—

\ I»----M7--

i—1

s-

0,76 -f- u bedenklich ist, da hierdurch Beschädigungen des Fahrpersonales veranlafst werden können. Seit dem Jahre 1882 ist in den Technischen Vereinbarungen statt der unteren zwei Stufen eine Abschrägung empfohlen (Fig. 51); es entfällt daher für die Zukunft die volle Ausnutzung derselben (vergl. hierüber Kap. I, S. 77). Es ist auch zu beachten, dafs seit dem genannten Jahre die untere wagerechte Linie des Lichtraumes 0,05 m über Schienenkopf liegt.

Die Trägerentfernung bei Brücken in Bahnkurven ergiebt sieb folgender-mafsen :

12

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl,

Nennt man allgemein die dem Lichtraum entsprechende und mit A h veränderliche Breite ß, die Schienenüberhöhung s, und mit Rücksicht auf das bei eingleisigen Brücken Gesagte den Abstand des Bogenscheitels von der Brückenachse /', die Trägerlänge l und den Krümmungshalbmesser des Bogens r, so ergiebt sich :

min e = b -(- ß -j- 2

Z A 7 I 1

7'A7' + ä

l²

n> rro

min e = b -f- ß -f- 2 f.

Yon diesen Werten ist alsdann der gröfsere zu nehmen. Der erste Wert ist gröfser oder kleiner als der zweite, wenn

bezw.

V + LA7i?2/-

r--—

Die Gröfse A h hat selbstverständlich nur Bedeutung, insofern sie nicht gröfser ist als die Höhe des Lichtraumes selbst, d. h. A h hat Geltung innerhalb der Grenzen Null und (4,8 m -f- ii). Bei scharfen Kurven ist auch auf die Spurerweiterung der Gleise nach Mafsgabe bestehender Yorschriften Rücksicht zu nehmen.

2. Anordnung von vier Hauptträgern. Bei sehr beschränkter Konstruktionshöhe und der gegebenen Bedingung, dafs die Träger über das Niveau der Gleise nicht

hervorragen dürfen, — was bei Brücken, die Bahnhofs-lj    gleise tragen, oft der Kall ist, — bleibt nichts anderes

J    übrig, als die Spannweiten auf das zulässige Kleinstmafs

jk zu verringern, um möglichst geringe Trägerhöhen an-j! wenden zu können, und wenn zwei Träger nicht ausreichen, die Trägerzahl zu vermehren. Im letzten Falle eignet sich insbesondere die Anordnung sogenannter „Zwillingsträger“, d. h. Balkenträger von geringer Höhe, die zu zweien gekuppelt je einen Schienenstrang auf nehmen (Fig. 52).

Die Entfernung der Zwillingsträgerachsen entspricht dann der Gleisentfernung; die einen Zwilling bildenden Träger sind in Abständen von 300 bis 500 mm angeordnet, je nachdem die Einzelausbildung, insbesondere der erforderliche Raum zur Befestigung der Fahrschiene es bedingt. Die Trägerhöhe wird mit 300 bis 600 mm ausgeführt. Diese Konstruktion findet für h' (Höhendifferenz zwischen Schwellenhöhe und Trägerunterkante) von 160 bis 500 mm Anwendung. Spannweiten bis zu 10,0 m können selbst bei lh = 300 mm mit Zwillingsträgern überbrückt werden.

b) Zweigleisige Brücken.

1. Anordnung zweier Hauptträger. Die Trägerentfernung ist ähnlich wie bei eingleisigen Brücken zu bestimmen.

Man findet auf Grundlage einer Entfernung der Gleisachsen von 3,5 m : für A h < 0,76 -j- w, min e = 6,80 -J- />,

„ A h > 0,76 4" u-> wm e = 7,50 -j- b.

Liegt die Brücke in einer Bahnkurve, so ist mit Hinweis auf die bei eingleisigen Brücken gebrauchten Bezeichnungen :

min e — b -j- ß -f- 2    . A h -J- ™

Fig. 52.

i<------min -1’ o

2 1,75

-f + 3,5

bezw.

wobei, wie dort, der gröfsere der beiden Werte zu nehmen ist.

2. Anordnung dreier Hauptträger. Der Trägerabstand ist mit Rücksicht auf den Lichtraum und den kleinsten Abstand der Gleisachsen mit 3,5 m auszumitteln. Es ist der Abstand der Träger:

für A h < 0,76 -f- ?/, min e — 3,30 -j- y y , „ A h >0,76 -f u, min e — 4,00 -f- — -j- y ,

wenn mit // die gröfste Breite des Querschnittes am mittleren Träger bezeichnet wird. In diesen Fällen liegt die Gleisachse nicht in der Mitte zwischen beiden Trägern ; würde dies beabsichtigt, so ergäben sich andere Werte für die Trägerabstände.

3. Die Anordnung mit vier Hauptträgern entspricht der Anlage zweier nebeneinander befindlichen, eingleisigen Brücken, deren Trägerentfernung diesen gemäfs zu bemessen ist.

-f 0,05 m.

Wertschätzung der verschiedenen Anordnungen. Eingleisige Brücken mit gröfseren Spannweiten müssen immer zwei Träger erhalten, deren Entfernung mindestens 4,00 -f- b beträgt. Bei kleineren Spannweiten können, wenn die Gröfsen A h dies gestatten, die Stufungen der Umgrenzung des lichten Raumes berücksichtigt werden, wodurch kleinere Trägerentfernungen und mithin kürzere und dem Gewichte nach leichtere Querträger erzielt werden. Dürfen die Träger über das Gleisniveau nicht oder nur um 0,05 m vorragen, so können ebenfalls noch zwei Träger Yerwendung finden. Die Anwendbarkeit dieser Anordnung ist jedoch beschränkt durch die Konstruktions-hölie und die Spannweite. Es ist hier nämlich die Trägerhöhe h höchstens = /ü -j- n Es ist somit die Trägerhöhe durch die Konstruktionshöhe beschränkt. Boi gegebenen Spannweiten kann der Fall eintreten, dafs die Herstellung des benötigten Trägerquerschnittes konstruktive Schwierigkeiten verursacht. Hier ist es am Platze, durch Anordnung von „Zwillingsträgern“ die vorhandene Schwierigkeit zu heben. Im allgemeinen erfordern die Zwillingsträger an und für sich einen gröfseren Eisenaufwand, als zwei Träger von gleicher Höhe, Spannweite und Belastung ; dagegen tritt auf Seite der ersteren eine Ersparnis am Material der Querträger ein. Die kleinste Konstruktionshöhe, die sich bei ausgeführten Zwillingsträgern vorfindet, beträgt 160 mm.

Bei zweigleisigen Brücken findet meist die Anordnung nur zweier Träger statt, da insbesondere bei gröfseren Spannweiten die Anordnung dreier Träger gröfsere Auflagerbreiten erfordert, einen gröfseren Stoffaufwand erheischt und eine ungleich-mäfsige Konstruktion der Träger im Gefolge hat, indem der mittlere Träger eine zweimal so grofse Tragfähigkeit als jeder der äufseren erhalten mufs.

Die Anordnung von vier Trägern bezw. die Anlage zweier eingleisigen Brücken nebeneinander erfordert noch gröfsere Pfoilerbrciten als die Anordnung dreier Träger, stellt sich im Eisenbedarf etwas, wenn auch nicht erheblich höher, ist dagegen von dem wertvollen Yorteil begleitet, dafs die Belastung eines Gleises nur auf die demselben ungehörigen Träger eine Wirkung ausiibt und die nachbarliche Brücke hierdurch nicht beeinflufst wird, während bei Anordnung zweier oder dreier Träger die letzteren verschieden belastet werden, demnach verschiedene Biegungen annehmen und dadurch Verdrehungen der Brücke veranlassen. Der wirtschaftliche Yorteil, welcher mit der dem ersten Bedarfe genügenden Ausführung nur eines Gleises zusammenhängt und erst bei gesteigertem Verkehre und den zunehmenden Mitteln an die Herstellung eines zweiten Gleises heranzutreten erlaubt, findet auch für die letztgenannte Anordnung Bedeutung und Berechtigung.

12*

3. Einflufs der Fufswege auf die Anordnung der Hauptträger.

Es ist notwendig*, dafs die Eisenbahnbrücken für Eufsgänger begehbar sind: nicht blofs die Rücksicht auf die Bahnbeamten und Bahnarbeiter erfordert dies, sondern auch die Vorsicht, welche gebietet, bei eintretenden Unfällen die Brücken für die Reisenden benutzbar zu machen. Mitunter werden die Eisenbahnbrücken auch mit Fufswegen für den öffentlichen Verkehr ausgestattet, in welchem Falle dieselben bei tief liegender Bahn aufserhalb der Hauptträger auf Auslegern zu liegen pflegen. Fufswege, welche lediglich dem Bahnbetrieb dienen, finden bei kleinen Bauwerken in unmittelbarer Nähe der Gleise ihren Platz, während es sich bei gröfseren Brücken empfiehlt, für die Fufswege einen Raum seitlich der Gleise zu schaffen, von dessen Abmessungen bereits die Rede gewesen ist (siehe S. 164). Als ein Mittelweg ergiebt sich die Anordnung einzelner Erweiterungen des Brückenplanums behufs Herstellung von Ausweicheplätzen.

Die Anzahl der Hauptträger wird von den Fufswegen gewöhnlich nicht beein-flufst. Kur bei kleinen Trägerhöhen und namentlich bei der Anordnung von Zwillingsträgern (Fig. 52, S. 178) ordnet man in Abständen, welche sich aus der Breite der Fufswege ergeben, besondere Träger für die letzteren an ; diese Träger liegen den Hauptträgern parallel, werden angemessen schwächer hergestellt als jene und sind mit ihnen durch schwache Querträger verbunden, auf welchen die Bahn des Fufsweges ruht. — Im übrigen ist wegen der Anordnung der Fufswege bei Eisenbahnbrücken auf das Kapitel über die Brückenbahn zu verweisen.

4. Einflufs der Lage der Bahn auf die Wirtschaftlichkeit der Anlage.

Ein Vergleich zwischen den Brücken mit oben liegender Bahn mit jenen, wo die Bahn sich zwischen den Trägern befindet, führt zur Erkenntnis, dafs bis zu Spannweiten von 60 m die Trägerentfernung bei ersteren im allgemeinen geringer ist, als bei letzteren. Infolge dessen erheischen die Brücken mit Bahn „unten“ gröfsere Pfeilerbreiten. Weiter ergiebt sich, dafs bei oben liegender Bahn bei Trägerentfernungen bis zu 2,5 m, in Ausnahmefällen auch bis zu 3,0 m, die Anordnung von Bahnträgern (Schwellenträgern) entfallen kann, während die zwischen den Trägern liegende Bahn derselben unter allen Umständen bedarf. Die Bahnquerträger selbst fallen bei Bahn oben kürzer aus, erfordern somit weniger Eisen ; diese Brücken ergeben sich demnach im Gewichte leichter, und zwar um so mehr, je kleiner die Spannweite ist. Man findet, dafs bei kleinen Brücken bis zu 16,0 m Spannweite die Brücken mit unten liegender Bahn um 50 bis 100% schwerer sind, als jene mit Bahn oben, so zwar, dafs bei Brücken mit 3,2 m Spannweite der letzte, bei solchen mit 16,0 m jedoch der erste Prozentsatz gilt. Je gröfser die Spannweite, desto geringer wird der Gewichtsunterschied, der für eingleisige Brücken bei Spannweiten zwischen 50 und 60 m dann verschwindet, über 80 m hinaus erscheinen die eingleisigen Brücken mit Bahn unten sogar etwas leichter, als bei oben liegender Bahn, was mit der im letzten Falle erforderlichen gröfseren Trägerentfernung und dem Mehrbedarf an Aussteifungskonstruktionen zusammenhängt. Man vergleiche T. I, F. 18.

Obschon die Brücken mit Bahn unten stabiler sind, weil sie eine tiefere Schwerpunktslage haben, so ist anderseits zu beachten, dafs für A Ä <( 4,80 -f- u die Träger-wände über das Gleisniveau frei hervorragen müssen und demnach an und für sich

gegen seitlich wirkende Kräfte geringe Widerstandsfähigkeit besitzen, die zu vermehren wieder Aufwand an Aussteifungskonstruktionen erfordert, ohne dafs es hiermit möglich wird, der Brücke jene Steifigkeit zu geben, welche bei Brücken mit oben liegender Bahn durch einfache und wirksame Querverbände erzielt wird.

-¹- bei Spannweiten von 60,0 m — der Fall ist, so ist die

Überschreitet jedoch A h die Gröfse 4,8 -(- w, was schon bei Trägerhöhen von 6,0 m — also für ~ —

Möglichkeit geboten, die Hauptträger auch oben gegenseitig zu verbinden und dadurch eine geschlossene Konstruktion des Querschnittes herzustellen.

Bei gröfseren zweigleisigen Brücken, die bei Lage der Bahn zwischen den Trägern, insbesondere für Bahn „unten“, einen Abstand der Hauptträger von 7,7 bis 8,0 m erfordern, stellt sich das Konstruktionsgewicht immer höher, als bei Brücken mit oben liegender Bahn. Überblickt man die Yerhältnisse der Anordnungen der Brücken, wie sich dieselben infolge des Einflusses der Bahnlage gestalten, so gelangt man zu der Erkenntnis, dafs die Brücken mit Bahn „oben“ in den weitaus meisten Fällen die wirtschaftlich günstigste Anordnung gestatten. Auch der Bedarf an Pfeilerbaustoff ist für Brücken mit oben liegender Bahn wogen der geringeren Pfeilerhöhen geringer, so wie auch die Montierungsgerüste leichter und billiger herstellbar sind, als — gleiche Umstände vorausgesetzt — bei Brücken mit unten liegender Bahn.

§ 29. Anordnung der Brücken für Nebenbahnen. Die allgemeinen Grundsätze, welche- für die Anordnung des Überbaues der Brücken in Hauptbahnen entwickelt wurden, finden auch auf Nebenbahnen Anwendung. Die Brücken der Nebenbahnen unterscheiden sich von jenen der Hauptbahnen insbesondere dadurch, dafs dieselben mit Rücksicht auf die besonderen YerkehrsVerhältnisse, wie diese dem Zwecke und der Anlage der Nebenbahnen entsprechen, angeordnet werden. Da aufser den mit normaler Spurweite angelegten Nebenbahnen auch solche mit schmaler Spur ausgeführt werden, so wird hinsichtlich der Anordnung des Überbaues zu unterscheiden sein zwischen Brücken für normalspurige und für schmalspurige Bahnen.

Für Brücken normalsp uriger Bahnen gelten die bei Hauptbahnen rnafs-gebenden Anordnungen hinsichtlich der Entfernung und der Anzahl der Hauptträger, da die Bedingungen, welche auf die Ausmafse der Umgrenzung des freien Raumes gegründet sind, auch bei normalspurigen Nebenbahnen zutreffen. ObAvohl im allgemeinen die Brücken für normalspurige Nebenbahnen ein geringeres EigengeAvicht haben, weil die hier verkehrenden, der Konstruktion zu Grunde zu legenden Lokomotivlasten kleiner sind, so können dennoch die für Brücken mit oben liegender Bahn mit Rücksicht auf Winddruck entwickelten Entfernungen der Hauptträger für Hauptbahnen auch hier Anwendung finden. Der Einflufs des geringeren EigengeAvichtes der Brücken Avird durch den hier wohl zulässigen geringeren Wert des Sicherheitskoefficienten aufgewogen werden.

Bei Brücken für schmalspurige Bahnen ist neben der Gröfse der Spurweite die hier einzuhaltende Umgrenzung des freien Raumes für die Anordnung der Haupt-träger in derselben Art mafsgebend, wie dies für Brücken der Hauptbahnen der Fall Avar.

1. Brücken mit Bahn „oben“, a) Anordnung zAveier Hauptträger. Ist die Gleisweite = s, so ist die Entfernung der beiden Hauptträger min e — s.

Rücksichtlich der Standsicherheit des Überbaues gegen Winddruck wird bemerkt, dafs AA'egen der geringeren Standsicherheit unbeladener Wagen die Stärke des gegen die belastete Brücke Avirkenden Windes erheblich geringer angenommen werden mufs, als bei Hauptbahnen. Einschlägige Berechnungen zeigen, dafs hier die Wirkung des Wind-

druckes gegen die unbelastete Brücke (280 kg f. d. qm) als mafsgebcnd für die Ent-. fernung der Hauptträger anzusehen sein würde.

Nimmt man für das durchschnittliche Gewicht des Überbaues f. d. lfd. m y — 20 l 4- 520 kg an, so ergiebt sich nach der auf S. 167 angcstellten Entwickelung

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als kleinster Abstand der Hauptträger.

Bei Brücken, die in Bahnkurven liegen, können die Hauptträger in ähnlicher Weise wie bei Hauptbahnen angeordnet werden, wenn man nicht vorzieht, die Überhöhung der äufscren Schiene durch Höherlagerung des einen Hauptträgers herzustcllen.

b) Anordnung von drei und vier Hauptträgern. Hier gelten dic_ allgemeinen, für Hauptbahnen entwickelten Grundsätze.

2. Brücken mit unten liegender Bahn. Es werden wohl meist zwei Haupt-träger Anwendung finden. Hie Entfernung derselben mufs dem freizuhaltenden Raume entsprechen. Nach den „Grundzügen“⁷⁸) soll die Spurweite 1,0 oder 0,75 m betragen.

Für die erstere ist eine Breite des Lichtraumes von 2,9 m, für die zweite eine solche von 2,1 m festgesetzt. Diese Lichträume schlie-fsen in der Höhe des Schienenkopfes ab, s. Fig. 53 u. 54.

Hiernach würde die Entfernung der Hauptträger

mine — 2,9 -f* b\ bezw. min e = 2,1 -j⁻ b betragen wobei b die gröfstc Breite des Hauptträgerquerschnittes bedeutet.

Ragen die Hauptträger um A h > 3,75 ~J- u, bezw. um A A > 3,1 -f- u über Schwellenhöhe vor, so können die Hauptträger auch oben durch Querverbände verbunden werden, wogegen für A h <C. 3,75 -f- u bezw. A h <( 3,1 -j- u ein offenes Querprofil entsteht.

Fig. 53.

Fig. 54.

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§ 30. Anordnung der Hauptträger der Strafsenbrücken. Die Anordnung der Träger steht im Zusammenhänge mit der Breite, dem Querschnitt und der Konstruktion der Bahn; sie ist abhängig von der Konstruktions- und Trägerhöhe.

Die Breite und der Querschnitt der Bahn werden bedingt von den Verkehrsverhältnissen lind sind demnach abhängig von der Wegegattung (Hauptstrafse, Feldweg, Fufsweg u. s. w.), der Art und Gröfse des Verkehres und dem Orte der Brücke. Insbesondere erlangt dies bei Anordnung des Brückenquerschnittes Bedeutung. Die Verkehrsverhältnisse beeinflussen dermafsen diese Anordnung, dafs aus derselben wieder auf die Natur des Verkehres selbst zurückgeschlossen werden kann.

Hierauf bezüglich unterscheidet man:

a)    Strafsenbrücken ohne besondere Fufsweganlagen,

b)    Strafsenbrücken mit besonderen Fufswegen,

c)    Brücken für Fufsgänger.

7S) Grundzüge für den Bau und Betrieb der Lokaleisenbahnen. Herausgegeben von der gcsoliäftsführen-den Direktion des Vereins deutscher Eisenbahnvenvaltungen. Berlin 1887.

Zur Beurteilung und Bemessung der erforderlichen Breitenmafse der Strafsen-brücken sei bemerkt, dafs schwerbeladene AVagen mit einer Breite von 2,6 m, zwci-spännige leichtere Fuhrwerke mit 1,5 bis 1,7 m, die Wagen normalspuriger Pferdeeisenbahnen mit 2,2 m. ein Reiter mit 0,9 m und ein Fufsgänger mit 0,6 m Breite in Rechnung gezogen werden können. Zwischen den einander begegnenden Fuhrwerken, sowie zwischen diesen und den Tragwänden der Konstruktion oder den Geländern mufs ein gewisser Spielraum vorgesehen werden; die Gröfse desselben hängt wesentlich von der Verkchrsgröfse und der Länge der Brücke ab. Ein Zuschlag zur Wagenbreite von beiderseits 0,3 bis 0,4 m ist hierzu ausreichend. In dem Falle, wo die Fufswege unmittelbar zu beiden Seiten der Fahrbahn liegen, ist es zulässig, die Ausladung der Fuhrwerke bis knapp an die Fufsweggrenze anzunehmen; ausnahmsweise ist auch ein geringes Überragen der Fufswege gestattet. Die lichte Höhe über der Bahn ist mit 4,5 bis 5,4 m zu bemessen.

Ist nun die Anzahl und Gröfse der Fuhrwerke, sowie die Zahl der Fufsgänger, welche gleichzeitig nebeneinander eine Brücke zu benutzen im Stande sein sollen, bekannt, so ist es nicht schwer, nach obigen Angaben die erforderlichen Breitenmafse der Brücke zu ermitteln.

1. Brücken mit oben liegender Bahn.

Die Fahrbahntafcl (Bahnunterlago) liegt auf den Hauptträgern entweder direkt oder mittels des Fahrbahngerippes (der Bahnträger) auf. Die Entfernung der Hauptträger bezw. jene der Bahnträger ist demnach in engem Zusammenhänge mit der Tragweite der Bahnunterlagen stehend. Letztere ist abhängig von der Belastungsgröfse, deren Wirkungsart und der Widerstandsfähigkeit der Bahnunterlagen. Die üblichen Konstruktionen weisen Tragweiten von 0,8 m bis 2,0 m auf, es werden demnach die Entfernungen der Hauptträger bezw. der Bahnträger innerhalb dieser Grenzen anzuordnen sein.

In Bezug auf die erforderliche Standsicherheit des Überbaues .gegen seitlich wirkende wagerechte Kräfte ist zu bemerken, dafs die Breite der Bahn und damit auch die Entfernung der äufsersten Träger eine solche Gröfse erhält, die in den weitaus meisten Fällen auch die Standfähigkeit der Brücke sichert. Kur bei sehr geringen Bahnbreiten, wie beispielsweise bei Fufsstegen, würde behufs Erzielung der erforderlichen Sicherheit die Trägerentfernung mit Rücksicht auf die Wirkungen des Winddruckes auszumitteln sein. Es würde dann in gleicher Weise, wie dies im § 28 gefunden, der Wert

min e' = 2 W.

in Betracht gezogen werden müssen.

a) Strafsenbrücken ohne Fufsweganlagen. Die Bahn bildet hier eine durchlaufende, seitlich durch das Geländer abgegrenzte Fläche. Der Bahnkörper ruht mittels seiner tragfähigen Unterlage auf den Hauptträgern bezw. den Bahnträgern, welche meist in gleichen Abständen voneinander angeordnet sind. — Ist

b die Breite der Bahn zwischen den Geländern, e der Abstand der Träger, und n deren Anzahl,

so ist b — (n— 1) e, woraus n — ~ -f- 1 folgt (s. Fig. 55, bei Anordnung von Bahnträgern Fig. 56 u. 57). e ist der Tragweite der Bahnunterlage angemessen, wobei n selbstverständlich eine ganze Zahl.

Fig. 57.

Fig. 55.

Fig. 56.

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b) Strafsenbrücken mit besonderen Fufsweganlagen. 1st ein gröfserer Personenverkehr über die Brücke zu gewärtigen, so erfordert cs die Rücksicht auf unbehindertes Begehen der Brücke, dafs die Bahn für Fuhrwerke von jener der Fufs-gänger geschieden werde. Die Höherlegung der letzteren über das Kiveau der Fahrbahn läfst in einfacher und wirksamer Weise diesen Zweck erreichen, ohne den Personen die Möglichkeit des Übertritts von einer Bahn zur anderen zu benehmen.

Die Anordnung der Träger kann dann in mannigfacher Art erfolgen; im Folgenden werden die einfachsten und gebräuchlichsten Anordnungen vorgeführt:

1.    Die Austeilung der Träger findet ohne Rücksichtnahme auf die Verschiedenheit der Bahnen statt, indem die Träger der Gesamtbreitc der Bahn (d. i. Fahrbahnbreite -f- Fufswegbreite) entsprechend gleichmäfsig ausgetcilt, und die beiden auf gemeinsamer Unterlage ruhenden Bahnen selbst blofs durch die Konstruktion des Bahnkörpers hergestellt werden.

2.    Die Trägerausteilung unter der Bahn folgt den Anordnungen der Bahnen derart, dafs Fahr- und Fufswege eine verschiedene Austeilung der Träger erhalten. Es können hierauf bezüglich folgende Anordnungen Platz greifen:

a. Die beiden Bahnen sind voneinander vollständig getrennt und unabhängig; die Fahrbahn und die Fufswege haben, ein jedes für sich, besondere Träger. Dieser Anordnung, die bei kleinen Spannweiten vorteilhaft Verwendung finden kann, entspricht Fig. 58.

ß. Die Anordnung der Träger erfolgt zunächst für die Fahrbahn, so zwar, dafs der Raum zwischen den äufsersten, in die Grenze der Fahrbahnbreite fallenden

Trägern — die man „Grenzträger“ nennen könnte — in eine Anzahl gleicher Teile für die Zwischenträger unterteilt wird. Die „Grenzträger“ dienen hierbei gleichzeitig als gemeinsame Träger für Fahrbahn und Fufsweg, und letzterer erhält aufser diesem noch einen äufscren, meist auch die Geländer tragenden Träger von entsprechend schwächerer Konstruktion, s. Fig. 59.

y. Die Träger der Fahrbahn werden unter derselben nach Bedarf ausgeteilt, wogegen die Fufswege von besonderen Auslegern, welche seitlich der äufsersten Träger an denselben befestigt sind, getragen werden, s. Fig. 60.

Fig. 58.

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Fig. 59.

Fig. 60.

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c) Brücken für Fufsgänger. Diese Brücken gehören zu den selteneren Ausführungen. Sie erhalten in der Regel nur zwei Träger, deren Entfernung gleich der Fufswegbreite ist. Da diese Brücken ihrer Natur nach in der Regel sehr leicht zu halten sind und meist, ihrer geringeren Breite wegen, nahe gestellte Hauptträger haben, so ist eine Untersuchung auf Standfähigkeit gegen Winddruck anzustellen und falls diese durch die Trägerentfernung nicht gesichert erscheint, mufs eine anderweitige, auf den Pfeilern anzuordnende Aussteifungs-Konstruktion Anwendung finden.

Wertschätzung der verschiedenen Anordnungen der Träger. Die Anzahl der Hauptträger ist vom theoretischen Standpunkte für die Wirtschaftlichkeit der Anlage gleichgiltig, da das gesamte Tragvermögen derselben den aufzunehmenden Lasten entsprechen, also für einen gegebenen Fall konstant' sein mufs. Vom Gesichtspunkte der Ausführung betrachtet ist jedoch zu berücksichtigen, dafs die konstruktive Durchbildung der Träger immer einen Mehraufwand an Baustoff gegenüber dem theoretischen Erfordernis notwendig macht. Dieser Mehraufwand ist um so gröfser, je kleiner die theoretische Eisenmengc je eines Trägers im Verhältnis zur ausführbaren ist, woraus folgt, dafs derselbe mit der Trägeranzahl wächst.

Das angewandte Trägersystem ist indessen auch von Einflufs. Trägersysteme, bei welchen das Eisen mit seiner Normalfestigkeit allein Widerstand leistet, gestatten eine vollständigere Ausnutzung des Baustoffes, also eine gröfscre Annäherung der aus-zuführenden Querschnitte an das theoretische Erfordernis, als jene, bei welchen der Biegungswiderstand zur Wirkung kommt. So wird beispielsweise bei Anwendung von Bogenträgern die Anordnung einer gröfseren Anzahl von Trägern sich vorteilhaft erweisen können, während bei Balkenträgern und namentlich bei Blechträgern — unter sonst gleichen Umständen — dieselbe für die vorteilhafteste xknordnung-geringer gewählt werden müfstc.

Bei kleinen Spannweiten ist im allgemeinen die Anordnung einer gröfseren Trägerzahl nicht unvorteilhaft, indem hierdurch die Trägerentfernung derart verringert werden kann, dafs die Notwendigkeit der Einschaltung besonderer Bahnträger entfällt. Diese Ersparnis kann den Mehraufwand an Baustoff für die Hauptträger ganz oder teilweise aufwiegen. Hierzu kommt noch, dafs die Konstruktion, insbesondere jene der Bahn und deren Verbindung mit den Trägern an Einfachheit gewinnt, was von Bedeutung ist, da dieser Umstand um so mehr ins Gewicht fällt, als das an und für sich geringe Baustofferfordernis von Brücken kleiner Spannweiten, also auch der durch die vermehrte Trägerzahl herbeigeführte Mehraufwand und die damit zusammenhängende Mehrarbeit nur unerheblich im Vergleiche zu den erzielbaren Vorteilen sich erweisen wird.

Bei gröfseren Spannweiten, wo der Eisenaufwand für den einzelnen Hauptträger — selbst für den Fall, dafs derselbe mit möglichst geringen Abmessungen ausgeführt würde — ein beträchtlicher ist, kommt der zur Herstellung erforderliche gröfsere Arbeitsaufwand mit zur Geltung. Derselbe wächst natürlich mit der Trägeranzahl und ist auch dann ausschlaggebend, wenn die Anzahl der Träger ohne erheblichen Einflufs auf die Eisenmenge sein würde. Daraus ergiebt sich, dafs bei gröfseren< Spannweiten stets eine geringe Trägeranzahl anzuwenden sein wird. Jo geringer jedoch diese Anzahl, desto gröfser mufs sich die Trägerentfernung ergeben, mit welcher wiederum ein vermehrter Aufwand an Baustoff für die Querträger zusammenhängt.

Es ist nicht leicht möglich, im allgemeinen die vorteilhaftesten Anordnungen der Träger durch Zahlen zum Ausdruck zu bringen; es ist vielmehr Aufgabe einer an-zustcllcnden besonderen Rechnung, die einem gegebenen Falle entsprechende günstigste Anordnung zu ermitteln.

Hinsichtlich der Träger der Fufswege ist zu bemerken, dafs nur bei kleinen Spannweiten eigene, die Spannweite übersetzende Träger vorteilhafte Anwendung finden. Bei gröfseren Spannweiten hingegen ist es meist das beste und zweckmäfsigste, für die Fufswege Ausleger anzuordnen.

2. Die Bahn liegt zwischen den Trägern.

Die Hauptträger ragen hier über das Niveau der Strafse vor, weshalb deren Entfernung der erforderlichen Bahnbreito angemessen sein mufs. Es finden demgemäfs in der Regel nur zwei Hauptträger Anwendung. Nur dort, wo eine Unterteilung der Bahn statthaft ist, kann eine gröfscrc Trägerzahl angeordnet werden.

Bezüglich der Trägerentfernung ist auch hier in Betracht zu ziehen, ob besondere Fufsweganlagen anzubringen sind und ob dieselben zwischen den Trägern oder aufserhalb derselben angeordnet werden. Im ersten Falle ist die Trägerentfernung e — b + b, -f- ß,

Fig. 61.

Brüche über den Donaukanal in Wien.

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wobei

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b    die    Breite    der    Fahrbahn,

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br    die    Breite    der    Fufswege, und

ß    die    Breite    des    Trägerquerschnittes

bedeutet.

Im zweiten Falle ist e — b -j- ß, die Fufswege liegen aufserhalb der Träger, sind von der Fahrbahn durch die Träger selbst getrennt und werden von Kragträgern getragen (Fig. 61, Brücke über den Donaukanal in Wien).

Diese Anordnung hat gegenüber der ersten den Vorteil, dafs die Querträger um die Breite der Fufswege kürzer und daher entsprechend leichter ausfallen.

§ 81. Vereinigte Brücken für Strafsen und Eisenbahnen. Die gemeinschaftliche Überführung von Strafse und Eisenbahn mittels einer Brücke bietet bedeutende, insbesondere jedoch wirtschaftliche Vorteile dar. Für die betreffenden Anordnungen sind im allgemeinen die Höhenlagen der Bahnen mafsgebend, und man unterscheidet hinsichtlich der Anzahl und Entfernung der Hauptträger zwei Fälle:

1. Die Bahnen befinden sich in derselben oder in nur wenig verschiedener Höhe. Alsdann gelangen zwei nebeneinander gelegene Brücken, von welchen jede einer der zu überführenden Wegegattungen besonders angehört, zur Anwendung.

2. Die Bahnen liegen in verschiedenen Höhen. In diesem Falle ordnet man eine einzige Brücke an, welche gleichzeitig beiden Wegegattungen dient, so zwar, dafs die eine der Bahnen zwischen, die andere hingegen über die Träger zu liegen kommt. Die Träger sind dann für beide Bahnen gemeinsam.

1. Die Bahnen befinden sich in gleicher Höhe.

Abgesehen von der vergleichsweise seltenen Herstellung einer Brückenbahn, welche abwechselnd dem Strafsenverkehr und dem Eisenbahnverkehr dient (s. Kap. I, S. 79), sind zwei Anordnungen namhaft zu machen:

a)    Für jede Wegegattung wird eine besondere Brücke hergestcllt, sodafs zwei nebeneinander befindliche Brücken entstehen, wovon jede von der anderen unabhängig ist, und blofs die Pfeiler beiden gemeinsam sind.

b)    Die nebeneinander befindlichen Brücken haben einen gemeinsamen Zwischen-Hauptträger, der sowohl der Strafse als der Eisenbahn zugleich dient (Fig. 62, Brücke über den Rhein bei Konstanz).

Fig. 64.

Elbebrücke bei Aussig.

Fig. 62.

Brücke über den Rhein bei Konstanz.

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Fig. 63.

Brüche über den Mississippi bei St. Louis.

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Die Entfernung der Hauptträger ist für beide Anordnungen nur abhängig von den durch die zu tragenden Verkehrswege gegebenen Bedingungen. Es werden hiernach die Träger der Strafsenbahn in Entfernungen zu setzen sein, welche dieser entsprechen, wogegen die Träger der Eisenbahn mit Rücksicht auf die Gleise und den Lichtraum auszuteilen sind. Der Fall b) unterscheidet sich von dem ersten nur dadurch, dafs statt der beiden unmittelbar nachbarlichen ein gemeinsamer Träger angeordnet ist.

2. Die Bahnen befinden sich in verschiedener Höhe.

Diese Anordnung setzt voraus, dafs die Trägerhöhe ein Übereinanderlegen der Bahnen gestattet. Da die eine der Bahnen zwischen den Trägern anzuordnen ist, so mufs die Trägerentfernung der notwendigen Breite dieser Wegeart entsprechen. Genügt dieser Trägerabstand auch der oben befindlichen Bahn, so finden in der Regel zwei

Haupt-träger Anwendung (Fig. 1, Elbbrücke der österreichischen Nordwestbahn bei Aussig). Dasselbe gilt von Bogenbrücken, welche oben eine Eisenbahn und in der Höhe der Bogensehne eine an die Bogen gehängte Fahrbahn tragen, was indessen nur selten verkommt. Man vergleiche die hiermit verwandte Anordnung der Strafsenbrücke Luiz I. über den Douro bei Oporto (s. die 5. Abteilung dieses Werkes, Kap. XVI).

Erfordert dagegen die obere Bahn eine gröfsere Trägerentfernung, so können zweckmäfsig auch vier Hauptträger angeordnet werden, deren Abstand dann mit Rücksicht auf den unteren Verkehrsweg so auszumitteln ist, dafs der erforderliche Raum hergestellt und die Querträger die angemessene Länge erhalten (Fig. 63, Brücke über den Mississippi bei St. Louis).

Wertschätzung dieser Anordnungen. Ein grofser Vorteil derartiger Anlagen liegt in der hiermit zu erreichenden Ersparnis an Pfeilermauerwerk, die insbesondere dann von hervorragender Bedeutung ist, wenn schwierige und kostspielige Gründungen notwendig werden. Namentlich die Anordnung mit übereinander befindlichen Bahnen ermöglicht die Erzielung erheblicher wirtschaftlicher Vorteile, da nicht blofs die Gründung und der Mauerwerksaufwand, sondern auch der Aufwand an Eisen gegenüber der Anordnung von zwei gesonderten Brücken wesentliche Einschränkungen erleidet. Allerdings ist zu beachten, dafs die Mafsnahmcn zur Gewinnung der erforderlichen Höhe und der Zusammenführung der Linien gleichfalls mit Kosten in Verbindung stehen, welche bei jenen Ersparnissen in Absatz gebracht werden müssen.

Die besprochene Anordnung findet selbstverständlich nur Anwendung bei Brücken mit grofsen Spannweiten, also im allgemeinen dort, wo die Kosten der Pfeilerhcrstellung sehr beträchtlich sind. Es ergiebt sich hieraus, dafs unter sonst gleichen Umständen die zu erzielende Ersparnis mit der Gröfse der Spannweiten wächst.

Fig. 65.

Fig. 66.

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) Bei Erbauung neuer Bahnen ist eine Entfernung von Mitte zu Mitte der Gleise Yon mindestens 4 m empfohlen (Techn. Vereinbarungen vom Jahre 1882).

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§ 32. Allgemeine Anordnung der Zwischenkonstruktionen. Die Teile des Überbaues, welche sich zwischen die Hauptträger einfiigen und dementsprechend Zwischenkonstruktionen oder Querkonstruktionen genannt werden, sind nach Zweck und Vorkommen bereits in § 27 vorläufig besprochen. Auf das dort Gesagte hinweisend, genügt es, an dieser Stelle die bei Eisenbahnbrücken oft vorkommenden Anordnungen, welche in den Fig. 65 u. 66 dargestollt sind, als Beispiele vorzuführen. Dieselben zeigen die Querträger q und die von denselben unterstützten Bahnträger 11 für eine gerade bezw. für eine schiefe Brücke; bei letzterer kommen zwei „schiefe Querträger“ vor. Auf die sonstigen Zwischenkonstruktionen soll in Nachstehendem näher eingegangen werden.

Die Konstruktion und Abmessung der Haupt-, Quer- und Bahnträger erfolgt hauptsächlich auf Grundlage der dieselben angreifenden äufseren lotrechten Kräfte, die von den Verkehrslasten und dem eigenen Gewichte der Konstruktion herrühren. Sie er-

halten hiernach hauptsächlich den angemessenen lotrechten Widerstand. Der Widerstand des Überbaues gegen wagerechte Kräfte, den Winddruck, die Fliehkraft, die seitlichen Stöfse der Fahrzeuge u. s. w. mufs aber ebenfalls vorhanden sein und dieser wird in zweckmäfsigster und einfachster Weise dadurch erzielt, dafs die Träger wagerecht miteinander in eine Yerbindung gesetzt werden, welche den Überbau auch in dieser Hinsicht standfähig macht. Diese Yerbindung wird naturgemäfs von den Stützpunkten der Träger aus längs derselben sich erstrecken müssen. Im allgemeinen wird dieser „Längsverband“ (auch „Horizontalverband“ oder „horizontaler Querverband“ u. s. w. genannt) an den Hauptkonstruktionsteilen der Hauptträger — den Gurtungen — anzubringen sein und demnach längs derselben sich entwickeln.

Denkt man sich einen ebenen Schnitt normal zur Brückenachse durch den Überbau geführt, so entsteht durch den Schnitt mit den lotrechten Trägerebenen und den Flächen, in welchen sich der Längsverband befindet, im allgemeinen ein Rechteck. Es ist klar, dafs die blofse Anordnung des Längsverbandes der Gurte nicht ausreicht, um die Standsicherheit einer derartig verbundenen Konstruktion gegen wagerechte Seitenkräfte zu sichern, und dafs zu diesem Zwecke noch eine andere besondere Zwischenkonstruktion angeordnet werden mufs. Zugleich ist ersichtlich, dafs eine Formveränderung des entstandenen Rechtecks in einfachster und zweckmäfsigster Art durch. Einschaltung von Konstruktionsgliedern, deren geometrische Achsen in die Diagonalen des Rechteckes fallen, verhindert und die Konstruktion zu einer stabilen gemacht werden kann. Es ist also nebst dem Längsverband noch eine zweite Gattung von Yerbänden — die „Querverbände“ oder „Querversteifungen“ —, deren Hauptzweck die Erhaltung der Gestalt des Querschnittes ist, notwendig. Jene einfachste und natürlichste Anordnung von Querverbänden ist aber nur dann durchführbar, wenn die Träger unter der Bahn liegen, wogegen bei Lage der Bahn zwischen den Trägern hiervon Abstand genommen und die Erhaltung des Querschnittes durch eine andere Aussteifungskonstruktion bewirkt werden mufs.

Anordnung des Längsverbandes bei Eisenbahnbrücken. Es wurde bereits erwähnt, dafs der Längsverband an den Gurtungen der Träger anzubringen ist, und es ist selbstverständlich, dafs nur bei oben liegender Bahn sowohl die oberen als die unteren Gurte hierdurch in Yerbindung gesetzt werden können, während bei Lage der Bahn zwischen den Trägern dies nur dann der Fall sein kann, wenn A h > 4,8 -f- u ist. Sonst ist die Anordnung dieses Yerbandes nur an den Untergurten möglich.

Der Längsverband selbst besteht aus geraden stabförmigen Gliedern, deren Achsen mit den zu verbindenden Gurtungen eine Aneinanderreihung von Dreiecken bilden. Zumeist findet man diesen Yerband durch normal zu den Gurten gelegte Konstruktionsglieder und diagonal in den so entstandenen Rechtecken angeordnete Stäbe hergestellt. Dem Grundsätze folgend, dafs — wo dies thunlich — direkte Yerbindung und unmittelbare Anknüpfung an bereits anderweitig festgelegte Punkte die beste Konstruktionsregel ist, verlegt man die Knotenpunkte des Längsverbandes in die entsprechenden Orte der Hauptträger. Es sind dies die Orte, wo sich die Querträger an die Gurte anschliefsen, die schon an und für sich als Yerbindungskonstruktion zur Geltung kommen und welche selbst wieder in den Knotenpunkten der Hauptträger angeordnet werden. Wo Querträger nicht vorhanden sind, wird dahin zu streben sein, die Knotenpunkte des Längsverbandes in die Nähe der Knotenpunkte der Hauptträger, oder bei vollwandigen Trägern an Orte, wo sich lotrechte Aussteifungen befinden, zu verlegen. Man vergl. Fig. 65 u. 66, woselbst die Stäbe des Längsverbandes mit w bezeichnet sind.

Da der Längsverband die Verbindung der Träger zu einem widerstandsfähigen Ganzen gegen wagerechte seitliche Kräfte, deren wichtigste der Winddruck ist, bezweckt, und die Gröfse des Winddruckes insbesondere mafsgebend für die Querschnittsbestimmung dieses Verbandes erachtet wird, so erscheint die oft vorkommende Benennung desselben: „Windverband“, „Windverstrebung“ u. dergl. begründet.

Jedoch nicht allein die genannten seitlichen wagerechten Kräfte sind es, welche den Längsverband beanspruchen. Die ungleichmäfsigen Längsspannungen der Träger, insbesondere der Gurte, beanspruchen in hohem Grade diese Verbände, indem durch dieselben die bestehenden Spannungsunterschiede zur Übertragung gelangen. So bewirkt die ungleiche Erwärmung der Träger durch die Sonnenstrahlen oder der verschiedene Reibungswiderstand in den Auflagern der verbundenen Träger Zusatzspannungen in denselben, indem die unabhängige Ausdehnung durch den Widerstand des Längsverbandes behindert, letzterer also in Spannung versetzt wird. Die bei Belastung eintretende Formänderung der Träger, namentlich die Längenänderung der Gurte, zieht naturgemäfs den Längsverband ebenso in Mitleidenschaft. Die Querträger, die bei Belastung die Haupt-träger aus der lotrechten Lage zu drängen streben, beanspruchen gleichfalls den die Gurte zusammenhaltenden Längsverband u. s. w.

Man erkennt, dafs bei jeder Widerstandsäufserung der Träger der Längsverband mit beansprucht erscheint, und dafs demselben die wichtige Rolle eines die Einheit der ganzen Konstruktion bewirkenden Hauptbestandteiles zukommt.

Anordnung der Querverbände bei Eisenbahnbrücken. Diese bezwecken zunächst die Erhaltung der Gestalt des Querprofiles des Überbaues, ermöglichen hierdurch die volle Wirksamkeit des Längsverbandes und machen die Konstruktion überhaupt zu einer standfähigen. Der Querverband, in seiner einfachsten Anordnung aus den beiden wagerechten, die Gurte verbindenden Gliedern, welche meist zugleich dem Längsverbande angehören, und zwei sich kreuzenden Diagonalen bestehend, befindet sich in lotrechten, normal zur Brückenachse liegenden Ebenen und wird in bestimmten, meist gleichen Entfernungen, entsprechend den Orten der Knotenpunkte des Längs Verbundes, angeordnet. Man vergleiche Fig. 41, S. 165, Fig. 46, S. 173, Fig. 48, S. 174 u. a. Über den Pfeilern, wo die Hauptträger die direkte Stützung haben, sind auch die Orte für die wirksamste Lage der Querverbände. Werden diese daselbst ausgiebig stark konstruiert, so genügt die Anordnung von schwächeren Zwischenverbänden, die in geeigneten Orten des frei schwebenden Überbaues — oft in gröfseren Entfernungen voneinander — angebracht werden.

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Es wurde bereits- darauf hingewiesen, dafs die gewöhnliche Anordnung des Längsverbandes nur möglich ist bei bestimmter Höhenlage der Bahn und entsprechender Trägerhöhe; ein Gleiches gilt naturgemäfs auch für die Querverbände. Bei oben liegender Bahn ist es möglich, den Querverband in der günstigst wirkenden Weise anzuordnen, während bei tieferen Bahnanlagen derselbe an die Querträger anschliefsend zwischen denselben und den unteren Gurtungen, bei unten liegender Bahn jedoch gar nicht zur Ausführung gebracht werden kann. Im letzten Falle mufs, wie erwähnt, zur Anwendung besonderer Aussteifungskonstruktionen geschritten werden, welche den Zweck Erhaltung der Gestalt des Querprofiles — wenn auch in minder direkter und wirksamer Weise durch möglichste Festhaltung der rechten Winkel desselben erfüllen. Diese Querverbände werden mit Benutzung der Querträger, in deren lotrechten Ebenen die Querverbände ja liegen, dadurch hergestellt, dafs, soweit dies der erforderliche lichte Breiten-

raum der Brücke gestattet, die konstruktive Verbindung zwischen Haupt- und Querträgern zugleich ausreicht, um die rechten Winkel im Querprofil zu sichern (s. Fig. 50, S. 177). Sind auch obere Längsverbände angeordnet, wobei also A h^> 4,8 -f- u ist, so wird in ähnlicher Weise die wagerechte Querverbindung mit den Tragwänden in Verband gebracht (s. Fig. 51 daselbst).

Die Querverbände werden in Anspruch genommen bei ungleichmäfsiger Lastanteilnahme der Träger und ungleicher lotrechter Durchbiegung derselben, kurz durch alle Umstände, welche eine gegenseitige Lageänderung der Träger, eine Verschiebung oder Verdrehung des Gesamtquerschnittes anstreben. Ganz besonders ist dies der Fall bei schiefen Brücken, wo in demselben Querschnitte verschiedene lotrechte Durchbiegungen der Träger bei Belastung notwendigerweise eintreten. Der Widerstand der Querverbände jedoch bringt es mit sich, dafs gleichzeitig eine Verdrehung der Träger, ein Ausweichen derselben aus der lotrechten Lage, eingeleitet wird.

Bei Brücken, die in Bahnkurven liegen, ist im allgemeinen der Lastanteil der Hauptträger ungleich und infolge dessen ebenfalls die eintretende Durchbiegung derselben. Auch hier sind es die Querverbände, welche zunächst hierdurch Beanspruchungen erleiden. Die seitlich wirkenden Kräfte, insbesondere der Winddruck, die Stofswirkungen der Fahrzeuge und die Fliehkraft bei Brücken, die in Bogen liegen, rufen nicht minder den Widerstand der Querverbände wach.

Bei Strafsenbrücken stellt die Bahnunterlage (Fahrbahntafel) in vielen Fällen eine gute Verbindung der Träger her, sodafs mit Rücksicht hierauf die Längsverbände konstruktiv leichter gehalten werden dürfen; bei kleinen Brücken sind dieselben oft gänzlich weggelassen worden.

Die Querverbände haben hier dieselbe Aufgabe und Bedeutung, wie bei Eisenbahnbrücken, obschon die angreifenden, eine Formänderung des Querprofils hervorrufenden Kräfte hier in ihrer Wirkung geringer sind.

Bei kleinen Brücken, namentlich bei solchen mit geringen Trägerhöhen, hat man indessen auch diesen Verband oft weggelassen, da das Anbringen desselben mit Schwierigkeiten verbunden und die auftretenden Formänderungen jedenfalls um so geringer werden, je kleiner die Spannweite ist. In diesen Fällen mufs die Bahnunterlage und die Lagerung der Träger auf den Stützen den Zusammenhang der Träger hersteilen und die Standfähigkeit der Brücke genügend sichern.

Die schiefen Brücken und die Fächerbrücken sollen im folgenden Paragraph für sich behandelt werden. Die Besprechung wird sich nicht streng auf Hauptträger und Zwischenkonstruktionen beschränken, weil es sich empfiehlt, das jenen Bauwerken Eigenartige im Zusammenhänge vorzuführen.

§ 33. Schiefe Brücken und Fächerbrücken.

1. Schiefe Brücken.

Bei der Konstruktion schiefer eiserner Brücken sind nachstehend aufgeführte Punkte zu beachten; dabei sind nur Balken- und Bogenbrücken ins Auge gefafst. Die bei den selten vorkommenden Hängebrücken nötigen Abänderungen ergeben sich ohne Schwierigkeit.

a) Auflager. Die Auflägermitten der Träger dürfen sich der Vorderkante des Pfeilermauerwerkes nicht zu sehr nähern; das hier einzuhaltende Mals, senkrecht zur

Vorderkante gemessen, ist je nach der Gröfse der Stützweite, also des Brückengewichtes verschieden. Für Stützweiten zwischen 40 und 100 m kann man diesen Abstand setzen:

w — (0,5 -f- 0,005 L) Meter.

Für Stützweiten unter 40 m kann man annehmen :

w — (0,25 -j- 0,01 L) Meter.

L ist die Stützweite in Metern. Die vorgeführten Formeln ergeben die kleinsten zulässigen Abstände. Man gehe aber selbst bei sehr kleinen Brücken nicht unter

Wniia — 0,3 Meter. v

b) Querträger und Querverbindungen. AVie oben (§ 27) bereits angeführt, sind die schiefen Anschlüsse der Querträger bezw. Querverbindungen an die Hauptträger, sowie der Zwischenträger an die Querträger u. s. w. nach Möglichkeit zu vermeiden.

AArenn der Schnittwinkel der Achsen nur wenig von einem rechten AArinkel ab-weiclit, so kann man sämtliche Querträger bezw. Querversteifungen wie diejenigen einer

geraden Brücke herstellen, indem man die Auflager der Träger normal einander gegenübersetzt (Fig. 67); dadurch wird die Stützweite der Brücke gröfser, als unumgänglich nötig ist, weil die Lager A und D weiter von der Mauerkante zurückliegen, als die statischen Rücksichten verlangen. Diese Anordnung wird um so leichter möglich, je näher die Hauptträger aneinander liegen; bei zwei- und mehrgleisigen Brücken behandelt man deshalb zweckmäfsig jedes Gleis als besondere Brücke mit zwei Hauptträgern und verschiebt diese Brücken gegeneinander entsprechend der Schiefe (s. Fig. 67). Diese Konstruktion ist auch bei Bogenbrücken möglich.

c) Endanordnung. AVenn der Schnittwinkel der Achsen wesentlich von einem rechten AVinkel ab weicht, so wird bei der soeben angegebenen Konstruktion die Stützweite sehr grofs und das Pfeilermauerwerk sehr stark. Alsdann wird zweckmäfsig nur der mittlere Teil der Brücke, etwa A E C F (Fig. 68), als normale Überbrückung hergestellt, wobei die Lage der Querträger bezw. Querversteifungen A F und E C durch die Auflager A und C bestimmt ist; die durch die Schiefe bedingte Unregelmäfsigkeit ist demnach in die Endfelder verwiesen, welche hier im Grundrisse die Dreieckform zeigen. Man ist aber mit den letzten normalen Querverbindungen nicht an die Auflager A und C gebunden, kann dieselben vielmehr aucli an eine andere geeignete Stelle legen (z. B. nach F G und HJ in Fig. 70). Alsdann werden die Endfelder im Grundrifs Paralleltrapeze.

Fig. 07. M. 0,000 (1 : 107).

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Fig. 68.

Eisenbalmbrücke in der Sektion Bruck (Gerber).

Fig. 69.

Wege-Unterführung auf der Bahn Schwarzenbeck-OldesJoe.

M. 0,006 (1 : 167).

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Fig. 70.

Unterführung der Gutenbergstrafse, Bahnhof Hannover.

M. 0,006 (1 : 167).

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Fig. 70«.

Eisenbahnbrücke über die Oppenheimer Landstrafse. Trapezträger (Gerber).

M. 0,006 (1 : 167).

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Häufig werden schiefe Endquerträger angeordnet; dieselben werden bei Eisen-babnbrücken meistens nötig sein, wenn die Schienen unmittelbar von den Querträgern getragen werden (Fig. 69^; alsdann unterstützen die schiefen Endquerträger (A D bezw. B C) die Schienen. Falls die Entfernung der letzten normalen Querträger D E bezw. B F und der schiefen Endquerträger A D bezw. B C an den Schienenunterstützungsstellen so grofs ist, dafs die Schienen sich auf diese Länge nicht frei tragen können, so können noch kleine Querträger (a b bezw. c d, Fig. 69) eingeschaltet werden. Es ist empfehlenswert, die Abstände der Querträger voneinander gleich zu wählen: nur die letzten Felder

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Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl,

A a und G c erhalten meistens ein anderes Mafs, als der Abstand der übrigen Querträger beträgt.

Wenn Schwellen und Schienen durch besondere Längsträger zweiter Ordnung getragen werden, bieten die schiefen Endquerträger oft den Längsträgern der Endfelder die Endauflager. Zweclanäfsiger vermeidet man sie in diesem Falle, indem man den Schienenträgern der Endfelder besondere Auflager auf dem Pfeiler giebt, sogenannte Auflager zweiter Ordnung. Man umgeht dadurch die schwierigen schiefen Anschlüsse (s.Fig. 70a).

Bei Strafsenbriicken und Eisenbahnbrücken, welche Kiesbettung tragen, werden meistens schiefe Endquerträger erforderlich, um die Fahrbahntafel, mag sie aus Buckelplatten, Wellblech oder Zores-Eisen bestehen, aufzunehmen.

d) Querschwellen bei Eisenbahnbrücken. Soviel wie möglich sollen die Querschwellen senkrecht zur Brückenachse gelegt werden, was auf dem normalen Teile der Brücke keine Schwierigkeiten macht. Anders ist es in der Nähe der Auflager; viele Konstrukteure fordern, dafs jede Querschwelle gleichartig unterstützt sei. Sie vermeiden es demnach, dieselbe Querschwelle einerseits durch die Eisenkonstruktion, andererseits durch das Pfeilermauerwerk zu unterstützen; gleicherweise wird vermieden, dieselbe Querschwelle zum' Teil auf das Mauerwerk, zum Teil in die Bettung zu verlegen. Es ist das wegen der ruhigen Fahrt und gröfseren Sicherheit zweckmäfsig. Man legt, um die erwähnte Unterstützung zu erzielen, in den dreieckigen oder trapezförmigen Endfeldern des Grundrisses die Querschwellen schräg, wobei ein allmählicher Übergang von der normalen bis zu derjenigen Schwelle vorgenommen wird, welche dem Landpfeiler parallel liegt. Die Schwellen im Endfelde werden von den Schwellenträgern getragen,

Fig. 71.

Wege- Unterführung auf der Bahn Schivarzenbeck-Oldesloe.

M. 0,006 (1 : 167).

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die dem Landpfeiler parallele Schwelle liegt entweder auf demselben oder besser hinter demselben in der Bettung. Von dieser Schwelle zu den normalen Schwellen des Gleises mufs dann in gleicher Weise der Übergang vorgenommen werden, s. Fig. 71. Man erhält so auf dem Brückenende, wie hinter dem Landpfeiler, eine Anzahl nicht paralleler Schwellen, deren gröfster Abstand nach der Tragfähigkeit der Schienen zu bemessen ist. Für diese Anordnung sind die dreieckigen Endfelder im Grundrifs unzweckmäfsig, weil bei derselben die Schwellenköpfe an der einen Seite sehr nahe aneinander zu liegen kommen; die trapezförmigen Endfelder sind hier vorzuziehen, weil sich bei ihnen der Übergang bequemer gestaltet (s. Fig. 70, S. 193).

Wesentlich einfacher wird die Konstruktion, wenn die Schienen unmittelbar von den Längsträgern zweiter Ordnung getragen werden, besonders, wenn auf der freien Strecke eiserner Langschwellenoberbau anschliefst. Die Schienen ruhen dann auf den

Schienenträgern bis zu deren Ende und haben sich von diesem bis zu einer hinter dem Pfeilermauerwerk schräg in der Bettung liegenden Querschwelle freizutragen; hinter letzterer beginnen die eisernen Langschwellen. Diese Anordnung kann auch für die unregelmäfsigen Endfelder gewählt werden, wenn in dem mittleren, normalen Teile der Brücke Querschwellen liegen; selbstverständlich müssen dann in den Endfeldern die Schienenträgor denselben Abstand wie die Schienen haben (Fig. 72).

Fig. 72.

Unterführung des Engelbosteier Dammes, Bahnhof Hannover.

M. 0,006 (1 : 167).

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Im übrigen ist bei genügend sorgfältiger Konstruktion die ungleichartige Unterstützung der Querschwellen nicht verwerflich; Gerber hat sie mehrfach ausgeführt. Ein Beispiel zeigt Fig. 68, S. 193, bei welchem die Querschwellen an ihrem einen Ende auf einer in die Bettung gelegten Langschwelle, aufserdem bezw. auf dem eisernen Überbau und dem Pfeilermauerwerke ruhen.

Man kann die gleichartige Unterstützung der Schwellen auch dadurch erreichen, dafs man, ähnlich wie unter b) (in Fig. 67, S. 192) vorgeführt% die beiden mit besonderen Auflagern versehenen Endschwellenträger gleich lang macht, also die Auflager normal einander gegenüber anordnet (s. Fig. 70«). Das Pfeilermauerwerk wird alsdann an der Hinterseite, soweit es sonst der ersten Landschwelle im Wege sein würde, senkrecht zur Brückenachse begrenzt. Diese Anordnung ist sehr zweckmäfsig; man erreicht dabei durchgehends normale Schwellenlage. Bei gröfseren Stützweiten bildet diese Konstruktion die Regel. Um die letzte Brückenschwelle möglichst nahe an die erste Landschwelle zu bringen, hat man wohl an die Endschwellenträger noch kurze Konsolen (Kragträger) gesetzt, welche die letzte Querschwelle der Brücke tragen.

e)    Aussteifung. Diejenigen Teile der Hauptträger, welchen kein Teil des anderen Hauptträgers gegenüberliegt, müssen, besonders bei oben liegender Fahrbahn, gegen die beim Überfahren der Lasten u. s. w. auftretenden wagerechten Kräfte und Schwankungen versteift werden. Es ist deshalb eine Querversteifung nötig, welche bei Balkenträgern die obere Gurtung über dem Auflager des einen Trägers mit dem Auflager des anderen Trägers verbindet, d. h. eine schiefe Endversteifung (vergl. Fig. 68, S. 193). Eine ganz ähnliche Endversteifung ist bei dem Streckgurt der Bogenbrücken anzuordnen. Bei den schiefen Bogenbrücken legt man die Querversteifungen entweder parallel zur Achse des zu überbrückenden Weges, in welchem Falle man schiefwinkelige Anschlüsse erhält, oder normal zur Brückenachse. Bei letzterer Anordnung ist der Querschnitt jeder Yer-steifung ein Yiereck, dessen untere Seite nicht wagerecht ist; denn die Punkte der beiden Bogen, welche einander normal gegenüberliegen, also miteinander verbunden werden, haben verschiedene Höhe, weil die Bogen gegeneinander verschoben sind.

f)    Her stel lungs rücksich ten. Man richtet es zweckmäfsig so ein, dafs die beiden zu einem Gleise gehörigen Hauptträger einander gleich sind, sodafs man also

13*

jeden derselben sowohl nach A 2?, wie nach C D legen kann (Fig. 68, 69, 70). Bei Herstellung der Fahrbahntafel für Strafsen- oder Eisenbahnbrücken ist dahin zu streben, dafs man möglichst rechteckige Felder schafft; Buckelplatten von nicht rechteckiger Grundform können freilich heute ohne Schwierigkeit angefertigt werden; sie sind aber immer etwas teurer, als normale. Für die Endfelder kann man jedoch Buckel- oder Hängeplatten von ungewöhnlicher Form, schief abgeschnittene Wellblechtafeln, Belageisen u. s. w. nicht ganz vermeiden.

2. Fächerbrücken.

Fächerbrücken kommen hauptsächlich als Eisenbahnbrücken vor, können aber auch für Strafsen ausgeführt werden.

Sehr bequem wird die Konstruktion, wenn bei Eisenbahnbrücken für jedes der auseinanderlaufenden Gleise eine selbständige Überbrückung, bestehend aus zwei Hauptträgern nebst den zugehörigen Quer- und sonstigen Trägern, angeordnet wird; dann können die zu jedem Gleis gehörigen Hauptträger einander parallel gelegt werden und nur zwischen den für die einzelnen Gleise verwendeten Überbrückungen ergeben sich trapezförmige Flächen im Grundrifs, welche, weil gering belastet, leicht in irgend einer Weise geschlossen werden können, sei es durch Bohlenbelag, Wellblech, Buckelplatten, Glastafeln u. dcrgl., welche aber auch unter Umständen ganz oder teilweise offen bleiben können. Auf den Pfeilern erhält man geringe Unregelmäfsigkeiten, die aber, besonders wenn die Vorderflächen des Pfeilers in mittlere Linien gelegt werden, nur gering sind und meistens einen ganz normalen Überbau nach Art der Fig. 67, S. 192, gestatten, indem die Auflagermitten der Träger verschieden weit hinter den Vorderkanten der Pfeiler zurückliegen (s. Fig. 73).

Fig. 73.

Brüche über den Humboldt-Hafen, Berliner Stadteisenbahn.

M. 1 : 400.

Wenn man für die Verschiebung der Gleise und die Einlegung von Weichen auf der Brücke freie Hand behalten will, so werden zweckmäfsig die Gleise auch auf der Brücke in Bettung gelegt, welche auf einer Fahrbahntafel ruht. Hierbei wie auch bei Strafsenbrücken mit Fahrbahntafel ist ebenfalls die ganze Grundfläche in Gruppen zu zerlegen, in deren jeder die Hauptträger einander wo möglich parallel gelegt werden. Die Endhauptträger legt man in die nicht parallelen Seiten des trapezförmigen Grundrisses, die anderen diesen Endhauptträgern parallel. Die unregelmäfsigen Flächen liegen

zwischen je zwei Gruppen. Hier wird man aber die Konstruktion überall, also auch in den unregelmäfsigen Flächen, gleich tragfähig herstellen müssen. In den einzelnen Gruppen hat man Brücken, welche in allen wesentlichen Punkten nach den für schiefe Brücken entwickelten Gesichtspunkten zu konstruieren sind; auch die unregelmäfsigen Flächen zwischen den Gruppen bieten keine Schwierigkeiten.

Man vergleiche Fig. 74.

Erwähnt mögen hier noch die trapezförmigen Brücken werden, welche durch eine Keilform der überbrück-tenOffnung bedingt werden und welche an jeder Seite verschieden, aber ganz ähnlich behandelt werden, wie die schiefen Brücken. Dieser Fall tritt namentlich bei Kurvenbrücken nicht selten ein.

Fig. 74.

Unterführung der Strafse Spandauer Brüche, Berliner Stadteisenhahn.

M. 1 : 400.

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Litteratur,

die eisernen Brücken im allgemeinen betreffend.

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AVeitcre Litteraturangaben auf S. 63/65.

VIII. Kapitel.

Theorie der eisernen Balkenbrücken.

Bearbeitet von

Fr. Steiner,

Diplom. Ingenieur, Professor an der deutschen Technischen Hochschule in Prag.

(Hierzu Tafel II bis VI und 110 Textfiguren.)

§ 1. Einleitung. Die Theorie der Brücken stellt sich als Aufgabe, die Anordnung des Bauwerkes auf seine Stabilität zu untersuchen, die Wirkung der äufscren Kräfte auf die einzelnen Bestandteile des Bauwerkes, bezw. die auftretenden Spannungen zu ermitteln, wobei für jede Spannung die gröbsten und kleinsten Werte zu suchen sind, welche bei der wechselnden Belastung auftreten können, eine Aufgabe, die wir auch als die Ermittelung der gefährlichsten Belastungsweise bezeichnen, ferner die Bestimmung der Formänderung, welche das Bauwerk unter der Belastung annimmt. Vielfach ist die Ermittelung der Spannungen überhaupt nur unter gleichzeitiger Untersuchung bestimmter Formänderungen möglich, so bei statisch unbestimmten Systemen.

Ehe wir auf besondere Brückensysteme eingehen, möge eine ganz allgemeine Untersuchung vorausgeschickt werden.

Für die anzustellenden Untersuchungen fassen wir die Brücke als Trag werk auf, welchem die Aufgabe zukommt, die äufseren Kräfte auf bestimmte Stützkörper zu übertragen.

Jedes Tragwerk ist entweder ein den Baum stetig erfüllender Vollkörper, z. B. ein Tonnen- oder Kuppelgewölbe, oder es besteht aus einzelnen Teilen, welche im Sinne der Trägerlehre als Tragkörper, Scheiben oder Stäbe aufgefafst werden können.

Den auf ein Tragwerk wirkenden äufseren Kräften, das sind die direkt angreifenden Kräfte, wie die Belastung, der Wind, die Fliehkraft, müssen die Widerstände der Stützkörper das Gleichgewicht halten.

Ersetzt man die Wirkung der Stützkörper durch die entsprechenden Auflagerwiderstände, so müssen diese mit den angreifenden Kräften ein im Gleichgewicht befindliches räumliches System bilden; es müssen also 6 Auflagerbedingungen erfüllt sein.

Ist ein Tragwerk so beschaffen, dafs es stabil bleibt, wenn man beliebige Punkte desselben zu Auflagerpunkten macht, so ist es ein geschlossenes oder einteiliges Tragwerk, trifft dies nicht zu, löst sich das Tragwerk in zwei oder mehrere Teile, so ist es ein zusammengesetztes Tragwerk. Jedes mehrteilige Tragwerk kann durch Einschaltung gedachter (fiktiver) Stäbe zum einteiligen gemacht werden.

Je nachdem man lediglich nach dem Gleichgewichtszustände der Kräfte forscht und von diesem aus die Bestimmung der unbekannten Gegenkräfte und inneren Kräfte vornimmt oder je nachdem man die unbedingt oder unter Umständen möglichen Bewegungen des elastischen Systems, welches den Träger darstellt, in Betracht zieht, wird die Theorie entweder eine statische oder eine kinematische.

Letztere, in der Entwickelung wesentlich jünger, hat gleichwohl bereits zu einer Reihe von Vereinfachungen und schönen Anwendungen geführt. Wir werden uns in Nachstehendem beider Verfahren, die in ihren Anwendungen selbstverständlich zu denselben Ergebnissen führen, unter Angabe der bezüglichen Quellen bedienen.

Beide Verfahren sind der graphischen Behandlung fähig; erstere beruht in ihrem Urwesen auf dem Kräfte-, letztere auf dem Geschwindigkeits-Parallelogramm, mithin auf derselben geometrischen Grundlage.

Im vorgenannten Sinne verstehen wir unter Tragkörpern solche Teile des Tragwerkes, welche Kräfte aller Richtungen widerstandsfähig aufnehmen und auf bestimmte Stützpunkte zu Überträgen vermögen. Scheiben sind solche Teile eines Tragwerkes, welche Kräfte aller Richtungen einer Ebene, der Scheibenebene, widerstandsfähig aufzunehmen und auf bestimmte Punkte dieser Ebene zu übermitteln vermögen. Stäbe sind Teile des Tragwerkes, welche nur befähigt sind, solche Kräfte, welche in die gerade Achse derselben fallen, von einem Endpunkt des Stabes zum anderen widerstandsfähig zu übertragen.

Liegen alle Teile des zu betrachtenden Tragwerkes in einer Ebene, in welcher auch die angreifenden und widerstehenden Kräfte wirken, so spricht man von einem ebenen Tragwerke.

Jedes ebene Trag werk setzt sich aus Scheiben und Stäben, jedes räumliche aus Tragkörpern, Scheiben und Stäben zusammen.

Setzt sich ein Tragwerk nur aus einzelnen Stäben zusammen, so spricht man von einem Fachwerke.

Als Brückenbauwerk mufs ferner jedes Trag werk die Bedingung erfüllen, dafs es stabil ist. Die Übermittelung der angreifenden Kräfte auf die Stützkörper durch das Tragwerk mufs erfolgen, ohne dafs, abgesehen von den elastischen Formänderungen, eine bleibende Ortsveränderung desselben eintritt. Wir setzen also bei unseren Belastungen stets voraus, dafs die Teile des Trag Werkes in sich widerstandsfähig und so verbunden sind, dafs das Tragwerk mit dem Verschwinden der äufseren Kräfte seine ursprüngliche Form und Lage wieder einnimmt.

Die Stützung des Tragwerkes erfolgt theoretisch in bestimmten Punkten, welche fest sein können oder eine bestimmte Beweglichkeit besitzen. Die Bewegungen werden in Wirklichkeit stets mit Reibung verbunden sein. Wir wollen die auftretenden Reibungswiderstände zunächst aufser Acht lassen, und sie in einem besonderen Abschnitt bei der Lehre von den Zusatzspannungen behandeln. Es sind dann im allgemeinen drei Arten von Stützungen zu unterscheiden:

1.    Der Stützpunkt ist in einer Fläche geführt. Der die Wirkung einer solchen Stützung ersetzende Widerstand ist senkrecht zur Stützfläche im Berührungspunkt. Kinematisch entspricht dies der Bedingung, dafs die Bewegung des Stützpunktes in einer gegebenen Fläche stattfinden mufs, also senkrecht zur selben keine Bewegung stattfinden darf.

2.    Der Stützpunkt wird in einer Linie geführt. Die Stützungswiderstände sind durch zwei Kräfte gegeben, welche in einer Ebene liegen, die senkrecht zum

Linienelemcnte steht, welches im Berührungspunkte dem Stütz- und Tragkörper gemeinschaftlich ist. Die Richtungen dieser Kräfte in der Ebene selbst können beliebig angenommen werden, doch müssen sie sich im Berührungspunkte schneiden. Kinematisch ist diese Stützung an die Bedingung geknüpft, dafs die Bewegung des Stützpunktes bei der Formänderung nur in der Richtung des gemeinsamen Linienelementes erfolgen kann, also senkrecht zu diesem Elemente keinerlei Bewegung stattfinden darf ; das ist erfüllt, wenn die Bewegung nach zwei beliebigen, zum gemeinsamen Elemente senkrechten Richtungen null wird.

3. Ist der gemeinsame Punkt C unbedingt festgehalten, so verlangt die Erfüllung dieser Bedingung die Einführung dreier Kräfte als Auflagerwiderstände, welche in ihren Richtungen beliebig sind und sich in C schneiden ; sie ist kinematisch an die Forderung geknüpft, dafs nach drei beliebigen, sich in C schneidenden Richtungen keine Bewegung stattfinden darf.

Die nach gegebenen Richtungen wirkenden Stützenwiderstände lassen sich auch als die Spannungen von Stäben auf fassen, welche den Stützpunkt C mit festen Punkten verbinden. Die Bedingung unter 1. kann durch einen, die zweite durch zwei, die dritte durch drei Stäbe ersetzt werden.')

Obwohl wir es in Wirklichkeit ausschliefslich mit Raumgebilden zu thun haben, pflegt man doch die Einteilung der Träger nach Erwägungen vorzunehmen, welche sich unmittelbar an ebene Gebilde, Scheiben oder Fachwerke aus Stäben knüpfen. Diese denkt man sich von Kräften beansprucht, die derselben Ebene angehören. Wir wollen daher die Betrachtung dieser Systeme voranstellen und daran erst einige allgemeinere Untersuchungen räumlicher Natur reihen.

§ 2. Ebene Tragwerke. Liegen alle Kräfte, welche auf einen Körper wirken, in einer Ebene, bezw. kann die in Betracht kommende Konstruktion durch ein ebenes System ersetzt gedacht werden, so kann ein Auflagerpunkt entweder vollständig festgehalten, oder es kann seine beim Auftreten äufserer Kräfte infolge der Formänderung entstehende Bewegung nur beschränkt werden, indem man ihn zwingt, hierbei auf einer gegebenen Linie zu bleiben, welche, da wir bei all unseren praktisch wichtigen Entwürfen nur sehr kleine Formänderungen voraussetzen, stets als Gerade betrachtet werden kann. Diesen Zwang nennt man eine dem Auflagerpunkte vorgeschriebene Auflagerbedingung.

Jedes Gleitlager stellt kinematisch die Bedingung vor, dafs sich der Auflagerpunkt auf einer bestimmten Geraden bewegen mufs, statisch die Bedingung, dafs der Auflagerdruck senkrecht zu der Bahn stehen mufs; mithin in beiden Fällen eine Bedingung. Das feste Auflager knüpft statisch oder kinematisch betrachtet zwei Bedingungen an sich, ein eingespanntes Trägerende deren drei.

Kräfte in einer Ebene, die sich das Gleichgewicht halten, müssen drei Bedingungen erfüllen, bezw. es stehen für die Ermittelung der Auflagerdrücke drei Gleichungen zur

b Erfolgt die Stützung in denselben Punkten und in jedem Punkte für jede Belastung auf dieselbe Art, so sprechen wir von unveränderlicher Stützung. Beispiele veränderlicher Stützungsart sind z. B. Lager, die erst zur Geltung kommen, wenn sich das bezügliche Ende um ein bestimmtes Stück gesenkt hat, ein Fall, der bei Drehscheiben und Drehbrücken vorkommt; ja jedes Gleitlager, welches erst dann als Gleitlager wirkt, wenn die Reibung überwunden ist, bildet in diesem Sinne ein Beispiel veränderlicher Stützung. Wir kommen auf hierher gehörige Fälle an anderer Stelle zurück.

Verfügung, welche z. B. so gegeben sein können, dafs sie besagen: Es mufs 1. die Summe der wagerechten, 2. die Summe der lotrechten Seitenkräfte und 3. die Summe der statischen Momente für irgend einen Punkt der Ebene gleich Null sein.

Um eine fortschreitende Bewegung des Trägers zu hindern, sind mindestens drei Auflagerbedingungen nötig. Sind nur drei solcher gegeben, so sagen wir, der Träger sei hinsichtlich der äufseren Kräfte „statisch bezw. kinematisch“ bestimmt.

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Man kann die statisch bestimmten Träger in zwei Gruppen teilen, von denen bei der einen die drei Auflagerbedingungen in drei verschiedenen Punkten vorgeschrieben erscheinen, während bei den Trägern der anderen Klasse zwei der Auflagerbedingungen sich auf denselben Punkt beziehen. Bisher sind meistens die Träger der letzteren Klasse zur Anwendung gelangt.

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Y.

In Fig. 1 zeigt I einen Träger als Beispiel der ersten Gruppe. Die Punkte A und B sind gezwungen, sich normal zu AJ A bezw. B' B zu bewegen. D' und D" versinnlichen die Dichtungen der Auflagerwiderstände, welche einer angreifenden Kraft P das Gleichgewicht halten. Man nennt die Anordnung der beiden Glieder A A\ B B\ welche einen festen Punkt ersetzen, ein imaginäres Gelenk. II stellt einen Träger der zweiten Art dar. An ihm ist A festgehalten, A⁴ gezwungen, sich auf einer geradlinigen Bahn zu bewegen. D' und D" geben wieder die einer äufseren Kraft P das Gleichgewicht haltenden Auflagerdrücke.

VI.

Unter den statisch bestimmten Trägern der zweiten Klasse sollen hier zunächst nur jene näher hervorgehoben werden, bei Avelchen die Bichtungslinie der geraden Auflagerbahn des einen Auflagerpunktes A' durch den anderen festgehaltenen Auflagerpunkt A geht. Nimmt man aufserdem die Bahn von A' wagerecht an, so ergiebt sich die allgemeine Form des sogenannten einfachen Balkenträgers, III. Jede lotrechte Kraft erzeugt in den Auf-lagerpunkten lotrechte Auflagerdrücke.

Unter den statisch unbestimmten Trägern ist hier zunächst nur jener Träger zu betrachten, welcher an einem Stützpunkte festgehalten ist, an allen übrigen Auflagerpunkten sich wagerecht frei verschieben kann. Man hat es in diesem Falle mit einem durchlaufenden Balken zu thun. Die Grundgleichungen der Statik reichen hier, wie bei allen Trägern dieser Art, zur Bestimmung der Auflagerdrücke nicht mehr aus, sondern es müssen letztere mit Hilfe gewisser Bedingungen, welche aus der elastischen Formänderung sich ableiten lassen, ermittelt werden.

Andere statisch unbestimmte Systeme sind z. B. der Bogenträger mit zwei Kämpfergelenken, der Bogen ohne Gelenke (vier bezw. sechs Auflagerbedingungen), sowie der

beiderseits eingespannte Balken, bei welchen an jedem der beiden Auflager mindestens drei, also im ganzen mindestens sechs Auflagerbedingungen erfüllt sind u. s. w.²)

In vielen praktischen Fällen wird zu Überbrückungen nicht ein Träger benutzt, sondern es kommen deren mehrere in Anwendung; alsdann kann entweder jeder der Träger für sich als abgeschlossenes Ganze auf treten, wie dies bei einer Reihe von aufeinander folgenden einfachen Balkenbrücken der Fall ist, oder es können die Träger sich gegenseitig beeinflussen, in welchem Falle durch die Einwirkung der Träger aufeinander die zur ausreichenden Festlegung eines Trägers nötigen drei oder mehr Auflagerbedingungen sich erfüllen lassen. Ein bekanntes Beispiel dieser Trägerkonstruktionen bildet der Bogenträger mit zwei festen Kämpfergelenken A A' (s. obige Fig. 1, Y.) und einem Scheitelgelenk P, welcher als Verbindung zweier Scheiben A B und A' B aufgefafst werden kann. A ist fest, B gezwungen, auf einem Bogen vom Radius A/ B zu bleiben, der Gegendruck in B ist daraus durch die Richtung Ä B bestimmt, hierdurch aber auch D', weil sich P, D‘ und D" in einem Punkte schneiden müssen. Man sieht hieraus, dafs sich der Träger dieser Art in zwei Träger von der Form II (Fig. 1) zerlegt. Die nähere Betrachtung dieser Konstruktion erfolgt in dem Kapitel über Bogenbrücken. Auch hier kann B durch ein imaginäres Gelenk ersetzt werden.

Eine wichtige Trägeranordnung entsteht, wenn man zwei oder mehrere einfache Balkenträger derart verbindet, dafs einer oder beide Stützpunkte eines einfachen Trägers durch die überragenden Enden eines benachbarten einfachen Trägers gebildet werden. Fig. 1 zeigt unter VI eine solche Anordnung, welche namentlich von Gerber ausgebildet ist und deshalb den Namen Gerber-Träger führt.

In diesem Falle sind die äufseren Kräfte in jedem einzelnen Träger bestimmt, da keiner derselben mehr als drei Auflagerbedingungen unterworfen ist.

Auch hier kann man an Stelle wirklicher Gelenke imaginäre anordnen; doch gelangten letztere bisher nicht zur Durchführung.

Bei der allgemeinen Betrachtung der Träger von praktischer Bedeutung erscheint es oft zweckmäfsig, gegebene Auflagerbedingungen durch gedachte Stäbe zu ersetzen und dadurch jedes Fachwerk auf den Fall zurückzuführen, in welchem man es mit einem festen und einem auf einer Geraden gleitenden Auflager zu thun hat, was stets möglich ist. Man macht dadurch den Träger zu einem in Bezug auf die äufseren Kräfte statisch bestimmten, d. h. einem solchen, für welchen die in jedem Knotenpunkte angreifenden Kräfte ohne Berücksichtigung der Formänderung angegeben werden können. So läfst sich z. B. der durchlaufende Träger I (Fig. 2) auf drei beweglichen und einer festen

Fig, 2.

I.

m.

IV'

//

mi

²) Einen allgemein gehaltenen Beitrag zur Systemkunde der Träger, in welchem einzelne der hier angedeuteten Gesichtspunkte ausführlich erörtert und durch Beispiele erläutert werden, lieferte A. Föppl in: „Theorie des Fachwerks“. Leipzig 1880. Siehe auch R. Land. Über die statische und geometrische Bestimmtheit der Träger. Centralbl. d. Bauverw. 1887. Ferner die Abhandlungen von Winkler, Müller -Breslau u. a.

Stütze sofort auf' den umstehenden Fall zurückführen, wobei II ein statisch bestimmtes Fachwerk aus unendlich starken Stäben und 1, 2, 3 Stäbe unendlich grofsen Querschnitts sind. Man wird sich die Untersuchung erleichtern, wenn man hierbei die Anzahl der benutzten gedachten Stäbe auf ein Minimum bringt. Sind die Stützen des in Natur vorkommenden Trägers I nachgiebig, so wird man diesem Umstande Rechnung tragen können, indem man die Stäbe 1, 2, 3 durch entsprechend elastische ersetzt. Der Fachwerksbogenträger mit zwei oder drei Gelenken läfst sich auf einen einfachen Träger zurückführen, bei welchem die Unnachgiebigkeit des rechten Auflagers durch einen horizontalen Stab unendlich grofsen Querschnitts ersetzt ist (Fig. 2, III). Der Bogen-träger IV ohne Gelenke kann durch Einschaltung der gedachten starren Stäbe 1, 2, 3 in einen einfachen Träger verwandelt werden. Die Spannungen der gedachten Stäbe werden die Auflagerbedingungen ersetzen.

Durch derartige Annahmen kann jeder Träger hinsichtlich der äufseren Kräfte auf einen statisch bestimmten zurückgeführt werden; die Ermittelung gewisser Auflagerdrücke führt immer auf die Bestimmung der Spannungen notwendiger oder überzähliger Stäbe zurück.

§ 3. Grundlehren der Formänderung.

1.    Wird *ein Körper K vom Gewichte G von anderen unnachgiebigen und in Ruhe befindlichen Körpern in verschiedenen Punkten C seiner Oberfläche gestützt, und der Einwirkung beliebiger äufserer Kräfte, die wir uns stets von Kuli anwachsend wirkend denken wollen, ausgesetzt, so ändert sich seine Form. Nimmt K nach allmählichem Verschwinden dieser Kräfte seine ursprüngliche Form und Lage wieder an, so sagt man, er sei stabil unterstützt und vollkommen elastisch.

2.    Wirken auf K (Fig. 3) bleibend mehrere äufsere Kräfte und tritt an irgend

einem Punkte 1 seiner Oberfläche eine neue Kraft Px hinzu, so entsteht in 1, nach Richtung von Px gemessen, eine Verschiebung p₁, und in irgend einem anderen Punkte 2 des Körpers, nach irgend einer anderen Richtung 2 gemessen, eine Verschiebung px a, wobei wir unter px x und px 2 die Projektionen der wirklichen Verschiebungen der Punkte I u. 2 verstehen und den projizierenden Strahl senkrecht zu Richtung 1 bezw. 2 annehmen.

3.    Die Erfahrung lehrt, dafs für Körper aus bestimmten Stoffen, so lange die vorhandenen und neu hinzukommenden Kräfte gewisse Grenzen nicht überschreiten, die Verschiebungen px, und p₁₂ der angreifenden Kraft Px proportional sind und mit Px gleichzeitig verschwinden, ferner unabhängig von den bereits vorhandenen Kräften sind, was nur bei solchen Formänderungen zutrifft, welche gegen die übrigen Abmessungen des Körpers sehr klein sind. Ist dies für jeden Punkt des Körpers der Fall, so sagen wir, die Einwirkung der Kraft überschreite die Proportionalitätsgrenze nicht, was in den nachstehenden Untersuchungen stets vorausgesetzt werden soll. Unsere ganzen Untersuchungen werden hierdurch wesentlich beschränkt. Sie sind nicht giltig für Bau-

Fig. 3.

Cz

ZM~

Pz,

p,r

1°91

d(r

stoffe, bei denen eine Proportionalitätsgrenze selbst für verhältnismäfsig kleine Formänderungen nicht besteht, wie dies z. B. bei Gufseisen der Fall ist; wohl aber gelten sie für Flufs- und Schweifseisen und auch für Stein und Beton haben sie, wie die Gewölbeversuche des österr. Ing.- u. Arch.-Yereins erwiesen haben, innerhalb bestimmter Grenzen Geltung.

4. Die nach dem Yorhergegangenen in 1 und 2 für Pi = 1 entstehenden Verschiebungen wollen wir die spezifischen Verschiebungen nennen und mit §„ und §12 bezeichnen.

5.    Bringt man in 2 nach Richtung 2 eine Kraft P₂ an, so wird diese in 1, nach Richtung 1 gemessen, die Verschiebung in 2, nach Richtung 2 gemessen, die Verschiebung p₂₂ erzeugen.

Die zugehörigen spezifischen Verschiebungen in 2 und 1 sollen mit §₂₂ und §21 bezeichnet werden, wobei sich wie oben die erste Ziffer auf die Kraft, die zweite auf Punkt und Richtung bezieht.

6.    Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dafs die Stützpunkte C des Körpers K entweder absolut fest sind oder nur solche Bewegungen zulassen, denen sich kein Widerstand entgegensetzt (reibungslos gedachte Rollenlager des Brückenbaues).

Ist d G das Gewicht eines Elementes von K und zx der in Richtung der Schwere zurückgelegte Weg des Elementes, wenn P₁ allein ein wirkt, tritt dann die Kraft P2 hinzu und ist z₂ der Weg, den d G zurücklegen würde, wenn P₂ allein wirken würde, so wird die Arbeit der äufseren Kräfte, falls zuerst Pl auftritt und danach P₂:

3la =

y Pi • Pi i 4~J^z\ • d G -f y P₂ • i>2 2 4~ Pi • Pa i 4~J^z*

.dG . . . 1.

Tritt hingegen zuerst die Kraft P₂ und dann P, auf, so wird

31a — y Pi • p₂ 2 4" J*. d G -|- y Pi. pi i -f- P₂ • Pi ₂ ~hj*' d G .    .    .    2.

Die Arbeit mufs unter den vorher angegebenen Voraussetzungen in beiden Fällen

dieselbe sein.

Die Subtraktion beider Gleichungen liefert:

Pi * P-21 ⁼⁼ Pa : Pi 2 *

Für Py = P₂ wird p₂₁ = pl2 oder in Worten:

Die Verschiebung, welche eine Kraft Pt im Punkte 2 erzeugt, ist ebenso grofs wie die Verschiebung, welche eine gleichgrofse Kraft P₂ im Punkte 1 erzeugt, Kräfte und Verschiebungen nach gegebenen Richtungen gemessen (Maxwell).

Daraus folgt naturgemäfs

4.

§₂ j = Sj 2

Der Satz gilt für alle im Hoch- und Brückenbau vorkommenden Träger aus den bezeichneten Baustoffen innerhalb der praktisch vorkommenden Grenzen, gleichgiltig, ob das System statisch bestimmt oder unbestimmt, belastet oder unbelastet ist.

7. Die Addition der Gleichungen 1 und 2 giebt, durch 2 dividiert:

8. Nach dem Fundamentalsatze, welcher für sämtliche Naturkräfte gilt, geht Arbeit nicht verloren. Die unter Wa bezeichnete äufsere Arbeit der angreifenden Kräfte wird, wenn die Stütz en widerstände, wie wir dies unter 6. vorausgesetzt haben, keine Arbeit verrichten, lediglich zur Formänderung des Körpers aufgewendet.

Es entstehen im Innern des Körpers Spannungen, welche durch kleine Wege hindurch überwunden werden müssen.

sein.

Die Summe aller dieser Arbeiten bezeichnen wir als innere Arbeit %. Es mufs also³)

6.

In manchen Fällen wird es möglich, die innere Arbeit als Funktion der äufseren Kräfte auszudrücken, freilich auch dort nur unter gewissen vereinfachenden Annahmen, Fach werksträger unter Voraussetzung reibungslos wirkender Gelenke, Stäbe, unter der Voraussetzung, dafs die Querschnitte auch nach der Formänderung noch eben bleiben (Navier), Stäbe unter bestimmten Einwirkungen auf Grund der allgemeinen Elasticitäts-gleichungen u. s. w. In solchen Fällen wird man den mathematischen Ausdruck für die innere Formänderungsarbeit als Funktion der äufseren Kräfte und der Koordinaten der Körperelemente setzen können.

7,

% = (p (P„ P₂... G ... x, y, s)

9. Denkt man sich die einzelnen Massenelemente eines Körpers für einen Augenblick schwerelos, jedoch gleich elastisch, wie den Körper und läfst die Schwere allmählich auf ihn ein wirken, so werden die Körperelemente die Wege zg, Punkt 1 wird den Weg pgl zurücklegen. Zieht man ferner die Einwirkung einer Kraft Pi, wie unter Punkt 2 auftretend, in Betracht, so wird der Ausdruck für die Formänderungsarbeit, wenn zuerst P, und dann G wirkt:

Wo =-

•Pir>

8,

Führt man die spezifischen Verschiebungen ein und nennt die spezifische Verschiebung des Körperelementes Ç, sodafs z = C G und pgl = 8gl G ist, so erhält man :

. . 9.

a. = IJc.ö.«?<? + «„. ep, + A*.,fî • •

Pi kann als unabhängige Veränderliche betrachtet werden. Die Dilferentiation nach Pi liefert

d%

dPi

Dieser Wert mufs für alle Werte von Pi, also auch für Pi = 0 gelten, und

wir haben

d%o

10.

= Pu i

Pi = 0

pgi ist die Verschiebung von 1, welches das Eigengewicht allein hervorruft, und wir haben den wichtigen Satz: Drückt man die Formänderungsarbeit eines ursprünglich gewichts- und spannungslos gedachten Körpers als Funktion des Eigengewichtes und einer in 1 angreifenden Kraft Pi von beliebiger Dichtung aus,differentiiert dieseFormänderungsarbeit nach Pi und setzt im gewonnenen Ausdrucke,Pi = 0, so ,erhält man die durch das Eigengewicht erzeugte Ver-

d Pi

³) Wir haben hier den Satz, der den Ausgangspunkt für alle Untersuchung bildet, als a priori giltig hingestellt ; wir beweisen ihn in § 8 noch im besonderen.

Schiebung des Körpers im Punkte 1 nach Richtung 1 gemessen. (Der Satz gilt unter der Bedingung, dafs die Aufiagerdriicke keine Arbeit verrichten, für alle Körper bezeichneter Art.)

10. Läfst man auf das ursprünglich spannungs- und gewichtslos gedachte Raumgebilde zuerst 6r, dann P2, dann Pi, wie früher beschrieben, einwirken, so wird die Formänderungsarbeit

+ Je» • d G + y P₂. p.₂ 8 -f y P,. pt, + Jex. d G 4- pi, P₂

G.dG-f J\. P₂ d G +- \ S₂₂ Pî + I 8It P? + P, dG -f S₂₁ P₂ P, Differentiiert man nach Pi, so erhält man

Sj ! Pj Ą- J Ci • d G -f- §21 P2

% = {J z.dG

ä = |/c.

. . 11.

8P1

Drückt man die Formänderungsarbeit eines ursprünglich spannungs-und gewichtslos gedachten Körpers als Funktion des Gewichtes und aller äufseren Kräfte aus, so liefert die Differentiation dieses Ausdruckes partiell nach Pi die gesamte Verschiebung pi des Punktes 1 nach der Richtung Pi

gemessen.

11. Die nochmalige Differentiation liefert: d² 2t

dPi²

d² 21

12,

— öi 15

Die spezifischen Verrückungen der Kraftangriffspunkte entsprechen den zweiten Differentialquotienten der Formänderungsarbeit partiell, nach den angreifenden Kräften

genommen.

12. Wirken auf einen Körper äufsere Kräfte Pi, P2, G und ist derselbe in mehreren Punkten, deren Bewegung beschränkt oder aufgehoben ist, unterstützt, so läfst sich die Wirkung jeder Stütze C auf den Körper durch äufsere Kräfte ersetzen; ist C festgehalten, müssen drei, ist G gezwungen auf einer Linie zu bleiben, müssen zwei Kräfte, ist C gezwungen auf einer Ebene zu bleiben, mufs eine Kraft in C angebracht werden. Die w-Stützenkräfte und die angreifenden Kräfte Pi, P2, G müssen ein im Gleichgewicht befindliches Kraftsystem bilden. Die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen liefern für Kräfte im Raume sechs, für ebene Gebilde drei Gleichgewichtsbedingungen. Ist die Anzahl der unbekannten Stützenwiderstände im ersten Falle gröfser als 6, im zweiten Falle gröfser als 3, so sind im allgemeinen unendlich viele Stützenwiderstände denkbar, welche das nötige Gleichgewicht herstellen, und wir können n — 6, bezw. n — 3 Stützenwiderstände zunächst ganz willkürlich annehmen. Wir wollen sie mit Xi, X2 ... bezeichnen. Nach deren Annahme sind die übrigen Stützenwiderstände aus den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen ermittelbar.

Fig. 4.

AL

Eines der einfachsten Tragwerke ist der prismatische Balken. Nach den entwickelten Regeln ist zu seiner stabilen Stützung es genügend, wenn der Auflagerpunkt 0 (Fig. 4), den wir gleichzeitig als Mittelpunkt eines rechtwinkeligen Koordinatensystems auffassen wollen, festgehalten wird, Stützpunkt 2 gezwungen ist, auf der «/-Achse zu bleiben,

Stützpunkt 1 genötigt erscheint, auf der Ebene æ y sich zu bewegen. Eine Stützung des vierten Punktes 3 der Grundfläche, die in praktischen Fällen wohl meist stattfinden wird, ist überflüssig,

bedingt also schon die Einführung einer überzähligen Auflagerbedingung, bezw. die Einführung einer überzähligen äufseren Kraft.

Unter Einführung der in Fig. 4 ersichtlichen Auflagerwiderstände Ao, Bo, Co, Ai, Ci, C2 und der angreifenden Kräfte R, N, fl¹, deren Angriffspunkte durch die Koordinaten n, rs, Wi, w», «2, Ws festgelegt sind, findet sich:

Aus der Bedingung, dafs die Summe aller Kräfte parallel zur æ-Achse Kuli sein müsse:

Ao + A\ — AT,

dasselbe für die y-Achse:

Bo = &,

und für die z-Achse:

Co -j- C\ -f- C2 — R.

Die Bedingung, dafs die Summe der Drehmomente um die a:-Achse Kuli sein müsse: Ci b ■+■ 5* iv 2 — R r-2 = 0,

dasselbe für die y-Achse:

— C2Z -j- R v 1 — N113 = 0,

und für die s-Achse:

— Aib — fl-tvi -(- Nn₂ — 0.

Daraus ergeben sich die Auflagerwiderstände:

= iV+-^ »_-5.iT; b    b ¹

ft * B_ Wi

Ao

Ai =

* = (>-T-

ri R n₃

N,

R 0 = fl ;

fl-.

Denkt man sich die Wirkung einer Stütze in 3 durch eine nach oben wirkende Kraft ersetzt, die senkrecht zur Ebene xy wirkt, also der Bedingung entspricht, dafs der Stützpunkt in der Ebene xy zu bleiben gezwungen ist, so entsprechen dieser Kraft als angreifende Kraft Stützenwiderstände, die sich für R — — Z, fl- = 0, N = 0, ferner n = Z, n — b leicht mit -f- Z, — Z, — Z in Stütze 0, 1, 2 rechnen.

und die Auflagerwiderstände:

Es wirken also, wie erwähnt, die freien Kräfte

R, fl-, N, Z

Ao, Ai, Bo, Co-\-Z, Ci — Z, C2 — Z.

Ein in sich stabiler Brückenträger, ein massiver Balken, ein stabiles Fachwerk, kurz das, Avas wir einen Tragkörper nennen wollen, ist hinsichtlich der Auflagerdrücke, wenn er auf 4 Punkten aufgelagert ist, niemals statisch bestimmt gelagert, ähnlich wie ein Tisch auf vier Füfsen wackeln wird, wenn selbe nicht genau dem stützenden Boden angepafst sind. Ein lotrechter Auflagerdruck ist stets überzählig. Die Senkung einer der 4 Stützen wird stets Kebenspannungen erzeugen.

Wir sehen daraus, dafs schön die einfachsten Trägerformen zu sehr schwierigen Untersuchungen Veranlassung bieten können. Diese Untersuchungen zeigen in bestimmten Fällen aber, dafs es mit grofser Annäherung erlaubt ist, für bestimmte Belastungsweise vereinfachende Annahmen zu machen.

Eine solche Annahme ist zunächst die, dafs wir uns den Balken durch zwei Tragwände ersetzt denken können, die oben und unten durch Querstäbe verbunden sind und dafs R sich in zwei gleich grofse Seitenkräfte zerlegen läfst, von denen die eine auf die vordere, die andere auf die hintere Tragwand wirkt; sind die Tragwände symmetrisch, so findet sich, dafs die Verteilung der Kräfte auf die Auflager sich so gestaltet, dafs die eine Hälfte der Last von der vorderen, die zweite von der hinteren so aufgenommen wird, als ob eine Verbindung der beiden Wände nicht vorhanden wäre. Es erscheint dann die Untersuchung des räumlichen Tragkörpers auf jene der ebenen Wände (Scheiben) beschränkt.

13. Entsprechen die überzähligen Kräfte X,, X₂₁ X₃ den Gegenwirkungen fester Stützen, so müssen im Sinne des Punktes 1 1 (S. 207) die Verschiebungen ihrer Angriffspunkte für alle Werte verschwindend klein sein.

Drückt man die Formänderungsarbeit des Körpers als Funktion der Gröfsen P, Ä" und G aus, so mufs sein

Da die ersten Differentialquotienten Null sind und die ziveiten partiellen Differentialquotienten nicht alle verschwinden, besitzt 2t für die richtigen Werte X einen eminenten Wert, der der Natur der Aufgabe nach nur ein Minimum sein kann.

Unter allen möglichen Systemen äufserer Kräfte, welche die Einwirkung fester Stützkörper ersetzen, tritt stets jenes auf, für welches die Formänderungsarbeit ein Minimum wird.

Fig. 5.

14. Es wird durch wirkliche oder gedachte Lösung des Zusammenhanges einzelner-Teile eines Körpers und Einschaltung bestimmter zwangläufiger Verbindungen in vielen Fällen möglich, den zu untersuchenden Gesamtkörper in einzelne Teile zu zerlegen, für welche die Berechnung der Formänderungsarbeit möglich wird, wenn die Einwirkung der gekuppelten benachbarten Teilkörper durch an den Verbindungsstellen angreifende, äufsere Kräfte ersetzt wird. Jede räumliche Gelenkverbindung wird wie oben durch drei, die Bedingung des Gleitens eines Punktes auf einer Linie durch zwei äufsere Kräfte, des Gleitens in einer Ebene durch eine Kraft ersetzt werden können u. s. w. Die einschlägigen Untersuchungen führen in das Gebiet der Kinematik.

Cz

xÄ-

Fig. 5 stellt eine stabile Verbindung elastischer (einfach schraffiert) und starrer (doppelt schraffiert) Scheiben Kx bis K₇ dar, auf welche wir uns in der Ebene dieser Scheiben äufsere Kräfte wirkend denken, und an welchen wir weitere Beziehungen kennen lernen wollen, die ohne weiteres auch auf räumliche Systeme ausdehnbar sind.

Die aus der Figur ersichtliche Wirkungsweise der Teilkörper führt zu den heute im Brückenbau mafsgebenden Trägerformen. Es ist z. B., wenn nur vorhanden,

iU, üTj, X₂ (einfacher Träger mit überragendem Ende auf einer festen und beweglichen Stütze),

W₀, K, TU dicht an K₀ (am Ende eingespannter Träger),

Jf₀, Xx, X₂, K₃, K₄ (Gerberträger mit freischwebenden Stützpunkten),

K₀, Kj, X₃ K₅ (Bogenträger mit 3 Gelenken),

X₀, X,, K₂, 7f₃, Äh, Äh (durchlaufender Träger auf 3 Stützen, welcher durch Ausschalten des Gliedes Kc [unter Umständen überflüssiger Stab eines Fachwerkes] in einen Gerberträger verwandelt werden kann),

K₀, Kx, K₂ dicht an K₀, XG, K, X₄ dicht an K₅ (Bogenträger ohne Gelenk) u. s. w.

15. Die Berechnung der gesamten Formänderungsarbeit wird in solchen Fällen möglich, wenn man die auf statischem Wege nicht ermittelbaren Widerstände des stützenden Grundkörpers K₀ durch vorläufig unbekannte Kräfte Äh, X.,, X₃ ersetzt, ferner die Wirkung von Zwischenkörpern Kfi durch vorläufig unbekannte Kräfte Ä₄, X₄, X₅, Xi, ersetzt, von denen in unserem Beispiele, welches leicht auf allgemeine Fälle erweitert werden kann, X₄ auf K,, X₅ auf X₃, X₄ und Xi, auf X₆ wirkend gedacht werden und Ah = X[ — X₅ = Xi sein inufs.

14

8 21

Ferner

8 Xi

= 0, bezw.

8 2X

8 Xi

= 0.

821

8 X₃

13,

3²2t

8² 21

8 Xi²

8 Xi²

— £, .₂ u. s. \v.

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl.

Da der unter 10. gewonnene Satz ohne weiteres auf das ganze stabile System K = E (üTj, TU, ÆTS .. .) angewondet werden darf, erhalten wir :

% = «* (P1? P₂, X, X, X₃. ..),

wobei wir voraussetzen, dafs die Stützenreaktionen (7₂, (7₃, G₄ statisch als Funktionen von P und X ermittelbar sind. Dann aber liefert die Bedingung, dafs die Verschiebung des

= 0: ebenso

Angriffspunktes von X₄ (feste Stütze) Aull sein mufs, die Gleichung mufs

dA

dA

dXi

— 0 werden. Bezeichnet man die Arbeit des Systems, welches nach Hinweg-

dX2

lassung des Stützkörpers K₇ entsteht, mit AK_₇, so wird die Verschiebung des Angriffspunktes E ergeben

für die Verschiebung von E liefern mufs nicht gelöst werden darf.

d Ak — 7

dX₃

= x₃, während die Formänderungsarbeit A₇ des Körpers K:

— — Xo, da der Zusammenhang in E

dAi

d X₃

Wir haben daher wieder dAit

dA’j

dA

d Xs    d X₃

Der zweite Differential quotient würde liefern

di A dXs²

dXs

= o.

= 6a -r &

dAn-

Schaltet man Ke aus, so erhält man die Verschiebung des Punktes F mit ebenso die Verschiebung des Punktes H mit der Punkte F und H des Körpers , wenn man sich für die Ermittelung der Verschiebung die Dichtung FH und einen Punkt derselben festgehalten denkt, in dem einander entgegengesetzte Kräfte X₄ X₅ als Widerstände wirken,

d Ajz _ 6

— X-i")

dXa

dX4

= xh und für die Verschiebung

dAe dXi

wobei das negative Zeichen dem entgegengesetzten Sinne der Kräfte am eingeschalteten Stabe entspricht.

Die Addition der Gleichungen liefert, wenn man X₄ = X₅ setzt, den Ausdruck — 0. Ebenso läfst sich wie oben zeigen, dafs der zweite Differentialquotient

dA

dXi

positiv sein mufs.

d Aß

dXö

= — Og + ^s),

Wir haben daher allgemein

dXn

= 0 und    > 1

14,

Diese Bedingungen entsprechen, wie oben, einem Minimum und wir können sagen :

Drückt man die Formänderungsarbeit einer stabilen Verbindung elastischer Körper als Funktion der angreif enden Kräfte und gewisser, vorläufig unbekannter und unabhängig veränderlich anzunehmender Widerstände A' des stützenden Grundkörpers und innerer Teilkörper aus, so tritt stets jene Formänderung ein, für welche die gesamte Formänderungsarbeit, als Funktion der X betrachtet, ein Minimum wird.

Da man ebenso viele Bedingungsgleichungen als Unbekannte erhält, ist die Auf

gabe gelöst.

16. Bildet man die einzelnen Gleichungen

hs

= 0, so ergiebt sich :

Ah S₁₈

-f" X₃ £1 3 "j~ + X (€., -f «,) + X₃ É₂₈ + ~f~ A₂ é₂₃

= Qi

= Qi

+ X₃ (|₃₃ + &,) + = Q.

wenn Q nur von der Belastung P abhängige Gröfsen. Diese Q₂, Qs sind nichts anderes, als die Verschiebungen, welche in Richtung von A\, X₂, X₃.. . im verbleibenden, statisch bestimmten System von den Kräften P erzeugt werden.

17. Die Symmetrie der Werte £mn und £nm ist Folge des Satzes unter 6. ist die spezifische Verschiebung des freien Angriffspunktes, die spezifische Verschiebung des Punktes am Stützkörper oder des eingeschalteten Zwischenkörpers (Punkt E bezw. F unseres Beispieles).

EF ’

Die Auflösung des Gleichungssystems nach X₁ liefert

Ist l die Länge, F die mittlere Querschnittsfläche des stabförmig gedachten Stützkörpers, so wird =

15.

(çi t i) M + N ’    •    •

wobei Z, AT, N von £X1 und unabhängige Gröfsen sind. Für einen starren Stützkörper wird x = 0:

16,

A₀ =

4u M + N

Für einen vollständig nachgiebigen (F — 0) :

! = oo , daher X = 0.

Die Inanspruchnahme o₀ eines stabförmigen Stützkörpers (überzähligen Stabes

= 0 und im Falle eines

eines Fachwerkes) wird im Falle eines starren Stützkörpers vollkommen nachgiebigen

Ml

woraus leicht, wenn c eine Konstante,

o'

17,

1 + cF

o = -

Hieraus ergeben sich die Sätze:

Der Widerstand, den ein eingeschalteter Stützkörper (Spannung des überzähligen Stabes eines Fachwerkes) der Formänderung entgegenstellt, wird am gröfsten, wenn der Stützkörper starr wird. Die gröfste Inanspruchnahme o, welche ein stabförmiger Stützkörper überhaupt erleiden kann, tritt für den ideellen Fall F = 0, also für einen sehr kleinen Querschnitt des überzähligen Stabes ein.

Für dazwischen liegende Querschnitte erscheint der Zusammenhang nach Formel 17 gegeben.

A. Allgemeine Trägerlehre.

I. Die inneren Kräfte und Arbeitsgröfsen bestimmt belasteter Tragkörper

(Theorie der Vollwand träger).

§ 4. Allgemeines. Zur Bestimmung der inneren Kräfte eines Tragkörpers, der von äufseren Kräften angegriffen wird, ist vor allem nötig, dafs die denselben angreifenden Kräfte und Gegenwirkungen der Stützen ein im Gleichgewichte befindliches Kräftesystem bilden, ganz gleichgiltig, ob dieselben direkt bekannt sind oder, wenn überzählige Auflagerbedingungen vorhanden sind, als vorläufig unbekannte Gröfsen eingeführt werden.

14*

Jeder Untersuchung dieser Art wird die Festlegung des Systems der äufseren Kräfte vorangehen müssen, die unter der Annahme erfolgt, dafs wir den Körper zunächst als starr betrachten und die angreifenden Kräfte und überzähligen Stützendrücke aus den statisch bestimmbaren Stützengegenkräften ins Gleichgewicht bringen, eine Aufgabe, die wir allgemein an einem Beispiele bereits auf S. 203, Fig. 2, gezeigt haben.

dN

= p heilst die resultierende Spannung, -jj? = o = T die Schubspannung im Elemente d F. Trägt man

dF

Denkt man sich im Innern eines von äufseren Kräften beanspruchten Körpers eine sehr kleine materielle Kugel vom Mittelpunkte M und ersetzt man die Wirkung der Umgebung der Kugel auf dieselbe durch Kräfte, welche die Oberfläche derselben beanspruchen, so wird auf jedes Oberflächenelement d F eine kleine Kraft d R kommen, welche sich in zwei Seitenkräfte zerlegen läfst, von denen die eine d N radial, die andere d Q tangential wirkt ; die auf die Flächeneinheit des Elementes d F kommende Kraft

dF

heilst die Normalspannung, die Werte p nach Gröfse und Richtung vom Elemente aus als Strecke FP auf, so liegen die Punkte P auf einem Ellipsoid, dem Spannungsellipsoid, dessen Mittelpunkt mit jenem der Kugel zusammenfällt. Die drei Hauptachsen des Ellipsoids treffen die Kugel in 6 Elementen, in denen die resultierende Spannung senkrecht auf den Elementen steht und ihren relativ gröbsten bezw. kleinsten Wert erreicht. Diese Spannungen heifsen die Hauptspannungen, wir wollen sie mit aly o₂, o₃ bezeichnen. Die Hauptspannungen zweier auf demselben Durchmesser gegenüberliegender Kugeloberflächenelemente sind einander gleich. Die durch die Hauptachsen gehenden drei Hauptebenen schneiden die Kugel in drei Kreisen; die Oberflächenelemente dieser Kreise werden ebenfalls nur von Normalspannungen beansprucht.¹)

In einem homogenen Körper, dessen Elasticität in allen Punkten und nach allen Richtungen gleich ist, geht eine ursprünglich sehr kleine Kugel in ein sehr kleines Ellipsoid über. Jeder Punkt F der Kugeloberfläche erfährt eine relative Ortsveränderung, die auf eine Längenänderung des Abstandes vom Mittelpunkt und auf eine Verschiebung tangential zur Kugeloberfläche zurückgeführt werden kann.

Kommt F durch die Formänderung in die Lage F* und bezeichnet man die Projektion von FF* auf den Kugelhalbmesser FM mit F F\ jene parallel zur Kugeloberfläche mit F F'\ so heifsen Schiebungen (§) des Elementes. Trägt man X und § in derselben Weise wie die Werte a und t als Strecken vom Elemente aus auf, so erhält man ebenfalls ein Ellipsoid von entsprechenden Beziehungen, das Dehnungsellipsoid; doch fallen die Achsen beider Ellipsoide im allgemeinen nicht zusammen.

Die Hauptaufgabe der Elasticitäts- und Festigkeitslehre besteht darin, die Abmessung der Baukonstruktionen, in unserem Falle der Brücken, so zu bestimmen, dafs die Formänderungen innerhalb gewisser Grenzen bleiben. Die vollständigste mit dem geringsten Stoff auf wände verbundene Lösung wäre vorhanden, wenn in allen Punkten des Trägers diese Grenze gleichzeitig erreicht würde. Man hat bisher insbesondere die Dehnungen in Rechnung gestellt und die Bedingungen für die Schiebungen aufser Acht gelassen, zweifellos spielen selbige ebenfalls eine grofse Rolle. Etwas leichter als die Werte X und § können die Werte a und t richtig ermittelt werden, und es

FF¹

FM

= X und

FF"

FM

~ 5 die Dehnungen (X) bezw.

mufs festgehalten werden, dafs in keinem Punkte M der Konstruktion die gröfste der auftretenden Hauptspannungen ox, a₂, a₃, welche Zug- oder Druckspannungen sein können, eine gewisse zulässige Grenze überschreiten darf. Sind <s₁ a₂ > o₃ die gegebenen Hauptspannungen einer sehr kleinen Kugel (Fig. 6), und trägt man die in irgend einem Oberflächenpunkte F auftretende Normalspannun g a = A Pt als Abscisse, die zugehörige Tangentialspannung t = P₁P als Ordinate auf, so erhält man Punkte P, welche stets innerhalb der schraffierten Fläche liegen müssen, wenn

AI = ox ; All — a, ; A HI = o₃

gemacht wird. Die gröfste Schubspannung, welche daher auf treten kann, ist durch ⁰¹    °³ gegeben, sie entspricht dem Halbmesser des gröfsten Kreises I III. Dieser

Kreis wird auch der Halbkreis der Darstellung genannt. Im Falle ox = o₂ = o₃, schrumpft die Darstellung zu einem Punkt I zusammen : es treten keine Schubspannungen auf (vollkommene Flüssigkeiten).

Entsprechendes ergiebt sich für die Schiebungen und Dehnungen.

Würde man alle jene Formänderungszustände, welche in irgend einem Punkte M eben die Festigkeitsgrenze überschreiten, durch entsprechende Hauptkreise darstellon, so berühren dieselbe eine Hüllkurve. Für kohäsionslose Massen vom Reibungswinkel cp geht diese Hüllkurve in zwei Gerade über, welche sich unter dem Winkel 2 cp in A schneiden. Für die Spannungen und Formänderungen an der Elasticitäts- und Bruchgrenze ergeben sich je zwei solcher Umhüllungskurven E und P, die leider versuchsweise nur für kleine Teile dieser Linien bisher festgestellt sind. Auf der Kurve B liegen Punkte, die jenen Teil der Kurve abschliefsen, für welchen an Stelle des Trennens, Brechens, das Fliefsen tritt. Unter allen Umständen müssen bei spröden Körpern ver-hältnismäfsig grofse Schubspannungen wirksam sein, um das Fliefsen herboizuführen. Die Bruchkurven sind nach links stets offen. Druckspannungen, welche nicht mit gröfseren Schubspannungen verknüpft sind, führen die Zerstörung nicht herbei.

Die genaue Ermittelung der Werte o, t, X, S stöfst auch in den allereinfachstcn Fällen auf mathematische Schwierigkeiten, welche nur in ganz wenigen Beispielen unter in Wirklichkeit nie vollkommen zutreffenden Annahmen gelöst wurden (Probleme De Saint Tenant, Kirchhoff, Pochhammer u. a.). Man ist daher immer auf Näherungswerte angewiesen, die einerseits auch aus den genauen mathematischen Lösungen als erste Näherungen sich ergeben haben, andererseits durch den Versuch bestätigt wurden. Freilich auch hier nur wieder für ganz einfache Fälle. Hingegen ist es nicht schwierig, die allgemeine Arbeitsgleichung zu erweisen, die wir im folgenden Paragraphen bringen wollen.

Fig. 6.

/Ä

è:il Pi &2

P/

\f£

Die Hauptachse einer Hauptspannung ox einer unendlich kleinen Kugel bildet für sich ein Kurvenelement, das uns nach einem gleichwertigen der Nachbarkugel u. s. w. führt. Der Hauptspannung <3l entspricht eine Trajektoriallinie.

Schneidet bei einem Balkenträger die Ebene der äufseren Kräfte, in welcher zugleich die Stabachse liegen soll, sämtliche Querschnitte in Geraden, welche Hauptachsen

in Bezug auf die Trägheitsmomente des Querschnittes sind, so treten in jeder unendlich kleinen Kugel nur zwei Hauptspannungen -f- a₁ und — g.₂ auf, deren Achsen in die Kraftebene fallen. Die eine entspricht einem Zuge, die andere einem Drucke, während die dritte Hauptspannung a₃, welche auf der Kraftebene senkrecht steht, gleich Kuli wird.

Geht man vom Punkte P, welcher eine unendlich kleine Kugel darstellt, in der Richtung der ox weiter, so gelangt man zu einer zweiten, u. s. w. Der der Hauptspannung entsprechende Kugeldurchmesser bildet das Element einer Kurve, welche wir eine Trajektorie des Zuges nennen ; geht man vom selben Punkte aus in Richtung der Hauptspannung Ojj weiter, so gelangen wir zu Trajektorien des Druckes. Indem wir verschiedene Ausgangspunkte P annehmen, gelangen wir zu ganzen Kurvenscharen der ox und a,, welche sich in jedem Punkte P unter rechten Winkeln treffen. Die Trajektorien des gröfsten Zuges bilden zugleich Leitlinien für unendlich kleine Cylinderflächen, deren Erzeugende auf der Kraftebene senkrecht stehen und Elächenelemente umfassen, welche nur Druck aufzunehmen haben, während die Trajektorie des gröfsten Druckes zugleich die Leitlinie für die Cylinderfläche gröfster Zugspannung ist. Es ist leicht, derartige Gebilde auch für allgemeine Fälle weiter zu verfolgen, wenn eben die Spannungen berechenbar sind, was ja immer nur auf Grund von oft gewagten Annahmen erfolgen kann.

Wir können uns nicht versagen, die Ansichten hier wiederzugeben, welche an anderer Stelle Mohr ausspricht, indem er sagt: „Eine genaue Bestimmung der Formänderungen und Spannungen bei unseren eisernen Trägern mit vollen Wandungen ist so verwickelt, dafs sie durch die Rechnung nicht verfolgt werden kann, und jedenfalls giebt die auf die gebräuchliche Biegungstheorie eines homogenen Balkens gegründete Theorie auch nicht einmal ein angenähertes Bild der Wirklichkeit. Es hat daher keinen Wert, auf dem bezeichneten Wege ebenso lange wie unrichtige Formeln abzuleiten. Auf kürzerem Wege wird man ohne Zweifel ein genaueres Resultat erzielen, wenn man für den Zweck der Berechnung der Formänderungen und der statisch nicht bestimmbaren Auflagerdrücke den Blechträger in ein Eachwerk verwandelt, indem man die den Gurtungen und Yersteifungsständern zunächst liegenden Blechstreifen mit diesen Konstruktionsteilen vereinigt und einen Teil — etwa die Hälfte oder zwei Dritteile — des Restes der Blechwand eines jeden Faches zu einer Diagonalstrebe umformt. In den meisten Fällen wird die Formänderung der Füllungsteile eines solchen Fachwerks einen verschwindend kleinen Einflufs auf das Resultat der Rechnung ausüben und daher vernachlässigt werden dürfen.“

Durch einen derartigen Yorgang werden viele hier zu lösende Aufgaben auf die Behandlungsweisen des nächsten Abschnittes zurückgeführt.

Demungeachtet wollen wir in den folgenden Paragraphen die wichtigsten Regeln bringen, wie solche bisher bei vollwandigen Brückenträgern üblich sind.

§ 5. Die Arbeitsgleichung der Formänderung. Auf die Oberfläche eines Tragkörpers wirke die Kraft P, welche mit den Widerständen der Stützkörper ein im Gleichgewichte befindliches System bildet. Ferner seien das Gewicht des Tragkörpers und andere Kräfte (Ergänzungskräfte der relativen Bewegung) vorhanden, welche an die Massenelemente des Tragkörpers gebunden sind.

Wir denken uns aus dem Tragkörper ein unendlich kleines Parallelepiped herausgeschnitten, so werden wir die Wirkung der Umgebung durch sechs Kräfte ersetzen können, welche in den Flächenelemonten angreifen und unendlich kleine Gröfsen zweiter Ordnung sind, da sie als das Produkt einer endlichen Spannung mit dem Flächeninhalt des unendlich kleinen Rechteckes erscheinen. Diese Kräfte müssen für sich im Gleichgewichte sein. Sie sollen mit bezeichnet werden. Aufserdem werden aber noch Differenzen der Spannungen in den gegenüberliegenden Flächenelementen auftreten, welche mit dem Inhalte der Flächenelemente multipliziert, unendlich kleine Gröfsen dritter Ordnung darstellen, also Gröfsen, welche mit der Massenkraft des Elementes, die an den Kubikinhalt desselben gebunden ist, und ebenfalls eine unendlich kleine Gröfse dritter Ordnung repräsentiert, ebenfalls ein für sich am Elemente im Gleichgewicht befindliches System von Kräften (Eä) bilden werden. Ändert sich die Kraft P um 5 P, so werden sich die Flächenkräfte des Elementes um unendlich kleine Gröfsen dritter Ordnung ändern, da die Spannungen sich um eine unendlich kleine Gröfse erster Ordnung ändern und die Flächenelemente ihrer Gröfse nach als konstant bleibend auf-gefafst werden können. Das System dieser Zusatzspannungen mufs ebenfalls für sich im Gleichgewichte stehen.

Durch das Auftreten von 5 P erleidet das Element eine Orts- und Formveränderung. Wir wollen die mit dieser Bewegung verbundenen Arbeitsgröfsen, wie dies bei allen derartigen Betrachtungen zulässig ist, statt gleichzeitig, nach einander cintretend auffassen und zuerst die Ortsveränderung, die in einer fortschreitenden Bewegung des Massenmittelpunktes und in einer Drehung um eine Achse bestehen wird, vornehmen.

Die Gesamtarbeit dieser Bewegung der Elemente mufs Null sein, da die Kräfte im Gleichgewicht sind. - Sie wird sich ausdrücken lassen durch eine Arbeit, welche sich (5 Am) auf die Massenkräfte, und eine Arbeit (5 Av ), welche sich auf die Flächenkräfte (Spannungen) bezieht, wir haben also:

(5 2b) + (S2L) = 0.

Nun wollen wir für jedes Element die eigentliche Formänderung vornehmen, wobei der Schwerpunkt desselben unverändert bleibt, jedoch die relative Lage der Flächenelemente sich ändert, aus dem rechtwinkeligen ein schiefes Parallelepiped wird. Hierbei erleidet, wie erwähnt, der Sqhwerpunkt des Elementes als Angriffspunkt der Massenkräfte keine Verschiebung, wohl aber werden sich relativ die Angriffspunkte der Flächenkräfte im Elemente verschieben. Die Summe der Formänderungsarbeit sei (5 2f;). Die Gesamtarbeit ist dann

(521) = (520 + (SSO + (««,).

Denkt man sich nun den Körper wieder als Ganzes, erwägt man, dafs Flächenelemente, welche vorher sich gedeckt haben, dies auch nach der Formänderung noch thun müssen, so sieht man ein, dafs mit Ausnahme der Oberflächenelemente, die ungedeckt bleiben, an keinem Flächenelemente Arbeit geleistet wird, denn je nachdem man die Spannung eines Flächenelementes, einmal als Spannung am einen Volumelomente, einmal als Spannung am anderen auffafst, wird die Kraft entgegengesetzt dieselbe, während der Weg, den das Flächenelement bei der Gesamtverschiebung zurücklegt, derselbe ist. Die Summe der Arbeit wird mithin

(5 21) = (5 20 + (521),

wenn (52f₀) die Arbeit der Oberflächenkräfte ist; diese mufs nun aber offenbar gleich der Arbeit der an der Oberfläche angreifenden äufseren Kräfte P sein und wir bekommen

(5 2I„) = 5 PAp.

dSH = Y £x + OySy + Sz£z -f TxYx + TyYy +    YJ dV .    .

. . 19.

Aus den angeführten Gleichungen ergiebt sich aber sofort

(Sl;) = SPA^ + (5 «J.

Denkt man sich die Kräfte nach einem beliebigen Gesetze von 0 bis P anwachsend

p

und entsprechend die Spannungen, so ist für alle drei Gröfsen das Integral f zu nehmen

O

1, S/rcPSP =

o

und man erhält, da Ap = rc P, wenn z die Yerschiebung für P = Sn P²

SA pP

, mithin

+ 21., •

wenn sich 2I; auf die Arbeit bezieht, die geleistet wird, wenn die Spannungen von 0 bis zum Endwerte anwachsen.

Die innere Arbeit als Funktion der Spannungen. Auf ein unendlich kleines Parallelepiped vom Inhalte dV — dx . dy . d z sollen senkrecht zu den Flächenelementen die Spannungen ox, oy, az (Fig. 7) wirken, wobei zu beachten ist, dafs die einander gegenüber stehenden Spannungen sich nur um unendlich kleine Gröfsen unterscheiden können, daher sie für die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen zu vernachlässigen sind. Dasselbe gilt bei endlichem Gewichte von der Wirkung der Massenkräfte am unendlich kleinen Teilchen.

Spannungen in den unendlich kleinen Teilchen, welche auf die Flächenelemente dx dy, dx dz, dy dz wirken ^ und für die gegenüberliegenden Flächen ebenfalls gleich sind, geben, wenn man die Momentengleichungen derselben für den Mittelpunkt des Elementes aufstellt, die Bedingung, dafs Schubspannungen, welche sich in derselben Kante des Elementes schneiden, einander gleich sein müssen; sie sollen daher mit tx, ry und tz bezeichnet werden, je nachdem diese Kante eine Parallele zur Achse x, y oder z ist.

Andern sich die anfänglichen Längen dx, d>y, dz um von Null anwachsende Strecken A dx, A dy, kdz, so leisten die Spannungen 'o₁₅ o₂, a₃ die Arbeiten

y ox. dy d' z . Adx-,    y oy .dx dz. Ady; 4~ csz. d x d y . A d z.

Fig. 7.

v<%

18,

Die Schub-

Ändern sich die Winkel jener Seitenflächen, welche sich in den Kanten dx, dy, dz schneiden, um die Gröfsen yx, yy, yz, so wird die Arbeit der Schubkräfte

4- tx . dx d z . y* dy ;    — z . dy dx dz\ 4- tz. dz dy. yz dx.

u    u    u

A dx

A dy A dz dy ⁵ dz

Bezeichnet man die relativen Längenänderungen so findet sich leicht für die Arbeit dît der Kräfte am Yolumelemente

dx

mit sx,

Für isotrope, d. h. für Körper, welche in allen Punkten gleich beschaffen und ursprünglich spannungslos angenommen sind, entsteht infolge Wirkung von ax und einer Temperaturerhöhung um t° gegen den Anfangszustand, welche eine Verlängerung des

A dx

Elementes erzeugt, die Längenänderung

die Längenänderung —

°y + Oz

=    - -j-st und infolge von oy und oz

-, wobei -—- (4- bis bei Metallen )

¹    m v 3    4    /

'S T—*

den Beiwert der

Sind die Spannungen, welche ein Element dx,    ds beanspruchen, gegeben,

so sind die Gröfsen der Hauptspannungen ax, o₂, o₃ die drei Wurzeln nachstehender kubischen Gleichung, wenn man dieselbe nach o auflöst:

. 21.

Querdehnung bedeutet, während die von den Schubspannungen abhängigen Gleitungen

werden, wenn G =

tx

Ty

viE

= 0,375 bis 0,400 E die

U Q •} Yy QI 7*

Schub-Elasticitätsziffer bedeutet. Unter Einführung dieser Werte erhält man für die gesamte wirkliche innere Formänderungsarbeit

1 (m + 1)

~ (<3yCz +    + oxay)]

Sli — yS\_G* “t⁻ °y 4~

4" yS4~ Ty 4“ Tz) —q—f- J"* (°* 4- °y 4- °z)

et dV .    .    . .    20.

(s, — a) (oy — a) (az — o) — (ax — a) t* — (oy — a) 4— (az — a) t* -f 2 tx ty xz = 0    .

§ 6. Die inneren Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten Yollstabes. Bewegt sich der Flächenschwerpunkt einer geschlossenen ebenen Figur senkrecht zu den Elementen einer Raumkurve, der Achse eines Stabes, so entsteht ein doppelt gekrümmter Yollstab. Wird die Raumkurve zur ebenen, so heifst der Stab ein einfach gekrümmter, wird die Stabachse eine Gerade, so heifst der Stab ein gerader. Ändert die ebene Figur während der Bewegung ihre Gestalt, so heifst der Stab ein solcher von veränderlichem Querschnitt, bleibt der Querschnitt derselbe, so heifst er ein Stab konstanten Querschnittes.

lüg. 8.

UM

JV

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I n- T*. /?M

^7

. i. Wj

II

Der Yollstab vermag äufsero Kräfte aller Richtungen aufzunehmen und auf bestimmte Punkte seiner Oberfläche wirksam zu übertragen, er ist ein Tragkörper zum Unterschiede von dem Stabe schlechtweg, der nur Kräfte von der Richtung seiner Achse aufzunehmen und zu übertragen vermag.

Auf einen Yollstab wirken die Kräfte P.... und Stützen widerstände. Denken wir uns einen Normalschnitt durch denselben geführt, so lassen sich alle Kräfte links des Schnittes auf zwei Kräfte zurückführen, die das verbleibende räumliche Kräftesystem links des Schnittes ersetzen. Diese Kräfte können stets so ermittelt werden, dafs eine, N, auf dem Normalschnitt senkrecht steht und Achsialkraft genannt wird, die andere in die Ebene des Normalschnittes fällt; letztere wird als Querkraft bezeichnet. Macht

man den Schwerpunkt des Normalschnittes zum Mittelpunkte eines räumlichen Koordinatensystems, dessen a?-Achse die Stabachso tangiert, so werden sich die unendlich kleinen Abstände A x des benachbarten Querschnittes als lineare Funktion von y und z aus-drücken lassen. Durch die Belastung wird eine relative Bewegung der beiden Nachbarschnitte hervorgerufen. Unter der Annahme, dafs die Normalschnitte auch nach der Formänderung eben bleiben, eine Annahme, deren annäherungsweise Dichtigkeit sich für Yollstäbe, falls die Querschnittsabmessungen gegen die Längsabmessungen klein sind, durch Versuche erweisen läfst, müssen auch die Längenänderungen d A x lineare Funktionen der Koordinaten werden. Die auf ein Flächenelement d F entfallende Spannung wird daher:

22.

Eb)

Nach dem obigen ergiebt sich, wenn man die Veränderlichkeit dos Ax aufser Betracht läfst:

a = A -J- By -j- Cs.

Sind a und b die Koordinaten des Angriffspunktes der Achsialkraft, so fordert das Gleichgewicht :

fodF-f N = 0,

f ayd F -C Na — 0,

fazdF+Nb = 0,

woraus, wenn man die Werte einsetzt und bedenkt, dafs in unserem Falle, wenn die Koordinatenachsen Hauptachsen des Querschnittes (siehe § 7) sind: fdF=F;    fydF= 0, fsdF= 0,

ftfdF = Jy = i] . F,    fs²dF = Jz = %. F

JyzdF = 0 I

.    . 23.

mithin :

also :

V = — AF,

Na — — B F /y,

Nb — — CF il

<3 = —

il

+V)

24.

Für einen bestimmten Wert a entspricht der Ausdruck der Gleichung einer Geraden; d. h. alle Punkte gleicher Spannung liegen auf einer Geraden, für o = 0 wird diese Gerade die sogenannte Null linie oder neutrale Achse.

Jedem Angriffspunkte von den Koordinaten er, b entspricht eine bestimmte Gerade von der Gleichung:

i\

als Nulllinie. Die Nulllinie schneidet die y-Achse im Abstande nx —--—, die^-Achseim

Abstande n.₂ —--y- vom Mittelpunkte. Hiernach kann iy als Höhe eines rechtwinkeligen

Dreieckes betrachtet werden, wenn und a die Abschnitte der Hypotenuse sind. Hieraus ergiebt sich leicht die in der Fig. 8 gezeigte Konstruktion des Abstandes aus a mit Hilfe von iy und ebenso die Konstruktion von n, mit Hilfe von b und iz.

In umgekehrter Weise können die .Werte a und b ermittelt werden, wenn vx und ;?₂ bekannt sind.

Die Spannung om im Schwerpunkte, welche den Werten y — 0, s — 0 entspricht, ist durch om = ~ gegeben, also unabhängig von der Lage des Angriffspunktes, also auch unabhängig von der Gröfse der Momente N a und N b.

⁵) Ist das Material des Vollstabes nicht homogen und isotrop, gilt diese Regel nicht mein’. Bach setzt am

= —=- -, für Schweifs- und Flufseisen, mit dem wir es hier ausschliefslich zu thun haben, wird in —

Jh

Fafst man die parallelen Ränder des Querschnittes, deren Abstand vom Schwerpunkt mit e₁ und e₂ bezeichnet werden, als Nulllinien auf, so entsprechen ihnen Punkte und JA, die wohl auch Kernpunkte genannt werden.

Ihre Konstruktion ist aus Fig. 8, III. ersichtlich, auch sie ergeben sich als Abschnitte der Hypotenuse eines Dreieckes, dessen Höhe iz ist.

Mit Hilfe der Kernpunkte ist es leicht, die Verteilung der Spannungen

am Querschnitte längs einer Achse zu konstruieren. Trägt man (Fig. 8, VI) den Wert N .

om = -p- in S auf, verbindet das Ende von am mit den Kernpunkten K₁ und K₂ durch Gerade, so schneiden diese, entsprechend verlängert, die Spannungen a₀ und ou auf der Vertikalen durch A ab, welche auf die Ränder projiziert, eine Verbindungslinie zu ziehen gestatten, die die Verteilung der Spannungen giebt. Die Verteilungslinie schneidet die Achse IT,, K, in einem Punkte, der dem Abstande der Nulllinie für A als Angriff entspricht, wodurch eine Überprüfung der Richtigkeit der Konstruktion geboten wird.

Bewegt (Fig. 9) sich der Angriffspunkt einer Achsialkraft auf einer Geraden c, so drehen sich die zugehörigen Nulllinien um einen Punkt, den Angriffspunkt C für c als Nulllinie und umgekehrt. Nulllinie und Angriffspunkt sind einander zugeordnet, linien, die einen gegebenen Querschnitt umhüllen, entspricht eine Folge von Punkten der Kernfigur, die den Kern umschliefsen (s. Fig. 9).

Jeder Geraden der Umhüllung entspricht ein Punkt, jeder Ecke der Umhüllung eine Gerade der Kernfigur. So lange der Angriffspunkt der Last innerhalb der Kernfigur bleibt, treten im Querschnitte nur Spannungen gleichen Vorzeichens auf.

Die Konstruktion der Kernfigur erfolgt einfach, indem man zu den umhüllenden Nulllinien ab cd die entsprechenden Angriffspunkte ermittelt, welche Konstruktion schon oben gezeigt wurde.

Die im Querschnitte angreifende Schubkraft nimmt den Stab auf Scherung und Verdrehung (Torsion) in Anspruch. Wir müssen es uns mit Rücksicht auf den Zweck der vorliegenden Arbeit versagen, auf diese inneren Kräfte, die bei den uns vorliegenden Aufgaben meist relativ sehr klein werden, näher einzugehen und verweisen diesbezüglich auf die einschlägigen Lehrbücher über Festigkeitslehre.

Den Null-

Fig. 9.

-cMZi

ÄH

Ms

PT iftr

rA

§ 7. Die inneren Kräfte des geraden, durch ein ebenes Krattsystem belasteten Vollstabes. Bewegt sich eine geschlossene ebene Figur so, dafs ihr Schwerpunkt stets auf einer Geraden bleibt und sind die^ Abmessungen des Querschnittes klein gegen die Länge des hierbei entstehenden Raumgebildes, so sprechen wir, falls ein so begrenzter materieller Körper vorliegt, von einem geraden Stabe. Jede ebene Figur besitzt zwei in ihrer Ebene liegende, durch ihren Schwerpunkt gehende und aufeinander senkrecht stehende Achsen, für welche das Trägheitsmoment J seinen Gröfst- bezw. Kleinstwert erreicht. Liegbn diese sogenannten Hauptachsen des sonst beliebig veränderlich gedachten Querschnittes in je einer Ebene, — welche die Hauptebenen des Stabes genannt werden und bei symmetrisch gebauten Formen, wie

sie bei Brückenträgern meist Vorkommen, mit den Symmetrie-Ebenen zusammenfallen, — so wirken in einer Hauptebene senkrecht zur Stabachse äufsere Kräfte P und Stützendrücke (Auflagerreaktionen), s. Fig. 10. Führen wir einen Schnitt senkrecht zur Stabachse und

¹

) Vergl. Mohr. Darstellung des Spannungszustandes, Civilingenieur, Bd. XXVIII, woselbst auch die Beweise für die sonstigen obigen Sätze.

Fig. 10.

Y?

<c---

r-i

: ■

Ó I

; AJ

4.

Kl 2

+-KY-

.y

<-y>

betrachten nur den Teil links des Schnittes, so lassen sieh alle auf diesen Teil fallenden angreifenden Kräfte und Auflagerdrücke zu einer Mittelkraft li vereinigen, welche sich wieder ersetzen läfst durch

A⁷, eine im Schwerpunkt des Querschnittes auf demselben senkrecht stehende Normalkraft, welche wir als positiv bezeichnen wollen, wenn sie nach rechts, also vom Schnitte weg wirkt; ferner durch Q, eine Querkraft, welche in die Ebene des Querschnittes fällt und als positiv bezeichnet werden soll, wenn sie nach aufwärts wirkt; endlich in M, ein Moment, welches positiv genannt werden soll, wenn es wie der Zeiger einer Uhr dreht.

In einem Flächenelemente dF = dy. d z, welches von dem durch 0 gelegten Achsenkreuz die bezw. Abstände y und z hat, entstehen die Normalspannung ax und die Schubspannungen zy und tz; dann gilt, wie sich aus dem vorhergehenden Paragraphen leicht nachweisen läfst, unter der Annahme, dafs die Kraftebene den fraglichen Querschnitt in einer Hauptachse des Querschnittes schneidet, und unter der Annahme, dafs der Querschnitt auch nach der Formänderung eben bleibe und diese überhaupt eine sehr kleine ist: ay = 0, az — 0 und

Mz

25.

3* = —

wenn

F die Querschnittsfläche des Stabes an der fraglichen Stelle, z der Abstand des Flächenelementes von der Ebene X Y durch den Schwerpunkt,

J = f z² d F das Trägheitsmoment für eine durch den Schwerpunkt parallel zu y gezogene Achse ist und Zugspannungen positiv bezeichnet werden.

N . Me*

Für die oberste Faser im Abstande ex und die unterste Faser im Abstande e2 von der Achse durch den Schwerpunkt wird

Me i

. . 25\

a' = —

: o" =

~F J~ •

Ist h die Höhe des Querschnittes, also h = ex + e₂, nimmt man ferner an, dafs die Faser im Schwerpunkt ihre Temperatur um t₀ geändert habe, und setzt man noch voraus, dafs nach aufwärts und abwärts die Temperatur nur von-dem Abstande z nach linearer Funktion abhängig sei, und die Temperaturänderung auf die Höhe h die Gröfse A t betrage, so wird im Abstande z vom Schwerpunkte die Temperaturänderung, wenn s der Wänne-Ausdehnungskoefficient ist,

At

t — GH—jp #......

mithin die relative Änderung der Länge des Elementes dx:

A dx

2G. .

dx

— it +£ 0° + ir *) ’

27.

bezw. im obersten und untersten Punkte

A dx\

A dx*

dx

—    + £ 0° +

=    + £ (G —

A t . et \

Ji )

A t. e* h ) .

. . 28.

Her Winkel d t, um welchen sich zwei unendlich nahe Querschnittsebenen ändern,

Adx\ — Adx2

dz —

. . 29.

Die Linie der ursprünglich geraden Schwerpunktsachse, nach der Formänderung die elastische Linie, fällt in die Kraftebene. Bezeichnet man ihren Krümmungshalbmesser mit p, die Abscissen mit #, die Ordinaten mit ?/, so wird

M , At

+ sir

Ai

oder auch angenähert

EJ

d*y _ dx²

M , At

EJ ' S h ’    ⁻    •    •    •

wobei p positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt unten liegt.

Hinsichtlich der Schubspannungen ist zu beachten, dafs für unseren Fall allgemein

30.

31

tx = 0

Ist die Kraftebene eine Symmetrie-Ebene des Querschnittes und zieht man in den Punkten des Querschnittumrisses, welche um z von der wagerechten Schwerpunktsachse abstehen, Tangenten an denselben, so erhält man einen Punkt H der Symmetrielinie, durch welchen jene Schubspannung t des Elementes dy dz geht, welche in der Querschnittsebene selbst liegt.⁶) Sie zerlegt sich in zwei Komponenten zs und t₂ ; für xy ergiebt die eingehendere Untersuchung

32.

b.J

wenn Schubspannungen, welche im Sinne der positiven Richtung von z, also nach aufwärts wirken, mit dem positiven Zeichen bezeichnet werden. Ferner ist

33

tz = t, . tang cp,.........

wenn cp der aus der Zeichnung ersichtliche Winkel, und es bedeutet

G) Grashof. Theorie der Elasticität und Festigkeit.

S das statische Moment der schraffierten Fläche (Fig. 10, S. 220), b die Breite des Querschnittes in der fraglichen Faserschicht,

J das Trägheitsmoment des gesamten Querschnittes, bezogen auf die Achse F, Q die Schubkraft im fraglichen Querschnitt.

Die Normalspannung erreicht ihr Maximum in den von der Schwerpunktsachse entferntesten Punkten, die Schubspannung bei den in Wirklichkeit vorkommenden Trägern

Fig. li.

a.

meist in der Schwerachse selbst.

rX-

mm

s'

p.

Pr

-, \\

Die Hauptspannungen Oj und a₂ in P (Fig. 11) treten für die durch diesen Punkt gehenden, auf der Ivraftebene senkrechten Elemente ein, welche mit der Normalebene zur Stabachse die der Gleichung

tang 2 a = —

2Xy

ax

..33“.

entsprechenden, voneinander stets um 90° verschiedenen Winkel a₁ und a, einschliefsen. In den äufsersten Fasern wird ax = max und vy — 0, demnach tang 2 a = 0, welcher Gleichung die Werte al = 0 und a₂ = 90° entsprechen ; für ax = 0 wird tang 2 a — ac, welchem Ausdrucke at = 45°, a₂ = — 45° genügen. Die Werte für die Hauptspannungen Oj und a₂ ergeben sich aus Gl. 21 bei Yernachlässigung von tz mit

34.

ax

⁰² = T-

Die eine ist stets ein Druck, die andere Zug.

Die Hauptschubspannungen Tt t₂ wirken in zur Ivraftebene normalen Ebenen, welche mit der Normalebene zur Stabachse in P die der Gleichung

35.

tang 2 ß =

entsprechenden, voneinander stets um 90° abstehenden Winkel ß, ß₂ einschliefsen. In der -äufsersten Faser wird ry = 0, daher j J = + 45° ; für ax = 0 daher ßt = 0, ß, = 90°.

Für die Hauptschubspannung selbst erhält man:

. . 36.

T. = — T₂ = —

Das unter ax oder a₂ geneigte Element hat keine Schubspannungen aufzunehmen. Geht man in der Richtung desselben bis zu einem unendlich nahen Punkt des unmittelbar anschliefsenden Normalschnittes und bestimmt für diesen das zu der daselbst auftretenden Haupt- jpruök-j Spannung gehörige Element und so fort, so giebt der Inbegriff aller dieser Elemente eine Fläche im Innern des Stabes, welche nur j j erfährt und eine Trajektorialfläche des gröfsten | j)ruckes ) öenannf wird.

Folgt man bei einem Balken, in welchem N = 0 ist, den Elementen, welche die gröfste Schubspannung in P (Fig. 11) aufnehmen, bis zu einem Punkte P' des nächsten

Querschnittes und bestimmt für diesen die Lage des Elementes, welches die gröfste Schubspannung erfährt, so giebt bei entsprechender Fortsetzung der Inbegriff aller dieser Elemente eine Fläche, welche man eine Trajektorie des gröfsten Schubes nęnnt.

Diese drei Arten von Flächen, als deren Repräsentanten wir ihre Durchschnittslinien mit der Kraftebene betrachten und somit von Zug-, Druck- und Schubkurven sprechen wollen, stehen in mancherlei Beziehungen zueinander.

In jedem Punkte bilden die Richtungen des gröfsten Zuges und Druckes mit den Richtungen des gröfsten Schubes Winkel von 45°. Die Kurven des gröfsten Zuges verlassen die äufserste Druckfaser unter Winkeln von 90°, schneiden die Kull-Linie unter 45° und legen sich, soweit dies bis zum Maximalmomentenpunkt möglich ist, asymptotisch an die äufserste Zugfaser. Die Kurven des gröfsten Druckes verlassen die äufserste Zugfaser unter Winkeln von 90°, schneiden die Null-Linie unter 45° und legen sich, soweit möglich, asymptotisch an die äufserste Druckfaser. Die Linien des gröfsten Schubes verlassen die beiden äufsersten Fasern unter Winkeln von 45° und legen sich asymptotisch an die Null-Schicht oder schneiden dieselbe normal. Alle Kurven des gröfsten Zuges oder Druckes schneiden die ihnen begegnenden Linien des gröfsten Druckes oder Zuges unter rechten Winkeln und alle Kurven des gröfsten Schubes unter Winkeln von 45°.

Die Kurven des gröfsten Zuges oder Druckes geben die Spuren derjenigen auf die ganze Breite sich erstreckenden Flächen, längs welcher keine Schubkräfte stattfinden. Denkt man sich die Körperelemente durch Ebenen begrenzt, welche tangential zu den sie treffenden Linien des gröfsten Zuges bezw. Druckes verlaufen, so wird jedes solches Element in der Richtung der einen Tangente nur gedrückt bezw. gezogen. Eine weitere Beanspruchung der so gerichteten Elemente findet nicht statt.

In der Natur sind Zug- und Druckflächen vielfach ausgeprägt und in den Hölzern, dem Gewebe der Spongiosa, den Knochen der Tiere zu erkennen.

In obiger Fig. 11, S. 222 ist der ungefähre Verlauf der Spannungskurven für alle vorkommenden Krümmungsfälle eines Stabes dargestellt. Hierbei ist der Verlauf der zweiten Schubspannungs-Trajektorie nicht zur Anschauung gebracht.

Für die Querschnittsbestimmung vollwandiger Träger werden verschiedene Gesichtspunkte als Anhalt aufgestellt. In der Regel wird als Bedingung gesetzt, dafs in keinem Punkte die daselbst auftretende Haupt- j j Spannung die zulässige Inanspruchnahme auf ( oruek ] überschreiten dürfe, d. h. für jeden Punkt

37

Z/2 ^ 0-2

sein müsse. Bei den praktisch vorkommenden Fällen tritt nun in einem Querschnitte x

I Spannung fast stets in den äufsersten Fasern für max Mx ein ; ist daher e₁ der Abstand der am meisten gezogenen, e₂ der am meisten gedrückten Faser, so hat man, falls N gleich Null ist,

> Oi,

Zug-

Druck-

die gröfste Haupt- j

max Mx C2

max Mx ei ₇ .

-j-^    ^2 >

wobei diejenige Gleichung für die Querschnittsbestimmung mafsgebend ist, welche den gröfseren Wert für k ergiebt. Bezeichnet man mit —

Standsmomente, so kann man auch schreiben

max Mx rrr —,—> w* = *,

ki >

Wi =

max Mx

38,

— = W, die Wider-

e 2

. . 39.

Genauer erfolgt die Bestimmung des Querschnittes nach der Bedingung, dafs die Längenänderung in keinem Punkte nach irgend einer Richtung eine gewisse Grenze überschreiten dürfe. Jene den Hauptlängenänderungen st s₂ (deren Richtungen bei isotropen Körpern mit den Hauptspannungsrichtungen zusammenfallen), entsprechenden Spannungen, welche dieselben Langenänderungen e, s₂ hervorbringen würden, wenn jede für sich allein in der Richtung von e, bezw. e₂ wirkte, ohne dafs in irgend einer anderen Richtung Spannungen thätig wären, sollen nach Winkler die idealen Hauptspannungen OiGa heifsen. Sie sind, wenn wir das Verhältnis der transversalen Längenänderung zur longitudinalen mit y ansetzen, gegeben durch

Oi =

. . 40.

+ { \/t⁰" + Ty = °i + y Oi — O

+Ty.=    + y 0* —

I)ie ideale Hauptspannung ist daher stets um — des Unterschiedes zwischen Haupt-und Normalspannung des betreffenden Punktes gröfser als die eigentliche Hauptspannung.

Ist dann wieder | j die zulässige Inanspruchnahme auf j ^°cj, J, so lautet die Bedingung, dafs für alle Punkte des Querschnittes

41

7j₂ ^ c₂

sein mufs. In den äufsersten Punkten führt diese Bedingung zu denselben Gleichungen, wie die erstere Regel.

In jedem Punkte P des Querschnittes mufs endlich die Hauptschubspannung

Tj = — t₂ unter einer gewissen Grenze A'₃, der zulässigen Inanspruchnahme auf Schub, bleiben, oder

42

h > Ti

sein. — Wir werden weiter unten Gelegenheit haben, die Berechnung an einem Beispiele zu zeigen.

Setzt man die Werte für die Normal- und Schubspannungen, wie wir sie als Funktionen der äufseren Kräfte für die Annahme eines geraden Stabes kennen gelernt haben, in den Ausdruck ein, so bekommen wir

*■ =f

N²dx

2 EF

dx

. . 43.

in

IV

Das erste Glied rührt her von der Längs- oder Achsialkraft, das zweite von den Biegungsmomenten, das dritte von der Schubkraft, das vierte von der gleichmäfsigen Erwärmung des gesamten Trägers, das fünfte von der unregelmäfsigen Erwärmung.

Bemerkung I. Die Form III ist der von den Schubspannungen herrührende Anteil von A:

wS    ST* ^    dy .dz und es ist tang y = —

Das Innere des zweiten Integrales ist auf den ganzen Querschnitt auszudehnen und liefert von der Form desselben abhängige Werte, was im Integral III durch den Koefficienten ß zum Ausdrucke

6    32

gelangt. Für das Rechteck wird ß = — = 1,2, für den Kreis ß = —- = 1,18 u. s. w.

Bemerkung II. Für einen Stab von rechteckigem Querschnitt, dessen Höhe h = 0,1 l ist, wird

bh.P = Fl² setzt:

bei gleichförmiger Belastung desselben, wenn man J — bli³

₃₅

EF

M²dx

2 EJ

und

Q² dx 2GF~

1200

= 0,125

q²P

EF ’

II. Innere Kräfte und Arbeitsgröfsen des bestimmt belasteten Faehwerks.

§ 8. Allgemeines. Die Arbeitsgleichung des Fachwerks. Beim voll-wandigen Träger treten unter dem Einflüsse der formändernden Kräfte in jedem Punkte Zug-, Druck- und Schubspannungen auf, welche untereinander wesentlich nach Gröise und Richtung verschieden sind, und keineswegs in allen Punkten gleichzeitig das zulässige Mafs erreichen, sodafs vielfach überflüssiger Stoff vorhanden ist. Das Bestreben, sämtliche Teile nur nach ihrer Längenrichtung — soweit möglich in allen Querschnittsteilen gleich stark — und für die Grenzbelastungen mit dem zulässigen Mafse zu beanspruchen, führte zur Herstellung von Tragkörpern aus einzelnen Stäben, zur Bildung der sogenannten „Fachwerke“.

Sollen die Stäbe eines Fachwerks nur Längsspannungen aufnehmen, so erfordert dies, dais die Stäbe an ihren Verbindungspunkten, den „Knoten“, durch reibungslos wirkende Gelenke, welche kleine Drehungen zulassen, verbunden sind, und dafs kein Ausknicken der Stäbe bei Aufnahme von Druckspannungen ei nt ritt : es mülsten sodann die äufseren Kräfte sich ausschliefslich an diesen Gelenkpunkten übertragen, auch das Eigengewicht müfste nur in diesen Punkten zusaminengefafst sein. Ferner mag zunächst noch angenommen werden, dafs sämtliche Kräfte und Stabachsen in einer Ebene liegen und in diesem auch während des ganzen Verlaufes der Formänderung bleiben. Freilich lassen sich alle diese Bedingungen in Wirklichkeit nur bis zu einem gewissen Grade, nie aber vollständig erfüllen.

Die unter Annahme drehbarer Stabenden und eines ebenen Systems für das Eigengewicht und die bewegliche Belastung in der Tragwand ermittelten Spannungen pflegt man primäre Spannungen zu nennen, alle Kräfte, welche sonst noch in den Stäben eines Fachwerks auftreten, sei es infolge der Starrheit der Knotenpunkte, des Einflusses der Temperatur u. s. w. aber als sekundäre oder Zusatzspannungen zu bezeichnen.

Es sei Km der Knotenpunkt eines geschlossenen räumlichen Fachwerks, Pm die in demselben angreifende äufsere Kraft.

Der Inbegriff aller in den w-Knoten angreifenden Kräfte bilde das System Es seien im Knoten K die Stäbe s,, ss . . . vereinigt; man denke sich einen kugelförmigen Schnitt geführt und in jedem Stabschnitte zwei einander gleiche entgegengesetzte Kräfte S angebracht, von denen die Kräfte <S(, Si, Si als System £' u. s. w. auf den Knoten wirken und mit Pm ein im Gleichgewicht befindliches System bilden, während die Kräfte    $₂, S₃ als System auf die Stäbe wirken.

Es sei A r — K K* eine mögliche, endliche, sehr kleine Verschiebung von ZF, deren positive Richtung wir durch den Strahl K -x festgelegt denken wollen. Bezeichnen

15

wie man sielit, relativ sehr klein, wenn sieh auch für andere Belastungsweisen diese Gröise ausgiebiger gestaltet; sie ist im allgemeinen doch klein gegen die erste und wird bei Trägerberechnungen meist vernachlässigt. Im vorliegenden Falle ergäbe das II. Glied allein so viel, als II und III zusammen.

yy_ _ „„ yy

EF d E‘ F

Hat man es, wie oft bei Brückenträgern, mit einer Verbindung von Fachwerken mit Tragkörpern zu thun, die ihrerseits als volle Stäbe im Sinne des vorigen Paragraphen aufgefafst werden können, so kann man zunächst die Arbeit der Schubkräfte vernachlässigen, ferner die veränderlichen "Werte F, J durch unveränderliche Mittelwerte ersetzen.

man statt E aus Gleichung 35, 125

den Wert Ef = 0,996 E einführen würde.

wenn

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

ferner die Projektion der Kräfte auf die Richtung K x mit Pm, Si, Si, Si u. s. w., so ergiebt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke

wir die Projektion dieser Verrückung auf die in K angreifenden Kräfte mit A pm, A slm, A Sj ro, A^3,n

Pm Ar — Pm . Apm und Si . Ar = Si. Aslm;

Si . Ar = Si. \s2m.....

Die Addition aller auf Km bezüglichen Gleichungen dieser Art liefert:

A r (Pm -j- Si -f~ Si -j- Si -j- ...) = Pm Apm -f- Si Aslm -f- Si A s2m + ... = 0

welcher Ausdruck Null sein mufs, da sich die Kräfte um Km im Gleichgewicht befinden.

Bildet man die vorstehende Summe für jeden Knotenpunkt, setzt an Stelle der Spannungen Si, Si u. s. av. die Werte — Si, — S₂ u. s. w., bedenkt man, dafs dann jede Spannung zweimal Vorkommen wird, so Slm für die Knoten 1 und m, ferner dafs die Längenänderung jedes Stabes aus der Summe der Änderungen in beiden Knoten sich ergeben wird, denen er angehört, also z. B. As = Aslm -f- Asml sein wird, so findet sich direkt der für die ganze Trägerlehre wichtige Satz:

SP . Ap = ZS As,

Avobei die erste Summe auf alle Knoten, die zAveite auf alle Stäbe auszudehnen ist.

Die Gleichung gilt bei von 0 anwachsenden Kräften für jedes unendlich kleine Zeitteilchen, A\rir können also auch schreiben:

SP . dAp = S S. dAs:

hieraus ergiebt sich, Avenn 7C und a die Verrückung bezw. Verlängerung ist, die die Kraft P — 1 bezAV. S — 1 hervorbringt, und also Ap — z. P, As = oS ist:

SîtP .dP = loS.dS,

oder Avenn man beiderseits von 0 bis P bezAV. S integriert:

XjicPdP = zJoSdS, 0 *0

v a S²

= ,

9t = S^

oder AArenn man die EndA\rerte mit Ap — zP und As — a S =

yP.Ap ^ ~~2

S.s

Avieder einführt,

auch

S . As

S-s

Die Arbeitsgleichung eines FachAverks, mag dasselbe eben oder räumlich sein, gestaltet sich mithin aufserordentlich einfach. Wir wiederholen: Ist S die Spannung in einem Fachwerkstabe, s die Länge desselben, E der Elasticitätsmodul, F seine Querschnittsfläche, s der Wärmeausdehnungskoefficient, t die Temperaturdifferenz zwischen dem ursprünglichen und dem neuen Zustande und nimmt man an, dafs die äufseren Kräfte, welche die Spannungen erzeugen, von 0 an wachsen, so wird die Arbeitsgleichung :

-f- X s t S s

Avobei sich das Summenzeichen auf sämtliche Stäbe bezieht und noch angenommen Avird, dafs bei der Temperaturänderung eines Stabes die Endspannung S dieses Stabes den Weg s t s zurücklege.

Wir werden uns zuerst dem bestimmt belasteten ebenen Fachwerke zuAvenden und daran die Untersuchung am räumlichen Fach werke anschliefsen.

44.

’ S²s 2 E F

§ 9. Das ebene Fachwerk. Bezeichnet man mit x die Anzahl der Knotenpunkte eines ebenen Fachwerks, so erhält man an jedem Knotenpunkt zwei Gleichungen für das Gleichgewicht der Kräfte, mithin im ganzen 2 x solcher; die äufseren Kräfte müssen für sich im Gleichgewicht sein, also 3 Bedingungen erfüllen. Für die Berechnung der o Stabspannungen erhält man hiermit 2 x — 3 Gleichungen, d. h. es mufs 2 x — 3 = a sein, wenn, gewisse Ausnahmsfälle abgerechnet, das Fachwerk statisch bestimmt sein soll.

Die Längenänderung eines bestimmten Stabes eines Fachwerks ist bei konstant bleibenden Längen der übrigen Stäbe nicht unbeschränkt, sie findet ihre Grenzen, wenn der Stab das von den übrigen Stablängen bedingte Maximum bezw. Minimum annimmt. Einer Überschreitung dieser Grenzen würden die übrigen Teile Widerstand entgegensetzen.

Fig. 12.

b.

(X .

**> ~n

Wird z. B. im einfachsten Falle ein Stab A C eines Dreiecks A. B C immer kleiner und kleiner, bis A C in die Gerade A B fällt, so werden sich der weiteren Verkürzung die Stäbe C B und A B entgogenstellen. Für den Fall des Maximums oder Minimums ändert ein Stab bei einer unendlich kleinen Änderung des Fachwerks die Länge nicht.

Werden auf ein Koordinatensystem bezogen in der Ebene x Punkte durch Stäbe von der Länge /1 lo l₃ . . . miteinander zu einem Fachwerke verbunden, so ist dasselbe geometrisch bestimmt, wenn die Anzahl der Stablängen in Verbindung mit den Auflagerbedingungen eben ausreicht, die x Punkte eindeutig festzu-logen. Ebenso umgekehrt, wenn die Ordinaten der x Punkte gerade ausreichen, die Stablängen zu ermitteln. Wird ein Punkt C an zwei gegebene Punkte A und B, welche selbst festliegen, nur durch zwei Gerade A C und B G angeschlossen, so ist dieser bestimmt, sobald A C -f- BG> AB ist; jeder solche zweifache Knotenpunkt kann weggelassen werden, ohne dafs an der geometrischen Bestimmtheit etwas geändert wird; auch in statischer Hinsicht ist die Hinweglassung unbedenklich, da jede Knotenpunktskraft in C eindeutig in zwei den Stäben A C und BC entsprechende Seitenkräfte zerlegt werden kann, die nun für das weitere Fachwerk als äufsere Kräfte an Stelle der Stäbe treten. Kur wenn ein Knoten lediglich durch zwei in eine Gerade fallende Stäbe verbunden wäre, würde sich

JL

3.

1.

1.

'O

,7

15*

die Stablänge bei A C 4- B C — AB im Grenzzustande befinden; statisch kann ein soldier Punkt nicht mehr jede beliebige Kraftrichtung aufnehmen. Der Punkt des betreffenden Fachwerks und damit dieses seihst ist nur für den Fall fähig, eine Knotenkraft aufzunehmen, wenn diese ebenfalls in die Richtung AB fällt; für jede andere Lage entständen unendlich grofse Spannungen.

Ein Fachwerk kann daher meist sofort auf ein einfacheres zurückgeführt werden,

. wenn man alle zweifachen Knotenpunkte der Reihe nach wegstreicht. Jeder dreifache Knotenpunkt kann weggestrichen werden, wenn man ihn durch einen neuen Stab ersetzt, der zwei Endpunkte der Stäbe des gestrichenen Knotens verbindet. Hierdurch gelangt man zu einer einfacheren Figur, der Grundfigur, welche auch auf eine Gerade zusammenschrumpfen kann, und welche dann für sich zu betrachten ist. — Den Beweis für die Richtigkeit dieses Verfahrens findet man weiter unten.

Das Fachwerk ist nur dann statisch bestimmt, wenn die Loslösung der zwei- und

dreifachen Knotenpunkte auf eine geometrisch bestimmte Figur führt. Diese ist geometrisch bestimmt

wenn

ihre Form durch die gegebenen Längen eindeutig be-

stimmt ist.

Es habe ein Fachwerk x₂, x₃, x₄ . . . Knoten, in denen je so viele Stäbe Zusammentreffen, als die Zahl des Index zeigt, so hat es im ganzen x — x₂ -f- x₃ -f- x₄ -f- . . . Knoten, mithin, da jeder Stab zwei Knoten verbindet, ist 2 a — 2 x₂ -f- 3 x₃ -j- 4 x₄ -j- ... Beim statisch bestimmten Systeme ist 2 a = 4 x — 6'; eliminiert man aus diesen drei Gleichungen x und o, so erhält man:

6 — 2 x₂ -f x₃ — (x₆ -f 2 x₆ -f . . .),

d. h. ein Fachwerk mufs mindestens sechs dreifache Knotenpunkte haben, wenn keine zweifachen Vorkommen. Das einfachste Fachwerk mit lauter zweifachen Knotenpunkten erhält man für x₃ = x₄ = . . . = 0, also x₂ = 3; es ist das Dreieck. Das einfachste Fachwerk mit lauter dreifachen Knotenpunkten besitzt deren 6. Dieses Fachwerk kann unter Umständen nicht widerstandsfähig sein, und zwar dann, wenn (Fig. 12/) 2, 5 und 9 sich in einem Punkte schneiden. Alle neun Stäbe befinden sich dann im Maximum oder im Minimum ihrer Länge. Ebenso ist das Fachwerk Fig. 12 g statisch unbestimmt, wenn das Sechseck einer Kurve zweiten Grades eingeschrieben ist.¹)

Beispiele s. Fig. 12 I, u, b, c, d. Fig. I ist statisch bestimmt. Fig. a im mittleren Teil zweifach überstarr und beiderseits je einfach beweglich. Fig. b im allgemeinen statisch bestimmt, jedoch labil, wenn die drei mittelsten oberen Knotenpunkte in einer Geraden liegen. In Fig. c sind die dreifachen Knoten o o durch die punktierten Stäbe ersetzt. Die bleibende Grundfigur ist einfach überstarr. In Fig. d sind zunächst die dreifachen Knoten oo durch die schiefen punktierten, dann die Knoten 1, 1 durch die lotrechten punktierten Geraden ersetzt. Die bleibende Grundfigur, ein Rechteck ohne Diagonalen, ist einfach beweglich.

Statisch unzureichend bestimmte Systeme sind als Träger unzulässig. Bei Behandlung statisch unbestimmter, stabiler Systeme wird man bei Loslösung der statisch überzähligen Stäbe zu achten haben, ob das zurückbleibende System auch sicher statisch bestimmt ist. Dies ist z. B. bei Fig. 12 c, welche durch Weglassung der anscheinend überzähligen Pfosten der Schi ff kornträger entsteht, nicht der Fall.

§ 10. Spannungen in ebenen statisch bestimmten Systemen. Graphische Methoden. Die Ermittelung der durch das Eigengewicht und die zufällige Last erzeugten inneren Kräfte kann auf graphischem Wege, durch Berechnung oder mittels einer Verbindung beider Verfahren erfolgen. Wir bringen mehrere Verfahrungsarten, welche sich zunächst für die Bestimmung der Spannungen bei einer gegebenen Belastungsweise eignen.

a) Cremona’s Methode. Es seien (Fig. 13) Px P₂ . . . die in den Knotenpunkten wirkenden Kräfte, wobei durch gewisse Kräfte die Stützendrücke dargestellt sind. Man zeichnet das dem System der P entsprechende Kräftepolygon, indem die Kräfte, ihrer Richtung nach, in der Weise aneinandergereiht werden, wie sie am Umfange des Stabsystems aufeinander folgen; dabei hält man zweckmäfsig, aber nicht notwendigerweise, die Reihenfolge im Uhrzeigersinne ein. Da die Kräfte im Gleichgewicht sind, mufs das erhaltene Kraftpolygon sich schliefsen. Man zieht nun durch jede Ecke des Kräftepolygons, welche von den Kräften Pn Pu + 1 gebildet wird, eine Parallele zu jenem Umfangsstabe, welcher zwischen den Angriffspunkten von Pn und Pn ₊₁ sich befindet, und konstruiert zwischen den Parallelen eine gebrochene Linie derart, dafs jene Stäbe, welche im Stabpolygon sich in einem Punkte schneiden, im Kräftepolygon einer geschlossenen Figur entsprechen. Es erscheint bei dieser (cyklischen) Anordnung jede Stabspannung nur einmal. Das so ermittelte Polygon gestattet rasch die Entscheidung, ob irgend ein Stab, z. B. fr, gedrückt oder gezogen wird. Denkt man sich einen der Knotenpunkte, in welchem der fragliche Stab wirkt, z. B. 7, durch einen Schnitt losgetrennt, sucht man die geschlossene Figur im Kräftepolygon, welche diesem Schnittpunkte entspricht (also hier das schraffierte Fünfeck P₇ G a fr F) und umfahrt diese Figur im entsprechenden, durch die äufsere Kraft (P₇) gegebenen Sinne, so entsprechen Richtungen gegen den Knotenpunkt den Druck-, Richtungen vom Knotenpunkt den Zugspannungen. Im vorliegenden Falle wird daher G, «, F gezogen, fr gedrückt.

Dieses Verfahren ist besonders dann sehr bequem, wenn es sich um die Ermittelung sämtlicher Spannungen eines Fachwerks für eine ganz bestimmte, z. B. die volle Belastung handelt, verliert jedoch an Wert für Fälle, woselbst für jeden Stab eine andere Belastung zu Grunde zu legen ist.

Die cyklische Anordnung mit nur einmaligem Vorkommen der Stabspannungen ist übrigens nicht immer durchführbar.

Fig. 13.

fr rt' F

fr

i.

1 u.

'y~’\

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6.

Afr

J* /ffr

3/

fr

fr

fr

fr

Die Regeln für jene Anordnung des Kräftepolygons, bei -welcher jede Stabspannung nur einmal erscheint, hat zuerst Cremona gegeben, indem erzeigte, dafs sich Fachwerk und zugehöriger Kräfteplan als bestimmte Projektionen einander reciproker Polyeder autfassen lassen. Jedem Stabstrahlenbüschel im Fachwerksschema entspricht ein geschlossenes Polygon im Kräfteplan, dessen Seiten der Reihe nach den Strecken des Büschels äquipollent sind u s. w. Man sehe speziell: Cremona. Le figure reciproche nelle statica grafica. Mailand 1872. Deutsch von Migotti. Ferner Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Yer. 1873, S. 230, sowie Culmann. Graphische Statik, 2. Aufl. 1875, S. 313.

Pa P4 und die Stützendrücke Pi Pa wirken. Das Kräftepolygon fällt in eine Gerade zusammen, die in dem

Fig. 14 bringt eine Anwendung dieser Methode auf einen Faoliwerksträger, auf welchen die Lasten

Fig. 14.

Schema IF der Übersicht-

I.

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17/

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j-cc-

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lichkeit halber auseinander gezerrt ist. II zeigt das Vieleck der Stabspannungen. Die beim Konstruieren un-vermeidlichenZeichenfehler, welche zu LTngenauigkeiten führen und das Vieleck nicht zum Schlufs bringen, lassen sich im vorliegenden Falle durch ein einfaches, von Mohr h errührendes V erfahren fast ganz beseitigen. Handelt es sich z, B. um Bestimmung der Spannungen Si Ss /Sb, so konstruiere man zunächst mit Hilfe der Poldistanz a und des Kräftepolygons IV das Seilpolygon V. Führt man den Schnitt in n in III, so lassen sich die Kräfte links des Schnittes durch die beiden Kräfte PS und P", deren Gröfse aus V entnommen werden kann, ersetzen. Der Beweis hierfür liegt in dem Umstande, dafs (siehe V) das Moment in m 11 durch IV. a und die Querkraft durch 11 — 11“ — IV gegeben ist. Man kann nun direkt das geschlossene Polygon VI zeichnen, welches mit Hilfe von B‘ und B' die unbekanntenSpannungen 6, 4 und 5 giebt. Hieraus läfst sich aber sofort ableiten, dafs in Polygon II 0,5' = IV sein mufs, was allgemein zu dem Satze führt, dafs in Fällen, wie der vorliegende, jede Diagonale auf der Lotrechten durch 0 eine Strecke abschneidet, welche jener Seil-polygons-Ordinate in V entspricht, die durch ihren Fufspunkt geht. Die hier unter VI gezeigte Zerlegung

Fig. 15.

17

ist insbesondere auch dann bequem, wenn in Methode b) die Mittelkraft der äufseren Kräfte aufserhalb der Zeichenfläche fällt.

a.

17 /

Yi

\l

l.

b) Legt man durch ein Fachwerk einen Schnitt (Fig. 15), welcher nur drei Stäbe trifft, und zerlegt man die Mittelkraft, welche auf einen der hierdurch erhaltenen (in der Figur links des Schnittes liegenden) Teile wirkt, in zwei Teilkräfte, von denen die erstere einem der drei durchschnittenen Stäbe entspricht und die Spannung desselben giebt, die andere durch den Schnittpunkt der beiden anderen Stäbe geht, so läfst sich letztere wieder in zwei Teilkräfte zerlegen, welche den

Spannungen der übrigen beiden Stäbe entsprechen. Es sei R die auf den Teil links des Schnittes I in Fig. 15« wirkende Mittelkraft, so stellt Fig. 15 & das für die Stäbe XYZ erhaltene Kräfteviereck vor, in welchem die Diagonale parallel zu ü ist. Umfährt man das Viereck im Sinne des Pfeiles Schnitt gerichtet Druckspannungen darstellen, Z vom Schnitte laufend einen Zug bedeutet.

sieht man, dafs X und Y gegen den

so

c) Zimmermann’s Verfahren.

Mit dem Vorgeführten verwandt ist die Z i m me rmann ’ sehe Methode. An einem durch die Kräfte P1? P, . . . belasteten Träger (Fig. 16) seien die Stabspannungen 0, U, 1) der Stäbe o, u, d (in unserem Falle der Stäbe 3 5, 24, 3 4) zu bestimmen.

1.

rr

P,

vn"

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T.

ml

Fig. 16.

io

11

12

Ps

Oc--

"i"

<■

i.

-b.

Wir führen einen Schnitt durch die drei Stäbe und ersetzen die Mittelkraft Q links des Schnittes durch zwei Kräfte R“ und R\

Ist das für die Poldistanz b konstruierte Seilpolygon der Kräfte ermittelt, so sind die Momente M\ M" der äufseren Kräfte in Punkt 3 und 4 gegeben durch M' = y' b ; M“ — yu &, wenn y' und y" die Ordinaten des Seilpolygons sind, und bemerkt wird, dafs in Fig. 16 das linksseitige y des Seilpolygons in y' zu verbessern ist. Sollen II" und R' die Wirkung der Querkraft Q links des Schnittes ersetzen, so findet sich für 4 als Momentenpunkt Q (r" -j- d) = y" b — R" a und für 3 als Momentcnpunkt Q r" = y'b — — R' a. Daraus :

R* — — yf.-

R" = */".- -,

d. h. die Kräfte R" und R' sind den Ordinaten des Scitcnpolygons proportional, dem negativen Zeichen von R' ist in unserer Zeichnung durch Umkehrung der Pfeilrichtung Pechnung getragen. Führt man einen neuen Kräftemafsstab ein, dessen Einheit das y-fache von derjenigen des Kräftepolygons ist, so geben nach diesem gemessen y⁴ und y“ unmittelbar die Werte für PP und R', y" zerlegt man nun in zwei Komponenten 0 und D", parallel zu o und d, ebenso y' in zwei Komponenten D' und U. Der richtige Wert von D ist D“ — D\ ebenso wie y“ — y' = Q wird. Man erhält das geschlossene schraffierte Polygon, das durch die cyklische Umfahrung den Sinn, durch die nach dem zAveiten Mafsstabe zu messende Länge die Gfröfse der Stabkräfte O, D und U liefert

Anstatt nun diese Zerlegung unten vorzunehmen, kann man auch die Werte y" und y' nach oben übertragen und erhält dann durch das Ziehen der Parallelen zu o und u das obere Viereck, mithin die Spannung der Diagonale in dieser selbst aufgetragen.

Wir begnügen uns, die Methode grundsätzlich vorgeführt zu haben. Für die praktische Durchführung ist erforderlich, dafs das Gerippe des Fachwerks in grofsem Mafsstabe gezeichnet wird und die Ordinaten des Seilpolygons nirgends gröfser als die Höhen des Fachwerks werden, was man durch passende Wahl der Poldistanz b ganz in der Hand hat. Besonders praktisch wird das Verfahren, wenn die Felderlängen a gleich grofs werden, da dann der oben genannte zweite Mafsstab konstant bleibt; sonst mufs für abweichende Felderlängen a' ein anderer Mafsstab ermittelt oder besser, es müssen die Ordinaten y' und y“ nicht direkt, sondern ihr ^--fâches aufgetragen werden, in welchem Falle man durchaus den zweiten Mafsstab benutzen kann.

d) Mehrfache Knoten. Hat ein ebenes Fachwerk keine zweistäbigen Knotenpunkte und lassen sich keine Schnitte führen, welche nur drei Stäbe treffen, so mufs entweder das allgemeine Verfahren eingeschlagen werden, d. h. es müssen die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten aufgestellt und daraus die Stabkräfte gerechnet werden, oder man kann folgendes, zuerst von Henneberg angegebene Verfahren benutzen, das an dem Beispiele des Sechseckes mit drei Diagonalen erläutert werden soll.

In Fig. 17, I (S. 233) beseitige man einen Stab des Fachwerks, z. B. 8, und ersetze denselben durch einen gedachten Stab 10, wodurch das Fachwerk statisch bestimmt bleibt. Die Spannungen S“ in diesem System X', auf welches wir uns die gegebenen äufseren Kräfte wirkend denken wollen, lassen sich leicht ermitteln, sie sind in Fig. 17, II nach dem Verfahren von Cremona bestimmt. Nun nehme man in den Knotenpunkten F und C zwei äufsere Kräfte a = F* C* und 6'* F* an und bestimme die Spannungen, welche sie im unbelasteten System S' erzeugen ; diese Spannungen seien S", S" u. s. w. Im Stabe 10 tritt die Spannung S"₀ auf, welche durch die besonders bezeichnete Strecke J K gegeben ist. Man ändere nun die Gröfse C* F* so, dafs die in 10 erzeugte Spannung der Gröfse nach gleich dem S'1(n dem Sinne nach jedoch entgegengesetzt wird. Da in unserer

Werte S".

zu bilden, was mit Hilfe eines Proportionalwinkels sehr leicht geschehen kann und die so erhaltenen Werte von den Gröfsen 8[ S₂ u. s. w. zu subtrahieren,

q ii

Avas in der Figur erfolgt ist, oder man kann die Fig. III mit dem Werte F* C* . -j]F nochmals konstruieren, wodurch man die Spannungen u. s. w. erhält, Avelche von Sj', S's. . . algebraisch subtrahiert, die wahren Spannungen S, S₂ u. s. av. geben.

Auf kinematischem Wege ist es leicht, ein Kennzeichen für solche verschiebliche Systeme zu finden. Stellt man A B fest (Fig. IV), entfernt den Stab F C und erteilt dem Punkte F die Geschwindigkeit FF1? so ist das Geschwindigkeitspolygon der verbleibenden kinematischen Kette vollkommen bestimmt. (7, Fx giebt die relative Ge-schwindigkeit der Punkte FC, welche sich in die Dehnungsgeschwindigkeit F₁C/ und die Drehungsgeschwindigkeit Cx C' zerlegen lädst. Wird F, C' — 0, d. h. Ft Cx senkrecht auf F G, so ist eine BoAvegung des Systems möglich, ohne dafs FC seine Länge ändert, es könnte also auch ein Stab FC eingeschaltet werden, welcher das System nicht starr macht, obAvohl die Zahl der Stäbe dann ausreichend ist.

Figur S'o eine Zugspannung, J K = S[Ó ebenfalls ein Zug wird, so hat man einfach die GH JK

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Fig. 17.

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§ 11. Keclmungsrnäfsige Ermittelung der Spannungen (Ritter’s Methode).

Man zerlegt die Konstruktion durch einen Schnitt, welcher womöglich nur drei Stäbe trifft, in zwei Teile, und betrachtet einen dieser Teile, indem man zunächst die Spannungen

der getroffenen Stäbe durch Kräfte ersetzt, welche vom Schnitte weg wirken. Stellt man nun für diesen Teil die Gleichung der statischen Momente auf und wählt, um eine der Stab Spannungen zu bestimmen, den Schnittpunkt der beiden anderen als Drehpunkt, so erhält man eine Gleichung, aus welcher die verlangte Spannung direkt ermittelt werden kann. Fällt das Zeichen positiv aus, so hat inan es mit einer Zug-, andernfalls mit einer Druckspannung zu thun. Wenn man durch den Schnittpunkt 0 (Fig. 18) der Gurtstäbe CD und FF eine Wagerechte bis zum Schnitte L mit C F zieht und durch L einen lotrechten Schnitt legt, so erhält man:

Für den Obergurt (Drehpunkt F)

S₀. o + R . YP = 0.

o o CylCjXL.

o\ -ar.

i^is:

Fig. 18.

2T\

\cr

\"

-/

If

Die Gröfse B . FP werde das Moment der äufseren Kräfte, bezogen auf F\

genannt und mit M" bezeichnet. Es soll positiv heifsen, wenn es auf den Trägerteil

links vom Schnitt im Uhrzeigersinne dreht. Man hat daher:

45a.

er    M“ ,    «    M“

So =--— oder S₀ = — -yr secy . . .

Die Spannung ist ein Druck, so lange das Moment positiv ist.

Für den Untergurt (Drehpunkt C)

— Su. u + R . ÖJ= 0,

daraus

45b.

Sa = -j--— oder Su — -f- —^— sec 5,

wenn mit 3P das Moment von i?, bezogen auf GT, bezeichnet wird. Für die Diagonale C F (Drehpunkt 0)

daraus

+ Sd . d — Br = 0,

Br

. 46.

--    M

zogen auf U, so wird Sd = (B

Setzt man r — dseca — KL — d sec a--yr, wenn M das Moment von B be

iz \ lx -y cos a J sec a.

Bedenkt man ferner, dafs h — OL (tang7 -f- tany 0) = dseca (tany 7 -f- lany o), so ergiebt sich:

Si = [/>>

47.

~ (tany 7 -j- tany o)J sec a

Zu einer anderen Formel für Sd führt die Bedingung, dafs die Summe der wage-rechten Seitenkräfte der Stabspannungen S₀, Sd und Sa gleich Null sein müsse.

Man erhält

S₀ cos y -f- SA sin a -R Sucosd — 0

und wenn man die Werte aus Gl. 45a und 45b einsetzt, nach kurzer Rechnung:

sin a Sd — (

M“

h“

M' \ h‘ )

48.

Zur Bestimmung der Spannung der Pfosten CE lege man den Schnitt II. Für

diesen sei IV die Mittelkraft der äufseren Kräfte, so ergiebt sich für 0‘ als Drehpunkt, wenn O' Q — v ist :

somit :

— Sy . v — PV r' — 0, R‘r‘

Sy = -

49.

so wird:

Setzt man wieder r' = 0' Q — T Q und TQ . Ry — M“\ ferner IV — v {tang 7' -f- tang §),

{tang Y -}-

M“¹

nr

Weitere Yerfahrungs- und Berechnungsweisen bringen wir weiter unten.

Sy =

R'

50.

§ 12. Das räumliche Facliwerk. Das einfachste Bildungsgesetz eines räumlichen Fachwerks ergiebt sich, wenn man von einem Grunddreiecke ausgeht und an dieses einen neuen Punkt mittels dreier widerstandsfähiger, nicht in einer Ebene liegender Stäbe, jeden weiteren Knotenpunkt mittels dreier solcher Stäbe an bereits vorhandene knüpft; ebenso baut sich das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk in der Weise auf, dafs man an ein Grunddreieck einen neuen Punkt mittels zweier in der Ebene, jedoch nicht in einer Geraden liegender Stäbe bindet und jeden weiteren Knotenpunkt gleicherweise an zwei bestehende knüpft.

Es sei in einem geschlossenen räumlichen Fachwerke x₃, x₄ die Anzahl der drei-stäbigen, vierstäbigen u. s. w. Knotenpunkte, a die Anzahl der Stäbe, x die Gesamtzahl der Knotenpunkte, so ist:

X — X₃ -j- %₄ -R Z₃ + X₆-f-.....

Da jeder Stab zwei Knoten verbindet, erhält man für die Anzahl der Stäbe: 2 o = 3 %3 ~j~ 4 x₄ -j— o %5 -j- 6 Zu -j— < z,.

Da für statisch bestimmte Systeme 3 % = o -}- 6 sein mufs, so ergiebt sich aus beiden Gleichungen durch Elimination von a und x :

.    .    (a).

12 = 3 Xj -f- 2 x₄ -)- x₅ — X; — 2 xa — 3 x₉ .    .

Ist x₃ = 0, so mufs 2 x, -j~ x₅ = 12 -j- x₇ -j- 2 x₈ -f- 3 x₉ sein. Daraus folgt: Sind keine dreifachen und vierfachen Knoten da, so müssen mindestens 12 fünffache, sind keine dreifachen und fünffachen da, so müssen mindestens 6 vierfache Knotenpunkte und für diesen Fall 2 a = 4 . 6 == 24, a — 12 Stäbe da sein.

Die Gleichungen (a) deuten die statisch bestimmten Grundfach werke an, die mög

lich sind.

Für x₄ = x₅ = x₇ = x₈ . . . = 0 wird x;i = 4. Das einfachste Fachwerk mit dreistäbigen Knoten ist das Tetraeder.

Für x₃ = x₃ = x₇ = xg . . . = 0 wird xt = 6. Das einfachste regelmäfsige Fachwerk dieser Art ist das Hexaeder.

Das Fach werk mit lauter fünfstäbigen Knoten ergiebt sich für x₃ = x₄ = x₇ = x₈... = 0 wird x₅ = 12. Das regulärste Zwölfeck dieser Art ist das Ikosaeder.

§ 13. Bestimmung der Spannungen im Baumfachwerk. Sind in einem räumlichen Stab werk mit dreistäbigen Knoten die in den Knotenpunkten angreifenden Kräfte bekannt, so ist cs sehr einfach, die inneren Kräfte zu bestimmen; wir haben nur die im Knoten angreifende Kraft P in drei Kräfte zu zerlegen, die in die Richtung der Stäbe fallen, eine Aufgabe, die mit Hilfe des Kräfteprismas, wonach P die Diagonale eines Prismas ist, dessen im Angriffspunkte sich schneidende drei Kantenrichtungen den Stabrichtungen entsprechen, leicht lösen läfst.

Fig. 19.

IV

Sind 1, 2, 3 die von 0 ausgehenden, durch ihre Projektionen P, 2', 3' und 1", 2", 3" gegebenen Stabrichtungen, ist P die durch die Projektionen P/ und P" nach Gröfse und Richtung gegebene Kraft, so ziehe man durch P eine Parallele C zu 3 und bringe sie zum Schnitte mit der Ebene der Stäbe 1, 2, so erhält man einen Eckpunkt des Prismas, dessen Kanten die Stabkräfte darstellen. Für die graphische Ermittelung dieses Durchstofspunktes lege man durch die Gerade C eine zur zweiten Projektionsebene senkrechte Ebene und suche die den Schnittpunkten M" und N" entsprechenden Horizontalprojektionen M' AT/, so giebt der Schnitt der Geraden C' mit M' N' die Horizontalprojektion des Durchstofspunktes und zugleich durch It' J' die Horizontalkomponente der Stabkraft C ; die anderen Komponenten können durch Ziehen der Parallelen gefunden werden. Für die eigentliche Konstruktion werden selbstverständlich die übrigen in der Zeichnung punktierten Linien', die das Kräfteprisma in beiden Projektionen darstellen, entbehrlich. Verfahren mittels Ersatzstäben. Wenn ein räumliches Fachwerk an sich

ß"

2"

1"

2’

C\r

B"

O"

XI'

C'

.AV

Al"

O'

oder ein durch Ausschaltung der dreifachen Knoten aus einem solchen entstandenes vereinfachtes Fachwerk.nur vierfache oder höhere Knoten aufweist, so ist die Anwendung der Methode, wonach jede Knotenkraft in drei Stabkräfte eindeutig zerlegt wird, nicht mehr möglich. Ganz dasselbe gilt, wenn in einem ebenen Fachwerke lauter dreifache Knoten Vorkommen und kein ebener Schnitt möglich ist, der weniger als vier Stäbe trifft; in solchen Fällen kommt zweckmäfsig das Verfahren der Ersatzstäbe zur Anwendung.

Es besteht darin, dafs man aus dem gegebenen Fachwerke X einen Stab a aus-schaltet und durch einen anderen e ersetzt, der zwei Endpunkte der verbleibenden Stäbe verbindet, wobei die Einschaltung dieses Stabes an die Bedingung geknüpft ist, dafs E', das so umgestaltete Fachwerk, neuerdings statisch bestimmt sei.

Man ersetze die Wirkung des ausgeschalteten Stabes durch die Spannungen X

und betrachte diese als äufsere Kraft, so ergiebt sich für den eingeschalteten Stab im System S' :

Se = y(P)-faX,

wobei 9 (P) die von der Belastung des X lierrührende, a die von X — 1 lierrührende Spannung ist. Aus der Bedingung, dafs Se = 0 sein mufs, ergiebt sieb:

- ? (P)

Bei Wahl des Ersatzstabes ist mit Vorsicht zu verfahren ; im untenstehenden Falle würde die Wahl des Stabes GI) als Ersatzstab für C B unzulässig sein, da das verbleibende Fachwerk nicht statisch bestimmt ist, vielmehr durch Einschaltung dieses Stabes ein überstarres Viereck, bezw. ein Tetraeder mit in einer Ebene liegenden Stäben bliebe. Die Methode kann für die Berechnung des allgemeinen Brückenfachwerks angewendet werden.

Weist das Fachwerk fünffache Knotenpunkte auf, so kann ganz derselbe Vorgang eingeschlagen werden. Es seien a, b die ausgeschalteten Stäbe des Systems £, e und / die Ersatzstäbe des Systems Sb

Die Spannungen, welche die äufseren Kräfte im System E' hervorrufen, seien #1, die Spannungen der ausgeschalteten Stäbe seien V, Y, die Spannungen, welche V = 1 bezw. Y — 1 im Systeme E' erzeugen, a.m, ßm, mithin für die wirkliche Spannung :

Sm — S'm -f- «rn X -f- ßm Y.

Für die beiden Stäbe e und / findet sich:

Se = S'e + xeX + peY= 0,

S< = & + afX+ ßf F = 0.

Aus diesen beiden Gleichungen rechnen sich die Werte X und Y und mit diesen die wahren Werte, Sm.

Die Methode läfst sich sehr leicht auch graphisch durchführen.

Die Ausschaltung des Stabes C B und Anordnung des Ersatzstabes I) E gestaltet das verbleibende Fachwerk wieder zu einem gegliederten Tragkörper, was es als Ganzes war (Fig. 20).

Die Kräfte P₂ und X können nach den drei Richtungen in B zerlegt und dadurch der Knoten ausgeschaltet und durch die Stabkräfte ersetzt werden.

Der verbleibende Tragkörper CEDES kann nun wieder durch Ausschaltung des Stabes E D und Einschaltung eines Stabes G F in einen kleineren Tragkörper G EIIFS und sechs Stäbe zerlegt werden. Da X so zu zählen ist, dafs es die Spannung des ersten Ersatzstabes zu Kuli macht, ist für die weitere Zerlegung diese Spannung Kuli anzunehmen. Wir erhalten dadurch zunächst einen Dreistabknoten D, auf dem zAvei Kräfte P/ und a X wirken werden, die wir wieder nach den drei Stabrichtungen zerlegen müssen; nun läfst sich C ausschalten, das nunmehr dreistäbig ist u. s. w.

Wir haben durch diesen Vorgang den ganzen Tragkörper um ein Feld verkürzt und können so fortfahren, den ganzen Träger schliefslich auf einen keilförmigen Tragkörper zurückzuführen.

Fig. 20.

Ar

ÎM I

p,

pJb

Ersetzt man in einem beliebigen Felde (Fig. 21) zwei Stäbe X u. Y durch Ersatzstäbe, welche die beiderseits verbleibenden Fachwerke zu zwei Tragkörpern I und II machen, so

kann man alle äufseren Kräfte, welche auf einen Tragkörper wirken, allgemein auf eine Resultierende it und ein senkrecht zu derselben drehendes Kräftepaar zurückführen; da der ganze Körper im Gleichgewichte ist, mufs B und M für den zweiten Tragkörper den ersten Werten entgegengesetzt gleich sein. Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich die sechs Stabkräfte direkt als Funktion der äufseren Kräfte P, M rechnen. Hierzu kommen aber noch X und Y als äufsere Kräfte.

Hie Bestimmung der Spannungen in den Stäben eines räumlichen Fachwerks jener Art, wie wir sie bei Balkenbrücken treffen, stöfst schon unter der Annahme bestimmter Stützenwiderstände als äufsere Kräfte auf nicht unbeträchtliche Schwierigkeiten, da keine oder höchstens zwei Knotenpunkte Vorkommen, in denen sich nur drei Stäbe treffen und selbst in letzterem Falle nach Hinwegschaffung dieser dreifachen Knoten durch Ermittelung und Einführung der ersetzenden Stabspannung an Stelle der angreifenden Knotenkraft, alle verbleibenden Knotenpunkte mehr als dreistäbig sind. Hie Bestimmung der Stabkräfte nach Yerfahrungsarten, welche etwa jenen von Cremona oder Ritter für ebene Stabgebilde entsprechen würden, versagt und nur die Einführung von Ersatzstäben nach Henneberg, welche wir bei der Ermittelung von Stab Spannungen mit dreistäbigen ebenen Fachwerken kennen gelernt haben, bieten ein immerhin umständliches Mittel, das räumliche Fachwerk auf ein einfacheres zurückzuführen, stöfst aber bei der wirklichen Ausführung auf die Bewältigung weitläufiger Berechnungen.

Wir wollen hier noch ein anderes Verfahren kennen lernen, das im Wesen darin besteht, durch Einführung der Spannungen bestimmter Stäbe als vorläufig unbekannte Grüfsen das räumliche Fachwerk auf ebene Fachwerke zurückzuführen und aus den

Gleichgewichtsbedingungen für diese die vorläufig unbekannten Spannungen und mit ihrer Hilfe alle übrigen zu bestimmen.⁸) Wir erläutern das Sy-jj stem an einem bestimmten Beispiele (s. auch T. YI).

Ein räumliches Fachwerk I II ..., T IF ... X (Fig. 22 u. 23) werde in irgend einemKnotonpunkte von drei Kräften P, N, W angegriffen. Hie Stabspannungen sind zu ermitteln. Hie Stabbezeichnungen sind in Fig. 23, die Kräfte in Fig. 22 eingetragen.

Fig. 21.

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X'

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Fig. 22.

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'X'

⁸) Wesentliche Betrachtungen über das oben vom Verfasser entwickelte Verfahren finden sich bei : F. Engesser. Die Zusatzkräfte und Nebenspannungen eiserner Fachwerksbrücken. Berlin 1892.

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Fig. 23.

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Die Bestimmung der Auflagerwiderstände setzt voraus, dafs wir über die Art der Festhaltung der Auflagerpunkte im Klaren sind. Wir wollen zuerst annebmen, dafs I, welchen Punkt wir gleichzeitig als den Ursprung eines Koordinatensystems auffassen, festgehalten sei, VII gezAvungen sei, sich auf der «-Achse I VII zu bewegen und P stets auf der x . y- Ebene bleiben müsse. Sind a, b, c die Koordinaten des Lastangriffpunktes und ist l die Stützweite, so findet sich für die in der Figur gezeichneten Auflager Aviderstän de AB CB E F:

Summe der Seitenkräfte parallel zur 2-Aehse =0, A -j- I) -}- F— P= 0,

„ «/-Achse = 0, C + E — W = 0,

„ «-Achse =0, B — N — 0.

Ferner dafs die Summe der Drehmomente gleich Kuli sein müsse: um die «-Achse Fb — Pb -f- Wc = 0,

„    „    «/-Achse — 1)1 -f- Pa — Nc = 0,

„    „    s- Achse El -j- Nb — W a — 0.

55

55

55

55

55

55

55

Daraus nach kurzer Zusammenziehung der Werte, wenn wir / —

a =*= a' schreiben :

= --fp + fłr+

= + N,

= f W + A N,

= + TP

i a rxr b

— + y W —

= P — IF -

~ N l iv’

¹

) Vergl. Müller-BresDlu. Graphische Statik 1887, S. 208; ferner die Arbeiten von Mohr und Land. — Nähere Angaben folgen im Literaturverzeichnis,

"Wir wollen nun annehmen, dafs in YII eine weitere Kraft als vorläufig unbekannter Widerstand angreife, für den wir setzen:

X =    W + X.

Der erste Teil dieses Widerstandes wäre jener Teil des Gesamtwertes, welcher dem Falle entsprechen würde, dafs die vordere Tragwand als ebener Träger in 1/ und YII' gestützt wäre, der zweite Teil entspräche dem Widerstande, den der Punkt YIP der Drehung des Gesamtfachwerks um die a-Achse entgegensetzen würde. Um die Gegenkräfte zu ermitteln, die X' in den Punkten I, YII, I' erzeugt, haben wir in nachstehenden Ausdrücken für A, B... . u. s. w. — X an Stelle von P, aufserdem W =0, N = 0, a — /, c — 0 zu setzen und erhalten für diese Gegenkräfte:

A* = X\ P* = 0, C* == 0, P* = — X', E* = 0, F* = — X\ oder wenn man die Werte A! — A -f A* bildet und für X' den obigen Wert einsetzt, für die Stützen widerstände :

A' =

a'c

ly =

fF+jN+X, B = Y, C — ~ W i ~ W — j N — X, FA = j W —

Y,

P — — w~ x.

Die Kräfte P, IF, Y, X mit ihren Gegenkräften bilden je ein System im Gleichgewicht befindlicher Kräfte, das wir für sich betrachten wollen; die Bestimmung der Gröfse von X ist nur mit Hilfe der Formänderungsarbeit möglich und soll erst später erfolgen.

Als 1. Belastungsfall betrachten wir die Wirkung der lotrechten Kraft 1\ die von uns angegebene Belastung erzeugt die Spannungen:

8 = a P -f ß X.

Die Werte a entsprechen im vorliegenden Falle den Strecken eines Cremona-planes für die Yorderwand, wrenn wir diese als ebenes Fachwerk betrachten und eine bestimmte Strecke als Einheit annehmen. Dieser Cremonaplan ist unter F. 19, T. YI gezeichnet.

Für die Ermittelung der Werte ß wird das Yerfahren umständlicher. Wir nehmen zunächst an, dafs in dem Riegel t eine Druckspannung wirke, welche in der Länge dieses Riegels ihr Mafs finde. Daraus ergiebt sich, dafs in den Riegeln rß r', 1*4, r[ des oberen Windverbandes Zugspannungen, in den Diagonalen «G, ?G, w's, iv{ Druckspannungen auftreten, die durch die Länge dieser Stäbe gemessen werden und in T. YI, F. 3 u. 4 dargestellt sind; denkt man sich einen ebenen Schnitt dicht an der Hinterwand parallel zu dieser geführt, so werden neben den Kräften X die zur Hinterwand parallelen Seitenkräfte der Winddiagonalen als äufsere Kräfte auftreten (T. YI, F. 5). Die von diesen Spannungen herrührenden Kräfte haben die Eigentümlichkeit, dafs sie im vorliegenden Falle durch die Umfassungsstäbe der Trag wand gemessen werden und diesen Umfang dem Uhrzeigersinne entgegen durchlaufen. Für solche Kräfte entspricht das Moment der Kräfte für irgend einen Punkt innerhalb des Umfanges dem doppelten Flächeninhalte der umschlossenen Figur. Ist h die Höhe, l die Basis eines Rechteckes vom gleichen Inhalt wie die umschlossene Figur, so ist das Moment durch 2 / h gegeben. Die Gleichgew ichtsbedingung für den Auflagerpunkt YII ergiebt X . I — 2 / h — 0 oder X — 2 h : die Gröfse X ist durch die doppelte Höhe des flächengleichen Rechteckes gegeben.

Konstruiert man einen Alafsstab, indem man 2h— 1 macht (T. VI, F. 9), so geben die nach diesem Mafsstabe abgemessenen AVerte 0t, 0., u. s. w. der F. 6 die AVerte ß.

ermittelt, die, ebenfalls nach Mafsstab

In gleicher Weise wurde mittels eines Schnittes 22 die vordere AVand abgetrennt und die bezüglichen Spannungen OJ, 0'₂ ... .

T. AH, F. 9 gemessen, die AVerte ß ergeben.

Belastungsfall 2. In diesem Falle nehmen wir eine wagerechte Kraft W in V' wirkend an.

Die Bestimmung wird umständlicher. Wir führen wieder (T. YI, F. 10) zunächst einen Schnitt parallel zur Hmterwand, bezeichnen die zunächst unbekannte Spannung II', eines Riegels r₂ links von W mit -j- F, die unbekannte Spannung der Riegel r‘-0 rechts von W mit Y\ endlich die unbekannte Spannung der Riegel r₂, r₃, r₄ des unteren Windverbandes mit Z, so erscheinen die äufseren Kräfte in der hinteren und vorderen Tragwand durch die in den Figuren 10 u. 12, T. AM bezeichnete AVeise gegeben.

Die drei Bedingungen, dafs für die hintere Tragwand die Summe der Arertikal-kräfte gleich Kuli, die Summe der Horizontalkräfte gleich Kuli und die Summe der Drehmomente für den Punkt I gleich Kuli sein müsse, geben für unseren Fall, wenn l = 16 Einheiten :

—    16 Y -f 26 Y' — 16 . 5 W = 0,

—    4 Z + 3 Y — Y = 0,

—    Y — Y' 4- W — 0,

woraus :

^ = 0,024 W, Y = 0,226 IF, Y' = 0,774 W.

Diese AVerte erfüllen auch die Gleichgewichtsbedingungen für die Vorderwand. Alit ihnen wurden die Cremonapläne unter Annahme einer bestimmten Strecke für das Mills von W gezeichnet.

Die AVerte 01? 0₂ u. s. w. 0'L, 0₂ . . . nach diesem Mafse als Einheit gemessen, geben die AVerte a für den vorliegenden Belastungsfall.

III. Die Ermittelung’ der Formänderung*.

§ 14. Allgemeines. Verscliiebungspläne ebener und räumlicher Kurven.

Alacht ein elastischer Körper aus irgend einer Ursache eine sehr kleine Formänderung durch, so wird irgend ein Punkt A seiner Oberfläche in eine neue Lage A‘ gelangen. Trägt man A A! oder ein bestimmtes Vielfaches dieser Strecke nach Gröfse, Richtung und Sinn von einem festen Pole P aus auf, so erhält man einen Punkt A,. Der Inbegriff aller so erhaltenen Punkte A₁ liefert eine Fläche, die wir die AVilliotf lâche nennen wollen. Sind A und B zwei Punkte der Oberfläche, so entsprechen ihnen zwei Punkte Ay P, der Williotflächc. Ay P, heilst die relative Verrückung der Punkte AB. Diese läfst sich in zwei Komponenten zerlegen, von denen eine AyB* parallel zu A B ist, die andere P* P₄ in eine Ebene fällt, die senkrecht zum Elemente steht. Wird Ay B* gleich Kuli, so findet zwischen A B keine Längenänderung statt. Das entsprechende Element der AVilliotfläche steht senkrecht auf der Geraden AB. Findet keinerlei Drehung statt, so werden die Elemente der AVilliotfläche parallel zu jenen des Körpers. Es ist für bestimmte Belastungen und bestimmte Formen des Körpers möglich, die entsprechende AVilliotfläche graphisch zu ermitteln. Erscheint der fragliche Körper durch ein räumliches Fachwerk ersetzt, so entsprechen den Knotenpunkten ABC u. s. w. Punkte AxByCy eines Polyeders. Es ist nicht schwierig, dieses Polyeder zu ermitteln, wenn man die einzelnen Längenänderungen kennt.

16

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

Fig. 24.

: -da...,

Wir werden später auf Aufgaben dieser Art zurückkommen und wollen liier uns zunächst dem geraden und gekrümmten Stabe zuwenden. Wir binden ferner unsere Untersuchung zunächst an die Annahme, dafs die Achse des Stabes in einer Ebene liege und während der Formänderung nicht aus derselben heraustrete.

Ändert eine Kurve, Fig. 24, die Stammkurve, E ihre Form und Lage, betrachtet man z wei sehr nahe liegende Momente dieser Änderung, sind A und Ä zwei zusammengehörige Punkte und trägt man ein Yielfaches der Strecke A A‘ nach Gröfse, Richtung und Sinn von einem festen Pole P aus auf, so erhält man eine andere Kurve P, /),, welche wir die W i 11 i o t k u r v e nennen wollen. Sind A und B zwei unendlich nahe liegende Punkte der Stammkurve, so entsprechen ihnen zwei Punkte Al B{ der Williotkurve. Ax Bx läfst sich in zwei Komponenten zerlegen, von denen die erste /l, B* parallel zu MP, die zweite P,B* senkrecht zu AB sich erstreckt. A, P* entspricht der Verlängerung Ads der kleinen Strecke AB = ds. Pie Strecke P* Bx stellt eine Drehung dar, welche B senkrecht zum Elemente erleidet. Erleiden die Elemente der Kurve keine relativen Drehungen, so werden die Strecken B* Bx — 0. Die Elemente der Williotkurve schliefsen denselben Winkel ein wie jene der ersten Kurve. Williotkurve und Stammkurve werden einander ähnlich. Findet

dz.

\ B}

Fig. 25.

-O-A*

do

o/

aufser der elastischen Formänderung keinerlei Ortsveränderung der Stammkurve statt und ändern die Elemente der Stammkurve ihre

y?

70

10

k\ Länge nicht, machen dieselben also ausschliefslich Winkelände-Ä\ rungen durch, so erhalten w# eine Williotkurve, deren Elemente 1 7 senkrecht auf den Elementen der Stammkurve stehen. In neben-stehendem Beispiele ist die Williotkurve für einen Kreis gezeichnet, welcher ohne Längenänderung der Kurvenelemente in eine Ellipse übergeht. Ist die Stammkurve die Achse eines

gekrümmten Stabes, so ist die Winkeländerung d7 zweier Ele-

Mds

/2.

«V

~6

gegeben.

mente durch den Ausdruck d y =

Denkt man sich zur Feststellung der Kurve ein Element 0 ₇ in P festgehalten, so wird das nächste bei der Formänderung nicht nur die Drehung um das Nachbarelement, sondern aller vorhergegangenen mitmachen, es wird daher

EJ

P, B* =fdf ds — f

Md A

EJ ’

während wir für die Längenänderung des Elementes die Gröfse

Ndjt E E

erhalten.

In nachstehender Fig. 26 ist die relativ sehr grofse Formänderung eines Trägers 1 gezeichnet. Die Wege der Ilmfangspunkte sind in doppelter Gröfse von P, einem festen Pole, aus aufgetragen und wurde dadurch ein Verschiebungsplan erhalten. Der geschlossenen Figur 0 1 2 ... 17 0 entspricht eine geschlossene, in sich verschlungene Figur 0,1, 2,... 17, 0,.

Werden die Verschiebungen sehr klein, so fallen in II die beiden Kurven in eine zusammen, ebenso die beiden Geraden 0, 17, und 8, 9,; die diesbezügliche Darstellung ist in Figur IV gegeben.

Fig. 26.

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Der Figur liegt die Annahme zu Grunde, dais die Schubkräfte bei Ermittelung der Durchbiegung vernachlässigt werden. Der Mittellinie des Trägers ab entspricht als Williotkurve die Gerade a, sie steht senkrecht auf ab, längs dieser Linie finden keine Längenänderungen der Elemente statt, es müssen also auch die sich entsprechenden Elemente der Stammkurve und Williotkurve aufeinander senkrecht stehen.

Trägt man die den Winkeländerungen zwischen zwei Elementen entsprechenden Bogenlängen als Kräfte auf und wählt r als Polabstand fs. Fig. 26, III), so erhält man die in § 17 erklärte Biegungslinie; die einander entsprechenden Punkte 4" und 4i, 5" und 5i müssen je in einer Wagerechten liegen.

Wir gehen nunmehr daran, das Verfahren weiter in Beispielen' zu erläutern. In

Fig. 27 (S. 244) stellt I als Stammkurve ein Kreissegment dar. Es wird angenommen, dafs die Winkeländerung zwischen den Elementen 0 1, 12 proportional t/„ die Winkeländerung zwischen 1 2, 2 3 proportional y.₂ u. s. w. sei. Hält man zunächst das Element 01 fest und wählt P als Pol, so entspricht die feste Lage des Poles den Punkten 0' P.

Der Weg, den 2 bei der Drehung um Punkt 1 beschreibt, ist nach obigem a. yx, wenn a ein Zahlenquotient (in unserer Figur a = 0,1). Wir erhalten unter II eine Williotkurve O' P 2' 4' . . . 10,, deren Elemente senkrecht auf den bezüglichen Elementen der Stammkurve stehen und deren Längen der Reihe nach sind 0'2' = a yx, 2' 3' == a (yt -j- y<>),    3' 4' = a (?/, -j y., -|- y₃).    4'5' = a (y, -f- y., -j- ys -f- y₄) . . . .

Die Lage des Punktes 10, giebt uns durch P10, die Verschiebung des Punktes 10. Diese Verschiebung läfst sich in eine Wagerechte A(₀ und eine Lotrechte zerlegen. Letztere entspricht einer Drehung des Punktes 10 um 0.

Ist die Bedingung gegeben, dafs 10 auf einer Wagerechten bleiben mufs, so gelangen wir zu den wahren Verschiebungen, indem wir den deformierten Bogen derart nach oben drehen, dais die gesamte lotrechte Verschiebung von Punkt 10 gleich Null wird; dieser Drehung des deformierten Bogens entspricht die der Stammkurve ähnliche Williotkurve 0' 1" 2" 3"... Die resultierende Bewegung 8" 8X entspricht dann der wahren und die wahren Bewegungen, von einem festen Pole 0 (Fig. III) aufgetragen, geben die wahren Verrückungen. Die Elemente O'F, F 2" u. s. w. in HI müssen wieder auf den entsprechenden Elementen der Stammkurve senkrecht stehen.

Es ist im gegebenen Falle leicht die Kurve in III direkt zu konstruieren. Wir denken uns 5 festgehalten und nehmen 5' in III als Pol an, nehmen ferner an, dafs sich die Elemente 5 4 und 5 6 je um die halbe Gröfse ct.ys um 5 drehen, machen also 5'6t = —

±54, im weiteren ergiebt sich dann 6, 7, = a (-y- -j-    ;

±56 und 5'4' =

u. s. W.

7i 8 t = a    —(-' y₀ -f- y₇)

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Fig. 27.

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In Fig. 27, V ist die Williotkurve für den Fall dargestellt, dafs Verkürzungen der Elemente eintreten, und die Gröfse dieser Verkürzung der Achsialkraft proportional sei, welche eine Horizontalkraft H im Elemente erzeugt. Diese Achsialkräfte in den Elementen 01, 12, 23 sind in unserem Falle in IV durch die Strecken a 0, a 1, a 2 u. s. w. gegeben, wenn ab — II gemacht wird. Die Verkürzungen der Elemente 0 1 2,3, ... in V sind als irgendwelche Teile (in unserem Beispiele —) der den Elementen entsprechenden Achsialkräfte aufgetragen.

In Fig. VI ist angenommen, dafs jedes Element der Stammkurve eine gleich-grofse Verkürzung erleide, wie dies bei gleichmäfsiger Abkühlung vorkommt. Die Williotkurve wird eine der Stammkurve ähnliche.

Schliefslich wurde für einen Punkt 2 der Stammkurve die Gesamtverschiebung ermittelt, indem A* = 0'2' aus III, A" = 02t aus V, A"' = 0 2! aus VI abgegriffen und geometrisch addiert wurden. Die Summe Aä = AÎ -f- A" -j- A," in VII giebt die Ge-samtverscliiebung von 2, sie läfst sieli wieder in eine wagerechte und eine lotrechte Verschiebung zerlegen.

zu den bezüglichen Ele-zu den Normalen der entsprechen-

Die Williotkurven Y und YI sind Kurven der Dehnungen. HI ist eine Kurve der Drehungen. Die Elemente der Dehnungskurven sind menten der Stamm kurve, jene der Drehungskurve den Elemente der Stammkurve parallel.

Fig. 28.

Formänderungen im Raume;

1,

ds

Sind 012 zwei aufeinander folgende Elemente einer Stammkurve, die wir uns als Raumkurve denken wollen, und ist PR die vom Pole P auf getragene V errückung des Punktes 1, T?2₁ jene des Punktes 2, so läfst sich die relative Verrück- 6() ung der Punkte, d. i. 1,2, in drei Bewegungen zerlegen :

1.    In eine Verrückung X in Richtung des Elementes selbst, die eine Verlängerung oder Verkürzung des Elementes bedeutet.

Denkt man sich die Formänderung der Stammkurve so vorgenommen, dafs zunächst nur diese Art von Verrückungen sich vollziehen, so erhalten wir eine Williotkurve, deren Elemente den entsprechenden Elementen der Stammkurve parallel sind und die wir wie oben die Williotkurve der Dehn u n g e n nennen.

ds. W2

ÎV2

, wenn —

2.    In eine Verrückung A.', welche der Drehung des Punktes 2 um 1 in der Ebene der Elemente 0 1,12 entspricht, sie wird X = die Winkeländerung der Elemente in der Tangentialebene gegeben ist.

Nimmt man wieder an, dafs die Stammkurve ausschliefslich eine solche Formänderung durchmacht, so erhält man die Williotkurve der Drehungen, ihre Elemente stehen senkrecht auf den entsprechenden Elementen der Stammkurve und sind parallel zu den Tangentialebenen der Stammkurve.

3.    In eine Verrückung A' senkrecht zur Tangentialebene in 1 : wir wollen diese Verrückung die Verwindung nennen. Vollziehen sich an einer Kurve nur Verwindungen, so erhält man die Willi otkurve der Verwindungen. Ihre Elemente stehen senkrecht auf den entsprechenden Elementen der Stammkurve und sind senkrecht zu den Tangentialebenen der Stamm-Raumkurve.

Ist die Stammkurve eine ebene, so fallen sämtliche Elemente derselben in eine Ebene, die der Inbegriff aller Tangentialebenen ist. Die Williotkurve der Verwindungen wird in diesem Falle eine zur Ebene der Stammkurve senkrechte Gerade.

Ist A B die Kante eines Tragkörpers (Gurte eines Fachwerkträgers), der von wagerechten und lotrechten Kräften in Anspruch genommen wird (Fig. 29), so entsprechen dem Zuge A 1 2 3 4 5 B als Williotkurven

a)    für die Dehnungen eine Kurve II, deren Elemente J_ zu jenen der Stammkurve liegen und in die Zeichenebene fallen,

b)    für die Drehungen eine Kurve III in der Zeichenebene, deren Elemente

1 zur Stammkurve liegen,

Verbindet man II mit III, so erhält man die Williotkurve V der wahren Verschiebungen in der Zeichenebene ; verbindet man V mit IV, so erhält man eine Raumkurve, deren Projektion in der Zeichenebene durch V gegeben ist und deren Projektion auf eine Ebene senkrecht zur Zeichenebene durch VI gegeben ist. Die Williotkurve der gesamten Verschiebungen liegt auf einer Cylinderfläche, derenEr-zeugende senkrecht zur Ebene der Stammkurve sind und deren Schnitt mit der Zeichen-ebene durch die Kurve V gegeben ist.

c) für die Verwindungen eine Gerade IV senkrecht zur Zcichenebenc mit den Punkten A l₁2l3₁4₁ öx B.

s Fig. 29.

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§ 15. Yerscliiebungspläne des ebenen Fachwerks. Allgemeine Beziehungen. Bewegen sich die Punkte ABC eines Dreiecks, indem dasselbe gleichzeitig eine Formänderung durchmacht und trägt man ein Vielfaches der sehr klein gedachten Wege der Punkte von einem festen Pole P aus auf, so erhält man ein Dreieck A₁ Bl welches der Williot’sehe Verschiebungsplan des Dreiecks ABC lieifst. BlAl stellt die relative Verschiebung der Punkto B und A vor; sie läfst sich in eine Verschiebung Ac zerlegen, welche in die Richtung BA fällt, also eine Verlängerung oder Verkürzung der Strecke c darstellt und in eine Strecke senkrecht dazu, welche einer Drehung des Punktes A um

Fig-. 30.

B'

B entspricht. Ganz dasselbe gilt von der Strecke C₁ Ax. Aus der Figur ist aber nun zugleich die Lösung der wichtigen Aufgabe ersichtlich:

a,

c.

a*

Die relative Verschiebung Bv C\ zweier ç Punkte eines Dreiecks ABC ist bekannt es soll die Lage des dritten Punktes A im Verschiebungsplan gefunden werden, wenn A b und A c die Längenänderungen der Seiten b und c sind.

Wir tragen zunächst von Cx aus die Strecke A b parallel zu b auf und zwar im Sinne von C gegen A, wenn A b eine Verlängerung, also positiv, im entgegengesetzten Sinne, wenn A b eine Verkürzung, also negativ ist.

Am Ende der Strecke A b errichten wir eine Senkrechte. Ebenso tragen wir von aus A c parallel zu c und im Sinne B A auf, wenn A c eine Verlängerung ist, im entgegengesetzten Sinne, wenn es eine Verkürzung der Strecke bedeutet. Errichtet man im Endpunkte von Ac eine Senkrechte zu Ac, so schneiden sich die beiden Senkrechten im Punkte A,. Setzt sich ein Stabgebilde aus mehreren Dreiecken zusammen, so wird das Verfahren fortgesetzt und immer wieder ein Punkt des Verschiebungsplanes aus den gegebenen Verschiebungen der beiden anderen entwickelt.

Hierbei mufs von einer bestimmten Verschiebung zweier Punkte ausgegangen werden.

Fig. 31.

Bleibt das System starr, so finden keine Dehnungen statt; A a, A 6, Ac müssen gleich Yull werden, also mufs AlBl senkrecht auf AB stehen. Hieraus folgt leicht, dafs der Verschiebungsplan A, jeder starren Figur X geometrisch ähnlich der Figur selbst ist bezw. die Seiten von senkrecht auf jenen jp von Ï stehen müssen, s. Fig. 31.

Für jede mögliche kleine Bewegung eines starren Systems entspricht dem Punkte Pl in ein bestimmter Punkt ^3 in A, welcher der Pol oder das Momentancentrum heilst. Jede mögliche ebene Bewegung eines starren Systems läfst sieli mithin in jedem Augenblicke auf die Drehung um einen bestimmten Punkt zurückführen.

Jede Bewegung einer beliebigen Verbindung eines Gebildes von Punkten ABC. . . der Ebene (kinematische Kette), bei welcher das Gebilde seine Form ändert, läfst sich auf zwei Bewegungen zurückführen. Man kann zunächst dem starr gedachten Gebilde eine Drehung erteilen, bei welcher eine Gerade JK des Gebildes den für sie vorgeschriebenen Weg so zurücklegt, dafs J in die neue feste Lage und K in die Richtung der neuen Lage von JK kommt. Man kann dann J feststellen und die vorgeschriebene Formänderung der Kette vornehmen oder man kann auch den umgekehrten Weg ein-sehlagen.

Diese Methode führt zu einer graphischen Ermittelung der Formänderung eines elastischen Fachwerks. Sind S₁ S₂ . .. u. s. w. die für eine bestimmte Belastung er-.

mittclten Spannungen der Fachwerkstäbe von den Längen s1? n₂, s₃ u. s. w., F\, F₂, Fa

s', a*²⁼⁼ ~ePf,

Si

die Stabquerschnitte, En die Elasticitätsmoduln, so geben A st — u. s. w. die Längenänderungen.

Es seien zwei starre Gebilde 1 2 (Fig. 32 a) gegeben, welche sich in Bezug auf ein drittes 0, die Zeichenebene, welche wir uns in Ruhe denken wollen, einen Augenblick frei bewegen. Hierbei wird sich relativ 1 gegen 2 bewegen. Man kann die Gesamtbewegung vollziehen, indem man zuerst 2 ruhen läfst und 1 die entsprechende relative Bewegung erteilt: hierbei bleibt ein Punkt $ wegung, in Ruhe und der Erfolg ist derselbe, als ob 1 und 2 in $J3₁₂ durch ein Gelenk verbunden wären. Hierbei werde die Verschiebung von A durch B A' im Vor schieb ungs-plane Fig. 32 b gegeben. Yun denken wir uns 1 und 2 starr verbunden, was durch Festlegung des Dreiecks AB₁₂B erfolgen kann und erteilen diesem Gebilde die zweite Bewegung, welche durch Dreieck A"B"y$[₂ ~ Dreieck A B ₂ gegeben ist. Die Zusammensetzung beider Bewegungen giebt die den Punkten A, sj3,, und B entsprechenden Verschiebungen B G,, Ps$₂ und- PB". Der Pol Sjs, ₀ der gesamten Bewegung des Systems 1 ist in Fig. 32 a durch die Geraden A ₀ senkrecht zu

Ei Fi

s₂

12?

der Pol der relativen Be-

Ay B und s]3, -,

senkrecht zu Pty[U der .Pol der gesamten Bewegung von 2 durch $J$₁₈ $02 senkrecht zu P2 und B₂ senkrecht zu PB" gegeben. Infolge der Konstruktion müssen ^₁₂, ^02 und ^₁₀ auf einer Geraden liegen.

Bewegen sich zwei Gebilde 1 und 2 relativ und gleichzeitig in einer festen Ebene 0 (bezw. relativ zu einem dritten ruhenden Gebilde), so liegen der Pol $ß₁₂ der relativen Bewegung von 1 und 2, ferner die Pole ^3₀i und 2 der absoluten Bewegung der Systeme in Vergleich zu 0 auf einer Geraden.

Sind (Fig. 32 c) \der Stäbe 1, 2, 3, 4 gelenkförmig verbunden (Gelenkviereck), so sind die Pole der relativen Bewegung zweier gegenüberliegenden Seiten die Durchschnittspunkte der beiden anderen ; denn denkt man sich z. B. AB in Ifuhe, so müssen die Punkte C und D Bewegungen senkrecht zu 4 und 1 beschreiben, deren gemeinschaftlicher Mittelpunkt in 3 liegt.

Jedem ebenen Fach werke ABC, dessen Stäbe s ihre Längen um A s ändern, entspricht ein Verschiebungsplan, dessen Punkte A₁B₁C₁ die relativen Verschiebungen des Fachwerks angeben; für das räumliche Fachwerk tritt an Stelle des ebenen Verschiebungspolygons ein Verschiebungspolyeder.

In nachstehender Fig. 33 ist als Beispiel die Ermittelung der Formänderung eines Trägers I durchgeführt, der in H fest, in E längs einer Geraden HE beweglich gelagert ist und auf den die Kräfte P₁P₂PS wirken.

In Fig. II wurden zunächst die Kräfte I\ = 5 t, P₂ — 6 t, P₃ = 7,6 t längs einer Geraden abgetragen; es wurde ein beliebiger Pol 0 angenommen und mit Hilfe des Kräftepolygons in II das Seilpolygon in I ermittelt; die Schlufslinie HJ desselben führt im Kräftepolygon durch O K || JII zu Punkt V, der die Kräfte vertikale nach den Auflagerwiderständen in H und E unterteilt.

Fig. 32.

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B”

Nun ist es leicht, den Cremonaplan zu konstruieren, der zur Kenntnis der Spannungen im Systeme führt. Mit Zuhilfenahme dieser Spannungen und der als bekannt

vorausgesetzten Querschnittsflächen F sind die Längenänderungen As der Stäbe ermittelt

0,8 t . 1000,5,8 m. 1000

worden, es ist z. B., wenn F = 42 cm², A s, — wird ein Mafsstab für die Längenänderung gewählt; es ist dies unter III geschehen. Mit Hilfe desselben ist es leicht, den "Williotplan für das Fachwerk zu ermitteln.

42. 2000000

— 0,055 mm. Nun

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Fig. 33.

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Fig. 34.

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Hinsichtlich der Annahme des Poles bezw. der Wahl jenes Punktes und jener Richtung, die für die erste Konstruktion des Williotplanes als fest zu betrachten sind, ist zu bemerken, dafs dieselbe zunächst vollständig freisteht und unabhängig von jenem Punkte ist, der in Wirklichkeit festliegt. Bei Trägern mit frei auhiegenden Enden wird es sich stets empfehlen, zunächst jene Stabrichtung als fest anzunehmen, welche sich bei der zu untersuchenden Formänderung voraussichtlich gar nicht oder nur sehr wenig ändern wird. Bei Trägern mit symmetrischem Bau und symmetrischer Belastung wird man den mittelsten Punkt und eine durch denselben gehende lotrechte oder wagerechte Richtung als feststehend annehmen, bei Fig. 34,1 den Punkt A und die Richtung BI), bei Fig. II die Richtung A C und den Punkt A u. s. w. und hieraus einen symmetrischen Williotplan erhalten.

B A I)

Bei unsymmetrischer Belastung ist eine zwe ckmäfsige Wahl schwieriger, doch an sich gleichgiltig.

Wir wollen in unserem zum letzten Falle gehörigen Beispiele für die Konstruktion des ersten Williotplanes III in Fig. 33 zunächst den Punkt A und die Richtung 1 des Stabes A C festgehalten denken. Wir wählen die Lage des Poles P zusammenfallend mit A,

in IV beliebig; da in 1 Zug herrscht, tragen wir As, von A₁ aus in Richtung A C auf und gelangen zu Ct. Nun schreiten wir zur Ermittelung von /),, indem wir A s₂ als Verlängerung (denn S₂ ist ein Zug) von JL aus in Richtung von AD, As₃ von Gx aus in Richtung von CD aus auftragen und in den Endpunkten die den Drehungen der Stäbe entsprechenden Senkrechten zur Stabrichtung, die sich im Punkte Z), schneiden, errichten. Nun geht man an die Ermittelung von E. In Stab 4 herrscht Druck, es wird daher A entgegengesetzt zur Richtung von CE von €[ aus aufgetragen. In Stab 5 findet Zug statt, es ist daher A,s₅ in Richtung von DE aufzutragen. Die Senkrechten zu den Strecken A s₄ und A s₃ schneiden sich in E,, womit diese Trägerseite erledigt erscheint.

Wir gehen nun wieder von A₁ C\ aus und ermitteln i>,, dann vermittelst A₁B1 den Punkt 6r,, vermittelst B₁ Gx den Punkt E\, endlich vermittelst Gx F₁ den Punkt //,.

Die relative Bewegung von E gegen H ist durch die Strecke H₁EL gegeben. Wir denken uns nun für die weitere Untersuchung H den in Wirklichkeit ruhenden Punkt festgehalten, dann sind die relativen Bewegungen der einzelnen Punkte ABC u. s. w. gegen 11 durch die Strecken HlA₁, Hl Bx, HlC₁... u. s. w. gegeben. Die Bewegung des Punktes E, gegeben durch H₁E₁, läfst sich in zwei Komponenten HlE/

und E Ej zerlegen. Erstere entspricht einer Drehung des Punktes E um 11 im Uhr-

Ih E‘

gegeben, wobei der Zähler nach

HE

zeigersinne, die Gröfse dieser Drehung ist durch Mafsstab III, der Nenner nach Mafsstab I zu messen ist.

Würden wir diese Drehung allein vornehmen und der Träger starr sein, so erhielten wir das zu I ähnliche Polygon A' 11... IE. Fügen wir diese Drehung im entgegengesetzten Sinne zu dem Williotplane, so gelangen wir zu Strecken A'A

B'BX . . . E'E₁, II'IC

u. s. w., welche die wahren Verschiebungen darstellen; sie sind von einem festen Punkte II* aus in IV aufgetragen, es wurde also A‘ Ax = II* A*, IE B₁ — H* 13* u. s. w. gemacht. IV ist der Williotplan der wahren Verschiebungen. Die gröbste Senkung tritt in A ein; sie ist durch die lotrechte Seiten Verschiebung von EL* A* gegeben. Die gröfstc seitliche Verrückung nach rechts erfährt D; sie ist durch die wagerechte Seitenverschiebung von H* D* gegeben. C verrückt sich am meisten nach- links. Die in IV gestrichelt gezeichneten Kurven stellen dar, wie sich etwa die Williotkurven gestalten werden, wenn an Stelle der Polygonzüge der Gurte stetig gekrümmte Kurven vorhanden wären.

Stabzüge. Alle unsere bisherigen Untersuchungen gelten naturgemäfs auch noch, wenn wir an Stelle der sehr kleinen Elemente einer Kurve endliche Strecken treten lassen, die der Reihe nach miteinander gelenkig verbunden sind und ihrer relativen Dehnung, Drehung und Verwindung einen bestimmten Widerstand entgegensetzen bezw. wenn diese Dehnungen, Drehungen und Verwindungen der Elemente des Stabzuges aus den angreifenden Kräften sich berechnen lassen und damit als solche gegeben erscheinen.

Für die Ermittelung der Durchbiegungen eines einfachen ebenen Fachwerks-balkens genügt es, an Stelle der Formänderung aller Stäbe lediglich die Williotzüge des Stabzuges des Untergurtes zu zeichnen. Die Dehnungen der Elemente s,, s₂₁ s₃

»Vl Sl

des Stabzuges sind direkt durch die Werte A ^ =

E Fi

[J. tx S1? A S₂ —    lx S*

gegeben, wenn 6',, S₂.. . die Spannungen in den Randstäben s₂ s₃. . . und f, U u. s. w. die Unterschiede der in Betracht zu ziehenden Stabtemperaturen gegen die Aufstellungstemperatur sind.

Die Winkeländerungen können nach den im nächsten Paragraphen gegebenen Regeln leicht ermittelt werden.

Auf ï. V sind ganz nach dem Vorliegenden die Spannungen und Verschiebungen eines Fachwerksträgers unter Zugrundelegung eines Einzellastsystems durchgeführt. In F. 4 ist A und die Richtung des Stabes A15, in F. 6 der Punkt II und die Richtung des Stabes J H festgehalten. Beide Williotpläne führen zu denselben relativen Verschiebungen der Punkte, die unter der Schlufsannahme, dafs A fest sei und B sich auf einer Geraden A B bewegt, schliefslich zum wahren Verschiebungsplan zusammengesetzt sind.

§ 16. Verscliiebungspliine des llaumfacliwerks. So wie wir beim ebenen Verschiebungsplan als Hauptaufgabe betrachtet haben, aus den A und B entsprechenden

Fig. 35.

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a) Hinterwand .

c) oberer Windverb.

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b) Vor derwan d

d) für den Endverband.

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Fig. 36.

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iLr^r^ZT^S..

Punkten Ax Br und den Längenänderungen der Stäbe, welche einen dritten Punkt C mit A und B verbinden, den C entsprechenden Punkt Ct des Verschiebungsplanes zu finden, erscheint als Hauptaufgabe des räumlichen Verschiebungsplanes folgende:

Aus A₁ Bx Ci, den der Basis ABC eines Tetraeders AB C D entsprechenden Punkten des Verschiebungsplanes, ist D₁ zu finden, wenn A D — a, B B — &, C B — c die Kanten und Au, Ai, Ac die Längenänderungen dieser Kanten sind. Man denke sich durch A₁ B₁ Cx eine Ebene gelegt. B als Endpunkt des Stabes a wird eine Bewegung in Richtung des Stabes a und eine rotierende Bewegung machen, welche in der Oberfläche einer Kugel liegt, deren Radius u, und deren Mittelpunkt A ist. Ähnliches gilt für D als Endpunkt des Stabes b und c. Da die Bewegungen stets als sehr klein gedacht werden, können die drei Kugelelemente durch ihre Berührungsebenen s₁1₂ s3 ersetzt werden.

Tragen wir daher in An Bx, C, in Richtung der Stäbe a, b. c die Verschiebungen A«, Ab, Ac auf und legen durch die Endpunkte dieser Strecken Ebenen senkrecht zu «, &, c, so schneiden sich diese Ebenen im Punkte Du

Wie man sieht, werden schon die einfachen allgemeinen Aufgaben für räumliche Formänderungen ziemlich umständlich, sie lassen sich jedoch in den meisten Fällen durch zweckmäfsige Projektionsweise wesentlich vereinfachen und werden jedem, der mit den Methoden der darstellenden Geometrie vertraut ist, keine besonderen Schwierigkeiten machen. Bemerkenswerte Lösungen dieser Art ergeben sich bei Berechnung von Kuppeldächern, auf die wir hier nicht näher einzugehen haben.

Es ist nicht immer nötig, mit der Zeichnung der Verschiebungspläne im Vorhinein eine räumliche Auffassung zu verknüpfen. Es genügt, die Verschiebungspläne jener ebenen Fachwerke zu ermitteln, in welche sich das räumliche System zerlegen läfst. In den Fig. 35 und 36 ist nach den Regeln des § 13 ein Fachwerk behandelt, auf dessen vorderen Obergurt die Windkräfte W wirken. Für den oberen und unteren

Windverband, sowie für die Querverbände sind auf Grund der ermittelten Spannungen die Yerschiebungspläne konstruiert und ist aus diesen die Verschiebung des Gesamtfachwerks in den einzelnen Knotenpunkten in axonometrischer Darstellung erfolgt.

§ 17. Die Biegungslinie eine Seilkurve der Winkeländerungen.

1. Fachwerksträger.

Für viele Aufgaben der Trägerlehre spielt die Ermittelung der Winkeländerungen zwischen den Fachwerksstäben eine wichtige Rolle. Wir wollen zunächst die Winkeländerungen eines Dreiecks betrachten.

a) Graphische Ermittelung. Für das vorliegende Dreieck Fig. 37 gelten die

Formeln :

A + B + C = w,

a = b cos C -j- c cos B ; mithin für kleine Änderungen der Seiten und Winkel

A a = A b cos C -f- A c cos B — b sin C. AG — c sin B. A B

A4 + Ai? + AC = 0

da ferner b sin C — c sin B == ha ist, so findet sich leicht

Act = Ab cos C -f- Ac cos B J)a A A

woraus :

AA =

A « — Ab cos G — Ac cos B

hg,

52.

Der Zähler dieses Ausdruckes ist aber nichts anderes als die Projektion der geometrischen Summe der Längenänderungen auf a. Wir können daher allgemein sagen :

Ändern sich in einem Dreiecke ABC die drei Seiten <?, A c um die kleinen

Gröfsen Act, Ab, Ar, so werden die Winkeländerungen

A a‘

AA =

: AB =

Ab¹

AC =

53,

DK

wenn A a', Ab\ A c‘ die Projektionen der geometrischen Summe As der Längenänderungen auf die bezüglichen Seiten, 7ia, /?b, hc die den Eckpunkten A, />, C entsprechenden Höhen des Dreiecks sind.

Es ist zweckmäfsig, als Ausgangspunkt für die Ermittelung der Summe den Schnittpunkt 0 (Fig. 37) der Dreieckshöhen zu wählen. Man denke sich von A ausgehend den Dreiecksumfang im Uhrzeigersinne umfahren und reihe bei der Summenbildung die Gröfsen A aneinander, indem man Verlängerungen, also positive Werte von A, im selben Sinne, Verkürzungen, also negative Werte von A, im entgegengesetzten Sinne auf trägt, in welchem man die zugehörige Seite durchfährt. Projiziert man den Endpunkt S des Summenpolygons parallel zu den Höhen auf die Seiten, so erhält man direkt die Abschnitte Aa\ Ab' Ac'. Sie sind positiv oder negativ, wenn sie sich, aus 0 betrachtet, von den Fufspunkten der Höhen aus nach rechts oder links erstrecken. Dasselbe Zeichen kommt der Winkeländerung zu.

Fig. 37.

iVCO

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luiv.

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H-

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UpM

Fällt S mit 0 zusammen, sind also sämtliche Längenänderungen den zugehörigen Seiten proportional, so werden die Strecken A «h Ab\ A c' und damit die Winkeländerungen Null.

Um die Winkeländerungen direkt entnehmen zu können, bringe man die Werte auf einen gemeinsamen Radius r. Trägt man r von A aus auf die Höhe /?H auf und zieht durch den Endpunkt dieser Strecke eine Parallele zu a, so schneidet die Grade, welche A mit dem Endpunkte von An' verbindet, auf der genannten Parallelen eine Strecke toa ab, für welche gilt

aa-.= *A- =

in ganz derselben Weise erhält man:

Ab'

A # = —

/? b

tob

AC —

A c'

17

toc

53".

Ha die Summe der Dreieckwinkel auch nach der Formänderung 180° bleibt, mufs Fig. 38.

toa -j- cob -F w„ = 0 sein.

Da die Werte der Längenänderungen stets sehr klein sind, arbeite man mit zwei Mafsstäben, mit dem Mafsstabe I (1 : n) für die Gröfsen a, 7>, r, 7<ta, 4b, /ic, r und mit dem Mafsstabe II (1 : ni) für die Gröfsen An, Ab, Ac, nach welchem dann auch die Gröfsen toa, tob, to,, abzugreifen sind.

Fig. 39.

yJ.

ac-

'f

lliîîiïïiTnïïB

■ 'rdy,F'

b) Durch Rechnung. Es erweist sich vielfach zweckmäfsig, die Stäbe eines Dreiecks mit 7,, L, /₃, die Winkel derselben mit (12), (23), (13) zu bezeichnen (Fig. 38), sind ferner

Ah

Ah

Ah

......a -

fr

b......

l.

Cb

/.

,7

■O

'j

fl

B\

ft

s.

h ⁵    h ’ >'³ ~ h

die relativen Längenänderungen, so findet sich einfach :

A (2 3) = (Xj — X?) cotang{ 1 2) -j--j- (Xj — Xs) cotang (1 3) . .    54.

Die Gleichheit beider Formeln 52 u. 54 lüfst sich leicht nachweisen, es ist Formel 54 in Schreibweise der Formel 52.

e.

dy

vdS

= (A-V a

Ab

cos C sin Ć

C Aa

V a

d.

-p

Oÿlj

dy

x\ m

e.

d/3

cos B sinB _ sin A sin C ’

ferner b sin C — c sin B — 7îa, nach kurzer Rechnung :

und da a —

b sin A

sin B

-H

ha sin A A b cos C

ha

(sin B cos C F sin C cos B) A c cos B

___

was mit 1 übereinstimmt, wenn man sin A — sin (180 — B — C) — sin B cos C -f- sin C cos B setzt.

Das Biegungspolygon. In einem Polygone A BCD E (Pig. 39), dessen Endpunkte lotrechte Durchbiegungen nicht durchmachen, ändere sich der Winkel 7 um d7. Denkt man sich zunächst ABC fest, so gelangt hierbei E nach E', wobei E Ef = cä-{ wird; die lotrechte Yeränderung von E' wird

EJ E“ = E E'. cos v = c . cos v . d 7 = b d 7.

Dreht man nun das ganze System um A wieder zurück, sodafs E nach E" kommt, so wird die Verrückung von C

C C" =

E‘ E" =

ab

d 7.

a -j⁻ b

Die lotrechten Yerrückungen der Punkte AB CD werden durch die Ordinaten des schraffierten Dreiecks A C' E gegeben und sind positiv, wenn <7 7 einen Zuwachs, negativ, wenn <7 7 eine Yerminderung des Winkels 7 bedeutet. Die schraffierte Fläche AC'E stimmt überein mit dem Momentenpolygon einer Einzellast d7, welche in C wirkt, wenn der Träger in A und E frei auf ruht; treten mehrere Winkeländerungen dß, d7, d8 auf, so addieren sich die bezüglichen Momente und wir erhalten den wichtigen Satz: Trägt man die Winkeländerungen dß, d7, dd der Untergurte als lotrechte Kräfte auf und konstruiert einen Seilzug, so geben die Ordinaten desselben von der Schlufslinie aus gemessen die Durchbiegungen. Entsprechendes gilt für den Obergurt.

Die elastische oder Biegungs-Linie des Unter- bezw. Obergurtes ist ein Seilpolygon, für welches die Winkeländerungen der Gurtstäbe die Einzellasten sind.

Für die Rechnung des d7 ergäbe sich in unserem Falle, indem man der Reihe nach die Dreiecke BCG, G CF, F CD betrachtet:

,    _ Si

Kl Ei Fi ’

Ä2 ~ E2 F*

Ei Fi ⁵

Sehr häufig genügt es, lediglich die Längenänderungen der Gurte zu berücksichtigen; in diesem Falle wird einfacher

A 7 — X₄ [cotang (4 3) -J- cotang (45)] — X, cotang (1 2) — X₆ cotang (7 6).

Für ein Fachwerk mit parallelen Gurten von der Querschnittsfläche F. der Trägerhöhe h und unendlich dichtem Netzwerke von der Maschenweite d x wird, wenn M das Moment der äufseren Kräfte für die unendlich nahen Schnitte I und 11 ist (Fig. 39 c),

+ M

q __

ET ’ ⁰⁴ “ ~ET5 cotang 4 3 = cotang 45= cotang 12 = cotang 76= ~/,y

und bei Vernachlässigung der Dehnungen der Gitterstäbe

M dx h EF 2 h hEF ~2h

s₆ =

dx

dx

dx

M

~ hEF ⁴ 2h

m r dx hEF L 2h

Sind y und x die Koordinaten der elastischen Linie des Untergurtes, so ist

h²F    .    d²y

und.....    = J das Trägheitsmoment des Querschnittes, also - jp- —

Die elastische Linie ist ein Seilpolygon, für welches die Momonten-fläche die Belastungsfläche ist.

EEËF

dx.

r?7 =

d-y

dx²

EJ '

Das Biegungspolygon kann nicht nur zu rascher Bestimmung der Durchbiegungen eines Trägers, dessen Spannungen gegeben sind, sondern auch direkt zur Ermittelung der äufseren Kräfte statisch unbestimmter Systeme benutzt werden. Siehe die später folgenden Beispiele.

wenn to sich auf die einzelnen im Punkte zusammentreffenden Fach

Ermittelt man bei einem Fachwerke die Winkeländerung für einen Punkt C in der Form S —

dreiecke bezieht, so wählt man am besten die Strecken S co als Kräfte, die Strecke r als Basis des Kräftepolygons.

In T. V, F. 8. ist die Biegungslinie für das unter F. 1 hinsichtlich seiner Belastung dargestellte Fachwerk gezeichnet. Die Winkeländerungen in den Punkten AD F HL NP sind für jedes Dreieck 1 bis XIY nach dem Verfahren der Fig. 37 auf S. 253 bestimmt. Für Dreieck V ist die Figur näher beschrieben. Die Längenänderungen A₉, A₁₀, Au der Stäbe 9, 10, 11 sind vom Schnittpunkte 0 der Höhen des Dreiecks V aus algebraisch addiert, wobei die Werte A in 50 fâcher Naturgröfse aufgetragen wurden. O S entspricht wie in Fig. 37 auch hier der algebraischen Summe, wobei auf das Vorzeichen zu achten ist. Macht man FF' — 1 m im Mafsstabe (1: 100)

des Fachwerks und projiziert S auf 10, wodurch man S' erhält, so schneidet die Gerade S' F die dem Dreiecke V entsprechende Strecke cov auf der durch F' gezogenen Parallelen durch F' ab. Eine ähnliche Konstruktion liefert die Werte toIY und coVI für

(DjV "f‘ G)\r "f” ^VI

Dreieck IV und VI. Dem Punkte F entspricht die Gröfse - o>F = als Winkeländerung.

Würden wir r und 1 coF in dem Mafsstabe auftragen, den wir in T. V, F. 8 zu Grundegelegt haben, so würden wir die Durchbiegungen, wenn wir die Soo als Kräfte, r als Polabstand für unser Kräftepolygon auftragen würden, in 50fâcher Katurgröfse erhalten. Wir verkleinern die Ordinaten des Seilpolygons auf ys, können also für die Biegungslinie den Mafsstab wie zu F. 4 bis 6 der T. V benutzen, wenn wir den Polabstand des Kräftepolygons auf das Doppelte, also mit 2 r bemessen und statt der vollen Summe für I wF (und für alle anderen) --A- auftragen, was in F. 8, T. V geschehen ist.

Um einer Überladung der F. 8 vorzubeugen, haben wir uns begnügt, die Konstruktion für ein Dreieck V zu beschreiben, für alle übrigen wird sich der Leser leicht zurechtfinden.

2. Vollwandträger.

Ist AE die Achse eines gekrümmten oder geraden Stabes, der in A festgehalten ist, in B sich längs einer Geraden bewegt, so kann dieselbe durch eine stetige Folge von Elementen ds ersetzt gedacht werden, die der Winkeländerung einen gewissen Widerstand entgegensetzte. Die Winkeländerung dt, um welche sich zwei unendlich nahe Querschnittsebenen ändern, ist nach Gleichung 29 (S. 221) durch

J ds

dz —

f M , At

L“ ~K J + £

gegeben. Es unterliegt keinem Anstande, ganz dieselben Schlüsse, die wir in Bezug auf das Stabpolygon ABC DE gemacht haben, auch auf das Achsenpolygon anzuwenden und wir erhalten somit den Satz, dafs die elastische Linie der Stabachse ein Seilpolygon ist, wenn man die Winkeländerungen als parallele Lasten auffafst. Da die Stabelemente eine stetig gekrümmte Linie bilden, geht der Inbegriff der Winkeländerungen in eine Belastungsfläche über.

Bielit man zunächst yon

den Änderungen infolge der Temperaturunterschiede ab, so wird die Winkeländerung für die laufende Einheit dz —

EJ ‘

Ist E₀ ein konstanter mittlerer Elasticitätsmodul, J₀ ein konstantes mittleres Trägheitsmoment, a eine beliebige konstante Länge, so kann man auch schreiben :

M _EqJq_

«2 • EJ

dz — —

EqJq

55,

cd

In diesem Ausdrucke ist der Zähler eine thatsächliche Last für die laufende Eineine tliatsächliche Kraft. Wir nennen

cr EJ

die dividierte Momentenfläche oder auch, für a = 1 und veränderliches EJ, eine verzerrte Momentenfläche. — Man kann den Satz unmittelbar ableiten.

Ai Ji)

heit, also eine Belastungshöhe,

Trägt man die lotrechte Belastung px für die laufende Einheit eines stetig belasteten Trägers I (Fig. 40) für alle Punkte als Ordinate auf, so erhält man eine ßelastungsfläche.

Für irgend einen Punkt C von der Abscisse Xi wird das Moment der äufseren Kräfte

Fig. 40.

XI

Mx = M₀ -f- Q₍₎xi — f px (xi — x) dx,

O -

wenn M₀ das Moment und Q₀ die Querkraft bei dem Querschnitt • x — 0, dem beliebigen Anfangspunkt der Zählung ist. Bezeichnet man die Querkraft im Punkte C mit Qx, so wird

JT.

JT.

j<— OP,

--•H

Qx

xi

— Q o    J px d x —

o

Qo — Qi.

Denkt man sich die Querkraft Qi in C einmal nach oben und gleichzeitig nach unten wirkend, so wird für das Moment im Abstande Xi -f dx vom Anfangspunkte der Zählung

— x) dx — Qi dx,

MxIdMx

XI

— Mio d~ Qo -{- dx) .I px (X\

b

Ï*/

UI.

dMx

wenn man die unendlich kleine Gröfse -*■ pxdx.clx vernachlässigt, also nochmalige Differentiation giebt, wenn man bedenkt, dafs dQx——pxdx ist,

== Qo — Qi = Qx ; die dx d²Mx

= —Px.

d x²

Eine Seilkurve, welche der stetigen Belastung entspricht, liefert den Ausdruck Mx = y] //, wenn II der der Konstruktion zu Grunde liegende Horizontalschub, die Poldistanz des Kräftepolygons, vj der Abstand der Seilkurve von der Schlufslinie derselben ist. Die zweimalige Differentiation liefert:

d² Mx

H .dx²    H ’

dx²

56,

d. i. die Differentialgleichung der Seilkurve als Funktion der Belastung.

Nach Formel 30 wird die Gleichung der elastischen Linie eines Balkens man auch schreiben kann:

Mx

/ Mx \ Eq J₀

d²y _ V

d²y _ dx²    EJ ’

wofür

dx²

57,

wenn a eine beliebige Länge und mithin die Gröfse

EoJo

MxEoJo

wie schon oben bemerkt, einer Last

für die laufende Einheit, die Gröfse

a² EJ

Äp einer Kraftgröfse gleichwertig ist.

n²

Man kann daher die elastische Linie III des belasteten Balkens I als Seilkurve eines ge-

Mx Eo Jo ,

ßj—• gegeben

gemacht wird. Da die

dachten Balkens II auffassen, bei welchem die Belastungshöhen durch die Werte

EoJo

sind, und bei welchem zur Konstruktion dieser Seilkurve der Horizontalschub H

a²

Momentenfläche immer stetig ist, mufs auch die aus ihr abgeleitete elastische Linie stetig sein ; doch ist sie, wenn der Träger durch Einzelkräfte belastet ist, aus Stücken von verschiedenen stetigen Kurven zusammengesetzt.

Sind die Längen der Zeichnung in -- Naturgröfse aufgetragen, und wählt man, auf dem Kräfte-

EJ    n

mafsstab gemessen, H = ■■    -a-, so erhält man die Durchbiegungen in natürlicher Gröfse.

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

17

Ist der Querschnitt konstant, so bleibt cP konstant und kann gleich dem Quadrate der Längeneinheit gewählt werden; in diesem in dem Folgenden meist vorausgesetzten Falle sind die wirkliche und die dividierte Momentenfläche in der Darstellung gleich.

Den Nullpunkten der Momentenfläche entsprechen Wendepunkte der elastischen Linie, positiven Momentenfläehen entsprechen nach abwärts, negativen nach aufwärts gebogene Teile der elastischen Linie.

Für das Zeichnen der Kurve selbst ist noch zu beachten, dais, wenn Anfangsund Endpunkte der elastischen Linie in einer Wagerechten liegen, auch die Schlufslinie

des Seilpolygons III wagerecht zu legen ist, mithin dafs, wenn der Balken an einem bezw. beiden Enden wagerecht eingespannt ist, auch die Tangenten an III in dem betreffenden Endpunkt wagerecht sein müssen. Die gröfste Durchbiegung eines Trägers ist der lotrechte Abstand der Schlufslinie von einer zur letzteren parallelen Tangente an die Seilkurve.

Handelt es sich nicht um die Kenntnis der ganzen elastischen Linie HI, sondern nur um die Lage der Tangenten an dieselbe an irgend zwei Auflagerpunkten A und B, so ist es gleichgiltig, in welcher Weise die Momentenfläche II innerhalb AB zum Zwecke der Konstruktion eines Seilpolygons in einzelne Flächenteile zerlegt wird, die Polygonseiten in A und B werden stets Tangenten an die elastische Linie bleiben. So können wir z. B. beim wagerecht eingespannten Balken Fig. 41 die Momentenfläche II zerlegt denken in eine einfache Momentenfläche 9Jc, welche nur positive Momente aufweist und direkt die Momente gäbe, wenn AB frei aufläge, und in die Momentenfläehen äh, und welche negativ sind und als Endordinaten die Momente Mx und M.₂ besitzen, welche an den Einspannungsstellen entstehen. Die Konstruktion des Polygons III zeigt, dafs — wie aus dem zweiten Kräftepolygon hervorgeht — die Endtangenten in A" und B" nur dann wagerecht sein können, wenn 901 = 901, ~f- 99L ist, oder mit anderen Worten, dafs die in II auf beiden Seiten der Schlufslinie liegenden Momentenfläehen einander gleich sein müssen.⁹)

Beispiel. Durchbiegung einer Blechbrücke bei einer gegebenen Laststellung (Fig. 42). Die Brücke habe eine Spannweite von 16 m. Wir führen einen mittleren Wert Jm — 1030000 cm4 für einen Träger bezw. J = 2 060000 cm⁴ für die ganze Brücke ein. Wir wählen als Kräftemafsstab 1 mm = 2 t, als Längenmafsstab 5 mm = 1 m, also n = 200 und als Poldistanz für die Kräftepolygone a und b den Wert H = 40 t zur Zeichnung der Seilpolygone für Eigengewicht und Yerkehrslast. Das Eigengewicht beträgt pe = 1,3 t f. d. lfd. m der Brücke, die Einzellasten haben die Gröfsen Pi — P-2 — Ps — 13 t, Pi = Ps = P₆ = 9 t, der Wert eines mm² der gezeichneten Momentenfläche ist also

II

WF

1.

n:

n!\

Fig. 41.

lilii*;

Pi

K.

3XCS

R—

ur

P--ÔTC

- . 4.40 = 1,6 m²1. Wählt man a² = 32 qm, so entspricht 1 mm² — 0,05 t. man die zwischen den Radlotrechten angreifenden Momentenflächenstreifen in mm² und multipliziert dieselben mit 0,05 t, so erhält man die nach dem Kräftemafsstabe aufzutragenden Lasten I, II. . ., z. B. für IY =

Ermittelt

20

— (26 -j- 20), 0,05 = 23 t. Um die Durchbiegungen in natürlicher Gröfse zu erhalten, setze man

⁹) In obiger Fig. 41 ist für die Konstruktion des zweiten Kraftpolygons, d. h. der Fig. III, der Pol irrtümlich links von der Kraftlinie gezeichnet; er miifste rechts liegen.

H — ~-~„g und bekommt, da JE — 2000000 kg/cm², J — 2060000 cm¹

2 000000.206000D    ......    „ ₄ , ₄

= 64400 kg — 64,4 t.

Die Seilpolyg’onseiten sind infolge der Wirkung des Eigengewichts eigentlich flache Kurven, deren Stelle hinreichend genau Gerade gesetzt werden dürfen.

n = 200, fl² = 320000 cm²

den Wert II =

200.320 ooo

an

Fig. 42.

fX.

o.

p,

11 T

4

Pa

JS.l net³

122 cm

y;

Ï J tr

- vVH

__L B

vr

Yir

xj «--iS?-

Y!!F

I,

2', --- ->

§ 18. Biegungslinien bestimmter Belastungsflächeii. Um die rasche Berechnung- der Biegungslinie aus der Belastungsfläche zu ermöglichen, bringen wir nachstehende Tabelle und Belastungsweisen.¹)

Wir haben (Fig. 43) sieben Belastungsarten in Betracht gezogen. Die höchste Ordinate der Belastungsfläche haben wir mit m bezeichnet.

I. Rechtecksbelastung:

Tl =

m x (l — ,r)

d‘q

t, = i.-p-1    =

dx jx — i

II. Rechts ansteigende Dreiecksbelastung: q — £y (y)

dx

ja: = 0

HPV¹

- m l².

4 =

III. Rechts abfallende Dreiecksbelastung. Werte tj symmetrisch zu II:

4 = y m V ;

IY. Symmetrische Parabelbelastung:

Wî :

4 = 4 = y m V.

Y. Rechts ansteigende Parabelbelastung:

» = (t)”>

y »» l- ;

YI. Rechts abfallende Parabel. Werte symmetrisch zu Y:

Piff. 43.

tri

II

y-

_____X_____

!<

X-

->

- - -d

!=;

ft

t,

s'

tm

ur

mw

X.

K-

<------OC-

■>

■y

---->

DC

i;

? in

7 IV

vf;

j4A

rL>

riv

VI

;<•

JC.

:<------;V

X.

f;

V v"

< - -=-y <------

*i !

. . .OC____

fvi

-P--;

Ji

-NC .

Ki

Q«

MaJsstab für m,L ~

VII. Symmetrische Dreiecksbelastung für y = 0 bis -y =0,5: 4 = 4 = y Ź²

*-r

Die Zeichnung cler Biegungs- (elastischen) Linie kann für eine bestimmte Belastungsfläche zunächst ganz beliebig erfolgen, die Bedingungen, die sie erfüllen mufs, können nachträglich an derselben zur Geltung gebracht werden.

Wir erörtern die äufserst nutzbringende Anwendung der Tafeln an zwei Beispielen. Beispiel 1. Es sei die Biegungslinie für die trapezförmige Belastungsfläche AB CD zw. finden. Wir nehmen eine beliebige Richtung A‘ B", Fig. 4411 (S. 262), als Endtangente in A an und tragen

nach Belastungsfall II die Tangentenabstände A‘ A“ — h i —

m 1\ und B“ B‘ —

ht —

— m auf ; sie 6 ¹

I.

II.

III.

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

0,0238

0,0450

0,0638

0,0800

0,0938

0,1050

0,1138

0,1200

0,1238

0,1250

0,1238

0,1200

0,1138

0,1050

0,0938

0,0800

0,0638

0,0450

0,0238

0,0083

0,0165

0,0244

0,0320

0,0391

0,0455

0,0512

0,0560

0,0598

0,0625

0,0639

0,0640

0,0626

0,0595

0,0547

0,0480

0,0393

0,0285

0,0154

0,0154

0,0285

0,0393

0,0480

0,0547

0,0595

0,0626

0,0640

0,0639

0,0625

0,0598

0,0560

0,0512

0,0455

0,0391

0,0320

0,0244

0,0165

0,0083

'<] =

Belastungsfall:

IV.

V.

VI.

VII.

0,0166

0,0327

0,0479

0,0619

0,0742

0,0847

0,0931

0,0992

0,1030

0,1042

0,1030

0,0992

0,0931

0,0847

0,0742

0,0619

0,0479

0,0327

0,0166

0,0042

0,0083

0,0125

0,0165

0,0205

0,0243

0,0279

0,0312

0,0341

0,0365

0,0382

0,0392

0,0393

0,0383

0,0361

0,0325

0,0273

0,0203

0,0113

0,0113

0,0203

0,0273

0,0325

0,0361

0,0383

0,0393

0,0392

0,0382

0,0365

0,0341

0,0312

0,0279

0,0243

0,0205

0,0165

0,0125

0,0083    .

0,0042

0,0125

0,0247

0,0364

0,0473

0,0573

0,0660

0,0732

0,0787

0,0821

0,0833

0,0821

0,0787

0,0732

0,0660

0,0573

0,0473

0,0364

0,0247

0,0125

m l²

m. I² 3

fi =

- m l²

6 mP

-3- ml²

12

ml²

m l²

- ml²

f-2 =

— ml² 3

4- ml²

¹ ml²

12

ml²

//

//

fy't

fjjk. /

Am_t

4,| /

Ü'

A*

£=?”£>

lO

4,

II

W'-

B'

(Tł

//Bf

v

///

fl /, ;

6:

Fig. 44.

4...

■■ ⁴__r I

mm

Mj

-A._

^------7f.

i "    I

-x—>r

//

V.

4_

<7"

4.3

Y-

C"‘

•kT---

•f

-i

§ 19. Rechnungsmäfsige Ermittelung der Durchbiegungen für vollwandige und Fachwerksträger. Ein gerader Stab unveränderlichen Querschnittes, dessen Stabachse die .r-Achse ist und dessen in Betracht gezogener Anfang mit dem Koordinaten-

Ursprung- 0 zusammen fällt, werde von den Kräften P₀ P, P, ... in den Abständen O, Ui, a₂ . . . vom Ursprünge und von einer gleichmäfsigen Belastung

Px — lh

belastet.

Ferner bezeichne E den Elasticitätsmodul, J das Trägheitsmoment des Stab-querschnittes, yx die Einsenkungstiefe in einem Punkte C vom Abstande 0 C = x, zx die Neigungstangente der elastischen Linie, Mx das Biegungsmoment, Qx die Querkraft. Wir wollen ferner alle Werte, die sich auf den Koordinatenursprung beziehen, mit dem Zeiger 0 versehen. Das positive Zeichen wollen wir festlegen für:

Die Ordinaten der elastischen Linie, wenn sie nach abwärts sich erstrecken, die Neigungstangenten, wenn sie die Abscissenachse links von C schneiden, das Moment, wenn es in Bezug auf den links von C liegenden Teil wie der Zeiger einer Uhr dreht,

die Querkraft des betreffenden Querschnittes, wenn sie in dem betrachteten Teil nach aufwärts wirkt,

die angreifenden Einzelkräfte und die stetig verteilte Last, wenn sie nach abwärts wirken,

dann gilt innerhalb der Stetigkeitsgrenzen der Funktion, also innerhalb zweier Einzellasten, die Gleichungsfolge (siehe auch S. 257):

d Mx

d²y _

dx²    EJ’

Mx

d‘²M

d x² d x

Man pflegt die erste der Gleichungen innerhalb der Stetigkeitsgrenzen zu integrieren und aus den Bedingungen, die die elastische Linie bezw. die äufseren Kräfte an den Stetigkeitsgrenzen erfüllen müssen, die Integrationskonstanten zu ermitteln.

I. Yiel einfacher gestaltet sich nach A. Franke¹¹) die Aufgabe in vielen Fällen, wenn man unter Berücksichtigung aller drei Gleichungen den Ausdruck für yx entwickelt und den Unstetigkeiten an den Angriffsstellen der Einzellasten, woselbst alle übrigen Gröfsen, mit Ausnahme der Querkraft, unverändert bleiben, durch Einstellung je eines Wertes    P Rechnung trägt. Es wird dann für Punkt G im Abstande x, wenn

sich das Summenzeichen nur auf jene Kräfte P, bis Pn bezieht, die zwischen 0 und C liegen:

-yo+^oX + -^j £— M₀~y + Po qr + p₀ ^ + p₀U

= — Px • • •

dy

xG

...] + * J i

E j (- M, x + P„ 4 + -₆- + J>.« Yi + • ' ' ) + f

120

+ Poß

720

(x — am)³

e ej

(x — am)²

2 EJ

P, • 58.

Pm. . 59.

cV-y

dx²

= Jf. -P.X- ai

po a x³

Ms

- ff'm) Pm •    •    60.

d³y

= (-c

Ms

. . 61.

px = -f- E J .

= Po

62

Es ist nicht schwierig, diese Gleichungen auch für Unstetigkeiten der Momente, an Gelenken u. s. w. zu entwickeln, sowie auf veränderlichen Querschnitt zu übertragen, ⁴

welche sprungweise Querschnittsänderungen und Stetigkeitsunterbrechungen bedingen : wir verweisen hinsichtlich dieser Fälle auf die unten angeführte Abhandlung.

Beispiel. Wir wollen unsere Gleichung¹ auf den Fall an wenden, dafs es sich um die Durchbiegung- in einem Punkte handelt, der um u von der Stütze A eines einfachen Balkens A B absteht, während im Abstande v von der zweiten Stütze B die Einzellast P liegt (vergl. auch § 20, Fig. 46). Für diesen Fall wird:

2/0 — 0 ; Mo = 0 ; po — 0;

Po = -

Pi = P:

di = l — V

für x = l wird

yi — to l —

P v l²

v³P

6 EJ

ß EJ

= 0,

woraus

Pv

für x'= u wird

6 EJl

(i1² - v²)

y u = to u

Pv u³

woraus mit Rücksicht auf to

ßEJl ’

6 EJl

(l- — u² — v²) P

63,

II. Yon besonderem Werte hat sich die Einführung der unmittelbaren Gleichung der elastischen Linie als Ausgangspunkt für die Ermittelung der äufseren Kräfte bei Untersuchungen erwiesen, wenn die Belastung von der Einsenkung abhängig wird. In diesem Falle wird px = — k b . yx, wenn b die Breite des Trägers und Je eine konstante Kraft f. d. Kubikeinheit

leb

EJ

EJ

l/x

64.

• III. Wir wollen jedoch auf diesen Fall nicht näher eingelien, indem wir auf die unten angegebenen, gleichzeitig erschienenen Abhandlungen aufmerksam machen.⁵ 6 7 8)

Sehr einfach und sehr übersichtlich wird die oben gegebene Auffassung der elastischen Linie für die Berechnung der äufseren Kräfte und Durchbiegungen durchlaufender Träger. Wir verweisen diesbezüglich auf die Untersuchungen W. Dietz’s in den Fortschritten der Ingenieur-Wissenschaften.¹⁸)

IV. Wir schreiten an die Untersuchung des Einflusses der Querkräfte auf die Durchbiegung, wollen uns jedoch hier eines anderen Verfahrens bedienen. Die Durchbiegung in irgend einem Querschnitte vom Abstande a von der linken Stütze, welche infolge des Auftretens der Querkräfte eintritt, läfst sich sehr einfach aus dem Ausdrucke für die Formänderungsarbeit ableiten. Man erhält bekanntlich die Durchbiegung y für ein gegebenes, im Gleichgewicht befindliches Kräftesystem -1\ wenn man den vorhandenen äufseren Kräften eine Kraft Z in Richtung der zu suchenden Durchbiegung zugesellt, £ P und Z durch entsprechende Auflagergegenkräfte ins Gleichgewicht bringt, die Formänderungsarbeit des gesamten Trägers als Funktion aller äufseren Kräfte X P, Z und der Auflagergegenkräfte ausdrückt, diese nach Z differenziert und schliefslich im Differentialquotienten Z — 0 setzt.

Ist n die Querkraft für Z — 1, so wird der auf die Querkraft entfallende Teil

der Formänderungsarbeit (Formel 43, 8. 224):

« = ßJ

u

I (£ + nZ)²dx

ql²

Durchbiegungen für vollwandige ine Fachwerkträger.

265

mithin für Z — 0 :

d%

dZ

= ßf

« Qd x

= V-

Für einen auf zwei Stützen >1, B aufruhenden Balken wird mit Rücksicht auf

l — a

einen Punkt C vom Abstande A C — a, wenn A B — l ist, innerhalb A C das n = und innerhalb CB der Wert n —--es ergiebt sich mithin für die gesamte Summe:

y — ?,fctdx

A

$ Qdx

GF

Nun ist aber bei unveränderlichem Querschnitt für eine Einzellast P die Gröfse

= Q, findet sich leicht:

B

t f Q cl x = 0, mithin auch für das ganze System, und da

A

y^ß.f

Die Ordinaten der Momentenlinie können daher unmittelbar als Biegungslinien für die Schubkräfte angesehen werden, wenn der Mafsstab entsprechend gewählt wird.

Land“) hat die vorliegende einfache Untersuchung auf statisch unbestimmte und auf Träger mit unveränderlichem und veränderlichem Querschnitte ausgedehnt und die Wirkung der Normalspannungen und Schubspannungen addiert. Er fand, dafs die genauen Endstützendrücke, Biegungsmomente und Schubkräfte, verglichen mit den angenäherten, sich sämtlich in algebraisch positivem Sinne ändern, d. h. positive sich vergröfsern, negative sich verkleinern. Der Wert ß, von der Querschnittsform abhängig, kann auch graphisch gefunden werden, worüber Näheres in der Quelle.

Y. Es ist ganz selbstverständlich, dafs auch die Auffassung der elastischen Linie als Seilkurve, für welches die Momentenfläche die Belastungsfläche ist, und die hieraus sich ergebenden Schlüsse vielfach mit Nutzen für die rechnerische Ermittelung der Durchbiegungen zu Grunde gelegt werden kann. Wir verweisen diesbezüglich auf § 18, machen von dem Satze im Absätze IX dieses Kapitels eingehenden Gebrauch und wollen hier nur ein paar Bemerkungen anfügen.

clM

Me

also y — ß (i /<t    .    .

. . 65.

Beispiel. Ist z. B. der einfache Balken unveränderlichen Querschnittes gieichmäfsig

mit p belastet, ist ym die Durchbiegung in der Trägermitte, denkt man sich in der Trägermitte die Fig. 4011 durchschnitten, so mufs das aus der Belastungsfiäche abgeleitete Moment gleich dem aus der Seilkurve zu ermittelnden H . i/m sein. Die dividierte Momentenfläche ergiebt sich für a² — 1 mit --p V². y l — ^ pZ³, mithin der Stützendruck in Ai und Bi je ^ pP, also für die Mitte

ojl—ïjPC-C = H . ym, wobei c der Abstand des Schwerpunktes der halben Momenten-

3

fläche von der Mitte; setzt man c = ~

5 pi* _ i pli 381 EJ 76.8 E.J '

Ist der Träger

-, H — EJ, so wird ym — ein solcher konstanten Widerstandes, so wird bei gleichbleibender Trägerhöhe das Trägheitsmoment J

dem angreifenden Momente proportional. Es ist also Jx = a 31x und für die Trägermitte J₀ = a M₀, d?y d x²

also

------    ; die Ordinaten der dividierten verzerrten Momentenfläche werden für a

Bq    1

sämtlich konstant, die verzerrte Momenten fläche wird ein Rechteck von der Höhe — p l²; für

dieses aber rechnet sich die Durchbiegung in der Mitte aus F p l³. ~ — ApZ³. | — EJ₀.ym, d. i. ym =

(ü E~jJ * Praktischen Fällen liegt die Durchbiegung zwischen beiden Werten und kann rund mit -~ angenommen werden, wenn Jo das Trägheitsmoment in der Mitte bezeichnet.

pj.³

70 EJ₀

YI. Der Einflufs der Achsialkraft auf die Durchbiegung eines geraden Stabes (Yollwandträgers), mit dem wir es liier zu thun haben, ist Null, wenn selbe im Schwer-

¹⁴) R. Land. Einflufs der Schubkräfte auf die Biegung statisch bestimmter und die Berechnung statisch unbestimmter vollwandiger Träger. Zeitsehr. f. Bauw. 1894, S, 611.

punkte der Endquerschnitte an greifen und die Durchbiegungen verschwindend klein bleiben. Ist letzteres nicht der Fall, werden also die Wirkungen der Formänderung mit berücksichtigt, so gelten unsere grundlegenden Voraussetzungen hinsichtlich der Formänderungsarbeit nicht mehr. Die Differentialgleichung der elastischen Linie wird:

66.

d² y___ No y Mx

Tx²' ~~ ⁺ EJ ~ EJ

Das obere Zeichen gilt, wenn N₀ für den Stabteil links des Schnittes, in Richtung der positiven #-Achse angreift, also im Stabe Druckspannungen erzeugt werden ; das untere für den entgegengesetzten Fall.

Je nachdem es sich um das obere oder untere Zeichen handelt, ergiebt sich y — tp(x) in anderer Form. Wir müssen uns begnügen, hier auf diesen Fall, der bei Berechnung der Knickungsfestigkeit, sowie bei langen Stäben (Schliefsen, Zugbänder u. s. w.). deren Eigengewicht grofse Durchbiegungen erzeugt, vorkommt, hinzuweisen, kommen auf denselben bei Berechnung der Zusatzspannungen zurück und machen den Leser auf untenstehende Arbeit’⁵), insbesondere aber auf die übersichtliche Zusammenstellung der einzelnen Belastungsfälle und deren Scldufsergebnisse im Taschenbuch „Die Hütte“ aufmerksam.

VII. Eine gleichmäfsige Wärmeänderung ist beim geraden Stabe ohne Ein-flufs auf die elastische Linie des geraden Stabes.

Die ungleichmäfsige Erwärmung liefert nach S. 221 die Gleichung

genau :

At

angenähert :

At

67

d x² * h

ist der Querschnitt unveränderlich, so bleibt im genauen Falle — unverändert, die elastische Linie wird ein Kreisbogen vom Radius p —    ^ , also z. B. für s = 0,000012 : A t — 10°;

p = 8333 /?. Für die gröfste Durchbiegung in der Mitte erhält man bei einem einfachen, frei auf liegenden Träger:

!h =

l² __    Ą / l²

8p

~ S ' ^ t 8h’

Für die Käherungsgleichung wird die elastische Linie eine Parabel, für welche man denselben Wert yt erhält.

Fachwerksträger. Die Berechnung der Durchbiegung oD eines beliebigen Fachwerksträgers in einem beliebigen Knotenpunkte D nach einer bestimmten Richtung erfolgt, indem man in dem Knotenpunkte nach der gegebenen Richtung eine Kraft P — 1 annimmt und für diese Kraft die Spannungen a ermittelt, gleichgültig, ob der Träger ein statisch bestimmter oder unbestimmter ist.

Sind A l die Längenänderungen der einzelnen Fachwerksstäbe, die dieselben durch die thatsächlich auftretende Spannung $, durch Temperaturänderung jxtl, oder absichtliche Verlängerung A Za, oder Verkürzung erleiden, ist also:

so wird:

Al =

81

EF

-j- p. 11 -j~ A la

68

¹

) Yergl. Müller-Breslau. Berechnung statisch unbestimmter Ausleger-Brücken. Berlin 1898. Auch: Centralki, d. Bauverw. 189 7, S. 503.

17*

²

müssen sich mit der Lotrechten des Abstandes —- h von A‘ schneiden. Nun behalten wir A“ B‘ G'" als

³

   1    0

neue Endtangente in B' bei und tragen nach Belastungsfall I die Abstände G 2 = #22 = —- mil von B'

bezw. C“ nach abwärts bezw. aufwärts auf und erhalten dadurch die Tangente B“‘ C B“ in C‘, nehmen nun diese Tangente als fest an und tragen nach Belastungsfall III die Abstände f 13 nach abwärts bezw. t-is nach aufwärts auf und erhalten dadurch die letzte Endtangente C“‘ B‘.

Wäre AI) ein frei aufliegender Träger und die Belastungsfläche eine Momentenfläche, welche zwei Lasten entspricht, die in B und C angreifen, so wäre A‘ B‘ C' D' die elastische Linie.

Einzelne Ordinaten können leicht gerechnet werden; so würde z. B. y für x = 0,5 h nach der Tabelle (Belastungsfall III) sich ergeben mit y — 0,0625 ml\ u. s. w.

Wäre in Fig. 4411 hingegen A B ein durchlaufender Träger, der in A C TJ feste Punkte, in B ein Gelenk hat, so müssen A‘“ C* D‘ auf einer Geraden liegen; bei B‘ tritt ein Knick der Biegungslinie ein, A‘ ist nach A“‘ hinab zu schieben, Au kommt nach Ay. In diesem Falle wäre es möglich gewesen, die Biegungslinie unmittelbar für eine wagerechte Schlufslinie zu zeichnen, wenn man von D aus anfängt, was in Fig. 44III geschehen ist.

Wir werden im folgenden sehen, dafs wir mit dieser Linie die Einflufslinie für ein Moment in B eines auf drei Stützen ACD ruhenden, durchlaufenden Trägers erhalten hätten, was die Wichtigkeit unseres Verfahrens besonders erhöht.

Beispiel 2 (ohne Abbildung). An einem durchlaufenden Träger treten in einem Felde 12 zwei Stützenmomente — Mi, — M2 über den Stützpunkten auf, das Feld ist aufserdein gleichmäfsig mit q belastet; wie grofs ist die Durchbiegung in einem Punkte, tier um 0,35 Z von 1 absteht? In unserem Beispiele fallen die Belastungsfälle III, II, IV zusammen. Die Ordinate wird:

y = [— 0,0512 Mi 0,0026 M2 + 0,0931 .

Die Zahlenwerte sind unmittelbar der Tabelle entnommen.

⁴

) A, Franke. Die elastische Linie des Balkens, Zeitsclir. f, Bauw. 1895, 8. 439.

⁵

) À. Franke. Beitrag zur Berechnung der elastischen Durchbiegung und der Beanspruchung der

⁶

eisernen Querschwelle. Zeitsehr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1895, S. 191. — F. Steiner. Berech

⁷

nung des eisernen Oberbaues auf nachgiebiger Unterlage. Österr. Zeitsehr. f. d. öff, Baudienst 1895, S. 189, 216,

⁸

in) W, Dietz, Bewegliche Brücken. Leipzig 1897, S, HO u. f,

lo) M. Tolle. Die steife Kettenlinie. Zeitschr. d. Ver. deutscher lug*. 1897, 8. 855. — Des Ingenieurs Taschenbuch „Hütte“. 1899, S. 392—394.

Auf T. V ist ein diesbezügliches Beispiel durchgeführt. Es ist für den Parabelträger (F. 1) die Durchbiegung berechnet, welche das gegebene Einzellastsystem im Punkt D erzeugt. In F. 3 sind die Stabspannungen ermittelt; aus ihnen, den Längen und Querschnittsflächen der Stäbe berechnen sich die A /, die in F. 9 tafelmäfsig dargestellt sind. In F. 7 sind für eine Einzellast in D mittels eines Cremonaplanes die Werte a bestimmt. Die letzte Reihe der Tabelle (F. 9) enthält die Werte a.A/. Es ist hierbei sofort ersichtlich, welcher Einfhifs auf die Formänderung den Gurten und Gitterstäben zukommt.

Im vorliegenden Falle ist der Einfhifs der Pfosten und Diagonalen mit -j- 0,06 und — 0,49 mm berechnet, ein sehr kleiner gegenüber jenem für die Gurte, da er kaum 5°/o der Gesamteinsenkung beträgt.

Sehr einfach gestalten sich die Berechnungen bei ungleicher Erwärmung. Gesetzt, es würden in unserem Falle die Obergurte um 10° C. wärmer als die Untergurte werden, so erhalten wir für die Verlängerung jedes Obergurtstabes : A 1 = 10.0,000012 . I und diese Werte mit dem jeweiligen a multipliziert, ergeben eine Aufbiegung in D von 2,98 mm.

IV. Theorie der Einflufslinien und Einflufsfläehen.

§ 20. Eiiłflufsfliiche, Einflufsliiiie. Es sei W irgend eine Wirkung, welche an irgend einer Stelle    A entstellt,    wenn    an    irgend einem    Punkte    0    der    Oberfläche    eine^

Tragwerks eine Kraft    P angreift.    Drückt    man    die    Gfröfse    dieser    Wirkung    W durch    eine

Strecke OE aus und trägt diese von 0 aus, im positiven oder negativen Sinne einer ursprünglich beliebigen festen Richtung auf, je nachdem W positiv oder negativ ist, bewegt man endlich    P parallel

zu sich selbst, sodafs    die einzel

nen Punkte einer bestimmten Oberfläche des Tragwerkes zu Angriffspunkten von P werden und führt das oben angegebene Verfahren für jeden Punkt der angegriffenen Oberfläche, durch, so bildet der Inbegriff aller Punkte E eine Fläche, welche wir die E i n -flufsfläche der Wirkung W von Pfür die Stelle A nennen.

Wir machen diese Begriffsbestimmung an einem Beispiele klar. Ist AB CDD' C‘ B' A' ein Tragwerk, auf welches in den Elementen der ebenen Fläche A' B'C' D' eine konstante, lotrechte Kraft von der Gröfse P wirkt, und ist das Tragwerk in den Punkten AB CD unterstützt, so entsteht in A eine Auflagergegenkraft W (eine Wirkung), welche wir nach einer festen Richtung (als welche wir in unserem Beispiel die Richtung von P wählen) von 0 aus

Fig. 45.

C7

PE

t,r

ÖL

-J£E"

03P7

7t

JJ

ADI

•Vo

OA,

0.7.

O.l

O.?,

_IOC

A'

■.'VS

ns

<//

'///

/Zb

als Strecke z auftragen und zwar in unserem Beispiele im entgegengesetzten Sinne von P, wenn wir auch gleichzeitig den Sinn von P als mafsgebend für den Sinn beim Aufträgen von O E = W betrachten.

Legt man Ä D' als Abscissenachse, A‘ B' als Ordinatenachse für die Punkte 0 fest, so wird bei einer bestimmten später zu erörternden Anordnung des Tragwerks

(l - x) (b — y)

b.l

P.

69.

Die Endpunkte von z liegen auf einer Fläche zweiter Ordnung; für x —    ;

U ==

b .    P    ..."

— wird z —---- u. s. w. Die Fläche ist in Fig. 45 durch Schichtenlinien,

W

welche den Werten —p — 0,1, 0,2, 0,3, .... entsprechen, in schiefer Projektion dargestellt.

Ist der Tragkörper ein elastischer geschlossener Fachwerksbalken, so ist z durch eine höhere Funktion von xy bestimmt, der Fall selbst statisch unbestimmt ; wir kommen auf denselben noch an anderer Stelle zurück.

Von besonderer Wichtigkeit werden die räumlichen Einflufsflächen für die Berechnung von Kuppeldächern u. s. w.

Wir wollen uns hier jenen Vereinfachungen zuwenden, welche sich ergeben, wenn das Tragwerk ein ebenes ist.

Einflufslinie ebener Systeme. Bewegt sich eine Last P längs einer Geraden und trägt man eine bestimmte Wirkung, welche sie an einer bestimmten Stelle erzeugt, nach einer beliebigen festen Richtung im Lastangriffspunkte als Ordinate nach einem angenommenen Mafsstabe nach Gröfse und Sinn auf, so geben die Endpunkte dieser Ordinaten eine Linie, welche die Einflufslinie dieser Kraft hinsichtlich der genannten Wirkung und Stelle genannt wird.

In all jenen Fällen, wo die Wirkung der Kraft dieser proportional ist, gestatten die Einflufslinien eine einfache übersichtliche Behandlung gewisser Aufgaben der Trägerlehre.

Bei manchen Aufgaben, wo die Veränderung der Hebelarme der Last schon bei sehr kleinen Formänderungen von Einflufs wird, so bei elastischen, dünnen Bogen, verstärkten Seilen u. s. w. wird die Durchbiegung, das Moment u. s. w. nicht mehr der Last proportional, sondern ändert sich nach einer höheren Funktion. In diesen Fällen (z. B. bei genauen Untersuchungen der Bogen- und Hängebrücken) sind die nachstehend entwickelten Methoden unbrauchbar.

y = F 0, t>) . P.

Ist u die Abscisse der Lastlage einer beweglichen Last P, v die Abscisse eines Punktes Q, für welchen eine bestimmte Wirkung y der Kraft in Frage kommt, so ist allgemein :

y kann hierbei z. B. das Biegungsmoment der äufseren Kräfte, die Spannung in der aufsersten Faser eines Querschnittes in Q, die Durchbiegung im Punkte Q u. s. w. sein.

Für u — C (eine Konstante) wird y — F (O, v) P, die Wirkungslinie der Einzellast für eine bestimmte Stellung derselben in P.

Für v — C und veränderliches u wird y = P (6', u) P, die Gleichung der Einflufslinie der Stelle Q für eine wandernde Einzellast.

In manchen Fällen gestattet die Funktion y eine Vertauschung der Greisen u und p, ohne dais eine Wertänderung stattfindet (symmetrische Funktion). In solchen Fällen wird jede Wirkungslinie zugleich eine Einflufslinie und umgekehrt, was gewisse1 Untersuchungen wesentlich vereinfacht.

kit

Xf

Beispiel 1. Ist AB (Fig. 46) ein einfacher Träger, so wird das Moment M der äufseren Kräfte für einen Querschnitt Q im Abstande v von A, wenn eine Einzellast P im Abstande u von B liegt,

v. U

(l •— U) (l — V)

P bezw. M —

je nachdem Q rechts oder links von P liegt.

Die Funktion ist in Bezug auf u und v linear. Die Wirkungslinien bilden mit A B ein Dreieck ACB. Dieses Dreieck ist die Wirkungslinie, in unserem Falle die graphische Darstellung der Momente aller Punkte des Trägers AB für eine Einzellast P in (), und da die Funktion in Bezug auf u und v symmetrisch ist, gleichzeitig auch die Einflufslinie für den Querschnitt Q für alle Lagen der Einzellast P.

P,

70,

Fig. 46.

Fig. 47.

- »-Ep*

VS

C,

<- -

Iff

pfe

xa

T’

Beispiel 2. Die Durchbiegung, welche eine Einzellast P in einem Punkte Q erzeugt, ist für einen Balkenträger vom Trägheitsmomente J und Elasticitätskoefficienten E nach Formel 63 gegeben durch

uv

ßEJl

(p — u² — V¹) P.

Ist v konstant, so giebt y die Wirkungslinie, in unserem Falle die elastische Linie der Schwerpunktsachse des Trägers für eine Einzellast in Q. Diese Linie ist aber zugleich die Einflufslinie für einen Punkt (), für die in Q entstehenden Durchbiegungen bei wandernder Einzellast.

Im Brückenbau insbesondere kommt es häufig vor, dafs sich die Wirkung der

Sind yy und y.> die den Lastlagen P‘ und P" entsprechenden Ordinaten der Einflufslinie, so ist die Wirkung dieser beiden Kräfte durch

Einzellasten nur in ganz bestimmten Punkten, den Knotenpunkten, Gurtungsanschlüssen u. s. w. auf den zu untersuchenden eigentlichen Träger übertragen kann. Nimmt man an, dafs die Übertragung einer Last zwischen den Angriffspunkten AB derselben auf das System so erfolge, als wenn zwischen denselben ein frei aufliegender Träger vorhanden wäre und ist a (Fig. 47) die Entfernung der fraglichen Knotenpunkte, so kann die Wirkung von P durch zwei Kräfte P/ und P" ersetzt werden, welche die Werte — P und —L p annehmen.

Pv = y,P' + y<P“ = ~ ■ï,f + D’p=7l« + ,'ï']    • • 7L

gegeben. Die analytische Entwickelung für die Gröfse Ct C₂ liefert den Wert

x-i y\ F ici ifr

Daraus folgt der Satz, dafs unter diesen Verhältnissen die Einflufslinie zwischen zwei Knotenpunkten stets durch eine Gerade dargestellt erscheint.

Trägt man eine bestimmte Wirkung einer längs einer Geraden wandernden, nach Gröfse und Sinn gleichbleibenden Einzellast P = 1 am Lastangriffspunkte als Ordinate auf und kann sich die Last nur an bestimmten Punkten 12 3... auf den Träger übertragen, so ist die Einflufslinie ein gebrochener Zug, dessen Ordinaten den Wirkungen entsprechen, welche die in den Punkten 12 3... stehende Last P — 1 erzeugt.

Nunmehr wollen wir einige Regeln für die Ermittelung der Wirkung verschiedener Belastungsweisen unter der Voraussetzung kennen lernen, dafs die gezeichneten Ordinaten y der Einflufslinien irgend einer Wirkung sich auf den Wert P = 1 beziehen. Die Gesamtwirkung möge mit Y bezeichnet werden.

1. Stetige gleichförmige Belastung. Die Wirkung Y einer gleichmäfsigen Belastung p f. d. Einheit, welche sich von C bis D (Fig. 48«) erstreckt, ist, da die Wirkung d Y = p du . y, durch

M2

Y — P'f y du

Ul

72,

gegeben, wenn man mit F die schraffierte Fläche der Einflufsfigur bezeichnet. Bei graphischen Darstellungen wird dabei die Bedeutung der Flächeneinheit wohl in Erwägung zu ziehen sein und sei hierfür auf spätere Beispiele verwiesen.

Für volle Belastung ist selbstverständlich der algebraische Wert der Gesamtfläche in Rechnung zu stellen. Ist F, die unter, F₂ die über der Abscissenach.se liegende Einflufsfläche und F₁ den positiven Werten y entsprechend, so wird für volle Belastung

73,

Y = p (JFX — P₂)

Die gröfste positive Wirkung ~\~ Fmax einer Belastung q pro Einheit entsteht bei Belastung der Strecke AE, und ist FmaI = qFx : der gröfste negative Wert ist

I min ⁼⁼    F₂.

Fig. 48 b.

Fig. 48 a.

/v

!

r?-

P-

.1.

Po''

Po

CT\

IL,

ui

'.Xk

2. Ist die Belastung f. d. Einheit stetig ungleichförmig, also allgemein p — / (u), so ist die Wirkung Y innerhalb CD durch

M2

Y —Jpy du

74,

ui

gegeben. Macht man z — —— eine beliebige mittlere Belastungshöhe ist, so wird

'5

was

graphisch nach Fig. 48 b geschehen kann, wo p₀

112

75.

Y    = PoJ's d u

•    Ul

und an Stelle der roll ausgezeichneten tritt für die Flächenbestimmung die Fläche F0 zwischen der Achse und der -strichpunktierten Linie.

3.    Bestimmung der Wirkung eines Einzellastsystems. Sind ?/, y., y₃ die Ordinaten der Einflufslinie für die Last P — 1 in jenen Punkten, an denen die Lasten P, P₂ Pa u. s. w. stehen, so ist die Gesamtwirkung

7G.

Y    = P.y, + P,y, + P.y. +......

welcher Ausdruck auch sehr einfach graphisch ermittelt werden kann.

4.    Bestimmung der gefährlichsten Belastungsweise. Soll die Wirkung Y ein Gröfstwert werden, so dürfen

a)    für stetige Belastungen nur die positive bezw. negative Wirkungen hervorrufenden Einflufsstrecken mit Last bedeckt sein. Für diese teilweisen Belastungen erfolgt die Bestimmung selbst wie unter 2.

b)    Soll für eine bestimmte Stellung eines Einzellastsystems Y ein Gröfstwert werden, so wird man diese Stellung in vielen Fällen, in welchen die Einflufslinie eine stetige Kurve ist, durch Versuche praktisch ermitteln.

Hierbei kann folgendes Verfahren von Wert sein. Für eine Verschiebung des

d Y

ganzen Systems um du ändert sich Y um d Y und für das Maximum mufs sein, man erhält

dY

dyx

du

. .    77.

Die Werte    -jLL sind die Werte der Tangenten an die Einflufslinie, s. Fig. 49.

Fig. 49.

( J— v

-à-'

dy

Für alle Fälle, wo die Einflufslinie ein Dreieck bildet, gilt der Satz, dafs ein Gröfstwert von Y eintritt, wenn eine Last P über dem fraglichen Querschnitt steht, welche in zwei positive Teile P' und P" so geteilt werden kann, dafs P' zu den links vorn liegenden, P" zu den rechts liegenden Lasten zugeschlagen, sich rechts und links gleich grofse Belastungen f. d. Längeneinheit ergeben. Ob P die richtige Last /■% ist, ergiebt sich daraus, dafs sie einmal vollständig zu den linksliegenden, einmal zu den rechtsliegenden Lasten zugeschlagen, im ersten Falle ein gröfseres Übergewicht auf der einen, im zweiten auf der anderen Seite ergiebt.

Beweis. SindPJP' u. s. w. die Lasten links, P₃ Pi' . . . die Lasten rechts des Querschnittes C, so sind die Tangenten der Neigungswinkel tang a' und — tang y.", somit

- [(P; + P'„. ..) tanga’ — (P? + P" + • • •) tanga”} = 0,

d Y d u

c'

U-s

fr

Fig. 50.

r*

daraus, da

tang a.' — tang a"

ist

folgt die Bedingung des , d. h. die

SP"

ly

Gröfstwerts —y— —

11

*j Lasten f. d. Einheit sollen gleich

\B Werden. Trägt man die Lasten, welche überhaupt auf den Träger kommen,längs A!B\Fig. 50) auf und zieht A'C ±AC"; B'C'IB C", so trifft eine Wagerechte durch C' jene Last, welche in C stehen mufs; sie ist in unserem Falle P₂.

Auch für das abgestumpfte Dreieck als Einflufsfigur (Fig. 51) ergeben sich leicht einfache Regeln. Die Reihenfolge der Lasten wird durch Zeiger bezeichnet.

Es sei ohne Rücksicht auf den unteren Zeiger der Last

innerhalb A C die Kraft P, die Ordinate y, die Tangente an das Vieleck tang a,

tang a', tang a

CD

P'

V)

•)

•il

DB

P"

//

//

ii

ii

il

so ergiebt sich

//

78,

und für den Griffst wert

dY

du

= tang aSP-f tang a' S F' — tang F' ï. P" — 0, .    .

.    .    79.

Unter der Annahme, dais E E' — y sei, und mit don in Fig. 51 gegebenen Bezeichnungen erhält man nach kurzer Rechnung

/ ÏP + Av?

dY

SP" + SP' 1

du

= 0, . .

. . 80.

d. h. teilt man jede der Lasten P', welche zwischen C und D liegen, nach dem Verhältnisse — und — links

Fig. 51.

A'

bezw. rechts zu, so mufs wieder die Bedingung, dafs die Last f. d. Einheit zu beiden Seiten der Ordinate durch E möglichst gleich grofs sein soll, erfüllt werden.

Trägt man alle auf den Träger kommenden Lasten längs A' B' auf, macht A! E" ± AE'

B'E" 1 BE",

so trifft eine Wagerechte durch E" in c jene Lastengruppe, welche zwischen D und E stehen mufs. Zieht man ae || A' E", be |J B' E", de || CJ D\ so teilt d die innere Lastengruppe nach dem fraglichen Verhältnisse. Das Lastsystem mufs nun nach rechts oder links geschoben werden, jo nachdem d über oder unterhalb c fällt.

p,

p?

je'

rfij"

B'

!/ y

/(£ _

-i,

JJ

p,

PJ Z'/ P"

/v

5. Belastungsgleichwerte (Belastungs-Äquivalente). In vielen Fällen handelt es sich darum, ein System von Einzellasten EP, welches die gröfste Wirkung Fmax hervorruft, durch eine gleichförmig verteilte Last q für die Längeneinheit zu ersetzen, welche dieselbe Wirkung hervorbringt, q heifst die dem System gleichwerte Last.

Ist in Fig. 48, S. 270 die Strecke MP mit den Einzellasten Pt P₂ P₃ so bedeckt, dafs die gröfste Wirkung Y entsteht, so mufs für unseren Fall sein:

SPy

. . 81.

Fi

Y = E P y — q F„ woraus q —

Der Belastungsgleichwert q ist bei einem gegebenen System von Einzellasten (Belastungszug) um so kleiner, je gröfser die dem Gröfstwerte entsprechende Länge ist; daraus folgt, dafs z. B. bei grofsen Brücken die dem Belastungszug für die Berechnung der Gurte eines Trägers entsprechende gleichwerte Last q kleiner als bei kleinen Spannweiten ist. Der Belastungsgleichwert wird um so gröfser, je schneller die Einflufslinie von einem bestimmten Punkte aus abfällt.

Winkler hat für einzelne Formen der Einflufsfläche näherungsweise Formeln für die Bclastungsgleichwerte bestimmt, man sehe „Festschrift der Technischen Hochschule zu Berlin 1884u und Centralbl. d. Bauverw. 1884, S. 460.

§ 21. Kinematische Bedeutung der Einfiufszahlen und Einflufslinien.

Die Spannungen der Stäbe eines statisch bestimmten Fachwerks sind von den (stets sehr klein gedachten) Längenänderungen, mit anderen Worten von den Querschnittsflächen der Stäbe unabhängig. Denkt man sich daher die Querschnitte aller Stäbe, mit Ausnahme eines einzigen S', dessen Spannung bestimmt werden soll, sehr grofs, die Stäbe unelastisch, so verschwinden in der Gleichung EP dp — 'LS dl — 0 alle Gröfsen d l mit Ausnahme der auf Stab V bezüglichen und man erhält

82.

S' .dl' = Px.dpls + P₂.dp₂

Vergleicht man diese Gleichung mit Formel 76 und setzt dl' — 1, so ergiebt sich die Bedeutung der Werte y.

Die Werte y dieser Gleichung, die Einfiufszahlen, sind die Wege der Kräfte Pi,P,, wenn sich die Endpunkte des fraglichen Stabes um den Weg eins in Kichtung des Stabes voneinander entfernen.

Die Bedeutung der Gleichung des statischen Einflufspolygons :

S — l/i Pi + y-2 Pa “f“ y a Ps    • • •

ist daher gleichzeitig eine kinematische.

Wirken lotrechte Kräfte am Ober- oder Untergurte eines Trägers, so werden die Spannungen 8 eines Stabes für jede Lastlage von P = 1 durch die Ordinaten eines Polygons gegeben, dessen Eckpunkte die lotrechten Durchbiegungen der Lastangriffspunkte für den Belastungsfall sind, wobei an Stelle des fraglichen Stabes die Kräfte 1, 1 an den Endpunkten dieses Stabes angreifen. Jedes Einflufspolygon ist daher stets auch ein Formänderungspolygon.

Entfernt man einen Stab DE (Fig. 52) aus dem statisch bestimmten Fachwerke, so bleibt eine zwangläufige, kinematische Kette übrig. Läfst man die Punkte D und E um den Weg 1 sich voneinander bewegen, zwingt man B auf einer Auflagergeraden y zu bleiben und ist A fest, so ist die Bewegung der Kette vollständig bestimmt.

In unserem Falle wird man die schraffierten Teile 1, 4 als Elemente der Kette (Scheiben), deren Punkte sich gegenseitig nicht verschieben, auffassen können. Man

18

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl.

kann die Bewegung so durchführen, dafs man zunächst Scheibe 1 als ruhend betrachtet und E um den Weg 1 von D in der Richtung BE sich entfernen läfst. Der Geschwindigkeitsplan A‘ E' F' B' (Fig. 52 b) zeigt die betreffenden Geschwindigkeiten. E/ wird aus dem Dreiecke CDE konstruiert, wobei CB fest ist, BE die Dehnungsgeschwindigkeit B'E* — 1 und CE die Dehnungsgeschwindigkeit 0 hat.

Mit Hilfe von E' kann nun aus Dreieck BEF das F' und weiter aus Dreieck E F B die Lage von 2F ermittelt werden. Da jedoch die wirkliche Bewegung von B nur längs g erfolgen kann, drehen wir B wieder nach g zurück; dies erfolgt, indem man zu A'B' eine Komponente Bn Ä hinzufügt, welche einer Drehung um den festen Punkt A des nunmehr starr gedachten Systems entspricht, wobei B" A‘ senkrecht zu A B sein mufs ; so bleibt dann für B die resultierende Geschwindigkeit Bt' B'. Das zu ACBE . . . ähnliche Polygon A" C" B" E" . . . stellt die Geschwindigkeiten für diese

Fig. 52.

-Pas

-E.

a.

f -

çsl-

,13

tü

i-y-.

\i ;/\ %

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’G

Drehung dar. Die Strecken A" A\ B" B\ G" 6V geben die wirklichen Yerschiebungs-geschwindigkeiten der Punkte A B C u. s. w. Wir tragen sie von einem Pole Ax aus als Strahlen nach Richtung und Sinn auf (Fig. 52 c) und erhalten dadurch den wahren Geschwindigkeitsplan für die verlangte Bewegung. Nach dem oben ausgesprochenen Satze sind die Projektionen dieser Geschwindigkeiten A₁AJ — 0, AjB^ A₁C₁ u. s. w. auf die Kraftrichtungen der in den Punkten A, B, C angreifenden Kräfte die Einflufs-werte yx y, für die Spannung S im Stabe D E. Schlägt man über die Strecken A, R„ Ax Ci u. s. w. Kreise (ein solcher ist nur für Ax Bx gezeichnet), so geben die Kreisabschnitte, welche der Kraftrichtung entsprechen, direkt die Werte yx, y.,. . . u. s. w. mit A! E* als Einheit gemessen.

Für ein Büschel paralleler Kräfte, deren Richtung in Fig. 52« durch den Pfeil angedeutet ist, kann nunmehr auch leicht das Einflufspolygon im Sinne des § 20 direkt gezeichnet werden.

Wir nehmen an, dafs sich die Kräfte nur auf den Untergurt übertragen können, und bezeichnen die Verschiebung von D, F und D in der Kraftrichtung p, das sind die Projektionen der Strecken Ax D,, Ax Ft und Ax Bx auf die Richtung y>, mit o, <p und ß. Zieht man eine zu p senkrechte Schlufslinie A., B.₂ und trägt an derselben die Werte r5, 9 und ß dem Sinne nach auf, so ist die Einflufslinie gegeben. Hierbei ist zu bemerken, dafs Kräfte, welche in Richtung der Verschiebung wirken, positive Spannungen, solche dagegen, welche gegen die Verschiebung wirken, negative Spannungen im Stabe DE hervorrufen werden. Es werden daher im Teile A₂J., nach abwärts gerichtete Kräfte Zugspannungen, nach aufwärts gerichtete Druckspannungen in DE erzeugen.

Bei der eingeleiteten Bewegung dreht sich jeder Stab um einen festen Punkt, den Pol. Es sei J der Pol von DF, so wird ein Punkt welchen die Kraftrichtung auf DF projiziert, bei der unendlich kleinen Drehung im Sinne der Kraft keinen Weg zurücklegen. Er entspricht dem sogenannten Lastscheidepunkte. Es ist leicht die Belastungsscheide J auf kinematischem Wege zu finden. Betrachtet man 1, 2, 3, 4 der zwangläufigen Kette und zunächst 1 und 4 als bewegte Systeme, so ist der Pol $₁₄ für die relative Bewegung von 1 und 4 durch den in der Figur nicht ersichtlichen Durchschnittspunkt $₁₄ der Geraden CE und DF gegeben.

Fig. 52 e.

B’

Für die Bewegung dieser beiden Systeme in Bezug auf die ruhende Zeichenebene 0 liegt der Pol $₀₄ in A, der Pol $₀₄ mufs auf einer Senkrechten g' zu g durch D liegen, weil sich B längs g bewegt. Da die Pole $₀₄, $₄₄, $oi auf einer Geraden liegen müssen, ist der Pol $₀₄ durch den Schnitt der Linie $₁₄ $₀₄ mit g' bestimmt.

mm.

Die Pole $,,, $oi> $02 des Systems 1 und des Stabes DF (Scheibe 2) müssen in einer Geraden liegen, daher J = $₀₂ auf AD. Ferner müssen die Pole des Systems 4 und des Stabes 2 in einer Geraden liegen, es mufs daher J =

$₀₂ in die Gerade $₀₄ $₂₄ fallen, wodurch J = $₀₂ bestimmt erscheint.

ln ganz ähnlicher Weise ergiobt sich die Lage von $₀₃, der Lastscheidepunkt des Stabes Cif, durch den Schnitt der Linien $₀₁ $₁₃ bezw. AC und $₀₄$₃₄ bezw. $₀₄ E. Die Punkte $₀₂ und $₀₃ müssen mit $₂₃ in einer Geraden liegen, $₂₃ aber ist durch den Schnittpunkt der Geraden CD und FE gegeben.

Ist der Untergurt gerade, so versagt die Konstruktion von ^ßo₂ ihren Dienst. In diesem Falle kann man, wie in Fig. 53 angegeben, Vorgehen. Verbindet man die statische C ul mann’sehe Konstruktion der Lastscheide von    s. § 22, mit der kinematischen, so ergeben sich interessante geome

trische Beziehungen.

Eine raschere Konstruktion der Werte 8, 9, ß kann man erhalten, wenn man (Fig. 52d) zunächst nur die Dehnung von DE bei Festhaltung von 1 ausführt und die dem Diagramm A" B" C" . . . entsprechende Drehung des ganzen Trägers direkt durchführt, indem man A“ B" auf die Kraftrichtung projiziert und dadurch einen Schnitt-

18*

punkt der Geraden A, D> mit der Kraftrichtung durch II, erhält. Die Ordinate D„ ZA, giebt unmittelbar die auf die Kraftrichtung projizierte Verschiebungsgeschwindigkeit des bei der ersten Bewegung in Buhe gewesenen Punktes D. Die Strecke EIE₂ ist gleich der Projektion der Strecke E'A' auf die Kraftrichtung, wie eine einfache Überlegung zeigt.

Das Beispiel lehrt ferner, dafs in Bezug auf den fraglichen Stab jedem Knotenpunkte eine Kraftrichtung entspricht, für welche die Spannung in ED ein relativer Gröfstwert wird. Diese Kraftrichtung ist z. B. für D durch die Linie Aa Dx in Fig. 52 c gegeben. Die ungünstigste Dichtung für C ist durch die Linie At G bestimmt u. s. w.¹⁶)

§ 22, Statische Ermittelung der Einflufslinien von Stabspannungen des Fach Werks. Stellt man (Fig. 53) die Spannung S eines bestimmten Stabes, welche eine Einzellast G erzeugt, im veränderlichen Lastangriffspunkte durch eine Ordinate dar, so erhält man die Einflufslinie des Stabes. Kann die Last G nur in bestimmten Punkten,

also hier den Knoten, dem Träger übermittelt werden, so wird innerhalb dieser die V Kurve zur geraden Verbindungslinie der den Knotenpunkten entsprechenden Werte; Fig. 53 (III bis VI) zeigt die den Stäben CE, CF, EF und CD entsprechenden Polygone, welche wir näher betrachten wollen, indem wir daran zugleich die wichtigsten Bemerkungen über die ungünstigste Belastungsweise schliefsen.

Wirkt die Last auf den Untergurt (Bahn unten), so wird die Einflufslinie des Obergurtes CD zum Dreieck (Fig. 53, V). Die gröbste Spannung entsteht, wenn eine Last in E (dem Mo-mentenpunkt des Stabes CD) sich befindet. Die Spannung Ą ist stets ein Druck, wie im-Ä. mer auch G liegt. Bezeichnet a die Spannung, welche eine in E wirkende Last G — 1 erzeugt, so wird für gleichförmige Belastung des

Fig. 53.

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¹⁸) Zu diesem Paragraphen vergl. man die Abhandlungen von Mohr. Civiling. Bd. XXXIII, Heft 8 und Land. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1888, S. 11 u. ff.

ganzen Trägers S₀ = -y- q- Hat man es mit einem Systeme von Einzellasten zu tłum, so gelten für die Bestimmung der ungünstigsten Stellung und die Berechnung oder graphische Ermittelung der gröfsten Spannung die in § 20, S. 271 erörterten Regeln. Zur Konstruktion des Dreiecks hat man nur die Ermittelung der Gurtspannung für Last G in E nötig. Trägt man G als Endordinate (Fig. 53, II) auf, so giebt die Ordinate A‘ in E' den der Stellung von G in E entsprechenden Stützendruck, also die Resultierende, welche auf den Teil links des Schnittes entfällt. Hiernach ist es leicht, nach dem folgenden Paragraphen die Spannung der durchschnittenen Stäbe zu ermitteln.

Die Einflufslinie des Untergurtes zeigt Fig. 53, YI. Ihre Ordinaten sind sämtlich positiv ; wie immer also auch eine Last liegen mag, sie erzeugt im Untergurte stets Zug. Die gröfsten Werte entsprechen den Punkten E und F. Könnte sich in C eine Einzellast übertragen, so erhielte man für diesen Punkt die Gröfstordinate. Damit der Gröfstwert entstehe, mufs entweder in E oder F eine Einzellast des Systems stehen.

Das Einflufspolygon eines Gitterstabes C E (Fig. 53, III) liegt zum Teil oberhalb, zum Teil unterhalb der Geraden A₁B₁. Die den Zeichen nach stets verschiedenen Gröfst-werte für die Beanspruchung durch eine Einzellast treten in den Punkten E und F auf ; die Belastungsscheide zwischen den positiven und negativen Werten wird durch Jx (unter J in Fig. 53, I) gegeben. Diese Belastungsscheiden, deren man für jeden Füllungsstab eine erhält, lassen sich leicht nach folgender Regel ermitteln.

Man verlängert den nicht belasteten Gurt des Faches, dem der fragliche Stab angchört, bis zum Schnitt mit den Auflagerlotrechten und verbindet diese Schnittpunkte mit den betreffenden Knotenpunkten des belasteten Gurtes, so schneiden sich diese Geraden in einem Punkte einer Lotrechten, welche durch die Belastungsscheidc geht (Culmann). Für unseren Stab CE erhält man hiernach durch Yerlängerung von CD die Punkte T und F, die Geraden T F und VE schneiden sich in J, welcher Punkt lotrecht über Jx liegt. Die Richtigkeit ergiebt sich wie folgt: Man betrachte TFEV als Seilpolygon. In F wirke Gx, in E die Kraft 6r₂, in T der Stützendruck A\ in V der Auflagerdruck M"; Gx und G₂ geben als Mittelkraft G, die Seilpolygon-Spannungcn in TV und FE für einen beliebigen Schnitt durch das Fach geben direkt die Gurtspannungen. Für den Gittorstab ist daher bei dieser Lastlage keine Spannung vorhanden.

Jede Einzellast rechts von Jx erzeugt in C E einen Zug, jede solche links von Jx einen Druck. Soll z. B. in CE Gröfstwert des Zuges entstehen, so ist das Lastsystem so zu stellen, dafs die schwersten Lasten dicht an E zu stehen kommen und in E selbst eine solche liegt, über J hinaus gegen links dürfen keine Lasten zu stehen kommen. Die ungünstigste Stellung ist dadurch bedingt, dafs die Last für die Einheit der Strecke J E der Last für die Einheit der Strecke E B möglichst gleichkommen soll.

Für den Füllungsstab CF erhält man (Fig. 53, IY) ein ganz ähnliches Polygon. Die Belastungsscheide wird gefunden, wenn man bei Bahn unten, wie vorausgesetzt, H C verlängert und die Schnittpunkte mit den Stützenlotrechten mit F und E verbindet. Jede Einzellast innerhalb A,J₂ (Fig. 53, IY) erzeugt Zug, also das Entgegengesetzte wie bei CE, jede Last innerhalb J₂B₂ Druck u. s. w.

Erfolgt die Lastübertragung am Obergurt, so nehmen die Einflufspolygonc jene Formen an, welche in der Figur durch strichpunktierte Linien angedeutet sind. Um die Belastungsscheide J' für CE zu finden, ist FE zu verlängern, bis die Pfeilerlotrechten getroffen werden, und sind die Punkte U und W mit C und D zu verbinden, welche sich in J' treffen. Ebenso ergiebt sich die Belastungsscheide J" für CF durch die Verbindungslinien Uli und C W. Die Ordinaten der Einflufspolygonc ergeben sich nach der in der Figur ersichtlichen Weise aus den Polygonen für Lastübertragung unten.

Für die einzelnen Trägerarten ergeben sich wohl eigene Verfahrungsweisen für die Einflufslinien ; einen weiteren allgemeinen Vorgang, auf den schon hier besonders aufmerksam gemacht werden soll, bringen wir unter § 31.

V. Allgemeine Theorie statisch unbestimmter Tragwerke.

§ 23. Allgemeines Verfahren hei Berechnung statisch unbestimmter Trag werke. Ehe wir nunmehr zu der Anwendung der allgemeinen Theorie an einzelnen Ausführungen schreiten, wollen wir einen kurzen Überblick über den Vorgang halten, welcher bei Berechnung von Tragwerken auf Grund der neueren Methode heute wohl allgemein eingeschlagen wird.

Nachdem man das Tragwerk entworfen hat, wird es hinsichtlich der äufscrcn und inneren Kräfte dahin zu untersuchen sein, ob es stabil und statisch bestimmt oder überbestimmt ist. Sind mehr Auflagerbedingungen und Stabkräfte zu ermitteln, als die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen des Tragwerks ergeben, so verwandelt man zweckmäfsig das vorliegende Tragwerk in ein oder mehrere stabile, statisch bestimmte Tragwerke, indem man die überzähligen Bedingungen durch vorläufig unbekannte Kräfte XL X₂ u. s. w. ersetzt. Welche Stäbe, Auflagerbedingungen, auszuschalten sind, welche Bichtungen den unbekannten Kräften X zu geben sind, ist fallweise zu entscheiden. Es läfst sich naturgemäfs ein und dieselbe Aufgabe auf ganz verschiedenem Wege behandeln; so kann man z. B. bei einem ebenen durchlaufenden Fachwerk durch Ausschaltung des Gurtstabes über der Mittelstütze dasselbe in zwei einfache Träger verwandeln, oder indem man die Mittelstütze durch einen unbekannten Auflagerdruck ersetzt, dasselbe auf ein statisch bestimmtes Tragwerk zurückführen u. s. w. Es ist auch durchaus nicht nötig, dafs man das Tragwerk unter allen Umständen auf ein statisch bestimmtes zurückführe. Manche statisch unbestimmte Tragwerke sind so einfach zu berechnen, z. B. durchlaufende Träger, wenn,, man deren Festpunkte kennt, dafs es oft durchaus nicht nötig ist, allzuviele Unbekannte einzuführen.

Man ermittelt nunmehr in dem statisch bestimmten Tragwerk die Verrückung nach der Richtung einer Unbekannten Xm. Diese Verrückung wird sein: 1. Verrückung infolge des Eigengewichtes des Tragwerks. 2. Verrückung infolge der zufälligen Belastung, Verkehrslast, Wind u. s. w. 3. Verrückung infolge von Temperaturänderungen. 4. Verrückungen, welche sich aus der Natur des Angriffspunktes ergeben (Senkungen des Pfeilers, absichtliche Hebung der Stütze, Verlängerung oder Verkürzung des Stabes, welcher der ausgeschalteten Kraft X entspricht u. s. w.). 5. Verrückungen, welche in der Richtung von Xm durch die anderen Unbekannten hervorgerufen werden. Man führt die Ermittelung für die Richtungen nach allen Unbekannten durch.

Da die Verrückungen nach den Richtungen X gegeben sein werden, wird man im allgemeinen so viel Gleichungen erhalten, als Unbekannte vorhanden sind, deren Auflösung die Ermittelung der Unbekannten gestattet. Hierbei sind jedoch folgende wesentliche Gesichtspunkte zu beachten.

I. Zur Ermittelung der Verlängerungen und Verkürzungen der Stäbe, der Winkeländerungen der Querschnitte u. s. w. ist die Kenntnis des Querschnittes der Stäbe, also gerade jene Gröfse nötig, die man eigentlich berechnen will. Um diesen Übelstand zu beseitigen, schlägt man folgende Wege ein:

A.    Man nimmt die Querschnitte der mafsgebenden Teile als unveränderlich an, z. B. die Querschnitte der Gurte eines Bogenträgers, eines Fachwerksträgers, den Querschnitt eines vollwandigen Balkens u. s. w. und vernachlässigt jene Stäbe vollständig, deren Formänderung erfahrungsmäfsig einen geringen Ein-flufs auf die Yerrückungen besitzen, so die Füllungsglieder bei Bogenfachwerken u. s. w.

B.    Man ersetzt in verwickelten Fällen Fachwerksträger mit Füllstäben zunächst durch vollwandige Träger unveränderlichen oder veränderlichen Querschnittes, für die man die Formänderung durchführt, und Näherungswerte für die Gröfsen X bestimmt. Solche Regeln werden fallweise bei den einzelnen Tragwerken zu geben sein. Hat man nach Verfahren A. oder B. die Ermittelung durchgeführt, so kann man die Abmessungen des Trägers unter Zuhilfenahme der Näherungswerte festlegen, und auf Grund der so ermittelten Mafse die Rechnung neuerdings durchführen. Ergeben sich für einzelne Teile des Tragwerks zu grofse Spannungen, so wird man diese durch Vermehrung des Querschnittes vermindern, während man umgekehrt die Stäbe mit zu kleinen Inanspruchnahmen, soweit es die übrigen Verhältnisse zulassen, in ihren Abmessungen herabdriicken kann. Eine dritte Überprüfung mit den nunmehr endgültigen Werten wird sich in den seltensten Fällen als nötig erweisen und nur unbedeutende Abweichungen ergeben.

C.    Man schaltet solche Stäbe oder Bedingungen aus, deren Einflufs auf das Tragwerk nachweislich oder erfahrungsmäfsig ein sehr geringer ist, bestimmt die Querschnitte für das statisch bestimmte Tragwerk richtig und legt diese Mafse der Berechnung des statisch unbestimmten Tragwerks zu Grunde. So läfst sich z. B. ein durchlaufender Träger mit zwei Feldern durch Ausschaltung eines Gurtstabes im zweiten Drittel des ersten Feldes in einen Träger mit überkragenden Enden und einen einfachen Träger verwandeln. Die Spannungen des ausgeschaltenon Stabes sind im allgemeinen bei derartigen Anordnungen klein und die Mafse der beiden oben genannten statisch bestimmten Tragwerke kommen dem durchlaufenden aufserordentlich nahe.

von

Ein anderes, für gegebene feste Belastungsarten besonders zweckmäfsiges Verfahren besteht darin, dafs man nach Engesser die überzähligen Kräfte gleichzeitig durch bestimmte Näherungswerte, vermehrt um eine unbekannte Gröfse X, ersetzt, welche Werte X den Näherungswert zum richtigen verbessern. Der Vorgang bleibt im übrigen derselbe. Man erzielt dadurch den grofsen Vorteil, dafs die Einflüsse von X überhaupt nur klein werden ; man kann daher mit Berechtigung jene Einflüsse X weglassen, welche erfahrungsgemäfs überhaupt klein sind, man wird hierdurch das Verfahren wesentlich abkürzen. Wir fügen als Erläuterung bei, dafs z. B. bei einem durchlaufenden Träger ABC unveränderlichen Querschnittes mit zwei gleich-langen Feldern der Stützendruck auf die Mittelstütze für gleichmäfsige Belastung

5

— ql wird. Setzt man Kraft ~ ql -f X und berechnet für das statisch bestimmte Fachwerk die Verschiebung des Angriffspunktes, so wird man hierbei die Formänderung der Füllungsstäbe mit Beruhigung auslassen können und doch eine grofse Genauigkeit erzielen. Bei der Bestimmung der Spannungen eines Raumfachwerks haben wir übrigens von diesem Verfahren bereits Gebrauch gemacht.

an Stelle der Mittelstütze eines entsprechenden Fachwerks die

Im weiteren kann nun die Ermittelung der Verrückungen auf rechnerischen oder zeichnerischen, sowie mittels solcher Verfahrungsweisen erfolgen, welche teils rechnerisch, teils graphisch sind.

Wir haben die Hauptsätze bereits kennen gelernt und werden im folgenden Paragraphen die B er echnungs verfahr on allgemein an den einzelnen Beispielen zeigen. Unter den zeichnerischen Verfahrungsweisen nehmen wir insbesondere drei, welche geeignet erscheinen, die Verrückungen zu bestimmen.

Has I. Verfahren beruht auf dem Satze, dafs die elastischen Linien als Seillinien aufgefafst werden können, wenn die Winkeländerungen, bezw. die Momentenflächen, Belastungsflächen sind. Diese Methode, welche für vollwandigc Träger zuerst Mohr entwickelt und welche von anderen, so von Mül 1er-Breslau, Man der la und vom Verfasser für die Winkeländerung der Stabfachwerke erweitert wurde, wollen wir das Biegungslinien-Verfahren nennen.

II.    Eine weitere Verfahrungsart, welche wir in § 14 bis 16 kennen gelernt haben und die zuerst von Williot aufgestellt, in ihren Grundzügen jedoch schon von Bukovsky entwickelt wurde, beruht auf der Ermittelung eines Verschiebungsplanes, welcher zu dem ursprünglichen Fachwerk sich verhält, wie der Geschwindigkeitsplan (Hodograph) der augenblicklichen Geschwindigkeit zu einem bewegten System; wir wollen dieses Verfahren das Williot’sehe nennen. Es ist das allgemeinste, für alle Fachwerke mit dem geringsten Aufwand von Bechnung durchführbare Verfahren, es wird jedoch bei viclstabigen Fachwerken umständlich und wenig übersichtlich.

III.    Ein von Müller-Breslau eingeführtes Verfahren ersetzt in manchen Fällen mit Vorteil das ebene Tragwerk durch einen Stabzug, dessen Winkeländerungen, Verlängerungen und Verkürzungen der einzelnen Teile in ähnlicher Weise wie beim Wil-liot’schon Verfahren bestimmt werden. Das Vorfahren in diesem Sinne ist eine abgekürzte Williot’sehe Methode.

IV.    Die Auflösung der Gleichungen, auf welche bei mehreren Unbekannten ein solches System stets führt, kann in bestimmten Fällen ganz wesentlich erleichtert werden; insbesondere kann durch zweckmäfsige Wahl der unbekannten Gröfsen X das Gleichungs-system so gespalten werden, dafs jede Gleichung nur eine Unbekannte enthält. Das diesbezügliche Verfahren ist ganz allgemein Folgendes: Es sei in einem statisch bestimmten Fachwerk 1 der Angriffspunkt von A,, 2 der Angriffspunkt von X.>; eine Kraft Xx — 1 für sich erzeuge im statisch bestimmten Fachwerke in 2 die absolute Verrückung £₁₂, wählt man die Richtung von X₂ senkrecht zu ₂, so wird die Verrückung des Angriffspunktes 2 durch XL in Richtung der Kraft 2 gleich Kuli, es mufs daher nach dem Max well’sehen Satze auch die Verrückung des Angriffspunktes von 1 in Richtung der Kraft 1 für X₂ = 1 Kuli werden. Die Koeffizienten d₁₂ — §₂₁ unseres Gleichungssystems fallen hinweg. Jede der beiden Gleichungen enthält nur eine Unbekannte.

Bei symmetrischen Anordnungen kann ebenfalls durch zweckentsprechende Annahmen die Anzahl der Gleichungen verringert werden. Ein wirksames Verfahren besteht auch darin, dafs man die Belastung zu einer symmetrischen gestaltet. Wirken z. B. auf einen Bogenträger ohne Gelenke zwei symmetrisch zur Mitte stehende Einzellasten, so ist es klar, dafs die lotrechten Auflagergegenkräfte untereinander und diesen Kräften gleich sein müssen. Es fällt hierdurch eine Bedingung für die Verschiedenheit der Auflagergegenkräfte fort; vom Horizontalschub läfst sich im vorhinein behaupten, dafs er im gegebenen Falle doppelt so grofs sein wird, als wenn nur eine Last vorhanden wäre u. s. w.

Für die Ermittelung der Wirkung bewegter Lasten bedient man sich am zweck-mäfsigsten des Verfahrens der Einflufslinien, für die wir im folgenden Paragraphen eine besonders bemerkenswerte Beziehung kennen lernen werden.

§ 24. Einflufslinien statisch unbestimmter Systeme. Es seien Xa, Xb, Xc

die in bestimmten Punkten nach, gegebenen Richtungen angreifenden unbekannten Widerstände, die bei der Formänderung eines Tragwerks auftreten.

Es bezeichnen im Einzelnen:

8am die Verschiebung, welche eine bewegliche Last Pm = 1, welche im Punkte M angreift, im Angriffspunkte A von Xa nach einer gegebenen Richtung a erzeugt,

oaa die Verschiebung, welche eine Kraft Pa = 1 im Angriffspunkte A von Xa nach Richtung a hervorruft,

öat die Verschiebung, welche der Angriffspunkt A von Xa in Richtung a durch eine Temperaturänderung erfährt, endlich

oaw die Verschiebung, welche aufser durch die obengenannten Ursachen, am Angriffspunkt A von Xa aus irgend einem anderen Grunde (beabsichtigte Senkung der Stütze u. s. w.) veranlafst wird, dann ist die Gesamtverschiebung 8X = AA' des Angriffspunktes A von Xa in Richtung a

= SPm£am -j- Xaoaa WA,, -f- , . . -j- Sat -p Saw,

ebenso wird für den Angriffspunkt von Xb

= SPm^bm “h Ab Sbb -j- AaSba -f §bt -f

Sind diese Verschiebungen §A, u. s. w. gegeben, so lassen sich hieraus die Unbekannten berechnen.

Die Verrückungen 8 lassen sich nach dem Früheren leicht ermitteln.

a) Eine Unbekannte. Wir wollen uns zunächst dem Falle einer einzigen Unbekannten zuwenden.

Es sei aufserdem Xa die ersetzende Gegenwirkung eines festen Punktes ; dann wird 8aw = 0, §at = 0, und wir haben

XA. = - SPJam = - [PA. + PA, + P₃SaS + ...],

wenn wir an Stelle von m der Reihe nach die Angriffspunkte 1, 2, 3, 4 u. s. w. der Kraft P setzen.

Diese Gleichung hifst sich aber nach dem Satze von Maxwell stets umformen in:

- XA a — PA« ~b P2§äa + -P3 ^3 a ~P • • *7

S.«, 8.,a u. s. w. sind aber nichts anderes als die Verschiebungen der Punkte 1, 2, 3 u. s. w. für eine Einzellast Xj = 1 in A, und wir erhalten

S.

83.

Oaa

= Pi

Vergleichen wir diese Gröfsen mit der Gleichung 76 (S. 271) Y = Pi«/. + P₂y₂ -+-•••<>

so können wir sagen:

Die Ordinaten der Einflufslinien für Xa entsprechen den Quotienten aus den Ordinaten der Biegungslinie für eine Last 1 im Angriffspunkte A yon Xa in die Verrückung, welche Xa = — 1 im Angriffspunkte wachruft.

Oder in anderer vv eise :

Die Ordinaten der Einflufslinie entsprechen den negativen Ordinatcn einer Biegungs-linie für eine wandernde Kraft Px — P₂ = P₃ — §

Ersetzt Xa nicht die Gegenwirkung eines in Wirklichkeit festen Punktes, sondern erfährt derselbe eine Yerrückung A A‘ — oA, so wird aus dieser Ursache allein

Die Einflufslinie bleibt dieselbe, nur rückt ihre Abscissenachse um das Stück

Xa =

§A

Sa a

a a*

84,

ôa hinab.

b) Mehrere Unbekannte. Hat man ein System von n Unbekannten, welche an den Punkten A bis N angreifen, und ist X; eine derselben, so hat man die Gleichungen :

1) Pm m

-) Pm m

09    09

'b i

~T +

0 PmSim +A-aSia + AbSibU... Xi8„ + ... XnSin = S,

n) Pm5nm -f-    “f" Xb§nb -f- . .. . Xjöni -j- . . . X„Snn -: oN

Löst man dieses Gleichungssystem nach Xx auf, so wird man diese Lösung stets in der Form schreiben können:

AjP —■ Oma • axa ln 1 ~Om b • ®ib -1 m | • • • ^mi axn Pu "U Yi * • B ⁴ • 8o.

Macht man Pm = — P, so findet sich:

W ⁼⁼ -j⁻ Om a . d.\ a —j— Gm l) Otj b • • • —}— rjm i • ^in Yi *

Fig. 54.

. . 86.

Dies ist aber für Yü — 0 nichts anderes, als die Ordinate einer Biegungslinie im Punkte M, wenn in den Punkten AB C ... J... X u. s. w. die Kräfte ax a, aib... an, ain angreifen.

Die Einflufslinie für Xj ist mithin eine Biegungslinie, die man erhält, wenn man in den Angriffspunkten A B ... J . . . N der überzähligen Kräfte Xi, Xn bestimmte Kräfte aia, aib, an, ain wirken läfst. Die Gröfsc der den Ordinaten der Einflufslinie entsprechenden wandernden Last ist durch — li gegeben.

Will man eintretenden Veränderungen der Angriffspunkte Rechnung tragen, so verschiebt sich die Abscissenachse der Einflufslinie um

A,

n.

y

JB c/Sv'

A)

4---

rrt —

3 rrt

---*

■>1- -U

Yü-

Wir wollen zum Zwecke einiger weiteren Untersuchungen dieselbe auf drei Unbekannte beschränken, wodurch wir der Allgemeinheit keinen Eintrag thun und von den Grundlehren der Determinanten Gebrauch machen ■ wir haben dann in anderer Schreibweise :

°a a Xa 4~ °a b Xb -}~    Sa c Xc = - Oa m .    Pm    -\- SA

. . 87.

§ba Xa —|— 5b b Xb H⁻    Sbc Xc = - §bm •    Pm    "l⁻ °B

0Ca Xa —{— ôe b Xb 4~    5CC Xc = - 5cm .    Pm    4“ 5c

Bezeichnet man mit R die Determinante

! saa

Sab

®b a 5b b

Sc S₀ b

Sac

Sbe

See

= P,

88.

so ist hinsichtlich derselben zu bemerken, dafs sie eine sogenannte symmetrische ist, _ da allgemein

Sik == Sk

89,

Für Xg, findet sich

oder :

R . Xa = —

Oa m    ^a b    Sa c j

®bm    6*b b    ^bc | • 1 m ~\~

Sem

SCb

See

«O 60 60

09 09 09

° O’ P

^ er cr

09 09 09 c er P ° o o

. . 90.

Ii . Xa = — da m

09 O? O c C- C-

09 09

Ci

• Pm 4~ 5 b m

Sab

Scb

Sa o

See

P in

5a b

C Dl

5b b

Oac

5b c

• Pm 4-

09 O? 09

Sa b c

Sb b Sb c

Sec

. . 91.

Scb

Macht man Pm = — R, so kann man auch sagen :

Man erhält die Einflufslinic von Xa, wenn man die in der Determinante R der Kolonne £aa Sab §ac entsprechenden Unterdeterminanten RI R'b R'c in den Punkten ABC an Stelle der Kräfte Xa Xb Xc angreifen läfst und die Biegungslinie der Lastangriffspunkte 12 3... m ermittelt.

Die Ordinaten dieser Biegungslinie sind die Einflufswcrte. Will man den bleibenden Veränderungen dA oB oc . . . gleichzeitig Rechnung tragen, so verschiebt sich die oben ermittelte Biegungslinic um

SA

Ti =

Su

Sc

« «O «o

92,

Tragwerke.

Wegen der Beispiele verweisen wir auf den Abschnitt über statisch unbestimmte

§ 25. Mathematische und zeichnerische Lösungen der Gleichungen.

a) Zeichnerische Lösungen. Die bei statisch unbestimmten Aufgaben vorkommenden Gleichungen

a X 4- b Y = Pt . . . gx b X 4- c Y = P₂ . . . g%

93.

entsprechen analytisch den Gleichungen zweier sich schneidender Geraden, deren Schnittpunkt den Werten entspricht, die beide Gleichungen erfüllen. Andern nur Px und P, ihre Werte in P[ und Pi, so bleiben die Geraden g[ und gi parallel zu gx bezw. g₂.

Pi PJ

Die Werte , —- sind die Abstände, in denen die Geraden gx g\ die y-Achse schneiden; sie sind den Werten Px und P[ proportional. Trägt man die Werte Px, P[

auf der Æ-Achse auf, so läfst sich durch das Ziehen einer Parallelen der Abstand finden, ohne mehr rechnen zu müssen, ebenso ergibt sich die neue Gerade g[ als Parallele zu gx. Dasselbe gilt für die Geraden g.₂ und g\. Sind also für die Wertepaare P{ P2 die Geraden gx g₂ gegeben, so lassen sich aus den neuen Wertepaaren P[ P.> die Geraden g\ g', und damit die Wertepaare X' Y‘ unmittelbar zeichnerisch ermitteln.

Wir unterlassen es, die Darstellung durch eine Figur zu unterstützen, die sich der Leser leicht selbst konstruiert und verweisen auf das Beispiel T. III, F. 22, wo auf diesem Wege die Stützendrücke eines durchlaufenden Trägers zeichnerisch ermittelt sind.

Die Gleichungen a₁X-\-b₁Y-]-clZ—Pl a, X + b.₂ Y + c, ^ = P, a₃Xfb₃Y+c₃Z=P3 entsprechen den Gleichungen dreier Ebenen, die auf der Koordinatenachse die Werte

p

Y = abschneiden. Der Schnittpunkt der drei Ebenen, der sich leicht auf Grund einer axoniomotrischen Darstellung ermitteln läfst, liefert das die Gleichungen erfüllende Tripl X, Y, Z.

94,

Cf.

QO.

Fig. 55.

’f

NA.

Tritt an Stelle des Wcrtctripls P₁ P₂ Ps ein neues P[ P'₂ IJŚ, so bleiben die neuen Ebenen den alten parallel, was die Ermittelung der Werte X Y' Z⁴ unmittelbar auf zeichnerischem Wege möglich macht.

b) Die rechnerische Auflösung der Gleichungen, welche sich nach § 24 für die überzähligen Gröfsen X ergeben, wird bei gröfserer Zahl dieser Überzähligen zweck-mäfsig mit Hilfe der Determinanten vorgenommen. Wegen der hierbei anzuwendenden vereinfachenden Verfahren wird auf die einschlägigen Vorführungen in der 2. Auflage dieses Werkes (§ 13, S. 246 bis 250) verwiesen.

CL

Sx

ent-

c) Zeichnerische Lösung der Clapeyron’schen Gleichungen. Bei Aufgaben der Trägerlehre (so bei Ermittelung der Stützenmomente durchlaufender Träger, bei Untersuchung der Zwängungsspannungen an den Knotenpunkten der Gurte von Fachwerksträgern) stöfst man häufig auf eigenartige Gleichungen, welche man nach Clapeyron, der auf sie stiefs, wohl als Clapeyron’sche Gleichungen bezeichnet. Diese Gleichungen lassen sich meist auf die Form bringen:

« X, f 2 (a + b) X₂ + b X₃ = 3 (a + b) V2 b X₂ -f 2 (b + c) X₃ + c X, = 3 (a + c) V₃

. . 95.

Fig. 56.¹)

II

h\

J«

A'

*₂

,_ I b

H-- T3H-

ł-

x,

É-

x,

Werden a, ?> thatsächliche oder gedachte Strecken und trägt man die Unbekannten als lotrechte Strecken in den Endpunkten auf, so legen die Drittel-Lotrechten auf dem Zuge I, II, III zwei Punkte C und D fest, deren Yerbindungsgerade auf der verschränkten Mittellotrechten, deren Lage ebenfalls aus der Figur ersichtlich ist, den Wert V abschneidet. Der Beweis läfst sich durch unmittelbare Nachrechnung führen. Sind Jx und J₂, K₂ und Kx Festpunkte, die den Verhältnissen ^    -~

sprechen, wenn die Werte V Null werden, so schneiden auch die Vertikalen durch Ji, Jo, , Kt auf I, II, III Punkte ab, deren Verbindungslinien sich in V schneiden. Hierdurch wird die zeichnerische Auflösung der Gleichungen ermöglicht. Der Beweis für die Richtigkeit folgt aus dem Satze der Geometrie, dafs wenn zwei Seiten eines Dreiecks, deren Ecken sich auf drei Strahlen bewegen, durch feste Punkte gehen, dies auch hinsichtlich der dritten Seite der Fall sei.

Der Beweis läfst sich leicht damit führen, dafs die Gerade J' J" Jn‘ Strecken IJ⁷, 1IJ", IIIJiU abschneidet, welche dem festen Verhältnis für V = 0 entsprechen. Ganz dasselbe gilt hinsichtlich K.

Wir werden von diesen Sätzen bei der Lehre von den durchlaufenden Trägern und an anderen Stellen Gebrauch machen.

,    B. Trägerlehre im Besonderen.

§ 26. Allgemeines. Die Belastungen und die sonstigen angreifenden Kräfte, welche die Brücken aufzunehmen haben, so das Eigengewicht, die Schneelast, der Winddruck, die Fliehkraft bei Brücken im Bogen, die Belastung durch Menschengedränge, die Radlasten der Fuhrwerke, die Achsdrücke der Eisenbahnfahrzeuge, die Einwirkungen des Bremsens der Züge u. s. w. wurden im VII. Kapitol eingehend behandelt und sind vielfach Gegenstand gesetzlicher Vorschriften. Wir wollen hier die Gröfse dieser Belastungen als bekannt voraussetzen und zunächst untersuchen, welche Auflagerdrücke an den Stützen, welche Momente und welche Quer-(Transversal-)Kräfte in den einzelnen Querschnitten eines Trägers entstehen, wobei wir vorläufig annehmen, dafs der Träger nur lotrechte Kräfte aufzunehmen hat, welche in einer Ebene wirken, in der auch die gerade Schwerpunktsachse des Trägers liegt, und dafs an den Stützen lotrechte Auflagerdrücke entstehen. Unter VI. und VII. sollen solche Träger behandelt werden, welche nur auf zwei Stützen ruhen, einfache Balkenträger, während unter VIII. Träger mit freischwebenden Stützen, unter IX. statisch unbestimmte Balken behandelt werden sollen.

Die für die kinematische Bestimmtheit nötige Bedingung derartiger Träger, dafs ein Auflagerpunkt fest sein, die andere Stütze aber auf, einer wagerechten Geraden sich bewegen mufs, kann bei allen folgenden Untersuchungen dieses Abschnittes aufser Betracht kommen, da die Summe der wagerechten Seitenkräfte der Belastungen schon zufolge der Annahme = 0 wird, daher auch keine wagerechten Gegendrücke Vorkommen. Es genügt mithin die Aufstellung zweier statischen Grundgleichungen : Summe aller lotrechten Kräfte gleich Kuli, Summe der Drehmomente um irgend einen Punkt gleich Null. Die Stützen wurden ohne Rücksicht auf ihre etwaige Beweglichkeit in wagerechtem Sinne in den Figuren in der Regel nur durch eine Schneide A angedeutet.

Wir wiederholen ferner nochmals die Grundbezeichnungen.

Denkt man sich im Abstande x von der linken Stütze das belastete System durch einen lotrechten Schnitt in zwei Teile getrennt und betrachtet den Teil links des Schnittes, so nennt man die Mittelkraft aller auf ihn wirkenden Kräfte, in unserem Falle also die algebraische Summe aller lotrechten Kräfte links des Schnittes, die Querkraft (Transversalkraft) Rx und sieht sie als positiv an, wenn sie nach aufwärts wirkt. Das Moment dieser Mittelkraft in Bezug auf irgend einen Punkt vom Abstande x für einen lotrecht gedachten Schnitt wollen wir mit Jfx bezeichnen und positiv nennen, wenn das entsprechende Kräftepaar eine rechtsläufige Drehung, wie solche bei dem Zeiger einer Uhr stattfindet, anstrebt.

In vielen Fällen kann die zufällige Last in allen Punkten der Lastbahn unmittelbar auf den Träger wirken (direkte Belastung), in anderen ausschliefslich nur an bestimmten Punkten übertragen werden, so z. B. nur an solchen Stellen, an denen die Querträger, welche die eigentliche Bahn aufnehmen, an die Hauptträger schliefsen, an den Knotenpunkten der Fachwerksträger u. s. w. (mittelbare Belastung). Je nachdem man nun auf diesen Umstand Rücksicht nimmt, was um so eher erforderlich wird, je gröfser das Verhältnis der Querträgerentfernung bezw. der Knotenweite zur Spannweite ist oder nicht, ergeben sich Abweichungen in der Bestimmungsweise. Wir wollen beide Fälle betrachten und in Nachstehendem zunächst nur die ältere, rein.statische Behandlungsweise befolgen, somit auf die kinematischen Beziehungen, welche sich leicht aus dem in den allgemeinen Abschnitten I. bis V. Gebotenen ergeben, nicht näher eingehen. Eine kurze Erinnerung an einige Grundbegriffe wird das Verständnis dieses praktisch besonders wichtigen Abschnittes ermöglichen; der Leser ist somit nicht unbedingt an das Studium der vorhergehenden Abschnitte gebunden.

VI. Einfache ebene Balkenträger. Äufsere Kräfte.

§ 27. Stützendrücke, Querkräfte und Momente bei direkter Belastung.

Bestimmung der Stützendrücke und Querkräfte. Eine Einzellast O, welche um s von der Stütze A absteht (Fig. 57), erzeugt in A und B die Stützendrücke A und B

Gr (l — Z)

Gz

96.

wenn l die Länge des Trägers A B.

Trägt man G von AL aus nach aufwärts, von B, aus nach abwärts auf, verbindet die Endpunkte dieser Strecken mit BL bezw. Ax, so

schneidet eine Lotrechte durch E die in der Figur ersichtlichen Strecken Y und Y' ab.

Fig. 57.

Es ist

G ąf

Y = A Stützendruck in d,

Y‘ — B Stützendruck in B.

Der dem Stützendruck A entgegonwirkendc gleich-grofse Stützendruck'giebt die nach oben gerichtete, mit- fj hin positive Querkraft Bx für irgend einen Querschnitt C zwischen A und E im Abstande x von A, während    i

sich für eine Last G innerhalb AC (z <C %) die Quer-    i

kraft Qx — A — G — — B ergiebt.

Trägt man die Querkraft, welche in einem Querschnitte G durch die Einwirkung einer Einzellast G entsteht, am veränderlichen Lastangriffsp.unkte E als Ordinate Y auf, so erhält man die aus Fig. 57 ersichtliche *JfÉ Darstellung, in welcher die positiven Ordinaten nach

aufwärts aufgetragen sind. Man ersieht hieraus, dafs eine Last rechts vom fraglichen Querschnitte C stets eine positive, eine Last links von demselben stets eine negative Querkraft erzeugt. Für eine beliebige, im Abstande P von B befindliche Einzollast P ist die Querkraft durch F ^ gegeben. Die Linie A₁ E₁ J)l Bx ist die Einflufs-linie für die Transversalkraft eines Querschnittes C (s. § 20).

1. Für eine gleichmäfsig auf den ganzen Träger verteilte Belastung denke man sich zunächst ein Element d x im Abstande z von A gleichmäfsig mit p für die laufende Einheit belastet, dann kann man, p d x als Einzellast betrachtend, p d x = P setzen und es wird die hiervon herrührende Querkraft in C durch Y ’EAE

Cr

Belastung ist die Querkraft in C durch den Ausdruck f Y d x bestimmt. Das Integral stellt die algebraisch genommene Fläche Ax E₁ Ct Dx Bx vor. Da Ordinate Cr D₁ — ~ x‘ und Oi E₁ = -y- x ist, so wird :

In

m:

an

-vY.\____

:_a

<-----sh

gegeben. Für volle

Q* = jj (pc'² — x²) = g (l ~ 2 x)

97

2. Hat man es mit einem System ruhender Einzellasten P[ Pi . . . Px P, . . . zu thun, welche in den Abständen z[ z\. .. von der rechten, bezw. zx z₂. . . von der linken Stütze liegen, und bezeichnen y[ yi.. . yx y., . . . die zugehörigen Ordinaten der Einflufs-linie für G — 1, so ist :

welche Form sehr geeignet erscheint, die Bestimmung von Qx auf graphischem Wege vorzunehmen. Für die Berechnung bekommt man einfacher, die Werte y ausdrückend :

99.

E (P' z*)

3. Eine gleichmäfsig verteilte, bewegliche Belastung q für die laufende Einheit erzeugt die gröfste positive Querkraft, wenn man den Teil rechts des fraglichen Querschnittes, die gröfste negative, wenn man den Teil links desselben belastet. Man liât bei gleichem Vorgang wie oben für max (-f- Q) die Fläche Cx /), I?„ für max (— Q) die Fläche Aj CXEX zu beachten.

max (+ Q) = ^    xy

100.

max    = —

4. Hat man es mit einem System beweglicher Einzellasten P₁P₂. .. P[ Pi... zu thun, so sind, um das max (-f- Q) zu erhalten, nur die Teile rechts des Schnittes zu belasten; hierbei sind die schwersten Lasten möglichst nahe an den fraglichen Querschnitt zu bringen. Im Querschnitte C selbst ist eine Last anzuordnen, welche dicht rechts gedacht wird. Man erhält:

max (+ Q) = y[ P[ + y'₂ P'₂ -f ... = £ (y' P') =

Für die Ermittelung auf graphischem Wege ist der erste, für die Ermittelung auf rechnerischem Wege der zweite Ausdruck anzuwenden. Das max (— Q) tritt ein, wenn nur der Teil links des fraglichen Querschnittes belastet ist, wobei wieder eine Last in C bezw. dicht links vor C stehend gedacht wird, und die schwersten Lasten möglichst nahe an jenen Querschnitt zu bringen sind.

102.

max (— Q) = S y P —--

Es wisd:

Wenn eine im Verhältnis zur folgenden sehr leichte Last vorausgeht, z. B. ein Pferdepaar einem schwer beladenen Wagen, so kann der geringe Einflufs der ersten Last, selbst wenn er auf die negative Beitragsstrecke A C kommt, noch immer von dem Einflüsse überwogen werden, welcher dadurch hervorgebracht wird, dals nun schwere Lasten sich dem Punkte C auf der positiven Strecke nähern. In diesem Falle kann dann für den Gröfstwert auch die zweite Last an den fraglichen Querschnitt kommen. Meistens wird man durch Umkehrung des Lastsystems, indem man also z. B. die Wagenhinterachsen über C stellt und das Pferdepaar gegen B schauen läfst, einem solchen Falle ganz Vorbeugen.

Bestimmung der Momente. Wirkt eine Einzellast G im Abstande z von der Stütze Ay erzeugt dieselbe die Stützendrücke A und J?, so wird das Moment Mx in einem Querschnitte C von der Abscisse x gegeben durch:

Mx = Ax — G

103.

wenn die Last rechts von C, und

104.

wenn die Last links von C liegt.

x (l — z)

Mx — B x‘ — G z~f,

Setzt man

— y und z-^~ — y\ so geben diese Strecken die Werte der Ordinaten der Einflufsfigur für einen Querschnitt C und eine Last G — 1. Sie entsprechen den Ordinaten des schraffierten Dreiecks A₂ J)₂ B₂ (Fig. 57, S. 287). Die Konstruktion desselben erfolgt am einfachsten in der aus der Figur ersichtlichen Weise,

in welcher J A₂ — G, K J — B, A₂K — A gemacht ist und I)₂ B₂ parallel zu J 0 gezogen wird: KO — H bezeichnet eine im allgemeinen willkürliche Poldistanz, wobei,

falls das Dreieck A.,D₂B₂ die Einflnfsfigur werden soll, H = G — 1 gemacht werden mufs, während allgemein für eine Einzellast G im Punkte C der Wert Mx — y . H wird, wenn II nach dem Kräftemafsstabe, y nach dem Längenmafsstabe gemessen wird. Fafst man C als feste Stelle auf, für welche eine gewisse Wirkung (das Moment) einer wandernden Einzellast G ermittelt werden soll, die an der Lastangriffsstelle aufgetragen wird, so erscheint A .₂ D .₂ B ₂ als Einflufslinie (C fest, E wandernd) ; gleichzeitig aber ist diese Figur die graphische Darstellung der Wirkung (des Momentes) für alle Punkte E des Trägers, wenn eine Einzellast in C steht und das Moment am fraglichen Querschnitte aufgetragen wird. Man vergleiche § 20, Fig. 46.

Man ersieht, dafs, wo immer auch eine Einzellast liegen mag, sie stets ein

positives Moment erzeugt. Das gröfste Moment ergiebt sich, wenn in G selbst die Einzel-

last liegt, wofür speziell Mx =

G wird.

x x‘

1. Setzt man G = p d x, so wird für die gleichzeitige Wirkung an allen Last-angriffsstellen, also für eine gleichmäfsig auf den ganzen Träger verteilte Last das Moment Mx für einen Querschnitt P, wenn y die Ordinate der Einflufsfläche für eine Last G — 1 bezeichnet,

p x (/ — X)

. .    105.

Mx = f y . p d x = p . Fläche A.₂ Ik B, = PĄX‘

2. Für ein System ruhender Einzellasten B[ P.'.. . P, P₂, welche in den Abständen z[ ź,... zx z.₂ von der rechten bezw. linken Stütze liegen, ist, wenn y[ y\. . . yx y.,. . . die zugehörigen Ordinaten bezeichnen,

106.

In dieser Form erscheint der Ausdruck für die Konstruktion des Wertes Mx direkt geeignet. Macht man H — G und setzt y/ — man den für die Berechnung brauchbaren Ausdruck:

M. = K- S (PO + -f s (P‘ «0

x‘

z‘ bezw. y —    %•> so erhält

107.

3. Eine gleichmäfsig verteilte bewegliche Belastung erzeugt das gröfste, stets positive Moment bei voller Belastung. Ist ą die Last pro Einheit, so ist im Besonderen :

x x‘

q x ( l — x)

108.

max (4- Mx) = ~₂

4. Wir untersuchen in Folgendem ein System beweglicher Einzellasten und wollen uns hierbei einer etwas anderen Bezeichnungsweise bedienen, als wir sie oben angewendet haben. Wir fragen zunächst nach dem gröfsten Moment, welches eine solche Belastungsart in einem bestimmten Querschnitt erzeugt. Diese Aufgabe ist nach § 20, S. 271, Absatz 4 ganz allgemein schon gelöst, da die Einflufslinie ein Dreieck bildet ; dem-ungeachtet wollen wir den Vorgang hier noch einmal schildern.

Aus dem graphisch dargestellten Einflüsse, den jede Last auf das Moment Mx ausübt, ist ersichtlich, dafs, um max Mx zu erzeugen, bei gegebener Auswahl verschiedener Lastsysteme man für jenes sich entschliefsen wird, welches möglichst viele und möglichst grofse Lasten bei möglichst kleinem Radstand enthält. Man wird das Lastsystem so stellen, dafs der Teil desselben, welcher die gröfsten Lasten in kleinsten Abständen auf weist, dem Querschnitte möglichst zugekehrt ist. Denkt man sich nun das so gewählte System in einer bestimmten Lage um A0 nach rechts verschoben, so wird,

Bedenkt man, dafs die beiden Ausdrücke innerhalb der Klammer die Lasten auf die Längeneinheit auf der Strecke links und rechts von C darstellen, so sieht man, dafs das System, wenn Mx wachsen soll, nach rechts oder links zu verschieben ist, je nachdem die auf die Längeneinheit wirksame Last links oder rechts vom Querschnitte die gröfsere ist. Die Verschiebung hat immer nach der Seite zu erfolgen, auf welcher sich die kleinere Einheitslast befindet. Mufs man, um Mx zum Maximum zu machen, das System nach rechts verrücken und kommt hierdurch links eine neue Last auf den Träger oder tritt eine andere rechts ab, so wird die Ungleichheit um so gröfser, sodafs die Verschiebung noch weiter fortzusetzen ist. Eine Änderung des Vorzeichens von A M kann nur statt-finden, wenn eine Last den Punkt C überschreitet. Man darf daher mit der Verschiebung zunächst nur so lange fortfahren, bis eine Last in den fraglichen Querschnitt gelangt. Nennen wir diese Last P und wird die Einheitslast rechts gröfser oder kleiner als die Einheitslast links, je nachdem man P zum rechten oder linken Teil rechnet, so findet

unter P das Maximum statt; wenn nicht, so hat man als P die nächste Last jener Seite zu wählen, für welche in beiden obigen Fällen die Einheitslast die gröfsere war. ÏP + SP'

Setzt man p —

so lange keine Last über G schreitet, jedes z sich um -f- A.e, hingegen jedes z⁴ sich um — A z ändern. Die Änderung des Momentes läfst sich darstellen durch :

SP

L x

A Mx =

X x‘

109.

, die auf die Längeneinheit des ganzen Trägers entfallende Last, wenn die Summe der Lasten sich auf alle Werte bezieht, welche auf dem

Träger für das fragliche Moment Platz finden, und beginnt man von links nach rechts

die Lasten zusammenzuzählen, so wird der Wert p x überschritten, sobald man P, die Last, unter welcher das Maximum eintritt, hinzufügt, woraus man sofort P erkennt.

Trägt man (Fig. 58) die Lasten, welche auf A D von links nach rechts Platz finden, von A aus nach n? oben auf, verbindet den Endpunkt dieser Lastsumme i mit B und zieht durch den fraglichen Querschnitt C eine Parallele, so trifft diese jene Last, welche über C stehen mufs, um Mx zum Gröfstwert zu machen.

Fig. 58.

dl

St-

<-

JL

-XL

-H

§ 28. Übersichtliche Darstellung der Querkräfte und der Momente bei direkter Belastung. Nach dem Vorhergegangenen ist man imstande, für einen gegebenen Querschnitt die Querkräfte und Momente durch Zeichnung und Rechnung zu bestimmen. Dehnt man das Verfahren auf eine Reihe von Querschnitten des gegebenen Trägers aus und stellt die erhaltenen Resultate Qx und Mx als Ordinaten am entsprechenden Querschnitte dar, so erhält man ein Bild der Verteilungsweise dieser Gröfsen, allgemein eine Querkrafts- bezw. Momentenkurve. Für die Berechnung sind die entwickelten Formeln bequem, für die Konstruktion führt nachstehendes Verfahren meist rascher zum Ziel.

Für ein ruhendes System von Einzellasten zeigt Fig. 59 die Konstruktion der Querkräfte und Momente. Man trägt zur Bildung des geradlinigen Kräftepolygons die Werte G der Reihe nach auf einer Geraden auf und zieht nach den so erhaltenen Punkten von einem beliebig gewählten Pol die Strahlen, zu diesen aber Parallele durch die Lastangriffspunkte, so sind die Momente den Ordinaten zwischen der Schlufslinie und dem Seilpolygon proportional und zwar ist für einen beliebigen Punkt

¹

) In Fig. 56 ist statt X» am rechten Ende X3 zu setzen.

97x = y H,

110.

wenn U der Polabstand ist. Wird 77 nach dem Kräftemafsstab aufgetragen, so ist y auf dem Längenmafsstabe abzumessen und ₍ umgekehrt. Macht man die Längeneinheit gleich 77 Momenteneinheiten (Metertonnen), so erhält man einen Mafsstab, auf dem man y als Momente direkt ablesen kann. Die Ordinaten des staffelförmigen Polygons geben die Querkräfte in jedem Punkt; die Abstände Bl C\ und /?, 7?, sind die Stützendrücke in A und D.

Das max Mx für den ganzen Träger findet an der Angriffsstelle jener Last statt, in welche der Punkt 7?, des Kräftepolygons fällt. Trifft By mit einem Lasttrennungspunkt des Kräftepolygons zusammen, so wird die Seite des Seilpolygons, welche diesem Lasttrennungspunkte entspricht, parallel zur Schlufslinie und das Moment längs dieser Seite konstant.

Fig. 59.

Fig. 60.

Crj ^ (r:t

A 4-X--U

in j

j.j ; fl

fi.

Tb—i—<

aa

4:

■k-

¹

fi,

A-2

ohĄa,hz

0B₁\\a₂Bs

Wenn man es mit einer beliebigen stetig verteilten Belastung zu thun hat (Pig. 60), so kann man dieselbe in Teile zerlegen und durch Einzelkräfte ersetzen. Die Seiten des entsprechenden Seilpolygons sind Tangenten an die Seilkurve, die Berührungspunkte entsprechen den Trcnnungslinien. Die Querkraft in einem beliebigen Querschnitte D wird durch die Strecke Pb D₂ am Kräftepolygon gegeben, deren Endpunkte den Parallelen zur Schlufslinie und zur Tangente an das Seilpolygon in 7), entsprechen.

Für eine gleichförmig verteilte Belastung werden die Querkräfte durch die Ordinaten einer Geraden gegeben, welche durch die Mitte der Linie A B geht (Fig. 61). Die Momente werden durch die Ordinaten einer Parabel dargestellt. Zum Zeichnen derselben kann | man sich der aus der Figur ersichtlichen Methode bedienen, wobei man die Kurve als Eingehüllte ihrer Tangenten erhält, oder — was rascher zum Ziele führt — direkt eine Schablone verwenden.

Über die Anwendung solcher Hilfsmittel wird bei der graphischen Behandlung der durchlaufenden und der Träger mit freischwebenden Stützpunkten Näheres gezeigt, hier sei vorläufig das Folgende bemerkt.

Fig. 61.

(III

A,

—mp

IM

Istz. B. L, nach demselben Längenmafsstabe, nach welchem A B = 50 m aufgetragen wurde, gemessen, gleich 52 m und die Last f. d. Einheit für die Momente p — 4 t, so ist II — ~ pL² = 1352 mt, da nun

^    20 5

in Wirklichkeit H — 20,5 mm, so ist der Wert für die Einheit des Momenten-Mafsstabes =    — 0,015 mm

oder es sind 15 mm = 1000 mt.

Hinsichtlich des Mafsstabes für die Querkräfte ist zu beachten, dafs BL‘ die Gröfse p B‘ darstellt. Ist also wieder nach dem Längenmafsstab (1 mm — 1 m) unserer Figur abgemessen IJ = 52 m und hat man für die Querkräfte p — 4,2 t f. d. lfd. m angenommen, so bedeutet H‘ die Gröfse 52.4,2 = 218,4 t. Nun ist aber in Wirklichkeit H‘ — 24,5 mm, man hat daher für die Einheit des Kräftemafsstabes

= 0,112, d. h. man hat 100 t = 11,2 mm zu machen.

Ist ein Teil C B (Fig. 62) eines Trägers A B, der an den Enden irgendwie festgebalten sein mag, mit p für die laufende Einheit gleichförmig belastet und trägt man die Momente als Strecken auf, so entspricht dem belasteten Stücke eine Parabel von lotrechter Achse. Der Parameter dieser Parabel ist nur

von p, nicht aber von der Belastung^- und Felderlänge abhängig. Durch eine passende Wahl des Momenten-Mafsstabes hat man es in der Hand, eine bestimmte Parabel, welche man sich ein für allemal als Schablone darstellt, für die verschiedensten Belastungs- und Felderlängen zu benutzen, indem man sie in angemessener Weise verschiebt. Zur Zeichnung der Momentenkurve des belasteten Stückes ist dann nur die Kenntnis zweier Bedingungen notwendig, es genügt also, z. B. das Moment an zwei Punkten der belasteten Strecke zu kennen, um sofort die Schablone anlegen zu können.

Die Querkräfte innerhalb der belasteten Strecke stellen sich durch eine Gerade dar, welche durch die Projektion des Parabelscheitels auf die Achse A" B“ geht. Der Winkel t ist unabhängig von der Feld-und Belastungslänge. Durch passende Wahl des Kräfte-mafsstabes hat man es in der Hand, eine und dieselbe Neigung, wie sie etwa durch die Kante eines hölzernen Winkels gegeben erscheint, für alle einschlägigen Belastungsfälle dieser Art zu benutzen. Mit Parabelschablone und Dreieck gestaltet sich die Konstruktion der Momente und Querkräfte mithin in vielen Fällen äufserst einfach.

Fig. 62.

Jt

igA'

um'"-'

J1

Sch ühlone

Ik B'm

WM

<-

\A"

it;

fi

SdiMnne

I-

Jc_

24,5 218,4

Ist nur ein Teil fies Trägers gleiclimäfsig belastet, so entspricht diesem Teile eine Parabel als Momentenkurve, dem unbelasteten eine Gerade. Da die gleichmäfsige volle Belastung zugleich die ungünstigste ist, bedarf die Konstruktion dieses Falles hier keiner weiteren Betrachtung.

Die Ermittelung des gröfsten Momentes für einen beliebigen Querschnitt kann bei gegebenem Lastsystem mit Hilfe der Einflufslinie oder mit Hilfe eines Seilpolygons der ungünstigsten Belastung, über welche nach dem Früheren zu entscheiden ist, entsprechend ermittelt werden. In letzterem Falle kann man sich aber die Aufgabe bedeutend erleichtern, indem man das Seilpolygon für ein Lastsystem, welches den in § 27 entwickelten Bedingungen entspricht, ein für alle Male konstruiert und dann durch Verschieben eines Papierstreifens, welcher die Trägerenden und die zu untersuchenden Querschnitte x enthält, jene Lage der Schlufslinien des Seilpolygons ermittelt, in welcher die nach den oben entwickelten Regeln zu bestimmende Last am fraglichen Querschnitte steht.

Hinsichtlich der Querkräfte ist man in der Lage, direkt die Konstruktion eines Polygons anzugeben, welche wax Qx und mm Qx jedes einzelnen Querschnittes zeigt.

Man trage (T. II, F. 1) von der linken Stütze der Reihe nach von unten nach oben die einzelnen Kräfte G₁ G-, G₃ auf und von der rechten Stütze aus nach links die Abstände der Kräfte, wobei man sich G₁ über der rechten Stütze stehend denkt. Konstruiert man nun ein Seilpolygon, für welches man die rechte Stütze als Pol des Kräftepolygons annimmt, so geben die Ordinaten zwischen dieser und der Trägerachse die Werte -j- Q max, das zum obigen kongruente Polygon — Q max erstreckt sich von der linken Stütze aus beginnend nach abwärts. Die Richtigkeit erhellt aus dem Umstande, dafs für irgend einen Querschnitt x die Ordinate die Summe il (PV) darstellt (Gl. 101).

Für eine gleichmäfsig verteilte, fortschreitende Last, die jedesmal nur bis zum fraglichen Querschnitt rechts oder links sich erstreckend reicht, wird das oben beschriebene Polygon zur Parabel, welche in B ihren Scheitel hat und auf der lotrechten Linie in A die Strecke ~ abschneidet.

Für die rasche Berechnung und übersichtliche Darstellung der für ein gegebenes Einzellastsystem in jedem Querschnitte C eines einfachen Trägers auftretenden Momente empfiehlt sich nachstehende Ausdrucksweise. Es seien:

P die in C liegende Last, die wir die Querschnittskraft nennen wollen,

P[ Pa Pg die links von P angrei-fenden Einzellasten,

P" Pi P" die rechts von P angreifenden Einzellasten, a[ a‘i a'₃ die Abstände der links von P liegenden Lasten von P, o" a i a'/ die Abstände der rechts von P liegenden Lasten von P, ill' = S P' a‘ das statische Moment aller links liegenden Lasten in Bezug auf (7,

ill" = SP" a" das statische Moment

Fig. 63.

L -a-"

A.

:«V

---a

Æ.

V V* *

\

ft.“

r,

'1

,R

RL

J'

p’’    p"

,V

\p

aller rechts liegenden Lasten in Bezug auf (7,

R — S P‘ -j- P -|- 2 P" die Summe aller Lasten, u — Abstand des Querschnittes C von A, v = Abstand des Querschnittes C von P,

dann wird der Stützendruck in A und 11:

A = -j- [v R + M — 31"],

B = Ą- [u 11 — ilP + 31"],

die Querkraft Q' dicht links und jene dicht rechts von C:

Q‘ = A — SP',

= _ JB + SP",

das Moment in C:

— iR".

ill —~R--j- M‘

*s\

R<

x^

fl¹

r 7v

l-—r-

TA

Fig 64.

~Z£

J BL)

y'

FS

<\

P₃

Fs

/■

-r

s'TTV

V»

SkS:

o vnflhw¹

-r

Ändert das System, also ( seine Lage und trägt man im Angriffspunkte der Last P das Moment als Ordinate auf, so erhält man eine Parabel p, die auf den Pfeilerlotrechten die Normalmomente M' und M“ abschneidet da für v = L — u, M = y (u) die P Gleichung einer Parabel darstellt. Yon dieser Parabel hat nur jenes Stück C‘ C" eine reelle Bedeutung, welches zwischen jenen Lagen von C liegt, die man erhält, wenn einerseits die äufserste Linkslast P' in A, andererseits die äufserste Rechtslast P" in B zu stehen kommt.

Jeder Last des Systems Pn als Querschnittslast entspricht eine bestimmte Parabel pu. So lange keine neue Last hinzu- bezw. hinwegkommt, bleiben alle Parabeln zu einander kongruent.

Beweis: Setzt man v = L — u, so ist in M — cp (u) der Quotient von u³ unabhängig von ÜP und M", also von den Gröfsen a, während P für alle Parabeln unter der oben angegebenen Bedingung konstant bleibt. Nennt man die Yerbindungs-linie der Momente ilP und M" die ” Schlufslinie, so ergiebt sich sofort, dafs für alle Parabeln die von der Schlufslinie gemessene Ordinate in

der Trägermitte konstant und gleich

BL . ,

—-— wird.

4

Bedenkt man, dafs dv — — du, so erhält man für das Maximum von M, wenn man mit M“ — M‘

. . 111.

den Abstand der Resultierenden aller Lasten von C bezeichnet, aus der Bedingung d M

= 0 nach kurzer Rechnung v — u = r.

Diese Gleichung liefert mit der Bedingung u -J- v = L die Werte:

U — -r-

ł*

Bei jeder Parabel steht der Scheitelpunkt, für welchen das jeweilige M cm Maximum wird, um — von der Trägermitte ab, er liegt rechts von der Mitte 0, wenn ÄL )> M", links von der Mitte, wenn M⁴ <( M“ ist, d. h. in jeder Trägerhälfte, welcher das kleinere Normalmoment entspricht.

Für das Gröfstmoment erhält man nach kurzer Rechnung, wenn M₀ das Moment (die Parabelordinate) für die Trägermitte' ist:

r²

112.

-ZbTma x — Af₀ +

Jedem festen Querschnitt u‘ v‘ entsprechen so viele Parabelordinaten, als Einzellasten vorhanden sind (Fig. 64) ; es ändern sich nur M' und Jf", liegt P{‘ (Fig. 63) an Stelle von F in G, so vermindert sich M" um a[' h P" und M‘ vermehrt sich um a‘\ [P -f- - P']. Das Moment bleibt dasselbe, gleichgiltig, ob P oder P' in G liegt, wenn

[SF + P]-^- [S P"] = 0, d. h. :

2 V‘ + P

v‘

_    _ SP"

v¹ + u‘ L    E ’

d. h. die den benachbarten Lasten P und P[' entsprechenden Parabeln p und p[' schneiden sich in den Vertikalen eines Querschnittes, welche die Spannweite L ebenso unterteilt, als der Grenzpunkt von P und P[' die Summe von R sämtlicher Lasten unterteilt. Hiernach ist es leicht, die Schnittpunkte der einzelnen Parabeln zu ermitteln, was eine wichtige Kontrolle bietet (s. Fig. 64).

Da alle Parabeln unter der oben angegebenen Bedingung kongruent sind, kann man sich zum Zeichnen derselben einer Schablone bedienen, die man am besten in Kartonpapier ausschneidet (s. Fig. 65).

Berücksichtigung des Eigengewichtes. Ist das Eigengewicht der Brücke Q, so wird für das Gesamtmoment:

jp- [S P‘ -f P +

u‘

v‘

S P"

oder :

~2~

v‘

v‘

Tar

+ S P"]

Fig. 65.

RL

dbeZ

Si

'loriP

x- M‘ - ir M"•

Eine mit P vereinigte Einzellast ersetzt das Eigen

erhöht wird.

Dieselbe Wirkung erzeugt ein gedachtes Einzell'astsystem, dessen jeweilige Quer-schnittslast um gewicht.

Ist R die Mittelkraft des gedachten Systems und r ihr Abstand von der Qucr-schnittslast P -j- so wird wie oben :

u

;* + -f —2

U-R.

M“ — W

i Q

b + ~y

M =    + -

Jeder Einzellast Pn entspricht eine Parabel pn; zu ihrer Zeichnung kann 'ebenfalls eine Schablone benutzt werden.

Das Maximum entsteht in der Regel unter jener Last, welche für die Trägermitte die gefährlichste ist. Der Abstand des gefährlichsten Querschnittes von der

Trägermitte wird gleichartig wie oben — ; da r r, läfst sich ohne weiteres der Satz

sprechen, dafs durch die Wirkung des Eigengewichtes der gefährlichste Querschnitt der Mitte näher gerückt wird.

Der oben für die Parabeln p hinsichtlich der Schnittpunkte entwickelte Satz hat auch für die anderen Parabeln Giltigkeit, da sich leicht nachweisen läfst, dafs die Abscisse des Durchschnittspunktes zweier Parabeln p' und p" sich nicht ändert, zu dem Koefficienten

Ois

wenn

von u v

in beiden Parabelgleichungen eine Konstante hinzutritt.

nung der Querkräfte und Momente für einen gegebenen Querschnitt, sondern auch die schnelle Berechnung des absolut gröfsten Momentes.

Die mafsgebenden Formeln lauten mit Rücksicht auf die Bezeichnungen der Tabelle:

M, = i [». V (P + S P' + S P") — V S (P‘ «o — « 2 CP" «")]

+ Pv — Pu

(Ł =

i[

+ O sr-s P" a") - («SP' —

EPV)] I

. 113.

welche der Eigengewichtsparabel entspricht.

Die graphische Behandlung eines Palles, dessen Verständnis nach dem Entwickelten keine Schwierigkeiten bereiten dürfte, zeigt Fig. 64. Die Regeln gelten endlich mit gewissen Abänderungen auch dann, wenn aufser den Einzellasten auch noch vor und hinter dem System eine gleichmäfsig verteilte Belastung sich erstreckt.

Um die Berechnung zu stimmte Last eines gegebenen Lastsystems als P annehmen, und zu jeder Last IJ/m links von C die Werte SP', S(a'P'),. ferner ebenso

erleichtern, kann man mit Zimmermann eine be

żu jeder Last P rechts 'von C die Werte SP", S a" P" schreiben. Dies ist in nachstehender Tabelle geschehen; hierbei sind die mittleren Maschinen eines Zuges Engerth’scher Lokomotiven einmal Brust an Brust, einmal alle Maschinen in gleicher Richtung dargestellt. Für P wurde der Reihe nach eine der drei Achsen von je 13 t angenommen und durch eine kräftige 0 hervorgehoben. Derartige Tabellen gestatten nicht nur die rasche Bcroch-

Wir lassen nunmehr ein Beispiel folgen:

Für einen Träger von 32 m Stützweite sei das Moment für einen Punkt im Abstande x — zu rechnen, wenn die mittleren Maschinen Brust an Brust stehen und an den fraglichen Querschnitt die Last 1' des Schemas zu stehen kommt. Wie ein Blick auf die Wertreihe der a zeigt, linden links von 1' = P die Lasten 1 bis 5, rechts von P die Lasten 2' bis 10' Platz. Es wird:

/ [12 . 20 (13 + 56 + 99) — 20.402 — 12 . 837] = 694,9 mt.

32

Für die Querkraft in demselben Punkte erhält man:

+ 13 . 20 — 13 . 12

Mx =

12 m

+ 35,39 t -F 22,39 t,

wobei sich das obere Zeichen auf einen Schnitt dicht links, das untere auf einen Schnitt dicht rechts

von 1' bezieht.

Qx =

j-r

32 L

+ (20 . 99 - 837) - (12 . 56 —

402)] =

Liegen n Lasten am Träger, so läfst sich das gröfste Moment, welches entsteht, mit Rücksicht auf Formel 112 schreiben:

Mn = -~7

4

BL M‘ + M“

4L '

M o m e n t e n-

Mittlere Maschinen

W GC

>-s

5T

fi

01

fi

01

rH

Last

10

1'

2'

3'    4'

5'

6'

7'

8'

9'

10'

11'

12'

13'

14'

15'

Last

2,5

1,2

1,1

8,5

a‘

1,1 I 4,7 J 2,5 J 1,2

1,1

i,l

5,0

t-n HA    ^

^ 5 r «__

O I—, o

^ to ha CC Oî to cc

to o

•81 CC

tc ^

oz œ_

CP 4»* 'ox

8,5

5,9

43,0

122

4,7

1,1

i,i

1,2

2,5

4,7

1,1

i,i

1,2

2,5

to

O

co o' co* o

H rH LO bO

o t- o ccT r-T cT 01

TH l—i CO t-H

13,0

12,8

82,0

578

co

L< l< ^

Ol HA

co te to

Oh Oi tO

© os

Oi 05 o

o,

t-H J-A.

•81 O HA

to GO 00

« V*

O CO

co

to CO HA Ci Ol

O 'óo

Ci

CO GO HA

je os

'o ^<1

•81 Ci t—a

GO CO tO

o O

‘A ‘A

Ci O CO

co o-co

8,3

crT

52,0

295

187

co to ^ Ci

T—I

t-, CO*

0    1,1    2,3

0    13,0 21,5

0    14 34

'o a>

ft'

O lo

je

136

to

CC Ci

'o to

0_ h ra

Oi to

H H    —1 CC

to JC Oi O

*b ^8i

© Ol

"o o;

o -i

198

336

488

lO

S 3 ES

Oi O Ol

bi ~ćo

o ,b.

151

CO

u-

"o 'Ćp

o 05

"o' 'bo

13,0

23,4

138,0

1707

O 'Ib.

20,1

99,0

o 1e

22,3

125,0

8,5

8,5

24,6

146,5

1916

729

990

1265

1555

1755

'o cc

"o co

21,2

22,4

112,0

120,5

412

512

634

881

1142

1418

1608

27,1 ft"

155,0 S P"

2147 M“ - S P"ft"mt

26,0 ft"

142,0 SP"

1976 ilf"-SP"ft"mt 24,9 ft"

129,0 SP"

1820 JP' = SP"ft"mt

Maschinen in

gleicher Richtung.

Last

10

1'

2'

3'    4'

5'

6'

7'

8'

9'

10'

11'

12'

13'

14'

15' Last

i,l

1,2

2,5

4,7    1,1

1,1

1,2

2,5

4,7

1,1

1,1

1,2    2,5

4,7

1,1

1,1

1,2

2,5

4,7

l.i

1,1

1,2

2,5 I

§ S E§ “SSS

o bc o

O¹» ha

cc

oo

^ to

O

o o o cl o cc “o -H* o © o

m co o

* £ gf g 2 §§ ”

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Ci

lO co >o

CO KO rłT H CO o

687

H*

j-1 J<l JÀ0

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OB Jfn CC bu —j bii

210 101

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Oi

tO »JH

pi cc bii b- bii

te hh*

GZ Ol co

'o *C0 Ol

coc

c 'o

"o 'co 'c

8,5

8,5

13,0

260

412

578

"o o: o

13,0

23,4

138,0

8,5

24,6

146,5

~ GO

1403

1707

1916

CO_ ©

o crT »o

H lO O CO

rH cT GO H CD

io

© bc

258

134

rH HF

Ol co

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0    1,1    2,3

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i-i iCS

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O -8|

198

336

488

Ol

CO G H

co j<i je bn ~cO

20,1

21,2

729

99,0    112,0

990    1265

a'

20,0    17,5 12,8 11

99,0    90,5 82,0 69

786    638    471

102

Ol 'co

to

'o to

r- O

H co" ^

rH OO O

co

00

U- Ol rH TH

O 1-H

co » o

te

CS co ^ TiH P-

o 'ci

Ci CO GO

HA    CJT    HA

HA    to    O*    to    to

je    h*    oi    oi    to

~© bc © bc

23,5

133,5

1755

22,4

120,5

412

512

634

881

1142

1418

1608

27,1 ft" m 155,0 SP"t 2147 M" rat 26,0 ft" m 142,0 SP" t 1976 M“ mt 24,9 a" m 129,0 SP" t 1820 ill" mt

Diesci' Ausdruck läfsfc sich auch in der Form geben:

Ma — AL — B 4—j~.

Kommt eine neue Last hinzu, so wird sich finden:

C‘

Mn+i = A'L-B' f -J-.

Beide Ausdrücke werden für einen bestimmten Wert von L einander gleich, welchen Wert wir die Grenzstützweite nennen wollen.'

Es lassen sich für ein gegebenes Lastsystem mit Hilfe des Zimmermann’sch en Momentcn-schemas leicht die Werte:

M‘ + M"

r² B

> .°-v für jedes Lastsystem ermitteln.

In etwas umständlicher Weise durch Einführung des Abstandes x der ersten Last von der linken Stütze als Unbekannte, hat Labes die Werte ABC, sowie die Grenzstützweiten für den Belastungszug der preufsischen Brückenverordnung ermittelt. Man kann auch unmittelbar jene Schlufslinie des Seilpolygons eintragen, welches das gröfste Moment enthält.

Man vergleiche im Besonderen : Bestimmung gröfster Momente für eiserne Brücken mit geringen Stützweiten von Puller. Centralbl. d. Bauverw. 1897, S. 381. — Bestimmung gröfster Momente und Querkräfte für Eisenbahnbalkenbrücken von J. Labes. Centralbl. d. Bauverw. 1899, S. 173.

10

Mmax - AL - £ -f -Jr.

Die Angaben gelten für ein Gleis, sowie für m und t.

Auf der Brücke befinden sich die Lasten

JUmax tritt ein unter der Last

Abstand dieserLast(Sp.ó) links bezw. rechts von der Brückenmitte

Grenzstützweiten L

No.

No.

von

bis

? £?*****&*

10,0

13,25

15,0

17.25

20.25

23.25 25,00 31,75 35,00

38,25

41,25

43.50

46.50

49.50

52.50

55.50

58.50

61.50

64.50

67.50

18,575

36,125

48,725

75,61

114,16

162,81

190,81

332,29

408,05

492,6

570.4

640.1

740.2

850.2

954.4 1080,2

1219.8

1376.8 1551,7 1748,3

6,74

6,80

57,4

19,1

2,6

63,0

204,1

61,4

16,0

125,6

348.9

119.9

4,9

2,8

44,1

301,9

838,1

3—8

2—8

1—8

1—9

1—11 1 — 12

1— 13 4—16 4-17 3—17

2- 17 1 — 17 1 — 18 1—19 1-20 1-21 1-22 1—23 1—24 1—26 1-28 1-31 1—37 1-43

ZD ZD ZD iO i-O »O ZD ZD ZD

OOOOO —

^    • rH rH rH rH v-H

vH i-H

tO I ^ k—Ł ł—t t—*. I

GO cn o: cc tc

0,03

5,09

0,22

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ZD r-i

cT o'

— t-    Ci    t-    t*    ,

CO_ o,    I    N    l>

o' o'    o'    o'    o'

1,17

0,61

0,30

0,82

1,33

0,76

0,15

0,23

11,71

12,84

15,10

17,26

21,08

22,49

7,56

11,71

12,84

15,10

17,26

21,08

22,49

24,16

24,16    27,70

27,70

31,63

32,23

34,51

36,80

42,83

46,54

52,07

56,82

62,68

31,63

32,23

34,51

36,80

42,83

415,54

52,07

56,82

62,68

70,0

80,0

90,0

100,0

120,0

140,0

§ 29. Querkräfte und Momente bei indirekter Belastung. Bestimmung der Querkräfte. Liegt der fragliche Querschnitt im Abstande x yon A und innerhalb zweier Querträger, so nimmt die Einflufslinie, deren Ordinaten an den Lastangriffspunkten die Werte von Qx für eine Last G darstellen, die aus Fig. 66 ersichtliche Form A⁴ F F E B‘ an.

Man ersieht, dafs eine Last stets eine positive Querkraft erzeugt, so lange sie zwischen F und der rechten Stütze liegt, eine negative, wenn sie innerhalb F und der linken Stütze bleibt. Für die Abstände J' D⁴ — c₂, G⁴ F = cx, C⁴ D⁴ = c hat man

Ci =

. 114.

Fig. 66.

P jj"i

1. Für eine gleichmäfsig auf den ganzen Träger verteilte Belastung ist die Querkraft Qx durch das Produkt aus der Last für die Längeneinheit p in

die Fläche A⁴ B⁴ E F F A⁴ gegeben; man erhält, Jf    Ij; * f j

ähnlich wie unter § 27 vorgehend, nach kurzer ^--av-h^n [ ;j \\f    j

Rechnung;    jj    Ifd-tfe“'‘1““1----*

jAjyll Uêê*£

pm

Ai

p. _ p (a?2² — xi²)

Vx — y T^c Dieser Ausdruck ist für alle Punkte innerhalb C D konstant. Fig. 67 zeigt die Konstruktion.

2. Für ein System ruhender Lasten ergiebt sich, wenn z⁴ die Abstände der Lasten F⁴ zwischen B und D von der rechten Stütze, z für Lasten P zwischen A und C von der linken Stütze und z⁴⁴ jene zwischen F und C von J⁴ nach links bezw. z⁴“ zwischen J und D nach rechts gerechnet werden und G — 1 gesetzt wird:

. . 115.

'r,L

a-

G'

jl

ufa

'Vf

Qx = Jl (P⁴ z⁴) - S (P z) + --- [s (P⁴⁴⁴ z⁴⁴⁴)

. 116.

Fig. 68, S. 300 zeigt eine übersichtliche Darstellung für eine bestimmte Laststellung.

3. Eine fortschreitende, gleichförmig verteilte Last

erzeugt das Maximum max (-f- Çx), wenn die Strecke J⁴ B, das max (— Çx), wenn die Strecke A J⁴ belastet ist; man erhält:

Fig. 67.

jH

max (-]- Qx) = q . Fläche F E B⁴ —

q Xi²

2 (I — c)5 — q xi2 2 (l — c) ⁻

tP

max (— Qx) — q . Fläche A⁴ F F —

Demnach ist, wie ein Vergleich mit den Formeln 100 in § 27 (S. 288) zeigt, die Querkraft ebenso grofs, wie sie für einen Träger ohne Querträger mit der Länge (l — c) wäre.

4. Hat man es mit einem System beweglicher Einzellasten zu thun, so liegt der Fall ganz so, wie bei Bestimmung des Maximums einer Wirkung bei dreieckiger Einflufsfläche und die Richtigkeit nachfolgender Regel wird sofort einleuchten.

Man belaste (Fig. 66) die Strecke F D⁴ B', ordne die Lasten so, dafs die schwersten dicht um D⁴ zu liegen kommen und suche eine Last P, für welche die Einheitsbelastung

A,

AT

v '\iS8iS

\ ;'v

der Strecke J‘ D gröfser oder kleiner als die Einheitslast der Strecke ])' B* wird, je nachdem man P einmal den Lasten links von D', einmal jenen rechts von D' beizählt. Dann ist jene Stellung die ungünstigste, für welche P eben über D liegt. Ist D B gegen P B grofs, so wird auf die Strecke P D meist gar keine Last zu liegen kommen.

Für die Bestimmung der gröfsten negativen Querkraft gilt dasselbe hinsichtlich der Strecke AP. Für die ungünstigste Stellung mufs das in gleicherweise ermittelte P über C liegen. Zur Berechnung erhält man die Formel, wenn P die über D und P' die über C liegende Last ausdrückt:

(+ Q.) = [l (P p) + Px,+    £ (P" 2"')]

max (— Q,j = — [£ (Pa) + P, xt +    v ,

max

.    .    117.

Im letzten Felde ist die gröfste positive, im ersten die gröfste negative Querkraft stets gleich Kuli.

Für diejenigen Felder C D, in welchen keine Einzellast liegen mufs, um -j- Qx innerhalb derselben zum Maximum zu machen (was nach dem vorigen Paragraphen zu beurteilen ist) wird die Querkraft ebenso grofs wie in Z>, wenn keine Querträger vorhanden wären. Müssen innerhalb C D eine oder mehrere Lasten liegen, so ist der hiernach erhaltene Wert um das Glied

~ £ (F" P")

zu

vermehren, welches auf graphi-

schem Wege oder durch Berechnung ermittelt werden kann.

Bestimmung der Momente in einem gegebenen Querschnitt. Konstruiert man das im vorigen Fall benutzte Polygon, dessen Ordinaten im Lastangriffspunkte einer Einzellast, dem in x erzeugten Momente Mx proportional sind, so sieht man, dafs an den Querträgern die Einflufsdreiecke und mithin die Momente für eine be

liebige Belastung genau so wie ohne Rücksicht auf die Querträger werden. Für Querschnitte x innerhalb zweier Querträger tritt (Fig. 66) das Viereck A" B‘‘ E“ F“ an Stelle des Dreiecks. Für praktische Zwecke wird es daher stets genügen, nur die Momente an den Querträgern nach dem vorhin gezeigten Verfahren zu konstruieren und

Fig. 68.

die so erhaltenen Punkte durch Gerade zu verbinden.

Wir wollen jedoch noch einige Regeln zur Berechnung und Konstruktion der Werte Mx für x innerhalb CT) an-schliefsen.

1.    Für eine volle gleichmäfsige Last ergiebt sich aus der Berechnung der Fläche A“ F" E“ B“ :

Mx = yï [xt x‘ (x₁ -f- c) -f- Xi x (xs -f- c)] .    .    118.

Dieser innerhalb C D gütige Ausdruck ist vom ersten Grade. Fig. 67, S. 299, zeigt die übersichtliche Darstellung der Momente in jedem Querschnitt.

1 ć4$ffj

A ₂

2.    Ruhendes Einzellast-System. Bezeichnet man die Lasten zwischen C und D mit P und die Abstände dieser Lasten P von C und D mit u und u\ das übrige nach

'Ai₂ der aus Fig. 66 ersichtlichen Weise, so ist:

Mx =

da die Glieder innerhalb der Klammer konstant sind, so ist Mx innerhalb C D vom ersten Grade. Fig. 68 zeigt die übersichtliche Zusammenstellung.

3. Da die volle gleichmäfsige Belastung zugleich die gefährlichste hinsichtlich der Momente ist, wird auch, wenn x* = l — x:

. 120.

max = ~ \xt x‘ (#, -Ą- c) Ą- x x₃ (x.₂ -f- c)].    .    .

4. Für die Bestimmung des gröfsten Momentes für ein System beweglicher Einzellasten rückt man das unter 2. bezeichnete System um Az nach rechts und erhält:

SP ,    Sp )

c    l

A Mx =

x x‘

I SP +

x‘

Az —

x x‘

[p—p']Az,

wenn p und p‘ die Werte der Brüche innerhalb der Klammern bedeuten. Vergleicht

man den gewonnenen Ausdruck mit dem für AM ermittelten, im Falle keine Querträger

vorhanden, so ist die Ähnlichkeit unverkennbar. Die zwischen den Querträgern liegenden

Lasten P sind nach dem Verhältnis- und----zu den Lasten links von C bezw.

c    c

rechts von D zu schlagen. Fafst man eine bestimmte Stellung ins Auge, so mufs man das System stets nach der Seite verschieben, welche dem kleineren Werte der auf die Längeneinheit verteilten Last entspricht. Das Auf- und Abrücken einer Last über die Stützen macht die Ungleichheit gröfser und zwingt zu weiterer Verschiebung nach derselben Seite. Anders verhält es sich, wenn durch die Verschiebung eine Last P entweder eben in das fragliche Feld CD oder aus demselben kommt. In diesem Falle ist sie einmal als Last des fraglichen Feldes, das andere Mal eben aufserhalb desselben stehend zu betrachten, wird hierbei einmal p>p% das andere Mal p <C p‘, so ist diese Stellung die ungünstigste hinsichtlich der Momente. Es mufs für diesen Fall also stets eine Last entweder in C oder in D stehen. Man vergl. S. 272, Fig. 51.

Für die Auflagerpunkte der Querträger erhält man zwei Werte, je nachdem dieselben einmal zum rechten, einmal zum linken Felde geschlagen werden. F. 5, T. II zeigt die übersichtliche Darstellung der Momente für den ganzen Träger. Die Konstruktion ist aus der Figur ersichtlich.¹)

Ein Beispiel der Berechnungs- und graphischen Bestimmungsweise eines mit Querträgern versehenen einfachen Trägers von 8 m Stützweite zeigt F. 1 bis 5 B, T. II. Als Eigengewicht des Trägers selbst wurde 0,2 t f. d. lfd. m angenommen.

Die Querkräfte, welche von dem Eigengewichte herrühren, berechnen sich wie für eine gleichförmig verteilte Last für die Querschnitte

ii

VI

mit

0,8

0,4

— 0,8 t.

-0,4

Das Eigengewicht der Querträger tritt als ein System von Einzellasten von je 0,8 t auf, wobei die äufsersten in A und B aufser Betracht bleiben können. Die hiervon stammende Querkraft rechnet sich nach Formel 116, wobei das letzte Glied des Trinoms entfällt, da zwischen den Querträgern oben keine Einzellasten angreifen; hieraus rechnet sich für x innerhalb der Querschnitte 1 und 2 z. 15.:

Q = y [0,8.4 + 0,8 . 2 — 0,8 . 2] = -f 0,4 t.

Innerhalb zweier Querträger ist die Querkraft konstant und beträgt in

IV

VI

+ 1,2    + 1,2 + 0,4    -f- 0,4 — 0,4    — 0,4 — 1,2    — 1,2 t.

In F. 1 I! sind die Eigengewichts-Querkräfte graphisch durch feine volle Linien dargestellt. Zur Konstruktion der Maximal-Querkräfte wurden in F. 1 B die Einflufslinien für die Querschnitte A, II, IY, YI, B eingezeichnet.

Es ist aber demungeachtet auch noch der Fall in Betracht zu ziehen, dafs nur die Lasten G1 Gz Ga Gi am Träger Platz finden. Es läfst sich leicht wie oben zeigen, dafs dann G\ in II liegen müsse. Für diesen Fall wird:

max Q‘ = [5,9 . 6 + 5,9 . 4,65 + 5,9 . 3,30 + 3,5.2,05] -- = 11,207 t.

Wir sehen hier, dafs dieser Belastungsfall der ungünstigere ist, wenn auch das Ergebnis nur sehr wenig von dem vorigen abweicht. Darf nun schon im ersten Felde keine Last liegen, um Q. zum Maximum zu machen, so ist dies in den übrigen Feldern, wo der Abstand des Punktes J (vergl. Fig. 66) vom nächsten rechten Querträger noch kleiner wird, um so weniger der Fall. Es wird daher in unserem Beispiel in jedem Felde die Querkraft zum Maximum, wenn am nächsten rechten Querträger die erste Last liegt. Dies ist aber zugleich die ungünstigste Stellung für diese Querschnitte, wenn keine Querträger in denselben vorhanden wären. Hieraus erklärt sich die Konstruktion in F. 1 B. Das eingezeichnete staffelförmige Polygon m m entspricht den max Q. Die Eckpunkte dieses Polygons liegen auf einem in der Figur gestrichelt dargestellten Streckenzug, welcher mit dem Polygone m m in F. 1 A übereinstimmt.

So wie oben durch Berechnung, kann man mit Hilfe der Einflufslinien durch Konstruktion für beide Laststellungen die Gi in C (Laststellung 1) und Gz in C (Laststellung 2) die Werte Q ermitteln. Jene Ordinaten, welche anderen als Lasten von 5,9 t entsprechen, sind nach dem bezüglichen Verhältnis graphisch zu reduzieren.

Für die Berechnung der Momente gilt hinsichtlich der zufälligen Last, soweit die Punkte A, II, IV, VI, B in Betracht kommen, ganz dasselbe, wie in dem Beispiele für direkte Lastübertragung.

Die gleichförmig verteilte Eigenlast erzeugt Momente, die den Ordinaten einer Parabel entsprechen.

0.2.2.C

P .XX¹

Die Einzelwerte rechnen sich z. B. für den Querschnitt II nach =

— 1,2 mt.

Die Parabel ist als Kurve li in F. 5, T. II eingetragen. Die Querträgerdrücke repräsentieren ein System gleicher ruhender Einzellasten, die Momente rechnen sich nach Gl. 107 bezw. 119 z. B. für Querschnitt II :

M‘u = ! (0,8.6 + 0,8.4 -f 0,8.2) = 2,4 mt.

Das Polygon q in F. 5 giebt die den einzelnen Querschnitten entsprechenden Werte.

Damit für einen Querschnitt zwischen zwei Querträgern das Maximum des Momentes eintrete, mufs eine Last am rechten oder linken Querträger liegen. Wir untersuchen das Feld II, IV. Für die Trägermitte gilt als ungünstigste Stellung Gz über IV ; für diese Lage wird das Moment in II durch die Strecke y\ in F. 3 gegeben, welche um die Querträgerentfernung c = 2 m vom Querschnitte 2 absteht. Trägt man y 1 in F. 5 über Querschnitt II als Ordinate auf, und verbindet den Endpunkt derselben mit max M in IV, so giebt die Gerade die Momente für alle Querschnitte zwischen II und IV für die bezeichnete Stellung. Für Querschnitt II erzeugt G1 über II das Maximalmoment, für diesen Belastungsfall giebt yz in F. 3 das in IV entstehende Moment In entsprechender Weise wie oben erhält man eine zweite Gerade in F. 5, welche die Momente für alle Querschnitte zwischen II und IV hinsichtlich dieser zweiten Laststellung giebt. Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkte, für welchen beide Stellungen gleich ungünstig sind. In pi’aktischen Fällen kann die Konstruktion dieser Linien, welche stets einspringende Winkel zwischen den Querträgern bilden, unterbleiben.

¹

) Ausführliches über die in den Paragraphen 27—29 dargestellten Sätze enthält in ähnlicher Weise entwickelt: Weyrauch. Maximalmomente einfacher Träger. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1875, S. 467. — Stelzl. Theorie der Brückenträger. Wien 1880. Siehe auch die Werke von Culmann, Winkler, Müller-Breslau u. a.

§ 30. Ersatz eines Einzellastsystenis durch eine gleiclimäfsig verteilte

Obwohl es keinerlei Schwierigkeiten macht, die Querkräfte und Momente für

Es ist liier vor allem zu untersuchen, ob hinsichtlich der ungünstigsten Belastungsweise für Punkte des ersten Feldes eine Last zwischen A und II zu stehen kommen mufs oder nicht. Für dieses Feld trifft J (vergl. Fig. 66, S. 299) mit A zusammen. Betrachten wir zunächst in Querschnitt 1 unserer Tafelfigur die Last Gz, zwischen A und C die Last Gi ruhend, so wird die Einheitslast auf der Strecke A 6', wenn wir Gz zu A C rechnen : wir haben daher das System nach rechts zu schieben. Denken wir uns die zweite Last zur Strecke GB

— 3,4; wir haben

5,9 + 5,9

— 5,9 ; die Einheitslast der Strecke G B :

5,9 + 3,5 +4,9

= 2,4,

5 9

gerechnet, so wird Einheitslast links = 2,95, Einheitslast rechts daher das System nach links zu schieben und sehen zugleich, dafs diese Stellung die ungünstigste ist,

2.5,9 + 0,5 + 4,9

vorausgesetzt, dafs wir die Lasten 6ri Gz Ga G\ Gs im Auge haben, welche sämtlich Platz finden (1. Belastungsfall in F. 1 B). Für diesen Fall rechnet sich aus Gl. 117:

Q = [5,9 . 4,65 + 3,5.3,4 -f 0,6 . 4,5 + 5,9 . 6 +    (5,9 . 0,65)]    = 11,15 t.

max

Last.

jeden einzelnen Querschnitt unter Zugrundelegung der wirklichen Lastenzüge zu bestimmen, so führt doch in vielen Fällen, namentlich wenn man es mit grofsen Spann-

marMx Cf(x)

weiten zu thun hat, eine Berechnung- unter Annahme einer gleichförmig verteilten Last rascher zum Ziele und vereinfacht die Untersuchung.

Es sei max M* das Moment, maxQx die Querkraft, welche in einem beliebigen Querschnitte x durch ein Einzellastsystem erzeugt wird, qx cp (x) und q.,    (x) seien die

an derselben Stelle durch eine gleichförmig verteilte Belastung entstehenden Werte des Momentes und der Querkraft, wobei cp und <j> von der Trägerart abhängige Funktionen bezeichnen, cp und besitzen also andere Formen bei einfachen, andere bei kontinuierlichen, bei Bogenträgern u. s. w. Setzt man die Maximalwerte einander gleich, so erhält man:

maxQ*

121.

Man sieht, dafs qx und q₂ im allgemeinen Funktionen von x, also von der Lage des Querschnittes abhängig sind. Ebenso sind qx und q% untereinander keineswegs selbst für denselben Querschnitt gleich. Die Bestimmung einer gleichförmigen Belastung, welche in jedem Querschnitte dasselbe gröfste Moment und dieselbe gröfste Querkraft erzeugt, wie ein bewegliches System von Einzellasten, ist daher unmöglich. Dagegen kann man sowohl diejenige gleichmäfsig verteilte Belastung ermitteln, welche in einem Querschnitte dasselbe gröfste Moment erzeugt, wie der Lastenzug, als auch diejenige, welche ebenso grofse Maximal- und Minimal-Querkräfte hervorruft, wie der Lastenzug in seiner ungünstigsten Stellung. Die Ermittelung dieser Belastungen (Ersatzlasten, Belastungs-Äquivalente), soll in nachstehendem für den einfachsten, aber zugleich auch wichtigsten und häufigsten Fall, den Träger auf zwei Stützen, vorgeführt werden.

a) Gleichmäfsig verteilte Belastung qh für die Längeneinheit zur Ermittelung der gröfsten positiven und negativen Querkräfte. In einem um xx vom rechten Auflager entfernten Querschnitte wird durch eine gleichmäfsig verteilte Belastung die gröfste Querkraft dann hervorgerufen, wenn nur der Balkenteil rechts vom Querschnitte, also bis zum rechten Auflager, belastet, der Trägerteil links vom Querschnitte aber unbelastet ist. Dann ist für den betreffenden Querschnitt:

r.    qbXi²

max ü =

^    2 L

Falls ein System von Einzellasten den Träger belastet, so ist die Lastenlage, welche die gröfste Querkraft im Querschnitt erzeugt, in den allermeisten Fällen diejenige, bei welcher die erste Last P am Querschnitte liegt, die anderen Lasten P,", P!/.. . sich rechts vom Querschnitte befinden (vergl. den Ausdruck für A auf S. 293; M/ ist hier gleich Null) :

max Qx — A = — [xxR — M“].

Die Gleichsetzung beider für maxQx gefundenen Ausdrücke ergiebt denjenigen Wert qh, welcher in dem betreffenden Querschnitte gleiches max Q erzeugt, wie das System von Einzellasten. Man erhält:

122.

2 B 2 M“

Xi²

Der vorstehende Ausdruck giebt das bemerkenswerte Ergebnis, dgTs die Gröfse der in Betreff der Querkräfte stellvertretenden Belastung qh von der Stützweite L des Trägers ganz unabhängig ist. Sie hängt nur von der Länge xx der belasteten Strecke und dem Lastenzuge ab. Man kann demnach behaupten: „Die in Betreff der Querkräfte stellvertretende gleichmäfsig verteilte Last qb für die Längeneinheit ist für irgend einen Querschnitt nur von der Lage des betreffenden Querschnittes gegen die Auflager, also von der Länge der belasteten Strecke, nicht aber von der Stützweite des

Trägers abhängig.¹) Dieses Gesetz macht die Ermittelung von qb zu einer sehr einfachen Arbeit. Nennt man die Mittelkraft aller, rechts vom betreffenden Querschnitt liegenden Lasten _ßm, den Abstand derselben vom rechten Auflager r, so ist auch

2 Bmr

Rm r

max Q =

Xl*

und maxQ =    mithin qb —

üm nun für einen bestimmten Lastenzug die Werte von qb zu finden, braucht man nur einen Träger von sehr grofser Weite (etwa 100 m bis 150 m) anzunehmen, auf diesen den Lastenzug zu stellen und für die verschiedenen Werte von xv die entsprechenden Iim r zu ermitteln, woraus dann die qb leicht folgen. In welcher Weise zu diesem Zwecke ein einfaches graphisches Yerfahren verwendet werden kann, ist in der in Anmerkung 19 bezeichneten Arbeit (Centralbl. d. Bauverw. 1888) vorgeführt. Die erhaltenen Werte von qh gelten für beliebige Stützweiten.

Die gröfste negative Querkraft min Qx tritt ein, wenn nur der Trägerteil links vom Querschnitt, sei es mit der Last qb für die Längeneinheit, sei es durch Einzellasten, derart belastet ist, dafs die erste Last am Querschnitt liegt. Für die Aufsuchung von min Qx ist demnach allgemein ein anderer Wert von qb zu Grunde zu legen, als für max Qx. Derselbe ergiebt sich aber leicht aus der Gleichung für gb, wenn man statt x in dieselbe (l — x) einführt.

b) Gleichmäfsig verteilte Belastung qA für die Längeneinheit zur Ermittelung der gröfsten Momente. In einem um u bezw. v von den Stützen A und B abliegenden Querschnitte C wird durch gleichmäfsig verteilte Belastung dann das gröfste Moment hervorgerufen, wenn der ganze Balken belastet ist; dann ist im Querschnitt C ein Moment

Mx =

qgtl . V

Nach dem oben (S. 293) Entwickelten wird für ein System von Einzellasten:

R — M' —    M“.

Die Gleichsetzung beider Ausdrücke für M ergiebt :

Gelegentlich des Entwurfes einer neuen Brückenverordnung vom 15. September 1887 wurden in Österreich ausgedehnte Untersuchungen zur Ermittelung der Werte von q vorgenommen. qb wurde für verschiedene Lastenzüge ermittelt, ebenso q&, letzteres für die Trägermitte und einen Punkt, welcher um ein Sechstel der Spannweite von den Stützpunkten absteht. Die Werte wurden aufgetragen und durch ein Polygon umhüllt ; die Ordinaten der Eckpunkte der qa und qb entsprechen den gesetzlichen Skalen a. und b. der Brückenverordnung.²)

Sehr sorgfältige und eingehende Untersuchungen über die Ersetzung der Lastenzüge für die Berechnung durch gleichmäfsig verteilte Lasten, d. h. über die Belastungsgleichwerte der Brücken, sind von Winkler³) angestellt. Der Grundgedanke der

Schlufsfolgerungen, welche in den unten angeführten Quellen studiert werden können, ist folgender:

Nennt man die Ordinaten der Ëinflufslinie, welche beim Überfahren einer Einzellast gleich der Einheit über den Träger entsteht, «/, so ist die gesuchte Gfröfse, sei es ein Moment, eine Querkraft oder eine Spannung u. dergl. :

In dieser Gleichung bedeuten die G die einzelnen Lasten, die y sind die Ordinaten der Ëinflufslinie an den Lastpunkten. Eine gleiclimäfsig über die Länge der Einflufsfigur verteilte Last p für die Längeneinheit erzeugt einen Einflufs:

Y — S (yydx) == ph (ydx) — pf yclx.

f y dx ist der Flächeninhalt der Figur, welche von der Abscissenachse und der Ëinflufslinie eingeschlossen wird, d. h. der Einflufsfigur. Soll der durch die gleich-mäfsige Belastung erzeugte Einflufs Y demjenigen gleich sein, welchen das System von Einzellasten hervorruft, so mufs sein:

V5ydx — S (Gy),

und, wenn man f ydx — F setzt,

_ £{Gy) P — F

Statt der gleichmäfsigen Last p kann man auch eine gleichmäfsige Belastung p* und aufserdem eine Einzellast P einführen, wobei P an derjenigen Stelle liegt, wo die Einflufsfigur ihre gröfste Höhe h hat. Dann ist offenbar

bei der ersteren Belastungsart Y — pf ydx —pF, bei der zweiten Belastungsart Y — p* F -{- Pli.

Beide Y sollen gleich sein, also mufs sein :

pF = p‘ F + PA,

Ph

V = P' + F-

Setzt man F — hl . A, wo A von der Gestalt der Einflufsfigur abhängt, so wird

, , P

v = r +ta

Winkler bestimmt nun für verschiedene Formen der Einflufsfläche und unter Zugrundelegung eines bestimmten Lastenzuges die Werte von p und zwar für das recht-winkelige, das gleichschenkelige Dreieck, das Dreieck im allgemeinen, das abgestumpfte Dreieck, das Yieleck, die Parabelfläche u. a.

§ 31. Durchbiegung einfacher Träger. Für Träger unveränderlichen Querschnittes lassen sich auch für Systeme von Einzollasten einfache Formeln aufstellen.

Wir bringen im nachstehenden die Hegeln, wobei wir das bisher Yorgenommene als bekannt voraussetzen.

oc. Die gröfste Durchbiegung. Für die Durchbiegung in Q wird, wenn eine Einzellast in P steht (vergl. Fig. 46 auf S. 269) :

Ah- - «* - ”!)p■

Für ein gegebenes v wird die Durchbiegung ein Maximum, wenn

123.

(lV

(I u

— 0, d. i.

für u = V~ \f l² — v².

o

Handbuch dei' Ing.-Wissensch. II, 2.    3. Aufl.

20

— wird u — —, d. h. für die Mitte wird der L as tang riffs p unkt

Für v =

zum

u    u

Punkte der gröbsten Einsenkimg. Jedem anderen Lastangriffspunkt entspricht ein anderer Punkt gröfster Einsenkung.

V 3

Für v — 0 wird u — —l = 0,577 l. Dieser Punkt steht um 0,077 l von der Trägermitte ab. Die gröfste Einsenkung findet daher, wie immer auch die Last liegen mag, zwischen zwei Punkten c* c* statt, die symmetrisch zur Mitte liegen und um 0,154 l voneinander abstehen.

Mit grofser Abrundung nach oben können wir daher auch sagen: die gröfste Einsenkung für ein beliebiges System von Einzellasten findet stets im mittleren Sechstel des Trägers statt.

V 3    v (i² — v^yi'¹

"27" ‘ EJl

Für ein gegebenes v wird die gröfste Einsenkung, d. i. für u — — y T² — v2 y* =

und die Einsonkung für Last P in der Mitte, d. i. für u = —

ir

tim

also das Verhältnis -— = s:

?/m

v (3 l² — 4 v²)

48 EJ

16 (3 l² — 3 v²)³'2 £ ~ 27 (3 P — 4 v²) l⁷

0,25 1,016

d. i. die gröfste überhaupt mögliche Durchbiegung überschreitet jene in der Mitte um höchstens 2,6%.

ß. Berechnung der Durchbiegung unter einem System von Einzellasten. Aus der allgemeinen Formel ergiebt sich für die Durchbiegung in (7, wenn die Lasten P', P, P" wirken :

d. i. für

1,026

0,5

1,000,

(l²-u²-v²)P +

v (u — a')

u(v — a“)

[l² — (v - a“)² - w²] P"

[r - V² -(u- aj] P' +

QEJl

daraus nach entsprechender Reduktion des Ausdrucks und unter der Annahme, dafs an Stelle der Einzellasten P/ und P// je ein System von Einzellasten P^, P^, P‘z u. s. w. in den Abständen ci'₂, a's . . . u. s. w. wirkt und dasselbe hinsichtlich P“ der Fall ist und wenn man bedenkt, dafs u -f- v — l wird :

6 EJl

6EJI

y=y* +

6 EJl

F-la" P'^-ZZa'² P'-Sla“² P“    P + -^Y>a“³P“]

dabei ist:

y*

u² v²

3 EJl

[SP + P + S P“],

d. i. die Durchbiegung in (7, wenn die Resultierende aller Lasten in diesem Punkte liegen würde.

Ähnlich wie bei der Berechnung der Maximalmomente kann man die Ermittelung der Durchbiegung y aufserordentlich erleichtern, wenn für einen gegebenen Belastungszug die "Werte SaP, X a² P, Sa³P als ein- für allemal berechnete Werte einer Tabelle entnommen werden können.

Eine solche ist für den österreichischen Normalbelastungszug anbei angeschlossen.

Tender

Lokomotive

Lokomotive

Tender

Achsbelastungen 10 Abstände

I 10 I 10    13 I 13 J 13 J 13    13 I 13 J 13    |    13    10    |    10    | 10 t

1,5    1,5    4,4    1,2 1,2 1,2 6,0    1,2    1,2    1,2    4,4    1,5    1,5 m

9,8

7,2

8,4

9,6

10,8

15,2

16,7

18,2

26

39

52

65

75

85

95

109,2

692,6

4875

218,4

1609,9

12580

343,6

2808,0

24081

483,6 i 635,6 4324,3 6634,7 40458 ! 75576

802,6

9423,6

122150

984,6

12736,1

182436

11,0

a =

SP =

£ a P =    378,6

£ a² P =    13014,6

27812

£ ft³ P

9,5

8,0

69

59

49

268,6

1804,6

14502

173,6

902,1

5929

LO

05

© J® ß w JO

CD 05 CD 05

2,4

26

46,8

93,6

202

to j® y' i-' j“

W <1 05 CO to

6,0

7,2

8,4

9,6    14,0

15,5

17,0

13

26

39

52

62

72

82

78,0

2808

171,6

141,9

7660

280,8

2059,2

15365

405,6

3257,3

26867

545,6    700,6

5217,3 7619,8 54307 j 91546

870,6

10509,8

140676

Beispiel. Nebenstehende Figur zeigt ein Einzellastsystem, welches der österreichischen Brückenverordnung entspricht. Es sei die Durchbiegung zu rechnen:

Fig. 69.

a) Für die Trägermitte, wenn die zweite Last der ersten Lokomotive über der Trägermitte steht. Für diesen Fall werde :

l — 20 m u = v — 10 m,

J = 0,05 m⁴,

E = 20000000 t/qm,

B’

if

10 10

13 «

- -s

■o.

13 13*

P‘

ferner:

LP' + P + LP" — 56+ 13 -f 52 = 1211, P\ La' P* — 295,8,

L a'² P' = 2205,3,

La'³P' = 18476,

p:

nł<

p;

\p;

-,

!■

//•

f*

/>

v a« p“ ₌ 343₅6,

La"² P" = 2808,0,

L a"³ P" == 24081.

Daraus berechnet sich: y* = 0,0202 m,

y = 0,0202 — 0,0090 = 0,0112 m.

b) Für einen Punkt, der um 1,2 m rechts von der Mitte absteht, für dasselbe Lastsystem und dieselbe Stellung:

l — 20 m, u — 11,2 m, v — 8,8 m, J — 0,05 m⁴, E — 20000000 t/qm,

f* f fs fe

„ Kl U H) W 30    <X/    60 60    70 HO HO

II -i-1-1-1-1-1-1-j-h-

Mafsstäbe

WOt

für die Kräfte.

top WO 300 WO    , ,

-*-¹—■—¹--¹ iür die Momente.

2r

30    30 W SO!

—I lur die Flächen f für die Durch • biegungen. y

ferner :

L F -f P -f LP" = 69 + 13 4- 39 = 121 t, La'² P' = 3014,6,

L a"² P" = 2059,2,

La' P' — 378,6,

v a" P' = 280,8,

La'sP' = 27812, S a"³ P" = 15365,

woraus :

y* = 0,0195 m,

y = 0,0195 — 0,0084 = 0,0111 m.

Die Durchbiegung wird also in beiden Fällen nahezu die gleiche und ist im vorliegenden Falle in der Mitte etwas gröfscr. Wir ergänzen das Beispiel durch seine graphische Lösung aus dem Früheren.

Zeichnerische Ermittelung der Durchbiegung eines einfachen Trägers unter einer Folge von Einzellasten. Unter Annahme eines bestimmten Längen-mafsstabes I (1 : 360 natürliche Gröfse) wurde die Länge des Trägers und die zu untersuchende Lastenfolge auf getragen; unter Annahme eines zweiten Mafsstabes II (100 t = 28 mm) und einer Poldistanz II — 50 t ein Kräftepolygon 0₁ und mit Hilfe derselben das Seitenpolygon gezeichnet. Wird II nach dem Kräftemafsstabe gemessen, so geben die nach dem Längenmafsstabc gemessenen Ordinaten m des Seilpolygons mit II multipliziert die Momente.

Es bedeutet also die gemessene Länge eines Meters Moment 50 mt. Konstruiert man einen Mafsstab III, sodafs die Länge eines Meters nach I gemessen 50 mt bezeichnet, so gestattet dieser Mafsstab unmittelbar das Abgreifen der Momente, die Strecke m auf III gemessen, giebt das Moment in der Mitte, in unserem Falle 285 mt.

Rechnet man die zwischen den Lastordinaten liegenden Flächen F₀, P₂......

650

der Momentenfläche in qcm aus und läfst diese Flächenwerte in ihren Schwerpunkten als Fläche angreifen; konstruiert man ferner ein Kräftepolygon 0₂, als dessen Poldistanz b man die dem Werte EJ des Trägers entsprechende Fläche wählt, so giebt das zugehörige Seilpolygon, in den Ordinaten der Kräfte P₁ P₂ gemessen, die Durchbiegungen an den Lastangriffsstellen. Zur Ermittelung von b führt folgende Überlegung: 1 cm² der Momentenfläche bedeutet 3,6.3,6.50 — 650 tm². Ist für unser Beispiel E— 20000000 t/qm ; J — 0,05 m⁴, so würde die Poldistanz EJ — 1000000 tm² oder entsprechend 1000000 1540 cm².

Im Mafsstab IY zu Fig. 69 stellt 1 cm: 2,8 cm² der Momentenfläche dar²²); es bedeutet also 1 cm dieses Mafsstabes : 2,8.650 = 1820 tm². Die Poldistanz für die Ermittelung der Durchbiegungen ist b = 2,8 cm gewählt, bedeutet also 2,8.2,8 = 7,84 cm²

der Momentenfläche. Kun ist EJ = 1540 cm²; wenn die Poldistanz nur b — 7,84 cm²

1540

gewählt wird, so ergiebt das Seilpolygon die Einsenkung

7,84

fach

200 fach verzerrt.

VII. Einfache Balkenfachwerksträg'er.

§ 32. Allgemeines. Im vorigen Abschnitte wurden die äufseren Kräfte einfacher Balkenträger ermittelt. In diesem Abschnitt sollen auf Grund der äufseren Kräfte die inneren Spannungen bestimmt werden. Hinsichtlich der Yollwandträger wurden die wichtigsten Formeln bereits in der Einleitung gebracht. Die Fachwerksträger verlangen noch einige weitere Erläuterungen, denen wir eine eingehendere Behandlung besonderer Trägerarten in den folgenden Paragraphen anfügen.

Die durch das Eigengewicht (die bleibende) und die Yerkehrslast (die wechselnde Belastung) in den einzelnen Stäben eines Fachwerks entstehenden Spannungen werden am besten getrennt behandelt.

Für die Bestimmung der Spannungen durch das Eigengewicht bedient man sich am zweckmäfsigsten eines Cremonaplanes nach § 10, den man unter Zugrundelegung der auf die einzelnen Knoten verteilten Belastung ermittelt. Kur wenn es sich um das Herausheben der Spannung eines bestimmten Stabes handelt, wird man sich zweck-mäfsiger der in dem § 11 gegebenen Yerfahrungsweise bedienen.

²²) Der Mafsstab IV in Fig. 69 ist infolge eines Versehens unrichtig.

Für die Ermittelung der Spannungen, welche die Verkehrslast erzeugt, kommt die Art derselben in Betracht. Nimmt man dieselbe als gleichförmig verteilt und am Ober- und Untergurte wirkend an, so ermittelt man wieder die Knotenlasten und erhält die bei der Belastung des ganzen Trägers eintretenden Höchstwerte der Gurtspannungen zweckmäfsig mit Hilfe eines Cremonaplanes ; für die Füllungsstäbe kommen Belastungen einzelner Trägerteile in Betracht.

Bei Eisenbahnbauten, sowie bei Strafsenbauten, für welche Wagenbelastungen zu berücksichtigen sind, macht cs keine Schwierigkeit, direkt das wandernde Einzcl-lastsystem zu Grunde zu legen. Wir wollen diese Methode zunächst allgemein behandeln.

Fig. 70.

TH

SIX

A'

fi\

—Zd*

ri

!1

\mj \m<,

*1

lz

H\ tk

I)

■A

W1

m/

\j

<-m

,j

Ermittelung der gröfsten Gurtspannung unter Annahme eines Einzellastsystems. Die Spannung im Obergurte 0 erreicht einen Gröfstwert, wenn das Moment der äufseren Kräfte in Bezug auf den Durchschnittspunkt F der beiden anderen vom Schnitte getroffenen Stäbe einen Gröfstwert erreicht. Ermittelt man jene Schlufslinie des Seilpolygons der Einzellasten, für welche das Moment in F ein Gröfstwert wird, so

ist M{ — nif. //, wobei mt und II der Zeichnung entnommen werden. Die Ermittelung

31

von 0 kann nun unmittelbar nach dem Ausdrucke 0 = erfolgen, wenn of den normalen Abstand des Gurtstabes von F bedeutet, oder in nachstehender Weise: Man trage ntf von F aus nach links auf, denke sich hier II als Vertikalkraft wirkend, zerlege II im Schnittpunkte mit dem in Frage stehenden Gurtstab in zwei Seitenkräfte, von denen die eine durch F geht, die andere in die Richtung von 0 fällt.

In ganz ähnlicher Weise wird für den Untergurt G der Momentenpunkt und g2 die Gerade, welche an dem Seilpolygon den Höchstwert me abschneidet. Am Träger kann das Moment durch eine nach aufwärts gerichtete Kraft II ersetzt werden, welche im Abstande m„ von G nach aufwärts wirkt; diese Kraft kann wieder in eine durch

den JVlomentenpunkt G gehende Seitenkraft und in eine Horizontal kraft zerlegt werden, welche der Spannung des Untergurtes entspricht.

Beispiel. Auf T. IY ist ein Beispiel unter Zugrundelegung' des preufsisclion Normulzuges, mittlere Maschinen Brust an Brust, dargestellt.

Die Achsdrücke sind unmittelbar nach dem Lastmafsstabe aufgetragen; an Stelle von II ist in dor F, 2 gewählt. Man erhält dann die Spannungen so, wie sie sich für eine Tragwand ergeben.

Fig. 71.

lä

‘T3-

; p,

~d ~o -d ~d

A-o<

!b

P,

P,

P₆

⁷ ir

if

PU

Pc

Pt,

i/A.'

• .Cb*⁴ ;

' !■ / /V

m

■i®

Belastungsfall

>.

P₅i

p-

o_'

PL

SU

/'/

~ljy/y

V»!

‘rDl\

i

pi" p

* }\r

V

P.

T—

•Jr

Für die Füllungsstäbe (Fig. 71) (Lotrechte und Diagonalen) kommen einseitige Belastungen in Betracht.

Wir führen einige einschlägige Yerfahrungsweisen vor.

a) Yerfähren mittels der H-Linie. Trägt man die Lasten des in Betracht kommenden Zuges Pt P₂ P₃ . . . hinsichtlich der Lastabstände von 13 aus, in welchem Punkt man sich Pt stehend denkt, in der Richtung von B gegen A auf, die Gröfse der Lasten aber von A aus mit P₁ beginnend in der Richtung nach aufwärts und bildet man ein Kraftpolygon für B als Pol und verzeichnet das hierzu gehörige Seilpolygon, so giebt dieses die sogenannte A- Linie. Die Ordinate dieser Linie für einen Punkt C auf A B giebt den Stützendruck in A, wenn sich die Lasten Px P₂ . . . von C aus nach rechts erstrecken. Wir haben den Nachweis für die Richtigkeit bereits auf S. 293 geführt. Für eine gleichmäfsig verteilte Last p f. d. m wird die A- Linie eine Parabel, die in B ihren Scheitel hat und auf der Lotrechten durch A den Wert    hat.

In Fig. 71 ist auch die Untersuchung gezeigt, ob nicht die Stellung der Last P₂ am Fulspunkt der Diagonalen (Belastungsfall II) eine gröfsere Spannung in der

Diagonalen erzeugen kann, als wenn 1\ am Fufspunkt der Diagonalen liegt (Belast-ungsfall 1).

Im Falle II ist der Stützendruck A durch A₂ gegeben; die Zerlegung dieser Gröfse nach den Richtungen Untergurt, Obergurt und Diagonale führt unter Berücksichtigung der Hilfsrichtung T zu einer Spannung der Diagonalen D,₂, welche jedoch noch einer Korrektur bedarf, da sich im Belastungsfalle II die Kraft L\ in zwei Seitenkräfte P' und P" zerlegen läfst, die in den Endpunkten des zu P, gehörigen Untergurtstückes angreifen.

Aufser der nach oben wirkenden Kraft A₂ in A haben wir es links des Schnittes noch mit einer nach unten wirkenden Kraft P' zu thun, die als Ordinate eines Dreiecks gewonnen wird.

Der Pfeil in Fig. 70 a zeigt nach einem Hilfsdreieck hin, mittels dessen der Deutlichkeit wegen das Vierfache von P' in seine beiden Seitenkräfte parallel zum Obergurt und zu D, zerlegt wird.

Es ist mithin das Viertel von P.> von dem oben erhaltenen Werte für P₂₂ abzuziehen, um die richtige Gröfse von P₂₂ zu erhalten. Dieser letztere Wert ist in unserer Figur thatsächlich etwas gröfser, als der für die Laststellung I erhaltene.

untersucht. Die

min

In gleicher Weise sind die Laststellungen III und IV für P Kraftvierecke sind diesfalls im vierfachen Mafsstab der Kräfte gezeichnet.

Die Fig. I in 71 zeigt eine andere zu demselben Ergebnisse führende Zerlegung.

Nimmt die anzunehmende gleichmäfsig verteilte Belastung nach einem bestimmten Gesetze ab, so tritt an Stelle der A-Linie eine Ersatzlinie.

Die Ersatzlinie spielt besonders für die österreichische Brückenberechnung eine Kolie. Man ermittelt nach der gesetzlichen Skala b die für die Spannweite l entsprechende Verkehrslast f. d. laufende Einheit und zeichnet die dieser Verkehrslast pi entsprechende Parabel, deren Endordinate am linken Auflagerpl ist und welche im zweiten Auflager ihren Scheitelpunkt hat. Die Ermittelung dieser Parabel (untere Kurve) kann durch Aufträgen reclinungsmäfsiger Koordinaten oder nach irgend einem graphischen Verfahren erfolgen.

Fig. 72.

f----

-----

w

-PA

Man setze einen Mafsstab für Belastungen pro laufende Einheit fest, bei mittleren Spannweiten etwa 1 Tonne = 10 mm, trage von der rechten zur linken Stütze die ’Längen 1,0, 1,5, 2, 2,5, 5, 10, 15, 20, 40’, SO, 120, 160 m auf, soweit sie auf den Träger Bezug nehmen (Fig. 72),Lerrichte in jeder Abscisse eine Ordinate, welche der Last pi‘o Einheit nach Skala b entspricht, und erhält’durch das Verbindungspolygon der aufgetragenen Punkte die graphische Darstellung der Skala b.

Nun vergrüfsert man die Parabelordinate nach dem Verhältnis , bildet also eine neue Px    P¹

lh

Kurve, deren Ordinate z —-y ist, wenn y die der Abscisse x, vom Scheitel ab gerechnet, entsprechende

Parabelordinate, die dieser Abscisse entsprechende Belastung der Skala b der österreichischen Brückenverordnung und px die der ganzen Spannweite entsprechende Ordinate nach Skala b ist. Diese Konstruktion kann zweckmäfsig graphisch erfolgen und es zeigt Fig. 72 eine diesbezügliche Anordnung. Durch diese Konstruktion erhält man eine virtuelle, etwas oberhalb liegende Querkraftkurve, welche sich, mathematisch] betrachtet, aus einzelnen Stücken kubischer Parabeln zusammensetzt. — Jeder geraden Polygonseite des Belastungsschemas nach Skala b entspricht das bestimmte Stück einer bestimmten kubischen Parabel. Die so [erhaltene obere Kurve möge die Ersatz-H.-Linie (virtuelle Kurve der Querkräfte) heifsen.

b) Verfahren nach £ Müller-Breslau. Legt man dicht neben B eine Knotenlast A, welche in A einen Auflagerwiderstand 1 erzeugt, so genügt es, die für diesen Wert erhaltenen Spannungen Dx D, . . . Vl V₂ V₃ der Füllungsstäbe mit dem richtigen Werte des Auflagerwiderstandes (der zugehörigen Ordinate) der A -Linie zu multiplizieren, um den wahren Wert der Spannungen zu erhalten, c) Verfahren des Verfassers. — Einflufslinien nach Land. Diagonalen: Zum Verständnisse der Konstruktion erscheint es nötig, einiges über die Einflufslinien vorauszuschicken.

Ist A' der Schnittpunkt des verlängerten Obergurtes C⁴ E‘ mit der Pfeilerlot-rcchten, so schneidet A⁴ B die Diagonale in der Lotrechten der Lastscheide. Die schraffierten Flächen entsprechen der Einflufslinie der Diagonale C⁴ E, wenn die Projektion der Höhe Ti senkrecht zur Diagonale die Gröfse der Einzellast P darstellt. Diese Konstruktion rührt in ihrer Grundlage von R. Land her (Fig. 74).

Fig. 73.

0,

Cb

0₍

Os/

VM

2-^x2 M

Beweis: Ist 0 die Spannung im Obergurte, D jene in der Diagonale, so liefert die Bedingung, dafs für einen Schnitt I die Summe der lotrechten Kräfte gleich Null

sein mufs, wenn links von E keine andere Kraft als A⁴, der Auflagerdruck wirkt, die Gleichung:

A⁴ — 0, sin y — 1)₁ cos a = 0 und die Bedingung, dafs die Summe der Drehmomente für E gleich Null sein mufs :

A⁴ (xl -j- a) — Ox h cos y == 0,

124.

125.

wenn y den Winkel bezeichnet, den C⁴ E⁴ mit der Wagerechten, a den Winkel angiebt, den die Diagonale mit der Lotrechten einschliefst. Bezeichnet man die Strecke A A⁴ — h — (x₁ -|- a) tany y mit /?,, so findet sich nach kurzer Rechnung

126.

I)x = A⁴.4 • sec a

h

Gesetzt, in Fig. 74 wäre EG = hl sec et. = D das Mals für die Spannung in der Diagonale, so fände sich

A‘ = A,

d. h.: Ist die Gröfse der Querkraft links dos Schnittes durch die Strecke li = E E4 gegeben, so ist die Spannung in der Diagonale durch die Strecke EG bestimmt.

Liegt in E eine Einzellast P1? so wird A⁴    und es ergiebt sich:

^1    j_)

rl sec a.

Würde man entsprechend eine Einzellast P₂ in C annehmen, so erhielte man für die Spannung in der Diagonale:

,v

A !!

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"A⁺

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Fig. 74.

4z,

LDnnaiu

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>B

*♦

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TT\    %1 hi

Jl>2 —--j- • ~y P₂ sec a.

Würde man E E⁴⁴ = hx als das Mafs von Dt und C⁴ & = k₂ alsMafs von l)t ansehen, so erhielte man übereinstimmend 1\ — P, = h cos a = EF, wenn E⁴ F senkrecht zur Diagonale gezogen wird. Es können daher E E⁴⁴ und C⁴ G⁴⁴ als die Oidinaten der Einflufslinien der Spannungen für die Diagonale betrachtet werden, die Gröfse der beweglichen Last durch die Strecke E F gegeben ist.

Würde die Yerkehrslast lediglich bis

wenn

Lotrechten E reichen, so würde die

Spannung E der Diagonalen der Dreiecksfläche P E E⁴⁴ proportional werden.

zur

Ist auch

das Stück zwischen E und J belastet, so verhält sich die vermehrte Spannung zur Spannung D‘ wie die Fläche des Dreiecks B J E zur Fläche des Dreiecks B E" E oder, da beide Dreiecke dieselbe Höhe haben, wie die Länge B J zur Länge B E“. — Kennt man die dem Punkte E entsprechende Ordinate der M-Linie, so braucht man diese Querkraft nur von B aus auf die Lotrechte durch J centrisch zu projizieren und die so erhaltene Kraft Q als Querkraft zu betrachten. Man wird den richtig vergröfserten Wert der Diagonalspannung erhalten, wenn man an Stelle von Q in E den Wert Q' in die Konstruktion führt.

max*

Man verlängere C E bis zum Schnitte Die Projektion von B‘ A B auf die Verlängerung der Diagonalen liefert Punkt H. Die Zerlegung der

min •

Die Konstruktion der Maximal-Diagonalspannung gestaltet sich nunmehr äufserst einfach (Fig. 74). Man verlängere den Gurt O E bis zum Schnitt mit der Pfeilerlotrechten und ziehe A‘ G parallel A B. Zerlegt man Q! nach den Richtungen von G E' und nach jener der Diagonale, so erhält man direkt -f- D • In ganz ähnlicher Weise erhält man D mit der rechten Pfeilerlotrechten, wodurch man B‘ erhält, parallel zu

Ordinate der B- Li nie nach den Richtungen der Diagonale und jener von HE liefert die negative Spannung der Diagonale für die Belastung links des Einflufspunktes.

Für die Bestimmung der gröfsten Spannung in dem Pfosten EE\ die wir als Beispiel vorführen, kommt der Schnitt II in Betracht. Die Konstruktion gestaltet sich wie folgt: Verlängert man den unbelasteten Gurt C‘ E\ so liefert dieser in der bezüglichen Lotrechten die Schnittpunkte A‘ und P'. Die Geraden A‘ B und E K schneiden sich in der Lotrechten der Lastscheide.

Das schraffierte Vieleck wird zum Einflufspolygon, wenn E E die Lasteinheit darstellt. Der Beweis läfst sich wie folgt führen:

Für eine Einzellast in K wird, wenn A, der rechtsseitige Stützendruck, die Summe der lotrechten Kräfte für Schnitt II: A — 0 sin y— F, ■= 0, da 0=    i^Cos-(~~7 a^s0

V₁ = ——— A — A. Macht man h zum Mafs von A, so wird Vx = hx ; ferner

ist A — PE P, woraus Vx = der Wert V₂ = h2Xs

hl

P- Ebenso findet sich für eine Einzellast P₂ in E

hl    ,    7

list aber E E" — '    x₃, KK“ — ~r macht man übereinstimmend E E“ und K K“ zum Mafs der Spannungen für den Pfosten, wenn

eine Einzellast in E bezw. K liegt, so werden beide Gleichungen

hi X3

hi Xi

hl

- erfüllt, wenn P = Ä, d. h. die schraffierte Fläche wird zur Einflufsfläche für den Pfosten, wenn die bewegliche Einzellast durch h

gemessen wird.

d) Verfahren nach Melan (Fig. 75). Die Geraden AE und BE schneiden sich in einem Punkte Jx der Lastscheidevertikalen. Die Gerade J Jx teilt die Diagonale in zwei Abstände C‘ i und E i, die der gröfsten negativen bezw. der gröfsten positiven Spannung der Diagonalen entsprechen, wenn die Strecke J J‘ jeweilig die halbe gleich-

mäfsig verteilte Gesamtlast p bezw. ~p i vorstellt. Hierbei ergiebt sich eine Kon-

struktioD, die aus der Figur ersichtlich ist; es ist zu bemerken, dafs E[J[ parallel zu EJX, ferner J['C[ parallel zu CJX gemacht wurde. Hat man es mit Ersatzlasten zu thun, welche ein System von Einzellasten vertreten, so wird p veränderlich, da es mit abnehmender Spannweite wächst.

Die Werte ~ V 4‘ und    entsprechen für veränderliche p nicht mehr den Ordinaten einer

Geraden, sondern einem gebrochenen Kurvenzug (bei einer geradlinigen Einschaltung der p Parabeln). Dieser Kurvenzug ist durch die gestrichelte Linie angedeutet, welche den Ordinaten der österreichischen Brückenverordnung entspricht.

Fig. 75.

Ij

c'

7_

\,Z.

• '"'P

¹

)    Schaffer. Deutsche Bauz. 1876, S. 348. — Landsherg. Centralbl. d. Bauverw. 1888, S. 190.

²

)    Querschnitten innerhalb des ersten Sechstels der Stützweite entsprechen vielfach gröfsere Werte qx, als die gesetzliche Vorschrift fordert; diese Trägerteile werden aber aus konstruktiven Gründen, wenigstens bei Parallelträgern, meist stärker gehalten, als es die äufseren Kräfte fordern. Siehe speziell: v. Leber. Die neue Brückenverordnung, I. u. II. Bd. Ausführliches Werk mit Erläuterungen, Hilfstabellen und Tafeln. Wien 1888.

³

n) E. Winkler. Über die Belastungs-Gleichwerte der Brückenträger. Festschrift der Königl. Techn. Hochschule zu Berlin. Auch in: Centralbl. d. Bauverw. 1884, S. 460, und in Winkler. Theorie der Brücken, I. Heft, 1886.

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§ 33. Parallelträger. Trapezträger. Sind Ober- und Untergurt einander parallel, so wird in Fig. 18, S. 234 y' = y = 8 = o, li = h⁴ = h⁴⁴ und die daselbst gewonnenen Formeln 45a bis 49 geben einfach :

; Sy = — R⁴.

S₀=~^-- £u = -f-^-; Si = Bseca = (M"~M⁴)^Ca

Die Inanspruchnahme der Gurte ist dem Momente direkt, der Höhe umgekehrt proportional. Die Gitterstab-Beanspruchung ist der Querkraft proportional. Im Anschlufs hieran sind einige häufiger vorkommende Fälle etwas näher zu untersuchen :

1. Parallelträger. System des rechtwinkeligen Dreiecks. Bei gerader Anzahl der Felder werden infolge der Wirkung des Eigengewichts die rechtsfallenden Diagonalen in der linken Trägerhälfte gezogen, in der rechten Trägerhälfte gedrückt. Bei

m'

ni

Fig. 76.

1.

m+i

m.

1' Ą.....OL-rA

;*..........₂............*•«..............j i

O 1    2    3 ml ,:>f

\v~ :

m'

ungerader Anzahl der Felder ist die Inanspruchnahme der Diagonale des mittleren Feldes infolge der "Wirkung des — Eigengewichtes Null, in den zur Linken v liegenden Feldern werden die rechts-wgw fallenden Diagonalen gezogen, in den rechts liegenden gedrückt.

An dem Fachwerksträger lassen sich drei Teile unterscheiden, im ersten, woselbst

*<f|    »>.

werden die rechtsfallenden Diagonalen nur gezogen; im zweiten, woselbst

"‘I

m+J n+1

V¹' ' !    :

Hl

mf+I

findet in jeder Diagonale Zug und Druck statt; im dritten, woselbst

m

werden die rechtsfallenden Diagonalen nur gedrückt.

Ordnet man daher sogenannte schlaffe Diagonalen an, d. h. solche, welche keinen Druck aufzunehmen vermögen, so sind im mittleren Teile Gegendiagonalen anzubringen, im letzten die Diagonalen linksfallend anzuordnen.

Zufällige Last als System von Einzellasten. Die Ermittelung erfolgt nach dem in § 28 angegebenen allgemeinen Verfahren, wobei man sich mit Vorteil des Momentenschemas bedienen kann.

Parallelträger mit Netzwerk. System des gleichschenkeligen Dreiecks. Durch das Eigengewicht werden die gegen die Mitte zu fallenden Stäbe auf Zug, die gegen die Mitte zu ansteigenden auf Druck in Anspruch genommen. Die zufällige Last kann in jedem Stabe sowohl Zug als Druck hervorrufen. Bei symmetrischer Anordnung genügt die Berechnung für eine Hälfte.

Zusammengesetzte F ach werke. Bei Trägern mit einfachem Fachwerke wird bei gröfseren Höhen die Entfernung der Knotenpunkte so bedeutend, dafs man sich, um zu grofse Längen der Längsträger zweiter Ordnung zu vermeiden, genötigt sieht, auch zwischen den Knoten Querträger anzuordnen; um nun hierdurch nicht die Gurte auf Biegung zu beanspruchen, hat man Zwischenunterstützungen angeordnet. Man kann beispielsweise für die Obergurte Pfosten anbringen, welche sich auf die Diagonalen stützen (Fig. 77 £), oder den mittleren Querträger zwischen zwei Hauptknoten an ein am oberen Knotenpunkte befestigtes Zugband, je zwei andere Querträger eines Feldes aber an Pfosten hängen, für welche der Aufhängepunkt durch ein Hängewerk, ähnlich wie in Fig. 77a geschaffen ist. Durch die Einschaltung derartiger Konstruktionen wird

die Spannung der Hauptstäbe beinflufst, wie an dem nachstehenden, das sogenannte System Pettit darstellenden Beispiele nachgewiesen werden soll.

Fig. 77a u. b bringen zwei Anordnungen desselben, Fig. 77c die zu Fig. 77b gehörigen Einflufslinien und ihre Konstruktion. Für den Hilfspfosten gilt das Dreieck Cx F⁴⁴⁴ D,, die Spannung ist stets ein Druck, Belastungen der Strecken Ax Cx und Dx Bx sind ohne Einfiufs, die gröfste Spannung entsteht, wenn eine Einzellast eben in F liegt. Die Hilfsdiagonale HD, welcher das Dreieck Cx Dx F⁴ entspricht, wird

stets auf Zug beansprucht, für

G sec a

Fig. 77.

».

\[

z.

die gröfste Spannung mufs die Last in F liegen. Die Diagonale C H (Einflufslinien AXC" F“ Bx) wird für jede Lastlage innerhalb Ax J⁴ gedrückt, für jede Last innerhalb J⁴ Bx gezogen, der gröfste Zug wird erzeugt, ,wenn eine Last in F sich befindet. Hinsichtlich der Diagonale H E, für welche die At Linien Ax C⁴⁴ D⁴ Bx gelten, bemerke man, dafs sich ganz dieselben Linien und mithin dasselbe Belastungsgesetz und dieselbe Spannung ergeben, als ob das eingeschaltete Fachwerk gar nicht vorhanden wäre. Dasselbe gilt für den Pfosten D E, welchem die Linien Ax C⁴ D⁴⁴ Bx entsprechen und für den Untergurt K E (Linien A, Q Bx). Für den Obergurt F D (Linien Ax V P W Bx) wird die Spannung vergröfsert, für das Gurtstück C F (Linien AXV P⁴ W Bx) zeigen sich dieselben Linien, als ob kein eingeschaltetes Fachwerk vorhanden wäre.

> G seed

G=1

äV-

F"

I)'

FĄ

çr_/-

c.

Arî y z*seccL

Wi

T)"

G.re eu

2. Trapezträger. Bei dem gewöhnlichen Parallelträger läfst sich eine Stoflf-ersparnis durch Hinweglassung der Pfosten über den Auflagern erzielen, wodurch die Enden abgeschrägt erscheinen. Eine weitere Herabminderung des Stoff auf wandes wird erreicht, wenn man den Obergurt nur in dem mittelsten Teile parallel zum Untergurte anordnet, gegen die Enden zu ihn jedoch geradlinig zum, Auflager führt. Wohl wird der Obergurt hierdurch etwas länger, da aber die Endständer wegfallen und die Stäbe wesentlich kürzer und schwächer sich gestalten, so läfst sich unter Umständen 7 bis 10°/0 an Material gegenüber dem Parallelträger gewinnen. Bezeichnet man die Stützweite mit Z, die Länge einer Abschrägung mit a, die Trägerhöhe mit Ä, so findet nach Winkler der kleinste Aufwand an Stoff für a = 0,006 l -J- 1,08 h statt.

Hinsichtlich der Berechnung der einzelnen Teile sind wenige Bemerkungen ausreichend. Der mittlere Teil läfst sich wie ein Parallelträger behandeln, in dem abgeschrägten Ende werden die Stäbe von der zufälligen Last nur in einem Sinne beansprucht.

§ 34. Gekrümmte und yiełeckige Gurte.

1. Parabelträger. Man kann wesentlich an Baustoff sparen und unter Umständen günstigere ästhetische Wirkungen erzielen, wenn man die Knotenpunkte der Gurte einer Kurve anpafst. Für diese Kurven sind in mehr oder weniger willkürlicher Weise der Kreisbogen, die Ellipse u. s. w. gewählt worden. Man hat aber auch bestimmte Bedingungen für die Wirksamkeit der Kräfte im Innern des Trägers aufgestellt und die Form so bestimmt, dafs diese Bedingungen erfüllt werden. Zunächst sollen einige der letztgenannten Formen besprochen werden.

Stellt man die Bedingung, dafs bei voller Belastung die Diagonalen eines Fachwerks gar nicht beansprucht werden, so mufs, wie aus Gl. 48, S. 235 hervorgeht

M“

’ h“ 1Ï

sein, d. h. es müssen sich die Längen der Lotrechten wie die Momente bei voller Belastung verhalten. Unter Annahme einer gleichförmig verteilten Last sind aber letztere durch die Ordinaten einer Parabel gegeben, es müssen daher die Knotenpunkte eines

Gurtes Punkte einer Parabel

Fig. 78.

ti!

J'-'

sein, wenn die des anderen auf einer Geraden oder einer Parabel liegen.

Betrachtet man zunächst

\B

\F

------

nehmet—4-—--------

- - (ri-m -r) os-

à"

einen Träger mit geradem Untergurt und bezeichnet die Pfeilhöhe der Parabel, zugleich die Länge des gröbsten Pfostens bei gerader Felderanzahl, mit/, so ist die Höhe in der Entfernung x

■7

gegeben durch:

4 x (l — x )

•f,

bei ungerader Felderanzahl ist die Höhe in der Mitte: P — a² ,

P ’f'

Setzt man für die weitere Berechnung gleiche Felder voraus und nimmt l — n a, xt = m . n, so erhält man aus den allgemeinen Formeln für die Gleichung der Parabel

127.

^    _ 4 m (n — m)

n~

Diagonalen. Zur Berechnung der Diagonalen CF bezw. m⁴ (m -(- 1) beachte man, dafs entsprechend Fig. 78 h“ — w

tang y =

also

tang y — —

— 2wi — l 4 f

• r •

Da x₂ = (n ■— m — 1) ff, so berechnet sich aus der Figur für die Belastungsscheiden der Diagonalen:¹)

æi

h“ _ )» + 1 .

to n — m J

*    » + 1

Für die Gröfsen o' und o" (Fig. 78) erhält man die einfachen Ausdrücke

£"    Xi ’ hf ~

cs' = —

m (n — m)

a" = — . sec a.

n

Für eine gleichförmig verteilte einseitige Belastung wird daher, wenn J I> be-

. sec a :

lastet ist,

max (4- S) — Belastet man A J, so wird

m (n — m)

2 (» 4 1)

. a q sec a.

max (— S) = —

m in — m )

. a q sec a.

Letzterer Ausdruck ist stets negativ und der absoluten Gröfse nach max (-{-$) gleich. Führt man den Wert m (n — m) aus Gleichung 127 ein und beachtet, dafs hmseca. — dm, die Länge der mten Diagonale, so ergiebt sich

2 (w + 1)

. dm,

max(+S) = g - ₈₍„ + 1)- •

d. h. die gröfste Spannung jeder Diagonale ist ihrer Länge proportional. Ordnet man schlaffe Diagonalen an, so sind stets Gegendiagonalen anzubringen. Ist a' der Neigungswinkel der Gegendiagonale, so ist

max (-f- S') =

in — m — 1) im -j- 1)

. a qsec a'.

Die kleinste Spannung ist dann in beiden Fällen Null. Durch das Eigengewicht — als eine gleichförmig verteilte Belastung gedacht — werden die Diagonalen gar nicht in Anspruch genommen. Die positive und negative Seite der Einflufsfläche sind an Gröfse einander gleich.

Die Bestimmung der Spannungen für ein System von Einzellasten erfolgt nach dem oben allgemein gezeigten Vorgang.

2 in + 1)

Die Pfosten. Das am Obergurt gleichförmig verteilt gedachte Eigengewicht erzeugt keinerlei Beanspruchung, die gleichförmig verteilt gedachte, auf den Untergurt entfallende Eigenlast in jedem Pfosten die Zugspannung apu. Bei belastetem Untergurt erhält man für die Abstände der Belastungsscheiden:

_ (n — m — l)(m + l) + 2

in — m — 1) (n — m)

(n — m — 1) (?w + l) -f- 2    .    _ in — m — 1) (« — wi)

—    *    in — wi — 1 ) (n -f- 1 ) 4 2

in — m

a" =

(m — 1) (n — m — 1)

und daraus ergiebt sich, wenn J A belastet ist,

in — m) . n

max (-)- S) — + und falls JB belastet ist:

max (— S) — —

[(n — m — 1) im 4 1) + 2] (k - m 4 1)

in — m — l)(«4l)+2

in — m — l)² (wi — 1)

.    + apa

q a ,

+ « Pu-

Erstere Spannung wird bei Anwendung schlaffer Diagonalen nicht auf treten können, da für den hierzu gehörigen Belastungsfall die Gegendiagonalen in Kraft treten. Für volle Belastung wird die Spannung = -\- a q. Dasselbe ergiebt sich sofort, wenn man die Gleichgewichtsbedingung für einen unteren Knotenpunkt auf stellt und bedenkt, dafs die Diagonalen keinen Zug erleiden.

Gurte. Die Spannung im Untergurt ist durch

in — m — 1) (n 4 1) + 2 *

max (+£) = +    r

gegeben, sie ist in allen Teilen dieselbe.

Die Spannung im Obergurt ist

sec y.

max (— S) — — -~îrr- F .

O /

Setzt man I = n a und a sec y = c der Länge des Gurtstückes, so hat man

n (p -f q) l

max (— S) = —

d. h. die gröbsten Spannungen der Gurte sind ihren Längen proportional.

Wir erklären die graphische Behandlung hinsichtlich der Formbestimmung und Ermittelung der Spannungen an einem besonderen Falle.

Beispiel. Für einen Parabelträger (Fig. 79) sei: Stützweite l — 32 m, Felderanzalil n — 8, Felderlänge «=    =4m, /’=4m. Eigengewicht für beide Träger p = 2t, wovon p₀ = 0,5 t auf

dem Obergurt, pa — 1,5 t auf den Untergurt wirken. Als zufällige Last ist für die Gurte qi — 5,8 t, für die Gitterstäbe q — 6,4 t zu Grunde zu legen.

Fo rmbe8timmung. a) Graphisch. Trägt man in einem Endpunkt 8 der Stützweite auf einer Lotrechten die Strecke 4 f auf und teilt diese in n Teile, so schneiden die Strahlen 0 1,02... auf den Felder-Lotrechten die entsprechenden Höhen ab.

b) Analytisch. Aus Gl. 127 wird hm m — 0

lim — 0

Ferner wird:

~l «

4 m (8 — m)

1 ^ 2 1,75    3,00    3,75

64

. 4 m. Dies giebt für

3,75    3,00    1,75

0 m.

llm+1 — hm

tang ym'm'+i    = 0,4375    0,3125    0,1875    0,0625    0,1875    0,3125

secYm'm'+l    = 1,0915    1,0476    1,0174    1,0019    1,0174    1,0476

Länge Cm'm'+i =    a sec ynCn^+i    = 4,3660    4,1904    4,0696    4,0076    4,0696    4,1904

Ebenso für die Diagonalen:

Daraus

0,4375

1,0915

4,3660

hm

tang am'm'+i — ~~

tang «m'm+i = 0,4375 sec am'ni-H = 1,0915 dm — a sec    — 4,3660

Ermittelung der Spannungen, a) Analytisch. Durch das Eigengewicht allein für einen Träger: Die Diagonalen erfahren keine Beanspruchung. Die Pfosten werden durclnveg mit

¹’⁵ - ⁴ - 3 t

y Pu.«

gezogen. Die für den ganzen Untergurt gleich grofse Spannung rechnet sich mit

^.32* = -f 32 t;

SP

die Spannung im Obergurt mit

8.2    32

daraus

a.8

0 0'    1' 2'    2'3'    3'4'    4'5'

34,93    33,52    32,56    32,06    32,06

Obergurt Spannung

Durch die zufällige Last allein für beide Träger:

5' 6' 32,56

6' 7' 32,52

34,93 t.

Für die Diagonale gilt max (-j- Sm¹ m+i) — 6,4 . Beanspruchung ist 0. Somit

Diagonale 1 ' 2

Spannung 24,89    28,50    31,21

8    3 >

— .    . dm‘m+l = 5,70. fhn'm+i, die kleinste

2' 3

3' 4

4' 5 32,24

5' 6

6' 7

31,21    28,50 t

und umgekehrt

Diagonale 1 2' Spannung 28,50

2 3'    3 4'    4 5'    5 6'    6 7'

31,21    32,24    31,21    28,50    24,89 t.

Cf'.

-y.

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b.

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Fig. 79.

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Dio Pfosten werden bei voller Belastung mit durchweg q . a == 6,4 . 4 = 25,6 t auf Zug beansprucht. Die gröfste Inanspruchnahme auf Druck ist gegeben durch:

max (~S) = - -⁽i--X,)2(,,i--¹!

v '    (7 — tu) 9 + 2    2

Somit

Pfosten Spannung

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

(M Cß

2'    3 8'    4 4'    5 5'    6

Bl 10,78    11,93    10,24    5

21

Ebenso ergiebt sich aus der Symmetrie für Belastung links: 2 2'

Pfosten

Spannung 5,82 Von diesen beiden Werten ist der gröfsere beizubehalten.

3 3'

4 4'

6 6'

5 5'

10,24    11,93    10,78    6,81 t.

Für den Untergurt wird konstant:

5,8.32²

8.4

= 185,6 t und für den Obergurt

5,8.32²

dies giebt

Sm' m' + 1 —■

0' 1' U 2'    2' 3*    3' 4'    4' 5'    5' 6'    6' V V 8'

8.4

Obergurt

Spannung 202,58    194,43 188,83 185,95 185,95 188,83 194,43 202,58 t.

b) Graphisch. Die Spannungen für die Diagonalen und Gurte können direkt an den Längen der Stäbe abgelesen werden, wenn man passende Mafsstäbe konstruiert. Für die Beanspruchung durch das Eigengewicht wird die Beanspruchung des Untergurtes 64 t oder für einen Träger 32 t; setzt man diese Grüfse — a (in unserer Zeichnung 10 mm), so ist ein Mafsstab zu konstruieren, dessen Einheit ₌ 0,3125 mm, d. h. es bedeuten 3,125 mm = 10 t Spannung; hiernach ist Mafsstab IV konstruiert. Die Längen 0 1, 0 D, 1' 2' . . . , auf diesem Mafsstabe gemessen, geben direkt die durch das Eigengewicht hervorgerufenen Spannungen. Die gröfste Beanspruchung der Diagonale eines Trägers durch die zufällige Last wir’d:    es bedeutet daher dieselbe Gröfse, welche auf dem Längenmafsstab 1 m

darstellt, 2,85 t, d. h. es sind entsprechend unserer Figur 2,5 mm = 2,85 t oder 10 t = 8,8 mm; danach ist Mafsstab II konstruiert. Die Beanspruchungen der Gurte durch die zufällige Last werden ebenso wie beim Eigengewicht durch Konstruktion eines geeigneten Mafsstabes gefunden, es ist für einen Träger 92,8 t = u = 10 mm, d. i. 100 t = 10,78 mm zu machen, wonach Mafsstab III gezeichnet ist.

4.6,4

12,8

Zur Ermittelung der Spannungen für die Diagonalen und Pfosten kann man sich auch mit Erfolg der Einfiufslinien bedienen, welche hier besonders einfach werden. Trägt man (Fig. 79 b) im Abstande a von B auf einer Lotrechten nach oben, im Abstande a von A auf einer Lotrechten nach unten die Gröfse G = 1 auf, verbindet den Endpunkt je einer mit dem Fufspunkt der anderen Lotrechten und zieht durch die Knotenpunkte lotrechte Linien, «o lassen sich leicht die Geraden jener Einfiufslinien Al 1 B, A 2 2 B u. s. w. zeichnen, welche die lotrechten Seitenkräfte der Diagonalspannung geben. Um die wirkliche Spannung, welche z. B. in 3' 4 bei rechtsseitiger Belastung in der Diagonale entsteht, zu erhalten, ziehe man 3 E in Fig. 79 b, so schneidet B E auf der Lotrechten durch Js die Strecke Js C ab, welche die lotrechte Seitenkraft der Spannung in 3' 4 vorstellt, wenn G eine Knotenlast darstellt, da FI. Js 3 B = Js G. a. Macht man CD || 3' 4, so giebt C D die wirkliche Spannung in 3' 4 bei Belastung der Strecke Js B. Da in unserer Figur G — 20 mm und die Knotenlast q a =

für einen Träger, so    hat    man einen Mafsstab V zu konstruieren, für    welchen    1    t =

ist, falls man direkt    die    Spannungen in 3 4/ durch Abmessen der    Strecke    C D finden    will.    Ganz

entsprechend lassen    sich in der aus Fig. 79 c ersichtlichen Weise die    Einfiufslinien    für die

Pfosten konstruieren.    Da    für volle Belastung’ die Spannung in dem    Pfosten    3    3‘ — q a =    G,    so    mufs

Fl. A 3 Js

Sr= 1,563 mm

--Jr- Fl. Js 3 B = q a sein. Da nach der aus Fig. 79 c ersichtlichen Konstruktion

Js G. a — Fl. A 3 Js, so giebt — CD (auf dem Mafsstabe V abgelesen) die bei Belastung der Strecke B Js entstehende gröfste Druckspannung in 3 3', Js D die bei voller Belastung entstehende gröfste Zugspannung. CD¹ zeigt die gröfste Druckspannung des Pfostens 5 5' bei Belastung der Strecke Js B, w’elche infolge Symmetrie auch in 3 3' auftritt, wenn die entsprechende Strecke belastet ist. Um beide Belastungsfälle für 3 3' als Beispiel klar zu stellen, sind die Fig. 79d und 79e gezeichnet; in beiden Fällen ist das zur Wirksamkeit gelangende System, sowie die Ermittelung der Belastungsseheide gezeigt. Von den jedem Pfosten zukommenden zwei Gröfstwerten für die Druckspannung ist der gröfsere, in unserem Falle C D, mafsgebend.

2. Schwedler-Täger. Soll die Diagonale CE (Fig. 80 a) keinen Druck erfahren, so mufs die gröfste Druckspannung, welche C E durch die zufällige Belastung erleiden würde, wenn diese allein wirkte, durch die Zugspannung aufgehoben werden, welche das Eigengewicht hervorruft. Ist AlClJ₁E₁Bx das zu CE gehörige Einflufspolygon, so wird für die ungünstige Belastung* auf Druck die Spannung S der Diagonale

S—fp 0"    * 0' 6') + \ q Ï * = 0.

Beispiel. Bei einem Träger von 82 m Stützweite seien 8 gleichlange Felder anzuordnen, ferner sei p — 8 t, q — 4 t f. d. lfd. m. Setzt man in die Gleichung 128 an Stelle von h“ der Reihe nach hi, ha u. s. w., so findet man, hi vorläufig unbestimmt lassend:

ha — 1,423 //j ha = 1,046 hi ln = 0,566 hi

he — 0,000 7? !.

n.

FF

Fig. 80.

Xco

.*.4—-

-------r

“t-

■>1

drro

.X.

-G

er

l).

7;'

ter

'>

'<!

'■=5

»g--!rj----<Z.---)f

-------------(n-vi-J)u

«i*! •

T-na

“i

c.

vy--

7>

s*

Dies giebt die Bedingung -^- =

'a"

— a ——, wenn a a ⁷

Eigengewichtes zur Gesamtlast bezeichnet. Nun ist aber

Xi + rt\

F )

—r— das Yerhältnis des p + q

X\

li“

?" au

/»' ’

.    Æl / .T2

⁰ =-rt Tr

cosec a :

Cj" =

Xi /

l V

au + «

Xi \

h‘ )

co.scc a.

Die Einführung dieser Werte in die Gleichung für S giebt nach kurzer Rechnung

xi -f- n Xi -f n

rj. Xi —

Xi ( ll“ \

r-\ar)

(w)s

128.

Xi -f a

Diese Gleichung gestattet, aus einem beliebig angenommenen h alle übrigen der Reihe nach zu rechnen. Die entstehende Form soll zunächst an einem Beispiel nachgewiesen werden.    ‘    *

— 1,000 hx ha = 1,531 hx ha = 1,706 hi lu = 1,656 hi

Zur Vereinfachung der Rechnung wird man überall, wo man es wie hier mit gleichen Felderlängen zu thun hat, nicht die thatsächlichen Werte von xx und #₂, sondern nur die Anzahl der Knotenweiten einsetzen. In Fig. 80 a sind jene Werte graphisch aufgetragen, es ergiebt sich, wie man sieht, eine gegen die Mitte unsymmetrische Form; der höchste Punkt, entsprechend der Ordinate h₃, liegt in der linken Hälfte, eine verwandte Form wird erhalten, wenn man die Zugbänder nach links fallend annimmt. Behält man von jeder dieser Formen jene Hälfte, welche die gröfste Höhe enthält, bei, so bekommt man eine Form A E J F B (Fig. 80 e), welche in der Mitte einen unschönen und hinsichtlich der praktischen Durchführung einige Schwierigkeit verursachenden Knick zeigt. Führt man die der rechten Hälfte in Fig. 80 a entsprechende, in Fig. 80c vollständig punktiert erscheinende Form A J B mit in der linken Hälfte nach links fallenden Diagonalen durch, so erhält man scharfe Spitzen bei A und Z>\ welche konstruktiv durchzuführen ebenfalls schwierig ist, aufserdem entsteht in der Mitte eine unschöne stumpfe Ecke. Schwedler hat daher nur die Höhe A bis E bis zur höchsten Ordinate beibehalten und im mittleren Teile parallele Gurte angeordnet, dann wird aber in diesem mittleren Teile die oben erwähnte Bedingung nicht mehr durchführbar und es müssen, wenn man schlaffe Zugbänder anordnet, in diesem Teile Gegendiagonalen eingeschaltet werden. Der Obergurt eines derartigen Trägers besteht daher aus zwei symmetrischen Vieleckgurten und einem in der Mitte liegenden, zum unteren parallelen Teile. Meist wird die Trägerhöhe gegeben sein und man mufs dann die anderen Or-dinaten so bestimmen, dafs der höchste Pfosten der Trägerhöhe gleichkommt.

Wird z. B. im oben erwähnten Falle die gröfste Höhe mit 4 m angenommen, so findet man ln — 4 m = 1,706 ln und daraus sofort Tn = 2,345 m, hi = 3,589, hi = 4,000, wodurch die Form vollständig bestimmt ist, wenn man im Sinne des oben Angegebenen lu = ha = h3, ha — hi, hi = ln macht.

Einfacher gestaltet sich die Sache bei Annahme gleichlanger Felder und voller Knotenlasten. Ist die Anzahl der Felder ??, jene der Strecke A F = m, die Eigengewichts-Knotenlast Ä'i = a p, die Verkehrslast Jc₂ = a q f. d. Knoten, so ist die Beanspruchung, welche die der Strecke A F entsprechenden Knoten erzeugen,

st =

und für Strecke E B entsprechend:

». = —_■#■) [1 + 2 + ...(« -m -1)] = 0" .

0' (m -f-1)

für die Werte o wird:

o' =

m /n — m n \ li“

a cosec a ;

h“

. a cosec a.

Setzt man die Summe beider Werte S gleich Null, so ergiebt sich:

»i+l

m -j- — n

g

hm

in 4- 1 -(- — n

2

Dieser Ausdruck gestattet eine sehr einfache Konstruktion einer Gröfse h aus der anderen. Zu diesem Ende mache man (Fig. 80b) H A — -~ l und ziehe, um z. B. //" aus F zu erhalten, der Reihe nach A J durch C\ K J \\ Ä Z>\ dann die Linie K /?, endlich L M durch H, M 1)\ A B —. Die umgekehrte Folge liefert li‘ aus //". Bezeichnet man die Höhe in der Mitte mit h „ und bildet die Produkte

l>m -f- 1 hm + 2 m + 1

Il n

hm

‘h

-1

2

indem man die bezüglichen Werte einsetzt, so erhält man:

-j- E n

T+ 7 n

Dieser Ausdruck zeigt, dafs die oben vorgefühlte Konstruktion von hm auch dann noch giltig bleibt, wenn hn an Stelle der nächsten Höhe tritt. Bezeichnet man m = X

hm

n ’

=/?, so giebt die letztgefundene Gleichung: hx — ■2 x^ ₇^ ^². h . 2    '    (pl I Q&) l

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, auf welcher die Knotenpunkte des Obergurtes

liegen. Eine Asymptote der Hyperbel ist die Lotrechte durch 77, der Mittelpunkt derselben liegt im Abstande 2 (l-f-2 ~j A über 77; die zweite Asymptote geht durch einen Punkt, welcher um nach rechts von B auf der verlängerten A B liegt.

Die gröfste Höhe der Hyperbel tritt für xx =    1 e^n’    an

derselben Stelle, woselbst die vom Eigengewichte hervorgerufene positive Querkraft ebenso grofs, als die gröfste negative Querkraft wird, welche die zufällige Last bei Belastung links erzeugt. xx giebt einen Näherungswert für die Länge jener Strecke, auf welche man das Sch wedle r’sehe Prinzip durchführen kann; man erhält z. B. für eingleisige Eisenbahnbrücken unter den üblichen Annahmen für j) und q:

150 m 0,44 .    0,45.1

10

30

50

100

0,38

x\ = 0,24

Der mittlere mit Gegendiagonalen zu versehende Teil wird mithin Verhältnis-mäfsig um so kleiner, je gröfser die Spannweite ist, weil mit dieser der Quotient — wächst. Da die Formeln mit Rücksicht auf die starre Verbindung der Knotenpunkte und den Umstand, dafs hier an Stelle von Einzellasten eine gleichförmig verteilte Belastung eingeführt wurde u. s. w., nie vollkommen verläfsliche Resultate geben, ist cs zweckinäfsig, bei der Formbestimmung des Schwedlerträgers das Eigengewicht etwas kleiner oder die zufällige Last etwas gröfser, als dies in Wirklichkeit sich herausstellt, zu wählen, da dann nach der Theorie eine kleine Anfangsspannung zurückbleibt, welche die Fehler verringert.

0,35

Soll die Inanspruchnahme der Diagonale C E für alle Stellungen eines Einzellastsystems >; 0 sein, so sind insbesondere jene Lagen zu untersuchen, für welche entweder die erste oder die zweite Last in F liegt, alle übrigen nach links sich erstrecken. Bezeichnet man, Eigengewicht und zufällige Last wirkend gedacht, die Querkraft finden Schnitt I mit R und das Moment für E mit 47, die Beanspruchung von C E mit S und geben wir den Gröfsen den Index 1 oder 2, je - nachdem die erste oder zweite Last in F ruht, so wird Gl. 47, S. 234

tangyj see a;

7*77- tang g]

Nimmt man an, es sei die erste Stellung mafsgebend, also St — 0, bestimmt man aus Sx = 0 den Wert y und führt ihn in die zweite Gleichung ein, so wird

Et I

MFJ wca-

Nimmt man an, es sei die zweite Stellung mafsgebend, ermittelt aus = 0 den Wert y und setzt ihn in die erste Gleichung für St ein, so wird

& = v

Da im ersten Falle im zweiten 8, positiv sein mufs, ergiebt sich sofort, dafs

H

jene Lastlage mafsgebend ist, für welche der zugehörige Bruch den kleineren Wert erreicht. Die gröfste Höhe erreicht der Träger an der Lotrechten, an der die Querkraft das Zeichen wechselt.

Die Ermittelung der Trägerform gestaltet sich danach wie folgt. Man bestimmt vom linken Trägerende gegen das rechte für die Einzelfelder die gröfsten negativen Querkräfte, welche mit Rücksicht auf das Eigengewicht und das zu Grunde gelegte Einzel-lastsystern möglicherweise auftreten können. In den ersten Feldern wird der Einflufs

s, = [r

Mi

S; = [«s

sec a.

E2

M2

sec a.

des positive Querkräfte erzeugenden Eigengewichts überwiegen, die gröbsten negativen Querkräfte werden also positiv sein. An der linken Lotrechten desjenigen Feldes, in welchem zuerst die gröfste negative Querkraft wirklich negativ wird, erhält man die

gröfste Höhe Ir, werden nun für die einzelnen Felder die möglichst kleinsten Werte von Ji

bestimmt, so können von der gröbsten Höhe an die vorhergehenden nach der Formel

h' = h"

— a tang y = j^l

berechnet werden. Diese Regel ist zuerst von Stelzel entwickelt.

3. Sonstige Trägerformen. Aufser den vorstehend besprochenen Formen lassen sich noch eine Reihe anderer bilden. Man kann z. B. untersuchen, wie sich die Träger gestalten, wenn für die gröfste oder kleinste Inanspruchnahme, welche eine bestimmte Stabschar des Trägersystems erleidet, ein gleich grofser Wert verlangt wird. Die Verfolgung dieses Prinzips führte uns auf den Schwedlerträgcr, welcher die Bedingung erfüllt, dafs die Kleinstspannungen der Diagonalen gleich Null werden. Es läfst sich nun auch ein Trägersystem bilden, für welches die obere Spannungsgrenze der Diagonalen konstant ist. Bestimmt man dem alten Verfahren entsprechend die Querschnitte der Stäbe nach der gröbsten Spannung, welche sie aufnehmen sollen, so würden die Diagonalen einen konstanten Querschnitt erhalten, was gewisse praktische Vorteile mit sich bringt. Fig. 81 zeigt einen derartigen Träger, für welchen die Spannungszahlen unter xinnahme eines Knotengewichtes von einer Tonne für die Eigenlast und von 5 t für die zufällige Last eingetragen sind. Um zu dieser Form zu gelangen, hat man in der allgemeinen Formel für die gröfste Spannung einer Diagonale sämtliche Gröfsen durch /i' und h" (die Höhen der Lotrechten eines Feldes) auszudrücken und die Spannung gleich einer Konstanten zu setzen. Setzt man dann die Höhe der ersten Lotrechten A, so kann man ähnlich, wie dies beim Schwedlerträgcr geschieht, alle übrigen Längen der Lotrechten als Funktion der ersten berechnen, wobei man die gröfste oder die Höhe in der Mitte so bestimmen kann, dafs sie einer gegebenen Länge entspricht.

-47500

-48030

-48030

Fig. 81.

0009t

+3520

+7560

-2420

⁷Djo

-1630

+ 42000

442000    +45110

+ 46370

4+6370

+ 45110

+ 42000    + 42000

Ebenso könnte man die Bedingung stellen, dafs die obere oder untere Spannungsgrenze der Pfosten eine bestimmte konstante Gröfse sei. In ähnlicher Weise kann man natürlich auch die Spannungen der Gurte bestimmten Bedingungen unterwerfen.

Fig. 82.

zur

Die Forderung, dafs die Maximalspannung des Obergurtes eine konstante Gröfse sei, führt M

Bedingung = C. Hierbei bedeutet h die

/ Länge der Linie, welche vom Fufspunkte der Lotrechten normal auf den gegenüberliegenden Gurt gezogen wird. Auch beim Parabelträger ist der entsprechende Quotient konstant, wobei jedoch unter h die Höhe der Vertikalen selbst zu verstehen ist. Dies führt zu einer einfachen Konstruktion des Trägers mit konstanter oberer Gurtung aus dem Parabelträger. Beschreiben wir (Fig. 82) aus den Fufspunkten der Parabelträger-Lotrechten mit der Länge

derselben Kreisbögen, so erscheint die Form des Obergurtes jenes Trägers durch die Tangenten gegeben, welche vom Auflager ausgehend nacheinander die beschriebenen Kreise berühren.²⁴) Wollte man auch im Untergurt konstante Spannungen erzielen, so ist solches nur dadurch erreichbar, dafs man auch diesen krümmt. Dieses Ziel verfolgt Pauli bei den nach ihm benannten Trägern (Fig. 83).

_ 48000

- 48000

- 48000

Fig. 83.

- 48225-

&& I

/ CO +

⁺<«000

-3000

+*8000

•f48ooa'

+ 48000

Bei Anwendung schlaffer Diagonalen wird eine genaue Durchführung jedoch

Da

nicht möglich. Man pflegt in diesem Falle die Gurte symmetrisch anzuordnen und die .    i / M‘ M“\

sogenannte mittlere Spannung — y —^--(—j^r~) see1 gleich grofs anzunehmen.

M‘ und M" die Momente bei voller Belastung, bezogen auf die Fufspunkte der Pfosten, sind und sacy sich ebenfalls durch die Felderlänge und den Höhenunterschied h"— Ji' ausdriieken läfst, so ist es leicht, eine Höhe aus der anderen zu berechnen. Setzt man die Höhe in der Mitte = ä₀, so ergiebt sich für die Höhe im Abstande x näherungsweise der Ausdruck

¹

) Die fiir die Belastungsscheide gezeichnete Konstruktion gilt streng genommen für Lastangriff am Obergurt (vergl. S. 277), bei vorhandenen Pfosten ist es gleichgiltig, ob EE oder CD verlängert wird.

*, = 4A₀f(l-D[¹ + ²-V-(¹

Die Bestimmung der Spannungen selbst kann bei gegebener Form nach den bekannten Regeln vorgenommen werden. Die konstante Spannung im Gurte ist hierbei

öS=0 + 9)-g7-.

Die Durchführung eines gleichen Querschnittes für eine bestimmte Stabschar, welche gewisse praktische Yorteile bietet, läfst sich mit der Forderung, dafs die obere Spannungsgrenze für die gegebene Schar die gleiche sei, nicht vereinigen, wenn man nach einer Formel vorgeht, welche den Grenz-Inanspruclinahmen des Baustoffs Rechnung trägt. Es unterliegt jedoch die Auffindung von Formen, welche auch mit Rücksicht auf diese Berechnungsweise die Herstellung gleich grofser Querschnitte ermöglichen, keinerlei Schwierigkeiten. Man braucht nur die Formel für die Querschnittsfläche eines Stabes aufzustellen, in dieser Formel alle Gröfsen, welche sich auf die Form beziehen, soweit sie nicht gegeben sind, durch h' und h" auszudrücken, und ist dann wieder wie oben im stände, durch Annahme einer Höhe aus derselben alle übrigen nach und nach zu bestimmen, und damit die Trägerform zu ermitteln. Es wird jedoch (einer der Gurte geradlinig vorausgesetzt) immer nur möglich sein, eine bestimmte Stabschar, so z. B. den Obergurt oder den Untergurt oder die Pfosten oder aber die Diagonalen mit gleichem Querschnitte durchzuführen. Für alle übrigen Teile ist dann die Forderung nicht gleichzeitig erfüllbar.

Eine andere Forderung, welche man der Gestaltung der Träger zu Grunde legen kann, ist in Folgendem enthalten: Wie sind die Querschnitte des Obergurtes einer Fach-

²¹) Über die erstmalige Untersuchung des Trägers mit konstanter oberer Gurtung und geradem Untergurt vergl. Schaffer. Zeitschr. f. Bauw. 1865, S. 150. Ausführungen: Brücken über die Donau bei Rechten-stein und Zell (Schlierholz, Schaffer).

werk«brücke zu bemessen, damit die grüfste bezw. kleinste Spannung, welche die Diagonalen zu erleiden haben, der Länge dieser Diagonalen proportional sei? Es läfst sich zeigen, dafs diese Anforderung unter anderen bei dem Parabelträger, dem Schwedlcr-trägcr und bei jener Form erfüllt ist, welche beim sogenannten englischen Dachstuhl auf tritt. Alle übrigen noch möglichen Formen führen auf praktisch unzulässige Gestaltungen.²⁶)

Eine beachtenswerte Trägerform würde auch die Erfüllung der Bedingung liefern, dafs die nötige Materialmenge ein Kleinstwert sei. Winkler hat diese Frage unter der Annahme eines geraden Untergurtes, einer durch praktische Rücksichten gegebenen gröbsten Höhe h' in der Mitte und unter Zugrundelegung der Gleichung

*, = (l-4 -£>,

welche einer höheren Parabel entspricht, zu lösen versucht, n ergab sich hierbei nicht konstant, sondern von dem Verhältnisse des Eigengewichtes zur zufälligen Belastung und von der Anordnung des Gitterwerkes abhängig. Indessen liegt n stets zwischen 4 und 6 und die Kurven für diese Exponenten weichen nur wenig voneinander ab. Der gekrümmte Gurt wird im mittleren Teile beinahe gerade, fällt aber an den Enden ziemlich steil ab, wobei die Tangente des Winkels zwischen beiden Gurtenden zwei bis dreimal gröfser als beim Parabelträger wird. Die Materialersparnis, welche sich für andere A äh erungsf ormen, als Träger mit abgeschrägten oder parabolisch gekrümmten Enden, Ellipsenträger u. s. w. ergiebt, ist übrigens von jener der zuletzt besprochenen Träger nicht wesentlich abweichend.

Für die zeichnerische Behandlung derartiger Träger empfiehlt sich nachstehende allgemeine Konstruktion für die Diagonalen und Pfosten. Behufs Ermittelung der gröbsten Spannung des Stabes C E sind nur die Knoten rechts belastet zu denken, auf den Teil links des Schnittes I kommt dann nur der in A angreifende Gröbstwert der Querkraft Z\ für diesen wird nach Gl. 47, S. 234

-j- R (l — tang y) sec a

+ $u,

TJ h — x tang y = R—

sec a .

. .    129.

Fig. 84.

Fig. 85.

JJ

II

El,

!X''

«{•

■râi

Macht man K H — IL verlängert C D bis zur Auflagerlotrechten, projiziert den Fufspunkt G auf die Höhe D E und zieht D //, dann L F durch fl/, so giebt K F die lotrechte Seitenkraft von -j~ Sw* und EJ die Spannung selbst.

²⁵) Näheres siehe W. Ritter. Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Die Eisenbahn 1880, S. 49 u. 59.

Oder man zerlegt nach C ul mann II in A zunächst in eine durch C gehende Kraft T parallel zu AC und eine Horizontale U (Fig. 85), alsdann T in die Seitenkräfte 0 parallel zu CD und $, die gesuchte Spannung parallel zu CE. Es lassen sich leicht verschiedene solcher Zerlegungen angeben.

§ 35. Mehrfaches Fachwerk (Gitterwerk). Fachwerke, deren zwischen den Gurtungen befindliche Stäbe durch andere Stäbe, welche jene kreuzen, in mehrere Teile zerlegt werden, nennt man gewöhnliche Gitterwerke. Wird jeder Gitterstab durch die ihn kreuzenden Stäbe in n Teile geteilt, so pflegt man das Gitterwerk ein w-teiliges zu nennen ; so zeigt (s. S. 330) Fig. 87 a ein 5-, Fig. 81b ein 6-, Fig. 87 c ein 4-teiliges System.

Ein Gitterwerk ist im allgemeinen nicht mehr statisch bestimmt, es fehlt zwar in der Kegel nur eine Gleichung. Nach dem in § 23 Besprochenen würde es thunlich sein, die Spannung in den überzähligen Bestandteilen, als welche man beliebige auswählen kann, für eine gegebene Belastung zu bestimmen, der zahlreichen Unbekannten wegen wird jedoch die Kechnung äufserst langwierig. Man pflegt daher einem Näherungswege folgend das Tragwerk in n einteilige Tragwerke .zu zerlegen. Hierbei tritt jeder Gitterstab in den einteiligen Tragwerke nur einmal auf, während jedes Gurtstück in sämtlichen Tragwerken vorkommt. Hie Zerlegung ist zulässig, wenn sich bei der Formänderung der einzelnen Tragwerke, welche durch die äufseren Kräfte veranlafst wird, eine vollkommene Übereinstimmung der Knotenpunkte ergiebt.

Bei Trägern mit gekrümmten Gurten läfst sich das gegebene Tragwerk in Einzeltragwerke zerlegen, wenn man in den Knotenpunkten derselben diejenigen Lasten anbringt, welche in den entsprechenden Knotenpunkten des gegebenen mehrfachen Tragwerks wirken, und wenn man für die vieleckigen Gurtstücke im Einzeltragwerk gerade Gurtstücke unter Beibehalt der Knotenpunkte der Einzeltragwerke an die Stelle setzt. Um z. B. die Spannung des Gurtstückes B D (s. Fig. 86) zu ermitteln, hat man es als Bestandteil der drei einzelnen Systeme 1 1 1, 2 2 2,

3 3 8, in welche sich der Träger zerlegen läfst, zu betrachten. Schliefst das fragliche Gurtstück B D mit der Wagerechten den Winkel y ein, B C als zum ersten Tragwerk gehörig mit der Wagerechten den Winkel yi und ist Si die Spannung des Stückes B C, so ist die wragerechte Seitenkraft Si cos yi und die vom ersten Tragwerk herrührende Spannung in BI) gegeben mit S\ cos y, sec y ; ebenso ergiebt sich für die vom zweiten Tragwerk herrührende Spannung in BD die Gröfse Sa cos ya sec y und vom dritten & cosy₃ secy. Man erhält daher für die Gesamtspanuung S des Gurtstückes B D

S = (Si cos -fi + Sa cos -{2 + S₃ cos ys) sec y

Sind, wie dies bei schwach gekrümmten Gurten stets der Fall ist, die Werte y yi y2 . . . wenig voneinander unterschieden, so ergiebt sich kurz S — Si + S2 + Sa.

Die Spannung der Gitterstäbe ergiebt sich unmittelbar aus dem einfachen System. Hinsichtlich der ungünstigsten Stellung einer gleichmäfsig verteilten Last sei jedoch in Betreff der Gitterstäbe bemerkt, dafs es nur darauf ankommt, den einen Knotenpunkt voll, den nächsten des einfachen Tragwerks gar nicht belastet zu haben. Wirkt, wie z. B. in unserem Falle, die Last auf den Obergurt, so wird für jede Belastung, welche nicht über E hinaus reicht, B voll, C dagegen gar nicht belastet. Innerhalb I) E kann das Lastende beliebig liegen.

Für Träger mit parallelen Gurten werden die obengenannten Winkel y stets sämtlich Null. Die Bestimmung der Spannungen geht in eine reine Addition über. In diesem Falle lassen sich einfache Regeln für die direkte näherungsweise Ermittelung der Gurt- und Gitterstabspannungen geben.

Führt man einen Schnitt I parallel zur zweiten Stablage (Fig. 87 o, n ungerade) durch die Mitte des Gitterstabes A B, dessen Spannung man bestimmen will, so mufs die Summe der lotrechten Kräfte für den Teil links des Schnittes gleich Null sein. Man erhält daher, wenn die auf den Schnitt I entfallende Querkraft ist:

Fig. 86.

JO

27

(f

'rl

'3

130.

— (So -j- Si -f- <Sk -j- S3 4" St) cos v. -j-Bi — 0.

Setzt man ferner näherungsweise

Si + &

= Sa-,

und allgemein

Fig. 87.

JE

\A A a

(l. jl

6s

5v

ft

.2

5,

Xjï

V V A⁵/

\ß

JL

ft

ft

lir w r 9 Jt\ T •

/*vMr sk ^

vź/®VS , \ x\\ \ \\

X/V ⁴'

/\yl ³'

y\i 2-

v3

■y//

±,

* ß

X\

,6,

Sb = Sa u. s. w., so wird Sa = ft Mt sec o. 2    •    o

Sab = -— Mi seco. .

n

Für einen Stab CD, welchem der Schnitt II in Fig. 87 « entsprechen >1 würde, erhielte man entsprechend, wenn Mn die für diesen Schnitt ent-fallende Querkraft, ß der Neigungs-³ winkel des Stabes ist:

Scd =--— Mn secß . 132.

. 131.

II

•2

1st w eine gerade Zahl (Fig. 87 b, wo n = 6), so denke man sich wieder durch die Mitte von A B zwei

M.

Jtx

’fi'X

*0

ft

° >Kt

ft,

*o<

\<

JC.

für I — (Sb + Sö -f- Si -j- Sab + S3 + S4) cos o. -j- M = 0 und für II — (Sß ff- Si -f- Sab ff- Ss ff- S4 -j- S5/) COSa, -j- M = 0.

Schnitte I und II, den einen dicht links von 5 5', den anderen dicht rechts geführt und stelle die Gleichgewichtsbedingungen auf, so hat man, für beide Schnitte dieselbe Querkraft M annehmend:

Addiert man beide Gleichungen und setzt wieder

Si + Se

Sab —

Si + S3

Sö “f" 'SV

so wird wie früher Sab — -ft Msec a, allgemein also Sab = ft M sec a. Dasselbe würde man für CD erhalten, wobei jedoch die Schnitte I und II parallel zu AB zu führen wären und M sich auf diesen Querschnitt zu beziehen hätte.

Es gilt daher allgemein: Ist M die Querkraft für einen Schnitt, welcher durch die Mitte eines Stabes AB oder CD der einen oder anderen Stablage parallel zu CD oder AB geführt wird, so findet sich die Stabspannung, indem man diese Querkraft mit dem n ten Teile der Sekante des Winkels multipliziert, den AB bezw. CD mit der Lotrechten einschliefst. Für positive Querkräfte wird die rechtsfallende Stablage gezogen, die linksfallende gedrückt.

Um die Spannung in einem Gurtstabe FF zu finden, betrachte man FE der Reihe nach als Element des Systems 111, 2 2 2, 3 3 3, 4 44 u. der bezüglichen Systeme sind, S\ — —

s. w., so ist, wenn Si Sa Ss die Spannungen in F F als Bestandteile

Ml*    ₀    M2 *    M:\ ci    il/4    1 • 1 •

——, 02 =---—, 03 =--,—, 04 =--₇—, wobei die

h    h ⁷    h ¹    h ¹

Momente sich auf die Punkte D2 3 4 des Untergurtes für die gegebene Belastung beziehen, während U die Trägerhöhe bezeichnet und für jedes M nur die Knotenpunkte des bezüglichen Systems belastet zu denken sind. Die Summierung der Werte S liefert die Spannung in EF, £ M läfst sich angenähert dem Momente in K gleich setzen, welches die ganzen auf den, Trägerteil links des Schnittes JK wirkenden äufseren Kräfte erzeugen. Man hat dann einfach:

Ms

ScD —

S OH = ff“ —-,-•

h

Mvl

—-— und ebenso würde sich finden: h

Bei positivem Momente M ist die Spannung im Obergurte stets ein Druck, im Untergurte ein Zug.

Es ergiebt sich aus obigem allgemein, dafs bei einem mehrteiligen Systeme die Spannungen der Gitterstäbe der Querkraft direkt, der Teilungszahl umgekehrt proportional sind, dafs ferner der eine der sich kreuzenden Stäbe stets gezogen, der andere gedrückt ist, dafs endlich die Spannungen der Gurtstäbe dem Momente direkt, der Trägerhöhe umgekehrt proportional sind und ein Gurt gezogen, der andere gedrückt wird.

Bei Benutzung dieser Näherungsregeln ist die Richtung des Schnittes wohl zu beachten. Wirkt z. B. (Fig. 87 c) die zufällige Last auf den Obergurt, das Eigengewicht auf beide Gurte und ermittelt man drei Momentenkurven, wovon die Kurve 0 die Momentenkurve der Obergurtsbelastung durch das Eigengewicht, u die Momentenkurve der Untergurtsbelastung durch das Eigengewicht, z jene durch die zufällige Last darstellt, so erhält man das Moment im Punkte J durch die Addition der Ordinaten M₀, Mz und 71/u, wobei Mu erhalten wird, indem man durch den Punkt N, in welchem die Lotrechte durch K die Eigengewichts-Momentenkurve des Untergurtes trifft, eine Tangente an diese Kurve u zieht, welche auf der Lotrechten durch J das verlangte Stück abschneidet. Die Richtigkeit ergiebt sich, wenn man

sich diese Tangente als Seilspannung, u als Seilkurve denkt. Bei Bestimmung der Spannung in G H wäre nur die in der Lotrechten K‘ liegende Ordinate M'n ohne weiteres benutzbar, während man, um die Werte und M‘₀ zu erhalten, durch jene Punkte Tangenten zu ziehen hat, in welchen die Lotrechte JJ‘ die Kurven o und z trifft. Sind beide Stablagen unter gleichen Winkeln geneigt, so entfällt die erwähnte Verbesserung, da KJ lotrecht wird.

Ähnliches ist hinsichtlich der Querkräfte der Fall. Für die Bestimmung der Spannung des Stabes A B in Fig. 87 b hat die Kurve z die gröfsten Querkräfte der zufälligen Last, o die Querkraftslinie der Obergurts-Eigenbelastung, u jene der auf den Untergurt wirkenden Kräfte darstellt, einfach die Werte ß„, Bz und li0 zu addieren, welche dem punktierten Schnitte CD entsprechen.

Berechnung eines mehrteiligen Fachwerks ist auf T. V, F. 10 bis 15 vorgeführt; die Beschreibung

man, wenn z.

B. die Last auf den Untergurt wirkend gedacht wird und

folgt in § 40.

Systeme mit konstanter Gitterstabspannung. Man hat versucht, behufs einheitlicher Durchführung der Stabquerschnitte Anordnungen zu treffen, bei welchen die Gitterstabquorschnitte konstant ausfallen. Entsprechend Gl. 131, S. 330

S = — .R sec a

Fig. 88.

cc.

kann man dies dadurch erreichen, dafs man entweder die Teilungszahl n oder den Stellungswinkel a verändert, s. Fig. 88.

Im zweiten Falle stellen sich die Gitterstäbe gegen das Ende zu steiler, im ersten rücken sie gegen die Mitte weiter auseinander ; die letztere Konstruktion ist bei Brücken der österr. Staatsbahn, erstere bei der Brücke der österr. Kaiserin Elisabeth-Bahn über die Wien bei Wien zur Ausführung gekommen. Beide Anordnungen haben den Nachteil, dafs die Maschenweite ungleich ausfällt, bei der ersteren tritt aufserdem der mifsliche Umstand hinzu, dafs sich die Gitterstäbe am Knoten nicht in einem Punkte treffen, bei der zweiten, dafs die Stoffmenge derselben sich wesentlich vergröfsert.

Statisch bestimmte Parallelträger, deren Gitterstäbe nur in einem Sinne beansprucht werden, lassen sich bilden, wenn man in ein Hauptsystem von Faclnverkstäben ein Nebensystem so einschaltet, dafs die Last einer gewissen Anzahl von Knotenpunkten des Nebensystems durch einen in der Mitte des Trägers befindlichen Pfosten ganz oder nur zum Teil auf das Hauptsystem übertragen wird; im letzteren Falle vermittelt ein zweites Nebensystem die Übertragung der verbleibenden Drücke auf die Enden. Auch dieser Anordnung stehen praktische Bedenken entgegen, welche einerseits in einem gröfseren Materialaufwande, andererseits in dem Umstande liegen, dafs die Knotenpunkte des Nebensystems bei derartigen Anordnungen sich mehr als jene des Hauptsystems senken, wodurch eine unebene Bahn entsteht; endlich ist noch als Nachteil zu bezeichnen, dafs die steif zu konstruierenden Druckstäbe des Haupt- und Nebensystems sich kreuzen. — Zur Ausführung ist genanntes System bisher nach Wissen des Verfassers nicht gekommen.²⁶)

Die Einflufslinien für mehrfache Fachwerke sind eigenen Bedingungen unterworfen, wir weisen diesbezüglich im besonderen auf die Untersuchungen Müll er-Breslau’s.

Als Beispiel einer genauen Berechnung der überzähligen Stäbe bringen wir das auf T. IY, F. 16 bis 29 behandelte Beispiel. Wir schalten in F. 24 die Gegenstreben aus und ersetzen sie durch unbekannte Kräfte Xt X₂ . . ., die wir aus der Bedingung, dafs die Formänderungsarbeit ein Kleinstwert werden müsse, rechnen.

/v\/\

\/\

i.

c.

ver-

²⁶) Es wird an dieser Stelle auch auf den Vorschlag von Dietz hingewiesen, statisch bestimmte gegliederte Balkenträger mit zweifachem Ausfüllsystem herzustellen. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1899, S. 230

D. Herausgeber.

und 873.

EFo

CO o* CO CC' GO 00 OS co *—« t>* lO CO CO »C t— r-H w* OO 05 05 oc» 05 05 O*

h o' o' c d o' cT r-T

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000.

0,900

1,543

1,929

2,057

1,929

1,543

0,900

6,504

7,392

8,064

8,064

7,392

6,504

Ol    CC GO ^ Ol

CO CO Ol Ol co o co _ o_ co__ co^ o_ co_ yD œ co co l-

06

— 85

05

04

0.4

9jf 9d

FO

— 75    0

O I — 72 !    0

O I — 72 !    0

0    1—75

— 74 I 0

0 ! — 72 !    0    0

0 ! —72    o

0    —74 !    0

0 — 81

—    66    0    0    ü    0

—    54    — 69    ü    0    0

0    — 65    — 65    0    0

0    0    — 69 — 54    0

0    6    0    —66    —34

0    0—58

O O O O O qq

OOOOOO

100

001

loo

91

100

001

Ol

— 85

— 81

—    58

—    34

88

100

jj cccocmcmcmcocmo

‘‘    ’    *'*    ¹    * H Ol    W

IM O 1>

s w    ^

Il I I II I I

1O1OO ^ Tf C

14

— 23

43

— 114

Tabelle I.

4-

j ^ co JlO lO lO «.O CM    OOOiCOOCOCïQ

i ^t'COOO^Olöl CDCOCDCO^Ot-t-hh(Mh

'iii

T-H CM rH r-i

— 10

^ O b-

H o co

O t- cc CO I-C ^ TH - OJ ^ co co

" + ⁷d «° + \l T»

s»

«4

—    129

—    145 j — 109 i

—    169

—    210

—    210    —157

—    175    —218

—    148    —184

—    129    — 162

97

127

157

90

06

114

124

208

173

149

149

— 15

19

75

—11

iO

iO CO C CO CO CM Tf t- rjl CM

119

119

139

991

166

139

119

119

— 20

26

20

b- H Tf

CM CO iO lO CO CM

0.3

— 162 — 181 - 212

—    157

—    157

—    130

—    111

97

149

149

173

208

124

114

90

90

— 11

75

19 I

15

CO CO O CO »C LO CM ^ !>• CM

nfl    Ł—    CM    »O    »O    l>*    ^    rfl    C5C5C0OC0C5OO

j    Ci    -    ^    O    O    GC    b*    CO    t-t-O^GOCOOCO

^    j    r-    CM    I-C    rt    H    -HSlr.    ₀

CO lO rH rH

H I C CO CO b- O CO GO ^ Cl h h

OOOOOO

«i

— 226 — 108

52

52

43

37

- 33

208

208

104

70

42

35

30

30

100

45

25

— 114

43

23

14

in qcm

GC GO 00 GO GO OC GC CO 03000000 COOÎDOCOOO oooooo oooooo (N CM CM CM CM CM !M CM WÎJIMOIÎIN!M(M .O Ö O lG û iO i!) CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM

in cm

271

261

»O O »O k; CO- t— CM CM

CM CM CM CM

250

250

250

250

250

250

250

250

105

180

225

240

225

180

105

271

CO CO CO CO

GO CO t>» t- CO GO O CO ^ rr CO O CO CO CO CO CO CO

J? H? c-e: Æ    fcT nT üT kT tl? £ oCrg^rsrîr? bïï bS bS

•0

8691

odd

163

Tabelle ii. Bestimmung- der Abgeleiteten der Arbeitsgleiehung.

ai p ai Pi + «2 p ai Pi -f- ... + a/² p Xi -J- ai 02 p Xi

*■3

dX

7073

6561

1784

56367

73920

ÏH09

2430

105

2952

6079

9028

12039

15048

18058

7290

9720

— 12069

— 14494

210

315

420

577

4564

5907

8863

11878

14774

17726

osoooi-Ht-(M •» « te »

- 80397 Pi + 16726 Ps + 18330 Ps + 14557 P* + 10916 Po + 7276 Ps + 3636 Pt + 142733 Xi + 3463 X*

Oti p 02 jPl &2 p 02 .ilP2 “f“ • • «    ^2 P C5i Aj -f- 0-4² p A2 “|" • • •

(Z91

'•X V

2. Abgeleitete.

5361

5476

6721

3463

3031

2590

204

6062

5106

9092

8436

12123 — 10268

15153 — 12802

10102 — 15392

5051

7696

407

611

815

1120

8860

4583

5625    7187

61213

80640    - —

- 38607 Px - 76909 P2 + 24435 Ps + 27772 P* + 20094 Ps + 13915 Ps + 6920 Pt + 3463 Xt + 165036 X₂ + 7187 Xs

521

1042

1562

5754

11510

17265

ou p o» Pi + a2 p os Pa 4- . .. + 03 01 p Xi -f 03 02 p Xs + os² p Xs + . . .

3546

7092

2083

23019

7812

28776

—    5208

—    57551

2604

— 28775

5184

3024

5976

9184

7187

1331

S691

74318

83280

!3

cc

936

11559

?—

CC

r-H

1872

21963

2S

00 CO t- «0 co Cd (M 05 te

te ® o) io to O OC T—< <N CI . 1-1    CC ^

■ «    co    «    N    te    ffl

•_, kil    X    lO    to    l-    N

Gd rN    H    ffl    to    ®

fç» 1*0    t-h tM CO OT ₀

3. Abgeleitete.

1063S

— 14976

— 10082

6655

8546

5040

—: 3328

2540

— 54334

1872

— 35835

936

— 18495

-f*

'-f

tH

fc»

<M

lO

-f

11811 Pi + 22538 P2 + 33529 Ps + 45346 Pi - 71195 Ps - 47352 Ps -    24253 Pt + 8691    Xs + 185520 Xi    +    7187 Xs    =

6920 Px + 13915 P2 + 20094 Ps + 27772 Pi + 24435 Ps — 76909 Ps -    38607 Pt + 7187    X₄ + 165036 Xs    -f    3463 Xs    =

3636 Px + 7276 P2 + 10916 Ps + 14557 Pi 4 18330 Ps + 16726 Ps -    80397 Pt + 3463    X₅ + 142733 X₆

Oi

Ui

Fs

Vi

Ps

Xs

&X)

-=

Gleichung 3 . . .

Infolge Symmetrie: Gleichung 4 . . . Gleichung 5 . . . Gleichung 6 . . .

Beispiel. Das in F. 24, T. IV dargestellte Fachwerk enthält 16 Knotenpunkte und 35 gegen Zug und Druck widerstandsfähige Stäbe, demnach « = 35 — (2.16 — 3) = 6 überzählige Stäbe, als solche sind die Gegendiagonalen angenommen. Die Tabelle I, S. 332 enthält die weiteren Werte.

oder

Die Werte a wurden ermittelt, indem für das einfache Fachwerk F. 16, T. IV die Einflufslinien ermittelt wurden. F. 21, 22, 23 zeigen die Ermittelung der Werte o; es sind dies nichts anderes als die in den bezüglichen Stäben entstehenden Spannungen, wenn an Stelle von X die Werte 1 treten. Macht man z. B. für das vierte Fach des Trägers Xu = 1, so geben die in F. 23 erhaltenen Werte unmittelbar die Werte o und zwar ist mit Bezug auf diese Figur Ot der dem Obergurt entsprechende Wert von 03, Vs der dem Pfosten 3 entsprechende Wert von 03 u. s. w.; in die Tabelle wurden zunächst nicht die wahren Werte der a und o, sondern das Hundertfache derselben eingetragen. Für die Aufstellung der Formänderungsarbeit ist der Satz 2t = E    benutzt, man erhält Al =

wenn man

alle Werte Al mit    = p₀ multipliziert, p₀ 21 = £    wobei E₀ F₀l₀ die den kon

4f • PPgesetzt ist-

Es ergeben sich folgende Gleichungen, wenn man die Koefficienten durch 10000 dividiert, um die Werte auf die thatsächliche Einheit zu bringen und wenn man (was in der Originalrechnung nicht geschehen ist) nur drei Dezimalstellen beibehält:

stanten Untergurten entsprechenden Werte bedeuten und p =

14,273 Xi+ 0,346 Xi 0,346X1 + 16,504X2+ 0,719Xs

+ 0,719 X₂ +18,552X3+ 0,869 X*

=    8,040    Pi    — 1,673 P₂ — 1,833 Pa — 1,456 P* — 1,092 Pö — 0,728 Po — 0,364 Pr

=    3,861 Pi + 7,691 Pi — 2,444 Ps — 2,777 Pi — 2,009 Po — 1,392 Pr, — 0,692 P:

=    2,425 Pi +4,735 P2 + 7,120 Pa — 4,535 +4 — 3,353 Po — 2,254 Pa — 1,181 Pt

+ 0,869 X)+ 18,552 Xt + 0,719 X,

= - 1,181 Pi — 2,254 P₂ — 3,353 Ps — 4,535 Pt + 7,120 Po + 4,735 Po + 2,425 Pt + 0,719 Xt + 16,504 Xo + 0,346 Xc = — 0,692 Pi — 1,392 P2 - 2,009 Pa — 2,777 Pt — 2,444 Po + 7,691 Pr, + 3,861 Pt + 0,346 Xt, + 14,273 Xo = — 0,364 Pi — 0,728 P2 — ) ,092 Pa — 1,456 Pt — 1,833 Po - 1,673 Pr, + 8,040 Pt

Die Auflösung dieser Gleichungen giebt nach längerer Rechnung:

Xi    =    +-    0,558    Pi    — 0,128 Pt — 0,125 Ps — 0,098 P₄ — 0,074 Po — 0,049 Pe — 0,024 Pr

Xi    =    +    0,217    Pi    -f- 0,458 Pt — 0,155 Ps — 0,156 Pi — 0,104 Ps — 0,078 Ps — 0,039 Pr

Xs    =    -f-    0,125    Pi    -}- 0,244 P2 + 0,399 P₃ - 0,227 Pi — 0,195 Ps — 0,130 Pg - 0,067 Pr

Xi    =    —    0,067    Pi    — 0,130 P2 — 0,195 Ps — 0,227 Pt + 0,399 Ps + 0,244 Pc + 0,125 Pr

Xs    —    —    0,039    Pi    — 0,078 P₂ - 0,104 Ps — 0,156 Pt — 0,155 Ps + 0,458 Pe + 0,217 Pr

' Xc,    =    —    0,024    P,    — 0,049 P₂ — 0,074 Ps - 0,098 P₄ — 0,125 Ps — 0,128 Pe + 0,558 Pr

Mit Hilfe dieser AVerte bestimmen sich nun auch die Einflufswerte von OxO-2... Ui ...

Pj Dt... Fj V2... Man erhält zum Beispiel für F₂:

Vt = 0,45 Pj + 0,87 Pi — 0,11 Ps — 0,08 Pt — 0,06 Ps - 0,04 Pe — 0,02 Pr — 0,65 Xs — 0,65 Xt.

In dieser Weise wurde es möglich, die Einflufswerte durch Rechnung zu ermitteln. Es kann dies jedoch auch graphisch geschehen. Macht man in F. 23, T. IV V₃ der Reihe nach — 0,125, 0,244,

0,399, — 0,227, — 0,195, — 0,130, — 0,067 und zieht die Parallelen zum Stammviereck für Xs — 1, so erhält man jene Werte der Spannungen Ot, Fs, F₄, D3, ZJ₄, welche zu den Einflufswerten der Stäbe 04, Vs, Vi, ds, in des statisch bestimmten Tragwerks algebraisch zu addieren sind, um die richtigen Einflufslinien zu erhalten.

Man sieht, dafs in obigem Beispiele nur die lotrechten Fachwerksstäbe Vi Fs Ft u. s. w. doppelten Einflufs haben, bezw. in jeder Gleichung 3 Unbekannte Vorkommen. Näherungswerte für die Gleichungen erhält man, wenn man sich die vertikalen Fachwerksstäbe in unserem Falle in zwei Stäbe zerlegt denkt* und hierbei jedem der Nachbarfelder einen Teil des gemeinsamen Ständerquerschnittes nach Schätzung zuweist¹), wobei etwa für die letzten Lotrechten Fi Vi der volle, für die anderen zu jedem Fache der halbe Querschnitt gerechnet wird, oder etwa in unserem Falle angenähert in der 2. Gleichung Xi = Xs = X₂ gesetzt wird; dies ergäbe z. B. X2 = 0,219 Pi + 0,438 Pt -f- ..., Werte, die verliältnis-mäfsig wenig von den oben ermittelten abweichen.

VIII. Mehrteilige ebene Träger. Träger mit schwebenden Stützen (Kragträger).

§ 36. Allgemeines. Ermittelung der äufseren und inneren Kräfte. Bei

Trägern, welche sich ohne Unterbrechung über mehrere Öffnungen erstrecken, sind die auftretenden äufseren Kräfte wesentlich von der Höhenlage der Stützen und dem Ein-

Hasse ungleichförmiger Erwärmung abhängig, hingegen fallen die Momente infolge der Gegenwirkung benachbarter Öffnungen und damit auch die Baustoffmengen für die Gurte kleiner als bei nebeneinander liegenden einfachen Trägern aus. Unter Yermeidung der eingangs erwähnten Ubelstände läfst sich aber dieser Yorteil erreichen, wenn man den Träger in mehrere mit den .Nachbarn gelenkartig verbundene Träger teilt, von denen jeder nur auf zwei Stützpunkten ruht.

Fig. 89.

yF

rr

V ^

Die so erhaltenen Träger haben verschiedene Benennungen erhalten. Da einzelne Teile über die Stütze hinauskragen, hat man sie wohl Kragträger, auch Träger mit freischwebenden Stützpunkten genannt. Wenn auch diese Träger schon früher theoretisch von Clark und Fowler (1846—1850), Kopeke, Ritter (1863) behandelt wurden, war es doch Gerber, der den Gedanken zum erstenmale an der Strafsenbrücke über den Main bei Hafsfurt ausführte, weshalb man diese Träger wohl auch als Gerberträger bezeichnet. Andere haben ihnen den Namen Auslegerträger (cantilever, port à faux) gegeben.

Hinsichtlich der Unterbringung der Gelenke sind zahlreiche Anordnungen möglich; zweckmäfsig erscheint es, in die aufeinanderfolgenden Öffnungen abwechselnd kein Gelenk und zwei Gelenke zu legen. F. 1 u. 4, T. III zeigen zwei derartige Anordnungen. Die Bestimmung der äufseren Kräfte wird an diesen Beispielen erläutert werden.

Für eine volle gleichmäfsige Belastung p lassen sich die Parabeln für die Momentenflächen aus der Bedingung konstruieren, dafs an den Gelenken J K die Momente gleich Null sein müssen. Im ersten Falle legt man die Eigengewichtsparabel (blaue Kurve F. 3, T. III) so, dafs sie durch A und J geht, hierdurch bestimmt sich das Pfeilermoment in R; in entsprechender Weise findet man bei Beachtung des dritten Feldes das Moment in C, die Eigengewichtsparabel DE wird mittels der Schablone durch D und E gelegt. Für das erste Feld AB treten die ungünstigste Belastung für die gröfsten positiven Momente (innerhalb A J) und die gröfsten negativen Momente (innerhalb J B) bei voller Belastung des ganzen Feldes ein ; Momente anderen Zeichens können durch veränderliche Lasten nicht entstehen. Wir brauchen daher mittels der Schablone die Parabel für die Yerkehrslast ebenfalls nur durch A und ./ zu legen. Im zweiten Felde entstehen die positiven Maximalmomente bei alleiniger Belastung des Mittelfeldes, weshalb die rote Parabel durch B und C zu legen ist. Die gröfsten negativen Momente entstehen, wenn das Mittelfeld gar nicht, die Nachbarfelder voll belastet sind ; die Kurve wird eine Gerade F G.

Für die Summe beider Einwirkungen erhält man Momentenflächen (schwarze Linien), deren Zeichnung durch Benutzung einer Schablone für die Summenkurve leicht wird. Die schwarze Kurve (das Moment Mv -|- Mg darstellend) mufs im ersten Felde durch die Punkte AJy im zweiten durch die Punkte HL gehen. Für die negativen Maximalmomente erhält man eine zur Eigengewichtsparabel äquidistante Kurve HL. —

Hinsichtlich der Querkräfte ist zu beachten, dafs sich A J wie ein in A und J gestützter einfacher Träger verhält.

Für das Eigengewicht erhält man in allen Feldern zu einander parallele gerade Abschnitte (blaue Linien), die Abstände an den Pfeilern sind bei angenommener Polweite H direkt durch die Tangenten an die blaue Parabel in A, D, E (F. 3) gegeben. Die blaue Gerade des ersten Feldes in F. 2 mufs durch die Mitte von A J, jene des zweiten Feldes bei symmetrischer Anordnung durch die Mitte von B C gehen.

Bei beweglicher, gleichförmig verteilter Last q f. d. lfcl. m mufs für max (-j- R) der Teil rechts des fraglichen Querschnittes belastet sein, Lasten, welche über J hinaus reichen, sind ohne Einfhifs. Innerhalb J13 kann die Querkraft nicht positiv werden. Die Kurve der max (-f- R\ rot) zeigt daher die gewöhnliche Parabel des auf zwei Stützen ruhenden Trägers A J. Das max (— R) entsteht innerhalb A </, wenn die Last nur links des fraglichen Querschnittes liegt. Man erhält auch hier die bekannte Parabel A D (F. 2).

Innerhalb D E mufs die Last vom untersuchten Querschnitt bis zur Stütze A reichen. Die Querkräfte max (— R) sind durch eine Gerade 1) E begrenzt, deren Endpunkt E durch die am Kräftepolygon abgeschnittene Strecke gegeben erscheint, welche der Tangente der Kurve A J F in F entspricht. Für max (-{- Ii) innerhalb B C mufs zunächst das Feld A B ganz belastet sein und aufserdem die Last innerhalb B C vom fraglichen Querschnitt bis zur rechten Stütze C reichen. Man erhält hierbei eine Parabel, wie wenn B C einfacher Träger wäre, nur erscheint F um ein Stück hinauf gerückt, welches im Kräftepolygon durch eine zu F C (in F. 3) parallele Gerade abgeschnitten wird. Für max (■—Ii) (in F. 2) gilt Entsprechendes. Die schwarzen Linien geben die Summe für Eigengewicht und Verkehrslast.

Nach dem hier Besprochenen wird es leicht, das zweite Beispiel T. III, F. 4 bis 6 zu verstehen. Sämtliche Parabeln des Mittelfeldes müssen durch die den Gelenken entsprechenden Punkte J K gehen. Die Länge J K verhält sich wie ein einfacher Träger auf zwei festen Stützen J und K.

Für die Ermittelung der Stabspannungen an Fachwerken dieser Art ist zu bemerken, dafs, wenn die Anzahl der gleichzeitig wirksamen Stäbe in jedem Träger für sich = 2 k — 3 ist (k bedeutet die Anzahl der Knotenpunkte), auch die Spannung jedes Stabes bestimmbar und damit das ganze System statisch bestimmt ist. Die graphische Ermittelung der Querkräfte und Momente für zwei Trägeranordnungen ist vorstehend besprochen. Handelt es sich um einen Träger mit parallelen Gurtungen, so sind die Querkräfte und Momente unmittelbar zur Bestimmung der gröfsten Spannungen für Gurte und Füllungsstäbe verwendbar. In nachstehendem soll das Verfahren unter Zugrundelegung eines Systèmes von Einzellasten und für die Fachwerksanordnung, welche T. IV, F. 6 zeigt, vorgeführt werden. Die Knotenpunkte des Untergurtes des überragenden Teiles und des Obergurtes des mittleren Trägers liegen auf einer Parabel. Ein derartiges Tragwerk hat den praktischen Vorteil, dafs an Pfeilermauer werk der Seitenöffnungen gespart und für die mittlere Durchfahrtsöffnung die ganze Höhe der Träger der Seitenöffnungen gewonnen wird.

Beispiel, s. F. 6 bis 15, T. IV. Zwei Mittelpfeiler teilen die eingleisige Eisenbalmbrücke, ip drei Öffnungen von 20 m, 24 m und 20 m, der mittlere Parabelträger von 20 m Stützweite sei frei-scliwebend. Höhe des Parallelträgers 2,5 m, gröfste Höhe des Parabelträgers 2 m, Felderlänge durchgehend 2 m. Die Diagonalen sind schlaff konstruiert.

Die Ordinaten

IUP    1313'    1414'    1515'    1616'    1717'    1818'    1919'

berechnen sich mit 1,125    0,875    1,500    1,875    2,00    1,875    1,500    0,875    m.

Das Gewicht der Fahrbahn ist mit 0,8 t f. d. m und Gleis, das ganze Eigengewicht der Tragwände mit 1,244 t f. d. ]fd. m angenommen. Es ergiebt sich daraus das Gewicht eines oberen Knotenpunktes für einen Träger P₀ = V £-hHL—2A o,8J 2 = 1,025 t und für einen unteren Knotenpunkt

Pu-

~2

[-1,244 ~ °’⁸- ] 2 = 0,225 t.

In F. 13, T. IV ist nach Cremona’s Methode der Kräfteplan für die Beanspruchungen durch das Eigengewicht dargestellt; hierzu ist die Kenntnis der in den Auflagerpunkten 0, 10 und J angreifenden

Kräfte nötig. Dieselben rechnen sich einfach, da in J das halbe Gewicht des Parabelträgers angreift und die Stützenkraft A₀ in 0 sich aus der Gleichung für die Momente um 10 ergiebt.

AVir untersuchen zunächst die Querkräfte und Momente in den einzelnen Punkten unter Zugrundelegung des in der Figur dargestellten Einzellastsystems.

Querkräfte. Strecke AB. Im ersten Felde 0' 1' wird B zum Gröfstwert, wenn in 1' die Last I liegt; die Lasten II bis IX finden auf AB Platz, die übrigen sind wegzulassen. Legt man einen Papierstreifen, welcher den Träger darstellt, so, dafs I und 1' sich decken und projiziert die Punkte A und B auf das Seilpolygon, so erhält man die Schlufslinie AiB,, eine Parallele hierzu schneidet auf der Kräftolotrechten die Strecke max B\ = 25,6 t ab.

Im zweiten Felde mufs I über 2' liegen, dieser Stellung entsprechen die mit dem Papierstreifen gefundenen Punkte AoB₂. Die Last IX, zur Gruppe ATI ATI! IX gehörig, fällt auf BJ, erzeugt daher eine negative Querkraft. Es fragt sich daher, ob diese Gruppe beizubehalten sei. Die Lage der Schlufs-linien ergiebt sich aus der Bedingung, dafs die Momente in A und J gleich Null sein müssen, Arer-lüngert man die Seilpolygon-Seite IX, X bis zum Schnitte B₂‘, so schneidet die Parallele zu Ao B₂ durch den Pol 0 die dieser Stellung zukommende Querkraft B₂ ab. Wird die Lastgruppe YII bis IX als nicht vorhanden angenommen, so müssen die Projektionen B>" und J₂" auf der verlängerten Seilpolygon-Seito AT ATI liegen, man erhält für das Feld AB die Schlufslinie A₂ B,“ und hieraus im Kräftepolygon Bo". Die Strecke B₂“ wird < B₂, je nachdem B₂" ober- oder unterhalb B₂ liegt. In letzterem Falle ist die fragliche Lastgruppe beizubehalten, im ersteren w'egzulassen. F. 14a zeigt die bezügliche Einzelheit des Seilzuges.

Die Ermittelung der (in F. 14 mit Ausnahme von A₅B₅ nicht gezeichneten) Schlufslinien für max B s, Bi, Bo, B~„ B&, Bo gestaltet sich wie für üb ; die Last I mufs stets am bezüglichen Punkte 3', 4', 5', V, 8', 9' liegen. Damit die Punkte Am nicht zu weit nach links fallen, kann man Last ATI an Stelle von I treten lassen, hat aber dann die Lasten I bis AT wegzulassen. Schlufslinie Ar, Bo zeigt ein Beispiel.

Bei Be fällt (Schlufslinie nicht gezeichnet und I bis VI hinweggelassen) Last XI und XII auf Strecke BJ- da Punkt Be" über Be' zu liegen kommt, ist, wie oben ermittelt, Lastgruppe X bis XII als nicht vorhanden anzunehmen. Bei Bç, fällt (I bis AT hinweggelassen) Last IX in die Mittelöffnung, doch ergiebt sich in oben angegebener Weise, dafs demungeachtet eine positive Querkraft entsteht.

Die negativen Gröfst-Querlcräfte setzen sich aus einem Teile, welcher durch die Belastung der Endöffnung selbst und einem zweiten Teile, welcher durch Belastung der Mittelöffnung entsteht, zusammen. Ersterer läfst sich ebenso wie bei einem Träger auf zwei Stützen bestimmen, letzterer ist für die Öffnung AB konstant. Aus der Betrachtung der Einflufslinie für die Querkräfte ergiebt sich, dafs die schwersten Lasten dicht um J stehen müssen und der ganze Teil B K zu belasten ist. Die Bedingung, dafs die Einheitslast auf die Strecke BJ jener für JK möglichst gleichkommen soll, ergiebt, dafs Last II in J stehen mufs. AVir ersetzen für die graphische Darstellung Last VII für I, lassen Last I bis AT weg und zeichnen einen Seilzug AJB‘K‘, wobei A' B‘ Kl den bezüglichen Punkten jener Lage des Papierstreifens entsprechen, in welcher J und der Lastaugriffspunkt von VIII sich decken. Die Parallelen zu A‘B‘ und A' K¹ durch 0 schneiden auf der Kräftelotrechten den Abstand max — B\r. ab. In dieser Weise wurde gefunden :

Feld

max + B 25,6    20,3    16,3    13,0    9,7

max — B —5,4

01

67    78    89    9 10

4,7    2,6    0,8    0 t

—6,6    —8,0    -10,1 -12,2 —15,2 -18,4 —21,8 —26,0 —31,0 t

12

23

34

45

22

Gröfstmomente. Strecke AB. Die Ermittelung erfolgt wie bei einem einfachen Träger auf zwei Stützen. Als Kennzeichen für die ungünstigste Stellung gilt, dafs die Einheitslast rechts und links des fraglichen Querschnittes möglichst gleich sein mufs. Lastgruppen, wrelche auf B J\ zu stehen kommen, sind wegzulassen. Fällt für einen Querschnitt x nur ein Teil einer Lastgruppe über BJ hinaus, so ist ebenso wie bei Ermittelung der gröfsten Querkräfte die Gruppe dann aufser Betracht zu lassen, wenn BA‘ über BJ zu liegen kommt. Als Beispiel einer Momentenbestimmung ist die Ermittelung für 5' dargestellt. Der Papierstreifen ist so zu legen, dafs 5' desselben und der Lastangriffspunkt von VIII sich decken. Die Lasten I bis III, XIII bis XVIII sind weggedacht, die den Punkten AB am Streifen entsprechenden Punkte A-‘ B*} am Seilzuge geben die Schlufslinie; das Moment max Mr, — 123 mt erscheint als Strecke über VIII und ist in derhigur bezeichnet. Für 7 bedingen die Raddrücke X bis XII ein negatives Moment, sind also wegzulassen. Bei der in Rede stehenden Bestimmung ist ferner zu berücksichtigen, ob nicht vielleicht ein Vorrücken des Zuges von links nach rechts gröfsere Momente Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 3. Aufl.

Aus diesen Zahlen ergiebt sich, dafs in den ersten sieben Feldern Gegendiagonalen einzu

schalten sind.

bedinge. Infolge Einwirkung des Nachbarfeldes, welche das Hinweglassen gewisser Lastgruppen nötig machen kann, fallen nämlich die Momente nicht symmetrisch aus, wie beim einfachen Träger, wo z. B. Moment in 3 bei Fahrrichtung rechts mit Moment in 7 bei Fahrrichtung links gleich ist, während man in unserem Falle die Zahlen 106 mt und 103 mt erhält. Um bei dieser Untersuchung die Zeichnung eines zweiten Seilzuges zu ersparen, wird man sich den Träger um die Symmetrie-Achse 16 16' uni-geschlagen denken, also nur den Papierstreifen so zu legen haben, dafs die ausgeschweifte Seite in der Figur nach unten kommt.

Die negativen Gröfstwerte der Momente im Felde AB sind durch die Ordinaten einer Geraden durch A gegeben, Avelche auf der Lotrechten in B den Wert max — Mio abschneidet. Die Einflufslinie für die negativen Momente AB (für 3 als Beispiel dargestellt) zeigt, dafs die schwersten Lasten dicht J anzuordnen sind und die Einheitslasten BJ jener auf JK möglichst gleichkommen müssen. Es ist dieselbe Stellung, welche für max — b mafsgebend war. Diesem Falle entspricht Polygon A'B'K'. Ferner erscheint max — Mio — 109 mt unter B\ max — Ms rechnet sich hieraus z. B. mit max — Mp,

3

= y₀ 109 = 33 mt. Hiernach ergab sich:

Punkt max + M max — M

Aus den Werten der Momente und Querkräfte lassen sich rechnerisch oder graphisch die Spannungen der Fachwerksstäbe ermitteln.

Für die rechtsfallenden Diagonalen m‘—1, m wird:

= max (+ lîm ) seca; man erhält, da sec « = sec . arc tang = 1,28,

Stab

max -f- S max — S

um

max -f- Sm<

if m

23456789    10

87    106    123    131    123    103    87    51

21    33    44    55    65    76    87    98    109 mt.

0 mt

max — Sm'—i, m = max (— Bm ) sec a ;

5' 6    6' 7 V 8    8' 9    9' 10

+ 8,3    +6,0 +3,?    +0,9

— 19,4 —23,9 -27,9 —33,2 —39,7

Ermittelt man einen Mafsstab, für welchen die Einheit -- mal jener für die Querkräfte gemacht wird, so kann man die Werte S ohne weiteres abmessen.

Für das Eigengewicht ergab sich bei rechtsfallenden Diagonalen:

SP +5,6    +4,0    +2,4    +0,8    —0,8    —2,4    —4,0

2'3

3' 4

+ 26,0    +21,0    +16,7

— 8,5    —10,2    —13,0

— 5,6

-7,2

— 8,8 t.

c+

Die Diagonalen 10' 11 und 10 11' werden, da die Eckpunkte des Untergurtes auf einer Parabel liegen, durch das Eigengewicht gar nicht beansprucht. F. 9 zeigt die Einflufslinie für 10' 11; die gröfste Beanspruchung auf Zug entsteht, wenn die schwersten Lasten dicht um 11' liegen und nur die Strecke B S belastet ist. Es finden in unserem Falle die Lasten I, II, III um 11' Platz. Die Ermittelung der Spannung selbst erfolgt in bekannter Weise am einfachsten aus der Einflufslinie oder indem man mittels des Seilzuges für die betreffende Stellung die Werte M und B für einen Schnitt II ermittelt und hieraus »laæ + Sio'ii durch Rechnung festlegt. Für die gröfste Zugspannung in 10 11' ist Strecke SK, und zwar mit den schwersten Lasten in 12 zu belasten.

Die Pfosten erfahren durch das Eigengewicht allein nachstehende Beanspruchungen, wobei zu beachten ist, dafs für jeden Fall jene Diagonale beizubehalten ist, in welcher Zug entsteht.

Pfosten 0 0'    11'    2 2'    3 3'    4 4'    5 5'    6 6'    7 7'    8 8'    9 9'    10 10'    1111'

Sv —5,4 —4,2 —2,9 —1,7 —0,4 —1,7 —2,9 —4,2 —5,4 —6,7    —7,9    —1,0 t.

Bei Untersuchung des Einflusses der zufälligen Last ist auf das Eigengewicht mit Rücksicht zu nehmen, da in jedem Falle nur jene Diagonale zur Wirksamkeit gelangt, welche Zug erfährt.

In 0 0' tritt die Gröfstbeanspruchung auf, wenn der Stützendruck in A seinen gröfsten Wert erreicht. Es ist I mit 1' zu decken und alle Lasten sind anzunehmen, welche auf AB fallen. Die Parallele zur Sclilufslinie im Seilzuge schneidet auf der Ki’äftelotrechten den Stützendruck B₀ ab. Die gröfste Druckspannung in den Pfosten 0 0' bis 4 4' findet unter Wirkung der rechtsfallenden Diagonalen, der Pfosten 5 5' bis 7 7' unter Wirkung der linksfallenden statt. Die zufällige Last erzeugt in den Stäben 0 0' bis 7 7' keine Zugspannung, das Eigengewicht die kleinste, dem oberen Knotengewichte gleichkommende Druckspannung dann, wenn durch die zufällige Last links die rechtsfallenden, rechts die linksfallenden Diagonalen zur Wirksamkeit gelangen, was nur innerhalb der Strecke, in welcher Gegendiagonalen vorhanden sind, geschehen kann.

Eine besondere Beachtung verlangt Pfosten 10 10'. F. 11, T. IV zeigt die Einflufslinie für den Fall, dafs Diagonale 10 11' zur Wirkung gelangt. Wir ersehen daraus, dafs die gröfste Beanspruchung dann eintritt, wenn die ganze Strecke AK belastet ist. Die schwersten Lasten müssen dicht um B stehen. Für die gezeichnete Stellung des Zuges mufs Last VIII über B treffen, die Lasten I bis XVI finden Platz. Stil® zeigt den entsprechenden Seilzug. Um die Querkraft für Schnitt I (s. F. 11 u. 14b) zu erhalten, welche der Spannung des Stabes 10 10' entspricht, sind im Kräftepolygon Parallele zu den Geraden 2(33 und 33'(S zu ziehen. 33'Œ tritt an Stelle der Seilzug-Seite, da sich die Lasten nur in den Knotenpunkten übertragen. Man findet max Rio = — max(—Sww‘) = 29,5 t. Für diesen Fall wäre zu untersuchen, ob nicht mittlere Maschinen Brust an Brust eine gröfsera Querkraft erzeugen. Es ergiebt sich in der That für diesen Fall Rio = 31,0 t. Kennt man die Teilwerte von Ri₀, welche durch Belastung links und rechts entstehen, so kann man auch für diesen Fall unseren Seilzug benutzen.

Kommt Diagonale 10' 11 zur Wirksamkeit (F. 12, T. IV), so trifft jeder Schnitt IIII scheinbar vier Stäbe, demungeachtet ist es leicht, für drei Lagen von G die Spannung in 10' 11 zu ermitteln, da für G in 10' die Stäbe 10' 11', 9 10 und 10' 11 keine Beanspruchung erfahren, mithin als nicht vorhanden betrachtet werden können, da ferner bei G in S, dem Durchschnittspunkte von 10 11 mit 11'12, dasselbe hinsichtlich 10' 11 der Fall ist und für Last G in 11' der Stab 10' 11' ohne Beanspruchung bleibt. Es ist danach leicht das Polygon für 10 10' zu konstruieren. Da jedoch eine Zugspannung in 10' 11 nur dann auftritt, wenn insbesondere die Strecke 10' «S (s. F. 9, T. IV) belastet ist, während die Belastung der Strecke SK Druck erzeugt, und dieser bei der ungünstigsten Belastung für 10'10 weitaus den Einflufs der einzigen Last IX überwiegt, welche innerhalb BS zu liegen kommt, so ist für max ■—Sioio- einzig der Fall F. 11 mafsgebend.

Wir stellen nunmehr die Beanspruchungen der Pfosten zusammen.

Pfosten 0 0'    11'    2 2'    3 3'    4 4'    5 5'    6 6'    7 7'    8 8'    9 9'    10 10'    1111'

— 0,5    —1,0    —1,0    —1,0    —1,0 —1,0    -1,0    —1,0    —5,4    — 6,7 - 7,9    —1,0 t

0 +0,8+0 0

max + S

0 t

¹

) Engesser. Zusatzkräfte und Nebenspannungen. Berlin 1882. S. 67.

-0,5

-1,0

-1,0    -1,0    -1,0    -4,6    -6,7 -7,9    -1,0t

— 5,4 —4,2    —2,9    —1,7    —0,4    —1,7    —2,9    —4,2 —5,4    —6,7    —7,9 —1,0t

— 30,8 —25,6    —20,3    —16,3    — 13,0    —12,2    —15,2    — 18,4 —21,8    — 26,0    — 31,0 — 13,0 t

-36,2 -29,8    -23,2    -18,0    -13,4    -13,9    -18,1    -22,6 -27,2    32,7    —38,9 -14,0 t.

Die oberen Zahlen    jeder Gruppe    geben den Einflufs des    Eigengewichtes, die unteren jenen der

zufälligen Last, die fettgedruckten die Summe beider Einwirkungen an.

Die Bestimmung der Spannungen in den Gurten erfolgt direkt aus den Momenten nach der

M

Hegel S = —, doch ist einige Vorsicht hinsichtlich der Wahl des Momentenpunktes nötig, als welcher stets der Fufspunkt jener Diagonale zu nehmen ist, welche zur Wirksamkeit gelangt. Hierbei kommt noch die gleichzeitige Wirkung des Eigengewichtes in Frage. Man erkennt bei unserer Betrachtung sofort, dafs in den Feldern 1 bis 4 die rechtsfallenden, in den Feldern 5 bis 10 die linksfallenden Diagonalen wirksam anzunehmen sind und es bleibt nunmehr fraglich, welcher Stab im 5 ten Felde der Behandlung zu Grunde zu legen ist. Die nähere Untersuchung zeigt, dafs für einen Schnitt durch das 5te Feld für jene Laststellungen, welche die Momente Mi und Mo zum Gröfstwert macht, die Querkraft positiv wird, daher in beiden Fällen die rechtsfallende Diagonale zur Wirksamkeit gelangt. Audi die Spannungen in den Gurten des überragenden Teiles erscheinen direkt aus den Momenten bestimmbar. Man erhält für die Spannungen, welche die zufällige Last erzeugt, nachstehende Ergebnisse:

Obergurt max + Sy 0

max — Sy. — 20,5 - 34,9 — 42,4 — 49,0 — 52,2 — 52,2 — 49,0 — 42,4 — 34,9 — 20,5 01    12    23    34    45

0    20,5    34,9    42,4    49,0

— 4,3 —8,7 — 13,1 - 17,4 —21,7 —26,1 —30,4 —34,7 —39,1 —43,5 —55,9 —53,1 t.

max — S

Untergurt max + Sz max — Sy.

0'1'    1' 2'    2'3'    3' 4'    4‘5'    5'6'    6' V    V 8'    8'9'    9'10'    10'11'    11'12'

4,3    8,7    13,1    17,4    21,7    26,1    30,4    34,7    39,1    46,2    43,4 t

0 t

00

05 ©

9 10    1011    1112

§ 37. Besondere Arten von Ausleger-Fäch werksbrücken. Die Ausleger-Fachwerksbrücken haben mannigfaltige Umbildungen namentlich in neuerer Zeit erfahren. Sind n Stützen vorhanden, von denen eine fest sein mufs, die übrigen

22*

wagerecht beweglich angenommen werden sollen, so erhalten wir n -f- 1 Auflagor-bedingungen, da der feste Stützpunkt zwei derselben bedingt. Da die Auflagerwiderstände mit den äufseren Kräften ein im Gleichgewichte befindliches Kraftsystem bilden müssen, so sind im allgemeinen zur Bestimmung der Auflagerwiderstände drei Gleichungen auf-stellbar; es müssen also im allgemeinen n — 2 Gelenke eingeschaltet werden, um das Tragwerk statisch bestimmt zu gestalten, Im häutigst vorkommenden Falle haben wir es mit vier Stützen zu thun und werden die zwei notwendig werdenden Gelenke entweder je eines in den beiden Endfeldern oder beide im Mittelfelde angeordnet. Die Anordnung wird hierbei in der Kegel symmetrisch gestaltet.

Man kann die Anordnung aber auch noch anders troffen. Wird nämlich z. B. kein Gelenk, sondern ein wagerecht bewegliches Lager angeordnet, so kann ein weiterer Punkt der Lager als fester durchgeführt werden, also etwa: A wagerecht verschiebbar, B fest, C gelenkförmig, I) wagerecht verschiebbar, E fest, F wagerecht verschiebbar.

Auf die Art der Lagerung ist besonders dann Augenmerk zu legen, wenn es sich um schief angreifende Kräfte und um die Ermittelung der Verschiebimgspläne handelt.

Fig. 90.

p}-*-

PI

PT

ÎA'

jAçF-—

------Ą

Bei Fachwerksträgern kann die statische Bestimmtheit der Stützenwiderstände auch noch in anderer Weise erzielt werden. Schneider, der Erbauer der Niagara-Brücke, hat die Mittelstützen verdoppelt, demungeachtet aber die statische Bestimmtheit des Tragwerks dadurch erzielt, dafs er die Yerstrebung zwischen den Mittelständern weggelassen hat, wie Fig. 90 zeigt. Dafs in der That hierdurch ebenfalls der beabsichtigte Zweck erreicht wird, zeigt folgende kleine Untersuchung.

Für einen Schnitt I (Fig. 90) mufs die Querkraft Null werden, da die wagerechten Gurte keine lotrechten Seitenkräfte übertragen können. Bezeichnen wir die Stützenwiderstände mit den Buchstaben der Auflager und aufwärts wirkende Widerstände mit dem positiven Zeichen, so liefert uns die obige Bedingung und der Satz, dafs die Summe der Drehmomente um B gleich Null sein mufs, wenn S die Spannung des Obergurtes im Felde BC ist, die Gleichungen:

+ A -f B - P, = 0;

Der mittlere Teil DD' ist als einfacher Träger auf zwei Stützen zu betrachten; er überträgt auf den Auslcgerbalken A D in Punkte D die nach abwärts wirkende

+ Ah — -f Sh = 0.

X,

Kraft P₃ -y-, und das Moment für den Teil rechts des Schnittes, bezogen auf 0, wird

Pa Xa

Po X.2 -j—

h — Sh = 0,

ferner wird die Querkraft:

Pa Xa

-c + p, + y

= 0,

woraus sich berechnet:

c    Pi X 2 t

b = ~bT + -

P\ {h — Xi)

Pa Xa la

P\X\

Pi Xa

Pi Xa h

hh

hh

• PaXa i Pa Xa h

c = Pä 4

Pa Xa

Wie man sieht, wird jede Last rechts der Stütze einen negativen Stützendruck in A bedingen, es mufs daher dortselbst eine kräftige Verankerung angebracht werden, was auch bei der Ausführung des fraglichen Bauwerks geschehen ist.

Fig. 91.

jggjxMxTxi

Die Formgebung des Fachwerks bei neueren Auslegerbrücken ist in der verschiedensten Weise erfolgt. An der Strafsenbriicke über den Main bei Hafsfurt sind im Mittelfelde zwei Gelenke vorhanden und es schliefsen sich die Gurte der Kurve für die Gröfstwerte der Momente an, sodafs wir einen Träger von nahezu konstanten Gurtquerschnitten erhalten. Eine dieser verwandte Form zeigt Fig. 91. Die so erhaltenen Formen tragen dem Schönheitsgefühle nicht immer entsprechend Rechnung*, dieses wird in viel höherem Mafse von Formen befriedigt, die den gegliederten Träger ■ mit der Hängekette verknüpfen und dem Ganzen hierdurch das Aussehen einer Hängebrücke (Fig. 92) geben, obwohl wir es auch hier mit Tragwerken zu thun haben, welche auf die Stützen nur lotrechte Kräfte übertragen, also als Balkenträger bezeichnet werden müssen. Die Berechnung derartiger Trägerformen gestaltet sich aufserordentlich einfach. Die Auflagergegenkräfte werden ohne Rücksicht auf die Trägerform ermittelt. Für die Bestimmung der Stabspannungen wählen wir als stellvertretendes Beispiel zahlreicher anderer Ausführungen die nebenstehende Form. Die von der Ivette zum Träger führenden Hängestangen ersetzen Kräfte, welche in den Aufhängeknotenpunkten der Träger nach aufwärts wirken. Das Hängewerk selbst erscheint als Seilzug, für welchen die lotrechten Hängewerksspannungen die angreifenden Kräfte sind, die wagerechte Spannung des Seilpolygons die Poldistanz des entsprechenden Kräftezuges ist.

Fig. 92.

u----

ï!

JB.

P p’ p

2    .?    *3

Für die Berechnung der Spannungen mögen folgende Andeutungen genügen. Man ermittele zunächst die Stützenwiderstände und Momente unabhängig von der Trägerform unter der Annahme, dafs ein durchlaufender Träger im Mittelfelde mit 2 Gelenken versehen sei, ganz ebenso, wie dies auf T. IV, F, 6 bis 15 geschehen ist. Man bedenke,, dafs in den einzelnen Kettengliedern der Kette G J K die Spannung H. sec a herrscht, wenn mit H die wagerechte Spannung in der Kette bezeichnet wird. Denken wir uns einen lotrechten Schnitt dicht rechts neben BJ geführt, so erhalten wir die Gleichung

P*X 3

Hh = B2 0Co A PA l, = JP₂xA -j-

Lasten innerhalb AB bleiben auf die Spannung der Kette ohne Einflufs. Für Gurtstäbe innerhalb GK ist ein lotrechter Schnitt durch den fraglichen Gurtstab ins Auge zu fassen, an Stelle von M tritt M' -J- H. y, wenn y der Abstand des lotrecht über dem Momentenpunkte des fraglichen Gurtstabes liegenden Kettenknotenpunktes vom Momenten-punkte ist.

u. s. w.

Für die Spannung im Stabe 0 wird z. B., wenn LN = /*„, LH — y ist:

_M + I£.y

Für eine wandernde Einzellast werden die Werte M und // lineare Funktionen der Lastlage. Die Einflufslinien werden geradlinige Züge, ein Satz, der für alle Spannungen der Fachwerksstäbe gilt, falls keine überzähligen Stäbe vorhanden sind.

Fig. 93.

w F

___---360----J

.72, ooo

-----M'360----g*- 7, ISO-4,----

In Fig. 93 bringen wir die Fachwerksanordnung für eine neuere Auslcgerbrücke, welche oberflächlich betrachtet den Eindruck macht, als wenn zur Überbrückung der drei Öffnungen von 20, 50, 20 m lichter Weite zwei seitliche Parallel träger dem einen mittleren Halbparabel träger angeschlossen wären; da jedoch die Stäbe über B und E unwirksam eingehängt sind, liegen ein Kragträger BCDE und zwei einfache Träger AB und EF vor.

Das der Oder brücke bei Schönbrunn²⁸) entnommene Beispiel zeigt a. a. 0. die Ermittelung der Einflufslinien für die einzelnen Stäbe, deren Deutung dem Leser keine Schwierigkeiten mehr verursachen dürfte, weshalb wir auf die Einzelheiten nicht näher cingehcn und in allem übrigen auf die Quelle verweisen.

IX. Statisch unbestimmte Tragwerke.

§ 38. Allgemeines. Bei den durchlaufenden (kontinuierlichen) Trägern, welche ununterbrochen über mehr als zwei Stützen sich erstrecken, sind verschiedene Fälle zu unterscheiden. Besonders einfach gestaltet sich die Berechnung der Fachwerksträger, falls nicht zu viele Stäbe vorhanden sind. Wir wollen diesen einfacheren Fall voraussenden und daran die allgemeine Behandlung des Tollwandträgers schliefsen.

Fachwerksträger auf 3 Stützen. Die Berechnung der Spannungen der Stäbe eines durchlaufenden (kontinuierlichen) Trägers, der auf den Punkten ABC aufruht, läfst sich aufserordentlich einfach durchführen (Fig. 94). Man denke sich zunächst im Punkte C eine beliebig grofse Einzellast Q und bestimme mittels eines Cremonaplanes die Spannungen    u. s. w. in den Fachwerksstäben des frei auf liegenden Trägers

AB. Tun ermittele man nach irgend einem Verfahren (von Williot u. a.) die Dureh-biegungslinie des Untergurtes. In den Figuren I, II, III ist dieselbe als Seilpolygon der Winkeländerungen nach dem bereits früher erörterten Verfahren durchgeführt. Es wurde die Linie AlC.₂Bl erhalten, welche in den Figuren IV, V, VI auf getragen ist. Xun stelle man folgende Betrachtung an.

Um die Spannung Sm irgend eines Stabes zu ermitteln, bezeichne amp jene Spannung, die im Stabe in entsteht, wenn eine Einzellast B — 1 im Abstande 2 wirkt. §cz ist jene Senkung, die im statisch bestimmten Tragwerk im Abstande £ von A eintritt. wenn eine Einzellast Q — 1 in C liegt, £c.c ist die Senkung des Punktes C bei dieser Belastung, ßmo die im Stabe m bei der angegebenen Belastung auftretende Spannung.

2S) Siehe K. Haberkalt über diese Brücke. Wien. Allg-, Bauz. Heft 3, 1900.

Fig. 94.

Kräfteplan derWmkeländerun^en .

Cremcmaplan der T für Q in Punkt C

w

3tt

7*--

Jwnr

WIC

IWII

12

16

A TT/^Ir

ip 2/    ?3 ^5 2j ^

i_V—-nfV-a

\    A—

15    13 // g V 5    3

₃₀ V—Yrt,/<7Ad=j£, ti ,

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llll

[in Hilfslinie für Stab 8

Cn

■OT¹

<?

<h i

B,

1L

IV

B,

[mflufslinie fur den Unteröurt 22

(k

/>

/»

üA₂

jjx

B₂

[mflufslinie für die Di aöonale 9

A,

/»

kPS

B,

VI

iA

rf

P*“p

£U

B₂

Da nach Maxwell ocz = dxc ist, so stellen die Ordinaten des gezeichneten Biegungspolygons für Q = X auch die Werte 8Z0, die Ordinate unter C das occ dar. Die gezeichnete Biegungslinie C₂ B₁ ist also auch die Einflufslinie der Senkungen des Punktes C im frei aufliegenden Trag werk. Die Bedingung, dafs in V irklichkeit die Senkung der Mittelstütze Null sein müsse, führt zur Gleichung

woraus

Die Ordinaten 8„ der Biegungslinie entsprechen den Werten X für P = 8oe.

°cz • P “h Ö.CC • X — 0,

8c z

8c c

p.

Die wirkliche Spannung in irgend einem Stabe ist S,„ =    ßinc X. wenn

die Spannung des Stabes im statisch bestimmten Träger AU bedeutet. Für ein und denselben Stab bleibt ßrac eine konstante Gröfse. Es ist daher von der Spannung des statisch bestimmten Tragwerks eine Spannung abzuziehen, die dem der jeweiligen Lastlage entsprechenden Stützenwiderstand in C proportional ist.

Wenn eine Einzellast P im Punkte G liegt, so niufs Sm gleich Null sein. Bei dieser Lage der Last ist :

X =

Sc c n

Sm e =    - ß,

Sec

rjc, c

P = 0. d. h. =

Soll der Einflufswert für die Stabspannung des statisch bestimmten Tragwerks im Punkte C die Ordinate 5CC haben, d. h. soll ©m = öco sein, so mufs

, wenn ©mc der Wert von ©m ist, der

Pßmc

Sec

— 1, d. h.

Sec

Sec

See

Q ßm c    @m c

durch die in C liegende Last Q erzeugt wird. Aus der letzten Beziehung ergiebt sich

]>

sein, mithin —

die in Fig. 94, 1Y für Stab 8 gezeichnete Konstruktion. Man trägt von C aus Q als Abscisse, ©₈ als Ordinate auf und verbindet die Endpunkte durch eine Gerade, so schneidet eine Parallele durch C₂ auf Ax B{ die Strecke P ab, die der Konstruktion des Einflufspolygons als Einheitslast zu Grunde zu legen ist. Die schraffierten Flächen geben die Einflufswerte. Das Rechteck AL A₂ B, L\ entspricht einer vollen Belastung. Dividiert man diese volle Belastung P L durch den Flächeninhalt der Figur, so kann man den Wert eines cm² bemessen, nach welchem die Einflufsflächen zu bewerten sind. Dieselbe Konstruktion ist in Fig. Y für Stab 22, in Fig. YI für Stab 9 durchgeführt.

Die Berechnung der Spannungen kann genau nachdem allgemeinen Verfahren, angenähert aber geschehen, indem man die Formeln für den vollen Querschnitt zu Grunde legt, die Momente und Querkräfte berechnet oder konstruiert und aus diesen die Gitterstab- und Gurtspannungen nach den bekannten allgemeinen Formeln bestimmt.

Fig. 95.

JE.

-ĘL-4-

Ąr

f-

Z/r+i

r+/

Wir betrachten zunächst einen Fachwerksträger, gehen von der in Fig. 95 ge-

Ar, Ar+1 durch dann bleiben lauter statisch

zeichneten Anordnung aus, ersetzen die oberen Gurtstäbe über A an den Enden angreifende Doppelkräfte X

bestimmte Träger übrig. Bezeichnet man die Längen dieser Felder mit Ll ... L u. s. W., so findet sich leicht für die Spannung S' irgend eines Stabes im Felde Lr

133.

Xr, Xi

r-H i

r—1

Lr

und im Felde Lr+1 ebenso für irgend einen Stab

134.

S" = ©" + a" Xr + ß" Xr+1 wenn ö jene Spannungen sind, die das gegebene Belastungssystem in dem jeweiligen statisch bestimmten Träger erzeugt und a und ß die leicht auf statischem Wege ermittelbaren Einfiufsgröfsen der Stäbe für X = 1 bezeichnen. Die Formänderungsarbeit wird

im Felde Lt S‘²1‘

«r+l = S

wenn /, E und F die jeden einzelnen Stab betreffenden Gröfsen der Länge, der

im Felde Lr+1 S"² v

2 E‘ F‘ ’

2 E“ F“ ‘

EF

Elasticitätsziffer und der Querscjinittsfläclie sind. Bezeiclmct p —

den Formkoef-

iicienten und stellt man die Bedingung auf, dafs die Abgeleitete nach jeder der Gröfsen X — 0 sein mufs, so liefern die Gröfsen 3lr und Str+i, in Bezug auf Xr differenziert, da Xr nur in diesen vorkommt, nach kurzer Rechnung :

Xr-x I p' a' ß' + X, Ï (p'ß'² + p" a"²) + Xr+i Ï p" y."ß" = — £p'ß' <&' — ï p" 7." 0" . . 135. Da nun jede Stütze mit Ausnahme der ersten und letzten eine solche Gleichung liefert, so ist die Aufgabe eine bestimmte.

§ 39. Zeichnerische Behandlung des durchlaufenden Trägers.

Festpunkte.

Die wichtigste, auf zeichnerischem Wege zu lösende Aufgabe ist die Bestimmung- der den Stützen entsprechenden Momente. Gelingt es, die Auflagermomente für den Fall zu konstruieren, dafs nur je ein Feld belastet ist, so erhält man die.

Fig. 96.

I.

t.

«T

w____

‘ft-

’JS

.....^

'B

* i

H.

li

Öl

i*...

AS\<r~Y*

AAS-

verschiedenen, für eine Stütze sich ergebenden Gröfsen durch algebraische Addition der Einzelwerte. Ist allgemein nur ein Feld li in Fig. 96 belastet, so kann man sich die Momentenfläche behufs Konstruktion eines Polygons IY aus positiven und negativen Teilen zusammengesetzt denken : bildet mań aus diesen Flächen mit Hilfe einer zweiten

Für den Linienzug IY lassen sich nun leicht nachstehende Eigenschaften nacli-weisen. Bei gleicher Höhenlage aller Stützen schneidet, wie immer auch ein Feld belastet sein mag, die mittlere Seilpolygonseite jedes unbelasteten Feldes die Achse A A in einem festen Punkte, welcher dem Wendepunkte der elastischen Linie entspricht. Diese Festpunkte liegen immer in den äufseren Dritteln der Felder. Jedes Feld besitzt zwei solcher Festpunkte, je nachdem das belastete Feld rechts oder links liegt. Die der einen Stütze rechts und links zunächst liegenden mittleren Seiten des Polygons IY schneiden sich stets in Punkten einer bestimmten Lotrechten, der verschränkten Pfeilerlotrechten. Diese steht von der nächsten Drittellotrechten des linken Feldes um ein

Poldistanz einen Seilzug, so entsprechen die durch die Auflager gehenden Seiten desselben den Tangenten der elastischen Linie an den Auflagern ; sie werden die Pfeilertangenten genannt. Alle Kräfte in III mit Ausnahme jener, welche der einfachen Momentenfläche des belasteten Feldes entspricht, greifen in Drittelspunkten der einzelnen Felder an. Die jedem mittleren Drittel entsprechenden Seilpolygonseiten nennt man die mittleren Polygonseiten.

Drittel des rechten Feldes ab und umgekehrt. — Die beiden mittleren Seiten eines belasteten Feldes gehen ebenfalls durch die Festpunkte.

Wäre der Träger bei A₂ fest wagerecht eingespannt, so fiele J in die Drittellotrechte. Der beiderseits fest eingespannte Träger kann wie das Feld eines kontinuierlichen Trägers behandelt werden, dessen Festpunkte das Feld in drei gleiche Teile teilen.

Die beiden mittleren Seiten eines belasteten Feldes kreuzen sich in der Schwerpunktslotrechten der einfachen Momentenfläche und schneiden auf den Stützenlotrechten dieses Feldes Strecken ab, welche nur von der Spannweite dieses Feldes und der Belastungsart, nicht aber von den übrigen Feldern des durchlaufenden Trägers abhängig sind.

Da gewisse Eigenschaften des Linienzuges der unbelasteten Felder unabhängig von der Gröfse und Art der Belastung des einen Feldes sind, so kann man die erste Seite des ersten Feldes beliebig wählen und so Vorgehen, als ob vom linken Ende aus mehrere Felder unbelastet seien; man kommt durch Fortsetzung des Linienzuges dann sofort zur Kenntnis der Festpunkte. Die Bestimmung derselben ist bei der zeichnerischen Behandlung jedes durchlaufenden Trägers die erste Aufgabe und für ein Beispiel an F. 9, T. III zu ersehen.

Ist II die unter Annahme eines beliebigen Horizontalschubes II gezeichnete Seillinie von den Ordinaten yj, so liefert die Gleichung für die Formänderungsarbeit bei Vernachlässigung der Einwirkung

-^n

min, d. h. unter

der Schubkräfte und für unveränderlichen Querschnitt die Bedingung H² / rf dx —

Ai

allen möglichen Seilpolygonen tritt jenes« auf, welches sich im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate am innigsten der Trägerachse anschliefst.

Rotiert die Fläche II um An, so entsteht ein Rotationskörper kleinsten Volumens.

Ermittelung der Stützenmomente.

a) Kreuzlinien-Verfahren. Hat man die erste Seilkurve A'A" mit Zugrundelegung der beliebigen Poldistanz h gefunden (Fig. 97), so begrenzt die Schlufslinie A/ An III die sogenannte einfache Momentenfläche. Ihr Flächeninhalt sei 0)?. Ermittelt man mit der

l    i    çro

Poldistanz — und der Kräftelotrechten ~r ein Kräftedreieck, zieht durch einen Punkt der

O    i    ⁷

Schwerpunktslotrechten Parallele zu den Strahlen des letztgenannten Kräftedreiecks, so erhält man die sogenannten Kreuzlinien, welche auf den Pfeilerlotrechten die Abstände T" und Tn abschneiden. Zieht man ferner durch die bekannten Festpunkt«

des Feldes Lotrechte und schneiden diese die Kreuzlinien in den Punkten K und J, so liefert die Verbindungslinie KJ auf den Pfeilerlotrechten unmittelbar die Stützenmomente M' und M". Trägt man diese in Fig. 97, III von A‘ und A!‘ auf, so ergiebt sich die richtige Schlufslinie.

Die Ordinaten zwischen dieser und der ersten Seilkurve geben die Momente Mx. Zieht man zur Schlufslinie JA B" eine Parallele im Kräftepolygon und ebenso eine solche zur Tangente an P' im ersten Seilpolygon, so liefert diese die Querkraft Rx in P.

Der Beweis ergiebt sich sehr einfach, wenn man sich in V das Seilpolygon für die elastische Linie unter Annahme einer Poldistanz — gezeichnet denkt,

wobei die drei Kräfte P, Pn P, durch die Gröfsen

1 M“l ~2 l ’

, dargestellt erscheinen. Aus der Ähnlichkeit der in Fig. 97, V schraffierten Dreiecke ergiebt sich sofort M‘ l

Fig. 97.

also bezw.

an

an

111

II.

ff

\¥"

±..

<-3

1    M'l

2    l ’

M¹ . M“ lind

T-

Tf/

T'

T’ 2

—, woraus Al C —

O

M'

Erwägt man nun,

ebenso ergiebt sich A₂ D — M". dafs die Abstände Jt L und K{ M unveränderliche,

“Ä"

TÄ

nur von der Belastung bezw. dem Abstande der Kreuzlinien abhängige Gröfsen sind, denkt sich die ganze ^ Fig. V um CD umgeklappt und läfst CD an Stelle von At'A!i in Fig. 97, IV treten, so leuchtet die Richtigkeit des Verfahrens für die Konstruktion der Stützen- T momente ein; alles übrige bedarf keiner weiteren Er- ^ örtorung.

_-G

Die Kreuzlinien sind durch die Abstände T und T“ gegeben. Jeder zusammengesetzte Belastungsfall eines Feldes kann in einfache Belastungsfälle 1, 2... zerlegt und für jeden derselben das Wertepaar tjt t./ t.A . . . bestimmt werden, dann ist T' — X t\

T“ = S t". Für solche einfache Belastungsarten 0 lassen sich aber meist kurze Konstruktionen angeben.

IV

T"

IX

W"

II.

W-A U—......

•La

^_____I------>1

\z

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V.

Al

Ä,

iw*

Y.

HR"*

1. Für eine Einzellast. ABC (Fig. 98) sei die einfache Momentenfläche. Man mache A/ (A — CB‘ AB, ziehe A‘ C und B‘ C, so erhält man AF — f und B E — t“. Die Konstruktion der Stützenmomente erhellt aus der Figur. Die Berechnung giebt:

x‘x“ (I J" x‘^

r-

t" = -f G

x‘ x“ (l -f- x“)

Diesc Gleichung läfst sich auch in der Form schreiben: ,/ l + x‘

j// _

l + x“

AP,

Ma das Moment durch die Einzellast G in C ist, woraus sich unmittelbar die

wenn

Richtigkeit der Konstruktion ergiebt.

Fig. 98.

Fig. 99.

Wh-

a\

■■‘x

F-

4—

i-,;

Xf

; jL'r-e»'=x3

i..'-

21/

?'

?"

'A

ijl

Ć"

Sfe

f²-.........f A$Ç-

Fig. 100.

ÏJ

k----Xi

X--------H

ö¹

il

'i

>i

i    ---1-------

Co

2.    Für ein System von Einzellasten. Man verlängert (Fig. 99) je zwei aneinanderstofscnde Polygonseiten und legt durch den Durchschnitt derselben mit den Stützenlotrechten Gerade, diese schneiden die Flöhen lixh.₂ . . . als Strecken ab. Hierauf zeichnet man ein zweites Polygon K₁K₂ Kä . . ., dessen Seiten den Strahlen des Büschels 0 parallel sind. Schneiden die letzten Seiten dieses Polygons die Pfeilerlotrechtcn in J und Es, so ist FJ + E E, = Ï und GE, + EE, = t".

3.    Bei einer gleichmäfsigen Yollbelastung schneiden die von A₁ bezw. A2 durch den höchsten Parabelpunkt gezogenen Geraden die Werte t* und t" auf den Pfeiler-

lotrechten ab (s. Fig. 100), im besonderen wird

. .

!    4. Für eine teilweise gleichmäfsige Belastung

besteht die Momentenfläche aus dem Abschnitte Al H C‘

•    einer Parabel (Fig. 101), welche man wieder am leich-

;    testen mit Hilfe einer Schablone (vergl. S. 292) zeich-

^ net, und aus einem Dreiecke, dessen Seite C‘ Bx berührend an die IJarabel schliefst. Die Parabeltangentc Ax D und die Gerade B₁ D schneiden kich im Abstande

von A. Macht man C E = G JE so hat das Poly-

gon A, E C' Bi mit der Momentenfläche gleichen Inhalt und dieselbe Schwerpunktslotrechte, es können daher für dieses Polygon die Abstände ti und t" direkt nach dem unter 2. Gesagten bestimmt werden, doch führt hier die Rechnung meist schneller zum Ziele. Setzt man für 1 ri

Yollbelastung t — -- ql² und y = v, so ist:

f = A (2 — Vs) t‘, t" = v- (2 — v)²1 .    .    138.

Aachstehende Tabelle zeigt einige berechnete

Fig. 101.

~’K

t = t* = t“ =

. . 137.

i-

rr

HF

i.

Am

Werte :

tu

0,25    0,121091    0,19141 /

0,50    0,437504    0,562501

0,75

1,00

0,80859 t    0,87891 1

1,00000*    1,00000/.

Beicht die Last von der rechten Stütze auf die Strecke £ in das Feld, so sind die "Werte /' und t" entsprechend zu vertauschen.

Yon besonderer Wichtigkeit erweist sich für graphische Ermittelungen der Abstand Ax F = c7, welcher ganz unabhängig von der Lage der Punkte Ax Bx ist und sofort die Ermittelung der Tangenten an die Momentenfläche in Ax und Bx erlaubt, da I) in der Halbierungslotrechten von £ liegt. Nun ist d: -~-= q^:h, also d — wenn h der zur Festlegung der Momentenfläche benutzte Polabstand ist. Für Vollbelastung wird

\ rl F •> d — ~ ql* = 2 /, man hat daher 2 / :    — q l : h. woraus sich ergiebt:

* = ²(łP

Macht man B K = 2 /, wobei A K Tangente an die Parabel für volle Belastung wird, und BL — BK.

139.

so schneidet die Lotrechte durch C das Stück d ab.

Beispiele. In F. 9, T. III haben wir an einem Träger AB CD mit drei Feldern von den Längen h, l, h zunächst die aus § 39, S. 346 bekannte Konstruktion der Festpunkte durchgeführt. Hieran schliefst sich die Ermittelung der Stützenmomente für verschiedene Belastungsfälle (s. F. 11).

Im Felde A B stellt die eingezeichnete Parabel zunächst jene Momentenkurve dar, wrelche entstände, wenn A B an den Enden frei aufläge und der Träger voll belastet wäre. Die Kurve selbst zeichnet sich am einfachsten mit Hilfe einer beliebigen Parabelschablone, durch deren Annahme jedoch der Mafsstab für die Momente bereits bestimmt ist. Verbindet man den Scheitel der Parabel mit A und B, so schneiden die Geraden auf den Stützenlotrechten den Abstand Ti ab, welcher einer vollen Belastung des ersten Feldes entspricht. Kennt man Ti, so ist es leicht, durch Zeichnung oder Be-rechnung die Werte Ts T> Ti zu erhalten, welche der linksseitigen Belastung von    des Trägers

A B entsprechen. Die Verbindungslinien der Endpunkte dieser von A aus aufgetragenen Strecken T

schneiden auf der Lotrechten durch den Festpunkt F‘x Stücke ab, deren Endpunkte mit A verbunden die

4

- von

12    3

Stützenmomente Hl, B 2, B 3, 154 in B geben, welche der linksseitigen Belastung von —, —, —

A B entsprechen.

In entsprechender Weise erhält man in F. 11 die Stützenmomente B 5, B G, B 7, B 8 in B, sowie die Momente C5, CG, C7, C8 in C, welche der linksseitigen Belastung von A A, ~, A von B C ont-sprech en.

Man schreitet nunmehr zur Konstruktion der negativen Gröfstmomente ; dieselbe ist in F. 13, T. III versinnlicht. Für alle Punkte zwischen A und F‘\ ist hierbei nur das Mittelfeld belastet an-

zunehmen (Belastungsschema I). Die Momente in AB werden durch eine Gerade dargestellt; diese schneidet von A ausgehend auf der Lotrechten in B ein Stück HO" ab, welches dem Stützenmomente (B 8 in F. 11) bei voller Belastung des Mittelfeldes entspricht.

Ist ein Viertel des Feldes A B von der zufälligen Last bedeckt, so ist diese Laststellung die ungünstigste für einen Punkt, in welchem das Moment = 0 wird, wenn in 1 (F. 12) eine Einzellast liegt. Diesen Punkt, welcher zwischen F‘i und B liegt und den man leicht mit Hilfe einer Einzellast in 1 konstruieren könnte, brauchen wir jedoch zunächst nicht zu kennen, da sich die Kurve, welche die Gröfstmomente (— M) zwischen F\ und B darstellt, direkt als Umhüllte ihrer Tangenten ermitteln läfst. Als Tangenten treten die Geraden der Momentenfläche für einseitige Belastung auf, welche dem nicht belasteten Teile des Feldes entsprechen. Kennt man die Stützenmomente, welche dem zu betrachtenden Schema angehören, so hat man in unserem Falle nur vom Endpunkte des linksseitigen Stützenmomentes (in A B stets 0, also von A aus) den Abstand di aufzutragen (s. Fig. 101) und den so erhaltenen Punkt V“ mit dem Endpunkte des rechtsseitigen Stützenmomentes 1" zu verbinden. 1", wird erhalten, indem man das Moment, welches in B entsteht, wenn Al (Belastungsschema II) mit der Last bedeckt ist, vom Punkte 0" (in F. 13) aus aufträgt. Das benötigte Moment wird aus F. 11 entnommen.

Die zu dieser Konstruktion dienenden Werte d sind in F. 13 wie folgt ermittelt (schwarze Linien). Es wurde Ach = 2 Ti gemacht und diese Strecke in vier gleiche Teile geteilt, die Teilpunkte mit B verbunden. Die so erhaltenen Strahlen schneiden in den Lotrechten durch A, 1', 2', 3' Strecken ab, welche den Werten ch, ch, cl-2, d\ entsprechen, di ist besonders hervorgehoben. In entsprechender Weise Avie die Tangente 1"' 1" findet man die Tangenten 2"' 2", 3'" 3", 4"' 4".

Im Mittelfelde B C wurde ebenfalls zunächst (F. 13) die Kurve der negativen Gröfstmomento zwischen F‘2 und C als Umhüllte ihrer Tangenten 0 0, 5'“ 5'', 6‘" 6" u. s. w. konstruiert. 710 und C 0 entsprechen den Momenten in B und C für Belastungsschema YI; die weiteren Tangenten 5'" 5“ u. s. w. den Schemen VII, VIII, IX, X. Um die Punkte 6"' u. s. w. zu finden, hat man von 0 aus auf der Stiitzenloti'eohten von B den Wert de — M& aufzutragen, wobei die Werte d im Felde B C ebenso wie

in A B konstruiert wurden. Die Punkte 5" 6" auf der Lotrechten C liegen in Abständen von 0, welche

12

den Stützenmomenten in C entsprechen, wenn — , --- u. s. w. des Feldes B C belastet sind.

Auf die Konstruktion dieser Kurve als Umhüllte folgt die Konstruktion für die übrigen Punkte, für welche sich die Kurve der max (— M) aus der Symmetrie ergeben.

Die Kurven für max(-f- M) kann man sofort erhalten, wenn man die Werte für max{— M) algebraisch von den Ordinaten für volle gleichmöfsige Belastung abzieht. Die Kurven für volle gleich-mäfsige Belastung lassen sich mit Hilfe der Parabelschablone sofort zeichnen, wenn man berücksichtigt, dafs sie auf den Stützenlotrechten Abschnitte erzeugen, welche der Summe der Momente bei Belastung aller Felder entsprechen.

Die Konstruktion der Querkräfte gestaltet sich äufserst einfach, wenn man bedenkt, dafs die unter F. 12 gegebenen Belastungsschemen den ungünstigsten Belastungsweisen hinsichtlich der Werte max(—7?) für die Punkte 0, 1, 2, 3, 4 (dicht links), 4 (dicht rechts), 5, 6, 7, 8 entsprechen. Trägt man von den Fufspunkten der Lotrechten 0, 1, 2 ... in F. 14 die Poldistanz a auf und zieht durch die Endpunkte Parallele zu den Tangenten 0 0", 1'" 1", 2"' 2" . . . in F. 13, so schneiden diese direkt die AVerte max{—7?) ab. Die AVerte max{-\- 7?) erhält man wieder durch algebraische Subtraktion von den Ordinaten, welche einer vollen gleichmäfsigen Belastung aller Felder entsprechen und in F. 14 durch rote zu einander parallele Gerade dargestellt werden.

Die Figuren 15 bis 17, T. III zeigen die Ermittelung der Querkräfte und Momente für volle gleich-mäfsige Belastung, wie sie u. a. der Einwirkung des Eigengewichtes entsprechen. Die Konstruktion erklärt sich aus dem Vorhergehenden. Unter Benutzung von Parabelschablonen ist die ganze Darstellung in wenig Minuten gemacht und so recht angethan, die aufserordentliche Einfachheit der graphischen Arerfahren darzulegen.

Hat man eine durch Zahlen gegebene bestimmte Belastung q im Auge, so erfordert die Ermittelung der Mafsstäbe, welche ein unmittelbares Ablesen der Querkräfto und Momente in Tonnen und Metertonnen gestatten, noch einige Erwägungen, welche sich aus nachstehendem Beispiele ergeben. Das gezeichnete Schema auf T. III ist für alle Träger benutzbar, für Avelche -- = ist. Die beliebig angenommene Schablone für die Parabel und die gewählte Poldistanz a ist direkt brauchbar. Wäre nun z. B. h = 40 m und mithin l = 50 m, so hat man, da in der Zeichnung A B = 40 mm ist, die Einheit des Längenmafsstabes — 1 mm zu wählen, d. h. es bedeutet 1 mm in der Zeichnung = 1 m.

Wäre q für die Momente = 2,3 t f. d. lfd. m eines Trägers, so wird — ql² = 718,75 mt und da in unserem Falle die Strecke ql² durch eine Länge von 19 mm dargestellt wird, so bedeutet 1 mm Zeichnung als Momentenordinate abgelesen '¹⁸’‘⁵ = 37,8 mt oder man hat einen Mafsstab zu kon-struieren, auf dem die Einheit, eine Metertonne repräsentierend, durch -_ —= 0,0264 mm dargestellt erscheint.

Wäre q für die Querkräfte = 2,5 t f. d. lfd. m eines Trägers, so ist ql — 2,5 x 50 = 125 t. In unserem Beispiele wird diese Gröfse durch eine Strecke von 23 mm dargestellt, es bedeutet daher 1 mm Zeichnung als Querkraftsordinate abgelesen auf welchem die Einheit, eine Tonne repräsentierend, durch = 0,184 mm sich ausdrückt und mittels dessen die Querkräfte in F. 14, T. III direkt in Tonnen abgelesen werden können.

b) Verfahrungsweise auf Grund der FWerte (Müller-Breslau). Wir haben die geometrischen Beziehungen kennen gelernt, die zwischen den Grüfsen der Gleichungen nach Clap eyr on’scher Art bestehen (8. 285).

125

23

= 5,4 t oder man hat einen Mafsstab zu konstruieren

f Fig. 102.

Tfb- 1

TW

TJb+1

“*1

WUT

vm

-V,»—

___A

—y—V— -Ä—

C,

8:

&r,

nv

An Stelle der Gröfsen W, X₂, Xs auf S. 285 treten hier die Werte Mm—i, Mm, Mm+i. Sind d,/„ und h" die Stützendrücke, welche die einfachen Momentenflächen 9Jîn,, 3)îm+i an Stütze ni erzeugen, wenn man sich die Felder als einfache Träger denkt, sind

ferner £' bezw. £" die Abstände der Schwerpunkte dieser Momentenflächen von den

4'

Stützen m — 1 bezw. m-f-1, ist also =

5"SWm+l

LT

lm-\-1

, so wird

Mm_i lm -f- 2 Mm (/m -j- Zm+i) -f- Mm+i 4+i = 3 (Zm -j- Gi+i) f m*

2 (Um -p ffm)

2 E J om

^m + l

om ist die lotrechte Verschiebung des Stützpunktes m gegen die Verbindungslinie der beiden anderen. A t ist der Unterschied der Temperaturerhöhung im obersten Punkte des Querschnittes gegen diejenige im untersten Querschnittspunkte; die Temperaturänderung ist im Querschnitte linear veränderlich angenommen; s ist das Verlängerungsverhältnis für eine Temperaturerhöhung um 1° C. At, t und s sollen überall gleich sein.

wenn

zEJ At

lm -p ön+1

Das zweite und dritte Glied wird man am besten durch Rechnung bestimmen, das erste Glied läfst sich leicht, wenn man es nicht auch durch Rechnung bestimmt, aus den Kreuzlinien ermitteln, wodurch gleichzeitig der Zusammenhang beider V erfahrungsarten gegeben ist.

Für eine gleichförmig verteilte Last g wird

isT    4 + 1    4+l)*

Vm

_ g (lm F lm+\)

12 (lm -p Zm+l)

Sind die in den Schwerpunktslotrechten der einfachen Momentenflächen 3)tm und 3)2m+i sich schneidenden Kreuzlinien gegeben, so stellen, wie sich leicht einsehen läfst, die schraffierten Dreiecksflächen die 3 fachen Stützendrücke und h" der einfachen Momentenflächen an Stütze m dar. Führt man durch eine aus der Figur leicht ersichtliche Konstruktion die beiden Dreiecksflächen auf ein flächengleiches Trapez von der Basis

2

/m -J- /m+i zurück, so ist die Gröfse Vm durch t

des Wertes der mittleren Höhe dieses

Trapezes gegeben.

Unter Zuhilfenahme der für jede Stütze ermittelten Werte V ist es nunmehr leicht, die Stützenmomente eines durchlaufenden Trägers zu bestimmen, wenn man zwei derselben, z. B. das über der ersten und letzten Stütze, die meist Null sein werden, kennt. Das Verfahren ist in der Figur gezeigt. Trägt man in den verschränkten Auflagerlotrechten die zugehörigen Werte V auf und zieht durch die Festpunkte Lotrechte, ferner nach vorwärts den Streckenzug 0 V\ Jz V2 V3 Ja, so liefert am Rückwege der Linienzug 4 J\ III II J21 0 die Schlufslinien der einfachen Momentenfläche.

Das Verfahren ist sehr übersichtlich und insbesondere dann von Autzen, wenn es sich um den Einflufs von Stützensenkungen, ungleiche Erwärmung u. s. w. handelt. Für lotrechte Belastungen führt das Kreuzlinien verfahren etwas rascher zum Ziele, da die Ermittelung der V hinwegfällt.¹)

§ 40. Durchlaufende Träger. Einflufslinien der Momente und Querkräfte.

Für die Berechnung der inneren Kräfte vollwandiger Träger, sowie zur Ermittelung näherungsweiser Werte für die Spannungen in Fachwerksträgern dieser Art erscheint es zweckmäfsig, die Einflufslinien für die Momente und Querkräfte zu konstruieren. Den Trägerquerschnitt wird man hierbei wohl stets als unveränderlich einführen, um die Ermittelung nicht zu umständlich zu gestalten. Es giebt verschiedene Verfahrungsweisen, diese Einflufslinien zu ermitteln. Wir wollen drei derselben etwas näher behandeln.

1.    Man teilt jedes Feld des durchlaufenden Trägers in 5 bis 10 Teile, nimmt in jedem Teilpunkt der Reihe nach eine gleichbleibende Strecke als Einzellast an, ermittelt für jede Lastlage den Seilzug und legt auf Grund dieser Seilzüge für jeden Querschnitt die Einflufslinien fest. Das Verfahren ist etwas langwierig, doch höchst einfach, da zudem nach dem Kreuzlinien verfahren nach S. 346 sich die Seilzüge für die Einzellasten leicht festlegen lassen. Wir erläutern das Verfahren weiter unten durch ein Beispiel.

2.    Man kann die Einflufslinien unmittelbar für jeden Querschnitt eines durchlaufenden Trägers als Seillinien konstruieren, wenn man bestimmte Flächen und Einzellasten als Belastungen annimmt. Ein bezügliches Vorfahren zeigt Müller-Breslau im Taschenbuch ,,Die Hütte“ 1899, II. S. 432.

Berlin 1899.

Fig. 108.

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x;

Der Verfasser bringt in Folgendem ein etwas anderes Verfahren.

3. Aus den Einfiufslinien für die Stützendrücke, die sich unmittelbar als Seillinien bestimmter Belastungsflächen ergeben, lassen sich ebenfalls leicht die Einflufs-linien für die Querkräfte und Momente bilden. Ein Beispiel ist auf T. III, F. 19 bis 27 gebracht, und findet bei der Beschreibung des Stützendruckverfahrens nähere Erläuterung.

Zu 1: Beispiel zu Verfahren 1.

Für den durchlaufenden Träger AB C D (s. T. II, F. 6 bis 10) wurden in 1 zunächst die Festpunkte bestimmt und sodann für eine Last Gr, die in unserem Beispiel = 2 cm gemacht wurde, nach dem in Fig. 98 auf S. 348 gezeigten zeichnerischen Verfahren der Reihe nach für die Lage von Gr in 1,2,3... die Stützenmomente konstruiert, welche Konstruktion in F. 7, T. II als Beispiel herausgehoben ist. Bei Kenntnis der Stützenmomente ist es möglich, für jeden einzelnen Belastungsfall (G in 1, 2, 3 . . .) die Momentenfläche zu zeichnen, wenn man bedenkt, dafs bei unbelastetem Mittelfeld die Momentenlinie durch den Festpunkt FV, in C‘ D/ durch D‘ gehen mufs, bei belastetem Mittelfeld aber die Endpunkte der die Stützenmomente über den Stützen B‘ C darstellenden Strecken B‘ 5, B‘ 6 . . ., C‘ 5, G‘ 6 mit den Punkten A' und D‘ zu verbinden sind.

Trägt man die einzelnen Abstände, welche die so erhaltenen Momentenkurven in der Ordinate eines bestimmten Querschnittes, z. B. 2, abschneiden, in jenen Punkten auf, welche den Lastlagen entsprechen, so erhält man die dem Querschnitte (2) entsprechende Einflufslinie. Die im besonderen betrachtete Linie 2 (s. T. II, F. 10) steigt von A bis 2 an, erreicht in diesem Punkte ihren Grüfstwert und besitzt daselbst eine Spitze, fällt nunmehr gegen B ab, erreicht in Nähe des Punktes x‘ ihren negativen Grüfstwert, geht durch C und wird nun wieder positiv. In F. 9, T. II sind die Einfiufslinien der Querkräfte gezeichnet. Man erhält für jeden einzelnen Querschnitt, z. B. 2, die Querkräfte sehr einfach aus F. 8, wenn man zu jeder Momentenlinie in 2, welche dem Belastungsfalle G in 1, 2, 3 . . . entspricht, eine Parallele im Kräftepolygon IV zieht; die Strecke, welche die Parallele vom Fufspunkte einer Wagerechten durch den Pol gemessen auf der Lastlotrechten abschneidet, giebt die dem Belastungsfalle zukommende Querkraft, welche an der Lastangriffsstelle aufgetragen wird. Da (Querschnitt 2 in Betracht gezogen) in diesem Querschnitte 2 die Momentenkurve, wie F. 7 zeigt, eine Ecke besitzt, so entsprechen dieser Ecke zwei Werte der Querkraft, die in F. 9 als positive und negative Ordinate in 2 mit ersichtlich sind. Für alle Querschnitte eines Feldes wird die Einflufslinie der Querkräfte in den anderen Feldern ein und dieselbe, so ist (F. 9) z. B. für alle Querschnitte 0, 1, 2, 3, 4 die Querkrafts-Einflufslinie für das Mittelund Endfeld durch die eingezeichnete kräftige Linie dargestellt.

Die in F. 6 bis 10 eingezeichneten Gebilde sind für jeden beliebig langen durchlaufenden Träger von drei Feldern verwendbar, für welchen das Verhältnis der drei Felder dasselbe wie in unserem Falle, nämlich 4:5:4 ist. Wir wollen zeigen, wie die entwickelten Einfiufslinien zur Bestimmung der äufseren Kräfte für einen durchlaufenden Blechträger von 8 + 10 -j- 8 m Stützweite benutzt werden können.

Durch die gegebene Felderlänge ist nunmehr der Längenmafsstab gegeben; er wird 1 cm Zeichnung = 2 m Wirklichkeit. Hiernach sind auch die Abstände der Lasten, welche durch die in F. 13 gezeichnete Lokomotive dargestellt werden, gegeben. In F. 9 ist die ungünstigste Stellung der Lokomotive für den Querschnitt 4 eingezeichnet. Der Mafsstab für die Querkräfte wurde so bestimmt, dafs Gr — 2 cm = — t gesetzt wurde. Es giebt dann beispielsweise Qi in F. 9 den Beitrag, welchen ein Lokomotiv-Raddruck von 13 t für die Querkraft in 4 eines Trägers leistet. Die Ordinaten Qi Qó • rühren von Raddrücken gleich 9 t her, sie dürfen daher nicht einfach addiert werden, sondern sind vorher in dem Verhältnis von 9:13 zu verkleinern, was mit Hilfe eines Reduktionswinkels geschah. — Die Stellung Qi' Q»¹ Qim ersten Felde (F. 9) entspricht der gröfsten positiven Querkraft bei Belastung dieses Feldes für alle Querschnitte des Mittelfeldes.

In F. 15, T. II wurde das für jeden Querschnitt erhaltene Ergebnis für max B, aufgetragen, doch Platzmangels halber nicht die ganze Summe der in F. 9 addierten Ordinaten, sondern nur ⁴/s derselben; aus diesem Gnmde mufste daher auch der Mafsstab im selben Verhältnisse geändert werden. Alles übrige ist aus der Figur klar.

Bei Bestimmung der Momente handelt es sich zunächst wieder um Ermittelung des Mafsstabes. Nach dem für unser Beispiel gegebenen Längenmafsstabe gemessen ist die Polweite des Kräftepolygons 2 m ; es bedeutet daher die Einheit des Ivräftemafsstabes, welche oben mit ^ mm — 3,08 mm bestimmt wurde, 2 mt, d. h. man hat als Einheit für den Momentenmafsstab 1 mt = 1,54 mm anzunehmen. In

23

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2.    3. Aufl.

F. 10 ist die ungünstigste Stellung des Lastsystems für Querschnitt 2 eingetragen. Die Ordinaten wo mi ms,, einer Last von 13 t für beide Träger entsprechend, geben addiert den Gröfstwert des Momentes für 2, soweit die Belastung des ersten Feldes in Betracht kommt. Einer Belastung des letzten Feldes entsprechen

die Ordinaten mi¹ m2¹ m3¹. Würden neben den 13t-Lasten noch solche von 9 t Platz finden, so wäre die den 9 t-Lasten entsprechende Or-dinatensumme der vi mit Hilfe des Reduktionswinkels auf ⁹/is ihres Wertes zu reduzieren.

In F. 14 sind die Gröfstwerte der Momente für alle Querschnitte zusammengestellt. Platzmangels halber wurde aber auch hier nur ⁴/ö der jeweilig in F. 10 erhaltenen Summe aufgetragen, weshalb auch der Mafsstab für die Momente im Verhältnisse 4 : 5 zu verändern war. Die parabelähnliche, gestrichelte Kurve K in F. 14 entspricht der Belastung des ersten, die Gerade L der Belastung des letzten Feldes. Die Gerade der negativen Momentenfläche des ersten Feldes in F. 14 entwickelt sich bei belastetem Mittelfelde. Der krumme Ansatz an diese Gerade unterhalb B im ersten Felde * rührt von der Belastung des ersten Feldes für solche Punkte her, welche innerhalb des Festpunktes dieses Feldes und der Stütze liegen. 3^2 ist ein solcher Punkt. In ähnlicher Weise erklärtsich dasSchema im Mittelfelde.

Fig. 104.

Al*

rn*

wÊÊÈÊb.

A'L

v !    .5 J A*

ç.

//

c.

-jG

M"

Zu 2: Weiteres zu dem Verfahren 2.

Sind die Festpunkte eines Feldes eines durchlaufenden Trägers gegeben, so kann man aus den Abständen dieser Festpunkte und der Feldlänge unmittelbar die Querkräfte und Momente für jeden Punkt des Feldes berechnen, die eine beliebige Belastung dieses Feldes erzeugten.

Für ein beliebiges Feld von der Länge l bedeute M' das Stützenmoment für die linke, M" jenes für die rechte Stütze, u und v seien die Abstände eines Querschnittes C von der linken bezw. rechten Stütze, Bv und Ma die Querkraft und das Moment, wenn der Träger frei an den Stützen aufläge, dann ist die wirklich auftretende Querkraft

Bn = Ra +

Mn — MJ

und für das Moment:

140.

Sind T und T" die Abstände der Kreuzlinien, so findet sieb aus Fig. 97, IY, S. 347 :

K‘ r " — K" V

K“ i“ V — ï 7"

Die Ausdrücke für die Kreuzlinienabstände V und T" für eine Einzellast G lassen sich auch in der Form schreiben

r = G.i.(I

-e-i-Gr—Ç-)*

wenn x⁴ und x⁴⁴ die Abstände der Last von der linken bezw. rechten Stütze sind.

l³)

141.

JV/

142.

Hat man es mit einer Dreieckbelastung zu thun, deren Höhe links wi,, deren Höhe rechts mr ist, so wird die Ordinate z⁴ der Seillinie im Abstande x⁴f wenn b die Ver-wandlungsbasis für die Flächen und H der Horizontalschub ist, mit welchen die Seillinie ermittelt wurde:

b . z⁴ .H =

mr . V f x‘    x¹³ \

6    ' VI    W

b . z⁴⁴. H —

mi .l²    /

6    ’ V

x“

x“³ \

la ) '

Die Division beider Gleichungen giebt, wenn man G — 1 setzt:

. 2';

T⁴ =

6 H.b

Vlr . I

y// _

m\ . I

. Z⁴⁴ .

Je " . Ï

~är~’ m'=-

M⁴ = - (z⁴ + 2-) . G = Zi. G.

Die Ordinaten der Einflufsfläche für das linke Stützenmoment entsprechen also den Ordinaten einer Seillinie für eine bestimmte Belastungsfläche. Diese ist durch die Strecken A⁴ A* und A⁴⁴ H** gegeben. Letztere werden erhalten, wenn man durch K eine Gerade zieht, welche auf der Lotrechten durch J die Strecke i⁴ abschneidet. Entsprechend erhielte man die Belastungsfläche für die Seillinie von M⁴⁴, wenn man durch .7 eine Gerade zieht, welche auf der Lotrechten durch K die Strecke k4/ abschneidet; oder durch M⁴⁴ — z₂. G.

In Fig. 104 ist die Seillinie gezeichnet.

Diese Konstruktion ermöglicht ohne weiteres die Ermittelung der Einflufs-linie für einen beliebigen Querschnitt C. Sie ist die Seillinie einer in G nach oben

/.

Macht man H = — ; b — l:

b

mr =

h‘ .%•    . ,

---, so wird :

o ’

Fig. 105.

ir

Ä,

:a

2: a///.

II

K~

~>ir

"2

wirkenden Einzellast Q — und einer nach unten wirkenden trapezförmigen Belastungsfläche. Letztere wird auf Grund folgenden Verfahrens erhalten. Man trage die Abstände u und v des Punktes C von A⁴ und B⁴ in A⁴ und B‘ als Ordinaten A⁴ A* — w, B⁴ B* — v auf (Fig. 105): dann schneiden die Verbindungslinien A⁴ B* und A* B⁴ auf den Lotrechten durch die Festpunkte J und K Punkte J4 und K⁴ ab, die der oberen Begrenzungslinie der trapezförmigen Belastungsfläche entsprechen. Der Beweis ist leicht zu erbringen.

c.

ns*

23*

Es wird :

Mu = m„

. G — y .    . G — y . et. G =

Fig. 106.

I A*

Li '

i-

J’A

rL

JC

AAA.

. 6r — # . G

wenn ^ und #₂ die Einflufs-werte der Stützenmomente M' und M" sind. ma sind die Ein-flufs werte für A B als einfachen Träger. Sie entsprechen den Ordinaten eines Seilpolygons für eine Einzellast

4-, wenn als Poldistanz 4- ge-6 ⁷ 6 °

wähltwird. Die beiden übrigen Glieder entsprechen den Ordinaten der Seillinie für eine trapezförmige Belastungsfläche; für x' — i' wird zx = ü, = 0, also z = y • V -, für x‘ = k!‘ wird z₂ — k" und = 0, also z — -j- . k‘\ woraus sich die Richtigkeit der angegebenen Konstruktion leicht erkennen läfst. Die Konstruktion der Seillinie ist in Fig. 105 dargestellt.

Einflufslinie der Querkraft. Der Ausdruck

s.

1,1

AZ?

7?„ =    -

läfst sich auch schreiben:

R — Ja g —    — G .

V"

Al

Denkt man sich die Gröfse G durch die Strecke l ausgedrückt, so wird

R,. = ra — O* — *,) .

Fig. 106 zeigt die Konstruktion der Einflufslinie.

Zu 3: Weiteres und Beispiele zu dem Verfahren 3.

Für vollwandige Träger oder Näherungsrechnungen empfiehlt sich wohl das Verfahren mit Hilfe der Ermittelung der Stützendrücke. Ein durchgehender Träger ruhe auf den festen Endstützen A₀ An, auf den Zwischenstützen Al A₂ . . . An_x und sei irgendwie belastet ; die Zwischenstützen sollen die Senkungen sx s₂. . . u. s. w. erfahren.

1. Man denke die Zwischenstützen hinweg und bestimme die Durchbiegungen «! a₂... des nunmehr verbleibenden einfachen Trägers an den Stellen Ax A₂. . . An_x der Zwischenstützen.

2. Man bringe der Reihe nach die nach aufwärts gerichteten, zunächst beliebigen Kräfte X, in M₁₅ X₂ in A₂, X₃ in A₃ u. s. w. an und bestimme die Hebungen, welche jede von ihnen für sich am einfachen Träger A₀ An erzeugt; es möge hierbei allgemein 8UV die Hebung sein, welche in Au entsteht, wenn in Ay die Einzellast 1 nach aufwärts wirkt.

3. Die Bedingung, dafs die endgiltigen Senkungen der Stützen A, A.L u. s. w. die Werte s₂ u. s. w. betragen müssen, liefert die Gleichungen: s₁ = ct₁ - önXx    S₁₂ X₂    ó₁₃ X₃ . . .

n — 1 Gleichungen,

S₂ ß’2    8₂i Efj    822 -X-₂    893 ~X₃ ...

woraus die Stützendrücke Xl X₂ ... Xn_, u. s. w. ermittelt werden können, denn nach dem allgemein bewiesenen Gesetze der gegenseitigen Verschiebungen murs stets §₁₂ = 8^, ouv — Sy u sein u. s. w. Die Gröfscn S sind von der Belastung unabhängig.

Fi g. 107.

Für die Berechnung der Durchbiegungen bei Einzellasten kann die auf S. 305 bereits gegebene Formel benutzt werden, welche wir nochmals an führen.

Es ist (Fig. 107) die Durchbiegung 8UV in Au für eine Einzellast X in Ay und umgekehrt:

' 3UV =

------*

6 EJl

(F — u² — v²) X . .    143.

X—1>

A,

Beispiel a. Gegeben ein durchlaufender Träger auf zwei Mittelstützen, gleichlange Felder. Wir teilen (Fig. 108) die ganze Länge in 12 Teile und berechnen die einzelnen Werte der Durchbiegungen tu und «₂ in Ai und Ai, wenn eine Einzellast in -E- l, X- i Ut Si w> liegt, immer unter Anwendung der

12    12    1    I    g

Formel 143. Wir ermitteln z. B. «kd für eine Einzellast in Pi in —— l, indem wir u =    l, v — -~₂~ l

setzen und erhalten:

1 Z⁴ 1.8 ( 12² l² 8² ^ T) Ctl(1) — 6 EJ ' 12 . 12 V122 _ 12² ~~ Ï2'⁷/ ¹¹ ~

Fig. 108„

158 . I*

6 . 36 . 144 EJ

Pi.

hi

■>

dj

Ao

■f

\p₂    \p₃ \ps \pff \p₇ \ą    \Pj0 \P/f

Im weiteren genügt es, nur den Zahlenkoefficienten des Zählers einzustellen. Die Koefficienten von Xi und X₂ werden erhalten, wenn man einmal u = v =    7, einmal u — l, v = l setzt.

Die Addition aller Teilwerte a liefert die Gleichungen:

158 Px + 304 Pi + 426 P₃ + 512 Pi + 550 P₅ + 552 Pö = 512 Xi + 448 Xa .. . .

127 Pi + 248 P₂ + 357 Pa + 448 Pi + 515 Ps + 552 Pa = 448 Xi + 512 X₂.. . .

Die Auflösung dieser Gleichungen giebt:

Xi =

Pi + 0,828 Ps + 0,575 Pa,

0,391 Pi + 0,725 P₂ -f 0,947 P₃ -f X₂ = — 0,094 Pi — 0,150 P₂ + 0,133 P₃ + 0 . Pi -f- 0,281 Ps + 0,575 P₆.

Die Koefficienten von P sind die Ordinaten der Einflufslinien für den Stützendruck in Ai und Ai, für Lastlagen bis zur Trägermitte, der weitere Verlauf der Linien ergiebt sich aus der Symmetrie.

Mit Hilfe dieser Einflufslinien ist man im Stande, die Stützendrücke für jede beliebige Belastung uąd damit die äufseren Kräfte zu ermitteln.

Beispiel b. F. 19 bis 27, T. III zeigen die graphische Lösung der vorliegenden Aufgabe. Wir wissen, dafs die Einflufslinio für die Durchbiegung im Punkte 1 eines Trägers, dem linken Mittelauflager in F. 20, der auf den Endstützen 0 und 26 aufruht, gleichbedeutend mit der Biegungslinie für eine Last P = 1 in diesem Punkte ist. Diese Biegungslinie aber ist eine Seillinie, für welche die Momentenfläche für eine Last P = 1 die Belastungsfläche ist. Diese Momentenfläche wurde in F. 20 unter Annahme eines Kräfteplanes F. 19 ermittelt, und durch Schraffierung hervorgehoben. Unter Zuhilfenahme einer zweiten Poldistanz wurde das Kräftepolygon F. 21 und mittels dieser die Seillinie gezeichnet.

Man könnte sie ebenfalls unmittelbar unter Berücksichtigung der in § 18 gegebenen Regeln nach der Tabelle auftragen. Die Bedingung, dafs die Durchbiegung in 1 Null sein müsse, liefert die Gleichung

Xl Oll -f- X-i 021 = P Oul,

wenn mit der zweiten Index-Ziffer die Stütze, mit der ersten die Lastlage bezeichnet ist und eino Last P im Querschnitte u liegend angenommen wird.

Ebenso findet sich für die Stütze 2 die Gleichung:

Xl §12 + X2 022 = P Ou2.

In unserem Falle wird §11 = §22, §12 = §21 ; setzt man aufserdem §11 = 1, so erhält man für P — 1 die Gleichungen:

Xi -f- 0,84 X2 = oui

und

0,84 Xi -f- X2 = §u2.

Es handelt sich also um die Auflösung zweier Gleichungen, die nach dom zeichnerischen Verfahren, das in § 25 gezeigt wurde, leicht geschehen kann. Löst man dieselben für verschiedene Werte oui auf, so erhält man unmittelbar die Werte für Xi und X2 für die verschiedenen Lastlagen und kann hiernach die Einflufslinien für Xi und X2 festlegen. Die Lösung ist für die Last P in 4 und 11 besonders in der F. 22, T. III hervorgehoben.

Man kann aber auch die Einflufslinien für Xi unmittelbar erhalten, wenn man sich des Satzes bedient, den wir in § 24 abgeleitet haben, indem wir die Lasten Pi = 1 und P2 — — 0,84 in 1 und 2 wirken lassen, die Momentenfläche entwickeln und diese als Belastungsfläche für die Ermittelung der Biegungslinie ansehen. Die Maisstäbe sind hierbei willkürlich. Die Ordinate der Biegungslinie über der 2. Stütze ist schlielslicli die Einheit. Aus der Einflufslinie für Xi ergiebt sich jene für X2 als symmetrisch hierzu gelegen ; ebenso entwickeln sich aus dem Satze, dafs die Stützenwiderstände sich das Gleichgewicht halten müssen, die Einflufslinien für die Stützenwiderstände X‘ und X“ in den beiden Endstützen. Aus

den Einflufslinien für die Stützendrücke lassen sich jene für die Momente leicht festlegen, z. B. für Punkt 4, wenn wir eine Teillänge 01=12 = 23 = . . . — a] ferner AG = GB = h; CG — h, l = 2Zi -f- h bezeichnen:

Es ist

Mi = Mi —    4 a Xi — -j- 4 a X₂.

Für eine Last im Stützpunkte C mufs Mi — 0 werden, es mufs also die einfache Momentenfläche, welche den Werten M entspricht, durch den Punkt D gehen, wodurch ihre Konstruktion gegeben ist Es ist dann nur noch eine Reduktion der Ordinaten der Xi-Kurve vorzunehmen.

Für den Wert X‘ erhalten wir:

(i — u) P

X' =

Xi - f X₂,

ein Ausdruck, der sich einfach konstruieren läfst. Für einen Punkt 4 wird das Moment, wenn wir die Strecke 0 4 mit c bezeichnen, für eine wandernde Einzellast innerhalb 0 4, also für c > u

c_JL pj

Mi = X' c — P (c — u) — c ( X' und für c < w, d. h. für eine Lastlage innerhalb der Punkte 4 bis 26 einfach Mi = X' c.

Ebenso ergeben sich für andere Punkte und verschiedene Lastlagen die Werte für M als lineare Funktionen von Xi und X2 und M, die leicht konstruiert werden können. In T. III, F. 26 ist die Konstruktion der Einflufslinie für die Momente in 4, 6 und 13 durchgeführt. Wir unterlassen es, auf die Einzelheiten derselben einzugehen, die dem Leser keine Schwierigkeiten bereiten werden.

Zur Vorführung der Näherungsmethode bei Berechnung durchlaufender Träger, wie auch als Beispiel für die Behandlungsweise eines mehrteiligen Fachwerks diene das Nachstehende:

Beispiel c. In F. 10 bis 15, T. V ist die Hälfte eines durchlaufenden Trägers dargestellt. Die angegebenen Querkräfte und Momente wurden unter Zugrundelegung des Navier’schen Verfahrens berechnet (vergl. S. 165 der 3. Abteilung dieses Werkes, 2. Auflage) und nach den hierzu angenommenen

Malsstäben für das Eigengewicht und die zufällige Last in F. 11 u. 12 gesondert aufgetragen. In F. 11 bedeutet Q B die Querkraftskurve infolge der zufälligen Last, KP jene infolge der Eigenlast auf den Obergurt, J0 jene für den Untergurt. Nach dem im § 35 vorgeführten Verfahren wurde nunmehr zunächst für die rechts fallenden Stäbe, für welche z. B. die Schnittrichtung U V für Stab S T malsgebend ist, die Querkraft CD ermittelt, wobei die Verkehrslast auf den Obergurt wirkend gedacht wurde. Für die linksfallenden Stäbe gilt z. B. die Schnittrichtung ST für Stab U V\ die Querkraft CF wurde ebenfalls graphisch aufgetragen und das Verfahren in beiden Fällen für alle Stäbe durchgeführt. Die grüfste Zug- und Druckspannung jedes Stabes läfst sich hiernach direkt ermitteln. Für Stab S T ist z. B. die

in der Lotrechten durch die Stabmitte ei’scheinende Ordinate die entsprechende Querkraft CD = 42 t,

AO    '

Y . 1,414 = 42.0,371 = 14,8 t, weil das System

42

daher ist die Spannung gegeben durch — . sec « = ein vierteiliges und a = 45° ist. Die in jedem Falle erforderliche Multiplikation mit dem Beiwert 0,371 läfst sich durch eine Mafsstabsverwandlung erzielen, wenn man die Einheit des Kräftemalsstabes ₍₎ ^i mal gröfser macht. Die vollen Linien in F. 11 geben in ihren Ordinaten direkt die Spannungen der Gitterstäbe; innerhalb der Strecke IP werden die rechtsfallenden Stäbe auf Zug und Druck, innerhalb Ai I nur auf Zug, innerhalb P Bi nur auf Druck beansprucht.

Man kann auch die nötigen theoretischen Querschnittsflächen auf graphischem Wege bestimmen und es ist dies bei vorliegendem Beispiele unter Zugrundelegung der vereinfachten Winkler’schen Formel geschehen. Die Querkraft der Eigenlast wurde einhalbmal, die zufällige im selben Sinne wirkende Querkraft einmal, die entgegengesetzt wirkende Querkraft der Verkehrslast ebenfalls einhalbmal genommen, alsdann wurden die Werte addiert. Es ist also B = 0,5 Bo + Bi -f- 0,5 B2 gesetzt. Hierdurch

ergaben sich die strichpunktierten Linien; die Ordinaten dieser Kurven stellen gewissermafsen die reduzierten Querkräfte dar. Für den Stab ST wird z. B. B = CE — -HJ

+ JL>L + NB gefunden. Will man nun die Querschnittsfläche F ablesen, so wird für k = 0,75 t f. d. qcm als zulässige

NO

Inanspruchnahme für diesen Stab

1,414

₇    R

F =-— sec a =

n. Je

Konstruiert man einen Mafsstab, für welchen die Einheit Quadratcentimeter durch 2,12 Einheiten des Tonnenmafsstabes für B ausgedrückt erscheint, so kann man direkt die Flächen der Stäbe als Ordinaten der strichpunktierten Kurven ablesen. Jenes ist in „zu F. 11“ (unterer Mafsstab) geschehen. Nach diesem ergiebt sich z. B. für die nötige Zugfläche des Stabes S T (durch Abmessen der Strecken CF) 21 qcm. In ähnlicher Weise ist die Bestimmung der übrigen Flächen erfolgt; die Ergebnisse sind in F. 13 u. 14 eingetragen.

4.0,75

B =-4

2,12 '

Mo 4- .)/i

. Da li — 5 m,

Für die Bestimmung der Gurtspannungen werden die Schnitte lotrecht. Das für die Gurte V W und X K entfallende Moment findet sich durch Addition der Strecken C‘ E‘ = Mo + Mi. Die Momente wurden wie erwähnt für eine zufällige Last p2 = 2,5 t nach S. 159 der 3. Abteilung, 2. Auflage dieses Werkes aufgetragen. Für das Eigengewicht ist es nicht nötig, die auf Ober- und Untergurt entfallenden Lasten getrennt zu behandeln. Die Spannung des Gurtes ergiebt sich zu: S = so hätte man nur nötig, einen Mafsstab zu zeichnen, für weich en 5 Momenteneinheiten = 1 t gemacht werden. Die strichpunktierte ( Linie liefert die reduzierten Momente, der Win kl er’sehen vereinfachten Formel entsprechend, wobei M = 0,5 Mo + Mi + 0,5 M2 gesetzt wurde. Wählt man wieder k — 0,75 t f. d. qcm als zulässige Inanspruchnahme, so ist die Fläche des Gurtes gegeben durch

h.k

~ 5.0,75    3,75 ' ■

Macht man die Einheit des Flächenmafsstabcs == 3,75 Einheiten des Momentenmafsstabes, wie dies zu F. 12 (unten) geschehen ist, so kann man die Inhalte durch Abmessen bestimmen. Dieselben sind in F. 15 schematisch zusammengestellt.

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Dietz. Einfache Formeln für den durchlaufenden Träger auf einheitlicher Grundlage (Francke’sche Gleichung). Anhang zu dem Heft: Bewegliche Brücken: Fortschritte der Ingenieur-Wissenschaften II. 5. Leipzig, Engelmann 1897.

Zeitschr. f. Arch.- u. Ing.-Wesen,

Schulz. Über die Berechnung mehrfach statisch unbestimmter Systeme.

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Francke. Bemerkungen zu vorstehendem Aufsatze. Ebenda S. 173, 481.

Jongebloed. Stützendrücke für durchlaufende Balken. Centralbl. d. Bauverw. 1899, S. 267.

Ra misch. Entwickelung der Grundgleichungen eines Trägers überall gleichen Querschnittes auf beliebig vielen Stützen nach einem neuen Verfahren. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1900, S. 649.

d) Besondere Arten von Fachwerksträgern.

Kopeke. Über Träger von gleichem Widerstande, insbesondere die Anwendung derselben zu Brücken durch Laves und Pauli. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1858.

Schaffer. Über Träger mit gekrümmten Rahmen. Zeitschi*, f. Bauw. 1865.

Sehwedler. Der eiserne Überbau der Brahe-Brücke bei Czersk (Parabelträger). Zeitschr. f. Bauw. 1861. Schwedler. Die kurze und lange Oder-Brücke in Breslau (Schwedler-Träger). Zeitschr. f. Bauw. 1868. Sehwedler. Der eiserne Überbau für die grofsen Öffnungen der Brücke über die Elbe in der Berlin-Lehrter Eisenbahn (Schwedler-Träger). Zeitschr. f. Bauw. 1868.

Beschreibung des am 6. Dezember 1866 dem Ingenieur H. Gerber verliehenen Patentes auf Balkenträger mit freiliegenden Stützpunkten. Zeitschr. d. bayr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1870.

Schaffer. Graphische Ermittelung der Ordinaten des Schwedler’schen Trägers. Zeitschr. f. Bauw. 1873, S. 237. Heuser. Graphische Ermittelung der Ordinaten des Schwedler’schen Trägers. Zeitschr. f. Bauw. 1873, S. 523. Schaffer. Graphische Ermittelung der Ordinaten u. s. w. für den Schwedler’schen Träger. Zeitschr. f. Bauw. 1874, S. 391.

Launhardt. Neue Modifikation des Schwedler-Trägers. Deutsche Bauz. 1876, S. 61, 101, 121, 176, 211, 245. Pfeuffer. Die Ellipsen-Träger. Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1876, S. 224.

Eisenbahn-Brücke über die Weichsel bei Thorn (Ellipsen-Träger). Zeitschr. f. Bauw. 1876.

Meyer und Hinrichs. Der eiserne Überbau der Warthe-Brücke bei Posen (Gerber’scher Gelenkträger). Zeitschr. f. Bauw. 1877.

Kayser. Über die Grundform der sogen. Schwedler-Träger. Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1877, S. 529. Quietmeyer. Berechnung der Form und der Spannungen eines Brückenträgers von 72 m Stützweite u. s. w. (Prinzip Schwedler). 1877, S. 233.

Melan. Fachwerksträger mit konstanter Gurtspannung. Wochenschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Ver. 1876, S. 198.

(Vergl. indessen hierzu: Schaffer. Zeitschr. f. Bauw. 1865.)

Stelzel. Zur Formbestimmung des Schwedler’schen Trägers. Techn. Blätter 1879, S. 1.

Ritter. Über das Schwedler’sche Fachwerk. Riga’sche Ind.-Ztg. 1879, S. 41.

Häseler, E. Beitrag zur Theorie der eisernen Balkenträger. Civiling. 1879, S. 311 — 322.

Die Lahn-Brücke der Staatsbahn bei Oberlahnstein (Parallel-Träger). Zeitschr. f. Bauw. 1882.

Landsberg. Über Mittengelenkbalken. Zeitschr. d. Arch.- u. Ing.-Ver. zu Hannover 1889, S. 629. Landsberg. Über eine besondere Art von Mittengelenkbalken. Deutsche Bauz. 1891, S. 277. Müller-Breslau. Über Langer’sche Brückenträger. Centralbl. d. Bauverw. 1891, S. 349.

Mayer. Über Mittengelenkbalken. Deutsche Bauz. 1892, S. 343.

Haberkalt. Die kubische Parabel als Trägerform. Centralbl. d. Bauverw. 1899, S. 19, 180, 230.

Nachtrag zu Kap. VII.

¹

) Näheres über dieses Verfahren siehe auch: H. Mül 1er-Breslau. Über einige Aufgaben der Statik, welche auf Gleichungen der Clapeyron’sehen Art führen. Zeitsohr. f. Bauw. 1891, S. 103; ferner Taschenbuch „Die Hütte“, II. S. 432.

Zu § 9. Die Yerkehrslasten der Eisenbahiibrücken.

Neueste Belastungsvorschriften.

Nach Drucklegung des Kap. YII sind neue Belastungsvorschriften für die eisernen Brücken seitens des Yereins deutscher Eisenbahn Verwaltungen und der preufsischen Staatseisenbahnverwaltung erlassen, welche nachstehend vorgeführt sind.

1. Vorschriften des Vereins deutscher Eisenbahnverwaltungen.

Im September 1900 ist in die Technischen Vereinbarungen als bindende Bestimmung aufgenommen worden, dafs die Tragfähigkeit neu zu bauender oder umzubauender Brücken mindestens dem in Fig. 1 vorgeführten Belastungszug entsprechen mufs.

Fig. l. Lastenzug des Vereins deutscher Eisenbahnverwaltungen.

ii

.    3    \/.5\ /,h\l,i g *    1,6    >3 JL 3    h 16 16 1J .9/3 Z.3

ł

1h 96 !b 1k !b

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H 16 16 16 16

U 13 13

13

93

16 1Ô 16 W

Fig. 2.

Es ist also ein Zug mit zwei Lokomotiven mit einer unbeschränkten Zahl einseitig angehängter Güterwagen einzuführen; die Lokomotiven sind in ungünstigster Stellung anzunehmen, d. h. falls sich hierdurch gröfsere ^Beanspruchungen ergeben, so sind sie Kopf gegen Kopf zu stellen. Für kleine Träger ist das Belastungsschema der Fig. 2 zu Grunde zu legen, wenn dasselbe ungünstiger ist, als dasjenige der Fig. 1. Dabei ist stets das Gewicht der an ungünstigster Stelle stehenden Achse zu 18 t anzunehmen.

Das Gewicht für das laufende Meter Gleis beträgt für Lokomotive und Tender 6,61 t/m, für die Wagen 3,6 t/m.

Die Achslasten sind so grofs und die Achsentfernungen so gering bemessen, dafs die Brücken für die in absehbarer Zeit 'eintretenden Gewichtszunahmen der Züge genügen.

Infolge dieser neuen Bestimmung ist auch von der preufsischen Staatseisenbahnverwaltung ein neuer Lastenzug vorgeschrieben worden.

2. Belastungsvorschriften für die eisernen Brücken der preufsischen Staatseisenbahnverwaltung vom April 1901.

Der neue Lastenzug der preufsischen Staatseisenbahn (Fig. 3) ist etwas ungünstiger als derjenige des Yereins deutscher Eisenbahnverwaltungen ; er ist verschieden grofs von dem letzteren gewählt, um die Rechenarbeit möglichst zu verringern. Zu diesem Zwecke sind nur zwei verschiedene Achsbelastungen (17 t für die Lokomotivachsen und 13 t für die Achsen der Tender und Wagen) angenommen; hierdurch wird besonders die Yerwendung von Einflufslinien bei der Berechnung erleichtert; des weiteren sind alle Achsabstände durch 1,5 teilbar (sie betragen bezw. 1,5 m, 3 m, 4,5 m). Beide Veränderungen gegen den Lastenzug von 1895 und denjenigen des Yereins deutscher Eisenbahnverwaltungen sind sehr zweckmäfsige.

Fig. 3. Lastenzug der preufsischen Staatseisenhahn vom April 1901.

1.5 1,5 1,5 1,5

1.5

1.5

75 1.51    9,5    15 1,5

',.5    1,5 1,5 1,5 1,5    3    3    3

CS

13 13 13

fj

12

lä

1,5

1,5

1.5

1.5

19    19

Fig. 4.

Auch hier sind zwei Lokomotiven mit einseitig angehängten Güterwagen einzuführen, die Lokomotiven in ungünstigster Stellung, also falls dies ungünstiger ist, Kopf gegen Kopf. Für kleine Brücken, Quer- und Schwellenträger sind, soweit hierdurch sich gröfsere Beanspruchungen herausstell en, als durch den Belastungszug der Fig. 3, die Belastungen nach Fig. 4 anzunehmen.

Das Gewicht der Lokomotive mit Tender ergiebt sich für das laufende Meter Gleis zu 6,88 t/m, dasjenige der Wagen zu 4,33 t/m.

in /ö /ä n

ZO W

Berichtigungen.

S. 63, Z. 4 v. u. setze: „Schiibler“ statt „Schiebler“.

S. 199, Z. 6 v. o. setze: „108 Textfiguren“ statt „110 Textfiguren“. S. 224, Z. 14 v. u. setze: „Arbeit“ statt „Annahme“.

Es wird besonders bemerkt, dafs die Zahl der Textfiguren zu am Kopf des Kapitels irrtümlich angegeben ist, sondern 108.

Kap. VIII nicht 110 beträgt, wie

■a

I I iw)

KRA

ff

Sachregister der zweiten Abteilung.

Die Ziffern bedeuten die Seitenzahlen.

Æ- Linie. 310.

—, Ersatzlinie. 311.

Äquivalente, Belastungs-. 273, 304. Alt-Moabit, Berlin, Unterführung der Strafse —. 161.

Arbeit, Satz, vom Minimum der Formänderungsarbeit. 209, 210. —, innere, als Funktion der Spannungen. 216.

Arbeitsgleichung des Fachwerks.

225.

Bahnkrümmungen, Fliehkraft in j Belastungsäquivalente. 273, 304.

Belastungsflächen, Biegungslinien bestimmter. 259.

—, einfache, Gurtspannungen bei Einzellastsystem. 309.

— mit konstanter oberer Gurtung.

326.

Handbuch der Ing.-Wissensch. II. 2. 2. Aufl.

—    der Formänderung. 214. Auflager, Reibungskräfte an den

—. 57.

Auflagerbedingung 201. Auflagerdrücke des ebenen Balkenträgers. 287.

—    des durchlaufenden Trägers, zeichnerische Ermittelung. 284.

Ausleger-Träger. 334, 339.

Aussig, Elbebrücke bei —. 187. Aussteifung der eisernen Brücken.

159.

—. 38.

Balkenfachwerksträger, einfache, Allgemeines. 308.

—, Ausleger-Brücken. 334, 339.

—, Diagonal- und Pfostenspannungen nach Culm an n. 230, 329.

—    , einfache, Füllungsstabspannungen bei Einzellasten. 310.

—, statisch-unbestimmte, Gitterwerksträger. 329.

—    mit gekrümmten und vieleckigen Gurten. 318.

ßalkenfachwerksträger mit der kleinsten Materialmenge, von Winkler. 328.

Balkenträger, ebener, Momente bei direkter Belastung. 288, 290.

—, Momente durch Eigengewicht.

295.

—, Momente bei indirekter Belastung. 300.

—-, Momenten-Schema von Zimmermann. 296.

—, Querkräfte bei direkter Belastung. 287, 290.

—, — bei indirekter Belastung. 299.

—, Stützendrücke. 287.

Bauschinger’s Versuche. 104.

Beanspruchung, zulässige, des Eisens. 110.

Belastung beim ebenen Balkenträger, direkte, Stützendrücke, Momente und Querkräfte. 287, 288, 290.

—, indirekte, Momente und Querkräfte. 299, 300.

Belastungsgleichwerte. 273, 304. Belastungsscheiden, Konstruktion auf kinematischem Wege. 275. —, Konstruktion auf statischem Wege. 277.

Belastungsvorschriften, Hauptbahnen, bayerische. 23.

—, — französische von 1891. 22 —, —österreichische von 1887. 22. —, — preufsische von 1895. 19. —, — preufsische von 1901. 368 —, — Reichsbahnen von 1897. 21. —, — sächsische von 1895.    23.

—, — schweizerische von 1892. 23.

Belastungsyorschriften des Vereins deutscher Eisenbahnverwaltungen von 1900. 367.

—, Hauptbahnen, aufsergewöhn-liche Verkehrslasten. 24.

—, Vorschläge von Engesser, 24.

—, Lokaleisenbahnen. 27.

—, Nebeneisenbahnen. 26.

—, stellvertretende gleichförmig verteilte Lasten bei Eisonbahn-brücken. 28.

—, Strafsenbrücken. 29.

—, stellvertretende gleichförmig verteilte Lasten bei Strafsenbrücken. 33.

Bewegte Lasten, Dynamische Wirkung der —. 39.

—    bei Eisenbahnbrücken. 18, 367,

368.

—    der Hauptbahnen. 19, 367, 368.

—    der Lokaleisenbahnen. 27

—    der Nebeneisenbahnen. 26.

—, stellvertretende gleichförmig verteilte bei Eisenbahnbrücken. 28.

—    der Strafsenbxüicken. 29.

—, stellvertretende gleichförmig verteilte bei Strafsenbrücken. 33.

Biegung, innere Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten V ollstabes.

217.

Biegungslinien bestimmter Belastungsflächen. 259.

—    für Fachwerkträger. 253.

—    für Voll wandträger. 256.

Biegungsmomente, gröfste. 20.

Biegungspolygon für Fachwerkträger. 255.

Bleche. 123.

Bolzen, Gelenk-. 136.

—, Schrauben-. 136,

24

Breiteisen. 124.

Bremskräfte. 59.

Bruck, Eisenbahnbrücke in der Sektion —. 193.

Brücke über den Humboldt-Hafen, Berlin. 196.

Brücken, Eigengewicht der eisernen, Allgemeines, 4.

Eisenbahnbrücken. 5.

Eisen, Breiteisen. 124. —, Flacheisen. 124.

—, Flufseisen. 81. kenfachwerksträger bei Einzel- —, Flufsstahl. 95.

— , Gufseisen. C9.

bei Brücken. j Donaukanal-Brücke in Wien. 186. 164.

Doppel-T-Eisen. 129.

Durchbiegung einfacher Träger bei einem Einzellastsystem. 305, 306, 307, 308.

— für vollwandige und Fachwerksträger, rechnungsmäfsige Ermittelung. 262.

Durchlaufender Träger, Einflufs-linien der Momente und Querkräfte. 352.

—, Festpunkte bei der zeichnerischen Behandlung. 345.

—, Stützendrücke, zeichnerische Ermittelung. 284.

—, Stützenmomente. 346.

—, zeichnerische Behandlung. 345.

Dynamische Wirkung der bewegten Lasten. 39.

5.

Breite, Einflufs der

—, — — — Strafsenbrücken. 11. —, Einflufs der Breite. 164.

—, gerade. 160.

—, Höhenverhältnisse. 162.

—-, Kurven-, 160, 197.

—, schiefe. 160, 191.

—, trapezförmige oder Fächerbrücken. 161, 196, 197.

—, vereinigte, für Strafsen und Eisenbahnen, Allgemeines. 186. —, — für Strafsen u. Eisenbahnen, Lage derbeiden Fahrbahnen. 187. —, — für Strafsen u. Eisenbahnen, Wertschätzung der verschiedenen Fahrbahnanordnungen. 188.

—, Verkehrslasten, Allgemeines.

16.

—, — der Eisenbahnbrücken. 18, 367, 368.

—, — der Strafsenbrücken. 29. Brückenbau, Flulseisen im — der Gegenwart. 100

Zentrifugalkraft in Krümmungen.

38.

CI apeyron’sche Gleichungen, zeichnerische Lösung. 285.

Cremona’sehe Kräftepläne. 229.

C ul mann, zeichnerische Ermittelung der Diagonal- und Pfostenspannungen bei Balkenfachwerksträgern 329.

Dehnung, innere Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten V oll-stabes. 217.

Dehnungsellipsoid. 212.

Diagonalspannungen bei Balkenfachwerksträgern, Ermittelung nach Culmann. 329.

Diagonalspannungen des Parabelträgers. 318.

Diagonalspannungen einfacher Bailasten. 310.

Ebenes Fachwerk, Allgemeines.

227.

Ebenes Tragwerk. 201.

Eigengewicht der Brücken, Allgemeines. 4.

—    der Eisenbahnbrücken. 5.

—, Moment durch — beim ebenen Balkenträger. 295.

—    der Strafsenbrücken. 11.

Einfaches T" Eisen. 128.

Einflufsflächen, Definition. 267.

Einflufslinien, Definition. 267.

—    ebener Systeme. 268.

—, kinematische Bedeutung. 273.

—    nach Land zur Ermittelung der Füllungsstabspannungen bei einfachen Balkenfachwerksträgern.

312.

—    der Stabspannungen des Fachwerks 276.

—    statisch unbestimmter Systeme.

281.

—    der Momente und Querkräfte beim durchlaufenden Träger.

352.

Einflufszahlen, kinematische Bedeutung. 273.

Einzellastsystem, Ersatz durch eine gleichmäfsig verteilte Last,Gröfse der Querkräfte und Momente.

302, 303, 304

Eisen, Quadranteisen. 134.

—, Roheisen. 69.

—, Schweifseisen. 72.

—, Sextanteisen. 134.

—, einfaches T-Eisen 128.

—, doppeltes T-Eisen. 129.

—, (J - Eisen. 132.

—, Universaleisen. 124.

—, Winkeleisen. 125.

—, zulässige Inanspruchnahme.

110.

Eisenbahnbrücken, Eigengewicht.

—    in der Sektion Bruck. 193.

—, Hauptträger, eingleisig. 165,

177.

—, Entfernung bei Brücken in Kurven. 168, 173, 177.

—, Fahrbahnhöhe mafsgebend für die Wirtschaftlichkeit der Anlage. 180.

—, Einflufs der Fufswege. 180.

—, mehrgleisig. 173, 174, 178.

—, Anordnung bei Hebenbahnen.

181.

—, Wertschätzung der verschiedenen Anordnungen. 175, 179.

Eisenbahnbrücken, Längsverband.

189.

—    über die Oppenheimer Land-strafse, Trapezträger. 193.

—, eiserne Pfeiler und eiserner Überbau. 149,

—, gemauerte Pfeiler und eiserner Überbau, 145.

—, Querverbände. 190.

—-, vereinigte Strafsen- und Eisenbahnbrücken, Allgemeines. 186.

—, vereinigte Strafsen- und Eisenbahnbrücken, Lage der beiden Fahrbahnen. 187,

—, vereinigte Strafsen- und Eisenbahnbrücken, Wertschätzung der verschiedenen Fahrbahnanordnungen. 188.

—, Verkehrslasten. 18, 367, 368.

—, Verkehrslasten, stellvertretende gleichförmig verteilte. 28.

Eisenbleche. 123.

Eisensorten. 123.

Eiserner Überbau, allgemeine Anordnungsgrundlagen und Hauptbestandteile. 158.

Elasticität des Schweifseisens 76.

Elastische Linie. 221, 255, 256.

Elbebrücke bei Aussig. 187.

! Fachwerkträger,Parallelträger.315.

—, Pauli-Träger. 327.

—, Schwedler-Träger. 322.

—    , sonstige Formen für Balken-fach werksträger. 326.

—    auf 3 Stützen. 342.

Fächerbrücken. 161, 196, 197.

Fahrbahn bei eisernem Überbau.

159.

—, Einflufs der Lage zu den Hauptträgern auf die Wirtschaftlich- ; keit der Anlage. 180.

Festigkeit des Schweifseisens. 76.

Festpunkte bei der zeichnerischen Behandlung des durchlaufenden Trägers. 345.

Flacheisen. 124.

Fläche, Williot-Fläche. 241.

Fliehkraft in Krümmungen. 38.

Flufseisen. 81.

—    im Brückenbau der Gegenwart.

100.

Gelenkbolzen. 136.

Gerade Brücken. 160.

Gerader Stab, Definition. 217.

—, Vollstab, innere Kräfte des durch,, ein ebenes Kraftsystem belasteten. 219.

Gerber, ausgeführte Brüeken.193.

Gerber-Träger. 203, 335.

Gerüstpfeiler bei eisernem Überbau. 152.

Geschwindigkeitsplan. 274.

Gesetz von Wühler. 104.

Gewichte der Pfeiler, Formeln. 154.

Hauptspannungen. 212.

Hauptträger. 158.

—    der Eisenbahnbrücken, Einflufs der Bahnlage auf die Wirtschaftlichkeit der Anlage. 180.

—    der eingleisigen Eisenbahnbrücken. 165, 177.

—    der mehrgleisigen Eisenbahnbrücken. 173, 174, 178.

—    der Eisenbahnbrücken, Einflufs der Fufswege. 180.

—, Entfernung in Kurven. 168, 173, 177.

facheix Knoten. 232. Höhenverhältnisse bei Brücken.

162.

Ellipsoid, Dehmmgs-, 212.

—, Spannungs-. 212.

Ersatzlinie für die A - Linie bei Berechnung der Füllungsstabspannungen. 311.

Fachwerk, Arbeitsgleichung. 225.

—jCremon a’sch eKräftepläne.229.

—, ebenes. 227.

—, ebenes, mit mehrfachen Knoten, Y erfahren von Henneberg. 232.

—, Einflufslinien von Stabspannungen. 276.

—, Entstehung. 225.

—, mehrfaches. 329.

—, räumliches, Bildungsgesetz und Kennzeichen der statischen Bestimmtheit. 235.

—, räumliches, Bestimmung der Spannungen. 236.

—, Ritter’s Methode zur Bestimmung der Stabspannungen bei ebenen Fachwerken. 234.

—, Spannungen in ebenen statisch bestimmten Systemen. 229, 234.

—, Spannungen im überzähligen Stab. 211.

—, Yerschiebungspläne des ebenen —. 246.

—, Yerschiebungspläne des räumlichen —. 251.

—, Zimmermann’s Verfahren der Stabspannungsbestimmung ebener Fach werke. 231.

—, zusammengesetzte. 316.

Fachwerkstäbe, Winkeländerungen zwischen den —. 253, 254.

Fachwerkträger, Ausleger-,334,339.

—, einfache Balken-, Allgemeines.

308.

—, Füllungsstabspannungen bei Einzellasten. 310.

—    mit Gitterwerk. 329.

—, Gurtspannungen bei Einzelnsten. 309.

—    mit gekrümmten und vieleckigen Gurtungen. 318.

—    mit konstanter oberer Gurtung.

326.

—    mit der kleinsten Materialmenge von Winkler. 328.

—, Biegungslinie. 253.

—, Biegungspolygon. 255.

—, Durchbiegungen. 262, 305, 306, 307, 308.

—, Parabelträger. 318.

Flufsstahl. 95.

Formänderung, Arbeitsgleichung der —. 214.

—, Grundlehren der —. 204.

Formänderungsarbeit, Satz vom Minimum der —. 209, 210.

Füllungsstabspannungen, zeichne-l'ische Ermittelung nach Cul-mann bei Balkenfachwerks-trägern. 329.

Füllungsstäbe, Spannungen der — bei Einzellastsystem. 310.

Fufsgängerbrücken, Hauptträgeranordnung. 185.

Fufsweganlagen bei eisernem Überbau. 159, 180.

—    bei Eisenbahnbrücken. 180.

—    bei Strafsenbrücken. 184.

Celänder bei eisernem Überbau.

159.

Gitterwerk. 329.

Gleich werte, Belastungs-. 273, 304.

G rash of, Mittelwerte der Festigkeit und Elasticität des Schweifs-eisens. 76.

Grenzstützweite, Definition. 298.

Gurte, gekrümmte und vieleckige bei Balkenfachwerksträgern. 318. j Gurtspannungen durch Einzellasten bei einfachen Balkenfachwerksträgern. 309.

— des Parabelträgers. 319.

Gurtung, konstante obere, bei Balkenfachwerksträgern. 326.

Gurtungskurve beim Schwedler-Träger. 322, 325.

Gufseisen. 69.

Hannover, Unterführungen von Strafsen auf Bahnhof —. 193, 195.

Hafsfurt, Strafsenbrücko von Gerber über den Main bei —. 341. Hauptbahnen, Verkehrslasten. 19, 367, 368.

—    auf Nebenbahnen. 181.

—, Wei’tschätzung der verschiedenen Anordnungen. 175, 179.

Hauptträger der Strafsenbi-ücken, Allgemeines. 182.

—, Fahrbahnlage. 183, 186.

—, Fufsgängerbrücken. 185.

—    mit Fufsweganlagen. 184.

—    ohne Fufsweganlagen. 183.

—, Wertschätzung der verschiedenen Anordnungen. 185.

Henneberg, Verfahren von — bei ebenen Fachwerken mit nxehr-

Hoi’izontalvei’band. 159. Hunxboldt-Hafen, Berlin, Brücke über den —. 196.

Mainbrücke von G erb er bei Hafs-furt. 341.

Materialmenge, kleinste, bei Bal-lcenfachwerksträgern von Winkler. 328.

Maxwell’scher Satz. 205.

Mehrfaches Fachwerk. 329.

Mehrteilige, ebene Träger. 334.

M e 1 a n, Verfahren zur Ermittelung derFüllungsstabspannungen eines einfachen Balkenträgers. 314.

Minimum der Formänderungsarbeit. 209, 210.

Mississippibrücke bei St. Louis. 187.

Momente des ebenen Balkenträgers bei direkter Belastung. 288, 290.

—    bei indirekter Belastung. 300.

—, gröfste Biegungs-. 20.

—, durch Eigengewicht beim ebenen Balkenträger. 295.

—, Einflufslinien der — beim durchlaufenden Träger. 352.

—    des ebenen Balkenträgers bei Ersatz des Einzellastsystems durch eine gleichmäfsig verteilte Last. 304.

—, gröfste, an verschiedenen Stellen der Brücke. 20, 21.

Momenten-Mafsstab. 291.

Momenten-Schema für rollende Einzellasten beim ebenen Balkenträger. 297.

—, Stützenmomente beim durchlaufenden Träger. 346.

Müller-Breslau, Bestimmung der Füllungsstabspannungen eines einfachen Balkenträgers. 312.

—, Bestimmung der Stützenmomente beim durchlaufenden Träger. 850.

JLängsträger zweiter Ordnung. 158.

— höherer Ordnung. 159.

Längsverband bei Eisenbahnbrücken. 189.

—, bei Strafsenbrücken. 191.

Land, Einflufslinien der Füllungs- Äfebeneisenbalinen, Hauptträger Stabspannungen bei einfachen bei Brücken der —. 181. Balkenfachwerksträgern. 312.    | —, Verkehrslasten der —. 26.

Lasten, dynamische Wirkung' der j Netzwerk, Parallelträger mit

¹    316.

bewegten —. 39.

Lastsystem, Einzel-, Ersatz durch eine gleichmäfsig verteilte Last, Gröfse der Querkräfte und Mo-

mente. 302, 303, 304. Lichtweiten, Veränderung der — malsgebend für die Veränderlichkeit der Pfeilerkosten. 146. Lokaleisenbahnen, Verkehrslasten.

27.

Niete. 137. Null-Linie. 218.

Oldesloe-Schwarzenbeck,

Inanspruchnahme, zulässige, des Eisens. 110.

Innere Arbeit als Funktion der Spannungen. 216

Innere Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten Vollstabes. 217.

— des geraden, durch ein ebenes Kraftsystem belasteten Vollstabes. 219.

Kornfigur. 219.

Kernpunkte. 219.

Kette, kinematische. 273.

Kinematische Bedeutung der Ein-flufslinien und Einflufszahlen.

273.

Knoten, ebenes Fachwerk mit mehrfachen Knoten, Verfahren von Henneberg. 282.

Konstanz, Kheinbriicke. 187.

Konstniktionshöhe. 162.

Kontinuierliche Träger, siehe durchlaufende Träger.

Kosten der Pfeiler, Formeln. 154.

—, Veränderlichkeit der Mauer-Pfeiler-Kosten bei Veränderung der Lichtweiten. 146.

Kräfte, innere, eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten gekrümmten Vollstabes. 217.

—, des geraden, durch ein ebenes Kraftsystem belasteten Vollstabes. 219.

Kräftepläne, Cremona’sche. 229.

Kragträger. 334.

Kreuzlinien-Verfahren zur Ermittelung der Stützenmomente beim durchlaufenden Träger. 346.

Krummer Stab, Definition. 217.

Kurve, Williot-Kurve. 242.

Kurven, Entfernung der Haupt-träger bei Brücken in Kurven. 168, 173, 177.

—, Verschiebungspläne ebenerund räumlicher. 241.

Kurvenbrücken. 160, 197.

Niagara-Brücke von Schneider, 340.

Oderbrücke bei Schönbrunn. 342. Öffnungen, Gröfse und Zahl. 143, 156. Wege-

Unterführungen auf der Bahn —. 193, 194.

Oppenheimer Landstrafse, Eisenbahnbrücke über die —, Trapezträger. 193.

Parabelschablone. 295.

Parabelträger. 318.

—    mit Netzwerk, System des glcieh-schenkeligen Dreiecks. 816.

—, System des rechtwinkeligen Dreiecks. 315.

Pauli-Träger. 327.

Pendelpfeiler. 149.

Pfeiler, eiserne. 149.

—, Gerüstpfeiler. 152.

—, Pendelpfeiler. 149.

—, Turmpfeiler. 150.

-—, Vergleich der verschiedenen Pfeileranordnungen. 153.

Pfeiler, Formeln für Gewichte und Kosten. 154.

—    , gemauerte, eiserner Überbau, Allgemeines. 144.

—, eiserner Überbau, Eisenbahn-brücken. 145.

—, eiserner Überbau, Strafsen-brücken. 145.

—, eiserner Überbau, Veränderlichkeit der Kosten bei Veränderung der Lichtweiten. 146.

Pfostenspannungen bei Balkenfachwerksträgern, zeichnerische Ermittelungnach Culman n. 329.

—    einfacher Balkenfachwerksträger bei Einzellastsystem. 310.

—    des Parabelträgers. 319.

Huadrant-Eisen. 134.

Querkräfte des ebenenßalkenträgers bei direkter Belastung. 287, 290.

—    bei indirekter Belastung. 299.

—    bei Ersatz des Einzellastsystems durch eine gleichmäfsig verteilte Last. 303.

Querkräfte, Einflufslinien der — beim durchlaufenden Träger.

352.

Schraubenbolzen. 136.

Schwedler-Träger. 322.

—, Regel von Stelzel zur Bestimmung der Gurtungskurve.

325.

Querträger. 158. _

— höherer Ordnung. 159. Querverbände. 159, 190, 191. Querversteifung. 159.

Räumliches Fach werk, Bildungsgesetz und Kennzeichen der statischen Bestimmtheit. 235.

—, Spannungen. 236.

—, Verschiebungspläne. 251.

Ravenna-Schlucht, Viadukt über die —. 161.

Reaktionen des ebenen Balkenträgers. 287.

— des durchlaufenden Trägers.

284.

Reaktionsbedingung. 201.    *

Reibungskräfte an den Auflagern.

57.

Rheinbrücke bei Konstanz. 187. Ritter’s Methode zur Bestimmung der Stabspannungen bei ebenen Fachwerken. 234.

Roheisen. 69.

St. Louis, Mississippibrücke bei —. 187. _

Schiefe Brücken. 160, 191. Schneider, Kiagara-Briicke von —. 340. ’

Schönbrunn, Oderbrücke bei —.

342.

Schwarzenbeck-Oldesloe, Wege-Unterführungen auf der Bahn —. 193, 194.

Schwebende Stützen, Träger mit —.

334.

Schweifseisen. 72.

—, Mittelwerte der Festigkeit und Elasticität nach G rash of. 76.

— , Verhalten bei wiederholten Anstrengungen. 104.

Sextant-Eisen. 134.

Spandauer Brücke, Berlin, Unterführung der Strafse —. 197.

Spannungen in ebenen statisch bestimmten Fach werksystemen. 229, 234.

Spannungen im räumlichen Fachwerk. 236.

Spannungen der Füllungsstäbe einfacher Balkenfachwerksträger bei Einzellastsystem. 310.

—, der Gurtungen einfacher Balkenfachwerksträger bei Einzellastsystem. 309. Spannungsellipsoid. 212.

Stab, gerader, Definition. 217.

—, krummer, Definition. 217.

—, überzähliger, eines Fachwerks, Spannung darin. 211. Stabspannungen, Einflufslinien für die — des Fachwerks. 276.

—    ebener Fachwerke, Ritter’s Methode. 234.

—, Zimmer man n’s Verfahren.

231.

Stahl, Verhalten bei wiederholten Anstrengungen. 104.

Statisch bestimmte Träger. 202.

—    unbestimmte Balkenfachwerksträger, Gitterwerksträger. 329.

—    unbestimmte Träger.202,278,342.

—    — Systeme, Einflufslinien. 281. Steiner, Spannungen der Füllungsstäbe einfacher Balkenfachwerksträger bei Einzellasten. 312.

Stelzel, Regel zur Ermittelung der Gurtungskurve beim Schwed-ler-Träger. 325.

Strafsenbrücken, Eigengewicht. 11. —, Hauptträger, Allgemeines. 182. —, — Fahrbahnlage. 183.

—, — Fufsgängerbrücken. 185.

—, — bei Brücken mit Fufsweg-anlagen. 184.

—, — bei Brücken ohne Fufsweg-anlagen. 183.

—, —Wertschätzung der verschiedenen Systeme. 185.

—, Längsverband. 191.

—, gemauerte Pfeiler und eiserner Überbau. 145.

—, Querverbände. 191.

—, vereinigte mit Eisenbahnbrücken, Allgemeines. 186.

—, vereinigte mit Eisenbahnbrücken, Lage der beiden Fahrbahnen. 187.

—, vereinigte mit Eisenbahn-brücken, Wertschätzung der verschiedenen Fahrbahnanordnungen. 188.

—, Verkehrslasten. 29.

— gleichförmig verteilte stell-verti’etende. 33.

Stützen,Fachwerksträger auf drei — 842.

—, Träger mit schwebenden —.

334.

Stützendrücke ebener Balkenträger.

287.

— durchlaufender Träger. 284. Stützenmomente durchlaufender Träger. 346.

Stützweite, Grenzstützweitc, Definition. 298.

T-Eisen, einfaches. 128.

—    , doppeltes. 129.

Träger, Ausleger-. 334, 339.

—, durchlaufender, zeichnerische Behandlung. 345.

—, —, Einflufslinien der Momente und Querkräfte. 352.

—, —, Stützenmomente. 346.

—, —, Festpunkte der zeichnerischen Behandlung. 345.

—, Durchbiegung einfacher bei einem System von Einzellasten. 305, 306, 307, 308.

—    ,Fachwerksträger auf dreiStützcn.

342.

—, Formen, besondere. 326.

—, Gerber-, 203, 335.

—, Krag-. 334.

—, mehrteilige ebene. 334.

—, Parabel-, 318.

—, Parallel-. 315, 316.

—, Paiüi-. 327.

—, Scliwedler-. 322.

—, statisch bestimmte. 202.

—    , statisch unbestimmte. 202, 278,

342.

—, statisch unbestimmte Balken-fachwerksträger, Gitterwerksträger. 329.

—, Stützendrücke eines durchlaufenden —. 284.

—, mit schwebenden Stützen. 334. —, Trapez-. 317.

Tragwerke, ebene. 201. Trapezträger. 317.

-    , Beispiel, Eisenbahnbrücko über die Oppenheimer Landstrafse.

193.

Trapezförmige Brücken. 161, 196, 197.

Turmpfeiler und eiserner Überbau. 150.

U-Eisen 132.

Überbau, eiserner, allgemeine Anordnungsgrundlagen und Hauptbestandteile. 158.

Überzähliger Stab eines Fach werks, Spannung darin. 211.

Universaleisen. 124.

Unterführung der Strafse Alt-Moabit, Berlin. 161.

— der Strafse Spandauer Brücke, Berlin. 197.

Unterführungen auf Bahnhof Hannover. 193, 195.

—, Wege- auf der Bahn Schwar-zenbeck-Oldesloe. 193, 194.

Voll wandträger, Biegungslinie. 256. — der Eisenbahnbrücken, stellver- —, Durchbiegung. 262.

Verband, Längs-. 189, 191.

Verbände, Quer-. 159, 190, 191.

Verbindungsmittel 135.

Vereinigte Brücken für Strafsen u. Eisenbahnen, Allgemeines 186.

—,Lage der beiden Fahrbahnen. 187.

—, Wertschätzung der verschiedenen Fahrbahnanordnungen. 188.

Verkohrslasten der Brücken, Allgemeines 16.

—    der Eisenbahnbrücken. 18, 367,

368.

—• der Hauptbahnen. 19, 367, 368.

—    der Lokaleisenbahnen. 27.

—    der Hebeneisenbahnen 26.

29.

—, stellvertretende gleichförmig verteilte. 33.

—    des Kaumfachwerks. 251.

—, Williot’sche —. 246

Versteifung, Quer-. 159.

Verstrebung, Wind-. 159.

Versuche von Bauschinger. 104.

Vertikalen, Spannungen beim Bai-

kenfach werksträger, zeichnerische Ermittelung nach C ulmann. 329.

—    bei einfachen Balkenfachwerksträgern, Spannung durch Einzellasten. 310.

—, Spannungen beim Parabelträger. 319.

Viadukt über die Ravenna-Schlucht.

161.

Vollstab, gekrüm mter, innere Kräfte eines auf Dehnung und Biegung beanspruchten 217.

—, gerader, innere Kräfte des durch ein ebenes Kraftsystem belasteten. 219.

Winddruck 34.

Windverstrebung. 159. AVinkeländerungen zwischen den Fachwerkstäben. 253, 254. Winkeleisen. 125.

Winkier, Balkenfachwerksträger mit der kleinsten Materialmengo.

328.

—, Belastungsgleichwerte, Belastungsäquivalente. 304. Wirtschaftlichkeit der Brückeu-anlage in Bezug auf die Lage der Fahrbahn zu den Hauptträgern.

180.

tretende gleichförmig verteilte. 28. —, Theorie. 211.

Verkehrslasten derStrafsenbriieken. I Wege-Unterführungen auf der

Bahn Sell warzenbeck-Oldesloc.

193, 104.

Wien, Donaukanal-Brücke. 186. Verschiebungspläne des ebenen Williot-Fläche. 241.

Fachwerks. 246.

— ebener und räumlicher Kurven.

241.

Williot-Kurve. 242.

Williot’sche Verschiebungspläne.

246.

Wohler’s Gesetz. 104.

Zimmermann’s Verfahren zur Stabspannungsermittelung ebener Fachwerke. 231.

Zulässige Inanspruchnahme des Eisens. 110.

Zusammengesetzte Fach werke. 316.

Zwischenkonstruktionen, allgemeine Anordnung. 188.

Atlas zum

Handbuch des Brückenbaues.

Zweite Abteilung.

Dritte vermehrte Auflage.

fi

Inhalt.

Tafel I. Allgemeine Anordnung der eisernen Brücken und Materialaufwand. (Eigengewicht eiserner Brücken. Bedarf an Material für Gerüste, Gerüstbrücken, eiserne Pfeiler, steinerne Brücken u.#a.)

Tafel II bis VI. Theorie der eisernen Balkenbrücken.

„ II. Äufsero Kräfte der Balkenträger. (Graphische Ermittelung der äufseren Kräfte eines einfachen und eines durchlaufenden Balkens.)

„ III. Äufsere Kräfte der Balkenträger. (Querkräfte und Momente eines Trägers mit schwebenden Stützpunkten und eines durchlaufenden Trägers. Ermittelung der Einflufslinien eines durchlaufenden Trägers als Biegungslinien.)

„ IV. Theorie des Fachwerks. (Stabspannungen in einem Balkenträger auf zwei Stützpunkten, einem Träger mit schwebenden Stützpunkten und einem statisch bestimmten, sowie einem statisch unbestimmten Parabelträger.)

„    V. Theorie des Fachwerks. (Spannungen und Verschiebungen eines Fachwerkträgers, Kon

struktion der Biegungslinie des Untergurtes eines Fachwerkträgers mittels der graphisch ermittelten Winkeländerungen, Ermittelung der Stabspannungen in einem durch laufenden Träger mit mehrfachem Gitterwerk.)

„ VI. Raumfachwerk.

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Tiandbuch der Jngenieurwissenschaiten. 1. Band. Brückenbau 3‘f Aufl.

Fig. 1-5. Blechträger.

Figl. Bahn „oben” von 2-4m Lichtw.

SchmJT

g 6-13. Fachwerkträger und Boöenträöer

Fi<56. Von 12-5$" Lichtw.    Zu 6    Zu6u.8.    ^

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bis'20 m

von 21man.

Zu 9 U.12'.

Anordnung der eisernen Brücken und Materialaufwand.^

Fi^l'/ Vermehrung der Konstruktionsgewichte.    Fig. 19. Fig. 19 u.20 Form eiserner Gerüstbrücken

A. Durch schiefe Stellung der Widerlager zur Brückenachse.

Fig. 20.

Fig. 21. Eiserne Pfeiler.

Lanöseite

X--CL —*

Fig 22. Steinpfeiler

Zweite Abteilung. Tai. I .

Stirnseite.

WH

's

Fig. 2. Bahn „oben” von 5-12m Lichtw.

Fig.-7. Von 12-50mLichtw.

Zu 7 u 11.

Bahn .unten", bis 20’" StiUzw. von 20-30m .

. 30-60 .    .

. 60-SO .    .

„ »0-90. .

„ OO-IOO. .

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Bahn „oben", bis IOm Stiitzw. von 10 -30™ .

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2-3 durchgehende (luaderschiclüen.

örundrifs.

II

B. Durch Lage der Brücke in Bögen.

Sc/iwK

Fig.8. Von 50-100mLichtw

Fig. 3 .^willingsträger." von 2-5m Lichtw.

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Stütz

weite

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OOP

600

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6.5.

5.

5.

3,6.

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OO,

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50.

12.

9.

7,2.

6.

5.

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Fiô.23. Montirunôsôerüste für Weiten bis 40 mJ S    55    .

FXjXlxMAX

20 : !

I!

II

Fig.9. Von -50 -100mLichtw.

Zu 10

60.

17.

13.

10.

S.

63.

bis 20TO. von 21TOan.

SO.

25.

IS.

13,7.

10,5.

7,7.

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Fig. 25 u.26. Beispiele.

Fig. 4. Bahn „versenkt." von 6-12m Lichtw.

Höhen hB und h ,

IOO.

35.

25.

IS.

13.

9.

Eö.10. Von 12-70“¹ Lichtw.

üalbparabelträger ■

Schn

Y'f -bui go”¹

von 2l-70m

Fig. 5. Bahn „unten" von 10-12m Lichtw.

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■ Parallelträger: Blechträger:

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Fig. 15. Höhen h₂,h₃,h₄

Fig 25. Anordnung a

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w

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h„ Ba in .unten"

Fig.,11. Von 12-45m Lichtw.

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Schn.lL.

h,

hg. 13. Von 15-100mLichtw.

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Fig. 14. Tabelle zur Bestimmung der Stützweiten.

A__________Stützweite L______

_________LicJiimeUe À____

_______hz-

-b

0,55

ci rkcc 0,8

SL'O

//j BaJm ,o >en’

Fig. 12. Von 45 -100mLichtw.

a-

h,

-Vf e ter

Meter

3500 kg.

SchroBj^

—Vs Ä

3-5

5-6

0,15

0,20

0,50

0,50

0,25    0,55

0,30 I 0,50

0,30    ! 0,55

0,35    \ 0,60

25 ! 0.55 I 0,90

30 i 0,60

35 I 0,65

50    \ 0,70

50    \ 0,75

60 j 0,80

I, OO

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1, W

1, 20

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j hs iiach Bedarf

Hohen 1:25

Fi0.16. Entfernung der Hauptträger-Achsen in Geraden.

hx.—Tf.— —

ft,

20

eo

Stützw.

Bqhn.iuUm"u. .Milte".___

Holzbeda/f.

(Schwellen u. Dielen.)

Für Blech- u. Fachwerkträger Bahn.oben odu- unten" pr. 7/t. Stiitzw. 0,5 cbm.

Für Blech - u. Fa c.hmei 'kträger Bahn .versenkt " pr.m. Stiitzw. 0,55 cbm.

Für Zwillingsträger pr. 77t. Stiitzw. 0,35 cbm.

Schratt A.

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feste

Dilatation

ft’fites

Lager

Fig.24.Montirunösgerüste für Weiten über |0m

Ansicht.    Joche a

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60’“

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0,0006 .    . L .    70m

Tabelle

für Näherungswerte von a ub bei verschied. Stützw.

Gooo cbm.

5500 »

5000 «

Stiitzw.

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10-12

0,50    ! 0,65

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1.00    |    1, 70

Bahn, mrsen kt "

Erbreit

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2500 .

Ho. 18. Gewicht eiserner Bidicken

rveih

Zu Fig. 18-

Die LokaWalmbriicken in Eisen sind nach der bisher angewandten

Berechnungsart bei Stiitzw.    " CW

5, 15,30,80 "L um annähernd72,15,30,20 % leichter, als Hg. 18 ergiebt.

Brücken aus Flufseisen (weichem Bessemerstahl ) meiden um, c2 8% leichter, als solche aus Schmiedeeisen.

uon:

xl

PP

Fig. 26. Anordnung b

Ą______38_____________38 _________

___38

^______38

steigt 25°bo

__________38______

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für Hauptbahnen.

(vergl. Rq.1-17.)

ZimOmnstr.

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50    • 60

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80

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Fig*. 27.

Gerüste.

Bedarf an Holz und Schmiedeisen.

(verging. 23 tóWjif

Schmied-j eisen. Bolz.

750 cbm.

28t ioo .

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500 .

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Bedaif

an Mauerwerk

(vergl. Fig. 22.)

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EFHEzSVTT^:

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Der Beins lungs zug besteht mis

JiÄh. Ansf. V* V. Vibiz. I'armstadL

Cie .oheivn Jiifliu/ef (iewidUe iifllen fui ZitiiUü ffsh agerc

.........................g i¹

80    ¹    ‘    70    ‘    ¹    (W ‘    ¹    ‘ 5Ô ‘    ‘    ‘    W ‘    ‘    30    ‘    ‘    ‘    ' to ‘    '    '    '    70    ⁰    .    ¹⁰

3 Achtkupplern nebst beladenen Güterwagen, der Sicherheitskoefficient auf Arbeitsfestigkeit ist 2,8. Bei Lokalbahnen treten Erleichieiwigen em.

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Material für ueriistbrücken und eiserne Pfeiler.

Eisenbedarf ßr Mauerschliefsen cs E kg.^h m <L"t.

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Höhe der Gerüste.

Hach einer Studie der K. K. Gmeraldireldion, der österr. Staatsbahnen.

(vergl. Eg. 19-21.)

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Höhe des Pfeilers.

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rHandbucli der Jngenieurwissenschaften. It .Band. Brückenbau. 3te Aufl.

Rg. 1 bis 5 Graphische Ermittlung der änfsern Kräfte einer einfachen Balkenbrücke.

B.imt Querträgern.

A. offne Querträger.

Aufsere Kräfte der Balkenträger.

Graphische Ermittlung der äufeem Kräfte eines durchlaufenden Balkens mittels Einflusslinien.

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Zweite Abteilung. Taf. IT

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Fig. 17.

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Zu Fig. 17.

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Bestimmung der

Ma.ximal - Querkräfle

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Besliuupmw der Maximal - Querkräfle/

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777

allgemeine

Schema,

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\I.Bestimi\mng der Momentenßfu'hey für eineKinxellast 6 in den Punktef ■/, 2,3,4-. 5,6. (AlsBeispiel für Punkt 2 gezeichnet.)

JAffx X .

KI Zusammenstellung det‘ Moment viflächerv . bezogen au/i eine, roagereehie Sehlu/slmieA D

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Eigengewicht 0,6 tf d, lfdPŁ eines Trägers.

Eigengewicht 0,2 tßü‘ einen Haupt träger f d. lf T1h und, 0, i/ fan jedent, Knotenpunkt eines Eauptträgers als Einzellasi.

W. Emflusslinieh der öuerki'ätle in 0,1,2,3,1,5,6. (Einflusslinie 2 durch stärker A Lime her-vorgehoben.)

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Eg. 3.

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( THezcnguĄsłigsbi Stellung Itintfeh&l/ch, fll'for OxœrsêlmiAt 4 Tiin-nćhilich (iMĄfiir (XuerSçIun it 2 egtgez.eidmeb.)

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Tig.19.

Pet!polygon der -Einzellasten.,

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Fig¹.16.

für das Beispiel.

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ParabePsL hablone ') für die preuss. BrnckenoerOrdnung.

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Tig 11-16. Beispiel.-

durchlaufender Blech träger von 8™ 10 + 8™ Spannweite>.

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Maasstab tiir die Momente an den, j \ \ Einflusslinien, für nebenstehendes Beispiel. ^

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Linien/ der Marunal-Querkräfle fiir

s\    das Beispiel.

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Lokomotive luroorgebrachten Gnösstrrwmeiüe.

Stützweite = 6 m.

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Querträger)

(ohne/

m Polggon der Maximalm omenie, der beweglichen, Last

f out

Querträgern.)

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preuss. Briiekenaerdnnng ergiebt.

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Momeiüenniaasstab •• / m»! = £ frn .

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Verlag v.Wilh .Erigetnarm, Leipzig.

Lith.-Anst.v. F. Wirtz , Darmstadt.

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Handbuch der Ingenieurwissenschaften.U.Band.drückenoau.3teAufi.

Fig. 18. Träger mit schwebenden Stützpunkten (Kragträger)

Hg.l.

ÄuTsere Kräfte der Balkenträger.

Zweite Abteilung. Taf III

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Fig.2.

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der Stützenmomente.

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Fig. 12.

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22    23    21

25

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Fitk A Ermittlung der Einflufslinie vendais Seillinie der Momentenfläche

von P₁ und P₂ ._,,Ą aw_

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Fig.lk.Darstellung der Querkräfte

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Fig. 26

Fig. 26

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Fig.18,

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Fig.27.

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Lith.Anst .vT.Mrtz, Darmstadt.

Zufällige Last..

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7« Tarlagv.TOTh.Engeiroann.Leipxig.

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Handbuch der Ingenierwissenschaften. .II.Band.Brückenbau.3^Aufl.

Fig. 1-5 . Spannung en in einem Balkehfachwerk auf Grund eines Einzellastsvstems .

Fig.la

A Kg.6

O'

Fig. 6-15. Träger mit schwebenden Stützpunkten

( Er agträger. System Gerber

V    5'    6'    7'    S'    3’    JO' f

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7K

Theorie des Fachwerks .

Z-weite Abteilung. Taf. IV.

77'    & I2j

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Fachwerk statisch be stimmt. (Fig. 16-20 ).

Parabelträger.

Fachwerk statisch unbestimmt.(Fig.2!r29).

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Fig.7u.8.Einflufslinien .

Fig. 7 für die Querkräfte in Schnitt I (volle Linie)

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Fig. lau;b Kräfte und Seilpolygon des Einzellastsystems.

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Fig.9-12 . Einflufslinien.

Fig. 9 bei Wirkung von 10TI.

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12

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Eig .13 .Beanspruchungen. durch, das Eigengewicht.

Mafsstab für das Eigengewicht.

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Fig. 17

Fig. 25 .

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Fig.2 . Bestimmung der grössten Gurtspannungen

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Fig. 11 für 1010’bei Wirkung von 1011.

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Fig. 12 für 1010' hei Wirkung von 10' 11.

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Fig. 3u.k Bestimmungen der grössten Spannungen in den Diagonalen und Pfosten.

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Fig. 19. Pfosten .

Fig. 27. Pfosten

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Fig. 20

Diagonalen.

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Fig. 28u. 29 .Diagonalen

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Mafsstab für die Querkräfte.

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für die Momente.

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Fig. 5. Kräfteplan. der Eigengewichts Spannungen.

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Fig.23.

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Fig. 22.

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Fig. 29.

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Mafsstab für die Einftusslinie der Senkung der Trägermitte für 1* Last zu Fig. TI.

Mafsstab für die Längen..

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Verlag v.liVlIh Engehnann .Leipzig.

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r Handbuch, der Ingenieurwissenschafterl. !. Band .Brüdkeribau. 3V AufL.

Fig. 1-5. Spannungen und YersclueUungen eines Fachwerkträgers.

Flg.l.

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Zweite Abteilung, lai .V.

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MaTsstab für die Verschiebungen Fig. 46 und die Ordinalen der Bieguxigsürde in Fig. 8.

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Fig. 8 . Construction der Biegungslinie des Untergurten A auf Grund der graphisch ermittelten Winkeländerunge

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py 2,51 für die Guide

eines Trägers.

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Fig.2.

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der Stäb Spannungen

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Fig. 7. Kräfte-Plan für eine Emzellast in D

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Fig.9 .Algemeine Gröfsen zu 1-8 und Berechnung der Durchbiegung in D .

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267

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259

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271

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62.5

52.9 52,9

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-    0,93

-0,93

-    0,95 -0,96 -, 0,96

Under (Jurten.

0,ä

0,39 0,92 0,96 0,52 0,55 0,65 0,55

9, 99

7, 73 7,73 2,015 7, 39 0,80 O, 67 0,57 0,57

9, 22

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Fig.lb.

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Druck u. Zug

Zug

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336

336

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277

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Vertikalen.. 0,02 0,02 0,06 0,12 0,10 0,10 0,06

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-    0,095

-    0,09

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Zug u. Druck

______i___Druck_________

jM_______Zug u. Druck

§ I S g 1

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Links

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HJ+ NP+NR.

CE (reducirte Qaerkrafl /<"’

Schnitl UV) = / +/* Mß⁺ FR ■

Diagonalen..

® 0,19 0,3*ł O, 28 -0,38 - 0,22 -0,03

0, 32 0,8V 0, tło 0,275 0, 76 0,705

ÎJ <5 <5 <S

S⁵» 8 V§

- 0,89

Fig.15.

Stab

176

150

130

115

115

13Z

UV.

'CF (Qiierkraft fiir Schnitt ST)* HK* HO. + NO.

< CG (reducirte, Querkraft fw' Schnitl ST) * QF+Rßif/lIQ.

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____Druck u. Zug----------U

Druck

Yerlag v UMIh .Engel

.Leipzig

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r Handbuch d. Figenieurwissenschaftim.ÏÏ.Fand.Brückenbau. 3te Aufl.

Fig .1. Belastungsfall 1.

TdanrnfacPiwerk.

Tig.2.Belastungsfall 2.

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Tabelle zur Ermittlung von X

Zweite Abteilung. Taf.VI. n

Stammtzahlen .

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Belastungsfall

Last Pin V.

Be IcLstungsfaXL L ast P in I\r‘.

BelastiuigsfaZL Last TTinV.

a.

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10 s, a.ßlfc

a.

Thalsächliche Spannung _ Tür Fall 2 w⁸,a.ft-^ft S-aW+flX

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Fig. 10.Rückwand mit Belastungsanordnung

Fig.il.Cremona Flan der Spannungen in der Rückwand.

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Fit.12.Vorderwand mit Belastungsanordnurig. 2>^

Fig .13 . CremonaPlan der Spsumiingen in der Vorderwand

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Fi^ 6. Cremona Han dsr Spartnungenin der hinteren Tragwand

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707 j -0,63 \ - 0, 56

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-    ft 18 4 0,08

-    0,56

-    O, 75 4 ft, 25 4 0,25

-    ft 36 4 ft, 77

36

68

12

4 67

- 725

70

+ 211

4 233

777

757

- 226 4 363

4 O, 35 4 0,35

69

97

63

250

-    O, 50 4 ft, 50 4 O, 52 4 O, 52 4 O, 50

- O, 50

4 161

4 155

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266

4 266 4 223

4 0,09

-    O, 10

-    O, 12 4 ft 02 4 O, 36 4 ft 09 4 ft, 08 4 O, 19

-    1, 03

-    ft, 72 _ O, 06

-    O, 06 -0,26

4 16

4    15

+ 170

4 35

76

4 319

+ 53 + 38

38

- 116

4 0,16

- 0,11

-    0,09

-    0,02 4 O, 66 + 0,73 + 0,08 4 ft 15 + 1,07 -0,18

-    ft 77

-    0.01

- ft 20

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4 615

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0,8

0,7

0.9

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Fig .15 . Oberer Wiridverbaxid.

Fig.17.

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Fig. 19

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Fig.8. .

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Fig .16. Unterer Windverband.

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Fig. 18.

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Cremona Plan der Spannungen für eine Last PinV.

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Fig.7.Eräfte an der vorderen Tragwand .

Fig. 8 . Cremona Plan der Spannungen in der vorderen Tragwand.

Figd. Mafsstab für dieWerthep.

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4 116 + 116 4 116 \ 4 351 j 4 336 I 4 336 j + .357

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-    O, 77

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+ 57

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4 67

+ O, 27

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