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VI 2, 8. CHRONOLOGIE

VI2, 9. BAHNBESTIMMUNG DER PLANETEN UM) KOMETEN.

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VI2,10. DIE BESTIMMUNG DER METEORBAHNEN IM SONNENSYSTEM.

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Band VI. 2. Teil. Astronomie. Redigiert von K. Scl

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HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRÄGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN IOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BINDEN.

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BAND VI2. HEFT 3.

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AUSGEGEBEN AM 18. SEPTEMBER 1210.

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deutliches Arbeit*

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LEIPZIG,

DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER.

1910.

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PF" Jeder Band ist einzeln käuflich.—Bisher erschien: Bd. I (vollständig); Bd. II1, Heft 1—0; Bd. IIs. Heft 1; Bd.II», Heft 1; Bd.IHi, Heft 1-3; Bd.III*, Heft 1-4; Bd.III», Heft I—S; Bd. IVu, Heft 1-4 (vollständig): Bd, IVih, Heft 1; Bd. IV21. Heft 1-4 (vollständig); Bd. IVin, Heft 1—3: Bd. Vi, Heft 1-4; Bd. V», Heft 1-3; Bd.Vs, Heftl n.2; Bd. VIi a, Heft 1-8; Bd.VIiB, Heft 1; Bd. VI*, Heft 1-3.

PF* Einhanddeeken in Halbfranz werden anf Bestellung mit dem Schlußheft eines jeden Bandes zn wohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung geliefert.

—    Theorie der Sonnenfinsternisse und verwandten Erscheinungen, Leipzig Ges. Wiss. Abhdl. 4 (1859), p. 303 (Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859)).

—    Analyse der ekliptischen Tafeln, Leipzig Ber. 15 (1863), p. 143 {Hansen, Analyse d. ekl. Tafeln (1863)).

F. W. Bessel, Analyse der Finsternisse, erschien in Bessel, Astron. Untersuch., Band 2, Königsberg 1842, p. 95. Abgedruckt in Bessel, Abhdl., Band 3, p. 369 {Bessel, Analyse der Finsternisse (1842)).

J. A. Grunert, Theorie der Sonnenfinsternisse, der Durchgänge der unteren Planeten vor der Sonne und der Sternbedeckungen, Wien Denkschr. 8 (1854), 1. Abteilung, p. 133.

B.    Schram, Beitrag zur Hansenschen Theorie der Sonnenfinsternisse, Wien Ber. 92 (1885), p. 1233.

C.    Stechert, Die Vorausberechnung der Sonnenfinsternisse und ihre Verwertung zur Längenbestimmung, Archiv der deutschen Seewarte 22. Jahrg. (1899), Nr. 1, Hamburg 1899.

b. Lehrbücher.

J. J. Littrow, Theoretische und praktische Astronomie, Wien 1821, Bd. 2, 6. Kap.

A. Sawitsch, Abriss der praktischen Astronomie, 2. Aufl., deutsch neu herausgegeben von C. F. W. Peters, Leipzig 1879, 5. Abschnitt, p. 452 ff.

F. Brünnow, Lehrbuch der sphärischen Astronomie (4. Aufl. Berlin 1881 : Brünnow) 5. Abschnitt, 5. Kapitel.

W. Chauvenet, A manuał of spherical and practical astronomy (2 vols.), 6th ed. {Chauvenet (1900)) Philadelphia 1885, 1893, 1900, vol. 1, chapter 10, p. 436.

2.    Tafeln.

C. L. Largeteau, Tables pour le calcul des syzygies écliptiques, Conn. des temps pour 1846 (Paris 1843), additions, p. 3 {Largeteau, Tables (1843)).

P. A. Hansen, Ekliptische Tafeln für die Konjunktionen des Mondes und der Sonne, Leipzig Ber. 9 (1857), p. 75 {Hansen, Elcl. Tafeln (1857)).

Th. von Oppolzer, Syzygientafeln für den Mond, Astr. Ges. Publ. 16, Leipzig 1881 {Oppolzer, Syzygientafeln (1881)).

—    Tafeln zur Berechnung der Mondfinsternisse, Wien Denkschr. 47 (1883) {Oppolzer, Tafeln f. Mondf. (1883)).

P. Lehmann, Tafeln zur Berechnung der Mondphasen und der Sonnen- und Mondfinsternisse, herausgegeben vom k. Statistischen Bureau, Berlin 1882 {Lehmann,

Tafeln (1882)).

S. Newcomb, On the récurrence of solar éclipsés with tables of éclipsés (für den Zeitraum 700 vor Chr. bis 2300 nach Chr.), Wash. Astron. Papers, vol. 1, Washington 1882, Nr. 1 {Newcomb, Becurrence of solar ecl. (1882)).

B. Schram, Tafeln zur Berechnung der näheren Umstände der Sonnenfinsternisse, Wien Denkschr. 51 (1886), p. 385 {Schram, Tafeln zur Berechn, v. Sonnenf. (1886)).

—    Reduktionstafeln für den Oppolzerschen Finsterniskanon zum Übergang auf die Ginzeischen empirischen Korrektionen, Wien Denkschr. 56 (1889), p. 185 {Schram, Beduktionstafeln (1889)).

3.    Berechnete Finsternisse.

L’Art de vérifier les dates des faits historiques, éd. par des Bénédictins, 1èr® éd. Paris 1750; 2ièm® éd. Paris 1770; 3ièm® éd., 3 tomes, Paris 1783, 84, 87 {L’Art de vérifier les dates).

A. G. Pingre', Chronologie des éclipses qui ont été visibles depuis le pôle boréal jusque vers l’équateur, pendant les dix siècles qui ont précédé l’ère chrétienne, Paris 1787.

C. Hàllaschka, Elementa eclipsium, quas patitur tellus, luna eam inter et solem versante, Prag 1816 [Sonnenfinsternisse von 1816—1860]. Fortgesetzt u. d. T.: Calculus eclipsis Solis observatae die 19. novembris 1816 cui accedunt Elementa eclipsium quas patitur tellus, luna eam inter et solem versante, ab anno 1861 usque ad annum 1900 etc., Prag 1820 [Sonnenfinsternisse von 1861—1900].

E.    Mahler, Die zentralen Sonnenfinsternisse des 20. Jahrhunderts, Wien Denkschr. 49 (1885), p. 237.

Th. von Oppolzer, Canon der Finsternisse, Wien Denkschr. 52 (1887) (Oppolzer Canon {1887)).

F.    K. Ginzel, Spezieller Kanon der Sonnen- und Mondfinsternisse für das Ländergebiet der klassischen Altertumswissenschaften und den Zeitraum von 900 vor Chr. bis 600 nach Chr., Berlin 1899 (Ginzel, Kanon {1899)).

4. Graphische und Näherungsmethoden.

W. Leonharäi, Anleitung zur Berechnung und graphischen Bestimmung der Sonnen- und Mondfinsternisse, Leipzig 1846.

Bach (in Straßburg), Calcul des éclipses de soleil par la méthode des projections, Paris 1860.

A. Laussedat, Paris C. R. 70 (1870), p. 240.

A. Cayley, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 30 (1870), p. 162.

Ph. Hatt, Paris C. R. 86 (1878), p. 303.

II. Sternbedeckungen.

J. J. Littrow, Über eine neue Methode, Sternbedeckungen für verschiedene Orte vorher zu bestimmen, Tübinger Zs. für Astr. 4 (1817), p. 334.

C. Kramp, Mémoire sur les occultations des étoiles fixes par la lune, Annales des mathématiques pures et appliquées, tome 8, Nismes et Paris 1818, p. 165.

J. Fr. Encke, Über die Vorausberechnung der Sternbedeckungen, Beri. astr. Jahrb. für 1830 (Berlin 1828), p. 253.

F. W. Bessel, Über die Vorausberechnung der Sternbedeckungen, Beri. astr. Jahrb. für 1831 (Berlin 1829), p. 257, sowie Astr. Nachr. 7 (1829), p. 1 = Bessel, Abhdl. 1, p. 209.

C. F. A. Shadivell, Tables for facilitating the approximate prédiction of occultations and éclipsés for any particular place, London 1847".

T. Chevallier, Report of the 17th meeting of the British Association for the ad-vancement of science, held 1847, London 1848, Notices, p. 7.

F. C. Penrose, On a method of predicting, by graphical construction, occultations of stars by the moon and solar éclipsés for any given place, London 1869.

Baills, Occultations, prédiction graphique, Paris C. R. 85 (1877), p. 1056.

C. Berry, Théorie complète des occultations à l’usage spécial des officiers de marine et des astronomes, Paris 1880.

P. Jaffré, Théorie complète élémentaire des occultations, St. Nazaire 1883.

C. Stechert, Tafeln für die Vorausberechnung der Stembedeckungen, Archiv der deutschen Seewarte, 19. Jahrg. (1896), Nr. 3, Hamburg 1896. (Stechert, Tafeln für Sternbedeck. {1896)).

C. Stechert, Hilfsgrößen für die Berechnung der im nächsten Jahre stattfindenden Sonnenfinsternisse und Sternbedeckungen, Ann. d. Hydr. seit 1897 jährlich (,Stechert, Hilfsgrößen (1897)).

III. Planetenvorübergänge.

J. F. Encke, Über die Vorausberechnung der Planetendurchgänge, Beri. astr. Jahrb. für 1842, p. 291.

J.    L. Lagrange, Memoire sur le passage de Vénus du 3 Juin 1769, Beri. hist.

1766, p. 265 = Oeuvres 2 (1868), p. 335.

P. A. Hansen, Bestimmung der Sonnenparallaxe durch Venusvorübergänge, Leipzig Oes. Wiss. Abhdl. 9 (1870), p. 455.

K.    Friesach, Theorie der Planetenvorübergänge vor der Sonnenscheibe, Leipzig 1874.

M. Vodusek, Heue Methode für die Berechnung der Sonnen- und Mondesparallaxe aus Planeten Vorübergängen und Sonnenfinsternissen, Laibach 1879.

Ferner in vielen Werken über die Bestimmung der Sonnenparallaxe und in Lehrbüchern, z. B. in den Seite 336 unter I 1 b zitierten Brünnow, p. 390; Chauvenet (1900), vol. 1, p. 591.

IV. Verfinsterungen der Jupitertrabanten.

J. B. J. Delambre, Tables pour calculer les éclipses des quatre satellites de Jupiter, erschienen in J. J. de Lalande, Astronomie, 3lème éd., tome 1, Paris 1792, Anhang (Tables astronomiques), p. 236.

P. S. de Laplace, Traité de mécanique céleste, tome 4, Paris 1805, livre 8, chapitre 8 = Oeuvres 4 (1880), p. 106.

W. S. B. Woolhouse, New tables for computing the occultations of Jupiters satellites by Jupiter, The nautical almanac and astronomical ephemeris for the year 1835, London 1834, appendix.

M. C. T. de Damoiseau, Tables écliptiques des satellites de Jupiter, 5. Band der Paris Bur. Long. tabl. astr., Paris 1836, und deren Fortsetzungen von D. P. Todd, A continuation of de Damoiseau’$ tables of the satellites of Jupiter, Washington, The American Bureau of Navigation 1876 (für 1880—1900) und

L. Bottier, Paris Bull. astr. 13 (1896), p. 67 u. 107 (für 1900—1920).

V. Schatten des Saturnringes.

C. Souillart, Sur l’ombre d’une planète, Astr. Nachr. 91 (1878), p. 129.

H. Seeliger, Über den Schatten eines Planeten, München Ber. 24 (1894), p. 423. — Zur Theorie der Beleuchtung der großen Planeten, insbesondere des Saturn, Münch. Abh. 16 (1887), 2. Abteilung, p. 405.

Einleitung.

1. Einteilung der Finsternisse. Verfinsterungen der Himmelskörper können auf zweierlei Weise entstehen. Wird ein Planet von seinem Zentralkörper beleuchtet, so können die den Planeten umlaufenden Monde, bei geeigneter Stellung ihrer Bahnen, von Zeit zu

Zeit in den Schatten des Planeten kommen und unsichtbar werden (wahre Finsternisse). Innerhalb des Sonnensystems kann dies z. B. heim Erdmonde, ferner in den Trabantensystemen von Jupiter, Saturn, Mars usw. stattfinden. Wichtig für die Beobachtung sind von diesen wahren Verfinsterungen nur die Mondfinsternisse, die Verfinsterungen der Jupiter- und Saturntrabanten und die durch den Schatten des Saturnrings bewirkten Finsternisse. Die anderen Fälle, wo den betreffenden Himmelskörpern nicht das Sonnenlicht entzogen wird, sondern nur eine Verdeckung des einen Körpers durch den anderen in bezug auf den Beobachtungsort stattfindet, bezeichnet man als scheinbare Finsternisse. Diesen Fall illustrieren z. B. die Sonnenfinsternisse, die Sternbedeckungen durch den Mond oder die Planeten und die Vorübergänge der beiden inneren Planeten Merkur und Venus vor der Sonne.

A. Sonnenfinsternisse.

2. Kriterium für das Stattfinden einer Sonnenfinsternis überhaupt. Die Sonnenfinsternisse können nur zur Zeit des Neumondes stattfinden, und auch dann nur, wenn der Mond der Verbindungslinie von Erde und Sonne genügend nahe kommt. Der äußere Umhüllungskegel von Sonne und Mond begrenzt den Kernschatten, der innere den Halbschatten des Mondes. Je nach der Entfernung des Mondes von der Erde erscheint uns bekanntlich der Mondradius größer oder kleiner als der der Sonne, so daß die Spitze des Kernschattenkegels dementsprechend näher zur Erde oder weiter von ihr entfernt liegt. Ist der scheinbare Durchmesser des Mondes in dem Augenblick, wo die Mitten von Sonne und Mond und der Beobachtungsort auf einer Geraden liegen, größer als der der Sonne, so erreicht die Spitze des Schattenkegels die Erde, der Beobachtungsort fällt in den Kernschatten und es findet für ihn eine totale Sonnenfinsternis statt. Erscheint aber der Monddurchmesser kleiner als der der Sonne, so trifft die Spitze des Schattenkegels die Erde nicht; der Mond verdeckt die Sonne zentral, aber nicht ganz, es entsteht eine ringförmige Sonnenfinsternis. Erreicht die Kegelspitze die Erde nur in einem Teile der Schnittkurve der Kegelachse und der Erdoberfläche, so findet eine ringförmig-totale Sonnenfinsternis statt. Passiert die Erde den Kernschatten überhaupt nicht, so kann höchstens eine partielle Verfinsterung durch den Halbschatten eintreten. Das Kriterium für das Stattfinden einer Sonnenfinsternis überhaupt ergibt sich aus der Bedingung, daß der Mond um die Zeit der Konjunktion¹) herum in den äußeren Umhüllungskegel von Sonne und Erde eintauchen oder diesen Kegel doch mindestens berühren, d. h. der scheinbare Minimalabstand der Zentren von Sonne und Mond, wie ein bloßes Aufzeichnen der Kegeldurchschnitte lehrt, m p p — % sein muß, wenn m und ft die vom Zentrum der Erde aus gesehenen Radien, p und n die Parallaxen von Mond und Sonne bedeuten. Ist ß die Breite des Mondzentrums gegen die Ekliptik zur Zeit der Konjunktion und i die Neigung der Mondbahn gegen dieselbe Grundebene, so ist der scheinbare Mindestabstand der Zentren von Sonne und Mond gleich ß cos i] folglich können wir dem Kriterium auch die folgende Form geben: ß ^ (gn p p — n) sec i.

Entsprechend den Grenzwerten für die innerhalb enger Grenzen mit der Zeit variablen m, p, p, % und i ergeben sich als Grenzwerte für ß die folgenden: ßt = 1°34',9 und ß₂ = 1°23',2. Ist, absolut genommen, ß K ß₂, so findet sicher eine Finsternis statt, ist aber ß > ßx, so ist eine Finsternis unmöglich; ist ß schließlich zwischen ß₁ und ß₂ gelegen, so hängt das Stattfinden der Finsternis von den speziellen Werten von m, p, p, %, i ab.

3. Die Grundgleichungen der Finsternisse. Ist das Eintreten einer Sonnenfinsternis als sicher erkannt, so ist zunächst der Bereich der Sichtbarkeit der Finsternis auf der Erde zu ermitteln. In jedem Zeitmoment schneidet der Schattenkegel des Mondes auf der Erdoberfläche den Bereich der jeweils verfinsterten Erdorte aus. Die doppeltgekrümmte Schnittkurve soll kurz als „Schattenoval“ bezeichnet werden. Die Enveloppen der Schattenovale bilden die nördliche und südliche Grenzkurve, und die Berührungspunkte der Mantelgeraden des Schattenkegels mit der Erde die östliche und westliche Grenzkurve.

Die Ermittelung dieser und anderer Kurven und der Sichtbarkeitsverhältnisse überhaupt basiert auf der Diskussion der Bedingung, die ausdrückt, daß ein Punkt der Erdoberfläche sich auf dem Umhüllungskegel von Sonne und Mond befindet. Die Gleichung dieses Kegels, den wir, weil Sonne und Mond Kugeln sind, als Kreiskegel betrachten, erhält ihre einfachste Gestalt, wenn eine der Achsen, die z- Achse des rechtwinkeligen Koordinatensystems, auf das die Punkte der Kegeloberfläche bezogen werden sollen, der Kegelachse parallel ist. Den Anfangspunkt des Koordinatensystems legen wir in den Mittelpunkt 0 der Erde, auf den auch in den Ephemeriden die Kodas Figurenzentrum der Erde bezogen, gleiche Rektaszension haben. Die in den Ephemeriden angegebene Zeit des Neumonds ist exakt die Konjunktion von Sonne und Mond, also nicht der Zeitpunkt kleinster Mondphase.

ordinaten von Sonne und Mond stets bezogen sind; als Längeneinheit wählen wir den Erdradius.

Sind jetzt x, y, z die Koordinaten des Mondes, £,17, £ die eines Erdortes E, f der Öffnungswinkel des Schattenkegels und endlich u und u die Radien der beschatteten Kreise in der x-«/-Ebenela) und in deren Parallelebene durch E (Figur 1), so lautet die Bedingung dafür, daß der Erdort E auf dem Schattenkegel liegt:

(x — £)² -f (y — rjy = u\

Substituieren wir hier u — u — £ tg f, so erhält die Grundgleichung der Finsternisse die Form:

t:

I) (x — £)² + 0 — vf = 0' — £ t g/):

oder in Polarkoordinaten u und p, wo p den in der #-?/-Ebene gezählten Positionswinkel des Schattenkreismittelpunktes S im Erdort E darstellt:

la'S

Fig. 1.

x — £ = u sinj? I y — rj = u cosp)’

Die Koordinaten x, y, z des Mondes in unserem speziellen Koordinatensystem ergeben sich aus den in den Ephemeriden zu findenden, die auf den Äquator oder die Ekliptik als Fundamentalebene bezogen sind, durch eine gewöhnliche Koordinatentransformation²); dasselbe gilt yon den Koordinaten des Erdortes.

Ist k der in Einheiten des Erdradius ausgedrückte lineare Mondradius, so wird u = [z -f- tg/J und der Öffnungswinkel f, den wir beim Halbschatten positiv, beim Kernschatten negativ zählen müssen, ergibt sich aus den Gleichungen

. , k + S “ n/i=-g-

II)

wo u = u — £ igf.

(Halbschattenkegel),

fc_$

sin fk =    (Kernschattenkegel),

wo S den linearen Sonnenradius und 6r die Entfernung Sonne-Mond bedeutet; werden S und G durch die Parallaxen von Sonne und

la) Der beschattete Kreis in der æ-y-Ebene heißt „Schattenkreis“.

2) Bessel, Analyse der Finsternisse (1842), I. Abschnitt, § 2 = Astr. Nachr. 14 (1837), p. 132 — Bessel, Astron. Untersuch. 2, p. 111 = Bessel, Abhdl. 3, p. 376; Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859), p. 310 usw.

Mond (jr₀ und sr^) und den Abstand Erde-Sonne R ausgedrückt, und k durch seinen numerischen Wert ersetzt, so ist⁸)

sm fh =

sin fic —

(7.668 767)

(7.666 584,;)

(Halbschatten)

WO [l =

sin

(Kernschatten)

Da fh und fk dem absoluten Betrage nach fast gleich sind, so ist genähert und mit Rücksicht darauf, daß cos f nahezu = 1:

uh +    = 2 Je — 0,54.

Unter Benutzung der astronomischen Ephemeriden sind dann also die Größen x, y, z, u und f für jeden Zeitpunkt t eines ersten Meridians bekannt, und unsere Gleichung I resp. II repräsentiert, mit der Gleichung der Erdoberfläche £² -f-    -f- £² = 1 verbunden, den Ort der

Punkte der Erde, in welchen sich die Oberflächen von Erde und Schattenkegel schneiden; im speziellen liefert das System II zu jedem bestimmten Werte von p, d. h. zu jeder bestimmten Mantelgeraden des Schattenkegels, ihren Schnittpunkt mit der Erde. Charakteristisch für die Fundamentalgleichungen ist, daß die Zeit t transzendent in dieselben eingeht, weil die Koordinaten von Sonne und Mond transzendente Funktionen der Zeit sind, während die den Erdort definierenden Koordinaten der Breite <p und Länge k insofern nur algebraisch auftreten, als nur algebraische Funktionen von sin cp und sin k Vorkommen. Folglich sind alle Auflösungen der Grundgleichungen nach der Zeit t transzendent, während die Auflösung nach den Koordinaten eines Erdortes bei gegebener Zeit algebraisch ist.

Die wichtigsten und zugleich klassischen Bearbeitungen der an die Grundgleichungen der Finsternisse sich anschließenden Probleme stammen von F. W. ResseR) und P. A. Hansen⁵). Während Ressel alle Aufgaben der Theorie soweit als möglich streng und direkt zu lösen sucht, will Hansen dieselben Aufgaben mit zwar theoretisch geringerer, für die Bedürfnisse der Praxis aber durchaus genügender Genauigkeit lösen. Aber typisch und auffällig für die Bearbeitung der Finsternisprobleme durch diese beiden Autoren und andere ist, daß das geometrisch doch so anschauliche Problem trotzdem so wenig geometrische Interpretation gefunden hat.

iü(l — ft)

3)    Eingeklammerte Zahlen bedeuten diejenige Zahl, deren dekadischer Logarithmus in der Klammer steht.

4)    Bessel, Analyse der Finsternisse (1842).

5)    Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859) usw.

Nach Aufstellung der Gr rundgleich ungen sind dieselben jetzt für die folgende Anwendung vorzubereiten.

Zunächst ist die Wirkung der Strahlenbrechung, die, wie P. A. Hansen²) zuerst nachgewiesen hat, einen Einfluß auf die Erscheinung ausübt, in Rechnung zu ziehen.

S'

Fig. 2.

wird: wird also

= il> gesetzt, so sind der Erdradius A 0 und folglich auch die geozentrischen Koordinaten g, rj, £ mit (1 -j- ip) zu multiplizieren, wo ip von der brechenden Kraft der Erdatmosphäre, der Refraktionskonstanten und der Zenitdistanz des Berührungspunktes abhängt³).

Eine Erhebung des Beobachters über die Erdoberfläche um die Höhe ty' ist ebenso wie die Strahlenbrechung durch Anbringung eines Faktors (1 -f- ty') an die Koordinaten des Erdortes zu berücksichtigen.

Ferner sind die Koordinaten des Mondes mit Rücksicht auf die Praxis und auf die Auflösung der Grundgleichungen nach der Zeit t nach Botenzen der Zeit zu entwickeln. In der Regel wählt man fünf die Zeit der Konjunktion des Mondes umschließende Zeitpunkte und berechnet für jeden derselben die Koordinaten x, y, z des Mondes

Eine Mantelgerade des Schatten- % kegels SB (s. Fig. 2), d. h. eine Berührende der beiden Scheiben von Sonne und Mond, treffe die Grenze der Atmosphäre, wo deren brechende Kraft in Wirksamkeit zu treten beginnt, in P; der gebrochene Strahl trifft das Auge ^ des Beobachters in A, dem die Berührung der Scheiben in der Richtung der letzten Tangente an c den gebrochenen Lichtstrahl, in der Richtung AS' erscheint. Der ungebrochene Lichtstrahl SB würde dagegen in seiner Verlängerung die Vertikale von A in Ä schneiden. Man würde also die Erscheinung, wenn keine Refraktion stattfindet, in A' in derselben Weise und zu derselben Zeit wahrnehmen, wie bei Vorhandensein einer Strahlenbrechung im Beobachtungsort A. Mithin findet die Strahlenbrechung dadurch Berücksichtigung, daß der Erdradius AO durch Ä 0 ersetzt A'A ~ÄO

und deren stündliche Änderungen x, y und z. Setzt x = n sin N,

man

y' — n cos N,

so bedeutet n die stündliche Bewegung des Schattenkreismittelpunktes relativ zum Erdmittelpunkt und N den Positionswinkel der Bewegungsrichtung desselben. Um jeden der 5 Zeitpunkte herum kann man x, y und somit auch n als der Zeit proportional annehmen. Die Zeit möge zur Vereinfachung in Sternzeit des Ersten Meridians gezählt werden. Die Koordinaten x, y können dann für einen beliebigen Augenblick t wie folgt dargestellt werden. Ist t₀ einer der willkürlich angenommenen Zeitpunkte des 1. Meridians um den Neumond herum, sind xQ, y₀ die entsprechenden Koordinaten des Mondes, so ist, wenn zur Konjunktionszeit T xc, yc den Mondort bedeutet und die yz-Ebene durch die Erdachse gelegt wird, in diesem Augenblicke xc — 0, d. h.

0 = xQ-\-(T—t₀)n am N und yc = yQ-\-(T — ^₀)«cosA

= y₀—x₀ ctgN.

Folglich ist der kürzeste Abstand y des Erdmittelpunktes von der Kegelachse :

y = y₀ sin N = y₀ sin N — x₀ cos N

und die zugehörige Zeit

\ yc cos N = t₀ — — (x₀ sin N -f y₀ cos N).

Mithin erhalten die Koordinaten x und y, wenn t± die Ortssternzeit des Beobachtungsortes, l seine westliche Länge ist, die Form:

[ x = — y cos N + (bx + A — t)n sin N \y — y sin N -j- (t± -f- X — x)n cos N.

Für die Koordinaten des Erdortes gelten ferner die folgenden in die Grundgleichungen zu substituierenden Formeln:

| = q cos y sin (t — X — 1),

r] = q {sin cp' cos b — cos cp' sin b cos (t — X — l)} ,

£ = q {sin cp' sin b -f- cos cp' cos b cos (t — X — l)},

wo p den lokalen Erdradius, cp' die geozentrische Breite⁴ 5), X die westliche Länge, b und l Deklination und Rektaszension des Zielpunktes der Kegelachse bedeuten. Mit Hansen⁸) kann man in diese Ausdrücke statt der zwei abhängigen Yariabeln q und cp' eine einzige Variable cpx, die sogenannte „reduzierte Breite“, die formal der exzentrischen Anomalie der Planetenbewegung entspricht, substituieren. Ist nämlich a die Abplattung der Erde, und setzt man die halbe große Achse der Erdmeridiane = 1, so lauten die in |, rj, £ eingehenden Verbindungen von q und cp' als Funktion von cpx:

Q COS cp' — COS Cp₁,

q sin cp' = (1 — a) sin cpv

Die Koordinaten b und l des Zielpunktes der Kegelachse unterscheiden sich um die Zeit einer Finsternis herum von den entsprechenden Koordinaten der Sonne um nicht mehr als \ Bogenminute und zwar offenbar um eine kleine Größe von der Ordnung der Sonnenparallaxe; bei oo ferner Sonne, also bei Sternbedeckungen, fallen der Sonnenmittelpunkt und der Zielpunkt der Kegelachse zusammen. Deshalb führt man noch, statt b und l, &₀ und l₀ ein, indem man setzt

b — bî)= Ab,

Dann lauten die Grundgleicliungen der Finsternisse in ihrer endgültigen Form: ₍u sin^) = — y cos N -j- (tx -f- X — t) n sin N

ui)

wo

—    (1 -f- eo) cos cpy sin — Z₀ — A V), u cosp = y sin N -j- (tx -f- X — t) n cos N

—    (1 -f- co) {(1 — a) sin 9\ cos (6₀ -j- A b)

.    — cos cpx sin (b& Ab) cos (tx — Iq— Al)}, u — u — (1 -(- ca) {(1 — ci) sin cpx sin (6@ -j- A b)

ist.

-|- cos cpx cos (5@ -f- A b) cos (tx — Z₀ — Al)} t gf

1 a == (1 -f if>) (1 -j- tf)

Es sei noch bemerkt, daß tx — Z₀ die wahre Ortszeit t' und N der Positionswinkel der Bewegungsrichtung des Zielpunktes der Kegelachse gegen den Deklinationskreis an der betreffenden Stelle der Sphäre ist.

Die numerischen Beträge von y und u entscheiden über die Gattung der Finsternis. Reicht nämlich die Spitze des Kemschatten-kegels über die xy-Ebene hinaus, so daß die #-Koordinate der Spitze negativ ist, so ist die Finsternis für alle Erdorte, welche der Kernschattenkegel überstreicht, total; der entsprechende Radius uh' des Halbschattenkreises muß dann < 0,546 sein. Erreicht aber die Spitze des Kernschattenkegels die Erdoberfläche überhaupt nicht, so ist die

Finsternis für die Orte, die in der Verlängerung des Kernschattenkegels über seine Spitze hinweg liegen, ringförmig und w/> 0,551. Liegt uh' zwischen beiden Grenzwerten, so erscheint die Finsternis, was den Kernschatten betrifft, teils total, teils ringförmig. Soll die Finsternis zentral sein, so muß y kleiner als der Erdradius, d. h. y <C 1 sein; für totale Finsternisse muß y—wÄ'< 1 sein; für ringförmige y -{- w/< 1, weil uk' in diesem Falle negativ; schließlich für partielle Finsternisse: y — uf' < 1. Wir erhalten insgesamt die in folgender Tabelle dargestellten Bereiche der Größen u,' und y, welche die verschiedenen Gattungen der Finsternis bedingen:

0.546

0.551

0-

total

zentral

ringf.-total

zentral

ringförmig

zentral

¹ 4" I uk I —

partielle Sonnenfinsternis

total

nicht zentral

ringf.-total nicht zentral

ringförmig nicht zentral

keine Sonnenfinsternis

4. Die Grenzkurven der Sichtbarkeit. Ist der Halbmesser der Erde = 1, so kann der Radius des Halbschattens höchstens 0,58 werden, und es ist deshalb nicht möglich, daß die Erde von dem Schattenkegel vollständig eingehüllt wird. Folglich ist die Sichtbarkeit einer Sonnenfinsternis in bestimmte Gebiete auf der Erdoberfläche eingeschlossen und durch Grenzkurven von den Gebieten getrennt, die nichts von der Finsternis wahrnehmen. Gelangen alle Mantelgeraden des Schattenkegels zum Eintritt in die Erde, so besteht die Begrenzung aus vier verschiedenen Kurven, die man zweckmäßig als nördliche resp. südliche und als westliche resp. östliche Grenzkurve bezeichnet. Wie erwähnt, bilden die Enveloppen der Schattenovale auf der Erde die nördliche resp. südliche Grenzkurve, während der Ort der Punkte, in denen die Mantelgeraden die Erde berühren, die westliche resp. östliche Grenzkurve darstellt. Zeitlich sind der erste resp. letzte Punkt der Grenzkurven

a) die Punkte des Beginns und Endes der Finsternis

überhaupt,

die als Berührungspunkte von Erde und Halbschattenkegel auf der westlichen resp. östlichen Grenzkurve (aber auf deren inneren Teilen, ygl. Fig. 7) gelegen sind. Der Berührungspunkt der beiden Scheiben von Sonne und Mond erscheint im Horizont des Erdorts, weil die dem Berührungspunkt entsprechende Mantelgerade die Erde berührt. Bei äußeren Berührungen, also im Falle des Halbschattens, steht der Sonnenmittelpunkt in jenen Momenten unter dem Horizonte, der des Mondes über demselben; ist B die Strahlenbrechung im Horizont und r® der scheinbare Sonnenradius, so ist die wahre Höhe des Sonnenmittelpunktes über dem Horizont

Halbschatten

Kernschatten

Berührungen resp.

— (ß + r.) für äußere —    innere

Ist t' die wahre Sonnenzeit des Berührungspunktes auf der Erde, cp und l seine Breite und westliche Länge, so daß t' -f- l = x die entsprechende wahre Zeit des ersten Meridians, und Öq die Deklination der Sonne, so ist für den Auf- und Untergang der Sonne:

cos t' = cos {x — X) — — tg cp tg d®

Berührung,

— (jR -j- ^q) sec cp sec d® ^u^ere

womit wir die erste Bedingung für die gesuchten Punkte erhalten. Da nun Erde und Schattenkegel nach der allerersten resp. vor der allerletzten Berührung zwei Mantelgeraden des Kegels als gemeinsame Tangenten besitzen, so muß für die allerletzte resp. allererste Berührung, wo nur eine einzige Mantelgerade berührt, die entsprechende Zeit x des ersten Meridians ein Maximum resp. Minimum sein. Man erhält folglich die zweite Bedingungsgleichung für die allererste und allerletzte Berührung, indem man die Fundamentalgleichungen II) nach x differenziert, wobei p ebenfalls als variabel zu betrachten ist, und nach der Differentiation dx — 0 setzt; die gleich 0 gesetzte Determinante der so erhaltenen drei in dp, dcp, dl homogenen Gleichungen stellt die gesuchte Bedingung dar. Dieselbe hat eine sehr einfache geometrische Bedeutung. Im Augenblicke einer allerersten oder allerletzten Berührung ^ liegen nämlich die Mittelpunkte S und M von Y Sonne und Mond, der Berührungspunkt auf der /

Fig. 3.

Erde und sein Zenitpunkt Z in einer einzigen 1 Ebene, die auch noch den Zielpunkt S± der Kegelachse enthält (s. Fig. 3). Letzterer lallt aber, wie schon erwähnt, nahezu mit dem Sonnenmittelpunkt zusammen, da er sich im Falle einer Finsternis höchstens um £ Bogenminute, d. h. weniger als ~ des scheinbaren Sonnenhalbmessers vom Sonnenmittelpunkt entfernen kann. Folglich ist der

um den Zielpunkt Sx der Kegelachse im Äquatorsystem gemessene Positionswinkel p des Berührungspunktes der beiden Scheiben streng gleich dem parallaktischen Winkel des Zielpunktes, also sehr genähert gleich dem parallaktischen Winkel K des Sonnenmittelpunktes im Augenblick der ersten resp. letzten Berührung im Horizont. Da nun im Horizont allgemein sin K = cos cp sin t', so ist wegen p = K

sin^) = cos cp sinif,

also wegen

cos t' = — tg cp tg d₀ -(- Refraktionsglied,

sin p — cos cp Y1 — (— tg cp tg -f- Refr.)²,

wodurch t' und p als Funktionen von cp allein dargestellt sind. Die Substitution dieser Ausdrücke für t und p in das System III) liefert dann zwei Gleichungen für cp und X, und zwar ergibt sich bei Auflösung nach cp und X eine Gleichung 4. Grades für sin cp resp. sinX, entsprechend den zwei inneren und zwei äußeren Berührungen des Schattenkegels mit der Erde.

In der Praxis löst man diese Gleichungen durch Näherungsmethoden auf¹⁰). Die ersten Näherungswerte kann man sich leicht hei Voraussetzung einer Icugelförmigen Erde verschaffen. Sind nämlich a, b, c die Koordinaten der Spitze des Schattenkegels in unserem Koordinatensystem (x, y, z), so lautet die Bedingung der Berührung des Schattenkegels und der Erdkugel, wenn man deren Radius = 1 setzt:

f — Öffnungswinkel des Kegels,

wie man durch bloßes Aufzeichnen sofort erkennt. In der Praxis entwickelt man dann die Koordinaten a, b, c in Potenzreihen nach der Zeit, so daß a = aQ -j- ax • t -f- • • • usw.

Begnügt man sich nun in dieser Entwicklung der Koordinaten mit den in t linearen Gliedern, was in der Praxis durchaus ausreicht, so stellt die eben genannte Bedingungsgleichung zur Bestimmung von t eine in t quadratische Gleichung dar, deren eine Lösung den Moment der allerersten und die andere den der letzten Berührung ergibt. Ist t bekannt, so folgen cp und X aus den Gleichungen:

|2 _J_ ^2 ₌ cosV, l : rj = a : b,

£ = sin f.

(1 -\- c sin f)²— (a² + &²) cos²/¹,

F. W. Hessels analytische Methode für die Bestimmung der Berührungspunkte ist die folgende. Hessel löst die allgemeine Aufgabe, die Schnittkurve von Erde und Schattenkegel zu ermitteln, in der Weise, daß er die Koordinaten |, y, £ eines beliebigen Punktes jener Kurve als Funktion des Positionswinkels p darstejlt, indem er also die Schnittpunkte jeder einzelnen Mantelgeraden mit der Erde bestimmt. Da zwei Schnittpunkte vorhanden sind, erhält man die Koordinaten in der Form: | = a + ß P(p), wo P ein von p abhängiger Wurzelausdruck ist. Die Berührung einer durch den Positionswinkel p charakterisierten Mantelgeraden mit der Erde ist dann folglich durch F — 0 bedingt; im Falle einer allerersten resp. allerletzten Berührung tritt zu dieser Bedingung noch clt — 0 hinzu. Wie Hessel¹¹) gezeigt hat, erhält man zwei getrennte Gleichungen, deren eine p, die andere t liefert. Die Bedingung P — 0 enthält außer p an Yariabeln noch die Koordinaten des Mondes, die sphärischen Koordinaten des Zielpunktes der Kegelachse und ferner den Offnungswinkel man entwickelt alle diese langsam veränderlichen Größen nach Potenzen von t und leitet die Berührungszeiten wieder durch sukzessive Näherungen her.

b) Die östliche und westliche Grenzkurve.

Den frühesten resp. spätesten Berührungen folgen resp. gehen vorher weitere Berührungen der Erde mit den Mantelgeraden des Schattenkegels. Die entsprechenden Berührungspunkte auf der Erde, in denen die Berührung der Scheiben von Sonne und Mond im Horizont erfolgt, bilden in ihrer Gesamtheit die östliche und die westliche Grenzkurve. Bewegt sich der Schattenkegel so durch die Erde hindurch, daß nacheinander alle Mantelgeraden zur Berührung mit der Erde kommen, so besteht der Ort der Berührungspunkte aus zwei getrennten und geschlossenen ovalförmigen Kurven, deren eine die westliche, die andere die östliche Grenzkurve darstellt. Ragt aber der Schattenkegel während seiner Hinwegbewegung über die Erde über dieselbe hinaus, so daß nicht alle Mantelgeraden die Erde berühren können, so gehen die beiden sonst getrennten Grenzkurven ineinander über und bilden eine einzige mit einem Doppelpunkt versehene schleifenförmige Kurve. — Die einzelnen Punkte der Grenzkurve genügen einmal dem Fundamentalsystem II) und ferner der

Bedingung, daß die Zeit, zu welcher wir die Mantelgerade die Erde schneiden lassen, bei festgehaltenem p, d. h. bei Fixierung einer bestimmten Mantelgeraden, ihren kleinsten resp. größtmöglichen Wert annehmen muß. Wir erhalten so drei Bedingungsgleichungen, aus denen wir die Koordinaten des Berührungspunktes auf der Erde (cp und X) und die zugehörige Zeit t als Funktion von p ermitteln können.

P,

W>

Fig. 4.

Die Bedingungsgleichung selber für die Punkte der westlichen resp. östlichen Grenzkurve kann man analytisch ganz analog dem Falle der Punkte der ersten und letzten Berührungen herleiten¹²). Aber auch hier können wir die betreffende Bedingung leicht auf geometrischem Wege erlangen. Während die scheinbare Zentrale der Scheiben von Sonne und Mond im Falle der frühesten resp. spätesten Berührung senkrecht zum Horizont des Berührungspunktes der Erde stand, ist sie für jeden anderen Punkt der Grenzkurve im Augenblick der Berührung um einen beliebigen Winkel gegen den Horizont geneigt (s. Fig. 4). Sind S und M die Mitten von Sonne und Mond und B der Berührungspunkt der beiden Scheiben, so liegt der Zielpunkt der Kegelachse in der Verlängerung von SM in Slf und zwar höchstens £ Bogenminute von S entfernt. Dann ist S₁B = f, gleich dem Offnungswinkel des Schattenkegels, und PSxB = p, gleich dem Positionswinkel des Berührungspunktes. Da ferner

S₁A = — H

(A = Schnittpunkt

von

Horizont und StZ)

die Höhe der Sonne und PSXZ — K den parallaktischen Winkel derselben bedeutet, so ist mit Rücksicht darauf, daß H und f kleine Winkel sind:

H — — f cos (j) — K)

die Bedingungsgleichung für die Punkte der östlichen resp. ivestlichen Grenzkurve.

Da man H und K als Stücke des sphärischen Dreiecks PZSX auch durch cp, X, dT;, t ausdrücken kann, so kann man die soeben erwähnte Bedingung in eine solche zwischen p, cp, X, <5^, t transformieren. Man kann auch umgekehrt mit P. A. Hansen in die Grundgleichungen überall H und K statt t und cp einführen. Mit den beiden Grundgleichungen II) zusammen, haben wir dann die drei Gleichungen, die

uns (p, X, p und t als Funktionen einer dieser Größen liefern. In der Praxis löst man diese Gleichungen wie immer durch Näherungen auf⁶).

F. W. Bessel löst die Aufgabe mittels der S. 349 erwähnten Bedingung P(jp, t) = 0, die eine der Größen p und t als Funktion der anderen liefert. P(jp, t) ist eine ganze rationale Funktion 4. Grades in sin^9 und transzendent in t. Ist also t bekannt, so wird p aus einer trigonometrischen Form 4. Grades bestimmt, die, wie F. W. Bessel näher ausführt, stets in zwei reelle Faktoren 2. Grades zerlegt werden kann⁷). Alle vier Wurzeln können reell sein, d. h. der Schattenkegel kann das Erdellipsoid nicht nur in zwei, sondern unter Umständen sogar in vier Mantelgeraden berühren. Alsdann können sich Erde und Schattenkegel bei entsprechender Lage in zwei getrennten Kurven AB und CD schneiden, A, wie die Figur 5 schematisch andeutet, so daß vier (    !

Fig. 5.

Mantelgeraden die Erde berühren. Im Falle einer \ V kugelförmigen Erde ist aber nur eine einzige Schnitt- & kurve vorhanden und folglich auch nur zwei Berührungspunkte. Sollten bei dem tatsächlichen Ellip-soid vier reelle Berührungen vorhanden sein, so müßte der Radius des Schattenkreises bei der geringen Exzentrizität der Erdmeridiane nahezu gleich dem Erdradius sein, was aber bei weitem nicht der Fall ist, so daß die Gleichung 4. Grades im Falle einer Sonnenfinsternis nur zwei reelle Wurzeln hat.

Sind p und t bekannt, so liefern die Fundamentalgleichungen den entsprechenden Erdort, d. h. cp und X. Substituiert man, mittels P = 0, p als Funktion von t in die Fundamentalgleichungen II), so stellen diese die Gleichung der Grenzkurve dar, die aber transzendent ist, weil t transzendent in den Koordinaten enthalten ist, während die erzeugenden Schnittkurven von Schattenkegel und Erde als Schnitte zweier algebraischen Flächen 2. Grades algebraisch und zwar vom 4. Grade sind.

Die Wirkung der Strahlenbrechung ist gerade für die östliche und westliche Grenzkurve eine maximale, weil die Strahlenbrechung selbst im Horizont ihr Maximum erreicht.

24

c) Die nördliche und südliche Grenzkurve.

Sie werden durch die Enveloppen der Schattenkreise des Halbschattenkegels gebildet. Jeder Punkt derselben sieht von der Finsternis weiter nichts als die Berührung der beiden Scheiben von Sonne und Mond, d. h. die äußere Berührung ist für jene Erdorte das Maximum der Finsternis, die größte Phase. Fassen wir allgemein an einem Punkte innerhalb des Sichtbarkeitsbereiches der Finsternis jede einzelne Phase als eine Berührung der Mondscheibe mit einer der betreffenden Phase entsprechenden verkleinerten Sonnenscheibe auf, so müssen wir den Radius u des Schattenkreises als eine Funktion der Zeit betrachten, und der Augenblick der größten Phase ist durch das Minimum von u', folglich auch von f in bezug auf die Zeit t bedingt. Soll die größte Phase im speziellen Falle verschwinden, d. h. soll der betreffende Erdort ein Punkt auf der nördlichen oder südlichen Grenzkurve sein, so muß u' resp. f für den betreffenden Punkt im Augenblick der größten Phase die den äußeren Berührungen von Erde und Schattenkegel entsprechende Größe haben.

Die Bedingungsgleichung für die Punkte der Grenzkurve wird ganz analog der für die östliche und westliche Grenzkurve erhalten. Die Grundgleichungen werden bei variablem u nach der Zeit differenziert, und nach der Differentiation wird du = df = 0 gesetzt. Die gleich 0 gesetzte Determinante der entstehenden drei homogenen Gleichungen zwischen du, dp und dt ist dann die gesuchte Bedingungsgleichung der Grenzkurve, nachdem für u resp. f die den äußeren Berührungen entsprechende Größe substituiert worden ist. Die Auflösung der Bedingungsgleichung nach dem Winkel il> = p — N gibt derselben die Form:

tg^ =

« + ß sh* (7 +1)

Ô cos (s -f- f) ’ wo cc, ß, y, d und s von den Variabein und Parametern des Problems abhängen, außer von der Zeit t, die, soweit sie explizit in tgi/> auf-tritt, ersichtlich gemacht ist. Mit den Fundamentalgleichungen II) zusammen haben wir dann wieder drei Gleichungen zur Bestimmung von cp, X, p und t als Funktion einer derselben als willkürlichem Parameter.

Die numerische Auflösung dieser Gleichungen erfolgt wieder durch sukzessive Näherungen¹⁵); dieselben basieren vor allem darauf, daß der Winkel i\> — p — N, welcher den Positionswinkel des Berührungspunktes gegen die Bewegungsrichtung des Zielpunktes der Kegelachse fixiert, stets nahezu 90° resp. 270° ist; denn die Richtung vom Schattenkreismittelpunkt nach dem Berührungspunkt steht nahezu senkrecht zur Bewegungsrichtung des Schattenkreismittelpunktes und kann sich höchstens um 20° von 90° resp. 270° unterscheiden, so daß sin^ stets nahezu —4-1.

Wählt man die Zeit t als willkürlichen Parameter und löst die Gleichungen nach dem Positionswinkel p auf, so erhält man eine Gleichung 8. Grades für sin p, falls man die Erde als Rotationsellipsoid betrachtet⁸); im Falle einer kugelförmigen Erde reduziert sich diese Gleichung auf den 6. Grad. Zur geometrischen Veranschaulichung nehme man statt des Schattenkegels einen Zylinder, dessen Achse in der Ebene des Äquators liegt und der, ohne eigene Bewegung, so gelegt wird, daß er mehr als halb, von der zunächst kugelförmig angenommenen Erde G umschlossen wird. Dann ist die Schnittkurve ein ß einziges räumliches Oval. Die nördlichsten und (i südlichsten Punkte desselben A, B, C, B, E, F \

(s. Fig. 6) repräsentieren die sechs Lösungen unsrer Gleichung, sie befriedigen die Bedingung du — 0.

Fig. 6.

Dabei sehen A, B, I), F die Ränderberührung als Maximum, C und E als Minimum der Finsternis.

Zu diesen sechs Punkten resp. Lösungen treten im Falle einer ellipsoidischen Erde noch zwei weitere hinzu, weil die Schnittkurve in diesem Fall, wie bereits p. 351 erwähnt, aus zwei getrennten Kurven bestehen kann; es tritt dann das Oval GH hinzu, wo G und H ebenfalls die Bedingung du — 0 befriedigen, und zwar so, daß die Berührung der Ränder ein Minimum bedeutet. Tatsächlich erfüllen die Dimensionen der Erde und des Schattenkegels die zu dieser Art des Verlaufes der Erscheinung notwendige Bedingung nicht.

Die nördliche und südliche Grenzkurve sind geschlossene Kurven, aber nur ein Teil derselben liegt auf der der Sonne zugewandten, der andere auf der von der Sonne abgewandten Seite. Die Endpunkte des der Sonne zugewandten Teiles dieser Kurven, also die zeitlich frühesten Punkte, sind die, in denen die jene Kurven erzeugenden Mantelgeraden des Schattenkegels die Erde berühren, d. h. Punkte, die gleichzeitig auch auf der westlichen resp. östlichen Grenzkurve liegen und in denen sich nördliche resp. südliche Grenzkurve mit der westlichen resp. östlichen berühren. J, K, L und M mögen diese Endpunkte

24*

sein (s. Fig. 7); daß dieselben für beide Kurvenklassen Berührungspunkte sind, folgt daraus, daß, wenn dieselben sieb schneiden würden, die den Schnittpunkten entsprechenden Erdörter J' und K' im nächsten Augenblick nach der Berührung in den Schatten geraten würden, was der Voraussetzung widerspricht, daß jene Punkte höchstens eine Berührung wahrnehmen dürfen.

'HörJL ftjGrJ

Fig. 7.

Man erhält die Endpunkte offenbar, wenn man zu den schon fixierten drei Bedingungsgleichungen noch die der östlichen und westlichen Grenzkurve entsprechende Bedingung dt — 0 hinzufügt; man hat dann vier Gleichungen zur Bestimmung von cp, X, p und k Die numerische Auflösung erfolgt wie immer durch Näherungen¹⁷).

Man erhält aus den Gleichungen für die nördliche und südliche Grenzkurve die von der Kegelachse beschriebene Kurve der Zentralität, wenn man u — 0, d. h. f und k (Mondradius) = 0 setzt.

d) Kurven sonstiger spezieller Phasen.

Zu diesen Kurven gehören einmal die Kurven, in deren Punkten eine bestimmte vorgelegte Phase als größte Phase wahrgenommen wird (Kurven gleicher größter Phase); man gewinnt dieselben offenbar aus den Gleichungen der nördlichen resp. südlichen Grenzkurve, indem man sich aus der Sonne eine der vorgelegten größten Phase entsprechende verkleinerte Scheibe, einem bestimmten u resp. f entsprechend, herausgeschnitten denkt, so daß die Erscheinung dem Falle verschwindender Phase analog ist.

Eine spezielle Kurve ist ferner die, deren Punkte die größte Phase im Horizonte sehen. Man erhält dieselbe, indem man zu den Bedingungsgleichungen der größten Phase noch die Bedingung des Sonnenauf- resp. -Unterganges hinzufügt.

Schließlich ist noch die Kurve erwähnenswert, auf der die größte Phase im Mittage gesehen wird. Diese Kurve trennt den Sichtbarkeitsbereich der Finsternis in zwei Teile, deren einer den größten Teil der Finsternis am Vormittage, der andere dagegen am Nachmittage wahrnimmt. Diese Kurven sind namentlich für die Untersuchung antiker Finsternisse von Interesse. Man erhält diese Kurve wieder aus den Gleichungen der nördlichen resp. südlichen Grenzkurve, in-

dem man die wahre Ortszeit t = 0 setzt und u' entsprechend den verschiedenen größten Phasen innerhalb der zulässigen Grenzen variiert,

5. Der lokale Verlauf der Finsternis. Für einen Erdort, der innerhalb des Sichtbarkeitsbereiches der Finsternis liegt, interessiert es mit Rücksicht auf die Beobachtung der Erscheinung, die Zeiten des Eintritts der verschiedenen Phasen, speziell die Zeit der Berührungen und die der größten Phase zu bestimmen. Die Berechnung des Eintretens jeder anderen Phase der Finsternis reduziert sich, wie schon erwähnt, durch Annahme einer entsprechend verkleinerten Sonnenscheibe sofort auf das Problem der Ränderberührung,

Da die strenge Auflösung der Grundformeln nach der Zeit transzendent ist, so bedient man sich einer Näherungsmethode¹⁸), die schnell zum Ziel führt. Man entwickelt die Koordinaten des Mondes, des Erdortes und der übrigen veränderlichen Größen um die Eintrittszeit der Erscheinung herum nach Potenzen der Zeit t, so daß die Fundamentalgleichung

o — £)² + (y — r}f = u² = (u — £ tg f)

bei Mitnahme nur der in t linearen Glieder in den Koordinaten eine zur Bestimmung von t quadratische Gleichung liefert. Haben die Koordinaten x, y im Moment T₀ des ersten Meridians die "Werte x₀, y₀, und sind ihre minütlichen Änderungen x, y, so sind die Koordinaten im Zeitpunkt T des Beobachtungsortes der Länge X und der geozentrischen Breite cp':

x = xQ-\- [T — (T₀ — xy\x

und analog y, £ und rj.

Ist d die Deklination und H der Stundenwinkel des Zielpunktes der Kegelachse für den Nullmeridian, die z. B. in der französischen Ephemeride „Connaissance des Temps“ berechnet vorliegen, so lauten die Koordinaten des Erdortes (Radius = p) und dessen Änderungen, wenn wir noch

p sin cp' — A sin B, p cos cp' cos (H — X) — A cos B

setzen³) :

und

£ = p cos cp' sin (H — X), rj = A sin (B — d),

£ = A cos (B — d),

¹

Konjunktion zweier Gestirne bedeutet den Zeitpunkt, in dem sie, auf

²

   P. A. Hansen, Astr. Nachr. 15 (1838), p. 185.

³

   Eine Tafel für log (1 +1p) findet sich bei Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859), p. 325.

⁴

   Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859), p. 333.

⁵

   Die geozentrische Breite cp' des Erdorts ist sein Winkelabstand vom Erdäquator, gesehen vom Figurenzentrum des Erdellipsoids. Formeln für q und cp' siehe Seite 49, Fußnote 87; Tafeln für zahlreiche Erdorte in jedem Jahrgang der Conn. des temps.

⁶

   Hansen, Theorie d. Sonnenf. (1859), p. 349.

⁷

   Bessel, Analyse der Finsternisse (1842), II. Abschn., §§ 12 und 22 = Bessel, Astron. Untersuch. 2, p. 137 und p. 168 usw. = Bessel, Abhdl. 3, p. 386 und 399.

Encyklop. d. math. Wissensch. VT 2.

⁸

Bessel, Analyse der Finsternisse (1842), p. 173.

|| = (7.63 982)4 cosĄ || = (7.63982)1 sind

Setzen wir schließlich noch, um der Lösung eine trigonometrische Form zu gehen

m sin M — xQ — |, nx sin Nx — x — ~,

sin ip = ^ sin (M — Nt)

m cos M — y₀ — r\, nx cos Nx — y —

di]

w = u — % tg f,

so lautet nach Substitution dieser Hilfsgrößen in die Fundamentalgleichung deren Auflösung nach T:

oberes Vorzeichen: Eintritt, Austritt.

rji __ rji _ inZ — ⁸in (M— Nt +tl>)

⁰ '

Die Zeit der größten Phase wird:

T^To-A-^cos (M-NJ.

Ist u* der dem Zeitpunkt Tx entsprechende Minimalwert von u, so ist m* = + m sin (AT — Aj), wo u* stets positiv zu nehmen ist. Teilt man den Sonnendurchmesser in 12, Zolle (frz. doigts) benannte Teile, so ist die Zahl der vom Monde verdeckten, in Zollen ausgedrückten Teile des Sonnendurchmessers im Augenblick der größten

uh — u*

UH~Uk

, was geometrisch durch

sin ip

unteres

Phase, d. h. die Größe der Finsternis¹⁹): 12

“a —

oder auch, weil uk

sehr klein gegen uh, genähert 12

bloßes Aufzeichnen sofort ersichtlich ist. Ebenso findet man leicht für die Positionswinkel der Berührungspunkte:

Nx -f- 180° — ip für den Eintritt,

Nt + 1>

Ferner bedient man sich zur Vorausbestimmung des lokalen Verlaufs einer Finsternis vielfach und vorteilhaft der teils graphischen, teils interpolatorischen Methode. Man berechnet für eine Reihe von Zeitpunkten, welche die Erscheinung umfassen, die scheinbaren lokalen Orter von Sonne und Mond und die denselben Momenten entsprechenden scheinbaren Abstände von Sonne und Mond. Durch Interpolation findet man dann leicht die den Berührungen der Ränder entsprechenden Zeiten und Zeit und Größe der größten Phase. Diese nach J. Kepler benannte Methode ist in extenso von Bohnenberger²⁰) entwickelt worden.

„    „ Austritt.

19)    Die englischen Astronomen geben die „magnitude of eclipse“ in Dezimalteilen des Sonnendurchmessers an.

20)    J. G. F. JBohnenberger, Nautical Almanac and astronomical ephemeris for the year 1836, London 1836.

6. Anwendung der Sonnenfinsternisse; Tafeln. Die Bedeutung der totalen Sonnenfinsternisse liegt vor allem darin, daß sie die einzige Gelegenheit zu bestimmten astrophysikalischen Studien an der Sonne und ihrer nächsten Umgebung bieten; ferner liefern sie der Mondtheorie die genauesten Daten über den Mondort, bezogen auf den Ort der Sonne, um die Zeit des Neumonds, und die einzige Möglichkeit, die scheinbare säkulare Mondakzeleration nachzuweisen; in der geographischen Längenbestimmung (vgl. p. 134) stehen sie den Sternbedeckungen durch den Mond lediglich durch ihre relative Seltenheit, nicht an Genauigkeit nach. Die Durchmusterung größerer Zeiträume des Altertums nach Finsternissen der Sonne und des Mondes stellt sich in den Dienst der Chronologie. Demgemäß machte sich das Bedürfnis nach Tabulierung früherer und zukünftiger Finsternisse bald geltend; schon die „Art de vérifier les datesu (1. Ausgabe 1750) machte ins einzelne gehende Angaben über die Finsternisse seit Christi Geburt¹).

Das erste bequeme, die Ergebnisse der Theorie vollständig berücksichtigende und doch die zulaßbarsten Abkürzungen einführende Hilfsmittel zur schnelleren Berechnung der Sonnen- (und Mond-)finster-nisse lieferte P. A. Hansen mit seinen „Ekliptischen Tafeln“. Er entwickelte die in seiner Theorie auftretenden Größen, welche sonst zum Teil aus den Sonnen- und Mondtafeln zu berechnen gewesen wären, in trigonometrische Reihen nach der Zeit²). Mittels dieser Tafeln erhält man sämtliche Hilfsgrößen, die man zur Ermittelung der näheren Umstände der Sichtbarkeit einer Finsternis nötig hat. Hansem Analyse wurde 1881 von Th. v. Oppolzer genauer wiederholt in seinen Syzygientafeln³). Da die Oppolzerschen ekliptischen Tafeln auf sorgfältiger Revision der Grundlagen beruhen und bei ihrer Tabulierung erheblich mehr Glieder mitgenommen worden sind, als bei den Hansemcken, so sind sie wesentlich genauer als die letzteren. Ebenfalls auf Hansens Analyse fußen die Tafeln von P. Lehmann⁴*); sie sind aber genauer als Hansens Tafeln und reichen von 2500 v. Chr. bis 2400 n. Chr. Auch Largeteau's Tafeln⁵) leisten, obwohl auf ältere Grundlagen gestüzt, gute Dienste für die näherungsweise Ermittelung der Sonnenfinster-nisse. Da Oppolzers Syzygientafeln besonders für die systematische Berechnung der Finsternisse für lange Zeiträume geeignet sind, stellte Oppolzer einen „Kanon der Finsternisse“⁶) her, welcher für die Sonnenfinsternisse von 1208 v. Chr. bis 1261 n. Chr. sämtliche Elemente und für die zentralen unter denselben drei Hauptpunkte der Zentralität liefert; letztere gestatten unmittelbar eine ungefähre Übersicht des Hauptgebietes der Sichtbarkeit der Finsternisse.

Die Bestimmung der Zeit und Größe der Verfinsterungsphase für einen gegebenen Ort (und damit auch der Hauptkurven) hat B. Schram⁷) außerordentlich vereinfacht. Unter Aufgabe des Anspruches auf Genauigkeit erhält man aus dessen Tafeln mittels weniger Rechnungsoperationen unter Zugrundelegung der Elemente des Oppolzerschen Kanons (oder auch näherungsweise richtig mittels aus den Tafeln selbst erlangbarer Elemente) für jeden gegebenen Ort mit einer zu historischen Zwecken mehr als hinreichenden Genauigkeit Zeit und Größe der Phase. Auch auf Newcombs Tafeln⁸) ist noch zu verweisen.

Zur Darstellung der historischen Sonnenfinsternisse, namentlich des Altertums, reichen die Hansenschen Grundlagen der Mondtheorie, auf welche die Mehrzahl der genannten ekliptischen Tafeln zurückgeht, bekanntlich nicht ganz aus⁹). Th. von Oppolzer hat deshalb in seinen „Syzygientafeln“ empirische Korrektionen gegeben, die aus einer provisorischen Ausgleichung einer Anzahl historischer Finsternisse abgeleitet sind. Der „Kanon der Finsternisse“ ist mit Hinzuziehung dieser Korrektionen berechnet. F. K. Ginzel hat diese Korrektionen aus 21 mittelalterlichen Finsternissen, für die ein reichhaltiges Beobachtungsmaterial vorliegt, und aus einer vom Jahre 71 n. Chr. von neuem abgeleitet und einen Anschluß jener Finsternisse an die vorchristlichen hergestellt¹⁰). Diese Korrektionen sind von B. Schram tabuliert worden¹¹); Ginzel hat diese Tafeln zur Berechnung eines ausführlichen Nachweises sämtlicher zwischen 900 v. Chr. bis 600 n. Chr. innerhalb des Ländergebietes von 350° bis 50° östl. Länge und 25° bis 50° nördl. Breite stattgefundenen Sonnenfinsternisse verwendet¹²). Dieses

Werk liefert für jeden beliebigen Ort dieses Gebietes Zeit und Phase und außerdem speziell für Rom, Athen, Memphis und Babylon noch genauere Angaben.

7. Die Perioden der Finsternisse. Da die Mondbahn gegen die Sonnenbahn um einen bestimmten Winkel (y = 5°8'.8) geneigt ist, so gibt es zwei Perioden im Jahre, während welcher die Sonne einmal dem aufsteigenden, das andere Mal dem niedersteigenden Knoten der Mondbahn auf der Sonnenbahn nahe ist. Ist der Mond gleichzeitig einem dieser Knoten nahe, so kann eine Finsternis, Sonnenoder Mondfinsternis oder auch beides, in Frage kommen. Diese als „Finsternisperiode“ bezeichnete kritische Zeit dauert im Durchschnitt für Sonnenfinsternisse 36 Tage, von denen 18 Tage vor dem Durchgänge der Sonne durch den Knoten und 18 Tage nachher liegen. Für Mondfinsternisse beträgt die Finsternisperiode nur 23 Tage, wenn für diese nur die durch den Kernschatten der Erde verursachten Finsternisse, die allein genauerer Beobachtung zugänglich sind, in Betracht gezogen werden. Da die Mondknoten sich nun aber bekanntlich rückläufig bewegen, so fällt die Finstemisperiode nicht immer in denselben Monat, sondern liegt in jedem folgenden Jahre durchschnittlich 20 Tage früher. Nach etwa 18 Jahren fällt also die Finsternisperiode wieder in denselben Monat; genauer ist die zwischen den drakonitischen, d. h. vom Durchgang durch den Mondknoten an gezählten Sonnen- und Mondumläufen bestehende Beziehung die folgende:

242 drakonitische Mondumläufe = 6585,357 Tagen,

19 drakonitische Sonnenumläufe = 6585,780 Tagen,

d. i. nahezu 18 Jahre 10 Tage.

Diese größere Periode von 18 Jahren und 10 oder 11 Tagen (je nachdem in den 18 Jahren 5 oder 4 Schalttage enthalten sind), nach deren Ablauf sich die Finsternisse wieder nahezu in derselben Reihenfolge wiederholen, ist der schon den Alten bekannt gewesene Saros-zyldus, der ihnen ein Mittel zur Vorhersagung der Finsternisse gab. Eine bestimmte Finsternis wiederholt sich aber nach Ablauf des Zyklus nicht zur selben Stunde, sondern, dem Bruchteil des Periodenwertes entsprechend, 7L42m später, sodaß die Mitte der Finsternis erst nach Ablauf von 3 Zykeln annähernd zur selben Stunde eintritt. Da ferner in einem Zyklus 223 Konjunktionen von Sonne und Mond stattfinden, die nach diesen 223 Lunationen verflossene Zeit aber nur 6585.3212 Tage, also etwas weniger als 242 drakonitische Mondumläufe (6585.357 Tage) beträgt, so findet die 223. Konjunktion von Sonne und Mond statt, bevor der Mond den Knoten erreicht hat; der Mond ist in diesem

Augenblick noch annähernd -^-Grad (genauer 28') vom Knoten entfernt, sodaß eine bestimmte Finsternis nach Ablauf des Zyklus -t-Grad weiter vom Knoten entfernt eintritt. Da nun die Finsternisperiode für die Sonne 36 Tage beträgt, während welcher Zeit die Sonne rund 36° am Himmel zurücklegt, so erhält sich eine Sonnenfinsternis über rund 72 Zykeln, d. h. für eine Zeit von über 1200 Jahren. Da die Finsternisperiode für Mondfinsternisse nur 23 Tage beträgt, so erhalten sich die Mondfinsternisse über eine entsprechend kürzere Zeit von rund 46 Zykeln oder von nahezu 900 Jahren.

Andere brauchbare d. h. nicht zu große Perioden zur Finsternis-Yorausbestimmung, welche namentlich für den Fall eines bestimmten Ortes der Erde sich als nützlich erweisen, behandelt Ginzél3S).

B. Mondfinsternisse.

8. Kriterium für das Stattfinden einer Mondfinsternis überhaupt. Die Mondfinsternisse können nur um die Zeit des Vollmondes eintreten. Wie bei den Sonnen-, ist auch bei den Mondfinsternissen das Stattfinden der Finsternis überhaupt an eine analoge Bedingung gebunden, die man durch bloßes Aufzeichnen der Schattenumrisse sofort erkennt. Die Bedingung ist die, daß die Breite ß des Mondes gegen die Ekliptik zur Zeit des Vollmondes in bestimmte Grenzen eingeschlossen ist, und zwar muß dem absoluten Werte nach ß ^ (P + Ä — r®) sec i + r<i (Kernschatten),

resp.

sein.

ß (jp -f- % -f- r®) sec i -f- r^ (Halbschatten)

Da (jp -j- % — r®) sec i -f- r<£ zwischen 51' 57" und 64' 19", (p -j- it -f- r®) sec i -J- zwischen 1°24'32" und 1°35'54" schwankt, so findet sicher eine Mondfinsternis statt, wenn dem absoluten Werte nach

resp.

ß < 51' 57" (Kernschatten), ß < 1° 24' 32" (Halbschatten).

In anderen Fällen ist das Stattfinden der Finsternis von den jeweiligen Werten von p, it, r®, r<£, i abhängig. Da der Durchmesser des Kernschattenquerschnittes der Erde in der Mondentfernung im Mittel 82' beträgt, so kann der Mond, dessen Durchmesser' im Mittel nur 32' beträgt, völlig in ihn eintauchen. Die durch den Einfluß der Erdatmosphäre eintretende Vergrößerung des Erdschattensu) ¹³ 14 um etwa Y₅₁ bewirkt, daß die eben abgeleiteten Grenzwerte der Breite des Mondes entsprechend zu vergrößern sind.

9. Verlauf einer Mondfinsternis. Wegen der Undeutlichkeit der Schattengrenze sind die Mondfinsternisse zu genaueren Messungen nicht brauchbar. Deshalb genügt zur Darstellung ihres Verlaufs eine graphische Methode resp. eine Näherungsrechnung. Man berechnet aus den stündlichen Bewegungen von Sonne und Mond die Belativbewegung des Mondes gegen die Mitte des Erdschattens, d. h. gegen den Gegenpunkt der Sonne, und zwar kann man dieselbe innerhalb kurzer Zeiten als gleichförmig betrachten. Zu einer beliebigen Zeit t sind dann die Längen- resp. Breitendifferenzen von Mond und Schattenmittelpunkt:

A/l = AA₀ + It,

A0 = A ß₀+ßft,

wo X und ß' die betreffenden Relativbewegungen bedeuten, und die Berührungszeiten von Mond und Erdschatten folgen, wenn p der scheinbare Schattenradius und r$ der scheinbare Mondradius ist, aus der Bedingungsgleichung:

(q + ?*<e)²= (aa₀ -f- xty 4- (Aß₀ + ß'ty

-j-, falls äußere Berührung, ’ —, falls innere Berührung,

wo q — 7t -J- p — r®, im Mittel = 41' 9". Zeichnet man sich den Weg des Mondes gegen den als ruhend gedachten Schatten auf, so kann man aus dieser Zeichnung sogleich die Positionswinkel der Berührungspunkte, ebenso den Betrag der größten Phase direkt ablesen.

Eine Mondfinsternis ist überall da sichtbar, wo der Mond über dem scheinbaren Horizont steht, wo also die Zenitdistanz des Mondes % < 90 — p$ -f- B (wo B = Strahlenbrechung im Horizont), folglich ist die Sichtbarkeitsbedingung einer bestimmten Phase der Mondfinsternis für einen Ort der geozentrischen Breite cp' und Länge Â, wenn 6 die Sternzeit des ersten Meridians für jene Phase: cos % — sin d(£ sin cp' -f- cos cos cp' cos (0 — a$ — 1) > sin ('%$ — P), wo und dç Rektaszension und Deklination des Mondes sind.

10. Tafeln zur Berechnung von Mondfinsternissen. Die Mondfinsternisse können in ähnlicher Weise wie die Sonnenfinsternisse aus entsprechend eingerichteten ékliptischen Tafeln berechnet werden. Die schon genannten Tafeln von C. L. Largeteau²⁵), P. Lehmann²⁴) und Th. von Oppolzer²⁶) ermöglichen diese Rechnung ohne weiteres. Die

Leipzig Ges. Wiss. Abh. 17 (1891), p. 363; H. Seeliger, Die scheinbare Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen, Münch. Abh. 19, Abteilung 2 (1896), p. 36.

„Syzygientafeln“ von Th. von Oppolzer²³) gestatten den Übergang von den für die Konjunktion des Mondes ermittelten Elementen zu denen für die Opposition, indem man an die Elemente nur entsprechende Korrektionen anzubringen braucht. Oppolzer hat ferner für den Fall, daß nur ungefähre Angaben für die Mondfinsternisse verlangt werden, durch Zusammenziehung der Argumente die Rechnung noch so abgekürzt¹⁵), daß

man die Zeit und Größe der größten Phase und die

Mit

Dauer der Finsternis innerhalb kurzer Zeit berechnen kann, diesen Tafeln sind die 5200 Mondfinsternisse im „Canon der Finsternisse“ berechnet worden.

C. Andere Finsternisse und Bedeckungen.

11. Sternbedeokungen durch den Mond. Die Sternbedeckungen durch den Mond bilden einen speziellen Fall der Sonnenfinsternisse; man erhält aus deren Theorie die entsprechende für die Stem-bedeckungen, indem man die Sonnenparallaxe und ebenso den Offnungs-winkel des Schattenkegels als verschwindend betrachtet, weil man die Entfernung der Fixsterne als beliebig groß und den Schattenkegel deshalb als Zylinder ansehen kann. Dann ist aber der Radius u des Schattenkreises konstant, gleich dem linearen Mondradius 7c, sodaß die Fundamentalgleichung jetzt lautet:

(x — |)² + (y — r[)² = 7c².

Zur Berechnung der Berührungs-, d. h. in diesem Falle der Ein-und Austrittszeiten entwickelt man wieder die Koordinaten nach Potenzen der Zeit t und begnügt sich in erster Annäherung mit den in t linearen Gliedern. Man reicht aber selten mit nur einer Annäherung aus, sondern muß deren mehrere machen. Zur Abkürzung derselben sind deshalb zahlreiche Methoden von Astronomen und Nautikern angegeben worden¹⁶). Besonders bemerkenswert ist ein von C. Stechert¹⁷) entwickeltes Verfahren, das die Vorausbestimmung der Berührungszeiten, die dem Beobachter der Erscheinung im voraus bekannt sein müssen, durch ein halb numerisches, halb graphisches

Verfahren unter Benutzung von Tafeln außerordentlich abkürzt. Wie bereits erwähnt, führt die Auflösung der Grundgleichung nach der Zeit auf eine transzendente Gleichung, und zwar bringt Stechert dieselbe auf die folgende Form:

Ist 6₀ die Sternzeit der wahren Konjunktion in Rektaszension für den ersten Meridian, X die Länge des Beobachtungsortes, cp' seine geozentrische Breite, y die zwischen der wahren Konjunktion für den ersten Meridian und der für den Beobachtungsort verfließenden Zeit, A die Rektaszension des bedeckten Sterns, d₀ die wahre Deklination des Mondes im Augenblick der Konjunktion, A a die Rektaszensionsbewegung des Mondes in 1A mittlerer Zeit, so lautet die für die Zeit y explizit geschriebene Grundgleichung:

y = (0,00119)

Pr cos cp'

A cc cos d₀

sin (0O — A — X + y),

wo r der lokale Erdradius und P die Äquatoreal-Horizontalparallaxe des Mondes. Diese transzendente Gleichung für y ist völlig analog der Keplerschen Gleichung der Planetenbewegung. Setzen wir nämlich den Faktor des Sinus gleich e, ferner A — 0O -f- X — M und 6₀ — A — X -j- y = e, so geht unsere tranzendente Gleichung über in s — e sin s = M, also in die Keplersche Gleichung, wo e der exzentrischen, M der mittleren Anomalie und e der Exzentrizität entspricht. Stechert gibt zur Lösung der Gleichung eine Tafel, die mit e und M als Argument die Unbekannte e und somit auch y liefert. Ist y bekannt, so erhält man die Ein- und Austrittszeit mittels der Relativbewegung des Mondes gegen den Stern; die Positionswinkel der Ein- und Austrittstellen am Mondrande erhält man graphisch aus einer Zeichnung, in der man den Mond als ruhend und den Weg des Sterns in erster Annäherung als geradlinig betrachtet. In zweiter Annäherung kann man auch die Krümmung der Bahn berücksichtigen.

Der Nutzen der Sternbedeckungen für die Astronomie besteht in der Möglichkeit, mittels derselben Längendifferenzen auf der Erde37a), ferner die Parallaxe und den Radius des Mondes, genaue Positionen desselben und die Sonnenparallaxe zu bestimmen37b). Besonders wertvoll

37 *) Hierzu von historischem Interesse J. Cassini (le fils), Methode de déterminer les longitudes des lieux de la terre par les éclipsés des étoiles fixes et des planètes par la lune, Paris hist. (2) mém. 1705, p. 194, sowie L. Euler, Méthode de déterminer la longitude des lieux par l’observation d’occultations des étoiles fixes par la lune, Berl. hist. 1747. Im übrigen vgl. VI 2, 3 {Wirtz), Nr. 84.

sind für diese Zwecke die Bedeckungen von kelleren Sternhaufen wegen der großen Zahl der Bedeckungen (Plejaden). Schließlich bieten die Sternbedeckungen auch ein Mittel zur Herleitung der Abplattung des Erdkörpers, eine Aufgabe, die F. W. Fessel³⁸) kritisch behandelt hat.

12.    Planetenvorubergänge. Wird ein Planet vom Monde bedeckt oder ein Fixstern durch einen Planeten, so ist die Theorie der Erscheinung der für die Sonnenfinsternisse resp. Sternbedeckungen völlig analog. Eine Komplikation des Problems entsteht nur durch die eventuell ellipsoidische Figur des bedeckten resp. bedeckenden Planeten und ferner durch die unvollständige Beleuchtung der Planetenscheibe³⁹). Mit der Bestimmung des Schattens eines ellipsoidischen Planeten beschäftigten sich Seeliger⁴⁰) und Souillartil). Die Fixsternbedeckungen durch Planeten dienen einmal zur Herleitung genauer Planetenörter und ferner zur Untersuchung der Atmosphäre der Planeten. In dem speziellen Falle einer Bedeckung der Sonne durch Yenus diente die Beobachtung derselben zu der Bestimmung der Sonnenparallaxe.

13.    Finsterniserscheinungen in anderen Trabantensystemen.

Die Theorie der Mondfinsternisse findet ein Analogon bei den Verfinsterungen eines Trabanten durch den Schatten seines Hauptplaneten. Die Beobachtung dieser Finsternisse liefert genaue Daten für die Bahnbestimmung des Trabanten und hat in diesem Zusammenhang insbesondere zu der Entdeckung der Lichtgeschwindigkeit geführt. Da die Zeit des Verschwindens des Trabanten von der Lichtstärke des Fernrohrs abhängt, so legt man neuerdings photometrisch den Moment fest, in dem die Helligkeit des Trabanten auf die Hälfte des normalen Wertes gesunken ist. Man hat auch den Eintritt der Verfinsterung als Zeitsignal in den Dienst der geographischen Längenbestimmung¹⁸ 19)

Fernrohr; sowie: Bestimmung der Mondlänge, des Mondhalbmessers und der Sonnenparallaxe: Berlin Sternw. Ergeh. 5 (1891) bezw. 11 (1902). Vgl. VI. 2, 3 {Wirtz), Seite 135.

38)    Bessel, Analyse der Finsternisse (1842); Bessel, Astron. Untersuch. 2, p. 227 = Bessel, Abh. 3, p. 423.

39)    F. W. Bessel, Über die scheinbare Figur einer unvollständig erleuchteten Planetenscheibe, Astr. Nachr. 12 (1835), p. 201—214 und p. 217—236 = Bessel, Astron. Untersuch. 1 (1841), p. 239 == Bessel, Abh. 1 (1875), p. 327.

40)    H. Seeliger, Über den Schatten eines Planeten, Münch. Ber. 24 (1894),

p. 423.

13. Finstemiserscheinungen in anderen Trabantensystemen.

365

gestellt. Das seltene Phänomen, daß ein Saturnmond in den Schatten des Satumringes kommt⁴³), ist insofern interessant, als es die Durchsichtigkeit des Florrings des Saturn zu messen erlaubt.

Zum Schluß sei auf die Vorausberechnungen der Finsterniserscheinungen verwiesen, wie sie in der Literatur vorliegen.

Uber den Verlauf der einzelnen Sonnenfinsternisse, Mondfinsternisse, Merkurdurchgänge, Sternbedeckungen durch den Mond, Verfinsterungen und Bedeckungen im Jupitersystem findet man die ausführlichsten Angaben in den betreffenden Jahrgängen der „Connaissance des temps“. A. Marth veröffentlichte für die Satelliten des Uranus (seit 1870), Saturn (seit 1873), Jupiter (seit 1875), Neptun (seit 1878), Mars (seit 1883) in den „Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, London“ Ephemeriden, die seit 1897 A. C.

D. Crommelin weiterführt.

43) Über die Japetusverfinsterung durch Saturn und sein Ringsystem im Jahre 1889 vgl. A. Marth, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 49 (1889), p. 427;

H. Buchholz, Astr. Nachr. 137 (1895) p. 241.

(Abgeschlossen im Dezember 1907.)

¹

   L’Art de vérifier les dates, 1. éd., p. 1—73; 2. éd., p. 39—89; 3. éd. tome 1, p. 41—83, umfaßt die in der alten Welt sichtbaren Sonnen- und Mondfinsternisse seit Christi Geburt bis bzw. 1800, 1900, 2000.

²

   Hansen, Ekl. Tafeln (1857) und Hansen, Analyse d. ekl. Tafeln (1863).

³

   Oppolzer, Syzygientafeln (1881).

⁴

   Lehmann, Tafeln (1882).

⁵

   Largeteau, tables (1843).

⁶

   Oppolzer, Canon (1887).

⁷

   Schram, Tafeln zur Berechn, y. Sonnenf. (1886).

⁸

   Newcomb, Récurrence of solar ecl. (1882).

⁹

   Siehe VI 2, 17 (Brown), Erdmond.

¹⁰

.    30) F. K. Ginzel, Astronomische Untersuchungen über Finsternisse, Wien

Ber. 85 (1882), p. 663; 88 (1883), p. 629; 89 (1884), p. 491.

¹¹

   Schram, Reduktionstafeln (1889).

¹²

   Ginzel, Kanon (1899).

¹³

   F. K. Ginzél, Kanon (1899), p. 263.

¹⁴

   J. Hartmann, Die Vergrößerung des Erdschattens bei Mondfinsternissen,

¹⁵

   Oppolzer, Tafeln f. Mondf. (1883).

¹⁶

   Siehe Abschnitt II (Sternbedeckungen) des Literaturverzeichnisses. Für die praktische Rechnung vgl. Chauvenet (1900), vol. 1, §§ 340—346 und die Formelzusammenstellung bei W. F. Wislicenus, Handbuch der geographischen Ortsbestimmungen auf Reisen, Leipzig 1891.

Lehrbuch der Navigation, herausgeg. vom Reichsmarineamt, 3 Bde Berlin 1901 Bd. H p. 372.

¹⁷

   Stechert, Tafeln für Sternbedeck. (1896) sowie Stechert, Hilfsgrößen (1897).

¹⁸

   C. Souiüart, Sur l’ombre d’une planète, Astr. Nachr. 91 (1878), p. 129.

¹⁹

   Vgl. VI2, 3 {Wirtz), S. 114.

VI 2, 8. CHRONOLOGIE

Von

P. K. GINZEL

IN BERLIN.

Inhaltsübersicht.

1.    Einleitung.

2.    Tagesbeginn und Tageseinteilung.

3.    Wochen.

4.    Jahreszeiten.

5.    Jahr, Urform desselben.

6.    Mond- und Sonnenjahr. Einschaltung, Ausgleichung.

7.    Besondere Jahrformen und Zyklen.

8.    Epochen (Ären).

Literatur.

I. Ältere Werke.

J. J. Scaliger, De emendatione temporum, Paris 1583, Genf 1629.

S. Calvisius, Opus chronologicum, Leipzig 1605, verschiedene Ausgaben 1629, 1650, 1685.

J. J. Scaliger, Thesaurus temporum, Leyden 1606, Amsterdam 1658.

Dion. Petavius, De doctrina temporum, Paris 1627.

II. Neuere Lelir- und Handbücher.

L. Ideler, Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie, Berlin 1825 [immer noch Hauptwerk, aber jetzt in den meisten Kapiteln veraltet] (Ideler, Hdb. {1825)).

W. MatzTca, Die Chronologie in ihrem ganzen Umfange, Wien 1844 [eingehende arithmetische Behandlung der chronologischen Aufgaben] (Matzka, Chr. {1844)).

E. Brinckmeier, Praktisches Handbuch der Chronologie aller Zeiten und Völker, Berlin 1882.

Wolf, Handb. 1 (1890), p. 598.

FL. Grotefend, Zeitrechnung des deutschen Mittelalters und der Neuzeit, 3 Bde., Hannover und Leipzig 1891—98.

W. F. Wislicenus, Astronomische Chronologie, Leipzig 1895.

Valentiner, Handwörterbuch 1 (1897), p. 593—624 [verfaßt von W. F. Wislicenus].

F. Fühl, Chronologie des Mittelalters und der Neuzeit, Berlin 1897.

FF. Grotefend, Taschenbuch der Zeitrechnung des deutschen Mittelalters und der Neuzeit, 2. Auü., Hannover und Leipzig 1905.

F. K. Ginzel, Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie, I. Bd. : Zeitrechnung der Babylonier, Ägypter, Mohammedaner, Perser, Inder, Südostasiaten, Chinesen, Japaner und Zentralamerikaner, Leipzig 1906 {Ginzel, Handb. d. Chroń. I {1906)).

III. Spezialwerke.

Unter den Spezialwerken, deren es für alle Länder, Völker und Zeiten gibt, heben wir heraus:

F. Lepsius, Chronologie der Ägypter 1, Berlin 1849.

E. Greswell, Origines Calendariae Italicae, Oxford 1854.

L. M. Letcisohn, Geschichte und System des jüdischen Kalenderwesens, Leipzig 1856.

FL. Brugsch, Nouvelles recherches sur la division de l’année des anciens Égyptiens, Berlin 1856.

Th. Mommsen, Römische Chronologie, Berlin 1859 {Mommsen, Fôm. Chronol. {1859)). H. Brugsch, Matériaux pour servir à la reconstruction du calendrier des anciens Égyptiens, Berlin-Leipzig 1864 {Brugsch, Matériaux {1864)).

Ph. Huschlce, Das alte römische Jahr und seine Tage, Breslau 1869.

A. Schwarz, Der jüdische Kalender historisch und astronomisch untersucht, Breslau 1872.

FL. Brugsch, Thesaurus Inscriptionum Aegyptiacarum, vol. 1 u. 2, Leipzig 1883 {Brugsch, Thesaurus Inscr. Aegypt. {1883)).

Aug. Mommsen, Chronologie, Leipzig 1883 [betreffend die Griechen, besonders die Athener].

A. Schmidt, Handbuch der griechischen Chronologie, Jena 1888.

Die Literatur über die Zeitrechnung der Römer, Griechen, Kleinasiaten, Araber, Perser, Ägypter ist ungemein reichhaltig und in philologischen und orien-talistischen Fachzeitschriften zerstreut; dieselbe wird jetzt durchwegs in dem oben unter II zitierten Handbuch der math. u. techn. Chronolog. von F. K. Ginzel (1906) berücksichtigt.

IV. Tafeln.

F. Wüstenfeld, Vergleichungstabellen der muhammedanischen und christlichen Zeitrechnung, Leipzig 1854; fortgesetzt bis 1500 H. von E. Mahler.

Th. v. Oppolzer, Canon der Finsternisse, Wien Denkschr. 52 (1887).

H. Grotefend, siehe oben unter H.

IL. Jacohi, „On the computation of Hindu-Dates in Inscriptions“, in dem Sammelwerk „Epigraphia Indica [Archaeological survey of India], edited by J. Burgess, Calcutta 1892—94“, vol. 1, p. 403 und vol. 2, p. 487.

F. K. Ginzel, Spezieller Kanon der Sonnen- und Mondfinsternisse für das Ländergebiet der klassischen Altertumswissenschaften, von 900 v. Chr. bis 600 n. Chr., Berlin 1899.

F. Schram, Kalendariographische und chronologische Tafeln, Leipzig 1908.

1. Einleitung. Die Begründung der Chronologie als selbständiger Wissenschaft durch Scaliger, Petavius, Calvisius¹), Podwell u. a. schließt etwa mit der Zeit Meiers² 3) ab. Bis dahin bilden hauptsächlich die Nachrichten der klassischen Autoren und einzelne den betreffenden Völkern angehörende Schriftsteller die Quelle, aus welcher man die Schlüsse über die Beschaffenheit der technischen Chronologie der Nationen zog. Der großartige Aufschwung, den bald nach Beginn des 19. Jahrhunderts die Ausgrabungen im Orient und die vielfältigen archäologischen Funde auf klassischem Boden in der Epigraphik und überhaupt in der Altertumsforschung bewirkten, hat die Basis der Chronologie ganz umgestaltet. Jetzt sind die uns erhalten gebliebenen Dokumente, Münzen, Inschriften, Stein- und Kupferplatten, Denkmäler, Papyrus usw. das Hauptmaterial, auf Grund dessen man die Chronologie der Völker festzustellen sucht, und die klassischen Autoren kommen erst in zweiter Linie in Betracht. Daneben ist das Studium der Festkalender einzelner Nationen und der mit diesen in Verbindung stehenden Mythologie zur unabweisbaren Notwendigkeit für die Befestigung der Chronologie geworden, nicht minder die Berücksichtigung der Resultate der Sprachforschung. Allein immer noch, trotz großer Fortschritte in diesen Zweigen, greifen gegenwärtig die wissenschaftlichen Bedingungen in der technischen Chronologie noch nicht so vollkommen ineinander ein, wie zu wünschen wäre, und eben das tiefere Eindringen mittels der modernen Hilfsmittel hat die Klarstellung mancher chronologischer Kapitel, deren Lösung zu Meters Zeit schon nahegerückt schien, auf die Zukunft gestellt.

In der mathematischen Chronologie sind seit den Versuchen von Gauß, Delambre, Cicolini, Tittel, Matzka⁸), die Arithmetik resp. Zahlentheorie zur Lösung der praktisch vorkommenden Aufgaben zu verwenden, keine besonderen Fortschritte gemacht worden. Dagegen haben gegenwärtig die mathematischen und astronomischen Hilfsmittel der Chronologie, die Tafeln⁴) zur Verwandlung gegebener Daten einer Zeitrechnung in die einer anderen, zur Bestimmung des Datums der Feste, ferner der Finsternisse, heliakischer Sternaufgänge⁵ 6)²²) usw. einen sehr befriedigenden Stand der Vollkommenheit erreicht.

2.    Tagesbeginn und Tageseinteilung. Die Ägypter der älteren Zeit begannen den Tag mit Eintritt der Nacht (nach Sonnenuntergang), nach den Inschriften etwa mit der 10. Nachtstunde⁶), die Babylonier haben, wie es scheint, differierende Taganfänge gehabt, bei ihren Astronomen bilden Mitternacht oder Sonnenuntergang den Tagesanfang, die bürgerliche Rechnung war wahrscheinlich nach letzterer Art⁷), die meisten nach dem Mondjahre rechnenden Völker beginnen den Tag mit Sonnenuntergang, die alten Griechen mit der Morgendämmerung, die späteren Römer mit Mitternacht, die Etrusker

um

Mittag.

Hohe Tageseinteilungen, mit liturgischen Gebräuchen in den ältesten Zeiten entstanden und zum Teil sich bis in spätere Zeit erhaltend, sind: „nach Gebeten“ (Juden, Mohammedaner) nach Vigilien, „Horen“ (Römer, Mittelalter), Nachtwachen (Chinesen, Juden) u. dgl. Die älteste genauere Teilung der Tag- und der Nachthälfte ist die in 12 Stunden, wahrscheinlich von den Babyloniern oder Ägyptern begründet. Auf alten ägyptischen Denkmälern erscheinen schon die 12 Sonnenscheiben, symbolisch die Tagesphase ausdrückend. In den astronomischen Tafeln der Babylonier ist überall Sexagesimalteilung des Tages angewendet, bei den Griechen, Römern Zwölfteilung. Zu unterscheiden sind die gjqcu xcuqlxccI (horae temporales) der Alten von den (öqccl lörjgsQLvai (horae aequinoctiales); die ersteren bezeichnen die natürlichen Tagesstunden, d. h. die Zwölftel des Tagbogens der Sonne je nach dessen Länge, sind also nach der Jahreszeit länger und kürzer*, sie waren allgemein in Gebrauch; die anderen, gleichteiligen Stunden, kommen fast nur bei Astronomen vor (Htolemäus). Die späteren Juden teilen so: 1 Stunde = 1080 chelakim, 1 chelak = 76 regaim (sexagésimale, von den Babyloniern übernommene Teilung). Bei den Indern treten mehrere Systeme auf, zum Teil auf Sexagesimalteilung beruhend; der Tag = 60 ghati, 1 ghati = 60 vinadi, 1 vinadi = 60 prana, mit diversen Varianten und weiteren Unterabteilungen, die in arithmetische Spielerei ausarten.

3.    Wochen. Die siebentägige Woche ist sicher vorderasiatischen Ursprungs⁷); sie ist durch die Juden zu den Arabern verbreitet

6)    Brugsch, Thesaurus Inscr. Aegypt. (1883), vol. T, p. 185; Brugsch, Matériaux (1864), p. 103.

7)    F. X. Kugler, Babylonische Mondrechnung, Freiburg i. Br. 1900, p. 114,

192, 201.

worden, die Griechen und Inder erhielten sie vielleicht direkt von den Babyloniern. Die Namen der Tage entsprechen den sieben altbabylonischen Gottheiten von Sonne (Samas), Mond (Sin), Merkur (Nebo), Venus (Istar), Saturn (Adar), Jupiter (Merodach), Mars (Nergal). Die 28 tägige Woche der Chinesen deutet auf Zerlegung des Mondmonats (resp. der 28 Mondhäuser) in vier Gruppen. Bei den Ägyptern finden wir, da für diese das Sonnenjahr bestimmend war, eine andere, zehntägige Woche, entsprechend den 36, schon in sehr alten Inschriften auftretenden Dekanen (Schutzgottheiten der Abgestorbenen), welche in den Sternbildern des Zodiakus (unter Dreiteilung der zwölf Zeichen) symbolisiert werden⁸); bei den Römern der alten Zeit weist der Gebrauch achttägiger Wochenabschnitte (Nundinen) auf das Mondjahr⁹). Weniger deutlich und nur durch gewisse mythologische Kongruenzen nachweisbar erscheinen Teilungen nach Wochen, z. B. bei den alten Persern.

4. Jahreszeiten. Ursprünglich unterschieden die meisten Völker einzelne Jahreszeiten nur nach Maßgabe der klimatischen Beschaffenheit ihres Landes, z. B. hatte das nordische und frühmittelalterliche Jahr nur zwei Hälften, die alten Ägypter unterschieden Sommer, Winter und Uberschwemmungszeit; an den Ursitzen der Indogermanen (am Indus) hatte man ursprünglich nur hima = Winter und samä = Sommer; nachdem sich die Einwanderung über den Punjab ausgedehnt hatte, zählte man drei Jahreszeiten, und als die indischen Arier sich über ganz Indien verbreitet hatten, waren, den sehr verschieden gestalteten Verhältnissen des ausgedehnten Landes entsprechend, im Sprachgebrauch sechs Jahreszeiten eingebürgert. Es ist bei einzelnen Nationen deutlich an Festen u. dgl. bemerkbar, daß die ursprünglich den Jahreszeiten gegebenen Namen mit der Zeit wegen der Verschiebung des Wandeljahres (von 365 Tagen) gegen das feste (von 365 y₄ Tagen) ihre Bedeutung geändert haben, z. B. bei den Ägyptern und Persern. Von der Erkenntnis der vier astronomischen Jahrpunkte (astronomische Jahreszeiten) und von der unter sich verschiedenen Länge der Jahreszeiten konnte erst bei ziemlich vorgeschrittener Kenntnis der Astronomie die Rede sein. Die Babylonier kannten im dritten Jahrh. v. Chr. die Längen der astronomischen Jahreszeiten bereits sehr genau¹⁰); sie setzen die Jahrpunkte auf den achten Grad der Zodiakalzeichen (statt auf den dritten); dieselbe Einrichtung findet sich bei den Römern (Columella) und, mit teilweisen Widersprüchen, bei den Griechen (Meton); es ist kaum noch zweifelhaft, daß die Annahmen der Römer und Griechen auf babylonischer Überlieferung beruhen. Im Mittelalter finden sich noch weitere Abirrungen im Anfänge der Jahreszeiten von den römischen. Die Ägypter der Ptolemäer- und Römerzeit unterscheiden vier Jahreszeiten und symbolisieren dieselben durch die Sonne (das Utsaauge) als Kind (Winter, am Sokarfest Geburt der Sonne), als Jüngling (Frühjahr), als Mann (Sommer, erwachsene Sonne), und als Greis (Herbst).

5. Jahr, Urform desselben. Die ursprüngliche Form des Jahres bei den einzelnen Völkern hängt innig mit dem jeweiligen Kultus zusammen, war aber jedenfalls in Asien vorwiegend das Mondjahr. Für das einstige Vorhandensein eines theoretischen Jahres von nur 360 Tagen finden sich gewisse Spuren [babylonische und ägyptische Tempelrechnungen; die besondere, bei den meisten vorderasiatischen Völkern wiederkehrende konstante Trennung der fünf Anhängetage (Epagomenen) von den 360 Tagen des 365 tägigen Jahres u. a.], welche zu der Annahme berechtigen, daß man zwar nach einem solchen Jahre in der Praxis nicht rechnete, aber vielleicht bei den Schaltungsversuchen davon ausging. Daß es bis zur Formulierung des 365 tägigen Wandeljahres einer erheblichen Zeit bedurfte, beweist die Existenz des altindischen 360 tägigen Savanajahrs und anderer Formen, welche in den vedischen Schriften auftreten¹¹). Bei den Babyloniern, Arabern, Juden usw. saß das Mondjahr schon in sehr alter Zeit fest (Mondkultus in Südbabylon, Arabien, Spuren bei den Juden), während es betreffs der Ägypter derzeit noch Streitfrage ist, ob diese nach der Übergangsperiode eines Naturjahres nicht sofort zum Sonnenjahr von 365 Tagen gelangt sind, ohne das Mondjahr rechnungsmäßig (außer zu sakralen Zwecken) zu gebrauchen. In Roms und Griechenlands ältester Zeit bildete das Mondjahr den Ausgangspunkt, von welchem man durch mancherlei Reformen zum Sonnenjahre gelangte.

6. Mond- und Sonnenjahr. Einschaltung, Ausgleichung. Die Lichtphasen des Mondes wickeln sich innerhalb des synodischen Mo

zu Zeit entsprechend eingeschaltet werden, was

nats = 29d 12h 44m 2*,98 = 29d,53059 ab. Da die bürgerliche Rechnung nur nach ganzen Tagen zählen kann, muß der Überschuß von 0rf,53059 von Zeit

durch den Gebrauch hohler und voller Monate (zu 29 und 30 Tagen) bewirkt werden kann¹⁸). Das freie Mondjahr (ohne Rücksicht auf den Sonnenlauf) besteht aus Gemeinjahren zu 354 und aus Schaltjahren zu 355 Tagen, die in zwölf Mondmonaten untergebracht werden. Das tropische Sonnenjahr, d. h. die Zeit, welche die Sonne bedarf, um zum Frühlingspunkt (s. S. 19) zurückzukehren, beträgt für das Jahr 1800 (nach Hansenuj) 365d 5A 48m 46*,43. Wird es 365d angenommen, so entsteht das Wandeljahr, das sich durch Vernachlässigung des Überschusses von 5A 48m 46*,43 alsbald gegen die Jahreszeiten verschiebt. Die Berücksichtigung des Überschusses geschah anfänglich durch die Annahme 365 7/ (festes Jahr, julianisches Jahr), späterhin (1582, vgl. Nr. 8) durch ein 365 tägiges Jahr mit entsprechender Einschaltung (Gregorianisches Jahr¹⁵)). Das gebundene Mondjahr entsteht, wenn das Mondjahr mittels Schaltungen in eine bleibende Übereinstimmung mit dem Sonnenjahre gebracht werden soll¹⁶).

nur zu

18) Die Dauer des synodischen Monats ist

405,57024

29

45842 976

86 400000

(30

864

) Tage.

Verwandelt man den in der Klammer^ stehenden Bruch in einen Kettenbruch und ermittelt die Werte der einzelnen Näherungsbrüche, so erhält man der

1    7

Reihe nach —-, —,

2    15

kennen, daß man etwa jeden zweiten Monat hohl anzuwenden haben wird. Eine viel befriedigendere Schaltung erreicht man mit den Näherungen ⁷/ls und ⁸/x nämlich, wenn man unter fünfzehn Monaten sieben hohl sein läßt resp. unter siebzehn Monaten acht. Der vierte Näherungswert ³³/₄₉ gibt bereits den bürgerlichen Mondmonat nur noch um 2S zu groß.

14)    P. A. Hansen et C.F.B. Olufsen, Tables du Soleil, Copenhague 1853, p.l.

15)    Die möglichen Schaltungen gehen aus den Näherungsbrüchen hervor, die man aus der Kettenbruchentwicklung des Überschusses bestimmen kann.

2 092 683 8640000 '

77!’ HI" Der erste Näherungsbruch läßt schon er-17    49    899

Es ist 365d bh 48m 46*43 = 365

Der letztere Bruch ergibt die Nähe-

1    7    8    31

rungen —, —, —, —— ; der erste Näherungsbruch gibt die Regel an, nach je 4 J* y oó 1 Jiö

vier Jahren einzuschalten. Die Näherung ⁸/ss, nämlich daß man innerhalb von 33 Jahren siebenmal nach vier Jahren, einmal nach fünf Jahren einschalten kann, ist schon ziemlich richtig; der dritte Bruch ³¹/x nach fünf, 27mal nach vier Jahren einzuschalten, gibt die Länge des tropischen Jahres bereits sehr genau.

16) Die entsprechenden Näherungsbrüche gehen hervor aus der Gleichung

28 >

in 128 Jahren viermal

trop . Jahr

synod. Monat

365

209, 26 426

864

: 29

458, 42 976

864

31556926, 426

939610714

2551442, 976

2 551442 976

Die Babylonier kannten sowohl die Länge des Mondjahrs als des Sonnenjahrs genau und haben Schaltungsmethoden angewendet; welcher Art diese waren, ist zurzeit nur für die jüngere Zeit aufgeklärt; nach Kugler scheint die Lage des Schaltjahrs bei ihnen von der Position des Neumondes gegen einen festen Punkt des Widders abzuhängen. Die Entwicklung des gebundenen Mondjahrs (Lunisolarjahrs) kann man am besten im Zeitrechnungswesen der Griechen beobachten. Anfangs versuchte man die Ausgleichung mittels zweijähriger und vierjähriger Schaltkreise, im 6. Jahrh. v. Chr. mit der Oktaëteris (von Kleostratos) = 99 Monate¹⁷), deren Ursprung in sehr alte Zeit zurückreicht und durch einen 16jährigen Zyklus (in der solonisehen Zeit?) verbessert wurde¹⁸). Darauf folgte, von Versuchen des Oinopides, Demokritos u. a. abgesehen, 433 v. Chr. die Aufstellung eines 19jährigen Zyklus = 6940 Tage = 235 Monate (nämlich 125 volle, 110 hohle)¹⁹) durch Meton. Obwohl von befriedigender Leistung, fand der Metonsche Zyklus vermutlich nicht allgemeine Annahme und wurde noch von Kallippos (aus Kyzikos) verbessert. Dieser fand, daß das Metonsche Sonnenjahr in 76 Jahren um einen Tag zu lang sei, durch Wegnahme von % Tag brachte er es auf 365|- Tage, seine 76jährige Schaltperiode enthielt 27759 Tage = 940 Monate, die in der Länge des synodischen Monats nur einen Fehler von 22*,5 übrig ließ²⁰). Letzteren Fehler verbesserte um 125 v. Chr. Hipparch, indem er vier

Der zuletzt angezeigte echte Bruch gibt die Näherungen

¹ JL A 4 7 123 376

Y’ Y’ Y’ 11’ 19¹ 334’ 1021

Da das Verhältnis trop. Jahr : synod. Monat = 12 -f- -A ist, so würden näherungsweise p tropische Jahre =(12p-\-m) synod. Monate. Demnach sind etwa 11 tropische Jahre = 136 synod. Monate (Näherung ⁴/u)

= 235

= 4131

19

⁷/₁₉)

334

¹²³/s^)-

17)    In der Oktaëteris wurde in 8 Jahren dreimal eingeschaltet, sie enthielt daher 8 • 12 -f- 3 = 99 Monate = 8 • 354d -{- 3 • 30rf = 2922d, ihr mittlerer Mondmonat war also 2922 : 99 = 29d12A2l”*49*,l, d. h. um 22”*,2 zu klein, ihr Sonnenjahr 2922:8 = 365 y

18)    Die Oktaëteris blieb hinter dem Monde um l'i12/l4l”* zurück, hätte also eigentlich über 2923¹/ad (statt nur 2922d) enthalten sollen. Durch Verdoppelung der Oktaëteris, auf 16 Jahrei brachte man also die 3 fehlenden T-age ein.

19)    Das Sonnenjahr des Metonschen Zyklus enthielt demnach 6940:19 = 365ß/igd (= 365d6/<19”¹, also um 30w zu groß), der Mondmonat 29î5/₄₇d = 29^ 12a45”*57* war also um lw54f' zu groß.

20)    Die Periode faßt 4 • 235 Monate = 940 Monate oder 4 • 6940d —1^ = 27759^. Der Mondmonat wurde dadurch = 29'i 12* 44”* 25*,5.

kallippische Reihen zu einer Periode yon 4- 76 = 304 Jahren kombinierte, und zwar sei dieselbe um einen Tag zu verkleinern, demnach¹²) kam hierdurch der synodische Monat auf 29rf12;‘44m2ä,55, das tropische Jahr auf 365d5A55”*15Ä,47, wodurch die beste Übereinstimmung des Mondjahrs mit der Sonne erreicht war. — Die Römer bedienten sich seit des 3. Jahrh. v. Chr. eines 24jährigen Schaltzyklus, welcher aber im Lauf der Zeit mißverstanden und zu willkürlichen Schaltungen benutzt wurde; die hieraus entstandene Kalenderverwirrung beseitigte Julius Caesar durch Einführung des festen Sonnenjahres. Das freie Mondjahr hat sich bei den Mohammedanern erhalten.

7. Besondere Jahrformen und Zyklen.

dieselbe Zeit der Beginn der Nilschwelle fiel,

um

a)    Sothisperiode. Der Sirius (Isis-Sothis der Ägypter) ging im Altertum für die mittlere Breite Ägyptens am 1. Thoth (20. Juli) heliakisch¹³) auf; da wurde dieses Datum für die Ägypter bestimmend, ihr Wandeljahr um diese Zeit anzufangen. Die Periode faßt 1460 julianische Jahre, das Wandeljahr kehrt, da es alle vier Jahre um einen Tag zu kurz ist, nach Ablauf der Sothisperiode wieder zum selben Datum zurück. Wenn di& Angabe Censorim, daß am 20. Juli 139 n. Chr. ein heliakischer Aufgang des Sirius stattfand, richtig ist, müßten 1322 v. Chr. und 2782 v. Chr. ebensolche Aufgänge stattgefunden haben; Oppolzer hat aber die Verkürzung der Sothisperiode nachgewiesen¹⁴ 15). Die Existenz der Sothisperiode als Rechnungszyklus läßt sich bisher aus den ägyptischen Inschriften nicht erhärten, dagegen sind etwa vier Daten inschriftlich bekannt, welche zu heliakischen Siriusaufgängen das gleichzeitige Datum des Wandeljahrs angeben.

b)    Setperiode (von 30 Jahren), eine in ägyptischen Inschriften öfters nachweisbare Periode, Apis-Zyklus (25 Jahre), Phönix-Periode (nach Herodot¹²) 500 Jahre), alle drei ohne chronologische Verwertung.

c)    Saren und Sössen der Babylonier, früher einseitig als Multipla von 60 Jahren (600 resp. 3600 Jahre) verstanden, nach den neueren Forschungen aber überhaupt als terminologische Ausdrücke gewisser Stufen in sexagesimalen Systemen zu betrachten. — Der 60jährige Jahreszyklus der Chinesen (auch zur Zählung der Tage und Monate gebraucht) ist der Rest einer solchen Sexagesimalteilung. Jedes Jahr

dieses Zyklus, welcher gewissermaßen die Epoche der Zählung vertritt, hat einen besonderen Namen. Der Ursprung des 12-teiligen Tierzyklus der Ostasiaten ist noch nicht befriedigend aufgeklärt.

d)    Große Jahre. Bei den klassischen Schriftstellern (Diodor, Platarch, Solinus und vielen anderen) und inschriftlich (bei den Ägyptern als heh- und /mw&-Perioden) auftretende Zyklen von 216, 12954, 36000 und anderen Jahren, die in ihrer Entstehung größtenteils auf Kombinationen von sexagesimalem Aufbau und Schaltungen, und auf Mond- und Sonnenjahren (in manchen Fällen auch auf Planetenjahren, d. h. Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne) beruhen (Platonische Jahre).

e)    Jupiterjahre. Speziell auf Indien beschränkt, aber wahrscheinlich von babylonischer Herkunft¹⁶). Fünf Jupiterumläufe machen ungefähr einen 60jährigen Zyklus (59% Jahre). Der Gebrauch dieses 60jährigen Zyklus beschränkt sich auf Nordindien; die einzelnen Jahre desselben haben (wie der 60jährige Zyklus der Chinesen) besondere Namen. Noch älter in Indien scheint ein 12jähriges Jupiterjahr zu sein (Jupiter nimmt etwa alle 12 Jahre dieselben Stellungen am Sternhimmel ein), welches sich vorzugsweise nach den heliakischen²²) Aufgängen des Jupiter richtet.

f)    Sonst vorkommende Jahrzyklen: Lustrum (ursprünglich 4-, dann 5jährig), Yuga (5jährig), Sabbathjahr (alle 7 Jahre), Jubeljahre, goldene Jahre (bei den Christen und Juden) und andere.

g)    Indiktionen, Sonnen- und Mondzirkel. Der erstere Zyklus ist eine künstlich (aus Schatzungs- oder Steuerperioden?) gebildete Reihe von 15 Jahren, die gegen Ende des 3. Jahrh. n. Chr. in chronologischen Gebrauch gekommen ist. Es gibt dreierlei Arten der Indiktionen (Pömerzinszahl, kaiserliche Zahl, a. Zeichen): Die griechische (byzantinische) [mit 1. September anfangend], die konstantinische (kaiserliche) [beginnend mit 24. September] und die römische (päpstliche) Indiktion [mit 1. Januar beginnend]. — Sonnenzirkel heißt im julianischen Kalender die Periode von 28 Jahren (7 vierjährigen Schaltkreisen), nach deren Ablauf die Wochentage wieder auf denselben Monatstag zurückkommen. — Da 19 tropische Sonnenjahre nahe gleich 235 synodischen Mondmonaten sind¹⁶), so gehen die Mondphasen nach 19 Sonnenjahren ungefähr auf dieselben Jahrestage zurück; dies ist der Mondzirkel, die Stellung eines Jahres in demselben wird durch die güldene Zahl (numerus aureus) bezeichnet (im gregorianischen Kalender wird die goldene Zahl durch die Epakte ersetzt).

h) Osterzyklen. Nach 28 Mondzirkeln (zu 19 Jahren), also nach 532 Jahren, fallen im julianischen Kalender die Mondphasen wieder auf dieselben Wochentage, diese Periode (Osterperiode, cyclus paschalis) eignet sich daher zur Bestimmung des christlichen Osterfestes, welches am ersten Sonntage nach dem ersten Frühjahrsyollmonde zu feiern ist²⁶). Es gibt mehrere Osterzyklen, die sich durch den Anfang der Periode voneinander unterscheiden (Anianus, Victorius, Dionysius, Exiguus).

8. Epochen (Aeren). Die Anfangspunkte, von denen die Jahre gezählt werden, sind überaus verschieden und zahlreich; wir können hier nur einige Andeutungen geben. — Olympiaden (4jährig, Epoche Sommer 776 v. Chr.), mit Varianten. — Jahre der Stadt (Rom), u. c. (urbis conditae) [varronisch gerechnet vom 1. Januar 753 v. Chr., capitolinisch ein Jahr später]. — Weltaeren (des Panodors, die Alexan-drina und Byzantina), die konstantinopolitanische [Epoche 1. September 5509 v. Chr.], die jüdische Weltaera [3761 v. Chr.], Aera Nabonassars [747 v. Chr.]. — Die altpersische Aera Jezdegird und die neuere Dsche-laleddins. Die Hedschra [Epoche 16. Juli 622 n. Chr. (Volkskalender)] — Julianische Periode [Epoche 1. Januar 4713 v. Chr.]. — Die christliche (nach Jahren von der Geburt Christi ab zählende) Zeitrechnung kam durch die Ostertafel des Dionysius im 6. Jahrh. in Gebrauch. Bis 1582 n. Chr. wurde die julianische Schaltung gebraucht, und da um diese Zeit das julianische Datum schon um 10 Tage gegen das wahre zurückgeblieben war, durch Gregor XIII. eine Schaltungsreform eingeführt (alter oder griechischer, julianischer Stil, neuer oder gregorianischer Stil).

26) Eine Regel zur Berechnung des gregorianischen Osterfestes gab C. F. Gauß, Monatl. Corr. 2 (1800), p. 121 = Werke 6 (1874), p. 73, dazu Nachtrag in Tübinger Z. für Astr. 1 (1816), p. 158. Vgl. Wölf, Handb. 1, p. 622.

(Abgeschlossen im Juli 1910.)

B. MECHANIK DES HIMMELS.

¹

   Vgl. das Literaturverzeichnis unter I.

²

   Ideler, Hdb. (1825).

³

   Matzka, Chr. (1844).

⁴

   Siehe Abschnitt IV des Literaturverzeichnisses.

⁵

   W. F. Wislicenus, Tafeln zur Bestimmung der jährlichen Auf- und Unter

⁶

gänge der Gestirne, Astr. Ges. Publ. 20 (1892).

⁷

Eb. Schräder, Keilschriften und altes Testament, 1883, p. 19—21 ; E. Schürer, Die siebentägige WToche im Gebrauch der christlichen Kirche, Zeitschrift für die neutestamentlichen Wissenschaften und Kunde des Urchristentums, Bd. 6 (1905), p. 1.

25*

⁸

Brugsch, Thesaurus Inscr. Aegypt. (1883), vol. 1, p. 131.

⁹

   Mommsen, Röm. Chronol. (1859), p. 228 ff.

¹⁰

   Kugler⁷), p. 104.

¹¹

G. Thibaut, Artikel: „Astronomie, Astrologie und Mathematik“, im Grundriß der indo-arischen Philologie und Altertums-Kunde, hrsg. von G. Buhler und F. Kielhorn, 3. Band, 9. Heft, Straßburg 1899.

¹²

   4 • 940 Monate = 3760 Monate = 4-27 759d — ld = 111035d.

¹³

   Der helialcische Aufgang (jährliche Aufgang) eines Gestirns ist derjenige Tag im Jahre, an dem das Gestirn erstmalig in der Morgendämmerung dem bloßen Auge erkennbar wird. Ygl. Ginze}, Handb. d. Obron. I (1906), p. 186.

¹⁴

   Th. v. Oppolzer, Wien Ber. 90 1884².

¹⁵

   Herodot, II 73.

¹⁶

Den Babyloniern waren, wie aus aufgefundenen astronomischen Tafeln derselben hervorgeht, die Perioden der Rückkehr der Planeten in dieselben Himmelsstellungen gut bekannt.

VI2, 9. BAHNBESTIMMUNG DER PLANETEN UM) KOMETEN.

Von

G. HERGLOTZ

IN LEIPZIG.

Inhaltsübersicht.

I. Keplers che Bewegung.

1.    Keplersche Gesetze.

2.    Elemente der Bahn.

3.    Koordinaten eines Ortes.

4.    Bestimmung der wahren Anomalie.

5.    Lambertsches Theorem.

6.    Verhalten der Koordinaten im komplexen Gebiet.

II. Vorläufige Bahnbestimmung,

a) Planetenbahnen.

7.    Formulierung der Aufgabe.

8.    Grundgleichungen.

9.    Herstellung der Ausdrücke der Dreiecksverhältnisse. Erforderliche Genauigkeit.

10.    Näherungsausdrücke der Dreiecksverhältnisse.

11.    Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen.

12.    Methode von Laplace. Satz von Lambert.

13.    Bestimmung der Elemente aus zwei vollständigen Orten.

14.    Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen.

15.    Bahnbestimmung aus vier Beobachtungen.

16.    Bestimmung einer Kreisbahn.

b) Kometenbahnen.

17.    Formulierung der Aufgabe. Grundgleichungen.

18.    Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen nach der Methode von W. Olbers.

19.    Bestimmung der Elemente aus den Distanzen.

20.    Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen.

21.    Ausnahmefälle. Methode von Gauß.

22. Korrektionen wegen Parallaxe und Aberration.

III. Definitive Bahnbestimmung.

23.    Allgemeine Formulierung der Aufgabe.

24.    Methoden mit gleichmäßiger Berücksichtigung aller Orte.

25.    Differentialquotienten der geozentrischen Koordinaten nach den Elementen.

26.    Methoden mit Bevorzugung zweier Orte.

Literatur.

Lehrbücher und Monographien.

C. F. Gauß, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium, Hamburgi 1809 = G. F. Gauß, Werke 7. Deutsch von C. Haase, Gotha 1877 (Gauß, Theoria motus).

J. Frischauf, Theorie der Bewegung der Himmelskörper, Graz 1868.    2. Aufl.

unter dem Titel: Grundriß der theoretischen Astronomie, Graz 1871.

F Frischauf, Die Gauß-Gibbssche Methode der Bahnbestimmung eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen; mit einem Anhang zum „Grundriß der theoretischen Astronomie“, Leipzig 1905.

J. G. Watson, Theoretical astronomy, Philadelphia 1868. 2. ed. 1877. 3. ed. 1881 ( Watson, Theor. astr.).

W. Klinkerfues, Theoretische Astronomie, Braunschweig 1871.    2. Aufl. bearb.

von H. Buchholz, 1899. (Klinkerfues-Buchholz, Theor. Astr.).

Th. von Oppolzer, Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Planeten und Kometen, Band 1, Leipzig 1870. 2. Aufl. Leipzig 1882 (2. Aufl. Oppolzer, Bahnb. 1). Französisch von F. Pasquier, Paris 1886. Band 2, Leipzig 1880 (Oppolzer, Bahnb. 2).

F. Tisserand, Leçons sur la détermination des orbites, red. par J. Perchot, avec une préface de H. Poincaré, Paris 1899.

J. Bauschinger, Tafeln zur theoretischen Astronomie, Leipzig 1901 (Bauschinger, Tafeln).

J. Bauschinger, Die Bahnbestimmung der Himmelskörper, Leipzig 1906.

Journal-Literatur und anderes.

J. H. Lambert, Insigniores orbitae cometarum proprietates, Aug. Vindel. 1761. Deutsch hrsg. v. J. Bauschinger in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 133, Leipzig 1902 (Lambert, Insign. propr. 1761).

J. L. Lagrange, Sur la détermination des orbites des comètes d’après trois observations, Drei Abhandlungen in Berlin Mém. 1778, p. 111, 124; 1783, p. 296 = Oeuvres 4, p. 439, 461, 496.

P. S. Laplace, Mémoire sur la détermination des orbites des comètes, Paris Hist. (1780) Mém. p. 13 = Oeuvres 10, p. 93.

W. Olbers, Abhandlung über die leichteste und bequemste Methode die Bahn eines Kometen zu bestimmen, hrsg. v. F. v. Zach, Weimar 1797.    2. Aufl.

v. J. F. Encke, Weimar 1847. 3. Aufl. v. J. Galle, Leipzig 1864 = W. Olbers, Werke 1, p. 3—56 (Olbers, Abh. über Kometenbahnen).

J. F. Encke, Bestimmung einer elliptischen Bahn, Berliner astronomisches Jahrbuch für 1854. Hrsg, von J. Bauschinger in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 141, Leipzig 1903.

P. A. Hansen, Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers. Leipzig Berichte 1863, Bd. 15, p. 83. Hrsg, von J. Bauschinger in Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften Nr. 141, Leipzig 1903.

E. Weiß, Über die Bestimmung der Bahn eines Himmelskörpers aus drei Beobachtungen, Wien Denkschr., Band 60, Wien 1893, p. 345.

K. Zelbr, Artikel „Bahnbestimmung“ in W. Valentiner, Handwörterbuch der Astronomie (Enzyklopädie der Naturwissenschaften 3 (2)), Breslau 1897, p. 452.

O.    Callandreau, Aperçues des méthodes pour la détermination des orbites, Paris Ann. de l’Obs., mém. 23, Paris 1902.

P.    Harzer, Bestimmung und Verbesserung der Bahnen von Himmelskörpern. Publicationen der Sternwarte zu Kiel, Nr. 11, Kiel 1901.

Bibliographie in W. Valentiner, Handwörterbuch der Astronomie, Artikel „Bahnbestimmung“ von K. Zelbr. Ferner bei P. Badau, Paris Bull. astr. 16 (1899), p. 432.

I. Keplersche Bewegung.

1. Keplersche Gesetze. Werden durchgehends die Massen der Planeten und Kometen gegenüber derjenigen der Sonne als sehr klein vernachlässigt, so wird die dadurch idealisierte Bewegung eines solchen Himmelskörpers bezüglich eines zur Sonne festen Koordinatensystems, die Keplersche Bewegung, vollständig durch die folgenden drei „Kepler-schen Gesetze“ beschrieben:

1.    Die Bewegung erfolgt in einer durch die Sonne gelegten Ebene so, daß die vom Radiusvektor überstrichene Sektorfläche der Zeit proportional wächst.

2.    Die Bahn ist ein Kegelschnitt, in dessen einem Brennpunkt sich die Sonne befindet (bei der Hyperbel in jenem, gegen welchen zu die Bahnkurve konkav ist).

3.    Der Quotient der vom Radiusvektor in der Zeiteinheit über-strichenen Sektorfläche durch die Quadratwurzel aus der Länge des Parameters des Kegelschnittes hat für alle Himmelskörper denselben Wert.

Das Doppelte der durch das dritte Gesetz gegebenen, dem Sonnensystem eigentümlichen Zahl, die sogenannte Gaußsche Konstante h, hat in astronomischen Einheiten ausgedrückt den Wert Je — 0,0172021. Vgl. den Artikel V 2 (Zennecli).

2. Elemente der Bahn. Um mit Hilfe dieser drei Gesetze den Ort des Planeten für eine beliebige Zeit zu bestimmen, ist die Kenntnis der Lage und Gestalt des Kegelschnittes sowie die Kenntnis des Ortes in der Bahn zu einer bestimmten Zeit (Epoche) erforderlich, also die Angabe von 2 —3 —{— 1 == 6 Größen, den sechs Bahnelementen. Die Lage der Bahnebene wird bei der üblichen Wahl des ekliptikalen

und n als mittlere tägliche Bewegung, M als mittlere Anomalie, l als mittlere Länge zu bezeichnen. Bei Planetenbahnen wird ferner statt der Durchgangszeit durch das Perihel t₀ die mittlere Länge zur Epoche (t — 0) eingeführt:

(9)

£ = £0 — nt₀.

Bei der Hyperbel ist, wofern in (5) ]/1—e = -}-i]/re—1 gewählt wird, in (6)]/"« = — iy — a zu setzen. Da in diesem Pall E rein imaginär wird, empfiehlt es sich einen reellen, durch:

(10) tang y = — i tang y,

Ihren Zusammenhang mit der Zeit gibt das erste und dritte Keplersche Gesetz, angewandt auf den Sektor zwischen dem Radiusvektor und der Apsidenlinie, wobei man aber den Sektor nicht direkt durch v, sondern einfacher mittels des vermöge:

tang y JE = ]/\

(5)

tang y v,

sin E

yi — e¹ sin v

cos E =

e 4* cos v

1 -f- ß COS V

mit v zusammenhängenden Hilfswinkels E, die exzentrische Anomalie ausdrückt, und hiedurch aus dem ersten und dritten Gesetz die Keplersche Gleichung erhält:

(6)

tp)

— E — e sin E,

nebst:

CO

r = a (1 — e cos E).

(8)

Man pflegt zu setzen:

—= n, n(t — t₀) = M, M -f- 13 = l

a\

i - u-

sin F = — i tang E, cos F = —^

bestimmten Hilfswinkel F, den sogenannten Lambertschen Winkel¹) E

Y einzuführen, wonach (6) in:

n(t — t₀) = e tang F— log nat tang

von

(ii)

übergeht.

Für die Parabel ist

= 0, 1 —- e — 0, aber a( 1 — e) = q zu

setzen, so daß aus (6) folgt:

H* — *o)

(12)

1/2^

tang |î) + y tang² ~v.

E. Halley³) wählte “ des rechtwinkligen Parabelsektors als Flächeneinheit und bezeichnete die in dieser Einheit gerechnete Sektorfläche:

75 Je

M==

(13)

als „motus medius“ in der Parabel. Zugleich gab er als erster eine Tafel für v mit M als Argument. Diese Definition von M hat sich noch bei einigen späteren Autoren erhalten, während Th. v. Oppolzer und J. Bauschinger einfach (14)

setzen, dessen Logarithmus bereits J. C. Burckhardt⁴) als Argument einer entsprechenden Tafel wählt. — Ist v und damit r für den gewünschten Zeitpunkt bestimmt, so sind damit auch die Koordinaten des Himmelkörpers gegeben. Die auf ein beliebiges heliozentrisches System bezogenen rechtwinkligen Koordinaten setzt C. F. Gauß⁵), mit u = v -n — v W — <0, das Argument der Breite bezeichnend, in die Form:

(15)

x = r sin a sin (A -}- u) y — r sin b sin (B -f- u) z — r sin c sin (C -f- u),

worin die Gaußschen Konstanten a, b, c und A, B, C sich bzw. mit den auf die Bahnebene und die Knotenlinie als Anfangsrichtung bezogenen Breiten und Längen der Koordinatenachsen zu 90° ergänzen.

4. Bestimmung der wahren Anomalie, a) Numerische Näherungsmethoden. Die numerische Auflösung der Gl. (6) geschieht bei Bahnen geringer Exzentrizität am raschesten durch sukzessive Approximation nach der Newtonschen Näherungsmethode. Als Ausgangsnäherung kann M oder der von J. F. Encke⁶) vorgeschlagene und von N. Herz'¹) verbesserte Wert dienen. Hilfstafeln geben insbesondere Th. v. Oppolzer*), J. J. Astrand*), F. Tietjen¹⁰).

3)    E. Halley, A synopsis of the astronomy of cornets, Lond. Phil.Trans. 1705,

4)    J. C. Burckhardt, Gönn. d. temps pour l’an 1818 (1815), p. 319.

5)    C. F. Gauß, Monatl. Corr. 9 (1804), p. 385 = Werke 6, p. 94.

6)    J. F. Encke, Astr. Nachr. 30 (1850), p. 277.

7)    N. Herz, Astr. Nachr. 99 (1881), p. 31.

8)    Th. v. Oppolzer, Wien Denkschr. d. k. Akad. 50 (1885), p. 185.

O

9)    J. J. Astrand, Hilfstafeln zur leichten und genauen Auflösung des Kep-lerschen Problems, Leipzig 1890.

10)    F. Tietjen, Berlin. Veröff. d. k. Recheninst. n° 1 (1892).

Die Auflösung der bei parabolischen Bahnen auftretenden Gleichung (12) kann direkt der sogen. Barkerschen Tafel¹¹) entnommen werden, welche M mit dem Argumente v gibt. Liegt jedoch v nahe an 180°, so wird der großen Interpolationsdifferenzen halber ihr Gebrauch beschwerlich, und man hat sich dann des besonderen von

F. W. Fessel¹²) und B. Nicolai¹³) ausgebildeten Verfahrens zu bedienen; sie ersetzen mit Rücksicht auf den dann sehr kleinen Wert von ctg y die Gl. (12) durch eine einfachere und fabulieren die Korrektion für den so bestimmten Näherungswert als Funktion desselben. Den umgekehrten Weg, v mit dem Argument M zu fabulieren, hat J C. Burckhardtu) eingeschlagen, dann U. J. Leverrier¹⁵) und C. F. Gauß¹⁶), der auch besondere Vorschriften¹⁷) für große v gibt. Ebensolche Tafeln gibt J. Bauschinger¹⁸). Die Verfahren, welche zur Bestimmung der wahren Anomalie für der Einheit benachbarte Exzentrizitäten dienen, sind gleicherweise gültig, mag e wenig kleiner oder größer als 1 sein, und umfassen daher auch die nahe parabolischen Hyperbelbahnen, welche die einzigen bei Kometen auftretenden Hyperbelbahnen sind. Das jenen Verfahren zugrunde liegende Prinzip ist, die mit einem passend gewählten Faktor versehene mittlere Anomalie als das M der Gleichung (12) zu nehmen, und dann die Korrektion, welche dem aus ihr folgenden Werte von v hinzuzufügen ist, nach Potenzen einer mit 1 — e verschwindenden Größe zu entwickeln. Die Berechnung der Korrektion wird dann wieder durch Tafeln erleichtert. Das zuerst von L. Euler¹⁹) angegebene Verfahren wurde von W. Bessel²°) weiter durchgeführt, eine von Th.

11)    Th. Barker, Account of the discoveries concerning cornets, London 1757. B. Luther hat das Intervall von 5' auf 100" reduziert, und die Tafel wurde der F. Enclceechen Ausgabe (Weimar 1847) von OTbers, Abh. über Kometenbahnen angehängt. Auch in Watson, Theor. astr. (Intervall 1') (Tafel 6) und von J. Strobel neu berechnet in Oppolzer, Bahnb. 1 (1882) (Intervall 10") (Tafel 4).

12)    F. W. Bessel, Astr. Nachr. 22 (1845), p. 253 = Ges. Abh. 1, p. 12. Ygl. Oppolzer, Bahnb. 1, wo von A. Polisa berechnete Tafeln (a. a. 0. Tafel 5 a und 5 b) zu Bessels Methode abgedruckt sind. (Zuerst veröffentlicht Berlin Ber. 1880, p. 511.) ³

13)    B. Nicolai, Astr. Nachr. 21 (1844), p. 77.

14)    P. S. Laplace, Méc. cél. trans. b. Bowditch, vol. 3.

15)    U. J. Leverrier, Paris Ann. de l’obs. 1, (1885), p. 226, auch in C. F. Gauß Theoria motus, dtsch. v. Haase, p. 24.

16)    G. F. Gauß, Werke 7, p. 351 (Nachlaß).

17)    G. F. Gauß, Astr. Nachr. 20 (1843), p. 299 = Werke 6, p. 191.

18)    J. Bauschinger, Tafeln, Nr. 15.

19)    L. Euler, Mise. Berol. 7 (1743), p. 1 (Determ. orb. com. A. 1742 obs).

20)    W. Bessel, Monatl. Corr. 12 (1805), p. 197 = Ges. Abh. 1, p. 9.

v. Oppolzern) herrührende veränderte Form desselben von R. Schramm und F. K. Grinzd²²) ausgearbeitet. Ein ähnliches Verfahren gibt F. Brünnow²³).

Das Gaußsche Verfahren²⁴) bestimmt die Korrektion nicht durch Reihenentwicklung, sondern durch sukzessive Approximation, deren Konvergenz auf der Kleinheit von E beruht. Eine vergleichende Betrachtung verschiedener Verfahren gibt B. Radau2t>).

Betreffs der numerischen Näherungsmethoden vergleiche man neben den Kompendien der Bahnbestimmung vor allem die „Tafeln zur theoretischen Astronomie“ von J. Bauschinger. Eine Bibliographie des Keplerschen Problems gibt R. Radau25a).

b) Allgemeine Reihenentwicklungen. Lagrange³) hat, die nach ihm benannte Reihe auf die Gleichung (6) anwendend, verschiedene Ausdrücke in der elliptischen Bewegung (z. B. F, r, r cos v, r sin v) nach Potenzen von e entwickelt, wobei die Koeffizienten endliche trigonometrische Reihen in M werden. Diese Potenzreihen konvergieren für alle reellen Werte von M nur, so lange e kleiner ist als der für reelles t — tQ genommene Minimalwert q des aus Gl. (23) berechneten | e j. Für diesen folgt nun:

(16)

q = 0,6627 434²⁷).

çEVï+d ¹ + Y¹ + Q²

Diese Grenze wurde zuerst von P. S. Laplace²⁸) aus den asymptotischen Werten der Koeffizienten hergeleitet. Von den Autoren, welche sie dann aus allgemeinen funktionentheoretischen Gesichtspunkten herleiteten, seien hier neben den in II B 1 Nr. 15 (Osgood) aufgeführten Arbeiten über die Lagrangesche Reihe noch V. Puiseux⁴) und

21)    Th. von Oppolzer, Über die Berechnung der wahren Anomalie in nahezu parabolischen Bahnen, München Abh. 13 (1878), p. 139.

22)    Th. v. Oppolzer, Bahnb. 1, p. 65.

23)    F. Brünnow, Astr. Notices 1 (1861), p. 12, 177.

24)    Gauß, Theoria motus, art. 37 ff. Weitere Hilfstafeln und Zusätze siehe A. Marlh, Astr. Nachr. 43 (1856), p. 115 = Gauß Theoria motus, dtsch. v. Haase (Anhang), p. 28.

25)    R. Radau, Paris Bull. astr. 2 (1885), p. 509.

25a) R. Radau, Paris Bull. astr. 17 (1900), p. 37.

26)    J. L. Lagrange, Berlin Mem. 25 (1771) — Oeuvres 3, p. 113.

27)    Bezüglich dieses Wertes vgl. Correspondance d’Hermite et de Stieltjes 1 (1905), p. 433. Mit E wird die Basis der natürlichen Logarithmen bezeichnet.

28)    P. S. Laplace, Paris Mém. de l’acad. 6 (1823), p. 61 = Oeuvres 12,

p. 549.

J. A. Serret³⁰) genannt. Ist p < e < 1, so konvergieren die Reihen bloß in gewissen Intervallen um M = 0 und M = 180°. Rascher

konvergierende Umformungen dieser Reihen gibt E. Weiß³¹), und T. Levi-

ezy

1 -f ÿl — es

für alle reellen M und | rj | < 1, also insbesondere alle reellen e < 1

Civita³²) bemerkt, daß die Potenzentwicklungen nach rj —

konvergieren.

Ordnet man aber, was bereits Lagrange tat, jene Potenzentwicklungen nach den Cos und Sin der Vielfachen von Mf so erhält man die für alle reellen M und e < 1 konvergenten trigonometrischen Entwicklungen, mit denen sich zuerst insbesondere W. JBessel³³) eingehend beschäftigte. Verschiedene dieser Reihen haben einfach Besselsche Funktionen von e zu Koeffizienten. In großer Allgemeinheit hat P.A.Hansenu) die Entwicklungen einer ganzen Reihe von Ausdrücken behandelt.

Explizite Angaben der Reihenentwicklungen verschiedener Größen findet man bei U. J. Leverrier³⁵) und A. Cayley³⁶).

Betreffs der weiteren Literatur über beide Arten von Reihen und die asymptotischen Werte ihrer Koeffizienten vergleiche man das diesbezügliche Referat auf p. 93—122 von H. Burckhardt, „Entwicklungen nach oszillierenden Funktionen“ im Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 10.

5. Das Lambertsche Theorem besagt, daß die zum Durchlaufen eines Bahnstückes MM' nötige Zeit T bloß von der Summe r -f- / der äußeren Radienvektoren, der Sehne s und der großen Halbachse a der Bahn abhängt, woraus der fertige Ausdruck von T selbst durch Spezialisation auf die geradlinige Bewegung, also unmittelbar aus den Formeln von Nr. 3 für e = 1 folgt.

Es folgt im besondern für die Ellipse (« > 0):

(17)

T — (s — sin s) — (ß — sin d),

• s 1 / m Y — Y    4 a

30)    J. A. Serret, Paris, annal, de l’observ. 5 (1859), p. 337.

31)    E. Weiß, Wien. Denkschr. d. k. Akad. 49 (1885), p. 133; Auszug Wien Berichte 90 (1884), p. 785.

32)    T. Levi-Civita, Lincei Rend. d. R. Accad. 13 (1904), p. 260.

33)    W. Bessel, Berl. Abk. 1816, p. 49 = Ges. Abh. 1, p. 17; Berl. Abh. 1824, p. 1 = Ges. Abh. 1, p. 92.

34)    P. A. Hansen, Leipzig Ber. 1853, p. 7.

35)    TJ. J. Leverrier, Paris Ann. de l’observ. 1 (1855), p. 182.

36)    A. Cayley, Lond. Ast. Soc. Mena. 28 (1860), p. 187 ; 29 (1861), p. 191 = Works 3, p. 319, 360.

sini=V ia

r-\- r' -f- s

r -f- r — s

0 < d < 6 < 7t.

Sind S, S' die beiden Brennpunkte, und zwar S jener, in welchem die Sonne sich befindet, so ist dieser Ausdruck zunächst gültig, wenn das von Bogen und Sehne begrenzte Segment weder S noch S' in seinem Innern enthält, während man nach A. Cayley³⁷) in demselben e und d zu ersetzen hat bzw. durch: 2tc — s und — d, s und — d, 2n — e und d, je nachdem das Segment S und S', oder bloß S oder bloß S' in seinem Innern enthält.

(18)

Für die Hyperbel (a < 0) ergibt sich

—T — (snh s — «) ~F (snh ^ — d)

(— a)

snhT = V

r -j- r -j- s

r -\- r — s — 4 a

und für die Parabel = 0^ :

(19)

6kT — (r -f- r + s)Vï + (r "h r' — s)3/2,

wo in beiden Fällen das untere oder obere Zeichen zu nehmen ist, je nachdem das Segment S in seinem Innern enthält oder nicht. Das Theorem wurde zuerst von L. Euler*⁸) für die Parabel bewiesen, dann von J. Lambert³⁹) durch geometrische Betrachtung auf beliebige Kegelschnitte ausgedehnt, der analytische Beweis von J. L. Lagrange⁴⁰) nachgetragen.

M'    M'

=j Vl/dx* + df = Je J*J/|

M    M

In enger Beziehung steht das Theorem zum Prinzip der kleinsten Wirkung, nach welchem das Bahnstück MM' Extremale des Integrales:

(20)

±-Vdx²+dy*

ist, indem unter W(r, r, s, a) sein Extremalwert verstanden

dw

(21)

k?T=2a?

da

wird. Es kommt das Theorem also darauf hinaus, daß W r, r nur in der Verbindung r -j- / enthält, was C. G. Jacobi⁴¹) mit Hilfe der Hamiltonschen partiellen Differentialgleichung, und in besonders einfacher Weise N. Joukoffski⁴²) zeigt. Da weiter die den verschiedenen

37) A. Cayley, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 29 (1869), p. 318 = Works 7,

p. 387.

38)    L. Euler, Mise. Berol. 7 (1743), p. 1.

39)    J. Lambert, Insign prop. 1761 probl. 41.

40)    J. L. Lagrange, Beri. Mém. 1778, p. 181 = Oeuvres 4, p. 559.

41)    C. G. J. Jacobi, Vorlesungen über Dynamik (== Werke Suppbd.) 25. Vorl.

42)    N. Joukoffski, Nouv. annal, d. math. (3) III (1884), p. 90.

Vorzeichen entsprechenden Werte von T stets gleichzeitig durch die verschiedenen zwischen MM' möglichen Bahnen realisiert werden, er

hellt der Zusammenhang der Vorzeichenregeln mit der Lage der „kon-

W die vom Leitstrahl S'M über-

jugierten“ Punkte. Daß strichene Fläche darstellt, bemerkt T⁴³).

Weitere Beweise des Theorems geben noch J. J. Sylvester⁴⁴), A. Gayley⁴⁵), J. C. Adams⁵), E. Catalan⁶).

6. Das Verhalten der Koordinaten im komplexen Gebiete, ist, im Falle der Ellipse und Hyperbel, weil dieselben da ganze lineare Funktionen von sin E und cos E sind, durch jenes von E bestimmt. E selbst aber ist nach (6) eine unendlich vieldeutige Funktion von . den beiden Variable# t und e, die im Endichen nur singulär wird an den algebraischen durch

(22)

ausgeschnittenen Verzweigungsstellen :

(23)

= i lg

k(t — t₀)

1 + y.1 — e²

Daraus folgen sofort einerseits die Konvergenzverhältnisse der Potenzreihen nach e bei der Ellipse (Nr. 4), andererseits die Konvergenzradien für Potenzentwicklungen nach t — tlf welche E. B. Moulton⁷) diskutiert. Die Beziehung (23) wird eingehender Weise geometrisch veranschaulicht von G. V. Gharlier⁸) (Ellipse) und H. G. Block⁹ 10) (Hyperbel). Die betreffenden Untersuchungen (auch in Nr. 4) sind im allgemeinen insofern unstreng, als sie von vornherein die singulären Stellen der inversen Funktion von f(x) durch die Nullstellen von fix) vollständig gegeben annehmen (wogegen man die Sätze von A. Hurwitshv) vergleiche), welche so entstehende Lücke sich indess an Hand der Differentialgleichungen der Bewegung ausfüllen läßt.

43)    T. Quarterly Journ. of math. 7 (1866), p. 45.

44)    J. J. Sylvester, Phil. Mag. 31 (1866), p. 52 = Papers 2, p. 519; Lond. Astr. Soc. Monthly 26 (1865), p. 27 = Papers 2, p. 496.

45)    A. Cayley, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 22 (1862), p. 238 = Works 3,

p. 562.

Im Falle der Parabel¹¹) sind die Koordinaten ganze quadratische Funktionen von tg-^-> dieses aber ist nach (12) eine dreiwertige algebraische Funktion von t, welche im Endlichen nur singulär wird an den beiden Verzweigungspunkten:

(24)

K* — <o) = ± -jp¹'-

H. Vorläufige Bahnfiestimmung.

a) Planetenbahnen.

7. Formulierung der Aufgabe. Das Auftauehen von Kometen und die Entdeckungen der kleinen Planeten erfordern nun aber auch die Lösung jener Aufgabe, welche die Umkehrung der bisher besprochenen bildet: die Bahnelemente eines Himmelskörpers aus gegebenen Beobachtungen zu bestimmen. Da die einzelne Beobachtung desselben bloß die Richtung erkennen läßt, in welcher dieser von der Erde aus gesehen wird, also zwei unabhängige Daten, etwa Rektaszension und Deklination, liefert, so reichen drei Beobachtungen mit Angabe der Beobachtungszeiten gerade hin, die sechs Bahnelemente zu bestimmen. Man kann auch sagen, die drei Beobachtungen liefern drei durch die drei Erdorte E, E', E" gehende Gerade, auf denen sich der Himmelskörper zu den Zeiten t, t', t" befindet, und demgemäß das Bahnbestimmungsproblem so aussprechen: Einen Kegelschnitt mit gegebenem Brennpunkte 8 (Sonne) zu finden, der drei gegebene Gerade in den ebenfalls noch zu findenden Punkten H, FT, H" so schneidet, daß:

(25)

Sector (HSET) = \VpW — t) = WpO", Sector (H⁷ SH⁷⁷) = ^YpTc(t" — f) = £]/pO, Sector (HSH⁷⁷) = f|/pÄ(r — t) =

Diese fünf Bedingungen und die Kenntnis des einen Brennpunktes legen den Kegelschnitt völlig fest. — Die älteren Versuche zur Lösung des Problems ließen allmählich erkennen, daß sie am zweckmäßigsten in zwei Schritten erfolgt. Der erste besteht in der Bestimmung der geozentrischen Distanzen:

(26)

₉ = EH, q'= E'H⁷, q"=E"H⁷,

der zweite in der Ermittelung des Kegelschnittes aus den nunmehr bekannten drei vollständigen heliozentrischen Orten.

Direkt an die obige Formulierung der Aufgabe knüpft A. Cayley™) seine geometrische Behandlung des Problems an.

8. Grundgleichungen. Die zur Bestimmung von p, p', p" nötigen drei Gleichungen ergeben sich auf dem Wege über die Dreiecksverhältnisse

(27)

Dreieck (IT SH")    „ Dreieck (HSJET)

¹¹ ~~ Dreieck (.HSH") ’ n ~ Dreieck (HSST) '

Legt man nämlich durch die Sonne eine beliebige Ebene und bezeichnet mit D, D', D" die Abstände der drei Orte H, IP, H" von derselben, so muß; da diese mit der Sonne in einer Ebene liegen, sein:

(28)

D' = nD + n"D".

Wird jetzt eine zur vorigen parallele Ebene durch die Erde gelegt, welche die scheinbare Himmelskugel in dem größten Kreise K schneiden möge, und nennt man die von der Erde aus gesehenen sphärischen Abstände der Sonne und des Himmelskörpers von diesem größten Kreise K, den Zeiten t, t', t" entsprechend, bzw. P,p, P', p, P', p", so kann statt (28) sofort geschrieben werden:

(29) p' sin^/— R' sin P'—n(g sinp—R sin P) -f- w" (q" sinp" — R" sin P"),

unter R, R\ R" die Entfernungen der Erde von der Sonne zu den Beobachtungszeiten verstanden. Es mag gleich hier bemerkt werden, daß eben diese Relation auch für die Erdbahn selbst, für die q = q = q" — 0 ist, gelten muß, wofern nur statt n, n" die auf diese bezüglichen Dreiecksverhältnisse N} N" gesetzt werden:

(30)

R' sin P' = NR sin P + N'R" sin P".

Es repräsentiert nun (29) bei Wahl von drei verschiedenen Bezugskreisen K:    K₂, K₃, ein System von drei Gleichungen, welche,

da R, P, p, . . . durch Sonnentafeln und Beobachtungen bekannte Größen sind, die geozentrischen Distanzen p, p', q" linear mit den Dreiecksverhältnissen n, n" verknüpfen. Die einer beliebigen Wahl von K entsprechende Gleichung wird eine lineare Kombination der obigen drei, welchen Umstand man zur Elimination einer oder zweier geozentrischer Distanzen benutzen wird, wobei die hiezu nötige Lage von K sofort durch die Anschauung gegeben ist. Insbesondere erhält man so durch Wahl der drei Seiten des durch die drei scheinbaren, geozentrischen Orte des Himmelskörpers bestimmten sphärischen Dreieckes als Bezugskreise K±, K₂, Ks das für Planetenbahnbestimmungen vorteilhafteste System, in welchem die geozentrischen Distanzen p, p', p",

53) A. Cayley, Lond. Astr. Soc. Mem. 38 (1870), p. 17 = Papers 7, p. 400.

soweit sie explizite auftreten, getrennt sind:

ng sin p    =    nB sin    Px    -|-    n'B" sin Pt" — B' sin P/,

(31)    — p' sinp    =    nB sin    P₂    -f-    n'B" sin P₂" — B' sin P₂',

n"q" sinp"    =    nB sin    P₃    -f-    n'B" sin P₃" — B' sin P₃',

wobei    aber nunmehr    p, p,    p"    die    drei Höhen jenes Dreieckes und

Pi; P/, P" die sphärischen Abstände der drei scheinbaren Sonnenorte von der »tei1 Seite desselben bezeichnen.

Wäre man nun im Stande n, n" irgendwie durch die geozentrischen Distanzen p, p', q" auszudrücken, so erhielte man durch Einsetzen dieser Ausdrücke in (29) die gewünschten drei Gleichungen für p, p', q". Nun gelingt dies in der Tat, indem man auf die Kenntnis der bisher noch nicht benutzten Zwischenzeiten 0, 0', 6" basiert. Wie nämlich aus einer Abzählung der Unbekannten folgt, ist der Kegelschnitt durch die drei heliozentrischen Distanzen und die entsprechenden Zwischenzeiten:

(32)    r = 5PT, r — SH', r"=SH", 0 = Jc(t"—f), 0" = l(t'—t)

festgelegt, so daß also auch die Dreiecksverhältnisse n, n" sich notwendig durch diese fünf Größen ausdrücken lassen müssen. Auf der anderen Seite läßt sich jede heliozentrische Distanz r aus der gleichzeitigen geozentrischen Distanz p sofort berechnen, da im Dreieck USE, die Seite SE — B der Erdephemeride, der Winkel bei E der Beobachtung entnommen werden kann. So kann man schließlich die Dreiecksverhältnisse n, n" selbst durch die p, g, g", 0, 6" ausdrücken, und erhält in (29) tatsächlich die drei zur Bestimmung der drei geozentrischen Distanzen p, p', p" nötigen Gleichungen.

9. Herstellung der Ausdrücke der Dreiecksverhältnisse. Erforderliche Genauigkeit. Da jedoch die Dreiecksverhältnisse in äußerst verwickelter Weise von r, r, r", 0, 0" abhängen, so müssen diese Gleichungen erst dadurch traktabel gemacht werden, daß man die Funktionen n(r, r, r", 0, 6") und n"(r, r, r", 0, 6") durch einfach gebaute Näherungsausdrücke ersetzt. Als Grundlage der Näherung bietet sich sofort die Kleinheit der Zwischenzeiten dar, denn in praxi tritt dieses Problem der ersten Bahnbestimmung nur in den ersten Wochen nach Entdeckung eines neuen Himmelskörpers auf. Man wird daher n, n" zuerst nach Potenzen einer Größe s von der Ordnung der Zwischenzeiten entwickeln, indem man vorher etwa, unter X, g, f, g endliche Größen verstehend, setzt:

(33)

Q = f£)    6" = gs,

r — r — 0" (X — gO"), r" — r -f- 0(1 -j- gO),

Koordinatensystems festgelegt durch ihre Neigung i gegen die Ekliptik und den Winkel Sl ihrer Schnittgeraden mit der Ekliptik (Knotenlinie) gegen die Frühlingsnachtgleichenlinie, die Knotenlänge <Q,. Hierauf ist die Lage des Kegelschnittes in seiner Ebene gegeben durch den Winkel it, welchen der kürzeste Radiusvektor (Apsidenlinie) mit der Knotenlinie einschließt, statt dessen mitunter der gebrochene Winkel m = jt -{- <R, die Perihellänge, eingeführt wird. Die Gestalt des Kegelschnittes ist charakterisiert durch die Länge \a\ der großen Halbachse, und die (numerische) Exzentrizität e, mit denen der Parameter p und der kürzeste Radiusvektor q (Periheldistanz) Zusammenhängen durch:

(i)

ÿ = o(l—e²), q = a{ 1—e).

Hiebei möge, um Ellipse und Hyperbel durch die gleichen Formeln zu beherrschen, für erstere a > 0, für letztere a < 0 genommen werden. Die Angabe des Ortes zu einer bestimmten Zeit wird geleistet durch Angabe des Zeitpunktes tQ, zu welchem sich der Himmelskörper gerade im Perihel befindet, der Perihelzeit.

Aus den Koordinaten x, y, z und Geschwindigkeitskomponenten x, i), z zu irgend einem Zeitpunkt berechnen sich die Elemente sofort vermöge der Flächensätze und der Laplaceschen¹²) Integrale: cx — yh — zÿ, c₂ — zx — x'z, rz =xy — yx,

(2)

u — rr,

fx = xü — ux, f₂ = yù — uÿ, f₃ = ZU — UZ,

ii = F² — —, r

in denen c1; c₂, c₃ die Komponenten eines zur Bahnebene normalen Vektors der Länge IcYp sind, f1} f₂, f₃ aber diejenigen eines in der Apsidenlinie liegenden Vektors der Länge h²e.

Den Charakter der Bahn gibt unmittelbar das Vorzeichen der aus der Energiegleichung

(3)

a In;

folgenden Größe a.

3. Koordinaten eines Ortes. Ein beliebiger Ort des Himmelskörpers ist nun fixiert durch den in Richtung der Bewegung gezählten Winkel des Radiusvektors gegen die Apsidenlinie, die wahre Anomalie v, aus welcher der Radius selbst folgt, durch:

(4)

a (1 — e²)

1 + e cos v

26

wodurch dann:

(34)

» = ®(/) 9, >■, 9, «), «" = f, A, 9, — £)

wird, und nun bloß die ersten Glieder dieser Reihen in (29) einführt. Die Methode, nach welcher diese Entwicklung erlangt wird, ist

et V 0/^7*

wesentlich diese: Man sieht zunächst außer r auch noch

als bekannt an und drückt durch diese drei Größen und 6, 6" die Dreiecksverhältnisse n, n" aus, indem man erst vermöge der beiden Differentialgleichungen :

*£ + pJ>-0,

(35)

d²u

ic²

dr

+ pï « = °> U = rdt den Abstand D(t) zur Zeit t' -f- ~ in der Form darstellt: B(t) = cp(t)D' -f- ip (t)

(36)

dt²

dB'

dt' ’

dr d²r dt’ Ht²

aus den beiden für

wo cp(x), xp(r) Potenzreihen nach r mit in r,

dB'

~W

— 6" und x = 6 aus (36) zu erhaltenden Gleichungen gibt der Yergleich des Eliminationsresultates mit (28):

Koeffizienten sind. Mach Elimination von

rationalen

(37) n: n": 1 = ip(ß):— ip(— 6"):ip(ß)q)(— 6") — cp(6)ip(— 6").

Die Konvergenzverhältnisse der Reihen cp, ip sind durch die singulären Punkte der Koordinaten (vgl. Nr. 6) bestimmt, die der Reihen für n, n" noch außerdem durch die Nullstellen der Dreiecksfläche •|r/'sin(v"—v), welche aber, wie F. R. Moultoni8) bemerkt, nur verschwindet, wenn r oder r" = 0, d. h. t oder t" ein singulärer Punkt der Koordinaten ist oder der Zwischenwinkel v" — v ein Multiplum

von 180° wird. Die endlichen Ausdrücke für cp, ip gibt F. Kühnertu). dr d²r

Um dann    mit Hilfe der noch unbenutzten r, r" zu eli

minieren, entwickelt man von der zweiten Differentialgleichung (35) ausgehend r und r" bzw. nach Potenzen von 6" und 6, wobei in den Koeffizienten

d*r' dt²

dieser beiden Reihen mit r und r" die Werte jener Größen in Form von Potenzreihen nach e her.

dr'

dt

und

auftreten, und leitet aus der Vergleichung

Noch vorteilhafter wird man n, n" durch Oskulationsausdrücke ersetzen, d. h. Funktionen von r, r, r", 6, 0", die einerseits möglichst einfach gebaut sind, und deren Entwicklungen nach a andererseits noch in Termen möglichst hoher Ordnung mit denen von n und n" über-

54) F. Külinert, Astr. Nackr. 95 (1879), p. 145, 203.

einstimmen. Die Wahl derselben bildet den wesentlichsten Unterschied der im letzten Jahrhundert aufgestellten Methoden.

Von besonderer Wichtigkeit ist es festzustellen, wie genau n, n' zu nehmen sind, damit die Grundgleichungen (29) die Distanzen q , p', p" mit einer vorgegebenen Genauigkeit liefern. Es zeigt sich in dieser Hinsicht: sind n, n" bis ev+2 exklusive genau, so werden p, p', p" bis ev, p — p', q" — q bis «v+1 und ^ p -j- q" — p' bis £v+2 exklusive genau sein. Gleiches findet aber auch dann noch statt, wenn n, n" bloß bis £v + 1, aber doch n -f- n' bis £v + 2 exklusive genau sind.

Berechnet man dann weiter unter Benutzung solcher Werte der Dreiecksverhältnisse und Distanzen nach irgend welchem der unter Nr. 11 genannten Verfahren die heliozentrischen Zwischenwinkel:

¹

Ygl. YI 2, 3 (Wirtz) Seite 150, Fußnote 330.

²

Encyklop. d. matt. Wissensoh. VI 2.

³

⁴

V. Puiseux, Journal d. math. 14 (1849), p. 33 und Note 1 zu Lagranges Méc. analyt. 2 éd. 4 = Oeuvres 12, p. 341.

⁵

   J. C. Adams, Mess, of math. 7 (1877), p. 97.

⁶

   E. Catalan, Nouv. annal, d. math. (3) 3 (1884), p. 506.

⁷

   F. B. Moulton, Astron. Joum. 23 (1903), p. 93.

⁸

   C. V. Charlier, Lunds Meddel., n° 22 (1904) ; ferner Mechanik des Himmels (Leipzig 1902—7) 2, p. 255.

⁹

   H. G. Block, Lunds Meddel., n° 23 (1904); Arkiy of math. astr. ok fys. 1 (1904), p. 467.

¹⁰

   A. Hurwitz, Paris C. R. 143 (1906), p. 877 ; 144 (1907), p. 63.

¹¹

W. A. Hamilton, Astron. Journ. 23 (1903), p. 49.

¹²

P. S. Laplace, Méc. cél. 1 (= Oeuvres 1), p. 181. Über die geometrische Bedeutung vgl. G. Darboux, Paris Bull. Astr. 5 (1888), p. 89.

(38)    2    =

so erhält man diese allemal bis £v + 1 exklusive genau.

Für die Funktionaldeterminante der drei Grundgleichungen nach p, p', p" findet man angenähert etwa durch Verwendung der Ausdrücke (41):

R'A cos z,

(39)

300"

2 r'⁴

Zeit (t -j- t' -j- t") liegt nahe in

wobei D den Eckensinus des durch die drei scheinbaren geozentrischen Orte des Himmelskörpers, A jenen des durch die äußeren Orte des Himmelskörpers und den mittleren Sonnenort gebildeten sphärischen Dreiecks bezeichnet. Hier ist im allgemeinen das erste Glied von der Ordnung s² das zweite von der Ordnung £³, so daß D oder nach Th. v. Oppolzer¹) der nahe halb so große Flächeninhalt des Dreiecks ein Maß für die Sicherheit der zu gewinnenden Werte der Distanzen q, q, q" abgibt. Wird D — 0, in welchem Falle die obigen Genauigkeitsangaben in Frage gestellt sind, so fallen entweder zwei der scheinbaren geozentrischen Orte des Himmelskörpers zusammen, oder es liegen alle drei in einem größten Kreise. Tritt letzteres ein, so ist entweder r nahe = R', oder der mittlere Sonnenort, nach F. Tietjen²) genauer der zur demselben größten Kreis.

10. Näherungsausdrücke der Dreiecksverhältnisse. Ein bis ev exklusive genauer Wert irgend einer Größe möge allgemein im folgenden ein Ver Näherungswert derselben genannt werden.

Die Ersetzung der Dreiecke durch die zugehörigen Sektoren er-

7' — r

(r + 7')

gibt zunächst für n, n die 2t0a Näherungswerte:

6

n—p, n

Ebenfalls 2te Näherungswerte, bei denen aber n -f- n" bis «⁸ exklusive genau ist, sind die bereits bei J. L. Lagrange³) und in der Folge insbesondere bei C. F. Gauß auftretenden Ausdrücke:

n=W

welche im speziellen bei gleichen Zwischenzeiten, 6 = 6", 3te Näherungswerte liefern, bei denen überdies wieder n -)- w" bis £⁴ exklusive genau ist⁴). Allgemein 3te Näherungswerte sind:

6'* — 0⁵ 6

(40)

(41)

(42)

0"

— rm

, 06"\ „ 0"/₁ . 00"\ (i +273),    » — 0H¹ + 27V

—w(l

0'² — 0" ²

67⁸

4te Näherungswerte stellen die von Th. v. Oppolzer™) angegebenen Ausdrücke dar:

67

0*0"

(43)

/₁ , A 0²—0² . . n— (14-4———x -J- 4

/, . . 0'²—0"² .00"* \ (1+4 —3— x — 4 -Ç-xy),

0‘

xy),

7' 4- r

Ebensolche von etwas anderer Form gibt R. Radau™), gelegentlich einer zusammenfassenden Behandlung der verschiedenen Näherungsausdrücke.

Desgleichen sind 4te Näherungswerte, bei denen aber wieder n 4- n' bis £⁵ exklusive genau ist, die von J. W. Gibhs⁷) durch Interpolation der Koordinaten mittels eines Polynoms 4tea Grades in t — t' abgeleiteten Ausdrucke :

(44)

¹ -t

0'0" — 0²

00' — 0"²

„    0" ⁺ 127'⁸

00" 4_“0'²? n — 0'    00" 4-0'

¹    127 ³

12r³

12 7®

welche im speziellen bei gleichen Zwischenzeiten 6 = 0' 5te Näherungswerte liefern, bei denen überdies wieder n -f- n" bis £⁶ exklusive genau ist. Schon früher hatte A. de Gasparis⁸) Glieder höherer Ordnung in n, n" mitzunehmen versucht, aber ziemlich komplizierte Formen erhalten.

Bei verschwindender Exzentrizität stellen die von W. Ebert⁹) angegebenen Ausdrücke:

(45)

14

30' * — 80*

48 / ¹⁰

rr

0"

14

30'* — 80"*

48/ ⁸

50' ⁸

0'

50' *

48/⁸

48/ ⁸

4te Näherungswerte dar, bei denen aber der Fehler von n -f- n" den Faktor (6 — 6")² enthält, so daß bei gleichen Zwischenzeiten n -f- n" bis s¹¹ exklusive genau ist.

P. Harzer⁶*) hat die allgemeinen Reihenentwicklungen von n, n" nach £ bis P° durchgeführt, indem er dabei die einer Kreisbahn entsprechenden Werte von n, n" als Faktoren abspaltete, und hat die Verwendung der erhaltenen Ausdrücke bei numerischer Rechnung durch mehrere Tafeln erleichtert.

11. Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen. Der in

•    f    ? d v d ^ v'

J. L. Lagrange selbst wählte nicht r, /, r", sondern r,

Nr. 9 angegebene Zusammenhang zwischen dem Genauigkeitsgrade der n, n" und demjenigen der p, p , p" läßt erkennen, daß die Näherungsausdrücke (40) der Dreiecksverhältnisse, durch welche zwar das System (29) überhaupt linear in den geozentrischen Distanzen würde, gar keine Näherung für diese gewähren, was bereits J. L. Lagrange¹²) hervorhebt. Mit ihrer Verwendung fallen wesentlich die Versuche der Kometenbahnbestimmung jener älteren Autoren zusammen (Kepler, P. Bouguer¹²)), welche den Kometen als in gerader Linie sich gleichförmig bewegend annehmen.

als Unbekannte, drückt also nach Nr. 9 n, n", r, r" durch eben diese Größen aus, wobei unter Vernachlässigung von £³ im wesentlichen die Gleichung (51) für r folgt.

a) Methode von Gauß. Die niedrigste überhaupt zulässige Näherung für n, n" bilden vielmehr die Ausdrücke (41), welche im allgemeinen erste, bei gleichen Zwischenzeiten aber zweite Näherungswerte der geozentrischen Distanzen finden lassen.

Auf ihnen basiert die von Gauß in der Theoria motus ausführlich entwickelte Methode, welche indess in wesentlichen Punkten (vgl. Nr. 13, 14) von den Verfahren abweicht, deren sich Gauß¹³) bei seinen ersten Bahnbestimmungen der Ceres und Pallas bedient hat. Da diese Ausdrücke (41) bloß r enthalten, so hat man in der zweiten Gleichung des Systems (31), wenn r unter Bezugnahme auf das Dreieck SHE' durch q ausgedrückt gedacht wird, eine Gleichung mit der einzigen Unbekannten q, nach deren Bestimmung p, q" sofort aus der ersten und dritten Gleichung des Systems (31) sich ergeben.

Statt q führt Gauß als Unbekannte den Winkel z = -èfcSHE' am Planeten ein, durch den sich p' und r ihrerseits in der Form darstellen

(46)

q' : r : H' = sin (z -f- rp') : sin r// : sin z ,

wofern mit ip' der durch die Beobachtung bekannte Winkel <)C SE'H' an der Erde bezeichnet wird. Hiedurch erhält Gauß für z eine Gleichung (8ten Grades in sin z) der einfachen Gestalt:

(47)

M sin⁴ z' = sin (z -f- eo),

welche nun durch sukzessive Näherung leicht zu lösen ist.

Da die Erdbahn selbst eine Lösung der Aufgabe bildet und für

cos < 0 oder > 0 ist. In letzterem Falle haben

sie z'= 180°—i\) ist, so muß diese Gleichung, weil selbst nur näherungsweise richtig, eine dem Werte 180°—iß' mindestens nahe gleiche Wurzel z besitzen, die also beiseite zu lassen ist. Von den übrigen Wurzeln sind, da z' und ty' Winkel desselben Dreiecks SH JE' sein sollen, bloß jene brauchbar, für die 0<V<180°—ip' ist. Solcher gibt es aber stets nur eine oder zwei, und zwar je nachdem 300" sin P«'

2P'³ sin p'

weitere Beobachtungen über die zu treffende Wahl zu entscheiden. Mit der Diskussion der Wurzeln der Gleichung (47) hat sich zuerst J.F. Encke¹⁴ 15) näher befaßt und eine Tafel zum raschen Erkennen des gerade vorliegenden Falles entworfen. Später sind G. W. Hill6a),

Th. v. Oppolzerï0), N. Herzn) und W. H. Young¹⁶ 17 18) hierauf zurückgekommen.

Zur Berechnung von q, q" aus dem.bekannt gewordenen q' kann man sich statt (31) auch irgend zweier in (29) enthaltenen Gleichungen bedienen, in denen bloß p, q bzw. q", q' auftreten, was dann der Fall ist, wenn man den Bezugskreis K durch den dritten bzw. ersten scheinbaren Planetenort gehen läßt. Die hiebei Testierende Willkür in der Wahl von K kann zur Vereinfachung der beiden Gleichungen benutzt werden, was meist dadurch geschieht, daß man K noch durch den dritten, bzw. ersten scheinbaren Sonnenort hindurch gehen läßt, was P" = 0 bzw. P = 0 ergibt. Nur wenn hiebei die Koeffizienten von q und q" sehr klein werden, was eintritt, wenn die drei Sonnenorte mit dem ersten oder dritten Planetenort nahe in einem größten Kreise liegen, wird man, um die dadurch bedingte Unsicherheit in der Bestimmung von q, q" zu vermeiden, anders über K verfügen.

Sind so die drei vollständigen heliozentrischen Orte des Himmelskörpers mit ihren geozentrischen und heliozentrischen Distanzen bekannt geworden, so könnten die für das Weitere wichtigen heliozentrischen Zwischenwinkel (38) direkt vermöge:

(48)

sin 2f : sin 2f : sin 2f" = nr :r : n'r”,

r=f+r,

bestimmt werden, da hienach 2f, 180° — 2f', 2f" die Winkel eines Dreiecks der gegebenen Seiten nr, r, n'r” sind. Doch wird numerisch eine größere Sicherheit erlangt, wenn man nach Gauß f trigonometrisch aus den beiden äußeren heliozentrischen Orten des Himmelskörpers, und dann bloß f, f" aus (48) berechnet.

Für den Zwischenwinkel f gilt hiebei:

• 9 /»/    o d • n K CC i . a J *9 CC -j— ß

sir f — cos² y snr — --(- sin² y sin² —-—,

rr    rr \    , rr i rr

a = (p -f ^ -f 8 ,

(49)

a = cp + ip + e,

worin J den Winkel der Ebenen SEH und SE” EL”, cp, cp” die Winkel ihrer Schnittlinie mit SE bzw. SE” bedeuten und ih, z und ip”, z” die zu ty’, z analogen Größen für die erste und dritte Beobachtung sind, also alle diese Winkel bis auf z, z” direkt durch die Beobachtungen bestimmt sind.

Nach Bekanntwerden der Gänschen Methode haben insbesondere

J.F.Encke¹⁹ 20 21 22), P. A. Hansen⁷⁴) und F. Tietjen²¹) eingehende Darstellungen derselben geliefert, und für die numerische Rechnung weitere spezielle Vorschriften und weitere Umformungen der einzelnen zu berechnenden Ausdrücke angegeben.

Die Verwendung der Näherungswerte (42) der Dreiecksverhältnisse, welche bloß die Werte von M und œ in der Gaußschen Schlußgleichung (47) abändert, hat J. F. Enche in einem Zusatze zu seiner ebengenannten Arbeit im Berliner Jahrbuch vorgeschlagen.

b) Methode von Th. v. Oppolzer. Die dieser Methode zugrunde liegenden Ausdrücke (43) der Dreiecksverhältnisse liefern in allen Fällen zweite Näherungswerte für die geozentrischen Distanzen. Da dieselben bloß r und r" enthalten, so hat man in der ersten und dritten Gleichung des Systems (31), wenn r und r" unter Bezugnahme auf die Dreiecke SHE und SH"E" durch p und p" ausgedrückt gedacht sind, zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten p, p", die aber keiner weiteren Reduktion auf eine so einfache Form, wie Gauß' Schlußgleichung fähig sind, sondern in ihrer ursprünglichen Gestalt durch sukzessive Näherung gelöst werden müssen.

Statt hierauf p' etwa aus der zweiten Gleichung des Systems (31) abzuleiten, schreitet v. Oppolzer zuvörderst zur trigonometrischen Berechnung des Zwischenwinkels f aus den beiden durch p, p" bekannt gewordenen äußeren heliozentrischen Orten des Himmelskörpers, und bestimmt dann r gleichzeitig mit f und f" aus (48). Ausführlich dargestellt findet sich diese Methode in v. Oppolzers Lehrbuch der Bahnbestimmung 1. (1882) (zuerst 1869 in der 1. Auflage), auch gab F. Tietjen™) ein vereinfachtes vollständiges Rechenschema für dieselbe an.

c) Methode von J. W. Gibhs. Die ihr zugrunde liegenden Ausdrücke (44) der Dreiecksverhältnisse liefern im allgemeinen dritte, bei gleichen Zwischenzeiten aber vierte Näherungswerte für die geozentrischen Distanzen. Da in jenen Ausdrücken die drei heliozentrischen Distanzen gleichzeitig auftreten, ist eine unmittelbare Reduktion auf weniger als drei Unbekannte nicht möglich, weshalb J. W. Gibbs auch nicht das besondere System (31) benutzt, sondern jene drei Gleichungen, welche aus (29) hervorgehen, wenn der Bezugskreis X der Reihe nach in die drei Ebenen des geozentrischen Ekliptikal-

27

koordinatensy stems gelegt wird, weil die dann auftretenden Koeffizienten rascher zu bilden sind. Als Unbekannte wählt Gibbs die Projektionen der drei heliozentrischen Distanzen auf die zugehörigen geozentrischen und erzielt hiedurch eine gewisse Vereinfachung der differentiellen Korrektionsformeln des NewtomchenNaherungsverfahrens, nach welchem er sein System auf löst. Außer in der Originalarbeit²³) von Gibbs findet sich seine Methode auch in Klinkerfues - Buchholz, Theoretische Astronomie, ausführlich dargestellt.

W. Fabritius²⁴ 25) hat ein besonderes Approximationsverfahren zur Lösung der drei Gibbsschen Gleichungen in Vorschlag gebracht, welches immer nur die wiederholte Auflösung einer Gleichung mit einer Unbekannten erfordert. Desgleichen hat R. Vogel¹⁹) weitere Vereinfachungen angegeben.

d) Die von P. Harzer²⁶) auf Grund seiner bis «¹⁰ gehenden Reihen für n, n" ausführlich entwickelte Methode bildet das Endglied jener Reihe von Untersuchungen, welche vor allem Glieder möglichst hoher Ordnung in den Zwischenzeiten gleich beim ersten Schritt zu berücksichtigen trachten.

Nach anderer Richtung ist E. Weiß²⁷) gegangen, welcher sich das Ziel stellte, die für die Praxis gerade ausreichende Genauigkeit auf dem kürzesten Wege zu erlangen. Er hat hiezu den Einfluß der einzelnen Glieder 3tei und 4ter Ordnung von n, n" auf die Grundgleichungen einer eingehenden numerischen Abschätzung mit Rücksicht auf die speziell bei Asteroiden vorliegenden Bahnverhältnisse unterworfen und wurde dadurch zu einer von der Gauß sehen wenig verschiedenen Grundgleichung, als der für Asteroiden einfachsten und zweckmäßigsten geführt.

Gleicherweise ist die von W. Ebert²⁸ 29) auf den Näherungsausdrücken (45) aufgebaute Methode speziell für nahe kreisförmige Bahnen zugerichtet, läßt aber bei diesen im allgemeinen bessere Werte der Distanzen erwarten als die Gauß sehe Gleichung (47), wiewohl sie auf eine ähnliche, nicht kompliziertere Schlußgleichung führt.

12. Methode von Laplace. Satz von Lambert. Auf einem von dem früheren verschiedenen Gedankengang beruht die vonP.S.Laplace⁸⁸)

entwickelte Methode der Bahnbestimmung. Bei dieser werden zuerst aus den beobachteten drei oder eventuell mehreren Orten die beiden Winkelkoordinaten des geozentrischen Ortes mit ihren ersten und zweiten Differentialquotienten nach der Zeit für einen passend zu wählenden Zeitpunkt interpolatorisch berechnet, und dann als Unbekannte die geozentrische Distanz mit ihren beiden ersten Differentialquotienten nach der Zeit: p, -^|, ~~₂ für eben diesen Zeitpunkt gewählt. Die Bestimmungsgleichungen für diese hat man direkt in den drei Bewegungsgleichungen des Himmelskörpers relativ zur Erde, welche bei Wahl des Vdsionsradius, der relativen Geschwindigkeit normal zu diesem und der zu beiden normalen Richtung als Bezugsachsen lauten:

Kv*q =

to

•53

’SS

•s-

>—*■

(50)

dq

dv

2v dt + dt ⁹

SS.

'S

tH

SJ

₇ ₉ /cos ip , cos z \

Hierin bedeuten K die geodätische Krümmung der auf die Einheitskugel übertragenen scheinbaren geozentrischen Bahn des Himmelskörpers (positiv gezählt, wenn die Bahn gegen den scheinbaren Sonnenort zu konvex ist), v die scheinbare Geschwindigkeit desselben senkrecht zum Yisionsradius, und a den Winkel, welchen diese mit dem den Planetenort und den gleichzeitigen Sonnenort verbindenden größten Kreise bildet. Bemerkt sei, daß die früheren Grundgleichungen (29) bei verschwindenden Zwischenzeiten gerade in dieses System (50) übergehen.

In der ersten Gleichung hat man, die geometrische Beziehung zwischen r und p hinzugedacht, eine Gleichung 8ten Grades für p allein, welche sich aber wegen der Wurzel p = 0 auf den 7ten Grad erniedrigt, und nach deren Lösung ~ und linear aus der zweiten

und dritten folgen. Durch p und ~ ist dann Lage und Geschwindigkeit des Himmelskörpers für den gewählten Zeitpunkt gegeben, woraus nach Gl. (2) die Elemente selbst abgeleitet werden können. Auf der gleichen Methode basieren J. W. Lubbocku)} G. B. AirySh), A. Cauchy³⁰ 31 32 33)

27*

und Y.Villarceau³⁴ 35 36). Später haben H. Bruns*⁹), K. Schwarzschild*⁹) und P. Harzer³⁷) weitere Ausführungen zu derselben gegeben. Die Genauigkeit der Laplaceschen Methode untersuchte H Poincaré³⁸) und zeigte, daß man bei Interpolation der scheinbaren Bahn aus drei beobachteten Orten und Wahl des arithmetischen Mittels der drei Beobachtungszeiten als Epoche der Bahnbestimmung stets gleich zweite Näherungswerte der den drei Orten zugehörigen geozentrischen Distanzen

durch Interpolation aus q,    erhält.

Aus der ersten Gleichung des Systems (50) liest man, wie dies E. Vicaire³⁹) tut, unmittelbar den Lambertschen Satz ab, daß r < R oder r > R ist, je nachdem die scheinbare Bahn des Himmelskörpers ihre konkave oder konvexe Seite dem scheinbaren Sonnenorte zukehrt. Dieser Satz wurde zuerst von J. H. Lambert⁴⁰ 41) aus geometrischen Betrachtungen hergeleitet, welche analytisch gefaßt zu der mit der 6raw/3schen Gleichung (47) im wesentlichen identischen, aber erst von Lagrange") aufgestellten und zur Bahnbestimmung verwandten approximativen Relation:

, sin p ? sinTjÿ ⁼

(51)

T Eee"{w>-7i)

überleiten, so daß bei Lambert der erste Keim der Gänschen Methode zu suchen ist, was des näheren J. Glauser⁴²) und H. Bruns⁴³ 44) erörtert haben. Bei der ersten Bahnbestimmung der Ceres und Pallas hat sich Gauß noch direkt der Gleichung (51) bedient. Auf ihren geometrischen Inhalt sind B.Lehmann-Filhés9T) und G.Sidler⁴⁵) näher eingegangen. Soll die scheinbare geozentrische Bahn einen Wendepunkt zeigen, also K — 0 sein, so muß nach (50) entweder r — R sein, oder der jene tangierende größte Kreis den scheinbaren Sonnenort enthalten. Damit letzteres eintritt, muß die Relativgeschwindigkeit des Himmelskörpers gegen die Erde in die durch diese beiden und die

Sonne gelegte Ebene fallen, Avofür C. F. Gauß") die Bedingung:

r sin u R sin (L — fl)

(52)

angibt.

Vp

yp

13. Bestimmung der Elemente ans zwei vollständigen heliozentrischen Orten. Mit den geozentrischen Distanzen q, q , q" sind drei vollständige heliozentrische Planetenorte bekannt geworden, und es erübrigt nun, den zweiten Schritt zu tun, aus diesen die sechs Bahnelemente herzuleiten, wozu offenbar bereits zwei Orte gerade ausreichen. Man wird den ersten und dritten, H und H", hiezu wählen, um durch Ausdehnung des Intervalls möglichste Schärfe zu erlangen, und wird dann den mittleren Ort H' zur Probe der Richtigkeit der Rechnung verwenden. Da die Ebene HSH" die Bahnebene ist, so sind i und «Q, trigonometrisch sofort zu berechnen. Die Gestalt des Kegelschnittes, also die Elemente a und e, lassen sich aus den zwei Radienvektoren r und r" und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel 2f = v" — v ermitteln. Gauß führt ihre Bestimmung auf diejenige der Differenz der zu beiden Orten gehörigen exzentrischen Anomalien 2g = E" — E zurück. Zunächst nämlich folgt aus den Formeln der elliptischen Bewegung:

2 ~\/rr" cos f

sin² <7

(l + sin³f),

(54)

e cos

E -f E"

b = ayi — e² =

l cos q — sin*-f-l -|- sin⁸ ~

]/rr" sin f sin g ,

wobei zur Abkürzung:

(65)

r -)- r" — 2]/rr" cos f 4 ]/rr" cos f

gesetzt ist.

Auf der anderen Seite wird der Flächeninhalt des Segmentes, das durch die Sehne EH" von der Ellipse abgetrennt wird, durch den Ausdruck Ąab(2g — sin 2g) dargestellt. Daher ergibt die Bedingung:

Sektor = Dreieck -j- Segment = ^YpO' unmittelbar die zur Bestimmung von x — sin² y dienende transzendente

(56)

99) C. F. Gauß, Werke 7, p. 303. Es bedeuten P den Parameter der Erdbahn, L die wahre Länge der Erde.

sin³ <7

(2yVr" cos/■')-'

Ist <7 gefunden, so folgen aus (53) die Elemente a, e, und dann mit Hilfe von (54) E, also auch u. Da nun der Ort H völlig bekannt ist, so wird durch v die Richtung der Apsidenlinie, also it gegeben. Die Beobachtungszeit t liefert schließlich das letzte Element t₀ oder s. Die Formeln (53—55) sind übrigens von Gauß noch weiterer Umgestaltungen zwecks numerischer Rechnung unterzogen worden.

Die Auflösung der Gleichung (57) durch sukzessive Näherung oder Reihenentwicklung stützt sich darauf, daß vermöge der Kleinheit der Zwischenzeit x eine Größe 2ter Ordnung in den Zwischenzeiten ist. Aus einem später (Nr. 14) ersichtlichen Grunde führt Gauß das Verhältnis Sektor : Dreieck: (58)

ein Näherungswert von Q(x) ist, in der

statt x als Unbekannte ein, und setzt dann die Gl. (57) mit Rücksicht darauf, daß

6*

Form an:

(59) vs— n*

mi

i+i + m

wo zwar %(x) durch x noch von r[ abhängt, aber von 2ter Ordnung in x ist. Die Berechnung einer fortlaufenden Kette von rf- und x-Werten nach (58) und (59), ausgehend von x — 0, bildet daher ein rasch konvergentes Verfahren zur Bestimmung dieser Größen, das durch die von Gauß gegebenen Tafeln noch wesentlich vereinfacht wird. Eine weitere Modifikation desselben gibt F. Tietjen ¹⁰°) und die Gaußischen Tafeln auch J. Bauschinger¹⁰¹). Der Umstand, daß Q(x) eine hypergeometrische Funktion ist:

(60)

Gleichung:

(57)

¹ + t(* + *)<?<» =

3 2 g — sin 2 g

6'

Q(x) = F(l,S, ±,x)

bildet die Quelle verschiedener von Gauß angegebener Kettenbruch-und Reihendarstellungen von %(x). Später sind P. A. Hansen¹⁰²) und neuerdings W. Fabritius10S) und L. de Ball¹⁰³) auf solche zurückgekommen.

100)    F. Tietjen, Beri. astr. Jahrb. für 1879.

101)    J. Bauschinger, Tafeln, Nr. 19 und 20.

102)    P. A. Hansen, Leipzig Ber. 15 (1863), p. 83.

Reihenentwicklungen für die Lösung der Gl. (59) haben P. A. Hansen¹⁰²) und C. F. Encke⁴⁶ 47) aufgestellt, und zwar entwickelt ersterer rf nach Potenzen von l und einer mit m² verschwindenden Größe, während letzterer Igrf nach Potenzen von

(r + r'T

(vgl. Gl. (85)) entwickelt.

Besonders bemerkenswert ist die große Unempfindlichkeit des durch (57) und (58) berechneten Wertes von r[ gegenüber von Veränderungen des Zwischenwinkels f. Da nämlich angenähert:

dr\ d'sYp df'~ br'⁶

(61)

ist, so erzeugen Fehler von f immer in r[ Fehler einer um drei Einheiten höheren Ordnung bezüglich e. Die zu erwartende Genauigkeit der Elemente untersucht P. Harzer⁴⁸ 49).

Ein anderes bereits von Gauß¹⁰⁰) angedeutetes Verfahren zur Bestimmung der Bahn aus zwei vollständigen heliozentrischen Orten besteht darin, die Gl. (57) durch die Lambertsche Gl. (17) zu ersetzen, indem man zunächst aus dieser den Wert von a bestimmt. Mit diesem folgt dann x aus (53) und hierauf die übrigen Elemente ebenso wie früher. Es empfiehlt sich dieses Verfahren, von welchem neuerdings auch 0. Callandreau⁵⁰) eingehend handelt, bei nahe parabolischen Bahnen und größeren Zwischenzeiten.

Da für diese wegen der Kleinheit von — auch s, d klein und daher ihre Differenz gegen den Sinus durch trigonometrische Tafeln schlecht bestimmbar werden, so setzt man hier die Lamberts che Gleichung in die Form:

60' = (r -f- r" -f- sf Q ^sin² — (r -j- r"

(62)

) ' Q (sin² y) ,

r -j- r"— s

r -f- r" -f- s

• Q f

sm'T

und legt vermittels der erwähnten hypergeometrischen Reihen oder Kettenbrüche für Q(x) Tafeln an, wie dies J. G. Watson⁵¹ 52 53), Th. v. Oppolzer¹⁰⁰) und J. Bauschingeruo) tun. Die wieder für kleine Zwischen-

Zeiten entstehende Schwierigkeit, daß 9' sich nach (62) als Differenz nahe gleicher Größen bestimmt, zu beheben, gibt A. Marth⁵⁴) unter Einführung des Hilfswinkels sin y =

eine andere Umformung

r -J- r"

und Reihenentwicklung, deren Benutzung er durch besondere Tafeln

erleichtert. Eine für kleine Exzentrizitäten und Zwischenzeiten rasch

konvergierende Reihenentwicklung gibt M. Kowalski⁵⁵ 56 57).

(57)

von

J. W. Gibbs endlich zieht zur Bestimmung der Bahn alle drei heliozentrischen Orte jedoch mit Weglassung der Beobachtungszeiten, heran. Das hiedurch erlangte überzählige Datum gestattet die Lösung zu umgehen, indem der Parameter der Bahn aus:

(63)

i> =

nr -f- ri'r" — r

n -f n" — 1

folgt, welche Relation unmittelbar aus (28) erhalten wird, wenn man die Ebene normal zur Apsidenlinie wählt. Indessen erscheint p als Quotient von Größen 2ter Ordnung unsicher bestimmt, ein Umstand, den Gauß vermieden wissen wollte, obzwar er auch dieses Verfahrens zur Herleitung der Elemente ausführlich gedacht hat113a). Gleiches gilt auch von den zu (63) analogen Ausdrücken für e, v, v, v", welche W. Fabritius1U) hergeleitet hat.

Es kann nach Gauß⁵⁵) aber auch bei Verwendung von nur zwei Orten p direkt zu mindest sehr angenähert bestimmt werden,

e"

indem aus 9']/p — Jr*dv mittels der Cotesschen Formeln als erste

V

Näherung folgt:

(64)

O’VP = f(r- + /'*),

mit welcher der den Winkel (rr") halbierende Radius r₀ berechnet werden kann:

°lL = JL (1_ 4- L\ — 1 «in² —

r₀    2 \ r ‘ r") p

(65)

mit dem nun wieder nach den Cotesschen Formeln als zweite Näherung folgt:

(66)

Diesen auf L. Euler zurückgehenden Weg hat Gauß bei seinen ersten Bahnbestimmungen der Ceres und Pallas wirklich eingeschlagen. Wird aber in (66) r₀² aus r², r'⁸, r"² interpoliert:

(67)

W = (1 - £)    + Ç *•'> + (l - j) r"²,

so resultiert der von F. B. Moulton11B) zugrunde gelegte Näherungsausdruck.

14. Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen. Die vorigen Verfahren der Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen müssen, um als wirkliche Bahnbestimmungsmethoden bezeichnet werden zu können, durch ein weiteres Approximationsverfahren ergänzt werden, das die geozentrischen Distanzen und flamit die Elemente mit beliebiger Genauigkeit zu finden gestattet. Die Auffindung eines solchen Verfahrens von praktisch leichter Durchführbarkeit ist, zumindest was nicht parabolische Bahnen angeht, ein ganz wesentlicher Fortschritt, den Gauß seinen Vorgängern gegenüber erzielt hat. Der Kern desselben mag gleich unter spezieller Bezugnahme auf die Gauß sehen Näherungsausdrücke (41) der Dreiecksverhältnisse, die hier kurz durch (n) und (n") bezeichnet werden sollen, angegeben werden. Will man v -j- lte Näherungswerte der Distanzen ermitteln, so genügt es, für w, n" in das System (29) einzuführen:

(68)

n = (n) + B,

unter B, B" die auf (n), (n") in den Reihenentwicklungen (34) folgenden Glieder bis mindestens £v+2 inklusive verstanden. Hat nun eine vorhergehende Näherung für die heliozentrischen Distanzen vu Näherungswerte r%, r*, r%" ergeben, so wird man in n, n" bzw. n -f- n" Fehler der erlaubten Ordnungen «r + 2 bzw. ev + 3 begehen, wenn man in B} B" eben diese Werte für die heliozentrischen Distanzen einsetzt, und also auch statt (68) in dem System (29) einführen können:

n"-(»") + 2V\

(69)

n = (») + B%,

Hier sind nun B%, Bnumerisch bekannte kleine Größen, daher die Ermittlung v -f- lter Näherungswerte aus nten durch formal genau ebendieselben Gleichungen geschieht, wie unter (Nr. 11a) diejenige erster.

Dies wäre im Grunde noch das von Lagrange vorgeschlagene Verfahren.

Der Schwerpunkt des Gaußschen Verfahrens ruht aber nun weiter in seiner von den umständlichen Reihenentwicklungen der n, n"

115) F. B. Moulton, Astr. Journ. 22 (1902), p. 43. .

T> — n*" —

(73)

Jr —-—    —, 7',

66"

1 ) = *V³

Q = 2r%s (w* + w*"

unabhängigen Methode der Berechnung dieser numerischen Korrektionen JR*, B%". Sie sind die Überschüsse der mit den Werten r%, rr* bis mindestens £v+2 inklusive genau gebildeten n, n" über die mit den gleichen Werten berechneten Näherungsausdrücke (n), (n") :

-ß* — % (n )# ■

Berechnet man aber nach Nr. 13) aus r%, r* , r* und den zugleich mit diesen bei der vorhergehenden Näherung bekannt gewordenen v -f- lten Näherungswerten f%, /*', f%" der Zwischenwinkel die Verhältnisse r)%, rją." der drei Sektorflächen zu den zugehörigen Dreiecksflächen, so kann man in (70) nehmen:

0_ n*

(70)

-^Ss- n* (n)*>

K' =

Denn der hiebei begangene Fehler rührt allein von der Ersetzung der zu r%, r* , r* exakt gehörenden Werte der Zwischenwinkel durch die Werte f*,    f*' her, welche voneinander um Größen der Ord

nung £v+1 verschieden sind, da beide von den wirklichen Werten derselben bloß um solche ab weichen, und dies ergibt in den rj*, rj*" Fehler der Ordnung £r+4, so daß w*, n*' sogar um eine Einheit genauer folgen als fürs erste nötig ist⁵⁸). Die so der v -j- lten Näherung zugrunde zu legenden Ausdrücke (69) lassen sich noch leicht, ohne die erforderliche Genauigkeit zu unterschreiten, in die von Gauß verwandte Form bringen:

(71)

«* =

6'

V*

-77 *

(72)

l + P (L + 27*)

TTld¹ + 2T⁵)’

n*n*"r*rm" cos cos f; cos f" ’ welche überdies den Vorteil besitzt, die Berechnung bloß von r]*, zu erfordern.

Dies Verfahren wird erst in der „Theoria motus“ auseinandergesetzt, während bei den ersten Bahnbestimmungen der Ceres und Pallas Gauß sich entweder der Methode der Variation der geozentrischen Distanzen (Nr. 26) bediente oder auch nach Hinzufügung der Differenz Beob.-Rechn. zum beobachteten mittleren Orte zu einer neuen Bahnrechnung schritt.

Aus der Tatsache, daß die auf obigem Wege ermittelten n*r, bis £v + 3 inklusive genau sind, erbeilt die Möglichkeit, bei Ersetzung der Naherungs aus drücke (n), (n") durch genauere bei jedem Schritt immer gleich um zwei Einheiten in der Genauigkeit zu steigen. Bei gleichen Zwischenzeiten ist dies bei der geschilderten Gauß sehen Methode von selbst der Fall, bei beliebigen Zwischenzeiten aber, wenn man mit v. Oppolzer obiges Approximationsverfahren an seine Methode anschließt. Aus der gleichen Tatsache erhellt aber auch die Unmöglichkeit, auf dem gleichen Wege etwa bei Verwendung der Gibbsschen Ausdrücke der Dreiecksverhältnisse um mehr als zwei Einheiten in der Genauigkeit bei jedem Schritt zu steigen.

Übrigens geht Gibbs auch hier einen anderen Weg. Da er die Elemente aus allen drei heliozentrischen Orten ohne Heranziehung der Zwischenzeiten bestimmt, so ist die Bedingung, der die strengen Werte der Distanzen genügen müssen, diese, daß die umgekehrt aus den Elementen und heliozentrischen Orten berechneten Zwischenzeiten 0, 0" den gegebenen 0, 0" gleich sind. Dies mit beliebiger Genauigkeit zu erreichen, ersetzt er in den Ausdrücken (44) der n, n" die 0, 0" durch so zu bestimmende unbekannte Größen r, r", daß 0, 6", die jetzt bestimmte Funktionen von r, r" sind, gerade gleich 0, 0" werden. Da nun allgemein sehr nahe 6 — r, 6" = x" ist, so werden die r, x" einfach durch sukzessive Iteration erhalten, indem man immer beim folgenden Schritt x, x" ersetzt durch x -f- 0 — 0, x" -{- 0" — 6" und beim ersten natürlich wie vorhin x — 0, x = 0" nimmt.

15. Bahnbestirrmiung aus vier Beobachtungen. Fällt die Bahnebene des Planeten mit der Ekliptik zusammen, so sind alle geozentrischen Breiten Null, und da aus dem Verschwinden zweier Breiten bereits das jeder anderen folgt, so liefern hier drei Beobachtungen bloß fünf unabhängige Daten und lassen also die Bahn unbestimmt. Daher werden bei sehr geringer Neigung der Bahnebene gegen die Ekliptik die Elemente durch drei Beobachtungen sehr unsicher bestimmt sein. Diesen Übelstand zu beseitigen ersetzt man nach Gauß11,1) die Angabe der einen geozentrischen Breite durch jene der geozentrischen Länge einer vierten Beobachtung, oder man zieht allgemeiner gesprochen (Oppolzer)⁵⁹ 60) die acht Daten von vier Beobachtungen (der Zeiten t₁₇ t₂, t₃, t₄) dadurch in sechs unabhängige zusammen, daß man die Angabe zweier der scheinbaren Orte (t₂, t₃) ersetzt durch die zweier, je einen der beiden Orte enthaltender größter Kreise K₂, K₂ (74a,b) (?! sin pu — Ą sin Pu) -f

und stellt so die neue Aufgabe: jene Bahn zu finden, welche zwei Gerade und zwei Ebenen zu gegebenen Zeiten tlf f₄ und t2} ts schneidet. Die Grundgleichungen der auf den Prinzipien von Nr. 8 beruhenden Methode ihrer Bestimmung sind die aus der Anwendung der Relation (29) auf die Orte tlf ti} mit (i — 2, 3) als Bezugkreis und der Relation (48) auf eben diese Orte folgenden Beziehungen⁶¹ 62):

(s°4 sinp4i —sin P4J)

+ Ą sin Pu = 0, (i = 2, 3),

(i = 2, 3),

Alf

(75a,b)

ri~

4 i .

A₁₄

nebst einer zu (49) analogen Gleichung (75 c), welche den heliozentrischen Zwischenwinkel fu trigonometrisch durch q1} p₄ ausdrückt.

Sie reichen in der Tat, den Zusammenhang zwischen rh und bemerkt, gerade aus die Distanzen rh samt den Zwischen winkeln fhk zu ermitteln, falls noch die Dreiecksverhältnisse wie früher durch ihre Ausdrücke in den rh ersetzt werden. Hiezu hat man aber einerseits festzustellen, daß abweichend gegen früher bei Verwendung vter Näherungswerte der Dreiecksverhältnisse bloß v — 3t0 Näherungswerte der Distanzen folgen, und andererseits zu beachten, daß bloß jene Näherungsausdrücke, die rx, r₄ allein enthalten, praktikabel sind, weil bei diesen dann (74 a, b) bloß die beiden Unbekannten rX} r₄ enthalten, und sich so die numerische Rechenarbeit auf die durch Versuche zu erfolgende Auflösung dieser zwei Gleichungen reduziert, während die übrigen Unbekannten sich nachher aus (75 a, b, c) direkt bestimmen. Obwohl hienach vierte Näherungswerte der Dreiecksverhältnisse die niedrigst zulässigen wären, so langt Gauß¹¹⁷) doch, wenigstens bei mäßiger Exzentrizität und nahe gleichen Zwischenzeiten, mit seinen Ausdrücken aus, weil die Glieder dritter Ordnung in ihnen für Kreisbahnen allgemein, für gleiche Zwischenzeiten aber vermöge seiner Vorschrift, die äußeren Orte als unvollständig zu wählen (4<^<^<4)> verschwinden. Die gleiche Methode gibt auch J. C. Watson ¹²°).

Th. v. Oppolzer¹¹⁸) wählt zur Erhöhung der Genauigkeit der Bestimmung der Bahnlage die beiden inneren Orte als unvollständig (tx <ź₂ <ts < £₄) und hat in den von ihm aufgestellten Ausdrücken (43) nun unmittelbar bloß rx, r₄ enthaltende vierte Näherungswerte der Dreiecksverhältnisse, denen er übrigens noch die mit der Exzentrizität nicht verschwindenden Glieder vierter Ordnung hinzufügt, die ebenfalls durch r1; r₄ allein ausdrückbar sind. Die Ermittlung beliebig genauer Werte der Distanzen erfolgt jedesmal genau so wie in Nr. 14, indem man immer mit den zuletzt gefundenen Näherungswerten der rh, fhk die rj-Größen und aus diesen die numerischen Korrektionen der angewandten Ausdrücke der Dreiecksverhältnisse bestimmt, durch deren Verwendung dann die nächsten Näherungswerte der Distanzen folgen. Die Elemente ergeben sich dann nach Nr. 13 aus zweien, am besten den beiden äußeren, der durch die Distanzen bekannt gewordenen heliozentrischen Orte.

Die Gibbsschen Ausdrücke der Dreiecksflächen zieht W. Fabri-tius m) heran.

Unter numerischer Diskussion der einzelnen Glieder der Reihenentwicklungen der Dreiecksflächen sucht E. Coddington⁶³ 64) ein vereinfachtes Verfahren aufzustellen, bei dem insbesondere die Korrektion der Dreiecksflächen statt durch Berechnung der 97-Größen einfach durch Berechnung weiterer Glieder ihrer Reihenentwicklung erfolgt. Zur Ermittlung beiläufiger Näherungswerte der Distanzen gibt A. Ber-berich⁶⁵ 66) ein abgekürztes Verfahren. Verschiedene zweckdienliche Winke auch bei Klirikerfues-Buchholzm).

16. Bestimmung einer Kreisbahn. Im Falle die zu bestimmende Bahn von vornherein als kreisförmig vorausgesetzt wird, wie dies zur Erlangung einer allerersten Orientierung über die Bahnlage eines neuentdeckten kleinen Planeten bisweilen geschieht, sinkt die Zahl der zu ermittelnden Elemente auf vier, indem mit der Exzentrizität auch die Perihellänge in Wegfall kommt, und es reichen also zu ihrer Bestimmung die vier Daten von zwei vollständigen Beobachtungen gerade aus. Da diese jetzt wieder zwei Gerade liefern, auf denen der Planet sich zu den Beobachtungszeiten befinden muß, und seine gleichzeitigen heliozentrischen Entfernungen immer gleich dem Radius der Bahn sind: r — r" = a, erscheint die Lage der beiden Orte im Raum von der einzigen Unbekannten a abhängig, zu deren Bestimmung man nun die Bedingung heranzuziehen hat, daß der von den Radienvektoren der beiden Orte eingeschlossene Winkel 2fr den vom

6'

zweiten Keplerschen Gesetz geforderten Wert —,hat. Dies liefert

nach Nr. 11 Gl. (49) die Gleichung:

6'

sin² —

— sin² -

(76)

20*4

a = (p -{- ^ + £,

— sin tb, a ^ ’

sin z =

—a" q J i • ««-fa"    . o

-y— cos² y -f sin² —^— sin² , «" = cp" + f" -f z",

sin ==

ir

— sin a ^ ;

welche durch Versuche nach a aufzulösen ist, worauf die übrigen Elemente SI, i, s aus den jetzt bekannt gewordenen beiden heliozentrischen Orten folgen⁶⁷). Die Frage, wann den beiden Beobachtungen durch eine Kreisbahn nicht genügt werden kann, also (76) keine reelle Lösung zuläßt, behandelte unter der Voraussetzung, daß die Beobachtungen nahe der Ekliptik gelegen und der Opposition zeitlich benachbart sind, F. Tisserand⁶⁸) und zeigte, daß dies dann eintritt, wenn die Bewegung in Breite eine gewisse Grenze übersteigt. Seine Darlegung vereinfachte H. Bourget⁶⁹).

zu

Die Aufgabe, aus drei Beobachtungen eines in der Ekliptik sich bewegenden Planeten eine Kreisbahn und gleichzeitig die Konstante h bestimmen, behandelt G. W. Hill⁷⁰).

b) Kometenbahnen.

17. Formulierung der Aufgabe. Grundgleichungen. Im Falle die zu bestimmende Bahn von vornherein als Parabel vorausgesetzt wird, wie dies bei einer ersten Kometenbahnbestimmung ausnahmslos geschieht, erscheinen die noch übrigen fünf Elemente durch die sechs Daten dreier Beobachtungen überbestimmt, und man zieht deshalb die beiden Angaben der mittleren Beobachtung dadurch in eine einzige zusammen, daß man einen noch beliebig zu fixierenden größten Kreis K durch den mittleren Kometenort auf der scheinbaren Himmelskugel legt, und dann allein die Bedingung benutzt, daß der mittlere Ort auf K liegen soll — mit anderen Worten, man ersetzt in der Formulierung von Nr. 7 der allgemeinen Bahnbestimmungsaufgabe die Gerade E H durch eine sie enthaltende Ebene. Dies hat zur Folge, daß man von den drei in (29) enthaltenen Grundgleichungen bloß die eine bei Wahl von K als Bezugskreis resultierende bilden kann; also mit den Bezeichnungen von Gl. (29) und Berücksichtigung

> = 0 ist:

q" — Mq -f- m,

n sin p n" sin p" ’

M= -

(78)

n"    (UR Siû P + n"R" Siü P" — R' sin P')-

Diese erste Grundgleichung enthält nun bloß q, q" oder die mit diesen in einfacher geometrischer Beziehung stehenden r, r" als Unbekannte. Denn hier bei der Parabel sind, wie eine Konstantenzählung lehrt, oder aus Nr. 9 wegen — = 0 hervorgeht, n, n" durch r, r"f 0, 6" allein, ohne Heranziehung von r ausdrückbar.

In endlicher Form sind hier die Dreiecksverhältnisse in ihrer

Abhängigkeit von den beiden äußeren Radien und den Zwischenzeiten durch die von F. W. JBessel⁷¹ 72) hergeleiteten beiden kubischen Gleichungen gegeben:

4x³ — 3(V -f r")x + 6 + 0" = 0

(79) ya—y² +1if -f    2x*)y-\-1 (:r" — r) x — %(0" — 0)=0,

n = x — y, n" = x + y.

Die zur Bestimmung von r, r" nötige zweite Grundgleichung bildet dann der Fulersche Satz:

(80)

6 6' — (r + r -(- sy'¹ — (r -f- r" — s)Vi,

da die Sehne s — HS’ ebenfalls mit r, r" in einfacher trigonometrischer Beziehung steht.

Diese beiden Gleichungen müssen nun wieder dadurch erst trak-tabel gemacht werden, daß man in der ersten für n, n" passende Näherungsausdrücke verwendet, wobei man überdies aus der noch willkürlichen Lage von K wird Nutzen zu ziehen haben. In dieser Richtung hin ist es wesentlich festzustellen, daß, wie zuerst Th. Clausen1S0) klargelegt hat, es hier, um r, r" bis Größen der Ordnung sv exklusive genau zu erhalten, genügt für M, m bis Größen der Ordnung £v+1 exklusive genaue Werte einzuführen. Solche zu erhalten, genügt es bei allgemeiner Lage von K für n, n" bis «v+1 exklusive genaue Werte zu verwenden, wofern diese nur n -}- n" bis «v+2 exklusive genau geben; bei der Olbersschen Wahl von K aber genügt hiezu, daß n/n" bis £v + 1 exklusive genau ist.

"2

(83) s =yu2, -f- A², r = y a(uß)* Ą-y*, r" — ]/a"(u + ß")z -f- y

und die nun so zu bestimmen ist, daß diese Werte die EWersche Gleichung (80) erfüllen. Dies geschieht durch Anwendung der reguła falsi oder eine Art fortgesetzter Iteration. Auch kann die Enckesehe Behandlung der Eulerschen Gleichung (vgl. Nr. 19) hiebei mit Vorteil benutzt werden.

des näheren li. Vogel⁷³) und J. Bauschinger¹³⁸) erörtern.

was

18. Ermittlung von Näherungswerten der Distanzen nach der Methode von W. Olbers⁷³). Diese liefert im allgemeinen erste, bei gleichen Zwischenzeiten, 6 — 6", aber zweite Näherungswerte der Distanzen.

Bei ihr wird zunächst der größte Kreis K durch den mittleren Sonnenort gelegt, wonach p, p", P, P" im allgemeinen Größen der Ordnung e sind und P' — 0 wird, so daß nach (30) aus (78):

n sin p n" sin p"⁷

folgt. Für M, m werden nun niedrigst zulässige, also zweite Näherungsausdrücke verwendet. Solche sind aber, da m durch die besondere Wahl von K von der Ordnung £³ bei gleichen Zwischenzeiten von der Ordnung s³ geworden ist:

0 sin p 6" sin p"⁷

welche Ausdrücke im besondern bei gleichen Zwischenzeiten dritte Näherungswerte repräsentieren. Die Bestimmung von r, r" aus den durch die geometrischen Beziehungen zwischen r, r" und q, q", s zu ergänzenden Gleichungen (77) und (80) wird dann von Gauß⁷⁴) auf die Ermittlung einer einzigen mit q linear zusammenhängenden Unbekannten u zurückgebracht, durch die sich s und r -f- r" in der Form darstellen:

(81) M:

m=

n sin P D , b.

77 --77 -Pv j--:-

n sm p ¹ sin p

sin P" j,,,_/ n N\ sin P p

\w" N'j sin_p"

(82)

Eine der Olbersschen im wesentlichen gleiche Methode hat, worauf W. Fabritius⁷⁵) aufmerksam machte, bereits A. Du Séjour⁷⁶*) vorgeschlagen. Auch J. Lambert⁷⁷) kam derselben äußerst nahe und benutzte später⁷⁸ 79) direkt die Olberssche Gleichung (77) mit den Werten (82),

Läßt man ferner insbesondere die Zwischenzeiten 6, 6" nach Null konvergieren, so gehen die Grundgleichungen der Olbersschen Methode in diejenigen der auf parabolische Bahnen zugeschnittenen Laplaceschen Methode (vgl. Nr. 12) über:

^ + ²^f^⁼⁼⁰>

in denen V die Geschwindigkeit des Kometen in seiner Bahn, p aber den jeweiligen sphärischen Abstand des scheinbaren geozentrischen Kometenortes von jenem größten Kreise bezeichnet, der zur „Beobachtungszeit“ diesen mit dem gleichzeitigen Sonnenort verbindet. Die erste Gleichung kann auch unmittelbar als Ausdruck der Tatsache gefunden werden, daß die Relativbeschleunigung des Kometen gegen die Erde in der Ebene von Sonne—Erde—Komet liegt. Aus beiden Gleichungen folgt,

(84)

die kinematische Beziehung zwischen

dq

und V hinzugedacht, eine

Gleichung 6ten Grades für p, welches wieder der niedrigste Grad ist, auf den das Kometenproblem reduzierbar ist. Sind indessen die ersten und die zweiten Differentialquotienten der beiden Koordinaten des scheinbaren Ortes vollständig gegeben, so kann durch Hinzunahme

dt

21c*

der Relation V² — — zu dem System (50) q im Prinzip rational

gefunden werden, worauf neuerdings L. Ticart¹³⁹) zurückkommt. Das Verhältnis der Laplaceschen zur Olbersschen Methode erörtert B. Radau¹*⁰). Die mehrfachen Lösungen des Kometenproblems untersucht Th. v. Oppolzer¹*¹), indem er die Eulersche Relation näherungsweise 2 0'*

durch s² =

ersetzt und zeigt, daß die dann resultierende Gleichung

6ten Grades für q immer nur eine oder drei reelle positive Wurzeln besitzt. Dieselbe Frage behandelt dann JE. Pasquier¹⁴²).

19. Bestimmung der Elemente aus den Distanzen. Die die Bahnlage fixierenden Elemente i, ergeben sich wie bei Planetenbahnen sofort trigonometrisch aus den durch p, q" bekannt gewordenen heliozentrischen Orten. Den Weg zur Bestimmung der übrigen Elemente eröffnet die Ermittlung der Gestalt der Parabel, also des Parameters jp, welche hier abweichend von Nr. 13⁸⁰) durch die beiden

T⁷"

138)    J. Bauschinger, Veröftentl. d. Kgl. Recheninatitutes Nr. 20, (1902), p. 1.

139)    L.Picart, Paris. Bull. astr. 16 (1899), p.412; Paris C. R. 129 (1899), p. 17.

140)    R. Radau, Paris. Bull. astr. 4 (1887, p.409; Paris C. R. 105 (1887), p. 457.

141)    Th. v. Oppolzer, Wien Ber. 86 (1882), p. 885; Oppolzer, Bahnb. 1, p. 308.

142)    E. Pasquier, Belg. Bull. (3) 32 (1896), p. 111.

143)    Die dortigen Formeln auf die Parabel anzuwenden, hat man bloß zu bemerken, daß für diese stets x = 0 ist.

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

28

¹

   Th. v. Oppolzer, Bahnb. 1, p. 367; Astr. Nachr. 92 (1878), p. 97.

²

   F. Tietjen, Astr. Nachr. 73 (1869), p. 353.

³

   J. L. Lagrange, Berlin Mém. 1783, p. 296 = Oeuvres 4, p. 451.

⁴

   Letzteres folgt daraus, daß n 4- n" bei gleichen Zwischenzeiten nach (34) bloß gerade e-Potenzen enthält.

⁵

   Th. v. Oppolzer, Bahnb., p. 100 (1. Aufl., p. 231). Bezüglich der geometrischen Bedeutung der Zusatzglieder in diesen und den früheren Ausdrücken vgl. die Vorrede von H. Poincaré in Tisserand-Perchot. Leçons.

⁶

   B. Radau, Paris Bull. astr. 21 (1904), p. 401.

⁷

   J. W. Gibbs, National academy of sciences 4 (1888) = Papers 2, p. 118, 149. Das erwähnte Verhalten der (rf&bsschen Ausdrücke rücksichtlich ihrer Genauigkeit hat E. Weiß in den Denkschriften der Wiener Akademie 60 (1893), p. 345, klargelegt.

⁸

   A. de Gasparis, Astr. Nachr. 42, 43, 46, 47 (1856—58); siehe hierüber auch G. Lorenzom Astr. Nachr. 132 (1893), p. 225.

⁹

   W. Ebert, Wien Denkschr. 78 (1906), p. 645.

¹⁰

   P. Harzer, Kiel Sternw. Publ. 11 (1901).

¹¹

   J. L. Lagrange, Berlin Mém. 1778, p. 124; 1783, p. 296 = Oeuvres 4, p. 451, 496 und Méc. analyt. 2 (= Oeuvres 12), p. 41.

¹²

   P. Bouguer, Paris hist. 1733 mém., p. 331.

¹³

   G. F. Gauß, Monatl. Corr. 20 (1809), p. 197 = Werke 6, p. 148.

¹⁴

   J. F. Encke, Astr. Nachr. 27 (1848), p. 241, 257; J. F. Enclce, Berlin Abh. 1848, p. 1.

¹⁵

   G. W. Hill, Runkles Math. Monthly. 3 (1860), p. 26 = Works 1, p. 2.

¹⁶

   Th. von Oppolzer, Astr. Nachr. 92 (1878), p. 97; Th. von Oppolzer, Wien Ber. 86 (1882), p. 885.

¹⁷

   N. Herz, Wien Ber. 86 (1882), p. 1125.

¹⁸

   W. H. Young, Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 57 (1897), p. 379.

¹⁹

   J.F.Encke, Berlin astr. Jahrb. für 1854, p. 316; J.F.Encke, Astr. Nachr. 30 (1860), p. 33 und 49; Berlin Ber. 1848, p. 60; 1849, p. 167; Berlin Abh. 1849, p.l.

²⁰

   P. A. Hansen, Leipzig Ber. 15 (1863), p. 83.

²¹

   F. Tietjen, Berlin astr. Jabrb. für 1879.

²²

   F. Tietjen, Berlin astr. Jahrb. für 1887.

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 2.

²³

   J. W. Gibbs, National acad. of sciences 4 (1888) = Papers 2, p. 118, 149.

²⁴

   W. Fabritius, Astr. Nachr. 128 (1891), p. 225.

²⁵

   jR. Vogel, Astr. Nachr. 129 (1892), p. 37.

²⁶

   P. Harzer, Kiel Sternw. Publ. 11 (1901).

²⁷

   E. Weiß, Wien Denkschr. 60 (1893), p. 345.

²⁸

   W. Ebert, Wien Denkschr. 78 (1906), p. 645; Paris Bull. astr. 23 (1906),

²⁹

p. 209.

³⁰

   P. S. Laplace, Paris Hißt, de l’acad. 1780, p. 13 = Oeuvres 10, p. 93 und Méc. cél. 1 (— Oeuvres 1), p. 218.

³¹

   J. W. Lubbock, Lond. Astr. Soc. Mem. 4 (1830), p. 39.

³²

   G. B. Airy, Lond. Astr. Soc. Mem. 11 (1840), p. 181.

³³

   A. Cauchy, Zahlreiche Abhandlungen in: Paris C. R. 23 (1846), 25 (1847), 26 (1848) == Oeuvres ser. 1, t. 10.

³⁴

   Y. Villarceau, Paris Ann. de l’obs. 3 (1857), p. 1.

³⁵

   H. Bruns, Astr. Nachr. 118 (1888), p. 241.

³⁶

   K. Schwarzschild, Astr. Nachr. 124 (1890), p. 211.

³⁷

   P. Harzer, Astr. Nachr. 141 (1896), p. 177.

³⁸

   H. Poincaré, Paris Bull. astr. 23 (1906), p. 161.

³⁹

   E. Vicaire, Paris C. R. 100 (1885), p. 778, 842.

⁴⁰

   J. H Lambert, Berlin Nouv. Mém. 1771, p. 352.

⁴¹

   J. L. Lagrange, Berlin Mém. 1778 = Oeuvres 4, p. 451.

⁴²

   J. Glauser, Astr. Nachr. 121 (1889), p. 65.

⁴³

   H. Bruns, Astr. Nachr. 118 (1888), p. 241.

⁴⁴

   B. Lehmann-Filhés, Astr. Nachr. 98 (1881), p. 307.

⁴⁵

   G. Sidler, Astr. Nachr. 99 (1881), p. 139.

⁴⁶

   W. Fdbrüius, Astr. Nachr. 129 (1892), p. 49. Hierzu L. de Ball, Astr. Nachr. 129 (1892), p. 283.

⁴⁷

   J. F. Encke, Berlin astr. Jalirb. für 1854, p. 316.

⁴⁸

   P. Harzer, Publik, d. Sternwarte Kiel 11 (1901).

⁴⁹

   C. F. Gauß, Theoria motus, art. 109 (Schluß).

⁵⁰

   O. Callandreau, Determ. d. orbites. Paris, ann. de l’obs. 23 (1902), p. Gr. 1.

⁵¹

   J. C. Watson, Theor. astr., Tafel 15 und 16.

⁵²

   Th. v. Oppolzer, Bahnbest. 2, Tafel 17.

⁵³

   J. Bauschinger, Tafeln Nr. 23.

⁵⁴

A. Marth, Astr. Nachr. 65 (1865), p. 321. Vgl. hierzu noch 0. Cal-landreau, Paris Bull. astr. 18 (1902), p. 127 und analoge Tafeln bei J. Bauschinger, Tafeln.

⁵⁵

   M. Kowalski, St. Petersburg. Bull, de l’acad. 20 (1875), p. 559.

⁵⁶

   G. F. Gauß, Theoria motus, art. 86.

113“) C. F. Gauß, Theoria motus art. 82, 83.

⁵⁷

   W. Fabritius, Über die Berechnung der richtigen Distanzen, Kiew 1877 und Astr. Nachr. 90 (1877), p. 217, 225.

⁵⁸

Ein Verfahren aber, welches bei den folgenden Näherungen direkt die numerischen Werte n*" in die Grundgleichungen einführt, worauf im wesentlichen W. Fdbritius Berechnung der richtigen Distanzen, Kiew 1877 und Astr. Nachr. 90 (1877), p. 127 hinauskommt, entbehrt hienach der theoretischen Grundlage seiner Konvergenz.

⁵⁹

   C. F. Gauß, Theoria motus, art. 164 ff.

⁶⁰

   Th. v. Oppolzer, Bahnb. 1, p. 413.

⁶¹

Unter Ahk, 2 fhk ist das Dreieck und der Winkel zwischen rh, rk, unter pki, Pki der sphärische Abstand des Planeten und der Sonne zur Zeit tk von verstanden.

⁶²

J. C. Watson, Theor. astr., p. 282.

⁶³

   W. Fabritius, Astr. Nachr. 128 (1891), p. 321.

⁶⁴

   E. Coddington, Dissertation, Berlin 1902.

⁶⁵

   A. Berberich, Yeröffentl. d. kgl. Recheninst. Nr. 20 (1902), p. 81.

⁶⁶

   W. Klinkerfues-H. Buchholz, Theor. Astr., p. 460.

⁶⁷

   Klinkerfues-Buchhólz, Theor. Astr., p. 237 (nach mündl. Mitt. v. Gauß).

⁶⁸

   F. Tisserand, Paris C. R. 119 (1894), p. 881. Paris Bull. astr. 12 (1895), p. 53.

⁶⁹

   H. Bourget, Paris Bull. astr. 23 (1906), p. 81.

⁷⁰

   G. W. Hill, Proc, of the Amer. Acad. 3 (1870), p. 201 = Works 1, p. 77; The Analyst. 1 (1874), p. 43 = Works 1, p. 170.

⁷¹

   F. W. Bessel in der Zeitschrift: „Astronomische Abhandlungen“, hrsg. v. Schumacher, Heft 2, Altona 1823. Abgedruckt in Bessel, Abh. 1, p. 13.

⁷²

   Th. Clausen, St. Pétersb. bull, (phys.) 10 (1852), p. 175; vgl. auch J.F. Encke, Berlin astr. Jahrb. für 1856, p. 362.

⁷³

   W. Olbers, Abh. über Kometenbahnen = Werke 1, p. 3.

⁷⁴

   C. F. Gauß, Monatl. Corr. 28 (1813), p. 501; Gött. Com. soc. reg. 2 (1813) == Werke 6, p. 25.

⁷⁵

   W. Fabritius, Astr. Nachr. 106 (1883), p. 87.

⁷⁶

   A. P. Dionis du Séjour, Paris Hist. 1779, Mém. p. 51.

⁷⁷

   J. Lambert, Insign. propr. 1761, probl. 31.

⁷⁸

   J. Lambert, Berlin Mém. 1771, p. 352.

⁷⁹

   B. Vogel, Astr. Nachr. 136 (1894), p. 83.

⁸⁰

Nachr. 10 (1833), p. 233 und J. Bauschinger, Tafeln, Nr. 22 und 24.

Radien r, r" und die Zwischenzeit 6' allein bestimmt erscheint, da der dort unter Zuhilfenahme der Beobachtungen abgeleitete Zwischenwinkel 2f hier vermöge der Sehne s gefunden werden kann, welche selbst wieder aus (80) zu berechnen ist. Letzteres geschieht nach J. F. Enclcelu) praktisch durch:

(85) s = (t -j- r”) sin y, sin -L = ]/2 siny,

sin & =

30'

j/2 (r + r")⁷*

oder durch Benutzung der ebenfalls von J. F. Eriche¹⁵³) entworfenen

den Wert von

(i-Tafel, welche mit dem Argument 3 cos

2 -f- cos y

(86)

folgt.

26'

(r + r")7*

gibt, mit welchem s —

26'

-7= .U

■j/r -f- r"

Da sich weiter das Verhältnis von Sektor zu Dreieck in der Form darstellt:

(87)

2 -j- cos y

3 cos 7

”|/9 — 8/i²

so ist hienach auch der Parameter:

rf rr" sin 2 f'

Vp =

(88)

6'

j/rr" 8inf' 1/ cosr

’    7 V 2 cos f

gegeben. Nach dessen Bestimmung aber folgen Perihellänge W und Perihelzeit t₀ ohne weiteres aus den Gleichungen der parabolischen Bewegung.

20. Ermittelung beliebig genauer Werte der Distanzen. Auch für das weitere auf den Prinzipien von Nr. 14 beruhende Approximationsverfahren zur Auffindung beliebig genauer Werte der Distanzen gestalten sich bei der Ohmschen Wahl von K die Verhältnisse besonders günstig. Um v -f- lte Näherungswerte der Distanzen zu erhalten, genügt es, für einen v -J- 2ten Näherungswert in M und m

einzuführen. Hat nun eine vorhergehende Näherung Ve Näherungswerte    rą." der Distanzen ergeben, so wird man einen Fehler der

erlaubten Ordnung £v + 2 (bei gleichen Zwischenzeiten der Ordnung £v + 3) begehen, wenn man ebendiese in den Ausdruck von durch r,r", d, 6" ¹ 2 3 4 5

einsetzt, und man wird also für M und m die numerischen Werte: 11* sinp n” sin p" ’

verwenden können. Einen Fehler ebenderselben Ordnung begehend, kann man aber weiter m* auch durch -- m* ersetzen, was darauf hinauskommt, die Grundgleichungen mit den Werten:

m = 0,

(89)

sin P

n* n “ sin_p

v R H⁻

sin P"

sinjp

ttB"

anzusetzen, so daß die Ermittelung v -J- lter Näherungswerte aus vt6n wieder durch formal genau ebendieselben Gleichungen geschieht wie unter Nr. 18 die erster. Gleichzeitig erhellt aus den angegebenen Fehler Ordnungen, daß bei gleichen Zwischenzeiten dies Verfahren bei jedem Schritt stets um zwei Einheiten genauere Werte der Distanzen liefert.

(90)

aus r%, r%", 6, 6" kann hier streng entweder durch die Bessehchen Gleichungen (79) geschehen, oder dadurch, daß man auf Nr. 19 basierend noch r% und damit rj*, rj%" ermittelt. Mit einer wenigstens für die ersten Schritte, die aber in der Praxis stets ausreichen, genügenden Genauigkeit kann man sich nach E. Weiß¹⁴⁵) und W. Fabritius¹⁴⁶) hiezu auch mit Vorteil des Gihbsschen Ausdruckes bedienen:

Die Berechnung von

(91)

q'q" — e2 ~Ï2r*s ee' — e"² *

welcher im allgemeinen bis zu dritten Näherungswerten der Distanzen in drei Schritten, bei gleichen Zwischenzeiten aber bis zu vierten Näherungswerten in zwei Schritten führt. Endlich kann auch bei den weiteren Näherungen die Auflösung der mit dem verbesserten M gebildeten Grundgleichungen dadurch umgangen werden, daß man die Änderung von M als differentiell betrachtet und den Differentialquotienten

dg

aus

(77), (80) bildet. Den Ausdruck für

d*Q

leitet

dM

A. 0. Leuschner¹^) ab^ und gibt gleichzeitig Formeln für die differentiellen Änderungen der Elemente bei Variation von q} q". Ein von obigem verschiedenes sukzessives Näherungsverfahren hat Carlini in Vorschlag gebracht. Man kann nämlich auch die strengen

dM*

145)    E. Weiß, Wien Ber. 100 (1891), p. 1132.

146)    W. Fabritius, Astr. Nachr. 128 (1891), p. 225.

147)    A. 0. Leuschner, Berlin. Dissertation 1897.

28

Werte der Distanzen mit der Annahme (82) bestimmt denken, wofern man bloß den Bezugskreis K nicht mehr durch den mittleren Kometenort gehen läßt, sondern unter Festhaltung seines Knotens seine Neigung x abändert. Und zwar wird dieses x so zu bestimmen sein, daß wenn man mit den aus p, p" folgenden Elementen, den Ort für die Zeit der mittleren Beobachtung berechnet, die Neigung 9 des durch ihn und den mittleren Sonnenort gelegten Kreises der beobachteten 9 gleich ist: 9 = 9. Da nun wieder allgemein bis auf Größen höherer Ordnung & = x ist, so findet man x durch sukzessive Iteration, indem man immer beim folgenden Schritt x ersetzt durch x -f- 9 — ■9' und beim ersten natürlich wie vorhin r = 9 setzt.

Tr in den meisten Fällen

21. Ausnahmefälle. Methode von Gauß. Die Konvergenz der Olbersschen Methode erscheint in dem Falle zunächst wenigstens fraglich, in welchem p, p" von höherer als erster Ordnung in e sind, also die drei scheinbaren Kometenorte und der mittlere scheinbare Sonnenort sehr nahe auf einem größten Kreise liegen. Einerseits wird dann nämlich m von niedrigerer als zweiter Ordnung in e, also nicht zu vernachlässigen sein, andererseits erscheint auch M numerisch recht unsicher bestimmt. Nun läßt sich durch andere Wahl von K, etwa normal zu dem die beiden äußeren Kometenorte verbindenden größten Kreise, oder nach E. Weiß¹⁴⁸) so, daß sein Knoten in der Ekliptik um 90° von der Mitte zwischen den beiden äußeren Sonnenorten absteht, sofort erreichen, daß p, p" von erster Ordnung, also M numerisch sicher bestimmbar ist. Dagegen bleibt m auch dann noch, wie (30) lehrt, von erster Ordnung, wird aber doch durch den in seinen Gliedern niederster Ordnung auftretenden Faktor ^ erheblich verkleinert, da die Kometen zumeist in Erdnähe entdeckt werden. Th. v. Oppolzer¹⁴⁹) behält in solchen Fällen m bei und ersetzt n, n" durch die beiden ersten bloß von r -f- r" abhängigen Glieder seiner Näherungsausdrücke (43), wonach seine Grundgleichungen freilich nicht mehr auf die einfache Olbers-Gaußsehe Form reduzierbar sind. Sie liefern wie diese im allgemeinen erste, bei gleichen Zwischenzeiten aber zweite Näherungswerte der Distanzen.

Indessen findet sich im Nachlasse von G. F. Gauß¹™) eine Methode ausgearbeitet, der die gleiche Genauigkeit wie der OZ&ersschen

148)    E. Weiß, Wien. Ber. 92 (1885), p. 1458, wo auch ein weiterer Kunstgriff zur genaueren Berechnung von M angegeben wird.

149)    1h. v. Oppolzer, Wien. Ber. 57 (1868), p. 219; 60 (1870h p. 918; 84 (1871). p. 676.

150)    C. F. Gauß, Werke 7, p. 832—350.

zukommt, aber bei beliebiger Wabl von K und einem ebenso einfachen Rechenschema. Gauß setzt in der Grrundgleichung :

(92)

_    4:66"    ’

(r -f- r")z

n -f n =

was im allgemeinen n, n" bis £² und n -f- n" bis £³ exklusive genau wiedergibt, bei gleichen Zwischenzeiten 6=6' aber bis e³ bzw. «⁴ ex

klusive, und erhält damit aus (29) statt der Olbersschen Relation q'=Mq:

MQ + Myjrll = ¥Yn,

und hiemit bei Einführung einer Hilfsgröße u analog zu

(93)

(83):

!.² + AS + GçVÿ + C) ’

,)‘+ A

(r+r-)») + J'"*'

Die EulerBche Relation (80) aber ersetzt nun Gauß mit großer Annäherung durch:

(94)

(95)

(96)

s² =

r² = a (il -f- ß -f-a" (u + ß" -f

r" ² =

(r + r")

26'

g —........ur

Vr -f r" y 1

Ô"

7 0'²

3 (r + r"Y

und geht nun zur Auffindung von r, r", s, u in der Weise vor, daß zu einem angenommenen Werte von r -f- r" aus (96) s, damit aus (94) u, und damit aus (95) r, r" berechnet werden, wobei dann r -(- r" dem angenommenen Werte gleichkommen muß, was durch Iteration oder Anwendung der reguła falsi sehr rasch erreicht wird. Statt (96) werden übrigens noch verschiedene andere Formen benutzt und auch ein besonderes Verfahren⁶) zur Herleitung der Elemente aus r, r", s gegeben.

22. Korrektionen wegen Parallaxe und Aberration. Da die durch die Beobachtung gelieferten Visionsstrahlen nicht unmittelbar die in Nr. 7 zugrunde gelegten Verbindungsgeraden zwischen Erdmittelpunkt und Himmelskörper darstellen, sondern die noch durch die Aberration verfälschten Verbindungsgeraden zwischen dem Beobachtungsorte und dem Himmelskörper, so müßten noch durch Anbringung der Korrektionen wegen Parallaxe und Aberration jene aus diesen hergeleitet werden. Da nun einerseits die zur Reduktion des beobachteten Ortes auf den Erdmittelpunkt nötige geozentrische Distanz des Himmelskörpers von vornherein unbekannt ist; und sich andererseits die Rechnungen zur Ermittlung der Bahn etwas vereinfachen ₇ wenn die drei Erdorte mit der Sonne in einer Ebene liegen, so legt man nach Gauß⁷) zur Elimination der Parallaxe die Durchschnittspunkte der Yisionsstrahlen mit der Ekliptik als fiktive Erdorte (locus fictus) der Bahnbestimmung zugrunde, bringt also eine entsprechende Korrektion an den den Tafeln entnommenen Koordinaten der Erde an. Der Einfluß der Aberration⁸) dagegen muß zunächst unberücksichtigt bleiben, und erst nach Erlangung der ersten Näherungswerte der geozentrischen Distanzen können die diesbezüglich korrigierten Beobachtungsdaten gewonnen werden, welche dann der Ermittlung der nächsten Näherung zugrunde zu legen sind. Hiebei handelt es sich noch darum, diese Korrektion in einer solchen Weise anzubringen, daß möglichst wenige von den schon für die erste Näherung aus den Beobachtungen abgeleiteten Hilfsgrößen geändert werden. Dies wird erreicht, indem man ausgehend von der Bemerkung, daß der von der Fixsternaberration befreite, beobachtete Ort gleich dem vom selben Erdort aus gesehenen, wirklichen Ort zur Zeit t — ist, die von q unabhängige Fixsternaberration gleich von vornherein an den Beobachtungen anbringt, und nach Erlangung der ersten Näherungswerte der Distanzen jede Beobachtungszeit um die zugehörige Lichtzeit verringert, und so mit alleiniger Abänderung der Zwischenzeiten zur nächsten Näherung schreitet.

in. Definitive Bahnbestimmung.

23. Allgemeine Formulierung der Aufgabe. Die für die Konvergenz der Bahnbestimmungsmethoden aus drei Beobachtungen notwendige Voraussetzung kleiner Zwischenzeiten hat zur Folge, daß die den Beobachtungen anhaftenden Fehler solche von erheblich größerem Betrage in den Elementen erzeugen, die sich dann in den mit der Zeit anwachsenden Differenzen zwischen den berechneten und beobachteten Orten zu erkennen geben. Es wird durch diese Elemente also nur eine erste vorläufige Bahn festgelegt und aus weiteren Beobachtungen eine genauere definitive Bahn zu ermitteln sein. Hiebei wird man einerseits sich durch die Kenntnis der genäherten ersten Bahn von der Beschränkung auf zeitlich benachbarte Beobachtungen befreien, andrerseits zur Erreichung möglichster Genauigkeit gleich sämtliche bekannten Beobachtungen heranziehen, indem man die definitive Bahnbestimmung als Bahnverbesserungsaufgabe im Anschluß an die Ausgleichungsrechnung so formuliert: eine bekannte vorläufige Bahn so zu korrigieren, daß die Quadratsumme der scheinbaren geozentrischen Abstände der beobachteten Orte von den gleichzeitigen berechneten Orten ein Minimum wird. Die Grundlage ihrer Behandlung bildet die Voraussetzung, daß die an den vorläufigen Elementen oder irgend sechs Bestimmungsstücken der Bahn anzubringenden Korrektionen genügend klein sind, um ihre Quadrate und Produkte vernachlässigen zu können.

(97)

dt — dB,

so wird zuvörderst sein sollen:

A = 2?[(do — d'tf)² -J- (dt — d'r)²] = Minimum.

Hier sind jetzt d'ö, d't bekannte numerische Größen, da, dt aber nach Voraussetzung homogene, ganze lineare Verbindungen mit bekannten numerischen Koeffizienten der unbekannten sechs Korrektionen irgend welcher sechs Bestimmungsstücke der Bahn, die sich sonach aus sechs linearen Gleichungen bestimmen. Die Wahl dieser Bestimmungsstücke und die Entwicklung der analytischen Ausdrücke der de, dt, also die Bildung der Differentialquotienten der geozentrischen Koordinaten nach jenen, ist nun Sache der speziellen Methode. Am unmittelbarsten bieten sich hier als Bestimmungsstücke die Elemente selbst dar, welche Wahl der bereits von C. F. Gauß⁹) verwandten und seither am meisten benutzten und bearbeiteten Methode der Variation der Elemente zugrunde liegt. (Über die Ausdrücke der da, dt bei dieser vgl. Nr. 25.) TJ. J. Leverrier¹⁰) brachte die Wahl der dreien der Beobachtungszeiten entsprechenden geozentrischen

24. Methoden mit gleichmäßiger Berücksichtigung aller Orte. Sind daher in einem beliebigen geozentrischen Koordinatensystem zu irgend einer der Beobachtungszeiten Länge und Breite des aus der vorläufigen bzw. definitiven Bahn berechneten und des beobachteten Ortes: L, B, bzw. L -f- dL, B Ą-dB und L -f- d'L, B-\- d'B, und führt man die kleinen sphärischen Abstände der beiden letzten Orte von dem durch den ersten gehenden Längen- und Breitenkreis ein: dö — cos BdL, d'a — cos Bd'L, d't = d'B,

(98)

Orte in Vorschlag, derart, daß die diesen Zeiten zugehörigen 8a, 8x die Unbekannten der Aufgabe werden, was den Vorteil gewährt, bei den Koeffizienten in den Ausdrücken der übrigen 8 a, 8x mit wenig Ziffern auszureichen. Seither ist nur R. Radau¹¹ 12 13) auf diese Methode kurz zurückgekommen. Th. v. Oppolzer¹⁵¹) wählte die einer mittleren Epoche zugehörigen rechtwinkligen, heliozentrischen Koordinaten und Geschwindigkeiten des Himmelskörpers als Bestimmungsstücke. Da nämlich von diesen die heliozentrischen Koordinaten zu einem benachbarten Zeitpunkte nahe linear abhängen, so wird, wenn das Beobachtungsmaterial einen mäßigen Zeitraum (etwa eine Opposition) umspannt, bei dieser Wahl der Vernachlässigung der Quadrate und Produkte der Korrektionen eine erhöhte Genauigkeit zukommen. Ergänzungen zu dieser Methode hat F. Kuhnert¹¹) gegeben.

Den gleichen Vorteil zu erreichen hat I. Tietjen¹⁴ 15) die vollständigen, zweien der Beobachtungszeiten zugehörigen geozentrischen Koordinaten als Bestimmungsstücke gewählt, die 8a, dt aber wegen der Kompliziertheit ihrer Ausdrücke nur für zeitlich benachbarte Beobachtungen entwickelt.

25. Differentialquotienten der geozentrischen Koordinaten nach den Elementen. Um für die Methode der Variation der Elemente die Größen 8 a, öx oder gleich vollständiger dp, du, öx durch die Änderungen der sechs Bahnelemente auszudrücken, hat man nach dem Vorgänge von Th. Clausen¹⁶⁶) und W. Goetze¹⁶) die Bemerkung zu benutzen, daß dp, pdu, pdr die Komponenten der Verrückung ös sind, welche der Planetenort im Raume durch die Variation der Elemente bei festgehaltenem t erfährt, und zwar genommen nach den drei zueinander normalen Richtungen p, a, x, gebildet vom Visionsstrahl p und den Tangente nu bzw. x, welche in dem scheinbaren, geozentrischen Orte des Himmelskörpers an den durch ihn gehenden Breiten-, bzw. Längenkreis gelegt werden. Die Verrückung 8s selbst aber wird, wenn R die Richtung des Radiusvektors des Himmelskörpers, T die Normale seiner Bahnebene und S die zu diesen beiden normale Richtung bedeutet, in einfachster Weise durch ihre nach diesen drei Richtungen genommenen Komponenten 8R, öS, ÖT

festgelegt:

dR = dr,

(99) öS—r(d'y-j-dj')=r(dA-f cosid<Q,), d/3 = cos?rsinidfi— sinndi,

dy=cos id£l-\-dn,

d a = sin je sini dSl -f- cos 7t di,

d T—r(smvda—cosvdß)

= r(sinMdi — cosMsnudR), wobei da, öß, dy die kleinen Drehungen sind, welche das Dreikant R, S, T hei Variation von i, R, n um seine Achsen ausführt, und dr, dv endlich sich aus den Gleichungen von Nr. 3 ergeben zu:

a e sin v

(dM₀ -f- tdri) — a cos v de — dn,

(d M₀ -j- tdn) -f- a sin v ^1 -f-    d e,

unter M₀ die mittlere Anomalie zur Epoche ^ = 0 verstanden. Bei hyperbolischen Bahnen hat man in diesen Formeln M₀, n, ]/1 — e², bzw. durch 4- M₀, ~jn, iY e²— 1 zu ersetzen.

Hienach können nun sofort dp, pdtf, pdr aus dR, dS, dT vermöge der leicht trigonometrisch zu berechnenden Richtungskosinusse zwischen den Achsen p, 6, x und R, S, T zusammengesetzt werden, welche Ausdrücke sich dann nach E. Schönfeld¹⁶²) durch Einführung der Gaußschen Hilfsgrößen des Achsensystems p, 6, x (siehe Nr. 3) noch erheblich zusammenziehen lassen. Mit der Herstellung der Differentialquotienten beschäftigen sich noch M. Kowalski¹⁶³) und Th. v. Oppolzer¹⁶⁴) Eine Vereinfachung auf anderem Wege zu erreichen bezieht F. Tietjenm) Länge und Breite, L, R auf ein geozentrisches System, dessen Achsen den Richtungen R, S, T parallel sind, wodurch wegen (<y, T) — 90° dT aus dö herausfällt, während, wie J. Bau-schinger¹⁶⁶) anmerkt, sein Koeffizient cos (t, T) in dr wegen cos²(tf, T) + cos²(r, T) = sin²(p, T) seinen maximalen Wert sin (p, T) = cos B erreicht. Dies gewährt den Vorteil, daß sehr angenäherte Werte der Elementenkorrektionen einfacher so zu erlangen sind, daß man erst 2J(dö — d'o)², welches jetzt bloß von dM₀, dn, de, dy abhängt, zu einem Minimum macht

dr =

(100)

(101)

rdv

j/l — e2 a²]/l — e²

162)    E. Schönfeld, Astr. Nachr. 113 (1886), p. 65.

163)    M. KoivalsJci, Rech. astr. de l’obs. de Kasan 1859, p. 91.

164)    Th. v. Oppolzer, Wien. Ber. d. k. Akad. 49 (1864), p. 271.

165)    F. Tietjen, Astr. Nachr. 67 (1866), p. 91; F. Tietjen, Berlin astr. Jahrb. für 1878. Im wesentlichen das gleiche früher hei T. H. Safford, Mem. Am. Akad. 6 (1858), p. 461; vgl. die histor. Angaben bei B. Badau, Paris Bull. astr. 21 (1904), p. 401.

166)    J. Bauschinger, Berl. Rechen-Inst. Yeröff. Nr. 23, 1903.

und dann nocli da, dß so bestimmt, daß unter Einführung der gefundenen Werte jener vier Korrektionen £(dt—d't)² ein Minimum wird.

R. Radau¹⁷) erzielt eine Trennung der Unbekannten dadurch, daß er die Komponenten von ds in Richtung der Schnittgeraden der Ebene 6t mit den Ebenen ST, TR, RS bildet, in denen bzw. dR, dS, dT nicht auftritt, und die dritte in Verbindung mit der ersten oder zweiten statt dö, dt der entsprechenden Minimalbedingung unterwirft. Eine ähnliche Vereinfachung sucht A. Orlo ff¹⁸) zu erzielen, während V. Cerulli¹⁹ 20 21 22 23 24) hiezu die Bildung der Bedingungsgleichungen für den Zeitpunkt der Opposition oder des Knotendurchgangs des Planeten vorschlägt. Auf die Tietjenschen Formeln ist neuerdings G. Boccardi ¹⁷°) zurückgekommen. Bei nahe kreisförmigen Bahnen wird der Natur der Sache nach dit nur unsicher erhalten werden können, weshalb sich in diesem Falle die Einführung von

e cos it, 6 sin 7t, oder nach K. Bohlinm) von ~j/* ejsin n

an Stelle

von e, it empfiehlt; P. V. Neugebauer¹¹²) ersetzt im gleichen Falle dit durch edy. Bei nahe parabolischen Bahnen, wird durch Einführung der Elemente e, q, t₀ statt e, n, M₀:

{de . dq\

(nrv + Y)

e sin v

dr = r — ą cos v —

3 k (t t₀)

2 VP

-f- cos vdq —

Je e sin v

(102)

Vp

dt₀,

^Vp](rTe+sf)

— sinv(l + ^)dg —

wo nun zwar die Koeffizienten von de für parabolische Bahnen bestimmte Werte erlangen, aber für nahe parabolische Bahnen numerisch unsicher bestimmt sind, und daher so umgeformt werden müssen, daß sich der Nenner 1 — e kürzen läßt. Dies zu erreichen entwickelte bereits G. W. Goetze17s) in ziemlich umständlicher Weise dieselben nach Potenzen von 1 — e, unter Hinzufügung diesbezüglicher Hilfstafeln. In einfacher Weise gelangten dann E. Weiß¹¹¹) und

Th. v. Oppolzer¹¹⁰) durch Entwicklung nach Potenzen von tg² — und JE. Schönfeld¹⁷⁶) durch Heranziehung der Gaußschen Methode der Bestimmung der wahren Anomalie in nahe parabolischen Bahnen zum Ziele. — Gewährt die Vernachlässigung der Quadrate und Produkte der Korrektionen der Elemente noch keine genügende Annäherung, so muß das ganze Verbesserungsverfahren ein zweites Mal mit Zugrundelegung der das erste Mal gefundenen verbesserten Bahn wiederholt werden. Die Bildung der neuen da, dt kann hiebei in leicht zu ersehender Weise durch Benützung der zweiten Differentialquotienten der geozentrischen Koordinaten nach den Elementen, welche L. Schulhofm) entwickelte, durchgeführt werden.

26. Methoden mit Bevorzugung zweier Orte. Weniger streng vom Standpunkte der Ausgleichungsrechnung aus, aber mit geringerer Rechenarbeit verbunden sind jene Verfahren, welche die Zahl der Unbekannten dadurch verringern, daß sie gewisse Bestimmungsstücke der Bahn, als welche insbesondere zwei der beobachteten geozentrischen Orte gewählt werden, als nicht zu verändernd festhalten. Als zu korrigierende Bestimmungsstücke werden dann bei der bereits von Gauß¹¹⁸) besprochenen und seither vielfach angewandten Methode der Variation der geozentrischen Distanzen p, p" genommen, deren Korrektionen dp, dp" nun die beiden Unbekannten der Aufgabe sind. Die Bestimmung der numerischen Werte der vier Koeffizienten von dp, dp" in den einer der Beobachtungszeiten zugehörigen Größen 86, dt geschieht in der Praxis meist einfach dadurch, daß auf dem Wege über die Elemente, welche aus den passend zu wählenden Wertepaaren o und o, rf' von dp, dp" folgen, die entsprechenden Wertepaare für 8 a', 8 t berechnet werden. Mit den weitläufigen analytischen Ausdrücken derselben haben sich C. W. Goetze¹⁷⁹) und N. Herz²⁵) beschäftigt. Zu einfacheren genäherten Ausdrücken ist J. Bauschinger²⁶) gelangt, welcher nach dem Vorgang von F. Tietjen²⁷) von der Bemerkung ausgeht, daß nach Gl. (28), zwischen den durch

175)    Th. von Oppolzer, Berlin Ber.    1878, p. 852; Astr.    Nachr.    95    (1879),

p. 13. Tafeln v. I. K. Ginzel in Oppolzer,    Bahnb.    2, Tafel 16.

176)    E. Schönfeld, Astr. Nachr. 113 (1886), p. 65.

177)    L. Schulhof, Paris Bull. astr. 6 (1889), p. 151, 192.

178)    C. F. Gauß, Theoria motus, art.    188.

179)    C. W. Goetze, Astr. Nachr. 32    (1851),    p. 113 und    Erg.-Heft    (1849),

p. 159.

eine Balmänderung erzeugten Verrückungen ds, ds, ds" dreier Orte die vektorielle Gleichung besteht:

(103)

ds' — nds + n" ds" -f- (rdn) -f- (r" dn"),

wenn die beiden eingeklammerten Größen Verrückungen dieses Betrages in Richtung der beiden Radienvektoren bedeuten. Hienach sind, wenn für n, n" bloß r, r" enthaltende Näberungsausdrücke (vgl. diesbez. Nr. 10) gesetzt werden, ds' und dadurch auch dö, dr gegeben, da sich ds, dr und ds", dr" unmittelbar durch dp bzw. dg” ausdrücken lassen. Für eine zu verbessernde parabolische Bahn werden als zu korrigierende Bestimmungsstücke bei C. Hornsteins¹⁸³) Methode des Übergangs von parabolischen auf nahe parabolische Bahnen das Verhältnis M = y der den beiden festgehaltenen Orten zugehörigen geozentrischen Distanzen und der reziproke Wert der großen Halbachse a — — gewählt, und die Ausdrücke dß, dr wie früher aus zwei speziellen Annahmen über dM und da == ~ gewonnen. Aus den verbesserten Werten von M, a folgen dann q, q" mittels eines unmittelbar aus der Olbersschen Methode durch Einführung der Lambertschen Relation an Stelle der Eiderschen hervorgehenden Verfahrens, worauf aus den bekannt gewordenen zwei heliozentrischen Orten die Elemente in verschiedener Weise gefunden werden können, je nachdem man hiebei auf den bekannten Wert von a rekurriert oder nicht. Die Methode der Variation des Verhältnisses der geozentrischen Distanzen geht aus diesem Verfahren hervor, wenn auch die verbesserte Bahn als parabolisch vorausgesetzt, also an dem Werte a — 0 unverändert festgehalten wird. Die analytischen Ausdrücke der Differentialquotienten gibt für letztere 0. Leuschner¹⁸⁴‘).

183)    C. Hornstein, Wien Ber. 38 (1864); C. Hornstein, Astr. Nackr. 38 (1854), p. 323.

184)    O. Leuschner, Berl. Diss. 1897.

(Abgeschlossen im Dezember 1906.)

¹

J. F. Encke, Beri. astr. Jahrb. für 1833, p. 264. Eben diese Umfor

²

mung bei A. P. Dionis du Séjour Paris Hist. 1779, Mém. p. 51; ferner in Gauß

³

Nachlaß Werke 7, p. 327, früher von Klinkerfues mitgeteilt Gött. Abb. 10, p. 196

⁴

unter Beifügung einer Tafel für (x und rj Eine ebensolche bei B. Nicolai, Astr.

⁵

Nachr. 10 (1833), p. 233 und J. Bauschinger, Tafeln, Nr. 22 und 24.

⁶

C. F. Gauß, Werke 7, p. 327.

⁷

   C. F. Gauß, Theoria motus, art. 117.

⁸

   C. F. Gauß, Theoria motus, art. 118.

⁹

   C.F. Gauß, Theoria motus, art. 187 und G. F. Gauß, De elementis ellipticis Palladis, Gott. Com. soc. reg. 1 (1811) = Werke 6, p. 3, abgedr. in Börsch-Simon, Gauß’ Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate, Berlin 1887.

¹⁰

   U. J. Leverrier, Paris C. R. 20 (1845), p. 1071. Astr. Nachr. 23 (1846),

p. 183.

¹¹

   R. Radau, Paris Bull. astr. 21 (1904), p. 401.

¹²

   Th. von Oppolzer, Berlin Ber. 1878, p. 583; Oppolzer, Bahnb. 2, p. 428.

¹³

   F. Kuhnert, Astr. Nachr. 95 (1879), p. 145.

¹⁴

   F. Tietjen, Berlin astr. Jahrb. für 1878.

¹⁵

   Th. Clausen, J. f. Math. 7 (1831), p. 108.

¹⁶

   W. C. Goetze, Astr. Nachr. 28 (1849), p. 97, 113 und 32 (1851), p. 113.

¹⁷

   B. Radau, Paris Bull. astr. 5 (1888), p. 5; Paris G. R. 105 (1887). p. 432.

¹⁸

   A. Orloff, Paris Bull. astr. 22 (1905), p. 291.

¹⁹

   V. Cerulli, Catania Mem. soc. spett. 34 (1905), p. 175.

²⁰

   G. Boccardi, Publ. d. Os. di Collurania Nr. 2 (1900), p. 37.

²¹

   K. Bohlin, Astr. Nachr. 159 (1902), p. 165.

²²

   P. V. Neugebauer, Astr. Nachr. 157 (1902), p. 21.

²³

   C. W. Goetze, Erg.-Heft d. Astr. Nachr. (1849), p. 159.

²⁴

   E. Weiß, Wien Ber. 83, (1881), p. 466. Tafel v. J. v. Hepperger.

²⁵

   N. Herz, Wien Ber. 92 (1885), p. 590.

²⁶

   J. Bauschinger, Beri. Rechen-Inst. Veröff. Nr. 23 (1903).

²⁷

   F. Tietjen, Beri. astr. Jahrb. für 1878.

VI2,10. DIE BESTIMMUNG DER METEORBAHNEN IM SONNENSYSTEM.

Von

Gr. v. NIESSL

IN WIEN.

Inhaltsübersicht.

Literatur.

Allgemeines.

I. Ermittelung des Radiationspunktes und der geozentrischen Geschwindigkeit.

1.    Mehrfache Beobachtungen aus verschiedenen Orten.

a)    Bestimmung des Endpunktes der Bahn.

b)    Bestimmung des scheinbaren Radianten.

c)    Lage der Bahn, Bahnlänge, Höhe des Aufleuchtens.

d)    Geozentrische Geschwindigkeit.

e)    Zenitattraktion.

2.    Einseitige Beobachtung verschiedener Körper desselben Stromes.

II. Ableitung der Bahn im Sonnensystem.

III. Beobachtungs- und Rechnungsergebnisse.

1.    Mittlere Genauigkeit der Beobachtungen und der Rechnungsergebnisse.

2.    Ergebnisse für die Höhen des Aufleuchtens und der Hemmung, und ihre Beziehungen zu anderen Faktoren (Massen, Geschwindigkeit). Vergleich mit der Theorie des Luftwiderstands.

3.    Masse der Sternschnuppen.

4.    Durchschnittliche und außergewöhnliche Bahnlängen.

5.    Die heliozentrische Geschwindigkeit und Bahnform.

Literatur.

H. W. Brandes in J. F. Benzenberg : Über die Bestimmung der geographischen Längen durch Sternschnuppen. Hamburg 1802. (Methoden der Höhenbestimmung von Brandes und Olbers.)

— Unterhaltungen für Freunde der Physik und Astronomie. Leipzig 1826 u. f., dann in Gehlers phys. Wörterb. IV, 1827.

A. Quetélet, Sur les étoiles filantes. Corresp. mathématique et physique. Brüssel T. IX, 1837.

Fr. W. Bessel, Über Sternschnuppen. Astr. Nachr. 16 (1839), p. 321.

A. Erman, Über die Sternschnuppen der Augustperiode etc. Astr. Nachr. 17 (1840), p. 3.

J. G. Grunert, Über eine geometrische Aufgabe. (Die Gleichung einer geraden Linie zu finden, welche vier gerade Linien im Raume, deren Gleichungen gegeben sind, schneidet. Mit Anwendung auf die Bestimmung der Cometen-bahnen.) Archiv Math. Phys. I. 1841.

—    Die verschiedenen Auflösungen des Sternschnuppen-Problems aus einem allgemeinen Gesichtspunkte dargestellt. Arch. Math. Phys.

J. G. Houzeau, Sur les étoiles filantes périodiques du mois d’Août etc. Mém. de l’Acad. de Bruxelles. T. XYIII. 1844.

F.    Petit, Méthode pour déterminer la parallaxe et le mouvement des bolides. Mém. de l’Acad. de Toulouse V. 1849.

—    Recherches analytiques pour la trajectoire et la parallaxe des bolides. Paris C. R. 32 (1861).

E. Heis, Die periodischen Sternschnuppen etc. Köln 1849.

A. Laussedat, Sur la méthode employée pour déterminer la trajectoire du bolide du 14. Mai 1864. Paris C. R. 68 (1864), p. 1222, 59 (1864), p. 74.

A.    S. Herschel, Method of determining the path of a meteor. Proceed. of the Brit. Meteorol. Soc. II. 1866.

E. Weiß, Beiträge zur Kenntnis der Sternschnuppen. Wien Ber. 57 II (1868), p. 281 und 62 II (1870), p. 277, sowie Astr. Nachr. 72 (1868), p. 81 und 76 (1870), p. 194 (Weiß, Beiträge).

J. V. Schiaparelli, Entwurf einer astronomischen Theorie der Sternschnuppen. Autorisierte deutsche Ausgabe der Note e Riflessioni sulla teoria astronomica delle stelle cadenti von G. v. Bogusławski, Stettin 1871 (Schiaparelli).

E. Beimann, Die Höhenbestimmung der Sternschnuppen. Breslau 1870. (Enthält u. a. eine kritische Darstellung der bis dahin bekannt gewordenen älteren Methoden.)

J.    G. Galle, Über die Berechnung der Bahnen heller, an vielen Orten beobachteter Meteore etc. Astr. Nachr. 83 (1874), p. 321.

H. Bncns, Bemerkung über die Berechnung der Höhe von Sternschnuppen aus korrespondierenden Beobachtungen. Astr. Nachr. 84 (1874), p. 379.

B.    Lehmann Filhés, Zur Theorie der Sternschnuppen. Inaug. Dissert. Berlin 1878.

—    Über die Bestimmung des Radiationspunktes eines Sternschnuppenschwarms mit Hilfe eines neuen Meteoroskops. Astr. Nachr. 96 (1880) p. 241.

—    Die Bestimmung von Meteorbahnen nebst verwandten Aufgaben. Berlin 1883.

G.    v. Nießl, Theoretische Untersuchungen über die Verschiebungen der Radiationspunkte aufgelöster Meteorströme. Wien Ber. 83 (1881), p. 96. Dann des Verfassers zahlreiche Bestimmungen von Meteorbahnen, ebenda.

K.    Necker, Zur Ausgleichung von Massenbeohachtungen atmosphärischer Lichterscheinungen. Inaug.-Dissertation. Wien 1894.

E. Weiß, Böhenberechnung der Sternschnuppen Wien Denkschr. 1906.

P. Moschick, Eine neue Methode zur Bahnbestimmung von Meteoren. Mitteilungen der Sternwarte zu Heidelberg V. Karlsruhe 1905.

H.    Bosenberg, Über eine Methode zur Bestimmung der Meteorbahnen. Astr. Nachr. 167 (1905).

Bibliographie.

J. C. Houzeau — A. Lancaster, Bibliographie générale de l’Astronomie, tome II, Brüssel 1882, p. 714.

Allgemeines. Die Bahnen der Körper, welche durch ihr Eindringen in die Atmosphäre Feuermeteore hervorrufen, haben im Sonnensystem planetarischen Charakter. Sie sind Kegelschnittslinien, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet. Der durch die Beobachtungen nachgewiesene Teil derselben ist jedoch so klein, daß er selbst für die genauesten Bestimmungen nur geradlinig angenommen werden kann. Unregelmäßige Bewegungen, welche, durch besondere Gestalten dieser Körper bedingt, zuweilen Vorkommen, bleiben hier außer Betracht.

Für alle auf diese Weise sichtbar werdenden Bahnen ist die kleinste Entfernung vom Erdmittelpunkt, oder in geozentrischer Beziehung das Perigeum, im Vergleiche mit der Entfernung von der Sonne oder dem betreffenden Radiusvektor der Erdbahn verschwindend klein und gegen letzteren stets zu vernachlässigen. Es wird somit für die Fallepoche der heliozentrische Radiusvektor der Meteorbahn als identisch mit dem der Erdbahn angenommen. Weil ferner aus demselben Grunde das Zusammentreffen mit der Erde als gleichbedeutend mit dem Durchgänge des Meteors durch den einen Bahnknoten gelten kann, so findet man aus der Sonnenephemeride für das Falldatum direkt stets die Länge und den Radiusvektor eines Bahnknotens.

Die scheinbare Lage der Lichtbahn am Himmel hängt parallaktisch mit der Lage des Beobachtungsortes zusammen. Sie wird daher für die näheren Bahnpunkte größere scheinbare Verschiebungen zeigen als für die entfernteren. Ein Punkt der geradlinigen Bahn oder ihrer Verlängerung nach rückwärts, welcher von allen Beobachtungsorten schon so weit entlegen ist, daß deren gegenseitige Entfernung nicht mehr in Betracht kommt, würde von allen Orten an derselben Stelle des Himmels gesehen werden. Dieser perspektivische Divergenzpunkt aller an den verschiedenen Erdorten statt der wahren Bahn aufgefaßten scheinbaren Bahnen ist der scheinbare Strahlungs- oder Hadiations-punht. Er bestimmt die geozentrische Richtung der nachgewiesenen geraden Bahnstrecke. Diese ist jedoch, abgesehen von der Wirkung der Erdschwere, welche leicht in Abrechnung gebracht wird, zusammengesetzt aus der Bewegung der Erde und aus der wahren heliozentrischen Meteorbewegung. Der projektivische Richtpunkt der letzteren am Himmel ist der wahre Radiationspunkt, welcher also die wahre Bahnrichtung am Knoten der Meteorbahn bestimmt.

Da die Sonne sich in der Bahnebene des Meteors befinden muß, so ist diese bestimmt durch den Radiusvektor und die Bahnrichtung am Knoten, oder auf der Kugel durch den Großkreis, welcher den Ort der Sonne und den wahren Radianten enthält.

Durch letzteren ist aber auch der Winkel, welchen die wahre Bahnrichtung mit dem Radiusvektor am Knoten bildet, gegeben, und es sind dann alle weiteren Bahnelemente nur mehr von der Geschwindigkeit in diesem Teile der Bahn abhängig, welche entweder aus den Beobachtungen abgeleitet wird, oder aus theoretischen Folgerungen hervorgeht.

Die vorliegende Aufgabe besteht demnach aus zwei voneinander ziemlich strenge gesonderten Teilen, von welchen gewissermaßen der erste die geozentrischen, der zweite die heliozentrischen Beziehungen behandelt. Diese sind:

I.    Die Ermittlung des Badiationspunläes und jener Größen, welche zur Abschätzung der relativen Geschwindigkeit nötig sind.

II.    Die Ableitung der Bahn im Sonnensystem.

Hinsichtlich des ersten Teiles, welcher die schwierigeren und ver-wickelteren Arbeiten umfaßt, dessen Resultate aber zugleich auch für die Ergebnisse des zweiten ganz entscheidend sind, können die Ausgangspunkte und Ziele verschieden sein. Die wichtigsten Fälle der Radiantenbestimmung sind folgende:

1.    Ermittlung der Bahnlage gegen die Erde und des Radianten durch mehrfache Beobachtungen desselben Meteors aus verschiedenen Erdorten (korrespondierende Beobachtungen im weitesten Sinne).

2.    Nachweisung des Radianten durch Beobachtung mehrerer zu demselben Radianten (Meteorstrom) gehörigen scheinbaren Bahnen aus einem Erdorte (einseitige Beobachtungen).

I. Ermittlung des Radianten und der geozentrischen Geschwindigkeit.

1.

Mehrfache Beobachtungen aus verschiedenen Erdorten. Reichliche Erfahrungen lehren, daß, je nach der Lage der Bahn gegen die einzelnen Beobachtungsorte, der Anfang der wahrgenommenen leuchtenden Strecke (Aufleuchten) gewöhnlich nicht identisch aufgefaßt wird, ja, daß in dieser Hinsicht Unterschiede bis zur Länge großer Bogen und, im lineären Maß, bis zu Hunderten von Kilometern Vorkommen können. Ausgenommen hiervon sind die Fälle

mit lang anhaltender, scharf markierter Spur, wenn sich Beobachtungen speziell auf diese — nicht auf die ganze Bahn — beziehen.

In der Regel darf die Ableitung der Bahn von der Annahme der Identität für die bezeichneten Aufleuchtungspunkte nicht ausgehen.

Da die wahre Bahn von der Geraden nicht merklich abweicht, so bestimmt sie mit dem Auge des Beobachters eine Ebene, welche im Schnitt mit der gedachten Kugel einen größten Kreis liefert. Die an verschiedenen Orten beobachteten „scheinbaren Bahnen“ können daher als Bogen größten Kreises betrachtet werden, welche in ihrer Verlängerung nach rückwärts (nämlich entgegen dem Lauf des Meteors) als Schnittpunkt den „scheinbaren Radianten“ bezeichnen.

Die Ermittlung dieses scheinbaren Strahlungspunktes kommt also darauf hinaus, den einen Schnittpunkt (der andere ist dann selbstverständlich) mehrerer durch die Beobachtung derselben Meteorbahn an verschiedenen Orten gegebenen, nicht zusammenfallenden größten Kreise zu bestimmen.

Liegen nur zwei solcher Bahnbogen vor, so ist die Lösung rechnerisch oder graphisch so einfach, daß sie einer weiteren Erörterung hier nicht bedarf. Verwickelter wird die Aufgabe, wenn viele überzählige Beobachtungen zu vereinigen sind; und doch ist es gerade zur Ermittlung der Bahnverhältnisse großer Feuerkugeln wie auch der Meteoriten, für welche oft nur minder genaues, teilweise auch unvollständiges Material zur Verfügung steht, besonders erwünscht, ja notwendig, eine große Überzahl von Beobachtungen verwenden zu können. Dies sind die typischen Fälle, auf welche sich nachstehende Erörterungen vornehmlich beziehen.

Die Stelle, an welcher der planetarische Lauf eines größeren Meteors durch den Widerstand der irdischen Atmosphäre gehemmt wird („Hemmungspunkt“, „Endpunkt“ der Bahn) ist fast immer durch besondere Erscheinungen so ausgezeichnet, daß über die Identität hinsichtlich dieses Punktes selten Zweifel bestehen. Gewöhnlich ist es auch der einzige Bahnpunkt, von dem dies mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann. Überdies ist in Bezug auf denselben die nähere Verständigung mit den Beobachtern ziemlich sicher und zuweilen dessen Erforschung auch durch Schallwahrnehmung, wenn nicht gar durch Auffindung von Fallstücken begünstigt.

Die möglichst genaue Festlegung der Lage und Höhe des Endpunktes bildet daher in der Regel eine sehr wichtige, manchmal unentbehrliche Grundlage aller weiteren Untersuchungen.

Es hat zwar keine großen geometrischen Schwierigkeiten, die Aufgabe allgemeiner so zu lösen, daß die drei Raumkoordinaten des

29

Encyklop. d. math. Wiasensch. VI 2.

Endpunktes zusammen mit den sphärischen Koordinaten des Radianten aus einem Ausgleichssystem hervorgehen. Allein eine solche Lösung würde, abgesehen davon, daß sie sich äußerst langwierig und wenig lohnend gestaltet, nur selten zu brauchbaren Resultaten führen. Sie wird daher hier weiter nicht berücksichtigt, sondern es wird die Ausmittlung des Endpunktes als wesentlichste Vorarbeit abgesondert erörtert.

a) Bestimmung der geographischen Koordinaten und der Höhe des Endpunktes. Aus guten Gründen wird auch bei dieser Aufgabe in der Regel eine Teilung nützlich sein, indem man vorerst die geographische Lage und hierauf die lineare Höhe ermittelt. In einzelnen Fällen wird allerdings die allgemeine Behandlung notwendig oder doch zweckmäßig. Um alle drei Unbekannten zu bestimmen, müssen die Beobachtungen drei geeignete Stücke aus mindestens zwei Orten liefern, unter welchen sich ein Höhenwinkel (scheinbare Höhe) befinden muß. Die beiden anderen können Richtungsangaben (Azimute) sein, und es ist meist zweckmäßig, wenn dies der Fall ist. Drei Azimute reichen offenbar nicht aus, um auch die lineare Höhe zu finden, wogegen die Aufgabe durch drei scheinbare Höhen im allgemeinen bestimmt sein kann. Die Ausmittlung der geographischen Lage bloß durch die Parallaxe in Höhe wird sogar die einzig mögliche, wenn die Azimutalparallaxe versagt, also z. B., wenn die Beobachtungsorte zugleich mit dem Endpunkt nahezu in demselben Vertikalschnitt angeordnet sind.

Zuweilen sind die beobachteten Höhen so unsicher, daß durch ihre Verbindung mit den Richtungsheohachtungen das Resultat ungünstig beeinflußt wird. Hat man brauchbare Azimute bei ausreichender Parallaxe, so ist es vorzuziehen, die Lage des Endpunktes aus diesen allein zu ermitteln, wobei völlig ausreichend dem Erd-sphäroid eine Kugel von entsprechendem Radius substituiert wird. Man kann sich mit Vorteil folgenden Näherungsverfahrens bedienen.

An den Orten 0{ (i — 1, 2, 3 . . . n) der Erdoberfläche, bestimmt durch die geographischen Koordinaten Li} <p{ seien die Azimute Aie des Endpunktes E (Le, cpe) der Meteorbahn beobachtet worden.

Nach irgend einem kurzen, auch graphischen Verfahren werden zunächst Näherungswerte L₀, <p₀ für Le, <pe, dann auch ein solcher H0 für die lineare Höhe He gesucht. Gewöhnlich ergeben sich diese schon sozusagen von selbst vor Beginn des eigentlichen Rechnungsvorganges, da man beim allmählichen Einlangen der Beobachtungen über die Lage des Endpunktes sich ein beiläufiges Urteil bilden muß, um danach weiteren Nachforschungen nützliche Richtung zu geben.

In allen bedeutenderen Fällen, welche eine eingehendere rechnerische Behandlung verdienen, wird man über diese Größen beiläufig bald orientiert sein.

Mit diesen Näherungswerten berechnet man nun genäherte Azimute von 0i gegen E, die hier mit Aie und auch die leicht hieraus zu findenden Gegenrichtungen E—> 0V die mit Aei bezeichnet werden, ferner genäherte Distanzen 0{E oder die sphärischen Amplituden und beiläufige scheinbare Höhen Jiie. Letztere beeinflussen diese Bestimmung nur soweit, daß auch ganz rohe Näherungen genügen, wenn man die beobachteten Größen nicht verwenden will.

Endlich sind die Zahlenwerte für alle Unterschiede

zu bilden. Wird nun

Le = L₀ -f- AL₀, <pe — <p₀ + A gp₀

genommen, wobei also AL₀ und A cp₀ die zu bestimmenden Verbesserungen für die vorläufigen Koordinaten des Endpunktes bezeichnen, so erhält man aus der Gleichung

tg cpe cos cpi = cotg Aie sin (Le — L{) -f sin (pt cos (Le — Lt) für die Fehlergleichungen im bekannten Sinne:

(1)

Vi = ot + a{x + bty,

worin

(2)

x = AL₀ cos cp₀, y — Acp₀,

• cos Aei,

°i~ œi cos Aie, cos h

ai =

• sin Aei = — at tang Aei •

COS K sin s.

Der allgemeine Faktor cos hie ist um so notwendiger, je ungleicher die Entfernungen, also auch die hie sind, weil die solchen Beobachtungen gewöhnlich anhaftenden Richtungsfehler nicht eigentliche Azimutdifferenzen, sondern kleine sphärische Bogen sind, welchen je nach der Zenitdistanz sehr verschiedene Azimutwerte entsprechen.

Aus den Gleichungen (1) gehen — eventuell unter Erteilung verschiedener Gewichte an die einzelnen Beobachtungen nach der Methode der kleinsten Quadrate AL₀ und A<p₀, also auch Le und <pe mit ihren mittleren Fehlern hervor.

Die endgültigen Azimute sind dann

Ae = Ae + Vi sec K-

29*

Fallen die vt groß ans, so ist es zu empfehlen, die Aie nochmals direkt aus dem endgültigen Le, cpt zu berechnen.

x und y erhält man selbstverständlich in der Einheit des Absolutgliedes ov In dieser Hinsicht kann man je nach Umständen verschiedene Modifikationen bevorzugen.

Bezeichnet den sphärischen Abstand des genäherten Endpunktes E₀(L₀, cp₀) von der beobachteten durch Aie bezeichnten Richtung, so

ist genähert : co, =    •

ö    * sin s ;

Wird dann gesetzt:

(3)

so ist

cos sin s.

cos Aei = ai} sin Aei = — bi}

= V?i,

(4)

Vi = Vïi (.Pi + atx + bty) und ]/y. ist ein Gewichtsfaktor für die ganze Gleichung.

Wünscht man z. B. bei Abnahme aus der Karte für y. als Einheit ein Längenmaß, welches dann auch für x und y gilt, während die v im Gradmaß hervorgehen sollen, daß also allenfalls die Einheiten 1 km und 1° (für die Azimute und Höhen) zu nehmen seien, so wird die frühere Gleichung für ]/% noch mit

= 0.0089807

B ■ arc 1°    111.35

zu multiplizieren sein, wenn der Erdradius R = 6380 km gesetzt wird.

Es können dann, wie leicht einzusehen, auch die Koeffizienten ai und &. mit Vorteil graphisch abgenommen werden, namentlich, wenn die Beobachtungen nicht die äußersten rechnerischen Rücksichten verdienen.

Findet man es rätlich, zur Bestimmung der Lage des Endpunktes (Le, (pe) auch die Parallaxe in Höhe einzubeziehen, was, wie schon erwähnt, manchmal kaum zu vermeiden ist, so wird man den Näherungswert H₀ genauer aufzusuchen und die daraus für die vorläufigen Entfernungen Die geltenden scheinbaren Höhen hie sorgfältiger zu rechnen haben.

Ist He = H₀ -J- AH₀, ferner AL₀ cos <p₀ = x, Acp₀ — y, AH₀ = z im Längenmaß, während die Verbesserungen der beobachteten Richtungen und der beobachteten Höhen hie im Gradmaß hervorgehen sollen, und wird gesetzt: so sind die Fetilergleichungen

(6)

(5)

(tang hie -f sin <•.) cos s{ = Ki}

c°s*hie

R ■ arc 1° sin s.

= Y y{• cos hie = Fi}

K — K = Mi,

—    FtK{ sin Aei — a{,

—    cos Aei = bi,

= ci,

F,

»>( = »,• + «i* 4- h y + w

denjenigen beizufügen, welche man bloß aus den Richtungen erhalten hat. Hieraus ergeben sich wieder die Normalgleichungen und die Unbekannten.

Das Verfahren soll jedoch nur mit verläßlichen Höhen und dann angewendet werden, wenn solche aus Orten in der Nähe des Endpunktes mit weiter entfernten zu verbinden wären.

Soll die lineare Hohe des Endpunktes abgesondert, auf Grund der bereits endgültig ermittelten geographischen Lage desselben bestimmt werden, so pflegt man gewöhnlich die einzelnen, auf den verbesserten Endpunkt bezüglichen Entfernungen Die mit den zugehörigen beobachteten scheinbaren Höhen hig zu verbinden, um Einzelwerte für He zu erhalten, aus welchen dann ein Mittelwert gebildet wird. Die Entfernungen brauchen, wenn sie in bezug auf den vorläufigen Endpunkt aus den früheren Arbeiten bekannt sind, nicht neuerdings berechnet zu werden, da sie aus den ermittelten Verbesserungen A L₀ cos cp₀ und Acp₀ namentlich mit Hilfe der Azimute Aei leicht auf den definitiven Punkt Le, cpe ergänzt werden können, denn

AL cos cp₀

AqPo cos Aie'

Da die Reduktion der Distanz auf die Sehne für derartige Höhenbestimmungen meist überflüssig ist, kann man nehmen:

AD = —

sin Aie

sin

(7)

H, = D„

COS

(ht + £i)

Wird h. -f- — = h/ gesetzt, so gilt noch bis ungefähr 1000 km Ent-

u

(Pu* h:-):

fernung die Näherung

(8)

Hi = Hie tang V +

für einige hundert Kilometer genügt auch das erste Glied. Die Anbringung der Refraktion wird gegenüber den übrigen Unsicherheiten selten besondere Vorteile gewähren, doch kann sie hei besonders großen Entfernungen immerhin erfolgen.

Wenn man bei Vereinigung der einzelnen Bestimmungen H. zu einem Mittelwert die Gewichte derselben berücksichtigen will, so muß man dabei mit Vorsicht die Gewichte der angewendeten beobachteten hf auch mit berücksichtigen, welche man gewöhnlich nicht ganz leicht abschätzen kann.

Größere Unterschiede in den Seehöhen der einzelnen Beobachtungsorte sind leicht anzubringen.

b) Bestimmung des scheinbaren Badiationspunktes. Die hierzu brauchbaren Angaben können in verschiedener Form gegeben sein, nämlich:

i)

Koordinaten vom Anfang und Ende der scheinbaren Bahn (A, h oder a, d).

2)

Zwei andere Punkte der Bahn oder auch nur einer, wenn er dem, als bereits sichergestellt, vorausgesetzten Endpunkt nicht zu nahe liegt. Hierher gehört auch die Richtungsbezeichnung durch entferntere Sterne.

3)

Die scheinbare Neigung des Bahnteiles am Endpunkt gegen den Vertikal desselben, gewissermaßen der Positionswinkel gegen den Vertikal. Dieser kann auch für eine andere gut be-zeichnete Bahnstelle gegeben sein. Bei Bahnen, welche einen Kulminationspunkt zeigen, ist die scheinbare Höhe desselben oft ausreichend, minder das Azimut. Eine mehr als beiläufige Angabe des scheinbaren Bahnknotens am Horizont (scheinbare Bewegungsrichtung gegen einen Horizontpunkt) ist zuweilen gut verwendbar.

Auch die Benutzung der unter 3) angeführten Stücke setzt voraus, daß der Endpunkt bereits aus anderen bestimmt werden konnte. Sie sind zuweilen, namentlich bei sehr kurzen Bahnen, besser verwendbar als die Koordinaten für Anfang und Ende der Bahn. Graphische Beobachtungsskizzen sind in solchen Fällen stets eine erwünschte Beigabe.

Zunächst werden nun aus der bekannten Lage und Höhe des Endpunktes dessen scheinbare äquatoreale Koordinaten («/', d”) für die einzelnen Beobachtungsorte berechnet und im Falle 1) statt der beobachteten, im Falle 2) für den nicht bezeichneten Endpunkt genommen.

Auch in den unter 3) erwähnten Fällen dienen diese berechneten Koordinaten für den Anschluß der angegebenen scheinbaren Bahnbogen. Ist nämlich N' die in der unvollständigen Beobachtung angegebene Neigung der scheinbaren Bahn gegen den Vertikal des Endpunktes (Ae} he) dagegen N die Neigung gegen den Horizont im scheinbaren Bahnknoten und Ak das Azimut dieses Knotens, so ist

(9)

cos N = sin N* cos he, tang f = tang jV'sin he,

Ak — Ae + f,

-h f, je nachdem die Bewegung des Meteors im Sinne der Zählung des Azimuts oder entgegengesetzt erfolgte.

In ähnlicher Weise wird die Verbindung hergestellt, wenn der Winkel mit dem Vertikal an einem anderen Punkt des Bahnbogens, für den entweder Azimut oder Höhe oder Bogenabstand vom Endpunkt mitgegeben sein muß, beobachtet wurde.

In den Fällen 1) und 2) wird aus den Koordinaten aiy d.' und «/', d" der beiden gegebenen Bahnpunkte sodann für den hierdurch bestimmten Großkreis die Rektaszension ak des aufsteigenden äqua-torealen Knotens und die Neigung J gegen den Äquator gerechnet. tg«T

Mit

tgcT

— s wird

s sin (cc"— cc')

(10)

— s cos (a"— cc')

tg «P

tg <T

siu (a — cck) sin (cc"— cck )

ak ist so zu nehmen, daß beide Gleichungen für J erfüllt sind.

Diese Bestimmungen können mit Benutzung eines Kartennetzes gnonomischer Projektion, bei entsprechend großem Maßstab auch graphisch, rasch und hinreichend genau vorgenommen werden.

Hiernach ergibt sich auch das Verfahren im Falle 3). Es wird also schließlich jeder Beobachtungsort, welcher brauchbare Angaben lieferte, einen durch uk und J mit der zugehörigen Bewegungsrichtung bestimmten Großkreis für die Ermittlung des Radianten darbieten. Wären diese scheinbaren Bahnen fehlerfrei, so müßten sie nach rückwärts verlängert sich sämtlich im Radiationspunkt a, d schneiden, d. h. die Gleichung

(u)

sin (a — aki) tang — tang d

müßte dann für i — 1, 2, 3 .. ., n erfüllt werden.

Da dies der Beobachtungsfehler wegen nicht der Fall ist, müssen an den beobachteten Bahnbogen die entsprechenden Verbesserungen • angebracht werden. Abgesehen von einigen Ausnahmefällen wird dabei angenommen, daß die Koordinaten d", d" unverändert bleiben, daß also die Verbesserungen nur auf a, Ô' (Anfangspunkt) oder auf uk und J entfallen, was durch eine Drehung um den scheinbaren End-punkt a", d" bewirkt wird. Diese Drehung hätte demnach so zu erfolgen, daß für die nötigen Verbesserungen cos d{. A a! und Ad' mit Rücksicht auf die etwaigen Gewichte pi

[p (Aß'² - cos² d' -j- Ad'²)] = Minimum

wird.

Zu diesem Zweck wird wieder (wie bei der Ermittlung der geographischen Koordinaten des Endpunktes) — am einfachsten graphisch — ein vorläufiger Wert für a, d, welcher hier mit a₀, d₀ bezeichnet ist, angenommen und der normale Abstand Ai desselben von jedem scheinbaren Bahnbogen aki, berechnet, oder auch graphisch entnommen.

Bezeichnet man A als positiv, wenn a₀, d₀ innerhalb des nördlichen Polraumes von aki liegt, so findet man diesen Abstand, wenn er streng berechnet werden soll, aus

(12)

sin A,. = — cos sin d₀ -f- sin cos d₀ sin (a₀ — ccki).

Da nun die A{ die Widersprüche vorstellen, so sind die Verbesserungen Aa₀ cos d₀ und A d₀ so zu bestimmen, daß jene Null werden.

Setzt man

(13)

sin J. cos (a₀ — akt) = cos Pif cos sec d0 AaQcosdQ = x, Ad₀ = y, sin Ai = Aif

= sin P/,

so besteht die Bedingung:

(14)

0 — Ai — cos Pt. • x -J- sin P-y.

Um die Fehlergleichungen richtig anzusetzen, muß jedoch noch berücksichtigt werden, daß A, die Verschiebung, welche der vorläufig angenommene Radiant erleiden müßte, um in den beobachteten Bahnbogen zu kommen, keine beobachtete Größe ist, denn der durch die Drehung zu verbessernde Ort ist a, ô'. Bezeichnet £ die Veränderung, welche dieser dabei erleiden muß, so ist

sin £ . £

sin A

sin l

Ä sin V ⁷

wenn die Bogenlänge von a, d' bis a", d" mit l, jene von a₀, d₀ bis a", d" mit V bezeichnet wird.

Der Faktor = ]/g ist daher als Gewichtsfaktor der ganzen

Gleichung anzuhängen. Unterläßt man dies, so wird den kurzen Bahnbogen, für welche dieses Sinus Verhältnis ein kleiner Bruch ist, ein -viel zu großes Gewicht beigelegt.

Ist die betreffende scheinbare Bahn nicht durch a, d', sondern durch die scheinbare Neigung am Endpunkt bezeichnet, so kommt man der richtigen Bewertung am nächsten, wenn man sinZ= 1 nimmt.

Selbstverständlich ist überdies auch noch in allen besonderen Fällen das etwa nachweisbare Gewicht der beobachteten Größe anzubringen.

Das hier erörterte Verfahren stützt sich, wie erwähnt, auf die Voraussetzung, daß der Endpunkt sicher genug ermittelt wurde, um die aus demselben berechneten scheinbaren Positionen a", d" auch bei der Bestimmung des Radianten unverändert zu lassen. Wäre dies nicht zulässig, so müßte man die Gewichte der einzelnen a”, di" aus den mittleren Fehlern bei der Bestimmung der Lage und Höhe des Endpunktes ableiten und dann auch das Gewicht für den ersten Punkt der Bahn af, d/ abschätzen. Die Verbesserungen der beiden Punkte müssen dann den Gewichten p und p" verkehrt proportional bestimmt werden, d. h. die Drehung der scheinbaren Bahn hat nicht um den Punkt a", d", sondern um jenen Bahnpunkt zu erfolgen,

• l und von a, d' um —~    ,

⁷    P +P

-rl

welcher von diesem um die Größe ——■—n

P + P

absteht. Bezeichnet l" die sphärische Entfernung dieses Teilungspunktes vom vorläufigen Radianten a₀d₀, so wäre der Faktor

V~9 =

sin --.Y ■ P +P

sin l"

Kann oder will man den Endpunkt der Bahn gar nicht vorher

bestimmen, so wird man in der Regel den beiden Punkten ad' und

. I sin —

a ô" gleiches Gewicht beimessen, so daß Yg =

nehmen wäre.¹)

zu

2

sin r

Ist der Radiant durch die endgiltigen Koordinaten a, d bestimmt, so wird für jeden Beobachtungsort der Bogen von a, d bis «/', d/' der Lage nach die verbesserte scheinbare Bahn bezeichnen. Die normale Projektion des Punktes a, d' auf diesen Bogen liefert einerseits die verbesserte scheinbare Bahnlänge, andererseits die auf die Bahnrichtung normale Komponente des Beobachtungsfehlers. Die in der Bahnrichtung gelegene ist selbstverständlich wegen der Ungleichheit der Auffassung unbestimmbar. Die nach dieser Andeutung leicht vorzunehmende Verbesserung von a, d' ist jedoch nur dann notwendig, wenn die

Angabe verläßlich genug ist, um sie noch zur Bestimmung der Aufleuchtungshöhe und der reellen Bahn länge zu verwenden.

c)    Lage der Bahn gegen die Erde; Bahnlänge; Höhe des Aufleuchtens. Werden für den endgültig ermittelten Hemmungspunkt (Le, cpe) mit der diesem Meridian entsprechenden Fallzeit des Meteors aus den äquatorealen Koordinaten des definitiv bestimmten Radianten a, d die auf den Horizont des Hemmungspunktes bezogenen Werte für Azimut und Höhe des Radianten berechnet, so entspricht ersteres zugleich dem Azimut der linearen Meteorbahn und letztere der Neigung derselben gegen den Horizont des Endpunktes. Dem Azimut, welches die Projektion der Bahn auf die Erdoberfläche bezeichnet, kann man in der Karte oder rechnerisch diejenigen Orte entnehmen, über deren Scheitel das Meteor hingezogen, und die Neigung in Verbindung mit der Höhe des Endpunktes gibt die lineare Höhe, welche es an irgend einer Stelle dieser Bahn über der Erdoberfläche hatte.

Man kann weder von der wirklichen Bahnlänge des Meteors in der Atmosphäre noch von der Höhe des Aufleuchtens im allgemeinen sprechen, weil, wie schon einmal erwähnt, die Beobachter sehr häufig verschiedene Bewegungsphasen auffassen. Da die linearen Bahnlängen in Verbindung mit den Dauerschätzungen ungefähr auf die geozentrische Geschwindigkeit schließen lassen, so müssen die reellen Bahnlängen insbesondere für jene Beobachtungen ermittelt werden, welche auch Abschätzungen der Dauer liefern. Als Höhe des ersten Aufleuchtens kann dann immerhin diejenige genommen werden, welche aus der längsten noch sicher ermittelten Bahn hervorgeht.

Zur Bestimmung dieser Größen sind aber, sobald die oben erwähnte Projektion der reellen Bahn auf die Erdoberfläche und die Neigung sichergestellt sind, alle Behelfe gegeben. Für jeden einzelnen Beobachtungsort wird nun die verbesserte Position a, d' des frühest gesehenen Bahnpunktes in Betracht kommen. Das entsprechende Azimut liefert dann den Richtungseinschnitt in die Bahntrajektorie, woraus mit Benutzung der Bahnneigung gegen den Horizont sowohl die entsprechende Bahnlänge als auch die Höhe des Meteors über diesem Punkt sich ergibt.

d)    Geozentrische oder relative Geschwindigkeit. Sind und ti zusammengehörige Werte einer aus den Beobachtungen gerechneten wirklichen Bahnlänge und des durch Schätzung ermittelten Zeitintervalles für die Zurücklegung derselben Strecke in Zeitsekunden, so ist

*<

ą = -r

der aus dieser Beobachtung hervorgehende Durchschnittswert der relativen Geschwindigkeit des Meteors, behaftet namentlich mit der großen Unsicherheit, welche die Dauerschätzung fast unvermeidlich mit sich bringt. Ein Durchschnittswert, weil man annehmen muß, daß die Geschwindigkeit im Verlauf der Bewegung durch die atmosphärischen Schichten nicht völlig konstant geblieben sein kann.

Liegen mehrfache, zusammengehörige Angaben Ll} t1} . . . vor, so wird man sorgfältig zu erwägen haben, ob etwa eine einzige anscheinend sehr verläßliche Schätzung von t mit dem dieser Beobachtung entsprechenden Werte L allein beizubehalten oder ein Mittel abzuleiten wäre, immer nur im Hinblick auf Zusammengehöriges. Die aus dem frühesten Aufleuchten hervorgehende größte Bahnlänge mit dem Mittel aller Dauerschätzungen zu verbinden, was zuweilen geschieht, ist nicht zu empfehlen, weil unter diesen gewöhnlich viele Schätzungen Vorkommen, die sich nur auf kürzere Bahnteile beziehen.

Am besten ist es in der Regel, die Geschwindigkeit aus jedem Paare L, t für sich zu bestimmen und dann das Mittel mit oder ohne Rücksicht auf Gewichte zu nehmen. Die häufig vorkommenden starken Überschätzungen der Dauer — also stets einseitige Fehlerquellen — machen jedoch den Erfolg einer scharfen Gewichtsbemessung sehr oft fraglich.

Findet sich in keiner Beobachtung die zur bezeichneten Bahnlänge gehörige Dauerschätzung, so mag etwa das Mittel sämtlicher L mit dem Mittel der t verbunden werden.

Nicht selten liefern lange, größtenteils die höheren Schichten der Atmosphäre durchschneidende und auch schon in größerer Höhe endigende Bahnen wesentlich größere Werte für die Geschwindigkeit als solche, welche erst in den tieferen Schichten in geringer Länge nachgewiesen wurden. Die Beantwortung der Frage, ob solche Erfahrungen den verzögernden Einfluß des Luftwiderstandes auch quantitativ darstellen, oder mehr in der Überschätzung der Dauer begründet sind, durch welche bei kurzen Bahnen das Resultat merklicher entstellt wird als bei langen, bedarf noch weiterer Studien. Der Fall, daß sich einzelne Angaben der Beobachtungen mit Sicherheit auf besondere, bestimmt begrenzte höher oder tiefer gelegene Bahnteile beziehen, ist also immer sehr wichtig und deshalb für sich eingehender zu untersuchen.

e) Zenitattraktion. Geschwindigkeit und Radiant sollen für die weitere planetarische Rechnung noch von dem Einflüsse der Erdschwere, welche erstere vergrößert und letzteren dem Zenit näher bringt, befreit werden.

Ist z die Zenitdistanz des nachgewiesenen scheinbaren Radianten im Endpunkt Lecpe und v die von der Erdschwere befreite relative oder geozentrische Geschwindigkeit, dann z die im selben Sinne verbesserte Zenitdistanz, so wird²) (g Schwerebeschleunigung)

v'=yW — 2gR,

worin, wenn alles in Kilometern gilt,

2 gR = 125.18,

(18)

Az SS — v , z

t“«-r = tan8 s>

Z — Z -f- A Z.

Das Azimut des Radianten erleidet hierdurch keine Änderung. Die äquatorealen Koordinaten des letzteren sind mit diesem und der verbesserten Zenitdistanz neuerdings zu rechnen. Wo sie im folgenden für die Berechnung der planetarischen Bahn benutzt werden, sind sie nun mit a, d' bezeichnet.

an-

wenn

2. Beobachtungen verschiedener Körper desselben Stromes aus einem Erdorte. Wenn mehrere, demselben Strahlungspunkte gehörige scheinbare Bahnen vorliegen, welche innerhalb eines nicht zu langen Intervalles nur an einem Orte beobachtet wurden, und die während dieser Zeit eingetretenen Änderungen in den Koordinaten des Radianten unbedeutend sind³) oder berücksichtigt werden, können diese Koordinaten auch wieder nach dem Grundsätze bestimmt werden, daß sie den wahrscheinlichsten Schnittpunkt der betreffenden größten Kreise bezeichnen. Indessen hat man bei einseitigen Beobachtungen nie die volle Sicherheit, daß die in Betracht gezogenen Bahnen wirklich zum gleichen Strahlungspunkt gehören, wodurch die Anwendung strengerer Methoden etwas an Wert verliert.

Bei einseitigen Beobachtungen kann auch die geographische Lage und Höhe des Endpunktes irgend einer Bahn nicht angegeben werden.

Es entfällt somit die im betreffenden Teile des vorigen Abschnittes erörterte Yerbesserung der Endposition a", d", welche also nur ungefähr gleichwertig sein wird mit a, d'. Demnach wird es naheliegend sein, die Yerbesserungen gleichmäßig zu verteilen und die nötige Drehung des Bogens um die Bahnmitte vorzunehmen. Der

2

Y sein, wenn V den Abstand

. Z sin —

Faktor der Fehlergleichung wird also

sin V

der Bahnmitte vom vorläufigen Radianten bezeichnet. Sonst wird man das gleiche Verfahren wie dort an wenden können und zwar auch bei der in solchen Fällen gewöhnlich bevorzugten graphischen Bestimmung durch die Eintragung in Kartennetze.

jR. Lehmann-Filhe's⁴) erörtert die Methode, den scheinbaren Radianten bei einseitigen Stemschnuppenbeobachtungen aus scheinbaren Bahnen abzuleiten, welche je durch einen beliebigen Punkt a, Ö derselben und ihren Positionswinkel gegen den Deklinationskreis dieses Punktes bestimmt sind. Hat der Beobachter die Wahl dieses Punktes frei, so wird er ihn häufig durch die Nähe eines ihm bekannten Sternes sicherstellen können, und wenn die Aufmerksamkeit nicht allzusehr durch die genaue Fixierung von Anfang und Ende der Bahn in Anspruch genommen ist, dürfte die Bahnrichtung, also auch der Positionswinkel vermutlich genauer erhalten werden als durch Festlegung jener beiden Punkte, die bei einseitigen Beobachtungen nur beiläufig angedeutet zu werden brauchen, wenn man sie überhaupt berücksichtigen will.

Die Gleichungen (14) bis (17) in welchen der Positionswinkel P am Stundenkreis des vorläufigen Radianten a₀, d₀, also nicht der in einem beliebigen anderen Bahnpunkte a, d bestimmte, vorkommt, lassen sich ganz leicht auf diese Art der Lösung anwenden.

Bezeichnet W den in a, d bestimmten Positionswinkel, wo diese Koordinaten also bezeichnet sein müssen, so ergibt sich sofort uk aus

’ tang (a — ak) — tang W sin d cos S cos d₀

cos (a₀ — cck) cos (cc — cck)

Setzt man diese Werte in die erwähnten Gleichungen, so sind sie für die vorstehende Lösung modifiziert.

Endlich mag noch erwähnt werden, daß bei einseitigen Beob

(19)

und ' sin P' =

COS P =

sin W,

cos TP.

achtungen die Zenitattraktion für die Verbesserung des Radianten nur hypothetisch bestimmt werden kann, denn man muß dazu das Zenit des Bahnendpunktes, der unbekannt ist und die relative Geschwindigkeit kennen. Für den letzteren kann der Beobachtungsort genommen werden, woraus große Fehler nicht entstehen können. Statt der unbekannten Geschwindigkeit wird gewöhnlich die aus der parabolischen Bahn sich ergebende geozentrische Geschwindigkeit genommen.

II. Ableitung der Bahn im Sonnensystem.

Die von der Zenitattraktion befreiten Koordinaten des scheinbaren Radianten a, d' sollen in der Beziehung auf die Ekliptik mit V, ß' bezeichnet werden. Diese und die geozentrische (relative) Geschwindigkeit v entstehen durch die Zusammensetzung der heliozentrischen Bewegung des Meteors mit der Geschwindigkeit v aus der durch die analogen Koordinaten X, ß bezeichneten Richtung mit der Größe und Richtung der heliozentrischen Erdbewegung am Knoten der Meteorbahn. X, ß bestimmen den wahren Radiationspunkt und v ist die heliozentrische Geschwindigkeit an dieser Stelle. Der viel zu unbedeutende Einfluß der Erdrotation kann hier außer Betracht bleiben.

Als Einheit zur Bezeichnung von v und v soll nun wie üblich, wenn nichts anderes bemerkt ist, die Geschwindigkeit der Erde in der mittleren Entfernung von der Sonne genommen werden. Die in Kilometern ausgedrückten Größen werden auf diese Einheit hinreichend genau zurückgeführt, indem man durch 29.59 dividiert.

Für den Radiusvektor, oder die Entfernung der Erde von der Sonne, gilt als Einheit die mittlere Entfernung oder die große Halbachse der Erdbahn. Für jene Stelle der Erdbahn, an welcher die Sonnenlänge 0 ist, beträgt die zugehörige Entfernung in dieser Einheit: r = 1 -j- e cos (© — 77).

Hierin kann noch für lange Zeit hinreichend e — 0.01676 und, wenn T die Jahreszahl bezeichnet,

77 = 101° 12.8' + 1.03' (T — 1900)

genommen werden. Übrigens ist r für alle Tage in jedem astronomischen Jahrbuch gegeben.

Bezeichnet ©' die Länge der Normalenrichtung an dem Punkt der Erdbahn, für welchen die Sonnenlänge © beträgt, so ist

©' = © + sin (© — 77) = © + 57'.6 • sin (© — 77)

und demnach ist die Länge des in der Ekliptik liegenden jedesmaligen Zielpunktes oder Apex der Erdbewegung = ©' — 90°.

Endlich ist die heliozentrische Geschwindigkeit der Erde in der Entfernung r von der Sonne gegeben durch "j/y — 1.

Zwischen X, ß', v und X, ß, v bestehen die drei Gleichungen:

v cos ß sin (©' — X) = v cos ß' sin (©' — X) — ~j/ (20) ■ v cos ß cos (©' — X) = v cos ß' cos (©' — X),

= v sin ß',

v sin ß

woraus man X, ß und v findet.

Will man allein die Größe der heliozentrischen Geschwindigkeit kennen lernen, so erhält man hieraus

(21) v² = v ²    (~r — l) —    /-^--1 • cos ß' sin (©' — X) und die halbe große Achse der betreffenden Meteorbahn

(22)

2 — rv²

Diese Bahn ist also eine Ellipse oder eine Hyperbel, je nachdem a positiv oder negativ ausfällt, je nachdem    ist.

Der Parabel für a — oo entspricht daher der besondere Grenzfall ^² = —• r

Zuweilen wird aus der periodischen Wiederkehr besonders reichlich auftretender Meteore eines bekannten Radianten X, ß' (z. B. der „Leoniden“) auf die Umlaufszeit U eines dichtem Meteorschwarmes geschlossen und diese danach als gegeben betrachtet. Um die übrigen Bahnelemente in einem solchen Falle zu berechnen, erhält man

(23)

a= U%

und hiernach auch v. Dann liefern die drei Gleichungen (20) v', X und ß, aus welchen die Bahnelemente des Stromes nach dem Folgenden abgeleitet werden können.

Bezeichnen: i die Neigung der heliozentrischen Meteorbahn gegen die Ekliptik, x den Winkel der Tangente an diese Bahn mit dem Radiusvektor r der Erdbahn im Knoten der Meteorbahn, p den halben Parameter, e die Exzentrizität, q die Periheldistanz derselben und w deren wahre Anomalie für den Radiusvektor r, so erhält man diese Größen aus nachstehenden Gleichungen:

sin i sin r = sin /3, cos i sin x = — cos ß sin (® — X), cos x = —- cos ß cos (© — X),

446 VI 2, 10. G. v. Niessl. Die Bestimmung der Meteorbahnen im Sonnensystem. p = r²v² sin² r,

(25)

⁶ — V⁵ — a’

2 = r^=a(i— e),

COS W = -

Wegen Ermittlung der weiteren Elemente kann auf die Bahn-berechnung der Kometen und Planeten verwiesen werden, da nunmehr alle hierzu nötigen Stücke gegeben sind. Die Größen i und t müssen stets in gegenseitiger Beziehung gezählt werden. Rechnet man t von der gegen 180 -j- © hinausgehenden Verlängerung des Radiusvektor r gegen die Sonne hin stets nur im 1. oder 2. Quadranten, so erhält sini immer das Vorzeichen von sin ß. Für nördliche Radianten ist daher der betreffende Knoten stets der absteigende und es ist dann & — ©. Die Bewegung ist unter dieser Voraussetzung (nämlich für positive ß) recht- oder rückläufig, je nachdem i im 1. oder 2. Quadranten liegt. Für Radianten in südlicher Breite wird <0, = 180 -f- © und die Bewegung recht- oder rückläufig, je nachdem i aus den Gleichungen im 3. oder 4. Quadranten hervorgeht. Bei der späteren Darstellung der Elemente wird aber i für den betreffenden auf steigenden Knoten mit dem Beisatze recht- oder rückläufig angegeben.

Da für eine erhebliche Anzahl großer (auch sogenannter detonierender und selbst auch mit dem Niederfallen von Massen verbundener) Meteorerscheinungen durch sorgfältige Benutzung des Beobachtungsmaterials festgestellt ist, daß deren heliozentrische Geschwindigkeit v die oben bezeichnete parabolische Grenze wesentlich überschreitet, so daß a negativ, e > 1, die heliozentrische Bahn demnach eine ausgesprochene Hyperbel darstellt, welche schon der Lage nach unmöglich im Sonnensystem erzeugt worden sein konnte, so muß angenommen werden, daß solche Körper aus dem Weltraum in das Sonnensystem eingedrungen sind.

an-

Körper, welche im Welträume nahezu parallele Bahnen in großen lateralen Abständen mit identischer Geschwindigkeit beschreiben, also gleichsam einem siderischen Strome von bedeutender Ausdehnung gehören, können die Erdbahn in so verschiedenen Knotenlängen treffen, daß außer a, welches von der ursprünglichen kosmischen Geschwindigkeit abhängt, alle anderen gleichnamigen Bahnelemente und danach auch die Koordinaten der scheinbaren Radianten gänzlich verschieden ausfallen können.

Was unter solchen Umständen eine Vergleichung verschiedener

Fälle ermöglicht, ist nicht der Komplex jener Elemente, welche für die Bahnen der Planeten und Kometen charakteristisch sind, sondern nach dem hier Gesagten ausschließlich die Größe und Richtung der Bewegung für so große Werte des Radiusvektor q, gegen welche selbst r nahezu als verschwindend klein angesehen werden kann. Da ein solcher Bahnteil der Asymptote sehr nahe kommt, kann man für diese Entfernung q — oo nehmen.

Der Richtpunkt dieser Asymptote an der scheinbaren Himmelskugel, dessen Länge und Breite hier l, b heißen sollen, kann als der siderische oder kosmische Ausgangspunkt des Meteors bezeichnet werden. Die Bestimmung desselben, für verschiedene Annahmen von a(v), bei gegebenem Strahlungspunkt X ß', ist hinsichtlich der hyperbolischen Meteore eigentlich das wichtigste Ziel.

Ist w die wahre Anomalie der Meteorbahn für den Radiusvektor q = oo und <? der Winkel, welchen die Richtung der Asymptote (aus dem Punkt l, b) mit dem Radiusvektor r am Bahnknoten der Erdbahn bildet, völlig in analoger Zählung und Bedeutung wie t, so erhält man

COS w

(26)

oder, wenn

(27)

rv% — 2

= m,

(28)

taug

m sin r

1 4 m cos t ’

für umgekehrte Bestimmungen bequemer, auch

2 -j- (r«s — 2) cos c

(29)

cos (2r — <?) =

Es kann zuweilen von großem Interesse sein, die Aufgabe in umgekehrter Ordnung zu lösen, d h. also den scheinbaren Radianten k', ß' für einen bestimmten Tag des Jahres (0) zu bestimmen, wenn als gegeben vorausgesetzt werden:

a)    die nötigen Elemente der elliptischen Meteorbahn, oder

b)    das parabolische Aphel durch l, b oder endlich

c)    der hyperbolische kosmische Ausgangspunkt, auch wieder durch l, b mit v₀ oder v.

Es ist dann nach dem Früheren bei den elliptischen Bahnen a, wenn nicht ohnehin direkt durch das Eiernentensystem, durch die Umlaufszeit U, bei den hyperbolischen durch die Gleichungen (31) oder (22) gegeben.

Ferner (33)

Unter den elliptischen Elementen sind auch e² und i gegeben. Man kann also berechnen:

(34)

p = a( 1 — e²), sin x —

rv ’

dann aus System (24) den Ort k, ß des wahren und aus (20) k', ßr, v für den scheinbaren Radianten. Die Zenitattraktion kann nur für eine bestimmte Polhöhe und Sternzeit angebracht werden.

Bei hyperbolischen Bahnen ist in der Gleichung für v a negativ, bei parabolischen unendlich zu nehmen.

Das System (30) liefert mit ©, l und b, dann i und <?, ferner erhält man aus (29) x, aus (24) k, ß und zuletzt auch wieder k', ß' und v.

Gleichung (29) liefert für jede Ausgangsrichtung l,b ein zusammengehöriges Radiantenpaar. Umgekehrt gibt es daher auch für jede 0 stets zwei zusammengehörige und mit einem l,b konjugierte scheinbare Radianten an weit voneinander entfernten Stellen des scheinbaren Himmelsgewölbes. Man findet beide leicht, wenn man bedenkt, daß cos (2r — <?) auch bei feststehendem Vorzeichen stets zweierlei Werte für 2r — 6, also für ein bestimmtes <J zweierlei t, entsprechend den in jeder Ebene und für identischen Brennpunkt möglichen Hyperbeln, welche nach einer Seite hin parallele Asymptoten besitzen. Dabei ist die eine Bahn rechtläufig, die andere rückläufig, und ihre Perihele liegen auf entgegengesetzten Seiten des Radiusvektor. Da eine der beiden Periheldistanzen gewöhnlich sehr klein ist, fällt der zugehörige Radiant meist noch in den vom Sonnenlicht beherrschten Himmelsraum. Für die parabolischen Bahnen müßten die wahren Orte der

Die im vorstehenden angegebenen Ausdrücke für die Bahnbestimmung gehen bei dem gegenwärtigen Stande der Beobachtungstechnik hinsichtlich der rechnerischen Genauigkeit über das erforderliche Maß hinaus. Sie werden daher zweckmäßig nur dann anzuwenden sein, wenn es sich um die Weiterentwicklung von bestimmten theoretischen Annahmen handelt. Bei der Verwertung von Beobachtungen aber wird man schneller und doch ohne merklichen Genauigkeitsverlust ans Ziel gelangen, wenn man überall hinsichtlich der Erdbahn e — 0, r — 1, ©' = © und auch die Geschwindigkeit der Erde durchweg = 1, kurz die Erdbahn als kreisförmig nimmt.

beiden zusammengehörigen Radianten einander diametral gegenüber liegen.

Es ist leicht, die vorhin angeführten Ausdrücke durch diese Substitutionen zu vereinfachen, nur wäre zu erwähnen, daß es nicht notwendig ist, den wahren Radianten aufzusuchen, wenn man auf dem kürzesten Wege zu den gewöhnlichen Elementen gelangen will.

Man rechnet nämlich

(35)

(36)

v² = v'² -j- 1 — 2v cos ß' sin (© — A'), cos r = — ~ cos ß' cos (© — A'), sin i = — tang ß' cotg r sec (© -— A'), cos i =

1 -j- v cos r tang (® — l')

v sin r

Das Weitere ergibt sich durch die angeführte Substitution in die bekannten Formeln.

Für die Bestimmung des siderischen Ausgangspunktes l, b wird

tang y =

2 4-O² — 2) cos a

mit

m sin t

1 -f- m cos t ’

yv*- 2

cos (2r — 0) =

worauf man aus System (30) l und b findet. Die Geschwindigkeit für q = 00 wird v₀ — Yv² — 2.

Die Vereinfachung der umgekehrten Aufgabe, aus l, b den Radianten A', ß'

Rechnungsergebnisse für die Bahnelemente aus der den Beobachtungen entnommenen Geschwindigkeit sind fast wertlos, weil die Grundlage für diesen Zweck zu unsicher ist. Die möglichst sorgfältige Ableitung der Geschwindigkeit ist allerdings sehr wichtig, um wenigstens den Grad der Wahrscheinlichkeit kenntlich zu machen, daß die betreffende planetarische Bahn von der Parabel nach der einen oder anderen

(37)

zu

v'-

finden, bedarf hiernach keiner weiteren Ausführung.

Seite abweicht. Die Berechnung der Elemente jedoch, wenn man sich damit befassen will, soll mit verschiedenen angenommenen, zweckmäßig gewählten Werten für die Geschwindigkeit durchgeführt werden, wodurch die Gesamtergebnisse zur Vergleichung mit anderen Fällen anschaulicher gestaltet werden.

III. Beobachtungs- und Rechnungsergebnisse aus Meteorbeobachtungen.

1. Mittlere Genauigkeit der Beobachtungen und der Rechnungsergebnisse.

a)    Am End- oder Hemmungspunkt der Bahn. Der mittlere Fehler einer Bichtung (eines Azimuts) ergab sich im Durchschnitt aus 351 benutzten Beobachtungen zu + 5.8°.

Die Feststellungen erfolgten nur in 12°/₀ durch sogleiche Beziehung auf Gestirne, in etwa 20 °/₀ auf Grund späterer Messungen, in den übrigen Fällen durch Bezeichnung irdischer Objekte der Umgebung nach Plänen und Karten usw.

Der mittlere Fehler einer Bezeichnung der scheinbaren Höhe oder Zenitdistanz kann aus 235 Angaben zu + 4.1° angenommen werden. Es wurden in der Regel nur Beziehungen auf Gestirne oder doch nachträgliche Messungen berücksichtigt. Rohe „Abschätzungen" liefern bekanntlich fast immer viel zu große scheinbare Höhen. Wo solche ausnahmsweise in Verwendung kamen, wurden sie in der Regel auf ²/₃ bis s/₅ des angegebenen Betrages reduziert.

Die Azimute, bei welchen solche einseitige Fehler minder zu besorgen sind, wurden nicht so streng gesichtet, was auch an dem größeren mittleren Fehler einer Beobachtung zu erkennen ist.

Der mittlere Fehler in der Bestimmung der geographischen Lage des Endpunktes ergab sich aus 42 Fällen zu + 8.3 km. Die besten Bestimmungen blieben noch bis 3¹/₂-—4 km ungenau. Der mittlere Fehler der abgeleiteten linearen Höhen beträgt durchschnittlich -f- 3.4 km.

b)    Am Anfangspunkt der beobachteten Bahn. Die Umstände der Beobachtungen verursachen es, daß ein Meteor von mehreren Beobachtern an ganz verschiedenen Stellen seiner Bahn zuerst aufgefaßt werden kann. Dies sind Unterschiede, welche ganz und gar nicht den Charakter von Beobachtungsfehlern tragen. Als solche können nur die transversalen Abweichungen von der verbesserten scheinbaren Bahn betrachtet werden.

Diese betrugen für den Anfangspunkt aus 217 Angaben im Mittel + 4.2°. Sie wurden in ähnlicher Weise wie für den Endpunkt erhalten, jedoch gröbere Angaben häufiger als dort ausgeschlossen.

Bei Beziehungen auf Gestirne, wenn sie sogleich nach der Beobachtung hergestellt wurden, ergab sich der mittlere Fehler einer solchen für den Anfangs- oder Endpunkt im Durchschnitt zu + 3%°

c)    Schätzungen der scheinbaren Neigung der beobachteten Lichtbahn wiesen in 250 benutzten Fällen durchschnittlich einen mittleren Fehler von + 6.5° auf. Solche Schätzungen bezogen sich gewöhnlich auf den Vertikal des gesehenen Endpunktes oder eines sonst bezeichneten Bahnpunktes und wurden zumeist durch graphische Skizzen geliefert. Radianten, welche nicht weit über dem Horizonte liegen, werden gewöhnlich nur durch einen geringen Teil dieser Unsicherheit beeinflußt.

d)    Erreichte Genauigkeit in der Ableitung der Badianten. Bei 43 verläßlichen Bestimmungen von Radianten großer, zumeist detonierender Feuerkugeln aus 537 scheinbaren Bahnen (also durchschnittlich aus 12—13 Beobachtungen für je einen Fall) stellte sich der mittlere Fehler in der Lage dieses Punktes am Himmel im Durchschnitt auf + 3.3°.

Die Anzahl der in den einzelnen Fällen verwendbaren Bahnbogen war aber sehr ungleich und betrug manchmal über 40, aber oft auch nur 3—4.

Gegenwärtig sind mehr als 420 Feuerkugel-Radianten nachgewiesen, von welchen jedoch ungefähr 30% mit anderen identisch sein dürften. Viel größer ist die Anzahl der in den letzten Katalogen verzeichneten Radianten von Sternschnuppen. Denning⁶) führt aus der betreffenden Literatur, sowie nach eigenen Beobachtungen 4367 solcher Strahlungspunkte an, von denen indessen wahrscheinlich mehr als die Hälfte mit andern zusammenfällt.

Wenn er dabei⁷) bemerkt, daß durchschnittlich in jeder Nacht mehr als 50 Radianten wirksam sind, so ist dies sicher richtig, nur können wegen zu geringer Frequenz an einzelnen Meteoren viele davon nicht jedesmal am selben Ort und in jedem Jahre nachgewiesen werden.

Die reichen Sternschnuppen-Ströme liefern so viel Beobachtungsmaterial, daß ihre Radiationspunkte zumeist genauer als jene der Feuerkugeln bestimmt werden konnten, wie nachstehende Beispiele, in welchen die mittlern Fehler angesetzt sind, zeigen:

2. Ergebnisse für die Höhe des Aufleuchtens und der Hemmung, und ihre Beziehungen zu anderen Faktoren. In dieser Hinsicht muß unterschieden werden zwischen den kleineren Erscheinungen, welche man gewöhnlich als „Sternschnuppen" bezeichnet, und den großen Meteoren, die als „Feuerkugeln" häufig mit außerordentlicher Lichtentwicklung, oft auch bedeutenden Schallimpulsen, zuweilen nachweisbar von Meteoritenfällen gefolgt, ihren Lauf in der Atmosphäre beschließen.

Hinsichtlich der Sternschnuppen des sogenannten Perseidenstroms im August fand Weiß⁸) in Wien aus der Bearbeitung von 49 verläßlichen korrespondierenden Beobachtungen als Mittelwerte für die Hohen:

Beim Aufleuchten: 115 km, „ Erlöschen:

88 „ .

Unabhängig davon wurden von H. A. Newton⁹) ebenfalls für die „Perseiden<( aus 39 Beobachtungen durchschnittlich folgende Höhenmittel abgeleitet:

Beim Aufleuchten: 112 km, 90 „.

Ort des scheint). Radianten: Rectasc.

Déclinât.

Maximum

Leoniden

Perseiden

150.1° (+ 0.3°) + 23.0° (+ 0.2°) November

August

44.0°

t—I H

+ 56.9°

271.5° (+    0.7°)    + 33.4° (+ 0.4°)    April

Andromediden 23.8° (+    0.9°)    -f- 44.0° (+ 0.2°)    November    26—28

Quadrantiden 230.9° (+    0.7°)    -f- 51.3° (+ 0.4°)    Jänner

Geminiden

Lyriden

für die „Perseiden" glaubt Denning¹⁰) die Wirksamkeit von Juli 11 bis August 19 annehmen zu sollen, wobei der Radiant eine Verschiebung von cc = 11.5° d — 47.7° bis a — 56.6° â — 59.1° erfährt.

Alle diese Ströme führen längs ihrer ganzen bisher bekannt gewordenen Bahnen mehr oder weniger dicht verbreitete Partikel, aber nur die „Leoniden" überdies einen in sichergestellter Periode von 33% Jahren zur Sonnennähe wiederkehrenden besonders reichen Schwarm.

Orion iden

„ Erlöschen: Eine vortreffliche Übereinstimmung.

„    „ Erlöschen:

Für die Sternschnuppen der „Leoniden" im November dagegen berechnete Newton¹⁰) aus 78 Bestimmungen die Höbenmittel:

Für das Aufleuchten: 155 km,

98 „ .

Danach liegt für diese durchschnittlich die ganze Lichtbahn höher als für die „Perseiden", was offenbar damit zusammenhängt (s. unten), daß die „Leoniden" mit rund 70 km und die „Perseiden" nur mit 60 km relativer Geschwindigkeit in die Atmosphäre eintreten. Übrigens scheinen die Massen des Novemberstroms auch chemisch besonders charakterisiert zu sein.¹¹)

159 Höhenhestimmungen von Sternschnuppen (5. bis 1. Größe) der verschiedensten Radianten¹²), wobei also auch geringere Geschwindigkeiten vertreten sind, geben im Durchschnitt

für das Aufleuchten: 108.5 km,

86.3

„    „ Erlöschen:

also eine nur geringe Abweichung von den für die „Perseiden" erlangten Resultaten.

Für die großen Meteore, einschließlich jener mit Detonationen und Meteoritenfällen, fand ich aus besonders sichern Bestimmungen ohne Auswahl der größten Erscheinungen:

für das Aufleuchten (121 Fälle): 138.6 km,

„    „ Erlöschen (213 „ ): 49.7 „ .

Diese Zusammenstellung zeigt, insbesondere wegen der vergleichsweise geringem Höhe des Hemmungspunktes, also des tieferen Eindringens in die Atmosphäre, den Einfluß größerer Massen. Dieser drückt sich noch deutlicher aus bei weitergehender Unterscheidung. Ich fand¹³) die Höhe des Hemmungspunktes im Durchschnitte: für 147 Feuerkugeln ohne Detonation: 60 km,

,,    57 detonierende Meteore:

31

22

„    16 Meteoritenfälle:

Hiernach dürfte es wohl begründet sein, diese verschiedenen Typen durch graduelle Massenunterschiede zu erklären, da größere Massen einen relativ geringeren Widerstand in der Atmosphäre erfahren und daher tiefer herabsteigen können als die kleineren.

10)    H. A. Newton, Ebenda.

11)    Die „Leoniden“ liefern unter allen Sternschnuppen die meisten lange nachleucbtenden Rückstände in der Atmosphäre.

12)    Memoirs of the British Astronomical Association. Bd. 9, 12. Part. 1 (1900—1903).

13)    G. v. Niessl, Über die Periheldistanzen und andere Bahnelemente jener Meteoriten, deren Fallerscheinungen mit einiger Sicherheit beobachtet werden konnten. Brünn 1891.

Noch wichtiger sind die Beziehungen der Höhen des Endpunktes zu den Werten der geozentrischen Geschwindigkeiten, welche man aus den Beobachtungen erhält. Um einseitige Auffassungen möglichst zu vermeiden, habe ich in dieser Hinsicht sehr verschiedenes Material untersucht und ich führe die wesentlichsten Ergebnisse in den Zusammenstellungen 1 bis IY mit der Vorbemerkung an, daß die Gruppen unter I und II sich hauptsächlich auf kleinere Erscheinungen (Sternschnuppen), III und IY überwiegend auf Feuerkugeln beziehen.

Höhenlage des Endes

Zahl der Fälle

Mittel der beobachteten geozentrischen Durchschnittsgeschwindigkeiten

Mittel der Endhöhen

I.¹¹)

67.7 km

106.6 km 88.8 ,, 73.0 „

46.2 „ 28.8 „

H.¹²)

Über 100 km 80—100 „ 60—80 „ 50—60 „ unter 50 „

10

11

13

14

72.3    km 43.0 „ 40.5 „

35.4    „

27.4    „

112.2 km 88.3 „

74.2    „

59.2    „ 33.9 „

III.¹³)

Über 60 km 50—60 „ 30—50 „ unter 30 „

86.4 km 54.2 „ 39.0 „ 24.0 „

12 (1 deton.) 51.8 km 19 (3 deton.) 55.0 „ 43 (16 deton.) 40.6 „ 28 (13 deton.) 37.6 „

sin (© — l) cos b = — sin 6 cos i, cos (ö — T) cos b = — cos <?, sin b = sin 6 sin i.

Die Geschwindigkeit für den Eintritt in das Sonnensystem 0 = oo) gibt    _

(30)

(31)

»o =

b4=l©-f

(32)

Für parabolische Bahnen wäre rv* — 2 = 0, also a = oo, hier

nach:

p = 2r sin² t, q — y = r sin² t, <3= 2t,

Enoyklop. d math. Wiasensoh. VI 2.

e — 1 w = 180°— 2t, w'= 180°,

Vq = 0 % = 180° -{- © 4- w.

Über 100 km

IV.¹⁷)

76.8 km

116.8 km

80—100 „ 60-80 „ 50—60 „ 30—50 „ unter 30 „

72.0 „

49.4 „

49.1 „

42.7 „

36.6 „

Alle vier Zusammenstellungen zeigen völlig deutlich einen gesetzmäßigen Zusammenhang zwischen der aus Beobachtungen abgeleiteten geozentrischen Geschwindigkeit und der Höhe des Hemmungspunktes in dem Sinne, daß die eine mit der anderen abnimmt.

89.3 „ 72.5 „ 58.9 „ 39.0 „ 22.1 „

Es liegt nahe, hieraus zu schließen, daß ein Meteor um so tiefer in die Atmosphäre eindringen kann, mit je geringerer Geschwindigkeit es auftrifft. Daß dieser Schluß zu Recht besteht, wird noch durch folgende Tatsachen erhärtet.

1)    Die rascheren Leoniden erlöschen in größeren Höhen, als die langsameren Perseiden, wie oben erwähnt wurde.

2)    Unter Voraussetzung gleicher heliozentrischer Geschwindigkeit müssen Meteore, welche der Erde in ihrem Laufe direkt (vom Apex her) begegnen, mit einer relativen Geschwindigkeit in die Atmosphäre eintreten, welche rund 56 km größer ist, als jene der Meteore von der entgegengesetzten Seite (vom Antiapex). Ordnet man die Meteore nach der Elongation ihres Radianten vom Apex, so findet man folgende Ergebnisse:

1. Aus dem Material Fußnote ¹⁵).

Anzahl der Durchschnittliche Höhe des Endpunktes

95.6 km

84.5

61.6 59.8 „

52.1 „

bestimmt werden; mit den seitherigen Ergänzungen ergaben sich aber 102 zusammengehörige Bestimmungen von Endhöhe und Geschwindigkeit.

Dieses Material enthält nur 8% Sternschnuppen 1. bis über 4. Größe und 27% Meteore von ein- bis mehrfacher Venusgröße. Dagegen sind 65% große Feuerkugeln mit Mond- oder Sonnengröße verglichen, darunter 30% detonierend und 7 Meteoritenfälle.

17) IV entstammt einer Analyse von 111 Fällen, die ich nach Materialien der älteren Literatur bearbeitet habe. Da früher die Größenbezeichnungen minder bestimmt lauteten, kann ich nur sagen, daß diese Daten sich ebenfalls mehr auf große Meteore (darunter 22% detonierende) beziehen.

Scheinbare Elongation der Radianten

Fälle

■T t- Ol H

N (M (M O O

2. Aus dem Material Fußnote ¹⁶). Anzahl der Fälle

Scheinbare Elongation der Radianten

Durchschnittliche Höhe des Endpunktes

38.6    „ 38.6 „ 36.4 „

SO Oi O r-1 t— CO t—

„10* 180

Abgesehen von Details, welche für diese Feststellung unwesentlich sind, zeigen beide Reihen den erwarteten Zusammenhang zwischen Elongation und Endhöhen. Daß letztere in der ersten Liste überhaupt größer sind als in der zweiten, ist wohl gewiß darin begründet, daß sich jene überwiegend auf kleine, schon in großen Höhen erlöschende, meine dagegen fast nur auf große Meteore bezieht. In dieser Hinsicht bildet daher letztere gewissermaßen eine ergänzende Fortsetzung der ersteren. Zum Teil muß die geringere beobachtete Geschwindigkeit der tieferen Meteore selbstverständlich auch auf der Abnahme der Geschwindigkeit während des Laufes durch die Atmosphäre beruhen. Die schließliche Hemmung ist fast momentan, doch liegen auch einzelne Erfahrungen vor, daß aus Beobachtungen, die sich nur auf die untersten Bahnteile in den tieferen atmosphärischen Schichten beziehen, geringere Geschwindigkeiten erhalten werden, als die durchschnittliche, welche bei Berücksichtigung der ganzen Bahnlänge in demselben Falle hervorgeht¹⁴). Freilich erschweren die Fehler in der Schätzung kurzer Zeitdauern hier ein abschließendes Urteil.

Vergleich mit der Theorie des Luftwiderstandes. Zur Berechnung des Luftwiderstandes, welchen die Meteore in den einzelnen Phasen erleiden, hat man versucht, die Erfahrungen zu benutzen, welche aus Experimenten mit sphärischen Geschossen der Artillerie abgeleitet wurden. Die nachstehenden Zusammenstellungen sind auf die Bobert-sche¹⁵) Widerstandsformel gegründet. Sie setzen vertikale Bewegung eines 118 Gramm schweren kugelförmigen Körpers von 3.5 Dichte und 2 cm Halbmesser voraus. Die beiden Annahmen über die Geschwindigkeit, mit der jener in die Atmosphäre eintritt, bezeichnen für eine parabolische Bahn die Extreme (vom Apex und Antiapex her). Wäre bei derselben Dichte der Halbmesser 2r cm und die Neigung der Bahn gegen den Horizont h, so können in der Spalte für die Geschwindigkeit die Werte ungeändert bleiben, wenn der zugehörige Luftdruck mit r sin h multipliziert wird.

II

Eintrittsgeschwindigkeit: 72 km Luftdruck Höhe Geschwindigkeit mm

km

km

Eintrittsgeschwindigkeit : 16 km Luftdruck Höhe Geschwindigkeit mm

km

km

72

16

0.036 0.082 0.315 1.249 4.318 11.639

80

73

62

51

41

32

70

68

60

48

36

24

12

r—I

0.5

0.006

0.016

0.032

0.062

0.128

0.305

1.229

4.299

11.619

14

12

10

0.5

In beiden Fällen kommt die Höhe (33 km), in welcher die planetarische Geschwindigkeit nahezu aufgebraucht erscheint, der für detonierende Meteore im frühem angeführten durchschnittlichen Hemmungshöhe fast gleich. Die Art der Geschwindigkeits-Abnahme widerspricht jedoch allen sonstigen Erfahrungen. So würde z. B. die durch Abschätzung der Dauer für den Fall I aus 129 km bis 33 km erhaltene Durchschnittsgeschwindigkeit nur Y₁₈ der Eintrittsgeschwindigkeit und bei Meteoren, welche erst in tieferen Regionen, z. B. zwischen 80 km und 33 km beobachtet wurden, was nicht selten vorkommt, gar nur y₃₆ derselben betragen. Tatsächlich erhält man für Meteore, welche nur im untersten Bahnteil beobachtet wurden, allerdings fast immer viel geringere Geschwindigkeiten, aber bei weitem nicht in dem hier angeführten Maße.

Für 16 km Eintrittsgeschwindigkeit würde (II) die beobachtete Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen 94 und 33 km Höhe auch nur % der ursprünglichen, also immer noch viel zu wenig betragen. An diesen Umständen ändert sich auch nichts Wesentliches, wenn man andere Annahmen unterlegt.

Die wirkliche geozentrische Geschwindigkeit der „Leoniden“, unter welchen besonders viele helle Sternschnuppen Vorkommen, ist uns aus

der bekannten Umlanfszeit sicher gegeben und beträgt nicht viel weniger als 72 km. Für ein Körperchen dieses Stromes von 2 mm Halbmesser und 0.12 Gramm Gewicht, dessen Bahn die Atmosphäre in 30° Neigung gegen den Horizont durchschneidet, hätte man die oben unter I angeführten Luftdrucke durch 20 zu dividieren, woraus sich dann die zugehörigen Höhen wie folgt ergeben:

III.

Höhe

km

Geschwindigkeit

Höhe

km

km

Geschwindigkeit

km

153 147 138 130 123 115

Für die ganze Bahn aus 153 km bis 57 km würde sich als Durchschnittsgeschwindigkeit auch hier nur ungefähr 4 km oder ł/18 der Eintrittsgeschwindigkeit ergeben. Wie früher mitgeteilt wurde, liegen die Bahnen der Leoniden im Mittel zwischen 155 und 98 km, vermutlich, weil die Partikel durch die bedeutende Wärmesteigerung gänzlich aufgelöst werden, ehe sie tiefer herabkommen können. In der Tat hinterlassen die Körper dieses Stromes unter allen Sternschnuppen die meisten anhaltenden Schweifrückstände. Es scheint daher zweckmäßig, das vorstehende Schema nur innerhalb ähnlicher Grenzen, also zwischen 153 und 97 km zu betrachten. Dabei erhält man dann im Durchschnitt etwa 27 km oder s/₈ der ursprünglichen Geschwindigkeit, während aus den Beobachtungen die Differenz gegenüber der theoretischen im Mittel viel geringer ausfällt.

Direkte Beobachtungen, so lückenhaft ihre Ergebnisse auch noch sind, machen es überhaupt wahrscheinlich, daß die Verminderung der Geschwindigkeit in den höheren atmosphärischen Regionen geringer, dagegen in dem letzten, untersten Teil der Bahnen, welche tiefer herabreichen, größer sein müsse, als sie nach den vorstehenden theoretischen Ansätzen erscheint. Auch so manche optische Wahrnehmungen bei der Hemmung von Feuerkugeln sprechen dafür.

Die Abhängigkeit der Höhe des Endpunktes der Lichtbahn von der Eintrittsgeschwindigkeit erfordert noch eine Aufklärung. Es ist unter wahrscheinlicher Annahme nachgewiesen (vergl. Schiaparelli 231 u. w.), daß die großen, aber sehr verschiedenen Geschwindigkeiten zweier Körper, welche unter sonst ganz gleichen Umständen in die Atmosphäre eintreten und sie in geradliniger Bahn durchlaufen, durch

70

68

60

48

36

24

103

97

86

75

65

57

12

0.5

den Widerstand derart vermindert werden, daß sie in irgendeiner Höhe fast genau den gleichen Betrag erreichen. In den Beispielen I und II ist dies bei rund 62 km schon der Fall.

Man darf daraus jedoch nicht schließen, daß die Endhöhen von der Eintrittsgeschwindigkeit unabhängig sind. Denn das mit der größeren Geschwindigkeit eintreffende Meteor setzt bis zum Abstieg auf 62 km viel mehr kinetische Energie in Wärme um und wird dadurch viel rascher verbraucht.

3. Masse der Sternschnuppen. A. Herschel folgerte¹⁶) aus der Vergleichung der Leuchtkraft von Sternschnuppen in bekannter Entfernung mit jener einer gegebenen Menge Gases, daß die Meteore „1. Größe“ durchschnittlich höchstens wenige Gramme und die kleinern nur Bruchteile eines Gramms wiegen.

0.45    0.06    0.02    0.01    0.006 0.004.

Durch ähnliche Vergleichungen mit dem Drummond-Licht gelangte B. F. Sands¹⁷) hinsichtlich der „Leoniden“ von 1867 zu nachstehenden Gewichtsschätzungen für Sternschnuppen verschiedener „Größenklassen“. Scheinb. Helligk.: Jupiters Sirius 1. Gr. 2. Gr. 3. Gr. 4. Gr. 5. Gr. Gewicht (Gramm): 0.67

Wenn auch derartige Schätzungen nur beiläufige Ergebnisse liefern können, so bekräftigen sie doch die Annahme, daß als Substrat des Sternschnuppen-Phänomens nur sehr geringe Massen in Frage kommen, die vermutlich im ursprünglichen Zusammenhänge die Erdoberfläche kaum erreichen können.

Nach Büchner¹⁸) wiegt der kleinste unter den aufgefundenen Aeroliten, von denen man vermuten kann, daß sie als einzelne Körper herabgekommen sind, noch immer 24 Gramm. Viel geringere Partikel, welche im Lauf unter dem Schutz vorangehender größerer Stücke die Atmosphäre in kleinen Aggregaten durchziehen und „Steinregen“ verursachen, sind in dieser Hinsicht mit den Sternschnuppen nicht vergleichbar. Sie bilden mit den großem zusammen eine Feuerkugel. Erfahrene Beobachter der Sternschnuppen sprachen sich wiederholt dahin aus, daß ihr äußerer Anblick notwendig auf große Verschiedenheiten in ihrer Zusammensetzung schließen läßt¹⁹). Einiges mögen die beträchtlichen Unterschiede der Geschwindigkeit dazu wohl auch beitragen. Solange man über die physische Natur der Sternschnuppen-Materie nichts Genaueres kennt, wird man beim Vergleiche mit den

Meteoriten hauptsächlich die Massenunterschiede zu berücksichtigen haben.

4.    Durchschnittliche und außergewöhnliche Bahnlängen. Aus

185 berechneten Bahnen von Sternschnuppen 5. bis 1. Größe der letzten englischen Materialien fand ich im Mittel für die Länge der sichtbar gewordenen Lichtbahn 57 km, dagegen für 120 große und in etwa 30% detonierende Meteore aus meinen eigenen und anderen Bearbeitungen durchschnittlich eine Bahnlänge von 319 km. In einigen Fällen, besonders wenn die betreffenden Radianten sich in der Nähe des Horizontes befinden, kommen noch weit längere Bahnen vor. Ein solches Beispiel soll hier angeführt werden.

Das Meteor vom 7. Juli 1892u) wurde sichtbar, als es 74 km hoch über der Gegend von Slobozia in Rumänien sich befand und konnte ununterbrochen verfolgt werden bis 158 km hoch, etwa 70 km WNW der Ti&ermündung über dem tyrrhenischen Meer. Dort entzog es sich der Beobachtung nicht sowohl durch eine „Explosion“, als durch anscheinend allmähliche Entfernung. Bei dieser großen Höhe ist es nicht unwahrscheinlich, daß die noch übrig gebliebenen Massen die Atmosphäre wirklich wieder verlassen haben. Die nachgewiesene Bahnlänge beträgt 1350 km. Es ist der erste und bisher auch einzige mir bekannt gewordene Fall einer zweifellos aufsteigenden Bahn. Da der Punkt in 74 km ungefähr das Perigäum darstellt, so muß weiter gegen Osten hin ein mindestens ebenso langer Bahnteil in der Atmosphäre angenommen werden.

Bemerkenswert ist ein am 18. Oktober 1892 in Niederösterreich und Böhmen beobachtetes Meteor²⁰ 21) besonders durch den ganz ungewöhnlich langen Streifen, in welchem die Residuen zurückblieben. Soweit die Bahnstrecke mit einiger Sicherheit nachgewiesen werden konnte, verlief sie in etwa 1630 km Länge von 257 km über der Gegend 70 km östlich von Königsberg in Preußen bis etwa 43 km hoch, etwas südlich der Insel Elba. Der Lichtstreifen, „gerade und horizontal wie mit dem Lineal gezogen“, war mindestens 634 km lang und blieb durch etwa 3 Minuten sichtbar, so daß sein Verlauf zwischen den Sternen bequem festgestellt werden konnte.

5.    Die heliozentrische Geschwindigkeit, welche aus der beobachteten geozentrischen hervorgeht, überschreitet weitaus in den meisten Fällen ganz erheblich den parabolischen Grenzwert und führt zur notwendigen Annahme ausgeprägt hyperbolischer Bahnen. Es ist gewiß bemerkenswert, daß dies fast immer gerade bei denjenigen Bahnen am entschiedensten zu Tage tritt, welche für die möglichst genaue Ausmittlung der Geschwindigkeit die günstigste Lage haben, nämlich bei den aus der Umgebung des Antiapex her gerichteten, wie z. B. bei den Meteoriten von Pułtusk, für deren Bahn J. G. Galle™) die Exzentrizität e = 2.277 als Minimalwert nachgewiesen hat.

Das Mittel aus 26 der sichersten Bahnbestimmungen, zumeist detonierende große Feuerkugeln betreffend, gibt für die heliozentrische Geschwindigkeit 59.05 km, also sehr nahe a— — Bei den wenigen Meteoritenfällen, für welche hinreichende Beobachtungen vorliegen, um einen Schluß auf die Bahnform zu ziehen, ist die hyperbolische außer jedem Zweifel.

Für 154 große Meteore, deren Bahnverhältnisse älterem Material entnommen oder auch von mir erst bearbeitet wurden, ergab sich die heliozentrische Geschwindigkeit im Mittel zu 59.8 km.

Schiaparelli²² 23) hat schon vor mehr als 36 Jahren erklärt, es sei „in der Tat bemerkenswert, daß man allemal, wenn man mit irgendwelcher Annäherung die Geschwindigkeit, mit welcher ein Meteorit, oder eine Gruppe von Meteoriten in die Atmosphäre eingedrungen ist, hat untersuchen können, auch gefunden hat, daß die entsprechende absolute Geschwindigkeit größer als die parabolische war“.

Die großen Meteore sind also zweifellos im allgemeinen interstellaren Ursprungs. Dem steht gegenüber, daß Sternschnuppenströme in denselben Bahnen laufen, wie einige Kometen bekannter Umlaufszeit, also gegenwärtig interplanetar sind. Hiernach würde man zunächst geneigt sein, die großen Meteore für interstellar, die kleineren Sternschnuppen für interplanetar zu halten. Doch muß die unleugbare Tatsache hervorgehoben werden, daß die meisten Radiationspunkte von Meteoriten und detonierenden, sowie auch anderen großen Meteoren, sofern sie sichergestellt werden konnten, mit bekannten Sternschnuppenradianten zusammenfallen. Es ist schwer, in solchen Fällen den zugehörigen kleinen Erscheinungen interplanetarische Bahnen zuzuschreiben, wenn die gestreckten Hyperbeln der großen Meteore aus denselben Radianten in den Weltraum hinaus weisen.

Zur Lösung dieser anscheinenden Widersprüche wird man viel-

leicht annehmen können, daß unter dem Namen der „Sternschnuppen“ verschiedene, äußerlich ähnliche Erscheinungen zusammengefaßt werden, deren dynamische Grundlagen und kosmische Bedeutung vermutlich nicht gleichartig sind. Aus den vielen Erfahrungen der letzten Jahrzehnte wird man wenigstens zunächst den Schluß ziehen müssen, daß sich in dem Gesamtphänomen neben den begrenzteren interplanetarischen auch ausgedehnte interstellare Meteorströme durch Partikel verschiedenster Grade geltend machen.

uc

chnlc^

(Abgeschlossen im November 1907.)

AH/

Unter der Presse:

Band II.

III.

IV.

IV.

VI.

Teil 2. Elliptische Funktionen. Von J. Ilarkness in Montreal (Canada) und W. Wirt)

Wien. — Automorphe Funktionen. Von ß. Fricke in Braunschweig.

1. Konfigurationen der projektiven Geometrie. Von E. Steinitz in Berlin. — Darsteli Geometrie. Von E. Papperitz in Freiberg (Sa.). — Die verschiedenen Koordinatensystem Von E. Müller in Wien.

Dynamische Probleme der Maschinentechnik. Von K. Heun in Karlsruhe und B. v. Mises.

-    Mechanik der aus sehr zahlreichen diskreten Teilen bestehenden Systeme: Das Eingreifen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Von P. u. T. Ehrenfest in Petersburg.

in Straßburg i. E.

-    1 B. Die Schwerkraft und die Massenverteilung der Erde. Von F. R. Helmert in Potsdam.

¹

Über die Ermittlung des Radianten aus überzähligen Beobachtungen ohne vorhergegangene Endpunktbestimmung vgl. auch R. Lehmann-Fühés. Zur Theorie der Sternschnuppen. Berlin 1878.

²

   Schiaparelli p. 251

³

   Die Zenitattraktion bewirkt eine mehr oder weniger merklicbe eben mit der Zenitdistanz zusammenhängende Änderung im Orte des Radianten. Bei Meteoren, welche die Erde mit geringer Geschwindigkeit treffen, kann diese immerhin recht merklich werden. Man sollte daher bei solchen Strömen (zu welchen u. a. die „Bieliden“ gehören) nur solche Beobachtungen in eine Bestimmungsgruppe vereinigen, welche hinsichtlich der Zenitdistanz des Radianten nicht allzuweit auseinander liegen. Die mit der Sonnenlänge vor sich gehende Verschiebung bleibt aber zumeist für mehrere Tage innerhalb der Grenzen, welche durch die Beobachtungsfehler gezogen sind. Die Vereinigung von Beobachtungen, welche sich auf mehrere Wochen erstrecken, wird in der Regel nur beiläufige Resultate liefern können.

⁴

B. Lehmann-Filhés, Astr. Nachr. 96 (1880) p. 241.

⁵

b erhält man dann aus:

⁶

   W. F. Denning, General-Catalog (1899).

⁷

   W. jF. Denning, Ebenda p. 203.

⁸

   E. Weiß, Wien. Ber. 1868.

⁹

   H. A. Newton, American Journal of Science and Arts. 2. Serie. 40.

¹⁰

   W. F. Denning, Astr. Nachr. 148 (1899) p. 283.

¹¹

   Die Fälle unter I sind den vorerwähnten „Memoirs of the Br. Assoc. (Fußnote 12) entnommen. Es sind 78% Sternschnuppen, 11% Meteore von 1 bis 4 fâcher Venusgröße, 11% Feuerkugeln bis Mondgröße ohne Detonations-Angaben.

¹²

   II bezieht sich auf ältere von Denning veröffentlichte Bearbeitungen. (W. F. Denning, 107 Real paths of Fireballs and Shooting-Stars observed in England from 1886 to 1896. Lond. Astr. Soc. Monthly Not. 57, p. 161, worunter 74% Sternschnuppen wie oben, 6% Meteore von Venusgröße oder etwas mehr, 20% Feuerkugeln, einschließlich einer detonierenden.

¹³

   III ist entnommen einer Liste von zumeist sehr großen Meteoren, welche ich selbst im gleichen Hefte der Monthly Notices p. 170 veröffentlicht habe. Von den dort angeführten 100 Fällen konnte jedoch nicht überall die Geschwindigkeit

¹⁴

   vgl. G.v. Niessl, Wien. Ber. 114 (1905), p. 1511.

¹⁵

   Schiaparelli p. 23 und 24 nach S. Eobert, Del moto dei Projettili nei mezzi xesistenti. Torino 1855. (Memorie dell’ Academia delle scienze di Torino, II 9 16.)

¹⁶

   A. Herschel, Proc. Brit. meteor. Soc. II 19.

¹⁷

   F. Sands, Wash. Obs. 1867, p. 19—30.

¹⁸

   Schiaparelli p. 203.

¹⁹

   Weiß, Beiträge p. 303.

²⁰

   G. v. Niessl, Wien. Ber. 102 (1893), p. 265.

²¹

   G. v. Niessl, Verhandlungen des naturforschenden Vereins in Brünn.

Brünn 1901.    39, p. 220.

²²

   J. G. Galle, Über die Bahn des am 30. Januar 1868 beobachteten und bei Pułtusk im Königreiche Polen als Steinregen niedergefallenen Meteors. Breslau 1868.

²³

   Schiaparelli p. 207 und 209.

Band VI. 2. Teil. Astronomie. Redigiert von K. Scliwarzscliild in Potsdam.

* erschienen, f unter der Presse.

Vorwort zu Band VI, Teil 2 von K. Schwarzschild in Potsdam.

Inhaltsverzeichnis von Band VI, Teil 2.

A. Sphärische Astronomie.

I. Theorie der Koordinaten.

*1. Über Koordinaten und Zeit: E. Anding in Gotha.

*2. Reduktion der astronomischen Beobachtungen (sphärische Astronomie im engeren Sinne): F. Cohn in Berlin.

*3. Geographische Ortsbestimmung, nautische Astronomie: C. W. Wirtz in Straßburg i. E.

H. Theorie der Instrumente.

*4. Theorie der Uhren: C. Ed. Caspari in Paris.

*5. Theorio der astronomischen Winkelmeßinstrumente, der Beobachtungsmethoden und ihrer Fehler : F. Cohn in Berlin.

III. Spezielle Ausführungen u. Anwendungen. *6. Besondere Behandlung des Einflusses der Atmosphäre (Refraktion, und Extinktion): A. Bemporad in Catania.

*7. Theorie der Finsternisse: F. K. Ginzel in Berlin u. A. Wilkens in Kiel.

*8. Chronologie: F. K. Ginzel in Berlin.

B. Mechanik des Himmels.

I. Bahnbestimmung.

*9. Bahnbestimmung der Planeten und Kometen:

G. Herglotz in Leipzig.

*10. Die Bestimmung der Meteorbahnen im Sonnensystem: G. v. Niessl in Wien.

11. Doppelsteme und Trabanten. Visuelle und spektro-graphisehe Doppelsterne: J. v.Hepperger in Wien.

II. Störungen der Umlaufsbewegungen. II». Analytische Entwickelung d. Störungen.

12.    Prinzipien der Störungstheorie und allgemeine Theorie der Bahnkurven in dynamischen Problemen: E. T. Whittaker in Dublin.

13.    Entwickelung der Störungsfunktion: H. v. Zeipel in Pułkowa.

14.    Große Planeten: C. V. L. Char lier in Lund.

15.    Kleine Planeten : K. Sundman in Helsingfors.

15a. Gyldénsche Theorie: K. Sundman in Helsingfors.

16.    Kometen: L. Schulhof in Paris.

17.    Erdmond: E. W. Brown in Haverford.

18.    Die übrigen Satelliten: K. Laves in Chicago.

19.    Die Bestimmung astronomischer Konstanten: J. Ban* schinger in Straßburg i. E.

Hb. Numerische Berechnung aller Störungen.

20. Spezielle Störungen der Planeten und Kometen. Numerische Behandlung besonderer Fälle des Dreikörperproblems. Mehrfache Fixsternsysteme : E. Strömgren in Kopenhagen.

III. Gestalt und Rotation der Himmelskörper.

21.    Figur der Planeten, des Mondes, des Saturnringes, der Kometen: S. Oppenheim in Prag.

22.    Rotation der Himmelskörper, Präzession und Nutation für starre Erde. Libration des Mondes: K. Schwarzschild in Potsdaçi.

IV. Allgemeine Fragen.

23. Kritik des Newtonschen Gravitationsgesetzes: S. Oppenheim in Prag.

C. Stellarastronomie.

24.    Scheinbare Verteilung der Sterne; Sternkataloge; Sternkarten: H. Kobold in Kiel.

25.    Parallaxen und räumliche Verteilung der Sterne: Doppelsterne, vielfache Sterne, Sternhaufen, Nebel: H. Kobold in Kiel.

26.    Eigenbewegung der Sterne und der Sonne : E. Anding in Gotha.

D. Astrophysik.

27.    Photometrie und ihre Anwendungen: E. Anding ir Gotha.

28.    Thermodynamik der Himmelskörper (Sonnentheorie, neue Sterne): B. Emden in München.

29.    Kosmogonie. (Kant, Laplace, G. Darwin). Widerstehendes Mittel. Spekulative Ausblicke: F. B. Moulton in Chicago.

Bisher erschien:

Heft 1 (1—4). [193 S.] 1905. n. Ji. 5.80. | Heft 2 (5—6). [140 S.] 1908. n. JL 4.-

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Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie 1 auf kosmologische u. meteorologische Probleme.

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Untersuchungen über den Bau und die fortschreitende Entwicklung gasförmiger Himmelskörper liegen nur in einigen, z. T. schwer zugänglichen Abhandlungen vor, von denen in erster Linie diejenigen von H. Lane, W. Thomson, G. Darwin und A. Ritter zu erwähnen sind. Verfasser hat diese Untersuchungen neu aufgenommen, von möglichst allgemeinen Gesichtspunkten aus durchgeführt und die erhaltenen Resultate in Form eines kurzen Lehrbuches niedergelegt. Die notwendigen mechanischen Quadraturen sind sehr exakt ausgeführt; dadurch ist ein wertvolles Zahlenmaterial als Grundlage weiterer Forschung gewonnen. Der 2. Teil des Buches behandelt die Anwendungen dieser Untersuchungen auf kosmische - Staubmassen, Nebelflecke, die Erde nebst ihrer Atmosphäre und die Sonne. Die Strahlenbrechung in einer kugelförmigen Gasmasse, die durch innere Gravitation zusammengehalten wird, ist eingehend behandelt, was mit Hinblick auf einige neuere Ansichten über die Strahlenbrechung auf der Sonne von besonderer Wichtigkeit sein dürfte.

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Professor der Astrophysik an der Universität Berlin,

Hauptobservator am Astrophysikalischen Observatorium bei Potsdam.

Mit 30 Tafeln und 210Figuren. [VI u. 718 S.] gr. 8. 1908. InLeinw. geb. Jù 12. —    \

„Scheinen Bach versucht eine in unserer populären Literatur über Astronomie vorhandene Lücke zu füllen, denn es kann nicht geleugnet werden, daß in unseren populären Handbüchern das Kapitel „Astrophysik“ nur sehr stiefmütterlich behandelt zu werden pflegt. Und soweit es überhaupt möglich ist, dem Laien einen Einblick in diese schwierige Materie zu erschließen, dürfte der Verfasser seine Aufgabe mit großer Geschicklichkeit gelöst haben. Mathematische Betrachtungen k vermeidet er fast voUständig; wo dies aber nicht angängig war, beschränkt er sie auf Dinge, die jedem Gymnasialabsolventen zugänglich sind. Der Vortrag Scheiners ist populärwissenschaftlich > im besten Sinne: klar, eindringlich, frei von allen jetzt üblichen Mätzchen der naturwissenschaftlichen Popularschrlftstellerei. Vortreffliche Abbildungen unterstützen das Verständnis des vor- I trefflichen Textes.“    (Propyläen.)

„... Das Erscheinen dieses Werkes füllt eine bisher immer unangenehm empfundene Lücke " aus, und zwar ln einer so vorzüglichen Weise, daß man nur wünschen kann, daß keine Bibliothek und überhaupt niemand, der sich für Physik und Astronomio interessiert, das Buch in seiner Sammlung vermissen möge. Die neuesten Forschungsergebnisse sind berücksichtigt, die Dar- | Stellung ist überall einfach, klar und kritisch gewissenhaft. Bilder und Tafeln sind geschickt und | glücklich gewählt und vortrefflich wiedergegeben. Dabei ist die gesamte Anlage durchaus übersichtlich und der physikalische Teil ohne Anforderung an mathematische Kenntnisse geschrieben.“ -,

(Monatshefte für Mathematik und Physik.)

„,.. Verfasser betont zwar im Vorwort ausdrücklich, daß da« Buch kein für den Fachmann bestimmtes Handbuch sein will, gleichwohl glauben wir aber, daß eine so handliche Zusammenstellung des wichtigsten Materials und eine so reiohe Sammlung astrophotographischer Dokumente    .w

auch den Faohgenossen willkommen sein wird.“    (Naturwissenschaftliche Woohensohrlft.) i .ïfp

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Wissenschaft und Hypothese

Sammlung von Einzeldarstellungen ans dem Gesamtgebiet der Wissenschaften * mit besonderer Berücksichtigung ihrer Grundlagen und Methoden, ihrer End- I ziele und Anwendungen.

Als XI. Band der Sammlung erschien:

F. Enriques

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Probleme der Wissenschaft

Übersetzt von Kurt Greiling in Göttingen

In 2 Teilen. 8. 1910. In Leinwand gebunden

*0 4.—

I.    Teil: Wirklichkeit und Logik. [X, 258 n. 16 S.].....

II.    — Die Hrundbegriffe der Wissenschaft. [VI u. S. 259—599.]. . , Jt 6.— f

Der Plan des Werkes ist ein sehr umfassender. Es handelt sioh um eine neue Theorie der Erkenntnis, die der Verfasser durch eine gründliche Analyse der Fragen der Logik und Psyohologie entwickelt, wobei die verschiedenen Zweige der Wissenschaft, von der Mathematik, der Mechanik, der Physik, der Chemie bis zur Biologie, der Wirtschaftslehre und der Geschiohte usw. berührt werden, Man wird nicht überrascht sein, von dem Verfasser selbst ln dem Vorwort zu seinem Werke | zu erfahren, daß dieses das Ergebnis fünfzehnjähriger Arbeit ist. Es handelt sieh in der Tat # nicht nur um eine Synthese der wissenschaftlichen Ergebnisse; ein philosophischer Gesichtspunkt beherrscht das Ganze und verleiht ihm seinen besonderen Charakter. Die Philosophen sowohl als die Männer der Wissenschaft, die mit abstrakten Begriffen arbeiten, werden g künftig das Werk des Mathematiker-Philosophen der Universität Bologna in den Kreis ihrer I Betrachtungen zu ziehen haben,

Verlag von B.G. Teubner in Leipzig und Berlin

VERLAG VON B. G. TEUBNER • LEIPZIG UND BERLIN

PHYS IK

IN GRAPHISCHEN DARSTELLUNGEN

VON

Dr. FELIX AUERBACH

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT JENA

1373 Figuren auf. 213 Tafeln mit erläuterndem Text [X u. 28 S.] gr. 8. 1912. In Leinwand gebunden M. 10.—

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Aus der Vorrede.

Im vorliegenden Werke ist zum ersten Male die graphische Darstellung als ausschließliche Form gewählt, und es ist versucht worden, das ganze Gebiet der Physik mit ihr zu umspannen, natürlich mit derjenigen Auswahl, auf die eine Beschränkung geboten war mit Rücksicht auf den Umfang, den das Buch nicht überschreiten durfte, wenn cs Gemeingut derer werden sollte, die sich für die Gesetze und zahlenmäßigen Verhältnisse der physikalischen Erscheinungen interessieren. Dabei wurde, um die Tafeln möglichst leserlich und vielsagend zu gestalten, Wert darauf gelegt, einerseits das direkt Notwendige an Ort und Stelle zu geben und doch andererseits das Bild nirgends zu überlasten. Aus letzterem Grunde envies es sich schließlich doch als erforderlich, einen kurzen erläuternden Text beizufügen, besonders auch, um auf die Literatur hinweisen zu können; dieser Anhang soll und kann aber natürlich eine textliche Physik nicht ersetzen.

Bei der Auswahl des Stoffes ivurde zivar das Altbekannte und Grundlegende nach Gebühr berücksichtigt, besonderer Wert aber auf die Darstellung der neuesten Fortschritte und des neuesten Standes der Dinge gelegt.

Auerbach.

Inhaltsverzeichnis.

Allgemeine Physik und Mechanik.

Tafel

1    Dimensions formein (Winkel, Strecke, Fläche,

Volumen, Zeit, Periode, Geschivindigkeit, Geschwindigkeitspotential, Winkelgeschicin-digkeit, Frequenz, Beschleunigung, Potential, Temperatur, Winkelbeschleunigung, Masse, Entropie, Dichte, Impuls, Bewegungsgröße, Kraft, Gewicht, Moment, Arbeit, Energie).

2    Fortsetzung (Trägheitsmoment, Druck, Ela

stizitätsmodul, spezifisches Gewicht, spezifisches Volumen, Oberflächenspannung, Zähigkeit, Effekt, Fernkraft, Gravitationskonstante).

3    Fig. 1 : Größenordnung typischer Strecken. —

Fig. 2: Vergleichung von Längenmaßen.

4    Fig. 1 : Nördliche Breite von Orten. —

Fig. 2: Meereshöhe von Orten.

5    Fig. 1: Größenordnung von Geschwindig

keiten.— Fig.2: Größenordnung von Massen. — Fig. 3: Größenordnung von Perioden.

6    Fig. 1 : Arbeit von Kräften. - Fig. 2: Linien

gleicher kinetischer Energie.

7    Fig. 1 : Dichte fester und flüssiger Stoffe. —

Fig. 2: Dichte von Gasen und Dämpfen.

8    Fig. 1: Dichte von Legierungen. — Fig. 2:

Dichte von Lösungen. — Fig. 3: Dichte trockener Luft.

Tafel

9 Fig. 1: Atomgewichte. — Fig.2: Periodisches System der Elemente.

10    Fig. 1: Feld eines Pôles. — Fig. 2: Feld

zweier gleicher, gleichnamiger Pole. — Fig. 3 : Feld zweier gleicher, entgegengesetzter Pole.

11    Fig. 1: Feld zweier ungleicher, gleichnamiger

Pole. — Fig. 2: Feld zweier ungleicher, entgegengesetzter Pole.

12    Fig. 1: Potential von Kreislinie und Kreis

scheibe auf Punkte ihrer Ebene. — Fig.2: Dasselbe, auf Punkte der Achse. — Fig. 3 : Potentialverhältnisse einer Kugelschale. — Fig. 4: Schwerpunkte von Kreisbögen und Kreissektoren. — Fig. 5: Trägheitskreise.— Fig. 6 : Mittlere Ordinate und Schwerlinie einer Kurve.

13    Fig. 1: Seil- und Kräftepolygon. — Fig. 2

bis 4: Ebene Fachwerke.

14    Fig. 1: Kettenlinien. — Fig. 2: Bewegungs

typen (Strecken- und Geschwindigkeitsdiagramm). — Fig. 3: Bahnkurve und Hodo-graph. — Fig. 4: Beschleunigungskurve oder Hodograph des Hodographen.

15    Beispiele des Hodographen (gleichförmige

Kreisbewegung, Wurfbahn, rotierendes schwingendes Pendel).

±_

CL

(z

1 - I.OUed

SiruisdarsteUungeöierHurm

Z = i+Z. Glied 3 “ 1.+Z.+3.Glied.

oo = unendlich

viele

GUed^r

o_

371    S JL    Wî

o rz 6

*t

ÄUmähticke.r Aufbau derLinie y- g aus den Glieâernderlieûie: sinx+jsùi3æ+3Sinôx+7sm7x+..~

iz jc

Dieselbe rmSüHpiaiktstetig

DiebeidenHurvenati.b in. Cosinus * Darstellung

f''

BieyleidifaimùjeSôhwinpuny aidijebaulaus Sinusschwinpitngm,

(naâiderReiheIfcfsinx- IsinScc+hsmSx- ■■)

Sinus + Cosinus -Daistellzmg (gleidee Kurven-)

V*'N

-i -f

«\

''-j

Cosinus -Darstellung des Sinus

Sinus -Darstellung desCosinus

Darstellzmci durch-Fouriersche, Rethen

Sinus- +Cosinusdarstellung

( verschiedene. Kurven,)

IffîîTîîTnîîîîTÎHtîîTmnîï^

L.

ii

ï"

_    Lissai ous - Kurven,

7 als perspektivische Ansichtenvon —    Sinus linien auf dem, Z g linder

Veränderäche Lissai ous -Schwingung

(Periodenverhältnis annähernd aber nicht genau, 1 2 )

Stereoskopbild einer räumlichen Lissaious-Figur aus drei auf einander senkrechten, Komponenten

(Perioden J-12, Phasen O, Vu, O)

tnach Right)

't

Gedämpfte

Lissai ous -Schwingung

(Perioden wie 2. 3 )

( nach, Melde J

thronographisch aufgelöste Lissai ous -Schwingungen

( nach, Zambiasi )

Tafel

Tafel

Ziehung der Biegung zur Dehnung. — Fig. 5: Durchbiegung von Stäben von gleich großem, aber verschieden geformtem Querschnitt.

28    Fig. 1: Torsionsmodul. — Fig. 2: 'liier -

mische Abnahme des Torsionsmoduls.—Fig.3: Beziehung zum Schmelzpunkt. — Fig. 4: Torsionsmodul und Atomgewicht. — Fig. 5: Drillung bei gleich großem Querschnitt.

29    Fig. 1 : Drillungslinien einer Säule. — Fig. 2 :

Drillungsformen verschiedener Zylinder. — Fig. 3u.4: Querschnittskurven bei der Torsion.

30    Fig. 1 und 2: Dehnungs- und Drillungs

flächen von Kristallen. — Fig. 3 und 4: Elastizitätskurven des Kalkspats. — Fig. 5: Finsterwaldersche Schnittkurven.

16    Fig. 1: Zusammensetzung ziveier entgegen- \

gesetzter gleichförmiger Kreisbewegungen. — |

Fig.2: Zykloiden und Trochoiden.— Fig. 3 bis 5: Pollen eines Kreises auf einem anderen.

Fig. 6: Achsenflächen oder Zylindroid.

17    Fig. 1: Reduktion von Wägungen auf den

leeren Raum. — Fig. 2: Reduktion der Schwingungsdauer auf unendlich kleine Amplituden. — Fig. 3: Abweichung der Schwerkraft vom Mittelwert.

IS Fig. 1: Wurfparabehi mit Enveloppe. —

Fig. 2 : Theoretische und wahre Schußkurve.

—    Fig. 3: Luftividerstand auf Geschosse.

—    Fig. 4: Gasdruck und Geschwindigkeit im Rohr. — Fig. 5: Schußkurven.

10 Fig. 1: Schwingungsdauer einfacher Pendel. 31 Schnitte der Elastizitätsflächen von Kristallen.

—    Fig. 2: Zykloidenpendel —Fig. 3: Re- 32 Gesetze des Stoßes.

mann und St. Venant.

34    Gesetze, der elastischen Nachioirkung.

35    Fig. 1: Zugfestigkeit. — Fig. 2: Elastizität

und Festigkeit Jenaer Gläser. — Fig. 3: Festigkeit von Walzeisen.— Fig. 4: Festigkeit verschieden feuchter Hölzer.

36    Fig. 1 : Zugfestigkeit verschieden dicker

Eisendrähte. — Fig. 2: Thermische Änderung der Zugfestigkeit. — Fig. 3: Zugfestigkeit des Steinsalzes. — Fig. 4: Grenze und Festigkeit von Bessemerstahl.

37    Absolute Härte.

guläre Präzession. — Fig. 4: Die Polhodien 33 Graphische Darstellung des Stoßes nach Neu-des kräftefreien Kreisels. — Fig. 5: Tafel der ivichtigsten Kreiselbewegungen.

20    Darstellung von Kreiselbeicegungen.

21    Fig. 1: Typische Deformationen. — Fig. 2:

Deformations- und HilfseUipsoid. — Fig. 3:

'Tetraeder der Druckkomponenten. — Fig. 4 Druckellipsoid und Hilfsfläche.

22    Fig. 1: Dehnungsmodul. — Fig 2: Tempe

raturkoeffizient des Dehnungsmoduls. —

Fig. 3: Derselbe für Jenaer Gläser. —

Fig. 4: Derselbe für Metalle. — Fig. 5:

Modul verschiedener Nickeleisen.

23    Fig. 1 bis 3: Abweichung vom Hookeschen 38 Härte von Kristallen in verschiedenen Rich-

Gesetze. — Fig. 4: Beziehung zwischen der    tun gen.

Elastizitätszahl und dem Verhältnis des 39 Fig. 1: Ausfluß des Eises bei verschiedenen

Volumen- zum Gestaltsmodul. — Fig. 5: Elastizitätszahlen.

24 Fig. 1: Abnahme der Elastizitätszahl mit wachsender Dehnung. — Fig. 2: Elastizitätszahl von Ag-Au-Legierungen. — Fig. 3: 40 Gleichgeivichtsfigurenpulver förmiger Massen. Dehnungsmodulund Schmelzpunkt. — Fig.4: 41 Fig.lu.2: Hydrostatischer Druck. — Fig. 3: Elastizitätszahl und Schmelzpunkt. — Eintauchen schwimmender Körper unter Fig. 5: Elastizitätszahl bei verschiedenen verschiedenen Umständen.

Temperaturen. — Fig. 6: Kompression eines 42 Fig. 1: Metazentrische Evolvente und Evolute. —Fig. 2 : Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit im Gefäße. — Fig. 3: Abplattung gravitierender, rotierender Flüssigkeit. — Fig. 4: Hauptschnitte eines Jacobischen Ellipsoids.

43    Kompressibilität der Flüssigkeiten.

44    Fig. 1: Strömung in einem Bett. — Fig.2: Strömung in plötzlich erweitertem Bett. — Fig. 3: Stromfäden beim Stoppen. — Fig. 4: Eindringen einer Luftströmung in den Ozean. — Fig. 5: Strömungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit. —

Temperaturen. — Fig. 2: Dasselbe für Metalle. — Fig. 3: Adhäsion von Quarzsand verschiedenen Korns. — Fig. 4: Schichtflächen ausfließenden Tons.

Hohlzylinders.

25    Fig. 1: Kompressibilität fester Stoffe. —

Fig. 2: Spannungen beim Druck einer Kugel gegen eine Ebene. — Fig. 3: Druckflächendurchmesser bei verschiedenen Drucken (spröde und plastische Stoffe).

26    Fig. 1 : Knickbelastung eines Stabes. — Fig. 2 :

Hauptformen der elastischen Linie.

27    Fig. 1: Interferenzhyperbeln einer gebogenen

Platte. — Fig. 2: Durchbiegung von Stäben bei versch iedener Befestigung. — Fig. 3: Biegungstypen des Kreisringes. — Fig. 4: Be-

Tafel

Tafel

Fig. 6: Rich'tuug und Stärke des Trift- 02 Frequenz, Amplitude und Phase einfacher stroms in verschiedenen Tiefen.    Schwingungen„

45    Fig. 1: Aus/ließender Strahl. — Fig. 2 und 63 Resultante zweier einfacher Schwingungen.

Schwingungen.

3: Kontraktion des Strahls. — Fig. 4: Steig- 64 Fortsetzung.-Resultante dreier Schicingungen. höhe von Strahlen. — Fig. 5: Fallen einer 65 Fortsetzung der Resultante zweier einfacher Kugel im Vakuum und im Wasser.

46    Fig.l: Bewegung einer Kugel in einer Fliis- 66 Auswahlvon30typischenSchwingungsformen.

sigkeit. — Fig. 2: Zwei parallele, entgegen- 67 Fig.l: Sinusschwingung als Projektion gleichgesetzte Wirbelfäden in einer Flüssigkeit.    förmiger Kreisbewegung. — Fig. 2: Paral-

47    Fig. 1 bis 3: Wirbelfäden. — Fig. 4: Zwei    lelogramm der Schwingungen. — Fig. 3:

Wirbelringe. — Fig. 5: Strömung und    Sinusschwingung als Resultante entgegeu-

Wirbelbildung bei Durchströmung eines    gesetzter Kreisbewegungen. — Fig. 4: Ge-

Quadrats.    dämpfte Schwingung als Projektion der

48    Formen und Gesetze von Flüssigkeitswellen.    Spirale. — Fig. 5 und 6: Langsame und

40    Fig. 1: Finzel- und Gruppengeschivindigkeit    rasche Sclucebungen.

69    Lissajous-Schwingungen.

70    Fortsetzung (Projektion, gedämpfte, räum

liche, fortschreitende Lissajous - Schwingungen).

von Wellen. — Fig. 2 bis 4: Stehende 68 Darstellung von Schwingungen durch Fou-Flüssigkeitsweilen.    n ersehe Reihen.

50    Ausbreitung und Formänderung einer Tief

seewelle.

51    Fig. 1: Schiffswiderstand. — Fig. -2: Wellen

profile. — Fig. 3: Typische Flutkurve. —

Fig. 4: Seiches-Wellen. — Fig. 5: Schaum- 71 Stehende und fortschreitende Wellen und ihre

und Brandungswelle. — Fig. 6: Länge und Höhe von Windivellen.

Beziehung zueinander.

52    Fig.l: Thermische Barometerkorrektion für

Messing-und Glasskala. — Fig.2: Luftdruck und Sauerstoffgehalt in verschiedenen Höhen.

53    Fig. 1: Füllung und Leerung eines Gas- ⁷³ Reflexion der Wellen an Ellipse, Parabel,

behälters. — Fig. 2: Schlierenwellen und Ebene und Kugel.

ihre Wellenlänge im Gasstrahl. — Fig. 3: ⁷⁴ Fig.l: Darstellung von Wellen durch rotie-Strömung eines Gases durch eine konische rende Scheiben. I ig. 2: Reflexion einer Röhre.    Welle in einem Knoten.

54    Fig. 1: Luftwiderstand auf verschieden ge

neigte Platten. — Fig. 2: Tragkraft von Luftballons. — Fig. 3: Zylindrische Schale im transversalen Luftstrom.

55    Fig. 1: Zähigkeit der Stoße.— Fig. 2: Ihre thermische Änderung.

56    Zähigkeit, Reibung und Ausflußmenge.

57    Fig. 1: Oberflächenspannung und spezifische

Kohäsion. — Fig. 2: Ihre thermische Ande-Fig. 3: Meridiankurve eines

72 Fig. 1: Ebene, Zylinder- und Kugehceilen. — Fig. 2: Schwächung der Strahlung bei der sphärischen Ausbreitung. — Fig. 3: Interferenz zweier Kugelivellen.

75    Fig. 1 bis 3: Tonhöhe fester Körper in Be-.

rührung mit Flüssigkeit. — Fig. 4: Resonanzkurven verschieden stark gedämpfter Systeme. — Fig. 5: Amplitudenquadrat und Energie als Funktion der Periode.

76    Resonanz und Dämpfung. ■

77    Fig. 1 und 2: Wellenlänge und Tonhöhe als

rung. —

Tropfens.

5S Steighöhen, Tropfen, Plateausche Figuren. 59 Diftüsionskoeffizicntcn von Gasen und Lö

sungen.

60 Absorption und Adsorption.

Wellenlehre und Akustik.

61 Fig. 1: Herstellung einer exakten einfachen Schwingung. — Fig. 2: Tafel der vorkom-m enden Schwingungszah len.

Funktion der Frequenz. — Fig. 3: Die pythagorüische, temperierte und reine Tonskala. — Fig. 4: Quintenzirkel. — Fig. 5: Die wichtigsten reinen Tonverhältnisse.

78    Fig. 1 bis 3: Empfindlichkeit für Tonstärken

und Tonhöhen. — Fig. 4 : Klangkurven nach Koenig.

79    Tonhöhe von Saiten als Funktion von Spannung und Länge. — Fig. 2: Partialtöne einer gezupften Saite. — Fig. 3: Anschlag einer Saite mit dem Hammer.

SO Schwingungsgesetz eines Punktes einer gezupften bzw. geschlagenen Saite.

81 Schwingungsgesetz einer gestrichenen bzw. einer elektromagnetisch erregten Saite.

Tafel    ,    .

Tafel

82 Fig.J: Töne von Stäben verschiedener Länge.    Ziehung des Wassers unterhalb des Schmelz-

—    L'ig. 2: Konstruktion der Transversal-    punktes. — Fig. 4: Ausdehnung des Queck-

töne eines Stabes. — Fig. 3: Partialtöne    silbers. — Fig. 5: Dichtemaximum von

eines längs- bzw. quer schwing enden Stabes.    Salzlösungen. — Fig. 6: Ausdehnung von

—    Fig. 4: Partialtonformen eines Stabes.    Wasser-Alkoholgemischen.

S3 Schwingungszahlen und Schwingungsformen 97 Ausdehnungskoeffizient von 1 lüssigkeiten von Stimmgabeln.    Gasen.

84    Dämpfung, Tonhöhe und Resonanz vonZungen 98 Fig. 1 und 2: Vergleichung von Thenno-

und Stimmgabeln.    metern. — Fig. 3: Spezifische Wärme des

85    Fig. 1: Töne einer quadratischen Membran.    Wassers. — Fig. 4 u. 5: Spezifische Wärme

—    Fig. 2: Töne einer kreisförmigen Mein-    von Gemischen und Lösungen.

bran. — Fig. 3: Klangfiguren kreisförmiger 99 Fig. 1: Spezifische Wärme der Körper. — Membranen. — Fig. 4: Grundton verschieden    Fig.2: \erhältnis der spezifischen Wärmen,

geformter Membranen.—Fig. 5 : Fmpirische    Molekularwärme, und Atomwärme.

Klangfiguren kreisförmiger Membranen. KO Fig.l: Pelative spezifische Wärme bei ver-

86    Klangfiguren quadratischer Platten.    schiedenen Temperaturen. l'ig. 2 und 3:

87    Töne und Klangfiguren kreisförmiger, drei-    Spezifische Wärme von Amalgamen und

eckiger und sechseckiger Scheiben.    Jenaer Gläsern.

SS Fig. l: Grundton und Obertime verschieden ¹⁰¹ Feg 1: MaxweUsches Gesetz fur die Gas-

ik &Æiir-nir    fgw*äSSi

sässst “ ^

-y-.. . t j,. 7    • t •    7 102 Strahlende Warme m verschiedenen Stoffen.

60 Fig.l: Luftschwingungen in Lippen- und m m J; 1)iathermansie _ Fig 2: Absorp-

/ungenpfeif en. - Fig. 2: Tonhohe kubi-    der Wärme. - Fig. 3: Emission des

scher Pfeifen. - Fig. 3: Tonverlauf m    schwarzen Körpers—Fig. 4: Strahlung des

Zungenpfeifen.    _    schwarzen Körpers (Stefansches Gesetz).

00 l'ig. 1: Schallgeschwindigkeit. Fig. 2 u. 4: ^04 Fig. lu. 2: Wärmestrahlung der Sonne.— Schallgeschwindigkeit bei verschiedener Kohr-    -pig. 3: Strahlung von Wärmequellen verwette und lemperatur. — Fig. 3 u. 5: Lin-    schiedener Temperatur. — Fig. 4: Absolute

in Stäben.

flufi des Windes auf die Schallstrahlen.    Wärmeleitfähigkeit.

01 Fig. 1 und 2: Kundtsche Staubfiguren in 1(j5 Fiq 1: lemperatur gef alle

Luft und L lüssigkeit. - Fig. 3: Schallge-    F^q 2; Wärmeleitfähigkeit von Wasser-

schwindigkeit in weichen Körpern— Fig. 4:    Alkoholgemischen. — Fig. 3: Wärme-

Verlauf der Tonstärke in einem Zimmer.    leitungsverhältnis von Kristallen— Fig. 4:

02    Fig. 1: Beugung des Schalls an einer Kugel.    WärmeleitfähigkeitbeiverschiedenenTempe-

— Fig. 2: Beugung des Schalls an Gittern.    raturen

106    Schmelzpunkte.

107    Volumenänderung in der Nähe des Schmelzpunktes.

108    Erstarrungskurven von Legierungen.

109    Fortsetzung.

110    Fig. 1: Kurven von Eis und Wasser. —

Fig. 2: Jodmethylen in verschiedenen Zuständen. __

111    Fig. 1: Änderung des Schmelzpunktes mit

dem Druck. — Fig. 2: Schmelzwärme von Legierungen. — Fig. 3: Schmelzwärmen verschiedener Stoffe. — Fig. 4 und 5: Schmelztheorien.

112    Fig. 1 u. 2: Gefrierpunktserniedrigung. —

L'ig. 3: Kältemischungen. — Fig. 4: Kryoskopische Konstanten.

—    Fig. 3: Höhe und Stärke der beiden Schwebungstöne verschiedener Primärtöne.

03 Fig. 1: Bußfiguren von Schwebungen. —

Fig. 2: Rauhigkeit des Klanges, erzeugt durch Obertöne und ihre Schwebungen.

04 Graphische Charakterisierung der Vokale und Konsonanten.

Kalorik.

05 Fig.l: Thermischer Ausdehnungskoeffizient fester Körper. — Fig. 2: Dichte des Wassers. — Fig. 3: Ausdehnung der Kristalle.

06 Fig. 1: Ausdehnung der Flüssigkeiten. — Fig. 2: Ausdehnung des Wassers oberhalb des Siedepunkts. — Fig. 3: Zusammen-

135 Fig. 1: Verteilung der Elektrizität auf der Kugel unter äußerer Einwirkung. — Fig. 2: Verteilung der Elektrizität auf zwei gleich oder verschieden großen Kugeln.

121    Fig. 1: Verdampfungswärme. — Fig. 2: 136 Fig. 1: Verteilung der Ladung auf zwei

Ganze Wärme und Verdampfungswärme    sich berührenden Kugeln. — Fig. 2: Ka-

als Funktion der Temperatur.    \ pazität von Kondensatoren. — Fig. 3: Di-

122    Fig. 1 : Kritischer Druck und kritische    elektrizitätskonstanten der Stoffe.

Temperatur. — Fig. 2: Werte der Van der Waalsschen Konstanten.

Tafel

Tafel

113 Löslichkeitsverhältnisse.

114    Fortsetzung.

115    Fortsetzung.

116    Fig. 1 u. 2: Fortsetzung. — Fig. 3 u. 4:

Lösungswärme. — Fig. 5: Verdünnungswärme der Essigsäure.

117    Siedepunkte und kritische Temperaturen.

118    Dampfspannungen.

119    Fig. 1: Fortsetzung. — Fig. 2: Spannung

des Wasser dampf es über Wasser und Eis. — Fig. 3: Spannung des Wasser dampf es j bei tiefen Temperaturen.

120    Fig. 1: Siedepunkte des Wassers. — Fig. 2:

Spannkraft von absolutem Alkohol. — Fig. 3 : Spannkraft von Quecksilber.

123    Zustandskurven und Zustandsfläche eines

idealen Gases.

124    Fig. Iund3: Isothermen und Isobaren der

Kohlensäure. — Fig. 2: Theoretische Zustandskurven nach Van der Waals und Thomson.

125    Zustands- und Drosselkurven von Wasser

dampf und Kohlensäure.

126    Fig. 1 : Polytrope Zustandskurven. — Fig. 2:

Isothermisch adiabatische Kreisprozesse.

127    Indikator diagramme kalorischer Maschinen.

128    Fig.l: Wirkungsgradkalorischer Maschinen.

— Fig. 2: Zusammensetzung der Lufticäh-rend des Verdampfens. — Fig. 3: Siedepunkte und Zusammensetzung von Stickstoff-Sauerstoff'-Gemischen. — Fig. 4: Spezifische Wärme des Wasserdampfs bei verschiedenen Temperaturen und Drucken.

129    Fig. 1 : Darstellung der Aggregatzustände

durch Temperatur und Druck. — Fig. 2 : Dieselbe durch spezifisches Volumen und Energie. — Fig. 3 und 4: Ein Stoff bziv. zivei Stoffe in vier Phasen.

130    Fig. 1: Gleichgewicht flüssiger Kristalle. —

Fig. 2: Darstellung binärer und ternärer Systeme auf verschiedene Weisen.

131    Fig.l: Dampfspannung gemischter Flüssig

keiten. — Fig. 2 und 3: Retrograde Kondensation. — Fig. 4: Van der Waälsschc Fläche.

132    Fig. 1 bis 4: Ternäre Systeme in verschie

dener Darstellung. — Fig. 5: Carnallit-Modell.

Elektrik und Magnetik.

133    Dimensionen elektrischer und magnetischer

Größen.

134    Verteilung der Elektrizität auf einer Kreisscheibe. — Fig. 3: Verteilung der Elektrizität auf einem Ellipsoid. — Fig. 4: Kraft- und Niveaulinien im Kugelschnitt bei harmonischer Verteilung.

137    Fig. 1 und 2: Einfluß von Temperatur und

Schwingungszähl auf die Dielektrizitätskonstante. — Fig. 3 und 4: Elektrische Niveaukurven und Blitzbahnen in der Atmosphäre. — Fig. 5: Arten der Entladung.

138    Fig. 1: Oberflächenspannung elektrisierten

Quecksilbers. — Fig. 2: Absolute Potentiale. — Fig 3: Wärmetönung und Wirkungsgrad galvanischer Kombinationen. — Fig. 4: Elektromotorische Kraft und Betriebsspannung von Akkumulatoren.

130 Fig. 1 und 2: Elektromotorische Kraft galvanischer Elemente und ihre thermische Veränderlichkeit. — Fig. 3 bis 6: Potentialgefälle im elektrischen Stromkreise.

140 Fig. 1 bis 3: Spannungsverlauf unter verschiedenen Umständen. — Fig. 4: Anordnung galvanischer Elemente. — Fig.-5 u. 6: Strom- und Niveaulinien in der Ebene.

141    Fig. 1: Strom- und Niveaulinien auf der

Kugelfläche. — Fig. 2: Radialwiderstand einer Kugel- bzw. Zylinderschale. — Fig. 3: Brechung der Strom- und Niveaulinien.

142    Fig.l: Größenordnung von Widerständen.

— Fig. 2: Leitfähigkeit der Metalle. — Fig. 3: Widerstand der Metalle bei verschiedenen Temperaturen.

143    Fig. 1: Temperaturkoeffizient des Wider

standes. — Fig. 2 u. 3: Leitfähigkeit von Legierungen. — Fig. 4: Widerstand des Wismuts im Magnetfelde.

144    Widerstand von Legierungen, Amalgamen

und abnormen Stoffen.

Tafel    Tafel

145 F'ig. 1 und 2: Leitverhältnis. — Fig. 3: 161 Fig. 1 u. 2: Magnetfelder. — Fig.3 u. 4:

Temperaturkoeffizient für tiefe Temperaturen. — Fig. 4 und 5: Widerstand von

Magnetit und Silicium bei verschiedenen 162 Erdmagnetismus und Erdstrom. Temperaturen.    163 Magnetisierungskurven verschiedener Art.

146    Molekulare und Äquivalent- Leitfähigkeit 164 Fig. 1 bis 3: Fortsetzung. — Fig. 4: In-

von Lösungen.    duktion in einem lokal erregten Finge. —

147    Verdünnungszahlen und Ionenbeweglich-    Fig. 5: Polabstand eines Drahtes,

keiten.    165 Einfluß der Temperatur auf die magne-

14S Dissoziationsgrad und Leitfähigkeit von    tische Induktion.

Flüssigkeiten.    166 Fig. 1: Induktion in einem langen Drahte.

149    Fig. 1 und 2: Wärmeerzeugung und Tempe-    —Fig. 2: Induktionslinien im geschlitzten

ratur Steigerung in Kupfer drahten. — Fig.3:    Finge. — Fig.3: Magnetische Nachwir-

Endtemperatur blanker Kupferdrähte. —    kung. — Fig. 4 u. 5: Hysteresischleifen.

Fig. 4: Thermoelektrische Kräfte.    167 Fig. 1: Hysteresisschleifen für verschiedene

150    Thermoelektrische Kraft gegen Blei bei ver-    Temperaturen. —Fig. 2: für verschiedene

schiedenen Temperaturdifferenzen.    Eisensorten. — Fig. 3: Erwärmung durch

151    Fig. 1 : Thermoelektrizität von Legierungen.    Magnetisierung. — Fig. 4: Hystérésis für

— Fig. 2 und 3: Elektromotorische Kraft    rasch wechselnde Magnetisierung,

von Le Ghatelier - Elementen. — Fig. 4: 168 Fig. 1: Magnetisierung einer Magnetitscheibe. — Fig. 2 : Magnetisierungskonstanten der Elemente. — Fig. 3: Magnetisierung der ferromagnetischen Stoffe. — Fig. 4: Magnetisierungskonstanten von Flüssigkeiten. 169 Beziehungen der Magnetisierung zur Elastizität.

Spule im Felde. — Fig. 5 u. 6: Para- und diamagnetischer Körper im Felde.

Thermoelektrische Kraft von Antimonlegierungen.

152    Entladungs-,Sättigungs- und lichtelektrischer

Strom in Gasen.

153    Funkenlänge und Funkenpotential.

154    Fig. 1 und 2: Lichtbogen. — Fig.3: Span-    .

nungskurve im Entladungsrohr. — Fig. 4: 170 Magnetische Drehung der Polarisations-Spannungsabfall im Glimmstrom.    ebene und Kerreffekt.

155    Fig. 1 : Zerstäubung der Kathode.-Fig. 2: ⁴⁷ { Elektromagnetische Feldbilder

Verhältnis der Ladung zur Masse. - Fig.3 ¹⁷² Halleffekt und verwandte Erscheinungen, und 4: Absorption der Kathoden- und F 3 Fig. 1 bis 6: Offnungs- und Schließungs-Föntgenstrahlen durch verschiedene Stoffe.    ström, Ladung und Entladung. Fig. 7

156    Fig. 1 und 2: Absorptionskoeffizient ver-    UT f Deformation einer Stromkurve durch

schieden dichter Stoffe für Kathoden- und iryA Fnduktanz und magnetische Hystérésis. ß-Strahlen. - Fig. 3: Abklingen und Be- 174 FÄß- 1 bis 4: Oszillierende und mcUoszd-generation der Emanationsfähigkeit. -    heJ'ende Hutladung — Fig. 5 und 6: Er-

Fig. 4: Ablenkung der Badiumstr allen im    scheinungen der Induktanz und Kapazität

Magnetfelde. - Fig. 5: Lebensdauer der ¹⁷⁵ Flektr,sehe Schwingungen und ihre Wechselradioaktiven Substanzen.    kling.    _    .    r_ T

Tn- ^ m i j. j -7 -Tjr r. -7.    176 Fig. 1: Induktion m einer rotierenden Kugel.

10⁷    Fig. 1: Elektrodynamische Kraft zwischen    F- 2; FM (Us Hertzschen Oszillators.

zwei Stromelementen. - Fig. 2: Induktions-    m f ; Absorption irischer Wellen. -

*-0 toeffifienten fur die Längeneinheit.    ^ ₄. StoßJregutig mit Löschfunken.

108    Ablenlende Kiaft eines Magneten auf eine Fig.l u. 5: Charakteristiken von Dynamo-

Fadel    maschinen. — Fig.2bis4: Gleich-, Wechsel-

159    Fig. 1: Quer gestellter Magnet zivischen zwei    ,,„.7

Polen. - Fig. 2: Magnetpol im gleich-    Und Drehstrom‘

Optik.

178 Fig. 1: Brechungsquotienten. — Fig. 2-. Öffnung der zur Brechung in Luft gelangenden Büschel. — Fig. 3: Brechungsund Befiexionswinkel als Funktion des Einfallswinkels.

förmigen Felde. — Fig. 3: Abnahme der magnetischen Kraft mit der Entfernung.

Fig. 4: Magnetfeld einer Schale.

160    Fig. 1: Magnetisierungsarten. — Fig. 2:

Verteilung des ganzen und des freien Magnetismus in einem Stahe. — Fig. 3 bis 5:

Magnetfelder.

Tafel

Tafel

179    Brechung und Dispersion Jenaer Gläser.

180    Brechungsquotienten als Funktion der

Wellenlänge.

181    Brechungsquotienten von I Bissigkeiten und

Gasen.

182    Brechungsquotient des Wassers, des Schwefel

kohlenstoffs, der Schwefelsäure und der Essigsäure in Beziehung zur Temperatur und zur Wellenlänge.

183    Fig. 1 bis 3: Brechungsquotient von Alko

hol, Äther und Luft. — Fig. 4: Atmosphärische Strahlenbrechung.

184    Fig. 1 bis 3: Thermische Änderung des

Brechungsquotienten. — Fig. 4: Grenzwinkel für verschiedene Brechungsquo- : tienten.

196    Parabolspiegel, Katakaustikund Diakaustik.

197    Fig. 1: Sphärische Aberration einer dünnen Linse. — Fig. 2 und 3: Sphärische Aberration und Astigmatismus photograph ischer Objektive. — Fig. 4: Die beiden Hauptschnitte eines astigmatischen Büschels.

198    Fig. 1: Chromatische Abweichung bei alten und neuen Fernrohrobjektiven. — Fig. 2: Vergleich optisch uncl photographisch korrigierter Systeme.— Fig. 3: Kurven gleicher Schnittweiten. — Fig. 4 : Verzerrtes Objekt. — Fig. 5: Vergrößerung als Funktion des Objektabstandes von der Brennebene.

199    Lichtwirkung verschiedener Lichtquellen.

200    Interferenzkurven, Newtonsche Hinge und Herschelsche Streifen.

185    Das Spektrum mit seinen Wellenlängen, 201 Fig. 1: Fraunhofer sehe Beugung durch

Schwingungszahlen, entsprechenden Tönen,    einen Spalt. — Fig. 2: Objekte und Bilder

Linien, Elementen und Farben. _ _    bei Verstümmelung der Beugungsfigur. —

186    Fig. 1: Haimonische Serien bei Limen-    Fig. 3: Superposition der Beugungskurven

Spektren. — Fig. 2: Vergleich des Bre-    zweier Punkte,

clnings- mit dem Beugungsspektrum. 202 Helligkeitsverteilung in Gitterbildern.

187    Fig. 1: Vergleichung verschieden starker 203 Fig. 1 und 2: Fresnelsche Beugung und

Dispersionen. —Fig. 2: Serie der Wasser-    zugehörige Cornusche Spirale. — Fig. 2:

stoff lim en. Fig. 3: Vergleichung ver-    Beugungsgrenze für die Leistung von Auge,

schieden verteilter Dispersionen. — Fig. 4:    Fernrohr und Mikroskop.

Helligkeitsverteilung in der roten Kadmium- 204 Doppelbrechung einachsiger Kristalle, linie.    205 Doppelbrechung und Achsenwinkel zwei-

188    Pig.l: Darstellung dir Spektrallinien nach    achsiger Kristalle.

Breite und Helligkeit. T ig. 2: Kurze 206 Fig. 1: Dispersion der optischen Achsen.— und lange Spektrallmien.    Fig. 2 : Achsenwinkel zweiachsiger Kristalle-

189    Fig. 1 : Spektrallinien und Atomgewicht. —    — Fig. 3: Hauptschnitte durch Strahlen-

Fig. 2: Subjektive Helligkeit im Spektrum. ' flächen.

— Fig. 3 : Intensitätskurven der drei Grund- 207 Fig. 1: Strahlenfläche des Kalkspats, färben. Fig. 4: Durchlässigkeit von    Fig.2\ Hauptschnitte für einen zweiachsigen

Gläsern.    Kristall. — Fig. 3: Strahlenachsen und,

190    larbendr eieck, Farbenkegel und Kontrast-    optische Achsen. — Fig. 4: Normalenfläche

diagramm.    einachsiger Kristalle. — Fig. 5: Isochroma-

191    Fig. 1: Amplitude des reflektierten und des    tische und achromatische Kurven.

gebrochenen Lichtes big. 2: Elliptizität 208 Drehung der Polarisationsebene des Lichtes, des reflektierten Lichtes. — Fig. 3: Be- 209 Fortsetzung, insbèsondere Dispersion dabei, flexionsintensität für kleine Ein fallswinkel. 210 Fig. 1: Fläche gleichen Gangunterschiedes.

192    Polansationsgrad und Polarisationswinkel.    — Fig. 2: Quarz figur. Fig. 3 und 4:

193    Fig. 1 u. 2: Absorptionskoeffizient Jenaer    Isochromaten eines bzw. zweier Quarze.

reszenz.

Gläser. — Fig. 3: Elliptizität des total 211 Spektrum und Intensitätskurven der Fluo-reflektierten Lichtes.

verschiedener Stoffe.

azimut und selektive Beflexion der Metalle. 213 Zeitlicher Verlauf und spektrale Intensität 195 Anomale Dispersion.    der Phosphoreszenz.

194    Fig. 1 : Optische Eigenschaften der Metalle. 212 Erregende und phosphoreszierende Banden

— Fig. 2 bis 4 : Haupteinfallswinkel, Haupt-

mm

m

MÉ

m

III lilii lii!!!!

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