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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Band Via.

Heft 6.

EN CYKLOPÄDIE

DER

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRÄGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BÄNDEN.

JRED. VON W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

H. BURKHARDT t (1896-1914), R. FRICKE IN BRAUNSCHWEIG UND W. WIRTINGER (1905—1912) IN WIEN.

W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG UND H. MOHRMANN IN CLAUSTHAL I. H.

F. KLEIN IN GÖTTINGEN UND C.H.MÜLLER IN HANNOVER.

A. SOMMERFELD IN MÜNCHEN.

1AND I: ARITHMETIK U. ALGEBRA,

IN 2 TEILEN.....

-    II: ANALYSIS, IN 3 TEILEN . . .

-    ffl: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN . . {

-    IV: MECHANIK, IN 4 TEILBÄNDEN. {

-    V: PHYSIK, IN 3 TEILEN.....

„ . , f PH. FURT WANG LER IN WIEN UND

-    VI, 1: GEODÄSIE UND GEOPHlSIk J £^ WIECHERT (₁₈9₉—19Ö5) IN GÖTTINGEN.

K. SCHWARZSCHILD IN POTSDAM.

-    VI, 2: ASTRONOMIE VH: GESCHICHTE, PHILOSOPHIE, DIDAKTIK H. E. TIMERDING IN BRAUNSCHWEIG.

BAND VI2. HEFT 6.

W. BROWN IN NEW HAVEN: THEORIE DES ERDMONDES !t. ¥, SUN DM AN IN HELSINGEORS: THEORIE DER PLANETEN

689

751

AUSGEGEBEN AM 10. JUNI 1915.

der

öffentlichen Arbeite»

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1915.

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Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit mög-lichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Eeginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe saohlich angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Begister enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v. Dyck - München, 0. Holder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, W. Wirtinger-Wien, H. v. Seeliger-München, P. Stäckel-Heidelberg

steht der Bedaktion, die aus den Herren

R. Fricke-Braunschweig, Ph. Furtwängler-Wien, F.Klein-Göttingen, W. Fr.Meyer-Königsberg, H. Mohrmann-Claushai i. H., C. H. Müller-Hannover, K. Schwarzschild-Potsdam, A. Sommerfeld-München und H. E.Timerding-Braunschweig

^besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

A. Pringsheim-München A. Rosenthal-München C. Runge-Göttingen A. Sommerfeld-München

I. Band;

W. Ahrens-Bostock P. Bachmann-Weimar j. Bauschinger-Straßburg

G.    Bohlmann-Berlin [LE. 0. Toepiitz-Kiel L.v.Bortkewitsch-Berlin E. Vessiot-Lyon

H.    Burkhardt (t)

E. Czuber-Wien W. v. Dyck-München

D.    Hilbert-Göttingen C. Hölder-Leipzig

G.    Landsberg (+)

R. Mehmke-Stuttgart W. Fr. Meyer-Königsberg i.P.

E.    Netto-Gießen    G.    Berkhan (f)

V. Pareto-Lausanne    j_.    Berzolari-Pavia

A, Pringsheim-München    ß    Castelnuovo-Bom

C.    Runge-Göttingen    [a. M. M.    Dehn-Breslau

A. Schoenflies-Frankfurt p_ Dingeldey-Darmstadt

H.    Schubert (t)    F.    Enriques-Bologna

D.    Seliwanoff-St.Petersburg g fane - Turin C. Guichard-Paris P. Heegaard-Kopenhagen

G.    Kohn-Wien

H.    Liebmann-München R. v. Lilienthal-Münster i.W.

G.    Loria-Genua

H.    v. Mangoldt-Danzig W.Fr. Meyer-Königsberg i.P. E. Müller-Wien E. Papperitz-Freiberg i. S. K. Rohn-Leipzig H. Rothe-Wien

G.    Scheffers-Charlottenburg A. Schoenflies-Frankfurt C. Segre-Turin

J.    Sommer-Danzig P. Stäckel-Heidelberg 0. Staude-Bostock E. Steinitz-Breslau A. Voss-München M. Zacharias-Berlin

H.    G. Zeuthen-Kopenhagen

K.    Zindler-Innsbruck

E. Study-Bonn

K, Th. Vahlen-Greifswald

H. Weber (+)

A. Wiman-Upsala

II. Band:

L.    Prandtl-Göttingen R. Reiff (f)

C. Runge-Göttingen [a.M. A. Schoenflies-Frankfurt

M.    Schröter-München

L.    FÖppI-Würzburg Ph. Forchheimer-Graz Ph. Furtwängler-Wien

M.    Grübler-Dresden M. Grüning-Köln E. Hellinger-Frankfurt a. M. A. Sommerfeld -München

E.    Study-Bonn K. W. Wagner-Berlin A. Wangerin-Halle W. Wien-Würzburg 1. Zenneok-München

VI, 1. Band;

R.    Bourgeois-Paris

G.    H. Darwin (f)

F.    Exner-Innsbruck

S.    Flnsterwalder-München Ph. Furtwängler-Wien F. R. Helmert-Potsdam S. Hough-Kapstadt E. v. Schweidler-Innsbruck

H.    Meldau-Bremen P. Pizzetti-Pisa C. Reinhertz (f)

A. Schmidt-Potsdam Sohweydar-Potsdam W. Trabert-Wien E. Wiechert-Göttingen

L. Henneberg-Darmstadt K. Heun-Karlsruhe G. Jung-Mailand

A. Voss-München A. Wangerin-Halle E. v. Weber-Würzburg

Fr.A.Willers-Charlottenburg Th. v. Kârmàn-Aachen

F.    Klein-Göttingen A. Kriloff-Petersburg H. Lamb-Manchester A. E. H. Love-Oxford R. v. Mises-Straßburg i.E. C. H. Müller-Hannover L. Prandtl-Göttingen H. Reidner-Charlottenburg A. Schoenflies-Frankfurt P. Stäckel-Heidelberg [a.M. 0. Tedone-Genua H. E.Timerding-Braunschwg. A. Timpe - Münster i. W.

A. Voss-München

G.    T. Walker- Simla (Indien) K. Wieghardt-Wien G. Zemplén-Budapest

W. Wirtinger-Wien E. Zermelo-Zürich L. Zoretti-Grenoble

II!. Band:

P. Appell-Paris M. Böcher-Cambridge, Mass.

E. Borel-Paris P. Boutroux-Poitiers

G.    Brunei (+)

H.    Burkhardt (f)

A. Denjoy-I’aris G. Faber-Straßburg i. E.

M. Frèchet-Poitiers R. Fricke-Braunachweig

J.    Hadamard-Paris

K.    Hahn-Czernowitz

J.    Harkness-Montreal E. Hellinger-Frankfurt a.M.

K.    Hensei-Marburg E. Hilb-Würzburg A. Kneser-Breslau A. Krazer-Karlsruhe

L.    Maurer-Tübingen W. Fr. Meyer-Königsberg i.P. M. Abraham -Mailand

[Mass. C. Cranz-Berlin

P.u.T. Ehrenfest-Leiden

P. Montel-Paris W. F. Osgood-Cambridge, P. Painlevé-Paris S.PIncherle-Bologna

[a. M.

V. Band:

VI, 2. Band E. Anding-Gotha J. Bauschinger-Straßbg.LE. A. Bemporad-Catania

M. Abraham-Mailand L. Boltzmann (f)

G. Bredig-Karlsruhe.

G.    H. Bryan-Bangor (Wales) E. W. Brown-New-Ilaven P. Debye-Göttingen

H. Diesseihorst-Braunschwg. F. Cohn-Berlin Fr. Ernde - Stuttgart P. S. Epstein-München R. Gans-La Plata

C. Ed. Caspari-Paris

Th. Liebisch-Berlin H. A. Lorentz-Haarlem L. Mamlock-Berlin

G.    Mie-Greifswald

H.    Minkowski (t)

0. Mügge-Göttingen

S. Finsterwalder-München J. Nabl-Wien 0. Fischer-Leipzig

IV. Band:

R.    Emden-München F. K. Ginzel-Berlin

[bürg J. v. Hepperger-Wien F. W. Hinrichsen-Charlotten- G. Herglotz-Leipzig E. W. Hobson-Cambridge H. Kamerlingh-Onnes-Leiden K. Laves - Chicago W. H. Keesom-Leiden    F. R. Moulton-Chicago

M. v. Laue-Frankfurt a. M. G. v. Niessl-Wien

S.    Oppenheim-Prag K. Schwarzschild-Potsdam E. Strömgren-Kopenhagen K. Sundman-Helsingfors E. T. Whittaker-Edinburgh A. Wilkens-Kiel C. W. Wirtz-Straßburg i. E. H. v. Zeipel-Upsala

H. Kobold-Kiel

F. Pockels (f)

Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Redaktion des Jahresberichts der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ihr aus dem Leserkreise zugehende Verbessernngsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zn den erschienenen Heften der Encyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Herausgeber des Jahresberichts Herrn Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Gutzmer in Halle a/S., Wettinerstraße 17 zu richten, der sich mit den betr. Bandredakteuren wegen der Veröffentlichung der Notizen in Verbindung setzen wird.

Dio akademische Kommission zur Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.

SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON NORDAMERIKA : COPYRIGHT 1915 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

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VI2,14. THEORIE DES ERDMONDES.

Von

ERNEST W. BROWN

IX NEW HAVEN.

(Übersetzt und mit einigen Zusätzen versehen von A. v. Brunn in Danzig.)

Inhaltsübersicht.

1.    Historischer Überblick.

2.    Verhältnis der Mondtheorie zum w-Körperproblem.

I. Das Hauptproblem.

3.    Die Kräftefunktion.

4.    Bewegungsgleichungen.

5.    Spezielle Differentialgleichungen.

6.    Formen der Ausdrücke für die Koordinaten.

7.    Konvergenz und Divergenz.

8.    Intermediäre Bahnen. Lösungsmethoden.

9.    Entwicklung der Störungsfunktion.

10.    Variation der willkürlichen Konstanten.

11.    Eigenschaften der Lösung.

II. Die Lösungsmethoden.

12.    Geometrische Methoden: Newton.

13.    Die wahre Länge als unabhängige Veränderliche: Laplace, Clairaut, d’Alem-bert, Damoiseau, Plana.

14.    Polarkoordinaten mit der Zeit als unabhängiger Veränderlicher: de Ponté-coulant, Lubbock, Airy, Neison.

15.    Variation der Konstanten: Euler, Poisson, Puiseux, Delaunay, Poincaré.

16.    Bewegliche rechtwinklige Koordinaten: Euler, Hill, Brown, Poincaré.

17.    Mittlere Anomalie und Verhältnis der Entfernung zu einem elliptischen Radiusvektor als abhängige Variable: Hansen, v. Oppolzer, Weiler.

18.    Wahre Anomalie als unabhängige Veränderliche: Euler, Gyldén, Brendel.

III» Planetarische und andere störende Einflüsse.

19.    Behandlungsmethoden.

20.    Die Figur der Erde und des Mondes. .21. Die direkte Wirkung der Planeten.

44

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

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22. Die indirekte Wirkung der Planeten.

28. Die säkularen Beschleunigungen.

24.    Störungen zweiter Ordnung.

25.    Andere mögliche störende Ursachen.

26.    Der gegenwärtige Stand der Mondtheorie. Vergleich mit der Beobachtung.

27.    Tafeln der Mondbewegung.

Bemerkung. Dieser Artikel behandelt ausdrücklich nur das Problem des Erdmondes. Er nimmt daher nur gelegentlich nebenbei Notiz von Entwicklungen, die zwar aus diesem Problem herstammen, aber entweder auf ähnliche himmlische Systeme oder überhaupt auf andere Probleme anwendbar sind; diese Dinge sind in IV 1, 12 und VI2, 12, 13 u. 18 behandelt. Andrerseits sind auch Resultate, welche in jenen Artikeln entwickelt sind und auf die Mondtheorie angewandt werden können, im allgemeinen hier nicht wiederholt. Die Litteratur und die Methoden, die sich auf die Bestimmung der Konstanten aus Beobachtungen beziehen, gehören in den Artikel VI 2, 19.

Literatur.

Lehrbücher.

G.    B. Airy, Mathematical tracts on physical Astronomy, Cambridge, 1. Aufl. 1826,

2.    Aufl. 1831.

H.    Godfray, Elementary treatise on the Lunar theory, London, 1. Aufl. 1853,

3.    Aufl. 1871.

F.    Tisserand, Traité de mécanique céleste 3, Paris 1894.

E. W. Brown, An introductory treatise on the Lunar theory, Cambridge 1896.

J. C. Adams, Lectures on the Lunar theory, Cambridge 1900.

H. Andoyer, Théorie de la Lune. Scientia, Paris 1902.

H.    Poincaré, Leçons de mécanique céleste 2, Paris 1909.

G.    Boccardi, Elementi di Astronomia, Torifno, 1912.

Monographieen.

I.    Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1687.

A. C. Clairaut, Théorie de la Lune, 1. Aufl. St. Petersburg 1752, 2. Aufl. Paris 1765.

L. uler, Theoria motus Lunae exhibens omnes ejus inaequalitates (mit einem Additamentum), St. Petersburg 1753.

J.    d’ Älembert, Recherches sur différents points importants du système du Monde

1, Paris 1754.

L.    Euler, Réflexions sur la variation de la Lune, Berl. Acad. Mem. 1766, p. 334—353. — Theoria motuum Lunae nova methodo pertractata etc., St. Petersburg 1772. P. S. Laplace, Traité de mécanique céleste liv. 7, Paris 1802.

M.    C. T. Damoiseau, Mémoire sur la théorie de la Lune, Paris mém. prés. 3 sér. 1 (1827), p. 313—598.

G. A. A. Plana, Théorie du mouvement de la Lune (3 Bde.), Turin 1832.

J. W. Lubbock, On the theory of the Moon and on the perturbations of the Planets. Lond. Phil. Trans. 1831, p. 217—66, 1832, p. 1—49, 229—236, 361—381, 601—607, 1834, p. 123—141 = Tracts on the theory of the Moon and on the perturbations of the Planets, London 1834, 1836, 1837, 1840 und, eine Diskussion vieler Fragen enthaltend, 1861.

S. D. Poisson, Mémoire sur le mouvement de la Lune autour de la Terre. Par. mém. prés. 3 sér. 13 (1835), p. 209—335.

P. A. Hansen, Fundamenta nova investigationis orbitae verae, quam Luna per-lustrat, Gotha 1838.

P. G. D. de Pontécoulant, Théorie analytique du système du Monde 4, Paris 1846.

J. C. Adams, On the secular variation of the Moons mean motion, Lond. Phil. Trans. 143 (1853), p. 397—406 = Collected works 1, p. 140—157.

C. Delaunay, Théorie du mouvement de la Lune, Paris mém. prés. 28 (1860) u. 29 (1867).

P. A. Hansen, Darlegung der theoretischen Berechnung der in den Mondtafeln angewandten Störungen, Leipzig. Ges. Wiss. Abhdl. 6 (1862), p. 91—498, 7 (1864), p. 1—399.

V. Puiseux, Sur les principales inégalités de la Lune, Ann. éc. norm. sup. Paris, sér. 1 1 (1864), p. 39—80.

G.    W. Hill, Researches in the Lunar theory, Amer. Journ. of Math. 1 (1877), p. 5—26, 129—147, 245—260 = Works 1, p. 284—335.

—    On the part of the motion of the lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and Moon, Cambridge U. S. A. 1877 — Acta math. 8 (1886), p. 1—36. = Works 1, p. 243—270.

J. C. Adams, On the motion of the Moons node etc., Lond. Astr. soc. Monthly Not. 38 (1877), p. 43—49. — Collected works 1, p. 181—188.

H.    Gyldén, Die intermediäre Bahn des Mondes, Acta math. 7 (1885), p. 125—172.

G.    B. Airy, Numerical Lunar theory, London 1886.

H.    Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 Bde., Paris 1892, 1893, 1899.

Th. v. Oppolzer, Entwurf einer Mondtheorie etc., Wien Denkschr. 51 (1886), p. 69—105, 54 (1888), p. 49—244.

B. Badau, Recherches concernant les inégalités planétaires du mouvement de la Lune, Obs. de Paris ann., mém. 21 (1893), p. 1—114.

S. Newcomb, Action of the planets on the moon, Wash. Astron. Papers 5 (1894), p. 97—295.

E. W. Brown, Investigations in the lunar theory, Amer. Journ. of Math. 17 (1895), p. 318—358.

—    Theory of the motion of the moon etc., Lond. Astr. soc. mem. 53 (1897), p. 39—116, (1899), p. 163—202, 54 (1900), p. 1—63, 57 (1905), p. 52—145, 59 (1908), p. 1—103.

H. Poincaré, Sur les équations de la lune, Paris bull. astr. 17 (1900), p. 167—204.

M. Brendel, Theorie' des Mondes, Astron. Mitt. d. kgl. Stw. Göttingen 1905. = Gött. Math. Abh. N. F. Bd. 3, Nr. 4.

S. Neivcomb, Investigation of Inequalities produced by the action of the planets, Carn. Inst. Publ. 72 (1907).

E. W. Brown, Inequalities produced by the direct action of the planets, Cambridge University Press XII u. 93 p. 1908.

1. Kurzer historischer Überblick.¹) 1. Newton (1687) selbst war der erste, der die Bewegungen des Mondes seinem Gesetz vom reci-

proken Quadrat der Entfernung unterordnete, indem er aus ihm angenäherte Werte für die hauptsächlichsten Ungleichheiten und Bewegungen ableitete. Eine analytische Methode wandte zuerst Clairaut (1747) an, der den Kunstgriff gebrauchte, eine Ellipse mit beweglicher Apsidenlinie in die Gleichungen einzuführen; er erhielt eine zweite Annäherung für die Apsidenbewegung, welche zeigte, daß das Newtonsche Gesetz allen Tatsachen genüge. Diese Theorie war numerisch. Eine ähnliche rein analytische Theorie arbeitete d’Älembert (1751) aus. 1753 publizierte Euler den ersten seiner zahlreichen Versuche, brauchbare analytische Darstellungen und Lösungen des Problems zu finden; er benutzte zum ersten Male bewegliche rechtwinklige Koordinatenachsen, die Variation der Konstanten, eine der Hansem analoge Methode, den Ausdruck der Koordinaten durch trigonometrische Funktionen der Zeit, Annäherungen zunächst nach Potenzen der Exzentrizitäten und Neigungen und erst dann nach Potenzen der störenden Kraft und unendlich unbestimmte Koeffizienten zur Aufstellung und Lösung von Bedingungsgleichungen, um so numerische Werte der willkürlichen Konstanten zu erhalten. T. Mayer gab, indem er Eulers Methode von 1753 benutzte und Theorie und Beobachtung vereinigte, in den Jahren 1753 und 1770 Tafeln heraus.

Laplace nahm den Gegenstand 1770 auf; seine Untersuchungen sind zum größten Teile im 3. Bande seiner Mécanique céleste (1802) enthalten. Er stellte die allgemeinen Bewegungsgleichungen auf, gab eine generelle Lösungsmethode, die er in beträchtlichem Umfange dürchführte, und welche die von der Figur der Erde und der Anziehung der Planeten herrührenden Störungen berücksichtigte, wies auf die Bedeutung der langperiodischen und säkularen Terme hin und klärte die Ursache der Säkularbeschleunigung auf. Damoiseau (1827) und Plana (1832) entwickelten Laplaces Methode bis zu einem viel höheren Grade der Annäherung, jener numerisch, dieser analytisch.

„Essai historique sur le problème des trois corps“, (Paris 1817) und die Einleitungen der hauptsächlichsten Monographieen sowie der Lehrbücher von Tisserand und Brown.

Die nach Gegenständen geordnete „Bibliographie générale de l’Astronomie“ von Houzeau und Lancaster und das „Vademecum de l’Astronomie“ von Houzeau, Brüssel 1882 und 1887 bzw. 1882, enthalten Titel und Verlagsort der meisten Bücher und Abhandlungen bis 1880. Zur Vervollständigung der mathematischen Kataloge enthält das Paris bull. astr. (seit 1884) ein Verzeichnis der meisten der im betreffenden Jahre erschienenen Werke. Endlich gibt (seit 1900) der „Astronomische Jahresbericht“ von Walther F. Wislicenus ein nach Gegenständen geordnetes Verzeichnis nebst kurzer Besprechung der Publikationen.

De Pontécoulant und Lübbock begannen um 1830 ihre Untersuchungen unter Verwendung der Zeit als unabhängiger Veränderlicher; des ersteren vollständige Resultate wurden 1846 veröffentlicht. In ungefähr dieselbe Zeit fallen Hansens erste Publikationen seiner Methoden: Die „Fundamente usw.“, die seine Theorie enthalten, erschienen 1838, die „Darlegung usw.“ mit seinen numerischen Resultaten 1862 und 1864 und die „Tafeln“ 1857. Poissons Memoire, welches die Variation der Konstanten anwendete, kam 1835 heraus. Adams' Abhandlung von 1853 zeigte, daß Laplaces theoretischer Wert der Säkularbeschleunigung trotz der scheinbaren Übereinstimmung mit der Beobachtung um die Hälfte seines Betrages falsch war. Delaunay kündigte seine Methode, die Variation des Konstanten anzuwenden, 1846 an und führte sie so weit durch, daß er (1867) eine analytische Entwicklung für die Sonnenstörungen bis einschließlich der Größen 7. Ordnung in der störenden Kraft erhielt, die Sonnenbahn als elliptisch vorausgesetzt. Die Anwendung seiner Methode auf planetarische und andere Ungleichheiten ist durch Hill, Newcomb, Padau, Brown und andre gemacht. Airys Versuch (1886), numerisch Belaunays Resultate zu verifizieren, schlug fehl. Weiler (1872), Neison-Nevill (1877) und v. Oppolzer (1887) haben ebenfalls allgemeine Methoden gegeben.

In Hills Schriften von 1877 trat die Idee hervor, eine periodische Bahn anstatt der Ellipse mit beweglicher Apsidenlinie als erste Annäherung zu benutzen. Indem er Eulers Gedanken einer Annäherung nach Potenzen der Exzentrizitäten und Neigungen aufnahm, erhielt er mit hoher Genauigkeit den Teil der Störungen, die von jenen unabhängig sind. Den gleichen Gedanken hatte Adams gehabt, dessen Abhandlung über die Bewegung des Knotens unmittelbar folgte. Die angedeutete Methode ist vollständig entwickelt durch Broim, der alle Terme einschließt, die Koeffizienten bis zum Betrage von 0",01 liefern können, und diese auf 0",001 genau rechnet. Die Anwendung periodischer Bahnen ist von Poincaré von der mathematischen Seite aus auf alle Gebiete der Himmelsmechanik ausgedehnt, und ähnliche Probleme sind von Darwin, Schwarzschild und anderen behandelt. Gyldéns Abhandlung aus dem Jahre 1886 zeigt die Anwendung seiner eigenen Methoden auf die Mondtheorie; Brendel (1905) und andere Autoren haben seine Methoden modifiziert und sein Werk fortgeführt, aber es ist nicht zu einer vollständigen Entwicklung gekommen. Im Jahre 1900 hat Poincaré eine allgemeine Methode gegeben, die auf der von Hill und Brown basiert. Cowell (1903—5) hat zahlreiche theoretische Koeffizienten durch eine direkte Analyse der Mondbeobachtungen verifiziert.

2. Verhältnis der Mondtheorie zum w-Körperprobtem und zur Planetentheorie. Jeder Körper im Sonnensystem kreist scheinbar innerhalb einer ringförmigen Fläche um einen andern, der das Zentrum dieser Fläche einnimmt; letzterer (b) bestimmt den Hauptteil der Bewegung des ersteren (a), und die übrigen Körper (c) „stören“ diese Bewegung in höheren oder geringerem Grade. In der Planetentheorie sind diese Körper: a ein Planet, b die Sonne, c die übrigen Planeten; in der Mondtheorie dagegen sind es: a der Mond, b die Erde, c die Sonne und die Planeten. Die Unterscheidung dieser beiden Probleme ist nur vorgenommen, um ihre analytischen Verschiedenheiten hervorzuheben. Es seien nämlich a und n mittlere Entfernung und mittlere Bewegung des gestörten Körpers um den Zentralkörper der Masse E; ebenso m, a, n Masse, mittlere Entfernung und mittlere Bewegung des störenden Körpers. Dann erfordert die Lösung des Bewegungsproblems eine Entwicklung nach positiven oder negativen Potenzen

a⁷’ n⁷’ ~k’ der Planetentheorie ist ^ < rhoo’ während ^-und

von

(oder =-) \ an]

die Einheit erreichen können. In der Mondtheorie dagegen, wenn die Sonne der störende Körper ist, hat man:

CO

SO

J?

ungefähr. In jenem Fall ist die Schwierigkeit die, die merkbaren Glieder 1., selten 2. Ordnung in

Potenzen davon mitgenommen werden; und daß man im Mondproblem von einer solchen Entwicklung nach der störenden Masse, die ja die Einheit um mehr als das Dreihunderttausendfache übertrifft, überhaupt sprechen kann, hat nur dadurch einen Sinn, daß sich infolge der Eigentümlichkeit des Problems die Gesamtheit der Entwicklungen nach

, a und —

Und weiter: Während die Apsiden- und Knotenbewegungen der Planeten so langsam vor sich gehen, daß Ausdrücke der Form

-f- Bt -f- • • •) sin (at -f- ß), wo a — in -f- jri,

zu erhalten, in diesem müssen viele

und

a, tatsächlich auf eine solche nach ) a    \ n )

V’

reduziert.

zur Darstellung der Elemente für sehr lange Zeit genügen, würden solche für den Mond schon nach Ablauf einiger Monate unbrauchbar werden: Man muß daher so verfahren, daß die Zeit nur in trigonometrischen Funktionen vorkommt, welche von 4 (der Zeit proportionalen) Argumenten abhängen, z. B. den beiden mittleren Längen in der Bahn, der mittlere Perihellänge und der mittleren Knotenlänge

8. Die Kräftefunktion.

673

des Mondes. Die zn berücksichtigenden Vielfachen dieser Argumente sind beim Monde nicht hoch, während in der Planetentheorie vielfach ziemlich hohe Werte von i und j noch mitzunehmen sind.

Wegen der im Verhältnis zur Sonne kleinen Massen der Planeten und überhaupt der ganzen Konfiguration des Systems ist es möglich, das gesamte Mondproblem in Unterprobleme zu teilen, die nacheinander getrennt behandelt werden können-, und zwar folgendermaßen:

1. Das Hauptproblem: in ihm werden Erde, Mond und Sonne auf ihre Schwerpunkte mit den Massen E, M, m reduziert (beziehungsweise die Körper als Kugeln mit konzentrischen Kugelschichten gleicher Dichte aufgefaßt). Die Bewegung des Schwerpunktes G von E und M nm m' kann als in einer bekannten festen Ellipse vor sich gehend gedacht werden (Nr. 3—18).

2. Die Wirkungen, die durch den Unterschied zwischen angenommener und wirklicher Figur von Erde und Mond hervorgerufen werden

(Nr. 20).

3.    Die direkte Anziehung von M durch die als Massenpunkte gedachten Planeten (Nr. 21).

4.    Die Wirkungen der Abweichungen der Bewegung von G von einer festen Ellipse; diese werden durch die Planeten hervorgerufen und sind als deren indirekte Wirkung bekannt (Nr. 22 und 23).

5.    Störungen, die von den Quadraten und Produkten der in 2, 3, 4 genannten Kräfte abhängen (Nr. 24).

6.    Andere Ursachen, deren Wirkungen entweder zu klein sind, um beobachtet werden zu können, oder deren Charakter und Beträge noch größtenteils hypothetisch sind; das sind: Die Gezeiten auf der Erde die Abweichungen vom Newtonschen Gesetz, Massengewinn oder -Verlust, Einfluß eines widerstehenden Mittels usw. (Nr. 25).

I. Das Hauptproblem.

3. Die Kräftefunktion. Es seien x, y, z, r und x\ y', z, r Koordinaten und Abstand von Mond bzw. Sonne in einem festen Koordinatensystem, dessen Anfang in E liegt; A sei der Abstand Mond—Sonne; E, M, m die Massen von Erde, Mond und Sonne, gerechnet in astronomischen Einheiten. Dann lauten die Bewegungsgleichungen des Mondes²):

dF

d*x _ dF d*y _dF (Pz __ dt² dx ⁷ dt²    dy ⁷ dt*    dz ’

Die Sonnenkoordinaten sind auf G, den Schwerpunkt von 22 und M bezogen, und von der Sonne wird vorausgesetzt, daß sie eine feste Ellipse um G als Brennpunkt in der xy- Ebene (Ekliptik) beschreibe ; es ist also z — 0. Man setzt nun xx -f- yy' = rr cos -0’, wo also

T    1

it = •Zfc.MEm'y und entwickelt nach Potenzen von v, das ungefähr 4Q() ist. Es werde außerdem bezeichnet:²)

E + M+ m

/ E y-i / — m y-i \E + Mj \E+ Ml

dann ist

m = w'²a'²( 1 — X),

wo n und a mittlere Bewegung und große Halbachse der Sonnenbahn sind. Es sei nun Fj die Kugelfunktion jter Ordnung von Dann kann man sehreiben

JB-f 3f , »'* a r

wo

xx' -f- yy’ -f- zz

r'*

ist.

i—*

} = 2

In den meisten Theorien wird Â = 0 und jc,. = 1 gesetzt. In der Tat bringt auch X nur eine kaum* merkliche Veränderung in der Apsiden-und Knotenbewegung hervor, und den Größen x- wird annähernd Rechnung getragen, wenn man in den Schlußresultaten    statt

setzt.³) Die Störungsfunktion ist 22; ist sie null, so geht die Mondbewegung in einer Ellipse mit E als Brennpunkt vor sich. Die Zeit tritt in R explizit nur in der Form nt -f- s und nt -f- s'— W' = V auf, wo s' und w' die mittlere Länge und die Perigäumslänge der Sonne für t — 0 sind; und zwar kommt nt -f- £ in. ft nur so vor, daß, wenn man die Bewegung auf ein bewegliches Koordinatensystem bezieht, dessen Anfang in E liegt, und dessen ^-Richtung nach dem mittleren Sonnenort zeigt, in F die Zeit t explizit nur durch V eingeht. Wir können dann R mit Formeln, wie sie für die elliptische Bewegung gelten, nach Kosinus der Vielfachen von V und Potenzen von e, der Exzentrizität der Sonnenbahn, entwickeln; dabei tritt ek in dem Koeffizienten von cos kl' als Faktor auf.

4. Die Bewegungsgleichungen.

675

4. Die Bewegungsgleiclmngen. Den Bewegungsgleichungen sind vielerlei verschiedene Formen gegeben worden. Einige der wichtigsten sind:

a) Für Polarkoordinaten mit der Zeit als unabhängiger Veränderlicher: ⁴)

dv (1 -{- s²)    1 -j- s*

dB

dt

r*

r*

dv

dt,

dt*

dB

( rs \ 4_ ü rs

Vi/i -f «y "* r3 yuF?

yT-pPdn ,___»__

r ds ' yl dr ?

wo a und h Integrationskonstanten sind und s die trig. Tangente der Breite über der #i/-Ebene, v die sphärische Länge der Projektion von r auf die a^-Ebene von der æ-Achse aus gerechnet, a die mittlere Länge der Sonne für t = 0, und ;u = E M ist. Wenn R = 0 ist, so ist 2 a die große Achse und die Flächengeschwindigkeit in der xy-Ebene.

b) Polarkordinaten mit v als unabhängiger Veränderlicher:⁵)

d²u, .    _ 1 dF . s dF 1 du,dF    2 td*u, .    \ Ç

dv* ' Ul 7i*du, ' h*ux ds    h*ux* dv dv    h*\dv* ' Ul)J

1 +s*dF 1 dsdF 2 (d*s \ ( h*ux* ds li*u,*dvdv h*\dv*'⁴)J

dF dv

dv u,*’

d*s_

dv*

s dF h*u, du,

d_F_dv dv u,*f

dt

Lfu!

dv hu₁*\    ' h*J dv u,*)

— rx, ist die Pro-

Hier hat h eine ähnliche Bedeutung wie in a); jektion des Radiusvektors auf die #i/-Ebene.

c) Rechtwinklige Koordinaten, auf ein bewegliches Achsensystem bezogen.⁶) Es sei die x-Achse stets nach dem mittleren Sonnenort gerichtet und außerdem bezeichnet:

F' = F +    + f).

Dann ist

dz

dF' d* z dF' dy ’ dt*

Man setze nun:

= X 4- iy, £ = ei(ntJr*-n't-t'),    J

und führe das Operationszeichen D ein für

fd_ _1__d_%

* d£    i(n — ri)dV

ferner sei

••

v.:    =

(n — n)2 ?

p = 00

(w— n)

-T+4m2(w+s)²“    +2 ß

p-

p = 2

Dann ist & eine homogene Funktion pt6n Grades von u, s, z, welche als Faktor enthält; Si₂ enthält außerdem e als Factor. Dann kann man die Differentialgleichungen folgendermaßen umformen:⁸) D*(us-\-z²)—BuBs—(Bz)²—2m(iiBs—sDw)-f-§-^²(w+s)²—3 m²z²

p = cc

= g-2, [(p+iH+s-¹^,)],

v—S

Biiil) s—sBu—2mMs)-fym²(M³—s²)=    y~df — u~du/

P—2

(t - uTz

B{uBz—zBvi)—2mzBu — m²iiz—

CO | <M

->

p—²

Hier bedeutet D£, die Operation D angewandt auf die Teile von Q, welche die Zeit explizite enthalten; J)², die Wiederholung der Operation B, und B~l, die inverse Operation zu Blf sind so zu verstehen: n ist die mittlere Bewegung des Mondes und C eine willkürliche Konstante. Wenn e'=0, so besitzen die Differentialgleichungen das JacobischeIntegral⁹), und Cist die relative Energiekonstante. WennA-=0 ist, dann sind die Gleichungen in ihrer ersten Form, abgesehen von den Termen ^ linear in bezug auf x, y, z und bilden die

8) E. W. Brown, Investigations m the Lunar theory, Amer. Journ. of Math. 17 (1895), p. 318—358. Die Gleichungen sind zuerst aufgestellt und

behandelt unter der Beschränkung

9) C. G. J. Jacobi, Paris C. R. 3 (1836) p. 59—61. = Gesammelte Werke 4,

==e = z — 0 durch G. W. Hill.

p. 37—38.

Grundlage von Adams Untersuchungen über die Bewegungen der Apsiden- und der Knotenlinie (Nr. 11). In der zweiten Form sind sie homogen und vom 2. Grade, abgesehen von der Konstanten C. d) Kanonische Formen. Setzt man

2r = ^'²+ ^²+/²¹⁰), <D = T — F

und behandelt x, y, z, x, y, z als gleichberechtigte abhängige Veränderliche, so nehmen die ursprünglichen Bewegungsgleichungen die kanonische Form an:

dx

d& dx'

dt dx'*

Poincaréu) hat eine Transformation gegeben, die ein System kanonischer Gleichungen liefert, hei dem <P nicht explizite von der Zeit abhängt. Wenn man sich nach c) eines beweglichen Achsensystems bedient und

X = x — n y- Y = y' -j- n'x, Z = z.

<P = J {(X + n'yf + (7 — rix)² + Z²}—F—\ n'\x* -f y³) — n'L

setzt, dann sind (x, y, z, L), (X, Y, Z, V) kanonische Variable, und O ist die charakteristische Funktion des Problems; es besteht also das

^ = ^7* Ein ähnliches dt dl

Integral (P = const. L ist definiert durch kanonisches System kann bei festen Achsen⁷ 8 9) benutzt werden, wenn d ® und 4> = T—F— n L,woT= £ (x'²+y'²+ z ²).

5. Spezielle Differentialgleichungen. Ein Typus von Differentialgleichungen, auf den man immer wieder stößt, ist d²x

man setzt

dL

dt — d7

dt»

-j- n²x — ^ ai cos cc{t.

Wenn ai =f= n, so enthält die Lösung nur trigonometrische Funktionen der Zeit; wenn jedoch ai — n, so tritt t als Faktor dieser Funktionen auf. Da Terme dieser Form möglichst vermieden werden müssen, so ist es nötig, daß man auf die Gleichung zurückgeht, aus der der obige Typus hervorgegangen ist. In der Mondtheorie sind das Differentialgleichungen der Form:

dix

dt²

-f- 1l²X — f{x y t),

wo f nach Potenzen von x entwickelbar ist und t nur in periodischen Gliedern enthält. Die wichtigsten speziellen Typen, auf die man dabei

geführt wird, sind die folgenden:

a)

d³x dt²

i— co

cos

2itj — 0 ( Gyldéri-LindstecUsche Gleichung).

Clair aut¹*') hat zuerst, und zwar auf indirektem Wege, versucht, dieser Gleichung durch rein trigonometrische Funktionen von t zu genügen, wobei Argumente t, qt -f- ß auf treten; D’Alembertu) erreichte das in seinen Untersuchungen direkt. Unsere Gleichung a) ist ein spezieller Fall der linearen Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten (II2, 7), und ihre Lösung in der Himmelsmechanik hängt eng zusammen mit der von

dsx

dt³

+ nlx = a₀ -j- a₁x -f- • • - ,¹⁵)

Die Lösung kann im allgemeinen in der Form ausgedrückt werden

i = oo

x = b ^ cc{ cos (qt ß 2 it),

?:=o

wo die ui und q allein von n und den a. abhängen, und b und ß Integrationskonstanten sind. Die Hauptschwierigkeit liegt darin, eine rasch konvergierende Reihe für q zu finden. Das letztere Problem ist zuerst von G. W. Hill¹⁶) und J. C. Adams¹¹) gelöst, welche die obige Lösung formell in die Differentialgleichung einsetzen und (q ist stets verschieden von einer ganzen Zahl vorausgesetzt), indem sie die Koeffizienten der einzelnen periodischen Terme gleich null setzen, ein System unendlich vieler linearer Gleichungen¹⁰ 11 12 13 14 15) mit ebenso unendlich vielen Unbekannten erhalten: damit diese linearen Gleichungen ohne konstantes Glied miteinander verträglich seien, muß die Determinante der Koeffizienten der a. verschwinden, welche also ebenfalls unendlich viele Zeilen und Kolonnen enthält; dadurch wird eine Bedingung für die Unbekannte q geliefert. Durch Ausnutzung der

Eigenschaften dieser Determinante gelingt es, q zu isolieren lind

t© a

sin* q

sin* n

durch eine andere unendliche Determinante auszudrücken, die schließlich in eine Reihe entwickelt wird; die Konvergenz derselben hat Poincare bewiesen.¹⁶) Gyldén¹⁷) führt, indem er unter der Voraussetzung, daß die ai sehr klein sind, gewisse Termen wegläßt, unsere Gleichung a) auf die Lamé'sehe Differentialgleichung zurück (II1, 10) und integriert durch elliptische Funktionen. Er hat in ähnlicher Weise auch die Gleichung

æ-x dt³

+ X = ß₀x -f- ßxxz.¹⁸)

wo ikx und ip₀ periodische Funktionen von t mit verschiedener Periode sind, behandelt¹⁹) und ebenso auch d*x

dt*

Lindstedt²⁰) findet q, im Falle, daß ai=Q für i> 1, durch Kettenbrüche, die auf eine Reihe ähnlich der Hills zurückgeführt werden können; damit sind dann auch die Koeffizienten der periodischen Terme gefunden. Auch die allgemeinere Gleichung d*x

dt³

+ n*x = ^₀-f- t±x H----,

wo die ij; periodische Funktionen sind, gelingt es Lindstedt zu integrieren. Poincaré²¹) hat die Lindstedtschen Methoden in der Jdcobi-schen Form dargestellt und außerdem noch auf eine andere Weise, wodurch er sie von einer Einschränkung befreit.²² 23) Eine Diskussion zwischen Lindstedt™), Gyldén²⁴) und Packlund²⁵) klärte gewisse Schwierigkeiten, die sich in Gyldéns Abhandlung finden, auf.

Beweise für die Existenz der Lösungen unserer Differentialgleichungen hat Lindstedt²⁶) unter Benutzung der gewöhnlichen Methoden fortgesetzter Annäherungen geliefert. Einige Lücken in der Strenge seiner Beweisführung hat Bruns²⁷) ausgefüllt und zugleich Reihenentwicklungen der Lösung gegeben. 0. Ccdlandrean²⁸ 29 30 31) macht sich die Resultate der Theorie der Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten zunutze und gelangt dadurch zu einem kurzen und strengen Existenzbeweis, der außerdem auf eine elegante Form des Ausdrucks zur Bestimmung von q führt.⁸²) Eine sehr allgemeine Behandlung von Gleichungen dieses Typus geben Moiäton und MacMillanS3)

+ Lx + L'y=,B,

S+² n-%+L; + L”,-K,

d-x

b)

dt²

wo

f-2.

2», 2," cos 2/ sin

Im Falle R — B' = 0 führt Hill¹⁶) diese Differentialgleichung auf den Typus a) zurück, indem er ein bekanntes partikuläres Integral benutzt, und findet:

2 ix,

B_rx cos

B'    r'y sin K'*’

x — (n — n){t — t₀).

2¹

Pi cos \ i Pisin

(2 i -f q)t + tx)-

Die Lösung für R und R =j= 0 hat E. W. Brown in einer Form, in der nur Quadraturen Vorkommen, gegeben.⁸⁴) Mit den Bezeichnungen von Nr. 4c) gehen nämlich die obigen Gleichungen über in:

(D — m)²s -f- A/s 4- Nu — Ä₇

der Form    und

N und A konjugiert sind; (D + m)*^ sind Symbole

(B -f- mÿu -j- Mu -f- Ns — A;

A die Form ^,:R,£k hat, M und N N und Ä

wo

zu

von

für TPU 4- 2mD ¹ -J- m?¹ . Es seien nun s —    s ' s

(i = 1, 2, 3, 4)

u = utt s = 8t

vier linear unabhängige Integrale der obigen Gileichungen im homogenen Fall, f — C ein gewisses erstes Integral derselben; alsdann zeigt Brown, daß die allgemeine Lösung der nichthomogenen Gleichung die Form annimmt:

Cu = JSi{uiIf~¹(.si+1A + ui+1Ä)— ui+1D~¹(siAJr utÄ)} i — 1, 3.

Poincaré³⁵) hat die Methode auf 2n Variable ausgedehnt; die Form der Lösung bleibt dabei die gleiche, nur geht i von 1 bis 2n — 1

= a(\ + aix*-\----)siny;

c)

xddyt = %Q)₀+ MM----) + a(l + c₂æ² 4----) cos y.

Dabei sei x eine kleine Größe.⁸⁶) Um Entwicklungen nach negativen Potenzen von x zu vermeiden, setzt man

| = x cos y, r\ — x sin y

und findet damit

^4 = — v\+ <KM);

+ (£ + «'*)* = 0,

lb) Eine Änderung der Periode der Erdrotation info

c = & j/l -f m ]/-|

G = rjï + •

+ ^iz + ^2z + • ‘ ’)

t = (£') + dt',

¹

Nachweisungen siehe unten. Die Hauptquellen, aus denen man sich über die Geschichte der allgemeinen Astronomie unterrichten kann, sind A. Gautier,

44*

²

   P. Harzer, Astr. Nachr. 123 (1889), col. 193—200.

³

   Für die Begründung dieser Vereinfachung siehe E W. Brown, Treatise on the Lunar theory, Chap. 1, Cambridge 1896.

⁴

   Laplace, Mécanique céleste, liv. 2, Nr. 46 und de Pontécoulant, Système du monde 4, Nr. 1.

⁵

   Laplace, Mécanique céleste, liv. 2, Nr. 15; 7, Nr. 1.

⁶

   G. W. Hill, Researches in the Lunar theory, Amer. Journ. of Math. 1 (1877), p. 5—26, 129—147, 245—260. = Works 1, p. 284—335.

⁷

   Die gestrichenen Größen sind Ableitungen nach der Zeit, nicht Sonnenkoordinaten.

⁸

   Paris Bull. astr. Nr. 17 (1900), p. 167 ff.

⁹

   E. W. Brown, Amer. Math. Trans. 4 (1903), p. 333—350.

¹⁰

   Clair aut, Théorie de la Lune, St. Petersburg 1765.

¹¹

   Opuscules, Paris 1768, Bd. 5, p. 328—390.

¹²

   Die Gleichung ist von Lagrange auf drei verschiedenen Wegen durch Annäherungsmethoden integriert. Oeuvres 1, p. 476, 554—66. Siehe ferner Cauchy, Oeuvres ser. 5, p. 264 und B. Badau, Paris Bull. astr. 3 (1886), p. 481—487.

¹³

   Motion of the Perigee, Cambridge U. S. A. 1877 = Acta math. 8 (1886), p. 1—36. = Works 1, p. 243—270.

¹⁴

   Motion of the node, Lond. Astr. Soc. Monthly not., Nr. 38 (1877), p. 43—49. = Coll, works 1, p. 181—188, 2, p. 85—103. Andere Methoden gibt er in CoD. works 2, p. 64—67, 132—135.

¹⁵

   Poincaré bemerkt, daß man sie besser als Ungleichungen wie als Gleichungen ansehen sollte, Bull. soc. math. 14 (1886), p. 77—90.

¹⁶

   Paris Bull astr. 17 (1900), p. 134. Mécanique céleste, chap. 17. Über allgemeine Eigenschaften unendlicher Determinanten siehe I A 2 u. 3.

¹⁷

   Stockholm Acad. Bih. 6 (1881), Astr. Ges. Yjs. 16 (1881), p. 296—304.

¹⁸

   Ib. p. 537—538; 122 (1896), 160—165, 585—588. Siehe auch 92 (1881), p. 1033—1038.

¹⁹

   Paris C. R. 93 (1881), p. 127—131.

²⁰

   St. Pét. mém., sér. 7, 1 (1883) Nr. 4, p. 1—20; Tisserand, Mécanique céleste 3, chap. 1.

²¹

   Paris Bull. astr. 3 (1886), p. 57—61.

²²

   Paris C. R. 108 (1889), p. 21—24.

²³

   Astr. Nachr. 103 (1882), p. 211—220, 257—268; 104 (1883), p. 145—150.

²⁴

   Ib. 103 (1882), p. 321—324.    _

²⁵

   Ib. 103 (1882), p. 323—326.

²⁶

   Ib. 105 (1883), p. 97—112.

²⁷

   Ib. 106 (1883), p. 193—204; 107 (1883), p. 129—132.

²⁸

   Ib. 107 (1884), p. 33—38; Tisserand, Mécanique céleste 3, chap. 1.

²⁹

   Andere Arbeiten stammen von P. Harzer, Astr. Nachr. 118 (1888), p. 273—280; 119 (1888), p. 273—294, welcher Bruns Methode auf Gyldéns Rechnungen zum Zwecke uumerischer Resultate ausdehnte und eine analytische Entwicklung in schnell konvergierende Reihen für jede Zahl von Perioden gab; Andoyer, Fac. Toul. Ann. 1 (1887), M p. 1—72. Siehe auch Poincaré, Mécanique céleste chap. 17.

³⁰

   Amer. Journ. Math. 33 (1911), p. 63—96.

³¹

   Cambridge Phil. mem. 18 (1900), p. 94—106. Das Resultat ist schon mitgeteilt London Astr. Soc. Mem. 53 (1899), p. 167.

^4 = — v\+ <KM);

wo cp und ip Potenzreihen nach | und rj sind, die mit den zweiten Potenzen beginnen. Die Lösung erfolgt durch fortgesetzte Annäherungen.

6. Die Formen der Ausdrücke für die Koordinaten. Die Kräftefunktion F ist entwickelbar nach Potenzen von e und -K und enthält, wenn bewegliche Koordinatenachsen benutzt werden, t explizit nur in der Form cos kV\ die Koeffizienten von (^\y sind homogene Funktionen von x, y, z vom Grade p — 2, und der Koeffizient von cos kl' hat außerdem e (Nr. 3) als Faktor. Wenn e=—,= 0, so reduzieren sich die Differentialgleichungen auf die Hills (Nr. 4c) mit £1 =z — 0), der gezeigt hat³⁷), daß sie das folgende partikuläre Integral besitzen:

a)

a s^(2il)D, D — nt s— nt — «; i = 0, 4-1.-.,

35)    Paris Bull. astr. 17 (1900), p. 96—104.

36)    C. Delaunay, Paris Inst, (math.) mém. 28 (1860), p. 106—110. Conn. des temps pour 1861, Add. p. 3—44. F. Tisserand, Paris Bull. astr. 7 (1890), p. 265--271.

37)    Amer. Journ. Math. 1 (1877), p. 5—26, 129—147, 245—260.

wo A

wo n und e willkürliche Konstanten sind, a³n² = E -f- M — g ist,

und die a{ nach Potenzen von m —-7 entwickelt sind. Er hat

*    n — n

ferner gezeigt³⁸), daß eine erste Annäherung der allgemeinen Lösung durch einen Ausdruck der folgenden Gestalt gegeben ist:

«)+a_2'^“s{« + (2i + 1)2),

wo l = ent —{— e — car ist, e und 65 willkürliche Konstanten und c und Ai Potenzreihen nach m sind. Es folgt hieraus, daß die allgemeine Lösung der Hillschen Gleichungen von folgender Form ist:

und c nach Potenzen von m und e² entwickelt sind. Nimmt

ij

man jetzt die Terme hinzu, die auftreten, wenn é =j= 0 und =J= 0, so zeigt die Methode der fortgesetzten Annäherungen, daß die Argumente den Typus jl -J- (i -f- 1) D -f- &Z' und die Koeffizienten den

Typus    (^) bekommen, wo die A und c.nach Potenzen

von m, e², e², entwickelt sind, und i — i'~ 0, mod 2 ist. Gehen wir weiter zu z, so nimmt die Differentialgleichung für diese Koordinate für e = T — 0, falls man nur die erste Potenz von z berücksichtigt, die Form Nr. 5 a) an, und man findet z = ay ^A,- sin (F-)- 2iD), wo F — gnt e — ff; dabei sind y und ff Integrationskonstanten — die erstere im Falle des Mondes klein von der Ordnung der Bahnneigung — und Ai und g wiederum Potenzreihen von m. Fährt man so fort, so findet man als allgemeine Ausdrücke für die Koordinaten, bezogen auf ein System, dessen #-Achse nach dem mittleren Sonnenort gerichtet ist, die folgenden:

e'V*¹ (t)¹'V*¹”^ ( (i+l)D+jl+M+2pF),

r — n V    4    a\\i'\    ]2p + l\

2Lu,j,k,p'’j’Wp+i e \a') y

x    vi

i,j,k,2p

i,i, k ,p

= a >

y    jLj

sin {iD+jl + M+(2p+l)F}, l = ent -j- e — 65, F = gnt -f- e — ff, D = nt -f- c — nt — e i,j, Tc, i',p = 0,±l,±2...-, i - ï=0 mod 2;

c, g, A Potenzreihen von m, e*, e ²,    > 7²-

Wenn m — e = — = 0 ist, so reduzieren sich die Differentialgleichungen auf die der elliptischen Bewegung, und c und g werden

38) Acta math. 8 (1886), p. 1—36.

— 1; e und y sind Exzentrizität und Sinus der Bahnneigung. Da n in R als Faktor auftritt (Nr. 3), so müßte der Wert m = 0 die Resultate auf die der elliptischen Bewegung reduzieren; daß dies scheinbar nicht der Fall ist¹), rührt von einer etwas anderen Auffassung der Integrationskonstanten her.²) Es muß nun noch die Annahme, daß nur positive Potenzen der Parameter auftreten, als richtig erwiesen werden. Negative Potenzen können nur durch die Integrationsdivisoren auftreten. Alle diese Divisoren haben die Form i -f- Ï m -f- %'%x

-)WO 7tx= 1 —

die mittleren Be-

„ f— und fi. = 1 —

1 -f - m    ¹

wegungen der Apsiden- bzw. Knotenlinie sind. Nun sind aber die Terme niedrigster Ordnung in nx und <9^:

= m²

Es können also Divisoren von der Ordnung m³ nur auftreten im Falle % — % — 0, i" — Ï". Daß die Divisoren der Ordnung m² keine negativen Potenzen von m in die Koeffizienten einführen, geht daraus hervor, daß R bei der Methode der Variation der Konstanten (Nr. 10) m² als Faktor enthält. Der Fall der Divisoren von der Ordnung m3 ist nicht vollständig untersucht, indes enthält die elliptische Entwicklung der Störungsfunktion (Nr. 9) keine derartigen Glieder, so daß die zweite Annäherung jedenfalls nicht zu negativen Potenzen von m Anlaß gibt.

Die Charakteristik³) der niedrigsten Ordnung, in der dieser Divisor auftreten kann, ist eyV⁴.⁴)

Eine Methode, den Genauigkeitsverlust durch kleine Divisoren zu

45

vermeiden, hat Brown gegeben.⁵ 6) Poincaré**) zeigt, daß bei hinreichender Fortsetzung der Näherungen negative Potenzen von m auftreten. Er unterscheidet diesen Fall von demjenigen, in welchem sehr kleine numerische Divisoren für bestimmte Werte der Konstanten auftreten können.

Alle andern Darstellungen als Summen von harmonischen Gliedern lassen sich leicht aus den obigen ableiten. Für Polarkoordinaten wird die wahre Länge = nt -j- s Glieder wie die in y, nur daß in den Winkeln il) statt (i -f- 1)1) steht; der Radiusvektor oder die Parallaxe wird wie x mit derselben Änderung in den Winkeln; die Breite wird wie z. Hansem Ausdrücke (Nr. 17) enthalten Terme der Form sin oder cos (l -f- harmonische Glieder), welche, da die harmonischen Glieder kleine Koeffizienten haben, in Ausdrücke der obigen Art entwickelt werden können.

7. Konvergenz und Divergenz. Die nach Potenzen von m angeordneten Entwickelungen sind wahrscheinlich divergent.⁷) Das hindert aber nicht, daß sie zur Berechnung benutzt werden können, da Poincaré gezeigt hat⁸), daß divergente Reihen dazu benutzt werden können, Funktionen bis zu einem beschränkten Grade der Genauigkeit zu berechnen — die übrigens im Falle des Mondproblems jedenfalls größer ist, als es für die Vergleichung mit der Beobachtung erforderlich ist.

Wenn man mit rein numerischen Werten der Parameter operiert und die Reihen nach Vielfachen der Argumente anordnet, liegt die Schranke für die erreichbare Genauigkeit noch höher. Für praktische Zwecke handelt es sich wesentlich um die Frage einer langsamen oder schnellen „numerischen“ Konvergenz der ersten Glieder der Reihen. Eine schlechte Konvergenz tritt hauptsächlich bei der grundsätzlichen Entwicklung nach Potenzen von m ein; denn, obgleich m — 0,07 ist, bewirken große numerische Faktoren, daß die Reihen (nach m) in einigen Koeffizienten nur etwa in demselben Verhältnis konvergieren wie eine geometrische Reihe mit dem Quotienten 0,5. Die Methode von Hill-Brown (Nr. 16) und Brendel (Nr. 18) läßt diese Schwierigkeit so ziemlich verschwinden, indem hier Annäherungen nur nach den andern Parametern {e, y, usw.), nicht nach m gemacht werden, für welches vielmehr von vornherein sein numerischer Wert benutzt wird.

Paris 1901.

Gewisse Gruppen von Gliedern für sich genommen sind konvergent. So bekann tlich die von der Elliptizität der Bahn herrührenden für e < 0,6627432.⁹) Ferner Hills periodische Bahn (Nr. 16) in dem Falle, den unser Mond tatsächlich darbietet¹⁰); dann die Terme, die nur von m und den ersten Potenzen von e oder y abhängen¹¹); endlich auch für eine aus Gliedern einer bestimmten Charakteristik gebildeten Reihe, wenn man den numerischen Wert von m benutzt und nach Vielfachen des Argumentes 2D anordnet.¹²) Eng verknüpft mit der Frage der Konvergenz ist die nach der Stabilität des Systems, die hauptsächlich von der oberen und unteren Grenze für den Radiusvektor des Mondes abhängt {Hillsehe Grenzkurve.¹³))

8. Intermediäre Bahnen. Wenn man die analytische Form der Koordinaten kennt, so könnte man die A, c, g (Seite 682) mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten finden; aber die Kompliziertheit der Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten macht diesen Weg praktisch ungangbar, man muß vielmehr die Arbeit in verschiedene Schritte teilen.

Der erste Schritt führt zur sogenannten intermediären Bahn.¹⁴) Die meisten älteren Untersuchungen benutzen als solche die ungestörte Ellipse; durch Einsetzen der aus ihre folgenden Koordinatenwerte in die Störungsfunktion erhalten sie eine zweite Annäherung, damit eine dritte usf. Die Ellipse wurde dann dadurch modifiziert, daß man ent -j- s — S> statt nt -j- s — S) und gnt -f- s — statt nt -f- £ — einführte, wo c und g durch die Bedingung bestimmt werden, daß für jede Annäherung die der Zeit proportionalen Terme verschwinden. Die Annäherungen schreiten so nach Potenzen der störenden Kräfte fort. Von den moderneren Theorien benutzt Hansen (Nr. 19) eine in der momentanen, Oppolzer eine in der mittleren Bahn-

45*

ebene bewegliche Ellipse; Delaunay (Nr. 15) eine feste unter dem mittleren Winkel gegen eine feste Ekliptik geneigte Ellipse; Hill (Nr. 16) eine periodische Kurve, die nur von dem Parameter m abhängt. Gyldén (Nr. 18) schließt in F eine Anzahl von Termen ein, die dazu dienen, den Hauptgliedern in den Koeffizienten der größten Störungen von vornherein Rechnung zu tragen. HillbS) hat vorgeschlagen, F auf die Terme ~ -f- ~-k (x² + y²) + y V z² zu beschränken, wo Je und Je' Konstanten sind, die so bestimmt werden müssen, daß die mittleren Bewegungen der Apsiden- und der Knotenlinie ihre beobachteten Werte haben. Die Bewegungsgleichungen reduzieren sich damit auf die folgenden:

— &(!-}-s²) 1 = 0;    -(- s -(- ßsu~^ = 0,

d*u

dvs

wo « = -;« = der wahren Länge, s = tang der Breite; a und ß

sind gewisse kleine Konstanten, die von Je, Je' und gegebenen Parametern abhängen.

Die Lösung bewirkt er, indem er zunächst s vernachlässigt, für die erste Gleichung durch elliptische Integrale¹⁵ 16) oder fortgesetzte Näherungen; dann folgen Annäherungen nach Potenzen von s. Man findet dann u und s als Reihen, die nach Vielfachen der Argumente c v -f- r₀ und g'v -f- g₀ fortschreiten, und t aus einer Gleichung ähnlich der dritten von b) in Nr. 4. PerchoF¹⁷) schlägt vor, von Delaunays Gleichungen (Nr. 15) auszugehen, und wendet, unter der Annahme, daß die mittleren Bewegungen von Perigäum und Knoten kommensurable Werte haben, die sehr nahe mit ihren tatsächlichen Werten übereinstimmen, Poincaré's¹⁸) Theorie der periodischen Lösungen an. Die so erhaltene intermediäre periodische Bahn ist frei von dem Mangel, daß Apsiden- und Knotenlime festliegen. Die Lösung wird durch die Methode von Poincaré gefunden (Nr. 15), die in einer Modifizierung der Delaunay-schen besteht.

Diese speziellen Methoden geben im allgemeinen gute Annäherungen für die großen Glieder und sind in theoretischer Beziehung nützlich, ihr Wert für die Entwicklung einer vollständigen Mondtheorie ist aber bisher noch nicht erwiesen. Weitere Methoden, inter-9. Die Entwicklung der Störungsfunktion.

687

mediäre Bahnen abzuleiten, sind von R. Radau studiert worden.⁶⁷) Brendel (Nr. 18) schließt die Terme, die von m, ^ abhängen, in seine intermediäre periodische Bahn ein.

9. Die Entwicklung der Störungsfunktion. Mit den Bezeich-

-ł

nungen von Nr. 3 und 4 hat man cos & = (1 -f- s²)

cos

(y — v),

wo v die wahre Länge der Sonne ist. Entwickelt man danach die B. nach Potenzen von s, dann ist R eine Funktion von

r, r, r cos v, r sin v, r cos v', r sin v, s.

Führt man, wie es in einigen Theorien geschieht, die elliptischen Werte für die Koordinaten ein⁵⁸), so finden wir:

hier ist

n'²a²    (1 — X)

cos N:

N = Jx (nt + s — cö) + j₂ (nt -j- e — m') + 2j₃ (nt + s — #) +    ,

B ein Quotient von 2 ganzen Zahlen;

und weiterhin gilt:

| = nt -j- s — nt — e, ii? h> h, h ⁼    ±    + 2 ...,

h, h, %h> h—j4= ulld > lii I» lia I, ! ²i₃1, 0 mod 2-

Die Derivierten von R erhält man so:

dB

dB

i +2B;

dB

di '

r dr d JÎ

Dagegen muß aus der Entwicklung in der Form, die sie vor Einsetzen der elliptischen Werte hat, gewonnen werden. Wird v als unabhängige Veränderliche benutzt, so müssen für r und s deren elliptische Ausdrücke durch v ein geführt werden, ferner muß in r und v die Zeit durch ihren elliptischen Ausdruck als Funktion der wahren Länge v ersetzt werden. Die Entwicklungen, die für spezielle Methoden gelten, werden im einzelnen bei der Darlegung jener Methoden angegeben. Die höheren Annäherungen in R können durch das Taylor-sche Theorem erhalten werden, wenn man die entsprechende Annäherung für die Koordinaten gefunden hat.

57)    Paris Bull. astr. 9 (1892), p. 321—840.

58)    Tafeln

Mem. 29 (1861), p. 191—306. = Coli. Works 3, p. 360—474.

zu

diesem Zweck bat A. Gayley, aufgestellt, Lond. Astr. Soc.

10. Die Variation der Konstanten.¹⁹ 20) Die Lösung der Bewegungs-gleichungen für die elliptische Bewegung ist die gleiche wie in der Planetentheorie (Via, 14), und Lagranges Gleichungen für die Variation der Elemente a, e, y, e, W, 0" behalten also dieselbe Gestalt.

Die Jacobieche kanonische Grundform des Problems ist

dccj

i= 1, 2, 3,

dv-i

wo sich die kanonischen Elemente durch die elliptischen folgendermaßen ausdrücken:

_ dB dßj _dB dt    dßß dt

s — s    _

-7 cc₉ = ix) — •u,

n    i

«8 = ^7

«1 =

o __ l¹

Pi~    2 a

Für L = 0, also cci = const., ß{ = const. ergibt sich natürlich die elliptische Bewegung. Man hat noch andere Formen der kanonischen Differentialgleichungen vorgeschlagen, deren jede ihre besonderen Vorzüge hat. Jede Berührungstransformation der 6 Variabein (Enzyklop. IV 2), verbunden mit einer entsprechenden Änderung der charakteristischen Funktion, erhält ja die kanonische Form der Differentialgleichungen. Die meistbenutzten anderen Formen sind:

a) DelannaysG0) Form, die das Auftreten der Zeit außerhalb des Arguments auf der rechten Seite der Gleichungen vermeidet. Man setze dazu:

L = -j/w Cr=/3₂; H=ßz-₁ l=n{t-\-a^g=tt^h=a^R= dann ist

ßz=Vlia(l—e²), ßz = ß₂ cos y.

2i,-

+ -^17

(— —    ~R

\dL’ dG’ dH)*'-

Hier ist jetzt R₁ periodisch mit der Periode 2% in bezug auf l, g, h, V, und die Koeffizienten der periodischen Terme sind Funktionen von L, Gr, H und den festen Konstanten.

b) Die modifizierte Delaunaysche Form erhält man, indem man setzt:

P\ = L, p₂=G — L, pz=H — £; q^l + g + h, qi=g + h,qs = h.

Dabei sind p₂ und p₃ von den Ordnungen e² und y², und qx ist die mittlere Länge, g₂ die Länge des Perihels, qz die des Knotens.

689

11. Verschiedene Eigenschaften der Lösung.

c)    Poincarés⁶¹) Transformation. Man setze

, =]/2(D — G) 2«, —PqS'=V2(G — H) ff,

dann ist R entwickelbar nach Potenzen von p₂', q₂'} pz', qs'} e, -K und

ist mit 2jt periodisch in qx und V. Wenn man nun mit dieser Transformation noch den Gedanken (Nr. 4d) kombiniert, zwei neue Variable pl, ql mit der entsprechenden Änderung in Rx einzuführen, so erreicht man, daß Rx allein in [qx periodisch und nach den übrigen kanonischen Koordinaten p!, q! (i = 2, 3, 4) entwickelbar wird; es ergibt sich aber dann natürlich ein System von vier Paaren kanonischer Differentialgleichungen.

d)    Hansens⁶²) Transformation auf „Pseudoelemente“ l derart, daß

dl—2,(A,dp,+ B,dqi

kein vollständiges Differential ist. Diese kann in gewissen Fällen, wo R die X nicht explizit enthält, nützlich sein (Nr. 17).

e)    Browns⁶⁶) Transformation auf das nicht kanonische System n, Pt, Pi, q, ?3 wird ausgiebig bei der Bestimmung planetarischer und anderer Störungen gebraucht (Nr. 19—24).

11. Verschiedene Eigenschaften der Lösung. Das erste kanonische System von Nr. 4 d) führt auf 6 willkürliche Konstanten ai} ßi(t==1,2, hier kommen die ß{ vor, in denen die b{ Funktionen der cc{ und fester Konstanten sind. Bezeichne jetzt f, g irgend zwei dieser Größen⁶⁴), entweder aus dem Satze aif ßf oder at, coi} so haben wir:

V ,U) \df dg [f,g] = const.

Hier sind x, y, z, x, y, z als durch die willkürlichen Konstanten und t ausgedrückt zu denken. Die Symbole in runder und eckiger Klammer unterscheiden sich nur dadurch, daß entweder die ai} ßi oder die a., coi

Vi=Pi, <lx= <h, —

vé

nur

in Argumenten ai — bß -f- ß.

äx dx

dg df

) ₊ fif ■>y_Jy iy\₊const.

/ ¹ \df dg dg df) ¹ \df dg dgdf)

61)    Méc. cél. 1, chap. 1.

62)    J. f. Math. 42 (1850), p. 1—31; ferner A. Cayley, Lond. Astr. Soc. Mem. 27 (1859), p. 1—29 = Collected works 3, p. 270—292.

63)    Trans. Amer. Math. Soc. 4(1903), p. 241—242; ib. 5 (1904), p. 279—284; Lond. Astr. Soc. Mem. 59 (1908), p. 5—9.

64)    Dies sind eigentlich neue Variable. Die /, g sind Konstante, wenn man

sie aus dem Satz a,-, wählt; die g hängen von der Zeit ab, wenn man den Satz    wählt.

VI 2, 14. Ernest W. Broivn. Theorie des Erdmondes, eingesetzt zu denken sind. Weiter ist nach Nr. 6:

Oi, «/) == (ßi, ßj) = K; aj\ = Ko atj] = 0

de*

»«=■-

wo Cj in B von den ßi unabhängige Konstanten sind. Die Systeme ci} und ci} 03i sind kanonisch; wir haben also : je nachdem

ist.⁶⁵)

Bezeichne ferner [$] den zeitlichen Mittelwert irgendeines Ausdruckes Q, also den konstanten Teil in der Entwicklung von Q in trigonometrische Reihen nach den von der Zeit abhängigen Argumenten. Dann lassen sich (Nr. 6) -¹ ? K \a-1 in Potenzreihen nach e² und y² entwickeln, deren Koeffizienten ihrerseits Potenzreihen nach m, e², ^A) sind. Wenn man ^    vernachlässigt, so sind, wie

J. C. Adams²¹ 22) gezeigt hat, die Koeffizienten von ej und y² in jKJ gleich null; und ferner ist:

Koeff. von e⁸.

Koeff. von e⁴

. TT,

-    —i

Koeff. von y⁸ n Koeff. von 2e* y⁸

Koeff. von e⁸.    _Koeff. von 2e⁸y⁸

Koeff. von y“¹¹¹

Koeff. von y⁴

• rH    • I-H

E. W. Brown²³) hat, indem er eine Formel zur Berechnung der Terme 2qteT Ordnung in bezug auf e und y in der Entwicklung von

von

jKJ erhielt, diese Beziehungen erweitert und auf alle Potenzen e² und y² ausgedehnt. Er hat ferner bewiesen²⁴), daß

[~r] = B -\- bx cx -j- b₂ c₂ -f- b₃ c₃

ist, und daß diese Beziehung die Theoreme von Adams und deren Erweiterungen einschließt. Wir wählen in diesem Falle ß₁ = s, ß₂ — tö, ß₅ — & so daß b₁ — n, b₂ — 7t1} bz — werden. Mit den Resultaten von

Adams hat sich auch L. Picard²⁵) beschäftigt, der zu ihrem Beweise die Theorie der Integralinvarianten heranzieht. Eine weitere Reihe von Beziehungen, die gelten, wenn A- nicht vernachlässigt wird, hat wiederum E. W. Brown²⁶ 27 28 29 30) erhalten:

(«)

(ß)

(r)

. t dz "l

+ *3=-J>

[T] + [-f⁷] — B + \C\ + \C2 + hC3J rd'Fi 7i)

Ida J ⁷

r r dx .

e<⁼L*5=; + *'

/ dy

da.

dB

da

d'F

~da

wobei a eine gegebene Konstante ist, die in F, aber nicht in dem Winkel nt -f- s vorkommt und von n unabhängig ist, und wo

bedeuten soll, daß die Ableitung nach a nur soweit dasselbe in dem ursprünglichen Ausdruck für F explizit vorkommt, genommen werden soll. Ferner

(ß)

dB

dn

dC\ ₌ _ d'F 72) de'

-ß£) -wj-[*3?+✓& + '£].

dt

bedeutet, daß die Ableitung des ursprünglichen Ausdruckes

wo

d'F

von F nach dem explizit auftretenden n ohne Rücksicht auf sein Vorkommen in nt -f- s genommen werden soll

Diese Relationen werden auf beliebige Funktionen der gegebenen Konstanten und von t in einer weiteren Arbeit⁷³) ausgedehnt.

Brown¹⁴) gibt noch eine andere Schar von Beziehungen zwischen den Derivierten von Funktionen der Koordinaten nach den willkürlichen Größen. Insbesondere wird gezeigt, wie Derivierte nach n aus einer Theorie gefunden werden können, in der n numerisch benutzt ist, wenn nur die andern willkürlichen Größen unbestimmt gelassen sind. Es wird zunächst gezeigt für die Systeme b) und c) von Nr. 10 und dann³¹) für Rechnungszwecke erweitert auf die Konstanten e, k seiner Theorie (Nr. 16).

II. Die Lösungsmethoden.

12. Die geometrischen Methoden. Der erste, der die hauptsächlichsten Ungleichheiten der Mondbewegung aus dem Gravitationsgesetze herleitete, war I. Newton selbt³²), der alle seine Ableitungen in eine geometrische Form goß; er erhielt die Koeffizienten der Ungleichheiten — abgesehen von der Evektion — ziemlich genau. Auch die mittleren Bewegungen der Apsiden- und Knotenlinie hat erbestimmt; jedoch ergab sich für erstere nur ungefähr die Hälfte des beobachteten Wertes; aus den Manuskripten³³) scheint jedoch hervorzugehen, daß es ihm später gelungen ist, ihren Wert innerhalb 8% genau zu finden. Seine Methode ist im wesentlichen die Variation der Konstanten (Nr. 15); sie ist von einigen späteren Autoren in analytische Form umgegossen worden.³⁴)

Die Hauptungleichheiten haben die folgenden Bezeichnungen er

halten:

die elliptischen Ungleichheiten sind die mit den Argumenten / l, 21₁ 31 usw.;

die jährliche Gleichung ist die mit dem Argument Z'; die Variation die mit dem Argument 2D; die Evektion die mit dem Argument 22)— Z; die parallaktische Ungleichung ist der mit-^> multiplizierte Hauptteil des zum Argument 2) gehörigen Termes.

Die mittlere Bewegung der Apsidenlinie ist die auf die Zeiteinheit bezogene Veränderung des Argumentes nt -f- e — Z; die mittlere Bewegung der Knotenlinie jene des Argumentes nt -\- s — F (Nr. 6). Ursprünglich haben sich diese Namen auf den Gesamtbetrag gewisser beobachteter Ungleichförmigkeiten in der Mondbewegung bezogen; heute bezieht man sie lediglich auf die angeführten bestimmten Argumente; sie werden mit Vorteil vor allem bei geometrischen Ableitungen der Mondbewegung benutzt.³⁵)

13. Die wahre Länge als unabhängige Veränderliche. Laplace³⁶) benutzt die modifizierte Ellipse (Nr. 8) als intermediäre Bahn und

setzt die aus ihre folgenden Koordinatenausdrücke in R (Nr. 3), und dann dessen Ausdruck in die zwei ersten Gleichungen Nr. 4 b) ein. Seien u₀,s₀ die der modifizierten Ellipse entsprechenden und u=u₀ -f-dw; s = s₀-|-ds die gesuchten genauen Werte, so kennen wir (Nr. 6 mit v statt nt -f- s) für du und ds den formalen Ansatz als trigonometrische Reihe mit unbestimmten Koeffizienten; die durch das Einsetzen in die Differentialgleichungen sich ergebenden Bedingungsgleichungen bestimmen diese letzteren.

In du treten zwei neue Integrationskonstanten in der Form A cos (cv -J- a) auf; Laplace setzt cc = — W, und für A einen Wert, so daß der formelle Ausdruck der hauptsächlichsten elliptischen Ungleichung in Länge ungeändert bleibt; c wird aus den Bedingungsgleichungen der anderen Terme dieses Arguments durch die Forderung bestimmt, daß v nicht außerhalb trigonometrischer Funktionen Vorkommen soll. Der Hauptterm von ds ist von der gleichen Form; die Integrationskonstanten und g werden auf analoge Weise bestimmt. Wenn du und ds als Funktionen von v erhalten sind, dann gibt die dritte Gleichung Nr. 4 b) t als Funktion von V] die neu auftretenden Integrationskonstanten werden so gewählt, daß stets nt -j- é gleich dem unperiodischen Teil von v wird; nunmehr findet man durch Reihenumkehrung v, und damit endlich u und s als Funktionen von t. Sobald die Bedingungsgleichungen aufgestellt sind, setzt Laplace, abgesehen vom Koeffizienten des Hauptgliedes jeder Periode, die numerischen Werte ein (Nr. 6). Die so er haltenen Näherungswerte schließen die zweiten Potenzen der störenden Kraft, also die Quadrate und Produkte der du und ds und, für gewisse Terme, bei denen kleine Divisoren auftreten, die dritten Potenzen ein.

Clairaut⁸¹) ist zunächst davon ausgegangen, in Nr. 4 b) die Breite zu vernachlässigen, und hat dann die Lösung durch fortgesetzte Näherungen gesucht. Er führte zuerst die modifizierte elliptische Bahn in die Differentialgleichungen ein und veröffentlichte einen mit den Beobachtungen genügend nahe übereinstimmenden Wert für c; er hat seine Resultate auf numerischem Wege erlangt. D’Alembert⁸²) befolgte eine ähnliche Methode, jedoch unter Benutzung analytischer Entwicklungen; er gab auch allgemeine Entwicklungen für die Koordinaten, welche allein periodische Glieder enthalten, und endlich erkannte er

Math. Tracts, Cambridge 1831; Godfray, Treatise, London 1871; Lésai, Méc. cél., chap. 12, Paris 1884; Tisserand, Méc. cél. 3, chap. 7.

81)    Théorie de la Lune, St. Petersburg 1752, 1765.

82)    Recherches, tome 1.

es auch als wichtig, sich mit der Konvergenz dieser Reihen zu beschäftigen.

Damoiseau³⁷ 38) und Plana⁸¹) sind der Methode Laplaces gefolgt, ersterer numerisch, letzterer analytisch, und zwar bis zu einem viel höheren Grade der Annäherung. Plana gelangte zu Entwicklungen, die bis zu den 5. Ordnungen in den Parametern gehen, aber es schlichen sich viele Irrtümer³⁹ 40) in seine Arbeit ein, die ihren Wert vermindern; sie wurde durch Delaunays Theorie vollständig in den Schatten gestellt (Nr. 15). Laplaces Methode ist auch vielfach für spezielle Gruppen von Störungsgliedern angewandt, aber die Reihenumkehrung und die Darstellung von cos V, sin V als Funktionen von v, welche bei ihr erforderlich sind, haben ein ernstes Hindernis für ihre Entwicklung bis zu einer modernen Anforderungen genügenden Genauigkeit gebildet.

14. Polarkoordinaten mit der Zeit als unabhängiger Veränderlicher. De Pontécoulanl⁴¹) benutzt die Gleichungen Nr. 4 a und löst sie, indem er zunächst s vernachlässigt, vollständig bis zur 5. Ordnung in den kleinen Größen, für gewisse Koeffizienten sogar bis auf

höhere Ordnungen; die Methode ist die der unbestimmten Koeffizienten.

d? z    d F

Für die Breite geht er auf die Differentialgleichung ^    zurück,

welche einfacher als die Gleichung für s ist; in diese werden die früher erhaltenen Werte für r und v eingesetzt, und man findet dann alle Terme, die von der ersten Potenz von y oder z abhängen. Die Gleichungen für r und v geben die von y², jene für z die von ys abhängigen usf. Die willkürlichen Konstanten sind so definiert, daß sie ihrer Bedeutung nach mit denen von Laplace übereinstimmen, und sie weichen auf diese Weise von ihrer für diese Theorie naturgemäßen Definition ab⁴²). J. W. Lubbock⁴¹) befolgte unabhängig fast die gleiche Methode, trieb sie aber nicht bis zu derselben Genauigkeit; jedoch deckte er, indem er häufig seine Resultate mit denen von Plana und de Ponté-coulant verglich, mehrere Fehler auf. Die Arbeit von Stockwell⁴³) ist infolge von Fehlern in der Theorie nicht sehr zuverlässig. Uber die Arbeiten von Airy und Cayley siehe Nr. 15. E.Neison (= NevilT)⁴⁴) hat eine Methode skizziert, die Mondtheorie innerhalb der Richtlinien Pontecoulants so zu behandeln, daß für jeden Koeffizienten und jedes Argument, welche in der Entwicklung der Glieder der Differentialgleichung Vorkommen, ein besonderes Symbol eingeführt wird, welches die Herkunft des Gliedes andeutet. Man kann dann die Gleichungen entwickeln, integrieren und den Wert jedes Koeffizienten nach der Integration einsetzen; so trifft jeder etwa begangene Fehler nur den Term, in dem er begangen ist. Dies ist die Methode der unbestimmten Koeffizienten in ihrer allgemeinsten Form, aber die Kompliziertheit des Verfahrens läßt seinen praktischen Wert zweifelhaft erscheinen.

H. Andoyer⁴⁵) hat sie jedoch mit Erfolg zu sehr genauen allgemeinen Entwicklungen spezieller Terme (Nr. 6) verwandt und durch Vergleich mit Delaunay (Nr. 15) viele kleine Fehler bei letzterem berichtigt.

15. Die Variation der willkürlichen Konstanten. Die erste Anwendung dieser Methode auf die Mondtheorie stammt von Euler⁴⁶'²), der sich aber im wesentlichen damit begnügte, die Gleichungen anzugeben. Poisson⁴⁷) schlug vor, die Differentialgleichungen für die sechs Elemente a} e, i, s, <ü, ff (VI 2, 15, Nr. 6) zu einer allgemeinen Entwicklung nach fortgesetzten Näherungen zu verwenden. Er erkannte indessen schon, daß sie am nützlichsten bei der Behandlung der langperiodischen und säkularen Terme sein müßte, und seine Beispiele betreffen zum größten Teil Berechnungen einzelner von diesen ; es steht jedoch allgemein fest, daß die Methode für eine vollständige Entwicklung nicht brauchbar ist. V. Puiseux⁴⁸) hat sie modifiziert, indem er in der Störungsfunktion nur die für den besonderen Zweck erforderlichen Terme beibehielt. Er kommt so zu einer schnelleren Berechnungsweise für gewisse säkulare und langperiodische Ungleichheiten, besonders die, welche von der Wirkung der Planeten herrühren.

Delaunays Theorie⁰⁵) geht von den Gleichungen Nr. 10a aus, wo der Wert von R unter der Voraussetzung der elliptischen Bahn entwickelt (Nr. 9) und damit implizit durch die Variabein l, g, ln, L, G, H ausgedrückt ist. Man setzt Rt — — B — A cos ff -}- R₂, wo — B der Teil von R₁ ist, der unabhängig von l, g, h, V und — A cos -fr einer der periodischen Terme in Ry ist. Man löst diese Gleichungen, indem man zunächst R₂ = 0 setzt. Dann erscheinen statt der elliptischen Werte l, g, h, L, G, H neue willkürliche Konstanten l K, Ly , Gy, Hy.

i' 91)

Will man nun R₂ berücksichtigen, so sind diese

Größen nicht mehr konstant. Es zeigt sich aber, daß sich die Differentialgleichungen, aus welchen sie zu bestimmen sind, wiederum auf die kanonische Form bringen lassen; also

dLy _ dB»

dt ~~    ’ • •

CV) <v>

dl,

dt

wo R₂ sich von Rx dadurch unterscheidet, daß einmal die alten Größen l ... H durch die neuen ly ... Hy ausgedrückt sind, und daß ferner eine gewisse Funktion von Ly, G1} Hx hinzugefügt werden muß. Der Effekt dieses Verfahrens ist, daß in der neuen Funktion R₂ das Glied A cos ff nicht mehr vorkommt. Dasselbe Verfahren wird nunmehr unter Heraushebung irgendeines periodischen Gliedes in B₂ usf. so lange wiederholt, bis alle merklichen periodischen Glieder eliminiert sind. Die Differentialgleichungen reduzieren sich dann auf:

. dln -

‘ \dt    dLn ’ '

welche unmittelbar gelöst werden können. Allerdings treten in diesem Verfahren bei jedem Schritt neue periodische Terme in Rp auf, aber dieselben sind jeweils von höherer Ordnung als die bereits eliminierten; auf die Weise braucht der Prozeß nur so lange fortgeführt zu werden, als die Koeffizienten noch merklich sind. Die Modifikationen und Einzelheiten findet man bei Delaunay⁴⁹) in Kap. 3 und in späteren Auseinandersetzungen der Methode durch verschiedene Autoren⁵⁰).

Nachdem diese Operationen erledigt sind, müssen die verschiedenen Transformationen, welche die Integrationskonstanten hintereinander erlitten haben, in die elliptischen Reihenentwicklungen für Breite, Länge und Parallaxe ^oder —^ eingesetzt werden, die damit Funktionen von t und den endgültigen willkürlichen Konstanten werden. Endlich

dL

dt

= 0, .

8B

LVn +1

müssen diese letzteren aus praktischen Gründen noch einmal durch neue ergänzt werden, welche folgenden Anforderungen entsprechen: 1) nt -}- e ist der nichtperiodische Teil der Länge; 2) der hauptsächlichste Term sowohl in Länge als in Breite (Argumente: ent -f- e — co, gnt-\~£ — fr) müssen für ihre Koeffizienten denselben Ausdruck haben wie in der elliptischen Bewegung; 3) £ — S> bzw. e — fr sind die konstanten Teile dieser Argumente; 4) n²a³ = g = E -f- M. Alle Entwicklungen sind bei Belaunay bis zum 7. Grade einschließlich in den kleinen Größen (m = jg als kleine Größe erster Ordnung betrachtet) geführt, abgesehen von einigen Koeffizienten, die weiter geführt sind, wegen auftretender großer numerischer Multiplikatoren, welche ihre Konvergenz verlangsamen⁹⁷). Airy²⁸) und Cayleyÿd) schlugen vor, Belaunays Endresultate durch Einsetzen in die Gleichungen Nr. 4 a) zu kontrollieren und nachzusehen, welcher Korrektionen sie bedürfen; ersterer führte diese Arbeit auch in ziemlichem Umfange durch, verfiel aber in Irrtümer⁵¹). Die Methode ist auch unvollständig⁵²), weil Belaunay -- nur bis zur 5. Ordnung gibt, während man für Gleichung Nr. 4 a) diesen Ausdruck bis zu demselben Genauigkeitsgrade braucht wie Länge und Breite. Tafeln, die auf Belaunays Theorie gegründet sind, sind von Badau veröffentlicht worden.⁵³)

Der wesentliche Punkt von Belaunays Theorie ist der Übergang von einem Satze kanonischer Differentialgleichungen zum andern; er selbst erreicht dies durch direkte Transformation, Broivn⁵⁴) durch die Methode der willkürlichen Variationen, Tisserand⁵⁵) und, kürzer,

97)    Die numerischen Ausdrücke der Koordinaten sind von Delaunay gegeben: Conn. des Temps pour 1869, Add. p. 3—42; die vollständigen analytischen Ausdrücke von Knoten- und Apsidenlinie in Paris C. R. 74 (1872), p. 17—21; die analytischen Ausdrücke der Koordinaten in Conn. des Temps 1865, Add. p. 3—87 sind ohne die Zusätze gegeben, die er durch ergänzende Untersuchungen — Paris mém. prés. 29 (1867), chap. 10 — fand, welche unternommen waren, um langsam konvergierende Koeffizienten bis zu höheren Ordnungen genau zu erhalten.

98)    London Astr. Soc. Monthly Not. 34 (1874), p. 89—98; Greenw. obs. 1875,. App. p. 1—68; Numerical Lunar Theory, London 1886.

99)    London Astr. Soc. Monthly Not. 52 (1892), p. 2—5 = works 13, p. 206

— 209.

Diese Gleichungen ergeben als Lösung:

A cos # -|- B + tn® = C — const.

und

t + c-J

d®

j/A¹ — (C — B — in ®Y ’

A und B sind Funktionen von ®, und i ist der Koeffizient von V in fi. In der Mondtheorie ergeben diese Gleichungen 0 als periodische Funktionen von at₀(£ -(- c), wo ^ eine bestimmte Konstante ist. Das Integral ist vollständig für alle Fälle von Poincaré¹⁰⁶) studiert worden. Die Gleichungen sind im allgemeinen vom Typus Nr. 5 c), und es müssen also in speziellen Fällen die dort gegebenen Modifikationen eintreten.

Poincaré¹⁰⁷) hat darauf hingewiesen, daß die kanonischen Gleichungen Nr. 10 b) mit Vorteil vor den Belaunay sehen benutzt werden können, indem es dann unnötig ist, sowohl G und H als e und y in den Formeln hervorzuheben, und Broten¹⁰⁸) zeigte weiter, daß, wenn man Nr. 10 b) verwendet, man die Lösung in einer Form vornehmen kann, die jede Anzahl von periodischen Gliedern einzuschließen gestattet. Endlich haben Bohlin¹⁰⁰) und Poincaré¹¹⁰) eine Methode gefunden, welche die Transformationen von einem Satz kanonischer Gleichungen zum nächsten zu vermeiden gestattet; in Poincarés Auseinandersetzung stellt sich die Methode als eine Entwicklung dar, welche dadurch erreicht wird, daß die „Hauptfunktion“ ihrerseits in der Form:    *

S = S₀ -f- mS₁ -(- m°S₂ -f- • • •

entwickelt auftritt, wo die S₀, Sx usw. durch Rekurrenzen bestimmt werden.

Brown¹⁰⁰) durch die Benutzung der Jacobischen Methode. Die Lösung jedes Satzes kommt auf die folgender Gleichungen hinaus:

+    dt

dft dA dt d®

COS -f-

r._

d®

= A sin

Für Perchots Modifikation von Belaunays, Methode vgl. Nr. 8.

16. Rechtwinklige Koordinaten mit beweglichen Achsen. In seiner späteren Theorie benutzt Euler¹¹¹) rechtwinklige ic^-Achsen,

105)    London math. proc. 27 (1896), p. 385—390.

106)    Méc. cél., chap. 19.

107)    Méc. cél., chap. 1, p. 30; 0. Callandreau [Paris Bull. Astr. 12 (1895), p. 369—372] zeigt, wie die Rechnung in diesem Fall vor sich geht.

108)    London Math. Proc. 28 (1897), p. 146.

109)    Bih. Stockholm Akad. 14 (1889), Nr. 5.

110)    Méc. cél., chap. 19.

111)    Theoria motuum Lunae etc., S*- Petersburg 1772-.

die sieli in der Ebene der Ekliptik mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit des Mondes bewegen, während die z-Achse konstant senkrecht zur Ekliptik steht. Die Lösung des Problems wird als in der folgenden Form entwickelbar vorausgesetzt:

A -\- Bxe -)- B₂e² -}-••• -f- C₁ e -f- Cne e -f- • • • wo die A, B, C, usw. aus periodischen Gliedern bestehen. Das ist nun möglich bis zur zweiten Ordnung, jedoch nicht für die höheren Ordnungen, indem auch die Bewegungen der Apsiden- und Knotenlinie die Potenzen von e², e'² usw. enthalten. Indessen vermeidet Euler diese Schwierigkeit, indem er die aus den Beobachtungen abgeleiteten Werte dieser mittleren Bewegungen anwendet und deren theoretische Werte nur zur Verifikation benutzt. Er erhält dann eine Reihe von Systemen von Differentialgleichungen für die sukzessive Bestimmung der A, B usw., und jedes System kann dann nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten integriert werden, da ja die Ausdrücke der Form noch bekannt sind. Er gibt die Lösung von 31 solchen Systemen von Differentialgleichungen und berechnet danach Tafeln für die Bewegung. Seine Methode ist von J. T. Schubert⁵⁶) weitergeführt, der die von e² und e'² abhängigen Terme mit ziemlicher Vollständigkeit erhält. Er benutzt diese letzteren, um Laplaces Wert für die Säkularbeschleunigung (Nr. 23) wiederzufinden, muß aber zu dem Zweck zu festen Achsen übergehen.

6r. W. Hill⁵⁷) schlug vor, die Bewegung auf Achsen zu beziehen, die sich mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit der Sonne in der Ekliptik bewegen, und die Störungen in Gruppen nach Maßgabe ihrer Charakteristiken abzuteilen. Er behandelt zunächst die Glieder mit der Charakteristik 1 (d. h. diejenigen, welche von e, e, y, ^ unabhängig sind). Das Resultat ist Hills erste intermediäre Bahn, auf die in Nr. 8 Bezug genommen wurde; es ist die partikuläre Lösung (a) in Nr. 6 der Gleichung Nr. 4 (c), falls gesetzt wird Slp = z — 0; und zwar enthält sie nur zwei von den erforderlichen vier willkürlichen Konstanten und ist periodisch in bezug auf die beweglichen Achsen⁵⁸). Hill setzt diese Lösung, x = x₀, y — y₀, formal in die

46

Differentialgleichungen ein und löst die Bedingungsgleichungen für die Koeffizienten numerisch bis auf 15 Dezimalstellen und analytisch bis m⁹; er untersucht dann diese Bahn auch für andere Werte von m (siehe Nr. 1). In einer anderen Abhandlung⁵⁹) beginnt er die voll-ständige Lösung der reduzierten Gleichungen, indem er setzt

=    y — y₀+öy

und alle Produkte von dx und dy wegläßt; die dadurch neu hinzutretenden Glieder sind die mit der Charakteristik e. Für dx und dy ergeben sich auf diese Weise zwei lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich mit Hilfe bekannter Integrale auf eine einzige zweiter Ordnung reduzieren lassen⁶⁰); ihre Form und Lösung ist in Nr. 5 (a) gegeben. Bei der numerischen Auswertung beschränkt er sich auf die Berechnung des Teiles der Bewegung des Perigäums (d. i. ą in Nr. 5 a)), welcher von m allein abhängt, und zwar bis auf 15 Stellen. In einer späteren Schrift⁶¹) wendet er die Methode an, um auch analytisch die Perihelbewegung bis m¹¹ zu finden. Bezüglich der Konvergenz dieser Entwicklungen sei auf Nr. 7 verwiesen.

J. C. Adams⁶²) hat eine ähnliche Untersuchung über die Knotenbewegung veröffentlicht, nachdem er vorher dieselbe intermediäre Bahn auf eine ganz andere Art wie Hill bestimmt, aber nichts darüber veröffentlicht hatte. Wenn r₀ den aus der intermediären Bahn folgenden Radiusvektor darstellt, so bestimmt Adams den Hauptteil von z durch die Differentialgleichung:

¹

   Siehe z. B. die Schlußausdrücke von Belaunay, Theorie du Mouvemeut de la Lune, chap. 11.

²

   Gogou, Obs. d. Paris ann. mém. 18 (1885)E; P. H. Coivell, Lond. Astr. Soc. Monthly not. 56 (1895), p. 3—11.

³

   Diese Bezeichnung ist von E. W. Brown eingeführt, Lond. Astr. Soc. Mem.

53 (1897), p. 61 und bedeutet den nur von e, e, y, ^ abhängigen Faktor eines

Koeffizienten. Die Ordnung der Charakteristik des oben gegebenen allgemeinen Koeffizienten von x ist \j | -|- | Tc | -f- | i \ -f-1 2p |.

⁴

   Über diese Frage und die langperiodischen Sonnenglieder siehe Laplace, Méc. cél. 7, Nr. 5. J. W. Lubbock, Lond. Phil. Trans. 1834, p. 123—126, Philos. Mag. 17 (1840), p. 338—346; 8. T>. Poisson, Par. Mém. prés. 13 (1835), p. 209—335, Paris C. R. 4 (1837), p. 475—486; de Pontécoulant, Paris C. R. 4 (1837), p. 280—291; V. Pniseux, Paris école normale sup., série 1, 1 (1864), p. 39—80; Poincaré, Paris Bull. astr. 15 (1898), p. 289—310; E. W. Brown, Amer. Journ. math. 17 (1895), p. 356—358, Amer. math. Trans. 3 (1902), p. 159—185.

Encyklop. d. math. Wissens ch. VI 2.

⁵

   Amer. Math. Trans. 3 (1902), p. 159—185.

⁶

   Paris Bull. astr. 25 (1908) p. 321—360.

⁷

   Poincaré, Méc. cél. 2, chap. 14.

⁸

   Ib. chap. 8. Siehe auch E. Bord, Leçons sur les séries divergentes,

⁹

   Laplace, Par. Mém. prés., ser. 2, 6 (1823), p. 61—80.

¹⁰

   Liapunoff, Mosk. Phys. Soc. 8 (1896); H. Happel, Dies. Göttingen 1901.

¹¹

   Poincaré, Paris Bull. astr. 17 (1900), p. 87—96.

¹²

   E. W. Brown, Cambr. Phil. Trans. 18 (1900), p. 94.

¹³

   Siehe Hill, Researches in the Lunar theory, Amer. Journ. Math. 1 (1877); Happel, a. a. O.

¹⁴

   Die Bezeichnung stammt von Gyldén; ihre Bedeutung ist nicht streng definiert, hat aber den Sinn, daß die intermediäre Bahn in gewissem Sinne in der Mitte zwischen der Ellipse und der wahren Bahnkurve liegt: Stock. Acad. Bib. 6 (1881), Nr. 8; Paris C. R. 92 (1881), p. 1262—1265; Astr. Nachr. 100(1881), p. 97—102; Astr. Ges. Vjs. 16 (1881), p. 296—304. Die Bezeichnungen im Text, die nicht ganz mit denen Gyldéns übereinstimmen, werden jetzt vielfach gebraucht. Betreffs einer Erweiterung der Bezeichnung siehe Thiele, Astr. Nachr. 102 (1882), p. 65—70.

¹⁵

   Astron. Journ. 18 (1897), p. 81—87. = Works 4, p. 136—149.

¹⁶

   Eine Ableitung dieser Formeln nach Jacobis Methode ist von A. W. Krassnow, Astr. Nachr. 146 (1898), p. 7—10 337—340, gegeben.

¹⁷

   Par. Ec. norm, sup., ser. 3 10 (1893) S, p. 3—94.

¹⁸

   Méc. cél., chap. 3.

¹⁹

   Die Literatur hierüber ist sehr umfangreich. Der Gegenstand ist unter eingehender Literaturangabe behandelt von: Tisserand, Méc. cél. 1 und 3; Dziobek, Theorie der Planetenbewegungen, Leipzig 1888; Brown, Treatise; Charlier, Mech. des Himmels 1 (1902), Abschn. 5. Siehe auch die reports von A. Cayley, Brit. Ass. 1857, 1862 u. E. T. Whittaker, ib. 1899. ferner Encycl. IY 2.

²⁰

   Theorie du mouvement de la Lune, chap. 1.

²¹

   Siehe hierfür Poincaré, Sur les équations du mouvement de la Lune, Paris Bull. astr. 17 (1900) p. 167 u. ff.

²²

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 38 (1878). =Collected works 1, p. 189—204.

²³

   Investigations, Amer. Journ. Math. 17 (1895), p. 345—356.

²⁴

   London Math. Proc. 28 (1897), p. 143—155.

²⁵

   Paris C. ß. 131 (1900), p. 663—665.

²⁶

   Amer. Math. Trans. 4 (1903), p. 333—350.

²⁷

   Resultate, welche den (a) u. (ß) entsprechen, hat Newcomb für das allgemeine 3-Körperproblem erhalten; Smiths. Contr. 21 (1876), Nr. 3.

²⁸

   Vgl. auch Nr. 4d.

²⁹

   F. W. Brown, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), p. 332—34?.

³⁰

   Trans. Amer. Math. Soc. 3 (1903), p. 234—248.

³¹

   Lond. Astr. Soc. Mem. 59 (1908), p. 10—13.

³²

   Principia, 3. Buch.

³³

   Portsmouth Collect., Cambridge 1888.

³⁴

   Laplace, Méc. cél., liv. 16; J. C. Adams, Coli. Works 2, p. 227—232; Tisserand, Méc. cél. 3, chap. 3.

³⁵

   J. Herschel, Outlines of Astronoiny, London 1883; Airy, Gravitation, London 1834; MöbitCs, Elemente der Mechanik des Himmels sect. 3, Leipzig 1843. = Gesammelte Werke 4.

³⁶

   Méc. cél. 3, liv. 7. In bezug auf Laplaces Methode siehe auch: Airy,

³⁷

   Theorie de la Lune, Paris mém. prés. ser. 3 1 (1827), p. 313—598.

³⁸

   Théorie du mouvement de la Lune, 3 Bde., Turin 1832

³⁹

   Lubbock, Lond. Astr. Soc. mem. 30 (1862), p. 1—37; Adams, Lond. Astr. Soc. Month. Not. 13 (1853), p. 262 = works 1, p. 110; Cayley, ib. 23 (1863), p. 211—215; 26 (1865), p. 182—189 = works 7, p. 357—360, 361—366.

⁴⁰

   Système du monde, 4, Paris 1846. Die Methode ist im einzelnen auseinandergesetzt in den Lehrbüchern von Tisserand, Brown, Andoyer.

⁴¹

   Siehe das Verzeichnis zu Anfang dieses Artikels.

⁴²

   Siehe Brown, Treatise, Art. 152, 159.

⁴³

   Gesammelt in „Theory of the Moon’s motion“, Philadelphia 1881.

⁴⁴

   Lond. Astr. Soc. mem. 44 (1879), p. 1—49.

⁴⁵

   Fac. Tool. Ann. 6 (1892), J; 7 (1893), E = Toul. Obs. Ann. 3 (1899), B, C; Paris Bull. Astr. 18 (1901), p. 17 7—208; 19 (1902), p. 401—418; 24 (1907), p. 395—412. In der letzten Arbeit ist die Methode modifiziert. Siehe auch das Buch des Verfassers im Literaturverzeichnis. Die modifizierte Methode wendet P. Couhet, Fac. Toul. Ann. Ser. (3) 1 (1909), p. 381—471 auf von der Neigung abhängige Ungleichungen an.

⁴⁶

   Theoria motus Lunae, St. Petersburg 1753, Appendix; Berl. Acad. mém. 1763 (publ. 1770), p. 141—193.

⁴⁷

   Mémoire sur le mouvement usw., Paris mém. prés. (3) 13 (1835), p. 209—335.

⁴⁸

   Paris Éc. norm. sup. Ann. sér. 1 (1864), p. 39—80.

⁴⁹

   Théorie de la Lune, Paris mém. prés. 28 (1860), 29 (1867); er gibt seine Methode auch in Conn. des Temps, Add. (1861), p. 3—44.

⁵⁰

   Tisserand, Méc. cél. 3, chap. 11, 12; Brown, Treatise, chap. 9. Siehe auch die späteren Noten dieser Nr.

⁵¹

   Ibid. 49 (1889), p. 2.

⁵²

   R. Radau, Paris Bull. astr. 4 (1887), p. 274—286 = Lond. Observatory 10 (1887), p. 339—345, 377—383; J. C. Adams, London Astr. Soc. Monthly Not. 48 (1888), p. 319—322 = Coli. Works 1, p. 264—267; E. J. Stone, London Astr. Soc.. Monthly Not. 52 (1892), p. 68—69.

⁵³

   Paris 1911.

⁵⁴

   Treatise, chap. 9.

⁵⁵

   J. de Math. (2) 13 (1868), p. 255—303; Méc. cél. 3, chap. 11.

⁵⁶

   Petersb. Nova Acta 13 (1802), p. 418—462.

⁵⁷

   Amer. Journ. math. 1 (1877), p. 5—26, 129—147, 245—260 = Works 1, p. 284—335.

⁵⁸

   Diese Bahn kann man auch als „Variationsbahn“ bezeichnen, da ihr hauptsächlichster periodischer Term eben das Hauptglied der „Variation“ (vgl. Nr. 12) ist. Schon Euler hat ihre Wichtigkeit erkannt (Hist. Mem. Berl. Acad. 1766 (publ. 1768), p. 334—353) und gemeint, daß ihre vollständige Bestimmung viele Schwierigkeiten der Mondtheorien lösen würde.

Encyklop. d. math. Wissensoh. VI 2.

⁵⁹

   Motion of the Lunar perigee, Cambridge, U. S. A., 1877 = Acta math. 8 (1886), p. 1-36 = works 1, p. 243—270.

⁶⁰

   G. H. Darwin [Acta math. 21 (1897), p. 133—139 = Math. Ann. 51, p. 538—543 = Works 4, p. 27—32, zuerst publiziert bei Brown, Treatise, p. 211) und J. C. Adams [Lectures, p. 85—88 — Coli. Works 2, p. 81—84] haben gezeigt, daß diese Gleichung die einer senkrechten Verrückung von der Variationsbahn aus ist. E. A. Hermann [London Astr. Soc. Monthly 63 (1903), p. 541—543] hat eine kurze Ableitung dieses Resultats gegeben.

⁶¹

   G.W.Hill, Amer. Ann. Math. 9 (1895), p. 31—41 = Works 4. p. 41—50. Hille Variationsbahn und Perihelbewegung hat A. W. Krassnow nach Jacobin Methode abgeleitet, Astr. Nachr. 170 (1906), p. 309—318; 173 (1907), p. 49—56; 174 (1907), p. 129—134.

⁶²

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 38 (1878), p. 43—49 — Coli. Works 1,

p. 181—188.

cPz

+ (£ + «'*)* = 0,

welche also bereits die Form Nr. 5 (a) besitzt. Der hieraus sich ergebende Teil der Knotenbewegung wird auf 15 Stellen berechnet. Die

Störungsglieder mit den Charakteristiken \i — 1, 2, 3] hat E. W. Brown¹¹³) durch eine Vervollständigung der Hill sehen Gleichungen bis zu eben diesen Gliedern erhalten. Er hat auch Hills Arbeit über die Apsidenbewegung fortgeführt¹ 2), indem er die periodischen Terme der Charakteristiken e, e³, e³ und den Teil der Perigäumsbewegung mit der Charakteristik e² fand. Die periodische Lösung, welche streng

alles berücksichtigt, was von m und y allein abhängt, einschließlich der Teile der Störungsfunktion, die y, A enthalten (Nr. 3), hat wiederum

G.W. Hillm) gegeben⁴). Die Methode, die er hier verwendet, um die Korrektionen zu ermitteln, die seine eignen und Browns Resultate erfordern, ist eine Modifikation der Gleichungen von Laplace (Nr. 4 (b)) Die Glieder mit den Charakteristiken y, y⁵, y³ und den Teil der Knotenbewegung, der y² als Faktor enthält, verdankt man P. H. Cowell⁶). Endlich hat noch Hill die Glieder mit den Charakteristiken e (n) berechnet, indem er sich einer früher angegebenen Methode bedient⁷ 8), und hat Andoyer¹³⁶) nach einer modifizierten Methode von Hill die Koeffizienten, die von m, e und der ersten Potenz von e ab-hängen, analytisch abgeleitet.

Alle diese Arbeiten haben die Auffindung von Gliedern ganz bestimmter Charakteristiken zum Ziel; eine generelle Methode zur strengen Behandlung des ganzen Problems ist von E. W. Brown⁹) skizziert. Er erhält zunächst die allgemeinen Gleichungen Nr. 4 (c) und entwickelt, indem er setzt:

u == u₀ -f- dw; s — s₀ -j- ds,

nach Potenzen von du, ds, z, so daß die Ordnung der Charakteristik von (du)i(ds)jzi i j -(- Je ist. Indem nun die Bestimmung der

46*

Störungsglieder einer bestimmten Charakteristik auf die Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen der Form Nr. 5 (b) zurückgeführt wird, werden sukzessive die Störungen einer bestimmten Charakteristik erhalten. Die Integrationskonstanten a, s, 55, ff werden in der gewöhnlichen Weise definiert; die Konstante a als Hauptterm der „Variationsbahn^ so, daß a =    wo a³w² = y- die Kon

stante ae als Koeffizient der hauptsächlichen elliptischen Glieder in x; endlich ak als die des Hauptgliedes in z. Alsdann werden zusammen mit denen gewisser Charakteristiken dritter Ordnung die Koeffizienten der Charakteristiken zweiter Ordnung in der Apsiden- und Knotenbewegung bestimmt, indem für sie lineare Gleichungen erhalten werden, die frei sind von allen unbestimmten Koeffizienten. Dieser eben skizzierte Plan ist in einer Reihe von Abhandlungen im Detail ausgearbeitet ¹⁰\ Zuerst werden die rechtwinkligen Koordinaten des Mondes abgeleitet, wobei von Anfang an der numerische Wert von m eingesetzt wird, während die andern Konstanten unbestimmt bleiben. Alle früheren Resultate mit Ausnahme von Hills Variationsbahn¹¹) werden neu gerechnet oder kontrolliert. Die Hauptarbeit reduziert sich auf Multiplikation aufsteigender und absteigender Potenzreihen mit numerischen Koeffizienten, wobei jedes Reihenprodukt leicht kontrolliert werden kann. Auch werden verschiedene Wege zur Kontrolle der Gesamtresultate benutzt. Am durchgreifendsten sind dabei die aus Adams' Theorem (Nr. 11) folgenden Relationen. Meistens wird mit den komplexen Yariabeln in ihrer ursprünglichen Form gerechnet, nur für Terme und Charakteristiken der Ordnung 5, 6 werden die homogenen Formen (Nr. 4 (c)) gebraucht. Die Resultate werden auf Polarkoordinaten transformiert, die Konstanten a, e, h in diejenigen von Delaunay (Nr. 15) übergeführt und ihre numerischen Werte eingesetzt, so daß alle Koeffizienten schließlich in Bogensekunden ausgedrückt sind. Fast alle Koeffizienten in Länge und Breite über O '.OOl und in Parallaxe über 0".0001 werden erhalten, ohne Ausnahme die über 0".01 bzw. 0".001. Die jährlichen mittleren Bewegungen von Perigäum und Knoten werden auf 0".01 genau bestimmt. In der letzten Arbeit werden andere bekannte Schwerewirkungen (Nr. 20—25) ebenso genau berechnet¹²). Tafeln, die alle diese Störungen einschließen, sind gegenwärtig in Ausführung¹³¹).

^ den Faktor e, ^ den Faktor y (entsprechend den Bezeichnungen von Nr. fi), so daß, wenn man für f: nt -}- s, n, für g der Reihe nach:

Poincaré131>) liât eine Modifikation dieser Methode angegeben, die, falls man auf eine rein analytische Entwicklung ausgeht, eine Abkürzung der Arbeit darstellt. Er geht dabei von den Eigenschaften des Klammerausdruckes [/, g] (Nr. 11) aus. Wenn nämlich Q irgendeine Koordinate oder Geschwindigkeitskomponente bezeichnet, so hat

dQ,

e, Ï oder y, F usw. setzt und außerdem voraussetzt, daß die Koeffi-

nach Potenzen von e, e', y, ent-

.    ,    dx dy dz

zienten von x, y, z,    ^

wickelt sind, die Ableitungen der Koordinaten und Geschwindigkeiten nach / in ihren Charakteristiken um eine Ordnung niedriger sind als die nach g. Infolge dieser Tatsache hängt die Berechnung der Störungsterme einer bestimmten Charakteristik von je einem Paar linearer Differentialgleichungen ab, die etwas einfacher sind als die von Brown (Nr. 5 (b)). Es werden die Gleichungen von. Nr. 4 (d) benutzt und nach Poincarés Modifikation von Belaunays Methode (Nr. 15) behandelt; dabei wird eine spezielle Untersuchung über die Apsiden- und Knotenbewegung und für einige andere Terme erforderlich, deren Koeffizienten nicht durch die Gleichungen [f, g] = const.

geliefert werden.

17. Mittlere Anomalie und Verhältnis der Entfernung zu einem elliptischen Radiusvektor¹³³) als abhängige Variable. P. A. Hansen¹³⁴) geht aus von einer Ellipse fester Größe und Form in der instantanen Bahnebene. Die Längen werden von einem „Anfangs-p. 130—145; 59 (1908), p. 94—103 mit Verbesserungen in Lond. Monthly Not. 70 (1910), p. 3, 148; 74 (1914), p. 424. Verschiedene Nebenresultate und Diskussionen in Artikeln in den Lond. Monthly Not. 1891—1910.

131)    E. W. Brown, Lond. Monthly Not. 70 (1909), p. 148—175; 71 (1911), p. 639—650, 651—660.

132)    Paris Bull. Astr. 17 (1900), p. 167—204; Leçons de Méc. cél., chap. 29.

133)    Dieses Verhältnis ist zuerst von Euler (siehe Nr. 18) als abhängige Veränderliche benutzt.

134)    Hansen hat seine Methoden in einer Reihe von Veröffentlichungen dargelegt mit dem Titel: Disquisitiones circa theoriam perturbationum, quae motus corporum coelestium afficiunt, Astr. Nachr. 7 (1829), col. 417—448, 465—484; 11 (1834), p. 49—104, 309—368; 12 (1835), p. 321—364; 13 (1836), p. 97—142. Die auf die Mondtheorie bezüglichen Teile sind gesammelt und vervollständigt in den Fundamenta nova usw., Gotha 1838; die „Darlegung usw.“, Sachs. Ges. Abh. 6 (1862), p. 91—498; 7 (1864), p. 1—399, ist hauptsächlich zur Verifikation früher ausgeführter Rechnungen geschrieben, aber sie enthält zugleich die leichteste Darstellung im allgemeinen. Es empfiehlt sich, die der Planetentheorie gewidmeten Schriften ebenfalls zu Rate zu ziehen: Encycl. VI 2, 15.

punkt“¹³⁵) aus gerechnet, der dadurch definiert ist, daß sich bei einer infinitesimalen Drehung der Bahnebene die Längen nicht ändern. Die Apsidenlinie hat in der Bahnebene von diesem Anfang gerechnet, die gleichförmige Bewegung n₀y. Bezeichnet n₀z die mittlere Anomalie in dieser Ellipse, so hat man z = t -f- const. für eine rein elliptische, z — t -f- const. -|-8z in der tatsächlichen Bewegung. Sind nun v und f Länge und Radiusvektor in der Ellipse, v und r in der tatsächlichen Bahn, so setzt Hansen:

r — r(l -f- v)

V — V]

so daß also die Bewegung in der wahren Bahn auf die Bestimmung von dz und v reduziert ist. Es seien weiter: 2a₀, e₀, f große Achse, Exzentrizität und wahre Anomalie in der Hilfsellipse, ferner

W = = hnoa(? VI — eł ;

bedeuten endlich p, cp dieselben Funktionen einer Variabein £, wie F, f von z sind, und % die Komponenten der störenden Kraft in Richtung des Radiusvektors und senkrecht dazu in der instantanen Bahnebene, dann ergeben sich für z und v folgende Differentialgleichungen :

_'JLY

|/l_eo*\a₀/ ?

1    d w

2    dz

CL «J

Dabei ist

-S|! -t

¹    +v) d (¥Y

- ÿl — e₀* dz\aj '

y fji)2 Vl — eJ \°o/ ’

-    [8f «»s (f - <p) -1 + 2 £

+ n^raia(f--v) +

{ COS (f — qp) — 1 } ]

und W wird erhalten, indem man z statt £ nach Integration der folgenden Differentialgleichung setzt: dW

dt unter der Annahme, daß £ == const. ist¹³⁶), y wird so bestimmt, daß

135) Der englische Ausdruck „Departure point“ ist als Terminus von A. Cayley, Quart. Journ. Math. 1 (1857), p. 112—125 = Coli. Works 3, p. 19 eingeführt.

136) Methoden, zu diesen Differentialgleichungen zu gelangen, sind gegeben von Zech, Astr. Nachr. 41 (1855), col. 129—142, 205—208; Hansen, ibid. 42 (1856). col. 273—280; Brünnoiv, ibid. 64 (1865), col. 259 — 266; A. Cąyley, Quart. Journ.

nur periodische Glieder in der Lösung Vorkommen. Indem man zunächst die elliptischen Werte:

z = t -j- const., v — O, h — liQ, W = 0 in die rechte Seite der Differentialgleichung für W einsetzt, erhält man eine zweite Annäherung für diese Funktion und damit dann aus den Gleichungen v und z solche für diese Funktionen usf.

Um die Bewegung der Bahnebene zu finden, ersetzt Hansen die Gleichungen für die Veränderungen von Knoten und Neigung (Encycl. VI 2, 15 Nr. 22) wie folgt: Seien

— n₀(a — rj)t;

JV₀-f K₀— N— K,

N₀ — K₀ — N -j- K, — nQ(a

bezgl. die periodischen und Säkularteile der Mondknotenbewegung in der momentanen Bahnebene bzw. der momentanen Ekliptik; J der Winkel zwischen diesen Ebenen; — p die mittlere Länge des Mondknotens in der momentanen Ekliptik; Ï und <?' Neigung und Knotenlänge der momentanen in einer festen Ekliptik gegebenen Epoche — die Länge gerechnet von einem „Anfangspunkt“ in der ersteren Ebene. Bezeichnet man ferner:

2 sin y sin (AT — N₀), p' = sin i sin a,

Q — 2 sin ^ cos (N —- N₀), q == sin i cos <?', dann sind die Gleichungen, denen P, Q, K Genüge leisten müssen:

² (wcos'“'+^sin»‘')'

K»aP + ,'(aVcos!V“T«S)

2 /dp .

U sin **

^ + U*(4p + «fe)

dP

dt

dQ

dt

dK

dt —

cos

cos i

cos

dq

cos i

dt

cos

cos u

4 cos Ï cos

Math. 1 (1857) = Works 3, p. 13—24; G. W. Hill, Amer. Journ. Math. 4 (1881), p. 256—259 = Works 1, p. 348—350; W.Scheibner, Sachs. Ges. Abh. 25 (1899), p. 131—156. Eine Schwierigkeit bei der Integration der Differentialgleichungen ist von E. W. Broten, London Astr. Soc. Monthly Not. 56 (1896), p. 52—53, aufgeklärt worden.

VI 2, 14. Ernest W. Brown. Theorie des Erdmondes. Wenn die störende Kraft vernachlässigt wird, so ist

P = 0, Q — 2 sin •—, W=W₀.

In den höheren Näherungen sind a und ^ stets so zu bestimmen, daß P, Q, K nur periodische Glieder enthalten.

von

f*

Zu bemerken ist, daß hier yR statt P die Störungsfunktion ist. In den Entwicklungen von P¹³) führt Hansen den numerischen Wert ein und setzt ferner

r = r(l -j- v),

cos & — cos (f -j- co) cos (f' -|- co') -f- sin (f -f- co) sin (f' -f- co') cos Jr

wo co und co', die Abstände der Apsidenlinien der beweglichen Hilfsellipsen für Mond und Sonne vom gemeinsamen Knoten sind; ferner sollen f, n₀', v, y dieselbe Bedeutung für die Erdbahn haben wie f, nQ, v, y

für die Mondbahn; dann läßt sich P entwickeln nach Potenzen von v, v',

, a . J

eQ,e₀',    °r} s und nach Kosinus der Aggregate von Vielfachen

ao    “

von n₀z, n₀'z, co + co'. Die Kraftkomponenten X und sind zunächst durch die partiellen Derivierten von P nach e₀ und co ausgedrückt. Endlich aber gestatten die Definitionsgleichungen für P und Q zusammen mit

g> + û5,== VÜ/ + /+ 2a) 4-2A; œ — co' = n₀% — y' — 2rj)-\-2K P! durch P, Q, K auszudrücken.

In den Endresultaten bezeichnen dann co und co' nur die nichtperiodischen Bestandteile der vorher durch diese Buchstaben bezeich-neten Funktionen, während g und g die nichtperiodischen Anteile von n₀z und n₀z' sind, so daß also zu Delaunays endgültigen Bezeichnungen die folgenden Beziehungen bestehen:

g = h    9 + v = F; g + »—/—©' = D.

Schließlich wird der Übergang von der instantanen Bahnebene auf die instantané Ekliptik vollzogen. Hansens Resultate sind, da sie die indirekten Planetenstörungen durch Berücksichtigung von i/, — -->    usw.

einschließen, allgemeiner als die anderen Theorien, die sich mit dem Hauptproblem beschäftigen. Aber seine Theorie ist keineswegs frei von empirischem Einschläge, da sie für die Perigäums- und Knoten-

bewegung die beobachteten Werte einführt, mit denen die berechneten nicht ganz übereinstimmen (Nr. 25). Bei der Bildung seiner Tafeln (Nr. 27) bringt er außerdem noch andere empirische Korrektionen an, und später haben noch weitere hinzugefügt werden müssen, um die Tafeln mit den Beobachtungen in Übereinstimmung zu bringen. Hansens Resultate sind auch verschiedentlich umgeformt werden, um sie mit anderen Theorien, besonders der von Delaunay vergleichbar zu machen, so von Wilding¹⁴ 15) und von Newcomb und Maier¹⁵⁹). Man hat vielfach versucht, die Darlegung der Theorie zu vereinfachen¹⁶).

Th. v. Oppolzer¹⁷) folgt Hansen, insofern er die Störungen in der Bahnebene zur mittleren Anomalie hinzufügt. Die Länge und Parallaxe werden in gleicher Weise wie bei Hansen ausgedrückt, aber die dritte Koordinate ebenso wie die Parallaxe behandelt. Die Bewegung wird auf die mittlere instantané Bahnebene bezogen, d. h. diejenige, welche statthaben würde, wenn man alle periodischen Störungen der instantanen Bahnebene beiseite läßt und nur die säkularen beibehält. Die drei Differentialgleichungen für die rechtwinkligen Koordinaten ergeben sich dann in folgender Form:

(°0 dt% + (p + p')r3 = ^5 -Jfï + (^ + h) wo [i und y Konstante sind, und X, Y, Z sowohl die Komponenten der eigentlichen störenden Kraft als auch die von den Bewegungen der Achsen herrührenden Reaktionskräfte enthalten. Oppolzer setzt dann

(r)    1 + '/

± ₌ V_ ₌ JL

Vo

x₀

so daß wir jetzt also die 6 Variabein xQ, y₀, z₀, y, £, t statt der alten x, y, z, t haben. Die zwei willkürlichen Bedingungen, denen diese Größen demnach noch unterworfen werden können, definiert er durch:

zusammen mit r₀² = x₀²    y₀², so daß also der Punkt x₀y₀ eine Ellipse

mit der mittleren Anomalie £ beschreibt. Die Gleichungen (a), die zweiter Ordnung sind, werden so ersetzt durch 6 Gleichungen erster Ordnung. Von diesen sind 3 die Differentialgleichungen für die Projektionen der Flächengeschwindigkeiten auf die drei Koordinatenebenen, von denen die auf die xy-Ebene bezogene die Gestalt annimmt:

dl_x₀ IY y₀ IX

dt

«1 + 7

wo a, l Konstanten sind. Zwei weitere Gleichungen geben den Betrag der Geschwindigkeitsänderung in der xy-Woene, und die letzte, die £ gibt, lautet:

a 1 -f- y

di

^ = (l + i)(l + ₇)S.

Wenn diese Gleichungen durch fortgesetzte Näherung nach Potenzen der störenden Kraft gelöst sind, so findet man die Koordinaten durch Einsetzen von £ in ihre elliptischen Ausdrücke; der Wert von y (welcher als Funktion der sechs benutzten Variabein erhalten wird), gibt die Parallaxe, und z₀ wird in ähnlicher Weise ausgedrückt. Nach des Autors Tode sind seine Resultate insoweit vervollständigt, als es sich um eine vollständige analytische Entwickelung der Ausdrücke auf der rechten Seite der Differentialgleichungen, abgesehen von der für

J c.

dt’

Ä handelt, herausgegeben worden; sie sind also fertig für die Durchführung der ersten Näherung in bezug auf die störende Kraft; das erstrebte Endziel an Genauigkeit war dasjenige von Delaunay, jedoch so, daß numerische Werte für die Konstanten benutzt werden sollten.

— 1 -f- e cos /*;

+. WeilerU2) schlägt als intermediäre Bahn eine bewegliche Ellipse von veränderlicher Größe, aber konstanter Gestalt in der in-stantanen Bahnebene vor. Sowohl für die gestörte als die ungestörte Bewegung gelten die Gleichungen a(l — e*)

142) Astr. Ges. Pübl. 12 (1872). Diese Abhandlung gründet sich auf eine frühere Arbeit, ibid. 3 (1866), die sich hauptsächlich mit dem allgemeinen Dreikörperproblem beschäftigt. Seine späteren Entwickelungen sind im wesentlichen in verschiedenen Nrn. der Astr. Naehr. enthalten, von denen sich aber viele nicht speziell auf die Mondtheorie beziehen.

wo n, e konstant sind und f die wahre Anomalie ist. Diese Gleichungen geben r und f als Funktionen von a und t. Die Länge v und die Länge des Perigäums Sj, gerechnet zunächst längs der Bahn bis zum Knoten und von da in der Grundebene bis zu einem festen Anfangspunkt, hängen durch v — f -f- o7 zusammen ; so erhält man v und r, wenn a und S7 bekannt sind; die Beziehung w²a³ = u gilt hier in der gestörten Bewegung nicht mehr in aller Strenge. Die Störungen von i, ff bestimmen die Bewegung der Bahnebene. Die Gleichungen, die man für ćd, ff, i erhält, sind erster, die für a (oder p) ist dritter Ordnung; diese letztere wird durch 3 Gleichungen erster Ordnung für die abhängigen Veränderlichen h, Je, q ersetzt, die so definiert sind:

' “ (p² — Po²) ⁼ k cos v + Ä sin v-

il /■

dh

7Tt cos v + dt sin » = °>

wo p₀ der ungestörte Wert von p ist; für q gilt eine Gleichung, die der Energiegleichung einigermaßen analog ist. Alsdann werden die störenden Kräfte eingeführt und die 6 Gleichungen mannigfach umgeformt; schließlich wieder die Lösung in Näherungen nach Potenzen der störenden Kräfte durchgeführt. Die gleichzeitige Gültigkeit der obigen Gleichungen gestattet die Integration von sinmv (w0 n’ m ganze Zahlen sind) durch endliche Ausdrücke. Die Konvergenz der der für p erhaltenen Reihen, die Weiler behauptet, scheint nicht streng bewiesen zu sein¹⁸).

18. Die wahre Anomalie als unabhängige Veränderliche. Euler geht in seiner ersten Theorie¹⁹) von den auf Zylinderkoordinaten bezogenen Gleichungen:

dt

d'r< _ r (iiŸ— * .

dt*    Adt)

aus, wo rt und v die Projektion des Radiusvektors und die Länge sind. Er transformiert dann die Gleichungen auf die wahre Anomalie f als unabhängige Variable. Dann setzt er

a(1 — 0(1 -f v)

1 + e cos f

und gelangt zu einer Differentialgleichung erster Ordnung für v und einer zweiter Ordnung für v, die diese Größen als Funktionen von f

VI 2, 14. Ernest W. Broivn. Theorie des Erdmondes, zu bestimmen gestatten. Die Lösung der ersteren Gleichung ist

f

v — const. -f- — periodische Glieder; dabei ist offenbar 1 — c die

mittlere Apsidenbewegung. Euler setzt nun für c seinen beobachteten Wert ein und zeigt, daß in dem Kraftgesetz, welches er in der Form

~^s — ó voraussetzt, â sehr klein sein muß. Statt der dritten der

obigen Gleichungen führt er die Variationen von Knoten und Neigung ein. Um die willkürlichen Konstanten zu bestimmen, rechnet er mit seinen Resultaten 13 Finsternisse und bestimmt dann durch Vergleich mit den Beobachtungen die Konstanten.

H. Gyldmltó) verwendet eine modifizierte wahre Anomalie v₀ als unabhängige und zwei Größen u und % als abhängige Veränderliche, die folgendermaßen definiert sind:

y'c

wo c = constans.

_

dt r„»

Er erhält seine intermediäre Bahn, indem er F (Nr. 3) auf die Teile beschränkt, die für X = 0, kj = 1, j = 2, s = 0 übrig bleiben; die Gleichungen für die intermediäre Bahn ergeben sich dann so:

d*u

dv₀

1    d*A — ¹

c cu ’ dv₀⁸ cu* dv

Die Absicht bei dieser Formulierung ist, in der intermediären Bahn die Hauptteile der größten Glieder zu berücksichtigen; dafür genügt es, in der ersten Näherung in B zu setzen:

v — v = mv₀ -f- const.,

wodurch von Gliedern, die kleine Divisoren erhalten, erst die 4. Ordnung vernachlässigt wird.

Gyldén setzt nun

a = a(l -f- p₀) = a -f- ajEj/l -j-    cos (Av₀— Ä),

wo a, 7]lf X, A Konstanten sind; für E ergibt sich dann eine Gleichung von der Form Nr. 5(a). Gyldén selbst löst dieselbe durch elliptische

145) Acta math. 7 (1885), p. 125—172. Vgl. auch Andoyer, Toul. Fac. Ann. 1 (1887) M, und Tisserand, Toul. Fac. Ann. 2 (1888) D; Méc. cél. III, chap. 8. Die Methode ist analog zu Gyldéns allgemeiner Behandlung der Störungstheorie, VI 2, 15 Nr. 31. Für die nähere Auseinandersetzung der Theorie sei auch verwiesen auf: Gyldén, Astr. Nachr. 100 (1881) p. 97—102; 0. Callandreau, Paris C. R. 93 (1881), p. 779—81, Paris Bull. Astr. 3 (1886), p. 353—57, 7 (1890), p. 471—497; 0. Backlund, Astr. Nachr. 101 (1882), p. 19—22; M. Brendel, Astr. Nachr. 116 (1886), p. 161—166; B. JRadau, Paris Bull. Astr. 3 (1886), p. 433—449; Shdanow, Dissertation Stockholm 1885.

Integrale. Tisserand¹*⁶) weist aber darauf bin, daß die Einführung solcher nicht erforderlich ist, und führt die Lösung durch trigonometrische Reihen durch. Für die Weiterbehandlung werden nun drei neue Variable S, £, ^ und zwei Funktionen Q₁ und P₁ folgendermaßen eingeführt:

r²dv₀_1 -(- S r³₀<iv₀

(' + ¥)

]/c    ]/c

v = i+f; <»=(! + «)

c Jv ~~ Qo + Qi,

“^^=P₀+Pi; (1 + 8)

wo P₀ und Q₀ diejenigen Anteile sind, welche der intermediären Bahn entsprechen. Die Gleichungen für die Abweichungen der wahren von der intermediären Bahn werden dann:

dS

(l +    + (25 + S*)(Qo + Qt) — — Qi

^é + i¹ +È) ⁵

dv o

1 -f- S dv₀ dv₀

₌ _P₁_(2>S ₊ ^)(P₀+P₁).

Gyldén selbst hat diese Gleichungen nicht weiter behandelt, da es ihm nur auf die intermediäre Bahn selbst ankam, hat auch die von der Neigung abhängigen Störungen nicht berücksichtigt. Tisserand¹⁴⁷) hat die Behandlung der letzteren aufgenommen, indem er die zweite Gleichung von Nr. 4 (b) benutzt, dieselbe in Gyldéns Sinne umformt und sie dadurch auf die Form Nr. 5 (a) bringt. Die Methode ist weiter durchgeführt von schließlich geht und damit die Apsiden- und Knotenbewegung auf ₆J0 bzw. ihres wahren Wertes erhält.

Shdanow¹⁴⁸), der bis

zur

2. Näherung ein-

M. BrendelU9) hat die Modifikation der Gyldemehen Methoden, die er in seiner Theorie der kleinen Planeten¹⁵⁰) benutzt hat, auch auf den Mond angewandt, so daß Entwicklungen nach den Charakteristiken leicht zu erhalten sind. Mit v als mittlerer Anomalie in der oskulierenden Ellipse setzt er:

«C¹ — *i*)

1 + 9 ’

r dt

ÿM'a(l — +)

l +S

wo

P³

ist.

(P + m'Y

146)    Toul. Fac. Ann. 2 (1888) D; Méc. cél. 3, chap. 8.

147)    Toul. Fac. Ann. 2 (1888) D.

148)    Dissertation Stockholm 1885.

149)    Gott. Ges. Abh. N. F. (3) 4 (1905), p. 1—97.

150)    Ib. I, 2 (1898), p. 171 usw.

ist und die Störungsfunktion bedeutet. Der Ausdruck von t als Funktion von v wird in der Form angesetzt:

*) + W,

Dabei ist der Ursprung der Schwerpunkt des Systems Erde-Mond. Er setzt ferner:

p = (p) -f- B = rj cos (v — 7t) -f- B, Je ⁰⁰⁸ o + r) + Je'e cos ö'.

sin v 1    '    sin

cos

r< . 7t ' sin

Hier sind Je und JT Konstanten, die der Exzentrizität und Perihellänge entsprechen, £ ist die mittlere Bewegung der Apsidenlinie; Je, das % — a als Faktor enthält, verschwindet, wenn die Sonne sich in einer festen Ellipse bewegt. Ist die Mondbewegung ungestört, so verschwinden B und S.

Die Gleichungen für S und p werden: l dS l + Sdv

= (i + S)* C + -i ji rf’

& ■+ <r- ~ !rA,i    + (i+ s)*«} £ + 2s + s* - (i + fl)*p

(X+⁽ït?

<Z²

— rfdv^

wo

P-r^ dr’

aß

a(l — 7j²) dv ’

nt -j- const. = v -f- sin i(v

wobei n^aP—M' ist. Das zweite Glied rechts ist dabei die Mittel-

punktsgleichung, mit rj und 7t als Exzentrizität und Perihellänge gerechnet. Für W ergibt sich die Gleichung:

(l-il*)*

{ 1 -}- 97 COS (v — 7t) 1 ²

1 -f S

dv

[‘

-1

d'

die Ableitung nach v, nur soweit es in r] und 7t auftritt,

wobei , dv

bedeutet. Die Kräfte P, Q werden nach Potenzen von rj, e, B, W entwickelt. Brendel erhält zuerst eine intermediäre Bahn, indem er rj und e vernachlässigt. Diese fällt zusammen mit der zuerst von G. W. Hill¹¹¹) numerisch berechneten. Brendel läßt die Entwicklungen zunächst allgemeiner, löst aber dann auch ein System von Gleichungen mit in Strenge unendlich vielen Unbekannten rein numerisch auf. Weiter werden dann die von rj und e abhängigen Terme bestimmt, wobei die beobachtete Apsidenbewegung eingesetzt und nachträglich an der Theorie geprüft wird.

Planetarische und andere störende Einflüsse. 19. Behandlungsmethoden.

713

III. Planetarische und andere störende Einflüsse.

19. Behandlungsmethoden. Jeder kleinen störenden Ursache kann man Rechnung tragen, indem man der Kräftefunktion ein Glied «ß hinzufügt, wo a eine kleine Konstante ist, deren Quadrat selten merklich ist. fl bedeutet eine Funktion der Zeit, der Koordinaten, und eventuell der Geschwindigkeiten des Mondes.

Meist wird die Methode der Variation der Konstanten verwandt, wobei aber als neue Variabele nicht die Konstanten der elliptischen Bewegung, sondern die des Hauptproblems gewählt werden müssen, da jeder überhaupt in Betracht kommende Term durch die Wirkung der Sonne wesentlich beeinflußt wird.²⁰)

Wenn man von den kanonischen Gleichungen für die Variationen ausgeht, so braucht man nur auf Grund der Delaunayschen Theorie (Nr. 15) den entsprechenden Schritt weiter zu gehen, indem man, falls a² vernachlässigt werden darf, in afl die aus dem Hauptproblem sich ergebenden Werte der Konstanten einsetzt. G. W. Hill²¹ 22) hat die Integration der Gleichungen für diese störenden Einflüsse auf eine Form gebracht, die unmittelbarer Anwendung fähig ist. Er findet nämlich, daß einem Gliede in afl von der Form:

f(a, e, y) ah cos (ii l -f- i₂g + iäh -f-pt -f- p) — A cos (yt -f- y),

wo a, h, p, p unabhängig von den Mondelementen sind, eine zugehörige Änderung der Elemente von folgender Form entspricht:

₂=1,2, 3

wo

df . df

e —— j }„ = y —— de ,/ö    ' dy

und aq, bq, cq numerische Größen sind, die für jedes Element verschiedene Werte haben und nur von den Derivierten der endgültigen Delaunay-schen Elemente L, G, H nach a, e, y abhängen, in denen die numerischen Werte von m, e, é y, eingesetzt sind. Radaulhi) und New-comb²³) haben ähnliche Gleichungen, aber mit etwas anderen Werten

de, öy = (Ziqaq)j^~ cos (jit + y), de, dm, d& = (ziA 4- j Zjqcq) ~i sin (yt -f y). df

Jl~ada’ J*~

für ap, bp, cp erhalten. Die Schwierigkeit, diese Werte genau zu berechnen, rührt von der langsamen Konvergenz der Potenzreihen nach m her, besonders hei den Koeffizienten, die Ableitungen nach n enthalten. E. W. Brown²⁴) hat Gleichungen ähnlicher Form direkt aus seiner Theorie abgeleitet, wobei der numerische Wert von m auf Grund des letzten Resultates in Nr. 11 substituiert ist. Statt der obigen Form für A benutzt er die Derivierten von A nach n, e, k, den Konstanten seiner Theorie vor dem Übergang von rechtwinkligen zu Polarkoordinaten, was in seinem Falle das bequemste ist. So werden die Variationen der Variabein n, p₂, p₃, ql} q₂, q₃ (Nr. 10e) gefunden. In einzelnen Fällen werden von Brown die Delaunaysehen Entwicklungen benutzt, diese aber kontrolliert und die aus der langsamen Konvergenz entspringenden Fehler als unmerklich nachgewiesen.

20. Der Einfluß der nichtsphärischen Eigur der Erde und des Mondes. Erde: Sind A, B, G, J die Trägheitsmomente um die drei Hauptträgheitsachsen und um die Verbindungslinie der Mittelpunkte von Erde und Mond, so ist in hinreichender Näherung gemäß der Entwicklung des Erdpotentials in Kugelfunktionen

A + B 4- C — 3J

oder, da man die beiden äquatorialen Trägheitsmomente der Erde als gleich annehmen kann, also A — B,

ccSi ==

!(£=^(i_sin» g),

wo Ö die Deklination des Mondes ist.

Die Differenz C — A von polarem und äquatorealem Trägheitsmoment kann durch Pendelbeobachtungen oder durch die Gleichung

| (C-Ä) = ER*(«-lß)

bestimmt werden, wo E, R, a Masse, Äquatorealradius und Abplattung der Erde sind und ß das Verhältnis von Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am Äquator bezeichnet. Sind ferner Xm, ßm, s ekliptische Länge und Breite des Mondes und Schiefe der Ekliptik, so ist nach den gewöhnlichen Formeln der sphärischen Astronomie

sin d = sin ßm cos s -J- cos ßm sin lm sin 1.

Mit Hilfe dieser Beziehung kann man aSl als Funktion der Zeit und der Mondelemente ausdrücken. Bestimmungen der sich so ergebenden

Ungleichheiten in der Mondbewegung sind durcbgeführt von Laplace²⁵), de Pontécoulant²⁶), Hansen²⁷) — ziemlich vollständig auf Grund seiner Methode —, Hill²⁸ 29 30) — sehr vollständig nach der Methode von JDelaunay —, Brown¹⁸⁹) — vollständig bis auf 0",01 in Länge und Breite. Hill drückt die Ungleichungen als Zusätze zu den Koordinaten, Brown als solche zu den Integrationskonstanten aus, was eine kürzere Darstellung gibt.

Mond: Laplace¹⁸⁹a) betrachtete den Einfluß und bezeichnete ihn als unmerklich. Hansen (Nr. 25 a) schob eine (jetzt als nicht bestehend erkannte) Abweichung von Theorie und Beobachtung auf diese Ursache. E. W. Brown189h) findet mit den neuesten Bestimmungen der Abplattungen des Mondes kleine Zusätze zur Bewegung des Perihels und Knotens, die in letzterem Falle gerade an das Beobachtbare heranreichen.

21. Die direkten Planetenstörungen. Die Formeln für B in Nr. 3 sind für die direkten Planetenstörungen ohne weiteres benutzbar, wenn man statt x, y, zm, r die geozentrischen Koordinaten, Masse und geozentrischen Entfernung des Planeten: |, y, g, m", D einsetzt. Für die Koordinaten des Mondes in der Störungsfunktion cc£l, welche sich so ergibt, sind die Werte einzusetzen, die das Hauptproblem ergibt, für die Planetenkoordinaten ihre als bekannt vorausgesetzten Funktionen der Zeit. Hat man alsdann die Störungsfunktion entwickelt, so ist die Methode von Nr. 19 anwendbar. Hill¹⁸¹) hat die Störungsfunktion in eine Summe von Produkten zerlegt, von denen je das eine nur von den geozentrischen Mondkoordinaten, das andere nur von den heliozentrischen Erd- und Planetenkoordinaten abhängt, von der Form:

ccSi = m

" [P — Zz*

L 4

47

Ist y" der Sinus der halben Neigung zwischen Planetenbahn und Ekliptik, h" die Knotenlänge der Planetbahn, V", r" heliozentrische Länge und Radiusvektor des Planeten V die Länge der Erde, so findet man:

qy" ir'r"

co

{cos(F'-f V"—    — cos (F' — V")} + • •

wo

D₀² = /2 + r"² — 2/r" cos (F' — F").

Die verschiedenen Entwicklungen von ,Z)₀-Î werden in der Theorie der Hauptplaneten (VI 2, 13 Nr. 2) mitgeteilt.³¹) Im allgemeinen würden diese Störungen wegen der Kleinheit der Massen m" und des Verhältnisses ~ unmerklich sein, wenn nicht hei den langperiodischen Störungen infolge des Auftretens kleiner Divisoren, d. h. der Kleinheit von p, (Nr. 19) eine enorme Vergrößerung einträte, und einzelne Glieder sehr wohl merklich machte. Bei dem Fehlen einer allgemeinen Methode, um zu entscheiden, ob ein bestimmter Term langer Periode einen merklichen Koeffizienten gibt, und bei der großen Zahl solcher Terme ist die Untersuchung mühselig.

Nur zwei Terme mit Koeffizienten über 1" in Länge sind bekannt.162 a) Der eine stammt von Venus und hat bei einer Periode von 273 Jahren einen Koeffizienten über 14".162b) Der andere ist bekannt als die „Jupiterevektion“, die Periode ist nahe die der Evektion (Nr. 12), und der Koeffizient ist 1",14.³²)

Außer den erwähnten sind Berechnungen spezieller Ungleichheiten von E. Neison (Nevill)¹⁶⁴), E. v. Haerdtl¹⁶⁵) und anderen Mondtheoretikern¹⁶⁶) ausgeführt worden.

Der erste Versuch, eine vollständige Liste der Planetenstörungen aufzustellen, stammt von Badau¹⁶⁷), der Hills Teilung der Störungsfunktion und dessen Variationsgleichungen mit wenig veränderten numerischen Werten (Nr. 19) benutzt. Er entwickelt jeden Planetenfaktor nach Potenzen der Planetenelemente und benutzt für die Mondfaktoren Delaunays Theorie. Es werden über 120 Terme in Länge erhalten. Newcomb¹⁶⁸) gab 1894 eine allgemeine Methode zur Behandlung des Problems, die er später durchführte.¹⁶⁹) Jeder Planetenfaktor wird numerisch aus speziellen Werten entwickelt, während die Mondfaktoren und ihre Ableitungen teils aus Delaunays, teils aus Browns Theorie entnommen werden. Er benutzt seine eigene Gleichungsform (vgl. Nr. 19). Seine Liste ist etwas umfangreicher als die Badaus bei etwa gleicher mittlerer Genauigkeit. Beide Autoren schließen die indirekte Wirkung (vgl. Nr. 22) ein.

Brownm) nimmt sich vor, alle Planetenstörungen über 0",01 zu ermitteln. Er teilt mittels einer allgemeinen Formel die Störungsfunktion in Hills Art und zeigt, daß die Planetenfaktoren als Ableitungen von — nach a, s, y", h" dargestellt werden können. Lever-riers Buchstabenentwicklung von 4^ kann daher zur Ableitung aller

tionen von — a

gegeben. Die Mondfaktoren und ihre Derivierten entnimmt Brown

dieser Faktoren benützt werden, statt jeden einzelnen entwickeln zu müssen. Kurze Verfahren¹⁷¹) zur Berechnung der auftretenden Funkwerden eingeführt und die numerischen Werte in Tafeln

(1877), p. 248, der auch (ib. p. 359) den richtigen Koeffizienten berechnete, wie verschiedene spätere Untersuchungen bestätigten. Der Koeffizient schließt die indirekte Wirkung ein.

164)    Lond. Astr. Soc. Monthly Not., vols. 37, 38, 42, 45, 46, 47; jedoch ist zu bemerken, daß einzelne seiner Resultate angezweifelt worden sind.

165)    Wien Denkschr. 59 (1892), p. 385—408; Paris Bull. Astr. 10 (1893), p. 124—130; 12 (1895), p. 145—48.

166)    Siehe Tisserand, Mec. cél. 3, chap. 18.

167)    Par. Obs. Ann. 21 (1895), B p. 1—114.

168)    Wash. Astr. Pap. 5 (1894), p. 97    295.

169)    Carnegie Inst. Publ. 72 (1907), p. 1—160.

170)    Adams Prize Essay, Cainbr. 1908, p. 1—93. Lond. Astr. Mem. 59 (1908), p. 24—77.

171)    Weiter verbessert von B. T. A. Innés, Lond. Monthly Not. 69 (1909), p. 633—638; 70, p. 194—196.

47*

seiner eigenen Theorie unter Beachtung des letzten Satzes aus Nr. 11. Mittels einer Näherungsformel, die unmittelbar eine obere Grenze für den Betrag jeder Störung liefert, vermag er etwa hundert Terme aussondern, die allein Koeffizienten über 0",01 geben können. Diese nebst den kurzperiodischen Termen werden genau berechnet. Broivns schließliche Liste³³) enthält, die indirekten Störungen eingeschlossen, über 400 Terme.

22. Die indirekten Planetenstörungen. Diese rühren von den Störungen der Erdbahn durch die Planeten her. Sie werden gleich von vornherein formal berücksichtigt in den Theorien von Hansen und Brendel (Nr. 17, 18), bleiben dagegen in den anderen Theorien einer besonderen nachträglichen Bestimmung überlassen. Die ursprünglichen elliptischen Werte x, y, z erhalten dadurch kleine Zuwächse dx, öy', dz, so daß die Zusatzstörungsfunktion lautet:

u£l dB ëæ'dx -f- dy'dy + ÿz’àz-

Vielfach ist es bequemer, diese Störungen so zu berücksichtigen, daß man die Zuwüchse da, de . . . benutzt, welche die Sonnenelemente erhalten. Da nun in dem Hauptproblem eine feste Ekliptik als Bezugsebene benutzt wird, so sind die Sonnenelemente, welche die Lage dieser Ebene bestimmen, nicht die instantanen; es ist also noch eine besondere Untersuchung erforderlich, um den Einfluß der Bewegung der Ekliptik auf die Mondbahn zu bestimmen. Die Säkularbeschleunigungen, obwohl aus indirekten Planetenstörungen herrührend, sollen in Nr. 23 besonders behandelt werden.

Umfassende Untersuchungen über die entsprechenden periodischen Ungleichheiten sind zusammen mit den direkten Störungen angestellt von Adams, Newcomb, Brown (siehe Nr. 21 und die dort angegebenen Zitate). Newcomb³⁴) hat das Problem als nochihals gestörtes Dreikörperproblem aufgefaßt. Er bestimmt die Variationsgleichungen der Elemente des Systems, wenn eine äußere störende Kraft wirkt. Er zeigt, wie sich diese in zwei Gruppen teilen lassen, von denen sich die eine hauptsächlich auf die Störungen der Erdbewegung, die andere auf die der Mondbewegung bezieht. Im Verlaufe der Arbeit entdeckt er ein bemerkenswertes Theorem über die Wirkung säkularer Änderungen der Erdbahn auf die Mondbewegung (vgl. Nr. 23).

du

in u und

~dt’ S0

erhält man die Wirkung der Veränderlichkeit der Parameter, indem Störungsfunktion einen Betrag U (Jj^ du — d hinzufügt,

dt

Brown hat bei zwei Gelegenheiten³⁵) den Fall behandelt, daß die Parameter in einem dynamischen Gleichungssystem zeitlich variabel werden; hierunter gehören indirekte Störungen jeder Art. Ist u eine Funktion von t und den Parametern und erzeugen kleine variable Zusätze in diesen Parametern die Zusätze du und d

man zur

wo U eine gewisse Funktion der Zeit und der Parameter ist, die aus dem ursprünglichen Problem gewonnen wird. Man hat dann die Variationsgleichungen für die Integrationskonstanten des ursprünglichen Problems zu bilden und aufzulösen und die gefundenen vari abein Werte der Integrationskonstanten wie der Parameter in die ursprüngliche Lösung zu substituieren. Newcombs erwähntes Theorem wird als ein Spezialfall wiedergefunden. Bei der Anwendung auf die Mondtheorie ergibt sich für langperiodische Terme, wo d² vernachlässigt werden kann, daß der kleine Divisor in der Mondbewegung höchstens im Quadrat auftritt, selbst wenn die entsprechende Ungleichung in der Erdbewegung sein Quadrat enthält.

Eine besondere Untersuchung, die hierunter fällt, ist die Bestimmung des Einflusses, den die Veränderlichkeit der Ebene der Erdbahn auf die Mondbewegung ausübt.

Das Hauptglied, das von der Bewegung der Ekliptik hervorgerufen wird, hat in Breite einen Koeffizienten von 1",4, in Länge von 0",3. Laplace³⁶) hatte dieses Glied für unmerklich gehalten, und erst Hansen³⁷) konnte zeigen, daß, wenn auch kleine, so doch merkliche periodische Glieder entstehen. Später sind nach verschiedenen Methoden die indirekten Planetenstörungen untersucht von Adams³⁸), Lespiault³⁹), A. Cayley⁴⁰), G. B. Airy⁴¹), G. W. Hill¹⁸¹), Radau¹⁸²),

Newcomb⁴²) und Brown¹⁸⁴), der auch, die Wirkungen kleiner periodischer Schwankungen der Ekliptik berücksichtigt.

23. Die säkularen Beschleunigungen. 1693 fand Halley⁴³ 44) bei einer Berechnung alter Finsternisse, daß die mittlere Umlaufszeit des Mondes nicht ganz konstant sein könne. Seither haben verschiedene Autoren (vgl. Nr. 26) dieses Element aus den Beobachtungen hergeleitet mit dem Resultat einer Zunahme der mittleren Länge von 6"ts* bis 13"ts², wo ts die Anzahl der Jahrhunderte ist: der Koeffizient von ta² wird säkulare Beschleunigung genannt. Die letzten sind Newcomb⁴³), der 8" erhält, und Cowell¹⁸¹), der Beschleunigungen von 7" bzw. 2",4 in den Winkelabständen der Sonne vom Mond bzw. vom Mondknoten findet. Die Werte hängen wesentlich von der Bewertung der alten Finsternisberichte ab.⁴⁵)

Als analytisch-dynamische Ursache der Erscheinung entdeckte Laplace⁴⁶) 1786 die Veränderlichkeit von e'; die erste Näherung ergab etwa 10" für diese Störung in guter Übereinstimmung mit der da-maligen Berechnung aus den Beobachtungen. Seine unmittelbaren Nachfolger Plana und Ponte'coulant verfuhren, um die höheren Näherungen zu erlangen, fälschlicherweise so, daß sie die Differentialgleichungen integrierten, als ob e' konstant wäre, und erst nach erfolgter Integration die zeitliche Veränderlichkeit dieses Elementes berücksichtigten; sie erhielten auf diesem Wege nur unwesentliche Änderungen von Laplaces Wert. Erst Adams⁴⁷°) führte, als er eine strenge Berechnung der Säkularbeschleunigung vornahm, richtigermaßen die Veränderlichkeit von e' bereits in die Differentialgleichungen ein und fand auf die Weise andere Terme höherer Ordnung, welche den Laplaceschen (richtigen) ersten Näherungswert auf fast die Hälfte reduzierten. Seine Resultate und Methoden wurden bestritten⁴⁸) von Hansen⁴⁹), Plana

181)    Amer. Ann. math. 1 (1884), p.5—10, 25—31, 52—58 = Works 2, p.64— 79.

182)    Paris Bull. Astr. 9 (1892), p. 363—373.

183)    Carnegie Inst. Publ. 72 (1907), p. 127—132.

184)    Lond. Monthly Not. 68 (1908), p. 450—454; Lond. Astr. Mem. 59 (1908),

p. 46—48.

und de Pontecoulant⁴⁸ 49 50 51 52 53 54), jedoch späterhin bestätigt durch Delaunay¹⁹⁴); der¹⁹⁵)die vollständigste analytische Entwicklung des Koeffizienten der Säkularbeschleunigung gegeben hat, Plana⁵³), Cayley¹⁹¹), Lubbock⁵⁵) und P. Puiseux⁵⁶ 57 58 59 60 61). Weitere numerische Bestimmungen sind dann noch von Newcomb²⁶⁶), Brown²⁶¹), Andoyer²⁰²) und v. Brunn²⁶⁶) durchgeführt worden. Laplace²⁶¹) konnte nun zeigen, daß, ebenfalls wegen der säkularen Veränderlichkeit der Erdexzentrizität, auch die mittleren Bewegungen von Apsiden und Knotenlinie Beschleunigungen erfahren, und gab das Verhältnis der Werte dieser beiden Beschleunigungen an. Er hat für beide die ersten (gleichen) Näherungswerte gegeben. Weiterhin haben dann auch die meisten der vorerwähnten Autoren Werte dafür erhalten.

Die älteren Methoden zur Berechnung der Säkularakzelerationen sind bei größeren Genauigkeitsansprüchen sehr mühsam. Die meisten der erwähnten Autoren, die überhaupt korrekt rechneten, haben sich mit den ersten zwei oder drei Gliedern nach m begnügt. Belaunay hat indessen nach seiner Methode eine allgemeine Entwicklung gegeben, die nach einer Korrektur durch Andoyer²⁶²) noch die genaueste in dieser Form ist. Die Rechenarbeit ist durch die Theoreme von Newcomb und Brown einfach geworden. Newcomb⁶²) zeigte, daß, wenn die Werte der Koordinaten im Hauptproblem durch Delaunays End werte von L, G, H (vgl. Nr. 15) ausgedrückt werden, der variable

d²P

de.

dn =

Wert von e' für den konstanten Wert eingesetzt werden darf, wo immer er in diesen Ausdrücken auftritt. Wenn dann L, G, H durch n, e, Y, e ausgedrückt werden, so können die Änderungen von n, e, Y aus denen von e gefunden werden mittels der Bedingung:

dn +    +

und zweier ähnlicher für d G und d H. Die Säkularänderungen der mittleren Bewegung, des Perigäums und des Knoten werden dann gegeben durch

O = óL =

bl

dn

dLdY+j^de'

dY

Jdndt, J ÖTtdt, fdddt,

wo % und 6 die mittleren Bewegungen von Perigäum und Knoten sind. Brown⁶³) zeigte ferner: Wenn aP das konstante Glied in der schließlichen trignometrischen Entwicklung von ajr im Hauptproblem ist, und wenn p₂, pz die kanonischen Konstanten aus Nr. 10b sind, dann können bei Vernachlässigung von (a/a)⁶⁴ — das nur unmerkliche Glieder gibt — die Veränderungen von n, e, Y aus den drei Gleichungen erhalten werden:

dn

dQ

wo:

⁸ = ÖnL + 8eTe + 8YW + Öe'L

d oc

du

0 = n, e, y)

e’>

p₂, pz läßt sich direkt finden (vgl. Nr. 11). Da P die. ersten Potenzen von e², Y² nicht enthält und p₂, p₂ bzw. diese Faktoren enthalten, so wird speziell der Teil von dn, der nur von m und de abhängt, gleich: a*p

dn²

Durch Kombination der allgemeinen Entwicklungen mit seiner halbnumerischen Theorie findet er⁶⁵), mit de' = — [6,5968 — 10] im Jahrhundert und unter Berücksichtigung eines Terms zweiter Ordnung⁶⁶) (vgl. Nr. 24), für die totalen Säkularbescbleunigungen mittl. Bewegung 6",02 + 0",02; Perigäum — 38",2 + 0",1; Knoten 6",36 + 0",02,

wobei die Fehler die größtmöglichen aus allen bekannten Unvollkommenheiten der Mondtheorie hervorgehenden sind. Die Werte stimmen innerhalb 0",2 mit den erwähnten von Delaunay-Andoyer,

Newcomb und v. Brunn überein, wenn der angeführte Newcombsche Wert²¹⁰) von de benutzt wird.

Es bleibt demnach, wenn man die mittlere Länge durch

nt + £ + ⁶"°Idö

darstellt (t in Jahren gerechnet), eine Differenz von 2" in dem mit t² multiplizierten Gliede zwischen Theorie und Beobachtung bestehen. Versuche, diese Differenz aus der Gravitationstheorie allein zu erklären, hat V. Puiseux²¹¹) gemacht, indem er die höheren Glieder, die von t³, ft abhängen, und den Einfluß der Säkularänderung der Ekliptik²¹⁰) prüfte; er fand diese Einflüsse unmerklich innerhalb historischer Zeiträume. Zum gleichen Resultat gelangt v. Brunn211 a), der für Erdexzentrizität und -perihellänge statt der säkularen die langperiodische Form einführt. A. Weiler²¹²) glaubte, daß die Figur der Erde die Differenz erklären könnte, aber Seeliger⁶⁷ 68) und Hill2U) zeigten, daß dadurch keine Glieder der erforderten Art hervorgebracht werden können; diese Berichtigung wurde dann von Weiler selbst vollkommen bestätigt.⁶⁹)

Die Differenzen zwischen Theorie und Beobachtung werden jetzt meist auf die Wirkung der Flutreibung geschoben, die die Umdrehungsdauer der Erde (unser Zeitmaß) und die mittlere Bewegung des Mondes ändert. P. H. Cowell⁷⁰ 71) glaubt auch an eine Beschleunigung der mittleren Länge der Erde; aber die von ihm gefundenen Abweichungen können ebenso gut unbekannten Änderungen der mittleren Länge des Mondes und seines Knotens zur Last fallen.

24. Störungen zweiter Ordnung. In den Kümmern 20—23 sind allein Glieder von erster Ordnung in den störenden Kräften betrachtet; die aus den Quadraten und Produkten der störenden Kräfte entspringenden Glieder studiert Brown²¹¹). Es zeigt sich, daß die kleinen Divisoren in dieser zweiten Näherung im allgemeinen nicht in höherer Ordnung auftreten als in der ersten. Es ergeben sich einige langperiodische Terme mit kleinen Koeffizienten.

210)    Wash. Astr. Pap. 6 (1895), p. 9.

211)    Paris Mém. div. Sav. 21 (1875), p. 263—391.

211a) Diss. Göttingen 1905.

212)    Astr. Nachr. 90 (1877), col. 369—82; 91 (1878), col. 1—12, 17—30,

33—48.

Eine von Stockwell⁷² 73 74 75) zuerst bemerkte säkulare Änderung ergibt sich aus der Kombination der Bewegung der Ekliptik mit Termen, die der Abplattung der Erde entspringen. Brown²¹²) findet als Zusätze zu den Säkularbewegungen der mittleren Länge, des Perigäums und des Knotens bzw. -j- 0",20, -f- 0",11, — 0",10.

wähnen :

25. Andere mögliche störende Ursachen²¹⁶).

Es sind zu er

a) Die Annahme, daß der Exponent des Attraktionsgesetzes nicht streng = — 2, sondern = — 2 — d ist (Halls216a) Hypothese). Der Wert d = 0,00000015 würde die bekannte Anomalie in der Perihelbewegung des Merkur erklären, ohne die Übereinstimmung von Theorie und Beobachtung bei den übrigen Planeten zu stören217a). Die gleiche Annahme würde in der Mondtheorie eine Vermehrung der jährlichen mittleren Apsidenbewegung um 1",5 hervorbringen, ohne die Knotenbewegung merklich zu beeinflussen. Hansens Theorie zeigt in der Apsidenbewegung gerade diese Differenz²¹⁸⁴), welche Hansen selbst einem Unterschied zwischen Schwerpunkt und Figurmittelpunkt zuschrieb²¹⁹³'), aber er findet gleichzeitig auch eine Differenz in der Knotenbewegung von —2",86. Browns⁷⁶) Rechnungen haben endlich gezeigt, daß die theoretischen mittleren Bewegungen mit dem Beobachteten innerhalb 0",3 übereinstimmen, so daß d keinesfalls größer sein kann als 0,00000004. Vgl. Fußn. 233 a).

¹

   Amer. Journ. Math. 14 (1892), p. 141—160; Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 52 (1892), p. 71—80.

²

   Amer. Journ. Math. 15 (1893), p. 244—263; 321—338.

³

   Astron. Journ. 15 (1895), col. 136—143 = Works 4, p. 78—93. Moulton [Trans. Amer. math. Soc. 7 (1906), p. 537—571], der Polarkoordinaten gebraucht, erhält sie analytisch mit großer Genauigkeit. Vgl. auch Brendel (Nr. 18).

⁴

   Ein kleiner Fehler Hills in der Reduktion von Broivns Resultaten bewirkte, daß die Korrektionen groß zu sein schienen; Hills endgültige Resultate

⁵

Bind aber trotzdem korrekt.

⁶

   Amer. Journ. Math. 18 (1896), p. 99—127.

⁷

   Astr. Journ. 20 (1899), p. 115—124 = Works 4, p. 153—168.

⁸

   Fac. Toul. Ann. 6 (1892) J; 7 (1893) E.

⁹

   Investigations, Amer. Journ. Math. 17 (1895), p. 318—358.

¹⁰

   Theory of the Motion of the Moon, siehe das eingangs gegebene Verzeichnis von Monographieen. Eine andere Darstellung gibt Poincaré, Leçons de Méc. cél. 2, chap. 24—28.

¹¹

   Amer. Journ. Math. 1 (1877), p. 248 — Works 1, p. 324.

¹²

   Die Endergebnisse finden sich in Lond. Astr. Soc. Mein. 57 (1905),

¹³

Hansen, Fundamenta, Sect. IV, Sachs. Ges. Abh. 2 (1855), p. 181—281; 283—376. Siehe auch Cayley, Lond. Astr. Soc. Mem. 27 (1859), p. 69—95; 28 (1860), p. 187—215; 29 (1861), p. 191—306 == Works 3, p. 293—318, 319—343,. 360—474.

¹⁴

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 40 (1880), p. 8—10.

¹⁵

   Wasb. Astr. Pap. 1 (1880), p. 57—107. Hierher gehört auch eine Arbeit von Cowell (Lond. Monthly Not. 64 (1904), p. 159—168) der die Hansen-schen Tafelformeln, welche von den theoretischen Formeln verschieden sind, umgeformt hat.

¹⁶

   Eine Übersicht über die „Fundamenta“ und „Darlegung“ hat E. W. Brown, Treatise chap. 10, gegeben. Tisserand, Méc. cél. 3, chap. 17, gibt ebensolche für die „Darlegung“. Weitere Auseinandersetzungen von Hansens Methode findet man bei Hansen, Astr. Nachr. 15 (1838), p. 201—216; 18 (1841), p. 237— 288; 19 (1842), p. 33—92; Delaunay, Journ. des Sav. 1858, p. 16—17. Eine Vergleichung der Theorien von Clairaut, Hansen, Oppolzer, Gyldén gibt li. Badau, Paris Bull. astr. 3 (1886), p. 433—449; 475—487. Siehe auch B. Badau, Bull, des Sc. math., sér. II, 5 (1881), p. 270—295; Scheibner, Sachs. Ges. Abh. 25 (1899), p. 131—156; Encycl. VI 2.

¹⁷

   Wien. Denkschr. 51 (1886), p. 69—105; 54 (1888), p. 59—244; letzteres von B. Schramm herausgegeben. Eine frühere Abhandlung bezieht sich hauptsächlich auf die Planetentheorie.

¹⁸

   Zusammenfassungen und Auseinandersetzungen der Theorie sind gegeben worden durch R. Radau, Bull, des Sc. math., sér. II, 5 (1881) p. 270—295 und A. Weiler, Astr. Nachr. 106 (1883), p. 65—76 und Astr. Ges. Yjs. 35 (1900), p. 319—322.

¹⁹

   Theoria motus Lunae, St. Petersburg 1753.

²⁰

   Fast alle früheren Behandlungen kranken daran, daß diese Überlegung nicht berücksichtigt worden ist.

²¹

   Wash. Astr. Pap. 3 (1891), p. 390 = works 2, p. 336. Eine Skizze davon gibt JB. Radau, Paris Bull. astr. 9 (1892), p. 361 —63.

²²

   Paris Obs. Mém. 21 (1895) B, p. 35—36.

²³

   Wash. Astr. Pap. 5 (1894), p. 211—212; Carnegie Inst. Publ 72, chap. 2.

²⁴

Adams Prize Essay, Cambridge 1908, p. 10. Die verbesserte endgültige Form findet sich in Lond. Astr. Mem. 59 (1908), p. 14, wo die Transformation von ps auf e, V, gegeben ist.

²⁵

   Méc. cél. Livre 7, chap. 2; Livre 16, chap. 3; Paris Inst, .(math.) mém. 3 (1801), p. 198—206; Conn. des Temps pour 1823, p. 219—225; 332—35 (eine Neuberechnung der Resultate in der Méc. cél.); ibid. 232—239 — Oeuvres 13, p. 189—197, 205—212, 221—228 (der Anteil, der von der eventuellen Verschiedenheit der Hemisphären herrührt).

²⁶

   Système du monde 4, chap. 4.

²⁷

   Darlegung usw., Leipzig Ges. Wiss. Abhdl. 6 (1864), p. 459—474; ibid. 7 (1865), p. 273—322.

²⁸

   Wash. Astron. Papers 3 (1884), p. 201—344 = works 2, p. 179—320.

²⁹

   Lond. Monthly Not. 68 (1908), p. 454—455; Lond. Astr. Mem. 59 (1908), p. 78—80. Eine Verbesserung in Lond. Monthly Not. 70 (1910), p. 3.

160‘) Méc. Cél. Liv. 7, Nr. 21.

160b) Lond. Astron. Mém. 59 (1908), p. 80—81.

³⁰

   Amer. Journ. Math. 6 (1883), p. 115—130 — Works 2, p. 47—63.

Encyklop. d. math. Wissenach. VI 2.

³¹

   In diesem Zusammenhänge sei, als speziell auf die Mondtheorie bezüglich, für die Berechnung von Ungleichheiten hoher Ordnung verwiesen auf: Flamme, Diss. Paris 1887; 0. Callandreau, Paris C. R. 115 (1892), p. 386—89; École pol. Journ., sér. II, 7 (1902), p. 29—99; M. Hamy, Paris Bull. astr. 10 (1893), p. 41—56, 84—92.

162a) Gogou, Obs. de Paris ann. mém. 17 (1883) A 1—101, zeigt, daß de^ Koeffizient von 7",55, den E.Neison (Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 38 (1878) p. 49—53) einer von Mars herrührenden Ungleichheit zuschreibt, in Wirklichkeit unmerkbar ist; er erklärt den Irrtum in Lond. Astr. Soc. Mena. 48 (1885), p. 419—437.

162b) Diese Störung wurde von Hansen entdeckt, Astr. Nachr. 25 (1847), p. 325—332, Paris C. R. 24 (1847), p. 795—99; Lond. Astr. Soc. Mem. 16 (1847), p. 465—476, der für den Koeffizienten zu verschiedenen Zeiten die Werte 16", 27", 23" fand. Dieser ist genau berechnet worden von Delaunay, Conn. des Temps, pour 1862, Addition, p. 3—58, und von Tisserand, Paris 0 R. 113 (1891), p.5—9. Für eine andere Ungleichheit von 239 jähriger Periode gab Hansen den Koeffizienten 23" an, Delaunay hat jedoch gezeigt, daß derselbe in Wirklichkeit <[ 0",3 ist: Paris C. R. 49 (1859), p. 923—27, Conn. des Temps pour 1863, Add., p. 1—56; siehe auch Hamy, JRadau, Neiccomb, Brown, Fußn. 162, 153,154,155,160.

³²

   Entdeckt durch eine Analyse der Beobachtungen von Neiccomb, Trans. Venus Pap. 3 (1876) und erklärt von Neison (= Nevill), Lond. Monthly Not. 37

³³

   Lond. Astr. Mem. 59 (1908), p. 94—103. In Lond. Montly Not. 68 (1908), p. 148—170 wird mit den von Radau und Newcomb berechneten Formen verglichen, und es werden die meisten Unstimmigkeiten aufgeklärt.

³⁴

   Wash. Astr. Pap. 5 (1894), p. 105—203. Die Methode dieser Abhandlung ist kurz dargestellt und vervollständigt von E. W. Brown, Lond. Math. Proc. 28 (1897), p. 130—142. Es ist dabei in § X ein kleiner Irrtum untergelaufen; siehe E. T. Whittacker, Brit. Ass. Eep. 1899, p. 156.

³⁵

   Trans. Amer. Math. Soc. 4 (1903), p. 333—350; 6 (1905), p. 332—343. Der Beweis in Art. 17 des ersten Aufsatzes ist falsch; oben ist auf den zweiten Bezug genommen.

³⁶

   Méc. cél. Livre 7, Nr. 3.

³⁷

   Astr. Nachr. 29 (1849), p. 193—196; Darlegung (1860), p. 118—120,

480—91.

³⁸

   In Artikel 113 von Godfray, Lunar theory (1. Ed. 1853); Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 41 (1881), p. 385—403 = Works I, p. 231—52.

³⁹

   Bordeaux phys. mém. 2 (1861), p 7—58.

⁴⁰

   Lond. Astr. Soc. Mem. 31 (1863), p. 43—56 = Works 3, p. 505—15.

⁴¹

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 41 (1881), p. 264—71, 375.

⁴²

   Lond. Phil. Trans. 17 (1693), p. 913—921.

⁴³

   Lond. Monthly Not. 69 (1909), p. 167.

⁴⁴

   Lond. Monthly Not. 66 (1906), p. 352.

⁴⁵

   Wichtig hierfür sind Arbeiten von J. K. Fotheringham, in den Lond. Monthly Not. 69 (1909).

⁴⁶

   Paris Inst. Mém. 2 (1788), p. 126—182 = Works 11 (Ed. 1895), p. 243—271.

⁴⁷

   Lond. Phil. Trans. 143 (1853), p 397—406 = Works 1, p. 140—157; Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 40 (1880), p. 472—482 = Works 1, p. 211—223; Works 2, p. 120—29, 237—38.

⁴⁸

   Die Diskussion wurde hauptsächlich geführt in Paris C. R. und Lond. Astr. Soc. Monthly Not. von 1859—66. Ihre Geschichte ist zusammengefaßt worden von Delaunay, Conn. des Temps 1864, Add. p. 21—68; Glaisher, Adams Works 1, p. XXXV—XXXIX, Tisserand, Méc. cél. 3, chap. 13, 19.

⁴⁹

   Hansen gibt schließlich die Richtigkeit von Adams Theorie zu, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 26 (1866), p. 173.

⁵⁰

   Paris C. R. 48 (1859), p. 137—8, 817—827; 49 (1859), p. 309—14; Conn. des Temps 1862 App., p. 59—68; 1864 Add., p. 21—68.

⁵¹

   Paris C. R. 72 (1871), p. 495—96. Teile davon sind geprüft von Andoyer.

⁵²

   Ib. 74 (1872), p. 152—3.

⁵³

197)    Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 22 (1862), p. 173—228 = Works 3,

⁵⁴

p. 522—561.

⁵⁵

   Lond. Astr. Soc. Mem. 30 (1862), p. 38—52.

⁵⁶

   Paris Éc. norm. ann. 8 (1879), p. 361—444.

⁵⁷

   Carnegie Inst. Publ. 72, p. 119.

⁵⁸

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 57 (1897), p. 342—349.

⁵⁹

   Paris C. R. 135 (1902), p. 432.

⁶⁰

   Die Säkularbeschleunigung des Mondes, Diss., Göttingen 1905.

⁶¹

   Paris Inst, (math.) mém. 2 (1799), p. 126—182 = Oeuvres 12, p. 191— 234; Conn. des Temps 1800, p. 362—378 = Oeuvres 13 (Ed. 1895), p. 3—4.

⁶²

   Wash. Astr. Pap. 5 (1894), p. 191.

⁶³

Lond. Math. Proc. 28 (1896), p. 154.

⁶⁴

208)    Lond. Month. Not. 57 (1897), p. 342—349; Lond. Astr. Mem. 59 (1908),

⁶⁵

p. 56. Andoyer erhält denselben Wert, siehe Fußnote 202.

⁶⁶

   Lond. Month. Not. 70 (1909), p. 148.

⁶⁷

   Ibid. 91 (1878), col. 193—206.

⁶⁸

   Ibid., col. 251—54 = Works 1, p. 282—283.

⁶⁹

   Ibid. 92 (1878), col. 289—300, 305—318, 321—328.

⁷⁰

   Lond. Montb. Not. 66 (1906), p. 3—5.

⁷¹

   Lond. Astr. Mem. 59 (1908), p. 82—93.

⁷²

   Theory of the moons motion, Philadelphia 1881, p. 363. Er setzt die veränderliche Neigung statt der konstanten in die fertige Lösung. Der theoretische Fehler macht in diesem Falle praktisch fast nichts aus.

⁷³

   Lond. Month. Not. 70 (1909), p. 143—148.

216a) Vgl. auch den Artikel VI 2 (Oppenheim).

217a) Newcorrib, Astronomical Constants, Washington 1895, p. 119.

218a) Hansen [Astr. Nachr. 19 (1842), col. 191—198] sagt, daß ein Fehler von 0",1 in der Evection einen solchen von 1",47 in der jährlichen Apsidenbewegung hervorbringt und Wand [Astr. Nachr. 126 (1891), col. 129—138] stellt fest, daß die Koeffizienten der periodischen Terme bei Hansen nicht zuverlässig genug sind, um die Apsidenbewegung auf mehr als 2" genau garantieren zu können.

219a) Lond. Astr. Soc. Mem. 24 (1856), p. 29—89; Darlegung, p. 175, 474—479; Newcomb [Phil. Mag. (4) 37 (1869), p. 32—35] ist der Meinung, daß die Korrektion unberechtigt ist. Aber seine Argumente wurden von Hansen nicht anerkannt, Leipz. Ber. 23 (1871), p. 1—12.

⁷⁴

Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 63 (1903), p. 396—397. Eine frühere

⁷⁵

Diskussion des Gegenstandes durch den gleichen Autor findet sich ibid. 57 (1897),

⁷⁶

p. 332—341. Siehe auch P. H. Cowell, ibid. 65 (1905), p. 275.

lb) Eine Änderung der Periode der Erdrotation infolge der Gre-

zeitenreibung¹), säkulare Kontraktion des Erdkörpers oder Massenzuwachs durch herabfallende Meteore²). Es ist möglich, daß die beiden erstgenannten Ursachen merkbare Änderungen hervorbringen³ 4), dagegen ist es unwahrscheinlich, daß die letztere eine beobachtbare Wirkung haben kann.

c)    Der Einfluß eines widerstehenden Mittels ist höchstwahrscheinlich zu klein, um sich in den Beobachtungen bemerkbar zu machen.

d)    Eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schwerkraft nach irgendeinem wahrscheinlichen Gesetz wird schwerlich imstande sein, die Mondbewegung merklich zu beeinflussen, ohne zugleich auf die Planetenbewegung mehr, als es die Erfahrung zuläßt, einzuwirken ⁵).

e)    Elektrodynamische Theorien der Gravitation und das Relativitätsprinzip. Diese würden sich wahrscheinlich nur in den Bewegungen des Knotens und der Apsidenlinie äußern.

Die einzigen annehmbaren Erklärungen für die Unstimmigkeiten bei der Säkularbeschleunigung dürften die beiden ersten unter b) genannten Ursachen sein.

Brown⁶ 7) hat sich auch bemüht, Newcombs langperiodische empirische Terme (vgl. Nr. 26) zu erklären. Magnetische Kräfte hält er trotz anderer Andeutungen magnetischer Wirkungen für unwahrscheinlich. Eine mögliche Wirkung der Mondlibration bleibt aus Mangel an Beobachtungsmaterial noch offen. Eine nahe Koinzidenz zwischen der Sonnenrotation und dem drakonitischen Monat würde genügen, wenn die Sonne eine Abplattung von ¹/mo hätte. D. St. Blancatm) prüft die Wirkung eines etwaigen intramerkuriellen Planeten, dessen Masse aber dann der des Merkur vergleichbar angenommen werden müßte.

26. Der gegenwärtige Stand der Mondtheorie. Eine zusammen-fassende Darstellung vom gegenwärtigen Stande der Mondtheorie geben Tisserand⁸) und Newcomb⁹ 10 11). Die vollständigste theoretische Bestimmung der Mondbahn, die zum Vergleich mit der Beobachtung zur Verfügung steht, ist noch immer die von Hansen (Nr. 17), wenn man folgende Korrektionen daran anbringt: (1) eine Ungleichheit von 239 Jahre Periode und von 21",47 Amplitude in Abzug bringt (Nr. 21), deren Koeffizient in Wahrheit nur 0",3 beträgt;

(2)    statt des empirischen Wertes von 12",2 für die Säkularbeschleunigung, den Hansen verwendet, den theoretischen von 6",0 einsetzt;

eingehenden Untersuchen veranlaßt haben. Folgende

zu

(3)    kleine Änderungen der Konstanten vornimmt, die teils von den Änderungen (1) und (2) und von eingeführten empirischen Termen herrühren, teils von den modernen Beobachtungen gefordert werden; und (4) einen oder zwei kleine zufällige Fehler berichtigt. Indeß ist es nicht vollkommen sicher, in welchem Umfange empirische Daten in die Theorie eingeführt sind (vgl. Nr. 17). Immerhin bleiben, wenn man Hansens Resultate nach Anbringung der oben erwähnten Korrektionen als den gegenwärtigen Stand der eigentlichen Theorie des Mondes gelten läßt, eine Reihe nicht unerheblicher Differenzen zwischen Theorie und Beobachtungen, die New comb ²³°), Tisserand™), Neison¹² 13 14) und Coivell²⁵³)

empirischen Korrektionen nach Newcomb scheinen die Beobachtungen seit 1620 am besten darzustellen: 1. Eine Ungleichung mit einem Koeffizienten von ungefähr 13" und einer Periode von 270 Jahren, die aber gegen das langperiodische Venusglied eine Phasenverschiebung von etwa 60° zeigt. 2. Eine Ungleichheit von 2—3" Amplitude und der Periode von 60—70 Jahren. 3. Einige Terme kurzer Periode mit Koeffizienten bis an 1". Ein Grund für diese Abweichungen ist nicht bekannt (vgl. Nr. 25).

Eine ausführliche Vergleichung zwischen Theorie und Beobachtung hat Cowellm) unternommen, der die verbleibenden Differenzen auf Glieder von der Periode vorgegebener theoretischer Terme geprüft und so deren Koeffizienten empirisch bestimmt hat. Die Verifikation von etwa 300 Koeffizienten bestätigt die allgemeine Verläßlichkeit der theoretischen Werte.¹³“)

Vollständige Vergleichungen der Resultate verschiedener moderner Theorien sind ausgeführt von Newcomb und Maier¹⁵ 16 17), die Hansem Theorie in Belaunays Form überführten und mit letzterer verglichen; von Cowell¹⁸ 19), der die Terme in Hansem Tafeln in ähnlicher Weise transformierte; und von Brown™), der die Koeffizienten seiner Theorie im Hauptproblem mit denen von Hansen und²⁰) in den planetaren Gliedern mit denen von Radau und Newcomb verglich. Eine teilweise Vergleichung der Resultate seiner noch unpublizierten Theorie mit Hansen und Brown führte E. Nevill²¹) aus.

27. Tafeln der Mondbewegung. Clairaut²²*⁰) war der erste, der Tafeln zur Berechnung des Mondortes zu jeder beliebigen Zeit angab, die allein auf die Gravitationstheorie gegründet waren; sie wurden in verbesserter Gestalt 1765 ²³) neu herausgegeben. Auch Euler²⁴ 25 26) brachte seine Ergebnisse in Tabellenform. Eine eigenartige Stellung nehmen die Tafeln von Tobias Mayer²⁷) ein, indem für ihre Herstellung die Argumente aus der Theorie hergenommen, die Koeffizienten jedoch aus einer größeren Reihe von Beobachtungen bestimmt wurden ; sie sind späterhin unter Benutzung der inzwischen zahlreich angehäuften Beobachtungen verbessert worden von C. Mason2U), J. T. Burg²⁴⁵) , J. JK. BurcJchardt²⁴⁶). Damoiseau²⁴⁷) hat auf Grund seiner Theorie Mondtafeln veröffentlicht, die, neben denen Burckhardts, bis zum Erscheinen der Hansemchen am meisten im Gebrauch waren. Die Tafeln Hansem endlich²⁴⁸) mit den von Newcomb für dieselben angegebenen Korrektionen²⁴⁹) liegen allen Mondephemeriden bis auf den heutigen Tag zugrunde.

Auch nach Dianas Theorie sind nach Anbringung einiger Korrektionen von B. Feircem) Tafeln gerechnet worden.

Tafeln, die unter R. Radaus Leitung aus Delaunays Theorie mit Verbesserungen und Zusätzen aus verschiedenen Quellen konstruiert sind²⁵¹), werden zukünftig für die Mondephemeride der Connaissance des Temps gebracht werden. JE. W. Brown hat Tafeln auf Grund seiner Theorie in Arbeit (Nr. 16).

244)    London 1787.

245)    Paris 1806.

246)    Paris 1812.

247)    Tables de la Lune, Paris 1828.

248)    Tables de la Lune, London 1857.

249)    Corrections to Hansen & Tables etc., Papers publ. by Venus Commission Pt. III, p. 1—51.

250)    Washington 1853/4.

251)    Paris 1911.

(Abgeschlossen Juli 1914.)

VI2,15. THEORIE DER PLANETEN.

Von

KARL F. SUNDMAN

IN HELSINGFOKS

Inhaltsübersicht.

Einleitung.

1.    Numerische Verhältnisse.

2.    Die Differentialgleichungen der Bewegung.

3.    Die erste Annäherung. Das Zweikörperproblem.

4.    Die Störungen.

I. Die Methode der Variation der Konstanten.

5.    Anwendungsweise der Methode in der Störungstheorie.

6,    7. Die Methode der Variation der elliptischen Elemente. Differentialgleichungen.

8.    Integration.

9.    Verschiedene Arten von Gliedern und deren Klassifikation.

10.    Säkulare Störungen.

11,    12. Angenäherte Berechnung der säkularen Werte der Elemente.

13.    Die säkularen Störungen der kleinen Planeten.

14.    Säkulare Glieder höheren Grades.

15.    Berücksichtigung der säkularen und langperiodischen Störungen in den periodischen Gliedern.

16.    Langperiodische Glieder.

17.    Die Lücken in den mittleren Bewegungen der kleinen Planeten. Libration.

18.    Die Methode von Poincaré.

II. Die Hansensche Methode.

19.    Vorbemerkung.

20.    Die Hansenschen beweglichen Koordinaten. Ideale Koordinaten.

21.    Die Differentialgleichungen der Bewegung in der instantanen Bahnebene.

22.    Die Differentialgleichungen für die Bewegung der Bahnebene und die Lage der ic-Achse.

23.    Differentialgleichungen zur Bestimmung des Radiusvektors und der mittleren Anomalie.

24.    Bestimmung der Funktion W.

25.    Bestimmung der Breite.

26.    Weitere Ausführung der Methode.

27.    Integration mit der Zeit als unabhängiger Veränderlichen.

28.    Die exzentrische Anomalie als unabhängige Veränderliche.

III. Koordinatenstörnngen.

29.    Störungen der rechtwinkeligen Koordinaten.

30.    Störungen der polaren Koordinaten.

IV. Theorie von Gyldén.

31.    Vorbemerkung.

32.    Differentialgleichungen der Gyldénschen Koordinaten.

33.    Zerlegung der' Variablen.

34.    Entwicklung der Größen P, Q und B. Fundamentale Entwicklung.

35.    Diastematische Entwicklung.

36.    Einteilung der Glieder.

37.    Integration.

38.    Integration der elementaren und charakteristischen Glieder.

39.    Spezielle Ausarbeitungen und Anwendungen der Gyldénschen Methode. Methode von Brendel.

V. Verschiedene Methoden.

40.    Methode von Backlund.

41.    Die Jupitergruppe.

42.    Angenäherte Störungen.

Literatur.

Lehrbücher und Monographien.

P. S. Laplace, Traité de mécanique céleste I—V. Paris 1799—1827. (Cit. : méc. cél.) P. G. de Pontécoulant, Théorie analytique du système du monde I, III. Paris 1829—1834.

P. A. Hansen, Untersuchung über die gegenseitigen Störungen des Jupiters und Saturns. Berlin 1831.

U. J. J. Leverrier, Recherches astronomiques. Annales de l’Observatoire de Paris, 1855—1877.

P. A. Hansen, Auseinandersetzung einer zweckmäßigen Methode zur Berechnung der absoluten Störungen der kleinen Planeten. Abh. I—II—III. — Abh. d. K. S. Ges. d. Wiss. III—IV—V. Leipzig 1857—1861.

J. F. Encke, Über die allgemeinen Störungen der Planeten. Berliner Astr. Jahrbuch für 1857, Berlin 1854.

H. Besal, Traité élémentaire de mécanique céleste, 2e édition. Paris 1884.

O. Dziobek, Die mathematischen Theorien der Planetenbewegungen. Leipzig 1888. F. Tisserand, Traité de mécanique céleste I, IV. Paris 1889, 1896.

H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste I—III. Paris 1892—1899.

O. Backlund, Über die Bewegung einer gewissen Gruppe der kleinen Planeten. Mém. de l’Acad. de St. Pétersbourg, VIIe Ser., 38 Kr. 4. St. Petersburg 1892.

H. Gyldén, Traité analytique des orbites absolues des huit planètes principales I. Stockholm 1893, II. 1909.

K. Bohlin, Formeln und Tafeln zur gruppenweisen Berechnung der allgemeinen Störungen benachbarter Planeten. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ser. III. Upsala 1896.

N. Herz, Artikel „Mechanik des Himmels“ in Valentiners Handwörterbuch der Astronomie. Breslau 1898.

M. Brendel, Theorie der kleinen Planeten I—IV. Abh. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen. Neue Folge I, VI, VIII. Berlin 1898—1911.

F. li. Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics. New York 1902.

C. V. L. Charlier, Die Mechanik des Himmels I, II. Leipzig 1902, 1907.

H. Poincaré, Leçons de mécanique céleste I. Paris 1905.

1. Numerische Verhältnisse. Da eine strenge und allgemeine Lösung des Problems der Planetenbewegung nicht gelungen ist, mußte man für praktische Zwecke geeignete Annäherungsmethoden suchen. Dabei sind gewisse rein numerische Verhältnisse im Sonnensystem von wesentlicher Bedeutung. Es seien daher einige solche angeführt.

Nach ihrer Größe teilt man die unsere Sonne umkreisenden Planeten in zwei Gruppen: große oder Hauptplaneten und kleine Planeten (Asteroiden oder Planetoiden). Zurzeit sind 8 Hauptplaneten bekannt, und zwar Merkur ($>), Venus (Ç), Erde (J), Mars (cf), Jupiter (4), Saturn (Ti), Uranus (0) und Neptun (£). Die Anzahl der Entdeckungen von Asteroiden in dem letzten Jahrhundert geht aus folgender Tafel hervor :

Anzahl

Jahre

Jahre

Anzahl

1801-1807

1808—1844

1845—1850

1851—1855

1856—1860

1861-1865

1866—1870

03 03 03

''T O 05 iß CO t-

1871—1875

1876—1880

1881—1885

1886—1890

1891—1895

1896—1900

45

62

34

49

107

54.

Bis zum Jahre 1912 sind zusammen etwa 750 Asteroiden gefunden worden. Um in einfacher Weise diese zu unterscheiden, wird jedem nach Vorschlag von Encke außer einem Namen eine in einen Kreis oder durch eine Parenthese eingeschlossene Nummer beigelegt, z. B. (108) Hekuba, (153) Hilda.

Nach J. Bauschingerr) seien hier die Logarithmen der großen Halbachsen (a), mittlere tägliche Bewegung (n), Exzentrizitätswinkel

1) J. Bauschinger, Tafeln zur theoretischen Astronomie, Leipzig 1901. — Veröffentl. d. Kgl. Astr. Recheninstituts Nr. 16, Berlin 1901.

48

Eucyklop. d. math. Wissensoh. VI 2.

(e — sin qp), Neigung gegen die Ekliptik (i) und die Masse (m) für die Hauptplaneten und einige typische Asteroiden angeführt.²)

Epoche

log a

9>

14732".4 5767".7 3548".2 1886".5 883".7 617".4 452".2 403".2 299".l 120".5 42".23 21".53

11°52' 0°23' 0°58' 5°21' 9°28' 5°54' 9° 44' 4°43' 2°46' 3°13' 2°42' 0°29'

Merkur Venus Erde Mars

(46) Hestia (108) Hekuba (153) Hilda (279) Thule Jupiter Saturn Uranus Neptun

Die Bahnen der Asteroiden liegen zwischen Mars und Jupiter. Ausnahmen sind (433) Eros, dessen Bahn teilweise innerhalb der Marshahn liegt, und die vier Asteroiden der sog. Jupitergruppe, deren Bahnen nahe dieselbe große Achse haben wie die Jupiterbahn. Die Bahnen der großen Planeten haben, Merkur ausgenommen, kleine Exzentrizitäten und Neigungen. Dagegen kommen bei den Asteroiden Exzentrizitäten bis 0.4 und Neigungen bis 35° vor.

Die Massen der Asteroiden sind sehr klein. Nach Bauschinger¹) dürfte die Summe der Massen aller Asteroiden nicht mehr als der Sonnenmasse betragen, und von dieser Gesamtsumme kommt die Hälfte auf Vesta und Ceres allein. Die Einwirkung eines Asteroiden auf die übrigen Planeten ist daher unmerklich. Nur wenn zwei Asteroiden einander sehr nahe kommen, ist eine merkbare Einwirkung möglich. Unter den vielen Untersuchungen über die kleinsten Abstände (Proximitäten) zwischen den Asteroiden sei nur diejenige von A. Galle³'') angeführt, welcher Abstände bis zu ^ der großen Halbachse der Erdbahn herab findet.

1900.0

1900.0

1900.0

1900.0

1865.0

1878.9

1884.0

1891.1

1850.0

1850.0

1900.0

1900.0

9.5878

9.8593

0.0000

0.1829

0.4025

0.5063

0.5965

0.6297

0.7162

0.9795

1.2831

1.4781

7° 0' 3°24' 0° 0' 1⁰51' 2°18' 4° 24' 7°53' 2°23' 1°19' 2°30' 0°46' 1⁰47'

6000000 408000 329390 3 093 500

1047.355

3501.6

22869

19700

296 000 ÖÖÖ

2)    Vollständige Elementenverzeichnisse werden im Berliner Astronomischen Jahrbuch publiziert. Die Elemente der Planeten in Bezug auf die unveränderliche Ebene finden sich bei A. A. Psilander, Öfversigt af K. Sv. Vet. Akad. För-handl. 1900, Nr. 8, Stockholm 1901 = Meddelanden fran Lunds astr. Observatorium Nr. 16, abgedruckt in C. V. L. Charlier, Die Mechanik des Himmels, Tafel I und III, Leipzig 1902.

3)    A. Galle, Zur Berechnung der Proximitäten von Asteroidenbahnen. Diss. Breslau 1883.

2. Die Differentialgleichungen der Bewegung. Um die Bestimmung der Bewegung eines von Satelliten umkreisten Planeten zu vereinfachen, zerlegt man sie in die folgenden drei:

a)    die Bewegung des Schwerpunkts G des von dem Planeten und seinen Satelliten gebildeten Systems P;

b)    die Bewegung des Schwerpunkts des Planeten um 6r, und

c)    die Bewegung des Planeten um seinen Schwerpunkt.

Diese Bewegungen sind im allgemeinen nicht ganz unabhängig. Wie die Verhältnisse im Sonnensystem sind, hat jedoch die letztgenannte Bewegung keine merkbare und die unter b) genannte nur ausnahmsweise eine zu berücksichtigende Einwirkung auf die erstgenannte Bewegung. Sobald die Bewegungen der Satelliten um ihren Hauptplaneten durch die Mondtheorien bekannt sind, folgt die unter b) genannte Bewegung aus der bekannten linearen Gleichung zwischen den Koordinaten des Planeten, der Satelliten und des Schwerpunktes G. (Vgl. Jung IV 2, 2.) Die eigentliche Aufgabe der Planetentheorien ist die unter a) genannte Bewegung zu bestimmen.

Seien x, y, z die rechtwinkligen auf im Raume feste Achsen bezogenen Koordinaten des Schwerpunkts G eines Planeten. Nach dem sogenannten Schwerpunktssatz⁴) sind dann die Bewegungsgleichungen

d*x dt²

wo t die Zeit, X, Y, Z die Summe der x-, bzw. y- und £-Komponenten aller auf den Planeten und seine Satelliten wirkenden äußeren Kräfte und m die Summe der Massen des Planeten und seiner Satelliten bezeichnen. Die Gleichungen (1) gelten auch für die Bewegung des Schwerpunkts der Sonne.

Unter den äußeren Kräften sind zunächst die nach dem Newton-schen Gesetz wirkenden Anziehungen der bekannten Himmelskörper unseres Sonnensystems zu berücksichtigen. Würden die Himmelskörper aus homogenen konzentrischen sphärischen Schalen gebildet sein, so dürfte man vollkommen streng bei der Berechnung der Kraftkomponenten annehmen, daß ihre Massen in ihre resp. Schwerpunkte konzentriert seien.⁵) Da die Massenverteilung in den Körpern unseres Sonnensystems nicht viel hiervon abweicht und dazu die Entfernungen zwischen den Planeten im Verhältnis zu ihren Dimensionen groß sind,

0)

= x,

d³y

dt*

= r,

d*z

dt²

4)    Vgl. Stachel, IV 6, 29; P. Appell, Traité de mécanique rationnelle II, p. 18 und 224, Paris 1904 und übrigens alle Lehrbücher der Mechanik.

5)    Wie Laplace, Méc. cél. I, p. 143 = Oeuvres I p. 160 zeigt, hat nur ein An-

Jß

ziehungsgesetz von der Form Ar-}--, diese Eigenschaft {A und B Konstanten).

48*

kann man in den Planetentheorien ohne merklichen Fehler diese Annahme machen. Bis auf Größen höherer Ordnung ist nämlich der Fehler, den man bei dieser Annahme in der Berechnung der Komponenten der zwischen zwei einander anziehenden Himmelskörpern wirkenden Kraft begeht, im Verhältnis zu dieser Kraft absolut genommen kleiner als

?'■

wo r die Entfernung der Schwerpunkte der Körper, p und p' die größten von ihren resp. Schwerpunkten aus gerechneten Erstreckungen der Körper bezeichnen.

Man betrachte zwei Systeme von Körpern P und P', jedes bestehend aus einem Planeten und den ihn umkreisenden Satelliten. Seien miy x -f- xiy y -f- yiy z -[- z{ die Masse und die Cartesischen Koordinaten der verschiedenen zum System P gehörigen Körper Pf (i = 1, 2, 3, ...), wobei x, y, z die Koordinaten des Schwerpunktes G des Systems bezeichnen sollen. Die entsprechenden Größen bei dem

System P' seien G': P-, m

', x', y, z, x -f x/, y + y', z + z!.

Die Summe der Komponenten der Kräfte, welche die Körper des Systems P' auf die Körper des Systems P ausüben, sind dann gleich den partiellen Ableitungen nach x, y und z der Funktion

*22$.

i j    '³

wobei

= VO + x— X — x/y + {y + y— y'— y/)* + (* -f et — z— ej)

die Entfernung der Körper P. und P- bezeichnet und Je die Gaußsche Attraktionskonstante²⁸) ist. Unter der Voraussetzung, daß die Entfernungen zwischen den Körpern P. untereinander und zwischen den Körpern P- untereinander klein sind im Verhältnis zur Entfernung

= 58.13244087

der Schwerpunkte G und G':

(2)

A = Y(x — x’Y + (y — y y + (z — /)*,

läßt sich U durch Reihenentwicklung in zwei Teile

0.= *^-'

(3)

und

U₁= — Je²

22

i j

«*<*»/[(*< - */)*+ (yr- y/f+ (zi- V)²]

2 As

mi mj [(x - x') (xt - x/) + (y—y) (yt - y/)+(z - z’)(z- */)]*

2 A⁵

-j- Glieder höherer Grade in xi — x-, y{ — y— z-

zerlegen, wo

nii,

'=2mi

j

die Massen der Systeme P und P' bezeichnen.

Im allgemeinen kann man U₁ vernachlässigen und U = U₀ setzen, was bedeutet, daß man die Massen der Systeme in ihre resp. Schwerpunkte konzentriert. Nach P. S. Laplace’¹) ist die aus TJX stammende Störung merkbar nur bei dem System Erde-Mond. In den Planetentheorien versteht man auch überall (wie auch stets im folgenden), wo kein Mißverständnis zu fürchten ist, unter einem Planeten eben den materiellen Punkt, der erhalten wird, wenn die Masse des Planeten und diejenigen seiner eventuellen Satelliten in ihrem gemeinsamen Schwerpunkt konzentriert gedacht werden. Die Differentialgleichungen der Bewegung des Planeten P schreiben sich dann einfach

wo

Ö.I Öj es. !    »

“ S

I CS

Ci. tc «

% Iss

<50 ^ Cj

tc

m'

ist und das Summenzeichen angibt, daß jeder Planet (außer P selbst)

und die Sonne ein zu k²

analoges Glied in die Funktion U ein-

führen.

Weil die Sonne als Zentralkörper eine besondere Stellung ein-nimmt, pflegen die Astronomen öfters die Koordinaten der Planeten in bezug auf ein Koordinatensystem, dessen Nullpunkt in den Schwerpunkt der Sonne fällt, anzugeben. Seien jetzt m, x, y, z die Masse

7) P. S. Laplace, Méc. cél. livre 6, chap. 4 (1802) — Oeuvres 2 p. 63.

und die Koordinaten des Planeten P in bezug auf die Sonne, deren Masse gleich 1 angenommen wird. Die Differentialgleichungen der relativen Bewegung sind dann

&²(i -f- m)x

td*x

r³

(4)

d²y

dt*

k*( i 4- m)y

d*z

&ä(l -I- m)z

rs

= *⁸(i '+«•)§§

= ft²( 1 -f- m)

= Jc²(l -f- m)

da

da

wobei

(5)

— (—

m \A

xx -f- yy' -\-zz'

r'³

1 4- m

(k

r cos H

r' *

die sog. Störungsfunktion (eingeführt von J. L. de Layrange⁸); Name von Laplace) ist. Es bezeichnen hierbei m, x, y, z die Masse und die Koordinaten des Planeten P' in bezug auf die Sonne. Ferner sind

r = ]/x² + î/² +    ,

r = Yx'² + y ² -f- z²,

(8) A = Y (x — x)² -f- (y — y Y + (z — z')² = Y r² -j- r² — 2rr cos H

die Abstände der Planeten P und P' von der Sonne und voneinander. H ist der von r und r eingeschlossene Winkel. In dem angegebenen Wert von ß ist nur die Einwirkung eines Planeten berücksichtigt. Jeder weitere einwirkende Planet fügt zu dem in Gleichung (5) gegebenen ß ein der rechten Seite von (5) analoges Glied hinzu Weil aber zunächst am besten jedes Glied von ß besonders behandelt wird, pflegt man meist wie oben nur ein Glied von ß anzuschreiben.

Die Differentialgleichungen der Bewegung von P' werden erhalten, wenn man in den, Gleichungen (4) und (5) die gestrichenen und ungestrichenen Größen vertauscht. Dadurch geht ß in

r cos H r²

’ (6)

(7)

9J =

über. Bei der Entwicklung der Störungsfunktion pflegt man anzunehmen, daß der Planet P' weiter von der Sonne entfernt ist als der Planet P. Öfters läßt man auch die konstanten Faktoren

v—,    und —:—7

1 -f- m    1 -j- m

3. Die erste Annäherung. Das Zweikörperproblem. Wie schon hervorgehoben, kann man die Bewegungsgleichungen (4) nicht streng integrieren. Man muß bei ihrer Integration zu Annäherungen und

weg.

8) J. L. de Lagrange, Nouv. Mém. de Berlin 1777 = Oeuvres 4, p. 401.

Reihenentwicklungen greifen. Um die Lösungen zu vereinfachen, hat man sich an die tatsächlich vorhandenen Bewegungsverhältnisse im Planetensystem zu halten. Je genauer man die Bewegungen übersehen kann, um so vorteilhafter wird man im allgemeinen das Integrationsverfahren anlegen und die jedesmaligen erleichternden Bedingungen ausnützen können. Für die Astronomen ist es ja vor allen Dingen nötig, leicht und sicher berechenbare Ausdrücke zu erhalten.

Unter den Umständen, welche im Planetensystem die Lösung erleichtern, ist zunächst der zu nennen, daß die Anziehungskraft der Sonne auf einen Planeten groß ist im Verhältnis zu der der anderen Planeten, was von der Kleinheit der Massen und den großen Entfernungen zwischen den Planeten herrührt.

Die Massen der Asteroiden sind so klein, daß ihre Einwirkung auf die übrigen Planeten bis jetzt unmerkbar ist. Man kann daher erst die Bewegungen der Hauptplaneten unter alleiniger Berücksichtigung der Anziehung der Sonne und ihrer gegenseitigen Anziehungen bestimmen. Es zeigt sich, daß nur die einander nächsten Planeten größere Einwirkungen aufeinander ausüben. Bei der Bestimmung der Bewegung eines Asteroiden braucht man nur die Einwirkung der Hauptplaneten zu berücksichtigen.

Die Methoden der Lösung der Differentialgleichungen der Bewegung sind für große und kleine Planeten wesentlich dieselben. Die Verschiedenheiten hängen nur von dem größeren oder kleineren Umfang der einzelnen Teile der Formeln ab.

In der ersten Annäherung vernachlässigt man die gegenseitigen Anziehungen der Planeten. Dies wird erreicht, wenn man rechts in den Differentialgleichungen die Massen und also £1 gleich Null setzt, wodurch die Bewegungsgleichungen eines Planeten in dem solcherweise entstehenden Zweikörperproblem die folgenden werden:

r³

’d*x . &²(1-f-dt* --------

(9)

<Py . dt* '

fcł(l +wi)y

= 0,

d*z

h*( 1 -j- m)z

= 0.

\dt*

Diese Gleichungen bestimmen x, y und z als Funktionen von t und sechs Integrationskonstanten, wobei es sich zeigt, daß die Bewegung des Planeten nach den Keplerschen Gesetzen vor sich geht. Wählt man als Integrationskonstanten die Keplerschen Elemente: a die große Halbachse, e die Exzentrizität, i die Neigung der Bahn gegen die Ekliptik, £1 die Knotenlänge, 7t den Abstand zwischen Perihel und

r³

Knoten (oder anstatt zt die Perihellänge io — % -f- $,), e die mittlere Länge zur Epoche (t = 0), so sind die Koordinaten durch die Formeln

(10)

n = h-L±J”

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

i)L = nt -(- e — a = l — co,

M = E — e sin E,

tgP’-pPT'tg -E,

a( 1 — c*)

1 -j- e cos v ’

u = v-\-7c = v-f- 57 — & ,

« = r[cos (u -f- <Q>) + sin u sin <&(1 — cos i)], y = r [sin (u -)- Sl) — sin u sin ß,(l — cos i)~\, Z = r sin u sin i

r = a( 1 — e cos E) =

zu

berechnen. Ygl. den Artikel VI2, 9, Nr. 1—3 (Herglotz).

4. Die Störungen. Die bei der ersten Annäherung erhaltene Keplersche Bewegung stellt nur für kurze Zeiten die Beobachtungen dar. Der Einfluß der vernachlässigten rechten Seiten der Gleichungen (4) macht sich im Laufe der Zeit geltend durch Abweichungen (Störungen genannt) von der sonst stattfindenden Keplerschen Bewegung, welche daher ungestörte Bewegung genannt wird. Die tatsächlich stattfindende Bewegung heißt gestörte Bewegung. Der Planet, dessen Bewegung man untersucht, heißt gestört, während die übrigen Planeten als störende bezeichnet werden. Diese Bezeichnungen sind in den klassischen Planetentheorien, wie sie z. B. von Laplace, Leverrier, Hansen entwickelt sind, durchgängig. Je nachdem man die Abweichungen in den Elementen oder in den Koordinaten betrachtet, spricht man von Eiernentenstörungen oder Koordinatenstörungen. In bezug auf die Prinzipien, auf welche die Lösungsmethoden der Bewegungsgleichungen gegründet sind, sei auf den Artikel von Wliittaker (VI2, 12, Nr. 9—11) verwiesen.

I. Die Methode der Variation der Konstanten.

5. Anwendungsweise der Methode in der Störungstheorie. Es

seien für einen Planeten die Gleichungen (4) und für die übrigen n — 1 Planeten ganz analoge Gleichungen zu integrieren. Alle diese Gleichungen können durch das System der Gleichungen

(»-1,2,3,..., Sn),

an

dXf

dt ~X<’

' W + P,= Q„

ersetzt werden, wo jedes Glied von Q. eine der Massen der störenden Körper als Faktor hat und die Funktionen P. im allgemeinen so gewählt werden, daß die Lösungen der Gleichungen dx/

dxt

dt

(<-l, 2, 3,...,3»),

wTelche jlie erste Annäherung geben, leicht und einfach erhalten werden können. Seien cv Integrationskonstanten und

■<-=1,2,. v = 1, ², •

diese Lösungen. Nach den Prinzipien der genannten Methode fordert man, daß die Lösung der Gleichungen (17) durch die Formeln (18) gegeben ist, muß dann aber die Größen cv nicht mehr als Konstanten, sondern als mit t veränderliche Größen ansehen. Die Bedingungsgleichungen, welche die cv zu erfüllen haben, sind dann

(18)

• my

co co

'dfi dcv 2j dcv it

= 0,

V d.f(.    .....- o

dcv dt l'

(< = 1, ², • • V ³w),

aus welchen man ein Gleichungssystem der Form

dcv

= Fviß, Cv)>

dt

(v — 1, 2, ..., 3 n)

ver-

ableitet (vgl. Vessiot, IIA, 4 b, Nr. 22). Je nach der Wahl der änderlichen Konstanten erhält man spezielle Fälle dieser Methode.

6. Die Methode der Variation der elliptischen Elemente. Differentialgleichungen. Untersuchungen über die Veränderungen der Elemente durch Störungen findet man schon bei L. Euler²⁹), aber die wirkliche Grundlegung dieser Methode verdankt man J.L. de Lagrange³⁰). Unter den vielfachen Anwendungen dieser Methode seien als Stellen, die vor allem die Anlage der praktischen Rechnung unter verschiedenen Umständen wiedergeben, genannt: die Theorien der großen Planeten von TJ. J. J. Leverrier³¹), die Neptunstheorie von S. Newcomb³²), die Pallastheorie von C. Fr. Gaußn), die Vestatheorie von J. Perrotin³¹').

Die Gleichungen (10)—(16) geben in der ungestörten Bewegung x, y und z als Funktionen der Zeit und der elliptischen Elemente a, e, s, co, ft und i. Nach den in voriger Nummer dargestellten Prinzipien der Lagrangeschen Methode sind die Ableitungen der Elemente nach der Zeit aus den folgenden Gleichungen zu bestimmen:

dx da .    dx de    ,    ,    dx di_ ~

da dt '    de dt    '    '    di dt ’

dy da . da dt de dz da da dt

dy de

, dz de "T" de dt

'ii _i____ _i_ dy    q

dt ^    ' di dt ’

i . . . _i_ ÈL _o

H h di dt — u>

d²x da    .    d²x de .    ,    d²x di    72n    . -.dSi

dtdi dt +Jid7 dt “ł-----1" dtdi dt — Æ C¹ +m)JÏ

d*y äa    ,    d²y de ,_____,    d²y di _    ,2n ,

dtda dt dt de dt '    ' dtdi dt    1 ~r J

d²z di dt dt dt

dSi

dx’

d²z de dt de dt

Um zu vermeiden, daß t explizite als Faktor von gewissen Gliedern in den Ableitungen auftritt, ersetzt man nt in der Gleichung (11) durch

d²z da . dtda dt '

q —J*ndt,

so daß M und l durch die Gleichungen M — jnclt -j- 8

zu berechnen sind und M oder l nicht bei Bildung der Ableitungen nach a als veränderlich betrachtet werden.

Unter Anwendung der Gleichungen (10)—(16) gewinnt man aus den obigen Gleichungen durch eine ziemlich verwickelte Elimination³³ 34 35) die Formeln

(19)

(20)

da

(21)

dt

2na,W’

ds

dt

= — 2 na²

da

da

ii ^    •    • d «

+ t?ïsm'¥ +

naeY 1 — e³ dSl 1 +Vl—T* de ’

de

(22)

dt

«apl — e² dß

di

naeŸ 1 — e² dß da i -4_-j/i — e² dJ ⁷

»al/l—e*    ,    , i •    . dQ

-57 + tgySin,^,

dg

ma

di —

aß

(23)

]/1 — e² sin i ci ’

di

ma

aß

ma tg

2 /a ß , a_ß\ läT + ä^j ’

■ di    i/1 — e² sin i & ^

in welchen ^ = %ß-, und die ^ enthaltenden Glieder mittels der

a« a®j    dt

ersten Gleichung (23) eliminiert werden könnten, so daß die rechten Seiten dieser Gleichungen nur von den Elementen und den partiellen Ableitungen der Störungsfunktion nach den Elementen abhängig werden. Diese Möglichkeit wurde gleichzeitig von Lagrange¹⁶) und P. S. Laplace¹⁷) gefunden. Die veränderlichen Elemente nennt man auch osJculierende, weil die durch sie bestimmte Bahn und Bewegung sich für jeden Augenblick der wirklichen Bahn und Bewegung möglichst anschmiegen und für dieselbe sowohl den Ort als die Geschwindigkeit des Planeten richtig angeben.

Man könnte auch Elemente durch andere Bedingungen zu definieren suchen, um anderen Verhältnissen als den wesentlich formalistischen der Lagrangeschen Methode Rechnung zu tragen. Solch ein Vorschlag ist auch von M. Brendel¹⁸) gemacht worden.

Wenn i klein ist, wird das erste Glied der rechten Seite von (23) groß und diese Gleichungen selbst unzweckmäßig zur Bestimmung von i und ß. Lagrange¹⁹) vermeidet diesen Übelstand, indem er statt i und Sh die Elemente

y 1 — e²

(24)

einführt.

p = tg i sin Sh, g — tg i cos Sh

Bei den Gleichungen (22) tritt derselbe Übelstand ein, wenn e klein wird. Man vermeidet ihn gleicherweise durch Einführung der Elemente

(25)

h = e sin co .

g = e cos co,

Die Differentialgleichungen zur Bestimmung von g, h, p und q sind:

16) J. L. de Lagrange, Paris Inst, (math.) mém. 9, Nr. 1 (1808) — Oeuvres 6,

p. 713.

17)    P. S. Laplace, Suppl, au Méc. cél. = Oeuvres 8 p. 325—348.

18)    M. Brendel, Astr. Nachr. 187 (1911) p. 97; Göttingen, Ges. Wiss. Neue Polge (8) 1 (1911) p. 89—98.

19)    J. L. de Lagrange, Paris hist. (2) mém. (1774) = Oeuvres 6, p. 635.

(26)

dt

— na

[]/l — g*— h*

gY 1 — <jr²—h² d Si

1 -}-]/l — g-— h‘z dl

h *»T

. dt

na

[pi-/

dSi

dg

hyi -g*—i? d si

1 4-j/l— g*—Ä² 2 Z

dsr\ Ji\'

°tsY da

Vl —gi — h* di

yi-g*-h*

].

' dp

na

dSi

dt

l/i — e²cos⁸i dg

nap

(27)

d<z

dt

l/l — e²cos⁸i ^

2 j/l — e² cos * cos² —

id *ß * # iß\

/aa , aa\ la® ei)‘

7. Fortsetzung. Die rechten Seiten der Gleichungen (4) sind den x-, y- und ^-Komponenten der störenden Kraft gleich. Wenn diese sich nicht als partielle Ableitungen einer Funktion ausdrücken lassen, wie das z. B. bei verschiedenen Widerstandskräften eintritt, ist es nötig, die Ableitungen der Elemente unmittelbar durch die Komponenten der störenden Kraft auszudrücken. Zwei verschiedene Komponentensysteme kommen in praxi vor: Die Komponenten B, S, W parallel zur Verlängerung des Radiusvektors, zur Senkrechten auf dem Radiusvektor in der Bahnebene (positiv nach der Seite wachsender Längen gezählt) und zur Normalen auf der Bahnebene (positiv nach Norden). Andrerseits die Komponenten T, N und W\ T parallel zur Tangente an die Bahn (positiv in Richtung der Bewegung), N parallel zur Normale auf die Tangente in der Bahnebene (positiv nach der Seite der Sonne), W wie oben.

Die Differentialgleichungen der Elemente werden:

IC

a &    a s*

CH-    fV)    cs» $5

nf/l — e*

(Be sin v -f- £(1 + e cos-y))

i dg

dt >

a ^    a| a

CS» Sl    CS» j

yr-e*

na

[R sin v -f- 5(cos v -}- cos .EJ)],

l/l — g2 ena

2 -j- e cos v

1 -j- c COS V

sin -f- sin²

1

2    dt *

«a² j/l — e²

W COS (v -f- B?— &),

na~y 1 — e² sin i

W sin (v + a — &),

¹

   Delaunay, Paris C. R. 61 (1865), p. 1023—1032 = Journ. de Math. (2) 10 (1865), p. 401—411; W. Ferrel, Astron. Journ. 3 (1854), p. 138—141; Airy, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 26 (1866), p. 221—235.

²

   Dufour, Bull. Soc. Vaud. Laus. 9 (1868), p. 252—254.

³

   Thomson and Tait, Natural Philosophy 2, App. Gr.

⁴

225)    D. Lehmann-Filhés [Münch. Ber. 25 (1895), p. 371—422] zeigt einmal,

⁵

daß eine endliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Schwerkraft keine Beschleunigung, sondern eine Verzögerung hervorbringt, und zweitens, daß diese Fortpflanzungsgeschwindigkeit von der Ordnung 1000000 x Lichtgeschwindigkeit sein müßte, wenn nicht unmöglich große Störungen sich ergeben sollen.

⁶

   Amer. Journ. Sc. ser. 4, 29 (1910), p. 529—539.

⁷

   Fac. Toulouse Ann. (2) 9 (19071, p. 1—103.

⁸

   Méc. cél. 3, chap. 19 = Paris Bull. Astr. 8 (1891), p. 481—503.

⁹

   Rome Math. Congress 1 (1908), p. 135—143.

¹⁰

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 63 (1903), p. 316—324.

¹¹

   Méc. Cél. 3, p. 414.

¹²

   Lond. Astr. Soc. Mem. 48 (1884), p. 283—418.

¹³

   Lond. Month. Not. 65 (1905), p. 34—53. Vgl. auch die Diskussion in den Lond. Month. Not. 1903—1909.

¹⁴

   Zahlreiche Arbeiten in der Lond. Month. Not. 1903—1907.

¹⁵

a) Newcombs, letzte Arbeit (Wash. Astr. Pap. 9 (1913) Part. 1) enthält eine Vergleichung von Sternbedeckungen seit 1620 mit der nach Browns, Theorie korrigierten Hansenschen Theorie. Brown hat in Fortsetzung von Cowells Untersuchungen ähnlich eine Vergleichung der Greemvicher Meridianbeobachtungen seit 1750 ausgeführt (Lond. Monthly Not. 73 (1913), p. 692—714 ; 74 (1914), p. 156—167, 396—424, 552—568). Die allgemeinen Schlüsse haben sich hierdurch nicht geändert, und es ist jetzt sicher, daß die empirischen Terme nicht auf Beobachtungsfehlern beruhen. Brown zeigte, daß innerhalb der Genauigkeit von Theorie und

¹⁶

Beobachtung die theoretischen Werte der mittleren Bewegung von Perigäum und

¹⁷

Knoten mit den beobachteten übereinstimmen, wenn man der Erdabplattung den Betrag 1/293.5 gibt. Die Unterschiede in den jährlichen Bewegungen sind dann kleiner als 0".03 (vgl. Nr. 25 a). Diese Arbeiten enthalten auch die letzten Werte der Integrationskonstanten. Die letzte Zusammenfassung siehe Broivn, Lond.

¹⁸

Observatory 37 (1914), p. 206—211.

¹⁹

235)    Wash. Astr. Pap. 1 (1880), p. 57—107.

²⁰

236)    Lond. Mouth. Not. 64 (1904), p. 159—168.

²¹

237)    Ibid. 65 (1905), p. 276—296.

²²

238)    Ibid. 68 (1908), p. 148—170.

²³

239)    Ibid. 65 (1905), p. 658—662.

²⁴

240)    Theorie de la Lune, 1. Aufl., St. Petersburg 1752.

²⁵

241)    Théorie de la Lune, 2. Aufl., St. Petersburg 1765..

²⁶

242)    Theoria motuum Lunae (2. Theorie), St. Petersburg 1772

²⁷

243)    London 1755; verbessert 1770.

²⁸

Die Konstante k hat nach C. Fr. Gauß (Theoria motus, p. 2 = Werke VII, p. 14) den Wert k — 0.017202099 [logk = 8.2355814414], wobei er als Zeiteinheit den mittleren Sonnentag, als Masseneinheit die Sonnenmasse und als Längeneinheit die mittlere Entfernung der Erde vod der Sonne wählte. Später, als die Erdbewegung genauer bekannt war, hätte man wohl einen genaueren Wert von k berechnen können. Um die mit dem Gaußschen Wert von k berechneten Tafeln nicht verändern zu müssen, behält man nach U. J. J. Leverrier (Obs. de Paris ann. 1 (1855), p. 189) für die Gaußsche Konstante den obigen Wert bei, verändert aber die Einheit der Länge um ein Unbedeutendes. In

theoretischen Untersuchungen pflegt man die Zeiteinheit so (= ^

mittlere Sonnentage) zu wählen, daß die Gaußsche Konstante gleich 1 ist.

²⁹

   h. Euler, Recueil des pièces qui ont remporté les prix de l’Acad. des Sciences (Paris) VI, îsr. 6 (1749), VII, Nr. 2 (1752) und VIII (1756 gedruckt 1771), Beri. hist. Mém. (1749), Petersb. Commentarii (1747/8). Die Formeln von Euler sind indessen nicht alle richtig.

³⁰

   J. L. de Lagrange, Turin mél. III (1766) = Oeuvres I (1867), p. 471. Paris mém. prés. 10 (1785) = Oeuvres 6, p. 403 und vor allem in Paris Inst, (math.) mém. (9) 1 (1808) = Oeuvres 6, p. 713.

³¹

   U.J.J. Leverrier, Obs. de Paris ann., mém. 1, 2, 4, 5, 6, 10—12, 13, 14 (1855—1877).

³²

   S. Newcomb, Smiths, contr. 15 (1867).

³³

   C. Fr. Gauß, Werke 7, Nachlaß p. 489—577 (1906). Bei G. Struve, Die Darstellung der Pallasbahn durch die Gaußsche Theorie für den Zeitraum 1803 bis 1903. Diss. Berlin (1911) findet man interessante Tafeln über die Abweichungen zwischen Theorie und Beobachtung.

³⁴

   J. Perrotin, Obs. de Toulouse 1 (1880).

³⁵

   Bezüglich der geeignetsten Methoden, diese oder entsprechende Differentialgleichungen abzuleiten, sei auf die Lehrbücher der Himmelsmechanik verwiesen.

c = & j/l -f m ]/-|

gesetzt worden ist. Sie sind sogar einfacher direkt abzuleiten, als die Gleichungen (21), (22) und (23), und werden besonders wichtig, wenn man sich über die Einwirkung irgendeiner Kraft auf die Elemente orientieren will.

8. Integration. Um die Gleichungen (21)—(23) zu integrieren, entwickelt man im allgemeinen die Elemente nach Potenzen der störenden Massen und bestimmt durch aufeinanderfolgende Annäherungen die Glieder erster, zweiter, . . . Ordnung. Die Ordnung eines Gliedes ist gleich der Anzahl der in ihm enthaltenen Massenfaktoren. Dagegen nennt man Grad eines Gliedes die Anzahl der eingehenden Faktoren von Exzentrizitäten und Neigungen, wenn nach Potenzen dieser Größen entwickelt wird.

Es bezeichne r\Q ein Element oder eine Funktion nur yon Elementen und absoluten Konstanten. Nach Potenzen der störenden Massen entwickelt sei (30) wo 7] von nullter und dvrj von vtex Ordnung ist. Um die Integration analytisch ausführen zu können, muß man ß zweckmäßig entwickeln. Der Störungsfunktion kann man die Form (vgl. v. Zeipel, VI2, 13)

(31)

ß — Sn cos d

geben, wo

(32)

D = jM + j'M' +C = jl+ j'X + C

ist und die Größen N, C und C nur von den Elementen der Planeten abhängig sind (j und f ganze Zahlen). Entwickelt man nach Potenzen der Örj, so wird

(33)

da

dt

de

2 a (2 a —r) j, cr    ’

2 }/T— e²

e sin v

dt

,1 + e cos v

T—N) +

e²

d 55

dt

(29)

de

dt

2 (eos v -fe)

dm

, dt

r sin t; ,r

-A,

ac ⁷

^T+±(2 + ^)N+sin’±%,

wo abkürzend

ß = ß₀ -j- dj ß d₂ß -J— • wo ß₀ erster, dvß (v -f- l)ter Ordnung ist.

Weil ß erster Ordnung ist, folgt aus den Gleichungen (21)—(23), daß die Teile nullter Ordnung der Elemente Konstante sind, welche auch als Integrationskonstante betrachtet werden können. ß₀ wird aus ß erhalten, wenn man allen Elementen diese konstanten Werte gibt. Dann folgt, daß

(34)

[ M — nt + c, 1 M'=rit + ć,

wird, und ß₀ nimmt die Form an

(D₀=jnt-\-jrit + c),

ß₀ = cos D₀,

wo c, c', c, Njj, Konstanten sind.

Die rechten Seiten der Gleichungen (21)—(23) haben dieselbe Form wie ß₀, wenn nur Glieder erster Ordnung berücksichtigt werden. Durch Integration jedes Gliedes unter Anwendung der Formel

sin

(35)

ycos D₀dt —

werden die Störungen erster Ordnung der Elemente in der Form

(36)

(37)

NJ,f_

sin D₀

jn +j'ri

erhalten. Um M zu erhalten, hat man noch die Integration der Gleichung (19) oder nach (10) der Gleichung

_3W2a^L dt* ~~    ⁰ dl

auszuführen. Die rechte Seite dieser Gleichung und diejenige der ersten Gleichung (21) enthalten selbstverständlich nur in l und also in t periodische Glieder. Daraus folgt das Theorem von Laplace, daß kein «mit t und p kein mit t'² proportionales Glied enthalten kann. q hat daher die Form

(38)

(39)

Qo +    — nt -j-

sin B₀.

(jn+j'n'y

Hierbei ist vorausgesetzt daß keiner der Integrationsdivisoren jn -{-/n gleich Null ist.

Werden in den Differentialgleichungen der Elemente die eben erhaltenen in erster Ordnung genauen Werte der Elemente eingeführt und nach Potenzen der dxri entwickelt, so erhält man zur Bestimmung der Glieder zweiter Ordnung Gleichungen der Form

-^- = n₀+2*t

Do + 1sin D₀,

woraus unter Anwendung der Formel (36) und

t sin D0 ~ jn +j'ri

(40)

Ç,t cos D₀dt

cos

cos D₀

(jn -f- j'n)*

für die ö₂rj die Form folgt ö₂ri = N₀t+]?

jn+j'ri

sinD₀+ 2

+ *2

n₂

(jn+j'ri)

i COS D₀

sin D₀.

j n -]- j n'

Mittels der Glieder zweiter Ordnung erhält man in analoger Weise die Glieder dritter Ordnung der Elemente. Bei den aufeinanderfolgenden Annäherungen hat man nur Integrale der Form

j tm cos (vt -j- c) dt

auszuführen, was mittels der Formel

(41) ft

m cos

(vt + h)dt = ^

ml

(m — p) !

p = 0

oder, falls v — 0, mittels der Formel

(42)

ftmdt =

sin

tm + l

vp + 1

fm-p

geschieht.

m -f-1

Man bestimmt so nach und nach die Glieder der aufeinander

folgenden Ordnungen, was also einfach und schematisch vor sich geht¹). Die Anzahl der Glieder von gegebenem Grade wächst jedoch ungeheuer schnell und würde die ganze Methode praktisch unbrauchbar machen, wenn man höhere Ordnungen als die zweite ganz mitnehmen müßte. Zufolge der Kleinheit der Massen ist die Konvergenz jedoch oft hinreichend, um die Methode anwenden zu können.

leicht, daß die Darstellung der

man

9. Verschiedene Arten von Gliedern und deren Klassifikation. Nach dem Obigen überblickt Elemente bei fortgesetzter Annäherung von der Form

2Ntp cos D

wird, wo die Argumente D von der Form

jM + j'M' + j"M" H-----J- c = vt + (c)

sind (die j ganze Zahlen ; die M mittlere Anomalien der verschiedenen Planeten).

Die Glieder, bei denen p — 0, sind periodisch und werden nach der Größe von v in langperiodische und hurzperiodische Glieder geteilt.

Langperiodiscli ist ein Glied, wenn v klein ist im Verhältnis zur mittleren Bewegung des gestörten Planeten. Ein langperiodisches Glied in der Störungsfunktion (eigentlich in den Ableitungen der⁻ Elemente nach der Zeit) wird durch die Integration vergrößert in die Elemente übergehen. Infolgedessen sind die langperiodischen Glieder sehr wichtig, vor allem, wenn v sehr klein ist.

Ein Glied, für welches jo 1, nennt man säkular. Ist speziell v — 0, so wird es nach Poincaré rein säkular genannt, sonst aber gemischt säkular (séculaire mixte). Das einzelne rein säkulare Glied wird mit der Zeit unendlich groß. Das gemischt säkulare Glied schwankt, wenn t wächst, zwischen immer größeren Grenzen. Die säkularen Glieder sind daher besonders für große Werte von t zu berücksichtigen.

(p)

Die Größe eines Gliedes in den Störungsausdrücken ist wesentlich abhängig von seinem Grad, seiner Ordnung (s), dem Exponenten von t und der Anzahl (g) seiner kleinen Integrationsdivisoren.

H. Poincaré²) bezeichnet als „Rang“ eines Gliedes die Zahl und als „Klasse“ eines Gliedes die Zahl

P _ ? .

Über die Bedeutung eines Gliedes geben sein Grad, seine Ordnung, sein Rang und seine Klasse einen gewissen genäherten Aufschluß. Je größer der Grad, die Ordnung oder die Klasse eines Gliedes ist, um so kleiner ist es.

Die relative Bedeutung der Ordnung, der Klasse und des Ranges hängt von der Länge der Zeit ab, für welche man die Bewegung darstellen will. Wenn man die Bewegung für kürzere Zeiten betrachtet, sind die Glieder der niedrigsten (lter) Ordnung die wichtigsten. Wünscht man eine Darstellung für ziemlich lange (mit den Perioden der lang- M periodischen Glieder vergleichbare) Zeiten, so sind die Glieder niedrigster Klasse die wichtigsten, Für sehr lange Zeiten schließlich treten die Glieder niedrigsten Ranges in den Vordergrund.

Aus den von H. Poincaré³) für kanonische Elemente bewiesenen Sätzen über das Vorkommen von Gliedern eines gewissen Ranges und gewisser Klassen folgert man die Sätze:

1. Es gibt keine Glieder, deren Klasse negativ wäre; die konstanten Teile ausgenommen ist die Klasse aller Glieder in den Ent-

Wicklungen der Elemente a, g, h,p, q (in den Gleichungen (26) und (27)) immer ^.

2.    In den Entwicklungen der Elemente g, h, p, q, e und p (das Glied nt ausgenommen) ist der Rang aller Glieder 0.

3.    Der Rang der periodischen und derjenige der gemischt säkularen Glieder ist 1.

4.    Das konstante Glied ausgenommen ist in der Entwicklung von a der Rang aller Glieder 1.

Der letztgenannte Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Lagrange über die Invariabilität der großen Halbachsen (siehe Whittaker VI2, 12, Nr. 13). Der folgende von H. Poincaré™) bewiesene Satz gibt unmittelbar eine Verallgemeinerung des Poissonschen Satzes:

In der Entwicklung von a gibt es keine rein säkularen Glieder vom Range 1.

Zu bemerken ist auch, daß q keine rein säkularen Glieder des Ranges Null hat.

10. Säkulare Störungen. Die säkularen Störungen, deren Rang 1 ist, sind unbedeutend im Verhältnis zu denen des Ranges Null. Da in a keine Störungen des Ranges Null Vorkommen und alle Glieder des Ranges Null rein säkular sind, werden die Differentialgleichungen zur Bestimmung der Glieder des Ranges Null erhalten, wenn man in den Formeln (21), (26) und (27) in der Störungsfunktion il alle in e und s periodischen Glieder wegläßt. Sei £1 der solcherweise erhaltene sogenannte säkulare Teil der Störungsfunktion, d. h. die Summe aller nichtperiodischen Glieder von il. Da il von e und e' unabhängig ist, können die säkularen Glieder vom Rang Null in den Elementen e, S7, i und £1 oder g, h, p und q getrennt von solchen Gliedern in s und e' bestimmt werden. Nachdem man die genannten Glieder in den g, h, p, q, g, h', p und q bestimmt hat, werden die Glieder in s durch eine einfache Quadratur erhalten.

Auch die rein säkularen Störungen können nur durch Annäherungen erhalten werden, und zwar wird dabei öfters die in 8 dargestellte Methode, die Glieder der sukzessiven Ordnungen zu bestimmen, angewandt.

Wir wollen für die rein säkularen Teile der Elemente dieselben Bezeichungen anwenden, wie für die Elemente selbst. Zur Bestimmung der säkularen Glieder erster Ordnung erhält man die Differentialgleichungen aus den Gleichungen (21), (26) und (27), wenn man in diesen überall il durch il ersetzt und in den rechten Seiten

23) II. Poincaré, ibid. p. 307.

49

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

allen Elementen konstante Werte gibt. Wenn die Elemente g, h, p, q, g', . . . klein sind, kann £1 und also welches übrigens nur Glieder geraden Grades enthält, nach Potenzen dieser Größen entwickelt werden, und man kann die rechten Seiten der genannten säkularen Gleichungen ohne andere Schwierigkeit als die Länge der Rechnung numerisch finden. Aus den so erhaltenen Gleichungen der Form

= H

dt ’

gewinnt man unmittelbar das Glied erster Ordnung

rj — Ht.

In dieser Weise hat U. J. J. Leverrier⁴ 5) die säkularen Änderungen der Elemente der Hauptplaneten berechnet. Wenn die Konvergenz der Entwicklung von ß schwach ist, oder wenn man die säkularen Störungen erster Ordnung genauer berechnen will, wendet man die von C. F. Gauß2h) gegebene Methode zur Berechnung der rechten Seiten der Differentialgleichungen der Störungen an. Geht man von den Gleichungen (28) oder (29) aus anstatt von den Gleichungen (21), (22) und (23), so findet man, daß die Ableitungen nach t der säkularen Störungen erster Ordnung in der Form

»-i

vTi + ⁷ii + wTc

dMdM'

ff{*

0 0

erhalten werden, wo A, B, C die rechtwinkligen Koordinaten des gestörten Körpers und U, V, W unabhängig von der mittleren Anomalie M' ist. Bezüglich der Berechnung sei auf den Artikel von v. Zeipel (VI2, 13, Nr. 54) verwiesen.

11. Angenäherte Berechnung der säkularen Werte der Elemente. In dem Falle, daß die Exzentrizitäten und Neigungen klein sind, kann man sich auf die Berücksichtigung der Glieder erster Ordnung und ersten Grades in den Differentialgleichungen der säkularen Störungen beschränken. Indem die g, h, p und q für die n verschiedenen Planeten durch untere Indizes kenntlich gemacht werden, erhält man zur Bestimmung der genannten Größen die folgenden linearen Gleichungen

(43)

Sr?

dp,,

(44)

dqv _

dt

9V]£ 0, v')~^ lv> v']9v>

Pr]?, (v, V1 — yj (v, V')Pv>>

(v, v =1,2,..., n),

(?, v =1,2,..., n),

wo die Größen (v, v') und [v, v \ nur von den Massen und den großen Halbachsen der Planeten Pv und Pv, abhängen und also als Konstanten betrachtet werden können. Der Strich bei dem U- Zeichen gibt an, daß bei der Summation v nicht gleich v werden darf. Die Bestimmung der Größen gv und Jiv ist also bei dieser Annäherung von der der Größen pv und qv unabhängig.

Die linearen Gleichungen (43) können streng integriert werden. Ihre Lösungen sind bekanntlich von der Form (siehe Vessiot, IIA, 4b, Nr. 28):

9r Nv{a) C0S (+ 7a) ,

a

K    Nva) Sin    + 7 a) ,

a

wo die Verhältnisse der Konstanten NJ-“') durch die n Gleichungen

((A,1 — S.W>+.    + AltSN^ + ■ ■ • + AhnNM = 0,

N,M + • • • +    = 0,

W U,if₁W + X₂.V!(«)+(Xs-S„)Ą(“)+ • • • +    0,

(45)

{Av,y' ⁼ 2 tV’ V'^

Av,v’

v'

+ K„-G«W*⁾= O,

[v, v])

bestimmt werden, sobald die Größen 6a erhalten sind, welche die Wurzeln der „Saeculardeterminante“

Ai,i G} Ai,i> A

A2,l> -^-2,2    6, ^4

A3,l » A3,2) A3,3

(47)

”    «

▼H    <N

* •?

©=r go

An,l) An,2) -^-11,3) ’

n,n

49*

haben solche Werte, daß die Deter-

bilden. Die Koeffizienten A minante in eine symmetrische Determinante derselben Form übergeht,

V, v'

wenn man

die vte Zeile mit avYmvnv und die vte> Kolonne mit

av'Vmv'nv'

ultipliziert. Man kann daher, ohne die Wurzeln 6 zu verändern, die in (46) und (47) durch die Gleichungen

V, v'

v,v'

definieren und hat dann

v',v '

sind reelle Größen, weil in unserem Planetensystem alle Planeten in demselben Sinne sich um die Sonne bewegen (nv > 0). Die n Wurzeln der Gleichung (47) sind alle reell, was P. S. Laplace⁶) unter Anwendung des aus den Gleichungen (43) abzuleitenden Integrales

Die A

v,v’

(48)

mv y 1 + mv Yav(gv² -f- h²)

^ mv ]/l -j- mv Yave² — Konstans

zuerst allgemein bewies. Dagegen ist der von Laplace (a. a. 0.) gegebene Beweis, daß nicht mehrere Wurzeln 6a gleich sein können, unrichtig. Daß gleiche Wurzeln nicht möglich sind, findet man im Falle n = 2 unmittelbar. Im Falle n = 3 ist dies von H. v. Seeliger⁷) bewiesen. C. V.L. (Jharlier²’la‘') untersucht, wie die säkularen Störungen sich ausdrücken lassen, wenn zwei Wurzeln gleich sind. Aus der Gleichung (48) folgert Laplace auch, daß die Exzentrizitäten immer klein bleiben. Wie Lagrange bemerkte, ist das indessen nicht stichhaltig, wenn eine Masse mi klein ist, weil dann das zugehörige groß werden kann. Übrigens ist ja die Gleichung (48) nur bis auf Glieder vierten Grades richtig.

Die Auflösung der Gleichung (47) und die Berechnung der Verhältnisse der    aus den Gleichungen (46) für das System der

Häuptplaneten ist sehr weitläufig. J. L. de Lagrange⁸) gab die Lösung

12. Fortsetzung.

'»O

für die damals bekannten Hauptplaneten. M. G. Pontecoulant⁹) und U. J. J. Leverrier¹⁰) führten die Rechnung für die sieben innersten Planeten durch. Nach der Entdeckung des Neptun haben U. J. J. Leverrier*¹¹), J. M. Stockivell¹² 13 14) und P. Harzer**) die Rechnungen für alle acht Hauptplaneten ausgeführt.

Bei den Hauptplaneten wird die Auflösung der Gleichung (47) dadurch vereinfacht, daß das System der vier inneren und das System der vier äußeren Planeten aufeinander nur eine geringe Einwirkung haben und die Gleichungen (46) dementsprechend in zwei fast unabhängige Systeme von je vier Gleichungen zerfallen. Ebenso zerfällt, die Gleichung (47) in zwei fast unabhängige Gleichungen. Wie man die numerische Berechnung der Wurzeln von (47) durch allmähliche Vereinfachung dieser Gleichung bewerkstelligt in der Weise, daß in der Determinante der linken Seite die Elemente außerhalb der

Diagonale nach und nach verkleinert werden, hat C. G. J. Jacobi*¹)

gezeigt.

Um die Größe der Wurzeln beurteilen zu können, seien hier die

Werte, welche J. M. Stockivell*¹²) bei den Hauptplaneten gefunden hat, angeführt. Sie lauten:

S₇ =

6₈ = 22".4608479,

Sx = 5".463802, (5₂= 7".2484279, 6₈ = 17".0143734, 6, = 17".7844562,

6₅= 0".6166849, 2".7276592, 3".7166075,

wobei als Zeiteinheit das Julianische Jahr genommen ist. StockweU gibt auch Formeln, um Änderungen in den angenommenen Massenwerten berücksichtigen zu können.

12. Fortsetzung. Die Werte von gv und hv werden für eine bestimmte Zeit aus den Beobachtungen entnommen. Nachdem die Verhältnisse zwischen den Größen    und JV^“) aus den Gleichungen

(46) berechnet sind, erhält man die Konstanten ya und die    aus

den Formeln

”rav A'i“'

sin (6 J + ytt) =

V    ¹

y mv (N?>\

nrav \N[a))

V

mvgv

^ nrav Nia)

V

Ni(a) cos (6J + ya) =

Um zu sehen, wie sich die Perihellänge a>v des Planeten Pv verändert, bildet man aus den Gleichungen (25) und (45) die Relation

^jrWrin((S„,-S„)* + ?„-?«)

a'_____

COS ((<•>„,-SJt +    y.)

a'

Wenn der Nenner der rechten Seite nicht Null werden kann, folgt, daß Wv—6at — ya von seinem Mittelwert nicht mehr als 90° abweichen kann, und daß also œr eine mittlere Bewegung gleich 6a hat, was für die Beurteilung der Bahnlage und der Veränderungen der störenden Kräfte von Nutzen sein kann. Die Kriterien für das Bestehen einer mittleren Bewegung sind noch nicht vollständig entwickelt. Betrachtet man nur zwei Planeten (n = 2), so hat Sïr immer eine mittlere Bewegung. Ist für einen gewissen Wert von a

a'

so hat cov die mittlere Bewegung 6a.¹⁵ 16) Im Falle n = 3 hat P. Bohl™) gefunden, daß in gewissen Fällen eine Entscheidung der Frage bezüglich der Existenz einer mittleren Bewegung unmöglich ist, weil eine noch so kleine Veränderung in den aus den Beobachtungen entnommenen Konstanten bewirken kann, daß eine vorhandene mittlere Bewegung zu existieren aufhört oder umgekehrt.

Nach den Rechnungen von Stockwell (a. a. 0.) haben die Perihellängen der Planeten Merkur (Sx), Mars (6₄), Jupiter (S₇), Saturn (S₈), Uranus (S₇) und Neptun (S₅) mittlere Bewegungen.

Die Integration der Neigungsgleichungen (44) wird ganz wie die der Gleichungen (43) ausgeführt. Zu bemerken ist dabei nur, daß

oine der entsprechenden Wurzeln gleich Null ist, was mit dem Bestehen des Flächensatzes zusammenhängt.

(44), daß die

13. Die säkularen Störungen der kleinen Planeten. Bei den Asteroiden hat man die Vereinfachung in den Gleichungen (43) und zu den Hauptplaneten gehörenden gv, hv,pv, qv als bekannt angesehen werden können. Die Differentialgleichungen zur Bestimmung von g und h sind dann von der Form¹⁷ 18)

dh

dt

dg

dt

oder

dli

dt

dg

dt

-0 - 2 [0,    *'].?„

(0, v) + ^ Ma sin (6J + ya).

Die Lösungen dieser Gleichungen sind

h = M sin    v) + yj ^

V

g = M cos (0, v) + y) + ^

El

^ J2(0,v)-<5a

Es.

cos (S J + y^,

wo M und y Integrationskonstanten bedeuten. Wenn 6a gleich (SYO. v) wäre, würden g und Ji unendlich große Werte erhalten können.

V

Dies würde indessen nur anzeigen, daß die Integrationsmethode nicht anwendbar ist, weil wir ein Resultat erhalten, das gegen die vorausgesetzte Kleinheit von g und h verstößt. G. V. L. Charlier⁸⁸) hat indessen gefunden, daß für die Asteroiden zwischen Mars und Jupiter 6a nicht gleich ^(0, v) wird.

V

Für die Größen p und q erhält man analoge Differentialgleichungen und Lösungen. Dabei zeigt sich jedoch, daß für einen Asteroiden, dessen Abstand von der Sonne =1.98 ist, der ^(0, v) — 6a

V

entprechende Integrationsdivisor Null ist. U. J. J. Leverrier¹⁹) schließt daraus, daß ein kleiner Planet, welcher sich in diesem Abstand von der Sonne bewegt, sich von seiner ursprünglichen Bahn entfernen muß und eine große Neigung gegen die Ebene der Jupiterbahn erhalten würde. Dies sei also ein Fall, wo man bei der Berechnung der säkularen Glieder der Neigung nicht mit den Gliedern ersten Grades auskomme, obwohl die Neigung ursprünglich klein wäre. Über die Maximal weite der Neigung kann man indessen nichts sagen, ohne daß man die Glieder höheren Grades mitnimmt. Bei Berücksichtigung dieser finden M. F. Tisserand²⁰) und C. V. L. Charlier²¹ 22), daß die singuläre Stelle bei a — 2.05 liegt, und daß die Schwankungen in der Neigung innerhalb ziemlich enger Grenzen liegen.

14.    Säkulare Glieder höheren Grades. Lagrange und Laplace hatten angenommen, daß die Glieder höheren Grades eine so kleine Einwirkung hätten, daß man sie unberücksichtigt lassen könnte. U. J.

J. Leverrieri2) versuchte die Glieder dritten Grades zu berücksichtigen. Er wendet die Methode der sukzessiven Annäherungen an und berechnet in den Differentialgleichungen die Glieder dritten Grades mittels der bei bloßer Berücksichtigung der Glieder ersten Grades erhaltenen Werte. Durch eine kleine Veränderung der in den letztgenannten Gliedern enthaltenen Konstanten kann er die Lösung noch in periodischer Form erhalten, wobei in den Argumenten auch lineare Verbindungen der ursprünglichen Argumente mit ganzen Koeffizienten auftreten. Indessen finden sich in der Lösung sehr kleine Integrationsdivisoren, welche bewirken, daß die Konvergenz der Annäherungen sehr fraglich ist. Bei dem jetzigen Stande der Himmelsmechanik scheint es in der Praxis am besten zu sein, wenigstens die Glieder höheren Grades nicht in periodische Form zu bringen, sondern sie als Entwicklungen nach Potenzen der Zeit zu geben, deren Konvergenzverhältnisse man freilich untersuchen müßte. Selbstverständlich sind auch die Glieder des Ranges eins, zwei, ... zu berücksichtigen, da besonders aus langperiodischen Gliedern entstandene säkulare Glieder höheren Ranges sehr merkbar sein können.

15.    Berücksichtigung der säkularen und langperiodischen Störungen in den periodischen Gliedern. Um in einfacher Weise die Genauigkeit der Berechnung der periodischen Glieder zu steigern, pflegen die Astronomen oft diese Glieder nicht mit den konstanten Werten der Elemente, sondern mit der Summe der konstanten Werte

der Elemente und ihrer säkularen Störungen zu berechnen. Nennen wir der Kürze wegen diese Summe säkulares Element. Nachdem man die säkularen Elemente bestimmt hat, berechnet man in der ersten Annäherung die rechten Seiten der Differentialgleichungen der Elemente mit den säkularen Elementen. Jedes Element rj = ('»?) + örj ist dann aus einer Gleichung der Form

d(n)

dt

+    = A Ą- y B^, sin (in + i'n)t + Giyi, cos (in + in) t

zu bestimmen, wo A, Bi V und Ciir Funktionen der säkularen Elemente sind (i und i’ ganze Zahlen). Die Gleichung

d(n)

dt A

definiert die säkularen Elemente seihst. Der periodische Teil Jtj des Elementes r\ wird erhalten durch partielle Integration nach der Formel

d²B

i,ï

Sr> = -'E

cos (in -f- i'n')t

in -j- in

Si,i' —

dt

dt²'

(in -f-1 n) (in -f- i" n)

dB

sin (in -f- i'n)t in -f- i'n'

dt

i,i'

d²C.{,

dt²

(i n -|- i' n)    (in -(- i' n)²

+.....

Die Gleichung (38) gibt q eine Gleichung der Form d²dQ

zur

Bestimmung des periodischen Teils von

dt²

— y^Bjj, sin (in -f- i!n)t -j- y> Ci{, cos (in -f-i'ri)t,

woraus durch partielle Integration wieder folgt

dCu

2

dt

dQ = —^

sin (in -|- i'n')t

(in -f- i'n')²

hi'

d²B, ,,

n    M

__³ dt²

in-[-Ïn    (in -f- i'n')²

cos (in -j- % n) t (ini'n')²

Ci,i’ +

dB, 2 —

dt

dt²

(in -f i'n')²

in -j- i'n

Man wendet also eine allgemeinere und genauere Bahn als die Kepler-sche Ellipse schon in der ersten Annäherung an.

Die Glieder, deren Periode sehr lang ist, haben die Eigenschaft der säkularen Glieder, sich langsam zu verändern, und man kann die Genauigkeit der Rechnung noch erhöhen, wenn man sie bei der Berechnung der periodischen Störungen mit den säkularen Elementen vereinigt. Die größten langperiodischen Glieder finden sich in q. Man

beschränkt sich oft darauf, die langperiodischen Glieder von q in Verbindung mit nt zu halten. In der Theorie von Pallas verwendet z. B. C. F. Gaußn) in den Argumenten die mit der Hauptstörung der Pallaslänge behaftete Pallaslänge und die mit der sog. großen Ungleichheit der Jupiterlänge behaftete Jupiterlänge. In den Theorien der kleinen Planeten berücksichtigt man immer in dieser Weise die große Ungleichheit von Jupiter.

16. Langperiodisclie Glieder. In Nr. 8 ist gezeigt worden, daß in den Elementen bei der Integration jedes Gliedes ein Divisor

v — jn -f- j'n

eingeführt wird. Bei der Integration der Gleichung (38) dagegen erhält man in q den Integrationsdivisor v². Je länger die Periode des Argumentes eines Gliedes ist, desto kleiner ist v und desto mehr wird das Glied bei der Integration vergrößert, wodurch große Ungleichheiten in den Elementen und besonders in q entstehen. Um eine möglichst richtige Bestimmung der Ungleichheiten zu erhalten, muß man in den weiteren Annäherungen v gleich dem Koeffizienten von t in dem Argumente des betreffenden Gliedes setzen, so daß man etwa hat

v =jn + /»' + g,

wo 6 jedenfalls eine sehr kleine Größe von der Ordnung der störenden Massen ist. Ein kleiner Integrationsdivisor entsteht, wenn die mittleren Bewegungen kommensurabel oder nahe kommensurabel sind. Je kleiner die ganzen Zahlen % und i sind, durch welche man das Verhältnis n : n ausdrücken kann, desto größer sind im allgemeinen die Koeffizienten des Gliedes mit dem Argument il — i'V -f- c in der Störungsfunktion, und desto größer werden die entstehenden Ungleichheiten. Bei den kleinen Planeten z. B. sind die langperiodischen Glieder sehr bedeutend, wenn das Verhältnis ihrer mittleren Bewegungen zu derjenigen des Jupiter nahe gleich 2 (Hekubatypus oder Typus (Hildatypus oder Typus •§•), 3 (Hestiatypus oder Typus -§-),••• ist-Bei den kleinen Planeten kommen mehrere Fälle vor, wo die Kommensurabilität der mittleren Bewegungen mit derjenigen des Jupiter sehr scharf und die langperiodischen Glieder die bedeutendsten sind. In dem System der großen Planeten sind besonders bekannt die sog. große Ungleichheit in den Bewegungen von Jupiter und Saturn und die sog. lange Ungleichheit in der Bewegung der Erde. Die erstgenannte entsteht, weil die 5 malige mittlere Bewegung Saturns nahe gleich der mittleren 2 maligen Bewegung Jupiters ist. Die letztgenannte, weil die 13 fache mittlere Bewegung der Erde nahe gleich

der 8 fachen mittleren Bewegung der Venus ist. Die Berechnung von Ungleichheiten, welche größeren Werten von i und Ï entsprechen, ist deswegen schwer, weil man die Koeffizienten entfernter Glieder in der Störungsfunktion zu bestimmen hat. Für solche Fälle sind vor allem die asymptotischen Ausdrücke der Koeffizienten benutzt worden (vgl. VI2, 13 Nr. 59, 60 v. Zeipel).

Bei den Gliedern höherer Ordnung treten in den Argumenten lineare Verbindungen der verschiedenen Planetenlängen auf, und dementsprechend erhält man Integrationsdivisoren der Form

jn -f- j'ri + j" ti" -f- • • • -f

wo die /O ganze Zahlen sind. Wenn die mittleren Bewegungen gegeben sind, kann man leicht Zahlen /v) erhalten, welche den betreffenden Divisor sehr klein machen. Es zeigt sich jedoch im Planetensystem, daß nur wenige solche Glieder merkbare Ungleichheiten geben. Ausgeschlossen ist jedoch nicht, daß die Summe aller derartigen Glieder merkbar würde. Je weiter man die Annäherungen treibt, desto mehr solcher Glieder entstehen, und die Konvergenz wird immer fraglicher. Wie man strenge der Schwierigkeit der kleinen Divisoren entgehen soll, ist noch eine ungelöste Frage. Für kürzere Zeiten entgeht man der Schwierigkeit dadurch, daß man die fraglichen Glieder als säkulare Glieder behandelt. Bei sehr langen Zeiten aber hängt diese Frage mit der Frage der Existenz von mittleren Bewegungen überhaupt zusammen.

P. S. Laplace²³) hat gefunden, daß zwischen den langperiodischen Teilen dg und dp' der Größen g und g zweier einander störender Planeten die angenäherte Gleichung

mYadg = — m'Ya'dg'

stattfindet.

17. Die Lücken in den mittleren Bewegungen der kleinen Planeten. Libration. Da die langperiodischen Ungleichheiten bei sehr naher Kommensurabilität der mittleren Bewegungen sehr groß sind, wollte man daraus schließen, daß die Störungen hier so groß würden, daß eine mittlere Bewegung nicht möglich wäre, und suchte darin die Erklärung der von Kirkwoodu) entdeckten Lücken im System der kleinen Planeten für bestimmte mittlere Bewegungen. Die ausgeprägtesten Lücken findet man da, wo die mittleren Bewegungen sich zu derjenigen des Jupiter wie    \ verhalten. Die in dieser Hinsicht von ²⁴ 25 0. Callandreau⁴*), IL Gyldén²³ 26 27), F. Tisserand4Ï) und andern angestellten Untersuchungen haben kein entscheidendes Resultat gegeben, weil man über diese Verhältnisse aus den ersten Gliedern der Störungen kein solches erhalten kann. Sie zeigen jedoch wenigstens an, daß in Zeiten von erheblicher Länge nichts passiert, was die Lücken als Folge der Gravitation der gegenwärtig vorhandenen Massen verständlich machte.

In nahem Zusammenhang mit diesen Untersuchungen steht die Frage der Libration. Wenn die Störungen bewirken, daß ein Argument in der Störungsfunktion nur zwischen endlichen Grenzen schwankt, sagt man, daß eine Libration vorhanden ist. Solche können entstehen, wenn die mittleren Bewegungen der Argumente nahe kommensurabel sind. Da die säkularen Bewegungen der Perihelien und diejenigen der Knoten sehr klein sind im Verhältnis zu den mittleren Bewegungen der Planeten, hat man im allgemeinen nur Librationen einzeln für sich zwischen Perihelbewegungen, Knotenbewegungen und mittleren Bewegungen zu betrachten. Ein besonderes Interesse beanspruchen die Librationen unter den mittleren Bewegungen. Sei

JD = ig — ÏQ -j- c

das betrachtete Argument, wo c eine konstante oder wenigstens sehr langsam veränderliche Größe ist. Mittels der Gleichung (38) und der analogen Gleichung für den störenden Planeten findet man, daß D eine Gleichung der Form

d*D

dt²

zu erfüllen hat. Auf der rechten Seite dieser Gleichung betrachtet man nur Glieder der Form

K sin {yJD + c„),

(cw — Konst.)

oder man vereinfacht noch weiter und bestimmt L) aus einer Gleichung

= —n sin (D + c₀),

welche die Bewegungsgleichung eines schwingenden Pendels ist. Es ist bekannt, daß das durch diese Gleichung bestimmte D je nach den Werten der Integrationskonstanten entweder um einen gewissen Wert schwingt, was eine Libration geben würde, oder mit der Zeit unendlich wächst oder schließlich mit der Zeit sich einer endlichen Grenze asymptotisch nähert. Indessen scheint es unmöglich, etwas

Bestimmtes daraus für den Verlauf der Planetenbewegungen in äußerst langen Zeiten zu schließen, da der Einfluß der vernachlässigten Glieder nicht hinreichend untersucht ist. Schon C. F. Gauß²⁸) vermutete, daß zwischen den mittleren Bewegungen von Pallas und Jupiter eine Libration stattfände. Die Untersuchungen von O. Gaïlandreauib)} F. TisserandV) und anderen zeigen, wenngleich sie nur angenähert sind, daß wahrscheinlich keine solche Librationsfälle im System der kleinen Planeten sich finden. Die Librationsbewegungen zwischen anderen in den Argumenten vorkommenden mittleren Bewegungen hat C. V. L. Charlier²⁹ 30) behandelt.

verwiesen.

18. Die Methode von Poincaré. Auf die Resultate der allgemeinen theoretischenUntersuchungen und Andeutungen vonH.Poincare³⁰) versuchten M. Simonin³¹) und M. K. Pojpoff³²) eine Theorie des Planeten Hekuba zu gründen. Der Grundgedanke der Poincaréschen Methode ist, eine periodische Lösung aufzusuchen, welche sich so nahe als möglich der Bewegung des untersuchten Planeten anschließt, und durch Zufügung kleiner Variationen die noch übrigbleibenden Abweichungen zu berücksichtigen. Da in der periodischen Lösung die Bewegung für alle Zeiten bekannt ist, so sollte man erwarten können, dadurch eine wenigstens für sehr lange Zeiten gültige Lösung des Problems zu erhalten. Es scheint jedoch bei der praktischen Ausführung mit Schwierigkeiten verbunden zu sein, periodische Lösungen zu finden, welche sich hinreichend nahe den wahren Bewegungen anschließen. Man müßte, um das Ziel zu erreichen, periodische Lösungen anwenden, deren Periode sehr groß im Verhältnis zu den Umlaufszeiten der Planeten ist. Bezüglich der bis jetzt angewandten periodischen Lösungen sei hier auf den Artikel von Whittaker (VI2, 12, Nr. 5, 6)

Die praktische Verwendung der Poincaréschen periodischen Bahnen behandelt A. Wilkens52a).

Bei diesen Untersuchungen bedient man sich öfters, dem Vorgänge von Poincaré folgend, der kanonischen Elemente. Man hat dann den Vorteil, daß die Differentialgleichungen der Bewegung die sehr einfache Form

dH

(49)

1, 2, 3,...)

dqr dH    dpr _

dt    dp,.⁷ dt    dqr⁷

haben, wo pr tmd qr die kanonischen Elemente bezeichnen (siehe den Artikel von Whittalter VI2, 12, Nr. 1). Ein Nachteil ist dagegen, daß die Entwicklung der Störungsfunktion komplizierter wird, und daß ein Übergang zu elliptischen Elementen für die praktischen Zwecke der Theorien öfters von den Astronomen gewünscht wird. Außer den im vorgehenden genannten lntegrationsmethoden ist bei Anwendung kanonischer Elemente die von Delaunoy in seiner Mondtheorie angewandte Methode, bei welcher nach und nach jedes Glied streng aus der Funktion!? wegintegriert wird, besonders vorteilhaft.⁵³) H.Foincarébi) hat gezeigt, daß die langperiodischen Glieder der niedrigsten Klasse, welche die wichtigsten sind, erhalten werden, wenn man in den Gleichungen (49) alle kurzperiodischen Glieder wegläßt.

II. Die Hansensche Methode.

19. Vorbemerkung. Obgleich die Methode der Variation der Konstanten in analytischer Hinsicht viele Vorteile gewährt und ohne Zweifel das Störungsproblem an seinen innersten Wurzeln faßt, hat sie in praktischer Hinsicht doch mehrere Nachteile. Als solche nennt P. A. Hansen⁵⁶) z. B.

1. Man muß für jeden Planeten die Störungen in sechs Elementen berechnen, während man, um seine Lage im Raume zu bestimmen, nur drei Koordinaten nötig hat.

53)    G. W. Hill, Trans, of the Amer. Math. Soc. I, Washington (1900) p. 205—242 = Werke 4 p. 1G9—206.

54)    H. Poincaré, Leç. de méc. cél. 1, Ch. 13, Paris 1905.

55)    P. A. Hansen hat selbst seine Methode in mehreren Abhandlungen dargestellt. Von diesen seien hier nur die folgenden angeführt: Untersuchung über die gegenseitigen Störungen des Jupiter und Saturn, Berlin 1831; Astr. Nachr. 15 (1838), p. 201 ff., wo Hansen die Prinzipien seiner Methode darstellt; Astr. Nachr. 18 (1841), p. 237 f. ; Astr. Nachr. 42 (1856), p. 273 f., und schließlich mit aller Vollständigkeit in „Auseinandersetzung einer zweckmäßigen Methode zur Berechnung der absoluten Störungen der kleinen Planeten“, Leipzig Ges. Wiss. Abhdl. 3 (1857) [Erste Abhandlung], 4 (1857) [Zweite Abhandlung], 5 (1861) [Dritte Abhandlung], welche allgemein als „Auseinandersetzung“ 1., 2. oder 3. Abh. zitiert werden. Weiter ist diese Methode beinahe unverändert in seiner Mondtheorie angewandt (vgl. VI, Nr. 15). Die Hansenschen Differentialgleichungen findet man weiter abgeleitet bei: Brünnoic, Astr. Nachr. 64 (1865), p. 259—266; O. Besser, Untersuchung über die allgemeinen Störungen der Metis, Diss. Marburg 1861; H. v. Zeipel, St. Pét. mém. 12 (1902). Ein Beispiel, wie die Hansensche Theorie für einen kleinen Planeten mit den Beobachtungen übereinstimmt, gibt H. Samter, Astr. Nachr., Ergänzungshefte Nr. 17. (1910).

2.    Die Störungen der Elemente sind im allgemeinen weit größer als die Störungen zweckmäßig gewählter Koordinaten, und um die beabsichtigte Genauigkeit in den Koordinaten zu erhalten, muß man in den Ausdrücken der Elementenstörungen eine größere Anzahl von Gliedern berechnen, die sich nachher bei dem Übergang zu Koordinaten fast ganz auf heben. Dies kommt daher, daß die Veränderungen der Geschwindigkeiten des Planeten in den Elementenstörungen auch einbegriffen sind.

3.    Die Störungsfunktion hängt von doppelt so viel Elementen als Koordinaten ab. Bei der Berechnung der Störungen höherer Ordnung hat man daher eine weit größere Anzahl Ableitungen derselben nach den Elementen als nach den Koordinaten zu bilden.

Die genannten Nachteile sucht Hansen durch eine Abänderung der Methode zu vermeiden. Er hebt hervor, wie wichtig es ist, sowohl die zu bestimmenden Größen als die Funktionen der Zeit, durch welche man die Störungen ausdrücken will, zweckmäßig zu wählen. Am geeignetsten findet Hansen die Störungen der mittleren Länge oder diejenigen der mittleren Anomalie und diejenigen des mit der für die Störungen korrigierten mittleren Anomalie berechneten Radiusvektors³³) und die Breite über der Bahnebene oder die senkrecht auf ihr stehende Koordinate. In seinen ersten Arbeiten wählte er die mittlere Länge oder die mittlere Anomalie zur unabhängigen Veränderlichen. Später erkannte er, daß es weit vorteilhafter ist, die exzentrische Anomalie des gestörten Körpers als unabhängige Variable zu wählen, indem dann mehrere in den Entwicklungen vorkommende Faktoren aus einer kleinen Anzahl endlicher Glieder bestehen, wodurch an vielen Stellen schwach konvergierende Entwicklungen nach Potenzen der Exzentrizität vermieden werden.

Endlich ist hervorzuheben, daß Hansen, auf explizite analytische Ausdrücke der Koeffizienten verzichtend, im weitesten Masse numerische Rechnungen anwendet, um langsam konvergierende Reihen zu vermeiden.

20. Die Hansenschen beweglichen Koordinaten. Ideale Koordinaten. In der ungestörten Bewegung vereinfacht sich die Integration der BeAvegungsgleichungen dadurch, daß die Bewegung in einer festen Ebene vor sich geht. Die Gleichungen und Konstanten, welche die Bahnebene bestimmen, trennen sich dann unmittelbar von den Gleichungen und Konstanten, welche die Bewegung in der Bahnebene bestimmen. Hansen erreicht eine entsprechende Trennung in der ge-

angewandt.

störten Bewegung, indem er anstatt eines festen Koordinatensystems X, Y, Z ein anderes bewegliches Koordinatensystem x, y, z, das seinen Ursprung im Schwerpunkt der Sonne hat, einführt.

Bei der Methode der Variation der Konstanten werden die Ver

änderungen der Elemente durch die Bedingung bestimmt, daß die auf feste Achsen bezogenen Koordinaten X, Y, Z und ihre ersten Ableitungen nach der Zeit die gleiche analytische Form in der gestörten wie in der ungestörten Bewegung haben sollen und daß man also

die Elemente als Konstanten ansehen kann, wenn man

durch Differentiation der Ausdrücke von X, Y und Z bildet.

dt ’ dt

dX dY , -T— und

dt

Von dem Ort des Planeten abhängige Größen, welche diese Eigenschaft haben, nennt Hansen „ideale“ Koordinaten. Eine jede Funktion von nur idealen Koordinaten und Konstanten ist wieder eine ideale Koordinate.

Es sei

X = cc X —f— cc^ i —(— &2 Z,

(50)

y — ßX -f- ßtY +

■* = yX + ytY + y₂Z,

wo a, ccl} . . ., y₂ die neun Richtungskosinus der beweglichen Achsen darstellen. Hansen will, daß x, y und' z ideale Koordinaten werden sollen. Die Richtungskosinus müssen dann die Bedingungsgleichungen

■y dcc    y d a, . y dcc^

Xdi^ï~dt^rZ~dt=={)’

(51)

+ Yi-k+zd£=°-

-y dy - y dyl | ydy2 dt "f" ¹ dt ' Z dt

erfüllen. Setzt man abkürzend

¹

Eingehende ausführliche Formeln zur Berechnung der Glieder zweiter Ordnung sind von U.J.J. Leverrier [Obs. de Paris mein. 2 (1856), p. 43—57 und 10(1874), p. 192ff.] gegeben. Die Glieder dritter Ordnung behandelt M.A. Gaillot [Paris Bull. Astr. 5 (1888), p. 329—344, 377—384].

²

   H. Poincaré, Leçons de méc. cél. I, p. 129, Paris 1905.

³

   H. Poincaré, ibid. p. 131, 341.

⁴

   U. J. J. Leverrier, Obs. de Paris aim., mém. 2 (1856), p. 87—105 und II1 (1876). Unter Berücksichtigung nur der Glieder ersten Grades berechnete P. S. Laplace (Méc. cél. III, Ch. VII) die säkularen Änderungen der Elemente der sieben innersten Planeten.

⁵

   C. F. Gauß, Gott. comm. rec. 4 (1818) — Werke 3, p. 331—355.

⁶

   P. S. Laplace, Paris hist. (2) mém. (1784) = Oeuvres 11, p. 88—92. Siehe weiter A. Cauchy, Exercices de Math. IY (1829), p. 140; C. Jacóbi, J. f. Math. 12 (1834); J. A. Grunert, Arch. d. Math. 29 (1857), p. 442; Sourander, J. de Math. 3, Ser. 5 (1879), p. 195—209.

⁷

   H. v. Seeliger, Astr. Nachr. 93 (1878), p. 353—364.

27a) C. V. L. Charlier, Öfversigt of K. Vet. Soc. Förh. Nr. 97, Stockholm 1900 == Meddelanden fr. Lunds Obs. Nr. 15.

⁸

   J. L. de Lagrange, Beri. Mém. de l’Akad. 1782 = Oeuvres 5, p. 211—344.

⁹

   M. G. Pontecoulant, Theor. Anal, du Syst, du Mond, Bd. 3 (1834). Seine Werte sind jedoch mit zu wenig Dezimalen gerechnet.

¹⁰

   U. J. J. Leverrier, J. de Math. 5, p. 220 ff. — Conn. des temps pour 1843.

¹¹

   U. J. J. Leverrier, Obs. de Paris ann., mém. 2. p. 105—170.

¹²

   J. N. StockweU, Smiths, contr. 18, Washington 1870.

¹³

   P. Harzer, Preisschriften der Fürstl. Jablonowsk. Ges., Leipzig 1895. In dieser Arbeit bedient er sich der sog. kanonischen Elemente anstatt elliptischer.

¹⁴

   C. G. J. Jacobi, J. f. Math. 30 (1846), p. 51—94 = Werke 7, p. 97.

¹⁵

   J. L. de Lagrange, Mém. de l’Akad. de Berlin (1782) = Oeuvres 5, p. 285.

¹⁶

   P. Bohl, J. f. Math. 135 (1906), p. 189—283. Daselbst findet man über die Versuche, diese Frage zu lösen, referiert.

¹⁷

   Die numerischen    Werte    der Koeffizienten (0, 0) und [0, 0]    findet man

bei G. Noreń und S. Raab,    Lunds    Univ. Arsskrift 36, Afd. 2, Kr.    8 =    K. Fysiogr.

Sällsk. Handl. 11, Nr. 8 = Meddel. fr. Lunds obs. Ser. II, Nr. 2, (1901).

¹⁸

   C. V. L. Charlier,    Mech.    d. Himmels I, p. 424, Leipzig    1902.

¹⁹

   U. J. J. Leverrier,    Obs. de Paris ann., mein. 2, p. 165    und    Add. p. 35.

²⁰

   M. F. Tisserand, Obs. de Paris ann., mém. 16 (1882), p. 56—57.

²¹

   C. V. L. Charlier, Mech. d. Himmels I, p. 432.

²²

   TJ. J. J. Leverrier, Obs. de Paris arm., mém. 2, Add. p. 38—51.

²³

   0. Callandreau, Obs. de Paris ann., mém. 22 (1896).

²⁴

   P. S. Laplace, Méc. cél. 1, p. 334 = Oeuvres I p. 360.

²⁵

   Kirkwood, Proc, of the Amer. Philos. Soc., Philadelphia 1871.

²⁶

   H. Gyldén, Öfversigt af K. Yet. Akad. Förh. 52. p. 603, Stockholm 1895.

²⁷

   F. Tisserand, Méc. cél. 4, p. 417—444.

²⁸

   C. F. Gauß, Werke VII, Nachlaß p. 421, 557—559.

²⁹

   C. V. L. Charlier, öfversigt af K. Yet. Soc. Förh. Nr. 2 = Meddel. fr. Lunds Obs. Nr. 12, Stockholm 1900.

³⁰

   H. Poincaré, Les méth. nouv. de méc. cél. 1, 2, 3, Paris 1892, 1893, 1899; Leç. de méc. cél. 1, Paris 1905; Bull. Astr. 19 (1902), p. 177—198 und 289—310.

³¹

   M. Simonin, Obs. de Nice ann. 6, Paris 1897.

³²

   M. K. Popoff, Sur le mouv. de (108) Hécube, Diss. Paris 1912. 52a) A. Wilkens, Astr. Nachr. 195 (1913) p. 385—412.

³³

Anstatt des Radiusvektor wird bisweilen dessen natürlicher Logarithmus

G = rjï +    •

so können diese Gleichungen wie folgt geschrieben werden:

(52)

Ay — Bz = 0, Ax — Gz — 0, Bx — Cy = 0.

Die Gleichungen (51) stellen also nur zwei unabhängige Bedingungen zwischen den Richtungskosinus dar und besagen geometrisch, daß das bewegliche ideale Koordinatensystem sich jederzeit um den augen-

aß -f- a₁ß₁ -f- ^2^2 = 0, ay + axyx -f a₂y₂=0,

blicklichen Radiusvektor des gestörten Planeten dreht. Daher bestimmen die sechs bekannten Bedingungen

a² + a ² + a₂² = 1,

0²+/V+A,² = 1, y⁸+n²+y₂²= l,

ßr +    + /Vs = ⁰

in Verbindung mit den Gleichungen (51) nicht vollständig die Richtungskosinus des idealen Koordinatensystems. Um dies zu erreichen, wählt Hansen als neunte Bedingung

(53)

* —0,

woraus folgt, daß der Radiusvektor stets in der xy-Ebene sich befindet, oder daß die xy -Ebene, welche also die instantané Bahnebene ist, sich um den in dieser Ebene sich befindenden augenblicklichen Radiusvektor dreht. Durch diese Bestimmungen wird die x- und somit auch die y- und z-Achse vollkommen bestimmt für jeden beliebigen Zeitpunkt, wenn die Lage der x -Achse in der Bahnebene für eine gegebene Ausgangsepoche gewählt ist.

Um die Lage des Planeten zu erhalten, hat mau folglich die Lage der Bahnebene, die Lage der x-Achse in der Bahnebene und die Bewegung des Planeten in dieser Ebene zu bestimmen.

21. Die Differentialgleichungen der Bewegung in der instan-tanen Bahnebene. Unter Anwendung der Gleichungen (50) und der Differentialgleichungen der Bewegung für die auf feste Achsen bezogenen Koordinaten X, Y, Z leitet man die Gleichungen

(1 -j- m)x

d*x

(54)

dt*

r³

/1 I \ d

— (! + m)

= (i + «o %

(1 + m)y r*

ab, wo die Störungsfunktion Sl den vorher (Nr. 2) angegebenen Ausdruck hat und, weil z — 0, der Radiusvektor durch die Gleichung

r² = x² -J- y²

dt*

(55)

gegeben ist. Dabei ist 1t — 1 gesetzt⁶).

Führt man statt x und y die Polarkoordinaten r und w durch die Gleichungen

(56)

x — r cos w,

ein, so geben die Gleichungen (54)

1 -f - m

y = r sin w

(57)

n i \d£i = (1 +

₂d*w , ₉ dr dw _ d / 2 dw\ _ n I X .

\r ~d? + lrdt dt — dt v dt ; - ^ div

d*r

r(ty+

Die Gleichungen (54) und (57) sind von den Astronomen oft angewandt worden.¹) Wie man sieht, kann die Bewegung der Bahnebene, nur soweit iß davon abhängt, auf die Bewegung in der Bahnebene einen Einfluß ausüben.

22. Die Differentialgleichungen für die Bewegung der Bahnebene und die Lage der X-Achse. Die Lage der xy-Ebene bestimmt sich am einfachsten durch Angabe ihrer Knotenlänge ß und ihrer Neigung i in bezug auf eine feste Grundebene X Z (z. B. die Ekliptik für eine beliebige Zeit). Die Lage der «-Achse wird gegeben durch den in der Bewegungsrichtung des Planeten gezählten Abstand 6 von der «-Achse bis zum aufsteigenden Knoten der xy-Ebene auf der festen XZ-Ebene. Den Wert d₀, welchen ö für die Epoche t = 0 annimmt, bestimmt Hansen durch die Gleichung

(58)

⁼⁼ ^>0 ’

wo ß₀ die oskulierende Knotenlänge für t = 0 bezeichnet. Für die Größe 6 findet man die auch durch geometrische Betrachtungen leicht abzuleitende Differentialgleichung

• du

dt = cosl~dt’

wo und i z. B. durch die Gleichungen (23) erhalten werden können.

Sei B der Winkel, den der Radiusvektor mit der XZ-Ebene macht und L der Winkel zwischen der X-Achse und der Projektion des Radiusvektors auf die XZ-Ebene. Dann ist

' X — r cos B cos L,

Y = r cos B sin L,

Z — r sin B,

cos B sin (L — ß) = cos i sin (w — d), cos B cos (L — ß) = cos (w — d),

sin B = sin i sin (w — d).

Diese Gleichungen sind indessen nicht die geeignetsten zur Ermittlung von L und B, weil die konstanten Teile der Elemente nicht von den variablen Teilen derselben getrennt sind. Hansen erreicht eine solche Trennung durch Transformation der Gleichungen (61) in die folgenden

(59)

(60)

und

(61)

da

cos Bsin (Z — <Q>₀ — P) = cos iQ sin (w— &₀) — g(%K Cq₈ ; (62) • cos B cos (Z — &₀ — r) = cos (w — &₀) + V ’

sin B = sin i₀ sin (w — <fi,₀) -f- s,

wo

P = sin i sin ( 6— ß₀),

■ Q = sin i cos (ö — ß₀) — sin i₀, z — cos i₀ (cos i₀ + cos i) — Q sin i₀ , s = Q sin (w — &₀) — P cos (w - ß₀)

ist, und die Größe P durch die Gleichung

(63)

(64)

tg (ß <0>o    P)|

(cos i -f cos i₀) sin (g — Q₀)__

[(1 -f- cos i cos i₀) cos (g — Q₀) — sin % sin i₀

gegeben ist. Am einfachsten ist jedoch P aus der Differentialgleichung

dr lirs dH

dt x dz

(65)

zu

erhalten, wobei

(66)

1/1 +

ya(l — e²)

gesetzt worden ist.

Die Größen P und Q können auch durch die Gleichungen

dSi

(67)

~ = hraia(w — ß.) gj

bestimmt werden, wobei die Integrationskonstanten so gewählt werden müssen, daß P und Q Null werden, wenn t — 0 ist.

Die Größen P, Q und s sind von der ersten Ordnung, wogegen P

sQ

sP

x cos i₀

zweiter Ordnung ist. In den Gleichungen (62) sind P, — und

in den meisten Fällen ganz unmerklich und können unberücksichtigt bleiben.

Ersichtlich sind r, w und nach den letzten Gleichungen (60) und (62) auch s ideale Koordinaten. Aus der Gleichung (64) folgt daher

ds

= (Q cos («> — ß₀) + -P sin («0 — ßo)) ^,

welche Gleichung in Verbindung mit (64) unmittelbar P und Q gibt, wenn die analytischen Ausdrücke von w und s bekannt sind. Da man immer mit hinreichender Genauigkeit z — 2 cos² i₀ setzen kann, ist die Bestimmung der Lage des Radiusvektors in der Hauptsache auf die Ermittlung von w und s zurückgeführt.

23. Differentialgleichungen zur Bestimmung des B,adiusvektors und derjenigen der mittleren Anomalie. Anstatt der Veränderlichen r und w führt Hansen zwei neue Größen v und £ oder nöt, durch die Gleichungen

(68)

= a{l — e cos E),

«( 1 —e»)

1-f-c cost?

r = r₀(l -j- v), n²az = 1 -(- m, nt, = nt    c -f- ndl — E — e sin E

ro ~

ein, wo ïï, a, e und c Konstante sind, welche am zweckmäßigsten gleich Mittelwerten der elliptischen Elemente w, a, e und s für die Zeit, welche die Theorie umfassen soll, gewählt werden. Bevor solche bekannt sind, kann man sie gleich den oskulierenden Elementen zur Zeit der Epoche (t — 0) setzen. Durch diese Wahl wird erreicht, daß v und d£ Größen erster Ordnung werden.

Aus den Gleichungen (57) und (68) leitet man die Gleichungen

1 -j- tn ro C¹ + v)

v(l -f- m)

e sin v c ü

r₀\l + vr

a( 1 — e*) dv

(69)

1 -\-m

dd£

r₀*(l + «Ö⁸

(2 S + S%

. dt

(1+vV

(70)

dS

dt

1 -j- m d & a( 1— e²) dv

ab, welche nach Hansen indessen nicht zur Berechnung allgemeiner Störungen geeignet sind, weil sie auf schwach konvergierende Reihen führen.

Um seine zur Berechnung allgemeiner Störungen anzuwendenden Gleichungen abzuleiten, geht Hansen von den für die elliptische Bewegung geltenden Formeln

W = Vx -j— <ÜX,

«iG — O

1 -f- ex cos vx

nxt ex — <5X = Ex — ex sin Ex

aus, wobei ax, q, £x und œx die oskulierenden Elemente sind. Die (68) und (71) folgenden Gleichungen

(71)

aus

= ax (1 — ex cos Ex), n^axA = 1 -f- m,

ro²% ⁼ Vt¹ + m) a(¹—ß2)> r2 dl ⁼ vT¹+m) %(1 ~ O

geben

(72)

di

dt hx (1 -(• v)

WO

(73)

ax nx

]/l + m

Vpi

Vl-eÿ

ist, und h die früher (Gl. (66)) eingeführte Konstante ist. Weil

*    = ül

1 -j- v r

ist, bekommt man nach den Gleichungen (68) und (71)

(74)

COS V

WO

£ cos² (p = ex cos (wt — to) — e,

■ ip cos² (p = ex sin (cc^ — ©), e — sin <p

ist. Unter Anwendung der Gleichung (74) erhält man aus (76 a)

oder nach G. W. Hill⁵⁸) besser

(75)

(72)

dt

= 1+W + £/ *

.1 + v,

(76 b)

dt

dt— ¹ + 1

~vi *

WO

(77)

TT = £+

a

cos V

+ sin v

ist und die sogenannten Hansenschen Elemente durch die Formeln

£ =

(78)

VJJ'_

gegeben sind.

Eliminiert man r cos v und

den Gleichungen (74), (77) und (78), so findet man bis auf Glieder höheren als zweiten Grades in W und E die Entwicklung

aus

-iW-ł8+łW¹+±3*+--:

Oft wendet man indessen diese Gleichung nur zur Kontrolle an und berechnet v aus der Gleichung

(79)

dv

dt ~ 2^ (.Tsinv-W (cos v + «)),

58) Gr. W. Hill, Amer. Journ. of Math. 4 p. 246 (1881) = Works 1 p. 348.

welche man durch Differentiation der Gleichung (75) und Substitution des Wertes (72) für ^ betrachtet werden können, weil v eine ideale Koordinate ist.

erhält, wobei die Elemente als Konstanten

G. W. Hill²) hat noch gezeigt, wie man v aus den ersten Gliedern von W berechnen kann, wenn £ bekannt ist.

24. Bestimmung der Funktion W. Da T, W bekannte Funktionen der oskulierenden Elemente sind, so könnte man, um W zu erhalten, unter Anwendung der Gleichungen (21) und (22) jede einzelne dieser Größen durch eine Differentialgleichung bestimmen. Um W nicht in dieser Weise zerlegen zu müssen, wodurch seine Entwicklung weitläufig gemacht wird, leitet Hansen durch Differentiation d TP*

einen Ausdruck für ab, wobei indessen nur die Größen B, T, nicht aber r₀ und v als von t abhängig betrachtet werden. Um die festgesetzte Unabhängigkeit dieser explizite in W eingehenden Größen r₀ und v von den in den störenden Kräften eingehenden und von t abhängigen Variablen r₀ und v unzweideutig zu kennzeichnen, führt Hansen für sie und die von ihnen abhängigen variablen Größen neue Bezeichnungen ein. Seien in diesem Sinne

(G)

t, v, r₀, E, £ und <5£

durch

)n

ao> Qo> Vo> Xo und dXo bezeichnet, wonach man die Gleichungen

"nXo =nr + c + näx₀= r}₀— e sin tj₀, e ,    1

— tg — C3

e ° 2

= a( 1 — e cos rj₀)

(81)

Qo =

a( 1 — e*)

1 -f- e cos ro₀

hat. Die Funktion

(82)

W = g -f T^ cos oj₀ + sin C3₀

geht also in W über, wenn überall die Größen (F) durch die entsprechenden Größen (G) ersetzt werden, wenn also die Unabhängigkeit der Größen (F) von t wieder aufgehoben wird, was von Hansen (wie hier) durch einen Strich über der betreffenden Funktion zeigt wird.

Weil

ange-

dW

~J7⁼=~

coT, sin ra0 — ^(cos O₀ + ëj)

ist, kann die Gleichung (80)

LfiE\

2 \dr)

dv

dt = -

geschrieben werden, wodurch die Bestimmung von v von der Funktion W abhängig gemacht wird.

Difierentiiert man die Funktionen W und E nach t und führt für die Derivierten der Elemente die Ausdrücke (21) und (22) ein, so erhält man die Gleichungen

(84)

dW

dt

dsi

und

[cos(v-ß3₀) —l}^-+ 2Äy sin (v-œ₀)r~

(85)

dt

durch welche W und hx zu bestimmen sind.

25. Bestimmung der Breite. Zur Bestimmung der durch die störenden Kräfte bewirkten Abweichung der Bahn von der durch £1 und i bestimmten Bahnebene benutzt Hansen anstatt s (vgl. Nr. 22) das Produkt

(86) u = ~ s = ~Q sin (v -f- tu — &) — P cos (y -{- m — ß).

Weil u eine ideale Koordinate ist, kann man wieder bei der Bildung von ~ die Größen P und Q als Konstanten betrachten. Wird

(87)

R = ™ Q siu (a₀ + 57 — ft) — ^ P cos (ra₀ -f- ET — &),

gesetzt, so findet man, daß

(88)

und

du

_ /dB\

~dt ~ \dt)}

wo der Strich die vorher angegebene Bedeutung hat. Aus diesen beiden Gleichungen muß derselbe Ausdruck für u folgen, was zur Kontrolle dient.

Um R zu bestimmen, wendet man den Ausdruck

Jt “ V1° 8in (“o — «) «OS Ąj an, welcher aus den Gleichungen (23) und (87) leicht abzuleiten ist.

(89)

(90)

dB

VI s, 15. Karl F. Sundman. Theorie der Planeten.

770

26. Weitere Ausführung der Methode. Um d£, v und u zu

h

(85) und (90)

erhalten, hat man zunächst W, ^ und R aus den Gleichungen (84), zu bestimmen. Die rechten Seiten dieser Gleichungen enthalten jedoch die zu bestimmenden Größen, und man muß Annäherungsmethoden anwenden. Da v und u kleine Größen erster Ordnung sind, entwickelt Hansen nach Potenzen derselben. Schreibt man

w= W₀+ dtW + d₉W ----,

R = R₀ dxR -f-d,R 4----,

¹ +< + *i£ + *£ + "-,

wo W₀, R₀, Ö₀ ^ die Glieder erster Ordnung, 0\1U₀, dlR₀, die Glieder zweiter Ordnung sind usw., so erhält man durch Gleichsetzung der Glieder erster Ordnung in den Gleichungen (84), (85) und (90)

(91)

Aw “    l+²^>[cos <>-”)-4

2 h₀~ sin (v — gj) r

da

dv

da

dr y

1 dR9 cosi dt

** cO

= hr₀ £ sin (v — a) ,

dt

= hdJ-

wo

nt —(— c = 7] — e sin r/,

= a( 1 —e cos rf)

ist. Um die Glieder zweiter Ordnung zu bestimmen, erhält man weiter

=Äi»t + Bv°+Ci> K + Du° + Eiir

+ Fä₀i' + Gv₀'+Hui;

(92)

(93)

tg-f“

a{ 1 — e*)

1 -f- e cos cd

ddiJT

—jP-, wo A, B,...,H Funk-

dt

tionen von r, œ und den partiellen Ableitungen der Störungsfunktion, d₀£, v₀, u₀, die in der ersten Annäherung erhaltenen Werte erster Ordnung von ô £, v, u, ~ und ó₀ £', v₀', u₀' die analogen Größen für

dätB

und analoge Ausdrücke für

und

27. Integration mit der Zeit als unabhängiger Veränderlichen. Wenn die Exzentrizitäten klein sind, kann man die Zeit als unabhängige Veränderliche anwenden und dabei doch eine genügende Konvergenz erhalten. Hansen⁶⁰) selbst und nach ihm Gr. W. Hill⁶¹) haben in dieser Weise die Theorien verschiedener von den großen und A. W. Leusch-ner⁶²) von den kleinen Planeten behandelt.

Die Störungsfunktion und ihre partiellen Ableitungen entwickelt man in Reihen der Form (siehe den Artikel VI₂, 13, v. Zeipel) wo M — nt —f- c und M' — nt -f- c die mittleren Anomalien des gestörten und des störenden Körpers, C und K Konstanten, i und i' ganze Zahlen bezeichnen. Die in den Differentialgleichungen enthaltenen Funktionen von p und œ sind in der Form Fourierscher Reihen von (M) = nt -f- c zu entwickeln, so daß schließlich die rechten Seiten der Gleichungen (91) in der Form (94) erhalten werden (i eine ganze Zahl). Hansen⁶⁶) zeigt, wie man die Koeffizienten K für alle verschiedenen Werte von t einfach berechnen kann, sobald man K für die speziellen Werte — 1,0 und -f- 1 bestimmt hat. Bei der Integration sind nur M und M' von der Zeit abhängig, und man erhält durch lineare Integration gemäß der Formel

/Ż {+ iM + i'M' +C)dt

in -f- i'n -f- sin

den störenden Planeten sind. Das Glied E^ erklärt sich dadurch,

dt    ⁷

daß die Störungsfunktion von den Größen P und Q und diese wieder von s und

ds

^ oder u und

du

dt

abhängen.

~ c?s {i(M) -f iM -f i'M' + C}

für W₀, B₀ und d₀ f- Ausdrücke der Form (94). Um die Störungen erster Ordnung d₀£, v₀ und u₀ zu berechnen, hat man in TF₀, R0f

60)    P. A. Hansen, Untersuchungen über die gegenseitigen Störungen des Jupiter und Saturn, Berlin 1831; Leipzig. Ges. Wiss. Abhdl. 1876.

61)    G. W.Hill, Wash. Astron. Papers 4 (1890) = Works 3.

62)    A. W. Leuschner, Mem. of Nat. Acad. of Science 10 (1910).

63)    P. A. Hansen, Untersuchungen über die gegenseitigen Störungen des Jupiter und Saturn, Berlin 1831, p. 26—28.

erhalten werden. Um die Störungen zweiter Ordnung zu erhalten, berechnet man die rechte Seite der Gleichung (93) und die analogen

h.

—, wonach erst

die Zeit t anstatt t und also M anstatt (M) zu setzen, wodurch die rechten Seiten der aus (76a), (83), (88) und (89) folgenden Gleichungen

d*₀£

dt

u₀ B₀,

dvo ₌

dt    2 \    )’

duo (d B₀\ dt    \ dt /

d 7?

Ausdrücke in den Gleichungen für    und

und weiter vx und % ähnlich wie die Störungen

erster Ordnung erhalten werden. Ähnlich berechnet man nach und nach Störungen höherer Ordnung, wenn dieses nötig ist. Natürlich ist es wichtig, ein zweckmäßiges Rechenschema anzuwenden, um keine merklichen Glieder in den im allgemeinen eine große Anzahl von Gliedern enthaltenden Reihen zu übergehen. Es sei hervorgehoben, daß Hansen alle Koeffizienten in numerischer Form hält, wodurch bei der Rechnung die Größe der Glieder gleich hervortritt und die mitzunehmenden Glieder leicht zu finden sind.

28. Die exzentrische Anomalie als unabhängige Veränderliche. Wenn die Exzentrizität des gestörten Körpers, wie es bei den kleinen Planeten öfters statthat, nicht klein ist, vermeidet Hansen durch Anwendung der ungestörten exzentrischen Anomalie als unabhängiger Veränderlichen mehrfach schwach konvergierende Reihenentwicklungen. Dementsprechend werden q und œ als Funktionen von rj dargestellt, womit erreicht wird, daß rj, aber nicht Vielfache von rj in den Argumenten eingehen. Mit dieser unabhängigen Veränderlichen ist die Methode von Hansen in seinen „Auseinandersetzungen“ eingehend dargestellt und ist in der daselbst gegebenen Form vielfach von den Astronomen ganz oder fast ganz unverändert angewandt worden.

Die exzentrische Anomalie, welche hier von Hansen benutzt wird, ist die, welche aus der Zeit und den den Störungsrechnungen zugrundegelegten konstanten Elementen folgt. Sie sei der Deutlichkeit wegen mit e bezeichnet. Man hat dann

nt -f- c = 8 — e sin s

und erhält weiter einen dazugehörenden Radiusvektor (r)

(r) — a( 1 —e cos e).

28. Die exzentrische Anomalie als unabhängige Veränderliche. Unter Anwendung der Gleichung

(95)

dt    (r)

n-j- — ds    a

folgt

aus

(91)

dW

(96)

de

= Ma^ + Na(r)§^ = T₀,

dR₀

de

= Qa2 cos i — U₀,

wo die Größen M, N und Q durch die Gleichungen

cos² cpM — — 3 (1 — i-e²) -|- 2 e cos s — cos 2 e -f- e² cos (77 -j- e)

—    3e cos 77 -J- (4 — e²) cos (77 — e) — e cos (77 — 2 e), cos² cp N — e sin s — ^-e² sin 2s -j- e² sin (77 -J- s) — e sin 77

—    (2 — e²) sin (77 — s) -f- e sin (77 — 2 e),

Q — e sin e — i-e² sin 2s -}- ^-e² sin (77 -f- a) -—    sin 77

+ (1 +1^²) sin (v — £) — łe sin (.V — 2s)

gegeben sind. Die Glieder zweiter und höherer Ordnung in W und H werden nach und nach ähnlich wie in Nr. 26 und 27 erhalten. Die Größen v und u sind vermittels der aus (76a), (83), (88) und (89) abzuleitenden Gleichungen

~de

? {W, + -i, W + V] + (^)n8„t+ ■■■),

ds

(97) <

\m+m

+m-m

aesins    ,

T) 1 ⁺ ‘ '

(r)

B₀ + S₁B + (^f)a^ + --

du

de

(dB₀\ , /d ^RK dâ \ dr} /    \ ^73 ) ds

aesine andg

(r)

zu bestimmen, wobei jedoch auf den rechten Seiten nur Glieder erster und zweiter Ordnung ausgeschrieben sind.

Aus der Gleichung (72) findet man, daß

£ = (l + 2„ + ^)(l + ist, kann aber ~ bis auf Glieder zweiten Grades durch die aus (85)

(98)

a dn8£ (r) d e

abzuleitende Gleichung

(99)

erhalten.

~ds

(dWo\ _ rfi

Vds ) ~¹o

Die Störungsfunktion und die zur Berechnung der Störungen erster und höherer Ordnung nötigen Ableitungen derselben entwickelt Hansen vermittels einer gemischten, numerisch-analytischen Methode (vgl. v. Zeipel, VI2, 13, Nr. 51, 52) in Reihen der Form

2 K«' co“ ! (»' -»»s - f(e'—<*(*)},

wo und c, n die c und n entsprechenden Größen des störenden Planeten sind. Bei diesen Entwicklungen befolgt Hansen den Grundsatz, alle Glieder, welche eine vorgeschriebene Größe erreichen, mitzunehmen, was bei der eingeschlagenen numerischen Entwicklung unmittelbar durch geführt werden kann.

Die oben angeführten Werte von M, N und Q geben in Verbindung mit den Ableitungen der Störungsfunktion für T₀ und U0 Reihen der Form

£> + (<-*»* - tv-tp)),

wo A nur die Werte —1,0 und -f- 1 annimmt. Nach den Gleichungen (96) finden sich dann für TF₀ und J?₀ Reihen der Form

2    ■ + Z+ (•’ ■- O). -    - «rt )

+ 2 sKi> 0,0 • cos 1    + 1{o + cos n + h sin V},

wo- Jc₀, Jit und h von łj unabhängige Integrationskonstanten sind. Wenn n und n kommensurabel oder nahe kommensurabel wären, könnte der Divisor i — i' (i gleich oder nahe gleich Null sein, ohne daß i — i — 0 sind. In diesen Fällen müßte die Integration anders ausgeführt werden, weil die Konvergenz nach Potenzen der störenden Kräfte nicht mehr stattfindet. Hansen nimmt an, daß die mittleren Bewegungen nicht solche Werte annehmen, daß die Divisoren zu klein werden. Um bei kleinen Divisoren die Hansensche Methode anwenden zu können, schlägt K. G. Olsson³) vor, ähnlich wie in den Gyldén-schen Theorien, das in den Argumenten vorkommende in zwei

Teile, wovon der eine, nur Glieder von langen Perioden, der andere, d£k) nur solche von kurzen Perioden enthält, zu zerlegen und nur aus den Argumenten durch Reihenentwicklung wegzuschaffen, wogegen <5 h in den Argumenten stehen bleibt und die einzelnen Glieder durch partielle Integration integriert werden.

Mit den oben angegebenen Werten von WQ und M₀ findet man

h

nach den Gleichungen (97) und (99) für d₀£, v₀, u₀ und ä₀^~ Ausdrücke der Form

AT₀ -j- Kxs    K.₂s cos s -f- Kze cos s + K±s cos 2 s -f- s sin 2 s

+ZK

sin

| (i — i' fi)s — i'{c—Cfi) |

wo die Integrationskonstanten K₀, Klf . . ., K₅ zweckmäßig zu bestimmen sind. Die Störungen zweiter Ordnung kann man aus den Gleichungen (97) und (99) gewinnen, sobald die Störungen erster Ordnung erhalten sind. Im allgemeinen sind nur die Glieder zweiter und höherer Ordnung merkbar, welche kleine Divisoren enthalten, was ihre Aufsuchung bedeutend erleichtert.

III. Koordmatenstörungen.

29. Störungen der rechtwinkeligen Koordinaten. Seien x₀, y₀, z0 die Koordinaten der ungestörten Bewegung, welche also die Geichungen (4) für Sl = 0 erfüllen, und d^x, d^y, d^z die Störungen ftter Ordnung des gestörten Körpers. Setzt man in den Gleichungen (4)    — 1 und

^0+ $ix "f" ^2X H----;

î/o + ö±y -f- d₂y +• • • -,

¹

Sie sind zuerst von Hansen gegeben. Nach Y. Villarceau (Paris Pur. Long, annales 2 (1882)) bat Wroński 1842 dieselben Gleichungen gefunden.

²

G. W. Hill, Amer. Joum. of Math. 4 p. 258 = Works 1 p. 350.

³

K. G. Olsson, Stockholm, Bih. K. Vet. Akad. (22) 2 (1896).

+ ^iz + ^2z + • ‘ ’)

statt x, y, z, so erhält man durch Gleichsetzung der Glieder derselben Ordnung zur Bestimmung der Störungen uter Ordnung Differentialgleichungen der Form

(1 + in) 8^ x

(100)

d²8i(x

^•o⁵

(1 + m)8uy

³ (1 + m) (x₀ 8U x + y₀ Sfi y + z₀ 8fi z)

ro

r₀⁶

/.i i

d²8 z

_M_

^ dt² _1_

r₀s

3(1+ m) {x₀9flx + y₀ 8U y + z₀ 8fi z)

,u>

WO

r₀²=xo²+y o²+V

ist und Xu, Y } Z nur von bekannten Größen und von den Störungen bis zur (ft — l)ten Ordnung abhängen. Wenn die Bahnen der störenden

Körper nicht bekannt sind, bat man gleichzeitig durch ähnliche Gleichungen deren Störungen zu bestimmen. Man gewinnt nun vermittels der Gleichungen (100) nacheinander

àpX, à'^y, ô^z für (i = 1, 2, 3,....

Die Koordinaten x₀, y₀, 0O und ihre Ableitungen

dx₀

dt

% dt ’

sind bekannte Funktionen der Zeit und von sechs Integrationskonstanten (z. B. den elliptischen Elementen) Cv(y — 1, 2, . . ., 6), und umgekehrt sind die Konstanten Cv Funktionen von x₀, y₀, 0O, |₀, ł?₀, £₀ und t. Nach O. Dzióbek*⁰) sind die Lösungen der linearen Gleichungen (100) durch die Formeln

s^x—2A'ü.’

v=l

zu erhalten, wo die Av durch die Gleichungen dAv_ -y dCv , -y dCv i y dCv

dt ~ V    vdrio^ * d£o’

bestimmt werden. Eine andere Form der Lösung ist¹)

à“x =2B-ré

V = 1

wo die Bv aus den Gleichungen

_ x

f¹

erhalten werden. Daneben sind noch die Formeln d d x

dt*y 2Mt’

Ql) QO

v=l

V=1

6)

dB

dt

dcv

+ Yu

dVo

dCv

«?

dz₀

dCv

r=l

iy = i, 2, . . ., 6)

dd

Ô v —---—

dt

d â z    d C

V ^ ~~dt~ “    Jzo

~2B> •

r=1

zu bemerken.

Führt man in die Störungsfunktion anstatt der Koordinaten x,y,z die Werte von x₀, y₀, z₀ als Funktionen der Zeit und der elliptischen Elemente ein, bildet das Integral

U —J £ldt

t₀

und ersetzt in U wieder die Elemente des gestörten Planeten durch ihre Ausdrücke in xQ, y₀, z₀, £₀, ij₀, £₀, so kann man die Störungen erster Ordnung durch die einfachen Formeln⁶⁵)

dxz —

d\x =

dü

dêo ’

Ö- ?

GVo

du

äiV = —

» <U = -

du

erhalten, welche eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den kanonischen Differentialgleichungen zeigen.

J. F. Encke²), welcher zuerst die Methode der Berechnung der allgemeinen Störungen in rechtwinkligen Koordinaten entwickelt hat, führt indessen die Integration in anderer Weise aus, indem er das dritte Glied der drei Gleichungen (100) zunächst für sich ermittelt und dadurch das weitere Problem vereinfacht.

Multipliziert man die Gleichungen (4) der Reihe nach mit

<*• «

dz

addiert und integriert, so folgt:

(i«)

wo K eine Konstante und

(102)

d'£l= (

dx dt

2(1 -j-m)fä'tt + K,

. dü dy . dSl dz\ ,

+ Tydt^ dzdt)dt

ist. <%>ö ist also das Differential von &, wofern nur die von dem gestörten Körper abhängigen Größen variiert werden. Aus den Gleichungen man 2 (1 + m)

(4) und (101) findet

(103)

d² r²

2K + 2(l + m)(rfr + 2fd’ü)

und dadurch für öfLr (die Störung y,tei Ordnung von r) die Gleichung

rn r

+    = b

¹ r₀s

(104)

d*(r₀^r)

dt²

t*’

wo R^ nur von bekannten Größen und von den Störungen bis zur (g.—l)ten Ordnung abhängt. Da

+ Vod^J + «oV = *b V +

ist, wo (dr)/t auch nur von bekannten Größen und den Störungen bis zur (tu—l)ten Ordnung abhängt, kann man nach der Integration der

Xl = r₀ cos v₀, yx = r₀ sin v₀,

(107)

ist und v₀, a₀, e₀, die wahre Anomalie, die halbe große Achse und die Exzentrizität der ungestörten Bewegung bezeichnen. Um die Integration auszuführen, werden die Störungsfunktion und ihre Ableitungen in Reihen der Form

Sa

cos

Gleichung (104) das dritte Glied der Gleichungen (100) als bekannt ansehen. Die Gleichungen (104) und (100) sind dann alle von der Form (105)

Fco

„ vj .    (1 -J- m)co

dt    r₀³

wo Q bekannt ist und wo eo nacheinander den Wert r₀Öur, Öuoc, Öuy, duz bekommt. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet

yx pcx Qdt — xx j*yx Qdt yi + wT/a₀(l~e₀)*

= Q,

(106)

03 =

WO

(iM₀ + ÏM') +2>ß sin (iM₀ + Ï Mr)

entwickelt, wo M₀ — n₀t -1- s₀ — SJ₀ und M’ —nt-f- e — Sj' die mittleren Anomalien des gestörten resp. des störenden Körpers bezeichnen. Encke⁶⁶) entwickelt xx und yx in Fouriersche Reihen von M₀ und leitet Formeln ab, wodurch man unmittelbar aus einem Gliede in Q von den Formen

at

cos

sin 1

das entsprechende Glied in a erhält, was für die Bestimmung von <3₁r, d₁x, dxy und dxz hinreichend ist.

G. W. Rill⁶¹) hat die Formeln noch kürzer schreiben können, indem er anstatt t die wahre Länge als unabhängige Veränderliche einführt.

Die Störungen in den rechtwinkligen Koordinaten wachsen verhältnismäßig schnell an. Dadurch wird es früher als bei anderen Methoden nötig, die Störungen höherer Ordnung zu berücksichtigen.

30. Störungen der polaren Koordinaten. Die polaren Koordinaten, Radiusvektor r, Länge w in der beweglichen Bahnebene (im Sinne von Hansen; siehe Nr. 20), von einer in dieser Ebene festen Linie gerechnet und der Abstand z des gestörten Körpers von einer festen Ebene, wozu öfters die Bahnebene des gestörten Körpers zur Ausgangsepoche gewählt wird, können durch die Gleichungen (57) und die letzte der Gleichungen (4) bestimmt werden. Eine der Glei- ³

cłmngen (57) ersetzt man indessen oft durch die Gleichung (103). Anstatt z sucht man auch j = — d. h. den Sinus der Breite über der Ausgangsebene.

Seien

'₂ r

W = l€₀

<^2 5

wo r₀, w₀, j₀ (= 0) den Radiusvektor, die Länge und den Sinus der Breite in der ungestörten Bewegung und d^, d₂r, . . . die Störungen erster, zweiter, . . . Ordnung bezeichnen. Führt man diese Werte in der Gleichung (103) und in der durch r dividierten ersten Gleichung (57) ein, so erhält d² r₀ ô\ r

man

die Gleichungen

(! + »>) r₀ö\ r

(108)

dt²

ro

(1 -f- m)(r₀    + 2jd'&o) + G.

3 (1 -f m) r₀ d, r

r₀*

wo und Ho die Glieder bezeichnen, welche höherer als erster Ord-

aus diesen Gleichungen eliminiert, so be-

nung sind. Wird ——

ro

kommt man die Gleichung

(lö9)aVl — e*d^tw

=t,i2r^+^t)- ³P,ß°-2r4f+*•>

wo H₂ wieder die Glieder zweiter Ordnung bezeichnet. Sie wird von P. S. Laplace⁶⁸) in Verbindung mit der ersten Gleichung (108) angewandt, um d^* und ö^w zu bestimmen.

8. Newcomb⁶⁹) verwendet in seiner Uranustheorie, um die Berechnung der Glieder höherer Ordnung zu erleichtern, etwas modifizierte Gleichungen. Er setzt

p = ln r, p₀ = ln r₀, p = p₀ -(- dp; w — w₀ — ów und erhält aus (103) und (57)

(HO)    2ifra++

(1-2«? )/

- 2yr+mYä(T^?)(S₉ — («<.)’) + Ą,

wo G₃ und H₃ die Glieder höherer als zweiter Ordnung bezeichnen.

(§Qy d²(r₀v<?)*)

2 r₀

dt-

+Cr₃.

(111)

d§w

da

dt

dt

ov

68)    P. S. Laplace, Méc. cél. 1 p. 256 = Oeuvres 1 p. 281.

69)    S. Newcomb, Smiths, contrib. XIX, Washington 1874.

Encyklop. d. math. Wigsensch. VI 2.

51

Die letzte der Gleichungen (4) gibt bis auf Glieder zweiter Ordnung <**(>o h) I O + m)r₀ d\ j __

dz ’

aus welcher man die Störungen erster Ordnung r₀ ó\ l in der dritten Koordinate bestimmt.

Die Gleichungen (108), (HO) und (112) sind von der Form (105) und

können nach der Formel (106) integriert werden, und man berücksichtigt

dabei die Glieder aller Grade in den verschiedenen Ordnungen. Ist

indessen die Exzentrizität klein, so daß man nur die Glieder, welche

von niedrigen Graden sind, zu berücksichtigen braucht, so ordnet man

besser die Integration nach Potenzen der Exzentrizität.

Entwickelt man mit P. S. Laplace⁴) —, nach Potenzen der Ex-

*o

zentrizität (Mittlere Anomalie — M), so wird z. B. die Gleichung (108)

dti + V =    ß₀ + r₀

— 3w₀²a₀r₀djr (e cos M + e² cos 2 M -]----)-|----,

aus welcher man durch sukzessive Annäherungen    bestimmt.

Ein Glied der rechten Seite dieser Gleichung von der Form a cos (vt -f- N)

(112)

(113)

dt²

gibt in r₀ó\r das Glied

^TZT7*C0S (vt + N),

wenn a, v(ny^v) und N als Konstanten betrachtet werden. Daraus folgt, daß die Glieder der rechten Seite, deren Periode nahe mit der Umlaufszeit des gestörten Planeten übereinstimmt, für welche v also nahe gleich n ist, bei der Integration sehr vergrößert in r₀d₁r übergehen. Wenn v — n ist, erhält man in r₀ dl r das säkulare Glied

2™    (»* + N),

welches dadurch berücksichtigt wird, daß man die Elemente mit ihren säkularen Teilen vereinigt.

Weil die Gleichung (112) dieselbe Form hat wie die Gleichung (110), gilt das eben Gesagte auch von den in entstehenden Gliedern.

zu integrieren, hat man sich

Um die Gleichung (109) oder (111) ersichtlich der Formeln

I a cos (vt -f- N)dt ( dt f k sin (vt + N)dt

sin (yt -f- N),

— ^ sin {yt -f- N)

zu bedienen, wenn cc, v und N Konstanten sind. In dtp werden also diejenigen Glieder bei der Integration am stärksten vergrößert, welche langsam veränderlich sind, und besonders ist das der Fall mit den

aus d' £i₀ oder entstehenden Gliedern, welche durch doppelte Quadratur erhalten werden.

Die Astronomen pflegen indessen von vorneweg die säkularen Störungen der Elemente zu berücksichtigen, so daß cc, v und N langsam veränderliche Größen werden, statt der Formeln (114) hat man dann die folgenden⁷¹)

(115)

J*a cos (vt -j- N) dt — - sin (vt -f- N)

,    . r 1 d(cc sin N) 1 d²(cc cos N)

'    1 v² dt    vs    dt²

,    1 d(acosN) 1 di(a sin N)

+ COSVt{v*    dt    dF“

JdtJ*cc sm (vtN)dt —— sin (vt-}-N)

,    .    ,( 2 d(ccsinN) .    3 d²(cc cos N)

+ sin vt -    ---------¹-------

-j- cos vt|

va

'S

dt

dt*

2 d (cc cos N)

3 d*(cc sin N)

vs

dt²

und ein Glied der Form

a cos (vt -j- N)

auf der rechten Seite der Gleichung (113) würde zu    den Beitrag

d(a sin N)

liefern.

dt

8invd(V-»V <»«

d(u cos N)

Bezüglich der langperiodischen Glieder in dr und dw, welche aus (d! £1 entstehen und infolge der doppelten Integration durch das Quadrat eines kleinen Divisors dividiert sind und daher zu den bedeutendsten gehören, hat P. S. Laplace¹'²) gezeigt, daß man sie am einfachsten berücksichtigt, wenn man überall in den elliptischen Werten für r₀ und w₀ die mittlere Bewegung n₀ in dem Ausdruck

M — j n₀dt -j- £₀

71)    P.S. Laplace, Méc. cél. 1, p. 335; 3, p. 7 = Oeuvres 1 p. 361 u. 3 p. 7.

72)    P. S. Laplace, Méc. cél. 1, p. 292—293 = Oeuvres 1 p. 315—316.

51 *

VT 2, 15. Karl F. Sundman. Theorie der Planeten, um die langperiodischen Glieder von

vermehrt.

y a y 1 -f- m

d'Sl

Die in (115) und anderen ähnlichen Formeln enthaltenen Ableitungen der mit den säkularen Werten der Elemente berechneten Koeffizienten werden gewöhnlich nicht direkt gebildet, sondern man berechnet nach dem Vorgänge von P. S. Laplace⁵) den Wert der betreffenden Koeffizienten K für zweckmäßig gewählte Zeiten innerhalb des Intervalles, für welches die Theorie gültig sein soll, und bestimmt danach auf interpolatorischem Wege die Koeffizienten

d -®o

’-df’ •••

in der Taylorschen Entwickelung

K = K, + i-§it-t,) + -.-

IV. Theorie von Gyldén.

31. Vorbemerkung. Bei den bisher besprochenen Methoden wurden die Annäherungen nach Potenzen der störenden Massen (oder der schon annähernd ermittelten Störungsbeträge) geordnet, und Potenzen der unabhängigen Veränderlichen traten multipliziert mit Konstanten sowie mit periodischen Gliedern auf, wodurch man auf eine Entwickelung geführt war, welche teilweise nach Potenzen der unabhängigen Veränderlichen fortschritt. Die erhaltenen Ausdrücke der Störungen könnten daher, auch wenn sie konvergent wären, was indessen höchst unwahrscheinlich ist, in praxi nur für eine begrenzte Zeit angewandt werden. Das Hauptprinzip der Gyldén sehen Methode ist, konsequent alle Entwickelungen nach Potenzen der unabhängigen Variabein zu vermeiden, wodurch wenigstens die Möglichkeit offen bleibt, für beliebig lange Zeiten brauchbare Ausdrücke zu erhalten.

Um den Integrationsprozeß einzuleiten und die Annäherungen stärker konvergent zu machen, versuchte H Gyldén⁶) schon in seinen älteren Arbeiten eine Ausgangsbewegung als erste Näherung zugrunde zu legen, die allgemeiner war und sich näher an die wirkliche Bewegung anschließen sollte als die sonst verwandte elliptische Bewegung. Schon in der ersten Annäherung setzte er nicht die störenden Massen gleich Null, sondern nahm aus der störenden Kraft einige vom Radiusvektor r abhängige Glieder mit, welche so gewählt wurden, daß gewisse nachträglich schwer zu integrierende Teile der Störungsfunktion dadurch berücksichtigt wurden, und daß die erhaltene Differentialgleichung doch noch leicht und durch einfache Ausdrücke integriert werden konnte. Die so erhaltene Bahn, in welcher die Perihellänge veränderlich war, nannte Gyldén intermediäre Bahn. Nach Gyldén sind auch von anderer Seite bei Störungsproblemen verschieden definierte intermediäre Bahnen vorgeschlagen worden.⁷) Indessen zeigte sich bald, daß auch die intermediäre Bahn zu speziell war, um den genügenden Ausgangspunkt zu bilden. In demselben Gedankengang fortschreitend, gelangte Gyldén⁸) zur Einführung der sogenannten absoluten Bahn, welche für jeden Planeten von sechs absoluten Konstanten (Elementen) abhängt und so bestimmt sein soll, daß sie sich von der wirklichen Bewegung des Planeten immer nur um Größen von der Ordnung der Planetenmassen unterscheidet.

Die Ausdrücke der Koordinaten in der absoluten Bahn lassen sich nur durch Annäherungen ermitteln. Um die wirkliche Bahn zu erhalten, muß man zu den Koordinaten der absoluten Bahn Glieder zufügen, welche von der Ordnung der störenden Massen sind und deren größter Teil von den augenblicklichen Konfigurationen der Planeten abhängt. Die Glieder in der Störungsfunktion, welche bei der Integration so vergrößert werden, daß sie nullter Ordnung sind, müssen folglich in der absoluten Bahn schon berücksichtigt sein.

Es sei bemerkt, daß bisher kein Beweis geliefert ist, daß die Gyldénschen absoluten Bahnen die obigen Forderungen betreffend ihre Abweichung von der wirklichen Bahn tatsächlich erfüllen.

32. Differentialgleichungen der Gyldénschen Koordinaten.

Ebenso wie Hansen zerlegt Gyldén die Aufgabe in zwei, nämlich die Bestimmung der Bewegung in der Bahnebene und die Bestimmung der Lage der Bahnebene. Als xy-^hene wählt Gyldén wie Hansen die augenblickliche Bahnebene, bestimmt aber die Lage der #-Achse in anderer Weise. Bezeichnet, wie oben, w den Winkel zwischen dem Radiusvektor des gestörten Planeten und der Hansenschen in der Bahnebene unbeweglichen x-Achse, so führt Gyldén als unabhängige Variable 10

den durch die Gleichung (116)

i + g

definierten Winkel v ein, wo g eine Konstante ist, die so bestimmt werden soll, daß die durch die Gleichung

g v -j- Gr = 6 — «ft,

(117)

eingeführte Funktion Gr keine mit v proportionalen Glieder enthält, wobei o wie in Nr. 22 der Winkel zwischen der Hansenschen x-Achse und dem aufsteigenden Knoten auf der Grundebene ist. Die Gyldén-sche Æ-Achse, die zur Unterscheidung als £-Achse bezeichnet werde, ist beweglich in der Bahnebene und bildet mit der Hansenschen x-Achse einen Winkel gleich gv = w in der Bewegungsrichtung des Planeten, woraus folgt, daß v der Winkel zwischen dem Radiusvektor und der |-Achse ist. Der Winkel zwischen dem aufsteigenden Knoten auf der Grundebene und der |-Achse in der Bewegungsrichtung des Planeten ist = «ft + 6r und unterscheidet sich also nur durch die periodische Funktion Gr von der Knotenlänge.

Aus den Gleichungen (59) und (117) folgt:

(118)

= -2si»²iw’

woraus hervorgeht, daß Gr keine anderen Argumente hat als die in i und Sl enthaltenen. Da die Koordinaten des Planeten in bezug auf im Raume feste Achsen durch r, v und trigonometrische Funktionen von i, Sl und Gr ausgedrüökt werden können, so folgt daraus, daß Gr keine neuen Argumente in die Formeln einführt. Würde man die Hansensche Achse anstatt der Gyldénschen £-Achse und demgemäß w als unabhängige Veränderliche anstatt v an wenden, so scheint es, als würde man bei den auf feste Achsen bezogenen Koordinaten ein Argument mehr erhalten, indem das Argument ₁ Ą.gW dann in den Richtungskosinussen der beweglichen Achsen vorkommt. Auf Grund der Relation (116) schließt man jedoch, daß man ebensogut w anstatt v als unabhängige Variable anwenden kann, ohne fremde Argumente einzuführen. Man würde nur für die Konstanten etwas veränderte

Werte erhalten. So benutzt z. B. M.Brendel bei seiner Verwendung der Gyldénschen Methode w anstatt v.

In Analogie mit den Formeln der elliptischen Bewegung setzt

Gyldén

(119)

«(1-*1*) 1 + Q

(120)

r²

dv _Y{ï -f- m) a (1 — rj²)

dt —    1 + S

wo a eine Konstante (Protometer genannt) und rj eine langperiodische positive Funktion ist, die etwa der Summe des konstanten und des säkularen Teils der Exzentrizität entspricht und welche später genauer bestimmt werden wird. Vermittels der Gleichungen (57) findet sich leicht, daß p und S durch die Differentialgleichungen

dr\

dS 1

diQ ,    3 dv dv dg

dv²' _ 2 i — r\²    1 + S_ dv

(121)

+ l (l+»)ä+ 2

d²r\2 ~dv²

dri²

df dS ~

„v i , wv    dv dv

1 — rjv ' i—î]²    1—ij* 1 +j8>_ ®

dr\² dS

dv

dv

dv*

dv

dv

2 \1—7J

1—7]

+ 2S + S²-2g-g*

+ (1+5)*P,

dS

di\²

(122)

dv    1 dv - (1+S)*

r+5    y i——7j* ■> T+y

erhalten werden, wobei gilt:

(123)

(124)

Bei der Bildung von

p = + «(i-^)|®,

a(l — 7}²) <3.ß (1 + e)s dv

sind dabei alle von v abhängigen Glieder,

da

dv

welche sich auf die Lage der Planetenbahn beziehen, als konstant anzusehen.

Die Länge L in der festen Grundebene berechnet sich nach der

Formel

tg (L — V) = —

sin G -f- 2 sin²4 i sin (v — .Q, — G) cos (v — <Q,)

cos G — 2 sin²sin (v —    — G) sin (v — Q>)

oder durch die Gleichungen

(125)

j cos B cos L = cos (v — Gr) -+ (1 — cos i) sin Sl sin (v — 6r — &), 1 cos B sin L = sin (v — Gr) — (1 — cos i) cos ß cos (v — Gr — ß). Auf Grund der Gleichungen

§ = sin i sin (v — £1 — Gr)

(126)

= (1 +- g) sin i cos (v — & — Gr)

wird die Bewegung der Bahnebene durch den mit 5 bezeichneten Sinus der Breite B über der festen Grundebene erhalten. Weil

ist, leitet man aus der dritten Gleichung (4) nach einigen Transformationen die Differentialgleichung (128) d2 + (1 + m = (1 + S)s [tf - , cos H)S + j|| -A]

a( 1 — T]²)

(1 + q)² d cos H

ist. Zu bemerken ist noch die Gleichung

ah, wo l' den Sinus der Breite des störenden Planeten über der Grundebene bedeutet und (129)

(130)

Q = -B

d cos H

dv

Aus den Gleichungen (118) und (126) findet

man

dG

(131)

dv

2 (1 4* ⁽j) cos * cos²

tO <s>.

+ (1 + 9)² i) (l ■— 9 + 4 sin21 + T sin4 * + -)»

welche Gleichung g und G bestimmt, indem sin² i aus (126) folgt und g gleich den konstanten Gliedern der rechten Seite zu setzen ist.

Zur Bestimmung der Zeit als Funktion von v dient die Gleichung (120), die in der Form

(132)

TS hs

(i — vY

(i + p)*

(1+S)

geschrieben werden kann, wobei

(133)

yt 4- m

n = ¹—k— die absolute mittlere Bewegung bezeichnet.

9 = Ce) + d9

33. Zerlegung der Variablen. Die Grundgleichungen (121), (122), (128) und (132) müssen für die beabsichtigte Form der Lösung zur Integration noch weiter transformiert werden. Es handelt sich hierbei in erster Linie darum, in den zu bestimmenden Größen die Glieder, welche mit den störenden Massen nicht verschwinden, von den Gliedern zu trennen, welche mit den störenden Massen verschwinden. Wenn die Massen verschwinden, muß die Summe der erstgenannten Glieder in die entsprechenden Größen bei der ungestörten Bewegung übergehen und die Elemente derselben bestimmen. Diese Glieder werden daher elementare genannt. Gyldén setzt (134)

und bezeichnet mit öq die Summe aller nichtelementaren Glieder.

Die Summe (p) aller elementaren Glieder von p kann in der Form (p) — X cos (v — ra) -{-    cos (v — coi)

(135)

i

geschrieben werden. Dabei bezeichnet x eine positive Integrationskonstante, den sog. diastematiscben Modul, und x{ Konstanten, die sog. diastematiscben Koeffizienten, welche von den störenden Massen abhängen, aber mit denselben nicht verschwinden. Indem A, F, II konstante Winkel bezeichnen, von welchen A und F Integrationskonstanten sind, gilt weiter für die Winkel

(136)

( » = S {v — A) -f- F,

l Si(v — A) + F.,

wobei g und gi kleine mit den störenden Massen verschwindende Konstanten sind.

Die früher eingeführte Funktion 7] und der Winkel TI werden nun durch die Gleichungen r] cos (II — F) = j£ -f- Sx; cos (co — raj,

(137)

i

rj sin (JT — F) = — sin (ß> —

i

definiert. Nach (135) wird somit

(p) = 7j COS F

(138)

erhalten, wo der Winkel

(139)    F = v — ca — (77 — F) = v — s(v — A) — JT = v — (m)

das sog. diastematische Argument ist. Wenn \x\ > xt| ist, so liegt II — F immer zwischen — 90°, und -(-90° und der säkulare Teil des Winkels F ist in v — co abgesondert, welcher also die mittlere Bewegung 1 — g hat. Wäre dagegen ein Koeffizient x- größer als die Summe von x und der übrigen xi ¹, so würde man analog F — v — co, — ( JTf    rt)

finden, wobei — 90 < TIi — Fi < -j- 90°, und der Winkel F hätte die mittlere Bewegung 1 — g{.

Gyldén⁷⁷) hat versucht nachzuweisen, daß das Argument F eine mittlere Bewegung hat, auch in anderen als diesen beiden Fällen, jedoch ohne überall durchzudringen. Die Bedeutung der Existenz einer mittleren Bewegung liegt darin, daß dann das Argument TI —F resp. JTf— Ff für alle Zeiten innerhalb konstanter Grenzen liegt. Hier werden wir mit Gyldén die Form (139) voraussetzen.

Ganz ebenso wie die Funktion q zerlegt wurde, wird dies auch

mit § gemacht, indem

5 ⁼⁼ (ä) +

(140)

(141)

gesetzt wird. Indem &, &i konstante Winkel und x, ri kleine mit den störenden Massen verschwindende Konstanten bezeichnen, setzt man ( H = — % (v — A) -j- ©,

I &i = — tt(v ~A)-\- ą,

(142)

Ö) == ^ in U,

J COS (ß — ©) = *' + COS (^ — &i)f Jsin (iß — &)— —sin (ft — -9\), wo l, Lf Konstanten sind, von welchen l anastematischer Modul und die anastematische Koeffizienten genannt werden, und erhält (143)

wobei das sogenannte anastematische Argument folgendermaßen geschrieben werden kann:

(144) U = v —    —(ß — ©) = v -f- x(y — A) — ß = v — (#).

Die Zeit t zerfällt in zwei Teile

* - (0 + dt,

wobei (t), das reduzierte Zeit genannt wird, durch die Gleichung

d(ß) (1 —

dv    (i + (e))*

definiert wird, dt wird Zeitreduktion genannt.

In Analogie mit den Formeln der elliptischen Bewegung setzt Gylden weiter

(147)

(148)

wodurch

(149)

(145)

(146)

G = E — sin E,

«(* — V*)

¹ + (?)

erhalten wird. Vermittels der Gleichung (146) findet man für das sogenannte mittlere Argument G den Ausdruck

G = (1 — S)n(t) + A-n+(l-s)X, wobei X aus der Gleichung

0) =

= a(l — rj cos E)

(150)

(!—s)

dX

dv

}/l — r]*(2 + rj cosF)sin.F ^cos (II—17)

d(r\ cos(7T— F))

dv

-f-sin (21—r)

dv

(i -n')*

-U—..........

' T] \1 -|-7]COsF)²

1^cos(JT—r)

(1 -|- łj cos F)2 d(r\ sin(JT—F))

dv

sin (U—r)"

d(r\ cos (II—D)

dv

erhalten wird. Im allgemeinen ist X sehr klein und kann oft gleich Null gesetzt werden.

Um noch mehr Freiheit zu haben, hat Gyldén⁷⁸) versucht, die unabhängige Yariabele v auch in zwei Teile zu zerteilen. Es sei hier nicht auf diese weitere Komplikation eingegangen.

34. Entwicklung der Größen P, Q und R. Fundamentale Entwicklung. Um die Integration der Gleichungen (121), (122), (128) und (132) ausführen zu können, müssen die Größen P, Q und R zweckmäßig entwickelt werden.

Wenn von der Betrachtung des zweiten Teiles der Störungsfunktion, welcher leicht zu berücksichtigen ist (siehe den Artikel von v. Zeipel VÜ2, 13 Nr. 27), und konstanten Faktoren abgesehen wird, hat man

zu entwickeln. Gyldén setzt

(152)

(153)

W — V — V — (Cr — Gr') cos H = cos w -j- h, und erhält nach Potenzen von h entwickelt

(154)

«1=0

wo

(155)

ww =

(1, m)

D²= r² -f- r ² — 2rr cos w

(y, 0 = r(r + i) • • • (r + * — i), (r> 0) = i

gesetzt. In Fouriersche Reihen entwickelt gelte

Ci — —r 1 a

ist. (Die akzentuierten Größen beziehen sich auf den störenden Planeten.) Dabei wurde (156)

-fco

(157)

w(m) = TUo(m) + 2^ WÏ

(m)

COS BW,

und

n= 1

(158)

G)

-fco

uiim)+2 yui

COS BW.

(159)

Nach (155) hat mau dann

wim) =

G,m)/2 r T'y jj(m) (1, m) \ a ad) n

Die Größe

/ v \ 2 m + 1

Uv

Tj(m)

KJ n

ist Funktion nur der Größe a und von

(160)

X =

Nach Potenzen von entwickelt hat man dann

= *ö

»h-

2m + 1

(161) (

(nt)

-Mrv—

2m + l,n

— Yx

2ffl + l,«

z+r₂

2m + i,n 2

i----?

welche Gleichungen die Gyldénschen ff- und y -Transzendenten definieren, und aus welchen noch die Relation

■ n ₁2 m + 1, n

• Y^i—i

m, n

2m + 1, n

I n n — 2    2m+l,n

~r y 4— y *•

n — 2i 6    ‘ ‘ '    2i~

2 m +1, n

zwischen den beiden Transzendenten folgt. Betreffs derselben sei auf den Artikel von v. Zeipel verwiesen

(VI2, 13, Nr. 8 und 24). Entwickelt man    und % nach Potenzen von rj², r[², q', so erhält

den Gleichungen (159), (161) und (162) Entwicklungen der

man aus Form

wo yW Polynome in den y2m+ 1,n oder ff."'’” Transzendenten sind. Die Koeffizienten dieser zuerst von P. Harzer⁷⁹) gegebenen Polynome von ^-Transzendenten hängen von m und n ab und sind für größere Werte vom n mühsam zu berechnen. Die Logarithmen einiger dieser Koeffizienten gab H MasalH0).

Eine bedeutende Vereinfachung erreichte Gyldén durch Einführung der ff-Transzendenten, weil die Koeffizienten der Polynome dann nur von m abhängen. In den Anwendungen werden nur die niedrigsten Werte von m gebraucht.

Es bezeichnet eine beliebige der Funktionen a Si, P, Qoder P. Da

(162 a)

dSi

dsi

d cos H dh

ist, schließt man aus den Gleichungen (123), (129) und (130), daß bis auf das zu Q hinzuzufügende Glied — P N in der Form

N N(m\n, s, s\v,h”'Q% Qs'r]2vr]

79)    P. Harzer, St. Pét. mém. 7. Reihe (34) 12 (1886).

80)    II. Masal, Stockholm K. Vet. Akad. Handl. (23) 7 (1889).

' 2r'

cos

sin

nw

geschrieben werden kann, wo bei der Summation m, n, s, s, v und v alle ganzzahligen Werte zwischen 0 und -f- oo annehmen und die Koeffizienten NW(n, s, s')^v, als Polynome der Koeffizienten yW oder der y oder der ff-Transzendenten ausgedrückt werden können.

Aus den Gleichungen (125) und (126) findet man, daß h nach Potenzen von §, §', — und

(164)    Ä = -|(ää+ä'²)

ist, wobei die Glieder höheren als dritten Grades weggelassen sind. Wird hier (§) -f- d§, (§') -{- d§' für 5 und eingeführt, so kann man wieder

(165)

dv

entwickelt werden kann, und daß

cos w

+ y(s

ns ns

<5 !=*■*

h = (Ä) + öh

schreiben, wobei jedes Glied von öh wenigstens eine der sogenannten anastematischen Ungleichheiten dg, dg' oder ihrer Ableitungen dH'

dv'

als Faktor hat.

Es ist hiernach ersichtlich, daß N in der Form

N=^N„,ß>r(öhnäQy(s₉y

entwickelt werden kann, und daß die    ihrerseits von der Form

2v'2v'

'    ' sin

(166)

COS

ww

sind. Die hier auftretenden Koeffizienten folgen nach der Formel

v(")

a+,y

(n,s,s\v,=

(m 4- 1, u) (8+1, ß) (s'+l, y) (1, «) G, ß) (1 f 7)

NW (n,s, s')

v, r’

sofort aus den Koeffizienten der für a — ß — y — 0 gültigen Entwicklung (163).

Die Entwicklung von N nach Vielfachen von w und nach Potenzen von

(h), (p), (p'), rjj 7]', öh, dp, dp' nennt Gyldén die fundamentale Entwicklung.

35. Diastematische Entwicklung. Um die Integration der Differentialgleichungen (121), (122) und (128) möglichst einfach ausführen zu können, muß man, soweit als möglich, ihre rechten Seiten als Funktion der unabhängigen Variablen ausdrücken, was indessen nur durch sukzessive Annäherungen und Integrationen zu erreichen ist, indem die Größen dp, dp', dg, öh und öt nur solcherweise zu erhalten sind.

Aus der Gleichung (143) uud der analogen Gleichung

(168) folgt, daß

(g') = J' sin U'

d(S)

dv

= J cos U + (g),

d(+)

dv'

= J'cos U'+(£'),

wo (£) und (£') kleine und leicht zu erhaltende Größen von der Ordnung der Masse bezeichnen, welche auch oft vernachlässigt werden können, und das Argument

(169)    £T=*/ —fr' — (SI' — &') = v' + r\v — A) — Sl' = v' — (fr')

ist. Vereinigt man der Kürze wegen die aus (£) und (£') entstehenden Glieder mit dh, so ergibt sich aus (164) daß (h), welches wenigstens vom zweiten Grade ist, nach Potenzen von J und J' und nach Kosinussen der Vielfachen von w, U und U'- entwickelt werden kann.

bezeichneten Funktionen, ebenso

Die in § 34 mit N oder N wie die auf den rechten Seiten der Gleichung (128) sich befindenden, von denselben abhängigen Ausdrücke können daher zunächst in der Form

(170)    + 1Ü+ q’U’\ geschrieben werden.

Für den störenden Planeten hat man nun die Gleichungen

(171)    F' = v — ra' — (W — F) = v' — g'(v — A) — n' = v — (©'),

(172)    tg±K=yi=.itg±r, &=E'-V'zmE',

(173)

(174)

G'= (1 - s>'(0 + Ä- n' + (1 - S')X',

¹

O. Dzióbek, Die mathematischen Theorien der Planetenbewegungen, Leipzig 1888, p. 161—165.

²

J. F. Fnclce, Beri. astr. Jahrb. f. 1857. Schubert bat Tat ein einiger kleiner Planeten nach der Methode von Encke gerechnet. Z. B. Tafeln der En-nomia, Washington 1866.

³

G. W. Hill, Astr. Nachr. 83 (1874) p. 209 -224 = Works 1 p. 151—166.

⁴

P. S. Laplace, Méc. cél. 3, p. 5 — Oeuvres 3 p. 5.

⁵

   P. S. Laplace, Méc. cél. 3, p. 25 == Oeuvres 3 p. 26.

⁶

   H. Gyldén, Stockholm Bih. K. Vet. Akad. Handl. (6) 8 u. 10 (1881).

⁷

   Z. B. T. N. Thiele, Astr. Nachr. 102 (1882), p. 65; C. V. L. Charlier, Lunds Meddelanden 21 (1904); M. H. Andoyer, Contribution à la théorie des orbites intermediaires, Paris thèse 1886.

⁸

   H. Gyldén, Stockholm Bih. K. Vet. Akad. Handl. (7) 2 (1882); Orbites absolues des planètes principales 1 u. 2, Stockholm 1893 resp. 1908 [zitiert: Orbites abs.].

t = (£') + dt',

(175)

(q) = r[ cos F'.

Durch diese Gleichungen und die entsprechenden der gestörten Planeten ist auch die Abhängigkeit der Länge v von v gegeben.

den Gleichungen (145), (150), (173) und (174) findet er

aus

Die zur Einführung von v anstatt v und umgekehrt nötigen Formeln sind von H. Gylde'n⁸¹) vollständig gegeben. Der von ihm beschrittene Weg ist etwa der folgende. Durch Elimination von t, (t) und (t‘')

G' + 17'— r'= cp(G — F) + V + U,

wo

1 — s

(176)

V = (p(v - at) H- cp(r— A) — (r'— A), Ü ==( 1 — s')bi(ndt — X) — (n'df - X')}

Unter Anwendung der Bezeichnung

H = F’ — G' — cp(F — G)

G₎'=r + /l-H«,-r> + s'£±fT

(178)

hat man dann

wo noch H als Funktion von v darzustellen ist, was indessen selten nötig ist, da H immer klein und ç von der Ordnung der Masse ist. In „Orbites absolues“, p. 143—147, gibt Gyldén Formeln, um S*n

cos

}aH

in trigonometrische Reiben von v oder v zu entwickeln (a eine Konstante).

Vermittelst der Entwicklung

+ 00

l+yi-Tj⁸

(179) G-F=^B,HmvF, £)= + l/2(-i+]/l-+(

»=i

leitet Gyldén die nach Potenzen von rj und der Konstante k entwickelbaren Koeffizienten Yv(k, rf) der Entwickelung

+ oo

— ivF

g— il (G — F) ₌

V =-CO

ab (i =Y— 1 und e die Neperscbe Basis). Andererseits hat man die Entwickelung (v und v ganze Zahlen)

v’~— co

— iv’G

g—im (F—(?) __

+ CO

rj)e

Zwischen den Koeffizienten der beiden Entwickelungen existiert die Beziehung

(k + v) Yv{k, rj) = k Xv(—[k — v, vj).

Unter Anwendung der vorstehenden Gleichungen erhält man nacheinander

g—im(e'-w') __ g— im(F¹ — G¹)—im ((?'+ TIT')

= 2xv, (m,    •[(«+O(G'+J2'-2’0-v'(n'-r'₎],

V

= 2xv.{m, ^/)e-I'[(n*+”')y(<?-2’)+(™+v')(K+ö)-»'(/7'-r,)]>

v' V

=J£Xv,(mrf)Yv(<p(m+v\r₁)e-ilvF+(m+rtr+v')-v'(n'-r'iï

V, v'

und daher schließlich nach einigen Reduktionen (180)    c*X®-o')

V, v'

= J£Xy ( in, rf) Yv (<p (m -f- v), rj)el{-’>-(«+O C« • + b)+* (») ■+ ✓ («')]

wobei

s'H l — s

ist und durch Gleichsetzung der reellen und imaginären Teile für sich die Entwickelung von

(181) B = J' — fiA + {i(ndt — X) — (ndt' — Xr) +

(v — i/)j erhalten wird.

sin ( cos l

Die Formeln (178) und (180) gestatten alle in den Argumenten vorkommenden von v abhängigen Größen in einfacher Weise durch v auszudrücken. In „Orbites absolues“, p. 198—320, gibt Gyldén die Ausdrücke in v von

(oYfoy

<A)> (A (jv)

cos mw, (s + s 5), bis auf Glieder sechsten Grades in tj und rf, und von verschiedenen

enthaltenden Gliedern.

Nach der Gleichung (167) übersieht man nun, daß die Funktionen N, nachdem v durch die vorstehenden Formeln eliminiert ist, in der folgenden Form erhalten werden:

(182)    Ä^s,(p,p, q, q)    |sv —s'{pv + B) +p (ra)-hp'(o/)

+q W + i (#') — (s +P + q) iß—Gr)},

s p Ą- q — s — p — q erfüllen. Die Koeffizienten Ä haben die Form

wo die ganzen positiven oder negativen Zahlen s, s,p,p\ q, q die Gleichung

s'(p,p> q,q) =    (p>v,q,q\ 1L,^vir]lP'⁺-/-v'lP'⁺^'lj]CJ +2yj'lg'l+2

(X, X', v, v — 0, 1, 2, ..., —)— oü)

— s'

r=v

(ca') und (#') durch v auszudrücken.

H, welche oft vernachlässigt werden kann, sowie

wo die A-K.0effizienten Polynome von cp — p ¹ sind, deren Koeffizienten sich aus den Koeffizienten der Fundamentalentwicklung zusammensetzen. Die Entwickelung (182) nennt Gyldén die diastematische Entwickelung. Streng genommen wäre noch die in B enthaltene Größe

Die expliziten Ausdrücke der Koeffizienten der diastematischen Entwickelung von P, Q und R gibt Gyldén in Orbites abs. 1 p. 448—453 und 2 p. 242—270 für alle Glieder von niedrigerem als viertem Grad in rj und rj', sowie für die wichtigsten Glieder vom vierten, fünften und sechsten Grad.

H. Masal⁸⁰) drückt diese Koeffizienten bis auf Glieder einschließlich dritten Grades in rj und rj' durch y-Transzendenten aus und gibt Formeln und Tafeln zu ihrer Berechnung.

36. Einteilung der Glieder.

795

In seinen „Hilfstafeln“¹) hat Gyldén Formeln für die zur Berechnung der Hauptungleichheiten der kleinen Planeten nötigen Koeffizienten gegeben und ihre Berechnung durch ausgedehnte numerische Tafeln erleichtert.

36. Einteilung der Glieder. Unter den auf den rechten Seiten der Differentialgleichungen der Bewegung yorkommenden Gliedern treten vier Formen auf, welche besondere Schwierigkeiten bei der Integration darbieten. Erstens hat man die beiden Formen

(A) a

sin

cos

\6V + A),

wo a, b, A, B Konstanten sind und die ö mit den störenden Massen verschwinden. Diese immer auftretenden Glieder sind nach der Gyldén-schen Terminologie elementare Glieder. Diesen zur Seite treten im Falle angenäherter Kommensurabilität der mittleren Bewegungen Glieder der beiden Formen

(D) r{(i + A>-fD};

sin | C und    aus Gliedern der Form (A) zusammengesetzt

(C) c“b{Ai; + C),

cos

wo c

sind und, indem das Verhältnis g der mittleren Bewegungen des störenden und des gestörten Planeten nahe gleich dem ganzzahligen

Bruche angenommen wird,

A=p — qn

ist. Die Glieder der Formen (C) und (D) nennt Gyldén „charakteristische“. Die Formen (A) und (C) sind langperiodische, (B) und (D) dagegen kurzperiodische. Bei dem Integrationsprozeß können die Glieder der Form (C) Divisoren von der Ordnung A², diejenigen von der Form (D) aber Divisoren von der Ordnung A erhalten. Die elementaren Glieder,' welche den säkularen Gliedern der anderen Theorien entsprechen, erhalten Integrationsdivisoren von der Ordnung der Masse und geben also Veranlassung zu Gliedern, die formell von der nullten Ordnung sind.

Die Glieder (A), (B), (C) und (D) sind mindestens vom Grade resp.

2, U \q—p\, \(\a — P\ — 1) |.

Die nicht zu den genannten vier Formen gehörenden Glieder werden „gewöhnliche“ genannt.

52

37. Integration. Die Bestimmung der Größen q, S,% und dt nach den Gleichungen (121), (122), (128) und

(183)

dSt (1 U~dt~

-^²)ł/₉

(i + (O)²1

= ( 1—27] cos F+-)S— (2-f 3^²-f •••)(! -f-S)dp+•••

(1 -(- *S)(2 —f- 2(p) —|— âç)âç

(1 + (e) + äQy

welch letztere aus (132), (145) und (146) folgt, vereinfacht Gyldén dadurch, daß er diese Größen in mehrere Teile spaltet und ebenso die Differentialgleichungen in solche für diese Teile zerlegt. Das hierbei befolgte Prinzip besteht darin, alle die Glieder, welche von derselben Form sind und etwa dieselben Schwierigkeiten bieten, in eine Gleichung zu vereinigen.

Seien gewöhnliche Glieder und Glieder der Formen (A), (B), (C), (D) einer Größe durch die bezüglichen Indizes g, a, b, c, d gekennzeichnet. Aus den genannten Gleichungen ergeben sich dann für (p), ÖQa’ •••>    Sg, dta, ..., dtg, (§), 0%a, ..., d%g, (d§₆=d§₆=0)

resp. Gleichungen der Formen

(184) d~s -f- (1 -f bjg — B,

a-W

__₌ T

dt ’

-f- (1 + a)% = Z,

(185)

(186) (187)

æ-i

dt*

dS

(?    (?X

(S =■• Sa> Sb, Se, Sd, Sg),

(dt = dta, dtb, dtc, ôtd, dtg),

(è ⁼⁼    ^bay    ^hg)}

wo a und b kleine Konstauten erster Ordnung sind und B, (B), T, und Z die resp. Glieder der Differentialgleichungen von p, S, dt und dz bezeichnen, welche von der Form der zu bestimmenden Teile sind.

Die rechten Seiten dieser Gleichungen lassen sich nur durch fortgesetzte Annäherungen bestimmen, denn sie enthalten die gesuchten Größen selbst, wenn auch mit kleinen Faktoren multipliziert. Eine Ausnahme bilden dt und dt', welche in die Argumente mit Faktoren nullter Ordnung multipliziert eingehen.

Handelt es sich darum, die Theorien der Hauptplaneten auszuarbeiten, so erhält man für jeden ein System von Gleichungen wie (184), (185), (186), (187), und alle diese Systeme sind dann gleichzeitig zu integrieren. Solch eine Integration, die mit ganz bedeutenden Schwierigkeiten verbunden sein muß, ist niemals ausgeführt worden.

Die diesbezügliche Arbeit von Gyldén (Orbites absolues) ist leider unabgeschlossen geblieben. Aber auch wenn es sich um die Bahnen

38. Integration der elementaren und charakteristischen Glieder.

797

der kleinen Planeten handelt, wo die Bewegungen der Hauptplaneten als bekannt angenommen werden, ist, die Integration der genannten Gleichungen mit sehr großen Schwierigkeiten verbunden, wenn man streng an dem Gyldén sehen Prinzip festhält, alle gesuchten Größen als Summen von periodischen Gliedern ausdrücken und keine Entwickelung nach Potenzen der unabhängigen Variablen zuzulassen.

Es sei im folgenden vorausgesetzt, daß die von den störenden Planeten abhängigen Größen bekannt seien.

(113)

Aus der Form der Gleichung (184) folgt, daß in p nur diejenigen Glieder der Formen (B) und (D) Schwierigkeiten verursachen, in denen sehr kleine Divisoren auftreten. Die übrigen Glieder können nach der in § 30 gegebenen Formel, ein Glied a cos (v t -f- N) der Gleichung zu integrieren (a und N langsam veränderlich), erhalten werden. Dabei kann und muß man, ebenso wie öfters auch in den übrigen Gleichungen, die in den Argumenten vorkommenden dtb, dtd und dtff vermittelst Reihenentwickelung wegschaffen.

In den Gleichungen (185) und (186) aber bieten nur Glieder der Formen (A) und (C) Schwierigkeiten. Die übrigen Glieder können nach der ersten Formel (115) integriert werden. Weil S in R (Gleichung (184)) eingeht, ohne die Masse als Faktor zu haben, muß man jedoch auch kleine Glieder in S von der Form (B) oder (D) berücksichtigen. Überhaupt kann man von den Gleichungen (184), (185) (186) sagen, daß sie die verschiedenen Gruppen von Gliedern nur formal trennen, und daß man in Wirklichkeit die Trennung erst durch mühsames Aussuchen bewerkstelligen muß.

38, Integration der elementaren und charakteristischen Glieder. Nach der Gleichung (184) erhält man zur Bestimmung von ({>) eine Gleichung der Form

(188)

+ (1 + \ )(ff) — \ + &₂(p)² + &₃(p)³ + • • •

d\Q)

dv²

wo die Koeffizienten b periodische Reihen in v von der Ordnung der Masse sind. A. Lindstedt⁸³) zeigte, wie diese Gleichung in periodischer Form formell integriert werden kann (vgl. Vl2, 12, Nr. 11 Whittacker). Die Lindstedtschen Reihen sind jedoch im allgemeinen divergent. Um eine konvergente Entwickelung zu erhalten, suchte Gyldén schon in der ersten Annäherung gewisse Glieder höheren und besonders dritten Grades zu berücksichtigen. Unter Anwendung der angenäherten Werte

7j COS F — (p),

83) A. Lindstedt, Pét. mém. 7. Reihe (31) 4 (1883).

ri sin F —

_ d(Q)

dv ’

,scos2

52*

schaffte er aus der diastematischen Form der Entwickelungen die elementar werdenden Glieder weg. Er erhält in dieser Weise die sogenannte verallgemeinerte Fundamentalform, welche in die Differentialgleichung von p eingeführt, zur Bestimmung von (p) eine Gleichung gibt, welche, wenn nur die wichtigsten Glieder explizite ausgeschrieben werden, die Gestalt hat

He)

(189)

dv*

+ (l + a0 + ai V² + a2 (    + a3(p)² ) (?) — (-B)

wo die Koeffizienten a Konstanten erster Ordnung und nuliten Grades sind, deren Werte in den Annäherungen nur unbedeutend verändert werden, (R) bezeichnet eine Summe von elementaren Gliedern. Es ist zu zeigen, daß (p) von der antizipierten Form (135) ist, und daß die darin enthaltenen Koeffizienten xi so bestimmt werden können, daß die Reihe für (p) konvergiert. Indem die konstanten Teile von rf und r[² mit h²]₀ und [rj'²]₀ bezeichnet werden, nimmt die Gleichung

(189)    unter den aufeinanderfolgenden Annäherungen die Form

He)

dv²

an, wobei ß₀, Aß, ß' und ß₁ Konstanten sind und Aß so zu bestimmen ist, daß kein Glied der Form y cos F mal einer Konstante in (R) auftritt. Man kann (R) die Form

(R)    cos (v — Si(v — A) — rt)

geben und erhält für (p) die antizipierte Form (135), wenn und xi durch die Gleichungen

(190)

(191)

+ (1 + ßo + &ß 4" ß'W*lo + ßl MoXp) — (-ß)

(1 - s)²= 1 + ß₀ + Aß + ß'W% + Äh²]

*i =

Yi

2 B,- - s,M-A> + ah- Wh + h*Jo

bestimmt werden. Da nach (137)

h²]₀ = 1

und analog

[V‘[,= ł2*,

ist, so werden die xi durch Lösung einer algebraischen Gleichung höheren Grades erhalten. Ist nur ein x{ zu bestimmen, so ist die Gleichung (191) dritten Grades, und Gyldén8i) zeigt, daß x{ höchstens von der Größenordnung j/yi ist. Das Vorkommen von    in dem

Nenner würde also die Größe von | x; j begrenzen. Gyldén nennt daher xf eine horistische Funktion. Vermittels der horistischen Funktion

'2

84) H. Gyldén, Acta math. 15 (1891), p. 75—79.

glaubte Gyldén²) nachweisen zu können, daß man bei Anwendung derselben für (q) eine konvergente Reihe erhalten würde. H. Poincaré³ 4) hat gezeigt, daß dies unrichtig ist, und daß Gyldén Glieder auf der rechten Seite von (189) vernachlässigt, welche ebenso wichtig sind wie die Glieder der Form Konstante mal (ç). Berücksichtigt man aber auch jene Glieder, so dürfte indessen der Gyldénsche Vorgang mit Vorteil angewandt werden können, wenn es sich darum handelt, Ausdrücke zu erhalten, welche für sehr lange, wenn auch nicht beliebig lange Zeiten gültig sein sollen.

Die wichtigsten elementaren Glieder von q hat Max Wolf⁸¹) ge

geben.

Die Glieder von q von der Form (D) sind aus einer Differentialgleichung zu bestimmen, welche von derselben Form ist wie die Gleichung für die elementaren Glieder, und können auch in derselben Weise erhalten werden. Oft dürfte es sogar am zweckmäßigsten sein, die Glieder der Formen (B) und (D) gleichzeitig zu behandeln. Die in den Argumenten der Glieder von der Form (D) eingehende Zeitreduktion, berücksichtigt man durch teilweise Integration der laugperiodischen Glieder und Reihenentwickelung der übrigen.

Die Glieder der Formen (A) und (C) in den Gleichungen (185) und (186) werden kritisch, wenn die linearen lntegrationsdivisoren sehr klein sind, und eine lineare Integration kann dann ganz illusorische Resultate liefern. Eine bessere Integrationsmethode suchte Gyldén zu erhalten, indem er von vornherein das Eingehen der zu bestimmenden Größen in die Argumente berücksichtigte. Wie aus der Gleichung (183) hervorgeht, entsteht der wichtigste Teil von T in der Gleichung für dta und dtc aus Sa resp. Se, und die wichtigsten Teile von dta und dtc sind daher aus einer Gleichung der Form

(192)

d*6t

dv'¹

A sin (2Xv -j- sdt -j- 2 C)

sin

| C aber Konstanten

zu bestimmen, wo 2Â eine kleine Konstante, A oder Summen von elementaren langperiodischen Gliedern von der ersten Ordnung sind. Hieraus ist ersichtlich, daß dta und dtc bei linearer Integration den kleinen Integrationsdivisor 2 A im Quadrat erhalten und daher sehr vergrößert werden.

Bei den Gliedern der Form (A), wo die Integrationsdivisoren von der ersten Ordnung sind, würde man das Entstehen von Gliedern der

cos

Ordnung — 1 oder sogenannten hyperelementaren Gliedern erwarten können. Gylden⁵) hat indessen schon früh gezeigt, daß die Koeffizienten erster Ordnung der elementaren Glieder in (192) sich gegenseitig heben, und daß also hyperelementare Glieder in dta sich nicht finden, was nichts anders ist als das Poissonsche Theorem auf die Gyldénsche Theorie übertragen.

Die vielen Versuche Gyldéns⁸⁵), die Gleichung (192) zu integrieren, haben nicht zu definitiven Resultaten geführt. Gewöhnlich zerlegt er dt in mehrere Teile d±t, d₂t, . . ., welche nacheinander bestimmt werden können. Indem nur ein, aber das wichtigte, Glied der rechten

2 ©

Seite von (192) berücksichtigt wird, bestimmt er dl t — — aus der

bekannten Gleichung eines schwingenden Pendels

= B sin 2(Xv -f- & -f- G)}

d*0 dv*

Avelche, da B und G nach seiner Bestimmung Konstanten sind, vermittelst elliptischer Funktionen integriert werden kann. Der Unterschied dt — dxt wird durch eine Hilfsgröße V vermittelt, die durch eine Gleichung der Form

^-[n(n + l)Wsn*x + h-\ = X

zu bestimmen ist, wo k, h und die in x — y v -f- cp eingehenden zweckmäßig zu bestimmenden Größen y und <p Konstanten sind und X teils bekannte, teils durch Annäherungen zu erhaltende auch von V abhängige langperiodische Glieder enthält. Die Integration dieser Gleichung sucht Gylden unter Anwendung der von Ch. Hermite⁶) gegebenen Lösung der Laméschen Differentialgleichung zu bewerkstelligen.

Eine andere von Gylden stammende Methode, die Gleichung (192) zu integrieren, ist von P. Harzer™) ausgearbeitet worden. Indem wieder nur das bedeutendste periodische Glied explizite ausgeschrieben wird, kann man nämlich der genannten Gleichung die Form

-f- ß sin 2(© -f- ff) = X

d²0 dv²

geben. In erster Annäherung nimmt er ß und ff als Konstanten und X — 0 an und erhält dann für & eine zwei Integrationskonstanten enthaltende, durch einfache elliptische Funktionen ausdrückbare Lösung. Die Funktion X und die Variabilität von ß und ff werden in den

folgenden Annäherungen durch Variation der Integrationskonstanten berücksichtigt.

Die Einführung der elliptischen Funktionen in die Lösung kompliziert indessen die weiteren Annäherungen ungeheuer, es wird unmöglich zu überblicken, was in den Differentialgleichungen berücksichtigt ist und was nicht. Natürlich muß zugegeben werden, daß in einigen Fällen durch ihre Einführung schwach konvergierende Reihen kürzer geschrieben und berechnet werden können. Viele bei Störungsproblemen vorkommende Entwickelungen der elliptischen Funktionen hat Gyldén an den in Fußnote⁷) verzeichneten Stellen gegeben.

Schließlich ist noch zu erwähnen, daß Gyldén⁸) auch die Zeitreduktion auf die Ermittelung einer Größe V zurückzuführen versucht hat, die ihrerseits aus einer Gleichung der Form

— riV = X

d*V dv*

zu bestimmen wäre. Das Vorkommen der horistischen Funktion v2 würde das Entstehen beliebig kleiner Divisoren verhindern. Gemäß den Untersuchungen von H. Poincaré⁸⁶) ist auch dieser Integrationsversuch unwirksam.

39. Spezielle Ausarbeitungen und Anwendungen der GyMenschen Methode. Methode von Brendel. Gyldćn selbst hat keine vollständigen Anwendungen seiner Theorie gegeben. Dagegen sind verschiedene Teile seiner Methode und die bei den verschiedenen Planetentypen am besten geeigneten Formeln von anderen Astronomen weiterentwickelt und ausgearbeitet worden.

P. Harzer™) behandelte den Hecubatypus und untersuchte dabei besonders die charakteristischen Glieder.

Die Planeten des Typus untersuchte M. Brendel⁹). Die Gyldénschen Differentialgleichungen integrierte er dabei in der Weise, daß die Koeffizienten der angesetzten Reihen nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt wurden. In ähnlicher Weise behandelte K. G. Olsson¹⁰) einen kleinen Planeten desselben Typus, wobei er noch verschiedene Koeffizienten nach Potenzen der Größe n — Sri entwickelte.

In seiner später erschienenen Theorie der kleinen Planeten teilt M. Brendelu) die Planeten nach ihren KommensurabilitätsVerhältnissen in bezug auf Jupiter in drei Klassen:

1.    gewöhnliche, deren mittlere Bewegung nicht nahe kommensurabel mit derjenigen Jupiters ist;

2.    charakteristische, deren mittlere Bewegung nahe, aber nicht sehr nahe kommensurabel mit derjenigen Jupiters ist;

3.    kritische, deren mittlere Bewegung sehr nahe kommensurabel mit derjenigen Jupiters ist, so daß strenge Kommensurabilität (Libration) befürchtet werden kann.

Die charakteristischen und kritischen Planeten sind von der v-ten Klasse, wenn das Verhältnis der mittleren Bewegungen ™ nahe gleich

-—- ist (p und v ganze teilerfremde Zahlen).

Bei der Integration wendet Brendel⁹^) hier öfters die partielle Integration an, indem erst T, rj, J, co, . . . als Konstanten betrachtet werden. Die aus der Veränderlichkeit des in den Argumenten enthaltenen T in den Lösungen entstehenden Glieder werden „exargumen-tale“, die aus der Veränderlichkeit der elementaren Größen rj, J, œ, ... entstehenden Glieder werden „Zusatzglieder“ genannt. Brendel behandelt speziell die gewöhnlichen und die Planeten der Typen | und gibt explizite die Hauptglieder der Störungen, sowohl in analytischer Form als auch numerisch tabuliert, wobei indessen für die kritischen Planeten die Behandlung noch nicht ganz durchgeführt ist.

Um die Berechnung einer Epliemeride zu vereinfachen, führt er auch in die erhaltenen Störungsformeln die Zeit als unabhängige Veränderliche ein. Weiter leitet er aus den Störungen der Gyldénschen Koordinaten auch die Störungen in den Elementen ab. Bisweilen findet er es vorteilhaft, statt oskulierender Elemente sogenannte instantané Elemente¹⁸) anzuwenden, welche so gewählt werden, daß sie zu jeder Zeit die Koordinaten des Planeten, nicht aber auch gleichzeitig deren Ableitungen darstellen.

Nach der Brendelschen Methode haben 11. Ludendorff¹¹ 12 13) und

J. Kramer¹⁴) die Theorien der kleinen Planeten des Typus \ und H. Buchholz⁹⁸) diejenigen des Typus -f ziemlich ausführlich entwickelt. Kramer entwickelt dabei die elementaren Glieder in säkularer Form.

V. Verschiedene Methoden.

40. Methode von Backlund. Um die bei Anwendung der wahren Anomalie als unabhängiger Veränderlichen erforderliche komplizierte Entwickelung der Störungsfunktion zu vermeiden und die Störungen durch eine wenig von der Zeit verschiedene Veränderliche auszudrücken, hat 0. Backlund") auf Grund der Laplaceschen Theorie der Jupitersatelliten¹⁰⁰) eine neue Methode entwickelt, in welcher übrigens die Gyldénschen Hauptprinzipien bezüglich der Form der Störungsausdrücke zur Anwendung gekommen sind.

Backlund setzt die wie bei Gyldén definierte Länge in der Bahn an: w = nt-{-ip-\-y-\-A,

wo A eine Konstante, ip eine langperiodische Funktion und y eine kleine Größe ist, nach deren Potenzen die Störungsfunktion entwickelt werden kann. Als unabhängige Veränderliche wählt er

r = nt -j- ip

und indem er als zu bestimmende Größen iv, den Sinus der Breite § und die durch die Gleichung

?,2 = <r(l -j- & -j- p),

n²a³= kt( 1 -j- ni)

(0 eine überzählige Konstante von der Ordnung der Masse, welche so zu bestimmen ist, daß p nur periodische Glieder enthält) definierte Größe p nimmt, folgen aus den Gleichungen (101), (103) und (128) zu ihrer Bestimmung Gleichungen der Form

+ 9 = Ą + K

37- ¹ + ^0+ Wu

J? + h = Z₀+Zlf

wo R₀, WQ, Z₀, R1: Wlf Zx nach Potenzen von &, p, y,    § und

den entsprechenden Größen des störenden Planeten entwickelt sind. Rt, Wt, Zx haben die störende Masse als Faktor, R₀, W₀, Z₀ hingegen

97) J. Kramer, Die genäherte absolute Bewegung des Planet. (108) Hecuba. Inaug.-Diss. Berlin, Göttingen 1902, Göttingen Ges. Wiss. Neue Folge (2) 2(1901) und (6) 3 (1907).

98)    H. Buchhols, Wien. Denkschr. 72 (1902) und 77 (1905).

99)    0. Backlund, St. Pét., mém. 7. Reihe (38) 11 (1892) und 8. Reihe (6)

10 (1898).

100) P. S. Laplace, Traité de méc. cól. 4 (1805), p. 5— 82 = Oeuvres 4, p. 1—94; Paris hist. (2) mém. (1788/9) = Oeuvres 11 p. 309—473.

nicht. Die Integration, welche Backlund mit einigen Vereinfachungen nach Gyldéns Muster bewerkstelligt, wird durch das Vorkommen der Größen B₀, W₀, Z₀ ein wenig kompliziert, indem die Annäherungen teilweise nur nach Potenzen der Exzentrizitäten und Neigungen fortschreiten.

Die Methode ist von Backlund für die kleinen Planeten des |-Typus spezieller entwickelt und bezweckt zunächst nur eine angenäherte Lösung. Hilfstafeln zur Berechnung der Hauptungleichheiten hat A. Iwcmoiv¹⁰¹) gegeben.

41.    Die Jupitergruppe. Eine allgemeine Theorie dieser erst nach 1906 entdeckten Planetengruppe ist noch nicht gegeben. Da ihre mittleren Abstände von der Sonne nahe gleich demjenigen Jupiters sind, kann die gewöhnliche Entwicklung der Störungsfunktion nicht angewandt werden. Da aber diese Planeten seit ihrer Entdeckung in der Nähe der Lagrangeschen Dreieckspunkte verblieben, konnte man die Untersuchungen über die Bewegungen kleiner Massen in der Nähe dieser Punkte anwenden (siehe VI2, 12, Nr. 6, Whittoker). Die Störungsfunktion entwickelt man nach den Potenzen des Abstands der Planeten vom Dreieckspunkt. I. J. Binders'⁰²) bestimmte in erster Annäherung die Variationen der Delaunayschen kanonischen Elemente, wobei die Jupiterbahn kreisförmig vorausgesetzt wird. W. W. Heinrich10s) berücksichtigt noch die Jupiterexzentrizität.

42.    Angenäherte Störungen. Um die kleinen Planeten wieder zu erkennen oder ihre Orter für die Beobachtungen bis auf einige Bogenminuten genau zu berechnen, braucht man nur angenäherte Lösungen. Eine solche wird z. B. erhalten, wenn man in einer genauen Theorie mit genau bestimmten Konstanten nur die größten Glieder beibehält. In dieser Weise würde man eine für lange Zeiten geltende genäherte Lösung erhalten. Gewöhnlich entwickelt man indessen nur die Hauptglieder der Lösung und fordert nur eine ziemlich kurze Darstellungszeit (höchstens etwa 100 Jahre). Um die Konstanten aus den beobachteten Ortern einigermaßen genau zu erhalten muß man den Einfluß der Vernachlässigungen in der Lösung durch Vermehrung und gleichmäßige Ausdehnung der Beobachtungen über möglichst lange Zeiten abzuschwächen suchen, was indessen nicht immer gelingt, da die Fehler oft systematisch wirken.

101)    A. Iwanow, St. Pét. bull. (10) 1 (1899); (13) 3 (1900).

102)    F. J. Linders, Stockholm K. Yet. Akad. Arkiv (4) 20 (1908) = Medde-landen fran Lunds astr. Obs. 35.

103)    W. W. Heinrich, Prag. Ges. Wiss. Ber. (Febr. 1913).

Die in Nr. 39 und 40 genannten Methoden sind auch speziell für solche angenäherte Lösungen ausgearbeitet worden. Denselben Zweck hat auch die von K. Bohlin¹⁰*) ausgebildete Methode der gruppenweisen Berechnung der Störungen. Er wendet die Hansen-sche Methode bis auf die Entwicklung der Störungsfunktion (ygl. VI 2, 13, Nr. 26, v. Zeipel) und die Integration an und gibt speziell die für den Typus | nötigen Formeln und numerischen Tafeln. In der Entwicklung der Störungsfunktion und derjenigen ihrer Ableitungen führt er anstatt der mittleren Anomalie des störenden Körpers, welche wie bei Hansen in der Form

M' = nt -j- c n'dt,'

geschrieben sei, die verhältnismäßig langsam veränderliche Größe 0 =    — e sin E) — M'

ein, wobei eine einfache Zahl, wie f , 4, ... ist, die nahe dem Verhältnis [i = — der beiden mittleren Bewegungen liegt, so daß

tv — 1 — —

für die betreffende Planetengruppe eine kleine Größe ist. Diese Entwicklungen sind von der Form

EKtB\iE-i'^E+i'e+L)’

wo L und K Konstanten bezeichnen, von denen die letzteren nach Potenzen von w entwickelt sind. Indem als unabhängige Veränderliche die gestörte exzentrische Anomalie E anstatt der in Nr. 28 eingeführten ungestörten Anomalie s angewandt wird, werden die Differentialgleichungen die den Formeln (96) ganz analogen Formen

dB

dW

dE

dE

annehmen. T und V sind in Fourier scho Reihen von der Form

.2ïp»B +re++ £h

entwickelt, wo die in den Gleichungen (81) vorkommende Größe ist und X nur die Werte — 1, 0 und -f- 1 annimmt. Die Größe W wird daher in der Form

W = x -f- y cos rj₀ -j- £ sin rio erhalten, wo x, y, z von rj₀ unabhängig sind.

Nach (81) und (82) findet man dann, daß & = x + ey

104) K. Bohlin, Nova Acta Reg. soc. sc. Upsaliensis (3) 17 (1896); Stockholm Obs. Jakttagelser etc. 7 (1902).

W — j W = x -(- y cos E -f- z sin E

ist, und da

Ho

ü — R — \ R.

7Jq = E

ist, kann v nach der Gleichung (79) unmittelbar berechnet werden. u folgt am einfachsten aus der Größe iü nach der der Gleichung (88) analogen Formel

Die Störung der mittleren Anomalie ndt, folgert Bohlin aus der Gleichung

0 = nQ(wnt; -f- (1 — w)nd£) — n'ôÇ -f- jac — c,

nachdem 0 selbst aus der durch Anwendung der Gleichungen (68) und (76 b) abgeleiteten Gleichung

1F-F v*}

+ W 1

de

dE

bestimmt ist.

Bohlin spaltet nun 9 in zwei Teile

0 =

driSÇ

(l-ecosE)

und entwickelt alle 9 enthaltenden Glieder nach Potenzen von 6₁. Bei den Annäherungen wird H ebenso nach und nach in zwei Teile

H = He + He

zerlegt, wobei in He alle Glieder von H aufgenommen werden, die 9₀ aber nicht E enthalten. 9₀ und 9₁ bestimmen sich dann aus den Gleichungen

sa sa

= He,

TT

Charakteristisch, für die Methode von Bohlin ist, daß W und R als Funktionen der beiden Veränderlichen 9₀ und E vermittels der p arti eilen Di fier enti aigle i chun gen

dw

(193)

dE

+ He

= T=2'₀ + 2> + 2>² + ...,

d R i Tr dE +

bestimmt werden, ohne daß man 9₀ als Funktion von E zu kennen braucht. Um die Integration auszuführen, spaltet er W und R in derselben Weise wie H in zwei Teile

= U=UQ-\-U₁w+ U₂w*----

W—We + Wx, R = Re+ Rm

und setzt die Glieder der beiden Seiten der Gleichungen (193), welche nur 6₀ enthalten, für sich gleich und ebenso die übrigen Glieder für sich. Wird weiter in den solcherweise erhaltenen Gleichungen für

jede Größe eine vorausgesetzte Entwicklung nach Potenzen von w, z.B.

We =    + W.,1» + W.,,w> + ■■■,

eingeführt und die Glieder gleichgesetzt, welche dieselbe Potenz von w enthalten, so erhält man eine Reihe von Gleichungen, aus welchen die einzelnen Teile von W und R und damit diese Größen selbst leicht zu erhalten sind.

Da nQ eine rationale Zahl ist, so werden die Integrationsdivisoren

der periodischen Glieder i — i'g₀ nicht unendlich klein, wohl aber Null, woraus folgt, daß E in den Störungsausdrücken außerhalb der Zeichen sinus und cosinus vorkommt. II. Poincare10i), der beinahe gleichzeitig mit Bohlin dieselbe Integrationsmethode fand, zeigt, daß die erhaltenen Reihen nicht konvergieren. Wie die von Bohlin104:) und anderen gemachten Vergleichungen mit anderweitig abgeleiteten Störungsausdrücken zeigen, liefert die Bohlin sehe Methode indessen recht gute Darstellungen der Störungen, wenigstens wenn man die ersten Potenzen von w berücksichtigt.

Die speziellen Formeln und Tafeln für den j- Typus sind von H. v. Zeipel¹⁰⁶), für den -f-Typus von U. T. Wilson¹⁰¹) gegeben. v.Zeipel macht dabei einige Abänderungen. Er spaltet d nicht, sondern behält

es als Argument bei. Indem W und R in der Weise gespalten werden, d Re

daß

dw

? und

keine von E unabhängigen Glieder enthalten, erzielt er, daß E aus den Argumenten nicht heraustritt. Er vermeidet eine konsequente Entwicklung nach Potenzen der Masse m, setzt vielmehr xw für w, x^m für m und entwickelt die verschiedenen Größen durchgehend nach Potenzen der (zum Schluß wieder gleich 1 zu setzenden) Größe x. Ein Glied, welches xq als Faktor hat, betrachtet er als vom Range q.

Um die von den langsam veränderlichen Gliedern herrührenden Schwierigkeiten zu vermindern, sollte man bei der Ausarbeitung der Methoden auf die Länge der Zeit, innerhalb deren die Lösung gelten soll, mehr Rücksicht nehmen, als bisher geschehen ist. Die auf die Beherrschung langer Zeiten abzielenden Methoden sind sicherlich nicht die besten für kurze Zeiten.

dE

d'E

105)    H. Poincaré, Les méth. nouv. de la méc. cél. II, p. 315—476, Paris 1893.

106)    H. v. Zeipel, St. Pét., mém. 8 Série (12) 11 (1902).

107)    T). T. Wilson, Stockholm Obs. Jakttagelser etc. (10) 1 (1912).

(Abgeschlossen im Februar 1915.)

/ïTïrî

Erschienene Bände hzw. Hefte:

Arithmetik und Algebra, in 2 Teilen. Vollständig erschienen.

Analysis, in 3 Teilen. Teil I, in 8 Heften, davon 7 erschienen. Teil II, in 6—7 Heften, davon 4 erschienen. Teil HI, in 7—8 Heften, davon 1 erschienen.

Geometrie, in 3 Teilen. Teil I, in 7 Heften, davon 5 erschienen. Teil II, in 8—9 Heften, davon 5 erschienen. Teil IH, in 6 —7 Heften, davon 4 erschienen.

-    IV. Mechanik, in 4 Teilbänden und 1 Registerband. Teilband I, III und IV vollständig. II. Teilband in

4—5 Heften, davon 3 erschienen. Registerband in 1 Heft.

-    V. Physik, in 3 Teilen. Teil I, in 6 Heften, davon 5 erschienen. Teil II, in 5 Heften, davon 3 erschienen.

Teil III, in 6—7 Heften, davon 2 erschienen.

-    VI, 1. Geodäsie und Geophysik, in 1 Teilband. I. Hälfte, in 3 Heften, davon 3 erschienen. II. Hälfte in

6 Heften, davon 3 erschienen.

-    VI,2. Astronomie, in 1 Teilband, in 10—11 Heften, davon 6 erschienen.

-VII. Geschichte, Philosophie, Didaktik, in Vorbereitung.

Band L

II.

- III.

Unter der Presse:

Band II. Teil 1. Trigonometrische Reihen und Integrale bis 1850. (Schluß.) Von 11. Burkhardt (t).

3. Graphische und numerische Quadratur und graphische und numerische'Integration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Von C. Runge in Göttingen und Fr. A.Willers in Charlottenburg. — Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlicher. Redigiert unter Leitung von E.Borel in Paris, bearbeitet von A. Rosentlial in München.

1.    Elementar-Geometrie und elementare nichteuklidische Geometrie. (Schluß.) Von M. Zacharias in Berlin. — Dreiecksgeometrie. Von G. Berkhan (f).

2.    Grundeigenschaften der algebraischen Flächen. Von G. (aste ln novo in Rom und F. Enriques in Bologna. — Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus. Von G. Castclnuovo in Rom und F. Enriques in Bologna.

3.    Wellenoptik. Von M. v. Laue in Frankfurt a. M. Anhang: Spezielle Beugungsprobleme. Von Paul S. Epstein in München.

1b. Erdmagnetismus. Von Ad. Schmidt in Potsdam.

II.

III.

III.

V.

VI.

Band VI, 2. Teil: Astronomie. Red. von K. Schwarzschild in Potsdam.

* erschienen

stehendes Houlton in Chicago.

Vorwort zu Band VI, Teil 2 von K. Schwarzscliild in Potsdam.

' Inhaltsverzeichnis von Band VI, Teil 2.

A. Sphärische Astronomie.

I. Theorie der Koordinaten.

*1. Über Koordinaten und Zeit: E. Anding in Gotha.

*2. Reduktion der astronomischen Beobachtungen (sphärische Astronomie im engeren Sinne): F. Colin in Berlin.

*3. Geographische Ortsbestimmung, nautische Astronomie: C. IV. Wirtz in Straßburg i. E.

II. Theorie der Instrumente.

*4. Theorie der Uhren: C. Ed. Caspar! in Paris.

*5. Theorie der astronomischen Winkelmeßinstruraente, der Beobachtungsmethoden und ihrer Fehler : F. Colin in Berlin.

III. Spezielle Ausführungen u. An w endungen. *6. Besondere Behandlung des Einflusses der Atmosphäre (Refraktion und Extinktion): A. Bemporad in Catania.

*7. Theorie der Finsternisse: F. K. Ginzel in Berlin u. A. Wilkens in Kiel.

*8. Chronologie: F. K. Ginzel in Berlin.

B. Mechanik des Himmels.

I. Bahnbestimmung.

*9. Bahnbestimmung der Planeten und Kometen:

G. Herglotz in Leipzig.

*10. Die Bestimmung der Meteorbahnen im Sonnensystem: G. v. Niessl in Wien.

*11. Doppelsterne und Trabanten. Visuelle und spektro-graphische Doppelsterne: J. v. Hepperger in Wien.

n. Störungen der Umlaufsbewegungen. Ha. Analytische Entwickelung d. Störungen. *12. Prinzipien der Störungstheorie und allgemeine Theorie der Bahnkurven in dynamischen Problemen: E. T. Whittaker in Edinburgh.

*13. Entwickelung der Störungsfunktion: H. v. Zeipel in Upsala.

*14. Erdmond: E. IV. Brown in New-Haven.

*15. Theorie der Planeten: K. Sundman in Helsingfors.

16.    Kometen: E. Strömgren in Kopenhagen.

17.    Die übrigen Satelliten: K. Laves in Chicago.

18.    Die Bestimmung astronomischer Konstanten: Bauscliinger in Straßburg i. E.

IIb. Numerische Berechnung aller Störungen.

19. Spezielle Störungen der Planeten und Kometen. Numerische Behandlung besonderer Fälle der Dreikörperproblems. Mehrfache Fixsternsysteme : E. Strömgren in Kopenhagen.

III. Gestalt und Rotation der Himmelskörper.

20.    Figur der Planeten, des Mondes, des Saturnringes,, der Kometen : S. Oppenheim in Prag.

21.    Rotation der Himmelskörper, Präzession und Nutation für starre Erde. Libration des Mondes: K» Schwarzschild in Potsdam.

IV. Allgemeine Fragen.

22. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes: S. Oppenheim in Prag.

C. Stellarastronomie.

23. Stellarastronomie: II. Kobold in Kiel.

D. Astrophysik.

24.    Photometrie und ihre Anwendungen: E. Anding in Gotha.

25.    Thermodynamik der Himmelskörper (Sonnentheorie, neue Sterne) : R. Emden in München.

26.    Kosmogonie. (Kant, Laplace, G. Darwin). Wider-Mittel. Spekulative Ausblicke: F. K.

Bisher erschien:

1912. n. M. 3.— [109 S.] 1913. n. M. 3.40

Heft 1    (1—4).    [193    S.]    1905.    n. M. 5.80.    i Heft 4 (11—12). [94 S.]

5 (13).

—    2    (5-6).    [140    S.]    1908.    n. M. 4.—

—    3    (7—10).    [128    S.]    1910.    n. M. 3.60.

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Druk. U. J. Zatu. 356. 10.000.

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[Erscheint Sommer 1915.]

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Exner, F., dynamische Meteorologie, [ca. 300 S.] gr. 8. [In Vorbereitung ;

Galle, A., mathematische Instrumente. Mit 86 Figuren. [VI u. 187 S.] 8. 1912. steif geh. n. Jt 4.40, geb. n. Jt 4.80.

Galitzin, B., Vorlesungen über Seismometrie. Deutsche Bearbeitung unter Mitwirkung von Clara Reinfeldt von O. Hecker. Mit 162 Figuren. [VHI u 538 S.] Lex.-8.    1914. geh. n. Jt 22.—, geb. n. Jt 24.—

Hohenner, H., Geodäsie. Eine Anleitung zu geodätischen Messungen für Anfänger mit Grundziigen der Hydrometrie und direkten (astronomischen) Zeit- und Ort-bestimmung. Mit 216 Figuren. [XI u. 347 S.] gr. 8.    1910. geh. n. Jt 12.—

Köfler, A., Didaktik der Himmelskunde und der astronomischen Geo graphie. Mit Beiträgen von W. Foerster (Berlin). K. Haas (Wien), M. Koppe (Berlin), S. Oppenheim (Wien), A. Schülke (Tilsit). Verfaßt von A. Höfler. Mit 2 Tafeln und 80 Figuren sowie: Der Sternenhimmel. Anleitung zur Benutzung des Himmelsglobus aus Modelliernetzen, die Sterne durchzustechen und von innen heraus zu betrachten. Von A. Höfler. 2. verb. Auflage. [VI u. 26 8.] 8. 1913. Als Beigabe des Verfassers. [XII u. 414 S.] gr. 8. 1913. geh. n. Jt 11.— geb. n. Jt 12.—

Keferstein, J., große Physiker. Bildei aus der Geschichte der Astronomie und Physik. Für reifere Schüler, Studierende und Naturfreunde. Mit 12 Bildnissen auf Tafeln. [IV u. 233 S.] 8. 1911. geb. n. Jt 3.—

Krüger, L., Transformation der Koordinaten bei der konformen Doppel-Projektion des Erdellipsoids auf die Kugel und die Ebene. Mit 3 Fig. [IV u. 43 S ] 4.    1914. geh. n. Jt 3.—

u. 60

Näbauer, M., Grundzüge der Geodäsie. Mit 227 Figuren. [XVI u. 420 S 8. 1915. geh. n. Jt 9.—, geb. n. Jt 9.60. A. u. d. T.: Handbuch der angewandten Mathematik von H. E. Timerding.

Pringsheim, E., Vorlesungen über die Physik der Sonne. Mit 253 Figmor.

und 7 Figurentafeln. [VIII u. 435 S.] gr. 8. 1910. geh. n. Jt 16.—, geb. n. Jt 18.— Sassenfeld, M., aus dem Luftmeer. Meteorologische Betrachtungen für mittler^ und reife Schüler. Mit 40 Figuren. [IV u. 183 S.]    5.    1912. geb. n. Jt 3.—

Sehweydar, W., harmonische Analyse der Lotstörungen durch Sonn-' und Mond. [72 S.] 4.    1914. geh. n. Jt 5.—

Taschenbuch für Mathematiker und Physiker. III. Jahrgang. Herau g. von F. Auerbach und R. Rothe. Mit einem Bildnis Friedrich Kohlrauschs. [X u 463 S.]    8.    1913. geb. n. Jt 6.—

Trab&rt, V,, Lehrbueh der kosmischen Physik. Mit 149 Figuren und 1 Tafe; [X u. 622 S.] gr. 8.    1911. geh. n. Jt 20.—, geb. n. Jt 22.—

Meth, P., Theorie der Planetenbewegung. Mit 17 Figuren und 1 Tafel. [W 8.    1912. kart. n. Jt —.80.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

M-348776

¹

H. Gyldén, Astr. Ges. Publ. XXI, Leipzig 1896.

Encyklop. d. math. Wissenaoh. VI 2.

²

   H. Gyldén, Acta math. 15 (1891) u. 17 (1893).

³

   H. Poincaré, Acta math. 29 (1905), p. 235—271.

⁴

   Max Wolf, Stockholm Obs. Iakttagelser etc. (4) 4 (1891).

⁵

   H. Gyldén, Stockholm K. Vet. Akad. Handl. (7) 2 (1882), p. 137—144; Orbites absolues 1, p. 536—541.

⁶

   Ch. Hcrmite, Paris C. R. 85 (1877), 2tB sem. Mehrere Aufsätze.

⁷

   H. Gyldén, St. Pét. mém. 7. Reihe (16) 10 (1871); Stockholm K. Vet. Handl. (11) 9 (1874).

⁸

   H. Gyldén, Acta math. 17 (1893); Astr. Ges. Puhl. 21, Leipzig 1896, p. XLIV—L.

⁹

   M. Brendel, Stockholm Obs. Iakttagelser etc. (4) 3 (1891).

¹⁰

   K. G. Olsson, Stockholm K. Yet. Akad. Handl. (25) 8 (1893).

¹¹

   M. Brendel, Göttingen Ges. Wiss. Abhdl. Neue Folge (1) 2 (1898), (6) 4 (1909), (6) 5 (1910), (8) 1 (1911).

¹²

   M. Brendel, Math. Ann. 55 (1901), p. 248—256.

¹³

   H. Ludendorff, Die Jupiterstörungen der kl. PI. vom Hecuba-Typus,

¹⁴

Berlin 1897.