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Band T 3.

Heft «...

EN CYKLOPÄDIE

DER

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRÄGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BÄNDEN.

|rED. VON W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

/ H. BURKHARDTt (1896—1914), W.WIRTINGER II: ANALYSIS, IN 3 TEILEN ...    (1905—1912) IN WIEN UND R. FRICKE IN

l BRAUNSCHWEIG.

W. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG UND

■AND I: ARITHMETIK U. ALGEBRA, IN 2 TEILEN.....

H. MOHRMANN IN CLAUSTHAL I. H.

F. KLEIN IN GÖTTINGEN UND C.H. MÜLLER IN HANNOVER.

A. SOMMERFELD IN MÜNCHEN.

PH. FURTWANGLER IN WIEN UND E. WIECHERT (1899—1905) IN GÖTTINGEN. K. SCHWARZSCHILD IN POTSDAM.

-    HI: GEOMETRIE, EN 3 TEILEN .    {

-    IV: MECHANIK, IN 4 TEILBÄNDEN. {

-    V: PHYSIK, IN 3 TEILEN.....

-    VI, 1: GEODÄSIE UND GEOPHYSIK J

VI, 2: ASTRONOMIE.........

-    VH: GESCHICHTE, PHILOSOPHIE, DIDAKTIK H. E. TIMERDING IN BRAUNSCHWEIG.

BAND Y 3. HEFT 3.

359

* Ï-AUE IN FRANKFURT A. M. : WELLENOPTIK. MIT EINEM BEITRAG ÜBER SPEZIELLE BEU-0-ÜNGSPROBLEME. VON P. S. EPSTEIN IN MÜNCHEN.......................

AUSGEGEBEN AM 31. AUGUST 1915.

äs

Öffentlich

der

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1915.

__Jeder Band ist einzeln käuflich. — Bisher erschien: Bd. I (vollständig); Bd. II1,

Vs,

Heft 1-7; Bd. II2, Heft 1-4; Bd. 11s, Heft ln. 2; Bd.IIIi, Heft 1-5; Bd. III2, Heft 1—5; Bd.IIIs, Heft 1—4; Bd. IVn, Heft 1-4 (vollständig); Bd.IVm, Heft 1—3, Bd. IV21, Heft 1—4 (vollständig); Bd. IV211, Heft 1—6 (vollständig); Bd. Vi, Heft 1-5; Bd. V2, Heft 1—3; Bd. Heft 1-3; Bd. VIia, Heft 1-3; ßd.VIm, Heft 1-3; Bd. VI2, Heft 1-6.

einoj

Einbanddecken in Halbfranz werden auf Bestellung mit dem Schlußheft |MjaHM|î|M^Yohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung geUefert.

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welche Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich angeordnetor Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v. Dyck - München, 0. Holder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, W. Wiriinger-Wien, H. v. Seeliger-München, P. Stäckel-Heidelberg

steht der Redaktion, die aus den Herren

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besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

I. Band:

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L.    Fleischmann-Berlin R. Gans-La Plata

F. W. Hinrichsen-Charlotten- G. Herglotz-Leipzig E. W. Hobson-Cambridge H. Kamerlingh-Onnes-Leiden K. Laves - Chicago W. H. Keesom-Leiden    F. R. Moulton- Chicago

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F. K. Ginzel-Berlin [bürg J. v. Hepperger-Wien

Th. Liebisch - Berlin H. A. Lorentz-Haarlem L. Mamlock-Berlin G. Mie-Greifswald

H. Kobold-Kiel

Spreelisaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Redaktion des Jahresberichts der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ihr aus dem Leserkreise zugehende Verbesserungsvorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Encyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Herausgeber des Jahresberichts Herrn Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Gutzmer in Halle a/S., Wettinerstraße 17 zu richten, der sich mit den betr. Bandredakteuren wegen der Veröffentlichung der Notizen in Verbindung setzen wird.

Die akademische Kommission zur Herausgabe der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften.

SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON NORDAMERIKA: COPYRIGHT 1915 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

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y 24. WELLEN OPTIK

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V'.

Von

M. v. LAUE.

IN FRANKFURT A. M.

MIT EINEM BEITRAG ÜBER SPEZIELLE BEUGUNGSPROBLEME.

Von

P. S. EPSTEIN

IN MÜNCHEN.

Inhaltsübersicht.

I. Einleitung.

1.    Die Grundgleichungen.

2.    Ebene Wellen.

3.    Kugel well en.

4.    Zylinderwellen.

5.    Sinusschwingungen.

6.    Dispergierende Körper.

7.    Die Intensität.

8.    Die Wellenoptik und die älteren Lielittheorien.

II. Die Superposition yon Sinusschwingungen gleicher Frequenz.

9. Das Interferenzprinzip.

10.    Zwei senkrecht zueinander polarisierte Schwingungen.

11.    Interferenz gleichgerichteter Schwingungen.

12.    Interferenzstreifen gleicher Dicke an dünnen Platten.

13.    Der Fresnel sehe Spiegel.

14.    Die Streifen gleicher Neigung an planparallelen Platten.

15.    Die Quetelet sehen Ringe.

16.    Das Michelson sehe Interferometer.

17.    Das Gitter.

18.    Das Stufengitter.

19.    Die Ausdehnung der Lichtquelle.

20.    Die Gitterfehler.

21.    Interferenz vieler gleichgerichteter Schwingungen mit unregelmäßig verteilten Phasen.

22.    Wieners Versuch. Stehende Wellen.

23.    Interferenz elektrischer Wellen.

24

Encyklop. d. math. Wisaensch. V 3.

yxx

III. Die Superposition yon Sinusschwingungen verschiedener Frequenz £ Spektrum; Beziehung zur Thermodynamik.

24.    Lichtschwebungen.

25.    Das Auflösungsvermögen.

26.    Inhomogene Strahlung.

27.    Natürliche Strahlung.

28.    Spektrale Zerlegung.

29.    Die Schwingungsform natürlicher Strahlung.

80.    Kohärenz und Inkohärenz. Polarisation.

81.    Zusammenhang mit der Thermodynamik.

32. Die Interferenz inhomogener Strahlung; Sichtbarkeitskurve.

IV. Allgemeine Theorie der Beugung.

33.    Das Huygens sehe Prinzip.

34.    Die Fresnel sehe Zonenkonstruktion.

35.    Kirchhoffs Formulierung des Huygens sehen Prinzipes.

36.    Einteilung der Beugungserscheinungen in Kirchhoffs Theorie; Beobachtungsmethode; Babinet sches Prinzip.

37.    Fraunhofer sehe Beugungserscheinungen:

a)    Beugung am Rechteck und Spalt.

b)    Beugung am Kreis.

c)    Veränderung des Beugungsbildes bei linearer Deformation der beugenden Öffnung.

38.    Talbot sehe Streifen.

39.    Fresnel sehe Beugungserscheinungen.

a)    Die Fresnel sehen Integrale.

b)    Die Beugung am Spalt.

40.    Die geometrische Optik als Grenzfall für verschwindende Wellenlänge.

41.    Das Verhalten der Lichtwelle in der Nähe eines Brennpunktes.

42.    Das Auflösungsvermögen des Prismas.

43.    Die optische Abbildung im Lichte der Wellenoptik:

a)    Die Abbildung selbstleuchtender Körper.

b)    Die Abbildung durch fremdes Licht.

c)    Vergleich der Abbildung selbstleuchtender und durchleuchteter Gegenstände.

d)    Anwendung auf das Mikroskop.

44.    Die Freiheitsgrade optischer Vorgänge.

a)    Die Freiheitsgrade eines streng einfarbigen Strahlenbündels.

b)    Die Freiheitsgrade eines im physikalischen Sinn einfarbigen Strahlenbündels.

c)    Die Freiheitsgrade der Hohlraumstrahlung.

V. Interferenzerscheinungen bei Eöntgenstrahlen.

45.    Historische Übersicht.

46.    Allgemeine Theorie der Röntgenstrahlinterferenzen.

47.    Allgemeine Folgerungen über die Lage der Interferenzmaxima.

48.    Ewalds Konstruktion der gebeugten Strahlen.

49.    Die scheinbare Spiegelung an den Netzebenen des Raumgitters.

50.    Die selektive Spiegelung an Kristallen.

51.    Die allgemeine Spiegelung.

52.    Die Intensität der Interferenzpunkte.

53.    Die Frage nach der Funktion

54.    Der Temperatureinfluß.

55.    Kompliziertere Strukturen.

56.    Die Struktur des Steinsalzes und des Diamantes. 67. Die Form der Interferenzpunkte.

Zusammenfassende Werke.

P. Drude, Lehrbuch der Optik, Leipzig 1906.

Müller - Pouillet, Lehrbuch der Physik, Band II herausgegeben von 0. Lummer, Braun schweig.

H. v. Helmholtz, Vorlesungen über die elektromagnetische Theorie des Lichtes, Hamburg und Leipzig 1897.

B. W. Wood, Physical Optics, New York 1905.

A. Schuster, Einführung in die theoretische Optik, deutsch von H. Konen, Leipzig und Berlin 1907.

G.Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Optik, herausgegeben von K. Hensel, Leipzig 1891.

Lord Bayleigh, Encyklopädia Britannica XXIV 1888 auch Sc. Pap. III, p. 47.

W. Feussner, Interferenz des Lichtes, Winkelmanns Handbuch der Physik, Band 6, Leipzig 1906.

F. Pockels, Beugung des Lichtes, Winkelmanns Handbuch der Physik, Band 6, Leipzig 1906.

A. A. Michelson, Lichtwellen und ihre Anwendungen, deutsch von Ihle, Leipzig 1911.

E. Gehrcke, Die Anwendung der Interferenzen in der Spektroskopie und Metrologie, Braunschweig 1906.

E. Abbe, Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop, herausgegeben von 0. Lummer und F. Reiche, Braunschweig 1910.

Bezeichnungen.

(£ elektrische Feldstärke; § magnetische Feldstärke. © = c[GŚ§] Poyntingscher Energiestrom.

W — |(£@²-(- £)²) Energiedichte.

3 Hertzscher Vektor.

— C Grruppengeschwindigkeit. v+n£

s Dielektrizitätskonstante; v — ]A Brechungsindex. ~ Phasengeschwindigkeit; g

Ein Punkt über einem Buchstaben deutet die Differentiation nach der Zeit t bei konstanten Koordinaten an.

Ein Strich über einem Buchstaben deutet einen Mittelwert an.

I. Einleitung.

1. Die Grundgleichungen. Seit Maxwell und Hertz ist die Optik ein Zweig der Elektrodynamik. Jede folgerichtige optische Theorie muß daher die Maxivell sehen Gleichungen an die Spitze stellen. Wir schreiben diese zunächst in der Form, wie sie streng für den leeren Raum, für alle andern Mittel nur unter Vernachlässigung der Dispersion gelten. Wir betrachten ausschließlich ruhende, homogene und isotrope Körper und sehen dabei ab einmal von elektrischen Ladungen, welche in ruhenden Körpern doch nur den Wellen überlagerte statische Felder hervorrufen; sodann von dem elektrischen Leitungsstrom, welcher stets mit Absorption verknüpft ist — wir aber wollen hier fa$t ausschließlich von nicht absorbierenden Mitteln reden¹) — schließlich setzen wir die magnetische Permeabilität von vornherein gleich l.²)

Unter diesen Umständen lauten die Maxwellschen Gleichungen

(2) rot £ = (4) div £ = 0.

r, B die Entfernung zweier Punkte im Raum. q die Entfernung zweier Punkte in der Ebene. n Frequenz = 2 % Scbwingungszahl.

X Wellenlänge = ——

°    n

2 %c

2 nc

nv

, X₀ Wellenlänge im leeren Raum =

vX

2 7t

(1) rot® = -i§,

(3) div ® = 0,

An Unstetigkeitsflächen sind stetig 1. die tangentiellen Komponenten der Feldstärken (£ und 2. die normalen Komponenten der Vektoren § und s • (£. Die Grenzbedingungen unter 2. werden von selbst erfüllt, wenn man die Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der ersteren löst.³) An der Grenze eines vollkommen spiegelnden Körpers ist die tangentielle Komponente von @ Null; über die von § läßt sich keine allgemeine Angabe machen.

Die für unsere Zwecke wichtigste Folgerung ist, daß die Elimination von @ oder § aus den Gleichungen 1) bis 4) zu den Be-

Ziehungen

(5) führt. Für beide Feldstärken gilt also die Wellengleichung

(6)

&<P — ^<P = o,

wobei die Geschwindigkeit der Wellen den Wert

00

a =

Vs hat. Vs ist danach gleich dem Brechungsindex v (Maxivell).

Die einzige Änderung der Grundgleichungen für absorbierende Körper besteht darin, daß an die Stelle von 2) tritt:

(7a)

rot§=i(£® + (J®)

wo 6 die elektrische Leitfähigkeit bedeutet.

2. Ebene Wellen. Den Gleichungen (5) in Nr. 1 genügt man, wenn man alle sechs Komponenten von @ und § als zunächst willkürliche Funktionen des Argumentes (t—ansetzt; wir stellen so ebene, in der x Richtung fortschreitende Wellen dar. Uber die longitudinalen Komponenten &x und &x sagen die Divergenzbedingungen 3) und 4) in Nr. 1 aus, daß sie konstant, also bei zeitlich veränderlichen Vorgängen Null sind. Beide Feldstärken schwingen somit in einer ebenen Welle transversal. Spricht man diesen Satz, wie es vielfach geschieht, allgemein für elektromagnetische Wellen aus, so ist die Transversalität nicht geometrisch zu verstehen, sondern nur so, daß die erwähnten Divergenzbedingungen erfüllt sind.

Zwischen den transversalen Komponenten besteht nach 1) oder 2) die Beziehung

Vs

(8)

Nach (8) sind ($, § und die Wellennormale aufeinander senkrecht und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Eine linear polarisierte Welle erhält man, wenn man von den zwei willkürlichen Funktionen

und @3 des Argumentes (t — die eine, et

wa

gleich Null setzt.

Die Ebene durch die Wellennormale und die magnetische Feldstärke behält dann ihre Lage dauernd bei; man nennt sie Polarisationsebene.8a)

3a) Die ursprüngliche Definition der Polarisationsebene knüpfte an gewisse Erfahrungstatsachen aus der Kristalloptik oder an die Spiegelung des Lichtes an. Daß die so bestimmte Ebene die magnetische und nicht die elektrische

Auf elliptisch und partiell polarisierte Wellen gehen wir in Nr. 10 und 30 ein.⁴)

3. Kugelwellen. Zur Darstellung einer linear polarisierten Kugelwelle gelangt man, wenn man die beiden Feldstärken @ und § auf den Hertz sehen Vektor 3 zurückführt.⁵) Dazu dienen entweder die Gleichungen

® = rot rot 3,    $ = y rot 3

® = — y rot 3,    § = rot rot 3,

während 3 selbst der Wellengleichung

A3-^8 = o

(9)

oder

(10)

(11)

genügt. Die Gleichungen 1) bis 4) werden von diesen identisch befriedigt.

Der Gleichung 11) genügt der Ansatz

(12)

3. = o, 8, — o, 3, = 7

r² = x² + y² + 0²

überall mit Ausnahme des Punktes r — 0, von welchem die Welle divergiert. Berechnen wir nach (9) ($ und so erhalten wir als Näherung für große Entfernungen die folgenden Beziehungen, bei denen r, cp, ft räumliche Polarkoordinaten (x = r cos cp sin ft, y — r sin cp sin ft, z — r cos ft) bedeuten:

sin ft.

(12a)    = <sf-    o, - <s,= i = £f(<--i-)

In großer Entfernung geht somit die Kugelwelle in eine ebene über, sowohl was die Lage von © und § zueinander und zur Wellennormalen als auch das Verhältnis |@[ :    anlangt.

Die entsprechende Näherung für kleine Entfernungen lautet

(13)

d(f)>

Feldstärke enthält, was an sich gerade so gut denkbar war, haben erst Wieners Versuche (Nr. 22) gezeigt.

4)    Gerippte (Corrugated) ebene Wellen, bei welchen die Amplitude in Ebenen gleicher Phase nach einem Sinusgesetz variiert, untersucht Lord Rayleigh, Sc. Pap. III, p. 117.

5)    H. Hertz, Ann. Phys. Chem. 3G (1888), p. 1 ; Ges. Ahh. 2, p. 147, Leipzig 1894.

wobei ist.

Nun ist aber cp das elektrostatisch berechnete Potential eines im Nullpunkt liegenden Dipols von dem Moment f(f) parallel zu z, und 51 ist das Vektorpotential des von dessen Schwingungen repräsentierten Konvektionsstromes. Soweit (13) gilt, herrscht also das quasistationäre Feld eines schwingenden Dipols. Eine Kugelwelle der betrachteten Art wird somit von einem elektrischen Dipol erregt.

Benutzt man die Gleichungen (10) statt (9), so wird man auf einen magnetischen Dipol als Ursache der Kugelwelle geführt. Schwingende elektrische Dipole sind die Atome der Körper mit ihren Polarisationselektronen. Ob auch schwingende magnetische Dipole Vorkommen, erscheint zweifelhaft, doch ist die Frage für die Wellenoptik belanglos.

Konvergierende Kugelwellen erhält man durch den Ansatz

(14)

Der aus (12) und (14) kombinierte Ansatz

(15)

8* = o, ₃, = o, 3. = -Hh* + D-^-v)l

stellt eine Kugelwelle dar, welche zunächst nach dem Nullpunkt konvergiert, um sodann wieder zu divergieren; der Nullpunkt ist dabei kein Unstetigkeitspunkt mehr.

Schwingt ein Dipol nur während eines bestimmten Zeitintervalls (f(ß) = Q> außer wenn < ^ < 4)> so schreitet die emittierte Kugelwelle mit der konstanten Breite a(t₂ — tt) fort. Auch beim Übergang der Kugel welle in ebene Wellen bleibt diese erhalten. Überhaupt behält die Welle in diesem letzten Stadium ihre Form unverändert bei; in jedem Punkte erfolgt die Schwingung von (§ und § nach demselben durch die Funktion f(t) bestimmten Gesetz.

4. Zylinderwellen. Wie bei den Kugelwellen ein Punkt so ist bei den Zylinder wellen eine Linie ausgezeichnet. Das Feld ist in diesem Falle von den zur ausgezeichneten Linie parallelen Abmessungen, etwa von z, unabhängig. Der Hertz sehe Vektor ß genügt der Differential-

6) H.Lamb, Proc London Math. Soc. 35 (1902), p. 141; Lehrbuch der Hydrodynamik, deutsch von J. Friedei, Leipzig und Berlin 1907, p. 348; Vito Voltera, Acta math. 18 (1894), p. 161; Tullio Levi-Civita, Nuovo Cimento (4) 6 (1897), p. 204; Lord Rayleigh, Proc. London Math. Soc. 19 (1888), p. 504; Pap. III, p. 47.

a²! , ^8 _ _l a!3 _ ₀

gleichung

Sa:* ' cyï    a2    7

(vgl. (11), welche hei Einführung der komplexen Zeitvariabein (16)

die Form annimmt

?!8 , ^3 , ą«_8 ₌ o dx* w dy² ^

Eine Lösung von ihr ist, wie aus der Potentialtheorie bekannt,

WO

a.-8,=o. & =

Vn'+d-V ’

(>² = ^2 + ?/²

* i Qo

und X ein Parameter ist. Wir erhalten neue Lösungen, wenn wir die angegebene mit einer beliebigen Funktion <p(Jl) multiplizieren und über einen beliebigen, von l und p unabhängigen komplexen Weg in der A-Ebene integrieren; also

(17)

"k-Ebene

q>(X)dl

lV-r(Z-*)V

r-

In Fig. 1 sind A und B die Verzweigungspunkte X = l -f- ip der Funktion Yq²-\- (l — A)²; die Gerade AB wählen wir als Verzweigungsschnitt, der Integrationsweg verlaufe wie in der Figur gezeichnet, wobei der Punkt P beliebig, aber unabhängig von l und p auf AB gewählt ist; die punktierten Wegstrecken liegen im zweiten Blatt. Die Anteile der Strecken AP im ersten

- i 00

Fi g. 1.

und PA im zweiten Blatt heben sich auf. Dagegen sind die Anteile der Integration von — ioo nach A im ersten und von A bis — ioo im zweiten Blatt einander gleich, mithin:

1 — iQ

(18)

3* =

²/

qp (X)dX

1V+(*-*)*

— i oo

Die Wurzel ist dabei positiv imaginär. Gleichbedeutend damit ist nach (16):

t-

(19)

3*=

f(x) dt

— 00

Die einzige Unstetigkeitsstelle dieser Lösung ist die Gerade p — 0.

(23)

3z=j f(t +    *)da.

o

Diese Form der Lösung hat den Vorteil, t und p nicht mehr in den Grenzen der Integrale zu enthalten.

5. Sinusschwingungen. Bisher wurde über die Form der Schwingungen keinerlei beschränkende Voraussetzung gemacht; die Funktion f(i) in Nr. 3 und 4 blieb unbestimmt. Häufig werden wir uns aber auf Sinusschwingungen beschränken, bei welchen von vornherein alle Feldvektoren §, 3 usw- zu dnt proportional gesetzt werden können,

Setzt man in (19) und (21) t — t -\- ßof a, so wird

Nehmen wir an: f(t) = 0, außer wenn tx < t < f₂, so ist == 0, solange    Der Wellenkopf läuft somit mit der Geschwin

digkeit a nach außen; die Lösung stellt eine divergierende (auslaufende) Welle dar. Ein bestimmtes Ende hat die Welle hingegen nicht; wenn

so wird

^2

3* =

f{r)dr

(t-ry

Ps

Die Welle zieht eine langsam abklingende Schleppe nach sich. Ist i — tx P- 4 — tx und    so wird angenähert

(20)

8.=

12

T=ïff®ar-

h

In allen optischen Fällen ist dies Integral praktisch Null.

Ähnlich wie die Lösung (18) findet man die folgende, welche eine konvergierende Zylinderwelle darstellt:

i oo

(21)

8.=

cp(X) dX

f(r)dr

yQ* + (i-xy

e⁴ 5

(22)

oder

3,=/«)<*«,

ó

Schwingungszaht) x — ² ™ die

n ist dabei die Frequenz (also ₂^

Periode, X = die Wellenlänge. Der physikalische Grund für die

Bewegung der Sinusschwingungen liegt in der Fähigkeit vieler molekularer Gebilde, mit großer Annäherung reine Sinusschwingungen auszusenden und infolgedessen nach dem Resonanzprinzip auf Sinusschwingungen der gleichen Frequenz besonders stark anzusprechen und sie so von anderen auszusondern. Nicht nur schnelle und langsame Schwingungen unterscheiden sich deswegen in mancher Beziehung geradezu qualitativ, sondern selbst ganz geringe prozentische Unterschiede in der Frequenz sind manchmal für die Optik von ausschlaggebender Bedeutung. Das Auge empfindet diese Verschiedenheit als Verschiedenheit der Farbe.⁷) Mathematisch sind Sinusschwingungen deshalb einfacher zu behandeln, weil die Art der Abhängigkeit von der Variabein t von vornherein feststeht. Setzt man

<p = uént,

so wird aus der Wellengleichung (6) die „Schwingungsgleichungu

_ n]/s _

n -,. — die

(24)

(25)

2tt\

X )

für die nur noch von x, y, z abhängige Funktion u.

Ebene, Kugel- und Zylinderweilen darstellende Integrale der letzteren gewinnt man durch die Substitution (24) aus den in Nr. 2, 3, 4 gegebenen Lösungen der Wellengleichung:

U = 6~

ikx

— e+ikr, r

(26)

u = Zn{-f- hç) = Ç«da = Kn(-4- hę) — ^7ciJ₀ (+ hę').

Hier sind

- j sin (z (Eoj a) du

und

K„(z) = j

0

cos [z (£of u)du

die Besselsehen Funktionen militer Ordnung, während Z₀ bis auf den 2

Zahlenfaktor —. die sogenannte Hanhelsehe Funktion militer Ordnung ist; infolgedessen ist für kleine Werte des Argumentes

(27)

Z₀(z) — — log z -f- const.

7) Th. Young, Phil. Trans. 1802, p. 19; Lectures on natural philosophy II, London 1807, p 610; Ann. Phys. Chem. 39 (1811), p. 165.

für sehr große hingegen⁶) (28) Z„(,)-

Das obere Vorzeichen gibt in der Darstellung der Kugel- und Zylinderwellen auslaufende, das untere aus dem Unendlichen kommende, nach dem Punkt r — 0 oder der Linie q = 0 konvergierende Wellen. Eine physikalische Bedeutung haben sowohl der reelle als der durch i dividierte imaginäre Anteil derartiger komplexer Lösungen. Sowohl I₀ (+ kg) als Kn(-\- kg) sind so Lösungen der Schwingungsgleichung für zwei Dimensionen.

Die Experimentalphysik bestimmt Sinusschwingungen durch ihre Wellenlänge

(29)

. _2 ne

Aa -

u n

im leeren Raum, weil diese unmittelbar und sehr genau, gelegentlich bis auf das 10“⁷-fache ihres Wertes, gemessen werden kann. Die Frequenz n wäre daraus leicht zu berechnen. Da aber der Wert der Lichtgeschwindigkeit c nur bis auf die vierte Ziffer feststeht, so brächte der Übergang zu Frequenzen einen großen Verlust an Genauigkeit mit sich. Für theoretische Zwecke ist dennoch vielfach die Bestimmung durch die Frequenz vorzuziehen, weil sie sich beim Übertritt der Welle von einem Mittel in das andere nicht ändert.

cm⁷),

-2

Die langsamsten Schwingungen, welche bisher im Gebiete der Optik nachgewiesen sind, haben eine Wellenlänge A₀ = 3,4.10 die schnellsten, für die A₀ gemessen ist, X₀ — 1.10“⁵ cm.⁸) (Noch kürzere Wellen werden von den glühenden Metalldämpfen des elektrischen Funkens ausgesandt⁹).) Die entsprechenden Frequenzen sind nach (29), wenn man c = 3.10¹⁰ cm sec⁻¹ annimmt, n = 2nx 9.10¹¹ sec-1 und n = 2 7t x 3.10¹⁵ sec \ Das Auge empfindet als Licht Schwingungen, deren Wellenlängen zwischen etwa 4,1.10“⁵ und 7,1.10“⁵ cm liegen.

Die Röntgenstrahlen sind elektromagnetische Schwingungen, deren Wellenlänge etwa zwischen 1.10“⁷ und 5.10“⁸ cm, deren Frequenzen somit zwischen 2jt x 6,7.10¹⁷ und 27t x 3.10¹⁹ sec⁻¹ liegen. (Vgl. Abschnitt V dieses Artikels.)

Das naturgemäße Maß für Längen bildet bei allen Problemen, die auf Sinusschwingungen Bezug haben, deren Wellenlänge in dem in Rede stehenden Mittel; das natürliche Zeitmaß ist ihre Periode. Die Beziehungen „optisch groß“ und „optisch klein“ bezeichnen das Verhältnis zu diesen Maßstäben. Da die Periode stets kleiner als 10“¹² sec ist, so sind selbst Zeiten optisch groß, welche für den Verlauf vieler anderer physikalischer Vorgänge als sehr klein zu bezeichnen sind. Alle optischen Intensitätsmessungen z. B. dauern lange Zeiten, selbst wenn sie sich etwa photographisch in 10“⁴ sec vollziehen. — Diese Begriffsbestimmung bleibt auch dann in Kraft, wenn man mit mehreren Sinusschwingungen zugleich zu tun hat, solange sich deren Perioden und Wellenlängen nicht in der Größenordnung unterscheiden.

Sinusschwingungen stellen stets einen stationären Zustand mit zeitlich unveränderlichen Intensitäten dar. Uber die Erscheinungen beim Eintreffen oder beim Abklingen eines begrenzten Wellenzuges erfährt man dabei unmittelbar nichts. Die Verkennung dieses Sachverhaltes hat gelegentlich zu Fehldeutungen von Beobachtungen geführt.¹²)

6. Dispergierende und absorbierende Körper. Bedeutet die Einführung von Sinusschwingungen schon für gewöhnlich eine Erleichterung, so wird sie im Falle der Dispersion zur Notwendigkeit. Denn die Grundgleichungen für dispergierende Körper müssen wir mangels einer auch quantitativ richtigen Dispersionstheorie als vorläufig unbekannt bezeichnen. Für Sinusschwingungen können wir aber die Grundgleichungen (1) bis (4), deswegen auch die Schwingungsgleichung (25), samt den Grenzbedingungen an wenden; mit der einzigen Abänderung, daß wir die Dielektrizitätskonstante e als eine durch Messung des Brechungsindex v nach (7) zu ermittelnde Funktion der Frequenz n betrachten.¹³) Muß man auch noch die Absorption berücksichtigen, ist nach (7 a) die reelle Dielektrizitätskonstante s durch die komplexe Funktion von n (29 a)

zu

ersetzen; nach (25) erhält dann h den komplexen Wert

Je nVe'

während die Schwingungsgleichung selbst ihre Form nicht ändert. Bei der mathematischen Behandlung von Sinusschwingungen kann man

12) Ein Beispiel wird behandelt bei M. Laue, Ann. d. Phys. (4) 13 (1904),

p. 163, § 6.

13) Enc. Y 22, Nr. 15.

somit ganz von der Absorption abseh en, solange man nur komplexe Lösungen der Differentialgleichungen sucht. Erst wenn man deren reelle Teile absondert, treten die Unterschiede gegenüber nicht-absor-bierenden Körpern hervor. Mit dem Brechungsindex v und dem Absorptionskoeffizienten x hängt s durch die Beziehung

(29 b)

yy=v(i — ix)

Da bei absorbierenden und dispergierenden Körpern die

zusammen.

elektrische Leitfähigkeit 6 nicht als von n unabhängig angenommen werden kann, so muß man e' für jedes n aus den gemessenen Werten von v und x berechnen.

Bei ebenen Sinuswellen in nicht-dispergierenden und nicht absorbierenden Körpern ist nach Nr. 2 die Geschwindigkeit der Phasen gleich a, d. h. so groß wie die des Kopfes oder Endes einer Welle von begrenzter Dauer. Bei dispergierenden Mitteln hingegen ist zu unterscheiden zwischen der Phasengeschwindigkeit bei stationären Sinuswellen, welche nach (25) stets den Wert ~ = ^- = ” hat, und der

V£

Geschwindigkeit des Kopfes einer begrenzten Welle. Nach der Elektronentheorie ist die letztere stets gleich c.u) Bei der Fizeau sehen und wohl auch bei der Foucault sehen Lichtgeschwindigkeitsmessung wird die Gruppengeschwindigkeit

(30)

dn

dv dk

beobachtet.¹¹ 12) (Vgl. Nr. 28.)

7. Die Intensität.¹³) Wegen der Größe der Frequenzen ist eine Beobachtung der Feldvektoren @ und ausgeschlossen. Nur die Intensität ist meßbar, und diese ist der Mittelwert einer Energiegröße, gebildet über Zeiten, welche optisch lang sind, aber nur einen kleinen Bruchteil einer Sekunde bilden. Daß die Unbestimmtheit dieser Größenangabe ohne Einfluß auf das Ergebnis der Mittelwertbildung ist, versteht sich keineswegs von selbst. Vielmehr liegt darin eine Eigentümlichkeit der optischen Wellen, welche Flanek in seine Hypothese der natürlichen Strahlung mit aufnimmt (vgl. Nr. 27).¹⁴) Im allgemeinen ist die Intensität zeitlich veränderlich; da sich aber jeder Wert von ihr schon auf eine optisch lange Zeit bezieht, ist sie langsam veränderlich gegenüber den schnell veränderlichen Feldvektoren.

Welche von den Energiegrößen des elektromagnetischen Feldes zur Definition der Intensität zu benutzen ist, ist schwer zu sagen. Bei nichtdispergierenden Körpern kommen vor allen in Betracht:

1. die Energiedichte W = ■£(£@²-f- §²), 2. der Energiestrom © = c[©§] dem absoluten Wert nach, 3. @² allein, 4. ^)² allein. Wahrscheinlich ist die Wahl zwischen ihnen nach dem Meßinstrument zu treffen. Beim Bolometer und der Thermosäule dürfte die hineinströmende Energie | © |, bei der photographischen Platte der Mittelwert (S² zur Messung gelangen (vgl. Nr. 22). Meist beobachtet man aber unter Umständen, unter welchen die Wellen nahezu eben sind; dann ist im zeitlichen Mittel

W=\®\ =    =§²,

so daß die Wahl das Ergebnis nicht beeinflußt.

Noch schwieriger liegt die Frage im Fall der Dispersion; dann kommt nämlich noch die Energie der erzwungenen intramolekularen Schwingungen in Betracht. Will man nur die Intensitäten an verschiedenen Stellen desselben Körpers vergleichen und ist die Welle an diesen nahezu eben, so ist jede der angegebenen Größen gleich geeignet. Gelegentlich wird in der Literatur das Quadrat des Hertz-schen Vektors verwendet; und auch wir werden uns im Abschnitt IV dieses Artikels im Grunde diesem Brauche anschließen, nur scheint dies in jedem Fall einer besonderen Rechtfertigung zu bedürfen.¹⁸)

Bei reinen Sinusschwingungen kann man die Mittelwertbildung statt über eine optisch lange Zeit über eine Periode vollziehen. Geht man von einer komplexen Darstellung für die Feldvektoren aus, findet man also etwa

int

®x = ue

so haben wir hierin zwei reelle Lösungen, nämlich

|u| cos (nt -j- (jp) und |w| sin (nt -f- <p).

Der Mittelwert ©f ist für beide gleich %\u\², d. h. wenn ©J zu ©^ konjugiert komplex ist,

(31)

Ist ferner etwa

% =

(62)

IV. Allgemeine Theorie der Beugung.

Ausgangspunkt sind die aus der Theorie des Fourier

1

[*[»<£]] = »((£«) — (£(«»)

(211)

ir^w) +

HO TE/C*

¹

   Für Sinuswellen können wir die Absorption stets einführen, indem wir die Dielektrizitätskonstante s komplex wählen. Vgl. Enc. V 22, Nr. 12 und 15, sowie Nr. 6 dieses Artikels.

²

   Enc. V 22, p. 109.

³

   Die partiellen Differentialgleichungen der math. Physik, nach Riemanna Vorlesungen bearbeitet von H. Weber, Braunschweig 1900, Bd. I, p. 390.

⁴

+ iQ

⁵

Das Feld berechnet man aus (19) oder (21) nach den Formeln (9) oder (10)

⁶

   Ygl. H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik. Deutsch von J. Friedei, Leipzig und Berlin 1907, § 192.

⁷

   H. Hubens und O.v. Bayer, Berliner Ber. 1911, p. 339 u. 666.

⁸

   O. Schumann, Wiener Ber. 102 (1893), p. 415, 625.

⁹

   P. Lenard und E. Ramsauer, Heidelberger Akad. 1910, Abhandlungen

¹⁰

Nr. 28, 31, 32.

¹¹

   A. Sommerfeld, Phys. Z. S. 8 (1907), p. 841; Weber-Festschrift 1912, p. 338; Ann. d. Phys. 44 (1914), p. 177.

¹²

   Enc. V 22, Nr. 28 und V 23, Nr. 9, vgl. unten Nr. 27 ; vgl. auch M. Laue, Ann. d. Phys. 18 (1905), p. 523; L. Brillouin, Ann. d. Phys. 44 (1914), p. 203.

¹³

   Vgl. Enc. Y 23, p. 312.

¹⁴

   M. Planck, Ann. d. Phys. 1 (1900), p. 69.

int

__% =

18) Vgl. hierzu: E.Abbe, Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop, § 9, Braunschweig 1910.

so wird bei Benutzung der reellen Anteile von und $Qy der Mittelwert    = 2 u jv| cos (cp — i\i), also (32)

Bei Benutzung der imaginären Anteile findet man dasselbe. Nach den in (31) und (32) angedeuteten Regeln kann man leicht von komplexen Lösungen zu den quadratischen Mittelwerten übergehen, welche die Intensität bestimmen.

8. Die Wellenoptik und die älteren Lichttheorien. Nicht unerwähnt darf bleiben, daß manche charakteristischen Züge der elektromagnetischen Lichttheorie gerade für die wichtigsten Probleme der Wellenoptik keine Rolle spielen. Das zeigt am besten die Tatsache, daß lange vor Maxwell und Hertz die wesentlichsten Interferenz- und Beugungserscheinungen bekannt und durch die elastische Lichttheorie erklärt waren. Vielfach genügt, daß der „Lichtvektor“ (d. h. elastisch: die Verrückung eines Atherteilchens, elektromagnetisch: @ oder der Wellengleichung (5) und der Divergenzbedingung 3) oder 4) (Trans-versalität) genügt, und daß sein Quadrat gemittelt ein Maß der Intensität abgibt. In diesem Punkt stimmt die elastische Theorie mit der elektromagnetischen vollständig überein. Nur die Überlegenheit der elektromagnetischen Theorie auf andern Gebieten sichert dieser den Sieg.

Die älteste Wellentheorie des Lichtes, wie sie Hayghens 1678 begründete¹), kannte noch nicht einmal die Transversalität und vermochte dennoch z. B. für die gradlinige Ausbreitung des Lichtes, das Reflexions- und das Brechungsgesetz Erklärungen zu geben, welche ihren Wert bis heute behalten haben.

II. Die Superposition von Sinusschwingungen gleicher Frequenz.

9. Das Interferenzprinzip, Die vielleicht wichtigste Eigenschaft der Grundgleichungen ist ihre Linearität, welche zur Folge hat, daß die Summe von beliebigen Lösungen selbst eine Lösung ist. Physikalisch bedeutet dies, daß sich verschiedene Wellen ohne gegenseitige Störung superponieren können; die resultierenden Feldstärken (£ und sind einfach die Vektorsummen aus den Feldstärken der einzelnen Wellen. Aber gerade deswegen summieren sich die Intensitäten im allgemeinen nicht. Dies ist das von Young²) zuerst ausgesprochene „Interferenzprinzip“.

10. Zwei senkrecht zueinander polarisierte Schwingungen.³)

Stellt man bei den in Nr. 2 bis 4 betrachteten linearpolarisierten Wellen den Lichtvektor (etwa (5) in einem bestimmten Punkt als gerichtete Strecke mit festem Anfangspunkt dar, so beschreibt ihr Endpunkt eine gerade Linie; wir können diese Bewegung darstellen durch

(Slx = x = a cos n t.

Superponiert sich darüber eine andere senkrecht dazu polarisierte Schwingung, welche analog durch

— V ~ b cos — ä)

gegeben ist, so ist die resultierende Schwingung durch eine Bewegung des Endpunktes auf der Ellipse

t* + h ~~ ²°alcos d —sin2 d

R IM

in

dargestellt. Man nennt sie deshalb elliptisch polarisiert. Ist die Phasendifferenz d — + y > so liegen ihre Achsen in der x- und i/-Rich-tung; ist außerdem a — b, so wird die Ellipse zum Kreis (zirkulare Polarisation). Ist d — 0 oder = 7t, so artet die Ellipse zu einer Geraden aus. Eine vorgegebene elliptische Schwingung läßt sich auf unendlich viele Arten in zwei zueinander senkrechte Schwingungen zerlegen; die Phasendifferenz ó wechselt mit den Richtungen. Die Achsenrichtungen sind durch die Forderung â = + y eindeutig bestimmt. Ausgenommen davon sind nur die Grenzfälle der zirkularen und linearen Schwingung; bei der ersteren ist stets â — 4- - -, bei der letzteren d — 0 oder d — 7t. Bei zirkularer Polarisation unterscheidet man als links und rechts zirkular die Fälle d = +

welcher die Bewegung des Lichtvektors eine Links- bzw. Rechtsdrehung um die dem Strahl entgegengesetzte Richtung darstellt. Man kann diese Unterscheidung natürlich auch auf elliptische Polarisation anwenden.

Die Intensität (S² ist unabhängig von d gleich -f- 6²). Sind die beiden linearen) Komponenten ebene in der gleichen Richtung fortschreitende Wellen, so setzt sich auch der Strahlvektor © additiv aus den Anteilen der Komponenten zusammen. Man spricht dies gewöhnlich in dem Satz aus: Senkrecht zueinander ‘polarisierte Schwingungen interferieren nicht miteinander.

11. Interferenz gleichgerichteter Schwingungen. Ganz anders gestaltet sich die Erscheinung bei der^Superposition gleich gerichteter Schwingungen (bei beliebiger Lage der Schwingungen zueinander kann man das Problem auf die hier und in Nr. 10 behandelten Fälle zurückführen). Aus der Superposition von

(§:la.= ueint= j u |e?(nt+<P\ @2x = veint— j v |e£(ni+v/) resultiert nämlich die Schwingung

(33)

deren Intensität nach (31)

(34)

@² = \ (! u |² -f- | v ‘² -f- 21 u 11 v \ cos d)

ist, wenn d = cp — ip die Phasendifferenz bedeutet. Die Intensität der resultierenden linearen Schwingung schwankt also zwischen (|w! — |v|)2 und (| u | -J- v j)², sie nimmt den ersteren Wert für ö = (2h -f- 1 )it, den letzteren für d = 2h7t an, wo h eine ganze Zahl ist. Ist \u\ — \v\, so ist der Minimalwert 0. Die Tatsache, daß bei Superposition verschiedener Lichtwirkungen völlige Dunkelheit entstehen kann, hat endgültig gegen die Newtomche Emissionstheorie entschieden.

Stellt man die komplexen Größen u und v in bekannter Weise durch Vektoren in der Ebene einer komplexen Veränderlichen dar, so sind diese Vektoren Repräsentanten der Schwingungen und (S₂. Ihre Längen geben die Amplituden, ihr Richtungsunterschied die Phasendifferenz d an. Die resultierende Schwingung @ wird nach (33) durch die Vektorsumme u -\- v dargestellt; das Problem der Superposition von Schwingungen läßt sich so auf Vektoradditionen zurückführen. Dies gilt natürlich auch für die Superposition von mehr als zwei Schwingungen.

Eine Reihe von p Schwingungen, deren Amplituden in geometrischer Progression abnehmen, während die Phasen in arithmetischer Progression wachsen, ist dargestellt durch

g int, 5g int+ö, 52gi(n*+2<^ _ _ , (jp-\g(nt + (p-1) d)

(0 < 6 1);

ihre Superposition ergibt die Gleichung

(35)

p-X

(fvt    (jrngimä __

0

ßint ^

— 6peipö l—6eiä

deren Intensität nach (31) den Wert

1 — 6peipô l-~(^e~ipà _ i -f 6ip — 26pcoapd l — 6eiä

Bncyklop. d. matli. Wissenach. V 3.

(36)

1 — Se-'"

1 -(- G*— 26 cos d

25

hat (Airy).⁴) Für p — 2 wird dieser Ausdruck gleich 1 -f- 6²-{- 26 cos d, für p — oo

(37)

Ï -f- G²— 2 G cos S

(1 — G)² -f- 4 G sin²

Ist ferner 6 « 1, so ist ein Näherungswert dafür (1 -f- 26 cos d); die Abhängigkeit der Intensität von der Phasendifferenz ist dann dieselbe wie hei der Interferenz von nur zwei Wellen: sie schwankt bei variierendem d nach einem Sinusgesetz um den Betrag 46. Ist umgekehrt (1 — 6) « 1, so wird die Intensität für 8 — 21m {h eine

ganze Zahl) groß wie ^und fällt schon auf die Hälfte dieses

Betrages, wenn d = 21m + (1 — 6) ist. Im ersten Fall haben wir somit breite und flache Intensitätsmaxima und -minima, im zweiten hohe und scharfe Maxima getrennt durch sehr breite Minima. Den .    Übergang zwischen diesen Grenzfällen ver

g=0,04

anschaulicht Fig. 2, in der d als Abszisse, 4(1 — 6²) als Ordinate aufgetragen ist. Für 6=1 wird der Ausdruck (35)

gleich

0,5

(38)

sin — $

die Intensität daher gleich sin²

2

sin² —

Ihr größter, bei 8 — 21m erreichter Wert ist p^. Bei

d = 2 Im + —

—• P

wird sie Null. Wie die Höhe, so wächst somit die Schärfe der Intensitätsmaxima zugleich mit der Zahl p der interferierenden Schwingungen. Daneben bestehen noch viele kleinere Maxima, welche ungefähr dort liegen, wo sin²yd den Wert 1 erreicht. Sie kommen bei

großen Werten von p gegen die erstgenannten nicht in Betracht.

In Fig. 3 stellt die ausgezogene Kurve den Bruch (39) als Funktion von d, die gestrichelte analog den Ausdruck (36) mit 6 = 0,883

(39 a)

.0=0,6

0=0,9

Fig. 2.

(39)

**

dar; p ist bei beiden gleich 15. Man erkennt den äußerst geringen Unterschied beider Kurven.

12. Interferenzstreif en gleicher Dicke an dünnen Platten.⁵)

Diese sind von allen Interferenzerscheinungen am längsten bekannt,

p=ir>

A sie siud schon von Newton⁶) eingehend beschrieben, aber erst von Young⁷) im Sinne der Wellentheorie gedeutet worden. Von der punktförmigen Lichtquelle L (Fig. 4) gehen die Strahlen LA

D, ,

/D'

r'J

Fig. 3.

aVb p

Fig. 4.

und LB nach der Vorderfläche der Platte P; der erstere gelangt durch Brechung bei A und Spiegelung in C nach B und tritt dort in der Richtung nach D aus, während der letztere in B unmittelbar nach I)' hingespiegelt wird. Die Phasendifferenz der Strahlen in B hängt mit der Dicke d der Platte und dem Neigungswinkel ß des Strahles AC gegen die Plattennormale durch die näherungsweise gültige Beziehung

v d cos ß

(40)

ó — 4jt

-f- 7t

zusammen. Der Summand n rührt daher, daß entweder mit der Spiegelung in B oder mit der in C ein Phasensprung 7t verknüpft ist, je nachdem der Brechungsindex in der Platte größer oder kleiner ist als im Außenraume. Vereinigt man die Strahlen BD und BD' durch optische Mittel (Lupe, Auge), so ist die Phasendifferenz im Bildpunkt von B ebenso groß. Ist L von B weit entfernt, so ist ß längs der Platte unveränderlich. Variiert deren Dicke d, so schwankt ó und deshalb gemäß Gleichung (34) die Intensität⁸), welche in der Bild-

25*

ebene von P beobachtet wird. Man siebt dann, auf der Platte P lokalisiert, die Orte gleicher Dicke verbindenden Streifen.

Ähnliche Streifen beobachtet man im durchgehenden Licht; nur

ist hier

(41)

vd cos ß

^'0

so daß jedem Helligkeitsmaximum im gespiegelten Licht ein Minimum im durchgehenden entspricht und umgekehrt. Beide Streifensysteme sind zueinander komplementär.

Nach (41) und (42) verschieben sich die Intensitätsmaxima bei Veränderung der Wellenlänge. Bei Beleuchtung mit mehrfarbigem oder gar weißem Licht entstehen so durch Trennung der verschiedenen Bestandteile die Farben dünner Blättchen.

Bei Newtons Anordnung lag eine schwach gekrümmte Linse auf einer ebenen Glasplatte, beobachtet wurden die Streifen an der Luftschicht zwischen beiden. Die Streifen sind dann konzentrische ([New-fowsche) Ringe. Young berechnete aus ihren Durchmessern zuerst die Wellenlängen des sichtbaren Lichtes der verschiedenen Farben.

13. Der Fresnelsehe Spiegel. Durchkreuzen sich zwei ebene Wellen, deren Richtungen um den Winkel ff differieren, so ist die Phasendifferenz ô eine lineare Funktion der Koordinaten. Die Orte gleicher Phasendifferenz und infolgedessen gleicher Intensität sind die auf der Ebene beider Strahlrichtungen senkrechte Ebenen, welche den Winkel ff halbieren. Der Abstand benachbarter Ebenen größter Helligkeit ist

2 sin

2

Beobachtet man in irgendeiner anderen Ebene die Verteilung der Helligkeit,

Interferenzstreifen.

Fresnel²⁷) wollte diese Interferenz verwirklichen, um die Emissionstheorie schlagender zu widerlegen, als der Interferenzversuch von Young²⁸) das konnte. Er ließ dazu das Licht an zwei ebenen, unter einem gewissen Winkel aneinanderstoßenden Spiegeln reflektieren.

(41a)

so

sieht man ihre Schnitte mit jener Ebenenschar als

erübrigt sieb bei dem meist geringen Reflexionsvermögen, da dann das a in Gl. (36) klein ist.

27)    Augustin Fresnel, Oeuvres 1, p. 160, 183, 186.

28)    Thomas Young, Lectures on Natural. Philos. 1 (1807), p. 464. Beim „Youngschen Versuch“ geht das Licht durch zwei enge Öffnungen, denen die Anhänger der Emissionstheorie einen Einfluß auf die „Lichtkörperchen“ zuschrieben.

Die interferierenden Wellen gehen dann scheinbar von den beiden Spiegelbildern der Lichtquelle ans. In der Tat beobachtet man ein äquidistantes Streifen system. Es gibt viele Abänderungen dieses Versuches. Fresnel⁹) selbst ersetzte den Doppelspiegel durch ein Biprisma. Lloyd¹⁰) beobachtete die Interferenz zwischen direktem Licht und solchem, welches an einem ebenen Spiegel reflektiert ist. Auch Billets¹¹ 12) Halblinsen, welche dicht nebeneinander zwei reelle Bilder derselben Lichtquelle entwerfen, bringen Interferenzen derselben Art hervor. Wegen der Kleinheit der Wellenlänge X kommt es bei allen diesen Versuchen zur Erreichung beobachtbarer Streifenbreiten darauf an, den Winkel fl- möglichst klein zu machen.⁸²) Deshalb müssen die Fresnelachen Spiegel unter einem sehr stumpfen Winkel Zusammenstößen, die brechenden Winkel des Biprismas sehr klein und die Brennweite bei den Halblinsen sehr groß sein, während beim Lloydachen Versuch die Spiegelung fast streifend erfolgen muß.

Alle diese Anordnungen erreichen ihren Zweck nicht ganz rein. Beobachtet man genauer, als Fresnel es tun konnte, so erscheinen die Streifen weder alle gleich breit noch gleich hell, wie es doch nach der elementaren Theorie sein sollte. Die Beugung an der Kante, welche die interferierenden Strahlen voneinander trennt, beeinflußt die Erscheinung wesentlich. H. F. Weber¹³) und H. Struve¹⁴) haben die Kirchhoffache Beugungstheorie darauf angewandt und die Übereinstimmung mit der Erfahrung festgestellt. Diese Komplikation wird vermieden, wenn man statt nahe benachbarte Strahlen zu trennen, einen Strahl durch Spiegelung und Brechung spaltet und die beiden Teile sich durchkreuzen läßt.

Eine Anordnung, welche dies verwirklicht,¹⁵) beruht auf der Eigenschaft des Quarzes, längs seiner kristallographischen Achse nur zirkular polarisierten Wellen Durchgang zu gestatten. Je nach dem Sinn seines optischen Drehvermögens ist sein Brechungsindex für eine rechts oder links zirkulare Welle größer als für die entgegengesetzt zirkulare. Setzt man aus einem rechts- und einem linksdrehenden Quarzprisma ein rechtwinkliges Parallelepiped zusammen (Fig. 4 a), so werden daher beim Übergange von einen zum anderen zwei entgegengesetzt zirkulare, in der Richtung der Achse zusammenfallende Wellen in zwei Richtungen hinein gebrochen, die einen kleinen Winkel miteinander bilden. Läßt man Licht, welches aus einem Nicolschen Prisma (Polarisator) kommt, in das Parallelepiped eintreten, so wird es dabei in zwei zirkulare Wellen gespalten, welche aus dem Parallelepiped in etwas verschiedenen Richtungen austreten. Bringt man schließlich beide Wellen durch ein zweites Nicolsch.es Prisma (Analysator) auf eine gemeinsame Polarisationsebene, so zeigen sich in allen von beiden Wellen bestrichenen Räumen Interferenzstreifen vom Fresnelschen Typus, welche durch keine Beugungserscheinungen mehr gestört sind. Die Lage der Maxima hängt u. a. von der Stellung des Polarisators zum Analysator ab; dreht man den ersteren, so wandern die Interferenzstreifen. (Vgl. Nr. 24.)

L Linksquarz. B Rechtsquarz

Fig. 4 a.

14. Die Streifen gleicher Neigung an planparallelen Platten. Theoretisch am einfachsten von allen Interferenzerscheinungen und zugleich von großer praktischer Bedeutung sind die von Herschel35a) Haidinger⁵⁶), Miclielson³⁷), Mascart³⁸) und Lummer⁵⁵) unabhängig von einander aufgefundenen Streifen gleicher Neigung an planparallelen Schichten. In dem durch eine solche Schicht hindurchgehenden Licht überlagern sich 1. eine unter zweimaliger Brechung hindurchgehende Welle, 2. eine Welle, welche außer den zwei Brechungen zwei Spiegelungen erlitten hat, 3. eine Welle, welche vier Spiegelungen erlitten hat usw. in infinitum, wenn wir uns die Wellen und die Schicht seitlich unbegrenzt denken. Die 1c — te Welle wird dargestellt durch Qi-ie»(vf+(A:-i)4). dahej. ist die Intensität nach Gleichung (37) proportional zu

(42)

(1 — 6)² -f- 46 sin²

S wächst zugleich mit dem Reflexionsvermögen der beiden Grenzflächen, d ist (vgl. (40)) exakt durch

(43)

d — ^-nd cos ß -f- e

35a) J. F. W. Herschel, Phil. Trans., London Royal Society 1809, p. 274.

36)    W. Haidinger, Ann. Phys. Chem. 77 (1849), p. 219; 96 (1856), p. 453; Lord Bayleigh, Phil. Mag. 12 (1906), p. 489. Pap. V, p. 341.

37)    A. A. Michelson, Phil. Mag. 13 (1882), p. 236.

38)    E. Mascart, Ann. de chim. et de phys. 23 (1871), p. 116.

39)    O Lummer, Diss. Berlin 1884, Ann. Phys. Chem. 23 (1884) p. 49.

gegeben, wobei e die Summe der Phasensprünge bei den Reflexionen an der Vorder- und der Rückfläche ist. Für gewöhnlich ist s gleich 0 oder 2jt, sind die Flächen aber versilbert, so hat es andere Werte. Die Beobachtung geschieht mit einem auf Unendlich eingestellten optischen Instrument (Fernrohr, Auge). Jeder ebenen Welle, die hineintritt, entspricht dann ein Punkt der Brennebene. Tritt eine Wellenschar ein, so sieht man wegen der Veränderlichkeit der Phasendifferenz ô und der Intensität mit der Richtung Interferenzstreifen; die Orte gleicher Helligkeit haben die Gleichung ß = const. Zu jedem ß gehört aber eine bestimmte Neigung des Strahls gegen die Normale nach seinem Austritt aus der Platte. Die Streifen sind daher ihrer Form nach die Schnitte der Brennebene mit Kreiskegeln, deren Achse die Normale ist; z. B. wenn das Fernrohr die Richtung dieser Normalen hat, Kreise (Pérot und Fabry)¹⁶); steht hingegen das Fernrohr fast senkrecht zu ihr, so sieht man nur sehr schwach gekrümmte Stücke von Hyperbeln (Lummer und Gehrcke)*¹⁷)

In dem von der Platte reflektierten Licht ist die stärkste der sich überlagernden Wellen diejenige, welche sogleich an der Vorderfläche gespiegelt ist. Da keine der anderen Wellen eine Spiegelung unter denselben Umständen durchmacht, sind dabei die Betrachtungen von Nr. 11 nicht ohne weiteres anwendbar. Doch erkennt man aus dem Energieprinzip, daß die Erscheinung im reflektierten Licht zu der im hindurchgehenden komplementär ist.¹⁸)

Liegt (5 nahe beim Wert 1,. so haben die Streifen im durchgehenden Licht helle, scharfe Maxima; sie eignen sich dann zu spektroskopischen Zwecken.¹⁹) Werte von 6 bis zu 0,9 erreichen Pérot u. Fabry bei ihrer zwischen Glasplatten befindlichen Luftschicht durch schwache Versilberung der Grenzflächen. Lummer u. Gehrcke erzielen bei ihrer planparallelen Glasplatte dasselbe durch Benutzung großer Einfallswinkel; denn nach den Fresnelschen Formeln²⁰) wächst das Reflexionsvermögen mit dem Einfallswinkel bis schließlich zum Wert 1. (Bei 88° Einfallswinkel ist 6 = 0,88.)

Um die erste. Reflexion der einfallenden Welle an der Vorder-fläclie zu umgehen, durch welche bei großem 6 der Hauptanteil der Energie der Beobachtung im durchgehenden Licht entzogen wird, setzte Gehrcke auf die Platte ein aufgekittetes Prisma und ließ die einfallende Welle, durch die Blende D seitlich begrenzt, ungefähr

'D

Fig. 5.

senkrecht, also ohne erheblichen Reflexionsverlust dadurch eintreten. Die Interferenzerscheinungen werden dann auf beiden Seiten der Platte gleich, nämlich so wie sonst nur im durchgehenden Licht Freilich treten dann die Strahlen St, S₂, S₃,.St', S₂', ..., welche interferieren sollen, räumlich getrennt aus der Platte aus. Dennoch kommt es zur Interferenz, wenn man sie in der Brennebene eines Fernrohrs vereinigt. Theoretisch ist dieser Fall weniger einfach, weil die Beugung an der Blende D eine Rolle spielt. Doch ändert sich der Anblick der Streifen nicht, wenn man, wie zumeist geschieht, einigermaßen weit geöffnete Strahlenbündel einfallen läßt.²¹)

v. Baeyer bringt dann noch auf die Rückseite der Platte eine Substanz von so kleinem Brechungsindex, daß die Reflexion an der Rückfläche eine totale ist. Dadurch wird einmal die Interferenzerscheinung auf der Vorderseite lichtstarker, zugleich wird 6 bis zu 0,94 vergrößert.²²)

Die Zahljo der interferierenden Streifen ist nur bei der Anordnung von Pérot u. Fabry praktisch unendlich, da die Strahlen fast senkrecht auf der Platte stehen. Bei Lummer u. Gehrcke dagegen wegen der großen Einfallswinkel und der beschränkten Länge der Platte höchstens etwa 30. Einer weiteren Vergrößerung widersetzen sich die technischen Schwierigkeiten großer, exakt genug planparalleler Platten aus völlig homogenem Material. Dagegen läßt sich bei der Anordnung mit dem aufgesetzten Prisma die Zahl p leicht durch Abblendung einiger Strahlen verringern und so deren Einfluß auf die Schärfe der Streifen experimentell untersuchen.²³)

Diese Betrachtungen gelten zunächst nur für Wellen, deren Polarisationsebene mit der Einfallsebene zusammenfällt oder dazu senkrecht steht. Beide Fälle unterscheiden sich etwas im Reflexionsvermögen, daher auch im Wert von 6. Im un polarisierten Licht, das meist benutzt wird, superponieren sich zwei in der Schärfe ein wenig verschiedene Streifensysteme. Dagegen verändert sich die Erscheinung wesentlich, wenn man die Polarisationsebene anders orientiert und die Strahlen nach ihrem Austritt aus der Platte durch einen Polarisationsapparat hindurchgehen läßt. Bei bestimmten Stellungen des letzteren treten Verdoppelungen der Maxima auf.²⁴)

Die hier beschriebenen Anordnungen sind zunächst nur für die spektroskopische Untersuchung sichtbaren Lichtes erdacht und angewandt. Eine planparallele Luftplatte von veränderlicher Dicke zur Messung der Wellenlängen der langsamsten optischen Schwingungen beschreiben Rubens und Hollnagel.²⁵)

nung.

Licht getroffen und gibt dabei Anlaß zu einer gebeugten Welle, welche an der versilberten Rückseite des Spiegels reflektiert wird und sodann

15. Die Queteletschen Ringe. Den Planparallelitätsstreifen ähnlich ist eine an bestäubten Glasspiegeln auftretende Interferenzerschei-Jedes Staubteilchen wird nämlich einmal vom einfallenden

von dem Spiegelbild des Staubteilchens an dieser herzurühren scheint; zweitens löst die an der Rückseite gespiegelte Welle an ihm eine abgebeugte Welle aus. Die beiden durch Beugung entstandenen Wellen interferieren im Unendlichen mit der Phasendifferenz

2 vd cos ß

wo d die Dicke der Glasschicht, v ihr Brechungsindex und ß der Winkel ist, den das abgebeugte Licht in der Platte mit ihrer Normalen bildet. Die Richtung des einfallenden Lichtes hat keinen Einfluß auf ô.

Natürlich wirken nicht nur die beiden Wellen in der Erscheinung zusammen, welche soeben genannt wurden, sondern so viele derartige Paare, als Staubteilchen vorhanden sind. Infolgedessen sind die Ringe „granuliert.⁴⁹“) (Vgl. Nr. 21.)

16. Das Michelsonsche Interferometer.⁵⁰) Ein Strahl L (Fig. 5 a) trifft auf eine sehr dünne, halbdurchlässig versilberte Platte P; er wird

Fig. 5 a.

zum Teil gespiegelt, zum Teil hindurchgelassen. Der gespiegelte Strahl trifft senkrecht auf einen Spiegel St) der andere ebenso auf einen Spiegel S₂. Beide Strahlen kehren dann auf den Wegen, auf welchen sie gekommen sind, nach P zurück S2 und erfahren hier wiederum Spiegelung und Brechung. Je ein gespiegelter und gebrochener Strahl überdecken sich jetzt und gehen dabei zu Interferenzerscheinungen Anlaß, von denen man die eine bei F im Fernrohr beobachtet.

Die Interferenzerscheinung ist so, als wäre der eine der interferierenden Strahlen nicht an S₂, sondern an dem Spiegelbilde S2 reflektiert, welches P von S₂ entwirft. Man hat nun zwei Fälle zu unterscheiden.

1.    S₂ ist exakt parallel zu fallen ebene Wellen ein, so sieht man in der Brennebene des Fernrohrs die Streifen gleicher Neigung

an

der Luftschicht zwischen St und S₂' (Nr. 14).

2.    S₂ bildet einen kleinen Winkel mit S1} dann beobachtet man auf S₂ lokalisiert die Streifen gleicher Dicke an der keilförmigen Schicht zwischen S₂ und (Nr. 12). Diese kann natürlich auch ein Doppelkeil sein im Fall, daß die Fläche S₂ den Spiegel St schneidet.

Mehrfach reflektierte Strahlen spielen keine Rolle; die Intensität ist in den Streifen nach dem Sinusgesetz verteilt. Michelson hat seinem Interferometer noch mancherlei andere Formen gegeben, um es dem jeweiligen Zweck anzupassen⁵²); das Prinzip, die Strahlen durch eine planparallele Platte zu trennen und ebenso wieder zu vereinen, ist ihnen allen gemeinsam.

Von den Untersuchungen, welche mit dem Interferometer ausgeführt sind, erwähnen wir hier den Vergleich der Wellenlängen der

49“) K. Exner, Ann. d. Phys. 9 (1880), p. 239.

50)    A. A. Michelson, Phil. Mag. (5) 13 (1882), p. 236.

51)    Tatsächlich ist die Platte von erheblicher Dicke, ihr Einfluß wird aber durch eine Kompensationsplatte aufgehoben.

52)    Ygl. A. A. Michelson, Light waves and their uses, Chicago 1903, deutsch von Iklé, Figur 34.

drei hervorstechendsten Linien im Cadmiumspektrum mit dem Pariser Normalmeter.²⁶ 27) Michelson ermittelte diese Wellenlänge auf das 10“⁷-fache ihres Wertes genau. Ferner sind zwei der Fund am entai versuche für die Optik der bewegten Körper, der sogenannte Michelsonversuch.5i) und die Bestimmung des Fresnelschen Mitführungskoeffizienten²⁸) mit dieser Anordnung durchgeführt. Michelsons spektroskopische Untersuchungen besprechen wir in Nr. 32.

17. Das Gitter. Die Theorie des Gitters und Stufengitters gehört wie die der Queteletschen Ringe (Nr. 15) insofern in die Theorie der Beugung, als die interferierenden Wellen durch Beugung entstehen. Aber wenn auch viele der Eigentümlichkeiten, in denen sich die Gitter individuell unterscheiden, nur beugungstheoretisch zu erklären sind, so ist doch das Wesentliche, allen Gittern Gemeinsame, rein eine Folge der Interferenz sehr vieler gleicher Schwingungen.

Bei einem Gitter sind auf der ebenen Oberfläche einer Glasplatte (man läßt das Licht durch diese hindurchgehen) oder einer gut spiegelnden Metallplatte (man faßt das Licht an ihr reflektieren) eine große Zahl gleicher, paralleler, äquidistanter, gerader Striche eingeritzt. Ihren Abstand, gemessen von einem Punkte des mten bis zu dem entsprechenden Punkte des (m + l)teu Striches, nennt man die Gitterkonstante (A). Sie ist bei guten Gittern von der Größenordnung 10“⁴ cm, während sich die Zahl der Striche bis zu einigen Hunderttausend steigern läßt.

Die Ebene eines Reflexionsgitters wählen wir als #?/-Ebene, die #-Achse senkrecht zu den Strichen, die #-Achse nach außen weisend. Wir beleuchten das Gitter mit einer ebenen Welle

(n < °)-

(44)

e~iHxci₀ + yß₀ + zy₀)

Yon einem am Orte x = nA, y gelegenen Linienelement dy wird nun eine gebeugte Welle ausgehen, welche, wie sie auch beschaffen sein mag, in einer gegen die Gitterdimensionen großen Entfernung r dargestellt werden kann durch²⁹)

(44a)

— ik(r + xa + y[i)

r = B — (xcc -f- yß).

a, ß, y sind dabei die Richtungskosinus des Fahrstrahls r. Die Funktion if) wird von allen geometrischen und physikalischen Eigentümlichkeiten der Gitterstriche sowie von der Fortpflanzungs- und Schwingungsrichtung der einfallenden Welle abhängen. Ist B der Abstand des Aufpunktes P vom Gittermittelpunkt (x = 0, y = 0), so ist in hinreichender Näherung (44 b)

(Vgl. Nr. 36.) Nun dürfen wir unter Vernachlässigung der Randwirkungen alle Elemente dy als gleichberechtigt betrachten. Durch Summation über das ganze Gitter findet man somit als resultierende Schwingung in P

+4-i

(45)

ß)e nR Je

iky^-i - (i₀)

dy^e

imk A(a — or₀)

_P_

Die Integration erstreckt sich über die Länge eines Striches. Die Intensität ist somit nach (39) gegeben durch einen Ausdruck von der Form

(46)

TP ß)

sin² ^TcA{u — cc₀)

sin² A (a — a₀)

Da p sehr groß ist, ist sie nur merklich in der Nähe der Stellen, an welchen

— <x₀) = h% d. h. u

(47)

— «o =

7 *

hÄ

Qi eine ganze Zahl) ist; die Phasendifferenz d zwischen der mten und (m -J- l)ten interferierenden Welle beträgt dann 2hn. Dort liegt „das Spektrum htez Ordnung“. Da a² < (1 — ß²) bleiben muß, können bei guten Gittern, bei denen A nicht viel größer ist als A, nur niedrige Werte von h auftreten. Die Funktion ^(a, ß) in (46) ist wegen des Integrals in (45) nur für ß = ß₀ wesentlich von Null verschieden; man beobachtet deshalb nur an gewissen Punkten der Linie ß = ß₀ in der Brennebene des Beobachtungsfernrohrs Licht, wenn man, wie hier angenommen, eine punktförmige Lichtquelle benutzt. Gewöhnlich verwendet man zwecks bequemerer Beobachtung freilich linienhafte, zu den Gitterstrichen, somit zur y-Achse parallele Lichtquellen (schmale Spalte) und sieht dann im Fernrohr statt jedes der erwähnten Inter-ferenz\punkte eine zum Spalt parallele Linie (vgl. Nr. 19). Die Abhängigkeit der Funktion W von a regelt die HelligkeitsVerteilung über die verschiedenen Spektra.

Die einfallende Welle wird durch einen Kollimator eben gemacht; die im Unendlichen liegenden Spektra beobachtet man in der Brennebene eines Fernrohrs.⁵⁷)

Bei einem ebenen Kreuzgitter, bei welchem das „Elementarparallelogramm“ die Vektoren cq und o₂ zu Seiten hat, haben die „Mittelpunkte“ der Gitterelemente die Koordinaten

(48)

x *= m<xlx+n<xix, y = maly + naiy; m und n ganze Zahlen. An die Stelle von (45) für die resultierende Schwingung tritt der Ausdruck

(49)

i k [x (a - ff₀) + V (ß - ßo)']

wo zur Abkürzung

±*(«,ß)e-its2eUmA‘2e

~ Y Pi

— 4-Pi

i kn Ai

(50)

A = ûi*0 — a₀) + «i y(ß — ßo)

A = Û2*0 — ao) +    ~ ßo)

gesetzt ist. Die Intensität wird infolgedessen statt durch (46) gegeben durch

sin’ ~‘kA,

Ł    u

sin^iilj sins-^-ftu4₂

(51)

sie ist nur für solche Richtungen a, ß merklich, für die die beiden Gleichungen

(52)

TtA₁='2hl7t, kAs— 2h₂it erfüllt sind. Da jede von ihnen die Gleichung eines Kreiskegels mit dem Vektor cq (Komponenten: alx, <qy) oder o₂ (Komponenten: a2x, ü₂ )

57) Durch Benutzung von Konkavgittern, welche auf Kugelflächen eingeritzt sind, erspart man Kollimator und Fernrohr. Prinzipiell unterscheiden sie sich nicht von den ebenen Gittern; ihre Theorie ist entwickelt von H. A. Rowland, Sill. Journ. 26 (1883), p. 87; Phil. Mag. 16 (1883), p. 197, 210; R. H. Glazebrook, Phil. Mag. 15 (1883), p. 414; 16, p. 377; J. S. Atnes, Phil. Mag. 27 (1889), p. 369; W. Baily, Phil. Mag. 15 (1883), p. 183; J. Larmor, Proc. math. Soc. 24 (1893), p. 166 und vor allem C. Runge (veröffentlicht in Kaysera Handbuch der Spektroskopie 1, p. 452 f.).

als Achse ist, liegen die Kreuzgitterspektren auf den Schnittlinien von je zwei solchen Kegeln. Sie erscheinen in der Brennebene des Beobachtungsfernrohres als helle Punkte, welche aber im Gegensatz zum einfachen Gitter nicht mehr an eine bestimmte Linie gebunden sind.

Über die Interferenzerscheinungen an Raumgittern vgl. Abschnitt Y dieses Artikels.

Die ersten Beobachtungen über Gitterspektren stammen von Young™) und Fraunhofer™), denen auch die elementare Theorie bekannt war. Diese Theorie findet sich wieder bei Schwerd, Kirchhoff, Rayleigh.™) Die technische Vervollkommnung, welche das Gitter eine Zeitlang zu dem wichtigsten Instrumente der Spektroskopie machte — auch jetzt nach der Konstruktion der planparallelen Platte und des Stufengitters ist es unentbehrlich —, ist das Lebenswerk Rowlands.³⁰ 31 32 33)

Die Abhängigkeit der Funktion F(cc, ß) von der Form der Gitterstriche ist empirisch schwer zu untersuchen, weil dabei Feinheiten in Betracht kommen, die jenseits der Grenze der mikroskopischen Ab-bildbarkeit liegen.³⁴) Was sich in der älteren Literatur an Theorie darüber findet, vermag nicht recht zu befriedigen, obwohl Rowland³⁵ 36) daraus Schlüsse auf die praktische Erzielung wünschenswerter Hellig-keitsVerteilungen zu ziehen verstand. Über neuere Arbeiten von Rayleigh und Voigt vgl. Nr. 70.

Ist die Gitterkonstante klein gegen die Wellenlänge, so tritt nur das ungebeugte Spektrum nullter Ordnung auf. Für diesen Fall integrieren J. J. Thomson und Lamb³³) die Schwingungsgleichung.

18. Die Stufengitter.³⁷) Das Stufengitter besteht aus einer Anzahl plan parallel er, gleich dicker, treppenförmig aufeinander gelegter

Glasplatten (Fig. 6). Ihm liegt die Absicht zugrunde, ein Gitter zu schaffen, bei welchem der Gangunterschied zwischen aufeinanderfolgenden Wellen dadurch wesentlich vergrößert ist? daß die eine die Plattendicke D (meist zwischen und 1 cm) in Glas, die andere in Luft zurücklegt. Zugleich wird freilich die Stufenbreite A, welche an die Stelle der Gitterkonstanten tritt, dem Gitter gegenüber wesentlich vergrößert, nämlich auf etwa 10“¹ cm und die Zahl der Wellen sehr herabgesetzt, auf höchstens 30 bis 40. Das Licht fällt entweder wie in der Figur angedeutet oder in der umgekehrten Richtung auf; in beiden Fällen ist die Interferenzerscheinung dieselbe.

2i

Fig. 6.

In dem ersten dieser Fälle ist die einfallende Welle nach ihrem

Eindringen ins Glas (Brechungsindex v) gegeben durch

— ik₀(x a₀ + yß₀+zy₀)

(Jc₀ = vlc).

Eine ähnliche Überlegung wie in Nr. 17 führt für die Lichtschwingung in einem weit entfernten Punkt zu dem Ausdruck:

(53)

ß)e >kR^?e o

imk[A{a-va₀) + D{y- vy₀)]

deren Intensität deshalb (vgl. (39)) gleich

^2 ß) !

(54)

8in»{^pÆ[A(g — vcc₀) 4- l){y—vy₀)\}

sin² { \lc[A{a — vcc₀) -f D(y — vy₀)] }

ist. Die Interferenz-Maxima liegen an den Orten, an welchen A[a — va₀) -|- D(y — vy₀) — hl

ist. Da 1 ist und y, y₀ nicht wesentlich kleiner als 1 sind, muß hier h eine große Zahl sein (10⁵)- Tritt das Licht nahezu senkrecht in die Basis des Stufengitters ein, so kann man y und y₀ beide gleich 1 setzen. Der Winkelabstand des hten vom h -f- lten Streifen ist dann durch

(55)

ah +1    -

bestimmt.

Die Funktion (ih(a, ß))² ist nur für ß — vß₀ merklich von Null verschieden; ihre Abhängigkeit von a wird (vgl. Nr. 37a, dort ist aber 2 A die Spaltbreite) gut durch die Funktion

(56)

sin²(^&A(cc — j/a₀))

(ĄTcA{a — r«₀))²

dargestellt, welche vom Wert 1 (für a — vcc₀) rasch auf Null (für

cc — v«odl 2) abfällt und außerhalb dieses Intervalls nur verhältnismäßig kleine Werte annimmt. In der Breite

dieses Intervalls haben

nach (55) höchstens 2 Interferenzstreifen Platz; mehr sind nur bei großer Lichtstärke der Erscheinung auf einmal sichtbar.

Ersetzt man den lAchipunM durch eine zur y- Achse parallele

Licht linie, so wird wie beim Gitter die Intensität von ß unabhängig

(vgl. Nr. 19).

Hat das Stufengitter nur zwei Stufen, d. h. besteht es aus einem zur Hälfte mit einer Glasplatte bedeckten Spalt, so findet man aus (54) und (56) für die Intensität

(57)

«0 — — !)]}

QkA{ct — a,))*

cos²{-^-ft[A-(a

wo a₁ = vcc₀, ß₁= vß₀ die Richtung des einfallenden Strahles vor dem Eintritt in das Glas des Stufengitters angeben.

19. Die Ausdehnung der Lichtquelle. Bisher setzten wir stets eine einzelne primäre Welle als Ursache für die Entstehung der verschiedenen interferierenden Schwingungen voraus. In praxi ist die Lichtwelle stets räumlich ausgedehnt, und von allen Punkten ihrer Oberfläche treten Wellen aus, welche untereinander nicht kohärent sind (vgl. Nr. 30); d. h. die Intensitäten, welche sie hervorrufen, addieren sich. Bei den meisten Interferenzversuchen ist nun die Lage der Maxim a bei gegebener Schwingungszahl nicht nur durch den Interferenzapparat, sondern auch durch die Richtung der einfallenden Welle bestimmt; man sieht dies z. B. an dem Auftreten von a₀ in den Ausdrücken (46) und (54). Infolgedessen wandern die Streifen gegen den Apparat, wenn man die Lichtquelle verschiebt. Und beim gleichzeitigen Auftreten vieler punktförmiger Lichtquellen überlagern sich viele Systeme von Interferenzmaxima, welche sich gegenseitig verwischen und so selbst alle Helligkeitsunterschiede aufheben können.³⁸) Meist ist allerdings nur die Ausdehnung der Lichtquelle in einer Richtung schädlich; beim Fresnelschen Spiegel, Gitter und Stufengitter benutzt man deswegen als Lichtquelle einen Spalt, dessen Länge auf die Deutlichkeit keinen Einfluß hat, während die Spaltbreite dafür immer von Schaden ist. Die Streifen gleicher Neigung an planparallelen Platten genießen den Vorzug, von diesem Einfluß ganz frei zu sein. Die Lage ihrer, durch d = 2hjt gekennzeichneten Maxima ist nach Gleichung (43) allein durch X₀₎ v, d, e, also durch Konstante des Apparates und die Wellenlänge bestimmt. Hier vermehrt die Vergrößerung der Lichtquelle allein den für ß zur Verfügung stehenden Bereich, also die Zahl der gleichzeitig sichtbaren Maxima, ohne das Aussehen des einzelnen zu ändern. Bei den Streifen gleicher Dicke hingegen bedingen die Ausdehnung der Lichtquelle und die der Eintrittspupille des Beohachtungsinstruments (Auge) eine Verminderung der Sichtbarkeit, welche sie bei hohen Gangunterschieden völlig verschwinden läßt.³⁹)

20. Die Gitterfehler. Bisher nahmen wir die Phasendifferenz d zweier aufeinanderfolgenden Wellen als unveränderlich an. Bei allen Interferenzapparaten, bei welchen eine größere Zahl von Wellen mitwirkt, kommen aber Konstruktionsfehler vor, welche eine Variation von d bedingen. Die hierdurch hervorgerufenen Komplikationen an den Interferenzstreifen, welche zuerst am Gitter beobachtet wurden, behandelt die Theorie der Gitterfehler.⁴⁰)

Weicht z. B. bei der ersten, (q -j- l)ten, usw., ({p — 1 )q-\- l)ten von pq gleichstarken Schwingungen die Phasendifferenz um den kleinen Betrag s von dem normalen Wert d ab, so tritt an die Stelle der Reihe (35)

p-i

p-\

gi ngimqä 0

i lnt -|-é '

P j~qó) sini PjJ_ (

sin ■§■ qd l

is — Y + e

2 1 J sini_2 <5 )

sin ^ § )

Der absolute Wert dieses Ausdrucks ist in der gleichen, £³ usw. vernachlässigenden Näherung:

sin² \ pq d

sin²\pqS sin\{q—l)«?

sin² 4 d

sin ^qd

+-**{

sin² \ pqd

sin² 4 qS

sin² i pqS cos%(q —1)0

sin ^qg

I-

Der erste Summand gibt die normalen Streifen mit der Maximalintensität p²q²] in dem zweiten ist der Faktor von £ stets klein gegen p²\

im dritten dagegen wird der Bruch sin² (\pqd) : sin² (|-#d) für 2h .

d = — n gleich p², während der zweite Bruch überall dagegen klein ist. Eine neben den normalen Streifen beträchtliche Intensität ergibt so-

26

sin®\pqö sin²^ qS

mit nur der Term s²

, welcher neue, den Abstand der nor-

malen Maxima g-fach unterteilende, scharfe Streifen anzeigt.

O^¹)

Berechnen sich die Phasen der interferierenden Schwingungen, statt ganze Vielfache von ô zu sein, nach dem Gesetz md -j- s sin ma, so ist die resultierende Schwingung

p-i

e sin m a)

gi(md +

0

Nun ist aber, wenn Jn(z) die Hessel sehe Funktion ntCT Ordnung bezeichnet,

gissinwi« _ JQ(i) -j- 2{e7₂(g) cos 2ma -f- J₄(f) cos 4ma + • • •}

-|- 2i{J₁{s) sin ma -f- sin 3ma + •••}. Vernachlässigt man hei der Bildung des absoluten Wertes alle Glieder, welche Faktoren von der Form

sin y (d + qa) sin y (d +pcc) sin£(d + qcc) sin \ (d -f pa) enthalten, so findet man dafür den Näherungswert:

sin² y d

Jo²(£) Biną$ + Ji\£)

+ ^²(*)

( sin² y G -f“ cc) sin²^|-(d — a)| i sin² -f- a) sin²-^(d— a) i |sin²y (d-f-2a) sin²y(d—2a)| 1 sin² ^ (d -f- 2 cc) sin² (d — 2 a) )

: 1.

Der erste Summand gibt das normale Maximum für ö = 2 h 7t, nur in der Intensität herabgesetzt im Verhältnis J₀²(V) : 1 = ^1 —y^

Der zweite, hei kleinem s zu e² proportionale Term gibt zwei gleich scharfe Maxima für d — 2h 7t + a, der dritte zu £⁴ proportionale zwei ebensolche für d — 2hit + 2a usw. Der normale Interferenzstreifen ist somit begleitet von einer Reihe schwächer und schwächer werdender „Geister“.

Derartige durch Fehler hervorgerufene Interferenzmaxima haben oft hei der Untersuchung von Spektrallinien zu Irrtümern über deren Struktur Anlaß gegeben. Ein experimentelles Mittel, sie als „Geister“ zu erkennen, gibt die Methode der gekreuzten Spektra (Interferenz-punkte'), bei welcher sich zwei Apparate gleicher Art gegenseitig kontrollieren.⁶⁹)

69) E. Gehrcke, Verh. d. deutsch. Phys. Ges. 7 (1905), p. 236; E. Gehrcke und 0. v. Baeyer, Ann. d. Phys. 20 (1906), p. 269.

21. Interferenz vieler gleichgerichteter Schwingungen mit unregelmäßig verteilten Phasen. Wir setzen voraus, daß die Phasen in unbekannter Weise, aber gänzlich unregelmäßig verteilt sind. Wäre die Zahljp der Schwingungen klein, etwa nur zwei, so sieht man unmittelbar, daß keine bestimmte Intensität der resultierenden Schwingung zu erwarten ist, sondern daß vielmehr innerhalb gewisser Grenzen alle Intensitäten Vorkommen können. Nur die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Intensität läßt sich angeben. Ist p hingegen groß, so findet man selbst in sonst vortrefflichen Darstellungen die Behauptung, daß die resultierende Intensität notwendig das jp-fache der Intensität der einzelnen Schwingungen ist. Daß dies nicht zutrifft, haben Exner™) und Rayleigh¹¹) bemerkt.

WTir stellen die p Schwingungen dar als Vektoren mit gemeinsamem Ausgangspunkt und gleicher Länge p in der #?/-Ebene (vgl. Nr. 11). Die Wahrscheinlichkeit, daß der Endpunkt der Vektorsumme in einem Bereiche dxdy liegt, sei f\x, y, p)dxdy. Wir fügen noch eine Schwingung hinzu. Jener Endpunkt gelangt dabei in den genannten Bereich, wenn der hinzukommende Vektor die Richtung ff

hat

^Wahrscheinlichkeit dieses Falles:    und der Endpunkt vorher

in einem Bereiche von gleicher Größe lag, dessen Koordinaten x — p cos ff, y — p sin ff

sind (Wahrscheinlichkeit dafür: fix—p cos ff, y— p sin ff; p)dxdy). Die Wahrscheinlichkeit, daß er nach der Hinzufügung bei xy liegt, ist somit

2 n

— p cos    y — p sin ff; p).

(58) fix, y,p-f 1 )dxdy = j dftf{x

o

Ist p groß, so kann man setzen:

(59)

fix, r,p +1) = fix, y, p) + V- ■

Entwickelt man rechts nach steigenden Potenzen von p bis zu Gliedern mit p², so kann man die Integration ausführen und findet

(60)

£l /av ,

4 “r dyV

Die Lösung dieser Differentialgleichung, welche nur von x² -f- y² ab-

70)    K. Exner, Sitzgsber. d. Wien. Akad. 76 (1877), p. 522; Wied. Ann. 4 (1877), p. 525; Wied. Ann. 9 (1880), p. 239, bes. p. 257.

71)    Lord Rayleigh, Pap. III, p. 52; Theory of sound, London 1894, Band I,

§ 42 a.

26*

und schließlich f für p — 0 und von Null verschiedene x, y zu Null macht, ist

¹

   Christian Huyghens, Traité de la lumière, Leiden 1690. Deutsch von E. Lommel (Ostwalds Klassiker Nr. 20, Leipzig 1890), vgl. Nr. 38.

²

   Thomas Young, Phil. Trans. 1802, p. 34; Lectures on Natural Philosophy 2 (1807), p. 624; Ann. Phys. Chem. 39 (1811), p 184.

³

A. Fresnel, Oeuvres I, p. 385—799, Paris 1866; François Arago, Oeuvres 10, Paris-Leipzig 1858, p. 132, vgl. A. Wangerin, Enc. Y 21, Nr. 6.

⁴

G. B. Airy, Pogg. Ann. 41 (1837), p. 512; Undulatory Theory of Optics, London 1877, p. 53f.; 0. Lummer, Berlin Ber. 1900, p. 504.

⁵

   Die Literatur über Interferenzerscheinungen und die Apparate zu ihrer Beobachtung ist ungeheuer umfangreich. Wir berücksichtigen im folgenden nur die allerwichtigsten Fälle.

⁶

   Jsaak Newton, Optices, Lib. I, Partes I et II, Londini 1704.

⁷

   Th. Young, Phil. Trans. 1802, p. 37 ; Lectures on Nat. Philos. 2 (1807), p. 626; Ann. Phys. Chem. 39 (1811), p. 189.

⁸

   Die Berücksichtigung der in der Platte mehrfach reflektierten Strahlen

⁹

   1. c. p. 330.

¹⁰

   H. Lloyd, Ann. Phys. Chem. 45 (1838), p. 95.

¹¹

   Billet, Ann. d. chimie et phys. 64 (1862), p. 385. Ferner F. F Martens, Verh. d. deutsch, phys Ges. 4 (1902), p. 43.

¹²

   Beim kleinem ist es völlig gleichgültig, ob man (£², oder | © | als Intensität betrachtet.

¹³

   H. F. Weber, Wied. Ann. 8 (1878), p. 407.

¹⁴

   H. Struve, Fresnels Interferenzerscheinungen, Dorpat 1881; Ann. Phys. Chem. 15 (1882), p. 49.

¹⁵

   A. jRighi, Journ. de phys. (2) 2 (1883), p. 437.

¹⁶

   Ch. Fabry und A. Pérot, Ann. de chim. et de phys. (7) 12 (1897), p. 459; 16 (1899), p. 115.

¹⁷

   0. Lummer und E. Gehrcke, Berlin Ber. 1902, p. 11; Ann. d. Phys. 10 (1903), p. 457.

¹⁸

   Eine andersartige Behandlung der Spiegelung und Brechung an planparallelen Platten findet sich bei W. Voigt, Komp, der theoret. Physik, Leipzig 1896, Band 2, p. 643 f.

¹⁹

   B. Boulouch, Journ. d. phys. 2 (1893), p. 316.

²⁰

   Enc. V 22. Nr. 10.

²¹

   M. Laue, Diss. Berlin 1903, Zeitschr. Math. Phys. 50 (1904), p. 280.

²²

   O. v. Baeyer, Verh. d. deutsch, phys. Gesell. 7 (1909), p. 118.

²³

   0. Lummer und E. Gehrcke, Yerh. d. deutsch. Phys. Ges. 4 (1902), p. 337.

²⁴

   0. Lummer, Ann. d. Phys. (4) 22 (1907), p. 49; H. Schulz, Ann. d. Phys. (4) 26 (1908), p. 139.

²⁵

   H. Rubens und H Hollnagel, Berlin Ber. 1910, p. 26, vgl. auch Anm. 9.

²⁶

   A. A. Michelson, Travaux et mémoires du bureau international des poids et mesures 11 (1895).

²⁷

   A. A. Michelson, Sill. Journ. 22 (1881) p. 120; H. A. Lorentz, Arcb. Néerl. 1887, p. 103; Ges. Abh. 1, p. 341; A. A. Michelson und E. W. Morley, Sill. Journ. 34 (1887), p. 333; JE. W. Morley und D. C. Miller, Phil. Mag. 8 (1904), p. 753; 9 (1905), p. 680; J. Lüroth, Ber. d. Bayer. Akad. d. Wiss 7 (1909); vgl. Ref. von P. JDébye, Beibl. d. Ann. d. Phys. 33 (1909); E.Kohl, Ann. d. Phys. 28 (1909), p. 259 u. 662; M. Laue, Ebd. 33 (1910), p. 186.

²⁸

   A. A. Michelson and E. W. Morley, Amer. Journ. of science 31 (1886), p. 377, vgl. Enc. Y 14, Nr. 60 und 62.

²⁹

Jede Lösung von Aw-f Pm = 0 läßt sich im Unendlichen so annähern, falls sie ««^laufende Wellen darstellt. Ygl. H.v. Helmholtz, Abh. I, p. 331.

³⁰

   Thomas Young, Phil. Trans. London R. Soc. 1882, Ann. d. Phys. (Gilbert) 39 (1811), p. 156.

³¹

   Joseph Fraunhofer, Denkschriften der Akad. d. Wiss. München 8 (1821 —1822), p. 1. Gilberts Ann. Phys. Chem. 74 (1823), p. 337.

³²

   F. M. Schwerd, Die Beugungserscheinungen, Mannheim 1835; G. Kirchhoff, Vorlesungen über math. Optik, Leipzig 1891, p. 98; Lord Rayleigh, Phil. Mag. 47 (1874), p. 81, 193; Pap. I, p. 199.

³³

   H. A. Rowland, Phil. Mag. 13 (1882), p. 469.

³⁴

   Vgl. z. B. Lord Rayleigh, Phil. Mag. (6) 14 (1907), p. 60; Pap. V, p. 405;

J. A. Anderson und C. M. Sparrow, Astr. phys. Journ. 33 (1911), p. 338.

³⁵

   H. A. Rowland, Phil. Mag. 35 (1893), p. 397; Phys. Papers, p. 525, Baltimore 1903; A. Crowhridge und R. W. Wood, Phil. Mag. 20 (1910), p. 886.

³⁶

   J. J. Thomson, Rercent Researches, § 339. Oxford 1893; H.Lamh, Proc. London math. Soc. 29 (1898), p. 523. Lehrbuch der Hydrodynamik, deutsch von J. Friedei, Leipzig und Berlin 1907, § 300 und 301.

³⁷

   A. A. Michelson, Astrophysical Journ. 8 (1898), p. 36; Journ. d. phys. 8 (1899), p. 305.

³⁸

Lord Bayleigh, Phil. Mag. 28 (1889), p. 77 u. 189, Papers III, p. 289; J. Walker, Phil. Mag. 46 (1898), p. 472; A. A. Michelson, Phil. Mag. 30 (1890), p. 1; 31 (1891) p. 256.

³⁹

   0. Lummer, Ann. Phys. Chem. 28 (1884), p. 76.

⁴⁰

   H. A. Bowland, Phil. Mag. 35 (1893), p. 397 ; A. A. Michelson, Astrophys. Journ. 18 (1903), p. 278; Lord Rayleigh, Pap. III, p. 113.

Encyklop. d. math. Wissenscl). V 3.

X¹ + y²

pq'¹

hängt, außerdem

+ oo +oo

(61j

j dx■fdyf(x,y, p) = 1

— oo

— 00

(62)

Die Wahrscheinlichkeit, WdJ, daß die Intensität J = x² + y² in dem Bereiche zwischen J und J + dJ liegt, ist somit

(63)

WdJ=~e redJ.

PQ*

Die Behauptung, daß bei wachsendem p ein bestimmter Wert von J immer wahrscheinlicher würde, ist somit falsch. Wohl aber gibt pg2 die Größenordnung an, innerhalb deren die Intensität zumeist liegt. Nimmt man aus vielen derartigen voneinander unabhängigen Fällen das Mittel der resultierenden Intensität, so wird dies

(64)

WdJ = pQ\

Eine solche Interferenzerscheinung tritt auf bei der Beugung ebener Wellen an vielen gleichen unregelmäßig über eine Fläche verteilten Teilchen. Ähnlich wie in Nr. 17 wird die resultierende Schwingung im Unendlichen dargestellt durch

(65)

îjr(a, ß'j g— ikli    * {xm (a - «o) + Vm V ~

bei radialer Verschiebung dafür einen

man

wo die Koordinaten xm, ym der Teilchen völlig regellos verteilt sind. Der Faktor *P*(a, ß) bestimmt die Beugungsfigur des einzelnen Teilchens; die Summe lehrt, daß die Intensität in einem bestimmten Punkt a, ß noch im hohen Maß vom Zufall abhängt. In der Tat teilt Exner mit, daß man die Figuren von hellen und dunklen Fasern durchsetzt (granuliert) sieht; diese Fasern sind durchweg radial gerichtet, denn denkt man sich den Aufpunkt einmal radial, das andere Mal tangentiell im Beugungsbild verschoben und berechnet man nach (65) die entsprechenden Differentialquotienten der Wurzel aus der Intensität J, so findet kleineren Wert, als bei tangentieller; und dieser Unterschied verstärkt sich noch, wenn man zu den höheren Differentialquotienten übergeht. Entwickelt man also j/j von einem beliebigen Punkt ausgehend nach steigenden Potenzen des Abstandes vom Ausgangspunkt, so werden

die Koeffizienten der Reihe im allgemeinen größer für den Fall einer tangentiellen, als einer radialen Verrückung. In tangentieller Richtung ändert sich also ]/j und damit auch J selbst im allgemeinen schneller.¹“) Doch können, wie a. a. 0. näher ausgeführt, experimentelle Umstände, wie zu große Winkelausdehnung der Lichtquelle oder zu großer Abstand der beugenden Teilchen vom Beobachtungsfernrohr die radiale Faserung aufheben. Auch dürfen sich die Teilchen nicht bewegen, da sonst die Faserung sich sehr schnell ändert und nur der Mittelwert J zur Beobachtung gelangt.²)

Haben die Schwingungen verschiedene Amplituden pw, so tritt an Stelle von pg² die Summe ^Sofn.

ta a

; Wiener läßt nämlich eine

22. Wieners Versuch. Stehende Wellen.³) Bei den bisher betrachteten Interferenzerscheinungen kreuzen sich die interferierenden Wellen unter dem Winkel 0 oder sehr kleinem Winkel, so daß wenigstens angenähert sowohl ihre elektrischen als auch die magnetischen Schwingungen in ihren Richtungen übereinstimmen. Bei Wieners Versuch ist hingegen jener Winkel gleich ebene Welle unter dem Einfallswinkel ~ an einer ebenen Metallfläche

4

spiegeln.⁴) Liegt in dieser Welle @ in der Einfallsebene, so gilt dies auch für die reflektierte. Beide elektrische Vektoren stehen aufeinander senkrecht, interferieren somit nach Nr. 10 nicht. Dagegen sind die magnetischen von gleicher Richtung und interferieren miteinander. Liegt umgekehrt § in der Einfallsebene, so erfolgt die Interferenz nur bei den elektrischen Feldstärken.

Wiener läßt diese Interferenz in einer photographischen Gelatineschicht vor sich gehen. Sind die Wellen senkrecht zur Einfallsebene polarisiert⁴“), so zeigt diese nach der Entwicklung gleichmäßige Schwärzung; im anderen Fall dagegen periodische Schwärzung in zueinander parallelen Schichten. Somit ist der senkrecht zur Polarisationsebene schwingende Vektor der photochemisch wirksame. Ferner liegt im zweiten Fall an der Spiegelfläche ein Minimum der Schwärzung; hier hat also derselbe Vektor ein Interferenzminimum. Nach der Theorie der Reflexion kann dies nur für @ der Fall sein. Folglich schwingt in der Polarisationsebene die magnetische Feldstärke, senkrecht dazu die elektrische. Die photochemisch gemessene Lichtintensität ist durch (£² bestimmt (vgl. Nr. 7).

Bei senkrechter Inzidenz einer ebenen Welle entstehen durch Interferenz mit der reflektierten stehende Wellen, bei welchen sowohl @² als periodisch wechselt. Die Maxima von (5² liegen in denselben Ebenen wie die Minima von §². Auch diese Interferenz läßt sich photographisch nachweisen. Der periodische Wechsel in der Dichte der belichteten Körner in der photographischen Schicht gibt zu Interferenzerscheinungen (Kurven gleicher Neigung) Anlaß, welche der Lippmann sehen⁵) Farbenphotographie zugrunde liegen. Sie dienen dort zur Aussonderung derjenigen Lichtart aus weißem Licht, welche die stehenden Wellen hervorbrachte.

Die Theorie dieser Erscheinung wird dadurch erschwert, daß die Körner Abmessungen wenig kleiner als die Wellenlänge haben⁶), auch werden die Verhältnisse bei der Reproduktion von Mischfarben verwickelt.⁷)

23. Interferenz elektrischer Wellen. Alle beschriebenen Interferenzversuche lassen sich auch mit den langen elektrischen Wellen herstellen, welche zuerst H. Hertz durch die Schwingungen von Resonatoren erregte und untersuchte. Die Herstellung stehender Wellen besonders ist der schlagendste unter den Beweisen, welche Hertz für die Ausbreitung der elektrischen Schwingungen mit Lichtgeschwindigkeit gab.⁸ 9) Später haben Boltzmann, Righi, Sarasin und de la Rive¹⁹) u. a. Interferenzversuche angestellt. Man erreicht aber bei ihnen nicht annähernd den Grad von Genauigkeit wie bei optischen Beobachtungen.

Dies liegt vor allem daran, daß die bisher gemachte Voraussetzung von zeitlich unbegrenzten Sinusschwingungen dabei recht schlecht erfüllt war. Durch neuere Anordnungen (Poulsenlampe, Löschfunken) läßt sich diese Schwierigkeit umgehen.79aj

III. Die Superposition von Sinusschwingungen verschiedener Frequenz; Spektrum, Beziehungen zur Thermodynamik.

24. Lichtscbwebungen. Von Grund aus verschieden, von den Interferenzen gleich schneller Schwingungen sind die zwischen Schwingungen von verschiedener Frequenz. Überlagern sich etwa zwei gleichgerichtete Schwingungen ei(nit+cPl) und e*(*»*+'*’»), so resultiert

(66)

g* («i t+<p,) _|_ g« (n₂1 + f/ij)

= 2 cos — w₂)ż + (*Pi — <P₃)]e Ist nx — n₂ von der gleichen Größenordnung wie nx und n₂, so ist die Intensität als zeitliches Mittel des absoluten Wertes dieses Ausdrucks gleich

t(»i + %)< + (rpi + <Pi)]

4 cos² £ [(nx — n₂) t -f (cpx — <p₂)] = 2, d. h. gleich der Summe der Intensitäten der einzelnen Schwingung. Schwingungen von wesentlich verschiedener Frequenz interferieren nicht. Ist hingegen nx— n₂ so klein, daß 2n : (nx— n₂) eine mit der Dauer der Intensitätsmessung vergleichbare oder gar dagegen große Zeit ist, so ist die Intensität gleich 4 cos² \(nx — n₂)t -f- (jpx — <p₂)], also mit der Zeit veränderlich (Schwebung).

Fällt einë linear polarisierte Welle von der Frequenz n auf ein mit der Geschwindigkeit co rotierendes Æcolsches Prisma, so ist sie hinterher dargestellt durch:

(&x = cos (coT)einT =

@ = sin (coT)e

inT _

[~gt (n — w)T_ gt (» + co) Tj

Man kann dies auffassen⁸⁰) als eine Superposition zweier entgegengesetzt zirkularer Wellen von den Frequenzen n — œ und n -(- co. Trennt man diese durch kristalloptische Hilfsmittel in ihrer Richtung, macht sie linearpolarisiert und läßt sie sich schließlich unter einem kleinen Winkel durchkreuzen (wie am Schluß von Nr. 13 beschrieben), so beobachtet man Interferenzstreifen, die sich in der Zeit 2n : co um zwei Streifenbreiten verschieben, so daß an einem festen Punkt die

79a) N. Stschodro, Ann. Phys. 27 (1908), p. 225. 80) JE. Verdet, Oeuvres VI, p. 88.

Intensität wie cos² œ t schwankt.⁵¹) Überhaupt werden sich die Streifen bei allen Anordnungen, bei denen ihre Lage von der Stellung eines Polarisationsapparates abhängt, bewegen, sobald man diesen dreht; stets kann dies als Lichtschwebung gedeutet werden.⁸²)

ten

25. Das Auflösungsvermögen. Als Spektralapparat läßt sich jede Anordnung verwenden, bei welcher eine Sinusschwingung eine Helligkeitsverteilung mit scharfen Maxima liefert, deren Lage Funktion der Frequenz ist; von den besprochenen Interferenzapparaten die planparallele Platte, das Gitter und das Stufengitter (Nr. 14, 16, 17). Den numerischen Wert des Auflösungsvermögens findet man nach Bayleigh8z), indem man die Differenz zwischen den Frequenzen nx und n₂ zweier mit dem Auge im Spektralapparat noch gerade unterscheidbare Sinusschwingungen berechnet. Diese Grenze der Unterscheidbarkeit ist bei gleichstarken Schwingungen erfahrungsgemäß ungefähr erreicht, wenn die Helligkeitsverteilung der einen ihr Maximum an derselben Stelle hat, an welcher in der Helligkeits Verteilung der anderen eine der dem entsprechenden Maximum benachbarten Nullstellen liegt. Ist bei einem auf der Interferenz von p gleichen Strahlen beruhenden Spektralapparat l der Gangunterschied zwischen dem mten und (m-j-1) Strahl zurückgelegt in einem Medium vom Brechungsindex v(n), ihr

Phasenunterschied somit â

lnv(n) ;g|. ₍]as ^te Interferenzmaximum c ’

für die Frequenz nx durch die Bedingung

(67)

lnx v(nx) = 2hxc

bestimmt. Soll für denselben Wert von l die Frequenz w₂ eins der genannten Minima ergeben, so muß nach (39 a) (68) pln₂v(n₂) = pl [nxv(nx) -f (n₃ — nx) (^p)J = 2(j?h ± l)xc

sein. Als Wert des Auflösungsvermögens wird definiert nx : jw₂ — nx |; man findet aus (67) und (68) dafür

(69)

\ni — ni

y —j_ fl

dn

Ist ~ — 0, so ist dies gleich ph; andernfalls ist dieser Wert noch

81)    A. Light, Journ. de phys. (2) 2 (1888), p. 437, beschreibt eine ganze Reihe von Versuchsanordnungen, welche alle diesem Zweck dienen.

82)    S. PoJcrowski, Phys. Zeitschr. 12 (1911), p. 1115.

83)    Lord Bayleigh, Phil. Mag. 47 (1874), p. 81 und 133; Pap. I, p. 216 und 424; Phil. Mag. 8 (1879), p. 261, 403, 477; 9 (1880), p. 40; Pap. I, p. 415.

Diese Betrachtung gilt nach dem Schlußabsatz von Nr. 11 fast ebenso, wenn die Amplituden der interferierenden Strahlen Glieder einer langsam abnehmenden geometrischen Reihe bilden. Von den in Abschnitt II besprochenen Interferenzapparaten erreichen zurzeit das höchste Auflösungsvermögen die planparallele Platte (bis zum Wert 6,4.10⁵) und das Stufengitter (bis zu 4,2.10³).¹⁰) Trotz des viel größeren Wertes der Zahl p der interferierenden Schwingungen steht ihnen das Gitter nach (obere Grenze wohl 2.10⁵), weil die Ordnungszahl h nur klein ist.

mit dem Verhältnis der Phasen zur Gruppengeschwindigkeit zu multiplizieren (vgl. Nr. 6). Es hängt eng damit zusammen, daß die zugleich mit dem Auflösungsvermögen wachsende Abklingungszeit des Spektralapparates durch die Gruppengeschwindigkeit bestimmt ist (vgl. Nr. 26).

Diese Betrachtung läßt sich im wesentlichen auch auf das Prisma anwenden; sein Auflösungsvermögen ist nach Rayleigh¹¹) (vgl. Nr. 42)

Dn* /dv\

2 tic \dn) }

ni

I — «i !

wo D die Basisdicke des Prismas oder, bei einem Prismensatz, die Summe der Basisdicken bedeutet. Ein einzelnes Prisma erreicht das Auflösungsvermögen eines guten Gitters nie, ein Prismensatz nur selten.

26. Inhomogene Strahlung. Wir haben bisher alle Interferenzerscheinungen für eine einzige, nach Schwingungszahl und Richtung mathematisch genau definierte Sinuswelle diskutiert. Dies ist aber ein im Gebiete der Optik niemals verwirklichter idealer Grenzfall; und darin liegt deren wesentlicher Unterschied gegen die Herrschen Wellen, der auch dann bestehen bleibt, wenn die Lücke in der Stufenleiter der Schwingungszahlen überbrückt werden sollte, die jetzt noch die beiden Gebiete trennt. In der Optik haben wir vielmehr immer mit Wellenscharen zu tun, deren Richtungen einen gewissen räumlichen Winkel bilden. In dem Maße, wie man ihn einengt, verliert die Schar an Energie und wird schließlich physikalisch unwirksam. Eine mathematische Theorie, welche diese Inhomogenität der Richtungen befriedigend berücksichtigte, existiert bisher noch nicht, obwohl sie eigentlich für alle Probleme der Strahlungstheorie gebraucht wird; die Art, wie man dort von einer Welle zum Strahlenbündel übergeht, enthält viel Willkür. Hand in Hand damit geht nun die spektrale Inhomogenität; stets sind alle Schwingungszahlen eines Bereiches A» gleichzeitig in der Strahlung vorhanden. Zwar kann seine Breite klein

sein; bei schmalen Spektrallinien¹²) beträgt sie etwa 10~⁶, und da man diese Linien noch spektral auflösen kann, so bestände die Möglichkeit, noch Teile aus ihnen zu isolieren. Aber verschwinden kann dieser Bereich nie, ohne daß mit ihm die Energie Null wird. Wäre /\ ^ t

selbst — = 10~⁸, so läge An immer noch über 10⁴sec⁻¹, so einfache Schwebungserscheinungen wie in Nr. 24 betrachtet, treten schon aus diesem Grunde nicht auf.

27. Natürliche Strahlung.¹³) Eine mathematisch zulässige Darstellung spektral inhomogener Schwingungen ist die Darstellung durch Fourier sehe Reihen oder Fourier sehe Integrale.¹⁴) Die erstere gilt für ein endliches, aber beliebig groß zu wählendes Zeitintervall, die zweite könnte für alle Zeiten gelten, doch ist die Ausdehnung über gewisse Grenzen hinaus zwecklos. Beide Darstellungen hängen somit von der Wahl des Zeitabschnittes ab, woraus hervorgeht, daß den Sinusschwingungen, in welchen sie die gegebene Schwingung auflösen, keine unmittelbare physikalische Bedeutung zukommt.

Wir stellen durch

(70)

f(i) =J'dnCn cos (nt —

die Schwingung dar und berechnen ihre Intensität J als den Mittelwert f²(t), gebildet über eine Zeit t:

t + r

00 00

.(71)

J —    J* dtJ^J dndri CnCn, cos (nt — &n) cos (nt — tl,,,)

t 0 0

sin    tj cos    —

00 00

kfj dndriCnCn,

sin

n'4- n

-r- T

Die Zeit r wählen wir möglichst kurz, doch immer noch optisch

lang (vgl. Nr. 7). Dann bleibt (n -}- n)x von derselben Größenordnung wie nx, also sehr groß. J wäre daher von x abhängig, wenn nicht der zweite Bruch ohne merklichen Einfluß wäre. Ebensowenig Einfluß dürfen aber im ersten Bruch solche Wertepaare n, n haben, für welche (■n—n)x keine kleine Zahl ist. Wir nehmen also an, daß wir das Glied mit (n n)x im Nenner streichen und

. ln—n \ S1D \ 2 /

ln — n \

V 2 T)

= 1 also auch cos

setzen dürfen. Berücksichtigen wir dies und setzen wir noch n— n — m, so finden wir die Gleichung

(72)

J=

wenn

(73)

ist.

y ffdn dri Cn Gn, cos ((»' —n)t — (flB, — AJ) j*dm(Am sin mt Bm cos mt),

Am=%J dnC

\J*dnC

Sm =

-K),

Cn C0S (fln + m — K),

Cn sin (fl

Die hier eingeführten Vernachlässigungen wären nicht berechtigt, wenn nicht die Phase flM eine schnell und unregelmäßig veränderliche Funktion von n wäre. Diese Veränderlichkeit bewirkt nämlich, daß der im zweiten Bruch von (71) auftretende Cosinus schnell und unregelmäßig zwischen -f⁻ 1 und — 1 hin- und herschwenkt, und daß sich im Integral diese bald positiven, bald negativen Beträge fortheben.

Dasselbe gilt für den im ersten Bruch auftretenden Cosinus, solange n — n groß ist; erst wenn n — n = m sehr klein ist, wird auch die Phasendifferenz fl

ra + m

schiedene Werte annehmen können.

— fln so klein, daß Am und Bm von Null ver

28. Spektrale Zerlegung.

Ein Spektralapparat, gleichgültig welcher Art, sondert aus dem Integrationsbereich der Gleichung (70) ein mehr oder minder schmales Gebiet aus, indem er die Amplitude der Sinuswelle Cn cos (nt — flÄ) mit einem Faktor cp(n) versieht, welcher verschwindend klein wird, sobald n erheblich von einem für den Apparat charakteristischen Wert nQ abweicht, während er in der Nachbarschaft von n₀ erhebliche Werte annimmt. Je schmaler der Bereich, um so größer ist das Auflösungsvermögen. Beim Gitter z. B. wäre nach (38)

sin

(74)

cp(n) =

sin â

sin ihn —-

\ n₀ /

wo n₀ die Frequenz bedeutet, für die d = 2hit, also fp(n) ein Maximum wird (wo h eine ganze Zabi ist). Da nämlich d zu n proportional ist,

dürfen wir dann für ein beliebiges n d = 2Ji7t— setzen. Zugleich

nQ

bewirkt der Apparat eine Phasenverschiebung yn\ beim Gitter ist nach (38)

(⁷5)

Die Schwingung wird jetzt statt (70)

(⁷6)

fif) =fdn Cnyn cos (nt—frn— yn) und ihre Intensität nach (72) und (73):

J == Cdm(am sin mt -f- cos mf),

— rJ>

(⁷⁷) '    dnCn+luCncp(n +m)<p(n) sin    &n + yn

-Yn + m-Yn)'

= dn °n+^Cn(p(n + m) (p(n) cos (frn

Wird ein Spektralapparat von einem elektromagnetischen Impuls getroffen, so kommt er erst nach einer bestimmten, für ihn charakteristischen Zeit, seiner Abklingungszeit, wieder zur Ruhe; diese ist um so größer, je größer das Auflösungsvermögen. Beim Gitter z. B. ist nach Gleichung (74) die Breite des ausgesonderten Bereiches ungefähr

ptl ’

zugleich würde ein Impuls in eine Reihe von p Stößen verwandelt, welche sich über die Zeit pli X Periode t₀, d. h. 2ph,7i:n₀ gleichmäßig verteilen¹⁵), so daß dies die Abklingungszeit ist. Analysiert man die Strahlung aber mit einem elektromagnetischen Resonator (Planck), so wird mit abnehmendem Dämpfungsdekrement gleichzeitig die Resonanzkurve und der ausgesonderte Bereich A n schmäler und die Abklingungszeit größer. (yn variiert in dem Bereich An stets um 23t.) Wären nun die Abklingungszeiten von der Größenordnung der Zeit einer Messung, so bezöge sich die Angabe des Spektralapparates nicht auf eine gleichzeitige Eigenschaft der Strahlung, sondern stellte eine Integration über meßbar verschiedene Zeiten dar. [Beim Gitter sieht man dies besonders deutlich; denn nach (75) kann man statt (77) schreiben:

J = I (fondai sin \jn(t

⁽^)]}>

a'm = ^ Ç dnC K=\f dnC.

Cn<Pn + m<Pn sil1 O Cn<P„ + m<Pn C0S (.&

-*n)i

(p    (jer Hinweis auf vor

dem Augenblick t liegende Zeiten.] Soll daher aus inhomogener Strahlung der im gleichen Moment vorhandene monochromatische Bestandteil von der Frequenz n₀ ausgesondert werden, so muß sich mit großem Auflösungsvermögen eine kleine Abklingungszeit vereinigen ^beim Gitter muß phf> 1, aber ) m\<^

cp(n -f m) = cp(n), yn + m = yn

und in dem Auftreten von

(*

n₀

phn

sein). Dann aber darf man

setzen und erhält so für die in der Schwingung f(t) enthaltene Intensität von der Schwingungszahl n₀ den Wert

K)) : Jdvup*(n)

K)) : fdncp\n).

abhängige Integral Jdn cp²(n) bewirkt, da cp eine Funktion von (n — n₀) ist, daß J Jn dn₀ die Gesamtintensität ergibt. 31?« und 33?« sind die meßbaren Mittelwerte der schnellveränderlichen Größen Gn + mGn ^

Cn(p\n) sin (# Cncp²(n) cos (h

Jn = Çdm(%m sin mt -f- 33?« cos mt) (78) - Wm=(fdnC.

33 l=(fdnCt

Die Division durch das von n₀ un

(K + m — K) in der Umgebung von n₀. Daß sie vom Auflösungsvermögen unabhängige Eigenschaften der Strahlung sind, obwohl cp(n) durch das Auflösungsvermögen bestimmt ist, ist eine weitere Annahme in der Hypothese der natürlichen Strahlung. Diese spricht außerdem noch aus, daß die Absorption von Strahlung durch Körper nur von diesen Mittelwerten, d. h. nur von der augenblicklich herrschenden Intensität der monochromatischen Bestandteile der Strahlung abhängen soll.

Eine weitergehende Zerlegung der Strahlung mit Apparaten von meßbarer Abklingungszeit ist bisher nicht erreicht und müßte zum Widerspruch mit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik führen. Man kommt hier an eine ähnliche Grenze wie in der kinetischen Theorie der Gase, wenn man den gleichmäßigen Gasdruck in unregelmäßige Molekularstöße auf löst; es beginnt dann das Spiel der Wahrscheinlichkeiten (Brownsche Bewegung). Die so weit analysierte Strahlung wäre nicht mehr natürliche Strahlung. Weil die Strahlung auch bei der Fortpflanzung in dispergierenden Körpern spektral zerlegt wird, bleibt sie dabei nicht für alle Zeiten natürliche Strahlung. Darin liegt die Lösung des scheinbaren Widerspruches zwischen den beiden Aussagen, daß sich natürliche Strahlung stets mit Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt (welche gelegentlich größer als c werden kann), und daß nach der Elektronen- und erst recht der Relativitätstheorie c die größtmögliche Geschwindigkeit dafür ist.89a)

29. Die Sclrwingungsform natürlicher Strahlung.⁸⁹) Da nur die Mittelwerte 3Im° und Ü8m° der Messung zugänglich sind, bleiben die Funktionen Cn und &n, welche die Form der Schwingung f(t) in (70) bedingen, in hohem Maße unbekannt. Nur das eine läßt sich sagen, daß diese sich bei fortschreitender spektraler Reinheit der Sinusform nähert. Ist nämlich die Summe

f(t) = 20n cos (nt — «0J

auf solche Werte von n beschränkt, für welche n — w₀ = dw«w0 ist, so kann man

Cn cos (n t —    = Cn cos (n₀1— (&n — tdn))

als Schwingung von der Frequenz nQ mit langsam veränderlicher Phase betrachten. Für einen Zeitraum von t bis t -f- At, für den alle Werte Aitön 1 sind, ist dann auch f(t) eine Sinusschwinguug von der Frequenz n₀. Man erhält sie geometrisch nach Nr. 11, indem man alle Partialschwingungen als Vektoren OP in einer Ebene aufträgt und addiert. Sind die Phasen unregelmäßig verteilt, so ist nach Nr. 21 für die Resultante jede Richtung gleich wahrscheinlich, ihre Amplitude ist mit überwiegender Wahrscheinlichkeit von der Größenordnung V 'SCJ. In einer späteren Zeit tx werden die Partialschwingungen statt durch OP durch gleichlange Vektoren OQ dargestellt, welche mit den OP den Winkel (tx— t)dn bilden. Ist er vergleichbar mit 7t oder noch größer, so ist das Resultat der Summation von dem für die Zeit t gültigen unabhängig. D. h. die Phase der Schwingung f(£) hat sich inzwischen in einer ganz beliebigen Art verändert, während die Amplitude im allgemeinen von derselben Größenordnung geblieben ist, innerhalb dieser Größenordnung aber einen beliebigen anderen Wert angenommen hat. Bei natürlicher Strahlung ist die Zeit einer solchen Änderung noch klein gegen die einer Messung.

89“) Vgl. Nr. 6 und Literatur in Anm. 15.

89) Lord Rayleigh, Phil. Mag. 11 (1906), p. 127; Pap. V, p. 287.

Über die Schwingungsform bei breiten kontinuierlichen Spektren ist vielfach die Meinung geäußert worden, daß auch in ihr Periodizitäten irgendwelcher Art vertreten sein müßten, weil sich sonst nicht daraus durch Spektralapparate monochromatisches Licht von hoher Regelmäßigkeit gewinnen ließe. Mit Recht machen dagegen Gouy, Schuster, Ames, Rayleigh¹⁶) geltend, daß diese Periodizität in allen Fällen aus dem Apparat stammt; beim Gitter z. B. rührt sie daher, daß ein Impuls in p periodisch aufeinanderfolgende Stöße verwandelt wird (Nr. 27). Rayleigh¹⁷) zeigt an Figuren, wie unregelmäßige Schwingungsformen schon bei der Superposition von wenigen unharmonischen Sinusschwingungen entstehen.

Zum Verständnis des von englischen Physikern vielfach angewandten Verfahrens, weißes Licht als unregelmäßige Folge von Impulsen aufzufassen, gelangt man wohl am besten, wenn man unter einem Impuls einen Ausschnitt aus der Schwingungskurve ungefähr von der Zeitdauer einer Lichtperiode versteht. Die Unregelmäßigkeit dieser Kurve hebt dann selbst für die Formen benachbarter Impulse jeden Zusammenhang auf.

30. Kohärenz und Inkohärenz. Polarisation. Zwei Schwin-

gungen

(79) rn = />,

COS

(»< —pjd«, g{t)= J On oos (n t — xj d n

sollen monochromatische natürliche Strahlung darstellen. Den Mittelwert fg für eine Zeit r bilden wir nach Analogie von Nr. 27 und finden so

(80)

wenn

(81)

fg — \ J*dnJ*äriFn,Gn cos ((»' — n)t + (cpn,— %n)) = ( dm(am sin mt -f- ßm cos mt),

łfdnF,

ßm= \jdnl

—    Zn)>

—    Zn)

Gn sin (<p Gn cos (<p

ist.¹⁸) Hier sind nun drei besonders wichtige Fälle zu unterscheiden:

1.    Die Schwingungen haben verschiedene Frequenz; d. h. die Bereiche, in welchen Fn und Gn von null wesentlich verschieden sind, schließen sich aus, so daß Fr

Gn = 0 ist.

2.    Diese Bereiche stimmen überein, doch stammen beide Schwingungen aus verschiedenen Lichtquellen; sie sind inkohärent. Dann sind die Phasen (pn und unabhängig voneinander; infolgedessen ist in (81) cpn + m— %n trotz kleiner Werte von m schnell und unregelmäßig veränderlich, so daß am und ßm Null sind.

3.    Sie stammen bei gleicher Frequenz aus der gleichen Lichtquelle und interferieren hei mäßigem Gangunterschied; sie sind kohärent]; dann unterscheidet sich Fn von Gn nur durch einen konstanten Faktor l und cpn von %n um eine Konstante d. Infolgedessen wird nach (80)

fd = $kfdnfdriGn,Gn{cosd cos[(n — n)t + (&,— &,)]

+ sin d sin [(»' — n)t + (*„, — %„)]}. Die zweite Hälfte dieses Integrals verschwindet, weil der Integrand bei Vertauschung von n und n sein Zeichen wechselt. Daher nach Gleichung (72)

(82)

f g — k cos dg² — ^ cos öf².

Auch in diesem Falle kann fg = 0 sein, wenn die Phasendifferenz d = + Jf/2 ist; eine Veränderung des Gangunterschiedes bringt dann sofort einen anderen Wert hervor. Im Gegensatz dazu ist in den beiden ersten Fällen stets fg = 0. Da dann

(f + gy = f‘ + 9s

ist, findet keine Interferenz statt. Interferenzfähig sind somit nur kohärente Schwingungen von gleicher Schwingungszahl.

Natürlich gibt es auch hei Schwingungen von verschiedener Frequenz den Unterschied von Kohärenz und Inkohärenz. Wird von zwei kohärenten Strahlen der eine an einem bewegten Körper gespiegelt, so verändert er seine Schwingungszahl unter Beibehaltung der Kohärenz. Schwebungen entstehen, wenn kohärente Strahlen f und g mit so wenig verschiedener Frequenz sich treffen, daß die Integrationsgebiete in (79) sich fast völlig überdecken.

Die Schwingungen verschiedener Frequenz, in welche sich beim Zeemanneffekt eine Spektrallinie spaltet, entsprechen verschiedenen Freiheitsgeraden der schwingenden Elektronen und sind deswegen inkohärent¹⁹); zu Schwebungen gehen sie keinen Anlaß.⁹⁴)

Den stetigen Übergang zwischen Kohärenz und Inkohärenz vermittelt die partielle Kohärenz, in der zwei Schwingungen f(t) und g(ß) — gf(t) -)- g/(t) zueinander stehen, wenn härent, gf' zu f inkohärent ist. Ein quantitatives Maß für die Kohärenz findet man, wenn man der Schwingung g (vgl. (79)) eine Schwingung

9f

zu

f vollständig ko-

g*=J Grn sin (nt — xn)

an die Seite stellt. Nach (82) ist nämlich wegen #* =<//*+#/* wenn l² das Intensitätsverhältnis f² : g ² und ô die Phasendifferenz dieser Schwingungen angibt,

fg = fg, = \.

cos

tH

dp, fg* = fg* = sin df².

Durch Quadrieren und Addieren dieser Gleichungen folgt:

72

Tg'+ff' __ g.....L

figi

Dies Verhältnis der Intensität des zu f kohärenten Anteils von g zur Gesamtintensität von g nennt man die „Kohärenzu der Schwingungen f und g. Da fg*² = f*g , so kann man hierbei die Rollen von f und g miteinander vertauschen. Die Kohärenz ist 1 für vollständig kohärente, 0 für inkohärente Schwingungen.⁹⁵)

Wegen g² = g ² -f- gf'² ist die „Inkohärenz“

i — (i — 0 — = *

9

Man kann den Unterschied zwischen Kohärenz und Inkohärenz sehr anschaulich an die Betrachtung von Nr. 29 anknüpfen. Kohärente Schwingungen stimmen in der Schwingungsform überein; bei allen Veränderungen ihrer Phase bleibt die Phasendifferenz zeitlich konstant, während sie bei inkohärenten Schwingungen in der Zeit einer Messung oft und unregelmäßig hin und herschwankt. Nähme die spektrale Breite immer mehr ab, so würden die Zeiten einer solchen Phasenveränderung schließlich meßbar. Damit würde der Unterschied zwischen kohärenten und inkohärenten Schwingungen verwischt werden. Der Bereich der natürlichen Strahlung würde aber dabei überschritten (vgl. Nr. 28).

Bemerkenswert ist der Fall, daß zwei linear, aber senkrecht zueinander polarisierte Wellen von gleicher Fortpflanzungsrichtung räum-

94) O. M. Corbino, Nuovo Cim. 9 (1899), p. 351; Rend. Lincei 8 (1899),

p. 171.

95) M. Laue, Ann. d. Phys. 23 (1907), p. 1.

Encyklop. d. math. Wis3ensch. V 3.

lich zusammenfallen. Sind sie kohärent, so bilden sie eine vollständig (im allgemeinen elliptisch, vgl. Nr. 10) 'polarisierte, sind sie inkohärent und in der Intensität gleich, eine unpolarisierte Welle²⁰). Den stetigen Übergang zwischen diesen Grenzfällen bildet die partielle Polarisation. Sie tritt ein, wenn sich eine völlig polarisierte und eine unpolarisierte Welle überlagern, und ist im allgemeinen, entsprechend der Sehwin-gungsform der ersteren, partielle elliptische Polarisation.²¹)

Bei partieller linearer Polarisation gibt es zwei zueinander senkrechte Hauptpolarisationsrichtungen, in denen inkohärente Schwingungen von ungleicher Intensität ^ und $₂ stattfinden. Durch Drehung um die Strahlrichtung um den Winkel tu findet man daraus zwei Achsen, in denen partiell kohärente Schwingungen mit den Intensitäten

$/ = cos²co -f- sin²«, ®₂' = sin² co -j— $₂ cos² a

stattfinden. Stets ist

Bei partiell elliptischer Polarisation sind alle Paare zueinander senkrechter linearer Schwingungen, in die man die Welle zerlegen kann, partiell kohärent.

31. Zusammenhang mit der Thermodynamik. Die Unmöglichkeit der Interferenz zwischen Strahlen verschiedenen Ursprungs ist für Wärmestrahlung eine Forderung der Thermodynamik. Andernfalls ließe sich das Carnotsche Prinzip, die Unumkehrbarkeit eines Wärmeüberganges, durch Interferenzerscheinungen umstoßen.

Zum Beweise betrachten wir die Spiegelung und Brechung an der ebenen Grenzfläche E zweier durchsichtigen Mittel. S1} S₂, S₃ und S4 sollen Stücke von Oberflächen schwarzer Körper sein, ihre Lage und Größe sei derart, daß das von S, nach dem Flächenstück f von E entsandte Strahlenbündel, soweit es gespiegelt wird, von S₂, soweit es Brechung erleidet, von S₃ absorbiert wird. Ebenso soll das von S4 nach f ausgehende Bündel von Ss und $₂ absorbiert werden. Das ganze System, dem die erwähnten schwarzen Körper angehören, sei vonj absolut spiegelnden Wänden umgeben und anfangs im thermischen Gleichgewicht. Nach bekannten Kirchhoffschen Sätzen bleibt dies bestehen, wenn keine Interferenzen stattfinden. Könnten aber die von Sx und nach f gehenden Strahlen interferieren, so erhielte entweder $₂ aus der Richtung von f mehr Energie, als es dorthin entsendet, und $₃ dementsprechend weniger oder umgekehrt. Das Temperaturgleichgewicht würde so ohne Kompensation gestört.

Tatsächlich besteht dieselbe Unmöglichkeit auch bei allen Lu-miniszenzerscheinungen; in der Ungeordnetheit und gegenseitigen Unabhängigkeit in den Phasenverteilungen solcher Schwingungen spiegeln sich sie Ungeordnetheit und die gegenseitige Unabhängigkeit der Elektronenbewegungen in den Lichtquellen. Denn in der Bewegung der Teilchen in verschiedenen Körpern gibt es nichts der Kohärenz Analoges.

Dieser Unterschied hat eine Konsequenz für die Thermodynamik.²²) Nach Boltzmann ist die Entropie S mit der Wahrscheinlichkeit W durch eine Beziehung

(83)

S = k log W

verbunden. Bei einem aus zwei materiellen Teilen oder zwei inkohärenten Strahlen bestehenden System, ist aber die Wahrscheinlichkeit, wenn Wx und W₂ die der Teile sind, wegen ihrer statistischen Unabhängigkeit,

(84)

W = W₁W₁,

also

(85)

S = SX+S.

Für kohärente Strahlen hingegen gilt dies Additionstheorem der Entropie nicht, da der eine nur in der Amplitude frei, in seiner Schwingungsform hingegen völlig durch den anderen bestimmt wird. Bei vollständiger Kohärenz ist vielmehr, wie a. a. 0. gezeigt wird, ihre Gesamtentropie so groß wie die eines Strahles, dessen Intensität unter sonst gleichen Umständen gleich der Summe ihrer Intensitäten ist.

Bei partiell kohärenten Strahlen von den Intensitäten $x und $₂, sowie der Kohärenz i, hat man zunächst die Gleichungen

(86)

Kx -f- K₂ = $4 -f-    ,

kxk₂ = (i — i)ąą

zu lösen. Die so bestimmten Kx, K₂ sind die Intensitäten zweier inkohärenten Strahlen, auf welche man das System umkehrbar, z. B. durch Spiegelung und Brechung zurückführen kann. Seine Entropie ist demnach die Summe der Entropien dieser Strahlen. Bei drei partiell kohärenten Strahlen führt ein analoges Verfahren zum Ziel.

Statistisch bedeutet dies, daß in einem System von ganz oder partiell kohärenten Strahlen die Freiheitsgrade der einzelnen Strahlenbündel (vgl. Nr. 44) nicht die des ganzen Systems sind; vielmehr muß man, um diese zu finden, das System auf die genannten inkohärenten Strahlenbündel zurückführen.

32. Die Interferenz inhomogener Strahlung; Sichtbarkeitskurve. Eine spektral inhomogene Strahlung sei durch die Intensitätsverteilung J(n) charakterisiert. Zwei kohärente Schwingungen dieser Art interferieren mit dem Gangunterschied l, welcher in einem Mittel vom Brechungsindex v zurückgelegt sei (d =    Die monochromatische

Strahlung von der Frequenz n ruft dabei die Helligkeit

J(n)(l +

cos

lnv\ 7 —J an

hervor (vgl. 34)); die ganze Strahlung, da sich nach Nr. 28 bei natürlicher Strahlung alle Energiegrößen für deren monochromatische Bestandteile addieren, liefert die Helligkeit

(87)

I dnJ(n)(l +

COS

nv\ c )

Nun handele es sich um eine schmale Spektrallinie, deren „Schwerpunkt“ bei dem Wert n₀ liege. Wir führen n — w₀ = s als Variable ein und finden so

(88)

oder wenn wir

(89)

setzen:

(90)

J*/(£)[l + cos4{«on + q^)J];

j J(e)de = P,

fdeĄt)sin(l;(dfĄ) = S

P-f Ocos^iA — Nsin^.

¹    c    c

Hier sind C und S Funktionen von l; sie sind aber langsam veränderlich gegen    weil e « n₀. Die Lage der Interferenzmaxima

und -minima findet man daher so, daß man ü und S bei der Differentiation nach l als unveränderlich betrachtet. Die Größe dieser Extremwerte ist P + j/C² -f- S². Die Sichtbarkeit, definiert durch die (92)

Nach einem bekannten Satze ist für jede reguläre Funktion F(s)

lim f ocj

<^-ék* äs = 0. äs

Folglich verschwinden die Integrale C und S für unendlich große Z; für alle Intensitätsverteilungen </(«); die Interferenzfähigkeit inhomogener Strahlung hört bei einer gewissen Grenze des Ganzunterschiedes auf. Für ein kleines l ist umgekehrt C = P, S = 0, also V — 1. Den Übergang zwischen diesen beiden Grenzfällen stellt die Sichtbarkeitskurve dar, welche im übrigen Verlaufe wesentlich durch die Intensitätsverteilung J(s) bedingt ist. Michelson²²) hat dies benutzt, um aus der (mit dem Auge geschätzten) Sichtbarkeit auf die Intensitätsverteilung in feinen Spektrallinien zu schließen. Doch sind diese Schlüsse im allgemeinen vieldeutig; denn zur Ermittelung von J(e) gehört nach dem Fourierschen Integralsatz die Kenntnis von G und S, während V nur G² -f- S² liefert.¹⁰⁰) Nur bei symmetrischen Linien ist wegen S — 0 die Eindeutigkeit gewährleistet. Auf jeden Fall ist die Grenze, bis zu welcher die Streifen sichtbar bleiben, ein ungefähres Maß für die Breite der Linie. Michelson fand sie bei manchen Linien über 5.10⁵ Wellenlängen Gangunterschied, was einer Breite — von 10⁻⁵ bis 10“⁶ entspricht.¹⁰¹)

Zu der Energieverteilung

J(e) — const. e a

a / l d (n r)\ 2 e 4 \c dv ) ,

Gleichung

(91)

V=H

H

max

— -Hmin

max

wird somit

-j- Hmin

gehört eine Sichtbarkeitskurve

wie sie häufig beobachtet wird. Liegen zwei in der Intensität und

99)    A. A. Michelson, Phil. Mag. 31 (1891), p. 338; 34 (1892), p. 280; Journ. d. Phys. 3 (1894), p. 5; vgl. auch H. Ebert, Wied. Ann. 43 (1891), p. 790. Eine photographisch ermittelte Sichtharkeitskurve veröffentlicht P. P. Koch, Ann. d. Phys. 34 (1911), p. 377.

100)    Lord Bayleigh, Phil. Mag. 34 (1892), p. 407; Pap. IV, p. 15.

101)    0. Lummer und E. Gehrcke, Verh. d. deutsch. Phys. Ges. 3 (1902), p. 337 finden auf andere Weise hei einer Quecksilherlinie die Grenze der Interferenzfähigkeit bei mehr als 1,6 • 10⁶ Wellenlängenunterschied. Vgl. dazu M. Laue, Ann. d. Phys. 13 (1904), p. 163 besonders § 6.

ihrer Verteilung gleiche Linien von der Breite 2rj im Abstand 2e0 voneinander, und wären P', C', S' die Werte der Integrale (89) für jede allein, so ist für beide zusammen P = 2P'. Das Integral C zerfällt nach (89) in zwei Teile, nämlich in ein Integral von — (£₀ -j- tj) bis — («o — V) un^ e^ns von Eo — V bis £o H⁻ Ti führt man für das erstere e — s -f- £₀, für das letztere e — s — e₀ als Integrationsvariable ein so findet man:

C — j ds'J^s'— £₀) cos

+ JdE'J(s' 4- £₀) COS d{-nv)

l d(nv)

dv

0'— £o))

dv

oder da nach der vorausgesetzten Gleichheit beider Linien J(s — £₀) — J(e e₀) ist:

C — 2 cos

dv

) = 2cos (ii° ■ ^

dv

)C.

Ebenso findet man

somit nach (92)

(ho d(nv)\ g, \ c dv )    ’

S = 2 cos

v= F'cos

j /lj₀ d{nv)\

I \ c dv J

Der Kosinusfaktor bedingt ein abwechselndes Verschwinden und Wiedererscheinen der Interferenzstreifen, wie man es leicht an den D-Linien des Natriumspektrums beobachtet.

Im Falle der Dispersion ist zu beachten, daß C und S von no(^) ) abhängen; d. h. von der Zeit, die zur Durchlaufung der Strecke l mit (xTMjipcwgeschwindigkeit notwendig ist. Bei starker anomaler Dispersion kann diese klein sein gegen die Durchlaufungszeit mit Phasengeschwindigkeit , so daß selbst bei Interferenzstreifen von hoher Ordnung noch große Sichtbarkeit auftritt.²³)

Setzt sich der Gangunterschied aus mehreren in verschiedenen Mitteln zurückgelegten Strecken l zusammen, so treten an die Stellen von lv₀ und l (v₀ -j- n₀    die entsprechenden Summen über alle l, in denen die von einem Strahl zurückgelegten Strecken l positiv, die auf den anderen bezüglichen negativ zu rechnen sind.

Bei Interferenzversuchen mit weißem Licht ist der Streifen am besten sichtbar und farblos, für welchen mit einiger Annäherung

^7 (v -f- n — 0 ist (die Summe ist über alle Strecken l

auszu

führen); er ist i. A. zu unterscheiden von dem durch ^Slv — 0 gekennzeichneten Streifen 0ter Ordnung.²⁴) Alle anderen Streifen sind weniger deutlich und farbig, weil die von verschiedenen Farben herrührenden Maxima nicht zusammenfallen. Meist sind dabei überhaupt nur wenige Streifen sichtbar.

Die in Nr. 11 betrachtete Interferenzerscheinung mit p sich überlagernden Schwingungen ergibt bei inhomogener Strahlung die Helligkeit nach (36) statt (97)

¹ /-i

2^-

/I

dnJ(n)

1 -f- a2p — 2 ap cos p

Inv

i a _ Inv

1 4- ß² — 2ö cos-

c

<s2p)J dnJ(n) -j- y} | (<3m

— a²P-

m) j dnJ(n) cos²⁵).

Die Schärfe der Interferenzmaxima bleibt durch die Inhomogenität nur bei so kleinem l unbeeinträchtigt, daß cos (jp — 1) v sich im Integrationsbereich noch nicht merklich ändert. Läßt man l weiter und weiter wachsen, so werden die in der Summe auftretenden Integrale der Reihe nach unmerklich klein, das (p — l)te zuerst. Ist nur noch das Integral mit m = 1 merklich, so ist die Helligkeitsverteilung, wie wenn nur zwei Schwingungen interferierten; schließlich verschwinden auch hier alle Maxima und Minima in gleichförmiger Helligkeit.

¹

a) M. Laue, Berlin Sitzgsber. 1914, p. 1144; dort findet sich auch eine Photographie der Erscheinung.

72)    Lord Rayleigh, Pap. III, p. 99.

²

73)    Ygl. auch Art. Y 22, Nr. 14.

³

74)    0. Wiener, Ann. Phys. Chem. 40 (1890), p. 203.

⁴

74“) Ygl. Anm. 3a.

⁵

   G. Lippmann, Paris C. R. 112 (1891), p. 274; 114 (1892), p. 961; Journ. d. Phys. 3 (1894), p. 97. Querschnitte durch die Schicht veröffentlichen: B.Neu-hauss, Ann. Phys. Chem. 65 (1898), p. 164 und H. Lehmann, Yerh. d. deutsch. Phys. Ges. 9 (1907), p. 624. Siehe auch: H. Lehmann, Phys. Zeitschr. 10 (1909), p. 784; W. Zenker, Lehrbuch der Photochromie 1868, wieder abgedruckt Braunschweig 1900; F. Schütt, Ann. Phys. Chem. 57 (1896), p. 533; O. Wiener, Ann. Phys. Chem. 55 (1895), p. 225.

⁶

   F. Schütt, Anm. 75; O. Wiener, Wied. Ann. 69 (1899), p. 488; B. Neu-hauss, Anm. 75.

⁷

   L. Pfaundler, Ann. d. Phys. 15 (1904), p. 371; H. Lehmann, Ann. d. Phys. 20 (1906), p. 723.

⁸

   H. Hertz, Ann. Phys. Chem. 34 (1888), p. 610; Phil. Mag. 30 (1890), p. 126; Ges. Abh. II, Leipzig 1894, p. 133.

⁹

   L. Boltzmann, Ann. Phys. Chem. 40 (1890), p. 399; Ges. Abh. III, Leipzig 1908, p.384; A.Righi, Die Optik der elektr. Schwingungen. Deutsch von B.Dessau, Leipzig 1898; Ed. Sarasin und L. de la Bive, Arch. des sciences phys. nat. 29 (1893), p. 358, 441.

¹⁰

   Nach Gehrcke, Interferenzen, p. 73.

¹¹

   Lord Rayleigh, Papers I, p. 426.

¹²

   P. P. Koch, Ann. d. Phys. 34 (1911), p. 377; 0. Schönrock, Ann. d. Phys. (4) 20 (1906), p. 995.

¹³

   M. Planck, Ann. d. Phys. 1 (1900), p. 69; 7 (1902), p. 390; Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung, Leipzig 1913, 5. Abschnitt. Vgl. W. Wien, Enc. V 23, Nr. 4, III. Über die Bezeichnung „Natürliche Strahlung“ vgl. Anm. 95.

¹⁴

   A. Gony, Journ. d. Phys. 5 (1886), p. 354.

¹⁵

A. Schuster, Phil. Mag. (5) 37 (1894), p. 509; Einführung in die theoretische Optik, deutsch von H. Konen, Leipzig und Berlin 1907, § 186.

¹⁶

   A. Gouy, Journ. d. phys. 5 (1886), p. 534; A. Schuster, Phil. Mag. (5) 37 (1894), p. 509; (7) 1 (1904). Einführung in die theoretische Optik, deutsch von H. Konen, Leipzig und Berlin 1907, Kap. 14; J. S. Arnes, Astrophys. Journ. 22 (1905), p. 76; Lord Rayleigh, Pap. III, p. 60; Phil. Mag. 27 (1889), p. 460; Pap. III, p. 268. „It would be instructive if some one of the contrary opinion would ex-plain what he means by regulär white light. The phrase certainly appears to me to be without meaning — what Clifford would have called nonsense.“ Phil. Mag. 10 (1905), p. 401; Pap. Y, p. 272.

¹⁷

   Lord Rayleigh, Phil. Mag. (6) 11 (1906), p. 127; Pap. Y, p. 285.

¹⁸

   M. Laue, Ann. d. Phys. (4) 23 (1907), p. 1.

¹⁹

Enc. Y 22 (H. A. Lorentz).

²⁰

   Die ersten Versuche über die Inkohärenz der beiden Schwingungen im unpolarisierten Licht stammen von Fresnel und Arago. Vgl. Anm. 21.

²¹

   Unpolarisierte Schwingungen bezeichnet man vielfach als natürliches Licht. Wir vermeiden diesen Ausdruck schon deshalb, weil vollständiger Mangel an Polarisation selten vorkommt.

²²

M. Laue, Ann. d. Phys. 20 (1906), p. 365; 23 (1907), p. 1, 795, Verh. d. deutsch. Physik. Ges. 9 (1907), p. 606; Phys. Zeitschr. 9 (1908), p. 778, vgl. auch V 23, Nr. 11 (TP. Wien).

²³

R. W. Wood, Phil. Mag. 8 (1904), p. 324; Lord Rayleigh, Phil. Mag. 8 (1904), p. 330; Phil. Mag. 15 (1908), p. 345; Pap. Y, p. 204, 426: E. Mascart, Phil. Mag. 27 (1889), p. 519; G. B. Airy, Phil. Mag. 2 (1833), p. 161; A. Cornu, Journ. d. Phys. 1 (1882), p. 293; Pap. III, p. 288

²⁴

   J. Newton, Optices, Lib.II, Pars I, Observatio XXIV, Londini 1704; Place, Ann. Phys. Chem. 114 (1861), p. 504; Lord Rayleigh, Phil. Mag. 28 (1889), p. 77, 189; Pap. III, p. 288.

²⁵

   M. Laue, Dissert. Berlin 1903; Ann. d. Phys. 13 (1904), p. 163.

IV. Allgemeine Theorie der Beugung.

33. Das Huygh.enssch.e Prinzip. Der in den vorhergehenden Teilen dieses Artikels wiederholt benutzte Begriff des Lichtstrahls, welcher der gesamten geometrischen Optik zugrunde liegt, bedarf der Rechtfertigung durch die Wellenoptik. Da deren Grundgleichungen (vgl. den 1. Teil) mathematisch formuliert vorliegen, so ist dies ebenso wie die Untersuchung der Abweichungen von der geometrischen Optik, der Beugungserscheinungen, eine rein mathematische Frage. Bei der Schwierigkeit aber, exakte Lösungen von partiellen Differentialgleichungen zu finden, und besonders, da die Wellenoptik weit älter ist als die Aufstellung der Wellengleichung, hat man zunächst versucht, die

mathematischeDeduktion durch geistreiche Einfälle zu ersetzen, x D welche neben einem Kern von Y    Wahrheit stets auch etwas Will-

/y

Fig. 7.

\\ kür enthalten. Der älteste Ver-\ such dieser Art ist das Huyghens-sche Prinzip¹), demzufolge jedes von der Wellenbewegung ergriffene Teilchen nicht nur an die zunächst benachbarten, sondern durch deren Vermittlung an alle Teilchen Bewegung abgibt und so selbst Mittelpunkt einer Kugel welle wird. Geht z.B. (Fig.7) von der Lichtquelle Q eine Welle aus, so gilt dies für alle Teilchen der Kugelfläche AB. Jede dieser Wellen ist aber nur unendlich schwach gegen die Welle CD, zu deren Bildung alle übrigen beitragen; geometrisch ist diese als Enveloppe aller Teil wellen bestimmt. Schirmen wir von der Kugelwelle AB alles außer der durch den Bogen AB begrenzten Kalotte ab, so existiert die Enveloppe offenbar nur zwischen C und D. Daher die geradlinige Ausbreitung des Lichtes; die in den Schatten eindringenden Elementar wellen sind zu schwach, um dort Licht hervorzubringen. Grimaldis 1665 veröffentlichte Beobachtungen²) über Beugungserscheinungen waren Hnyghens offenbar unbekannt.

Die Huyghenssche Enveloppenkonstruktion bewährt sich bei den Gesetzen der Spiegelung (auch am bewegten Spiegel³)) und der Brechung.

34. Die Fresnelscbe Zonenkonstruktion.⁴) Fresnels großes Verdienst besteht in dem Ersatz der Enveloppenkonstruktion durch das Iuterferenzprinzip.

Eine vom Punkte Q in Fig. 8 ausgehende Kugelwelle ist dargestellt durch

e~ikr°

r₀

(93)

Jedes Flächenelement d<5 einer Wellenfläche⁵) r₀= R liefert nach Fresnels Hypothese nach außen eine Kugelwelle, deren Amplitude am

'Jfn

O“

l2

Fig. 8.

größten ist für die Richtung des primären Strahles, während sie um so geringer wird, je weiter die Richtung des sekundären Strahles davon abweicht, und schließlich ganz verschwindet, wenn beide aufeinander senkrecht stehen. Bezeichnen wir mit K einen in dieser Art von der Richtung abhängigen Faktor, mit r den Abstand des Aufpunktes P von d<5, so ist

(94)

Ke-mR+r)d6

Br

die Darstellung einer Elementarwelle. Diese Elementarwellen summieren sich im Aufpunkt zu

(95)

Up =

-ikR f»

BJ

K-

— ihr

rd<5,

wobei nach Fresnel die Integration über den dem Aufpunkt zugewandten Teil der Kugel rQ — R bis zum Berührungskreis des vom Aufpunkt ausgehenden Tangentenkegels auszudehnen ist.

Zur Berechnung dieses Integrals bezeichnen wir mit b den geringsten Abstand des Aufpunktes P von der Kugel r₀ = R und zerlegen mit Fresnel die Integrationsfläche durch Kugeln um den Auf-pnnkt mit den Radien

b -f- g A, & + A...6 + ₂^...

bis Mh reicht.

in Elementarzonen, deren hin der Figur von Mh Sind alle Dimensionen groß gegen die Wellenlänge, so ändert sich bei Integration über eine Elementarzone der Winkel zwischen primärem und sekundärem Strahl so wenig, daß dabei der Richtungsfaktor K als Konstante Kh betrachtet werden kann. Da r² = (R -f- b)² -f- R2 — 2R(R -f- b) cos fl- und infolgedessen

-i

JR

d<5 — R² sin ftdftdcp = ^ --^rdrdcp,

ist, liefert das Integral über die hte Zone den Beitrag

₀ b + ^-i 2 7t    2

— ikR

W+b

»

Die Summe dieser Beiträge

up = 2uh = — 2 il

dre~ikr — — 2f(—

-ik(R + b)

11 + b

eik(R + b)

R + V

stellt eine von Q ausgehende Kugelwelle dar, wie es bei ungestörter Ausbreitung ja auch der Fall sein muß. Die Summe läßt sich für diesen Fall leicht auswerten, da wegen der Kleinheit der Elementarzonen

(96)

2(r- I)*"¹**

(97)

ist. Denn setzt man

+ (*£,-£-,+ JĄ) + • •

so verschwindet wegen (97) rechts jede der Klammern und das letzte nicht in einer Klammer enthaltene Glied, weil für die äußere Zone der Richtungsfaktor K — 0 ist. Somit wird aus (96), wenn man noch

*-T

(98)

(99)

setzt,

(100)

Up =

Dieser Ausdruck stimmt mit (93), wenn man dort r₀ — R -f- b setzt, überein bis auf die Phasenverzögerung Sieht man von dieser Unvollkommenheit ab, so zeigt die Fresnels che Überlegung, daß sich eine Kugel welle bei ungehinderter Ausbreitung als durch Interferenz der Elementarwellen entstehend auffassen läßt.

Ihren eigentlichen Wert zeigt sie aber in der Erklärung der Beugungserscheinungen. Blendet z. B. ein zwischen Lichtquelle und Aufpunkt eingeschobener Schirm mit kreisförmiger Öffnung von den Zonen in Fig. 6 die äußeren ab, so reduziert sich die Summe in (96) auf die Anfangsglieder. Bleibt z. B. nur die erste Zone frei, so wird nach (99)

(101)

Up =

— 2ie-

-ik(R + b)

R+ b

Sind nur die ersten drei wirksam, so wird nach (96)

e-ik(R + b)

% -ß-f-6

was mit (101) nahe zusammenfällt, da sich KL und K₃ nur wenig unterscheiden. Derselbe Wert findet sich, wenn irgendeine relativ kleine, ungerade Zahl von Zonen zusammenwirkt. Die Intensität ist in diesem Falle viermal so groß wie bei freier Ausbreitung (vgl. 100). Ist aber die Zahl der Zonen gerade, so ist wegen des wechselnden Yorzeichnens der nahezu gleichen Summanden uP = 0. Da die Zahl der Zonen bei gegebener Öffnung vom Abstand des Aufpunktes vom Schirm abhängt, so finden sich auf der Achse der Schirmöffnung Helligkeitsmaxima und -minima. Blenden wir hingegen durch einen kreisförmigen Schirm die innersten Zonen heraus, so fallen in jener Summe die Anfangsglieder fort, und ihre zu (98) analoge Zerlegung zeigt, daß ihr Wert gleich der Hälfte ihres Anfangsgliedes ist. Auf der Achse eines kreisförmigen Schirmes herrscht somit stets Helligkeit. Beide Voraussagen der Fresnelschen Theorie wurden zur Überraschung seiner Zeitgenossen von der Erfahrung bestätigt.

Die Mannigfaltigkeit der von Fresnel erklärten Beugnngserschei-nungen ist' aber weit größer. Sie umfaßt das ganze in Kr. 37 und 39 behandelte Gebiet. Sein Werk wurde ganz in seinem Sinne von AirynQ) und von Schwerdm) fortgesetzt, welche die Theorie der Fraunhofersehen. Beugungserscheinungen gaben. Die Kirchhoffsche Formulierung

(102)

Up = —

110)    G.B.Airy, Transact. Cambridge Phil. Soc. 5 (1834), p 2S3; Ann. Phys. Chem. 45 (1838), p. 86.

111)    F. M. Schwerd, Die Beugungserscheinungen, Mannheim 1835.

des Huyghenssehen Prinzipes vermochte zu diesen Ergebnissen nichts weiter hinzuzufügen, als daß sie auch noch den richtigen Wert für die Phase der Schwingungen gab.

35. Kirchhoffs Formulierung des Huyghenschen Prinzipes. Die Zurückführung des Huyghenssehen Prinzipes auf die Wellengleichung verdanken wir Stokes⁶) und Kirchhoff⁷). Stokes’ Formulierung ist ein spezieller Fall der Kirchhoff sehen-, er beschränkt sich auf das senkrechte Auftreffen ebener Wellen auf einen ebenen Schirm. Wir geben im folgenden die allgemeinere Kirchhoff'sehe Formel im Anschluß an die Darstellung in Larnbs Hydrodynamik.⁸)

Für zwei nebst ihren ersten Derivierten stetige Funktionen u und v gilt bekanntlich der Greensche Satz

(103)

J^(uAv— vAu)d(p = — J* — vt^jdö

(v die innere Normale). Genügen beide Funktionen der Schwingungsgleichung A u -f- k²u = 0, so wird daraus (104)

- ikr

• 6

Wählen wir aber für v die Funktion - und liegt der Punkt

iy    o

P(r = 0) innerhalb der Integrationsfläche, so muß man, um Gleichung (103) anwenden zu können, diesen Unstetigkeitspunkt durch eine kleine Kugel um ihn ausschließen; in Gleichung (104) ist über die äußere Begrenzung und über die Kugelfläche zu integrieren. Der Anteil der letzteren liefert ganz wie in der Potentialtheorie den Beitrag

e~ikr    l

da sich für r — 0 die Funktionen —-— und - gleich verhalten.

p>

An u

So findet man

(105)

Up = -

. — ikr 6

co

u)d<3.

Dabei ist vorausgesetzt, daß die Lichtquelle außerhalb der Integrationsfläche liegt; denn bei punktförmiger Lichtquelle wäre u nicht mehr stetig, bei einer flächenförmigen wären seine ersten Ableitungen nicht mehr stetig und bei einer räumlich ausgedehnten wäre Au-\-k²u von 0 verschieden. Verlegen wir einen Teil der Integrationsfläche auf eine Kugel vom Radius B um den Punkt P, so wird beim Übergang zu B = oo, sofern alle Lichtquellen im Endlichen liegen, auf dieser

-ikR

bis auf Glieder mit ^ usw., wo W eine Funktion

Fläche u =

der Richtung ist (vgl. Anm. 56). Dann verschwindet der Integrand in Gleichung (105) und damit der Anteil der unendlich fernen Kugel. Ebenso verschwindet nach (104) der Anteil jeder anderen unendlich fernen Fläche, weil man sie mit Teilen einer solchen Kugel zu einer geschlossenen, den Aufpunkt ausschließenden Fläche vereinigen kann. Infolgedessen kann man die Integration in (105) auf jede die Lichtquelle vom Aufpunkt trennende Fläche anwenden; gleichgültig, ob sie geschlossen ist oder ins Unendliche verläuft. Die Normale v weist nach der Seite des Aufpunktes.

p    pns Z* y

Statt der Funktion kann man in Gleichung (105) auch

D \    /    rp

sin Je y •

setzen; der Ersatz durch —-— hingegen macht das Integral zu 0, da letztere Funktion für r = 0 endlich und stetig bleibt.

Die Formel, welche Kirchhoff zunächst aus der Wellengleichung bewies und aus welcher er Gleichung (105) ableitete, finden wir umgekehrt aus der letzteren, indem wir eine Lösung der Wellengleichung 0 als Fourieraches Doppelintegral

(106)

ansetzen, wobei

-f- oo -f* oo    4- oo

0(t) = ^ j dnJ*drQ(r)énV~t'> = J*unêntdn,

+ 00

u’⁼Łf⁰w

— 00

— 00

— 00

e~intdt

— oo

eine Lösung der Schwingungsgleichung ist. Wendet man Formel (105) darauf an, so folgt durch Erweiterung mit ênt und Integration nach n

4-00

— 00

4-oo

®(0 =

Daraus folgt

(107)

l7cfda{öv

K)

WO

ct>

f--=

Die erste Differentiation nach v muß dabei nur insofern vorge-

d _i d dy

dv dv dv ' d y dv

Bei fast allen Anwendungen beschränkt man sich auf periodische Schwingungen und damit auf Formel (105).

Für zweidimensionale Probleme tritt an die Stelle von Gleichung (105):

(108)

wo

Up — -

nommen werden, als r explizit auftritt; die Variabilität von 3>, welche dun

sich in

dv

kundgibt, wird dabei nicht berücksichtigt, d. h.

während

8 d dr

8v    dr dv

(x, y konstant),

Lj («£*(*»)

00

ZQjk,j) = j e~ik^^ada 0

nach (26) die einer linienhaften, periodischen Lichtquelle entsprechende Lösung der Schwingungsgleichung ist. Die Integration ist über irgendeine den Punkt P einschließende, alle Unstetigkeiten von u und seiner ersten Ableitungen aber ausschließende Linie auszuführen. Für eine beliebige, nichtperiodische Welle findet man daraus, mit Hilfe von (106) auf (22) und (19) rückschließend:⁹)

=2* / äs

dv

$(x)dr

— 00

— 00

ï/J

Im Gegensatz zur Fresnelsehen Zonenkonstruktion sind in der Gleichung (105) und (107) die Integrationen über die ganze, Lichtquelle und Aufpunkt trennende Fläche auszudehnen; sie spielen die Rolle des HuygJiensschen. Prinzipes, insofern sie die Wirkung in P zusammen-setzen aus sekundären Elementarwellen, welche von einer die Lichtquelle von P trennenden Fläche ausgehen. Doch sei darauf hingewiesen, daß man dem Faktor von dö keine physikalische Bedeutung zuschreiben darf. Die Darstellung durch Flächenintegrale wie in diesen Gleichungen ist nämlich unendlich vieldeutig, insofern man jede Lösung von Au -j- Fu — 0, welche sich in P wie sonst aber in dem von der Lichtquelle abgetrennten Raum regulär verhält, in Gleichung (105) an die

-ihr

Stelle von

setzen kann. Mathematisch ist ihre Brauchbarkeit

dadurch beschränkt, daß man auf der Integrationsfläche u und beide willkürlich vorschreiben kann. (Ist der eine von diesen beiden Randwerten gegeben, so bestimmt sich schon daraus u im ganzen eingeschlossenen Raum eindeutig mit Hilfe von Greemchen Funktionen, sodaß der andere Randwert mitbestimmt ist.¹⁰) In dem Problem der Beugungstheorie ist ferner von diesen Randwerten meist nicht einmal der eine bekannt, vielmehr kann man beide erst angeben, wenn das Problem gelöst ist. Kirchhoff überwindet alle diese Schwierigkeiten durch die Annahme, daß an der Rückseite eines die Lichtquelle abblendenden, undurchsichtigen Schirms u und

nicht

beide verschwinden

während sie in einer Öffnung dieses Schirmes genau die Werte haben, wie bei einer ungestörten Ausbreitung der Welle. Streng genommen ist mit dieser Annahme die oben vorausgesetzte Stetigkeit verletzt. Dennoch führt dies Verfahren zu weitgehender Übereinstimmung mit der Erfahrung. Eine nachträgliche Rechtfertigung findet es darin, daß, wie alle strengen Lösungen von Beugungsproblemen zeigen, die Bereiche, in denen Kirchhoffs Annahme erheblich falsch ist, Abmessungen haben, die nach Wellenlängen zählen. Beschränkt man das angegebene Verfahren auf Fälle, in denen alle Abmessungen groß gegen die Wellenlänge sind, so kann deswegen kein erheblicher Fehler entstehen.

Zuzugeben ist somit, daß die Kirchhoffsche Beugungstheorie nicht den höchsten mathematischen Anforderungen genügt. Ihr Wert liegt in ihrer einfachen Anwendbarkeit auf beliebig gestaltete Öffnungen. Die vorliegenden strengen Lösungen von Beugungsproblemen arbeiten durchweg mit wesentlich schwierigeren Hilfsmitteln und gelten stets nur für eine besondere Form des Hindernisses. Ihre Diskussion hat noch stets zu einer weitgehenden Bestätigung der Kirchhoffschen Theorie geführt (vgl. Nr. 60). Solange es kein allgemeines Verfahren zu ihrer Auffindung gibt, ist die Kirchhoff sehe Theorie völlig unentbehrlich.

Für die ungestörte Ausbreitung einer Kugelwelle ergibt Gleichung (105) im Gegensatz zur Fresnel sehen Konstruktion auch in der Phase den richtigen Wert von uP.

36. Einteilung der Beugungserscheinungen inKirchhoffs Theorie; Beobachtungsmethoden, Babinetsches Prinzip. In Kirchhoff s Theorie wird die Lichtquelle zunächst stets punktförmig gedacht. [Zu mehreren oder zu räumlich ausgedehnten Lichtquellen kann man nachträglich nach dem Superpositionsprinzip durch Summation aller Beugungswellen übergehen; sind die Lichtquellen inkohärent, so addieren sich dabei die Intensitäten.] Deshalb setzen wir in Gleichung (105) für die Integrationsfläche

ro

und erhalten

(110) up = *-J

»e-ü-(/- + r₀)

rr₀

{ift(cos (vr) — cos (vr₀)J -(-    ^    C°S ^T°^

Da eine Vertauschung von Lichtquelle und Aufpunkt (von r und r₀ sowie der Richtung von v) uP nicht ändert, gilt für beliebige beugende Öffnungen der Reziprozitätssatz: Die Helligkeit, die eine in A befindliche Lichtquelle in B hervorruft, findet sich in A, wenn B der Ort der Lichtquelle ist.

Ist X klein gegen r und r₀, so findet man unter Vernachlässigung von — und

1    ,2 n

~ gegen k= %

(111)

ik r

l7tj

d<5e

-ik(r + r₀)

—-(cos (vr₀) — cos (vr)).

rro

Up =

4 n

Unzulässig wäre diese Annäherung nur, wenn die beiden Kosinus einander gleich werden könnten; dies ist aber durch die weiteren Beschränkungen ausgeschlossen.

Die beugende Öffnung ist fast stets von einer ebenen Kurve begrenzt¹¹⁷), in deren Ebene man die Integrationsfläche verlegt. Dabei dehnt man die Integration nur über die Öffnung aus; nach Nr. 33 braucht man nämlich keine unendlich fernen Flächenstücke und nach der Kirchhoffsehen Annahme (Nr. 34) nicht die vom Schirm bedeckten Teile der Trennungsfläche von Aufpunkt und Lichtquelle zu berücksichtigen. Ferner werden die Dimensionen der beugenden Öffnung als groß gegen die Wellenlänge, aber als klein gegen die Entfernungen der Lichtquelle und des Aufpunktes angenommen. Wegen der ersteren Beschränkung liegt das ganze Beugungsphänomen in einem engen Bereich um die Richtung der einfallenden Welle herum, und man kann in Gleichung (111) cos (vr) = — cos (vr₀) setzen. Wegen der zweiten Beschränkung darf man diese Kosinus sowie das Produkt rr₀ im Nenner als konstant (cos (vr) — — cos (vr₀) = cos d) ansehen und für r und r₀ im Exponenten Reihenentwickelungen benutzen.

Legt man nämlich in die Ebene der beugenden Öffnung die #-?/-Ebene, wählt man einen Punkt in der Öffnung als Koordinaten-

117) Eine Ausnahme davon siehe bei H. Nagaoka, Journal of the college of science, Imperial University, Japan 4 (1891), p. 301, wo als Beispiel der Spalt auf einem Kreiszylinder behandelt wird.

anfang und gibt man der £-Achse die Richtung nach dem Aufpunkt hin, so wird

ro = V(xo — £)* + Oo — v)² + %

r = V(x — Ź)² + {y — v)² + *²,

wo oc₀, y₀, z₀ der Lichtpunkt, x, y, z der Aufpunkt, £17 die Koordinaten von dß sind. Bis auf Größen von der Ordnung (|/_R)³ findet man dann

|3o + m 6ł + <r _ (is + m)g

R₀

2 Ra

2R₀

(112)

£x + yy

l² + ^² (Mx + nyV

•2 RB

R = }/x*+y²+ zK

Man findet so aus (111):

(113) wo zur Abkürzung

Up —

ik coad e~iHR+Ra)

2 7t

R₀ R

j doéif^\

(114) /■(!, rj) = §(« — «o) + tj(ß — ß₀) — ^    (I² + V²)

(£cc-j-T]ß)²}

(£<x₀ + r]ßo )²

R₀

eingeführt ist und (115)    «₀=--|, ft-

die Richtungskosinus der Fahrstrahlen von der Lichtquelle zur Öffnung und von dieser zum Aufpunkt sind. Muß man hier die quadratischen Glieder beibehalten, so spricht man von Fresnelschen Beugungserschei-

_ y«L

R₀

B>

y_

nungen.

Behält man nur die linearen Glieder bei (Fraunhofer&che Beugungserscheinungen), so heißt dies, daß man im Bereiche der beugenden Öffnung die einfallende Welle als eben ansehen darf, desgleichen eine Welle, die vom Aufpunkt ausginge. Beide Bedingungen werden am besten erfüllt, wenn man Lichtquelle und Aufpunkt in die Brennebenen zweier Linsen verlegt, also mit Kollimator und auf Unendlich eingestelltem Fernrohr beobachtet. Man gewinnt so gegenüber der Beobachtung auf einem weit entfernten Schirm an Schärfe und Lichtstärke.¹¹⁸) Die Größen a — a₀, ß— ß₀ werden, wenn das Fernrohr senkrecht zur beugenden Öffnung steht, mit hinreichender Annäherung rechtwinklige Koordinaten in der Brennebene, gemessen vom Orte des geometrisch-optischen Bildes aus. Da der Wert von uP j² nur noch von diesen Differenzen abhängt, so bleibt bei einer Parallelverschie-

118) J. v. Fraunhofer, Denkschriften der Münch. Akademie 8 (1822), p. 1; Ges. Abhandl München 1888, p. 51.

28

Encyklop. d. math, Wisaonaoh. V 3.

bung der beugenden Öffnung in ihrer Ebene oder senkrecht dazu die Beugungserscheinung unverändert.

Ähnlich benutzt man auch bei den Fresnehchen Beugungserscheinungen vielfach optische Vergrößerung, um eng nebeneinanderliegende Intensitätsmaxima oder -minima sichtbar zu machen. In allen diesen Fällen beruft man sich auf den Satz, daß in einem optischen Bildpunkt alle Wellen genau mit der Phasendifferenz interferieren, wie im Objektpunkt, weil die optische Weglänge zwischen beiden konstant ist. Richtig ist dies nur, solange man von der Beugung an den Rändern der Linsen usw. absehen kann. Eine eigentlich wellentheoretische Begründung dieses Satzes ist bis jetzt noch nicht gegeben.

Für beide Arten von Beugungserscheinungen gilt das JBabinetsche Prinzip.¹¹) Wir betrachten drei verschiedene Fälle von Beugung derselben Kugelwelle. Einmal ist die beugende Öffnung so groß, daß die Beugungsfigur sich fast ganz auf das geometrisch-optische Bild zusammenzieht (ux). Sodann blenden wir einen Teil dieser Öffnung durch einen sehr viel kleineren Schirm ab (w₂). Drittens lassen wir die Beugung erfolgen an einer Öffnung, welche nach Lage und Größe mit diesem Schirm übereinstimmt ([u₃). Aus Gleichung (113) folgt

w₂ -j— u₃ = ui.

Da nach Voraussetzung in einiger Entfernung vom geometrisch-optischen Bilde ux verschwindet, so ist hier

\u₂ ² = \ u.₃ j²,

d. h. die Beugungsbilder einer Öffnung und eines gleichgestalteten Schirmes stimmen abgesehen von der Umgebung des geometrisch-optischen Bildes der Lichtquelle überein. (Vgl. Nr. 65.)

37. Fraunhofersche Beugungserscheinungen. a) Beugung am Beelitecli und Spalt. Aus (113) und (114) folgt bei Fortlassung der in | und rj quadratischen Glieder für uP, abgesehen von konstanten, nur die Gesamtintensität und Phase beeinflussende Faktoren:

(116)

Up — —

jy*d Id rj êk Ć(a “ “») +1V ~ i*»)).

Wir legen die Achsen parallel zu den Seiten des Rechtecks, deren Längen 2 A und 2B sind. Dann wird

uP= —

I d^eik^a~ao) J dgeikW

-Ä)

-A

-B

sin (kA{cc — u₀)) sin (kB(ß — ß₀))

kA(a — cc₀)

kB(ß-ß o)

Die Funktion sin.x/x hat für x — 0 ihr absolutes Maximum vom Wert 1; für x — hn verschwindet sie. Linien verschwindender Intensität sind somit die Geraden

(117a)

ß-ß°=ht^S

(ha, hp ganze Zahlen mit Ausnahme von 0). Eine Tabelle für diese Funktion gibt H. Schwerd. ¹²°) Eine gute Abbildung der JBeugungsfigur

sin *x

findet sich bei E. Abbe.¹² 13) Die Figur 9 stellt die Kurve

Wird    so wird das

Rechteck zum schmalen Spalt, und es zieht sich die Beugungsfigur immer mehr auf die Linie ß — ß₀ zusammen.

Eine zur y-Achse parallele, sehr lange Linie inkohärenter Lichtpunkte(enger Beleuchtungsspalt, glühender Draht) liefert nach (117) die Intensität

Fig. 9.

dar.

+ 00

+ 00

J\uP\*dß₀= (4 AB

sin (kA(a — a₀)) lcA(cc — u₀)

)■/

sin² kB (ß — ß₀)

— 00

— 00

(jcB(ß — ßo)y

dß₀

(118) Denn da

16 7T

fA'B

sin* QcA(a — a₀))

(kA(a — a₀)):

sin² co

co²

da = —

2 sin 00 cos co

(0

dco,

so ergibt sich, wenn man die Grenzen + 00 ein setzt,

+ 00

(118a) J

sin² co co²

da =

+00

I sin 2 co _

J <°

— 00

— 00

+00

I-,

dv =    .

— 00

Hier sind die Linien gleicher Intensität parallel zur y-Achse.

b) Beugung am Kreis,¹⁴) Man führt in der Ebene des Kreises und im Gesichtsfeld Polarkoordinaten ein:

rj — P sin & ß — ß₀ = p sin

£ = P cos © a — cc₀ — q cos #

28*

Dann wird nach (116)

A    -2 n

uP=J"*PdPJ d@eikpQ o    o

A ist der Radius der Öffnung. Nun ist nach bekannten Formeln aus der Theorie der Besselsehen Funktionen

(119)    2*

Also wird

(120)

0,25

0,20

0,15

0,10

2 Tt    2

htf d@éxooa&= J₀(x),    flJ₀(£)di = xJt{x).

o    5

Up = 2n A²

dj (Je A q)

k Aq

Der Quotient hat für x = 0 sein absolutes Maximum vom Werte seine Nullstellen liegen bei

x — 1,220 n, 2,233 7t, 3,238 7t usw.

Die Intensität schwindet somit längs der konzentrischen Kreise mit den Radien

ver-

(120a) q = 0,610-*j-,

1,116 j, 1,619 -A

Ä‘

0,05

0,01

0123456789    10

Fig. 10.

Die Figur 10 stellt einen Querschnitt durch das „Lichtgebirge“ dar. Die Intensität in den Ringen zwischen den Nullinien ist gegen die im Mittelpunkt herrschende so gering, daß man meist nur bei sehr hellen Lichtquellen diese Ringe wahrnimmt. Mit denselben mathematischen Hilfsmitteln läßt sich auch die Beugung am Kreisring behandeln (Airy Anm. 110.).

c) Veränderung des Beugungsbildes bei linearer Deformation der beugenden Öffnung. Setzt man in Gleichung (116) ml für nr\ für r\, dafür aber - —— für a — a₀ und - für ß — ß₀, so behält das Integral, abgesehen von dem Faktor mn, seinen Wert. Daraus folgt: Vergrößert man alle Abmessungen der beugenden Öffnung auf das m-fache in der x-, auf das n-fache in der «/-Richtung, so verkleinern sich die Abmessungen des Beugungsbildes auf ^ in der ^-Richtung, auf

^ in der «/-Richtung. Nach diesem wohl von Lommélnÿ) herrührenden Satz kann man aus der Beugung am Rechteck und am Kreis die am schiefwinkligen Parallelogramm und an der Ellipse ohne weiteres herleiten.

Bei einer Veränderung der Wellenlänge A — wachsen nach (116) alle Abmessungen der Beugungsfigur proportional zu ihr.

38. Talbotsche Streifen.¹⁵ 16) Bedecken wir einen rechteckigen Spalt von der Breite 2 A zur Hälfte mit einer Glasplatte von der Dicke D und dem Brechungsindex v, so erhalten wir infolge Interferenz der an den beiden Spalthälften gebeugten Wellen nach Gleichung (57) bei Fraiinhoferecher Beugung die Intensität

Ąa) =

sin²(-|-& A(a— «,))

(\kA{a — ax))

Bei Benutzung einer Lichtlinie cq = konst. ist die Intensität unabhängig von ß. Jetzt soll als Lichtquelle ein kontinuierliches Spektrum dienen, d. h. eine stetige Folge derartiger Lichtlinien mit wechselnder Wellenlänge; so werden A und 1c, deshalb auch v, Funktionen von cq, ebenso wie die Helligkeit dieser Linien /(cq). Im Beugungsbilde wird so die Intensität an der durch a angegebenen Stelle

= J /(cq)

sin² {\kA{u — ctj))

QkA(u — a,))²

COS² {^lc\A(a — cq)— D(v — 1)] }c?cq

Da A » A sein soll, so fällt der Quotient schnell von seinem Maximalwerte herab bis zu unmerklich kleinen Werten, wenn cq sich von a entfernt. Die Funktion /(cq) nehmen wir als so langsam veränderlich an, daß sie in dem Bereiche, in welchem der Quotient noch merklich ist, als konstant betrachtet werden kann. Aus demselben Grund können wir die Integration von — oo bis -{- oo ausführen. Ferner sehen wir von der Veränderlichkeit des k überall ab, wo k mit a — cq multipliziert auftritt, weil die Berücksichtigung seiner Veränderlichkeit nur Glieder mit (ce — cc,)³ usw. hinzufügen würde. Dagegen müssen wir

d(Jc(v — 1)) da,

kD(v — 1) = D^k₀(v₀ — 1) — (cc — cq)

setzen. Dabei ist 2it/k₀ eine mittlere von den Wellenlängen, für die der Sinusquotient einen noch in Betracht kommenden Wert hat; groß ist der so frei bleibende Spielraum nicht, weil k nach dem Gesagten eine Funktion von cq ist und bei gegebenem cq jener Quotient nur in einem geringen, den Wert a umgebenden Bereich von cq wesentlich von 0 verschieden ist. k₀ ist somit im folgenden als Funktion von a zu betrachten (desgleichen der zugehörige Wert v₀ des Brechungsindex). Bei einer stetigen Veränderung von a streicht der zugehörige Bereich von cq über alle vorkommenden Werte von cq hin, es durchläuft die Wellenlänge 2jr/7q, somit das ganze Spektrum. Führen wir schließlich

2D d(k{v — 1))

KÀ

ein, so finden wir für die Intensität bis auf den konstanten Faktor

(121) Ąk₀A(cc — cc,) = co l = 1 -f-

da,

, m = k₀D(v₀ — 1)

kQ A

(122)

ĄĆ) = f{«) j

sin* ca

ca*

cos² (la — m)da

— 00

Zur Berechnung dieses Integrals dient die Formel (118a), aus

welcher

+ 30

f* sin²p

J

— da — \p \it

— oo

folgt. Mit Hilfe der Identität sin² a cos² (la — m)

= -|-[sin²a) -f- cos 2m sin²co cos 2la -f- sin 2m sin²a> sin 2la]

verwandelt sich das Integral in (122) in die Summe von drei anderen Integralen, von denen das letzte verschwindet. Setzen wir in dem zweiten

sin² co cos 21 a = |-[sin²(Z -}— 1) ca —sin²(Z — 1)g>] — sin²?aj

so finden wir für (122) :

1Z + 1 | + 1E — 1 1 —2 [El

cos

2mj ■

Der Faktor des Kosinus ist hier 0, wenn \ l\ > 1, er ist 1 — \ l\, wenn j l < 1. Da hier m nach (121) wie k₀ als Funktion von a zu betrachten ist, variiert im letzteren Fall die Intensität mit a nach einem Kosinusgesetz*, d. h. es treten im Spektrum Interferenzstreifen auf; damit aber 11 \ < 1 sein kann, muß nach (121)

d (Jc(v — 1)) dax

sein. Durchläuft man ein Spektrum vom roten zum violetten Ende, so nehmen k und v gleichzeitig zu; verschiebt man die Lichtquelle in der positiven ^-Richtung, so nimmt ux wie a₀ wegen des negativen Vorzeichens in (115) ah. Bedingung für die Sichtbarkeit von Interferenzstreifen ist infolgedessen, daß das violette Ende des Spektrums auf der Seite der positiven x, d. h. auf der Seite der mit der Glasplatte bedeckten Spaltseite liegt (vgl. Nr. 18 Figur).

Ist diese Bedingung erfüllt, so nimmt mit von 0 an wachsendem D und abnehmendem l der Faktor von cos m und damit die Sichtbarkeit der Streifen bei 0 beginnend zunächst zu und erreicht den Maximalwert 1, wenn 1 = 0, d. h. nach (121)

KA_______

2 d(Jc(v—D) dccx

wird. Bei weiterem Wachsen nimmt dieser Faktor wieder ab, um gänzlich und für immer zu verschwinden, sowie l = — 1, d. h.

(123)

I) =

<0

(124)

D = k₀A

d(k(v — 1))

da,

wird. Da der hier auftretende Differentialquotient nicht im ganzen Spektrum konstant ist, werden beide Werte für verschiedene Teile des Spektrums verschieden sein.

Für den Fall einer zur Hälfte bedeckten kreisförmigen Öffnung behandelt Struveira) das Problem; das Ergebnis ist dasselbe.

Eine anschauliche, dem Wesen nach aber mit der obigen übereinstimmende Deutung dieser Streifen gibt Schuster.¹²⁶) Eine Strahlung von kontinuierlichem Spektrum falle senkrecht auf das Gitter G (Fig. 11); die Linse Lx mag so gestellt sein, daß in ihrer Brennebene FXFX ein Spektrum erster Ordnung liegt. Dessen violettes Ende liegt

125)    H. Struve, Mém. Acad. sc. S‘ Pétersbourg 31 (1883), p. 1.

126)    A. Schuster, Phil. Mag. (6) 7 (1904), p. 1.

Durch eine zweite Linse L₂, welche am Orte des von

dann bei Fx.

Lx entworfenen Bildes von G zu denken ist, werde dies auf die Ebene

F₂ F₂ abgebildet. Die Strahlung denken wir uns nun als unregelmäßige Folge kurzer Impulse und fragen, was das Auftreffen einer einzigen ebenen Impulswelle für Folgen bat. Diese gibt nun (vgl. Nr. 28) an jedem Gitterelemente AXA₂ . . . Anlaß zu einer kugeligen Impulswelle; in einem Punkt Px von FXFX und ebenso im konjugierten Punkt P₂ von

As

■ F₂F₂ treffen diese Impulse in dem Zeitab-¹ stände voneinander ein, der gleich der Periode der in diesen Punkten vorherrschenden Sinusschwingung ist. Zum Zustandekommen von Interferenzen zwischen den genannten Impulsen in P₂ ist es notwendig, die früher an-kommenden aufzuhalten; am besten gerade ^ die Hälfte von allen, und zwar um so viel Zeit, daß die von Ax und At kommenden gleichzeitig eintreffen. Das kann durch eine die linke Hälfte des Gitters oder, da dies durch Lx auf L₂ abgebildet wird, die rechte Hälfte der Linse L₂ bedeckende Glasplatte geschehen; während ein Einschieben dieser Platte vor die linke Hälfte von L2 offenbar unwirksam wäre. Ebenso wird unmittelbar anschaulich, warum es für deren Dicke D (vgl. (123)) einen zum Linsenradius proportionalen günstigsten Wert gibt, und warum die Erscheinung wieder verschwindet, wenn man D (vgl. (124)) mehr wie doppelt so groß wählt.

39. Die Fresnelschen Beugungserscheinungen. a) Die Fresnel-schen Integrale.¹²⁷) Behält man in Gleichung (113) die in % und rj quadratischen Glieder der Reihenentwicklung (114) hei, so kann man durch geeignete lineare Substitutionen stets die linearen Glieder fort-schaflfen und gelangt so vielfach zu Integralen von der Form

Fi

p₂

Pi

rn

Fig. 11.

(125)

u

S* i v*

F(u) = I e o

dv

Den reellen und den imaginären Bestandteil dieses Integrales

127) A. Fresnel, Mémoire sur la diffraction de la lumière, Mém. de l’Acad. d. sciences 6 (1818), p. 339; Ann. d. chim. et d. phys. (2) 11, p. 246 u. 337 ; Oeuvres 1, p. 247; A. Cauchy, G. R. 2 (1836), p. 455; 15 (1842), p. 534 und 578; K. W. Knochen-hauer, Pogg. Ann. 41 (1837), p. 103.

(126) C(u) = J cos (^v²) dv,

S (u) = sin dv, o

o

bezeichnet man als die Fresnel&chen Integrale.

Die Integration ist hier zunächst für reelle Werte von v auszuführen. Um F(oo) zu berechnen, führen wir die Integration aber besser in der Ebene der komplexen Variablen v = x -f- iy längs der Geraden x — y vom Koordinatenanfang bis zu unendlich großen positiven Werten von x, um dann auf einem Teil des unendlich großen Kreises um den Anfangspunkt zur x-Achse zurückzukehren. Der zweite Teil dieses Integrationsweges liefert wegen

i--v^

e ²    = e

~ [«(z² — y^-Zxy]

dv = dx(l -f- i)

den Beitrag 0; denn x und y sind auf ihm beide positiv und x unendlich. Für den ersten Teil ist iv² = — 2x²,

dv =

Somit wird

(1 + i) J e~n*dx = |(1 + i). 0

(127) F(oo) =

f-

o

dv = \ (1 -f i),

C(oo) = S(oo) == 4.

Um uns den Verlauf der Funktionen C{u) und S(u) zu veranschaulichen, bestimmen wir die Kurve, welche ein Punkt mit den rechtwinkligen Koordinaten C(u) und S(u) mit wachsendem u durchläuft. Da C(— u) — — (7(m), S(— u) = — S(u), liegt diese Kurve zum Anfangspunkt symmetrisch; sie geht durch den Nullpunkt. Da ferner

dC = du cos

dS = du sin ^-m²,

gelten für die Bogenlänge s (gerechnet vom Koordinatenanfang), den Neigungswinkel r gegen die C-Achse und den Krümmungsradius R die Formeln:

ds — YdC² -f- dS² = du, also s = w;

« d S . tt o -» tg T = dC ⁼ *8 2 U alS° T

(128)

dt

= ns.

R ds

Die Kurve hat somit im Koordinatenanfang (s = 0) einen Wendepunkt und berührt die C-Achse, für 5=1 ist sie parallel zur $-Achse für 5 = y 2 wieder parallel zur (7-Achse usw. Da ihre Krümmung dauernd wächst, besteht sie in einer sich nicht schneidenden, die (für

tiefste; mit fortschreitendem h flachen Maxima und Minima mehr und mehr ab.

Zur numerischen Berechnung von F{u) kann einmal die überall konvergente Reihe

Fia) — « l 1 -f

(•■I«-)² (i «•)*    (,• «■)'

fcöl 3

1! 3

2! 5

3! 7

n\ (2w -f-1)

4*²

ergibt; nach Da sie außerhalb des angegebenen Bereiches zu langsam konvergiert, ist für große u eine nach fallenden Potenzen von u fortschreitende, von Lommel, Gilbert¹⁷ 18), lanatowski¹⁹) benutzte Reihe zweckmäßiger, die bei Kirchhof²⁰) auch von der Identität

dienen, die sich aus der Potenzentwicklung von e

ihr

berechnet Lommel¹²⁹) die Werte für 0 < u < ~j/^.

zur

allgemeinen Diskussion benutzt wird. Ausgehend

/?*-/■

b©!

i n \_vn +¹

h (*» + 1)

aus der für positive u

00

oo

e .² ₍lv _ J:

i—w²

e ²

h (* + 1)

fl

i— v¹

folgt, findet man nach (127):

i — u'¹

(ÎTIU*)™

dv.

(131)

00 1 . 3 ... (2n + 1)

Die hier auftretende Summe wäre, ins Unendliche fortgesetzt, zwar nicht konvergent, da ihre Glieder nur anfangs abnehmen. Da aber

der absolute Wert des Restes

s — + oo erreichten) Punkte G— S — -f- ^ unendlich oft umkreisenden Doppelspiralen (Cornusche Spirale)²¹) (vgl. Fig. 12). Das komplexe Integral F(u) ist nach Richtung und Größe durch den Radiusvektor vom Anfangspunkte zum Punkt s = u dargestellt.

Ähnlich ist das Integral

Je^dv = F(u) - F(— oo)

— 00

AL

1.5

06

15.

J,5.

fr

■o 0 3

Ul"

ß 0?

0,3

0 7    0,S    0.5    0

J,3__02    01

Al

01

0 2"    $ Ö

Z) Cosl'v’ dv

łÖ}5ÖjS 07    0/8

02

JA

7/,

3.

0.6

2,5

il

Fig. 12.

als Vektor vom negativen Windungspunkt aus zu deuten. Der absolute Wert bat bei beiden Integralen Maxinia nabe bei

(129)

Minima nabe bei

(130)

«=y\ *, y-i * •

—y h Y

...yv

7CQ,

7t.

7t, .

Das erste dieser Maxima ist das höchste, das erste der Minima das

vn-

1 ,3...(2n + 1)

1.3 ... (2 n— 1)

(<*)

M+ 1

(ITtU*)”

also kleiner als der absolute Wert des letzten Summanden ist, wird bei Fortlassung des Integrales in (129) der Fehler kleiner als das letzte Glied, das man noch berücksichtigt. Für mittlere Werte von u führt Lommel¹³³) G(u) und S(u) auf Besselsche Funktionen zurück. Da nämlich

C(u) =

L /

1/2 nj o

4-ttm*

COS Z

]/z

1 P*

0

T⁷¹“²

Ä(tt) =

1 /*sin2

F2«»/ F*

dz — ~ ( Ji (z) dz

2 2

so gilt:

'Q

M’

$ = «7^ 3 —I— t/ 7 —11    — . . -

2 2 2

als Argumente von C und Jk bzw. von S und Jk sind dieselben Werte zu wählen.

b) Die Beugung am Spalt. In Fig. 13 soll Q die Lichtquelle, P der Aufpunkt, die Gerade E eine Darstellung der Ebene sein, welche die —E beugende Öffnung enthält. Als Anfangspunkt der Koordinaten | und rj in ihr wählen wir den Durchstoßpunkt 0 der Geraden PQ. Dann wird nach (115) a = u₀, ß = ß₀, somit nach (114)

Fig. 13.

V) 2{r₀X~e)

ki²+**)-««+ ^ot

Hier ist -f- rjß gleich der Projektion MN der Strecke OM auf die Gerade PQ, vorausgesetzt, daß £, rj die Koordinaten von M sind;

133) Vgl. Amn. 129.

somit ist (§²-f- rf) — (|cc -f- riß)² — OM'², wo OM' die Projektion derselben Strecke auf die zu PP₀ senkrechte Ebene bedeutet. Führt man in der letzteren die Koordinaten £', r\ ein, so wird

und wenn man schließlich von diesen zu den Variabein

(132)

übergeht, so folgt aus (113) bis auf einen konstanten Faktor:

(®- + w’¹)

Up —J'J'dvdwe *

Wir wenden diese Formel auf eine rechteckige Öffnung an, zu deren Seiten, 2 A und 2B, wir die Koordinatenachsen parallel legen. Die Lichtquelle Q soll sich mitten über der Öffnung, der Aufpunkt P in der zum Seitenpaar B senkrechten Symmetrieebene, der Zeichenebene von Fig. 14 befinden. Die Integration nach w in (133) ist dann von

(133)

*4

^2

1-V

+Vy ($: + $■)

bis

Fig. 14.

zu erstrecken und liefert einfach einen von der Richtung der Geraden PQ unabhängigen Faktor, für den man bei einem hinreichend großen Wert von B (bei einem langen Spalt) nach (127) 1 -f- i setzen kann. Unterdrückt man ihn, so wird

(134)

Up =

»i

/•

dv,

wo nach (132) unter Vernachlässigung von x² gegen (P₀ -f- P)², d. h. bei Vertauschung von mit |

(135)

Ff (s~ + i)^—Vt(sö + i) (Ä — ttfę) ^⁼Vt{w, + i)^⁼Vł(ś; + i) (— Ä ~

»x =

B B₀

zu setzen ist. Die Intensität jwp|² ist infolgedessen gleich dem Quadrat der Sehne der Cornu sehen Spiralen, welche die um die Bogenlängen vx und v₂ vom Nullpunkt abstehenden Punkte auf ihr verbindet.

Die Diskussion, bei welcher wir x als positiv annehmen wollen,

ergibt in Hinblick auf (129) und (130):

1) Ist vx — v₂ = 2A^y -j-    < < 1, so ist die Sehne nahe

gleich der Bogenlänge vx — v₂ zwischen ihren Endpunkten, die Intensität uP |² somit von x unabhängig. Erst, wenn der Abstand x des Aufpunktes von der Mittelebene des Spaltes so groß wird, daß der Punkt im Bogenabstand

+^2

v — -

m    2

Vt {r + B₀)

x B₀

B -j- B₀

vom Nullpunkt auf stark gekrümmte Teile der Spiralen gerät, wird die Sehne allmählich kürzer, die Intensität nimmt somit ab.

2)    Ist vx—v₂=2M^/y^—j- -^) von der Größenordnung von

1, so ist in dem Gebiet von der Mitte bis zur geometrisch-optischen Schattengrenze (yx > 0) die Sehne nur wenig kleiner als der Bogen, sie nimmt allmählich ab, wenn der Aufpunkt sich der Schattengrenze nähert. Im „Schatten“ (yx < 0) hingegen bekommt die Sehne Maxima und Minima, wenn j vm J bei konstantem vx — v₂ wächst; schließlich wird sie auch hier kleiner und kleiner. Die Intensität nimmt also von der Mitte bis zur Schatten grenze, langsam ab, im Schatten aber liegen „Beugungsstreifen“.

3)    Ist vx — v₂ = 2äJ/j- -f- ^ > > 1, so liegen die Punkte

vx und v₂ schon für x — 0 in den Windungen der Spiralen; es finden sich deshalb schon diesseits der Schattengrenze Maxima und Minima der Intensität. Ob in der Mitte selbst ein Maximum oder Minimum auftritt, hängt von den Umständen ab; bei wachsendem Abstand R vom Spalt z. B. wechseln helle und gegen die Umgebung dunkle Streifen miteinander ab. Nach Überschreiten der Schattengrenze erfolgt das Abklingen der Intensität weit schneller als in den Fällen 1) und 2).

Ganz ähnlich verläuft die Berechnung der Beugung an einem geradlinig begrenzten schmalen Schirm und an zwei Spalten (Versuch von Younglu)). Etwas schwieriger gestaltet sich die Theorie für eine kreisförmige Öffnung.¹³⁵) Über die Beugungserscheinungen an einer einzelnen Kante vgl. Nr. 60.

40. Die geometrische Optik als Grenzfall für verschwindende Wellenlänge. An jedem der Beispiele der vorhergehenden Nummern zeigt sich, daß sich im Grenzfall A = 0, d. h. Je = oo die geometrischoptischen Verhältnisse einstellen; doch ist bei diesen Darstellungen die Annäherungsformel (113) benutzt. Auf Grund der strengen Formel (110) führt Kirchhoff¹³⁶) den folgenden allgemeinen Beweis:

¹

   Christian Huyghens, vgl. Anm. 19.

²

   Grimaldi, Physico Mathesis de Lumine. Die Literatur über die zahlreichen Beugungsbeobachtungen vor Fresnel vgl. Winkelmanns Handbuch VI, Leipzig 1906, p. 1033.

³

   M. Abraham, Ann. d. Phys. 14 (1904), p. 236.

⁴

   A. Fresnel, Oeuvres 1, Paris 1866, p. 247.

⁵

   Schon Schwerd (1835) (vgl. Anm. 111) wendet die Fresnelschen Gedanken auf beliebige Flächen an.

⁶

   G.G. Stokes, Transact. Cambridge Phil. Soc. 9 (1849), p. 1; Pap. 2, p.243

⁷

   G. Kirchhoff, Zur Theorie der Lichtstrahlen. Berlin Sitzber. 1882, p. 641; Wied. Ann. 18 (1883), p. 663; Vorlesungen über mathem. Optik, Leipzig 1891, p. 22 u. f. ; Ges. Abh. Nachtrag p. 22.

⁸

   H. Lamb, Lehrbuch der Hydrodynamik, Leipzig u. Berlin 1907. Deutsch von J. Friedei p. 579 u. f. Enc. IV Art. 26, Nr. 6 bzw. 6c. Eine andere Ableitung W. Voigt, Kompendium d. theoret. Physik II, p. 776, Leipzig 1896.

⁹

V. Volterra, Acta mathematica 18 (1894). p. 161.

¹⁰

Vgl. IV 26, Nr. Gc.

¹¹

A. Babinet, Paris C. R. 4 (1837), p. 638.

¹²

   F. M. Schwerd, vgl. Anm. 111.

¹³

   E. Abbe, Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop. Braunschweig 1912, p. 42.

¹⁴

   Ygl. Anm. 110. Schwerd (Anm. 111) behandelt statt des Kreises ein reguläres 180-Eck.

¹⁵

   G. Kirchhoff (Vorl. über mathem. Optik, Leipzig 1891, p. 95) schreibt ihn E. Lommel zu, ohne das Nähere anzugeben.

¹⁶

   H. F. Talbot, Phil. Mag. 10 (1837), p. 364; D. Brewster, Brit. Association Rep. 7 (1837), p. 12; G. B. Airy, Ann. Phys. Chexn. 53 (1841), p. 459; 58 (1843), p. 535; James Walker, Phil. Mag. 11 (1906), p. 531; B. W. Wood, Phil. Mag. 18 (1909), p. 758 (mit einem Photogramm).

¹⁷

   E. Lommel, Abh. d. Kgl. bayerischen Akad. d. W. 15 (1886), p. 120.

¹⁸

   Ph. Gilbert, Mém. cour. Acad. Bruxelles 31 (1863), p. 1 ; vgl. auch A. Winkelmann, Handbuch der Physik VI, Leipzig 1906, p. 1053.

¹⁹

   W.v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 23 (1907), p. 875; vgl. auch E. Jahnke und F. Emde, Funktionstafeln mit Formeln und Kurven, Leipzig und Berlin 1909, p. 23.

²⁰

G. Kirchhoff, Vorl. über math. Optik, Leipzig 1891, p. 122 u. f.

²¹

A. Cornu, Journ. d. Phys. 3 (1874), p. 1, 44; Paris C. R. 78 (1874), p. 113.

Ausgangspunkt sind die aus der Theorie des Fourier sehen Doppelintegrals stammenden Sätze: ist F eine stetige Funktion, so ist:

(136)

dt

lim fdF * = =cJ <

51

cr*j M

ist außerdem

stetig, so ist

(137)

e~ik-d£ = -f- i lim

d F _ik E

l dte ■ &

Der zweite Satz geht durch die partielle Integration

e~ikt —

aus dem ersten hervor, da das Integral rechts im Grenzfall verschwindet.

. dF

dt

Wir geben dem zwischen Lichtquelle und Aufpunkt eingeschobenen Schirm beliebige Gestalt, lassen auch die Begrenzung der Öffnung in ihm ganz beliebig. Die Integration in (110) ist auszuführen über irgendeine durch die Begrenzungskurve gehende Fläche, wenn diese nur Lichtquelle und Aufpunkt trennt (vgl. Nr. 35). Wir wollen sie stets so legen, daß kein endlicher Teil von ihr auf einem der Rotationsellipsoide r -j- r₀ — const. liegt, und daß sie auch keins von diesen berührt. Sie wird dann durch ihre Schnitte mit einer Schar solcher Ellipsoide in unendlich schmale Streifen eingeteilt.

Die Formel (110) hat die Gestalt:

uF=f(G₁ + kGs) e-de.

(138)

134)    Ygl. etwa die Darstellung in Winkelmann, Handbuch d. Phys. VI, Leipzig 1906, p. 1060 f.

135)    E. Lommel, Abh. d. Bayerischen Akad. 15 (1884), p. 229.

136)    G. Kirchhoff, Vorles. über math. Optik, Leipzig 1891, p. 35. Wied. Ann. 18 (1883), p. 663, Ges. Abh. Nachtrag p. 22.

Wir führen

r + r₀ = £

als Integrationsvariable ein, indem wir die Fläche in die genannten Streifen zerlegt denken, und definieren die Funktionen Fx und F3 durch die Forderungen:

dFt

(139)

dt

dt, =^Gl d 6,

dFs

dS

beide Integrale ausgeführt über den dem Intervall dt, entsprechenden Streifen. Damit wird aus (138)

Up

wenn £L und £g die äußersten auf der Fläche vorkommenden Werte von £ sind.

Das erste dieser Integrale verschwindet nach (136) im Grenzfall k = oo stets, da Ft nach unseren Annahmen stetig ist. Damit auch das zweite Integral verschwindet, muß    1) im Integrationsbereich

endlich und stetig sein, 2) nach (137) für £x und £₂ verschwinden. Damit der ersten Bedingung genügt ist, muß jedem unendlich schmalen, von Linien £ = const. begrenzten Streifen ein von derselben Ordnung unendlich kleines dt, entsprechen. Sie wäre verletzt, wenn die Integration sfläche eines der Ellipsoide berührte, was wir oben ausgeschlossen haben. Sie ist aber auch dann verletzt, wenn die gerade Linie von der Lichtquelle zum Aufpunkt durch die Öffnung hindurchführt und somit die Integrationsfläche schneidet. Denn auf dieser Linie hat £ den kleinsten überhaupt möglichen Wert. Entfernt man sich von ihr um eine unendlich kleine Strecke, so ist dt, unendlich klein zweiter Ordnung. Die zweite der obigen Bedingungen aber ist dann und nur dann erfüllt, wenn kein Teil der Begrenzung mit einer Linie £ = const. zusammenfällt. In diesem Falle hat nämlich der letzte, von der Begrenzung der Fläche und der Linie £x -f- dt, bzw. £₂ — dt, begrenzte Streifen einen von höherer Ordnung unendlich kleinen Inhalt, während sonst sein Inhalt von derselben Ordnung wie dt, ist.¹) Im Grenzfall X = 0 wird somit Up = 0, wenn weder die gerade Linie Lichtquelle-Aufpunkt durch die Öffnung führt, noch für irgendeinen Teil ihrer Begrenzung r -j- r₀ = const. ist.

Führt umgekehrt jene Gerade durch die Öffnung, während für keinen Teil der Randkurve r -(- r₀ — const. ist, so können wir diesen

Satz anwenden auf das Integral J\g± kGf) e~ik(r+ro) da, ausgeführt über die der Lichtquelle zugewandte Seite des Schirmes; es ist danach gleich Null. Die Integration über die Öffnung und über diese Fläche des Schirmes ergibt aber nach dem Schlußsatz von Nr. 35 den der ungehinderten Fortpflanzung entsprechenden Wert

UP =

e-ik(r + r₀)

r + r₀

Denselben Wert ergibt also auch das Integral über die Öffnung allein. Im geometrischen Schatten haben wir somit im Grenzfall 1 = 0 vollkommene Dunkelheit, sonst ungestörte Ausbreitung der Welle.

Daß der Fall, in welchem die Berandung des Schirmes ganz oder zum Teil der Gleichung r -f- r₀ = const. genügt, eine Ausnahme bilden muß, bestätigt man leicht am Beispiel eines kreisförmigen Schirmes, auf dessen Achse die Lichtquelle liegt, (vgl. Nr. 34). In diesem Falle herrscht hinter ihm auf seiner Achse stets Helligkeit, unabhängig von der Wellenlänge.

Den Satz, daß die geometrische Optik nur einen Grenzfall darstellt, spricht Bayleigli in der Form aus, daß der Wellenoptik zufolge jeder seitlich begrenzte Strahl in seiner Richtung notwendigerweise bis zu einem gewissen Grade unbestimmt ist.²)

Wie man von der Schwingungsgleichung Au -{- k²u = 0 zur Differentialgleichung für das geometrisch-optische Eikonal gelangt, ist nach einem Gedanken von Debye von Sommerfeld und Bunge³ 4) gezeigt worden.

(108)

41. Das Verhalten der Lichtwelle in der Umgebung eines Brennpunktes. Man kann nach Debye¹¹⁰) von der Gleichung (105) oder zu mathematisch strengen Lösungen der Schwingungsgleichung kommen, wenn man die Blende ins Unendliche verlegt. Insofern der Abstand zwischen ihr und dem Aufpunkt dadurch unendlich groß wird, findet man so Beugungserscheinungen vom Fraunhofer sehen Typus.

Nimmt man im dreidimensionalen Fall (Gleichung (105)) die unendlich ferne Kugel (Radius B) von einem undurchsichtigen Schirm bedeckt an, bis auf den Teil, welcher dem körperlichen Winkel H entspricht, und denkt man diesen Teil mit einer nach dem Nullpunkt des Koordinatensystems konvergierenden Kugelwelle von außen be-

29

V 24. M. v. Laue. Wellenoptik, leuchtet, so hat man in dieser Formel

440

eikR

u = -=-und bis auf Glieder von der Ordnung R~²

u    du    .₇ elkR

7“ dS = ilc ~B

zu setzen. Sind ferner wie bisher x, y, z die Koordinaten des Aufpunktes P, £, rj, £ die des Flächenelementes da, so ist (vgl. (112) und (114)) in der genannten Gleichung

r =    +    — V7 + (S — ^)² = P — (xa + yß + zy)

zu setzen, wo a, ß, y die Richtungskosinus des Fahrstrahles vom Nullpunkt nach da sind. Infolgedessen ist auf da

ikr

_ _ ßik (x cc + y fi + z y) _

r    R

Man findet, indem man schließlich noch R^dil für da einführt:

e~

e~

ikR

a (e~ikr\ ¹ dv \ r )

— ikdk&ct + yp+ty) _

e~

ik R

IT'

+v(i + zY)dSl.

(140)

ik

Up = 2x

Man bestätigt leicht, daß dies Integral der Schwingungsgleichung mathematisch streng genügt, da dies für die Funktion e*‘*(*<* +y/* + */) gilt, und durch Summation solcher Lösungen wiederum eine Lösung entsteht. Es stellt, wie aus seinem Aufbau und auch aus den weiter unten stehenden Formeln (149), (150), (151) ersichtlich, einen Strahlenkegel vom körperlichen Offnungswinkel il dar, für welchen der Koordinatenanfang Brennpunkt ist.

Wir diskutieren die Gleichung (140) für den Fall, daß il von einem Kreiskegel mit dem Achsenwinkel A begrenzt ist. Bei Einführung von Polarkoordinaten durch die Gleichungen

x — r cos 11    y — r sin fi- cos cp    z — r sin & sin cp

a — cos ®    ß — sin ® cos 0    y — sin ® sin

finden wir zunächst

A    2 Tt

s^cos O + sii^sin 0cos(<p — cf>)) gjn (h)

(141) up== ^ j*d® J*d O eikrl°° Ó o

Die Integration nach liefert nach (119)

up — iJc

kfd® sin ®eikrcoa9coi&J₀(kr sin# sin ®). o

Die Formel vereinfacht sich, wenn A² 1 und krA² 1 ist, da man dann

sin © = ©, cos © = 1

setzen kann, nach (119) zu

Up =

ikeikrc0B& f(&J₀(kr sin fl • &)d& o

= ikA²eikrcoa&

Jx(krA sin fl)

kr A sin fl

Für die zur Fortpflanzungsrichtung senkrechten Ebenen durch den Brennpunkt (x — 0) ist sin fl = 1. Bedenkt man, daß RA = A der Radius der kreisförmigen Blendenöffnung ist, daß ferner die in Nr. 37 b. eingeführte Größe p mit r in dem Zusammenhänge qR — r steht, so findet man, abgesehen von einem Faktor von konstantem absolutem Werte, welcher in Nr. 37 b. vernachlässigt ist, volle Übereinstimmung mit Gleichung (120)5 doch erkennt man hier ohne weiteres den Weg, auf welchem die Annäherung weiter zu treiben wäre.

Im Gegensatz zu dieser für kleine Werte kr gültigen Näherung setzen wir im folgenden kr^> 1 voraus. Streng gilt noch nach (141) für Punkte P auf der Achse des Strahlenkegels

Up =

d. h. wenn P vor dem Brennpunkt liegt und

Up = —

(142)

* (eikr—ßikrcoaA^ wenn fl = 0

(143)

— (e~ikr

r v

ikr cos A

), wenn fl = 7t,

d. h. wenn P hinter ihm liegt. Sonst bedürfen wir eines Annäherungsverfahrens, zwecks dessen wir zunächst neue Polarkoordinaten r, ^ einführen; x soll die Poldistanz gemessen von der Richtung OP aus sein, das Azimut ^ soll die Neigung einer durch OP gehenden Ebene gegen die Ebene durch OP und die Achse des Kegels (fl == 0) messen.

Die Umrechnungsformeln lauten (vgl.

Fig. 15):

cos r = cos fl cos ©

— e~

(2)

fl

(l

T.

-f- sin fl sin © cos (cp — #)

(144) cos f =

cos & — cos fl cos r

sin fl sin r

Fig. 15.

29*

so

daß nach (141)

(145)

Up =

^IfJ J*drdip sin xeikrooat.

a) Der Aufpunkt P liege nun im Strahlenkegel vor dem Brennpunkt (0 < # < A). Die Integration führen wir für die Gebiete 1 und 2 in Fig. 15 gesondert aus. Das erstere ergibt als Anteil an uP:

JL — $    2 7t

£fd\fd*s i

0 0

nteikr oost =y(e:

' kr

_ gikrcos(A — 9)^

Die Berechnung von J₂ leiten wir so, daß wir zunächst die Integration nach -ip zwischen den Grenzen    ausführen, wobei nach (144) (siehe

auch die Figur)

(146) ist: also:

COS ip₀ —

cos A — cos -fr cos r

sin fr sin x

+ ipo    A 4- 9

^~fdt J dip sin tearcosT = ^J”*dzil>₀ sin xeikrcoat.

A — 9 —ipo

Durch fortgesetzte partielle Integration läßt sich dies in eine nach fallenden Potenzen von hr fortschreitende Reihe entwickeln, deren erstes Glied lautet:

A-9

H    \jL + &

nr    IA-9

Nach (146) aber ist ip₀ für t — A + -fi gleich 0 bzw. gleich 7t] also

J __ ^ fâkrcos(A — 9)

2 r

Up — Jt -j- J₂ = eikr, wenn 0 < fi- < A.

(147)

(148) und

(149)

Die nächste Umgebung von = 0 ist hier ausgeschlossen, wie der Vergleich mit (142) zeigt, und zwar, weil nach (146) dort unendlich groß wird, die benutzte Reihenentwicklung somit versagt.

b) Liegt hingegen der Aufpunkt außerhalb des geometrisch optischen Strahlenkegels (A <    < % — Â), so fällt bei dem entsprechen

den Berechnungsverfahren das Gebiet 1 fort, und es wird

9+A

dxxpQ sin xelkrcoar = —

9-A

Da aber nach (146) für beide Integrationsgrenzen ip₀ = 0, finden wir mit derselben Annäherung wie oben

Up — 0, wenn A < fi- < 7t — A.

Up = J₂ =

ikr cos t

9- A

(150)

u — ZQ

(152)

c) Den Fall, daß P im Strahlenkegel, aber hinter dem Brennpunkt liegt (st — A < ff < sc), können wir auf den ersteren zurückführen, wenn wir statt t den Winkel t' — sc — r als Intégrations variable benützen. Man findet dann nämlich aus (145)

dt'dxk sin r' e~ikrooBt',

wo der Integrationsbereich genau wie unter a) zu wählen ist. Da sich die Gleichungen (145) und (150 a) somit nur im Vorzeichen von r unterscheiden, finden wir statt (149)

uP —

Der Vorzeichenunterschied zwischen (149) und (150) sowie zwischen (142) und (143) weist auf einen Phasensprung sc hin, welchen die Welle heim Durchgang durch einen Brennpunkt erleidet.U1) Natürlich liegt nicht in diesem selbst eine Unstetigkeit vor, sondern die Phase verändert sich in seiner Umgebung so, daß beim Vergleich von zwei weit entfernten Aufpunkten vor und hinter ihm neben der durch deren Entfernung bedingten Phasendifferenz noch der Unterschied st hinzukommt.

Ähnlich gewinnt man eine strenge Darstellung für eine begrenzte Zylinderwelle, wenn man in Formel (108) die Integration über den dem Winkel 2 a entsprechenden Teil des unendlich fernen Kreises ausführt und dabei nach Gleichung (26) und (28)

(150a)

(151)

uP —

uf

wenn

st — A < ff < st.

setzt. Man findet dann in Analogie zu (140) und (141) für den Aufpunkt P mit den Koordinaten x, y oder p, cp:

(153)

Up =

+ a

]_ I pik (x co

2 J

+ ct

sx/J + ysinlp)^ —    gikç

COS

(‘p-Wdtp.

Für einen weit vor der Brennlinie in dem bestrahlten Gebiet gelegenen Aufpunkt, d. h. für #p > > 1 und [ tp j < a, gewinnt man daraus natürlich Gleichung (152) zurück. In einem weit hinter der

141) L. G. Gouy, Paris C. R. 110 (1890), p. 1251. Ann. d. phys. et chim. 24 (1891), p. 145; P. Joubin, Paris C. R. 115 (1892), p. 932; Ch. Fabry, Journ. de phys.    2    (1893), p. 22; P. Zeeman,    Versl. K. Ak. van    Wet.    Amsterdam, afd.

Natuurk.    6    (1897/98), p. 11; Archives    Neerl. 4 (1901), p.    318;    Phys. Zeitschr. 1

(1900), p.    542; W. H. Julius, Archives Neerl. 28 (1895), p.    226;    G. Sagnac, Journ.

de phys.    2    (1903), p. 721); Paris C. R.    138 (1904), p. 479,    619,    678. Boltzmann

festschrift (1904), p. 528; F. Reiche, Ann. d. Phys. 29 (1909), p 65 und 401.

Brennlinie gelegenen Punkt q, cp' — jt -f- cp hingegen gilt nach (153):

+ cc

Up =

:■/'**

cos

;/<

cos

to-Wdÿ.

Da beide Gleichungen sich nur im Vorzeichen von q unterscheiden, gilt für den letzteren Punkt:

Up =

Der Vergleich mit (152) zeigt, daß eine Lichtwette in der Umgebung einer Brennlinie den Phasensprung ~ erleidet.

42. Das Auflösungsvermögen des Prismas.⁵) Das von Luft (y — 1) umgebene Prisma QQ'R in Fig. 16 wird von einer ebenen,

PC

Si monochromatischen Welle (Frequenz nx), \\ für die PP' und S₁S₁' Wellenebenen sind, in der Symmetriestellung (Minimum der Ablenkung) durchlaufen. Nach dem Satz von der Gleichheit aller optischen Wege zwischen zwei Wellenflächen ist

Fig. 16.

PQ + vxD + RSX = P'Q' + Q'S'.

Für eine Welle von der Frequenz w₂, für die PP' ebenfalls eine Wellenfläche ist, sind im Falle der Dispersion diese Flächen ein wenig gegen SXS' geneigt; S₂S' soll eine davon sein. Dann gilt:

PQ + v,D + RS, = P'Q' + Q'SS;

durch Subtraktion folgt daraus:

dv

$2 ^1 - (V2    D (w₂ Wj) dn D

dv D n 2 A

i = < S.S’S, =    = (% - %) 2

Nach der Wellentheorie ist aber die Richtung eines Strahles von begrenzter Breite innerhalb gewisser Grenzen unbestimmt; nur die Mitte der Richtungenschar gehorcht der geometrischen Optik. Ist i klein, so verschwimmen deshalb beide Wellen auch nach dem Durchgang durch das Prisma mehr oder minder ineinander. In einem Fernrohr sieht man nicht zwei scharfe Punkte nebeneinander, sondern zwei unscharfe, sich zum Teil überdeckende Striche. Die HelligkeitsVerteilung in jedem entspricht der Verteilung im Beugungsbilde eines Spaltes von der Breite 2 A. (Vgl. Nr. 37 a.)

Da diese nach (117 a) den Winkelabstand

7C

siiPpa;

1PF

sin*pa: . sin²^a:

Nähe des höchsten Maximums entspricht es der Annahme in Nr. 25, daß man beide Beugungsbilder als für das Auge noch trennbar ansieht, wenn das Maximum des einen auf die erste Nullstelle der anderen fällt.

Wegen der Ähnlichkeit der Kurven

und

in der

2 A kA nA

vom zugehörigen Maximum hat, ist die Grenze durch die Gleichung

i — cp

bestimmt; das Auflösungsvermögen ist somit

«i

dn

dv

2tic

dl ’

es hängt von keiner anderen Abmessung des Prismas als seiner Basisdicke ab. Doch gilt dies nur, wenn wie in der Fig. 16 ein Strahl das Prisma unmittelbar an der Spitze durchläuft. Bei einem Satz von p Prismen vergrößert sich i um den Faktor p, während cp ungeändert bleibt; das Auflösungsvermögen erhält daher ebenfalls den Faktor p.

43. Die optische Abbildung im Lichte der Wellenoptik.

a) Die Abbildung selbstleuchtender Körper. Bei der Abbildung eines weit entfernten Lichtpunktes durch ein Fernrohr wirkt dessen Eintrittspupille, d. h. in praxi die Begrenzung des Objektives als beugende Öffnung. Da sie meist kreisförmig ist (Radius : A), liefert der Lichtpunkt in dessen Brennebene eine Helligkeitsverteilung nach dem Gesetz (vgl. (120))

Jl(kgA) (kg A)- '

Zwei Lichtpunkte gelten ähnlich wie bei den Spektroskopen (vgl. Nr. 25 und 42) dann als noch unterscheidbar, wenn das vom einen herrührende „Lichtgebirge“ seine höchste Erhebung an einem Punkte des ersten Nullringes des anderen hat. Da dessen Winkelabstand vom zugehörigen Maximum nach (120a)

(154)

Qo =

beträgt, so muß der Winkelabstand der beiden Lichtpunkte mindestens gleich 0,61 -- sein, damit sie unterschieden werden können. Es kommt

somit für die Leistungsfähigkeit eines von geometrisch-optischen Fehlern freien Fernrohres ausschließlich auf den Objektivdurchmesser

an.¹⁴³) (Der Spiegel des Reflektors auf dem Mount Wilson Obser-vatory, Pasadena in Kalifornien hat 30 Zoll = 76 cm Radius, die Objektivlinse der Yerkes Sternwarte in Chikago 20 Zoll = 51 cm Radius.)

Beim Fernrohr ist der Winkel a, unter dem die Eintrittspupille vom Objekt aus erscheint, stets äußerst klein. Für Fälle, in denen wie beim Mikroskop dieser Winkel beträchtlich ist, findet man die Grenze der Leistungsfähigkeit nach Helmholtz¹⁴⁵) wie folgt:

Die beiden Lichtpunkte A und B (Fig. 17) werden durch das optische System 0 in A' und B' abgebildet, bei A und B ist der Brechungsindex v, bei Â und B' v. Die engste Einschnürung liegt hinter 0 in der Blende R vom Radius A. Es liegen dann die Verhältnisse für die bei A', wie wir annehmen wollen, schwach konvergierende Welle (d’ klein) ähnlich wie beim Fernrohr (auf große Genauigkeit kommt es bei dieser Abschätzung nicht an); d. h. A' ist Mittelpunkt eines Lichtgebirges, dessen erster Nullring nach (154) den linearen Abstand

v = al r • q₀ = 0,6 ~ ä r = o,6

A’-

■///A

be

Fig. 17.

= 0.6

von A' hat. Bei Beobachtung des Bildes Ä B' erscheinen somit sowohl A wie B umgeben von einem Streifensystem, deren erste Nullringe den linearen Abstand

i = rAL ₌ ofi

(da nach dem Sinussatz der geometrischen Optik

v ô' A' B = v sin ô' A' B' = v sin d AB)

von den zugehörigen Lichtpunkten haben. Sollen A und B deutlich getrennt sein, so muß mindestens AB = 1 sein.

(155)

l₀AB

v S A'B'

= 0,6

v sin <)

143) Von Literatur sei erwähnt: E. Halley, Phil. Trans. 31 (1720), p. 3. W. Berschel, London Phil. Trans. (1805), p. 5; J. v. Fraunhofer, Schumachers astr. Abh. 1 (1823), p. 58; G. B. Airy, Ann. Phys. Chem. 45 (1838), p. 86; B. W. Dawes, Mem. Roy. Astr. Soc. 35 (1866), p. 158; L. Foucault, Ann. de l’observ. de Paris 5 (1858); H. Bruns, Astr. Nachr. 104 (1883), p. 1; H. Struve, Mem. Acad. St. Petersbourg (7) 34 (1886), Nr. 5.

145) H. Helmholtz, Pogg. Ann. Jubelband (1874), p. 557 ; Abh. 2, S. 185. Es steht dort stets ^ statt 0,6, was für diese Abschätzung dasselbe ist.

Dabei ist vsind die numerische Apertur des Instrumentes; sie ist die Eigenschaft des Instrumentes, welche allein für das erreichbare Auflösungsvermögen maßgebend ist. Ausgedehnte Flächen werden nur dann ähnlich abgebildet, wenn ihre Abmessungen gegen l groß sind. Man überzeugt sich leicht, daß Gleichung (155) die Formel (154) als Näherung für kleine d enthält.

dann zunächst das Beugungsbild ins Auge zu fassen,

man

b) Die Abbildung durch fremdes Licht. Bei einem selbstleuchtenden Körper entsenden verschiedene Punkte der Oberfläche inkohärente Wellen, so daß sich die Helligkeiten, welche sie hervorrufen, addieren. Bei Beleuchtung eines dunklen Gegenstandes mit fremdem Licht trifft dies im allgemeinen nicht zu; verwendet man dazu eine einzelne Welle, so sind z. B. alle Teile der abgebeugten Welle völlig kohärent. Nach Abbeli6) hat

welches der abzubildende Gegenstand am Orte des Bildes der Lichtquelle liefert, und hat sein Bild als Interferenzwirkung der von diesem Beugungsbilde ausgehenden Wellen aufzufassen. Da nach dem Huyghens-schen Prinzip die Schwingung in einem Punkte des Bildes durch die Schwingungen auf einer ihn von der Lichtquelle trennenden Fläche bestimmt sind, so bietet dieser Gedanke theoretisch nicht viel Neues; dennoch hat er seinerzeit viel Aufsehen erregt, einmal wohl, weil man früher sich wenig um eine wellentheoretische Begründung der Abbildungslehre gekümmert hatte, vor allem aber, weil Abbe aus ihm neue, für den Bau von Mikroskopen grundlegende Gesichtspunkte zu gewinnen wußte.

Am übersichtlichsten gestaltet sich diese Überlegung für die Abbildung eines Gitters, das senkrecht zur Achse des optischen Instrumentes steht. Wird es von einer ebenen Welle senkrecht getroffen, so entstehen in der Brennebene des Objektivs Beugungsspektren, deren Winkelabstand von der gerade hindurchgehenden Welle durch die Gleichung

sin cp — h

(nach Gleichung (47)) gegeben ist. Yon diesen Spektren gehen Wellen weiter in das Instrument; wo sie sich durchkreuzen, entstehen Fresnel-sche Interferenzen. Das Bild des Gitters ist nichts als das System derartiger Interferenzstreifen in der Ebene, die nach der geometrischen Optik der Gitterebene konjugiert ist. ⁶

Natürlich treten aber nur solche Spektren in das Instrument, für welche der Ablenkungswinkel <p kleiner ist als der Winkel d, unter welchem die Eintrittspupille vom Gitter aus gesehen wird. Ist also

sin d <

(156)

oder A <

v sin S ’

so tritt überhaupt nur das Spektrum militer Ordnung ins Instrument, und man erblickt an der Stelle des Gitterbildes nur gleichförmige Helligkeit. Gestattet man durch Vergrößerung von d den beiden Spektren erster Ordnung den Zutritt, so sieht man ein Streifensystem, das schärfer wird, wenn man durch weitere Vergrößerung von d die Zahl der interferierenden Wellen vergrößert. — Für das Zustandekommen eines Bildes ist unter Umständen schräge Beleuchtung vorteilhafter, weil bei ihr außer dem gerade hindurchgehenden Licht wenigstens auf der einen Seite noch ein Spektrum erster Ordnung in das Instrument gelangen und so zu einem allerdings (wegen der sinusförmigen HelligkeitsVerteilung) recht flauen Bilde der Gitterstruktur Anlaß geben kann. Die in (156) angegebene Grenze läßt sich auf diese Art noch auf die Hälfte herabsetzen, in Übereinstimmung mit (155).

Alle diese Folgerungen lassen sich leicht durch den Versuch prüfen. Noch interessanter sind aber die Veränderungen des Gitterbildes bei Abblendung etwa aller Spektren ungerader Ordnung. Da die übrig bleibenden Spektren gerade mit den Spektren eines Gitters von der halben Gitterkonstante zusammenfallen, müssen im Bild die Streifen auf den halben Abstand zusammenrücken. In der Tat folgt auch aus (41a), daß sich bei den Fresnehchen Interferenzen der Streifenabstand auf die Hälfte verkleinert, wenn sich die Winkel verdoppeln, unter denen sich die verschiedenen Wellen durchkreuzen. Blendet man etwa aus der Schar der Kreuzgitterspektren alle ab außer denen einer geraden Linie, so sieht man statt des Kreuzgitters ein einfaches, da diese auch von einem einfachen Gitter herrühren könnten.

c) Vergleich der Abbildung selbstleuchtender und durchleuchteter Gegenstände. Nach den Abschnitten a) und b) erscheint vielleicht der Vorgang der Abbildung in den beiden betrachteten Fällen ganz verschieden. Daß der Unterschied tatsächlich nicht so sehr groß ist, haben schon viele Autoren betont. Rayleighul) z. B. weist darauf hin, daß bei Beleuchtung von allen Richtungen die Schwingungen in nicht gar zu benachbarten Punkten des abzubildenden Gegenstandes inkohä-

147) Lord Rayleigh, Nature 54 (1896), p. 332 und 333; Pap. IV, p. 226; Phil. Mag. 42 (1896), p. 167; Pap. IY, p. 235 besonders p. 241.

rent sind. Auch sonst ist vielfach ein Beweis dafür versucht worden, daß hei allseitiger Beleuchtung das Bild eines nichtleuchtenden Gegenstandes komplementär ist zum Bilde desselben Körpers, wenn er allein Licht ausstrahlt.⁷) (Daß die Einschränkung auf allseitige Beleuchtung notwendig ist, geht daraus hervor, daß man durch Abblendungen, wie erwähnt, die Strichzahl im Bilde eines Gitters verdoppeln kann, wenn man aus einer einzigen Richtung beleuchtet, während dies weder beim selbstleuchtenden noch beim von allen Seiten beleuchteten Gitter möglich wäre.) Doch erreicht nach Ansicht des Verfassers keiner dieser Beweise die erforderliche Allgemeinheit.

Zur Stellung des Problèmes ist selbstverständlich eine Annahme über die Stärke des von dem selbstleuchtenden Körper ausgehenden Lichtes notwendig. Er soll so strahlen, wie wenn er die Temperatur T hätte und reine Temperaturstrahlung entsendete.⁸) Die fremde Strahlung, die ihn im anderen Fall trifft, soll so sein, als ob sie von schwarzen Körpern derselben Temperatur T herrührte. Der Gegenstand G selbst und die Gesamtheit K dieser anderen Körper bilden dann die Begrenzung eines vollständig geschlossenen Hohlraums. Strahlen G und K gleichzeitig, so entsteht nach dem Kirchhoffschen. Gesetze die allseitig gleiche Hohlraumstrahlung. Sieht man mit einem beliebigen optischen Instrument in ihn hinein, so erblickt man bekanntlich, wie man auch einstellen mag, gleichförmige Helligkeit. Freilich würde ja der Strahlungszustand zunächst gestört, wenn man die Wandung zum Teil durch das Objektiv des Instrumentes ersetzt, aber man kann leicht (z. B. durch eine dem Gauß sehen Okular nachgebildete Konstruktion) durch das Objektiv Strahlung von der Temperatur T in den Hohlraum eintreten lassen, so daß die Störung völlig beseitigt wird. Diese gleichförmige Helligkeit setzt sich nun additiv zusammen aus den Bildern, die K vermöge seines eigenen und des fremden Lichtes liefert. Somit sind beide Bilder zueinander komplementär.

Aus diesem streng gültigen Satze lassen sich in besonderen Fällen Annäherungssätze gewinnen, indem man von dem fremden Licht alle Strahlen fortläßt, welche zu der Abbildung nichts Merkbares beitragen. Bei einem weder regulär noch diffus spiegelnden Körper K kann man z. B. die Beleuchtung von der Seite des Beobachtungsinstrumentes fortlassen. Ferner läßt sich leicht zeigen, daß bei relativ groben Strukturen schon die Beleuchtung aus einem ziemlich kleinen Winkel genügt, um ein zum Falle des Selbstleuchtens komplementäres Bild zu erzeugen.

sein

v sin 8

d) Anwendung auf das Mikroskop. Die Abschnitte a) und b) ergaben übereinstimmend, daß eine Strecke 0,5    = 0,5

muß, wenn sie noch abgebildet werden soll. Zur Herabsetzung dieser Grenze muß man die numerische Apertur v sin d möglichst groß machen-, auf dieser Erkenntnis fußt Abbes Verbesserung des Mikroskopbaues. Da man aber sin d nicht über 1 (praktisch nicht über 0,95) steigern kann, ist die absolute Grenze für die Abbildbarkeit. Kein noch so gutes Mikroskop kann mehr leisten. Zur Vergrößerung des Brechungsindex v des Mittels, in dem der Körper sich befindet, bringt man häufig zwischen das Deckglas des Präparates und das Objektiv eine Flüssigkeit, die im Brechungsindex mit Glas übereinstimmt. Doch muß dann der abzubildende Gegenstand auch zwischen den beiden Deckgläsern in einer derartigen Flüssigkeit eingebettet sein. Ein darauf berechnetes Mikroskopobjektiv nennt man ein Immersionssystem; die numerische Apertur läßt sich so bis zum Werte 1,4 steigern. Neuerdings hat man, um A₀ zu verkleinern, Mikroskope für ultraviolettes Licht gebaut, bei denen das Bild entweder auf einem Fluoreszenzschirm sichtbar gemacht oder auch photographisch festgehalten wird. Technische Schwierigkeiten scheinen aber dieser Art, die Leistungsfähigkeit zu steigern, bald eine Grenze zu setzen.

Unter Verzicht auf Ähnlichkeit der Abbildung kann man das Mikroskop freilich zum Nachweis von noch viel kleineren Teilchen benutzen, wenn nur deren Abstand oberhalb der angegebenen Grenze liegt (Ultramikroskop).⁹) Jedes Teilchen wirkt dabei als punktförmige Lichtquelle (vgl. Nr. 67).

44. Die Freiheitsgrade optischer Vorgänge.

a) Die Freiheitsgrade eines streng einfarbigen Strahlenbündels.¹⁰) Wir haben in Nr. 43 betont, daß in allen Angaben über das Auflösungsvermögen ein Zahlenfaktor sachlich unbestimmt bleibt; man setzt diesen Faktor unter Berücksichtigung der heutigen Technik der Helligkeitsmessung mit einer gewissen Willkür fest und müßte ihn bei einem wesentlichen Fortschritt dieser Technik zweifellos abändern. Eine Theorie der Abbildung, welche von diesem Mangel frei ist, findet man, wenn man nach den Freiheitsgraden eines Strahlenbündels fragt. Einen Überblick über die Bedeutung und einen Überschlag über die Zahl dieser Freiheitsgrade liefert die folgende einfache Betrachtung:

Wird streng monochromatische, linear polarisierte Strahlung zur Konvergenz gebracht und ist fr (<^ 1) der Achsenwinkel des kreisförmigen Konvergenzkegels, so kann man nach (155) in der Brennebene nicht beliebig kleine Strecken „abbilden“, sondern der kleinste Abstand zweier Bildpunkte, die wahrnehmbar getrennt sein sollen, ist von der

Größenordnung ^ • Die kleinste unabhängig von ihrer Umgebung be-

oder da der l V S & ⁷

wobei ô eine später zu bestimmende, von 1 nicht sehr verschiedene, von X unabhängige Zahl ist. Ist im ganzen die Fläche f beleuchtet, so setzt sie sich mithin aus

V

leuchtete Fläche ist somit von der Größenordnung räumliche Winkel des Konvergenzkegels & — ycfr² ist, gleich

(157)

j. 1 V _ dn*fSl

i: y ä ~ unabhängig voneinander beleuchteten „Elementarflächen“ zusammen. Diese Zahl gibt offenbar die Freiheitsgrade an, welche man bei Beleuchtung der Fläche f mit einer aus dem Winkel Sl kommenden, streng einfarbigen Strahlung hat.

Zwecks einer befriedigenderen Ableitung dieser Zahl knüpfen wir an Débyes Darstellung eines Strahlenkegels (Nr. 41) an. Es seien £, rj, 0 die Koordinaten seines Brennpunktes, und es sei der Kegel von den Linien

cc — + 4L, ß — + A

(158)

begrenzt; wir setzen

A <ś 1

(159)

voraus, so daß der körperliche Offnungswinkel

(160)

(161)

= 4 A²

ist. Dann lautet diese Darstellung nach (140)

+ A +A

J S eik^x

hl)

-A -A

Um von ihr zum Strahlenbündel zu gelangen, haben wir sie mit einer beliebigen komplexen Funktion    zu multiplizieren und

f= 4£²

nach | und rj über dessen Brennfläche zu integrieren; geben wir dieser der Einfachheit wegen die Gestalt eines Quadrates von der Seitenlange 2#, so daß (162)

sin (qn — k8ß)

wird, so erhalten wir:

+ A +A

f f fQs) V) d% drj f f **«■

-ff -ff    -A -À

- £) a + (y-t])ß + zy] ^a ^ß .

In Rücksicht auf (159) und bei Beschränkung auf die Umgehung der Brennfläche z = 0 dürfen wir hier y — 1 setzen; kehren wir ferner die Integrationsfolge um, so finden wir:

+ff +ff

(163) eikz J* J* du dß eik(xct + yß'⁾ J* J e~ik^a+^^f(^} rj)d%dr].

— A—A    —ff —ff

+ A +A

Eine komplexe Funktion f(%, rj) können wir in dem genannten Quadrat durch die Fourier sehe Doppelreihe darstellen:

2xr,e‘iiW+^l

(164)

— 00    — CO

in welcher für jedes positive Wertepaar \p\, |g] acht Konstanten, nämlich vier Amplituden H und vier Phasen o, verfügbar sind. Setzen wir die Reihe (164) in (163) ein, so finden wir:

+ A +A

(164a)

oder, da

+ œ +⁰⁰    p

eikz    HpiJei0Pi J J dudßeik(

— co — cc    —A—A

-ff    -ff

xa + yß)

2 8 sin (pn— kffee)

pn — k 8a

ist:

+ <x +CC

4 fi² eikz ^ ^ HPié°pq I daeikxa

sin (pn — k8a)

(166)

— CO — 00

-A

p n — k8a

J dßdkyP

-A

qn — k8ß

Führen wir in dem Integral nach u als Integrationsvariable

u = pur — k%u

ein und setzen voraus, daß trotz (159)

¹

In diesem Punkte hat Verfasser ein in der Kirchhoff'sehen Darstellung offenbar enthaltenes Versehen verbessert.

²

   Lord Rayleigh, Phil. Mag. 8 (1879), p. 261; Pap. I, p. 415.

³

   A. Sommerfeld und I. Runge, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 277.

⁴

   P. Debye, Ann. d. Phys. 30 (1909b p. 755.

Encylilop. d. math. Wissensch. V S.

⁵

Lord Rayleigh, Pliil. Mag. 8 (1879), p. 261. Pap. I, p. 415.

⁶

JE. Abbe, „Beiträge zur Theorie des Mikroskops und der mikroskopischen Wahrnehmung“. Archiv für mikroskopische Anatomie 9 (1874), p. 413; Ges. Abh. 1, p. 283. „Die Lehre von der Bildentstehung im Mikroskop“, her. von 0. Lummer und F. Leiche, Braunschweig 1910

⁷

   L. Mandelstam, Ann. d. Phys. 85 (1911), p. 881 ; 0. Lummer und F. Reiche, Ann. d. Phys. 37 (1912), p. 839; M. Wolfke, Ann. d. Phys. 39 (1912) p. 569.

⁸

   M. v. Laue, Ann. d. Phys. 43 (1914), p. 165.

⁹

   H. Siedentopf und B. Zsigmondy, Ann. d. Phys. 10 (1903), p. 1.

¹⁰

   M. Laue, Ann. d. Phys. 44 (1914), p. 1197.

1

Führt man die Integration, was erlaubt ist, z. B. etwas unterhalb der reellen Achse, so kann man das Integral in die Differenz zweier Integrale zerlegen. Ist nun

a)

x\ < B,

so läßt sich das erste Integral in die positiv-imaginäre, das zweite in die negativ-imaginäre Halbebene überführen, wo die betreffenden Exponenten von e einen negativ-reellen Teil haben. Ist dagegen

b)

ist, so sind zunächst die beiden Fälle zu unterscheiden

und

Im ersten Falle geht das transformierte Integral von einem großen positiven (bzw. negativen) zu einem großen ebenfalls positiven (bzw. negativen) Wert der Integrationsgrenze, im zweiten Falle von einem großen negativen zu einem großen positiven Werte. Im ersten Fall ist es daher merklich Null, im zweiten Fall gleich

X f    X /

ipn— I —

e -je -

(I) \px\>kAB

(II) \pjt\ <JcAS.

2 JcE

+ 30

~iu\ du

e 1 — •

/ u

x\> 3,

so sind beide Integrale gleichzeitig in die positive oder negative Halbebene überzuführen, je nachdem x positiv oder negativ ist. Im Falle a) liefert bei der Deformation des Integrationsweges das erste Integral im Punkte u = 0 das Residuum 1, im Falle b) liefern beide Integrale die Residuen 1, die sich in der Differenz zerstören, oder beide Integrale kein Residuum. Deshalb ist im Falle b) der Gesamtwert unseres Integrals nach a Null, und nur im Falle a) von Null verschieden. Für die Berechnung des nach ß auszuführenden Integrales in (165) gilt das entsprechende.

Die Bedingungen a), b) zeigen nun zunächst, daß es nur auf den Zustand im Innern des Quadrates j x j < &, | y j < B ankommt, daß also die Konstanten der Reihe (165) die Freiheitsgrade bestimmen, ohne daß eventuelle Nachbarstrahlenbündel stören. Das Verschwinden von (165) außerhalb jenes Quadrates (zufolge der Bedingung b)) entspricht offenbar der Existenz einer Schattengrenze.

Es fragt sich nun, wie viele von den Konstanten der Reihe (165) für die Abzählung der Freiheitsgrade in Betracht kommen. Hierauf antworten die Bedingungen (I), (II). Nach ihnen treten in der Reihe (165) nur solche Glieder auf, für welche

\p\n <IAÜ, d. h. \p\<^A&,

q\x <icA%, d. h. |g|<yJ.#

454

V 24. M. v. Laue. Wellenoptik, ist. Die Zahl der positiven Wertepaare p und j q

für welche

diese Bedingungen zutreffen, ist aber (j^A²#², und da zu solchem

Wertepaar acht verfügbare Koeffizienten gehören, so ist die Zahl der in (165) verfügbaren Koeffizienten (vgl. (160) und (162))

32 ^2    _ 2fSl

Nun ist aber zu bedenken, daß die Hälfte der Freiheitsgrade der komplexen Funktion f(£,rj) auf die Angabe der Phasendifferenzen zwischen den verschiedenen Strahlenkegeln des Bündels entfällt. Wir wollen den Phasen keine eigenen Freiheitsgrade zuschreiben.¹⁵²) Dann müssen wir zur Angabe der Freiheitsgrade für die in (165) angegebene Schwingung den letzten Ausdruck halbieren. Für ein streng monochromatisches, linear polarisiertes Strahlenbündel, welches aus dem körperlichen Winkel ß senkrecht auf die Fläche f fällt, ist also die Zahl der Freiheitsgrade

(166)

fSl n*f£l U ~ 4Ä* '

Wir finden so den Ausdruck (157) mit Ô — 1 wieder.

b) Die Freiheitsgrade eines im physikalischen Sinn einfarbigen Strahlenbündels. Wie in Nr. 26 und 27 betont, haben wir es tatsächlich stets mit Schwingungen zu tun, welche einem endlichen Spektralbereich dn angehören. Damit hängt zusammen, daß die Intensität zeitlich schwanken kann, und daß die Schwingung überhaupt nur eine begrenzte Zeit T währt In der Fourierschen Reihe für eine die Zeit T dauernde Schwingung

(167)

gehören dem Spektralbereich dn aber die Sinussehwingungen an, für welche

f» < 2nTP < w + dn

ist; ihre Zahl beträgt: (168)

T dn

dn

2 Tt

wenn l — gT die Länge ist, welche das Licht in der Zeit T mit der

152) Es gibt in der Literatur zwei Arten, die Freiheitsgrade von periodischen Schwingungen zu zählen. Bei der ersten, der wir im Text folgen, rechnet man bei einer Schwingung (etwa der eines linearen Resonators) nur deren Amplitude als Freiheitsgrad, bei der anderen Art auch deren Phase. Ein sachlicher Unterschied besteht naturgemäß zwischen ihnen nicht.

Gruppengeschwindigkeit g durchläuft. T ist dabei als optisch groß gedacht (daher auch V).

Dies ist also die Zahl der verfügbaren Amplituden, d. h. der Freiheitsgrade für eine die Zeit T währende einfache Schwingung vom Spektralbereich dn. Ein Strahlenbündel, welches dieselbe Zeit dauert und demselben Spektralbereich dn angehört, stellt man in Anschluß an (164a) und (167) als dreifache Fourier sehe Reihe dar; die Zahl der verfügbaren Amplituden wird dann offenbar gleich dem Produkt

den Ausdrücken (166) und (168), also:

Hier ist die

aus

flQn^dn (2 it)³a²g

Fläche f als senkrechter Querschnitt des Bündels gedacht; geben wir ihrem Lote statt dessen die Neigung ® gegen dessen Richtung, so tritt f cos & an diese Stelle.

Die Zahl der Freiheitsgrade eines linear polarisierten Strahlen-hündels von der Länge. I, der spektralen Breite dn, der Brennfläche f und dem körperlichen Winkel Sl, welches gegen die Normale von f die Neigung ® hat, beträgt somit (vgl. (7) und (30)):

(169)

fcoa & ■ l£ln²dn    fcoa ®-IRn³dn

(2 n)³a³g

(2 7t)³ c³

v*{v + nd£)-

Dabei sind f und l als sehr groß gegen die Wellenlänge vorausgesetzt.

Bei allen geometrisch optischen Vorgängen bleibt diese Zahl unverändert, auch wenn bewegte Körper dabei eine Rolle spielen. Bei allen Beugungserscheinungen hingegen, desgleichen bei jeder diffusen Spiegelung und Zerstreuung des Lichtes in einem trüben Mittel nehmen die Freiheitsgrade der Strahlung an Zahl zu. Da nach der Statistik der Übergang von Energie auf eine größere Zahl von Freiheitsgraden mit Entropievergrößerung verknüpft ist, sind diese Vorgänge im Gegensatz zu den geometrisch-optisch en unumkehrbar.¹)

c) Die Freiheitsgrade der Hohlraumstrahlung,²) Wir betrachten nun einen Raum von beliebiger Gestalt, aber in allen Abmessungen groß gegen die Wellenlänge, erfüllt von einem durchsichtigen Mittel vom Brechungsindex v, und legen durch ihn irgendeinen ebenen Querschnitt, dessen Ebene wir mit E bezeichnen. Den ganzen Strahlungsvorgang in ihm können wir dann zerlegen in Strahlenbündel, welche auf Flächenstücke der Ebene E hin konvergieren. Diese Flächenstücke brauchen nicht notwendigerweise im Hohlraum zu liegen; liegen sie außerhalb, so bedeutet dies, daß die auf sie zueilenden Strahlen-

30

bündel auf eine Wand treffen, bevor sie sie erreichen. Erreicht aber ein Bündel eine Brennfläche auf E, so geht es durch sie hindurch und setzt sich jenseits weiter fort, bis es auf eine Wand des Hohlraumes trifft. Bei komplizierteren Gestalten des Hohlraumes muß sogar in Betracht gezogen werden, daß ein derartiges Strahlenbündel aus mehreren getrennten, von je einer Wand bis zu einer anderen reichenden Teilen bestehen kann. Alles dies hat auf das Folgende keinen Einfluß. Jedem Strahlenbündel können wir eine bestimmte Länge l zuschreiben, welche unter Umständen aus verschiedenen getrennten Teilen besteht und von der Gestalt des Hohlraumes, der Lage seiner Brennfläche auf E sowie seiner Richtung abhängt. Lassen wir für l auch den Wert 0 zu, welcher bedeutet, daß das in Rede stehende Strahlenbündel nicht auftritt, so können wir im folgenden die sehr bequeme Vorstellung benutzen, daß auf alle Teile der Ebene E aus allen Richtungen Strahlenbündel konvergieren, und zwar für jede Richtung zwei voneinander unabhängige, senkrecht zueinander schwingende Bündel. Nach unserer Annahme über die Abmessungen des Hohlraumes sind für alle Bündel f und l optisch groß.

Alle die genannten Strahlenbündel bestehen unabhängig voneinander. Die Hohlraumstrahlung, welche aus ihnen besteht, hat infolgedessen so viel Freiheitsgrade wie sie alle zusammen. Wir haben somit an dem Ausdruck (169) die Summation über alle Flächenstücke f der Ebene E und über alle körperlichen Winkel Si vorzunehmen. Die erstere Summation liefert, da bei ihr Si und © konstant sind,

cos © • Sfl .

Sln-dn

(2 W*g

Projizieren wir das Flächenstück f auf eine zu der Richtung des Strahlenbündels senkrechte Ebene, so wird /'• cos© die Größe der Projektion, und man sieht, daß cos © • Sfl gleich dem Volumen V des Hohlraumes ist. Summieren wir aber den Ausdruck

VSln^dn (2it)*a⁹g

zum zweitenmal nach Si, so finden wir statt Si einfach den Faktor 4 Tt. Bedenken wir schließlich noch, daß auf dasselbe Flächenstück f aus demselben Winkel Si zwei unabhängige, zueinander senkrecht schwingende Strahlenbündel zueilen, so haben wir noch den Faktor 2 hinzuzufügen und finden somit für die Zahl der Freiheitsgrade der Hohlraumstrahlung, soweit diese im Spektralbereich dn liegt,

Vn*dn ' n*cs

vS(v + niî)-

(170)

Vn²dn

n*a*g

In der Statistik spielt dieser Ausdruck zur Herleitung des Strahlungsgesetzes eine große Rolle¹⁵⁵); doch lassen sich die Freiheitsgrade eines einzelnen Strahlenbündels dafür gerade so gut verwenden.

V. Interferenzerscheinungen an Röntgenstrahlen.

fand die Größenordnung 4.10~⁹ cm. Übereinstimmend

man

45. Historische Übersicht. Nach der Entdeckung der Röntgenstrahlen im Jahre 1895¹⁵⁶) stritten sich zunächst wie hei allen Strahlenarten die Emissions- und die Wellentheorie. Die festeste Stütze der ersteren waren gewisse Erscheinungen bei der Auslösung von Elektronen durch Röntgen strahlen, welche bis heute von der Wellentheorie nicht recht gedeutet werden können; trotzdem gewann allmählich die Wellentheorie an Boden, als durch die Versuche von BarJda, Ham, Vegard, Baßler¹⁵⁷) die Polarisation, durch Haga und Wind sowie (nach der Auffassung Sommerfelds) auch durch die Versuche von Walter und Pohllb8) die Beugung an einem Spalte nachgewiesen wurde. Die letzteren Versuche gestatten zugleich eine Schätzung der Wellenlänge ¹⁵⁹);

damit lauteten die Schätzungen, welche W. Wien¹⁶°) an die Art der Entstehung der Röntgenstrahlen anknüpfte. Darin lag auch schon der Grund ausgesprochen, aus welchem die Herstellung von Interferenzerscheinungen so schwierig schien; ein Gitter für Röntgenstrahlen z. B. müßte nach Nr. 17 eine etwas, aber nicht viel größere Gitterkonstante haben als die Wellenlänge, und schon bei den optischen Gittern steht die heutige Technik an der Grenze ihres Könnens.

Seit über 60 Jahren hat nun die Kristallographie die Theorie ausgebildet, daß der wesentliche Unterschied zwischen dem kristallinischen und dem amorph-festen Zustand darin bestehe, daß im ersteren die Atome oder die Molekeln nach Raumgittern angeordnet sind. Diese

155)    I. H. Jeans, vgl. Anm. 165; P. Debye, Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 1427.

156)    W. C. Böntgen, Sitzgs.-Ber. d. Würzburger Physik.-Mediz. Ges. 1895, Ann. d. Phys. 64 (1898), p. 1 u. 12.

157)    C. G. BarJcla, Phil. Trans. London 204 (1905), p. 467, Proc. Roy. Soc. 77 (1906), p. 247; W. B. Ham, Phys. Rev. 30 (1910), p. 96; L. Vegard, Proc. Roy. Soc. 83 (1910), p. 379; E. Baßler, Ann. d. Phys. 28 (1909), p. 808.

158)    H. Haga und C. H. Wind, Amsterdam Akademie 1899 u. 1902; Ann. Phys. Chem. 68 (1899), p.884; Ann. d. Phys. 10 (1903), p.305; Zusammenfassung der beiden ersten Arbeiten in Archives Néerlandaises (2) 8 (1903), p. 412; B. Walter, Phys. Zeitschr. 3 (1902), p. 137 ; B. Walter und B. Pohl, Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 715; 29 (1909), p. 331. Über die Ausmessung der Beugungsbilder s. P. P. Koch, Ann. d. Phys. 38 (1912), p. 507.

159)    A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 38 (1912), p. 473; vgl. auch B. Pohl, Die Physik der Röntgenstrahlen, Braunscłrw. 1912, p. 23f.

160)    W. Wien, Ann. d. Phys. 18 (1905), p. 919; vgl. auch B. Pohl a. a. O. p. 21.

30*

Theorie stützte sich zunächst auf die bekannten Rationalitätseigenschaften der Kristallflächen. Aber an eine unmittelbare Prüfung, etwa unter dem Mikroskop, war nicht zu denken, solange für alle elektromagnetischen Schwingungen, die zur Verfügung standen, die kleinste Wellenlänge von derselben Größenordnung (10⁻⁵ cm) wie beim sichtbaren Licht war. Denn wenn auch die Konstanten der Raumgitter der Kristalle bisher in keinem Falle eindeutig festgestellt waren, so ging doch so viel aus ihrer Dichte, ihrem Molekulargewicht und aus der Zahl der Atome im Grammatom hervor, daß ihre Größenordnung 10“⁸ cm ist. Für sichtbares Licht und alle langwelligere Strahlung sind die Kristalle unter diesen Umständen Kontinua, aber für Röntgenstrahlen müssen derartige Gitter gerade geeignet sein; daß man es bei den Kristallen statt mit einfach periodischen Gittern (wie in der Optik) mit dreifach periodischen Raumgittern zu tun hat, muß die Gittererscheinungen zwar wesentlich beeinflussen, kann aber ihr Auftreten nicht verhindern.

ib

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a?.,,,-a'*», Ü-U-^7------1

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‘-3

Fig. 18.

Dies waren die Überlegungen, die seinerzeit (April 1912) zu den Versuchen von Friedrich und Knippin g führten¹⁶¹), bei welchen ein Röntgenstrahlbündel durch einen Kristall Kr in Fig. 18 hindurch ge-

161) W. Friedrich, P. Knipping und M. Laue, Sitzgs -Ber. München 1912, p. 303; Ann. d. Phys. 41 (1913), p. 971; M. Laue, Festschrift der Dozenten der Universität Zürich 1914, und Jahrb. d. Radioaktivität u. Elektronik 11 (1914) p. 308.

46. Allgemeine Theorie.

459

sandt wurde; auf dahinter oder daneben aufgestellten photographischen Platten IJ₁ bis P₅ wurden die Gitterspektren aufgefangen. An den ^-Strahlen radioaktiver Körper, deren Wesensgleichheit mit den Röntgenstrahlen bald nach der Entdeckung der Radioaktivität erkannt worden war, haben wohl zuerst Rutherford und Andrade¹⁶²) die entsprechenden Versuche mit Sicherheit durchgeführt (1914).

40. Allgemeine Theorie. Den Ort des „Mittelpunktes“ eines Atomes im Raumgitter bestimmen wir durch die rechtwinkligen Koordinaten x, y, z, deren Achsenkreuz beliebig gerichtet ist und seinen Anfang im Mittelpunkt eines beliebigen Atoms im durchstrahlten Teil eines Raumgitters hat. Das Raumgitter mag dem allgemeinsten, d. h dem triklinen Typus angehören, hei welchem die Kanten des Elementar-parallelepipedes •— dargestellt durch die drei Vektoren o1? Ct₂, d₃ — beliebige Längen und Richtungen haben. Die Koordinaten der Mittelpunkte der Atome oder, wie wir kurz sagen wollen, der Atome seihst, sind dann durch drei positive oder negative, das Atom numerierende ganze Zahlen m₁, m₂, ms (einschließlich der Null) bestimmt gemäß den Formeln

x =    + m₂a2x -f maa3x,

(171)

V =    + m2a2 y +    °3 y,

Z = mial2 -f m₂a2l -f m₂au .

Die einfallende Strahlung wollen wir uns zunächst als ebene Welle und als reine Sinusschwingung denken. Dann wird jedes Atom Ausgangspunkt einer Kugelwelle, welche wir in großer Entfernung r von

e~iir

ihm durch ip—-— darstellen können (nach Gl. (44a)). Die Funktion^ hängt möglicherweise von der Wellenlänge X, den Richtungskosinus aQ, ßo> To des einfallenden Strahls und den Richtungskosinus a, ß, y des Fahrstrahls vom Atom zum Aufpunkt, aber nicht mehr von r ab. Wären die Atome gegen die Wellenlänge der Röntgenstrahlen ebenso klein wie gegen die des Lichtes, so könnten wir das Atom unabhängig von seiuem Bau als einfachen Dipol betrachten und hätten falls wir mit dem Hertz sehen Vektor rechnen, konstant, oder wenn man lieber auf die beiden Feldstärken und die mit ihnen eng verbundene Intensität eingehen wollte, gleich einer einfachen Winkelfunktion zu setzen. Da aber der übliche Wert für die Durchmesser der Atome von der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge der Röntgenstrahlen ist, halten wir es für vorsichtiger, if> als unbestimmte Funktion beizubehalten. Wir wollen sogleich erwähnen, daß unseres

162) E. Rutherford und E. N. da C. Andrade, Phil. Mag. (6) 27 (1914), p. 854; Phil. Mag. (6) 28 (1914), p. 263.

Erachtens die Frage nach dieser Funktion zurzeit noch nicht vollständig beantwortet werden kann (vgl. Nr. 53). e~ikr

Zum Ausdruck ^- ist nun aber noch ein Faktor e-**(*«b+yfl>+*yo)

r

hinzuzufügen, wenn man bedenkt, daß die anregende Schwingung als ebene Welle in der Richtung a₀, ß₀, y₀ mit Lichtgeschwindigkeit fortschreitet. Über die Einzelheiten des Anregungsvorganges brauchen wir dabei keine Aveitere Voraussetzung zu machen, als daß er, wie wir es auch in der Optik gewohnt sind, bei allen Atomen des Kristalles gleich verläuft. Stets finden wir als Ergebnis der Überlagerung aller von den Atomen ausgehenden Wellen

e-ifc(r + xcc₀ + y(3₀ + zY₀)

(172)

Wir berechnen diese Summe nur für Aufpunkte, deren Abstand vom Kristall gegen alle Abmessungen des durchleuchteten Kristallstückes sehr groß ist, und benutzen die auch sonst in der Gittertheorie übliche Näherung (Nr. 17), indem wir für das r im Nenner den Betrag R des Radiusvektors vom Nullpunkt des Achsenkreuzes zum Aufpunkt setzen und der Richtungsfunktion i[> den Wert geben, welcher dessen Richtung a, ß, y entspricht. Für das r im Exponenten setzen wir aber den Näherungswert

r — R — (xu -f- yß -f- zy)

(vgl. Nr. 44 b und (113)). Im Hinblick auf (171) geht nun die Summe (172) über in

(173)

ikR

<*o)+y(ß-ßo) + HY-Yo)]

ßiimLAi + mtAt + miAt) ,

wo zur Abkürzung (174)

mx    ma

A =    — ao) + aiy(/3—ß₀) + «i Xr — r₀d

usw.

gesetzt ist. Macht man die für das Folgende unwesentliche Annahme, daß der durchstrahlte Teil des Kristalles ein Parallelepiped von den Kanten 2 M₁a₁, 2M₃a₂, 2M₃a₃ ist, so ist die Intensität dieser Schwingung, berechnet als der absolute Wert der komplexen Summe (173), gleich

(175)

ip I* sin² Al sin ²M₂Aÿ sin²Jf₃J.3 Bi sin²-^, sin²-^A₂ sin²\As

Unabhängig von dieser Annahme gilt, daß eine merkliche Intensität nur dort zu erwarten ist, wo alle drei Sinusquotienten wenigstens an-47. Allgemeine Folgerungen über die Lage der Interferenzmaxima. 461

nähernd Hauptmaxima besitzen, d. h. wo die Gleichungen

A₁=2h₁it oder alx(a — a₀) + aly(ß — ß₀) -f au(Y ~ 7o) =

(176)    A₃ = 2h₃n oder a2x(cc — a₀) -f a2y(ß — ß₀) -f a₂₂(r — y₀) = M, A₃=2h₃n oder a8x(a — cc₀) + a3y(ß — ß₀) + a3l(y — 7o) = M

mit ganzzahligen hx, h₂, h₃ erfüllt sind.

47. Allgemeine Folgerungen über die Lage der Interferenzmaxima. Wir wollen die Gleichungen (176) umformen, indem wir in den Richtungen a₀, ß₀, y₀ und a, ß, y die Einheitsvektoren 3₀ und 3 einführen, deren Komponenten durch die entsprechenden Richtungskosinus selbst gegeben sind. So erhalten wir aus (176)

(177)    (dj, §    $₀)=M, 0*2? ^    3₀)=ÄS.A, (^3? s S₀) = Ä₃/l.

Führen wir den Yektor f) durch die Definitionen

(178)

(di f)) ⁼    (d₂ f)) ⁼⁼    (d₃ ()) ⁼ ^3^

ein, so folgt notwendig und eindeutig

(179)

3 — 3₀=$.

Da das skalare Produkt (ût §) = ax cos (ûx S) ist (ax ist die Länge von ax), so ist die erste der Gleichungen (177) für bestimmte Werte des Winkels zwischen den Vektoren und §, d. h. auf einer Schar von Kreiskegeln mit ax als Achse erfüllt. Entsprechendes gilt für die beiden anderen Gleichungen (177). Ein Interferenzmaximum ist also zu erwarten, wo diese drei Kegelscharen, von demselben Punkt als Spitze aus gezogen, eine Gerade gemeinsam haben. Bei gegebener Wellenlänge würde dies freilich nur ausnahmsweise mit der hinreichenden Genauigkeit zutreffen. Ließe man einfarbige Röntgenstrahlung in beliebiger Richtung den Kristall durchsetzen, so würde man in der großen Mehrzahl der Fälle überhaupt kein Interferenzmaximum bekommen.¹⁶⁸) Enthält jedoch die einfallende Strahlung, wie das tatsächlich der Fall ist, alle Wellenlängen eines gewissen Spektralbereiches in stetiger Folge, so wird bei diesem Versuch in vielen Fällen eine passende Wellenlänge vorhanden sein; wir kommen darauf später (Nr. 50 und 51) zurück. Wir führen es als eine erste Bestätigung der Theorie an, daß man in der Tat in allen Interferenzaufnahmen die Interferenzpunkte nach Systemen durchbrochener Kegelschnitte anordnen kann. In manchen Fällen, z. B. bei der Durchstrahlung von ³ 4 5

Nickelsulfat längs einer zweizähligen Achse, drängt sich eine solche Anordnung dem Auge förmlich auf.

Die Einteilung des Raumgitters in Elementarparallelepipede kann stets auf unendlich viele Weisen vorgenommen werden. Dem entspricht, daß man statt der drei Vektoren a1? ü₂, Ct₃ drei andere

a/ =    + aj²)a₂ + ccWa₃,

(180)

a₂' = cc^at + af>o₂ -f a^a₃,

= as)ai + <²⁾ü2 + «J³⁾<*3 einführt; die Koeffizienten sind ganzzahlig, ihre Determinante A hat den Wert 1, weil die Größe der Parallelepipede aus a1? 0₂, a3 und at', a₂, o₃' übereinstimmen muß, deren Verhältnis durch A gegeben ist. Die Gleichberechtigung des gestrichenen Vektorensystems mit dem ungestrichenen zeigt sich auch an unseren Grundgleichungen; denn faßt man die drei Gleichungen (177) mit cc^\ cc^\ aj³) zusammen, so erhält man nach (180)

'    § — §₀) == Aj' l, V=    + ai]h >

und wenn man sie analog mit a^\ a^\ a₂⁽³⁾ oder u^\ a⁽₃3) (181) zusammenfaßt

«, §> — §₀) = V ¹ 7 K =

• (0₃', § — 8₀) = V X, V =    + a^h₂ + a^h₃.

Die Auflösungen dieser Gleichungen nach den Zahlen h lauten wegen A = 1:

(182)

h₂ = A^h'+A^ V+Af V,

A₃ = Af)V+^³⁾V+^³⁾V

n

(die 4W sind die Unterdeterminanten von A), sie haben wie diese Gleichungen selbst ganzzahlige Koeffizienten. Ist p der größte, gemeinsame, ganzzahlige Teiler der drei Zahlen h1} h₂, h₃, so ist nach (181) p auch ein gemeinsamer Teiler der Zahlen h₂, h₃, und zwar der größte, weil andernfalls nach (182) auch die drei Zahlen h einen noch größeren Teiler hätten. Die Zahl p behält somit beim Übergang vom ungestrichenen zum gestrichenen Velüorensijstem ihre Bedeutung.

Ebenso, wie den drei Vektoren a1} a₂, a₃ eine Art entsprach, die Interferenzpunkte zu Kegelschnitten zusammenzufassen, gibt es für die Vektoren a/, a₂', a₃' eine andere derartige Zusammenfassung. Jeder der unendlich vielen Arten, das Raumgitter in Elementarparallelepipede einzuteilen, entspricht eine solche Zusammenfassung. In das vier-zählige symmetrische Photogramm bei regulären Kristallen hat Herr

Wulff derartige Kegelschnitte eingezeichnet (Fig. 19), die ihnen beigefügten Zahlen sind die Indizes derjenigen kristallographischen Richtung, bezogen auf die drei Würfelkanten, welche für den entsprechenden Kreiskegel die Achse ist.

•V

ov

<?>-

yr,

Fig. 19.

48. Ewalds Konstruktion der gebeugten Strahlen.⁶) Man kann die Richtungen, in welchen Inter-ferenzmaxima („gebeugte Strahlen“) aus dem Kristall austreten, leicht auf Grund der Gleichungen (178) und (179) durch Konstruktion finden. Wir ziehen dazu von einem beliebigen Ausgangspunkt 0 aus die drei Vektoren cq, a₂, a₃ teilen die Gerade, auf welcher cq liegt, in Strecken von der Länge 1 : a1} und legen durch jeden Teilpunkt die zu ihr senkrechte Ebene. Entsprechend verfahren wir auf den Geraden von a2 und ct₃. Die so entstehenden drei Scharen äquidistanter paralleler Ebenen bilden das „reziproke“ Raumgitter. Von dem Punkt 0 aus ziehen wir nun den Vektor OS°=---und schlagen um seinen Endpunkt S°

die Kugel mit dem Radius S°0. Nach jedem Gitterpunkt S, welchen

-^ §

die Kugel trifft, ziehen wir einen Vektor S°S — -j-; er gibt die Richtung eines möglichen Interferenzmaximums an. Beweis: Der Vektor

OS= l = OS⁰+S°S = ^₁^

hi ^2 a, ’ a₂

tungen von (q, a₂, ü₃, andererseits sind diese Projektionen gleich so daß die Grundgleichungen (178) erfüllt sind.

hat nach Konstruktion die Projektionen

M) (M) (M)

cP

nach den Rich-

’ Xas ’ X a₃

Das Elementarparallelepiped des reziproken Raumgitters hat zu

Kanten die drei nach Gibbs⁷)

zu

ûi, û₂, ü₃ „reziproken“ Vektoren

(183)

¹    (°i fl2 a₈) ’

[<*i «al

(dj Û, fl₂) ?

welche entsprechend der beschriebenen Konstruktion den Forderungen genügen, daß

1, wenn j = Je, 0, wenn j ^ Je

(°A) =

(183a)

ist.⁸) Da nach (178)

(184)

ist, gehört t) stets zu den möglichen Achsenrichtungen des reziproken, aber im allgemeinen gerade deswegen nicht zu den möglichen Achsenrichtungen des ursprünglichen Raumgitters. Nur bei einem kubischen Raumgitter, welches zu dem ihm reziproken ähnlich ist, findet eine Ausnahme von dieser Regel statt.

Aus (179) und (184) läßt sich leicht die Wellenlänge in ihrer Abhängigkeit von den Ordnungszahlen h und der Richtung §₀ des einfallenden Strahles ermitteln. Da nämlich nach (179)

oder wegen §² = §₀² — 1

(185)

ist, folgt aus (184)

(186)

& =    + W

_    __ o (3p 1))

i _P \ (g, ftp ~t~ \ (% E>) ~ł~ K (ß₀ b₃)

(Ä₁b₁+Ä,bs + Ä₈b,)*

Für reguläre Kristalle wählt man passend die Kanten des Elementarwürfels als Grundvektoren a und als Koordinatenachsen. Nach (183) fallen dann die reziproken Vektoren 6 in dieselben Richtungen und erhalten die Länge — • Also vereinfacht sich (186)

_ o ^1 a0 ~f* ^2 ßp ~t~ ^3 yp

VfV + V

49. Die scheinbare Spiegelung an den Netzebenen des Raumgitters. Eine sehr einfache Deutung der Grundformeln wird durch die Gleichung (179) nahegelegt, deren Inhalt durch Figur 20 veranschaulicht wird. Da nämlich § und §₀ beide Einheitsvektoren sind, liegt § so, als wäre es aus §₀ durch Spiegelung an einer zu t) senkrechten Ebene entstanden. Diese Ebene ist nun eine Netzebene des Raumgitters. Beweis: Nach (184)

(187)

h- -

9P

Fig. 20.

zu

49. Die scheinbare Spiegelung an den Netzebenen des Raumgitters. 465

hat eine solche Ebene die Gleichung:

(188)    (7h&la. +    + (^i^iy -\~K%y ~{-W^)y

+    + W* +    = Gy

X = ^lx7 y = V'<hy, z = i*a U, wo fi ein Parameter ist. Trägt man diese Werte in (188) ein, so findet man in Rücksicht auf (183 a)

wo G eine Konstante bedeutet. Die Gerade, in welcher der Vektor liegt, hat die Gleichungen (189)

Der Achsenabschnitt der Ebene (188) auf der genannten Achse ist aber nach (189)

y? -J- y* 4- z³ = fi j Oi | = G •

Also verhalten sich diese drei Achsenabschnitte wie

[_®iI . 1 Agi . 1 Agi >

K ' h ’ K

Die Ebene (188) ist demnach eine Netzebene des Raumgitters, und zwar sind ihre Indizes rjl7 rjif rj₃ die kleinsten ganzen Zahlen, die sich wie \ : 7^₂ : h₃ verhalten. (Die Ordnungszahlen h können im Gegensatz zu den Indizes r\ noch einen ganzzahligen gemeinsamen Faktor p besitzen.) Also: Der durch die Ordnungszahlen h₂, h₃ bestimmte abgebeugte Strahl ist so gerichtet, als wäre er an der Netzebene gespiegelt, deren Indizes ryx, rj₂, rj₃ sich wie \, \, h₃ verhalten.⁹)

Nach diesem Satze leuchtet es ein, daß man den Winkel

cp = n — (3₀fy) = £(« — (êê₀))

in Figur 20 als Einfallswinkel bezeichnen kann. Aus (179) und (184) folgt außerdem

oder

(190)

(8-8₀)*-5*

2(1 — cos (§3₀)) = l²(htb₁ -}-h₂h₂-\- h₃h₃)²

4 cos² cp = p² A²^ 6. + %    + % &s)²-

Die Klammer auf der rechten Seite hat eine einfache Bedeutung. Die zu 1) senkrechten Netzebenen des Gitters haben alle nach (188) Glei-chungen von der Form

{rh\xJrrl2\xJrrli\^X + (.Vl^ly + %\y + rls^Sy)y

ms führt, ist

Oh&l. + ’fo&S. + lfA.) = C-Diejenige von ihnen, welche durch das Atom m₁, m nach (171) und (183 a) durch

c = mxrix + m₃rj₂ +

gekennzeichnet. Bringt man ihre Gleichung auf die Normalform, so erkennt man, daß

I »h Vi + maT]s + m₃rjs j

I Ui “h 'Ui ^2 "h Ys &s !

für kubische Kristalle^

(■

V'V+V+’l 3

der Abstand benachbarter Netzebenen (%%%)• Aus (190) folgt somit die wichtige Formel:

(191)

ihr Abstand vom Nullpunkt, also auch ihr Abstand von der Netzebene ist, in der das Atom mx = m₂ — m₃ — 0 liegt. Da die Indizes r\ keinen gemeinsamen Faktor mehr besitzen, lassen sich immer solche ganzzahlige Wertetripel m1} m₂, ms angeben, daß der Zähler hier den Wert 1 erhält; ein kleinerer Wert (außer 0) ist nicht möglich. Also ist (190 a) d—

pX = 2d cos cp.

Sie entspricht ganz der Bedingung dafür, daß bei der Spiegelung von Licht an einer planparallelen Platte von der Dicke d ein Interferenzmaximum auftritt (vgl. (42) und (43)). Ihr Inhalt ist, daß, wenn unter dem Winkel cp einfallende Strahlung von der Wellenlänge X ein Interferenzmaximum ergibt, die von zwei benachbarten, parallelen Netzebenen herrührenden Wellen mit ganzen Wellenlängen Gangunterschied interferieren. Sie zeigt zugleich, wie auch (186), daß am Orte, an welchem die Wellenlänge X ein Maximum ergibt, auch Maxima für die XX

Wellenlängen y, —} ■■■ möglich sind. Die Ordnung p des betreffenden

Interferenzmaximums ist der größte gemeinsame Faktor der Ordnungszahlen ht, h₂, h₃.

Für die Zwecke von Nr. 54 führen wir schließlich noch als Folgerung aus (184) und (190 a) die Gleichung

(192) an.

Daß die Lage der Interferenzpunkte dem Spiegelungsgesetz gehorcht, haben zuerst die Herren Bragg bei regulären Kristallen am

vierzählig symmetrischen Photogramm nachgewiesen. Ihnen verdanken wir auch die Gleichung (191) sowie die schönsten Bestätigungen beider Gesetze durch den Versuch; wir wollen sogleich hinzufügen, daß diese Versuche mit noch größerer Genauigkeit von Moseley und Darwin wiederholt worden sind.¹⁰)

50. Die selektive Spiegelung an Kristallen. Die bisher besprochene Theorie setzt in der einfallenden Strahlung stets eine einzige Wellenlänge voraus. Die Röntgenröhre liefert statt dessen Strahlung von einem breiten, kontinuierlichen Spektrum, dem jedoch, wie man schon länger weiß, meist noch einfarbige, für das Material der Antikathode charakteristische Fluoreszenzstrahlungen beigemischt sind.¹¹) Nur von diesen spektral homogenen Bestandteilen soll in dieser Nummer die Rede sein, so daß wir in Formel (191) die Wellenlänge als gegeben zu betrachten haben. Diese Gleichung sagt dann aus, daß Spiegelung mit merklicher Intensität nur bei ganz bestimmten Einfallswinkeln stattfindet, deren Kosinus im Verhältnis der ganzen Zahlen 1, 2, 3 usw. stehen. Dies haben nun --——-

die Versuche von Bragg sowie Moseley und Darwin an einer großen Reihe von Kristallen,

Steinsalz, Zinkblende,

Gips, Ferrocyankalium und anderen dargetan.

In Fig. 21 zeigen beide Kurven die Intensität 90 der gespiegelten Röntgenstrahlung (durch Ionisationswirkungen gemessen) in Abhängigkeit vom Einfallswinkel cp. Der Kristall ist bei beiden Kurven Steinsalz, doch gibt Kurve I die Spiegelung an II die an einer Oktaederfläche (111) sich über die im allgemeinen mit abnehmendem Einfallswinkel abklingende Kurve Gruppen von je drei scharfen Maxima; sie liegen bei denjenigen Einfallswinkeln cp, bei welchen für die Wellenlänge einer charakteristischen Fluoreszenzstrahlung Gleichung (191) erfüllt ist.

Ionisation

§■

Einfallswinkel

85

80

75

70

65

60

55

Fig. 21.

einer Würfelfläche (100), Kurve an. In beiden Kurven überlagern

Da die cos cp sich für die mit dem gleichen Buchstaben A, B oder G bezeichneten Maxima wie 1:2:3 verhalten, so gehören sie der gleichen Strahlung an und geben für diese die Tnterferenzmaxima verschiedener Ordnung. Die Ordnungszahl ist in Fig. 21 im Index der Buchstaben A, B oder C angegeben; weshalb in der Kurve I die ungeraden Ordnungen fehlen, werden wir in Nr. 56 besprechen. Eine weitere scharfe Prüfung der Theorie liegt im Vergleich beider Kurven. Die Maxima A₂ liegen bei ihnen bei verschiedenen Einfallswinkeln; die beiden cos cp verhalten sich wie ]/3 : 1 ; dasselbe gilt für die Maxima B₂ und C₂. Da der Abstand zweier Netzebenen (100) aber gleich der Würfelkante a des regulären Raumgitters, der Abstand zweier Flächen (111) a : Y3 ist, so ergibt sich für entsprechende Maxima in beiden Kurven nach Formel (191) der gleiche Wert von A. Die Genauigkeit der Versuche mag man daraus entnehmen, daß Moseley und Darwin die Einfallswinkel bis auf eine Minute bestimmen konnten und daß sich nach ihren Angaben zweifellos noch genauere Messungen erreichen lassen.

Die völlige Analogie zur Optik, welche unsere Theorie kennzeichnet, findet sich auch bei gewissen Absorptionsmessungen. Es ist für die Intensität des gespiegelten Strahles dasselbe, wenn wir einen absorbierenden Körper (Aluminium) einmal dem einfallenden, das andere Mal dem gespiegelten Strahl in den Weg stellen.

Untersuchungen in zwei benachbarte

neueren

W. H. und W. L. Bragg haben durch Aufnahme derartiger Spiegelungskurven bei einer ganzen Reihe von Elementen die charakteristische Röntgenstrahlung aufgesucht und mit der Gitterkonstanten des Steinsalzes verglichen. Da sie diese in absolutem Maße bestimmen konnten (vgl. Nr. 56), so konnten sie damit die Wellenlängen absolut messen. Die drei besprochenen Linien des Platinspektrums haben z. B. die Wellenlängen (A) 1,3 • 10“⁸, (JB) 1,1 • 10“⁸, (O) 9,5 • 10“⁹ cm; sowohl (B) als (0) hat sich in Linien auflösen lassen.

Die sehr eingehenden Untersuchungen von Moseley¹⁷°) haben zu dem sehr bemerkenswerten Gesetz geführt, daß jedes chemische Element zwei Hauptlinien aussendet, eine härtere AT-Linie, deren Frequenz sich aus der Ordnungszahl des Elementes N im periodischen System, und der universellen Frequenz n₀ — 3,291 • 10¹⁵ sec⁻¹ des Bydberg sehen Spektralgesetzes nach der Formel

(192 a)

n = (1 — 0²)(N- 1 )% = KW- 1 )X

170) H. G.J. Moseley, Phil. Mag. 26 (1913), p. 1024; 27 (1914); p. 703; vgl. auch J. R. Bydberg, Phil. Mag. 28 (1914), p. 144.

berechnet, und eine weichere L-Linie, für deren Frequenz ähnliche Formeln vorgeschlagen sind. Außer diesen Hauptlinien gibt es eine Anzahl Satelliten. Die kürzeste Wellenlänge (7,2 • 10“¹⁰ cm) haben bisher Rutherford und Andrade bei den y -Strahlen des Radium B oder C nachgewiesen.¹⁶²)    «

51. Die allgemeine Spiegelung. Wie an Fig. 21 zu sehen, findet neben der besprochenen selektiven Spiegelung auch eine allgemeine Spiegelung bei allen Einfallswinkeln innerhalb eines gewissen Bereiches statt.

L>3

C₃

UBS A₃

Einfallswinkel

90    88    86    84    82    80    78    76

Fig. 22.

Fig. 22, die mit einer Platinantikathode an Ferro cyankalium aufgenommen ist, zeigt für die letztere die Abhängigkeit der gespiegelten Intensität von dem Einfallswinkel. Die scharfen Maxima, welche der selektiven Spiegelung entsprächen, sind fortgelassen; nur ihre Stellen sind mit den Buchstaben A, B, C, welche dieselbe Bedeutung wie in Fig. 21 haben, angegeben. Auf Grund der Formel (191) müssen wir diese allgemeine Spiegelung auf das kontinuierliche Spektrum der einfallenden Röntgenstrahlen zurückführen und können im Anschluß an Moseley und Darwin die folgenden Schlüsse über sie ziehen. Aus der Gesamtheit der vorhandenen Wellenlängen werden bei gegebenen cp diejenigen ausgesondert, welche der Formel (191) genügen. Beginnen

wir bei streifendem Einfall (cp = so erfüllt keine endliche Wellenlänge diese Bedingung, es tritt somit kein gespiegelter Strahl auf. Lassen wir den Einfallswinkel abnehmen und damit seinen Kosinus wachsen, so kommen wir allmählich in einen Bereich, in welchem die kürzesten vorhandenen Wellenlängen mitjö=l dieser Gleichung genügen, also Interferenzen erster Ordnung ergeben. Die zugehörige Intensität in der einfallenden Strahlung wird dabei zunächst gering sein, aber allmählich wachsen, bis ein Maximum erreicht wird, das wenigstens ungefähr dem Intensitätsmaximum im Spektrum der einfallenden Strahlung entspricht. Darüber hinaus setzt ein Abfall der Kurve ein. Doch nun tritt bald die Komplikation ein, daß bei weiterem Anwachsen von cp auch Interferenzen zweiter Ordnung auf-treten, so daß wir jetzt bei gleichem cp zwei Wellenlängen in der gespiegelten Strahlung haben. Später tritt sogar noch eine dritte, vierte usw. Ordnung auf. Könnte man die Interferenzen einer bestimmten Ordnung aussondern, so würden sie eine Spiegelungskurve ergeben, welche der beschriebenen ähnlich verläuft, nur, in der Skala der cos cp gemessen, einen j?mal größeren Bereich einnimmt. Tatsächlich überlagern sich alle derartigen Kurven, und es ergibt sich im allgemeinen eine Spiegelungskurve, welche mehrere Maxima hat. In Fig.22 z. B. sieht man noch ein zweites Maximum, welches, wie aus seiner Lage gegen das erste nach (191) hervorgeht, den Interferenzen dritter Ordnung entspricht; die Interferenzen zweiter Ordnung haben relativ geringe Intensität und ergeben infolgedessen nur die Biegung der Kurve in der Nähe von cp — 87°. Da das zweite Maximum ungefähr bei demselben Einfallswinkel wie das Maximum JBX liegt, hat das Intensitätsmaximum im kontinuierlichen Teil des Röntgenstrahlspektrums in dem hier dargestellten Falle eine dreimal kleinere Wellenlänge als B, also ungefähr 3,6 • IO⁻⁹ cm, was vortrefflich mit den in der Einleitung erwähnten Schätzungen übereinstimmt. Doch kann man im Gegensatz zur Fluoreszenzstrahlung die Wellenlängen des spektral kontinuierlichen Anteils verändern, indem man die Härte der Röntgenröhre verändert. Man erkennt dies an einer Verschiebung der gesamten Spiegelungskurve nach den größeren Einfallswinkeln, also kleineren Wellenlängen, wenn die Röhre härter, im umgekehrten Sinne, wenn sie weicher wird.170a)

Bei dem in Nr. 50 und hier besprochenen Versuchen ähnelt die Spiegelung der Röntgenstrahlen der des Lichtes, weil aus experimentellen Gründen eine der natürlichen Grenzflächen des Kristalles als

Spiegelungsfläche benutzt war. äußerliche. Die Spiegelung des Lichtes ist ein OberflächeneffeM, sie ist,

Doch ist die Ähnlichkeit eine rein

wenn sie regelmäßig auftreten soll, an die Bedingung der Glattheit der Oberfläche gebunden und findet sich bei Kristallen nicht nur an natürlichen Grenzflächen, welche stets Netzebenen des Raumgitters sind, sondern auch an beliebigen angeschliffenen Flächen. Für die Spiegelung von Röntgenstrahlen hingegen ist es ganz gleichgültig, ob die Spiegelungsfläche als Grenzfläche auftritt oder nicht. Einem Kristall künstlich angeschliffene Flächen, welche nicht Netzebenen sind, spiegeln ebensowenig wie die Begrenzungen amorpher Körper, z. B. Glas. Und schließlich ist es für die Spiegelung an einer natürlichen Grenzfläche völlig gleichgültig, ob man sie glatt läßt oder künstlich aufrauht. Die Spiegelung der Röntgenstrahlen ist eben, wie aus allen unseren Ausführungen hervorgeht, ein Volumeneffekt. In Einklang damit ¹²

steht, daß bei den erwähnten Spiegelungsversuchen mit inhomogener Strahlung außer dem an der Grenzfläche gespiegelten Strahl auch andere, an anderen Netzebenen reflektierte auftreten.

Wir können jetzt, auf eine Bemerkung in Nr. 47 zurückgreifend, sagen: Durchstrahlen wir einen Kristall mit Röntgenstrahlen einer bestimmten Wellenlänge, so müssen wir, um überhaupt ein Interferenzmaximum zu erhalten, in ganz bestimmten Richtungen durchstrahlen, da im allgemeinen für keine Netzebene die Gleichung (191) erfüllt ist. Hat die einfallende Strahlung hingegen ein kontinuierliches Spektrum, so wird sich je nach den Umständen mehr oder minder häufig eine Netzebene finden, für welche Gleichung (191) mit einer oder mehreren der verfügbaren Wellenlängen erfüllt ist; in allen diesen Fällen kommt dann ein Interferenzpunkt zustande. Daß ein Interferenzpunkt im allgemeinen neben der Grundwellenlänge A auch noch die zugehörigen

1 X

„harmonischen Obertöne“ —, y, enthält, haben Wagner¹¹¹) und Glocker¹⁷²) gezeigt. Sie durchstrahlten Steinsalz und ließen eines der Interferenzmaxima auf einen zweiten Steinsalzkristall in solcher Rich-

tung fallen, daß die verschiedenen Wellenlängen A,

• • • an verschiedenen Netzebenen Interferenzmaxima erster Ordnung ergeben konnten.

Sie erhielten dann eine Interferenzfigur, in welcher nur solche Punkte

X    X

auftraten, deren Grundwellenlängen A oder — oder —, • • • waren. An-

u    O

dere Punkte, welche mit einer unmittelbar von der Röhre kommenden Strahlung unter den gleichen Umständen leicht zu erhalten waren, aber andere Grundwellenlängen enthielten, fanden sich nicht — ein Beweis, daß in dem untersuchten Maximum mehrere zueinander harmonische Wellenlängen und nur solche auftraten.

52. Die Intensität der Interferenzpunkte.¹⁷³) Der Maximalwert

sin² M₁A₁

der Funktion

sin* |

ist kMf*, die Maxima der Intensität sind somit nach (175) für homogene Strahlung einer bestimmten Richtung proportional zum Quadrat der Zahl 8 M₁M₃M₃ aller bestrahlten Gitterelemente, unabhängig von den Indizes rjx, ^₂, rj₃ der spiegelnden Netzebene. Fragen wir aber für inhomogene Strahlung nach der gesamten Intensität eines Interferenzpunktes, so müssen wir bedenken, daß wegen der zwar kleinen, aber endlichen Breite der Maxima der Funktion (175)

171)    E. Wagner, Phys. Zeitschr. 14 (1913), p. 1232.

172)    R. Glocker, Phys. Zeitschr. 15 (1914), p. 401.

173)    P. Débye, Ann. d. Phys. 43 (1914), p. 49 nach brieflicher Mitteilung von H. A. Lorentz. Die von Lorentz ursprünglich in einem Colleg vorgetragene Ableitung wird mitgeteilt von J. Kern, Physikal. Zeitschr. 15 (1914), p. 136; für beliebige Kristallsysteme zuerst bei Laue, Festschrift, vgl. Anm. 162.

Encyklop. d. math. Wissensch. V 3.

nicht nur die nach (191) berechnete Wellenlänge zu ihm beiträgt, sondern auch gewisse, ihr benachbarte, daß ferner die einfallende Strahlung nicht nur aus einer bestimmten Richtung $₀ kommt, sondern aus einem kleinen, aber endlichen körperlichen Winkel. Beide Umstände machen, da das Element des körperlichen Winkels dcc°^° ist, die Multi-

plikation des Ausdrucks (175) mit nach a₀, ß₀ und k erforderlich. Führt man statt dieser nach (174) Alf A₂, A₃ als Integrationsvariable ein, so hat man, da

dk und die Integration

~ dAx dA₂ clA₃

±-d«,dß₀dk = ^ |7)| ist, zunächst die Funktionaldeterminante

dA₁ dAx dAt da₀ dß₀ die d Ag dAg dAg dcc₀ dß₀ die dAs dAs dAg d°c₀ dß₀ die

zu berechnen. Bedenken wir, daß der Integrationsbereich nur ein kleiner ist, so können wir D in ihm als konstant betrachten und ihm den Wert beilegen, welcher sich aus den Gleichungen (176) und den aus ihnen folgenden ergibt. Indem wir nach (174)

— °lo:(a - a<>) + Öly (ß — ßo) +    — To) = ~

usw. setzen, finden wir so

[*h *₀]„ K ^0 Ja; ^1

[«,*,], [M,L K

[°3^o]ÿ [fl3 ^oL \

•) _> 7»

rr {^[[OjSoH^yL-l- »,[[o,«J[a₁8Jl+ *,[0, «,)[<»,«„]],)•

/ 0

Machen wir sodann von der Vektorregel

¹

   Vgl. Anm. 151.

²

   I. H. Jeans, Phil. Mag. 10 (1905), p. 91; ferner H. Weyl, Math. Ann. 71 (1911), p. 441; und D. A. Goldhammer, Phys. Zeitschr. 14 (1913), p. 1188 leiten diese Zahl durch Abzählung der Eigenschwingungen des Hohlraumes ab.

Encyklop. d. math. Wissenscłi. V 3.

³

Nur das Maximum, welches durch ht = \ = h₃ = 0 bestimmt ist, tritt

⁴

stets auf, es liegt aber in der Richtung des einfallenden Strahles und wird von

⁵

diesem verdeckt.

⁶

   P. P. Ewald, Phys. Zeitschr. 14 (1913), p. 465.

⁷

   Vgl. z. B. E. Budde, Tensoren und Dyaden im dreidimensionalen Raum, Braunschw. 1914, p. 3.

⁸

Wir verstehen unter (ax a₂ a₃) — (a₂ 036,) = (as a, a₂) = (ax [a₂ a₈]) usw. das skalare Produkt aus a, und dem Vektor [a₂a₃]; es gibt abgesehen vom Vorzeichen das Volumen des Parallelepipedes aus a,, a₂, ag an.

⁹

Bei hexagonalen Kristallen gibt man bekanntlich jeder Netzebene vier Indizes 7jx, 7jä, r\₃, r}₀, von denen sich die drei ersteren, deren Summe Null ist, auf die drei Nebenachsen, der vierte aber auf die Hauptachse beziehen. Ganz entsprechend hat dann ein Interferenzpunkt vier Ordnungszahlen h,,    h₃, hc,

welche sich wie die Indizes r\ verhalten, und es ist \ -f- \ -f- \ = 0.

¹⁰

   W. L. Bragg, Proc. Cambr. Phil. Soc. 17 (1913), p. 43; W. H. und W. L. Bragg, Proc. Roy. Soc. 1913, p. 88, 428; H. G. J. Moseley u. C. G. Darwin, Phil. Mag. 26 (1913), p. 210. Alle Arbeiten deutsch in der Z.-S. für anorgan. Chemie 90 (1915), p. 153 u. f.

¹¹

   Siehe z. B. C. B. Barlcla, Phil. Mag. 22 (1911), p. 396, oder B. Pohl, Die Physik der Röntgenstrahlen, Braunschw. 1912, Kap. 5.

¹²

&) W. Friedrich, Ann. d. Phys. 44 (1914), p. 1169.

[*[»<£]] = »((£«) — (£(«»)

und von den Gleichungen (183), (184) und (185) Gebrauch, so formt sich dies, da = y₀ ist, um zu

I) =

{Âi(»₀[û.û,]) + h(è₀[a₃aj) + h₃(êoKû₂j)}

~~~ (Û1 °2 a3) { K (*0 &l) + \ (ê0 &>) + \ (ê0 &s) }

(Qi Ms) (8₀$) = — ^(û₁a₂û3)î)²*

Unter nochmaliger Anwendung von (184) und in Rücksicht auf (190 a) schließt man daraus

53. Die Frage nach der Funktion tp. y₀\D = 2Æ²(fl₁û₂Û₂)(Â₁b₁ + A₂&₂ + ^sb₃,)‘

=    + %f>₂ -f-    ₃)²

= 2jt²(a₁a₂as)|F-

Wegen der Schärfe der Maxima der Funktion (175) ist es von geringem Belange, wie man die Integrationsgrenze wählt, wenn nur im Integrationsbereich ein einziges Maximum von ihr liegt. Diese Bedingung wird erfüllt, wenn man + 7t als Grenzen für alle drei Integrationen wählt. Da nach (118 a)

— 7t

+ 71

sin iM₁A₁

sin³-^-^

dAx = 4,7t Mx

ist, findet man so für die Intensität des Interferenzpunktes h₂, h hei Anwendung inhomogener Strahlung

_hM

(193)

Q¹1 1*1 4" \    + ^8 fy,)

(= -n^/+VT^ bei re8l,lären KristaUen) ■

Oh *h ^s)

Die Zahl der Atome pro Flächeneinheit der Netzebene    ₃) ist

zum Abstand d benachbarter Netzebenen proportional. Somit ist das Beflexionsvermögen der Ebene (%%%) proportional zum Quadrat ihrer Belegungsdichte und umgekehrt proportional zum Quadrat der Ordnungszahl p der Interferenz; von den in demselben Punkt nach (191) möglichen Wellenlängen wird die Grund weilenlänge bevorzugt. Diese Bevorzugung der dichter belegten Ebenen tritt aber lediglich sekundär bei inhomogener Strahlung auf, weil bei ihnen der Bereich von Wellenlängen und Richtungen, die zum Interferenzpunkt beitragen, größer ist als bei minder dicht belegten.

In den folgenden Erörterungen wollen wir statt an (193) an den einfacheren Ausdruck (175) anknüpfen. Die Ausführung der hier besprochenen Integration würde stets nur die Folge haben, daß man die angegebenen Intensitäten mit

32%Mt MiMadi (a, a₂ as)p*

zu multiplizieren und durch die drei Sinusquotienten zu dividieren hat.

Es sei übrigens darauf hingewiesen, daß die Absorption der Röntgenstrahlen, von der wir hier völlig abgesehen haben, diese Ergebnisse beeinflussen muß.

53. Die Frage nach der Funktion Die Intensität der Interferenzpunkte hängt nach Gleichung (175) auch von dem Faktor

31*

i/j ab, welcher Funktion von cc₀, ß₀, y₀, cc, ß und y ist und durch die Interferenztheorie nicht bestimmt werden kann; denn er gibt an, wie das einzelne Gitterelement auf die einfallenden Wellen anspricht. Schon beim optischen Gitter haben wir eine völlig analoge Schwierigkeit (vgl. Nr. 17).

54. Der Temperatureinfluß. Die Theorie, wie wir sie bisher entwickelt haben, denkt die Atome fest an ihre Orte im Raumgitter gebunden. Das ist aber nur beim absoluten Nullpunkt der Temperatur richtig. Bei jeder anderen Temperatur haben die Atome ja eine Wärmebewegung, so daß das Raumgitter wohl die Ruhelage, um welche sie schwingen, nicht aber ihren wirklichen Ort bestimmt. Vielmehr wird ein Atom in einem beliebig herausgegriffenen Augenblick gewisse Abweichungen I, rj, £ von der Ruhelage haben.

Die Vervollständigung der Theorie durch Berücksichtigung der Wärmebewegung verdanken wir Debye.¹™) Freilich hat diese Vervollständigung wohl nicht die, man möchte sagen, mathematische Genauigkeit der bisherigen Entwickelungen. Die statistische Theorie der Materie, welche dabei benutzt werden muß, steht gerade gegenwärtig in einer Krise, deren Ende noch nicht abzusehen ist: wir halten uns im folgenden an die alte Boltzmann-Gibbssche Statistik, welche bei höheren Temperaturen jedenfalls im wesentlichen richtig ist. Zweitens aber ist die Art, wie die Atome in einem festen Körper an ihre Ruhelagen gebunden sind, nicht so leicht anzugeben. Streng genommen bewirkt die Gesamtheit der Nachbaratome diese Bindung; Kräfte zwischen der Ruhelage und dem Atom kann es nicht geben, weil in der Ruhelage nichts ist, wovon diese ausgeübt werden könnten. Wenn wir dennoch im folgenden einfach eine Kraft    -j- rj² -f- £²)

ansetzen, welche das Atom in die Ruhelage zurücktreibt, so können wir uns darauf berufen, daß dies Verfahren schon sonst in statistischen Problemen zu Folgerungen geführt hat, welche mit der Erfahrung im wesentlichen übereinstimmen. Der Proportionalitätsfaktor f muß dann so gewählt werden, daß die aus ihm berechnete Eigenfrequenz mit der optischen Eigenfrequenz des Kristalls im Ultraroten (im Gebiete der Bubensschen Reststrahlen) übereinstimmt; er hängt auch mit der Kompressibilität des Kristalles aufs engste zusammen.

Debye überlegt nun folgendermaßen: Die Geschwindigkeit der Wärmebewegung ist gegen die Lichtgeschwindigkeit so gering, daß es erlaubt sein wird, ihren Einfluß zu vernachlässigen. Es bleibt dann

175) P. Debye, Verhandl. d. deutsch. Phys.-Ges. 15 (1913), p. 678, 738, 857; Ann. d. Phys. 43 (1914), p. 49.

nur der Einfluß dieser Bewegung auf die Lage der Atome zu berücksichtigen. Durch eine einfache Erweiterung der Betrachtungen von Nr. 46 berechnen wir nun die Intensität J für beliebige Verrückungen g, ri, £ der Atome als Funktion der £, rj, £. Mit deren Veränderung wird im Laufe der Zeit auch die Intensität J variieren, und zwar so schnell, daß immer nur statt der Momentanwerte J deren zeitlicher Mittelwert J zur Beobachtung kommt. Dieser Mittelwert ist identisch mit der sogenannten „mathematischen Hoffnung“ für J* man berechnet ihn, indem man J mit der Wahrscheinlichkeit w des zugehörigen Systems der Verrückungen £, rj, £ multipliziert und dann über alle möglichen Werte der |, rj} £ integriert. Für w liefert die Boltzmann-Gibbssche Statistik¹⁷⁶), da nach dem angenommenen Kraftgesetz die potentielle Energie des Atoms mu m₂, m₃ ist,

L« 2

2 > rrt1} mz

w — Ce *xT

wobei die Summation nach ml} m₈, m₃ über dieselben Bereiche 2M1} 2M₂, 2Ms auszuführen ist wie in Nr. 46. T ist die absolute Tem-paratur, % die Konstante des Boltzmannschen Prinzips (sonst meist mit h bezeichnet). Die Konstante C aber berechnet sich aus der Forderung, daß der Gesamtwert von w

+ oo

mi, m2y mz

. . wlld%

^brriy, wïj, m₃

— 00

sein muß (die Produktbildung U ist hier analog der Summenbildung 2 auszuführen), zu (194)

da hier 3x8 M₁M₂ M₃ Integrale vom Werte

i

»*₇    /2*xT\'2

du — (—j—J

+ 00

/•

2 y.T

-00

miteinander multipliziert sind.

i, m₂, w₃

x = mx<xXx-f- m₂a2x-\- m₃a3x-\-£

V =    y-f %û2y+ %û3ÿ + î?

* =    + m₂a.2z + m₃a3l + tmi,

Liegen die Verrückungen |, r\, £ vor, so werden die Koordinaten des Atoms m

mu m//ij

«i, »h

777j 1

176) Die in Anm. 175) zuletzt genannte Arbeit von Débye ersetzt die Boltzmann- Gibbssche Statistik durch die Quantentheorie, da aber letztere noch nicht hinreichend feste Formen hat, bleiben wir im Text bei den ersteren Arbeiten stehen.

Y 24. M. v. Laue. Wellenoptik, und wir finden als Ausdruck für die resultierende Schwingung statt (173):

476

—ikR

a₀)+yG*-/*₀)+*(y-yo)]

.—tkR

= llt(cc,ß) -p y, ék [TOl +    + m> A*+ £Ml, m₂, m, (a-“o)+ VMl, mt, mt GH*»!.)+?m

Multiplizieren wir damit den dazu konjugiert komplexen Ausdruck, so finden wir für die Intensität

m m!

m₁r) A₁ + (m₄ - m₂') A₂ + (m, - m,') Az]

X    jjij', (a ao) + (’1mum₂,m₃    m*', m/W $>)

_ Wrt/. »/)/, Jttj') (/ ~ Zoll.

+ (?>

»i, m₂, r«₃

Der Mittelwert von J" ist

4-00

(195)

./ =

-M

ni, n₂, ns

dVn

1. «2. ”i

d^nlynv nz

I ^ r VV/T R* 2j ZjK

m m!

m^ ?n₂, ms, m/, m/, m₃'

ßi k [(?«! - m₁0 A₂ + (m₂ - m,') -f (mä — m/) -4^

wobei

+ 00

J7~

-⁰-»»!, m₂, m₃, m/, m₂, m₃

Cf...e

2 xT ^^nuni'n3

— 00

?îij, ??î₃    ^m/, m/, m₃') (“ co) + (inij, m₂, m₃ 'Jm/, m₂', m₃') G* $>)

— ^m/, w/, w,') (r ~ Zo)]

+({;

»1, W*î, Wi₃

dVn

Dies Integral hat nun verschiedene Werte, je nachdem a) ml = w₂ = m

w₂, nz

lf w3

i, w2t w₃

= w₃,

oder

b) von den Wertepaaren m₁ und m^, mt und m₂', mz und mz wenigstens eins zwei verschiedene Zahlen enthält.

Im Falle a berechnet sich K ganz wie oben die Konstante C, so daß K — 1 wird. Im Fall b hingegen zerfällt K in drei Faktoren (abgesehen von G), von denen der erste

-F oo

(196)    f...e

"    ”³ eik $mu m₂, n, “ V«/, m,', m₃') (« " «o) J" Jd g

«1» W2> W3

— 00

lautet, während die beiden anderen aus ihm hervorgehen, wenn man £ mit 17 oder g, a mit ß oder y vertauscht. In dem hingeschriebenen Integral liefert nun zunächst jede der 8 M₁M₂ Mz — 2 Integrationen nach allen £ mit Ausnahme von £

ml} 7W₂, m₃

und £

m/, 7?i₂', mz

den Faktor

/•

Faktoren

Die beiden noch ausstehenden Integrationen fügen die

+“ f

¥x¥ *»»11m₃ + lk{«~<*o) £nlu mtl m₃

und

•foo

Je

•2y.T

dl

m11 mz'i »»*'

— 00

hinzu, deren gemeinsamer Wert

— xT

/2nxT\% -ÏT7*²(<*-a₀)*

\~r)e

ist. Somit ist das Integral (196) gleich

x T

/2_    *»(a-a₀)²

(—)    e 7

Fügt man noch die beiden anderen Faktoren von K hinzu, in welchen a mit ß oder y vertauscht ist, so findet man in Hinblick auf (194)

y T

- — *² [(« - «o)² + {ß~ ßo)² + (Y - ’/o)²]

Da nach Nr. 47 a, ß, y\ cc₀, ß₀, y₀ die Komponenten der Vektoren §, §₀ sind, so ist hier

(a — a₀y + (ß — ß₀y + (y — y₀y = (« — §₀)

zu setzen. Für die mittlere Intensität folgt daraus, daß in (195) K = 1, wenn mx = m₁/, m₂ = m₂', ni.ä = m₃', sonst

v T

K=e f

— *²(3-3₀)³

zu setzen ist.

Scheiden wir zunächst die Glieder aus der dortigen Summe aus, für welche das Erstere zutrifft, so finden wir 8Summanden vom Werte 1. Addieren wir sodann alle diese Glieder, multipliziert

mit e f

so finden wir eine Summe

y.T

Q f k ^    ^ y pi k [(OTt - mß) Ax + (m„ — Ä₂ + (»;₃ - m₃') A₃]

welche gleich

y T

- -j t²(§—§o)² sin* M₁A₁ sin* Mt A₂ sin* MSA3 sin² -i- Ay sin² Ä₂ sin² ^ A₃

ist (vgl. die Formeln (173) und (175)). Schließlich müssen wir noch

die soeben hinzugefügten Summanden abziehen, d. b.

y T

— *²(3-§ c)¹

8M₁M₂M₃ e t

subtrahieren, so finden wir

(197)

y T

— — **(s - 8₀)² sin² M₁A₁ sin* M.\ At sin*Ms Aa ).

sin² 4 A, sin* A₂ sin² J.s j

Nach (179), (184) und (190 a) ist dabei

*‘(*-*«)*-(2*)

~(2*)>(*A+M. + W

(2*)V(i)A +    + %6₃)! = (^)*

bei regulären Kristallen^ •

Der erste Summand in Gleichung (197) ist proportional zur Zahl 8M₁M:M₃ der bestrahlten Atome; er ist Null in der Richtung des einfallenden Strahles (§ = §₀), wächst, da nach Fig. 20

(§ —§₀)2= §2_|_ §₀2_ 2(33₀) = 2(1 — cosff)

ist, zugleich mit dem Winkel ff zwischen § und §₀, bis er für ff = n den Wert

(198)

(199)

(= ©!(V + V + V)

8M₁M₂M₃\ l — e t ) erreicht, ohne irgendwo ein Maximum zu haben. Er gibt offenbar die infolge der Ungeordnetheit der Wärmebewegung ohne regelmäßige Interferenz nach allen Seiten zerstreute Strahlung an.

Der für die Interferenzerscheinung kennzeichnende Summand ist der zweite; er enthält den früher für die Intensität gefundenen Ausdruck (175) als Faktor. Seine scharfen Maxima liegen an den durch die Gleichungen (176) angegebenen Stellen. Es ergibt sich somit als wichtigste Folgerung: (I) Die Wärmebewegung beeinflußt nicht die Lage und Schärfe der Interferenzpunkte, sondern setzt nur deren Intensität herab. Wie sie die Intensität beeinflußt, darüber lehrt der Ausdruck (197) im Vergleich mit (198), da d den Netzebene proportional ist: (II) Die Wärmebewegung unterdrückt die Interferenzpunkte mit den höheren Ordnungszahlen h und setzt das Spiegelungsvermögen der weniger dicht besetzten Netzebenen herab. In einem und demselben Interferenzpunkte wird die größte Wellenlänge, welche als Interferenz erster Ordnung auftritt (p => 1), stärker gespiegelt als die anderen.¹⁷⁷)

177) Weitere Literatur: JE. Schrödinger, Phys. Zeitschr. 15 (1914) p. 79, 497; J. Kern, Phys. Zeitschr. 15 (1914), p. 337.

(200)

zur

Belegungsdichte der spiegeln-

Es sei hier daran erinnert, daß nach Nr. 52 schon bei ruhenden Atomen das Zusammenwirken verschiedener Wellenlängen und der verschiedenen Richtungen im einfallenden Strahl zu einer Bevorzugung der kleineren Ordnungszahlen oder der stärker belegten Netzebenen und der größeren Wellenlängen führt.

Der Satz (I) wird von der Erfahrung glänzend bestätigt. Die Schärfe der Interferenzpunkte ist bei Untersuchungen bei Zimmertemperatur (T=300°) so groß, wie sie unter den vorliegenden Umständen nur irgend erwartet werden kann (da man nicht wie in der Optik mit einem auf unendlich eingestellten Fernrohr beobachten kann, beeinflussen der Querschnitt des einfallenden Strahlenbündels und die Dicke des Kristalls die Schärfe ungünstig). Sie ändert sich nicht, wenn man, wie es de Broglie mit Turmalin getan hat¹⁷⁸), den Kristall auf die Temperatur der flüssigen Luft (T=80°) oder auf Rotglut (T mindestens ==900°) bringt. Auch die Lage der Interferenzpunkte bleibt bei diesem Versuche unverändert. Dagegen ist die Abnahme ihrer Intensität mit steigender Temperatur so erheblich, daß man z. B. bei Steinsalz von 320° C (T = 600°) bei einer Exposition, die bei Zimmertemperatur zur Photographie der Interferenzpunkte völlig ausreicht, keine Spur davon erhält.¹⁷⁹)

55. Kompliziertere Strukturen. Wir haben bisher einfache Raumgitter betrachtet, wie sie nur bei holoedrischen Kristallen auf-treten. Aber schon bei diesen kann die Struktur verwickelter sein; bei einem regulären holoedrischen Kristall z. B. brauchen keineswegs nur die Ecken des elementaren Würfels Atome zu tragen, sondern es können auch die Mittelpunkte der Würfel oder die der Würfelflächen mit Atomen gleicher oder anderer Art besetzt sein. Bei den hemiedrischen Kristallen kann die Struktur noch viel verwickelter werden; nach Schönflies kommen für die Struktur der Kristalle im ganzen 230 verschiedene regelmäßige Punktsysteme in Betracht. Wir wollen die Interferenztheorie daraufhin erweitern, wollen uns aber dabei wiederum die Atome ruhend denken, indem wir vorwegnehmen¹⁸⁰), daß unser Ergebnis durch die Berücksichtigung der Wärmebewegung keine wesentliche Änderung erfährt.

Außer den Atomen, deren Orte durch die Gleichungen (171) bestimmt sind, treten dann andere auf, die in den Punkten

x' = (mx + di)ala. + (ma + d₂)a2x + (m₃ + d₃)o3a.

y'= (m!+ d₁)olÿ+ (ni₂-f- d₂)o22/+ (ws + ^3)a3y

/ = (mx -j- djüj, -f- (m₂ -f- d₂)°2 2 H~ (m3 + <V)a3*

178)    de Broglie, Le Radium 10 (1913), p. 186.

179)    M. v. Laue u. J. Steph. van der Lingen, Pbys. Zeitschr. 15 (1914), p. 75.

180)    M. v. Laue, Ann. d. Phys. 42 (1913), p. 1561.

liegen und im allgemeinen durch eine andere Funktion ty' gekennzeichnet sind. Die Zahlen dt, d₂, d₃ sind dabei echte Brüche, deren Werte für das Punktsystem charakteristisch sind. Wir können die Lage eines gestrichenen zu einem ungestrichenen Atom auch durch den Vektor

r ' = d₁ ax -f- d₂ a₂ -f- d₃ a₃

angeben. Treten mehrere derartige Atome auf, so haben wir jede Sorte durch einen derartigen Vektor r', r" ... in ihrer Lage zu bestimmen. In diesem Falle tritt an die Stelle der Summe (173)

(202)

e~

ikR

-«o) + V(ß-ßo) + z(Y-Yo)]

-«o ) + y'(ß-ßo)+¹'(Y-Y₀)]

e~

ikR

= —g-    + • •

. J    g* (™i    + m₃ A₃)

ml m₂ ?n₃

wobei zur Abkürzung (203)

Q,== *[**'(« — «o) + Xy'(ß — ßo) + r/(r — 7o)] gesetzt ist. Man sieht, daß in (202) der einzige Unterschied gegen früher in der Ersetzung der Funktion ^ durch die Klammer besteht. Wir können dies so ausdrücken, daß jetzt nicht mehr ein einzelnes Atom, sondern die Gesamtheit aller Atome eines Elementarparallelepi-pedes als Gitterelement wirkt. Interferenzmaxima können nur dort auftreten, wo die dreifache Summe in (202) ein Maximum besitzt, wo also die Gleichungen (176) erfüllt sind. Die Lage der Interferenzmaxima gehorcht auch bei verwickelten Strukturen denselben Gesetzen wie beim einfachen Raumgitter. Dagegen wird die Intensität der Interferenzpunkte durch die Klammer in (202), d. h. durch die Struktur, im allgemeinen beeinflußt; nach den Grundgleichungen mögliche Interferenzpunkte können z. B. durch das Verschwinden dieses Strukturfaktors völlig aufgehoben werden. Hemiedrische Strukturen können sich somit im Interferenzbild äußern, brauchen dies aber nicht zu tun; es wird vielmehr einer besonderen Untersuchung in jedem Fall bedürfen, um diese Frage zu entscheiden. Die Erfahrung bestätigt dies.

Da a — cc₀, ß — ß₀, y — y₀ nach der Definition der Vektoren 3 und 3₀ (Nr. 47) die Komponenten des Vektors § — 3₀ sind, welcher nach (179) am Ort des Interferenzmaximums h1} h₃ gleich I) ist, so kann man Gleichung (203) nach (184) umformen in:

(203 a)

Q — 2jr(Ä₁(r 6l) -f-    ^3 (r 63))

(==    ( ht xj -f h.₂ Xy -j- h₃ r/) für reguläre Kristalle^ •

Dann ist der Strukturfaktor

(204)    |    ß) +    ß)    _j----

ausgedrückt durch die Lage der ein-, zwei- usw. gestrichenen Atomarten und durch die Ordnungszahlen h des Interferenzpunktes. Der Zerlegung des Raumgitters in Netzebenen entspricht mehr die Umformung:

p' =    ⁼    +    +    = 2jrr^|-

(vgl. (184) und (190 a)). Setzen wir in ihr

= &'d,

(204)

so finden wir als Strukturfaktor

(205)    | l>(a, ß) -f '(«, ß) + p"(cc, ß) e™"Pni -j----|².

Zur Deutung dieses Ausdruckes bedenke man, daß die eingestrichene, zweigestrichene usw. Atomart Raumgitter bilden, welche dem aus den ungestrichenen Atomen bestehenden kongruent sind, nur daß sie gegen letzteres die durch die Vektoren r', r" ... gegebenen Verschiebungen haben. Die Netzebenen (rj₁ % rj₃) dieser verschiedenen Raumgitter fallen dabei im allgemeinen nicht zusammen, sondern die des eingestrichenen Raumgitters haben von denen des ungestrichenen den Abstand r^, da t) auf ihnen senkrecht steht. Die Zahl ff' gibt somit an, wie der Abstand d der ungestrichenen Netzehenen von den eingestrichenen Netzebenen unterteilt wird. Der Faktor (205) entspricht daher dem Interferenzeffekt aller derjenigen Wellen, welche von je einer ungestrichenen, einer eingestrichenen usw. Netzebene zurückgeworfen werden.

Als einfaches Beispiel wollen wir den Strukturfaktor eines flächenzentrierten Gitters im regulären System berechnen, wie es z. B. in Fig. 23 durch die eine Art von Punkten, etwa die schwarzen vorgestellt wird. Die daselbst mit 4, 5, 6 bezeichneten Punkte gehen aus dem Gitterpunkt B durch die Verschiebungen hervor:

= ł (°i + Ö2)>    x" = ł (û2 + a3)>    x" = ł (°3 + ai)-

Nach Gl. (203 a) wird also

9 =    + W    Q" = n (h + W    Q" =    + M-

Wegen völliger Vertauschbarkeit der vier Punkte im flächenzentrierten Gitter müssen auch die zugehörigen ^ unter sich gleich sein. Der Strukturfaktor wird daher (204a) |^f 11 -f é? + e^' + e*'V"|²

— ilf; ^ j 1 —J—    +    +    (Aj +    |2

16 | ^ |² . • alle h gerade oder alle h ungerade, 0    . . im entgegengesetzten Fall.

Bei einem einfachen flächenzentrierten Gitter können also Flecke mit „gemischten“ (teils geraden, teils ungeraden) Ordnungszahlen überhaupt nicht auftreten. Eine Fläche mit gemischten Indices kann nur in gerader Ordnung reflektieren. Entsprechendes gilt für alle Gitter, die sich aus mehreren flächenzentrierten zusammensetzen; ihr Strukturfaktor wird gefunden, indem man die durch (204) ausgedrückte Phasenzusammensetzung nur auf die vollständigen flächenzentrierten Gitter anwendet und dann entsprechend (204a) alle Flecke mit gemischten Indices streicht, die übrigen mit dem Gewicht 16} ^ |² (gegenüber dem einfachen Gitter) bewertet.

56. Die Struktur des Steinsalzes und des Diamantes. Wir haben in Nr. 50 und 51 die selektive und die allgemeine Spiegelung an der Netzebene eines Raumgitters unterschieden und gesehen, daß die erstere die einfachere Erscheinung ist, weil man es bei ihr mit einer bestimmten Wellenlänge zu tun hat. Deshalb eignet sie sich auch besser zur Untersuchung von Kristallstrukturen. Yon den zahlreichen Ergebnissen, welche die Herren Bragg nach dieser Methode erhalten haben, wollen wir nur die auf Steinsalz und Diamant bezüglichen hier genauer diskutieren.

Nach Fig. 21 treten bei der Spiegelung an einer Würfelfläche des Steinsalzes (Kurve I) nur Interferenzmaxima gerader Ordnung auf. Und bei einer Spiegelung an der Oktaederfläche (Kurve II) sind die Maxima erster Ordnung (AXi B1} Cx) erheblich schwächer als die zweiter Ordnung (M₂, B₂, C₂). Hieraus schließen die Herren Bragg im Hinblick auf die Symmetrieeigenschaften des Steinsalzes auf die in

<5

°3

Fig. 23.

Fig. 23 dargestellte Struktur, bei welcher längs der drei Würfelkanten Natrium- und Chloratome abwechseln. Dem in der Figur dargestellten Elementarwürfel gehören danach vier Na-und vier Cl-Atome an, nämlich außer dem in der Ecke rechts unten vorn gelegenen Natriumatom noch die Na-Atome 4, 5, 6 sowie die Cl-Atome 1, 2, 3 und 7; die anderen Atome der Figur müssen schon den anstoßenden Elementarwürfeln zugerechnet werden, da sie aus einem der erwähnten durch eine Verschiebung ctj, Ct₂ oder ü₃ hervorgehen. Wir haben also zwei flächenzentrierte Gitter: ein Na-Gitter und ein z. B. um die halbe Würfeldiagonale dagegen verschobenes Cl-Gitter. Die phasenmäßige Zusammensetzung dieser beiden Gitter

ergibt den Faktor — analog (204) — (204b) \ip -f ^VÄ(*t⁺*»+**)|l = J

\ip -j- t' |² wenn alle h gerade \xp— t//|² wenn alle h ungerade.

Gemischte Indices h kommen, wie zum Schluß von Nr. 55 hervorgehoben, nicht in Betracht; wir haben also nur die „geraden“ und „ungeraden“ Flecke mit den vorstehenden Werten des Strukturfaktors zu unterscheiden.

Man ersieht aus der Unmöglichkeit gemischter Indices (Gl 204a), daß in der Tat an der Würfelfläche (100) keine Maxima ungerader Ordnung auftreten können, während sie wegen der Verschiedenheit der Na- und Cl-Atome bei der Oktaederfläche (111) entsprechend Gl. (204b) wohl noch vorhanden sind, aber mit der relativen Intensität \ij> — xp' j², welche geringer ist als die relative Intensität | tp -J- xp' j2 der geraden Ordnungen. Wir wollen sogleich bemerken, daß beim Sylvin (KCl), dessen Konstitution genau dieselbe ist, auch bei der Oktaederfläche die Maxima ungerader Ordnung wegfallen, weil wegen des geringen Gewichtsunterschiedes der K- und der Cl-Atome auch die Funktionen xp und xp', welche deren Wirksamkeit messen, einander fast gleich sind (vgl. Nr. 53).

Man kann das Ergebnis für Na CI so aussprechen: Bei der Spiegelung an einer Netzebene (100) löschen die äquidistant angeordneten, in der gleichen Art mit Na- und CI-Atomen belegten Netzebenen die Interferenzen der ungeraden Ordnungen aus; bei der Spiegelung an (111) hingegen wechseln Netzebenen, welche nur Na -Atome tragen, ab mit solchen, die nur mit CI -Atomen besetzt sind; dieser Unterschied läßt Jeeine vollständige Auslöschung der ungeraden Ordnungen zu.

Auch an den mit spektral inhomogener Strahlung an Steinsalz gewonnenen Interferenzbildern haben die Herren Bragg diese Anordnung der Atome geprüft; wenn gleich dies Verfahren keine so gute Probe auf die Richtigkeit ergibt wie das zuerst beschriebene, so kommt man dabei doch auf keinen Widerspruch gegen die besprochene Anordnung.

Ist nun der Bau des Steinsalzes genau bekannt, so fallen damit auch alle Zweifel über den genauen Wert der Gitterkonstanten fort, welche bisher nur der Größenordnung nach bekannt war. Da auf den Elementarwürfel mit der Seitenlange a — AB (in Fig. 23) 4 Na- und 4 Cl-Atome, also 4 Moleküle NaCl kommen, ist das Volumen eines Grammoleküls NaCl, wenn N die Zahl der Molekeln im Grammolekül bezeichnet, tö⁸. Andererseits berechnet sich dies Volumen als der

'    4

Quotient aus dem Molekulargewicht m und der Dichte d. Setzt man

nun in der Gleichung (206)

i»s=

m = 23 + 35,5 = 58,5

Ô = 2,15

2V = 6,2 • 102S,

so folgt

a = 5,60 • 10

cm.

Mit Hilfe dieses Wertes sind die in Nr. 50 angegebenen Wellenlängen der charakteristischen Linien von Platin usw. berechnet. Die am wenigsten sichere der hier benutzten Zahlen ist N, das man nur auf etwa 8 Proz. genau kennt. Infolgedessen beträgt die Genauigkeit aller dieser Zahlenangaben ungefähr 2 Proz.

Eine scharfe Prüfung dieser Messung liegt in dem Vergleich zwischen den Gitterkonstanten verschiedener Kristalle, den man ziehen kann, indem man dieselbe homogene Röntgenstrahlung an ihnen spiegelt. Das Interferenzmaximum B₂ in Fig. 21, Kurve I z. B. liegt beim Steinsalz, auf welches sich die Figur bezieht, bei cp = 78°48', beim Sylvin hingegen bei cp — 79°48'. Nach (191) müssen sich die Gitterkonstanten beider Kristalle umgekehrt wie die Kosinus der zugehörigen Winkel verhalten; man findet für dies Verhältnis den Wert 0,896. Berechnet man hingegen die Gitterkonstante a des Sylvins nach (206) mit m = 74,5 und ô == 1,97, so findet man dafür 6,25 • 10~⁸, also wiederum für das Verhältnis dieser Gitterkonstanten 0,896.

Der Diamant ist nach den Herren Bragg aus zwei flächenzentrierten Gittern aufgebaut, die durch Verschiebung um \ der Würfeldiago-

°3

[4

Fig. 24.

nale auseinander erzeugt werden können. In der Fig. 24 sind B, 1,

2, 3 der Eckpunkt und die flächenzentrierenden Punkte des einen Gitters, dessen Grundwürfel gezeichnet ist. Die Punkte 4, 5, 6, 7 sind die entsprechenden Punkte des zweiten Gitters, die durch die Verschiebung -|-(a₁-|- û₂ -(— û₃) aus den ersteren hervorgehen.

Setzen wir die Amplitude ip für alle Punkte gleich, so ergibt sich für das Zusammenwirken der beiden flächenzentrierten Gitter der

I ntensitätsfaktor

4 wenn alle h gerade und Sh = 0 (mod 4),

0 wenn alle h gerade und _Sh = 2 (mod 4).

Natürlich, bleibt besteben, vgl. Gl. (204 a), daß Flecke mit gemischten Indices die Intensität Null haben.

Die Anwendung dieser Ergebnisse auf die Spiegelung an den Netz-ebenen (100), (110) und (111) ergibt volle Übereinstimmung mit der Erfahrung, insbesondere an der letzten Fläche das Ausfallen des Spektrums zweiter Ordnung (indices 222, Sh = 2 (mod 4)).

Daß die in der Figur als Punkte gezeichneten Gebilde wirklich einzelne Atome und nicht etwa Komplexe mehrerer Atome darstellen, ergibt der Vergleich der Gitterkonstanten des Diamantes mit der des Steinsalzes aus dem Spiegelungswinkel einer homogenen Röntgenstrahlung; demnach ist für Diamant a = 3,53 « IO⁻⁸ cm. Genau denselben Wert findet man aber aus der Gleichung

(m = 12, â = 3,51),

in welcher beide Seiten das Volumen eines Grammatoms ausdrücken, die linke unter der Voraussetzung, daß auf jeden Elementarwürfel 8 Atome Kohlenstoff kommen.

Fig. 25 ist eine Abbildung des räumlich ausgeführten Diamantmodelles. Die Flächen (111) liegen horizontal; die Strecke AB ist eine Diagonale einer Würfelfläche und entspricht somit einer Länge

3,53- 10~⁸. Ÿ2 — 5,00 • 10-

von

gut als Grund für das Verschwinden der Inter

cm. Man erkennt hier besonders

ferenzen zweiter Ordnung bei (111) die Aufeinanderfolge horizontaler Ebenen in Ab

ständen, die sich wie 1 : 3 verhalten, was einem Wert & — \ entspricht.

Fig. 25.

Modelle, wie wir sie hier für Na CI, KCl und Diamant kennen gelernt haben, sind chemische Konstitutionsformeln im vollkommensten Sinne des Wortes. Man erkennt hieran

die große Bedeutung dieser Ergebnisse nicht nur für die Mineralogie, sondern auch für die Chemie.

57. Die Form der Interferenzpunkte. Zum Schluß sei noch der Hinweis auf eine Eigentümlichkeit gestattet, welche man fast immer bei den Interferenzbildern beobachtet, wenn man einen dünnen Kristallschliff mit einem sehr eng abgeblendeten Röntgenstrahlbündel durchleuchtet. Man beobachtet dann statt der Interferenzpunlde meist Striche, welche, wenn die photographische Platte zum einfallenden Strahl senkrecht stand, tangentiell, d. h. senkrecht zum Fahrstrahl vom Mittelpunkt der Figur nach ihrem Orte, gerichtet sind.

W. L. Bragg¹) schlägt eine geometrisch-optische Erklärung für diese Erscheinung vor; wenn jeder Strahl der einfallenden, etwas divergierenden Welle in dem Teil des Kristalles, den er trifft, an einer bestimmten Netzebene gespiegelt wird, so bildet nach der Spiegelung die Gesamtheit dieser Strahlen ein astigmatisches Bündel, dessen eine Brennlinie ungefähr im gleichen Abstande hinter dem Kristall liegt, wie die Blende, welche das einfallende Bündel begrenzt, davor. In diesem Abstande ist daher die Länglichkeit ein Optimum; in größerem Abstande schwindet sie wieder, und zwar vollständig, wenn man ins Unendliche geht oder wenn man mit einem auf Unendlich eingestellten Fernrohr beobachten könnte. Hingegen zeigt die Theorie von Laue und Tank²), welche den Vorgang wegen des endlichen Abstandes der Strahlungsquelle als FresnelsehQ Beugungserscheinung auffassen (im Gegensatz zum bisherigen, wo immer nach Fraunhofer gerechnet wurde), daß die Länglichkeit auch im Unendlichen erhalten bleiben muß, weil eben das in Nr. 45 abgeleitete Spiegelungsgesetz nur im Fraunhofer sehen Fall gilt. Versuche, welche diesen Sachverhalt erweisen sollen, sind zurzeit im Gange.

Der Ausdruck (175) für die Intensität enthält das Produkt dreier Sinusquotienten. Der erste davon entspricht der Interferenz von Gitterelementen, welche auf einer geraden Linien parallel cq angeordnet sind. Die beiden anderen geben den Interferenzeffekt eines in der Ebene der Vektoren ö₂ und o₃ gelegenen Kreuzgitters. Ein sichtbares Maximum entsteht, wo ein Kreuzgitterspektrum einem der Kreise hinreichend nahe liegt, auf welchem der erste Sinusquotient seine Maxima hat.

Der Ausdruck (175) beruht aber durchaus auf der Annahme, daß ebene Wellen einfallen. Treten Kugelwellen an deren Stelle, so wird er ersetzt durch einen Ausdruck, in welchem wiederum als Faktoren

57. Die Form der Interferenzpunkte.

487

auftreten erstens ein Term, herrührend von parallel zu ox angeordneten Gitterelementen, zweitens ein Term, der den Kreuzgittereffekt angibt. Aber die Maxima des letzten Termes sind nicht mehr so scharf wie früher; die Kreuzgitterspektren haben sich verbreitert. Ihre ursprüngliche Schärfe war ja dadurch bedingt, daß zwischen je zwei interferierenden Wellen in einem unendlich weit entfernten Aufpunkte genau die gleiche Phasendifferenz bestand; dies ist aber jetzt nicht mehr der Fall. Dagegen bleiben die Interferenzmaxima, welche von parallel zu ax, d. h. parallel zur Fortpflanzungsrichtung der Welle angeordneten Gitterelementen herrühren, so scharf wie zuvor. Auf sie hat die Krümmung offenbar keinen Einfluß. Sichtbare Helligkeit wird nun dort auftreten, wo die Kreise, welche die scharfen Maxima des ersten Terms enthalten, die verbreiterten Kreuzgitterspektren schneiden. Es leuchtet ein, daß dabei die beobachtete Länglichkeit der Flecke herauskommt.

SPEZIELLE BEUGTESTGSPBOBLEME

Von

PAUL S. EPSTEIN

IN MÜNCHEN.

Inhaltsübersicht.

58. Einleitung.

I. Methode der mehrwertigen Lösungen.

5h. Die Sommerfeldsche Methode zur Gewinnung mehrwertiger Lösungen der Schwingungsgleichung.

60.    Beugung an der Halbebene.

61.    Der Keil und der Fresnelsche Spiegel.

62.    Der Spalt.

II. Methode der krummlinigen Koordinaten.

63.    Die Grundgleichungen in krummlinigen Koordinaten.

64.    Der Kreiszylinder.

65.    Der elliptische Zylinder.

66.    Der parabolische Zylinder.

67.    Die Kugel. Farben kolloidaler Metallösungen.

68.    Theorie des Himmelsblau. Opaleszenz im kritischen Zustande.

69.    Ellipsoid, Kreisloch (Näherungsmethoden).

70.    Gitterbeugung.

Spezielle Beugungsprobleme.

58. Einleitung. Die von Kirchhoff gegebene klassische Theorie der Beugungserscheinungen zeichnet sich durch ihre Allgemeinheit sowie durch Einfachheit und Eleganz ihrer Anwendung auf beliebig geformte Öffnungen aus; in Nr. 34 wurde indessen bereits herrorgehoben, daß sie strengeren physikalischen und mathematischen Forderungen nicht gerecht wird. Um die Beugung nach Gleichung (105) bzw. (108) berechnen zu können, nimmt Kirchhoff an, daß die Funktionen u und

du

auf der ganzen Rückseite des das Licht abblendenden Schirmes

verschwinden, während ihr Wert in der Öffnung der ungestörten Ausbreitung der Welle entsprechen soll. Er gibt indessen selbst zu, daß dies nur in größeren (verglichen mit der Wellenlänge) Entfernungen vom Schirmrande näherungsweise zutrifft, nicht aber in der unmittelbaren Nachbarschaft desselben; die Methode kann daher nur bei großen Dimensionen der beugenden Öffnung (bzw. des Schirmes) und für kleine Beugungswinkel richtige Resultate liefern, da nur unter diesen Bedingungen die Wirkung der Randzone zurücktritt. Andererseits verzichtet sie von vornherein auf die Beschreibung gewisser Feinheiten der Erscheinung, wie z. B. des Polarisationszustandes des abgebeugten Lichtes³ 4), des Einflusses des Schirmprofils, seiner Materialeigenschaften usw. Poincaré¹⁶*) war der erste, der dieses Verfahren verlassen und das Beugungsproblem als Randwertaufgabe aufgefäßt hat.⁵) Seitdem bildete die Theorie der Maxwell sehen Gleichungen unter Berücksichtigung der an der Oberfläche eines beugenden Körpers geltenden Grenzbedingungen den Gegenstand einer ganzen Reihe von Arbeiten. Die mathematischen Schwierigkeiten der so verstandenen Beugungsaufgabe bringen es indessen mit sich, daß sie bis jetzt nur für eine sehr beschränkte Anzahl von speziellen Formen der beugenden Begrenzung durchgeführt werden konnte.

Den Ausgangspunkt der Analyse bilden die Maxuellschen Gleichungen (1), (3), (4), (7 a), welche im Spezialfall durchsichtiger Medien (<? = 0) auf die Wellengleichungen (5) führen. Andererseits ergibt der Ansatz (206)

für absorbierende Medien bei Beschränkung auf zeitlich periodische

2 %

Zustände von der Periode —

(207)

(*:r+    =

div E — 0,

— rot A, div H=0.

490

Y 24. Paul S. Epstein. Spezielle Beugungsprobleme. Zur Abkürzung schreiben wir

n²s in a c²    c²

und bezeichnen h als die „komplexe Wellenzahl“, da sie im Falle

2 %

durchsichtiger Medien in die gewöhnliche Wellenzahl k = -y-

= Phasengeschwindigkeit = vgl. p. 363^ übergeht. Auch in

diesem allgemeineren Falle liefert die Elimination von H (bzw. E) die Schwingungsgleichungen

(208)

AE+Ä³E=0, AH k²H = 0.

Einer besonderen Erörterung bedarf noch der Fall zweidimensionaler Probleme, zu welchen die Mehrzahl der zu behandelnden Beispiele gehört. Ist der Schwingungsvorgang von einer der cartesischen Koordinaten, z. B. z, unabhängig, so kann man ihn stets als Überlagerung zweier unabhängiger Vorgänge auffassen, in deren einem die Komponente im anderen die Komponente verschwindet. In der Tat zerfällt dann das Gleichungssystem (1) bis (4) in die beiden unabhängigen Gruppen

i _ _ d®,

c dt    dy ’

1 d§y ₌ 0®, c dt    dx ’

d²az ,    i d²®^'

y dx²    dy²    (E⁴ dt²

Man kann daher die beiden durch die Gleichungen (209a) und (209b) dargestellten Vorgänge getrennt betrachten; im ersten sind die Schwingungen senkrecht zur z-Achse polarisiert, im zweiten parallel zu derselben; wir werden sie im folgenden stets als den Fall JL und den Fall II bezeichnen.

Die Grenzbedingungen, welche an der Oberfläche des beugenden Körpers bei endlicher Leitfähigkeit desselben gelten, sind m): Die Tangentialkomponenten von @ und verhalten sich an der Grenzfläche stetig (210)

wo sich die Indizes i und a auf das Innere und Außere des Körpers beziehen.

(209 a,b)

j_ ae* ₌ d&

c dt dy ’ s d&y c dt

i    is6\

dx-    ¹ dy² or dt2 J

dx

(@tang)j - (®tang)aj (^}tang)/ - (§tang)a;

186; Analoge Gleichungen erhält man auch für absorbierende Medien und krummlinige Koordinaten (vgl. Nr. 63).

187) Ygl. diesen Artikel Nr. 1 oder Y 22, Nr. 5 (TT. Wien).

59. Die Sommerfeldsche Methode der Schwingungsgleichung.

491

Dementsprechend muß bei unendlich guter Leitfähigkeit die elektrische Feldstärke zur Grenzfläche normal stehen:

¹

   W. L. Bragg, Proc. Cambr. Phil. Soc. 17 (1913), p. 43.

²

   M. v. Laue u. F. Tank, Ann. d. Phys. 41 (1913), p. 1003.

³

Bei Behandlung der Beugung an einer Halbebene nach der Kirchhoff-schen Methode vom Standpunkt der elastischen Lichttheorie hat E. Maey (Ann. d. Phys. 49 (1893), p. 69) einen Einfluß der Polarisation der einfallenden Wellen gefunden, in der elektromagnetischen Theorie ergibt sich jedoch, wenn man nach der Vorschrift von Maey verfährt, für die verschiedenen Polarisationszustände kein Unterschied.

⁴

   Poincaré, Acta Math. 16 (1892), p. 297 und 20 (1897), p. 313. (Vergleich mit der Theorie von Sommerfeld.)

⁵

   Allerdings wurde es nur mit Beschränkung auf sehr kurze Wellenlängen für die unendliche Halbebene durchgeführt.

(211)

Außer diesen beiden Fällen wird uns noch der „vollkommen absorbierende“ oder „absolut schwarze“ beugende Schirm beschäftigen. Darunter soll verstanden sein, daß der aus dem Schirm austretende mittlere Energiestrom verschwindet, was allerdings noch keine eindeutige Definition ist. Wie sich der Begriff des schwarzen Körpers in eleganter Weise mathematisch fassen läßt, werden wir in Nr. 60 sehen.

Um neue Lösungen der Grundgleichungen zu gewinnen, welche der speziellen Form der Grenzflächen angepaßt sind, hat man bis jetzt im wesentlichen zwei Wege beschritten: A. Sommerfeld hat eine Methode angegeben, um auf funktionentheoretischem Wege verzweigte Lösungen der Schwingungsgleichung zu finden. Sein weiteres Vorgehen, mittelst solcher Lösungen die Grenzbedingungen zu befriedigen, ist eine Verallgemeinerung der Thomsonschen Spiegelungsmethode (Nr. 59—62). Ein anderer Weg, der mit Erfolg angewandt wurde, ist, die Grundgleichungen auf solche krummlinige Koordinaten zu transformieren, daß den Unstetigkeitsflächen konstante Werte des Parameters entsprechen (Nr. 63—67). Leider ist die Anwendbarkeit beider Methoden eine beschränkte, und die Zahl der Fälle, deren Behandlung bisher gelungen ist, gering.

I. Methode der mehrwertigen Lösungen.

59. Die Sommerfeldsche Methode zur Gewinnung mehrwertiger Lösungen der Sehwingungsgleichung. Im Falle zweidimensionaler Probleme kann man in der Behandlung mehrwertiger Lösungen ohne weiteres an die Funktionentheorie anknüpfen. Wir konstruieren eine Riemannsche Fläche, welche im Nullpunkte und nur in diesem einen (p — l)-fachen Verzweigungspunkt besitzt. Zu diesem Zwecke denken wir uns die schlichte Ebene der Polarkoordinaten r und cp in p Exemplaren vorhanden, und jedes längs eines Halbstrahles qp — cp' 4- n aufgeschnitten. Die p Exemplare schichten wir übereinander und verbinden in üblicher Weise das linke Ufer des Einschnittes im g-ten Blatte mit dem rechten des Einschnittes im (g -f- l)-ten Blatt und schließlich die beiden übrigbleibenden Ufer des j)-ten und des ersten Blattes untereinander. Wir bezeichnen also als erstes Blatt die Werte des Winkels cp

cp' — it < qp < cp’ -f- n,

Cp' + 3T < Cp < Cp' + 3ît,

als zweites Blatt

cp' + (²P— 3)ic < (p <    (2p — 1)«.

als ptes Blatt

Als p-wertige Lösung der Wellen gleichung (6), welche sich im zweidimensionalen Fall auf

(212)

1 d*u d*u . c^u

a² dt²    die* ‘ 3t/*

reduziert, bezeichnen wir eine Lösung (in Polarkoordinaten geschrieben) f(r, (p — cp', t), welche auf der eben konstruierten Riemannschen Fläche eindeutig ist oder mit anderen Worten in cp die Periodizität 2p ;r besitzt.

Zum erstenmal wurde von A. Sommerfeld¹) eine mehrwertige (und zwar eine zweiwertige) Lösung der Gleichung (212) im Jahre 1894 gewonnen, jedoch als Resultat eines ziemlich speziellen Verfahrens. Einen allgemeinen, aber zunächst noch nicht ganz einfachen Weg zur Aufstellung solcher Lösungen brachten seine nächsten Arbeiten²)³). Hier bilden mehrwertige Lösungen der Potentialgleichung in zwei Dimensionen den Ausgangspunkt und werden durch einen unendlichen Differentiationsprozeß in Integrale der Schwingungsgleichung verwandelt. Später gab Sommerfeld⁴) eine kürzere Methode zur Herstellung verzweigter räumlicher Potentiale, welche von H. S. Cars-law⁵) und von ihm selbst⁶) auch auf die Behandlung von Beugungsproblemen übertragen wurde. Dieser letztere heuristische Weg hat neben dem Vorteil der Einfachheit den der größeren Allgemeinheit und führt ebenso leicht zur Lösung zwei- wie dreidimensionaler Probleme.⁷) Aus diesem Grunde wollen wir uns in unserer Darstellung diesen späteren Arbeiten anschließen.

Um die verzweigten Lösungen herzustellen, gehen wir von einem Integral der Wellengleichung in der schlichten Ebene aus

(213)

«o = f(ß, r> <P — <P’> 0-

Wegen der Willkürliehkeit der Richtung cp' ist offenbar auch jeder Ausdruck von der Form

/ f(z, r, cp — a,t) • F(a) da

eine Lösung der Differentialgleichung (212). Dabei .kann die Integrationsvariable a auch auf komplexem Wege in einer a-Ebene geführt werden, falls f und F für komplexe Werte des Arguments definiert sind, wie wir es voraussetzen wollen. Im speziellen erhalten wir nach dem Satze von Cauchy die frühere Lösung w0 wieder, wenn wir als Integrationsweg eine Umkreisung des Punktes a = cp' wählen und F(u) gleich

ali

nehmen, wo Fx(a, cp') für u = cp mit dem Residuum 1 unendlich wird. Z. B. können wir setzen, indem wir Fx hinsichtlich der beiden Variablen a und cp' die Periode beilegen

(214)

dann erhalten wir

Fx{a, cp')

Wy

a~cp

(A)

'/K

iéa

eia -yV”

71

(A

u-cp

Fig. 26.

(215)

,\ éada

a’ Kia — e'V

Den Integrationsweg kann man zu einer beliebigen den Punkt a — cp' umkreisenden Schleife deformieren, nur ist darauf zu achten, daß er über keine Singularitäten des Integranden herübergezogen wird, und daß, falls er ins Unendliche auslaufen soll, die Funktion f daselbst in einer für die Konvergenz des Integrals hinreichenden Weise verschwindet.

Wir wollen den Fall näher ins Auge fassen, daß u₀ eine ebene Welle darstellt (siehe Nr. 2)

(216)

oder nach (215)

(217)

^ [* r cos (ip — (p') + n t]

iadcc

int

wo = 2jt

Die Pole des Integranden liegen bei cc = y2qjc, wenn q eine ganze Zahl bedeutet; der Intégrations weg muß also aus der Umkreisung eines dieser Punkte (und nur eines) durch Verzerrung hervorgehen. Der Exponent ihr cos (a — cp) hat nur in den in Fig. 26 gestrichelten Streifen der a-Ebene einen negativen reellen Teil. Man darf ihn also

/•

i k r cos (a — <p)    6

eia - ei(p'

nur innerhalb dieser Streifen ins Unendliche führen. Wir deformieren die Kurve (C) in der in der Figur angegebenen Weise. Die punktierten Teile dieses Weges sind wegen der Periodizität des Integran-den gleichwertig und werden in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, heben sich also gegenseitig auf. Man kann sich also auf die beiden ausgezogenen Kurven beschränken, deren Gesamtheit wir mit Sommerfeld den Intégrations weg (A) nennen wollen.

Wir gehen jetzt von der Lösung in der schlichten Ebene zu der in der ^ blättrigen Bienianmohen Fläche über, indem wir die Funktion betrachten

icc

re

² *PJ

(4)

ihr cos(or — (p)

(218)

e p da ia iip' f

ep-ep

das Integral längs des Weges A genommen. Dieser Ausdruck besitzt die folgenden Eigenschaften:

1.    u ist eine Lösung der Wellengleichung.

2.    u ist eindeutig auf der p-blättrigen Biemannschen Fläche. Beweis: Wenn wir cp um 2pit ändern, verschiebt sich der Integrationsweg in der «-Ebene um die Strecke 2pn längs der reellen Achse; da aber der Integrand die Periode 2pit besitzt, bleibt der Wert des Integrals ungeändert.

W//

7.

W/

V.

71 —

y//

/'

a-<p

Cr(jp

YA

Z/X

ZI

zz

71

Va

ZnZ

z:x

Fig. 27.

3.    u ist endlich and stetig für alle reellen Werte von r vermöge der Wahl des Intégrationsweges.

4.    Für r = oo ist u gleich u₀ im ersten Blatt, d. h.wenn cp — und verschwindet in allen übrigen Blättern.

Beweis: Der Bestimmtheit wegen haben wir in Fig. 27 die drei Integrationswege eingezeichnet, welche den drei Lösungen ulf u₂, u3 des dreiwertigen Integrals (218) entsprechen. Man sieht, daß im zweiten und dritten Blatte der Integrationsweg auf zwei Zweige, welche ganz im schraffierten Gebiet verlaufen, reduziert werden kann. Das letztere ist aber so gewählt, daß in ihm der reelle Teil des Exponenten ihr cos (« — cp) stets negativ, also für r — oo negativ unendlich groß ist. Auszuschließen ist die unmittelbare Nachbarschaft des Wertes

ebenso mit dem Integrations-

man

cp — cp' + 7t (vgl. Nr. 60). Verfährt weg für das erste Blatt, so erhält man neben Wegstücken von verschwindendem Beitrag einen Umlauf um den Punkt a = cp', welcher den Beitrag u₀ liefert.

5. Die p Werte der Losung in den p Blättern genügen der Bedingung

U1 + W2 + US —b • • • + Up - %

Der Beweis ergibt sich wieder aus Fig. 27. Zur Gesamtheit der Integrationswege kann man noch die beiden punktierten Strecken hinzunehmen, die sich ja wegen der Periodizität des Integranden auf-heben, und so den Integrationsweg in einen geschlossenen verwandeln. Das Zusammenziehen dieses geschlossenen Weges auf die Umkreisung des singulären Punktes a = cp' liefert in der Tat den Wert u₀.

A. Sommerfeld¹⁸⁸)¹⁹³) und

In den zitierten Abhandlungen von H. S. Carslawm) werden noch andere mehrwertige Lösungen der Schwingungsgleichung aufgestellt, welche einem ebenen Impuls, einer Zylinderwelle und einer Kugelwelle entsprechen. Man gewinnt dieselben durch das soeben geschilderte Verfahren, indem man von den entsprechenden Lösungen für die schlichte Ebene (bzw. für den schlichten Raum) ausgeht. Im Interesse der Nr. 61 wollen wir einige Worte über die verzweigte Zylinderwelle sagen. Der Ausdruck für dieselbe ist

(219) u —

ep —ep

wo H₀W die Hanltel sehe Zylinderfunktion nullter Ordnung und zweiter Art⁸) bedeutet. Der Integrationsweg ist dabei mit Rücksicht auf die Verzweigung der Quadratwurzel in geeigneter Weise in der komplexen «-Ebene zu führen. Außer den fünf Eigenschaften, welche diese Funktion mit (218) gemeinsam hat, besitzt sie noch die folgende: zu befriedigen.

Fig. 28.

Die Lösung, welche diesen Forderungen genügt, kann man durch das folgende „Spiegelungsverfahren“ aus den zweiwertigen (jp = 2) Integralen der letzten Nummer aufbauen. Man setzt als Lösung an

v = u(cp') -f- u(—cp'),

wo das obere Vorzeichen dem Falle _L, das untere dem Falle II ent

spricht.

ict

6. u wird im ersten Blatt im Punkte r — rQ, y — cp logarithmisch unendlich. Dementsprechend gilt die Aussage 3 nur mit Ausschluß des Punktes r — r, cp — cp' im ersten Blatte.

60. Beugung an der Halbebene. Um einen mathematisch möglichst einfachen Fall zu erhalten, hat A. Sommerfeld¹⁸⁸) im Anschluß an H. Poincare'm) den beugenden Schirm durch eine vollkommen leitende Halbebene approximiert. Wir wählen die Projektion OP des Schirmes als Achse eines Polarkoordinatensystems (Fig. 28), dann haben wir vermöge (209) und (211) die Gleichung

= a²

nebst den Grenzbedingungen an der Oberfläche des Schirmes

s = 0 im Falle _L,

S\

(HI),

d²s

dt²

(d*s . ^s\

\dx² ^ dyV

(II) o)

(I)

ds

yr- — 0 im Falle II

dv

Die numerische Diskussion wurde von A. Sommerfeld für das Integral (218) bereits in seiner Arbeit von 1896 durchgeführt¹⁸⁸), für Impulsstrahlung in der späteren Abhandlung von 1901.¹⁹³) Wir wollen nur auf den Fall der periodischen ebenen Welle eingeheu. Es ist nach (218)

(220)

eint

= 4*

ßikr cos (a — (p)__

ta

e² da

Der Intégrations weg ist gegen den der Fig. 26 um 2 7t nach rechts verschoben. Man kann diesen Weg auf die Integration längs der beiden unendlichen Geraden a — cp n -\- ib und a — cp Sn Ą- ih reduzieren und erhält nach Auswertung der Integrale

i Tt

(221)

^    __ ßi[kr cos (cp- (p') + nt] _

e~iT~ dx,

T = V2kr

cos

Nach Seite 495 (5. Eigenschaft) ist aber auch

%1t

wfe"*dt’

—00

wo

Ut = UQ - W₂ = [kr cos {cp-cp') + nt]

wo nunmehr T > 0 ist. Somit erhält man als Lösung des Problems

<p + »'

(222) s =

]/«

gii/- cos (<p — <p’)

y%kr cos ^

Ÿ2 kr cos

ije-x'dt J

— 00

— 00

erwartenden Strahlengang überlagert, nur in zwei schmalen

zu

Die auf S. 494 betonte Eigenschaft 4 der verzweigten Lösungen lautet, auf den vorliegenden Fall angewandt und ins Physikalische übersetzt, daß die Beugungserscheinung, welche sich dem nach der geometrischen Optik

Gebieten längs der beiden Schattengrenzen S und S', cp — cp' -f- % und cp — n — cp', eine mit der einfallenden vergleichbare Intensität besitzt. In diesen „Ubergangsgebieten“, wie sie Sommerfeld nennt, kann man das eine der Integrale (222) gegenüber dem anderen vernachlässigen. Z. B. wird die Lösung in der Nähe des Halbstrahls cp — cp' -j- n (falls cp' < n) mit sehr guter Annäherung für (gegen die Wellenlänge X) große r

<p — <p

y2kr cos

(223)

çikr cos (<p — <p')

y*

und die Intensität

— 00

2 7t

y2krcos ^

■t=lJ

~ | £ Ccosr² dt -f- I sinxl dt j

— 00

— 00

oder mit Benutzung der durch Formeln (126) als Fresnelsche Integrale eingeführten Funktionen.

(224)

J = ± {[C(2>f cos^) - C(- oc)]*

+[s(⁸V^o“trL)-«₍- ~)J}-

Die Intensitätsverteilung wird also durch die Cornusche Spirale (Fig. 12) graphisch veranschaulicht, die Intensität ist nämlich gleich dem Quadrat des aus dem Punkte u = — oo zum Punkte der Spirale

« - 2-|/f

COS

cp —cp'

gezogenen Radiusvektors. Für (p < cp' -j- % ergeben sieb die charakteristischen Maxima und Minima, für cp^>cp'-\-n ein kontinuierlicher Abfall der Intensität. Die Linien konstanter Intensität schließen sich für große r

den Parabeln ]/r cos ----- — = const. mit dem Halbstrahl 9? == 93' als Achse an. Eine dieser Parabeln muß man auch als Begrenzung des Übergangsgebietes wählen; ist nämlich ]/r cos cp ₉ ^ genügend groß,

so ist die in (223) gemachte Vernachlässigung nicht mehr erlaubt, da die in dem diskutierten Integral enthaltene Beugungswelle selbst sehr schwach wird.

Es ist interessant, dieses Ergebnis mit dem Resultat zu ver

gleichen, welches die Näherungsrechnung nach dem Huyghensschen Prinzip für denselben FaU liefert. Durch Spezialisierung der in Nr. 39 b gegebenen Formeln erhält man einen Wert der Intensität, der sich von (224) nur dadurch unterscheidet, daß hier als Argument der

Fresnel sehen Integrale an Stelle von 2|/^ cos

tritt. Im Übergangsgebiet, in dem der „Beu-

cp — cp'

der Ausdruck

t /kr sin (cp '    % "j/cos (qp — qp'-|-7t)

gungswinkel“ d = cp — cp’ -f- it klein ist, haben beide Argumente in

- cp’ -j- 7t)

erster Näherung den übereinstimmenden Wert~j/^--d.

So weit liefert also die exakte Theorie in allen wesentlichen Punkten eine Bestätigung der Resultate, welche man auch nach der Kirchhofj-schen Rechnung erhält. Das wesentlich Neue, das die Sommerfeldsche Lösung bringt, ergibt sich erst bei Betrachtung der außerhalb der Übergangsgebiete, bei größeren Beugungswinkeln ein tretenden Erscheinungen.

Die Bedingung T 1 gestattet hier die semikonvergente Entwicklung zu benutzen (vgl. auch Gl. (131))

- ' T\

2% \ T\ + 4 |f|s ^    }’

— 00

welche auf die folgenden sehr übersichtlichen Näherungsformeln führt.

Im Gebiet I der Fig. 28 (Schatten, cp > cp' -j- it, wobei wir der Fig. 28 entsprechend 0 < cp' < it voraussetzen)

(225) $es=~ cos (kr — nt + -*-) • ]/* im Gebiet II (it — cp < cp < it -J- cp')

cos

qp -f qp'

cos

<p — <p'r

9?e s = cos [kr cos (cp — cp') -j- nt]

+ ^VrC0S{kr-B< + v)

cos

qp-f-qp'

COS

cp—cp' ’

im Gebiet III (geometrisch-optisches Reflexionsgebiet, cp < 7t — cp')

5Res = cos [kr cos (cp — cp) -f- nt] -)- cos [kr cos (ip -}- cp') -{- nt] nt+fj-

+ LVfma{kr

cos

qp + qp'

cos

Man ersieht aus diesen Formeln, daß außer dem Strahlengang der geometrischen Optik noch eine „Beugungswelle“ auftritt, deren

Phase durch den Faktor cos (kr — nt-bestimmt ist. Die Linien

gleicher Phase sind Kreise um den Nullpunkt: Von dem Windungspunkt r — 0 aus pflanzen sich nach allen Seiten Strahlen in der Richtung des Radiusvektors fort, gerade so, als ob der Windungspunkt ein leuchtender Punkt wäre. Dies entspricht dem experimentellen Befund bei der Beugung an dünnen Schneiden: bereits von Gouy und Wien²²⁰) wurde hervorgehoben, daß dem aus dem geometrischen Schatten visierenden Beobachter die beugende Kante als leuchtende Linie erscheint.⁹) Der Faktor

—i/-

4 n V r

cos

qp-f-qp'

cos

qp — qp'

2 J

bestimmt die Amplitude der Beugungswelle, dieselbe ist infolge des Auftretens von j/Ä sehr klein und nimmt mit wachsender Entfernung

ab wie

j/r

Das Verhältnis der Amplituden als Funktion des Winkels im Falle (I und im Falle J_ (unteres und oberes Vorzeichen) ist absolut genommen cotg^ cotgy und bei senkrechter Inzidenz (cp' — ^

cotgf = tg(f + |),

wenn d den Beugungswinkel bezeichnet. Die von W. Wien an sehr dünnen Stahlschneiden ausgeführten Messungen zeigen ein etwas stärkeres Anwachsen dieses Verhältnisses, was wohl in der endlichen Dicke derselben seinen Grund hat (vgl. Nr. 66).

Daß die Sommerfeldsche Methode sich auch auf den Fall eines vollkommen schwarzen Schirms anwenden läßt, wurde zuerst von W. Voigtlÿl) hervorgehoben. Die Funktion u (218), ohne Spiegelung für sich gesondert betrachtet, liefert nämlich die Darstellung eines Vorgangs, welcher dem eben erwähnten Fall nahekommt. Der Beugungsschirm gleicht dann einer offenen Tür, durch welche die Energie der Lichtbewegung aus dem physikalischen Blatte in die an gehängten Blätter der Biemannschen Fläche austritt. Die Rückwirkung der letzteren ist um so geringer, je größer ihre Anzahl ist, so daß die unendlich gewundene Fläche dem Begriff des schwarzen Körpers am besten entspricht.

Es ist bemerkenswert, daß diese Auffassung der besten experimentellen Realisierung des schwarzen Körpers durch W. Wien und 0. Lummer¹⁹⁸) sehr nahe steht. Sie ist bis zu einem gewissen Grade willkürlich, insofern als es nicht unbedingt nötig scheint, den Zustand auf den fingierten Blättern den Maxwellschen Gleichungen zu unterwerfen. Die Rechnung zeigt indessen, daß die Vorgänge auf den letzteren von untergeordneter Bedeutung sind; man erhält im wesentlichen das gleiche Bild, ob man eine einfach- (p — 2) oder eine unendlichfach gewundene (p = oo) Biemannsche Fläche zugrunde legt.

In diesem Sinne lautet die Lösung für den absolut schwarzen Schirm, wie sie von Sommerfeld angegeben wurde bei auffallender periodischer Welle nach (218)

dcc

(226)

gik r cos (a — (p)_

a — cp

u=Lj‘

A.    Sommerfeld¹⁹³) selbst hat auch den Fall ebener Impulsstrahlung diskutiert, mit Rücksicht auf die Versuche von Haga und Wind¹⁹⁹) über Beugung von Röntgenstrahlen, und in der Tat wurde später die Wellenlänge (bzw Impulsbreite) der Röntgenstrahlen zum erstenmal auf Grund von Beugungsbildern bestimmt, welche im Anschluß an Haga und Wind von Walter und Bold hergestellt waren (vgl. auch Nr. 45).²⁰⁰) Für eine andere spezielle Form des Impulses wurden die

197)    W. Voigt, Comp. d. theor. Phys. 2, p. 768, Leipzig 1895; Gott. Nachr. (1899), p. 1.

198)    W. Wien und 0. Lummer, Ann. d. Phys. 56 (1895), p. 451.

199)    H. Haga und C. H. Wind, Amsterdamer Akademie 1899 und 1902. Ann. d. Phys. 68 (1899), p. 884; 10 (1903), p. 305. Ygl. auch B. Walter und

B.    Pohl, Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 715; 29 (1909), p. 331.

200)    A. Sommerfeld, Ann. de Phys. 38 (1912), p. 473; P. P. Koch, Ann. d. Phys. 38 (1912), p. 507.

numerischen Rechnungen von W. Rybczyński¹⁰ 11 12) durchgeführt, für Wellenstrahlung von A. Wiegrefe}⁰²)

61. Der Keil und der Fresnelsche Doppelspiegel. Mit Hilfe der in Nummer 59 gegebenen ^-wertigen Funktionen ist auch das Problem der Beugung am vollkommen reflektierenden Keil lösbar. Wir wählen die Kante des Keils als ^-Achse und beschränken uns wieder auf den Fall eines zweidimensionalen von z unabhängigen Strahlungszustandes. Der außerhalb des Keils liegende Teil der zur z-Achse senkrechten Ebene stellt das „physikalische“ Gebiet G dar, in welchem wir den Beugungsvorgang studieren wollen. Dies Gebiet ist ein unendlicher Sektor, dessen Winkelöffnung zunächst mit x kommensurabel, nämlich ~ sein möge.

Wenn man nun an den beiden den Keil begrenzenden Ebenen abwechselnd Spiegelungen vornimmt, schließt sich das so entstandene Gebiet zu einer Windungsfläche vom Winkel 2px zusammen, so daß es die Ebene p-fach überdeckt. Beherrscht man nun die auf dieser ^-blättrigen Riemannschen Fläche geltenden ^-wertigen Lösungen (Nr. 59), so kann man die Grenzbedingungen an der Oberfläche des vollkommen spiegelnden Keils durch Spiegelung genau so erfüllen, wie man dies nach der Thomsonschen Methode für den Spezialfall p = 1 in der schlichten Ebene tut. Die Lösung lautet, wie von A. Sommerfeld¹⁹³) angegeben wurde, wenn cp = 0 und cp = ~ die Grenzen des physikalischen Gebietes G sind, und wenn u (<p') eine jp-wertige Lösung der Wellengleichung von der ausgezeichneten Richtung cp' bedeutet

(227) s = u(cp') + u (— cp') + u + <p,yj + u (²-| * — cp')

H-----h«(

2 (m — l)p7t

+ <P') + «* (

2 (m — V)pn

— <P') >

wo sich das obere Vorzeichen auf den Fall _L, das untere auf den Fall II bezieht.

In ähnlicher Weise wird die Lösung, wenn der Winkel des Keils mit x inkommensurabel ist, durch eine unendliche Reihe der Funktionen (226) der unendlich-vielblättrigen Windungsfläche dargestellt.

Für den Fall eines rechteckigen vollkommen spiegelnden Keils und einer ebenen periodischen Welle (siehe oben) wurde die Rechnung von F. Reiche²⁰⁰) durchgeführt. Hier ist die Riemannsche Fläche

der w-Funktionen dreiblättrig, und die Lösung ist nach (227) s — u(cp') -\- w(— cp') -j- u (3% -f- cp') -{- u (3jt — <p'),

unter n(qp') das Integral (218) mit p — 3 verstanden. Für kleine Beugungswinkel ist das Resultat von dem für die vollkommen leitende Halbebene nicht wesentlich verschieden in Übereinstimmung mit der Rechnung nach dem Huyghensschen Prinzip, welche ja überhaupt keinen Einfluß der Schirmdicke ergibt. Für größere Beugungswinkel ist der Abfall der Intensität im Falle _L schneller als an der Halbebene, da ja hier die Oberfläche des Keils, an welcher die elektrische Kraft verschwindet, um

näher an der Schattengrenze liegt

als dort die Oberfläche der Ebene. Dagegen ist im Falle II der Abfall langsamer.

Einen Fall, in welchem das physikalische Gebiet im allgemeinen mit 7t inkommensurabel ist, liefert der in Nr. 13 beschriebene Fresnel-sche Spiegel. Die S ommerfeldsche Methode wurde auf denselben von A. Wiegrefe¹¹) angewendet. Nach obigem ergibt sich die Lösung in Form einer unendlichen Reihe unendlich-viel wertiger Funktionen (226), welche sich jedoch in einfacher Weise zu einem geschlossenen Ausdruck summieren läßt, der auch die in Nr. 13 erwähnten von der Kante herrührenden Beugungserscheinungen enthält.

Fig. 29.

62. Der Spalt. Eine Behandlung der Beugung am Spalt nach der Methode der mehrwertigen Lösungen würde die Integration der Schwingungsgleichung für Riemannsche Flächen mit zwei Verzweigungspunkten erfordern, eine Aufgabe, deren Bewältigung bisher nicht gelungen ist. Deshalb hat K. Schwarzschild¹³) das Problem des Spaltes auf einem anderen Wege in Angriff genommen. Er denkt sich zunächst die eine (rechte) Hälfte (Fig. 29) des vollkommen leitenden Spaltes weg und beginnt mit der Sommerfeldschen Lösung (222), welche die Grenzbedingungen an der anderen (linken) Hälfte des Spaltes befriedigt¹⁴), nicht aber an der rechten Hälfte (_R). Diese erste Lösung heiße v₀. Man fragt jetzt nach einer Funktion v1} welche der Schwingungsgleichung genügt und so beschaffen ist, daß v₀ -f- vx an der Oberfläche von R Null wird. Um v₁ aufzufinden, setzt Schwarzschild in die Kirchhoffsche Formel (105) eine dem Problem angepaßte Greensche Funktion G ein, nämlich die Differenz der zweiwertigen Lösung (219) der Nr. 59 und ihres Spiegel-

63. Die Grundgleichuugen in krummlinigen Koordinaten.

503

bildes an der Halbebene R. Die so konstruierte Funktion G wird in einem Punkte der Ebene logarithmisch unendlich, wodurch sie für eine zweidimensionale Greensche Funktion qualifiziert ist, und verschwindet ferner an der ganzen Fläche jR; daher nach (105)

dr •

dGR V»~dV’

die Integration erstreckt sich über die rechte Spaltbälfte R. Nun wird aber von der Summe vQ -f- vx die Grenzbedingung an der linken Hälfte (JO) nicht mehr erfüllt, man bildet daher

v*=Ljdrvi

dGj.

dv ⁷ und so alternierend weiter. Schwarzschild hat nun gezeigt, daß die Summe

v = Vq -f- Vl + v₂ ----

wirklich für beliebige Spaltbreite konvergiert, womit die Frage vom mathematischen Standpunkt erledigt ist. Weniger befriedigend sind die physikalischen Resultate; denn die hier auftretenden Integrale sind nicht allgemein ausführbar. Nur wenn die Konvergenz so gut ist, daß man sich auf die allerersten Glieder beschränken kann, ist es möglich, Folgerungen über das Beugungsbild zu machen. Dieses ist dann der Fall, wenn der Spalt genügend breit gegen Ä ist, dann werden die Erscheinungen an der einen Spalthälfte nicht merklich von der anderen beeinflußt, und vl ist im wesentlichen die zur rechten Spalthälfte gehörende Sommerfeldsohe Lösung. Der andere Grenzfall der Beugung an schmalen Spalten wird in Nr. 65 und Nr. 69 behandelt.

II. Methode der krummlinigen Koordinaten.

63. Die Grundgleichungen in krummlinigen Koordinaten. Der zweite der in Nr. 58 erwähnten Wege, der zur Lösung von Beugungsproblemen führt, besteht darin, die mathematische Analyse der Gestalt des beugenden Körpers durch Benutzung geeigneter krummliniger Koordinaten anzupassen. Diese Methode ist auch insofern allgemeiner, als sie gestattet, Körper mit endlicher Leitfähigkeit zu behandeln, d. h. den Materialeinfluß bei der Beugung zu berücksichtigen.

Es seien u, v, w die krummlinigen Koordinaten und

/du\² ,    /d«\² , /dw\²

vt; + vT/ + vT/

das Quadrat des Linienelementes¹⁵); wenn wir uns auf periodische

33

Vorgänge beschränken, lauten die Maxivellschen Gleichungen (207) für diese Koordinaten transformiert¹⁶):

& + j)E- = VW[Uw)

1(4)1

dw \ V Jj

1Ä11

du \W )]

(229)    <

(-F+ö°K

v -r[l (40 -/,(#)]>

-un

du

L Æ\1 \W jj

dv

S (§)]•

Die Anwendbarkeit dieser Methode hängt davon ab, ob es möglich ist, dieses simultane Gleichungssystem auf Gleichungen mit nur einer abhängigen Variablen zurückzuführen. Das letztere gelingt immer, wenn es sich um zweidimensionale Probleme handelt. In der Tat kann man in diesen Fällen setzen iv = z, W — 1, wobei die Feldstärken von der Variablen z unabhängig sind. Wie schon in Nr. 58 hervorgehoben, kann man dann den Schwingungsvorgang als Überlagerung zweier Zustände betrachten, welche durch das Verschwinden von Hz (Fall J_) und Ez (Fall II) charakterisiert sind, denn die Gleichungen (229) zerfallen in die beiden unabhängigen Gruppen:

Für den Fall _L:

-W-fnu=⁷-§->

■(r-&) + £(r£) + ik*-*

= rm,

= — ü

d (U dH\ 0 (V dHz\ w    ₀

du \F du / ¹ dv \U dv J ' UV z

Daneben sind nach (210) die folgenden Grenzbedingungen an der Oberfläche des beugenden Körpers zu erfüllen, dem der Parameter

(229 a)

Fall II:

(229 b)

in

du

dHz

du »

wert u = u₀ entsprechen möge: im Falle _L

(230 a) im Fall II (230b)

Für vollkommene Leitfähigkeit des beugenden Objektes reduzieren sich die Bedingungen nach (213) auf Eg — 0 im Falle _L

dH,

(231)

du

0 im Falle II

für u — u₀.

Für die rechnerische Durchführbarkeit des Problems ist es sodann von entscheidender Bedeutung, ob es gelingt, die partielle Differentialgleichung für Ez bzw. Ht in zwei gewöhnliche mit den unabhängigen Variabein u und v zu zerfallen. Ist dies möglich, so kann man die allgemeine Lösung in Form einer unendlichen Reihe von Produkten der Eigenfunktionen dieser beiden Differentialgleichungen ansetzen, und die Untersuchung läuft mathematisch auf eine Theorie dieser Eigenfunktionen hinaus (vgl. Nr. 64—66). Sind die krummlinigen Koordinaten durch eine Abbildung in der komplexen Ebene gegeben

x+ iy = f(u + iv),

so gewinnen die letzten der Gleichungen (229 a, b) die Gestalt

(229 c)

0 + 0 + m« + U) <p\u -«)» = 0,

nur dann mög-

wenn f der Bedingung genügt f"'(w) — cf'(w). Bei verschie-

wo cp die zu f konjugiert-komplexe Funktion ist. Damit sich diese Gleichung zerfallen läßt, muß man f'(u-\-iv) • cp'(u — iv) in zwei Summanden zerlegen können, von denen der erste nur von u, der zweite nur von v abhängt. Dies ist jedoch dann und lieh,

dener Wahl der konstanten c erhält man hieraus nur die Funktionen ec+iy, ßof {x -f- iy) (bzw. ©in (x-\-iy), ix-^-iy)², welche den Polarkoordinaten, den elliptischen und parabolischen Koordinaten der Ebene entsprechen.¹⁷) Der Behandlung dieser drei Fälle sind Nr. 64, 65, 66 gewidmet.

Außer dieser Klasse von Problemen gibt es noch einige Spezialfälle (z. B. Nr. 67), in denen es gelingt, das Gleichungssystem (229) auf eine einzelne partielle Differentialgleichung zurückzuführen.

64. Der Kreiszylinder. Die Beugung am Kreiszylinder wurde von J. J. Thomson²⁰⁹) mit Rücksicht auf die Eigenschwingungen des-

33*

messer klein gegen X ist²¹⁰). Man benutzt Polarkoordinaten (u v — cp, £7=1, V — und erhält im Falle _L nach (229 a), (230a)

¹

   A. Sommerfeld, Math. Ann. 45 (1894), p. 263.

²

   A. Sommerfeld, Gott. Nachr. 1895, p. 267.

³

   A. Sommerfeld, Math. Ann. 47 (1896), p. 317.

⁴

   A. Sommerfeld, Proc. London Math. Soc. 28 (1897), p. 395.

⁵

   H. S. Carslaw, Proc. London Math. Soc. 30 (1899), p. 121.

⁶

   A. Sommerfeld, Z. für Math, und Phya. 46 (1901), p. 11.

⁷

   Bei letzteren kommen „Riemannsche Räume“ zur Verwendung.

⁸

Vgl. Nr. 5 und Nr. 64.

⁹

Eine elegante Methode der objektiven Beobachtung wandte A. Kalaschnikow (Anm. 220) an, indem er das abgebeugte Licht im Gebiet des geometrischen Schattens eine photographische Platte bestreichen ließ, auf welcher parallel zur beugenden Kante Nadeln aufgesteckt waren. Die Schatten der Nadeln verlaufen (von der Kante aus betrachtet) radial.

¹⁰

   W. Rybczyński, Phys. Z. 13 (1912), p. 708.

¹¹

   A. Wiegrefe, Ann. d. Phys. 39 (1912), p.'449; Gött. Dissertation 1912.

¹²

   F. Reiche, Ann. d. Phys. 37 (1912), p. 131.

¹³

   K. Schwarzschild, Math. Arm. 55 (1902), p. 177.

¹⁴

   Wir wollen den Gedankengang am Fall J_ illustrieren.

¹⁵

Ygl. IV 14, Nr. 20 {Abraham).

Encyklop. d. math. Wisseusch. V 3.

¹⁶

Vgl. V 18, Nr. 66 {Abraham).

¹⁷

H. Weber, Math. Ann. 1 (1869), p. 1.

selben behandelt. Das eigentliche Beugungsproblem einer ebenen Welle, welche auf einen Kreiszylinder senkrecht zu dessen Achse einfällt, bietet hiernach keine Schwierigkeiten für Zylinder, deren Halb-

= r,

1 d r dr

mit den Grenzbedingungen (233 a)

(232)

ir^w) ⁺

(£.).=m

für r — R, wenn R der Radius des Zylinders ist.

Im Falle II gilt für H₃ dieselbe Gleichung (232), die Grenzbedingungen aber lauten:

(233b)

Durch den Ansatz

cos n cp sin n qp

erhält man aus (232) für P(r)

+ (*« - £) p = o.

(234)

d'P    A

dr“    r dr

Es ist also P (r) = Zn(kr) gleich der w-ten Zylinderfunktion des Argumentes kr, wobei nur ganzzahlige Werte von n in Betracht kommen, da die Lösung ihrem physikalischen Sinne nach in qp die Periode 2% haben muß. Wir wollen die weitere Rechnung für den Fall _L durchführen. Die Erscheinung ist dann in bezug auf die Einfallsrichtung qp = 0 symmetrisch, so daß nur Glieder mit cos wqp auf-treten. Von den Zylinderfunktionen darf für das Innere des Zylinders nur die Besselsche Funktion Jn(kr) angesetzt werden, da die anderen im Nullpunkt unendlich werden; der Schwingungszustand im Innern ist also gegeben durch die Reihe

(235)

(ß~)i =^}K' Jnßr) cos n cp. 0

Dagegen kommt für die Störung im Äußeren neben der einfallenden Welle nur die Hankelsche Funktion zweiter Art

ihr

(Soipip chp

HW (kr) = {p+11 r, o

209)    J. J. Thomson, Rec. researches, p. 428. London 1893.

210)    W. SeitZ, Ann. d. Phys. 16 (1905), p. 746; 19, p. 554; 21 (1906), p. 1013; W. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 18 (1905), p. 495; 23 (1907), p. 905.

(vgl. Nr. 5) in Betracht als einzige, welche eine vom Zylinder divergierende Welle darstellt.¹) Im Äußeren ist also das optische Feld

(236)

(Ez)a = eaa rC0B(P -f- an HW(kar) cos ncp, o

wobei für die einfallende Welle die Entwicklung gilt²)

+ 00

(237) eaa

r cos (p __

2 in J*Vcar) cos n<p = j₀(kar) 4- 2^n in Jn(lcar) cos n cp. — 00    1

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in (233 a) erhält man die Werte der in (236) eingeführten Koeffizienten a

(238) a„ = -2P

kjJńfkjE) * JH Qca E    kgJnQCj B) • Jn (Tca R)

M» (M). H»\kaS) - kaJn(Kr) • H™'(kaR)

Der Koeffizient a₀ ist noch mit dem Faktor 4 zu versehen. Ganz analog gestaltet sich die Rechnung auch im Falle II . Wenn der Durchmesser gegen X klein ist, konvergiert die Reihe schnell, und man kann sich mit wenigen Gliedern derselben begnügen. Bei sehr dünnen Zylindern, wo a₀ maßgebend ist, ist die Amplitude des abgebeugten

p- -, eine Ausnahme bildet nur der vollkommen

leitende Zylinder im Falle _L, hier steigt die Amplitude zunächst an

wie — logf-

Lichtes proportional zu

Die Verhältnisse an etwas

dickeren Zylindern ^bis R = ^

sind durch verschiedene Beispiele in den zitierten Arbeiten illustriert.³ 4)

Eine Methode, um Zylinder von beliebigem Radius zu behandeln, gab P. Debye,ni) womit auch das eigentliche optische Problem in Angriff genommen wurde.

65. Der elliptische Zylinder. Die Beugung am elliptischen Zylinder wurde von B. Sieger⁵) unter Überwindung von erheblichen Schwierigkeiten behandelt. Das Koordinatensystem, welches hier anzuwenden ist, wird durch die Abbildung

(239)

bestimmt, aus der sieb ergibt

x + iy — ia @in (u -f- iv),

U

Wegen der erforderlichen Eindeutigkeit setzen wir fest 0<Ot<oo, — oo < -y < -f oo.

Die Kurven u = const sind konfokale Ellipsen, v — const konfokale Hyperbeläste, wie durch Fig. 30 veranschaulicht wird. Nach (229) ist damit das Problem auf die Behandlung der partiellen Differentialgleichung

d*s

-f-    -j- ?c²((Sof²w — sin²F)s = 0, (x — ah)

zurückgefübrt. Dieselbe läßt sich durch den Ansatz

du*

(240)

s = g(u) -H(v)

in zwei gewöhnliche zerfallen:

du²

+ (x² eof²w + «)^ = o,

(241)

d’H

dvs

— (jc² sin² v -f- cc) H = 0,

v=0

•«S»

die als Differentialgleichungen des elliptischen Zylinders bezeichnet werden. Bei einer Umkreisung der Ellipse ändert sich der Parameter v um

v=,M    2 Tr ; daher muß die Funk-

—— X tion H{v), welche ihrem

u- o

Fig. 30.

physikalischen Sinn nach zum Anfangswert zurückkehren muß, in v die Periode 2jt besitzen. Die Auswahl der zunächst willkürlichen Parameter cc ist damit auf diejenigen beschränkt, welche die Funktion Ha(v) periodisch machen, und die Lösungen von (240) erscheinen in Form von Reihen

2iAaHa(v) • Ba(u),

wo die Summe über alle Werte von a zu erstrecken ist, welche dieser Bedingung genügen.

Bereits E. Heine⁶) hat bewiesen, daß es wirklich abzahlbar unendlich viel solcher Werte yon a gibt, nämlich die Wurzeln einer von ihm aufgestellten transzendenten Gleichung; aber es gab kein praktisch brauchbares Verfahren, um dieselben wirklich numerisch zu berechnen, und erst JB. Sieger hat unter Benutzung eines von Mathieu⁷) stammenden Gedankenganges eine Methode gegeben, welche gestattet, die a und die zugehörigen Funktionen des elliptischen Zylinders wenigstens für kleine Werte von x² aufzufinden.⁸)

Während also die Funktionen Ha(y) den trigonometrischen analog sind und auch die Orthogonalitätsbedingungen

• HaJv) dv = 0, wenn cq =|= a.₂

(242)

2 n

f [Ha(v)]²dv = pa

o erfüllen, besitzen die Funktionen von u („Funktionen zweiter Art“) eine weitgehende Ähnlichkeit mit den Funktionen des Kreiszylinders (vom Argument x Cüof u bzw. x ©in u), in die sie ja auch bei verschwindendem a übergehen. Für unsere Zwecke kommen die beiden partikulären Integrale in Betracht: &a(u), welche den Besselschen Funktionen entsprechen⁹), und die den Hanhelschen analogen Integrale 0a(u), welche eine vom Zylinder divergierende Welle darstellen. Wir haben also ganz wie in Nr. 64 für den Schwingungszustand im Innern des Zylinders anzusetzen (243)

und für das optische Feld im Äußern, wenn wir uns mit Sieger auf Wellen beschränken, welche parallel der kürzeren Halbachse des Zy-

linders einfallen (244)

sa = 2Aa ®tta(u) • Htta(v).

Die Koeffizienten der Entwicklung der einfallenden Welle

e~iky    3aa(u) • Haa(v)

können mit Hilfe der Orthogonalitätsbedingungen (242) berechnet werden und sind als bekannt zu betrachten.

Sucht man jetzt die Grenzbedingungen

’ dï),⁼ (fî)„ imMel)

zu erfüllen, so tritt im Vergleich mit dem Falle des Kreiszylinders eine große Komplikation zutage. Dort traten in allen Reihen die gleichen periodischen Funktionen auf (nämlich die trigonometrischen), man konnte die Faktoren derselben zusammenfassen und gleich Null setzen, was einfache Gleichungen zur Berechnung der Koeffizienten ergab. Anders hier, die Funktionen Ha(v) hängen vom Parameter % ab, sind also in (243) und (244) verschieden. Man müßte sie zuerst nach trigonometrischen Funktionen entwickeln und bekäme dann die Bedingungen für die Koeffizienten in Form eines unendlichen Gleichungssystems. Dieser Umstand erschwert die Rechnungen ganz außerordentlich und veranlaßte Sieger, sich auf die Betrachtung eines vollkommen leitenden elliptischen Zylinders zu beschränken. Nach (233) sind dann die Grenzbedingungen für u = u₀

s — 0 im Falle _L,

(245)

(z. B. si

= s*

§ ⁰⁹

— 0 im Falle II.

Für die Koeffizienten der Reihen (246) ergibt sich daher

--*.[$§1.

rd3(u)i

(246 a)

Mo

(246 b)

= -Ma

du

d$(u)

du

—I U = U₀

Numerisch hat Sieger die Erscheinungen an einem (gegen A) schmalen Streifen diskutiert (u₀ = 0), und zwar im Falle _L, wo man für die Koeffizienten (246 a) gut konvergente Ausdrücke hat. Dagegen scheint die Diskussion des Falles II auf große Schwierigkeiten zu stoßen.

Es sei darauf hingewiesen, daß die Reihe (244) mit genau denselben Koeffizienten wie bei dem vollkommen leitenden Streifen, abgesehen von der einfallenden Welle, auch die Lösung des Beugungsproblems für einen vollkommen leitenden Spalt von derselben Breite darstellt. Nur sind die Ausdrücke (246a) und (246b) zu vertauschen: (246a) entspricht jetzt dem Falle II, (246b) dem Falle Das in Nr. 36 erwähnte Babinetsche Prinzip bleibt also auch in der exakten Theorie mit einer kleinen Modifikation bestehen.

Das Problem des schmalen Spaltes beansprucht einiges Interesse, weil Versuche eine merkwürdige polarisierende Wirkung desselben gezeigt haben. Ein Spalt mit blanken Metallbacken, der gegen die Wellenlänge des durchgehenden Lichtes sehr schmal ist, gibt II -Polarisation. Bei Verbreiterung des Spaltes kehrt die Polarisation zunächst ihren Sinn um (_L), um bei noch breiterem Spalt überhaupt zu verschwinden.²¹⁹“) Diese Erscheinung hat viel Ähnlichkeit mit der polarisierenden Wirkung von Beugungsgittern, vgl. Nr. 70.

66. Der parabolische Zylinder. Die Beugung am parabolischen Zylinder bietet aus dem Grunde einiges Interesse, weil man durch einen solchen die wirklichen Verhältnisse an einem dünnen Schirm gut approximieren kann. Es waren gerade Beobachtungen an dünnen Metallschirmen²²⁰), durch welche zum erstenmal ein Einfluß des Profils des beugenden Körpers und seiner Materialeigenschaften auf die Beugungserscheinungen festgestellt wurde, und die Sommerfeld sehe Theorie (Nr. 59, 60), welche sich auf vollkommen leitende und absolut schwarze Schirme beschränkt, konnte diese Beobachtungen naturgemäß nicht umfassen.

Man benutzt²²¹) das System krummliniger Koordinaten, welches durch die komplexe Funktion (247) oder

vermittelt wird, wobei | und tj zwischen den Grenzen

— OO < | < + OO, 0 < 7] < oo

variieren (Fig. 31). Dies ergibt

219*) H. Fizeau, Ann. chim. phys. (3) 63 (1861), p. 385; H. Ambronn, Ann. Phys. Chem. 48 (1893), p. 717; P. Zeemann, Amsterdam Acad., October 1912; Researches in Magneto-Optics, p. 96, London 1913.

220)    W. Wien, Ann. Phys. Chem. 28 (1886), p. 117; G. Gouy, Ann. d. chim. et phys. (6) 8 (1886), p. 145; A. Kaluschnikoff, Journ. russ. phys. Ges. 44 (1912), Heft 3.

221)    P. Epstein, Über die Beugung an einem dünnen Schirm unter Berücksichtigung des Materialeinflusses. Münchener Diss. 1914.

512

Y 24. Paul S. Epstein. Spezielle Beugungsprobleme, und führt nach (229) auf die Differentialgleichung

(248)

8*s

i.

ägt +    4~ ^²(£² + ^⁸)w = o,

welche sich durch den Ansatz

« = t%) • F(i)

in die beiden Differentialgleichungen des y parabolischen Zylinders zerfallen läßt: d²U dr\²

%- + {Wl¹ + ß)V = o.

Bereits bei Euler²²²) findet sich eine Darstellung dieser Funktionen durch bestimmte Integrale, ziemlich weitgehend wurde ihre Theorie von K. Baer²²⁵) entwickelt.

Es bietet hier keine Schwierigkeiten, die geeigneten Werte des Parameters ß auszuwählen (ygl. Nr. 65), denn man kann zeigen, daß der xinsatz

(250)

Sjo

v=o

(249 a,b)

+ (k²rj² — ß)U= 0,

Fig. 31.

ß = 2 ik(n + £),

wo

n = 0, 1, 2, 3, . ..

ein Funktionensystem Un{rf) und Fw(£) liefert, welches allen Anforderungen genügt²²⁴) und mit den sogenannten Hermiteschen Polynomen identisch ist

i kf

(251)

VM = —

dn eikr‘l drf¹ ’

F,(S) =

dne~iHl

(2 i k) n !

d%n

(2 ik) n !

Die Funktionen des parabolischen Zylinders ziveiter Art Yn(rj), das zweite partikuläre Integral der Gleichung (249a), erhält man in bekannter Weise nach der .Absehen Methode. Eine asymptotische Darstellung derselben für rj $> n lautet:

i k >]-

(252)

TM-

ie

(]/— 2 iku)

Man hat nun für das Innere des Zylinders, der durch die Parabel r\ — 7]₀ begrenzt sein möge, anzusetzen

oo

222)    L. Euler, Inst. cale. integr. Yol. II, cap. X, p. 296. Petropoli 1769.

223)    K. Baer, Küstriner Programm 1883; vgl. II A 10, Nr. 63 ( Wangerin).

224)    „Yollständige Orthogonalsysteme“ im Hilbertschen Sinne.

67. Die Kugel. Farben kolloidaler Metallösungen. für das optische Feld im Äußern

(254)

während sich die einfallende Welle so darstellt

(255)

ę— ik (x cos (p + y sm ip) __

— n ! tgn

COS o

t'S.'Q

Die Koeffizienten an und bn sind aus den an der Fläche rj = rj0 geltenden Grenzbedingungen (232) zu berechnen. Die Hauptschwierigkeit macht das Summieren der Reihen, welche so langsam konvergieren, daß es nicht möglich ist, nach einer beschränkten Anzahl von Gliedern abzubrechen. Bei endlicher Leitfähigkeit treten dieselben Komplikationen auf, die in Nr. 65 erwähnt wurden, trotzdem gelingt es, die Verhältnisse auch in diesem Fall qualitativ zu überblicken.

Zunächst gewinnt man auf diesem Wege die Sommerfeldsclie Lösung (224) für die unendlich dünne vollkommen leitende Halbebene wieder. Die nächste Verallgemeinerung ist ein vollkommen spiegelnder parabolischer Zylinder von sehr geringer endlicher Dicke. Das Zusatzglied, welches in diesem Fall zu (220) hinzukommt, verringert die Amplitude im Falle _L und vergrößert sie im Falle , so daß das

Verhältnis gegen den Ausdruck tg -f- der Nr. 60 größer

wird, in qualitativer Übereinstimmung mit den Beobachtungen. Schließlich ergibt sich bei endlicher Leitfähigkeit des parabolischen Schirms ein selektiver Effekt. Dieselben Wellenlängen sind bevorzugt, welche von einem Planspiegel aus demselben Material stärker reflektiert werden; diese Selektion ist jedoch äußerst schwach im Falle _L und sehr viel stärker im Falle II . Auch diese Forderungen der Theorie stimmen mit der Beobachtung überein.

67. Die Kugel. Farben kolloidaler Metallösungen. Die Berechnung der Beugung an einer Kugel aus beliebigem Material¹⁰) haben G. Mie¹¹) und P. Debye¹²) durchgeführt. Während der letztere hauptsächlich den Strahlungsdruck auf eine Kugel im Auge hatte, ist in der Arbeit von Mie eine eingehende Beschreibung des Beugungsbildes an kleinen Kugeln und der Vergleich der Theorie mit den an kolloidalen Goldlösungen beobachteten Erscheinungen enthalten.¹³ 14 15)²³²)

JV-

(256)

U= 1

w — (p,

Man benutzt räumliche Polarkoordinaten x — r sinö cos cp, y — r sin 0 sin qp, z — r cos 6 und erhält aus (230), da u = r, v = 6,

Fig. 32.

-, W

r ’

r sin 0

/ins . o\ \ c ' c )

F, =

r

r sin 0 £

8 sind Hip

86

/ins i o \    _ 1 V ö Hr

I--f" ) ÜJm = • F “*5

\ c c /    ¹    rsin 0 L c

<P

— sin#

dHo~I Ty\’ 8rll

8r

(257)

C-r + T)*-łP£

8Hri

86 J’

in

8 sin0 Eip

00

8Eg 1

J ’

r sin0

.»Tr _    ¹ r^

“Ti/® — ÆêL'W

9r

8r    86

Mit P. JDebye können wir die Komponenten von E und H aus zwei Potentialen ableiten, welche durch das Verschwinden von Hr bzw. Er charakterisiert sind und deshalb als das elektrische Potential 77₁ und das magnetische 77₂ bezeichnet seien. Man kann nämlich den Gleichungen (257) durch den Ansatz genügen

in

— sind

8rE(pn 8r ]’

i n Tr — ¹ r

c H(P — r ' L

]■

in

(258)

j, _ } Vlh _    ____

⁰ r 8r 86 c r sind 8 cp ’

-p 1 dini , in 1 8nt

,p    rsin0 8r8cp 'er    86 ’

Hr =    + li²I7₂,

/ins , <f\ 1 an, , 1 8in„

\ c ' c) r sind 8 cp ‘ r er 86’ /ins . a \ 1 8TIl \ c ' c ) r

\ Hip = —

i air₂

86

■ i    8sn,

‘ r sind 8r 8cp’

(260) 77 =

22 r K*(hr) ' P/(cosö) * lAn,s C0SS(P + En>samS(p], 0 0

wo unter Kn eine von Heine eingeführte Funktion verstanden ist²¹⁶), welche mit den Zylinderfunktionen auf folgende Weise zusammenhängt

Q*r) = ]/§Z„ + l(kry,

und zwar ist es üblich, die der Bessehchen proportionale Funktion mit ÿn(kr), die der Hankehchen zweiter Art proportionale mit tn(kr) zu bezeichnen. Die ersteren haben die Eigenschaft, für r = 0 endlich zu bleiben (oder zu verschwinden), die letzteren stellen divergente Kugelwellen dar. P/(cos 6) bedeutet die zugeordnete Kugelfunktion erster Art²²⁹) des Argumentes cosö. An>s und Bns sind Konstanten. Die Reihe (260) ist so anzusetzen, daß die Grenzbedingungen nach (230)

(261)

(P/ + E₉)a = {ßx\, (EJ + Ą)a = {Ev\t (H,‘ + H,)a = (H&\, (H; + HX = (HX an der Oberfläche der Kugel (r — R) befriedigt werden. Durch den Index e sind die Komponenten der einfallenden Welle gekennzeichnet, welche wir eben, in der negativen ^-Richtung fortschreitend und in der yz-Ebene polarisiert voraussetzen (Exe — e*’V, 77/ — — e*'V). Die beiden Potentiale, welche eine solche Welle darstellen, ergeben sich zu

77/ =

W. 2 WTT)r '    • W™*⁹) MSf

(262)

07. Die Kugel. Farben kolloidaler Metallöaungeu.

wobei sich für 77, und 77₂ die Gleichung ergibt d*n

dr*

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist die Doppelreihe

515

(259)

+    An-\-vn—°.

1

oo

n2 = — 2Ta 2 {h ”¹    + r • *h(Kr) •    (cos °) siü <P-

a 1

Infolgedessen hat man auch für die Störungspotentiale im Äußern und im Innern der Kugel anzusetzen

oo

nia = 2 tth T ' ^ar) • iY(cOSÖ) • COS Cp,

1

00

n2a = 2Ph r ■    • Ejf (cos0) • sing?

i

229) Vgl. II A 10, Nr. 8 ( Wangerin).

ni = 2 hr • ^*(V) • ph(cosd) ■ G0S(p, 1 00

(264)

n3 = ]>} Qkr ■ th(hr) ■ Fh(cosd) • sin9?.

Durcli Einsetzen dieser Ausdrücke in die Grenzbedingungen (261) gewinnt man getrennte Formeln zur Berechnung der beiden Koeffizientenserien ah und welche in der obigen (Mieschen) Bezeichnungsweise den elektrischen und magnetischen Anteil des Störungsfeldes charakterisieren. In (gegen X) großer Entfernung kann man für th(kar)

~ikar

2

den asymptotischen Wert e

Verhältnis zur Intensität der einfallenden Welle gemessenen Intensitäten der beiden Bestandteile des abgebeugten Lichtes, deren elektrische Komponenten in den Richtungen cp bzw. 6 schwingen, folgt

setzen, woraus für die im

und

*' (A + *)

(265)

Je 4 cos² cp |

i

Je

ah

dPhl( cos 6)

de

sind

J,p 4 sin² cp

Je

r¹

\2

i

jy(cosO)

sin0

d Ph ¹ (cos d) 2

de

Die Koeffizienten dieser Reihen nehmen mit der Ordnungszahl um so schneller ab, je kleiner das Verhältnis ~ ist; auch bei den

gröberen Kugeln, die in kolloidalen Metallösungen Vorkommen (bis zu 180 fi), braucht man nur die beiden ersten elektrischen Partialschwingungen (a1} a₂) und die erste magnetische (j9x) zu berücksichtigen. Bei sehr feinen Teilchen kommt man dagegen mit der durch ax gegebenen ersten elektrischen Partialwelle aus, welche als „Rayleigh-sche Strahlung“ bezeichnet wird, da Rayleigh ihre Existenz zuerst theoretisch nachwies (vgl. Nr. 68). Eine Ausnahme bildet die vollkommen leitende Kugel, bei der man auch für kleinste Dimensionen die erste magnetische Schwingung berücksichtigen muß.

Die StrahlungsVerhältnisse bei natürlichem einfallenden Licht werden von Mie durch Diagramme veranschaulicht. Fig. 33 bezieht sich auf ein unendlich kleines Goldkügelchen; die äußere Kurve schneidet von den Radien Stücke ab, die der Intensität der gesamten Strahlung proportional sind, die inneren Kurven geben ebenso die unpolarisierte Strahlung, das Zwischenstück des Radiusvektors ist also der polarisierten Strahlung proportional. Die Richtung der einfallenden Welle wird durch die Pfeile angedeutet. Fig. 34 gibt das Strahlungsdiagramm eines sehr groben Goldkügelchens, Symmetrie in bezug auf die xy-Ebene ist hier nicht mehr vorhanden und das Maximum der Polarisation von 6 — 90° im Sinne wachsender 0 verschoben; der Hauptteil der Energie wird in Richtung der einfallenden Welle ausgestrahlt. Die urngekehrteV orzugs-richtung hat die Energie im Falle einer unendlich kleinen vollkommen leitenden Kugel (Fig. 35), während das Polarisationsmaximum im selben Sinne verschoben ist, und zwar tritt hier bei 0= 120° vollkommene Polarisation ein (Thomson-scher Winkel).²²⁵)

Fig. 33.

120°

->■

120°

Fig. 34.

120°

,120“

Von den übrigen Resultaten sei folgendes hervorgehoben.

Fig. 35.

Mit wachsender Teilchengröße wächst die Gesamtmenge des abgebeugten Lichtes von der Wellenlänge X zunächst proportional dem Quadrat des Volumens, erreicht aber ein Maximum für einen Wert von JR

XX

- und —, also wenn X in der Nähe der ersten Eigenschwingung

zwischen

der Kugel²²⁵) liegt. Infolgedessen wird dieser Vorgang der Lichtzerstreuung vielfach als optische Resonanz bezeichnet. Indessen genügt die optische Resonanz bei vollkommen leitenden Kugeln nicht, um im

durchgehenden Licht eine bestimmte Farbe kräftig hervorzuheben²³⁰), und die lebhaften Farben kolloidaler Metallösungen sind nur unter Berücksichtigung der optischen Konstanten der betreffenden Metalle zu erklären. Ist nämlich die Lösung genügend verdünnt, so kann man von der gegenseitigen Beeinflussung der Teilchen absehen und die eben entwickelte Theorie direkt auf die Beugungserscheinungen in der Lösung übertragen. Bei sehr kleinen Teilchen wird die Färbung in der Durchsicht durch ihre Absorption bestimmt²³¹), und erst bei gröberen spielt das seitlich zerstreute Licht die Hauptrolle, so daß sich die Farbe der Goldlösungen von Rubinrot bis Blau ändert.

Die Miesche Theorie wurde von W. Steubing²³²) geprüft, es ergab sich eine schöne Übereinstimmung, bis auf einige Erscheinungen, welche vermuten ließen, das die betreffenden Teilchen in Wirklichkeit von der Kugelform abwichen.²³³)

68. Theorie des Himmelsblau. Opaleszens im kritischen Zu

stande. Der für die Rayleighsche Strahlung maßgebende Koeffizient ax der Gleichungen (265) ergibt sich für sehr kleine Kugeln zu 3 k\V kl-kl 8»    *f + 2 kl

einem dielektrischen Medium — i

, oder im Falle eines dielektrischen Kügelchens in

3 nV__

²*I £i + 2fia

men verstanden. Daher wird das optische Feld der Rayleighschew Strahlung

£i —

, unter V das Yolu-

E₀ = -

7t V

£i £a

3 £a

(266)

TtV

£i + 2 £a

3

g-ikar

•    -— cos 6 cos cp,

e~ika,r

£i + 2 £a

sm<p.

Durch diese Schreibweise ist betont, daß der Einfluß der speziellen Gestalt des Teilchens sich in dem der Kugel eigentümlichen

äußert.²³⁴) Wir wollen uns auf

„depolarisierenden Faktor“

3+

£i + 2 £a

den Fall beschränken, daß die Differenz der Dielektrizitätskonstanten

— sa — zle gegen den Mittelwert s derselben sehr klein ist, dann

230)    Die entgegengesetzte Anschauung wurde von F. Ehrenhaft (Wien Ber. IIa 112 (1903), p. 181; 114 (1905), p. 1115) vertreten.

231)    Die Theorie für extrem kleine Teilchen findet sich bereits bei J. C. Maxwell-Garnett, Phil. Trans. 203 (1904), p. 385; 205 (1906), p. 237, wobei auch Überlegungen über die gegenseitige Beeinflussung der Teilchen angestellt werden. Vgl. dazu die Versuche von F. Kirchner (Anm. 228).

232)    W. Steubing, Greifswalder Dissertation 1908.

233)    Für Silberkügelchen hat E. Müller (Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 500) diese Theorie numerisch durchgeführt.

234)    Vgl. V 15, Nr. 16 {Gans).

68. Theorie des Himmelsblau. Opaleszenz im kritischen Zustande. 519

wird der depolarisierende Faktor für jede Gestalt nahezu gleich 1, und man erhält für die yon beliebig geformten Korpuskeln zerstreuten Intensitäten

Jo

(267)

Je

2J1⁴

J₍p _ 7T²F²(zt sY _ 1 }.2

Je

2Â⁴

Dabei ist natürliches einfallendes Licht vorausgesetzt und über alle möglichen Werte von <p gemittelt; unter l ist die Wellenlänge im Vakuum zu verstehen. Man sieht, daß der polarisierte Bestandteil des abgebeugten Lichtes senkrecht zur Einfallsrichtung und zum Visions-radius schwingt; vollständige Polarisation tritt für 6 = 90° ein, im übrigen sind die Strahlungsverhältnisse graphisch durch Fig. 33 auf Seite 517 gegeben.

Die Beugung au kleinen Teilchen wurde mit Erfolg zur Erklärung der blauen Farbe des Himmels herangezogen²³⁵) und von Lord Rayleigh mit Rücksicht auf diese Frage zuerst theoretisch untersucht.²³⁶) In der Tat befinden sich die am Himmelslicht beobachteten Polarisationsverhältnisse in ziemlicher Übereinstimmung mit den eben dargelegten, und auch die spektrale Intensitätsverteilung wird durch den Faktor ^ der Gleichungen (267) gut dargestellt. Bereits Lord Rayleigh hatte es plausibel²³⁷) gemacht, daß im wesentlichen von den Luft

molekülen selbst abgebeugtes Licht als Himmelsblau in unser Auge gelangt; man gewinnt indessen Resultate von allgemeinerem Interesse²³⁸)²³⁹), wenn man die Aufmerksamkeit nicht auf die einzelnen Moleküle lenkt, sondern die lichtzerstreuenden Teilchen in den durch zufällige lokale Zusammenballung derselben entstehenden Inhomogenitäten der Luft, den „Dichteschwankungen“ der Gastheorie, erblickt.

Diese Schwankungen lassen sich durch das Boltzmannsche Prinzip²⁴⁰) quantitativ erfassen: die mittlere quadratische Abweichung der Dichte eines Mediums in einem Volumen V von ihrem Durchschnitts

wert p₀ ist nämlich ²³⁸) (268)

qY =

RTJoqI NV ’

235)    Vgl. Tyndalls Versuche über Lichtzerstreuung an kondensierten Dämpfen (Phil. Mag. 37 (1870), p. 388; 38 (1870), p. 156).

236)    Lord Rayleigh, Phil. Mag. 41 (1871), p. 107, 274, 447; 12 (1881), p. 81; 44 (1897), p. 28.

237)    Lord Rayleigh, Phil. Mag. 47 (1899), p. 375.

238)    M. v. Smoluchowski, Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 205.

239)    A. Einstein, Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 1275.

240)    L. Boltzmann, Wien. ßer. 63 (1871), p. 397; A. Einstein, Ann. d. Phys. 19 (1906), p. 373.

34

Encyklop. d. math Wissensch. V 3.

wo R die Gaskonstante, N die Molekülzahl ist, beide auf das Grammmolekül bezogen, ß₀ die der Dichte p₀ entsprechende Kompressibilität

l dv v dp

Wir fragen nach der von einem größeren Volumen zerstreuten Lichtintensität. Die Lagen der einzelnen Inhomogenitäten (von den Volumina F), welche dasselbe erfüllen, sind vollständig regellos verteilt, ebenso wie die Phasen des von ihnen zerstreuten Lichtes. Daher haben wir die Intensitäten (267) einfach über das Volumen 3>'zu summieren. Es ergibt sich der Faktor JSYz/f)² F², nach dem Mosotti-Lorentzsehen Gesetz gilt aber¹⁶)

0 - 1)+ + 2)

£ — 1 r+ 2

-C$)’

= const • q , (zfe)

Greift man aus der Summe eine Anzahl von Gliedern heraus, welche Inhomogenitäten vom gleichen Volumen entsprechen, so kann man in dieselben den Mittelwert (268) einführen

(,_l)»(e+    8)1    _ RTß₀ Sp y

(269)

XTß «    (« -

~N

!)*(« +2)* 9

Die Kompressibilität ß₀ wird in der Nähe des kritischen Punktes außerordentlich groß, weshalb auch die in diesem Zustande befindlichen Substanzen eine sehr lebhafte Lichtzerstreuung (Opaleszenz) und und starke Absorption zeigen. Die Absorption in der Schichtdicke l erfolgt nach dem Gesetz J = JQe~al, wobei sich der Koeffizient a zu dem folgenden Ausdruck berechnet²³⁹)

8tt³ ETß₀ («-!)»(« + 2)»

27 N

aus

(267) und (269)

(270)

und

Im Spezialfalle der atmosphärischen Luft kann man ß₀ —

£ + 2 = 3 setzen und erhält für die Lichtzerstreuung in derselben²³⁷)²³⁹), wenn man unter 97 die Anzahl der Moleküle in der Volumeneinheit versteht,

Je_ n³$    (s — l)² cos²0

Je    2 91 p    X⁴

(271)

(f — l)²    1

V ' r³ ’

Jc    2 ftp

Sn³ (s — iy a~ 331 ' V

Die auf Grund dieser Formeln berechnete Luftdurchlässigkeit ist in vorzüglicher Übereinstimmung mit den Resultaten der neuesten atmosphärischen Absorptionsmessungen, soweit sie sich auf trockene

Luft beziehen241 a): einerseits bestätigt sich das Anwachsen der Extinktion mit A~⁴ bis weit ins Ultraviolette hinein (4 = 325 ft/a), wo die selektive Absorption der Ozonbanden einsetzt; andererseits ergibt die Rechnung unter Zugrundelegung von 97 = 2,76 • 10¹⁹ cm⁻⁸ (Planck),

s = 1,000586 (jElemencie),    (e—l)²—1,04-10⁻²⁴cm~¹ bei 760mm

und 0° C., während aus den Beobachtungen der Faktor 1,00 • 10“²⁴ folgt.

69. Das Ellipsoid, die kreisrunde Öffnung. Mit den in Nr. 60 bis 67 aufgezählten Fällen ist die Zahl der Körper, welche bis jetzt exakt auf Grund der Maxwellschen Gleichungen behandelt werden konnten, erschöpft. Schon die nächste Verallgemeinerung, das Rotationsellipsoid, bietet sehr große Schwierigkeiten.¹⁷ 18) Sind jedoch die Dimensionen des beugenden Körpers (oder der Öffnung) klein gegen die Wellenlänge, so kann man durch Anwendung eines von Lord Rayleigh eingeführten Kunstgriffs Näherungslösungen erhalten. Seine Methode besteht darin, das Feld in unmittelbarer Umgebung des Körpers als quasistatisch anzusehen und dementsprechend zu berechnen. Handelt es sich z. B. um ein Ellipsoid, so berechnet man dessen elektrische Momente (fx, f } fz) nach den drei Achsen wie in der Elektrostatik, das optische Streuungsfeld in großen Entfernungen ergibt sich dann aus der Superposition der Felder Hertz scher Dipole mit den Momenten fx, f, ft. Von Lord Rayleigh¹⁹) wurden in dieser Weise die Beugung am Ellipsoid, elliptischen Zylinder und an der kreisrunden Öffnung in einem dünnen vollkommen leitenden Schirm behandelt.²⁰ 21) R. Gans2ib) hat die Lösungen für rotationsellipsoidische Goldteilchen ausführlich diskutiert. Es ergab sich, daß die Erscheinung schon bei mäßigen Exzentrizitäten erheblich von der für die Kugel berechneten ab weicht, so daß die Teilchen in den kolloidalen

welle

34*

Goldlösungen von Mie-Steubing nicht wesentlich von Kugeln verschieden sein konnten.

70. Das Beugungsgitter. Schon die in Nr. 17 dargestellte elementare Theorie liefert die wichtigsten Züge der Gitterheugun g : die Lage der Maxima und Minima und die Abhängigkeit der Intensität von der Zahl der Gitterstriche. Noch etwas weiter kommt man mit dem Huyghenssdhen Prinzip²²), welches gestattet, den Einfluß der relativen Breite der leuchtenden Streifen und der Stege zwischen denselben zu berücksichtigen; dieses ist jedoch nur dann anwendbar, wenn die Gitterkonstante gegen die Wellenlänge groß ist (vgl. Nr. 35 und 58). Um aber die Unterschiede der Erscheinungen bei verschiedener Polarisation und die Abhängigkeit der Richtungsfunktion W (Nr. 17) von der Gestalt und physikalischen Beschaffenheit der Gitterelemente zu erkennen, was für die praktische Konstruktion der Gitter wichtig ist, muß man die wirkliche Verteilung der elektrischen Kräfte an der Gitteroberfläche kennen und berücksichtigen.

Ist die Gitterkonstante klein gegen X, so ist diese Verteilung näherungsweise die des statischen Feldes (J. J. Thomson, H. Lambu), vgl. Nr. 69), es tritt dann im durchgehenden und reflektierten Licht nur die ungebeugte Welle nullter Ordnung auf mit einer von der Polarisation stark abhängenden Intensität; bei elektrischen Schwingungen parallel den Streifen wird schon bei geringer Breite derselben beinahe alles reflektiert, bei dazu senkrechter Polarisation nahezu alles durchgelassen. Diese Erscheinung ist als „ITerte-Effekt“ von den elektromagnetischen Wellen her bekannt.

Den anderen Grenzfall bildet eine gegen X große Gitterkonstante; betrachtet man z. B. ein ebenes Gitter, das aus einer Anzahl paralleler zylindrischer Stäbe besteht, so kann man unter den genannten Voraussetzungen das von einem jeden Zylinder herrührende Feld so ansetzen, als ob die anderen nicht vorhanden wären (Nr. 64), und braucht nur über sämtliche Zylinder zu summieren. Für eine endliche Anzahl von Stäben haben Schäfer und Teiche24²³) die Erscheinungen in (gegen dessen Abmessungen) großen Entfernungen vom Gitter diskutiert, für ein unendliches Stabgitter W. v. Ignatowshy.²⁴) Er findet bei dünnen dielektrischen Stäben im Spektrum nullter Ordnung ein Uberwiegen des senkrecht zu den Stäben polarisierten Lichtes (Du-Bois - Effekt), dagegen bei dünnen leitenden Drähten den Hertzeffekt. Rechnerisch besitzt die Annahme unendlich vieler Elemente den Vorzug, daß die Erscheinung periodisch sein muß und man sie von vornherein in Form einer Fourierachen Reihe an setzen kann. Daher ist es v. Ignatów śky gelungen, weiterzukommen und die gegenseitige Beeinflussung der Gitterstäbe näherungsweise zu berücksichtigen. Er wendet seine Formeln an, um die Erscheinungen an Kupfergittern, wie sie Rubens und Du-Bois²⁵) benutzten, zu diskutieren, und findet, daß mit zunehmender Wellenlänge der Hertz-Effekt immer ausgesprochener wird. Die Beobachtung zeigt qualitativ dieselbe Erscheinung, jedoch geht hier das Anwachsen des Hertzeffektes erheblich schneller

Den praktischen Bedürfnissen der Gitterkonstruktion angepaßt sind die Arbeiten von Lord Rayleigh.²⁶) Es wird die Reflexion und Brechung von ebenen Wellen studiert, welche auf eine regelmäßig gewellte oder gerippte Trennungsfläche zweier Medien einfallen. Für den Ansatz des reflektierten (wr) und gebrochenen (iib) Beugungsbildes benutzt Rayleigh die Ergebnisse der elementaren Theorie und fragt nach der Verteilung der Intensität auf die Spektra verschiedener Ordnung, mit anderen Worten, er bestimmt die Richtungsfunktionen W der Nr. 1 7 in ihrer Abhängigkeit von der Form der Oberfläche. Die Gleichung der letzteren sei z — £, wo £ eine periodische Funktion

2 7t

von x mit der Periode a = — und von y unabhängig ist.

Nach dem Fourier sehen Satze ist

(271)

£ =    {o, • cosjpx -f- Sj • sin jpx) = ^ tjeijpx-

Hier bedeutet £,. = {cj— isj)\ £_^ =    (c,- -j- isj), und die Summe

S ist über alle j von — oo bis -j- oo mit Ausnahme von j — 0 erstreckt.

Die einfallende Welle ue denken wir uns gleichfalls unabhängig von y und unter dem Winkel 9₀ zur Normalen

m __ gt k (2 cos 0O -f x sin en)

Dann ist nach Nr. 17

+ ⁰⁰

(272)

Ur =

ßikx Bin0oJS^[ gihpx ß—ikz

c°seA,

— 00

WO

V)

a sindh — asin0o = AA oder sinö^ — sinö₀ = ~-,

und die Welle im zweiten Medium, dessen Brechunpsexponent

sei,

4- »

ik'z cos

ub = eikxsincfo Bheihpx • e

— oo

Es ist cp₀ die Richtung der regulär gebrochenen Welle:

und

8in<pfl

hp

sin#₀

sm cph — sin (p₀ = -jj-

erfüllen

An der Grenzfläche z — £ sind nach (230) die Bedingungen zu

im Fall_L: ue -[- ur — ub und

im Fall II : ue ur — ub und

\ (Ue + Ur ) — Jv’

\ ^    + Ur)    ’

aus denen sich die Koeffizienten Ah und Bh berechnen. Die Rechnung läßt sich durchführen, wenn £ klein gegen 1 ist, d. h. wenn die Rinnen der Trennungsfläche eine gegen die Wellenlänge geringe Tiefe haben. Man kann dann die u(£) nach £ entwickeln und sukzessive die Glieder von Ah und Bh jeder Ordnung in den Koeffizienten c und s ermitteln.

Für eine vollkommen leitende gewellte Grenzfläche erhält Lord Rayleigh sehr übersichtliche Resultate. Bis auf Glieder zweiter Ordnung in £Ä ist nämlich

im Falle _L im Falle II

(273)

Ah cos 9h — i£h- (Je cos² 0₀ — hp sin0o).

Wenn also in der Reihe (271) ein Glied über die anderen dominiert, so herrscht auch im Beugungsbild das Spektrum der betreffenden Ordnung vor. Im Spezialfall, wenn das Profil der Trennungsfläche eine flache Sinuskurve darstellt (£ — c cospx), ist das erste Spektrum am kräftigsten und die Amplitude des Aten Spektrums mit dem Faktor ch versehen. Bemerkenswert ist, daß im Falle II nach (273) für cos6h = 0, d. h. bei streifendem Austritt des Spektrums Ater Ordnung, die Amplitude Ah nach dieser Theorie unendlich, jedenfalls aber groß wird. Die Diskussion der Glieder höherer Ordnung in £Ä zeigt, daß diese Verstärkung der Amplitude Ah auch dann eintritt, wenn das (A -f- l)te Spektrum tangential austritt. Lord Rayleigh führte die Diskussion auch für durchsichtige Glasgitter durch und erhielt in bezug auf den Winkel der vollständigen Polarisation der reflektierten Spektra eine gute quantitative Übereinstimmung mit bereits von Fraunhofer²⁵¹ ) veröffentlichten Beobachtungen.

Den Fall endlicher Leitfähigkeit, wie man sie bei den gebräuchlichen Rowlandschen Gittern hat, hat W. Voigt²⁵²) sowohl für den Fall einer zu den Gitterfurchen senkrechten als auch einer beliebig geneigten Wellennormalen bis auf Glieder zweiter Ordnung (inklusive) in diskutiert. Es wird von ihm der Umstand hervorgehoben, daß dabei nur so viele der ersten Koeffizienten der Entwicklung (271) in die Resultate eingehen, als aus dem Gitter Spektren austreten, während die höheren Koeffizienten vollständig belanglos sind.²³³) In der Tat entspricht jedes der höheren Glieder der Reihe (271) der Überlagerung eines Sinusgitters von (gegen die Wellenlänge) kleiner Konstante, solche Gitter aber wirken wie eine ebene Fläche. (Vgl. hiermit das entsprechende Resultat von M. v. Laue über die Anzahl der Fourier-Koeffizienten in Nr. 44 b.) Die Ergebnisse der Forschen Theorie wurden auf seine Veranlassung durch Beobachtungen an einem Rowlandschen Gitter geprüft²⁵⁴) und fanden eine zum Teil sehr gute quantitative Bestätigung.

251)    J. Fraunhofer, Ann. d. Phys. 74 (1823), p. 364; Gesammelte Abhandlungen p. 134, München 1888.

252)    W. Voigt, Gott. Nachr. 1911, p. 41; 1912, p. 385.

253)    Dies gilt auch für vollkommen leitende und dielektrische Gitter.

254)    B. Pogany, Ann. d. Phys. 37 (1912), p. 257 ; Paule Collet, Gott. Nachr. (1912), p. 401. Experimentelle Daten über die polarisierende Wirkung von Gittern findet man ferner in den Büchern: J. Fröhlich, Polarisation des gebeugten Lichtes, Leipzig 1907 (Glasgitter); P. Zeemann, Researches in Magneto-Optics, Kap. VI, London 1913.

¹

   In seiner ersten Abhandlung²¹⁰) hat W. Seitz irrtümlicherweise die Neumannsche Zylinderfunktion verwendet, so daß die Resultate derselben nicht ganz korrekt sind; durch v. Ignatowsky aufmerksam gemacht, hat er sie in der zweiten Arbeit richtiggestellt.

²

   E. Heine, Handbuch der Theorie d. Kugelfunkt. I p. 82. Berlin 1878.

³

   Siehe 210); die Erscheinungen an dielektrischen Stäben hat CI. Schäfer (Beri. Ber. 11 (1909), p. 225) studiert.

⁴

   P. Debye, Phys. Zeitschr. 9 (1908), p. 775.

⁵

   B. Sieger, Ann. d. Phys. 27 (1908), p. 626; vgl. auch K. Aichi, Proc. Tokyo, Math. Phys. Soc. (2) 4 (1908), p. 966.

⁶

   E. Heine, Handbuch der Theorie der Kugelfunktionen I, p. 402—415. Berlin 1878. Der Beweis setzt reelle Werte von x² voraus, eine Lücke in demselben ist von S. Dannacher (Züricher Diss. 1906) ausgefüllt worden.

⁷

   E. Mathieu, Liouville Journ. IL Série 1. XIII (1868).

⁸

   Über die Berechnung der Parameter a für größere Werte von w* siehe: E. Reinstein, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 109.

⁹

   Die Funktionen Ea(u) sind wegen ihres Verhaltens beim Durchgang durch die Verzweigungslinie u — 0 die einzigen für das Innere des Zylinders geeigneten. Der erwähnte Grenzübergang zu verschwindendem a ist so auszuführen , daß gleichzeitig ©oj u (bzw. @in u) unendlich wird, so daß das Produkt a ©oj u einen endlichen Wert r behält. Unter Ha(v) verstehen wir im folgenden die Lösung, welche sich nach cos nv entwickeln läßt, also in der Bezeichnung von Heine die periodischen Funktionen erster und zweiter Klasse.

¹⁰

   Von den Arbeiten über vollkommen leitende Kugeln sind die von

J.    J. Thomson (Rec. Res. p 437, 1893, Eigenschwingungen einer Kugel) und

K.    Schwarzschild (München Ber. 1901, p. 293, Strahlungsdruck) hervorzuheben.

¹¹

   G. Mie, Ann. d. Phys. 25 (1908), p. 377.

¹²

   P. Debye, Ann. d. Phys. 30 (1909), p. 57.

¹³

U. a. R. Zsigmondy, Liebigs Ann. 301 (1898), p. 361; Verb. d. deutsch,

¹⁴

phys. Ges. 5 (1903), p. 209; Ann. d. Phys. 15 (1904), p. 573; G. Predig, Anorgani

¹⁵

sche Fermente, Leipzig 1901; F. Kirchner, Ann. d. Phys. 13 (1904), p. 239.

¹⁶

Vgl. V 14, Nr. 47 (Lorentz).

¹⁷

a) H.Dernber, Ber. d. Kgl.Sachs. Ges. d. Wiss. 64 (1912), p. 239 ; F. E. Fowle, Astrophys. Journ. 38 (1913), p. 392; G. G. Abbot, Annals of the Astrophys. Observ. of the Smithsonian Inst. Yol. III, Washington 1914; E. Krön, Ann. d. Phys. 45 (1914), p. 377. Namentlich die letzte Arbeit hat die Verhältnisse im Ultraviolett geklärt.

¹⁸

242)    Ein Versuch, das Rotationsellipsoid zu behandeln, wurde von K. F. Herzfeld (Wien. Ber. (Ha) 120 (1911), p. 1587) unternommen.

¹⁹

243)    Lord Bayleigh, Phil. Mag. 43, p. 259; 44 (1897), p. 28; Scientif. Papers, Vol. IV p. 283, 305.

²⁰

244)    Lord Bayleigh setzt dabei das Feld eines Dipols als homogene Kugel-

(ęikr \

I—— \ an, man gelangt aber zu besserem Anschluß an die exakte Lösung

der Nr. 65, wenn man die Schwingungsrichtung der Dipole berücksichtigt.

²¹

245)    B. Gans, Ann. d. Phys. 37 (1912), p. 881; 47 (1915), p. 270.

²²

   Außer der in Nr. 17 zitierten Literatur seien die Arbeiten erwähnt: A. WinTcelmann, Ann. d. Phys. 27 (1908), p. 905; H. Weisel, Ann. d. Phys. 33 (1910), p. 995; H. Siedentopf, Berlin Ber. 1902, p. 711 (Stufenfilmgitter).

²³

   CI. Schäfer und F. Teiche, Ann. d. Phys. 35 (1911), p. 817.

²⁴

   W. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 44 (1914), p. 369.

²⁵

   H. Du-Bois und H. Hubens, Ann. d. Pbys. 35 (1911), p. 243.

²⁶

   Lord Bayleigli, Tbeory of Sound II, § 262 a. London 1896; Proc. Roy. Soc. A. 79 (1907), p. 399; Scientif. Papers V, p. 388.

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(Abgeschlossen im Juli 1915.)

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. G. Teubner in

Wydziały pm.iTEnBHir.7Hi; braków

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

11-348766

itwickelungen nach oszill lfferentialgleichungen der deutschen Mathematiker-Vereinigu .den geh. je Jt 30.—

jptische Untersuchungen über Beugungserscheinungen. Ein Beit .& von Randwertaufgaben, [ca. 100 S.]

,, J., experimentelle Erforschung und theoretische Deutung der all-ueinen Gesetzmäßigkeiten der Polarisation des von Glasgittern gefugten Lichtes. Sonderabdruck aus den mathematischen und naturwissenschaftlichen Berichten aus Ungarn, XXII. Band. Mit 35 Figuren im Text. [XVI u. 438 S.] gr. 8.    1907. In Leinwand geb. *#18.—

■

L. inw.

.0......0

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000. gr. 8. geo. [unter aer rresse.j

bleichen, A., Lehrbuch der geometrischen Optik. [XIV u. 511 S.] gr. 8. 1902. / geb. Jt 20.—

Ooldhammer, D., Dispersion und Absorption des Lichtes in ruhenden isotropen Körpern, Theorie und ihre Folgerungen. Mit 28 Figuren. [VIu. 144 S.] 8. 1913. geh, M 3.60, in Leinwand geb. Jt 4.—

Kelvin, Lord, Vorlesungen über Molekulardynamik und die Theorie des Lichts. Deutsch herausgegeben von B. Weinstein. Mit 132 Figuren. [XVIII u. 590 S.] gr. 8.    1909. In Leinwand geb. *#18.—

Lorentz, H. A., Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat. A course of lectures delivered in Columbia University, New York, in March and April 1906. [IV u. 332 S.] gr. 8.    1909. geh. JC 8.—,

in Leinwand geb. Jt 9.—

Theory of Electrons. Deutsche Ausgabe, die Elektronentheorie und ihre Anwendung auf die Erscheinungen des Lichtes und der strahlenden Wärme. Vorlesungen, gehalten an der Columbia Universität in New York im März und April 1906. Übersetzt vom Verfasser, gr. 8. geb. [In Vorbereitung.]

Neumann, Fr., Vorlesungen über theoretische Optik. Herausgegeben von E. Dorn. Mit Figuren im Text uhd einem Bildnis Neumanns in Lichtdruck. [VIII u. 310 S.] gr. 8.    1885. geh. Jt 9.60.

Oettingen, A., Elemente der projektiven Dioptrik. Mit 9 Figuren auf 2 Tafeln. [27 S.] Lex.-8.    1909. geh. Jt 2.—

Pockels, Fr., Lehrbuch der Kristalloptik. Mit 168 Figuren und 6 Doppeltafeln. [X u. 519 S.J gr. 8.    1906. In Leinwand geb. Jt 16.—

v Rohr, Moritz, die optischen Instrumente. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 88 Abbildungen. [VI u. 140 S.] 8. 1911. geh. Jt 1. — , in Leinwand geb. Jt 1.25.

Soheffer,W., Wirkungsweise und Gebrauch des Mikroskops und seiner Hilfsapparate. Mit 89 Figuren und 3 Blendenblättern. [VII u. 116 S.] gr. 8.    1911.

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Steinheil, A., u. E. Voit, Handbuch der angewandten Optik. 3 Bände. I. Band. Voraussetzung für die Berechnung optischer Systeme und Anwendung auf einfache und achromatische Linsen. Mit Figuren und 7 Tafeln. [VI u. 314 S.] gr. 8.    1891.

geh. Jt 12.— Hierzu besonders: Beilagen. [109 S.] geh. *# 3.— [Fortsetzung erscheint nicht ]

Voigt, Woldemar, Magneto- und Elektrooptik. Mit 75 Figuren. [XIV u. 396 S.] gr. 8.    1908. In Leinwand geb. Jt 14.—

Volkmann, P., Vorlesungen über die Theorie des Lichtes. Unter Rücksicht auf die elastische und die elektromagnetische Anschauung. Mit Figuren im Text. [XVI u. 432 S.] gr. 8.    1891. geh. Jt 11.20.

'Wood, R. W., physikalische Optik. Deutsch von E. Prümm. [ca. 400 S.] gr. 8. [ü. d. Pr.]

v.

Erschienene Bände bzw. Heftt

Band I. Arithmetik nnd Algebra, in 2 Teilen. Vollständig erschienen.

-    H. Analysis, in 8 Teilen. Teil I, in 9 Heften, davon 7 erschienen. Teil II, in

Teil HI, in 6—7 Heften, davon 2 erschienen.

-    III. Geometrie, in 3 Teilen. Teil I, in 7 Heften, davon 5 erschienen. Teil II,

schienen.

Teil HI, in 6—7 Heften, davon 4 erschienen.

-    IV. Mechanik, in 4 Teilbänden und 1 Registerband. Teilband I, III und IV

H. Teilband in 4—5 Heften, davon 3 erschienen. Registerband in 1 Heft (in Voi

-    V. Physik, in 3 Teilen. Teil I, in 6 Heften, davon 5 erschienen. Teil II, in 5 Heften,

Teil IH, in 6—7 Heften, davon 3 erschienen.

-    VI,1. Geodäsie nnd Geophysik, in 1 Teilband. I. Hälfte, in 8 Heften, davon 3 erschien

6 Heften, davon 3 erschienen.

-    VI, 2. Astronomie, in 1 Teilband, in 10—11 Heften, davon 6 erschienen.

-VH. Geschichte, Philosophie, Didaktik, in Vorbereitung.

Unter der Presse:

Band II. Teil 1. Trigonometrische Reihen und Integrale bis 1850. (Schluß.) Von H. Burkhardt (f).

3. Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlicher. Redigiert unter Leitung von E. Borei in Paris, bearbeitet von A. Rosenthal in München.

1.    Elementar-Geometrie und elementare nichteuklidische Geometrie. (Schluß.) Von M. Zacharias in Berlin. — Dreiecksgeometrie. Von G. Berkhan (f).

2.    Grundeigenschaften der algebraischen Flächen. Von G. Castelnuovo in Rom und F. Enriques in Bologna. — Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus. Von G. Castelnuovo in Rom und F. Enriques in Bologna.

1b. Erdmagnetismus. Von Ad. Schmidt in Potsdam.

H.

IH.

HI.

VI.

Band V: Physik, in 3 Teilen.

Red. von A. Sommerfeld in München.

» erschienen.

B. Thermodynamik.

CU.

Berlin.

I. Teil.

Vorwort zu Band V von A. Sommerfeld in München. Inhaltsverzeichnis von Band V, Teil 1.

A. Einleitung.

*1. Maß und Messen: C. Runge in Göttingen.

*2. Gravitation: J. Zenneck in München.

*3. Allgemeine Grundlegung der Thermodynamik:

G. H. Bryan in Bangor, Wales.

*4. Dissipation der Energie, insbesondere Wärmeleitung: E. W. Hobson in Cambridge und II. Dießelhorst in Braunschweig.

*5. Technische Wärmetheorie: M. Schröter in München und L. Prandtl in Göttingen.

C. Molekularphysik.

*6. Chemische Atomistik: F. IV. Hinriclisen (f) und L. Mamlock in Berlin nebst zwei Beiträgen von E. Study in Bonn.

*7. Kristallographie: Th. Liebiscli in Berlin, A. Schoen-flies in Frankfurt und 0. Miigge in Götting *8. Kinetische Theorie der Materie: L. Boltzmann (t) und J. Nabl in Wien.

*9. Kapillarität: H. Minkowski (•)•)

*10. Die Zustandsgleichung : H.Kamerlingh-Onnes und W. H. Keesom in Leiden.

11. Physikalische und Elektrochemie: G. Bredig in Karlsruhe.

H. Teil.

Inhaltsverzeichnis von Band V, Teil 2.

D. Elektrizität und Optik. Physikalische Grundlegung der Elektrizitätslehre.

*12. Standpunkt d. Fernwirkung, die Elementargesetze:

R. Reiff (f) und A. Sommerfeld in München.

*13. Maxwells elektromagnetische Theorie: H.A.Lorentz in Haarlem.

*14. Weiterbildung der Maxwellschen Theorie. Elektronentheorie: H. A. Lorentz in Haarlem.

Mathematische Spezialausführungen zur Elektrizitätslehre

*15. Elektrostatik u. Magnetostatik: R. Gans in La Plata.

*16- Beziehungen zwischen elektrostatischen u. magnetostatischen Zustandsänderungen einerseits und elastischen u. thermischen andererseits: F. Pockels(t).

*17. Stationäre und quasi - stationäre Felder: P. Debye in Göttingen.

*18. Elektromagnetische Wellen: M. Abraham in Mailand.

19.    Elektrotechnik : L. Fleischmnnn in Berlin unter Mitwirkung von K. ÏÏ. Wagner in Berlin, W. Rogowski in Berlin u. a.

20.    Relativitätstheorie von A. Sommerfeld in München und A. Einstein in Berlin.

III. Teil.

Inhaltsverzeichnis von Band V, Teil 3.

Physikalische Grundlegung der Optik. *21. Ältere Theorie: A. Wangerin in Halle a. S.

*22. Elektromagnetische Lichttheorie: W. Wien in Würzburg. Mit einem Beitrag von H. A. Lorentz in Haarlem über magnetooptische Phänomene.

*23. Theorie der Strahlung: W. Wien in Würzburg.

Mathematische Spezialausführungen zur Optik.

*24. Wellenoptik : M. v. Laue in Frankfurt a. M. Mit einem Beitrag über spezielle Beugungsprobleme. Von P. S. Epstein in München.

25.    Kristallphysik auf Grund der Gittertheorie von M. Born in

26.    Strahlenoptik und optische Instrumente: S.Finster-walder in München.

Nachträge

z. B. Elektronentheorie der Metalle und des Magnetismus, Quantentheorie, Spektralgesetze u. a. Register zu Band V.

Bisher erschien:

5    (10).    [332 S.] 1912. n. -«10.40.

Teil II Heft 1 (12—14).    [280    S.]    1904.    n.    -«8.—

2(15.    16).    [104    S.]    1907.    n.    -«3.—

8 (17.    18).    [146    S.]    1910.    n.    M. 4.60

1 (21.    22).    [192    S.]    1909.    n.    M. 6.—

HI — 2 (22. [Schluß] 23) [165 S.] 1909. n. M. 5.—

II

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HI

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

N-348766

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100000301669