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Heft 17

ENCYKLOPjÄDIE

DER

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

VI i, 1. NIEDERE GEODÄSIE.

Inhaltsübersicht.

C. Die Lagemessungen.

emem

E. Tachymetrische Methoden.

Wesentlich vereinfacht wird die Bekonstruktion des

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRAGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BÄNDEN.

. I: ARITHMETIK U. ALGEBRA, IN 2 TEILEN.....

II: ANALYSIS. IN 2 TEILEN.

JrED. VON W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

H. BURKHARDT IN ZÜRICH UND W. WIRTINGER IN WIEN.

III: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN......W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

TXT 0 „„„„„    f F. KLEIN IN GÖTTINGEN UND

IV:    MECHANIK, IN 2 TEILEN.....{ C. H. MÜLLER IN GÖTTINGEN.

V: PHYSIK, IN 2 TEILEN........A. SOMMERFELD IN AACHEN.

VI    1- GEODÄSIE UND GEOPHYSIK    / PH* ™TWÄNGLER IN BONN UND

VI,    1. GEODÄSIE UND GEOPHYSIK • • j E WIECHERT IN GÖTTINGEN.

-    VI, 2: ASTRONOMIE . . . . :......

-    VII: HISTORISCHE, PHILOSOPHISCHE UND

DIDAKTISCHE FRAGEN BEHANDELND. REDAKTION NOCH NICHT BESTIMMT.

K. SCHWARZSCHILD IN GÖTTINGEN

BAND VI1. HEFT 1.

C. REINHERTZ IN HANNOVER: NIEDERE GEODÄSIE. S. EINSTERWALDER IN MÜNCHEN: PHOTOGRAMMETRIE.

AUSGEGEBEN AM 27. MÄRZ 1906

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LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1906.

Jeder Band ist einzeln käuflich. — Bisher erschien: Bd. I (vollständig); Bd. II1, Heft 1-5; Bd. II2, Heft 1; Bd. III2, Heft 1—2; Bd. lila, Heft 1-3; Bd. IVi, Heft 1—3; Bd. IVm, Heft 1; Bd. IV2, Heft 1-2; Bd. Vi, Heft 1—2 ; Bd.V2, Heft 1; Bd. VI i, Heftl; Bd. VI2, Heft 1.

Einbanddecken in Halbfranz werden auf Bestellung mit dem Schlnßheft eines jeden Bandes zu wohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung geliefert.

Band II Teil 1.

HI.

1.

Unter der Presse:

IH.

2.

IV.

1.

IV.

2.

V.

1.

V.

2.

Funktional-Operationen und -Gleichungen. "Von S. Pincherle in Bologna.

Prinzipien der Geometrie. Von F. Enriques in Bologna. — Die Begriffe „Linie“ unt „Fläche“. Von H. T. Mangoldt in Danzig. — Gegensatz von synthetischer und analytische! Geometrie in seiner historischen Entwickelung. Von G. Fano in Turin.

Abzählende Methoden. Von H. G. Zeuthen in Kopenhagen. — Allgemeine Theorie de) höheren ebenen algebraischen Kurven. Von Luigi Berzolari in Pavia.

Elementare Mechanik der Punktsysteme und starren Körper. Von P. Stäckel in Hannove) und J. Petersen in Kopenhagen.

Besondere Ausführungen über unstetige Bewegungen in Flüssigkeiten. Von G. Zemplen in Budapest. — Hydraulik. Von Ph. Forcliheimer in Graz. — Theorie der hydraulischer Motoren und Pumpen. Von UL Grübler in Dresden. — Allgemeine Theorie der Elastizität Von 0. Tedone in Genua.

Chemische Atomistik. Von F. W. Hinrichsen in Aachen und L. Mnmlock in Berlin. — Kristallographie. Von Th. Llebisch in Göttingen, A. Schoenflies und 0. Mügge in Königsberg. — Kinetische Theorie der Materie. Von L. Boltzmann und J. Nabl in Wien. Elektrostatik und Magnetostatik. Von B. Gans in Tübingen.

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welohe Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Beihe sachlich angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v. Dyck-München, G. v. Escherich-Wien, 0. Holder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, ferner L. Boltzmann-Wien, H. v. Seeliger-München, H. Weber-Straßburg,

steht der Redaktion, die aus den Herren

H. Burkhardt-Zürich, Ph. Furtwängler-Bonn, F. Klein-Göttingen, W. Fr. Meyer-Königsberg, C. H. Müller-Göttingen, K. Schwarzschild-Göttingen, A. Sommerfeld-Aachen, E. Wiechert-Göttingen und W. Wirtinger-Wien

besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

A. Voss-München A. Wangerln-Halle E. v. Weber-München J. Wellstein-Straßburg W. Wirtinger-Wien E. Zermelo-Göttingen.

I. Band:

W. Ahrens-Magdeburg P. Bachmann-Weimar

J.    Bauschinger-Berlin

G.    Bohlmann-Berlin L.v. Bortkewitsch-Berlin

H.    Burkhardt-Zürich E. Czuber-Wien

W. v. Dyck-München

D.    Hilbert-Göttingen 0. Holder-Leipzig

G. Landsberg-Breslau R. Mehmke-Stuttgart W. Fr. Meyer-Königsberg

E.    Netto-Gießen

V. Pareto-Lausanne A. Pringsheim-München

K.    Runge-Göttingen

A. Schoenflies-Königsberg M. Schröter-München A. Sommerfeld-Aachen E. Study-Bonn A. Wangerin- Halle W. Wien-Würzburg J. Zenneok-Danzig.

VI, 1. Band:

R.    Bourgeois-Paris

G.    H. Darwin-Cambridge

S.    Finsterwalder - München

H.    Hergesell-Straßburg S. Hcugh-Kapstadt H. Meldau-Bremen J. M. Pernter-Wien P. Pizzetti-Pisa C. Reinhertz-Hannover A. Schmidt-Potsdam W. Trabert-Wien E. Wiechert-Göttingen.

VI,2. Band:

E. Anding-München J. Bauschinger-Berlin

E.    W. Brown-Haverford C. Burrau-Kopenhagen C. Ed. Caspari-Paris C. V. L. Charlier-Lund

F.    Cohn-Königsberg

R.    Emden-München

F.    K. Ginzei-Berlin

J.    v. Hepperger-Wien

G.    Herglotz-Göttingen

H.    Kobold-Kiel F. R. Moulton-Chicago 0. V. Niessl-Brünn

S.    Oppenheim-Prag

E.    v. Oppolzer-Innsbruck

F.    Ristenpart-Berlin L. Schulhof-Paris

K.    Schwarzschild-Göttingen K. Sundmann-Helsingfors E. T. Whittaker-Cambridge C. W. Wirtz-Straßburg H. v. Zeipel-Pulkowa.

[Fortsetzung auf letzter Cmschlagseite.]

S. Finsterwalder-München

O.    Fischer-Leipzig Ph. Forchheimer-Graz Ph. Furtwängler-Bonn M. Grübler-Dresden L. Henneberg-Darmstadt

K.    Heun-Karlsruhe

G.    Jung-Mailand

F.    Klein-Göttingen A. Kriloff-Petersburg

H.    Lamb-Manchester A. E. H. Love-Oxford J. Petersen-Kopenhagen

L.    Prandtl - Göttingen A. Schoenflies-Königsberg

C. Guichard-Clermont-Fer- A. Sommerfeld-Aachen

P.    Stäckel-Hannover 0. Tedone-Genua

E.    Timerding-Straßburg i. E. A. Voss-München

G.    T. Walker - Simla (Indien) G. Zemplön-Budapest.

V. Band:

M.    Abraham - Göttingen L. Boltzmann-Wien

G.    H. Bryan-Bangor (Wales) Th. Descoudres-Leipzig

H.    Diesselhorst-Berlin S. Finsterwalder-München R. Gar.s - Tübingen

F.    W. Hinrichsen-Aachen

E.    W. Hobson-Cambridge J. H. van t’Hoff-Berlin H. Kamerlingh-Onnes-Leiden Th. Llebisch-Göttingen H. A. Lorentz-Leiden L. MamlOCk-Berlin

G.    Wie-Greifswald

H.    Minkowski-Göttingen 0. Mügge-Königsberg

J.    Nabl - Wien

F.    Pockels-Heidelberg L. Prandtl-Göttingen R. Reiff-Stuttgart

K.    Runge-Göttingen

III. Band:

R. Berzolari-Pavia H. Burkhardt-Zürich G. Castelnuovo-Rom M. Dehn-Münster F. Dingeldey-Darmstadt

F.    Enriques-Bologna

G.    Fano-Turin

rand

P. Heegard-Kopenhagen A. Schoenflies-Königsberg K. Heun-Karlsruhe H. Schubert-Hamburg

D.    Seliwanoff-St.Petersburg H. Liebmann-Leipzig R. v. Lilienthal-Münster H. v. Mangoldt-Danzig W. Fr. Meyer-Königsberg E. Müller-Wien J. Neuberg-Lüttich E. Papperitz-Freiberg i. S.

M. Böcher-Cambridge,Mass.    K. Rohn-Leipzig

Q.    Brunei f    0- Scheffers-Darmstadt

H. Burkhardt-Zürich    A. Schoenflies-Königsberg

G.    Faber-Karlsruhe    C. Segre-Turin

R.    Fricke-Braunschweig    M- Simon-Straßburg

H.    Hahn-Wien    J. Sommer-Danzig

J.    Harkness-Bryn Mawr P. Stäckel-Hannover

K. Hensel-Marburg[Coll.,Pa. 0. Staude - Rostock

A. Kneser-Breslau    H. Steinitz-Charlottenburg

A. Krazer-Karlsruhe    A. Voss-München

L.    Maurer-Tübingen    E. Wälsch-Brünn

W. Fr, Meyer-Königsberg    H. G. Zeuthen-Kopenhagen

W. F. Osgood-Cambridge,    K. Zindler- Innsbruck.

P. Painlevö-Paris [Mass.

S.    Pincherle-Bologna A. Pringsheim-München A. Sommerfeld-Aachen

E.    Vessiot-Lyon

E. Study-Bonn K. Th. Vahlen-Greifswald H. Weber-Straßburg A. Wiman-Lund.

II. Band:

G. Kohn-Wien

IV. Band:

M. Abraham-Göttingen L. Boltzmann-Wien C. Cranz-Berlin

A. GEODÄSIE,

Encyklop. d. math. Wisaen3ch. VI 1.

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VI i, 1. NIEDERE GEODÄSIE.

Von

C. REINHERTZ

IN HANNOVER.

Inhaltsübersicht.

A. Allgemeines.

1.    Aufgabe und Einteilung der Geodäsie.

2.    Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberfläche und die Einteilung der Messungen.

3.    Übersieht der Methoden.

4.    Allgemeines über die Anwendung der Ausgleiehungsreehnung.

5.    Instrumentelle Hilfsmittel.

B. Die fundamentalen Messungen.

6.    Die Längenmessung.

7.    Die Winkelmessung.

a)    Der Theodolit.

b)    Horizontalwinkelmessung.

c)    Vertikalwinkelmessung.

C. Die Lagemessungen.

8.    Die Koordinatensysteme der Lagemessungen.

a)    Allgemeines über die geodätischen Koordinatensysteme.

b)    Rechtwinklige ebene Koordinaten.

c)    Rechtwinklige sphärische Koordinaten.

d)    Konforme rechtwinklige Gauß’sehe Koordinaten.

e)    Koordinatentransformation.

9.    Die Punktbestimmung durch Triangulierung.

a)    Allgemeines über Triangulierung.

b)    Zentrierung.

c)    Die Winkelmessungen und ihre Anordnung.

10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens.

a)    Vorwärts- und Seitwärtseinschneiden.

b)    Rückwärtseinschneiden.

c)    Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung.

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T,pvt

11.    Ausgleichung von Kleintrianguliemngen.

a)    Die Anwendung der Methode der vermittelnden Beobachtungen.

b)    Graphische Punktausgleichung.

c)    Die Anwendung der Methode der bedingten Beobachtungen.

d)    Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen.

12.    Polygonzugmessung.

a)    Der Theodolitpolygonzug.

b)    Der Bussolen-(Kompaß-)Zug.

13.    Einzelaufnahme.

14.    Berechnung und. Teilung der Flächen.

a)    Flächenberechnung.

b)    Flächenteilung.

15.    Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen.

D. Die Höhenmessungen.

16. Das Nivellieren.

a)    Definition des Höhenunterschiedes. Historisches.

b)    Der Nivellierapparat.

c)    Das Nivellierverfahren.

d)    Die Genauigkeit der Nivellierung.

e)    Erdmassenberechnung.

f)    Kotierte Projektion.

17.    Trigonometrische Höhenmessung.

18.    Barometrische Höhenmessung.

E. Tachymetrische Methoden.

19.    Indirekte Längenmessung (Distanzmessung).

a)    Distanzmesser mit Distanzlatte.

b)    Distanzmesser mit Basisschiene.

20.    Tachymetrische Instrumente und Aufnahmen.

21.    Meßtischaufnahmen.

22.    Flüchtige Aufnahmen.

Literatur.

A) Zeitschriften und Übersichten.

0. Börsch, Geodätische Literatur, auf Wunsch der Permanenten Kommission im Zentralbureau zusammengestellt, Berlin 1889.

J. H. Gore, A bibliography of geodesy. 2. ed. Report of the Superintendent of the U. S. coast and geodetic survey 1901/1902, Washington 1903, p. 429. Bulletin de la societe beige de geometres, Anvers.

Journal des geometres-experts, Paris.

Revue suisse de topographie et d'arpentage, Genf.

Rivista di topografia e catastro, Firenze.

The surveyor, London.

Tidsskrift for Opmaalings-og-Matrikulsvaesen, Kopenhagen.

Tijdschrift voor Kadaster en Landmeetkunde, Utrecht.

La topografia moderna y el catastro, Barcelona.

Zeitschrift für Vermessungswesen, Stuttgart. Gibt jährliche Liter aturiib er sichten. (Zeitschr. f. Vermess.)

Österreichische Zeitschrift für Vermessungswesen, Wien.

Die vorstehenden Zeitschriften bilden nur eine Auswahl unter den zahlreichen Fachzeitschriften, die zum Teil als Organe von Landmesservereinen dienen. Insbesondere ist noch auf die verschiedenen ingenieurwissenschaftlichen Zeitschriften hinzuweisen, die viele geodätische Abhandlungen enthalten.

B) Lehrbücher und Monographieen.

VIII.    Anweisung vom 25. Okt. 1881 für das Verfahren hei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters, 2. Ausgabe, Berlin 1897 (Anweisung VIII).

IX.    Anweisung vom 25. Okt. 1881 für die trigonometrischen und polygonometri-schen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters, 3. Ausgabe, Berlin 1904 (Anweisung IX).

C. M. v. Bauernfeind, Elemente der Vermessungskunde, 2 Bände, 7. Aufl., Stuttgart 1890 (Bauernfeind, Vermessungskunde 1, 2).

A. Baule, Lehrbuch der Vermessungskunde, 2. Auf!., Leipzig und Berlin 1901.

A. Börsch und P. Simon, Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate von C. F. Gauß, Berlin 1887.

C. Bohn, Die Landmessung, Berlin 1886.

0. Brathuhn, Lehrbuch der praktischen Markscheidekunst, 3. Aufl., Leipzig 1902.

F.    Brönnimann, Die Katastervermessung, Bern 1888.

Ch. L. Durand-Claye, A. Pelletan et Ch. Lallemand, Lever des plans et nivelle-ment, Paris 1889 (Lallemand, Nivellement).

G.    Eredi, Elementi di topografia, Firenze 1894.

L. B. Francoeur, Geodesie, 8. ed., Paris 1903.

F.    G. Gauß, Die trigonometrischen und polygonometrisehen Rechnungen in der Feldmeßkunst, 2. Aufl., Halle 1893 (F. G. Gauß, Rechnungen der Feldmeßkunst).

Ch. L. Gerling, Die Ausgleichungsrechnung der praktischen Geometrie oder die Methode der kleinsten Quadrate mit ihren Anwendungen auf geodätische Aufgaben, Hamburg 1843 (Gerling, Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom.).

W. M. Gillespie, A treatise on surveying. Part I. Land surveying and direct levelling; Part II. Higher surveying (revised and enlarged by C. Staley), London 1901.

C. M. Goulier, Etudes theoriques et pratiques sur les levers topometriques et en particulier sur la tacheometrie, Paris 1892 (Goulier, Tacheometrie).

G.    H. L. Hagen, Grundsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1. Aufl., Berlin 1837.

E.    Hammer, Lehrbuch der ebenen und sphärischen Trigonometrie, 2. Aufl., Stuttgart 1897 (Hammer, Trigonometrie).

F.    Hartner-E. Dolezal, Hand- und Lehrbuch der niederen Geodäsie, 2 Bände, 9. Aufl., Wien 1904/5 (Härtner-Dolezal 1, 2).

F. B. Helmert, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Anwendungen auf die Geodäsie und die Theorie der Meßinstrumente, Leipzig 1872 (Helmert, Ausgleichungsrechnung).

G. Chr. K. Hunäus, Die geometrischen Instrumente der gesamten praktischen Geometrie, deren Theorie, Beschreibung und Gebrauch, Hannover 1864.

N.    Jadanza, Elementi di Geodesia, Torino 1895.

Instruktion zur Ausführung der trigonometrischen und polygonometrischen Vermessungen behufs Herstellung neuer Pläne für die Zwecke des Grundsteuerkatasters, 5. Aufl., Wien 1904.

J. B. Johnson, The theory and practice of surveying, 15. ed., New York, London 1901.

W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart. Bd. 1, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 5. Aufl., 1904; Bd. 2, Feld- und Landmessung, 6. Aufl., 1904; Bd. 3, Landesvermessung und Grundaufgaben der Erdmessung, 4. Aufl., 1896 (das Werk enthält zahlreiche Literaturangaben) (Jordan, Handbuch 1, 2, 3).

W. Jordan und K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882.

O.    Koll, Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten Quadrate mit ihrer Anwendung auf die Geodäsie und die Wassermessungen, 2. Aufl., Berlin 1901.

C. Koppe, Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in der praktischen Geometrie, Nordhausen 1885.

A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topo-graphiques, Paris 1898, 1901.

Manual of surveying instructions for the survey of the public lands of the U. S. and private land Claims, issued by the commissioner of the general land Office, Washington 1890.

Moinot, Lever de plans ä la stadia, Perigueux 1865.

M. d’Ocagne, Application generale de la nomographie au calcul des profils de remblai et döblai avec une instruction pratique pour la construction et le mode d’emploi des abaques ä points isoplethes, Paris 1896.

M. d’Ocagne, Le9ons sur la topometrie et la cubature des terrasses, Paris 1904.

G. Orlandi, Tacheometria, Torino 1896.

A. Pelletan, Operations souterraines, Paris 1889.

J. Porro, Traitd de tacheometrie, Paris 1847.

L.    Puissant, Traitb de topographie, d’arpentage et de nivellement, 2. ed., Paris 1820.

A. Salmoiraghi, Istrumenti e metodi moderni di geometria applicata, Milano 1884.

S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, 1. Aufl., Wien 1845; 9. Aufl. von F. Lorher, Wien 1894; 10. Aufl., umgearbeitet von E. Dolezal, Wien 1902.

W. F. Stanley, Surveying and levelling instruments, 3. ed., London 1901.

P.    ZJhlich, Lehrbuch der Markscheidekunde, Freiberg i. S. 1901.

Chr. A. Vogler, Lehrbuch der praktischen Geometrie, Braunschweig. Bd. 1, Vorstudien und Feldmessen, 1885; Bd. 2, Höhemessungen, 1894 (Vogler, Prakt. Geom. 1, 2).

—    Abbildungen geodätischer Instrumente, Berlin 1892.

—    Anleitung zum Entwerfen graphischer Tafeln, Berlin 1877.

M.    de Vos, Leerboek der Lagere Geodesie, Groningen 1902/04.

A. Allgemeines.

1. Aufgabe und Einteilung der Geodäsie. Die Geodäsie oder Vermessungslehre lehrt diejenigen Methoden der Messung, Rechnung und Abbildung, welche zur Bestimmung der räumlichen Verhältnisse sowohl der gesamten Erdoberfläche als auch beliebig begrenzter Teile derselben dienen. Die Aufgabe der Geodäsie lautet daher in allgemeiner Fassung: Die Lage von Punkten der Erdoberfläche zu bestimmen und diese Bestimmung in irgend einer Weise auszudrücken, numerisch in Koordinaten und Messungsausweisen oder graphisch in Karten, Plänen, Bissen.

Als Grundlage dient allen diesen Bestimmungen die jedem Erdort eigentümliche Richtung der Schwerkraft (Lotrichtung oder Vertikale), die instrumenteil durch das Fadenlot oder die Libelle angegeben wird. Eine alle Lotrichtungen rechtwinklig durchschneidende Fläche heißt eine Niveaufläche; ihr einfachstes Beispiel ist die ruhende Meeresfläche, die man auch als „Geoid“ (mathematische Erdfigur) bezeichnet, indem man sie sich durch die Kontinente in geeigneter Weise fortgesetzt denkt. Die Erfahrung lehrt, daß, wie alle Niveauflächen in der Nähe der Erdoberfläche, speziell das Geoid mit großer Annäherung als schwach abgeplattetes Botationsellipsoid aufgefaßt werden kann, dessen kleine Achse in die Rotationsachse der Erde fällt¹).

Infolge der geringen Abplattung des Erdellipsoids kann man für Vermessungen, die sich nur auf kleine Gebiete beziehen, annehmen, daß alle Lotrichtungen des Messungsgebietes auf einer Kugeloberfläche senkrecht stehen, deren Mittelpunkt in der Erdachse liegt. Den Kugelradius wählt man am zweckmäßigsten so, daß die Kugel dasselbe Krümmungsmaß besitzt wie das Ellipsoid in dem betreffenden Gebiete, weil dann eine kleine Schale der Kugel ohne merkliche Änderung der Längen in die ellipsoidische Schale verbogen werden kann. Macht man die im vorstehenden angegebene Annahme, daß die betrachtete Niveaufläche eine Kugel sei, so tritt gegenüber dem Ellipsoid die Vereinfachung ein, daß die Vertikalebene in einem Punkte A der Kugel (d. h. eine durch das Lot in A gehende Ebene), die durch den Punkt B geht, identisch ist mit der Vertikalebene in B, die durch A geht, weil beide Ebenen den Kugelmittelpunkt enthalten. Zwei beliebige Punkte der Kugelfläche haben also eine gemeinsame Vertikalebene.

Ist das Vermessungsgebiet sehr klein, so kann man auch von der Konvergenz der Lotlinien ahsehen und diese als ein System von Parallelen betrachten; die Niveauflächen werden dann zu parallelen Ebenen.

Die Verschiedenartigkeit der in der Geodäsie zu behandelnden Aufgaben führt, ohne eine strenge Trennung, zu einer Teilung in verschiedene Zweige oder Arbeitsgebiete je nach dem Umfange des Vermessungsgebietes und der erstrebten Genauigkeit. Die Erdmessung (früher Gradmessung), welche die Bestimmung der mathematischen Erdgestalt zur Aufgabe hat, umfaßt als Messungsgebiet die ganze Erde. Die Landesvermessung legt ein bestimmtes Ellipsoid ihren Messungen zugrunde und hat die Aufgabe, auf dieser Grundlage für das gesamte Gebiet eines Staates eine einheitliche Ausmessung und Abbildung herzustellen, wobei Grundsteuerkatastervermessung und topographische Geländeaufnahme unterschieden wird. Die in Einzelfällen für die verschiedenartigsten Zwecke unternommenen Ausmessungen und Abbildungen, welche auf engbegrenzte Teile der Erdoberfläche beschränkt bleiben, rechnet man entsprechend zur Feld-(Land-) Messung, Forst-Vermessung, Gruben-Messxmg (Markscheiden). Daneben sind noch zu nennen die nautischen Messungen (Küstenvermessungen) sowie die Reiseiveg - A ufnahmen ((Routen, Itinerare), welche auch als geographische Landmessung bezeichnet werden.

Zur höheren Geodäsie rechnet man nun alle diejenigen Aufgaben, bei denen die Niveauflächen als Ellipsoide betrachtet werden müssen, zur niederen Geodäsie diejenigen, bei denen man mit der Annahme von kugelförmigen oder ebenen Niveauflächen auskommt.

Uber die Bedeutung des Wortes „Geodäsie“ sei angeführt, daß es ursprünglich Feld- (Acker-)einteilung bezeichnet; erst im Laufe des verflossenen Jahrhunderts hat der Begriff allmählich die heutige Erweiterung bis zur gesamten VermessungsWissenschaft erfahren. Die Geodäsie als Feldmessung war die rechnende, angewandte Geometrie (geometria practica) im Gegensatz zur reinen Geometrie, d. h. der reinen Raumlehre²). Die heute angewendeten Methoden fußen im wesentlichen auf den bei den ersten exakten Gradmessungen des 17. und 18. Jahrhunderts entwickelten; ihre im letzten Jahrhundert erfolgte fehlertheoretische Durchbildung verdanken sie, im Verein mit dem allgemeinen Fortschritt der exakten Wissenschaften, der Präzisionsmechanik und den gesteigerten Anforderungen an die Zuverlässigkeit geodätischer Arbeiten, vornehmlich der Einführung der Methode der kleinsten Quadrate, also dem Einflüsse von C. F. Gauß. Obwohl die in Betracht kommenden einfachen trigonometrischen Lösungen der wesentlichsten Feldmeßaufgaben längst bekannt waren, war bis vor rund 100 Jahren das Verfahren der Feldmessung hauptsächlich ein rein graphisches, d. h. man ging unter Benutzung von Winkelkreuz (groma), Astrolabium, Bussole und Meßkette, sowie besonders auch des Meßtisches, auf unmittelbare graphische Darstellung aus und konnte sich mit den einfachsten mathematischen Hilfsmitteln begnügen. Erst mit Anfang des 19. Jahrhunderts, der Zeit des Beginnes der ersten allgemeinen Landesvermessungen, ging man unter Anwendung des Theodolits nach und nach zu zahlenmäßigen Methoden und Punktbestimmung durch Koordinaten über, welche heute den Grundton der exakt rechnenden Feldmessung bildet.

Die Literatur ist entsprechend den zahlreichen und verschiedenartigen Methoden, der allmählichen Ausbildung und Anwendung derselben für mannigfache Zwecke (Grundsteuerkataster, Topographie, Ingenieurbauwesen, Bergbau) eine ebenso umfangreiche wie verschiedenartige, wobei auch besonders die Verschiedenartigkeit der Entwicklung des staatlichen Vermessungs wesens der verschiedenen Länder in Betracht kommt.

In der Literaturübersicht sind eine Anzahl der gebräuchlichen Lehr- und Handbücher genannt, unter denen das von W. Jordan die ausführlichsten Literatu rangaben enthält. Eine historisch'kritische Darstellung des deutschen Vermessungswesens geben W. Jordan und K. Steppes³). Von älteren Lehrbüchern möge das von J. T. Mayer⁴) zitiert werden, das früher sehr verbreitet war und jetzt einen interessanten Vergleich des heutigen Standes der Vermessungswissenschaft mit dem zu Beginn des verflossenen Jahrhunderts, unmittelbar vor Einführung der Methode der kleinsten Quadrate, bietet.

2. Die Grundgedanken des Messens an der Erdoberfläche und die Einteilung der Messungen. Bei den Vermessungen an der Erdoberfläche wählt man eine bestimmte Niveaufläche aus, die als Be-rechnungs- und Abbildungsfläche (lieferenzfläche, Vermessungsfläche oder Vermessungshorizont, Landeshorizont) zugrunde gelegt wird; gewöhnlich ist es diejenige Fläche, die in ihrer Fortsetzung mit der

Meeresfläche zusammenfällt. Um diese Fläche gegen den Erdkörper festzulegen, orientiert man einen Punkt (Indifferenzpunkt) durch Bestimmung der astronomischen Breite und Länge; bestimmt man dann noch das astronomische Azimut einer Richtung auf der Fläche, so kann man die Lage aller anderen Flächenpunkte zum Erdkörper lediglich durch Messungen auf der Fläche seihst bestimmen.

Um nun einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche festzulegen, projiziert man ihn vermittels der durch ihn gehenden Lotlinie auf die Vermessungsfläche. Kennt man dann den in der Lotlinie gemessenen Abstand des Punktes von der Bezugsfläche und außerdem die Koordinaten seiner Projektion in einem beliebigen Koordinatensystem auf dieser Fläche, so ist der Punkt eindeutig festgelegt. Die Veranlassung zu der angegebenen Bevorzugung der vertikalen Richtung ist die leichte Zugänglichkeit der Schwerkraftsrichtung. Überdies sind die Vermessungen meist in vertikaler Richtung viel weniger ausgedehnt als in horizontaler, und man pflegt deshalb die gesamten Messungen in Lagemessungen (Bestimmung der Lage der Projektion in der Bezugsfläche) und Höhenmessungen (Bestimmung des Abstandes von der Bezugsfläche) einzuteilen.

Hiernach ist die Definition der wesentlichsten Bestimmungsstücke ohne weiteres gegeben. Der in der Lotlinie gemessene Abstand eines Punktes von der Normalfläche ist die „Höhe“ (H) des Punktes; fällt die Normalfläche in die Meeresniveaufläche, so erhält man die „Meereshöhe¹¹. Die Beziehung der Normalfläche auf die Meeresniveaufläche ist gegeben, sobald an einem oder mehreren Punkten durch Pegelbeobachtungen (Mareographen) gewonnene „Mittelwasserstände“ zur Definition der Niveaufläche des Meeresspiegels eingeführt und in das geodätische Netz einbezogen sind⁵).

Zu einer kugelförmigen Normalfläche konzentrische Kugeloberflächen, welche durch die Messungspunkte an der Erdoberfläche hindurchgehen, entsprechen den „Horizont flächen“ der betreffenden Punkte; der Abstand (in den Lotlinien gemessen) dieser „Horizonte“ entspricht dem „Höhenunterschied Ah“ der betreffenden Punkte. Die horizontale Entfernung (s) zweier Punkte („Länge, Linie, Strecke“) ist der kürzeste Abstand ihrer Lotlinien, gemessen auf der angenommenen mathematischen Erdoberfläche. Die unmittelbare Verbindungslinie zweier Punkte der Erdoberfläche, welche nicht dem gleichen Horizont angehören, ist die „geneigte“ oder „schiefe“ Entfernung sn. Der Winkel, den diese geneigte Verbindungslinie sn zweier Punkte mit dem positiven Zweige der Lotlinie in einem Punkte bildet, ist der „Zenit-winkel“ („Zenitdistanz“) (z), der ihn von der Wagerechten aus winkel werden von 0° bis 180°, Höhenwinkel von 0° bis 90° mit Vorzeichen + (Höhen-, Tiefenwinkel) gezählt.

zum rechten Winkel ergänzende, genommene, der „Höhenwinkel“ (a). Zenit-

Ist ein ganzes System von im Gelände bezeichneten Punkten Px ... Pn in Bezug auf einen Ausgangspunkt Pa zu bestimmen, so denkt man sich die Lotebenen sämtlicher Punkte in Bezug auf Pa hergestellt, was durch Drehung einer durch die Lotlinie von Pa gehenden Lotebene erreicht wird, indem das Maß der Drehung im Horizont von Pa verzeichnet oder an einem zentrisch und rechtwinklig auf die Lotlinie von Pa gesetzten Kreis [„Horizontalkreis“) gemessen wird. Es ergibt sich das „Horizontal-Richtungssystem“, die „Richtungen“ rt ... rn. Das einfachste Horizontal-Richtungssystem ist der Horizontalwinkel z. B. w₁₂ — r.₂ — rx\ das Richtungssystem rx . . . rn kann auch durch beliebige Winkelangaben, z. B. w₁₂, w₁₃ ... wln oder w₁₂, w₂₃ usw. ausgedrückt werden.

„Geneigte (schiefe) Winkel“, d. h. in der Ebene des Ausgangspunktes Pa und zweier Zielpunkte Px und P₂ gemessene Winkel, kommen seit Einführung des Theodolits, welcher selbsttätig projiziert, kaum noch in Betracht⁶).

3. Übersicht der Methoden. Einen Überblick über die wesentlichsten geodätischen Verfahren und die dazu erforderlichen Hilfsmittel gibt die nachfolgende Zusammenstellung.

Grundlegend ist:

a)    Die Absteckung gerader Linien zwischen Punkten der Erdoberfläche und Messung ihrer Entfernung auf Grund einer bestimmt definierten Maßeinheit (V 1 (C. Runge)). Die Längenmessung erfolgt entweder mit einfachen Feldmeßinstrumenten oder, wenn größere Genauigkeit erreicht werden soll, mit Hilfe besonderer Apparate (Basisapparate).

b)    Die Messung von Winkeln und zwar meistens von Horizontaloder Vertikalwinkeln. Als Meßinstrument dient der Theodolit oder auch untergeordnete Instrumente wie Winkelscheibe (Astrolabium) und Bussole (Kompaß) für Horizontalwinkel, Höhen- oder Neigungsmesser mit Senkel, Pendelkreis oder Libelle für Vertikalwinkel, und Sextant (Prismenkreis) für beliebige Winkel.

Aus diesen grundlegenden Messungsverfahren ergeben sich die verschiedenen zusammengesetzten Bestimmungsmetboden und zwar

für die Lagemessung:

a)    Triangulierung (Dreiecksmessung) auf Grund von Basismessung und Theodolit-Horizontalwinkelmessung in stufenweise aufeinander gegründeten Dreieckssystemen.

b)    Polygonisierung (polygonale Zugmessung) mit Messung von Längen und Horizontalwinkeln (Theodolit, ev. Sextant) oder von magnetischen Azimuten (Bussole) in gebrochenen Linienzügen, in der Regel auf Grund einer Triangulierung.

c)    Kleinaufnahme durch Anwendung von Längen- und Winkelmessung bezw. Absteckung auf Grundlage von Triangulierung und Polygonisierung oder auch unabhängig davon. Hierzu gehört auch die Absteckung gerader und krummer Linien (Linien-, Tunnel-, Kurvenabsteckung).

d)    Meßtischaufnahme, d. h. unmittelbare Übertragung der Punktlage auf die Zeichnungsfläche des Meßtisches im Anschluß an eine Triangulierung oder Polygonisierung sowie auch unabhängig davon.

Für die Höhenmessung:

a)    Nivellierung bei Verwendung des Nivellierinstrumentes mit horizontalen oder uahe horizontalen kurzen Ziellinien und lotrechten Skalen. Hierhin gehören auch dem geometrischen Prinzip nach die hydrographischen bezw. nautischen Tiefenmessungen, wobei die Wasseroberfläche den Nivellierhorizont bildet.

b)    Trigonometrische Höhenmessung bei Verwendung geneigter Ziellinien und Messung von Vertikal winkeln mit dem Theodolit in der Regel auf der Grundlage einer Horizontaltriangulierung, oder auch kurzer schiefer Linien (Meßbänder, Schnur, z. B. bei Grubenmessungen) mit Höhenbogen, Hängebogen usw.

c)    Barometrische Höhenmessung in der Regel mit dem Federbarometer (Aneroid) für Geländeaufnahme bei bekannter Punktlage.

Neuerdings sind auch die sogenannten „tachy metrischen Methodenu weiter ausgebildet worden. Charakteristisch für diese ist die Ersetzung der direkten Längenmessung durch die indirekte Distanzmessung und die Vereinigung der trigonometrischen Höhenmessung und der Lagemessung. Zur Verwendung kommen dabei die verschiedenartigsten

tachymetrischen Instrumente. Über die ebenfalls in diesen Abschnitt gehörige Photogrammetrie vergleiche man den nächsten Artikel dieses Bandes (S. Finsterivolder).

Auf die Ergebnisse der angeführten Messungsmethoden und deren rechnerische Auswertung durch Koordinaten und Abrisse gründet sich dann die Abbildung der Erdoberfläche (vgl. VI l, 4 (R. Bourgeois)), bei der die mannigfachsten Zeichenhilfsmittel zur Verwendung kommen. Die Abbildung erfolgt bei ausgedehnten Gebieten mit Berücksichtigung der Erdkrümmung (Kartenprojektionen). Wird die Geländedarstellung durch Höhenschichtlinien und Bergstriche besonders berücksichtigt, so liegt eine topographische Abbildung vor; wird dagegen die exakte Darstellung aller Einzelheiten im Grundriß, vornehmlich der Eigentums- und Kulturgrenzen, angestrebt, so handelt es sich um geometrische Kartierung.

Eine weitere Verwendung finden die Messungen zur Berechnung von Flächeninhalten unmittelbar aus den gemessenen Zahlenwerten, aus Koordinaten oder auf Grund einer Karte mit Benutzung verschiedenartiger Hilfsmittel (Planimeter). Hierhin gehört auch die Teilung von Grundflächen (Felderteilung).

4. Allgemeines über die Anwendung der Ausgleiehungsrech-nung. Die Anordnung der Messungen ist gegründet auf die Sätze der Fehlertheorie nach der Methode der kleinsten Quadrate, die, nachdem sie von C. F. Gauß aufgestellt waren, sofort Eingang in die Vermessungskunde fanden. Dafür wirkten zuerst besonders Ch. L. Gerling und G. H. L. Hagen'¹). Die Gauß’sehe Originalanordnung der Ausgleichung von Kleintriangulierungspunkten ist erst neuerdings bekannt geworden⁸).

Als allgemeines Fehlermaß gilt der „mittlere Fehler“; der „wahrscheinliche“ Fehler sowie der „durchschnittliche“ werden seltener gebraucht. Die Genauigkeit amtlicher Messungen bis herab zu den Kleinmessungen wird durch die auf dem „mittleren Fehler“ beruhenden „Fehlergrenzen“, deren Innehaltung vorgeschrieben ist, reguliert. Die Fehlergrenzen werden in den Vermessungsanweisungen in der Regel etwa gleich dem dreifachen Betrag des „mittleren Fehlers“ festgesetzt. Diese Annahme beruht einerseits auf der Fehlerwahrscheinlichkeit nach dem 6r«w/f sehen Fehlergesetz, andererseits auf praktischen Erwägungen⁹). Die mittleren Fehler werden aus besonderen Unter -

7)    Vgl. C. Reinhertz, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 1.

8)    Carl Friedrich Gauß’ Werke, 9. Bd., Göttingen 1903.

9)    Jordan, Handbuch 1, Kap. V. Vgl. auch A. BlümcTce, Zeitschr. f. Vermess. 26 (1897), p. 51, 276, 561; 27 (1898), p. 313; 30 (1901), p. 229.

sucliungen und bei praktischen Vermessungen aus den gegen die Aus-gleiehungsergebnisse übrigbleibenden Abweichungen gewonnen. Bei den unter den verschiedenartigsten Verhältnissen auszuführenden und aus mannigfachen Elementen sich zusammensetzenden Messungen der niederen Geodäsie ist eine strenge Fehlertrennung und das Ausscheiden systematischer Fehler nicht möglich; die Reste der systematischen Fehler gehen mit zum Teil erheblichen Beträgen in die zufälligen über. Gegebenen Falls werden vorliegende Fehlerreihen nach dem Gauß'sehen Fehlergesetz geprüft. Die Grundlage für die Berechnung der Einwirkung der unmittelbaren Beobachtungsfehler auf die daraus abgeleiteten Ergebnisse (Funktionen der Beobachtungen) bildet das allgemeine „Fehlerfortpflanzungsgesetz“ für die Funktion X = fix, y,0,...):

Mx =

worin x, y, z, . . . Beobachtungsgrößen, Mx, mx, my, mz, . . . die entsprechenden mittleren Fehler von X, x, y, z, . . . bedeuten. Für die einfachen linearen Beziehungen, z. B. den Fehler der Summe von unabhängigen Einzelbeobachtungen (ohne Rücksicht auf systematische Fehler) X = xx -f- x₂ -f- xa -----\~ xn hat man

Mx= + mxyn,

sog. „QuadratwurzelgesetzFür Messungen ungleicher Genauigkeit wird der Begriff des „Gewichtes" p verwendet, wobei die Beobachtung, der man das Gewicht 1 beilegt (Gewichtseinheit), passend gewählt wird. Z. B. kann bei Richtungsmessungen mit dem Theodolit genommen werden eine aus Beobachtung in zwei Fernrohrlagen gemittelte (somit von den Instrumentachsenfehlern befreite) Richtung; bei Längenmessungen kann genommen werden die Messung einer bestimmten Strecke, z. B. 100 m oder 1000 m; für Nivellierung wird z. B. angenommen die einmalige Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen zwei Punkten, deren horizontale Entfernung 1 km ist. Die mittleren Fehler ergeben sich aus den bei der Ausgleichung übrig bleibenden plausibelsten Fehlern; sie können unter Umständen auch aus wahren Fehlern berechnet werden, z. B. bei Längenmessungen oder bei Nivellierungen aus der Vergleichung der Hin- und Rückmessungen ⁷).

Es ist wünschenswert, daß für eine gemessene Größe immer der mittlere Fehler bestimmt wird; jedoch ist bei Genauigkeitsschätzungen zu beachten, daß in den berechneten mittleren Fehlern vielfach nur der Einfluß der zufälligen Beobachtungsfehler, nicht aber der der systematischen Fehler erscheint.

„Grobe Fehler“ sind bei dem umfangreichen, bei Vermessungen zu behandelnden Zahlenmaterial, bei den mit der Ausdehnung der Einzelaufnahmen zahllos werdenden, häufig unter schwierigen Verhältnissen und äußeren Störungen zu nehmenden Ablesungen, unvermeidlich. Daher ist es Grundsatz, daß jede weiter zu gebrauchende Messungszahl einwandfrei kontrolliert wird; eine einfache unkontrollierte einmalige Ablesung oder Messung z. B. eines Winkels, einer Länge usw. ist geodätisch unbrauchbar. Die somit für jede Messung erforderliche Probe kann eine unabhängige Nachmessung sein oder eine indirekte Probe, wie Abschluß auf gegebene Werte, oder Verknüpfung durch eine bekannte Beziehung, z. B. Hypotenuse für zwei Katheten, Summe der Dreieckswinkel usw. Die Lehre von der Anordnung der Messungsproben ist eine wichtige Aufgabe der V ermessungskunde.

Um das Anwachsen der Messungsfehler innerhalb möglichst enger Grenzen zu halten, wird eine systematische Gliederung der Messungen angewendet derart, daß untergeordnete Systeme („Netze“) in übergeordnete eingefügt werden, d. h. man „arbeitet vom Großen ins Kleine“. Dies gilt in erster Linie für die Anordnung exakter Landesvermessungen, in gleichem Sinne aber auch ebenso für räumlich eng begrenzte Aufnahmen. Bei den Landesvermessungen z. B. wird die Grundlage durch ein System von Dreiecken (Ketten und Netze) gebildet, in welche der Reihe nach untergeordnete Punktsysteme eingeschaltet werden, so daß das zu bearbeitende Gebiet zunächst mit möglichst einfach gegliederten Systemen, also mit weitmaschigen Netzen, überzogen wird, in die sich die der Natur der Sache nach immer verwickelter gestaltenden Kleinsysteme einfügen lassen. Die Hauptsysteme werden dementsprechend durch möglichst wenige, aber möglichst scharf gemessene Elemente bestimmt. Jedes nach solchen Gesichtspunkten gemessene übergeordnete System gilt für das untergeordnete als fehlerfrei. Die richtige Bemessung des Genauigkeitsverhältnisses der einander unter- bezw. übergeordneten Systeme ist eine wichtige Frage der Vermessungstechnik. Diese Systeme werden je für sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ausgeglichen, sodaß das übergeordnete System das „Soll“ für die weiteren Systeme angibt. Es handelt sich also um eine fortgesetzte Einschaltung untergeordneter Systeme in übergeordnete.

Die Ausgleichung der Hauptsysteme für umfangreiche Ver-

messungen geschieht stets nach der Methode der kleinsten Quadrate, und zwar nach „vermittelnden“ oder „bedingten“ Beobachtungen⁸); ob das eine oder andere Verfahren anzuwenden ist, wird von Fall zu Fall nach der Anordnung der gerade vorliegenden Systeme entschieden⁹). Für die untergeordneten Systeme werden mit Rücksicht auf die sich mehr und mehr komplizierenden Beziehungen (Zusammenfassung von Winkel- und Längenmessungen) vielfach Näherungsausgleichungen („Fehlerverteilungsverfahren“ und „graphische“ Ausgleichungen) verwendet. Diese werden als berechtigt und zweckmäßig angesehen, wenn sie eine praktisch in Betracht kommende Erleichterung der Arbeit herbeizuführen imstande sind und die Einbuße an Strenge zulässig erscheint. Im übrigen läßt sich hei zweckmäßiger Anordnung der Rechnungen und Beiseitelassung überflüssigen Zahlenhallastes die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate so einfach gestalten, daß sie für den größten Teil der in der niederen Geodäsie vorkommenden Ausgleichungen als das bequemste und zuverlässigste Interpolationsverfahren betrachtet wird, welches, wenn auch in den Gewichtsansätzen oder deren Vernachlässigung, sowie in der Anordnung der Ausgleichungssysteme eine gewisse Willkür bestehen bleibt, doch die Ausgleichung an eine streng kontrollierbare, einwandfreie Methode bindet und auf jeden Fall eine willkürfreie Fehlerberechnung für die Ausgleichungsergebnisse zuläßt. Die Fehlerberechnungen sind von wesentlichster Bedeutung für die Kritik und Ausbildung der Messungsmethoden.

Über die Literatur, die sich speziell auf die Anwendung der Ausgleichungsrechnung in der Geodäsie bezieht, sehe man die Literaturübersicht nach. Im übrigen sei auf die Angaben in dem Artikel „Ausgleichungsrechnung“, I D 2 (-7. Bauschinger) verwiesen.

Die umfangreiche Anwendung der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, besonders für die zahlreichen Punktbestimmungen der Kleintriangulierung, hat ebenso wie für die übrigen Rechnungen der niederen Geodäsie zum Gebrauch von Rechen-„Formularen“ geführt, welche für die amtlichen Arbeiten in den „Vermessungsanweisungen“ vorgeschrieben sind¹⁰). Für die Rechenschärfe gilt im allgemeinen, daß die Rechenunsicherheiten von niederer Ordnung als die Messungsfehler sein müssen und keine neuen Unsicherheiten in die Bestimmungen hineinbringen dürfen, daß aber

überflüssiger Zahlenballast zu vermeiden ist. Darauf gründet sich z. B. die sehr empfehlenswerte Verwendung des einfachen Rechenschiebers bei den Ausgleichungsrechnungen der niederen Geodäsie¹¹ 12).

Ebenso wie die Anordnung der Messungen und die Rechnungen gründen sich auch die für den rationellen Gebrauch der geodätischen Instrumente maßgebenden Gesichtspunkte auf die Fehlertheorie. Der durch diese ermöglichten einwandfreien Kritik der Instrumentleistungen ist im Verein mit der Ausbildung der Präzisionsmechanik der Fortschritt in der Entwicklung der geodätischen Instrumente im letzten halben Jahrhundert in erster Linie zu verdanken. Die einzelnen Glieder (Organe), aus denen sich die Instrumente zusammensetzen, müssen in Bezug auf Leistung und Anordnung einander und dem Prinzip des Instrumentes entsprechen. Für diese Anordnung bleibt ein gewisser Spielraum, sodaß sich mannigfaltige Instrumenttypen ergeben, wobei die für ein Messungsverfahren jeweils zu erreichende und vorher bestimmte Genauigkeit sowie weitere Gesichtspunkte, z. B. schnelle und sichere Aufstellung, maßgebend sind. Im Vermessungswesen handelt es sich nicht darum, in jedem Fall mit allen möglichen Mitteln die weitgehendste Genauigkeit zu erreichen, sondern vielmehr darum, innerhalb vorgesehener Genauigkeitsgrenzen die gesuchten Resultate mit dem geringsten Aufwand an Arbeit und Kosten zu gewinnen. Dazu führt die Anwendung der Fehlertheorie in der geodätischen Beobachtungstechnik und die Fehlerdiskussion a priori.

5. Instrumentelle Hilfsmittel. Uber die instrumentellen Hilfsmittel mögen, da ihre Darstellung nicht im Plane der Encyklopädie liegt, nur wenige Worte hier Platz finden. Die den beiden hauptsächlichsten Feldmeßinstrumenten, Theodolit und Nivellierinstrument, gemeinschaftlichen Teile sind „Libelle“ und „Meßfernrohr“.

Die Libelle. Verwendet werden „Röhrenlibellen“lh), deren „Empfindlichkeiten“ oder „Angaben“ (d. i. zu einem Strich Ausschlag gehöriger Winkelwert) zwischen den Grenzen von rund 5" und 50" liegen, wobei 1 Strich der Libellenteilung gleich 1 Pariser Linie oder neuerdings auch gleich 2 mm genommen w ird, so daß die Krümmungsradien der tonnenförmigen Schlifffläche¹³) etwa zwischen 80 m und 8 m betragen, bei untergeordneten und besonders Freihand-Instrumenten kommen noch

stärkere Krümmungen yor. „Dosenlibellen“ werden an gröberen Instrumenten sowie zur allgemeinen Einstellung feinerer Instrumente gebraucht; die Radien der Kugelhauben liegen rund zwischen V₂ m und 2 m. Zur Bestimmung der Angaben von Röhrenlibellen und zur Prüfung des Schliffes dient der Libellenprüfer mit Mikrometerschraube (Legebrett). Die innere Fläche der Röhrenlibelle, an der die Blase spielt, ist nach allen Richtungen gekrümmt: derjenige in der Mitte der Fläche verlaufende Hauptschnitt, in dem die Krümmung am geringsten ist, enthält die Libellenadise, die als Tangente an den genannten Hauptschnitt im Hauptstrich der Libellenteilung definiert ist. Ist die Libellenachse der Verbindungslinie der Aufsatzpunkte der Libelle parallel, so ist diese kreuzungsfehlerfrei, was man daran erkennt, daß die Blase ihre Lage bei Drehung der Libelle um die durch die Aufsatzpunkte gehende Gerade nicht ändert. Die Libelle dient dazu, Achsen vertikal und horizontal zu stellen¹⁴). Eine Achse ist vertikal, wenn eine fest mit ihr verbundene Libelle bei der Drehung um die Achse ihre Einstellung nicht ändert. Um die Horizontalität einer Achse zu prüfen, wird die Libelle auf ihr umgesetzt (d. h. um 180° gedreht); ändert sie dabei ihre Einstellung nicht, so ist unter der Voraussetzung, daß kein Kreuzungsfehler vorhanden, die Achse horizontal. Spielt bei vertikaler oder horizontaler Achse die Libelle auf den Hauptstrich ein, was für die Benutzung der Libelle nicht notwendig, aber bequem ist, so heißt sie „berichtigt“; in der niederen Geodäsie arbeitet man meistens mit berichtigter Libelle. Die Genauigkeit der Libelle als Lot- und Horizontierinstrument ist, abgesehen von Nebenumständen, abhängig von der Steigkraft der Blase, welche im allgemeinen mit der Größe der Blase und der Stärke der Krümmung der Schliffkurve zunimmt. Die Genauigkeit der Libellen ist von C. Reinhertz¹⁵) untersucht.

Das Meßfernrohr. Die an den geodätischen Instrumenten in Betracht kommenden Fernrohre sind stets Kepler sehe (astronomische) mit Okularen nach Ramsden, Huygens oder auch orthoskopischen Okularen. Die Vergrößerung liegt etwa zwischen den Grenzen 10—45 fach, und dementsprechend gehen die Objektivöffnungen bis zu rund 45 mm, die Brennweiten bis zu 50 cm. Das Fadenkreuz¹⁶) wird meistens durch ein einfaches, sich rechtwinklig schneidendes Fadenpaar gebildet (Vertikal-, Horizontalfaden); anstatt des einfachen Vertikal -zielfadens wird auch ein mit rund 1—iy₂ mm scheinbarem Abstand angeordneter Zieldoppelfaden benutzt, dessen Mittellinie die Einstellebene angibt. Bei Arbeiten im Dunkeln (im Tunnel, in der Grube beim Markscheiden) wird Beleuchtung des Fadenkreuzes durch Lichtwerfer vom Objektiv aus, durch die hohle Horizontalachse oder auch vom Okular aus angewendet. Bei den Fadendistanzmessern (vgl. Nr. 19) treten die zum Mittelfaden parallelen Distanzfäden hinzu, wobei dann auch die Fernrohranordnung nach Porro (vgl. p. 86) zur Anwendung kommt. Von Wichtigkeit für die Verwendung des Meßfernrohrs ist die damit zu erzielende Ablesegenauigkeit an Skalen (Nivellier- und Distanzskalen). Darüber ist eine Untersuchung von HeAnhertz¹⁷) angestellt.

Der Zielfehler der Meßfernrohre beim Einstellen auf scharf be-zeichnete Ziele kann bis auf einige Zehntel Sekunden herabgebracht werden; bei Einstellung auf die bei Vermessungen verwendeten Ziele (Signale, Kirchtürme, Stäbe usw.) liegt der Fehler im allgemeinen etwa zwischen y₂" und 3", wobei Durchsichtigkeit der Luft, Flimmern, Beleuchtung, Hintergrund, Form des Signales usw. neben der Leistung des Fernrohrs an sich eine erhebliche Rolle spielen, und noch zu unterscheiden ist, ob es sich um Einstellungen des Vertikal- oder Horizontalfadens (Horizontal- oder Vertikalwinkelmessung) handelt¹⁸).

Bezüglich der weiteren Untersuchungen der verschiedenen geodätischen Instrumente, ihre „Berichtigung“ (Justierung), Bestimmung der Konstanten usw. ist zu verweisen auf die genannten geodätischen Lehr- und Handbücher¹⁹).

B. Die fundamentalen Messungen.

6. Die Längenmessung. Grundlegend für alle Lagemessungen ist die „Längenmessung“. Zur unmittelbaren Längenmessung dienen hölzerne Maßstäbe (Meßlatten, 3, 4, 5 m lang) mit stählernen Endflächen oder Endschneiden, oder „Stahlmeßbänder¹¹ oder „Meßdrähte“ (10, 20, 25 bis 100 m lang). Die Maßbezeichnung ist für die Latten stets die der Endmaße, sodaß die Mittellinie zwischen den Endflächen oder Endschneiden den Maß wert angibt; Meßbänder sind entweder als Endmaße (Meßbandstabmittellinie) oder als Strichmaße (Anlegemarken) aufzufassen. Die Unterteilung erfolgt in in, dm, cm. Die früher sehr gebräuchliche „Meßkette“ (Gliederkette aus Draht) findet wegen der Veränderlichkeit der Glieder bei exakten Arbeiten keine Verwendung mehr; der „Feldzirkel“, ein Stab mit rechtwinklig zu seiner Längsachse angebrachten Endspitzen, sowie das „Meßrad“ mit Zählwerk (Hodometer) kommen nur für vereinzelte Fälle in Betracht. Der Maßwert²⁰) der Stäbe und Bänder wird durch „Maßvergleichung“ mit Normalmaßen (Kontrollnormalen) bestimmt; es ist leicht, die Vergleichung auf 0,1 mm genau auszuführen. Nach vielseitigen Erfahrungen und Untersuchungen²¹) ist die Längenänderung von Holzmaßstäben abhängig von Luftfeuchtigkeit und Temperatur derart, daß für einen Stab von 1 m Länge die Längenänderungen 0,3 mm betragen können. Da bei langen Stahlbändern und Meßdrähten die Länge von der Spannung stark abhängig ist, werden für feinere Meßbandmessungen bei Vergleichung und Messung Spannungsmesser (Feder dynamometer) eingeschaltet, um eine konstante Spannung zu erzielen.

Die Ausführung der Längenmessung erfordert: 1) Ausrichten der lotrechten Richtungsebene („Linie“) zwischen den Punkten, deren „Entfernung“ zu bestimmen ist; zur Bezeichnung dienen Absteckstäbe, Pfähle usw., in besonderen Fällen auch ausgespannte Schnüre. Die Aussteckung geschieht mit freiem Auge, oder mit einem Handfernrohr oder mit dem Theodolit (Abloter, Alignementsfernrohr). 2) Einrichten der einzelnen Meßlage (Meßstab, Meßband) in die ausgesteckte Richtungsebene. 3) Einrichten der einzelnen Meßlage innerhalb der Richtungsebene in vertikalem Sinne, entweder a) horizontal, oder b) geneigt, mit Ableitung der Reduktion auf horizontale Lage; die Einrichtung in die horizontale Lage geschieht entweder durch einfache Schätzung (nach Lotschnur oder Lotstab) oder mit Hilfe der Setzlibelle (Setzwage); zur Reduktion der geneigten Lage auf die horizontale wird entweder die Neigung mit der Libelle (Lattenreduktor) gemessen, oder der Vertikalwinkel parallel zur Meßlage (gleich lange Zielstäbe) mit einem Freihandhöheninstrument (Pendel- oder Libellenhöhenkreis) genommen, oder auch der Höhenunterschied h zwischen Anfangs- und

Endpunkt der Meßlage benutzt (vgl. Abschnitt Höbenmessung). Die horizontale Lage ist danach s₀ — sn cos a, oder bei Verwendung des Höhenunterschiedes

li-

tCI

Zur Ableitung der Reduktion dienen Tabellen und anderweitige Hilfsmittel. 4) Aneinanderreihung der einzelnen Meßlagen; bei unebenem Gelände und horizontaler Meßlage, der sog. „Staffelmessung“, geschieht die Aneinanderreihung durch Ablotung mit Fadenlot oder Lotstab und Libellenstab. Die „Entfernung“ zweier Punkte ergibt sich demnach durch dies Meßverfahren als die Summe der Projektionen der einzelnen Meß lagen im Messungshorizont. Um die Entfernung s aus dem Messungshorizont auf die Vermessungsfläche (Landeshorizont) zu projizieren, ist die Reduktion

-)

(H m S\R

anzubringen, wo II die Höhe des Messungshorizonts und H den Erdradius bedeutet. In der niederen Geodäsie ist diese Reduktion meistens zu vernachlässigen.

Die bei der Längenmessung entstehenden Fehler sind ihrer Natur nach teils regelmäßige, welche proportional der durchmessenen Länge fortschreiten, teils unregelmäßige, welche mit der Quadratwurzel aus der Anzahl der Meßlagen wachsen. Zu den ersteren gehört die Ausweichung der Meßstangen in horizontalem und vertikalem Sinne, die Durchbiegung und bei absoluten Messungen der Fehler des Maßstabs. Man hat die Abhängigkeit des Fehlers von der Länge in verschiedener Form zum Ausdruck gebracht²²). Wenn f der regelmäßige, u der unregelmäßige Fehler ist, so hat man 1) 1//'V -j- u²s, oder je nach dem Vorherrschen der einen oder anderen Fehlerart 2) fs (prozentualer Fehler), 3) «ej/s (sog. Quadratwurzelgesetz); unter Hinzunahme des Ablesefehlers a (Abrundung, Punktbezeichnung) wird die Beziehung 1) zu la) ]/a²-{-/“²s²-|-w²s; man hat auch angewendet a -}- fs -j- u]/s und a -J- fs. Als Ausdruck der praktisch als erreichbar angenommenen Genauigkeit seien einige in verschiedener Form ausgesprochene „Fehlergrenzen“ der amtlichen Vermessungsanweisungen (Maximalabweichung zwischen Messungen, deren Betrag etwa dem 3- bis 4 fachen mittleren Fehler entspricht) für Feldmessungen in günstigem Gelände angeführt: Preußen 0,01]/4s -f- 0,005 • s², Württemberg 0,01]/s -}- 0,0005 • s, Elsaß-Lothringen 0,006]/s -(- 0,00040 • s -j- 0,05, Österreich 0,005)/$ -j- 0,00015 s -f- 0,015, wobei s in Metern zu rechnen ist. Als zulässige relative Abweichung wird etwa Yiooo bis Y2000 genommen. Eine neuere Untersuchung über die Fehler der Längenmessung gibt Reinhertz²*). Bei Messung auf besonders hergerichteten Unterlagen (Eisenbahnschienen usw.) ist eine erheblich höhere Genauigkeit zu erzielen; während z. B. bei Messung kurzer Linien (einige 100 m) auf ebenen Straßen die zwischen verschiedenen Messungen derselben Linie auftretenden Abweichungen leicht innerhalb weniger cm zu halten sind, ist das bei Messung auf Schienen oder längs gespannter Schnüre für Strecken von 1000 m möglich (Y₃₀ooo bis Y Umständen erreichbar). Genauigkeit (Y200000 keit vereinigt das Messungsverfahren von Jäclerin mit Metalldrähten, dem neuerdings durch Benutzung eines gegen Temperaturänderungen fast unempfindlichen Nickelstahls (Invar) als Drahtmaterial eine be-besonders praktische Form gegeben ist. Die exaktesten Bestimmungen geben die zur Beschaffung der fundamentalen Längen der Triangulation dienenden Basisapparate (vgl. YI 1, 3).

ist unter besonderen

100000

und mehr) und Schnellig-

7. Die Winkelmessung.

7 a. Der Theodolit. Das Hauptwinkelmeßinstrument der Geodäsie ist der Theodolit. Uber Geschichte und Etymologie vgl. R. Wolf²³ 24 25) sowie die Handbücher von Chr. Vogler und Jordan²*) mit weiteren Literaturangaben. Der Grundgedanke des Instrumentes, welches meistens Horizontal- und Vertikalwinkel gleichzeitig, aber unabhängig voneinander zu bestimmen gestattet, läßt sich zurückverfolgen bis zur Blütezeit der Araber im 8. Jahrhundert; aber das im 15. bis 17. Jahrhundert oft in großen Dimensionen hergestellte Instrument ist erst in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zuerst durch englische Mechaniker zum transportablen und exakten geodätischen Instrument ausgebildet worden und seit Beginn des 19. Jahrhunderts zur allgemeinen Anwendung gelangt, indem die Kreisscheibeninstrumente (Astrolabien) sowie die Positionswinkelinstrumente (vgl. p. 11) einschließlich der Reflexionsinstrumente (Sextant usw.) aus der Feldmessung verdrängt wurden.

Das Konstruktionsprinzip des Instrumentes ist unmittelbar in dem p. 11 angegebenen Grundgedanken des Messens an der Erdoberfläche enthalten, wonach die Richtungswinkel bestimmt werden durch Drehung um die Vertikale des Messungspunktes, sodaß der Theodolit als Polarkoordinateninstrument bezeichnet werden kann. Hauptachse ist die auf dem „Dreifuß“ aufgestellte „Vertikalachse“ (stehende Achse), welche mittels der Fußschrauben nach einer Libelle (p. 17) lotrecht gerichtet wird. Die vom Oberbau getragene „Horizontalachse“ („Kippachse“, liegende Achse) liefert mit der rechtwinklig mit ihr verbundenen Ziellinie des „Meßfernrohrs“ (p. 18) die in den lotrechten Richtungsebenen wirkende Projektionsvorrichtung. Diese mit Hinzunahme der Ablesezeiger wird als „Alhidade“ bezeichnet. Zur Nivellierung der „Horizontalachse“ dient die Horizontalachsenlibelle oder auch die Vertikalachsenlibelle, wobei dann Prüfung auf richtige Ablotung in den Richtungsebenen erforderlich wird (Prüfung durch Projektion in zwei um 180° abstehenden Lagen der Kippachse, Durchschlagen, mit künstlichem Horizont usw.). Für das Achsensystem des Instrumentes ergibt sich demnach als Bedingung: Hauptachse vertikal, Kippachse horizontal, Zielachse des Meßfernrohrs rechtwinklig zur Kippachse (sog. Kollimation). Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so entstehen Projektionsfehler; die Abweichungen der Kippachse und der Zielachse erscheinen in doppeltem Betrage bei Einstellung eines Punktes in „zwei Lagen des Fernrohrs“, welche durch „Durchschlagen“ bezw. „Umlegen“ des Fernrohrs um die Kippachse und Drehung um die Vertikalachse um 180° hergestellt werden. Auf diese Weise können die Fehler erkannt, „berichtigt oder durch Messung in zwei Fernrohrlagen und Mittelbildung im Resultate beseitigt werden. Wegen der Ausführung der Prüfung und Berichtigung ist auf die in der Literaturübersicht genannten Handbücher zu verweisen. Wird der Zielachsenfehler (Kolli-mationsfebler) mit c, der Horizontalachsenfehler mit i, der Vertikalachsenfehler mit v bezeichnet, so sind für eine Ziellinie mit dem

Höhenwinkel h die einzelnen Reduktionen ^; itgh] ietgh, worin iv

die durch v erzeugte Horizontalachsenabweichung bedeutet. In der niederen Geodäsie wird von der Reduktion nach diesen Formeln kein

Gebrauch gemacht, sondern das Instrument „berichtigt“ oder die Fehler durch „Durchschlagen“ des Fernrohrs eliminiert, nur in Ausnahmefällen kommt eine Bestimmung in Betracht, wobei dann für sehr steile Zielungen i durch eine Horizontalachsenlibelle für jede einzelne Richtung besonders zu bestimmen ist.

Der Durchmesser der Horizontalkreise (Limbus) beträgt je nach dem Zweck des Instrumentes etwa 10—26 cm (4—10 Zoll). Die Kreisteilung ist entweder die 360°-Teilung (sog. alte Teilung) oder 400g-

Teilung (sog. neue Teilung). Die für die trigonometrischen Rechnungen bequemere 400⁸-Teilung hat neben der alten Teilung nach und nach an Boden gewonnen. Der Umstand, daß hei den die Grundlagen liefernden Messungen der höheren Geodäsie die „alte Teilung" beibehalten wird, steht der Verallgemeinerung der „neuen Teilung" entgegen. Da in der niederen Geodäsie die Winkelmessung lediglich zur Vermittlung der Kenntnis linearer Größen dient, und die gemessenen Winkel oder Richtungen nicht als ein selbständiges Ergebnis wie die Winkelkoordinaten (Polhöhe, Länge) der höheren Geodäsie und Astronomie (Nautik) zu betrachten sind, und weiterhin die Anwendung der einen oder andern Teilung nichts an Prinzip und Genauigkeit der Messungen ändert, so kann die Festsetzung der Teilungsart als eine besondere Frage der Rechentechnik behandelt werden. Bei den preußischen Katastervermessungen²⁶ 27) z. B. sind (bei Vorherrschen der alten Teilung) beide Teilungsarten nebeneinander zulässig. (Bei den Zahlenangaben dieses Referates ist nur 360°-Teilung angewendet.) Der Kreis wird je nach dem Durchmesser in y,⁰, Y₂°, ys°, Y₆⁰³⁰) geteilt und entsprechend der allgemeinen Richtungszählung (vgl. p. 11) rechtsläufig (Uhrzeigerbewegung) beziffert. Zur Ablesung dient: Nonius²⁸), Skalen- und Schraubenmikroskop, welche von der Älhidade getragen werden. Als Nonius kommt zur Erlangung gleichlaufender Bezifferung für Kreisteilung und Nonien lediglich der sog. „nachtragende" in Betracht. Ist T ein Kreisteil, N ein Nonienteil, so ist die Angabe A des Nonius:

wo n die Anzahl der Nonienteile (bei den anangegebenen Kreisteilungen meistens 20, 30 oder 60) bedeutet. Gebräuchliche Anordnungen sind z. B. T = y₂°, n — 30 oder 60, also A — 1' oder ya'; T= y₈°, n — 60, A = ¹/i'. Das Skalenmikroskop gibt durch eine in der Bildebene den Bildern der Kreisteile genau entsprechende auf Glas geätzte Feinteilung unmittelbar eine weitere Einteilung in z. B. Y₁₀, Y₂₀, Y₃₀. Bei Kreisteilung in y₆° wird neuerdings meistens das Schraubenmikroskop angewendet. Zur Elimination der „Alhidadenexzentrizität" werden stets zwei diametrale Ablesezeiger verwendet. Weiteres über die Anordnung, Prüfung und Berichtigung der Ablesehilfsmittel, Bestimmung der Exzentrizitäts- und Kreisteilungsfehler geben die genannten Handbücher²⁹).

7 b. Horizontalwinkelmessung. Die Horizontalwinkel werden am Horizontalkreis abgelesen. Die in rechtläufigem (Uhrzeiger-) Sinne nacheinander erfolgende Einstellung von Objekten PXP₂ bezw.P₁P₂... Pn bei Winkel- bezw. Richtungsmessung (vgl. p. 11) ergibt in einer Fernrohrlage (I) die Richtungswerte rxr₂ bezw. rxr₂... je als Mittel aus beiden Zeigerablesungen, bei den (in der Regel in umgekehrter Reihenfolge vorgenommenen) Einstellungen in Fernrohrlage(II) r"r₂" bezw. und als Mittel hieraus die von den erwähnten Achsen- und Exzentrizitätsfehlern befreiten Ergebnisse rxr₂ bezw. >\r₂ . . . rn. Eine solche Richtungsreihe bezeichnet man als „Satz“ (Gvrus). Bei Wiederholung der Messung wird zur Herabminderung des Einflusses der Kreisteilungsfehler bei Ablesung an zwei diametralen Zeigern in mehreren um 360 ⁰

voneinander abstehenden Kreisstellungen gemessen (s = Anzahl

u S

der Sätze). Um die Richtungswerte verschiedener Kreistagen in einfacher Weise, zunächst für die Mittelbildung, vergleichbar zu machen, werden dieselben auf irgend eine Richtung (Anfangs-, Nullrichtung) bezogen, z. B. rx — rt = 0 = r₂ — rx = p₂; ... rn — r₁ = gn. Da nun bei den Theodolitmessungen der niederen Geodäsie grundsätzlich mit (in Bezug auf Achsen-, ev. Mikroskopfehler) „berichtigtem“ Instrument gearbeitet wird, und die übrigen Fehler oder Fehlerreste durch Beobachtung in zwei Fernrohrlagen, mit Ablesung an zwei diametralen Zeigern und in symmetrisch über den Kreis verteilten Lagen, möglichst, eliminiert werden, so findet eine Korrektur der einzelnen Ablesungen nach Teilungs-, Mikroskopfehlern usw. in der Regel nicht statt. Bei den Genauigkeitsvergleichungen wird als Beobachtung vom Gewicht 1 (Gewichtseinheit p. 14) in der Regel eine in „beiden Fernrohrlagen“ in der angegebenen Weise gemessene „Richtung“ genommen. Der mittlere Fehler derselben ist bei den für die verschiedensten Zwecke konstruierten kleinen oder größeren Instrumenten verschieden; für Nonientheodolite kleinster Konstruktion kann etwa angenommen werden + 15", für größere Mikroskoptheodolite kann er bis unter + 1" herabgebracht werden, für Instrumente mittlerer Größe (13—15 cm Durchmesser) beträgt er, je nachdem Mikroskop- oder Nonienablesung angebracht ist, etwa + 2" bis + 6". Die einfachste Ableitung des mittleren Messungsfehlers für Richtungsmessungen ergibt sich aus einer Anzahl gleichartiger Satzbeobachtungen auf Grund des arithme-

[vvJ

tischen Mittels nach mr = + "j/

(r — 1) (s — 1)

, wenn v die „zufällige“

Abweichung gegen das arithmetische Mittel, r die Anzahl der Richtungen und s die Anzahl der Sätze bezeichnet. Die Beziehung zwischen Richtungs- und Winkelfehler ist mtn = + m ~|/2.

Wird der Theodolit mit einem doppelten Achsensystem versehen derart, daß z. B. die Alhidadenachse in der Kreisachse und diese wieder im Unterbau drehbar und feinstellbar ist, so kann durch abwechselnde Drehung um diese Achsen eine mechanische Addition eines Winkels vorgenommen werden. Ist die Ablesung in der Anfangslage beim Zielpunkt

links ra, in der Endlage nach n Additionen re, so ist w = * (re — ra).

Zur Elimination der Achsenfehler wird die Hälfte der Repetitionen in der zweiten Fernrohrlage ausgeführt. Näheres über die Anordnung des Achsensystems und die Ausführung der Messungen geben die geodätischen Handbücher. Diese Methode (zuerst Multiplikation, später Be-petition der Winkel genannt) wurde von Tobias Mayer 1752 begründet und galt wegen der Herabminderung der Teilungs- und Ablesefehler lange Zeit als maßgebende Winkelmessungsmethode (z. B. wurde sie auch von Gauß bei seiner Gradmessung angewendet), bis sie zu gunsten der zuerst von F.G. W.Struve und F. W. Bessel. ausgebildeten satzweisen Richtungsmessungsmethode mehr und mehr verlassen wurde³⁰). Zurzeit ist das Doppelachsensystem nur noch für kleinere und mittlere Instrumente in Benutzung und teilweise unentbehrlich. Für Präzisionsinstrumente wird (bei durchweg guter Kreisteilung) das Repetitionsachsensystem nicht mehr verwandt, weil bei der Repetition systematische, im Achsengang begründete, mechanische Einwirkungen auftreten, welche schon Gauß’ Bedenken erregten. Wird von diesen letzteren abgesehen, so ist die Fehlerbeziehung .für einen w-facli

messung bezw. Ablesefehler bedeuten³⁰).

<

7 c. Vertikalwinkelmessung. Der Vertikalkreis ist zentrisch auf der Kippachse des Fernrohrs angebracht, entweder fest oder auch zur Elimination von Teilungsfehlern drehbar. Erforderlich ist eine Vertikalkreislibelle parallel zur Kreisebene, entweder in fester Verbindung mit der Hauptvertikalachse oder auf der Vertikalkreisalhidade, durch welche für jede Höhenrichtung dem Zeiger eine konstante Stellung erteilt werden kann; die Messung der einzelnen Höhenrichtungen ist also voneinander unabhängig und gegründet auf die Nivellierung des

repetierten Winkel + y-— (a² -j- ~j , gegenüber der w-maligen Satz--pl/~(cr -f- ß²), wenn a bezw. ß die unabhängigen Ziel-

Zeigers. Die Bezifferung des Kreises ist verschieden, entweder durchlaufend oder mit beliebiger Nullpunktlage, oder nach Zenitwinkeln oder Höhen- bezw. Tiefenwinkeln, sodaß bei wagerechter Zielung die Ablesung 90° bezw. 0° sich ergeben soll. Bei der Messung ist demnach bei scharf einspielender Vertikalkreislibelle der Horizontalfaden auf den Zielpunkt einzustellen, oder bei eingestelltem Zielpunkt die Vertikalkreislibelle abzulesen und danach die Höhenrichtung zu reduzieren.

An einem Instrument mit festem Kreis soll bei einspielender Libelle bei genau horizontaler bezw. vertikaler Ziellinie die Ablesung 0° bezw. 90° (je nach der Bezifferung) sein; die Abweichung davon ist der „Indexfehler“, welcher bei Messung einer Höhenrichtung in „beiden Fernrohrlagen“ (Kreis links und rechts) in doppeltem Betrage sich in den Ablesungen zu erkennen gibt, im Mittel beider Fernrohrlagen eliminiert ist, oder auch an Fadenkreuz, Libelle (ev. auch an jedem Zeiger je für sich) korrigiert werden kann. Der Betrag des Indexfehlers ist abhängig von der gegenseitigen Stellung von Kreisnullinie, Ziellinie, Zeiger und Libellenachse und muß für zwei zusammengehörige Messungen in beiden Fernrohrlagen konstant sein. Bei der Anwendung auf trigonometrische Höhenmessungen kommt wohl zur Herabminderung der Kreisteilungsfehler Beobachtung in mehreren Kreisstellungen in Betracht, was bei Feinmessung stets der Fall ist; in den meisten Fällen wird aber in der niederen Geodäsie mit festem Höhenkreis in einer Kreisstellung gemessen. Bei im übrigen gut berichtigtem Instrument wird der Einfluß eines etwa noch vorhandenen Kippachsenfehlers für die Vertikalwinkel-messung ebenso wie der der Fernrohrbiegung außer acht gelassen, bezw. durch Beobachtung in beiden Fernrohrlagen als eliminiert angesehen. Der mittlere Fehler einer Vertikalwinkelmessung entspricht im allgemeinen in rein instrumenteller Hinsicht der einer Horizontalwinkelmessung mit gleicher Ablesungsgenauigkeit unter Hinzunahme des Libelleneinstellungs- bezw. Ablesungsfehlers; bei der Anwendung tritt aber hinzu der Einfluß der Refraktionsunsicherheit (vgl. p. 79).

¹

Näheres hierüber und die genaueren Definitionen der im vorstehenden skizzierten Begriffe findet man in dem Artikel über „Höhere Geodäsie“ VI l, 3 (P. Pizzetti).

²

Als historischer Hinweis auf die erste Entwickelungsstufe genügt: M. Cantor, Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Leipzig 1880, 1802.

³

   Das deutsche Vennessungswesen, Stuttgart 1882.

⁴

   Gründlicher und ausführlicher Unterricht zur praktischen Geometrie, 5 Bd., 4. Auf!., Göttingen 1814—1820; ferner sei genannt L. Puissant, Traite de topographie, d’arpentage et de nivellement, 2. ed., Paris 1820 und F. Proß, Lehrbuch der praktischen Geometrie, Stuttgart 1838.

⁵

In Preußen (Deutschland) z. B. ist hierzu an einem Pfeiler der Sternwarte in Berlin ein kleiner lotrechter Maßstab angebracht, dessen mittlerer Teilstrich (Nullpunkt) nach Ableitung ans dem Landes - Präzisionsnivellement die „Höhe“ 37 m über N.N. (Normal-Null) erhalten hat, und als „Normalhöhenpunkt für das Königreich Preußen“ gilt. Andere Länder haben entsprechende Bestimmungen getroffen. Ygl. VI l, 3, Höhere Geodäsie, ferner z. B. auch Jordan, Handbuch 2, § 114.

⁶

Für event. „schief“ gemessene Winkel ist „Reduktion auf den Horizont“ erforderlich; hierzu müssen noch die Höhenwinkel von Px und Pä gemessen sein.

⁷

Z. B. Jordan, Handbuch 1, § 11.

⁸

   Vgl. I D 2 (J. Bauscliinger), p. 768 ff.

⁹

   Vgl. die Bemerkungen zu den einzelnen Meßmethoden.

¹⁰

18) Vgl. z. B. Anweisung IX der preußischen Katasterverwaltung, die vielfach als Vorbild gedient hat.

¹¹

   Jordan, Handbuch 1, Kap. II u. HI.

¹²

   In historischer Hinsicht (Thevenot 1660) sei verwiesen auf R. Wolf, Handbuch der Astronomie 2, Zürich 1892.

¹³

   Zur Theorie der Libellenschlifffläche vgl. F. R. Helmert, Zeitschr. f. Vermess. 7 (1878), p. 185.

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1.

¹⁴

   M. d’Ocagne, Bull. astr. 1903, p. 51.

¹⁵

   Zeitschr. f. Instr. 11 (1890), p. 309.

¹⁶

   Als historische Notiz sei verwiesen auf R. Wolf, Handbuch der Astronomie 2, Zürich 1892.

¹⁷

   Leop. N. A. 62 (1894), p. 91; Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 593, 641; 26 (1897), p. 111, 399; G. Kummer, ibid. 23 (1894), p. 129; 26 (1897), p. 225, 257; C. Wagner, ibid. 25 (1896), p. 449.

¹⁸

   S. Stampfer, Jahrbücher des k. k. polytechn. Inst. Wien 18(1834), p. 211.

¹⁹

   Als älteres Werk ist hinzuzufügen: G. Chr. K. Hunäus, Die geometrischen Instrumente, Hannover 1864. Ferner sei hingewiesen auf Chr. A. Vogler, Abbildungen geodätischer Instrumente, Berlin 1892; W. F. Stanley, Surveying and levelling instruments, London 1895; M. d'Ocagne, Les instruments de pre-cision en France, Paris 1904, p. 21—31.

²⁰

   Ygl. Y 1 (C. Bunge), p. 12.

²¹

   B. Hildebrand, Ann. Phys. Chem. 34 (1888), p. 361; II. Stadthagen, ibid. 61 (1897) p. 208; Ch. Lalleniand, Yerhandlgn. der 12. Konf. d. Intern. Erdmessung, Berlin 1899, Beilage C. I, p. 525 (Bericht über die Untersuchungen von C. M. Goutier).

²²

W. Jordan, Handbuch 2, § 19.

²³

   Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 7; 32 (1903), p. 176.

²⁴

   Handbuch der Astronomie 2, Zürich 1892, p. 48.

²⁵

   Vogler, Prakt. Geom. 1, p. 126 u. 361 (zur Etymologie); Jordan, Handbuch 2, p. 203.

²⁶

   Anweisung IX.

²⁷

   Für 400⁸-Teilung kommt in Betracht y^, ysg, Y₆g.

²⁸

   Als historische Notiz sei angeführt: B. Wolf, Handbuch der Astronomie 2, Zürich 1892, p. 33.

²⁹

   Jordan, Handbuch 2, §§ 54—62; 3, p. 43.

³⁰

Jordan, Handbuch 2, § 63; 3, p. 41; G. Friebe, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 333; Nippa, ibid. 25 (1896), p. 675. Das Mitschleppen des Kreises wird durch Messen von links nach rechts und dann von rechts nach links zum Teil eliminiert.

C. Die Lagemessungen.

8. Die Koordinatensysteme der Lagemessungen.

8 a. Allgemeines über die geodätischen Koordinatensysteme. Die

rechnerisch erlangten Ergebnisse geodätischer Punktbestimmungen werden zahlenmäßig ausgedrückt durch die auf die mathematische Erdoberfläche (Normalnullfläche) bezogenen Koordinaten. Als Ausdruck für die gegenseitige Lage von Punkten der Erdoberfläche bieten sieb zunächst Polarkoordinaten dar, d. i. die „Entfernung“ s zweier Punkte und der „Richtungswinkel“ r, den diese Linie (Vertikalebene) mit einer bestimmten der Zählung als Ausgang dienenden Richtung (z. B. der Nullstrichrichtung eines Kreises) einschließt. Die Polarkoordinaten s und r, welche das unmittelbare Ergebnis der Längen-und Richtungsmessungen darstellen, werden dementsprechend allgemein nur als Ausdruck für die gegenseitige Lage benachbarter Punkte verwendet, nicht aber zur Lagebestimmung beliebig gelegener, zahlreicher Punkte gegen einen einzigen Ausgangspunkt (Pol). Wenn zahlreiche Punktbestimmungen auf große Stücke der Erdoberfläche (ganze Länder, Landesvermessung) ausgedehnt werden, so werden die Punktorte in „geographischen Koordinaten“ (Breite oder Polhöhe cp und Länge k) ausgedrückt, ebenso wie bei den auf astronomischem Wege ausgeführten „Ortsbestimmungen“. Diese „geodätischen Koordinaten“ cp, l werden aus der Triangulierung durch Vermittlung der Polarkoordinaten s, r, bezogen auf einen astronomisch orientierten Ausgangspunkt, unter Zugrundelegung der ellipsoidischen Erdfigur berechnet. (Vgl. VI i, 3.)

Während nun für die einheitliche Darstellung der Ergebnisse einer sich über ein großes Stück des Erdellipsoides erstreckenden Triangulierung („Landestriangulierung“) und die als Gradabteilungskarten behandelten topographischen Kartenwerke jene „ellipsoidischen Winkelkoordinaten“ cp, l unmittelbar gebraucht werden, sind dieselben nicht geeignet für die Spezialvermessungen, die Linien-und Winkelmessungen rechnerisch verbinden, z. B. die staatlichen Katastervermessungen. Für die übersichtliche Darstellung der Ergebnisse dieser Spezialvermessungen (Kleintriangulierung, Polygonisierung und Einzelaufnahme, vgl. dieNrn. 9—13) muß die Beziehung zwischen den unmittelbaren Messungen und dem Ausdruck für die Punktorte (Koordinaten), d. h. also das anzuwendende Rechnungsverfahren einfacher sein, als es das die Punktorte in Bezug auf die Erdachse angebende System der sog. geographischen Koordinaten gestattet. Dies wird erreicht durch „Linearkoordinatensysteme“, welche gewonnen werden durch zwei auf der „mathematischen Erdoberfläche“ sich rechtwinklig schneidende Richtungslinien, „geodätische rechtwinklige Koordinaten“. Bei Voraussetzung einer ebenen Vermessungsfläche entsprechen dieselben unmittelbar den ebenen rechtwinkligen Koordinaten y, x der analytischen Geometrie, bei Rücksichtnahme auf die Krümmung der mathematischen Erdoberfläche ergeben sich daraus die rechtwinkligen „sphärischen“, bezw. „ellipsoidischen“ Linearkoordinaten. Die

Theorie der „ellipsoidischen Linearkoordinaten“ gehört zur „höheren Geodäsie“, VI l, 3.

+y

0° bis 360°

8 h. Rechtwinklige ebene Koordinaten. Im Vermessungswesen muß, um bei den umfangreichen Zahlenrechnungen ein eindeutiges Formelsy stem zu erhalten, wenigstens für ein zusammenhängendes Vermessungswerk (Landesvermessung) eine bestimmte Richtungszählung ein für allemal festgestellt und innegehalten werden. Vollständige Übereinstimmung besteht nicht; auf Grund der wichtigsten Vermessungsanweisungen und Lehrbücher (p. 5, 6) kann jedoch als maßgebend angenommen werden, daß in der niederen Geodäsie die Zählung von -J- x über -(- y im Sinne der Uhrzeigerbewegung durchlaufend in Übereinstimmung mit der Bezifferung des Horizontalkreises des Theodolits erfolgt(Fig.l), womit also die Quadrantenzählung (I. Quadrant zwischen -f- x und + V usw.) gegeben und bestimmt ist, daß von x aus die „Richtungen“ von

Fig. 1.

durchgezählt werden. Die an sich willkürliche Auswahl der „Hauptrichtachse“ X wird bei vereinzelten, unabhängigen Kleinaufnahmen in passender Weise, z. B. zusammenfallend mit einer Hauptmessungslinie, einer Dreiecks- oder Polygonseite, angeordnet, etwa so, daß alle Punkte des begrenzten Vermessungskomplexes in den I. Quadranten fallen. Zuweilen werden auch die Koordinaten dadurch orientiert, daß der „magnetische Meridian“ des Aufnahmegebietes die X-Achse bestimmt (mit oder ohne Berücksichtigung der magnetischen Deklination), oder daß grobe astronomische Orientierung (korrespondierende Sonnenhöhen usw.) vorgenommen wird. Erhält eine solche für sich selbständig ausgeführte Vermessung nachträglich Anschluß an ein bestehendes oder neugewonnenes Vermessungssystem, oder wird sie von vornherein auf Grund von bereits in einem gegebenen Koordinatensystem vorliegenden Punktbestimmungen ausgeführt, so ergeben diese übergeordneten Systeme die Orientierung für die Neuaufnahmen. Die Beziehungen zwischen den Koordinaten y, x und den zugehörigen (gemessenen oder zu messenden) Polarkoordinaten Entfernung s, System-

oder Netzrichtungswinkel (Direktionswinkel)¹) n sind die folgenden (Fig. 2):

y% — y\ = A?/i2 =s sin wi2»    = A ^12 s cos nu;

A iCjg⁷

Die in Betracht kommenden Aufgaben sind also: 1) Gegeben y₁, xt) gemessen sl} nl2; gesucht y₂, x₂\ 2) Umkehrung: gegeben yt, xtJ y₂, x₂\

s = YÄy*t + Aa?x|;

wi2 = arctg

w₂₁ = w₁₂ + 180°.

12

's

-V xi

Fig. 2.

gesucht s, n₁₂, n₂₁; 3) Ableitung der im Koordinatensystem „orientierten Richtungen“ (Netzrichtungen) nln aus den unmittelbar beobachteten Kreisablesungen am Theodoliten, den gemessenen Richtungen r oder Winkeln tv. Es ist rln-f- o = nln, wozu die „Orientierung“ o zu ermitteln ist, und mindestens eine Richtung bereits orientiert sein muß, z. B. n₁₂ = arc tg ———; o = w₁₂ — r₁₂. Liegen mehrere Rich-

X,

tungen zur Orientierung vor,|so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe (vgl. p. 48). Liegt nur ein Winkel w vor, so ist z. B. w—r₁₃—r₁₂ = w₁₃— n₁₂, womit der Winkel aus beiden Netzrichtungen, oder die eine Richtung aus der andern durch den Winkel bestimmt ist.

Als

8 c. Re eilt winklige sphärische Linearkoordinaten. Wenn Vermessungen größere Ausdehnung annehmen, so tritt (wie früher angegeben) zunächst an Stelle der „ebenen“ die „kugelförmige“ Vermessungsfläche; das „ebene Koordinatensystem“ erweitert sich zum „sphärischen“.

Hauptrichtachse (X-Achse) dient der Meridian des passend gewählten „Koordinatenmillpiinlites“ womit die Orientierung des Punktsystemes gewonnen ist. Diese Orientierung erfolgt wieder aus etwa vorhandenen Bestimmungen (Koordinaten yn, xn) oder kann direkt nach irgend einer Methode der astronomischen Azimutbestimmung vorgenommen werden (z.B. Winkelmessung zwischen Polarstern und einer geodätischen Richtung). Entsprechend den Bezeichnungen für das ebene System sind nun die „Abszissen“ der Punkte 1 und 2 die Meridianbogen xt und x₂ des Nulljmnktnieridians, gerechnet vom eingeführten Nullpunkt bis zum „Fußpunkt“ der Ordinaten yx, y₂, welche durch die rechtwinklig zu ihm stehenden (im Querschnittpol konvergierenden) „Querschnittbogen“ yx, y₂ gebildet werden. Die Entfernung s ist der Erdbogen (Großkreisbogen) zwischen 1 und 2; die in 1 und 2 gelegten „Meridianparallelen“ bestimmen in ihrem positiven Zweige (ent-- sprechend der -j- X-Richtung) die Anfangsrichtung für die Zählung der „Richtungswinkel“ n₁₂ bezw. n₂₁, welche der Erdbogen s mit diesen positiven Zweigen der Parallelen einschließt. In Übereinstimmung mit den oben für die Ebene gegebenen Beziehungen sind nun die für das in Frage kommende Anwendungsgebiet in der Regel hinreichenden Formeln³⁰) (Ji — Erdradius, o hier und stets im folgenden Faktor zur Verwandlung von Bogen- in Winkelmaß)

!h —Vi = ssmn₁₂ —

s²yx cos²nx 2    s³ sin nia cossn₁₂

2/i⁸    0/i²

x₂ — xx = s cos nx2

6/i⁸

_ y»⁸ + Vi y» + y V r,B-

sy₂² cosMjg ss sin“n₁₂ cos n12 2Ü⁸

cos² nx2\ . .

s = Y(;!/2 — Vif + fa ~ ^i)² (l nx2 = arctg    + ₍.^ (2yx + y₂) (x₂ — xx)

* {Vi + Vi y-2 + Hi) sin nn cos nx2 . . .

s~ sin n₁₂ cos nl2

2 /,* - '(?■■■

n2x ⁼⁼ Hy 180°

ViScos nXi _

B²    ^

Die Vergleichung mit den Formeln des ebenen Systems läßt die sphärischen Zusatzglieder erkennen, welche die Berücksichtigung der Erdkugelkrümmung im Vergleich zur ebenen Rechnung erforderlich macht. Die Entscheidung über die Vernachlässigung der sphärischen Glieder hängt von der Genauigkeit ab, mit der die Punktabstände und Richtungswinkel durch die Rechnung wiedergegeben werden sollen. ²

die Koordinaten (y, x) als ebene rechtwinklige Koordinaten

Trägt

auf, so erhält man eine Kartenprojektion (Soldner’sehe Projektion³⁶)). Die Verzerrungen derselben wachsen hauptsächlich mit wachsendem y

man

im Verhältnis

y-

so daß ihr zu beiden Seiten des Nullmeridians

2

bei den heutigen Anforderungen nur eine Ausdehnung von 30 bis 50 km gegeben werden kann. In der Meridianrichtung kann sie sich über mehrere Breitengrade erstrecken, wie die Rektifikation der Erdmeridianellipse zeigt.

Nehmen zusammenhängende Vermessungen so große Ausdehnungen an, wie die über das gesamte Gebiet eines Staates einheitlich sich erstreckenden „Katastervermessungen“, so tritt die Notwendigkeit hervor, einerseits möglichst einfache und bequeme Rechenmethoden beizubehalten, andererseits dafür zu sorgen, daß der Zusammenhang zwischen den der Natur der Sache nach getrennt und unabhängig voneinander vorzunehmenden Spezialvermessungen streng gewahrt bleibt, sodaß jeder Messungspunkt auf der zu Grunde gelegten mathematischen Erdoberfläche die ihm im Vergleich zu allen andern Punkten zukommende Lage erhält. Dazu ist als Grundlage erforderlich eine einheitliche Haupttriangulierung und im Anschluß an diese für große Staaten (z. B. Preußen) die Anordnung einer Beihe von Einzellwordinatensystemen, die durch diese Triangulierung orientiert sind. Die durch die grundlegende Landestriangulierung gelieferten ellipsoidischen Winkelkoordinaten cp, X werden innerhalb der Einzelsysteme in ellipsoidische Linearkoordinaten y, x verwandelt, sodaß innerhalb der begrenzten Einzelsysteme je nach den Punktabständen sphärisch (mittlerer Krümmungsradius) oder eben gerechnet werden kann. Die Beziehung der Ellipsoidkoordinaten cp, X und y, x zu einander gehört in das Gebiet der „höheren Geodäsie“. Die Anordnung der Einzelsysteme erfolgt in verschiedener Weise, entweder nach runden Werten der geographischen Koordinaten oder Verwaltungsbezirksgrenzen, wie z. B. in Preußen, wo 40 Spezialsysteme mit y bis 60 km bestehen. Anstatt einen Meridian als Hauptachse anzunehmen, kann dazu auch der Querschnittbogen des Normalpunktes genommen werden, wodurch die Bedeutung von x und y sich umkehrt. Die Methode der Punktortangabe durch rechtwinklige Koordinaten auf der gekrümmten Erdoberfläche ist aus den französischen

36) Die Soldner'sehen Entwickelungen sind publiziert in: Bayerische Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grundlage, München 1873; vgl. ferner J. Bohnenberger, De computandis dimensionibus trigonometricis etc., Tübingen 1826, § 15—16; Jordan, Handbuch 2, Kap. VII; 3, Kap. V und VII.

Messungen gegen Ende des 18. Jahrhunderts übertragen worden und dann zuerst im heutigen Sinne rationell entwickelt und zur Anwendung gekommen bei der zu Beginn des 19. Jahrhunderts in Angriff genommenen bayerischen Landesvermessung durch Soldner³⁶). Nach dem Vorgänge Bayerns sind rechtwinklige sphärische Soldner’sehe Koordinaten fast allgemein hei den Katastervermessungen eingeführt worden. Die Formeln sind zunächst von J. Bohnenberger weiter entwickelt worden und in neuerer Zeit besonders durch JordanS6).

8d. Konforme rechtwinklige Gaußsche Koordinaten. Bei der hannoverschen Landesvermessung hat G. F. Gauß (vgl. Werke, Bd. 9) das Prinzip der konformen Abbildung (für die Kartenprojektion schon früher verwendet) zum erstenmal auf geodätische Punktbestimmungen übertragen. Durch Einführung der Bedingung der Ähnlichkeit der von der gekrümmten Erdoberfläche (Kugel) auf eine ebene Berechnungsfläche abgebildeten unendlich kleinen Figuren ergeben sich, wenn wieder der Meridian des Nullpunktes als ebene Abszissenachse (Kartenmittellinie des umhüllenden Zylindermantels) angenommen wird, die Abszissen £ ebenso wie bei dem Soldner'sehen System, die ebenen Ordinaten p dagegen erscheinen im Vergleich zu den sphärischen (natürlichen) um einen von der Größe der Ordinate und der Erdkrümmung abhängenden Betrag geändert. Die Erdbogen s bilden sich zwischen den projizierten Punkten als schwach gekrümmte Linien ab; die Richtungswinkel T der Tangenten in den Anfangspunkten der Bogen weichen nur um einen geringen Betrag von den Richtungswinkeln tt der geraden Verbindungslinien ab. Bezeichnet § die geradlinige Entfernung in der £t)-Ebene und s, wie oben angegeben, die sphärische Entfernung, so gelten die Formeln³):

bi² +ji bä + bs²

6Ä²

£ = x; t) y -f- Qßi 5 ^    ^ ^

T = n + 4^ (bi + y (h — El) - 12JP (b> -- bl) (E* — El) • * •

Die Vergleichung der Zusatzglieder für die Strecken und Richtungswinkel mit denjenigen der Soldner'sehen Rechnung zeigt, daß bei den Gauß'sehen Koordinaten für die Strecken der Faktor eos²n wegfällt, d. h. entsprechend dem Prinzip der konformen Abbildung die Streckenverzerrung nach allen Richtungen dieselbe ist und gleich dem Maximalbetrag derselben bei den Soldner’sehen Koordinaten für n = 0. Wird dies Zusatzglied nicht berücksichtigt, so ist die mittlere Streckenverzerrung bei den Gauß'sehen Koordinaten größer; soll das Glied aber berücksichtigt werden, so ist das wegen der Unabhängigkeit von der Richtung bei diesen einfacher als bei den Soldner'sehen, da, sobald die Strecken oder (y₂ — y±) klein sind, das Glied örtlich konstant ist. Die Vergleichung der Zusatzglieder für die Richtungsreduktion zeigt, daß das erste Glied bei beiden Arten von Koordinaten klein ist, daß das zweite bei den Soldner'sehen Koordinaten von y² abhängige Glied bei den Gauß'sehen nicht vorkommt, während bei diesen das zweite Glied überhaupt nur sehr gering ist, d. h. bei der konformen Projektion ist die Vernachlässigung der Richtungsreduktion verhältnismäßig belanglos. Die Theorie der Gauß'sehen Koordinaten für das Ellipsoid ist zuerst von 0. Schreiber⁴) dargestellt, und später in die Berechnungsarbeiten der preußischen Landesaufnahme eingeführt worden. In letzter Zeit hat Jordan⁵) die Vorzüge der konformen Koordinaten besonders hervorgehoben und dieselben auch für die Einführung bei den. Spezial Vermessungen empfohlen. Das alte klassische Gauß' sehe Koordinatensystem mit dem Nullpunkt Göttingen ist bei den preußischen Katastervermessungen aufgegeben worden. Ein konformes Koordinatensystem (Kegelprojektion) hat Mecklenburg⁶). Weiteres über Kartenprojektionen findet man in VI l, 4 (jR. Bourgeois).

8e. Koordinatentransformation. Sowohl bei Kleinmessungen, bei welchen als Richtachsen irgend welche Messungslinien gewählt wurden, als auch bei geodätischen Koordinatensystemen (hier besonders an den Systemgrenzen) tritt häufig die Aufgabe der Umwandlung von rechtwinklig ebenen Koordinaten von einem System in das andere auf. Hierbei wird statt der allgemeinen Transformationsformeln

V = Vo + b cos £ + £ sin E x — xq + £cos £ — bS4n £

häufig besser nach Koordinatenunterschieden von Punkt zu Punkt Ay = Ab cos s —j— A£ sin *

Ax = Aj cos s — Ab sin*

gerechnet, wobei sich in den Abschlußkoordinaten eine Rechenprobe ergibt. Die Differenz der Systemrichtungen * ist in der Regel aus in beiden Systemen gegebenen Koordinaten abzuleiten, sodaß auch diese Ableitungen in die Rechenformeln für die Transformation un-

mittelbar eingeführt werden, mathematischen Erdoberfläche gleichartig orientierten Systemgrenzen, p. 32) sind die Richtungsdifferenzen e der Systeme sehr klein,

Sehr häufig (z. B. an den auf der

sodaß die Koordinatenänderungen als Differentiale aufgefaßt und dementsprechend die Rechnungen vereinfacht werden können⁴¹).

9. Die Punktbestimmung durch Triangulierung.

9 a. Allgemeines über Triangulierung. Die Aufgabe der Triangulierung ist, für ein im Gelände dauerhaft bezeichnetes System von Festpunkten („Dreieckspunkt“, „trigonom. Punkt“ oder „Station“) durch Winkelmessung mit dem Theodolit die Lage ihrer Projektionen auf die Yer-messungsfläche in geodätischen Koordinaten zu bestimmen. Die Methode ist von W. Snellius*²) in der Absicht ersonnen, die zeitraubende und praktisch oft nicht durchführbare direkte Messung langer Strecken zu ersetzen und ist von ihm 1610 bei der Messung eines Meridianbogens zur Ausführung gebracht. Im Gelände werden Punkte derart ausgewählt, daß ihre Verbindungslinien ein System von Dreiecken bilden. Wenn nun in diesen Dreiecken die Winkel (oder die Richtungssysteme auf den Stationspunkten) sowie für irgend eine Linie des Systemes die Länge unmittelbar gemessen werden, und weiterhin noch das Azimut irgend einer Linie oder ihr Richtungswinkel in einem zu Grunde gelegten Koordinatensystem bekannt ist, so können für sämtliche Dreieckspunkte die Koordinaten und hieraus alle etwa erforderlichen weiteren Punktab stände, Richtungen und Winkel berechnet werden. Im Rahmen der „niederen Geodäsie“ handelt es sich hierbei stets um Punktbestimmung im rechtwinkligen Koordinatensystem mit „ebener“ oder „sphärischer“ Rechnung (vgl. p. 29), und zwar in der Regel um „Einschaltungs-Triangulierungen“ in die als gegeben betrachteten übergeordneten Punktsysteme einer Landestriangulierung. Es kommen jedoch für kleinere Gebiete auch selbständige in sich geschlossene Kleintriangulierungsnetze vor, bei denen dann entweder für eine Linie durch besondere „Basismessung“ mit Meßlatten oder Meßband (vgl. Anordnung und Genauigkeit p. 19) mit eventueller Einfügung eines „Basisnetzes“ (vgl. VI l, 3) das Längenmaß eingeführt, oder auch

41)    Weiteres hierüber sowie über die Transformation zusammenhängender trigonometrischer Netze findet man bei Jordan, Handbuch 2, § 68 und F. G. Gauß, Rechnungen der Feldmeßkunst, Kap. V; für amtliche Rechnungen mit Formularen vgl. Anweisung IX.

42)    Eratosthenes Batavus, de terrae ambitus vera quantitate, Lugduni Batavorum 1617. Historisches bei J. JD. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1 und G. B. H. de Balbian, ibid.; ferner Jordan, Handbuch 1, p. 453.

aus einer vorhandenen Triangulierung entnommen wird, und nur das Richtungsnetz der Neuarbeit an sich als selbständiges System aufgefaßt wird, wie das z. B. vorkommt bei Stadtvermessungen, Tunneltriangulierungen und anderen Aufgaben⁷).

Die grundlegenden Triangulierungen für die Erd- und Landesvermessung, welche sich über weite Gebiete hinziehen und Rechnung auf der ellipsoidischen Fläche erforderlich machen, rechnet man zur „höheren Geodäsie“. Man unterscheidet dementsprechend „Haupt“-, „Zwischen¹¹- und „2£7em“-Triangulierung, oder Triangulierung I., II., III. und IY. (auch V.) „Ordnung“. Durch diese bei Landesvermessungen stufenweise einander untergeordneten Systeme werden die Punktabstände (Dreiecksseiten) nach und nach von etwa 50 km und mehr bis zu einigen km, und für die Spezialvermessungen bis zu 1 km, ja Y₂ km herabgeführt, wobei gleichzeitig stufenweise die Messungs- und Rechnungsmethoden eine entsprechende Modifikation erfahren, und der Übergang von der ellipsoidischen Rechnung zur ebenen Rechnung der Kleinmessungssysteme vollzogen wird.

Die zunächst bei einer Triangulierung vorzunehmenden Arbeiten sind: A) „Erkundung des Netzes“, Auswahl und sachgemäße Verteilung der Punkte im Gelände; B) dauernde Bezeichnung („Vermarkung“) der Punkte, z. B. durch einen Stein mit eingemeißeltem Kreuzschnitt mit unterirdischer Versicherung durch eine ähnliche Marke; C) Sichtbarmachung („Signalisierung“) der so bezeiclineten Punkte für die Winkelmessung durch lotrecht gerichtete Stangen, Signaltafeln, Signalpyramiden. Für größere Entfernungen und besondere Verhältnisse wird auch vom Heliotrop (vgl. VI l, 3) Gebrauch gemacht. Große Bedeutung haben als Signale die Kirchtürme, deren Helmstangen-Mittellinien als Zielpunkte in ausgiebiger Weise verwendet werden.

9 b. Zentrierung. Kann der Theodolit nicht genau über einem solchen Vermarkungsstein aufgestellt werden, oder ist, wie z. B. hei Kirchtürmen, das „Zentrum der Station“ als Instrumentstandpunkt nicht zugänglich und muß auf einem „Nebenstandpunkt“ (Galerie usw.) beobachtet werden, oder ist umgekehrt ein „NebenzielpunM“ erforderlich, so handelt es sich um das „Zentrieren“ der Beobachtungen, d. h. Umrechnung auf zentrale Sicht. Wird das auf dem „exzentrischen Standpunkt“ S gemessene RiehtungsSystem rt, r₂, . . ., rn auf die Zentrallinie nach dem Zentrum C als Anfangsrichtung reduziert und mit s1} f₂, ..., sn bezeichnet, und das entsprechende auf die gleiche Anfangsrichtung bezogene gesuchte „zentrierte System“ mit a₂,..., an, so ist

— e. -f- (Fig. 3), worin der parallaktische Winkel über der Exzentricität e — CS bei bekannter bezw. vorher zu bestimmender Entfernung st aus dem parallaktischen Dreieck sich ergibt. Die Zentrierung für einen Winkel ergibt sich ohne weiteres aus den Richtungsreduktionen. Die durch besondere Messungen („Zentrierungsmessungen“) zu bestimmenden Werte e und e, sowie die Entfernung s bezeichnet man als „Zentrierungselemente“. Dieselben müssen so genau ermittelt werden, daß ihre Fehler keine in Betracht kommende Erhöhung des Beobachtungsfehlers für die Richtungen herbeiführen können. Die Messung der „Zentrierungselemente“ e und s muß häufig „indirekt“ mit besonderen Hilfs- S konstruktionen geschehen, wenn z. B. der Standpunkt S des Instrumentes auf der Galerie eines Kirchturmes und das Zentrum C die Helmstangenmittellinie ist. Man kann dann eine Grundlinie messen und an deren Enden die Richtungen nach C und S in bezug auf die Grundlinie (Aufgabe der unzugänglichen Entfernung, vgl. p. 43). Die Aufgabe kam schon bei Snellius’ Triangulierung vor. Wenn irgend möglich, werden überschüssige Bestimmungen verwendet, sodaß die Zentrierung zu einer kleinen Triangulierung mit Ausgleichung wird⁸).

Cy

/ct\

Fig. 3.

9 c. Die Winkelmessungen und ihre Anordnung. Als Genauigkeitsausdruck für die Messung mit dem bei den Triangulierungen der niederen Geodäsie verwendeten Theodolit mittlerer Größe kann nach p. 25 angenommen werden (bei Anwendung der dort erwähnten fehlertilgenden Beobachtungsmethode), daß der „mittlere Richtungsfehler im Satz“ etwa zwischen den Grenzen + 2" bis + 6" liegt, so daß bei der Ausführung von 3 bis 6 Sätzen der Fehler des Gesamtmittels stets innerhalb weniger Sekunden zu halten ist, wobei zu berücksichtigen ist, daß äußere Fehlerquellen (Signalstellung usw.) Fehler von gleichem, ja größerem Betrage in die Bestimmungen hineinbringen. Ist z. B. ein Zielpunkt um -f 1 cm unrichtig bezeichnet oder eingestellt worden, so ist bei einer Zielweite von 1000 m die entsprechende Richtungsunsicherheit + 2", und wenn das Instrument gleichfalls um + 1 cm unrichtig aufgestellt (zentriert) ist, so wird daraus +2"y2. Während früher die Dreieckswinkel unabhängig je für sich gemessen wurden, wird jetzt in der Regel das für eine Punktbestimmung auf einer Station sich ergebende „Richtungssystem“ rx . . . rn als das ge-

suchte betrachtet, auch wenn für die eigentliche Messung der „Winkel“ als das günstigst zu messende Richtungssystem verwendet wird. Der einfachste Fall liegt vor, wenn (vgl. p. 25) die satzweise Richtungs-messung in „vollständigen“ Sätzen ausführbar ist und das arithmetische Mittel sofort das Beobachtungsergebnis liefert. Nicht zu vermeidende Störungen und Hindernisse führen aber sehr häufig zur Anwendung „unvollständiger“ Sätze. Dies führt dann unter Beachtung möglichster Elimination der Teilungsfehler und möglichst systematischer Anordnung der Messungen zu einer Ausgleichungsaufgabe, sog. „Stationsausgleichung“. Diese erfolgt in der Regel nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen, wobei satzweise die Fehlergleichungen für die Richtungen und die „Orientierungen“ aufzustellen sind⁹). Bei den sich meist sehr verwickelt gestaltenden Richtungsnetzen der Einschaltungstriangulierungen wird dann auch mit Vorteil von einer bei der englischen Landesvermessung¹⁰) zuerst gebrauchten Näherungsausgleichung Anwendung gemacht.

Sind etwa die folgenden Sätze beobachtet:

II

Station

Satz

Yi

a₂

r₂

ßs

Ys

Mittel 0

wobei angenommen ist, daß eine Station (0), auf die die übrigen bezogen werden, in allen Sätzen vorkommt, so bildet man zunächst die Mittel der Messungen für die einzelnen Stationen a, ß, y. . . . Dann rechnet man für jeden Satz die mittlere Abweichung gegen die Stationsmittel aus, also z. B. für Satz 1 die Abweichung ~ (a — cit + y — y±) oder für Satz 2 : — (a — a₂ -f- ß — ß₂ -f- y — y₂) usw., und fügt diese Abweichung allen Ablesungen des betreffenden Satzes hinzu. Mit den verbesserten Werten wiederholt man das ganze Verfahren, bis die Verbesserungen innerhalb der Beobachtungsfehler liegen¹¹).

wXn zerlegt, so wird der

13; • • •>

Anstatt ein Richtungssystem rx, r₂, ..., rn als Ganzes zu behandeln oder in einige mehrzahlige Reihen zu zerlegen, kann bei der Beobachtung auch das kleinste Richtungssystem, d. h. der Winkel, zur Anwendung kommen, wie das bei den älteren Triangulierungen zunächst geschah und bei Anwendung des Sextanten (nautische Triangulierungen) notwendig wird. Die Zerlegung eines mehrzahligen Richtungssystems in Winkel kann in verschiedener Weise geschehen. Wird das Richtungssystem rlf r₂, . . ., rn in die Winkel w12} w Zusammenhang lediglich durch die Anfangs- oder Nullrichtung vermittelt, welche dem trigonometrischen Netze nicht notwendig anzugehören braucht. Die einzelnen Winkel können mehrfach (wie bei Richtungsmessung in verschiedenen Kreisstellungen) oder auch nach der Repetitionsmethode gemessen werden. Wird das Richtungssystem rv r₂, . . ., rn in die aufeinanderfolgenden Winkel w₁₂, w₂₃, . . ., wnl zerlegt, sodaß die Bedingung auftritt Hw = 360°, so hat man für die das Richtungssystem ergebende Stationsausgleichung den einfachen Fall der Verteilung eines Abschlußfehlers („Horizontsumme“). Werden die Winkel so angeordnet, daß beliebige Kombinationen gebildet und überschüssige Bestimmungen erhalten werden, so wird das Richtungssystem nach der Methode der kleinsten Quadrate abgeleitet, wobei sowohl die Rechnung nach „vermittelnden“ als nach „bedingten“ Beobachtungen erfolgen kann. Als maßgebend für die Wahl des Rechnungsverfahrens wird meistens die Zahl der aufzulösenden Normalgleichungen angesehen; hat man n Richtungen zu bestimmen und w Winkel gemessen, so sind bei „vermittelnden Beobachtungen“ w Fehlergleichungen anzusetzen und n — 1 unabhängige Unbekannte zu bestimmen bezw. Normalgleichungen aufzulösen, und bei „bedingten“ Beobachtungen w — n -(- 1 Bedingungsgleichungen aufzustellen bezw. Normalgleichungen aufzulösen.

Das günstigste Verfahren der Richtungsbestimmung aus Winkelmessung ist „Winkelmessung in allen Kombinationen“, welches 0. Schreiber¹²) entwickelt hat. Dies zunächst für Haupttriangulierung' ausgebildete Verfahren findet neuerdings auch bei Kleintriangulierungen Anwendung. Für das Richtungssystem rX} r₂, . . ., rn werden durch Bildung der Kombinationen ohne Wiederholung für je zwei Richtungen

die ~ n (n — 1) Winkel gebildet. Diese Winkel w werden, wenn das Gewicht der ausgeglichenen Richtungen gleich s (entsprechend s Rich-tungssätzen) sein soll, p = — mal in beiden Fernrohrlagen in---

von einander abstehenden Kreislagen gemessen, wobei für die einzelnen

180 ⁰

Winkel die Kreisstellungen innerhalb des Intervalles -- so zu be-

ö    p

stimmen sind, daß die Richtungsablesungen symmetrisch über den Kreis

von einander abstehende

verteilt werden. Dazu sind um

180°

180°

bezw.

p(n — 1)

Kreisstellungen erforderlich, je nachdem n eine ungerade oder gerade

pn

Zahl ist. Infolge der symmetrischen Anordnung dieses Beobachtungsverfahrens gestaltet sich die Ansetzung der Fehler- und der Normalgleichungen sowie ihre Auflösung äußerst einfach. Dieses Messungsverfahren ist ein ausgezeichnetes Beispiel für rationelle Anordnung von Messungen, um mit einem Minimum an Arbeitsaufwand bei Beobachtung und Rechnung ein Maximum an Genauigkeit zu erreichen¹³).

10. Die Grundaufgaben des trigonometrischen Einschneidens im rechtwinkligen Koordinatensystem.

10 a. Vorwärtseinschneiden und Seitwärtseinschneiden. Der einfachste Fall liegt vor, wenn zwei Punkte A und B durch Koordinaten gegeben sind und auf A und B je eine im System „orientierte Richtung“ cp und -tp besteht, durch deren Schnitt die Koordinaten des Punktes P bestimmt werden („ Vorwärtseinschneiclen“). Sind im Drei-

AX

Nt

CT7

N/

Fig. 5.

Fig. 4.

eck ABP (Fig. 4) die

an der „Basis“ AB gelegenen Winkel A, B gemessen, so hat man damit sofort cp und da die Richtung AB aus den gegebenen Koordinaten von A und B zu ermitteln ist. Andern-

falls ist cp und aus Rieh tun gsmessungen nach irgend welchen anderen in Koordinaten gegebenen Punkten abzuleiten, wozu die „Richtung“ (AB) nicht direkt erforderlich ist. Damit ist die Lösung gegeben, für welche, da diese Rechnungen bei Vermessungen stets wiederkehren, schematische Rechenformulare verwendet werden. Erwähnt sei noch, daß für logarithmische Rechnung die unmittelbar aus dem Dreieck durch Einführung der Basis AB sich ergebende Form geeignet ist, für die Verwendung der Rechenmaschine die analytische Ableitung aus dem Richtungsschnitt. Die Rechenmaschine kommt bei derartigen trigonometrischen Rechnungen neuerdings mehr und mehr in Anwendung⁵⁰).

In trigonometrischer Hinsicht die gleiche Aufgabe ergibt sich beim sog. „Seitwärtseinschneiden“ (Fig. 5); dabei ist A und B in Koordinaten und die orientierte Richtung cp auf A gegeben, und der Winkel y auf C gemessen (ty — cp -1- y).

Die Auf-

10b. Rückwärtseinsclineiden. Gegeben sind drei Punkte, welche an einem vierten Punkte P, dessen Lage zu den drei Punkten zu bestimmen ist, in der rechtsläufigen Reihenfolge AMB erscheinen; gemessen sind auf P die Richtungen nach A, M, B z. B. durch die nebeneinander liegenden Winkel a, ß (Fig. 6). Diese Vierecksaufgabe (Dreipunktproblem) ist schon von Snellius (1610) bei seiner ersten Triangulierungbenutzt. In der Vermessungskunde wird sie nach der graphischen Lösung auf dem Meßtisch (vgl. p. 94) als „JRückwärtseinschneiden“ bezeichnet; nach einer von Pothenot gegebenen Lösung auch wohl unkorrekter Weise das „Pothenot'sehe Problem“ genannt, gäbe ist oft behandelt und läßt verschiedene Lösungen zu⁵¹). Da beim Rückwärtseinschneiden lediglich durch Richtungsmessung nach drei gegebenen Punkten die Koordinaten des Standpunktes sich ergeben, so hat die Aufgabe für die Praxis der Kleintriangulierung große Bedeutung und findet weitgehende Anwendung. Eine der bei Anwendung im rechtwinkligen Koordinatensystem gebräuchlichsten Lösungen (vgl. die Lehrbücher) ist die folgende, mit Einführung eines Hilfswinkels⁵²) (Fig. 6): 1) Ableitung der Richtungswinkel (AM) und (BM),

50)    Jordan, Handbuch 2, § 78; 0. Koll, Geodätische Rechnungen mittels der Rechenmaschine, Halle 1903.

51)    Historisches bei G. D. E. Weyer, Ann. d. Hydr. 10 (1882), p. 534; J. JD. van der Plaats, Tijdschr. v. Kadaster en Landmeetkunde 5 (1889), p. 1; Jordan, Handbuch 2, Kap. VIII, §§ 79—84.

52)    J. C. Burckhardt, Monatl. Korr. (v. Zach’sehe) zur Beförd. d. Erd- und Himmelsk. 4 (1801), p. 360; F. W. Bessel, ibid. 27 (1813), p. 222, 566; Delanibre in Cagnoli-Chombre, Trigonometrie, Paris 1808, p. 211 und Vorrede p. VIII. Historisches bei Hammer, Trigonometrie, p. 558 Anmerk. 58; Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 598.

sowie der Längen der Linien AM=a, BM=l) ans den Koordinaten. 2) In den Dreiecken AMP und BMP Ableitung der unbekannten Winkel cp und cp bei den Punkten A bezw. B aus

cp = !(qp + cp) + l(? — t = H<P + V) — l- (<P — 1>)

worin cp -j- cp bekannt ist und cp — cp aus

tg i (<P — t) = cotg (45° + fi) tg -i- (cp -f cp), berechnet wird; [i ergibt sich aus

a sin ß sin ip h sin cc sin cp

3) Danach lassen sich die übrigen Seiten und Winkel und damit die Richtungswinkel aller Linien nach P und die zugehörigen Koordinatenunterschiede (mit Probe) ableiten.

Eine andere Methode, welche zur Zeit z. B. bei der preußischen Katastervermessung (vgl. Anweisung IX) praktisch verwendet wird, gründet sich auf die von Collins5S) gegebene Lösung. Der durch einen um ABP (Fig. 6) beschriebenen Kreis auf der Richtung MP abgeschnittene Punkt Q (Collins¹ Hilfspunkt) ist seiner Lage nach im Dreieck ABQ bestimmt durch die Winkel a und ß (als Peripheriewinkel über AQ bezw. BQ den gemessenen gleich), durch die er in Bezug auf die Punkte A und B „vorwärtseingeschnitten“ wird⁵⁴). Damit ist der Richtungswinkel der Geraden PMQ bekannt und durch a und ß die Richtungswinkel (AP) bezw. (BP) sowie die entsprechenden Entfernungen; zur numerischen Lösung dieser Ansätze kann, je nachdem Logarithmen- oder Maschinenrechnung stattfinden soll, das eine oder andere der bei „Vorwärtseinschneiden“ angegebenen Rechenverfahren verwendet werden.

Weitere Lösungen (Fig. 7) gehen von den durch AMP und BMP beschriebenen Bestimmungskreisen mit den Peripheriewinkeln a und ß aus (wobei auch, wie schon von Snellius geschehen, die Kreismittelpunkte eingeführt werden können). In diesen Kreisen werden in den rechtwinkligen Dreiecken über MA bezw. MB und den beiden von

tgf* =

/y

r,

\.

Aß

Fig. 6.

53)    Lond. Phil. Trans. 6 (1671), p. 2093; 15 (1685), p. 1231.

54)    Über die Verwandtschaft zwischen Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden vgl. auch C. Bunge, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 313.

10c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung.

43

M ausgehenden Kreisdurchmessern mit a und ß (als Peripheriewinkel den gemessenen gleich) zwei Punkte Ä bezw. B' „vorwärtseingeschnitten“, die eine beiden Kreisen gemeinschaftliche Sekante bestimmen, auf welcher P die Projektion von M darstellt. Auch hierbei können wieder die für logarithmische sowie die für Maschinenrechnung geeigneten Ansätze Verwendung finden¹⁴).

Die Lösungen versagen, sobald der Punkt P auf dem Kreise durch

(X.''

t ^

Pig. 7.

AMB liegt, sie geben unsichere Bestimmungen, wenn P diesem Kreise („gefährlicher Kreis“) nahe liegt; im Falle der ersten Lösung (p. 42) wird cp -j- iJj ~ 180°, tg g ~ 1, im Falle der zweiten Lösung (Collins) bleibt die Richtung MQ unbestimmt, im Falle der dritten Lösung die Sekante A'H. Wegen des weiteren über die Möglichkeit und Unmöglichkeit der Lösung, die Günstigkeit der Lage von P in Bezug auf AMB und besondere Fälle der Lösung, Praxis der Zahlenrechnung, Rechenformulare usw. muß auf die angegebene Literatur verwiesen werden.

10 c. Einige andere Methoden der trigonometrischen Punkteinschaltung.

a) Aufgabe cler unzugänglichen Entfernung, Aufgabe der zwei Punkt-paare (Hansen’sehe Aufgabe)¹⁵). Sind von einem Viereck AB CB

Von den unbekannten Winkeln cp und iß ist also die Summe und das Verhältnis der Sinus bekannt. Setzt man daher:

tg a =

so wird

(Fig. 8) zwei Ecken A und B bekannt und sind außerdem vier unabhängige Winkel zwischen den vier Eckpunkten gemessen, so kann man die Lage der beiden unbekannten Ecken C und I) bestimmen. Liegen die vier gemessenen Winkel a₄, ß₃, ß± an der bekannten

Entfernung AB und ist die Entfernung CB die Hauptunbekannte, so hat man die Aufgabe der unzugänglichen Entfernung. Hierbei handelt es sich um doppeltes Vor-wärtseinschneiden und die jl Lösung kann daher auch nach den Formeln für Vorwärtseinschneiden erfolgen. Liegen die gemessenen Winkel an der unbekannten Entfernung (die Aufgabe kann dann als doppeltes Rückwärtseinschneiden aufgefaßt werden), so liegt die Aufgabe der zwei Punktpaare vor (Hansen’sehe Aufgabe). Es gibt eine Anzahl Auflösungen, die für beide Fälle gemeinsam gelten, z. B. die folgende, bei der wie beim Rückwärtseinschneiden ein Hilfswinkel eingeführt wird. Es gilt nach Fig. 8

CD_____

AB    sin cp sin(ft -f- «₄)

c/<.

Fig. 8.

sin (ft — ft) sin a₄

sh* (ft — ft) sin«s

sin    sin (ft + ccs)

,    <p-j-iß=180°— (ß₃—ß₄).

sin ccs sin (ft -f- «₄) sin cci sin (ft -f a„) ’

tg-i-(9 — *l’) = cotg (45° + fl) tg + iß).

Damit sind die Winkel cp und iß und folglich auch alle Winkel zwischen den vier Punkten bekannt. Ist nun irgend eine Entfernung zwischen den vier Punkten gegeben, so kann man offenbar jede andere mit Hilfe des Sinussatzes ausrechnen.

ß) Der Gegenschnitt⁵⁷). Die von Jordan als Gegenschnitt bezeichnte Methode der Punkteinschaltung ist eine Verbindung von Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden. Gegeben sind drei Punkte

Lösung mit der Rechenmaschine vgl. H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 361; 26 (1897), p, 649.

57) Vgl. Jordan, Handbuch 2, § 84, p. 363; Hartner-Dolezal 1, p. 612; für Rechnung mit der Maschine H. Sossna, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902), p. 364, 429.

10 c. Einige andere Methoden der trigonometr. Punkteinschaltung.

45

A, B, C (Fig. 9); ein vierter Punkt P soll bestimmt werden durch Messung eines Winkels d auf P und ßx auf B. Zur Berechnung der Koordinaten von P kann man zuerst die Koordinaten des Punktes M, des Mittelpunktes des umbeschriebenen Kreises von AGB ausrechnen. Dann sind in dem Dreieck BBM zwei Seiten und ein Winkel bekannt, und man kann daher die beiden Seiten MB und BB und ihre Richtungswinkel finden und hat damit zwei Wege, die Koordinaten von P zu berechnen.

y) Erweitertes Rückwärtseinschneiden. Gegeben sind die drei Punkte A, M, B (Fig. 10) und auf den Neupunkten P und Q die Winkel <i.₂₎ cc1} ß₂, ßx gemessen¹⁶). Man kennt dann von den Winkeln cp und

Mi

n\

Fig. 9.

m

Q'--*

Fig. 10.

if> die Summe und das Verhältnis ihrer Sinus und kann sie daher unter Benutzung eines Hilfswinkels wie bei dem einfachen Rückwärtseinschneiden (p. 42) finden Sind cp und ijj ermittelt, so berechnet man die Strecken BQ und AB und ihre Richtungswinkel und daraus die Koordinaten von P und Q. Statt zweier Punkte P und Q kann man auch noch mehr Punkte gleichzeitig über drei Punkte rückwärts einschneiden.

Bei dem zweifach gegenseitigen Rüclcwärtseinschneiden (Marek’s Aufgabe) ¹⁷) sind vier Punkte A, B, Ä, B' gegeben und auf den Punkten P und Q die Winkel a, ß, y, d gemessen (Fig. 11). Zur Berechnung der Koordinaten von P und Q kann man die dem Collins’sehen Hilfspunkte beim einfachen Rückwärtseinschneiden entsprechenden Punkte P'} Q' heranziehen, deren Konstruktion aus der Figur ersichtlich ist.

Eine Abart des Rückwärtseinschneidens, bei der eine Längenmessung zwischen den Neupunkten erforderlich ist, ist von W. Ldslca¹⁸)

A’

d'

l qV'''

Tr

Fi g. 11.

betrachtet. Gegeben sind (Fig. 12) die drei Festpunkte F1} F2} F& und auf drei Neupunkten Nly N₂, N₃ die in der Figur bezeichneten

■f₃

Fig. 12.

Winkel gemessen, von deneu einer überschüssig ist; außerdem ist eine Seite des Dreiecks    gemessen.

ö) Lambert’s Sechseck- und Achteckaufgabe. Wir erwähnen noch zwei Aufgaben von J. H. Lambert¹⁹), obwohl sie, wenigstens für die Feld- und Landmessung, nur von geringer praktischer Bedeutung sind. Bei der Sechseckaufgabe (Fig. 13) sind entweder auf den Punkten D, E, F die Azimute von A, B, C bestimmt oder es sind die in Fig. 13 bezeichneten Winkel gemessen.

Bei der Achteckaufgabe (Fig.14) sind zwischen den acht Punkten A, B, C, JD, E, F, G, H von den vier letzten Punkten aus

Fig. 18.

die 12 in der Figur bezeichneten Winkel gemessen. Die beobachteten Winkel bestimmen die Gestalt des Sechs- resp. Achtecks. Man vgl. auch III l, 3 (AI. Simon).

Da in der Vermessungstechnik stets überschüssige Bestimmungen

notwendig sind, dienen die vorstehenden Be-

>D

„ge-

Fig. 14.

Stimmungen hauptsächlich dazu, als Grundlage für die nachfolgende Ausgleichung näherte Koordinaten“ der zu berechnenden Punkte zu liefern. Die Genauigkeit der Punktbestimmung in den beim „Vorwärts“-, „Seitwärts“- und „Rück-wärts“-Einschneiden sich ergebenden Figuren ist von Helmert und Jordan untersucht²⁰).

II. Ausgleichung von Kleintriangulierungen.

Die Ausgleichung der stets mit einer Anzahl überschüssiger Richtungen oder Winkel oder gegebener Punkte erfolgenden trigonometrischen Punktbestimmungen kann nach der Methode der „bedingten“ oder der „vermittelnden“ Beobachtungen (vgl. I D 2 (J. Bauschinger), p. 768) vorgenommen werden, und zwar sowohl für unabhängige Kleintriangulierungen mit eigener Grundlinie als für Einschaltungstriangulierungen. Die Auswahl des Verfahrens wird, wenn nicht besondere Umstände zu beachten sind, mit Rücksicht auf den schnellsten und glattesten Rechnungsgang getroffen. Bei einfach gegliederten Systemen, wobei also mit möglichst wenig Linien viele Punkte verbunden sind, ist im allgemeinen die Methode der „bedingten Beobachtungen“ günstiger, bei Systemen mit vielen überschüssigen Richtungen und wenigen Punkten die Methode der „vermittelnden Beobachtungen“; dementsprechend kommt die erstere mehr für die übergeordneten Systeme, die letztere mehr für die untergeordneten Einschaltungen in Betracht, wobei auch der übersichtlichere „Schematismus“ von Wert ist.

11a. Methode der vermittelnden Beobachtungen. (Vgl. I D 2, p. 786.) Als Unbekannte werden betrachtet die Koordinaten y, x der zu bestimmenden Punkte und bei Stationsrichtungssystemen (vgl. p. 38,39) deren „Orientierungen“ z, sodaß also die unabhängigen Winkel bezw. die Richtungen als Punktionen der Punktkoordinaten erscheinen. Diese werden zunächst angenähert berechnet und dann ihre Verbesserungen dx, dy durch die Ausgleichung ermittelt. Als lineare Fehler-

gleichung ergibt sich für den vorliegenden Fall mit tg cpV2 =

Vs-Vt

(worin <p₁₂ die auf 1 nach 2 genommene Richtung, ytxx, y%x₂ die unbekannten Punktkoordinaten sind):

v = l -f- a ■ dxx -f- b ■ dyx -j- c • dx₂ -f- d -dy₂ -(- dz,

in der dz die Orientierungsverbesserung bedeutet. Die „Richtungskoeffizienten“ a, b, c, d bestimmen sich nach der Beziehung zwischen den „Richtungsänderungen“ und den „Koordinatenänderungen“; es ist

«dx,

COS

dcp₁₂

Diese Koeffizienten werden auch in der Form

-ä—a-gdx bezw. —y— q dy

gebraucht; zu ihrer Berechnung dienen verschiedene Hilfsmittel, Rechenschieber, numerische und graphische Tafeln, oder auch logarithmische Differenzen der trigonometrischen Funktionen²¹). Ist einer der beiden

-p^Qdyx — -Qdx₂ +    (Un

11a. Methode der vermittelnden Beobachtungen.

49

Punkte 1—2 gegeben, so fallen die entsprechenden Glieder aus; für eine Richtung am „gegebenen Standpunkt“ 1 zum „Neupunkt“ 2 (sog. „äußere Richtung“) ist

,    sin

«9>1* ⁼⁼

für eine auf einem „Neupunkt“ 1 nach dem „gegebenen Zielpunkt“ 2 (sog. „innere Richtung“) ist

dVl„ = +    gdxl -

COS

<Pu

Qäy i;

für die zur „Orientierung“ von Systemen zwischen gegebenen Punkten beobachteten Richtungen fallen alle Richtungskoeffizienten fort. Die Fehlergleichungen für den Fall der Messung unabhängiger Winkel (z. B. bei Anwendung des Repetitionstheodolits) ergeben sich mit den Differenzen der zugehörigen Richtungskoeffizienten. Für jede beobachtete Richtung (bezw. Winkel) wird ihre Fehlergleichung angesetzt. Z. B. bei der Bestimmung eines Punktes durch ein System auf ihm nach gegebenen Punkten beobachteter Richtungen (Rückwärtseinschneiden) ist die Form der Fehlergleichungen v = adx -f- bdy -j- dz -j- Z;

hierin bedeuten die l die Abweichungen der beobachteten Richtungen gegen die mit „genäherten“ Koordinaten berechneten. Vielfach werden die zugehörigen Normalgleichungen gleich so gebildet, daß die Orientierungsverbesserung dz eliminiert ist. Sind n Fehlergleichungen vorhanden, so ersetzt man entweder in den Fehlergleichungen die Koeffizienten n und b durch a — —

(reduzierte Form der

Fehlergleichungen) oder, was noch zweckmäßiger ist, man fügt (nach 0. Schreiber) die fingierte Fehlergleichung:

vn+i = M dx + [&] dy

mit dem Gewicht--— hinzu. Man braucht sich dann um dz nicht

n

mehr zu kümmern.

Ist ein Punkt durch Richtungssysteme bestimmt, die auf mehreren gegebenen Punkten nach gegebenen und dem Neupunkte beobachtet sind (Vorwärtseinschneiden), so ist für jeden Standpunkt das System der Fehlergleichungen aufzustellen, welches dann, falls nur ein Neupunkt vorhanden ist, ebenfalls auf eine einzige Gleichung von der Form nach Näherungsmethoden, München 1884, p. 138; 0. Eggert, Hilfstafel zur Berechnung der Richtungskoeffizienten, entworfen von Fr. Kreisel, Berlin 1903; E. Engel, österr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 101; Rechenschieber von W. Voigt, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 183

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1.

VI i, 1. C. JReinhertz. Niedere Geodäsie v = adx-\-bdy-\-l

50

mit dem Gewicht ^ . reduziert werden kann, wo m die Anzahl der

auf dem betreffenden Standpunkt nach gegebenen Festpunkten beobachteten Richtungen ist. Bei der PunktheStimmung durch äußere und innere Richtungen („vereintes Einschneiden“) ergehen sich demnach Fehlergleichungen beider Art. In der Praxis der Kleintriangulierung handelt es sich in der Regel nur um die Einschaltung eines einzelnen Punktes, also um zwei bezw. drei Unbekannte, y, x, bezw. z. Bei gleichzeitiger Ausgleichung mehrerer Punkte in einem geschlossenen Netz oder Netzteilen (Punktgruppen aus zwei, drei und mehr Punkten bestehend) ergeben sich dazu noch die Fehlergleichungen in der oben angeführten Form zwischen je zwei Neupunkten. Die aus den Fehlergleichungen gebildeten Normalgleichungen werden nach dem Gaußschen Verfahren (vielfach mit Benutzung der Probe nach der Summengleichung ID 2, p. 790) aufgelöst. Zur Bildung der Faktoren der Normalgleichungen und deren Auflösung ist für die meisten Aufgaben der Kleintriangulierung der Rechenschieber als ausreichend zu erachten²²). Die Ableitung des „mittleren Fehlers der Gewichtseinheit“ (Richtung oder Winkel) aus der Fehlerquadratsumme [pvv] bezw. \vv\

nach der allgemeinen Gleichung    (worin n die Anzahl aller

eingeführten Beobachtungen, u die Anzahl der unabhängigen Unbekannten bedeutet) sowie die Ableitung der „Gewichtskoeffizienten“ (I D 2, p. 788) zur Berechnung des mittleren Fehlers der Unbekannten bildet den Schluß der Ausgleichung²²).

11b. Graphische Punktausgleichiung. Statt Ausgleichung nach „vermittelnden Beobachtungen“ wird auch wohl graphische Koordinatenausgleichung in einer „fehlerzeigenden Figur“, „Schnittfigur“, angewendet. Die allgemeine Bedeutung derartiger Näherungsmethoden ist bereits p. 16 erwähnt worden. Die Aufgabe besteht darin, A) die fehlerzeigende Figur darzustellen, B) in derselben die endgültige Punktlage so zu bestimmen, daß möglichst die Quadratsumme der Richtungsverbesserungen, wie bei der Methode der kleinsten Quadrate, ein Minimum wird. Für die „Konstruktion der fehlerzeigenden Figur“ liegt der einfachste Fall vor bei der Punktbestimmung durch Vorwärtseinschneiden mittels unabhängiger „äußerer“ (p. 49) Richtungen. Wird (auf Grund genäherter Koordinaten) in der Nähe des gesuchten Punkt-

ortes ein Wert y₀x₀ angenommen, so liefert eine von einem gegebenen Punkt ausgehende Richtung cp zwei Schnitte mit den Geraden x = x₀,

y = y₀ oder ihnen naheliegenden (tgqp

deren Verzeichnung

₌ 3/o ~ x₀

(in großem Maßstab 1:1, 1:10) die Richtung darstellt. Wird die Richtung cp selbst im Punkt y₀x₀ mit dem Auftragkreis (Transporteur) eingetragen, so genügt ein Achsenschnitt. Es können auch die Abweichungen zwischen den „genäherten“ Richtungen und den beobachteten, 8 = n— cp (l der Fehlergleichungen p. 48) zur Auftragung benutzt werden, indem die den 8 entsprechenden Querverschiebungen Ö"

q = -,₇ s vom genäherten Punktort aus rechtwinklig zu den von hier

aus gezeichneten Richtungslinien aufgetragen, oder ihre auf die Achsen y₀, x₀ bezogenen Projektionen zur Konstruktion verwendet werden. Beim „vereinten“ Einschneiden orientiert man kurzerhand die „inneren“ Richtungen durch die „äußeren“ und führt die Aufzeichnung dadurch auf das Frühere zurück. Für Rückwärtseinschnitte ist diese Konstruktion nach Orientieren der Richtungen mit Hilfe der genäherten Koordinaten nicht korrekt, jedoch praktisch anwendbar. Man kann auch die Schnittlinien als Tangenten der mit den gemessenen Winkeln sich ergebenden Kreise (Peripheriewinkel zu den gegebenen Seiten als Sehnen) darstellen²³). Eine andere Methode auf Grund von „Transformationen nach reziproken Radien“ ist von C. Bunge mitgeteilt²⁴). Ein älteres Verfahren ist das von Tulla angegebene (sogen, badisches Ausgleichungsverfahren)²⁵). Die Ableitung der endgültigen Punktlage in der Schnittfigur geschieht entweder durch einfache Schätzung oder auf analytischem Wege. Die erstere, welche mit einer plausiblen mittleren Punktlage sich begnügt, ist für die praktische Anwendung als bequemes Näherungs verfahren ausreichend (p. 16). Die Aufgabe lautet: Gegeben sind in einer Ebene n Linien B; es ist der Punkt P so zu bestimmen, daß unter Berücksichtigung der Gewichte p für die Abstände h die Bedingung [phh] = Min. erfüllt wird. Eine erste sehr elegante Lösung rührt von H. Bertot²⁶) her²⁷).

p. 611.

4*

Einen neuen Vorschlag mit Anwendung eines dynamischen Ausgleichsprinzips macht Fischer⁷⁰) dadurch, daß elastische, das Richtungssystem darstellende Stäbchen zur Bestimmung des die Gleichgewichtslage im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate ausdrückenden Punktes verwendet werden.

11c. Methode der bedingten Beobachtungen. Die Anwendung dieser Methode mit Korrelatengleichungen (ID 2, p. 794) auf die Triangulierungsausgleichung, von C. F. Gauß'¹¹) begründet, erfordert zunächst die Aufstellung der unabhängigen Bedingungen, welche das Netz bietet. Hierzu sind von C. F. Gauß die Regeln gegeben und von Ch.L. Gerling⁷²) mitgeteilt worden. Es kommen Bedingungen verschiedener Art in Betracht; „Stationsbedingungen“ (Bedingungen I. Klasse nach Gerling), welche sich für jede Station nach der Art der Beobachtung ergeben und bei vorher erfolgter „Stationsausgleichung“ (vgl. p. 38) inW egfall kommen; „ Winkelsummenuhedingungen (Bedingungen II. Klasse, Polygonbedingungen), welche aus den Figuren, die das Netz darbietet, folgen, also in einfachster Form Dreiecks-, ev. Viereckssummen usw.; „Seitenbedingungenu (Bedingungen III. Klasse), welche aus dem Zusammenschluß der Linien Verhältnisse sich ergehen. Z. B. für ein Viereck mit einem Zentralpunkt, wobei über den Vierecksseiten mit dem Zentralpunkt als Spitze 4 Dreiecke und 6 unabhängige Bedingungen entstehen, hat für unabhängige Winkelmessung die Stationsbedingungsgleichung des Zentralpunktes die Form a-\-h-\-c-{-d — 360°, die Winkelsummenbedingung für die 4 Dreieckssummen die Form a -f- b -f- c = 180°, die Seitenbedingung die Form (Fig. 15)

sin«, sina₂ sino:₃ sino:₄

sinßj sin(3₂ sinß₃ sin|3₄

= 1.

Nach der allgemeinen Form der Bedingungsgleichungen

Rechnungen der Feldmeßkunst, Abschn. V; F. R. Helmert, Zeitschr. f. Vermess. 6 (1877), p. 53; Genge, Vierteljahrschrift Zürich 1886, p. 268; M. d’Ocagne, Paris C. R. 114 (1892), p. 1415; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 618; Klingatsch, Die graphische Ausgleichung, Wien 1894; E. Putter, Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 553; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 611; Weixler, Mitteil. d. militär-geograph. Inst. Wien 16 (1896), p. 143; C. Runge, Zeitschr. f. Vermess. 29 (1900), p. 581; Komel, Österr. Zeitschr. f. Vermess. 1 (1903), p. 173; Polzer, ibid., p. 205. In Österreich wird das Horsky'sehe Diagramm benutzt, vgl. dazu Härtner-JDolezal 1, p. 795.

70)    Fischer, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 553, 655.

71)    Supplementum theoriae combinationis etc., Comm. recent. Gotting. 6 (1828) = Werke 4, p. 55.

72)    Ausgleichungsrechnungen d. prakt. Geom., 4. Abschnitt (sowie Beiträge zur Geographie Kurhessens, Kassel 1831/39).

11c. Methode der bedingten Beobachtungen.

53

+ «2^2 + «3^3 4-----K anVn +    = 0

ergeben sieb dementsprechend die „Koeffizienten“. Diese sind bei der logarithmisch angesetzten Seitengleichung entweder unmittelbar den Tafeln zu entnehmende logarith-

'sä

misebe Differenzen oder nach der M

Formel — cotg a zu berechnen, da

- cotg a

d log sin a M

q da

ist, unter M den Modul der gewöhnlichen Logarithmen verstanden. Aus den aufgestellten Korrelatengleichungen

Fig. 15.

!k

v — ax l\ -j- Jc₂ + ci H----

¹

Für den Richtungswinkel ist bei dem preußischen Kataster die Bezeichnung Neigung üblich. Der auch zuweilen gebrauchte Ausdruck Azimut bleibt besser dem astronomischen Azimut Vorbehalten. Andere Namen sind Bestimmungswinkel und Südwinkel. Vgl. Hammer, Trigonometrie, Anmerk. 67, p. 559.

²

Jordan, Handbuch 3, § 46.

³

Jordan, Handbuch 3, § 50.

Encyklop. d. matli. Wissensch. VI 1.

⁴

   Theorie der Projektionsmethode der hannoverschen Landesvermessung, Hannover 1866.

⁵

   Zahlreiche Artikel in Zeitschr. für Vermessungswesen von 1894 bis 1899.

⁶

   Großherzoglich Mecklenburgische Landesvermessung, V. Teil, Schwerin 1895; Jordan, Handbuch 3, p. 335.

⁷

Beispiele und Literatur in den Handbüchern.

⁸

Jordan, Handbuch 2, § 74, 75.

⁹

   Ygl. die genannten Handbücher der Vermessungskunde bezw. der Ausgleichungsrechnung, z. B. Jordan, Handbuch 1, Kap. II.

¹⁰

   Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, London 1858, p. 62.

¹¹

   Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 154; Jordan, Handbuch 1, p. 176; z. ß. amtlich angewendet in Anweisung IX.

¹²

   Zeitschr. f. Yermess. 7 (1878), p. 209; 8 (1879), p. 97.

¹³

Jordan, Handbuch 1, Kap. II, IV; 3, Kap. I mit erweiterten Literaturangaben; vgl. ferner VI l, 3.

¹⁴

   W. G. Höckner, Über die Einschaltung von Punkten in ein durch Koordinaten gegebenes Netz mit ausgiebiger Verwendung der Rechenmaschine, Leipzig 1891; C. Runge, Zeitschr. f. Vermess. 28 (1894), p. 204; H.Sossna, ebenda 25 (1896), p. 269, 471.

¹⁵

   Historisches und Literatur bei Hammer, Trigonometrie, p. 332 Anmerk., p. 559 Anmerk. 61 und p. 562 Anmerk. 76; Jordan, Handbuch 2, p. 356. Über die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten vgl. man: J. Bohnenberger-Pfleiderer, Ebene Trigonometrie, Tübingen 1802, p. 217; P. A. Hansen, Astr. Nachr. 13 (1841), p. 165; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 603; E. Dolezal, Berg- und Hüttenmännisches Jahrbuch (Leoben und Pribram) 1902, p. 183. Für

¹⁶

   F. Pross, Trigonometrie, Stuttgart 1840, p. 201; W. Jordan, Zeitschr. f. Vermess. 23 (1894), p. 449.

¹⁷

   J. Marek, Techn. Anleitung zur Ausführung der trigonometrischen Operationen des Katasters, Budapest 1875, p. 269; E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 610.

¹⁸

Zeitschr. f. Yermess. 29 (1900), p. 565.

¹⁹

   Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung 1, Berlin 1765, p. 72, 77, 81, 186.

²⁰

   Helmert, Zeitschr. Math. Phys. 13 (1868), p. 73; Jordan, ibid. 16 (1871), p. 397; vgl. auch Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1, 2. Aufl. 1877, Kap. III; 3. Aufl., Kap. Y.

²¹

Jordan, Handbuch 1, Anhang p. [8]—[17]; 0. Seiffert, Logarithmische Hilfstafel zur Berechnung der Fehlergleichungskoeffizienten nach der Methode der kleinsten Quadrate, Halle 1892; J. II. Franke, Koordinatenausgleichung

²²

Über die Anordnung der Rechnungen, die Rechenschemata, besondere Hilfsmittel, die Rechenproben usw. vgl. die Lehrbücher, speziell Jordan, Handbuch 1, Kap. III.

²³

Jordan, Handbuch 2, § 85; E. Hammer, Zeitschr. f. Yermess. 25 (1896),

²⁴

   Zeitschr. f. Yermess. 29 (1900), p. 581.

²⁵

   Vgl. F. G. Gauß, Rechnungen der Feldmeßkunst, p. 53 und speziell p. 60, erste Anmerk.

²⁶

   Paris C. R. 82 (1876), p. 682.

²⁷

   Man vgl. auch C. F. Gauß, Werke 9, p. 221. Weiteres über Bedeutung und Behandlung der Aufgabe in der niederen Geodäsie siehe bei Jordan, Handbuch 2, Kap. VIII, § 85, 86; Vogler, Prakt. Geom. 1, § 164; F. G. Gauß,

und den Normalgleichungen (I D 2, p. 795) ergeben sich die Korrelaten und damit die den Beobachtungen beizulegenden Verbesserungen⁷³). Das Ergebnis der Ausgleichung sind demnach widerspruchlos sich zu einheitlichen System zusammensetzende Winkel bezw. Rich-

emem

tungen, aus denen die Koordinaten der Neupunkte auf verschiedenen Wegen in Übereinstimmung sich ergeben müssen. (Probe.) Die Fehlerberechnung gründet sich auf den mittleren Fehler der Gewichtseinheit, der bei r Bedingungen den Wert:

_j_ i/Ep«p]~

m —

hat. In besonderen Fällen des Netzanschlusses kommt auch die Methode der „vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen“ (I D 2, p. 792) in Betracht. Bei untergeordneten Messungen werden wohl Näherungsausgleichungen angewendet, wobei zunächst die Winkelbedingungen für sich behandelt werden und erste Winkelverbesserungen ergeben, und danach die Seitenbedingungen, welche dann zur endgültigen Verbesserung dienen⁷³).

lld. Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen wird beurteilt nach dem mittleren „Richtungs“- bezw. „Winkelfehler“, wobei zu unterscheiden ist der sich unmittelbar aus den Stationsbeobachtungen ergebende Messungsfehler und der aus der Netzausgleichung folgende (Rücksicht auf die Länge der Richtungslinien). Der letztere Fehler ist stets größer als der erstere (Anschlußzwang und Zentrierfehler usw.).

73) Über die von C. F. Gauß angewendete Methode gibt Bd. 9 der Werke Aufschluß. Ferner vgl. L. Krüger, Über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen, Potsdam 1905. Weiteres über Aufstellung der Bedingungsgleichungen, Rechenschemata usw. geben die Lehrbücher, bes. Jordan, Handbuch 1, Kap. H.

Die Genauigkeit der Kleintriangulierungen wird amtlich reguliert durch „Fehlergrenzen“ (Max.-Fehler rund der dreifache Betrag des „mittleren Fehlers“) für den nach der Netzausgleichung sich ergebenden Richtungsfehler; z. B. gilt für die preußischen Kleintriangulierungen nach Anweisung IX als Fehlergrenze für die verschiedenen Stufen 15", 25" (für trigonometrisch bestimmte Polygonnetzpunkte 35"), was rund yioo0o Max. - Abweichung entspricht. Der mittlere relative Längenfehler der Kleintriangulierungen der preußischen Landesaufnahme¹) übersteigt nicht + Vssooo- Einen übersichtlichen Genauigkeitsausdruck liefert auch der auf Grund des aus der Ausgleichung gefundenen Richtungsfehlers als Funktion desselben berechnete „mittlere Koordinatenfehler“, und der hiernach bezw. direkt als Funktion der ausgeglichenen Elemente gewonnene „Entfernungsfehler“²). Die Fehlerellipse (I D 2, p. 796), welche den Punktfehler in allgemeinster Fassung gibt, wird als Fehlerausdruck nur in besonderen Fällen verwendet³), dagegen der nach mp=Ymy² + mx² gebildete „mittlere Punktortfehler“ oft angegeben. Auch die Dreiecksschlußfehler w, welche ein Dreiecksnetz liefert, werden als Genauigkeitsmaß verwendet, welches besonderen Wert dadurch hat, daß es vom Anschlußzwang frei ist; der „mittlere Winkelfehler“ ist bei n Dreiecksabschlüssen näherungsweise

+ym

— V 3 n

m —

U)

gefunden ist. Als ein Beispiel

mm

Als Genauigkeitsangabe sei angeführt, daß für mehrere neuere Stadttriangulierungen mit zusammen 1745 Punkten und der mittleren Strahlenlänge 2,4 km der mittlere Richtungsfehler im Netz gleich + 3", der mittlere Punktfehler gleich +17 für die mit einfachen Hilfsmitteln unter größeren Verhältnissen zu erreichende Genauigkeit kann auch eine von der preußischen Katasterverwaltung ausgeführte größere Verbindungstriangulation genannt werden⁴).

12. Polygonzugmessung.

Polygonisierung ist die geometrische Punktbestimmung in gebrochenen Linienzügen durch Messung der Horizontalwinkel auf den „Brechungspunkten“ („Brechungswinkel“, „Polygonwinkel“) mit dem

Theodolit und der Entfernungen (Strecken, Polygonseiten) von Punkt zu Punkt mit Längenmeßwerkzeugen oder durch indirekte Entfernungsmessung (ygl. p. 85). Die große Bedeutung des Polygonzuges erklärt sich daraus, daß er äußerst schmiegsam ist und sich allen Verhältnissen anpassen läßt; er folgt den Straßen, Eisenbahnen, Bächen, Waldwegen, Schluchten, den Stollen im Gruben- und Tunnelbau usw. Die Polygonisierung liefert insbesondere bei den Spezialvermessungen das auf Kleintriangulierung gegründete, in rechtwinkligen Koordinaten auszudrückende Liniensystem, welches als Unterlage für die Kleinmessungen verschiedener Art erforderlich ist. Die Punktabstände können je nach der vorliegenden Aufgabe mehrere hundert Meter betragen oder aber auf ganz kurze Entfernungen herabgehen. Ein System mehrerer Züge ergibt das „Polygonnetz“, wobei die Züge die gegebenen trigonometrischen Punkte unmittelbar verbinden („Hauptzüge“) oder bereits bestimmte Polygonpunkte („Nebenzüge“ in verschiedenen Stufen). Die Vermessung einer Stadt z. B. macht in den Straßen zahlreiche Züge in verschiedenen Stufen erforderlich. Polygonzüge ohne Koordinaten- bezw. Richtungsanschluß kommen nur in ganz besonderen Fällen oder für kleine Nebenmessungen zur Anwendung; bei geschlossenen Polygonen werden stets sämtliche Be-.stimmungsstücke (Winkel und Seiten) ev. indirekt gemessen⁵). Werden nicht die Brechungswinkel mit dem Theodoliten, sondern für jede einzelne Strecke die magnetischen Azimute mit der Bussole (Kompaß) bestimmt, so entsteht der „Bussolen-(Kompaß-)zug“. Wird der Zug mit dem Tachymeter und dabei die Entfernungen durch Distanzmessung (vgl. p. 85) gewonnen, so entsteht der „tachymetrische Polygonzug“.

12 a. Der Theodolitpolygonzug. Gegeben sind die Koordinaten der Abschlußpunkte Pa und Pe und auf jedem derselben mindestens ein gegebener Richtungswinkel zu einem Zielpunkt Na bezw. Ve; gemessen sind sämtliche Strecken s und sämtliche Brechungswinkel ß (im Sinne rechtsläufiger Zählung) einschließlich der Anschlußwinkel auf Pa und Pe zwischen der anliegenden Polygonseite und Na bezw. Ne. Für irgend eine Strecke des Zuges ergibt sich dann durch „Übertragung“ mittels der gemessenen Winkel von der je vorhergehenden Richtung aus der Richtungswinkel z. B. n₄₅ = nM -f- ßi + 180° und die zugehörigen Koordinatenunterschiede sind entsprechend Hy = s sin n, /Jx= s cos n, womit die beim Abschluß auftretenden Bedingungen sind Ne = Na + #180° + [ß]; Ye—Ya-\- [4y], Xe= Xa-\- [4x\, für die bestimmte „Fehlergrenzen“ innezuhalten sind. Die Berechnung geschieht in einem geeigneten Schema mit Logarithmen, „Koordinatentafeln“ für s • sin n, s • cos n oder der Rechenmaschine⁷⁹).

Die Genauigkeit der Längenmessung ist p. 21 erwähnt, dem noch die Bemerkung zuzufügen ist, daß im System von Kleinmessungen die Genauigkeit im Polygonnetz derjenigen der nachfolgenden Linienaufnahme übergeordnet sein muß. Zur Winkelmessung dienen kleine oder mittlere Theodolite (vgl. p. 23). Von besonderer Bedeutung sind die mechanischen Fehler des Verfahrens, die Zentrierung von Theodolit und Signal (Fluchtstab, Signalscheibe, beim Markscheiden und im Tunnel Lichtsignale), weshalb bei scharfen Messungen besondere Hilfsmittel (optische Abloter, festes Lot, bei Grubenmessungen⁸⁰) Steckhülsen usw.) verwendet werden. Ist e die Exzentrität der Aufstellung des Instrumentes, e und e die der Signale für einen gestreckten Winkel mit den Seiten a und b, so ist der bei quer zur Zugrichtung angesetzten Exzentrizitäten hieraus entstehende Fehler des Winkels⁸¹)

0/ —j— J)

der sich mit dem reinen Messungsfehler verbindet. Die Gleichung des mittleren Richtungsfehlers für die rte Richtung in einem ange

schlossenen Zuge von n Winkeln M = m~j/^

zeigt, wie der

Richtungsfehler zur Zugmitte wächst. Für den auf den unmittelbaren Winkelfehlern m beruhenden linearen Querverschiebungsfehler am Ende eines geradlinigen Zuges mit n gleichlangen Seiten s gilt

g = ]/(wsm)² -f- (in — 1 )sm)² -f- • • • -f- (2sm)² -f- (1 • sm)

L:i

oder == m

welcher sich beim Richtungsabschluß entsprechend reduziert⁸¹). Die erwähnten für die Theorie des Polygonzuges

79)    Über Reckenhilfsmittel vgl. die Lehrbücher, z. B. Härtner-Dolezal 1, p. 619; Jordan, Handbuch 2, p. 268. Daraus u. a. C. F. Defert, Tafeln zur Berechnung rechtwinkliger Koordinaten, Berlin 1874; E. Lüling, Math. Tafeln für Markscheider und Bergingenieure, 4. Auf!., Berlin 1898; Gurden, Traverse Tables, London 1888. Man hat ferner besondere Rechenschieber und Apparate für die Koordinatenrechnung konstruiert; vgl. z. B. Ch. Lallemand, Zeitschr. f. Vermess. 29 (1900), p. 233 und Härtner-Dolezal 1, p. 625, wo ein Koordinatometer nach Friedrich beschrieben wird.

80)    Vgl. die Lehrbücher der Markscheidekunde.

81)    Jordan, Handbuch 2, § 97 und § 100—103.

wesentlichen Formeln zeigen, daß die Polygonseiten möglichst lang, oder z. B. bei gegebenem trigonometrischen Punktabstand möglichst wenig Zwischenpunkte genommen werden sollen, wobei aber andererseits zu bedenken ist, daß der Polygonzug so angelegt werden muß, daß die untergeordneten Liniennetze bequem angeschlossen werden können.

Die strenge Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate hat in praktischer Hinsicht wegen der Unsicherheit der Gewichtsverhältnisse für die Längen- und Winkelmessung Schwierigkeiten (vgl. die Lehrbücher), es finden daher in der Regel numerische oder auch graphische⁸²) Näherungsverfahren Anwendung (ein einfaches, meist angewendetes Verbesserungsverfahren ist gleichmäßige Verteilung des Richtungsabschlußfehlers auf die Winkel und danach Verteilung des linearen Koordinatenabschlußfehlers je proportional den Seitenlängen). Die Aufgabe kann auch als Koordinatenumwandlung mit kleiner Achsenabweichung und Maßstabreduktion aufgefaßt werden (vgl. p. 34). Die Genauigkeit der Polygonzugmessung wird ausgedrückt durch den aus dem Richtungsabschiußfehler ß sich ergebenden mittleren Winkelweicher unabhängig ist von der Einführung des Längenmaßes, sowie durch die Koordinatenabschlußfehler f f fx, oder deren Projektion auf die Zugrichtung als „Längenfehler“

(S = Zuglänge). Hierfür sind in den

Vermessungsanweisungen amtliche Fehlergrenzen festgesetzt. Zahlreiche Genauigkeitsbestimmungen⁸³) haben mittlere Winkelfehler zwischen 15" bis 5" ergeben; in den meisten Fällen begnügt man sich mit 15" bis 30".

Besonders zu erwähnen bleibt noch der Anschluß von Zügen an unzugängliche Dreieckspunkte, besonders Kirchtürme, sowie die Überwindung von Geländehindernissen (Flüsse usw.). Hierzu sind trigonometrische Hilfsmessungen erforderlich, sodaß z. B. für einen Turmanschluß die fehlenden Abschlußstücke (Linien und Winkel) sich indirekt ergeben. (Vgl. die Lehrbücher.) Werden mehrere Züge zu einem an gegebene Punkte anschließenden Netz zusammengefaßt („Knotennetz“), so entsteht eine Ausgleichungsaufgabe, welche nach „vermittelnden“ oder „bedingten“ Beobachtungen behandelt werden kann, und im Fall nur ein Knotenpunkt vorliegt (der weitaus häufigste

fehler

fp

yn

[Ay]fy + \Ax]fx

und „Querfehler“

[A x\fy — [A y]fx

82)    Ein neueres graphisches Verfahren gibt Klingatsch, Zeitschr. f. Ver-mess. 29 (1900), p. 540 (vgl. auch 30 (1901), p. 335).

83)    Zeitschr. f. Vermess., Literaturübersichten und Jordan, Handbuch 2,

Kap. IX.

Fall), auf die Ausgleichung „direkter“ Beobachtungen (I D 2, p. 782) nach dem Prinzip des „allgemeinen arithmetischen Mittels“ führt.

12 b. Der Buss ölen-(Komp aß-) zug findet vielfache Anwendung bei tachymetrischen und topographischen Aufnahmen (p. 90), hei Waldvermessungen, und besonders Grubenaufnahmen (hierbei auch mit sehr kurzen Strecken, Schnüren), Routenaufnahmen und nautischen Vermessungen (mit sehr langen Strecken). Bei engbegrenzten Aufnahmen werden oft die magnetischen Meridianrichtungen unmittelbar als Ab-scissenachsen genommen, hei Anschluß an trigonometrische Netze die Abweichungen der magnetischen Richtungen von den trigonometrischen Abscissenriclitungen durch Beobachtung bekannter trigonometrischer Linien gefunden, hei ausgedehnten Aufnahmen ohne trigonometrischen Anschluß die absoluten magnetischen Deklinationen durch Vergleichen der magnetischen Richtungen mit bekannten oder besonders (vielfach zu dem Zweck nur genähert) bestimmten absoluten Azimuten ermittelt, oder aber auch aus den allgemeinen Deklinationsbestimmungen entnommen (z. B. Neumayer s Karten). Von der Berücksichtigung der täglichen Variation wird bei der Feldmessung in der Regel abgesehen, bei Grubenaufnahmen, Orientierungsmessung, beim Markscheiden je nach den Umständen darauf Rücksicht genommen, wobei dann im gegebenen Fall korrespondierende Variationsbeobachtungen in Betracht kommen. Bei Kleinaufnahmen im Felde wird der Einfluß der Variation ohnehin durch die wiederholten trigonometrischen Anschlüsse genügend eliminiert.

Die Genauigkeit der unmittelbaren magnetischen Richtungsangaben durch das Instrument schwankt bei Bussoleninstrumenten etwa zwischen einigen Minuten bis zu einigen Zehntel Grad, je nach der Einrichtung und Größe des Instrumentes, beim Freihandgebrauch ist der Fehler entsprechend größer (einige Grad)⁶). Da im Kompaßzug jede Richtung unabhängig bestimmt wird, ist das Fehlergesetz ein anderes als im Theodolitzug, und zwar ist der Querfehler für einen Zug mit n gleichlangen Strecken q — + mas]/n. Der Vergleich mit der entsprechenden Fehlerformel des Theodolitzuges p. 56 zeigt, daß die Fehlerfortpflanzung im Kompaßzug erheblich günstiger ist als im Theodolitzug, und im Gegensatz zu diesem möglichst kurze Strecken, d. h. häufige Messungen verlangt; sie erklärt, daß grob erscheinende Messungen mit kleinen Bussolen, wie z. B. tachymetrische

12 b. Der Bussolen-(Kompaß)zug. 13. Einzelaufnahme.

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Kleinzüge, Markscheidezüge mit dem „Hängezeug“ (Kreisbussole im doppelten Hängering schwebend), Itinerarzüge auf Forschungsreisen verhältnismäßig gute Resultate zu geben vermögen. Wegen Berechnung und Fehlerverteilung sowie Auftragung der Züge sehe man die Lehrbücher nach.

13. Einzelaufnahme.

Bei den exakten Kleinvermessungen („Grundstückaufnahme“ sog. „Stückvermessung“) erfolgt die Aufnahme der Einzelheiten (Grenzsteine, Gebäude, Wege usw.) durch unmittelbare Längenmessung auf Grund eines Systems von stufenweise sich aufeinander stützenden und bei umfangreichen Aufnahmen („Katastervermessungen“) auf Triangulierung und Polygonisierung gegründeten Linien, dem sog. „Liniennetz“. Für die Punkte, in welchen eine untergeordnete Linie in eine übergeordnete mündet („Liniennetz-“, „Binde“-, „Klein“-Punkt) werden auf Grund der Längenmessung (p. 19) Koordinaten berechnet. Verbindet eine gerade Linie die gegebenen Punkte Pa und Pe (Fig. 16) und sind die Streckenunterschiede sn, so rechnet man nach

Vn — y»-1 = AVn = Sn

V e    Va

xn_x = Axn = sn

sodaß durch Ansatz der gemessenen Streckensumme [s] die Fehler der Längenmessung proportional den gemessenen Strecken sn auf die Koordinatenunterschiede verteilt werden (vgl. auch Koordinatenumformung p. 34)⁷).    Der Abschlußfehler muß innerhalb der für

die Längenmessung festgesetzten „Fehlergrenzen“ (p. 21) bleiben. Bei dieser Anordnung der Messungen erfolgt somit eine fortgesetzte Verteilung bezw. Ausgleichung der Messungsfehler und Beurteilung der Genauigkeit von der Triangulierung ausgehend, über , die Polygonisierung bis herab zur Kleinauf- P„ nähme. Da die Messungen der Landestriangulierungen auf die Normalnullfläche (Meeresspiegel) (p. 9) projiziert werden, ergibt demnach dies Interpolationsverfahren auch die Projektion sämtlicher Linien und der durch sie gebildeten Figuren. Zur Sicherung der Lage jeder Linie dienen besondere Messungsproben, Querlinien, Anschnitte, Verlängerungen usw., welche rechnerisch oder graphisch ausgewertet werden (z. B. Probe auf Geradlinigkeit aus den Richtungstangenten oder der Fläche des gestreckten Fehlerdreiecks). Die Methode der kleinsten Quadrate wird

LSJ

Sn.y

X,

Fig. 16.

zur Ausgleichung von Linienmessungen nur selten benutzt; sie ist in Anweisung IX bei der Bestimmung wichtiger Punkte durch mehrfachen Bogenschnitt angewandt⁸⁵). Bei der Aufmessung kleiner Komplexe, bei welchen weder Anschluß an übergeordnete Systeme noch Winkelmessung stattfinden soll, wird oft ein Viereck, dessen Diagonalen gemessen sind (Diagonalenviereck), verwendet, wobei durch den Schnittpunkt sich eine Probe ergibt. Die Anordnung und Berechnung solcher Messungen ist besonders von F. G. Gauß8e) behandelt.

Auf ein derartiges in sich gesichertes Liniennetz gründet sich die „Einzdaufnahme“ entweder dadurch, daß die aufzunehmenden Punkte oder Linien (Grundstücksgrenzen, Gebäudefluchten usw.) als untergeordnete Linien in das bestehende Netz eingefügt werden, oder daß die Punkte durch Absteckung rechter Winkel auf die nahe an sie herangelegten Netzlinien projiziert werden, sog. „Koordinatenaufnahme". In jedem Falle können für alle Punkte Koordinaten berechnet werden, im letzteren Falle durch Transformation der einzelnen Messungslinien mit den rechtwinklig zu ihnen aufgemessenen Abständen in das allgemeine System. (Die Koordinatenberechnung bleibt meistens auf einen Teil der wesentlichsten Punkte, Grenzen von „Fluren", „Gewannen" und sonstige wichtige Messungspunkte beschränkt.)

Die Instrumente zum Abstecken rechter Winkel sind das uralte „Winkelkreuz“ (groma, in neuerer Form als „Winkelkopf" „Winkeltrommel") und die Reflexionsinstrumente „ Winkelspiegel" und „ Winkelprisma". Beim „Winkelspiegel", welcher aus zwei kleinen Spiegeln besteht, werden im Kreuzungspunkt doppelt reflektierter Strahlen Winkel vom doppelten Betrage des Spiegelwinkels (45°) gebildet, sodaß, wenn bei vertikalen Spiegelflächen eine direkte Zielung mit einem reflektierten Bilde in Deckung erscheint, der gewünschte Horizontalwinkel gleich einem rechten Winkel abgesteckt ist. Ein „Winkelprisma" ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Glasprisma, in welchem, wie Bauernfeind 1851 gefunden hat, doppelt reflektierte Strahlen (an der Kathete infolge von Totalreflexion) im Kreuzungspunkt mit einer direkten Zielung einen rechten Winkel bilden⁸ 9). Diese doppelt reflektierten Strahlen sind unabhängig vom Einfallswinkel und dadurch von den einfach reflektierten zu unterscheiden¹⁰).

Werden zwei „Winkelspiegel“ oder zwei sich unter 90° kreuzende Spiegel zusammengesetzt, so erhält man das „Spiegelkreuz“, ebenso das „Prismenkreuzu (in verschiedener Form), womit gestreckte Winkel, d. h. gerade Linien abgesteckt werden können. Die Richtigkeit der Instrumente wird durch Absteckung von zwei Seiten aus geprüft, wonach Spiegelinstrumente und Prismenkreuze gegebenenfalls zu berichtigen sind. Die Genauigkeit der Absteckung beträgt rund 1' bis 2'.¹¹) Weiteres über die Instrumente und ihren Gebrauch bei Aufnahmen und zu verschiedenen Absteckungsaufgaben geben alle Lehrbücher der Geodäsie.

Die „geometrische Karte“, der „Lageplan“, ist eine entsprechend verkleinerte Darstellung des auf den Yermessungshorizont (N. N.) projizierten Punkt- bezw. Liniensystems, hergestellt auf Grund des der Berechnung zu Grunde liegenden rechtwinkligen Koordinatensystems. Die Grundlage bildet das Koordinatennetz (sog. „Quadratnetz“), in welches die Koordinaten der berechneten Punkte (Dreiecks-, Polygon- und Liniennetzpunkte) eingetragen werden, womit das „Liniennetz“ konstruiert ist, welches als Unterlage für die Eintragung der weiteren (im sog. „Handriß“ oder „Feldriß“ aufgeschriebenen) Aufmessungen dient. Zum Aufträgen der Koordinaten sowie der nach der „Koordinatenmethode“ aufgemessenen Punkte dient ein Auftragapparat (Koordinatograph), bestehend aus Abscissenlineal und Ordinatenschieber. Der „Maßstab“ von Spezialkarten liegt im allgemeinen zwischen 1 : 500 bis 1 : 5000, sehr häufig gebraucht wird 1 : 1000 und 1 : 2000. (Zurzeit werden die hundertteiligen Maßstabverhältnisse bevorzugt.) Der nicht zu vermeidende „Papiereingang“ wird durch Kontrollierung der Quadratnetzlinien ermittelt und danach reduziert¹²). Weiteres über die geometrische Kartierung geben die geodätischen Lehrbücher, für die „Grubenaufnahme“ (Grubenrisse) die Lehrbücher der Markscheidekunde.

14. Bereclinung und Teilung der Flächen.

14 a. Die Flächenberechnung. Die Berechnung des „Flächeninhaltes“ vermessener Flächen kann erfolgen aus den Messungszahlen, aus

fünfseitiges Prisma von L. Prandtl erwähnt sei, Zeitschr. f. Vermess. 19 (1890), p. 462.

den Koordinaten der Eckpunkte, graphisch auf Grundlage der Karte, oder auch durch eine Verbindung von Messungszahlen und Kartenmaßen. Die Berechnung der geradlinig begrenzten Figuren geometrischer Aufnahmen gründet sich auf die einfachsten Sätze der Planimetrie, wobei auch graphische Verwandlung¹³) von Figuren (Vielecke in Vier- bezw. Dreiecke) in Betracht kommt. Für in Koordinaten gegebene oder auch direkt nach der Koordinatenmethode aufgemessene Figuren wird z. B. (bei rechtläufiger Zählung) gebraucht

⁼ ^-'Jn (Xn -1    •X'n + l) ~    Vn -1 ~f~ Vn + l) 5

F=h[p],

zur Ausrechnung dienen in der Regel Multiplikationstafeln oder Rechenmaschinen (IF (P. Mehmlce), p. 944); wegen Anordnung, Rechenschemata usw. siehe die Lehrbücher. Die Ableitung der Flächen von Vielecken aus Seiten und Winkeln überhaupt (vgl. III l, 3 [M. Simon)) wird selten verwendet, da, wie oben auseinander gesetzt, die Winkelmessung in der Regel nur zur Netzlegung, nicht aber zur Kleinaufnahme dient, falls das geschieht, aber ohnehin Koordinatenberechnung eintritt. Bei der Flächenermittlung nach Plänen wird für regelmäßige Figuren entweder Dreiecks- bezw. Viereckszerlegung verwendet, wobei verschiedene Hilfsmittel gebraucht werden, z. B. eine mit feinen Quadratnetzlinien versehene Glastafel, sowie eine transparente Hyperbeltafel von Kloth¹⁴). Haben die im Flächenprodukt F zu vereinigenden Faktoren a und h die mittleren Fehler ma bezw. mb, so ist Mp — -f- y(amh)²-f- (bm„)², woraus sich mit Rücksicht auf Messungs-, Kartenfehler usw. verschiedene Folgerungen ergeben¹⁴). Ein bequemes Näherungsverfahren zur Berechnung namentlich langgestreckter unregelmäßig begrenzter Figuren liefert das „Parallelennetz“ („Harfe“, „Fadenplanimeter“), womit sich die Fläche als Summe schmaler Trapezstreifen ergibt zu (p = Trapezmittellinien mit Zirkeladdition erhalten, oder mit der oben erwähnten Glastafel abgelesen). Dies kann für gekrümmte Umfangslinien auch zur Anwendung der Simpson’sehen Flächenformel führen. Im übrigen ist auf die Lehrbücher zu verweisen. In ausgedehntem Maße finden die „Planimeter“ (Polar-, Präzisions-, Scheiben-, Kugelrollplanimeter vgl. II A 2 (A. Voß), p. 128) Anwendung, deren Genauigkeit in mittlerem relativen Flächenfehler etwa zu ^ bis angenommen und bei den Präzisionsinstrumenten bis zu ₂₀|j₀ und sogar ^ gesteigert werden kann. Die Flächenberechnung bei der Vermessung

zusammenhängender größerer Gebiete (ganze Gemarkungen, Fluren usw.) stellt zunächst den „Sollinhalt“ für ein Kartenblatt (Flur, Block usw.) aus den Koordinaten des das Blatt umrahmenden Liniennetzes fest, worauf die Berechnung der Einzelflächen folgt, welche auf den ermittelten „Sollbetrag“ ausgeglichen werden. Für alle diese Berechnungen sind entsprechende „Fehlergrenzen“ innezuhalten, welche gemäß der Genauigkeit der Flächenberechnung unter Berücksichtigung der Messungs- und Kartierungsfehler, des Kartenmaßstabes usw. aufgestellt sind; für die preußischen Kleinmessungen gilt z. B. nach Anweisung VIII als amtliche Fehlergrenze 0,01 ]/6Ö F -j- 0,02 F² für F in qm.

14 b. Die Flächenteilung. Bei der Teilung (Veränderung, Umlegung) vermessener Flächen handelt es sich darum, rechnerisch oder graphisch auf Grund eines Planes die den gerade vorliegenden praktischen Bedingungen entsprechenden Einteilungs- oder Begrenzungslinien zu bestimmen und im Anschluß an die Messungsergebnisse oder den Plan diese Linien im Gelände abzustecken, und schließlich die Richtigkeit und Genauigkeit der Absteckung zu prüfen. Das Verfahren gründet sich auf die Teilung geradlinig begrenzter einfacher Figuren, welche entweder im Plan, oder durch Koordinaten der Eckpunkte, oder durch Messungszahlen im Handriß, auch Seiten und Winkel, gegeben sein können. Die planimetrische Theorie dieser Teilungen behandeln die Lehrbücher der Elementarmathematik, die hauptsächlich technisch in Betracht kommenden Anwendungen die Lehrbücher der Geodäsie; die rechnerische Lösung auf Grund von Koordinaten ist besonders von

F. G. Gauß entwickelt¹⁵).

Die Aufgaben lassen sich im allgemeinen zurückführen auf die, von einem durch zwei sich schneidende Linien gegebenen Winkel-raum (Dreiecksraum) oder einem durch drei Linien umgrenzten an einer Seite offenen Doppelwinkelraum (Vierecksraum) bestimmte Flächenstücke unter bestimmten Bedingungen abzuschneiden. Diese Bedingungen werden in der Vermessungstechnik durch verschiedenartige Umstände vorgeschrieben; die wesentlichsten mathematisch in Betracht kommenden sind: 1) Die abzusteckende Trennungslinie soll durch einen gegebenen Punkt gehen, der in den meisten Fällen auf einer der gegebenen Umgrenzungslinien liegt; 2) die Trennungslinie soll eine bestimmte Richtung haben, z. B. parallel oder rechtwinklig zu einer gegebenen Linie, in manchen Fällen zu einer der Umgrenzungslinien; 3) die durch die Trennungslinie abgeschnittenen Linienstücke der Urfigur sollen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen (sog. „Proportionalteilung“). Für die einfache Dreiecksteilung ergibt sich danach z. B. folgende Übersicht. Vom Dreieck U (Fig. 17) mit den Seiten A, B, C soll von der gegenüber A liegenden Ecke aus ein Flächenstück f durch Linienstücke b, c abgeschnitten

werden, sodaß wird ^

ü = n, und demnach 1c — ^j—\ * q

=m,

= m-n.

Das gibt für den Fall 1), wenn Punkt P auf C durch c gegeben ist, das ge-k

suchte m = —, b = mB- für Fall 2), wenn z. B. die Trennungslinie

parallel A sein soll, m — n = ]/&, usw. Entsprechend gestaltet sich die Vierecksteilung, wobei noch besonders hinzuweisen ist auf die auf

Fig. 17.

quadratische Gleichungen führende Parallel- und Proportionalteilungen, welche verschiedene Lösungen zulassen⁹⁴). Die richtige Absteckung wird schließlich durch Aufmessung und Flächenberechnung der abgesteckten Figuren innerhalb der erwähnten Fehlergrenzen sicher-V gestellt. Im übrigen ist zu bemerken, daß in den verwickelten Fällen der Praxis sehr viel Annäherungsverfahren zur Anwendung kommen derart, daß die Bedingung für die Lage der Teilungslinie (z. B. parallel oder rechtwinklig zu einer bestimmten Linie) vorweg genau erfüllt wird und die Flächenbedingung zunächst nur genähert, sodaß dann nach erfolgter Flächenberechnung noch kleine Verschiebungen der Linie unter Berücksichtigung der Lagebedingung auszuführen bleiben, die dann auf die Absteckung eines schmalen Dreiecks, Paralleltrapezes usw. herauskommen. Derartige Annäherungsverfahren können auf Grund eines „Handrisses“ oder auch direkt im Felde vollständig rechnerisch durchgeführt werden. Die gleiche Aufgabe liegt vor bei der sog. „Grenzbegradigung“, wobei es sich darum handelt, einen gebrochenen Grenzzug bei unveränderter Flächengröße der Figuren durch eine gerade Linie zu ersetzen. Muß

94) Über einige besondere Behandlungen vgl. Zeitschr. f Vermess. 13 (1884), p. 277; 14 (1885), p. 289; 15 (1886), p. 465; 23 (1894), p. 321; 24 (1895), p. 80, 383; 27 (1898), p. 490; 30 (1901), p. 159; 31 (1902), p. 317, 477; 32 (1903), p. 378; 33 (1904), p. 97, 121, 124; ferner die „Allgemeinen Vermessungsnachrichten“, Liebenwerda, und andere Fachzeitschriften.

bei den Teilungen der verschiedenartige Wert der Flächen (Bonität) in Rücksicht gezogen werden, so gehen die danach bestimmten Flächenwerte in die Rechnung ein⁹³).

15. Das Abstecken von geraden Linien und Kreisbogen. Das

Abstecken (Ausrichten) von geraden Linien im Gelände (Vertikal-ebene) erfolgt auf kurze Entfernungen, falls nicht besondere Genauigkeit erforderlich ist, mit Fluchtstäben (Baken) nach freiem Auge oder mit Anwendung eines Handfernrohrs (Feldstecher) durch „Einweisen“ oder auch mit Winkel- oder Prismenkreuz (vgl. p. 61). Bei genauen Absteckungen, langen Linien usw. wird der Theodolit oder ein besonders in der Vertikalebene richtig kippendes Fernrohr (Alignementsfernrohr) verwendet, mit festem Stand auf einem Endpunkt oder fortschreitender Standänderung von Linienpunkt zu Linienpunkt. Für sehr lange Linien werden auch indirekt Zwischenpunkte abgesteckt, indem in der Nähe der Linie ein Hilfspunkt angenommen wird, der kleine Abweichungswinkel von der Geraden mit dem Theodolit gemessen und mit Hilfe der ebenfalls bestimmten Entfernung die Verschiebung des Hilfspunktes berechnet wird. Ist eine direkte Zielung zwischen den Linienendpunkten nicht möglich, wie z. B. bei der Achsenbestimmung für große Tunnel, so wird der Absteckung eine Triangulierung zu Grunde gelegt, die den Winkel zwischen Achsenrichtung und gegebenen trigonometrischen Linien (Miren) ergibt, wonach im Tunnel mit dem Alignementsfernrohr mit fortschreitender Standänderung die Linienpunkte gewonnen werden. Die Fehlertheorie dieser Absteckungen entspricht der des gestreckten Polygonzuges (vgl. p. 56)¹⁶). Über kleine Absteckungen mit Winkelspiegel, Rechtecke, Quadratnetze, Parallelenabsteckung usw. s. die geodätischen Lehrbücher.

Das Abstecken von Kreisbogen wird beim Bau von Straßen, Kanälen, insbesondere Eisenbahnen erforderlich. Durch das Projekt ist in der Regel gegeben die Richtung zweier sich schneidender Geraden (Tangenten), welche durch einen Kreisbogen mit ebenfalls durch die Bedingungen des Projekts vorgeschriebenem Radius zu verbinden sind; seltener ist eine Tangente an einen oder mehrere Bogen zu legen. Verlangt wird, daß in kurzen Abständen Bogenpunkte im Gelände abgesteckt werden. Die Bestimmungsstücke sind demnach: die beiden „Tangentenrichtungen“, der von ihnen eingeschlossene Winkel, der Radius, in besonderen Fällen ein bestimmter Kuryenpunkt, oder auch zwei Punkte (Sehne). Erforderlich ist daher in der Regel zuerst Messung des Tangentenschnittwinkels mit dem Theodolit. Danach ergibt sich dann zunächst als Gerippe der weiteren Absteckungen (sog. Hauptpunkte, Hauptlinien) die durch Abmessung auf den Tangenten zu findenden Berührungspunkte (ev. deren Verbindungslinie) und durch die rechtwinkligen Abstände bezw. durch Halbierung des Schnittwinkels die Bogenmitte (Proben). Neben diesem einfachen Fall wird häufig die Absteckung weiterer Hauptlinien erforderlich, d. h. ein den Bogen einschließendes Tangentenpolygon („Zwischentangenten“ als Fortführung des einfachen Falls) oder ein eingeschriebenes „Sehnenpolygon“. Die zugehörigen Teilzentriwinkel ergeben sich entweder durch aliquote Einteilung des ganzen Zentriwinkels (bestimmt durch die Hauptberührungspunkte) oder durch Berechnung der zu bestimmten (runden) Bogen-, Tangenten-, oder Sehnenlängen gehörenden Winkel. Die Methode des Sehnenpolygons, d. h. also die Herstellung eines der Kurve eingeschriebenen Polygonzuges mit bestimmten (ev. konstanten) Brechungswinkeln und Seiten, ist die in der Regel bei der Absteckung von Kurventunneln verwendete Methode. Kann im „Tangentenschnittpunkt“ der Theodolit nicht aufgestellt werden, ist dieser Punkt überhaupt nicht herstellbar, sowie auch Längenmessung in den Tangentenrichtungen nicht ausführbar, so müssen die Bestimmungselemente auf indirektem Wege beschafft werden (z. B. sehr oft bei Kehrtunneln). Die wesentlichsten Fälle sind: Verbindung der Tangenten durch eine meßbare gerade Linie und Messung der anliegenden Winkel, wodurch das abgeschnittene Dreieck bestimmt ist, oder Einführung eines Polygonzuges (möglichst wenig Zwischenpunkte) oder endlich Triangulierung mit Ausgleichung; in solchen Fällen wird auch Berechnung der Absteckungselemente nach rechtwinkligen Koordinaten verwendet.

Auf die Absteckung des Gerippes der Hauptlinien gründet sich diejenige der „Einzelbogenpunkte“, welche in der einfachsten Weise durch rechtwinklige Koordinaten (sog. „Koordinatenmethode“) von der Tangente oder Sehne aus mit „Winkelspiegel“ usw. sich ergeben, und zwar entweder mit gleichen runden Abständen (5, 10, . . . m) auf Tangente bezw. Sehne, oder mit gleichen Bogenlängen (5, 10,. . . m).

Neben dieser unmittelbar auf die Hauptlinien gegründeten „Koordinatenmethode“ kommen noch einige andere Verfahren in Betracht. Eine Methode (Fig. 18) ist die der „Peripheriewinkelstrahlen“ aus „festem Stand“, wobei mit fortgesetzter Abtragung einer kon-

stanten Sehne (z. B. 20 m) die zugehörigen Zentriwinkelvielfachen von der Tangentenrichtung aus mit dem Theodolit hergestellt

Fig. 18.

werden oder runde Winkel angetragen werden. Eine andere Methode ist (Fig. 19): Aufsuchen der Bogenpunkte vermittelst der zu einer bestimmten Sehne gehörigen Peripheriewinkel bei „tvanderndem

Fig. 19.

Fig. 20.

Stand¹¹ eines diesen Winkel fassenden „Freihandreflexionsinstrumentes“, welches wie ein einstellbarer Winkelspiegel oder ein Doppelprisma nach Art des Sextanten usw. auf diesen berechneten Winkel einstellbar ist (Arkograph).

Weitere „Einrückungsverfahren“ sind die sog.

Absteckung von der „verlängerten Sehne“ und von der „verlängerten Tangente“ aus, wobei ein Meßband (20 m) bequem verwendbar ist. Bei ersterem (Fig. 20) wird die erste Sehne von der Tangente aus mit den hierfür (meistens für runde Bogenlängen) berechneten rechtwinkligen Koordinaten abgesteckt, diese Sehne verlängert und von ihr aus die nächste Sehne durch die auf erstere bezogenen rechtwinkligen Koordinaten abgesetzt, wonach die Arbeit

BW

Fig. 21.

C,

in gleicher Weise fortschreiten kann. Beim zweiten Verfahren (Fig. 21) werden in ähnlicher Weise von der Tangente AT aus in rechtwinkligen Koordinaten zwei gleichabständige Kuryenpunkte B und C berechnet

Fig. 22.

und abgesteckt, sodaß die nächstfolgende im zweiten Punkt berührende Tangente durch diesen zweiten Bogenpunkt C und den Abstand des Tangentenschnittpunktes B" vom Ordi-natenfußpunkt B' des ersten Bogenpunktes bestimmt ist, womit die fortgesetzte Absteckung der Tangenten mittels rechtwinkliger Bogenpunktkoordinaten ermöglicht ist. Auch die Einschaltung von Zwischenpunkten über gegebenen Sehnen durch fortgesetzte Einlegung von Zwischensehnen mittels des Pfeilhöhenviertels (sog. „Viertelsmethode“, Fig. 22) wird als Näherungsmethode für flache Bogen angewendet⁹⁶).

Ein besonderer Fall ist die Verbindung zweier Tangenten durch mehrere Kreiskurven vorgeschriebener Krümmung, sog. „Korbbogen“, welche notwendig werden, wenn den Bedingungen des Projektes nicht mit einem einzigen Bogen entsprochen werden kann. Z. B.: Gegeben die Tangentenrichtungen und auf einer Tangente der Berührungspunkt und zwei Radien, sodaß zu berechnen ist der Berührungspunkt auf der zweiten Tangente, sowie die gemeinschaftliche Tangente beider Bogen; oder gegeben die Richtungen der beiden Tangenten, ihre Berührungspunkte und ein Radius, sodaß der andere Radius und die gemeinschaftliche Tangente zu bestimmen sind. In manchen Fällen werden auch mehr als zwei Radien erforderlich, z. B. gegeben die beiden Tangentenrichtungen, die Berührungspunkte und drei Radien. Die Bogen sind bestimmt, sobald ihre Zentriwinkel berechnet sind⁹⁷). Bei der Absteckung der Eisenbahnlinien sind zwischen Geraden und Bogen zur Überleitung von der Krümmung Null zur Krümmung des Kreisbogens „Übergangskurven“ erforderlich. Die Absteckung anderer als Kreisbogen, der Kegelschnitte oder anderer Kurven, kommt bis jetzt allgemein nicht in Betracht⁹⁸). Für die praktische Durchführung der Absteckungen werden stets Hilfstabellen verwendet⁹⁹) (oft

96)    Über die Anordnung der Rechnungen und Messungen sowie über weitere Aufgaben vgl. die Lehrbücher, z. B. Jordan, Handbuch 2, Kap. XVII und Härtner-Dolezal 2, § 28—31.

97)    E. Puller, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 519; 23 (1894), p. 257• E. Hammer, ibid. 29 (1900), p. 236 (vgl. Literaturübersichten).

98)    Hecht, Hand- und Hilfsbuch zum Abstecken von Eisenbahn- und Straßenkurven mit besonderer Rücksicht auf die Verwertung der Kegelschnitte, Dresden 1893.

99)    Sarrazin und Oberbeck, Taschenbuch zum Abstecken von Kreisbögen auch in Taschenkalendern enthalten), worin z. B. enthalten sind zum Radius 1 (bezw. 100) als Funktionen der Zentriwinkel: Tangentenlängen, Bogenlängen, Sehnenlängen, Pfeilhöhen, Scheitelabstände; ferner Kreiskoordinaten, Peripheriewinkel usw.

Wegen weiterer Literatur sei verwiesen auf die Angaben in den Lehrbüchern¹⁰⁰), sowie die technischen Zeitschriften, z. B. auch die Literaturübersichten der Zeitschr. für Yermessungswesen.

Als eine besondere bei „Grubenmessungen“ vorkommende Aufgabe sei noch genannt die Übertragung oberirdisch („über Tage“) ge-gegebener Punkte bezw. Richtungen in die Grubenräume („unter Tage“) und umgekehrt, die sogenannte „Orientierungsmessung“ mit „Schachtlotung“. Da Richtungsübertragung mit dem Kompaß (Dekli-natorium, Magnetometer) nur in unmagnetischem Gebirge möglich und nicht in allen Fällen genügend genau ist, handelt es sich dann darum, zwei oder auch mehrere Punkte zu projizieren, entweder beide in kurzem Abstand in einem Schacht oder je einer in benachbarten Schächten. Hierzu dient entweder direkte Ablotung mit „Schachtloten“ (Methode der schwingenden oder der fixierten Lote) oder optische Ablotung mit Lotfernrohr; letzteres Verfahren ist jedoch wegen Undurchsichtigkeit der Luft in den Schächten vielfach unanwendbar. Nach Projektion von zwei Punkten ist die Aufgabe auf eine besondere Art trigonometrischen bezw. polygonometrischen Anschlusses (p. 57) zurückgeführt¹⁰¹).

D. Hökenmessung.

16. Das Nivellieren.

16 a. Definition des Höhenunterschiedes, Historisches. Die

Methode der Höhenbestimmung beim sogenannten „Nivellieren“ mit Verwendung wagerechter Ziellinien und lotrechter Skalen (vgl. p. 12) folgt unmittelbar aus der für die Vertikalebene zweier Punkte gegebenen Definition. Der Abstand der als parallel zur Normalnullfläche betrachteten Horizonte zweier Punkte P₁ und P₂ (in den Lotlinien gemessen) ist der „Höheunnterschied“ der Punkte mit der Definition A hn — h₂ — hv Diese Höhenunterschiede werden durch kurze wage-usw., Berlin; Knoll, Taschenbuch zum Abstecken der Kurven an Straßen- und Eisenbahnen, 2. Aufl. von Weitbrecht, Stuttgart 1902 und andere.

100)    Jordan, Handbuch 2, p. 842; Härtner-Dolezal 2, p. 447.

101)    Weiteres über die Schachtlotungen und Anschlußmessungen geben die Lehrbücher der Markscheidekunde; man vgl. auch „Mitteilungen aus dem Markscheidewesen“, Freiberg i. S.

rechte Ziellinien zwischen den Lotlinien einander naheliegender Punkte unmittelbar hergestellt. Schneiden diese Ziellinien an den Lotlinien in und P₂ die Stücke lx und l₂ ab; so ist A h₁₂ — h₂— h₁ = l₁ —l₂, oder mit Einführung des Horizontes h. der wagerechten Ziellinie („Instrumenthorizont“) ht — \ -f- lx- h₂ — \ — l₂. Hierbei ist von der Konvergenz der Lotlinien abgesehen, oder aber die Abweichung durch Anwendung gleichlanger Ziellinien als eliminiert betrachtet („Nivellieren aus der Mitte“). Der Höhenunterschied entfernter Punkte ergibt sich als die Summe der zugehörigen Einzelunterschiede

ne'

Ke ⁼    + AA₁₂ + * ‘ + AÄ

Wird die wagerechte Linie durch ein mit einer Setzwage (Bleiwage oder Setzlibelle) wagerecht zu richtendes „Richtscheid“ gebildet und an einem lotrechten Stab der Höhenunterschied entnommen, so hat man die grobe Höhenbestimmung mit dem „Staffelzeug“, angewendet z. B. bei Erdbauten (vgl. Nr. 16 e). Zur Herstellung wagerechter Ziellinien mit Einwinken einer Scheibe in die wagerechte Sicht an den lotrechten Stäben Jn in Pn diente schon im Altertum die an einem Stab aufgehängte „Bleiwage“ sowie die nach dem Prinzip der kommunizierenden Röhren zwei der Wagerechten angehörende Ziel” punkte darbietende „Kanalwage“ m). NachErfindung des „Zielfernrohres“ wurden seit Ende des 17. Jahrhunderts mehrfach Yersucbe gemacht, dieses zum „Fernrohrniveau“ auszubilden; erst seit Beginn des 19. Jahrhunderts wurde die heutige Form als „Nivellierinstrument“ gefunden und besonders seit der Zeit der ersten Eisenbahnbauten das heutige Nivellier verfahren mit dem Nivellierinstrument zu der exaktesten aller Höhenmessungsmethoden ausgebildet.

16 b. Der Nivellierapparat besteht aus dem „Nivellierinstrument“ und den „Nivellierlatten“. Das Nivellierinstrument ist eine Verbindung von Zielfernrohr und Libelle, so daß, wenn die Blase der mit dem Fernrohr in gleicher Richtungsebene befindlichen Libelle auf den Normalpunkt einspielt, die Absehlinie des Fernrohres horizontal gerichtet ist, oder auch kleine Abweichungen von der Horizontalen durch Ablesen der Blasenstellung in der Libellenteilung gemessen werden können. Die Art der Verbindung von Libelle und Fernrohr untereinander sowie mit dem als Träger derselben erforderlichen Unterbau (in der Regel ein „Dreifuß“ mit Stellschrauben) kann verschieden sein; das wesentlichste Unterscheidungsmerkmal ist die Art der Fernrohrlagerung und der Libellenanordnung, ob Fernrohr und

102) Über einige ältere Formen dieser Vorrichtung und weitere Literatur vgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, § 228.

Libelle untereinander und mit dem Unterbau fest oder beweglich (umlegbar), sowie auch durch Vermittlung von Mikrometerschrauben verbunden sind, wobei für die „Fehlertilgung“ besondere Anordnungen in Betracht kommen. Hiervon ist auch die Erzielung der Bedingungen, welchen das Instrument in bezug auf seine Achsen (Libelle, Ziellinie, Ringachsen, Drehachsen) genügen muß, die sogenannte „Berichtigung“ abhängig, deren Endresultat sein muß: bei Einspielen der Libelle auf den Normalpunkt (vgl. p. 18) wagerechte Zielung. Die Anordnung der Instrumente und die entsprechenden Berichtigungsverfahren sind in den Lehrbüchern ausgiebig behandelt. Die Leistung eines Nivellierinstrumentes hängt (abgesehen von fester Aufstellung und sicherem Gang der mechanischen Teile) ab von Fernrohr und Libelle. Die Angabe der Libellen liegt bei 1 P. L. oder 2 mm-Teilung etwa zwischen 50" und 3", die Vergrößerung der Fernrohre ist 15 fach bis 45 fach; stärkere Fernrohre werden im Felde nicht verwendet. Bei sachgemäßer Zusammenstellung dieser Werte kann die Horizontierung der Absehlinie mit einem mittleren Fehler von einigen Zehntel Sekunden bis zu mehreren Sekunden erfolgen¹⁷).

Die „Nivellierlatten“, welche die lotrechten Abschnitte ln zu bilden haben, sind mit dem Fernrohr des Nivellierinstrumentes abzulesende Zielskalen, die je nach der erstrebten Genauigkeit (in Übereinstimmung mit der Instrumentleistung) in % cm, ¹/₁ cm oder auch % dm und ¹/₁ dm geteilt sind; es kommen auch andere Einteilungen (z. B. Doppellinien = 4 mm, auch 2 mm und 1 mm) vor. Früher wurden statt dieser Ableseskalen Latten mit einer in die Wagerechte einzuwinkenden Zielscheibe benutzt. Die Teilung ist eine „Feldeinteilung“ mit abwechselnd rot-weißen oder schwarz-weißen Intervallen oder auch eine „Strichteilung“. Die Skalen werden in der Regel aus Holz hergestellt, neuerdings beginnen für Präzisionsarbeiten auch Versuche mit Metallskalen verschiedener Anordnung, um die mühevollen, für Feinmessungen täglich erforderlichen Vergleichungen der Holzskalen mit Normalmaßen (vgl. p. 20) und nachfolgenden Reduktionen zu ersparen bezw. diese letzteren zu verschärfen. Die Latten werden mit daran befestigten Dosenlibellen lotrecht gerichtet und auf besonderen Unterlegeplatten oder in den Boden getriebenen Bolzen oder Pfählen aufgestellt, beim Markscheiden auch als Hängelatten eingerichtet.

16 c. Das Nivellierverfahren. Bei der Anwendung des Nivellierverfahrens kommen stets kurze Ziel weiten in Betracht. Für die fortlaufenden

Höhenbestimmungen in Nivellierzügen gilt als mittlere Zielweite rund 50 m (wodurch bei Straßen, Eisenbahnen, Wasserläufen gleichzeitig in bequemer Weise Anschluß an die vorhandeue Längeneinteilung, „Stationierung“, dieser Bauten gewonnen wird), so daß die Nivellierskalen in Abständen von 100 m aufgestellt werden; bei Geländeaufnahmen sind die Zielweiten wechselnd, in anderen Fällen, z. B. bei Arbeiten in Gruben unter Tage, sehr kurz. Bei gleichen Zielweiten kann der Einfluß der Erdkrümmung als eliminiert betrachtet werden, bei den ungleichen Zielweiten der Geländeaufnahme wird die Abweichung ohne weiteres vernachlässigt. Während bei einfachen Nivellierungen die beiden Skalenablesungen l\ und l₂ bei einspielender Libelle und wagerechten Ziellinien genommen werden, wird bei Feinnivellierung meistens mit nur genähert einspielender Libelle und Ablesung der Blasenstellung mit Reduktion auf die wagerechte Zielung gearbeitet, ferner auch zur Verminderung der Skalenablesefehler die Einstellung bestimmter Skalenstellen oder Marken mittelst der Mikrometerschraube mit Reduktion nach den zugehörigen Libellenablesungen verwendet, oder auch mehrfache Einstellung bezw. Ablesung, sei es an Parallelfäden, mit Drehen des Fernrohrs oder der Libelle in verschiedenen Lagen usw.¹⁸ 19). Zur Vermeidung der Subtraktionen lt — 12 wird auch nach dem Vorgänge der preußischen Landesaufnahme die Rechnung mit dekadischen Ergänzungen, z. B.

+ 1,012 — 1,258 = -f 1,012 + x 8,742 = x 9,754 (= - 0,246),

wo X eine negative Einheit in seiner Stelle ausdrückt, angewendet, wozu dann in dieser Art bezifferte Skalen benutzt werden. Zur Sicherung und Verfeinerung der Skalenablesungen werden auch „Wendelatten“ mit beiderseitiger Teilung in verschiedener Anordnung, sowie doppelte „Anbindepunkte“ usw. benutzt¹⁸).

Die Anwendung des Nivellierverfahrens ist eine vielseitige und verschiedenartige; es kommen in Betracht die Aufgaben der Erdmessung, der Landesvermessung und technische Arbeiten mannigfaltiger Art;

dementsprechend ist allgemein zn unterscheiden: Anwendung des Nivellierens in der Technik (Kleinnivellierung), deren Genauigkeit der gerade vorliegenden Aufgabe entsprechen muß, und Nivellierung für die Zwecke der Erdmessung und die Hauptsysteme der Landesvermessung, deren Ergebnis das mit größtmöglicher Genauigkeit bestimmte Landeshöhennetz ist, welches gebildet wird durch ein System von Festpunkten, „Bolzen“, „Höhenmarken“ usw., die an festen Gebäuden oder in Steinpfeilern angebracht sind. Diese letzteren Arbeiten bezeichnet man als „Präzisionsnivellierung“ oder „Nivellierung I. Ordnung“. Eine Mittelstellung zwischen diesen beiden Aufgaben des Nivellierens nehmen diejenigen Arbeiten ein, welche als Fortführung oder auch als Ersatz der etwa fehlenden Landespräzisions-Nivellierung zur Grundlegung für umfangreiche und wichtige Kleinnivellierungen zu dienen haben („Netznivellierung“, „Nivellierung H. Ordnung“). Die Nivellierungen I. und II. Ordnung bestehen lediglich aus Zügen zwischen Festpunkten, die Kleinnivellierungen dagegen aus der Verbindung der Zugnivellierung mit Geländeaufnahmen.

Bei „Kleinnivellierungenu handelt es sich um die verschiedenartigen Arbeiten zu technischen Zwecken: Geländenivellierungen auf Grund eines vorhandenen Lageplanes mit nachfolgender Auszeichnung von Linien gleicher Höhe (Höhenschichtlinien, Horizontalkurven), sodann die Aufnahme von Längen- und Querschnitten, wie sie Eisenbahn-, Straßen-, Wasser-, Bergbau usw. erforderlich machen. Bei der zeichnerischen Darstellung dieser Vertikalschnitte (Höhenpläne) wird in der Regel eine entsprechende Vergrößerung der Ordinaten (Höhen) angewendet. Für die Absteckung projektierter Höhenpunkte (vgl. die vorerwähnten Bauten), ist die dem Projektpunkte für eine bestimmte, aus einem Festpunkt abgeleitete, Instrumentaufstellung entsprechende Lattenablesung lu — ht — hn zu erzielen. Bei der Aufnahme der Sohlenpunkte bei Gewässern wird der Wasserspiegel als Nivellierhorizont verwendet, dessen Höhenlage bezw. Schwankungen dann zu bestimmen sind (Aufnahmepegel)¹⁹).

Gelegentlich kommt auch die dem Prinzip der Kanalwage (p. 70) entsprechende Schlauchkanalwage zur Anwendung. Durch eine Schlauchleitung sind zwei vertikale Glaszylinder verbunden, in denen der Wasserstand (event. durch Schwimmer) direkt an Skalen abgelesen wird. Auf dem Telegraphenberge bei Potsdam ist seitens des Preußischen Geodätischen Instituts¹⁰⁶) eine 900 m lange Röhren-

106) Veröffentlichung des Königl. Geodät. Instituts, N. F. 14; R. Schumann, Ergebnisse einer Untersuchung über Veränderungen von Höhenunterschieden auf dem Telegraphenberge bei Potsdam, Berlin 1904.

leitung angelegt, um durch ein hydrostatisches Nivellement eventuelle Bewegungen der Erdscholle aufzudecken.

16 d. Die Genauigkeit der Nivellierung ist einerseits abhängig von den instrumentellen Werten des Nivellierapparates (Skala, Libelle, Fernrohr), sowie der Art der Ausnützung des Apparates (Libelleneinstellung oder Ablesung, Skaleneinstellung bezw. Ablesung), andererseits von den mechanischen Fehlern des Verfahrens (Instrument-, Stativ- und Lattenaufstellung, Einsinken), sowie den äußeren Umständen (störende Einwirkung von Temperatur und Feuchtigkeit auf Instrument, Stativ und Latte) und bei den dicht über den Erdboden hinstreichenden Ziellinien besonders auch der „topographischen Refraktion“, welche zur Innehaltung kurzer Ziellinien zwingt, und der Luftwallung, welche Feinarbeiten an bestimmte Tagesstunden (Nachmittag) bindet. Wind macht das Nivellieren überhaupt unmöglich. Die aus diesen verschiedenartigen Ursachen entstehenden Fehler sind teils zufällige, teils regelmäßige, zusammenwirkend nach der allgemeinen Form wie p. 21 ]//'²s² -j- u²s. Zur Herabminderung (bezw. Elimination) der Fehler ist das Nivellierverfahren in mannigfacher Weise ausgebildet und verfeinert worden²⁰).

Zusammenhängende Nivellierungsnetze, in denen die Züge zwischen den Netzknotenpunkten stets aus Hin- und Hernivellierung gebildet werden, werden nach der Methode der kleinsten Quadrate vielfach nach „bedingten“, jedoch auch nach „vermittelnden“ Beobachtungen (vgl. p. 16) ausgeglichen, wobei die Gewichtsbestimmung für die Züge besonderer Berücksichtigung bedarf. Die Bedingungsgleichungen (Polygon- und Anschlußbedingungen) bezw. die Fehler- und Normalgleichungen lassen sich bei derartigen Netzen unmittelbar nach den Netzskizzen anschreiben, die Rechenarbeiten gestalten sich in den meisten Fällen sehr einfach. Bei der Zusammensetzung des ein großes Staatsgebiet oder Teile eines Kontinentes, wie z. B. Westeuropa, überziehenden Netzes, wie es die Aufgaben der Erdmessung erforderlich machen, ist auf die Abplattung der Erdoberfläche und die Schwereanomalien Rücksicht zu nehmen und die dementsprechenden Korrektionen den einzelnen Zügen beizulegen (vgl. VI 1, 3). Die Genauigkeit der Nivellierung kann beurteilt werden entweder nach den Abweichungen, welche zwei Messungen für dieselben Teilstrecken ergeben, oder nach dem

Fehler, welcher bei der Zusammenstellung der Züge zum Netz (Polygonschlußfehler) oder der Netzausgleichung event. mit Anschlußbedingungen sich berechnet. Als Genauigkeitsmaß dient allgemein der mittlere Fehler der Nivellierung einer Strecke zwischen zwei Punkten, deren horizontaler Abstand 1 km beträgt, welcher also bei der Normalzielweite 50 m rund zehn Aufstellungen erforderlich macht. So spricht man vom „mittleren Kilometerfehler“ einer einmaligen oder einer doppelten Nivellierung oder der Schleifen (Polygone) des Netzes. Nach der älteren Bestimmung der europäischen Gradmessung (1867) galt eine Nivellierung als gut, wenn der „wahrscheinliche“ Kilometerfehler nicht + 6 mm, als brauchbar, wenn er nicht + ^ mm überschritt; diese Genauigkeit wird heute ohne besondere Schwierigkeit mit mittleren Instrumenten, bei sorgfältigem Verfahren auch für Nivellierungen II. Ordnung erzielt (und als „mittlerer“ Fehler + 3 mm bis + 5 mm hierfür wohl als Norm angewendet), während bei den modernen Präzisionsnivellierungen der Fehlerbetrag sich innerhalb + 1 mm halten läßt, und selbst bei den einfachen Nivellierzügen technischer Arbeiten bei der Verwendung von in % cm geteilten Latten der mittlere Fehler nicht + 10 mm übersteigt²¹).

16 e. Erdmassenbereclinung. Im Anschluß an die vorbesprochenen technischen Messungen und Absteckungen (Nr. 15) kommt die Berechnung des Inhaltes von Erdkörpern, Dämmen, Einschnitten usw. in Betracht. Die Geländeoberfläche ist auf Grund der bei der Horizontal- und Vertikalaufnahme aufgemessenen Punkte in Flächenstücke zerlegt, welche in geradlinigen Kanten die Begrenzungsflächen eines sich der natürlichen Oberfläche anschmiegenden Polyeders darstellen. Ein einfacher Fall der Erdmassenberechnung liegt nun z. B. vor, wenn ein Quadratnetz (etwa mit 20 m Maschenweite) abgesteckt ist, für alle Netzpunkte die Höhen gemessen sind, und die Erdmasse etwa bis zu einer bestimmten Horizontfläche, oder auch einer geneigten Fläche ermittelt werden soll (schief abgeschnittene Prismen mit quadratischem Grundschnitt). Treten dazu noch die Böschungen, welche die Geländeoberfläche mit der über oder unter ihr liegenden (projektierten) Fläche verbinden, ev. unter Hinzunahme von Gräben, Rampen usw., so lassen sich doch, sofern eine genügende Anzahl von Punkten gegeben ist, immer diese Erdkörper in bestimmte geometrische Körper, Prismatoide, Prismen, Pyramidenstutze usw. zerlegen und darnach im Einzelnen berechnen ²²).

In den meisten Fällen wird jedoch besonders bei den ausgedehnten Massenbestimmungen der Damm- und Einschnittskörper beim Eisenbahn-, Straßen-, Kanalbau diese bei korrekter Einzeldurchführung sehr mühsame Zerlegung nicht ausgeführt (zumal neben anderen Umständen in praktischer Hinsicht die Auflockerung des Bodens beim Fördern und Wiederabsetzen in Betracht kommt). Eine sehr geläufige Berechnungsmethode der Erdmassen bei den erwähnten Bauwerken ist die folgende: Es werden rechtwinklig zur Längsachse, dem Längenprofil, in bestimmten Abständen s Querschnitte (Querprofile) aufgenommen (p. 73), und deren Flächeninhalte F aus den aufgezeichneten Querprofilen berechnet. Dann wird der Körperinhalt zwischen zwei aufeinanderfolgenden parallelen Querprofilen gefunden nach \{Ft -f- F₂) s; es ist also das arithmetische Mittel der Begrenzungsprofile an Stelle des Prismatoidmittelschnittes F₀ gesetzt    -j- Fs -j- 4F¹,,]). So

wird auch verfahren, wenn ein Gelände durch Horizontalkurven (p. 73) dargestellt ist, indem die Erdmasse zwischen zwei benachbarten Horizontflächen aus deren Vertikalabstand und dem mittleren Flächeninhalt der von den Kurven umschlossenen Flächen gewonnen wird (bei ähnlichen Kurvenfiguren abgestutzte Kegel). Die Flächeninhaltsberechnung der Prismatoidgrundfiäehen, Dreiecke, Vielecke, Damm-und Einschnittprofile geschieht je nach den Umständen nach einer der p. 71 für die Flächenberechnung angegebenen Methoden, numerisch, graphisch oder mechanisch (Planimeter). Zur Vereinfachung dieser Rechnungen sind eine Reihe von Verfahren entwickelt und Tabellen berechnet; es kommen besonders graphische Methoden hierbei in Betracht²³). Der Flächeninhalt eines Damm- oder Einschnittprofils führt auf die allgemeine Form A -j- Bx -f- Cx², worauf die graphischen Methoden, welche in I F (11. Mehmcke), p. 1006 ff. behandelt sind, Anwendung finden können. Im sogenannten „Profilmaßstab“ wird diese Form durch eine Gerade y — A -f- Bx und eine Parabel y — Cx² auf gemeinschaftlicher Abszisse, die Fläche also linear dargestellt. Werden diese Linien als Ordinaten an den betreffenden Achsenpunkten des Längenprofils eingetragen (Abtrag oberhalb, Auftrag unterhalb der Projektlinie), so entsteht das „Flächenprofil“ dessen Fläche die Raummassen zwischen den Profilen darstellt. Auf solche

Darstellungen gründet sich dann die Massen Verteilung im sogenannten ,,Massennivellement“ mit dem „Massenprofil“, worin in jedem Profilpunkt die algebraische Summe aller vorhergehenden Massen auf-getragen erscheint¹¹⁰) m). Auch sei an dieser Stelle hingewiesen auf einige interessante Aufgaben, welche W. Laimhardt²⁴ 25) in der Theorie des kommerziellen Trassierens aufstellt.

16f. Kotierte Projektion. Endlich sei auch hier noch hingewiesen auf die „kotierte Projektion“, d. h. diejenige Methode der darstellenden Geometrie²⁶ 27), welche sich auf die geometrische Karte als orthogonale Parallelprojektion in der Vermessungsgrundfläche mit jedem Geländepunkt zugeschriebener Höhenzahl (Kote) und Auszeichnung der Horizontalkurven gründet. Die Lage eines Punktes ist bestimmt durch seine Projektion und die zugefügte Kote, die Lage einer Geraden durch zwei derart gegebene Punkte, die einer Ebene durch drei Punkte oder durch Festlegung der Linie stärkster Neigung. Zur bequemen Ausführung der Konstruktionen werden die Linien nach ganzzahligen Koten eingeteilt („graduiert“). Der horizontale Abstand zweier benachbarter, der Höheneinheit entsprechender Einteilungs-(Graduierungs)-Punkte ist das „Intervall“. Zwischen dem Höhen-(Koten-)Unterschied h zweier Punkte, ihrem horizontalen Abstand s, der Neigung der Linien n und dem Intervall i bestehen demnach die Beziehungen n : 1 = h : s = 1 : i, womit alle bei der kotierten Projektion vorkommenden Rechnungen ausgedrückt sind. Der „Böschungs-maßstab“ einer Ebene ist eine in der Richtung des stärksten Gefälles verlaufende graduierte Gerade; die Horizontalen stehen rechtwinklig zu ihr. Bei der topographischen Fläche werden die Fallinien sowie die Horizontalen zu Kurven. Eine „Horizontalkurvenkarte“ gibt in jedem Punkt an: die Höhe des Punktes, die Richtung der Horizontalen, des stärksten Falles und den Betrag der Neigungen. Die kotierte Projektion ermöglicht eine einfache Darstellung der Erdkörper und Böschungsschnitte bei der Anlage von Eisenbahnen, Kanälen, Wegen usw.; sie ist eingehend von G. A. Peschkaiu) behandelt.

Bei der Darstellung der topographischen Fläche (vgl. p. 92) durch Bergstrichzeichnung entsprechen die „Bergstriche“ den Fallinien. Durch Auszeichnung dicht nebeneinanderliegender Fallinien wird die topographische Fläche in Elemente zerlegt, sodaß dadurch an jeder Stelle der Karte Betrag und Richtung der Neigung zum Ausdruck kommt. Zur Veranschaulichung der Flächenneigungen werden dann nach

J. G. Lehmann¹¹*) unter der Voraussetzung vertikal einfallenden Lichtes die einzelnen Flächenteilchen nach dem Grade ihrer Neigung durch passende Anordnung der Strichstärke mehr oder weniger weiß oder schwarz ausgezeichnet; nach „Lehmann’s Manier“ vom Höhenwinkel a = 0° bis zur Grenze a = 45° in 9 Stufen nach der Beziehung-Schwarz : Weiß = a : (45° — cc). In Spezialkarten (vgl. auch Nr. 20, 21) werden in der Regel nur Horizontalkurven eingetragen; Bergstrichzeichnung kommt in der Regel nur in Betracht für topographische Karten in Maßstäben etwa von 1 : 25000 ab (vgl. VI 1, 4).

17. Trigonometrische Höhenmessung. Ist bei Annahme paralleler Lotlinien in einem Punkte Pt in der Vertikalebene nach P₂ der Zenitwinkel zx oder der Höhenwinkel gemessen und die horizontale Entfernung s bekannt, so ist \ — \ -j- s tgar Die Messung der Vertikalwinkel geschieht mit dem Höhenkreis des Theodolits (vgl. p. 26). Unter \ ist demnach die Höhe der Kreisachse verstanden, die entweder durch Höhenwinkelmessung nach einem gegebenen Höhenpunkt in bekannter Entfernung aus \ — hp— s tga abzuleiten ist, oder durch unmittelbare Messung des lotrechten Abstandes i über dem Aufstellungspunkte hi = hp -{- i. Ist nicht der zu bestimmende Höhenpunkt P₂ direkt angezielt, sondern ein Hilfszielpunkt, der um ein bestimmtes Maß lz über oder unter P₂ liegt, so wird demnach die vollständige Höhenformel h₂ — \ -f- i + lz -f- stga. Ist die Entfernung s nicht direckt meßbar, wie z. B. bei Türmen, so muß sie indirekt durch besondere Messungen, wie bei der Horizontaltriangulierung (Dreieck mit Grundlinie und anliegenden Winkeln), ermittelt werden. Wird hierbei die Grundlinie in die Vertikalebene der Aufstellungspunkte und des unzugänglichen Turmpunktes gelegt, so entfällt die Messung der Horizontalwinkel, es ergibt sich die unbekannte Entfernung aus dem Dreieck in der Vertikalebene.

Die Annahme der Parallelität der Lotlinien kann nur für sehr kurze Entfernungen beibehalten werden. Wird auf der kugelförmigen Erdoberfläche durch Px und P₂ eine Vertikalebene gelegt und der Abstand s der Lotlinien in der Normalnullfläche als bekannt (etwa

115) Darstellung einer neuen Theorie der Bezeichnung der schiefen Flächen im Grundriß oder der Situationszeichnung der Berge, Leipzig 1799.

aus der Horizontaltriangulierung) angesehen und wieder der Vertikal-wünkel oq gemessen, so ist in dem durch den Schnitt der Lotlinien im Erdzentrum C gebildeten Dreieck CPXP₂ bei bekanntem Erdradius alles zur Bestimmung des Höhenunterschiedes A h₁₂ gegeben. Die Beziehung wird wegen der Kleinheit des zugehörigen Erdzentriwinkels und der Höhen von Px und P₂ im Vergleich zum Erdradius P unter Einführung der Abweichung des wahren und scheinbaren Horizontes (Niveaufläche und Tangentialebene), der „ Horizontdepression“ o ^ (Fig. 23), unmittelbar zurückgeführt auf die einfache ßechenformel bei parallelen Lotlinien, sodaß ist

zR

Fig. 23.

8*

wozu nun noch die „terrestrische Refraktion“ tritt (vgl. VI 2, 3 (E. v. Oppolzer)). Der Betrag der terrestrischen Refraktion wird als Funktion der sphärischen Depression durch den „Refraktionskoeffizienten“ k zum

si

Ausdruck gebracht in der Form — k •    ,

u JlC

sodaß in dieser Zusammen-

fassung die Höhenformel lautet h₂ — ht -j- s tg a -)- -

- s² (zur Rech-

nung dienen Tabellen²⁸)). Es wird demnach die Lichtkurve kurzweg als flacher Kreisbogen ausgedrückt. Werden in beiden Punkten Py und P₂ sogenannte „gegenseitige Zenitdistanzen“ z₁ und z₂ gemessen, so gilt unter der Voraussetzung gleichmässiger Krümmung der Lichtbahn die vereinfachte Beziehung h₂ — \ = stg^(z₂ — zf), worin der Refraktionskoeffizient nicht erscheint, und die zugehörige Gleichung

«i + g, —180°

k= 1

SQ

• P, woraus (am zuverlässigsten bei gleichzeitiger

gegenseitiger Beobachtung) Bestimmungen für den Refraktionskoeffizienten gewonnen werden können.

i/

Die starke Veränderlichkeit der terrestrischen Refraktion und ihre Abhängigkeit von der Temperaturverteilung längs der Ziellinien (Besonnung usw.) ist die wesentlichste Fehlerquelle für trigonometrische Höhenmessungen. Der Fehler des als „mittlerer Refraktionskoeffizient“ benützten Wertes k = 0,13 (Ressel) ist rund auf seines Betrages zu schätzen, etwa mit dem Ausdruck 0,13 + 0,03,

p. 592.

wodurch aber größere Abweichungen nicht berücksichtigt werden. Besondere Beobachtungen über die terrestrische Refraktion, ihre tägliche Periode usw. sind von C. M. v. Bauernfeindm) angestellt; weitere Literaturangaben findet man bei Jordan¹¹⁶). Durch diese Veränderlichkeit und die Unsicherheit der Refraktionsbestimmung ist der Genauigkeit der trigonometrischen Höhenmessung eine Grenze gesetzt, sodaß zur Zeit diese Methode hauptsächlich in Verbindung mit der Kleintriangulierung für topographische Messungen praktisch verwertet wird, während sie früher als die ausgezeichnetste und schärfste Höhenmessungsmethode betrachtet wurde; als ein Beispiel derartiger Messungen sei verwiesen auf das trigonometrische Nivellement Swinemünde-Berlin¹¹⁸); einer späteren Zeit gehören z. B. an die Beobachtungen zum Anschluß von Helgoland an das Festlandnetz u9). Über die Theorie der terrestrischen Refraktion lese man die Lehrbücher von F. P. Helmert¹²°) und W. Jordan¹¹⁶) nach, die weitere Literaturangaben enthalten. Für exaktere Messungen und besondere Untersuchungen kommen für die Höhenformel noch weitere Glieder in Betracht; soll z. B. die Höhenlage der Messungspunkte in Rücksicht gezogen werden, so wird

h₂ — \ = s(l -f

\ T~ K

2 Bm

-Vtg²« -I----,

wobei Bm der mittlere Krümmungsradius, eventuell derjenige des Ellipsoidnormalschnittes in dem betreffenden Azimut ist. Über die strenge Reduktion der trigonometrischen Höhenmessung, ihre Bedeutung für die Bestimmung der Erdfigur und den theoretischen Unterschied ihrer Ergebnisse gegenüber denen der Nivellierung vgl. VI l, 3 (P. Pizzetti).

Der Fehlertilgung (vgl. p. 27) wegen werden die Vertikalwinkel stets in beiden Fernrohrlagen, sowie auch in mehreren Kreislagen gemessen, bei Kleinmessungen wird meistens mit einspielender Libelle, bei schärferen Messungen mit Libellenreduktion gearbeitet. Aus der

117)    Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion. Drei Mitteilungen mit Nachtrag, München 1880, 1883, 1888, 1890; H. Hartl, Mitt. milit.-geogr. Inst. Wien 3 (1883).

118)    J. J. Baeyer, Trigon. Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin, Berlin 1840.

119)    Veröffentl. d. Kgl. Preuß. Geodät. Institut. Zenitdistanzen zur Bestimmung der Höhenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog, Berlin 1895.

120)    Mathematische und physikalische Theorien der höheren Geodäsie, Bd. 2, Leipzig 1884.

Beziehung Ah — stga ergibt sich aus den mittleren Messungsfehlern ms und ma der Höhenunterschiedfehler

mAh =

cos² a

+]/(tgamJ²4-(

für nahe wagerechte Zielung mAh = + s. Aus der Winkelmessungsgenauigkeit, welche je nach dem Zweck und dem verwendeten Instrument etwa ausgedrückt wird durch = -j- 1" bis + Ü unter Berücksichtigung der vorerwähnten Refraktionsfehler, ergibt sich ein Überblick über die Genauigkeit dieses Höhenmessungsverfahrens. Im allgemeinen wird für die technische Verwendung als genügend erachtet, wenn der mittlere Höhenunterschiedfehler etwa zwischen den Grenzen + 1 dm bis + 2 dm bleibt und dementsprechend Verfahren und Instrumente gewählt. Die Ausgleichung zusammenhängender trigonometrischer Höhennetze geschieht nach der Methode der kleinsten Quadrate, oder in einfacheren Fällen nach einem passenden Näherungsverfahren ¹¹⁶).

Hier ist auch noch zu erwähnen die Höhenmessung mit Gradbogen, Pendelkreis, Libellenhöhenkreis, s. p. 20 (eventuell als Freihandinstrumente gebraucht), in Verbindung mit der geneigten Länge des Meßbandes oder der Meßschnur (Schnurzug des Markscheiders) p. 12, wobei sich der Höhenunterschied ergibt nach h = sn sin a (sn geneigte Länge). Die Genauigkeit dieser Höhenwinkelmessung läßt sich etwa durch den mittleren Fehler +0,1° bis +0,3° ausdrücken. Diese Höhenmesserzüge (auch wohl Schrägnivellement genannt) werden oft mit den p. 58 erwähnten Kompaßzügen verbunden.

18. Barometrische Höhenmessung. Zu topographischen Aufnahmen, besonders auch für Vorarbeiten zu Eisenbahnbauten und Erkundungsaufuahmen (Reiseaufnahmen), s. p. 96, wird in ausgiebiger Weise von der barometrischen Höhenmessung Gebrauch gemacht, wobei als Instrument lediglich das „Federbarometer“ in Betracht kommt, während Quecksilberbarometer und „Siedethermometer“ (Kochbarometer) zur Kontrolle des als „Feldinstrument“ betrachteten „Aneroides“ dienen; die zur Zeit stattfindende weitgehende Verwendung der Barometermessungen ist nur durch die Einführung dieses Instrumenttypus möglich geworden²⁹). Das wesentlichste Element der für Höhenmessung in Betracht kommenden Instrumente ist eine nahezu luftleer gepumpte, luftdicht verschlossene Büchse, gebildet durch zwei federhart gewalzte dünne Wellblechplatten, welche auf einen kräftigen Ring aufgelötet sind. Die Büchse ruht auf einer Grundplatte und trägt einen Zapfen, an dem eine starke Feder angreift, welche den Luftdruck balanciert. Die bei Luftdruckschwankungen sich einstellenden elastischen Biegungen des Federsystems, rund etwa y₂₀₀ mm für 1 mm Barometerstandänderung, werden in verschiedener Weise ablesbar gemacht, wodurch sich verschiedene Konstruktionen ergeben. Am gebräuchlichsten ist mechanische Vergrößerung (etwa 500 fach) durch ein Hebelwerk mit Ablesung an einem Zeiger auf einem Zifferblatt (z. B. Naudet, Bohne). Mikrometrische Messung durch ein Schraubenmikrometer mit Fühlfeder ist angewendet von J. Goldschmid; die im Prinzip einfachste Methode direkter optischer mikroskopischer Ablesung (Beitz) hat sich praktisch bisher nicht gut bewährt. Wegen der Konstruktionseinzelheiten sei auf die Lehrbücher verwiesen³⁰). Die in der Konstruktion begründeten, den unmittelbaren Instrumentablesungen beizulegenden Verbesserungen sind: 1) die „Teilungsverbesserung“, d. h. also die Umwandlung der Einteilung des betreffenden Instrumentes in die Millimetereinteilung des Quecksilberbarometers, bezogen auf einen bestimmten Anfangspunkt; 2) die „Temperaturverbesserung“ d. h. die Reduktion der mit der Temperatur veränderlichen elastischen Kraft der zu dem Federsystem verwendeten Metalle, sowie die Reduktion der Spannkraft der in der Büchse enthaltenen Luft und der in Frage kommenden thermischen Ausdehnungen auf eine Normaltemperatur (die Instrumenttemperatur wird bestimmt durch ein „inneres“ Thermometer); 3) die „Standverbesserung“ zur Beseitigung des nach Beilegung der beiden ersten Größen noch bleibenden Unterschiedes gegen den Quecksilberbarometerstand. Die Bestimmung der Korrektionen geschieht durch Vergleichen mit einem Quecksilberbarometer bei verschiedenen Temperaturen und Luftdrucken, wozu besondere Einrichtungen getroffen werden können³⁰).

Die mitunter stark von linearer Form abweichenden Interpolationsgleichungen werden graphisch oder nach der Methode der kleinsten Quadrate, ev. auch durch eine Näherungsrechnung abgeleitet. Eine allgemeine Form ist³⁰):

F + x+yt + z(lQ0 —F) -\-y't(J60 —F)-\-z'(160—Fy+y"fi-\—, in der t die Temperatur, F den beobachteten Barometerstand und x, y, z, y', z, y" zu bestimmende Koeffizienten bedeuten. Ohne Berücksichtigung dieser Verbesserungen, welche nicht nur jeder Konstruktionsart, sondern auch jedem Instrumente eigentümlich und innerhalb gewisser Grenzen veränderlich sind, sind die Federbarometer für Höhenmessungszwecke unbrauchbar (elastische Nachwirkung³¹)). Die „Standverbesserung“ wird etweder durch Anordnung der Messungsmethode (Anschluß an Höhenfestpunkte) eliminiert oder durch Vergleichen mit Quecksilberbarometern oder Siedethermometern (letztere besonders auf Reisen geeignet) bestimmt¹²²). Es sind demnach die Federbarometer ihrer Natur nach Interpolationsinstrumente von ziemlich hoher relativer Genauigkeit ihrer Angaben, und dementsprechend beim Messungsverfahren zu verwenden.

Die Grundlage der barometischen Höhenmessung bildet die „barometrische Höhenformel“, die, zuerst von Laplace 1799 aufgestellt, später mit Berechnung zugehöriger Tabellen mehrfach bearbeitet wurde, (Biot, Gauß, Bessel, Babinet u. a.¹²²)) und in verschiedener Form gebraucht wird. Als Beispiel sei angeführt die von W. Jordan mit Ausscheidung der zuweilen mit aufgenommenen Instrumentreduktion (Unterschied zwischen Quecksilber- und Federbarometer, besonders in bezug auf Schwere) gegebene Formel³²):

h = Klog f (1 + at) (l + 0,377 '-) (1 + ß cos 2 <p) (l + ^),

=18400

worin die barometrische Konstante K 0,76    13,59593

K    ' 0,00129277 1,00021

und t die mittlere Temperatur, e den mittleren Dunstdruck der freien Luft, p den mittleren Luftdruck und II die mittlere Höhe bedeutet.

Für örtlich begrenzte Gebiete, wie sie bei einer ausgiebigen Verwendung der barometrischen Höhenaufnahme in Betracht kommen, werden die Glieder für die Schwere nach Breite und Höhe und für die Luftfeuchtigkeit mit mittleren Werten in der barometrischen Konstanten zusammengefaßt; so lautet z. B. die von Jordan'u) für Mitteleuropa gegebene Formel

h = 18464 (1 -f 0,003665 Q (log B — log&),

womit dann für den mittleren, im Meeresspiegel zutreffenden Luftdruck von 762 mm eine Tafel der Höhendifferenzen nach t von Grad zu Grad und B in yi0 mm berechnet ist³²). Eine andere für die

Höhenberechnung geeignete Form, wohl „Höhenstufe“ genannt, erhält man, wenn die Gleichung so umgewandelt wird, daß die Höhendifferenz als Funktion einer bestimmten Barometerstanddifferenz z. B. 1 mm erscheint (Babinet 1850); für die vereinfachte Jordanische Formel wird z. B.

^-⁹ (1 + at) und h = A (Bs — Bx),

wozu Rechenschieber und anderweite Hilfsmittel (graphische Tafeln) in Betracht kommen. Diese „Höhenstufe“ kann auch direkt durch

H

gegebenen Höhenfestpunkten gefunden, A — ,,

Beobachtung an

".-■Hi

und danach die weiteren Höhen interpoliert werden. Weiteres über Genauigkeit der Formel (tägliche Periode), die einzelnen Glieder, Rechenmethode, verschiedene Hilfsmittel und Literatur findet man bei Jordan.

Zur Ausführung der barometrischen Höhenaufnahme sei nur noch erwähnt, daß den Barometerstandschwankungen Rechnung getragen wird durch fortlaufende korrespondierende Beobachtungen an „Standbarometern“, gegen welche die Ablesungen der „Feldbarometer“ reduziert werden, oder durch in möglichst kleinen Zeitabständen wiederholte Rückkehr an „Anbindepunkte“ (Schleifenaufnahme) mit Reduktion nach der Zeit, sowie durch Anschluß an gegebene „Höhenfestpunkte“. Diese letztere Methode ist die für topographische Aufnahmen geeignetste, wozu zahlreiche im Aufnahmegebiet passend verteilte nivellitisch, trigonometrisch oder tachymetrisch bestimmte Höhenfestpunkte verwendet werden. Bei sorgfältigem Verfahren lassen sich bei derartigen Aufnahmen bez. Einschaltungen auf beschränkten Gebieten (am besten mit graphischer Ausgleichung) die Geländepunkte mit einem mittleren Fehler von rund + 1 bis 2 m anschließen.

¹

   v. Schmidt, Zeitschr. f. Yermess. 23 (1894), p. 387.

²

   Jordan, Handbuch 1, Kap. II, HI.

³

   Helmert, Ausgleichungsrechnung, p. 231; Jordan, Handbuch 1, 2. Auf!., Kap. HI; 3. Aufl. Kap. Y.

⁴

   C. Beinhertz, Die Verbindungstriangulation zwischen der Triangulation im Kohlenrevier und dem Rhein. Dreiecksnetz, Stuttgart 1888.

⁵

Über die Bedeutung und Behandlung der Vielecksaufgaben vgl. Nell, Zeitschr. f. Vermess. 22 (1898), p. 489; E. Füller, ibid. 23 (1894), p. 257; vgl. auch Hammer, Trigonometrie § 40—43.

⁶

Wegen der verschiedenen Einrichtung, der Einteilung (gewöhnlich in Grad, bei Grubenkompassen auch Stunden), der Prüfung der zur Anwendung kommenden Instrumente, Feldbussolen, Markscheiderbussolen vgl. die geodätischen Lehrbücher, sowie die speziellen Lehrbücher der Markscheidekunde.

⁷

Anweisung IX, p. 28 und Trigonom. Formular 23, p. 335.

⁸

   Wegen der Ausführung der Rechnung (Logarithmen, Rechenmaschine usw.), Rechenschemata usw. vgl. die Lehrbücher, speziell F. G. Gauß, Rechnungen der Feldmeßkunst.

⁹

   Vgl. die verschiedenen Lehrbücher der Geodäsie, besonders Bauernfeind, Vermessungskunde.

¹⁰

   Es sind eine Reihe weiterer Prismen konstruiert, unter denen ein

¹¹

   F. Lorber, Zeitschr. f. Instr. 8 (1888), p. 381; eine Fehlertheorie des Winkelprismas findet man bei Jordan, Handbuch 2, p. 36.

¹²

   Über die bei ausgedehnten Gebieten in Frage kommenden Projektionsverzerrungen sei auf Jordan, Handbuch 3, § 59 und auf VI l, 4 (B. Bourgeois) verwiesen.

¹³

   E. Collignon, Ann. des ponts et chauss. 1887, p. 9.

¹⁴

   Jordan, Handbuch 2, Kap. III und Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 628 (22 (1893), p. 60, 338); 32 (1903), p. 686; J. Schnöckel, ibid. p. 129 und 369.

¹⁵

F. G. Gauß, Die Teilung der Grundstücke, 4. Aufl., Berlin 1904. Die Literatur zu zahlreichen besonderen Fällen ist in den jährlichen Literaturübersichten der Zeitschr. f. Vermess. angegeben.

¹⁶

Beispiele für Linien- und Tunnelabsteckungen gibt Jordan, Handbuch 2, § 195, 205 mit weiterer Literatur, ferner Hartner-Dolezal 2, p. 447 u. 448. Für den Gotthardtunnel z. B. C. Koppe, Zeitschr. f. Yermess. 2 (1873), p. 369; 5 (1876), p. 86; für den Simplontunnel M. Kosenmund, ibid. 32 (1903), p. 74.

Encyklop. d. matb. Wissensch. VI 1.

¹⁷

Genauigkeitsuntersuchungen findet man bei Jordan, Handbuch 2, Kap. X; vgl. auch die Fußnote 20.

¹⁸

   Eine Übersicht über die bei den verschiedenen Landesnivellierungen gebrauchten Apparate hat v. Kalmar gegeben, Verhandlgn. der Permanenten Komm. d. Intern. Erdm. in Genf 1893, Berlin 1894, Beilage A II. Über die französischen Instrumente und Methoden findet man näheres bei Lallemand, Nivellement; vgl. ferner C. M. Goulier, Paris C. R. 105 (1887), p. 270, 306; M. Levy, ibid. 110 (1890), p. 1233. Ein kathetometrisches Nivellierinstrument ist von Clir. A. Vogler beschrieben, Zeitschr. f. Vermess. 31 (1902), p. 55.

¹⁹

   Weiteres über solche Aufgaben siehe in den Lehrbüchern sowie für die verschiedenen bautechnischen Zwecke in dem Handbuch der Ingenieur-Wissenschaften, Leipzig.

²⁰

S. Stampfer, Theoretische und praktische Anleitung zum Nivellieren, 1. Auü., Wien 1845; 9. Aufl. F. Lorber, Wien 1894; 10. Aufl. E. Dolezal, Wien 1902; ferner Jordan, Handbuch 2, Kap. X; Vogler, Prakt. Geom. 2.

²¹

Über die Ergebnisse von Genauigkeitsuntersuchungen vgl. Fußn. 20 und die jährlichen Literaturübersichten der Zeitschr. f. Vermess. Über die internationalen Arbeiten wird fortlaufend berichtet in den Verhandlgn. der Konf der internationalen Erdmessung.

²²

   Als Beispiel einer besonderen Aufgabe möge hierzu zitiert sein: Wilski, Zeitschr. f. Vermess. 21 (1892), p. 401; Chr. A. Vogler, ibid. 34 (1905), p. 169.

²³

   Handbuch der Ingenieurwissenschaften 1 (Cr. Meyer und $. v. Will-mann), 1. Abt., 3. Auf!, Leipzig 1898, § 19, 4. Aufl. 1904, § 19.

²⁴

   C. M. v. Bauernfeind, Graphische Bestimmung der Erd- und Transportweiten, München 1856; C. Culmann, Graphische Statik, Zürich 1866, 2. Aufl. 1875, Kap. 2 u. 3; F. Eickemeyer, Massennivellement, Leipzig 1870; J. Avisier-Laffon, Anwendung des Integrators zur Massenberechnung, Zürich 1875; vgl. hierzu II A 2 (A. Voß\ p. 131.

²⁵

   Theorie des Trassierens, Hannover, Heft 1, 1887; Heft 2, 1888.

²⁶

   Ygl. III 1, 11 [E. Papperitz).

²⁷

   Kotierte Ebenen, Brünn 1877.

²⁸

Jordan, Handbuch 2, Kap. XI mit ausführlichem Literaturverzeichnis,

²⁹

L. Vidie, Paris C. ß. 24 (1847), p. 975.

Encyklop. d. math. Wiasensch. VI 1.

³⁰

Jordan, Handbuch 2, Kap. XII (mit weiterer Literatur). Über die verschiedenen Aneroidkonstruktionen vgl. L. Löivenherz, Bericht über die wiss. Instr. auf der Berliner Gewerbeausstellung im Jahre 1879, Berlin 1880, p. 122; C. Koppe, Die Aneroidbarometer von J. Goldschmid, Zürich 1877; F. H. Beitz, Zeitschr. f. Vermess. (1878), p. 363; E. Hammer, ibid. 76 (1887), p. 20.

³¹

   C. Beinhertz, Zeitschr. f. Instr. 7 (1887), p. 153, 189.

³²

   W. Jordan, Barometrische Höhentafeln, 2. AuflL, Stuttgart 1886; desgl. für Tiefland und grosse Höhen, Hannover 1896.

E. Tachymetrische Methoden.

Unter „Tachymetrie“ (Schnellmessung) versteht man dasjenige Messungsverfahren, bei welchem „Lage“- und „Höhen“-Messung gleichzeitig erfolgt. Die Entfernung wird dabei indirekt durch sogenannte Distanzmessung ermittelt, da die direkten Längenmessungen verhältnismäßig viel Zeit erfordern. Verfahren und Instrumente sind mannigfacher Art und voneinander unterschieden, einerseits nach der Methode der Distanz- und Höhenmessung, andererseits nach der Bestimmung der Horizontalrichtungen mit Theodolit, Bussole oder Meßtisch; dem entsprechen die Bezeichnungen: Schnellmesser, Tachymeter (Tacheometer), Tachygraph, Tachygraphometer, Celerimeter, Omnimeter, Stadimeter, Euthymeter usw. Die Bezeichnung des Messungsverfahrens als Schnellmessung (Tachymetrie, Tacheometrie, Stadia surveying oder tacheometry, Celerimensura) erklärt sich aus der zweckmäßigen Vereinigung von Lage- und Höhenmessung, welche insbesondere für die technische Topographie von großer Bedeutung ist, wie denn auch die heutige Tachymetrie ihre Entwicklung wesentlich den Anforderungen, welche die geometrischen Vorarbeiten für den Eisenbahnbau stellten, verdankt.

19. Indirekte Längenmessung (Distanzmessung). Erforderlich ist ein Instrument („Distanzmesser“), welches die Länge der Ziellinie (oder deren Projektion) bis zu einem Zielpunkte durch unmittelbare Ablesung der gesuchten Entfernung selbst oder einer einfachen Funktion derselben angibt. Damit ist der Unterschied zwischen dem Prinzip der „Distanz“ - (Entfernungsmesser und den „Längen-meßwerlczeugen“ (Meßlatte, Meßband usw.) gekennzeichnet. Den speziell geodätisch in Betracht kommenden Distanzmessern liegt in der Regel eine irgendwie instrumentell hergestellte Parallaxe zu Grunde. Für die Anordnung der bestimmenden Elemente stehen verschiedene Wege offen, durch deren Kombination sich eine ganze Reihe von Konstruktion smöglichkeiten (Erfindungen) von Distanzmessern darbieten. Für Konstruktion, Bedeutung und Verwendung der Instrumente ist in erster Linie entscheidend die Anordnung der Distanzbasis L. Wird die Distanzbasis im Zielpunkt als sog. „Distanzlatte“ (eine leicht transportable mit Teilung oder Zielmarken versehene Ziellatte) aufgestellt, so spricht man von Distanzmessern „mit Latte“] diese Anordnung wird in der Feldmessung (Tachymetrie, Topographie) für kürzere Entfernungen (d. h. bis zu einigen 100 in, stets aber innerhalb 1 km) angewendet. Zur allgemeinen Lösung des Problems für größere Entfernungen, besonders aber für militärische (artilleristische) Zwecke, wenn die Anbringung einer Distanzbasis im Ziel unmöglich ist, wird das Instrument selbst Träger der Basis (Basisschiene, Basislineal); für diese Zwecke kommen neben den parallaktischen Distanzmessern auch in Betracht die weniger brauchbaren Fernrohrbildweiten-Distanz-messer und neuerdings besonders der stereoskopische Entfernungsmesser von Zeiß in Jena¹).

19 a. Distanzmesser mit Distanzlatte. Hierzu gehört in erster Linie der in der Feldmessung am meisten zur Anwendung kommende Fernrohr-Okularfadendistanzmesser² 3) mit festem Fadenabstand p in der Bildebene, der beim einfachen astronomischen Fernrohr die auf den Ob-

jektiyhauptpunkt bezogene Entfernung I) = F -f- F — liefert, wenn

F die Objektivbrenn'weite, p den Fadenabstand in der Bildebene bedeutet und L an einer geteilten Skala, die parallel p ist, abgelesen wird. Soll die Entfernung auf die Instrumentdrehachse bezogen werden, so

Regel 100 oder 200)

hat man F -f- c -f- F • ^ oder allgemeiner D = a -f- kL. Das zusammengesetzte Fernrohr (Ramsden, Huygens) liefert auf gleiche Form a -f- kL (a — Additions-, k = Multiplikationskonstante, in der zu bringende Beziehungen, worin beim Fernrohr von Porro m) durch Zwischensetzung einer Kollektivlinse bei passender Anordnung des optischen Systems a gleich Null in Bezug auf die Instrumentachse gemacht werden kann (anallaktisches Fernrohr). Ist die optische Achse des Fernrohrs geneigt und bleibt L parallel p, so gibt D die geneigte Entfernung an, welche durch Messung des Vertikalwinkels auf die horizontale reduziert werden muß; wird aber L lotrecht gestellt, was meistens geschieht, so wird die projizierte Entfernung s = a cos u -j- Lk cos² a, worin a der Höhenwinkel der Mittenzielung ist. Das Okular-Schraubenmikrometer, welches bei konstantem L das variable p in Schraubenwert liefert, findet seltener Ver-wendung (p. 92, Präzisionsmessung).

Einführung des parallaktischen Winkels e durch Winkelbewegung eines Zielfernrohrs mit zwei aufeinander folgenden Einstellungen findet in verschiedener Form Verwendung. Zunächst kommt in Betracht bei wagerecht und rechtwinklig zur Mittenzielung eingerichtetem L die Messung von e als Horizontalwinkel. Bei lotrechtem L wird e als Differenz zweier Höhenwinkel gemessen; ist dann s = ß — cc, für die obere und untere Zielung nach L, so wird die wagerechte

Entfernung S — L    In der Regel wird die Winkelbewegung

durch besondere „distanzmessende“ Schrauben eingeführt, und zwar der lotrecht oder wagerecht wirkenden Tangentialschrauben bei lotrechtem X.⁴) Bei wagerechtem L kann p unmittelbar durch das Horizontalmikrometer eines Winkelmessers ermittelt werden. Bei lotrechter Tangentialschraube und lotrechtem L ergibt sich die wagrechte Entfernung s, wenn p die Schraubenbewegung ausdrückt, und d den wagerechten Abstand des Drehpunktes von der Schraubenachse

s = L ^ = Llc (k z. B. = 100), oder bei konstantem L ist s = —■

X__I r r__. ⁰ + u

d (o — u) ' L    a'ä o — u

worin a und b' die Konstanten des Instrumentes, h die Nullstellung der Schraube (horizontale Yisur) bedeuten. Für horizontal angeord-

Bei der von S. Stampfer verwendeten Schraube (Sehnenschraube) wird für die Parallaxe £ eine Interpolationsformel mit wenigen Gliedern s" — a" (o — u) — b" (o² — u²) verwendet, wobei o und u die beiden Schraubenangaben, und a und b empirisch zu bestimmende Konstanten sind. Durch Einsetzen dieser Winkelgleichung ergibt sich die Distanzgleichung 70 =

nete Tangentialschraube und vertikales L gilt ebenfalls die vorer-

k'

wähnte Beziehung s = Lli hezw. = — • Diese Anordnung kann bei

der Kippbewegung des Theodolitfernrohrs angewendet werden, während die lotrechte Schraube sich besonders für Nivellierinstrumente eignet. Nach den hier angedeuteten Anordnungen sind eine ganze Reihe von Instrumenten konstruiert worden, auch mit automatischer Reduktion auf den Horizont, welche besonders für die Tachymetrie von Bedeutung ist⁵).

von

Die bisher aufgezählten, für kürzere Entfernungen bestimmten Distanzmesser: Okularfaden, Okularmikrometer, Meßschrauben und Tangentenmikrometer sind in Bezug auf die Genauigkeit der Entfernungsbestimmung im allgemeinen als einander gleichwertig zu bezeichnen. Nach der einfachen Beziehung D = hL ist, abgesehen vom Fehler in h selbst, der Entfernungsfehler vom numerischen Wert h (z. B. 100, 200) abhängig. Die Genauigkeit der Ermittlung von L hängt ab von der Genauigkeit der Skalenablesung bezw. Einstellung der Distanzlatte, welche wieder abhängig ist von der Einrichtung und Aufstellung der Skala, der Leistung (Vergrößerung) des Fernrohrs sowie der Schraubenmikrometer, der zu bestimmenden Ent-

fernung und der terrestrischen Refraktion. Die zahlreichen für die verschiedensten Instrumente angestellten Genauigkeitsermittlungen¹³⁹) lassen sich etwa so ausdrücken:

I)

100 m

200 m

500 m

+ trnD

0,05—0,20 m |    0,1—0,3 m

0,5—1,0 m

Eine allgemeine Beziehung für den Fehler und sein Wachsen mit der Entfernung läßt sich nicht ohne weiteres angeben. Für kleine Entfernungen, bei günstigen Verhältnissen (Refraktion, Wind), guten Instrumenten läßt sich die Genauigkeit der Distanzmessung bis zu der einer mäßig genauen⁶) unmittelbaren Messung mit Längenmeßwerkzeugen steigern, während sie die Genauigkeit einer verfeinerten Längenmessung allerdings nicht erreichen kann. Man unterscheidet auch hier zwischen Präzisionsdistanzmessung, welche die unmittelbare Längenmessung bei kurzen Strecken ersetzen soll, und tachymetrischer Distanzmessung (Schnellmessung). Bei dem Wettstreit zwischen der Distanz-und der Längenmessung behauptet im allgemeinen die erstere den Vorrang in Bezug auf die Schnelligkeit, die letztere in Bezug auf die Genauigkeit. Das eigentliche Gebiet dieser Art Distanzmessung ist daher die Tachymetrie und Topographie.

19 b. Distanzmesser mit Basisschiene (Basislineal)⁷). Das Instrument selbst ist Träger der Basis (Basis-Schiene, -Lineal) und mißt oder gibt den parallaktischen Winkel s. Die Anordnung ist dementsprechend verschieden. Ist L konstant, so wird £ durch die Abweichung zweier bei der Nullstellung (oo) parallel gerichteter Fernrohre gemessen und zwar entweder an einem geteilten Kreisbogen, oder mikrometrisch mit Okularmikrometer, oder nach dem Prinzip der Tangentenschraube oder auch in einem besonderen Falle⁸) durch ein Hebelwerk. Ist £ konstant, so sind auf der Schiene zwei Fernrohre angebracht, von denen das eine verschiebbar und mit konstantem £ zum anderen angeordnet ist; I) wird an der Schiene abgelesen. Für beide Konstruktionen ist Bedingung feste Aufstellung und bei nicht festen Zielen gleichzeitige Yisur durch zwei Beobachter. Dies wird günstiger durch Reflexionsdistanzmesser nach dem Prinzip des Spiegelsextanten, wodurch beide Zielungen zu einer einzigen vereinigt werden. An der Distanzbasis sind angebracht zwei Spiegel, ein fester und ein beweglicher; bei D = oo sind beide Spiegel parallel, bei Beobachtung (Fernrohr am festen Spiegel) eines endlich entfernten Gegenstandes gibt bei Deckung des reflektierten Bildes mit dem direkt gesehenen Zielpunkte der an einer Kreisteilung oder mikrometrisch zu messende Drehwinkel des beweglichen Spiegels Auch nach diesen Prinzipien sind eine große Zahl von Instrumenten mit Basislineal konstruiert worden, zu denen fast alljährlich einige hinzuzukommen pflegen.

Aus der einfachen Beziehung D = X— folgt, daß wenn L als

fehlerfrei betrachtet werden kann, der mittlere zu fürchtende, allein vom Fehler me des parallaktischen Winkels e herrührende Distanz-

fehler ist mD =

• Unter günstigen Verhältnissen (gute Beleuch

te

tung, kein Flimmern) bei scharf bezeichneten Zielpunkten, absolut fest

aufgestelltem (unveränderlichem, von Temperatur usw. nicht beeinflußtem) Instrument ist es möglich, die Messungsgenauigkeit für einen Winkel wie s bei Verwendung guter Fernrohre und geeigneter Mikrometer innerhalb 1"

zu halten. Diese Grenze ist aber bei der praktischen Verwendung (nicht scharf bezeichnete, schwankende oder sich bewegende Ziele) nicht zu erreichen. Bei dioptrischer Zielung ist das Maximum der erreichbaren Zielgenauigkeit etwa 10"—15", bei Freihandinstrumenten etwa 1'. Die theoretisch erreichbare Genauigkeit mD wäre demnach für L = 2 m (die Länge der Basisschiene beträgt in der Regel etwa 1 bis 3 m) und mf — + 1" die folgende:

mD

50

1000

5000    10000 m

0,6

2,4

60

240 m

Unter günstigen Verhältnissen, mit guten Instrumenten, bei scharfer Bezeichnung der Zielpunkte unternommene Genauigkeitsbestimmungen haben ergeben, daß bei der praktischen Verwendung mindestens 3 bis 5 mal größere Fehlerbeträge zu erwarten sind. Die Leistung untergeordneter Instrumente ist eine entsprechend geringere. (Hingewiesen sei noch auf den Ausdruck für den relativen Fehler mD __ j, ms \

D    Lq)

Erwähnt seien hier auch Distanzmeßvorrichtungen, welche eine kleine Basismessung (konstante Meßhandlänge usw.) beanspruchen. Hierzu gehört zunächst das „Distanzprisma von Bauernfeind⁹), welches gestattet einen Winkel abzustecken, der um einen kleinen Betrag vom rechten Winkel abweicht, also beim Abstecken dieses Winkels von beiden Enden einer Basis aus ein langgestrecktes gleichschenkliges Dreieck mit dem parallaktischen Winkel s ergibt, der so bemessen ist, daß D ein Vielfaches (50, 100) der Distanzmesser nach Souchier¹⁰), ein vierseitiges Prisma (Wollaston-sches Prisma), welcher Winkel von 90° und (90° -f- C) abzustecken gestattet, also über einer zu messenden Grundlinie ein langgestrecktes rechtwinkliges Dreieck mit gegebenen Winkeln bildet. Auch der gewöhnliche Winkelspiegel und das Bauernfeind'sehe Winkelprisma zum Abstecken rechter Winkel können zur Distanzmessung verwendet werden, indem nach Absteckung einer Grundlinie rechtwinklig zum Zielstrahl vom Zielpunkt aus nun auch am anderen Ende der Grundlinie ein rechter Winkel gebildet wird, sodaß sich ein dem ersten Dreieck ähnliches kleines rechtwinkliges Dreieck an der Grundlinie ergibt. Der bei der Absteckung eines Winkels mit einem Prisma zu erwartende Fehler beträgt etwa 1', wonach sich der Entfernungsfehler a priori beurteilen läßt.

L ist. Hierhin gehört auch

von

20. Tachymetrisahe Instrumente und Aufnahmen. Von den

verschiedenartigen tachymetrischen Instrumenten, auf deren Einzelheiten hier nicht eingegangen werden kann¹¹ 12), hat die größte Bedeutung der mit Vertikalkreis und festen Distanzfäden im Fernrohr ausgerüstete Theodolit, vielfach vervollständigt durch einen Richtkompaß oder eine Kreisbussole. Nach p. 86 ist hierfür bei lotrecht stehender Distanzskala die projizierte wagerechte Entfernung für das astronomische Fernrohr S = acosu -f-&L cos²cc, für das Porro'sche anallaktische Fernrohr S — hLcos²a, und bei rechtwinklig zur Ziellinie aufgestellter Distanzskala S = (Lh -j- a) cos a -f- lz sin a (lz = Abstand der Mitten-zielung vom Skalenfußpunkt). Der Höhenunterschied Ah des Mittenzielpunktes an der Distanzskala gegen die Instrumentachse ist beim einfachen Fadendistanzmesser mit vertikaler Latte Ah = Stga = a sin a -f- liL sin a cos a, und beim Porro'sehen Fernrohr Ah = ^kL$m2u] bei rechtwinklig zur Ziellinie gerichteter Skala

Ah —Je L sin a. Wie bei der trigonometrischen Höhenmessung p. 78 kommt hierbei Instrument-, bez. Zielhöhe in Betracht, sodaß die Höhenformel z. B. lautet hn — hp -f- i — lz -f- \ liL sin 2a. Der Einfluß der Erdkrümmung und Refraktion wird bei der tachymetrischen Höhenmessung in der Regel außer acht gelassen.

Zur Ausrechnung der Entfernung und Höhenunterschiede dienen verschiedene Hilfsmittel. „Tachymetertafelndas sind Tabellen, aus denen mit den Argumenten L und a (bez. Zenitdistanz z) die gesuchten Werte S und Ah entnommen werden können¹²). „TachymetriscJieRechenschieber“, das sind logarithmische Rechenschieber für die in Betracht kommenden Funktionen von verschiedener Konstruktion; desgleichen eine ganze Reihe von „Tachymeterdiagrammen“ und sonstigen Rechenhilfsmitteln¹³⁷). Erwähnt sei noch Teilung des Yertikalkreises nach Gefäll-prozenten, nach der Funktion sine:cos« (Tachymeter von Goulier), sowie logarithmische Teilung (Schelfs und Ticfty-StarJets logarithmischer Tachymeter). Eine unmittelbare Reduktion der bei geneigter Ziellinie bestimmten schiefen Entfernung wird in verschiedener Weise erstrebt. Es sei auf die zahlreichen italienischen Anordnungen¹⁸⁸) verwiesen, sowie auf die neueste Konstruktion von Hammer -Fennelm), welche mittels eines im Gesichtsfeld des Fernrohrs erscheinenden Diagramms unmittelbar wagerechte Entfernung und Höhenunterschied gibt. Eine andere Art zur unmittelbaren Angabe dieser Werte ist bei den „Schiebetachymetern“ verwendet¹³); es ist hierbei ein Fadendistanzmesser derart mit Schiebeskalen verbunden, daß, nachdem am Fadendistanzmesser zunächst die schiefe Entfernung abgelesen und an einer Fernrohrskala in verjüngtem Maßstabe eingestellt ist, an je einem, den Naturlinien entsprechenden horizontalen und vertikalen Maßstab unmittelbar Entfernung und Höhe zur Ablesung gebracht wird.

136)    W. Jordan , Hilfstafeln für Tacliymetrie, 2. Aufl., Stuttgart 1899.

137)    Jordan, Handbuch 2, § 176; eine kurze Übersicht gibt 0. Lueger, Lexikon der gesamten Technik, Stuttgart, Art. Tachymetrie.

138)    J. Porro, Riv. di topogr. e cat. 8 (1895/96), p. 139 (sthenallaktisches Fernrohr); Baggi, ibid. p. 151 u. 9 (1896/97), p. 17; Roncagli-Urbani, ibid. 8 (1895/96), p. 28, 146; Reina, ibid. 9 (1896/97), p. 65; Roncagli, ibid. p. 177 u. 10 (1897/98), p. 5; M. Nasso, ibid. 11 (1898/99), p. 145; 12 (1899/1900); p. 9; 15 (1902/03), p. 1, 18, 53, 75.

139)    E. Hammer, Der Hammer-FenneVsehe Tachymeter-Theodolit, Stutt

gart 1901.

Die Durchführung einer topographischen Aufnahme gründet sich in der Regel auf eine Horizontal- und Vertikaltriangulierung mit nachfolgender Polygonisierung. Ist das Instrument auf einem nach Lage und Höhe gegebenen Punkt aufgestellt, so gibt dasselbe unmittelbar Lage und Höhe der angezielten Geländepunkte an, nämlich durch Horizontal- und Vertikalrichtungen und Entfernung bez. Höhenunterschied. Das Ergebnis der Aufnahme ist schließlich ein topographischer Plan mit Höhenzahlen und Horizontalkurven, vgl. p. 73. Über die Genauigkeit der Bestimmung von Entfernung und Höhe gilt das bei Distanzmessung p. 88 und trigonometrischer Höhenmessung p. 81 Gesagte. Im allgemeinen begnügt man sich, dem Zweck der topographischen Aufnahme entsprechend, mit einer mäßigen Genauigkeit, sodaß für Zielungen bis zu einigen 100 m die gegenseitige Lage und Höhe der Punkte innerhalb einiger dm genau bestimmt wird, wobei auf die letztere ein höherer Wert gelegt wird, als auf erstere, und richtet zur Erzielung dieser für Geländeaufnahmen hinreichenden Genauigkeit Instrumente (bequeme Ablesung) und Verfahren zu möglichst rascher und glatter Feldarbeit ein. Verschärfung der Distanzmessung, welche für die topographische Geländeaufnahme nicht in Betracht kommt, sondern nur dann, wenn die Tachymetrie die exakte Linearmessung ersetzen soll, ist durch entsprechende Einrichtung der Instrumente, „Präzisionstachymeter“ und „Präzisionslatten“ (z. B. Schell's und Tichy-Starke's logarithmischer Tachymeter) zu erzielen; vgl. p. 88. Die Präzisionstachymetrie ist ebenso wie die Präzisionsnivellierung an beschränkte Arbeitszeit (günstige Witterung) und kurze Zielweite (Refraktion) gebunden. Bei den tachymetrischen Messungen ist auch zu erwähnen die Höhenaufnahme auf Grund vorhandener, durch Linearmessung gewonnener Lagepläne, wobei in unebenem Gelände anstatt des Nivellierinstrumentes (p. 73) mit Vorteil der Höhenkreis des Theodolits verwendet wird, indem die Entfernungen aus der Karte genommen werden, sodaß zu rechnen ist nach Ah — stgcc, wozu Rechenschieber und Diagramme als Hilfsmittel dienen.

Neben der für die Tachymetrie besonders geeigneten Fadendistanzmessung haben die übrigen in Nr. 19 ihrem Prinzip nach erwähnten Distanzmessungsmethoden eine geringere Bedeutung. „Distanzmessende Schrauben“ werden auch in Verbindung mit dem Fadendistanzmesser angeordnet, andere Konstruktionen z. B. Eckhold's Omnimeter, Sanguet's Tachymeter mit Hebelwerk usw., haben keine allgemeine Bedeutung erlangt.

21. Die Meßtischaufnahme. Als eine besondere Methode der tachymetrischen Messungen ist zur Zeit die „topographische Meßtisch-

aufnah me“ zu betrachten, nachdem der „Meßtisch“ bei exakten Spezialaufnahmen durch die numerischen Methoden ersetzt ist. Der „Meßtisch“ ist ein auf einem Stativ mittels eines theodolitähnlichen Dreifußunterbaues aufgestellter kleiner Zeichentisch, dessen mit einer Libelle horizontierte Fläche die ebene Vermessungsfläche repräsentiert. Zur Aufzeichnung der Richtungslinien dient das eine lotrechte Absehebene liefernde „Diopterlineal“ (dioptrische Regel) oder die „Fernrohrkipp-regel“ (Perspektivlineal). In einfachster Form besteht diese Projektionsvorrichtung aus einem eine Säule tragenden Lineal, an der eine horizontale Kippachse gelagert ist. Diese trägt das die Vertikalebene liefernde Fernrohr, analog der Theodoliteinrichtung. Anordnung der Libellen, Bedingungen für die Achsen und Ziellinie, Prüfung und Berichtigung entspricht dem Theodolit (vgl. die Lehrbücher). Wird das Fernrohr der einfachen Kippregel mit Distanzfäden ausgerüstet, so erhält man die „distanzmessende Kippregel“, kommt ein Höhenkreis oder Höhenbogen mit Libelle hinzu, so erhält man die „tachymetrische Kippregel“ („Universalkippregel“). Ist der Meßtisch auf einem Messungspunkte („Station“) so aufgestellt, daß bei horizontaler Platte der zugehörige Punkt der Zeichnung genau lotrecht über dem Feldpunkte sich befindet und im Fernrohr diejenigen Zielpunkte eingestellt erscheinen, an deren Bilder die Linealkante angelegt wird, so ist er „zentriert“ und „orientiert“. Wird in dieser Weise bei genau orientiertem Tisch das Lineal scharf an den Stationspunkt angelegt und gleichzeitig der zu bestimmende Punkt mit dem Fernrohr eingestellt, so gibt die am Lineal ausgezogene Linie die Richtungslinie an; wird die Entfernung durch „Längen“- oder „Distanz“-Messung (p. 86) ermittelt und mit dem Maßstab in der entsprechenden Verjüngung eingetragen, so ist der neue Punkt bestimmt („stationiert“) und kann wieder als Meßtischstation dienen; wird das fortgesetzt, so erhält man einen graphisch bestimmten Polygonzug, vgl. p. 54.

Werden auf mindestens zwei bekannten Standpunkten A und B die Richtungslinien nach einem Neupunkt P gezogen, so hat man Punktbestimmung durch „Vorwärtseinschneiden“ (vgl. die trigonometr. Lösung p. 40); wird auf einem gegebenen Standpunkt A die Richtungslinie nach P gezogen, der Meßtisch danach nach P gebracht, hier nach P — A orientiert, an B angelegt und gezielt, durch den Schnitt A — P und P—B der Neupunkt P bestimmt, so hat man Punktbestimmung durch „Seitwärtseinschneiden“ (vgl. p. 40). Soll ein Neupunkt dadurch bestimmt werden, daß auf ihm die Richtungslinien nach drei der Lage nach gegebenen Punkten bestimmt werden, so hat man das graphische „Rückwärtseinschneiden“ (p. 41). Die

Konstruktion kann in verschiedener Weise erfolgen. Zunächst durch Aufzeichnung des Strahlensystems (z. B. auf Pauspapier) und Orientierung desselben nach der Reihe der Bildpunkte durch Probieren; ein mechanisches Hilfsmittel hierzu ist der mit Gradscheibe und einstellbaren Armen versehene „Standfinder“ Die Bestimmung des Punktes als Schnittpunkt der Bestimmungskreise durch Konstruktion derselben mittels Einstellung der ^ Peripheriewinkel ist benutzt bei „Bauern-\ feind’’s Einschneidezirkel“U1). Zu einer direkten \ konstruktiven Lösung ist z. B. Collins’ Hilfs-I punkt (vgl. p. 42) geeignet. Ist amb (Fig. 24) / das Bilddreieck des Naturdreiecks AMB, so wird auf dem Neupunkt P zunächst ab nach M orientiert und von a aus nach B gezielt, sodann wird ba nach M orientiert und von b aus nach A gezielt. Der Schnitt der beiden gezogenen Richtungslinien liefert das Bild q des Collirisehen Hilfspunktes und die Verbindungslinie qm einen Ort für das Bild p des Neupunktes P. Die vollständige Bestimmung von p kann dann durch Seitwärtsein s chneiden erfolgen.

a&3L

in

f'Ä

Fig. 24.

Größere Bedeutung als diese direkte und die mechanischen Lösungen hat für die eigentliche Meßtischpraxis die „indirekte“ Lösung. Der Meßtisch wird nach Augenmaß oder mit Hilfe einer Orientierbussole genähert orientiert und die Richtungslinien mit der Kippregel gezogen. Infolge der nur genäherten Orientierung ergibt sich statt eines Schnittpunktes das „fehlerzeigende Dreieck“, dessen Form von der gegenseitigen Lage der Punkte und dem Fehler der Orientierung abhängt. Über die Lage von p zum Fehlerdreieck hat J. G. Lehmann¹⁴ 15) folgenden Satz aufgestellt:

Der Punkt p liegt innerhalb oder außerhalb des Fehlerdreiecks, jenachdem P innerhalb oder außerhalb von AMB liegt. Im letzten Falle liegen p und das Fehlerdreieck zu verschiedenen Seiten der mittleren Visur, wenn P innerhalb des durch A, M, B gehenden Kreises oder in einem Scheitelwinkel des Dreiecks sich befindet; dagegen liegen p und das Fehlerdreieck auf derselben Seite der mittleren Visur, wenn P außerhalb des durch A, M, B, gehenden Kreises einer Dreiecksseite gegenüber liegt. Die Abstände des Punktes p von den durch a, b, m gezogenen Visierlinien verhalten sich wie die Entfernungen des Punktes p von den Punkten a, m, b oder des Punktes P von A, M, JB.

Ein praktisch sehr brauchbares Orientierungsverfahren besteht darin, daß man zwei Fehlerdreiecke zu Hilfe nimmt. Man orientiert zunächst nach dem ersten Fehlerdreieck angenähert auf Grund des vorstehenden Satzes und überdreht dann den Tisch absichtlich, sodaß die Orientierung nach der entgegengesetzten Seite gefälscht wird. Man erhält dann ein zweites Fehlerdreieck, dessen homologe Ecken man mit denen des ersten verbindet, dadurch kommt man dem Punkt p sehr nahe. Uber Möglichkeit und Günstigkeit der Lösung vgl. p. 43.

Aus der zusammenwirkenden Anwendung dieser Bestimmungsmethoden ergibt sich die Meßtischaufnahme; bei der Anwendung im großen wird eine Triangulierung zugrunde gelegt, welche auf dem Meßtisch graphisch weiter geführt wird. Uber die tachymetrischen und die Höhenmessungen gilt' das früher (p. 90) Gesagte; auf Grund der gewonnenen Höhenzahlen werden die Horizontalkurven entworfen. Bei einheitlich durchgeführten Landesaufnahmen wird der gewählten Projektionsart entsprechend (vgl. p. 13 und Nr. 8) eine passende Blatteinteilung angeordnet. Beispielsweise ist bei der preußischen Landesaufnahme das Staatsgebiet auf Grund der Gradeinteilung des PmePschen Ellipsoides in Abschnitte zerlegt. Der von je zwei aufeinanderfolgenden Breiten-und Längengraden umschlossene Flächenteil, eine „Gradabteilung“, wird nach der Breite in 10, nach der Länge in 6 Teile zerlegt, deren jedes ein „Meßtischblatt“ bildet, welches in seinen Eckpunkten in 1: 25 000 aufgetragen (sog. „preußische Polyederprojektion“, vgl. VI l, 4), auf dem Meßtisch nach Eintragung der nach Länge und Breite gegebenen Dreieckspunkte zur Feldaufnahme verwendet wird. Ein allgemeiner Ausdruck für die Genauigkeit der Meßtischaufnahme in Bezug auf die Lagemessung, welche naturgemäß wesentlich abhängig ist vom Verfahren, den gegebenen Grundlagen, dem Maßstab usw., läßt sich gewinnen durch die Angabe, daß sie derjenigen einer exakten Zeichnung entspricht, bei der der Fehler der Punktorte innerhalb -f- 0,1 mm bleibt, und die Richtungsgenauigkeit im günstigsten Fall etwa durch + 1' ausgedrückt werden kann.

Der Meßtisch ist, seit er durch Prätorius in Altdorf' (mensula praetoriana) mit Beginn des 17. Jahrhunderts allgemein bekannt wurde, bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts eines der wichtigsten geometrischen Instrumente gewesen. Für die Kartographie brachte die Ausbreitung der Meßtischaufnahme einen wesentlichen Fortschritt mit sich, indem sie, gestützt auf die Triangulierung, den Schritt von den mit Bussole, Quadrant, Meßschnur und Schrittmaß gewonnenen Landeskrokis zu einer zusammenhängenden, systematischen Aufnahme erleichterte, welche besonders in den exakten graphischen Landesvermessungen Bayerns (1808—1837) in 1 : 5000 und Württembergs (1818—1840) in 1 : 2500 ihren Höhenpunkt erreichten¹⁶). Nach der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts ist die Meßtischaufnahme für die Spezialvermessungen, insbesondere die modernen Katastervermessungen, mehr und mehr in den Hintergrund getreten. Bei topographischen Aufnahmen (Horizontalkurvenbearbeitung p. 92) wird sie für solche Gebiete noch von Bedeutung bleiben, in denen nicht die kartographischen Ergebnisse der speziellen numerisch durchgeführten Landesvermessung, vervollständigt durch spezielle Höhenmessung, zur Herstellung der topographischen Spezialkarten zur Verfügung stehen. Der große Vorteil des Meßtisches besteht darin, daß unmittelbar nach der Natur gezeichnet wird, was die Herstellung leicht lesbarer Karten sehr fördert¹⁷).

22. Flüchtige Aufnahmen. Exakte spezielle Landesvermessungen mit Anwendung der vorbesprochenen Methoden, deren Ergebnisse geometrische und topographische Spezialkarten sind, liegen zur Zeit nur für kleine Gebiete der Erdoberfläche (Westeuropa, Teile der Vereinigten Staaten, einzelne Teile außereuropäischer Staaten und einige Küsten- und Kolonialgebiete) vor; für andere Gebiete (Osteuropa, den größten Teil der Vereinigten Staaten, kleine Teile Südamerikas, Kapland, Vorderindien, Ostaustralien, Japan) bestehen zur Zeit nur generelle Aufnahmen mit trigonometrischer Grundlage, wobei die Einzelaufnahmen bis jetzt weniger speziell und exakt und nicht im Zusammenhang zur Durchführung gekommen sind; für den Rest, d. h. also den weitaus größten Teil der Erdoberfläche, beruht das vorhandene Kartenmaterial auf „Routenaufnahme“, entweder planmäßig ein zusammenhängendes Kartenbild gebend oder als Einzelergebnisse von Erkundungsreisen. Hierbei ist für die „Grundrißaufnahme“ das geodätische System ein an astronomisch bestimmte Punkte angeschlossenes System von Bussolenzügen (p. 58), meistens aufgenommen mit Freihandbussole, wobei die Entfernung aus der Marschzeit hergeleitet wird, für die „Höhenaufnahme“ barometrische Höhenmessung mit Federbarometer, kontrolliert durch Quecksilberbarometer und Siedethermometer¹⁴⁵). Neuerdings sind automatische Methoden von Th. Ferguson ausgebildet worden³⁴⁶).

In historischer Hinsicht sei hier erinnert an die Wegekarten der Römer, Itineraria Antonini, Alexandri etc., vornehmlich an die sogenannte Peutinger’sehe Tafel.

Als eine besondere Methode der topographischen Messungen kommt neuerdings für bestimmte Aufgaben in Betracht die Photogrammetrie (vgl. den folgenden Art., S. Finsterwalder), die man in . ihrer besonderen geodätischen Anordnung unter Benutzung des „Phototheodolits“ als „Phototachymetrie“ oder „Phototopographie“ bezeichnet.

145)    Weiteres mit Literatur findet man bei Jordan, Handbuch 2, § 183; Cr. Neumayer, Anleitung zu wissenschaftlichen Beobachtungen auf Reisen, 2. Aufl., Berlin 1888; 3. Auf!., Hannover 1905. Ein durchgearbeitetes Beispiel mit Fehlerberechnung enthält: W. Jordan, Physische Geographie und Meteorologie der lybischen Wüste, Cassel 1876. Spezialschriften sind: Kaltbrunner, Manuel du voyageur, Zürich 1879 (auch deutsch von Kollbrunner, Zürich 1881); Hints to travellers edited by the Royal geogr. society, London 1883 (8. ed. 1901); E. de Larminat, Topographie pratique de reconnaissance et d’exploration, Paris (1905). Man vgl. ferner: E. Hammer, Die methodischen Fortschritte der geographischen Landmessung, Geogr. Jahrb. 22 (1899), p. 37; 25 (1902), p. 343.

146)    Automatic surveying instrumenta and their practical uses on land and water (Introduction by E. Hammer), London 1904.

(Abgeschlossen im Okt. 1905.)

YI i,2. PHOTOGRAMMETRIE.

Von

S. FINSTERWALDER

IN MÜNCHEN.

Inhaltsübersicht.

1.    Einleitung. Historisches. Innere und äußere Orientierung. Eigentliche und abgeleitete Photographien.

2.    Apparate. Das Objektiv. Vorrichtung zur inneren Orientierung. Bestimmung von Hauptpunkt und Bildweite. Photogrammeter und Phototheodolite.

3.    Ausmessung der Bilder. Direkte Ausmessung nach J. Porro. Ermittlung von Winkeln aus den Koordinaten der Bildpunkte. Zusammenschließen mehrerer Bilder, die vom gleichen Standpunkt aus aufgenommen sind.

4.    Das Rückwärtseinschneiden. Räumliches Rückwärtseinschneiden nach drei Punkten. Das räumliche Problem der 6 Punkte und das ebene Problem der 5 Punkte.

5.    Das Vorwärtseinschneiden und die Rekonstruktion der Objekte bei bekannten Standpunkten. Höhenkontrolle. Gegnerische Kernpunkte. Möglichkeit der Rekonstruktion aus einer Anzahl von Photographien. Zeichnung eines Risses aus zwei Photographien.

6.    Flüchtige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen.

Literatur.

Bücher.

E. Deville, Photographie surveying, Ottawa 1895.

E. Dolezal, Die Anwendung der Photographie in der praktischen Meßkunst, Halle 1896 {Dolezal, Anwend. d. Phot.).

C. Koppe, Die Photogrammetrie oder Bildmeßkunst, Weimar 1889 {Koppe, Photogrammetrie).

— Photogrammetrie und internationale Wolkenmessung, Braunschweig 1896 {Koppe, Wolkenmessung).

A. Laussedat, Recherches sur les instruments, les methodes et le dessin topogra-phiques. T. H. Iconometrie et metrophotographie, Paris 1901—03 {Laussedat, Metrophotographie).

Gr. Le Bon, Les levers photographiques, 2 vol., Paris 1889.

V. Legros, Sommaire de photogrammetrie, Paris 1891.

P. Paganini, Fotogrammetria, Mailand 1901.

F. Schiffner, Die photographische Meßkunst, Halle 1892.

F.    Steiner, Die Photographie im Dienste des Ingenieurs, Wien 1891 (Steiner, Phot.).

Monograpliien.

S. Finsterwalder, Die geometrischen Grundlagen der Photogrammetrie, Jahresbericht d. Deutschen Mathematiker-Yereinigung 6 (1897), 2. Heft, p. 1, Leipzig 1899 (Finsterwalder, Grundlagen).

— Die Photogrammetrie als Hilfsmittel der Geländeaufnahme. In: G. Neumayer, Anleitung zu wissenschaftl. Beobachtungen auf Reisen, 3. Aufl., Hannover 1905.

G.    Hauck, Neue Konstruktionen der Perspektive und Photogrammetrie (Theorie der trilinearen Verwandtschaft ebener Systeme), J. f. Math. 95 (1883), p. 1; 97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108 (1891), p. 25; 111 (1893), p. 207; 128 1905), p. 91.

C. Pulfrich, Neue stereoskopische Methoden und Apparate, 1. Lief., Berlin 1903.

F. Schilling, Über die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere über die Photogrammetrie, Leipzig und Berlin 1904.

hoher Vollendung brachte. W. Jordan ¹⁸ 19) (1876) vom geodätischen Stand-

1. Einleitung. Die Photogrammetrie (Bildmeßkunst) hat die Aufgabe, aus photographischen Bildern das dargestellte Objekt oder einzelne Abmessungen desselben zu ermitteln. Die Lösung dieser Aufgabe war durch die Rückwärtskonstruktionen der Perspektive²⁰') und Methoden der Küstenaufnahme aus perspektivischen Handskizzen²¹) vorbereitet und wurde zuerst von A. Laussedat (1852—59) ²²) versuchsweise auf topographische Vermessungen angewandt. Im Anschlüsse hieran beschäftigte sich J. Porro²³) seit 1855 mit der instrumenteilen Seite. A. Meydenbauer²⁴) pflegt seit 1867 vorzugsweise die Architekturphotogrammetrie, die er zu

und C. Koppe"²⁰) (1889) förderten das Problem punkt aus, G. Hauck²⁵ 26) (1883) nach der theoretischen Seite. In großem Maßstabe wurde die Photogrammetrie zuerst praktisch verwendet in Italien von L. P. Paganini²⁵) seit 1880 und in Canada von E. JDeviUe²⁷) seit 1889. Mit der Ballonphotogrammetrie beschäftigt sich S. Finsterwalder seit 1890. Durch C. Pulfrich wurde seit 1900 die Stereoskopie in den Dienst der Photogrammetrie gestellt. Reiches Material zur Geschichte der photogrammetrischen Methoden und Apparate hat A. Laussedat gesammelt.

Die photographischen Bilder sind in der Regel als ebene Perspektiven des Objektes aufzufassen. Die Entfernung des perspektivischen Zentrums (Linsenmittelpunkts) von der bildauffangenden Ebene (lichtempfindlichen Schicht) heißt Bildweite (Distanz), der Fußpunkt der Senkrechten von ersterem auf letztere Hauptpunkt (Aug-punkt), die Senkrechte selbst Achse der Perspektive (bezw. der photographischen Kamera). Die Vertikalebene durch die Achse der Perspektive wird als Hauptvertikalebene, ihr Schnitt mit der Bildebene als Hauptvertikale bezeichnet. Die Horizontalebene durch das Zentrum schneidet die Bildebene nach dem Horizont.

Hauptpunkt und Bildweite bilden die innere Orientierung einer Photographie. Zur Rekonstruktion des Objektes sind außer den Elementen der innern Orientierung der verwendeten Photographien noch Abmessungen desselben, darunter wenigstens eine Länge, als bekannt anzusehen. Bei den wichtigsten Objekten (Terrainflächen, Architekturen) spielt die Vertikale eine ausgezeichnete Rolle, und man wird deshalb die Gesamtheit der Lote, bezw. deren gemeinsamen unendlich fernen Punkt als Bestandteil des Objektes ansehen. Ebenso sollen die Punkte, von welchen die Photographien aufgenommen wurden (Standpunkte), als Bestandteile des zu ermittelnden Objektes gelten. Alle Abmessungen, welche von dem so erweiterten Objekt zur Rekonstruktion herangezogen werden, bilden die äußere Orientierung, z. B. Länge der Standlinie, Neigung der Achsen der Photographien, Horizont usw.

An photographischen Bildern kommen in Betracht: 1. wirkliche oder eigentliche Photographien und zwar a) solche mit bekannter innerer Orientierung, wie sie von photogrammetrischen Apparaten geliefert werden, b) nicht orientierte Photographien, wie sie von gewöhnlichen photographischen Apparaten geliefert werden, 2. uneigentliche oder abgeleitete Photographienu), nämlich Perspektiven wirklicher Photographien, wie sie die Reproduktionstechnik im allgemeinen liefert. Für genaue Arbeiten sind nur die Originalnegative oder davon abgeklatschte Glasdiapositive als eigentliche Photographien aufzufassen; Papierpositive, wegen der Veränderung in den Bädern, die einer horno-

11) Finsterwalder, Grundlagen, p. 8.

genen Deformation entspricht, und Vergrößerungen, die in der Regel eine kleine perspektivische Verzerrung erfahren, dagegen nur als ab

geleitete.

Abgeleitete Bilder können in der Regel nicht als Schnitte des Strahlenbündels, welches das ursprüngliche Bild erzeugte, aufgefaßt werden. Dazu sind zwei Bedingungen erforderlich, die man folgendermaßen formulieren kann: Das Strahlenbüschel in der Ebene des ab

geleiteten Bildes, welches von einem beliebigen Punkte nach Punkten der unendlich fernen Geraden gezogen werden kann, muß dem Büschel, das im Strahlenbündel den unendlich fernen Punkten der Bildebene entspricht, kongruent sein. Oder: den imaginären Kreispunkten des abgeleiteten Bildes müssen im Bündel Strahlen nach dem imaginären Kugelkreis entsprechen.

2. Apparate. Der wichtigste Bestandteil derselben ist das photographische Objektiv ²⁸), dessen optische Achse senkrecht zur Bildebene steht und jene im Hauptpunkt trifft. Von räumlichen Objekten kann man nur dann scharfe Bilder erzielen, wenn die Bildweite klein ist gegenüber der Entfernung der nächstgelegenen Objektpunkte. Die Bildweite ist dann von der Brennweite wenig verschieden und wird in der Regel unveränderlich gleich letzterer genommen; die daraus entspringende Unschärfe kann durch Einblenden aufgehoben werden. Das Objektiv soll perspektivisch zeichnen. Ist a der Winkel eines die Blendenmitte durchsetzenden Strahles mit der Achse vor Eintritt in die Linse und h die Entfernung des von ihm erzeugten Bildpunktes vom Hauptpunkt der Photographie, so zeichnet die Linse perspektivisch, falls h: tg a einer Konstanten (der Bildweite) gleich ist. Als Standpunkt der Aufnahme dem Objekt gegenüber hat der Punkt zu gelten, in welchem die Verlängerungen derjenigen in die Linse eintretenden Strahlen, die nach der Brechung im Vorderteil derselben die Blendenmitte durchsetzen, die Achse schneiden. Der so definierte Standpunkt und das um die Bildweite vom Hauptpunkt entfernte Zentrum der Perspektive fallen bei den in der Praxis meist verwendeten Objektiven nahe zusammen, nur bei den Teleobjektiven liegt ersterer am Vorderende oder innerhalb des Linsen Systems, letzteres objektseits um den größeren Teil der Brennweite außerhalb. Bis auf einige Minuten genau zeichnen perspektivisch: Teleobjektive innerhalb 2a = 25°, Aplanate innerhalb 2a = 50°, Kollineare, Ortho-stigmate, Protare, Doppelanastigmate innerhalb 2a — 60—75°, Weitwinkel innerhalb 2a — 80—100°, der Hypergondoppelanastigmat bis 2a — 140°. Bei großen Winkeln a werden die dnrch Unebenheit der käuflichen Glasplatten verursachten Fehler erheblich. Die innere Orientierung der Bilder einer Kamera verlangt eine stabile Verbindung von Linse und lichtempfindlicher Fläche. Auf letzterer müssen sich mindestens zwei Marken (meist ein rechteckiger Rahmen, eventuell mit Fadenkreuz), die mit der Kamera fest verbunden sind, abbilden. In bezug auf diese Marken wird die Lage des Hauptpunktes festgelegt.

Bestimmung des Hauptpunktes. Man schraubt die Linse ab, ersetzt die lichtempfindliche Fläche durch einen Spiegel, richtet auf diesen ein Fernrohr derart, daß sich sein Fadenkreuz mit dem Bilde seines Spiegelbildes deckt, schraubt die Linse wieder an, ersetzt den Spiegel durch eine photographische Platte und photographiert das Fadenkreuz des Fernrohres, dessen Bild dann den Hauptpunkt ergiebt. Oder einfacher: Man stellt den Apparat mit der lichtempfangenden Fläche horizontal und photographiert in dieser Stellung bei enger Blende einige von der Decke herabhängende Lote, deren Bilder sich im Hauptpunkt schneiden.

Bestimmung der Bildweite. Es sei das Strahlenbüschel von einem

Die Elemente der inneren Orientierung einer vorliegenden Aufnahme können immer dann wiedergefunden werden, wenn man aus ihr die im Endlichen gelegenen Fluchtpunkte dreier bekannter (meist zueinander senkrechter) Richtungen entnehmen kann. Ein Gleiches gilt unter Voraussetzung vertikaler Bildebene, sobald auf dem Bilde die Perspektive eines wagerechten Quadrates oder Rechteckes von bekanntem Seitenverhältnis vorliegt13a). Meist

Standpunkt nach einer Anzahl (mindestens drei) in einer Ebene mit ihm befindlicher Objektpunkte bekannt. Photographiert man dieselben von dem Standpunkte aus und legt man das bekannte Strahlenbüschel perspektivisch zur Punktreihe der Bildpunkte²⁹), so ist die Entfernung des Büschelmittelpunktes von der Punktreihe gleich der Entfernung des perspektivischen Zentrums von der Punktreihe, wodurch letzteres bei bekanntem Hauptpunkt bereits bestimmt ist Bei unbekanntem Hauptpunkt photographiert man dieselben Objekte vom gleichen Standunkt aus in anderer Lage der Kamera und erhält dann die Elemente zur Konstruktion des Hauptpunktes und der Bildweite.

begnügt man sieb nicht mit der inneren Orientierung, sondern nimmt noch Horizont und Hauptvertikale dazu, was am einfachsten bei horizontaler Achse (vertikaler Bildebene) gelingt. Es muß dann die Kamera mit einer Drehachse verbunden werden, die durch eine Libelle vertikal zu stellen ist. Die Vertikalstenung der Kamera wird durch Photographie zweier Lote, die als parallele Linien erscheinen müssen, kontrolliert. Zur Bestimmung des Horizontes genügt dann das Bild eines mit dem Standpunkt gleich hohen Objektes. Horizont und Hauptvertikale werden durch Marken (Fadenkreuz) fixiert. Apparate mit dieser Einrichtung, welche meist noch mit einer Vorrichtung zur Orientierung der Hauptvertikalebene (Horizontalkreis, Bussole) versehen sind, heißen Photogrammeter¹⁴).

Als photogrammetrische Theodolite (Phototheodolite) bezeichnet man Kombinationen von Photogrammeter und Theodolit. Dieselben gestatten die Bestimmung beliebig vieler Winkel der äußeren Orientierung. Die Verbindung beider kann rein äußerlich sein, doch ist fast immer die vertikale Drehachse des Theodolits und der Kamera gemeinsam. Die Achse der Kamera ist meist dauernd horizontal gestellt ¹⁵), gelegentlich auch zum Neigen eingerichtet¹⁶). In anderen Fällen ist die Achse der Kamera mit jener des Theodolitfernrohrs starr verbunden und beide parallel gestellt¹⁷). Dadurch, daß man das photographische Objektiv als Fernrohrobjektiv benützt, kann man auch beide Achsen zusammenfallen lassen¹⁸). Endlich hat man auch versucht, den für die photographische Aufnahme maßgebenden Standpunkt (vgl. Nr. 2, p. 101) in den Schnittpunkt der beiden Theodolit-„Freie Perspektive“, Zürich 1759, auseinandergesetzt. Ygl. auch F. Schilling, Über die Anwend, der darst. Geom. insb. über die Photogrammetrie, p. 101—120.

14)    Zu den besten Apparaten dieser Art gehören der Photogrammeter von E. Deville, Photographie Surveying, p. 136, jener von Pollack, ibid. p. 120 und die beiden Apparate von Paganini, Fotogrammetria, p. 189, 236, wovon letzterer mit automatischer Horizontalstellung und photogr. Registrierung des Kompasses, ähnlich dem Apparate von Bridges Lee [Engineering 2 (1897), p. 314] versehen ist. In diese Gruppe gehören auch die Apparate von A. Meydenbauer.

15)    So bei den ersten Apparaten von Laussedat, Metrophotographie, p. 125, dem älteren Apparat von Pollack (vgl. Steiner, Phot., p. 123), bei jenen des österr. militärgeogr. Institutes in Mitt. desselben 16 (1896), p. 67 und dem von Breithaupt, Eders Jahrb. f. Phot. 1900, p. 387.

16)    Älterer Apparat von Paganini, Fotogrammetria, p. 28; jener von Gustav Heyde, Eders Jahrb. f. Phot. 1901, p. 357.

17)    Phototheodolit von Koppe, Photogrammetrie, p. 26; Wolkenmessung, p. 14.

18)    Zuerst eingeführt von Paganini 1889, Fotogrammetria, p. 140, dann von Pollack, vgl. Zeitschr. des Österr. Ingen.- u. Arch.-Vereins 46 (1894), p. 489.

achsen zu bringen³⁰), um volle Übereinstimmung der Scheitel der gemessenen und photographierten Winkel zu erreichen. Eine eigentümliche Kombination von Theodolit und Kamera mit horizontaler Achse hat Finstenvalder³¹) angegeben. Bei ihr wird das Fernrohr aus dem parallel verschieblichen photographischen Objektiv und einem um eine Horizontalachse drehbaren, nach dem perspektivischen Zentrum zielenden Okulare gebildet.

Apparate, welche Bilder auf nicht ebene Flächen entwerfen, sind der Zylindrograph von Moessard³²), bei welchem eine um eine vertikale Drehachse bewegliche Linse sukzessive einen nahezu 180° umfassenden Teil einer mit Film bespannten Zylinderfläche belichtet, und der Phototheodolit von J. Porro³³), der als Bildfläche eine die Linse konzentrisch umgebende, mit lichtempfindlicher Schicht präparierte kugelförmige Glaskalotte besitzt. Letzterer, sowie der photographische Meßtisch von Chevalier³⁴) sind längst außer Gebrauch.

Das Bedürfnis, von einem Punkt aus Momentaufnahmen zu machen, welche den ganzen Aussichtsbereich des Standpunktes oder wenigstens einen sehr großen Teil desselben umfassen, hat zur Konstruktion einer Anzahl (3 — 7) unter festen Winkeln zusammengekoppelter photogrammetrischer Apparate geführt, die für Schiffs-, Luftballon- und Drachenaufnahmen Verwendung finden sollen³⁵).

3. Ausmessung der Bilder. Die vollkommenste Methode der Bildausmessung, von J. Porro³³) erdacht und von C. Koppe³⁶) ausgebildet, besteht im wesentlichen darin, daß man das entwickelte Negativ wieder genau an jene Stelle des Apparates bringt, die es bei der Aufnahme eingenommen hat, dasselbe dann von rückwärts beleuchtet und die aus dem Apparat durch das Objektiv austretenden Strahlen mit einem beweglichen Fernrohr, dessen Drehungen wie bei einem Theodolit an geteilten Kreisen gemessen werden können, absucht. Auf diese Weise eliminiert man alle Fehler, die in der mangelhaften perspektivischen Zeichnung der Linse, in der Unebenheit der

y — m sin M,    ~ = tg M,

, tg ß = tg (co -f- M) cos cc.

B. Ausmessung der Bilder.

105

Glasplatten und in der Unkenntnis der inneren Orientierung begründet sind. In der Regel werden jedoch Koordinaten der Bildpunkte gemessen und aus ihnen die gewünschten Winkelgrößen berechnet. Ist r die Entfernung zweier Bildpunkte voneinander, r± und r₂ ihr Abstand vom Hauptpunkt und d die Bildweite, so ist der Winkel nach den Bildpunkten aus einem Dreieck mit den Seiten r, yrx -j~ d\ yr² -\- d² zu berechnen. Steht die Achse der Kamera horizontal und sind x und y die auf den Horizont und die Hauptvertikale bezogenen rechtwinkligen Koordinaten eines Bildpunktes, so berechnen sich die Azimutdifferenz a gegen die Hauptvertikalebene und die Höhenwinkel ß aus den Formeln:

tg cc = x : d, tg ß — y cos a : d.

Ist die Achse der Kamera unter dem Winkel co gegen den Horizont nach aufwärts geneigt (Fig. 1) und bedeuten x und y die rechtwink-

üe

Ps

\y

p'

r.

Fig. 1.

Fig. 2.

ligen Koordinaten eines Bildpunktes, bezogen auf die Hauptvertikale (y) und die Senkrechte dazu (x) durch den Hauptpunkt, so wird:

tg «

, a    d sin o -f- y cos co

° ^    d cos co — y sin co

d cos co — y sin co oder nach Einführung der Hilfsgrößen m und M:

cos a

d = m cos M.

m cos (co -J- M)

Statt der Berechnung von a kann man auch nebenstehende Konstruktion anwenden und ß aus den Daten der Figur tg/3 = P₂Pr: 0P± ermitteln³⁷).

Sind aus abgeleiteten Bildern orientierter Photographien Winkel zu entnehmen, so möge vorausgesetzt werden, daß der an der wirklichen Photographie rechtwinklige Rahmen samt Achsenkreuz mit abgebildet ist (Fig. 2). Aus den schiefwinkligen Koordinaten xt, yx eines Bild-

VI i, 2. S. Finsterwalder. Photogrammetrie.

106

aus

punktes in bezug auf das deformierte Achsenkreuz lassen sich dann die rechtwinkligen Koordinaten x, y in bezug auf das ursprüngliche Achsenkreuz und daraus schließlich die Winkel nach folgenden, der kollinearen Verwandtschaft beider Ebenen sich ergebenden Formeln berechnen:

wobei

M/    iAs*

, ß =

f:+ß + r

«i —a₂

«(«2 + «l)

a (at 4- a₂) ’

ist³⁸).

X==]L bi+h» aia* a at a2 \ ^2

Auf ähnlichem, etwas allgemeinerem Wege kann man auch aus nichtorientierten Photographien Winkel entnehmen, wenn die gegenseitige Lage von vier Strahlen, deren Bilder bekannt sind, gegeben ist. Für wirkliche Photographien genügen schon drei Strahlen hierfür ³⁹ 40).

Sind von einem Standpunkt aus zwei oder mehrere Bilder aufgenommen, so entsteht die Aufgabe, dieselben untereinander in Beziehung zu bringen. Sind die Orientierungsunterschiede der Achsen der Bilder bekannt, so geschieht dies ohne weiteres nach den Regeln der sphärischen Trigonometrie. Sind sie unbekannt, so kann man sie ermitteln, sobald auf den verschiedenen Photographien die Bilder derselben Objekte zu finden sind. Waren die Achsen zweier Photographien horizontal und die innere Orientierung bekannt, so genügt ein Paar Bildpunkte; ist nur letzteres der Fall, so sind zwei Punktpaare nötig. Hat man es mit unorientierten wirklichen Bildern zu tun, so kann man aus der kollinearen Beziehung beider aufeinander die Schnittlinie der Bildebenen als Achse der Perspektivität ermitteln, sobald vier Punktpaare zu finden sind²⁹). Der Winkel, den die Bildebenen einschließen, bleibt aber noch unbestimmt. Hat man indessen drei solcher Aufnahmen von einem Standpunkte aus, so lassen sich in ähnlicher Weise die drei Schnittlinien ihrer Bildebenen finden. Hierdurch

wird das Dreikant der Bildebenen und das gemeinsame perspektivische Zentrum festgelegt. Drei eigentliche Photographien von einem Standpunkt genügen also zur Ermittlung der inneren Orientierung jeder derselben und der gegenseitigen Stellung ihrer Achsen, falls sich auf je zweien derselben die Bildpunkte von denselben vier Objektpunkten finden.

4. Das Rückwärtseinschneiden. Da sich aus Photographien Horizontal- und Vertikalwinkel entnehmen lassen, kann man dieselben in der in der Geodäsie üblichen Weise zur Bestimmung des Standpunktes nach drei oder mehreren gegebenen Fixpunkten verwenden (Pothenofsehe Aufgabe) ⁴¹). Dieselbe Aufgabe tritt aber in der Photogrammetrie noch in der Form auf, daß in einer Photographie mit innerer Orientierung die Bilder dreier in ihrer gegenseitigen Lage bekannter Objektpunkte, die mit dem Standpunkt nicht in einer Ebene liegen, gegeben sind; man soll hieraus die Lage des Standpunktes ermitteln. Die Photographie liefert alle Elemente des Dreikantes der drei Visierstrahlen, und dieses Dreikant ist durch eine Ebene so zu schneiden, daß sich die Schnittfigur mit dem Dreieck der bekannten Objektpunkte zur Deckung bringen läßt. Diese Aufgabe hat vier Lösungen, von welchen zwei zusammenfallen, falls sich der Standpunkt auf dem Kreiszylinder befindet, der sich über dem umschriebenen Kreise des Dreiecks der bekannnten Objektpunkte senkrecht zu dessen Ebene erhebt. In diesem Falle wird die Bestimmung des Standpunktes unsicher (gefährlicher Ort) ⁴²).

Ist die innere Orientierung der Photographie nicht gegeben, so sind zur Rückwärtsbestimmung des Standpunktes sechs Objektpunkte und deren Bilder nötig. Die Lösung dieser räumlichen Aufgabe wird auf das ebene Problem der fünf Punkte⁴³) zurückgeführt, welches lautet: Zu fünf Punkten einer Ebene einen sechsten so zu finden, daß die von ihm aus nach den fünf Punkten gehenden Strahlen vorgegebene Doppelverhältnisse haben. Das Problem kann als projektive Verallgemeinerung des Pothenofsehen Problems aufgefaßt werden. Letzteres geht aus ersterem hervor, wenn von den fünf gegebenen Punkten zwei in die imaginären Kreispunkte rücken. Das Problem der fünf Punkte wird gewöhnlich dazu verwendet, zu einer Photographie ohne innere Orientierung, welche aber bei horizontalliegender Achse aufgenommen wurde, den Standpunkt und die innere Orientierung gleichzeitig zu bestimmen. Man hat dabei in der Grundrißebene der fünf gegebenen Objektpunkte den gesuchten Standpunkt so zu bestimmen, daß sich das von ihm ausgehende Büschel der fünf Strahlen nach einer Punktreihe, die mit dem Grundriß der Bildpunkte kongruent ist, schneiden läßt. Eine lineare geometrische Lösung ist folgende: Es seien A₀B₀C₀D₀E₀ die Grundrisse der bekannten Punkte, Ö₀ jener des gesuchten Punktes, Ä' B' C B' E' die Punktreihe, zu der das Büschel O₀(A₀B₀C₀D₀E₀) projektiv sein soll. Man betrachte nun in dem Kegelschnittbüschel mit den Grundpunkten A₀B₀C₀O₀ jene Kegelschnitte, die durch D₀ und E₀ hindurch gehen. Von jedem kennt man außer den Grundpunkten das Doppelverhältnis (= (Ä B' C' D') bezw. (.A'B'C'E')), welches A₀B₀C₀D₀ bezw. A₀B₀C₀E₀ auf dem Kegelschnitt einschließen. Hieraus kann man an jeden der beiden Kegelschnitte die Tangenten in A₀B₀C₀ konstruieren. Diese schneiden sich paarweise auf den Seiten des dem Kegelschnittbüschel gemeinsamen Polardreieckes, dessen Ecken außerdem auf den Verbindungslinien der bekannten drei Grundpunkte A₀B₀C₀ liegen. Das Polardreieck kann hieraus konstruiert und damit der unbekannte vierte Grundpunkt O₀ gefunden werden. Der durch A₀B₀C₀D₀E₀ gehende Kegelschnitt bildet insofern eine „gefährliche“ Kurve, als die Lösung illusorisch wird, falls O₀ auf demselben liegt³³). F. Steiner³⁴) und Mandl³⁵) haben analytische Lösungen der Aufgabe gegeben.

Das oben erwähnte räumliche Problem der sechs Punkte wird folgendermaßen auf das ebene Problem der fünf Punkte zurückgeführt³⁶). Der gesuchte Punkt 0 wird mit einem der gegebenen Punkte A verbunden und das Ebenenbüschel durch OA als Achse nach den fünf anderen gegebenen Punkten gelegt. Dieses Ebenenbüschel muß zu dem Strahlenbüschel, das vom Bildpunkt A' nach den fünf anderen Bildpunkten geht, projektiv sein. Ist P₀ der Schnitt der Achse des Ebenenbüschels mit der Grundrißebene, und projiziert man von A aus die fünf übrigen Punkte ebenfalls in die Grundrißebene, so ist das Strahlenbüschel von P₀ nach den genannten fünf Projektionen ebenfalls projektiv zum Strahlenbüschel durch A' der Bildebene, und P₀ kann somit nach dem Problem der fünf Punkte

SB) Lösung von Kinkel, Wochenschr. d. österr. Ingen.- u. Arch.-Vereins 16 (1891), p. 292.

34)    Phot., p. 28.

35)    Mitt. über Gegenst. d. Artill.- u. Geniewesens 1898, p. 165. Das zugehörige Ausgleichungsproblem giebt E. Dolesal, Zeitschr. Math. Phys. 47 (1902), p. 29.

36) Lösung von E. Waelsch in F. Steiner, Phot., p. 53.

gefunden [werden. Die Gerade AP₀ ist ein geometrischer Ort für den Standpunkt. Weitere Orter durch die übrigen Punkte lassen sich auf gleiche Weise finden. Der Standpunkt 0 darf nicht auf der Raumkurve 3. Ordnung, welche durch die sechs Punkte geht, liegen, sonst wird die Konstruktion illusorisch. Die Bestimmung des Standpunktes gründet sich nur auf Doppelverhältnisse, die dem Bilde entnommen werden; sie gilt also auch für abgeleitete Bilder. Bei Verwendung letzterer ist aber das Einpassen der sechs Bildpunkte in das von dem gefundenen Standpunkt ausgehende Strahlenbündel nicht immer möglich.

5. Das Vorwärtseinschneiden und die Rekonstruktion der Objekte bei bekannten Standpunkten. Wenn nach den Methoden von Nr. 3 die Horizontalprojektionen der zu den Photographien gehörigen Strahlenbündel konstruiert und durch die mit dem photogrammetrischen Theodolit gemessenen Winkel gehörig gegeneinander orientiert sind, ergibt sich der Grundriß der Objektpunkte ähnlich wie bei der Meßtischaufnahme durch Schnitt entsprechender Strahlen. Die Höhenunterschiede h der Objektpunkte gegenübar den Standpunkten werden unter Benützung der aus dem Grundriß abgenommenen Horizontalentfernung e und dem Höhenwinkel ß nach der Formel h = e tg ß = (ey cos a) : d gerechnet und so die Höhe jedes Objektpunktes aus mindestens zwei Standpunkten bestimmt⁴⁴).

Allgemeingültige Formeln, mittels welcher man bei bekannten Standpunkten und bekannter innerer und äußerer Orientierung der Aufnahmen aus den ebenen Koordinaten entsprechender Bildpunkte die räumlichen Koordinaten des zugehörigen Objektpunktes ausrechnen kann, sind mehrfach, insbesondere für Zwecke der Wolkenmessung, aufgestellt worden⁴⁵).

Den Sinn und die Tragweite der aus der Höhenbestimmung von zwei Standpunkten aus sich ergebenden „Höhenkontrolle“⁴⁶) hat G. Hauch durch Einführung der gegnerischen Kernpunkte⁴⁷) klar gemacht. Zwei beliebig aufeinander bezogene Punktfelder können nämlich im allgemeinen nicht als Perspektiven eines räumlichen Objektes aufgefaßt werden. Die hierfür notwendige Bedingung erhält man, wenn man das Büschel der Ebenen betrachtet, welche durch die Verbindungslinie der beiden Standpunkte Ox und 0₂ als Achse und beliebige Objektpunkte geht. Die Achse Ox 0₂ schneide die Ebenen der Photographien in 0" und 0₂, den Bildern je eines Standpunktes vom anderen aus. Diese sind die gegnerischen Kernpunkte und Zentren zweier projektiver Strahlenbüschel, nach welchen die Bildebenen das Ebenenbüschel mit der Achse Ox 0₂ schneiden. Entsprechende Strahlen jener Büschel laufen nach den Bildpunkten ein und desselben Objektpunktes. Damit nun zwei Punktfelder (P', Q', R',. . .) (P", Q", R",. . .) Perspektiven desselben Raumobjektes sind, müssen sich auf ihnen zwei Punkte 0₂ und 0” so bestimmen lassen, daß die Strahlenbündel 0₂ (P', Q', R',. . .) und Oj" (P", Q", R",...) projektiv sind. Dazu ist die Kenntnis von 7 zusammengehörigen Punktepaaren nötig. Die Aufgabe hat drei Lösungen⁴⁸). Ist die Bedingung erfüllt, so existieren oo⁵ der Form nach verschiedene unter sich kollineare Objekte, von denen die vorgegebenen Photographien Bilder sind⁴⁹). Um ein solches Objekt zu finden, schneide man in der ersten Bildebene das Kernstrahlenbüschel durch eine Transversale nach einer Punktreihe, suche im projektiven Kernstrahlenbüschel der zweiten Bildebene jene Transversale aus, welche nach einer kongruenten Punktreihe schneidet, stecke die beiden Bildebenen längs der beiden kongruenten Punktreihen unter beliebigem Winkel ineinander und wähle auf der Verbindungslinie beider Kernpunkte beliebig die perspektivischen Zentren Ox und 0₂. Die Verbindungslinien OxP' und 0₂P" liegen nun in einer Ebene und schneiden sich in einem Objektpunkt.

Die Rekonstruktion des Objektes ist nach Gr. Hauck nur noch auf oo³ Weisen möglich, sobald eine dritte Photographie gegeben ist⁵⁰). Nachdem die sechs gegnerischen Kernpunkte Ox"0₂, 0₂"0₃", 0X"Os' auf den drei Photographien gefunden sind, kann man die drei Bildebenen so legen, dass die drei Bilder P' P" P"' eines beliebigen Raumpunktes P mit dem Schnittpunkt der drei Bildebenen zusammenfallen. Die Linien, in welchen sich dabei zwei Bildebenen schneiden (Grrund-schnitte), sind außer durch die gewählten Bildpunkte noch durch die

Bedingung bestimmt, daß sie je ein Paar gegnerische Kernstrahlenbüschel nach kongruenten Punkten schneiden müssen. Die (nicht immer reellen) Lösungen der so gestellten Aufgabe durch zwei vorgegebene Punkte zwei Gerade so zu legen, dass zwei vorgegebene Strahlenbüschel in kongruenten Punktreihen geschnitten werden, ermöglichen schließlich die Konstruktion des Dreikantes der drei Bildebenen aus seinen Seiten. Die sechs Kernpunkte liegen dann in einer Ebene, die auch die drei Standpunkte enthält. Die Strahlen von ihnen aus nach drei entsprechenden Bildpunkten schneiden sich in einem Raumpunkt. Vier wirkliche Photographien bestimmen das Objekt bis auf den Maßstab. Finsterwolderführte die Konstruktion desselben auf die Ermittelung eines Kegelschnittes zurück, der acht Raumgerade, die zu zweien durch einen Punkt gehen, trifft.

¹

C. Pulfrich, Phys. Zeitschr. 1899, p. 98. Vgl. auch Zeitschr. f. Instr. 21 (1901), p. 221 und 249; 0. Hecker, Zeitschr. f. Vermess. 30 (1901), p. 85.

²

Geschichtliches zum Fadendistanzmesser und zur Tachymetrie findet man bei Goutier, Tacheometrie, p. 5; A. Salmoiraghi, Istrumenti e metodi moderni di geometria applicata, Milano 1884, 2, p. 278; E. Hammer, Zeitschr.

f. Vermess. 20 (1891), p. 295 und Zeitschr. f. Inst. 12 (1892), p. 155; 17 (1897), p. 278.

³

J. Porro, La Tacheometrie, Paris 1858. Über die Vorteile und Nachteile des Porroschen Fernrohres vgl. Vogler, Prakt. Geom. 2, § 263, 264; Tinter, Zeitschr. f. Instr. 2 (1882), p. 117 u. 157; Hensoldt, ibid. 5 (1885), p. 413.

⁴

   Zuerst angegeben von J. L. Hogrewe, Praktische Anleitung zum Nivellieren oder Wasserwägen usw., Hannover 1800.

⁵

   Vgl. die nächste Nummer. Eine kurze Übersicht gibt O. Lueger, Lexikon der gesamten Technik, Stuttgart, Art. Distanzmesser; ferner Jordan, Handbuch 2, Kap. XIII u. XIV; Hartner-Dolezal, 1, § 33—35.

⁶

   Vgl. die Fehlergrenzen p. 21.

⁷

   Vgl. den zusammenfässenden Bericht von A. Schell, Wien. Ber. 75 (1877), p. 145. Die Distanzmesser mit Basisschiene sind besonders für militärische Zwecke wichtig; man vgl. in dieser Hinsicht: J. I). Marre, Des instruments pour la mesure des distances, Extr. du Mem. de l’artillerie de la marine 43, Paris 1880; V. Niesiolowski-Gawin von Niesiolöwice, Mitt. über Gegenst. d. Artill. u. Geniewesens 1898, p. 827.

⁸

   Distanzmesser von Cerebotani; vgl. dazu W. Jordan, Zeitsehr. f. Venness. 13 (1884), p. 389.

⁹

   Bauernfeind, Vermessungskunde 1, p. 192 u. 395.

¹⁰

   Archiv f. d. Artill. u. Ingen.-Offiz. d. deutsch. Reichsheeres, April 1893 und Zeitschr. f. Vermess. 24 (1895), p. 177.

¹¹

   Vgl. Jordan, Handbuch 2, Kap. XIV und Härtner-Dolezal 2, § 21—27,

¹²

mit weiterer Literatur; speziell sei verwiesen auf Goutier, Tacheometrie.

¹³

Zuerst 1865 von Kiefer in Cöln angewandt; vgl. dazu E. Füller, Zeitschr. f. Yermess. 25 (1896), p. 375; 30(1901), p. 531; 32(1903), p. 649. Ferner ist zu nennen: F. Kreuter, Patentiertes Quotier-Instrument für generelle Aufnahmen in koupiertem Terrain, Wien 1874; O. Fennel, Zeitschr. f. Yermess. 7 (1878), p. 57.

¹⁴

   C. M. v. Bauernfeind, Münch. Abhandl. 11 (1871), p. 83; Bauernfeind, Vermessungskunde 2, p. 189.

¹⁵

   Anleitung zum vorteilhaften und zweckmäßigen Gebrauche des Meßtisches, Dresden 1820. Vgl. ferner F. Härtner, Wien. Ber. 2 (1849), Novemberheft, p. 216; Härtner-Dolezal 1, p. 891.

¹⁶

   W.'Jordan-K. Steppes, Das deutsche Vermessungswesen, Stuttgart 1882.

¹⁷

   Für militärtopograpische Meßtischaufnahmen sei genannt: Vorschrift für die topographische Abteilung der Landesaufnahme. Heft I. Das topographische Aufnehmen, Berlin 1898; B. Schulze, Das militärische Aufnehmen unter besonderer Berücksichtigung der Arbeiten der kgl. preuß. Landesaufnahme, Berlin und Leipzig 1903.

¹⁸

   Zeitschr. f. Vermess. 5 (1876), p. 1.

¹⁹

   Die Photogrammetrie oder Bildmeßkunst, Weimar 1889.

²⁰

   J. H. Lambert, Freye Perspektive, Zürich 1759, 8. Abschnitt, p. 203.

²¹

   Beautemps-Beaupre 1791—93, beschrieben in: Methode pour la levee et la construction des cartes et des plans hydrographiques, Paris 1808.

²²

   Paris C. R. 50 (1860), p. 1127.

²³

   E. Dolezal, Photogr. (Korrespondenz, 1902, p. 82.

²⁴

   Zeitschr. f. Bauwesen 17 (1867), p. 61.

²⁵

   J. f. Math. 95 (1883), p. 1; 97 (1884), p. 261; 98 (1885), p. 304; 108 (1891), p. 25; 111 (1893), p. 207; 128 (1905), p. 91.

²⁶

   Fotogrammetria, Mailand 1901.

²⁷

Photographie Surveying, Ottawa 1889, 2. Aufl. 1895.

²⁸

M.v.Bohr, Theorie und Geschichte des'photogr.^Objektivs,. Berlin 1899j A. Gleichen, Photogr. Optik, Leipzig 1905.

²⁹

Rechnerisch geschieht dies nach der Methode des Rückwärtseinschneidens nach drei oder mehreren Punkten der Punktreihe. Vgl. W. Jordan, Zeitschr. f. Vermess. 5 (1876), p. 1; Koppe, Photogrammetrie, p. 39, woselbst auch die Ausgleichungsmethode behandelt ist.

13a) Die zugehörigen Methoden sind im 8. Abschnitt von J. H. Lambert

³⁰

   Beim Apparat von A. Schell, vgl. Dolezal, Anwend. d. Photogr., p. 47.’

³¹

   Zeitschr. f. Instr. 15 (1895), p. 370.

³²

   Moessard, Le Cylindrographe, Paris 1889.

³³

   Vgl. Dolezal, Photogr. Correspondenz 1902, p. 85—87.

³⁴

   Vgl. Stein, Das Licht im Dienste wiss. Forschung 2, 5. Heft; spezieller Teil VI u. VII, Die Photogrammetrie, bearb. von F. Stolze, p. 199; Laussedat, Metrophotographie 2¹, p. 27.

³⁵

   B. Thiele, Eders Jahrb. f. Phot. 17 (1903), p. 131; Th. Scheimpflug, ibid. 18 (1904), p. 193, sowie Phot. Corresp. 1903, p. 659 und Illustr. aer. Mitt. 8 (1904), p. 88.

³⁶

   Photogrammetrie, p. 15.

³⁷

Beide Methoden von Koppe,, Photogrammetrie, p. 8, 9.

³⁸

   Finsterwalder, München Ber. 30 (1900), p. 152; vgl. hierzu W. Jordan, Zeitschr. f. Architektur und Ingenieurwesen 44 (1898), p. 346; ein graphisches Verfahren findet sich bei Finsterwalder, Photogrammetrie, p. 179.

³⁹

   Vgl. Nr. 4.

⁴⁰

   Finsterwalder, München Ber. 30 (1900), p. 153 u. 157.

⁴¹

   Ygl. VI l, 1, Nr. 10b (C. Reinhertz).

⁴²

   S. Finsterwalder, Grundlagen, p. 26; S. Finsterwalder u. W. Scheufeie, München Ber. 33 (1903), p. 591, wo sich auch die Ausgleichung der Fehler erörtert findet.

⁴³

   Unter diesem Namen wurde von F. Steiner, Phot., p. 24 das von R. Sturm, Math. Ann. 1 (1869), p. 532 geometrisch gelöste Problem in die Photogrammetrie eingeführt.

⁴⁴

   Zar Erleichterung der hierbei nötigen Zeichnungen und Rechnungen hat P. Paganini verschiedene Apparate konstruiert, Fotogrammetria, p. 108; vgl. auch A. v. Hühl, Mitt. d. militärgeogr. Inst. Wien 18 (1898), p. 93.

⁴⁵

   K. Heun, Zeitschr. Math. Phys. 44 (1899), p. 18; A. W. Sprung, Met. Zeitschr. 20 (1903), p. 414.

⁴⁶

   Über die Höhenkontrolle und ihre Verwendung zur Abschätzung der Genauigkeit vgl. Koppe, Photogrammetrie, p. 69, sowie Finsterwalder, Ergänzungshefte zur Zeitschr. d. Deutsch, u. Oesterr. Alpen-Vereins 1 (1897), p. 38; Zeitschr. f. Vermess. 25 (1896), p. 225.

⁴⁷

   J. f. Math. 95 (1883), p. 11.

⁴⁸

   Von dieser von M. Ghasles gestellten Aufgabe bat R. Sturm, Math. Ann. 1 (1869), p. 543, eine geometrische, 0. Hesse, J. f. Math. 62 (1862), p. 188 eine analytische Lösung gegeben.

⁴⁹

   Finsterwalder, Grundlagen, p. 11.

⁵⁰

   J. f. Math. 97 (1884), p. 263.

Wesentlich vereinfacht wird die Bekonstruktion des Objektes, sobald die innere Orientierung der benützten Photographien bekannt ist¹ 2). Es reichen dann bereits zwei Bilder aus, um das dargestellte Objekt bis auf den Maßstab zu bestimmen.

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Man verschafft sich zunächst die gegnerischen Kernpunkte Of und wofür S. Finsterwalder³) passende Näherungsmethoden angegeben hat. Verbindet man diese Kernpunkte mit den zugehörigen ^o*Ä^rr^,

Fig. 3.

Zentren 0₂ und 0V so müssen die Verbindungslinien bei richtiger Lage der Bildebenen zur Deckung kommen. Die gegenseitige Stellung der Ebenen und Achsen der Photographien findet man durch folgende Überlegung (Fig. 3). Man ziehe in den Bildebenen die Kernstrahlen 0₂'P' und Of'P". Mit Hilfe der inneren Orientierung berechnet man die Winkel ax und a₂, welche sie mit den Verbindungslinien Of 0X} Of 0₂ einschließen, sowie die Neigungswinkel der Ebenen P,0₂'0₁ und P" Of 0₂ gegenüber der ersten bzw. zweiten Bildebene. In dem Dreikant, das die beiden Bildebenen mit der Ebene 0X0₂P einschließen, ist nun die Seite

y — 180° — ax — cc₂, sowie die anliegenden Winkel bekannt und es können die Winkel ß₁ und ß₂, welche die Kemstrahlen mit der Schnittlinie der beiden Bildebenen einschließen, sowie der Winkel der letzteren gerechnet werden. Ist nun noch eine Länge, z. B. jene der Standlinie 0₁0₂ gegeben, so ist die gegenseitige Lage der Standpunkte und der

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Fig. 4.

Bildebenen bestimmt und das Objekt kann punktweise konstruiert werden. Ein vollständig durchgeführtes Beispiel hat Finsterwalder⁴) gegeben. Dort sind auch die Fragen der Ausgleichungsrechnung behandelt, welche sich ergeben, wenn ein photogrammetrisch der Form nach ermitteltes Objekt durch passende Wahl des Maßstabes und der

äußeren Orientierung mit einer überschüssigen Zahl von Abmessungen des wirklichen Objektes in möglichste Übereinstimmung gebracht werden soll⁵).

Von Gr. Hauch stammt eine Methode, beliebige Risse, auch Zentralprojektionen des Objektes, aus zwei photographischen Bildern zu zeichnen, welche auf die trilineare Verwandschaft dreier Projektionen desselben Objektes gegründet ist. Zwei Perspektiven eines Punktes bestimmen (im allgemeinen linear) die dritte Perspektive desselben und diese kann, sobald man die Beziehung der drei Paare gegnerischer Kem-strahlenbüschel kennt, unmittelbar als Schnitt zweier Kemstrahlen gefunden werden. Ist die genannte Beziehung aus der räumlichen Konfiguration von Bildebenen und Zentren in der sogenannten „Vorbereitungsfigur“ ermittelt, so kann die weitere Konstruktion in der „Ausführungsfigur“ ausschließlich in der Ebene durchgeführt werden⁶). Man vergleiche das Beispiel auf S. 112 (Fig. 4), in welchem der Aufriß aus zwei Photographien mit lotrechter Bildebene bestimmt wird.

In manchen Fällen ist man schon aus einer Aufnahme imstande, das Objekt zu rekonstruieren-, z. B. wenn das Objekt eben (Umrißlinie eines stehenden Gewässers) und die Lage des Standpunktes gegenüber der Ebene desselben bekannt ist⁷). Ferner, wenn das Bild außer dem Objekt auch noch eine Perspektive desselben enthält, wie z. B. bei Architekturen einen perspektivischen Grund- oder Aufriß oder den Schatten auf eine Ebene. Wenn das Objekt eine Symmetrieebene besitzt, oder samt seinem Spiegelbild aufgenommen wurde, so gelingt ebenfalls die Rekonstruktion aus einer Aufnahme, da sich das Bild der Orthogonalprojektion auf die Symmetrieebene (Spiegelebene) durch perspektivische Halbierung der Verbindungslinien symmetrischer Punkte immer ermitteln läßt⁸).

6. Flüchtige Aufnahmen. Stereophotogrammetrie. Mechanismen. Als flüchtige Aufnahmen bezeichnet man jene, bei welchen die photogrammetrischen Standpunkte nicht, wie es im Interesse der Genauigkeit zumeist geschieht, durch Messungen höheren Genauigkeitsgrades von vornherein festgelegt werden. Die Rekonstruktion eines Objektes aus vier wirklichen unorientierten Photographien oder aus zwei Bildern mit innerer Orientierung fallen bereits unter diesen Begriff. Für die Anwendung ist aber der Sonderfall von erheblicher Bedeutung, hei welchem die optischen Achsen der Aufnahmen im Raume orientiert sind, sei es vollständig gegen die Lotlinie und die Himmelsrichtungen (also mittels Libelle und Bussole) oder unvollständig gegen die Lotlinie allein. Bei vollständiger Orientierung führt eine einfache lineare Konstruktion auf Grund zweier Bilder zur Rekonstruktion des Objektes samt den Standpunkten; bei ausschließlicher Orientierung der Aufnahmen gegen die Lotlinie ist zur Erreichung des Zieles die Lösung einer Gleichung sechsten Graden nötig, welche den Orientierungsunterschied beider Aufnahmen liefert⁹). Die Lösung dieser Gleichung kann durch eine einfache Näherungskonstruktion ersetzt werden. Wenn es sich um die Verarbeitung einer größeren Zahl von Aufnahmen, die verschiedenen Standpunkten zugehören, handelt, so ist es von Vorteil, sämtliche in betracht kommenden Richtungen „gnomonisch“ abzubilden, indem man durch ein festes Zentrum Parallele zu den betreffenden Richtungen zieht und ihnen die Schnittpunkte mit einer Horizontalebene entsprechen läßt. Richtungen, die in einer Ebene liegen oder einer solchen parallel sind, entsprechen dann Punkte auf einer Geraden. Auf diesem Wege ergeben sich dann graphisch die Bedingungen, denen die Richtungen der verschiedenen Standlinien entsprechen müssen, damit sie sich einem räumlichen Netz von Standpunkten zuordnen lassen¹⁰). Diese Konstruktionen beruhen im wesentlichen auf der Verwendung der Höhenwinkel, bzw. Höhenkontrollen. Wenn die Höhenabmessungen des Objektes zu klein sind, um eine wirksame Höhenkontrolle zu gestatten, wenn man also auf die Horizontalwinkel allein angewiesen ist, hört die Möglichkeit der Rekonstruktion des Objektes aus zwei Bildern ohne Kenntnis der Standpunkte auf. Sind die Richtungen der Achsen der Bilder bekannt, so liefert die Lambert’sehe Aufgabe der sechs Punkte¹¹) (drei Standpunkte und drei Objektpunkte) die Mittel zur Rekonstruktion eines ebenen Objektes aus drei Bildern. Sind auch diese unbekannt, so kann man mittels der Lambert’sehen Aufgabe der acht Punkte¹²) (vier Standpunkte und vier Objektpunkte) auf Grund von vier Bildern zum Ziele gelangen. Ein ähnliches

Problem der acht Punkte (drei Standpunkte und fünf Objektpunkte) bat bisher noch keine Lösung gefunden.

Eine besondere Bedeutung gewinnen die gegnerischen Kernpunkte und Strahlenbüschel, sowie die auf ihnen fußenden Konstruktionen dadurch, daß sie die Möglichkeit bieten, Kurven aus ihren Bildern zu rekonstruieren, ohne daß man imstande ist, auf diesen Bildern zusammengehörige Punkte zu erkennen⁵⁶). Zieht man durch einen beliebigen Punkt des ersten Bildes der Kurve den Kernstrahl, so ist ihm der gegnerische Kernstrahl im zweiten Bilde zugeordnet. Dieser muß den zugehörigen Punkt enthalten und letzterer ist somit einer der Schnittpunkte des gegnerischen Kernstrahles mit dem zweiten Bild der Kurve. Auch in anderer Weise sind die Kern-strahlen zum Aufsuchen entsprechender Punkte nützlich⁵⁷).

Y — (bP) : px,

Eine wesentliche Vereinfachung des Aufsuchens und der Benützung der Kernpunkte tritt dann ein, wenn die Bildebenen unter sich parallel oder sogar noch zur Standlinie parallel gestellt werden⁵⁸). In letzterem Falle kommen die Kernpunkte ins Unendliche zu liegen und die gegnerischen Kernstrahlenbüschel werden Parallelstrahlen-büschel. Die beiden Aufnahmen bilden dann ein Paar Stereoshopbilder mit einer Augendistanz gleich der Standlinie. Hierauf beruht das stereoskopische Ausmeßverfahren von C. Pulfrich⁵⁹) oder die Stereophotogrammetrie. Setzen wir zur Vereinfachung den Fall lotrechter Bildebenen voraus und verschieben wir die beiden Bilder in ihrer gemeinsamen Ebene parallel derart, daß sich die Hauptpunkte decken, so liegen entsprechende Punkte beider Bilder in den Endpunkten paralleler Strecken (Parallaxen) von einer Länge p, die der Entfernung e des Objektpunktes von der Standlinie umgekehrt proportional ist (e = {bD):p, wo b die Länge der Standlinie, D die gemeinsame Bild weite beider Aufnahmen ist). Bezeichnet px die Horizontalparallaxe, d. h. die Projektion der Strecke p auf den Horizont, so drücken sich die drei Koordinaten (X horizontal in Richtung der Basis, Y horizontal senkrecht dazu, Z lotrecht) auf den linken Standpunkt bezogen folgendermaßen aus:

66) G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 11.

57)    A. v. Hübl, Abhandlgn. d. geogr. Ges. in Wien 3 (1901), p. 20.

58)    Ibid. p. 21 Anmerk. C. Koppe (Wolkenmessung, p. 10) bat schon das Parallelstellen der Achsen empfohlen und Formeln für die Punktbestimmung abgeleitet.

59) Zeitscbr. f. Instr. 22 (1902), p. 229; 23 (1903), p. 43, 317; 24 (1904), p. 53, sowie gesammelt in: Neue stereoskopische Methoden und Apparate, l.Lief., Berlin 1903.

X — (xJD) :px, Z= (yD) ■ Vxi ^obei x und y die Koordinaten des Bildpunktes auf dem linken Bild sind. Zusammengehörige Bildpunkte werden mittels des Zeiß'sehen Stereokomparators nach dem Prinzip der wandernden Marke sehr leicht und genau gefunden. Die Schwierigkeit der Stereophotogrammetrie besteht in der genauen Herstellung des Parallelismus der optischen Achsen beider Aufnahmen⁶⁰). Die Versuche von E. Deville, an Stelle der Ausmessung stereoskopischer Bilder die direkte räumliche Konstruktion des Objektes auf optischmechanischem Wege zu setzen, haben in der Geodäsie keine Verwendung gefunden, dagegen scheint das Prinzip bei der Deutung chirurgischer Röntgenaufnahmen brauchbar zu sein¹³).

Schließlich sind noch die Versuche zu erwähnen, welche bezwecken, die photogrammetrischen Konstruktionen durch mechanische oder optische Apparate zu ersetzen. Einen theoretisch sehr vollkommenen Apparat zur mechanischen Herstellung einer dritten Perspektive aus zwei vorliegenden hat Gr. Hauch¹⁴ 15) angegeben. In die photogrammetrische Praxis ist er indessen ebensowenig übergegangen wie andere Perspektographen¹⁶) einfacherer Art, welche nur eine ebene Figur perspektivisch umzeichnen. Letztere Aufgabe wird zur Zeit sicherer mittels perspektivischer Netze ausgeführt¹⁷). Aussichtsreicher sind die neueren Versuche, optische Hilfsmittel zur Bewältigung heranzuziehen. So hat Th. Scheimpflug¹⁶) ein Verfahren zur perspektivischen Umzeichnung einer ebenen Figur auf die Tatsache gegründet, daß eine vollkommene Weitwinkellinse eine beliebig gegen die optische Achse geneigte Objektebene Punkt für Punkt scharf und perspektivisch richtig in eine gewisse andere Ebene abbildet, welche man durch einen einfachen Mechanismus mit der Objektebene zwangläufig in Verbindung setzen kann.

60) A. v. Hühl, Mitt. d. militärgeogr. Inst. Wien 23 (1904), p. 182; 24 (1905), p. 143. In diesen Arbeiten wird insbesondere auch den notwendigen Korrekturen bei unvollkommener Parallelstellung der Achsen Rechnung getragen.

(Abgeschlossen im Oktober 1905.)

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[Fortsetzung von S. 2 des Umschlags.]

Biblioteka Politechmki Kiakowskiej

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Band VI. 1. Teil. Greodäsi Redigiert von Ph. Furtwängler in Bonn

* ist erschiene]

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Voiwort zu Band VI, Teil 1.

Inhaltsverzeichnis von Band VI, Teil 1.

A. Geodäsie.

t. Niedere Geodäsie: C. llelnhertz in Hannover.

*2 Besondere Ausführungen zur Photogrammetrie:

S. Finsterwalder in München.

Ü. Höhere Geodäsie: P. Pizzetti in Pisa.

4 Kartographie: R. Bourgeois in Paris £>. Nautik; H. Melden in Bremen.

6.    TI

br iu^ ü m*.

7.    Massenverteilung und Bewegung des JKraitorpers: H. Hergesell in Strafiburg.

8.    Dynamische Geologie: E. lViechert in Göttingen.

9.    Die Optik der Atmosphäre: J. M. Pernter in Wien

10.    Dynamische Meteorologie: IV. Trabert in Wien.

11.    Erdmagnetismus und verwandte Erscheinungen: A. Schmidt in Potsdam.

Sprechsaal für die Eneyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

CJnter der Abteilung Sprcchsaal für die Eneyklopädie der Mathematischen Wissenseisaften nimmt die Redaktion des Archivs der Mathematik und Physik (herausg. von E. Lampe, W. Eranz Meyer und E. Jahnke) ihr aus dem Leserkreise zugehende Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Eneyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Unterzeichneten zu richteu. Beiträge für den Sprechsaal haben bisher beige-

»'• aert die Herren W. Ahrem, M. Böoher, A. v. Braunmühl, T. J. I’A. Bromwich, H. Burkhardt, G. Eneström, H.Eehr, L. Henneberg, E. Jahnke, F. Klein, M. Koppe, M. Krause, Josef Kür-s häk, E. Lampe, A. Loewy, Gino Loria, J. Lüroth, Otto Meifiner, W. Fr. Meyer, E. Müller,

E.    Netto, M. Noether, W. Osgood, C. Runge, L. Saalschütz, Carl Schmidt, A. Schoenflies,

F.    Sohur, E. Study, Th. Vahlen, A. Wangerin, K. v. Wesendonck, W. Wirtinger.

Vf. Fr. Meyer, Königsberg i. Pr., Mitteltragheim 51.

B. G. Teubners Mathematische Zeitschriften.

A ’Chiv der Mathematik und Physik. Gegründet 1841 durch J. A. Grunert. III. Reihe. Im Anhang: Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Herausgegeben von E. Lampe, W. Franz Meyer und E. Jahnke. 10. Band. 1906. Preis für den Band von 4 Heften n. JC. 14.—. Generalregister zu Reihe 11, Bd. 1—17, zusammengestellt von

E.    Jahnke. Mit Bildnis von R. Hoppe. [XXXI u. 114 S.] gr. 8. geh. n. JC 6.— Biöliotheca Mathematica. Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften.

Herausgegeben von Gustaf Eneström. HI. Folge. 7. Band. 1906. gr. 8. Preis für den Band von 4 Heften n. JC 20.—    ^

Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. In Monatsheften herausgegeben von A. Gutzmer. 15. Band. 1906. gr. 8. Preis für den Band von 12 Heften n. JC 18.— Generalregister zu Band 1—10, zusammengestellt von E. Wölffing. [In Vorbereitung.] Mathematische Annalen. Begründet 1868 durch A. Clebsch und C. Neumann. Hrsg, von

F.    Klein, W. v. Dyck, D. Hilbert. 62. Band. 1906. gr. 8. Preis für den Band von 4 Heften n. JC. 20.—. Generalregister zu den Bänden 1—50, zusammengestellt von A. Sommek-

FELD.

Mit Porträt von A. Clebsch. [XI u. 202 S.] gr. 8. geh. n. JC 7.— Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter. Organ des Verbandes mathematischer und naturwissenschaftlicher Vereine an deutschen Hochschulen. 3. Jahrg. 1906. Preis für den Jahrgang von 12 Nummern n. JC 3.—. Einzelnummer 40 5,.

Ebvue semestrielie des Publications maihematiques, redigee sous les auspices de la Sociöte math&natique d’Amsterdam par P. H. Schonte (Groningen), D. J. Korteweg (Amsterdam), J. C. Kluyver (Leyden), W. Kapteyn (Utrecht), J. Cardinaal (Delft), gr. 8. geh. 14. Jahrgang. 1906. Jährlich 2 Hefte. Jeder Jahrgang n. JC 7.—

‘ eitschrift für Mathematik und Physik. Begründet 1856 durch O. Schlömilch. Organ für angewandte Mathematik. Hrsg, von R. Mehmke und C. Runge. 53. Band. 1906. gr. ö. Preis für den Band von 4 Heften n. JC 20.—. Generalregister zu den Jahrgängen 1—25. [123 S.J gr. 8. geh. n. JC 3.60. Generalregister zu den Jahrgängen 1 — 50, zusammengestellt von E. Wölffing. [XII u. 308 S.] gr. 8. 1905. geh. n. M. 15.—, in Leinw. geh. n. JC 16.—

Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Ein Organ für Methodik, Bildungsgehalt und Organisation der exakten Unterrichtsfächer an den höheren Schulen, Lehrerseminaren und gehobenen Bürgerschulen. Begründet 1869 durch J. C. V. Hoffmann. Herausgegeben von H. Schotten. 37. Jahrg. 1906. gr. 8. Preis für den Jahrgang von 8 Heften n. JC 12.—. Generalregister zu den Jahrgängen 1—32 in Vorbereitung.

KT-

H. WIENERS Sammlung

Mathematischer Modelle

im Verlage von B. G. Teubner in Leipzig.

Die Modelle der „Sammlung“ sind für den geometrischen Unterricht an höheren Schulen und Hochschulen bestimmt und sollen

dem Lernenden Raumformen und geometrische Beziehungen durch einfache und übersichtliche Darstellung nahe bringen.

Ebene Gebilde.

Drahtmodelle z. Projizieren.

Ji. 6.— bis Ji 16.—

Ebenflächige Gebilde.

RegelmäßigeVielflache Platons, Keplers und Poinsots, Modelle zur Theorie der Gruppen von Drehungen Ji. 7. — bis Ji 24.—

Flächen 2. Ordnung. Drahtmodelle, Hauptschnitte dar-................................ stellend, Kugel mit Parallelschnitten Ji 8.— bis Ji. 28.—. Bewegliche Modell* der Flächen 2. O. Ji. 25 . — bis Ji. 48. —, und zwar Fadenmodelle (ohne Gewichte), Stabmodelle (mit „H. Wieners geschränktem Verbindungsgelenk“), Kreisschnittmodelle aus Drahtkreisen (mit demselben Gelenk).

Dreh- und Schraubenflächen. Drehbare Draht-

..........    '    ■    ................. modelle mit Meridian- und anderen ebenen Schnitten oder mit Haupttangentenkurven: Kreisring, Drehfläche eines zur Sinuslinie affinen Meridians, Wendelfläche, schiefe Regelschraubenfläche, Schrauben-Röhrenfläche. Ji 50.— bis jfi. 175.—

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16 Fadenmodelle der abwickelbaren Flächen von Raumkurven, zur Darstellung ihrer Stellen mit Fortschreiten oder Rückkehr von Punkt, Tangente und Schmiegungsebene, und zwar bei'endlicher Lage des Punktes, unendlich ferner Lage der Schmiegungsebene, oder der Tangente, oder des Punktes. Ji 40.— bis Ji 45.—

Sämtliche Modelle können einzeln oder in Reihen bezogen werden. Das ausführliche Verzeichnis mit Abbildungen und genauen Preisangaben wird auf Verlangen von B. G. Teubner in Leipzig, Poststr. 3, frei geliefert.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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¹

   Finsterwalder, Grundlagen, p. 14.

²

   Ibid. p. 15.

³

   München Abhandlgn. 22 (1903), p. 229 u. München Ber. 33 (1903), p. 683. Ist der Kernpunkt des einen Bildes bekannt, so kann der des anderen durch eine dem Rückwärtseinschneiden entsprechende sphärische Konstruktion gefunden werden. Ygl. S. Günther, München Ber. 24 (1904), p. 115 und Finsterwalder, ibid. 25 (1905), p. 3.

⁴

München Abhandlgn. 22 (1903), p. 248.

⁵

   Ibid. p. 240.

⁶

   G. Hauck, J. f. Math. 95 (1883), p. 23.

⁷

   E. Deoille, Photographie Surveying, p. 45.

⁸

   S. Finsterwalder, Grundlagen, p. 18.

Eacyklop. d. math. Wissensch. VT 1.

⁹

   S. Finsterwalder, München Ber. 24 (1904), p. 103. Vgl. auch K. Fuchs, Zeitschr. f. Vermess. 34 (1905), p. 449.

¹⁰

   8. Finsterwalder, Verhandlg. d. dritten Mathematikerkongresses in Heidelberg, Leipzig 1905, p. 476.

¹¹

   J. H. Lambert, Beiträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung 1, Berlin 1765, p. 72, 77, 81.

¹²

   Ibid. p. 185. Vgl. J. A. Grunert, Arch. Math. Phys. 1 (1841), p. 89 und W. Läska, Monatshefte Math. Phys. 12 (1901), p. 172.

¹³

   E. Deville, Trans.Vof the R. S. of Canada (2) 8 (1902—03), p. 63.

¹⁴

   Mein persp. Apparat, Festschr. der techn. Hochschule, Berlin 1884; verbessert von E. Brauer, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ing. 25 (1891), p. 782.

¹⁵

<>3) E. Deville, Photographie Surveying, p. 77.

¹⁶

   Method of distorting plane images by means of lenses or mirrors, Amerikanische Patentschrift Nr. 751347 und Apparatus for the systemati« alteration of plane pictures Nr. 752 596 (1304).

¹⁷

   Ibid. p. 88 und Finsterwalder, Grundlagen, p. 5.