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Band Vis.

lieft 4.

EN CYKLOPÄDIE

DER

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN".

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRAGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BÄNDEN.

~i ND I:    ALGEBRA’}RED. VON W. PR. 3IEYER IN KÖNIGSBERG.

H: ANALYSIS, IN 3 TEILEN

H. BURKHARDT IN MÜNCHEN UND W. WIRTINGER IN WIEN.

HI: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN......W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

IN HANNOVER.

A. SOMMERFELD IN MÜNCHEN.

( PH. FURTWÄNGLER IN BONN UND l E. WIECHERT IN GÖTTINGEN.

. K. SCHWARZSCHILD IN POTSDAM.

—    IV: MECHANIK, IN 4 TEILBÄNDEN . . {jj* g^ÜLLER^™⁰¹^

—    V: PHYSIK, EN 3 TEILEN......

—    VI, 1: GEODÄSIE UND GEOPHYSIK .

—    VI, 2: ASTRONOMIE.........

—    VH: GESCHICHTE, PHILOSOPHIE, DIDAKTIK (EN VORBEREITUNG).

BAND VI 2. HEFT 4.

. 46S

. 612

i ■ HEPPËRGER IN WIEN: BAHNBESTIMMUNG DER DOPPELSTERNE UND SATELLITEN &. t WHITTAKER IN DUBLIN: PRINZIPIEN DER STÖRUNGSTHEORIE UND ALLGEMEINE THEORIE DER BAHNKURTEN IN DYNAMISCHEN PROBLEMEN

AUSGEGEBEN AM 4. JUNI 1912.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1912.

Jeder Band ist einzeln käuflich. — Bisher erschien: Bd. I (vollständig): Bd. II1, *efti—6; Bd.Hj, Heftl; Bd.lb, Heftl: Bd.IIIi, Heft 1-4; Bd. IIIj, Heft 1—4; Bd.HIs l—3; Bd. IVn, Heft 1-4 (vollständig); Bd.IVm, Heft ln. 2, Bd.IVsi, Heft 1-4 (voll-Jtändif); Bd. IVjii, Heft 1—3 u. 6; Bd. Vi, Heft 1-4; Bd. Vs, Heft 1—3; Bd.Vs, Heftl <i.a; Bd. VIi a, Heftl—3; Bd.VIin, Heft ln.2; Bd. VD, Heft 1-4.

.fW* Einhanddeeken in Halbfranz werden auf Bestellung mit dem Schlußheft eines jeden Bandes za wohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung¹ geliefert.

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Abwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlioh angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v, Dyck - München, 0. Holder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, W. Wirtlnger-Wien, H. v. Seeliger-München, H. Weber-Straßburg,

steht der Redaktion, die aus den Herren

H. Burkhardt-München, Ph. Furtwängler-Bonn, F. Klein-Göttingen, W. Fr. Meyer-KönigBberg, C. H. Müller-Hannover K. Schwarzschild-Potsdam, A. Sommerfeld-München, E. Wiechert-Göttingen und W. Wirtinger-Wien

besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

I.    Band:

W. Ahrens-Berlin P. Bachmann-Weimar

J.    Bauschinger-Straßburg

G.    Bohlmann-Berlin [LE. W. Wirtinger-Wien

L.V. Bortkewitsch-Berlin    E- Zermelo-Zürich

H.    Burkhardt-München E. Czuber-Wien W. v. Dyck - München

D.    Hilbert- Göttingen 0. Holder - Leipzig

G.    Landsberg-Kiel R. Mehmke - Stuttgart W. Fr. Meye r-Königsbergi.P.

E.    Netto-Gießen V. Pareto-Lausanne A. Pringsheim-München

C.    Runge-Göttingen [a. M.

A. Schoenfiies-Frankfurt

H.    Schubert (t)

D.    SeiiwanofT-St.Petersburg

E.    Study-Bonn

K.    Th. Vahlen-Greifswald H. Weber-Straßburg i. E.

A. Wiman-Upsala

II.    Band:

M. Grübler-Dresden M. Grüning-Düsseldorf E. Hellinger-Marburg a. L. A. Schoenfiies-Frankfurt M. Schröter-München A. Sommerfeld-München E. Study-Bonn A. Wangerin-Halle W. Wien-Würzburg J. Zenneok-Ludwigshafen

E. Müller-Wien

J.    Neuberg-Lüttich E. Papperitz-Freiberg i. S.

K.    Rohn-Leipzig M. Böcher-Cambridge, Mass. H. Rothe-Wien E. Borel-Paris

G.    Brunei (f)

H.    Burkhardt-München

G.    Faber-Königsberg

R.    Frioke-Braunschweig

H.    Hahn-Czernowitz

J.    Harkness-Montreal

K.    Hensel-Marburg G. Herglotz-Leipzig A. Kneser-Breslau A. Krazer-Karlsruhe

L.    Maurer-Tübingen W. Fr, Meyer-Königsberg LP.

W. F. Osgood - Cambridge,

Mass.

P.Painlevé-Paris

S.    Pincherle -Bologna A. Pringsheim-München C. Runge-Göttingen A. Sommerfeld-München E. Vessiot-Lyon

A. Voss-München A. Wangerln-Halle

E.    v. Weber-Würzburg

Fr.A.Willers-Charlottenburg L. Henneberg-Darmstadt K. Heun-Karlsruhe G. Jung - Mailand

ni    Th. v. Kàrmân-Göttingen

m. Bana.    F Klein-Göttingen

L.    Berzolari -Pavia    A. Kriloff-Petersburg

G. Castelnuovo-Rom    H. Lamb - Manchester

M.    Dehn-Kiel    A. E. H. Love-Oxford

F.    Dingeldey-Darmstadt    R. v. Mises - Straßburg i. E.    R.    Bourgeois-Paris

F.    Enriques-Bologna    C. H. Müller-Hannover    G.    H. Darwin - Cambridge

G. Fano-Turin    [rand    L. Prandtl- Göttingen    F.    Exner-Innsbruck

C. Guichard-Clermont-Fer-    H. Reiflner-Aachen    S.    Finsterwalder-München

P. Heegaard-Kopenhagen A. Schoenfiies-Frankfurt Ph. Furtwängler-Bonn K. Heun-Karlsruhe    P. Stäckel-Karlsruhe [a.M.    F.    R. Helmert-Potsdam

G.    Kohn-Wien    0. Tedone-Genua    S.    Hough-Kapstadt

H.    Liebmann-München H.E.Timerding-Braunschwg. H. Meldau-Bremen

R. v. Lilienthal-Münster i. W.    A. Timpe-Münster i.W.    P    Pizzetti-Pisa

G.    Loria-Genua    A. Voss-München    C.    Reinhertz (f)

H.    v. Mangoldt-Danzig    G.T. Walker-Simla (Indien) A. Schmidt-Potsdam

W.Fr. Meyer-Königsbergi.P. K. Wieghardt-Wien    W. Trabert-Wien

G. Zemplén-Budapest.    E. Wiechert-Göttingen.

R. Reiff-Stuttgart C. Runge-Göttingen [a.M.

VI, 1. Band:

V. Band:

VI, 2. Band

M. Abraham-Mailand    E. Anding-Gotha

L. Boltzmann (t)    J. Bauschinger-Straßbg. i. E

G.Scheffers-Charlottenburg G. H. Bryan-Bangor (Wales) A. Bemporad- Catania A. Schoenfiies-Frankfurt C. Segre-Turin J. Sommer-Danzig P. Stäckel - Karlsruhe 0. Staude-Rostock E. Steinitz-Breslau

P. Debye-Zürich [a. M. H. Diesselhorst-Braun-

E. W. Brown-Haverford C. Ed. Caspari- Paris

H. Dubois-Berlin [schweig F. Cohn-Berlin Fr. Emde-Clausthal

S. Finsterwalder-München F. K. Ginzel-Berlin R. Gans-Straßburg [bürg J. v. Hepperger-Wien H.E.Timerding-Braunschwg. F. W. Hinriohsen-Charlotten- G. Herglotz-Leipzig E. W. Hobson-Cambridge J. H. van ’tHoff-Berlin H. G. Zeuthen-Kopenhagen    H. Kamerlingh-Onnes-Leiden F. R. Moulton-Chicago

K. Zindler-Innsbruck.

A. VOSS-München M. Zacharias-Berlin

M. Laue-München Th. Liebisch-Berlin H. A. Lorentz-Leiden L. Mamlock-Berlin G. Mie-Greifswald

IV. Band:

M. Abraham-Mailand C. Cranz-Berlin P.u.T. Ehrenfest-Petersburg H. Minkowski (t)

S. Finsterwalder-München 0. Mügge-Göttingen 0. Fischer-Leipzig    J.    Nabl-Wien

Ph. Forchheimer-Graz    F.    Pookels-Heidelberg

Ph. Furtwängler-Bonn    L.    Prandtl - Göttingen

R. Emden-München

H. Kobold-Kiel K. Laves - Chicago

G.    v. Niessl-Wien S. Oppenheim-Prag L. Schulhof-Paris

K. Schwarzschild-Potsdam E. Strömgren-Kopenhagen K. Sundman-Helsingfora E. T. Whittaker-Dublin A. Wilkens-Kiel C. W. Wirtz-Straßburg i. E.

H.    v. Zelpel-Upsala.

Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Redaktion des Jahresberichts der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ihr aus dem Leserkreise zugehende Verhesserungsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Encyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Herausgeber des Jahresberichts Herrn Professor Dr. A. Gutzmer in Halle a/S.), Wettinerstraße 17 zu richten, der sich mit den betr. Bandredakteuren wegen der Veröffentlichung der Notizen in Verbindung setzen wird.

Die akademische Kommission zur Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.

KRAKÓW )

//

VI 2,11. BAHNBESTIMMUNG DER DOPPELSTERNE UND SATELLITEN.

Von

J. v. HEPPERGER.

IN WIEN.

Inhaltsübersicht.

1.    Beobachtung von Doppelstemen.

2.    Einleitung zur Bahnbestimmung von Doppelsternen.

B. Bahnbestimmung visueller Doppelsterne.

a)    Benutzung einzelner Örter.

b)    Benutzung der vollständigen scheinbaren Ellipse.

c)    Bahnverbesserung.

d)    Bemerkungen über die bekannten Doppelsternbahnen.

4.    Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne.

5.    Einige Ergebnisse der Beobachtung und der Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne.

6.    Bestimmung der Bahn, Figur und Dichte veränderlicher Sterne.

a)    Algolsterne.

b)    Veränderliche von kontinuierlicher Lichtschwankung.

7.    Bahnbestimmung der Satelliten.

Literatur.

I. Balmbestimmung visueller Doppelsterne.

F. Savary, Sur la Determination des orbites, que décrivent autour de leur centre de gravité deux étoiles très rapprochées l’une de l’autre. Conn. des Temps pour 1830.

J. F. Encke, Über die Berechnung der Bahnen der Doppelsterne, Beri. astr. Jahrb. für 1832.

J. Herschel, On the Investigation of the Orbits of revolving Double Stars, Lond. Astr. Soc. Mem. V, 1833.

— On the Determination of the most probable Orbit of a Binary Star, Lond. Astr. Soc. Mem. XVIII, 1850.

A. J. F. Yvon-Villarceau, Mémoires et Notes sur les étoiles doubles, Conn. des Temps pour 1852.

31

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

—    Méthode pour calculer les orbites des étoiles doubles, déduite de considérations géométriques, Conn. des Temps pour 1877.

W. Klirikerfues, Über eine neue Methode die Bahnen der Doppelsterne zu berechnen, Diss. Göttingen 1855.

—    Über die Berechnung der Bahnen der Doppelsterne. Astr. Nachr. 42 (1856).

—    Allgemeine Methode zur Berechnung von Doppelsternbahnen Astr. Nachr. 47 (1858).

H. Seeliger, Zur Theorie der Doppelsternbewegungen, Diss. Leipzig 1872. Untersuchungen über die BewegungsVerhältnisse in dem dreifachen Sternsystem £ Cancri, Wien. Denkschr. 44 (1881). Fortgesetzte Untersuchungen über das mehrfache Sternsystem £ Cancri Münch. Abh. 17 (1892). Über den vierfachen Stern £ Cancri, München Ber. 24 (1894). Über optische Ungleichheiten in der Bewegung der Doppelsterne, München Ber. 19 (1889). Artikel Doppelsterne in Valentiner, Handwörterbuch I, Breslau 1897.

Tli. lliiele, Neue Methode zur Berechnung von Doppelsternbahnen. Astr. Nachr. 104 (1883).

S.    v. Glasenapp, On a graphical Method for determining the Orbit of a Binary Star, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 49 (1889).

K. Schwarzschild, Methode zur Bahnbestimmung der Doppelsterne. Astr. Nachr. 124 (1890).

T.    J. See, On a practical Method of determining double star orbits by a graphical Process, and on the Elements & and X. Astron. and Astroph. J. 12 (1893).

H. Zwiers, Über eine neue Methode zur Bestimmung von Doppelsternbahnen. Astr. Nachr. 139 (1896).

H. G. Plummer, An Application of Projective Geometry to Binary Star Orbits, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 60 (1900).

G. Comstoclc, The Determination of Double Star Orbits, Science 15 (1902).

P. Salet, Détermination des orbites des étoiles doubles. Paris, Bull. Astr. 19 (1902).

P. Jonclcheere, Méthode graphique pour déterminer les éléments des orbites des étoiles doubles, Bull, de la Soc. astr. de France 22 (1908).

II. Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne und veränderlicher

Sterne.

A.    Bambaut, On the Determination of Double Star Orbits from Spectroscopic Observations of the Velocity in the Line of Sight. Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 51 (1891).

J.    Wilsing, Über die Bestimmung von Bahnelementen enger Doppelsterne aus spektroskopischen Messungen der Geschwindigkeitskomponente. Astr. Nachr. 134 (1894).

B.    Lehmann- Filhés, Über die Bestimmung einer Doppelsternbahn aus spektroskopischen Messungen der im Visionsradius liegenden Geschwindigkeitskomponente. Astr. Nachr. 136 (1894).

K.    Schwarz Schild, Ein Verfahren der Bahnbestimmung bei spektroskopischen Doppelsternen. Astr. Nachr. 152 (1900).

H. N. Busseil, An Improved Method of Calculating the Orbit of a Spectroscopic Binary. Astroph. Journ. 15 (1902).

A. Nijland, Zur Bahnbestimmung von spektroskopischen Doppelsternen. Astr. Nachr. 161 (1903).

W. Zurhellen, Bemerkungen zur Bahnbestimmung spektrosk. Doppelsterne. Astr. Nachr. 175 (1907).

K. Laves, A Graphic Determination of the Elements of the Orbits of Spectro-scopic Binaries. Astroph. Journ. 26 (1907).

W. F. King, Determination of the Orbits of Spectroscopic Binaries. Astroph. Journ. 27 (1908).

H. C. Plummer, Notes on the Determination of the Orbits of the Spectroscopic Binaries. Astroph. Journ. 28 (1908).

H. D. Curtis, Methods of Determining the Orbits of Spectroscopic Binaries. Publ. of the Astr. Soc. of the Pacific 20 (1908).

F.    Schlesinger, The Determination of the Orbit of a Spectroscopic Binary by the Method of Least-Squares, Allegheny Publ. 1 (1908).

M. Mériau, Densité des étoiles variables du type d’Algol, Paris, C. R. 122 (1896).

G.    W. Myers, The System of ß Lyrae. Astroph. Journ. 7 (1898).

A. Boberts, Density of close Double Stars. Astroph. Journ. 10 (1899).

— On the Relation existing between the Light Changes and the Orbital Elements of a close Binary System. Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 63 (1903); 65 (1905).

J. v. Hepperger, Über den Zusammenhang zwischen der Lichtänderung und den Elementen des Systems ß Lyrae. Wien. Ber. 1909.

III. Bahnbestimmung der Satelliten.

F. W. Bessel, Bestimmung der Bahn des Hugenischen Saturnsatelliten. Astr. Nachr. 9 (1831).

A. Marth, Researches on Satellites, Astr. Nachr. 44 (1856).

W. Meyer, Bahnbestimmung der Satelliten des Saturn Enceladus, Tethys, Dione und Rhea nach einer neuen Methode. Astr. Nachr. 99 (1881).

—    Le Système de Saturne, Mem. Soc. de Phys, et d’Hist. nat. de Genève 1884.

H. Struve, Bestimmung der Elemente von Japetus und Titan aus der Verbindung

dieser Satelliten untereinander. Astr. Nachr. 111 (1885).

—    Verbindung der Saturntrabanten Titan und Rhea. Astr. Nachr. 111 (1885).

—    Vorläufige Resultate aus den Beobachtungen der Saturntrabanten am 30 zölligen Refraktor. Astr. Nachr. 123 (1890), 125 (1890).

—    Beobachtungen der Saturntrabanten, Poulk. Obs. Centr. Nie. Publ. (2) XI (1898). W. Klinkerfues, Theoretische Astronomie, Braunschweig I. Aufl. 1871, II. Aufl.

(Buchholz) 1899.

J. Bauschinger, Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig 1906.

A. O. Leuschner, Versuch der Bahnbestimmung mit sofortiger Berücksichtigung der Störungen. Astr. Ges. Vjs. 43 (1908).

31*

sternen; unter denen viele weite Paare Vorkommen. Ungefähr um diese Zeit hatte William Herschd seine erfolgreichen Nachforschungen begonnen, die binnen kurzem zur Entdeckung von 269 Doppelsternen führten. Die Publikation dieser Entdeckungen veranlaßte J. Michell der Frage näher zu treten, ob das Vorkommen so vieler Paare mit einiger Wahrscheinlichkeit dem Walten des Zufalls bei der Verteilung der Sterne zugeschrieben werden könne. Michell²) fand, daß diese Wahrscheinlichkeit äußerst gering ist, und entschied sich für die Annahme, daß in den meisten Fällen die paarweise Anordnung auf Rechnung der Gravitationswirkung zu setzen sei. Schon W. Herschel vermochte durch die Beobachtung relativer Bewegung ein wertvolles Argument für die Richtigkeit der Anschauung Michells beizubringen. Die Bedeutung der Tätigkeit W. Herschcls auf dem Gebiete der Doppelsternkunde liegt vor allem in der großen Zahl³) (703) der von ihm gefundenen Paare und den vielen, trotz erheblicher Unsicherheit ihres Alters wegen schätzbaren Messungen derselben. Man verdankt ihm auch die Einführung der noch jetzt üblichen Messungsmethode, wonach der Ort des einen Sternes durch Bestimmung des Positionswinkels und der Distanz auf den Ort des andern Sternes bezogen wird. Der Anhaltstern wird Hauptstern, der andere Nebenstern oder Begleiter genannt. Als Hauptstern hat die hellere Komponente zu gelten; ist der Helligkeitsunterschied nicht deutlich markiert, so ist die als Hauptstern gewählte Komponente auf andere Weise kenntlich zu machen. Die Zählung des Positionswinkels ist von Herschel nicht immer in derselben Weise vorgenommen worden. Wilhelm Struve hat eine einheitliche Zählweise inauguriert durch die Festsetzung, daß der Positionswinkel (0) der Winkel am Hauptstern ist, um welchen der von diesem zum Nordpol führende Kreisbogen nach der Seite hin, auf welcher die Sterne mit größeren Rektaszensionen liegen, gedreht werden muß, um den Nebenstern in sich aufzunehmen. Distanz (p) ist der in Bogensekunden ausgedrückte scheinbare Abstand des Nebensternes vom Hauptsterne. Hat der Hauptstern die Koordinaten a, d, der Nebenstern a, Ö\ so wird (a — a) cos ó = p sin 0

Ô'- Ô — Q COS 6.

1)    De novis in coelo sidereo phaenomenis: Mannheim 1779; Beri. astr. Jahrb. für 1784.

2)    On the means of discerning the distance ... of fixed stars ; Lond. Phil. Trans. 1788.

3)    Synopsis of all Sir W. Herschel’s Mierom. Measurements by Sir J. Herschel ; Lond. Astr. Soc. Mem. 35 (1867).

Die Verdienste, welche W. Struve durch die Fülle der Entdeckungen, die Vollständigkeit der Beobachtungen und die Gediegenheit der Messungen sich um die Wissenschaft erworben hat, können kaum überschätzt werden. Seine Mensurae Micrometricae⁴), die Messungen von 2712 doppelt- und mehrfachen Sternen nebst Angaben ihrer Größe und bei helleren auch ihrer Farbe enthalten, sind noch jetzt von hervorragender Bedeutung für die Doppelsternastronomie. In das Beobachtungsprogramm sind nur Paare aufgenommen worden, für welche q <i 32"; die Astronomen haben sich daran gewöhnt, nur Paare von dieser Beschaffenheit als Doppelsterne (im engeren Sinne) zu betrachten. Auch für die weitesten Paare dürfte das Verhältnis der Zahl der optischen Doppelsterne (konstante Eigenbewegung) zur Zahl der physischen (veränderliche Eigenbewegung) noch durch einen sehr kleinen Bruch dargestellt sein.

Die Arbeiten W. Hcrschels sind durch dessen Sohn John Herschel mit großem Erfolge fortgesetzt und durch Ausdehnung des Arbeitsfeldes bis zum Südpol in glücklicher Weise ergänzt worden. J. Herschel hatte den Plan gefaßt, eine synoptische Geschichte der Doppelsterne zu schreiben und zu diesem Behufe eine Liste der Positionen aller von ihm selbst und von anderen Astronomen gefundenen Doppelsterne anzulegen unternommen, deren Publikation aber erst nach Herschels Tode unter dem Titel „A Catalogue of 10300 Multiple and Double Stars“⁵) erfolgt ist. Durch Festhalten an dieser Ziffer würde man jedoch die Zahl der bis zum Jahre 1874 bekannt gewordenen Doppelsterne sehr überschätzen. Otto Struve, Sohn W. Struves und ebenfalls durch die Pflege der Doppelsternastronomie zur Berühmtheit gelangt, sagt in einer Besprechung⁶) des Katalogs, den er für einen temporären Arbeitskatalog hält, J. Herschel dürfte die geplante synoptische Geschichte nur auf solche Sternpaare ausgedehnt haben, welche innerhalb der von W. Struve aufgestellten Grenzen als Doppelsterne zu bezeichnen sind, und dann auch den Katalog revidiert und diesen Grenzen angepaßt haben, womit die Zahl der Sterne auf nicht viel über die Hälfte herabgesunken wäre. Einen großen Fortschritt verdankt die Doppelsternkunde zunächst der unermüdlichen Tätigkeit des Barons E. Dembowski, der in den Jahren 1852—1878 etwa 20000 vorzügliche Messungen ausgeführt hat, dann aber auch den Bemühungen vieler Astronomen, unter denen Dawes, Duner, Schiaparelli,

4) Stellarum duplicium et multipl. Mensurae Micrometricae; St. Peters

burg 1837.

5)    Lond. Astr. Soc. Mem. 40 (1874).

6)    Astr. Ges. Yjs. XI (1876).

A. Hall, H. Struve, Daherc!ù als Beobachter, Burnham, Aitken und Hussey als Entdecker hervorragen. Die Zahl der neueren Funde über trifft sicherlich die Zahl der selbst bei strenger Revision aus Hersdiels Kataloge zu streichenden Positionen, so daß von Doppelsternen im engeren Sinne wahrscheinlich mehr als 11000 bekannt sind. Burnhams Kataloge¹) verzeichnen 1336 Doppelsterne, darunter viele sehr enge Paare. Die laufenden Nummern der Kataloge von G. Aithens) und J. Hussey²) reichen bis 2300 bzw. 1337. Burnhams Generalkatalog¹) (1906) verzeichnet 13655 Doppelsterne, wovon, da eine Beschränkung auf die Struve sehe Grenze nicht stattfand, sehr viele (nach des Autors eigener Schätzung mehrere Tausende) optische Doppelsterne sein dürften. Von älteren Werken möge hier noch erwähnt werden: A Handbook of Double Stars by E. Crossley, G. Gledhill and J. Wilson (London 1829), das von den Methoden der Beobachtung sowie der Bahnbestimmung handelt und eine chronologische Zusammenstellung der Messungen von 1200 Paaren gibt.

Nicht selten scheinen die Komponenten von Doppelsternen Licht von verschiedener Farbe auszustrahlen ; das Erkennen der Farbe ist um so schwieriger je höher die Größenklasse der Sterne ist. Die auf 596 Paare ausgedehnten Untersuchungen W. Struves ergaben gleiche Farbe der Komponenten bei 476 und verschiedene Farbe bei 120 Paaren³). Der beobachtete Farbenunterschied besteht häufig im Vorherrschen von Gelb oder Rot gegen Weiß oder Gelb, aber auch nicht selten in komplementärer Färbung der Komponenten, wovon eine, und zwar gewöhnlich der Hauptstern, rot oder gelb, die andere grün oder blau erscheint. Nach Struve nimmt die Zahl der blauen Begleiter rasch mit der Distanz zu, während sehr enge Doppelsterne dieselbe Farbe haben. Im allgemeinen erweist sich auch die Helligkeit um so verschiedener, je verschiedener die Farben sind⁴); der Unterschied in Helligkeit wächst ebenfalls mit der Distanz. Die Farbenschätzungen verschiedener Beobachter stimmen häufig nicht überein. Manchmal, wie es für W. Herschel und W. Struve einigermaßen zutrifft, genügt eine konstante Verschiebung der Farbenskala zu einer in der Hauptsache befriedigenden Ausgleichung der Differenzen.⁴) Das Vorkommen einer verschiedenen Färbung der Koin-ponenten in der Farbenfolge weiß-gelb-rot wird wohl von allen Beobachtern zugestanden; daß es aber auch Paare geben soll, in welchen die Komponenten komplementär gefärbt sind, wurde von mehreren erfahrenen Beobachtern lebhaft bestritten und die Empfindung dieser Farben auf Sinnestäuschung durch Kontrastwirkung zurückgeführt. Bei einigen Paaren, deren Spektra untersucht werden konnten, wird diese Wirkung jedenfalls wesentlich unterstützt durch die verschiedenartige Lichtemission, indem der gelbliche Stern ein Spektrum II. Klasse, der bläuliche ein Spektrum I. Klasse besitzt.⁵)

Zu den Messungen von Position und Distanz dient ein in Grade geteilter Positionskreis in Verbindung mit dem Fadenmikrometer oder das Heliometer. Auch Interferenzmethoden scheinen mit gutem Erfolge verwendet werden zu können⁶), sowie verschiedene andere Arten von Doppelbildmikrometern.⁷)

Die Messungen der Positionswinkel sind im allgemeinen viel genauer und zuverlässiger als die der Distanzen, so daß Änderungen der relativen Lage der Komponenten eines Doppelsternes viel sicherer aus den Positionswinkeln als aus den Distanzen erkannt werden.

Unter den Fehlern der Messung sind die von der Eigenart des Beobachters abhängigen persönlichen Fehler⁸) wegen ihres systematischen

Charakters von besonderer Bedeutung; sie treten bei Vergleichung der Messungsreihen je zweier Beobachter als persönliche Gleichung mitunter sehr deutlich hervor.

Wegen der veränderlichen Natur dieser Fehler empfiehlt es sich, sie stets aus den auf dasselbe Objekt sich beziehenden Messungen abzuleiten und dabei auch die Möglichkeit zu beachten, daß durch große Zeitintervalle getrennte Messungen desselben Beobachters einer verschiedenen Korrektur bedürfen. (Vgl. Artikel VI 2, 6 Cohn Seite 263.)

Zur Reduktion der beobachteten relativen Koordinaten des Begleiters auf ein fixes Äquinox t₀ bedarf es, bei der Kleinheit von q, nur der Berücksichtigung der durch Präzession veranlaßten Änderung

470 VI 2, 11. J. v. Hepperger. Bahnbestimmung der Doppelsterne und Satelliten, des Positionswinkels im Betrage von

0 — 6₀ — 0° • 0056 sin a sec ô (t — t₀), wenn die Zwischenzeit t — t₀ in Jahren ausgedrückt ist.

2. Einleitung zur Bahnbestimmung. Nachdem die an Doppelsternen ausgeführten Messungen in vielen Fällen eine krummlinige Bewegung des Begleiters außer Zweifel gestellt und die allgemeine Gültigkeit des Newton sehen Gesetzes noch wahrscheinlicher gemacht hatten, fing man an nach Methoden zu suchen, welche eine genäherte Bahn des Begleiters aus einigen Örtern desselben nach Analogie einer ersten Bahnbestimmung von Planeten zu berechnen gestatten. Da die Beziehung zwischen mittlerer Bewegung und Halbachse nur durch Einführung einer neuen, von der Masse und der Parallaxe des Doppelsternes abhängigen Unbekannten hergestellt werden kann, so war es klar, daß jede Bahnbestimmung sich auf mindestens 7 voneinander unabhängige Beobachtungsstücke gründen muß. Die ausschließliche Verwendung von Positions winkeln oder Distanzen genügt zu einer vollständigen Bahnbestimmung nicht, da hierbei entweder die Dimension der Bahn oder die Bahnlage unbestimmt bleibt. Werden mehr als 7 Beobachtungsdata benützt, so wird man eine Ausgleichung vornehmen müssen.

Denken wir uns durch den Hauptstern, der sich in der Entfernung Z von der Erde befinden soll, ein rechtwinkliges Koordinatensystem so gelegt, daß die z-Achse die Fortsetzung des Visionsradius Z bildet, so ist die æ?/-Ebene die Referenzebene für die durch die visuelle Beobachtung gelieferten Koordinaten des Begleiters. Auf diese oder eine zu ihr parallele Ebene werden auch die von der Bahnlage abhängigen Elemente der Bewegung des Begleiters um den Hauptstern oder den gemeinsamen Schwerpunkt in gleicher Weise bezogen, wie die Elemente eines Planeten auf die Ekliptik, nur mit dem Unterschiede, daß der Positionswinkel an die Stelle der Länge tritt. Dementsprechend hat man die Achsen so zu legen, daß die Koordinaten des bewegten Punktes werden x = q cos 6, y = q sin 0\ die Koordinaten sind auch gegeben durch:

x = r (cos u cos Si — sin u sin Si cos i) y — r (cos u sin Si -J- sin u cos Si cos i) z = r sin u sin i.

Die Bezeichnungen sind hier und im folgenden in Übereinstimmung mit dem Artikel VI 2, 9 (Herglotz) Seite 381—384 gewählt.

Die Zeit L des Periastrons und die Periode P = — werden bei u    n

visuellen Doppelsternen in Jahren ausgedrückt. Zur Bezeichnung der Bewegungsrichtung dienen die Ausdrücke direkt (Zunahme der Positionswinkel mit der Zeit) und retrograd (Abnahme der Positionswinkel). Bei Angabe dieser Bezeichnung kann für die Neigung stets der spitze Winkel genommen werden. Der aufsteigende Knoten läßt sich vom niedersteigenden aus Messungen von 0 und p allein nicht unterscheiden, da, wie auch aus obigen Gleichungen ersichtlich ist, eine Änderung des Vorzeichens der Neigung x und y: mithin auch 6 und q ungeändert läßt.

Ist die Neigung von Null verschieden, so beziehen sich infolge der endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes die beobachteten Orter der Komponenten eines Doppelsterns im allgemeinen auf verschiedene Zeitpunkte. F. Savary⁹) hat zuerst darauf aufmerksam gemacht, daß dieser Umstand zu Aberrationserscheinungen Anlaß geben müsse, aus denen, wie er meinte, die Parallaxe des Doppelsterns bestimmt werden könnte. Dies wäre jedoch nach den grundlegenden Untersuchungen Villarceam¹⁰ 11) nur dann möglich, wenn das Massenverhältnis der Komponenten bekannt ist. L. Birkenmeyer¹¹) hat die Ableitung der Villarceauschen Formeln etwas vereinfacht und durch deren Anwendung auf die Bahn von £ Ursae maj. einige interessante Resultate erhalten. H. Seeliger¹²) gibt eine sehr einfache und klare Darstellung der wichtigsten Resultate Villarceam und außerdem eine Theorie der optischen Ungleichheiten, die durch die Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Lichtes von seiner Intensität veranlaßt würden. Eine solche Abhängigkeit könnte durch die Bahnbestimmung von Doppelsternen nur dann nachgewiesen werden, wenn die Eigenbewegung sehr groß, die Parallaxe sehr klein und die Helligkeit der Komponenten sehr verschieden ist. Die endliche Geschwindigkeit des Lichtes bewirkt eine konstante, in den Beobachtungen nicht zu erkennende Veränderung von Q, i, co und eine periodische, durch Beobachtungen bestimmbare Ungleichheit der Bewegung,

die durch Korrektion der Beobachtungszeit um —- -■¹—?ä r voll-

°    ml 4- mt

Die Bahn, welche eine Komponente um die andere oder um den gemeinsamen Schwerpunkt im Raume beschreibt, setzen wir als eine Kepler sehe Ellipse voraus und nennen sie die wahre Bahn oder die wahre Ellipse. Die Projektion der wahren Ellipse oder die scheinbar in einer zur Gesichtslinie senkrechten Ebene beschriebene Bahn, die auch eine Ellipse ist, heißt die scheinbare Bahn (scheinbare Ellipse). Der Mittelpunkt der scheinbaren Ellipse ist die Projektion des Mittelpunktes der wahren Ellipse. Die Projektionen der Brennpunkte der wahren Ellipse fallen aber (für i > 0) nicht mit den Brennpunkten der scheinbaren Ellipse zusammen. Wenn nämlich die durch den Brennpunkt getrennten Teile einer Fokalchorde mit r und r bezeichnet werden, so ist

TS OS

5 p = a(l — e²).

Ist £ der Neigungswinkel der Sehne gegen die xy-Ebene, so sind die Projektionen der Sehnenabschnitte p = rcos£, p' = r cos £;

11 2

daraus folgt, daß die Summe--1--r =--; (wegen der Verän-

derlichkeit von £) nicht konstant, der Punkt p — 0 daher kein Brennpunkt ist. Für r = r — p wird p = p' =p cos £; setzt man p cos £ = s,

so

ständig berücksichtigt wird Unterschied der geozentrischen Entfernungen der Massen mx und ni₂

wo T

den in Lichtzeit ausgedrückten

bedeutet.

läßt sich mit Hilfe der Gleichung — -f- -K = — für jedes Paar

p, p' je ein auf p und p' oder in der Verlängerung dieser Linien gelegener Punkt mit der Entfernung s vom Orte des ruhenden Sternes finden. Der geometrische Ort dieses Punktes ist eine Ellipse (Thiele-sehe Hilfsellipse¹³), welche die Projektion eines in der Ebene der wahren Bahn mit dem Radius p um den Hauptstern beschriebenen Kreises darstellt, s wird ein Maximum für £ = 0 (Knotenlinie). Die große Halbachse der Hilfsellipse ist daher = p und liegt in der Knotenlinie. Der Minimalwert von s, die kleine Halbachse der Hilfsellipse, stellt den Wert p cos i dar; es ist daher i gleich dem Exzentrizitätswinkel der Hilfsellipse. In gleicher Weise benützt H. Zwiers²⁸) eine andere, der Projektion eines mit dem Halbmesser a um den Mittelpunkt der wahren Ellipse beschriebenen Kreises entsprechende Hilfsellipse zur konstruktiven Darstellung der Elemente.

Die Halbachsen der scheinbaren Ellipse sind im folgenden mit €ix, ßlf die Projektionen der Halbachsen a, b auf die Ebene der scheinbaren Bahn mit ax, bx bezeichnet. Die Neigungswinkel der Achsen gegen diese Ebene seien durch die Gleichungen ax = a cos rÇ0:b₁—b cos bestimmt. Den Übergang von der scheinbaren auf die wahre Ellipse vermitteln die Beziehungen, daß jene die Projektion dieser ist, woraus folgt axßx — ab cos i, und daß die konjugierten Durchmesser, von denen einer durch den Ort des ruhenden Sternes geht, die Projektionen der Achsen der wahren Ellipse vorstellen, weshalb auch die Projektion der großen Halbachse durch den Ort des ruhenden Sternes im Verhältnis e : 1 geteilt wird. Die Bestimmung von e ist sonach graphisch leicht durchführbar. Die durch den Punkt p = 0 gehende und in diesem Punkte halbierte Sehne der Projektion sellipse ist parallel zu bv

Die Dimensionen der Bahn und die Koordinaten des bewegten Massenpunktes werden auf die den Messungen zugrundeliegende Einheit des Weges bezogen. Ist diese Einheit die Bogensekunde, so können, wenn f die Anziehung zweier Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung und das Dehnungszeichen — die Wertung der Koordinaten und Halbachsen in linearem Maße bedeuten, Gleichungen von der Form x = Zxsinl" verwendet werden, um aus jeder der Be-

-f-    + x _ q , die entsprechende

wegungsgleichungen z. B.

oc oc    •    •

₍lti    — 0 abzuleiten. Die für jedes System charakteristische

f(m -f- m )

Z³ sin³1" '

d*x

dT*

Konstante der Gravitation ist daher gegeben durch Je² —

Wird die Vertauschung des Doppelsternsystems mit dem System Sonne-Erde durch den Index 0 (m₀ = Sonnenmasse), der Ausdruck

»o

durch Jc₀, die Parallaxe des Sternes durch % bezeichnet,

"j/¹ + m

so bestehen die Relationen

a³n²

-p m m₀ -|- m₀'

l / m, + m _ V _

V    n¹

b₀ geht in die Gauß sehe Konstante über, wenn n₀ auf den Tag bezogen wird. Der Annahme m -J- m = m₀ -f- m₀' entspricht die „hypothetische Parallaxe“

Z sin 1" —

a L®i

in

«₀X

m₀

«(“)

-«(§)■

Die Bahnbestimmung eines Doppelsterues von bekannter Parallaxe

% yermittelt, indem w²a³ =

;r³£₀², die Kenntnis der Masse des

’    /    m₀

Systems. Da — gleich ist dem Verhältnis zwischen den Abständen

der Komponenten vom gemeinsamen Schwerpunkte und aus den Achsen der Bahn einer Komponente bezüglich des Schwerpunktes und des Ortes der anderen Komponente berechnet werden kann, so wird das Massenverhältnis bekannt, sobald für eine beider Komponenten veränderliche Eigenbewegung konstatiert ist.

Hat man veränderliche Eigenbewegung eines Sterns, ohne daß der Begleiter sichtbar ist, so hat man zunächst aus möglichst entlegenen Beobachtungen die als gleichförmig anzusehende Bewegung des Systemschwerpunktes zu ermitteln und dann die Relativkoordinaten des Sterns gegen den Schwerpunkt wie diejenigen eines Doppelsterns zu behandeln.¹⁴)

Zur Vorbereitung seien noch folgende Formeln an gemerkt:

Die Gleichung des Flächensatzes xdy — ydx — cdt, in welcher

c = kyp cos i = a²n ]/ 1 — ÿ cos i = abn cos i = a₁ß₁n, läßt sich auch schreiben

4!)

cdt

oder d

— cd t

die Integration zwischen den durch die Indizes 1 und 2 bezeichneten Grenzen gibt

r* dt

J 4'

ti

12

r dt

•G. V2    ^"2 Vl ==z C ’ I

h

Die doppelte Dreiecksfläche als Funktion der wahren oder der exzentrischen Anomalien (in der wahren Bahn) ist

xty₂ — x₂yx = q₁q₂ sin (0₂ — 6t) = r₁r₂ sin(r₂— i\) cos i = “ [sin (Eo — EJ — e (sin E₂ — sin EJ]

= “ißi [sin (E, — Ej) — (Es — Et) -f n(t₂ — *,)]•

3. Bahnbestimmung visueller Doppelsterne.

a) Benutzung einzelner Orter. Die älteste, von Savary¹⁵) (1827) ersonnene Methode verwertet vier Positionswinkel mit den zugehörigen Distanzen und Zeiten; sie führt im Wege fortgesetzter Versuche, durch welche die in den Zwischenzeiten erfolgte Änderung der exzentrischen Anomalien bekannt werden soll, zur Bestimmung der scheinbaren Bahn, aus der dann die wahre abgeleitet wird. Unter Benutzung von Relationen, welche zwischen zwei konjugierten Durchmessern der Ellipse und den durch die vier Orter parallel zu den Durchmessern gezogenen Sehnen bestehen, erhält man zwei Gleichungen mit Ea-Et = cp, E₃ — Ex = ^, E₄ — Ex = -tp' als Unbekannten. Da in den Gleichungen

axßxn(t., — tß) — ?ip2sin(^2 — ^1) == aißi(<P — sinqp) atßin{h — h) — Qi 9s sin (ö3 ~ ei) = tti ßM — sin *l>) aißin(h — G) — Pi?4 sin(ö4 — öi) = <*ißi(t'— sin cp') das Produkt cc₁ßl sich aus den Werten cp und cp berechnen läßt, so bleiben nach Elimination von c^ß^i noch zwei von den Zwischenzeiten abhängige Gleichungen, im ganzen also vier Gleichungen zur Bestimmung der Unbekannten. Es wird daher im allgemeinen kein Wert von cp angenommen werden können, welcher ohne Änderung der Beobachtungsdaten allen Gleichungen genügt. J. F. Encke¹⁶) glaubt die Übereinstimmung am zweckmäßigsten durch Änderung einer Distanz erreichen zu können. Nach seiner Methode, deren Formeln den Rechner mehr befriedigen, werden die geometrischen Beziehungen zwischen cp, cp, cp' durch Gleichungen vermittelt, welche den Flächeninhalt (123) eines durch drei Punkte der scheinbaren Ellipse bestimmten Dreiecks einerseits durch die gegebenen Koordinaten dieser Punkte und andererseits durch die Unbekannten ausdrücken; letztere Gleichungen sind von der Form

(12 3) = 2cc₁ß₁ sin y cp sin y (cp — 9) sin y ^

und gestatten eine bequeme Berechnung von cp, cp, cp' aus einem angenommenen Werte von cp' -j- cp -j- cp.

H. Seeliger hat in seiner Inauguraldissertation¹⁷) nach detaillierter Besprechung der Methoden von Savanj und Encke eine neue Methode der Bahnbestimmung aus vier Positionswinkeln und drei Distanzen gegeben, welche die Rechnungsoperationen vereinfacht, indem sie die Dimension der scheinbaren Ellipse zunächst unbestimmt läßt und bis zu deren Ermittlung statt der drei Distanzen nur zwei Verhältnisse derselben benützt. Bezeichnet 1 den Winkel zwischen der Richtung Hauptstern — erster Ort und der großen Achse, £ und rj die Koordinaten des Hauptsternes bezüglich der großen und kleinen Achse der scheinbaren Ellipse, so läßt sich der Gang der Rechnung folgender-

maßen darstellen. Die (im Versuchswege zu bestimmenden) Werte von cp und cp geben mit Hilfe von sechs (nur einmal zu berechnenden)

tt, — und cp' erhalten werden. Diese ßi «i

Konstanten %, woraus E1? —

ai

cp, cp, cp' müssen drei Zeitgleichungen, in denen die Produkte der Distanzen durch deren Verhältnisse ersetzt sind, genügen. cq kann dann

—^ entnommen werden. Seeliger

der Gleichung çq cos % — cq^cos E.

gibt noch eine elegante Bestimmung der scheinbaren Ellipse aus den Werten von cp, ^ und cc₁ß₁, welche auch bei den Methoden von Savary und Encke anwendbar ist.

Unter den Methoden, welche eine direkte Bestimmung der wahren Bahn bezwecken, ist die Methode von Yvon-Villarceauu) (1849) die älteste. Sie beruht auf der Entwicklungsfähigkeit von 0, q und der Differentialquotienten dieser Funktionen nach Potenzen der Zeit. Das Wesen der Methode besteht darin, daß durch wiederholte Differentiation von X — q cos 0, y = p sinö, z = p tg£ und Ersetzung der zweiten Differentialquotienten durch ihre den Bewegungsgleichungen entnommenen, als Funktionen von 7c², 6, p, £ ausgedrückten Aquiva-

d £

lente eine lineare Gleichung zur Bestimmung von tg Ç • und durch

deren Vermittlung nach Elimination von 7c² und

4ten Grades erhalten wird, in welcher nur tg²£ und tg⁴£ als Unbekannte auftreten. Die Gleichung hat nur zwei reelle, gleich große und entgegengesetzt bezeichnete Wurzeln, wie es dem Mangel eines Kriteriums zur Unterscheidung zwischen auf- und niedersteigendem Knoten entspricht.

Nach Auswahl eines £ und des zugehörigen

dx dy dz dt ’ dt ’ dt

der wahren Bahn genügen. Eine zweite Abhandlung Villarceaus²⁴) enthält eine Spezialisierung der Methode für den Fall, daß die Gesichtslinie gegen die Bahnebene nur sehr wenig geneigt ist.

K. Schwarzschild²⁵) gelangt in einfacher Weise zur Bestimmung der Koordinaten und Geschwindigkeiten, indem er von den Potenzreihen für x und y ausgeht, welche, wenn die Zahl der Striche die Ordnung der Differentialquotienten bezeichnet, der Bedingung genügen müssen

Kenntnis von Zc², x, y, z

dH

dt*

dt

eine Gleichung

gelangt man zur welche Daten zur Bestimmung

dt

_ fc* ₌

rs z

24)    Conn. des temps pour 1852.

25)    Metłiode zur Bahnbestimmung der Doppelsterne; Ast. Nackr. 124 (1890).

Es sei

— w³:

r"

dann ist

w" w w

Mit Hilfe dieser Relation wird aus der Gleichung r² — p² -f- z² und ihrer ersten und zweiten Ableitung nach der Zeit durch Elimination von r und r" die Formel erhalten

■>

r‘ [v + 40

r2?⁸ [(4 + 4) + (

/D 'S,

ly+ç+èiï

Da p, tu und ihre Derivierten ohne weiteres aus x, y und deren Differentialquotienten gefunden werden können, ist dies eine quadratische Gleichung für r². Aus r (doppelte Lösung möglich) erhält man 4- 2, -f- z und li², womit die Aufgabe gelöst erscheint.

Die Zuverlässigkeit der nach diesen Methoden erhaltenen Resultate wird dadurch wesentlich beinträchtigt, daß die Entwicklung der Funktionen nach Potenzen der Zeit nur so lange durchführbar ist, als die Zeit einen gewissen Bruchteil der Periode nicht überschreitet, und daß die Fehler der Beobachtung die Koeffizienten um so stärker beeinflussen, je höher die Potenz der Zeit ist.

Viel leistungsfähiger ist die Methode von Rlinkerfues¹⁸), welche davon ausgeht, daß das Verhältnis der Flächen je zweier in der Bahn ebene gelegenen Dreiecke gleich ist dem Verhältnisse ihrer Projektionen auf die Ebene der scheinbaren Bahn.

rx sin (w, — v) rs sin (v₃ v)

e, sin (öj — 0)

Cs sin (0g — 0) '

Das Verhältnis zweier Gleichungen, welche aus dieser durch Be-teilung von v und 0 mit dem Index 2 bzw. 4 hervorgehen, ist

sin (vx — vt) sin (üs — v₄)

sin (0, — 0₂) sin (0S — 0₄)

sin (vs — vaj sin (vt — vj

sin (0S — 0₂) sin (0₄ — 0₄)

Je nachdem ein p und sechs 6, zwei vollständige Örter und drei 6 oder drei vollständige Örter und ein 6 gegeben sind, hat man unter Bevorzugung der äußersten Positionen drei, zwei oder eine der Gleichungen von der zweiten Form und keine, eine oder zwei Gleichungen von der ersten Form zu bilden. Die rechten Seiten der Gleichungen sind bekannt. Mittels der Formeln, welche v mit t verbinden, ist im Versuchswege auf Grund hypothetischer Werte von n und t₀ die Erfüllung der entsprechenden Gleichungssysteme anzustreben. Ist dies erreicht, so kennt man e, n, t₀. Die yon der Bahnlage abhängigen Elemente werden aus drei Gleichungen von der Form tg (9 — ß) — cos i tg (v -j- a) abgeleitet. Zur Bestimmung der Halbachse muß eine Distanz herangezogen werden.

b) Benutzung der vollständigen scheinbaren Ellipse.

Da die Elemente der wahren Bahn aus Ortern, die in der Ebene der scheinbaren Bahn liegen, abgeleitet werden müssen, so hängt ihre Verläßlichkeit von der Genauigkeit ab, mit welcher die scheinbare Ellipse durch die Beobachtungen bestimmt wird. Die Fehler der Messung lassen den Charakter dieser Ellipse um so schwieriger erkennen, je kleiner die durch die äußersten Beobachtungen markierte Winkelbewegung des Begleiters ist. Ist sie kleiner als 180°, so darf man erfahrungsgemäß kaum hoffen, einigermaßen genäherte Bahnelemente zu erhalten. Aber auch bei größerer Bewegung werden die bisher besprochenen Methoden, soweit sie überhaupt noch anwendbar sind, je nach Auswahl der Beobachtungsstücke im allgemeinen sehr verschiedene Resultate geben, so daß es geboten erscheint, das vorhandene Beobachtungsmaterial schon zum Zwecke einer provisorischen Bahnbestimmung intensiver auszunützen. Hierzu eignen sich Methoden, nach welchen die scheinbare Ellipse durch Konstruktion oder auf analytischem Wege bestimmt wird und die Ermittlung von Dimension, Form und Lage der wahren Ellipse ohne Inanspruchnahme der Beobachtungszeiten erfolgt.

Die Konstruktion der scheinbaren Ellipse wird auch bei genügender Zahl und günstiger Verteilung der beobachteten Orter häufig Schwierigkeiten begegnen, welche durch Fehler in den Positionswinkeln und noch viel mehr durch Fehler in den beobachteten Distanzen veranlaßt sind. Um diese Schwierigkeiten zu beheben, sucht J. Herschel²¹) zunächst die Fehler der Positionswinkel durch graphische Darstellung von 6 als Funktion der Zeit auszugleichen, und berechnet dann mit Hilfe der 6- Kurve die Distanzen nach der sich aus dem Flächensatz

in welcher nur c aus den gemessenen

V—

V dt

ergebenden Formel p = —

Distanzen bestimmt wird. Da die so berechneten p den elliptischen Charakter der aus zusammengehörigen Werten von d und p konstruierten scheinbaren Bahn nicht garantieren, muß noch untersucht werden, ob die Bahn sich einer Ellipse genügend nähert, und falls

27) On the Investigation of the Orbits of revolving Double Stars; Lond. Astr. Soc. Mem. V (1833).

dies nicht zutrifft, durch Nachbesserungen die Annäherung an die elliptische Form herbeigeführt werden.

Ist die scheinbare Ellipse mit dem Orte E des ruhendes Sternes und der Riehtungslinie 6 = 0 gezeichnet, so lassen sich der Mittelpunkt 0 der Ellipse und ihre Achsen 2a1} 2 ßt durch Konstruktion finden. Der durch 0 und E gehende Halbmesser ist a₁, der konjugierte bv Bezeichnet co' den Winkel zwischen Knotenlinie und (vom aufsteigenden Knoten gegen die Projektion des Periastrons hin gezählt), so ist tgeo = tgco' • sec i. Die Größen p, i und die Lage der Knotenlinie, mithin auch ein Wert von £1 kann durch Konstruktion der Thiele sehen Hilfsellipse, deren Zentrum E ist, erhalten werden. Nach

210

«i '

die Bestimmung der Elemente bis auf die von t₀ und P durchgeführt ist. t₀ ist durch die Zeit gegeben, welche dem Positionswinkel der Projektion des Periastrons entspicht. P kann aus dem Verhältnis der Fläche eines Sektors zur Ellipsenfläche nach der Formel

Messung von co gelangt man zur Kenntnis von co, wodurch, da e =

P / Q²d6 = 27ia₁ß₁(t₂ — tx)

oder, wenn 0₂ — 6t > 2jt, durch Interpolation der Zeiten berechnet werden, welche zu nahe um 27t differierenden Positionswinkeln gehören.

Die graphische Methode von H. Zwiers¹⁹) ermöglicht eine vorteilhaftere Bestimmung von a, £ł, i. Sie beruht auf der Konstruktion einer anderen Hilfsellipse, welche aus der scheinbaren Ellipse durch symmetrische Verlängerung von 2b₁ und der zu diesem Durchmesser parallelen Sehnen im Verhältnisse 1 : ]/ 1 — e* erhalten wird. Diese Hilfsellipse (mit dem Zentrum in 0) ist daher die Projektion eines der wahren Ellipse umschriebenen Kreises. Durch die Projektion erleidet nur der parallel zur Knotenlinie liegende Durchmesser des Kreises keine Verkürzung, weshalb die große Achse der Hilfsellipse die Länge 2 a besitzt und die Richtung der Knotenlinie markiert. Der zur Knotenlinie senkrechte Durchmesser des Kreises erfährt die stärkste, dem Neigungswinkel i entsprechende Verkürzung. Durch Messung der Halbachsen a, ß' der Hilfsellipse wird also a und i bekannt, da a = a ; a cos i = ß'. co' ist der Winkel zwischen a und a₁:

tg 03 = tg fi/ Sec i — ~r tg G) .

32

Zur Berechnung von P/ a, i aus Bestimmungsstücken der scheinbaren Ellipse sind die Formeln von KlinJcerfues²⁶) sehr geeignet. Sind P₀, Px die Positionswinkel der Achsen der wahren Ellipse (entsprechend den Punkten v = 0 und v = 90°), so wird

at — a cos £₀; sin œ cos i = cos £₀ sin (P₀ — &); sin (a -f- cos *

= cos sin (Pj — Æ)

COS G3

= cos £₀ cos (P₀

ß); cos(w + |)

Es ist daher

= cos £₀ cos (Px — £i).

2 sin ca cos co cos i —

oder

(^)%in 2(P₀- ß) — (b)>sin2(P₁- ß)

sin 2 (P, — SŁ) sin 2 (P₀ •— Si)

Aus dieser Gleichung, deren linke Seite als bekannt zu gelten hat, folgt Si durch Rechnung oder einfache Konstruktion.²⁶)

Der Bedingung, daß die scheinbare Bahn eine sich den Beobachtungen unter Berücksichtigung ihrer relativen Güte möglichst anschmiegende Ellipse sein soll, kann leichter auf analytischem als auf graphischem Wege entsprochen werden. Schon J. Herschel²⁹) hat den Vorteil der analytischen Bestimmung der scheinbaren Bahn erkannt und eine Methode angegeben, welche die Elemente aus den Koeffizienten der Ellipsengleichung finden lehrt und in etwas vereinfachter Form hier auseinandergesetzt werden soll.

Fünf Orter bestimmen die Koeffizienten der Ellipsengleichung ax² -f- ßy² -j- yxy -f- dx -f- sy — 1=0; liegen mehr Orter vor, so wird der günstigste Anschluß der Kurve durch die Berechnung der Koeffizienten nach der Methode der kleinsten Quadrate gesichert.

Es sei

e — £i = d-,

Seite des Begleiters erhaltenen Bestimmungsstücke des Systems sind: i = 82°,3 R = 1,00 J = 1,00 P = 68,82 D = 0,07 P0 e = 0,00 R' = 1,14 Jx = 0,09 t= 9,80 d<0.18D0

K +ws)

+ (öo + ei cos cos H ) ßJ = 0,

sMs

¹

   A General Catalogue of Double Stars within 121° of the North Pole; Washington 1906.

²

   Lick. Obs. Bull. 117 (1907).

³

   Lick. Obs. Bull. 188 (1910).

⁴

W. Doberclc, On the colour of revolving Double Stars; Astr. Nachr. 95 (1879).

⁵

   E. C. Pickering, The Discovery of Double Stars by means of their Spectra; Astr. Nachr. 127 (1891).

⁶

   A. A. Michelson, Memoirs of the National Acad. of Sciences; Washington 5 (1891); K. Schioarzschild, Über Messung von Doppelsternen durch Interferenzen; Astr. Nachr. 139 (1896).

⁷

   M. Brendel, Über die Brechung des Lichtes in Prismen aus einachsigen Kristallen und über deren Anwendung zu mikrometrischen Messungen. 1891.

⁸

   0. Stone, on personal équation in double star observations; Astr. Nachr. 92 (1878), 94 (1879); E. Großmann, Untersuchungen über systematische Fehler bei Doppelst.-Beob. Diss. Göttingen 1892.

⁹

   Conn. des Temps pour 1830.

¹⁰

   Theorie analytique des inégalités de lumière des étoiles doubles. Conn. des Temps additions pour 1878.

¹¹

   Über die durch die Fortpflanzung des Lichtes hervorgerufenen Ungleichheiten. Wien. Ber. 1886.

¹²

   Über optische Ungleichheiten in der Bewegung der Doppelsterne. München Ber. 19, 1889.

¹³

Th. Thiele, Über einen geometrischen Satz zur Berechnung von Doppelsternbahnen; Astr. Nachr. 52 (1860).

¹⁴

   H. Seeliger, Valentiners Handwörterbuch I; Breslau 1897.

¹⁵

   F. Savary, Conn. des Temps pour 1830.

¹⁶

   Beri. astr. Jahrb. für 1832.

¹⁷

   Zur Theorie der Doppelsternbewegungen. Diss. Leipzig 1872.

¹⁸

Diss. Göttingen 1855, Theoretische Astronomie, Braunschweig 1871 und 1899; Astr. Nachr. 42 (1856), 47 (1858).

¹⁹

Über eine neue Methode zur Bestimmung von Doppelsternbahnen ; Astr. Nachr. 139 (1896).

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

dann ist

oder

e — £i = d-,

x = p cos (fi- -f- Si) y — Q sin (ff -f- Si)

x cos Si -f- y sin Si = q cos -fi = r cos u — x sin Si -f- y cos £i = q sin fi = r sin u cos i.

Unter Berücksichtigung dieser Relationen kann die Gleichung der

29) On the Determination of tbe most probable Orbit of a Binary Star; Lond. Astr. Soc. Mem. 1850.

wahren Ellipse nach Einführung der Substitution

. e sin co

e cos co • r cos u H---- • r sin u cos i = p — r,

¹ cosi    x    7

= g sin G

e cos co = g cos G e sin w cos i

geschrieben werden

oder

g q cos (11 — G) — p — r

r — p — gx cos (ß -f- G) — gy sin (ß -f- G). r ist andererseits gegeben durch die Gleichung

r² = x² -f- y² -f- z² — x² -f- y² -j- (?² sin² & tg² i — x²(l -f- tg² i sin² ß)

—|/²(1 —{— tg²« cos²ß) — xytg²i sin2ß.

Die durch Elimination von r² hervorgehende Gleichung ist die der scheinbaren Ellipse. Die Identifizierung der Koeffizienten der veränderlichen Größen gibt

ap² = 1 -j- tg² i sin² ß — g² cos² (Si -f- G) ßp² = 1 -f- tg²« cos² Si — g² sin² (Si -f- G) yp² = — tg² i sin 2 Si — g² sin 2 (ß -f- G) dp — 2 g cos (Si -J- G) sp = 2g sin (Si -j- G).

sin 2 Si =

Hieraus folgen die von Koivalsky¹) aufgestellten Formeln t g*i

tg*i

cos 2 Si. = ß —

u--

tg² i

= ß + « + ä-t'

e sin a = ~ p cos i (— ó sin iß -j- s cos ß) e cos co = ~ p (Ö cos ß -j- £ sin ß).

n und t₀ werden am sichersten aus Wertepaaren von 6, t nach der Methode der kleinsten Quadrate erhalten.

Zur Bestimmung von a, ß. . . aus der Figur der scheinbaren Ellipse eignet sich die Methode von S. v. Glasenapp²) sehr gut.

Sie beruht auf der Messung der Koordinaten von fünf Punkten der Ellipse, wovon vier in den Achsen des zur Konstruktion der Ellipse verwendeten Koordinatensystems liegen. Die zwei in der x- Achse gelegenen Punkte haben die Abszissen xt) x₂; diese müssen der Bedingung genügen ax² dx — 1 = 0, woraus folgt a —

Ô = Xl +    .

xx x₂

gelegenen Punkten mit den Ordinaten yl} y.₂

¹ • £ = Vi+Vi.

" ’    Vi y₂

y wird durch die Koordinaten x₃, y₃ eines fünften Punktes bestimmt, der so gewählt werden soll, daß das Produkt x₃y₃ möglichst groß sei.

Die Verwertung der Beobachtungszeiten zur Bestimmung aller Elemente gestattet die von Th. Thiele³²) ausgearbeitete, auch bei sehr großen Neigungen anwendbare Methode, welche dadurch, daß sie sich auf ein Integrationsverfahren stützt, den Einfluß der Beobachtungsfehler auf die Resultate wesentlich vermindert. Nach den in Nr. 2 gegebenen Entwicklungen ist:

c dt

J r

xx x₂ ⁷

In gleicher Weise erhält man aus den in der y- Achse

t₂ / j xx x₂

Vx y 2

tH er*.

[E₂ E, sin(E₂ EJ]

wo x durch y ersetzt werden kann. Indem man einmal an Stelle des ersten Orts, ein anderes Mal an Stelle des zweiten den dritten Ort verwendet, erhält man drei Gleichungen, welche, da die Integrale durch Quadratur erhältlich sein sollen, zur Ermittlung von

n, E₂— ïï₁=cp, E₃ — Ex = ^

ausreichen. Infolge der Bestimmung der Bahn aus acht (in den drei Gleichungen enthaltenen) unabhängigen Größen ist eine scharfe Darstellung der drei Orter nur dann zu erwarten, wenn die Gleichung

./

dt

>x

I (Mi _

c \x₂ xj

~(tg e₂ — tg0Ł)

in ihrer Anwendung auf den dritten Ort durch denselben Wert von c befriedigt wird.

Die Kepler sehe Gleichung bestimmt E₂ + Ex

e cos

= C und e cos

Es + E,

= I)

32) Neue Methode zur Berechnung von Doppelsternbahnen; Astr. Nachr.

104 (1883).

aus den Werten von cp und ip- e und Ex werden aus den Gleichungen gefunden

= e sin Ex sin

G cos %■ — D cos

— /) sin Y = e cos Ex sin E-⁸—E-⁸

G sin

'S- «M

t₀ wird durch E bestimmt. Thiele führt an Stelle der übrigen Elemente der scheinbaren Bahn ax, bly P₀, P₁ ein, welche mit x, y durch die Gleichungen Zusammenhängen

x — q cos 6 — ax cos P₀ (cos E — e) -j-bt cos P₁ sin E

y = q sin 0 — a₁ sin P₀(cos E — e) -|- \ sin P₁ sin E

und aus zwei Ortern berechnet werden können.

c)    Bahnverbesserung. Zur Verbesserung der nach irgendeiner Methode erhaltenen Elemente einer Doppelsternbahn wird man aus diesen eine Ephemeride rechnen, die Unterschiede zwischen den beobachteten und berechneten 6 und p bilden und in Normalörter zusammenfassen und dann mittels der Differentialquotienten der Koordinaten des Ortes nach den Elementen die Größen ableiten, welche zu den ursprünglichen Elementen summiert, alle Orter mit Rücksicht auf das jedem einzelnen zukommende Gewicht am besten darstellen. Die Differentialquotienten findet man bei A. Marth³ 4). Die Bildung der Funktion, die ein Minimum werden soll, aus den Quadraten der Abweichungen in Richtung und Distanz muß dem Takt des Rechners überlassen bleiben.

d)    Bemerkungen über die bekannten Doppelsternbahnen. Der Umstand, daß eine Bahnbestimmung sich auf Beobachtungen stützen muß, die sich über den größeren Teil eines Umlaufs des Begleiters erstrecken, macht es erklärlich, daß die Zahl der bekannten Doppelsternbahnen noch gering ist. G. Aitkens3i) Katalog enthält die Elemente von 91 Bahnen, wovon 53 gut bestimmt, die übrigen aber unsicher sein sollen. Darf man behaupten, daß die Bewegung der Doppelsterne, deren Bahnen gut bestimmt sind, durch das Newtonsehe Gesetz beherrscht werden? Die Behandlung des Bertrandschen Problems⁵), die Form der mit den Bedingungen, daß die Flächengeschwindigkeit in der wahren Bahn konstant und daß die scheinbare Bahn eine Ellipse sei, verträglichen

Kraftgesetze zu bestimmen, läßt bei einigen an sich sehr wahrscheinlichen Annahmen das Newton sehe Gesetz als die einzige Lösung erscheinen. Die Unvollkommenheit der Doppelsternmessungen erschwert jedoch die Prüfung des elliptischen Charakters der scheinbaren Bahn so sehr, daß das Urteil Duner s⁶): „Es wäre kaum zu rechtfertigen, irgendeine der bisherigen Bahnbestimmungen als Bestätigung der Gültigkeit des Newtonschen Gesetzes außerhalb des Sonnensystems anzuführen“ auch jetzt noch als zutreffend anzusehen ist, wenn man eine Bestätigung von einiger numerischer Exaktheit fordert. Die kleinste Periode, wahrscheinlich 5, 7 Jahre, besitzt d Equulei. Unter den Exzentrizitäten kommen fast alle Werte vor; doch sind wenige so klein, wie bei den Planeten, oder so groß, wie bei den Kometen. Die kleinste Exzentrizität (0,13) hat £ Scorpii, die größte (0,90) y Virginis. Der aus den Exzentrizitäten von 40 Bahnen abgeleitete mittlere Wert e = 0,48 dürfte, da die Häufigkeit der Bahnen, welche auf gleiche Änderungen von e entfallen, in der Nähe dieses Wertes ein klar ausgesprochenes Maximum besitzt, den Bahnen visueller Doppelsterne im allgemeinen ungefähr entsprechen.⁷) Je größer P ist, desto größer ist im Durchschnitt auch e. Durch Einteilung von 45 nach der Länge der Periode geordneten Bahnen in drei Gruppen: P < 50, 50 < P < 120 und P > 120 fand G. Doberck⁸) für die mittleren Exzentrizitäten die Werte 0,37, 0,50 und 0,62. Die nahe liegende Schlußfolgerung, daß die Exzentrizitäten mit der Entfernung der Komponenten zunehmen, ist aber vielleicht doch zu weitgehend, da Dobercks⁹ 10) Untersuchungen über die Werte von n²az andeuten, daß enge Doppelsterne entweder eine kleinere Parallaxe oder eine kleinere Masse besitzen als weite. Die Neigung der Bahnen zeigt keinen Zusammenhang mit irgendeinem größten Kreise der Sphäre, wohl aber die Verteilung der Doppelsterne. Nach Dobercki0) findet eine Anhäufung der Paare gegen den Kreis hin statt, dessen nördlicher Pol die Koordinaten hat a — llh40m; d — -f- 22°, und daher dem Pole des Gould sehen Kreises¹¹) sehr nahe liegt. Die Dichte der Paare in der Nähe des Kreises ergab sich ungefähr dreimal so groß als in der Nähe seiner Pole. Die in Betracht gezogenen Paare sind,

um optische Doppelsterne nach Tunlichkeit fern zu halten, so ausgewählt worden, daß der Abstand der Komponenten und die Größenklasse der helleren Komponente die Grenzen 2",0 bzw. 7,5 nicht überstiegen.

Daß ein Fixstern, dessen Eigenbewegung im Laufe eines Jahrhunderts sich als veränderlich erweist, mit einem oder mehreren anderen Sternen zu einem physischen Systeme verbunden sein muß, hat Hessel bewiesen. Pond glaubte in den Eigenbewegungen einiger Sterne Veränderungen zu bemerken, die aber durch spätere Beobachtungen nicht bestätigt worden sind. H. W. Hessel⁴²) dagegen konnte aus den Rektaszensionen des Sirius und den Deklinationen des Procyon eine Veränderlichkeit der Eigenbewegung konstatieren. Die Bahn des Sirius ist von Peters*³) und später von A. Auwers⁴⁴) bestimmt worden, noch bevor A. Clark (1862) gelegentlich der Prüfung des Washingtoner 26-Zollers den Begleiter (Stern 10ter Größe) entdeckt hat.

Messungen der Distanz gaben die noch unbekannte Halbachse der

m 1,04

(Auwers). Procyon beschreibt nach Auwers*⁶)

Doppelsternbahn. Nach Zwiers⁴⁵) ist P = 48,8, a = 7",59, e = 0,59, m -|- m' _ « q .

2,20

m₀

eine Kreisbahn mit dem Radius 0"98 (nach L. Struve: 0"74) in nahe 40 Jahren. Schäberle¹² 13) hat (1896) einen Begleiter 13ter Größe entdeckt (6 = 319°, q = 4",6); der berechnete Wert von d ist 284°. A. Amcers*¹⁴) hält die Identität des entdeckten Begleiters mit dem störenden Körper in dem System des Sirius für sicher, in dem des Procyon aber, besonders mit Rücksicht auf die beobachtete Änderung der Distanz, für sehr zweifelhaft. Mehrere Sterne scheinen dunkle Begleiter zu besitzen; die Bewegungen der Komponenten des dreifachen Sternes £ Cancri¹⁵) und des Doppelsternes 70 Ophiuchi¹⁶) machen zu ihrer Erklärung die Annahme unsichtbarer Begleiter not

wendig.

42)    Über Veränderlichkeit der eigenen Bewegungen der Fixsterne. Astr. Nachr. 22 (1845); Bessel Abhdl. I.

43)    C. A. F. Peters, Astr. Nachr. 32 (1851).

44)    Untersuchungen über veränderliche Eigenbewegungen, I. Teil, Königsberg 1862, II. Teil, Leipzig 1868.

45)    W. W. Campbell, Variable Radial Velocitv of Sirius. Astrophys. Journal

21 (1905).

486 VI 2, 11. J. v. Hepperger. Bahnbestimmung der Doppelsterne und Satelliten.

4. Bahnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne. Die zuerst von Huggins im Jahre 1867 angewandte Methode der Bestimmung der Radialgeschwindigkeit von Fixsternen durch direkte Messung der Verschiebung von Linien des Sternspektrums gegen die Linien eines Vergleichsspektrums ist durch die von H. C. Vogel und J. Scheiner 1888 eingeführte und seither immer mehr vervollkommnete spektrographische Methode schon seit Jahren vollständig verdrängt worden, da es sich gezeigt hatte, daß die Linien Verschiebung in den Spektrogrammen viel sicherer gemessen werden kann als in dem sich dem Auge darbietenden vibrierenden und fluktuierenden Spektralbande. Die Vergleichung der aus mehreren Beobachtungen eines einfachen Sternes abgeleiteten, auf die Sonne reduzierten Radialgeschwindigkeiten gibt ein Maß für die Sicherheit ihrer Bestimmung. Diese ist gegenwärtig so groß, daß unter besonders günstigen Umständen (starke Zerstreuung, scharfe Linien) die Abweichungen nur Bruchteile eines Kilometers betragen. Die hohe Leistungsfähigkeit der neuen Methode wurde schon im Jahre 1889 bewiesen, indem Vogel⁵¹) aus den beobachteten Radialgeschwindigkeiten Algols eine Veränderlichkeit derselben im Höchstausmaße von 80 Kilometern konstatieren und den Nachweis erbringen konnte, daß der Lichtwechsel dieses Sternes in dessen zeitweiliger Bedeckung durch einen relativ dunklen Begleiter begründet ist. Einige Jahre darnach hat die Lick-Stern-warte die systematische Beobachtung der Radialgeschwindigkeiten der Fixsterne und namentlich auch der Sterne mit veränderlicher Radialgeschwindigkeit (spektroskopische Doppelsterne) in ihr Arbeitsprogramm aufgenommen, welchem Beispiele dann auch die Yerkes-Stern-warte folgte. Das rasche Anwachsen der Zahl der Entdeckungen spektroskopischer Doppelsterne ist vornehmlich dem Beobachtungsdienste an diesen Instituten zu danken.

W. W. Camphells Second Catalogue (Lick Obs. Bull. 181, 1910) verzeichnet bereits 306 spektroskopische Doppelsterne und darunter mehr als 70, wovon ziemlich verläßliche Bahnbestimmungen vorliegen. Die Duplizität von Sternen, deren Geschwindigkeitsänderung weniger als 6 Kilometer beträgt, oder deren Helligkeit geringer ist als die eines Sternes 7ter — 8ter Größe, ist zurzeit schwer nachweisbar. Sehr bemerkenswert ist die Häufigkeit einer veränderlichen Geschwindigkeit bei Sternen vom Oriontypus. Wie unter den visuellen Doppelsternen enge Paare viel häufiger Vorkommen als weite, so entfallen auf die gleiche Anzahl von Sternen auch weit mehr spektroskopische Doppel-steme als visuelle.⁵²)

51) Spektrographische Beobachtung an Algol. Astr. Nachr. 123 (1890).

Die Bahn, welche eine Komponente des Doppelsternes um dessen Schwerpunkt beschreibt, wird durch die Radialgeschwindigkeiten dieser Komponente, die Bahn, in der sich eine Komponente um die andere bewegt, durch die Differenzen der Radialgeschwindigkeiten beider Komponenten bestimmt. Der Erfolg einer Bahnbestimmung ist in der Regel nur dann gesichert, wenn die beobachteten Geschwindigkeiten die Periode erkennen lassen und, eventuell durch Änderung der Beobachtungszeiten um ganzzahlige Vielfache von P, innerhalb des ganzen Zeitraumes einer Periode die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu bestimmen gestatten. Den Zusammenhang von Geschwindigkeit und Zeit kann man wohl am bequemsten dadurch finden, daß man die auf eine und dieselbe Periode reduzierten Beobachtungszeiten als Abszissen, die zugehörigen Geschwindigkeiten als Ordinaten aufträgt und eine regelmäßig verlaufende Kurve zu ziehen versucht, welche sich den Endpunkten der Ordinaten bestmöglich anschließt. Je schärfer die Geschwindigkeitskurve durch die Beobachtungen bestimmt erscheint, desto größer wird auch die Sicherheit der Bahnbestimmung sein.

Die Einheiten der Zeit und des Weges seien mittlerer Tag und Kilometer. Da sich die Radialgeschwindigkeiten der Sterne stets auf die Sekunde beziehen, so wird ihre Reduktion auf die gewählte Zeiteinheit durch den Faktor y — 86400 bewerkstelligt.

Der Stern 2J habe die Masse m, £' die Masse m. Der Schwerpunkt des Systems befinde sich in S, die Sonne in 0. Es sei

ZO = Z Z—Z^t,

= rV₀

dZ₀

iit

ro = z'

Z — Z' = 2

<iz

so = z₀

dz

sz=f> -jt =rr 2727'= r.

et — Halbachse der Bahn von £ mit Bezug auf S

»

«    ^ v

Dann findet sich nach den Gesetzen der Keplerschen Bewegung:

(m -f- m) £ = m 2]

2 = r sin ii sin i

/ i /\    f    cc dz

(m + m)a = ma-,

; r² ^ = na² Y 1 — e²

dz

dt

na sin i y 1 — e-

(cos u -J- e cos «).

52) Lick Obs. Bull. 79 (1903).

Je nachdem die auf die Sonne reduzierten Radialgeschwindigkeiten V des Sternes U oder die Differenzen V der Radialgeschwindigkeiten von 2J und 2J' gegeben sind, wird man von den Gleichungen ausgehen

dt

£ oder

dt    y dt

Durch Integration der ersten Gleichung zwischen den Grenzen t und £-f-P, für welche £ denselben Wert besitzt und daher (dt,= 0 ist, erhält man die Radialgeschwindigkeit des Schwerpunktes:

V₀ = -p- j V dt.

Diese Gleichung kann man auch schreiben J (\J — \I₀)dt — 0 und demnach V₀ aus der Bedingung ableiten, daß eine zur Abszissenachse parallele Gerade, welche die auf entgegengesetzten Seiten liegenden, von ihr und der Geschwindigkeitskurve begrenzten Flächenstücke gleich groß macht, die Ordinate \J₀ besitzen muß.

Ist \J' die Ordinate eines Kurvenpunktes mit Bezug auf diese Gerade, so wird

V' = f(cos u -f- e cos ra);

r==

n a sin i

y y 1 —ê*

V' erreicht den größten positiven Wert (A) für u — 0, den größten negativen (—JB) für u = es ist also:

A — B

ec0SGÎ = jl + b-

Um e zu finden, bestimmte A. A. Rambaut⁶³), welcher von diesen Gleichungen zuerst Gebrauch gemacht hat, zunächst die Projektion

der wahren Ellipse auf eine die Gesichts- und Knotenlinie enthaltende

Ebene (g, £). Für u = + ~ ist | = 0, \J'

Ist T einer dieser Zeitpunkte, so folgt aus dem Flächensatz:

A — B

Entsprechen ferner den Momenten, in welchen der Reihe nach V' = A, 0, — B, 0 wird, die Zeiten rx, tlf t₂, t₂, so ist

t

s = 7 fv'dt. ¹⁷

Damit ist die Projektionsellipse gegeben, aus der sich e leicht ablesen läßt. Da die Projektionsellipse nur zur Ermittlung von e dienen soll, kann c nach Belieben angenommen werden.

B. Lehmann-Filhés¹⁸) gibt eine bequemere Lösung durch Aufstellung einer Gleichung für e sin co. Besitzt u für tx, t₂ die Werte ux, u₂, so ist, da

0 < ux < 7t und < u₂ < 2 3t, cos ux = cos u₂ — — e cos co = — ^ -FH'

2 y AB A + B ’

u₂ = 2 % — ux ; sin ux — -f-

Aus

£ = q sin u sin i

a(l — e²)

1 j- e cos (u — co)

folgt für die Zeiten tx und t₂ . . .

und daraus

fi

fa

sin ux — e sin co sin uv -f- e sin co

Qi

e sin co =

sin ux.

fa + fi fa-fi

£₂ werden durch Quadratur erhalten aus

Sl =

th

rF'dt-,

Jî

y I M'dt.

Nach Bestimmung von e und co ergibt sich t₀ aus den Formeln

*g y = YiÄj- e *8    5 E — e sinE = n(t — t₀),

tH (M

welche am zweckmäßigsten für tx und t₂ zu verwenden sind. Bei großen Exzentrizitäten leistet die Formel Y1 — e² = % tg ^ gute Dienste. Die r definierenden Gleichungen geben

cc sin i — ⁷    V1 — e" ■

ß, a, i bleiben unbestimmt, da die Radialgeschwindigkeit von ß unabhängig ist und die Elemente a und i nur in der Kombination a sin i enthält.

Sind die relativen Geschwindigkeiten V gegeben, so bleibt \J0 unbestimmt. Die zur Berechnung der Bahnelemente dienenden Formeln bleiben in Gültigkeit, wenn V} r, a an Stelle von \j', q, a ge-

setzt werden. Da

m -|- m    n²    «®

V a₀

_1 fy(A -f -B)]/l — e»1⁸

Jc₀ ² • n

Avodurch eine untere Grenze für die Masse des Doppelsternes festgelegt ist. Die Erdbahnhalbachse a₀ ist in Kilometern auszudrücken * lg h₀ = 8,23558.

Vorzüge der Methode von Lehmann-Filhés sind ihre allgemeine Anwendbarkeit und die Sicherheit der Bestimmung der Elemente durch Quadraturen; die Umständlichkeit der Ausführung von Quadraturen bildet aber einen Nachteil, den K. Schwarz Schild⁵⁵) durch Verwertung der Koordinaten gewisser Punkte der Geschwindigkeitskurve vermeidet.

m₀

wird

m 4- m' . d .

— sur i =

m₀

Bedeutet M das Maximum, N das Minimum der Radialgeschwindigkeit V = Vo+ D(cos u -\- e cos co) und ist W definiert durch

so wird W = T cos

Wenn \J\I' — — W ist, Avird cos u — — cos u und demnach ent-

\N = V —

M—N

weder

(1)

[3n

oder für u' > u

(?)

U - U = 7t .

Nennt man ein von der größten und kleinsten Ordinate begrenztes Stück der Geschwindigkeitskurve einen Zweig derselben, so ist für einen Zweig 0 < u < tc für den andern it < u < 2jt; die Relation (1) drückt daher aus, daß die Punkte W, t und — auf gleichen, die Relation (2), daß sie auf verschiedenen Zweigen der Kurve liegen. Für u — u = 7t wird

V' — V = st, tgytg

tu «

tg*Y =cotg~tg

W <N

woraus folgt

1 — COS V

1 -f- cos v’

e cos

E'-j-E

- = cos —

E'— E . E'+E    . E'—E

j:— = cos v sin -— —

sin

und unter Bezugnahme auf die Kepler sehe Gleichung E' — E — sin (E' — E) = n (t' — t).

Der spezielle Fall, wo die Zeitdifferenz |P beträgt, soll hier durch die

55) Ein Verfahren der Bahnbestimmung bei spektr. Doppelsternen. Astr. Nachr. 152 (1900).

Indizes 1 und 2 gekennzeichnet sein. Das Punktepaar, für welches W₂ — — Wi, G — ^ — ^P, u₂ — ii-y — Tt, entspricht, da auch E₂ — E₁ = zt. ist, dem Periastron und Apastron. Die Zeit des Periastrons ist demnach eine der Abszissen t1} t₂ des auf verschiedenen Zweigen der Kurve gelegenen durch W₂ — — \J\Jt und t₂ — ty = fP bestimmten Punktepaares. Das Periastron hat ein positives bzw. negatives W> je nachdem die Kurve der positiven bzw. negativen W rascher durchlaufen wird und in der Nähe des in Frage kommenden Punktes stärker gegen die Abszissenachse geneigt ist.

^ • Die Auflösung

y- r |/ 1 — e~. n T

— e F cos co : a sin i —

co wird bestimmt durch jT cos co = Ordinate W des Periastrons. Die Anwendbarkeit dieser Methode erfährt eine Beschränkung durch die für große Werte von cos co auftretende Unsicherheit der Bestimmung von co aus cos co. Um e zu finden, wähle man einen Kurvenpunkt (w, 0 ungefähr in der Mitte zwischen Periastron und Apastron, suche auf dem anderen Zweige der Kurve einen zweiten Punkt £), so daß W == — W, U11d bediene sich der oben angesetzten Gleichungen unter Berücksichtigung, daß v = u — co; cosm = der transformierten Keplerschen Gleichung wird durch eine Tafel mit dem Argument £ — t wesentlich erleichert. Die übrigen Unbekannten erhält man aus Vo =

Sind die Werte von V gegeben, wird, nachdem co bekannt geworden ist, e aus der Gleichung    = ß cos co gefunden.

H. Nijland¹⁹ 20) empfiehlt

zur Bestimmung von e die Wahl der durch ihre symmetrische Lage zum Periastron im allgemeinen leicht bemerklichen Punkte v = -f- ^ , deren Ordinaten W = + U sin oj sind. Die Auffindung dieser Punkte wird bei sehr kleinen Werten von sin co unsicher. Ist At ihre Abszissendifferenz, so wird 2E — sin 2E = A t: e — cos E .

Zwei Wertepaare von V, V genügen zur Bestimmung von V₀ und

5 werden die Radialgeschwin-digkeiten von 2J und £’ mit g und g bezeichnet, so ist

~hv-9).

W. Zurhälen"⁷) empfiehlt, zunächst aus diesen Gleichungen \J₀ und zu bestimmen.

VI

-j- m

<7 = V, g'-V — V und g' + g = 2V₀+ 2

m -f

in

Wenn die anfangs gezeichnete Geschwindigkeitskurve beträchtliche Fehler auf weist, wie dies bei Sternen, deren Spektra schwierig zu messen sind, gewöhnlich vorkommt, werden die wahrscheinlichsten Bahnelemente nur im Wege fortgesetzter Näherungen zu erhalten sein. In solchen Fällen kann man den angestrebten Zweck durch sukzessive Verbesserungen der Geschwindigkeitskurve erreichen, wozu sich die graphische Methode von W. F. King²¹) besonders eignet.

Die Bahnelemente eines spektroskopischen Doppelsternes können auch auf analytischem Wege erhalten werden, indem man V durch Reihenentwicklung als Funktion der Zeit darstellt und die Koeffizienten aus den Beobachtungsdaten bestimmt. J. Wilsin g²²) hat sich auf die Bestimmung von Bahnen mit kleiner Exzentrizität beschränkt; bei größeren Exzentrizitäten kann man sich der Methode von N. H. Fussel²³) bedienen, welche die Reihenentwicklung voraussetzt:

V — C₀+ C₁eosN+ 0, cos2^4-----\- ĄsinN+ £₂sin2N +

wo I = n(t — t), t = Epoche; die zu t gehörige mittlere Anomalie (M) sei mit M₀ bezeichnet. Durch die Substitution C = G cos </; S = — Gr sin g erhält man

V = £₀ + Gx cos (AT + gx) -f G₂ cos (2N + g₂) -\----.

In eine Reihe von derselben Form läßt sich die Gleichung

überführen; es ist nämlich

V = V.+ 7Æi

— COS V =

— sin v =

~e Xx cos Af -J- y e X₂ cos 2 M -----

Yx sin M -f- y e Y₂ sin 2 M -f- • • •.

Die Koeffizienten sind Funktionen der Exzentrizität, die von der Einheit nur um Größen von der Ordnung e² verschieden sind.

Setzt man

X sin co = b sin ß

Y cos œ = b cos ß,

so ist, da £ = q sin i sin (v -f- co) und M = N -(- M₀

~— [\ cos (^+ M₀ -{- ßx) -f-    cos (2 N-\- 2 M₀ + ß₂) H—].

a n sin i

Die Elemente werden auf dem Wege fortgesetzter Näherungen erhalten. Die erste Näherung, bei welcher schon e² unberücksichtigt bleibt, ist die Wilsingsche Lösung: X = Y —b = 1; ß — co:

V₀=

Mo = 9» — 9i\ « =    — g%.

cc sin i = —- G, : e — — • n ¹ ’

5. Einige Ergebnisse der Beobachtung und der Babnbestimmung spektroskopischer Doppelsterne.⁶¹) Die Änderung der Radialgeschwindigkeit nimmt zugleich mit der Geschwindigkeit der Revolutionsbewegung hei wachsender Entfernung der Komponenten eines Doppelsternes ab und wird demnach, wenn die Entfernung eine gewisse Grenze überschreitet, aufhören, meßbar zu sein. Diese Grenze dürfte, bei ausreichender Lichtstärke der Komponenten, öfters zur Auflösung des Doppelsternes durch das Fernrohr mehr als genügen. Bis jetzt sind aber nur sehr wenige Sterne bekannt, deren Duplizität durch das Fernrohr mit und ohne Spektroskop zu erkennen ist. Hierzu gehören e Hydrae und d Equulei, deren Perioden 15,7 bzw 5,7 Jahre betragen. Da man in solchen Fällen die Neigung i der Bahn aus den direkten Messungen der Komponenten, a sin i dagegen aus den spektrographischen Beobachtungen bestimmen kann, so können die Dimensionen der Bahn in linearem Maße sowie die Parallaxe gefunden werden.

Im allgemeinen entfernen sich aber die Komponenten der spektroskopischen Doppelsterne zu wenig voneinander, als daß es möglich wäre, sie im Fernrohre getrennt wahrzunehmen, und man ist daher bei der Untersuchung dieser Systeme lediglich auf die Messung der Radialgeschwindigkeiten angewiesen. Zurzeit (Ende 1910) sind, wie erwähnt, ungefähr 70 Bahnen spektroskopischer Doppelsterne bekannt, und es ist bereits möglich gewesen, einige allgemeinere Schlüsse über ihre Eigentümlichkeiten zu ziehen. Zusammenfassende Diskussionen des vorhandenen Materials sind gleichzeitig von F. Schlesinger und B. H. Baker⁶²), H. Ludendorff⁶³) und W. W. Campbell²⁴) geliefert worden. Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeiten sollen hier kurz dargelegt werden.

61)    Verfaßt von H. Ludendorff in Potsdam.

62)    F. Schlesinger and li. H. Balcer, A Comparative Study of Spectroscopic Binaries. Publications of the Allegheny Observatory of the University of Pittsburgh. Volume I, No. 21 (1910).

63)    H. Ludendorff, Zur Statistik der spektr. Doppelsterne. Astr. Nachr.

184 (1910).

175 (1907).

Was zunächst die Exzentrizitäten angeht, so zeigt es sich, daß die Bahnen der spektroskopischen Doppelsterne durchschnittlich bedeutend weniger exzentrisch sind als die der visuellen Doppelsterne. Sowohl bei den letzteren wie bei den spektroskopischen Doppelsternen verrät sich im Durchschnitt eine deutliche Zunahme der Exzentrizität mit der Periode. Dies erkennt man an der folgenden, von Schlesinger und Baker gegebenen Tabelle:

Mittlere

Periode

Mittlere

Exzentri

zität

Spektroskopische Doppelsterne v. kurzer Periode

Für die visuellen Systeme hat übrigens, wie bereits in Nr. 3d erwähnt, W. Doberck schon früher auf dieses Verhalten aufmerksam gemacht. Die auffallende Gesetzmäßigkeit ist für die Entwicklungsgeschichte der Sterne von Interesse. Dasselbe gilt von folgender Tatsache: Diejenigen spektroskopischen Doppelsterne, welche Spektra besitzen, wie sie nach den heutigen Anschauungen einer verhältnismäßig frühen Entwicklungsstufe entsprechen (Spektra der Forschen Spektralklasse Ib und Ia^) haben im Durchschnitt kürzere Umlaufszeiten und engere Bahnen als diejenigen, deren Spektra weiter entwickelt sind (Spektra der Spektralklassen Ia₃ und II a). Es ist nämlich für die erste Gruppe im Mittel P — 30 Tage, a sin i — 16 500000 km, für die zweite Gruppe P— 167d, a sin i = 29 500000 km. Es ist hierbei allerdings zu beachten, daß man unter den spektroskopischen Doppelsternen der ersten Gruppe bisher hauptsächlich solche mit großen Änderungen der Radialgeschwindigkeit zur Bahnbestimmung ausgewählt hat, so daß das obige Resultat dem Sinne nach reell, numerisch aber etwas übertrieben sein dürfte.

Über die Massen der spektroskopischen Doppelsterne kann man nur dann einigen Aufschluß erhalten, wenn die Radialgeschwindigkeiten beider Komponenten gemessen worden sind. Man kann alsdann die Größen m sin³ i und m sin³ i angeben, i ist zwar im allgemeinen unbekannt, immerhin liefern jene beiden Größen aber Minimalwerte für die beiden Massen. Es hat sich nun gezeigt, daß die lichtschwächere Komponente in allen diesen Systemen auch stets die kleinere Masse besitzt. Die numerischen Werte von m sin³ i und

Visuelle

4 Tage

0,07

129

0,35

36 Jahre

I 136 „

0,45

! 0,54

m sin³« variieren innerhalb ziemlich weiter Grenzen. Die bisher beobachteten Extreme sind (in Sonnenmassen ausgedrückt) 0,52 und 0,38 bei ^ Aquilae, 11,2 und 10,6 bei r\ Orionis. Im Mittel aus 15 von Schlesinger und Balcer aufgeführten Fällen ist (m -J- m) sin³ i — 6 Sonnenmassen, so daß also diese Systeme durchschnittlich weit größere Massen haben als die Sonne. Man wird sich aber vor dem Schlüsse

hüten müssen, daß große Masse eine allgemeine Eigenschaft der spektroskopischen Doppelsternsysteme ist. Denn es ist zu beachten, daß es sich in jenen 15 Fällen um helle Sterne handelt, für die schon ihrer Helligkeit wegen größere Massen wahrscheinlich sind.

Ist bei einem spektroskopischen Doppelstern nur das Spektrum

m's sin⁸« (m Ą- vi Y

ist. Da sowohl i wie — un-

einer Komponente sichtbar, so kann man nur die Größe

(a sin«)⁸

berechnen, welche proportional

P,

m ⁸ sin⁸ «

(»« -f- m'Y

bekannt sind, so kann man keinerlei Angaben über die Einzelmassen machen. Immerhin ermöglicht das Verhalten der a sin i und P bei den verschiedenen Systemen den Schluß, daß die Größe und die Verteilung der Massen in den einzelnen Systemen durchschnittlich recht gleichmäßig ist. Ordnet man nämlich die Bahnen der spektroskopischen Doppelsteme nach der Periode P und bildet aus benachbarten Werten von P und den zugehörigen Werten von a sin i die Mittel P₀ und (a sin i)₀, so zeigt sich nach H. Ludendorff, daß die (« sin «)₀³ und P₀2 in einem einigermaßen konstanten Verhältnis stehen, so daß sich also für kurzperiodische Systeme ungefähr derselbe Wert von

ergibt wie für langperiodische.

Der Fall, daß nur das Spektrum der helleren Komponente sichtbar

ist, ist der weitaus häufigere. Immerhin hat man bisher bei ungefähr 60 Systemen mehr oder weniger deutliche Spuren des Spektrums des Begleiters nachweisen oder vermuten können. In mehreren Fällen sind die beiden Komponenten gleich hell und besitzen gleiche Spektra, so daß alsdann infolge der relativen Radialbewegung beider Komponenten periodische Linienverdoppelungen eintreten. Klassische Beispiele für diesen Fall sind die Sterne ß Aurigae und Ursae majoris. Für letzteren sind die Elemente der relativen Bahn nach H. C. Vogel²⁵): P = 20d,5, A — 128 km, B — 149 km, e = 0,52, a sin « = 33 000000 km. Auch der etwa 14" von Ursae majoris entfernt stehende visuelle Begleiter £₂ Ursae majoris ist ein spektroskopischer Doppelstern und ebenso der

33

etwa 11' entfernte Alkor. Da, wie aus der Gleichheit der Eigenbewegungen hervorgeht, Alkor und das visuelle Doppelsternsvsteni £ Ursae majoris physisch zusammengehören, so haben wir hier ein aus drei spektroskopischen Doppelsternen bestehendes System vor uns.

Ein visueller Doppelstern, dessen beide Komponenten spektroskopische Doppelsterne sind, ist auch a Geminorum (Castor), dessen durch eine Distanz von 6" getrennte Komponenten eine Umlaufszeit von mehreren hundert Jahren haben, so daß ihre relative Bahn noch nicht mit Sicherheit hat bestimmt werden können. Beide Komponenten sind nun, wie schon erwähnt, spektroskopische Doppelsterne. Nach H. D. Curtis²⁶ 27) sind für die hellere Komponente (a₂ Geminorum) die Elemente: P = 9d,22, A — 13,0 km, P — 14,1 km, e — 0,50, a sin i = 1485000 km, V₀ = -f- 6 km, für die schwächere (cq Geminorum): P = 2d,93, A — 31,7 km, P = 31,8 km, e = 0,01, a sini =

1279000 km, F₀ =

1 km. Die relative Radialgeschwindigkeit von 7 km der beiden Komponenten gegeneinander deutet auf eine ziemlich große Masse des ganzen Systems hin.

Von anderen interessanten spektroskopischen Doppelsternsystemen seien hier noch kurz erwähnt die zwei mit den kürzesten bisher festgestellten Perioden, nämlich ß Cephei (P = 0d,19) und ß Canis majoris (P — 0d,25), ferner das System ß Arietis mit außerordentlich großer Exzentrizität (e — 0,88) und einige Systeme, in denen die Amplituden der Radialgeschwindigkeit sehr groß sind, nämlich u Herculis (hellere Komponente A -f- P — 199 km, schwächere Komponente A -f- JB — 506 km), rj Orionis (A-\- B — 290 km), ip Orionis (A -f- P = 288 km).

Besonders bemerkenswert sind einige wenige Fälle, in denen die Werte der Radialgeschwindigkeit so verlaufen, daß man zu der Annahme eines dritten Körpers in den betreffenden Systemen gezwungen ist. Das bekannteste Beispiel dieser Art ist der Polarstern, dessen Natur als spektroskopischer Doppelstern von W. W. Campbell⁶¹) entdeckt wurde. Seine Bahnelemente sind P == 3d,97, M-j-P=6,l km, e — 0,13, a sin i = 164500 km. Der Schwerpunkt dieses Systems hat aber, wie Campbell bemerkte, keine konstante Radialgeschwindigkeit; vielmehr bewegt er sich in einer Bahn mit den Elementen P = 11,9 Jahre, A -f- P = 6,0 km, e = 0,35, a sin i — 166 800000 km. Wir haben uns das System also wie folgt vorzustellen: Ein sehr enges Doppelsternsystem mit viertägiger Umlaufszeit bewegt sich in zwölfjähriger Periode um den Schwerpunkt des aus ihm und einem dritten Körper gebildeten Systems in einer Bahn, deren auf den Visionsradius projizierte große Halbachse etwas größer ist als die große Halbachse der Erdbahn. Auch bei einigen andern spektroskopischen Doppelsternen hat man Abweichungen von der einfachen elliptischen Bahnbewegung bemerkt, die aber zumeist noch nicht näher untersucht sind.²⁸) Zur Erklärung der beobachteten Erscheinungen wird man wohl meist die Existenz eines dritten, störenden Körpers annehmen müssen. Auch ist die Möglichkeit nicht von der Hand zu weisen, daß in gewissen Fällen die Linienverschiebungen nicht durch Radialbewegung, sondern auf andere Weise, z. B. durch Druckänderungen, zustande kommen.

a sin i (856 000 km bis

Bei den bisherigen Betrachtungen ist eine Klasse von Sternen ganz außer acht gelassen werden, die in gewisser Weise den andern gegenüber eine Sonderstellung einnimmt. Es sind dies diejenigen spektroskopischen Doppelsterne, die zugleich veränderliche Sterne vom ô Cephei- und £ Geminorum-Typus sind. Die Helligkeitsänderungen dieser Sterne verlaufen mit großer Regelmäßigkeit in Perioden von meist nur wenigen Tagen. Die Radialgeschwindigkeiten erleiden Änderungen von derselben Periode wie die Helligkeit, und das Maximum der Helligkeit fällt sehr nahe mit der größten Annäherungsgeschwindigkeit, das Minimum mit der größten von der Erde fortgerichteten Geschwindigkeit zusammen.²⁹) Charakteristisch für die Bahnen ist ziemlich starke Exzentrizität (0,31 im Mittel aus elf bekannten Bahnen) und kleine Werte von

m'⁸ sin⁸ i

sehr klein, nämlich gleich durchschnittlich 0,0034 Sonnenmassen. Dies deutet darauf hin, daß m im Verhältnis zu m ziemlich klein ist, da man sonst sehr geringe Gesamtmassen annehmen müßte. Eine befriedigende Erklärung für den Zusammenhang zwischen den Änderungen der Helligkeit und denen der Radialgeschwindigkeit ist bisher noch nicht gefunden worden. (Vgl. unten Nr. 6 b).) Die Spektra dieser Sterne sind durchweg, von gewissen Eigentümlichkeiten abgesehen, dem Sonnenspektrum ähnlich, und Andeutungen des Spektrums des Begleiters sind nicht wahrzunehmen.

(m + m'Y

2 000000 km). Durchweg ist die Größe

33*

D > _y

D° ⁼ P² sin³ —

Das Gleichheitszeichen bezieht sich auf den Fall

B = B',

70) M. Mériau, Densité des étoiles variables du type d’Algol, Paris C. R.

122, 1896.

6. Bestimmung der Bahn, Figur und Dichte veränderlicher Wenn man den Lichtwechsel eines veränderlichen Sterns

Sterne.

auf Verfinsterengserscheinungen zweier umeinander kreisender Körper zurückführen will, so ergibt sich das Problem, aus der Lichtkurve die Bahn und die relativen Dimensionen der beiden Körper zu berechnen. Es zeigt sich, daß sich dabei auch noch interessante Schlüsse auf die Dichte der Körper machen lassen.

a) Älgolsterne. Besonders klar und zweifellos mit Verfinsterungen hat man es zu tun bei den Algolsternen — so genannt nach dem hellsten dieses Typus Algol (ß Persei) —, bei denen in regelmäßigen Intervallen für eine kurze Zeit eine beträchtliche Verminderung der sonst konstanten Normalhelligkeit eintritt. Unter der Voraussetzung, daß beide Körper als Kugeln angenommen werden können, seien

B, d, B', d' die Radien und Dichten der Massen m und m. Die durch Rsd + R'sd’

R³ -f R’³

ist (bei Vernachlässigung der Masse Erde -f- Mond) in Einheiten der mittleren Dichte D₀ der Sonne gegeben durch

die Gleichung D =

definierte mittlere Dichte des Systems

D _ p 2 /ZA³_

D₀ ** \aj P\R³ + KS)

Ist t die Dauer des Lichtwechsels (die Zeit zwischen den beiden äußeren Berührungen der Körper von der Erde aus gesehen), so wird für eine Kreisbahn, wie geometrisch leicht ersichtlich:

a³

,70j

sin² i — a<5 .

Setzt man

so kann geschrieben werden

Da

D _ (R + R'Y - — V 4:(RS+R'³) * P*(J³ '

Do

ist auch

-L <r (-B+

4 — 4(jß⁸ 4- JB's) —

< 1 und 6 > sin ,

wird P in Stunden ausgedrückt, so ist logv== 1,4905. Für elliptische Bahnen wird <7 durch eine sehr komplizierte Formel dargestellt.⁷⁰)

Die meisten Algolsterne zeigen nur ein Minimum. Nur die Bedeckung des Hauptsterns durch den Begleiter, nicht aber die des Begleiters durch den Hanptstern gibt eine merkliche Lichtabnahme. In diesem Falle muß, wenn von großen Bahnexzentrizitäten abgesehen wird, bei welchen die zweite Bedeckung überhaupt ausfallen kann, die Helligkeit des Begleiters um mindestens 2— 3 Größenklassen geringer sein als die des Hauptsternes, so daß der Begleiter als dunkel aufgefaßt werden kann. Sofern sich der Begleiter zur Zeit des Minimums vollständig auf den Hauptstern projiziert und dessen Oberfläche in allen ihren Teilen Licht von gleicher Intensität uns zusendet, läßt sich die Maximaländerung Am der Sterngröße ausdrücken durch

; B'<B.

HD

A m — 2,5 log

ir

Aus dieser Gleichung kann -y bestimmt werden. Dann tritt in dem Ausdruck für I) nur noch sin i als Unbekannte auf, welche Größe wohl nie sehr weit von der Einheit abweichen dürfte. Da

D₀

(d:

(D*(D

m -f- m

⁷¹)

Öj

und die Vertauschung von P, m mit B'} m die Gleichung für jr- gibt,

Do

so bedarf man nur der Kenntnis von P, t und der Dichten zu gelangen gemäß der Relation

R'

~R>

um zu Grenzwerten

* .©Vf)'

. « nt

sms —-

Hat das Minimum selbst, die Zeit zwischen den beiden inneren Berührungen, eine Dauer tx, so besteht auch die Gleichung

B — B' =

a j/1 — cos²

sin² i,

H R'

welche die Bestimmung von D, —, — und i ermöglicht. Die weitere, aus spektroskopischer Beobachtung gewonnene Kenntnis von a sin i, mithin auch von a, kann, wie Barnard™) gezeigt hat, zur Bestimmung ³⁰ 31

der Minimalwerte von R, R' und der Maximalwerte von d, d' ver-

Rf    d'

wendet werden, indem, wenn = l und -j — x gesetzt wird,

l³4-1 lzx -f- 1

• 6 und ä — D

1 -(- À³x a Vx(l + X)

ist.

Der kleinste Wert von R ist -    , die größten Werte von d

¹ "T *

und d' sind D(lz -J- 1) bzw. D (l    ■

(I) = 0,13) fand Barnard

Für das System Algol

dr

m₀

mo

Die Massenwerte werden, wie man sieht, außerordentlich stark von

der Annahme über ~ beeinflußt.

a

Der Lichtwechsel Algols ist von A. Pannekoek³²) zum Gegenstände eingehender Untersuchung gemacht worden, die zum Ergebnisse führte, daß die Lichtkurve symmetrisch ist und eine periodische Schwankung in der Helligkeit des Minimums oder in der Dauer der Verfinsterungen nicht nachgewiesen werden kann. Es muß deshalb dahingestellt bleiben, ob nicht doch gewisse Ungleichheiten Vorkommen, die S. C. Chandler³³ 34) durch eine Bewegung des Doppelsterns um einen dritten Körper, F. Tisserand7o) durch eine Drehung der Apsidenlinie der Doppelstembahn zu erklären versuchten. J. Stebbins³⁵) hat durch Verwendung von Selenzellen die Helligkeit Algols und anderer heller Sterne mit einer Genauigkeit zu bestimmen vermocht, die durch visuelle oder photographische Methoden bisher nicht erreicht worden ist. Nach seinen Beobachtungen besitzt die Lichtkurve Algols ein sekundäres Minimum, in dem die Helligkeit des Sterns eine Abnahme um 0m,06 erfährt. Die aus der Lichtkurve unter der Annahme einer größeren Flächenhelligkeit (J^) der vom Hauptsterne beschienenen

¹

   Wissenschaftliche Schriften der Kasaner Universität für 1873; D.Dubjago, Astr. Nachr. 109 (1884).

²

   On a Graphical Method for determining the orbit of a Binary Star; Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 49 (1889).

³

   A. Marth, On the formulae for correcting Approximate Elements of the Orbits of Binary Stars; Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 47 (1887).

⁴

   Lick Obs. Bull. 84 (1905).

⁵

   J. B. Bertrand, G. Darboux, G. H. Halphen, Paris C. R. 84 1877; F. Tisserand, Paris Bull. astr. IV 1887.

⁶

   Einige Bemerkungen über verschiedene Berechnungen von Doppel-sternbahnen. Astr. Nachr. 132 (1893).

⁷

   T. J. See, Researches on the Evolution of the Stellar Systems Vol. I, 1896.

⁸

   On Double Star Orbits. Astr. Nachr. 147 (1898).

⁹

   On the Axes and Periods of Double Stars. Astr. Nachr. 138 (1895).

¹⁰

   On the Distribution of Binary Stars. Astr. Nachr. 158 (1902).

¹¹

   H. Kobold, Der Bau des Fixsternhimmels (Seite 154) Braunschweig 1906.

¹²

   Beri. Ber. 1873.

¹³

   Astr. Nachr. 142 (1897).

¹⁴

   Astr. Nachr. 164 (1904).

¹⁵

   H. Seeliger, Wien. Denkschr. 44 (1881): Münch. Abhdl. 17 (1892); Münch. Ber. 24 (1894); P. Harzer, Astr. Nachr. 116 (1887).

¹⁶

   A. Prey, Wien. Denkschr. 72 (1901).

¹⁷

On the Determination of Double Star Orbits; Lond. Astr. Soc. Monthlv Not. 51 (1891).

¹⁸

Über Bestimmung einer Doppelsternbahn aus spektr. Mess. Astr. Nach.

136 (1894).

¹⁹

   Zur Babnbestimmung von spektr. Doppelsternen. Astr. Nachr. 161 (1903).

²⁰

   Bemerkungen zur Babnbestimmung spektr. Doppelsterne. Astr. Nachr.

²¹

Determination of the Orbits of Spektroscopic Binaries. Astroph. Joum.

27 (1908).

²²

   Über die Bestimmung von Babnelementen enger Doppelsterne aus spektr. Mess. Astr. Nach. 134 (1894).

²³

   An improved Method of calculating the Orbit of a Spectr. Binary. Astrophys. Journal 15 (1902).

²⁴

W. W. Campbell, Second Catalogue of Spectroscopic Binary Stars. Lick Obs. Bull. No. 181 (1910).

²⁵

H. C. Vogel, Weitere Untersuchungen über das spektr. Doppelsternsystem Mizar. — Archives Néerlandaises des sciences exactes et naturelles. Série II, Tome VI. 1901, p. 661.

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

²⁶

   H. D. Curtis, The System of Castor. Astroph. Journ. 23 (1906), p. 351.

²⁷

   W. W. Campbell, The Variable Velocity of a Ursae Minoris in the Line of Sight. Astroph. Journ. 10 (1899), p. 180.

²⁸

   Vgl. z. B. J. S. PlasJcett, The Spectroscopic Binary ß Orionis. Astropb. Journ. 30 (1909), p. 26.

²⁹

   J. C. Duncan, The Orbits of the Cepheid Variables Y Sagittarii and R T Aurigae; with a Discussion of the Possible Causes of this Type of Stellar Variation. Lick Obs. Bull. Nr. 151 (1909).

³⁰

   A Roberts, Density of close Double Stars. Astroph. Journ. 10 (1899).

³¹

   B. J. A. Barnard, Note on the Algol System. Astroph. Journ. 23 (1906).

³²

   Untersuchungen über den Lichtwechsel Algols. Dissertation Leiden (1902).

³³

   Contributions to the Knowledge of the variable stars, Astronomical Journal XI (1892).

³⁴

   Sur l’étoile variable ß de Persée (Algol), Paris C. B.. 120 (1895).'

³⁵

   The Measurement of the Light of Stars with a Sélénium Photometer, with an Application to the Variations of Algol, Astrophys. Journ. 32 (1910).

Seite des Begleiters erhaltenen Bestimmungsstücke des Systems sind: i = 82°,3 R = 1,00 J = 1,00 P = 68,82 D = 0,07 P0 e = 0,00 R' = 1,14 Jx = 0,09    t= 9,80    d<0.18D₀

a = 4,77 j; = 0,05    d' < 0,12 D₀

Die Dichte der Algolsterne ist viel geringer als die der Sonne (1,4). Der Durchschnittswert der oberen Grenze für D dürfte etwa 0,2 sein.

Einige Algolsterne, wie Z Herculis⁷⁷), ÜZCjgni⁷⁸) zeigen schon hei roherer Beobachtung zwei Minima von ungleicher Helligkeit. Photometrische Beobachtungen des Lichtwechsels dieser Sterne geben der Bahnbestimmung eine sicherere Grundlage als Beobachtungen von Sternen, die nur ein Minimum haben. Unter der Annahme i — — können die Zeiten des beginnenden und endenden Lichtwechsels in sehr einfacher Weise zur Bestimmung von Bahnelementen verwertet werden. Je nachdem sich die Zeiten auf das Ende und den Wiedereintritt der Maxima oder auf Beginn und Ende der Minima beziehen, sei

R + R’ , j R — R' ,

—¹---== a oder -= d.

a    a

Wenn diese Zeiten, vom Beginne des durch die Verdeckung des Begleiters entstehenden Lichtwechsels an gezählt, der Reihe nach mit tXi 4?    4 bezeichnet werden, sind die ihnen entsprechenden r

und v an die Gleichungen gebunden

^ cos (vx + co) =

cos (»> + ra) = —■ ^ cos (v₃ + ra)

== — cos (v₄ -f- cd) = d.

Ersetzt man r, v durch a, E, so ergibt sich hieraus unter Benutzung der Substitutionen

E — G — g und gx —

Ej — n _

2 ’ "²

Es — Ei

—2—1L, USW-

tg &₄ = tg G₂ = — ]/l — e² tg co cos g₂ -f- cos gx = 2 e cos 6r₂

cos g₉ — cos gx =

2 d cos G,

COS 00

_ 9t ±Jh

G₂ = 6r₄; gx = g₃ =

+ ^3 = ² &₂;    — £3 = — g₂ + gx.

77)    JE. Hartwig, Der veränderliche Stern vom Algoltypns Z Herculis, Astr. Nachr. 152 (1900).

78)    E. Hartwig, Ein Zwischenminimum des langperiodischen Algolsterns U Z Cygni. Astr. Nachr. 165 (1904).

Aus den vier Keplerachen Gleichungen folgt

2g₂ — sin g₂ (cos g₂ + cosgj = n(ts— t₂)

2gL — sin gi (cos g₂ + cos gA) = n(tl— Q

2 e sin G₂ (cos g₂

cos g±) = n(ti — t₃ — t₂ + tt).¹)

Die zwei ersten Gleichungen bestimmen g₂₎ gi} woraus e, G und dann o, d erhalten werden. tQ wird durch E₁ = gi -(- G₂ bestimmt. Je größer der Helligkeitsunterschied der beiden Minima ist, desto unsicherer wird die Beziehung der Zeiten auf gleiche d und daher auch die Bestimmung der Elemente.

Die kleine Distanz und geringe Dichte der Komponenten der Algolsterne bedingen eine elliptische, yon der jeweiligen Größe der zerrenden Kräfte abhängige Gestalt dieser Körper. Die Flutbewegung, deren Lebhaftigkeit mit der Bahnexzentrizität wächst, hat gewiß auch Verschiebungen der an und nahe der Oberfläche gelegenen, stark absorbierenden Dämpfe zur Folge, wodurch die Intensität der Lichtemission geändert wird. Es ist daher nicht zu verwundern, wenn die Annahme einer der scheinbaren Größe der leuchtenden Fläche proportionierten Lichtintensität auch nicht imstande ist, die Lichtänderung der Algolsterne in ganz befriedigender Weise darzustellen. Die Beobachtung zweier Minima läßt die Unverträglichkeit der Annahmen, daß die Körper kugelförmig seien und Licht von konstanter Intensität aussenden, mitunter sofort erkennen. Die analytische Formulierung dieser Annahme führt nämlich, wenn [_i> l_2 die Intensitäten des Vollichtes jedes der Körper, ho die Intensität des Maximums, |_, |_' die des Haupt- und Zwischenminimums bedeuten, und    positive zwischen

den Grenzen 0 und 1 liegende Größen ausdrücken, zu den Relationen

fliLi + L₂ — L U + ^2 L₂ ⁼⁼⁼ L U + U = L₀>

woraus folgt

L -f⁻ L

Lo

> 1 ; die Schwächung des Lichtes von UZ Cygni

beträgt im Hauptminimum 2,7, im Zwischenminimum 0,4 Größen-

L+L'

= 0,78. Ob dieses Resultat mehr auf

Rechnung der Deformation oder der Veränderlichkeit der Lichtemission der Komponenten zu setzen ist, läßt sich vorläufig nicht entscheiden.

klassen. Es wird daher

Lo

b) Veränderliche von kontinuierlicher Lichtschwankung. Während das Licht der Algolsterne nur zeitweilig veränderlich ist, weist eine andere Klasse von veränderlichen Sternen einen ununterbrochenen Wechsel des Lichtes auf. Wahrscheinlich bestehen alle diese Sterne, von denen mehrere spektroskopische Doppelsterne sind, aus zwei oder mehreren Körpern, deren Konstellation für die zur Erde gelangende Lichtmenge bestimmend ist. Daß der Lichtwechsel auch ohne Verfinsterung einer Komponente durch eine andere erfolgen kann, lehren die spektroskopischen und photometrischen Beobachtungen von ó'Cephei²), welche wohl dieselbe Periode (5d4) ergeben, aber mit der Annahme einer Verfinsterung von bemerkenswerter Phase kaum verträglich sind. Die große, diesem Systeme eigene Bahnexzentrizität (0,5) läßt eine von der Flutbewegung abhängige, veränderliche Lichtemission vermuten, doch liegt, wie in Nr. 5 erwähnt, für diese Art des Lichtwechsels noch keine ganz befriedigende Erklärung vor.

Verfinsterungen werden wieder wahrscheinlich, wenn sich die Komponenten eines Doppelsternes in nahe kreisförmigen Bahnen bewegen; dann wird ihre Figur und Lichtemission nur kleine Änderungen erfahren. Eine leicht erkennbare Veränderlichkeit des Lichtes kann in diesem Falle ohne partielle Bedeckung der Körper wohl kaum zustande kommen.

Die Bestimmung der Bahn und der Dimensionen der Komponenten aus der Lichtkurve eines solchen kontinuierlich veränderlichen Sternes, wofür ß Lyrae als Typus gelten kann, ist nun, auch wenn man eine nahe kreisförmige Bahn und Bedeckungen voraussetzt, ohne weitere willkürliche Annahmen bezüglich der Form der leuchtenden Flächen und der Helligkeit ihrer Elemente nicht möglich. Da die Lichtschwankungen wegen ihrer, im Verhältnis zur Beobachtungsgenauigkeit geringen Amplitude zur Bestimmung vieler Unbekannten nicht ausreichen und die zu bildenden Annahmen die Lösung der Aufgabe nicht zu schwer machen sollen, werden die vorausgesetzten Eigenschaften des Systems von den wahren in mehrfacher Beziehung und oft beträchtlich abweichen, so daß die gewonnenen Resultate auch bei guter Darstellung der Lichtkurve mit großen Fehlern behaftet sein können. Der Deformation kann einigermaßen durch die Annahme Rechnung getragen werden, daß die Oberflächen der Komponenten unveränderliche gestreckte Rotationsellipsoide seien, deren große Achsen in einer und derselben Geraden liegen und zu den kleinen Achsen in demselben Verhältnisse stehen. Mit Bezug auf die Lichtemission empfiehlt sich die Annahme, daß die von jeder Komponente herrührende Lichtmenge der scheinbaren Größe ihrer unverfinsterten Oberfläche proportioniert sei.³)

Das Ellipsoid E, dessen Zentrum sich in 0 befinde, habe die Halbachsen A, B] die größte Intensität des von E herrührenden Lichtes sei Loi für das Ellipsoid E' seien die entsprechenden Bestimmungsstücke mit O', XA, XB und 1 — Lo bezeichnet. Die Maximalintensität des Systems ist daher der Einheit gleichgesetzt. Bedeutet ^ — â den Winkel zwischen der Linie 00' und der Gesichtslinie, so sind die Halbachsen cc, ß der durch Projektion von E auf eine zur Gesichtslinie senkrechte Ebene entstehenden Ellipse:

cc = A • x, ß — B, x =yi — f²sin² d, s² —

die Halbachsen der Projektion von E' sind Xa, Xß. Das Dreieck 00'C, in welchem 00' — r cos ô ist, und OC — cc, 0'C=Xcc sein soll, habe bei 0 bzw. 0' den Winkel -iß bzw. %, so daß

sin il> = X sin %

,    ,    .    rcos â

cos cp -f- X cos % = —-— — v

A³—B³

2v

Setzt man zur Abkürzung

2xß — sin 2iß -f- X²(2% — sin 2%) = 2(rß -{- X²% — vsin^) = 2nq,

so ist der Inhalt F der beiden Ellipsen gemeinschaftlichen Fläche F = aß7tq.

Die Intensität L des Systems ist, wenn E' vor E liegt:

L = Lo *ßAB*F+ C¹ ~ Lo^ V AFn “ *(X ~ 2Lo)

im entgegengesetzten Falle aber

L = x (l — ą “i’”).⁸*)

Die typischen Eigenschaften der Lichtkurven der Gruppe von veränderlichen Sternen, um die es sich hier handelt, nämlich beständiger Wechsel des Lichtes, Gleichheit oder nur geringe Verschiedenheit der Intervalle zwischen den Epochen der Maxima und Minima deuten darauf hin, daß r nur wenig von A-j-XA verschieden ist und als nahezu konstant gelten kann. Man wird sich daher vorerst mit

der Näherung r = A(l-\-l) begnügen und r=l setzen, wodurch A in Teilen des Radius der Kreisbahn ausgedrückt erscheint. Da in der Kreisbahn die Änderung von u der Zeit proportioniert ist, und

eintreten, so ist durch die Lichtkurve

die Minima für u — +

auch der Zusammenhang von u und [_ gegeben. Aus sin d — sin u sin i folgt für

für

u — -j-    z — ]/ 1 — s² sin² i ;

n■ — + —■ nnd -j- ~    ■ x —l/l

(1 -f-1) cos i

YV¹

4- sin²i •

Ł

A. Roberts⁴) geht von den Annahmen |_o⁼⁼ Y X = 1 aus und bestimmt s und i aus den zwei mittleren Werten der vom Helligkeitsmaximum an gezählten Größenänderung Am des Systems für u = -f- 4-und die ungeraden Vielfachen von —• Die Erzielung eines engeren

Anschlusses an die Lichtkurve bleibt der Ausgleichsrechnung Vorbehalten. Die Berechnung zweier Tafeln, welche mit den doppelten Argumenten £², i auf Grund der Relationen

;.= i,

cos —    jcq = 2'4> — sin 2ip, [_ — x(l

Am — 2,5 log *

die Werte der Funktion Am für u — ~ und ~ geben, ermöglicht eine rasche Bestimmung von s und i.

Die dem Robertsschen Verfahren zugrunde liegenden Annahmen |_₀ == 2, X = 1 sind nur bei gleicher Intensität der Minima vereinbar und widersprechen sich um so mehr, je größer der Intensitätsunterschied ist. Wenn dieser mehr als ungefähr 2 bis 3 Zehntel einer Größenklasse beträgt, erscheint es vorteilhafter, die Unbekannten ohne Zuhilfenahme neuer Hypothesen zu bestimmen, was am einfachsten durch Auflösung eines Systems von vier Gleichungen geschehen kann, in denen die Intensitäten der Minima und noch zweier Punkte der

Lichtkurve Vorkommen, für welche die Summe der ô gleich Null ist. Bei Auswahl der Punkte u = -f- — können, wenn j/ï — s² sin²i — tg w gesetzt wird, die Gleichungen geschrieben werden

f- * • • tg w (1 — qlo) = L;

(1 — î'Lo) = L';

“ ⁼ + f • ■ • tg * (l — 21JïsL?) = L\

7t

4    y2 cos w

y2 cos iv

1-q'

InLo

V

= L',

wo q eine Funktion von X und v — (1 -f- X) cos i cotgw, q dieselbe Funktion von X und    -f- X)² -f- v² sin² w ist. Durch Berech

nung einer einzigen Tafel, welche mit den Argumenten X, v die Größen q gibt, ist man daher in den Stand gesetzt, den einem beliebigen Wertepaare q, X bzw. q, X zugehörigen Wert von v bzw. v auf dem Wege der Interpolation zu finden. Zur Bestimmung von w dienen die Gleichungen

6 COS S —

<5 sm s —

L'X-U'

L- L

]/2;    6 sin (w -j- s) — 1.

Es ist ferner

L₀

Lo

L₀ ist versuchsweise so zu bestimmen, daß die zu X, q, q gehörigen Argumente v, v die Gleichung erfüllen v² = (1 -f- X)² -j- v² sin2 die übrigen Elemente werden durch die Gleichungen

y cos ‘2 w

1 Ą. I tg W> £    ==

b=avi-~?

cos i = bekannt.⁷⁹)

Wenn auch die Zeiten der Maxima und Minima die Annahme einer Kreisbahn rechtfertigen, so kann doch r von A(1X) um eine Größe 7] verschieden sein. Sollte es sich zeigen, daß für r] — 0 eine befriedigende Darstellung der beobachteten Intensitäten nicht zu erreichen ist, so wäre rj so zu bestimmen, daß die Fehler der Darstellung möglichst klein werden.

Ungleichheit der Intervalle in der Reihenfolge der Maxima und Minima weist auf eine elliptische Bewegung der Komponenten hin, bei welcher im allgemeinen die Lage der Minima nicht mehr genau durch u — + y oder durch die Richtung einer Fokalchorde markiert

cos w

ist. Bezeichnen At, Av, 2 g die Änderungen der Zeit, der wahren und exzentrischen Anomalie vom Hauptminimum zum Nebenminimum, A't, A'v, 2g die Änderungen von dem auf das Hauptminimum folgenden Maximum zum nächsten Maximum, so ist

A’v — 7t

j/i — e*

Aus Av^tc folgt, daß die Relationen 2g — sin 2g = nAt

sin 2 g' = nA't sin co = cot#'.

und

_- cos 03 = cotg g nur als näherungsweise richtig angenom-

]/l — e²

men werden dürfen. Die zur Berechnung von e, m aus den Zwischenzeiten gemachte Annahme Av — 7t bedarf daher noch einer Kontrolle durch die nach Bestimmung der übrigen Elemente sich ergebende Lage der Minima.

Der Lichtwechsel des spektroskopischen Doppelsternes ß Lyrae (P = 12^,91, Max. 3W,4, Min. 3m,9, 4m,5) wird nach den Untersuchungen von Myers durch die Annahme erklärt:

a = 1, e — 0,02, A = 0,52, B = 0,43, 1 = 0,75,

i = Y’ £ = °,56, Lo=0,71,

er läßt sich aber auch ebensogut durch ein wesentlich anderes Ele-mentensystem darstellen, nach welchem das Hauptminimum durch Abblendung des Lichtes des kleineren Körpers zustande kommt.⁷⁹)

Den spektroskopischen Beobachtungen zufolge ist für

— = 20,9,

£t = 9,6;

m₀

m₀

i = y : a = 50,2 Mili. Kilometer

hieraus folgt, daß die Komponenten ungefähr dieselbe mittlere Dichte 0,0006 haben und daher weniger dicht sind als die Luft an der Erdoberfläche.

Die Untersuchungen Roberts über die veränderlichen Sterne UPegasi (P = 9A,0) und RR Centauri (P = 14A,5)⁸²) scheinen die Annahmen zu rechtfertigen, daß die Komponenten von gleicher Größe sind und sich bei gegenseitiger Berührung in Kreisbahnen bewegen. Die durch die elliptische Gestalt der zu engen Systemen verbundenen Körper bedingte Zunahme des Radiusvektors und der Bahnexzentrizität und die damit zusammenhängende Drehung der Apsidenlinie bewirken eine Änderung der Form der Lichtkurve, welche jedoch nur aus Beobachtungen, die sich über sehr viele Jahre erstrecken, zu konstatieren sein wird.

7. Bahnbestimmung der Satelliten. Die Methoden der Bahnbestimmung visueller Doppelsterne haben die Unveränderlichkeit der Lage des den Messungen zugrundeliegenden Koordinatensystems zur Voraussetzung und sind daher auf ein System Planet—Satellit hur dann ohne weiteres anwendbar, wenn die Bewegung des Satelliten so rasch erfolgt, daß während eines Umlaufs die Änderung des geozentrischen Ortes des Planeten vernachlässigt werden darf. Wird durch die Beobachtungen die Projektionsellipse hinreichend bestimmt, so empfiehlt sich die Anwendung graphischer Methoden zur Ermittlung genäherter Bahnelemente, die dann auf ein vom scheinbaren Orte des Planeten unabhängiges Koordinatensystem übertragen werden können. Lage und Dimension der Ringe des Saturn⁵) ergeben sich aus Messungen der Richtung und scheinbaren Größe der Achsen der sichtbaren Projektionsellipsen, die für e = 0 Zwierssche Hilfsellipsen sind.

Bei verhältnismäßig rascher Bewegung des Planeten kann man versuchen, die Beobachtungen des Satelliten durch eine Kreisbahn darzustellen, welche, wenn die mittlere planetozentrische Bewegung des Satelliten bekannt ist, durch zwei Positionsmessungen bestimmt wird.⁶)

Zur Zeit t seien die geozentrischen äquatorialen Koordinaten des Planeten A, A, D, die planetozentrischen, äquatorialen Koordinaten des Satelliten r, cc, d, Positionswinkel und Distanz 6, p; die Beziehung auf eine andere Zeit soll durch Beifügung eines Striches angedeutet sein. Bezeichnet 180° — 6 den Winkel am Planeten im Dreieck Erde —

Planet—Satellit, so ist zur Zeit

t. . . sin (6

N    A .

(i)

9) = y sm Q t' . . . sin (V — q) = y sin q

Der Winkel zwischen den Richtungen r, r ist die planetozentrische Bewegung des Satelliten und auch gleich dem Winkel, welchen die vom Erdzentrum parallel zu r und r gezogenen Geraden einschließen. Denkt man sich die Erde im Zentrum einer Sphäre vom Radius 1 und nennt die Punkte der Sphäre, gegen welche diese Linien gerichtet sind, U, Zr, die sphärischen Orter des Planeten und Satelliten M, M', S, S', so liegen die Punkte M}8, 2J in einem, M', S', £’ in einem anderen Bogen größten Kreises. Der nächste Schnittpunkt der

Bögen MS und M S' sei C; der Nordpol befinde sieb in P. Die Auflösung des sphärischen Dreiecks MCM', in welchem zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel A'—A bekannt sind, gibt die Seite MM' und die anliegenden Winkel, woraus mit Hilfe der Positionswinkel 6, 6' von MS und M'S' die Seiten MG = £, M' C = £' und der von ihnen gebildete Winkel s berechnet werden können. Da M2J = 6, M' 2J' = ö', wird

cos Zü'= cos (£ — ö) cos (£' — ö') -j- sin (£ — (?) sin (£' — <?') cos s.

Durch diese Gleichung und die Gleichungen (1) werden für eine Kreisbahn (EE'=n(t'—£); r — r — a) die drei Unbekannten 6, <?', a bestimmt, allerdings nicht in eindeutiger Weise, da nach (1) <? — q, <?' — q' im I. oder II. Quadranten liegen können, was bei der weiteren Rechnung zu beachten ist.

der Formel tgZ7=tg(a — N) sec J. Die analoge

aus

Zur Bestimmung der Länge N des aufsteigenden Knotens und der Neigung J der Satellitenbahn mit Bezug auf den Himmelsäquator bedarf man der a und d; die Koordinaten des Punktes (E), in dem die Verlängerung der von der Erde zum Planeten gezogenen Geraden die um den Planeten beschriebene Sphäre trifft, sind A, D- die Lage des Punktes ($) mit den Koordinaten a, d ist dadurch gegeben, daß im sphärischen Dreieck (E)P(S) die Seite (_E) ($) = <? und der Winkel bei (E) als Neigungswinkel der Ebene 1EMS und EMP gleich 6 ist. Der Winkel bei P ist a — A- cc', ô' werden durch dieselben Formeln erhalten wie a, d. N und J ergeben sich aus tge7sin(« — N) = tgd-tgJsin(V — Ar) = tgó'; das der Zeit t entsprechende Argument der Breite ü folgt

Berechnung von TJ' muß hierfür einen Wert ergeben, welcher die Gleichung erfüllt U' — U — n(f — t).

Sind N, J und U, a oder allgemeiner U, r gegeben, so werden 6, q mit Hilfe der sich auf denselben Zeitpunkt beziehenden Größen A, A, D durch einfache Koordinatentransformation gefunden.

Wie Positionswinkel und Distanz, können auch Rektaszensionsund Deklinationsdifferenzen durch die Elemente ausgedrückt werden.⁷) Genauere Elemente werden mittels der Differentialformeln der Bahnverbesserung erhalten (vgl. Artikel VI 2, 9 Herglotz Seite 422).

drei Beobachtungen eines Satelliten

aus

Sofern Näherungswerte von N und J vorliegen, kann man nach der Methode von W. Klinkerfues⁸)

genäherte Bahnelemente bestimmen. Für das Datum jeder Beobachtung werden zunächst die Werte i, Sl und u₀ = u — U und dann mittels der Formeln:

cotg 6 = sia (9 — SI) tg i,

r sin (<? — q) — A sin q ,

tg (0 — SI)

cos i

tg (w₀ + TJ) =

die von r, JJ bekannt.

Aus drei Gleichungen von der Form a(l — e²) = r(l -j- ecost’) folgt, da die Differenzen der U denen der wahren Anomalie v gleich sind,

a (1 — e²) =

V —V. U

--sin — „

2 2

rr sin (ET — U) — rr"    — ZT) -f- r r" sin {TJ" — Ü')

4rr' r" sin

- U . U" - U'

sin ——--

2e sin

2e cos

V -f- V

cos

Ü"—U

a(l — e²)    — 2,

wodurch a, e, U — v und v, v" daher auch n, t₀ bestimmt werden. Sind die angenommenen Werte von N} J nahe richtig, so wird auch der Unterschied zwischen n(t'— £₀) und der aus v berechneten mittleren Anomalie klein sein. Zur Bahnverbesserung muß mindestens noch eine Beobachtung verwendet werden. Die Kenntnis von A⁷, J genügt überdies zur Reduktion aller Beobachtungen auf einen und denselben geozentrischen Planetenort, wodurch die für Doppelsterne gegebenen Methoden der Bahnbestimmung auch für Satelliten Geltung erlangen.

A. 0. Leuschner⁸⁷) hat auf der Versammlung der Astr. Gesellschaft in Wien (1908) die Grundzüge einer Babnbestimmung mit sofortiger Berücksichtigung der Störungen angegeben. Diese Methode, deren vollständige Darlegung im Vol. VII of the Publications of the Lick Observatory erfolgen soll, eignet sich, wie aus der Berechnung der Bahnen des 7ten und 8ten Jupitertrabanten hervorzugehen scheint, sehr gut zur Bahnbestimmung von Satelliten, deren Bewegung durch die Sonne bedeutend gestört wird. Aus den Beobachtungen sind zunächst für eine bestimmte Zeit Rektaszension und Deklination des Satelliten sowie der erste und der zweite Differentialquotient dieser Koordinaten nach der Zeit zu bilden. Hierdurch werden mit Hilfe von drei, durch

II. Aufl. 1899 (Die Ableitung der „reduzierten“ Positionswinkel P, P', deren Differenz gleich v — v sein soll, ist unrichtig gegeben).

87) A. Leuschner, Versuch der Bahnbestimmung mit sofortiger Berücksichtigung der Störungen. Astr. Ges. Vjs. 43 (1908); Lick Obs. Bull. 137 (1908).

Transformation der Grundgleichungen für die spezielle Störungsrechnung

zu erhaltenden Gleichungen die geozentrische Distanz q und

dg d³g

dt’ dT³

als Funktionen der Entfernung des Satelliten vom Planeten und von der Sonne bestimmt, worauf mit Rücksicht auf die für die Dreiecke Erde, Satellit, Planet und Erde, Satellit, Sonne geltenden Beziehungen die Distanzen des Satelliten vom Planeten und von der Sonne, daher auch die Anziehungskräfte bekannt werden. Die Berechnung der Elemente bedarf keiner neuen Entwicklungen.

(Abgeschlossen im Dezember 1910.)

VI2,12. PRINZIPIEN DER STÖRUNGSTHEORIE UND ALLGEMEINE THEORIE DER BAHNKURVEN IN DYNAMISCHEN PROBLEMEN.

Von

E. T. WHITTAKER

IN DUBLIN.

(Aus dem Englischen übersetzt von A. Haar in Zürich.)

Inhaltsübersicht.

1.    Reduktion der Differentialgleichungen des allgemeinen Dreikörperproblems.

2.    Die Differentialgleichungen in Spezialfällen des Dreikörperproblems.

3.    Die Differentialgleichungen des w-Körperproblems.

4.    Die Nichtexistenz bestimmter Klassen von Integralen.

5.    Periodische Lösungen; die allgemeine Theorie.

6.    Spezielle periodische Lösungen.

7.    Die Stabilität der Lösungen definiert durch den Charakter der benachbarten Lösungen.

8.    Die Stabilität der Lösungen definiert durch den Charakter der Bewegung für lange Zeiten.

9.    Die Lösung des Dreikörperprobtems durch unendliche Reihen; die älteren Untersuchungen.

10.    Die Lösung des Problems mit Hilfe der Berührungstransformationen.

11.    Die Lösung des Problems durch sukzessive Bildung der Glieder der Reihen.

12.    Die Konvergenz der Reihen der Himmelsmechanik.

13.    Eigenschaften der Koeffizienten spezieller Glieder in den Reihen der Himmelsmechanik.

Literatur.

Lehrbücher und Monographien.

P. S. de Laplace, Traité de mécanique céleste I—V. Paris 1799—1827.

A. Gautier, Essai historique sur le problème des trois corps. Paris 1817.

P. G. de Pontécoulant, Théorie analytique du système du monde I—IV. Paris 1834—56.

U. J. J. le Verrier, Recherches astronomiques. Annales de l’Observatoire de Paris, 1855—77.

C. E. JDelaunay, Théorie du mouvement de la lune I—II. Paris 1860—67.

A. Cayley, Report on the progress of the solution of certain problems in dynamics.

British Association Report., London 1862.

P. A. Hansen, Darlegung der theoretischen Berechnung der in den Mondtafeln angewandten Störungen I—II. Leipzig 1862—64.

O. Dziobek, Die mathematischen Theorien der Planetenbewegungen. Leipzig 1888. F. Tisserand, Traité de mécanique céleste I—IV. Paris 1889—96.

H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste I—III. Paris 1892—99. (Poincaré Méth. Nouv.)

H. Gyldén, Traité analytique des orbites absolues des huit planètes principales I. Stockholm 1893, II. 1909.

E. W. Brown, An introductory treatise on the lunar theory. Cambridge 1896. N. Herz, Artikel „Mechanik des Himmels“ in Yalentiners Handwörterbuch der Astronomie. Breslau 1898.

E.    T. Whittaker, Report on the progress of the solution of the Problems of Three Bodies. British Association Report. London 1899.

H. Andoyer, Théorie de la lune. Paris 1901.

F.    S. Moulton, An introduction to Celestial Mechanics. New York 1902.

C. V. L. Charlier, Die Mechanik des Himmels I—II. Leipzig 1902—07.

E. T. Whittaker, A treatise on Dynamics, including the Problem of Three Bodies.

Cambridge 1904.    ( Whittaker Dynamics.)

H. Poincaré, Leçons de Mécanique Céleste. Paris 1905—10.

G.    W. Hill, Collected Mathematical Works I—IV. Washington 1905—07.

Vorbemerkung.

Das fundamentale Problem der Himmelsmechanik besteht darin, die Bewegungen der Himmelskörper unter dem Einfluß der gegenseitigen Anziehung zu bestimmen, die sie nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz aufeinander ausüben. Dieses Problem kann in geschlossener Form nicht durch bekannte Funktionen gelöst werden, und daher sind für praktische Zwecke eine Anzahl von Methoden unter dem Namen von „Planetentheorien“ oder „Mondtheorien“ erdacht worden, welche Annäherungen für die Bewegung der verschiedenen Körper geben, die im Sonnensystem wirklich Vorkommen, und zwar in einer zur numerischen Berechnung geeigneten Form. Neben diesen Untersuchungen ist die Dynamik eines Systems von Punkten, die sich nach dem Newtonschen Gesetz anziehen, vielfach vom rein theoretischen Standpunkt aus betrachtet worden. Was sich hier ergab und was aus der allgemeinen Theorie der Bahnen in dynamischen Systemen bekannt war, wurde verwandt, um über gewisse wichtige Grundfragen der Astronomie Aufklärung zu gewinnen, z. B. über die der Stabilität der Bahn des Mondes und der Planeten.

In gegenwärtigem Artikel wird versucht, den wesentlichen Inhalt aller dieser Untersuchungen von den Anwendungen loszulösen, mit denen ursprünglich viele von ihnen verknüpft waren, und so unsere Kenntnisse über das Hauptproblem der Himmelsmechanik von allgemeinen theoretischen Gesichtspunkten aus darzustellen.

1. Reduktion der Differentialgleichungen des allgemeinen Dreikörperproblems. Unter Dreikörperproblem versteht man die Aufgabe, die Bewegung im Raume von drei Punkten gegebener Masse zu bestimmen, die sich gegenseitig nach dem Newtonschen Gesetz anziehen.

da

durch pr} wo t die Zeit be-

k dt

Seien die Massen der Punkte mx, m₂, m₃, seien ihre Koordinaten bezogen auf feste rechtwinklige Achsen resp.: (qlfqi7 q₃), (<h,qz,,q₃), (qlf qs, q₉). Ferner bezeichne man m zeichnet und k die größte in 4f(r-f~ 2) enthaltene ganze Zahl bedeutet. Dann wird das Problem analytisch durch die Differentialgleichungen ausgedrückt:

wobei

dqr_ dH

dt dpr

dH

(r = 1, 2, ..., 9)

IC⁹/-*' iCc-*⁹

~    »    (ft“    <hY    -ł-    (?5    “    Qsf + (?6 — ?y)²} ⁻

—    mi { Ov — Zlf + («8 — 3*)* + (?9 — &)² } "

-4

ist.

—    »1-1 ™2 { (<h— QÙ² + ($2 — ?₅)²+ («8 — 2e)² }

Diese Gleichungen bilden ein kanonisches System der 18. Ordnung.

Lagrange*) zeigte zuerst, daß die Ordnung des Systems der Bewegungsgleichungen reduziert werden kann, indem man die bekannten Integrale des Systems benutzt. Sechs Integrale werden durch den Umstand geliefert, daß die Bewegung der Teilchen relativ zu ihrem gemeinsamen Schwerpunkt unabhängig von der absoluten Bewegung dieses Schwerpunktes ist. Drei weitere Integrale bedeuten, daß die Komponenten der Flächengeschwindigkeit um die drei Achsen konstant sind. Nimmt man noch den Energiesatz hinzu, so hat man im ganzen zehn bekannte Integrale. Ferner geht die Zeit t in die Differentialgleichungen nur mittels ihres Differentiales dt ein, daher kann die Ordnung der Gleichungen auch noch durch Elimination von dt reduziert werden. Nach der Integration des so reduzierten Systems kann dann die Zeit durch eine einfache Quadratur gefunden werden.

Man denke sich ferner die Anordnung des Systems in irgend einem Augenblick mit Hilfe von Koordinaten ausgedrückt, von denen eine die Orientation des ganzen Systems in bezug auf eine im Raume feste Linie ausdrückt, so daß eine Vergrößerung dieser Koordinate £1

um einen Betrag u unter Festhaltung der übrigen Koordinaten eine Rotation des ganzen Systems um den Winkel a um jene feste Linie, wie bei einem starren Körper, zur Folge bat. Solch eine Wahl der Koordination läßt sich offenbar für die drei Körper leicht treffen. Dann ist eine sog. verborgene Koordinate, und das entsprechende Integral (welches in diesem Falle eines der Flächensätze ist) setzt uns in den Stand, die Ordnung der Bewegungsgleichungen um zwei Einheiten statt um eine herabzusetzen. Letzteres Faktum ist implizite in Lagranges Arbeit¹⁰) enthalten, wurde aber erst von Jacobi¹¹) deutlich ausgesprochen, der es Elimination der Knoten nannte.

Mit Hilfe der zehn bekannten Integrale, der Elimination der Zeit und der Elimination der Knoten kann die Ordnung des Systems der Bewegungsgleichungen um zwölf Einheiten reduziert werden, so daß das reduzierte System von der 6. Ordnung wird. Lagrange¹²) gelang tatsächlich die Ausführung dieser Reduktion, doch kann seine Reduktionsart jetzt als überholt gelten durch die symmetrischeren Verfahren, die die kanonische Form der Gleichungen erhalten und die nunmehr zu schildern sind.

Wir haben zunächst von den Schwerpunktsätzen Gebrauch zu machen, um das System von der 18. auf die 12. Ordnung zu reduzieren. Dies kann nach einer von Jacobi¹³), Bertrand¹⁴ 15), Radau¹) ausgebildeten Methode in folgender Weise geschehen.

Sei Ę) der Schwerpunkt von mx und m₂. Seien qx, q₂, qs' die Projektionen der Strecke mxm.₂ auf feste rechtwinklige Achsen und SÓ ⁽hi ⁽h die Projektionen der Strecke ,p mä auf dieselben Achsen. Sei ferner:

wobei:

d = K (r — 4,5,6)

ist.

m, to2 TO, -j- to₂ ’

ms (m, + ma)

TO] -f to₂ -f TO;

Die Variabein qx, q₂, . . ., qG', px, p₂', . . ., p₆' zusammen mit sechs anderen Variabein, welche nur von der Bewegung des Schwerpunkts

des Systems abhängen, können aus den Variabein qXJ q₂, . . ., q₉, pl} p₂, . . ., ptJ durch eine Berührungstransformation abgeleitet werden, und daher kann das System der Bewegungsgleichungen als ein System

12. Ordnung in der Form geschrieben werden (unter Weglassung der Akzente von den neuen Variabein):

dH

dqr

dqr

_ dH dpr _ dt dpr ’ dt

Wie Bertrand bemerkte, kommt diese Reduktion auf die Ersetzung dreier Massen durch zwei fiktive Massen g und g' hinaus.

Eine entsprechende Reduktion gibt Poincare' an.¹⁶) Seien qX} q₂\ q₃' die Koordinaten von ml bezogen auf mz, q±, qà', q₆' die Koordinaten von m₂ relativ zu mä, qn', q₈, q₉' die Koordinaten von selbst. Seien Pi> P%> P& die Impulskomponenten von ml} php^iPÎ diejenigen von m₂ und jö/, p₈, p₉ die Impulskomponenten des ganzen Systems. Der Übergang von den Variabein (qlf qi7 . . ., q₉, plf ps, . . ., p₉) zu den Variabein Çqt'f q₂, . . ., q₉', pt', p₂, . . .,%>$) wird durch eine Berührungs-transformation vermittelt, und infolgedessen behalten die Bewegungsgleichungen in den neuen Variabein die kanonische Form. Es zeigt sich, daß die Gleichungen für die Variabein #/, qs', q₂, p/, p₈'} pÿ' von dem übrigen System abgetrennt werden können, und so erhalten wir wieder ein System der Form von der 12. Ordnung.

Es ist nun weiter das System von der 12. auf die 8. Ordnung zu reduzieren mit Hilfe der Flächensätze und der Elimination der Knoten. Bour und Radau¹⁷) gehen zu diesem Zweck aus von dem oben angegebenen System 12. Ordnung von Jacobi und Bertrand. Seien g/, q₂ die vom Nullpunkt an gerechneten Radienvektoren der beiden fiktiven Massen g und [iSei q₈ der Winkel zwischen qt' und der Schnittlinie (Knotenlinie) der unveränderlichen Ebene mit einer Ebene durch zwei aufeinanderfolgende Lagen von qtr. Die Variable g₄' hat die entsprechende Bedeutung für u'. Man setze ferner:

r    r d/Çjet

ft “'•w

Schließlich mögen p₃ und pl die Flächengeschwindigkeiten der beiden Massen \i und \k in ihren augenblicklichen Bahnebenen bedeuten. Dann lassen sich analog, wie in den obigen Fällen, vier weitere Variable hinzufügen, so daß eine Berührungstransformation zwischen neuen und alten Variablen besteht und die Gleichungen für diese vier weiteren Variablen — eben infolge der Gültigkeit der Flächensätze — von dem übrigen System abgetrennt werden können. Die Bewegungsgleichungen bilden dann (unter Weglassung des Indices der neuen Variablen) das folgende kanonische System 8. Ordnung:

rs,y cvi

(r = 1,2,3,4),

dąr_dH dpr _

'dt~Wr’ ~dt~~

wobei:

2i

— m₃ {&²

² qt qt

ml -f- m.

(cos q₃

• cos q₄

²Psl»4

sin q₃ • sin q^j

¹

J. v. Hepperger, Über den Zusammenhang zwischen der Lichtänderung und den Elementen des Systems ß Lyrae. Wien. Ber. 1909.

²

B. Meyermann, Resultate aus den Beobachtungen von 8 Cephei. Astr. Nachr. 167 (1905).

³

G. Myers, The System of ß Lyrae, Astroph. Joum. 7 (1898).

⁴

A. Roberts, On the Relation existing between the Light Changes and the Orbital Elements of a close Binary System. Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 63 (1903); On a Method of Determining the Absolute Dimensions of an Algol Variable Star. Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 66 (1906).

⁵

   F. W. Bessel, Abhdgl. I.

⁶

   A. Marth, Researches on Satellites. Astr. Nachr. 44 (1856). — J. Bau-schinger, Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig, 1906.

⁷

   F. W. Bessel, Abhdlg. I, Astr. Nachr. 9 (1831). — W. Meyer, Le Système de Saturne (Mem. de la Soc. de Phys, et d’Histoire nat. de Genève) 1884. — H. Struve, Astr. Nachr. 111 (1885), 123, 125 (1890).

⁸

   Theoretische Astronomie (1885), (1890). Braunschweig, I. Aufl. 1871,

⁹

Recueil des pièces, qui ont remporté, les prix de l’Acad. de Paris 9 (1772).

¹⁰

   loc. cit.

¹¹

   J. f. Math. 26 (1843), p. 115.

¹²

   loc. cit. Serret gab in dem Bull, des Sc. Math. 6 (1873), p. 46 eine Darstellung der Lagrangeschen Arbeit, wo auch die Reduktion von Hesse, J. f. Math. 74 (1872), p. 97 besprochen wird.

¹³

   J. f. Math. 26 (1843), p. 115.

¹⁴

   J. de math. 17 (1852), p. 393.

¹⁵

   Paris C. R. 66, p. 1262; 67, p. 171, 316, 841; Annales de l’École Normale (1808), p. 311.

¹⁶

   Paris C. R. 123 (1886), p. 1031; Acta math. 21 (1897), p. 83.

¹⁷

   Bour, Journ. de l’École Polytechnique Paris 21 (1856), p. 35; Radau, Annales de l’École Normale 5 (1868), p. 311. Ein Versehen von Bour wurde von Mathieu bemerkt, J. de math. (3) 2 (1876). Die Variablen von Bour sind von denjenigen von Radau verschieden. Bour mißt die Winkel q₃' und in der Ebene der Radienvektoren von der Schnittgeraden dieser Ebene mit der veränderlichen Ebene an.

Verschiedene Mathematiker untersuchten die Reduktion des Problems auf ein Problem 8. Ordnung in mehr oder weniger ähnlicher Weise wie Bour und Radau. Brioschi, Paris C. R. 66 (1868), p. 710, leitet Bours Gleichungen ab und gibt eine interessante Form der Flächensätze. Siacci, Atti di Torino 6 (1871), p. 440; Paris C. R. 78 (1874), p. 110, zeigte, wie man eine Anzahl von Gleichungssystemen konstruieren kann, die den Bourschen analog sind.

Eine Arbeit von Vernier, Paris C. R. 119 (1894), p. 451, ist im wesentlichen nur eine Wiedergabe der Arbeit von Siacci von 1874.

K +ws)

— mam

»{^²+£^(coe&

• COS q±

²P₈2>4

-~⁴- sin q₃ ■ sin q^j

+»»,)*J

-k

ist und noch x die Gesamtflächengeschwindigkeit des Systems bedeutet.

Entsprechende Reduktionen auf die 8. Ordnung sind von Scheibner¹), Bruns² 3) und Whittakeru) gegeben worden. In den beiden ersteren Fällen figurieren die drei wechselseitigen Abstände der drei Körper unter den Endvariablen, während im letzteren Fall qXJ q₃, q₃, qi die rechtwinkligen Koordinaten von mx und m₃ sind, bezogen auf bewegliche Achsen durch m₃ in der Ebene der drei Körper.

Die Reduktion der Bewegungsgleichungen des Dreikörperproblems von der 12. Ordnung auf die 8. Ordnung mit Hilfe der Flächensätze und der Elimination des Knotens kann auch durch Lie’s Methode zur

Auflösung partieller Differentialgleichungen vollzogen werden.¹³) Diè Lösung des kanonischen Systems 12. Ordnung

dqv __ dH dpv _ dt dpv’ dt

hängt mit der zugehörigen Hamilton-Jacobischen partiellen Differentialgleichung

H (q1} q₂, . • -, qe, 1\, p₂, .. .,pG) = h

zusammen, wo

P,=

ist.

Bezeichnen wir mit

F₁ = konst., F₂ = konst., F₃ = konst.

die drei Flächensätze, so daß die Funktionen F1} F₂, Fa die Relation {H} F) = 0 befriedigen, so sind auch die Gleichungen

(F₁,FS) = FS, (F„F,) — F„ (Fb,F₁) = Fs

erfüllt (wo das Symbol (^, v) den Poissonschen Klammerausdruck bedeutet), und es bilden daher die Funktionen F1} F₂, Fa eine Funktionsgruppe. Daraus können wir nach der Lieschen Methode das zugehörige Involutionssystem ableiten, das aus Funktionen besteht, die miteinander und mit H in Involution sind. Im vorliegenden Falle besteht das System aus den Funktionen Ft und F^ -f- _F₂² -f- F^. Mit Hilfe dieser zwei Funktionen kann die partielle Differentialgleichung

H; • • -} ?6i Pl) • ' P&) ⁼⁼ h

auf eine partielle Differentialgleichung, mit 6 — 2 = 4 unabhängigen Variablen zurückgeführt werden; das ist aber die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung eines Hamiltonschen Systems 8. Ordnung, womit die fragliche Reduktion erfolgt ist.

Mit Hilfe des Energiesatzes und der Elimination der Zeit kann man die erhaltenen Systeme auf die 6. Ordnung reduzieren bei Beibehaltung der kanonischen Form. In der Tat, bezeichnen wir das Energieintegral des Systems 8. Ordnung

{v = 1,2,3,4)

dqv dH    dpv dH

dt    dpv’    dt    dqv

mit

H{qx, • • qPd • • •) P±) h 0 und lösen diese Gleichung in bezug auf pt auf K {jPnPttPl,    &) + Pi =

13) Math. Axm. 8 (1875), p. 215.

so können wir den Zusammenhang zwischen den Veränderlichen ïhlhPi) 9i) • • •> ⁽h durch die Gleichungen 6. Ordnung:

dar stellen.

a. a.

a.i a.

t? I5³

asl <a>

(* = 2,3,4)

2. Die Differentialgleichungen in Spezialfällen des Dreikörperproblems. In gewissen Spezialfällen des Dreikörperproblems vereinfachen sich die Differentialgleichungen. Der wichtigste Fall dieser Art entspringt dem Umstand, daß die drei Körper immer in einer Ebene bleiben, wenn sie selbst und zugleich ihre Bewegungsrichtungen in einem bestimmten Moment in einer Ebene lagen, es ist der Fall des „ebenen“ Dreikörperproblems.

Das unreduzierte kanonische Uleichungssystem wird hier von der 12. Ordnung. Es existieren vier Integrale für die Bewegung des Schwerpunkts, ein Flächensatz und das Integral der lebendigen Kraft. Die Elimination der Knoten und der Zeit kann, wie früher, ausgeführt werden. Auf diese Weise läßt sich das Problem schließlich auf ein kanonisches System der 4. Ordnung reduzieren.

Viele der im vorigen Paragraphen erwähnten Arbeiten enthalten auch den Übergang vom allgemeinen auf das ebene Dreikörperproblem. Das Gleichungssystem von Bour und Badan wird:

dH

(r-1,2,3),

dąr dH    dpr

dir

dt    dp,. ’    dt

w0 9d 92) Pd lh die frühere Bedeutung haben, während q₃ jetzt der Winkel zwischen qt und q₂ ist und p.₃ die Differenz der Flächengeschwindigkeiten von [i und p ist.

Scheibner⁴) reduziert das System auf dieselbe Form, wo q1} q₂, q3 die wechselseitigen Distanzen der drei Körper bedeuten. Whittaker⁵) erhält diese Form, indem er qx den Abstand mx m₃, q₂ und qä die Projektionen von m₂ m₃ auf mx m₃ und auf eine dazu Senkrechte bedeuten läßt.

Die fernere Reduktion des Systems auf die 4. Ordnung kann wie in Nr. 1 erfolgen.

Ein andrer Spezialfall des Dreikörperproblems, der in neueren Untersuchungen eine besondere Rolle spielt, ist das restringierte Dreikörperproblem. Dasselbe lautet folgendermaßen: Zwei Körper S und J bewegen sich unter ihrer gegenseitigen Anziehung in kreisförmigen ist und m₁, m₂, n resp. die Massen von S und J und die mittlere Bewegung von S und J in ihrer Bahn, SP und JP ihre Abstände von P bedeuten. Das Jacobische Integral lautet:

H — konst.

Tisserand¹⁸) gibt kanonische Variable an, die von den Elementen der oskulierenden Ellipse ab hängen, die der Planetoid um einen der beiden anderen Körper beschreibt. Poincaré¹⁹) bringt ähnlich die Bewegungsgleichungen auf die Form:

('“1,2),

Bahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt 0. Ein dritter Körper P von verschwindender Masse (oft der Planetoid genannt), der also die Bewegung von S und J nicht stört, bewegt sich unter der Anziehung dieser beiden Körper. Seine Bewegung ist zu bestimmen.

Dieses Problem wurde zuerst von Jacobi¹⁶) behandelt, der zeigte, daß es von einem Differentialgleichungssystem der 4. Ordnung abhängt, von welchem ein Integral — jetzt allgemein das Jacobische Integral genannt — sofort hingeschrieben werden kann. Seien nämlich x und y die Koordinaten des Planetoiden in einem rotierenden rechtwinkligen Koordinatensystem, dessen Nullpunkt mit dem Schwerpunkt 0 und dessen rr-Achse stets mit der Linie JS zusammenfällt, dann lautet das System 4. Ordnung:¹⁷)

dx _ dH    dy    dH

dt    du⁷ dt    dv ⁷ dt

du

dH

dv

dH

dx ⁷ dt

dy ⁷

wobei:

f-v²) + n (uy — vx) —

mä

JP

dqr dH    dpr dH

Ht — dfr⁷    dt

wobei die Ellipse zugrunde gelegt wird, die der Planetoid, von seiner augenblicklichen Lage und Geschwindigkeit ausgehend, unter der Anziehung eines Körpers der Masse 1 im Schwerpunkt 0 beschreiben würde; qx bedeutet die mittlere Anomalie des Planeten in dieser Ellipse, q₂ die Perihellänge, px ist gleich ]/J, p₂ gleich ]/a( 1 — e²), wenn a und e die halbe große Achse und die Exzentrizität der Ellipse bedeuten. Setzt man die Massen von S und J gleich 1 — y resp. y, so kann man H bei kleinem y in der Form entwickeln:

R= H₀ + iiHx + y'B, + • * •

16)    Paris C. R. 3 (1836), p. 59.

17)    Scheibner, J. f. Math. 65 (1866), p. 291.

18)    Bull. Astr. 4 (1887), S. 183.

19)    Acta Math. 13, p. 1.

wobei:

2V “ nP *

und H1}    . . . periodisch in qx und q₂ von der Periode 2jt sind.

Durch Elimination der Zeit unter Benutzung des Jacobischen Integrales kann das restringierte Dreikörperproblem auf ein kanonisches System der 2. Ordnung reduziert werden.

3.    Die Differentialgleichungen des »i-Körperproblems. Ist die Zahl der anziehenden Körper größer als drei, so wird die Behandlung verwickelter, ohne sich im Wesen zu ändern. Lagranges Reduktionsart für das Dreikörperproblem wurde von Seydler²⁰) auf vier Körper übertragen. Das Gleichungssystem wird von der 12. Ordnung.

Das allgemeine w-Körperproblem kann mit Hilfe der zehn bekannten Integrale, der Elimination der Knoten und der Zeit von der 6wten auf die 6w — 12. Ordnung reduziert werden. Der Nachweis hierfür stammt von Radau²¹), welcher schon früher²²) eine Reihe von Möglichkeiten angegeben hatte, wie man die Schwerpunktssätze bei der Reduktion benutzen kann. Die tatsächliche Reduktion des w-Körper-problems auf ein kanonisches System der Qn—10. Ordnung, welches Bours Gleichungssystem 8. Ordnung für das Dreikörperproblem völlig analog ist, wurde von Mathieu ausgeführt.⁶)

4.    Die Nichtexistenz bestimmter Klassen von Integralen. Es wurden viele Versuche unternommen, in dem Dreikörperproblem neue Integrale aufzustellen, die den zehn bekannten analog sind, also nur bekannte Funktionen in geschlossener Form enthalten. Das Mißlingen dieser Versuche legte den Gedanken nahe, daß es keine weiteren Integrale von dieser einfachen Art gibt; diese Vermutung wurde durch ein wichtiges Theorem von Bruns bestätigt⁷), das aussagt, daß in dem

20)    Abhandlungen der k. böhm. Ges. d. Wiss. (7) 1 (1885), Nr. 5.

21)    J. de inath. (2) 14 (1869), p. 167; die Möglichkeit dieser Reduktion wurde auch von Allégret untersucht, J. de math. (3) 1 (1875), p. 277. (Über die Lücken in Allegreta Arbeit vgl. Mathieu, J. de math. (3) 3, p. 216; 4 (1877), p. 69, und (anknüpfend an Lagranges Arbeiten) von Betti, Annali di mat. (2) 8 (1877), p. 301.

22) Annales de l’Éc. Norm. 5 (1868), p. 311; Allégret gab, Paris C. R. 79 (1874), p. 656, ein von dem Radauschen Theorem nicht wesentlich verschiedenes Resultat. Ygl. auch Andrade, Paris C. R. 108 (1889), p. 226, 280, und ein allgemeines Theorem von Sir B. S. Ball, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 37 (1877),

p. 265.

vorgelegten Problem außer den bekannten Integralen kein anderes algebraisches Integral existiert.

Dem Beweis von Bruns werden die Differentialgleichungen des w-Körperproblems in der nichtreduzierten Form als ein Gleichungssystem 6wter Ordnung zugrunde gelegt, das man also in der Form

d(iï ⁼ y*> in “    • • *> X*n, S)

schreiben kann, wobei s die Summe aller wechselseitigen Entfernungen der Körper bedeutet; der Grund der Einführung von s ist der, daß die Funktionen fv rationale Ausdrücke von (xx,x₂, . . ., x3n, s) werden, obwohl sie irrationale Ausdrücke von (xlf x₂,.. ., x3n) allein sind.

Angenommen, dieses Gleichungssystem besäße ein Integral von

der Form

cp(x1} x₂₎ . . ., x3n, Vu y%} • • •> y Sri)    konst.,

wobei cp eine algebraische Funktion ihrer Argumente ist und also die Wurzel einer algebraischen Gleichung darstellt, deren Koeffizienten rationale Funktionen von x, y sind. Es wird gezeigt, daß dann entweder alle Koeffizienten dieser Gleichung in cp selbst Integrale sind oder aber cp einer Gleichung von geringerem Grade genügt, deren Koeffizienten rationale Funktionen in x, y, s sind. Auf diese Weise wird bewiesen, daß alle Integrale, die algebraische Funktionen von x, y sind, algebraische Kombinationen von anderen Integralen sind, die selbst rationale Ausdrücke in x, y, s sind. Wir betrachten also nur diese letztere Klasse von Integralen.

Es wird sodann gezeigt, daß die Integrale von der zuletzt betrachteten Gattung aus einer anderen Gattung von Integralen aufgebaut werden können, die Bruns homogene Integrale nennt. Wenn ein homogenes Integral in Faktoren zerlegt ist, die Polynome in bezug auf die Größen y sind, so ist jeder Faktor entweder selbst schon ein Integral oder wird durch Hinzufügung bestimmter Faktoren ein Integral. Jedes Integral des w-Körperproblems, das algebraisch in den Variablen x, y und unabhängig von t ist, kann also schließlich auf algebraische Weise aus Integralen einer bestimmten Gattung aufgebaut werden, die Polynome von y, rationale Funktionen von x und s und außerdem homogen sind. Es wird ferner gezeigt, daß, wenn cp ein solches Integral bedeutet und man mit cp₀ diejenigen Glieder bezeichnet, die in bezug auf die Größen y von möglichst hoher

math. 11, p. 25. Ein Versehen in Bruns’ Beweis wurde von Poincaré, Paris C. R. 123 (1896), p. 1224 rektifiziert.

Ordnung sind, die Funktion cp₀ die Größen x nur ganz und rational und nur in der .Verbindung (y₁xv— yv%f) enthält; cp₀ ist von s unabhängig. Wir bezeichnen mit A, B, C die drei Komponenten der Flächengeschwindigkeit des Systems, mit L', M', N' die Komponenten der Geschwindigkeit und mit L, M, N die Koordinaten des Schwerpunktes und setzen

A'= MN'— NM’, B’ = LN'— L'N, C'= LM'—L'M.

Wir nehmen an, daß diese Größen durch x, y ausgedrückt sind, so daß jede von ihnen gleich konst. gesetzt ein bekanntes Integral des Problems ist. Es wird bewiesen, daß cp₀ die Variablen x nur in der Verbindung A, B, C, A', B', C’ enthält und ein Polynom in A, B, C, A', B’, C und in den y ist. Sodann wird bewiesen, daß <p₀ ein Polynom in A, B, C, A', B', C, L', Mr, N', T ist (wo T die kinetische Energie bedeutet). Setzen wir

To - f(A, B, O; A', B', 0'; L', M', W; T).

Bezeichnen wir mit V die potentielle Energie des Systems, so daß T -\- V ein Integral ist. Der Ausdruck

J= f(A, B, C, A', B’, C, Ii, W, N’, T+ V) ist ein Integral, da er aus Integralen allein aufgebaut ist. Die Differenz

cp' — cp — J

ist daher ein Integral von derselben Gattung wie cp, nur ist ihr Grad in den Veränderlichen y mindestens um 1 geringer als der Grad von cp in diesen Variablen. Folglich kann jedes Integral cp in einer Form dargestellt werden, die außer den bekannten Integralen nur noch von einem Integral abhängt, deren Grad in y kleiner ist als der Grad von cp in diesen Veränderlichen; es kann also — durch Fortsetzung dieses Verfahrens — cp dargestellt werden in einer Form, die außer den bekannten Integralen nur von einem Integral von der nullten Ordnung in y abhängt; ein solches Integral ist aber eine Konstante. Bruns gelangt also zu dem Theorem: Alle von der Zeit freien Integrale des n-Körperproblems, die die Koordinaten und Geschwindigkeiten algebraisch enthalten, lassen sich aus dem, Schwerpunktsatze, Flächensatze und Energiesatze algebraisch aufbauen. Eine leichte Erweiterung dieser Überlegung zeigt auch, daß mit Ausnahme der bekannten Integrale keine weiteren Integrale existieren, die die Zeit und die Variablen x, y algebraisch enthalten.

Bruns untersuchte auch noch die Frage, ob Integrale des reduzierten Systems existieren, die die Form von Integralen von totalen alge-

braischen Differentialen naben, sieb also aus verallgemeinerten Abel-seben Integralen zusammensetzen, wie sie von Picard untersucht worden sind. Dies ist gleichfalls unmöglich. Das Resultat kann auf das w-Körperproblem ausgedehnt werden, da man aus einem solchen Integral des w-Körperproblems ein entsprechendes Integral des Drei- * körperproblems dadurch erhalten kann, daß man alle Massen mit Ausnahme dreier gleich Null setzt.

Painlevé²⁵) hat das Brunssche Theorem verallgemeinert, indem er bewies, daß jedes Integral des w-Körperproblems, das die Geschwindigkeiten algebraisch, die Koordinaten aber beliebig (algebraisch oder nicht) enthält, eine algebraische Kombination der bekannten Integrale ist.

Ein dem Brunsschen Theorem ähnliches, in mancher Hinsicht noch allgemeineres Theorem wurde später von Poincaré publiziert.²⁶) Wir schreiben die Bewegungsgleichungen des restringierten Dreikörperproblems in der Form:

dH

dqv __ dHv dpv dt dpv ’ dt

wobei H nach den Potenzen der Konstanten g entwickelbar ist:

H₀ ist eine Funktion von px, p₂ allein, und wir können durch eine einfache Transformation erreichen, daß die Funktionaldeterminante von H₀ in bezug auf px, p₂ nicht gleich Null ist. Hx, H₂, . . . sind periodische Funktionen in bezug auf qx, q₂ von der Periode 2jt.

Sei nun cp eine Funktion von (qlf q₂, px, p₂, g), die in bezug auf qx, q₂ periodisch ist mit der Periode 2jt; wir nehmen ferner an, daß diese Funktion eine eindeutige analytische Funktion ist für jedes reelle Wertsystem qx, q₂, für hinreichend kleine Werte von g und für solche reelle Wertepaare px, p₂, die ein bestimmtes beliebig kleines Gebiet D ausfüllen. Unter diesen Annahmen kann man die Funktion cp in einer Reihe

<P = <Po +    + l*²<P-2 H----

entwickeln. Poincarés Theorem sagt nun aus, daß das restringierte Dreikörperproblem außer dem Jacobischen Integral kein anderes Integral von der Form

cp — konst.

besitzt, wenn cp eine Funktion dieser Art bedeutet.

25)    Paris C. R. 124 (1897), p. 173; Bull. Astr. 15 (1898), p. 81.

26)    Acta Math. 13 (1890), p. 259; Méth. Nouv. I, chap. 5 (1892).

Angenommen es gebe ein Integral dieser Art; die Bedingung, daß cp ein Integral ist, kann mit Hilfe der Poissonschen Klammern, wie folgt, ausgedrückt werden:

(Ą, <Po) = 0, {Ex, <p₀) + (E₀, <px) = 0, ...

Man kann leicht zeigen, daß man, wenn cp und H wesentlich verschiedene Integrale sind, und <p₀ eine Funktion vpn U₀ allein ist, aus cp ein anderes Integral derselben Art ableiten kann, das so beschaffen ist, daß es keine Funktion von H₀ allein wird, wenn man [L = 0 setzt. Wir können daher annehmen, daß cp₀ keine Funktion von E₀ allein ist. Die Annahme, daß cp₀ die Variablen qxt q₂ wirklich enthält, ist aber unverträglich mit der Gleichung (E₀, cp₀) — 0; wir können daher cp₀ als eine Funktion von px, p₂ allein annehmen.

Da Ex und cpx periodische Funktionen von qx, q₂ sind, gestatten sie eine Entwicklung

ßi ('«i ?i + r/h 9i) ,

<Pl =

m₁

m₁m₂

h,=y,B.

mx m₂

wobei mxm₂ ganze Zahlen bedeuten und die Koeffizienten B und G nur von px, p₂ abhängen. Die Gleichung

(Sx, cp₀) + (E₀, cpx) = 0

ergibt

Binx w/₂

mxrtu

( dH, . dH,\

Im allgemeinen enthält jedes noch so kleine Gebiet D unendlich viele Brüche mx:m₂, für die nicht jeder der zugehörigen Koeffizienten B verschwindet, wenn man pX} p₂ solche Werte erteilt, daß

dH,

mxm2

mx

dpi

ist. Im allgemeinen Falle (zu dem das restringierte Problem gehört) ist daher die Gleichung

mx

CV)

eine Folge der Gleichung

dHo , dH, n woraus wir schließen, daß die Jacobische Determinante

d(H,, cp,)

d(Pi, Pi)

verschwindet. Dieses Resultat hat zur Folge, daß cp₀ eine Funktion von E₀ sein müßte, was, wie wir gesehen haben, nicht der Fall ist; die zugrunde gelegte Annahme über die Existenz von cp muß fallen gelassen werden, womit Poincarés Theorem für das restringierte Dreikörperproblem bewiesen ist. Man kann zeigen, daß das Theorem auch

für das allgemeine Dreikörperproblem richtig bleibt. Painlevéi7) verallgemeinerte dieses Resultat in derselben Weise wie das Brunssche, indem er zeigte, daß außer den bekannten Integralen kein anderes Integral existiert, das eindeutig und analytisch in den Geschwindigkeiten ist, wobei das Auftreten der Koordinaten durch keine Bedingung eingeschränkt ist.

5. Periodische Lösungen; die allgemeine Theorie. Das Dreikörperproblem besitzt Partikularlösungen, bei denen die wechselseitigen Entfernungen periodische Funktionen der Zeit sind. Solche Lösungen bezeichnet man als periodische Lösungen oder als periodische Bahnkurven des vorgelegten Problems. Man wendet allgemein diese Bezeichnung für Lösungen eines dynamischen Problems an, bei denen die Bahnkurven geschlossen sind. Stachel zeigte²⁸), daß in sehr ausgedehnten Fällen der lösbaren dynamischen Probleme in jedem Punkte diejenigen Anfangsrichtungen, die zu periodischen Lösungen führen, in jedem Winkel überall dicht liegen.

Die Theorie der periodischen Lösungen entstand aus der Theorie gewisser spezieller periodischer Lösungen (vgl. die nächste Nummer); die allgemeine Existenztheorie — die später entwickelt wurde — rührt von Poincaré her.²⁹)

Betrachten wir das restringierte Dreikörperproblem, wenn der kleine Parameter g, der von dem Verhältnis der Massen von J und S abhängt, gleich Null ist, so existieren offenbar periodische Lösungen, denn in diesem Fall wird der Planetoid von J nicht gestört und beschreibt daher um S eine Keplersche Ellipse; die Lösung ist periodisch, wenn die beiden Umlaufszeiten, die von P und die von J um S, kommensurabel sind. Betrachten wir nun ein System von Differentialgleichungen, das noch einen Parameter p enthält und für p — 0 periodische Lösungen besitzt; es kann gezeigt werden, daß, wenn eine bestimmte Jacobische Determinante nicht verschwindet, das vorgelegte System auch für von Null verschiedenes p periodische Lösungen besitzt, die von den vorgelegten nur wenig verschieden sind.⁸) Unglücklicherweise ist in den Problemen der Himmelsmechanik jene Determinante das Produkt zweier anderen Determinanten, von denen die eine — die die Hessesche Determinante der von p freien Glieder

27)    Paris C. R. 130 (1900), p. 1699.

28)    Math. Ann. 54 (1901), p. 86.

29)    Bull. Astr. 1 (1884), p. 65; Acta Math. 13 (1890), p. 1; Méth. Nouv. I

(1892).

der Störungsfunktion ist — verschwindet. In dem restringierten Dreikörperproblem kann man diese Schwierigkeit durch einen einfachen Kunstgriff leicht beseitigen⁹ 10), bei dem allgemeinen Dreikörperproblem jedoch ist dies nicht so leicht zu erreichen.⁸²)

Zu jeder periodischen Lösung gehört ein bestimmtes System von Veränderlichen, von der Beschaffenheit, daß die Gleichung dieser Lösung in bezug auf diese Variable eine besonders einfache Form annimmt.¹¹ 12) Betrachten wir z. B. eine periodische Lösung des Systems

dH

(*=1,2),

dgv dH    dpv _

dt    dpv’    dt    dąv

wobei H eine Funktion von qx, q₂, px, ist, die durch die folgenden Gleichungen definiert ist:

ïi = <Pi (ß) ; fc = <P-2 (f), Pi = 4' i (ß), Pi = ^2 iß) ■

Durch Elimination von t aus diesen Gleichungen erhalten wir ein Gleichungssystem, das wir in die Form

2l = 0l(>2)> & = 0 l(P»), Pl = ⁰s(lh) setzen; wenn wir statt der Variablen {qlfp₁, q%, p.₂) durch die Berührungstransformation

Qi ⁼ q\ (ib),

Q₂=qz — d₂(p₂) + Öi — ö₁(p₁))Ö₃'(ft) — (p, — 0₃(p,)) ö/(a),

Pi=Pi — ös(ih),

P-2 ⁼ Pi

die neuen Variablen Q1} Q₂, P1? P₂ einführen, so lauten die Bewegungsgleichungen :

dH

dQv = dH dPv = dt dl\ ’ dt    dgv ’

während die periodische Lösung jetzt durch die Gleichungen

Qi = 0, Q% = 0, PL = 0, P₂ = ^ (t)

definiert ist.

Ein von Whittakeru) herrührendes Kriterium zur Auffindung von periodischen Lösungen in dem restringierten Dreikörperproblem lautet wie folgt:

35

VI 2, 12. E. T. Whittaker. Prinzipien der Störungstheorie. Wir bilden in den Bezeichnungen von No. 2 die Funktion

528

G(x, y) — {/& +    + jp + y ^² (æ² + 2/²)} ?

wo h die Energiekonstante im Jacobischen Integral bezeichnet; wenn in der Bewegungsebene eine geschlossene Kurve existiert, die ganz innerhalb einer anderen geschlossenen Kurve verläuft, von der Beschaffenheit, daß der Ausdruck

sin cp -f- Y2 n

'O : Ci

■ dG    .

dy

- + äV ⁰⁰⁸ * +

(wo q den Krümmungsradius bezeichnet) in jedem Punkte der inneren Kurve negativ, in jedem Punkte der äußeren Kurve positiv ist, so existiert in dem von beiden Kurven umschlossenen ringförmigen Gebiet eine periodische Bahnkurve des Planetoiden, die die beliebig vorgeschriebene Größe h als Energiekonstante besitzt.

Poincaré gab nach dem folgenden Prinzip eine Einteilung der verschiedenen periodischen Lösungen des restringierten Dreikörperproblems: die Lösung wird als eine Lösung der ersten Klasse (premier genre) bezeichnet, wenn die relative Bahnkurve des Planetoiden sich schließt, bevor der Planetoid einen einzigen Umlauf um S beendet hat; wenn der Planetoid mehr als einen Umlauf macht, bevor seine Bahnkurve sich schließt, so wird die Lösung als Lösung von der zweiten Klasse (deuxième genre) bezeichnet. Eine Methode, periodische Lösungen von der zweiten Klasse zu erhalten, ist die folgende¹³): man betrachte die Bewegung des Planetoiden in der Nähe einer stabilen periodischen Bahn der ersten Klasse; wenn die Periode kleiner Schwankungen um diese Bahn nahezu kommensurabel ist mit der Periode T der periodischen Bahn selbst, so existiert im allgemeinen unter den Nachbarbewegungen eine periodische Bahn der zweiten Klasse. Poincaré teilt ferner die periodischen Bahnen der ersten Klasse, die in der Ebene von S und J verlaufen, in zwei Sorten, je nachdem ihre Exzentrizität gleich Null ist oder nicht, d. h. je nachdem die Bahnen sich einer Kreisbahn nähern oder nicht, wenn die Masse von J unbegrenzt abnimmt.35a)

Periodische Lösungen jeder Art können leicht bestimmt werden durch geeignete Spezialisierung der unten zu besprechenden Entwick-

lungen, die die allgemeinen Lösungen des Dreikörperproblems darstellen¹⁴), da diese im allgemeinen divergenten Entwicklungen gerade im Fall periodischer Lösungen konvergent werden.

6. Spezielle periodische Lösungen. Die einfachsten periodischen Lösungen des Dreikörperproblems wurden von Lagrange¹⁵) gefunden; er zeigte, daß man die Bewegungsgleichungen durch eine Klasse von Lösungen befriedigen kann, wobei die drei Körper in den Eckpunkten eines bewegten gleichseitigen Dreiecks liegen; bei einer anderen Klasse von Lösungen liegen die drei Körper stets auf einer geraden Linie; wir bezeichnen diese Bewegungen als die Lagrangesche Bewegung der drei äquidistanten bzw. gradlinig angeordneten Massenpunkte. Betrachten wir jetzt speziell das restringierte Dreikörperproblem; hier erhält man das Resultat, daß der kleine Planet bei geeigneter Anfangsgeschwindigkeit ständig in einer unveränderten Lage in bezug auf S und J bleibt, wenn er an einer der beiden Stellen steht, wo er mit S und J ein gleichseitiges Dreieck bildet, oder wenn er sich an einer von drei bestimmten Stellen der geraden Linie SJ befindet. Diese fünf Stellen werden Librationszentra genannt. Keine dieser Gleichgewichtslagen ist vollständig stabil, es sei denn, daß die Massen von S und J die Ungleichung¹⁶)

(m₁ -f- m₂)² >27 mx m,

erfüllen; in diesem Falle ist die Konfiguration des gleichseitigen Dreiecks stabil; von den zwei normalen Schwingungen um die geradlinige Konfiguration ist die eine stabil, die andere instabil.

Man erhält eine neue Klasse von periodischen Lösungen, wenn man entsprechend der Methode der kleinen Schwingungen die Bewegungen des Planetoiden in der Nähe der Librationszentra betrachtet. Die schwingenden Bewegungen dieser Art in der Nähe der Librationszentra wurden von verschiedenen Autoren untersucht, unter anderen

35*

von Gylden3y), von Burrau*⁰) (der gefunden hat, daß die Reihe der Bahnen durch eine sog. Ejeldionsbahn abgeschlossen wird, in der der Planetoid von einem Zusammenstoß mit S oder J ausgeht), von Thiele*¹), Perchot und Mascart*“), (der die Poincarésche Theorie auf die Lösungen anwandte), von Darwin*³), Charlier**) (der auch Bahnen in der Umgebung der Librationszentra des gleichseitigen Dreiecks betrachtet) und von Plummer.**)

Die Bewegungen der drei äquidistanten Massenpunkte haben dadurch praktisches Interesse gewonnen, daß seit 1906 mehrere Asteroiden (588 Achilles, 617 Patroclus, 624 Hector, 659 Nestor) entdeckt worden sind, deren Bewegung in Schwingungen in der Nähe dieser Konfiguration besteht45 a).

von größter Lunation) eine an den Stellen, wo der Winkel

Für die neuere Entwicklung der Theorie der periodischen Bahnen bilden den Ausgangspunkt die Arbeiten von Hill.*⁶) Hill betrachtet das restringierte Dreikörperproblem (mit einer für uns unwesentlichen Vernachlässigung) und sucht periodische Lösungen, bei denen der Planetoid in einer periodischen Bahn S umkreist. Seine Methode besteht darin, daß er in die Differentialgleichung eine Entwicklung von der gesuchten Form mit unbestimmten Koeffizienten einsetzt; er bestimmt diese Koeffizienten als Funktionen eines Parameters m, der von dem Verhältnis der Periode der Lösung und der Umlaufszeit der Linie SJ abhängt. Bei Änderung von m erhält man verschiedene periodische Lösungen; für kleines m ergibt sich die sehr nahe mit einer Ellipse übereinstimmende „Variationskurve“, für wachsendes m erhält Hill als letzte Lösung (die Bahn Kurve mit Spitzen in den Quadraturen,

39) öfversigts of K. Sv. Vet.-Ak. Förb. 4 (1884), p. 3; Bull. Astr. 1 (1884),

p. 361.

40)    Astr. Nachr. 136 (1884), p. 161.

41)    Astr. Nachr. 138 (1895), p. 1.

42)    Bull. Astr. 12 (1895), p. 329.

43)    Acta Math. 21 (1897), p. 99.

44)    Meddelanden fran Lunds Obs. No. 18 (1901).

45)    Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 62 (1901), p. 6; 63 (1903), p. 436; 64 (1904),

p. 98.

45a) Vgl. Linders, Stockholm Arkiv för Math. 4 (1908), Nr. 20.

46) Hill benutzte zuerst periodische Lösungen in einer Arbeit, die in Cambridge. Mass. U. S. A. bei J. Wilson & Sohn 1877 veröffentlicht und in den Acta Math. 8 (1886), p. 1 abgedruckt wurde. In ausführlicher Form ist der Teil über die periodischen Lösungen in Am. Journ. Math. 1 (1878), p. 5, 129, 245 erschienen. Die Konvergenz der Hillschen Reihen im Falle der Mondbewegung wurde von Liapounoff, Trans. Imp. Soc. Nat. Mose. 13 (1896) und Happel, Inaug.-Diss. Gröttingen 1900 bewiesen.

von SJP ein rechter Winkel ist. Hill hielt diese Bahn für den Ab

schluß seiner Reihe; Poincaré⁴⁷) aber wies darauf hin, daß die Fortsetzung durch eine Reihe von Kurven mit Schlingen gegeben wird, und Kelvin^) zeichnete mittels graphischer Methoden eine solche Lösung.

Darwin⁴⁹) berechnete numerisch eine große Anzahl von periodischen Lösungen in dem restringierten Dreikörperproblem und teilte sie in sechs Klassen; in einer Klasse (Planet Ä) beschreibt der Planet eine geschlossene Kurve um S, wie bei den Hillschen Bahnen; in zwei anderen Klassen (oszillierende Satelliten a und b) oszilliert der Planetoid um eine der geradlinigen Librationszentra (der Satellit b beschreibt Burraus Bahnen); in den anderen drei Klassen (Satellit A, B, C) beschreibt der Satellit geschlossene Bahnen um J.

Darwin fand, daß in der Klasse des Satelliten A die Bahnen wesentlich von der Wahl der Energiekonstante im Jacobischen Integral abhängen. Für bestimmte Werte der Konstanten sind die Bahnen einfache Ovale und sind stabil; bei anderen Werten dieser Konstante haben die Bahnen die Form einer 8 und sind instabil. Poincaré⁵⁰) vermutete, daß die instabilen Lösungen nicht die analytischen Fortsetzungen der stabilen Lösungen sind, und HougJi bewies⁵¹) dies durch Betrachtung solcher Bahnen, wo die anfängliche Geschwindigkeit retrograd ist.

SchwarzschilcP²) untersuchte die periodischen Lösungen des restringierten Dreikörperproblems, die in die zweite Sorte von Poincaré gehören. Nimmt man an, daß der Planetoid so in Bewegung gesetzt wird, daß er — bei verschwindender Masse des Planeten J — um S eine Ellipse beschreiben würde, deren Periode kommensurabel mit der Umlaufszeit von S um J ist, so läßt sich mit Hilfe der Poincaréschen Methoden zeigen, daß man auch, wenn die Masse von J klein, aber nicht verschwindend ist, durch Variation der Elemente des Planetoiden eine periodische Bahn erhalten kann.

Besondere Aufmerksamkeit haben in den letzten Jahren diejenigen periodischen Bahnen des Planetoiden gefunden, die in einer einfachen

47)    Méth. Nouv. 1 (1892), p. 106.

48)    British Association Report (1892), p. 648; Phil. mag. 34 (1892), p. 447.

49)    British Association Report (1896), p. 708; Acta Math. 21 (1897), p. 99: Math. Ann. 51 (1899), p. 523.

50)    Méth. Nouv. III (1899), p. 352.

51)    Acta Math. 24 (1900), p. 257—288. In bezug auf die Darwinschen Bahnen vgl. ferner: Schütt, Diss. Kiel 1903; Moulton, Trans. Amer. Math. Soc. 7 (1906), p. 537; Strömgren, Astr. Nachr. 174 (1907), p. 33.

52)    Astr. Nachr. 147 (1898), S. 17, 289.

Kurve S umkreisen und deren Periode annähernd gleich der Hälfte der Umlaufszeit von SJ ist. Diese Lösungen werden allgemein als Lösungen vom Hekubatypus bezeichnet, da die mittlere Bewegung des kleinen Planeten Hekuba annähernd zweimal so groß ist, wie die von Jupiter. Wegen der annähernden Kommensurabilität der Perioden sind die Störungen, die der Planetoid von J erfährt, ungewöhnlich groß. Betrachten wir zunächst die periodischen Lösungen der ersten Sorte von Poincaré für eine mittlere Entfernung von S unterhalb derjenigen, die der doppelten mittleren Bewegung von J entspricht¹⁷ 18 19 20 21 22), so finden wir, daß die Bahn des Planetoiden relativ zu der bewegten Geraden SJ in der Richtung der Senkrechten auf SJ verlängert ist. Diese Erscheinung wird um so ausgeprägter, je mehr die Entfernung an jenen kritischen Wert heranrückt, je genauer die Kommensurabilität wird, und schließlich geht die Lösung in eine Poincarésche Lösung zweiter Sorte über, die auch bei verschwindender Masse J eine endliche Exzentrizität hat. Wenn nun die mittlere Entfernung die Stelle überschreitet, die der Kommensurabilität entspricht, so werden die Bahnkurven in der Richtung von SJ verlängert; wächst die mittlere Entfernung weiter, so gehen die Lösungen zweiter Sorte wieder in Lösungen erster Sorte über, und die Bahnform wird wieder nahezu kreisförmig.53 a)

7. Die Stabilität der Lösungen definiert durch den Charakter der benachbarten Lösungen. Wir betrachten die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluß gegebener Kräfte; wir setzen eine Partikularlösung der Bewegungsgleichung als bekannt voraus und untersuchen die Bewegung eines Massenpunktes, der von einer der gegebenen Bahnkurve benachbarten Stelle ausgeht und daselbst eine Geschwindigkeit besitzt, die der Größe und Richtung nach nur wenig von der Geschwindigkeit in dem betreffenden Punkte der Bahn verschieden ist. Wir wollen untersuchen, ob dieser Massenpunkt während seiner Bewegung nur um die gegebene Bahnkurve oszilliert und in ihrer Nähe bleibt, oder ob sich die Bahn des Massenpunktes von der bekannten Bahn mehr und mehr entfernt, so daß schließlich eine Bewegung von ganz anderem Charakter resultiert. Diese beiden Möglichkeiten werden häufig als Stabilität bzw. Instabilität bezeichnet.

Sei o (das wir als kleine Größe annehmen) die normale Entfernung des Massenpunktes von der bekannten Bahn zu einer Zeit t, bezeichnen wir ferner mit s die Länge des Bogens auf der gegebenen Bahn von einem bestimmten Punkte gerechnet bis zu dem Fußpunkte der Normalen o>, mit v die Geschwindigkeit und mit q den Krümmungsradius in der bekannten Bahn an dieser Stelle; schließlich sei V die potentielle Energie des Massenpunktes. Schreiben wir die Bewegungsgleichungen des Massenpunktes in den Koordinaten co und s und eliminieren die Größe (ds/dt — v), so erhalten wir die Differentialgleichung

d^co dt²

die die normale Yerriickuug der gegebenen Bahn von der Nachbarbahn angibt.

Wenn man in dem kinetischen Potential die Glieder 2. Grades in den Geschwindigkeiten (d. h. die kinetische Energie) nicht trennen kann von den Gliedern nullter Ordnung in den Geschwindigkeiten (d. h. von der potentiellen Energie), so ist eine kleine Modifikation nötig, dieser Umstand tritt z. B. in dem restringierten Dreikörperproblem auf, da die Energiefunktion in diesem Falle ein Glied von der Form n(tiy — vx) enthält (Nr. 2).

In dieser Weise untersuchte Hill⁶*) die kleinen Oszillationen des Planetoiden um eine der von ihm gefundenen periodischen Bahnen. Berechnen wir den Koeffizienten von a in der Differentialgleichung, so erhalten wir die Gleichung

¹

   J. f. Math. 68 (1868), p. 390.

²

   Acta Math. 11 (1887), p. 25.

³

   Dynamics Kap. XIII.

⁴

   J. f. Math. 68 (1868), p. 390; vgl. auch Perchot und Ebert, Bull. Astr. 16 (1899), p. 110.

⁵

   Dynamics. Kap. XIII.

⁶

   J. de math. (3) 3 (1877), p. 5. Ygl. Bennett, Mess, of Math. (2) 34 (1904), p. 113.

⁷

   Berichte der kgl. Sachs. Ges. der Wiss. zu Leipzig (1887), S. 1, 55; Acta

⁸

Die Jacobische Determinante verschwindet, wenn einer der charakteristischen Exponenten der periodischen Lösung (vgl. No. 7) gleich Null ist.

⁹

   Poincaré, Acta Math. 13, p. 122; Méth. Nouv. I, p. 117.

¹⁰

   Poincaré, Méth. Nouv. I, p. 133; Kobb, Öfversigt of K. Sv. Vet-Ak. Förh. 52 (1895), p. 215.

¹¹

   Poincaré, Méth. Nouv. II, p. 369.

¹²

   Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 62 (1902), p. 346. Vgl. auch Signorini, Palermo Cire. Rend. 33 (1912).

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

¹³

Acta Math. 13 (1890), p. 228; Méth. Nouv. III (1899), p. 201.

35a) In bezug auf die Einteilung der periodischen Lösungen vgl. ferner Charlier, Mechanik des Himmels Bd. 2 und H. von Zeipel, Upsala Nova Acta (2) 20 (1904).

¹⁴

   Poincaré, Bull. Astr. 15 (1898), p. 289.

¹⁵

   Recueil des pièces, qui ont remporté les prix de P Acad. de Paris 9 (1772). Auf den Fall mehrerer anziehender Körper wurden die Lagrangeschen Resultate von verschiedenen Autoren erweitert; vgl. Hoppe, Arch. Math. Phys. 64 (1879), p. 218; Lehmann-Filhes, Astr. Nachr. 127 (1891), p. 137; Sloudsky, Bull, de la soc. Imp. Natur. Moscow. 1892, p. 437; Moulton, Amer. M. S. Trans. 1 (1900), p. 17; Dziobek, Astr. Nachr. 152 (1900), p. 33; Pizzetti, Roma Lincei Rend. 5a 13 (1904), p. 17; Lovett, Quart. Jour. Math. 35 (1904), p. 116.

Eine imaginäre Lösung, die aus der Lagrangeschen Arbeit entsteht, ist von Whittemore, Math. Ann. 64 (1907), S. 150 betrachtet worden.

¹⁶

   Bouth, London Math. Soc. Proc. 6 (1875), p. 86.

¹⁷

Brendel (Abhandl. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen 1 (1898)) wendet

¹⁸

Gyldena Methode an; Poincaré, Bull. Astr. 19 (1902), p. 177, 289; Hill, Astron. Journ. 22 (1902), p. 93, 117; Schwarzschild, Astr. Nachr. 160 (1903), p. 385, unter

¹⁹

sucht die Stabilität dieser Bahnen. Vgl. auch Simonin, Nice Obs. Ann. 6 (1897) A, Bull. Astr. 19 (1902), p. 129; Andoyer, Bull. Astr. 20 (1903), p. 321; Wilkens,

²⁰

Astron. Abh. als Ergänzungshefte zu den Astr. Nachr. Nr. 8 (1905).

²¹

53a) In bezug auf andre Kategorien periodischer Lösungen vgl. Pavanini,

²²

Annali di Mat. (3) XIII, p. 179 und Griffin, Trans. Amer. Math. Soc. 9 (1908), p. 1.

+ (öo + ei cos    cos H----) ßJ = 0,

wo 0O, 01} ... Konstante bedeuten. Diese Gleichung wird die Hillsche Gleichung genannt.¹ 2) In der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten wird gezeigt, daß

die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung die Form co = Aéctf(t) -f- Be~ict ^(ß)

hat, wo c eine bestimmte Konstante bedeutet, die reell ist, wenn 90 eine positive Zabi ist, die nicht das Quadrat einer ganzen Zahl ist; A und B sind willkürliche Konstanten, und f(ß) und ft(ß) sind periodische Funktionen von der Periode tc. Zur Bestimmung von c entwickelte Hill die folgende Methode:

Setzen wir eu — £, so lautet der Koeffizient von co in der Differentialgleichung :

71 — — 00

00

wo die Größen 6n reell sind. Hill setzt für co die Reihe

n — — oo

an und führt diesen Ausdruck von co in die Differentialgleichung ein. Da jede Potenz von £ einen verschwindenden Koeffizienten haben muß, so erhalten wir unendlich viele Gleichungen, die die Größen b linear enthalten. Durch Elimination dieser Größen erhält man eine Determinante mit unendlichvielen Zeilen und Kolonnen, in der nur c und die bekannten Größen dn Vorkommen. Diese Determinante gleich Kuli gesetzt gibt den Wert von c.³)

Dieses Ergebnis kann auf die Mondtheorie übertragen werden; die kleinen Oszillationen um die periodische Bahn können als Folge der Exzentrizität der Mondbewegung betrachtet werden, und die Konstante c gibt die Bewegung des Mondperigäums an. Die Stabilität der Bewegung — in dem Sinne, wie sie oben definiert wurde — hängt offenbar von der Realität der Größe c ab; die Größen ic und — ic werden die „charakteristischen Exponenten“ der betrachteten periodischen Lösung genannt, und die Bedingung der Stabilität ist die, daß die charakteristischen Exponenten der periodischen Lösung rein imaginär ausfallen. Die allgemeine Theorie der Stabilität der Lösungen und insbesondere der periodischen Lösungen rührt von Bouth⁴ 5), Korte-weg⁶⁸) und Poincaré⁶) her; der Name „charakteristischer Exponent“ wurde vom letzteren eingeführt. Das Resultat all dieser Untersuchungen kann folgendermaßen zusammengefaßt werden.

Betrachten wir das Differentialgleichungssystem : wobei X1} X₂, ..., Xn Funktionen von x₂, ..xn bedeuten. Nehmen wir an, ein System von periodischen Lösungen

xi = <Pi(f)

von der Periode T sei bekannt, so daß cp^t -|- T) — cp^t) ist (wenn xt eine Winkelvariable bedeutet, so soll diese Beziehung folgendermaßen lauten:

+ T) — <Pa(0 +

wo n eine ganze Zahl ist). Betrachten wir eine Nachbarbewegung, die analytisch durch die Gleichungen:

xi = 9<(0 + ii

(i=l,2,...,n)

gegeben ist, wo die Größen so klein sein mögen, daß man ihre Quadrate und Produkte vernachlässigen kann. Die Größen |t. werden aus den Differentialgleichungen

dXi * dlk

bestimmt. Da dies ein System von linearen Differentialgleichungen ist mit periodischen Koeffizienten, so ergeben sich die Funktionen g als Summe von Ausdrücken von der Form    wo die Funk

tionen Sik periodische Funktionen der Zeit von derselben Periode wie die cpi(t) sind, und die Konstanten e2ina* Wurzeln einer algebraischen Gleichung wten Grades sind. Die Konstanten ak werden die charakteristischen Exponenten der periodischen Lösung genannt; wenn sie rein imaginär ausfallen, so bleiben die Funktionen | klein, und die periodische Lösung ist stabil; im entgegengesetzten Falle ist die Lösung instabil.

Wenn zwei charakteristische Exponenten gleich sind, so tritt in der allgemeinen Lösung ein Glied von der Form teat auf. Es ist übrigens klar, daß die charakteristischen Exponenten nicht eindeutig definiert sind, sondern bis auf ganzzahlige Vielfache von 2ni unbestimmt bleiben.

Wenn die Funktionen X{ von t unabhängig sind, so ist stets einer der charakteristischen Exponenten gleich Null;⁷) gibt es ein Integral von der Form F = konst., wo F eine eindeutige analytische Funktion ihrer Veränderlichen ist, so verschwindet noch ein charakteristischer Exponent.⁸)

Wenn das ursprüngliche Differentialgleichungssystem die kanonische Form hat, so sind stets zwei charakteristische Exponenten entgegengesetzt gleich; die verschiedenen Werte von au werden die Stabilitätslioeffzienten der zugrundegelegten periodischen Lösung genannt; wenn sie alle verschieden sind und einen negativen reellen Wert haben, dann ist die Lösung stabil. Wenn die Hamiltonsche Funktion die Zeit nicht enthält, so ist einer der Stabilitätskoeffizienten gleich Null. Bewegt sich ein Massenpunkt in einer periodischen Bahn unter dem Einfluß konservativer Kräfte mit zwei Freiheitsgraden, z. B. in einer periodischen Bahn des restringierten Dreikörperproblems, so verschwinden zwei charakteristische Exponenten, die anderen beiden sind entgegengesetzt gleich. Dieses Resultat wurde zuerst von Poincaré ausgesprochen; es ist im wesentlichen schon in einem Theorem enthalten, das früher von Korteweg⁹ 10) aufgestellt wurde: wenn un, un+lf w„+2 die normalen Verrückungen bedeuten von einem gegebenen Punkte der periodischen Bahn dieses Charakters zu dem entsprechenden Punkt der Nachbarlösung bei drei aufeinanderfolgenden Umläufen, so hat das Verhältnis

Un+2 + Un

Wn + 1

einen konstanten Wert, der unabhängig von der Lage des Punktes auf der Bahn und unabhängig von der Wahl der Nachbarlösung ist; das Verhältnis hat den Wert 2 cosh ccT, wo a einer der charakteristischen Exponenten der periodischen Bahn ist.

Im Dreikörperproblem sind die charakteristischen Exponenten einer periodischen Lösung in eine nach den Potenzen der Quadratwurzel des kleinen Parameters g fortschreitende Reihe entwickelbar.

Darwin¹¹) untersuchte die Stabilität der von ihm gefundenen periodischen Lösungen des restringierten Dreikörperproblems.

Eng verknüpft mit der Theorie der charakteristischen Exponenten ist die Theorie der asymptotischen Lösungen,¹²) Im allgemeinen gibt es charakteristische Exponenten mit negativem Realteil. Diejenigen Glieder in der Darstellung der Funktionen |, die einen charakteristischen Exponenten mit nicht negativem Realteil enthalten, können durch eine passende Wahl der Integrationskonstanten beseitigt werden; wir erhalten auf diese Weise Partikularlösungen der Differential-*

Poincaré™) hat ferner die Existenz von Lösungen bewiesen, die beiden Klassen von asymptotischen Lösungen angehören, d. h. die sowohl für t — — oo, wie auch für t — -J- oo sich der periodischen Bahn asymptotisch annähern und keine periodischen Lösungen sind. Dies sind die sog. doppeltasymptotischen Lösungen. Poincaré™) zeigt noch, daß man die Reihen, die die asymptotischen Lösungen darstellen, aus den allgemeinen Lösungen des Dreikörperproblems erhalten kann; er wendet ferner¹¹ 13 14) das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die Theorie der periodischen Lösungen an und gibt eine Klassifikation der instabilen periodischen Lösungen, indem er zeigt, daß man durch kontinuierliche Yariation der Konstanten der Bewegung eine periodische Lösung in eine andere nicht überführen kann, wenn die Instabilität der beiden Lösungen verschiedenartig ist.

gleichungen für die in denen die Funktionen | durch eine Summe von Gliedern dargestellt sind von der Form etttSik, wo der Realteil von a negativ ist.

Wenn t über alle Grenzen wächst, konvergiert gegen Null; mit anderen Worten, die erhaltene Lösung nähert sich mit wachsender Zeit mehr und mehr der ursprünglichen periodischen Lösung; diese Lösungen werden als asymptotische Lösungen bezeichnet. In ähnlicher Weise kann eine andere Klasse von Lösungen gebildet werden, die für t = -f- oo von der periodischen Lösung wesentlich abweichen, aber für t — — oo sich der periodischen Lösung asymptotisch annähern; diese Lösungen bilden eine zweite Klasse von asymptotischen Lösungen.

Levi-Civita untersucht¹⁵):

von

Die Frage, ob die Methode der kleinen Schwingungen und der charakteristischen Exponenten auch hinreichende Bedingungen für die Stabilität liefert, wurde

Betrachten wir bei einem dynamischen System von zwei Freiheitsgraden eine periodische Lösung, für die der charakteristische Ex-

kommensurabel mit der mittleren

V-1

ponent a rein imaginär und

2 7t

Bewegung ist. Wir bezeichnen mit (jpx, p₂, qx, q₂) die dieser Lösung entsprechenden Poincaréschen Normal variablen (vgl. Nr. 5). Die Methode der kleinen Schwingungen gibt für die Nachbarbewegungen die Gleichungen

1h - CnX “f- C2l!/ J #2 - ^21® “f" C22V >

wo X und y Konstante, cnc₂₁c₁₂c₂₂ periodische Funktionen der Zeit bedeuten. Wenn wir nun die Glieder 3. Ordnung in der Hamilton-schen Funktion nicht mehr vernachlässigen, so werden die Größen x, y Variable, welche bestimmten nach der Methode der Variation der Konstanten zu erhaltenden Differentialgleichungen genügen. Wenden wir die Transformation, der x und y bei einer vollständigen Umkreisung der periodischen Bahn unterworfen sind, hinreichend oft auf einen Punkt, dessen Koordinaten x, y sind, an, so wird der Punkt schließlich von dem Inneren in das Außere eines gegebenen Kreises gelangen. Wir erhalten also das Resultat, daß die periodische Lösung, die zufolge der durch die Theorie der kleinen Schwingungen gelieferten Kriterien stabil zu sein schien, instabil wird, wenn man die Glieder höherer Ordnung berücksichtigt.¹⁶)

8. Die Stabilität der Lösungen definiert durch den Charakter der Bewegung für große Werte der Zeit. Der Begriff der Stabilität wird oft in anderem Sinne gebraucht als in voriger Nummer. Eine Lösung des Dreikörperproblems wird häufig als stabil bezeichnet, wenn die gegenseitigen Entfernungen der Körper für alle Zeiten zwischen bestimmten Grenzen bleiben, so daß die Körper weder einander sehr nahe kommen, noch sich sehr weit voneinander entfernen. Hill¹⁷), Bolilin¹⁸ 19) und Darwin™) haben gezeigt, daß bestimmte Bewegungstypen im restringierten Problem in diesem Sinne stabil sind (durch Abgrenzung der Gebiete, wo die Geschwindigkeit des Planetoiden imaginär werden müßte, um das Energieintegral zu befriedigen). Man benutzt ferner auch das Wort „Stabilität“ bei Bewegungen von der Art, daß das betrachtete System unendlich oft eine Konfiguration annimmt, die der anfänglichen Konfiguration beliebig nahe kommt, wobei die dazwischen vorkommenden Oszillationen keiner Einschränkung unterworfen sind. Poincaré benutzt den Ausdruck Stabilité à la Poisson, um eine Bewegung letzterer Art zu charakterisieren. Ein von Hacla mard²⁰) herrührendes Theorem ist in der Hinsicht sehr interessant. Betrachten wir die Bewegung eines Punktes der Einheitsmasse unter dem Einfluß einer Kraft, die aus einem Potential V abgeleitet ist

ds^ = Edu* + 2 Fdudv + Gdv-gegeben ist. Bezeichnen wir mit J die Funktion

auf einer überall regulären Fläche, deren Flächenelement durch die Gleichung:

A,(F)AJ(F)-*V(F,A₁(F)),

wo A1; A₂ den ersten und zweiten Differentialparameter und V den Differentialparameter der zwei Funktionen V, At(F) bedeutet.²¹) V sei auf der ganzen Fläche regulär und besitze nur eine endliche Anzahl Maxima und Minima. Derjenige Teil der Fläche, wo J positiv ist, werde mit Hadamard als anziehendes Gebiet bezeichnet. Dann ist entweder derjenige Teil der Bahn, der im anziehenden Gebiet verläuft, der Länge nach größer als jede endliche Zahl, oder aber die Bahnkurve strebt asymptotisch einer instabilen Gleichgewichtslage zu. Im allgemeinen durchsetzen die Bahnkurven unendlich oft das anziehende Gebiet und haben dabei Stabilität à la Poisson.

Poincarés Untersuchungen74a) über die Kurven, die durch Differentialgleichungen definiert sind, haben gezeigt, daß in dem allgemeinen w-Körperproblem die Stabilität à la Poisson wesentlich von der Stabilität im Sinne von Hill abhängt. Die ganze Frage der Stabilität hat derselbe Autor wesentlich gefördert durch Einführung und Anwendung der Integralinvarianten:²²) Die Existenz der asymptotischen Lösungen zeigt, daß es in dem restringierten Dreikörperproblem unendlich viele Partikularlösungen gibt, die instabil sind in Poissons Sinne. Poincaré beweist aber²³), daß es auch unendlich viele in diesem Sinne stabile Lösungen gibt, und daß die instabilen die Ausnahme bilden und die stabilen die Regel sind in demselben Sinne, wie die rationalen Zahlen die Ausnahme bilden und die irrationalen die Regel sind. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, daß eine Anfangsbedingung zu einer instabilen Bewegung führt, ist gleich Null. Der Beweis dieser Sätze gelingt auf Grund des folgenden Theorems: Wenn sich der Punkt

bewegt, daß die Koordinaten dieses

so

Ou; ^2? ’ • Xni yi7 y27 • • -7 y»)

Punktes stets endlich bleiben, und das Integral

j dxx... dxn dyx ... dyn

invariant ist — eben eine Integralinvariante bildet, dann gibt es zu jedem noch so kleinen Raumteile v₀ Bahnkurven, die unendlich oft durch diesen Raumteil (v₀) hindurchgehen; in der Tat haben die-jenigen Punkte von v₀, von denen eine Bahnkurve ausgeht, die diese Eigenschaft nicht besitzt, einen verschwindend kleinen Inhalt im Vergleich zu v₀.

Ähnlich wird gezeigt, daß, wenn die Energiekonstante im restringierten Dreikörperproblem zwischen bestimmten Grenzen bleibt, die Bewegung stabil ist, nicht nur im Sinne von Hill und Hohlin, sondern auch im Sinne von Poisson; wenigstens ist die Anzahl der Ausnahmefälle verschwindend gering gegenüber der Anzahl der stimmigen Fälle.

9. Die Lösung des Dreikörperproblems durch unendliche Reihen ; die älteren Untersuchungen. Die Beobachtungen der Himmelskörper legen unmittelbar eine bestimmte Form der analytischen Ausdrücke nahe, durch welche ihre Bewegung darzustellen ist. Man fand, daß diese Darstellung jedenfalls so weit, wie unsere Nachrichten in die Vergangenheit zurückreichen, durch die Annahme ermöglicht wird, daß die Planeten in Ellipsen die Sonne umkreisen. Diese Ellipsen sind freilich nicht unveränderlich, sondern ihre Elemente (Exzentrizität usw.) variieren von Jahr zu Jahr. Manche dieser Ungleichungen oder Störungen sind periodisch, d. h. können durch Glieder von der Form a sin (bt-f c) dargestellt werden, wo a, b, c Konstanten bedeuten; solche Störungen verursachen keine wesentlichen Änderungen in den Verhältnissen des Sonnensystems; andere Störungen, die durch Glieder von der Form at -f- bt² -f- • • • dargestellt werden, werden säkular genannt; ihr Einfluß besteht in einer fortwährenden Änderung der Bahnen, die schließlich zu einer total verschiedenen Konfiguration führen könnte.

Die Methoden der klassischen Planetentheorie schließen sich diesen den Beobachtungen entnommenen Tatsachen an. In dem Sonnensystem überwiegt die Masse der Sonne alle Planeten; dementsprechend dient in der Planetentheorie als Prinzip der Annäherung die Voraussetzung, daß die Masse des einen Körpers groß gegen die Gesamtmasse der anderen Körper ist. Auf Grund dieses Prinzipes fand man, daß sich mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten²⁴) analytische Ausdrücke finden lassen, die mit einer bestimmten Annäherung die Differentialgleichungen des Problems erfüllen und deren physikalische Deutung auf die oben erwähnten veränderlichen Ellipsen führt.

Frühzeitig zeigte sich aber, daß diese Art von Lösung einen bestimmten Nachteil hat. Die säkularen Störungen der Elemente führen nämlich zu Gliedern von der Form ct und ct sin bt in den Ausdrücken der Koordinaten. Diese Glieder wachsen nun mit t über alle Grenzen,

und das macht es von vornherein unwahrscheinlich, daß die so erhaltenen Reihen für eine beliebig lange Zeit approximative Darstellungen der Bewegungen sind. Es entsteht naturgemäß die Frage nach dem wahren Charakter der säkularen Störungen, wenn die Differentialgleichungen nicht näherungsweise, sondern streng gelöst werden. Die erste Annäherung mag durch Glieder von der Form ct gegeben werden, wo c eine Konstante ist; doch besteht die Möglichkeit, daß dies nur das erste Glied der Entwicklung z. B. von — sin mt ist, wo m eine kleine Zahl bedeutet. Wenn dies der Fall ist, so sind die säkularen Glieder tatsächlich periodisch, nur von sehr langer Periode. Die Beantwortung dieser Frage hat eine fundamentale Wichtigkeit bei den Untersuchungen über die Stabilität des Sonnensystems und bei der Darstellung der Koordinaten für sehr lange Zeiten.

Die Sache wurde noch verwirrter durch den Umstand, daß man in der Monatheorie Reihen von etwas verschiedener Bauart erhielt. Die Mondtheorie versucht — gleich der Planetentheorie — die Lösung des Dreikörperproblems durch unendliche Reihen; doch die Annäherungen gründen sich in diesem Fall auf die Annahme, daß zwei der Körper einander umkreisen, während sie gemeinsam um einen dritten Körper von überwiegender Masse rotieren; die Mondtheorie liefert also ebenfalls eine Lösung des Dreikörperproblems, deren Geltungsbereich aber von dem der Planetentheorie verschieden ist.

Diese theoretischen Schwierigkeiten, die der klassischen Planeten-und Mondtheorie wenigstens teilweise im Wege standen, werden durch die Auffindung von Lösungen des Dreikörperproblems in rein trigonometrischer Form bewältigt; wir gehen jetzt zu der Theorie dieser Reihen über.

10. Die Lösung des Problems mit Hilfe der Berübrungstrans-formationen. Die von den verschiedenen Autoren zur Lösung des Dreikörperproblems angewandten Methoden zerfallen in zwei Klassen; die erste Klasse der Methoden beruht auf dem Prinzip der Variation der Konstanten; die zweite Klasse von Methoden beruht auf dem Ansatz von Reihen bestimmter Bauart und der der sukzessiven Bestimmung ihrer Glieder wachsender Ordnung. Wir wollen zuerst zeigen²⁵), wie

man zu einer Methode der ersten Klasse kommt, welche Reihen liefert, in denen die Zeit nur als Argument von trigonometrischen Funktionen auftritt.

Zum Ausgangspunkte wählen wir die Bewegungsgleichungen in der folgenden Form (Nr. 1):

(» = 1,2,3,4),

dqv_ ₌ dH dp, ___dH

dt dp,’ dt    dq„

wobei

r (ft'+fî)+^(ft²+fï)

— % m3 { ił —    (C0S Î3 C°S il — —

TS

<h

~PA~

PA •    \

— smg₃ sin qA

sin q₃ sin q^j

J___    _a 21 T

gesetzt ist. Wir wenden auf dieses Gleichungssystem eine Berührungstransformation an, die durch die Gleichungen:

— m₂ m₃

!&²+sf4>t (C0S3s 00821 ~~

²PsPi

-ł

—pA — p A

²PsP*

dw ,    dw

p’~dą,’ p-~    Hl

definiert ist, wobei

îi

w = ÇLiQs +    +J {

2nm₁mÿ cp² )

äs

2i

ä<h,

?2

+/(

ft'²m₁²ms2 2*'s

ist. Man sieht leicht ein, daß die Funktion .ff in eine periodische Funktion der neuen Variablen p2} p₃\ pl übergeht; die neuen Bewegungsgleichungen können auf die Form

dH

(* = 1,2,3,4)

d 2*

dq_j, ₌ dH dp, dt dpA dt

gebracht werden, wobei wir die Akzente bei den neuen Veränderlichen weggelassen haben und ff durch eine unendliche Reihe von der Form:

- ^'OOOO 4"

dargestellt ist; die Größen a hängen nur

i % nz

cos (w₁_p₁ -f n₂p₂ 4- n₃p₃ +

von qlf q₂, q₃, qA ab, und

über die Lösbarkeit des Dreikörperproblems mit Hilfe rein trigonometrischer Reihen aussprach, hängt mit der Methode der Variation der Konstanten eng zusammen und ist eine Erweiterung der klassischen Planetentheorie.

die Summation ist über alle positive und negative ganzzahlige Werte von n₁, n₂, n₃, ni zu erstrecken, wobei nur die Kombination

nx —    — n₃ — ni = 0

anzuschließen ist. Wenn m₂ und m₃ kleine Größen sind im Vergleich mit m₁, so überwiegt das konstante Glied in der Entwicklung von H die periodischen Glieder; eine approximative Integration zeigt, daß sich in diesem Falle die Größen q₁',qi',q₃', g₄', Px,PŹ nur sehr wenig ändern, und die Größen p₃, jp₄' beinahe proportional mit der Zeit sind.

Betrachten wir nun ein periodisches Glied von H, das die anderen periodischen Glieder überwiegt, etwa

cos (nxpx -f «₃p₃ + n₃pz -f »₄p₄) ;

cos Q -f- R,

«i % *?, nt

wir setzen

H = a0000 4“ an

wobei 6 zur Abkürzung für n₁pl -J- n₂p₃ + n₃p₃ -f- w₄p₄ steht und R die Summe der anderen periodischen Glieder bedeutet. Wenden wir auf das Gleichungssystem die durch die Gleichungen

Pr =

div

div

dąy

definierte Berührungstransformation an, wobei

0 = 1,2,3,4)

w = ql'pl + qzp₂ + q₃p₃ -f g₄0₄ -f f(qi\ q%\ q₃', ql, 0)

ist, und die Funktion f so gewählt ist, daß d in dem Ausdrucke

aoooo (q.\ 4- ni yq f Ï2 + w2; q» 4- n% % ? ql 4- w4 Jj)

4" anx,l^ninl (ft 4" W1

df

df

de.

rh + W2 > qź + W8 fß

gar nicht mehr vorkommt, daß also dieser Ausdruck nur von qx, qz, q₃, qx abhängt; diese Funktion von qx, q₂', q₃, qx — wir bezeichnen sie mit aóooo(?ó q%i qźi q±) — ist durch die Bedingung bestimmt, daß, wenn man aus der Gleichung

cos 0 — ®oooo die Funktion berechnet und in der Form

^0000 4- a

rh «2 «₃ n₄

de

df

cM, q*, q*, qit aóm) +]>jc*(qi, q*> qi amo)cos

*=i

darstellt, das Glied c₀ identisch verschwindet.

Die soeben definierte Berührungstransformation kann also explizite

36

Encyklop. d. math. Wissenach. VI 2.

VI 2, 12. E. T. Whittaker. Prinzipien der Störungstheorie, durch Gleichungen von der Form:

544

P* = Pr + ^?eksinW,

(v = 1,2,3,4)

Qv = Qv+Pv]>j9k *=i

dargestellt werden, wobei 0' =    -j- n₂p₂ -f- n₃p₃ -J- n₄p₄ gesetzt

ist. Durch Anwendung dieser Berührungstransformation gehen die Bewegungsgleichungen in das neue Gleichungssystem

dgl ₌ dH dpi ₌ _ dH dt dpi’ dt    dçf'v

über, und H läßt sich in eine unendliche Reihe von der Form

H. $0000 —{“ ₋^⁷$w₁7n₂mjm₄

entwickeln, wobei die Koeffizienten a nur von qx, q₂, q₃, q₄ abhängen. Das neue Gleichungssystem hat dieselbe Form wie das alte5 der einzige Unterschied besteht darin, daß das neue konstante Glied aóooo zwei alte Glieder repräsentiert, nämlich das ursprüngliche konstante Glied a und gleichzeitig das alte periodische Glied

anlWt cos KPi +    + nsPz + niPÙ-

Der Effekt der Transformation ist also der, daß das konstante Glied von H noch überwiegender wird wie früher, und daß den periodischen Gliedern in H eine noch unwesentlichere Rolle zukommt. Wir wählen jetzt wiederum eines der wesentlichsten periodischen Glieder in der neuen Entwicklung von H heraus und vereinigen es wieder mit dem konstanten Glied durch Anwendung einer Berührungstransformation von der soeben beschriebenen Art. Auf diese Weise können wir sukzessive alle wesentlichen periodischen Glieder von H mit dem konstanten Glied vereinigen, und das Überwiegen des konstanten Gliedes über die periodischen Glieder wird bei jedem Schritt bedeutender; schließlich werden die periodischen Glieder in H so unwesentlich werden, daß man sie vernachlässigen kann. Wir bezeichnen mit (alf «₂, cc₃, a₄, ßx, ß₂, ß3f /3₄) die Variablen, zu denen wir nach diesen Transformationen gelangen; die Bewegungsgleichungen lauten:

dav dH    dßv

dt    cßv’    dt    dar

wobei H nur von cc1} a₂, a₃, cn₄ abhängt; es sind daher ax, cc₂, a₃, a4 konstante und ßXJ ß2f ß₃, ß₄ lineare Funktionen der Zeit:

ßv = V -f h    (v = h    4) ;

die Integrationskonstanten sind aX) «₂, a₃, a₄, sx, s₂, e₃, f₄.

(* = 1,2,3,4)

cos (mxpx -f m₂p₂ + m₃p₃ + mj>₄)

dH

(v= 1,2,3,4),

0000

Durch die sukzessiven Transformationen, die die ursprünglichen Variablen des Dreikörperproblems in die Variablen cc1} a₂, cc₃, a₄, ßlf ß₂, ß₃, ß₄ überführen, sind folglich auch diese ursprünglichen Koordinaten als Funktionen der Zeit bestimmt; die Form der Transformationen zeigt, daß die Variablen in dem ursprünglichen kanonischen System 8. Ordnung durch Ausdrücke von der Form

Py= ßv + 2!b

cos (m.J ßt + m₂ß₂-f- m₃ ß₃ -f m₄/3₄)

sin (m₁ ß₁ + »hß‘2 + nhßz +

dargestellt sind, wobei die Größen a, b, c Funktionen von a1} a₂, a₃, ai sind und die Summation über alle ganzzahligen Werte von m1} m m₃, mi zu erstrecken ist, mit Ausnahme der Kombination

m₁ — m₂ — m₃ ■= mi — 0.

Mit Rücksicht auf die Transformation in Nr. 1 sehen wir, daß in dem Dreikörperproblem die Koordinaten der Massenpunkte durch Ausdrücke von der Form

m± rn₂ mz m₄

% m₃ mA

0=1,2,3,4)

2?

COS

('ni ß\ + W2 ß% “I- n3 ß'6 4" n4,ßi + n6 ß*>)

dargestellt werden können, wobei ßly ß₂, ß₃, ß₄, ß₅ lineare Funktionen der Zeit sind und die a Konstanten bedeuten; die Summation ist über alle ganzzahlige Werte von nXy n₂, n₃, w₄, % zu erstrecken. Bei Bewegungen vom Typus der Planetenbewegungen, wo die Massen m2 und m₃ verglichen mit der Sonnenmasse mx kleine Größen sind, werden demzufolge auch drei von den Winkeln ß — etwa ß₃, ßL, ßb — sehr langsam variabel (entsprechend den langen Umläufen der Perihele und Knoten im Planetensystem) und die anderen beiden Winkel, ßt und ß repräsentieren angenähert die mittleren Anomalien der Planeten m2 und m₃ bei ihrer Bewegung um m₁.

Im Lichte dieser Ergebnisse klären sich die Begriffe „säkulare Glieder“ und „periodische Glieder“ der alten Theorie folgendermaßen: In den soeben abgeleiteten Reihen kommen Glieder vor, deren Argumente nur von den langsam variierenden Winkeln ß₃, ß₄, ß₅ abhängen; diese Glieder entsprechen den säkularen Gliedern. Die Glieder, die eine oder beide der rasch veränderlichen Winkel ßlf ß₂ enthalten, stellen die sog. periodischen Störungen dar.²⁶)

Gyldén faßte die säkularen Glieder etwas anders auf.²⁷) Denken wir an irgendein Glied der Störungsfunktion; dieses Glied gibt Anlaß

36*

:zu einem entsprechenden Glied in der Entwicklung der Koordinaten. Wenn bei der Integration der Koeffizient dieses Gliedes durch eine kleine Größe von der Größenordnung der störenden Massen fi dividiert wird, so daß der Einfluß dieses Gliedes in der endgültigen Entwicklung der Koordinaten viel wesentlicher ist als in der Störungsfunktion, so wird das Glied ein elementares Glied genannt. Diese elementaren Glieder geben tatsächlich die säkularen Glieder; denn wenn das Argument eines Gliedes nur die langsam variierenden Winkel ß₃, ß₄, /3₅ enthält, so ist der Koeffizient von t in diesem Argument eine kleine Größe von der Ordnung g; bei der Integration wird aber dieses Glied durch diesen kleinen Koeffizienten dividiert, und daher fällt dieses Glied in die Klasse der Glieder, die soeben als elementare Glieder definiert wurden.

11. Die Lösung des Problems durch sukzessive Bildung der Glieder wachsender Ordnung der Reihe. Wir wollen jetzt ein Beispiel für die zweite Art von Verfahren geben, die Lösung des Problems in der Form einer trigonometrischen Reihe zu erhalten. Die Methode, die wir hier entwickeln, ist die von IAndstedt²⁸) und Poincaré.²⁹)

Betrachten wir das restringierte Dreikörperproblem; wir können das Gleichungssystem auf die Form

dqv    dH    dpv dH

dt    dpv’    dt    dq„

bringen (Nr. 2). Diejenigen Glieder von H, die von der kleinen Größe g unabhängig sind, bezeichnen wir mit iT₀; es ist

Ho = ^p + n& •

Die Funktion H — H₀, die den Faktor g besitzt, ist eine periodische Funktion von px und j?₂; wir bezeichnen sie mit pHx. Für p = 0 sind qx und q₂ konstant. Wenn die kleine Größe g von Null ver-

schieden ist, und wenn und £₂ die Anfangswerte von q₁ und q2 bezeichnen, so sind die Größen qk — und q₂ — £₂ von derselben Größenordnung wie g. Setzen wir

dB₀fa, |₈)

«i ——

so sind die Größen

dt,

„    WÉitÉ.)

> >h ~    di,

02*

o II(j (^i, ([%)

— und

3-H₀(gi, g»)

— w₂

von derselben Größenordnung wie g; wir können also schreiben

— ni = P<Pi(a.i7V.i)>

Die Bewegungsgleichungen lassen sich auf die folgende Form bringen:

dq₂    dHx

dt    dvtJ

dp, _

dH,

dH«

— w₂ = ,uç>₂(g1;g₂).

dgi __ -Hi di ~ ^ dpy ’

\=»i+Ą<pi—

Fassen wir jetzt die Variablen #1? q2} pXJ j>₂, die wir bisher als Funktionen von t aufgefaßt haben, als Funktionen der zwei Veränderlichen cox — -\- «j, co₂ = A₂£ -j- £₂ auf, wo 1₂ zwei Konstanten bedeuten, die wir später bestimmen werden, und e₂ Integrationskonstanten sind. Unser Gleichungssystem bekommt die Form:

dt

l _l x ___u-— = 0

3 dPi _j_ 3 dpx 3

dp.

(i)

aca₂

Diese Größen können in Potenzreihen nach g entwickelt werden:

^2 —    + pAl + A* Az + • • ■;

wo die Koeffizienten Ai Konstante und die Ausdrücke kpi} kq. nach den Vielfachen von cöj und o₂ geordnete trigonometrische Reihen be-

deuten. Setzen wir diese Entwicklungen von Xx, X₂, px, p₂, qx, q₂ in die linken Seiten der Gleichungen (1) ein, so erhalten wir vier Potenzreihen von g, deren Koeffizienten trigonometrische Reihen von und g?₂ sind; wir bezeichnen diese Funktionen mit Ox, 0>₂, Qx', <P₂'. — Das Theorem von Lindstedt lautet folgendermaßen: Wie groß auch die ganze Zahl h gewählt ist, es ist stets möglich, die Konstanten

o^i, xXx, . . ., kXx, QX₂, xX₂, . .., kX₂

und die trigonometrischen Reihen

oQ.11 * • V oQn ’ •’ kO.27 iPl 1 • • -1 kPlf lP%’ • ’ •} kPi

derart zu bestimmen, daß in der Entwicklung von <PX, &₂,    <P₂' das

von g freie Glied und die Koeffizienten derjenigen Glieder, deren Ordnung in bezug auf g nicht größer als k ist, verschwinden; mit anderen Worten, daß die Bewegungsgleichungen bis auf Glieder (k l)ter Ordnung in g befriedigt werden.

Wir finden zuerst

0^1 = nu 0^2 == noi 0Q1 “ £1 “ł⁻ Vu 0Q2 ~ £1 “f* y^t wobei yx und y₂ Integrationskonstanten bedeuten, von denen wir annehmen, daß sie von der Größenordnung von g sind.

Nehmen wir an, wir hätten die Werte

<Ao 1' • •1 k-l^il oQii • • -1 k — lQil lPif ' ' ’i k-lPi

gefunden, und suchen kXx, kX₂, kqx, kq₂,    kp₂ zu bestimmen. Diese

Größen sind aus der Bedingung zu bestimmen, daß in Qx, 0₂, <Pf, der Koeffizient von gk verschwinden soll; wir erhalten also ein Gleichungssystem, das wir in der folgenden Form schreiben können:

¹

   Acta Math. 8 (1886), p. 1, Abdruck einer 1877 in Cambridge (Mass.) veröffentlichten Arbeit. Adams bemerkt Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 38 (1877), p. 43, daß er schon einige Jahre vorher die Bewegung des Mondknotens nach einer Methode untersucht hat, die der Hillschen für das Mondperigäum ähnlich ist, und daß er dabei zu einer ähnlichen unendlichen Determinante gelangte.

²

   Es ist dies eine Verallgemeinerung der Gleichung

^ + (00+01 cos 2i) = 0,

die die Funktionen des elliptischen Zylinders definiert, vgl. Heine, Kugelfunktionen p. 404.

³

   Hill untersucht nicht die Konvergenz dieser unendlichen Determinante; diese Lücke wurde von Poincaré ausgefüllt, Bull, de la Soc. math, de France. 14 (1886), p. 77.

⁴

   Stability of motion, Cambridge 1876.

⁵

   Wien. Ber. 93 (1886).

⁶

   Acta Math. 13 (1890), p. 1 ; Méth. Nouv. I (1892).

⁷

   Méth. Nouv. I, p. 180.

⁸

   ibid. p. 187.

⁹

   loc. cit. Fußnote (58).

¹⁰

   Acta Math. 21 (1897), p. 144.

¹¹

   Acta Math. 13, p. 25; Méth. Nouv, III, Ch. XXXIII.

¹²

   Korteweg, loc. cit.; Poincaré, Acta Math. 13(1890), p. 136; Méth. Nouv. I (1892), III (1899).

¹³

   Bull. Astr. 15 (1898), p. 289.

¹⁴

   Paris C. R. 123 (1896), p. 915; Paris C. R. 124 (1897), p. 713; Méth. Nouv. III (1899), p. 249.

¹⁵

   Paris C. R. 131 (1900), p. 170, 236; Annali di Math. 5 (1901), p. 221. Ygl. ferner Cigala, Annali di Mat. (3) 11, p. 67.

¹⁶

   Vgl. auch Korteweg, loc. cit.

¹⁷

   Am. J. Math. 1 (1878), p. 5.

¹⁸

   Acta Math. 10 (1887), p. 109.

¹⁹

   Acta Math. 21 (1897), p. 99.

²⁰

   J. de Math. (5) 3 (1897), p. 331.

²¹

   Ygl. Bd. III 3, p. 123 dieser Enzyklopädie.

74a) J. de Math. (3)7, p.375; (3) 8,p.251; (4) 1, p. 167; (4) 2,p. 151 ; (1881—86).

²²

   Ygl. Bd. II, p. 253 dieser Enzyklopädie (Artikel II A 4b, Vessiot).

²³

   Acta Math. 13 (1890), p. 67; Méth. Nouv. III (1899), p. 162.

²⁴

Vgl. den Artikel VI 2, 14 über die Planetentheorie.

²⁵

Diese Methode ist nicht wesentlich von der Delaunayschen Methode verschieden (Théorie de la lune, Paris 1860—67); Delaunay selbst wandte seine Methode nur auf die Mondbewegung an, die Anwendung auf das allgemeine Dreikörperproblem rührt von Tisserand her (Obs. de Paris ann., mém. 18 (1885)); vgl. auch Hill, Amer. M. S. Trans. 1 (1900), p. 205—242. Die hier gegebene Darstellung rührt von Whittaker her (Proc. Lond. Math. Soc. 1901). Die Methode von Newcomb (Smithsonian Contributions 1874, p. 1), der zuerst das Theorem

²⁶

   Vgl. Hill, Aatron. Journ. 22 (1902), p. 183.

²⁷

   Traité des orbites absolues I (1893). Vgl. Hill, Astron. Journ. 25 (1905), p. 1; Poincaré, Acta Math. 29 (1905), p. 235.

²⁸

   Paris C. R. 47 (1883), p. 1276, 1353; Astr. Nachr. 107 (1883), p. 197; Annales de l’École Normale (3) 1 (1884), p. 85. Eine Lücke in Lindstedts Arbeit wurde von Poincaré ausgefüllt, Bull. Astr. 3 (1886), p. 57, der durch eine Anwendung des Greenschen Theorems bewies, daß in jeder Lindstedtschen Annäherung nur ein säkulares Glied auftritt, und daß man dieses stets wegschaffen kann.

²⁹

   Acta Math. 13, p. 1; Méth. Nouv. II. H. v. Zeipel, Bihang tili K. Sv. Vet.-Ak. Handl. 24 (1898), Nr. 8, leitet auf eine neue Weise die Lindstedtschen Reihen ab und erhält die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ihre Existenz; er zeigt ferner (ibid. 26 (1901), Nr. 8) daß die Lindstedtschen Reihen für die Bewegung eines kleinen Planeten nicht existieren, wenn die Neigung der Bahnebene des kleinen Planeten eine bestimmte Grenze übersteigt.

hg*

hOx

— K₂,

sMs

ca₂

ta»

wobei Xx, X₂, Yx, Y₂ bekannte trigonometrische Reihen bedeuten. Die Auflösung dieser Gleichungen ist möglich, wenn

1. das Verhältnis njn₂ inkommensurabel ist, was wir annehmen

wollen,

2.    die von œx und c?₂ unabhängigen Glieder in den trigonometrischen Reihen Xx, X₂ verschwinden; diese Tatsache kann mit Hilfe der Integralinvarianten bewiesen werden,

3.    die von ra₁ und o₂ unabhängigen Glieder in den trigonometrischen Reihen Yx, Y₂ mit kXx bzw. kX₂ identisch sind; wir können diese Bedingung erfüllen, indem wir kXx und kX₂ passend wählen. Die Auflösung dieser Gleichungen ist also stets möglich, womit das Theorem von Lindstedt bewiesen ist.

Das allgemeine Dreikörperproblem kann in ähnlicher Weise behandelt werden; wir gelangen zu demselben Resultat wie in Nr. 10 mit dem Vorteil, daß die Entwickelbarkeit nach Potenzen von ^ anschaulicher in Evidenz gesetzt ist. Wir können also sagen, daß die Differentialgleichungen für die Koordinaten im Dreikörperproblem formal befriedigt werden durch unendliche Reihen, die nach Potenzen des kleinen Parameters \x fortschreiten, der von der Ordnung der kleinen Massen ist; die Koeffizienten dieser Potenzreihen sind unendliche Reihen, deren Glieder Sinus und Kosinus von linearen Funktionen der fünf Argumente

ßl = 'M H" £1,    A} ⁼ 4^“f-£37 ß₄= XLt + £47 ßb ⁼ ht~i~£5

sind £₂, £₃, £₄, £5 sind willkürliche Konstanten) multipliziert mit von den anderen Integrationskonstanten abhängigen Konstanten. Zwei der Größen ß, etwa ß₁ und ß₂, sind wieder näherungsweise gleich den mittleren Anomalien der beiden kleinen Massen in ihren instantanen Bahnen um die große Masse, während die anderen drei Argumente ß₃, ß₄, ß₅ nur langsam veränderlich⁸⁸) sind.

12. Die Konvergenz der Reihen der Himmelsmechanik. Wir haben gesehen, daß man die Differentialgleichungen für die Koordinaten im Dreikörperproblem formal erfüllen kann durch Reihen von der Form

fo + f*/i +    ' * •>

wobei f₀, /i, f₂, ... selbst unendliche Reihen von der Form

cos

• •» nk sin

(%ßi +----b nkßk)

sind und

ßv — kJ +

ist; wir untersuchen jetzt die Konvergenz dieser Reihen. Diese Untersuchung zerfällt natürlich in zwei Teile: 1. Die Konvergenztheorie der Reihen /₂, . . . und 2. die Konvergenztheorie der vollständigen Reihe f₀ -f- fi/j Ą- [i²f₂ + • • •.

Wir behandeln zuerst die Reihen

cos

‘ •» nk sin

(nißi H-----h ntßk)‘

nv ...,nk =

— 00

p. 241.

83) Poincaré gab eine andere Ableitung dieser Reihen, Bull. Astr. 14 (1897),

Aus den Gleichungen, mit deren Hilfe wir sukzessive die Funktionen fv nach der Lindstedtschen Methode berechnet haben, sehen wir, daß diese Reihen aus anderen bekannten Reihen (die sich schließlich aus der Störungsfunktion ergeben) durch Integration nach der Zeit abgeleitet wurden. Dabei erhält der Koeffizient cn Divisor nxXx -J- • • • -j- nkXk. Da die Konvergenz der Entwicklung der Störungsfunktion denselben Charakter hat, wie die einer Potenzreihe von mehreren Variablen, in der der Koeffizient des Gliedes mit dem Argument (n₁ß₁ + • • • -j- nkßk) in bezug auf die Variabein von den Ordnungen | nx |, | w₂1, . . ., | nk | ist, so hat die Konvergenz der betrachteten Reihen denselben Charakter wie die der Reihe

den

11 W2» W3>    * * *1 nJc

n\ h H----+ nkh

Nehmen wir der Einfachheit halber h == 2, so können wir die Frage auf die Untersuchung der Konvergenz der Reihen von dem Typus

*y

m — nA

einschränken, wo A die positive Zahl

ist.

I *2 I

Der Wert der Konstante A hängt von den willkürlichen Integrationskonstanten ab; wenn A eine rationale Zahl ist, so ist die

Reihe offenbar divergent, da die Glieder, für die ~ = A ist, unendlich werden. Wenn A eine ganze algebraische Irrationalität ist¹), d. h. die Wurzel einer irreduziblen algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten so ist die Reihe konvergent, wie wir sofort zeigen werden. Zu diesem Zweck multiplizieren wir Zähler und Nenner jedes Gliedes der Reihe

mit dem Produkt

(■m — nA') (m — nA") . . .,

wobei Ä, A", ... die anderen Wurzeln der Gleichung sind. Der Nenner wird ein Polynom in m und n mit ganzzahligen Koeffizienten ; und da er nicht verschwinden kann, muß er mindestens gleich 1

12. Die Konvergenz der Reihen der Himmelsmechanik.

551

sein. Der Zähler ist ein Polynom (s—l)ten Grades in m und w; man sieht unmittelbar, daß in diesem Falle die Reihe konvergiert.

Es ist übrigens leicht zu zeigen²), daß es unendlich viele irrationale Werte von A gibt, für die die Reihe divergiert; man sieht auch, daß in jedem noch so kleinen Intervall unendlich viele Werte von A existieren, wo die Reihe konvergiert, und unendlich viele, wo die Reihe divergiert. Es liegen also in jedem noch so Meinen Gebiete der reellen Variablen Xlt . . ., Xk unendlich viele Wertsysteme dieser Konstanten, für die die Teilreihen von f honvergieren, und unendlich viele Wertsysteme, für die sie divergieren.

+ rn + n

Die Folgen der Divergenz dieser Reihen kann man indessen umgehen durch Anwendung eines Kunstgriffes, der auf der Willkürlich-keit in der Wahl der Konstanten g beruht und vermöge dessen man erreichen kann, daß jede der Teilsummen nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält. Man kann dies z. B. für ein Glied von ft, das pmgu aig Faktor besitzt (p, g sind kleine Größen von der Größenordnung der Exzentrizitäten oder Neigungen der Bahn), dadurch erreichen, daß wir seinen Koeffizienten als von der Größenordnung vl ansehen in bezug auf einen neuen Parameter v.

Trotzdem wird natürlich die Schnelligkeit der Konvergenz der Reihen der Himmelsmechanik immer leiden unter dem Auftreten der kleinen Divisoren hei den Integrationen, die von der näherungsweisen Kommensurabilität der Größen A herrühren. Die Glieder, in denen diese kleinen Divisoren auftreten, werden von Gyldén charakteristische Glieder genannt; sie werden in vielen Fällen im Planetensystem sehr bedeutend. So hat in der Theorie von Jupiter und Saturn eine Ungleichung, deren Periode 900 Jahre ist, einen beträchtlichen Koeffizienten, der von dem kleinen Divisor 5 n — 2ri herrührt, wo n und n die mittleren Bewegungen von Jupiter und Saturn bedeuten. Noch bedeutender werden die charakteristischen Glieder bei den kleinen Planeten vom Hekubatypus. Methoden zur Beseitigung der Schwierigkeiten, die von dem Auftreten der charakteristischen Glieder herrühren, sind von vielen Seiten entwickelt worden.³)

Nachdem wir nun die Konvergenz der Partialsummen f₀, f1}    . ..

untersucht haben, wenden wir uns zur Diskussion der Reihe vom Typus

fo + pA +    4---->

die die Koordinaten im Dreikörperproblem darstellt. Es wurde von Poincaré gezeigt⁴), daß diese Reihe nicht gleichmäßig konvergent sein kann für alle Werte der Zeit und für alle Werte der Integrationskonstanten, die in einem endlichen Gebiet liegen. Nehmen wir nämlich an, die Reihe wäre gleichmäßig konvergent; wir könnten dann aus ihr periodische Lösungen ableiten, wenn wir den Integrationskonstanten solche Werte erteilen, daß die Größen X kommensurabel ausfallen. Die charakteristischen Exponenten dieser periodischen Lösung werden gefunden durch Differentiation der Reihe nach den willkürlichen Konstanten; bezeichnen wir mit x eine der Koordinaten, mit co eine der willkürlichen Konstanten, so müßten wir erhalten: wo a1} «₂, . . . die charakteristischen Exponenten der periodischen Lösung bedeuten, und dv(t) periodische Funktionen der Zeit sind, deren Periode mit der der Lösung übereinstimmt. Nun können aber aus der Differentiation unsrer trigonometrischen Entwicklungen niemals Exponentialgrößen eavt entstehen, deren Periode von der Periode der Ausgangslösung verschieden wäre. Daraus würde aber folgen, daß alle charakteristischen Exponenten der periodischen Lösung verschwinden; da dies unmöglich ist⁵), erhalten wir das Theorem, daß die Reihe nicht gleichmäßig konvergent sein kann für alle Werte der Zeit und für alle Werte der Integrationskonstanten in einem endlichen Gebiet. Charlier⁶) hat die Konvergenz der Reihe

fo + pfi + ^²/à + ' * *

direkt untersucht mit Hilfe eines Theorems von Cauchy und Poincare, das folgendermaßen lautet:⁷)

Betrachten wir die Differentialgleichungen

~dt~ =    X2) * • v Xnl f #0

grationskonstanten die Größe X so bestimmt werden kann, daß die Reihe konvergiert.

13. Eigenschaften der Koeffizienten besonderer Glieder in den Reihen. 553

und sei

Xi = 0{(t} fi)

eine Lösung dieser Gleichungen, bei der die Anfangswerte von xx, . . ., xn verschwinden für t = 0. Nehmen wir an, daß für alle Werte von t zwischen 0 und t₀ die Funktionen q>x, . . ., tpn in Potenzreihen nach fi und xt — 6i(t, 0) (i=l,...,n) entwickelbar sind, deren Koeffizienten noch von t abhängen. Es lassen sich dann die Funktionen

dx(t, fi),..., en(t, fi)

für alle Werte von t zwischen 0 und t₀ in eine nach den Potenzen von fi fortschreitende Reihe entwickeln für hinreichend kleine Werte von j fi .

Charlier zeigt nun, daß der Radius dieser Potenzreihe in fi gegen Null konvergiert, wenn t₀ über alle Grenzen wächst; wenden wir dieses Theorem auf die Differentialgleichungen des Dreikörperproblems an, so erhalten wir das Resultat, daß die Entwicklungen der Lösungen des Dreikörperproblems nach Potenzen der störenden Massen zwar konvergent sind, doch die Konvergenz ist keine gleichmäßige, da der Konvergenzradius (in den Massen) eine Funktion der Zeit ist.

Ein Fall, wo die Reihen, die die Lösung des Dreikörperproblems darstellen, nach einer bestimmten Zeit sicherlich aufhören müssen zu konvergieren, ist der Fall des Zusammenstoßes zwischen zweien der drei Körper. Painlevé⁸) deutete an, daß die Anfangsbedingungen, die einem Zusammenstoß entsprechen, zwei verschiedene analytische Bedingungen erfüllen müssen, die im Falle des ebenen Dreikörperproblems in eine einzige Bedingung übergehen; Painlevé zeigte auch⁹), daß diese Bedingungen nicht algebraisch sein können. Levi Civita¹⁰) hat den Charakter dieser Bedingungen im Falle des restringierten Problems näher untersucht und gezeigt, wie man sie finden kann. Bisconcini¹¹) erweiterte Levi-Civitas Resultate auf das allgemeine Dreikörperproblem und verifizierte die Andeutungen von Painlevé.

13. Eigenschaften der Koeffizienten besonderer Glieder in den Reihen der Himmelsmechanik. Der Unterschied zwischen den säku-

laren und periodischen Störungen der elliptischen Elemente der Planetenbahn wurde schon erläutert. Laplace¹²) zeigte, daß eins dieser Elemente — die mittlere Entfernung oder die halbe große Achse der Bahn — keine säkularen Störungen erfährt, wenn man diejenigen Glieder vernachlässigt, die von höherer als 1. Ordnung in den Massen oder von höherer als 2. Ordnung in den Exzentrizitäten und Neigungen sind; Lagrange¹³) wies nach, daß das Resultat richtig bleibt, wenn alle Potenzen der Exzentrizitäten und Neigungen mitgenommen werden; Poisson¹⁴) bewies schließlich die Richtigkeit des Theorems auch für den Fall, daß die Quadrate der Massen mitgenommen werden. — Mathieu¹⁵ 16) erweiterte diese Untersuchungen in der Weise, daß er auch Glieder 3. Ordnung in den Massen berücksichtigte. Mit Hilfe der Jacobischen Transformation ersetzte er die Sonne und die Planeten durch drei fiktive Planeten, die sich um ein festes Zentrum in Bahnen bewegen, die homothetisch mit den wirklichen Bahnen sind. Er zeigte durch Entwicklung der Störungsfunktion bis zu den Gliedern 3. Ordnung in den Massen, daß die reziproken mittleren Entfernungen keine säkularen Störungen dieser Ordnung erfahren. Poisson") glaubte bereits ein Resultat bezüglich der Nichtexistenz säkularer Störungen 3. Ordnung in den mittleren Entfernungen erhalten zu haben. Haretu¹⁷°) zeigte jedoch, daß Poisson bestimmte Glieder dieser Klasse weggelassen hat, und bewies, daß diese Glieder tatsächlich eine säkulare Störung zur Folge haben; daher haftet das Theorem über die In Variabilität der großen Achsen an den Gliedern 2. Ordnung in den störenden Massen.

Eginitis zeigte¹⁸), daß die säkularen Störungen 3. Ordnung der mittleren Entfernungen nur von dem Glied

hr*{fd~wdt)

herrühren, wobei

dB"

dt

das Aggregat der Glieder 1. und 2. Ordnung

13. Eigenschaften der Koeffizienten besonderer Glieder in den Reihen. 555

bedeutet. Er zeigte zugleich, daß solche Störungen in der Tat auf-treten, und daß sie periodisch sind, wenn auch von sehr großer Periode.

Der Übergang von der alten Planetentheorie mit ihren säkularen » und periodischen Störungen zu der modernen Himmelsmechanik, bei der alle Glieder periodisch sind, berührte natürlich auch die Theoreme dieser Art. Tisserand¹⁰²) gab die neue Fassung des Theorems der Invariabilität der großen Achsen, wenn die Lösung des Dreikörperproblems durch Reihen ausgedrückt ist, wie die der Delaunay sehen Mondtheorie. Er zeigte, daß das Theorem nicht richtig ist, wenn man auch diejenigen Glieder berücksichtigt, die 4. Ordnung sind in bezug auf das Verhältnis der mittleren Bewegungen.

Rein vom modernen Gesichtspunkte aus wurde die Frage behandelt von Andoyer¹⁰³), Hill¹⁹) und Poincaré²⁰), welcher bewies, daß in dem restringierten Dreikörperproblem der Ausdruck der mittleren Entfernungen eine bestimmte Klasse von Gliedern, die den säkularen Gliedern der alten Theorie entspricht, nicht enthält, wie weit man auch die Annäherung führt.

Einige merkwürdige Resultate verwandter Richtung fand Adams²¹) in der Mondtheorie. Bezeichnen wir mit e die Exzentrizität der Mondbahn und mit y den Sinus der halben Neigung der Mondbahn gegen die Ekliptik (diese Größen sollen wie in der Delaunayschen Theorie definiert sein): sei n die mittlere Bewegung des Mondes, (1 —c)n die mittlere Bewegung des Mondperigäums, (1 —g)n die mittlere Bewegung des Mondknotens, a die mittlere Entfernung und v der Radius vector.

Der nichtperiodische Teil von gestattet eine Entwicklung der Form:

A + He² + Cy² -f Ee¹ + 2Fe*y² + G/ 4----

wobei A, B, C, . . . Funktionen der Exzentrizität der Erdbahn und des Verhältnisses der mittleren Bewegungen von Sonne und Mond sind. In ähnlicher Weise bezeichnen wir mit He² -f- Ky² die Glieder von c, die e² und y² enthalten, und mit Me² 4-Ny² die entsprechenden Glieder von g. Adams’ Theorem lautet

B = 0, 0 = 0, EK— FH = 0, FN—GM= 0.

Alle diese Resultate werden durch denselben Prozeß gewonnen, der

102)    Paris C. R. 106 (1888), p. 788.

103)    Annales de la Fac. de Toulouse 4 (1898); Obs. de Paris ann., mém. 23 A

(1902).

für das erste folgendermaßen geschildert werden kann: es werden zwei Monde betrachtet, von denen die Bahn des einen weder eine »Exzentrizität noch eine Neigung, die des anderen keine Neigung besitzt. Es wird gezeigt, daß eine bestimmte Funktion der Koordinaten der beiden Monde eine periodische Funktion ist, und dies hat das Verschwinden der Größe B zur Folge.

Diese Resultate wurden von E. W. Brown¹⁰⁷) und Picart¹⁰⁸) er- . weitert. Andere Eigenschaften der Koeffizienten bei der Lösung des allgemeinen Dreikörperproblems durch trigonometrische Reihen wurden von New comb¹⁰⁹), Siacciuo) und E. W. Brown¹¹¹) gefunden.

107)    Amer. Journ. Math. 17 (1895), p. 318; Trans. Amer. Math. Soc. 4 (1903), p. 234; Proc. Lond. Math. Soc. 28 (1897), p. 143.

108)    Paris C. R. 131 (1900), p. 63—65.

109)    Paris C. R. 75 (1872), p. 1750.

110)    Paris C. R. 77 (1873), p. 1288.

111)    Proc. Lond. Math. Soc. 28 (1897), p. 130. In dem Resultat (X) dieser Arbeit findet sich ein Versehen, das aber den weiteren Teil nicht beeinflußt.

(Abgeschlossen im März 1912.)

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Jt 1.60,

ERABERT, Dr. W., Prof, an der Universität Wien, Lehrbuch der kosmischen •Physik. Mit 149 Figuren u. 1 Tafel. 1911. Geh. Jt 20.—, inLeinw. geb. Jt 22.—

3GNDERVAN~Dr~H., in Groningen, allgemeine Kartenkunde. Mit 32 Figuren und 5 Tafeln. 1901. Geh. Jt 4.60, in Leinw. geb. . .

KÖPPRITZ, Dr. K., weil. Professor an der Universität Königsberg i. Pr., Leitfaden der Kartenentwurfslehre. Für Studierende der Erdkunde und deren Lehrer. 2. Auflage von Dr. A. B lud au, Professor am Gymnasium zu Coesfeld. In 2 Teilen, gr. 8.

I. Teil. Die Kartenprojektionslehre. Mit 100 Figuren und zahlreichen Tabellen. Geh. Jt. 4.80, in Leinw. geb. Jt 5.80.

(ographie und Kartometrie.

2 Tafeln. 1908. Geh. Jt 3.60, in Leinw. geb. Jt. 4.40.

. Jt 5.20.

n.

Kar

Mit 12 Figuren und 2 Tabellen sowie

Baud U. Teil 2. Elliptische Funktionen. Yon J. Harkness in Montreal (Canada) und W. Wirtlnger ii Wien. — Automorphe Funktionen. Yon R. Fricke in Braunschweig. — Trigonometrisch« Reihen und Integrale. Von H. Burkhardt in München. Mit Beiträgen von Ł. Berwalt und H. Rosenthal in München.

II,

3. Neuere Untersuchungen aus der allgemeinen Funktionenlehre. Yon E. Borei in Baris. -Graphische Quadratur und graphische Integration gewöhnlicher und partieller Differential gleichungen. Von C. Runge in Göttingen und Fr. A. Willers in Charlottenburg.

IY.

IV.

1    n. Ansatzmethoden der Systemmechanik. Yon K. Heun in Karlsruhe.

2    ii. Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre. Von Th. v. Karman in Göttingen un<

Die Yariationsprinzipe der Mechanik der Kontinua. Voi

L. Prandtl in Göttingen.

E. Hellinger in Marburg a. L. — Allgemeine Grundlagen der Theorie der Baukonstruk tionen und Theorie der ebenen Fachwerke und vollwandigen Systeme. Von M. Grüninj in Düsseldorf.

YI.

1B. Dynamische Meteorologie. Von Felix M. Exner in Innsbruck und W. Trabert in Wien.

i Band VI, 2. Teil: Astronomie. Red. von K. Schwarzschild in Potsdam.

* erschienen, f unter der Presse, rwort zu Band YI, Teil 2 von K. Schwarzschild in Potsdam.

baltsverzeichnis von Band VI, Teil 2.

A. Sphärische Astronomie.

I.    Theorie der Koordinaten.

Über Koordinaten und Zeit : E. Anding in Gotha.

Reduktion der astronomischen Beobachtungen (sphärische Astronomie im engeren Sinne): F. Cohn in Berlin.

Geographische Ortsbestimmung, nautische Astronomie : C. W. Wirtz in Straßburg i. E.

II.    Theorie der Instrumente.

Theorie der Uhren: C. Ed. Caspari in Paris.

Theorie der astronomischen Winkelmeßinstrumente, der Beobachtungsmethoden und ihrer Fehler : F. Cohn in Berlin.

14.    Große Planeten: S. N.

15.    Kleine Planeten: K. Sundman in HelBingfors

16.    Kometen: Ł. Schulhof in Paris.

17.    Erdmond: E. W. Brown in Haverford.

18.    Die übrigen Satelliten: K. Laves in Chicago.

19.    Die Bestimmung astronomischer Konstanten: J. Bau. schinger in Straßburg i. E.

IIb. Numerische Berechnung aller Störungen

20. Spezielle Störungen der Planeten und Kometen Numerische Behandlung besonderer Fälle de: Dreikörperproblems. Mehrfache Fixsternsysteme : E. Strömgren in Kopenhagen.

i. Spezielle Ausführungen u. Anwendungen. Besondere Behandlung des Einflusses der Atmosphäre (Refraktion und Extinktion): A. Bemporad in Catania.

Theorie der Finsternisse: F. K. Ginzel in Berlin u. A. Wilkens in Kiel.

Chronologie: F. K. Ginzel in Berlin.

B. Mechanik des Himmels.

I. Bahnbestimmung.

Bahnbestimmung der Planeten und Kometen:

G. Herglotz in Leipzig.

0. Die Bestimmung der Meteorbahnen im Sonnensystem: G. v. Niessl in Wien.

1.    Doppelsterne und Trabanten. Visuelle und spektro-graphische Doppelsterne : J. v. Hepperger in Wien.

II. Störungen der Umlaufsbewegungen, a. Analytische Entwickelung d. Störungen.

2.    Prinzipien der Störungstheorie und allgemeine Theorie der Bahnkurven in dynamischen Problemen: , E. T. Whittaker in Dublin.

. Entwickelung der Störungsfunktion: H. v. Zeipel ( in Upsala.

III. Gestalt und Rotation der Himmelskörper

21.    Figur der Planeten, des Mondes, des Saturnringes der Kometen: S. Oppenheim in Prag.

22.    Rotation der Himmelskörper, Präzession und Nuta tion für starre Erde. Libration des Mondes: K Schwarzschild in Potsdam.

IY. Allgemeine Fragen.

23. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes: S. Oppenheim in Prag.

C. Stellarastronomie.

24.    Scheinbare Verteilung der Sterne-, Sternkataloge Sternkarten: H. Kobold in Kiel. -

25.    Parallaxen und räumliche Verteilung der Sterne Eigenbewegung der Sterne und der Sonne Doppelsterne, vielfache Sterne, Sternhaufen, Nebel H. Kobold in Kiel.

D. Astrophysik.

26.    Photometrie und ihre Anwendungen: E. Anding ii Gotha.

27.    Thermodynamik der Himmelskörper (Sonnentheorie neue Sterne) : R. Emden in München.

28.    Kosmogonie. (Kant, Laplace, G. Darwin). Wider Spekulative Ausblicke: F. R

stehendes Mittel. Moulton in Chicago.

Bisher erschien:

Heft 1 (1—4). [193 S.] 1905. n. M. b.SO. — 2 (5. 6). [140 S.] 1908. n. M. 4.—.

Heft 3 (7—10). [128 S.] 1910. n. M. 3.60. —    4 (11—12). 1912.

Ein unentbehrlicher Ratgeber für Mathematiker, Physiker, Astronomen usw.

Taschenbuch für Mathematiker u. Physiker

Unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen herausgegeben von

Felix Auerbach und Rudolf Rothe

II. Jahrgang 1910/11. Mit einem Bildnis Hermann Minkowskis. In Leinwand geh. Ji 7.— IH. Jahrgang erscheint im November 1912.

VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN

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ßestellzettel.

Geschmackvoll gebunden Mark 1.60

Unterschrift:

AUS: „ZUFRIEDENHEIT“.

Hat dich das Schicksal aus deiner Heimat weg in ein andres Land geführt, so miß die Menschen dort nicht an denen, die du in deiner Jugend kanntest. Sie werden anders sein, aber sie sind darum nicht schlechter. Rühme nicht immer die Vorzüge der alten Heimat und setze die neue nicht herab! Vielleicht würdest du selbst dich vergebens nach diesen Vorzügen umsehen, wenn du in das Land deiner Kinderjahre zurückkehrtest — auch damit geht es wie mit der guten alten Zeit. Aber auch wenn sie noch zu finden wären, glaub’s nur: auch in deiner neuen Heimat gibt es Schönes und Gutes; du mußt nur ohne Vorurteil danach suchen. Wenn du den Leuten, unter denen du lebst, immer von neuem versicherst, daß du dich nicht wohl fühlst unter ihnen, so werden sie dich auch ihrerseits als einen Fremdling behandeln, vor dem man das Herz verschließt. Du forderst dadurch auch sie zu einem Vergleiche heraus, und wer weiß, ob du nicht dabei verlieren würdest.

Hast du einmal das Leben einer Großstadt kennen gelernt und mußt jetzt in einem kleineren Orte wohnen, so denke nicht, du seiest von der Höhe des Lebens hinabgestiegen! Schilt den Ort, in dem du dein Brot erwirbst, nicht ein elendes Nest! Du würdest dadurch nur gestehen, daß du nicht imstande bist, dir dein Leben nach deinen Wünschen zu gestalten. Und glaube nur nicht, die Menschen seien dort anders als hier! Klatsch und Neid gibt es überall, aber auch Herzensgüte und edeln Sinn. Oder glaubst du, die Menschen würden dadurch größer, daß sie mit der elektrischen Straßenbahn fahren und zu Hunderten in einem Hause wohnen?

AUS: „BERUF UND PFLICHT“.

Tu gewissenhaft deine Pflicht, aber bilde dir nicht ein, an deinem Tun hange das Heil der Welt! Dann wirst du auch nicht verlangen, daß andre dich für den Retter der Menschheit halten, und brauchst dich nicht über Mißachtung zu beklagen. Erkenne jede ehrliche Arbeit an, so wird auch dein Verdienst anerkannt werden! Sieh selbst auf niemand hochmütig herab, so wird auch dir dein Wert gelassen werden!

Dein Beruf soll eine Quelle deines Glückes sein. Sieh ihn an als das Haus, in dem du daheim, als die Burg, in der du sicher bist! Freue dich, daß du deinen Mitmenschen dienen kannst, und suche es so vollendet wie möglich zu tun! Freue dich auch jeder achtenswerten Leistung, die dir gelingt! Nur denke nicht, daß du der einzige seiest, der etwas kann, und daß kein Tun so wichtig sei wie das deine!

Und auch das bedenke, daß im engen Kreise sich leicht der Sinn verengert! Willst du nicht wirklich zum Banausen werden, dann wahre dir den Zusammenhang mit dem großen Ganzen!

Bei

Buchhandlung in...............................................................

bestelle ich hiermit aus dem Verlage von B. G.Teubner in Leipzig:

R. JAHNKE: Aus der Mappe eines Glücklichen.

Ort, Wohnung:

VERLAG VON B.G.TEUBNER, LEIPZIG UND BERLIN

AUS DER MAPPE EINES GLÜCKLICHEN

VON

RICHARD JAHNKE

[84 SJ 8. 1908. Geschmackvoll gebunden Mark 1.60

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Einer, der fröhlich ins Leben schaut, möchte recht vielen seiner Mitmenschen zeigen, wo und wie das Glück zu finden ist. Darum streut er Blätter aus seiner Mappe aus. Sie handeln kurz und knapp von allerhand Fragen des Menschenlebens : von dem Wert der Erfahrung, von den Rätseln des Lebens und des Todes, von Optimismus und Pessimismus, von Glück und Freude, von der Ruhe des Gemüts, von Bildung und Arbeit, von Eigenliebe, Stolz und Unabhängigkeit. Bestimmt sind sie für alle nachdenklichen Menschen, die lernen möchten, „die Welt zu kennen und sie nicht verachten“; geschrieben sind sie so, daß alt und jung sie verstehen kann.

AUS: „DAS RÄTSEL DES LEBENS“.

Wozu? Warum? So fragen wir immer, bei allem, was wir sehen und erleben. Wir können nicht anders; denn es gehört zum Wesen des Menschen, die Ereignisse anzusehen als fortlaufende, sich kreuzende Ketten von Ursachen und Wirkungen. Wir können uns nichts ohne Ursache und nichts ohne Wirkung denken. Muß es darum so sein?

Wie der Wurm, der auf der Erde kriecht, den Menschen nicht begreift, nichts weiß von seinem Ringen und Schaffen, wie die Nachtigall, deren Gesang uns doch seelenvoll klingt, nichts weiß von Goethes „Faust“ und der Philosophie Kants, wie der Arbeiter, der am Wegrande die Steine zerklopft, nichts ahnt von der Tragik eines Dichter- und Künstlerlebens, so und noch viel weniger vermag die Menschheit als Ganzes und vermag auch der geistig am höchsten stehende Mensch die Fesseln zu zersprengen, die seinen Geist umschließen. Wir vermögen uns nicht hineinzudenken in das Leben eines Wurms, der doch körperlich ist wie wir; wie viel weniger können wir ein Wesen begreifen, das ganz anders sein müßte als wir, auf das keiner unserer menschlichen Begriffe, keines unserer Worte zuträfe. Wie unser Schatten mit uns springt, wenn wir über ihn hinausspringen wollen, so verläßt uns niemals unsere menschliche Eigenart und macht uns unfähig, anders als menschlich zu denken.

In unserm Leben gibt es Zwecke, in der Welt setzen wir Zwecke, weil wir nicht anders können. Aber in dem Weltganzen, das wir nicht auszudenken vermögen, da können ganz andre Zusammenhänge herrschen.

AUS: GLÜCK UND FREUDE

Wie viel Glück könnten wir erleben, wenn wir nur recht wüßten, was Glück ist. Die Heller und Pfennige des Glücks, die einkommen, rechnen wir nicht und hoffen immer auf den großen Reichtum, der nicht kommen wird. Und wenn er käme, so würden wir ihn auch nicht an-sehen. Oder ist es kein großes Glück, für das wir dankbar Hand und Herz erheben müßten, wenn wir aus einer ehrenwerten Familie stammen, wenn uns Gesundheit des Leibes und des Geistes beschert wurde, wenn wir einen Beruf gefunden haben, der uns Nahrung und Befriedigung gibt? Solches Glückes wollen wir uns zunächst freuen, dann gibt es schon genug Glück in der Welt. Dazu kommen die zahllosen Freuden, die wir tagtäglich erleben ; auch sie sind Glück, aber wir Menschen sind so verwöhnt, daß wir diese Freuden gar nicht rechnen; und das ist der beste Beweis dafür, wie glücklich wir sind. Wie viele Freuden hast du erfahren dein Leben lang! Als du zum erstenmal allein zu gehen vermochtest, als du im fröhlichen Spiel deiner Kraft bewußt wurdest, als du dir eine Stelle in der Welt errangst und einen Menschen fandest, der mit dir durchs Leben gehen wollte, als deine Tätigkeit innerhalb und außerhalb deines Beruf es Anerkennung fand, war das nichtGlück, so schön und reich, wie kein Dichtermund es besingen, wie nur dein eignes Herz es empfinden kann? Sollen alle die Stunden des Glücks ausgelöscht sein durch die Viertelstunden des Leides, die doch notwendig sind, wenn wir unseres Glückes überhaupt inne werden wollen ? Wie glücklich könnten wir Menschen sein, wenn wir dankbarer wären! Wie viele Freuden könnten wir erleben, wenn wir Herz und Sinne der Freude öffnen wollten!

AUS: „EIGENLIEBE“.

Die Eigenliebe ist der Mutterboden, aus dem unser Tun erwächst, ist die Nahrung, die ihr immer neue Kraft gibt.

Wenn du eine Tat siehst, die dir nicht gefällt, so frage nach den Beweggründen, ob nicht vielleicht der Grund gut und nur das Ergebnis übel war; ist aber die Tat selbst gut, so freue dich ihrer und forsche nicht nach Beweggründen, die ihren Wert herabsetzen könnten! Handelst du anders, so beraubst du nur dich selbst: eines Grundes zur Freude und eines Beispiels zur Nacheiferung.

Schilt nicht die Eigenliebe der andern; bei dir selbst aber bekämpfe sie wie eine Neigung zum Schlechten! Denke, du seiest nur darum in der Welt, um den andern zu dienen! Du brauchst nicht bange zu sein, daß du Schaden davon hättest. So viel Eigenliebe, als gut und nützlich für dich ist, behältst du schon trotz deiner Bemühungen. Aber du kannst dir manchen Ärger dadurch sparen, daß du bei den andern die Eigenliebe als etwas Selbstverständliches ansiehst und sie bei dir bekämpfst. Wenn du keine Dankbarkeit erwartest, brauchst du dich nicht über Undank zu erzürnen. Wenn du dich auf Schwierigkeiten gefaßt machst, die dir aus der Selbstsucht der andern erwachsen, so kann dich der Widerstand nicht verstimmen, den du findest. Du dienst dir selbst am besten, je mehr du bei einer Aufgabe, vor die du gestellt wirst, nur an diese und nicht an dich denkst. Das Leben ist ein Kampf; auch in ihm kämpft am tapfersten und erfolgreichsten der, der jederzeit bereit ist, sich selbst zu opfern.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-348775

¹

Diese Bemerkung rührt von Bruns her, Astr. Nachr. 109 (1884), p. 215.

²

   Bruns loc. cit.

³

   Ygl. den Artikel über kleine Planeten. Wir erwähnen an dieser Stelle die Methode von Bohlin, Bihang tili K. Sv. Yet.-Ak. Handlingar 14 (1888), Nr. 5; Astr. Nachr. 121 (1889), p. 17, der durch Anwendung der Jacobi-Hamiltonschen Theorie Reihen erhielt, bei denen die Divisoren ganze Zahlen sind; Bohline Arbeiten wurden von Poincaré, Méth. Nouv. II, Ch. 19—21 weitergeführt. Vgl. auch Charlier, Archiv für Math. 1 (1904), p. 449, der auch die Jacobi-Hamiltonsche partielle Differentialgleichung benutzt und zeigt, daß bei jeder Wahl der Inte-

⁴

   Acta Math. 13 (1890), p. 249; Méth. Nouv. II, Ch. 13, vgl. auch ,Schwarzschild, Phys. Zeitschr. 4 (1903), p. 765.

⁵

   Poincaré, loc. cit.

⁶

   Bull. Astr. 19 (1902), p. 380.

⁷

   Méc. Cél. I, p. 58.

⁸

   Paris C. R. 123 (1896), p. 871; Leçons sur la théorie analytique des équations differentielles. Paris 1897, p. 586.

⁹

   Paris C. R. 125 (1897), p. 1078.

¹⁰

   Annali di Mat. 9 (1903), p. 1; Paris C. R. 136 (1903), p. 82, 221. Acta Math. 30 (1906), p. 305.

¹¹

   Rend, délia R. acc. d. lincei (5) 12 (1903), p. 552; Acta Math. 30 (1906), p. 49. Ygl. ferner Sundman, Acta Soc. Scient. Fenn. 34 (1907), Nr. 6; Block, Stockholm Arkiv för Mat. 5 (1908), Nr. 9: Medd. frân Lunds Obs. 2, Nr. 6.

¹²

   Paris. Mém. des Savans Étrangers 7 (1773).

¹³

   Mém. de l’Acad. de Berlin (1776).

¹⁴

   Journal de l’École Polyt., cah. 15 (1808), p. 1. Poissons Beweis wurde von Tisserand vereinfacht, Mém. de l’Acad. de Toulouse (7) 7, p. 374, Annales de l’École Normale Sup. (2) 7. p. 261 (1875—76). Tisserand wendet die Jacobi-Radausche Transformation an und reduziert das Dreikörperproblem auf ein Problem 12. Ordnung, bei dem nur eine einzige Störungsfunktion auftritt.

¹⁵

   Paris C. R. 79 (1875), p. 1045; J. f. Math. 80 (1875), p. 97.

¹⁶

   Mémoires de l’Acad. des Sciences I (1810), p. 55.

¹⁷

   Paris C. R. 85 (1877), p. 504; Obs. de Paris ann., mém. 18 (1883).

¹⁸

   Paris C. R. 108, p. 1156; Obs. de Paris ann., mém. 19 (1889).

¹⁹

   Astron. Journ. 24 (1904), p. 27.

²⁰

   Méth. Nouv. II (1893), p. 109; Bull. Astr. 14 (1897), p. 261.

²¹

   Lond. Astr. Soc. Monthly not. 38 (1878), p. 460.