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ÜBER DIE

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VON

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MATHEMATISCHE WERKE

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KARL WEIERSTRASS.

HERAUSGEGEBEN

UNTEE MITWIRKUNG EINER TON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

VIERTER BAND.

VORLESUNGEN

ÜBER DIE

THEORIE DER ABELSCHEJST TRANSCENDENTEN.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER. 1902.

VORLESUNGEN

ÜBER DIE

THEORIE DER ABELSCHEN TRAMMENTEN

VON

KARL WEIERSTRASS.

BEARBEITET

VON

Gr. HETTNER und J. KNOBLAUCH.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER.

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VORWORT.

Schon im Jahre 1889 hatte Weierstrass den Wunsch geäussert, die von ihm an der hiesigen Universität gehaltenen Vorlesungen über Abelsche Tran-scendenten durch uns herausgeben zu lassen. Und zwar sollte sich die Veröffentlichung an die Vorlesungen vom Wintersemester 1875 — 76 und Sommersemester 1876 anschliessen, weil sich diese durch die Einheitlichkeit ihrer Durchführung ausgezeichnet hatten; die Vorlesungen früherer oder späterer Jahre sollten nur in geringem Umfange zur Ergänzung herangezogen werden.

Ein grosser Theil des Manuscripts ist damals von uns fertig gestellt worden, allein der Druck wurde verschoben, weil Weierstrass sich inzwischen zur Herausgabe seiner Mathematischen Werke entschlossen hatte. Von diesen enthalten die drei ersten Bände die von ihm verfassten Abhandlungen, die folgenden Bände die Vorlesungen, soweit sie zur Veröffentlichung bestimmt sind. Dass die über Abelsche Transcendenten zuerst erscheinen, hat seinen Grund in dem oben Gesagten; voraussichtlich werden zunächst die über elliptische Functionen folgen.

Obgleich die im vorliegenden Bande enthaltenen Vorlesungen von Weierstrass stets unter dem Titel »Theorie der Abelschen Functionen« angekündigt worden sind, haben wir sie doch mit seiner Zustimmung als solche über Abelsche Transcendenten bezeichnet, weil die Theorie der Abelschen Functionen im eigentlichen Sinne darin nur kurz skizzirt ist, während die grundlegenden algebraischen Untersuchungen und die Theorie der Abelschen Integrale genau durchgeführt sind.

Der Veröffentlichung liegen die Ausarbeitungen zu Grunde, die wir seiner Zeit nach den Vorlesungen der beiden vorher erwähnten Semester angefertigt haben. Nur für das 26., 28. und die erste Hälfte des 29. Kapitels konnten wir uns auf ein Manuscript stützen, das Weierstrass früher bei seinen Zuhörern in Umlauf gesetzt hatte. Andere für die Vorlesungen angefertigte Entwürfe oder sonstige Aufzeichnungen, die wir hätten benutzen können, haben sich auch in seinem Nachlasse nicht vorgefunden. Für die zweite Hälfte des 29., das 30. und das 34. Kapitel sind die Ausarbeitungen von G. Valentin und C. Weltzien aus dem Wintersemester 1873 — 74 und die beiden ersten Paragraphen des Buches von F. Schottky »Abriss einer Theorie der Abelschen Functionen von drei Variabein« (Leipzig 1880) mit herangezogen worden.

Weierstrass selbst hat von dem Inhalt dieses Bandes nur zu einem kleinen Theile Kenntniss genommen; als er am 19. Februar 1897 starb, war der Druck erst bis zum achtzehnten Bogen vorgeschritten.

Berlin, den 12. März 1902.

Georg Hettner.

Johannes Knoblauch.

INHALTS-VERZEICHNISS.

Seite

Einleitung

1-10.

Grundbegriffe der Theorie der Abelschen Transcendenten S. 1 — 9. Historische Bemerkungen S. 9 — 10.

11-246.

13-45.

Erster Abschnitt. Algebraische Grundlage der Theorie .    .

Erstes Kapitel. Das algebraische Gebilde............

Das durch eine irréductible Gleichung f(x, y) = 0 definirte algebraische Gebilde; Stelle oder Punkt (xy) ; Monogeneität S. 13. Singuläre Stellen S. 14. Element des Gebildes; äquivalente Elemente S. 16. Ordnung einer algebraischen Gleichung in Bezug auf die Stelle (0,0) S. 19. Für die Umgebung einer singulären Stelle lässt sich f (x, y) = 0 durch ein System von Gleichungen erster Ordnung ersetzen S. 19 — 30. Die Umgebung jeder singulären Stelle kann durch eine endliche Anzahl von Elementen dargestellt werden S. 30—32. Mehrfache Stellen; unendlich ferne Stellen S. 32. Die Anzahl der unendlich fernen Stellen ist gleich der Dimension von f(x,y) S. 34 — 36. Unendlich ferne Elemente S. 36—41. Das im Unendlichen reguläre Gebilde S. 38. y als algebraische Function von x S. 41—45. Singuläre Werthe des Arguments dieser algebraischen Function S. 42.

46-86.

Zweites Kapitel. Rationale Functionen des Paares {xy).......

Erklärung einer solchen Function S. 46. Erste Methode der Bestimmung der

Werthepaare (xy), für die eine rationale Function II (xy) einen gegebenen,

endlichen und von Null verschiedenen Werth s annimmt S. 47 — 50. Das Product y.

n(s— R[xy)) ist, als Function von s betrachtet, entweder unzerlegbar oder Potenz

(X)

einer unzerlegbaren Function S. 47—48. Grad von B(xy) S. 50. Zweite Methode der Bestimmung der Werthepaare, für die JR(xy) — s wird S. 50 —52. s = 0 S. 52—55. s — co S. 56. Rationale Transformation eines algebraischen Gebildes S. 56 — 59. Bildung einer rationalen Function, die an einer einzigen Stelle von der ersten Ordnung unendlich gross wird, wenn x und y durch eine allgemeine Gleichung zweiten Grades verbunden sind S. 61. Algebraische Curven mit der Maximalzahl von Doppelpunkten S. 62. Herstellung einer Function F(xy, x’y'), die ausser für die

beliebige Stelle (x'y') nur an solchen Stellen unendlich gross wird, die nicht für sich allein ein vollständiges System von Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function bilden können S. 62 —68. Rang eines algebraischen Gebildes S. 69. Seine Unveränderlichkeit bei einer rationalen Transformation S. 69 — 70. Erklärung der Function

dr'

H(xy,x'yr) S. 73. Entwickelung von H(xtyt, xzyz)    S. 73 —78. Erklärung der

dx

Functionen H(xy)a, H'(xy)a und H(xy, abS. 79. Grundformeln für H(xy, u&)l£

S. 84. Grundformeln für H(xy, xzyz) ~

L dx

Functionen H(xy)a S. 86.

Drittes Kapitel. Darstellung einer rationalen Function des Paares (xy) durch die Function H(xy, x'y')..............

X S. 85.

Fundamentaleigenschaft der

Seite

87-103.

Ist y eine rationale Function einer Variablen#, so ist    =0 S. 87—89.

Für eine rationale Function F(xy) ist 2^F(xtyt) ]    = 0 S. 89-95. Dar

stellung einer gegebenen rationalen Function des Paares (xy) in der Form C₀ + 21jCy-'lJE[(xy,xvyv)x S. 95 —97. Bildung einer rationalen Function mit s gegebenen Unendlichkeitssteilen und s—q gegebenen Nullstellen S. 98—103.

Viertes Kapitel. Die q linear unabhängigen Functionen E(xy)a ....    104_116.

Jede Function H(xy) mit der Fundamentaleigenschaft der Functionen JI(xy)a lässt sich als homogenes lineares Aggregat von H(xy)

Diese q Functionen selbst sind linear unabhängig S. 105 — 107. Eigenschaften und Form der Functionen H(xy)a S. 108—116.

Fünftes Kapitel. Erste Art der Berechnung des Banges eines algebraischen Gebildes................

.. H(xy)ç darstellen S. 105.

117-145.

Rationale Transformation des Gebildes der Art, dass die zu x — oo gehörigen Werthe von y endlich und von einander verschieden sind S. 117. Der Grad s von (? — 2—(n— 1) S. 125. Zerfallen die Entwickelungen der

H(xy) S. 118—125.

n Werthe der algebraischen Function y in n’ Gruppen, so ist s — ^(n—ri) S. 127. Bedeutungslosigkeit der über das Gebilde gemachten speciellen Annahme S. 128—130. Bestimmung des Ranges und der Functionen H(xy)a für ein hyperelliptisches Gebilde S. 130 — 135; für ein Gebilde der Form yn = R(x) S. 135 — 145.

Sechstes Kapitel. Zweite Art der Berechnung des Banges eines algebraischen Gebildes................

146-175.

Anzahl der gemeinsamen Stellen zweier algebraischen Gebilde S. 146 — 155. Für ein im Unendlichen reguläres Gebilde <p(|,łj) = 0, dessen Dimension und Grad in Bezug auf y] übereinstimmend gleich r sind, ist q = _(r—

wenn

dit

die Entwickelung von

dt

?dtVt)a

mit der Potenz t~h beginnt S. 155-160. Ausdeh-

nung des Ergebnisses auf ein beliebiges algebraisches Gebilde S. 160—165. Be

rechnung von 2Tcx aus den Ordnungszahlen der Gleichungen, die sich bei der Darstellung der Umgebung der singulären Stellen des Gebildes mittels successiver Transformation ergeben S. 165 — 171. Berechnung des Ranges für Gebilde specieller Be-schatfenheit S. 171 — 176.

Siebentes Kapitel. Die Bildung der Functionen H{xy)a.......

H(xy)a für ein Gebilde ohne singuläre Stellen S. 177; für ein beliebiges Gebilde S. 178 — 187. Untersuchung des Falles, wo sieb für jede singuläre Stelle des Gebildes nach einmaliger Transformation nur Gleichungen erster Ordnung ergeben S. 187 — 192.

Achtes Kapitel. Die Bildung der Function H(xy,x'y').......

Beschränkung der Untersuchung auf den vorher (S. 187) betrachteten speciellen Fall S. 193. Genauere Erörterung der Bildungsweise von H(xy,x'y') S. 195 — 197. H(xy, x'y') als Function des Paares (x'y') betrachtet S. 197 — 199. Die rationale Function E(xy,x'y') und ihr Zusammenhang mit H{xy,x'y') S. 199 — 205. Die Function E(xy, x'y') mit q willkürlichen Constanten S. 206 —208. Darstellung von H(xy, x'y') durch H(xy, x'y') S. 209.

Neuntes Kapitel. Die Bildung einer rationalen Function des Paares (xy)

mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle...........

Für jede Stelle (ab) giebt es eine Zahl lc der Art, dass rationale Functionen (fc+ l)ten, (ft + 2)ten, ... Grades existiren, die nur an dieser Stelle unendlich gross werden S. 211 — 216. Bationale Transformation des Gebildes in ein solches mit einem einzigen unendlich fernen Element S. 216 —218. Die Function iT(|rj, |'r/) S. 219 — 223. Erklärung und Grundeigenschaften der Functionen E(^ri)a S. 223—224. Für jede Stelle (ab) eines Gebildes lassen sich rationale Functionen mit der einzigen Unendlichkeitsstelle (ab) und zwar von jedem Grade bilden mit Ausnahme von q fehlenden Graden %lf ... Nur für eine beschränkte Anzahl Stellen (ab) sind die Zahlen x,, z-₂,... x„

von 1, 2, ... q verschieden S. 224—225. Grundformeln für II (£t] , ixrjT) S. 225.

Zehntes Kapitel. Die charakteristischen Eigenschaften der algebraischen

Functionen.....................

Bedingung für das Congruiren zweier Elemente eines algebraischen Gebildes S. 227. Über den Convergenzbereich der ein Element des Gebildes darstellenden

Reihen y = P(x—a), y mente eines irreductiblen algebraischen Gebildes congruiren unmittelbar oder durch Einschaltung einer endlichen Anzahl vermittelnder Elemente S. 235 — 241. Mono-geneität ; ein algebraisches Gebilde kann durch eine endliche Anzahl von Elementen vollständig dargestellt werden S. 241. Die charakteristischen Eigenschaften einer algebraischen Function S. 242 — 244; einer rationalen Function des Paares (xy) S. 244-246.

= P[(x—a)° j

= p((bł)

S. 228—235. Je zwei Ele-

Zweiter Abschnitt.

Die Abelschen Integrale.......

Elftes Kapitel. Einleitung in die Theorie der Abelschen Integrale .    .    .

Erklärung des Integrals einer rationalen Function des Paares (x y) S. 249. Beweis der For-4- B.'(xy, x'y') - 4t #(*Y> xV) = 21 H(x'y')a E'(xy)a - H(xy)a II'(x'y')a j

dX    ClX    a

S. 251 —254. Eigenschaften der Functionen H'(xy)a S. 254—256. Grundformeln für H’(xy)a und H(xy)a S. 257.

mel

176-192.

193-210.

211-225.

226-246.

247-438.

249-257.

Zwölftes Kapitel. Die Integrale erster, zweiter und dritter Art .... 258—275.

Erklärung der Integrale erster und zweiter Art S. 258; des Integrals dritter

Ausdruck einer rationalen Function des Paares (xy) mittels der

Jedes Abelsche In-

Art S. 259.

Functionen H{xvyv, xy), H{xy)a und H'{xy)a S. 260—264. tegral lässt sich durch solche der drei Arten, vermehrt um einen algebraischen Ausdruck, darstellen S. 265. Eindeutigkeit dieser Darstellung S. 265 — 266. Ist das Integral einer rationalen Function des Paares [pcy) algebraisch, so ist es selbst als rationale Function des Paares {xy) darstellbar S. 267 — 269. Die Function G{xy, x'y') und ihre Eigenschaften S. 269 — 273. Ihr Ausdruck für das hyperelliptische Gebilde S. 273—274. Ihr Zusammenhang mit den Functionen H'{xy)a S. 274.

276-294.

Dreizehntes Kapitel. Die Perioden des Logarithmus ....

von x ist

l‘X₂

Erklärung von j F{x)dx, wo F{x) eine rationale Function

S. 277 —281. Integrationsweg; das vollständige Integral JF{x) dx S. 281. Die Function L{x) S. 282—290. Kriterium für die positive und die negative Seite einer Geraden S. 288. Die Werthe L{x) und L{x) für die Punkte der Geraden (—oo ... 0)

S. 289. Darstellung des über einen bestimmten Integrationsweg erstreckten Integrals

durch Werthe von L{x) S. 290 — 293. Die primitive Periode dieses Integrals S. 293-294.

Vierzehntes Kapitel. Die vollständigen Integrale algebraischer Differentiale 295—303.

Erklärung eines Abelschen Integrals für einen bestimmten Integrationsweg S. 295—299. Kreis von Werthepaaren; geschlossener Integrationsweg; vollständiges Integral S. 299. Variation eines Kreises S. 300. Einfache und zusammengesetzte Integrationswege S. 301. Bedingung für die algebraische Ausführbarkeit eines Abelschen Integrals S. 303.

304-316.

Fünfzehntes Kapitel. Die Function ü{xy)............

Q{xy, x₁y₁, x₀y₀) S. 305. Q{xy) S. 306 —310. Simultane Perioden der Integrale erster und zweiter Art S. 306. ti {x₀y₀)— Q{x₀y₀) = 2ni S. 310. Schnitte von Integrationslinien S. 311. 2 0)« «L — wa~fia) = y zizi S. 313. F{xy) S.313 —315.

Ausdruck der Functionen H{xy)a und H'{xy)a durch logarithmische Ableitungen von E-Functionen S. 316.

Sechzehntes Kapitel. Die Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art....................

317-339.

Positive Seite einer gebrochenen Linie S. 317. Durchkreuzung eines Integrationsweges durch einen anderen in bestimmtem Sinne S. 318. Es lassen sich q Paare von Kreisen Ku, K'a der Art bestimmen, dass der Kreis K’a den Kreis Ka einmal in positivem Sinne durchkreuzt, während Kreise aus verschiedenen Paaren sich nicht schneiden S. 318—329. Einführung der 4p² Grössen 2a>a/î, 2<u^, 2i)a/i, 2rlaß als Werthe der über die Kreise Kß und Kß erstreckten Integrale erster und zweiter Art; die q{2q — 1) Relationen unter diesen Grössen S. 330. Historische Bemerkungen S. 330—331. Zweites System von Relationen unter den 4p² Grössen S. 332. Ausdruck eines beliebigen Periodensystems der Integrale erster und zweiter

Art durch 2wß(5, 2u)'aß, 2rja1, 2r\'ap S. 334. Simultane oder zusammengehörige Perioden mehrerer Integralfunctionen S. 335. Primitives System simultaner Perioden S. 336. Für die Integrale erster und zweiter Art bilden 2ü)a$, 2w^, 2^, 2rJ(',^ ein solches System S. 337 — 338.

Seite

340-363.

Siebzehntes Kapitel. Die Perioden der hyperelliptischen Integrale .    .

Die Function H(xy,x'y') für das hyperelliptische Gebilde S. 340 — 343. Die Functionen H(xy)a und H'(xy)a S. 344. Vollständiges Integral des Differentials erstreckt über den Umfang einer Ellipse mit den Brennpunkten

dx

\J(x — a')(x—a")

a' und a" S. 345 — 352. Erklärung einer positiven complexen Grösse; Hauptwerth

der Quadratwurzel aus einer complexen Grösse S. 349. Das

Integral / c^c

Die simultanen Perioden der Integrale erster und zweiter Art

S. 352-359.

S. 359-361. Die Kreise Ku, K'a S. 361.

364-376.

377-393.

394-400.

401-438.

Achtzehntes Kapitel. Die Functionen E{xy)ri und E'(xy......

Die nicht verschwindende Ai-Function S. 365 — 366. E(xy | cu₀ ... &„) S. 367 — 370. E(xy)p und E\xyS. 371. Darstellung von E(xy | tpj,... durch ein Product von Functionen E(xy)[i und E'(xy).i S. 371—372. Die Integralfunctionen erster und zweiter Art J(xy)a und J'(xy)a S. 373. Darstellung von J(xy)a und J'(xy)u durch Logarithmen von E(xy)x, ... E(xy)Q, E'(xy)₁, ... E’(xy)₀ S. 374 — 376.

Neunzehntes Kapitel. Die Functionen Q(xy, x₁yl, x₀y₀) und E(xy; xly₁, x₀y₀) Q(xy, x₁y₁, x₀y₀) S. 377—382. Grundformeln für diese Function S. 382. E(xy: xlyl, x₀y₀) S. 383 —386. Jede rationale Function des Paares (xy) ist als Product transcendenter Primfunctionen darstellbar S. 387 —390. Analogie der tran-scendenten Primfunctionen mit den Kummerschen idealen Primfactoren S. 391 — 393.

Zwanzigstes Kapitel. Darstellung des Integrals dritter Art durch Logarithmen der E- Functionen ...............

Die Integralfunction dritter Art J(xy\ xly₁, x₀y₀) S. 396. Darstellung von J(xy, xxyi, x₀y₀) durch Logarithmen von E(xy, x, yif x₀y₀), E(xy\, ... E(xy) E'(xy)₁, ... E'(xy)ç S. 396—399. Das periodische Verhalten des Integrals dritter Art S. 399.

Einundzwanzigstes Kapitel. Das Abelsche Theorem.........

Historische Bemerkungen zum Abelschen Theorem S. 401. Ausspruch des Theorems für die Integrale erster, zweiter und dritter Art S. 403—404. Sind (xvyv)

die Nullstellen und (x’vy'v) die Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function, so ist (xvyv)

^f(x’v y'v)

für die Integrale erster Art S. 407—417. Die Umkehrung des Abelschen Theo-

H(xy)ßdx = 0 für ß — 1, 2, ...q S. 405 —407. Beweis des Theorems

rems für die Integrale erster Art S. 417—419. Im Allgemeinen ist die Darstellung einer Summe von Integralen erster Art durch q Integrale nur auf eine Weise möglich S. 419. Die verschiedenen Bedeutungen der Zahl q S. 421. Beweis des Theorems für das Integral dritter Art S. 422 ; für das Integral einer beliebigen rationalen Function des Paares (xy) S. 423 — 426. Das Theorem für die Integrale

zweiter Art S. 427—428. Beweis des Theorems für das Integral einer beliebigen rationalen Function auf dem von Abel eingescblagenen Wege S. 428—437. Integration eines mit dem Abelschen Theorem zusammenhängenden Systems von Differentialgleichungen für den Fall des hyper elliptischen Gebildes S. 437.

Seite

439-624.

Dritter Abschnitt. Die Abelschen Functionen

Zweiundzwanzigstes Kapitel. Definition der Abelschen Functionen . .    . 441—466.

Das Umkehrungsproblem in der Theorie der elliptischen Transcendenten

S. 441—444. Aufstellung des Jacobischen Umkehrungsproblems S. 444—446. Die

Gleichungen Ua — ]£ f Functionenelemente xa und ya S. 446-448. Ihr algebraisches Additionstheorem

durch die

H(xy)pdx (ß = 1, 2,... ç) définir ten

von

S. 448-450. Für jedes endliche Werthsystem (ulf ... uQ) ergeben sich xu...xQ als Wurzeln einer Gleichung çten Grades, deren Coefficienten Potenzreihen u₁,...uq sind; ya ist eine rationale Function von xa mit Coefficienten derselben Beschaffenheit S. 450 — 456. Die singulären Werthsysteme der Argumente ult ... uQ S. 456—460. Ihre Gesammtheit bildet ein Continuum von 2q — 4 Dimensionen S. 459. Die rationalen symmetrischen Functionen von (x₁y₁), ... (x^yq) S. 461. Abelsche Functionen S. 462. Ihr algebraisches Additionstheorem S. 462 —463. Ihre 2q- fache Periodicität S. 464—466.

Die Functionen E(xy\ u1} u₂, ... « ) und

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

J(ui, u₂, ...

Erklärung und charakteristische Eigenschaften von E{xy\ u1}...uQ) S. 469-471. Für alle endlichen Werthsysteme (ulf...uQ) ist E{xy\ ul}... uQ) eindeutig definirt S. 471-475. Verhalten von E(xy, ux,... uQ) bei Änderung von u1} ... uQ um ein System simultaner Perioden 2«^,... 2«,, S. 475. Erklärung dJ(u1} ... Uę)p = '(xaya)pdxa S. 477.

S. 478-479.

467—479.

J(ut j • ■ • S. 4/6. J(u₁ + 2cüj, .. .)^ — J(ut, ..    -f- 2r^ß

von

Vierundzwanzigstes Kapitel. Darstellung der Function E(ocy, x₀y₀-,ulf... u)

durch einen Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen 480—512.

Erklärung und Eigenschaften von E(xy, x₀y₀-, ult... uQ) S. 480. Nachweis, dass sich diese Function als Quotient zweier beständig convergenten Potenzreihen darstellen lässt S. 481 — 511.

Ausdruck durch die Function f(uu...uq) S. 510. E{xy\ Uq) in der Theorie der hyperelliptischen Transcendenten S. 511 —512.

Fünfundzwanzigstes Kapitel. Einführung der Function 0 (ux

•••V • •

Fundamentaleigenschaften von f{Ul,... uQ) S. 513-515. Erklärung und Fundamentaleigenschaften von 0(«n ... uQ) S. 516. Darstellung von E(xy, x₀yQ-, uu...uQ)

durch 0 («i,... uQ) S. 518. Die Gleichung ©(^-f a₁,...) = A0(m₁₅ ...) . besteht nur, wenn (a

. 513-523.

.. aQ, &,,... bQ) ein System simultaner Perioden der Integrale erster und zweiter Art ist S. 520. Die bei der Darstellung von 0(%,... w?) in Betracht kommende Determinante ) coajS | S. 523.

1? •

Sechsundzwanzigstes Kapitel. Die Determinante | toa(î1

. 524-530.

Beweis der Existenz eines Systems simultaner Perioden der Integrale erster Art, für das die Determinante nicht verschwindet S. 524—529. Für dieses System bleiben die 2p Fundamentalgleichungen von 0u^) ihrer Form nach unge-ändert S. 529.

Siebenundzwanzigstes Kapitel. Einführung der Function ft (v₁,... vn) .    .    . 531—538.

Erklärung dieser Function; ihre Periodicität in Bezug auf jedes einzelne.

Argument S. 533. Einführung der Grössen S. 535.. Bei einer Vermehrung von va um 7aß ändert sich die 9 - Function um einen Exponentialfactor S. 537.

Achtundzwanzigstes Kapitel. Darstellung der Function ... vQ) . .    . 539—554.

Der Fouriersche Lehrsatz für eine periodische Function einer Variablen S. 539—541; für eine periodische Function von p Variablen] S. 542 — 544. Anderer Beweis für die Darstellbarkeit einer periodischen Function durch eine trigonometrische Reihe S. 544 — 549. Darstellung der Function Q(vl}... v^) S. 550—552; der Function ©(«!,...    S. 552 —553. Historische Bemerkungen S. 553.

555—505.

Neunundzwanzigstes Kapitel. Beweis für das Nichtverschwinden der Determinante I (oaß I...................

Nachweis des Nichtverschwindens von | u>aa | mittels der Eigenschaften der 0-Function S. 556—560. Die 2p² Grössen 2wa^, 2uorap bilden ein primitives Periodensystem der Integrale erster Art S. 560—564. Hülfssatz üher|’homogene lineare Functionen mit verschwindender ^Determinante S. 561. Eine Ahelsche Function von p Variablen ist nicht weniger als 2p-fach periodisch S. 564—565.

566-684.

Dreissigstes Kapitel. Die allgemeinen Thetafunctionen......

wo

Bedingung für die Convergenz der Reihe    • • • uqi ni> • • • Mp)j

(re)

G(u1}... W;,; nu ... nQ) eine allgemeine ganze Function zweiten Grades bedeutet S. 568. Erklärung der allgemeinen Function Q(u1}... Uq) ; die für sie geltenden 2p Fundamentalgleichungen S. 568 — 571. Die allgemeine Function Q(u1}... ft, ja') mit 2p Parametern S. 571—573. Ihr Zusammenhang mit 0(w1}...w^) S. 573 — 574.

Relationen zwischen 0-Functionen mit verschiedenen Parametern S. 574 —576. Die 2p Fundamentalgleichungen für S(ux, ... ft, fi/) S. 576—578. Die allgemeine Function    ... v^) S. 578—580. Unterschied der allgemeinen 0-Function und

der durch Lösung des Umkehrungsproblems sich ergebenden S. 580. Die allgemeine Function %(vl}...    /a, fi') mit 2p Parametern S. 581—582. Die Thetafunctionen

mit ganzzahligen Parametern sind gerade oder ungerade S. 582 — 584.

. 685-599.

Einunddreissigstes Kapitel. Darstellung der Abelschen Integrale zweiter und dritter Art mit Hülfe der 0-Function

. Grad der Function Il'(xy)a + 2KpH(xy)p S. 588 —590. Darstellung des Integrals dritter Art durch Logarithmen' von 0-Functionen S. 596 — 598; der Integrale zweiter Art durch 0-Functionen und deren Ableitungen S. 598—599.

Über die in der Definitionsgleichung für die 0-Function auftretenden Constantin S. 585 — 596

Zweiunddreissigstes Kapitel. Die Werthsysteme, für welche die 0-Function

600-603.

verschwindet....................

Nicht singuläre Werthsysteme S. 600—603. Singuläre Werthsysteme S. 603.

Dreiunddreissigstes Kapitel. Darstellung Abelscher Functionen .... 604—610.

Ausdruck von Functionen der Form \\F(xaya) durch 0-Functionen S. 604 — 607.

bei ganzzahligen Werthen der

Das Product II

0(wx — uu ...)

S. 608—609. Gleiches gilt für Parameter S. 610.

0²(Wi, ...)

Yierunddreissigstes Kapitel. Relationen unter Producten von Thetafunctionen 611—624. Die Functionen II (wn ... wR und !!(%,... v, v') S. 611 — 614. Darstellung von IR«!,... Uq) durch eine'Summe von transformirten Thetafunctionen S.614—617. Verallgemeinerung S. 618—620. Homogene lineare Relation zwischen 2^+1 Pro

ducten von je zwei 0-Functionen mit gewissen ganzzahligen Parametern S. 620—622.

_ QQi, •••; P)

©Oi,-.-; jbP)

Folgerungen S. 622 — 623.

, so lässt sich

Ist C

TmOi + vi, •••) rational durch Functionen derselben Beschaffenheit mit den einfachen

Argumenten ut, ... und v1} ...v^ darstellen S. 624.

625-631.

Alphabetisches Inhalts-Yerzeichniss . Bemerkungen und Berichtigungen

EINLEITUNG.

In der Theorie der Abelschen Transcendenten müssen die Integrale von den Functionen im engeren Sinne in ähnlicher Weise unterschieden werden, wie es in der Theorie der elliptischen Transcendenten der Fall ist.

Das Integral einer algebraischen Function einer Veränderlichen nennt man nach dem Vorschläge Jacobi’s ein Abelsches Integral, weil Abel zuerst die wichtigsten Eigenschaften dieser Integrale für den Fall einer beliebigen algebraischen Irrationalität erkannt hat.

Wird y als algebraische Function von x durch irgend eine irréductible algebraische Gleichung f(x, y) = 0 definirt, so betrachten wir zugleich mit der Function y alle rationalen Functionen R(xy) der beiden durch jene Gleichung verbundenen Argumente x und y und untersuchen dann die in der Form

j R (xy) dx

enthaltenen Abelschen Integrale.

Es sei nun (ab) ein beliebiges Werthepaar, das der algebraischen Gleichung f(x,y) = 0 genügt, so lassen sich, wie später bewiesen werden wird, alle diejenigen Werthepaare (xy), welche die Gleichung befriedigen und in der Umgebung des Werthepaares (ab) liegen, d. h. für welche die absoluten Beträge der Differenzen x — a und y — b eine hinreichend kleine positive Grösse nicht überschreiten, durch zwei nach Potenzen einer unabhängigen Veränderlichen t fortschreitende Reihen der Art darstellen, dass auch zu jedem solchen Werthepaare (xy) nur ein Werth von t gehört. Die Gesammtheit der auf diese Weise definirten Werthepaare (?(t), (p(t)) nennen wir ein Element des durch die Gleichung f(x, y) = 0 definirten algebraischen Gebildes. Nur für einzelne singuläre Werthepaare (ab) des Gebildes sind mehrere Functionenpaare (cp (^), <];(£)) erforderlich,

alle der Gleichung genügenden Werthepaare (xy), die in der Um-

um

gebung von (ab) liegen, darzustellen.

Da auf Grund der gegebenen Gleichung f(x,y) = 0 zu jedem Werthe von x mehrere Werthe von y gehören, so würde in der Definition des Abelschen Integrals zwischen bestimmten Grenzen eine Unbestimmtheit auftreten, wenn für die beiden Grenzen nur die Werthe x₀ und xx der einen Veränderlichen x gegeben wären; es müssen vielmehr gleichzeitig auch die beiden zugehörigen Werthe y₀ und yx der anderen Veränderlichen y eindeutig fixirt sein.

Zunächst mögen nun in dem Abelschen Integral zwischen bestimmten

Grenzen

/■(« i Vx)

I R (xy) dx

^(xo 2/o )

die Grenzen (x₀y₀) und (xty₁) demselben Element des Gebildes angehören. Aus den Gleichungen ergebe sich für t = t₀ das Werthepaar (x₀y₀) und für t = tx das Werthepaar (xtyj, und es gehe durch die Substitution x = <p(0, y — ł(0 ^as Differential R(xy)dx in g(t)dt über. Kommt dann in der Entwickelung von g(t) nach Potenzen von t kein Glied der Form cV¹ vor, so setzen wir

R(xy)dx — h(tx) — h(t₀)

(«oVo)

wobei die Function h(t) der Gleichung

g(t)dt = dh(t)

genügen soll. In diesem Falle ist also das Integral eine eindeutige Function von t₀ und oder von den beiden als Grenzen auftretenden Werthepaaren (x₀y₀) und (x^J. Enthält aber g(t) ein Glied der Form ct x, so sei

g(t) = cr' + g^t)

und

gx(t)dt = dh^t) ;

unter dieser Voraussetzung werde

(«i Vi)

(xoVo)

gesetzt, dann ist jetzt wegen des auf der rechten Seite vorkommenden Logarithmus das Integral eine unendlich vieldeutige Function von t₀ und oder von den Werthepaaren (x₀y₀) und    Damit ist einem Abelschen

Integral zunächst ein bestimmter Sinn beigelegt, wenn die Grenzen demselben Element des durch die Gleichung f(x, y) = 0 definirten Gebildes angehören.

Ist dies aber nicht der Fall, so lassen sich, wie später gezeigt werden soll, zwischen den Werthepaaren (x₀y₀) und (xtyt) stets eine endliche Anzahl Werthepaare (;xy'), (;x"y"), ... (xr) yr') der Art einschalten, dass je zwei benachbarte Werthepaare demselben Element angehören. Dann definiren wir die Werthe des Integrals

(PiVi)

R (xy) dx

(xo Vo)

durch die Werthe der Summe

rY y')    r

I R(xy)dx + /

\xo Vo)    Ąx'y’)

(x'Y)

R(xy)dx 4-----1- J

(ßiVi)

R (xy) dx

(xmym)

in der jedes einzelne Integral nach dem Vorangeschickten eine bestimmte Bedeutung hat.

Wir können jetzt nicht mehr sagen, die Werthe des Integrals

(xi 2/i)

R(xy)dx

<ä>2/₀)

seien durch Angabe der Grenzen (%₀y₀) und (xtyt) bestimmt, denn sie hängen jetzt noch von dem Integrationswege ab, d. h. von den zur Vermittelung zwischen den Grenzen (x₀y₀) und    eingeschalteten Werthepaaren

(xy), (xy), ...

Aber wir werden sehen, dass jeder der unendlich vielen verschiedenen Werthe, die das Integral

(A Vi)

R(xy)dx

(xo Vo )

bei Festhaltung der Grenzen (x₀y₀) und (x^J annehmen kann, sich von einem beliebigen dieser Werthe nur durch eine Periode unterscheidet, d. h. durch einen Ausdruck der Form

.. ganze Zahlen oder Null sind und 2à>, 2ù)', 2<î>", ...

in welchem m, m\ m” eine endliche Anzahl von Constanten bedeuten, die nur von der Gleichung

f(x,y) = 0 des algebraischen Gebildes und der im Integral vorkommenden rationalen Function R{xy), nicht aber von den Grenzen (x₀y₀) und (xiyi) des Integrals abhängen. Diese Grössen 2w, 2o>', 2u>", . . . bilden ein sogenanntes primitives Periodensystem des Integrals, wenn sie so gewählt werden, dass sich jede Periode des Integrals aus ihnen durch Addition und Subtraction zusammensetzen lässt, während keine von ihnen in gleicher Weise aus den übrigen gebildet werden kann.

Ist das Werthepaar, welches die obere Grenze des Integrals bildet, identisch mit dem für die untere Grenze gegebenen Werthepaar, so nennen wir den Integrationsweg einen geschlossenen; es lassen sich nun stets solche geschlossene Integrationswege auffinden, über die erstreckt, das Integral jR{xy)dx einen der Werthe 2d>, 2co', 2<j5", ... annimmt. Wir erhalten also ein primitives Periodensystem durch die Ausführung einer gewissen Anzahl von Integralen über geschlossene Integrationswege.

In ähnlicher Weise wird bei gleichzeitiger Betrachtung mehrerer Abelscher Integrale, die zu derselben algebraischen Gleichung f{x₎ y) — 0 gehören, der Begriff eines primitiven Systems simultaner Perioden festgestellt.

Die Abelschen Integrale zerfallen, wie die elliptischen, in Integrale dreier Arten, welche sich durch die verschiedene Weise, wie sie unendlich werden, unterscheiden.

Jeder irreductiblen algebraischen Gleichung f(x: y) = 0 kommt eine gewisse charakteristische Zahl q zu, die ganz und positiv oder Null ist, und die wir den Bang des durch die Gleichung definirten algebraischen Gebildes nennen. Wir werden sehen, wie sich diese Zahl q aus den Eigenschaften des Gebildes berechnen lässt. Für jedes algebraische Gebilde ist nun der Rang identisch mit der Anzahl der ihm zugehörigen von einander linear unabhängigen Integrale erster Art

und diese besitzen ein primitives System von 2q simultanen Perioden

• • 2(1)'

aQ

Die Eigenschaften der Abelschen Integrale bieten also eine vollkommene Analogie zu denen der elliptischen Integrale, und in der That sind ja die letzteren unter den ersteren als Specialfall enthalten. Wir müssen, um zu den elliptischen Integralen zu gelangen, das zu Grunde liegende algebraische Gebilde durch die Gleichung

2o>

²<°«>

0 = 1,2,...*).

y* — R(x) — 0

definiren und dabei unter R(x) eine ganze rationale Function dritten oder vierten Grades von x verstehen; die vorher als Rang des Gebildes definirte Zahl q wird dann gleich 1. Ist dagegen R(x) eine ganze rationale Function höheren als vierten Grades, so nennen wir die aus der Gleichung

if — R (x) — 0

hervorgehenden Abelschen Integrale speciell hyper elliptische Integrale. Damit der Rang des hyperelliptischen Gebildes y²—R(x) = 0 gleich einer bestimmten Zahl q ist, muss die ganze rationale Function R(x) ohne gleiche Linearfactoren und vom (2^» +1 )ten oder (2p + 2)ten Grade angenommen werden.

In der Theorie der elliptischen Integrale ist das Euler sehe Theorem von hervorragender Wichtigkeit, besonders weil wir von ihm ausgehend zu einer vollständigen Theorie der elliptischen Functionen gelangen können. Das Theorem sagt aus, dass die Summe zweier elliptischer Integrale erster Art durch ein einziges Integral derselben Art, dessen obere Grenze algebraisch von den oberen Grenzen der beiden gegebenen Integrale abhängt, dargestellt werden kann. Wird zwischen x und y die algebraische Gleichung

y² = (1 — x²)(l — Foc²)

angenommen, und sind {%tyJ und (x₂y₂) zwei beliebige durch diese Gleichung verbundene Werthepaare, so besteht die Integralgleichung

WO

f(æiî/i) ßx ri^Vi) dx

/ ~T ⁺J

•'(oi)    '    >1)

wobei in dem Werthepaar (x'y') sowohl x wie y eine rationale Function von æ ,    x₂, y₂ ist, und zwar ergiebt sich x mittels der Gleichung

_ xt y₂ + xi yt '

1-Vx\x\ ’

umgekehrt sind auch xt und yt durch x\ y\ x₂, y₂ rational darstellbar. Bestimmen wir nun aus der Differentialgleichung

du =

Vi

xi als Function von u mit den Nebenbedingungen, dass xi für u — 0 verschwinden und die erste Ableitung ~ für u = 0 den Werth +1 erhalten soll, so folgt aus dem Eulerschen Theorem, dass diese Function, die mit cp(u) bezeichnet werden möge, für je zwei beliebige, dem absoluten Betrage nach hinreichend kleine Argumente u und v der Functionalgleichung

y(u-\-v) =

<p(u) <p'(v) + <p(v)<p '(u)

l — k²<0*(u) <p²(v)

genügt. Die Function cp(u) besitzt also ein algebraisches Additionstheorem. Mit Hülfe desselben können wir nachweisen, dass cp(u) für alle endlichen Argumente u eine eindeutig definirte Function mit dem Charakter einer rationalen Function ist und können hiervon ausgehend zu einer vollständigen Theorie der elliptischen Functionen gelangen.

Das Eulersche Theorem lässt sich nun unmittelbar auf die Summe beliebig vieler elliptischer Integrale erster Art ausdehnen. Es ist

r(xiVi) dx r{xiVi) dx

\<hh) y J(gM y

r(xrVr) dx r

'(./JrK) y    Ąc

{X’y') dx

W)

wobei    (x₂y₂), ... {xtyr\    (£,&,), ... (gr\) und (gh') beliebige Werthe-

paare des elliptischen Gebildes darstellen und x und y rational aus den Grössen y₁, ... g\ h' zusammengesetzt sind. In dieser Form hat nun das Iheorem durch Abel eine Erweiterung zunächst für hyperelliptische Integrale gefunden. Bedeutet R(x) eine ganze rationale Function von x vom Grade

2p + l oder 2p+ 2, ist also der Bang des hyperelliptischen Gebildes y²—R(x) — 0 gleich p, so

können die Integrale

X?-¹

dx

(ß — 1> 2,... p)

als die q Integrale erster Art betrachtet werden, und es bestehen nach dem Abelschen Theorem für die hyperelliptischen Integrale erster Art die q Integralgleichungen

x

(9M y

dx —

dx

(p^aVa') xß ¹

(g'aK) y

In diesen bedeutet r eine beliebige ganze positive Zahl; die in den oberen und unteren Grenzen der Integrale auf den linken Seiten und die in den unteren Grenzen der Integrale auf den rechten Seiten auftretenden Werthe-paare (ooxyx), {fjx hx) und (g'a h'u) können willkürlich angenommen werden, während die in den oberen Grenzen der q Integrale rechts vorkommenden Grössen x'a und y'a rational von den Wurzeln einer Gleichung pten Grades ab-hängen, deren Coefficienten rational aus den gegebenen Grössen xxy yx) gx, h., g'a, h’a zusammengesetzt sind. Die Integrationswege sind sämmtlich bis auf einen beliebig, müssen aber in den q Gleichungen, welche das vorstehende System bilden, übereinstimmend gewählt werden.

Jacobi erkannte nun, wie aus diesem Abelschen Theorem die Existenz von periodischen Functionen mehrerer Veränderlichen, die ein algebraisches Additionstheorem besitzen, hervorgeht, indem er ähnlich verfuhr, wie dies vorher für die elliptischen Functionen angedeutet worden ist.

Aus dem System von q Differentialgleichungen

dxa

(ß=i,2

= 2 -J-

mit der Nebenbedingung, dass für ut = 0, u₂ = 0, ... u = 0 das Werthepaar ipoaya) in das Werthepaar (aaba) übergeht, wobei (a^J, (a₂&₂), ... (a 6 ) sämmtlich unter einander verschieden sein sollen, lassen sich für alle Werthe «j,»,,...«, die dem absoluten Betrage nach hinreichend klein sind, die Grössen xx, x₂, ... xç als Potenzreihen:

darstellen. Bezeichnen wir dann mit (vlt v₂,... v ) ein beliebiges anderes System von Werthen der Argumente, welches jedoch so gewählt werden muss, dass es selbst, sowie das System    , u₂ + v₂, ... uq + v^) innerhalb des Convergenz-

bereichs der Reihen cp^, ... uq), cpa(ut, u₂,...uq), ... cpç(^, u₂,... uQ) liegt,

so bestehen, wenn

= K,

?«K + V1 , «2 +    Wç + t7ç) = x"a

gesetzt wird, die p Gleichungen

(««&«) y

(p'ay'u) xm («<A)

(ß = 1,2,... q).

Mithin folgt nach dem Abelschen Theorem, dass die Functionswerthe x" algebraische Functionen von xt,x 9cXuii uii •• • UQ) haben demnach die Eigenschaft, dass ihre Werthe für das zusammengesetzte Argumentensystem (^ + t\, u₂ + va, ... w + ® ) sich algebraisch aus den Werthen für die einfachen Argumente ulf u₂, ... und vt,va, ... v berechnen lassen, d. h. die Functionenelemente <pa(ut, ua1... u ) besitzen ein algebraisches Additionstheorem.

Schreiben wir die zwischen den Werthepaaren (xa y^) und den Veränderlichen bestehenden Differentialgleichungen als Integralgleichungen in der Form

<? riXa Va) xP⁻¹

Uß = H

a==lJ(<*M

so ergiebt sich aus den vorhergehenden Erörterungen über die Perioden der Integrale erster Art noch eine weitere wichtige Eigenschaft der Functionenelemente cpa(ut,u₂,... UQ). disch, dass sie ihrem Werthe nach ungeändert bleiben, wenn die Argumente ... u gleichzeitig um die Grössen

²⁽°iß, 2 o>₂^, . . .

•• ²^ß

oder die Grössen

vermehrt werden.

dx =

(sca y a )    i

(«.».) y

dx

.. x^ und x', x',... x’ sind. Die p Potenzreihen

—-dx,

y

Sie sind nämlich in dem Sinne 2p-fach perio-

2 oil

iß,

iß , •

(ß = 1,2,...Q)

Es zeigt sich nun unmittelbar, dass die durch die Functionenelemente

• • • UQ) definirten analytischen Functionen bei weiterer Ausdehnung ihres Gültigkeitsbereichs nicht eindeutig bleiben, dass wir aber eindeutige Functionen erhalten, wenn wir aus

den p Werthepaaren (xt yj, (x₂y₂),... (x^yQ) rationale symmetrische Ausdrücke bilden und diese mit Hülfe der p Differentialgleichungen

dup = 2

? x?-¹

a=z i

ya

iß = 1,2

als Functionen von ut1 ut1 ... u darstellen. Das algebraische Additionstheorem und die Periodicität bleibt auch für diese eindeutigen Functionen von p Veränderlichen erhalten. In ihrer wirklichen Darstellung besteht die Lösung des im Vorhergehenden charakterisirten sogenannten Jacobischen Umkehrungsproblems.

Nachdem Jacobi dieses Problem gestellt hatte, gelang es zuerst Rosen -hain, im Falle zweier Variabein analytische Ausdrücke für jene eindeutigen Functionen aufzustellen. Es war ihm geglückt, die elliptischen Thetafunctionen für zwei Veränderliche richtig zu verallgemeinern und den Zusammenhang dieser verallgemeinerten Thetafunctionen mit dem Jacobischen Umkehrungsproblem zu entdecken. Fast gleichzeitig löste Göpel das Problem in ähnlicher Weise, aber ebenfalls nur für den Fall zweier Veränderlichen.

Bevor jedoch die Arbeiten Rosenhain’s und Göpel’s bekannt wurden, hatte jauch ich das Problem in Angriff genommen. Wie wir sahen, ist jede rationale symmetrische Function der p Werthepaare fayj, (x₂yt), ... (#„;?/„), wenn zwischen diesen und den p Variabein ut1ua1 ... die p vorher aufgestellten Differentialgleichungen bestehen, eine eindeutige Function der Ver

Doch kann der Fall eintreten, dass auch eine alge

änderlichen u₂₎ ... « , und jede solche Function nennen wir eine Abel-sche Function.

braische symmetrische Function dieser p Werthepaare    (x₂y₂), ... (a? y )

eine eindeutige Function von ut, w#, ... u ist, und auch dann wird eine solche Function eine Abelsche Function genannt. Es gelang mir nun, die Abelschen Functionen als Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen darzustellen. Die Zähler und Nenner sind ganze rationale Functionen von Thetafunctionen von p Veränderlichen, und so wurde ich zu den Thetafunctionen beliebig vieler Veränderlichen geführt, deren Form mir vorher unbekannt war.

Abel hat jedoch den Satz, welchen wir oben als Abelsches Theorem be-zeichneten, auf die Integrale der aus einer beliebigen algebraischen Irrationalität entspringenden algebraischen Functionen ausgedehnt. Auch an diese Erweiterung des Abelschen Theorems knüpft sich ein Umkehrungsproblem an, und es entstand wieder die Aufgabe, in diesem allgemeineren Fall symmetrische Functionen der p Werthepaare (%aya) als eindeutige Functionen von p Veränderlichen u₂, ... u darzustellen.

Eine directe Lösung dieses Problems habe ich bereits im Sommer 1857

Abelsche Functionen.

in einer ausführlichen Abhandlung der Berliner Akademie vorgelegt. Das schon der Druckerei übergebene Manuscript wurde aber von mir wieder zu-zückgezogen, weil wenige Wochen später Riemann eine Arbeit über dasselbe Problem veröffentlichte, welche auf ganz anderen Grundlagen als die meinige beruhte und nicht ohne Weiteres erkennen liess, dass sie in ihren Resultaten mit der meinigen vollständig übereinstimme. Der Nachweis hierfür erforderte einige Untersuchungen hauptsächlich algebraischer Natur, deren Durchführung mir nicht ganz leicht wurde und viel Zeit in Anspruch nahm. Nachdem aber diese Schwierigkeit beseitigt war, schien mir eine durchgreifende Umarbeitung meiner Abhandlung erforderlich. Andere Arbeiten, sowie Gründe, deren Besprechung gegenwärtig nicht mehr von Interesse ist, bewirkten dann, dass ich erst gegen Ende des Jahres 1869 der Lösung des allgemeinen Umkehrungsproblems diejenige Form geben konnte, in der ich sie von da an in meinen Vorlesungen vorgetragen habe.

Die Schwierigkeiten, denen man in der Theorie der Abelschen Tran-scendenten begegnet ist, rühren theilweise daher, dass man sofort auf die Theorie der Integrale einging, ohne zu bedenken, dass man die Eigenschaften der zu integrirenden algebraischen Functionen noch nicht genügend erforscht hatte. Bei den hyperelliptischen Integralen liess sich das Meiste mittels wirklicher Durchführung der Rechnung erledigen, bei beliebigen Abelschen Integralen ist dies jedoch unmöglich. Es muss daher der Theorie der Abelschen Integrale eine ausführliche Untersuchung der algebraischen Functionen vorangeschickt werden.

ERSTER ABSCHNITT.

ALGEBRAISCHE GRUNDLAGE DER THEORIE.

i

j

/

/

Erstes Kapitel.

Das algebraische Gebilde.

Wird zwischen zwei veränderlichen Grössen x und y irgend eine algebraische Gleichung f{x, y) — 0 angenommen, so möge die Gesammtheit der dieselbebefriedigenden Werthepaare (xy) das durch die Gleichung definirte algebraische Gebilde, jedes einzelne Werthepaar {xy) aber eine Stelle oder ein Punkt dieses Gebildes genannt werden. Man kann dabei immer voraussetzen, dass f{x, y) eine ganze rationale Function von x und y sei. Ist dieselbe unzerlegbar, d. h. nicht als Product zweier ganzen Functionen von x und y darstellbar, deren Coefficienten rational aus den Coefficienten von f{x, y) zusammengesetzt sind, so nennt man die Gleichung f{x, y) = 0 irreductibel und das durch dieselbe definirte Gebilde ein monogenes. Anderenfalls lässt sich f{x,y) immer als Product mehrerer unzerlegbaren ganzen Functionen von x und y darstellen. Man kann daher sich darauf beschränken, ausschliesslich monogene Gebilde in Betracht zu ziehen, wie im Folgenden immer geschehen soll, wenn nicht ausdrücklich etwas Anderes festgesetzt wird.

Den im Endlichen gelegenen Stellen des algebraischen Gebildes müssen noch, damit es ein in sich abgeschlossenes werde, eine endliche Anzahl unendlich ferner Stellen, d. h. solcher Stellen {xy), für welche die Grössen x und y nicht beide endliche Werthe haben, adjungirt werden. Auf diese unendlich fernen Stellen des Gebildes werden wir später zurückkommen.

Zunächst handelt es sich nun um folgende Aufgabe. Es sollen, wenn {ab) irgend eine bestimmte im Endlichen gelegene Stelle eines gegebenen Gebildes ist, alle diejenigen Stellen {xy) des letzteren bestimmt werden, für welche die absoluten Beträge der beiden Differenzen x—a und y — b eine gewisse

Grenze, die beliebig klein angenommen werden kann, nicht überschreiten. Man kann dies auch kürzer so ausdrücken, es sind alle Stellen des Gebildes darzustellen, welche der gegebenen Stelle (ab) unendlich nahe liegen oder die Umgebung dieser Stelle bilden.

Bezeichnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung der ganzen rationalen Function f(x,y) mit f(x, y)l und f(x,y)₂, diejenigen zweiter Ordnung mit f(x,y)n, f(x,y)₁₂, f(x,y\₂ u. s. f., so ist

f(x, y) = f(a, b\ (x-a) + f(a, b\ (*/-&) + j f(a, b)n (x -a)² + f(a, b)₁₂ (x-a)(y — b)

+ T ftM)» (y “&)* + ■•••

Es beginnt daher die Entwickelung von f(x, y) blos für solche Stellen (ab)

mit Gliedern zweiter oder höherer Ordnung von x—a und y — b, für welche gleichzeitig

f(a,b)₁ = 0,    f(a,b)₂ = 0

ist. Diese singulären Stellen des Gebildes, welche aber stets nur in endlicher Anzahl vorhanden sein können, schliessen wir vorläufig von der Betrachtung aus.

Um nicht verschiedene Fälle unterscheiden zu müssen, wenn eine der beiden Grössen f(a₎b)l oder f(a,b)₂ gleich Null ist, führen wir statt x und y zwei neue Veränderliche s und t durch die linearen Gleichungen

ß(y-b)

5 = f(a,b)l(x-a)+f(a,b)₂(y-b), ^(x — a)-^

ein, in denen die Constanten a und ß nur der Bedingung unterworfen werden sollen, dass die Determinante

ßf(a, b)₁ — af(a, b).

den Werth 1 hat. die Form

Durch diese Substitution nimmt die Gleichung f(x₇y) — 0

5 + (s ) Oa + (s i O3 + ’ • ' — b

f(x>y) = fo(x)yn+fl(x)yn~1 + --- + fn(x)

j f(x, y) = 0

C'F(xy, a'V) + ••• + C^F(xy, cWb<0)

H(xtyt,x^yx)-£- + j~^ = P(t,x)

S H(xy) = 2

(A = 1, 2, ...).

*, = c;°cv°, y, = c^r^ji+żąto!

?(U). =

xt = %+t^t), yt = r1

(c0+ci xt + c2 yt)

j = Rt(ä;A,R,C,-

V + ÜKë-r);

&i = g(al\a0bQ)>

(« = 1, 2,... q)

(x-ty

Fig. 3.

y0)

(« = 1, 2,... q)

Fig. 16.

jH(Xy,xV)&

^OcA;^i y,, xoVo) = °-

ioÆ#-g'log#^

(KvD nnd (#A) abhängen.

[«(*)]

Vy Ojy 4- Cy l{xi &,) 4" ‘ ‘ ‘ 4- ('xn(>Xn ^n) F

2(0,, 2o>2, ... 2<ÜQ

(2*h, ••• )

ya = #«(**).

2^, ... 2t]?)

0(1*, +2®;,, ...t^+2»;,) = 0(Ml,...Wç).ett

. ,„-4

= 1,2,.. .Q)

«, ... wç)

My[)

0(w„ ... uQ; n,p')

⁵ + (s ) Oa + (s i O3 + ’ • ' — b

an

wobei (s, t) eine ganze homogene Function jtter Dimension von s und t bedeutet. Die Aufgabe, alle Stellen (xy) darzustellen, welche in der Umgebung der beliebigen im Endlichen gelegenen, nicht singulären Stelle (ab) des Gebildes f(x,y) = 0 liegen, reducirt sich demnach auf die Darstellung aller Stellen (st), die der Umgebung der Stelle (0,0) des aus f(x,y) = 0 durch

Transformation hervorgegangenen algebraischen Gebildes

s + (⁵> 0a + (S, t)₃Ą = 0

angehören.

Es lässt sich nun eine für t = 0 verschwindende Potenzreihe $ß(0 so bestimmen, dass für alle Werthe von s und t, deren absoluter Betrag unterhalb einer gewissen Grenze angenommen wird, die Werthepaare (st), welche die vorstehende Gleichung befriedigen, mit denen identisch sind, die sich aus der Gleichung ergeben. Der Beweis für diese Behauptung kann meiner Abhandlung »Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze«¹) entnommen werden.

Löst man nun die obigen linearen Gleichungen

ß(y-b)

5 = f(a, b\(x-a) + f(a, b\(y-b), u(x — a) +

nach x und y auf und substituirt s = ¹)3(0, so möge man

x = y = W)

erhalten. Hierbei stellen cp(£) und fy(t) zwei nach ganzen positiven Potenzen von t fortschreitende Reihen dar, welche die Form

<P(0 = a-f(a,b)at + •••,

’KO = b + f(a, b)₁tĄ—

haben und convergiren, sobald der absolute Betrag von t eine bestimmte Grösse nicht überschreitet. In Folge der über die Stelle (ab) gemachten Voraussetzung können also die Glieder erster Ordnung in cp(£) und <[»($) nicht gleichzeitig fortfallen. Die Veränderliche t ist eine rationale Function von x und y, und es gehören daher zu zwei verschiedenen Werthen von t zwei verschiedene Werthepaare (xy), und umgekehrt entsprechen auch zwei verschiedenen Werthe-paaren (xy) zwei verschiedene Werthe von t.

Demnach ergiebt sich der Satz: Es lässt sich der absolute Betrag von t so beschränken, dass alle Werthepaare (xy), welche die Gleichung f(x,y) — 0 befriedigen und für welche die absoluten Beträge von x — a und y—b hinreichend klein sind, mit den Werthepaaren, die sich aus den Gleichungen

» = ?(0» y =

ergeben, übereinstimmen. Dabei kann man stets bewirken, dass jedem Werthe-paare (xy) nur ein Werth von t entspricht und umgekehrt. Wir können dieses Resultat auch so ausdrücken: Für hinreichend kleine Werthe von |ć| liefert das Functionenpaar x = <p(t), y — c|/(£) alle Stellen {xy), die dem algebraischen Gebilde angehören und in der Umgebung der Stelle (ab) liegen.

Die Gesammtheit der auf diese Weise bestimmten Werthepaare (cp(t), nennen wir ein Element des durch die Gleichung f(x,y) — 0 definirten algebraischen Gebildes und das zu dem Werthe t — 0 gehörende Werthepaar (ab) den Mittelpunkt dieses Elements. Zur Darstellung aller der Umgebung einer nicht singulären Stelle angehörigen Werthepaare des algebraischen Gebildes ist also nur ein Element erforderlich.

Zwei Elemente des Gebildes mögen äquivalent heissen, wenn sie denselben Mittelpunkt haben und in einer bestimmten Umgebung desselben jede Stelle des einen auch eine Stelle des anderen ist.

Welches ist nun die Bedingung für die Äquivalenz zweier Elemente des

Gebildes ?

Ein Element des Gebildes f(x,y) = 0 mit dem Mittelpunkt (ab) werde durch das Functionenpaar

x = ?(0» y = W)

dargestellt, und es werde für t eine Potenzreihe von x der Form

t — c, T c₂ t² -f- • • •

substituirt, in welcher der Coefficient cx von Null verschieden ist und welche für Werthe

von X, die dem absoluten Betrage nach hinlänglich klein sind, convergirt. Geht hierdurch <p(t) in <pl (x), in ^ (x) über, so wollen wir zeigen, dass das Functionenpaar

ein Element des Gebildes liefert, welches dem vorher betrachteten Elemente äquivalent ist.

Denn da für Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach hinlänglich klein sind, auch der absolute Betrag von t beliebig klein ist, so stellt für jeden solchen Werth von x das Functionenpaar x = cp,(x), y = ^(x) nur Werthe-paare (xy) dar, die der Gleichung f(x,y) — 0 genügen und in der Umgebung der Stelle (ab) liegen. Da ferner nach den Sätzen der vorher angeführten Abhandlung zu jedem unendlich kleinen Werthe von t stets ein einziger unendlich kleiner Werth von x gehört, so bekommen wir für zwei verschiedene dem absoluten Betrage nach hinlänglich kleine Werthe von x zwei verschiedene Werthe von f, mithin auch zwei verschiedene Werthepaare (xy). Endlicli erhalten wir mittels des Functionenpaares x = cp^x), y = ^(x) auch alle in der Umgebung von (ab) gelegenen Stellen (xy) des Gebildes und jede nur einmal. Denn zu jeder solchen Stelle (xy) gehört ein einziger Werth von t, mithin auch von x. Das Functionenpaar x = cp^x), y — óx(x) stellt also ein Element des Gebildes mit dem Mittelpunkt (ab) dar, welches dem ursprünglichen Elemente äquivalent ist. Diese beiden Elemente decken sich in der Umgebung der Stelle (ab), sie brauchen aber nicht dieselbe Ausdehnung zu haben.

Wenn umgekehrt die beiden Functionenpaare

x = ?(*)> y =

und zwei äquivalente Elemente des Gebildes mit dem Mittelpunkte (ab) darstellen, so muss das zweite Functionenpaar aus dem ersten durch eine Substitution

t — c₁x -f- c₂~² + • • •

hervorgehen, wobei die Potenzreihe rechts für hinlänglich kleine Werthe von J x j convergirt und der Coefficient ct nicht verschwindet. Es sei nämlich

so

folgt hieraus, wenn wir annehmen, dass der Coefficient a' von Null

Abelsche Functionen.

u — 111 + —^r t + • • • I — 111 +1 I )

wo *ß(£) eine nach ganzen positiven Potenzen von t fortschreitende Reihe darstellt. Die gleiche Bedeutung soll das Functionszeichen überall im Folgenden haben, auch wenn es zur Unterscheidung mehrerer verschiedener Potenzreihen mit einem unteren oder oberen Index versehen ist.

Aus der Entwickelung von u nach Potenzen von t ergiebt sich umgekehrt auch für t eine Reihe der Form

Zu jedem von a verschiedenen Werthe von x, für welchen der absolute Betrag von x — a hinreichend klein ist, gehören y verschiedene Werthe der Wurzelgrösse u und demnach der Grösse £, mithin zu Folge der Gleichung y — auch y verschiedene Werthe von y, für welche \y — b\ unterhalb einer beliebig kleinen Grösse liegt. Denn wären die y, Werthe von y nicht sämmt-lich verschieden, so würden in der Umgebung von (ab) solche Stellen (xy) existiren, welche durch das Functionenpaar x — cp(£), y = ty(t) für zwei verschiedene Werthe von t dargestellt werden.

Ist ferner

x — (p₁(r) = a -f a[ r"¹ + a" r'¹⁺¹ H----,

wobei a[ nicht Null sein soll

so folgt entsprechend dem Vorhergehenden

und

t = ■y + x'V-l----,

gleich v setzen.

Das

verschieden ist, und einen beliebigen der y Werthe von f-setzen,

-d \,tl

a'

gleich u

wenn wir einen beliebigen der yt Werthe von Functionenpaar x = <px(t), y — <jq(x) liefert mithin zu jedem von a verschiedenen Werthe von x, für den \x — a | hinreichend klein ist, yt verschiedene Werthe von y: für welche \y — b\ beliebig klein ist.

Da nun in einer bestimmten Umgebung des Mittelpunkts (ab) der beiden äquivalenten Elemente jede Stelle des einen Elements auch eine Stelle des

anderen sein muss, so ist nothwendig

^ — /V

a'

Demnach ergiebt sich bei passender Bestimmung des Werthes von

°'i \ u

-4- v

es wird also

t = cx T + c₂1² + • • •,

wobei der Coefficient ci nicht verschwindet.

Das algebraische Gebilde kann aber auch singuläre Stellen, d. h. solche Stellen (ab), für welche gleichzeitig

f(a,b)₁ = 0, f(a,b\ = 0

ist, enthalten. Wir wollen jetzt zu deren Betrachtung übergehen und zeigen, dass zur Darstellung aller in der Umgebung einer singulären Stelle gelegenen Werthepaare (xy) nicht immer ein einziges Functionenpaar x — cp(£), y = ausreicht, sondern dass hierzu mehrere, stets aber eine endliche Anzahl, Functionenpaare erforderlich sein können. Eine singuläre Stelle kann daher gleichzeitig in mehreren verschiedenen, einander nicht äquivalenten Elementen des Gebildes liegen.

Es sei (ab) irgend eine singuläre Stelle des algebraischen Gebildes f(x,y) = 0, so gehe durch die Substitution

Æ = a+ |, y — b + ri

die ganze rationale Function f(x,y) in fo(£, 7]) über, und es sei nach homogenen Functionen geordnet

/o(£) ri)    ) ri)fiF (§> y)u+i

Dann

wo (I, 7j) die erste nicht identisch verschwindende Function bezeichnet, muss

u > 2

sein. Um uns kurz ausdrücken zu können, werden wir eine ganze rationale Function oder eine algebraische Gleichung von der yten Ordnung in Bezug auf die Stelle (0,0) nennen, wenn sie nach homogenen Functionen steigender Dimensionen geordnet mit Gliedern yter Dimension, die nicht sämmtlich identisch verschwinden, beginnt. Hiernach können wir sagen, es muss eine ganze rationale Function wenigstens von der zweiten Ordnung sein.

foforl)

In Linearfactoren zerlegt sei die homogene Function niedrigster Dimension

hierbei ist

und C, /7, g\ h\ ... g{v), Kv‘ bezeichnen constante Grössen, deren erste vorläufig

unbestimmt bleibt, jedoch nicht Null sein kann. Von den übrigen Constan-ten sind nur die

</

v    y

h’ IV i

q{v)    b    #

bestimmt; wir nehmen an, dass

’ h' » ' "

sämmtlich unter einander verschieden sind und

• die Quotienten

dass in keinem der Brüche Zähler und Nenner einen gemeinsamen Theiler haben.

h(V‘

Nachdem nun zwei Constanten a und ß beliebig, doch so angenommen worden sind, dass die Grösse

(«> ß\u

nicht verschwindet, mögen g, /?-, g\ h\ ... g(v\ hw selbst dadurch bestimmt werden, dass die Gleichungen

g:/) ß — h’M a = 1

(x = o, l,... v)

Dann

stattfinden, wobei gm und hm durch g und h ersetzt werden müssen, ist aus dem Ansatz für (£, vj) auch die Constante C bestimmt.

Führen wir durch die Substitution

5 = G + «>h)« rl = (Ä + ^i)Si

die neuen Variabein und 7]l ein, so wird

(M)u = îl (ß + ar,l, h + ßhl)a

und

G + Ä + /3r;i)u = Cr^ jg’h - Kg + ifc |ft • • • \₉wh - K»g + rh j

Jede der übrigen homogenen Functionen (|, yj)u+1, (|, yj) , .. hält nach Einführung der neuen Veränderlichen ^ und yj ebenfalls den Fac

. ent-

Demnach verwandelt sich durch jene Substitution (£,vj) in das Product von 7}f° und einer ganzen rationalen Function von 7]1? die für rj = 0 nicht verschwindet.

WO

/i(£i»rh) = (g + “Til, h + ßril\l +    + arlt, h + ßrll\l+1 +

von

eine ganze rationale Function von nicht höherer als der Ordnung jgp ist. Denn das Anfangsglied von {g + h + ßrh)^ ist das Product einer (konstanten mit 7]^°, und es kann sich nicht fortheben, da alle übrigen Glieder 7jx) den Factor g₂ oder höhere Potenzen von tj₁ enthalten.

Genau ebenso, wie mit Hülfe des Linearfactors grt — hè, die transformirte Function (^x, rh) hergestellt wurde, lässt sich mit Hülfe der übrigen Linear-factoren der Function (|,vj)

eine Reihe transformirter Functionen

bilden. Es soll nun gezeigt werden, dass die unendlich kleinen Werthepaare (gïj), welche die Gleichung /^(g, vj) = 0 befriedigen, d. h. also die in der Umgebung der Stelle (0,0) des Gebildes (g, -/]) == 0 gelegenen Stellen, mit der Gesammtheit derjenigen Paare (£■/]) übereinstimmen, welche durch die Substitutionen

§ = (0+ <**!,)    £ = (g'+vrtjti,    • ••    £ = (gw+urii)%u

T] = (AM+K)6.

Ti = G + ßrh)%i)    Tj = (A'+^rh)gi;

aus denjenigen unendlich kleinen Werthepaaren (g^J erhalten werden, welche den v +1 Gleichungen

/i(L> T/x ) = 0;

= 0;

tor also wird

= lîYi(É I,rn)

/T&^x) = 0

genügen; so dass in der Umgebung der Stelle (0, 0) die Gleichung /₀(g,7]) = 0 durch den Complex dieser v +1 Gleichungen ersetzt werden kann.

Zunächst geht aus den Relationen

£ = (g + * T/,) Ix,    = (A + /3rh)|

und den entsprechenden für die Functionen    \) unmittelbar

hervor, dass jedem unendlich kleinen AVerthepaare    welches einer der

Gleichungen

=    = o, ...    = o

genügt, ein eben solches Werthepaar (£tJ entspricht, welches die Gleichung /o(^, ^ ) = 0 befriedigt. Umgekehrt braucht aber (£xtJ nicht ein unendlich kleines Werthepaar zu sein, wenn (gyj) ein solches ist.

Aus der Darstellung:

,u+l

rn) = Crh °W]l-h'g + Th • • • \gwh - J/Mg + rh    + ^0 + ara, h + /DJ

ergiebt sich, dass /JO, tJ in Bezug auf 7]l von der Ordnung fto ist; durch die Gleichung /JŹJ tJ = 0 werden daher nach den Sätzen der vorher citirten Abhandlung zu jedem unendlich kleinen Werthe von g    unendlich kleine

AAerthe von 7ji bestimmt. Berechnet man nun mittels der Gleichungen

I = O + arJg,, rt = (Ä + /DJI,

zu diesen go AVerthepaaren (iJ/J die go zugehörigen AVerthepaare (|yj), so erhält man zu jedem unendlich kleinen Wrerthe von gx go verschiedene zugehörige unendlich kleine AVerthepaare (£t]). Entsprechendes gilt für jede der aus den übrigen Linearfactoren von    durch Transformation abgeleiteten

Gleichungen f"(i„ -/],) = 0, ... yjJ = 0.

Je zwei verschiedene der Gleichungen , rj rii) ^ 0 liefern aber zu einem unendlich kleinen AVerthe von schiedene unendlich kleine AVerthepaare (£"/]), denn für die hervorgehenden AVerthepaare (|yj) wird der Grenzwerth gleich ~ und die Grössen ~^

ver

ra, ‘'h) = ⁰

j für = 0

aus von

sind sämmtlich unter einander schieden. Dabei ist die Gleichung /^(Ij vj == 0 durch /, (|J vj == 0 zu er-Zu jedem unendlich kleinen Wierthe von ^ bestimmt daher die Ge-sammtheit dieser transformirten Gleichungen f*₀ +    + • • • + gv = ^ verschiedene

unendlich kleine AATrthepaare (IJ, welche der Gleichung f₀i^tri) — 0 genügen.

wie viel unendlich kleine AVerthepaare ^h- welche ß^ — arj einen gegebenen unendlich kleinen AVerth ^ hat, die Gleichung

setzen.

Andererseits werde untersucht

¥v)

g'V)

ver-

/oOb J = (|, Ja + (£, Ju+1 H = 0

liefert. Es gehe durch die Substitution

— ß'% + a'f] = Tr]', in welcher die Grössen a und ß' nur der Bedingung

ßu'—aß' — 1

unterworfen sind, die Function f\(g, 7] ) in F₀(%t,r{) über. Aus dieser Substitution folgt umgekehrt

a'li + ur{ = g, ß'g,+ /D/ = rt,

mithin wird

u+X

FMnri) = («'Ij + aV» ß'^ + ßr/)^(a'^ + aV» ß'g^ßr/)

woraus

^o(°üV) = («bßV'f'G («, /3),u₊r^',u+1+ •••

hervorgeht. Da nun «

und ß so gewählt sind, dass die Grösse («, ß) niclit verschwindet, so ergeben sich aus der Gleichung F₀{ß,^ yj') = 0 zu jedem unendlich kleinen Werthe von ^ ^ verschiedene unendlich kleine Werthe von 7]', mithin auch aus der Gleichung /'(g,>^)=0 fi verschiedene unendlich kleine Werthepaare (g7]), für welche ß^ — crq = gi ist.

Für die g Werthepaare (gTj), die sich in der vorher angegebenen Weise zu einem unendlich kleinen Werthe von g, aus den v +1 transformirten Gleichungen ~ Û (x = 0, 1, ... v) berechnen lassen, ist stets /3g —«tj = gi? sic genügen der Gleichung /^(g, tj) — 0, ihre Anzahl stimmt mit der Anzahl der Werthepaare, die sich direct aus dieser Gleichung ergeben und für welche ß£ — crrj = g, ist, überein, und sie sind, wie diese, falls gi nicht gleich Null ist, unter einander verschieden ; mithin sind die aus den v +1 transformirten Gleichungen berechneten unendlich kleinen Werthepaare (gvj) mit den direct aus der Gleichung /'(g, tj) = 0 berechneten identisch.

Die Summe der Ordnungszahlen dieser v +1 transformirten Gleichungen ist nicht grösser als die Ordnungszahl der ursprünglichen Gleichung /₀(g,7]) = 0, denn g1? TQt) = 0 ist höchstens von der Ordnung gy.

Für jede der Gleichungen /^(g^ \) = 0, die von der ersten Ordnung ist, können wir nun, wie wir vorher gesehen haben, ein Functionenpaar g, = <p(£), 7], = <{;(£) finden, welches alle unendlich kleinen Stellen (1,7],) des algebraischen Gebildes /^(g,, t],) —0 liefert.

Eine transformirte Gleichung    7]t) = 0 aber, welche nicht von der

ersten Ordnung ist, behandeln wir in ähnlicher Weise weiter, wie vorher die Gleichung /^(g, tj) = 0. Es sei z. B. nach homogenen Eunctionen geordnet

ril) (^X! r/l)u'+ (^X> 'ilV+l'l

und hierin g >2, so werde wieder (il5 r^, in Linearfactoren zerlegt, und zwar sei

Setzen wir dann analog dem Früheren êi = Gx + air/₂)l

so

folge

fSv ril) = &f₂(Ź2,rl₂)-

Verfahren wir entsprechend mit den anderen Linearfactoren von    - und

sodann ebenso mit den übrigen transformirten Gleichungen

ni)(^rll) = o, ... ni^) = o,

Jede

so erhalten wir aus jeder der Gleichungen /’“’(g , yj ) = 0 (x = 0, 1, ... v) so viel transformirte Gleichungen /’₂U)ft₂, \) = 0, wie die homogene Function niedrigster Dimension in /’₁W)(|i, y]J verschiedene Linearfactoren hat. Gleichung /’i(y)(|i,    = 0, die nicht von der ersten Ordnung ist, wird also

durch eine gewisse Anzahl anderer Gleichungen    = 0 ersetzt, und

ist eine der letzteren nicht von der ersten Ordnung, so transformiren wir sie weiter.

Es ist nun der Nachweis wesentlich

dass das angegebene Verfahren zuletzt zu lauter transformirten Gleichungen erster Ordnung führen muss. Dazu genügt es zu beweisen, dass wir mit einer Gleichung fder Ordnung beginnend nach einer endlichen Anzahl Transformationen zu Gleichungen gelangen, deren Ordnungszahlen sämmtlich kleiner als ^ sind.

Die Gleichung, von der wir ausgehen, sei

/o(ê,    = (MV+Gb ?i)u+i + *-- = o, ii> 2.

Erstens enthalte (£, rt)u zwei oder mehrere verschiedene Linearfactoren, es sei also (£, 7])w nicht die fite Potenz einer linearen Function. Die Ord-

nungszahlen der transformirten Gleichungen

A(êi,== °, /ïl,(i= o, ... /Tdx,^) = o

sind dann, wie gezeigt wurde, höchstens gleich f*₀,    Da nun diese

Zahlen sämmtlich kleiner als ft sind, so gelangen wir in diesem Falle schon durch die ersten Transformationen zu lauter Gleichungen, deren Ordnungszahlen niedriger sind, als die der Gleichung /o(g, 7]) = 0.

Zweitens sei (g, tj) die ftte Potenz einer linearen Function. Der Voraussetzung nach ist jetzt wobei ft > 2 ist und g und h nicht beide gleich Null sind. Mittels der Substitution

g = (g + ur^)^, r₍ = (Ä + ^Jg,

folgt dann

und es ist

ft«!, Ix) =    + ii(5, + «⁷li^ + ^^V+i + ii(^ + «^^ + /3yJl)

die erste transformirte Gleichung. Nun werde angenommen, dass man auch bei den r —1 folgenden Transformationen jedes Mal nur eine einzige transformirte Gleichung gtüT Ordnung erhalte, und zwar möge sich aus der Gleichung Th) = ⁰ durch die Substitution

& — (9i + «i-n ,)£

die Gleichung /₂(g₂,'/}₂) =0 u. s. f., schliesslich aus der Gleichung

/r-idr-iilr-i) = ⁰

durch die Substitution

£r—i (.9r—i F ar-1 ^lr) £

rh-x = (Är-i+^r-ilr)^

die Gleichung    ?Jr) =0 ergeben. In Folge der gemachten Voraussetzung

ist ?],) von der Form

/i(l I»ra) = C'x^x^i-Äxiir+di» ¹3iUi + -”,

wo gt von Null verschieden sein muss

Abelsche Functionen.

während A auch verschwinden kann.

Demnach wird

(£2 î ^2) ⁼⁼ G 7j₂ F §2 (^1F r/2 > ^1F ßi ^2)^+1 F £2 (^1F ft, 7j₂, Ä, + ßt T/aV+îF •"

C₂(^₂7]₂    ^'2 £2) F (i₂J    F ■ • • >

und es kann hierin wieder nicht gleich Null sein. So weiter schliessend findet man, dass g^g^...gr sämmtlich von Null verschieden sind, mag die Constante g gleich Null sein oder nicht. Drückt man gr_₂, v]r_₂, ... £x, tjx, g, 73 successive durch gr und 7jf aus, so erhält man

r—2

— £»• {    9r— 2 9r—1 F * ‘ ' j

ri»—2 £rj

lx

= IrjA    • • • #»—1 "t    I

wobei die Punkte in den Klammern Glieder andenten, die wenigstens eine der beiden Yariabeln gr und 7]r als Factor enthalten.

Es werde jetzt vorausgesetzt, dass die Constante g von Null verschieden

ist.

Aus der Annahme der Irreductibilität der Gleichung f(x, y) — 0 folgt

als Functionen von tj betrachtet, keinen

unmittelbar, dass /"₀ (£, 7] ) und

dr]

die Resultante in Bezug auf tj der beiden , die mit P(£) bezeichnet werden möge, verschwindet demnach nicht identisch. Daher muss P(£) die Form

gemeinsamen Theiler haben Functionen f₀ (g, tj ) und

dt]

m) = iN^+cj+’-l

Ersetzt man hier

haben, wo c₀ von Null verschieden sein soll und A>0 ist. I durch den obigen Ausdruck in £r und yjr, so folgt

wobei die ganze rationale Function P₀(g,.,7j}.) für gr = 0, yj,. = 0 nicht verschwindet.

Die Resultante P(£) lässt sich aber noch in anderer Weise darstellen. Es mögen    und Q(£,t]) der Art als ganze rationale Functionen von g

und 7] bestimmt werden, dass

àfoiî, Ti)

= Ä(g)

wird. Führt man auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls £r und rlr statt g und tj ein, so mögen P(£, tj) und Q(£,tj) in die ganzen rationalen

Functionen P₀(gr, Yjr) und Q₀(lr, v]r) übergehen, während die Ausdrücke für

durch £r und 7jr jetzt gebildet werden sollen.

Ôï)

/o(M) und

Aus der ersten der Gleichungen

/o(i) *)) =

/i(ii)^îi) = if /id*» r<*),

/r-x(5

r—i )

Vr-i) = îrfriîr, Vr)

folgt mittels partieller Differentiation

d/Ui»⁷)) _ d/o(S>?i)

— (# + a7li) +

d/öCM)

ô/i(Ju *ll)

Ô7]

ÖTji

ö|

«ii +

öri

«3

d/Uin rii)

ÔY],

Durch Auflösung dieser Gleichungen ergiebt sich

d/i(Ś i,?!,)

dfoQS, ?]) _

öS

----(h + ßy i)

d/i(ii, ii)

Ö7il

ör.

= if ¹

Ö/iün rh)

öl:

+ (</ + h)

drh

Es sind also

d/₀(£, q) ö/;(g,T|)

ganze rationale Functionen von und tj₁ mit dem gemeinschaftlichen Factor , und zwar sind sie homogen und linear in Bezug auf

ft-i

AC ii» rh)

ÔSx

Öri!

Analog folgt, dass diese letzteren drei Functionen rational und ganz in £2 und 7ja sind, den gemeinschaftlichen Factor |f_1 haben und homogen und linear durch

f 2 (i₂ > ^2 )

öi₂

Ôï]₂

dargestellt werden können. Schliesst man so weiter und führt die erhaltenen Resultate in

/o(ê, >î),

dfo(Ź,ri)

ein, so wird

= trsr'-tr'ntrfir),

d/ó ( £ ? ri )

ÔTj

wobei die Functionen F{lr,-t\r) und G(£r, 7]r) rational und ganz in lr und rlr sind.

Function derselben Art bedeutet, in

Dadurch geht der obige Ausdruck von jR(Q

wenn

eine

m) = irir ••• sr*u. i.—wal, w •?.(«,, i,) + <hl, wqal, t,)| = sp^wl, w über. Vergleicht man diese Darstellung mit der vorher für i?(£) gefundenen:

m) =

so folgt

r(g — 1) < A.

Hierbei ist A eine bestimmte positive Zahl, deren Grösse nur von der Gleichung f(x, y) — 0 des algebraischen Gebildes und (a, b) abhängt, während ^>2 ist; eine bestimmte Grenze für die ganze positive Zahl r.

Es war vorausgesetzt worden, dass die Constante g nicht gleich Null sei;

von der singulären Stelle man erhält also durch diese Ungleichung

ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, so ist die Constante h von Null verschieden.

Dann bildet man die Resultante in Bezug auf £ der beiden Functionen /^(g, tj) und

in diesem Falle r eine bestimmte endliche Zahl nicht überschreiten kann.

3fo(i,v)

und kann ganz analog folgern, dass auch

Damit ist bewiesen, dass man stets nach einer endlichen Anzahl von Transformationen zu einer Gleichung gelangen muss, deren Glieder niedrigster Dimension entweder als Product mehrerer verschiedener Linearfactoren oder als Potenz nur eines Linearfactors mit einem Exponenten, der kleiner

als g ist, darstellbar sind, also schliesslich

Mittels der angegebenen Methode kommt man zu lauter transformirten Gleichungen erster Ordnung, deren Gesammtheit für die Umgebung der Stelle (0,0) mit der einen Gleichung ö gleichbedeutend ist.

Im Allgemeinen tritt diese Erniedrigung der Ordnung bei den successiven Transformationen sehr schnell ein. Haben z. B. in der Gleichung /o(g, ■/]) = o die beiden homogenen Functionen niedrigster Dimension (g,yj)^ und (I, tj),+1 keinen gemeinsamen Lineartheiler, so erhält man schon durch die ersten Transformationen lauter Gleichungen erster Ordnung. Denn es sei

und in Linearfactoren zerlegt

so ist unter der gemachten Voraussetzung keine der Grössen einer der Grössen

• identisch. Setzt man dann

0'

» h' ’ "

• mit

so wird

T⁵ **

I = {9+ <xrii)%i, 7i =    +

(M)

ju+l

Nun ist 4(1,7]) mension

= C^r^g'h-k'g + r^..

= C’%⁺¹ \kh-lg + (kß-la)rkJr° jVh-l'g + (Ä'0-Z'a)tÎi}v*... .

⁼    \)i demnach enthält    (|x, 7] ) das Glied erster Di-

G%{kh-lgy°{l'h-Vgy^..

(|,7j) durch Transformation

welches weder verschwinden, noch sich fortheben kann. Die Gleichung 4(1 ₁j7jl) = 0 ist also von der ersten Ordnung, und das Nämliche gilt für jede der aus den anderen Linearfactoren von hervorgehenden Gleichungen.

Durch successive Anwendung der besprochenen Transformationen erhalten wir, wenn (ab) irgend eine singuläre Stelle des durch die irréductible algebraische Gleichung f(x,y) = 0 definirten Gebildes ist, d. h. wenn f(a,b)l und f(a, è)₂ gleichzeitig verschwinden, das folgende System von algebraischen Gleichungen :

/o(M) = 0

fi (^2) rli) - 9,    . .

fiVai,ril) = 0, /₂(1,(£₂,r<2) = 0, ..

In jeder Colonne stehen diejenigen Gleichungen, welche durch Transformation aus denen der vorhergehenden Colonne entstanden sind, lonne eine Gleichung erster Ordnung auftritt, so nehmen wir dieselbe ent

Wenn in einer Co-

weder unverändert in die folgende Colonne auf, oder wir transformiren sie abermals, da sich durch eine solche Transformation ihre Ordnung nicht erhöht. Die letzte Colonne enthält lauter Gleichungen erster Ordnung und zwar höchstens y Gleichungen, wenn f₀(%, vj) = 0 von der ftten Ordnung ist. Berechnen wir zu den sämmtlichen unendlich kleinen Werthepaaren, die den Gleichungen der letzten Colonne genügen, die zugehörigen Werthe von x und y, so erhalten wir sämmtliche Werthepaare (xy), welche die Gleichung f(x, y) — 0 befriedigen und in einer gewissen Umgebung der Stelle (ab) liegen.

Ist nun fv(%vi\) ~ ^ e^ne Gleichung der letzten Colonne, also von der ersten Ordnung, so können wir nach den zu Anfang des Kapitels angestellten Betrachtungen zwei Potenzreihen cpv(£) und c|>v(£) so bestimmen, dass für hinreichend kleine Werthe von |£| die Gesammtheit der Werth epaare (rfrOO> 4\.(0) ein Element des Gebildes fv(£v, 7]v) = 0 mit dem Mittelpunkt (0,0) bildet. Nun sind x und y ganze rationale Functionen von £ und yj, diese eben solche Functionen von ^ und rjt u. s. f., also sind auch x und y rational und ganz durch und rjv darstellbar. Substituiren wir also <pv(t) und cj>v(t) für £v und so ergeben sich für x und y zwei Potenzreihen

« — ?(*)» y = W)i

welche für Werthe von t, die dem absoluten Betrage nach hinreichend klein sind, convergiren, die gegebene Gleichung f(x, y) — 0 identisch befriedigen und für t — 0 die Werthe a und b annehmen.

ver-

Wird der absolute Betrag von t hinreichend beschränkt, so liefert dieses Functionenpaar nicht nur zu zwei verschiedenen Werthen von t zwei schiedene Werthepaare (xy), sondern es gehören auch umgekehrt zu zwei verschiedenen Werthepaaren (xy) zwei verschiedene Werthe von t. Aus den Gleichungen

folgt nämlich

Ix—

ru =

ßZ — CCTi

mithin sind ^ und r{l und daher schliesslich auch und tq rational durch

I und 7j schon vorher bewiesen wurde.

also auch durch x und y darstellbar, während das Umgekehrte

Da nun, wie wir bei der Definition des Elements eines algebraischen Gebildes sahen, zu verschiedenen Werthen von t, die dem absoluten Betrage nach hinreichend klein sind dene Werthepaare    gehören und umgekehrt, so entsprechen zwei

derartigen Werthen von t auch zwei verschiedene Werthepaare {xy) und gekehrt.

verschie-

um-

Nach dem Früheren kann die Variable t als rationale Function von £ und 7]v eingeführt werden; dann folgt auch für das Functionenpaar x = cp(£), y = ł(0> welches die Umgebung der singulären Stelle {ab) darstellt, dass t rational in Bezug auf x und y ist.

Die Gesammtheit der durch das Functionenpaar x = cp(£), y — fy(t) de-finirten Stellen {xy) nennen wir wieder ein Element des algebraischen Gebildes f{x,y) = 0 und die zu dem Werthe t = 0 gehörende singuläre Stelle {ab) den Mittelpunkt dieses Elements. Ohne etwas Wesentliches zu ändern, darf man ein Element des Gebildes, auch wenn dessen Mittelpunkt eine singuläre Stelle ist, durch ein äquivalentes Element ersetzen.

Ebenso wie aus der Gleichung fv{lv, vjv) = 0 der letzten Colonne das Functionenpaar hervorgeht, mögen aus den anderen Gleichungen jener Colonne die Functionenpaare entstehen. Jedes derselben definirt ein Element des Gebildes, und diese Elemente haben sämmtlich als gemeinsamen Mittelpunkt die singuläre Stelle {ab). Aus der Bildungsweise dieser Functionenpaare ist unmittelbar klar, dass nicht zwei dieser Elemente einander äquivalent sind; sie sind vielmehr sämmtlich nothwendig, um alle Stellen {xy) des algebraischen Gebildes, welche in der Umgebung der Stelle {ab) liegen, darzustellen, und zwar erhalten wir durch jene Functionenpaare, mit Ausnahme der Stelle {ab) selbst, jede dieser Stellen {xy) nur ein einziges Mal, wenn t alle Werthe innerhalb eines gewissen den Nullpunkt umgebenden Bereichs annimmt. Enthält die letzte Colonne A Gleichungen erster Ordnung, so sind A Elemente zur Darstellung der Umgebung der Stelle (ab) erforderlich, und wir nennen diese eine A-fache Stelle des Gebildes.

um alle Werthepaare liefern. Eine singuläre Stelle kann also der Mittel-

Demnach sind wir zu dem folgenden Resultat gelangt: Im Allgemeinen lassen sich alle der Umgebung irgend einer Stelle angehörigen Werthepaare (xy) des durch die Gleichung f(x, y) = 0 definirten algebraischen Gebildes durch ein einziges Functionenpaar x = 9^), y = <]>(£) darstellen; nur für singuläre Stellen des Gebildes, die dadurch charakterisirt sind, dass für sie die beiden partiellen Ableitungen erster Ordnung f(x, y\ und f(x,y)₂ gleichzeitig verschwinden, kann der Fall ein treten, dass mehrere, stets aber eine endliche Anzahl, Functionenpaare erforderlich sind,

(xy) ihrer Umgebung zu

was

punkt mehrerer verschiedener, einander nicht äquivalenter Elemente sein, wir auch so ausdrücken, durch eine singuläre Stelle können mehrere Elemente hindurchgehen.

so

Gehört eine singuläre Stelle (ab) nur einem Element (cp(£), <]>($)) an, müssen nothwendig y(t) und <(;(£) die F'orm

y(t) = a + a't¹ + a"tx+1 + • • •,

<K0 = b+bW + VW⁺¹ + ---

haben, wo die ganzen Zahlen A und y beide >2 sind. Ist aber die singuläre Stelle (ab) der Mittelpunkt mehrerer nicht äquivalenter Elemente, halten

so er-

wir zur

Darstellung ihrer Umgebung mehrere Functionenpaare der vorstehenden Form, in denen aber A und y auch gleich 1 sein können.

Gehen durch eine singuläre Stelle mehrere Elemente hindurch, so fixiren wir stets nicht nur die Stelle, sondern auch das Element, in dem wir sie uns gelegen denken.

ge-

Wir müssen aber dem Gebilde noch unendlich ferne Stellen

Bei den vorhergehenden Untersuchungen wurde die Voraussetzung macht, dass (a, b) eine im Endlichen gelegene reguläre oder singuläre Stelle des algebraischen Gebildes sei, dass also a und b bestimmte endliche Werthe haben.

adjungiren.

Es sei nach Potenzen von y geordnet

¹

Vgl. Art. 1 der Abhdlg. ; Bd. II S. 135—142 dieser Ausgabe.

f(x>y) = fo(x)yn+fl(x)yn~¹ + --- + fn(x)

so dass also der Grad der algebraischen Gleichung f(x, y) = 0 in Bezug auf y gleich n ist. Bezeichnet dann a irgend eine Wurzel der Gleichung fo(x) = 0, so giebt es für jeden Werth von x, für welchen \x— ein oder mehrere Werthepaare (cy), welche der aus f{x,y) — 0 hervorgehenden Gleichung

hinreichend klein ist,

genügen und für welche I —I einen beliebig kleinen Werth hat. Diese Werthe-paare (xy) nehmen für % — a die Form (a, oo) an, und wir wollen für jeden Werth der Wurzel a diese unendlich fernen Stellen (a, oo) dem algebraischen Gebilde zuordnen, weil es stets Stellen (xy) des Gebildes giebt, die ihnen beliebig nahe liegen. Reducirt sich f₀(x) auf eine Constante, so hat das Gebilde keine unendlich fernen Stellen dieser Form.

Ist m der Grad der Gleichung f(x, y) = 0 in Bezug auf x und

f(?,y) = 9o(y)xm+g₁(y)xm~¹ + -" + gm(y),

so ergiebt sich durch dieselben Schlüsse, dass auch eine oder mehrere unendlich ferne Stellen der Form (oo, b) dem Gebilde zuzuordnen sind, wenn für b der Reihe nach die Wurzeln der Gleichung go(y) = 0 gesetzt werden.

Verschwindet in der Function

der Coefficient a Stellung

m, n

f(x,y) = H%,v^yv

des Gliedes (m + ?i)ter Dimension, so folgt aus der Dar-

(0

m, 0 <v<n)

n—v

f(v,y) =

dass zu jedem dem absoluten Betrage nach hinreichend kleinen Werthe von

ein oder mehrere Werthepaare (xy) gehören, welche die Gleichung

Gehen wir

f(x, y) — 0 befriedigen und für welche — beliebig klein ist.

1 2/ für — = 0 zur Grenze über, so liefern diese Werthepaare (xy) unendlich

ferne Stellen der Form (oo, oo), welche aus dem vorher angeführten Grunde

ebenfalls dem Gebilde zu adjungiren sind.

Die unendlich fernen Stellen des algebraischen Gebildes f(x, y) — 0 können

also die Formen

(a,co), (oo, b), (oo, oo)

haben, wo a und b endliche Grössen bedeuten. Es soll nun zunächst bewiesen werden, dass die Anzahl der sämmtlichen unendlich fernen Stellen des Gebildes stets gleich r ist, wenn r die Dimension der Gleichung f(x,y) = 0 in Bezug auf x und y bedeutet.

Nach homogenen Functionen geordnet sei

ffr, y) = 0»> y\+(*> y)r-i+••• + («» y)₀»

und durch Zerlegung der Function höchster Dimension (x, y)r in Linear-factoren folge

(x, y)r = C{gy - hxf° (g'y - h'xf¹... (gwy - hMxfv,

wobei

Von den Constanten h, g\ Ji, ... g{v\ hM sind nur die Verhältnisse

sein muss.

Tihr,mm’W>    und erst nachdem die Werthe jener Grössen selbst

fixirt sind, hat die Constante C einen bestimmten Werth.

Zunächst möge der Fall betrachtet werden, dass f(x,y) auch vom rten Grade in Bezug auf jede der beiden Variabein x und y ist. Dann hat f(x,y) die Form

f(?,y) = foyr+fiix)yr l + W)yr 2 + --* + /’r(^)>

wo f₀ eine von Null verschiedene Constante bezeichnet und der Grad der ganzen rationalen Function fr{x) gleich r ist; der Grad jeder der übrigen ganzen Functionen f^x), ... fr^{x) überschreitet nicht ihren Index. Das Gebilde hat in diesem Falle keine unendlich fernen Stellen der Form (a,oo) oder (oo, b), da die höchsten Potenzen y' und xr in f(x,y) mit Constanten multiplicirt sind; unter der gemachten Voraussetzung müssen daher für unendlich ferne Stellen (x, y) des Gebildes nothwendig x und y gleichzeitig unendlich gross werden. Um diese Stellen zu ermitteln, bringen wir nach dem Vorhergehenden, da kein Glied arrxryr in f(x,y) vorkommt, diese Function auf die Form

xryrF

(1 L)

\x J y)

und betrachten die unendlich kleinen

Werthepaare

für welche

Null ist. Durch die Substitution

¹ t 1 — = 5,    — = ri

x    y

wird

9'

Die Gleichung /’(#, y) — 0 liefert mithin zu

u. s. w.

9n

wo (£> eine homogene Function At0r Dimension bedeutet und keine der Constanten g, h, g\ h\ ... g⁽*\ 1im verschwinden kann. Demnach ergeben sich aus der Gleichung jF(g, tj) = 0 zu jedem unendlich kleinen Werthe von g r unendlich kleine Werthe von tj, und zwar wird, wenn wir für £ = 0 zur Grenze übergehen, der Werth von A für y₀ dieser Werthe gleich für p1 dieser Werthe gleich einem unendlich grossen Werthe von x r unendlich grosse Werthe von y1 für welche der Quotient ^₀-mal den Werth ^ annimmt, f^-mal den Werth h u. s. w. Die r unendlich fernen Stellen des Gebildes entsprechen also den r Linearfactoren gm y — hm x der homogenen Function (x, y)r höchster Dimension.

Ist zweitens f(x,y) — 0 eine Gleichung rter Dimension, deren Grad in Bezug auf eine oder beide Variabein kleiner als r ist, so werde sie durch die lineare Substitution

x = a'x'+ß'y', y — y'x'+d'y'

transformirt. Die vier Constanten ß\ /, d' sollen dabei so gewählt werden, dass weder die Substitutions-Determinante

cc'd'-ßY

noch eine der beiden Grössen

«n, (ß',n

verschwindet. Geht hierdurch die Function f(x,y) in cp(x\y') über, so ist die transformirte Gleichung rter Dimension cp(x\ y') — 0 auch in Bezug auf x und y' vom rten Grade. Die Anzahl der unendlich fernen Stellen (x'y'\ welche die Gleichung <p(xf, y') = 0 befriedigen, ist also nach den vorangeschickten Betrachtungen gleich r, und zwar sind es nur solche Stellen, für welche gleichzeitig x und y unendlich gross werden. Zu jedem dieser r Werthepaare (xy') gehört zu Folge der zwischen x, y und x\ y bestehenden

linearen Relationen ein Werthepaar (#«/), für welches wenigstens eine der

beiden Grössen x und y keinen endlichen Werth hat und welches der

Gleichung f(x, y) = 0 genügt. Jedes algebraische Gebilde rt6r Dimension hat

also stets r unendlich ferne Stellen. Auf diese Untersuchung kommen wir

später nochmals ausführlicher zurück.

Entsprechend der Definition der Umgebung einer im Endlichen gelegenen

Stelle sagen wir, alle diejenigen Stellen (xy) des Gebildes, für welche die

absoluten Beträge von x — a und —, oder von — und y — b, oder von — und — °    y ¹    x    ^    ⁷    x    y

eine gewisse beliebig klein angenommene Grenze nicht überschreiten, liegen in der Umgebung einer unendlich fernen Stelle (a, oo), oder (oo, b), oder (oo, oo).

Um die Umgebung aller Stellen («,oo), wobei a eine bestimmte Wurzel der Gleichung f₀(x) = 0 bedeutet, darzustellen, führen wir statt x und y zwei neue Veränderliche ein. Geht hierdurch die gegebene Gleichung f(x,y) =0 in f₀(£, tj) = 0 über, so entspricht jeder der Umgebung einer unendlich fernen Stelle (a, oo) des Gebildes f(x, y) = 0 angehörigen Stelle {xy) ein unendlich kleines Werthe-paar (g?]) des transformirten Gebildes f₀(%, r[) = 0 und umgekehrt. Aus den sämmtlichen Functionenpaaren

I = a'ti+a''tl+l + — ,

= b'Pl+b"ttl+1 + --‘,

welche die verschiedenen nicht äquivalenten Elemente des Gebildes /^ (|, yj) = 0 mit dem Mittelpunkte (0,0) darstellen, gehen daher die Eunctionenpaare

x = y(t) — a + a’tx + a!'tx+1 Ą—,

y = m =    1+<?(<)|

hervor, welche sämmtliche, der Umgebung aller Stellen (a, oo) des Gebildes f{x, y) = 0 angehörige Stellen liefern.

In ähnlicher Weise führen wir durch die Substitutionen

TH I «

y] = y— b

oder

ri = -

die Bildung der Functionenpaare x = cp (7), y = welche die Stellen (xy) der Umgebung der unendlich fernen Stellen (oo, b) oder (oo,oo) liefern, auf die Bildung der Functionenpaare für die Umgebung der Stelle (0,0) von transformirten Gebilden zurück.

Die Gesammtheit der Stellen (<p(£), <p(£)), die durch ein in der angegebenen Weise gebildetes Functionenpaar für hinlänglich kleine Werthe von |£| bestimmt werden, nennen wir ein unendlich fernes Element des algebraischen Gebildes. Auch für solche Elemente gilt die Definition und die früher (S. 16 u. 17) aufgestellte Bedingung für die Äquivalenz, und es kann auch bei ihnen die Variable t so eingeführt werden, dass sie eine rationale Function von x und y ist.

Ein unendlich fernes Element (<p(£), <p(£)) dadurch charakterisirt, dass eine oder beide Potenzreihen negative Potenzen von £, aber stets nur in endlicher Anzahl enthalten; es können also cp(£) und <j>(7) in der Form

y(t) — r£(a + a't + d'f H—),

<K0 = rz(b + b’t + V't² + ---)

angenommen werden, wobei wenigstens eine der Grössen a und b von Null verschieden und die ganze Zahl e > 1 ist. Führen wir dieses Functionenpaar in f(x,y) — 0 ein, so ergiebt sich die Gleichung

rrz\(a,b)r+m)\ = 0

und da die Coefficienten der einzelnen Potenzen von t verschwinden müssen, so ist (a, b)r — 0, d. h. a und b sind zwei zusammengehörigen Grössen gu) und hm proportional, wenn wir gm und h⁽⁰⁾ durch g und h ersetzen. Gehen wir zu einem äquivalenten Elemente über, so können wir annehmen, dass a = gu) und b — hm ist. Ein unendlich fernes Element lässt sich also stets durch ein Functionenpaar der Form darstellen, wo eine der beiden Constanten gm und 7itx), aber nicht beide gleichzeitig verschwinden können.

em

Umgekehrt entspricht auch jedem der verschiedenen Linearfactoren gmy—hmx von (x, y)r wenigstens ein Functionenpaar dieser Form, welches unendlich fernes Element des Gebildes darstellt.

Ist für den Linearfactor gmy — hU) x der zugehörige Exponent gleich 1, so wird die Umgebung der unendlich fernen Stelle, welche diesem Factor entspricht, durch ein einziges Functionenpaar der Form

* =

vollständig dargestellt. Hat die homogene Function (x, y)r lauter verschiedene Linearfactoren, haben also die Exponenten yo, ... sämmtlich den Werth 1, so nennen wir das algebraische Gebilde im Unendlichen regulär. Dasselbe enthält dann genau r unendlich ferne Elemente, welche sämmtlich die vorstehende Form haben. In keinem Falle ist aber die Anzahl der unendlich fernen Elemente des Gebildes grösser als r.

Wenn die Dimension der Gleichung f(x,y) = 0 mit dem Grade in Bezug auf jede der beiden Variabein x und y übereinstimmt um die unendlich fernen Elemente des Gebildes

massen

so werden wir später, zu finden, auch folgenderverfahren. Wir nehmen, ebenso wie bei den singulären im Endlichen gelegenen Stellen (S. 20), zwei Grössen a und ß so an, dass

(«7 ß)r

nicht verschwindet, und bestimmen die Constanten g,h,g',K, ... g(v\hM, welche unter der über das Gebilde gemachten Voraussetzung sämmtlich von Null verschieden sind und von denen bisher durch die Gleichungen

waren

nur

die Verhältnisse f, fr, iS- fixirt

gmß — Jim a = 1

(x = 0, l,... v).

Dann ist nach dem Vorhergehenden bei richtiger Bestimmung des Werthes der Constanten C

(x,y)r = Ctgy-hxT'ig'y-h'xf¹... {gwy-hwxf\

In dem jetzt betrachteten Falle sind die r unendlich fernen Stellen des Gebildes sämmtlich von der Form (00,00). Wir wollen zunächst die Um

gebung derjenigen g₀ dieser unendlich fernen Stellen betrachten, für welche der Werth von —, wenn wir für x = 00 zur

X ⁷

Grenze übergehen, gleich ^ ist,

welche also aus dem Factor (gy—hx)^° von (x,y) hervorgehen.

Durch die Substitution

§»

geht f(x, y) in    1) über, wenn

= (9 + «%» Â + fai)r+Êi($r + «’îi> h+ßnJ,_!+•••

gesetzt wird; dabei ist

(g + arlt,h + ßrk)r = <7njf* {g'h-h'g + % j ^ • \gmh-hMg + ij, |

Die Gleichung    = 0 ergiebt zu jedem unendlich kleinen Werthe von ^

H₀ unendlich kleine Werthe von 7]x, und behandeln wir sie genau so weiter, wie früher bei der Betrachtung der im Endlichen gelegenen singulären Stellen die ebenso bezeichnete Gleichung, so erhalten wir schliesslich ein oder mehrere F unctionenp aar e

ii = ?i(0 = a'tx + a"tl+1 +    ,

rtl = <e(0 = &T++

Für hinreichend

in denen die Exponenten l und beide > 1 sein müssen, kleine Werthe von |£| liefern diese alle unendlich kleinen Werthepaare (i,^,), welche die Gleichung    = 0 identisch befriedigen. Bestimmen wir dann

für jedes dieser Functionenpaare aus den Gleichungen

77r-(flr + a^(0) = ?(0

?i(ß)

^r(Ä + Wi(0) = m

<Pi(0

die Potenzreihen cp(t) und ^p), so treten in den beiden Reihen eines Paares negative Potenzen von t auf, aber nur in endlicher Anzahl, denn das Anfangsglied muss in beiden Reihen die Potenz t ¹ enthalten, da die Constanten g und h nicht gleich Null sind. Indem wir nun für jedes dieser Paare von Potenzreihen x =    y = <K0 setzen, erhalten wir ein oder mehrere

Functionenpaare, die für Werthe

von t, welche dem absoluten Betrage

nach hinreichend klein sind, alle Stellen (xy) der Umgebung der aus dem Factor (gy — l%xf⁰ hervorgehenden y₀ unendlich fernen Stellen des Gebildes liefern.

In gleicher Weise lassen sich aus den anderen Factoren

... (gwy-hwxfv

(,g'y-h'xf\

!h

(g"y-li"x)

von (x,y)r die transformirten Gleichungen

/i⁽¹U,*h) = 0, /■“>(!„ rh) = 0, ... fr(l₁,Th) = 0

bilden. Für einen hinreichend kleinen Werth von gi ergiebt die Gesammt-

heit der v + 1 transformirten Gleichungen y₀ + y x-\-----byv = r unendlich kleine

Werthepaare    mithin auch r Stellen (xy), welche der Umgebung der

unendlich fernen Stellen des Gebildes f(x, y) = 0 angehören. Aus der endlichen Anzahl von Functionenpaaren, welche die unendlich kleinen Werthepaare (I^yjJ liefern, entspringt eine gleiche Anzahl, welche die Umgebung der sämmtiichen unendlich fernen Stellen des Gebildes f(x, y) — 0 darstellen.

Dieses Verfahren stimmt im Wesentlichen mit der vorher für die Bildung der unendlich fernen Elemente angegebenen Methode überein. Denn da in dem eben betrachteten Falle f{x, y) = 0 nur unendlich ferne Stellen der Form (00,00) hat, so ist nach der früheren Methode die Substitution anzuwenden. Durch diese gehe f(x, y) — 0 in die transformirte Gleichung

fo    = tt,riyr+&rlyr+1 + -~ + (1;,ri)'r = 0

über, wobei (£,7])' eine homogene Function Ater Dimension bedeuten soll. Dabei ist (§, tj)' = (73, |)r und folglich

(6,1); = (-1

Um die Functionenpaare für die Umgebung der Stelle (0,0) der Gleichung /o^3) = 0 zu bilden, ist zunächst die erste transformirte Gleichung yj') = 0 herzustellen, wenn wir zum Unterschied von der eben in anderer Bedeutung benutzten Bezeichnung jetzt f\ tj' schreiben, wo wir früher (S. 20 u. folg.) /1? |i5 gebrauchten. Demnach ist

I = (& + «'?}')£',    I"

zu substituiren, wobei d und ß' so gewählt werden müssen, dass («', /?')' == (/f, «') nicht verschwindet und dass

(* = o, l,... v)

h™ß'—gMa' = 1

ist. Wir können demnach

«' = -ß, ß' =

setzen. Aus der Gleichung f(x: y) = 0 ergiebt sich also die erste transformirte Gleichung f\g', 7]') — 0 durch die Substitution

während vorher, um die erste transformirte Gleichung /^(g , tjJ = 0 zu erhalten,

li

^ = TL(ö, + «^i)> y = T-(h+ß*li)

gesetzt wurde. Hieraus folgt

ii

= ~rii-

(9 + <xril)(h +ßru) ’    ^

Es sind demnach g' und */]' rationale Functionen von gt und 7]l5 die zu jedem unendlich kleinen Werthepaar    welches der Gleichung vjJ = 0 ge

nügt, ein unendlich kleines die Gleichung /"(£', tj') =0 befriedigendes Werthepaar (£'■/}') ergeben, und umgekehrt. Wir können also zur Bildung der Functionenpaare, welche die Umgebung der aus dem Factor (,gy — hx)p’# hervorgehenden unendlich fernen Stellen liefern, ebenso gut von der Gleichung ö wie yon der Gleichung /"'(g', 7]') — 0 ausgehen. Gleiches gilt für die übrigen unendlich fernen Stellen des Gebildes.

Anstatt jede der beiden durch die algebraische Gleichung f{x, y) = 0 verbundenen Veränderlichen x und y in der Umgebung einer bestimmten Stelle des Gebildes durch eine unabhängige Variable t auszudrücken, ist es bisweilen zweckmässig, die eine Veränderliche, z. B. «/, als Function der anderen zu betrachten. Es sei die Gleichung f(x, y) = 0 in Bezug auf y

Abelsche Functionen.

vom ?rv“ Grade, so gehören zu jedem Werthe von x n Werthe der algebraischen Function y, die mit

ten

to

y,

'SS

bezeichnet werden mögen. Von diesen n Werthen sind dann und nur dann zwei oder mehrere einander gleich, wenn x mit einem der stets nur in endlicher Anzahl vorhandenen singulären Werthe g,gt1 ... des Arguments der algebraischen Function y zusammenfällt, für welche die Discriminante D(x) der als Function von y aufgefassten Function f(x,y) verschwindet. Man erhält die Gleichung D(x) = 0 durch Elimination von y aus den beiden Gleichungen f{x,y) — 0 und f(x^y)₂ = 0.

Bezeichnet a ein beliebiges von g2l ... verschiedenes Argument, und sind bl} &₂, ... bn die n zugehörigen Werthe der algebraischen Function y, so wird die Umgebung der Stelle (abr) durch ein einziges Functionenpaar

x = ei -j- o!y t + üy tz + • • •, y = bv+t%(t)

dargestellt, in welchem der Coefficient av nicht verschwindet. Daher ergiebt sich für Werthe von a?, die in der Umgebung des Werthes a liegen, d. h. für welche der absolute Betrag von x — a hinreichend klein ist,

t = c[{x — a) + c"(x — df -1 ,

und wenn man diese Entwickelung in die Eeihe für y einsetzt, so folgt

y = bv+(x — a)^v(x — a).

Ist demnach x ein Werth in der Umgebung des nicht singulären Arguments a der algebraischen Function, so lassen sich ihre n zugehörigen Werthe durch. n verschiedene Potenzreihen

y — bv+ (x—a) %(x — a)

darstellen.

Werden für x = a ein oder mehrere zugehörige Werthe von y unendlich gross, so enthält das Gebilde eine oder mehrere unendlich ferne Stellen der Form («, oo), und es treten dann in den entsprechenden Potenzreihen auch negative Potenzen von x — a auf, jedoch stets nur in endlicher Anzahl.

Es liege nun zweitens x in der Umgebung eines singulären Werthes <j des Arguments der algebraischen Function, wobei g eine beliebige der Wurzeln g₂, ... der Gleichung D(x) —0 bedeuten soll; die unter einander

ver-

schiedenen Werthe der Function y, welche sich für das Argument x = g er-1 2

geben, mögen mit Ä, h, ... bezeichnet werden. Ferner sei n die Anzahl der

sämmtlichen nicht äquivalenten Elemente des algebraischen Gebildes f(x, y) = 0,

1 2

die zum Mittelpunkte eine der Stellen (gh), (gh), ... haben, und diese n Elemente mögen durch die Functionenpaare

+ *•*»

« = g+9'v/x+g”/y'+l

dargestellt werden, in denen die Constanten g% sämmtlich von Null verschieden sein sollen und die ganzen positiven Zahlen oy > 1 sind. Aus der ersten dieser beiden Eeihen folgt nun und hieraus

x-9\*v.

9x

Das xte Functionenpaar ergiebt also für y eine nach ganzen positiven Po-

( æ~g- g) y ^or^sc^ire^en^e Reihe mit eindeutigen Coefficienten

tenzen von

, die

für alle Werthe von x, welche in der Umgebung von g liegen, convergirt. Die Exponenten in der Potenzreihe können sich nicht sämmtlich auf solche mit kleinerem Nenner reduciren; denn wäre dies der Fall und etwa

g*

x~gy.

wo Oy ein Theiler von ox oder gleich 1 sein müsste, so würde sich hieraus das Functionenpaar

x = g + g'x*⁹*

y = $*(0

^ergeben, was gegen die Voraussetzung ist.

•ttvW

zu jedem Werthe von x, welcher der Umgebung von g angehört, ax verschiedene Werthe von y, die für x = g in einen einzigen zusammenfallen. Da nun zu Folge der Gleichung f{x,y) = 0 zu jedem Werthe von x n im Allgemeinen verschiedene Werthe von y gehören und der Voraussetzung nach die n Functionenpaare die sämmtlichen Stellen des Gebildes in der Umgebung der 1 2

Stellen (gh), (gh), ... liefern, so ist und mithin

n’ < n.

ver

Die Entwickelungen der n Werthe der algebraischen Function y zerfallen also für die Umgebung eines singulären Werthes g des Arguments x in n Gruppen; der xt6n Gruppe gehören diejenigen ay conjugirten Reihen an, die in einander übergehen, wenn man der darin vorkommenden Wurzelgrösse ihre o schiedenen Werthe giebt.

die Discriminante D(x) verso erhält man die

Ist daher g eine Grösse, für welche zwar schwindet, aber ri = n, also o = c = ••• = o, = 1 ist n Wierthe der Function y, die zu einem in der Umgebung von g gelegenen Werthe x gehören, durch n verschiedene Potenzreihen

Zu einem Werthe von x jedoch, welcher in der Umgebung einer Grösse

g liegt, für die nicht

°D

von y

_1

Wurzelgrösse    a'

Indem man der nen Werthe beilegt, erhält man ans der Reihe

a* nach einander ihre ax verschiede-

nur die Discriminante D(x) verschwindet, sondern auch n’cn ist, für welche also wenigstens eine der Zahlen grösser als 1 ist, ergeben sich die sämmtlichen zugehörigen Werthe mit Hülfe von n Reihen der Form

Ein solcher Werth g soll ein wesentlich singulärer Werth des Arguments der algebraischen Function y genannt werden.

Wenn für irgend einen singulären Werth g des Arguments ein oder mehrere zugehörige Werthe von y unendlich gross werden, so treten in deren Entwickelungen eine endliche Anzahl negativer Potenzen von x—g oder

i

Die Umgebung jeder unendlich fernen Stelle des Gebildes, für welche der Werth von x unendlich gross ist, welche also die Form (oo, b) oder (oo, oo) hat, wird, wie gezeigt wurde, durch ein oder mehrere Functionenpaare x = <p(£), y — 4*(0 dargestellt, in denen die Reihe y(t) eine endliche Anzahl negativer Potenzen von t enthält. Wendet man auf ein solches Functionenpaar dieselben Schlüsse an wie vorher, so folgt, dass sich für Werthe von x7 welche in der Umgebung von x — oo liegen, d. h. welche dem absoluten Betrage nach hinreichend gross sind, die n zugehörigen Werthe von y nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von — entwickeln lassen, und zwar haben diese Reihen dieselbe Form, wie die obigen, wenn man in jenen x — a oder x—g durch — ersetzt.

Sind für x — oo die n zugehörigen Werthe bl7 bi7 ... bn von y sämmtlich endlich und unter einander verschieden, so erhält man n Reihen

{v = 1, 2,... n)

(v = 1, 2,... »)

y — bv + b'vx ¹ + b"x ²+---welche sich durch die n Functionenpaare

x = r¹ ersetzen lassen.

Werden aber für x = oo ein oder mehrere Werthe y unendlich gross, so enthalten die zugehörigen Entwickelungen nach Potenzen von — eine endliche

X

Anzahl negativer Potenzen von — •

Treten in den für die Umgebung von x — oo gültigen Entwickelungen der Werthe von y gebrochene Potenzen von — auf, so ist x = oo ein wesentlich singulärer Werth des Arguments der algebraischen Function.

Zweites Kapitel.

Rationale Functionen des Paares (xy).

Eine rationale Function der beiden Argumente x und «/, welche nicht von einander unabhängig, sondern durch die Gleichung f(x, y) = 0 des algebraischen Gebildes verbunden sind, soll als »rationale Function des Paares (xy)« bezeichnet werden. Eine solche Function R(xy) lässt sich als Quotient zweier ganzen Functionen darstellen, und man kann auch bewirken, dass der Nenner nur von x oder nur von y abhängt. Für jedes Paar (ab) hat die Function einen bestimmten Werth, wenngleich es möglich ist, dass Zähler und Nenner gleichzeitig verschwinden oder unendlich gross werden und die Function daher in unbestimmter Form erscheint. Setzt man nämlich das Functionenpaar

x = ?(0» y = W),

welches die Umgebung der Stelle (ab) liefert, oder, wenn (ab) eine singuläre Stelle des Gebildes ist, ein bestimmtes der zugehörigen Functionenpaare (S. 32) in den Ausdruck von R(xy) ein, so erhält man, nötigenfalls nach Erweiterung mit einer gewissen positiven Potenz von t, im Zähler und im Nenner der rationalen Function eine Entwickelung nach positiven Potenzen dieser Grösse. Es wird also

oder

R(xy) =

B₀r + R₁f⁺¹ + ...

R(xy) =

ju-v Ą + ĄH— JB₀ -f- t + • • •

x = a, y — b wird und der reducirt, so hat, wie behauptet, R(xy) für die

v o Ao und Bo nicht Null sind. Da nun für t = 0

zweite h actor rechts sich auf ~

^0

Stelle (ab) einen bestimmten Werth, welcher speciell für v gleich Null, für y cv unendlich gross ist.

setzen.

Wir stellen uns jetzt die wichtige Aufgabe, alle diejenigen Paare (xy) zu finden, für welche eine gegebene rationale Function R(xy) einen beliebig vorgeschriebenen Werth s annimmt, wobei wir vorläufig s als endlich voraus-Bezeichnen y, y, ... y die zu irgend einem Werthe von x gehörigen Werthe von y (S. 42), so muss in dem Product

(s-R(xy))(s - R(xy)) ... (s-R(xy))

mindestens ein Factor gleich Null sein, wenn R(xy) den Werth s annehmen soll. Dieses Product ist als ganze Function von s und rationale Function von x in der Form

IM,

FM

darstellbar; es soll nun zunächst bewiesen werden, dass der so erhaltene Ausdruck entweder selbst unzerlegbar oder Potenz einer unzerlegbaren ganzen Function von s und x ist.

Angenommen nämlich, die betrachtete Function sei nicht unzerlegbar, so ist sie darstellbar als Product von unzerlegbaren Functionen:

sn +

Fn(x)

FM

f[(s — R(xy)) = Gl(s,x)Gi(s,x)...G (s,x).

V. = 1

Dabei kann man voraussetzen, dass in jeder der Functionen 6rl7 ... G der Coefficient der höchsten Potenz von s gleich 1 ist. Fasst man nun einen der unzerlegbaren Factoren, z. B. Gi: in’s Auge und substituirt für s die Function jR(xy), so muss die rationale Function

(R(xy), x)

für mindestens einen der Werthe y, ... y von y gleich Null sein; denn (5, x) ist gleich dem Product gewisser Factoren aus der Beihe

1    n

s — R(xy), ... s — R(xy).

Hiernach hat die Gleichung G₁(R(xy)₎x) = 0 mit f(x^y) — 0 wenigstens eine Wurzel y gemein. Und da die letztere Gleichung als irreductibel angenommen ist, so müssen ihre sämmtlichen Wurzeln y^.-y auch Wurzeln der ersteren

sein. Daraus kann nun leicht die Übereinstimmung sämmtlicher Functionen • • & gefolgert werden. Wir denken uns der Grösse #, von welcher wir bei dieser Untersuchung ausgehen wollen, irgend einen bestimmten endlichen Werth beigelegt mit Ausschluss derjenigen, für welche entweder mehrere der zugehörigen, aus der Gleichung f(x,y) =0 folgenden Werthe von y einander gleich sind oder einer der Werthe von y oder die Function R(xy) selbst unendlich gross wird, d. h., wenn wir uns diese auf die Form denken, die ganze Function G(x) verschwindet.    Zu ęinem der nicht aus

F(xy)

gebracht

G{x)

geschlossenen Werthe von x werde aus Gx(s, x) = 0 ein Werth von s bestimmt, dann lässt sich diesem ein Werth y so zuordnen, dass

s = R{xy)

wird. Ebenso nun, wie Gx(R{xy),x) für alle Werthe y,...y verschwinden musste, wird auch G₂(R{xy),x) für diese Werthe gleich Null, mithin verschwindet G₂(s,x) für die Wurzel s — R(xy) der Gleichung Gx(s, x) — 0. Da aber Gx unzerlegbar war, so müssen alle Wurzeln von Gl — 0 auch die Gleichung G₂ — 0 befriedigen, und wenn q der Grad von Gx(s,x) in Bezug auf s ist, so ist auch G₂ mindestens vom Grade q. Eine Ausnahme könnte nur dann eintreten, wenn für jeden Werth von x mehrere Wurzeln s der Gleichung 6r (s,a?) = 0 einander gleich wären; doch ist dies durch die Unzerlegbarkeit von Gx ausgeschlossen. Da nun die ganze Untersuchung mit G2 anstatt mit G begonnen werden konnte, so ist auch der Grad von Gx mindestens gleich dem von Cr₂, d. h. diese beiden Functionen, und ebenso die übrigen, 6rg, ... 6r , sind von gleichem Grade. Endlich ist der Coefficient der höchsten Potenz von s in allen derselbe, nämlich gleich 1, mithin sind die ft Functionen identisch, und man hat, wie behauptet wurde:

X== 1

oder, wenn man auf beiden Seiten nach Potenzen von s entwickelt:

S₀{x)) '

Bei der Herleitung dieser Gleichung wurde eine endliche Anzahl von Werthen x ausgeschlossen; da aber auf beiden Seiten rationale Functionen von s und x stehen, so ist unmittelbar klar, dass die Gleichung allgemein gilt.

Ft(x)

F₀(x)

EM. -

F₀{x)

H₀(x)

s*-ł + - +

jF₀(x) und H₀(x) bezeichnen die kleinsten gemeinsamen Nenner der links und rechts vorkommenden rationalen Functionen von es ist mithin

F₀(x) = Hü(xf.

Wollen wir nun diejenigen Werthepaare (xy) finden, welche der Gleichung H(xy) = s genügen, so haben wir zunächst x aus der Gleichung

F₀(a;)s” + F₁(a;)sn-¹ + -.. + Fn(a;) = (H₀ (oc)sq + H, 0) s⁵“¹ + • • • + Eq (x)f = 0

zu

bestimmen. Denn ist x eine Wurzel dieser Gleichung, so muss einer der Factoren s—R(xy) des vorher betrachteten Products verschwinden. Für jeden

Werth von s erhalten wir — Werthe von x, wenn wenigstens eine der ganzen

__

ist.

rationalen Functionen F₀(x),... Fn(x) vom pten, keine aber von höherem Grade Bei Berechnung der zugehörigen Werthe von y ist zu unterscheiden, ob y — 1 oder y > 1 ist.

Werthe von x

specielle x können zwei oder mehrere dieser Werthe einander gleich sein. Gehören nun zu einem Werthepaar (sx) Je verschiedene Werthe von y, so entsprechen einem Werthe von x Jen im Allgemeinen verschiedene Werthe y\ demnach muss Je = 1 sein, und durch Elimination von y aus den Gleichungen

1) Wenn y = 1 ist, so liefert die Gleichung Gi(s,x) = 0 zu einem n im Allgemeinen verschiedene Werthe von s, und nur für

j f(x, y) = 0

( jU{xy) — s

ergiebt sich y als rationale Function von x und s. Man kann daher sagen, dass für y = 1 p im Allgemeinen verschiedene Werthepaare (xy) existiren, für welche R(xy) den gegebenen Werth s annimmt.

ver-

von

schiedene Werthe von s.

2) Ist y> 1, so bekommt man zu einem Werthe von s nur ^ Werthe x, und zu einem gegebenen x gehören nur q = ~ im Allgemeinen

Hat nun Je dieselbe Bedeutung wie im ersten Fall, so ergeben sich zu einem Werthe von x ~ im Allgemeinen verschiedene Werthe von y, mithin muss Je — y sein, d. h. aus den beiden Gleichungen f(x,y) — 0 und R(xy) = s erhält man jetzt für y eine Gleichung yien Grades:

yt* + M₁(s,x)yll-¹ + --- + Mll(s,x) = 0.

Die Anzahl der Werthepaare, für welche R(xy) =s wird, ist mithin auch in diesem Falle gleich p.

Atelsche Functionen.

In Verbindung mit dem Vorhergehenden lässt sich dieses Resultat auch folgendermassen aussprechen: Das Product

fl (s-R(xy))

'. — i

ist dann und nur dann Potenz einer unzerlegbaren Function, wenn für jeden beliebigen Werth von x in der Reihe der Werthe R(xy), ... R(xy) sich gleiche finden.

Wenn specielle Werthe von s ausgenommen werden, so giebt es demnach immer p Werthepaare (xy), für welche R(xy) einen vorgeschriebenen Werth s annimmt. Die Zahl p soll als Grad dieser rationalen Function des Paares (xy) bezeichnet werden. Zur Ermittelung desselben stellt man nach dem Vorhergehenden das Product

II (s-R(xy))

>. — i

dar als ganze Function von s, deren Coefficienten rationale Functionen von x sind, bringt diese auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner und multi-plicirt mit ihm die ganze Function. Der Grad, welchen die dann im Zähler stehende Function von s und x in Bezug auf x hat, giebt den Grad von JR(xy) an, und es ist dabei gleichgültig, ob die Function von s und x re-ductibel oder irreductibel ist.

Obgleich man auf die angegebene Weise auch in denjenigen Fällen, wo p > 1 ist, zum Ziel kommt, so ist es doch nützlich, ein anderes Verfahren zu kennen, durch welches man immer mit Hülfe einer Gleichung pten Grades seinen Zweck erreicht. Wir machen dabei die Voraussetzung, der Werth von s sei so beschaffen, dass die p Werthepaare (xy), für welche R(xy) = s wird, sämmtlich von einander verschieden sind. Durch die Substitution

I x’ — ccx + ßy

\ y' = yx + dy,

in welcher die Determinante der Coefficienten von Null verschieden, etwa gleich 1 ist, mögen die beiden Gleichungen f(x,y) = 0 und R (xy) = s in

W,y') = o

s — R^x'y') = 0

übergehen. Bildet man nun das Product aller Differenzen, welche sich ergehen, wenn man in s — H^x'y') für y nach einander die verschiedenen der ersten Gleichung für einen Werth von x' folgenden Werthe substituirt, und setzt dann das Product gleich Null, so erhält man eine Gleichung, welche irreductibel sein muss, wenn die ausgesprochene Absicht erreicht werden soll. Dazu braucht man die Coefficienten a, /3, y, â nur so zu wählen, dass man für alle p Werthepaare (xy), welche zu einem Werthe s gehören, verschiedene Werthe x' erhält. Es genügt hierzu die Substitution:

aus

x' — x + lcy

y = y-

Denn wäre jetzt

Xa — Xbi

so müsste die Gleichung

xa-xb + Jc(ya-yb) = 0

bestehen, was offenbar für beliebiges h nicht möglich ist; denn die gleichzeitigen Annahmen

ya = yb

Xa = Xb

sind dadurch ausgeschlossen, dass die p Werthepaare (xy) immer von einander verschieden sein sollten. Das Product der Differenzen

s-B(x'—hy, y')t

erstreckt über alle Wurzeln y der Gleichung fx(x',y') = 0, kann daher nur für specielle Werthe von Tc eine Potenz sein, und diese Werthe schliessen wir aus. Wir erhalten dann eine irréductible Gleichung

G(s,x’) = 0,

Aus den

welche uns die gesuchten p Werthe der Hülfsgrösse x' liefert, beiden Gleichungen fx(x\ y) = 0, s- Bx(x'y') — 0 ergiebt sich daher y als rationale Function von s und x':

2/'=

also wird schliesslich

x — x'—%') y — ft(s,x').

man

Die gesuchten Werthepaare (xy) werden mithin dadurch gefunden, dass

eine Gleichung zwischen s und einer Hülfsgrösse x' bildet und diese Gleichung, die in Bezug auf x vom jöten Grade ist, nach x' auflöst, x und y sind dann rationale Functionen von s und den p verschiedenen Wurzeln x.

Bei der vorhergehenden Untersuchung haben wir eine Anzahl singulärer Werthe von s ausgeschlossen, nämlich ausser s = oo diejenigen Werthe, für welche erstens die Wurzeln x der Gleichung G(s, x) — 0 nicht sämmtlich von einander verschieden sind, zweitens eine solche Wurzel unendlich gross wird, und drittens x und y in unbestimmter Form erscheinen. Ob der gefundene Satz auch für solche Werthe von s noch gültig bleibt, kann entschieden werden, wenn die Untersuchung für s — 0 allgemein durchgeführt ist; denn der Fall eines beliebigen Werthes von s lässt sich leicht hierauf zurückführen.

Wir haben mithin zunächst folgende beiden Fragen zu beantworten: Erstens, wie findet man alle Werthepaare, für welche R(xy) gleich Null wird; zweitens, wie oft ist jedes Werthepaar zu zählen, damit in allen Fällen der oben (S. 50) aufgestellte Satz erhalten bleibt, die Function JR(xy) also für genau p Werthepaare verschwindet.

Wird in die Gleichung

G(s, x') = 0

oder

G₀(s) x'p + Gt(s) x'p 1 + ... + G„(s) = 0

der Werth s = 0 eingeführt, so können jedenfalls nicht alle Coefficienten 6r₀(s), ... Gp(s) gleichzeitig verschwinden, denn dann wäre die Gleichung re-ductibel, was der Annahme nach nicht der Fall ist. Einzelne Coefficienten aber können gleich Null werden. Verschwindet z. B. Gp(s) für s = 0, so ist eine Wurzel x gleich Null, verschwindet dagegen G₀(s), so kann man sagen, dass eine Wurzel x unendlich gross wird. Es kann nun aber auch Vorkommen, dass wenn man s = 0 nimmt und diesen Werth, sowie einen der zugehörigen Werthe von x in den Ausdruck y — x) einsetzt, diese Grösse und damit auch x und y formell unbestimmt werden. Aber für beliebige, von s = 0 wenig verschiedene Werthe tritt dieser singuläre Fall nicht ein, und wir werden daher zunächst s nicht gleich Null setzen, sondern unendlich klein annehmen.

Alle Werthepaare (sx), für welche s unendlich klein ist, kann man auf die früher angegebene Weise bestimmen. Die Gleichung G(s,x') = 0 definirt nämlich ein algebraisches Gebilde. Ist nun x — a ein bestimmter der Werthe von x\ die sich für 5 = 0 aus dieser Gleichung ergeben, so setzen wir

x’—a! — £

falls

muss

in die Gleichung ein, wobei ~ für x’—a genommen werden a! = oo ist. Dann können wir aus der transformirten Gleichung zwischen s und £ alle unendlich kleinen Werthepaare ($£) bestimmen, folglich auch aus G(s,x) = 0 alle Werthepaare (s#'), welche dem Paare (0a') benachbart sind. Nun ist die Stelle (0a) Mittelpunkt entweder eines einzigen oder mehrerer verschiedener nicht äquivalenter Elemente des Gebildes G(s, x) = 0, es er-

geben sich also zur Darstellung der Umgebung jener Stelle ein oder mehrere F unctionenp aare

( 5 = ty(t) \ x' = a' + t

Setzen wir diese in die Gleichungen

j x = x'—    x')

\ y = 31(5,«')

ein, so erhalten wir ein oder mehrere Functionenpaare

( » = ?(0 ( y = ł(0»

welche die sämmtlichen Elemente des Gebildes f(x, y) = 0 mit einem und demselben Mittelpunkte darstellen. Wenn nun für t — 0 x den Werth a, y den Werth b annimmt, so wissen wir, dass R{xy) für das Werthepaar (ab) den Werth Null hat, und erkennen zugleich, ob die Stelle (ab) einem oder mehreren Elementen des Gebildes f(x₎ y) = 0 angehört. Führen wir dieses Verfahren für jeden der Werthe a durch, so haben wir unsere erste Aufgabe gelöst, indem wir alle Werthepaare (ab), für welche H(xy) = 0 ist, ohne Zweideutigkeit bestimmt haben.

Es ist nun noch die zweite Frage zu beantworten, wie oft man ein solches Werthepaar (ab) zu zählen hat.

Ist in einer Gleichung f(x) — 0 die linke Seite durch die vte Potenz von x — a, aber keine höhere, theilbar, so sagt man, die Gleichung habe die v- fache Wurzel a.

Der Grund für diese Ausdrucksweise ist der, dass in

diesem Fall, wenn man eine Wurzel x — a der Gleichung nteu Grades f(x) = 0

gefunden hat, die Aufsuchung der übrigen Wurzeln von einer Gleichung Grades abhängt, welche die Wurzel x — a noch einmal liefert, u. s. f. Man kann die Sachlage auch folgendermassen auffassen: Wenn man sich die Aufgabe stellt, alle Werthe x zu finden, für welche f(x) nicht Null, sondern unendlich klein, gleich e, wird, so erhält man n verschiedene Lösungen. Unter diesen sind v vorhanden, welche dem Werthe a unendlich nahe liegen. Geht man dann zur Grenze für e = 0 über, so wird man folgerichtig die Wurzel a v-mal zählen. Ganz analog können wir hier bei der Definition der Ordnungszahl eines Werthepaares (ab) verfahren. Zu einem unendlich kleinen s gehören p verschiedene Werthepaare (xy), welche den beiden Gleichungen f(x,y) — 0, R(xy) = s genügen. Liegen nun für einen solchen Werth A Paare (xy) einem bestimmten Werthepaare (ab), für welches R(xy) den Werth Null hat, unendlich nahe, so sagen wir, (ab) gehöre A-mal zu dem Werthe s — 0 oder es sei A die Ordnungszahl der Stelle (ab).

Um die Zahl A zu finden, führen wir zunächst eine neue Bezeichnung ein, welche sich im Folgenden als zweckmässig erweisen wird.

Wir wollen nämlich ein Functionenpaar (<?(£), <[>(0), welches ein Element des Gebildes f(x,y) — 0 darstellt, mit

yt)

bezeichnen. Ist der Mittelpunkt des Elements eine im Endlichen gelegene Stelle (ab), so sind xt und yt Potenzreihen der Form:

xt = a + ^x(0, yt = b + t^(t).

Hat aber das Element eine unendlich ferne Stelle (a,oo) zum Mittelpunkt, so ist (S. 36)

xt = a + f$t(t), yt — r^a(0

mithin

~ = *%(*)■ yt

dieselbe Form, wie die

In diesem Falle hat also die Entwickelung von — von yt — b für ein im Endlichen gelegenes Element. Entsprechendes gilt für die unendlich fernen Stellen (oo, b) und (oo, oo).

Ist nun der Mittelpunkt des Elements (xtyt) eine Stelle (ab), für welche II (xy) verschwindet, so wird

s = R(xtyt) = ctl + cttUl + -~,

un-

wobei X eine positive ganze Zahl ist. Aus dieser Gleichung geht nun mittelbar hervor, dass zu einem unendlich kleinen Werthe von s X unendlich kleine Werthe von t gehören. Jedem Werthe von t entspricht aber ein einziges Werthepaar (;xy), es giebt also genau X Werthepaare (;xy), welche für ein unendlich kleines s dem Werthepaare (ab) unendlich nahe und in demselben Elemente liegen. Ist ein Paar (ab) gleichzeitig Mittelpunkt mehrerer Elemente, so hat man für jedes Element eine solche Zahl X zu bestimmen, welche als Ordnungszahl der Stelle (ab) für das betrachtete Element bezeichnet werden soll.

Die Zahl X ist keineswegs von dem Functionenpaar abhängig, welches zur Darstellung des betrachteten Elementes gewählt wird. Denn man erhält aus einem Elemente (xtyt) ein äquivalentes (x^yz) durch eine Substitution t = «P(t), wo *ß(x) mit der ersten Potenz von t beginnt (S. 16). Setzt man dann die Reihen #T, yx in R(xy) ein, so ergiebt sich wieder x;' als Anfangspotenz der Entwickelung.

Bestimmt man nun endlich auf irgend einem Wege alle nicht äquivalenten Elemente (xtyt), für welche die Entwickelung R(xtyt) mit einer positiven Potenz von t beginnt, und bezeichnet für jedes dieser Elemente den Mittelpunkt, also das Werthepaar, welches für t — 0 aus (xtyt) hervorgeht, mit (ab), so ist stets R (ab) = 0. Die Summe der Ordnungszahlen, welche zu allen Stellen (ab) gehören, muss aber genau gleich p sein. Denn dies war die Anzahl aller Stellen, für welche R(xy) einen unendlich kleinen Werth annimmt, und andererseits erhält man alle Werthepaare, welche zu einem unendlich kleinen Werthe von R(xy) gehören, indem man alle Eunctionenpaare (xtyt) sucht, welche in R(xy) eingesetzt eine positive Potenz tl als Anfangsglied ergeben; jedes dieser Eunctionenpaare liefert dann nach dem Obigen zu einem unendlich kleinen Werthe von s X unendlich kleine Werthepaare (xy). Die Darstellung von p als Summe jener Ordnungszahlen drückt also den Grad von R(xy) noch in einer anderen Weise aus, als es durch die ursprüngliche Definition geschah.

Betrachten wir nun an Stelle von s — 0 einen beliebigen anderen Werth s = s₀, so brauchen wir nur einzuführen, sodass die Gleichung

s'+ s₀ — R(xy) = 0

entsteht. Setzen wir nun in der ganzen Untersuchung überall R(xy) — s₀ an die Stelle von R(xy), so wird im Princip nichts geändert5 wir erhalten alle Werthepaare, wofür diese Function verschwindet, und folglich alle, wofür R(xy) — s₀ wird, und zwar jedesmal mit der richtigen Ordnungszahl.

00 ist.

Auch ist es jetzt leicht, die gestellte Aufgabe zu lösen, wenn s —

B(xy)

aufzusuchen, für welche diese Function gleich Null wird. Nun ist der Grad

Man hat dann nur die Function -w,¹ ,■ zu betrachten und die Werthepaare

derselbe, denn der

B(xy)

der rationalen Functionen R(xy), R(xy) — so und

Daher ergiebt sich hier un

man s

Grad der Gleichung G(s,x') = 0 in Bezug auf x ändert sich nicht, wenn — sn oder — an die Stelle von s setzt, mittelbar ein Satz, dessen Beweis auf den ersten Blick viel schwieriger erscheint, dass nämlich die Anzahl der Werthepaare, für welche eine rationale Function des Paares (xy) einen beliebigen endlichen Werth annimmt oder unendlich gross wird, gleich ist der Anzahl derjenigen Werthepaare, wofür sie Null wird, jede Stelle mit der zugehörigen Ordnungszahl gerechnet. Diese gleiche Anzahl der Werthepaare, für welche die Function R(xy) einen beliebig vorgeschriebenen Werth annimmt, ist immer p, wenn p den Grad der rationalen Function R(xy) bezeichnet.

Aus dem Bisherigen ist ersichtlich, dass der Begriff eines Elementes nicht entbehrt werden kann. Denn nur mit dessen Hülfe ergiebt sich die richtige Bestimmung der Ordnungszahlen.

Es mögen jetzt zwei rationale Functionen des Paares (xy) angenommen

werden :

dem ursprünglichen Gebilde

aus

f(x,y) = 0 ein zweites algebraisches Gebilde /’₁(!₇?]) = 0. Um die gegenseitige Beziehung beider Gebilde zu betrachten, hat man zunächst anzugeben, wie man die Gleichung zwischen £ und yj herstellen kann. Der Grad von R₂{xy) sei v, und es mögen mit

(XlVl), ••• (Wy)

die Werthepaare bezeichnet werden, welche zu einem Werthe von § gehören. Wir bilden das Product

Oj - JRJx, yj) (yj - R₂ (xa yj)    B₂(xv yj)

und stellen die Coefficienten der einzelnen Potenzen von yj als rationale Functionen von g dar. Hierzu führen wir auf Grund der S. 50—51 ange-stellten Erörterung zunächst wieder die Grössen x' und y ein und erhalten dann die beiden Gleichungen

f(x'-Tcy',y') = 0

t-R^x'-ly^y') = 0, aus welchen durch Elimination von y' folge

0(1, x’) = 0.

Dann ist nach S. 51, wenn die Wurzeln dieser irreductiblen Gleichung mit ... x\ bezeichnet werden,

(x=l,

Vf. =    <)•

Substituirt man diese Werthe in das obige Product, so verwandelt es sich in eine Function von 7], deren Coefficienten symmetrische Functionen der Grössen xy sind, also rational durch die Coefficienten der Gleichung 6r(§,æ') = 0, d. h. durch £ ausgedrückt werden können. Setzt man nun ferner

•^2K Vy.) ⁼⁼⁼ P2 ( I > ^x) ;

so kann man sich leicht davon überzeugen, dass das transformirte Product entweder unzerlegbar oder Potenz einer unzerlegbaren Function ist. Zu dem Zweck hat man lediglich in den früheren Betrachtungen (S. 47—49) | an

Atolach6 Functionen,

die Stelle von x und x an die Stelle von y zu setzen. Nun haben wir gesehen (S. 50), dass eine Potenz einer unzerlegbaren Function sich nur dann heraus-

stellen kann, wenn unter den Functionswerth en i?₂(£, x'), ... JR₂(£, x'v) sich stets gleiche finden, wie auch der Werth von £ beschaffen sei. Sind daher auch nur für einen Werth von £ die v Werthe 1?₂(£, xy) und damit die Werthe von einander verschieden, so kann das Product nicht Potenz

einer unzerlegbaren Function sein. Dies Resultat lässt sich folgendermassen aussprechen: Wenn man den beiden Grössen x,y zwei andere durch die Gleichungen    s

l — Rx(xy) = 0, r\ — Rt(xy) = 0

zuordnet, aus der ersten für irgend einen Werth £ die zugehörigen Werthe-paare (xy) bestimmt und in die zweite einsetzt, so erhält man durch Multiplication der v entstehenden Gleichungen eine neue /* (!, tj) = 0, welche ir-reductibel ist, wenn für irgend einen besonderen Werth von £ gezeigt werden kann, dass die v Functions werthe R₂(xyyy) von einander verschieden sind. Da die beiden Grössen £ und tj gleichberechtigt sind, so kann man auch aus der zweiten Gleichung alle [i Werthepaare entnehmen, welche zu einem Werthe von 7} gehören, in die erste einsetzen und die entstehenden Gleichungen mit einander multipliciren. Ueber den Beweis der Irreductibilität der Gleichung ^(£,72) = o, welche in Bezug auf £ vom y,ten Grade wird, gilt das Analoge wie vorher. Sind die Werthe von R^xy) für die eingesetzten Werthepaare nicht im Allgemeinen verschieden, so ist die Gleichung nicht irreductibel.

Erhält man nun durch das angegebene Verfahren eine irréductible Gleichung zwischen £ und vj, so tritt die wichtige Folgerung ein, dass nicht allein jedem Werthepaar (xy) nur ein Werthepaar (£t]) entspricht, sondern auch umgekehrt jedem Paar (£75) nur ein Paar (xy). Denn Wenn zu verschiedenen Werthen xy auch verschiedene Werthe v\ = R₂(%,x'x) gehören, wo die Grössen x'A die Wurzeln der Gleichung G(£, x) = 0 sind, so erhält man bei der Elimination von x diese Grösse rational durch £ und tj ausgedrückt, und daher auch

x = 9k(£y}),

y =

Dieses gegenseitige Entsprechen der Werthepaare ist immer dann ein ganz bestimmtes, wenn man zu der Stelle (xy) auch das Element giebt, welchem sie angehören soll.

Wenn umgekehrt nicht nur £ und tj sich rational durch x und y, sondern auch diese Grössen sich als rationale Functionen von £ und tj darstellen lassen, so ist die durch Elimination von x und y entstehende Gleichung ^(£,7)) = 0 irreductibel. Denn würden für jeden Werth von £ unter den v zugehörigen Functionswerthen R^x^y^), d. h. unter den jenem Werthe zuzuordnenden Werthen von tj sich gleiche finden, so würde die Substitution dieser Werthepaare (£t]) in die rationale Function ^(£7)) zu einem Werthe von x nicht lauter verschiedene Werthepaare (£tj) liefern. Die Gleichung f(x, y) — 0 könnte dann nach dem Obigen nicht irreductibel sein.

Von zwei Gebilden, die in der genannten Beziehung zu einander stehen, sodass jeder bestimmten Stelle des einen eine bestimmte Stelle des anderen entspricht, sagt man, dass sie durch rationale Transformation aus einander hervorgehen. Die beiden irreductiblen Gleichungen zwischen x, y einerseits und £, 7] andererseits sind dann in gewissem Sinne als äquivalent zu betrachten. Hiermit erhält man eine Eintheilung der algebraischen Gebilde, welche von der gewöhnlichen ganz verschieden ist. In der analytischen Geometrie, wo diese Gebilde Curven sind, ist man naturgemäss zuerst auf eine Eintheilung derselben nach dem Grade gekommen, und zwar namentlich deshalb, weil man zunächst das Verhalten einer Curve in Bezug auf eine gerade Linie untersuchte. In neuerer Zeit ist man auch darauf geführt worden, die Classe einer Curve zu betrachten, d. h. die Zahl der Tangenten, welche man von einem beliebigen Punkte aus an die Curve ziehen kann. Es ist dies nichts Anderes als der Grad einer bestimmten transformirten Curve. Bei un-

Eintheilung nun würden wir alle diejenigen Curven zusammenfassen,

serer

deren Gleichungen aus einer gegebenen durch rationale Transformation hervorgehen, wie es z. B. mit der Fusspunktcurve und der Evolute der Fall ist. Von diesem Gesichtspunkt aus erscheint die Curve zweiten Grades als näher verwandt mit ihrer Fusspunktcurve als mit einer Curve dritten Grades, obgleich jene von höherem Grade ist.

Da das Gebilde, aus welchem eine Reihe anderer durch rationale Transformation hervorgehen soll, in der verschiedensten Weise gewählt werden kann, so lässt sich auch die Frage aufwerfen, durch was für eine Gleichung

8* c

Der Begriff des einfachsten Gebildes ist aber kein fest bestimmter. Denn man könnte z. B. die

das einfachste dieser Gebilde zu charakterisiren ist.

jenige Gleichung als einfachste bezeichnen, welche von der niedrigsten Dimension ist, oder auch diejenige, welche in Bezug auf eine Variable den niedrigsten Grad hat, u. s. w. Allein es zeigt sich — worauf freilich hier nicht eingegangen werden kann —, dass es wesentlicher ist, durch rationale Transformation eine Gleichung aufzustellen, welche ein Minimum von Constanten enthält.

zu

Die Untersuchung, zu welcher wir uns jetzt wenden, ist als eine der wichtigsten für die Theorie der Abelschen Transcendenten zu bezeichnen. Sie betrifft die Bildung einer rationalen Function des Paares {xy), deren Unendlichkeitsstellen gegeben sind. Eine rationale Function einer Veränderlichen x ist bestimmt, wenn diejenigen Werthe bekannt sind, für welche sie verschwindet, diejenigen, für welche sie unendlich wird, und ausserdem noch ihr Werth für einen einzigen Werth des Arguments, wobei die Null-und Unendlichkeitspunkte mit der zugehörigen Ordnungszahl in Rechnung bringen sind. Eine ganze Function nUu Grades speciell ist durch ihre n Nullwerth e und ihren Werth für ein beliebiges Argument bestimmt; denn sie wird unendlich für den n-mdl zu zählenden Werth x = oo. Die analoge Bestimmung für eine rationale Function des Paares (xy) würde sofort ausführbar sein, wenn es gelänge, eine Function F{xy,x'y) herzustellen, welche an einer unbestimmt gelassenen Stelle (x'y') unendlich gross würde, und zwar von der ersten Ordnung. Denn sucht man alsdann eine Function, welche an den gegebenen Stellen {a^bj, ... (aybv) unendlich gross wird, so findet man für sie den Ausdruck

U₀ + Cx F {xy, a₁b₁) + --- + CvF{xy, av br),

in welchem die unbestimmten Coefficienten C noch dazu benutzt werden

y.

können, die Function an v anderen Stellen Null werden zu lassen. Man erhält nämlich aus dieser Bedingung v lineare Gleichungen für die Grössen Cx. Die Bestimmung der gesuchten Function würde dadurch vollendet werden, dass man ihren Werth noch für ein beliebiges Werthepaar (ab) vorschriebe.

Die Lösung der Aufgabe stellt sich also in diesem Falle im Wesentlichen "so, wie bei den rationalen Functionen einer veränderlichen Grösse.

Eine solche Function F{xy,x'y') lässt sich unter Anderem dann bilden, wenn x und ?/, mithin auch x und y, durch eine allgemeine Gleichung zweiten Grades

f(x,y) = ana?+2aaxy + any* + 2ainx + 2auy + an = 0 mit einander verbunden sind. Setzt man nämlich in diesem Falle

F(xy, x'y') =

g(?y)

x — x'

so ist die ganze Function g{xy) so zu bestimmen, dass F{xy,x'y'), als Function des Paares (xy) betrachtet, für den zweiten Werth y", welcher ausser y noch zu x — x' gehört, nicht unendlich wird; d. h. es muss die Bedingung gelten

g {x'y") = 0.

Man sieht leicht, auf welche Weise sie zu erfüllen ist. Die Function f{x\ y) nämlich wird Null für y = y' und y — y". Dividirt man sie demnach durch y — y', so erhält man eine ganze Function. Es ist, wenn gesetzt wird:

d²f(x,y)

Sy²

mithin

f(x',y) = f(x',y'\{y-y') + ^f(x',y')n(y-y'y

fW, y)

y-y’

und diese Function genügt der für g{xy) aufgestellten Bedingung. Die rationale Function

f{y', y)

F{xy, x'y) =

{x-x'){y-y')

ist daher die gesuchte, denn sie wird nur an der Stelle {x'y') unendlich, und mit der Ordnungszahl 1. Dass sie für einen unendlich grossen Werth nicht unendlich wird, folgt hier daraus, dass das Yerhältniss ~ immer

zwar von x endlich ist.

von der ersten Ordnung unendlich Denn da für eine solche Function

Allein man überzeugt sich ohne Schwierigkeit, dass eine Function F{xy₎x'y')₎ die an einer einzigen Stelle gross wird, im Allgemeinen nicht existirt.

F{xy₎x'y') der Grad p gleich 1 ist, so erhält man nach S. 49 aus den beiden

f(x,y) = 0 F(xy,x’y') = £

Gleichungen

eine Gleichung zwischen £ und x, welche in Bezug auf die letztere Grösse vom ersten Grade ist, also x rational durch £ ausgedrückt ergiebt. Da nun der zugehörige Ausdruck von y rational in £ und x ist, so wird er jetzt rational in £ allein, und das betrachtete Gebilde hat mithin die Eigenthlimlichkeit, dass sich x und y rational durch einen Parameter £ ausdrücken lassen. Dieser Fall soll im Folgenden ausser Betracht bleiben, da für ein Gebilde von solcher Beschaffenheit alle sich etwa darbietenden Aufgaben auf die leichteste Weise gelöst werden können. Es wird bewiesen werden, dass wenn man das durch die Gleichung f (x, y) = 0 definirte algebraische Gebilde als Curve auffasst, diese in dem eben besprochenen Fall so viele Doppelpunkte hat, wie sie ihrem Grade nach überhaupt besitzen kann.

Es sei jetzt f(x, y) = 0 wieder ein beliebiges irréductibles algebraisches Gebilde, und zwar sei f(x,y) in Bezug auf y vom rcten, in Bezug auf x vom mten Grade:

f(x,y) = fo(.x)yn+fi(x)yn 1+---+fn(x).

Jeder Coefficient fx(x) ist nach der gemachten Annahme eine ganze Function von x von nicht höherem als dem mien Grade. Um nun eine Function herzustellen, welche ausser an gewissen anderen Stellen jedenfalls für das Werthepaar (x'y’) von der ersten Ordnung unendlich gross wird, wobei wir stets annehmen wollen, dass [x'y') eine im Endlichen gelegene, nicht singuläre Stelle des Gebildes ist, untersuchen wir zunächst die Function

Setzt man

so ist

f(xy, y') =

f(x, y’)

(x’-x){y'-y)

fix y, y') =

f{x,y')-f(x,y)

y'-y

f(x, y')

y'-y

fn n    fn— l n—i

= mL^L+m*

° y-y ' y-y

. . n~¹ \ + ••• + 2/ )

+ ••• + 2/ )

foCxXy^ + yy +fx(x)(y,n~³ + yy

,n—2

in—3

+ fn-i(x)

RATIONALE FUNCTIONEN DES PAARES (Xy). und wenn nach Potenzen von y geordnet wird,

f{xy,y’) = f₀(x)y'n~¹+fi(x,y)y'n~i+-‘- + fn-i(x,y)-

Dabei haben die auftretenden Coefficienten folgende Ausdrücke:

fi(x,y) = f₀(pn)y fAx,y) = fo(x)y²+fi(x)y+f»(x)>

fn-i(xi y) = f₀{x)yn~¹+f₁(x)yn~²+-- + fn-i(x)•

Da der Voraussetzung nach die Stelle (xy') nicht singulär ist, so verschwinden in der Entwickelung

f(x,y) = f(x',y')i(x-x') + f(x',y,)i(y-y') + ‘- = o

die beiden Grössen f(x\ y')₁ und f(x\y')i nicht gleichzeitig; und zwar sei f(x') y')₂ nicht Null, sodass die n Wurzeln y der Gleichung f(x\ y) = 0 sämmt-lich unter einander verschieden sind. Setzt man x = x\ y = y' in den Ausdruck der Function f(xy,y') ein, so folgt

,n—2

+ •••== f(x',y’X,

f(x'y\ y') = nfo(x') y'n~l+(n - V h (x') y

und da diese Grösse nicht Null ist, so wird die Function

f(x,yr)___ f(xy, yr)

(x'-x)(y’-y)

x'—x

für x — x\ y — y' in der That unendlich gross. Setzt man dagegen x = x\ y = y\ wo y" irgend eine andere Wurzel der Gleichung f(x\ y) = 0 bezeichnet, so ergiebt sich aus der Entwickelung

f(x,y') = f(x',y,)t(x~x') + •••

f(x,y’)

y') i y'-y"

nimmt, also endlich bleibt. Wird x als endlich, y aber als unendlich voraus-

dass die Function

(x'-x)(y'-y)

für x — x\ y = y" den Werth

an-

gesetzt, so kann die Function ebenfalls nicht unendlich werden; wohl aber ist dies für x = oo möglich. Allein man kann mit Hülfe der aufgestellten Function leicht eine andere finden, welche im Unendlichen nicht mehr unendlich wird. Es seien, wenn y als Function von x betrachtet wird (S. 42), eine Reihe endlicher, nicht singulärer Werthe des Arguments ic, sodass unter den zugehörigen Werthen von y keine gleichen sich finden. Um zu bewirken, dass die neue Function für x = oo nicht mehr unendlich

f rr

a , a * ... a

(m—i)

gross wird, betrachten wir anstatt der vorhergehenden jetzt die Function

(m—i)

(x'—x)(x — a')... (x — a

(m-i)

Sie wird von der ersten Ordnung unendlich gross für x — x, y — y und ausserdem an (m —\)n = l anderen Stellen, welche man erhält, indem man x — a\ a"

Für hinreichend kleine Werthe von \x—x'\ und \y—y'\ nimmt die Entwickelung dieser Function nach Potenzen von x—x die Form an

.. a

(m-i)

setzt und y jedesmal die n zugehörigen Werthe beilegt.

f 0»'. y)

x'—x

Der Coefficient von (x'—xy¹ ist also gleich f(x',y’\; um diesen Werth erhalten, wurde im Zähler der Function der Factor (x — a)... (x — a zugefügt.

(m—i)

zu

) hin-

Für unsere Untersuchung ist es wesentlich, eine rationale Function des

Paares (xy) herzustellen, welche ausser für die Stelle (xyf) nur an solchen Stellen unendlich gross wird, die nicht für sich ^allein ein vollständiges System von Unendlichkeitsstellen einer anderen rationalen Function des Paares (xy) bilden können. Dabei soll es sich, wie bisher, um ein Unendlichgrosswerden mit der Ordnungszahl 1 handeln. Diese Voraussetzung wird auch im Folgenden, so lange nichts Anderes bemerkt wird, festgehalten werden.

Die neue Function, deren Existenz jetzt bewiesen werden soll, bezeichnen wir wieder mit F(xy,x'y'), die l Stellen, welche f(x, y) = 0 für x = a\ a'\

... a

m—i)

erhalten werden, mit

(«A), ••• («A).

aus

der Gleichung

Es werde nun angenommen, %t(xy) sei eine rationale Function, welche für die letzteren Stellen oder wenigstens nur für solche, welche unter ihnen enthalten sind

nur

von der ersten Ordnung unendlich gross wird. Zu diesen Stellen gehöre (a^). Stellt dann das Functionenpaar (xtyt) das Element mit dem Mittelpunkt fabj dar, so ergiebt sich

%x(xtVi) = cxt —

oder, wenn    anstatt %,(xy) gesetzt wird,

îïi&tVt) = *"ł + — >

und

fiPtVt, y')(x'-a') ...(x'-a

(m—l)

(x'-xt)(x-a') ...(xt-a

O«—1)

= F(1>(x'y')r¹+---

wobei F⁽¹⁾(x'y') eine ganze rationale Function des Paares (xy') bedeutet. Die Differenz

f(xy,y') (xr— a)... (x'—a

(m— l)

(x'—x) (x — a’)...(x — a

(m—l)

— Fm (xy) 31 (xy)

wird dann an der Stelle (a₁b₁) nicht mehr unendlich, und ihre Unendlichkeitsstellen sind daher (x'y')\ (a₂&₂), •.. (a{6J. Ist jetzt %t(xy) eine Function, welche nur an den Stellen (a₂b₂), ... (atbt) unendlich gross wird, so kann man mit ihrer Hülfe eine Function hersteilen, die nur noch an der Stelle (x'y') und an den 1— 2 Stellen (a₃è₃), ... (afy) unendlich wird, u. s. f. Jedoch kann durch Fortsetzung dieses Verfahrens sicher nicht bewirkt werden, dass die Stellen (a%by) sämmtlich wegfallen. Denn dann würde eine Function existiren, die nur an der einen Stelle (x'y') unendlich gross wird, und wir würden auf den jetzt ausgeschlossenen Fall zurückkommen, dass x und y sich rational durch einen Parameter ausdrüeken lassen, Es muss demnach für die Anzahl der übrig bleibenden Stellen (ay by ) eine untere Grenze geben. Wird diese mit q bezeichnet, so lässt sich also eine in (xy) und (x'y') rationale Function F(xy,x'y') bilden, welche an der beliebigen, variablen Stelle (x'y') und an q ebenfalls beliebigen, aber als fest zu betrachtenden Stellen von der ersten Ordnung unendlich wird, während es keine rationale Function giebt, die nur an diesen festen Stellen mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross würde. Setzt man 1—q = k, so erhält man für F(xy,x'y') die Darstellung

f(xy, y') (x'— a ) ... (x'—a

- F«\x'y') %x(xy)-----F<*>(x'y') %h(xy)

(»»—i)

F(xy, x'y') —

(m—i)

(x'—x)(x—a') ... (x — a

wobei also ^t(xy)^ ... $k(xy) rationale Functionen bezeichnen, die an den l = (m — \)n Stellen, für welche x = a\ ... a Stellen unendlich gross werden. Die ganze rationale Function F{1)(x'y) erscheint als Coefficient von t"¹ in der Entwickelung von

(m—l)

(m—i)

ist, oder an einigen dieser

f(xtyt, y')(x'-a')... (x'-a

0»-l)

(x' — xt) (xt — a')... (xt — a

nach Potenzen von t, wenn das Element (xtyt) den Mittelpunkt    hat.

Fm(x'y') ist der Coefficient von t~l in der Entwickelung von

f{xtyt, y') {x'-a')...{x'-a

(w—1)

(x'— xt) (xt — o!)...    — a(m °)

~F^{x'y')^{xtyt)

wo {xty^) jetzt die Umgebung der Stelle (ajoJ darstellt, und entsprechend findet man die Functionen F⁽³⁾{x'y'), ... Fik)(x’y').

Eine Function dieser Art ist noch nicht völlig bestimmt, denn man kann sie, ohne Änderung ihrer wesentlichen Eigenschaften, mit einer beliebigen Constanten multipliciren und ausserdem eine willkürliche Constante zu ihr addiren. Für die eben gebildete Function F{xy,x'y') erhalten wir, wenn wir x, y in der Nähe von x\ y annehmen,

F(xy, x'y') =

fix'y'X

Das Anfangsglied

stante gleich 1 setzen. Die additive Constante könnte man dazu benutzen, die

x’ —

wollen wir beibehalten, d. h. die multiplicative Con-

Function an einer beliebig gewählten Stelle (aob₀) zum Verschwinden zu bringen. Alsdann ist die Function eindeutig bestimmt, sobald die Stellen {x'y')\ ... {abç) fixirt sind. Denn gäbe es zwei Functionen dieser Art, so würde ihre Differenz F{xy, x'y') — F{xy, x'y') an der Stelle {x'y') nicht mehr unendlich werden, sondern nur noch an den Stellen {abj, ... (a,^). Da jedoch eine solche Function nicht existirt, so muss sich die Differenz auf eine Constante reduciren; und diese ist Null, weil F(xy,xy’) und F{xy,x'y') an der Stelle (a₀b₀) verschwinden. Mithin sind die beiden Functionen identisch.

Je nach der Wahl der Stellen (aaba) lassen sich beliebig viele Functionen F(xy₎ x'y') bilden. Doch soll jetzt gezeigt werden, dass für sie alle die Anzahl dieser Stellen, d. h. die Zahl q, denselben Werth haben muss. Ist dies bewiesen, so werden wir die algebraischen Gebilde nach dem Werthe von ç ein-theilen können.

F(xy, x'y’) — F{xy, x'y')

Wir nehmen an, es sei eine zweite Function F(xy,x'y') hergestellt, welche an der Stelle {x'y') und an den a, von den q Stellen (aba) verschiedenen Stellen (ab'), ... {a^b^) mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross wird, während keine Function existirt, die nur an diesen a Stellen von der ersten Ordnung unendlich würde. Die zweite Function soll für hinreichend kleine Werthe von \x — x'\ und \y — y'\ nach Potenzen von x — x entwickelt dasselbe Anfangsglied aufweisen wie F{xy, x'y') und ebenfalls an der Stelle (a₀b₀) verschwinden. Die Differenz

wird dann an der Stelle {xy) nicht mehr unendlich. Setzt man aber für {xy) das Functionenpaar (;xtyt), welches die Umgebung der Stelle {ab') liefert, so beginnt die Entwickelung mit U¹, multiplicirt mit einem gewissen Coefficienten. Nun ist F{xy, ab') eine Function, welche die letztere Eigenschaft ebenfalls besitzt. Daher wird ein Coefficient C sich so bestimmen lassen, dass

F{xy, xy') — F{xy, x'y') — CF{xy, a'b')

an der Stelle {a'b') endlich bleibt, und allgemein werden die Coefficienten C", C", ... C(S) so gewählt werden können, dass die Function

F{xy, x'y')-F{xy, x'y')-C'F{xy, a'b')-----G(a)F{xy, a(ff)6⁽⁵⁾)

an

von

keiner der Stellen (a^V^) {ß = 1, 2,... a) unendlich wird. Sie könnte^also nur noch an den q Stellen (aaba), welche Unendlichkeitsstellen der Functionen F{xy₎x'y') und F{xy₁ ct^b^) sind, unendlich gross werden; da eine solche Function aber nicht existirt, so muss sie sich auf eine Constante reduciren, und zwar auf Null, weil alle vorkommenden Functionen für die Stelle {a₀b₀) verschwinden. Wir schliessen also zunächst, dass wenn eine Function F{xy₎x'y') der angenommenen Beschaffenheit existirt, sie sich aus den Functionen F(xy,x'y') und F{xy^a{{i)b(y?)) in folgender Weise zusammensetzen lässt:

F{xy,x'y') = F{xy,xy) + C'F(xy,a'b') + --- + C(a)F{xy,a(a)Va)).

Soll nun der Ausdruck auf der rechten Seite für die Stellen {atbj, ... {aobo) nicht mehr unendlich werden, so müssen q Bedingungsgleichungen unter den Grössen C(;J) bestehen. Man erhält sie, indem man den Coefficienten des Gliedes t~l jedesmal dann gleich Null setzt, wenn das für {xy) eingeführte Functionenpaar die Umgebung einer der Stellen    ... {aob^) darstellt, in

folgender Form:

F™{x'y') + C'Fa){a'b') + ••• + C(ö)F^1)(a(a)&,5,) = 0

F⁽*\x'y') + G'F^{a'b') +... + Ć™FW{a™b(a)) = 0,

wo

F{?\xy) eine rationale Fkmction des Paares {xy) bedeutet. Ist nun a < q, so kann man im Allgemeinen, d. h. so lange die festen Stellen nicht besondere Bedingungen befriedigen, keine Grössen C(/?) finden, welche diesen Gleichungen genügen. Ist dagegen a — ç, so ist dies möglich, voraus-

gesetzt dass nicht die Determinante der Coefiicienten der C(?) verschwindet, ein Fall, der nur bei specieller Wahl der festen Stellen eintreten kann. Verschwindet diese Determinante, so lässt sich eine Function, nämlich

¹

= Ri{%y) vj = Rt(xy).

Vermöge dieser Gleichungen wird jedem Werthepaare (xy) eine Werthepaar (£?]) zugeordnet, und man erhält, da | und tj offenbar wieder durch eine algebraische Gleichung verbunden sind,

C'F(xy, a'V) + ••• + C^F(xy, cWb<0)

bilden, welche nur an den Stellen (ab'), ... (a(?)&(?)) unendlich gross wird. Ist endlich a > q , so könnte man in der ganzen Rechnung die Rolle der Stellen (ab'),... (a(a>6<3)) und (atbj,... (aQb₀) vertauschen, mithin für F(xy,x'y') einen Ansatz machen:

F(xy,x'y) = F(xy,x'y') + C₁F(xy,a₁b₁) + --- + GQF(xy,aĄ),

um sich dann in analoger Weise wie vorher zu überzeugen, dass die Bestimmung von Ct, ... Co im Allgemeinen nicht möglich ist. Das Resultat dieser Untersuchung ist demnach: Wenn man zwei Functionen F(xy,x'y) und F(xy,x'y) von den angenommenen Eigenschaften hat, so müssen sie noth-wendig von demselben Grade sein. Vorausgesetzt ist bei der Deduction allerdings, dass die beiden Reihen (a^J, ... (<z^) und (ab'), ... («⁽⁵⁾&(ö)) keine gemeinschaftlichen Stellen enthalten. Aber auch wenn dies der Fall ist, ändert sich im Princip nichts; denn man kann dann eine dritte Reihe zu Hülfe nehmen, welche mit keiner der beiden ersten eine Stelle gemein hat. Oder man verfährt direct, indem man die Summation nur über so viele Functionen F(xy, a^b<;^) erstreckt, als verschiedene Stellen in den beiden Reihen vorhanden sind, und hierauf denselben Weg einschlägt wie vorher. Man bekommt dann weniger Unbekannte und weniger Gleichungen.

Wir gehen nun noch näher auf die Aufgabe ein, eine rationale Function des Paares (xy) zu bilden, welche an a gegebenen Stellen von der ersten Ordnung unendlich gross wird. Die Lösung dieser Aufgabe ist möglich, sobald a > q angenommen wird, wie schon aus dem Vorhergehenden ersichtlich ist. Es seien jetzt (xxy^), ... (xryr) und (a^J, ... (a^b^) die Unendlichkeitsstellen der zu bildenden Function, wobei wir annehmen, dass die in der ersten Reihe enthaltenen r Stellen nicht in der Reihe (a^J, ... (a b ) Vorkommen. Dann ist a = r + p' und a > q, also r>Q — q'. Wir betrachten die Function

CiF(xy, x₁y₁) + C₂F(xy, x₂y₂) + --- + CrF(xy, xryr)

welche bei beliebigen Coefficienten Ca an den r + e Stellen    ... (xryr),

... (a 6 ) unendlich gross wird, und ,bestimmen die Coefficienten so, dass sie an den q — q' Stellen («^₊₁^₊₁), ••• (aç6ç) nicht mehr unendlich wird. Setzt man für (xy) ein Functionenpaar, welches die Umgebung einer dieser q — q' Stellen liefert, und entwickelt nach Potenzen von £, so ergeben sich, da jedesmal der Coefficient von U¹ verschwinden muss, die Bedingungsgleichungen

(u = q'+ 1, ... q).

C₁F«\x₁y₁) + C₂F«\x₂y₂) + --+CrF«\xryr) = 0

Wir erhalten demnach q — q homogene lineare Gleichungen mit r Unbekannten C, ... Cr, und da

r> Q~q',

so ist die Bestimmung der Unbekannten möglich, und es existiren also stets Functionen, welche an mehr als q beliebig gewählten Stellen, und nur an diesen, von der ersten Ordnung unendlich gross werden. Die Zahl q +1 giebt hiernach die kleinste Anzahl beliebig zu wählender Stellen eines Gebildes f(x, y) = 0 an, welche angenommen werden muss, damit sich eine rationale Function des Paares (xy) bilden lasse, die nur an diesen Stellen von der ersten Ordnung unendlich gross wird.

von

Aus der durchgeführten Untersuchung geht hervor, dass die Zahl p nur der Natur des gegebenen Gebildes abhängt. Sie soll als der Bang des algebraischen Gebildes bezeichnet werden.

Yon welcher Bedeutung der Bang für die Theorie der algebraischen Gebilde ist, erkennt man namentlich aus dem Satze, dass diese Zahl für alle Gebilde, welche aus einander durch rationale Transformation hervorgehen, denselben Werth behält. Dies ist aus der Bedeutung von q leicht abzuleiten. Es seien nämlich zwei Grössen |,tj mit x,y durch die Gleichungen verbunden:

( £ = RMy)

\    = R&y),

wo

die rationalen Functionen Rfay) und R₂(xy) so gewählt sind, dass auch umgekehrt x und y sich rational durch | und yj ausdrücken lassen. Die durch Elimination von x und y entstehende Gleichung

/i(£> ri) == o,

welche nach dem Früheren (S. 59) irreductibel ist, stellt das transformirte

algebraische Gebilde dar. Irgend eine rationale Function $t(xy) verwandelt sich durch die obige Substitution in eine rationale Function 9^(17]), und den Unendlichkeitsstellen (xty^), ... (xpyp) der ersten Function entsprechen die Unendlichkeitsstellen (IjYjJ, ... (lprlp) der zweiten. Sind endlich (xtyt) und (g^) zwei Functionenpaare, welche entsprechende Elemente der beiden Gebilde darstellen, so müssen die Entwickelungen von ^R(xtyt) und 9^(1^) nach Potenzen von t identisch sein; die beiden Functionen haben demnach für entsprechende Unendlichkeitsstellen und Nullstellen dieselben Ordnungszahlen, und der Grad beider ist derselbe.

F(xy, xy) durch die obige Substitution her

aus

Wenn also die Werthepaare (£'t]') und (xy'), (^ßj,... (a^ß ) und (ai bj,... ([aQbç), (aoßo) und (aob₀) einander entsprechen, so kann man sagen, dass die Function Ft (|tj, g yj'), welche vorgeht, an der Stelle (gr/) und den Stellen (a₁/3₁), ... (a/3 ) von der ersten Ordnung unendlich wird, an der Stelle (a₀ß₀) aber verschwindet. Die Stellen ... (afjßQ) sind offenbar so beschaffen, dass es keine rationale Function des Paares (£y]) giebt, die nur für sie von der ersten Ordnung unendlich würde; denn sonst würde es auch eine Function von (xy) geben, die nur an den Stellen (a^J,... (« & ) unendlich wird, was ausgeschlossen ist. Das durch rationale Transformation erlangte Gebilde /'(£,'/]) = 0 ist mithin ebenfalls vom Hange q.

Der Hang hat hiernach für die algebraischen Gebilde eine ganz andere Bedeutung als z. B. die Ordnung oder Classe für die algebraischen Curven. Denn diese Zahlen bleiben nur bei linearen Transformationen ungeändert, während q auch bei einer allgemeinen rationalen Transformation nicht verändert wird.

Wir kehren zu der Function F(xy,xy) zurück, deren Einführung auch für die Theorie der Integrale algebraischer Functionen von wesentlicher Bedeutung ist, und gehen auf ihre Zusammensetzung noch näher ein. Wir haben diese Function (S. 64 — 65) in der Form dargestellt:

F (xy, x'ÿ) =

f(xy, y') (x'~ «')... (x'—a

(m— V

(m—l)

Fa) (xy) 3fx (xy)-----F(xy) (xy).

Durch die Subtraction des Ausdrucks

2 Fm(x'y') %x(xy)

X

wurde erreicht, dass die Function F(xy,xy) ausser der Stelle (x'y') nur noch l — k=Q Unendlichkeitsstellen besitzt, die nicht für sich allein ein vollständiges System von Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function bilden können. Die Zerlegung in Partialbrüche ergiebt

(m —l)

(x'—a')... {x'—a

ix'— x) (x — o!) ... (x — a

(m—l)

(m—l)

(m—l)

sind ganze Functio-

Hierbei ist c — 1, die folgenden Coefficienten c, ... c nen von x'. Man erhält also aus der obigen Gleichung die Darstellung

F(xy, x'y') =

fixy, y')

x'—x

+ 2 Fa\x'y') %K(xy) x

in welcher wesentlich ist, dass in der Summe von Producten an zweiter Stelle der eine Factor nur von (x'y'), der andere nur von (xy) abhängt; und zwar ist der erste Factor eine ganze Function des Paares (x'y’), der zweite eine rationale Function des Paares (xy). Das Glied an erster Stelle ist unmittelbar aus der Gleichung f{x,y) = 0 zu bilden.

Hat man eine solche Function, so kann man aus ihr durch das oben beschriebene Verfahren beliebig viele herstellen. Sind nämlich (ab'), ... (a^b(Qy) andere q Stellen, für welche es keine Function giebt, die nur an ihnen von der ersten Ordnung unendlich wird, so sei F(xy,x'y',a'b',...a^b(Q)) eine Function, die ausser an der Stelle (x’y') nur an diesen q festen Stellen unendlich wird. Um sie zu bilden, gehen wir von dem Ausdruck

F(xy, x'y') + C'F(xy, ab') + ••• + C^F(xy, a^b^)

aus

und bestimmen die Coefficienten C(a) so, dass er an den Stellen (aabu) endlich bleibt. Wir erhalten dadurch q Gleichungen der Form

(« = 1,2,... q).

Fw(x'y')+ C'Fw(a'br) H----+ G^Fw(aW) = 0

Die Determinante aus den Coefficienten der Grössen C(ct> kann nicht Null sein; denn dies würde bedeuten, dass es eine Function gäbe, welche nur an den Stellen (ab'),... (a(Q)b(Q)) unendlich würde (S. 68). C(c0 ergiebt sich mithin als lineare Function Fw(x'y') der Grössen Fa)(x'y'), ... FlQ)(x'y'), sodass man

F(xy, x'y', a'b', ... a⁽W) = F(xy, x'y') V 2 Fw(x'y')F(xy, a,a)b(a))

oder, wenn man für F(xy,x'y) den vorher gefundenen Ausdruck einsetzt,

F(xy, x’y'y a'b',... a^b^) —

f(xy,y')

+ 2 (x'y'\ \xv\

erhält, wo in der Summe wieder ganze Functionen des Paares (x'y) mit rationalen Functionen des Paares (xy) multiplicirt sind.

Man braucht also nur eine Function von den angegebenen Eigenschaften wirklich herzustellen. Auch ist die Voraussetzung nicht wesentlich, dass die Unendlichkeitsstellen (ab'), ... (a^b^) der Function alle von einander verschieden sind. Um diese Beschränkung aufzuheben, ist es vor Allem nöthig, aus der Function F(xy,xy’) eine andere abzuleiten, die an einer willkürlich angenommenen Stelle von beliebig vorgeschriebener Ordnung und an q anderen Stellen von der ersten Ordnung unendlich gross wird.

Dieselbe Rolle wie hier F(xy,x'yr) spielt für die rationalen Functionen einer Veränderlichen die Function

welche für x — x von der ersten

Man kann aus ihr Functionen, welche an einer

Ordnung unendlich wird, gegebenen Stelle a von beliebiger Ordnung unendlich gross werden, dadurch ableiten, dass man x — a + t setzt und nach Potenzen von t entwickelt:

j-1 + • • *    •

x — a    (x — a)

Die Coefficienten der Entwickelung liefern nämlich Functionen, die an der Stelle x — a von der ersten, zweiten, . . . Ordnung unendlich gross werden. Ganz ähnlich könnte man für die Function

F(xy, x’y)

f(x'y’\

verfahren, deren Entwickelung für die Umgebung der Stelle (x'y) mit beginnt (S. 66). Setzt man hier, wenn f(xy\ nicht verschwindet,

x' — X

(ab) eine Stelle bedeutet, für die

x' = a + t

so erhält man die Entwickelung

y' = b+mt)

F(xy, x'Ty'T) dx^ _ Fjxy, xLyx) dy\

/'« y\\    ck

aus der ähnlich wie vorher Functionen abgeleitet werden könnten, die der Stelle (ab) von beliebiger Ordnung unendlich werden, dürfen, um hinreichend allgemein zu verfahren, die Stelle (ab) jener Beschränkung nicht unterwerfen.

an

Allein

wir

Es sei (x'Ty[) ein beliebiges Functionenpaar, welches ein Element mit

F(ocy, x'Ty'T)

dem Mittelpunkt (x'y') darstellt. Dann empfiehlt es sich, anstatt nach Potenzen von x zu entwickeln, von vornherein den Ausdruck noch mit

dx~

-fc- zu multipliciren, weil er nur in dieser Verbindung in der Theorie der Integrale algebraischer Functionen gebraucht wird und alsdann auch keine der Variablen x und y vor der anderen bevorzugt ist. Denn durch Differentiation der Gleichung f(x,y) = 0 folgt

mithin

f(xy\dx + f(xy\dy = 0

dx

dy

und es ist daher

f\xy\

f(xy) i

f(Ky t)i    dz

Im Folgenden werde nun bleibend

F(xy, x'y') — F(a₀bQ, x'y')

f(x'y'\

= H(xy, x'y')

Dann ist

gesetzt, wobei F(xy,x'y’) die p + l Unendlichkeitsstellen (x'y'), (at 6J, ... (anb^) hat, aber noch nicht an der Stelle (a₀b₀) verschwinden soll.

p von einander verschiedenen festen Stellen (a^), ... (aQbQ)

von der ersten Ordnung unendlich wird und an der Stelle (a₀b₀) verschwindet;

F(xy, x'y')

f(x'y'\

F[(xy, x'y') eine rationale Function des Paares (xy), die ausser an der Stelle (x'y') noch an

kann hierbei in der Form:

F(xy, x'y')

f(xy, y')

f(x’y'\    (x'-x)f(x'y')₂ r f(x'y')₂

dargestellt werden, wo (x'y'\ eine ganze Function des Paares (x'y) und \xy\ eine rationale Function des Paares (xy) bedeutet.

Unsere nächste Aufgabe ist, die Entwickelung von

nach Potenzen von t und x zu untersuchen. Dabei soll (xtyt) ein willkürlich

angenommenes Functionenpaar sein und mit (x yx) dasjenige Functionenpaar bezeichnet werden, welches aus jenem durch Vertauschung von t mit t oder durch eine Substitution

t = CX -f" ĆT² H----

hervorgeht. (&'«/') und    dagegen sollen ein Element darstellen, das mit

dem durch {xtyt) oder (%Tyx) dargestellten nicht äquivalent ist.

Für diese Untersuchung ist es nöthig, beurtheilen zu können, wann der Quotient zweier Potenzreihen von t und x sich in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickeln lässt. In meiner Ahhandlung »Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze« habe ich im § 2 den folgenden Satz bewiesen, mit dessen Hülfe die aufgeworfene Frage zu entscheiden ist:

»Kann man zeigen, dass der absolute Betrag des Quotienten

wenn ...a;B) in einer gewissen Umgebung der Stelle (0, ...0) und so, dass $P₀(æ ,... xn) nicht gleich Null ist, angenommen wird, stets kleiner als eine angebbare Grösse ist, so reicht dies aus, um festzustellen, dass    ... xn)

durch (*„•••«») ^heilbar ist.« Dabei wird vorausgesetzt, dass ^o(0,... 0) und ą(0,...0) gleich Null sind.*)

Bei diesem Nachweise kann man noch eine endliche Anzahl von Werthsystemen {x^...xn) ausschliessen.

Will man diesen Satz auf

f(xt Vu y'z)

H(xtyt, xxy'T)

dx[

dx'x _ F(xtyt, x'x yx) - F(a₀b₀, x'xy'x) dxL

dx

fKy'xl

dx

f(a₀K y'r)

dxx

dxL.

\x'x-xt)f{x'xy’x\ dx {x'x-a₀)f(x'Ty'x\ dx ' f{x'xy'T\ ?    iaMi\ KVx)

anwenden, so ist zunächst zu bemerken, dass das zweite und dritte Glied rechts sich stets nach Potenzen von t und x entwickeln lassen, und dass dabei negative Potenzen, wenn sie überhaupt Vorkommen, sicher nur in endlicher Anzahl auftreten. Bei der Untersuchung des ersten Gliedes der rechten Seite sind mehrere Fälle zu unterscheiden.

¹ dx

Erstens: xt und x'z haben für t — 0 und x = 0 endliche, von einander *) Vgl. Bd. II, S. 146 dieser Ausgabe.

verschiedene Werthe. sonderung eines Factors x^, mit einer constanten, von Null verschiedenen Grösse, und die Entwickelung des ersten Gliedes nach steigenden Potenzen von t und x ist möglich.

Der Nenner beginnt dann, nöthigenfalls nach Ab-

Zweitens: Von den beiden Functionen xt und x' wird die eine, z. B. x0 für t = 0 unendlich gross, während die andere für x = 0 endlich bleibt. Dann kann man setzen

/v» 2

^t

xt-x ;

und erhält für jenes Glied, wie man leicht sieht, wieder eine Potenzreihe von t und x.

Drittens: xt und x'x reduciren sich für die Nullwerthe auf denselben endlichen Werth a, sodass

xt — a + at t“ H----

Vt = t + MV +••• x\ — a -f a'^' H—

6 = v+vy+...

b' ist hierbei nur dann gleich 6, wenn die beiden

gesetzt werden kann, nicht äquivalenten Elemente ('xtyt) und (%xyx) denselben Mittelpunkt haben.

ersetzen (S. 54). Dann schliessen wir zu-

Wird für t — 0 oder x = 0 yt oder yx unendlich gross, so ist yt — b durch — und y—b' durch -4- zu nächst solche Werthe von t und x aus, für welche entweder f(xxyx\ verschwindet, oder yt oder y'x unendlich gross wird. Alsdann kann der Quotient

da f(xy,y') eine ganze rationale Function von x,y,y ist (S. 62),

fiPtytiy'x) fiPzyk) »

für kleine Werthe von \t\ und |x| nach steigenden Potenzen dieser Grössen entwickelt werden. Ist das Werthepaar (ab') ein singuläres, sodass f(ab')₂ verschwindet, oder stellt eins der beiden Functionenpaare ein unendlich fernes Element des Gebildes dar, so können in dieser Entwickelung auch negative Potenzen auftreten, aber nur in endlicher Anzahl. Bezeichnet man mit $ß(£, x) eine Potenzreihe, welche nur positive Potenzen von t und x enthält, so kann man also stets schreiben:

f(xtyt,y’x) dx'z _ jßff, r) 1

ta T? Xt — X'x

Nenner verschwindet, der Zähler aber nicht, wobei man ausser den schon vorher ausgeschlossenen Werthen von t und x auch die Werthe t = 0, x = 0 aus-schliessen darf. Der Quotient und demnach die linke Seite der vorstehenden

Gleichung würde also für unendlich viele Werthsysteme (t, x) unendlich gross werden. Es wird aber

dx\

-O/Ky%\ d~

unter den gemachten Annahmen nur unendlich, wenn gleichzeitig xt — x , yt — yx ist. Bestimmt man nun zu einem kleinen Werthe von t einen entsprechenden Werth von x so, dass xt = x'x wird, so ist nicht stets yt — y'z, denn sonst würde (xtyt) dasselbe Element darstellen wie (x^yT). Die rechte Seite der obigen Gleichung lässt sich mithin in eine Potenzreihe von t und x entwickeln, die nur eine endliche Anzahl negativer Potenzen enthalten kann.

Viertens: Ist xt für ^ = 0 und gleichzeitig x'x für x == 0 unendlich gross, hat man also so setze man

/y» . „    /y»

'A't

Wäre nun

$(*,*)

nicht nach positiven Potenzen von t und x entwickelbar, so würde man für unzählige Werthsysteme (£, x) bewirken können, dass der

i %txV

xt

man erhält dann dasselbe Resultat wie vorher, nur kommt noch eine Potenzreihe aus dem Factor verändert bestehen.

Bezeichnet nun

—7- hinzu. Die Form der Entwickelung bleibt un-

Pit,,),

auch wenn der Buchstabe P mit einem Index versehen ist, stets eine nach ganzen Potenzen von t und x fortschreitende Reihe, welche negative Potenzen, wenn überhaupt

sammenfassung des Vorhergehenden das Resultat: Es ist

nur

in endlicher Anzahl enthält, so ergiebt sich durch Zu-

sobald, wie oben festgesetzt, die beiden Functionenpaare (xtyt) und (x'zy'T) nicht äquivalente Elemente des Gebildes darstellen.

Es bleibt noch die Entwickelung von H{xtyt, xxyT)-^r vorzunehmen, also der vorher ausgeschlossene Fall zu untersuchen, in welchem die beiden Functionenpaare dasselbe oder äquivalente Elemente darstellen. Es sei

xt — a + cq + • • •,

so kann gesetzt werden

xz = a +    T¹“ + • • •

also

xt — xT = affi—+    = (J —t)$P(£,t).

Da nun für x = 0 die Entwickelung von xł—xr mit ajf beginnt, so kann man nach den im ersten Kapitel mehrfach angewandten Sätzen der Functionentheorie setzen:

Xt-Xx = [^ + (z\t^ ¹ +    +    t),

wo das Anfangsglied von *ß(£, x) eine constante, von Null verschiedene Grösse ist und (x)i5 ... (x)u Potenzreihen von x mit nur positiven Potenzen bezeichnen. Aus der Entwickelung

yT) _

{xt-xz)f{xzyz\ dz

dxT = Sg₀(£, ?)    1 dxr = _ <ß₀(<, t) ä\og(xt-xx)

taxP xt — xT dz

taz?

dz

folgt daher

dxz _

(xt — xz)f(xzyz\ ~dz~ ~ taxP[Vl + (t),P¹-¹ +••• + (r)u]

Zu jedem hinreichend kleinen Werthe von x gehören zu Folge der Gleichung

^+(t)₁^“-¹+... + (x)u = 0

(i Werthe t, für welche der Nenner verschwindet. Einer von diesen ist t = x,

bezeichnet. Wir schliessen nun ausser dem

die übrigen seien mit Werthepaar t — 0, x = 0 erstens diejenigen unendlich kleinen Werthe von x für welche die zugehörigen Werthe von t nicht sämmtlich verschieden sind, und zweitens diejenigen, für welche f(xzyr)₂ = 0 ist. Für alle nicht

aus

IX-l

ausgeschlossenen Werthe braucht dann, wenn xt = xz ist, nicht auch yt — yr zu sein, vielmehr tritt dies nur für den einen Werth t = x ein. Wenn der

zu xz gehörige Werth yt von yx verschieden ist, so verschwindet der Zähler des betrachteten Ausdruckes, denn f(xy,y') wird Null, wenn x gleich x', y aber von y verschieden angenommen wird. Es verschwindet daher auch ^ (t, x) Für t = t wird    = 1 (S. 63), also ergiebt sich

für t = t

.. t

ft-i*

%,(*>*) _

O TH

£ iS

t — tlf ...t

t — T.

|U—1

Aus æT = (ć — x)$ß(£, x) folgt noch

dlog(^-^T) _

di

£ — T    T)-

Betrachtet man nun die Function

fWtVu Vx)

dxx

(xt-XT)f(xTyz)₂ dz

so wird diese für t = T nicht mehr unendlich. Setzt man £==£    ..£

so

,u—

hat nach Ausschluss der angegebenen Werthe von x sowohl das erste, wie das zweite Glied einen endlichen Werth. Die Potenzentwickelung ist daher für diese Function möglich, d. h. es wird

dxz

¹ _ PÆA

taT?

Stellen (xty.) und (xxyx) dasselbe unendlich ferne Element des Gebildes dar, so sind — und — einzuführen (S. 75), und es ändert sich in den vorhergehenden Betrachtungen nichts Wesentliches, dem vorliegenden Fall zu dem Resultat:

Nach Aufstellung der beiden fundamentalen Gleichungen für die Entwickelung von

darüber Rechenschaft ablegen, wann negative Potenzen von t und x überhaupt Vorkommen können. In den beiden mit P(£, x) und P^, x) bezeichneten Potenzreihen können negative Potenzen von t nicht auftreten, so lange das Functionenpaar (xtyt) nicht die Umgebung einer der Stellen (tf^), • • • darstellt. Denn sonst würden die rechten Seiten der aufgestellten Gleichungen

(x-xz)f{xzyz\ d-

Demnach gelangen wir in

H(xtyv x'xy'x) und von H{xty₀ xxyx) ^ müssen wir uns nun

für t = 0 unendlich gross werden, welchen Werth innerhalb gewisser Grenzen man auch der Grösse t beilegte. Es wird aber die Function H(xy, x'y') nur unendlich gross, und zwar von der ersten Ordnung, wenn ([xy) gleich einem der Paare (aubu) genommen wird, und ausserdem für (xy) — (x'y'), d. h. für t = x.    *

Das Functionenpaar, welches die Umgebung der Stelle (aaba) darstellt, werde nun mit

(Wt)

Für dieses Functionenpaar tritt bei der Entwickelung von

bezeichnet.

H(xy,x'y') nach Potenzen von t die eine negative Potenz t~l auf, und es werde gesetzt;

(A.)

H(xtyt,x'y') = H(x'y')a t~x + 2 Hw(x'y')a tv.

— Hw(x'y')a des Paares

Die rationalen Functionen H(x'y')a und H'(x'y')a (x'y'), die hier als Entwickelungs-Coefficienten erscheinen, werden eine be

deutende Rolle in den ferneren Untersuchungen spielen.

dxr

Um zu Functionen zu gelangen, die an einer gegebenen Stelle von beliebig hoher Ordnung unendlich gross werden, entwickeln wir, wie oben (S. 72 — 73) angedeutet wurde

H(xy,xzyx)-^

Es sei, wenn (ab) das Werthepaar be-

nach steigenden Potenzen von x. zeichnet, das aus (x^y,.) für x = 0 hervorgeht:

(B.)

H(xy, xTyT)^- = ~^H(xy, ab)^.

so ergiebt sich

Wir wollen die Eigenschaften der F'unctionen H(xy, ab)^ untersuchen und zunächst annehmen, dass (ab) nicht mit einer der Stellen (aaba) zusammenfällt. Setzt man in die Gleichung (B.) (xtyt) für (xy) ein, wobei (xtyt) und (x^yS) äquivalente Elemente sein sollen, und entwickelt die linke Seite nach steigenden Potenzen von x

-2 H(xtyt, ab\* + r¹ + T t-² + Ta r³+ •.■■

Hieraus folgt durch Vergleichung der Coefficienten von xw auf beiden Seiten

— H(xtyt, ab)u+t ■“ ¹ = [P(7,

wenn, wie üblich, der Coefficient von x^ in der Reihe P(t, x) mit [P(£, t)]tW bezeichnet wird. Da nun in der Reihe P(t, t) nach der über (xtyt) gemachten Annahme negative Potenzen von t nicht Vorkommen, so wird

afyfs, — t ^ * + ^(0*

Piir ein anderes Functionenpaar (x'ty't), dessen Mittelpunkt weder die Stelle (ab) noch eine der Stellen (aJJ ist, erhält man ebenso aus der Gleichung

#(*,%. <30-1W = iï(<>T):

d. h.

Endlich ist auch

H(x'ty'v ab)u = ^(t).

= P,(M),

aber Pt(t, x) enthält jetzt die negative Potenz U¹, und zwar wird nach (A.)

H(xtyt,xTyx)^- = H(xTyT)a In derselben Weise wie vorher ergiebt sich

dx ⁺'"‘

+ $(<)

(« = 1»2

•• 9).

H(xtyt, ab)^ zu ermitteln,

Um die Form der Entwickelung von mit einer der Stellen (aaba) zusammenfällt, gehen wir von den Gleichungen

wenn

(ab)

a

aa (jlgç

BipcyyX^)-^ = -^B(xy,a.b.\ r"

a

dxT

a a aa HX

H(xtyt,xxyx)~j

Der Ausdruck H(xtyvxTyz)~- muss von der ersten Ordnung unendlich

aus.

gross werden, wenn man t = 0 setzt liebig lässt, mit dem Coefficienten

t aber innerhalb gewisser Grenzen be-Daher tritt in P(t, x) die Potenz t'¹ auf, und

zwar

nach (A.)

Entwickelt man nun wieder in der zweiten der vorstehenden Gleichungen beide Seiten nach steigenden Potenzen von x und bestimmt den Coefficienten von so folgt mit Hülfe der ersten Gleichung:

-H{xtyt,aaba\+r= [P(t, t)]

d. h.

TU)

■V*

(« = 1,2, — p).

('aaba) verschiedene Stelle aus der Reihe

Bedeutet (« 6^) eine

fabj, ••• (a₉&₉)i un(i wird (xtyt) für das erste Functionenpaar gesetzt, so ist die Gleichung

von

zu

benutzen; dann ergiebt sich

+ ut)

r-H

••• Q

Endlich ist

a

H{x'ty't,xzyx)~^ = pt(t, t),

wo die Potenzreihe keine negativen Potenzen von ć enthält, mithin

Hfâyï, aaba\ = $(*)

Die drei zuletzt ausgeführten Entwickelungen lassen erkennen

O = l, 2,... q) .

dass die

Function

H(xy, aJjĄ

nur an den Stellen (alÔJ, ... (a èj unendlich wird.

Nimmt man nun ^ = 0, so tritt überall nur die (-l)te Potenz von t auf. Da aber eine Function, welche nur an

den Stellen (aaba) von der ersten so muss H(xy, auba)₀ eine Constante

Ordnung unendlich wird, nicht existirt,

In der Gleichung (B.), welche zur dient, wird die linke Seite gleich Null, wenn (xy) = (a₀b₀) gesetzt wird (S. 73). Folglich verschwindet auch die rechte Seite jedenfalls, wenn das Functionen-

sein.

Definition der Functionen H(xy, ab)a

paar (xTyT) nicht die Umgebung der Stelle (a₀b₀) darstellt, d. h. es ist

Abelsche Functionen.

H(a₀b₀, ab\ = 0

11

für jedes Werthepaar (ab), welches von (aQbo) verschieden ist, und speciell

H(a₀b₀, aaba\ = 0.

Setzt man nun in der Gleichung

H(xy,aaba)₀ = C

(xy) — (a₀b₀), so folgt C = 0, also

H(xy,aaba\ = 0.

Wir wollen jetzt untersuchen, ob in der Gleichung (B.) (S. 79) auch negative Potenzen von x Vorkommen können und in welcher Anzahl, ob also Functionen H(xy, ab) mit einem negativen Index existiren. Es war allgemein (S. 78)

H(xtyt,xxyT)^ =

und es traten in P(t, x) negative Potenzen von t nur auf, wenn (xty^) mit einem der Functionenpaare (xtyt) zusammenfiel. Mithin wird

—/X )

H(xtyt,ab)    = — [x_1 + tx~²H-----f- P(t, x)]t-m = -t“~'-[P(t, t)]t

d. h.

H(xtyt, ab)_p = $(*).

Ferner ist

H(x'ty't, ab)_^ = -[Pt(t, t)]^ = $&(*).

In den Gleichungen

H(xtyt,xJT)^- +

H(xtyt,xzyz)^~ = Pl(t,x)

kommt auf den rechten Seiten die eine negative Potenz t~l vor. Das Ergebnis aus allen vier Gleichungen ist also, dass H(xy,ab)

Stellen (aaba), und

Dies ist nicht möglich, und es folgt daher, auch wenn (ab) mit einer Stelle (aabu) identisch ist,

nur an den

zwar von

der ersten Ordnung, unendlich werden kann.

E(xy, ab)

-f*

= G.

Nun haben wir aus der Gleichung (B.) abgeleitet, dass

H(a₀b₀,al\ = 0

ist. Dies gilt für positive und negative Werth e von y, und es ergiebt sich daher für (xy) — (a₀b₀) aus der vorhergehenden Gleichung C = 0, d. h.

H(xy, ab)

-,u

= 0,

wenn nur die Stelle (ab) von (a₀b₀) verschieden ist.

Um die in Rede stehenden Functionen auch für die letztere Stelle zu untersuchen, setzt man zweckmässig

H(xy,x'y) = H(xy, x'y')-H(a₀b₀₎ x'y'),

beginnen.

Führen wir das Functionenpaar (xryz) ein, so wird

wo die neue Function H(xy, x'y') die Eigenschaft besitzen soll, an einer von (a₀b₀) verschiedenen Stelle (a₀b₀) zu verschwinden. Im Übrigen möge sie, wie die ursprüngliche Function H(xy,x'y'), an den Stellen (x'y'), (a^J, ... (aobo) unendlich gross werden, und ihre Entwickelung für die Umgebung der Stelle (x'y') mit dem Gliede

0

⁰ s dxT

0 0

H(xy,xTyT)- ^ = H(xy, xjj - H(a₀b₀,

und nach dem vorher Bewiesenen enthält der erste Theil auf der rechten Seite keine negativen Potenzen von t. Es ist also

H(xy,x T20-^r

-U-fi

- H(a₀b₀,i^)^

JT-fł

Ferner kommen in der Formel

0

- 0 0 0 0 (1.X    1    _

H(xtyt,x^yx)-£- + j~^ = P(t,x)

rechts negative Potenzen von t nicht vor, da (xtyt) nicht die Umgebung einer der Stellen (atbj ...    darstellt. Für t = 0 folgt

H(aQb₀,xzyT)d^--x-¹

In P(t, t) können aber auch negative Potenzen von t nicht auftreten. Denn

giebt man t einen bestimmten, von Null verschiedenen Werth, für welchen das Fnnctionenpaar (xtyt) in {xy) übergehen möge, so müsste P{t,t), mithin auch

für x = 0 unendlich gross werden, d. h. H{xy, a₀b₀)

Null verschieden sein; dies ist aber nach dem Obigen nicht der Fall. Auf

-i“

von

der rechten Seite der Gleichung

ist hiernach t

x(«A,kk)^- = *-‘+p(o,t)

die einzige negative Potenz, also H{aubo, «A)-i = -1, S{a₀b₀, a₀b₀)

-7*

= 0 (ft > 1),

und hieraus folgt weiter:

1, /t = 1 0, ft > 1.

Für einen positiven Index ft geben die auf S. 79 — 81 über die Functionen H{xy, ab)^ entwickelten Gleichungen zusammengestellt folgende Formelsysteme :

H(xy, a₀b₀)

-i“

(I)

(1)    H{xtyt, ab\ =    + $(*)

(2)    H(pc'ty'u ab)u = %(t)

(3)    H{xtyt,ab\ = -r¹ H{xxyx)a~T-    +$(t)

(cc = 1, ... q).

a

(i) H{xtyt,auba\ =    H{xxyx)a

(« = 1,... q)

(II)

+ ¥(*)

(” ; -•)

r-T çn

(a = 1, ... e).

Nunmehr sind wir im Stande, das Verhalten der Function H{xy, x'y') vollständig klarzulegen. Es ist für die Untersuchung wesentlich, diese Function, wenn man {xy) in der Nähe einer Stelle {ab) und {xy') in der Nähe derselben Stelle oder einer anderen {ab') annimmt und {xtyt) für {xy), (xTyT) für {x'y') setzt, nach Potenzen von t und x entwickeln und die Form der Entwickelung angeben zu können. Die Bezeichnungen {xtyt) und {xtyt) wollen wir in der bisherigen Bedeutung beibehalten. Die Paare (xtyt) und {x'ty'.)

Negative Potenzen von x treten in keiner der drei Formeln' auf, weil H(xy, ab)_u = 0 ist.

Ein zweites Formelsystem ergiebt sich, wenn {xxyz) durch (xzyz) ersetzt wird:

(IV)

/ 0 0 \

(xtyt) fur

In beiden Systemen gilt die Gleichung (3) auch dann, wenn man (xty't) setzt.

von

sollen von den (xtyt) und von einander verschieden sein, (octyt) oder (x„yr) auch von (xTyT).

Unter diesen Voraussetzungen ist

bezeichnet, welche negative Potenzen weder von t noch von x enthält:

dxz

wenn

^3 (£, x) immer eine Potenzreihe

(1) H(xtyt,xzyz)--^

(ui)

dxz

(2) H(xtyt,    = t    + T)

Eine dritte Gruppe von Formeln finden wir durch Entwickelung

nach Potenzen von x. Hier tritt die negative Potenz x ¹ auf, und zwar mit dem Coefficienten — 1.

(V)

oo oo dx

(1) H(xtyt,xxyz)-^

0

au 0 0, rix (2) H(xtyt,xzyz)-^ =

(3) H(xtyuxzyz)^-

T ‘ + *P(f,T)

0

- T”¹ + t~¹H(xzyz)a —Ł ₊ $(*, r)

-T_1 + $(ć, t).

Aus diesen Gleichungssystemen kann man eine wichtige Eigenschaft der Functionen H(xy)a ableiten. Betrachten wir z. B. die Formel (III, 2), so kann in der Entwickelung der linken Seite nach steigenden Potenzen von x eine negative Potenz von x nicht auftreten, mithin muss

f] T ¹

sein. Ebensowenig kommen unter derselben Voraussetzung in (IV, 1) oder (IV, 2) auf den linken Seiten negative Potenzen von x vor, und man hat daher

von

Endlich enthält in der Formel (V, 2) die Entwickelung

0

a cc oo dx

H(xtyt,xzyx)^

nur die eine negative Potenz — x⁻¹, folglich ist

= SP(t).

Hiermit sind alle Fälle erschöpft beliebiges Functionenpaar bezeichnet, wohl in H{xzyz)a, aber nicht in H(xTyz)a negative Potenzen von x auftreten können.

Wir werden im

und man sieht

dass wenn (xryz) ein

fünften Kapitel, bei der wirklichen Berechnung des an zwei Beispielen zeigen, wie mit Hülfe dieser Eigenschaft die Functionen H(xy)u sich hersteilen lassen.

Banges eines algebraischen Gebildes

Drittes Kapitel.

Darstellung einer rationalen Function des Paares (xy) durch, die Function H(xy, x'y').

Um die Sätze über die jff-Functionen auf die Darstellung einer beliebigen rationalen Function des Paares (xy) anwenden zu können, ist ein wichtiger Hülfssatz vorauszuschicken. Es sei zunächst F(x) eine rationale Function im gewöhnlichen Sinne, at,...am die verschiedenen Werthe von x, für welche sie unendlich wird, so kann man F(x) darstellen in der Form:

+ ”•

4k

--2t--.

(x-amy

An

x-am

Denken wir uns nun die Function für Werthe in der Nähe von ai entwickelt und setzen zu diesem Zweck

x = ax + t,

so kommen Glieder mit negativen Potenzen von t nur in der ersten Horizontalreihe vor. Der Coefficient von t~* speciell ist gleich Ar Macht man die Entwickelung auch in der Nähe der anderen Unendlichkeitsstellen, so folgt

Man kann nun andererseits die Function F(x) auch für grosse Werthe von x entwickeln, solche nämlich, welche dem absoluten Betrage nach grösser als I ax I, ... I am I sind. Dazu setzen wir

und geben t einen kleinen Werth. Es ist dann

(K~aY

of 1--

=    1+ y at -I----).

Soll also ein Glied mit der ersten Potenz von t Vorkommen, so muss noth-wendig y = 1 sein, d. h. man erhält solche Potenzen nur aus den Anfangsgliedern der obigen Horizontalreihen, oder es ist

■t

F(l)

mithin

t-¹’

j(j)] = je [*>,+<)]

nen. brüche.

Dies ist einer der wesentlichsten Sätze aus der Theorie der rationalen Functio-Er liefert umgekehrt wieder die Darstellung der Function durch Partial-

Die Gleichung

y-F{x) = 0

stellt ein algebraisches Gebilde dar, und zwar haben wir es mit dem einfachsten Falle zu thun, wo nämlich die Gleichung in Bezug auf eine der Veränderlichen vom ersten Grade ist. Wir wollen untersuchen, wann in der Entwickelung der Function

dxf

yt~dt

ein Glied mit iT¹ auftreten kann. Negative Potenzen überhaupt können erstens erscheinen, wenn y für einen endlichen Werth von x unendlich gross wird. Dann kann man setzen

(a.)

xt— av+t

Vt — t ¹ + AyF* -1-----f'$(0 und es wird

dxA

s y,~dt

die beiden ersten Summen ausgedehnt über alle Elemente, welche durch ein Functionenpaar von der Gestalt (a.) gegeben werden.

Wird zweitens für t = 0 x unendlich gross, während der Werth von y endlich oder unendlich sein kann, so ist zu setzen

1

(b.)

*‘=7

y, = P(t).

Um für diesen Fall die Glieder mit t~l zu bestimmen, hat man in der Entwickelung von F(xt) die Potenz t¹ beizubehalten; denn diese wird mit — —y multiplicirt. Was die ganze Function g(x) betrifft, so ist

g (x) dx = dgt(x),

wo gx(x) wieder eine ganze rationale Function von x bezeichnet, g^t) enthält daher nur negative Potenzen von f, und in der Ableitung

dxt

WSl _ a(x\=ä_

dt ~ g >> dt

kann t ¹ nicht auftreten. Nun war

Jt

mithin wird für die Annahme (b.):

dx4 '

dt

Vt~xr

Aus der Zusammenstellung der beiden Fälle folgt

= o,

wenn jetzt die Summation über alle Functionenpaare (xtyt) ausgedehnt wird, für welche in yt^- überhaupt negative Potenzen von t auftreten.

Es sei jetzt allgemein

f(x,y) = 0

die Gleichung eines beliebigen algebraischen Gebildes und F(xy) eine rationale Function des Paares (xy). Die Entwickelung von

12

Abelsche Functionen.

kann negative Potenzen von t einerseits dann enthalten, wenn (xtyt) die Umgebung einer der Stellen darstellt, für welche F{xy) unendlich gross wird; die Anzahl dieser Functionenpaare ist jedenfalls eine endliche. Andererseits kann eine negative Potenz auch auftreten, wenn eines derjenigen Functionenpaare eingesetzt wird, bei welchen für t = 0 xt unendlich gross wird. Es ist aber nicht unbedingt nöthig, dass für alle diese Functionenpaare wirklich negative Potenzen Vorkommen. Denn es kann sein, dass von den beiden Factoren des Products der eine von einer bestimmten Ordnung unendlich gross, der andere von derselben oder einer höheren Ordnung unendlich klein wird.

Die Summe

dxt

H-¹

ausgedehnt über alle Elemente, für welche ein Glied mit t~l wirklich vorkommt, kann ohne Änderung ihres Werthes auch allgemeiner über alle eben genannten Elemente erstreckt werden; denn wenn einige von ihnen keine negative Potenz von t liefern, so fallen die diesen entsprechenden Glieder von selbst heraus. Es seien nun

, d₂, ... ctm

diejenigen Werthe von x, für welche wenigstens einer der n zugehörigen Werthe von F{xy) unendlich gross wird. Mit (xtyt) soll ein beliebiges der Functionenpaare bezeichnet werden, welche für t — 0 den Werth x = ax und einen zugehörigen Werth von y liefern, während (xtyt) der Reihe nach alle diejenigen Functionenpaare darstelle, welche für t — 0 x — oo geben. Dann ist

dxt '

tn tn

2 F(xiVt) dt

m

dxt

H-¹

jt-i

H-----^2 F(xtyt)

H-¹

H-¹

d. h. die Glieder, welche die auf der linken Seite stehende ursprüngliche Summe bilden, sind in dem Aggregat der Theilsummen rechts sicher enthalten. Die Bestimmung dieser letzteren Summen kann nun, wie wir sogleich sehen werden, mittels des vorher aufgestellten Hülfssatzes bewirkt werden.

bemerken, dass der Coefficient von

zu

Es ist jedoch nicht überflüssig t~l in der Gleichung

= et-' + P'(t)

raigeändert bleibt, wenn man das Element (a>tyt) durch ein äquivalentes ersetzt. Führt man nämlich ein solches Element (%TÿT) durch die Substitution

t = &* + &*■ + •••

ein, in welcher gx von Null verschieden ist (S. 16), so wird

= F{xtyt)

dxt dt

dt dx

=    +    = C^2S1 + ÉEâl.

dx    dx    dx    dx

In dem zweiten Gliede rechts kommt t_1 nicht vor, denn sonst müsste P(£), als Potenzreihe von t dargestellt, ein logarithmisches Glied enthalten, und dies könnte wiederum nur der Fall sein, wenn P(t) selbst ein solches enthielte. Ferner ist

logt = logt + $ß(x) dx

mithin

+    = «- + P,(X).

dass bei der Diffe-

nicht enthält, immer als Ableitung

-1

Die Substitution ist demnach auf den Coefficienten der (— i)ten Potenz ohne Einfluss, während die Coefficienten der übrigen Potenzen geändert werden. Dies beruht also auf dem einfachen Satze rentiation einer Potenzreihe von t niemals ein Glied mit T¹ auftritt, und dass umgekehrt eine Potenzreihe, welche t einer anderen Potenzreihe aufgefasst werden kann.

Wir wollen nun die erste Theilsumme

Es seien wie früher

berechnen, welche ein Repräsentant aller übrigen ist. y,y, ... ÿ die Werthe von y, welche zu einem Werthe x vermöge der Gleichung des Gebildes gehören. Die symmetrische Function dieser n Werthe:

F (xy) + F{xy) + • • • + F(xy),

als rationale Function von x dargestellt, werde mit F{x) bezeichnet. Diese Function kann für x = ax unendlich gross werden. Es sei nun zunächst ax

kein wesentlich singulärer Werth des Arguments der algebraischen Function y (S. 45), so kann man setzen

(l =

t-¹

xt — a.+ t, yt=Px(t),

und es wird dann

±[F(a1 + t,yt)] = [F(a1 + t))

â—i    ¹

Es ist dabei nicht nöthig, dass jeder der Ausdrücke F{a^y) wirklich unendlich gross wird. Tritt t~¹ in einzelnen Gliedern nicht auf, so werden einzelne der in die Summe aufgenommenen Coefficienten von selbst gleich Null. Da nun

dt

ist, so kann man auch schreiben

Jr¹

= 2 [F(ai +1, yt)\-1 = lF(ai + *)]

t-¹'

Die Grösse links ist aber gleich der ersten Theilsumme. Hiernach wird, wenn in F(xy) der Reihe nach alle nicht äquivalenten Elemente (xtyt) des Gebildes eingesetzt werden, bei denen sich xt für t = 0 auf einen der Werthe alt ... am reducirt, die Summe der Coefficienten aller (—l)ten Potenzen von t gleich

m

2 [F(av+ t)\

Ist auch x = oo kein wesentlich singulärer Werth des Arguments, so kann man setzen

Xt — -T

(X — 1,... ri)

dxt

dt

-r\

und es wird

J

Nun war (S. 88)

-2 [F(xty*)t-' J

ü = i

- f(4-) •

2 [F(av+t)]

t-¹

also wird

dxt

sh**)«

Jt-!

die Summe ausgedehnt über alle Elemente (xtyt), für welche xt die Umgebung eines der Werthe ax, ... am, oo darstellt.

Ist zweitens ax ein wesentlich singulärer Werth des Arguments, so wird die Umgebung der durch diesen Werth bestimmten Stellen des Gebildes durch weniger als n Functionenpaare vollständig dargestellt (S. 43—44), welche die Form haben

Dabei ist

x\ =    +

x'l — a₁ + a,'t

xf'⁾ — ax + af} t°n'

a2

yr= pa*)-

3,+ o₂+--- + on, == n.

Das erste dieser Functionenpaare geht für dxt*¹ = x über in

T Ui a[

und yx liefert, wenn man der Wurzelgrösse    ihre verschiedenen Werthe

ertheilt, die ox conjugirten Werthe

«i

Vi J 2/t 5 * * * y? ’

Bei dieser Bezeichnung ist also yx für yx gesetzt; bedeutet e₁ eine primitive

i    i

ate Wurzel der Einheit, so geht yx aus yx hervor, wenn man    für

setzt, u. s. w. Ist nun

F(x'xy'x) =    +

-Ol

a[

a[

a[

+ p 4-

a[

wo die Reihe    J kein Glied mit der Potenz x ¹ enthalten soll, so er

halten wir durch die angegebene Substitution

-Ol

a\

a[

+ -•

— CT X+ ••• •

Der Coefficient von x ¹ bleibt also hierbei ungeändert, und es wird

«i

[F(x',y'T) + .'- + F(x'ry'z)]z

Nun ist

a,-i

= [F{pWi)a\<*xt

je_i

mithin folgt für das erste Functionenpaar (x'ty't)

äx\

F^~d

«i

Jr¹

= [-F«y;) + -. + JF«ÿy]

Macht man jetzt den entsprechenden Ansatz auch für die übrigen Elemente {%'lyt), ... (^r'VrO) addirt sämmtliche Ausdrücke und berücksichtigt die Gleichung

F(xz y'z) + • * * + F(x'x y'x) + E(a;" «/") -1-----1- F(x'J. y'^)Ą—

so ergiebt sich nach der oben (S. 90) eingeführten Bezeichnung

= F(at + r)

i⁻¹

Hiernach bleibt auch für einen singulären Werth der Ausdruck der ersten Theilsumme derselbe wie vorher (S. 92).

Ist auch x = oo singulär, so kann für grosse Werthe von x geschrieben

werden

x\ = dt 5l x'l = a"t~**

y't = p,(0 y"t = p,W

und man hat, dem Vorhergehenden entsprechend,

wo aus durch die Substitution \— dz hervorgeht, also gleich -i Bildet man auch hier die Summe, welche derjenigen entspricht, die oben gleich F(at + z) gefunden wurde

ist.

so

ergiebt sich deren Werth jetzt gleich

und man erhält für die letzte Theilsumme in der Formel auf S. 90 die

Gleichung

CO CD

co

dxt

2

Demnach folgt schliesslich mit Hülfe des Satzes S. 88 wieder

H-¹

Jt"ł

Diese Gleichung gilt mithin auch dann, wenn in der Reihe der Argu-

die Summe erstreckt über alle nicht äquivalenten Elemente des Gebildes, für welche in der Entwickelung von F{xtyt) ~ Glieder mit t_1 Vorkommen können, mente

sich wesentlich singuläre finden.

Setzt man für ein bestimmtes Functionenpaar (xtyt)

Jt~¹

'F^w

also

dxt

wo die Potenzreihe P(t) kein Glied mit t ¹ enthält, so erhält man durch Integration

fF{xtyt)dxt — clogt+P(t)

und kann daher c auch als den logarithmischen Coefficienten in der Entwickelung des Integrals fF(xt yt) dxt bezeichnen. Entwickelt man dieses Inte

gral für alle nicht äquivalenten Elemente (xt yt) des algebraischen Gebildes nach Potenzen von t

so

ist die Summe aller logarithmischen Coefficienten

nach dem bewiesenen Satze gleich Null.

Wir führen jetzt an Stelle von F(pcy) eine Function der Form

F(xy) (H(x"y", xy) - H{x'y, xyj) ein und gehen daher von der Gleichung aus:

2 [P(*Tyt) (H{x"y", xTyx) - H{x'y', xTyT))

= 0.

JT⁻¹

Die Stellen, an welchen F{xy) unendlich gross wird, seien mit {xvyv) bezeichnet, die Functionenpaare, durch welche ihre Umgebung dargestellt wird, mit Die Stellen {xvyv) und {x'y’), {x'y") seien unter einander verschieden. Die H-Function wollen wir uns mit einer Nullstelle (a₀b₀) gebildet denken, welche mit keiner der genannten Stellen zusammenfällt, und wir können endlich, um ganz sicher zu gehen, (x'y') und {x'y”) auch als von den (aabu) verschieden voraussetzen. In der Entwickelung der neuen Function nach Potenzen von T können negative Potenzen Vorkommen: 1) wenn man {xzyT) gleich einem der Functionenpaare (x^y™) nimmt; 2) wenn in

(.mx'Y, «A) -

negative Potenzen auftreten, was nach den Formelsystemen auf S. 85 nur der Fall sein kann, wenn (xzyx) für x = 0 entweder (a₀b₀) oder {x'y') oder Nun heben sich die beiden Potenzen — x⁻¹, welche nach der

{x”y") liefert.

Formel (V, 3) für die erste Annahme erscheinen würden, in der Differenz der beiden FT-Functionen auf. Setzt man dann in (III, 1) <5 = 0, so folgt

R{x    = T- + ąS(t),

und der eine der gesuchten Coefficienten ergiebt sich mithin gleich F {x'y"), der andere ebenso gleich —F{x'y'). Hiernach wird

die Summe jetzt ausgedehnt über alle Unendlichkeitsstellen der Function F{xy). Setzt man noch für {x"y") das unbestimmte Paar (xy), so erhält man:

F(xy) = F(x'y')--E,[F(x'”y"<)(R(xy,x«y»)-H(x'y', x?y?))^p

F(x’Y) — F(x'y') = -S [f (*?*?>)

JT-1

Dies ist der allgemeinste Ausdruck einer beliebigen rationalen Function F{xy) mittels der Function H{xy,x'y'). Er bildet das Analogon zu der Darstellung einer gewöhnlichen rationalen Function durch ein Aggregat von Partialbrücheü, welche nur an je einer Stelle unendlich gross werden.

Nehmen wir für {x'y') ein constantes Paar, so können wir schreiben:

F{xy) =

wo C nur von (x'y'), nicht von (xy) abhängig ist. Diese Formel giebt eine Vorschrift zur Darstellung der Function F(xy). Um sie vollständig zu entwickeln, wollen wir voraussetzen, dass F(xy) an den l Stellen

(xiVi), ••• (xiVi)

von der Ordnung

fh, ••• Pi

unendlich werde. Es sei dann

Ferner ist (S. 79)

Diese beiden Ausdrücke haben wir zu multipliciren und den Coefficienten von x_1 zu bestimmen. Mit Hülfe der Gleichungen (S. 83, 84)

1, ^=1 0, y > 1

H(xy, ab)

= 0, H(xy,a₀b₀)

ergiebt sich:

= cv+CvH(xy,xvyv) „+••• + Cv

Ov~l)

H(xy, xvyv)

und beim Einsetzen in die erste Formel:

F(xy) = G + 2 ! CrIJ(æy, xvyv)₀+CrH(xy, xvyv\ + • • • +    ^ H(xy,xvyr)(lv_₁\-

Auf diese Form lässt sich also jede rationale Function des Paares (xy) bringen,

Für (xy) = (ä₀b₀) verschwinden sämmtliche Functionen H(xy, xvyv)ft

und zwar zunächst für solche Stellen, welche von (a^J, ... (a^bj verschieden sind.

mithin ergiebt sich

C₀ = F(a₀b₀).

Für (xy) — (a b ) (a — 1,... q) wird die linke Seite nicht unendlich gross, wenn, wie wir vorläufig der Einfachheit wegen annehmen wollen, keine der Stellen (xvyv) mit einer aus der Reihe der (aa bj zusammenfällt. Dagegen wird jede einzelne Function rechts unendlich gross. Soll also die Darstellung auch für

an denen F(xy) endlich ist nachzuweisen, dass der Ausdruck rechts an den Stellen (auba)

(xy) = (aj>u) gelten, d. h. überhaupt für alle Stellen, bleibt

so

Demnach müsste sein

= O O = l,... Q).

ebenfalls endlich ist.

Nun hat man nach der Formel (I, 3) auf S. 84:

dx⁽z ‘

+m

2 je, [ff (<<>)«

' = 1 ( L    ^¹

Diese q Gleichungen bestehen aber in der That. Denn wendet man den auf S. 90—95 bewiesenen Satz

JT⁻¹

unter der Voraussetzung an, dass F{xy) H(xy)a für F{xy) gesetzt wird, so folgt zunächst

dx_

2 T (xzyS) ll(xrzyzdu ^

= 0.

JT ¹

Nun enthält die Entwickelung von H(xryT)a~- für kein Functionenpaar (xzyr) negative Potenzen von t (S. 86). In Folge dessen können in der eben aufgestellten Gleichung solche Potenzen höchstens dann auftreten, wenn die Umgebung einer Unendlichkeitsstelle von F(xy) darstellt, d. h. die Summe ist über die Functionenpaare {Fzy{z) zu erstrecken. Es wird demnach

£ r

= 0.

JT-1

^[F(x^y^)H(x^y-\^~

Setzt man nun für F(xz⁾yiz) die Entwickelung S. 97 ein, so ergeben sich genau die vorhin als nothwendig erkannten Relationen.

Gehen wir, anstatt von F(xy), umgekehrt von einem Ausdruck aus, wie er durch die rechte Seite der auf S. 97 gefundenen Darstellung definirt wird, so können wir zeigen, dass er eine rationale Function des Paares (xy) ist, welche an den Stellen (xlyi), ... (a^), und nur an diesen, mit den Ordnungszahlen ... unendlich wird, wenn nur die Coefficienten C die eben abgeleiteten Gleichungen erfüllen. Dabei soll jetzt auch die Möglichkeit nicht ausgeschlossen werden, dass die Stellen (xvyj zum Theil mit den (auba) zusammenfallen. Der angenommene Ausdruck werde wieder mit F{xy) bezeichnet.

Wenn nun erstens (xvyv) nicht mit einem der Paare (acba) identisch ist, so gilt die Formel (1,1) auf S. 84 in der Form

H(x?y?,xvyvX = r^ + «ß(f).

Hieraus ergiebt sich

F(x™yf) = o,ri + o;r² + --- + c;

sodass also die Function an der betrachteten Stelle wirklich mit der vorgeschriebenen Ordnungszahl yv unendlich gross wird. Ist zweitens (xvyv) =

wo a

eine bestimmte Zahl aus der Reihe 1, ... q bedeutet, so hat man nach der Formel (II, 1) (S. 84):

dx'?-

H(x?yy,xvyvX = r^-r¹ H(x™ y™)a—jr

+ $(*>.

Beim Einsetzen wird das Aggregat der Glieder mit negativen Potenzen:

cvri+-.- + c,⁰v"¹⁾rfLv;

einer werden.

die übrigen, aus dem zweiten Gliede herrührenden, (—l)ten Potenzen von t verschwinden nach einer der q Gleichungen, welche der Voraussetzung gemäss unter den Coefficienten C bestehen. Die Entwickelung von F{x^y^) hat also dieselbe Gestalt wie vorher. An den Stellen (aaba), welche nicht mit der Stellen {xvyv) zusammenfallen, darf die Function nicht unendlich In der That erscheint zwar nach der Formel (I, 3) auf S. 84 in F(xtyt) ein Glied mit V¹; der Coefficient verschwindet jedoch vermöge der schon eben benutzten Relationen.

Wir wollen jetzt die Stelle (xvyv)} für welche die Function F(xy) von der Ordnung yv unendlich werden soll, fLr-mal in die Reihe der Unendlichkeitsstellen aufnehmen. Wird demnach die Function unendlich an den Stellen

foyx), ••• (xsys),

so soll das heissen endlich von der Ordnung y. gende Bezeichnungen ein. der Reihe ist,

sie wird an einer Stelle, welche y-mal vorkommt, un-Hiermit zusammenhängend führen wir fol-Wir setzen, wenn (xvyv) irgend ein Werthepaar

— —(.1—1 ?

0, = [F(x™y™)\

H{xy,xvyv) = E(xy, xvyv\ = - H(xy, x™y?)

da4V) '

dx'F

H{xvyX = H(x?y?)a^

falls der Stelle (%vyv) ft andere, welche ihr gleich sind, vorausgehen. Kommt das Paar (xvyv) unter den ihm vorangehenden noch nicht vor, so ist y = 0 zu setzen.

Dann wird

F(xy) = C₀+CxH(xy,xxyt) + — + CsH(xy,xsys),

eine Formel, welche mit der auf S. 97 genau identisch ist. Die q Bedingungsgleichungen für die Coefficienten C können in den neuen Bezeichnungen geschrieben werden:

(cc = 1, ... g).

Gx H(xxyx)«+■■■+ GS H(xsys)a = 0

Bei dieser Darstellung der Function F(xy) tritt die Analogie mit der Zerlegung einer rationalen Function von x in Partialbrüche    (x—a)² ’ ■ • •

an einer gegebenen Stelle von der ersten, zweiten etc. Ordnung,

von der ersten Ordnung

besonders deutlich hervor. Die letztere liefert einen Ausdruck, dessen einzelne Glieder von der ersten, zweiten etc. Ordnung unendlich gross werden; und zwar trifft dies auch für die ganze Function zu, welche dem Aggregat der Partialbrüche im Allgemeinen noch hinzuzufügen ist, da jedes einzelne Glied dieser Function im Unendlichen von einer gewissen Ordnung unendlich wird. Vollständig entspricht unsere Darstellung der Function F(xy) dem allerdings nicht. Denn wir können, wenn q > 0 ist, die Function nicht als eine Summe solcher darstellen, welche nur an je einer Stelle von der ersten Ordnung unendlich gross werden. Für diese Functionen treten hier andere ein, welche

und ausserdem an q festen Stellen (a^J,... {a₍b^) unendlich werden.

Das Bestehen der obigen p Bedingungsgleichungen lässt erkennen, dass es Functionen, welche an s Stellen in der angegebenen Weise unendlich werden, im Allgemeinen nur giebt, wenn s > q ist. Allerdings brauchen auch dann die gestellten Forderungen nicht immer erfüllbar zu sein. Denn es könnte eintreten, dass wenn die Function z. B. an der Stelle (&xyx) von der Ordnung fit unendlich werden soll, sich der früher mit Ci nete Coefficient nothwendig gleich Null ergiebt. Jedenfalls aber bleibt be-

bezeich-

stehen, dass die Function nicht an anderen als den vorgeschriebenen Stellen unendlich gross wird. Dies können wir so ausdrücken: Die Reihe der Werthepaare, für welche die durch die obige Formel dargestellte Function F{xy) unendlich gross wird, ist im Allgemeinen identisch mit der vorgeschriebenen Reihe, sonst ist sie wenigstens in dieser enthalten. D. h. jedes Werthepaar, welches in jener Reihe vorkommt, tritt mindestens ebenso oft auch in der vorgeschriebenen auf.

Wir können die Berechnung der Coefficienten so vornehmen, dass wir q derselben homogen und linear durch die übrigen ausdrücken. Setzen wir jene in den Ausdruck von F(xy) ein, so enthält er noch s + 1 —p willkürliche Coefficienten. Über letztere kann nun so verfügt werden, dass die Function an s — q vorgeschriebenen Stellen verschwindet. Wenn wir hierbei eine Stelle (afy') /^-mal in die Reihe der Nullstellen aufnehmen, so soll dies heissen, die Function wird an dieser Stelle von der Ordnung Ai gleich Null. Durch Angabe der s — q Nullstellen werden die Verhältnisse der sämmtlichen noch willkürlichen Constanten bestimmt; die letzte noch verfügbare Grösse C0 kann dadurch fixirt werden, dass für irgend ein, von den Null- und Unendlichkeitsstellen verschiedenes Werthepaar ein bestimmter endlicher und von Null verschiedener Werth der Function vorgeschrieben wird. Wenn q = 0 ist, so können ausser den s Unendlichkeitsstellen der Function auch alle s Nullstellen willkürlich angenommen werden. Es verhält sich dann Alles genau so wie bei den rationalen Functionen einer Veränderlichen.

Die Nullstellen, welche wir beliebig wählen können, seien

(X) (X)

(x y )

die zugehörigen Functionenpaare

(X) (X)

Dt)

(x — 1 j 2,s q) .

Es ist nicht ausgeschlossen, dass (xy) mit einer Stelle (,aaba) identisch ist; dann würden in der Entwickelung der einzelnen Glieder von F(x\yt) negative Potenzen von t auftreten, welche jedoch vermöge der Bedingungsgleichungen auf S. 100 herausfallen.

Wir führen noch eine ähnliche Bezeichnung ein wie oben, nämlich:

(X) (X)

- (X> (X)

y , xvyv) = \H(xtyt,xvyv)]tl,

wenn dem Werthepaare (x y) in der Reihe der Nullstellen k gleiche vor-ausgehen. Kommt dieses Werthepaar nur einmal vor, so ist der Coefficient von t° in der Entwickelung von F(x\y\) zum Verschwinden zu bringen, d. h.

■—■ (X) (X)    - (X) (X)

C' + C^tx y ,x₁y₁) + -- + CsH(x y ,xxys) = 0

Gehen dagegen der Stelle (x’y) l gleiche Stellen voraus

zu setzen.

ist der Coefficient von tx gleich Null zu machen:

so

(X) CX)

CJd(x y ,x₁y₁) + --- + CsH(x y\xsys) — 0.

Setzt man daher gleich Null oder gleich Eins, je nachdem das Paar (xy) gleiche vor sich hat oder nicht, so kann man allgemein schreiben:

(X) (X)

^xC₀+C₁H(x y ,xly₁) + --- + Caff(x<y,x₈ys) = 0

Aus den 9 + (s — p) = s linearen Gleichungen, welche nun unter den Coefficienten C bestehen, könnte leicht der Ausdruck von F(xy) in Form einer Determinante abgeleitet werden.

Es kann Vorkommen, dass die Function an einer der vorgeschriebenen Nullstellen von höherer als der angenommenen Ordnung verschwindet. Denn unter den übrigen Nullstellen der Function können sich eine oder mehrere der s — Q willkürlich gewählten nochmals finden. Fasst man dies mit dem oben über die Unendlichkeitsstellen Bemerkten zusammen, so ergiebt sich: Tritt in der Reihe der angenommenen Unendlichkeitsstellen eine bestimmte

ft-mal auf, so können wir sicher sein, dass F{xy) an dieser Stelle von nicht höherer als der y

ten

Ordnung unendlich wird; kommt aber in der Reihe der gegebenen Nullstellen eine bestimmte A-mal vor, so wird die Function dieser von nicht niedrigerer als der Aten Ordnung Null.

Das wesentliche Resultat, dessen Bedeutung für die Abelschen Tran-scendenten sich später beim Abelschen Theorem heraussteilen wird, ist, dass unter den 2s Werthepaaren, für welche eine rationale Function s des Paares (xy) unendlich und Null wird, nothwendig q Relationen bestehen,

an

ten

Grades

welche von der Form der Function unabhängig sind. Diese Relationen ergeben sich durch Elimination der Coefficienten C#, ... Cs aus den q Gleichungen auf S. 100, den s — q Gleichungen auf S. 102 und den p, den letzteren entsprechenden, welche für die noch übrigen q Nullstellen der Function F(xy) aufgestellt werden können. Diese s + q Gleichungen sind in den 5 + 1 Coefficienten homogen, enthalten nicht die Function F{xy) selbst, sondern nur die H- Functionen und sind in den Werthepaaren, für welche F{xy) Null und unendlich wird, rational. Um diesen Satz zu begründen, war es nicht noth-wendig, die Function H(xy,x'yr), aus welcher alle anderen Ff-Functionen entspringen, wirklich herzustellen, sondern wir konnten uns damit begnügen, ihre Existenz nachgewiesen zu haben.

Viertes Kapitel.

Die q linear unabhängigen Functionen H(xy)a.

Die q rationalen Functionen des Paares (xy), welche mit H(xy)1?... H(xy) bezeichnet wurden, sind dadurch charakterisirt, dass

dx

Nun sei H(xy) eine rationale derselben Eigenschaft. Nach dem allgemeinen

niemals negative Potenzen von t enthält, welches Element des Gebildes auch das Functionenpaar (xtyt) darstellen möge.

Function des Paares (xy) von Satze auf S. 95 ist dann

dxt

= 0,

H-¹

Dies ist der Fall für

ge-

die Summation erstreckt über alle Elemente {xtyt), für welche die Entwickelung von H{xtyvx'y') negative Potenzen von t enthält, das Element (xfyt) mit dem Mittelpunkt {xy} und für die p Elemente (xty#). Dabei werde {x'y) von den (aaba) verschieden und so angenommen, dass f{x'y')2 nicht verschwindet und H{x'y') nicht unendlich gross wird. Dann kann setzt werden:

j x't — x'+t ( Vt — y'+

und es ergiebt sich aus der Formel (III, 1) auf S. 85 für x = 0

H{x\y\, x'y ) = -t~l +

Ferner ist

als Coefficient von t \

und bei Ausführung der Multiplication ergiebt sich

— H(x'y')

Um die Untersuchung auch für die anderen Unendlichkeitsstellen durchzuführen, setzen wir nach der Definition der Functionen H(x'y')u (S. 79)

ct a

ferner a

a cc

dxt

Jetzt wird für das Element (xtyt) der Coefficient von t

mithin folgt aus dem genannten Satze:

gleich

H{x'y')

a

dxt

oder, da (x'y ), abgesehen von der endlichen Anzahl ausgeschlossener Werthe-paare, ein beliebiges Paar darstellt,

H(x'y')a = 0

aus-

d. h. jede Function mit der charakteristischen Eigenschaft der q Functionen H(ooy)a lässt sich als lineares Aggregat dieser Functionen darstellen. Da auf beiden Seiten der Gleichung rationale Functionen des Paares (xy) stehen, so gilt diese Formel auch für die endliche Anzahl der bei der Herleitung geschlossenen Stellen (xy).

Es muss nun noch gezeigt werden, dass die Anzahl der in dem gefundenen Ausdruck vorkommenden Functionen H(xy)a im Allgemeinen nicht verringert werden kann, dass also diese Functionen nicht linear

von einander abhängig sind. Wir wollen zunächst einen allgemeinen Satz über die lineare Abhängigkeit einer Anzahl rationaler Functionen des Paares (xy) beweisen. Es bestehe also unter solchen Functionen f^xy), ... fjxy) eine homogene lineare Gleichung mit constanten Coefficienten

Abelsche Functionen.

Ctfi(%y) + --- + Cmfm(xy) = 0

14

zunächst unter der Voraussetzung, dass x und y durch die Gleichung f(x, y) = 0 des algebraischen Gebildes mit einander verbunden sind. Bringt man eine rationale Function des Paares (xy) auf die Form

G-i (%y)

G₂(xy)

so könnte G₂{xy), als Function von y betrachtet, keinen gemeinsamen Theiler mit f(xy) haben ausser dieser Function selbst, da f(xy) irreductibel ist. Aber auch das Letztere findet nicht statt, denn sonst wäre die rationale Function für beliebige Werthepaare unendlich gross. Betrachtet man nun f(xy) und G₂(xy) als Functionen von y allein, so kann man zwei andere Functionen P(xy), Q(xy), welche in Bezug auf y ganz sind, der Art finden, dass

P (xy) f(xy) + Q (xy) G, (xy) = 1

wird, und Q(xy) in Bezug auf y vom (w-l)t6n Grade ist. Die Coefficienten von P(xy) und Q(xy) sind rationale Functionen von x. Werden sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner JR(x) gebracht, so kann gesetzt werden:

P{xy)f(xy) + Q(xy) G%(xy) = B(x),

wo jetzt P(xy) und Q(xy) ganze Functionen auch von x bezeichnen. Da nun f{xy) = 0 ist, so wird

Q{xy) G₂(xy) = B(x),

Gx{xy) ₌ Gx{xy) Q(xy) G₂ (xy)    R(x)

Der Zähler der rechten Seite kann mit Hülfe der Gleichung f(x, y) = 0 auf den (n — l)ten Grad in y reducirt werden. Denken wir uns nun jede der Functionen fA{xy) auf diese Form    gebracht, so folgt

r 9i(xy)

A rx{x)

H-----h cm

9m(xy)

rm(x)

Denn geben

Man kann daher sagen: Wenn

eine Gleichung, welche auch für beliebige Werthe der als unabhängig von einander betrachteten Veränderlichen x und y bestehen muss, wir x irgend einen Werth, für welchen unter den in Folge der Gleichung f(x> 9) ~ ⁰ ihm zugehörigen n Werthen von y keine gleichen sich finden, so ist die linke Seite eine ganze Function (n — l)ten Grades von «/, welche für n Argumente, also identisch, verschwindet.

mehrere rationale Functionen von einander linear abhängig sind für alle Paare (xy), welche durch die Gleichung des Gebildes mit einander verbunden sind, so bleibt diese Abhängigkeit auch für beliebige Werthe von x und y bestehen, unter der Voraussetzung, dass jede Function auf die angegebene Form gebracht wird.

Nehmen wir nun an, es bestände unter den q FZ-Functionen eine Gleichung

C₁H(xy)₁+--- + CQH(xy\> = 0.

In Folge

Wir haben früher (S. 82) gefunden, dass H{xy, auba)₀ = 0 ist. dessen müssen in der Formel (II, l) (S. 84)

a

dxT

H(xtyt,aaba\ = t ? l-t ¹ H(xJT)a^

+m

woraus

für y — 0 die beiden Glieder mit t ¹ sich aufheben

folgt. Ebenso ergiebt sich aus der Formel (II, 2) (S. 84) +m

JTf*

für fi = 0 die Gleichung

a

= 0.

dx~

T°

Setzt man nun in der oben angenommenen, in Bezug auf die FZ-Functionen

cc

linearen Gleichung (xTyT) für (xy), multiplicirt mit und entwickelt, so wird das constante Glied auf der linken Seite gleich Ca. Dieses, d. h. alle Coefficienten ... C , müssten verschwinden, wenn die Gleichung für beliebige Werthepaare {xy) erfüllt sein sollte. Es besteht mithin keine lineare Relation unter den q Functionen H{xy)a, und man sieht auch hier wieder, dass q eine ganz bestimmte, für das Gebilde charakteristische Zahl ist. — Hiermit ist also gezeigt, dass die allgemeinste Function derselben Beschaffenheit, wie die Functionen H{xy)a, sich als lineares Aggregat dieser q Functionen, aber nicht einer geringeren Anzahl, darstellen lässt.

An Stelle der ursprünglichen Functionen H{xy)a kann man p andere vermöge der Gleichungen

(u = l,... q)

H(xy) = it CapH{xy)?

einführen, wenn man die Coefficienten Ca^ nur so bestimmt, dass ihre Determinante nicht verschwindet. Denn dann sind die neuen Functionen ebenfalls linear unabhängig von einander. Man kann unter derselben Voraussetzung auch die ursprünglichen FT-Functionen, und damit jede Function derselben Beschaffenheit, durch die neuen linear ausdrücken.

Um die Form der in Bede stehenden Functionen genauer zu bestimmen, haben wir auf ihre Entstehung aus der Function H{xy, x'y') zurückzugreifen. Wir gingen (S. 64) aus von dem Quotienten

(m — l)

fixy, y')(x'— a)... ix' — a

(m—l)

ix'— x)(x — a')...(x — a

Existirte nun eine Function %t{xy), welche nur die von {x'y') verschiedenen Stellen {ab'),... zu Unendlichkeitsstellen hat, so betrachteten wir die Differenz

f(xy, y'){x'—a')... {x'—a

{x'— x){x — a')...{x — a

(nt—l)

-F^{x'y')^{xy)

welche z. B. an der Stelle {a'b') nicht mehr unendlich wird, wenn bei passender Wahl von Ct

Fa) {x'y') = C₁f(a'b',y')(x'-a")...(x'-a

gesetzt wird. F(V{x'y') ist also eine ganze Function {m — 2)te" Grades von x und {n — l)ten Grades

gesetzt, bis wir zu einer Function F{xy, x'y') mit den Unendlichkeitsstellen {x'y')) (aA), • • • (aQb ) gelangten, deren Anzahl nicht mehr verringert werden kann. Alle alsdann vorkommenden Functionen FU){x'y') haben dieselben Eigenschaften wie Fœ{x'y’).

Aus F{xy,x'y') haben wir die Function H{xy,x’y') durch Division mit zu bilden (S. 73). Vorher jedoch bestimmen wir, um zu gelangen, den Coefficienten von F¹ in der Entwickelung von F{xtyv x'y') nach Potenzen von t. Setzt man unter der Annahme, dass {aaba) keine singuläre Stelle des Gebildes ist.

von

y' (S. 63,65).

(m—l)

Dieses Verfahren dachten wir uns fort-

H{x'y\ zu

xt = aa + t, yt = ba + t^{t)

so kann dieser Coefficient in der Form geschrieben werden:

(TO—1)

- 2 C'»F'l'{x’y') = G{x'y\.

I = X

Das erste Glied der linken Seite ist, wie die folgenden, eine ganze Function von x’ und y\ weil der Factor (x'—aa) nothwendig auch im Zähler vorkommt. Man hat also

3(x'y')a =

wo G(x'y')a eine ganze Function des Paares {x'y') ist. mit dx' multiplicirt auftritt, wie es meist der Fall ist, so verschwindet bei dieser Darstellung die scheinbare Bevorzugung, welche wir der Grösse x gegeben haben. Denn es ist

S{x'y')adx' — G(x'y')a

Wenn die FT-Function

dx'

fW) 2

= ~G(X'y')a

dy'

fXxV) i

Die Symmetrie zwischen den Grössen x und y wird allerdings dadurch gestört, .dass die ganze Function G{x'y')u in Bezug auf x' vom Grade m — 2 ist, in Bezug auf y dagegen als vom Grade n-1 erscheint. Es lässt sich jedoch beweisen, dass der Grad in y gleich n — 2 sein muss.

Um dies zu zeigen, bezeichnen wir irgend eine der Functionen H{xy)u mit H(xy), die zugehörige Function G(xy)a mit G(xy) und verstehen, wie früher, unter y, ... y die n Werthe von yf welche im Allgemeinen zu einem Werthe von x gehören; dann ist

f(xv) 2

S H(xy) = 2

r = 1

Die zu einem unendlich grossen Werth von x gehörigen Werthe von y mögen durch die Potenzreihen

2/ = ?,(* '■)

1

y — p₂{x °²)

oder durch die Functionenpaare

Vt = Pi(0

xt —

xt = yt = p₂(0

dargestellt werden (S. 45); dabei können die Zahlen ot, os, ... auch sämmtlich gleich 1 sein. Der Ausdruck

n    r

2 H(xy)

zerfällt dann in Theilsummen, in deren jeder über die verschiedenen Werthe der nämlichen Wurzelgrösse zu summiren ist. Wird nun z. B. in H(xy) für y

i

die erste Potenzreihe eingesetzt und nach fallenden Potenzen von x°l entwickelt, so muss, wie wir zunächst beweisen wollen, der Exponent des Anfangsgliedes kleiner als —1 sein. Es sei

(i-i

1 - -

so ist

H(xy) — c₀ x + cx x H----

H{xtyt) = c₀t pĄ- ctt +

#(*,*,)# = -W

Auf der linken Seite können keine negativen Potenzen von t Vorkommen, mithin ergiebt sich

— (i — o, — 1 > 0

von æ, so ist der Dasselbe gilt auch für

Entwickelt man demnach H(xy) nach fallenden Potenzen Anfangs-Exponent in der That kleiner als —1.

H(pcy), ... H(xy). Die Function

n    r

S H(xy)

ist aber, als symmetrische Function von y,...y, rational in Bezug auf x. Der erste Exponent ihrer Entwickelung für grosse Werthe von x wird also, da er kleiner als —1 ist, höchstens gleich —2.

ver-

Betrachten wir jetzt die Function in der

Die eben bewiesene Eigenschaft der Function H{xy) lässt sich auch folgendermassen aussprechen: Die n Werthe des Ausdruckes xH(xy) schwinden für unendlich grosses x.

Nähe eines endlichen Werthes a und setzen für irgend ein durch diesen Werth bestimmtes Element (S. 44—45)

a + a't*¹, yt — P(t)

xt =

ft + Oj — 1 > 0

Dasselbe gilt auch für die übrigen zu a gehörigen Elemente. In

(cc —a) H(xy)

ist also der Exponent des Anfangsgliedes positiv, und dieses Product verschwindet daher für x = a.

Es sei nun

W)

ferner

h(*»> = *(M

so folgt

fi + Ol —1

Es muss also sein

G(xy) _ G₀(x)yn * + ••• ₌ G₀(x) f(?y)    —

Andererseits erhält man bei der Zerlegung in Partialbrüche, wenn x als Parameter betrachtet wird,

G(xy)

f&y)

G(xy)

(:y-y)f(xy\

und hieraus durch Entwickelung nach fallenden Potenzen von y

Gjxy)

f(xy)

= rJ2

h G(xy)

f(?y\

Mithin wird

GJx) _ ^ (r(ay)

/o(^)

f&fo*

d. h.

2 H(xy) =

V—l

G₀(x)

gleich einer ganzen Function G^x) sein. Denn wäre

Es muss jedoch

dies nicht der Fall, so sei a ein "Werth von x: für welchen fü(x) verschwindet,

foG)

G₀(x) aber von Null verschieden ist. Dann würde der Ausdruck

n    y

2 (x — a)H(xy)

für x — a endlich und von Null verschieden oder unendlich gross werden, während er nach dem eben Bewiesenen verschwinden muss. Also folgt

H    y

2 H{xy) = Gx{x).

V = 1

Nun musste aber die Entwickelung der Function links nach fallenden Potenzen von x mit einem Gliede beginnen, dessen Exponent kleiner als —1 ist; daher kann die letzte Gleichung nicht bestehen, wenn nicht Gt(x) und damit auch Go(x) verschwindet. D. h. der Coefficient von yn~x in G{xy) ist gleich Null, und diese Function vom (m — 2)ten Grade in x, vom (n — 2)ten Grade in y. Die beiden Eigenschaften der H-Function, dass

xH(xy) = 0 für x = oo,

(x—d)H{xy) = 0 für x — a,

den obigen Be

aus

wo a jede beliebige endliche Grösse bedeutet, sind, wie

weisen sofort ersichtlich, in dem Sinne charakteristisch, dass für eine Function von diesen Eigenschaften das Product

für kein Functionenpaar negative Potenzen von t enthält (S. 104).

Es seien | und 7]

Einige Eigenschaften der Ff-Functionen können auch durch Transformation des algebraischen Gebildes gefunden werden, zwei rationale Functionen des Paares (xy), definirt durch die Gleichungen

j I = Bt{xy)

\ 7] = H₂(xy),

aus welchen sich auch umgekehrt x und y als rationale Functionen von £

und y ergeben sollen. Vermöge dieser Substitution gehe die Gleichung

ffay) = 0 in <p(|, yj) = 0 über, und es werde zunächst untersucht, wie sich

umwand eit. Aus den Gleichungen

hierbei das Differential -jj-x^

T \xVh

ôè ôë

f(xy)ldx + f(xy\dy = 0

dx

folgt

àS,

(II f(*y\    dtJ

dx

7 t\xy\

dê = Jf(^)

Hierin ist M(xy) eine rationale Function des Paares (xy), in welcher keine der beiden Variablen vor der anderen bevorzugt ist. Denn wir könnten rechts

einführen. Von dem Ausdrucke von M(xy) hängt es hauptsächlich ab, wie die Differentiale H(xy)adx sich umgestalten. Wenn wir die Variablen vertauschen, so erhalten wir eine Gleichung der Form

dy

fipy) i

links

dt]

<p(èy)i

dx

dl

f(py\

mithin durch Vergleichung mit der vorangehenden die einfache Beziehung

M(xy)    = 1.

g(gy)

eine Ff-Function für das Gebilde f{x,y) = 0, und geht bei der Transformation die ganze rationale Function G(xy) in die rationale Function

R(%v\) über, so muss

M(gij)

eine FZ-Function für das transformirte Gebilde cp(|,7]) = 0 sein. Denn sind (xtyt) und (£^) irgend zwei entsprechende Functionenpaare der beiden Gebilde, d. h. ist lt = Rt(xtyt), = R₂(xtyt), so ist stets

•**(&%)    _ G(xtyt) dxt _

dt f\xtyt\ dt

Wir wollen jetzt speciell setzen

ax + b

CX + <3

_ a'y + b' ¹ c'y + d'

oder umgekehrt

<3 l-b

— cl + a ’

d\-V

— c'r^ -f a

Dann folgt, wenn f(x, y) in Bezug auf x den Grad m und in Bezug auf y

Abelsche Functionen.

15

den Grad n hat

fix, y ) =

(a-cl)m(a’-c' 7j)

5- <P(£>ri)-

Aus

cx% — ax + dl — b = 0

ergiebt sich und analog

(cx + d)(a — c|) = ad — bc,

(c'y + d')(a'—c'ri) = ad’—b'c’,

mithin

?(M) =

(ad — b c)m (ad’— b'c' )n

(cx + d)m(c'y + ö')

nf(x> y)-

DifFerentiirt man nach 7} f(x, y) = 0 :

so

folgt mit Berücksichtigung der Gleichung

(ad — bc)m(a'd'— b'c')n

dy

Nun ist

(cx + d)"¹ (c'y + d'y

f(xv) 2-^--

dy

also

dq

a'd'-b'c'

(c'ri-a'f — a'd’-b’c'

(c’y + a')²

?(^)₂ =

ferner

also schliesslich

_ (ad-bc)m(a'd'-b'c’)n-1 (cx+ d)m(c'y + d')

ad — bc dx (cx + ö)

n— 2

d\

dl

dx

(cx + d)m ²(c’y + d’)

<P(|tj)₈ (ad — bc)m~¹(a'd'—b’c)n~¹ f(xy)₂

Durch eine solche Transformation kann man bewirken, dass das Verhalten des neuen Gebildes im Unendlichen ein ganz bestimmtes wird, dass z. B. für einen unendlich grossen Werth von | alle Werthe von vj endlich und von einander verschieden sind. Man kann zu dem Zwecke etwa setzen

71— 2

l — CC +

ri = y,

wo a einen Werth von x bedeutet, für welchen alle zugehörigen Werthe y endlich und von einander verschieden sind. Gelten, wenn x in der Nähe des Werthes a liegt, für die zugehörigen Werthe y, ... y die Entwickelungen

v

y — bv-\-(x — a)<$v(x — a),

von

(v = 1,2,... n)

so ergiebt sich

'JQ.

= &v+&;ri+&;,r²+---

Durch eine andere rationale Transformation könnte man auch erreichen, dass einem unendlich grossen Werth von £ nur unendlich grosse Werthe von entsprechen.

von

Wichtiger noch ist die allgemeinste gebrochene lineare Substitution,

der Form

a₀ + a₁ x + a₂ y

c₀+ ctx + c₂ y

ri =

c₀+ cix + c,y

durch Auflösung dieser Gleichungen möge folgen

x = «o+ «!§ + «,>]    ₌₌ ffo+ZM + fo?]

n+rJ + ^2⁷! ’    To+y^ + r2ri

oder

Setzt man diese Ausdrücke in

f(x,y) = (x,y)r+(x,i/)r_l + --- + (x,y)₉

ein, so folgt

f(X,y) = l M(lb2)r+Z(lb2)r-₁+-'- + Zr(lb2o)l =

Aus

dx

dx

dx —    d% + — dtj,

Ô7J

ÔÎ/

dy = ~ d% + ~ dri

dg

erhält man

dy j dx -,    (

—— dx — — dy — ^

und für die Functional-Determinante rechts ergiebt sich

ÖTj

dx dy    dy dx

ÔYj    ôg ôrj

■)«>

wenn

«0 «1 «2 ßo ßl ß

Yo Yi Y2

gesetzt wird

dy dx _ d

dx dy <5| ÖYJ Ôg 07j

15*

Aus der ersten Transformation folgt sofort die S. 108 u. 112 bewiesene Eigenschaft der Function

G{xy)

t\xy\

Ferner ist

dy = —

A'ay) i

daher

f(%y\

dx

dx

+«*»). t;) =

Endlich ergiebt sich durch Differentiation der Gleichung für f(x,y) nach yj :

f(xy)i^r+f(%y) dy

mithin wird

dr.

dx

f(py)t

= dl'-³

?(^)₂

Il{xy) =

Wir setzen

so ist

H(ccy)dx — Gr(a + y,    •

(-1)

m—1

di

(x—à)

m—2

TH Ijjji

m—2

di

Wäre nun G in Bezug auf a? von höherem als dem (m — 2)ten Grade, so würde

+ y,

m— 2

keine ganze Function werden, wie es doch sein muss. Ganz ebenso wird bewiesen, dass G in Bezug auf y nur vom Grade n — 2 sein kann.

Durch die zweite Transformation erhalten wir

H(xy)dx = ,j-Ydlr~³

di

Hieraus ist in derselben Weise wie eben zu schliessen, dass G{xy) nicht von höherer als der (r —3)ten Dimension sein kann. Es ergiebt sich also folgendes Schlussresultat :

Wenn H(xy)

__ G(xy)

fGy\

gesetzt wird, so ist in der ganzen Function G{xy) der Grad in x nicht grösser als m — 2,

die Dimension

n — 2, r- 3.

Fünftes Kapitel.

Erste Art der Berechnung des Ranges eines algebraischen

Gebildes.

Der Rang q eines algebraischen Gebildes f(x, y) — 0 ist bisher nur begrifflich erklärt worden. Die ursprüngliche Definition sagte aus, dass es stets eine rationale Function des Paares (xy) giebt, welche an p + 1 willkürlich gewählten Stellen von der ersten Ordnung unendlich wird, während keine solche Function existirt, wenn man die Anzahl jener Stellen um eine vermindert. Sodann wurde nachgewiesen, dass diese Zahl q mit der Anzahl der von einander linear unabhängigen Functionen H(xy)x, ... H(xy)? identisch ist. Jetzt müssen wir uns die Frage vorlegen, wie sich der Rang aus den Eigenschaften des Gebildes f(x,y) =0 selbst ermitteln lässt, ohne dass es nöthig ist, rationale Functionen des Paares (xy) hinzuzuziehen.

Da bei einer rationalen Transformation des algebraischen Gebildes der Rang ungeändert bleibt (S. 69), so wrollen wir unseren Untersuchungen zunächst eine Gleichung f(x,y) = 0 zu Grunde legen, welche die Beschaffenheit des Gebildes im Unendlichen leicht erkennen lässt. Die Gleichung f(x₁ y) = 0 liefere nämlich für x = oo n Werthe &x, &₂, ... bn von y, die sämmt- . lieh endlich und unter einander verschieden sind. Ist dies nicht von vornherein der Fall, so sei a irgend ein endlicher Werth von x, für welchen die n zugehörigen Werthe von y diese Eigenschaft haben. Führen wir nun die neuen Variablen £ und tj durch die Substitution (S. 114)

ö x — a ?

ein, so liefert die transformirte Gleichung yj) = 0 für £ = oo n verschiedene endliche Werthe von vj.

Hat das Gebilde f{oc,y) = 0 diese Beschaffenheit im Unendlichen verschwindet für x — oo jede Function

so

H(xy) =

Gr{xy)

fixy\ '

welche der charakteristischen Bedingung genügt, dass stets

= W)

ist, und sie kann nur für solche Werthepaare (xy) unendlich gross werden, für welche der Nenner f{xy\ gleich Null wird. Denn für Werthe von x, welche dem absoluten Betrage nach hinreichend gross sind, erhalten wir (S. 45) in Folge der über das Gebilde f(x,y) = 0 gemachten Voraussetzung die zugehörigen Werthe y, y, ... y von y durch n verschiedene Reihen

(v = 1, 2,... n)

y = bv+Vvx ¹ -t- b"x ² + ---

oder durch die n Functionenpaare

xt = r¹

Vt =

0 = 1, 2,... n)

dargestellt. Ist nun für hinreichend grosse Werthe von

H(xy) = cvx~lv + c'æ⁻*¹'“¹

mithin

H----,

= —c,t

so ergiebt sich, da die Entwickelung der linken Seite keine negativen Potenzen von t enthalten darf:

ly 2

ly— 1

>2.

Für unendlich grosse Werthe von x

verschwindet demnach H(xy) und wenigstens mit der Ordnungszahl 2; dies gilt für jeden der n zu x — oo gehörigen Werthe y, y, ... y.

zwar

Sind

nun

(^A)> (^₂^₂)j • • • die sämmtlichen Stellen, für welche die

Function H(xy) unendlich gross wird haben.

so müssen gt1 gti ... endliche Werthe Wenn eine dieser Stellen Mittelpunkt mehrerer nicht äquivalenter Elemente des Gebildes ist, so kann sie in diese Reihe mehrfach aufzunehmen

sein. Es stelle

Vt =

xt = 9i + 9'it*l+ —

das Element des Gebildes mit dem Mittelpunkt    dar, wobei yt—\ durch

1

— zu ersetzen ist, wenn hx unendlich gross wird (S. 54), dann beginnt die Vt    x x

Entwickelung von H{xtyt) nach steigenden Potenzen von t mit einer negativen Potenz. Wird daher gesetzt und angenommen, dass C)Q nicht verschwindet, so besteht die Ungleichung

> 0.

Bezeichnet demnach s’ den Grad der rationalen Function

Dabei ist sx die Ordnungszahl des Unendlichwerdens der Function H(xy) an der Stelle (gxhx).

H(xy), so ist

= 24-

Aus der charakteristischen Eigenschaft der Function H(xy) und aus der Entwickelung folgt nun

sx-s'x-l ^ 0

oder

und

sx = 2 )

mithin muss für jede Stelle (gx\) der Nenner f(xy)₂ der Function H(xy) verschwinden (S. 15).

Ist demnach das Gebilde f(x,y) = 0 so beschaffen, dass die zu x — oo gehörigen Werthe y sämmtlich endlich und von einander verschieden sind, und bedeuten    (#₂^₂), ... die Unendlichkeitsstellen der Function H(xy),

so sind die Grössen gt) g2l ... unter den Werthen enthalten, für welche die Discriminante D(x) der Function f(oc,y), diese als Function von y betrachtet, verschwindet (S. 42). Bilden wir für jede dieser Stellen {gx\) die vorher definirte Zahl sXJ so ist

oder, wenn wir

SO?/-¹) = ⁵

setzen,

s' < s.

Das nächste Ziel unserer Untersuchung bildet nun der Nachweis, dass

sr = s — 2q + 2n — 2

ist, wo n den Grad der Gleichung f(x,y) — 0 in Bezug auf y bedeutet. Dazu beweisen wir zuerst, dass H(xy) wenigstens für + — 2 Stellen verschwindet, wenn wir jede Stelle so oft zählen, wie die Ordnungszahl des Verschwindens angiebt, sodass also s\ mithin auch s, nicht kleiner als 2q + 2u — 2 sein kann. Wir wollen q Stellen

(xiVi)>    (xoVo)

so wählen, dass es keine rationale Function des Paares (xy) giebt, welche nur an diesen Stellen von der ersten Ordnung unendlich wird. Dann kann das System der q linear unabhängigen Functionen H{xy)i, ... H(xy) der Art bestimmt werden, dass die Function H(xy)a an der Stelle {xaya) den Werth 1 annimmt und an den übrigen ÿ-1 Stellen (*,«/,), ...

('x yQ) mit der Ordnungszahl 1 verschwindet.

Werthepaare (xaya) gemachten Annahme lassen sich die p² Constanten cai, ... ca? durch die q Systeme von je q linearen Gleichungen

( 0 für i 1 für

bestimmen, in welchen H{xy\, ... H(xy) irgend ein System von q linear abhängigen Functionen H(xy) darstellen (S. 68).

H{pcy)a = caiH(xy\ + ca%H(xy\ + ••• + caqH{xy)

Denn in Folge der über die

(cc,ß = 1,2, ...q)

Setzen wir dann

un-

so ist in der That

0 für ßs§zcc 1 für ß — cc

H(xjsyp)a —

Dabei schliessen wir bei der Wahl von fcyj, ... (pcQyQ) solche Stellen, für welche eine der bunctionen H(xy)a mit einer höheren Ordnungszahl ver-

0«,ß= i»2, ...ç).

Die Functionen H{xy)i5 ... H{xy)o bilden ein Denn bestände zwischen ihnen eine Gleichung

schwindet, im Folgenden aus. linear unabhängiges System, der Form

AiH(xy)₁ + Ä₂ H(xy\ +--- + Ą H(xy)Q = 0,

so würde sich, wenn wir die Werthepaare    ... (xçyQ) der Reihe nach

für (xy) einsetzten, ergehen, dass die Constanten At, ... sämmtlich gleich Null sind.

Die Coefficienten cfll, ca2, ... can sind rationale Functionen der Paare

Sie gehen aus dem ersten System cu, ci2, ... c

da-

(*,2/,). (*,3Ü) ••• (%22e).

durch hervor, dass (æ„ÿj, (*„₊₁ÿ„+I),    an die Stelle von

«yj,    ...    (^) gesetzt werden, d. h. man erhält das System

.. H(xy) in einander über.

Schliessen wir bei der Wahl der Stellen (a?^), (xty₂), ... (æ y ) specielle werden die sämmtlichen Functionen H(xy\, ... H(xy)Q an

Cw, ... c aus dem ersten durch cyclische Vertauschung der Werthepaare (xjjJ, (%₂V₂)i ••• (xoyJ- Bei dieser Vertauschung gehen also auch die Functionen H(xy)

aus, so

Systeme

den nämlichen Stellen    (gfy), ... und mit denselben Ordnungszahlen s'js'j ... unendlich gross und verschwinden für die Stellen (oo, 6J, ... (oo, bn) mit den nämlichen Ordnungszahlen^, ... ln. Denn wenn die Function H(xy), welche sich in der Form

H(xy) = C₁H(xy)₁+ C₂H(xy\ + - -• + CQH(xy\

darstellen lässt, an der Stelle (gx\) mit der Ordnungszahl ^ unendlich gross wird, so muss, wenn specielle Systeme bei der Wahl von (xiyt), {x₂y₂), ... (xQyQ) ausgenommen werden, wenigstens für eine der Functionen H{xy)l) ... H(xy)ç die Ordnungszahl des Unendlichwerdens an der Stelle (gx\) gleich sein. Es

X X

sei dies für die Function H(xy)l der Fall. Stellt, wie vorher, (xtyt) das Element des Gebildes mit dem Mittelpunkt (gjij dar, so ist

= ClC'i+dC^¹

Die Coefficienten C^₀, C^, ... sind hierin rationale Functionen der Paare (xiyJi (^2^2)5 ••• (xQyQ)y un(^ zwar verschwindet der erste Coefficient C'Q nicht identisch. Bei cyclischer Vertauschung dieser Paare geht auf der linken

16

Abelsche Functionen.

Seite H(xy)₁ der Reihe nach in H(xy)₂, ... H(xy)Q über, während rechts der Coefficient C'₀ nur für specielle Systeme fayj, (x₂y₂), ... (x y ) Null werden kann. Nach Ausschluss singulärer Systeme bei der Wahl von fayj, (x₂y₂),... (x y ) wird daher jede der p Functionen H(xy)a an jeder der Stellen (g} hx) mit der Ordnungszahl s[ unendlich gross und ausserdem an keiner einzigen Stelle- Alle p Functionen H(xy)₁, ... H(xy)Q sind mithin vom Grade s'.

Ganz entsprechend lässt sich beweisen, dass die Functionen H(xy)u an jeder der n Stellen (oo, bv) mit der nämlichen Ordnungszahl lv verschwinden.

Wir nehmen jetzt an, für die Stellen    ... (%QyQ) sei ein nicht sin

guläres System gewählt, so können wir die Zahl s’ ermitteln, indem wir z. B. für H(xy)₁ die Nullstellen und deren Ordnungszahlen bestimmen. Die Function H(xy)₁ verschwindet erstens an den p — 1 Stellen (x₂y₂), (#s«/₃), ...    )

mit der Ordnungszahl 1 und zweitens an den n Stellen (oo, &,) (y — 1, 2, ... n) mit den Ordnungszahlen lv> 2. Aber drittens muss die Function H(xy)x mindestens noch an q — l Stellen verschwinden. Um dies nachzuweisen, untersuchen wir, für welche Werthepaare der Quotient

H(xy) i

H{xy) _ GH(xy\ + C₂ H(xy\ + ••• + CQH(xy)Q H(xy\

würde dann nur an den p — 1 Stellen (x₂y₂), ... (pc^y ) mit der Eine solche Function existirt aber nicht;

unendlich gross wird. Für x = oo verschwinden Zähler und Nenner mit derselben Ordnungszahl, der Quotient bleibt daher endlich. Der Zähler H(xy) wird unendlich an den Stellen (gjix), (g₂\), ... und nur an diesen; da aber auch der Nenner H(xy)₁ für jede dieser Stellen mit derselben Ordnungszahl unendlich wird, so bleibt der Quotient an diesen Stellen endlich. Mithin kann der Quotient nur an denjenigen Stellen unendlich gross werden, für welche x endlich ist und der Nenner H(xy)x verschwindet. Dies findet zunächst an den p —1 Stellen (x₂y₂), ... (x y ) statt. Ausserdem werde H(xy)i noch an q' Stellen Null, wobei wir jede Stelle so oft zählen, wie ihre Ordnungszahl angiebt; wäre dann p cp — 1, so würden sich die p Constanten Cx, C, ... Co so bestimmen lassen, dass der Zähler H(xy) an diesen p' Stellen und ausserdem an einer willkürlich gewählten Stelle (xoy₀) verschwände. Der Quotient

H(xy\

Ordnungszahl 1 unendlich gross.

an

sie könnte sich auch nicht auf eine Constante reduciren, da der Quotient

der Stelle (x₀y₀) yerschwinden und an q — 1 Stellen unendlich gross werden soll. Demnach ist q'^lq — 1, und wir finden für den Grad s' von H(xy) , welcher mit dem von H{xy) identisch ist, die Ungleichung

s' > 2q — 2 + 2 K = 2q + 2n—2

also ist auch

s =    + 2n— 2.

Wir gehen jetzt zu einer zweiten Bestimmung der Zahl s =2(^ — 1)

W

nur

über, aus welcher wir folgern werden, dass in der vorstehenden Formel das Gleichheitszeichen gelten kann. Da die Function H(xy) an der Stelle (gjix) mit der Ordnungszahl s'? unendlich wird und s' < s; — 1 ist, so lassen sich, wenn

C0 + 2iGlH{xy, gx\\ + C[H(xy,gM₁+--- + C-h~²⁾H(xy, gx\) _₂j = B(xy)

gesetzt wird (S. 97), die Constanten C, deren Anzahl

2(ą — 1) +¹ = s +¹

ist, so bestimmen, dass die Functionen R(xy) und H(xy) identisch werden. An den Stellen (yx\) nämlich, die wir zunächst betrachten, besitzt R(xy) auch bei beliebigen Werthen der Constanten die charakteristische Eigenschaft der

? X

Function H(xy). Denn stellt (xtyt) wieder das Element mit dem Mittelpunkt (g?\) dar, so ist

xt — 9a + 9a t ¹4----

folglich

a

dxt

Sf =si***

Nun fanden wir (Formel (I, 1), S. 84)

H{xtVu — t M 1 +

a

mithin enthält die Entwickelung von R(xtyt)~ nur positive Potenzen von t. Ebenso hat auch bei beliebigen Werthen der Constanten die Function R(xy) an jeder von (a^J, («SJ₂), ... (a b) verschiedenen Stelle (xy), für welche x

einen endlichen Werth hat, die Eigenschaft der Function H{xy).

Element (xtyt) aber, dessen Mittelpunkt die Stelle (aaba) ist, ergab sich (Formel (I, 3), S. 84)

Für das

x

H(xtyt,gi]h\c = -r¹ \II(xxyz)a^-Soll daher keine der Entwickelungen

ct CC

JTiU

+*(*).

(a = 1, 2, ... Ç»)

(Ą-a)

negative Potenzen von t enthalten, so müssen die Constanten Cx, Cx,... Cx q homogenen linearen Gleichungen genügen, denen gemäss wir sie uns jetzt bestimmt denken. Nun ist nur

noch das Verhalten der Function R{xy) für x = oo zu untersuchen. Wir hatten angenommen, das algebraische Gebilde erfordere zur Darstellung sämmtlicher Stellen (xy), bei denen x in der Umgebung des Werthes x = oo liegt, n Functionenpaare

yt = bv + t%(ty,

es müssen daher die Constanten in R(xy) so bestimmt werden, dass in der Entwickelung von R{xtyt) für v = 1, 2, ... n die Coefficienten von t° und t¹ verschwinden. Nun fanden wir (S. 95), dass

2 R(xtyt

ist, wenn für (xtyt) successive alle Functionenpaare gesetzt werden, für welche in der Entwickelung von

aber die vorher angegebenen q linearen Gleichungen erfüllt, so können für die n Functionenpaare

(v = 1, 2,... »)

von

R(xtyt)^- negative Potenzen von t auftreten. Sind

nur

xt — t S yt = bv+t%(t)

negative Potenzen Vorkommen. Daher

0 = i, 2,... n)

muss

d. h.

2 [R(T, it)\i

v = i    t

Ist demnach für v — 1, 2, ... n — 1 der Coefficient von t¹ in der Entwickelung von R(t~\yt) gleich Null, so ist dies auch für v = n der Fall. Die Forderung, dass in R(xtyt) die Glieder mit t° und t¹ fortfallen, ergiebt

sein.

mithin 2n — l homogene lineare Gleichungen unter den Constanten C₀, Cx, C'v ...

(A = 1, 2, ...).

Damit also die Function R(xy) überall die charakteristische Eigenschaft der Function H(xy) hat, müssen die $ + 1 in ihr enthaltenen Constanten im Ganzen ç+2n — 1 homogene lineare Gleichungen erfüllen. Nun ist

s + 1 > 2q + 2n — 1,

nach Befriedigung jener Gleichungen bleiben daher mindestens noch

5 + 1— (q + 2u — 1) = s — (p + 2w — 2)

Constanten in dem Ausdruck für R(xy) unbestimmt. Diese Zahl ist die richtige, wenn die linearen Gleichungen nicht von einander abhängen; sind aber von den aufgestellten Bedingungsgleichungen einige eine Folge der übrigen, so wird die Anzahl der unbestimmt bleibenden Coefficienten eine grössere sein. Nun enthält der allgemeinste Ausdruck der Function H{xy) nur q willkürliche Constanten, und zwar ist er in Bezug auf diese homogen; eine Function R{xy) mit mehr als q unbestimmten Constanten, welche die Eigenschaft der Function H(xy) besitzt, kann daher nicht existiren, mithin muss

s — (p + 2 n — 2) iS- q

sein, also folgt

s < 2q + 2n — 2.

Vorher hatte sich die Ungleichung s >    + 2n— 2 ergeben, demnach ist

s = 2q + 2n — 2,

oder

Vermittelst dieser Gleichung lässt sich der Rang q direct aus den Eigenschaften des Gebildes f(po, y) =0 berechnen, ohne dass wir, wie noch gezeigt werden wird, nöthig hätten, rationale Functionen des Paares (xy) zu bilden. Auf der rechten Seite treten die beiden Zahlen n und s auf; n ist der Grad der Gleichung z/) = 0 in Bezug auf «/, auf die Bestimmung der Zahl $=2(^ — 1) müssen wir jetzt noch genauer eingehen. Da der Rang q eine

«

ganze Zahl ist, so muss s stets eine gerade Zahl sein. Aus den vorhergehenden Betrachtungen ergiebt sich, dass s = s' ist, mithin stellt die Zahl s den Grad jeder der q Functionen H(%y)l, ... H(xy) dar.

Die Zahl sx ist durch die Entwickelung

xt = 9i + g[th + "-

bestimmt (S. 118), wobei stets sl> 2 sein muss.    (#₂A), ... waren die

Ist nun erstens g

zu einem m

Stellen, für welche H(xy) unendlich gross wird, und für diese verschwindet f{xy\ der zu Anfang dieses Kapitels über f(x, y) = 0 gemachten Voraussetzung gemäss. Um demnach die Grössen gx, g , ... zu berechnen, haben wir zunächst die Gleichung D(x) = 0 aufzulösen (S. 4 2). gleich einem derjenigen singulären Werthe, für welche zwar die Discriminante D{x) verschwindet, aber die n Werthe der Function y₇ welche der Umgebung von g gelegenen Werthe x gehören, durch n verschiedene Potenzreihen

y =    (x-g), y =    ... y = $n(x-g)

dargestellt werden (S. 44), so kann man

xt — g + t

Wenn

setzen. Es kommt daher in der Entwickelung von xf die erste Potenz von t vor, und ein solcher Werth g gehört nicht zu den Werthen gt, g₂, .... dagegen g gleich einem wesentlich singulären Werthe des Arguments ist (S. 45), so erhalten wir für dessen Umgebung die sämmtlichen zugehörigen Werthe von y mit Hülfe von n Reihen der Form

(x = 1,2,... n')

(x == 1, 2,... n')

» - *■((?)')

oder von n Functionenpaaren

xt = 9 +    , y,-=$*(*),

wo ncn sein muss.

Die Zahlen ol5 of, ... orf, deren Summe

°1 + ^2+ ••*+ aW = »

ist, sind nicht sämmtlich gleich 1, es gehört mithin jeder solche wesentlich singuläre Werth g zu den Grössen    .... Ist das durch das Functionen

paar

xt = g + g'Ja'\ yt = ?x(0

dargestellte Element des Gebildes identisch mit dem Element (xtyt), so ist

Bezeichnen wir daher mit ^    die Summe derjenigen Glieder

m

K y    Z X    X

yon — 1)? welche aus Eunctionenpaaren (xtyt) hervorgehen, in denen xt

w

für t — 0 denselben Werth gx ergiebt, so ist

2 (⁵a    1) — (³i~ 1) + (a2 ~ 1) H-----1 ipn' — 1) — n — n']

hat nämlich für eins dieser Functionenpaare ay den Werth 1, so fällt das entsprechende Glied ay — 1 in der Summe einfach fort.

Die vorstehende Gleichung bleibt aber auch für die nicht wesentlich singulären Werthe g bestehen, denn für diese ist n = also

°l = °* = •••== Orf = 1

(S. 44), mithin reduciren sich beide Seiten jener Gleichung auf Null. Demnach kann

s = 20n — n)

gesetzt werden, wobei für jede Wurzel der Gleichung D(x) = 0 die Zahl n — n zu ermitteln und über alle diese Zahlen zu summiren ist. Die Summe ~^(n — ri) enthält folglich soviel Glieder, als die Gleichung D(x) = 0 verschiedene Wurzeln hat.

Um also die Zahl s zu bestimmen, suchen wir zunächst die Werthe x auf, für welche die Discriminante D(x) der Function f(x,y), diese als Function von y aufgefasst, verschwindet. Fur die Umgebung jedes dieser Werthe bestimmen wir die Anzahl n der Gruppen, in welche die Entwickelungen der n Werthe der algebraischen Function y zerfallen (S. 44), und bilden die Differenz n — n] dann ist s gleich der Summe aller dieser Differenzen. Für einen nicht wesentlich singulären Werth des Arguments x ist n — n — 0, mithin ist s gleich der Anzahl der wesentlich singulären Werthe des Arguments x, wenn wir jeden von ihnen so oft zählen, wie die Zahl n — n angiebt.

Die Gleichung

ist bisher nur unter der Voraussetzung abgeleitet worden, dass das Gebilde f{x, y) = 0 zu einem unendlich grossen Werthe von x n unter einander verschiedene endliche Werthe y liefert. Es ist nun leicht zu zeigen, dass der für q gefundene Ausdruck von dieser Voraussetzung unabhängig ist. Transformiren wir das Gebilde f{x,y) — 0, wenn es nicht von vornherein jene Eigenschaft hat, durch die Substitution (S. 117)

ri = y

so ist

in ein Gebilde f₀(|, 7]) = 0, welches jener Voraussetzung entspricht sowohl der Rang p, wie der Grad n in Bezug auf y und tj für beide Gebilde

derselbe. Zum Nachweis der allgemeinen Gültigkeit der Gleichung

q = y-O-i)

ist also nur zu untersuchen, wie bei beliebiger Beschaffenheit des Gebildes y) = 0 die Zahl s zu berechnen ist. Ist f(x, y) = 0 in Bezug auf x vom Grade, so ist

ten

M,ri) =

!”/•(« +j,i).

Betrachten wir y als Function von x und 7] als Function von §, so mögen #x,#₂,... die wesentlich singulären Werthe des Arguments x und yi?ya, ... die entsprechenden des Arguments | sein. Dann ist

9i — a + —

wobei die Reihe der Grössen    ... den Werth oo enthält, wenn in der

Reihe y₁, y2l ... der Werth 0 vorkommt.

Erstens sei nun y irgend eine von Null verschiedene der Grössen y₂, ... a + O; liegt dann | in der Umgebung von y, so werden die zugehörigen Werthe von 7] durch ri Reihen der Form

und

y',.

(x = 1, 2,... W)

geliefert. Nun ist

l-y

1 x — g-a\ ~ g'x a-g

ń ÿx[x-a

£ i+*=£*(*=£\

9 a-g v\a-g)

wenn

9* =

-y'-M-g) =

gesetzt wird. Die Werthe von hörigen Werthe von x entsprechen, erhalten wir demnach durch n! Eeihen

«/, welche einem der Umgebung von g ange-

(* =1,2

In keinem dieser Ausdrücke können sich die Glieder mit gebrochenen Exponenten sämmtlich fortheben, denn zu jedem Werthe von x gehört ein Werth von |, und zu einem solchen liefert die Entwickelung

Werthe von vj, also auch von y, mithin müssen sich auch aus der Reihe

x~9 K

a-g

zu einem Werthe von x ay Werthe y ergeben, für den Werth y des Arguments £ im Gebilde f₀(£,ri) = 0 dieselbe, wie für den entsprechenden Werth g des Arguments x im Gebilde f(x,y) = 0.

Es sei zweitens y = 0, so ist g = oo. Für die Umgebung des Werthes |=0 mögen die n Eeihen

Die Zahl n ist demnach

■n -

y'x

die zugehörigen Werthe von tj liefern. Durch die Substitution

—-— = x~¹ + ax~² -1— x — a

erhalten wir hieraus die für die Umgebung des Werthes x — oo gültigen

Atelsohe Functionen.

17

(x = 1, 2,... n' )

nen. x =

wobei sich die gebrochenen Potenzen wieder nicht sämmtlich fortheben kön-oo ist also jetzt ein wesentlich singulärer Werth des Arguments x, und zwar ist die Zahl n für ihn dieselbe, wie für den Werth g = 0 im Gebilde f₀(g,7]) = 0. Da nun sowohl die Anzahl der wesentlich singulären Stellen, als auch die Differenz n — ri für die einander entsprechenden Stellen in beiden Gebilden die gleiche ist, so hat auch die Zahl s — ]£(n — ri) für f(x,y) = 0 und £(£,?]) = 0 den gleichen Werth.

so

Ist also f(x, y) = 0 eine ganz beliebige irréductible algebraische Gleichung, entwickeln wir y erstens nach Potenzen von x—gx, wo für gx der Reihe nach die endlichen Wurzeln der Gleichung. D(oc) = 0 zu setzen sind, und zweitens nach Potenzen von ~. Sind n Reihen nöthig, um alle n zu einem

x    i i i

hinreichend kleinen Werthe von \x—gx\ oder — zugehörigen Werthe von y darzustellen, so zählen wir den singulären Werth gl oder oo (n — w')-mal; dann ist s gleich der Anzahl aller singulären Werthe, d. h. es ist

Nachdem die gerade Zahl s in dieser Weise berechnet ist, gilt für jedes algebraische Gebilde die Formel

Wir wollen jetzt die Bestimmung des Ranges und die Bildung der q linear unabhängigen Functionen H{xy)u an zwei speciellen algebraischen Gebilden durchführen. Wir betrachten erstens das Gebilde

£<>(£) V + #l(£) ?]+#2 (£) = °»

wo

#o00, ^i(9, &ÖD ganze rationale Functionen von g sind, und zweitens das

Gebilde

Entwickelungen

yn = B{x)t

wo n eine ganze positive Zahl und R(x) eine ganze rationale Function von x bedeutet.

Es sei also die irréductible algebraische Gleichung

+ &(£)*!+0.(1) = 0

gegeben, so haben die drei ganzen rationalen Functionen #o(g), ^(g), #₂(g) keinen gemeinsamen Theiler. Lösen wir die Gleichung nach yj auf, so folgt

7] =

-jy₁(6) + j8₁(§)ViR(6)

wenn wir

setzen. Dahei sind _R(g) und .R^g) ganze rationale Functionen von g, und zwar enthalte 12(g) lauter verschiedene Linearfactoren, deren Anzahl gleich m sei. Führen wir statt g und yj zwei neue Variable « und y durch die Sub

stitution

ri ==

²0oG*)

ein, aus welcher umgekehrt

AU)

« = G y =

sich ergiebt, so besteht zwischen x und y die Gleichung

r = R(x).

Die gegebene Gleichung zwischen g und vj kann demnach durch eine rationale Transformation auf die Gleichung

= j?(æ) =    ... {x-am)

zurückgeführt werden, in welcher R(x) eine ganze rationale Function Grades mit lauter verschiedenen Linearfactoren bedeutet, so dass also nicht zwei der Grössen a±, a₂, ... am einander gleich sind. Bei der Berechnung des Ranges wollen wir nun statt der ursprünglichen diese letztere Gleichung zu Grunde legen (S. 69). Das durch eine Gleichung dieser Form definirte algebraische Gebilde nennen wir, wie schon in der Einleitung (S. 5) bemerkt wurde, ein hyperelliptisches Gebilde.

«»*

Betrachten wir in f(%,y) = 0 y als Function von x, so sind die singulären Werthe des Arguments x die Wurzeln der Gleichung D{x) — 0, welche sich durch Elimination von y aus f(x, y) = 0 und f{x,y)₂ — 0 ergiebt (S. 42). Mithin sind es in dem vorliegenden Fall die Werthe x — a^ In der That entsprechen jedem Argumente a , welches von

17*

aa, ... am verschieden ist, zwei entgegengesetzt gleiche Werthe y — b₀ und y = —b₀, und die beiden Stellen (a₀,b₀) und (a₀,— b₀) gehören zwei verschiede-nicht äquivalenten Elementen an. Um diese darzustellen, bringen wir

nen

auf die Form:

aj\ a₀ — aj \

M.

a0 -anJ

a₀ — ax

Nehmen wir nun x so nahe bei ao an, dass \x — ao \ kleiner ist als jede der Grössen |—«₀1, \a₂— a₀|, ... \am— a₀|, so lässt sich die Quadratwurzel aus dem auf der rechten Seite stehenden Producte nach Potenzen von# — a₀ entwickeln, und wir erhalten

und

y = -Mi + C®—«o)?ß(aj-«o)|i

mithin nach Einführung einer unabhängigen Variablen ć

und

xt = a₀+t, yt —

xt = a₀+t, yt = -&₀jl+ *$(*) j.

Diese beiden Functionenpaare stellen die Elemente dar, deren Mittelpunkte die regulären Stellen (a₀,b₀) und (a₀,-b₀) sind.

Für die Umgebung eines singulären Werthes ay des Arguments x er-giebt sich

y² —    (^—«x)²h—?

Folge der Voraussetzung, dass i?(#) keine gleichen Linear-factoren enthält, jR'(ax) sicher von Null verschieden ist. Alle Werthepaare (#^/), welche man aus dieser Reihe erhält, werden auch durch das eine F unctionenpaar

wobei zu

xt — aK +

*K)’ y>

geliefert, d. h. die singuläre Stelle (ax0) des Gebildes gehört einem einzigen Elemente

Für jeden Werth ay wird mithin n — 1, also auch n — n = 1; ay ist daher ein wesentlich singulärer Werth des Arguments, und zwar ist er einfach

an.

zu zählen (S. 130).

Ist m eine gerade Zahl, so folgt aus der Gleichung

Axm\l + At- + ---j ¹ x

wenn x dem absoluten Betrage nach grösser als jede der Grössen jaj, |aj, ...

•>

Klist

zm

y — ± \]A x

Wir erhalten demnach in diesem Falle zwei unendlich ferne Elemente des Gebildes, welche durch die beiden Functionenpaare

Vt =

und

-\fÄt +

xt = r¹

dargestellt werden; das Gebilde ist also im Unendlichen nicht singulär.

Ist aber m ungerade, so ist die unendlich ferne Stelle eine einfach zählende wesentlich singuläre. Denn das Gebilde hat dann nur das eine unendlich ferne Element

Vt =

zu

^î(»+»)r»j1 + i,^(^) j#

Dieser Umstand bewirkt in der Theorie der hyperelliptischen Functionen eine Yereinfachung der Formeln, wenn ungeraden Grades gewählt wird.

Bei geradem m sind demnach (ax0), (a₂0), ... (am0) die einzigen wesentlich singulären Stellen, und jede von ihnen ist einfach zu zählen, mithin wird die Zahl s gleich m (S. 130), also folgt, da n = 2 ist,

xt = At~²

Vt =

für R(x) eine ganze rationale Function

m = 2q + 2.

P = y-¹

Ist aber der Grad m ungerade, so ist ausser den Stellen (^0), («₂0), ... («OT0) noch die unendlich ferne Stelle wesentlich singulär, mithin ist s = m+1, also

m— 1

m = 2q + 1.

In beiden Fällen hat sich, wie es sein muss, s gleich einer geraden Zahl ergeben.

Damit haben wir den Rang des hyperelliptischen Gebildes y¹ = R(F), mithin auch den des ursprünglich gegebenen

9o(%)r* + 9i (É)*î+0,(g) = 0

berechnet. Soll umgekehrt das hyperelliptische Gebilde y¹ = R(x) von einem vorgeschriebenen Range q sein, so ist für R(x) eine ganze rationale Function (2p + l)ten oder (2p + 2)ton Grades ohne gleiche Linearfactoren zu setzen.

Nun stellen wir für das hyperelliptische Gebilde y¹ = R(x) die Functionen H(xy)a her. Wir haben gesehen, dass das homogene lineare Aggregat H(xy) der Functionen H(xy)a sich auf die Form:

H(xy) =

GJxy)

f\xv\

Dabei bedeutet G(xy) eine ganze rationale Function

und

bringen lassen muss.

x und y, welche in Bezug auf die beiden Variablen den (m — 2)

(n — 2)t6n Grad hat, wenn der Grad von f(x,y) in x und y gleich m und n ist (S. 116). Mithin ist im vorliegenden Falle G(xy) eine ganze rationale Function G{x) von x allein und zwar von nicht höherem als dem (m-2)ten Grade. Setzen wir

von

ten

G(x) = 2 (c₀x^ + G,#,u 1 +    +

wo also y,<m — 2 ist, so wird

H(xy) =

G{x) _ c₀^a+c₁^-¹ + --- + Ca

Stellt nun erstens das Functionenpaar (xtyt) ein Element dar, dessen Mittelpunkt eine im Endlichen liegende reguläre Stelle ist, so enthält die Entwickelung von

H{xtyt) ~ bei beliebigen Werthen der ^ + 1 Coefficienten in G(x) nur positive Potenzen. Das Gleiche ist auch der Fall, wenn das Element eine singuläre Stelle (ax 0)

zum

Mittelpunkt hat, denn für ein solches ist

xt — av -f

t*

mithin wird

R'(ax)

mithin ergiebt sich

also wie vorher

y p — 1.

Sowohl für gerades, wie für ungerades m hat demnach

C₀ff9~¹+ C₁^g~²+ ••• + Cq-i

die charakteristische Eigenschaft der Function H(xy), und da die p Constan-ten c₀, c%) ... Cç_t unbestimmt bleiben, so kann

xe-¹

•••    = V

'T

U(xy\=-, E(xy), = -

Damit sind die p linear unabhängigen Functionen H(xy)a

daher folgt

Drittens stelle    ein unendlich fernes Element dar. Ist der Grad m der

ganzen rationalen Function R(x) gerade, also gleich 2p+ 2, so hat das hyperelliptische Gebilde zwei unendlich ferne Elemente:

*, = *-, v, = ±vsrł”|i+<$(o|,

nt ⁼ + vï^ ‘⁺"'î’

G{xt) = 2c₀nu+ •••,

G&t) dxt 2yt dt

folglich ist

dxt

also muss, wenn die Entwickelung von von t enthalten soll,

keine negativen Potenzen

^ < ç-l

Wenn aber der Grad m eine ungerade Zahl, also gleich 2p+ 1 ist, so hat das Gebilde nur ein unendlich fernes Element:

sein.

xt — At ²

1 dxt yt dt

Gr{xt) = 2c₀ Aflt~2fl+

gesetzt werden, für das hyperelliptische Gebilde y² = R(x) bestimmt.

Als zweites Beispiel betrachten wir das allgemeinere algebraische Gebilde

yn = Rix)

wobei die ganze rationale Function mt0n Grades R(x) so beschaffen sein muss, dass die Gleichung irreductibel ist. In Linearfactoren zerlegt sei

R(oc) = A(x — aï)m\x — a₂)m*...(x — ak)mic.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir zwar nicht wieder, wie im vorhergehenden Beispiel, die Annahme machen, dass R{x) lauter verschiedene Linearfactoren enthält, wohl aber, dass die Exponenten mi? m sämmtlich kleiner als n sind. Es mögen nämlich mx und nx als ganze, nicht negative Zahlen so bestimmt werden, dass

mx = nn% + mx

und mx < n ist. Setzt man dann

[x - (x - a₂ f² ... (x - ak)nk = R₀ (x), A(x~ajWl(x — a₂)m'²... (x — ak)

mk

= EM

so ist

R(x) = R^(x)R₁(x),

und die Substitution

R(x) in 7f = über. Die beiden algebraischen

führt die Gleichung yn Gebilde gehen durch rationale Transformation aus einander hervor, sie haben demnach denselben Rang, und wir können daher von vorn herein voraussetzen, in der Gleichung

Vn = R(x) = A(x — aj™¹ (x — a.₂)m*... (x — ak)mk

.. mk kleiner als n.

Die Zahlen m₂, ... deren Summe

m₁ + m₂ H-----h mk — m

seien alle Exponenten m . m

i?

2’ •

ist, dürfen nicht sämmtlich den nämlichen Theiler mit n gemein haben.

Dagegen kann der Exponent mx einen itx mit n gemein haben, wobei die Zahlen w₂, ... nk nur dann

Denn wäre n ein solcher gemeinsamer Theiler, so wäre ygleich einer ganzen rationalen Function von x, mithin entgegen der Voraussetzung die Gleichung yn = R(x) reductibel.

Theiler sämmtlich einander gleich sein können, wenn sie gleich 1 sind. Wird

n = Vx> mv. = Vx

(x = 1,2

Ferner kann die Zahl m, d. i. der Grad von R(x),

gesetzt, so ist n > nx > 1. mit n einen gemeinsamen Theiler n₀ besitzen; es sei

n = n₀v₀, m = n₀y₀

wo n > n₀ > 1 sein muss.

Betrachten wir y als Function von x, so sind die im Endlichen gelegenen singulären Werthe des Arguments x wieder die Werthe « , aa, ... für welche jR(F) verschwindet. Wenn nun (a₀b₀) eine beliebige im Endlichen

lassen sich die Paare (;xy) in der Umgebung der

so

gelegene Stelle des Gebildes ist, für welche a₀ mit keinem dieser singulären Werthe zusammenfällt

Stelle (a₀b₀) durch ein Functionenpaar der Form

xt = a₀+t,    = 6₀j 1 + ^(0j

darstellen. Liegt aber x einem singulären Werthe ay hinreichend nahe, so ist

yn = Ax(X - ayfly' ! ¹ + (^ - «x)    - ®x) I

mithin, wenn

O, = Ä,?»

gesetzt wird,

Hierbei denken wir uns der Wurzelgrösse Cy einen beliebig bestimmten ihrer n% Werthe beigelegt. Die vorstehende Reihe liefert alsdann zu einem Werthe von x vy Werthe von y, und diese vx zusammengehörigen Paare (xy) ergeben sich, wie wir jetzt zeigen wollen, durch ein einziges Functionenpaar.

Da und vy relativ prim sind, so lassen sich stets zwei ganze positive Zahlen ox < und tx < vy finden, für welche

LUx-fbUx = ¹

ist. Mit Hülfe dieser Relation folgt aus der vorhergehenden Reihenentwickelung

-**VX = C

gesetzt wird

(0* Hy)v* = t^\i + ms(t)\,

der Wurzelgrösse

wobei die Coefficienten in der Reihe ^$a(£) eindeutig aus Cy zusammengesetzt sind. Ziehen wir nun die vyte Wurzel auf beiden Seiten dieser Gleichung aus, so ergiebt sich das Functionenpaar

*, = «x+cf'«'*, y, =

ver

Dieses stellt für jeden bestimmten Werth von Cy ein Element des algebraischen Gebildes dar, dessen Mittelpunkt die Stelle («^,0) ist, und zwar liefert es zu einem Werthe von x, welcher in der Umgebung von ay liegt, vy

i

so ist jede

und, wenn

Gy. **(«-«*) = tVy'

schiedene Werthe von y. Indem wir der Wurzelgrösse C = An* der Reihe nach ihre ny verschiedenen Werthe beilegen, erhalten wir ny nicht äquivalente Elemente mit dem gemeinsamen Mittelpunkt {ay 0), welche zu einem x nyvy — n verschiedene Werthe von y ergeben. Die Stelle {ay 0) gehört also ny verschiedenen Elementen des Gebildes an, und da nycn der Stellen («,0), (a₂0), ... (aÄ0) eine wesentlich singuläre. Für die Umgebung von (ay0) zerfallen die n Werthe y in ny Gruppen, diese Stelle ist demnach (n — n)~mal zu zählen (S. 130).

Wir müssen nun noch das Verhalten des algebraischen Gebildes für x = oo untersuchen. Ist x dem absoluten Betrage nach hinreichend gross, so folgt

vH

oder wenn wir dem Vorhergehenden entsprechend

G. = A”°

setzen und die Gleichungen m — n₀ y₀, n — n₀v₀ berücksichtigen:

Vo

= G₀xto

iH

Gr(xt) dxt

Nachdem wir wieder zwei positive ganze Zahlen ao und xo so bestimmt haben,

dass und

To<vo

ao<f*o

ist, erhalten wir durch die Substitution Co r°x — t °:

c~a"y = r^ji+<ął,(0|-

Für jeden der n₀ Werthe der Wurzelgrösse C₀ stellt das Functionenpaar

¹

yt dt —

*, = c;°cv°, y, = c^r^ji+żąto!

ein unendlich fernes Element des betrachteten Gebildes dar. Es liefert

zu

x =

ist n₀ = 1, und es gehören dann die sämmtlichen n Werthe von y einem einzigen Elemente an; sonst aber zerfallen die n Werthe y in n₀ Gruppen. Wenn der Grad m von R(x) nicht die Zahl n als Theiler enthält, so ist

einem unendlich grossen Werth von x v₀ Werthe von y. Geben wir C0 seine n verschiedenen Werthe, so erhalten wir no verschiedene unendlich ferne Elemente des Gebildes, deren Gesammtheit n₀v₀ — n Werthe von y für oo ergiebt. Haben die Zahlen m und n keinen gemeinsamen Theiler, so

n₀cn und daher x — oo ein wesentlich singulärer Werth des Arguments der algebraischen Function.

Hiernach erhalten wir

= (£ + i)0-i)- 2 0*-¹)

7t = 0

Tc

S = 2 0-»*)

x = o

= n(Tc + 1)— 2

X = 0

mithin ist der Rang des gegebenen algebraischen Gebildes yn — R(x) :

q = i+|o-i)-|

&    7t — o

... = m.

k

ml

Als Specialfall können wir hieraus den Rang für das vorher betrachtete hyperelliptische Gebilde y² = R(x) ermitteln. Für dieses ist n — 2 und = 1, mithin Ti = m und nx = n₂ =    = nk = 1, folglich

Q = j(:m-no)-

Für eine Function R(x) geraden Grades ist nun no — 2, also q = ~ — 1 = 2p + 2; für eine Function R(F) ungeraden Grades dagegen ist w₀ = 1

18*

haben,

Gt(x), G₂(x), ... Gn_t(x) ganze rationale Functionen bedeuten.

wo

mithin q — (m — 1 ), m = 2q +1. sultat überein.

Die Function H(xy) muss für das Gebilde yn — R(x) die Form:

Gi (a?)    + • • • + G-n-2 (x) y + G-n-i 0*0

Dies stimmt mit dem oben gefundenen Re-

R{xy) =

y-¹

Ist e eine primitive nte Wurzel der Einheit und y irgend einer der n Werthe, welche zu Folge der Gleichung yn = R(x) zu einem Werthe von x gehören,

so sind ey, £²«/, ... era xy die übrigen Werthe, mithin hat auch jede der Functionen

H(x,zy), H(x,Eay), ... II(x,zn 1y),

als Function des Paares (xy) betrachtet, die charakteristische Eigenschaft einer H-Function, und demnach muss dies auch für die n — 1 Functionen

1 n—i

-2a

% y — o

G-ß(x)

yß

(ß — lj 2,... w —1)

der Fall sein. Die Entwickelung von

Grß(xt) dxt

yf dt

darf mithin für kein einziges Functionenpaar (xtyt) negative Potenzen von t enthalten.

Stellt (xtyt) die Umgebung einer im Endlichen gelegenen nicht singulären Stelle (a₀b₀) dar, so treten nur positive Potenzen auf, wie auch die ganze rationale Function G^(x) beschaffen sein mag.

Hat dagegen das Element (xtyt) zum Mittelpunkt eine singuläre Stelle (ax 0), so ist

»t =    , y, = c£* f* j i + i sp(<) J

mithin enthält das Anfangsglied der Entwickelung von

1 dxt y? dt

. Ist erstens der Ex-

nach steigenden Potenzen von t die Potenz t

ponent    ß(i^~ 1 eine negative Zahl

so muss die Entwickelung von

Gß(xt)

mit einer positiven Potenz von t beginnen, demnach G p{x) durch x — ay theil-bar sein: und zwar müssen, wenn der Factor x—a

77    X

kommt, die Ungleichungen bestehen:

mx-mal in Gp(x) vor

m^vx>ß(ix+ l-vx

,    ßm.,

m.. > — -x '■ n

— 1.

Bezeichnen wir daher mit

die grösste in ■    * enthaltene ganze Zahl, so ist

ßmx

m' > — \ n

ta

Umgekehrt gilt, sobald Gp(x) den Factor (x-a^y n > hat, die Entwickelung

G-ß(oct) dxt

-IT = m-

Damit demnach der Function

Gfj (x)

für die Umgebung jeder im Endlichen gelegenen singulären Stelle (ax0) die Eigenschaft einer ET-Function zukomme, die ganze rationale Function Gp(x) von der Form:

ei*(æ) = i^yhi+Gßy>~‘+• • •+cfXRf(x)

muss

sein, wenn

y»

Rß(x) = (x-aj n J(x-a₂)[ n

gesetzt wird. Da die Zahlen m ist stets

(*?)

l’

...(x-ak)

m₂1 • ■ ■ mf, sämmtlich kleiner als n sind, so

Rt(x) = 1.

Ist zweitens vx — ß(i.A 1=0, so ist für jede beliebige ganze rationale Function

GM

G-ß{xt) dxt

Die Zahlen

(~) sind aber jetzt sämmtlich gleich 0, mithin ist RJx)

wir können also auch in diesem Falle G^x) in der vorstehenden Form annehmen.

Nun muss der vorläufig beliebige Exponent v{i der Art bestimmt werden,

G(t(xt) dxt

dass die Entwickelung von

-7r auch für die unendlich fernen Elemente

dt

y, = c°°t ^(Oj

Dies ist der Fall, wenn

r _ rtTo j.~ vo

keine negativen Potenzen von t enthält.

+ ¹ ^ /fy₀

d. h. wenn

ßm

ßmk

ist. Es stelle nun

ßm

die grösste ganze Zahl dar, welche in ~~ enthalten und kleiner als ~~ ist, sodass also

ßm

‘ ßm

~~ keine ganze Zahl, {~n~)~¹ ’    ^~n~ e*ne §anze Zahl.

falls

Dann haben die n — 1 Functionen

CßiXV'? ¹ + Cß₂xv'(i 2+-

•• + C

ßvß

Rß(x)

(ß = 1, 2,... w —1)

bei beliebigen Werthen der Constanten C^, C^₂, ... Cßv, des Gebildes die Eigenschaften einer FT-Function, sobald

ß™k

für alle Elemente

vß =

ßmt

ßm₂

gesetzt wird. Mithin können die Functionen

als die

(ß — 1> 2,... n —1; y — 0, 1,... v'ß— 1) q Functionen H{xy)a angenommen werden, woraus sich die vorher

(S. 135) für das hyperelliptische Gebilde gefundenen Ausdrücke der H-Functionen als Specialfälle ergeben.

n—i

Es lässt sich auch direct nachweisen, dass die Anzahl 2 v'» der so er-

ß = 1

haltenen linear unabhängigen Functionen H(xy)a wirklich gleich q ist, wo nach dem Obigen q für das Gebilde y⁷¹ — R(x) den Werth

Ist nämlich ß eine beliebige der Zahlen 1, 2, ... n— 1, so sei für

eine ganze oder ge-

hat.

x = 0, 1,... k dx9 gleich 1 oder 0, je nachdem brochene Zahl ist; dabei muss m₀ durch die Grösse m ersetzt werden. Dann

ß mY. _ ß^X

vx

wird

(n-ß)mx

= «X-

j fßmx

+ d.

(* = 0,1

-d

= mx~

mithin

ßmv.

(n — ß)mx

— mx — 1 + dx

ß™x

'M)»x

(x = 0,1

= mx- l-dXjî.

Zunächst sei nun w ungerade, so ergiebt sich

W—1

/» = !

1    2 (W_1)    Ä ( ^

2>-i)(»-i)- s tK-i)(»-i)+- s

^    (9 = 1    X = 1 ( "    (9 — 1 ¹

i.(Ä_l)(n —!)— 2 2 dX(î.

"    -x = 0 (9 = 1

A(n-i)

-i(n-i)

Nun ist 2 ^x/9 gleich der Anzahl der in der Reihe

n — 1 2 ***

enthaltenen, durch v theilbaren Zahlen; also folgt

?=i

- C£) - (*

— rc*-¹

denn no, ^, ... müssen als Theiler von n ungerade Zahlen sein.

Zu Folge

dieses für die Summe auf der linken Seite gefundenen Werthes erhalten wir aber

n-1    1    1 k

2 Ą = »■ (*-i)(»-i)—i 2 K-i).

ß = l    "    " X — 0

Ist zweitens w gerade, so sondern wir in von den übrigen ab und erhalten dadurch

w—1

der Summe 2 v'a das Glied v'n

ß = l    2

= -i(Ä-l)(n-2) + [ f

*(»“») * (/w \

ł(»-2)

Durch ähnliche Schlüsse nächst

wie im vorher behandelten Fall, ergiebt sich

zu-

‘V>. _ /»

J, ^ “ [ i

— UhL

(x = 0, 1, ... Ä).

²"x

n>n^ (S. 137), also ist vx>2, mithin folgt ~ — l, falls nx gerade,

-^2—, falls n% ungerade.

Diese Formeln bleiben auch für x = 0 bestehen, denn ist n = n₀, mithin no eine gerade Zahl. Und da in Folge der Annahme, dass n gerade ist, mx und nx gleichzeitig gerade oder ungerade sind, so hat sich das Resultat ergeben:

Nun war für x = 1, 2, ... k

vx

(x = 1, 2,... Ä)

v₀ = 1, so ist

¹ — 1, falls mx gerade -*2 ¹ f falls mx ungerade, gerade oder ungerade ist, hat den Werth -J--1 oder

i (ł*-2)

(x = 0, 1,... Je)

Je nachdem nun m

m — i ..    .

—2—, also wird stets

10-2)

Ferner ist gleich ^

wenn m

A _ m no

^ °0ß — —2

x gerade, und gleich

A

wenn mx un-

gerade, mithin folgt

(mx\ *²⁾ .    m + n.,

{-f)+ s, = -v^-¹

(* = 1,2,...*).

•    •    n—i

Durch Substitution dieser Werthe in den obigen Ausdruck von 2 v'ß erhält

ß=i p

man nun

n~¹    1 -

= -U(*-i)(«-2) + AL_

“    ^ x = o

_ V 1 m?- + xtfij 2

-1

In beiden Fällen, bei geradem und bei ungeradem n, hat sich demnach die Gleichung

n—i

i?=i

ergeben.

Abelsche Functionen.

19

Sechstes Kapitel.

Zweite Art der Berechnung des Ranges eines algebraischen

Gebildes.

Wenn die Gleichung f(x, y) = 0 des algebraischen Gebildes nicht nach einer der beiden Variablen, x oder y, algebraisch auflösbar ist, so stösst die Bestimmung des Ranges nach der im vorhergehenden Kapitel auseinandergesetzten Methode auf Schwierigkeiten. Wir gehen daher jetzt zu einer zweiten Art der Berechnung der Zahl q über.

Hierbei tritt die Aufgabe auf, die Anzahl der Stellen zu bestimmen, welche die beiden Gebilde f(x,y) — 0 und f(x,y)₂ — 0 gemein haben; wir führen die entsprechende Aufgabe aber gleich allgemeiner für zwei beliebige irréductible algebraische Gebilde f(x, y) — 0 und F(x, y) — 0 der rtm und r'ten Dimension durch. Deuten wir die beiden Gebilde geometrisch als Curven, so handelt es sich um den Nachweis, dass zwei irréductible algebraische Curven von den Dimensionen r und r einander in rr Punkten schneiden. Gewöhnlich begnügt man sich damit zu zeigen, dass die Gleichung, welche durch Elimination von y aus f(x,y) = 0 und F(x,y) = 0 entsteht, vom (rr')ten Grade in Bezug auf x ist. Damit ist aber nur bewiesen, dass die beiden Curven

und wie oft ist ein Schnittpunkt zweier algebraischen

nicht mehr als rr' gemeinsame Punkte haben. Für eine genaue Untersuchung der Anzahl der Schnittpunkte bedarf es besonders der Erörterung der beiden Fragen: Welche Bedeutung kommt unendlich fernen Punkten einer algebraischen Curve zu

Curven zu zählen?

Die linke Seite der Gleichung f{x, y) — 0 sei nach homogenen Functionen geordnet

f(x, y) = (x, y\ + (x, y)r_, + • • • + (x, y\ + {x, y\.

Wenn die Function höchster Dimension ($, y\ als Product von lauter verschiedenen Linearfactoren darstellbar ist, also in dem Product

(«,y)r = C(gy— hx)(g'y— h'x)... {gw~v y —    x)

(r-v

die Verhältnisse j-, -fr, ••• -v haben wir das durch die Gleichung f(x, y) — 0 definirte algebraische Gebilde im Unendlichen regulär genannt (S. 38). Es besitzt dann r nicht äquivalente Elemente im Unendlichen. Fassen wir das Gebilde als ebene Curve auf.

h(r~v

sämmtlich unter einander verschieden sind, so

so sagen wir in diesem Falle, die Curve habe r von einander verschiedene unendlich ferne Punkte. Zu dieser Ausdrucksweise führt folgende Ueber-legung.

Es bedeute s eine unabhängige Variable, sodass das System der beiden Gleichungen x = a + ks, y — b + ls

eine Gerade darstellt. Gleichung

Die Punkte (x,y), welche den Wurzeln s der

f(a + ks,b + ls) = (k,l)rsr-\— = 0

entsprechen, sind die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Curve f(x,y) = Q. Wenn nun (k,l)r nicht verschwindet, so hat die Gleichung rten Grades bei richtiger Zählung r endliche Wurzeln s, mithin erhalten wir r im Endlichen gelegene Schnittpunkte der Geraden und der Curve. Verschwindet aber d. h. ist einer der r Factoren

gw)l — Jiwk

gleich Null

so wird eine Wurzel der Gleichung unendlich gross, und wir sagen daher, jede der r verschiedenen Geraden

(* = °>

gm{y—ö)—hm {x—a) = 0

hat mit der Curve f{%,y) = 0 einen unendlich fernen Punkt gemein, oder jede der r Geraden

gm y — hœ x = 0

(x = 0,1,... r—l)

bestimmt eine Richtung, in welcher ein solcher Punkt der Curve liegt.

Enthält dagegen {x,y\ auch gleiche Linearfactoren, ist also das Gebilde f(x,y) = 0 im Unendlichen nicht regulär, so ergeben sich weniger als r von einander verschiedene unendlich ferne Punkte der Curve.

Zunächst soll nun bewiesen werden, dass sich stets und zwar auf unendlich viele Weisen die Constanten co, c , c₂ des algebraischen Gebildes

c₀ + ctx + c₂y — 0

so bestimmen lassen, dass dieses mit dem Gebilde rter Dimension f(x,y) = 0 genau r von einander verschiedene, im Endlichen gelegene, nicht singuläre Stellen gemein hat. Oder geometrisch ausgedrückt, es lassen sich unendlich viele gerade Linien bestimmen, welche eine gegebene Curve rter Ordnung in r verschiedenen, im Endlichen gelegenen Punkten schneiden. Dabei machen wir keine specielle Voraussetzung über die homogene Function höchster Dimension (x, y\ in f(x,y). Wenn die Gleichung f{x,y) = 0 nicht von vornherein in Bezug auf y vom rten Grade ist, so transformiren wir sie durch eine lineare Substitution

x = ax'+ß'y', y — y'x'+ô'y'

in der Weise, dass die neue Gleichung f₀(x\ y') = 0 in Bezug auf y den Grad r hat; hierzu wird erfordert, dass    und die Determinante ad'—ß'y'

y'r in fXx\y') ist

jetzt eine Constante, mithin bleibt für endliche Werthe von x* auch y' endlich (S. 33). Es werde nun die Grösse

von Null verschieden sind (S. 35). Der Coefficient von

a so gewählt, dass die Gleichung /o(«> y') = ⁰ keine gleichen Wurzeln y' besitzt, eine Bedingung, durch welche nur eine endliche Anzahl von Werthen a ausgeschlossen wird. Die Gerade

x'—a — 0

im

schneidet dann die Curve fQ{x\y') — 0 in r von einander verschiedenen, i Endlichen gelegenen, nicht singulären Punkten; oder, wenn die Variablen x, y wieder eingeführt werden, die gerade Linie

d'x — ß'y — a (cc'ô'~ ßY) = 0

Damit sind die Constanten co, ci, c₂ in der gc-

hat mit der Curve f(x,y) = 0 r verschiedene, im Endlichen gelegene, nicht singuläre Punkte gemein, forderten Weise bestimmt.

Wir betrachten jetzt gleichzeitig mit f(x,y) = 0 ein zweites, von dem ersten verschiedenes, irréductibles algebraisches Gebilde F(x,y)=0. Die Summe der Glieder höchster Dimension von F(x, y) wollen wir mit (x, y)\, bezeichnen. In der vorher betrachteten linearen Substitution wählen wir nun die Coefficienten a\ ß\ /, d’ so, dass nicht nur (ß', ä')r, sondern auch (ß\ <?')', von Null verschieden ist; dann ist der Grad der aus F(x, y) — 0 durch jene Substitution hervorgehenden Gleichung F₀(x\ y') — 0 in Bezug auf y gleich r. Ferner wollen wir die Grösse a so annehmen, dass jede der beiden Gleichungen fo(a,y') = 0 und F₀(a,y') = 0 lauter verschiedene Wurzeln y hat und auch keine Wurzel der einen Gleichung zugleich Wurzel der anderen ist. Könnten wir a nicht auch der letzten Bedingung gemäss wählen, so hätten f₀(x',y') und F₀(x',y’), mithin f(x,y) und F(x,y), einen gemeinsamen Theiler. Es lässt sich hiernach auf unendlich viele Weisen eine gerade Linie

c^^x + ^y = 0

so bestimmen, dass sie die Curve f(x,y) = 0 in r nicht singulären Punkten und die Curve F(x,y) = 0 in r eben solchen Punkten schneidet, und dass diese r + r' Punkte alle unter einander verschieden sind und sämmtlich im Endlichen liegen.

Um nun die Bestimmung der Anzahl der gemeinsamen Stellen zweier algebraischen Gebilde f(x,y) = 0 und F(x,y) = 0 von den Dimensionen r und r zu vereinfachen, transformiren wir die beiden Gleichungen so, dass bei Zerlegung der Glieder höchster Dimension in Linearfactoren nicht zwei dieser r + r' Factoren einander gleich sind. Beide Gebilde sind dann im Unendlichen regulär. Die allgemeinste Transformation, welche die Dimension einer algebraischen Gleichung unverändert lässt, wird durch eine gebrochene lineare Substitution mit demselben Nenner vermittelt; das ursprüngliche Gebilde steht dann mit dem transformirten Gebilde in collinearer Verwandtschaft. Wir setzen

u — a₀ + a₁x + a₂y, v = b₀ + b₁x + \y, w = c₀ + ctx+ c₂ y,

wobei die Coefficienten c₀, clf c₂ in w so, wie vorher, bestimmt werden mögen,

während die in den Functionen u und v enthaltenen nur der Bedingung unterworfen zu werden brauchen, dass die aus den Coefficienten der drei linearen Functionen gebildete Determinante nicht verschwindet. Die Gerade w = 0 schneidet dann die Curven f(x, y) = 0 und F(x, y) — 0 in r -f r von einander verschiedenen, im Endlichen gelegenen Punkten. Zu Folge der gebrochenen linearen Substitution

T‘ w

werde wo cp(i, VJ) und 0)(i,7]) ganze rationale Functionen ihrer Argumente bezeichnen; dann sind <p(g, t]) = 0 und O(g,7j) = 0 die transformirten Gleichungen. Nach homogenen Functionen geordnet werde jetzt, da keine Verwechselung mit der vorher bei den Functionen f(x,y) und F{x,y) angewandten Bezeichnung eintreten kann,

?(M) =    +(S»*î)r-i+••• + (!, *î)o»

gesetzt.

In Linearfactoren zerlegt sei

und

so sind einerseits

und andererseits

9o 9o

(»•-!)

*r°

9i_ g[

g\

unter einander verschieden, und die beiden homogenen Functionen (g, ?j) und (MX' haben ausserdem keinen gemeinsamen Lineartheiler. Es ist nämlich

f{x,y) = (^, ^)r + (^,    ^ h—h (^,

mithin ist für die r Schnittpunkte der Geraden w — 0 und der Curve f(x,y) = 0 auch

(u, v)r = C₀(g₀v-\u)(g'₀v-h'₀u)... « "

d. h. die Coordinaten jener r Schnittpunkte ergeben sich aus den r in x und y linearen Gleichungssystemen

g™v — h™u — 0

Diese r Schnittpunkte sind aber alle von einander verschieden, mithin ist dies auch für die Verhältnisse

9o ffo

9o~l)

der Fall. In derselben Weise folgt, dass die Coordinaten der r Schnittpunkte der Geraden w = 0 und der

Curve F(x, y) = 0 die r Systeme

(A = 0,1,... r'— 1)

gf-"

A s’i

» * ‘ *

ander gleich sind. Jedes der beiden transformirten Gebilde cp (|, yj ) = 0 und $(£, 7]) = 0 ist folglich im Unendlichen regulär. Ferner sind die Schnittpunkte

befriedigen, und daher auch nicht zwei der Quotienten

ein-

der Geraden w = 0 mit der Curve /*($, y) = 0 von denen mit der Curve F(x,y) — 0 verschieden, demnach ist keiner der Quotienten ||| gleich einem Quotienten -fV, keiner der Linearfactoren von

(I, v])r ist also mit einem von (|,Y])^ identisch: Den Schnittpunkten der Geraden w = 0 mit den beiden Curven f(x, y) = 0 und F(x, y) = 0 entsprechen r verschiedene unendlich ferne Punkte der Curve <p(|, 73) = 0 und r eben solche Punkte der Curve 0(|, tj) = 0.

von

Da nach dem Vorhergehenden die beiden Gebilde cp(|,7j) = 0 und 0((;,tj) = 0 keine unendlich fernen Stellen gemein haben, so brauchen wir nur noch nachzuweisen, dass sie bei richtiger Zählung rr gemeinsame, im Endlichen liegende Stellen besitzen. Die Anzahl der Werthepaare (£73), für welche p(i, 7j) und 0(1,7]) gleichzeitig verschwinden, ist gleich dem Grade der rationalen Function 0(1,7]) des durch die Gleichung cp(|, 7]) = 0 verbundenen Paares (£7]), denn dieser ist identisch mit der Anzahl der Stellen, für welche die Function 0(|,tj) verschwindet, falls jede Stelle so oft gezählt wird, wie die zugehörige Ordnungszahl angiebt (S. 56). Der Grad ist aber auch gleich der Anzahl derjenigen Stellen, für welche die rationale Function 0(g,7]) des Paares (§7]) unendlich gross wird. Nun ist 0(|, 7]) eine ganze Function

% und 7] und kann daher nur für solche Stellen (|tj) unendlich werden, für welche wenigstens eine der Variablen g oder tj unendlich wird; wir brauchen deshalb nur die unendlich fernen Stellen des Gebildes cp(g,7]) = 0 zu betrachten. Da die Linearfactoren — A™g) von (g, yj )f. sämmtlich unter einander verschieden sind, so lassen sich die unendlich fernen Elemente des Gebildes cp(g,7]) —0 durch r verschiedene Functionenpaare der Form

= fltf⁰*"¹+ $..«(*), rit =    +

Führt man ein solches Functionenpaar in    ein,

0 = o, l,... r—1)

darstellen (S. 38). so folgt

® (£*>%) =    r'+••••

Kein Linearfactor von (g, 7])f ist aber mit einem von (g, 7])', identisch, mithin ist (g™, /L°)', nicht gleich Kuli. ®(^, t^) wird daher für t = 0 von der Ordnung r' unendlich gross, und da es r solche Functionenpaare giebt, so ist der Grad der rationalen Function ®(£,y]) des Paares (|7j) gleich rr.

Damit ist bewiesen, dass zwei algebraische Gebilde von den Dimensio-und r\ bei welchen die homogenen Functionen höchster Dimension in lauter ungleiche Linearfactoren zerfallen, rr' gemeinschaftliche Stellen besitzen, vorausgesetzt dass jede dieser Stellen richtig gezählt wird. Stellt näm-lich (1^) ein Element des Gebildes <p(g, yj) = 0 dar, dessen Mittelpunkt (goY}₀) der Gleichung ®(|,tj) = 0 genügt, und gilt die Entwickelung

= AP + A'P* + -,

ist die Stelle (£₀tj₀) ft-mal als gemeinsame Stelle der beiden Gebilde cP(£>⁷3):=:0 un(i 0(|, ) == 0 zu zählen (S. 55). Bestimmen wir in dieser Weise die Ordnungszahlen ft für alle nicht äquivalenten Elemente, welche solchen Stellen (§₀Y]₀) gehören, so ist

nen r

so

zu

2 ft = rr'.

Jetzt kehren wir zu Gebilden f{x,y) = 0 und F(x,y) = 0 zurück. Ist

(x,y)r = C(gy — hxf° (g'y — h'xf¹... (gw y — hM xfv

die homogene Function höchster Dimension

den beiden beliebigen irreductiblen algebraischen

von

f(x,y)₇ so mögen die Con-

stanten und c₂ der linearen Function

w = c₀+ c±x + c₂y

ausser den vorhergehenden Bedingungen (S. 149) noch den weiteren unterworfen werden, dass keine der Grössen

(* = 0,1,... 9)

Die r von einander verschiedenen Schnittpunkte der Geraden w — 0 und der Curve f(x,y) = 0 seien (ab'), («"6"), ... (air)Vr))‘, stellt dann das Functionenpaar

c₁ gm + c₂ JiU)

verschwindet.

xt = aa) + af tĄ—, yt — Vl) + Vf t + ■ • •

so

das Element des Gebildes f(x,y) = 0 mit dem Mittelpunkt (awVl)) dar ist wenigstens einer der beiden Coefficienten af und Vf nicht Null, da (a(h ba)) keine singuläre Stelle ist. Es können demnach c und ca ferner auch so gewählt werden, dass die Grössen

& = 1,2,... r)

c₁ af + c₂ Vf

von Null verschieden sind.

Mittels der vorher besprochenen Substitution

ri = —

w

durch welche

f(x, y)

wr

F(x,y)

iV"

wird, lässt sich zu jedem Functionenpaar (xtyf) ein entsprechendes Functionenpaar (^tf]t) berechnen, und umgekehrt.

Führen wir in die lineare Function w = c₀ + c x + c y statt (xy) ein Element (xtyf) des Gebildes ein, so möge die hierdurch entstehende Potenzreihe von t mit w t bezeichnet werden.

Erstens sei nun (xtyf) ein Element des Gebildes f(x,y) = 0, dessen Mittelpunkt eine im Endlichen gelegene, von (a'V), (a"b"), ... (amVr)) verschiedene Stelle ist. Dann beginnt wt mit einer nicht verschwindenden Constanten, also muss das entsprechende Functionenpaar (g^) ein im Endlichen gelegenes Element des Gebildes cp(g,7j) = 0 darstellen. Da 0(|,vj) eine ganze

20

Abelsche Functionen.

rationale Function ist, so enthält die Entwickelung von 4>(g^) nur positive Potenzen von t, sodass sich ergiebt

= m-

F(xtyt)

wt

Ist zweitens (xtyt) das Element mit dem Mittelpunkt (a^ft⁰⁵), so folgt

wt = (c₁a[l)+c₂b?⁾)t+---,

mithin

F(arba))

F{xtyt) ₌    ____

wt    (pi aT+c2 yJ

beginnt die Entwickelung

Hierin ist F{aa)ba)) nicht gleich Null, da die Gerade w = 0 die beiden Curven f(x, y) — 0 und F(x, y) = 0 in verschiedenen Punkten schneidet. Da ferner auch (cxa[X) + c₂bf J nicht verschwindet, so rechts mit der Potenz t~r\

Drittens stelle (xtyt) ein unendlich fernes Element des Gebildes f{x,y) =0 dar. Die Reihen xt und yt haben dann die Form

* = *-•{*»+*$„(0J, yt = r«{*«+^x(0}, wo s>l ist (S. 37), folglich wird

wt = (ctgm+ c₂hœ)t £ + ---,

und zwar ist der obigen Voraussetzung über ct und c₂ entsprechend der Coefficient von t~e nicht gleich Null. Da nun F(x,y) von der Dimension r ist, so wird der Exponent des Anfangsgliedes in der Entwickelung gleich — r'e oder grösser, mithin ergiebt sich

F(xtyt)

von

F&tVt)

wrt

= sp(0-

Die Function

F(x,y)

wird demnach nur an den r Stellen (aa)bd)) des Gebildes f(x,y) = 0 unendlich gross und

des Paares (xy) vom Grade rr'.

zwar

jedes Mal mit der Ordnungszahl r\ ist also eine Function

Sie verschwindet daher auch für rr' Stellen

des Gebildes f(x,y) = 0, falls wir eine Stelle, deren Umgebung durch das Functionenpaar (xtyt) dargestellt wird, ft-mal zählen

wenn

F(xtVt)

ist; ft muss dabei >1 sein.

Für jedes im Endlichen gelegene Element (xtyt), welches hier in Betracht kommt, lässt sich diese Reihe durch

F(xtyt) = A't*+-

ersetzen. Denn da

F (ob, y)

für die Stellen (ab'), (a"b"), ... (amVr)) nicht sind nur solche Elemente (xtyt) zu berücksichtigen, zum Mittelpunkt haben, und für solche

wr’

ver-

schwinden kann

welche keine der Stellen (aa)bU)) beginnt die Entwickelung von wrt mit einer Constanten.

so

Eine im Endlichen gelegene Stelle (ab) zählen wir daher ft-mal, wenn für das sie umgebende Element (xtyt) des Gebildes f(x,y) = 0

F(xtyt) = A’F+ —

ist. Die Ordnungszahl ft einer unendlich fernen Stelle bestimmen wir dagegen aus der Entwickelung

F(xtVt)

wrt

= At^+

wenn (xtyt) im Gebilde f(x,y) — 0 die Umgebung jener unendlich fernen Stelle darstellt. Dann können wir sagen, die beiden beliebigen irreductiblen algebraischen Gebilde f(x,y) — 0 und F(x,y) = 0 der rten und r'ten Dimension haben stets rr Stellen gemein.

Nach diesen vorbereitenden Betrachtungen gehen wir nun zu der zweiten Art der Berechnung des Ranges eines algebraischen Gebildes über. Das gegebene Gebilde f(x, y) = 0 rter Dimension werde zunächst durch eine gebrochene lineare Substitution in ein Gebilde cp(§, yj) = 0 transformirt, welches in Bezug auf y] den Grad r hat (S. 148) und im Unendlichen regulär ist (S. 149), folglich mit dem Gebilde ^(ij^)₂ = 0 keine unendlich fernen Stellen gemein hat. Da sich der Rang bei einer rationalen Transformation nicht ändert, so möge er zunächst für das Gebilde cp(|, tq) = 0 nach der im vorher-

20*

gehenden Kapitel entwickelten Formel

9 = -f-

Um s zu finden, haben wir, da das

berechnet werden (S. 128). In dieser bedeutete n den Grad der Gleichung in Bezug auf tj; es ist also jetzt n Gebilde cp(|,Yj) = 0 im Unendlichen regulär ist, die sämmtlichen im Endlichen gelegenen Werthepaare OA), OA), • • • aufzusuchen, welche gleichzeitig den Gleichungen cp(|,7j) = 0 und cp(|,v])₂ = 0 genügen (S. 130). Stellt dann das Functionenpaar

% — + ----

ist (S. 120)

so

ein Element mit dem Mittelpunkt (gx hx) dar (S. 118),

⁵ = Sfe-i).

Demnach ergiebt sich

2(> = 2fo-l)-2(r-l).

W

wenn wir

Die Anzahl der den beiden Gebilden <p(§, 7j) = 0 und <p(|, tj)s = 0 gemeinsamen Stellen (gx h?) ist nach dem vorangeschickten Satze gleich r(r — 1) jede Stelle so oft zählen, wie die zugehörige Ordnungszahl angiebt. Gilt nun für das Functionenpaar (^rjj die Entwickelung

?(U). =

der Stelle (gx\)

an

ver-

wo c[ einen von Null verschiedenen Werth haben soll, so ist \ die Ordnungszahl, mit welcher die Function <p(g, 7j) schwindet, und wir haben daher, da die beiden Gebilde <p(g,ij) = o und <K£,t])₂ = ⁰ keine unendlich ferne Stelle gemein haben,

24 = r(r-1),

mithin

2 9 = (r-l)(r-2)-2(4-Ą+l).

('*•)

Es werde von jetzt an zur Abkürzung

gesetzt, so ist also

Die Zahlen ä , k

2l *

können wir noch in anderer Weise deuten.

2q = (r-l)(r-2)-2fc.

W

.., welche den Stellen    (0tÄ#), ... zugehören,

Für das Functionenpaar

(hru) wird

di

dt

h⁽À .-h

es stellt also —kx den Exponenten des Anfangsgliedes in der Entwickelung des Quotienten

dit dt

dar, wenn (ltrlt) das Element mit dem Mittelpunkt (gx\) ist.

Wie wir jetzt nachweisen wollen, ist für jedes im Endlichen gelegene Element (ltrit) des Gebildes <?(l,7j) = 0 der Exponent des Anfangsgliedes in der Entwickelung des vorstehenden Quotienten gleich Null oder negativ; und zwar ist er dann und nur dann negativ, wenn das Element (ltrjt) zum Mittelpunkt eine singuläre Stelle hat, d. h. eine solche, für welche gleichzeitig cp(i,7j)₁ = 0 und cp(i,7})₂ = 0 ist (S. 19). Die Zahlen kt, k₂, ... haben also für die singulären Stellen des Gebildes positive Werthe; für diejenigen der Stellen (gtht)f (g₂h₂),--- aber, für welche ausser cp(£,7])₂ nicht auch verschwindet, sind sie Null und können daher in der Summe weggelassen werden.

Es sei nämlich (£₀t]₀) eine im Endlichen gelegene Stelle des Gebildes, und es stelle das Functionenpaar

§< = £o+t;^+£:*x+i+---,

rit = rto+rlotX + 'ri”fA+1+---

das Element mit dem Mittelpunkt (|₀Y]₀) dar, wobei die beiden Constanten g' und \ nicht gleichzeitig verschwinden sollen. Dann ergiebt sich

~p> dit_ a dt\t

dt dt

dit

dg

dt

dt

?(&*!*) 2

wo A und B beliebige Grössen bedeuten.

Ist erstens (§₀7]₀) keine singuläre Stelle, sind also 9 (S₀    und <p(i₀?J₀)₂

nicht beide gleich Null, so ist x = 1 (S. 15), folglich

d\t

dt

_ ₌ + __

<P (£* *î<)₂    A ? ( io TJi + B ? ( io *lo)₂ + tfSßa (0

Wir können nun A und B so wählen, dass die Grösse

B%₀-Arl'o = -M?(£o⁷!o)x+^'P (£0*10)2!

nicht verschwindet.

Die Entwickelung der rechten und somit auch der linken Seite der vorstehenden Gleichung nach steigenden Potenzen von t hat dann die Form

-l + W).

Zweitens sei (£₀t}₀) eine singuläre Stelle des Gebildes. Entwickelt man 9(|, 7j) nach Potenzen von £ — £₀ und tj — yj₀ und ordnet nach homogenen Functionen, so sei

m+i

?(£,*i) = (£-£0> *i-*io)*+(£-£o> *i-*io)

und daher

<p(h)i = (i —io» *J-*lo)m-i+(£-£<)>

?(£*î)₂ = (I—io» *3—*ioXLi+(£-£o> *i-*io)m+---•

Der Voraussetzung nach ist gleichzeitig 9(£₀yj₀)₁ = 0 und 9(|₀7]₀)₂ = 0, mithin

m > 2,

also hat das erste Glied in der Entwickelung des Nenners

einen Exponenten, der >x(m-l) ist, während der Zähler

p d% _ą d~t)

dt dt’

von

sobald wir A und B so wählen, dass Bl'o—A\ nicht verschwindet, mit einem Gliede der Ordnung x —1 beginnt. Der Exponent des Anfangsgliedes

dl dt

ist daher nicht grösser als

x — 1 — x (vn — 1) = — x (m — 2) — 1,

also jedenfalls < —1. In der Umgebung einer singulären Stelle beginnt folglich die Entwickelung des Quotienten mit einer negativen Potenz von t.

Der Inhalt der vorher für die Zahl q aufgestellten Gleichung kann demnach auch folgendermassen ausgesprochen werden: Bestimmt man alle Functionenpaare (g^), welche die Umgebung der im Endlichen gelegenen, singulären Stellen des im Unendlichen regulären Gebildes <p(g, vj) = 0 darstellen, und entwickelt für diese den Quotienten

dl

dt

nach steigenden Potenzen von t, so hat diese Entwickelung die Form

und es ist

² 9 = (r-l)(r-2)-|A.

W

Hiermit haben wir den Bang eines algebraischen Gebildes auf eine zweite Art berechnet. Da (r —l)(r —2) eine gerade Zahl ist, so muss auch 2^ eine solche sein.

Stellt (g^) eins der r unendlich fernen Elemente des im Unendlichen regulären Gebildes cp(|, vj) = 0 dar, so sind die Entwickelungen %t und r\t von der Form (S. 38): und es ist

= r^>{Ax+^x(01,

wo Ax eine von Null verschiedene Constante bezeichnet. Demnach folgt

dit

dt

TH

Ol

co

?(&!<)*

Da nun r j> 3 ist, denn Gebilde des Banges Null, zu denen solche erster und zweiter Dimension stets gehören, haben wir von der Betrachtung ausgeschlossen, so beginnt die Entwickelung der linken Seite auch für unendlich ferne Elemente niemals mit einer negativen Potenz.

Bei der Herleitung der Formel zur Berechnung des Ranges hatten wir das ursprünglich gegebene Gebilde

fipiy) = Ob y)r + Ob y)r-i + --- + 0b*/)o = °

rational so transformirt, dass der Grad der Gleichung <p(|,7]) = 0 in Bezug auf 7] gleich der Dimension r, und dass das transformirte Gebilde im Unendlichen regulär ist. Von dieser Transformation müssen wir uns nun wieder unabhängig zu machen suchen. Wir hatten

u = a₀ + axx + a₂y, v = bo+b₁x+b₂y, w = c₀+ ctx+ czy

gesetzt und die neuen Variablen durch die Gleichungen

Ti w

r von

eingeführt. Die Substitutionscoefficienten ao₁a₁,...c₂ mussten hierbei so gewählt werden, dass ihre Determinante A nicht verschwindet5 ausserdem bestimmten wir c₀, ct, c₂ so, dass die Gleichungen f(x,y) = 0 und w — 0 einander verschiedene, endliche, nicht singuläre Werthepaare gemein haben und dass, wenn

Ob y\ = C{gy-hxf\g'y-h'xfl... (gmy — hwaęfv

gesetzt wird, die v + 1 Grössen

(x = 0,1,.,. v)

Durch Auflösung der Substitutionsgleichungen

ci 9m + ca A(x)

von Null verschieden sind, nach x und y möge sich

mithin

x = a₀w+    y = ß₀iv + ßtu + ß₂v,    1 = y₀w + ytu + y₂v

x = «0 + «J + «,7?    ₌ ß₀ + ßA + ßarj

r₀+rJ + r2ri ’ n +    +

ergeben, oder, wenn wir p, g, l mittels der Gleichungen

P = «₀ + axi + «2⁷5 9 = ßo + ßit + ß* V ¹ = y₀+yii + yti3

einführen,

Zwischen w und l besteht die Relation

ivl = 1

und wenn, wie früher (S. 115), die Determinante der Coefficienten der linearen Functionen p, q, l mit d bezeichnet wird, so ist auch

Ad = 1.

Aus den Gleichungen

f(x,y) =

dx

= dlr~³

d%

<p(h)₂

welche sich mittels dieser Substitution ergeben hatten (S. 115 u. 116), folgt umgekehrt

?(M) =

f(x, y)

Wr

dl

— A iv

r—3

dx

?(lri)₂

Das vorher gefundene Resultat lässt sich daher auch so aussprechen: Sucht man für das beliebige algebraische Gebilde f(x, y) = 0 alle nicht äquivalenten Elemente (xtyt) auf, für welche in der Entwickelung von

f{ny\

ivl ³ dx

negative Potenzen von t Vorkommen, und bezeichnet mit — ft₂, ... die Exponenten in den Anfangsgliedern dieser Entwickelungen für die verschiedenen Elemente, so besteht die Gleichung

²Q = (r-i)(r—2) —

W

wenn q den Rang und r die Dimension des Gebildes f(x, y) — 0 bezeichnet.

Die singulären Stellen, für deren Umgebung negative Exponenten auf-treten, können wir vorläufig nur mit Hülfe des transformirten Gebildes cp(|,7]) =0 finden. Wir wollen nun zeigen, wie man direct von f{%,y) =0

ausgehend zu diesen Stellen gelangen kann. Aus der Gleichung

f(x,y) =

ergiebt sich durch Differentiation

öyj

m\ = y {?«>!).

oder wenn die Werthe

—- = Z(a₂-ca|),

ôr;

Ô7)

dx

dy

eingesetzt werden,

Den singulären Stellen des Gebildes cp(|,7j)=0, welche der Voraussetzung nach sämmtlich im Endlichen liegen, entsprechen demnach solche Stellen des Gebildes f(x₁ y) — 0, für welche gleichzeitig

f(?y)i _ a f(xy\

/bV^'—*    ^

ist. Wenn der singulären Stelle (|yj) eine im Endlichen gelegene Stelle (xy) zugehört, so hat iv für diese einen endlichen Werth, mithin ist f(xy)i = 0 und f(xy)₂ — 0; diese Stelle (xy) ist also auch für das Gebilde f(x, y) — 0 eine singuläre. Umgekehrt entspricht auch jeder im Endlichen gelegenen, singulären Stelle des Gebildes f(x,y) — 0 eine solche des Gebildes cp(g, yj) = 0. Wenn aber der singulären Stelle (|t]) eine unendlich ferne Stelle (xy) entspricht, so wird w unendlich gross, es brauchen demnach f(xy)x und f(xy)2 nicht zu verschwinden.

Wir definiren nun eine unendlich ferne singuläre Stelle (xy) des Gebildes f(x,y) = 0 als eine solche, für welche die entsprechende,’im End-

*5ß„(0j

liehen gelegene Stelle (|t]) des transformirten Gebildes <p(g,7]) = 0 singulär ist. Dann müssen die unendlich fernen singulären Stellen (xy) des Gebildes f(x,y) = 0 gleichzeitig den beiden Gleichungen    = 6 und

nügen.

f(py\

wr~¹

= 0 ge-

Dafür, ob eine unendlich ferne Stelle des Gebildes singulär ist, wollen wir jetzt ein von der linearen Function w unabhängiges Kriterium aufsuchen. Die unendlich fernen Elemente des Gebildes werden durch Functionenpaare der Form

xt=tz\gm^t^li3t(*)j, yt dargestellt (S. 37). Ist nun in

(x, y), — C(gy — hxf“(g’ij-h'xf'... (f'y-hmxf’

(S. 160) der Exponent yy des Factors    y — hmx) gleich 1, so beginnt für

jenes Functionenpaar wenigstens eine der beiden Entwickelungen von f{xty^)x und f(xtyt\ mit der Potenz ć-(,"~1)E, und diejenige von w^¹ fängt mit dem Gliede

(c₁ g™ + c₂ A(X))r~¹ rir:~m

an, wobei ct und c₂ so gewählt werden sollten, dass c₁ gm + cahm von Null verschieden ist. Demnach ist das Anfangsglied in einer der Entwickelungen von

WÏ ¹

nach Potenzen von t sicher eine von Null verschiedene Constante, d. h. die beiden Quotienten verschwinden nicht gleichzeitig für t = 0. Die zu dem Factor (gœy — hmx) gehörige unendlich ferne Stelle des Gebildes f(x,y) = 0 ist also nicht singulär, sobald jener Factor nur in der ersten Potenz in (x, y)r enthalten ist.

Zweitens sei ^=^2, so wollen wir zeigen, dass die diesem Factor entsprechende unendlich ferne Stelle dann und nur dann singulär ist, wenn die homogene Function nächst niedrigerer Dimension (a?, y)T_x ihn ebenfalls enthält. Zu diesem Nachweis wenden wir die im Vorhergehenden als Specialfall enthaltene Substitution an:

ri =

1 + ct x + c₂ y

wir setzen demnach u — x, v = y, w = l + c^ + c^y, sodass

P = è, $ = l = 1 -cj-c₂rh

mithin

rt

1-cJ —ct7) ’ y 1 -CJ — Ca7j ’

wl — 1, A = 1,    = 1

wird. Hierbei müssen die Constanten ct und c₂ so gewählt werden, dass die beiden Gebilde f(%, y) = 0 und 1 + cxx + cty — 0 r verschiedene, im Endlichen gelegene, nicht singuläre Stellen gemein haben und cp(g, yj) in r\ vom r Grade ist. Aus der Gleichung

ten

ergiebt sich für diese specielle Substitution

TCI)⁷!) = (M),-+(i,    -cJ-Cj?;) + •••

wo

(M)r = C(grl-h^(g'rl-h^f\..(g^ri-¥nfv

ist. Das unendlich ferne Element

yt = r«{Ä«J+^x(0}

des Gebildes /“(#, y) — 0 entspreche nun dem Element (jj tj ) mit dem im Endlichen gelegenen Mittelpunkt (goY]o), so ist

und

¹-ci^o~cPrlo = ⁰

xt

00

l + cx^ + c₂^ cx gm+c₂tiX)

rit =

yt

hm

1 + cx + c₂ ^

C1 0<x> + c₂ Alx)

+ ^₂(0*

Demnach folgt

io =

g(x)

rio =

Ä(X)

Cj <fx) + c₂ ä(X) ’

es besteht also zwischen |o und 7]₀ die Relation

gmri0 — hCA)%₀ — 0.

wir eine Variable X durch die Gleichung

^x)7]-Ä(x,i = a

Führen

ci <7CX> + c₂ iim

ein, so verschwinden l und A, wenn gleichzeitig § = g₀ und yj = yjo gesetzt wird, und es ergiebt sich

h^-h^l + c^ ci 9<x) + c2 ’

gm-gml-c₂l ct gm + c₂ hm ’ f[

?(£>?]) = A***(a + •••) + K&, t)>

?(l j ⁷])₁ = -^ÄQ°Afi*“¹(a + ...) + ^(«'+-.)-c₁(A,Z) + ...

<P(§>⁷l)» =

(« + •••) + A^x (« + • • •) — c₂ (A ,?) + •• •

wobei

(M) = (6,Y])r_₁ + (i,Ti)r_₁(¹-Cil-clii) + -.

eine ganze rationale Function von A und l und a eine von Null verschiedene Constante ist. Die sämmtlichen durch Punkte angedeuteten Glieder enthalten wenigstens eine der Grössen l oder A als Factor. Ist nun (|₀Y]₀) eine singuläre Stelle des Gebildes <p(g, y]) = 0, so müssen cp(£, tj), cp(£, y])i und cp(£,7j)2 für I = £₀, 7] = 7]₀, d. h. für 1 = 0, A = 0 verschwinden, es muss demnach, da ^>2 ist, (ê₀, i und a^so auch    gleich Null sein. Mithin

den Factor (g™y — h™x). Enthält umgekehrt in dem Falle, dass diesen Factor, so bestehen die beiden Gleichungen

r—l

r—i

hat (x, y)

i^>2 ist, (x,y)

<p(g₀,if]₀)i =0 und    = °» (Io⁷]«.) ist. folglich eine singuläre Stelle des

durch die Gleichung cp (g, vj ) = 0 dargestellten Gebildes.

Die unendlich ferne Stelle des Gebildes

f(®,y) = (?,y)r+(x>y)r-! + ••• =

welche aus dem Factor (gmy — Jily:ix) von (x,y)r hervorgeht, ist demnach dann und nur dann eine singuläre, wenn (gm y — hm x) in (x,y)r in höherer als der ersten Potenz enthalten ist und gleichzeitig in (x, y\_t als Factor vorkommt. Dies giebt ein Mittel, auch die unendlich fernen singulären Stellen zu finden, ohne die lineare Function w und eine Transformation in ein Gebilde, welches im Unendlichen regulär ist, anwenden zu müssen.

Um in der Gleichung

2 Q = (r-l)(r-2)-2fe,

W

welche nach dem Vorhergehenden (S. 161) zur Bestimmung des Ranges dienen

kann, 1Ł zu berechnen, mussten wir zunächst die im Endlichen und imUn-

w

endlichen gelegenen singulären Stellen des Gebildes f(x,y) — 0 aufsuchen; und zwar fanden wir die Zahl \ aus der Entwickelung

—^ + 1

f(xtVt) 2 dt

wenn (xty^) das Element darstellt, dessen Mittelpunkt die Ate dieser Stellen ist. Gehen durch eine singuläre Stelle mehrere nicht äquivalente Elemente hindurch (S. 32), so nehmen wir sie hierbei in die Beihe der singulären Stellen mehrmals auf. Wir wollen nun zeigen, wie das im ersten Kapitel auseinandergesetzte Verfahren, alle nicht äquivalenten Elemente des Gebildes zu finden, deren Mittelpunkt eine bestimmte singuläre Stelle ist, ausreicht, um 2^ zu berechnen, ohne dass die vorstehende Beihenentwickelung wirklich ausgeführt zu werden braucht. Dabei nehmen wir der Einfachheit wegen an, das durch die Gleichung f{x,y) — 0 definirte Gebilde habe im Unendlichen keine singuläre Stelle, sonst transformiren wir es zunächst in der oben (S. 155) angegebenen Weise. Bei der Bestimmung der Zahlen \ können wir dann den Factor w\~z auf der linken Seite der vorstehenden Gleichung weg-lassen. Um die Betrachtungen des ersten Kapitels unmittelbar anwenden zu können, führen wir jetzt nicht, wie vorher, die Function <p(£, rj) statt f(x,y) ein, sondern behalten f(x, y) — 0 als Gleichung des transformirten, im Unendlichen regulären Gebildes bei.

War (ab) irgend eine bestimmte singuläre Stelle des gegebenen Gebildes, so gingen wir (S. 19) bei der Darstellung der Elemente mit dem Mittelpunkt (ab) durch die Substitution

x = a + l, y = b + 7] von f(x, y) — 0 zu einer transformirten Gleichung

/o(M) =    îi*+i H----- 0

über. Die Ordnung y, dieser Gleichung in Bezug auf die Stelle (0,0) ist mindestens gleich 2. Aus jedem Element (g^), dessen Mittelpunkt die singuläre Stelle (0,0) des Gebildes /"o(g, tq) = 0 ist, ergiebt sich zu Folge der Gleichungen

xt = a + Vt = ô + r0

ein Element (xtyt) des Gebildes f(x,y) — 0 mit dem Mittelpunkt (ab).

f&tVt) 2

bezeichnen wir daher mit —K,

{ab)

die Summe der Exponenten der ersten Glieder in den Entwickelungen der rechten Seite nach steigenden Potenzen von t, welche wir für die verschiedenen nicht äquivalenten Elemente (1^)

mit dem Mittelpunkte (0,0) erhalten, so ist die zu bestimmende Zahl 2^ gleich 2üqa6), wobei in der zweiten Summe so viele Glieder jßT(a6) auftreten, wie das Gebilde f(x, y) — 0 verschiedene singuläre Stellen (ab) hat.

Durch einen bestimmten Algorithmus (S. 29) leiteten wir aus f₀(%,?i) = 0 successive ein System von algebraischen Gleichungen ab :

fi(%n rii) = 0

Nun ist

dxt

dl

dt

dt

/*(&> rh) = °,    • •

= o, f?(t₂,rj = 0, ..

Die Anzahl der in der zweiten Colonne enthaltenen Gleichungen war mit derjenigen der ungleichen Linearfactoren von (£, tj) identisch. Und zwar hatten wir, um diese Gleichungen zu bilden, gesetzt

ÖÜ

wobei also jetzt g diesem Kapitel. Durch die Substitution

und hU) eine andere Bedeutung haben, als vorher in

in welcher a und ß so gewählt wurden, dass

awß — UX) a = 1

(x = 0, 1,... v)

(x — 0,1,... v)

ist (S. 20 und 21), ergab sich

(x — 0, 1,... v).

Die nicht äquivalenten Elemente des Gebildes , yj ) = 0 mit dem Mittelpunkt (0,0) gehen mittels jener Substitutionen aus allen denjenigen Elementen der durch die Gleichungen der zweiten Colonne

= 0, /?’(!„ 1.) =0, ... m,^) = 0

dargestellten Gebilde hervor, welche nicht äquivalent sind und den nämlichen Mittelpunkt (0, 0) haben.

Ans den Relationen zwischen 7] und yji folgt umgekehrt (S. 30)

rn =

ß^ — ocri

und durch Differentiation der Gleichung /^(É-,7]) = if/^i,, tjJ nach tji (S. 27):

d/o(ij ri )

a Milli)

öi

+ /3

= ir

mithin wird

d£

drit

d£

_d|^    d-q,

p dć    dt

Örh

wo rechts für und yj₁ das Functionenpaar einzusetzen ist, welches zu Folge der Substitutionsgleichungen dem Paare    entspricht.

Entwickelt man nun für die verschiedenen nicht äquivalenten Elemente (i^J, welche die Umgebung des Punktes (0,0) des Gebildes /,(£,? vj,) = 0 vollständig darstellen, den Quotienten

dl, df drk

nach steigenden Potenzen von t, so sei — die Summe der Exponenten der Anfangsglieder; —AT aber bedeute die entsprechende Summe für die Entwickelungen von

di,

dt

wenn man für (g^) der Reihe nach nur solche Functionenpaare setzt, welche sich aus den eben definirten Elementen (i₁'q₁) durch die Substitutionsgleichungen

I = (g + ccr; ,)|,,    = (h + ßr^l,

ergeben. Von den sämmtlichen Functionenpaaren (g^) dem Mittelpunkt (0,0) betrachten wir also augenblicklich nur diejenigen, welche aus der ersten Gleichung der zweiten Colonne hervorgehen. Dabei haben \t und tu die Form mithin wird

lt = ßtt-aVt = tm+ —

Zu Folge der Gleichung

di

dt

dt

drh

ist nun für jedes dieser Functionenpaare (|^) der Exponent des Anfangsgliedes in der Entwickelung der linken Seite um m([i — 1) kleiner als der entsprechende Exponent für

dt örh

demnach besteht die Relation

K₀ = ((i — l)2m + Kx.

Die Bestimmung von 2 m wird folgendermassen ausgeführt. Aus der Entwickelung

S, = **+...

findet man zu einem unendlich kleinen Werthe von m unendlich kleine Werthe von t, mithin zu Folge der Gleichungen

il = 9tm + gitm+1 + .~, rit = hr + h₁tm+1+•••

auch m unendlich kleine Werthepaare (£tj). Die sämmtlichen Functionenpaare (g^), welche in der vorher angegebenen Weise aus der Gleichung fAln = 0 entspringen, liefern also zu einem unendlich kleinen Werthe von 2m unendlich kleine Werthepaare    Andererseits ist früher (S. 22)

gezeigt worden, dass sich aus der Gleichung f (| , 7b) = 0 zu jedem unend-

22

Abelsche Functionen.

lich kleinen Werthe von gl (i₀ unendlich kleine Werthepaare, welche der Gleichung /o(|,y]) = 0 genügen, berechnen lassen; mithin folgt

2 m = (i₀,

also

K0 — 1*

Für die übrigen Gleichungen

f?(h,-nx) = o, f?= o

der zweiten Colonne des vorher aufgestellten Systems mögen nun K™ und K?

. . . K™ und A₀(r)

K™ und Af

die entsprechende Bedeutung haben, wie für die erste Gleichung    = 0

jener Colonne die Zahlen

Kt und K₀.

Dann ist

= K₀ + K? + '.- + K™, und mittels derselben Schlüsse, durch welche eben die Relation

abgeleitet wurde, ergiebt sich

Durch Addition dieser v + 1 Gleichungen folgt

K₀+Kr+-+Kr = [i(ii-i)+K₁₊Kr+-~+Kr,

oder

= t*(t>-l) + Kl+K? + - + K*>.

Es leuchtet sofort ein, welche wichtige Folgerung wir aus dieser Relation ziehen können, indem wir sie wiederholt anwenden. Durch einmalige Transformation gehen aus 4(1,7]) = 0 die Gleichungen der zweiten Colonne

£(*,,%) = o,    = o, ...

hervor, welche in Bezug auf die Stelle (0,0) von der Ordnung

Pi,

sein sollen. Durch abermalige Transformation ergeben sich aus diesen Gleichungen die der dritten Colonne

/«(i»» ł]a) = °> /HÉ»⁷!») = °» •

und für diese mögen

7T⁽¹⁾

xl₂ ,    ...

die entsprechende Bedeutung haben, wie    für die ersten trans-

formirten Gleichungen. Dann folgt durch wiederholte Anwendung jener Delation

So schliessen wir weiter. Die Ordnung jeder Gleichung der letzten Colonne ist gleich 1; die Entwickelung des Quotienten, der für eine solche Gleichung dem Quotienten

di

dt

entspricht, beginnt also nicht mit einer negativen Potenz, und es werden daher die entsprechenden Zahlen K sämmtlich gleich Null. Demnach er-giebt sich

Km = 2tte(fie-l).

(e)

Die Zahl K

{ab)

kann also mit Hülfe der Ordnungszahlen (S. 19) der für die singuläre Stelle (ab) durch successive Transformation aus f(x, y) = 0 hervorgehenden Gleichungen gefunden werden, und zwar ist sie stets gerade.

Indem wir K

(ab)

für jede singuläre Stelle (ab) von f(x, y) = 0 in der angegebenen Weise bestimmen, finden wir den Dang q des Gebildes aus der Gleichung

(ab) ?

wobei die Summe so viele Glieder enthält, als verschiedene singuläre Stellen im Gebilde vorhanden sind.

Sind für eine singuläre Stelle (ab) die durch die erste Transformation hervorgehenden Gleichungen schon sämmtlich von der ersten Ordnung, so ist

Kx = K? = ... = X™ = 0,

22*

mithin K(ai) =    — Dies ist z. B. der Fall, wenn die beiden homogenen

Functionen niedrigster Dimension (g, 77) und (g,7])^t+1 keinen gemeinschaftlichen Theiler haben (S. 29).

Für ein algebraisches Gebilde, welches * keine singuläre Stelle enthält, wird

9 = TT (^-i) O'-2).

Unter einem gewöhnlichen singulären Punkt (ab) einer irreductiblen algebraischen Curve f(x,y) = 0 wollen wir einen solchen verstehen, für welchen in Bezug auf die Stelle (0,0) die Ordnung y der durch die Substitution x — n + g, y = b + 7j hervorgehenden Gleichung f₀(i,v\) = 0 gleich 2 ist und schon durch einmalige Transformation sich eine oder zwei Gleichungen erster Ordnung ergehen. Dies tritt für die gewöhnlichen Doppelpunkte ein, bei denen die Function niedrigster Dimension (g, 7]) von fo(g,7]) = 0 in zwei verschiedene Linearfactoren zerfällt, und für die gewöhnlichen Spitzen, für die (g, yj)₂ das Quadrat einer linearen Function ist, welche nicht in der homogenen Function (g,7})₃ als Factor vorkommt.

Hat nun die Curve f(x, y) — 0 überhaupt nur gewöhnliche singuläre Punkte, so ist für jede singuläre Stelle üT(a6) = 2, mithin

~ (r — 1) (r — 2) — Anzahl der gewöhnlichen singulären Punkte.

Ist daher die gegebene Curve vom Bange Null und besitzt sie nur gewöhnliche singuläre Punkte, so ist deren Anzahl gleich ~ (r — l) (r — 2), also sind dann so viele singuläre Punkte vorhanden, wie eine irréductible Curve rter Dimension überhaupt haben kann (vgl. S. 62).

Das algebraische Gebilde fix, y) = 0 sei jetzt von der speciellen Beschaffenheit, dass es m unendlich ferne Stellen (^,00), (as,oo), ... (a 00) und n solche Stellen (00, bj, (00, b₂), ... (00, bn), aber keine Stellen der Form (00,00) hat, wobei    ... am einerseits und blibi₁...bn andererseits von einander

verschiedene, endliche Grössen sein sollen. Dann ist sein Bang

= 0-i)G-i)-

4 (X)

wenn die Zahlen — Jcx der Beihe nach gleich den Exponenten der Anfangsglieder in denjenigen Entwickelungen von

dxt

f^tVt)% dt

nach steigenden Potenzen von t sind, für welche überhaupt negative Potenzen auftreten können.

Es sei nämlich

f(x,y) = fo(x)yn + fi(x)y

= 9oiy)xm+9i(y)x

n—l

m—l

d-----f fn(X)

d-----^9m(y)

ten

Grades und g₀(y) eine solche

so muss (S. 33) f₀(x) eine ganze Function m nim Grades sein, und zwar verschwindet die erste für m von einander ver

schiedene Werthe al5 a₂, ... am, die zweite für n Werthe blf 6a, ... bn der gleichen Beschaffenheit. Die Dimension r von f(x, y) ist daher gleich m + w, und die Functionen f₀(x) und g₀(y) dürfen mit ihren ersten Ableitungen keinen gemeinsamen Theiler haben. Um das unendlich ferne Element, dessen Mittelpunkt die Stelle (a , oo) ist, darzustellen, setzen wir (S. 36) dann wird die transformirte Gleichung

+ + = 0,

und da der Voraussetzung nach /^(a ) nicht verschwindet, so folgt hieraus

fx{%)

fó(%)

ri +••• =

Demnach stellt das Functionenpaar

¹

+ cx x + c₂ y

xt = %+t^t), yt = r¹

die Umgebung der Stelle (a , oo) dar. Ebenso ergiebt sich, dass das Element mit dem Mittelpunkt (oo, bv) durch zwei Gleichungen der Form

r¹

xt =

Vt = bv + tÿ>v{t)

geliefert wird.

Zur Berechnung des Banges dieses Gebildes wenden wir die vorher (S. 161) entwickelte Regel an. Da r = m + n ist, so wird für das durch das

xt = %+t%(t), yt = t ¹

Functionenpaar

dargestellte unendlich ferne Element

wrt~s dxt_

f{xtyt\ dt ~ f{xtyt\ dt

wt

m+n—Z

dyt

Mithin ist für jede der m Stellen (0^,00), (a^oo), ... (æw,oo)

h = m — 1

r

Ebenso ergeben sich für die Functionenpaare

(v = 1, 2,... n)

xt = r¹

die entsprechenden Zahlen

1,

lvm+ v

n—i

Sondern wir daher auf der rechten Seite der Gleichung die Zahlen welche sich auf die m + n unendlich fernen Elemente beziehen, von der Summe der übrigen ab und setzen die eben für sie gefundenen Werthe ein, so folgt

1 111

— (m + n — 1) (m + n — 2) — — m (m — 1) — — n (n — 1) — — 2 \

Ł    1    Ł    a (x)

= (f»-i)(»-i)--î-2A,

* 00

wo — der Reihe nach gleich den Exponenten der Anfangsglieder in den Entwickelungen von

(1 x £

f{xtyt\ dt

hält

(S. 166) für die verschiedenen im Endlichen gelegenen, einander nicht äquivalenten Elemente, für welche überhaupt negative Potenzen von t Vorkommen, zu setzen ist. Da für die unendlich fernen Elemente des betrachteten Gebildes die Entwickelung dieses Quotienten niemals eine negative Potenz ent-so können wir in dem vorhergehenden Satz die Bedingung, dass die Elemente im Endlichen liegen, auch weglassen.

Hat das Gebilde f(x,y) = 0 nicht von vornherein die eben vorausgesetzten Eigenschaften, so lässt sich dies doch leicht durch eine rationale •Transformation erreichen (vgl. S. 114). Denn es werde

7j =

y-ß

X— Cl

gesetzt, wo a und ß beliebige endliche Grössen sein sollen, die jedoch so gewählt sind, dass f(a,ß) nicht verschwindet und jede der beiden Gleichungen f(a,y) — 0 und f(x,ß) = 0 lauter verschiedene, endliche Wurzeln hat. Das transformirte Gebilde cp(|,7])=0 ist dann von der (m + ff)ten Dimension und in Bezug auf | und vom Grade m und n. Wenn | unendlich gross wird, so liefert die Gleichung cp(£,7j) = 0 für r\ nur endliche Werthe, denn sonst müsste y = ß für x = « werden, also f(cc,ß) gleich Null sein. Und da die Wurzeln ß^ ß₂, ... ßn der Gleichung f(a,y) = 0 von einander verschieden sein sollen, so sind auch nicht zwei der Werthe

ßn~ß

ß~ß' ß~ß

von 7], die sich mittels der Gleichung cp(|,7j) = 0 für £ = oo ergeben, ein

Das transformirte Gebilde

ander gleich. Ebenso lässt sich beweisen, dass wenn tj unendlich gross wird, g m verschiedene endliche Werthe annimmt.

cP(£>¹Q) = 0 hat also die verlangte Beschaffenheit.

Siebentes Kapitel.

Die Bildung der Functionen H(xy)a.

Wir müssen uns nun zu der Aufgabe wenden, für ein gegebenes algebraisches Gebilde die Functionen H(xy)a und H(xy,x'y'), von denen bisher nur die Existenz nachgewiesen worden ist, wirklich darzustellen.

Zunächst beschäftigen wir uns mit der Bildung der Function H(xy), für welche die Entwickelung von nach Potenzen von t für kein Element (xtyt) des algebraischen Gebildes f(x, y) = 0 negative Potenzen von t enthält. Ihr allgemeinster Ausdruck stellt sich dar als ein lineares homogenes Aggregat mit unbestimmten Coefficienten der q linear unabhängigen Functionen H(xy)a (S. 105). Bringen wir H(xy) auf die Form

G-{xy)

f{xy\

so ist G(xy) eine ganze rationale Function des Paares (xy) höchstens (r — 3)ter Dimension (S. 116); r bedeutet hierbei, wie immer, die Dimension der Gleichung f(x,y) =0.

Im vorigen Kapitel hatten wir eine lineare Function

c₀+ctx + c₂y

der Art bestimmt, dass die Gerade co +cxx + c₂y = ü mit der Curve f{x,ÿ) — 0 r verschiedene, im Endlichen gelegene, nicht singuläre Stellen gemein hat (S. 148). Diese Stellen können bei der folgenden Untersuchung ausgeschlossen

werden. Denn da sie der Voraussetzung nach im Endlichen liegen und nicht singulär sind, so enthält die Entwickelung von

g (xt yt) ^xt fiXtViX dt ’

wie auch die ganze rationale Function G(xy) beschaffen sein⁴! möge, keine negativen Potenzen, wenn der Mittelpunkt des Elements (xtyt) eine dieser Stellen ist.

Wenn nun der Quotient

(e₀+ ^xt + c₂yty ³ dxt

dt

nur

von

nach steigenden Potenzen von t entwickelt wird, so treten negative Potenzen für diejenigen Elemente (xtyt) auf, deren Mittelpunkt eine singuläre Stelle ist (S. 157, 161 und 162); für das Ate dieser Elemente war der Exponent des Anfangsgliedes mit bezeichnet worden. Der Zähler G(xy) der Function H{xy) muss demnach so bestimmt werden, dass die Entwickelung

G{xtyt)

(c₀ + ctxt + c₂yj ³

für jedes nicht ausgeschlossene Element mit einer Constanten oder positiven Potenz von t beginnt, und zwar mit der ^ten oder einer höheren, wenn der Mittelpunkt des Elements (xtyt) die Ate singuläre Stelle ist.

Zunächst wollen wir den speciellen Fall untersuchen, in welchem das Gebilde f(xf y) = 0 keine singulären Stellen im Endlichen oder Unendlichen besitzt, also sein Pang

ist (S. 172). Die Entwickelung von

(Cp+c^ + c,#,)' ³ dxt

fXxtyt\

dt

enthält dann nach dem eben Bemerkten für kein endlich oder unendlich fernes Element eine negative Potenz von t. Demnach kann für G(xy) eine beliebige ganze rationale Function (r- 3)ter Dimension von x und y gesetzt

23

Abelsche Functionen.

werden. Eine solche enthält    (V — 1) (r — 2) ==

willkürliche Constanten; es

sind mithin die q linear unabhängigen Functionen H{xy)a gleich

xAyl

(x, X — 0,1, ...r— 3; x +1 < r —- 8) .

Ist z. B. f(%,y) von der dritten Dimension, und besitzt das Gebilde keine singuläre Stelle, so wird q = 1 und

f&y\⁷

ist f(x, y) = 0 ein Gebilde vierter Dimension und von gleicher Beschaffenheit, also vom Bange 3, so können wir

H(xy), =

t(xy\

H{xy)‘= ik\

H[xy)' ⁼ WE’

setzen.

Es enthalte jetzt das algebraische Gebilde f{x,y) — 0 auch singuläre Stellen. Dann sei, wie früher, nach homogenen Functionen geordnet,

f(x, y) = («,y)r+(«,y)r.-i + ”* + (*,y)o»

und in Linearfactoren zerlegt sei die homogene Function höchster Dimension (x, y\. = C(gy — hxf° {g'y - h'xf¹ {g"y - h"x)H ....

Wir wollen nun die Gleichung des Gebildes homogen machen, indem wir

beseitigen, nehmen wir dabei an,

substituiren. Um jede Unbestimmtheit zu zwischen den drei Variablen w, v, w bestehe die Belation

Au + Bv + w = 1,

in welcher A und B zwei Constanten von der Beschaffenheit bedeuten, dass die Gebilde

im Endlichen gelegene, nicht

Ax + By +1=0 und f{x,y) =0 r von einander verschiedene,

(* = 0,1, 2,...)

singuläre Stellen gemein haben und dass die Grössen

Agm + Bhm

sämmtlich von Null verschieden sind. Durch Elimination von w folgt

Au + Bv — 1

Au + Bv — 1 ’

mithin ergeben sich u, v, w als gebrochene lineare Functionen:

_    x    _ y

U    Ax + By +1’ v Ax+By+1 ’ W

Ax + By + 1

Nur für die Stellen (xy), für welche der Nenner Ax + By+1 verschwindet, werden eine oder mehrere der Variablen u, v, w unendlich gross, den singulären Stellen des Gebildes f(x, y) = 0 entsprechen also endliche Werthe von Uj Vj w. Ist (xy) eine unendlich ferne Stelle, so muss nach der über die Constanten A und B gemachten Voraussetzung nothwendig w — 0 sein.

so er-

Führen wir ^ und ~ statt x und y in die Function f{x,y) ein, halten wir

(u, v)r + w(u, v)r_t H— + wr(u,v)Q

oder wenn wir die ganze rationale homogene Function im Zähler der rechten Seite

(u, v)r + w(u, v)r_₁ + --* + «;r(w, v)₀ = F(u,v,w)

setzen

F(u,v,w) = wrf(x, y) =

y)

(Ax+ By + ir ‘

Für die unendlich fernen Stellen des Gebildes f{x, y) = 0 verschwindet Ax + By + 1 nicht, und wenn (xy) irgend eine bestimmte endliche Stelle ist, so können den Constanten A und B solche Werthe beigelegt werden, dass Ax + By + 1 ebenfalls von Null verschieden ist. Wir können daher annehmen, dass für jede im Endlichen gelegene oder unendlich ferne Stelle (xy), welche wir gerade betrachten,

f(%, y)_

(Ax + By + l)r

ist.

23*

Die singulären, hm Endlichen gelegenen Stellen des Gebildes f(x,y) = 0 sind dadurch charakterisirt, dass für sie gleichzeitig

f(x,y) = 0, f(x,y\ = 0, f(x,y\ = 0

ist (S. 19 und 162). Nun folgt für jede Stelle (xy) des Gebildes dF(u, v, w) dF(u, v, w) _

dx

du

dw

du

dF(u,v,w) ßdF(u,v,w)

dv

dw

mithin ist für eine singuläre Stelle

q    dF(u,v,w) j^dF(u,v,w)

F(u, v, w) =

du

dw

— n dF(u,v,w) ’    dv

B dF(u,v,w) __ ₀

dw

Nach dem Euler sehen Satz über homogene Functionen besteht aber die Relation

rF(u, v,w) —

dF(u,v,w)

a    r

dF (u,v,w)

du

dv

dF(u, v, w)

dw

= u(dF(u’v’w) AdF{u,v,w)\ (dF(u,v,w) gdF(u,v,w)\ \ du    dw )    \ dv    div )

dF(u, v, w)

dw

also muss, wenn die vorhergehenden drei Gleichungen erfüllt sind

dF(u, v, w)

dw

mithin auch

dF(u, v, w)

du

— o dF(u,v,w) ’    dv

des

sein. Demnach sind die im Endlichen gelegenen, singulären Stellen ^ Gebildes f(x, y) = 0 dadurch bestimmt, dass a, c gleichzeitig den Gleichungen

F(u,v,w) = 0, dF(u<v<w) ₌ Q dF(u,v,w) _ Q dF(u,v,m) du    ’    dv    ’ dw

Au + JBv + w= 1

genügen.

Dies gilt genau ebenso für die im Unendlichen liegenden, singulären Stellen von f(x,y) == 0. Denn liefert das Element

(x, y\ den Factor

die Umgebung einer solchen Stelle (S. 37)

(gmy — hmx) in höherer als der ersten Potenz und gleichzeitig (x, y\_t ihn

so muss

wenigstens in der ersten Potenz enthalten (S. 165). Es werde nun

und

= (g™ y—h™ x) (pcf y)i

(x,y)r

0, y\-i = (g™y-h™x)(x,y) ;_₂

r~Px ’

gesetzt, wo also > 2 ist und §{x, y) eine ganze rationale Function (r — 2)ter Dimension, (#, y)\

r~Px

(r — 2)teT Dimension bedeuten, statt x und y ergiebt sich dann

und (x, y)'r_₂ homogene Functionen (r — juJ*⁶¹ und

Bei Einführung der Verhältnisse — und — °    w    w

Ą(x,y) =

ł(—)

T \w w J

tvr 2

F(u,v,w) = (gmv — }iX)uf*(u, v)'r_^ + w(gmv — h™u)(u, v)'r_i + wix(u₁ v, w).

Dabei ist    homogen von der (r-~2)ten Dimension. Durch partielle

Differentiation erhalten wir

= -gyh™(gmv-h™u)

+ (gœv — ha)u)

(u,v)'₇

!>, fl(«. ■»)'

r~Px

— hmw(u, v)'r_₂

du

+ w(gmv — hwu)

d(u, v)'r

du

r-=±- + w

dx(u, v, w)

du

dF(u, v, w)

dv

— gy gm ( gm v — hm uf“'- ¹ (u, v)\ d(u,v)'r_

+ ga)w(u,v)'r_₂

r-Px

ßv — + w(ga)v — hwu)    + w²

= (gmv — hmu)(u, v)'_₂ + %wx(u> vi w) + ^²

Für diejenige singuläre unendlich ferne Stelle, welche dem Linearfactor (ga)y — hmx) entspricht, ist gmv — hmu — 0, und da ausserdem im Unendlichen w verschwindet, so ergiebt sich auch in dem jetzt betrachteten Fall

A    dF(u,v,w) A dF(u,v,w) dF(u,v,w)

°»    dü ~    dv ~    ’    dw

Au + Bv + w = 1.

Ist also (a,b,c) ein durch diese Gleichungen bestimmtes singuläres Werth-

dF(u, v, iv)

dx(u,v,w)

dx(u, v, w)

dw

dw

F(u, v, w) =

system, so ist    eine singuläre Stelle des Gebildes f(x,y) = 0;

dabei

besteht die Relation

Aa + Bb + c == 1.

Für eine unendlich ferne singuläre Stelle ist c = 0.

Setzt man für die Umgebung irgend eines singulären Werthsystems (a, b, c)

u = a + %, v = b +1], w = c+ C,

so sind in der Entwickelung von F(u, v, w) = F{a + b + tj, c + C) nach Potenzen von g,7j, Ç die Glieder 0ter und lter Dimension identisch gleich Null. Und da

C = —(Aç + Bri)

ist, so geht F(u,v,w) in eine ganze rationale Function /₀(£, tj) von £ und 7] über, welche nach homogenen Functionen der verschiedenen Dimensionen geordnet mit Gliedern zweiter ouer höherer Dimension beginnt. Indem man eine entsprechende Transformation für jedes singuläre System (a, b, c) vornimmt, erhält man aus F(u,v,iv) = 0 so viele transformirte Gleichungen /₀(£, 7]) = 0, wie es singuläre Systeme giebt. Dabei brauchen die Werthe der beiden Constanten A und B für die verschiedenen singulären Systeme nicht in gleicher Weise gewählt zu werden.

Nach diesen Erörterungen über die singulären Stellen kommen wir auf die Bildung der Function H(xy) zurück.

Wir denken uns ein bestimmtes singuläres System («, 6, c) fixirt und in der angegebenen Weise aus dem Gebilde f{x,y) = 0 mittels der Substitution

_    « + l    b + ri

C-At-Bri’ y ~ C-Al-Bri

die transformirte Gleichung /^(g, 7]) = 0 aufgestellt. Nach den früher (S. 161) entwickelten Formeln besteht die Relation

dx

= ÔV-³

d%

wobei

fo(h):

1 + Ax + By

l = c — Ai, — B t{ —

rH O

)-*• O

— A<x -j- Bb -h c — 1

c -A — B

zu setzen ist, mithin ergiebt sich

(1 -j- Ax -t- -By)

r—3

dx

dl

Es sei nun

so muss

Um alle Elemente des Gebildes fo(|,7j) = 0, deren Mittelpunkt die Stelle (0,0) ist, darzustellen, zerlegen wir (S. 20) die homogene Function niedrigster Dimension (i,7])^ in ihre Linearfactoren :

sein.

wobei

f^o + fb + fb H---- — f¹

ist, und führen zunächst zwei "Variable i1? rjl durch die Substitution

Î = (g + *rti)£i>    +

Die Constanten a und /3 sind dabei den Gleichungen

em.

gmß — hm a — 1

(* = 0,1,2,...)

gemäss zu wählen. Dann ergiebt sich (S. 21)

mithin wird (S. 168)

di

dix

ÖY]i

Indem wir auf diese Weise die Transformation fortsetzen, falls nicht schon /■ (g , yjJ = 0 mit Gliedern der ersten Dimension beginnt, kommen wir zuletzt zu einer Gleichung erster Ordnung (S. 30)

in welcher der Coefficient von \ nicht Null sei. Nunmehr folgt aus dem V orh ergehenden

(1 + Ax + ByJ-

dx

dl

f(xy\    f0(^)2

älv

(v-l)

drlv

wenn die bei den successiven Transformationen auftretenden Gleichungen

fiCtu^i) = °, /■.(£*» *J.) = ⁰

v—l >

Vv-i) = ⁰

der Reihe nach von der ft Functionenpaar

i ten

wten

.. ft

(v—l) ten

Ordnung sind. Aus dem

= ?„(*)» ri. = <h(0

welches für hinreichend kleine Werthe von \t\ die Umgebung der Stelle (0,0)

des Gebildes \) = 0 darstellt, ergeben sich mit Hülfe der Substitutionsgleichungen Potenzreihen für |

. . |x, welche sämmtlich für t = 0 verschwinden. Das Anfangsglied in der Entwickelung des Products

v—21 *

O'—1) £

fcp-lfcP''-! fcft fei fe2 • • • fey

enthält daher eine positive Potenz von t. Die Beschaffenheit der Function \) zeigt nun (S. 15), dass die Reihe für

d%v dt drjy

mit einer von Null verschiedenen Constanten beginnt 5 demnach sind die Exponenten der Anfangsglieder der beiden Quotienten

t ft

5i »2    ... Sv

und

(1 + Axt+Byty ³ dxt

dt

einander gleich, d. h. sie sind gleich der zu der betrachteten singulären Stelle gehörigen Zahl — \ (S. 177) bildes f(x, y) = 0 ist. Die Entwickelung

wenn

die At0 singuläre Stelle des Ge-

von

dt

dt

fei $2    • • • Sy

(v-l)

-1 dfMvrtv)

driy

beginnt daher mit der Potenz t \

Die ganze Function (r —3)ter Dimension G(xy), welche im Zähler der bildenden Function H(xy) auftritt, gehe durch die Einführung der Variablen £, 7j über in

zu

G{U)_

wo G(lq) eine ganze rationale Function derselben Dimension des durch die Gleichung f₀(%, y]) = 0 verbundenen Paares (£•/]) ist, deren Coefficienten linear aus denen von G(xy) zusammengesetzt sind. Durch Einführung der Variablen \ werde

G(M) =

dann sind die Coefficienten von (5^(1^) wieder linear in denen von 6r(£7]), während die Dimension von    nicht mehr die (r — 3)te ist. In analoger

Weise entstehe aus    die ganze rationale Function ® (|₂yj₂) u. s. f.,

schliesslich möge

sein. Nach den vorhergehenden Betrachtungen sind die Coefficienten dieser Function    aus denen von 6t(|t}), mithin auch aus den Coefficienten

von G{xy), linear zusammengesetzt.

Multipliciren wir die entsprechenden Seiten der beiden Gleichungen

dx

f(xy\

f₀m

und

G(xy) =

mit einander, so ergiebt sich

G{xtyt) dxt __ G(£trit) dtj f(pctyt\ dt    dt

dl

dt

(v-l)

_1 df*(tvrh)

örh

Soll nun der Quotient

G{xy)

f(?y\

Abelsche Functionen.

24

gleich der Function H(xy) sein, so darf die Entwickelung der linken Seite der vorstehenden Gleichung nach Potenzen von t keine negativen Potenzen enthalten, wir müssen daher rechts in der Entwickelung von Coefficienten aller Potenzen von £, deren Exponent kleiner als Tcx ist, gleich Null setzen. So erhalten wir kx lineare Gleichungen für die Coefficienten in G(xy).

die

Das gleiche Verfahren muss für alle transformirten Gleichungen erster Ordnung (S. 29) eingeschlagen werden, die sich aus /’o(|,7j) = 0 durch Anwendung der früher auseinandergesetzten Transformationen herleiten lassen, und schliesslich ist mit den Gleichungen /‘(£, 7]) = 0, welche den übrigen singulären Werthsystemen von F(u,v,w) = 0 entsprechen, in genau derselben Weise vorzugehen. Dadurch ergeben sich 2^ Gleichungen, welche sämmtlich in

man

Bezug auf die Coefficienten von G{xy) linear sind. Mit ihrer Hülfe lassen sich die Coefficienten von G(xy) als lineare homogene Functionen einer Anzahl von ihnen, welche selbst unbestimmt bleiben, darstellen, und so erhält den allgemeinsten Ausdruck der Function G(xy) und damit den der Function H(xy).

Die Ausführbarkeit dieses Verfahrens leuchtet ein; aber eine genauere Untersuchung lehrt, dass wir auf diese Weise zu viele Gleichungen unter den

Coefficienten von G{xy) erhalten, und zwar doppelt so viele, als erforderlich sind.

Die Anzahl der unabhängigen Gleichungen lässt sich a priori in folgender Weise ermitteln.

Da die Function G(ocy) von der (r-3)ten Dimension ist, so enthält sie

es

unbestimmte Coefficienten. Der allgemeinste Ausdruck der Function H(xy) also auch der von G(xy), enthält jedoch nur q willkürliche Constanten; müssen demnach unter jenen —l)(r —2) Coefficienten

von einander unabhängige Gleichungen bestehen, eine Zahl, welche von jetzt an mit r' bezeichnet werden möge. Nach dem früher (S. 165 und 167) Bewiesenen ist nun

vorher ergab sich aber die doppelte Anzahl linearer Gleichungen für diese Coefficienten, es kann also nur die Hälfte jener Gleichungen von einander unabhängig sein.

Wir wollen jetzt die Aufstellung dieser r unabhängigen Bedingungen für den am    häufigsten    vorkommenden Fall    näher    ausführen. Es seien    nämlich

für alle    singulären    Stellen des Gebildes    /*(#, y)    = 0 die Gleichungen

= °» =    °>    = 0

welche sich durch einmalige Transformation aus den den einzelnen singulären Stellen entsprechenden Gleichungen /^(§, yj) = 0 herleiten lassen, sämmtlich von der ersten Ordnung. Dann ist für jede singuläre Stelle (S. 17 2)

K(ab) = yiy-¹),

wobei y die Ordnung von ^(£,7]) = 0 in Bezug auf die Stelle (0,0) bedeutet. Soll nun

G{xy)

f(xy\

= H{xy)

sein, so dürfen in der Entwickelung von

G{xtyt) dxt

ffayj» dt

Ist der Mittelpunkt des Ele-setzen wir nach dem Vorhergehenden

niemals negative Potenzen von t auftreten. ments (xtyt) eine singuläre Stelle, so

G(xtyt) dXj ₌ flfeq,) ąt

f(xtyt\ dt fo(&u\ dt    sr

dtx

dt

<m%)

öyii

Die Bedingung, dass in £r(§7]) die Coefficienten aller Glieder xter Dimension verschwinden, erfordert das Bestehen von x + 1 linearen Gleichungen unter den Coefficienten von G{xy). Damit also G(|-/]) mit Gliedern (y — l)tor Dimension beginne, müssen

(ab)

Bedingungen bestehen, welche sämmtlich in diesen Coefficienten linear sind. Stellen wir nun die entsprechenden Gleichungen für jede singuläre Stelle des Gebildes f{x, y) = 0 auf, so erhalten wir gleichungen für die Coefficienten der ganzen rationalen Function G(xy), also die richtige Anzahl.

= r' lineare Bedingungs-

Nun muss gezeigt werden, dass wenn diese r' Gleichungen befriedigt sind, für kein Element (%tyt) in der Entwickelung von

G-{pctyt) dxt f\xt Vt\ dt

negative Potenzen von t auftreten. Für ein Element, welches zum Mittelpunkt eine im Endlichen gelegene, nicht singuläre Stelle hat, ist dies unmittelbar klar. Ist zweitens der Mittelpunkt des Elements eine singuläre Stelle, so bilden wir zunächst die transformirte Gleichung    tjJ = 0. Der

Voraussetzung nach (S. 183) kann das Element dieses Gebildes mit dem Mittelpunkt (0,0) durch ein Functionenpaar der Form

ix = t, ^ = t$(t)

dargestellt werden, sodass also das Anfangsglied in der Entwickelung von

dl,

dt

àfAUi)

drh

eine Constante ist.

Wenn nun G(|t]), also auch    nur Glieder (ft-l)ter

und höherer Dimension enthält, so treten in der Reihe für

dix

®x(iiyh) dt    G(xtyt) dxt

ii¹"¹    ^(ix^i)    f(xtVt\ dt

Drittens be-

keine negativen Potenzen von t auf. Das Nämliche gilt für jede der übrigen transformirten Gleichungen /i'1>(i₁, r^) trachten wir eine unendlich ferne, nicht singuläre Stelle (S. 162). Bringen wir dann

G{xtyt) dxt f{xtVt\ dt

Gipcy)

ist also mit der Function H(xy) identisch, sobald unter den Coefficienten von G(xy) jene r' linearen Gleichungen bestehen.

Die Bedingungen, welche die Coefficienten der Function

r—3

G(xy) -

erfüllen müssen, dass nämlich die Glieder 0ter, lter, ... (ft — 2)ter Dimension in 6r(|7]) identisch verschwinden, lassen sich auch noch in anderer Form darstellen. Wird für x = —, ?/ = --, wo Au + Bv + w = 1 sein sollte,

w 1 u w 7    7

ivr~³

auf die Form

Gfayt)

(1 + A xt + Byt)

r—3

dxt

dt ’

so liefert die Entwickelung keines der beiden Factoren negative Potenzen; für den ersten Factor folgt dies aus dem Werthe der Dimension der ganzen rationalen Function G(xy), für den zweiten Factor aus den Ergebnissen des vorhergehenden Kapitels (S. 157, 159 und 161). Die Function

(1 + Axt -j- Byt)

r—3

fXvtVtX

Gr(xiy) =

so ist (3(u, v, w) eine ganze homogene Function (r - 3)t6r Dimension von u, v, w. Stellt nun (a, &, c) ein singuläres, der Gleichung F(u, vf w) = 0 genügendes Werthsystem, also (-^7) e^ne singuläre Stelle des Gebildes f(x,y) = 0 dar, so werde

u = a + ê, v — b + ri, w — c + C,

gesetzt, und es gehe hierdurch (&(u, v, w) in @(a + g, b + 73, c + Ç) über, wobei nach homogenen Functionen geordnet

®(a + %,b + rhc+ Ç) = (£, *], C)₀+ (£, C)x+ ••• + (§, tj, C)r_₈

sei. Nun ist

wenn

also die homogenen Functionen (£, tq, C)₀, (i,    C),, . •. (i, vj, C)^_₂ sämmt-

lieh identisch gleich Null sind, so verschwinden auch in G(£tj) die homoge-

lten, ... (ft —2)ten Dimension

nen

Functionen (£, 7])₀, (I, ^)x, • • • (£»?])

,U — 2

der 0

ten

identisch. Umgekehrt ergiebt sich aus Letzterem auch das Erstere, denn es ist

(M)x = Ob y, —(M + By))

von

(3(u, v, w)

in der That    — 1) = ^ Km Bedingungs-

und da A und B willkürlich sind, so müssen, wenn (|, 7])y identisch verschwindet, auch die einzelnen Coefficienten von £, vj und C in (|, yj, Ç) Null sein. So zeigt es sich sofort, dass die linearen Bedingungsgleichungen nicht die Constanten A und B enthalten. Die Gleichungen, welche sich durch Nullsetzen der Glieder 0ter, lt6r, ... (^ —2)ter Dimension ergeben, sind aber nicht von einander unabhängig. Denn zu Folge des Euler sehen Satzes über homogene Functionen lässt sich jede Ableitung (x —l)ter Ordnung der Function (&(u,v,w) nach u, v oder w als homogenes Aggregat von Ableitungen xt6r Ordnung darstellen, demnach verschwinden die Ableitungen 0ter, lter, ... (f* — 3)ter Ordnung sämmtlich für das Werthsystem (a, b, c), wenn alle Ableitungen (fi — 2)t0r Ordnung hierfür verschwinden. Mithin erhalten wir als nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Entwickelung ©(« + !, b 4-Tj, c + C) oder von G(gyj) mit Gliedern (y — l)ter Dimension beginnt, das Verschwinden aller partiellen Ableitungen (^ —2)ter Ordnung von für u = a, v = b, w — c, was m gleichungen für jede singuläre Stelle ergiebt.

Beispielsweise habe das algebraische Gebilde f(x, y) = 0 nur gewöhnliche singuläre Punkte (S. 172). Dann ist, wie wir gefunden haben, der Bang des Gebildes gleich

Y (r — 1) (r — 2) — Anzahl der gewöhnlichen singulären Punkte.

Nun hat jetzt für jedes singuläre Werthsystem (a, b, c) y den Werth 2, mithin ergiebt sich die Gleichung

© (a, b, c) = 0

als hinreichend und nothwendig, damit die Entwickelung von

@(a + b + Y], c+ Q

mit Gliedern (y — l)t6r = lter Dimension beginnt. Demnach erhalten wir zur Bestimmung der Coefficienten in G(xy) für jede singuläre Stelle eine einzige Gleichung, also ist die Gesammtzahl der Gleichungen gleich

Dimension G{xy) bleiben also, wie es sein muss, q willkürlich, wenn die Function H(xy) sein soll.

Von den ~ (r — 1 ) (r — 2) Coefficienten der ganzen rationalen Function (r —3)ter

f(xy),

Jetzt kehren wir wieder zur Betrachtung eines beliebigen algebraischen Gebildes f{x,y) — 0 zurück. Zwischen den

y (r — 1) (r — 2) = r'+Q

Coefficienten der ganzen rationalen Function (r —3)ter Dimension G{xy) bestehen r unabhängige lineare Gleichungen, es können daher r' dieser Coefficienten C', C', ... C'r, durch die q übrigen linear und homogen dargestellt werden, oder es lassen sich Cj, C', ... C'r, stets so auswählen, dass die Determinante der Coefficienten von C', C', ... C'r, nicht verschwindet. Bezeichnen wir nun die p Coefficienten, welche unbestimmt bleiben, mit C%1 ... C , so nimmt G{xy) die Form an:

G(xy) = C\ Gm{xy) + C₂ Gm(xy) + --- + CQ G^(xy).

Setzen wir alle Coefficienten Clt C₂, ... C bis auf einen gleich Null und diesen einen gleich 1, so ergeben sich q linear unabhängige Functionen

G{'(xy)

f(xv\

Ga\xy) G⁽²⁾(xy) f{xy\ ’    /‘(a?y)a

die wir mit

Jlixy)

bezeichnen könnten.

Es möge indess nach Annahme »der q Stellen    (a₂b₂), ... (ao& ) die

Function H(xy)a so bestimmt werden, dass sie für die Stelle (aaba) den Werth 1 annimmt und an den übrigen q — 1 Stellen (a^bß) verschwindet (S. 120). Dazu müssen in dem Ausdruck

Gx Gn)(xy) + Ct Gw(xy) + ••• + C₀G^(xy) die Constanten C, C,, ... Cq den Gleichungen

C, Gm(afy) + G,GK(aĄ) + • • • +    =

gemäss bestimmt werden

für ß^a f(aaba\ für ß = a

was möglich ist, sobald keine rationale Function

(ß = i)2, ...e)

des Paares (xy) existirt, welche nur an den q Stellen (a^J, («₂&₂), ...

von der ersten Ordnung unendlich wird; denn die Determinante jener linearen

Gleichungen

D = |G<«(«A)I

ist dann von Null verschieden (S. 68). Setzen wir ferner

<?>A)    cf’K-A-,) <?“’(*«/) ^'K+A«)    G'>A)

so wird

. mAh

H(xy)a = —-jj

f{xy\

Man könnte versuchen, die q Constanten C , 07

bestimmen, dass H(xy) an 9 gegebenen Stellen Dazu müssten die q Gleichungen

G, G⁽¹⁾ {a}a) b(a>) + C₂ G<2) (a(a) b<a)) + • • • + CQ G® (am bw) = 0

der Function H(xy) so zu (ab'), (a"b"), ... (a^b^) verschwindet.

2? •

.. C in dem Ausdruck

(a = 1,2,... q)

durch Werthe Cx, C₂, ... C7Ç zu befriedigen sein, welche nicht alle gleich Null sind, also müsste die Determinante

\GW(awbm)\

(«> ß — 1, 2,... p)

verschwinden, was aber für beliebig gewählte Stellen («'6'), (a"6"), ... (a(?)^) nicht der Fall ist.

Die Constanten C1? C₂, ... C lassen sich indess so wählen, dass H{xy) q willkürlich gegebenen Stellen («'&'), (ab"), ... (a(?A?)) vorgeschriebene Werthe, welche nicht sämmtlich gleich Null sind, annimmt, denn die in diesem Falle für jene Constanten bestehenden linearen Gleichungen sind stets auflösbar, die Determinante \G^\awb(a))\ nicht Null ist.

wenn

an

Achtes Kapitel.

Die Bildung der Function H{xy,x'y').

In der Theorie der Integrale, welche

aus der Integration algebraischer Differentiale entspringen, kommt es nicht sowohl auf die wirkliche Her

stellung des Ausdrucks der Function H{xyrx'y) an, als vielmehr auf die

an die des vorhergehenden Kapitels uns wieder (S. 187) auf den Fall, in welchem sich für jede singuläre Stelle schon nach der ersten Trans

genaue Kenntniss ihrer Zusammensetzungsweise und ihrer Eigenschaften. Dennoch gehen wir jetzt auf die Bildung dieser Function näher ein, da sich die hierauf bezüglichen Untersuchungen unmittelbar anschliessen. Ahr beschränken

formation Gleichungen ergeben, die sämmtlich von der ersten Ordnung sind.

Wir haben im vorigen Kapitel (S. 177) die Frage erörtert, unter welchen Bedingungen die Entwickelung von

G{xtyt)

r- 3

(c₀+ci xt + c2 yt)

mit der oder einer höheren Potenz von t beginnt, wenn der Mittelpunkt des Elements (xtyt) die Ate singuläre Stelle (S. 32) des Gebildes ist; oder was dasselbe bedeutet, wann für ein solches Element in der Entwickelung von

GfaVt) dxt dt

nach Potenzen von t keine negativen Exponenten Vorkommen. Dabei war G(xy) eine ganze rationale Function des Paares (xy) von der (r — 3)ten Dimension. Jetzt wollen wir die gleiche Untersuchung für den Fall durchführen, dass statt G{xy) eine ganze Function höherer Dimension gesetzt wird; wir bezeichnen sie dann vorübergehend mit E(xy) und nehmen an, ihre

25

Abelsche Functionen.

Dimension sei gleich s. Für % = y = — ^ wobei wieder Au + Bv + w == 1 sein möge, sei

E(xy) =

Qê(u, v,w)

so ist @(m, v, w) eine ganze homogene Function von u, v, w. Die Bedingungsgleichungen dafür, dass für die Umgebung einer singulären Stelle in der Entwickelung von

B{xtyt) dxt dt

niemals negative Potenzen von t auftreten, erhalten wir tiellen Ableitungen (g — 2)ter Ordnung system {a, 6, c) gleich Null setzen (S. 190). Jedes solche System liefert also —1) Gleichungen, es ergeben sich mithin im Ganzen wieder

wenn wir alle par-von (&(u, v, w) für jedes singuläre Werth-

(ab)

= r'

Bedingungen. Diese gehen in die früher aufgestellten über, sobald allen Coefficienten der Glieder höherer als (r — 3)ter Dimension in d(u: v,w) der Werth Null beigelegt wird. Für die Function G(xy) konnten wir nun mit Hülfe der r Bedmgungsgleichungen r Coefficienten C', C', ... C durch ç Coefficienten Cv C₂, ... C darstellen (S. 191)

Gleichung

was

wir durch die symbolische

andeuten wollen. Genau ebenso lassen sich für die Function E{xy) r Coefficienten durch die übrigen ausdrücken, sodass wir schreiben können

(c;,c₂',...c;,) = (ct, ca,... c₉,...).

Denn da die linken Seiten der jetzt aufzulösenden Gleichungen, die Coefficienten der Glieder höherer Dimension auf die rechten Seiten bringen, dieselben sind, wie die linken Seiten der Gleichungen für die Bestimmung der Coefficienten der Function G(xy), so können wir auch die hier auftretenden Gleichungen nach C', C', ... C', auflösen. die Dimension 5 von E(xy) ist, es lassen sich stets dieselben Coefficienten durch die übrigen darstellen.

wenn wir

Welches auch

Ist s = r — 2, so enthält E{xy)

^r(r-l)

Coefficienten, die Anzahl der Gleichungen ist r — ^ (r — l)(r — 2) — p, also bleiben dann in dem allgemeinen Ausdruck der Function E(xy), für welche die Entwickelung von

F{xtyt) dxt

f{xtVt\ dt

in der Umgebung einer singulären Stelle niemals negative Potenzen von t liefert,

Coefficienten willkürlich.

Hat aber die Function E(xy) die Dimension r — 1, so kommen noch r Coefficienten zu den vorher eingeführten hinzu, sie enthält also

2r — 1 + 9

willkürliche Coefficienten.

Der Definition nach (S. 73) ist

wobei

H(ccy, x'y') =

F(ocy, x'y')-F{aJ)₀,x'y')

/W),

F(xy,x'y) =

f&y, y')

x'—x

+ ^F*\x'y')Uxy)

gesetzt worden war (S. 71). Hierbei ist (S. 62), wenn die gegebene Gleichung f(x,y) — 0 in x vom mten und in y vom nt6n Grade ist, die Function

f{xy,y') =

f(x,y)-f(x,y)

y'-y

f(xy, y) wird für y' = y

ganz und vom (n — l)ten Grade in Bezug auf y. gleich f(xy) , dagegen gleich Null, wenn y' einen der n — 1 anderen, von y verschiedenen Werthe hat, welche zu Folge der Gleichung f(x,y) = 0 zu

dem Werthe x gehören. Die Functionen $z(xy) sind rationale Functionen des Paares (xy), und zwar können sie als linear unabhängig angenommen werden, da sich sonst die Anzahl der Glieder in der Summe vermindern lassen würde.

25*

Die Functionen Fa) (x'y') sind ganz und rational und gezeigt werden soll, höchstens vom (m — 2)ten Grade in %' und vom (n — l)ten Grade in y'. Wir haben (S. 65) für F(xy,x'y') die Darstellung gefunden:

(m—i)

zwar

wie jetzt

F(xy,x’y') =

f(xy, y')(x'—a)... (x'— a

(x'— x) (x — a')... (x — a

(m—l)

- Fa)(x'y') %,(xy)-----F(k\x\j’) %k(xy)

in der i^t(xy), ... ^k(xy) rationale Functionen von ganze rationale Functionen von {x'y') sind, hierbei durch die Entwickelung

(xy) und Fa\x'y'), ... F(h{x'y') Die Function Fa\x'y') wurde

f{xtyt,y')(x'-a')    a

(m—l)

(x'~ xt) (xt — a')... (xt — a

(m—D

= F(V(xy)r¹ + --

bestimmt, in welcher (xtyt) das Element mit dem Mittelpunkt    darstellt

und a₁ unter den Grössen a\ a", ... a ganze Function {n — l)ten Grades in Bezug auf y ist, so ist F\\xy) eine ganze rationale Function höchstens (m —2)ten Grades in x\ {n — l)ten Grades in y. F{Il){xy') ist als Coefficient von F¹ in der Entwickelung von

(m—1)

(m—l)

enthalten ist. Da f(xy, y') eine

ffayt, y')(x‘’-a')... {x'-a

{x'~ xt) (xt — a')... (xt — a

— Fm(x'y') %t(xtyt)

ZU bestimmen, wenn (xtyt) das Element mit dem Mittelpunkt (at\) darstellt, wobei a₂ wieder mit einer der Grössen a\ a"

Weise fortfahrend erhalten F^ix'y).

höchstens die Grade m- 2 und n-1 in Bezug auf x und y haben. Nun wurde (S. 71) mittels Partialbruchzerlegung

ix’— a'){x’— g")... [x'~a {pc'— x)(x~a).. .{x^a

(TO—X)

identisch ist; in dieser

wir der Reihe nach die Functionen F(Z){x'y'), ... Daraus folgt, dass die Functionen F⁽²\x'y')₁ ... Fm(x'y') ebenfalls

(m—i)

(TO—I)

in der Form

c'

g(TO-l)

x'—x ' x — a'

(TO-l)

dargestellt. Dabei ist z. B.

(x— a")... {x'—a {a'—a")... (a'—ä

also eine ganze Function (m- 2)ten Grades von x\ und das Gleiche gilt für

C' =

(m—i)

(TO-1)

On—l)

jeden der übrigen Zähler c", ... c Form

Bringen wir nun F(xy, x'y') auf die

f(ny,y')

F(xy,x'y) =

so ist jede Function Fa\xy') entweder gleich einer Function Fm(x'y'), oder sie entsteht als Product einer Grösse cm mit einer in f(xy, y') enthaltenen Potenz von y'. In beiden Fällen findet sich, dass der grösste Werth des Grades von Fa\x'y') in Bezug auf æ' gleich m — 2 und in Bezug auf y' gleich n — 1 ist.

nur an

Als Function des Paares (xy) betrachtet, wurde H(xy,xy') an p + l willkürlich gewählten Stellen (a^), (aabt), ... (ai) und {x'y) von der ersten Ordnung unendlich gross und an einer beliebig angenommenen Stelle (a b ) gleich Null, während es keine rationale Function des Paares (xy) giebt, welche den q Stellen (a^), (a₂b₂), ... (a b ) von der ersten Ordnung unendlich wird. Diese Stellen mögen als nicht singulär vorausgesetzt werden.

Als Function des Paares (x'y') aufgefasst, hat H(xy,xy') die folgenden beiden Eigenschaften. Erstens treten in der Entwickelung von

fl

H(xy,x'ty't)^

negative Potenzen von t nur dann auf, wenn der Mittelpunkt des Elements (x'ty't) eine der beiden Stellen (xy) oder (a₀b₀) list, und zwar ist im ersten Fall (S. 85, (III, 1))

dx',

H(xy, x'ty't)    = t ‘ + $(0

im letzteren Falle (S. 85, (V, 3))

dr'    —

H(xy,x’ty't)^r = -t~l+ *(*)•

Zweitens bestehen für jedes Werthepaar (xy) die Gleichungen

(a = 1, 2,... ç)

E(xy,aaba) = 0,

d. h. die Function H(xy,x'y') verschwindet identisch, wenn (x'y') mit einer der q Stellen (aubu) zusammenfällt. Nach der Formel (S. 79, (B.))

H(xy,xxyr)^ = ~^H(xy,ab)u ^

erhält man nämlich, wenn für {xzyx) das Element (xryT) mit dem Mittelpunkt (aaK) gesGtzt wird,

H{xy,xTyr)-£- = ~^E{xy, aaba) . ar w

Nun ist (S. 82 und 83)

also folgt

E(xy,aaba)₀ = 0 E(xy,aaba)

-f*

= 0,

O^i)

E{xy, xxyT) -~- = - ±E(xy, aaba)^

woraus sich für x = 0 die zu beweisende Gleichung ergiebt.

Wir wollen nun zeigen, dass diese beiden Eigenschaften für die Function H(xy,x'y') charakteristisch sind, d. h. dass die Function durch sie vollkommen bestimmt ist. Denn gesetzt, es sei H(xy,x'y') eine rationale Function mit den nämlichen beiden Eigenschaften wie H(xy, xÿ), so enthält die Entwickelung der Differenz

jH(xy, x'ty't)-H(xy, x’ty't)\^~

für kein endlich oder unendlich fernes Element (xrty't) des Gebildes negative Potenzen von t, mithin ist jene Differenz bei passender Bestimmung der rationalen Functionen (xy)ß gleich

also muss

E(xy,x'y') = E{xy, x'y') + 2 [xy)ßE{x'y')ß

ß=i    ¹    1

sein. Da nun beide Functionen H(xy,x'yr) und H(xy,x'y') an den q Stellen (aotba) verschwinden, so bestehen die q Gleichungen

O = 1, 2,... q)

2(xy)ßE{aaba)§ = 0

mithin verschwinden die Coefficienten (xy)ß identisch; denn die q Stellen (as^), • • • (aQbQ) sollten der Bedingung unterworfen sein, dass die Determinante

\E(aaba)ß\

(a,ß = 1,2

nicht Null ist (S. 68). Demnach ergiebt sich

H(xy,x'y') = E(xy,x'y')]

die Function H(xy,x’y') ist also durch die beiden vorher angeführten Eigenschaften bestimmt.

Diese Bemerkung giebt ein Mittel, die Function herzustellen, ohne die algebraischen Untersuchungen zu Hülfe zu nehmen, auf denen ihr Existenzbeweis beruhte. Wir betrachten dazu

H(xy,x'y')~ =

F(xy,x'iy')-F(a₀b₀,x'y')

(«A)> («A)> •••

als Function des Paares {x'y') und haben uns daher mit der Bildung einer Function zu beschäftigen, welche die beiden vorher angeführten Eigenschaften besitzt. Unter (xy) und (a₀b₀) verstehen wir beliebige, von (dębę) verschiedene Stellen des Gebildes f(x,y) = 0, für welche f{xy)a und f{a₀b₀)a nicht Null sind. Ferner setzen wir voraus, dass der Grad n der Gleichung f(x, y) — 0 in Bezug auf y gleich der Dimension r ist. Durch eine rationale Transformation (S. 35) kann dies immer erreicht werden.

Wird der Zähler der Function H(xy,x’y')

F(xy,x'y') — F(aJ>„,x'y’) =

auf die Form:

ÜShï) _ KaA,y')

x'—x

x'— a₀

F(xy,x'y')-F(a₀b₀,xy') =

E{xy,x'y')

(x'— x)(x'— a₀)

gebracht, so ist

F(xy, x'y') = (x'-a₀)f(xy, ÿ)-(x'-x)f(a₀bQ, y') + (x'-x)(x'-a₀)2F^\x'y') j %{xy)-%{a₀b₀)}

(#*)

eine ganze rationale Function von x und y' und zwar höchstens vom mten Grade in x' und vom (n — l)ten Grade in y.

Zunächst wollen wir aber auch die Dimension der Function E{xy,x'y') in Bezug auf die beiden Variablen x und y' ermitteln, und zwar durch ähnliche Schlüsse, wie sie früher (S. 116) bei der Bestimmung der Dimension des Zählers G{xy) von

G(xy)

t\xv\

H(xy) =

angewendet wurden. Durch die allgemeinste gebrochene lineare Substitution, welche die Dimension r jedes Gebildes unverändert lässt (S. 115):

ßo + ßi £ + ßi *1 _ Q_ y₀+ri% +r 2ri    ¹

mögen zwei neue Variable £, yj eingeführt werden. Dann besteht (S. 116), wenn <p(g,Y}) = 0 die Gleichung des transformirten Gebildes und â die Determinante der Substitutionscoefficienten ist, die Relation

dx

f(py\

- Jr

Den Stellen (x'y')i (ß,^)? • • • (a ^> ) und (a₀b₀) des Gebildes f(x,y) = 0 sollen nun die Stellen (£'yj'), (^yjJ, ... (|ÇY]Ç) und (g₀Y]₀) des transformirten Gebildes entsprechen, so ist

x' —

«o + «iF+«aV

p'

ßo + ßi%' + ß 2 V __

und

a = g0+«i§0+«,^0 _ Po_

⁰ ro+rJ₀+y₂rio ?o

Ferner seien (xty') und (I'yj') die beiden Elemente mit den Mittelpunkten (x'y') und (£ yj'), und durch Einführung des Functionenpaares (|'y]') statt (|yj) gehe jt/, q\ V in jt?', qv l\ über; dann ergiebt sich

_ ßo ffil ip ßi rto _ 2₀

yo+yX+y^o

H(xy, x\y't) ^Xt ^(xy,xtyt) F(a₀b₀, xtyt) dxt

dt

dt

p* qt

( \i i ’ i't rtj \i₀ i₀

dl'tr~³ d%f l't l't)\ ?(M), dt

Hieraus folgt nun, dass

jr(Po Qo P Q. \\ dl" ³

U i₀ ’ v v)j <p(i'V)s

für das Gebilde <p(g,Y)) = 0 die FT-Function ist, welche an den q + 1 Stellen (Mi)> •••    (IV) von der ersten Ordnung unendlich wird und an der

Stelle (g₀Y]#) verschwindet. Denn zu Folge der vorstehenden Gleichung enthält die Entwickelung

von

Kt ff IMft --

dl/-³ dgt vt l't)\ <p(£^)₂ dt

bios für die beiden Elemente    mit den Mittelpunkten (gvj) und (|₀ï]₀)

eine negative Potenz von t und zwar nur das Glied ± t~\ Ausserdem verschwindet die Function

dr~³

identisch

wenn (£%/) mit einer der Stellen    ... (| 7]?) zusammenfällt;

nach dem vorher bewiesenen Satze ist sie daher die Ff-Function für das Gebilde Cp(|, Y]) = 0.

Setzt man nun speciell p = g, q = rn y₂ = 0, so wird

LS

E[i

muss

die Ff-Function für das transformirte Gebilde. Mithin

möglich ist, wenn die Di-

was nur

eine ganze Function von g' und r[ sein mension von E(xy,x’y') in Bezug auf x und y' die Zahl r — 1 nicht übersteigt.

Der vorhergehende Satz lässt sich für ein im Unendlichen reguläres Gebilde cp(|,7]) = 0, welches in Bezug auf tj den Grad r hat, auch unmittelbar beweisen. Wenn nämlich (£'y]') irgend eins der r unendlich fernen Elemente darstellt, so ist (S. 159)

dt

(* = 0,1,... r—1)

A.y

die Entwickelung von F?(£y], g'v;') muss daher die Form t~(r~v9ß(t) haben. Für sämmtliche r unendlich fernen Elemente ist dies aber nur möglich, wenn |'y]') in Bezug auf g' und tj'von nicht höherer als der (r — 1 )ten Dimension ist. Transformirt man nun die gegebene Gleichung f(x, y) — 0 in eine solche, welche die eben für <p(g,7j) = 0 vorausgesetzten Eigenschaften hat, so ergiebt sich der Beweis auch für das Gebilde f(x,y) = 0.

Da für die Gleichung f(x,y) = 0 n — r ist, so wird, wenn Ao eine von Null verschiedene Constante bedeutet,

f(x,y) = A₀yr + fl(x)yr ł + ...

ist daher gleich

und

f{xy,y') =

f(x,y')-f(x,y)

y'r-

y-y

y-

f+/.W

y'r *-yr~¹

y'-y

mithin hat die Potenz y von y

>r-1 .

rr—l

in f(xy,y') den Coefficienten Ao. Der Coefficient

(x'~ a₀) f(xy, y') - (x'-x) f(a₀ b₀, y')

A₀(x’—a₀) — A₀(x'—x) = A₀(x — a₀)

er hängt also nicht von x ab. Wird nun

r—l

E(xy, xy') = ^(xy, x')x y x

x = o

gesetzt, so sind die Coefficienten (xy,x')x rationale Functionen von (xy) und ganze Functionen von x. Mit Hülfe der Relation f(xy,y)=f(xy\ ergiebt sich für x' — xy y' — y

F(xy, xy)

x — a₀

Hat aber y' einen der r — 1 in Folge der Gleichung f(x,y) = 0 zu x gehörigen Werthe, welche von y verschieden sind, so verschwindet f(xy,y'), mithin ist

E(xy,xy') = 0.

Diese und die vorhergehende Gleichung können in die eine

JE(xy, xy')

x — a₀

= f(xy, y')

H----+fr-i y)

n— 2

zusammengefasst werden. Setzen wir daher (S. 63) f(xy,y') = A₀y'r-¹ + fl(x,y)y so ergeben sich die Gleichungen

(* = 0,1,... r—2)

(xy, x\ = (x-a₀) fr_y_x(x, y)

(xy,x\._x = (x-d₀)A₀.

(m)

Ebenso folgt aus der Definitionsgleichung E(xy,xy') = (x'-a₀)f(xy,y)-(x'-x)f(a₀bQ,y) + (x'-x)(x'-a₀)2F^\x'y')j%(xy)-% (a₀b₀)}

E(xy,a ₀b'₀) = 0,

falls b[ einer der r — 1 zu x — a₀ gehörigen, von b₀ verschiedenen Werthe ist; oder, wenn wieder beide Gleichungen in eine vereinigt werden:

E(xy, a₀b'₀)

= f(%KK) = Ä₀b'₀r ¹ + fiK,\)Kr 2+    +fr_l(a₀, bQ),

wo b'₀ eine beliebige der r Wurzeln der Gleichung f(a0l b'Q) = 0 bedeutet. Hieraus ergiebt sich

(* = 0,1,... r—2)

(xy, a₀\ =    h)

(xy,a₀\-i — (x-a₀)A₀.

Da ausser den Ir eben entwickelten noch die q Gleichungen

(« = 1» 2,... q)

E(xy,aaba) = 0

bestehen, so sind insgesammt 2r+ q Bedingungen für die von (xy) abhängigen Coefficienten der Function E(xy,x'y) vorhanden.

Es sei jetzt E(xy, x'y'), als Function des Paares (xy) betrachtet, irgend eine Function (r — l)ter Dimension, welche die zu Anfang dieses Kapitels für die Function E(xy) vorausgesetzte Eigenschaft hat, dass in der Entwickelung von

E(xy, x'ty\) äx\

f(x'ty't\ dt

für die Umgebung einer singulären Stelle des Gebildes niemals negative Potenzen von t Vorkommen. Dann tritt in

dx\

für x = a₀

E(xy,a₀h₀)

und

■ x — a₀

= f(<*

E{%yix'ty't)___

{x't-x)(xt-a₀)f{x'ty't\ dt

eine negative Potenz von t nur für solche Elemente (xtyt) auf, bei denen sich xt für t — 0 auf die Werthe x oder a₀ reducirt. Denn stellt (x'ty't) ein unendlich fernes, nicht singuläres Element dar, so enthält in der Gleichung

___ E(xy,x\y\)

{x't-x)(x't-a₀)f{x'ty't\ dt (c₀ + cxx't + c₂y't)r~l

E(xy, x'ty't)

dx\

• (co + ci^ + c2 y'tT . (Cp + Ct^ + c, y't)r 3 dx\ (x't-x)(x't-a₀)

dt

keiner der drei Factoren rechts eine negative Potenz von tj das Gleiche gilt daher auch für die linke Seite.

(xy) abhängige Coefiicienten. Bestehen zwischen ihnen die

von

Diese Function E(xy,x'y') enthält nach dem Früheren (S. 195) 2r — 1 + p willkürliche 2r mit den Relationen

E(xy, xy)

x — a₀

Ejxy, a₀b₀)

= f(xÿ)a,

' E(xy, xy') = 0

x — a₀

äquivalenten Gleichungen, so tritt in der Entwickelung von

E(xy,x'ty't)

dx't

(x't — x) (x't — a₀) f(x't y't)₂ dt

nur dann auf, wenn der Mittel

eine negative Potenz von t, und zwar ± t punkt des Elements (x'ty't) eine der beiden Stellen (xy) oder (a₀b₀) ist. Fügen

wir noch die q Gleichungen

(« = l, 2,... 9)

E(xy, aaba) — 0

hinzu, so ist nach dem vorher (S. 198) bewiesenen Satze

E{xy,x'ty't)

dx'.

{x't-x)(x't-a₀)f{x'ty't\ dt

= H(xy,x'y't)^-

Da sich aber für die 2r —1 + q zu bestimmenden Coefficienten 2r + p Gleichungen ergeben haben, so muss nothwendig eine von ihnen eine Folge der übrigen sein.

Dies lässt sich auch direct nachweisen. Denn die Reihe für

Ejxy, x\y't)

dx't

{x't - x) (.x’t - a₀ ) fix't y't\ dt

enthält nur dann negative Potenzen, wenn (x'ty't) das Element mit dem Mittelpunkt (xy) oder (a₀b₀) darstellt. Und zwar ist die Form der Entwickelung im ersten Falle

E(xy,xy)

(x — a₀) f(xy)₂

im zweiten

E(xy, a₍₎b₀)

(x — a₀) f(a₀ &o)₂

Nach einem früher bewiesenen Satze (S. 95) verschwindet aber die Summe der Coefficienten von E¹ in der Entwickelung von

E&y, Ay't)

dx't

(x't-x)(x't-a₀)f{x'ty't\ dt ’

diese Summe erstreckt über alle nicht äquivalenten Elemente des Gebildes für welche überhaupt ein solches Glied Vorkommen kann; also muss sein

E(xy, xy)

E(xy,a₀b₀)

(x-a₀)f(a₀b₀\

= 0.

Sind demnach die Coefficienten in E(xy,xy') so bestimmt, dass

E(xy, xy)

x — a₀

= f&y) 2

ist, so besteht von selbst auch die Gleichung

E(xy, a₀b₀)

x — a₀

0^0)2;

es ist also in der That eine der obigen 2 r + p Gleichungen eine Folge der

übrigen.

Nachdem die Function E(xy,x'y') in der angegebenen Weise bestimmt

ist, ergiebt sich H(xy,x'y') aus der Gleichung

H(xy,x'y') =

E(xy, xy')

(x'-x)(x'-a₀)f(x'y'),

In den Bedingungsgleichungen zur Bestimmung der Coefficienten der

Function E{xy, x'y') treten die singulären Stellen — j des Gebildes f(x,y) = 0 auf (S. 194). Die Werthe von und ~c ergeben sich hierbei durch die Lösung

Sind A, B, C, ... die Coefficienten der Gleichung

algebraischer Gleichungen.

unc[ ist $ eine durch eine gewisse irréductible algebraische

Gleichung

G(Ô-,Â, B, G,...) = 0

lassen sich — und ^

in der Form

definirte Hülfsgrösse, so

j = Rt(ä;A,R,C,-

darstellen, wobei R und R, rationale Functionen ihrer Argumente bezeichnen.

Jede der aufgestellten Bedingungsgleichungen, in welcher eine singuläre Stelle erhält durch Substitution dieser Ausdrücke die Gestalt

(— auftritt

®(d-,A,B,C,...) = 0,

wo die linke Seite eine ganze rationale Function von ist, deren Grad in Bezug auf niedriger als der Grad der Gleichung G(ß‘A, B, C,...) = 0 angenommen werden kann. Dann muss die Gleichung ®(d; A, _B, C, ...) = 0 für alle Wurzeln von G(ô’ A, B, C,...) = 0 erfüllt werden, d. h. die Coeffi-cienten von d in    A, B, C,...) müssen einzeln verschwinden. Daraus

folgt, dass die Bedingungsgleichungen für die Coefficienten der Function E(xy, x'y') sich stets in der Art umgestalten lassen, dass sie die Coefficienten A,J5, O, ... der gegebenen algebraischen Gleichung f(x,y) = 0 rational enthalten.

Es ist noch daran zu erinnern, dass wir die wirkliche Bildung der Function H(xy, x'y') nur für den speciellen Fall durchgeführt haben, in dem sich aus jeder der Gleichungen, welche für die Umgebung der singulären Stellen das Gebilde darstellen, schon nach der ersten Transformation lauter Gleichungen erster Ordnung ergeben. Wenn diese Voraussetzung nicht ein-tritt, so lässt sich die Function H{xy, x'y') ebenfalls ohne Schwierigkeit aufstellen; doch gehen wir darauf nicht ein.

Lassen wir bei der Bestimmung der Coefficienten in E(xy, x'y') die q Gleichungen

(a = 1, 2,... ç)

E(xy,aaba) = 0

weg,

so

enthält die Function noch q willkürliche Coefficienten.

Welche

Werthe diese auch haben mögen, die Eigenschaft bleibt erhalten, dass in der Entwickelung von

E(xy, xty't)

dxt

negative Potenzen von t nur dann auftreten der beiden Stellen (xy) oder (ß₀&₀) zum Mittelpunkt hat.

Setzen wir jetzt, unter (xy) und (a₀b₀) beliebige Stellen verstehend, für welche, wie vorher, f(xy)₂ und f(a₀b₀)a nicht verschwinden,

wenn

das Element (x'ty't) eine

E(xy,xy')

(x'-x)(x'-a₀)f(x'y'\

= H(xy,x'y')

so enthält diese Function noch q willkürliche Coefficienten. Auch jetzt kommen in

dx\

negative Potenzen von t nur vor, wenn der Mittelpunkt des Elements (xty't) die Stelle (xy) oder (a₀b₀) ist; und zwar ist wieder das einzige Glied mit einer negativen Potenz im ersten Fall gleich F¹ und im zweiten gleich —t~\ Jede rationale Function des Paares (xy) haben wir früher (S. 97) in der

Form

F(xy) = C₀ + ^l\CvE(xy,xvyv\+G'vE(xy,xvyv)

(O

E(xy,xyyv)^_ ^

Der

dargestellt, wobei die Summe sich auf alle Stellen (xvyv) des Gebildes bezieht, für welche die Function F(xy) unendlich gross wird; bedeutet dabei die Ordnungszahl des Unendlichwerdens von F(xy) an der Stelle (xvyv).

Beweis dieser Formel beruhte darauf, dass in der Entwickelung von

B(xy,x

negative Potenzen von t nur Vorkommen, wenn das Element (x'^y^) für t = 0 eine der beiden Stellen (xy) oder (a₀b₀) liefert, und dass im ersten Fall das Anfangsglied gleich x_1, im zweiten gleich — x⁻¹ ist. Die andere Eigenschaft von H(xy,x'y'), als Function des Paares (xy') betrachtet zu verschwinden, wenn (xy) mit einer der q Stellen (auba) zusammenfällt (S. 197), ist für die Darstellung der Function F(xy) in jener Form nicht wesentlich.

Es sei nämlich F(xy) eine beliebige rationale Function des Paares (xy), so ist nach dem häufig angewandten Satze (S. 95)

_ _

2 F(x't y’T) {E(xy, < y'x) - E(x₀ yQ, < y'x)} -£

= 0,

JT-i

x Vorkommen.

die Stellen (xy), (x₀y₀) und (a₀b₀) nicht unendlich gross wird. Dann ist für das Element, welches die Umgebung der Stelle (xy) darstellt, der Coefficient

die Summe über alle Elemente (x’ryz) ausgedehnt, für welche in der Entwickelung des in der Klammer stehenden Ausdrucks negative Potenzen von Hierbei werde angenommen, dass die Function F(xy) für

yon T ¹ gleich

F(xy)

und entsprechend ergiebt sich für das Element (V y'x ) mit dem Mittelpunkte (x₀ y₀) als Coefficient von x“¹

Demnach erhalten wir

M

F(xy)-F(x₀y₀) = \F(xTyT)\H(xy, xxyx) - H(x₀ y₀, xzyT)} ~

dxz

JT~¹

wobei die Summation über diejenigen Elemente (xTyr) zu erstrecken ist, für deren Mittelpunkte (%vyv) die Function F(xy) unendlich gross wird.

Ebenso wie für die Function H(xy,xy) (S. 79, (B.)) werde auch hier

(v)

_    (v) (r) cioc    _

H(xy,xTyz)-~^ = -HH(xy,xvyv)F ax (,«)

gesetzt. Da der Annahme nach das Element (xxyx) nicht die Umgebung einer der beiden Stellen (xy) und (aQb₀) darstellt, so nimmt der Index y nur den Werth Null und positive Werthe an. Gilt nun die Entwickelung

w ($0    _    r

^(^j/T) = d,t-i+o;rs+- + cr 1}t ^+ą}(r),

der Stelle (xryr)

an

ist also auch jetzt die Ordnungszahl, mit welcher F(xy) unendlich gross wird, so folgt

F(xy) = C₀ + 21CvH(xy, xvyv)₀ + C'H(xy}xvyv)₁ + --- + C^v~^R(xy,xvyv)^_tj•

ana-

Demnach kann eine beliebige rationale Function des Paares (xy) in loger Weise durch die Function H(xy,x'y') ausgedrückt werden, wie dies früher mittels der Function H(xy,x'y') geschehen ist; es kommt also bei dieser Darstellung auf die Eigenschaft, dass H(xy, xy') für (xy) = (aaba) verschwindet, nicht an.

Dazu müssen vielmehr Bedingungs-

Der vorstehende Ausdruck liefert bei unbestimmten Coefficienten C, <7, ... nicht etwa stets eine rationale Function des Paares (xy), die nur an den Stellen (xvyr) unendlich gross wird, gleichungen erfüllt sein, welche vollkommen den früher (S. 98) bei der Darstellung einer rationalen Function durch die Function H(xy,x'y') aufgestellten entsprechen.

Wir wollen nun die entwickelte Formel anwenden, um die Function H(xy,x'y') durch H(xy,x'y') auszudrücken. Aus der vorher bewiesenen Gleichung ergiebt sich

00

dxT~

r 00 00    . -—    0o (v)    _ (v) w

JT-i

E(xy,x'y')-E(x₀y₀,x’y) = ~^E(xzyz, x'y )\E(xy, xxyx)~ H(x₀y₀,x^)\ ^

Die Stellen (xvyv), für welche H(xy,x'y') unendlich gross wird, sind jetzt {.x'y')i (ai^i)? • • • (aQbQ)i    die Annahme gemacht werde, dass f{xy\ für

keine von ihnen verschwindet. Aus den beiden Formeln (S. 66 und S. 79, (A.))j

H(x^x'y') = -z~l+ %(?),

(cc— 1, 2,... q)

E(xTyT,x'yr) = E(x'yX^+±H«'\x'y')a-S

folgt dann, wenn

X\ — X'+ T

gesetzt wird,

E(xy,x'y,) — E(x₀y₀, x'y') = E(xy,x'y')-E(xQy₀,x'y')

Q    _

- 2 E(x'y')*\E(xy,aaba)~E(x₀y₀, aaba)j •

a = l

Für '(x'y) = (aßbß) ist

TSs -Cfc

(a,ß = 1, 2, ...q)

E{a?bß)a =

0 für <; a 1 für

mithin ergiebt sich

E(xy,x'y) = E(xy,x'ty')-^lE(x'y')aE(xy,aaba).

CC — 1

Führen wir nun für H(x'y')a den im vorigen Kapitel (S. 192) gefundenen Ausdruck

E(x'y')a =

_ fKK\ Dg(XY) fVy’X

und für die Function H(xy, x'y’) wieder den Quotienten

E(xy, x'y')

(x'-x)(x'-a₀)f(x'y'\

ein und setzen zur Abkürzung

D.E(xy,x'y')

___ _ ^ Dtt(x’y')E(xy, oaba)

(x'-x)(x'-a₀)    (aa-x)(aa-a₀)

= %(xyi x'y'i a₁bl, ...aQbq),

so erhalten wir schliesslich

H{xy,x'y') =

%(xy;x'y',a₁b₁,...aebe)

Wie man aus den Werthen von D und T>a{x'y') erkennt (S. 192), wechselt die Function ^{xy\x'y\ aj)^ ... a^b^) ihr Zeichen, wenn man zwei der Stellen (^V), («jäJ, ... (aQbQ) mit einander vertauscht; der Ausdruck von H(xy,x'y) ist demnach in Bezug auf die Stellen fabj, ... {a^b^) symmetrisch gebildet.

Neuntes Kapitel.

Die Bildung einer rationalen Function des Paares {xy) mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle.

Mit Hülfe einer rationalen Function des Paares {xy), welche an einer einzigen Stelle von hinreichend hoher Ordnung unendlich wird, werden wir das algebraische Gebilde so transformiren, dass es nur ein Element im Unendlichen hat. Für dieses transformirte Gebilde <p(|, yj) =0 werden wir sodann an Stelle der Function H{xy,x'y'), welche an p + l beliebig gewählten Stellen {xy'), {aiftj, («₂&₂), ...    mit der Ordnungszahl 1 unendlich wird, eine

un-

rationale Function IÏ(£y], I'yj') des Paares (|tj) einführen, die im Endlichen nur an einer willkürlich gewählten Stelle (g'iq') von der ersten Ordnung und ausserdem für die unendlich ferne Stelle von hinreichend hoher Ordnung-endlich wird. Die Bildung einer solchen Function ist für manche Untersuchungen erforderlich.

Jede rationale Function F{xy) des Paares {xy), welche an einer einzigen, im Endlichen gelegenen Stelle {ab) mit der Ordnungszahl o unendlich gross wird, lässt sich, wie früher (S. 97) bewiesen worden ist, in der Form:

F{xy) = c₀+c₁H(%y,ab)₀+c₂H(xij,ab)₁ + -" + caH(xy,ab)a_₁

der Stelle {ab) von der

an

darstellen. Dabei wird die Function H{xy, ab)

(/x + l)ten Ordnung und ausserdem nur noch an den q Stellen (^ftj, (a₂b₂), ... (« ft ) von der ersten Ordnung unendlich gross. Bezeichnet {xtyt) das Element des Gebildes mit dem Mittelpunkte (ab), {xtyt) dasjenige mit dem Mittelpunkt so bestehen, wie wir gefunden haben (S. 84, (I, 1 und 3)), die Entwickelungen

H{xtyt, ab)^ — t u 1 + ^(t)

Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Stelle (ab) mit keiner der Stellen (a₁b₁)₁ )i ••• (aębQ) zusammenfällt. Ferner sei

äxx

und

dxT'

H(xtyt,ab\ = -t ¹ H(xryz)a d_

+m

(« = 1, 2,... q).

H(xx yx)a d_

Soll nun die Function F(xy) nur an der einen Stelle (ab) unendlich gross werden, so ist dafür nothwendig und hinreichend j(S. 98), dass die o Coefficienten c1? ca, ... crj die q linearen homogenen Gleichungen

haiC₁ + 1la₂C₂Ą-----V\aca — 0

(a = 1, 2,... e)

befriedigen; und falls sich hieraus für ca ein von Null verschiedener Werth ergiebt

der Stelle (ab) von der aten Ordnung unendlich wird.

Untersuchung, unter welchen Bedingungen dies stattfindet, zwei Fälle unterscheiden, je nachdem die Determinante

so

ist F(xy) eine rationale Function des Paares (xy)y welche

nur an Wir haben bei der

zu

(a,ß = 1,2

von Null verschieden oder gleich Null ist. Das Letztere kann nur für spe-cielle Stellen (ab) eintreten.

Liegt zunächst der allgemeine Fall vor, ist also die Determinante

(cc,ß = 1,2, ...q)

I hap ]

von Null verschieden, so können für a die q linearen Gleichungen

(cc = 1, 2,... q)

nur durch das Werthsystem ct — 0, c₂ = 0, ... ca — 0 befriedigt werden. Ist aber o>p + l, so lassen sich ci: c₂, ... cç als lineare homogene Functionen der willkürlich bleibenden Grössen c , c , ... ca darstellen. Sobald daher ca von Null verschieden angenommen wird, ergiebt sich aus der Gleichung

F(xy) = c₀+ciH(xy,ab)₀ + ciH(xy,ab)₁ + --' + c₀H(xy,ab)₀_₁

F(xy) als eine rationale Function aton Grades mit der einzigen Unendlichkeits-

ha a ca = 0

(cc,ß — 1, 2, ... q)

stelle (ab). Verschwindet also die Determinante

I haß I

nicht, so existirt keine rationale Function, welche nur an der Stelle (ab) von der ersten, zweiten, . . . oder pten Ordnung unendlich wird, wTohl aber giebt es solche Functionen, welche an jener Stelle von der (p + l)ten oder einer beliebigen höheren Ordnung unendlich gross werden.

Zweitens sei für die Stelle (ab)

(cc,ß = 1,2, •••<?)

(cc = l, 2,... e)

I haß J — 0,

so lässt sich den q linearen Gleichungen

ha ha 2 c₂ -j- • • • -f- Cq 0

durch Grössen cl, c₂, ... cgenügen, welche nicht sämmtlich gleich Null sind; es existirt demnach eine rationale Function des Paares (xy) mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle (ab) vom pten oder von niedrigerem Grade, je nachdem sich c als von Null verschieden oder gleich Null ergiebt. Sind auch die q Gleichungen

(« = 1, 2,... q)

-1

ha i F ha 2 —J— * * • —}—    Cq

noch zu befriedigen, ohne dass c₄, ca, ... c sämmtlich verschwinden, so giebt es auch eine solche Function (q — l)ten Grades, falls c von Null verschieden ist, oder niedrigeren Grades, falls c gleich Null ist. In dem letzten System setzen wir nun c gleich Null und untersuchen, ob ihm dann noch Werthe ci1 c₂, ... c _₂ genügen, welche nicht sämmtlich verschwinden, u. s. f. Schliesslich kommen wir zu einem Gleichungssystem

(a — 1,2,... ç)

-i

ha ₁c₁Jr ha 2 C₂ • • • -f- h>u c^

welches nur durch die Werthe cx — 0, c₂ = 0, ... cl_l = 0 zu befriedigen ist, während dem vorhergehenden System

(« = 1, 2,... q)

noch Grössen ct1 c₂, ... cl genügen, die nicht alle gleich Null sind. Insbesondere muss dann cl von Null verschieden sein, sodass eine Function existirt, welche nur an der einen Stelle (ab) mit der Ordnungszahl l unendlich wird; l ist dann auch gleich dem Grade dieser rationalen Function des Paares (xy). Dagegen giebt es keine Function niedrigeren Grades, für welche (ab) die einzige Unendlichkeitsstelle ist.

Während also im allgemeinen Falle l den Werth q +1 hat, ist für die zuletzt betrachteten speciellen Stellen (ab) /<(>. Für alle Stellen aber muss l grösser als 1 sein, denn wäre 1=1, so würde es für das Gebilde eine Function ersten Grades geben, was vermöge der stets beibehaltenen Voraussetzung, dass der Rang des betrachteten Gebildes grösser als Null sein soll, ausgeschlossen ist (S. 62).

Ist die Zahl l in dieser Weise bestimmt, so kann eine rationale Function (7+l)ten Grades existiren, welche nur an der Stelle (ab) unendlich wird, doch braucht dies nicht der Fall zu sein. Nun soll gezeigt werden, dass sich für jede Stelle (ab) eine Zahl k der Art finden lässt, dass jedenfalls Functionen, die nur an der Stelle (ab) unendlich gross werden, für alle höheren Grade k + 1, k + 2, ... existiren. Verschwindet für die Stelle (ab) die Determinante j haß J nicht, so ist k = q.

Wir betrachten dazu das System der Coefficienten

k₁₃, ..

welche in den Entwickelungen der q Functionen

(cc = 1, 2,... q)

auftreten. Jede seiner Horizontalreihen enthält unbegrenzt viele Elemente. Denken wir uns nun durch Herausgreifen von q Verticalreihen Determinanten qUu Grades gebildet, so muss, da die q Functionen H(xy)u linear unabhängig sind, unbedingt der Fall eintreten, dass eine der so gebildeten Determinanten Grades nicht verschwindet.

Die Indices nx, n₂, ... nv mögen nämlich so gewählt werden, dass die Determinante

IW

von Null verschieden ist; eine Forderung, welche sich jedenfalls für v = 1 erfüllen lässt. Wenn nun die Determinante

(/= 1, 2,... v + 1; Sr= nu n₂,... nv+1)

I ky'jr I

für alle Indices nv+l verschwände, so würde sich die Gleichung

GK(i+Qh2ftH-----h Gv+1 äv+1u

für jeden Werth des Index y durch die nämlichen Werthe der Constanten ClX C₂, ... Cv+l befriedigen lassen, ohne dass alle diese Werthe gleich Null sind. Die v + i Functionen H(xy)i: H(xy)₂, ... H(xy)v+l wären mithin linear abhängig. Ist v + 1 — p, so ist damit die Behauptung bewiesen; sonst wenden wir dieselben Schlüsse wiederholt an.

.. k° in aufsteigender Reihe geordnet,

Es seien nun die Indices kt, k und es sei

(cc,ß = 1, 2,... Ç)

I

unter allen nicht verschwindenden Determinanten diejenige, in welcher k den kleinsten Werth hat, während mit w, w, ... q diejenigen k^— q der Zahlen 1, 2, ... k^ bezeichnet werden mögen, welche von 7^, k₂, ... k^ verschieden sind. Dann lassen sich aus den Gleichungen

(cc = 1, 2,... q)

k’a lG ka 2 ^2 "t " ' "ł" ka a Ca    0

in denen'a eine beliebige ganze Zahl bedeutet, welche grösser als k ist, die Coefficienten c^, ... durch die übrigen cTO, cn, ... cq, c^ + 1, c^₊₂, ... cg in der Form

cka ~ (ka,m)cm+ (ka,n)cnĄ-----! (ka,y)cq+ (K, kQ+ l)ci?+1+ (ka, kQ+2)ck^₊₂Ą-----\- (ka, o)ca

(« = 1,2,... p)

darstellen, wobei die Grössen cm, cn, ... cg, c^₊₁, c^₊₂, ... cc auf der rechten Seite willkürlich bleiben. Durch Substitution dieser Werthe in den vorher aufgestellten Ausdruck einer rationalen Function F(xy) aten Grades mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle (ab) folgt

F(xy) = c₀+ cm\H{xy,ab)m_t + {kx,m)H(xy, ab\_₁+~-+ (kQ,m)H(xy, ab)k^_x\

+ cq\H(xy,ab\_₁+ (k^q) E(xy, ab\_ !+••• + (kQ, q) H(xy, ab)k^_x] + c* ₊₁ {H(xy, ab)^ + (kx, kQ+1) H{xy, ab\_x + ••• + (*,, *,+ *) H{xy, ab)k^_x}

+ ca{H(xy,ab\_₁ + (kx, o)E(xy, ab\~x + ••• + {kq, o) H(xy,ab)kq_x\-

Setzen wir hierin a = k +1 und nehmen c,

von Null verschieden an, so

?

ergiebt sich die Existenz einer rationalen Function F(xy) vom Grade & +1. Hat a den Werth &?+2, und verschwindet ck +2 nicht, so wird F(xy) eine Function (k + 2)ten Grades, u. s. f. Schliesslich folgt, da a beliebig ist, dass Functionen mit der einzigen Unendlichkeitsstelle (ab) von jedem Grade existiren, welcher grösser als k ist. Die gesuchte Zahl k kann also gleich der im Vorhergehenden bestimmten Zahl k^ gesetzt werden.

Auf der Bildung solcher Functionen des Paares (xy), welche an einer einzigen Stelle (ab) unendlich gross werden, beruht eine wichtige rationale Transformation des algebraischen Gebildes f(x,y) — 0. Nach Annahme der Stelle (ab) sei in der Reihe der Zahlen, welche die Grade der Functionen angeben, die nur an dieser Stelle unendlich gross werden, v eine beliebige und y eine auf v folgende Zahl, welche mit v keinen gemeinsamen Theiler hat. Eine solche Zahl y giebt es jedenfalls unter den Zahlen k+ 1, k+ 2, ... . Für eine Stelle (ab), für welche

(cc,ß = 1, 2,... q)

I Kß I

nicht verschwindet, kann z. B. v — q + 1 und y = q + 2 angenommen werden. Sind nun Rt(xy) und R₂(xy) zwei Functionen vten und ytm Grades, deren einzige Unendlichkeitsstelle (ab) ist, so werde

£ = Rx(xy), 7j = Rt(xy)

gesetzt. Eliminiren wir x und y mit Hülfe von f(x, y) = 0 aus diesen beiden Gleichungen, so erhalten wir eine algebraische Gleichung <p(£,Y]) = 0, deren Grade in Bezug auf £ und yj gleich y und v sind. Für das Gebilde f(x, y) — 0 sei nämlich so ist

£ = Ri (xtVt) = c₁jrv + c|rr+1 + ---j

7j = n₂(xtyt) = c₈{r^+c;r^⁺¹+... |

F(m[)_ UI1C[ RJ^xy) für ~^xy^ gesetzt wird, so folgt c 1    c₂

wobei ct und c₂ von Null verschieden sein müssen. Oder, wenn der Einfachheit wegen Rt(xy) für

I = Rt(xtyt) = rv + c;rv+1 + .--, Tj = R₂(xtyt) = ntt+c;r^⁺¹+... •

Hierbei treten in xt oder yt eine endliche Anzahl negativer Potenzen von t auf, wenn a oder b unendlich gross wird. Aus der vorletzten Beihe ergiebt sich für Werthe von £, welche dem absoluten Betrage nach hinreichend gross sind,

* I to

t = £* + <?£    +•••

mithin wird

Da y und v relative Primzahlen sind, so liefert diese Beihe v Werthe von tj zu einem Werthe von £, d. h. die Gleichung <p(£,7j) =0 ist in Bezug auf tj vom vten Grade. Ganz entsprechend wird bewiesen, dass sie in Bezug auf £ den Grad y hat.

Die algebraische Gleichung <p(£,7]) = 0 ist irreductibel. Denn gesetzt, es wäre <p(|,7]) Potenz einer irreductiblen Function ^(£,7]) (S. 57 — 58), so sei

Ist nun tj;(£,7]) in Bezug auf £ und vj vom Grade y und v\ so müsste

a = Aft', v = Xv

sein, was der Annahme widerspricht, dass y und v relativ prim sind.

Mithin ergeben sich auch umgekehrt x und y als rationale Functionen von £ und 7] (S. 58):    v

» —    V =

und die beiden Gebilde f(x,y) = 0 und cp(£, 7]) = 0 gehen durch rationale Transformation aus einander hervor (S. 59).

In der Gleichung cp(£, tq) = 0 sind die Coefficienten der höchsten Potenzen £^ und Constanten, und zwar darf angenommen werden, dass sie die Werthe + 1 und —1 haben. Denn die Gleichung cp(£,7]) — 0 hat nach Division durch den Coefficienten von rf die Form

riv+m)rlv-¹ + - + fM = 0.

wären hierin /j(£),    (£),..-. /*,(£) sämmtlich oder theilweise

es

Gesetzt nun,

gebrochene rationale Functionen von £, so würde 7] ausser für £ = oo auch für diejenigen Werthe von £ unendlich gross werden, für welche die Nenner von 4(g), /j(l), ••• 400 verschwänden. Dies ist aber unmöglich, da 7j = R₂(xy) nur an der Stelle (ab) unendlich wird und an dieser § keinen endlichen Werth hat. Demnach müssen sich 4(1)? 4(9? • • • 4(9 au^ ganze Functionen von g reduciren. Stellt man die Gleichung <p(g,7j) = 0 in der Form

i,w+5,i(yî)i,w_1 + -”+^(⁷î) = ⁰

dar, so kann man ebenso beweisen, dass ^(tq), ^₂(tj), ... ^(ïj) ganze Functionen von 73 sind; es ist daher

Aus der Entwickelung

7] =    +

folgt aber, dass die Constanten A und B einander entgegengesetzt gleich sein müssen, ■ und hieraus weiter, dass die Coefficienten von g^ und 73* in der Gleichung cp(|, 73) = 0 gleich +1 und —1 angenommen werden dürfen.

Die v unendlich grossen Werthe von 73, welche vermöge der Gleichung çp(I, 73) = 0 zu einem unendlich grossen Werthe von |g| gehören, ergeben sich, wie wir gefunden haben, mit Hülfe der einen Reihe

rj = ji + 5 *sp(| ’)}•

Das algebraische Gebilde cp(§, 73) =0 hat demnach die besondere Eigenschaft, nur ein unendlich fernes Element (£,tv\t) zu haben, wobei den Entwickelungen

00    00

%t und 73j die Form gegeben werden kann.

Ein Beispiel für ein Gebilde <p(g, 73) = 0, welches nur ein Element im Unendlichen besitzt, hatten wir in dem hyperelliptischen wenn i?(g) eine ganze rationale Function ungeraden Grades ist. Bezeichnet m den Grad von _R(g), so wird das unendlich ferne Element in diesem Fall durch ein Functionenpaar

\    r"{l + «sS|3(<,)l

00

lt = M

dargestellt. Das Gebilde hat dagegen zwei unendlich ferne Elemente, wenn jR(g) eine ganze Function geraden Grades ist (S. 133).

Wir gehen nun dazu über, für das so transformirte algebraische Gebilde cp (g, vj) = 0 eine rationale Function jEZ’(gT), £'•/]') zu bilden, welche im Endlichen nur an der einen willkürlich gewählten Stelle (g tj') von der ersten Ordnung unendlich gross wird und ausserdem von hinreichend hoher Ordnung für die unendlich ferne Stelle. Der Einfachheit wegen nehmen wir für (g'-yj') eine nicht singuläre Stelle des Gebildes an. Setzen wir entsprechend dem Früheren (S. 62)

V-7]

so wird der Quotient als Function des Paares (gvj) betrachtet, für 1 = 1', tj = -q von der ersten Ordnung unendlich, und zwar gilt (S. 63) für die Umgebung der Stelle (|'t]') die Entwickelung

V + ÜKë-r);

er bleibt dagegen endlich, wenn für g = g' der Variablen 7] einer der v — 1 übrigen Werthe 7]" beigelegt wird, welche zu Folge der Gleichung cp(g,7j) = 0 zu g = g' gehören. Ausser an der Stelle (|'t]') kann daher der Quotient nur noch für unendlich grosse Werthe von g unendlich werden. Für das unendlich ferne Element des Gebildes

= rv

rtt = r^i+<$(<)!

sei

CD CO

V)

- gi(SV)

<p(£V)₂

t~'+

& (iV)

r² + ...+

gr(SV)

wo r eine endliche positive ganze Zahl und gt(I'tj'), #₂(|'t]'), ... ^(I'tj') ganze Functionen sind.

Während rationale Functionen des Paares (æy), die nur an der Stelle (ab) unendlich gross werden, von jedem Grade vorhanden sind, welcher die Zahl' k (S. 214) übersteigt, giebt es jedenfalls keine solche Function ersten

Grades, aber auch noch für andere Zahlen der Reihe 1, 2, ... Je können Functionen des betreffenden Grades fehlen. Es werde angenommen, dass für die Stelle (ab) keine Functionen vom Grade x1? x₂, ... x, vorhanden sind. Dabei sollen diese Zahlen ihrer Grösse nach geordnet werden:

< • • • < y »

.. As seien die von x₁, x₂, ... x , verschiedenen der

sodass xi = 1 ist.

Zahlen 1, 2, ... r, und zwar sei

Wir können annehmen, dass r > xo, ist, indem wir sonst in der vorhergehenden Entwickelung die etwa fehlenden Potenzen von t mit dem Coefficienten Null hinzufügen; dann sind die Zahlen 1, 2, ... r und xt, xa, ... x , A1? Aa, ... A£ abgesehen von der Reihenfolge identisch, also ist e + p' = r.

ten

Der Definition von A1} Af, ... A£ gemäss existiren Functionen A^⁶“, A2 A ten Grades :

s

Fx(xy), Fx(xy), ... F%(xy),

die nur an der Stelle (a&) unendlich gross werden. Sie gehen, wenn man die Variablen g, yj durch die Substitution einführt, in rationale Functionen

•••

des durch die Gleichung cp(|,Yj) = 0 verbundenen Paares (gyj) über, welche nur für die unendlich ferne Stelle dieses Gebildes mit den durch ihre Indices gegebenen Ordnungszahlen unendlich gross werden. Durch Multiplication mit Constanten können wir stets bewirken, dass für das unendlich ferne Element

l    ra = rfji+ifsßco}

in jeder dieser Functionen der Coefficient des Anfangsgliedes in der Entwickelung nach steigenden Potenzen von t gleich 1 ist. Nun bilden wir,

unter C , C

i» •

.. C£ unbestimmte Grössen verstehend, die Differenz

CO CO

00 CO

CO CO

00 00

— <7₀ — 0₁ <|^( ^ yji) - Gt 'j^( ltrit)-----Ce    ( lt ^ )

TdY),

r*+-.+

?(SY),

*-*+$(*)

-oĄrh+c’%rh+l

und bestimmen die Coefficienten Ć7, C^, ... C£ der Art als Functionen von dass aAif der rechten Seite die Potenzen t~l\ iP*², ... t~~lz herausfallen. Es bleiben dann von den negativen Potenzen nur solche mit den Exponenten — xl5 — x₂, ••• — x, übrig, und wie sich zeigen wird, verschwindet auch kein Coefficient einer dieser Potenzen identisch (S. 224). Die Grösse C₀ werde schliesslich so fixirt, dass aus der Entwickelung rechts auch das constante Glied herausfällt. Setzen wir dann

-----

so wird die Function Iï(iY], !'y]') nur für die Stelle (|'y]') und im Unendlichen unendlich gross. In der Uiągebung der Stelle (|'r/) gilt, wie wir gefunden haben, die Entwickelung

V)

(r-i)cP(rv). ~

i-g

woraus, wenn unmittelbar

(I'yj') das Element mit dem Mittelpunkt (£t]') darstellt, sich

mW,* Y) =

ergiebt. Für das unendlich ferne Element (f^) folgt

co co

V) =

?dri\    \    ?(Ui h

wo 6^(1'Yj'), G₂(|'y]'), . . . Gç,(%'rl) eine endliche Anzahl ganzer Functionen sind.

Durch die beiden Eigenschaften, dass die Entwickelung von    £'?]')

in der Umgehung der Stelle    die Form — U* + ^P(^) hat, sowie dass für

das unendlich ferne Element negative Potenzen von t nur mit den Exponenten — x1? — x₂, ••• — x , auftreten und kein constantes Glied vorkommt, ist die Function    £ vf) vollkommen bestimmt. Denn gesetzt, diese beiden

Eigenschaften kämen noch einer zweiten Function JÏ₀(£y], £'t]') zu, so könnte die Differenz

#(6i,rv)-Ą(Si,rv)

weder für die Stelle    noch für irgend eine andere im Endlichen ge

legene Stelle unendlich gross werden. Für das unendlich ferne Element

00 CO

müsste aber

sein. Es würde also

nur im Unendlichen und zwar mit einer der Ordnungszahlen xi, x₂, ... x, unendlich gross. Eine solche Function existirt aber nicht; sie kann sich auch nicht auf eine von Null verschiedene Constante reduciren, denn in den Entwickelungen von    IV) unc*    IV) fehlt das constante

Glied. Die Differenz der beiden Functionen muss daher verschwinden, d. h. vj, £'yj') und    £'73') sind identisch.

Statt der Function H(xy,x'y'), welche in diesen Vorlesungen als Ausgangspunkt gewählt worden ist, kann auch die Function JT(£tj, jj'7]') den für die Theorie der Abelschen Transcendenten erforderlichen algebraischen Untersuchungen zu Grunde gelegt werden; freilich ist dann die Existenz dieser Function mittels anderer, als der vorhergehenden Schlüsse, zu beweisen.

Wir können nun für diese neue Ff-Function der Reihe nach die Formeln aufstellen, welche den für die Function H(xy,x'y') bewiesenen entsprechen. Insbesondere bleiben die beiden Fundamentalsätze (S. 76 und 78)

dx'T

w =

fJ'T    1

E(xtyt, xzyz)-^- =    + t)

in ganz derselben Form für die H-Function bestehen; denn beim Beweise kam es nur auf das erste Glied von H(xy, x'y')

f(%y, y'l

(x'-x)f(x'y'\

an (S. 74), und das erste Glied der Function -ET(|y], ist diesem vollkommen entsprechend gebildet.

Die Function H(xy, x'y') wird ausser an der Stelle (x'y') an den q verschiedenen Stellen (a^), (a₂&₂), ••• (^Q) unendlich gross, und ihre Entwickelung nach Potenzen von t beginnt für die Umgebung der Stelle (aabu) mit H(x'y')ut~¹ (S. 79, (A.)). Die Stellen (aabu) sind bei der Function H(^q^'r') sämmtlich durch die unendlich ferne Stelle des Gebildes <p(g,7]) = 0 ersetzt, wobei den Anfangsgliedern H(x'y')ut~¹ der q verschiedenen Entwickelungen jetzt die Glieder mit den negativen Potenzen ć~Xl, £⁻*², ... in der einen Entwickelung

g,(SY)

r*‘+

CO CD

Ä(t,’!„IV) =

entsprechen; oder setzen wir

(a = 1, 2,... p')

so ist

5(11, rv) = Bay)lr*'+H(sy),r*’+-+H(?i,')<l.t **'+m*)-

Demnach bilden die Functionen

s(h)a

das Analogon zu den Functionen

(u — 1, 2,... ç)

und wie diese die charakteristische Beschaffenheit hatten, dass in der Entwickelung von

H(xy)a,

für kein einziges im Endlichen oder im Unendlichen gelegenes Element (xtyt) negative Potenzen von t Vorkommen, so besitzen die Functionen H(lt\)a die Fundamentaleigenschaften, dass für kein Element des tvebildes c= 0 in

dlt

negative Potenzen von t auftreten, und dass für das unendlich ferne Element

00 CO

(%trlt) die Entwickelung von

co

di,

mit dem Gliede t%a~x beginnt; ausser den Potenzen, deren Exponent fi < xa— 1, fehlen aber noch alle diejenigen, für welche fi gleich einer der von xa— 1 verschiedenen Zahlen der Reihe xt — 1, x₂ — 1, ... ist. Auch hier lässt sich beweisen, dass diese Functionen FZ"(|7])a linear unabhängig sind und dass es g solche Functionen giebt. Da nun jede von ihnen einem Exponenten xa entspricht, so ist die Anzahl g' der Zahlen xa gleich g. Für die g Functionen

m-n)a

(ct — 1, 2, . .. q)

bestehen demnach, wenn    ein beliebiges, im Endlichen gelegenes, (ît\)

aber das unendlich ferne Element des Gebildes darstellt, die Gleichungen:

CO CO

CO

dît

(I)

’ 0 für [i <c xa—1 1 für fi = xa — l 0 für fi — y.ß—1

Zu dem Nachweis der Übereinstimmung der Anzahl der Zahlen x , x mit dem Range g des Gebildes führt auch folgende Betrachtung. Es möge eine rationale Function des Paares (£yj) gebildet werden, welche an a gegebenen, von einander unabhängigen Stellen \), (£„ \), • • •    von der

ersten Ordnung unendlich gross wird. Entsprechend dem Früheren (S. 97) lässt sich eine solche Function mit Hülfe von J5T(|vj, f'7}') durch einen Ausdruck der Form

co co

oo

dît

(B)    1

(ß> «)•

2? **•

C₀ + Ct H(fr, I, rh) + G% H(î7J, i₂ 7J₂) +. •. + Ca    , îa

darstellen, unendlich wird

Damit nun diese Summe für die unendlich ferne Stelle nicht müssen unter den Coefficienten die linearen homogenen

Gleichungen

29

bestehen. Ist die Anzahl der Zahlen x1? x₂, ... nicht kleiner als o, so lassen sich keine von Null verschiedenen Werthe für Cl5 C₈, ... C finden, falls nicht besondere Bedingungsgleichungen unter den Stellen    (|₂ï]₂), ... (|a7j )

bestehen. Der Annahme nach ist dies nicht der Fall; es existirt mithin

dann und nur dann eine Function der verlangten Eigenschaft, wenn diese Anzahl kleiner als a ist.

Nun wissen wir aber aus den früheren Be

trachtungen (S. 69), dass die Bildung einer solchen Function mit a beliebigen Unendlichkeitsstellen für a = p + l möglich ist, also kann die Anzahl der Zahlen x1? x₈, ... nicht grösser als q sein; wäre sie aber kleiner als p, so würde eine Function mit weniger als 9 + 1 beliebigen Unendlichkeitsstellen existiren.

Für jede Stelle (ab) eines algebraischen Gebildes f(x,y) — 0 lassen sich also (S. 220) rationale Functionen bilden, die nur an dieser Stelle unendlich werden, und zwar von jedem Grade mit Ausnahme der Grade x₁,xa,.'..x . Rationale Functionen xl stiren dagegen nicht. Wird die Stelle (ab) nicht in specieller Weise gewählt, so sind die Zahlen x₈, x₂, ... x mit den Zahlen 1, 2, ... q identisch. Damit hat die Zahl q eine neue Bedeutung gewonnen.

Wir stellen nun für die Function H(l7], gSj') die wichtigsten Formeln

CO CO    CO CO

zusammen. Es bedeute, wie bisher, (^tj) oder (f yj ) das unendlich ferne Element, (%tt\t) oder (|tyjt) dasjenige mit dem Mittelpunkt (|yj), und (£'-/]') das Element mit einem von (|tj) verschiedenen Mittelpunkt (£7)'). Dann ist (vergl. S. 79, 83 — 85):

ten

ten

„ Grades von dieser Beschaffenheit exi-

(H)

CO 00

Ik

(HI)

(B) zf(i;

CO    00

- 00 CO 00 00 ß £    1    Q ( 00 00    ß P )

(1) #(!,?]„

00

(2)    = -T-+¥(<,t).

dt

Abelsche Functionen.

Zehntes Kapitel.

Die charakteristischen Eigenschaften der algebraischen Functionen.

Im ersten Kapitel haben wir gefunden, dass jede Stelle des durch eine irréductible algebraische Gleichung f{x, y) — 0 definirten Gebildes der Mittelpunkt eines oder mehrerer, in jedem Falle aber einer endlichen Anzahl, nicht äquivalenter Elemente ist (S. 32 und 38). Dabei wurde ein Element des Gebildes analytisch durch ein Functionenpaar (xtyt) dargestellt, in welchem xt und yt Potenzreihen von t bedeuten, die nach ganzen positiven Potenzen fortschreiten und innerhalb eines gewissen Bereiches convergiren. In der Umgebung einer unendlich fernen Stelle tritt in einer oder in beiden Keihen noch eine endliche Anzahl negativer Potenzen auf. Da dem algebraischen Gebilde unendlich viele Stellen angehören, so kommen ihm auch unendlich viele nicht äquivalente Elemente zu. Es wird aber in diesem Kapitel bewiesen werden, dass für ein algebraisches Gebilde stets eine endliche Anzahl Elemente der Art angegeben werden kann, dass jede Stelle wenigstens einem dieser Elemente angehört ; mit anderen Worten, dass die Darstellung eines algebraischen Gebildes stets nur eine endliche Anzahl Elemente erfordert. Dies ist ein charakteristischer Unterschied zwischen den durch algebraische und den durch transcendente Gleichungen definirten Gebilden.

'KO und xz = cp,(T), yx = ^(x)

Stellen die Eunctionenpaare xt — <p(ć), yt zwei Elemente eines algebraischen Gebildes dar, und geht das eine Functio-nenpaar in das andere durch eine Substitution der Form

t = c,t + c₂t²H----

über, in der cx von Null verschieden ist, so sind die beiden Elemente äquivalent (S. 16).

Es mögen nun zwei Elemente desselben Gebildes, aber mit verschiedenen Mittelpunkten, durch die beiden Functionenpaare

xt = <p(t)

und

= ¥l(T)

gegeben sein. Wenn dann für einen Werth t₀ von t und einen Werth t° von t die zugehörigen Paare (xy) übereinstimmen, also

Vt₀ = Vt₀

% = xt₀

ist, und wenn ausserdem die Potenzreihen, welche wir für die Umgebung der Stelle (xt yto) aus jenen Elementen erhalten:

xt~xt₀ =

und

Vz-Vto = (T-To)?i(r-To)

Xx~xt₀ = (T-To)^i(T-To)

durch eine Substitution der Form

t-K = ci(T~To) + c₂(t“to)²"*— >

wo c von Null verschieden ist, in einander übergehen, so stellen beide Elemente in hinreichend naher Umgebung der Stelle (xtoVto) die nämlichen Stellen des Gebildes dar. Wir sagen deshalb, die beiden Elemente congru ir en in der Umgebung der gemeinsamen Stelle.

Bei zwei demselben algebraischen Gebilde angehörenden Elementen genügt nun zum Nachweise ihres Congruirens, dass sie eine im Endlichen liegende, nicht singuläre Stelle gemein haben, d. h. eine solche Stelle (xy), für welche nicht gleichzeitig die beiden Ableitungen f(x, y\ und f(x, y)₂ verschwinden. Es seien nämlich zwei Elemente (xtyt) und (xTyz) mit verschiedenen Mittelpunkten für das Gebilde f(x,y) = 0 gegeben, die beide die nicht singuläre Stelle (ab) enthalten. Das erste Functionenpaar liefere die Stelle (ab) für t — t0l und für die Umgebung von (ab) gehe aus ihm

xt — a Ą- (t — t₀)^(t — t₀)

Ebenso ergebe sich für x = xo aus dem zweiten Functionenpaar x = a, y — b, und es sei

hervor.

= a + (t —t₀) ^(t —r₀)

Der Voraussetzung nach genügt jedes der beiden Eunctionenpaare der algebraischen Gleichung f(x,y) = 0, und f(a,b)t und f(a,b)₂ verschwinden nicht gleichzeitig. Nehmen wir z. B. an, es sei f(a, b)₂ von Null verschieden, so beginnen die Reihen —t₀) und ^(x — x#) mit nicht ver-

schwindenden Constanten.

Demnach ergiebt sich aus der Gleichung

t-t₀ = y₁(x-a) + y₂(x-a)*+---,

wo yl von Null verschieden ist.

Indem wir in diese Entwickelung die Reihe xz-a =

einsetzen, erhalten wir

t-t₀ = Cl(r — T₀) + C₂(t — T₀)² + • • • •

Da nun hierin cl nicht verschwinden kann, so congruiren die beiden Elemente (xtyt) und (xxyz) in der Umgebung der Stelle (ab).

Wenn (xtyt) ein Element des Gebildes mit dem Mittelpunkt (ab) darstellt, so sind xt und yt Potenzreihen von t, welche für t = 0 die Werthe a und b liefern und in der Umgebung der Stelle (ab), d. h. für alle Werthe von t, die dem absoluten Betrage nach hinreichend klein sind, convergiren. Wir müssen jetzt aber den Gültigkeitsbereich dieser Entwickelungen näher zu bestimmen suchen.

Hierbei werden wir uns das Element, um jede Willkür bei seiner Darstellung zu vermeiden, durch eine Reihe der Form

y —    — a)

definirt denken, wobei für eine endliche Anzahl von Werthen a auch gebrochene oder negative Potenzen von x — a auf der rechten Seite auftreten können. Die Reihe ^3 (x — a) convergirt nicht etwa für alle Werthe von x, denn es lässt sich mit Leichtigkeit nachweisen, dass eine algebraische Gleichung zwischen x und y nicht dadurch befriedigt werden kann, dass für y eine be-ständig convergente Potenzreilie von x gesetzt wird. Ist nämlich

f(p, y) = /o<» yn+fi 0) yn 1 + • • •+fjp) = o

die gegebene algebraische Gleichung, so folgt für y = zx

f₀(x) xp

zn +

fv{x)

,n — v

fo(* «

rF"!----+

fui*) 1

/o(^)    ^

= 0.

Wählen wir nun die ganze Zahl p hinreichend gross x — oo alle Coefficienten

so verschwinden für

fv(pß) i

und die Gleichung hat dann die n- fache Wurzel z — 0. Demnach existirt eine positive Zahl p von der Beschaffen-

f₀ (x) xvp ’

heit, dass

lim yx p = 0

ist.

Gesetzt nun, es werde die Gleichung f\x,y) = 0 durch die beständig convergente Reihe

y = c₀ + e₁æ + ---befriedigt, so ist

yX P = C₀X P+^X P+1-\--- + Cp_lX~¹+<^{x)

wo *ß($) ebenfalls eine beständig convergente Reihe bedeutet. Da aber ausserhalb jedes noch so grossen Bereiches stets Argumente x vorhanden sind, für welche der Werth einer solchen Reihe einem willkürlich gegebenen Werthe beliebig nahe kommt, so ist lim yx~v nicht nothwendig gleich Null, also kann y-c₀ + clx-1 nicht Wurzel der algebraischen Gleichung sein.

Die Reihe welche ein Element des algebraischen Gebildes darstellt, muss demnach einen bestimmten endlichen Convergenzbereich besitzen; um ihn näher zu bestimmen, benutzen wir die folgenden Sätze der Functionentheorie.

Es sei g(x\a) eine nach ganzen positiven Potenzen von x — a fortschreitende Reihe, die für alle Werthe von x convergirt, welche der Ungleichung Ix — a\<Q genügen, deren Convergenzbereich also in der Ebene der complexen Grösse x durch das Innere eines Kreises K mit dem Radius q und dem Mittelpunkt a gebildet wird. Dabei ist es gleichgültig, ob der Kreis

K den wahren Convergenzbereich bildet, oder ob sich dieser noch weiter erstreckt. Ist a irgend ein anderer Punkt innerhalb des Convergenzbereiches, so können wir ans der Reihe g(x\a) durch analytische Fortsetzung eine Reihe g(x\a) ableiten, welche nach ganzen positiven Potenzen von x — a fortschreitet und deren Werth für alle Punkte #, die dem gemeinsamen Convergenzbereich der Reihen g(x\a) und g(x\a') angehören, mit dem Werthe von g(x\a) übereinstimmt. Der Convergenzbereich dieser Reihe g(x\a) ist ein Kreis K' mit dem Mittelpunkt a', dessen Radius q' der Ungleichung

q — \a — a' | < o' < p + [ a — a' 1

muss.

genügt; d. h. der Kreis K' liegt zwischen denjenigen beiden Kreisen mit dem gemeinsamen Mittelpunkt a\ welche den Kreis K von innen und von aussen berühren. Ist q' > q — | a — a |, so können wir daher für jeden Punkt ai des im Innern des Kreises K' liegenden Theiles der Peripherie des Kreises K eine nach ganzen positiven Potenzen von x — at fortschreitende Reihe g(x\at) bilden, welche für den mit dem Kreise K gemeinsamen Theil ihres Convergenzbereiches dem Werthe nach mit g(x\a) übereinstimmt. Wenn sich nun für jeden beliebigen Punkt at auf der Peripherie des Kreises K eine solche, innerhalb eines gewissen Bereiches convergirende Potenzreihe g{x\a₁) ableiten lässt, welche für jeden Werth von x des gemeinsamen Convergenzbereiches denselben Werth wie g(x\a) hat, so ist das Innere des Kreises K nicht der wahre Convergenzbereich von g(x\a), sondern er erstreckt sich noch weiter. Daraus lässt sich umgekehrt schliessen, dass es auf der Grenze des wahren Convergenzbereiches der Reihe g{x\a) wenigstens einen Punkt aQ geben für welchen eine solche Reihe g(x\a₀) nicht existirt, oder wie man dies ausdrückt, an welchem die durch die Potenzreihe g{x\a) definirte analytische Function den Charakter einer ganzen Function verliert.

Wir wollen nun unter

y = g{x\ab)

eine nach Potenzen von x—a fortschreitende Reihe verstehen, die ein Element des gegebenen algebraischen Gebildes f{x, y) = 0 mit dem Mittelpunkt (ab) darstellt. Dabei nehmen wir zunächst an, (ab) sei eine im Endlichen gelegene Stelle des Gebildes, für welche die Reihe g(x\ab) nur ganze positive

Potenzen von x — a enthält. Auf der Peripherie des Kreises mit dem Mittelpunkt a, innerhalb dessen die Reihe g{x\ab) für alle Werthe von x con-vergirt, denken wir uns irgend einen nicht singulären Punkt ax fixirt. Unter einem singulären Werth des Arguments x oder einem singulären Punkt x wollen wir hierbei einen solchen verstehen, für welchen nicht alle zugehörigen Werthe von y von einander verschieden (S. 42) oder endlich sind. Da nur eine endliche Anzahl singulärer Werthe des Arguments vorhanden ist, so ist es stets möglich, ax dieser Forderung entsprechend zu wählen.

Zu dem Werthe x = ax mögen sich aus der Gleichung f(x,y) = 0 die n verschiedenen Werthe bx, ... ergeben, und es seien

y = 9i(p\ aM, y = g[{x\a₁b[), • • • V = 9T~V(%|a₁&?"¹⁾)

die n Elemente mit den Mittelpunkten (a^), («,£>'), ... (axttx~v). Ist a2 irgend ein nicht singulärer Punkt, welcher einerseits dem Convergenzbereich der Reihe y = g(x\ab), andererseits den Bereichen der n Reihen

y = gx{p |«A), y = 9i(x\a₁br₁), ... y = g?-l)(x\a₁bf~¹⁾)

angehört, so hat y = g(x\ab) für x — a₂ einen bestimmten Werth b₂. Wenn nun a₂ der Grösse ax hinreichend nahe angenommen wird, so liegt von den n verschiedenen Grössen bx1 b[, ... b⁽x~v eine und nur eine dem Werthe b₂ beliebig nahe; es sei dies die Grösse bx. Dann haben die beiden Elemente y = g{x\ab) und y — gx{x | axbx) die Stelle (a₂b₂) gemein, und da beide die Gleichung f(x,y) = 0 identisch befriedigen, so congruiren sie nach dem vorher bewiesenen Satze in der Umgebung von (a₂b₂).

Aber

Für jeden nicht singulären Punkt ax der Peripherie des Convergenz-kreises von y — g{x\ab) lässt sich also diese Reihe analytisch fortsetzen, nicht für alle Punkte der Peripherie kann eine solche Fortsetzung existiren, sonst hätte y = g{x\ab) für alle Punkte der Peripherie den Charakter einer ganzen Function, jener Kreis würde also nicht den wahren Convergenzbereich bilden. Demnach muss auf seinem Umfange eine Stelle x vorhanden sein,

y nur zu

für welche wenigstens ein zugehöriger Werth von y unendlich gross wird, oder zwei oder mehrere endliche Werthe y einander gleich werden. Wenn * das Gebilde die Eigenschaft besitzt, dass unendlich grosse Werthe von eben solchen Werthen von x gehören, so tritt nothwendiger

Weise der zweite Fall ein. Die Reihe g{x\ab) convergirt dann sicher für alle Punkte innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt a, dessen Peripherie denjenigen dem Punkte a zunächst gelegenen singulären Punkt x enthält, für den zwei oder mehrere Werthe y einander gleich werden. Die Grenze des wahren Convergenzbereich.es braucht aber nicht durch diesen Punkt, sondern erst durch einen entfernter gelegenen derselben Beschaffenheit hindurchzugehen.

Werden zweitens für x — a zwei oder mehrere zugehörige Werthe von y einander gleich und schreitet die Reihe y = g(x\ab) nach Potenzen einer

Wurzel (x — a)a fort, so sei

y = ?i(x-a)a .

Die Potenzreihe

y = TO

stellt nun, wenn wir durch die Substitution statt x die neue Variable z einführen, ein Element des durch die Gleichung

f(g + s⁹, y) — 0

definirten Gebildes dar; und da sie nur ganze positive Potenzen von z enthält, so geht die Peripherie ihres Convergenzkreises durch einen der vorher betrachteten singulären Werthe von z hindurch. Ist aber z₀ ein singulärer Werth des Arguments z der durch die Gleichung f{a + za, y) — 0 definirten Function y, so ist x₀ = a + z° ein singulärer Werth des Arguments x\ und umgekehrt, wenn in der Gleichung f(x, y) — 0 das Argument x keinen singulären Werth hat, so ist ein durch die Substitution x — a = z* bestimmter Werth von z nicht singulär. Demnach ergiebt sich, dass auch der Con-

i

vergenzbereich der Reihe ^(sc — ein Kreis mit dem Mittelpunkt

a ist,

dessen Peripherie durch einen singulären Punkt x hindurchgeht.

Drittens mögen für den endlichen Werth a von x ein oder mehrere Werthe von y unendlich gross werden, so kommen in deren Entwickelungen

nach Potenzen von x — a oder (x — a)° auch negative Potenzen in endlicher Anzahl vor (S. 45). Durch die Substitution

y = W)

geht

f(x, y) = W) yn+Ux) yn ljrfi(x)yn 2+• • •+fn(x) = °

in

n— 2

rin + fi(x)rin ¹ + fÀx)fo(x)rl

+ ‘--+fn(X)fo \X) = ⁰

über. Diese Gleichung liefert zu einem endlichen Werth von x nur endliche Werthe von tj, mithin müssen diejenigen endlichen Werthe von x, für welche ein zugehöriger Werth von y unendlich gross wird, Wurzeln der Gleichung

W) = o

sein (S. 33); es genügt also auch a dieser Gleichung. Um y durch eine

i

nach Potenzen von x — a oder (x — a)s fortschreitende Reihe darzustellen,

i

können wir zunächst 7] nach Potenzen von x — a oder (x — a)s entwickeln und

die Entwickelung durch f₀(x) dividiren. Da tj für endliche Werthe von x

endlich bleibt, so geht die Peripherie des Convergenzkreises jeder der Reihen

für 7] durch einen solchen singulären Punkt x hindurch, für den zwei oder

mehrere Werthe von tj, also auch von y, einander gleich werden. Mithin

ergiebt sich als Convergenzbereich einer Entwickelung von y, die auch nega-

1

tive Potenzen von x — a oder (x — a)¹³ enthält, ein Kreis mit dem Mittelpunkt a, der entweder durch einen Punkt x der eben besprochenen Beschaffenheit, oder durch einen singulären Punkt hindurchgeht, für welchen f₀(x) verschwindet, y also unendlich gross wird.

Demnach sind wir zu folgendem Ergebniss gelangt: Hat x einen beliebigen endlichen Werth a, und sind    die zu Folge der Gleichung

f(x, y) = 0 zu a gehörenden Werthe von y₎ so werden die sämmtlichen nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von x — a fortschreitenden Reihen

y = g(x\db), y = g'(x\ab'), ..

welche die Elemente mit den Mittelpunkten (ab), (ab')} ... darstellen, sicher

30

Abelsche Functionen.

convergiren, so lange x innerhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt a liegt, dessen Peripherie durch denjenigen dem Punkte a zunächst liegenden Punkt x hindurchgeht, für welchen wenigstens ein Werth von wird oder zwei oder mehrere Werthe von y einander gleich werden.

y unendlich gross Diese

Reihen convergiren auch noch für die nicht singulären Punkte der Kreisperipherie selbst.

Schliesslich betrachten wir eine unendlich ferne Stelle der Form (oo,&) oder (oo, oo), deren Umgebung durch eine Reihe

dargestellt wird, wo a eine ganze positive Zahl >1 ist (S. 45). Werden x

und y gleichzeitig unendlich gross, so enthält diese Reihe eine endliche An-

1

Um den jetzt zu betrachtenden Fall auf

zahl negativer Potenzen von einen der früheren zurückzuführen, setzen wir

— = g.

die Gleichung f(x, y) = 0 geht dadurch in f(^,y) = 0 und die Reihe

y = p{{-Y\

Mithin convergirt

in y = P\£, ⁵ ) über. Nach dem Vorhergehenden ist der Convergenzbereich dieser Reihe ein Kreis mit dem Mittelpunkt £ = 0, dessen Radius q wenigstens bis zu dem nächsten singulären Punkt g reicht, die Reihe

a I hl

für |ic|>9, d. h. ausserhalb des Kreises mit dem Mittelpunkt x — 0 und dem Radius q. Da nun die singulären Werthe von x und g einander entsprechen, so ergiebt sich:

Eine nach steigenden, ganzen oder gebrochenen Potenzen von — fortschreitende Reihe, welche ein unendlich fernes Element des Gebildes

f(x,y) = 0 darstellt, convergirt für alle Punkte ausserhalb eines Kreises um den Nullpunkt, dessen Peripherie durch einen im Endlichen liegenden singulären Punkt x hindurchgeht. Nehmen wir als Radius des Kreises den Abstand des Nullpunktes von dem entferntesten, im Endlichen gelegenen, singulären Punkte, so convergirt jene Potenzreihe sicher ausserhalb dieses Kreises.

Wir wollen jetzt ein Element des algebraischen Gebildes f(x,y) = 0, dessen Mittelpunkt die Stelle (ab) ist, mit

%(xy\ab)

bezeichnen. Das Element ist, abgesehen davon, dass wir statt seiner auch ein äquivalentes einführen können, durch Angabe der Stelle (ab) vollkommen bestimmt, falls (ab) nicht singulär ist; durch eine singuläre Stelle (ab) können aber mehrere nicht äquivalente Elemente hindurchgehen, und es muss dann, wenn die Bezeichnung o₎(xy\ab) einen bestimmten Sinn haben soll, dieses Element noch genauer definirt werden (S. 32). Das Element ą(xy\ab) wird, wie wir gesehen haben, analytisch dadurch gegeben, dass entweder x — a und y — b in Potenzreihen einer unabhängigen Variablen t entwickelt werden, welche für t — 0 verschwinden, oder y durch eine nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von x — a fortschreitende Reihe dargestellt wird. Diese wollen wir, wie schon vorher, mit

y — g(x\ab)

bezeichnen. Ist hierbei für die Stelle (ab) a — oo, so ist x—a durch ^ zu ersetzen, und Entsprechendes gilt für y, wenn b unendlich gross wird (S. 54).

Denken wir uns die Werthe von x durch Punkte der complexen Zahlenebene dargestellt, so sagen wir, der Punkt ax liegt in der Umgebung des Punktes a, wenn er näher an a liegt, als jeder singuläre Punkt x

(S. 231).

Es sei nun das Element §(%y\a₀b₀) gegeben, und es werde in der Um

gebung des Punktes «₀, von dem wir annehmen, dass er nicht singulär ist, ein Punkt al fixirt, so hat y — g(% |    x — ai einen bestimmten Werth

&i = g(al\a₀bQ)>

30*

Dann können wir durch analytische Fortsetzung aus y = g(x\a₀b₀) die Reihe

y = g{x\aM

herleiten, welche das Element §{xy\albi) bestimmt. Der nicht singuläre Punkt a₂ liege wieder in der Umgebung des Punktes so liefert y=g{x\ab^) für x = ao einen Werth

b₂ = gMaM.

Aus g(x\a₁b₁) ergiebt sich daher durch analytische Fortsetzung die Reihe

y = yip \<*M,

ge-

welche das Element §{%y\a₂b₂) darstellt. In dieser Weise fortfahrend langen wir zu einer Folge von nicht singulären Punkten    von

denen jeder in der Umgebung des vorhergehenden und der erste at in der von a₀ liegt und für welche die zugehörigen Werthe b1} b₂, b₃, ... von y eindeutig bestimmt sind. Mit Hülfe dieser Punkte lassen sich aus dem gegebenen Element g(xy \ a₀b₀) die Elemente g (xy | at bj, g(xy | a₂b₂), ... ableiten, von denen jedes mit dem vorhergehenden congruirt.

Werden zwei nicht singuläre Werthe a₀ und a willkürlich angenommen, so ist es auf mannigfache Weise möglich, durch Einschaltung einer endlichen Anzahl nicht singulärer Punkte a₂, ... ay einen Übergang von a₀ nach a der Art herzustellen, dass jeder Punkt der Folge a , a , a , a in der Umgebung des vorhergehenden liegt. Befindet sich z. B. in der geradlinigen Strecke (a₀ ... a) kein singulärer Punkt, so können alle einzuschaltenden Punkte auf dieser Strecke angenommen werden, nur muss der Abstand je zweier benachbarter Punkte kleiner sein, als der kleinste Abstand eines singulären Punktes von dieser Strecke. Nach Fixirung dieser Punkte «₀,    «₂, ... a

und nach Festsetzung des zu aQ zugehörigen Werthes b₀ von y und des Elements Q(xy\a₀b₀) ist nach dem Vorhergehenden auch die Reihe der Elemente

qixyl^b,), §(xy\a₂\), ... g(xy\a%b%), q(xy\ab)

unzweideutig bestimmt, und zwar ist für die Wahl der Werthe bt1 è₂, ... by, b unter den zu jedem Argumente ax1 a₂, ... ay, a gehörigen Functionswerthen keine Freiheit mehr vorhanden. Es soll nun aber gezeigt werden, dass diese Zwischenpunkte a^a₂,...a^ sich stets so wählen lassen, dass der Werth b von «/, welchen man aus dem letzten Element §(xy\ab) für x = a erhält, unter den zu Folge der Gleichung f(%, y) = 0 zu a gehörigen Werthen y willkürlich bestimmt werden kann, wie auch der Werth b₀ fixirt sei. Der Beweis hierfür möge algebraisch geführt werden.

Wir transformiren zunächst die Gleichung f(x,y)= 0 rational so, dass das neue Gebilde nur ein unendlich fernes Element besitzt (S. 218). Ist dann die Gleichung cp(g,7]) = 0 des transformirten Gebildes in Bezug auf g und 7] vom yten und vien Grade, so ergeben sich für alle Werthe von g, welche dem absoluten Betrage nach hinreichend gross sind, die v Werthe von r\ aus einer einzigen Reihe der Form oder aus dem einen Functionenpaar

l = r’, 7), = r'-ji + ^ool-

Nun sei a₀ ein beliebiger, im Endlichen gelegener, nicht singulärer

, und es habe so soll nachgewiesen werden, dass alle

(V—1)

Punkt innerhalb des Convergenzbereiches der Reihe *ß(g 7] für ihn die v Werthe bQ, b'₀, ... 6" v Elemente

9(1*3 l«<A)>    ••• 8(f)ikç ”)

mit dem unendlich fernen Element congruiren. Es sei nämlich a₀ = t~\ und es bezeichne £ eine primitive vte Wurzel der Einheit, so sind £₀, e£₀, ... £v~¹t0 die v Werthe von t, welche sich für g = a₀ ergeben. Dann kann gesetzt werden

Für die Umgebung der Stelle (a₀b₀) führen wir durch die Gleichung

t = t₀+T

t als neue Variable ein, so stellt das Functionenpaar

tz = (4+t)

=    +    = «0 + T^ü(T)> *Ît = (*.+ *) Mj¹ + (^0+T)^(4+T)i = ^(T)

das Element mit dem Mittelpunkte (a₀b₀) dar. Da t^3o(t) mit der ersten Potenz von t beginnt, so können wir t aus der Gleichung |T = a₀ + t (x) nach Potenzen von fj — a₀ entwickeln und diese Entwickelung in die zweite Reihe einsetzen, wodurch sich

ri = K + (Ź-ao)^(Ź-ao)

ergeben möge. Auch in dieser Form lässt sich das aus dem unendlich fernen abgeleitete Element

9(£?]K&o)

darstellen.

Ebenso können wir aus jenem auch das Element für die Umgebung der Stelle {a b') finden. Durch die Substitution

t = £(?₀ + t)

folgt nämlich aus dem Functionenpaar, welches das unendlich ferne Element darstellt,

It = «o + T^o(T)

oder nach Elimination von x

*î = ^+(i-a₀)?ß(6-a₀).

In gleicher Weise kann jedes

Diese Reihe liefert das Element q(|y] |a₀&'). der v Elemente

9(É*îlaA)> 9(1^1 a₀b’Q), ... g    1})

direct aus dem unendlich fernen Element hergeleitet werden.

Nun lässt sich zeigen, dass die zu einem beliebigen Argumente a, welches nicht im Convergenzbereich des unendlich fernen Elements zu liegen braucht und auch singulär sein kann, gehörenden Elemente

g(|7j|a&), g(£yj|a&'), . ..

sämmtlich unmittelbar oder durch Vermittelung anderer mit dem unendlich fernen Element congruiren. In der Ebene der complexen Grösse | denken wir uns um den Nullpunkt als Mittelpunkt einen Kreis construirt, der in seinem Inneren alle im Endlichen gelegenen singulären Punkte § enthält, sodass für alle ausserhalb und auf der Peripherie dieses Kreises gelegenen

Punkte i die das unendlich ferne Element darstellende Reihe convergirt. Es sei a₀ irgend ein Punkt auf der Peripherie dieses Kreises, und es seien bo1 ... bl*~u die v verschiedenen, zu | = a₀ gehörenden Werthe von 7j. Da ao der Umgebung des Punktes g = oo angehört, so lassen sich nach dem Vorhergehenden alle v Elemente

9(l?îK⁵ô)> ••• 9(i>3\%K v)

aus dem unendlich fernen Element ableiten.

Ist a ein beliebiger, zunächst nicht singulärer Punkt im Inneren des Kreises um den Nullpunkt, so können wir durch Vermittelung einer Reihe nicht singulärer Punkte a^a^...ay von a₀ nach a in der Art übergehen, dass jeder Punkt in der Umgebung des ihm vorangehenden liegt. Dann lassen sich aus die v Elemente

öd^lK&J,    ... g(jjTj.|atb^ ”)

herleiten, wenn

bt = g(at I a₀b₀), b[ = g(ai\a₀h'₀), ... ft?"“ = g(at\a₀b™)

gesetzt wird. Dabei sind nicht zwei der Werthepaare (a^), (ax&'), ... identisch, da a₁ kein singulärer Punkt ist. Sodann leiten wir die Elemente

fld^J9(i>31aX'")

ab, wobei b₂, 6',... entsprechende Bedeutung haben, wie vorher 61?    ...

u. s. f. ; schliesslich gehen aus

ödll«*⁶*)»    ••• 9d^l«x&x ”)

die v Elemente

sd⁷)!ah)

9 d>I |«&')>    ... 9(|tq \a¥v °)

hervor. Hierbei sind, der Annahme über a entsprechend, die v Stellen (ab)y (,ab'), ... (ab(r~v) sämmtlich von einander verschieden.

Damit ist bewiesen, dass sich aus dem unendlich fernen Elemente des Gebildes <p(£, yj) == 0 alle zu einem beliebigen, nicht singulären Werthe £ = a gehörenden Elemente ableiten lassen. Wenn man daher für £ = a den zugehörigen Werth 7] = b beliebig fixirt, so kann man von dem unendlich fernen Element zu g(£7j|u6) gelangen, indem man eine endliche Anzahl Elemente einschaltet, von denen jedes mit dem vorhergehenden congrüirt.

zu

Ferner sei a ein singulärer Werth des Arguments £, und ein bestimmtes, diesem gehörendes Element g(£vj | a6) werde durch das Functionenpaar

ït = cc + ta, i\t — b + £$(0

dargejstellt. Dem Werthe t = t₀ entspreche £ = a₀, wo u₀ irgend ein nicht singulärer Punkt in der Umgebung von a sei. Dann können durch die Substitutionen

t = t₀ + x, t — e(t₀+ t),    ... t = e? l(t₀ + x),

in denen £ eine primitive ate Wurzel der Einheit bedeutet, a verschiedene Elemente mit den Mittelpunkten (a₀ö₀), (aob'o), ... (aob^~v) aus g(£7]|u6) hergeleitet werden, in derselben Weise, wie oben die v Elemente

9(^K⁶o)> 0(1*1    ••• 0(i*ll«o&?“¹⁾)

aus dem unendlich fernen Element. Das Element g(£y]| ab) geht demnach auch aus dem unendlich fernen hervor, da es mit g(£yj| a₀b₀) und dieses mit dem unendlich fernen Element congrüirt.

Hieraus ergiebt sich, dass alle Elemente eines algebraischen Gebildes, welches im Unendlichen die vorausgesetzte Beschaffenheit hat, unmittelbar oder durch Vermittelung anderer mit dem unendlich fernen Element con-gruiren. Denkt man sich nun irgend zwei Elemente des Gebildes in dieser Weise mit dem unendlich fernen Element in Zusammenhang gebracht, so sieht man unmittelbar, dass sie auch aus einander abgeleitet werden können.

Wir wollen uns nun von der Annahme, die wir bei diesen Erörterungen gemacht hatten, dass das algebraische Gebilde nur ein einziges unendlich fernes Element besitzt, wieder befreien. Ist f{x,y) = 0 eine beliebige irréductible algebraische Gleichung, so transformiren wir sie mittels zweier rationaler Functionen

irtc

des Paares (xy), welche nur an einer Stelle (ab) unendlich gross werden, der Art, dass das transformirte Gebilde cp(|,7j) = 0 nur ein unendlich fernes Element besitzt (S. 218). Dieses Gebilde hat demnach die Eigenschaft, dass jedes seiner Elemente mit dem unendlich fernen durch Vermittelung einer endlichen Anzahl Elemente congruirt. Da auch umgekehrt x und y rationale Functionen von I und 7] sind (S. 217), so entsprechen einander die Elemente der Gebilde cp(|,7]) = 0 und f(x,y) = 0; es congruiren daher alle Elemente des letzteren Gebildes direct oder durch Vermittelung anderer mit dem Element §(xy\ab), welches dem unendlich fernen Element des Gebildes <p(g, tj) = 0 entspricht. Mithin ergiebt sich auch für das Gebilde f(x,y) — 0 jedes Element aus jedem anderen durch Einschaltung einer endlichen Anzahl vermittelnder Elemente.

Aus diesem Grunde nennen wir ein irréductibles algebraisches Gebilde monogen. Das Gebilde würde nicht mehr monogen sein, wenn die dasselbe definirende algebraische Gleichung reductibel wäre.

(n—1)

sind bjb\ ... b ganz in dem Gültigkeitsbereich jedes der Elemente

Durch eine endliche Anzahl von Elementen kann jedes irréductible algebraische Gebilde vollständig dargestellt werden, d. h. es lässt sich eine endliche Anzahl von Elementen finden, deren Gesammtheit alle Stellen des Gebildes, wenn auch nicht jede nur einmal, liefert. Es seien nämlich «₂, ... die im Endlichen gelegenen singulären Punkte, so denken wir uns in der Ebene der complexen Grösse x ein Quadrat mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt constraint, welches einen ihm concentrischen Kreis umschliesst, der alle diese singulären Punkte in seinem Innern enthält. Das Quadrat theilen wir durch zwei Systeme von geraden Linien, welche seinen Seiten parallel sind, in eine beliebige Anzahl Rechtecke der Art, dass erstens jeder singuläre Punkt der Mittelpunkt eines Rechtecks ist, und zweitens die halbe Diagonale eines jeden Rechtecks kleiner ist als der Abstand seines Mittelpunktes von dem nächsten singulären Punkt. Da die Anzahl der singulären Punkte endlich ist, so lassen sich diese Bedingungen durch eine endliche Anzahl von Parallelen erfüllen, die Anzahl der Rechtecke ist daher ebenfalls endlich. Ist der Mittelpunkt a eines Rechtecks kein singulärer Punkt, und die n zugehörigen Werthe von y, so liegt dieses Rechteck

Q(xy\ab), g(xy\aV), ... g(xy\ab{n 1}).

Das Gleiche gilt auch, wenn das Rechteck einen der singulären Punkte ax zum Mittelpunkt hat, nur kann die Anzahl der zur Darstellung der Umgebung der Stellen {albx)₎ (axb[), ... erforderlichen Elemente jetzt kleiner als n sein. Die Gesammtheit der Werthsysteme (xy), für welche der Werth x durch einen Punkt innerhalb des Quadrats dargestellt wird, ergiebt sich also aus einer endlichen Anzahl von Elementen. Der Gültigkeitsbereich derjenigen Elemente aber, deren Mittelpunkt eine unendlich ferne Stelle der Form (co, b) oder (00,00) ist, umfasst den gesammten Bereich ausserhalb des Quadrats; alle Werthepaare (xy), für welche x ein Punkt dieses Bereichs ist, werden also durch n oder eine geringere Anzahl von Elementen geliefert. Hiermit ist der Satz bewiesen.

lassen sich — ent-

Wenn die Gleichung f(x} y) — 0 in Bezug auf y vom Grade ist, so gehören zu jedem Werthe von x n Werthe der algebraischen Function y, von denen nur für eine endliche Anzahl singulärer Werthe g ₁, g₂.. des Arguments x zwei oder mehrere Werthe von y einander gleich sein können (S. 42). Ist a irgend ein nicht singulärer W^erth, so lassen sich für alle Argumente, welche der Umgebung von a angehören, die zugehörigen Werthe y durch n verschiedene, nach ganzen Potenzen von x — a fortschreitende Reihen darstellen, und zwar können negative Potenzen nur für eine endliche Anzahl Werthe a und niemals in unendlicher Anzahl auftreten (S. 42). Liegt aber x in der Umgebung eines singulären Werthes g, so zerfallen die zugehörigen n Werthe von y in Gruppen. Die zu der nämlichen Gruppe gehörigen Werthe lassen sich nach Potenzen einer und derselben Wurzel von x — g entwickeln, wobei wieder niemals eine unendliche Anzahl negativer Potenzen auftritt. Indem man der Wurzelgrösse ihre verschiedenen Werthe beilegt, erhält man die zu einer Gruppe gehörigen Werthe von y. Die Entwickelungen der verschiedenen Gruppen angehörigen Werthe können dagegen nach verschiedenen Wurzeln von x—g fortschreiten (S. 44). Wenn ferner der absolute Betrag von x hinreichend gross ist, so die Werthe von y nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von wickeln; negative Potenzen treten auch hierbei höchstens in endlicher Anzahl auf (S. 45).

Es soll nun gezeigt werden, dass auch umgekehrt diese Eigenschaften für eine algebraische Function hinreichend sind.

Zum Beweise möge ein Satz meiner Abhandlung »Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen«*) benutzt werden: »Wenn eine eindeutige Function von æ gegeben ist, für die es im Gebiete dieser Grösse nur aus ser-wesentlich singuläre Stellen giebt, so ist sie eine rationale Function von &«• Nach der in jener Abhandlung aufgestellten Definition der ausserwesent-lich singulären Stellen können wir auch sagen: Wenn sich eine eindeutige Function von x in der Umgebung jedes im Endlichen gelegenen Arguments a nach ganzen Potenzen von x — a der Art entwickeln lässt, dass nur für eine endliche Anzahl Argumente a negative Potenzen und stets nur in endlicher Anzahl auftreten, und wenn sie in der Umgebung des Werthes x — co durch eine nach ganzzahligen Potenzen von ~ fortschreitende Reihe dargestellt werden kann, die höchstens eine endliche Anzahl negativer Potenzen enthält, so ist sie eine rationale Function von x.

Ist jetzt y eine Function von x, welche die vorher für eine algebraische Function zusammengestellten Eigenschaften besitzt, so mögen die n Werthe, welche zu einem Werthe von x gehören, mit y, y, ... y bezeichnet werden. Dann ist jede Potenzsumme

/ ¹    / ² vw    (n \\

— (y ) + [y ) h— + [y )

eine eindeutige Function. Ist a

den vorausgesetzten Eigenschaften unmittelbar, dass sich nach ganzen Potenzen von x — a entwickeln lässt und dass nur eine endliche Anzahl Stellen a vorhanden ist, für welche negative Potenzen, immer jedoch nur in endlicher Anzahl, auftreten. Hat x einen singulären Werth g, so bestehen Entwickelungen der Form:

kein singulärer Werth des Arguments x, so

folgt

aus

5C + 1

y = _c₁(x-g)a +c₂(x-g) a

-/+i

{if= c'i(x-gY +ź(x-g) s

wo x und x' Null oder ganze positive oder negative Zahlen sind. Indem wir

er-

auf der rechten Seite der Wurzelgrösse (x — g)* ihre o Werthe ertheilen

*) Vgl. die Einleitung der Abhandlung; Bd. II, S. 79—81 dieser Ausgabe.

Bl*

halten wir die a mit y zu derselben Gruppe gehörigen Werthe von y\ sie seien y, y, ... y. Dann folgt, wenn £ eine primitive ate Wurzel der Einheit ist,

ć'(l + £*+ £

+ c'fl + £

27/

+ ••• + £

(a —l) ■/

•/+!

+ ••• + £

(ö-l) (•/+!)

mithin fallen in dieser Entwickelung alle Potenzen von x — g weg, für welche der Zähler des Exponenten nicht durch a theilbar ist. In der Reihe treten daher lauter ganzzahlige, und zwar keine oder nur eine endliche Anzahl negativer Potenzen auf. Entsprechendes gilt für die übrigen Gruppen, in welche die Werthe ?/, ?/, ... y für das singuläre Argument g zerfallen. Demnach kommen auch in der für die Umgebung eines singulären Punktes g gültigen Entwickelung von s nur ganzzahlige Potenzen von x—g mit höchstens einer endlichen Anzahl negativer Exponenten vor; und das Gleiche gilt für die Entwickelung von s nach Potenzen von ^ bei hinreichend grossen Werthen von \x\. Nach dem vorangeschickten Hiilfssatz werden daher die Potenzsummen s₂, ... sn rationale Functionen von x, mithin sind y,y, ... y Wurzeln einer algebraischen Gleichung nt6a Grades, deren Coefficienten sich rational durch x ausdriicken lassen; y ist also eine algebraische Function von x. Die vorher aufgestellten Eigenschaften sind demnach für eine solche Function nicht nur nothwendig, sondern auch hinreichend.

Mit jeder Stelle (xy) eines algebraischen Gebildes f{x, y) — 0 hänge nun eindeutig eine Grösse z der Art zusammen, dass wenn das Functionenpaar x = cp(£), y = d>(£) irgend ein Element des Gebildes darstellt, auch z sich nach ganzen Potenzen von t entwickeln lässt, wTobei nur für eine endliche Anzahl einander nicht äquivalenter Elemente negative Potenzen von t und zwar stets nur in endlicher Anzahl auftreten sollen. Dann ist, wie gezeigt Werden wird, z eine rationale Function des Paares {xy).

Es seien wieder y, y, ... y die Werthe der algebraischen Function y, welche zu Folge der Gleichung f(x,y) = 0 zu einem Werthe von x gehören. Der Voraussetzung nach entspricht dann jedem Werthepaar {xy) ein einziger Werth von z, der mit I bezeichnet werden möge. Setzen wir nun unter An-

DIE CHARAKTERISTISCHEN EIGENSCHAFTEN DER ALGEBRAISCHEN FUNCTIONEN. 245 Wendung der La gran g eschen Interpolationsformel

*G(y) '

wobei

\G(y) = (y-y)(y-y)... (y-y\

von

sein soll, so ist z der Reihe nach mit den Werthen J, J, ... z identisch, wenn für die Variable y die Werthe y, y, ... y der algebraischen Function x gesetzt werden. Die Summe auf der rechten Seite ist eine ganze rationale Function (n — l)ten Grades von y, also hat z die Form:

* = R₀+-Rx^ + -'- + ^-i2/W'¹-

.. Rn i sind symmetrische Functionen von $, y, ... y\

Die Coefficienten jR₀, JR da bei einer Vertauschung von y und y auch z und I in einander übergehen.

i’ •

Sie sind demnach eindeutige Functionen von x, und zwar wollen wir jetzt beweisen, dass sie rational in Bezug auf x sind. Das Element mit dem im

X

Endlichen gelegenen Mittelpunkt (ab) werde durch das Functionenpaar

xt — a + a^ + a₂ tl+1 + • • •, yt = b + b₁F + b₂tu+1 + --‘

y.

dargestellt, wobei für eine nicht singuläre Stelle (ab) wenigstens eine der beiden Zahlen A oder p gleich 1 ist. Der Annahme nach besteht dann auch für I eine Entwickelung:

z = c₁tv+ c₂tv+1 +

Die erste der drei Reihen liefert zu einem Werthe von x in der Umgebung A Werthe t: setzen wir diese successive in die zweite und dritte

von a

erhalten wir A der Werthe    nnd ebenso viele zuge-

Reihe ein, so

hörige Werthe J, I, ... z. Es gehört also in der That zu jeder Stelle (xy) ein Werth z. Wird nun t durch x—a ausgedrückt und die so erhaltene Entwickelung in die beiden letzten Reihen eingeführt, so folgt

,U+1

y    y_    J±

ÿ — b + b[(x — a)x +b₂(x — a)

V+l

V

c'₁(x — a)x + c₂(x — a) ¹ +••••

Indem wir hierin der Wurzelgrösse (x — d)¹ ihre A verschiedenen Werthe geben, erhalten wir Reihen, welche die zu einer Gruppe gehörigen Werthe y und z darstellen. Ebenso ergeben sich aus den anderen Elementen (xtyt), bei welchen für t = 0 xt — a wird, für die übrigen Werthe y, y, ... y und J, i, ... I Reihen, die nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von x — a fortschreiten. Ähnliches gilt für die unendlich fernen Elemente, diese Entwickelungen in die Coefficienten Rq, ... jß ein, so besitzen sie die sämmtlichen vorher aufgestellten charakteristischen Eigenschaften einer algebraischen Function von #, und da sie eindeutig in Bezug auf x sein müssen, so sind sie rationale Functionen.

Führen wir

Unter den angegebenen Bedingungen lässt sich also z auf die Form:

³ — B₀(x) + R₁(x) y -----h Rn_t(x) yn~l

bringen

aber z in I für y — y übergeht, so ist J eine rationale Function des durch die Gleichung f(x,y) — 0 verbundenen Paares (xy).

Damit haben wir die algebraische Grundlage der Theorie der Abelschen Transcendenten zu Ende geführt und gehen nun zur Untersuchung der Abelschen Integrale über.

wo

rationale Functionen von x sind.

Da

ZWEITER ABSCHNITT.

DIE ABELSCHEN INTEGRALE.

ï

r

\

/

■ s

. JLY-;    Al. KH tïtfJMî

, lijl t V

V

t

-

Elftes Kapitel.

Einleitung in die Theorie der Abelschen Integrale.

Schon zu Anfang dieser Vorlesungen (S. 2 und 3) sind die Abelschen Integrale vorläufig erklärt und einige ihrer Haupteigenschaften angegeben worden; jetzt handelt es sich darum, die dort angedeuteten Betrachtungen weiter auszuführen. Wie bisher, legen wir unseren Untersuchungen ein durch die irréductible Gleichung f{x, y) — 0 definirtes algebraisches Gebilde zu Grunde und bezeichnen mit F(xy) eine beliebige rationale Function des Paares (xy). Das Integral

>.    fF(ocy) dx

soll als ein zu dem algebraischen Gebilde f{xy y) = 0 gehörendes Abelsches Integral bezeichnet werden.

Um festzustellen, was unter einer solchen Integralfunction verstanden werden soll, gehen wir von irgend einem, durch das Functionenpaar (xtyt) dargestellten Elemente des Gebildes aus. Ist dann

F(xtyt)dxt = g(t) dt,

und nehmen wir zunächst an, dass g(t) entweder nur positive Potenzen enthalte, oder auch negative, unter denen aber die (—l)te fehlt, so können wir aus der Potenzreihe g(t) durch Integration eine Potenzreihe h(t) herleiten, die also der Gleichung

g(t)dt = dh{t)

genügt. Sind ferner t₀ und tx zwei Werthe, die dem Gültigkeitsbereich der Reihe g(t) angehören, so definiren wir einen Werth des Integrals durch

32

Abelsche Functionen.

f'F{xty,)^dt

*0

Jedem Werthe von t entspricht ein bestimmtes Werthepaar (xy), und umgekehrt gehört zu jedem Werthepaare (xy) ein bestimmter Werth von tj die Grösse t konnte als rationale Function von x und y angenommen werden (S. 14). Liefert nun das Functionenpaar (xtyt) für t = tQ und t = t die beiden Stellen (xoy₀) und fayj, so bezeichnen wir den eben definirten Werth des Integrals

mit /•(*12/a)

F (xy) dx.

J(xoy₀)

Wollte man in die Bezeichnung der Grenzen nur die Werthe x₀ und x aufnehmen, also das Integral gleich

r%i

I F(xy)dx

^x₀

setzen, so würde nicht bestimmt sein, welcher der n Werthe von y jeder der beiden Grenzen zugeordnet werden soll.

Enthält die Potenzreihe g(t) auch ein Glied mit £“*, so möge

giß) = ct~¹+g₁ (t),

also

h (ii) = c log t + \ (t)

sein. Der Coefficient c behält dabei denselben Werth, wenn man das betrachtete Element durch irgend ein ihm äquivalentes ersetzt (S. 91). Liegen die beiden Werthe t₀ und tt wieder innerhalb des Gültigkeitsbereichs der Reihe g(t), und entsprechen ihnen die Paare (x₀y₀) und (x₁yl)y so definiren wir in diesem Falle:

(®i Vi )

die Formel

F(xy)dx —

(XoVo)

Die so erklärte Integralfunction hängt jetzt nicht mehr eindeutig von den Grenzen (x₀y₀) und (xtyr) ab; aber man erhält alle ihre Werthe aus einem von ihnen durch Addition oder Subtraction eines ganzzahligen Vielfachen von

2c%i.

Gehören die von den Grenzen des Integrals

F(xy) dx

(*i Vi)

OV2/o)

g{t)

an

abhängigen Grössen t₀ und nicht gleichzeitig dem Gültigkeitsbereich der Reihe oder werden die Grenzen von vornherein nicht in demselben Eie-

mente angenommen, so kann man nach dem im vorigen Kapitel (S. 235 u. f.) auseinandergesetzten Verfahren zwischen (%₀y₀) und (xiyi) eine endliche Anzahl von Stellen

(x'y’), (x'Y), ... WO

so einschalten, dass je zwei benachbarte in demselben Elemente liegen und die Integrale

/■(« iS/i)

. . . I F(xy)dx

ym)

F(xy)dx

rix'y')    rW)

I F(xy)dx, I

Ąx₀y₀)    \oc'y')

nach dem Vorhergehenden sämmtlich eine Bedeutung haben. Wir definiren dann

/•(* 12/1)    r(.x'y')    r

I F (xy) dx = I F(xy) dx + I

J(x₀ 2/o)    J(xoVo)    J(x'y')

{x"y")

F(xy) dx H-----f J

y i)

F(xy) dx.

(x(r) y <-r))

Die Integralfunction auf der linken Seite braucht jetzt selbst dann nicht mehr eindeutig durch die Grenzen (%₀y₀) und    bestimmt zu sein, wenn

kein logarithmisches Glied vorkommt, sondern ihr Werth kann noch von dem Integrationswege, d. h. von der Gesammtheit der zwischen (x₀y₀) und (x y ) eingeschalteten Stellen, abhängen. Die Ermittelung der Art dieser Abhängigkeit wird den Gegenstand späterer Untersuchungen bilden, deren Ergebniss schon in der Einleitung (S. 4) vorläufig angegeben worden ist.

Zunächst aber soll eine wichtige Formel abgeleitet werden, die beim Beweise des a. a. O. ebenfalls bereits eiwähnten Satzes über die Darstellbarkeit jedes Abelschen Integrals durch Integrale dreier verschiedener Arten Verwendung finden wird. Sie folgt aus der Theorie der H- Functionen in Ver-

32*

Stellt (xtyt) das Element dar, dessen Mittelpunkt die Stelle (aaba) ist, haben wir früher (S. 79) gesetzt

so

bindung mit dem im ersten Abschnitt oft benutzten Satze (S. 95)

= 0.

Jt~¹

H(xtyt,xY) = H(xy)ar' + ±HM(xy)J\

V = 0

Wir wollen jetzt

H(xtyvxy) = t~lH(xy)a + H(xy)a-t H'(xy)a + •••

die Stelle von Ha)(xy)u setzen. Unter (xy) wird

schreiben, also — H\xy\ dabei irgend ein von den Paaren (aaba) verschiedenes Werthepaar verstanden.

an

Die Functionen

H\xy)

cc ?

(« = 1, 2,... q)

welche als die negativ genommenen Coefficienten der ersten Potenz von t

in der Entwickelung von H{xtyt,xy) erklärt sind, werden im Folgenden eine

wichtige Polle spielen. Die Eigenschaften der Functionen H{xy)a kennen

⁰

wir bereits aus dem ersten Abschnitt, während die Functionen H(xy)a für das Folgende nicht von Wichtigkeit sind.

Bedeuten nun (xxyi) und (x^y^) irgend zwei von einander und von den Stellen (aaba) verschiedene Werthepaare, für welche f(x,y)₂ nicht verschwindet, so setzen wir in der Gleichung

Ji⁻¹

F(xy) = H{xy,x₂y,)--^E{xy,x₁yl)

wo bei der Bildung von

^H(xy,xtyi)

Es ergiebt sich dann

y als Function von x zu betrachten ist.

2 E{xtyt,xiyi)~H{xtyt,x₁yl)

die Summe erstreckt über alle Elemente {xt yj, für die ein Glied mit t'1 überhaupt vorkommt, was nur für diejenigen eintreten kann, deren Mittelpunkt mit einer der Stellen    (#₂y₂), (^A)> • • * (aQbQ) identisch ist. Es

sei nun zunächst

so wird (S. 78)

xt — xt + t, Vt =

H(xtyt)xxy,) = -t ‘ + $(0,

■ -H(xiyt, x₁y₁) =

dxx

H(xtyt,x₂y₂) = H(x₁y₁, x₂y₂) + t Hfay,, x₂y₂) +-■■ -

Der erste Coefficient von t \ der bei der Bildung der Summe in Betracht kommt, ist hiernach

-^H(x₁y₁,x₂y₂).

Setzt man weiter

xt — x₂ + t,

Vt = & + *?(*)

so folgt

H(xtyt,xi«/i) = E(x₂ty₂,x₁y₁) + t-^ E{x₂y₂,x₁y₁) + ---

ct    cl/

E{pctyi, x₁y₁) — ^ E(x₂y2X x₁yl') + •••,

H(xłył,x₂y₃) = -r¹+ $(£),

und ein zweiter Coefficient von t~l wird mithin

ïï(x₂y₂i x₁y₁).

Endlich sind noch die Eunctionenpaare (xtyt) zu berücksichtigen. Aus E(xtyitxxyt) = t~¹E{x₁y₁)aĄ- E{pc₁yx)a-tH,{x₁ yx)« + •••

folgt durch Differentiation

~H(xtyi,x₁yl) =    ² E(x₁y₁)a-E(xty₁)a + *$(*)•

Multiplicirt man diese Gleichung mit

H(xtyt, x₂y₂) = t-¹ H(xayt)a + H(xayt)a-tH'(xaya)a + •••

.. Q

und sucht wiederum den Coefficienten von t~l auf, setzt dann a — 1,2,. und führt sämmtliche Ergebnisse in die Formel auf S. 253 ein, so erhält man

d    d    e

-5—- H(Xi Vi, x₂ y^)    7 H(x₂ y a, xt y^)    2 \ H(x₂ y₂)a H (x₁ y^)a H(x₁y₁jaH (x₂ya)a |

a — 1

oder wenn man (xy) für (xi yj und (x'y') für (x₂ y₂) schreibt,

~E(xy,x’y')-^H(x’y',xy) = ^\H(xy')aH'(xy)a-H(xy),H\x'y\\-

Von dieser Formel, die hier als einfaches Corollar der für die jET-Functionen aufgestellten Fundamentalformeln erscheint, werden wir oft Gebrauch machen. Ihre ursprüngliche Herleitung auf dem Wege der Rechnung für den Fall eines hyperelliptischen Gebildes hat mir viel Mühe gekostet.

Ihr Beweis ist zunächst nur unter der Voraussetzung geführt worden, dass f(x, y)₂ und f{x\ y\ nicht verschwinden. Da aber für alle nicht ausgeschlossenen 'Werthepaare die Gleichung eine Identität ist, so muss sie bestehen bleiben, so lange beide Seiten einen Sinn behalten.

Für die späteren Untersuchungen sind einige Eigenschaften der neu eingeführten Functionen

H\xy)a

(a = 1,2,... q)

von Wichtigkeit, die aus den für die Entwickelung der Function H(xy, x'y') geltenden Grundformeln (III) und (IV) (S. 85) folgen. Wir nehmen zuerst die Formel (IV, 1) vor:

a a aa /Jx

H{xtyt,xTyT)-^-

entwickeln links nach steigenden Potenzen von t und ziehen die Gleichung hinzu, durch die H'(xy)a definirt wird (S. 252), so erhalten wir

~tH\xzyT)„^

also durch Vergleichung des Coefficienten von t¹ auf beiden Seiten

= TO)

oder

a

dxr

H [x~ yz)a

Über die in dieser Formel auftretende Potenzreihe von x kann man noch Genaueres aussagen, wenn man in der Gleichung (IV, l), von der ausgegangen wurde, x = 0 setzt. Mit Hülfe der Relationen (S. 82 und 83)

H(xy, aaba)

ergiebt sich aus der Gleichung (B.) (S. 79), dass

— t~²+ $(t).

(f^O)

H(xtyt,xT^)^-

ist. Mithin muss

r’fircxjA-^

+ TO,o) = r>,

also

WO) = 0

sein. Es kann daher

WT) = TWT)

gesetzt werden, woraus sich mittels der vorhergehenden Betrachtungen

— t ² + T$(t)

ergiebt. Die Vergleichung der Coefficienten von t ¹ in der eben abgeleiteten Gleichung würde wieder die früher (S. 107) gefundenen Relationen

H(xxyx)a^

liefern, die auch in der Form

d~ '

(a = 1, 2,... p)

geschrieben werden können.

In der Formel (IV, 2) (S. 85)

= t-'H(ixyx)a^ + W, t)

kann *ß(£, t) = x^ßj(£, x) gesetzt werden, wie sich durch Wiederholung der eben angestellten Erörterungen ergiebt. Dann liefert die Entwickelung beider Seiten nach steigenden Potenzen von t also

2'(.kk)«4r = TW

Endlich lautete die Formel (III, 2) (S. 85):

H{xtyt,xxyx)^- = r'H(xxyx)a^ + %(<, t).

Hieraus ergiebt sich

^ H(xxyz)a

mithin

(«= 1, 2,...p).

Das Functionenpaar (iTyT), welches die Umgebung der Nullstelle (æ₀ô₀) der Function H(xy,x'y') darstellt und in den Formeln (V) (S. 85) auftritt, braucht nicht besonders berücksichtigt zu werden. Bezeichnete nämlich H(xy,x'y') eine U-Function, die mit einer von (a₀b₀) verschiedenen Nullstelle gebildet ist, so war (S. 83)

H{x'y',xy) = H(x'y', xy)-H(a₀b₀, xy).

Setzt man nun (xtyt) für (x'y') und entwickelt, so sieht man, dass alle in Betracht kommenden Potenzen von t aus H{xy\ xy) hervorgehen. Die aus der Function H(x'y\ xy) entspringenden Functionen H(xy)a und H'(xy)a sind daher mit den aus H{x'y\xy) entstehenden identisch, d. h. von der Stelle (a₀b₀) unabhängig, sodass die letzte der drei für die Functionen H(xy)a aufgestellten Formeln auch für (%xyx) == {%xyx) gilt.

Die Eigenschaften der q Functionen H'(xy)a ergeben sich demnach vollständig aus dem folgenden Gleichungssystem:

(I)

(l) H(xxyT)a

(2) H'(xxyx)a

(3) H\xxyx)a

Sj*-» S'!» S-Il⁴

= $(t)

— T ² + T (t)

= T^(t)

(a^ß)

während für die q Functionen H{xy)a die drei Gleichungen (S. 86 und 107)

(1) H(xx yx)a

(II)

(2) H(xxyx)a

[ (3)    = tW

bestehen.

33

Abelsche Functionen.

Zwölftes Kapitel.

Die Integrale erster, zweiter und dritter Art.

Mit Hülfe der im vorigen Kapitel (S. 254) entwickelten Formel lässt sich nun zeigen, dass jedes Abelsche Integral als ein Aggregat von Integralen dreier verschiedener Arten dargestellt werden kann.

Wir définir en die Integrale

jH(xy)a dx

als die q Integrale erster Art. Sie haben die charakteristische Eigenschaft, an keiner Stelle des Gebildes unendlich gross zu werden. Denn wenn man, zunächst unter der Voraussetzung, dass (x₀y₀) und fayj demselben Elemente des algebraischen Gebildes angehören, nach S. 250

r(xi Vi)

V«o2/o)

(cc = 1, 2, ... q)

H(xy)adx —

rh

/ g(t)ät

Jt₀

setzt, so enthält die Potenzreihe g(t), also auch h(t), keine negativen Potenzen. Nimmt man ferner die obere Grenze (xiyt) beliebig an, so ist das Integral der Definition nach eine Summe von Integralen (S. 251), die sämmt-lich endlich bleiben, und wird daher auch selbst an keiner Stelle unendlich gross. Allerdings könnte der Integrationsweg so gewählt werden, dass der absolute Betrag des Integrals jede gegebene Grösse übersteigt; aber für jeden bestimmten Weg hat das Integral einen bestimmten endlichen Werth, welches auch die Grenzen der Integration sein mögen. Dies ist der Sinn des Ausspruches, dass das Integral erster Art an keiner Stelle unendlich gross wird.

Die Integrale

fH'(xy)a dx

sollen als die q Integrale zweiter Art bezeichnet werden. Nach dem

wo

h{t) == log t +«&(*)

ist. Eine Entwickelung derselben Art erhält man, wenn man die beiden Grenzen in der Umgebung von (a₀b₀) annimmt. Das Integral dritter Art

H(x’y', xy)dx

Gleichungssystem (I) (S.257) kommt in der Entwickelung von

eine negative Potenz, und zwar die (— 2)t0, nur dann vor, wenn (xty^ das Eunctionenpaar (xtyt) ist. Liegen die Stellen (xoy₀) und (xi yt) in der Umgebung der Stelle («„&„), so ist

r(xiVd

H'(xy)adx

x<

wo

m = t-'+u ;o

gesetzt ist, und Ä(^) — h(t₀) unendlich gross wird, wenn tx oder t₀ verschwindet. Das Integral zweiter Art

/*Ui vd)

\xo y<> )

wird demnach von der ersten Ordnung unendlich gross, wenn eine seiner Grenzen mit der Stelle («„&„) zusammenfällt, und nur in diesem Falle.

Als Integral dritter Art endlich bezeichnen wir das Integral

jH(x'yr, xy)dx.

Die Entwickelung von H(x'y\xtyt)~ enthält nur dann eine negative Potenz von t, und zwar die (— l)te, wenn der Mittelpunkt des Elements (xtyt) mit der Stellen (x'y') oder (a₀b₀) zusammenfällt (S. 197). Gehören die Stellen (x₀y₀) und (xiyi) beide dem Elemente (xtyt) an, dessen Mittelpunkt die Stelle (x'y') ist, so hat man

H\xy)a dx

einer

Ui yd

H (x'y', xy)dx —

Uo y₀ )

rh

/ (r¹

%

ripiyd

\xoy<>)

wird demnach logarithmisch unendlich gross, wenn eine seiner Grenzen mit einer der Stellen (x'y') oder (aQb₀) zusammenfällt; für alle übrigen Annahmen hat es einen endlichen Werth. Dies gilt auch, wenn die beiden Grenzen nicht demselben Elemente angehören; denn dann ist das Integral eine Summe von Integralen, die einzeln die genannten Eigenschaften haben.

Das Integral jeder rationalen Function F(xy) des Paares (xy) lässt sich nun darstellen als eine Summe von Integralen der eben erklärten drei Arten, vermehrt um einen algebraischen Ausdruck. Zum Beweise gehen wir von der Gleichung aus

dxt

2 F(xtyt)H{xtyt,xy)-jt

die Summe erstreckt über alle Functionenpaare (xty{), für welche Glieder mit der (— l)ten Potenz von t Vorkommen. Mit (x yx), ... (xryr) bezeichnen wir diejenigen Stellen, für deren Umgebung in der Entwickelung von

dxt

negative Potenzen auftreten, und mit (xtyt) das Functionenpaar, welches das Element mit dem Mittelpunkt (xvyr) darstellt. Ausser diesen Functionenpaaren kommen bei der Bildung der Summe noch diejenigen in Betracht, die in derselben Weise zu den Stellen (au bu) und zu der Stelle (xy) gehören.

Setzen wir nun zunächst, unter der Annahme, dass f(x,y)₂ nicht Null ist,

xt — x + t,

Vt = y + t?ß(t),

so wird (S. 66)

dxt~

F(xtyt) H(xtyt,xy)-r

— -F(xy).

Die in Bede stehende Gleichung kann daher geschrieben werden :

F(xy) =

wo der Accent an dem ersten Summenzeichen andeuten soll, dass in diese Summe nur diejenigen Stellen aus der Reihe (x^yj, ... (xryr) aufgenommen

werden, die nicht zugleich in der Reihe    ... (aQb^) Vorkommen. Diese

Formel gieht eine eigenthiimliche, von der im dritten Kapitel hergeleiteten verschiedene Darstellung einer beliebigen rationalen Function des Paares (xy). Um sie vollständig zu entwickeln, setzen wir

wobei nicht ausgeschlossen sein soll, dass noch andere negative Potenzen als die (—l)t0 Vorkommen, dass also l auch negative Werthe annehmen kann.

Ist der Mittelpunkt des Elements (x'ty't) eine von (xy) und    ... (aQbJ

verschiedene Stelle (x₀y₀)₁ so enthält die rechte Seite der Gleichung

= TiH(x₀y₀,xy)tl i

nur positive Potenzen von t. Unter der Voraussetzung, dass (xvyv) nicht unter den Stellen {aaba) enthalten ist, ergiebt sich daher

v

dxt

y y    y y    (1 nr

F{xtyt) B.(xtyuxy)-jt

= c,vH(xvyv, xy)-^ncVt_nH(xvyv, xy)

n

wo

— n der Reihe nach gleich den in der Summe

i

auftretenden negativen Werth en von l zu nehmen ist.

Zur Bestimmung des zweiten Theiles in dem Ausdrucke von F{xy) (S. 2 60) setzen wir, unter der Annahme, dass die Stelle (aaba) in der Reihe fosO, ••• (Wr) nicht vorkommt,

Xt - aa + ^ >

Pt = ba + t$(t).

Dann wird

a

dxd

F(xt yt) H(xt yt,xy)

= F(aaba) H(xy)a.

r¹

Ist dagegen

so hat man zu setzen

H(xtyt,xy) = H(xy)ßt ¹ + '2iH{xßyß) xy) tx

und es folgt dann

OßH(xßyß, xy)-|nc^.„ H(xßyß, xy) + cßtlH(xy)ß;

der Index n durchläuft dabei dieselben Werthe wie vorher. Der zweite Theil lässt sich nun schreiben

2^0«ba) H(xy)a + 2' 1 Cp,! S(xy)ß + cß H(xßyß, xy) -^ncßt_nH(xßyß, xy)

a    ß *    n    •

wenn die erste Summe über diejenigen Zahlen a sich erstreckt, für welche die Stellen (aaba) nicht unter den (xvyv) Vorkommen, und die zweite über diejenigen Zahlen ß, für welche (aßbß) unter den (%vyv) enthalten ist. Setzt man jetzt

FKK) = F(xty,)i°±

(Cf)

Jt0

so haben zu Folge der Gleichung

Jt°

= nk'yù^f

für v = ß die Zeichen c Theil des Ausdrucks von F(xy) die Form annimmt

ß,i

und c(i'⁾ dieselbe Bedeutung, sodass der zweite

2 cwH(xy)a + 2' ! cfi H(xß yß, xy) - 2 «c* _n H{xß yß, xy) J •

cc = l    ß '    It    '

Durch Zusammenziehung beider Theile erhält man

F(xy) =

2 \cvH(xvyv, xy)-^lncVt_riH(xvyv, xy)\ + 2 cmH{xy)a.

r = 1 (    II    ' a = 1

Die Functionen H(xvyv) xy) sind die Coefficienten von t° in der Ent-H{xtyt,xy), also,

(xvyv) nicht mit einer der Stellen

Wickelung

(aabu) zusammenfällt, mit H(xvyv) xy) identisch; wenn dies aber der Fall ist,

0

möge H(aaba, xy) statt H(aaba,xy) geschrieben werden.

von

wenn

so

Nun muss noch die Summe, die sich über die Zahlen n erstreckt, umgeformt werden, was mit Hülfe der im vorigen Kapitel (S. 254) abgeleiteten Formel geschehen kann. Setzt man in ihr ein beliebiges Functionenpaar an die Stelle von {xy') und multiplicirt auf beiden Seiten mit

dxt

SO

dt ’

folgt

^S{xty„xy) = -^H{xy,xtyt)-^+^yi\xtyXH(xy\-II{xtyt\H\xy)a]^-

Wird im Besonderen (xtyt) für {xty{) genommen und auf beiden Seiten der Coefficient von £n_1 bestimmt, so ergiebt sich

d_\

Jt"-1

dx (.

+J j

n H{xvyv,xy) —

in_1 n

einer

Dadurch ist die Function H(xvyy, xy) umgewandelt in ein Aggregat von Functionen H{xy)a und H\xy)a, jede multiplicirt mit einem bestimmten von x und y unabhängigen Coefficienten, das Ganze vermehrt um die Ableitung algebraischen Function von x.

Für die Function F{xy) erhält man hiernach die Darstellung:

F{xy) =

2 cv S(xv yv, xy) - 2 S -n I H(ccy, xtyt) ^

r

H'{xy)a

r    Q (T v v dx. "

- 2    2

v = i n    « = i(L    -

+ 2 cmH(xy\.

zur

Man kann die Schreibweise dieser Formel sehr vereinfachen, wenn man die folgenden theils bereits angewandten, theils neuen Bezeichnungen einführt, die zugleich hervortreten lassen, welche algebraischen Bechnungen wirklichen Herstellung des Ausdrucks von F(xy) in jedem Falle auszuführen sind. Es werde gesetzt:

• 'S,

[H(xtyt,xy)] = H(xvyv,xy)

= II!

hn~i

v, a ‘

v

-S«v,-n

J^n-i

= ^y)r»

(n>0)

Jt~¹

^r,-n J

= c(a)

r, a ?

2 Hv,a = g

Dann wird schliesslich

= 2 cvII(xvgvixy)-J] \g’a II(xy)a-ga H\xy)a j + ~ JjF(xy\.

\< ZZ1 1    *    CC 1    \AlJj y — J

Nach dem häufig angewandten algebraischen Lehrsätze (S. 95) ist die Summe der Coefficienten cv gleich Null. Hieraus folgt, dass der Ausdruck von der Nullstelle (a₀b₀) der Function H{x'y\xy) nicht abhängt. Für die Functionen H{xy)a und H'(xy)a war dies bereits am Schlüsse des vorigen Kapitels (S. 256) bewiesen worden. Setzt man nun auch in die erste Summe, wie bei jenem Beweise,

H(x'y',xy) = H(x'y\ xy) - H{a₀b₀, xy)

ein, wo die Function H(x'y\xy) mit einer von (<aQb₀) verschiedenen Nullstelle gebildet sein soll, so findet man

'2jCvH{%b„xy) = 0;

mithin ändert der erste Theil bei anderweitiger Annahme über die Nullstelle (ia₀b₀) seine Form nicht; und dasselbe gilt für den Differentialquotienten der Summe 2 F{xy)v.

y = 1

Bei der Integration der Function F{xy) ergiebt nun der erste Theil Integrale dritter Art, der zweite Integrale erster und zweiter Art, und der dritte einen algebraischen Ausdruck F(pcy). Damit ist gezeigt, dass das Integral einer beliebigen rationalen Function des Paares (xy) sich in der That stets auf die drei neuen Transcendenten zurückführen lässt, die als Integrale erster, zweiter und dritter Art bezeichnet worden sind.

In den gewöhnlich vorkommenden Fällen fallen die Glieder, welche die Integrale zweiter Art liefern, und der algebraische Theil aus der Formel heraus. Denn wenn auf der rechten Seite der Gleichung (S. 261)

-1

= «,<-■+

andere negative Potenzen als die (—l)te nicht Vorkommen, so sind die Coeffi-cienten cv _n sämmtlich gleich Null. Aus diesen waren aber die Coefficienten der Functionen F(xy)r und die Grössen ga homogen und linear zusammengesetzt (S. 264).

In derselben Weise wie auf S. 254 kann man schliessen, dass die gefundene Darstellung, obgleich sie unter speciellen Annahmen bewiesen worden ist, doch für alle Werthepaare {xy) bestehen bleibt, für welche beide Seiten der Formel überhaupt eine Bedeutung haben. Festzuhalten ist aber, dass die ganze Entwickelung nur für q > 0 gilt; für 9 = 0 würde

~H{xy,x'y')-~H{x'y',xy) = 0

sein (S. 27 7), und das Integral jF{xy)dx würde sich auf Logarithmen und algebraischen Ausdruck reduciren.

Die Function F{xy) kann fundenen Form dargestellt werden. Angenommen nämlich, es gebe für sie noch einen anderen Ausdruck derselben Gestalt, so ist die Differenz beider

Es handelt sich mithin um den Nachweis, dass eine

einen

nur

auf eine einzige Weise in der vorher ge-

identisch gleich Null. Gleichung der Form

0 = y\cvH{xvyv,xy)dx-'2l\g'ttH{xy)tt-gttH'{xy)tt\äx + äF{xy)

v    cc

nur bestehen kann, wenn sämmtliche Coefficienten cvi ga, g'a und die Function

F(xy) einzeln gleich Null sind. Nun kommt in der Entwickelung der ersten Summe für die Umgebung von (xvyv) ein Glied cvt~ldt vor. In der zweiten Summe tritt t~x dt nicht auf, ebensowenig in dF(xy) ; denn wenn auch in der Entwickelung von F(xy) selbst eine negative Potenz vorkommt, so enthält doch das Differential dieser Eunction nicht die (—l)te Potenz. Es muss daher jeder der Coefficienten cv gleich Null sein. Die angenommene Gleichung reducirt sich dann auf

2 9a 3(xy)a dx - 2#« H\xy)a dx = dF(xy).

Denkt man sie sich integrirt, so würde eine Summe von Integralen erster und zweiter Art gleich einer rationalen Function des Paares (xy) sein. Nun werden die Integrale erster Art an keiner Stelle, die Integrale zweiter Art nur an den Stellen (aaba), und zwar von der ersten Ordnung, unendlich gross; die rationale Function, die aus dem Differential auf der rechten Seite entspringt, würde also nur an den Stellen (auba) mit der Ordnungszahl 1 unendlich werden. Da eine solche Function nicht existirt, so würde folgen

20« F(xy)a dx-^ga H'(xy)a dx = 0.

Es sei nun der Coefficient gi von Null verschieden. Setzt man alsdann für (xy) das Functionenpaar (xtyt), so beginnt die Entwickelung der zweiten Summe mit

—gxt ²dt,

während die der ersten nur positive Potenzen enthält. Es muss daher gt1 und folglich allgemein ga gleich Null sein. Dann bleibt schliesslich die Gleichung

2g'aH(xy)adx = 0

die nur für

9'a = ⁰

(a = 1,2,... q)

bestehen kann; denn die q Functionen H(xy)a sind linear unabhängig (S. 107). Damit ist bewiesen, dass in der Differenz zweier Ausdrücke für dasselbe Differential F(xy)dx die Coefficienten einzeln verschwinden, d. h. dass die beiden Ausdrücke Glied für Glied übereinstimmen müssen.

Die Integration algebraischer Differentiale ist erst seit Abel systematisch betrieben worden. Während man früher Versuche auf gutes Glück machte und die Form der Integrale vermuthungsweise hinstellte, hat Abel die ganze zu lösende Aufgabe in eine bestimmte Fassung gebracht. Um planmässig zu verfahren, muss man vor Allem entscheiden können, unter welchen Bedingungen das vorgelegte Integral einer algebraischen Function selbst algebraisch ist, sodann, wann es sich durch algebraische Functionen und Logarithmen ausdrücken lässt, oder durch elliptische Integrale, u. s. w. Wir wissen jetzt aus unserer Formel, dass die Integration durch algebraische Functionen dann möglich ist, wenn die Coefficienten c,, ga und g'a einzeln verschwinden. Wenn nun folgender Satz feststeht, der sogleich bewiesen werden soll, dass nämlich das Integral einer rationalen Function des Paares (xy) sich stets rational durch x und y darstellen lässt, falls es überhaupt algebraisch ausführbar ist, so findet man das Integral selbst auf folgende Weise: Einerseits ist

F{xy)dx — dF^xy),

andererseits wird F{xy)dx durch die Formel auf S. 264 gegeben. Zieht man beide Ausdrücke von einander ab, so erkennt man aus dem eben Bewiesenen, dass die Coefficienten cr, ga und g'a alle gleich Null sein müssen, und erhält

ä(F(xy) — FJKxy)) = 0

oder

Fx(xy) = F(xy) + C.

Man kann also nicht nur die Bedingungen angeben, unter denen ein algebraisches Differential in algebraischer Form zu integriren ist, sondern hat in unserer Formel auch ein Mittel, das Integral selbst zu finden.

Es soll nun zunächst der eben angeführte Satz bewiesen werden. Wir haben früher (S. 47 — 50) untersucht, wie man alle Werthepaare findet, für die eine gegebene rationale Function R(xy) einen beliebig vorgeschriebenen Werth s annimmt, und dabei gesehen, dass man durch Elimination von y aus den Gleichungen

j f(x,y) = ⁰

I R{xy) = s

eine Gleichung zwischen x und s erhält, deren linke Seite entweder unzerlegbar oder Potenz einer unzerlegbaren ganzen Function von x und s ist; im ersten Falle ergab sich zugleich y als rationale Function von x und s (S. 49). Nun war die Gleichung zwischen x und s irreductibel, wenn für irgend einen Werth von x die n Werthe, die s annimmt, alle von einander verschieden sind. Man kann daher sagen, dass jede algebraische Function y von x sich rational durch x und eine rationale Function s von x und y ausdrücken lässt, vorausgesetzt, dass s als Function von x betrachtet, ebenso wie y w-deutig ist.

Nehmen wir nun an, das Integral

u — Jydx

sei algebraisch ausführbar, so besteht zwischen u und x eine irréductible algebraische Gleichung

9 {u, x) = 0,

die in Bezug auf u vom /vten Grade sei. Dann soll zunächst gezeigt werden, dass die Ableitung

du dx

ebenfalls eine &-deutige algebraische Function von x ist. Es sei a irgend ein nicht singulärer Werth des Arguments x der algebraischen Function u, so lassen sich in der Umgebung von a die k Werthe    ... uk der alge

braischen Function u in Potenzreihen

(l — 1,2,... Tc)

% = %Xx~a)

entwickeln. Wäre nun

du a duY

dx

dx

so würde

% = Uv+C

sein, es würden sich mithin mindestens zwei der Potenzreihen tyx(x — a) nur durch das constante Glied von einander unterscheiden. Die beiden Gleichungen

<p(u, x) — 0

und

<p(u + c,x) = 0

würden daher für u — uv gleichzeitig bestehen. Da nun aber die erste irre-ductibel ist, so müsste die zweite nicht blos durch deren specielle Wurzel u = uv) sondern durch alle Wurzeln u = u₂, ... uk befriedigt werden, und daraus würde dann weiter folgen, dass auch die Gleichungen

y(uv+2c,x) = 0, cp'(wv+ %c,x) = 0

bestehen. Die algebraische Gleichung y(u, x) — 0 müsste also unendlich viele Wurzeln haben. Damit ist bewiesen, dass ebensoviele Werthe hat wie u selbst. Wählen wir nun ~ als diejenige rationale Function von x und u, welche der vorher betrachteten Function s entspricht, so lässt sich u rational durch x und ~ = s ausdrücken. Wenn also das Integral jy dx überhaupt algebraisch ausführbar ist, so lässt es sich rational durch x und y darstellen.

Wird nun F(xy) = z gesetzt, so besteht zwischen z und x eine algebraische Gleichung, und es ist daher das Integral

du

dx

als Function von x betrachtet

fzdx,

falls es sich algebraisch ausführen lässt, rational durch x und z darstellbar. Wenn also ein zu dem algebraischen Gebilde f(x,y) = 0 gehöriges, beliebiges Abelsches Integral

jF{xy) dx

eine algebraische Function von x ist, so ist es rational durch x und F{xy), mithin auch rational durch x und y ausdrückbar.

von

Wir wollen jetzt die für die Darstellung einer beliebigen rationalen Function F{xy) durch die H-Functionen hergeleitete Formel (S. 264) durch Einführung zweier Functionen umgestalten, die ebenso wie H'(xy)a und H(xy₁x'y') geeignet sind, Integrale zweiter und dritter Art zu liefern. Eine diesen ist die schon früher (S. 206) betrachtete Function H\xy,x'y')] die andere, mit der wir uns jetzt zunächst beschäftigen, definiren wir durch die Gleichung

G{xy,x'y’).

^H{x'y')a H'{xy)a — ~ H(xy, x'y') =

Ans der auf S. 254 aufgestellten Formel ergiebt sich sofort

G(xy,x'y') = G(x'yr,xy).

Ferner wird

Gfayt,xxyx)

dxt dxx

dt dx

dxt

Nun war (S. 78)

dxx

P-iptyti xxy^)

setzt man dies in die vorhergehende Gleichung ein, so erhält man

= P0IT)-J.P(l,T)-*r

G{xtytl xxyx)

dxt dxx

dt dx

Aus den Grundformeln für die U-Functionen (S. 85) ist ferner ersichtlich, dass bei der Entwickelung von

H(xtyt, xxyx)

dann eine negative Po

nur

in der Potenzreihe P(£, t), die zu hinzutritt, tenz von t, und zwar — x⁻¹ vorkommt, wenn das Functionenpaar (xxy) die Umgebung der Stelle (a₀b₀) darstellt. Differentiirt man nun P(£, x) nach if, so fällt auch in diesem Falle die negative Potenz von x heraus, da ihr Coefficient von t unabhängig ist. In P(£, x) tritt ebenfalls keine negative Potenz von x auf, da

ist. Daher wird

ß    V dXf d'OCf*

wo in Pt(t,x) keine negativen Potenzen von x Vorkommen. Es war ferner (S. 76)

in P(£, t) tritt nur unter derselben Bedingung wie vorher eine negative Potenz von t auf. Daher enthält auch

\ dXf dxT

G{xtyt,^y,)-^-^

keine negative Potenz von x, nnd man kann schreiben

/~f /ff \ ÖjOCj. dxT G(xtyt,xryT)-^--^

wo P₂(t, t) eine Potenzreihe derselben Art wie Pt(£, x) bedeutet. Setzt man nun (S. 269)

G(xtyt, xzyj ^ ^ = G(xzyr, xtyt)

dxt dxT _

dt dx ~ (t-xy +Pi(T^)

so sieht man, dass in der Potenzreihe von t und x auch keine negative Potenz von t Vorkommen kann. Hiernach ergiebt sich allgemein

(i.)

(x-ty

Dieselben Schlüsse, auf die zweite Gleichung angewendet, führen zu der Formel

(2.)

G(x'ty’vxzyx)

dx't dxT

dt d,x

Wir wollen jetzt untersuchen, wie eine Function G(xy,x'y'), die ausser der Relation

G(xy,x'y') — G(cc'y',xy)

eben für die Function G(xy,x'y') aufgestellten Gleichungen (1.)

die beiden

und (2.) erfüllt, mit dieser zusammenhängt. Es werde gesetzt

G(xy, x'y')— G(xy, x'y') = D{xy,x'y').

Dann ist

D{xtVt, xxVx)

ww =

denn das Glied —

hebt sich aus der Differenz der beiden G-Functionen

\

weg. Ebenso ergiebt sich

T\ f !    !    \ dXj. djX_

Daraus folgt

-r\ /    , , \ dx' 1 dxf

T){xtyux^yx)-~-

JT°

w = *<*>

demnach ist, zunächst unter der Voraussetzung, dass f{x\y'\ nicht verschwindet,

B(xy,x'y') = 2caH{xy)a.

Setzen wir nun für {xy) nach einander q Stellen {xßyß), die nur so gewählt sind, dass die Determinante der Grössen H{xßyß)a von Null verschieden ist, so erhalten wir für die Coefficienten ca die Gleichungen

= Dixpy^x'y')

Nun ist

D(xy, x’y') — D{x'y',xy),

d. h. die Function D{xy,x'yr) muss in Bezug auf {xy) dieselben Eigenschaften haben wie in Bezug auf {xy). Die rechten Seiten des für cx, ... cQ aufgestellten Gleichungssystems sind also lineare homogene Aggregate der Functionen H{xy')ß) und man erhält durch Auflösung:

(a = 1,2,... e)

ca = HcaßH{xyf)^

P

wo die Coefficienten caß von den Werthepaaren {xy) und {xy) unabhängig sind. Setzt man dies oben ein, so folgt

o,ß

D{xy,x'y') = ^lcaßE{xy)aH{x,y')ß

mithin

D(x'y', xy) = ^caßH{x'y')aE{xy)ß)

a,ß

^caßH{xy)aH{x,y')ß = %caß E{x'y')aE{xy)ß = ^lcßaH{x'y')ßH{xy)a.

a,ß

a,ß

a,ß

Da unter den Functionen H(xy)a keine lineare Relation bestellt, so ergiebt sich zunächst

^caoH(x'y'). = '^icßaII{xy,)ß l»    ß

und hieraus folgt aus demselben Grunde

Caß — ^ß a •

Jede Function G{xy,x'y') entspringt also aus einer speciellen Function G(xy,x'y') mit denselben Eigenschaften dadurch, dass man zu dieser ein Aggregat

a,ß

^caßH(xy)aH{x'y')ß

{xy) mit {x'y)

hinzufügt, wo die Coefficienten caß die Eigenschaft haben, bei einer Vertauschung der beiden Indices ungeändert zu bleiben. Umgekehrt folgt sofort, dass wenn man ein solches Aggregat zu einer G-Function hinzuaddirt, man eine neue Function erhält, welche dieselben Eigenschaften hat wie G{xy,xy). Denn erstens bleibt sie ungeändert, wenn man vertauscht, und zweitens gehen aus dem hinzugefügten Aggregat nur positive Potenzen von t und x hervor, wenn man (xtyt) und (xxy'x) für (xy) und {x’y') setzt und mit    multiplicirt.

Um ein Beispiel für die Function G{xy,xy) zu geben, nehmen wir an, die gegebene Gleichung zwischen x und y sei die eines hyperelliptischen Gebildes vom Range q:

y² = R(x)

für

2Ç + 2

x*q+\

Es werde die Function

R(x,x') = A₀+ -^A₁(x + x’) + A₂xx'+jA₃(x + x')xx'

+ A₄ ^x'² + j A₅(x + x') x²x'² + • • • + j A2q+1 (x + x') x?x,Q + A2?+2 a;?*¹ x,ç+1

gebildet, welche folgende Eigenschaften hat:

für x' = x

R(x,x) = R{x',x).

R(x,x') = R(x) dR(x, x')

dx

35

Äbelsche Functionen.

Dann wird

G(xy, x'y') = -

y y' + R(x, x')

2 (x — x'Yyy'

Um nun den Zusammenhang der Cr-Function mit den FZ"'-Functionen v zu erkennen, setzen wir in der Definitionsgleichung für G{xy,x'y) (S. 269)

g    dx

das Functionenpaar (xtyt) an die Stelle von {x'y') und multipliciren mit •— *

Nach S. 107 ist

J£(t t ) dXi dt Ji0

0 für a 1 für

und nach S. 82

ß

dt L

TT/ ß ß . dxf H(xy,xtyt)-rr

Hiernach erhält man

Jt0

= H'{xy)ß

(ß = l, 2, ...9)

oder für nicht singuläre Stellen {a^bs)

G(xy, cißbß) = CpH\xy)ß,

wo Cß eine Constante bedeutet.

Man sieht also, dass in der Formel, welche die Reduction eines beliebigen Integrals auf die Integrale der drei Arten liefert, die Functionen H'{xy)a durch Cr-Functionen ersetzt werden können. Statt der Function G(xy,x'y') kann man auch eine der vorher (S. 271) definirten Functionen G{xy, x'y') einführen, denn es ist

ß’V

G(xy, aubu) = G{xy, aaba)-^cßYH{xy)?H{aaba)r

Es kommt daher in dem schliesslichen Ausdruck des Integrals fF(xy)dx nur noch ein Aggregat von Integralen erster Art hinzu, wenn man G(xy, aaba) an die Stelle von H\xy)a setzt.

Die Function H(x'y\xy), aus der die Integrale dritter Art entspringen, kann durch die Function H{x’y\xy) (S.206) vertreten werden. Diese hatte, als Function des Paares (xy) betrachtet, alle wesentlichen Eigenschaften mit jener gemein bis auf die, für {xy) = (a^J, ... (a 6 ) zu verschwinden. Hieraus hat sich die Gleichung

H{x'y',xy) = H(x'y', xy) + ^caH(xy)a

ergeben (S. 209). Der Ausdruck für das Integral einer beliebigen Function F(xy) ändert sich daher durch Einführung dieser Function H(x'y\xy) wieder nur um ein Aggregat von Integralen erster Art. Man kann also das Differential F{xy)dx schliesslich auf die Form

F{xy)dx — ^lcvH(xvyr,xy)dx + '^lgaG{xy,aaba)dx — '^lg:aH{xy)adx + dF(xy) bringen.

Dreizehntes Kapitel.

Die Perioden des Logarithmus.

Um den Weg, welcher bei der Bestimmung der Perioden der Abel-schen Integrale eingeschlagen werden soll, möglichst verständlich zu machen, woollen wir mit der Untersuchung des einfachsten Abelschen Integrals

r dx

J x

des natürlichen Logarithmus, beginnen.

Die rationalen Functionen der einen Veränderlichen x können als ebensolche Functionen des durch die algebraische Gleichung y — x verbundenen Paares (xy) aufgefasst werden. Da nun das durch diese Gleichung definirte Gebilde den Bang Null hat, so sind keine Stellen (aubu) vorhanden; die Function H(xy, xy') wird daher nur an der einen Stelle {x'y') von der ersten Ordnung unendlich gross. Die gleiche Eigenschaft besitzt ~xr_ ] weil jedoch H(xy,xy')

so betrachten wir statt ,¹--

x— x

an einer

willkürlich gewählten Stelle (a₀b₀) verschwinden sollte,

die Function

x — a₀

Diese hat also für die rationalen Functionen dieselbe Bedeutung, wie H(xy,x'ij) für die algebraischen. An die Stelle der Gleichung (S. 254)

j^H(xy,x’y')

~ E{x’y\ xy) = j H(x'y\H\xy\ - H(xy)a H\x'y\ j

tritt hier die Relation

dx \ x'— x

x'—a₀

dx \x — x'

x — a₀

= 0,

und dem

/•(•*"2 2/2 )

Integral I H(xy, x'y') dx' entspricht *'(®i 2/1)

x'—a₀

fx*( 1

4 U'-*

Bevor wir jedoch auf die Untersuchung dieses Integrals näher eingehen, wollen wir zunächst das allgemeinere

I F (x) dx

betrachten, in dem F(x) irgend eine rationale Function der einen Variablen x ist und x und x₂ zwei beliebige reelle oder complexe Grössen bedeuten. Die complexen Grössen denken wir uns durch Punkte in der Ebene geometrisch dargestellt; wir sprechen daher auch von den Punkten x, xx, x₂ u. s. f.

Diejenigen endlichen "Werthe von x, für welche die zu integrirende Function F(x) unendlich gross wird, wollen wir die singulären "Werthe des Arguments x oder die singulären Punkte x nennen. Die Umgebung eines beliebigen Punktes x₀ wird von der Gesammtheit der Punkte gebildet, die dem Punkte x₀ näher liegen, als der nächstgelegene singuläre Punkt. Die Punkte der Ebene ausserhalb eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Nullpunkt ist und dessen Peripherie durch den vom Nullpunkt am weitesten abliegenden singulären Punkt hindurchgeht, bilden die Umgebung des Werthes 00, d. h. des unendlich fernen Punktes.

Ist x ein Punkt der Umgebung eines nicht singulären, im Endlichen gelegenen Punktes x0l so gilt die Entwickelung

F{x)

= F(x,) + -i- F'(x„) (x-x.) + i *”(*.) (*-».)* + -•

Das Element des rationalen Gebildes y = F(x), dessen Mittelpunkt die Stelle ($    F(x₀)) ist, kann demnach durch das Functionenpaar

= FM + JJ F'M t + ± F"M <* + •••

dargestellt werden. Liegen nun x = x₀ + tl und x₂ = xo + t₂ beide in der Umgebung des Punktes a?₀, d. h. gehören die Werthepaare (xx, F(xJ) und (a? , F(x )) demselben Element des Gebildes an, so definiren wir einen Werth

des

Integrals f F(x) dx durch die Entwickelung:

K'x₁

J' F(x)dx = jF(#₀) t,

xi

h(a.) h + -i- F\x„) t\ + L F"(x.) i\ + - j

und zwar ist dieser Werth des Integrals eindeutig bestimmt.

Liegt die Grösse x in der Umgebung des Werthes x = oo, so können wir F(x) nach fallenden Potenzen von x in der Form

F{x) =<?(*) + £ +il

c"

ar

entwickeln, wobei die ganze rationale Function G(x) identisch verschwindet, falls F(x) eine echt gebrochene Function ist. Die Werthepaare (xy) des rationalen Gebildes y = F(x), für welche x der Umgebung des unendlich fernen Punktes angehört, werden folglich durch das Functionenpaar

xt = t~l, yt — G (U¹) + ct + dt* + c" f -j—

dargestellt.

Wir wollen jetzt annehmen, die ganze Function G{x) verschwinde identisch und der Coefficient c der (—l)ten Potenz von x sei gleich Null. Wenn dann die Punkte xx und x₂ beide in der Umgebung des unendlich fernen Punktes liegen, so definiren wir einen eindeutig bestimmten Werth des Integrals

rX₂

I F{x)dx

durch die Reihe:

I F{x) dx

dXl

T**-" + 6    + — c" Ą + • • •

worm

*2

gesetzt ist.

Gehören dagegen xx und x₂ nicht der Umgehung eines und desselben nicht singulären Punktes an, so schalten wir (S. 251) zur Berechnung des Integrals

rX₂    _    .    in

I F(x)dx eine endliche Anzahl nicht singulärer Punkte x\ x", .

.. xw zwischen

xt und x₂ der Art ein, dass je zwei benachbarte Punkte xx und x\ x und x", ... xm und x₂ in der Umgebung desselben nicht singulären Punktes liegen. Das Integral lässt sich dann durch die Gleichung

nX₂    r'X    rx"    r-X₂

f F(x)dx = I F(x)dx + / F{x)dxĄ-----(- / F(x)dx

definiren, wo nach dem Vorhergehenden jedes der Integrale rechts, mithin

rX₂

Integrals / F (x) dx, eindeutig

auch der Werth des

bestimmt ist. Bei einer

anderen Wahl der eingeschalteten Zwischenpunkte kann aber die Summe der Integrale auf der rechten Seite ihren Werth ändern; der Werth des Integrals

rx₂

I F(x)dx ist daher jetzt nicht mehr allein durch Angabe der Grenzen xx

^Xx und x₂ eindeutig erklärt.

Es sei nun wieder x₀ ein im Endlichen gelegener, nicht singulärer Punkt, und es bezeichne r₀ seinen Abstand von dem ihm zunächst liegenden singulären Punkt, sodass die Gesammtheit der Punkte x, für welche \x-x₀\ < ro ist, die Umgebung des Punktes x₀ bildet. Sind dann Ą und x₂ irgend zwei Grössen, für welche

rX₂

ist, so

wird der vorher erklärte Werth des Integrals / F(x)dx gleich

V/JQ ^

F(xt) (*,-«,) +    F'M (*, -*.)*+jj

von t

Wenn nun die Veränderliche t auf die reellen Werthe (0... 1) beschränkt wird, so ergiebt sich durch Entwickelung von F(xt( 1 —t) + ^₈t) nach Potenzen und gliedweiser Integration

2

Es besteht daher für den angegebenen Werth des Integrals I F(x)dx die Gleichung    Xl

— t) + x₂ t) dz

I F[x)dx — (x₂ — xt) / F(xx( 1

d. h. durch die Substitution

X = x₁(1 — ?) + x₂t

Den reellen

gehen die beiden Seiten dieser Gleichung in einander über.

rxi

Integrals / F{x)dx ergiebt sich durch »Integration

Werthen (0... l) der Veränderlichen t entsprechen die auf der geradlinigen Strecke (x ... xa) gelegenen Werthe der Variablen x\ wir sagen daher, der vorher definirte Werth des

auf directem Wege«, d. h. auf dem geradlinigen Wege

Liegen x und x% zwar in der Umgebung eines Punktes xo, genügen sie aber nicht den Bedingungen so kann durch Einschaltung einer Anzahl auf der geradlinigen Strecke {xi... xj passend gewählter Punkte herbeigeführt werden, dass je zwei benachbarte dieser Zwischenpunkte in Bezug auf einen dritten Punkt die vorher für xt, x₂ und x₀ aufgestellten Bedingungen erfüllen.

Die Erklärung des zwischen zwei Punkten xi und x₂ auf directem Wege auszuführenden Integrals fF(x) dx stimmt daher mit der durch die Gleichung

pF(x) dx = j F(x J t, + -i- F’(xJ tl + ~ F"(x₀) <» + •••}

- \f m t,+f'm «!+L    *;+••• i

gegebenen überein, falls xt und x% beide der Umgebung eines und desselben nicht singulären, im Endlichen gelegenen Punktes angehören. Dagegen findet eine Übereinstimmung zwischen diesen beiden Erklärungen nicht mehr unbedingt statt, wenn die Grenzen xx und xa des Integrals in der Umgebung des unendlich fernen Punktes liegen. Den Fall, in welchem die Integration auf directem Wege durch einen singulären Punkt hindurchführt, haben wir bei unseren Betrachtungen ausgeschlossen.

Sind jetzt %x und x₂ wieder zwei beliebige, nicht singuläre Punkte, zwischen denen in der vorher angegebenen Weise Punkte x\ x'\ ... xm eingeschaltet worden sind, und wird der Werth des der Gleichung

rXi

Integrals / F(x)dx

rX₂    r>X'    pX"    fX₂

J F{x)dx — / F(x)dx + I F(x) dx Ą-----h / F{x)dx

/Y*    «/ ry*    t/ rvd    /y»(î*)

%As-t    «A/1    tv    iv

mittels

berechnet, wobei alle Integrale rechts auf directem Wege ausgeführt werden sollen, so nennen wir die gebrochene, aus geraden Strecken zusammengesetzte Linie (a? ... x’... x"......xm ... xj den Integrationsweg für das Integral

roc2

I F(x)dx, weil die einzelnen Integrale rechts über die Strecken (xx... x )

^Xt

(x'...x"), ... (xm...x₂) in der eben besprochenen Weise ausgeführt werden können

Der Werth des Integrals kann ausser von den Grenzen auch von dem Integrationsweg abhängen. Die Punkte xx, x\ x", ... x°\ x₂ nennen wir die

Eckpunkte des Integrationsweges.

Unter einem vollständigen Integral, das durch einen Strich über dem Integralzeichen gekennzeichnet werden möge:

J%F(x)dx,

wollen wir ein Integral verstehen, bei welchem der Integrationsweg eine geschlossene, aus geradlinigen Strecken gebildete Linie ist.

Jetzt gehen wir zur Untersuchung des Integrals

ru

JXl

x' — a₀

dx'

von den singulären der zu integrirenden Function verschiedene

Die Grenzen xx und x₂ seien zwei beliebige

Punkten x=x und x = a0 Werthe, und die Integration werde zunächst auf geradlinigem Wege ausge-Setzen wir fest, dass der Punkt a₀ nicht auf der Strecke (xt ... x₂)

über.

führt.

liegt, so hat das Integral für alle nicht dem Integrationswege angehörenden Punkte x einen ganz bestimmten Sinn; es ist eine eindeutige Function von x, welche nur für die Punkte der Strecke (xx...x₂) nicht definirt ist.

36

Abelsche Functionen.

Der Differentialquotient dieses Integrals in Bezug auf x ist eine ge-

brochene rationale Function.

Denn wählen wir eine Grösse h so, dass

\h\ c \ x — x I ist

und x auf ihr liegt, so ist

was

stets möglich, da x ausserhalb der Strecke (x₁...xi)

fx*(_1

JXi \x'-x — h

x'—a^j^X    {x'—x    x'—a₀

dx' = — h

—]+**$(*)

rp .    rp    rp _ rp I    ' \ /

«X/g    w    IVj    tb J

mithin folgt

a rv ¹

da? J \x'— x x’—a₀

da;' =

rp _ rp    rp    rp

tb    ibn    tv    lA/j

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus von x ist gleich —

und

einer seiner eindeutig bestimmten Zweige verschwindet für x — 1.. Soll daher die eben definirte Function mit diesem Zweige des Logarithmus übereinstimmen, so muss a₀ gleich 1 und ~ gleich

d rx*( i

dx U'~

x' — 1

dx’ =

rp .    rp    rp_ rp

iAr    w/«    %b    ca/-

also xt = Qo und x₂ = 0 sein. Gleichung

Wird demnach eine Function L(x) durch die

w =/A

•'GO x

af— 1

da?'

eingeführt, so ist X(a?) für alle Punkte der Ebene mit Ausnahme des Integrationsweges definirt, und es ist

dx

₀ dL(x) ₌

Für die Umgebung des unendlich fernen Punktes treten in der Entwickelung der zu integrirenden Function nach fallenden Potenzen von x negative Potenzen nur mit den Exponenten —2,—3,... auf. Die untere Grenze des Integrals kann daher unendlich gross angenommen werden, ohne dass das Integral auf hört, einen bestimmten endlichen Werth zu haben.

Der Integrationsweg ist eine vom Nullpunkt in das Unendliche gezogene Gerade, welche in der entgegengesetzten Lichtung (00...O) durchlaufen wird. Wir können aber allgemeiner an ihre Stelle eine aus geradlinigen Strecken zusammengesetzte, vom Unendlichen nach dem Nullpunkt führende Linie treten lassen, und diese so wählen, dass die Function L{%) für jeden im Endlichen gelegenen, vom Nullpunkt verschiedenen, vorgeschriebenen Punkt x erklärt ist. Die rationale Function

x'—x x'—l

* •?

hat, als Function von x betrachtet, nur die beiden im Endlichen gelegenen, singulären Punkte x—x und x'—\. Fixiren wir nun ausserhalb eines Kreises, der diese beiden singulären Punkte einschliesst und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt ist, einen Punkt |l5 so gehört der Umgebung des unendlich fernen Punktes an. Liegt ferner ein Punkt |₂ dem Punkte näher, als jeder der beiden Punkte x und 1, so befindet sich |t in der Umgebung von £ . So nehmen wir eine endliche Anzahl von Punkten |l? |₂, |₃, ... der Art an, dass jeder in der Umgebung des vorhergehenden und schliesslich der Nullpunkt in der von |r liegt; die Wahl dieser Punkte ist auf unendlich viele Weisen möglich. Aus dem Unendlichen ziehen wir nun eine Gerade nach dem Punkte |i5 deren sämmtliche Punkte von den Punkten x und 1 einen grösseren Abstand haben, als |1? und verbinden ^ mit |₂, g₂ mit gs, . mit dem Nullpunkt durch Strecken, so entsteht eine gebrochene Linie

(oo ... g ... g ......|r... 0), welche wir mit l bezeichnen wollen. Dann können

wir auch eine Function L{x) durch das über die Linie l als Integrations weg sich erstreckende Integral

/Y—

J \x'—x

x' — 1

dx'

definiren, indem wir setzen

ftr₊ f°.

J%r_x J'gr

/•ix    pi 2

L(x) =    + I

Diese Function L(x) hat für alle Punkte x mit Ausnahme der Punkte der gebrochenen Linie l eine Bedeutung; ihre Ableitung ist wieder gleich —, und sie verschwindet auch für x = 1.

Wenn die gerade Verbindungslinie (xt...x₂) der Punkte xx und x₂ nicht die Linie l schneidet oder mit ihr zusammenfällt, so ergiebt sich

r ^2 /7,7’

/    ^ = L{x%)-L{xx).

JXx X

Hieraus lässt sich der fundamentale Satz ableiten: Wenn die gebrochene Linie l mit dem geschlossenen Integrationsweg (xt... x₂

xk... xx ) keinen

Fig. 1.

i,

Sa

Qi

ßs

Punkt gemein hat, so verschwindet das über ihn erstreckte vollständige Inte-

-i T dx

Sral JV

Denn da

r dx_ rXa dx rXs dx

J X ~ J x X

+ ri—

4 *

ist, so lässt sich auf jedes einzelne der Integrale rechts die Gleichung

fX'A+i fl™

J    = L{x.a+1)-L(x%)

æy.

anwenden, mithin wird

0.

Die Linie l kann aber bis auf die Bedingung, dass jeder Punkt g in der Umgebung des vorhergehenden %y_x liegen muss, willkürlich vom Unendlichen

nach dem Nullpunkt hin so gezogen werden, dass sie den geschlossenen Integrationsweg (xt... x₂

xk...xi) nicht schneidet.

Demnach ist stets das

vollständige Integral Jgleich Null, wenn es möglich ist, vom Unendlichen nach dem Nullpunkt eine gebrochene Gerade so zu ziehen, dass sie nirgends mit dem geschlossenen Integrationsweg, über den sich das Integral erstreckt, zusammenfällt.

Bilden wir das Integral einer rationalen Function F(x) auf zwei verschiedenen Wegen zwischen denselben Grenzen xt und xa) so wollen wir das eine Integral zum Unterschied von dem anderen links oben mit einem Accent versehen, die beiden Integrale also mit

I F(x)dx und I F{x)dx

/yt    «/ /y»

bezeichnen.

F(x) dx

r /*0Ccf

I F(x)dx

,(»o

. |(n)......£'... xj erstreckt.

wobei sich das vollständige Integral auf der rechten Seite über den geschlossenen Integrationsweg {xt .

Die Differenz zweier zwischen denselben Grenzen auf verschiedenen Wegen gebildeten Integrale derselben Function F(x) ist also ein vollständiges Integral. Zwei Integrale

und

rx>dx

sind daher einander gleich, wenn es möglich ist, aus dem Unendlichen nach dem Nullpunkt eine gebrochene Linie zu ziehen, welche den geschlossenen Integrationsweg (xa... xa... xt) nicht schneidet.

Nun nehmen wir eine bestimmte, aus geradlinigen Strecken zusammengesetzte Linie vom Unendlichen nach dem Nullpunkte an, wrelche nicht durch den Punkt +1 hindurchgeht, und zwar der Einfachheit wegen die reelle Halb-axe (— oo ... 0). Dann ist

L(x) =

f°(—

J-œ\x'—x

x'— 1

dx'

für alle Punkte æ, mit Ausschluss der Punkte dieser Geraden, eindeutig definirt. Es muss jetzt aber der Function L(x) auch eine Bedeutung für die Punkte x der Geraden (—00...O) selbst beigelegt werden.

Es seien xi und x₃ zwei beliebige Punkte auf der Halbaxe (—00...O) und xa irgend ein ihr hinreichend nahe liegender Punkt. Dann soll untersucht

Fig. 2.

—00

x₀ sa₃

werden, unter welcher Bedingung in dem Integral

dx'

f(-l___L_\

J \x'—x    x'— 1 )

die Integration über die Strecke    durch die über die gebrochene

Linie (xt... xa... x₈) ersetzt werden kann. Nach dem Vorhergehenden ist

rx8 dx _ pdx ₊ fX> dx

Jx x ~~ JXi x Jx* X

falls sich vom Unendlichen nach dem Nullpunkt eine gebrochene Gerade ziehen lässt, welche die geschlossene Linie (xt... x₂... x₃... xj nicht schneidet. Daher besteht für das Integral f die Gleichung

Xa dx' _ x— a

x* dx

x* dx'

x'—a

x'—a

unter der Bedingung, dass es möglich ist, aus dem Unendlichen nach dem Punkte a eine gebrochene Gerade zu führen, die mit dem geschlossenen Wege

(xl... x₃... x₉... xj keinen Punkt gemein hat. Mithin ergiebt sich

,£>b-Arb-Cbh-

x'— 1

dx',

falls man sowohl vom Punkte 1, wie vom Punkte x aus eine gebrochene Linie in das Unendliche ziehen kann, welche den Weg (xx... x₂... x₃... xj nicht trifft. Für den Punkt 1 und für jeden Punkt x, der nicht im Innern oder auf dem Umfange des Dreiecks (xt... x₂... x₃... xx) liegt, ist dies stets möglich. Die vorhergehende Gleichung gilt demnach für ą alle nicht mit einem Punkte dieses Dreiecks zusammenfallenden Werthe von x.

Durch das Integral

n_L_

J_œ\x'—X

dx',

x' — 1

welches sich auf die gebrochene Gerade (— oo ... xx... x₂... x₃... 0) beziehen soll wird für jeden Werth von x, der nicht mit einem Punkte des Integrationswegs zusammenfällt, eine Function

'L{x)

definirt. Der Werth dieser Function L(x) für irgend ein solches Argument x ändert sich nicht, wenn wir statt xt, x₂, x₃ andere, den für diese Punkte festgesetzten Bedingungen genügende Punkte £l5 |₂, |₃ wählen, vorausgesetzt dass der Punkt x nicht in dem Bereich (xt... xa... x₃... g₃...    ^ ... xj liegt.

Bei der vorher eingeführten Function

dx'

L{x) =£fe-^r)

ist dagegen das Integral über die reelle Halbaxe (— 00...O) zu erstrecken. Die beiden Functionen L(x) und 'L(x) sind demnach verschiedene Functionen, insofern als ihr Gültigkeitsbereich nicht derselbe ist. Für alle Punkte x aber, die nicht dem Innern oder dem Umfange des Dreiecks {xt... x₂.. .x₃... xj angehören, ist zu Folge der bewiesenen Gleichung

L(x) — Z(x).

Wenn x mit einem Punkte x₀ der Geraden (—00...O) zusammenfällt, hat die Function L{x) keine Bedeutung mehr, dagegen ist dies für die Function 'L{x) noch der Fall, falls wir die beiden Punkte xx und x₃ zu beiden Seiten von x₀ auf der Halbaxe (—00... 0) annehmen (Fig. 2). nun die Function L(x) auch für die Punkte dieser Halbaxe selbst zu defi-niren, setzen wir

Um

L(x₀) = X(x₀).

Ehe wir aber diesen Werth näher untersuchen, wollen wir die beiden Hälften, in welche eine durch zwei Punkte a und b bestimmte Gerade (a ... b) die Zahlenebene theilt, durch ein analytisches Kriterium unterscheiden. Wir sagen, der Punkt x liegt auf der positiven oder der negativen Seite dieser Geraden, je nachdem der Quotient

x—

a

-- == u + v i

b — a

Zu dieser Definition

in seiner zweiten Coordinate v positiv oder negativ ist. gelangen wir folgendermassen: Ist x eine beliebige, und sind a und b zwei gegebene, von einander verschiedene complexe Grössen, so können wir den Quotienten in der Form:

x—a

b—a

= u + vi

darstellen, wo u und v eindeutig bestimmte reelle Grössen sind. Nun führen wir in der Zahlenebene ein neues Coordinatensystem ein, das zum Anfangspunkt den Punkt a, zur ersten Axe die Richtung (a ... b) und zur zweiten Axe diejenige hierzu senkrechte Richtung hat, welche in Bezug auf die Strecke (a...b) ebenso liegt, wie die Strecke (0 ... i) in Bezug auf die reelle Axe. Dann sind u und v die Coordinaten des Punktes x, wenn wir die Strecke (a ... b) im neuen Coordinatensystem als Längeneinheit wählen. Drehen wir mithin die reelle Axe um ihren Schnittpunkt mit der Geraden (a,...b), sodass die Strecke (0...1) die Richtung von (a...b) erhält, so liegt der Punkt + i auf einer bestimmten Seite von (a...b), und je nachdem der Punkt x auf derselben oder auf der entgegengesetzten Seite liegt, befindet sich der aufgestellten Definition nach der Punkt x auf der positiven oder der negativen Seite der Geraden (a ... b).

Ist v — 0, so gehört der Punkt x der durch die Punkte a und b bestimmten Geraden selbst an. Ein auf der positiven Seite der Geraden (a ... b) gelegener Punkt liegt auf der negativen Seite der Geraden (&... a).

Stellt nun, wie vorher, x₀ einen Punkt der Geraden (—00... 0) dar, und nähert sich ihm der Punkt x von der positiven Seite her, so wählen wir, damit 'L{x) eine Bedeutung hat, den Punkt x₂ auf der negativen Seite (Fig. 2). Geschieht dagegen die Annäherung an x₀ von der negativen Seite der Geraden (—00...O) aus, so nehmen wir x₂ auf der positiven Seite an.

Hiernach erhält die Function L{x) in jedem Punkte der Ebene, mit Ausnahme des Nullpunktes und des unendlich fernen Punktes, eine Bedeutung, nur hängt, wie wir sehen werden, der Werth der Function in einem Punkte x₀ der reellen Halbaxe (—00 ... 0) davon ab, von welcher Seite her sich x dem Punkte x₀ nähert. Je nachdem die Annäherung von der positiven oder der negativen Seite her erfolgt, wollen wir den Werth der Function für x = x₀ mit

L(x₀) oder L(x₀)

bezeichnen.

Dann ist leicht zu beweisen, dass auch die Ableitungen

dL(x₀)

dx₀

und

dL(x₀)

dx₀

Die Function L(xo) ist nur für die also ihre Ableitung im Punkte x₀ zu finden,

existiren und beide gleich Halbaxe (- 00 ... 0) erklärt ; um müssen wir zu einem x₀ benachbarten Punkte x₀ dieser Geraden übergehen.

sind.

Der Definition nach ist, wenn wir zur Berechnung von 'L(x₀) und 'L(x'o) den Punkt x₂ (Fig. 2) auf der negativen Seite der Geraden (—00...O) wählen,

L(x₀) = xw, z«) = X«);

aus

der Entwickelung

X«) = 'L(x₀) + (x'₀-x₀)

dL(x₀)

dx₀

+ •••

folgt daher

L(x'₀)-L(x₀) ₌ d'L(x₀)    x'-x₀ d2,L(x₀)

XQ XQ

dx₀

dx\

dL(oc0) _ d'L(x₀)

dxQ

dx₀

xü

In derselben Weise wird auch für

dLjxq)

dx₀

der Werth

— gefunden. Die Ab-

rp O

+ — '

leitung der Differenz L(x₀) — L(x₀) ist demnach identisch gleich Null, und da Minuend und Subtrahend stetige Functionen von x₀ sind, so ist die Differenz eine von x₀ unabhängige Constante. Wir wollen

L(x₀)-L(x₀) = 2cu

setzen.

Das vollstäüdige Integral J ~ hat, wie wir gefunden haben (S. 285), den Werth Null, wenn sich vom Unendlichen nach dem Nullpunkt eine gebrochene Gerade ziehen lässt, welche nirgends den geschlossenen Integrationsweg trifft. Nach den vorhergehenden Betrachtungen sind wir nun im Stande, das Integral J auch in dem Falle zu berechnen, wo sich der Integrationsweg und jene Gerade schneiden.

Wir betrachten hierzu das Integral

fx*dx

JT x ’

dessen Integrationsweg zunächst die Strecke {xt... xa) sei. Liegt der Punkt x₂ auf der Halbaxe (—00...O), während sich der Punkt xt auf ihrer

Fig. 3.

Û?2

— OQ

positiven Seite befindet, so folgt (S. 283), wenn ein beliebiger Punkt der Strecke (xi... x₂) ist,

Gehen wir nun zu dem Grenzfall über, wo der Punkt ij₂ mit x₂ zusammenfällt, so wird    *

rX% nr    +

J f = i(*,)-iW.

xi

Ist aber x ein Punkt auf der negativen Seite der Halbaxe, so erhalten wir ebenso

rxa /7r

/    ^ = LM-L(xt).

Wenn zweitens x ein Punkt der Halbaxe (—00... 0) ist, so folgt für das auf die Strecke (x ...x₂) sich beziehende Integral

rx*dx

JXl x

= L(x₂)-L(xt)

oder

Cx* dx

«4

je nachdem xa auf der positiven oder negativen Seite der Halbaxe liegt.

Sind ferner x und x% zwei auf derselben Seite der Halbaxe (—00...O) gelegene Punkte, und ist der Integrationsweg von xt nach xa eine gebrochene Gerade, welche die Halbaxe ein oder mehrere Male trifft und jedes Mal auf derselben Seite wieder verlässt, auf der sie sie erreicht hat, so ist

Denn es mögen z. B. die Punkte xx und xa auf der positiven Seite der Halbliegen, mit der die gebrochene Linie (xt... x't ... xa... xa) die Strecke

axe

gemein hat, so ist zu Folge der bewiesenen Gleichungen

rx*dx JXi x

— L(x'₁)-L(xt) + L(x,₂)-L(x'₁) + L(xa)-L(x,₂) = L(xi)-L(x₁).

Das Integral hat also denselben Werth, wie wenn der Integrationsweg keinen Punkt mit der Halbaxe (-00... 0) gemein hätte.

Ganz anders verhält es sich, wenn der Integrationsweg ein oder mehrere Male die Halbaxe (—00... 0) schneidet oder streckenweise mit ihr zusammenfällt, sie aber auf verschiedenen Seiten anfangs erreicht und zuletzt verlässt.

Der Punkt xt möge zuerst auf der positiven und xa auf der negativen Seite der Halbaxe liegen, und es falle die Strecke (x[...x₂) des gebrochenen

Fig. 4.

zx.

zx '

oo —

lx

Integrationsweges (xt... x't... xa... x₂) mit ihr zusammen. Dann ist

/Irr    +    +    +

= L{cc₂) — L(x₁) + 2o>.

Hätten dagegen die Punkte x% und x₂ die entgegengesetzte Lage in Bezug auf die Halbaxe gehabt, so würde sich

JJ‘~- = iW-iW-ä»

ergeben haben. Schneidet der Integrationsweg (xt...xa) die Halbaxe, ohne mit ihr eine Strecke zusammenzulaufen, so gehen die beiden Punkte x[ und x[ in einen einzigen über; dadurch ändert sich jedoch in den vorhergehenden Betrachtungen nichts Wesentliches.

Sind aber mehrere Schnitte des Integrationsweges mit der Halbaxe handen, oder sind beiden Linien eine oder mehrere Strecken möge eine Reihe von Punkten , § , ... g eingeschaltet werden, dass ein Punkt £ gemeinsamen Strecke, der folgende Punkt |2y_ aber hinter dem Schnitt oder jenseits dieser Strecke liegt. Zwischen den beiden Punkten g nur ein Schnitt oder eine gemeinsame Strecke vorhanden sein. Dabei bleibt

vor

271—17

2X—1

gemeinsam, so g2w auf dem Integrationsweg der Art vor einem Schnitt oder vor einer

2X—1

und gtx soll

aber eine blosse Berührung oder ein streckenweises Zusammenfallen ohne wirklichen Schnitt unberücksichtigt, sodass die Punkte g auf verschiedenen Seiten der Halbaxe liegen. Die Grösse soll nun gleich + 1 oder gleich —1 sein, je nachdem der von g

27.-1

und g stets

2X-1

nach g2x durchlaufene

Integrationsweg von der positiven Seite der Halbaxe (—00... 0) zur negativen übergeht oder umgekehrt. Dann ist

r** dx

*4

i(g₁)-Z(*₁) + Z(6,)-L(6₁) + 28,0» + i(i₈)-i(i₂) + i(y-z(y + 2e₂«>

+ -^dîn-i)⁻2) + L(%2n) ~    + 2 £n

+ L(x₂) — L{lin)

n

L(x₂) —L(x₁) + 2(ü 2 £x*

7t = 1

Die verschiedenen Werthe, welche das Integral

bei Änderung des Integrationsweges, aber unter Festhaltung der Grenzen xi und x₂ annimmt, können sich also von der Differenz L(x₂) — L(xi) nur durch ein positives oder negatives Vielfaches von 2w unterscheiden.

Wenn die Grenzen %x und x₂ zusammenfallen, so geht das betrachtete Integral in ein vollständiges Integral J ~ über, und es ergiebt sich aus den vorhergehenden Betrachtungen der Satz: Der Werth eines vollständigen Integrals f ^ ist stets gleich Null oder gleich einem Vielfachen der Grösse 2ü), und zwar hängt er nur insoweit von der Gestalt des Integrationsweges ab, als die Anzahl seiner positiv oder negativ zu zählenden Schnittpunkte mit der Halbaxe (—00... 0) in Betracht kommt.

Andererseits erhält

Wählt man als Integrations weg den Umfang des Quadrats mit den Eckpunkten 1, i, —1, — i und durchläuft ihn entgegengesetzt dem Drehungssinn des Zeigers der Uhr, so wird die Halbaxe (—00...O) einmal in der Richtung von ihrer positiven zur negativen Seite durchkreuzt. Das über diesen Weg erstreckte vollständige Integral J ist mithin gleich 2to.

man

durch wirkliche Ausführung der Integration, wenn man J ~ in die Summe

rax r'dx f'dx r¹ dx

X X + Ji X J-! X +J_i

Demnach ist die Grösse 2o> gleich 2 tu.

Jedes positive oder negative ganzzahlige Vielfache von 2tu heisst eine Periode, die Grösse 2iu* selbst die primitive Periode des natürlichen Loga-

rithmus. Alle Werthe des durch Hinzufügung von Perioden.

Integrals f * ~

'JXx

zerlegt und in den vier Integralen der Reihe nach

x = — 1 + (1 — i)r

x = 1 — (1 — i)x substituirt,

x = i — (1 + i)x

ergeben sich aus irgend einem

Vierzehntes Kapitel.

Die vollständigen Integrale algebraischer Differentiale.

Nach diesen vorbereitenden Untersuchungen aus der Theorie des Logarithmus kehren wir zu den Integralen rationaler Functionen des durch die algebraische Gleichung f(x, y) = 0 verbundenen Paares (xy) zurück. Es soll zunächst gezeigt werden, wie man durch passende Beschränkung der Veränderlichkeit dieses Paares bewirken kann, dass der Werth eines solchen Integrals jF{xy)dx eindeutig bestimmt wird.

Wir denken uns in der Ebene der Veränderlichen x irgend eine Linie,, d. h. eine stetige Folge von Punkten x, der Art angenommen, dass die Linie nicht durch einen Punkt hindurchgeht, der einem singulären Werth des Ar-- guments der algebraischen Function y (S. 42) entspricht oder für den diese Function unendlich gross wird. Zum Zweck der nachfolgenden Integration möge diese Linie von endlicher Länge angenommen werden. Einem beliebigen Punkte x₀ auf der Linie werde der Werth y₀ von y zugeordnet, der unter den n zu ihm gehörigen Werthen willkürlich gewählt werden kann, so lässt sich für die Umgebung des Punktes xo ein bestimmter der n Werthe von y in die Reihe

y = yQJry'o{x-xü) + ‘-' = g(x\x₀y₀)

von denen

entwickeln.

Sind nun ..., #₀, xx, x^ ... Punkte auf der Linie jeder in der Umgebung des vorhergehenden und des folgenden Punktes liegt, so gehört vermöge der Gleichung

zu

xx ein bestimmter Werth yx.

yx = y^y'^-x „) + ••• = g{xx\x,y,)

Leitet man sodann für die Umgebung von.

(xiyj die Potenzreihe

y = 9(p\vtyi)

her, so sei

= y*-

Fährt man so fort, so kann man schliesslich jedem Punkte sc der Linie einen bestimmten Werth von y zuordnen. liegt x z. B. zwischen sc₀ und sc1? so erhält man den zugehörigen Werth von y ebensowohl aus der ersten wie aus der zweiten Potenzreihe ; entsprechend, wenn der Punkt x zwischen xx und X₂ liegt, u. s. w. Auch für die beiden Endpunkte der Integrationslinie ergeben sich hierbei ganz bestimmte Werthe von y.

Der auf diese Weise definirte Werth von y ist, wie leicht zu beweisen, unabhängig davon, wie auf der linie die Zwischenpunkte der aufgestellten Bedingung gemäss gewählt werden. Es sei y — cp (sc) derjenige eindeutig bestimmte Zweig einer analytischen Function, dessen einzelne Elemente die Leihen g(x | x₀ y₀ ), g(x | xt yx ), g (sc | sc₂ y% ), ... sind, während aus dem Elemente g{x\x₀y₀) in gleicher Weise bei Annahme anderer auf der betrachteten Linie gelegener Zwischenpunkte x',x',... durch analytische Fortsetzung y — ćp (sc) entstehen möge. Jede der beiden Functionen hat für alle Punkte der Linie den Charakter einer ganzen Function. Die Übereinstimmung der Werthe beider Functionen finde nun für alle Punkte der Linie von x₀ bis zu einem bestimmten Punkte g statt, dann stimmen die beiden für die Umgebung von ! gültigen Elemente der Functionen cp (sc) und ćp (sc)

y = c₀ + ßt(x-%) + ---,

y = co+ c^x-£) + •••

für alle Punkte der Linie, die zwischen sco und g dem letzteren Punkte hinreichend nahe liegen, ihren Werthen nach überein, also müssen die Coeffi-eienten entsprechender Potenzen in den beiden Leihen einander gleich sein. Ist dies aber der Fall, so findet die Übereinstimmung der Leihen auch noch über g hinaus statt. Wir haben demnach folgendes Lesultat: Nimmt man in der Ebene der Veränderlichen sc irgend eine Linie an, die durch keinen singulären Punkt hindurchgeht, und fixirt dann zu einem beliebigen in dieser Linie angenommenen Punkte sc₀ einen der zugehörigen Werthe y₀ von y, so giebt es einen eindeutig bestimmten Zweig einer analytischen Function von sc, der

- für alle Punkte, welche der angenommenen Linie angehören, einen Werth von y darstellt und für x = x₀ in y₀ übergeht. Weil der Annahme nach auch Anfangs- und Endpunkt der Linie nicht singulär sind, so kann man den Punkt x₀ mit einem von ihnen zusammenfallen lassen.

Es sei nun F{xy) eine beliebige rationale Function des Paares (;xy), und die Linie in der #-Ebene werde noch so gewählt, dass F{xy) für keinen ihrer Punkte unendlich gross wird, wenn man y gleich der oben definirten Function <p(x) setzt. Dann wird behauptet, dass sich ein ganz bestimmter eindeutiger Zweig der Integralfunction jF{xy)dx definiren lässt, wenn bei der Integration x diese Linie durchläuft und für y die Werthe y(x) gesetzt werden. Wir nehmen wieder eine Leihe von Punkten ..., #o, a?₂, ... auf der Linie so an, dass die Strecke (xo ... xj des Integrationsweges ganz in der Umgebung von x₀ und von xi liegt, die Strecke (x₁ ... x₂) in der Umgebung von xx und von x₂, u. s. w. Für die Punkte jeder einzelnen Strecke ..., (x₀... xj, (x ...xj,... kann man dann die Function F(x, y(x)) in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickeln und zunächst für die Strecke (x₀... xj eine Leihe ty(x) durch die Gleichung

= <K*)

I F(x, cp(x))dx

** /Y*

t4/₀

definiren, wo das Integral eine ganz bestimmte Bedeutung hat. Hieraus folgt

rx i

^(xt) = I F{x. y(x))dx.

*4₀

Für die nächste Strecke wird nun ty{x) durch die Gleichung

ty(x) = ty(xt) + I F(x, y{x))dx

<K^i) + / F(x, y(x))dx.

*/

rxx    rxa    f>xr

I F(x, cp (x)) dx + I F(x, cp (x)) dx H-----(- / F(x, cp [x)) dx

JX₀    *4i    *4 r-i

erklärt, und es ergiebt sich weiter

Fährt man so fort, so erhält man

ł(®r) =

38

Abelsche Functionen.

und wenn der Werth x einem Punkte der (r + l)ten Strecke (xr... a? ) zugehört, so werde

<K*D = {Hxr)+ I F(x, y(x))äx

V Qß

gesetzt. Hierdurch wird also eine Function    eindeutig erklärt, die für

jeden Punkt der Linie den Charakter einer ganzen Function hat, in der Nähe von x₀ mit der anfangs definirten Function ty(x) übereinstimmt und für x — x₀ verschwindet. Genau wie vorher kann gezeigt werden, dass auch die Function <\>(x) von der Wahl der Zwischenpunkte unabhängig ist. Sind dann x und x zwei beliebige Punkte der gewählten Linie, und ist y'— y{x'\ y" =    so wird

(x’Y)

F(xy)dx — ^>(x") — 'K#');

(®V)

diese Gleichung bedeutet aber nur, dass ein Werth des Integrales links durch die Differenz rechts gegeben wird.

Wenn also erstens die stetige Folge von Werthen, die x durchläuft, oder die Integrationslinie, mit den auf S. 295 und 297 festgesetzten Beschränkungen gegeben ist, und zweitens der Werth von y, der einem beliebig gewählten Punkte dieser Linie zugeordnet werden soll, fixirt ist, so lässt sich der Werth des Integrals von F{xy)dx eindeutig definiren.

Um das Integral zu berechnen, kann man im Allgemeinen folgender-massen verfahren: Man stellt die Integrationslinie im Gebiete der Grösse x durch eine Gleichung

£ = /‘CO

dar, wo x eine reelle Veränderliche, f(x) eine complexe Function bedeutet, die so zu wählen ist, dass wenn x die Werthe von x₁ bis x₂ annimmt, x die Punkte der Integrationslinie von xx bis x₂ durchläuft. Dann kann man eine Function #(x) bilden, die zu jedem der Linie angehörigen Werthe von x einen eindeutig bestimmten Werth von y liefert. ^Durch Einführung von /’(x) und g(x) gehe das Differential F(xy)dx in /(x)^x über. Vermöge der Gleichung

(*Xi    /*X2

/ F{xy)dx = / yXt)d-

JXi    \

wird alsdann unser Integral auf das einer Function einer reellen Veränderlichen zurückgeführt. Ist z. B. die Integrationslinie gerade, so kann man

f(?) = Xfi~T) + XaT

und xl = 0, t₂ = 1 setzen.

Bilden nicht nur die Punkte x eine geschlossene Linie, sondern kehren auch die zugehörigen, eindeutig fixirten Werthe der abhängigen Variablen y in sich zurück, wenn-jene Linie stetig durchlaufen wird, so wollen wir eine solche Folge von Paaren (xy) der Kürze wegen als einen Kreis von Werthe-paaren bezeichnen. Das über einen solchen geschlossenen Integrationsweg erstreckte Integral heisse ein vollständiges und werde mit fF(xy)dx bezeichnet.

Wir wollen zunächst beweisen, dass die Werthepaare, durch die ein solcher Kreis von Paaren bestimmt wird, innerhalb gewisser Grenzen willkürlich geändert werden dürfen, ohne dass der Werth des Integrals dadurch beeinflusst wird. Die Integrationslinie in der Ebene der Grösse x enthalte wieder keinen der Werthe von a?, für welche F(xy) unendlich gross wird. Für die allgemeinen Untersuchungen ist es zweckmässig und ausreichend, den Integrationsweg so zu wählen, dass jene Linie nicht sowohl eine Curve ist, als aus einer endlichen Anzahl geradliniger Strecken besteht. Diese Strecken (xt... x₂), (x₂... x₈), ... mögen der Reihe nach in der Umgebung der Punkte 0,0 ,... liegen, denen nicht singuläre Argumente der algebraischen Function y entsprechen sollen.

Fig. 5.

■9i

x₂

■92

\xx

Ist der dem Werthe g₁ von x zugeordnete Werth 7^ von y fixirt, so ist für jeden anderen Punkt des Integrationsweges der zugehörige Werth von y bestimmt. In dem Integral fF(xy)dx kommt die Summe

r{x^)    r(oc₃ys)

I F(xy)dx + / F(xy)dx

und man erhält

F (xy) dx

F(xy)dx,

Jetzt wollen wir uns den gemeinsamen Endpunkt der beiden Strecken (x₁... x₂) und (x₂... x₃) bis zu einem Punkte x₂ verschoben denken, der jedoch, ebenso wie x₂, sowohl der Umgebung von g^ wie der Der zu x — x₂ gehörende Werth y% ist vollständig bestimmt, und es wird

/•(«£$)    rfaÿa)    r&W*)

I    F(xy)dx — I    F(xy)dx + f

r (x3 y3 )    r (,x2 y 2 )    /

I    F(xy)dx = I    F(xy)dx+ I

AxWi)    ri y2)    ^₂y₂)

Für die Strecke (x₂... x[) stimmen die Werthe von y überein, die den Punkten in der Umgebung von gl und denen in der Umgebung von g₂ zugeordnet sind; daher ist

vor.

von

g₂ angehören soll.

F(xy)dx

ferner

F(xy)dx.

r(&y»)    r

/ F(xy)dx = — I

^22/2)    y 2)

r (x2 y2 )    r (xs y & )    /*0®2 y 2)    r (xs y 3 )

I F(xy)dx + / F(xy)dx — I F(xy)dx + /

•'(«i yi)    •'teyi)    U*i2/i)    ^2/2)

d. h. man kann bei der Integration die Stelle (x₂ y₂ ) durch die Stelle (x₂ y₂) ersetzen. Ebenso kann man für alle anderen Strecken verfahren; das Integral bleibt daher ungeändert, wenn man die Eckpunkte des Polygons, welches in der Ebene der Variablen x den Integrationsweg darstellt, in der Weise verschiebt, dass jeder von ihnen innerhalb der beiden Bereiche bleibt, denen er ursprünglich angehört. Bei der neuen Integration muss indess beachtet werden, dass für y wieder derjenige eindeutige Zweig dieser algebraischen Function gesetzt wird, der für x = gi den Werth hi annimmt.

Vermöge solcher Variationen der Eckpunkte des Polygons kann bewirkt werden, dass jeder Eckpunkt nur zwei benachbarten Strecken angehört, dass also z. B. durch den Punkt x₂ kein anderes Stück der Integrationslinie hindurchgeht als die beiden Strecken (x₁... xF) und {x₂... x^). Einem Theile der Linie, die x bei der Integration durchläuft, kann man etwa die in der Figur 6 angedeutete Gestalt geben, wenn ursprünglich die beiden einander parallel gezeichneten Strecken in eine und dieselbe gerade Linie fielen.

Fig. 6.

Wir unterscheiden einfache und zusammengesetzte Integrationswege, und zwar soll unter einem einfachen ein solcher verstanden werden, der durch keine Stelle mehr als einmal hindurchgeht, wobei wir von einem Selbstschnitt nur dann sprechen, wenn an einer bestimmten Stelle des Integrationsweges nicht nur zwei Werthe von æ, sondern auch die zugehörigen Werthe von y zusammenfallen. Der einfachste Fall ist der, dass schon die Linie, welche die unabhängige Variable x bei der Integration durchläuft, sich selbst nicht schneidet; denn dann fallen sicher keine zwei Paare (xy)

zusammen. Schneidet dagegen jene Linie sich selbst, findet trotzdem kein Selbstschnitt des Integrationsweges statt, wenn dem Schnittpunkte, betrachtet als den beiden sich schneidenden Strecken angehörig, verschiedene Werthe von y entsprechen. Jedenfalls kann nach dem Gesagten angenommen werden, dass der Schnittpunkt immer innerhalb einer Strecke der x-Linie, nicht in einem ihrer Eckpunkte liegt.

Ein Integrationsweg, in welchem ein und dasselbe Werthepaar (xy) mehrmals wiederkehrt, heisst zusammengesetzt; es soll gezeigt werden, dass ein solcher für die Integration in eine Reihe einfacher zerlegt werden kann.

des Integrationsweges

so

Die Linie im Gebiete der Grösse x sei dargestellt durch (xt... xz... xa...    ...

von der Strecke (x₅... xj in

ą ... xj (Fig. 7) ; die Strecke (xa... xa) werde

einem Punkte g geschnitten, dem für beide Strecken der Werth rj von y

die Integration auf folgendem Wege ausführt:

zu-

gehören möge. Wenn

man nun

(%! Vi) •••(*.&)•••

(h) ••• fay») ••• teft) • ••(«.y») ••• (£ri) (U) ••• (*!&)>

so steht in der zweiten Zeile ein Kreis von Paaren, welcher einen einfachen geschlossenen Integrationsweg bildet; die erste und dritte Reihe zusammen

xg

Fig. 7.

X₄

x₅

■x₂

xt

geben ebenfalls einen -solchen Kreis. Das über den zusammengesetzten Integrationsweg ausgedehnte vollständige Integral zerfällt hiernach in zwei Integrale derselben Art, die über einfache Integrationswege erstreckt werden. Finden mehrere Durchkreuzungen statt, so fasst man zuerst eine beliebige von ihnen in’s Auge und zerlegt den Integrationsweg in zwei, die in dieser Stelle Zusammenhängen. Diese beiden, in denen die übrigen Selbstschnitte stattfinden, zerlegt man dann von Neuem und fährt damit so lange fort, bis man nur noch einfache Integrationswege hat. Die Summe der über diese Wege erstreckten vollständigen Integrale ist dann stets gleich dem ursprünglichen, über den zusammengesetzten Integrationsweg genommenen.

Die wichtige Frage, ob das Integral einer rationalen Function des Paares {xy) selbst rational ist, lässt sich mit Hülfe der Formel auf S. 264 entscheiden, die jedes Integral auf Integrale erster, zweiter, dritter Art und einen algebraischen Theil zurückzuführen erlaubte (S. 265); wir wollen aber jetzt noch ein zweites Kriterium hierfür herleiten, das des Verschwindens sämmtlicher vollständigen Integrale.

Am Schlüsse des ersten Abschnitts (S. 244—246) ist nämlich Folgendes bewiesen worden: Wenn eine Grösse z für jedes Werthepaar {xy) eines algebraischen‘Gebildes eindeutig bestimmt ist und bei Einsetzung eines Functionenpaares {xtyt) für {xy) sich als Potenzreihe von t darstellen lässt, die negative Potenzen nur in endlicher Anzahl und nur in der Umgebung einer endlichen Anzahl von Stellen enthält, so ist z eine rationale Function des Paares {xy). Es sei nun

r(%y)

z — I F{x'y')dx\ “l*o y»)

so ändert sich z hei jeder Änderung des Integrationsweges, aber bei Festhaltung der Grenzen, um ein vollständiges Integral. Sind nun, wie vorausgesetzt werden soll, alle diese Integrale gleich Null, so ist z seinem Werthe nach vom Integrationswege unabhängig und folglich eine eindeutige Function des Paares (xy). Nach Einführung eines Elementes (xty^), dessen Mittelpunkt die Stelle (ab) sei, wird

äs

dxt

Bei der Entwickelung des Ausdruckes rechts nach Potenzen von t können nur für eine endliche Anzahl Stellen (ab) negative Potenzen Vorkommen, aber jedenfalls nie ć⁻¹. Denn sonst würde in der Reihe, welche z in der Umgebung von (ab) darstellt, ein logarithmisch.es Glied auftreten, und z würde keine eindeutige Function sein. Demnach kann auch z als Potenzreihe von t dargestellt werden, und zwar enthält diese negative Potenzen blos für eine endliche Zahl von Stellen (ab), und nur in endlicher Anzahl. Daher ist z nach dem oben citirten Satze eine rationale Function des Paares (xy), und F(xy) die Ableitung dieser rationalen Function.

Da sich ein zusammengesetzter Integrationsweg in einfache zerlegen lässt, so genügt es für die Gültigkeit des eben bewiesenen Satzes, wenn alle vollständigen Integrale verschwinden, die über einfache Wege erstreckt werden.

(xy) abhängen. Durch

Ist die zu integrirende Function, wie die Function H(xy,x'y'), eine rationale Function zweier Werthepaare (xy) und (x'y), so müssen die Variablen x,y so beschränkt werden, dass diese Function F(xy,x'y') an keiner Stelle (x'y'), die dem Integrationswege des Integrals J‘F(xy,x'y')dx' angehört, unendlich gross wird. Eine solche Beschränkung ist ausdrücklich einzuführen, weil die Unendlichkeitsstellen der Function F(xy,x'y), als Function des Paares (x'y) betrachtet, im Allgemeinen auch von das Integral

ca'V)

F (xy, x'y' ) dx

(ab)

wird dann eine mit Ausnahme einzelner Stellen stetige Function des Paares (xy) defmirt.

Fünfzehntes Kapitel.

Die Function Q(xy).

Um nunmehr im Besonderen die Abelschen Integrale erster und zweiter Art zu untersuchen, kehren wir zu der Formel (S. 254) zurück:

4z H(xy, x'y') - -^z H(x'y', xy) = 2 f H'(xy)a II(x'y')a - H(xy)a H'(x'y')a j •

LvtAJ    Uw    ££ - J    '

Es seien (xoy₀) und (xtyx) zwei nicht singuläre Werthepaare, die demselben Elemente des gegebenen algebraischen Gebildes angehören. Man kann dann von ([x₀y₀) bis (xly₁) auf einem Wege integriren, der durch keine der Stellen (xy), (a₀b₀), (axbj, ... (ab^) hindurchgeht, und erhält

H(xy, x’y')dx' = H(x₁ yx, xy)- H(x₀y₀, xy)

(xi Vi)

dx

(xo Vo )

(xi Vi)

(xo Vo )

H(x'y')a dx' - H(xy)a J

(xi yd)

H'(x'y')adx'\-

(xoVo)

Dabei ist angenommen, dass

(xiVi)

H(xy, x'y')dx'

r(xiVi) d    d r

I ,sH{xy’x'y')dx'⁼teLv,

(PoVo)    (xoVo)

ist. Um dies zu beweisen, nehmen wir eine nicht singuläre Stelle (x + u, y + v) so nahe bei (xy) an, dass sie nicht auf dem Integrationswege liegt, und entwickeln die Function

E(x + u y + v, x'y')

nach Potenzen von u und v.

Da nun v, wenn f(x,y)₂ nicht Null ist, sich wermöge der Gleichung f(x, y) — 0 des algebraischen Gebildes nach Potenzen

von u entwickeln lässt u in folgender "Weise darstellen:

so kann man H(x + u y + v,x'y') als Potenzreihe von

H(xy,x'y') + -~ •

H(x + u y + v,x'y') = H(xy, x'y') + u

Hiernach ist auch

rixiVi)    /

I H(x + u y + v, x'y')dx' — /

^(xoVo)    Ą

• (Xj y₁ )

Oo2/o)

H(xy, x'y')dx' — u J

H(xy, x'y ) dx' + • • • ;

es lässt sich also die Differenz links nach Potenzen von u entwickeln. Der

Definition des Differentialquotienten gemäss ist dabei der Coefficient von u gleich

d r&iyi)

dX (xo Vo )

und es wird daher, wie behauptet,

_d_ iVt)

dx J, ,

(xoVo)

Die auf v. S. gefundene Formel gilt indess auch in demselben Umfange wie die, aus der sie hergeleitet ist (S. 254). Setzen wir

H(xy, x'y')dx',

H{xy, x'y)dx — J'

Ui 2/1) d

Uo Vo )

j^H{xy,x’y')dx.

H(xy, xy')dx

\xo Vo )

= \xxy„Xoyo),

so lehrt sie, dass diese Function, nach x differentiirt, eine rationale Function des Paares (xy) liefert. Nach Fixirung des Integrationsweges ist ü(xy\ xly₁,xoy₀) eindeutig definirt für alle Stellen (xy) mit Ausnahme derjenigen, die auf dem Integrationswege liegen; wir werden ihr aber später auch für diese eine Bedeutung beilegen können.

Nimmt man einen bestimmten Kreis von nicht singulären Werthepaaren (x₀y₀), fcyj, ... (avyr), (x₀y₀) der Art an> dass immer zwei aufeinander folgende Stellen einem und demselben Elemente des algebraischen Gebildes angehören,

kann man für je zwei benachbarte Stellen eine der gefundenen entsprechende

man dann

so

Gleichung bilden. Durch Addition sämmtlicher Gleichungen erhält auf der linken Seite die Ableitung nach x eines vollständigen Integrals

j H(xy, x'y')dx\

welches mit

Q(xy)

bezeichnet werden möge. Diese Function Q(xy) ist alsdann eindeutig bestimmt für alle Werthepaare (xy) mit Ausnahme derer, die (x'yr) bei der Integration durchläuft. Sollte der Integrations weg, der zu ihrer Definition dient, zusammengesetzt sein, so lässt sie sich stets darstellen als eine Summe ähnlicher Functionen, welche durch einfache Integrationswege bestimmt werden, und es genügt demnach, Functionen Q(xy) der letzteren Art zu betrachten, wodurch die Untersuchung sich wesentlich vereinfacht.

Setzen wir

(a — 1, 2,... q)

fH (x'y')aäx' = 2o)ff5 Jn\x'y')adx' = 27ja,

wobei sich die Integration über irgend einen geschlossenen Weg erstreckt, so nennen wir 2«^, 2a)₂, ... 2o>? ein System simultaner Perioden der q Integrale erster Art und 2yji, 2y]₂, ... 2r^ ein solches der Integrale zweiter Art. Wird nun der geschlossene Weg so wie vorher für das Integral

jH(xy, x'y') dx'

gewählt, so folgt

dü{xy)

dx

— 2 {²">aH\xy)a-2riaH(xy)a\

d. h. auch das mit Q(xy) bezeichnete vollständige Integral hat die Eigenschaft, nach x differentiirt eine rationale Function des Paares (xy) zu liefern, und zwar ist diese ein lineares Aggregat der 2 q Functionen H(xy)a und H\xy\.

Wählen wir einen von dem eben betrachteten^ verschiedenen geschlossenen Integrationsweg, so erhalten wir eine andere Function Q ($?/), und es können auch (oK und r\a andere Werthe annehmen. Bei Fixirung von 2q verschiedenen Integrationswegen ergeben sich 2q Functionen Q(xy) und 2q Periodensysteme

(oc = 1,2, ... q)

„ x

2{aal 2r\a

für welche Gleichungen von der Art der vorher gefundenen bestehen; und wenn es gelingt, jene Integrationswege so zu wählen, dass die Determinante der Grössen wa und yju von Null verschieden ist, so können wir aus diesen

Gleichungen die Functionen H(xy)a und H'(xy)a in der Form:

tty \    dQ(xy)

H(xy)a = 2 c«;.--—

A = 1

dx

2Q

H'{xy)a = 2 </.

a=i

i

dQ(xy)

(« = 1, 2,... q)

dx

berechnen. Es wird sich zeigen, dass die Perioden jedes Integrals f-—y^~dx nur Vielfache von 2tc« sind, und dass daher sämmtliche Perioden des Integrales

' jH(xy)adx = 2    /

ä = i

dQ(xy)

da;

da?

aus den Grössen cu7l und ähnlich die Perioden des Integrals J H\xy)adx aus den Grössen cal sich homogen und linear zusammensetzen lassen.

Die Function

Q(xy) = JH(xy, x'y')dx'

hatte eine Bedeutung für alle Stellen (xy), die nicht dem Integrationswege angehören. Auf dem Wege, den x bei der Integration durchläuft, und der durch die Linie (xx... x₂... x₃... xA... xB... xt) repräsentirt sein möge, z. B. auf der Strecke (x₂...xs), werde nun ein Punkt x₀ angenommen, zu welchem der Werth y₀ von y gehöre; es fragt sich, ob von einem Werthe der Function Q(xy) noch die Bede sein kann, wenn die Stelle (xy) mit der Stelle (x₀y₀) zusammenfällt.

Fig. 8.

•<c

cc.

xa

xi

Um einen bestimmten Fall in’s Auge zu fassen, setzen wir voraus, x

liege auf der positiven Seite (x₂...xa) in

von (x₂... x₃). Dann nehmen wir auf der Strecke hinreichender Nähe von x₀ zwei Punkte, £ und vor und

In beiden Gleichungen ist das mit einem Accent versehene Integral über die gebrochene Linie ... x₈... x₄... x₅... xt... x₂.. „ |) zu erstrecken, folgt weiter

Hieraus

hinter x₀ an, und ferner auf der negativen Seite von fa...x₃) einen Punkt x'₀ so nahe bei x₀, dass für die betrachtete Stelle (xy) die ursprüngliche Integrationslinie nach dem auf S. 300 bewiesenen Satze durch die Linie

y

fa ... x₂...%... x'₀...    ... x₃... x₄... xs... xj ersetzt werden kann. Den Punkten

£, |l5 æ₀, x'₀ mögen für den Integrationsweg die Werthe vj, yo, y[ von y zugehören. Das über den neuen Integrationsweg sich erstreckende vollständige Integral fH(xy,x'y')dx' soll mit ^X{xy) bezeichnet werden. Dann ist also

(êin i)

&(xy) = f J/ £

H(xy, x'y’)dx' + J

(x₀y'o)

dV)

(h)

H(xy, x'y')dx' +J

(Mi)

(x oVo)

H{xy₎ x'y')dx',

(Mi)

H(xy, x'y')dx' + J

(!*])

H(xy, x'y')dx'.

(Mi)

r«y'o)    r

Qt(xy) — Q(xy) — I H(xy, x’y')dx’ + /

*w)

Auf Grund dieser Formel, in welcher rechts über den Umfang des Dreiecks (I... x[... integrirt wird, ist leicht zu zeigen, dass die beiden Functionen Q,(xy) und Qt(xy) für alle Punkte, die ausserhalb des Dreiecks liegen, ihrem Werthe nach übereinstimmen. Es ist früher (S. 85, (III, 1)) die Formel

H(xy,x'y')dx' + J

(in)

(ii ni )

H(xy, x'y')dx'.

H(x,yt,xzyx)^ = fa + W, t)

so

aufgestellt worden, wo in ^3(^, x) nur positive Potenzen von x Vorkommen. Betrachten wir nun das Element, dessen Mittelpunkt die Stelle fay₀) ist können wir, wenn ffayo)₂ nicht Null ist,

T = x'— x₀

t = x — x₀

setzen, und erhalten

+ ^{x — x₀, x'— #₀)J dx'.

H{xy,x'y')dx' = \^ZX Integriren wir über den Weg (jj    |s... jj), so wird das Integral der

Potenzreihe gleich Null, und das Integral

dx'

x'—x

so

man

ebenfalls, da der singuläre Punkt x nicht innerhalb des Dreiecks (£ ... x... | ) liegt (S. 285). Daher kann für alle Punkte, die ausserhalb dieses Dreiecks liegen, der Integrationsweg (g...gj durch (g ... x[... gj ersetzt werden, oder die Werthe der Functionen ü{xy) und QJpy) stimmen, wie behauptet, für alle solche Stellen überein. Verschwindet f(x₀y₀)₂, aber nicht f(xy₀), kann man sich von dieser Übereinstimmung dadurch überzeugen, dass t — y — y₀, T = y'—y₀ setzt und die Relation (S. 73)

dx'

dy'

f(x'y'\ fXx'y')i

benutzt.

Die Function Q(xy) verliert ihre Bedeutung, wenn x mit x₀ und y mit yo zusammenfällt, aber die Function Qx(xy) hat für die Stelle (x₀y₀) einen ganz bestimmten Sinn. Nähert sich nun der Punkt x von der positiven Seite her dem Punkte x₀ und der zugehörige Werth y dem Werthe y₀, so definiren wir als den Werth der Function Q(xy) für die Stelle (x₀y₀) den Werth Qi(xoy₀), denn die beiden Functionen Q(xoy₀) und Q,(æ₀2/₀) stimmten an allen Stellen (xy) mit Ausnahme derer, bei denen x dem Dreieck (g ... aj'... g ) angehört, überein. Dieser Werth möge mit

y₀)

Das Entwickelte bleibt in ganz analoger Weise bestehen,

beźbichnet werden.

wo x” jetzt auf der positiven

wenn der Punkt x sich dem Punkte x₀ von der negativen Seite her nähert. Man definirt alsdann eine Function Qx(xy) mittels der Integrationslinie xt....X,

Seite von (xs...xs) liegt. Ist

®(x₀yo)

der Werth dieser Function für die Stelle (x₀y₀), so setzen wir Q(x₀y₀) = Ü(x₀y₀).

Man sieht sofort

dass die Functionen Q(xy) und Q(xy) sich längs des Integrationsweges stetig ändern und dass sie dieselbe Ableitung haben wie Ü(xy). Es ist aber noch zu untersuchen, ob und wie die Werthe der beiden Functionen für dieselbe Stelle sich unterscheiden. Nach der Definition

haben wir

«i*)

+    AKv’o)    r

&(xoVo) = I H(x₀y₀,x'y')dx + /

( £ V )    (xo Vo )

rWyö)    r

ßo Vo) = /    H(x₀y₀, x’y') dx' + /

J(h)    My’ó)

(ix’ll)

H(x₀y₀, x'y')dx' + f

Jr,

H(xly₀,x'y')dx' +J

(i’i)

E(x₀y₀,x'y')dx',

(ix’ll)

(i’l)

(ix’ll)

H(x₀iyQ,x'y')dx',

mithin ist

+    -    /*0&o2/o)    /*(il ’ll)

ß(^o2/o)-ß(^o2/o) =    /    H(x₀y₀,x'y')dx'+ I H(x₀y₀, x'y')dx'

^i’l)    *V«)

ripc'iy'0)    /'(i’l)

/ hT(a?₀ */₀, x'y') dx' +    H(x₀ y₀, x’y') dx'

nix’ll)    n«)

das Integral ausgedehnt über den Umfang des Vierecks (g ... a?'... fjj... as ... g) (Fig. 9).

Fig. 9.

?"

x₂-

x₀

ik

■œ*

Xq

Die Potenzreihe giebt integrirt Null, da sie nur positive Potenzen enthält* dagegen wird jetzt (S. 294)

dx'

/y»'_ rp

tK/    lA/ n

— 2 TT i

und es folgt mithin

&(^o2/o)-ß(>o2/o) = 2 tu.

= s 12 (0a H'(xy)tt -2rta H(xy)a j

az= i

Die Function Q(xy) hat also auch für die Stellen des Integrationsweges eine Bedeutung gewonnen; aber sie nimmt zwei verschiedene Werthe an, je nachdem der Punkt x sich dem auf der Integrationslinie gelegenen Punkte x0 von der einen oder der anderen Seite her nähert. Die beiden Werthe sind wie beim Logarithmus, durch die constante Grösse 2to unterschieden. Integrirt man die Formel dQ(xy)

dx

zwischen den Grenzen (xnyn) nnd (xn+1yn+1) grationsweg den ursprünglichen, mittels dessen die Function Q(xy) definirt war, nirgends schneidet,

ergiebt sich, wenn der Inte-

so

(ß'n+i Vn+1 )

q ( c ^n+i yn+i )

Q(Vn₊iyn+i)-Q(xnyn) = S 2o>« /

a==1‘ J(xnyn)

Führt man solche Integrationen zwischen je zwei aufeinander folgenden Eckpunkten eines geschlossenen, geradlinig-gebrochenen Integrationsweges aus und addirt die entstehenden Gleichungen, so erhält man auf der linken Seite Null, und es folgt mithin, wenn töa und rja für den neuen Kreis dieselbe Bedeutung haben wie u> und ria für den alten,

H\xy)a dx —

M.

H(xy)adx\-

S {'r\a^a—^arla) = °-

cc = i

Diese Relation besteht also zwischen den 4p durch zwei geschlossene Integrationswege bestimmten Perioden 2o>a, 2und 2rja, 2vja der Integrale erster und zweiter Art, wenn die beiden Integrationswege keine Stelle gemein haben.

y für beide Wege übereinstimmen. Wir

sagen wir, die Strecke (xn ... xn+1)

so

Es coincidire nun der zweite geschlossene Integrationsweg an irgend einer Stelle (xoy₀) mit dem ersten, d. h. es mögen für diese Stelle die Werthe von x und die zugehörigen Werthe von können nach dem oben (S. 300) Entwickelten annehmen, dass die beiden Linien sich nicht in einer Ecke, sondern innerhalb einer Strecke treffen; denn wäre dies nicht von vornherein der Fall, so würden wir es doch immer durch Variation des einen Integrationsweges bewirken können. Wenn, wie wir annehmen wollen, der Punkt xn der zweiten Integrationslinie auf der negativen, der Punkt xn+1 auf der positiven Seite der Strecke (x\..x'm+1) der ersten Integrationslinie liegt (S. 288)

schneide die Strecke (xrm... xm+l) in positivem Sinne (Fig. 10). Es handelt

Fig. 10.

Xn+1

a'tn+1

ih

sich dann um die Berechnung des Integrals

dx.

Nimmt man auf der negativen Seite von (x'm... x'm+l ) einen Punkt auf der positiven Seite einen Punkt ^ so an, dass diese Punkte der Strecke (xn ... xn+i) angehören, und sind den Werthen g und von x die Werthe t\ und von y zugeordnet, so hat man die Grenzwerthe aufzusuchen, welche die Integrale

(h)

dQ(xy)

dx

dx und

r(xn+iVn+i) dQ{xy)

If. II.)

dx

(*£» Vn )

annehmen, wenn £ und sich dem Durchkreuzungspunkte unbegrenzt nähern. Diese Werthe sind

und QK₊i2/n+i)-^K^o)*

r^n+iVn+i) dQ(Xy)

\xnyn) dx

Die Integrale, die aus der rechten Seite der Formel

dü(xy)

Es wird also

dx = &(xn+lyn+1)-Q(xnyn)-2i:i.

dx

= 2 {2o>aH’(xij)a-2rlaH(xy)a\

entspringen, nämlich

(æn+1 Vn+i )

H'(xy)adx und

(Aji+1 Vn+i)

H(xy)adx

(xnVn)

(Xn y ri)

werden durch das Vorhandensein der Durchkreuzungsstelle nicht beeinflusst.

Wenn die Durchkreuzung in negativem Sinne stattfände, so würde nur + 2tu an Stelle von — 2%i zu setzen sein. Man hat daher allgemein

"(æn+i 2/»+i)    )

R(xy)adx j +2enra,

(scn yn)

Qi    r (Xn+1 Vn+1 )

^ (p'n+i Vn+1)    ^ (p'n Vn) 2 ) ^ I

a=l{ J(xnyn)

wo en gleich +1, gleich —1 oder gleich 0 ist, je nachdem der Weg ({xnyn)... {%n+iyn+1)) den geschlossenen Integrationsweg, mit dessen Hülfe Q{xy) definirt worden ist, in positivem Sinne, in negativem Sinne oder gar nicht

H'(xy)a dx —

2r“L

Bestimmt man nun die Zahl eB für jede Durchkreuzung der beiden geschlossenen Integrationswege und setzt

schneidet.

= e,

so erhält man durch Ausführung der Integration

2(2ü>a.2Ÿja- 2rla.2üa) + 2erä = 0

oder

ETZ i

Man sieht sofort, dass diese Gleichung, die Verallgemeinerung einer aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannten Relation, bei richtiger Bestimmung des Werthes von e auch für zusammengesetzte Integrationswege gilt. Man hat dann die beiden Wege in ihre einfachen Bestandtheile zu zerlegen, jeden Theil des ersten mit dem in Betracht kommenden Theile des zweiten zusammenzustellen, für jede solche Combination die Zahlen zu bestimmen und die Summe dieser Zahlen gleich £ zu setzen.

Aus der Function Q(xy), die für die Stellen des Integrationsweges selbst nicht eindeutig definirt ist, kann man nun eine allenthalben eindeutige Function des Paares (xy) dadurch hersteilen, dass man

eÀ{xy) = E(xy)

setzt. Denn dann fällt die Unbestimmtheit weg, die bei der Function Q(xy) in der Möglichkeit der Addition von ± 2tu ihren Grund hat. Die Function E(xy) hat für alle Stellen (xy) mit Ausnahme der Stellen (alb₁)₎ ... (aQbq) den Charakter einer ganzen Function. Es ist nämlich

= 'Ii\2'*>aH'(xy)a-2riaH(xy)a j;

a

setzt man nun für (xy) irgend ein Functionenpaar (xtyt) ein, so folgt

= 'Ęl\^^aH'{xtyt)a-2rlaH{Xtyt)a\^~'

Nun ist für jedes Element des Gebildes (S. 86)

dlogE(xy)

dx

d log E(xtyt)

dt

und ferner (S. 257), wenn {xtyt) die Umgebung irgend einer Stelle mit Ausnahme von (aaba) darstellt,

= ?,(<)•

Daraus folgt durch Integration

lo gE(xtyt) = $,(*)

und endlich

wo E eine Constante bezeichnet.

In der Umgebung jeder von (a^), ... (abQ) verschiedenen Stelle hat also E(xy) den Charakter einer ganzen Function.

Sie hat für jede solche Stelle einen endlichen und von Null verschiedenen

Werth.

Für die Umgebung einer Stelle (aaba) hat man dagegen (S. 257)

(*^ß) (* = ß)‘

#'(«,),# = ! m)

y tJV? dt |-r⁸+*$(*)

Hieraus folgt

logE(xtyt) = 2uj E&yt) =    +

(« = 1,2,... q).

Diese Formel zeigt den Unterschied im Verhalten der Function E(xy) gegenüber einer Function, die überall im Endlichen den Charakter einer rationalen Function hat.

Da H(a₀b₀, x'y') identisch, d. h. für jedes Werthsystem (x'yf), gleich Null ist, so wird

ß(AA) = fH(a₀b₀,x'y’)dx’ = 0

mithin

= i.

Hiermit ist die Natur der eindeutigen transcendenten Function E(xy) vollständig bestimmt.

Wenn logE(xy) mit Q(xy) übereinstimmen soll, so ist der Werth des Logarithmus so zu wählen, dass er an der Stelle (a₀b₀) verschwindet (vgl. Kap. 18).

Es ist nun zunächst zu zeigen, dass diese _E-Functionen, mithin auch die Functionen Q(ocy), nicht etwa sämmtlich Constanten sind. Wir gehen wieder von der Formel (S. 313) aus

dlogE(xy)

dx

Wenn q == 0 ist, so sind die Functionen H(xy)u und H'(xy)a sämmtlich identisch gleich Null (S. 277), und die F-Functionen werden gleich 1; aber diesen Fall haben wir ein für alle Mal ausgeschlossen. Wären nun für q > 0 die Functionen E(xy) sämmtlich constant, so müsste stets

d log E(xy)

dx

sein, und dazu ist erforderlich, dass für jede Wahl des Integrationsweges alle Perioden 2ma und 2ïja verschwinden. Nun lehrt der auf S. 302 — 303 bewiesene Satz, dass wenn die vollständigen Integrale

2u)a = f H(x’y')adx'

für alle Integrationswege gleich Null wären, das Integral J‘H(xy,)adx' eine rationale Function von {x'y) sein müsste. Dies ist aber nicht möglich, da eine rationale Function immer an einer oder mehreren Stellen unendlich gross werden muss. Wenn ferner alle vollständigen Integrale

2*i« = jH'(x'y')adx'

verschwänden, so müsste jH'(x'y')adx rational sein, was nicht stattfinden kann,

der Stelle (aaba) von der ersten Ordnung un-

weil dieses Integral nur endlich wird (S. 259), während eine rationale Function von dieser Eigen-

Demnach giebt es geschlossene Integrationswege, die

an

Schaft nicht existirt. für logE{xy) keine Constante, für E(xy) also eine wirkliche Function er

geben.

2q verschiedenen geschlossenen Integrationswegen hatten wir uns 2q Functionen Q(xy) (A = 1,2,... 2q) gebildet gedacht, durch die wir die Functionen H(xy)a und H{xy)a in der lorm

Durch passende Wahl

von

2Q

H{xy)a - 2 Ca/-

x

dQ(xy)

dQ(xy)

dx

dx

(« = 1, 2, • • ■ f>)

darstellen konnten (S. 307). Setzen wir nun

eQ(xy) = E(xy)

so entstellen 2q JE-Functionen, durch deren Logarithmen sich demnach die H-Functionen in folgender Weise ausdriicken lassen:

d log E (xy)

(l = 1, 2,... 2p)

E(xy)a = 2 2 = 1

dx

l

d log E(xy)

(a = 1, 2,... p)

H\xy)a = 2 c'aX 2 = 1

Die Integrale der H- Functionen stellen sich dann als lineare Aggregate von Logarithmen der LJ-Functionen dar, die selbst eindeutige Functionen des Paares (xy) sind.

dx

Sechzehntes Kapitel.

Die Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art.

Wir hatten früher (S. 288) rein arithmetisch definirt, was es heisst, ein Punkt x₃ liegt auf der positiven oder negativen Seite einer geraden Linie (xl ... x₂)‘ es sollten nämlich diese beiden Seiten nach dem positiven oder negativen Vorzeichen der zweiten Coordinate des Quotienten

OC g oc i

rp „ rp *a/«    «A/j

von einander unterschieden werden. Diesen Begriff müssen wir jetzt in gewisser Weise auf eine gebrochene Linie übertragen. Zunächst ist leicht zu sehen, dass die Quotienten

xt — x2 x₂

und

xa-xa

rp _ rp

(x₂... x₃) und x₂ auf der von (xa... æj,

von

Nimmt man eine Reihe von Punkten æ₄, a?₅, ... hinzu, die diesem Winkel angehören, in positiver Ordnung auf einander folgen und zu dem Punkte x zurückführen, und verbindet sie der Reihe nach, den letzten mit durch gerade Linien, so liegen sämmtliche Punkte des Innern des so erhaltenen Polygons auf der positiven Seite von dessen Begrenzungslinie.

mit dem vorhergehenden in dem Zeichen ihrer zweiten Coordinate übereinstimmen; wenn also xa auf der positiven Seite von (xt...x₂) liegt, so liegt auch x% auf der positiven Seite und wir sagen dann, dass die Punkte xlt xt, xa in positiver Ordnung auf einander folgen. Alsdann liegen auch sämmtliche Punkte des Winkels (xtxtxa) auf der positiven Seite beider Geraden (xx... x₂) und (xt...xa)] sie sollen als auf der positiven Seite der gebrochenen Linie (xt... x₂... x₃) liegend bezeichnet werden.

Ganz entsprechend verhält es sich, wenn die Eckpunkte eines so con-struirten Polygons in negativem Sinne auf einander folgen: immer kann man, wenn man eine bestimmte Folge für sämmtliche Ecken fixirt hat, die Punkte im Innern des Polygons durch ein Vorzeichen von den ausserhalb gelegenen Punkten unterscheiden.

Wir

Nun seien K und K' zwei geschlossene Integrationswege, die wenigstens eine Stelle gemein haben ’ die Integrationslinien in der Ebene der Veränderlichen x seien Polygone der eben gekennzeichneten Beschaffenheit, denken uns beide Linien so durchlaufen, dass ihre Eckpunkte in positiver Ordnung auf einander folgen, das Innere jedes der beiden Polygone demnach auf der positiven Seite der Integrationslinie liegt. Dann sagen wir, der zweite Integrationsweg K' durchkreuze in einer bestimmten der gemeinsamen Stellen den ersten Weg K in positivem oder in negativem Sinne, je nachdem die zweite x-Linie die erste in dem jener Stelle entsprechenden Punkt in der Lichtung von aussen nach innen oder in umgekehrter Lichtung schneidet. Wenn daher an der betrachteten Stelle der Integrationsweg K von K' in positivem Sinne durchkreuzt wird, so durchkreuzt dort K den Weg K' in negativem Sinne.

Im Nachstehenden wird es sich hauptsächlich darum handeln, q Paare geschlossener Integrationswege Kl} K[, K₂, LT'; ... K'o so auszuwählen, dass der Weg K'a den Weg Ka einmal in positivem Sinne durchkreuzt, während sich die Integrationswege verschiedener Paare niemals schneiden. Für diesen Zweck ist noch Folgendes zu bemerken.

Es ist früher (S. 299 — 300) bewiesen worden, dass man, ohne den Werth eines vollständigen Integrals zu ändern, den lntegrationsweg in mannigfaltiger Weise variiren kann. Unter diesen Variationen ist besonders diejenige be-merkenswerth, durch welche die neue Æ-Linie der ursprünglichen aequidistant oder, wie man auch sagen kann, parallel wird. Ist (xt... xa... x₃... x₄... xj (Fig. 11) die ursprüngliche x-Linie, so kann man die neue in folgender Weise construiren: Man halbirt sämmtliche Winkel des Polygons und nimmt auf der ersten Halbirungslinie in der Nähe des Punktes xx auf der positiven oder negativen Seite der Integrationslinie einen Punkt x[ an, zieht von diesem Punkte eine Parallele zu (xx... x ) bis zum Durchschnitt mit der zweiten Halbirungslinie in xa, und fährt so fort, wie in der Figur angedeutet ist.

Ist der Kreis von Paaren ein einfacher, so kann der Kreis, welcher einer solchen Variation der x -Linie entspricht, jenen niemals durchkreuzen.

Fig. 11.

N\îL

x\

«fr

/K

Denn eine Durchkreuzung könnte jedenfalls nur dann stattfinden, wenn die ursprüngliche x-Linie sich selbst schneidet; dies geschehe im Punkte g welcher den Strecken (x₂... x₃) und (xi... xt) angehört (Fig. 12). Die Punkte, in denen die neue x-Linie diese Strecken schneidet, seien |x und ga. mögen die Werthe \ und yj' von y gehören, je nachdem ’ dieser Punkt als der Strecke (x₂ ... x₃) oder als der Strecke (x[... x[) angehörig betrachtet wird; es fragt sich, ob rjx = yj' sein kann. Da der ursprüngliche Kreis ein einfacher ist, so gehören zu

dem Punkte g, als Punkt der beiden Strecken

Fig. 12.

s\\

Ai

(x₂...x₃) und (x ...xt) aufgefasst, zwei verschiedene Werthe yj und r( von y. -

von g entfernt, also ist auch

un-

gx ist auf der Linie (x₂... x,) unendlich wenig

Tj unendlich wenig von Yj verschieden; da femei die Linie ([x... xj) m

ist die Stelle

endlich kleinem Abstande der Linie (xt...xt) parallel läuft, so

der Stelle (gY]'), d. h. 7]' unendlich wenig von yj'

(g^') unendlich wenig

von

verschieden. Weil sich nun der Annahme nach 7j und 73' um eine endliche Grösse unterscheiden, so haben auch 73₁ und 73' eine endliche Differenz; es findet daher für den Punkt ^ keine Durchkreuzung statt. Genau ebenso wird bewiesen, dass auch für den Punkt |₂ keine Durchkreuzung der beiden parallelen Integrationswege vorhanden ist.

Es ist nun leicht, einen einfachen Kreis von Paaren zu construiren, der mit einem gegebenen, ebenfalls einfachen Kreise nur eine einzige Durchkreuzungsstelle gemein hat. Um die Untersuchung durchzuführen, setzen wir

2 1H'(xy)a 2r\a H(pcy)a j = F(xy)

wo die Perioden 2toa, 273^ mittels des gegebenen Kreises von Paaren berechnet werden sollen, und beweisen zunächst, dass nicht sämmtliche vollständigen Integrale

jF(xy)dx

gleich Null sein können. Denn wäre dies der Fall, so müsste nach dem auf S. 302 — 303 bewiesenen Satze das Integral J F (xy)dx sich als rationale Function des Paares (xy) darstellen lassen. Aus dem Ausdrucke von F(xy) sieht man aber, dass dieses Integral nur an den q Stellen (aaba) von der ersten Ordnung unendlich werden kann, und da eine rationale Function von dieser Beschaffenheit nicht existirt, so muss es unbedingt einen zweiten einfachen Kreis geben, für welchen in der Gleichung (S. 313)

— 2 £ TT i

IF {xy) dx = 2(2(«a.2^a—2Y3„.2coa) ==

⁴⁷    a

2vj« = fH'(xy)a dx

die Zahl e von Null verschieden ist. Dabei ist 2wa = jH(xy)a dx

die Integrale auf den zweiten Weg bezogen, und es bedeutet e die Anzahl der Durchkreuzungen des zweiten Kreises mit dem ersten, jede mit ihrem Vorzeichen gerechnet. Es muss also einen Kreis geben, der den ersten überhaupt nur einmal oder sonst mindestens zweimal hinter einander in demselben Sinne durchkreuzt; denn wenn immer eine positive und eine negative Durchkreuzung auf einander folgten, so würde £ = 0 werden. Die x-Linie des ersten Kreises werde durch (a ... b ... c ... d... e ... a) dargestellt (Fig. 13).

Wir nehmen an, ein zweiter einfacher Kreis durchkreuze ihn zweimal hinter einander in positivem Sinne. Die zu den Kreuzungsstellen gehörigen Punkte x mögen innerhalb der Strecken (c ... d) und (e...a) liegen; in den Strecken {a ... 6) und (b ... c) können noch beliebig viele Durchkreuzungen stattfinden.

Fig. 13.

ll

//

dj

Zu beiden Seiten der x- Linie fixire man nun in der Nähe der Kreuzungspunkte je zwei Punkte xi, x₂ und x[, xa so, dass x\ von (e...a) denselben Abstand hat wie x von (c ... d). Zieht man dann von xt eine Parallele zu der ersten x-Linie bis zu x[ hin, so durchkreuzt der einfache Kreis (xt... x ... x'... e ... d'... xj, der in der Figur durch Pfeile gekennzeichnet

ist, den ursprünglichen nur an Sinne.

einer Stelle, zwischen x₁ und xt) in positivem Sollten die auf einander folgenden Durchkreuzungen der beiden Kreise ursprünglich in negativem Sinne geschehen, so würde man den con-struirten Kreis in entgegengesetztem Sinne zu durchlaufen haben.

Nachdem die Existenz eines Paares einfacher Kreise Kt) K[ bewiesen ist, deren zweiter den ersten nur an einer einzigen Stelle in positivem Sinne durchkreuzt, soll jetzt gezeigt werden, wie man zwei beliebige Stellen des Gebildes durch eine stetige Folge von Paaren verbinden kann, ohne diese beiden Kreise zu schneiden. Es werde dies zunächst für zwei Stellen (xt yt) und (x₂yj nachgewiesen, die in der Nähe und auf verschiedenen Seiten des

ersten Kreises liegen.

Die beiden Kreise seien in der x- Ebene durch

(a ... b ..

.d...a) und (a ...V... ć... d’... a) repräsentirt (Fig. 14).

Halbirt man die Winkel, welche die beiden Linien (c...d) und (d’... a), in denen die Durchkreuzung geschehen soll, im Kreuzungspunkte mit einander bilden, und nimmt auf den Halbirungslinien in beliebiger Nähe des Kreuzungspunktes die vier symmetrisch gelegenen Punkte £₂, |₃, an, so kann

man von    aus einen Weg construiren, der wieder zu dieser Stelle zurück

führt und an keiner Stelle mit einem der beiden Kreise coincidirt; er ist in der Figur durch Pfeile angedeutet. Dieser Weg könnte die beiden Kreise

Fig. 14.

5rf\

\\

Alf

V/Är*

höchstens in den Stellen durchkreuzen, die zu den Punkten a", b", c", d" gehören. Aber eine leichte, der auf S. 319 angestellten völlig analoge Betrachtung zeigt, dass jedem dieser Punkte x, als den beiden verschiedenen Strecken angehörig betrachtet, auch verschiedene Werthe von y entsprechen; denn zu dem zweiten Schnittpunkte der ^-Linien, den die Punkte a \ b", c", d" umgeben, gehört keine Durchkreuzung der beiden Kreise. Nimmt man nun die Punkte xx und xz auf der construirten Hiilfslinie zu beiden Seiten der x-Linie von Kx an und ordnet ihnen Werthe yx und yz von y zu, die unendlich wenig von dem zu x — x₀ gehörenden Werthe y₀ verschieden sind, so sieht man, dass die Stelle (xxyx) mit der Stelle (xay₂) durch eine stetige Folge von Werthepaaren verbunden werden kann, die mit keinem der beiden Kreise coincidirt.

Irgend zwei Stellen (xxyx) und (x₂y₃), die in der Nähe eines Kreises liegen, kann man aber mit Leichtigkeit so verbinden, dass der Verbindungsweg nicht mit dem Kreise coincidirt. Denn sollte die der Geraden (xx... x₂) entsprechende Verbindung der beiden Stellen den Kreis, etwa in der Stelle (x₀y₀) in positivem Sinne, durchkreuzen, so betrachte man die beiden Stellen als einem zweiten Kreise angehörig, welcher den ersten in der Stelle (x₀y₀)

und nur in dieser in positivem Sinne durchkreuzt; auf diesem Kreise kann man dann von (xtyx) zu (xay₂) gelangen, ohne den ersten zu überschreiten. Daraus folgt,    dass auch zwischen zwei    beliebigen Stellen    (x'y') und (x'y")

ein Übergang    durch    eine stetige    Folge    von Werthepaaren    der Art möglich

ist, dass der Verbindungsweg die Kreise Kt und K[ nicht schneidet.

Die Eigenschaft des algebraischen Gebildes, dass zwei beliebige seiner Stellen verbunden werden können, ohne dass die Verbindungslinie einen willkürlich angenommenen Kreis von Werthepaaren kreuzt, kann man sich in folgender    Weise    geometrisch    veranschaulichen. Man    denke sich die

Werthe von x und die von y in zwei parallelen Ebenen durch Punkte dargestellt, und ein Werthepaar (xy) durch den Strahl, welcher entsprechende Punkte der beiden Ebenen verbindet. Eine stetige Folge von Paaren {xy) wird alsdann    durch    eine stetige    Folge    von Strahlen repräsentirt, die eine

Das Strahlensystem verhält sich ähnlich wie eine

geradlinige Fläche bilden. Dann folgt aus dem Vorhergehenden, wenn wir irgend zwei Strahlen si und sa ins Auge fassen, dass es möglich ist, den Strahl so zu bewegen, dass er beständig ein Strahl des Strahlensystems bleibt und schliesslich in sa übergeht, ohne im Verlaufe dieser Bewegung jemals mit einem Strahle der Fläche zusammenzufallen. Der bewegliche Strahl kann allerdings die Fläche schneiden, aber ihr niemals in seiner ganzen Ausdehnung angehören.

Ringfläche, die z. B. durch einen erzeugenden Kreis nicht in zwei getrennte Theile zerlegt wird, auf der vielmehr zwei willkürlich angenommene Punkte stets ohne Überschreitung eines solchen Kreises durch eine auf der Fläche liegende Pinie verbunden werden können.

geradlinigen Strecken zusammengesetzt angenommen

Die Integrationslinie in der Ebene der Veränderlichen x ist im Vorhergehenden überall als aus worden weil die allgemeinen Erörterungen hierdurch an Einfachheit gewinnen. Aus den Elementen der Functionentheorie ist aber bekannt, dass die Ergeb-- nisse in allem Wesentlichen ihre Gültigkeit behalten, wenn der geradlinige Weg durch eine passend gewählte Curve ersetzt wird. So werden wir z. B. im nächsten Kapitel bei der Bestimmung der Perioden der hyperelliptischen Integrale die geschlossenen Integrationslinien zunächst als Ellipsen annehmen. Auch am Schlüsse des 13. Kapitels hätte der Werth 2tu für die Periode des Logarithmus durch Integration längs eines Kreises, der den Nullpunkt

zum Mittelpunkt hat, gefunden werden können, eines

Wie man die Berechnung

rX₂

Integrales J F{xy)dx auf die eines solchen mit reeller Integrations'Ll

variablen zurückführen kann, ist bereits S. 298 erörtert worden.

Wir kehren nun zu den Abelschen Integralen erster und zweiter Art zurück und setzen zur Abkürzung

(iorio)

(«iii)

H(xy)adx = Ja,

(cc=1,2,...q)

H'(xy)adx = J'a.

(So rio)

In diesen Integralen sollen die Grenzen keinem der beiden Kreise Kt und K[ angehören. Der von (£₀y]₀) zu (^tjJ führende Integrationsweg sei beliebig gewählt, nur so, dass er nicht durch die Eckpunkte der Kreise und durch die Kreuzungsstelle hindurchgeht. Ferner sei

2o>ai = / H{xy)adx J(Ki)

ai = f H(xy)a

J(K)

2rlal =

2 ui'

dx

f H'(xy)a

■w

f B\*y)a

J{K[)

dx,

dx

wo sich die beiden ersten Integrale über den Kreis Kt, die beiden anderen über den Kreis K[ erstrecken; die Eckpunkte der Integrationslinien sollen dabei in positiver Ordnung auf einander folgen.

.. tT liefert, durch einen anderen ersetzen kann, der die

ii •

Es soll nun gezeigt werden, dass man den Integrationsweg, der die Integrale Jx, ... J , J[

beiden Kreise nicht durchschneidet, vorausgesetzt, dass man zu den Integralen Ju, J'a passende Vielfache der Grössen 2o>ai und 2io^, 2r\ai und 2yj'b1 addirt.

Durchkreuzt nämlich der Integrationsweg z. B. den Kreis K[ an der Stelle (|t]) in positivem Sinne, so können wir diese Durchkreuzung dadurch entfernen, dass wir in der «-Linie unendlich nahe bei g, vor und hinter der Durchkreuzung, zwei Punkte g' und g" annehmen und dann die directe Linie (g'...g") durch eine andere ersetzen, die in der nachstehenden Figur 15 durch Pfeile bezeichnet ist.

Fig. 15.

//

Es fragt sich, wie sich hierbei die Integrale Ja und J’a ändern. Schnittpunkt der Linie (|⁽³⁾... |<4)) mit dem Kreise K[, so hat man

crv«)

Ist |⁽⁵⁾ der

(Ś⁽⁵⁾r/⁵⁾)

H{xy)adx —

(Si)

/•(SY)    r

/ E{ccy)adx + l

*/(SV)

(f⁴⁾V⁴⁾)

H{xy)aäx + j

E(xy)adx

(l⁽⁴Y⁴⁾)

da man den Integrationsweg immer in dieser Weise variiren kann, ohne den Werth des Integrals zu ändern. Ebenso darf man setzen

/•(SV)    r

I H(xy)adx + i

•'(Sil)    •'(SV ")

H(xy)adx —

(|(³⁾rX3))

(|(5) ^(5))

r

H(xy)adx + /

E (xy)a dx

(P>T)<³>)

und erhält durch Subtraction von der vorhergehenden Gleichung

(811)

(SV)

/

•'(SV)

Daher ist

E(xy)adx =

/•(SY)

*7« = /    #0^)«

J(Soi)o)

dx +

(Ś(3,7j'3>)

/    E(xy)adx + /

Ja(i)rn

(a ^ }E(xy)adx+f

•'(S V)    *'(S⁽⁴V⁴⁾)

/*

H(xy)adx + /

(fr,®)

(S"V)

H(xy)adx.

H(xy)adx + y

(IV)

(r³⁾7]<³>)

E(xy)adx

(Siiji)

E(xy)adx,

•'(SV)

und man hat ferner, wenn / das Integral von H(xy)a, über den neuen Weg erstreckt, bezeichnet,

(ś⁽⁴⁾V⁴⁾)

/•(SY)    r

Ju = / H(xy)adx + /

•'(Solo)    ’'(SY)

csv)

r(S⁽³⁾V³⁾)    /•

E(pcy)adx + I    E{xy)adx + /

*^(i⁽⁴⁾^<4))    •/xi(3,7j⁽³⁾)

(Si^h)

E(xy)adx

E(xy)udx.

(SV)

Durch Subtraction ergiebt sich

J~a

(i⁽³⁾Vs>)

(Ś(4>r]⁽⁴⁾)

c

H(xy)adx +

Ja

(Lwrn

H{xy)adx

also ein vollständiges Integral

fH(xy)Jx,

sodass

ausgedehnt über einen Weg, der in unendlich kleinem Abstande dem ersten Kreise von Paaren parallel läuft. Dieses Integral ist gleich 2w

Ja Ja 2 j

wird. Wenn der Schnitt des betrachteten Integrationsweges mit dem Kreise K[ nicht in positivem, sondern in negativem Sinne vor sich geht, so tritt, wie man sofort sieht, — 2ü);1 an die Stelle von 2o)f<1. Wir erhalten also

Ja — tfa i 2 öd

wo

das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem der zweite Kreis K[ von dem Integrationswege in positivem oder in negativem Sinne durchkreuzt wird. Ganz ähnliche Betrachtungen lassen sich anstellen, wenn der erste Kreis Kt durchkreuzt wird; man kann aber das Resultat sofort aus dem eben erhaltenen herleiten, indem man K[ als ersten und Kx als zweiten Kreis auffasst. jEl durchkreuzt K[ in negativem Sinne (S. 318), und bei einer Vertauschung von Kl mit K[ ist also — u>'₍₁ an die Stelle von o>ßl zu setzen. Es ergiebt sich dann

Ja    ^a + ^ l J

wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem der Integrationsweg, welcher J liefert, den Kreis Kt in positivem oder negativem Sinne schneidet.

Die für die Integrale J₁, ... J₀ gefundenen Ergebnisse gelten natürlich ganz entsprechend auch für ... J'n.

Wir denken uns nun einen Integrationsweg, welcher die beiden Kreise K₁ und K[ beliebig oft durchkreuzt. Indem wir für jede Kreuzungsstelle das eben entwickelte Verfahren anwenden, können wir der Reihe nach alle Durchkreuzungen entfernen und erhalten schliesslich einen Weg, der an keiner Stelle mit einem der beiden Kreise coincidirt. Ordnet man den einzelnen Durchkreuzungen des Integrationsweges ((|#7]₀) ••• (i^J) mit dem Kreise die Zahlen et, e₂, ..., denen mit dem Kreise K[ die Zahlen e', e', ... zu, wo jedes e die öfters angegebene Bedeutung hat, also gleich ±1 ist, so folgt

Ja - «7« + 2e'o>al + 2e'(l>al + •••

2s,(oal 2e₂(oal

oder, wenn 2 s = mi und 2e' = m\ gesetzt wird,

Ja = Ja+ 2m,₁(üal-2m₁io'al.

Mithin ist

(« = 1, 2,... q)

und ebenso

Ja — Ja - 2m[rlai + 2mi'ri’ai

Der Integrationsweg für die Integrale Ju und J'a ist hierbei so beschaffen, dass er mit keinem der beiden Kreise Kl und K[ coincidirt.

Wir wollen nun untersuchen, wie viele Paare von Kreisen es geben kann, welche die Bedingungen erfüllen, dass jeder Kreis eines Paares den ihm zugeordneten einmal in positivem Sinne durchkreuzt, und dass zwei nicht demselben Paare angehörende Kreise keine Stelle gemein haben. Es seien p solcher Paare von Kreisen gefunden, die mit

K\ ...

bezeichnet werden sollen; dann lässt sich, wie gezeigt werden wird, für immer noch ein neues Paar finden, das denselben Bedingungen genügt. Zwischen den Stellen (£₀7]₀) und    seien zwei verschiedene Integrations

ge-

wege construirt. Der eine habe mit keinem der Kreise eine Stelle mein; der andere kann jeden dieser Kreise beliebig oft durchkreuzen, und es mögen dann die Zahlen

mx, m\

(il = 2,... fi)

Die über den ersten Weg erstreckten Integrale der Functionen

für die Kreise Kx, K[ dieselbe Bedeutung haben wie eben mlf m[ für die Kreise Ki, K[

H{xy)u und H’(xy)a sollen jetzt mit Ja und JP, die auf den zweiten Weg sich beziehenden mit Ja und    und die über die Kreise Kx, K[ ausgedehnten vollständigen Integrale erster und zweiter Art mit

(1 = 1,2,...p)

2t^aÄ? ²^aÄ und 2"/j a^, ^‘f]aX

bezeichnet werden. Dann hat man

Ja =

_

J« - 2 (27W>aA-2mAo>;A),

A = 1

Ja = J'a ~ 2

A = 1

zusammen, so

gehen diese Gleichungen über in

!'

- 2 (²»«>al-²%®d)

2(üa =    2(0a

A =: 1

²*î« = ²?L - 2 (²w^«a-²%^«a)-

A = l

Es soll nun bewiesen werden, dass für y, < q der neue Kreis, welcher die Perioden 2«>a und 2rja liefert, immer so gewählt werden kann, dass diese Grössen nicht für alle Indices a — 1,2,... q gleichzeitig verschwinden; oder, was dasselbe ist, dass die Perioden 2u)a und 2t]a sich nicht durch diejenigen, welche sich auf die 2y gegebenen Kreise beziehen, ausdrücken lassen. Setzen wir nämlich

2 i B\xy)a — c'aH (xy)a j = F (xy)

a = 1

und bilden die vollständigen Integrale dieser Function in Bezug auf die 2y Kreise Kx und 2Ç, so können wir den 2q Constanten ca und c solche von Null verschiedene Werthe beilegen, dass diese Integrale sämmtlich verschwinden, d. h. dass man hat

2 X²CarlaX-2ćaua)L) = 0,

CC == 1

2 (?WaX-2Ćttta'a2) = 0.

Denn die Anzahl der Unbekannten ca, c'a ist grösser als die Anzahl der Gleichungen, die zu ihrer Bestimmung dienen. Bildet man ferner das vollständige Integral der Function F(xy) in Bezug auf den Kreis, welcher die Grössen 2ioa, 2yj lieferte, so erhält man

—    Q

\F(xy) dx = 2 \2carla-2c'a(aa\

a = i

oder wenn man für die Perioden 2u>a, 2rt die gefundenen Ausdrücke einsetzt und die Relationen unter den Constanten ctt, c'a berücksichtigt:

—    Q

)F(xy)dx = 2 \2carla-2c'aüa\-

a=zi

Nun ist nach unseren Festsetzungen fF(xy)dx ein beliebiges vollständiges Integral der Function F(xy); wären daher die Perioden 2q>k, 2yja stets gleich Null,

so würde nach dem auf S. 302 bewiesenen Satze jF(xy)dx eine rationale Function des Paares (xy) sein. Dies ist aber bei der Zusammensetzung dieses Integrales aus solchen erster und zweiter Art nur möglich, wenn alle Grössen ca, c'a gleich Null sind, während diese doch nach dem Obigen so bestimmt werden können, dass sie nicht sämmtlich verschwinden. Hiernach kann man in der That einen neuen Kreis K so construiren, dass er mit keinem der bereits vorhandenen 2y Kreise eine Stelle gemein hat, und dass die Perioden 2t£>a, 2rla, welche er liefert, nicht sämmtlich verschwinden. Ein solcher Kreis wird allerdings im Allgemeinen zusammengesetzt sein; aber dann kann, man ihn in einfache Kreise zerlegen, für welche ebenfalls die Grössen 2ü>ß und 2rja nicht sämmtlich gleich Null sein werden. Ist nun K;i+l ein einfacher Kreis, der den gestellten Bedingungen genügt, so lässt sich ein neuer Kreis Ku+1 entwerfen, welcher jenen nur einmal in positivem

dieselbe geblieben ist, der aber mit den ersten 2y Kreisen an keiner Stelle coincidirt. Dann ist also ein neues Paar von Kreisen K

(U+l

Sinne durchkreuzt (S. 320); mit den anderen 2y Kreisen kann er eine beliebige Anzahl von Stellen gemein haben. Mit Hülfe dieses Kreises kann man dann endlich einen Kreis iKr hersteilen, für welchen die Durchkreuzung mit jK

ft+l 7 ft-fl

gefunden, welches dieselben Eigenschaften hat wie die ersten 2y Paare. Dieses Verfahren lässt sich fortsetzen, bis man q Paare von Kreisen hat; für y = p aber können die Grössen ca, c'a nicht mehr so bestimmt werden, dass die auf S. 328 angegebenen Relationen bestehen, und es bleiben daher auch die auf diese Gleichungen gegründeten Schlüsse nicht mehr gültig.

Es ist jetzt leicht, die Relationen aufzustellen, die unter den 4p² durch die 2p Kreise bestimmten Grössen u>a und rla bestehen. Es war (S. 313)

8 7li

("*3«¹⁰ «    g

Setzt man nun, indem man die Kreise, über welche die vollständigen Integrale erstreckt werden sollen, in die Bezeichnung aufnimmt,

/ B{xy)a

f H(xy)a J(Xf)

und beachtet, dass die Kreise K¹ und Kr, K'ß und K'y sich nie schneiden, die Kreise K₃ und Ky aber nur dann, wenn ß = y, und zwar in einer einzigen Stelle, so erhält man aus der vorhergehenden Formel

,    9

i 2 (dlaß^ay

l a = l

Q

2 (dlaß^ay-Kß^ay) = ⁰

a = l

dx = 2(o

aß )

dx = 2 tu'

aß )

I H\xy)adx = 2^ J(Zß)

I H'(xy)adx = 2 7i'aß

J(Z'ß)

(a,ß =

{Kp,KY)

(A.)

9

2 (yiaß^'ay « — 1

o (ß^v)

^aß^luy)

TU i

(ß = y)-

(Kß,K'r)

Die Anzahl dieser Relationen unter den 4ç>² Grössen ist, wie sofort zu sehen,

2.9(9-})₌ p(2p —1).

Diese Gleichungen, die sich für q = 1, also in der Theorie der elliptischen Functionen, auf eine einzige reduciren, sind für das Folgende von der wesentlichsten Bedeutung. Sie sind von mir zuerst für die hyperelliptischen Functionen gefunden und im Jahre 1849 bekannt gemacht worden.¹) Ihre Ausdehnung auf Integrale beliebiger algebraischer Differentiale bot in so fern einige Schwierigkeiten dar, als die für den Fall der hyperelliptischen Functionen gebrauchten Hülfsmittel sich allgemein nicht unmittelbar in Anwendung bringen liessen. Für die hyperelliptischen Functionen brauchte man eigentlich nur die Analogie mit den elliptischen Functionen genau in’s Auge zu fassen. Die Bedeutung der Zahl q stellte sich für sie leicht heraus, und man kam bei der Lösung des in der Einleitung gestellten Umkehrungsproblems auf eine später von mir mit Al) bezeichnete Function, die für q = 1 im Wesentlichen mit der a-Function übereinstimmt und die Eigenschaft

hat, dass

2 2riaUa

Al(w„ ... uQ)

A1(Mj+ 2(ü1? ... Uq+ 2(jdç) = Ce“—¹

ist.²) Auf diese Weise sind die Grössen wa und riu zuerst eingeführt und einander zugeordnet worden. Es giebt 2p Grössensysteme, wofür eine solche Gleichung besteht. Welcher Art die unter ihnen stattfindenden Relationen sein müssen, erkennt man auf folgende Weise. Es ist, wenn ö)ö und Grössen derselben Beschaffenheit wie o> und r, sind,

a    ia    '

2 2ijB(**a + 2<oa)

2 (2tt)aua + 2rlaua) + 2

a = l

= CC'e

Al(wlf...).

Vertauscht man nun die beiden Grössensysteme od^, 7]a und töa, rja mit einander, so bleibt die linke Seite ungeändert, und es folgt daher

ea

2 4lf](lUia

oder

2 (4riatuw-4o)„7ja) = 2kni.

a = l

. w. , Yji, ... für bestimmte Integrationswege in Form von

Die Bestimmung der ganzen Zahl U wurde dann zuerst in der Weise ausgeführt, dass w

Reihen dargestellt und das Anfangsglied der Entwickelung der Summe auf der linken Seite bestimmt wurde. Bei der Ausdehnung der Theorie auf die allgemeinen Abelschen Functionen musste aber ein anderer Weg eingeschlagen werden. Es handelte sich zunächst um den Beweis der Existenz von genau 2p solchen Kreisen, wie sie oben eingeführt worden sind; dann Hessen sich die Formeln ohne jede Rechnung herleiten.

•• «

Andere Relationen unter den Grössen und erhalten wir aus dem System (A.) durch folgendes Verfahren. Wir setzen, unter plt ...pQ, beliebige Grössen verstehend,

(« = b 2, • • • (>)

42²

2 (^PßVaß + %Clßrlaß) — P ß = l

Q

^2 i(²Pß“>aß + ²Qß⁽⁰«p) = Qa-

Mit Hülfe unserer Gleichungen können wir j...Ą, qt1 ... leicht durch Px, ... P, Qx, ... ausdrücken. Es wird nämlich

2 (PaKy

CC = 1

Q    9 Q

2 ( Pa ^ay "ł" Qa ^iay)    2 ^Q-ßi ^iaß ^ay    ^aß^ay)

f — 1    et — 1 ß — 1    '

e q    ni

(y — h ••• q)

Qa^iay) 2 ^2 ^PßQlaß^ay ^aß^ay) ⁼ ^Py~^~ J

²Îr-F-

Das heisst also, die angenommenen Gleichungen sind für beliebige Werthe der Grössen Pu und Qu auflösbar. Daraus ergiebt sich, dass die Determinante

% •••

U)ü

°^1 ’ • ’

lu ••• ^10

?îu ••• rfiç

T/çl • * • rlÇQ

von Null verschieden sein muss.

Aus dem zweiten Gleichuiigssystem lässt sich, wie leicht zu sehen, umgekehrt das erste wieder herleiten.

Werden die gefundenen Ausdrücke für jtq^^.q in das erste Gleichungssystem eingesetzt, so ergeben sich die Identitäten 2 Q Q

^ y2j ^2^ i C^/ï¹⁰/*y Qfi^ay "h ( -^/î ^/îy E Qß ^!/îy) '’lay I

Qa =

~ZT S 2 l(Pß⁽⁰ßy~Qßrißy)⁽°ay~l~( Pß ^ßy + Qß ^ßy) Way |

y — l fl — l

(« = 1, ••• c).

Auf der rechten Seite der ersten Gleichung müssen die Coefflcienten der Grössen Q^ sämmtlich, und die der Grössen P^ mit Ausnahme dessen von P verschwinden; Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Mithin folgt

2 Ky>-^y<y) = °>

(B.)

2 i'rlay‘rlßy ^Ißy^lay)

= 0,

(ß^cc)

(ß = a).

2 (TlayW'ßy— ^ßy’Tiay) — TZl — 1    ——

Diese Relationen sind also eine Folge der Formeln (A.) (S. 330). Während in jenen in Bezug auf den ersten Index a summirt wird, so bezieht sich in (B.) die Summation auf den zweiten Index y, der nicht die H-Functionen, sondern die Kreise kennzeichnet, welche die einzelnen Perioden liefern. Die beiden ersten Formeln des Gleichungssystems (B.) sind deshalb besonders be-merkenswerth, weil in ihnen die vollständigen Integrale der Functionen H{xy)a und H'(xy)a getrennt auftreten.

Bei Einführung von Grössen p’a, q'a, jP', Q', die durch dieselben Gleichungen mit einander verbunden sind wie die Grössen pa, qa, P, Qa (S. 331), lassen sich die beiden Systeme (A.,B.) in die eine Formel

2 (PaQa-P'aQa) = ²™ 2 (Pa Qa ~Pa Qa)

a=i    a=i

zusammenfassen.

Nach Aufstellung dieser fundamentalen Relationen kann man nun die Aufgabe lösen, sämmtliche Perioden der Integrale erster und zweiter Art zu bestimmen.

Für irgend zwei Systeme solcher Perioden galt die Gleichung (S. 313)

2 (²⁷l«-2ü>a —2tu«-²^«) = ²e^-

a= i

Nimmt man nun für 2u)a, 2‘qa ein beliebiges System simultaner, d. h. (S. 306) auf demselben Wege bestimmter Perioden und setzt für 2o>a, 2qa der Reihe nach alle diejenigen Periodensysteme, welche durch die 2q Kreise geliefert werden, so folgt

— <V?l«) =

2 2 O')«*“« — KaHa) = m'pTzi.

a = l

Diese Gleichungen stimmen mit dem ersten System der Formeln auf S. 332, in denen pa, qa, Pa, Qa auftreten, für

Pa ^a J

² 2 Oi

Qa = <0

(0=1,2,...?)

m'ri

überein, können daher auch in der Form

2(oa

(« = i) 2,... q)

= St(- ² m'ß 0)a ß + 2mß a>’a p),

Q

2 Tia =    (- ²m'(i Tl«ß + ² »»/J r/a /»)

Die Zahlen-

geschrieben werden. D. h. jede Periode 2wa eines Integrales erster Art lässt sich darstellen als ganzzahlige homogene lineare Function der 2 q Perioden desselben Integrales, welche durch die 2q angenommenen Kreise geliefert werden; Entsprechendes gilt für die Integrale zweiter Art. coefficienten sind nicht von der zu integrirenden Function, sondern nur vom Integrationswege abhängig. Ihre Bedeutung ist leicht anzugeben, wenn man sich erinnert, dass in der Ausgangsgleichung

^ (2ria.2(ua-2(oa.2rla) = 2stzi

die Zahl

S =

die Anzahl der Durchkreuzungen des Weges, auf dem die Grössen 2toa, 2ria entstehen, mit demjenigen, auf welchem 2wa, 21\a erhalten werden, bezeichnete; jedes en war dabei gleich +1 oder gleich —1 zu setzen, wie auf S. 312 erörtert worden ist. Für unseren Fall sind —m^ und — m'? gleich solchen Zahlen e, und bei ihrer Bestimmung ist der Integrationsweg, der eben an zweiter Stelle genannt wurde, der Reihe nach als mit jedem der Kreise und Kp identisch anzunehmen.

Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich in einfacher Weise aussprechen, wenn man den Begriff eines Systems primitiver Perioden einführt.

Es sei wieder F(xy) eine beliebige rationale Function des Paares (xy), und

jF(xy)dx = 2«)

irgend eine Periode der aus F{xy) entspringenden Integralfunction. Durchläuft man den geschlossenen Integrationsweg, der diese Periode liefert, in umgekehrter Richtung, so erhält das Integral denselben Werth mit entgegengesetztem Vorzeichen. Es wird daher — 2(ä ebenfalls durch ein vollständiges Integral von F{xy)dx dargestellt; d. h. wenn 2ä> eine Periode ist, so ist es

Bestimmt man ferner auf einem anderen geschlossenen Wege

auch —2(5. eine zweite Periode

'jF(xy)dx = 2 m,

so kann man leicht beweisen, dass auch 2w + 2<j5' eine Periode sein muss. Aus der Irreductibilität der Gleichung f(x,y) — 0 des algebraischen Gebildes folgte nämlich, dass es möglich ist, eine Stelle (x₀y₀) mit einer anderen (x'₀y'₀) so zu verbinden, dass die zwischenliegenden Stellen stetig auf einander folgen, oder dass eine stetige Linie von x₀ nach x'o so hinführt, dass für diesen Weg auch y₀ in y'o übergeht (S. 241). Nehmen wir nun (x₀y₀) auf dem ersten, (x'₀y’₀) auf dem zweiten geschlossenen Integrationswege an, und verbinden (x₀y₀) mit (x[y[) durch eine stetige Folge von Paaren, die wir zweimal in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen, so erhalten wir einen geschlossenen Integrationsweg, und dieser liefert, wie sofort zu sehen, 2ü> + 2&' als Resultat der Integration.

Aus dem ersten dieser Sätze folgt, dass auch 2mw eine Periode sein muss, wo m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet; und weiter durch wiederholte Anwendung beider Sätze, dass wenn

2«S, 2«>', 2Ä", ...

Perioden des Integrals

J F(xy)dx

sind, auch jeder Ausdruck

2 mû + 2m'ô>'+ 2 m"û"+ • • •,

der sich durch Addition und Subtraction aus jenen Grössen zusammensetzen lässt, eine Periode darstellt.

Wir nennen nun ein System von Perioden eines Integrales primitiv, wenn sich aus den einzelnen Grössen des Systems alle Perioden des Integrals durch Addition und Subtraction zusammensetzen lassen, von diesen Grössen selbst jedoch keine in derselben Weise durch die übrigen ausgedrückt werden kann (S. 4). Die Definition simultaner oder zusammengehöriger Perioden zweier oder mehrerer zu demselben algebraischen Gebilde gehörenden Integralfunctionen wird genau so gestellt wie für die Integrale erster und zweiter Art (S. 306); es sollen darunter solche verstanden werden, die sich auf demselben geschlossenen Wege ergeben. Sind für die Integrale jFl(xy)dx, jF₂(ocy)dx, ... der aus demselben Gebilde f(x,y) — 0 entspringenden rationalen Functionen Ft{xy), F₂(xy), ...

2ù>;, ... 2«r°,

2fi>;, ... 2<-¹⁾,

simultane Perioden der Art, dass die unter einander stehenden Perioden durch Integration über denselben geschlossenen Weg erhalten werden, so heisst dieses System simultaner Perioden für die betrachteten Integralfunctionen ein primitives, wenn sich, falls 2o> , 2o> , ... irgendwelche simultane Perioden dieser Integralfunctionen sind, alle Grössen o> , to₂, ... stets in der Gestalt:

U)₁ — vü>₁ + v'S>[ + • • • + v 0>₂ = v Ô)₂ + v'œ'₂ + • • • + V' ⁻¹⁾ à),'⁻¹⁵

darstellen lassen, während für keinen Werth von x gleichzeitig Relationen der Form:

0><X) = v&t + v'S>[ + • - • + v(x-1) &*-v + Fx+1) «><x+1) + ... + v(r-v

<5™ = p ćo₂+t/a;+• • • + p(X-1J a«-«+pcx+1) a<x+1)+. • • + v(r-v af-"

0-1)

bestehen; die Coefficienten v, v', ... v Die sämmtlichen Grössen

sind dabei ganze Zahlen oder Null.

2to1/?,    2u)2/i,    ... 2u>Qß,

^⁷llßl ^rl2ßi * * *    2 7j^ ^

werden durch Integration über denselben Kreis Kß erhalten (S. 330) und sind daher simultane Perioden für die 2p Integrale erster und zweiter Art; dasselbe gilt für die Perioden

2«v, 2o>:

. . 2u/

2/i ? •

²yÎi/îj 2ri2(î, ... 2r)ęp,

die sich durch Integration längs des Kreises Kl ergeben. Ebenso bilden die früher (S. 334) für die Integrale erster und zweiter Art eingeführten Perioden

2(0,, 2o)₂, ... 2(o$,

^riU    ^TIq )

weil die Zahlen mp und m^ in den beiden Ansdrücken für 2toa und 2yjb dieselben Werthe haben, ein System zusammengehöriger Perioden der Integrale erster und zweiter Art.

Es soll nun gezeigt werden, dass für die 2p Integrale

(cc = 1,2

jH(xy)adx und jH\xy)adx

die 4p² Grössen

2wal, 2o>

. . 2 (o

CIQ 1

2<a'al, 2«/

und

. . 2 o/

• •    a(j

(* = 1» 2, ... p)

O = l, 2,... q)

^Tlcc 2)    ^al 1    ^ Tla 2)    •••

ein primitives System simultaner Perioden bilden. Dass sich jede Periode eines Integrales erster oder zweiter Art durch Addition und Subtraction aus den Grössen der ersten oder zweiten Horizontalreihe in der erforderlichen Weise zusammensetzen lässt, haben wir bereits gesehen (S. 334). Es genügt daher zu beweisen, dass nicht 2p lineare Relationen mit ganzzahligen Coefficienten

(« = h 2,... p)

4“ ■ * ‘ 4” Vq 4" Vx 4" • • • H⁻ Vq v i ^iai 4"    4” Vq]aq 4“ "^ai 4“ • • • 4* Vç f\ag

bestehen können. Wir setzen

« Re

vt(oalĄ-----ł-*/ęołaę4- v[v),alĄ-----\-v'Q(o'aQ —    ,

viriai +----H vQrlaQ 4- v[r(al 4- ••• + v'qr[aQ =

Aus diesen beiden Gleichungen erhält man, wenn man mit yj0/î, u>aß multiplicirt, subtrahirt und über alle p Werthe von cc summirt, und ähnlich

Tzi

SoRten nun 2p identische Relationen, wie wir sie angenommen haben, unter

den Grössen u>a(9, T\a? bestehen, sollten also alle Perioden 2ü>a und 2rja gleich Null sein

würden sämmtliche Coefficienten v und verschwinden Das heisst also, wie behauptet, die Grössen, die durch Integration

so

müssen.

über einen bestimmten der Kreise ÜC , üf

i> •

.. K ,Kr erhalten werden, lassen

Abelsche Functionen.

43

sich nicht durch die Perioden ausdrücken, welche die übrigen 2 p —1 Kreise liefern. Die Integrale erster und zweiter Art, die aus einem algebraischen Gebilde vom Range p entspringen, sind mithin sämmtlich 2p-fach periodisch in dem Sinne, dass alle Perioden jedes solchen Integrals durch Addition und Subtraction aus 2p von ihnen zusammengesetzt werden können und die simultanen Perioden der 2p Integrale erster und zweiter Art sich niemals durch weniger als 2p Systeme von je 2p simultanen Perioden ganzzahlig darstellen lassen.

Bezeichnet jetzt F{xy) eine rationale Function des Paares (xy), deren Integration ausser einer rationalen Function nur Integrale erster und zweiter Art liefert, so ist (S. 264)

F(xy)dx = 2 GaH(xy)aäx + 2 c'aH\xy)adx + dF(xy).

Denken wir uns auf irgend einem geschlossenen Wege eine Integration ausgeführt, so folge

2tO = 2 2Ca<°a + 2

Setzt man nun für 2o>a, 2?^ die auf S. 334 gefundenen Ausdrücke und führt die Bezeichnungen

Q

2 2c«

+ 2 2c'ariaß -

2 2Ca⁽°aß^' 2 2CaTlaß ~ ²

a — l    az= l

ein, so wird

Jedes Integral, das nur aus Integralen erster und zweiter Art zusammengesetzt ist, hat also ein primitives System von nicht mehr als 2p Perioden (S. 335); man erhält sie, indem man das Differential F{xy)dx längs der 2p Kreise Kß, K'ß vollständig integrirt. Für das Integral fF(xy)dx spielt 2d> dieselbe Rolle wie die Grössen 2toa und 27]a für die einzelnen Integrale erster und zweiter Art (S. 334); jene Periode wird auf demselben Integrationswege bestimmt wie diese. Es bedeutet daher auch in der letzten Formel und m'p jedesmal die Anzahl der Punkte, in denen die beiden Wege, die 20^ und 2(5^ liefern, durch den die Periode 2ö> bestimmenden Integrationsweg gekreuzt werden. Wenn mithin die 2q Integrationskreise gegeben sind und es möglich ist, die Anzahl der Durchkreuzungen eines beliebig angenommenen geschlossenen Integrationsweges mit jedem von ihnen zu bestimmen, so kann man auch die Periode, welche dieser Weg liefert, wirklich herstellen; allerdings kommt eine derartige Bestimmung nur selten vor, aber es ist wesentlich, ihre Möglichkeit erkannt zu haben.

Siebzehntes Kapitel.

Die Perioden der hyperelliptischen Integrale.

Die im vorigen Kapitel entwickelte Theorie soll jetzt an dem Beispiel des hyper elliptischen Gebildes vom Range q

if = B(x),

für

R{x) = (x-a^ix-aj ... (x-a2Q),

erläutert werden (vgl. S. 131). Da R(x) von ungeradem Grade ist, so ist, wie wir gesehen haben, die unendlich ferne Stelle eine einfach zu zählende wesentlich singuläre (S. 133).

Um zunächst die Function H(xy: x'y') aufzustellen, die an den Stellen

(*V)i («iîOi ••• (xQyQ)

unendlich gross und für die unendlich ferne Stelle Null werden möge, setzen wir

(x — xt) (x — xs)...(x — xq) = Tt(x)

so ist (vgl. S. 343)

H(xy,x'y') =

2y' \ (x — x,)(x — x₁)... (x — xQ)

ix'— x){x'— x^)... [x'— xq)

Ms.

(x₁ — x)(xx — x')... (xt — XQ)

(xq—x)(xq—x')... (x^-x^)

Nimmt man insbesondere, was für die meisten Untersuchungen ausreicht, die Stellen

Ko), KO), ... Kç-x°)

als die Unendlichkeitsstellen

foy»)» foy.)» ••• (^ye)

an und setzt

so wird

(x-a₁)(x-a₃)...(x-a2Q_₁) = P(a),

H(xy,x'y') =

P(z')

y'

2{x'—x)y’ l P(x) P(x')

Zum Beweise der Richtigkeit dieser Formel bilden wir zunächst das Functionenpaar    für die Umgebung der Stelle («,„^0). Dazu setzen wir

sodass

P(x)Q(x) = R{x)

ist, und definiren die Hülfsgrösse t durch die Gleichung

P(x) y y    Q(æ)

Diese Grösse ist also eine rationale Function des Paares (xy). Aus

= t.

Q(x)

folgt durch Entwickelung nach Potenzen von x — aia_x

-P'faa-l)

(«“«la-l) + *”

und hieraus

X't - a—1 "t

sowie

Von diesen beiden Reihen enthält die erste nur gerade, die zweite nur ungerade Potenzen von t.

Wollte man

Q(x) y y    P(x)

setzen, so würde man ganz entsprechend auch die Umgebung jeder der Stellen (a2K0) durch ein Functionenpaar dieser Grösse t darstellen können.

Das unendlich ferne Element des Gebildes wird durch ein Functionenpaar der Form

xt — t~²

yt = r«e⁺¹⁾{l+ **$(*•)!

geliefert (S. 133).

Für das hyperelliptische Gebilde f(x,y) = y²—R(x) = 0 ist die Function

y'-y

f(xy,y') =

von der wir bei der Bildung von H(xy, x'y') ausgingen (S. 62), gleich

y'* — y*

y'-y

= y + y',

mithin ergiebt sich

/'Qpy> y') _ y + y'

x'—x

x'—x

Diese Function wird, ausser für x = oo, noch für x — x\ y — y unendlich gross, und zwar von der ersten Ordnung, während sie für x — x\ y = —y endlich bleibt. Bilden wir nun die Function

P{x')

x'—x ( P(x)

y + y'

₌ P&) ( y

x'-x \ P(oc) T P(x')

y'

so verhält sich diese für die Stellen {x'y') und (x\ —y ) genau wie die vorhergehende, bleibt aber im Unendlichen endlich. Denn für das unendlich ferne Element erhält man

= -P(x')t + -;

1 (P(xr) A x'-xt\P(xt) yt + y)

Ferner wird sie unendlich

die Function verschwindet also im Unendlichen, gross und zwar von der ersten Ordnung, wenn P{x) Null wird, d. h. an den q Stellen («j0), (a₈0), ... (a 0); denn für die Umgebung der Stelle K«—x°) ist

Vt

Durch ganz ähnliche Betrachtungen lässt sich auch leicht die Dichtigkeit des für die allgemeinere iï-Function zu Anfang dieses Kapitels aufgestellten Ausdrucks nachweisen.

Die Functionen H(x'y')a und H'(x'y')a ergeben sich mittels der Gleichung

(S. 252)

H(xtyvx'y’) = t"¹    + H(xy)a-tH'(x'y' )« + ••• •

Die Einführung von

t²-\----,

Die Function

y'

?(?') j y _

x'—X I P(x) P(x')

hat also nur die p + 1 Unendlichkeitsstellen («x0),(a₃0), ... (^₂o_x0) und (x'y )T und die unendlich ferne Stelle ist eine ihrer Nullstellen. Durch diese Eigenschaften war die Function H(xy^x'yr) nur bis auf einen von (xy) unabhängigen Factor bestimmt; es wurde deshalb festgesetzt (S. 66 und 73), dass ihre Entwickelung nach Potenzen von x'—x mit dem Gliede soll. Nun ist

x'—x

beginnen

P(x) **■ P(x’)    P(x')

also ergiebt sich

H(xy,x'y') =

P(x')

y’

2 (pc'— x) y' I P(pc) T Pipe')

= »*«-! +

in H(xtyt, x'y') liefert zunächst

H(xtyt,x'y') =

P(x')

2(x- xt)y'

j r>+

y'

P(x')

Hierin ist

x'-xt

QKa-1)

-P (<^2 a -l )

t²—

x'-a2a_i

Qfaa-l)

(x'~a2a-1)² P'(a>a_J

mithin folgt, wenn «, y für «, y geschrieben wird

H{xy)a =

P(«)

2y{x~aia-i) ’

#'(**/)« =

P(«)

(a = 1, 2,... ç)

Auf anderem Wege ist ein vollständiges System von Functionen H(xy)a bereits im fünften Kapitel (S. 134—135) hergestellt worden.

Jetzt wollen wir untersuchen, wie man für das hyperelliptische Gebilde die Kreise K^ und FÇ, die zur Berechnung der Perioden erforderlich sind, wirklich finden kann.

Wie schon erwähnt (S. 323), kann man sich die «-Linien der Kreise Kp, Kpj für die wir Polygone angenommen hatten, durch andere geschlossene Linien ersetzt denken, wenn diese nur denselben Bedingungen unterworfen werden wie jene Polygone. Um für einen Kreis von Paaren Kfür den die «-Linie z. B. ein wirklicher Kreis ist, den zugehörigen Kreis K* zu bestimmen, kann man die «-Linie durch ein eingeschriebenes Polygon ersetzen und dann auf die früher (S. 320) erläuterte Weise ein neues Polygon construiren, welches das erste nur einmal in positivem Sinne durchkreuzt. Die Anzahl der Polygonseiten darf beliebig gross und ihre Länge beliebig klein sein; man kann daher durch Übergang zur Grenze auch das zweite Polygon in eine geschlossene Curve verwandeln.

Bei der Anwendung auf den Fall des hyperelliptischen Gebildes handelt es sich zunächst um die Construction einer «-Linie von der Art, dass wenn man sie von irgend einem Punkte «₀ bis zu «₀ zurück durchläuft, y stetig von y₀ wieder in y₀ übergeht. Da x₀ ein Punkt der Linie, also nach den früher für die Integrationswege festgesetzten Bedingungen von den singulären Punkten a₀,al,...a%Q verschieden ist, so ist der zu ihm gehörige Werth ya von Null verschieden, und man kann schreiben

Vo

X CIq X

x₀—a₀ x₀—a₁

x — a₂

1.

Diese Gleichung ersetzen wir durch

y = y₀e

i . x — a₀

7l0gl^⁺- + los

X 0,2 q

und fixiren dabei jeden einzelnen Logarithmus so, dass sein Werth für x — xq gleich Null ist. Es ist leicht zu beurtheilen, wie jeder dieser Logarithmen sich ändert, wenn x von x₀ ausgehend eine geschlossene Curve durchläuft. Zieht man z. B. vom Punkte ay aus in beliebiger Richtung eine unbegrenzte Gerade, so ist ihre positive und ihre negative Seite nach S. 288 bestimmt. Bezeichnet man nun die Durchschnitte der geschlossenen Linie mit dieser Geraden mit +1 oder —1, je nachdem das Schneiden in positivem oder in negativem Sinne vor sich geht (S. 311), und nennt dann yy die Summe dieser Zahlen, sodass yy die Windungszahl der geschlossenen Curve für den Punkt ay ist, so ändert sich ~ log ^

aY,

um    (S. 293), folglich die Summe der

X₀ Cly_

Logarithmen im Exponenten um

2Ç

2 fU™'

y. = o

Ist nun 2^ gerade, so erhält y den Werth y₀ wieder, wenn x einen Umlauf vollendet hat, im anderen Falle geht y in — yo über. Um die vorgeschriebene Bedingung zu erfüllen, hat man daher die x-Linie so zu wählen, dass gerade ist. Dies tritt z. B. ein, wenn man für diese Linie eine beliebige geschlossene Curve nimmt, die durch jeden Punkt nur einmal hindurchgeht und eine gerade Anzahl von Punkten ax umschliesst. Denn die^ Windungszahl yy einer solchen Curve ist für jeden dieser Punkte gleich ±1, für jeden der übrigen Punkte ax gleich Null, mithin ist jedenfalls gerade.

In ganz ähnlicher Weise würde man verfahren können, wenn das betrachtete Gebilde die Gleichung hätte (vgl. S. 135).

Durch die in der Theorie der elliptischen Functionen auftretenden Formeln wird man veranlasst, die eben betrachteten geschlossenen Curven als Ellipsen anzunehmen. Bevor wir aber in dieser Weise die Perioden der hyjierelliptischen Integrale berechnen, wollen wir das vollständige Integral des Differentials

äx \J(x — a'){x — a")

erstreckt über den Umfang einer Ellipse mit den Brennpunkten a und a\ betrachten.

Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkte (u = 0, v — 0). Aus den Werthen r±~ der Halbaxen ergeben sich die Abscissen der Brennpunkte gleich ±2. Wenn daher | einen Kreis mit beliebigem Radius um den Nullpunkt als Mittelpunkt durchläuft, so beschreibt x eine Ellipse mit dem Mittelpunkte

Ob 0/

und den Brennpunkten a\ a" (Fig. 16). Diese Thatsache giebt der ange-

¹

Vgl- Bd. I, S. 124—128 dieser Ausgabe.

²

Vgl. Bd, I, S. 146 dieser Ausgabe.

Fig. 16.

x' I

Schon in den Elementen der Integralrechnung wird gezeigt, dass dieses Differential am einfachsten durch die Substitution

a'-d' l + r¹

a'+ a"

von der Irrationalität befreit werden kann. Substituirt man

I = re

so ergiebt sich

a'+a"    1 a'-a" \(    1\    .(    1\ .

-~r~+ 2 —2~ [('•+7jc°s<p+*^--jsm?

und es folgt, wenn man

a' + a"

a'— d'

= u + vi

setzt

« = (•■+7)

cos cp

v =    sin ?

u²

Kf K)s

= 1.

a"

wendeten Substitution eine sehr anschauliche Bedeutung.

Es ist noch zu untersuchen, durch welche analytischen Festsetzungen man bewirken kann, dass der Umfang der Ellipse in einer bestimmten Richtung durchlaufen und die Gerade ma' in dem a zunächst gelegenen Scheitelpunkt x in einem vorgeschriebenen Sinne geschnitten wird.

Der

Punkt x beschreibe die Ellipse in positivem Sinne (S. 317), also so, dass die von der Curve umschlossene Fläche zur Linken bleibt. Das Schneiden geschehe ebenfalls in positivem Sinne, sodass sich der Punkt x von dem Scheitel x' aus anfänglich auf der positiven Seite von ma bewegt.

Um etwas Bestimmtes festzusetzen, nehmen wir

a' > a"

an. Dieser Ungleichung soll auch dann eine Bedeutung beigelegt werden, wenn a und a" complexe Grössen sind; und zwar soll sie für

a’ = a'+ß'i, a"=cc"+ß"i

mit

a' > a"

gleichbedeutend sein, wenn a von a" verschieden ist, dagegen mit

falls a = a" ist.

Aus a—a"> 0 folgt

a'— m > 0.

Der Punkt x liegt auf der positiven Seite der Geraden ma\ wenn

a! + a"

a'—m

in der zweiten Coordinate positiv ist, d. h. für

tO H*

(r — yj sin cp > 0.

Soll diese Bedingung für kleine positive Werthe von cp gelten, so muss

— > 0, r

r > 1

sein. Setzt man also zwischen x und § die obige Beziehung fest (S. 346), substituirt % — re^% und nimmt r > 1 an, so beschreibt der Punkt x den Umfang einer Ellipse mit den Brennpunkten a und a" in positivem Sinne, wenn 9 die Werthe (ü...2iu) stetig durchläuft; und zwar schneidet diese Ellipse die Gerade ma im Punkte x im gleichen Sinne. Der Punkt £ durchläuft hierbei, ebenfalls in positivem Sinne, die Peripherie eines Kreises vom Radius r. Der Scheitel x' gehört zu 9 — 0, der jenseit a gelegene x" zu 9 = ir.

Die durch Veränderung von r entstehenden Ellipsen sind confocal. Lässt man r von Werthen > 1 her sich unbegrenzt der Einheit nähern, so schliessen sich die Ellipsen der Strecke aa" beliebig nahe an. Für den Grenzfall r = 1 wird

a'+ a"

a'-a!'

2~ cos 9.

a", für 9 = 2ir wieder x —

Für 9 = 0 ist dann x = a’, für 9 = rc der Punkt x durchläuft, wenn £ den Kreis vom Radius Eins beschreibt, die gerade Linie aa" von a nach a" und wieder nach a zurück.

Bei beliebigen Werthen von r ist

x — a' =

x — a" =

a'-a" r

2-(1 +

(x — a') (x — a") =

(q'—a") |~t    (6 + r)M

_ (a'-a'T (ë-r¹)’

Ein Werth der Wurzelgrösse \l(x — a') {x — a") wird mithin gleich

a'-a" l-r¹

Für viele Untersuchungen ist es zweckmässig, von den beiden Werthen, die eine Quadratwurzel aus einer complexen Grösse haben kann, einen als den Hauptwerth auszuzeichnen. Cauchy hat als Principalwerth von

\Ja + bi

denjenigen definirt, dessen zweite Coordinate dasselbe Zeichen hat, wie die zweite Coordinate b der Grösse a + bi. Wir wollen eine etwas andere Be-

Stimmung treffen. Unter einer positiven complexen Grösse soll eine solche verstanden werden, deren erste Coordinate positiv ist; ist diese jedoch gleich Null, so soll die complexe Grösse positiv oder negativ heissen, je nachdem die zweite Coordinate positiv oder negativ ist. Diese Bestimmung kann als Specialfall der auf S. 347 eingeführten Definition der Ungleichung d > a" betrachtet werden. Dies vorausgesetzt, möge, wenn die complexe Grösse x positiv ist, unter dem Hauptwerth von \Jx der positive Werth verstanden werden. Ist dagegen x eine negative complexe Grösse, so soll der Hauptwerth von Sjx gleich iSj—x sein, wo \J—x positiv ist.

Man kann den so erklärten Hauptwerth für alle Punkte der complexen Ebene mit Ausnahme der Geraden, die vom Nullpunkt durch den Punkt — i hindurch in’s Unendliche verläuft, durch einen einzigen Ausdruck darstellen. Es werde

(*-f)

x = % + rti = ęe

gesetzt, so erhält man, wenn

0 < cp <c

ist, für den Hauptwerth der Quadratwurzel aus x den Ausdruck

\Jx — V I + r{i — \[q e

wo positiv zu

nehmen ist. Ist nämlich

I = Q COS (cp -jj

positiv, liegt also cp zwischen den Grenzen 0 und t:, so wird auch die erste Coordinate von

\Jq e

nämlich

'ôï

tH |<n

positiv. Für cp = it, d. h. % = 0, ist x ebenfalls positiv, nämlich gleich çi,

71 . -I

V/2

und der Hauptwerth von + wird nach der ursprünglichen Definition

1 + i

S/çi =

\Iq;

derselbe Werth

\!q e 4

folgt aber auch aus dem angenommenen Ausdruck.

Ist ferner £, also auch æ, negativ, d. h.

TT C CO C 2 71 ,

so soll nach der Definition der Hauptwerth von + gleich

i V— (£ + rii)

gesetzt werden. Nun ist

und für

— (i + ^o — Qe

<p = TT + 9'

-(I + rp) = ge

Weil cp' zwischen den Grenzen 0 und tc liegt, so ergiebt sich nach dem bereits Bewiesenen als Hauptwerth der Quadratwurzel

= \T(>e

woraus

wieder mit der angenommenen Formel übereinstimmend. Für 9 = 0 dagegen wird

71 .

% + rii = $e ²    = —Qi

mithin nach der Definition für den Hauptwerth

v».

-1 + *

V2

Der Ausdruck

\Iq e

liefert jedoch

71 .

\/9 e

V2

d. h. der Hauptwerth der Quadratwurzel wird für cp — 0, also für diejenige Gerade, die sich von 0 durch —i in’s Unendliche erstreckt, durch jene Formel nicht dargestellt.

Bestimmt man, dem Vorhergehenden entsprechend, den Hauptwerth von Sjx—a durch einen analytischen Ausdruck, so wird dieser Hauptwerth dadurch für die ganze Ebene dargestellt mit Ausnahme einer geraden Linie, die vom Punkte a aus der Strecke (0----i) parallel läuft.

Unter dem Hauptwerth der Quadratwurzel aus einem Product soll das Product der Hauptwerthe der Wurzeln aus den einzelnen Factoren verstanden werden. Im Besonderen ist der Hauptwerth der Grösse \J{x—a'){x — a") gleich dem Product der beiden Hauptwerthe von \/x—a' und \jx—o!'. Auf Grund dieser Definition wollen wir untersuchen, ob der auf S. 348 für jene Wurzelgrösse gefundene Werth der Hauptwerth ist.

Für den Scheitelpunkt x' der Ellipse ist

x'-a' = k'ia’-a"), x’-ci' = k"(ar— a"),

wo k\ k" reelle positive Grössen bedeuten. Der Hauptwerth von \j{x'— a')(x'—a”) wird demnach gleich

sJW¥{a’-a").

Dieser Werth ist positiv. Nun ändert sich der Hauptwerth von sjx—a' stetig,

so lange x nicht den Strahl überschreitet, der von a aus parallel zu (0----i)

gezogen ist, und dasselbe gilt für den von \Jx-a", so lange x nicht die Linie passirt, die von a aus jener Geraden parallel geht; daher ändert sich auch der Hauptwerth von \l(x — a')(x — a") in der ganzen Ebene mit Ausnahme jener beiden Linien stetig. Für alle Punkte x} die in der Nähe von x’ gelegen sind, muss hiernach der Hauptwerth der Wurzelgrösse positiv sein. Diese

Bedingung erfüllt in der That der Ausdruck (S. 348)

a’-a"' l-r*

denn er ist für x = x positiv, da dort £ > 1 ist. Dieser Ausdruck stellt also für denjenigen Ellipsenbogen, der nicht zwischen den betrachteten, von den Brennpunkten a und a ausgehenden Strahlen liegt, den Hauptwerth von \j(x — a'){x — a") dar; dagegen für den zwischen diesen Strahlen liegenden Bogen den dem Hauptwerth entgegengesetzten.

Das Differential

dx

Sj(x — a')(x — a")

(S. 345) nimmt nun vermöge der betrachteten Substitution

Qj -f- CI

a'-a" l + r¹

eine

sehr einfache Form an. Es ist

dx =

o — a" 1-1

F“*

mithin

dx

dl

\J(x — a'){x — a")

Bei einer Integration, bei der x in positivem Sinne den Umfang einer Ellipse mit den Brennpunkten a und a", also £, ebenfalls in positivem Sinne, den Umfang eines Kreises beschreibt (S. 348), wird demnach

— 27t«'.

dx

\J(x — a') (x — a")

Die Wurzelgrösse ist hierbei so zu wählen, dass sie in dem auf der positiven Seite von ma gelegenen Theil der Ellipse dem Hauptwerth gleich wird.

Die entsprechende Substitution soll jetzt auf ein vollständiges hyperelliptisches Integral

r f{x) dx

\]R{x)

angewendet werden, in welchem f(x) eine ganze Function bedeutet. Die Ergebnisse, die sich hierbei herausstellen, werden ohne Weiteres für die Berechnung der Perioden der Integrale erster Art verwerthet werden können.

Die Grössen «o, at, ... aao

in dem Ausdruck E(x) = (x — a₀)(x — al)...(x — at9) wollen wir uns so geordnet denken, dass die Differenzen

ü₀ Of j , Ojx    ,    ...    &2Q

sämmtlich positiv sind. Das Integral soll in positivem Sinne über den Umfang einer Ellipse erstreckt werden, die nur die Punkte aa und aa+1 um-schliesst und diese zu Brennpunkten bat. Demgemäss setzen wir

_ (f a ag+1 , act ^'a+1 £ £

-i

und erhalten

\J(x — aa)(x — aa+1) =

dem Vorhergehenden entsprechend zu erklärenden

für einen bestimmten Werth der Quadratwurzel.

Ist ferner ß eine von a und a +1 verschiedene Zahl aus der Reihe 0, 1, ... 2p, so wird

aa 4-

-2    I» ⁺    2

VA+ilii¹

X — Cfy =

Man kann die rechte Seite als ein Product der Form darstellen, indem man die Coefficienten hß den Gleichungen

aa + aa+1

entsprechend wählt, aus

*J+ÄJ =

9 php =

denen die Ausdrücke

— ( \Ztta ttß "t⁻ \/tta Clß ) hß = j(^a~aß -faa+i-ap)

®a+1

-üß

hervorgehen. Welche Werthe den beiden Quadratwurzeln hierbei gegeben werden, ist willkürlich, nur müssen sie in beiden Formeln übereinstimmen. Durch passende Wahl der Wurzelwerthe kann man bewirken, dass \hß \ <

Abelsche Functionen.

wird. Setzt man nämlich

sodass

ist, so erhält man

für

S/ß'a +l

S/cie-ap

= ft + vi

hß 1 — fi — vi 9ß ~ 1 + p + vi’

h ²_ (1 —i^)² + p²

(l + ft)² + p²

hß

9ß

ft >■ 0.

Dabei kann ein Zeichen, z. B. das von g^₎ noch willkürlich gewählt werden. Dass ft niemals gleich Null sein kann, ist leicht zu sehen, denn sonst würde

aa+i ~ a(i

aa

werden, d. h. zwischen aa und aa+1 liegen, was der Voraussetzung widerspricht.

Man kann, wie jetzt gezeigt werden soll, der Bedingung ft > 0 dadurch genügen, dass man für die beiden in ^ und hß vorkommenden Wurzelgrössen die Hauptwerthe setzt. Nach der Annahme über üß sind die Differenzen aa —aß und aa+l — ciß gleichzeitig entweder positiv oder negativ. Setzt man also

®a+l    Qi @

ß'ß Q2 &

b-r)*

so ist gleichzeitig entweder

0 <C Cp! < TZ

oder

Es folgt

\Jat

1/Qi

V Q2

wenn die Hauptwerthe der beiden Wurzeln genommen werden (S. 349). Da nun den gemachten Bemerkungen zufolge immer oder

kommenden beiden Wurzeln sind die Hauptwerthe zu setzen. Es fragt sich dann, ob vermöge dieser Formel auch der Quadratwurzel auf der linken Seite ihr Hauptwerth beizulegen ist.

Der Hauptwerth von Sjx — ändert sich stetig in der ganzen Ebene mit Ausnahme einer Linie, die von ap aus parallel der Geraden (0 ■■•—i) in’s Unendliche gezogen werden kann. Der Punkt a.p liegt der auf S. 353 gemachten Voraussetzung nach ausserhalb der Ellipse, welche die Punkte aa und aa+l umgiebt, und man kann diese Ellipse der Strecke (aa... au+l) so nahe anschliessen, dass auch jene, vom Punkte ap ausgehende Gerade ganz ausserhalb der Curve liegt. Der Hauptwerth von \]x — cip ändert sich dann im Innern und auf dem Umfange der Ellipse stetig, und es genügt daher nachzuweisen, dass für x    — aa,    d. h. für 1 = 1,    der    Ausdruck auf der rechten    Seite    der

obigen Gleichung    den Hauptwerth    von    sjx — ap darstellt. Nun wird    für 1    = 1

dieser Ausdruck gleich

gp + hp = \jaa — dp,

der

wo nach dem Vorhergehenden unter \/aa — ap der Hauptwerth zu verstehen ist. Daher ist auch auf der linken Seite der obigen Gleichung für x = Hauptwerth von \Jx — ap zu nehmen. Es wird also für alle Punkte innerhalb

45 *

mid auf der Ellipse, und überhaupt für die ganze Ebene mit Ausnahme der vorher ausgeschlossenen Geraden, der Hauptwerth von \jx — durch die Formel

\Jx — a,p —

a, „a+1, dp auf der imaginären

gegeben, wenn für die in und hp auftretenden Wurzelgrössen die Haupt-werthe gesetzt werden. Wenn die drei Punkte a Axe liegen, so brauchen diese Betrachtungen nicht unmittelbar zu gelten; es genügt aber dann eine Drehung der reellen und imaginären Axe, um auf den vorhergehenden Fall zurückzukommen.

Zum Zwecke der Darstellung von \jR(x) als Function von £ hat man die Ausdrücke sämmtlicher Grössen \Jx — a^ mit einander und mit dem von \/(x — aa)(x—aa+1) zu multipliciren. Dabei ist zu unterscheiden, ob ß > a + 1 oder ß ca ist. Im ersten Falle wird nach der für die Grössen ax (A = 0, 1, ... 2p) getroffenen Anordnung g? eine positive complexe Grösse; ist jedoch ßca, so wird g^ gleich einer solchen Grösse, multiplicirt mit i (S. 349). Es werde nun allgemein

N    I—*•

gesetzt, wo das obere oder das untere Zeichen gelten soll, je nachdem ß > a + 1 öder ßca ist. Dann ist also g^ stets eine positive complexe Grösse. Definirt man ferner das Zeichen a\ß durch die Bestimmungen

a\ß =

0, acß 1, a>ß,

so ist immer

9ß = ial^9ß,

und der Hauptwerth von S/x — wird mithin gleich

Für das Product aller dieser Hauptwerthe II'Sjx — a^^ erstreckt über sämmtliche von a und a + 1 verschiedenen Werthe von ß, oder, was dasselbe ist (S. 351),

für den Hauptwerth der Quadratwurzel aus dem Product II'(æ — «A besteht

ß

daher, weil a der Zahlen ß kleiner sind als a, also ist, die Gleichung

Genau wie auf S. 352 wird nun

dx

d%

also ergiebt sich

\J{x-aa)(x-aa+l)

*-n

4? hr

dx

\]R{x)

i i* ^ V

Für den in dieser Formel vorkommenden Werth von \/R(x) gilt dabei folgende Bestimmung. Man denke sich von den beiden Punkten aa und aa+1

aus zwei gerade Linien parallel der Strecke (0----i) in’s Unendliche gezogen.

Versteht man dann unter Sl(x—aa)(x—aa+l) denjenigen Werth dieser Quadratwurzel, der für das nicht von diesen beiden Geraden eingeschlossene Stück des Ellipsenumfanges mit dem Hauptwerth übereinstimmt, für das eingeschlossene Stück aber ihm entgegengesetzt gleich ist, und legt auch jeder der Quadratwurzeln \[x — a^ (ßca oder ß>a + l) ihren Hauptwerth bei, so ist yjß(<*?)■ gleich dem Product aller dieser Grössen:

\]R{x) = II \!x-ax.

1 z= 0

Wird noch

= <*>(£)

gesetzt, so folgt

dx

dl

\JR(x)

Um das Integral f Ausdruck mit

r- f{x)dx

(vgl. S. 352)

zu

berechnen, hat man diesen

zu

f(x) = C(oc — ct f'¹ ix — c₂)^²...

multipliciren. Nun lässt sich jeder der Linearfactoren x—ct1 x—ca, ... in

ähnlicher Weise wie vorher x — a^ als Product einer Function von £ und derselben Function von |_1 darstellen (S. 353), demnach ergiebt sich

f(x) = <p(i) 9(| *)

wo 9(1) eine ganze rationale Function ihres Arguments bedeutet. Zum Zweck der Integration hatte man

£ = re*%

zu setzen (S. 346). Nimmt man nun die Grösse r so nahe der Einheit an, dass gleichzeitig

hp j.

-z-% < 1,

9ß

9p

wird, so kann man 0(|) und $(£ *) und damit auch 0(|)cp(|) und 0(|_1)9(§ *) nach Potenzen von | und von I⁻¹ entwickeln. Es sei

0(g) 9(S) = y-o + x₁i + x2i² + *,,₎

mithin

0(g-i)9(ri) = xo+x₁i-i+x₂r²+...

so

folgt, da die vollständigen Integrale

dt,

jlm ld% und /*£

für jeden positiven ganzzahligen Werth von m gleich Null sind,

fix) dx \/l{ (x)

= +<+->

Aus diesem Ergebniss ist jede Beziehung auf die Grösse r verschwunden. Man kann demnach r = 1, also g = e⁹¹ setzen und erhält dann, für

0(g)9(l) = -F(g),

fix) dx

— cp i

) dy.

Das Product F(e9l)F{e **) lässt sich als eine Reihe von Cosinus der Form cos ny darstellen, und da

r2n

*T)

cos ny dy =

•f

J0

cos ny dy

ist, so hat man auch

f f(x)äx_ ₌

— cp i

\jR{x)

)dy = 2 f

a«+i f{pc) dx

\jR(x)

war

Damit ist das Integral links, das über den Umfang einer Ellipse zu erstrecken auf ein Integral reducirt, das sich auf die geradlinige Strecke (aa ... aa+i)

bezieht.

Ganz ähnlich würde man bei der Berechnung des Integrals verfahren können, wenn f{x) eine gebrochene rationale Function bedeutete.

Um die gefundenen Resultate auf die hyperelliptischen Integrale erster und zweiter Art anzuwenden, gehen wir zu den Functionen (S. 344)

H(xy)ß =

P{x)

2 y(pc-a,M)

H\xy)? = -

Qi“*?-1)

Pjx)

²y(x~a^-iT

zurück. Integrirt man diese 2q Functionen über einen und denselben geschlossenen Weg, so erhält man ein System zusammengehöriger Perioden der

Integrale erster und zweiter Art.

Berechnung nach dem eben entwickelten Verfahren ohne Weiteres ausführen,

Für die Integrale erster Art lässt sich die

denn

P{x)

X ^2(9—1

ist eine ganze Function. Es werde nun

j H{xij)?äx = J

P(x) dx

x-a₂₍s-i ²V

gesetzt. Diese Perioden werden, wie aus dem bei der Berechnung angewendeten Verfahren selbst hervorgeht, eindeutige analytische Functionen der Grössen ax, sie ergeben sich nämlich als gleichmässig convergente Reihen dieser Grössen.

Dieser Eigenschaft zufolge kann

durch Differentiation unter dem Integralzeichen herstellen. Es wird

d(2o>f) _

man

J da,?-, V

die Ableitung von nach

P{x)

•-^—\dx.

P(x)

von a₂ß_j unabhängig, und y von der Form y = {x-a₂ß^fY, wo Y die Grösse a₂.s_, nicht mehr enthält; es folgt also

da2M ~

Nun ist

00 £*2/9-1

P(x)

dx

Setzt man noch

fH’{xy)päx — 2 riß,

die Integrale über denselben Weg erstreckt wie vorher, so erhält man

₂ QKj9-1 ) 6(2»)^)

P\a₂ß_i) da2M

Diese Formeln lehren, wie man aus einer Periode eines hyperelliptischen Integrals erster Art die zugehörige Periode des entsprechenden Integrals zweiter Art durch blosse Differentiation nach    finden kann.

Zu dem einen bisher allein betrachteten geschlossenen Integrationswege, dessen x- Linie eine Ellipse mit den Brennpunkten aa und aa+1 war, nehmen wir jetzt einen zweiten hinzu, und zwar sei die x-Linie eine Ellipse mit den Brennpunkten aa_x und aa.

(0 = 1,2,...*)

2riß = -

(0 = 1,2,..*).

Fig. 17.

//

aa\

aa+i

Denken wir uns dann die beiden Curven in positivem Sinne von den Punkten

aus durchlaufen, in denen sie von den Geraden au+laa und ciaaa_l geschnitten werden, so stimmen in den Integralen fH(xy)ßdx die Werthe von dem ersten, in der Figur gekennzeichneten Schnittpunkte überein, zweiten Schnittpunkte dagegen findet keine Übereinstimmung statt, denn in den auf die Ellipse mit den Brennpunkten aa und aa+i sich beziehenden Integralen hat y — \]B(x) auch in diesem Schnittpunkte den Hauptwerth, in den über die andere Ellipse erstreckten Integralen dagegen nicht. Daraus folgt, dass diese beiden Ellipsen, wenn sie in richtigem Sinne durchlaufen werden, die eine der Bedingungen erfüllen, die früher für die Kreise und K'ß festgesetzt wurden, dass sie sich nämlich nur in einem Punkte in positivem Sinne durchkreuzen.

\jll (x) in In dem

Wenn die Perioden 2«^, 2t^ der Integrale erster und zweiter Art durch Integration längs der Ellipse mit den Brennpunkten aa und aa+1 entstehen, während die Perioden 2°a>^, 2°7]j? in derselben Weise der Ellipse mit den Brennpunkten aa_t und aa zugeordnet sind, so ist

e « a-l « «-1    Tzi

«V -«v V)f) =

drei benachbarte der Punkte a₀,    ... construiren lassen.

um die Bestimmung eines primitiven Systems

denn die zweite Ellipse schneidet die erste einmal in positivem Sinne (S. 313). Diese Relation gilt für je zwei auf einander folgende Ellipsen, die sich in gleicher Weise um

der Beschaffenheit auf-

von

Handelt es sich jetzt simultaner Perioden der hyperelliptischen Integrale erster und zweiter Art, so hat man 2q Integrationswege K[\ ... FT, iT zusuchen, dass nur der zweite den ersten, der vierte den dritten, u. s. f. einmal in positivem Sinne durchkreuzt (S. 327). Die bis jetzt eingeführten Ellipsen haben nicht diese Beschaffenheit, da sich ja immer zwei auf ein-: ander folgende schneiden. Nun treffen die q Ellipsen mit den Brennpunkten

a2o bei geeigneter Wahl der Grösse ihrer Axen

' a^ a:-> a2 : einander nicht; man findet daher Integrationswege der verlangten Eigenschaft,

0-1

wenn man

jenen Ellipsen q andere zuordnet, deren jede eine von ihnen einmal in positivem Sinne schneidet und ausserdem alle vorhergehenden Ellipsen

umschliesst.

Die Figur veranschaulicht dies für q = 2 unter der Annahme, dass die Grössen a₀, ... ai reell sind. Auch steht es frei, diese Ellipsen durch Kreise

Fig. 18.

a*

«3

«1

aj

Kf

Ki

Kj

zu ersetzen, die also der Reihe nach die zwei Punkte «o, a , die vier Punkte a₀, al} «₂, «₃, die sechs Punkte a₀, ... a₅ u. s. w. umfassen. Diese Kreise können noch speciellen Bedingungen unterworfen werden.

Es ist jedoch nicht nöthig, die Integration längs dieser oder äquivalenter Curven wirklich auszuführen, wenn es überhaupt nur darauf ankommt, ein primitives System simultaner Perioden zu bilden. Man kann dann bei* den

2p Ellipsen stehen bleiben, die je zwei auf einander folgende Punkte aus der Reihe

zu Brennpunkten haben und für welche die Berechnung der vollständigen Integrale im Vorhergehenden entwickelt worden ist. Es werde nämlich gesetzt:

21?—1

2 (3—1

²V = 2 Tia

ß~:¹ 23

2u)A = 2 2 °>«} ‘    3 = 0

Dass diese Grössen als ein primitives Periodensystem betrachtet werden können, beweisen wir, indem wir zeigen, dass sie den für solche Perioden charakteristischen Relationen genügen. Eine Gruppe dieser Relationen ist in der Formel

7T i

SC=

a

(S. 330, (A.)) enthalten. Setzt man nun für r\ap    die obigen Aus

drücke, so ergiebt sich

2(9-1 2 3 ma Io)*

y-i Q 2(9—i 23

2(^a/9 way ^aß^lay) 2    2 ( ria

a ¹    1    3=0a=i

Ist hierin ß>y, so wird die (2/3)te Ellipse nicht von der (2<3 + l)ten geschnitten, denn es ist dann

Für ß = y wird er gleich

2(3+ 1 < 2y-l < 2/3 — 1 und der Ausdruck rechts ist Null (S. 313).

TC i

2(9-1 2(9-2    2(9-1 2(9 — 2

Al ( rtu    wa    rla )

Endlich erhält man“ für ß < y

Tii ni

2(9—1 2(9 — 2    2(9—1 2(9 — 2    2(9—1 2(9    2(9—1 2(9

( "¹ îa    r/a ) F AK a    ⁽¹⁾a ^îa)    ~g

Die obige Formel besteht also in jedem einzelnen Falle.

Ebenso kann man beweisen, dass die anderen Relationen, die für ein primitives System simultaner Perioden gelten (S. 330, (A.)), durch die für

tüa<9) waß1 'f}aß) 'f]aß

angenommenen Grössen erfüllt werden.

Als ich mich zuerst mit den hyperelliptischen Functionen beschäftigte, hat mir die Auffindung dieses Systems von Fundamentalperioden grosse Mühe gemacht. In der Theorie der elliptischen Functionen boten sich die Perioden von selbst dar, als vollständige Integrale über die beiden Ellipsen mit den Brennpunkten a₀, ai und a₀ a₂. Es lag nahe, auch für den allgemeinen Fall diejenigen Perioden als primitiv anzunehmen, die durch Integration über die hier zuerst betrachteten Ellipsen mit den Brennpunkten a₀, ax ; a , o, erhalten werden. Dann stimmte aber Manches nicht, z. B. bei den Eigenschaften der Thetafunctionen.

Weitere Resultate aus der Theorie der hyper elliptisch en Functionen habe ich in einer Abhandlung »Zur Theorie der Abelschen Functionen«, Crelle’s Journal Bd. 47, veröffentlicht.¹) Die Theorie stützt sich dort hauptsächlich auf das Abelsche Theorem.

Achtzehntes Kapitel.

Die Functionen E(xy)₄ und E'(xy) .

Am Schlüsse des fünfzehnten Kapitels wurde eine allenthalben eindeutige Function E(xy) eingeführt, die mit

Q(xy) = J H(xy, x'y')dx'

durch die Gleichung

eQ(xy) = E(xy)

zusammenhängt. Es ist demnach der Werth der Function Q(xy) gleich einem der Werthe yon log E (xy), und es soll zunächst dieser Werth genauer bestimmt werden.

der Logarithmus von E(xy) so ge-

nun

Wir haben gesehen, dass die Function Q(xy) beim Übergänge von irgend einer Stelle, z. B. (a₀b₀), zu einer anderen (xy) sich stetig ändert, so lange der von (aobo) nach (xy) führende Weg weder den zur Definition von Q(xy) (S. 306) dienenden Kreis von Paaren kreuzt, noch durch eine der Stellen (a^J, ... (a^bç) hindurchgeht. Wird

ver-

wählt, dass er an der Stelle (a₀b₀), für die H(xy,x'y') gleich Null ist, schwindet, und wird der Weg von (a₀b₀) nach (xy) fixirt, so ist logE(xy) eindeutig bestimmt, und es ist Q(xy) mit diesem Werth von logE(xy) jedenfalls so lange identisch, wie an den genannten Bedingungen festgehalten wird. Wir haben aber der Function Q(xy) auch dann noch eine Bedeutung beilegen können, wenn (xy) auf jenem Kreise von Paaren liegt (S. 310). Es convergirte nämlich Q(x₂yi) — Q(xiy₁) gegen die Grenze

wenn sich (x₁y₁) von der negativen, (xay₂) von der positiven Seite des Kreises her der auf ihm gelegenen Stelle (x₀y₀) näherte (vgl. S. 318). Bezeichnet man daher mit d und d' dem absoluten Betrage nach hinreichend kleine Grössen, nimmt (xtyt), fayj

beiden Seiten des Kreises und der Stelle (x₀y₀) unendlich

zu

nahe an, und fixirt einen bestimmten Integrationsweg ((a₀b₀)... (xtyt) ... (xty%)), der an der Stelle (x₀y₀) den betrachteten Kreis kreuzt, so ist

Q («f y₂) = Q ix! Vi) +    + d

und auch, weil sich logE(xy) stetig ändert,

log E(x₂y₂) = log E(x₁y₁) + Ör = Q(x₁y₁) + df.

Hieraus folgt

log E(xay₂) = Q(xtyt) — 2izi',

denn da logE(x₂y₂) sich von Q(x₂y₂) jedenfalls nur durch ein Vielfaches von 2tzi unterscheiden kann, so muss ä — <? = 0 sein. Schneidet der Weg von (a₀b₀) nach (x₂y₂) den ausgeschlossenen Kreis in negativem Sinne, so tritt in der eben aufgestellten Gleichung + 2tu an die Stelle von — 2tu. Wenn man überhaupt alle Durchkreuzungen eines von (a₀bt) nach (xy) führenden Weges mit dem Kreise, auf den sich ü(xy) — f H(xy,x'y')dx' bezieht, aufsucht, ihnen je nach dem Sinne die Zahl +1 oder —1 zuordnet und die Summe dieser Zahlen y nennt, so ergiebt sich

log E(xy) — Q(xy) — 2[nzi.

Man sieht aus dieser Formel unmittelbar, welcher Werth dem Logarithmus

an

jeder Stelle beigelegt werden muss, wenn der Weg gegeben ist, der von

(a₀b₀) nach (xy) führt. Liegt die Stelle (xy) auf dem ausgeschlossenen Kreise

+ —

selbst, so hat man für Q(xy) nach der Definition Q(xy) oder Q(xy) zu setzen.

Nun wollen wir die Function E(xy) näher untersuchen. Wir haben für sie die Gleichungen

E(xtyt) = i0|l+

(« = 1, 2,... q)

E(xtyt) = Eue2<üat jl+ *$„(*)!

E(a₀b₀) = 1

gefunden (S. 314), in denen E, Et, ... EQ von Null verschiedene Constanten sind, während die Grössen 2«^, 2to₂, ... 2w? simultane Perioden der Integrale

erster Art JH(pcy)adx bedeuten. Den geschlossenen Integrationsweg für das Integral jH{xy,x'y')dx\ der mit demjenigen für die q vollständigen Integrale

2u)a = f‘H(xy)adx

(a — 1,2, ... q)

übereinstimmt, dachten wir uns in bestimmter Weise gewählt; er war nur an die Bedingung geknüpft, keine der Stellen (ao b₀), (â^ôj, ... (a ô ) zu enthalten (S. 304).

Die Werthepaare    ...    sind wesentlich singuläre Stellen der

Function E{xy), da diese an ihnen den Charakter einer rationalen Function verliert; an jeder anderen Stelle hat sie einen bestimmten endlichen, von Null verschiedenen Werth. Wir bezeichnen daher die Function E(xy), im Gegensatz zu der im nächsten Kapitel zu betrachtenden Function E(xy; x y , xoy₀), als eine nicht verschwindende K-Function.

Verändern wir den geschlossenen Integrations weg, so erhalten wir im Allgemeinen andere Werthe des vollständigen Integrals j‘H(xy, x'y) dx' und damit neue Functionen E(xy).

Wenn

2^, 2o)a, ... 2(üq

ein beliebiges System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster Art ist, so lässt sich immer eine Function E(xy) bilden, für welche die Gleichungen

2ioai~¹

fi+<¥„(<)!

(« = h 2, ... . Q)

Denn es sei K der Kreis von Paaren, über den erstreckt die

bestehen.

Integrale fH(xy\dx, ... J‘H(xy)Qdx die Werthe 2ü)t, ... 2o> annehmen, braucht man nur

so

/ H(xy,x'y')dx'

e

TT

(* = 1» 2, •.. Q)

zu setzen. Dann ist für die so definirte E-Function (S. 306) d lo g E(xy)

dx

= S j2ü)aH'(xy)a-2rlaH(xy)a\

und (S. 314)

E(x,yt) = E„e

2 LO at-¹

0 + <¥.(0|

(a = 1,2,    .q).

Zu verschiedenen Systemen simultaner Perioden der Integrale erster Art gehören also verschiedene Functionen E(pcy); wir wollen mit

Eixy K, a>„ ... a>ç)

diejenige bezeichnen, welche dem Periodensystem 2«^, 2<o₂, ... 2ioç entspricht.

Es soll nun gezeigt werden, dass die durch die Gleichungen auf S. 365 dargestellten Eigenschaften für die Function charakteristisch sind, d. h. dass jede Function E{xy), die den Gleichungen

E(xtyt) = J£{l+ *$($)),

2 Cat-¹

(« — 1, 2, ... ç)

Ë{xtyt) = Eae E(a₀\) = 1

genügt, eine nicht verschwindende _E-Function ist, sodass E(xy) bei passender Bestimmung des Integrationsweges auf die Form

¹

Bd. I, S. 133—152 dieser Ausgabe.

jH(Xy,xV)&

gebracht werden kann; JE, ... E , cx, ... cQ sind dabei Constanten.

Zunächst werde bewiesen, dass die Grössen 2ct, 2ca, ... 2c ein System simultaner Perioden der Integrale

J H(xy)adx

(« — l, 2,... e)

bilden. Führen wir statt (xy) ein Element (%tyt) des algebraischen Gebildes ein, so wird d\ogE{xtyt)

d lo g E(xy)

dx

dt

dxt

dt

Im Zähler lässt sich log E {xt y^), wie die der Voraussetzung nach bestehenden Gleichungen zeigen, in eine nach steigenden Potenzen von t fortschreitende Reihe entwickeln, die für ein Element {xty^) die Potenz t~l, sonst aber niemals negative Potenzen enthält. Daher treten in der Entwickelung der Ableitung

d\ogE(xtyt)

dt

nur für eine endliche Anzahl nicht äquivalenter Elemente negative Potenzen von t auf. Der Nenner ~ kann nur für einzelne Elemente (xty^) mit einer positiven Potenz von t beginnen, demnach kommen auch in dem Quotienten

d\ogE(xtyt)

dt

dxt

dt

negative Potenzen von t nur für eine endliche Anzahl von Functionenpaaren und stets nur in endlicher Anzahl vor. Die eindeutige Function des Paares (xy)

dlog F(xy)

dx

hat also an allen Stellen des Gebildes f{x,y) =0 den Charakter einer rationalen Function, mithin ist sie eine rationale Function des Paares {xy) (S. 244), die mit F{xy) bezeichnet werden möge.

Die Entwickelung von

d\ogE(xtyt)

=

enthält, wenn der Mittelpunkt des Elementes (xtyt) nicht eine der Stellen {aaba) ist, keine negativen Potenzen von t: also ist

dt

dagegen hat man

(« = 1» 2,... q) .

Nun gelten die Gleichungen (S. 257)

cc a

a

dxt

F'{xtyt)a-~ = -t * + mt)

während für kein von (xtyt) verschiedenes Element in der Entwickelung von H'{xiyt)a~- negative Potenzen von t auftreten. Führen wir daher die rationale Function

(ct = 1, 2,... q)

Ft{xy) = F {xy) — 2 %caH'{xy)a

ein, so wird für jedes beliebige Element des Gebildes

=

denn die negativen Potenzen, die in

Vorkommen, heben sich in

a

dxt

weg. Die Function Fx{xy) hat demnach die charakteristische Eigenschaft einer Function H(xy), sodass (S. 105) bei passender Bestimmung der Constanten

F(xy) - 2 2caH'(xy)a = - 2 ² 4 H{xy)

a = i    a = i

mithin

wird.

dlogE(xy)

dx

= 2 \²caH'(xy)a-2ćaH(xy)a\

Um die Beschaffenheit der Constanten ct, ... c zu erkennen, wollen wir nun diejenigen 2q vollständigen Integrale

dx

d log E(xy) dx

betrachten, deren Integrationswege die im sechzehnten Kapitel eingeführten 2q Kreise Kß und K] sind, über welche erstreckt die Integrale (S. 330)

I H(xy)a

J(Zß)

I H’(xy)adx = 2 rlaß J(Kß)

/ H(xy)a

/ H\xy)adx = 2 ri'a(s

J(E’ß)

ein primitives System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art bilden (S. 337). Dann ergiebt sich, wenn mß und mß ganze Zahlen oder Null sind,

dx — 2 oi

dx = 2<V

aß J

(a,ß = 1,2, ... p)

d log E(xy)

dx

dx = 2mß7ci,

dlog E(xy)

(0 = 1,2,...*)

(Zf)

dx

dx = 2mß-xi

47

Abelsche Functionen.

mithin folgt

Q

a = l Q

Ni |²^a^la«    ^a⁰*«]?.}

ot = i

Wo TU

m'pTzi.

Löst man diese Gleichungen auf, so wird (S. 331 — 332)

2ca

24

Q

—    I - 2 mß W« P + 2 m(9 <V I >

Q

= S S“2wV ⁷îa₁9+2m(S7î;(îj;

(a = 1,2,... Ç)

die Grössen 2ct, ... 2c? sind also simultane Perioden der p Abelschen Integrale erster Art und sollen deshalb mit 2(0^... 2a>? bezeichnet werden. Der Voraussetzung nach gelten nun die Gleichungen

2 Wat-¹

S! cc a

E{xtyt) = Eae

(« = 1, 2,... ç)

und der Quotient

E(xy)

E(xy I©,,... o>ç)

wird eine eindeutige Function des Paares {xy), die überall den Charakter einer rationalen Function hat. Denn auch für die Umgebung der Stellen (aaba) hebt sich nach Einführung des Functionenpaares (Ąyt) die Exponentialgrösse weg, und die Entwickelung des Quotienten beginnt mit einer von Null verschiedenen Constanten. Mithin ist dieser Quotient eine rationale Function des Paares (xy), die sich aber auf eine Constante reduciren muss, da sie an keiner Stelle unendlich gross werden kann. Für (xy) = (a₀&₀) haf>en Zähler und Nenner beide den Werth 1, also folgt

E(xy) = E{xy |®t,... a>ç).

Damit ist bewiesen, dass jede Function, welche die Fundamentaleigenschaften einer nicht verschwindenden E-Function hat, selbst eine solche ist.

Unter

&(?y)ß und ü\xy)?

wollen wir nun diejenigen Functionen

ü{xy) = J H{xy,x'y')dx'

verstehen, für welche der geschlossene Integrationsweg mit einem der Kreise Kp und Kß übereinstimmt.

Bezeichnen wir in der Theorie der hyperelliptischen Transcendenten die

Ci

Function Q(xy) mit Q(xy), wenn das zu ihrer Definition dienende vollständige Integral über die Ellipse mit den Brennpunkten aa und a erstreckt wird (S. 360), so können wir, der Definition von to^ und 7ja^, ta'uß und rj'aß entsprechend (S. 362)

2/Î-1

ü (xy)ß = Q (xy),

S —1 2$

⁹-\xy)? = 2 -- (xy)

<J =0

setzen.

Aus Q(xy)p und Q!(xy)ß sollen die Functionen E(xy)ß und E'(xy)ß mittels der Gleichungen

und

E{xy)f = =

(/? = !,2,...e)

₀„ \

(ß = 1,2,... q)

E\xy\ = eQ (xy)? = eJ(Sß

hervorgehen. Sind wieder 2 to

. 2to„ und 2to'

. 2<o'p die Perioden

der Ahelschen Integrale erster Art, die sich durch Integration über die Kreise Kß und Kß ergeben, so ist

Qß

*/»> ”

E{ccy)p = E(xy | to1/S,... «>?(S), E\xy)p = E{xy | a»;,,,... a>^);

es gelten daher für die Umgebung der Stellen    ... {a l₀) die Ent

wickelungen

t~x

U + <sp«(0i.

E'fafop =    + «%(<)!•

Jedes System simultaner Perioden 2(0^... 2to^ lässt sich nun als lineares homogenes Aggregat mit ganzzahligen Coefficienten der 2p Systeme

aç ?

. . 2 to

(« = 1, 2, ... ç)

.. 2ü)'aQ

darstellen (S. 334); es sei

2wa

(« — 1, 2,    , ç).

Dann wird

E(xy I co

i» •

••»,) = n| [E(Xy)fp[E\xy)?ff\-ß — ¹

die Entwickelung des Products auf der rechten Seite giebt nämlich für die Umgebung von (aba)

Cae

2t    ^ß^ccß + ^ß^ccß)

2 Mat-¹

f* +**.(*)( »

und für die Umgebung einer von (a^J, ... (« 6 ) verschiedenen Stelle

C\ ! + £$(£)}•

Da ferner

E(a₀b₀)ß = 1 und E'(a₀b₀)ß = 1

ist, so bat auch das Product an der Stelle (a₀b₀) den Werth 1. Es kommen ihm also die charakteristischen Eigenschaften der Function E(xy\ tot1... a> ) zu, womit die Übereinstimmung beider Seiten der Gleichung bewiesen ist.

Demnach hat sich ergeben, dass jede nicht verschwindende K-Function durch Multiplication und Division aus 2q speciellen von ihnen, den Functionen E(xy)ß und E\xy)ß, in der Form gebildet werden kann, wo yß und yß ganze positive oder negative Zahlen oder Null sind.

Bei passender Wahl der p Paare von Kreisen Kß und Kß ist stets zu erreichen, dass keine der Zahlen yß und yß einen negativen Werth hat. Die Function E(xy\ o^,... <oç) kann daher auch durch ein aus 2 p Functionen E(xy)ß und E\xy)ß gebildetes Product dargestellt werden.

Zum Schlüsse des Kapitels wollen wir zu den Formeln zurückkehren (S. 316), welche die Darstellung der Functionen H(xy)a und H'(xy)a durch

Logarithmen der E-Functionen liefern. Wir gehen von der Gleichung (S. 313) d\ogE(xy)

dx

= 2 j2œaiT(^)a-² 7]ft

aus und führen für 2iok, 27ja die speciellen Perioden 2<i)a(5, 27ja/* und 2ü>' 2tein; dann erhalten wir

d\ogE(xy\

aßl

= '2i\²">a?E'(xy)a-2riapE(xy)a\,

Ci    '

= ’Ęi\²'»'apH'(xy)a-2r{a?H{xy)a\-Hieraus folgt, wenn wir in dem ersten Gleichungssystem auf S. 332

dx

d log E'(xy)ß

dx

2 q^Tzi = —

dlogE(xy)p

dx

2ppTii =

d log E'(xy)ß

dx

Qu = H{xy) Pa = E\xy)a

setzen, mittels der letzten Relationen auf S. 331

d log E\xy)p

a>„ ₀---L

S(xy)a =

aß

dx

— Ü>'

aß

d\ogE{xy)ß

dx

S'{xy)a =

TZÎ

d\ogE\xy)ß

dx

- rlaß

, d log E {xy)ß

dx

oder

E(xy)adx —

E'(xy)adx —

^ (i 2 Î w«ß}°g E'(%y)ß - Kp logE(xy)ß j j, l°gE'(xy)ß - ~t\aplogE(xy)ß}

Wir wollen nun für die Integralfunctionen erster und zweiter Art die folgenden bleibenden Bezeichnungen einführen:

r\py)

/    S{x'y\

J{%\) r(xy)

/    S\x'y')a

J(a₀ h)

dx' = J(xy)

(cc = 1, 2,... q)

dx' = J'(xy)a.

Die so erklärten Functionen J{xy)a und J'(xy)a sind für alle Stellen des Gebildes definirt und verschwinden an der Stelle (a₀&₀).

Durch Integration der für H{xy)adx und H'(xy)adx gefundenen Formeln zwischen den Grenzen (a₀b₀) und (xy) ergiebt sich sodann

d{xy)a —

1 ?

(« = 1, 2, ... p)

^ 2 {«V loS E\xv)ß - Maß log E{xy)ß j , J'{xy)a =    2 i V log    - daß log E{xy)§} •

Hierbei sind den Logarithmen von E{xy)ß und E’{xy)s diejenigen ihrer Werthe beizulegen, die durch stetigen Übergang auf dem Integrationswege ((a₀b₀)... {xy)) erhalten werden und für die Stelle («aQb₀) verschwinden.

Diese Gleichungen lassen das periodische Verhalten der Integralfunctionen erster und zweiter Art deutlich hervortreten. Die allgemeinen Ausdrücke für die Logarithmen der Functionen E{xy)rj und E'(xy)_, erhält man (S. 365), indem man von der Stelle {aQbQ) zu der Stelle {xy) auf einem Wege übergeht, welcher unter Berücksichtigung des Sinnes der Durchkreuzung den Kreis Ks mß-mal und den Kreis K'ß mß-mal schneidet; andererseits lässt sich auch der Integrationsweg stets so wählen, dass m.H und m'ß beliebig vorgeschriebene, ganzzahlige Werthe erhalten. Es ist daher

log E{xy)ß = Q{xy)ß — 2mpTti, log E\xy)ß = Q'(xy)ß-2mßKi,

wo mß und mß ganze positive oder negative Zahlen oder Null sind. Setzt man für einen Augenblick

n*y)a,

^2| MaßQ'{xy)ß-io'aßQ{xy)li\ = ^ 2h«/s ^ ixy)ß    ß ^ {xy)ß | —

so sind alle Werthe der vorher gefundenen Ausdrücke für J{xy)a und J'{xy)a in den Formeln

'J{%y)a + 2(- 2m'ß Maß + 2^ rna(t) , ß

E{xy)a + S(- 2mß riaß + ²™ß daß) ß

enthalten, sie unterscheiden sich mithin von den eindeutig fixirten Werthen 'J{xy)a und 'J\xy)a ersten Gleichungssystem auf v. S. ist daher jeder Werth einer der Summen rechts gleich einem Werthe der Integralfunctionen J(xy)a oder J'(xy)a, und umgekehrt.

eine beliebige Periode (S. 334). ' In dem

nur um

Ein Ausdruck der Form

2 I Ais i°g E'(?y)(i + Ą log E(xy)ß} ß—¹

ist immer eine Summe von Integralfunctionen erster und zweiter Art, da er differentiirt ein Aggregat von Functionen H(xy)a und H'(xy)a ergiebt. Die Grösse

2 (²m'ß Aß + ² mß ni

ist der allgemeinste Ausdruck für eine Periode dieser Function; man kann daher eine Summe von Integralfunctionen erster und zweiter Art bilden, der ein beliebig vorgeschriebenes System von 2q Perioden zukommt.

Integrirt man die Formeln für H{xy)adx und H\xy)adx (S. 373) auf dem Wege ({xQy₀)... foyj), so folgt

E(xi Vi)ß

E\x*y,)p

E\x^yd)ß E\x*y*)ß

Während hierin die Functionen E(xy)? und E\xyU selbst von der Stelle (a₀b₀) abhängen, sind die auf den rechten Seiten auftretenden Quotienten

E{x,y₀)ß

und E(xy) zwei Functionen, welche dieselben wesentlich singulären Stellen (æ^), (a₂bj, ... (« 6?) haben und deren Entwickelungen in der Umgebung dieser Stellen dieselben Exponentialfactoren

1 ? (

J(Xiyd)a, J(x₀yo)a    ^

*7" (xiyd)a    d (Xoyo)a    ^ 2 l®g

- <ß log

E(.x₀y₀)ß

E(xiyJß

E(xoy₀)ß

und

E'(X1 Vl)ß

E'{x₀ y₀ )p

von dieser Stelle unabhängig. Es seien nämlich E{xy)

₁t~¹ ß2iü₂<_1    ^2o)o t~*

enthalten. Die erste Function E(xy) werde für (a₀b₀), die zweite E(xy) jedoch für (a'6') gleich 1. Dann ist der Quotient

Eipy)

E{xy)

eine rationale Function des Paares ([xy), die sich auf eine Constante reducirt, da sie nirgends unendlich gross werden kann. In Folge der Relation E(a₀b₀) = 1 wird

E{xy)

E(xy)

= E(a₀b₀)

mithin folgt, wie bewiesen werden sollte,

EfaPi) ₌ Ë(x₁ y,) E(x,ye) E{x₀y„)

Neunzehntes Kapitel.

Die Functionen Q{xy, xxyx, x₀y₀) und E{xy, xxyx,x₀y₀).

Die Function Q(xy) war durch das vollständige Integral f H(xy, x'y') dx> definirt worden; wir hatten aber bereits im fünfzehnten Kapitel (S. 305) neben diesem vollständigen Integrale auch das zwischen den beliebigen Grenzen (xoyo) und (xiyi) erstreckte betrachtet und

H{xy,x'y')dx = Q(xy, xxyx} x₀y₀)

r 0»iVi)

J(x₀y<>)

Die Eigenschaften dieser Function Q{xy\ xiyi1 x₀y₀) sind, wie wir

gesetzt.

sehen werden, ganz ähnlich denen von Q{xy).

Bei der Ausführung der Integration darf {x'y') mit keiner der beiden Stellen {xy) oder (aQb₀) zusammenfallen, an denen die zu integrirende Function unendlich gross wird (S. 197). Wählen wir daher einen bestimmten Integrationsweg {{x₀y₀) ... (x₁ yx)), der aber ein für alle Mal nicht durch die Stelle (a₀b₀) hindurchgehen darf, so ist die Function Q{xy, xxyx, x₀y₀) für alle Stellen {xy) definirt, die ihm nicht angehören. Die frühere Bedingung (S. 304), dass (x₀y₀) und (xxyx) Stellen desselben Elements des algebraischen Gebildes seien, können wir jetzt fallen lassen.

so

Ist {xtyt) ein beliebiges Element, dessen Mittelpunkt aber weder eine der Stellen {ax bj, ... (« 6 ) noch eine Stelle des Integrationsweges ist, giebt die Gleichung (S. 85, (III, 3))

K{xtyt,x\y ;)

dx'T

d~

unmittelbar die Entwickelung

&{xtyàxxyi,x₀y₀) = $(*),

wenn (x y J und (x₀y₀) demselben Element (xxy^) des Gebildes angehören. Ist dies aber nicht der Fall, so zerlegen wir das die Function Q(xy, xxy^ xoyo) definirende Integral in mehrere und gelangen so zu derselben Formel.

Um ferner die Entwickelung der betrachteten Function für die Umgebung einer Stelle (aaba) zu untersuchen, nehmen wir zunächst wieder an, dass (xiyi) und (xoy₀) Stellen desselben Elements (%xyx) sind, und zwar mögen sie den Werthen z = zt und t = xo entsprechen. Dann wird nach S. 85, (III, 2)

a a    r Tl « «    dx

&{xtyt]Xxyy,Xoyo) = J H(xtyt,xTiyx)-^dx

To

= f J r>H(x^)a^ + SP(<,T) j *

To

H(xy)adx + ^a(t).

(a = 1, 2,... q)

Ui i/i)

*/fa» 2/o )

An jeder der q Stellen    ... («,&,,) wird also die Function &(xy, xxyx, xoy₀)

der ersten Ordnung unendlich gross. Gehören (a^) und (xoy₀) nicht beide demselben Element an, so schalten wir auf dem Integrationswege eine Reihe von Stellen der Art ein, dass dies für je zwei auf einander folgende der Fall ist; wenden wir dann die vorhergehenden Betrachtungen auf die einzelnen Theilintegrale an, so tritt im Ergehniss keine Änderung ein.

Nachdem wir das Verhalten der Function Q (xy \xxyx, xo yQ) ausserhalb des Integrationsweges untersucht haben, können wir ihr auch eine Bedeutung beilegen, wenn (xy) mit irgend einer Stelle (|₀tj₀) des Integrationsweges zusammenfällt; wir verfahren dabei genau so wie bei der Function Q(xy) (S. 307). Zu beiden Seiten von (|₀vj₀) nehmen wir auf dem IntegrationswTege zwei Stellen (| njJ und (|₂y]₂) an, so ist

von

üipcy-x^y,

-x

Ui Ui)

f(źirn) rd»¹}») r

x₀y₀) = /    +    + /

J(x₀yü) Älira) ^(êaVa)

(xy) sich der Stelle (%₀\) nähert, x zuerst auf der positiven Seite der Integrationslinie in der x-Ebene (S. 317), so werde auf

Liegt

nun, wenn

/■(I i’ll)    ri^y'o)    r(è 2^2) r

ihrer negativen Seite in der Nähe des Punktes |o ein Punkt x'₀ fixirt, dem der Werth y'o von y entsprechen möge, und

0»i Vi)

= ®L(xy, xiVx, Xoï/o)

I + +J ⁺J

gesetzt. Diese Function hat für die Stelle (g₀7]₀) eine Bedeutung, und ihr Werth stimmt für alle Paare {xy), für die x ausserhalb des Dreiecks ... x'₀... g₂) liegt, mit dem von Q(xy]xiyi,x₀y₀) überein, wofür der Beweis ebenso geführt wird, wie früher (S. 30 8) der entsprechende für die Function (xy) in ihrer Beziehung zu Q(xy). Daher sagen wir auch hier, der Werth der Function Q (xy ; xtyi7 xoyo) an der Stelle (%₀\) des Integrationsweges ist gleich ö^ioy\₀;    %₀y₀), falls der Punkt x von der positiven Seite her sich go nä

hert. Diesen Werth wollen wir jetzt mit

+

L2(£oho)' Wl, Wo)

bezeichnen.

Wenn aber x auf der negativen Seite der Integrationslinie liegt, so bilden wir in entsprechender Weise eine Function ^(ocy, x^^ xoyo) und defi-niren auch hier

(^0 ho) xi Vi > *0 Vo) ^"2(^0 ^o) x\ Vx > xo Va)' Führen wir nun für Q₂(£₀ho; xtyx, xüyQ) die Bezeichnung

^(^oho) XlVl ) Wo)

ein, so ist in diesem Falle

^ (£0 ho) X1 Vl ) xo Vo) ^ (io ho) Xl Vl 1 Xo Vo)’

Da die Differenz

( ^0 ho ) XlVl) X0 I/o) ^ (£0 ho ) Xl y1 ) X0 Vo)

wird für eine Stelle (go7]₀) des Integrationsweges

so

ein vollständiges Integral j‘H(£ürio,xy')dx ist, dessen Werth gleich 2tu gefunden wurde (S. 310)

^ (^oho) X\ xo Vo) ^ (^o ho) X1 t/n xo Vo) 2tU,

Diese Betrachtung gilt für alle Werthepaare (|₀tj₀) des Integrationsweges ((a?₀y₀) ••• {%!yi)) mit Ausnahme der beiden ihn begrenzenden Stellen (x₀yQ) und (x^J, denn für diese können wir nicht    und (|₂t)₂) in einer solchen

Lage einführen, wie sie oben vorausgesetzt wurde. Wir müssen daher das Verhalten von Q(xy]x₁yvx₀y₀) in der Umgebung dieser beiden Stellen besonders untersuchen.

nun

Es seien (xtyt) und (xtyt) die Elemente des algebraischen Gebildes mit den Mittelpunkten (x^yj und (x₀y₀), wobei eine Verwechselung von (xtyt) mit dem Element (xtyt), das die Umgebung der Stelle (a^J darstellt, ausgeschlossen ist. Vorläufig soll angenommen werden, keine der beiden Stellen yt) und (x₀y₀) falle mit einer der Stellen (a^J, ... (abQ) zusammen. Um die Form der Entwickelung von Q(xtyt] xxy^ x₀y₀) zu ermitteln, fixiren wir auf dem Integrationswege in hinreichender Nähe von (xiyi) eine Stelle {x[y[)i die sich aus dem Eunctionenpaare (xtyt) für t = x' ergeben möge; dann ist t' eine von Null verschiedene Constante, und es folgt

iyi)H{xtyt,x'y')dx'+ f H{xtyux^yx)^-dx.

J{x«yQ)

Nach dem Vorhergehenden wird nun

a) a)

H(xtyt,x'tj')äx' = «&($).

^Uo2/o)

In dem zweiten Integral ist (S. 85, (III, 1))

U)

(1) «) (1) (1) fix    1

H(xtyt,xzyx)-^ =    +

da die Stellen (a₀b₀) und (xtyj nicht zusammenfallen können (S. 377), also ergiebt sich

cd a) / H(xtyt

(1) (1)

u)

dxz

f ^(t,x)dx.

•V

Wird log

nach steigenden Potenzen von t entwickelt, so erhält man

n ü) f TT,w (1)    (1) (,) N dxT 7

J S(xtyt,xTyT)-^dx

mithin

(D.d)

Die Function ^(xy^x^^x^yj wird demnach logarithmisch unendlich, wenn sich (xy) der Stelle (xiyi) nähert, worin ein charakteristischer Unterschied der beiden Functionen Q(xy-xiyi,xoy₀) und Q(xy) enthalten ist. Hieraus folgt mit Hülfe der Gleichung

ü(xy]xty^x.y,) = -Q(xy, x₀y₀, x,y,),

die sich unmittelbar aus der Definition der Function ergiebt

(0) (0)

il(xtyt]Xx y^x.y,) = -lo gt + ^(t).

Es falle nun (xoy₀) mit (aaba) zusammen, und es liege (xy) in der Umgebung dieser Stelle. Dann schalten wir auf dem Integrationswege in hinreichender Nähe von (xoyo) eine Stelle (x'oy'₀) ein und zerlegen Q(xy, xtylt xQy₀) in die Summe zweier Functionen derselben Art:

r(x'₀y'o)    r(xiV i)

ü(xy,x₁y₁,x₀y₀)=    H(xy,xy')dx'+j H(xy,x,y')dx'

J(oc₀y₀)    J(Ky'o)

= Q (xy- x₀ y’ü, x₀ y₀) + Q (xy, xt y,, x' y'₀).

Liefert nun das Element (xzyT), dessen Mittelpunkt (aaba) = (xoyQ) ist, für x = x' die Stelle (x'₀y'₀), so ist x' nicht gleich Null. Daher wird (S. 85, (IY, 1))

ö(Xf yt] x₀yü, x₀y₀)    / H(xtyi, xxyx)

Jo

riKy'o)

+ T¹ / H(xy)adx + %(t)

(XoVo)

= —logt +t~* f    H(xy)adx + $(t).

“(xo Vo)

In der zweiten Function Q(xy]X₁y₁,x₀y') ist nach dem schon behandelten

= log

t-~o

a

dxx

d~

d~

0<y’o)

Fall

‘T

0*i yi)

H(xy)adx +    (0

0*ó 2/Ó)

mithin ergiebt sich durch Addition

a a    /*0*i2/l)

ß(xtyt; x.y^x^j,) = -logt+T¹    H(xy)adx +    (0,

J(x₀y,)

oder da (x₀y₀) =    ist

®(%tyt]Xiyi,aaK) = -Hieraus folgt unmittelbar

cc a

“ (xt yt ?    ) x₀ 20>)

(^12/1 )

log t 1 ¹ f

Jfr,

pO« &«) log t + t ¹ I

V*0 2/0 )

Schliesslich ist, weil H{xy,xy') für ($?/) = (a₀b₀) identisch verschwindet,

(«« ba)

H(xy)adx+<$a(t)    (u — l, 2,... ç).

^OcA;^i y,, xoVo) = °-

Damit haben wir das Verhalten der Function

/*0*i2/i)

&(xy;x₁y₁,x₀y₀) = l E(xy,x’y')dx' *^0*o 2/0 )

untersucht und für sie das folgende System von Gleichungen gefunden:

(1)    ß(xy; x.y,, x₀y₀) = - Q(xy, x₀ij₀, xtyr),

(2)    ®(a₀b₀’,x₁y₁,x₀y₀) = 0,

(3)    Q(xtyt; x₁ yl} x₀y₀) = $(*)

p0*i2/i)

rJ

A«o2/o)

(i) (i)

(5) &(xtyt] xtyt, x₀y₀) = log* + ^(0

(cc = 1, 2,... q)

(⁴)    S&ytl^yt, x₀y₀) =

(0) (0)

(6)    ^(Xty^x^j^x.y,) = -lo gt + %(t),

logt + £_1 f

Jfn

u a    /"0*i 2/1)

(8)    ß (xt yt ] x₁ yx, aa &a) = - log £ + r¹ / H{xy)a dx + $«(0

ba)

(V Q(xtyt;a*ł>a,x₀y₀) =

(aa ba)

0*o 2/0)

H(xy)adx +^«(0, (a = 1,2,... e)

In diesen Formeln haben die Elemente (xtyt) und (xtyt) die von (aa ba) verschiedenen Stellen (xiyi) und {x₀y₀) zu Mittelpunkten, und die Integrale erster Art

/•O i Vi)

Ąx₀y₀)

sind über denselben Weg ((x₀y₀) ... {xtyx)) zu erstrecken, wie das die Function Q(xy] x^y^ xoyo) definirende Integral

/•(« i Vi)

J(x₀y₀)

H(xy)adx

(a — l, 2,... ç)

H(xy, x’y')dx.

Die Function Q(æ^; xiy₁, xQy₀) hat also an allen von    ... (aQbQ),

{x y ) und (x₀y₀) verschiedenen Stellen des Gebildes den Charakter einer

gross.

eindeutig definirt, für diese aber wird sie zweiwerthig, und zwar unterscheiden sich ihre beiden Werthe um 2tci.

ganzen Function; sie wird an den q Stellen {ax 6J, ... (aQb) von der ersten Ordnung und an den beiden Stellen (xxyj und (x₀yQ) logarithmisch unendlich Mit Ausnahme der dem Integrationsweg angehörigen Stellen ist sie

Führen wir nun eine Function

H(xy, x’yr) dx'

j(%i Vi)

E{xy-xiyi,x₀y₀) = ^(WWiiWo) = e (Wo)

ein, die also mit Q(xy₁xly₁,x₀y₀) in derselben Weise zusammenhängt, wie E(xy) mit Q(xy), so ergeben sich aus den für Q(xy;x₁yi,x₀y₀) aufgestellten Gleichungen unmittelbar die folgenden für E(xy‘ x y , x₀y₀) :

(1)

E(xy, xxyx, x₀y₀) =

E(xy]x₀y₀,x₁ yx)

(2)    E(a₀b₀, x₁y₁, x₀y₀)    1,

(3)    E(xtyt) Xi yt, x₀y₀) =    +

r1/

(4)    E{xtÿt-,œty„x,y,) = K jl + *¥„(<)!•«

(5)    E{x,ÿ,', xty„ x„y₀) — E"’ t {1 +t$(<) j,

(^i 2/i)

(^o 2/o )

H(xy)a dx

(« = 1, 2,... q)

(0) (0) ,

(6) E(xtyt; xx yx,    y₀) = E⁽⁰⁾ t ¹ j 1 + t$(t) j

*-/

(AA)

Oo2/o)

H(xy)adx

(« = 1,2,... q)

(Xx Vi) (jxa &a)

(8) E(xiyt’,x₁yl,aaba) = E™t~l jl + *$«(*))•e

H(xy)a dx

(cc = 1,2,... Q).

Hierbei sind die Grössen E, Ea, Ea), E°\ E“\ E™ von Null verschiedene Con-stanten; die auf den rechten Seiten der Gleichungen (4), (7) und (8) enthaltenen Integrale erster Art sind auf demselben Wege wie das in der Definitionsgleichung der Function auftretende Integral dritter Art zu bestimmen.

so ist

Da für jede Stelle (xy) des Integrationsweges die beiden Werthe von Q(xy]xxxoyo) nur um 2izi von einander verschieden sind, E(xy₁xiyi1xoy^), ebenso wie E(xy), eine allenthalben eindeutige Function des Paares (xy), sie unterscheidet sich aber von der Function E(xy) wesentlich dadurch, dass sie an der Stelle (xiyi) verschwindet und an der Stelle (xoyo) unendlich gross wird, und zwar in beiden Fällen mit der Ordnungszahl 1. Für (xoyo) hat E(xy',xiyi,xoyo) den Charakter einer gebrochenen rationalen Function, an allen übrigen von (a^J, ... (ab) verschiedenen Stellen den einer ganzen Function; die q Stellen (a^J, ... (a J ) sind dagegen wesentlich singuläre.

Es ist leicht nachzuweisen, dass die in den vorhergehenden Gleichungen ausgesprochenen Eigenschaften für E(xy₁xlyl,xty₀) charakteristisch sind. Eine Function E(xy ; xxyx, xoyo) möge nämlich den folgenden Gleichungen genügen :

E(a₀b₀;^₁y₁,x₀y₀) = i

E(xłył)xly₁,x₀y₀) = Æ{l +*$(*)}

— a) (i)    _ ,    ,

E(xtyt)Xlyl1x₀y(t) =    +

(0) (0) _

E(xtyt]xly₁,x₀y₀) = Fr¹ j 1 + t$(t) J

Ol Vx) {xoVo)

E(^yt',^₁yl,x₀y₀) = P(t).e

*-'f

H(xy)a dx

(cc = 1, 2,... q)

wobei die nach steigenden Potenzen von t fortschreitende Reihe P(t) mit einer Constanten oder mit der ersten Potenz oder mit der (— l)ten Potenz beginnen soll, je nachdem die Stellen fayj und (x₀y₀) von (aaba) verschieden sind, oder (xiyi) oder (x y₀) mit dieser Stelle zusammenfällt. Der Integrationsweg für die Integrale in den Exponenten der letzten q Gleichungen ist beliebig, muss aber für alle q Integrale

Gi 2/1)

H(xy)adx

0 = 1,2,... q)

Go y a )

Der Annahme nach hat also M{xy\xiyirxoy₀) für alle Werthe-paare (xy) mit Ausnahme der p Stellen (a^J, ... (ab) den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen Function.

Wir bilden nun die vorher definirte Function

derselbe sein.

Gi VÙ

H(xy, x'y') dx'

ç Go Vo )

E(xy] xxyl) x₀y₀) =

wo der Integrationsweg nicht derselbe zu sein braucht, wie eben für die Integrale erster Art. Die Entwickelung des Quotienten

E(xtyt-x₁y₁,x₀y₀)

E(xtyt'₁x₁ yvx₀y₀)

ergiebt dann, auch wenn (xtyt) oder (xoyü) mit der Stelle (aaba) zusammenfällt,

Oae

2(wai_1

denn der Unterschied der beiden Werthe des Integrals

Gi 2/1)

H(xy)adx

Go 2/0)

in der im Zähler und im Nenner auftretenden Exponentialfunction kann nur eine Periode

f H(xy)adx — 2u)a

Atelsche Functionen.

49

sein. Für jedes von {xtyt) verschiedene Functionenpaar (xtyt) besteht aber die Entwickelung

E{xtyt-:x₁yl,x₀y₀)

und da ferner

E(a₀b₀; x, yt, x₀yn) _ 1 E(a₀b₀] x₁ yx, x₀ y₀)

ist, so wird nach dem im vorigen Kapitel (S. 367 — 370) Bewiesenen der Quotient

FAxy, x₁y₁₎x₀y₀)

E{xy, x₁y₁,xQy₀)

die nicht verschwindende Function E(xy J «o

. w,), d. h. es ist Ë(xy] xx ylf x₀y₀) = E(xy\o>₁,...o>Q).E(xy,x₁y₁,x₀y₀).

Umgekehrt bleiben für das Product einer bestimmten Function E{xy\ xxyx, %₀y₀) und einer Function E(xy J ... <*>^) die charakteristischen Gleichungen bestehen, nur ändern sich die Integrale in den Exponenten für die in der Umgebung der wesentlich singulären Stellen gültigen Entwickelungen um ein System simultaner Perioden, d. h. ein solches Product ist eine Function E{xy\ xty^ x₀y₀), bei welcher der Weg für das Integral

f EL{xy, x'y')dx

\xa Uo )

ein anderer ist.

In dem letzten Abschnitt dieser Vorlesungen wird von der Gleichung

E(xy,xiyi,x₀y₀) =

E(xy, x^apbp)

E(xy; x₀y₀,aßbß)

in der (a^b₃) eine beliebige der q Stellen    ist, Gebrauch ge

macht werden. Die Integrationen sind dabei so auszuführen, dass

r(x xVi)    rfay i)

/ H(xy)adx = /

J(x₀y₀)    J(y l?)

ist. Die Dichtigkeit der Formel erkennt man unmittelbar daraus, dass der Quotient rechts sämmtliche Eigenschaften hat, die als charakteristisch für die Function auf der linken Seite nachgewiesen worden sind.

r(x₀y₀)

H{xy)adx — I H(xy)a

dx

(a — 1,2,... q)

q)

Eine ähnliche Bedeutung, wie sie E(xy] xiy₁,x₀yo) für die rationalen Functionen des Paares (xy) hat, kommt für die rationalen Functionen einer Variablen x derjenigen Function zu, welche im Punkte x gleich Null und im Punkte xQ mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross wird, im Punkte a0 aber den Werth 1 annimmt. Sie ist gleich

x —    xt    a₀    — xn

ff _ ff    ff    .... , ff

tAs    oI/q    Uly.    iäj *

und werde mit

[X] xlf x₀ )

bezeichnet.

Jede rationale Function R{x) einer Variablen wird für ebenso viele Werthe des Arguments Null wie unendlich gross, vorausgesetzt dass die Null-und Unendlichkeitsstellen mit den richtigen Ordnungszahlen gerechnet werden. Es seien

ff    ff    ff

'"l 7 1/72 7    * • • Wj*

die Werthe, für welche R(x) verschwindet, und

/y»* ff    ffr

1 7 *"2 1 * * * *"r

diejenigen, für welche die Function unendlich gross wird; ein Werth, dessen Ordnungszahl grösser als 1 ist, soll dabei mehrfach gesetzt werden. Dann ist

B(x) = R(cQ .IT(U xv, x’v),

d. h. es lässt sich R(x) als Product von Functionen darstellen, die nur an einer Stelle Null uiid an einer Stelle unendlich gross werden. Nennen wir eine solche Function (xj xv, x'r) eine rationale Primfunction, so ist also jede rationale Function einer Veränderlichen als Product von rationalen Primfunctionen und einer Constanten darstellbar.

bezeichnen.

Die Function E{xy]Xiyl1x₀y₀) verschwindet, abgesehen von den wesentlich singulären Stellen (ax ... (a$), nur an der Stelle (xt yx) und wird für (xQy₀) unendlich gross, in beiden Fällen mit der Ordnungszahl 1; sie hat daher den Charakter einer Primfunction, und wir wollen sie im Gegensatz zu der eben betrachteten rationalen als eine transcendente Primfunction Jede rationale Function R(xy) des durch eine algebraische

Gleichung /’(æ, y) = 0 verbundenen Paares (xy) lässt sich nun in ähnlicher Weise als Product von transcendenten Primfunctionen darstellen, wie die rationalen Functionen einer Veränderlichen durch rationale Primfunctionen. Die Function R(xy) verschwinde an den Stellen

(XiVi), (X2 SOl ••• {XrVr)

und wrerde unendlich gross für

Mi),    ••• Wv'r),

wobei jedes Werthepaar so oft aufzunehmen ist, wie die zugehörige Ordnungszahl angiebt. Jeder Stelle der ersten Reihe ordnen wir eine der zweiten zu, z. B. seien (xvyv) und (Vy'v) für v = 1, 2, ...r zusammengehörig. Sodann bilden wir für jedes dieser Paare von Stellen die Function

H(xy, x'y')dx'

/* (p^v Vv)

E{xy)xyyv,x'vy'v) — e {XrVv)

die r Integrationswege {{xvy'v)... [xvyv)) können hierbei beliebig angenommen werden. Setzen wir nun

r

P[ E(xy; xvyv, x'vy'v) = Bt(xy)

r*= 1

so lässt sich der Quotient

B(xy)

Rx(xij)

in der Umgebung einer von (atbt), ... («Ą), (as.yj, ... (*ryr), (*>'), .... (x'ry,) verschiedenen Stelle in eine nach steigenden Potenzen von t fortschreitende Reihe entwickeln, deren Anfangsglied eine von Null verschiedene Constante ist, denn diese Form hat sowohl die Entwickelung des Zählers, wie die des Nenners. Ferner ist

(« = 1, 2,... e)

und

t”¹

'    BiixtVt) = ?! (t)-e

i^,yv)

(Ay'v)

H(xy)adx

Wenn (aaba) nicht zu den Null- oder Unendlichkeitsstellen der Function B(xy) gehört, so fangen P(t) und Pt(t) mit constanten Gliedern an. Verschwindet aber P{xy) für {aaba) mit der Ordnungszahl A P(t) mit dem Gliede tx.

so beginnt

Diese Stelle kommt dann auch in der Reihe der

Nullstellen (xvyv) A-mal vor, sodass in dem Product Rt(xy) A Factoren

E{xy',xvyv,xvy'v) vorhanden sind, deren Entwickelung, von der Exponential-grösse abgesehen, mit dem Gliede t¹ beginnt; also ist tl auch das Anfangsglied in Pi (t). Ebenso folgt

wenn

(aabj mit einer Stelle (x'y'J

zusammen

fällt, an welcher die Inunction R{xy) mit der Ordnungszahl A unendlich gross w⁷ird, dass dann sowohl P(t), wie Pi(t) mit der Potenz t~x anfängt. Die Entwickelung des Quotienten

P(t)

P(t)

enthält nur positive Potenzen von es ist demnach

beginnt daher mit einer Constanten und

-t-¹

(xv yv )

II(xy)adx

R&tVt)

Stellt (xtyt) ein Element des Gebildes dar, dessen Mittelpunkt eine von {a₁bi)₎ ... (« 6 ) verschiedene Stelle (xvyv) oder (x'vy'v) ist, so wird

R(xtyt)    P(t)

p&iVt) ~ m’

und aus den für^ E(xy]Xiyi^xoyo) aufgestellten Formeln (S. 383 — 384) ergiebt sich, dass P(t) und PJj) mit derselben Potenz von t beginnen. Mithin folgt

(K y[)

(«= 1-2, ...q).

PipCtVt)

Pi (FtVt)

Da schliesslich

P(«<A) = ¹

ist, wobei wir voraussetzen, dass die Stelle (aQbj weder zu den Null-, noch zu den Unendlichkeitsstellen der Function R{pcy) gehört, so hat der Quotient

1 E (xy) P(ß'M Px{xy)

die für eine nicht verschwindende E-Function charakteristischen Eigen-

schäften (S. 367). Demnach ist

— E(xy)

¹ R{xy)

Ri (xy)

also

R{pcy)_

R(a₀b₀)

r

= E(xy). fl E(xy;xvyv, x'vy\).

Damit ist die Zerlegbarkeit jeder rationalen Function des Paares (xy) in transcendente Primfunctionen bewiesen. Nachdem man die r Werthepaare (xvyv) und (x'vy[) beliebig in r Gruppen von je einer Null- und Unendlichkeitsstelle gesondert hat, bildet man das Product Ri(xy) der r Primfunctionen E(xy\xvyv,x'vy'v). Dann wird E^xy) nach Multiplication mit einer nicht verschwindenden Function E(xy) gleich

Wir können in der vorstehenden Gleichung die Function

J H(pcy ,x'y')dx'

auch zu einer der Functionen E(xy\ xvyv, xvy[), z. B. zu E(xy\ xry , x'ry'r), hinzuziehen. Es ist nämlich

E{xy) =

B{xy)

B(a₀b o)

jiPrVr)

E{xy).E(xy] xryr) x'ry'r) = e (XrVr)

bezeichnen wir also dieses Product wieder mit E(xy] xryr) x[y[) scheiden sich die beiden gleich bezeichneten Functionen nur durch den Integrationsweg ((xryr)... (xry)). Wir erhalten so

H(xy, x'y') dx' + J‘H(xy, x'y') dx'

so unter-

R(xry)

E(aoK)

— TI E(xy] xvyv, x'yy\)

V= 1

wo die Stelle (ao bj von den Null- und Unendlichkeitsstellen der Function E(xy) verschieden anzunehmen ist.

In r — 1

Jede rationale Function des Paares (xy) lässt sich also als Product von r transcendenten Primfunctionen E(xy, xvyv) xvy'v) darstellen, von ihnen können die Integrationswege für die Integrale

H(xy, x'y') dx'

Ç (f^v Uv)

\<yV)

für ihn zulässig sind, die den Werth des Integrals unberührt lassen.

Die Darstellung als Product von F-Functionen gilt auch für eine rationale Function des Paares (xy), deren Grad < q ist.

Diese Sätze bieten eine bemerkenswerthe Analogie mit solchen aus der Zahlentheorie dar. Zunächst gilt im Gebiete der reellen ganzen Zahlen der Satz, dass jede Zahl entweder selbst nicht in Factoren zerlegbar ist oder aus solchen unzerlegbaren Zahlen durch Multiplication gebildet werden kann. Dies führt zu dem Begriff der Primzahlen. Nimmt man die Primzahlen sämmtlich als positiv an, so kann man jede Zahl als Product von Primzahlen und einer Einheit +1 oder —1 darstellen, und zwar auf eine einzige Weise.

Der Begriff der Primzahlen kann im Gebiete der complexen ganzen Zahlen, die aus den vier Einheiten 1, —1, «, — i durch Addition zusammen

eine einzige der vier Einheiten ausdrücken.

ten

Function der Integrations

willkürlich gewählt werden, während in der r weg durch die übrigen insoweit bestimmt ist, als nur solche Änderungen

gesetzt sind, aufrecht erhalten werden. Denn jede Zahl a + bi lässt sich auf Weise durch ein Product von primären Primzahlen und einer

Es wurde nun versucht, diese Zerlegung auf die verallgemeinerten complexen ganzen Zahlen, die ganzen algebraischen Zahlen, auszudehnen. Eine Zahl a heisst eine algebraische Zahl, wenn sie einer Gleichung

genügt, in der die Coefficienten Ao, A, ... An reelle ganze Zahlen sind. Ist der Coefficient A₀ der höchsten Potenz gleich 1 algebraische Zahl; ist ausserdem auch der Coefficient An gleich ±1, u eine algebraische Einheit, eine algebraische Zahl, und braische Zahl bezeichnet, die nach der vorhergehenden Definition ganze algebraische Zahlen sind. Bei dem Bestreben nun, im Gebiete dieser aus a gebildeten Zahlen den Begriff der Primzahlen einzuführen, versuchte man zunächst folgende Definition aufzustellen: Die ganze algebraische Zahl «p(«) wird eine Primzahl genannt, wenn sie sich nicht als Product zweier Zahlen derselben Art darstellen lässt, von

Es fand sich aber, dass das Product zweier so

so heisst a eine ganze

so heisst

Jede rationale Function <p(a) von a ist ebenfalls

wird sie als eine aus a gebildete alge-ünter diesen Zahlen <p(a) giebt es wieder solche,

zwar

denen keine eine Einheit ist.

definirten Primzahlen noch durch andere dem betrachteten Gebiete angehörige Zahlen, als diese selbst, theilbar sein kann. Es blieb also nicht der fundamentale Satz bestehen, dass eine Zahl nur auf eine einzige Weise in Primzahlen zerlegbar ist.

Diesen Übelstand beseitigte Kummer durch Einführung der sogenannten idealen Primfactor en. Die Primzahlen, aus denen sich jede ganze algebraische Zahl <p (a) auf nur eine Art durch Multiplication zusammensetzen lässt, sind nämlich nicht in dem Gebiete dieser Zahlen selbst, sondern in einem ausgedehnteren zu suchen. Nimmt man eine ganze algebraische Zahl ß an, die mit a durch eine gewisse algebraische Gleichung verbunden ist, so lässt sich jede ganze Zahl cp(a) auf eine einzige Weise als Product von Zahlen darstellen, die in a und ß rational sind. Die Zahl ß muss für jede Zahl a besonders bestimmt werden.

In der Eunctionentheorie versteht man unter Primfunctionen solche, die an je einer Stelle von der ersten Ordnung unendlich gross werden und verschwinden. Wenn der Rang des algebraischen Gebildes gleich Null ist, so lässt sich jede rationale Function des Paares" (xy) mittels Multiplication aus Primfunctionen bilden, die ebenfalls in {xy) rational sind. Ist aber der Rang grösser als Null, so giebt es im Gebiete der rationalen Functionen des Paares {xy) keine Primfunctionen; man muss unter den transcendenten Functionen solche aufsuchen, welche nur an einer Stelle unendlich gross werden und an einer Stelle verschwinden und sich den rationalen Functionen möglichst eng anschliessen. Dies sind die Functionen E{xy- xvyv1 x'vy[), als deren Product, wie gezeigt worden ist, sich jede rationale Function des Paares {xy) darstellen lässt, wenn man noch eine Function E{xy), die nicht verschwindet und nicht unendlich gross wird, als Factor hinzunimmt.

wie

Die Functionen E{xy) sind mit den Einheiten in der Theorie der com-plexen Zahlen zu vergleichen. Denn nach der obigen Definition ist eine ganze algebraische Zahl eine Einheit, wenn ihr reciproker Werth ebenfalls ganz ist. Ebenso ist die Function    von derselben Beschaffenheit,

E{xy) selbst, da E{xy) an keiner Stelle Null oder unendlich gross wird.

Es hat sich nun im vorigen Kapitel (S. 372) ergeben, dass jede Function E{xy) aus 2q speciellen Functionen

DIE FUNCTIONEN Q (xy, x₁y₁, x₀yä) UND 1%(p:y]X₁yl,x₀y₀). durch Multiplication erhalten werden kann, sodass stets

E{xy) = n i[E{xy)fp[EXxy)/?\

ist. Entsprechend giebt es in der Theorie der algebraischen Zahlen 9(a) eine geschlossene Anzahl Einheiten jE^a), _E₂(a), ... Er(a), aus denen sich alle übrigen in der Form

El‘‘(«)E?(«)... E^(a)

zusammensetzen lassen, wobei die Exponenten plf fi₂, ... (ir ganze positive Zahlen oder Null sind.

Sowohl für die idealen Primfactoren Theorie der algebraischen Zahlen findet sich also bei den rationalen Functionen des durch eine algebraische Gleichung verbundenen Paares (xy) ein Analogon.

wie für die Einheiten in der

Alelsche Functionen.

50

Zwanzigstes Kapitel.

Darstellung des Integrals dritter Art durch Logarithmen

der E-Functionen.

Durch die Logarithmen der in den beiden vorhergehenden Kajiuteln behandelten Functionen E(xy)ß, E'(xy)ß und E(xy\xlyl1xfiy1i) können die Integrale dritter Art in ähnlicher Weise dargestellt werden, wie die Integrale erster und zweiter Art durch die Logarithmen der Functionen E(xyund E'(xy)s allein (S. 374).

Um dies zu beweisen, gehen wir von der Gleichung (S. 304 und S. 383)

ä .    \ d r^yi)

log E(xy ‘,x₁y₁, x₀ y₀) =

J(xoVo)

e (    /•(«iVi)

= H(x, yl, xy) - E(x₀ y„xy)+ 2 j #'(^)« /

“ = 1{    •,ta>y₀)

aus, die zunächst nur unter der Voraussetzung abgeleitet worden ist, dass die beiden Stellen (xoyo) und fayj demselben Element des Gebildes angehören. Ist dies nicht der Fall, so denken wir uns, wie früher (S. 305) bei der Function Q(xy), das Integral

E(xy, x'y) dx

)    r

H(x'y')adx' — H(xy)aj

(XiVi)

(xoVo)

E'(x'y')aäx'

rfriy 1)

H(xy, x'y') dx'

KXoVo)

Wir

als eine Summe von Integralen so dargestellt, dass die Grenzen jedes einzelnen Stellen desselben Elements sind. Da die Gleichung für jedes Theil-integral besteht, so folgt durch Addition ihre Allgemeingültigkeit, müssen auch hier annehmen, dass die Stellen (xy) und (aobQ) nicht auf dem Integrationswege liegen, und zunächst auch, dass (xoyo) und (xtyj mit keiner der Stellen (a^), ... (aQbQ) zusammenfallen.

Für die Integrale erster und zweiter Art haben wir die Gleichungen gefunden (S. 375):

JiPlVl )a

1 ® (

J(x₀ yo)a    2 I

E'(?i Vi)ß

E'faVo)?

~ <191 Og

yjß

y₀)ß

J'fai Vi)a ~~ J\Xo Vo)a =

~ Vc^Og

E&i Vi)ß

(cc = 1, 2,... q)

E{XoVo)ß

in denen die Werthe der rechts auftretenden Logarithmen eindeutig bestimmt sind, sobald der Integrationsweg ((x₀y₀)... (a^yj) fixirt ist. Addiren wir diese 2q Gleichungen nach Multiplication mit H'(xy)a und —H{xy)u, so folgt

(®i Vi )

2 \n\xy)a f

« = i(    A,,

(®i 2/i)

H{x'y')a dx' — H{xy)a j

Jfr,

~ Wf?.|Iog    «5,'““!»_’*»<•!

H'(x’y')adx

Lo 2/o )

-log

Die Summen, mit denen die Logarithmen auf der rechten Seite multiplicirt sind, kann man mit Hülfe der Relationen umformen, die sich aus der Gleichung (S. 313)

dlogE(xy)

dx

= 2 \2    H'(xy)a ~2riaH(xy)a J

für die Functionen E(xy)ß und E'(xy)ß ergeben, wenn man u>a, rja durch (oaß, r\a[i und durch io'aß, y'aß ersetzt. Dann wird

q {    r&iVi)

2 ]H'{xy)a /

“-M    J(x₀y₀)

H{x'y')a dx' — H(xy)a j

IT{x'y')a dx'

(®oÿo)

■Efa yjf diog-g^yV

E{x₀y₀)?

ElXiVi)? dlogE(xy)ß E'(x₀y₀)ß

mithin erhält man aus der ersten Gleichung dieses Kapitels

dx

-log

da;

ïï(x₁ylJxy) H(x₀y₀,xy^) ^^\ogE{xy] x₁y₁₎ x^y^

E'fa yjp d log E{xy)ß E\%₀ y₀)ß ~

dx

-log

EfayJß dlogE'(xy)ß)

E(x₀y₀)ß

dx

Wenn [a₀b₀), wie immer, diejenige Stelle ist, für welche die Function H(xy, x'y') verschwindet, die Functionen E(xy)^, E'(xy)^ und E(xy,₁xiyi^xoyo) demnach gleich 1 werden, so setzen wir

r(xy).

/ I H(xi Vx X vy) - H(xo Vo ,xy)\dx = J(xy; xx yx, x₀ y₀) ;

J(a₀i₀)

Denken wir

dann ist J(xy]X₁y₁,x₀y₀) ein Abelsches Integral dritter Art. uns nun beide Seiten der vorhergehenden Gleichung zwischen den Grenzen (a₀b₀) und (xy) integrirt und zwar auf einem beliebigen Wege, der aber keine der beiden Stellen (x₀y₀) und (xly₁) enthalten darf, so ergiebt sich

J(xy;x₁y₁,x₀y₀) = logE(xy;xiyi,x₀y₀)

Die Werthe von

(ß — b 2,... p)

log E(pcy \ xx yx, x₀ y₀), log E (xy)ß, log E'(xy)ß

in denen das unbestimmte Werthepaar (xy) vorkommt, werden durch den. Integrationsweg ((a₀b₀)... (xy)) bestimmt; für die Anfangsstelle (a₀b₀) sind sie sämmtlich gleich Null zu nehmen.

Ausserdem treten in der Formel noch die Logarithmen

log

log

E(xx yjß

E(xoVo)ß

auf, deren Werthe von dem Integrationswege ((xoy₀)... (xtyt)) für die Integrale

(xi 2/i)

{xxV i)

(xoVo)

abhängen. Dieser Weg stimmt mit dem für das Integral

r(.xxVi)

Vo )

überein, das in der Definitionsgleichung der Function E(xy\xtyx1 x₀y₀) auftritt

H(x'y')adx',

H'(x'y')aäx'

(xo Vo )

H(xy, x'y') dx'

Wir wollen nun untersuchen, ob die verschiedenen Werthe, welche die beiden Seiten der Gleichung

J(xy\ XiVi^oVo) = logE(xy]X₁yllx₀yQ)

E&oVo)?

logE'ipcy)^

für ein bestimmtes Werthepaar (xy) nach Fixirung des Weges (\xoyo)... (xxyj) annehmen können, sämmtlich übereinstimmen. Die Mehrdeutigkeit des Ausdrucks auf der rechten Seite rührt von den von (xy) abhängigen Logarithmen her. Demnach ergiebt sich jeder Werth der rechten Seite durch Hinzufügung der Summe

Oi Vib

2 j^iog

ff'Oo^oV

ffOo2/oV

-2[i₀xi

zu einem beliebigen ihrer Werthe, wobei y₀, und p'p (ß = 1, 2,... ç) gleich Null oder gleich ganzen positiven oder negativen Zahlen sind.

Nun muss aber gezeigt werden, dass alle so erhaltenen Werthe sich auch als Werthe des Integrals J(xy\ xx y^ x₀yD) bei Ausführung der Integration auf verschiedenen Wegen ergeben. Wie bewiesen worden ist (S. 365), besteht die Gleichung

dx — 9(xy) — 2pv:i.

dx

K K)

Dabei ist der geschlossene Integrationsweg von

9(xy) — ( H(xy,x'y')dx'

Im Speciellen ergiebt sich

in beliebiger Weise zu fixiren, während dann logE(xy) den eindeutig bestimmten Werth hat, der sich bei Ausführung der Integration auf dem Wege ((aob₀)... (xy)) ergiebt; y ist die Anzahl der mit dem richtigen Vorzeichen versehenen Durchkreuzungen dieses Weges mit dem geschlossenen Integrationswege des Integrals J H(xy, xy')dx. hieraus (vgl. S. 371)

log E(xy)p = 9 (xy)p - 2 i, log E'(xy)p = 9'(xy)?-2y'pizi,

wo die vollständigen Integrale Q(xy)^ und Q!{xy)i sich über die Kreise Ki und FÇ erstrecken und yß und ÿ die Anzahlen der Durchkreuzungen des Weges ([a₀b₀). •. {xy)) diesen Kreisen sind.

Der Beweis der Gleichung

logicy) = Q(xy) — 2 y ni

lässt sich nun wörtlich auf den Fall übertragen, dass der Integrationsweg von J H{xy,x'y')dx kein geschlossener ist, sondern von (x₀y₀) zu einer beliebigen Stelle (xtyj führt. Daher wird

logE(xy;x₁ y„xQy₀) = Q(xy, xtylt x₀y₀)-2yni.

Auch hier ist der Werth von logE(xy₁xiyllxoy₀) eindeutig durch den Integrationsweg ((a₀b₀)... (xy)) bestimmt, und y ist gleich der Summe der Zahlen +1 und —1, welche die Schnittpunkte dieses Weges mit dem von (xoyo) nach fayj führenden Integrationswege charakterisiren.

Durch Integration der Gleichung

H(xlyvxy)-H(x₀y„xy) = ~logE(xy, xtylf x₀y₀)

dx

-log

E'ipi Vi)ß d log E(xy)ß

E\x₀y₀\

E(x₁y₁)ß dlogE\xy)ß E(x₀y₀)ß dx

zwischen den Grenzen {aQbQ) und {xy) ergiebt sich daher J(xy,xtyl} x₀y₀) = Q(xy, xty„ x₀y₀)-2y₀ni

-iog

E{pc₀y₀)ß

[&'(xy)ß - 2y'ßiti] ,

wobei auf der rechten Seite die Werthe der Logarithmen und die Zahlen P₀, P/*» nach Fixirung der Wege ((a₀6₀)... [xy)) und ((x₀y₀)... fayj) bestimmt sind.

Wird der Weg ((aob₀) ... (xy)) so gewählt, dass er weder den Integrationsweg {(x₀y₀)... (xlyj) noch einen der Kreise K₃, K'ß schneidet, so werden für ihn die sämmtlichen Zahlen y₀, yß, y'ß gleich Null. Bezeichnen wir nun den Werth des Integrals dritter Art, der sich bei Integration über diesen speciellen

so

Weg ergiebt, mit

(KA) ••• M)

wird für einen beliebigen Weg

J{xy>,x₁ yt, x₀y₀) = 'J(xy,x₁y₁,x₀%)-2yrä

+ 2 j^log

ß — i

E'(,xo%)ß

- A log

E(xi yjfij

E(x,y₀)?)

Nach der vorhergehenden Feststellung der Bedeutung der Zahlen g₀, g* ist dabei unmittelbar klar, dass sie jeden beliebigen ganzzahligen Werth erhalten können.

Damit ist die auf S. 397 ausgesprochene Behauptung bewiesen und der gesuchte Ausdruck für das Integral dritter Art durch Logarithmen von 22-Functionen gefunden.

Die Summe

-2fvu

ioÆ#-g'log#^

ß=i(‘ E&oVo)? ß E(xoVo)ß

ist eine allgemeine Periode des betrachteten Integrals, d. h. jede seiner Perioden ist für specielle Werthe der Zahlen go,    darin enthalten.

Daraus ergiebt sich sofort, dass die 2^ + 1 Grössen

2 ni

und

log

E'(x₀ y₀)p

log

E(xi

Eixoy₀)ß

ein primitives System von Perioden des Integrals

rtpy)

J{xy,xxyx) x₀y₀) = /    |H(xx yx, xy) - H(x₀y₀, xy)|dx

J(a₀ &₀)

können : nur

sind (S. 335), das Abelsche Integral dritter Art also (2p + l)-fach periodisch ist. Wenn wir den Logarithmen in diesen Perioden andere als die vorher (S. 396) fixirten Werthe geben, so ändert sich der Ausdruck der allgemeinen Periode der Form nach nicht, da wir Vielfache von 2tu zu 2^₀tu hinzuziehen erhält die Zahl g₀ eine andere, als die oben festgesetzte Be-

deutung.

Bei diesen Betrachtungen ist der Fall ausgeschlossen worden, dass (x₀y₀) oder (xtyj mit einer Stelle («A)> ••• (a^e) zusammenfällt (S. 394).

Ist jetzt

z. B. (xi y₁ ) = (aala), so haben wir in der Formel, die das Integral dritter Art durch die Logarithmen der E-Functionen ausdrückt,

[H(xtyt,xy)]to

statt

H{x₁y₁,xy)

zu setzen und gleichzeitig für die Logarithmen überall die constanten Glieder der betreffenden Entwickelungen einzuführen, also z. B.

[log

E {xtVt)ß

Ë (x₀ y₀)ß. £0

für

log

E'(xt yt)ß

E'(%₀y₀)ß

zu nehmen.

Da jede rationale Function F(xy) des Paares (xy) als eine Summe von LT-Functionen dargestellt werden kann, so lässt sich auch jedes Abelsche Integral durch Logarithmen von E-Functionen ausdrücken. Wir haben

F(xy)

= ix H(xvyv, xy) - 2 \cAE’(xy)ß -gß H\xy)ß} +

v — X

dF(xy)

dx

gefunden (S. 264), wobei ist. Daher kann auf der rechten Seite das Glied

r

- 2 cvH(x₀y₀,xy)

V = 1

hinzugefügt werden, und es ergiebt sich durch Ausführung der Integration

r

J F (xy) dx = C₀+ 2 cvlogE(xy,xvyv,x₀y₀)

+ 2 I cß log E(xy)ß + Cß log E\xy)ß\ + F(xy).

Die Perioden des Abelschen Integrals j‘F(xy) dx sind gleich den Werthen, um welche die rechte Seite sich ändert, wenn den Logarithmen ihre verschiedenen Werthe beigelegt werden.

Einundzwanzigstes Kapitel. Das Ab eis che Theorem.

Das Abel sehe Theorem, zu dessen Beweis wir jetzt übergehen, ist von Jacobi als die grösste mathematische Entdeckung seiner Zeit bezeichnet worden. ¹) Es wird sich hier als eine einfache Folgerung aus den Sätzen über die K-Eunctionen ergeben, während Abel selbst das Theorem in ganz anderer Weise bewiesen hat; in der zweiten Hälfte des Kapitels werden wir kurz auf seine Beweismethode eingehen.

sur

Von Abel rühren drei Mittheilungen über das Theorem her. Zuerst veröffentlichte er darüber im Jahre 1828 eine Abhandlung »Remarques quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions transcendantes« im 3. Bande des Crelleschen Journals,²) die sich auf die hyperelliptischen Integrale bezieht, wahrscheinlich aber am spätesten von ihm verfasst worden ist. Seine zweite Veröffentlichung »Démonstration d’une propriété générale d’une certaine classe de fonctions transcendantes« erschien 1829 im 4. Bande des Crelleschen Journals;³) sie enthält eine kurze Ankündigung des allgemeinen Theorems. Aber bereits im Jahre 1826 hatte Abel der Pariser Akademie eine umfangreiche Arbeit »Mémoire sur une propriété générale d’une classe très-étendue de fonctions transcendantes« eingereicht, die freilich erst lange nach Abel’s Tode herausgegeben wurde.f) Ausserdem ist in den

gesammelten Werken Abel’s⁴) ein von ihm hinterlassenes Manuscript »Sur la comparaison des fonctions transcendantes« veröffentlicht, worin ebenfalls das allgemeine Theorem enthalten ist.

Nach dem damaligen Gebrauche der Pariser Akademie wurde das eben erwähnte Abelsche Mémoire zwei Mathematikern, Cauchy und Legendre, zur Beurtheilung übergeben. Cauchy scheint die Wichtigkeit der eingereichten Abhandlung nicht erkannt zu haben; sie blieb in Folge dessen bei ihm liegen, ohne an Legendre zu gelangen, dem wohl die fundamentale Bedeutung der Arbeit nicht entgangen sein würde. Inzwischen starb Abel. Doch hatte Steiner von Abel selbst die Einreichung der Abhandlung an die Akademie erfahren. Als später Jacobi durch Steiner hiervon Kenntniss erhalten hatte, bemühte er sich um die Veröffentlichung, die endlich im Jahre 1841 erfolgte.

Die Abelschen Abhandlungen beginnen mit der Bemerkung, dass eine Summe von Integralen eines algebraischen Differentials stets durch algebraische und logarithmische Ausdrücke dargestellt werden kann, wenn zwischen den Grenzen der Integrale gewisse algebraische Relationen bestehen. Hieraus lässt sich erkennen, dass Abel auf seinen Satz durch die Untersuchung geführt worden ist, welche algebraischen Differentiale sich durch Logarithmen und algebraische Functionen integriren lassen. Dabei hatte er gefunden, dass das Integral einer rationalen Function F{xy) des durch eine algebraische Gleichung f{x,y) = 0 verbundenen Paares {xy), wenn es sich überhaupt durch algebraische und logarithmische Operationen ausführen lässt, stets in der Form

j‘F(xy) dx = F₀ (xy) + 2 log Fy (xy)

X

darstellbar ist, wobei Fo(xy), Fx{xy), ... wieder rationale Functionen des Paares {xy) bedeuten.

Abel stellt das Theorem aber auch schon in der Form auf, wie es gegenwärtig meistens ausgesprochen wird, dass nämlich die Summe von beliebig vielen Integralen eines algebraischen Differentials sich auf die Summe einer gewissen Anzahl von Integralen desselben Differentials und einen alge-

und

f(xr+a, yr+a) = 0

braisch-logarithmischen Ausdruck reduciren lässt. Allein die Bestimmung dieser geringsten Anzahl, d. h. in unserer Bezeichnung der Zahl p, ist bei ihm unzureichend, sie gilt nur, wenn das zu Grunde gelegte algebraische Gebilde f(x, y) — 0 beschränkenden Bedingungen unterworfen ist.

Das Abelsche Theorem für die Integrale erster Art lautet folgendermassen : Die Summe beliebig vieler Integrale

r    /* (xv yv)

2 / H(xy)pdx

(ß = i,2

deren obere und untere Grenzen (xvyv) und (x[y[) willkürlich gegeben sind, lässt sich stets als eine Summe von p Integralen

? rip^r+aVr+a)

2 /

H(xy)pdx

(ß = l,2,...Q)

darstellen

in denen die unteren Grenzen (gaha) ebenfalls beliebig gewählt werden können, während die oberen Grenzen (%r+ayr+a) algebraische Functionen der Paare (xvyv), (x'vy[) und (gahJ sind, und zwar dieselben Functionen für jeden Werth des Index ß.

Ist also f(x, y) — .0 die Gleichung des gegebenen algebraischen Gebildes, und bestehen zwischen den 2p Unbekannten xr+a) yr

und den 2r + p gegebenen Werthepaaren (xvyv), (x'y') und (gaha) die p transcendenten und die

p algebraischen Gleichungen:

*'    /* (xv yd)    q p

2 / H(xy)ßdx = 2 / V==lJ(KVr)    '    a = lJ(9aK)

(xr+aVr+a)

H(xy)ßdx

(ß = l,2,...Q)

(« = h 2, ...q)

so sagt das Abelsche Theorem aus, dass die 2p Unbekannten sich sämmtlich algebraisch bestimmen lassen.

Dieser Ausspruch des Theorems leidet noch an einer gewissen Unbestimmtheit, die zu Abel’s Zeit nicht erkannt wurde und auch nicht bemerkt werden konnte, weil die Theorie der Perioden der Integrale algebraischer Differentiale noch nicht entwickelt war. Der Satz sagt in dieser Form nur aus, dass es bei geeigneter Wahl der Integrationswege möglich ist, die 2p vorher auf

öl*

gestellten Gleichungen algebraisch zu lösen. Wir werden jedoch sehen, dass die Integrationswege in den r Integralen links und in q — 1 der Integrale rechts sich in ganz beliebiger Weise wählen lassen, wenn nur in allen q Gleichungen, die sich für ß — 1, 2,... q ergeben, entsprechende Integrationen auf denselben Wegen ausgeführt werden. Der Weg für das pte Integral auf der rechten Seite lässt sich dann stets so bestimmen, dass der Ausspruch in der angeführten Form gilt.

Das Abelsche Theorem erstreckt sich auch auf die Integrale zweiter und dritter Art, nur kommt zu den q Integralen, auf welche die Summe von beliebig vielen redueirt wird, in dem einen Falle eine rationale Function der gegebenen Grenzen (xvyv), (x'vy'v), (ffahJ, in dem anderen der Logarithmus einer solchen hinzu. Werden nämlich die Integrationswege ebenso gewählt, wie bei dem Theorem für die Integrale erster Art, so ist

(xr _f_ a yr+a)

r r(pvyv)

H'(xy)ß dx

II\xy)?dx + F₀(xtyt,... x[y\, ... g,hx, ...)

2 /

’=*•>; î4)

(ß — 1, 2,... q)

und

r r(ævyv).    Q r

2 / \H(%rl,xy)-H(%₀rlo,xy)}dx = 2 / v=lJ(x'M    a=lJ(t

(xr+a yr+tt)

(9aK)

+ logF₁(|rJ J₀ti₀; xtyl} ...x[y[, ... gth , ...),

\H{^xy)-H{t₀rl(),xy)\äx

wo Fo und Ft rationale Functionen ihrer Argumente Functionen von

also algebraische

(xvyjj (x'vy'v), OA)> wie bei dem

xv, ... xr, ... x'r, gx, ... gQ sind. Und zwar sind in diesen Gleichungen die oberen Grenzen xr+a, yr+a der Integrale auf den rechten Seiten dieselben algebraischen FAnctionen von Abelschen Theorem für die Integrale erster Art.

Da sich das Integral jeder rationalen Function des Paares (xy) aus den Integralen der drei verschiedenen Arten zusammensetzen lässt (S. 264), so lautet das allgemeine Abelsche Theorem: Die Summe von beliebig vielen Integralen einer rationalen Function des Paares (xy) lässt sich auf die Summe von q Integralen derselben Function zurückführen, vermehrt um einen aus den gegebenen Integrationsgrenzen gebildeten algebraisch - logarithmischen Ausdruck.

Der Beweis des Abelschen Theorems für die Integrale erster Art hängt nun mit folgenden Betrachtungen unmittelbar zusammen. Es sei R(ocy) eine rationale Function des Paares (xy), die an den Stellen

faUi)* (x*y»)> ••• faVr)

Null und an den Stellen

(x'M, (x2y2), ••• Kyi-)

unendlich gross wird, wobei jede Stelle so oft aufzunehmen ist, wie die zugehörige Ordnungszahl angiebt; r bezeichnet also den Grad der rationalen Function JR(xy) (S. 50 u. 5 6). Diese Null- und Unendlichkeitsstellen ordnen wir in willkürlicher Weise einander zu, und zwar mögen (xvyv) und (’xvy ) zusammengehören. Durch Zerlegung der Function R(xy) in Primfunctionen ergiebt sich dann (S. 390)

R {poy)

R(a₀b₀)

r

= n E(xy;vvi/v,Ky'v),

(a₀b₀) die beliebige, aber von den Paaren (xvyv) und (x'vy'v) verschieden anzunehmende Stelle des Gebildes ist, für welche H(xy,x'y’) verschwindet. Die Primfunction E(xy- xvyv, xvyv) wird durch die Gleichung

A^yv) e J(xWv)

wenn

S(xy, x’y')dx'

E{xy, xvyv, x'vy'v) =

dabei können in r — 1 der r Primfunctionen die Integrationswege

definirt ;

willkürlich gewählt werden, der rte ist dann insoweit bestimmt, als seine Änderung keinen Einfluss auf den Werth des Integrals haben darf.

Für die Umgebung einer der Stellen {a^b?) wird das Verhalten der E-Function durch die Gleichung (S. 383 u. 384)

E{xtyt) xvyvl xvy[) = P(t).e

<xi

(xvyv)

Uv y*)

H(xy)ßdx

P{t) bezeichnet hierin eine nach steigenden Potenzen von t fort-

0ten oder lten Potenz von t beginnt,

gegeben.

schreitende Beihe, die mit der (— 1)

ten

und der gemeinsame Integrationsweg der q Integrale

r(p*yi)

(ß — 1) 2,... q)

/ H(xy)ßdx \x'vy\)

ist derselbe, wie in dem Integral

(xvyr)

H(xy₎ x'y')dx'.

fàyi)

ß ß

Führen wir das Element (xtyt) in die Function R{xy) ein, so folgt aus ihrer Darstellung als Product von Primfunctionen

(xvyv)

(Ky'v)

log

Rfayt)

r r

"¹S /

V = 1

H(xy)ßdx + log P(t).

Die Entwickelungen von

-Z2(a₀ &o)

und P(t) sind beide von der Form

wo y eine ganze positive oder negative Zahl oder Null ist.

ß ß

R(a₀b₀)

mit t'¹. demnach muss

Weder

log

noch log Pp) liefert, nach Potenzen von t entwickelt, ein Glied

r r{xvyv)

(ß=l,2

2 I H(xy)ßdx = 0 v==lJ«y'r)

sein. Hierbei ist der Integrationsweg (ix'vy'v) ... (%vyv)) ebenso zu wählen, wie in dem Integral dritter Art, das in der Definitionsgleichung der Function E{xy\ xvyv, x'vy'v) auftritt. Die r Integrationswege sind daher nach dem Vorangeschickten bis auf einen willkürlich, müssen aber in den sämmt-lichen für ß = 1, 2, ... q sich ergebenden Gleichungen für die entsprechenden Integrale in gleicher Weise gewählt werden.

ß

Für ein anderes System von q linear unabhängigen Functionen H{xy), die ebenfalls für alle Elemente des Gebildes der Gleichung

ff ^ = w

genügen, ist (S. 108)

mithin wird

folglich

(ccvyv) (Î    ('    r p

H{xy) dx == 2 C*a 2 /

a=i v—iJu

(xv yv )

H(xy)adx,

(ß=l,2

Wy'*)

(Ky'v)

r ri^Vv) I»

? /

Diese q Gleichungen bestehen also für jedes System von q linear unabhängigen Integralen erster Art.

Demnach sind wir zu dem Resultat gekommen: Wenn man die Null-und Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function rton Grades paarweise einander zuordnet und von den r Integralen j H(xy)^dx, deren obere und untere Grenzen durch je ein solches Paar gebildet werden, r — 1 auf beliebigem Wege ausführt, so lässt sich der ru Integrationsweg stets so wählen, dass die Summe der r Integrale verschwindet; und zwar gilt dies für jeden der q Indices ß — 1, 2, ... q. Hierbei kann auch r < p sein (S. 391).

Führt man aber alle r Integrale auf beliebigen Wegen aus, so ändert sich die Summe nur um eine Periode, d. h. es ist dann

H(xy)dx = 0

*• r(xvyv)

2 / H(xy)pdx v==lJ(x'yi.)

= 2«)

.. 2to? simultane Perioden der q Integrale erster Art sind (S. 306). Es seien nun unter der Annahme, dass p>Q ist,

•'*    (%p-Q+l ^p-Q+l) 1    *•*

i’ •

und

(£i Th)> **• (^p-q^p-q)

zwei gegebene Reihen von Werthepaaren, wobei die Paare einer und derselben Reihe theilweise übereinstimmen können. Dann lässt sich, wie gezeigt werden soll, stets die zweite Reihe durch q Stellen

rlp-Q+:)> ••• (èp^p)

(I

P-Q+1

so ergänzen, dass eine rationale Function existirt, die nur an den Stellen der ersten Reihe unendlich gross und an denen der zweiten Reihe Null wird. Es kann indess Vorkommen, dass die hinzuzufügenden Nullstellen sämmtlich oder zum Theil mit den gegebenen Unendlichkeitsstellen übereinstimmen. In allen Fällen sei ft'— y die Ordnungszahl des Unendlichwerdens, wenn eine Stelle ft'-mal in der ersten und fi-mal in der zweiten Reihe vorkommt und ft'> ft ist; dagegen sei ft —ft' die Ordnungszahl des Verschwindens, falls ft'<ft; ist aber ft' = ft, so soll an jener Stelle die Function einen von Null verschiedenen, endlichen Werth haben. Die Voraussetzung P > q ist erforderlich, weil im Allgemeinen eine Function, die an weniger als 9 + 1 vorgeschriebenen Stellen mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross wird, nicht existirt (S. 69).

Die Stellen (alb₁)^ ...    die bei der Bildung der Function H(xy,x'y')

auftreten, mögen von den sämmtlichen Paaren (£'■/]') und (lv\) verschieden angenommen werden; (g^) und (£tr)f) seien die Elemente mit den Mittelpunkten (!//]') und (grY]„).

Ist JR(xy) eine rationale Function, die an keinen anderen als den Stellen ...    unendlich gross wird, so kann sie auf die Form:

B{xy) = C₀+ Ct H(xy, £' 7j') + C₂H(xy, d-----\- Cp H(xy, %pr{p)

gebracht werden (S. 100). Unter den Unendlichkeitsstellen seien

(ÜVi)i ••• (imV»)

die von einander verschiedenen und deren Ordnungszahlen, sodass die Relation

*1 + *¹ • +    = P

besteht, dann stimmen H{xy, l'ij'), ... S(xy, l'pr{p) mit den Functionen

H(xy,%vr{v) o, H(xy, |* ?]'),,    ... H(xy, i'iji)

für v — 1, 2j ... m überein. Damit aber jR(xy) für die Paare (a^J,... (a^b^) endlich bleibt, müssen Cxl ... Cp den ç Gleichungen

(a = 1, 2,... q)

Cim[ri[)a+CM&täa + --- + Cpm'pri'^ = 0

genügen, wobei

Hk

ist, wenn der Stelle (|'y)') noch Je gleiche voransgehen. Soll ferner R{xy) für    mit der Ordnungszahl Av verschwinden, so müssen in der Ent

wickelung von R(kt~r\t) die Coefficienten von t°,t\ ... tlx~x gleich Null sein. Demnach ergeben sich für die p — q Nullstellen p — q Gleichungen, die in Bezug auf Oo, C

q-\-(P~q) —p Gleichungen dieser Beschaffenheit, aus denen sich die Verhältnisse der Constanten Co, -Ct, ... C bestimmen lassen. Die Coefficienten dieser Gleichungen sind rational in Bezug auf die Werthepaare    ... (%p~r\p) und

(^i^i)’ • • •    mithin haben auch die Verhältnisse der Constanten

.. C die gleiche Eigenschaft.

.. Cp linear und homogen sind. Man hat also im Ganzen

o’

1» •

Bei der Auflösung sind zwei Fälle zu unterscheiden.

Erstens können

sämmtliche Constanten (7, die als Coefficienten der Functionen

H(xy,%vr{v) = H(xy,£vT{v)

auftreten, von Null verschiedene Werthe erhalten, sodass der Grad von wirklich gleich p ist (vgl. S. 84, (I, 1)). Die Function JR{xy) hat dann den p — Q gegebenen Nullstellen noch q andere:

(%p—Q+irlp—Q+l)l    (£prip)l

die aber auch sämmtlich oder theilweise mit (£,'»]₁), .(Ip “q ), dagegen mit keiner der p Unendlichkeitsstellen zusammenfallen können, und erfüllt die Bedingung, für

R(xy)

ausser

(£l^îl)> '*• i^p-Q^lp—o) J Ob-0+1 rip — Q+l) > ••• (fsp^p)

unendlich gross und für

**• {^p-qtIp-q) > i^p—Q+i ri

p—Q+l) > • • *    rip)

Null zu werden.

Zweitens mögen zu Folge jener linearen Gleichungen solche Constanten C den Werth Null annehmen, deren Verschwinden den Grad der rationalen Function R{xy) erniedrigt, sodass sie nicht an allen Stellen (£'yj'), ...

Abelsehe Functionen.

52

mit den Ordnungszahlen x₍, ... x unendlich gross wird. Es seien jetzt

(M), ••• (r,Vi)

die von einander verschiedenen Unendlichkeitsstellen von R(xy),

x:

•.. x'j

die zugehörigen Ordnungszahlen, so ist der Grad von R{xy) gleich p\ wenn

x'H----+ Y.\ — p'

gesetzt wird. Den Werthepaaren sind daher nur noch Q — (p—p) hinzuzufügen, da p <p ist.

Um aber den im ersten Falle gültigen Satz aufrecht zu erhalten, dass die gegebenen p — Q Nullstellen noch durch q weitere ergänzt werden können, schliessen wir folgendermassen. Da die Unendlichkeitsstellen der eben gebildeten Function R(xy) sämmtlich unter den Stellen enthalten sein müssen, so ist

m>l,

Xi > x; » ... x; > x'

und

p-p¹ = (xj — x|)H-----h (x, — X;) + x,₊₁ + • • ■ + x*.

an-

Wenn wir nun die Null- und Unendlichkeitsstellen in der oben (S. 408) gegebenen Art zählen, so können wir sagen, die Function jR(xy) wird für die Werthepaare

mit den Ordnungszahlen

x;+1 >

unendlich gross, sobald wir diese Paare auch zu den vorher gefundenen Q — (p—p') Nullstellen und zwar mit den Ordnungszahlen

**+i»

Xj—X', ... Xj — Xj,

hinzufügen. Die gegebenen p — q Stellen

für welche R(xy) verschwinden soll, sind demnach noch durch Q~(p -p') + (Xj- <) + • • • +    + *J+i + • • • +    = 9

Werthepaare zu ergänzen.

ausser

Es gilt mithin der Satz : Sind für p > q zwei Reihen von p und p - q Stellen gegeben, so lässt sich stets eine rationale Function des Paares (xy) bilden, welche für die Stellen der ersten Reihe unendlich gross wird und für diejenigen der zweiten Reihe noch an q Stellen verschwindet; dabei sind die Null- und Unendlichkeitsstellen in der auf S. 408 angegebenen Weise zu zählen.

Wir wollen jetzt unter der Annahme, dass die Function R(xy) vom pt6n Grade ist, den Zusammenhang zwischen ihren noch zu bestimmenden q Nullstellen

und den gegebenen p Unendlichkeits- und p-Q Nullstellen

(£ir/l)>    (%P-Q TIP~q) > (ip-ç+t rip-Q+l) 7 •** (.%>Prlp)

und

(źp-g^p-o)

Dazu gehen wir auf die früher (S. 47 — 56) durcheine ratio

näher untersuchen.

geführte Bestimmung der Werthepaare (xy) zurück, für welche nale Function pten Grades des durch eine Gleichung f(x, y) = 0 verbundenen Paares (xy) einen vorgeschriebenen Werth

den beiden Gleichungen f(x,y) = 0 und R(xy) = s ergab sich

s annimmt. Durch Elimination

von y aus

eine Gleichung zwischen s und x einer irreductiblen Function ist. handeln, führten wir statt x und y zwei neue Variable x und y' durch die

deren linke Seite irreductibel oder Potenz

Um diese beiden Fälle gemeinsam zu be-

Substitution

x' = x + Tcy, y' = y

52*

ein, wobei die Constante U so zu wählen war, dass die aus

f(x'-Tcy',y') = 0

und

R(x'-ky',y') = 5

durch Elimination von y' hervorgehende Gleichung

G(s, x ) = 0

Werden für

irreductibel ist; ihr Grad in Bezug auf % ist dann gleich p. x der Reihe nach die Wurzeln dieser Gleichung gesetzt, so ergeben sich die p Werthepaare (xy), für die R{xy) = s wird, in der Form

x = x'—Jcdi(s,x'), y — yi(s,x')]

$t(s,x) ist dabei eine rationale Function ihrer Argumente.

Diese allgemeinen Betrachtungen mögen jetzt auf die eben bestimmte rationale Function

R(xy) = C₀+C₁H(xy,£₁r'l)+ CaH(xy,giri'a) + --- + G₁,H(xy}gprl'p)

angewendet werden. Der Grösse s legen wir zunächst einen unendlich kleinen Werth bei und setzen sie zum Schluss der Untersuchung gleich Null; wollten wir von vorn herein 5 = 0 annehmen, so könnten die auf S. 52 erwähnten Ausnahmefälle eintreten. Werden die p Wurzeln der Gleichung G(s, x) — 0 mit

/y»    /y>    rpf

^1? ••• ^p-Q ?    • • • Jsp

bezeichnet, so liefern die Relationen

0 = 1,2

|v = x'v — lc$l(s,x'v), 7]v = 31(5,0

die p Stellen (|v7]v), für welche R(xy) = s ist; und zwar mögen die Wurzeln

r    t

/y»    /y>

• • • Xp

s = 0 in die gegebenen Nullstellen von R{xy), dagegen (£ in die zu bestimmenden übergehen.

Aus der Entstehung der Function

G{s,x) = x,p-Atx

-9

p-Q+ll ‘

..x'p so geordnet werden, dass    ... (%p_Qv\p_q) für

^ip-Q+l) ’ ’ • * (£p ^Ip)

p—Q+1

ip-l

+ -±4,

ergiebt sich, dass ihre Coefficienten rational durch die in R{xy) auftretenden Grössen Co, C1? ... C , also auch rational durch die Werthepaare    ... (i^7j';)

und (IjYjJ, ... (6, ^ ) darstellbar sind (S. 409). Setzen wir ferner (x'-x'p_Q+1)(x'-x'p_Q+2) ...(x'-x'p) = x^-B^"¹+ -~±Bq, so bestellen für die Coefficienten ... B die Relationen

Bx = A₁—(x'₁ + x '4-----t æ'P-o) )

B.

A₂ Bt(x₁ + x,₂ + • • • 4* Xp_Q^ (x₁x₂4- Xyx₂4~ ••• + Xp—Q—ii

Ai, ... Ap sind die elementaren symmetrischen Functionen von ... x' und

. xp. Die Coefficienten B^ ... B sind mit-

.. B^ diejenigen von xp hin ganze rationale Functionen von At, ... A? und von

l5 *

p— Q+ll

P—Q‘

p-o+l⁵

Demnach ergeben sich die q Grössen xv Qten Grades

.. x'p als Wurzeln einer Gleichung

^⁹-R₁^'"¹ + *..±Ą = 0,

deren Coefficienten rational in Bezug auf (£'7]'), ... (|'pr^) und (^p-o^p-q) sin(i- Mit diesen Werthepaaren hängen sodann die Stellen

(i#-(j+l    • • * (i^> Ąp)

durch die Gleichungen

p—Q+a

^p—Q+a fo’ÎR(S)Xp

~Q + a

)> Tlp

—Q+a

= 91 (s, x'p

—Q+a

zusammen.

Setzt man nun schliesslich s = 0, so kommt man zu dem Resultat: Sind von einer rationalen Function R(xy) die sämmtlichen p Unendlichkeitsstellen, aber nur p — q Nullstellen gegeben, so lassen sich ihre übrigen q Nullstellen durch Auflösung einer algebraischen Gleichung pten Grades finden, deren Coefficienten rational aus den gegebenen Unendlichkeits- und Null-

stellen gebildet sind.

Das Verfahren zur Aufstellung der Gleichung erleidet keine wesentliche Änderung, wenn sich der Grad der Function R(xy) erniedrigt (S. 410). Nur tritt dann eine Gleichung niedrigeren Grades an die Stelle derjenigen vom Grade q.

Das Abelsche Theorem für die Integrale erster Art ist nun eine un-

den vorhergehenden Betrachtungen. Nach dem

aus

mittelbare Folgerung Theorem sollen die Summen von r gegebenen Integralen, wo r eine beliebige

ganze Zahl ist:

faVr)

H{xy)o dx

(XvV'v)

auf Summen von q Integralen

II(xy)ß dx

Q r‘(CCrjrU yr-\-a)

2 /

a=lJ(gM

reducirt werden können, wobei die unteren Grenzen (gaha) gegeben, die oberen Grenzen dagegen zu bestimmen sind. Dabei können die gegebenen Werthepaare (xvyv), (x'vy[) und (yahj auch theilweise unter einander identisch sein, doch werde stets an der Annahme festgehalten, dass wenn diejenigen Stellen in der Reihe

(XiVi), ... (xr yr) ; (gM, ... (gQ hQ) weggelassen werden, welche einer der Stellen

Ki/i), ... «y',-)

gleich sind, die erste Reihe wenigstens noch p + 1 Stellen enthält, bei willkürlicher Annahme von Fixirung des letzten die Summe

'• r(.Ky'v)

s /

Nun ist

r + g — 1 Integrationswegen und passender

gleich Null, wenn es

0vr+uyr+u)

(ffa ha)

eine rationale Function R(xy) giebt, die für die Paare

H(xy)ßdx + 2 J

H(xy)ßdx

(ß — 1,2, ...q)

(xiVt)} ... (xryr)- (gM, ... (gQhQ)

unendlich gross wird und für

... (Ky'r))    (*r+,yr+i), ••• (*>+*&+*)

verschwindet (S. 407). Der Beweis des Abelschen Theorems kommt also auf den Nachweis der Existenz einer solchen Function R(xy) zurück.

dass alle Stellen (xvyx) und (g h ) von

Zunächst werde angenommen

«!<)» • •• (x'ry'r) verschieden sind. Dann können die beiden Reihen

und

(Xi &)> •*. (XrVr)’, (gM} ••• (9 oh)

(x[y[), ... (x'ry\)

nicht weiter reducirt werden, und da die Anzahl der Stellen in der ersten Reihe grösser als p ist, so existirt eine rationale Function R(xy)} die den Stellen der ersten Reihe unendlich gross und ausser an denen der zweiten Reihe noch für ç Paare Null wird, die mit

far+i Vr+i) ?    (^V+ç Vr+ç)

bezeichnet werden mögen (S. 411). Es besteht also das System von Gleichungen

»• riKv'y)

Ś /

v~lJ(xvyv)

an

H(xy)ßdx + % f

a — ljy.

(Xy -f a 1/r+a )

(,9aK)

H(xy)pdx = 0

oder

r r(xx yx)    q r(xr+ayr+a)

Ś / H(xy)ßdx = 2 /

v==lJ(Ky'v)    a=lJ(gaK)

wobei alle Integrationswege bis auf einen beliebig gewählt werden können, während der letzte bestimmt ist.

Nun seien zwar alle Stellen (gahu), nicht aber die Stellen (xvyv) von denen der zweiten Reihe {x'vy’v) verschieden, z. B. sei    = (x[y). Dann

ist das Integral

II(xy)pdx,

(ß — 1j2, ... q)

rfriyi)

f H(xy)ßdx

J{<yi)

für jeden Integrationsweg gleich einer Periode 2u>?. Die Summe der übrigen r — 1 Integrale lässt sich nach dem eben behandelten Fall durch q Integrale darstellen, von denen eines auf einem bestimmten Wege auszuführen ist. Ändern wir nun diesen so ab, dass dadurch der Werth des Integrals um die Periode 2io^ vermehrt wird, so erhalten wir wieder

(Xf+a Vr+a)

(9aK)

r r(xvyv)    <? r

2 / H(xy)ßdx = 2 /

r=lJ(x'yy[)    a=lJr-

H(xy)ßdx

wobei nur einer der Integrationswege nicht beliebig ist. Gleiches gilt mehrere Paare gleicher Stellen (xvyj und (xvyv) vorhanden sind.

wenn

möge z. B.

Sind aber zwei Stellen (gahj und {x'vy[) einander gleich

Nach dem Abelschen Theorem für die Summe von

so

(ffĄ) = (*M sein-

r-1 r(xvyv)    ' Q~l r

2 / H(xy)p dx = 2 / v = lJ(x'vy[)    “ = 1

(%r+a Vr+a)

(da K)

(ß = 1>2

H(xy)pdx + J

(xr+^yr+o)

(xryr)

H(xy)ßdx

folgt dann

f—i r(xvyv)    r\x, yr)    q-i r

2 / H(xy)ßdx + / H(xy)ßdx = 2 /

(ß — 1₅ 2, ...(>)

r r(xvyv)    q /* (%r+a yr+a)

2 / H(xy)ßdx = 2 /

*=lJ(xWv)    a=lJ(gM

Sind mehrere der Stellen (gjia) oder sind gleichzeitig Stellen    und

(ga\) mit Stellen {x'vy'v) identisch, so verfahren wir entsprechend, wie in den beiden eben behandelten Fällen.

Ergiebt sich ein Werthepaar (#r+ce2/r+ct) gleich einem der Paare (gjia)i so reducirt sich die rechte Seite auf eine Summe von q — 1 Integralen, wobei aber der Integrationsweg eines dieser Integrale in geeigneter Weise zu wählen ist.

Die oberen Grenzen (%r+ayr+a) auf den rechten Seiten der Gleichungen des Abelschen Theorems sind dadurch bestimmt, dass es eine rationale Function R{xy) giebt, die an den Stellen

(Xy + a Vr+a )

*)    r

H(xy)ßdx + /

(Xr+nVr+o)

H(xy)odx,

mithin

(ffoh)

H(xy)o dx

(ß = l, 2,... e).

(x^ji), ... (xryr), cOM » • • • (g₉\) unendlich gross wird und an den r gegebenen Stellen

«y[), ... {x'ry'r)

und den q gesuchten Stellen

Ob'+i Dr+i) ) ••• O^r+ç Vr+iy)

Demnach lassen sich nach den vorher (S. 413) angestellten Erörterungen die q gesuchten Werthepaare {xr+ayr+a) bei passender Bestimmung der Constanten k als rationale Functionen:

<*V+« = zr+a-kïï(zr+a), yr+a = 9t(*r+B)

verschwindet.

(« = i) 2,... q)

der q Wurzeln gr+i1 ... g einer Gleichung pten Grades

^-B₁^~¹ + --±BQ = 0

finden, deren Coefficienten    rational von den gegebenen Grenzen

¹

Anzeige von Legendre, Théorie des fonctions elliptiques, troisième supplément, Jacobi’s Ges. Werke, Bd. I (1881), S. 379.

²

Abel, Œuvres complètes, Nouvelle édition, T. I (1881), p. 444—456.

³

Ebenda, p. 515—517.

t) Mémoires présentés par divers savants, T. VII (1841); Abel, Œuvres complètes, Nouvelle édition, T. I (1881), p. 145—211.

Abelsche Functionen.

⁴

Abel, Œuvres complètes, Nouvelle édition, T. II (1881), p. 55—66.

(KvD nnd (#A) abhängen.

Oder, wie man auch sagen kann: Die gesuchten Grössen xr+1, ... xr+Q sind die Wurzeln einer Gleichung pten Grades

p^+V’ + .-. + Pç = 0,

deren Coefficienten ganze rationale Functionen der Paare (xy yv), (xvy'v) und (gaha) sind. Im Falle der Irreductibilität dieser Gleichung lässt sich y in der Form

Qo

Vr+a

.. ebenso beschaffen sind wie P₀, .

.. P .

darstellen, wo die Functionen Q

Das Abelsche Theorem hat sich als einfache Folgerung des Satzes (S. 407) erwiesen, dass die Summe von r Integralen erster Art jH(xy)^dx, deren Grenzen die Null- und Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function sind, bei passender Bestimmung eines einzigen Integrationsweges für jeden Index ß — 1, 2, ... q gleich Null ist; dieser Satz erlaubt auch eine Umkehrung. Wenn nämlich für die Ir Werthepaare

(®i Vr), ••• fayr)

und das System von q Gleichungen

r{xyVv)

H(xy)ßdx = 0

2 /

r = tJ(xly;)

besteht, so giebt es stets eine rationale Function des Paares (xy) vom Grade r, die an den Stellen der ersten Reihe verschwindet und an denen der zweiten unendlich gross wird.

Zum Beweise wollen wir die eindeutige Function des Paares (xy)

r

II JE(xy]xvyv,x’vy'v)

V = 1

untersuchen. Ist der Mittelpunkt des Elements (xtyt) eine beliebige, im End-

53

Abelsche Functionen.

lichen gelegene oder unendlich ferne, von (a^),... (<aob?) verschiedene Stelle des Gebildes, so enthält die Entwickelung von E{xtyt',xvyv,xvy'v) keine negative Potenz von t oder nur die eine t'¹ (S. 383 u. 384), mithin können auch in der des Productes negative Potenzen von t nur in endlicher Anzahl Vorkommen. Dagegen folgt aus

E(xtyt;xvyv,x'vy'v) = PJt).e

(xvyv)

Wy’v)

H(xy)ßdx

die Gleichung

’(xv yv)

fl    x,y„ x'M = PU). e

t-¹

H(xy)ßdx

(ß — 1,2

Bestimmen wir nun das Integral dritter Art in der Definitionsgleichung:

II(xy, x'y’) dx’

j(xvyv)

E{xy]xvyv,x'vy'v) = e (XvVv)

auf demselben Wege, wie in den der Annahme nach bestehenden Gleichungen

r{xvyv)

das entsprechende Integral erster Art / H(xy)ßdx, so lässt sich das Pro-r    J(Ky'v)

duct n E(xy-xvyv, x'vyv) auch für die Umgebung jeder Stelle (aßbß) in eine

v = i    •    •

Potenzreihe von t entwickeln, die höchstens eine endliche Anzahl negativer Potenzen enthält. Mithin ist

r

TI E(xy\xvyv)x'vy'v)

eine rationale Function des Paares (xy) (S. 244 — 246), und zwar folgt aus den Eigenschaften der E-Eunction unmittelbar, dass dieses Product die gesuchte rationale Function ist, die an den Stellen (x'vy'v) unendlich gross und an den Stellen (xvyv) gleich Null wird.

Das Bestehen der q Gleichungen

H(xy)ßdx — 0

(ß = 1,2, ...q)

? /

’ lJWy'v)

ist also hinreichend und nothwendig dafür, dass die Stellen

foyjf ••• (XrVr)

und

K y[), ••• « y’,-)

die Null- und Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function des Paares (xy) sind. Ist    und haben die Stellen (x'y'J, ...(x'y') eine solche specielle

Lage, dass eine rationale Function existirt, die nur für sie und zwar jedes Mal von der ersten Ordnung unendlich gross wird, so bleibt der Satz unverändert bestehen.

Nun lässt sich leicht beweisen, dass die Darstellung der Summen von je r Integralen erster Art durch Summen von q Integralen, wie sie mittels des Abelschen Theorems gegeben wird, im Allgemeinen nur auf eine einzige Weise möglich ist. Gesetzt nämlich, es wäre gleichzeitig

»' p{xvyv)    q r

2 /    H(xy)ßdx = 2 /

v = lJ(x'vy'v)    a=lJr'

r r{xv yv)    Q r

2 /    H(xy)ßdx = 2 /

v = lJ(x'vy'v)    « =

(Xr+cc Vr+u)

(gaK)

H(xy)pdx

(ß — !)2,... q)

und

(Xr + a Vr + a)

H(xy)ßdx

(ß — l, 2,... q)

(da hu )

so würde hieraus

(Xr+a Vr+a )

ÈJ,

(Xr+ct Vr+a)

folgen. Demnach müsste eine rationale Function des Paares (xy) existiren, die nur an den q Stellen (x'r+ly'r+1), ... (F+?y'r+J von der ersten Ordnung unendlich gross wird. Eine solche Function lässt sich aber nur für specielle Werthepaare bilden (S. 69).

Ist jedoch

H(xy)ßdx = 0

r rdXjVv)    Q {'(Xf+uVr+a)

2 / H(xy)ßdx = 2 /

v=lJ(xWv)    a=lJ(g«K)

und giebt es eine rationale Function, welche nur an (x'r+Qyr+ç) von der ersten Ordnung unendlich gross wird, 0*Wi2/r+i)> ••• (xr+qyr+Q) ihre 9 Nullstellen bezeichnet werden,

(Xf+a Vr+u)

H(xy)ß dx

den Stellen (x'r+1 y'r+1), ... so ist, wenn mit

H(xy)ßdx = 0,

(Xf+a y >'4-« )

mithin besteht auch das Gleichungssystem

ip^r+aVr+a)

r ri^vVv)    q r

H(xy)ßdx

(0 = 1,2,...*)

2 / H(xy)pdx = 2 /

V==1*T4<4)    a=lJ(g«K)

d. h. die Reduction der Summen von r Integralen auf q Glieder ist dann auf verschiedene Weisen möglich. Da man die rationale Function um eine Constante vermehren kann, ohne ihre Unendlichkeitsstellen zu beeinflussen, so darf eine der Stellen (xr+ayr+a) willkürlich angenommen werden.

Wenn eine rationale Function existirt, die nur an q — x der q Stellen far+aVr+a) unendlich gross wird, so ergiebt sich auf dieselbe Weise, dass in der Gleichung

r riXvVv)

2 /

diese q — a Stellen durch andere ersetzt werden können. Damit gewinnen die Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function pten oder niedrigeren Grades eine neue eigenthümliche Bedeutung.

H(xy)ßdx = 2 f

a — 1    ,

(xr+a Vr+a )

H{xy)ß dx

(ffaK)

rfay i)

Der Nachweis, dass sich ein Integral I H(xy) dx bei beliebigen

Grenzen (xxyt) und {x[y[) für ß = 1, 2, ... q durch eine Summe von q Integralen derselben Art in der Form

/■(« iVi)    q r{xayu)

/ H(xy)ßdx = 2 / H(xy)ßdx y'i)    K)

darstellen lässt, wobei die unteren Grenzen {gaha) willkürlich und die oberen Grenzen (xaya) algebraische Functionen von sind, genügt zum Beweise des Abelschen Theorems für die Summe beliebig vieler Integrale. Denn dann lässt sich

(0 = 1,2,...*)

(0 = 1,2,...*)

ffay*)    9 r{ocaya)

I H(xy)odx — 2 / H(xy)pdx y 2)    a = lJ{xaya)

setzen, mithin folgt

r(x 12/1 )    rfay*)    q riKV«)

/ H(xy)odx+l H(xy)ßdx = 2 / B(xy)ßdx]

y'x )    y’i)    a=zlJ(9a K )

hierin sind xa und yu algebraische Functionen der Grenzen der Integrale auf

der linken Seite und der Werthepaare    ... (g^). Schliessen wir so

weiter, so erhalten wir den Satz für die Summen von r Integralen erster Art.

Dass die kleinste Anzahl von Integralen, auf die für jeden Werth des Index ß eine Summe von beliebig vielen Integralen JH(xy)^dx zurückgeführt werden kann, im Allgemeinen wirklich gleich p ist, ergiebt sich folgender-massen. Ist die Reduction der Summe von r Integralen auf eine solche von p — 1 Integralen möglich, so liefert die Hinzufügung eines çten Integrals, dessen beide Grenzen einander gleich sind, eine Darstellung der gegebenen Summe durch eine von p Integralen. Die Anwendung der vorhergehenden Betrachtungen liefert aber noch eine zweite Art der Zurückführung auf p Integrale. Da es nun im Allgemeinen nicht zwei verschiedene solche Darstellungen giebt (S. 419), so kann die Reduction der Summe von p oder mehr Integralen erster Art auf weniger als p Integrale nur für specielle Werthe der Integrationsgrenzen möglich sein.

Im Laufe unserer Untersuchungen haben wir demnach sechs verschiedene Bedeutungen für die Zahl p erhalten. Ursprünglich wurde sie dadurch de-finirt, dass zwar stets eine rationale Function des Paares (xy) existirt, welche an p +1 willkürlich gewählten Stellen von der ersten Ordnung unendlich gross wird, aber keine solche, die nur an p, nicht speciellen Bedingungen unterworfenen Stellen in gleicher Weise unendlich wird (S. 65). Sodann ergab sich p als die Anzahl der linear unabhängigen Functionen H{xy)^ (S. 107). Drittens erhielten wir einen Zusammenhang des Ranges des algebraischen Gebildes mit seinen singulären Stellen (S. 130 und S. 171). Ferner war p gleich der Anzahl der Zahlen xi? x₂, ..., die dadurch definirt wurden, dass keine rationalen Functionen von den Graden x₂, x₂, ... vorhanden sind, die nur an einer einzigen Stelle unendlich gross werden (S. 225). In der Theorie der Abel-schen Integrale fanden wir, dass für die 2p Integrale erster und zweiter Art ein primitives System simultaner Perioden aus 2p Reihen von je 2p Perioden gebildet wird (S. 337), und schliesslich stimmt, wie eben bewiesen worden ist, auch mit der kleinsten Anzahl von Integralen überein, auf welche im Allgemeinen die Summe von beliebig vielen Integralen erster Art

r r(xvyv)

2 / H(xy)ßdx

r==1*W>)

für jeden der p Werthe des Index ß reducirt werden kann.

Wir gehen nun zu dem Abelschen Theorem für die Integrale dritter Art über. Es mögen die Paare

(AtVi), ••• fayr)

und

i • • • ip^rVr)

so bestimmt werden, dass die q Relationen

r r(xvyv)

2 / H(xy)pdx — 0 v==1 \n\y'v)

(ß —

erfüllt sind, sodass eine rationale Function R(xy) existirt, die an den Stellen der ersten Reihe verschwindet und an denen der zweiten unendlich gross wird. Ihre Zerlegung in Primfunctionen ergiebt

r

= II E(xy,xvyv,x'vy'v),

R(%y)

E(a₀b₀)

wobei der Integrations weg des in der Function

j(pv Vv)

e (4s4)

H(xy,x'y')dx'

E(xy]Xvyv, x'vy'v) =

vorkommenden Integrals ebenso zu wählen ist, wie in dem entsprechenden Integrale erster Art. Aus der Gleichung

r(xvyv)

(xv yv )

folgt nun, wenn (£₀v]₀) eine beliebige Stelle des Gebildes ist,

H(%ri,xy)dx = logFJ(|7j; xvyv, x'vy'v)

und daher

r y v )

/    \H(%ri,xy)-H(%₀rl0,xy)\dx = log

J«y'v)

S / \B{lti₁xy)-H(l₉n9ixy)\dx = log

v-lJ(x'vy'v)

xvyv, x'vy\)

Ä(lo^o)

Diese Gleichung enthält das Abelsche Theorem für die Integrale dritter Art. Die Paare (|t]) und (|₀7j₀) sind hierbei von den Stellen (xvyv) und (x'vy'v) verschieden anzunehmen, da sonst ein oder mehrere Integrale unendlich gross

werden (S. 260); und wenn (|tj) oder (|₀Y]₀) mit einer Stelle (a^bß) zusammenfällt, so ist unter der betreffenden H-Function der Coefficient von t° in

der Entwickelung von H(xtyvxy) zu verstehen (S. 262).

-R(in)

ist; denn jedes Vielfache von 2%i

-K(êo^o)

Wenn die Integrationswege {{xvyv) ... (xvyv)) fixirt sind, so ist auch auf der rechten Seite der Werth des Logarithmus der rationalen Function eindeutig bestimmt. Umgekehrt können aber auch, nachdem über den Werth des Logarithmus in beliebiger Weise verfügt worden ist, stets Integrationswege gefunden werden, für welche die Summe der r Integrale links gleich dem vorgeschriebenen Werthe von log ist eine Periode des Integrals dritter Art (S. 399).

Die zu Anfang des Kapitels (S. 404) ausgesprochene Form des Abelschen Theorems für die Integrale dritter Art, dass die Summe beliebig vieler Integrale auf eine Summe von q Integralen reducirt werden kann, vermehrt um einen algebraisch-logarithmischen Ausdruck, ist eine unmittelbare Folgerung aus der vorhergehenden Gleichung.

Ist jetzt F{xy) eine beliebige rationale Function des Paares (xy), so werde die Summe

F(xy)dx

s f

*=lJ(Kyrv)

untersucht, unter der Annahme, dass die Stellen (xvyv) und (x'vy'v) wieder die sämmtlichenNull- und Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function R(xy) sind.

Diejenigen Elemente (xtyt) des Gebildes, für welche in der Entwickelung negative Potenzen von t auftreten, mögen mit (I^tj^),

(|®t]J²⁾), ... bezeichnet werden; ihre Mittelpunkte seien (1^,), (£₂t]₂), ••• • Die für die Bildung der Function H(%rnxy) erforderlichen Stellen (a₀b₀),    ...

von

zur Vermeidung von Weitläufigkeiten von    (|₂yj₂), ... ver-

Auch die Paare (xvyv) und (x'vy'v) sind der

(ciębę) sollen

schieden angenommen werden.

Bedingung zu

die Integrationswege ((x'vy'v)... {xvyv)) mögen so durch keine dieser Stellen hindurchgehen. Dann hat jedes der r Integrale

unterwerfen, nicht mit TjJ, (£₂7j₂), ... zusammenzufallen, und

gewählt werden, dass sie

in der vorhergehenden Summe einen endlichen Werth.

Nach dem Früheren (S. 260) ist nun

i*

F(xy) =    +s\F{xtyt)^f-H(x^t,xV) .

Il L    ß L    ar    Ji⁻¹

Käme unter den Paaren t^), entgegen der Annahme, eine Stelle {a.pbg) vor, so dürfte das betreffende Glied auf der rechten Seite nur einmal aufgenommen werden, worauf früher durch einen Accent aufmerksam macht wurde. Aus der vorstehenden Gleichung folgt durch Integration und Summation

ge-

{xvyv)

(ccvyv)

(%vî/v)

(x'vy’v)

Jr¹

+ 2 2 \F^/yt)^L. f{X’y’⁾Hd/yt,xy)dx . v = ‘l,=lL    J(x'vy',j    V‘

Der absolute Betrag von t soll dabei so klein angenommen werden, dass das Element    nur solche Stellen des Gebildes liefert, die keinem der

was nach der Voraussetzung über die Stellen Die erste Summe auf der rechten Seite kann nun mittels

Integrationswege angehören %\) möglich ist. der Gleichung

r    r(xvy ,,)

2 /

v=zlJ(x'M

umgeformt werden, die aus dem Abelschen Theorem für die Integrale dritter Art folgt, denn es ist H(aobo,xy) = 0. Der Werth des Logarithmus ist hierbei eindeutig bestimmt, wenn die Integrationswege fixirt sind. Zu Folge der auf S. 79 aufgestellten Gleichung (A.) ist

-£I(w ru\ xy)dx = log

RW'yif)

R(a₀b₀)

H{xtyt,xy) = t ¹H(xy)ß + $(£),

mithin wird die zweite Summe auf der rechten Seite der obigen Formel:

4,    4. c{XvVv)TT, . _

2 R{xtVt) ßf 2 I H(xy)odx, ß=l1    dt Jf0 *=iJ(xWv)

A, « T-cv? /»v dxt r 2 2 FfayJ-zf-

v = l ß = iL    Jr,,

(XvVv)

(xv yv)

ß ß

H(xtyt,xy)dx

Jrł

ß ß dx

denn in der Entwickelung von F(xtyt)~ kommen keine negativen Potenzen von t vor.

Bei willkürlicher Wahl von r — 1 Integrationswegen und geeigneter Bestimmung des rten verschwindet nun die Summe der Integrale erster Art, es

wird daher

(ccv yv )

dir

(Ky'v)

dT-l0%

F{xy)dx = 2

ft .

-log■

R(a₀b₀)

H-¹

dir

•io gniinn

k-¹

Für jede rationale Function F{xy) ist aber zu Folge der Definition der Functionenpaare (If'rfj⁰) (S. 95)

dir

demnach ergiebt sich

r /•(*,, yv)

2 /

r    /7£V>    1

F{xy) dx = 2 [F(ir rn ^ • log B(ir W) •

Jt-1

Aus dieser Formel ist Alles weggefallen, was sich auf die Werthepaare (a₀&₀), ... (aQbQ) bezieht, daher wird durch die vorher für diese Paare gemachte specielle Annahme die Allgemeinheit des Schlussresultats nicht beschränkt. Man kommt aber auch ohne diese vorläufige Einschränkung bei einer geringen Abänderung des Beweises zu demselben Resultat.

Um den Coefficienten von t~l in der Entwickelung von

FiTriD^f-iogmr-n'n

zu

berechnen, bilden wir

mr^n =

log Barw) = bgRf,+Ii;t+R;t*+-

und erhalten dann

(xvyv)

F (xy) dx

{x'vVv)

= ^WbgRu + c:K + ^R;+-\-

54

Abelsche Functionen.

Da die Anzahl der Coefficienten c , ć, ... endlich ist, so enthält diese Summe nur eine endliche Anzahl von Gliedern. In JR , JS£, ... kommen die Coefficienten der Function R{xy) und der Reihen und rff rational vor. Die ersteren sind rational in Bezug auf die Paare (xryr) und (x'vy[), die letzteren

einem logarithmischen

aus

in Bezug auf (^73 ), mithin sind JB , JR', ... rational aus den Werthepaaren (i Y]M), (xvyv), (x'vy'v) und den Coefficienten von f(x,y) gebildet. Die rechte Seite der vorstehenden Gleichung besteht also

Theil

2 cn log

und einem algebraischen

S(c;r;+c;r;+...)-

Dies ist das Abelsche Theorem für das Integral einer beliebigen rationalen Function des Paares {xy). Sind

(%t yx), ... (xr yr)

und

Ky'i), ••• (KVr)

die Werthepaare, für die eine rationale Function R{xy) Null und unendlich gross wird, jedes Paar so oft gesetzt, wie die zugehörige Ordnungszahl an-giebt, so stelle man diese Null- und Unendlichkeitsstellen irgendwie paarweise zusammen: dann kann in

>• r{pvyv)

F{xy) dx

2 /

bei willkürlicher Annahme von r — 1 Integrationswegen der rte so gewählt werden, dass diese Summe gleich wird einer algebraisch - logarithmischen Function der Werthepaare (xyyv), {x'vy'v) und der Stellen, für deren Umgebung die-Entwickelung von F{xtyt)~ negative Potenzen von t enthält. Auch lässt sich mit Leichtigkeit nachweisen, dass die Summe von beliebig vielen Integralen einer rationalen Function des Paares {xy) stets dargestellt werden kann durch eine Summe von q Integralen derselben Function, vermehrt um einen aus den gegebenen Integrationsgrenzen gebildeten algebraisch-logarithmischen Ausdruck.

Die vorher für die Integrale erster und dritter Art aufgestellten Gleichungen sind specielle Fälle der eben bewiesenen. Es ist für jedes Element (xtyt)

= W;

führt man daher die Functionen H(xy\, ... H(xy)Q der Reihe nach statt F{xy) ein, so sind die Coefficienten cu,c', ... sämmtlich gleich Null, und es ergiebt sich

r r(xv yv)

2 / H(xy)pdx = 0 v = l Ąx’v y'y)

(0=1, 2,... Q).

Setzt man aber

F(xy) = H(£rl,xy)-H(%₀rio,xy)

Demnach

so sind die Stellen (§^yjw) mit den beiden Werthepaaren (|t]) und (l₀vj₀) identisch. Für die Umgebung dieser tritt in der Entwickelung von nur ein Glied mit einer negativen Potenz und zwar ±t~* auf (S. 197), daher ist ci — 1, c' = 0, c" — 0, ... und c₂ — — 1, c' = 0, c" = 0, ... .

wird.

fällt der algebraische Theil weg, während der logarithmische, genau wie früher (S. 422), gleich log

Wir wollen nun noch in die Gleichung des allgemeinen Theorems die

Function FL'(xy)^ statt F{xy) einführen. Es ist (S. 257, (I))

= m

(cc^ß- cc,ß = 1,2, ...q).

= tm

Da nun die Stelle (a^ b^) nicht auf den Integrationswegen liegen darf und daher von den Null- und Unendlichkeitsstellen (xvyv) und (xvy'v) der Function R(xy) verschieden sein muss, so kann

ß ß

R{xtyt) = R(a(jbß) + R₁(aßbß)t + --

also

log R{xtyt) = lo gR(aßbß) +

RiiP’ßtß)

R{a?b?)

t + • ••

gesetzt werden, und es folgt

Ri (aß bp)

H'(xy)ßdx = —[lo gR(xtyt)]t =

r r(xv Uv)

(0 = 1,2

R {aß bß)

2 /

y==lJ{Ky*)

der die Function FT(| rj, xy)

nur

an

Dieses System von Gleichungen stellt das Abelsche Theorem für die Integrale zweiter Art dar; die rechten Seiten sind rational in Bezug auf die Werthepaare (%vyv) und (x'vy'v). Das Theorem hätte sich auch unmittelbar aus dem Satze für das Integral dritter Art herleiten lassen. Man braucht dazu für (£₀t]₀) die Stelle (a₀b₀) zu wählen, verschwindet, und für (§73) der Reihe nach die Elemente (%tyt), ... {xtyt) einzusetzen, deren Mittelpunkte die Stellen bj, ... (aQbq) sind. Die Entwickelung der beiden Seiten der Gleichungen

R(xtyt)

r riXvVv)

H(xtyt,xy)dx = log

R(a₀ b₀)

² /

'=‘-Wr)

und die Vergleichung der Coefficienten von t¹ ergiebt dann das Theorem für die Integrale der zweiten Art (S. 252).

Bei der Untersuchung der Frage, welche algebraischen Differentiale sich durch Logarithmen integriren lassen, hat Abel nicht zuerst den Satz für die Integrale erster Art, sondern das allgemeine Theorem

Jr¹

2 /

r=,-Ks';)

gefunden. Auf den von Abel selbst gegebenen Beweis dieser Gleichung gehe ich jetzt etwas näher ein und stütze mich dabei auf eine Aufzeichnung, die ich vor der Veröffentlichung des Abelschen Mémoires gemacht habe.

Um den Beweis möglichst einfach zu gestalten, wollen wir voraussetzen, dass die Dimension der Gleichung /’(#, y) — 0 des gegebenen algebraischen Gebildes gleich dem Grade n in Bezug auf y sei, sodass das Gebilde keine unendlich fernen Stellen der Form (a,oo) hat (S. 33). Die n Werthe von y, die zu einem Werthe von x gehören, mögen mit y, y, ... y bezeichnet werden. Wir betrachten nun gleichzeitig mit f(x, y) — 0 eine algebraische Gleichung g (x, y) = 0, deren Coefficienten eindeutige Functionen von gewissen variablen Grössen v, v\ ... sind; es sei also g(x,y) eine ganze rationale Function des

Paares (xy), die zu Folge der gemachten Voraussetzung nur gleichzeitig mit x unendlich gross werden kann. F[xy) sei dagegen eine rationale Function des Paares (xy) mit constanten Coefficienten.

ihnen unabhängigen Stellen. Dabei werde jede

von

Die den beiden Gleichungen f(pc,y) = 0 und g(x, y) = 0 gemeinsamen Werthepaare sind die Stellen des Gebildes f(x,y) — 0, für welche die rationale Function g(x,y) verschwindet. Mit (xvyv) (y = 1, 2,... r) wollen wir diejenigen bezeichnen, die von den Variablen v,v',... abhängen, dagegen mit (**»,) (* = 1,2,...) die Stelle so oft in die betreffende Reihe aufgenommen, wie die zugehörige Ordnungszahl angiebt.

Die Art der Abhängigkeit der Function g(x,y) von u, n, ... und die Veränderlichkeit dieser Grössen unterwerfen wir folgenden Beschränkungen. Alle Stellen (xvyv) mögen im Endlichen liegen, und für jeden der Werthe xv sollen die n zugehörigen Werthe y, y, ... y von y sämmtlich unter einander verschieden sein. Liegt x in der Umgebung des Punktes xv, so sei

1    n t    l

g{x,y) = c'v(x-xv) v\l + (x-xv)%{x-xv)\ g(x,y) = c'l(x-xviv\l + {x-xv)${x-xv)\

wo

keine der ganzen Zahlen F, A", ... negativ und wenigstens eine grösser als Null ist. Die Coefficienten F, c", ... sind von v, F, ... abhängig, und wir wollen auch diejenigen Werthsysteme dieser Variablen ausschliessen, für die einer dieser n Coefficienten verschwindet. Die Exponenten A', A", ..., welche angeben, wie oft die Stellen (xvyj, (xvyv)y... in der Reihe (x^J,... (xry) enthalten sind, sollen demnach von v,v',... unabhängige Werthe haben.

Ferner werde die Function F{xy) für keines der Werthepaare (xvyv) Null oder unendlich gross. Sind schliesslich (£ 7j ) (ft = 1,2,...) die sämmtlichen Unendlichkeitsstellen der Function F{xy), für welche einen endlichen Werth hat, so werde für x % der Werth y von y gleich tq , wobei aber

¹    ##    ¹ i    n j

nicht ausgeschlossen ist, dass ausser y noch andere der Grössen y, ... y den Werth Ti für x — | annehmen. Es sei ein Element des Gebildes f(x:y) — 0 mit dem Mittelpunkt (ij„7j„) durch das Functionenpaar

IT = !„ + <”,

■nT = \ + <%(<)

(.

dargestellt, und es mögen die Entwickelungen von g(xy)} ... g(xy) für die Umgebung der Stelle (| 7ju) sich aus der Reihe

gtët'i?') = gtl + --

ergeben, wo der Exponent l nur dann grösser als Null ist, wenn (|u7j ) mit einer Stelle (x%ÿy) zusammenfällt. Diejenigen speciellen Werthe der Variablen Vj v', ... sollen nun ausgeschlossen werden, für welche der Coefficient g verschwindet. Entsprechendes werde auch vorausgesetzt, wenn statt (|',u>tj^) ein unendlich fernes Element xt — t~n\ yt — P(t) des Gebildes betrachtet wird. Zum Beweise des Abelschen Theorems gehen wir nun von der Function

àg(py)

n

g{xy)

aus. Die durch den Buchstaben d angedeutete Operation bedeute dabei die vollständige Differentiation der hinter â stehenden Function in Bezug auf die Variablen v,v\ ... . $ft(x) ist eine rationale symmetrische Function von y, y} ... y, mithin eine rationale Function von æ, deren Coefficienten rational aus denen von F(xy) und g{%, y) und linear und homogen aus den Differentialen dv, dv\ ... gebildet sind.

Aus der Entwickelung

g(?y)

T²- + F(xy )

\ àg{xy)

g{xy)

T--1-----V F (xy )

g(x,y) = c'v(x-xvfv\l + (x-xv)$(x-xv)\

erhalten wir durch logarithmische Differentiation nach v, v\ ...

dg(x,y) = g(?,y)

wobei die Coefficienten in ^{x — xv) auch von den Differentialen dv, dv\ ... abhängen. Für die Umgebung der Stelle (xvyv) ist nun

F(pcy ) = F{xv yv) + {x - xv) f (x - xv),

dxv

0C QCy

mithin folgt

F{xy)

V dg(x, y)

gfr,y)

= -XvF(xvyv)

x — xv

In gleicher Weise ergiebt sich

Fixy)

2 dg(x, y) _

g{x,y)

demnach wird

W«)]

- j K F{xv yv) + A"F>V yv) + • • • j dxv

(x-xv)~x

wo auf der rechten Seite diejenigen Glieder von selbst wegfallen, in denen die zugehörigen Exponenten A', A", ... gleich Null sind. Ist aber z. B. A' nicht gleich Null, so kommt die Stelle (xvyv) in der Beihe (x₁y₁), ... (xryr) A.'-mal vor, und da der Annahme nach die Function F(xy) für keines dieser r Werthepaare verschwindet, so hat dann auch F(xvyv) einen von Null schiedenen Werth. Daher erhält man

ver-

2    = - ( F(Xi Vi) dxi + F(?% lh) (lx2 + • • • + F(xr Vr) dxr | *

Nun müssen noch die Stellen der zweiten Art {x^y^) (x = 1, 2,...), für welche ebenfalls die Function g(x,y) verschwindet, betrachtet werden. Ent

so reducire sich y für x — x„A auf y' , und es sei

wickeln wir für die Umgebung des Punktes x% die n Werthe y, y, ... y von y nach Potenzen von x—xx,

g{x,y) = cx{x-xx) + ••••

Dabei ist </>l, denn es können mehrere der Grössen y,y, ... y für x = xx den gemeinsamen Werth y% annehmen. Die Entwickelung von

8g(x,y)

g{x,y)

enthält demnach keine negative Potenz von x — x^ und es findet daher, falls nicht unter den Grössen    ... vorkommt, das Gleiche für $i(x) statt,

sodass sich in diesem Falle

[«(*)]

ergiebt.

Ausser für x = oo und für die Paare {xtyj, ... (xryr) kann die Function $R(x) noch an den Stellen    (ft = 1,2,...) unendlich gross werden, da

diese Unendlichkeitsstellen der Function F(xy) sind; mithin folgt nach dem zu Anfang des dritten Kapitels (S. 88) bewiesenen Satze aus der Theorie der rationalen Functionen die Gleichung

(x—xv)~

wobei [9t(#)]^_j den Coefficienten von x~l in der Entwickelung von 9l{x) nach fallenden Potenzen von x bedeutet. Demnach wird

S [»(*)]

±F(xryv)dxv =

Auf der rechten Seite führen wir jetzt statt 9t(x) die Function $0*0 = F(xy)logg(x,y) + F(xy)logg(x, «/) + ••• + F(xy)logg(x,y)

ein, dann ist

9t (x) = dO (x)

und, wie sogleich gezeigt werden soll

[«(*)]

= 9 [$(*)]

Denn ist x— | dem absoluten Betrage nach hinreichend klein, so haben die Entwickelungen von F(xy) und g(x,y) nach Potenzen von x — g die Form

F(xy) = F(x — %u)

g(x,y) = g{%-źu)m

+ •••

Hieraus folgt

mithin, da Jj und die Zahlen l und m von den Variablen    unab

hängig sind,

_ àg

g(x,y)

J.

Vergleicht von F{xy)

man nun die Coefficienten von (x — y*¹ in den Entwickelungen 8g(x,?fL und F(xy) \ogg(x, y), so wird

L g{x,y) J

= d[F(xy)logg(x,y)]

(æ-IA"¹

Die Addition dieser Gleichung zu den entsprechenden, die durch Vertauschung von y mit y, ... y hervorgehen, ergiebt

= d[d>(x)]

(æ-iu)-¹

und ebenso erhält man, wenn man 9î(æ) statt nach x —    nach fallenden Po

tenzen von x entwickelt,

Demnach folgt

± F(pcv yv) dxv = d j 2 [<P (*)]

= 1    1 /x

(«-If*)“

Die Vieldeutigkeit der in 0(æ) enthaltenen Logarithmen bietet in dieser Formel keine Schwierigkeit, denn werden ihnen irgend welche andere ihrer Werthe beigelegt, so tritt auf der rechten Seite unter dem Differentialzeichen nur ein von v, v\ ... unabhängiges Glied hinzu, das also beim Differentiiren nach diesen Variablen wegfällt.

Die letzte Gleichung wollen wir nun noch weiter umformen. Führt statt (xy) das Element

man

ein, dessen Mittelpunkt die Stelle (g 7j ) ist, so wird [F (xy)log g {x, y )]

= [Edr^niog^cir^r)]

t~m'

Nun sollten y, y, ... y diejenigen m der Grössen y,y, ... y sein, die durch ebendasselbe Functionenpaar dargestellt werden, daher geht die linke Seite der vorstehenden Gleichung in

(*-« u)“¹

[F(xy)logg(x,y)]

(x-ur¹’ '

m    m

. . [F{xy)\ogg{x,y)]

Abelsche Functionen.

55

über, wenn rechts der Reihe nach statt t das Product von t mit den m —1 von 1 verschiedenen mten Wurzeln der Einheit gesetzt wird. Bei diesen Vertauschungen ändert

t~m

[^(irNniog^dr^n]

seinen Werth nicht, mithin folgt

112    2    mm

[F(xy)logg(x, y) + F(xy)logg(x, y) + ••• + F(xy)logg(x,y)]

t~m

= m[F(r>r,r)iogÿ(ir,>îr)]

Andererseits ist

r¹

= >n[F(ïrrïnioggttr,r^)\

daher besteht die Gleichung

1122    mm

[F(xy ) log g{x,y) + F{xy ) log g (x, */) + ••• + F(xy ) lo gg(x, y )]

Jt~¹

In genau derselben Weise ergiebt sich für ein unendlich fernes Element

yt = P(ß)

xt = rm

dessen Mittelpunkt eine Stelle der Form (oo,oo) oder (oo,&) ist, die Gleichung

112    2    mm

[F(xy) logg(x, y ) + F{xy ) log g (x, y ) + ••• + F{xy ) log g (x, y )]x_,

H-¹

= - F{xtyt)^-\ogg{xt,yt) .

Die Entwickelung von \ogg{xt, yt) enthält für kein einziges Element (xtyt) des Gebildes eine negative Potenz von t, mithin kann nur dann in

F(xt yt)    • log g (xt, yt)

eine solche auftreten, wenn in F(xtyt)^- eine negative Potenz vorkommt.

Demnach ist

dxt

Jt~¹

und daher

±F(xvyv)dxv = \F{xtyt) • log^fo, yĄ ,

die Summe rechts auf alle Elemente (xtyt) des Gebildes bezogen, für welche die Entwickelung von F(xtyt)^~ negative Potenzen von t enthält.

Diese Formel ist unter Ausschluss gewisser specieller Werthsysteme v, v\ ... abgeleitet worden; hinterher können wir schliessen, dass sie allgemein gilt.

Nun werde für die algebraische Gleichung g(x}y) == 0 eine Gleichung der speciellen Form

R(xy) — v

genommen, wobei R(xy) irgend eine rationale Function des Paares (xy) mit constanten Coefficienten sei. Ist

R{xy) =

G-xixy)

G,(xy)

wo

G (xy) und G₂(xy) ganze rationale Functionen des Paares (xy) sein sollen, so ist also

g(x,y) = G₁(xy)-vG₂(xy)

zu setzen.

Irgend zwei Werthe v₀ und v₂ der Variablen v mögen durch eine stetige Folge von Punkten v der Art verbunden werden, dass vermöge der Gleichung JR(xy) = v zu keinem der Zwischenpunkte eine Stelle des Gebildes f(xyy) = 0 gehört, für welche die rationale Function F(xy) unendlich gross wird oder die partielle Ableitung f(x,y\ verschwindet (vgl. S. 42); für v₀ und v₁ selbst kann dagegen das Letztere der Fall sein. Wie vorher seien (x₂yj, ... (xryr) die den beiden Gleichungen f(x, y) = 0 und g(x,y) = 0, d. h.

f(x,y) = 0

und

R(xy) — v = 0

gemeinsamen, von v abhängigen Werthepaare. Für die zwischen v₀ und v eingeschaltete stetige Folge von Werthen v ändern sich auch xv und yv stetig, und es gehe (xvyv) für v = v₀ in {xjjv) und für v = vt in (xvyv) über. Dann ergiebt sich durch Integration zwischen den Grenzen v₀ und v aus der vorhergehenden Differentialformel :

O 0

(xvyv)

r

2 /

t-W 1 l

F(xy)dx = 2 \F(xtyt)    • log (Gx(xtyt) -vG₂(xtyt))

■,«0

(xryv)

Gi(ptyt)- VpG&tyt) '

= s \f(vjù • loe ~v"

KtJt) dt & R(xtyt)-vJ

Um hieraus die frühere Form des Abelschen Theorems herzuleiten, gehen wir für v₀ — 0 und — oo zur Grenze über, ziehen also in der Ebene der Variablen v vom Nullpunkt in das Unendliche eine stetige Linie der Art, dass die vorher aufgestellten Bedingungen erfüllt sind. Für vt = oo werde (xvyv) = (xvy[) und für v₀ = 0 (xjv) = (xvyv), dann sind wie früher (S. 423) (x^yj, ... (xryr) die Nullstellen und (x[y[), ... (x'y'J die Unendlichkeitsstellen der gegebenen rationalen Function R{xy). Durch diesen Grenzübergang sind die Stellen (xvyv) und {xvyv) in bestimmter Weise zu zweien einander zugeordnet.

t~l

Da

ist (S. 95), so wird

V(r u\dx* inc- R(xtyt)-V<

2[F(xtyt) -ßf • log

-ĄF(xtyt)"X.-\oS{R{xtyt)-vĄ

t-¹

*>»

mithin folgt für v₀ — 0 und vl — oo

r r(xvVv)

2 /

r=lJ«y'r)

In der Entwickelung des rechts in der Klammer stehenden Ausdrucks können

F(xy) dx = 2 F(xt yt)    • log R (xt yt)    .

Jt~i

negative Potenzen nur Vorkommen, wenn sie in

dxt

auftreten. Die Elemente, für welche dies der Fall ist, wollen wir jetzt, etwas abweichend von der bei dieser letzten Untersuchung für    zu

Grunde gelegten Definition (S. 429), wieder wie früher (S. 423) mit (I^yj^) bezeichnen; dann ergiebt sich für die Summe der Integrale einer rationalen Function des Paares (xy) die Gleichung

F(xy)dx =

r r (scv yv )

2 /

die das Abelsche Theorem für das Integral einer beliebigen rationalen Function des Paares {xy) enthält (S. 425 u. 426).

man

Der Beweis kann in ähnlicher Weise durchgeführt werden, auch wenn die über die Gleichung f(x,y) — 0 gemachte beschränkende Voraus-

Setzung (S. 428) fallen lässt.

rem

zeigte, dass die vollständige Integration des Systems von q Differentialgleichungen zwischen den p + 1 Veränderlichen x0l xt, ... xQ

Nach Abel hat sich zuerst Jacobi eingehend mit dem Abelschen Theobeschäftigt, doch stets nur für die hyper elliptischen Integrale. Jacobi

y ¹ PQO

^ 2 xv-a,M \jR(xv)

in denen

R(x) = (x — a₀)(x — d₁)...(x — a2Q)

und

P(x) = (x-ai)(x-as)...(x-a2Q_₁)

gesetzt ist, durch das Abelsche Theorem gegeben wird, zuweisen, denken wir uns eine rationale Function R(xy) des durch die Gleichung eines hyperelliptischen Gebildes y² = R{x) verbundenen Paares (xy) der Art bestimmt, dass sie an ? + l willkürlich angenommenen

(gM, (&M, •• • (gQ\)

der ersten Ordnung unendlich gross und an

Um dies nach-

Stellen

von

einer beliebig gewählten

Stelle

0*0 ^o)

gleich Null wird. Diese Function verschwindet dann noch an q anderen Stellen

0*i&)i 0*.y«)> ••• 0*<?^)>

und zwar hängen diese Werthepaare von (%₀y₀),    ä ) algebraisch

ab (S. 413). Da nun, wie wir gefunden haben (S. 344), für das hyperelliptische Gebilde y² = i?(æ) die q linear unabhängigen Functionen H(xy)(j gleich

P(x)

2 y(x-a2M)

(0 = 1,2,...*)

sind, so folgt nach dem Abelschen Theorem für die Integrale erster Art

ifCaya) J Ga ^a)

P(x)

dx

G«o2/o)

mithin wird

2 x-aaM

s /

a = 1 «//,

P{x)

dx

2 x-a2ß_, \Je{x)

03 = 1,2,...?)

Ov2/v) 1 P(x)

dx

i /

v==oJ(ffvK)

Aus diesen Integralgleichungen ergiebt sich durch Differentiation das gegebene System von Differentialgleichungen, dessen Integration damit geliefert ist;

• • • 6^2/?)    algebraische Functionen von (æ₀2/₀) und den willkürlich

angenommenen Werthepaaren (g₀hQ), (^₁A₁), ...    &ç).

DRITTER ABSCHNITT.

DIE ABELSCHEN FUNCTIONEN.

C": '

■

■'I

Zweiundzwanzigstes Kapitel. Definition der Abelschen Functionen.

Bezeichnet R(x) eine ganze rationale Function dritten oder vierten Grades mit lauter verschiedenen Linearfactoren, und wird y durch die Gleichung y* — R(x) = 0 als algebraische Function von x definirt, so kann der Theorie der elliptischen Functionen die Differentialgleichung

dx

du — —

zu Grunde gelegt werden. Wenn

R(x) = A{x—al){x — ai){x — az){x — ai)

ist, so werde als Nebenbedingung hinzugefügt, dass x für u — 0 einen bestimmten der Werthe at, a₂, az, ai annehme. Falls aber R(x) vom dritten Grade ist:

R{x) — A(x — aj(x — a₂)(x — a₃),

so werde festgesetzt, dass x für u = 0 entweder gleich einem der Werthe « , a₂, a₃ oder unendlich gross werde.

Die Grundlage für die Theorie der elliptischen Functionen bildet der Nachweis, dass es zwei eindeutige, für alle endlichen Werthe des Arguments u definirte Functionen mit dem Charakter rationaler Functionen giebt, welche für x und y gesetzt die Differentialgleichung identisch befriedigen. Um diesen Beweis kurz zu charakterisiren, zeigen wir zunächst, dass zu jedem Werthe von u, dessen absoluter Betrag eine gewisse positive Grösse U₀ nicht überschreitet, nur ein einziges Werthepaar (xy) gehört. Wie aus den Resultaten über das hyperelliptische Gebilde hervorgeht (S. 132 —133), wird die

Umgebung der Stelle {ay, 0) stets durch das eine Functionenpaar

y* =    +

dargestellt. Ferner sind, wenn .R(F) vom vierten Grade ist, zwei unendlich ferne Elemente

und

xt — t~x

Vt =

xt = t-'

vorhanden; ist aber der Grad von R(x) gleich drei, so hat das Gebilde nur das eine unendlich ferne Element

yt = Z²r³jl + *²^a)J.

xt = ir²

Setzt man je nach der vorgeschriebenen Nebenbedingung die für die Umgebung von (ax, 0) oder von (oo, oo) gültigen Entwickelungen in die Differentialgleichung ein, so erhält man durch Integration

u — Clt + c₂t³-\—,

Hieraus kann man t durch

wo die Constante cl von Null verschieden ist. eine nach Potenzen von u fortschreitende Reihe darstellen, deren Convergenz

innerhalb eines gewissen Bereiches aus allgemeinen Sätzen der Functionenlehre folgt. Ihre Substitution in das Functionenpaar    liefert für x und

y zwei Potenzreihen:

* =

die für u — 0 das Werthepaar («x, 0) oder (oo, oo) ergeben und die Differentialgleichung identisch befriedigen, sobald u dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen positiven Grösse U₀ liegt.

Das Abelsche Theorem geht für q = 1 in das Eulersche Additionstheorem für die elliptischen Integrale über (S. 6). Mit Hülfe des letzteren lässt sich nun zeigen, dass die Grössen x und y für alle endlichen Werthe des Arguments u eindeutig definirt sind und den Charakter einer rationalen Function haben. Es sei nämlich U eine beliebig grosse, positive Grösse, so werde eine ganze positive Zahl n der Art bestimmt, dass

-<J7.

n

ist. Dann sind

« - ’©

7j =

A3-

Potenzreihen von w, die für |w| < U convergiren, der algebraischen Gleichung 7]² — 22(g) = 0 und der Differentialgleichung genügen und für ^ = 0 die vorgeschriebenen Werthe («y , 0) oder (oo, oo) annehmen. Mithin ist

da;

w w / “p *W) J

wobei, falls 22 (æ) vom dritten Grade ist, die untere Grenze dieses und der folgenden Integrale auch die Stelle (oo,oo) sein kann. Wird nun

dx

,o)

(xy) dx

(«x 0) y

gesetzt, so sind nach dem Eulerschen Additionstheorem x und y rationale Functionen des Paares (|y]). Jede der beiden Grössen x und y lässt sich daher als Quotient zweier Potenzreihen von u darstellen, die für \u\cU convergiren; jedoch ist der Zähler und der Nenner dieser Darstellung von der Zahl n abhängig. Für jeden beliebig grossen Bereich haben wir demnach zwei Functionen x und y gefunden, welche für alle seinem Inneren ungehörigen Punkte u den Charakter rationaler Functionen haben und der Differentialgleichung

dx

du = —

mit der vorgeschriebenen Nebenbedingung genügen: bei Zugrundelegung eines speciellen Werthes für die Zahl n sind diese Functionen eindeutig bestimmt. Für \u\cU₀ müssen ihre Werthe mit denen der Functionenelemente y(u) und ty(u) übereinstimmen.

Es lässt sich nun zeigen

dass man zu jedem Werthe von u dasselbe

Werthepaar {xy) erhält, wenn n auf verschiedene Weisen, doch so gewählt

Denn es sei bei zwei verschiedenen Festsetzungen

wird, dass

-I < ü₀ ist.

n \    ⁰

x - (M <j («)

über die Zahl n einmal

das andere Mal

wo f(u), g(u),    (u), Potenzreihen von u sind, von denen die beiden ersten

für \u\cU., die beiden letzten für \u\<cU' convergiren mögen. Die Werthe der Quotienten

f («)

9(»)

und

/iO)

9i(u)

müssen nun für alle Argumente u, die dem

absoluten Betrage nach hinreichend klein sind, mit den Werthen der Reihe

cp(u) übereinstimmen, demnach ist für diese Argumente

/» ₌ /iO)

g(u) gt(u)

und

f(u)gx(u) = f\(u) g(u).

Entwickelt man beide Seiten dieser Gleichung nach Potenzen von u, so sind die Coefficienten der entsprechenden Potenzen einander gleich; es besteht daher diese Gleichung, mithin auch die zwischen den Quotienten, für alle Argumente, welche den Convergenzbereichen der vier Reihen f(u), g(u), /*(«), g (u) gleichzeitig angehören. Dabei kann für specielle Werthe von u ein Quotient auch in der Form auftreten. In derselben Weise wird der

Satz für die Function y bewiesen.

Die Werthe der Functionen x und y sind daher für jeden endlichen Werth von u eindeutig bestimmt. Wie man hiernach vermuthen kann, lassen sie sich auch in einer für alle endlichen Argumente u gültigen Form, nämlich als Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen, darstellen, doch gehen wir hierauf nicht näher ein.

Es kam nun darauf an, diese Aufgabe, die für das eben zu Grunde

gelegte Gebilde y²—R(x) == 0 auf die elliptischen Functionen führt, richtig zu erweitern.

Diese Verallgemeinerung ist in dem Jacobischen Umkehrungsproblem enthalten (vgl. S. 7 — 9), das Jacobi zwar nicht gelöst, durch dessen genaue Formulirung er sich aber ein wesentliches Verdienst um die Theorie der Abelschen Functionen erworben hat. Die richtige Er-kenntniss der Bedeutung der Zahl q in dem Abelschen Theorem für die

Integrale erster Art (S. 415)

♦'    /’(aV2/v)    Q /’(aV+a Vr+a)

Ś / H(xy)pdx = S /

r==lJ(Ky'r)    a=lJ(gM

führte ihn zunächst zu dem folgenden Problem, das hier gleich für die aus einem beliebigen algebraischen Gebilde f(x, y) — Q entspringenden Functionen ausgesprochen werden soll; Jacobi selbst hat stets nur den speciellen Fall der hyperelliptischen Functionen betrachtet.

Aus den q algebraischen Gleichungen

fiFalVa) = ⁰

H(xy)p dx

(ß = i,2,...Q)

(a — 1,2,... q)

und den q Differentialgleichungen

du, = 2 H(xc< ya)i dxa du = 2 H(xaya)dxa

a = i    s

mit der Nebenbedingung, dass für u, = 0, ... u = 0 die Paare (xaya) gleich gegebenen Werthepaaren (auba) werden, sind die Grössen xa, ya als Functionen der q unabhängigen Veränderlichen ux, ... u darzustellen. Dabei sollen (aib₁), ...    die    q von einander verschiedenen Unendlichkeitsstellen

der Function H(xy,x’y') sein; es wird also vorausgesetzt, dass die Determinante

\ZKK)ß\

(ce, ß = 1,2,... ç)

nicht gleich Null ist (S. 68).

Dies ist ein wohl definirtes Problem. Allerdings wäre auch die Aufgabe eine bestimmte, x und y als Functionen der einen Variablen u aus den Gleichungen fix^y) = 0 und

U=I,

H(xy) dx

(ab)

darzustellen. Aber es würde sich zeigen, dass diese Functionen einer Variablen durchaus keine Analogie mit den elliptischen Functionen haben, während dies bei den aus dem Jacobischen Umkehrungsproblem sich ergebenden Functionen mehrerer Veränderlichen der Fall ist.

Geht man bei dem Umkehrungsproblem statt von den Functionen

.. H(xy) , die in bestimmter Weise aus H(xy,x'y') als Entwickelungs-

von irgend einem System von q linear

i’ •

H(xy)

coefficienten entspringen (S. 79, (À.))

1 Q

unabhängigen Functionen H(xy), ... H(xy) aus, setzt also

dUß

Q ß

= 2 H(xaya)dxa,

so

ändert sich nichts Wesentliches. Denn wenn aus dem Gleichungssysteme

(S. 108)

(y = 1, 2, ...p)

E(xy) = S CYß H(xy)ß

ß—i '    ¹

umgekehrt

H(xy)ß = 2 C'ßH(xy)

y = l

folgt, so ist

2 CvsdMy = 2 H(xaya)ßdxa.

y=i    “=1

Durch die Substitution

2 cißuv = u'ß

y = i

erhält man daher das System von Differentialgleichungen

(0 = 1,2,...p).

du.

= 2 H{xuya)ßdxa

a — l

Die Einführung von q neuen Variablen, die homogene lineare Functionen der ursprünglichen sind, führt also auf das Umkehrungsproblem mit den speciellen Functionen H(xy)ß zurück; wir legen daher diese unseren Betrachtungen zu Grunde.

Zunächst weisen wir nun nach, dass für Werthe    die dem

absoluten Betrage nach hinreichend klein sind, die Grössen xa, ya sich so nach Potenzen von ut1 ... uQ entwickeln lassen, dass die Differentialgleichungen

Q

(0 = 1,2,...p)

duß = 2 H(xaya)ßdxa

'    Cf :— 1

Das

mit der festgesetzten Nebenbedingung identisch befriedigt werden.

Functionenpaar, welches das Element des algebraischen Gebildes f{x,y) = 0 mit dem Mittelpunkt (aabu) darstellt, bezeichnen wir mit

denn da wir jetzt die Elemente für die Umgebung der verschiedenen Stellen (aA)>*** (aQbQ) gleichzeitig betrachten, so müssen wir die unabhängigen Variablen t in den verschiedenen Functionenpaaren durch Indices unterscheiden. Für ux — 0, ... uQ = 0 soll {xaya) — (aa ba) werden, mithin muss dann tt= 0, ... t — 0 sein.

Q    t

Führen wir nun in die Differentialgleichungen die Entwickelungen (S. 257)

a

= *.*(*.).

ein, so erhalten wir mit Rücksicht auf die Nebenbedingung durch Integration

(ß)

.. Glieder zweiter und höherer Dimension von t

.. t sein

wo

sollen. Diese q Reihen convergiren, wenn nicht überschreiten, und ihre Coefficienten sind rational aus den q Werthe-

i’ •

.. | £ | eine gewisse Grenze

paaren bj, ... (aQ b^) und den Coefffcienten der Gleichung f(x,y) = Q zusammengesetzt.

können wir auch tx) ... tQ als Potenzreihen von

.. u darstellen, und zwar erhalten wir Entwickelungen

Q

so

Da die Determinante der homogenen Functionen erster Dimension von Null verschieden ist,

*1, •

(« = 1,2,...*)

ta = wa+K,...^r+---

deren Coefficienten aus denen der für ux, ... bestehenden Reihen rational zusammengesetzt sind. Führen wir nun diesen Ausdruck für ta in das fiunc-tionenpaar (xt ytJ ein,

so

ergeben sich xa und ya als Potenzreihen von ux, ... u

xa =

enthalten die Reihen    ... « ) und ^a{u^ • • - uq)

Wenn wir voraussetzen, dass alle Stellen {auba) im Endlichen liegen, so

nur positive Potenzen ihrer

Argumente. Ihre Coefficienten sind rational in Bezug auf die Paare    ...

Für u — 0, ... u

I    ’    Q

(aQbQ) und die Coefficienten der Gleichung f(x,y) = 0. wird tt = 0, ... tQ = 0, mithin (xaya) = (aja).

Somit haben wir für xa und ya völlig bestimmte Potenzreihen von ui, ...u gefunden, welche das gegebene System von Differentialgleichungen identisch befriedigen und für ut = 0, ... u = 0 die vorgeschriebenen Werthe annehmen, oder mit anderen Worten den q Integralgleichungen

(^ = 1,2,... e)

S    aVa)H(xy)?dx

.. u eine gewisse Grenze U₀

genügen. Sobald die absoluten Beträge von u nicht überschreiten, oder, wie wir auch sagen wollen, dem Bereiche U₀ an-

gehören, sind diese Potenzreihen die einzigen, welche die genannten Bedingungen erfüllen. Welches der wirkliche Werth von U₀ ist, ist für die anzustellenden Untersuchungen gleichgültig.

Die Functionenelemente

(« = l, 2,... q)

Die Bedeutung hiervon

?«(**,»•••«*) und    ••• uQ)

besitzen ein algebraisches Additionstheorem, erkennen wir aus folgender allgemeinen Betrachtung. Es seien

•••«♦»)»    ••• Xn = ?»(«!, •••**«)

n unabhängige Functionen von n Veränderlichen. In der Umgebung des Werthsystems (ax, ... an) mögen sie sämmtlich den Charakter ganzer Functionen haben, und zwar sei

(x = 1, 2,... ri)

Xx = bx + \l{ul -»,) + ••• + bxn(un -«O + —,

wobei wir voraussetzen können, dass die aus den Coefficienten der linearen Glieder gebildete Determinante

(x, X — 1,2,... w)

\\,\

von Null verschieden ist; sonst werde statt (at,... an) ein anderes, dieser Vor-

aussetzung entsprechendes Werthsystem angenommen. Dann ergiebt sich Uy^ == dy_ 4~ cxł (x₁    4" ■¹ ■ -h cyjn(%n 4~

(x = 1, 2,... w)

und zwar convergiren diese Reihen jedenfalls für alle Werthsysteme (xt, ... xn), für welche die absoluten Beträge von xl — b₁, ... ocn — bn hinreichend klein sind. Nun möge

?xK> •••“») =

?x(wi> ••• Vn) =

?xK+V ••• Un + Vn) = <

gesetzt werden, wobei ... ^n) und (vl5... i?n) zwei von einander unabhängige Werthsysteme sein sollen, die in der Umgebung von (al,...an) so gelegen sind, dass auch das zusammengesetzte System (ui +    ... un + vn) noch dieser

Umgebung angehört und dass die Reihen

(x = 1, 2,... n)

Uy^    (ly 4-    ^i ) 4- ■ ■ ■ 4" Cyn(xn bnj 4~

Vy    Ojy 4- Cy l{xi &,) 4" ‘ ‘ ‘ 4- ('xn(>Xn ^n) F

Führt man diese Entwickelungen für uy und vy in die

convergiren.

Functionen y^(u₁ 4-    • • • un + vn) ein, so bestehen n Relationen der Form

(x = 1, 2,... n)

Xx    Fy (xx J ... %nj xt,... xn)

in denen die Coefficienten der Functionen Fy von den Argumenten ... un und vl,...vn unabhängig sind. Wenn nun die Functionen c... un), ...

••• un) dies bemerkenswerthe Eigenschaft haben, dass sich diese n Relationen sämmtlich auf algebraische Gleichungen

&x (x* 1 Xl > * * * Xn ! Xi> • ' ' Xn ) b

das System der n Functionen besitze ein

zurückführen lassen, so sagt man algebraisches Additionstheorem.

un

Aus dem Abelschen Theorem für die Integrale erster Art folgt

mittelbar, dass die 2q Functionenelemente

(cc = 1, 2, ... q)

und

(cc = 1, 2, ... q)

ya =    -

die vorher (S. 447) gebildet worden sind, ein algebraisches Additionstheorem

57

Abelsche Functionen.

haben. Es werde nämlich

9 r(xuya)

Up    —    2    /    H{xy)?dx

a==lJ(<*M 9    r(.x'ay'a)

Vß    =    2    /    H{xy)ßdx

a=lJ(aM

9    r{Ky'ä)^/    ,

2    /    H(xy)ßdx

a = lJ(auba)

Uß + Vß =

klein angenommen werden mögen,

gesetzt, wobei (wx, ... « ) und (vx, ... vQ) dass nicht nur diese Werthsysteme selbst, sondern auch (ul + vl, ... u^+v^) dem Bereiche U₀ angehören (S. 448); dann folgt

so

Va    ,T>a(U₁i • •. Uq) ,

Va = ł«(»:I, ...

y'i = ^«(«i + ^ij •••

Nach dem Abelschen Theorem sind a/' und algebraische Functionen der Paare fayj, ... (^^),    ... 0'*/'), und da zwischen a?a und ya und

zwischen x'a und y'a die Gleichung f{x,y) — 0 besteht, so ist

?«(«, +«\, ...wç + »ç) = F„(cp₁(w₁,... m?), ... fy(uif... uf); <p>t, ...^), ... ^(vlf... v₉)) und

••• V> •••    ••• V» •••«*)» •••    ..-V)»

(« = l,2,...ç)

Fa und jFa algebraische Functionen ihrer Argumente sind.

Den Functionenelementen (pB(wx,...« ) und ^B(wl? ...«) kommt demnach ein algebraisches Additionstheorem zu. Aber gleich bei der ersten Beschäftigung mit dem Umkehrungsproblem leuchtet ein, dass die durch analytische Fortsetzung aus diesen Elementen entspringenden Functionen nicht das vollständige Analogon zu den eindeutigen elliptischen Functionen bilden. Denn bei Ausdehnung des Bereichs ihrer Argumente bleiben sie nicht eindeutig, ergeben sich vielmehr als Wurzeln einer Gleichung pt6n Grades, deren Coefficienten sich eindeutig durch die Veränderlichen ... u darstellen lassen. Diesen Nachweis führen wir wieder mittels des Abelschen Theorems.

= ?«(«!,••■ UQ),

< = <p> i,... v»

< =    +    ••• uo + v„)

(« = 1, 2,... q)

WO

Es sei U eine beliebig grosse, positive Grösse, und es werde eine ganze positive Zahl n so gewählt, dass

n ⁰

ist.

Beschränkt man dann die Werthe der Veränderlichen u,. ... u der Art,

1 '    n    i

dass ihre absoluten Beträge unterhalb U liegen, so convergiren die Reihen

= Tla

(a — 1, 2, ... q)

und genügen den Differentialgleichungen

<*(^) = j

Da für ut = 0, ... uq = 0 (|by)J = (aabtt) wird, so ist

H(xy)pdx

up A /*(^c(ï1k)

W a==1ĄaM

Definirt man andererseits die Werthepaare (^y,), . • • (fl? ^ ) durch die Gleichungen

H(xy)ßdx,

<f r(x*ya)

= H

*=lJ(aaba)

so bestehen die Relationen

? /’l.SaVccJ

(«a &«)

H(xy)ßdx = » 2 / H(xy)ßdx a = lJ(aaba)

die sich auch in der Form

(öta ba )

ç    /*(xay<x)    v /•

H(xy)ßdx = 0

s / S(xy)ßdx + (n-1) 2 / a = lJ(i«r,a)    a=t'/(S*v*)

schreiben lassen. Ist demnach R{xy) eine rationale Function des Paares (^2/),

die an den p Stellen    ...    von der wt6n Ordnung unendlich gross

wird und an den Stellen (a^), ... (a i ) mit der Ordnungszahl w —1 ver-

schwindet, so sind (ætyt), ... (pqyQ) die q übrigen Stellen, noch verschwinden muss (S. 418 — 419).

an denen R(xy) Wir wollen nun zunächst die

Bildungsweise dieser rationalen Function R(xy) genauer untersuchen.

Da sich die Werthe der stetigen Functionen

Uq

für ux = 0, ... u = 0 auf aa, ba reduciren und der Voraussetzung nach (S. 445) die Determinante

\S(aaba)ß\

(cc, ß — 1) 2,... q)

W,

nicht verschwindet, so können wir die positive Grösse U₀, unterhalb deren • •• j^J liegen müssen, so klein annehmen, dass die Determinante

(a,ß = 1,2,... p)

nur an wird;

(xy), (x'y'), (g^), ...    zusammensetzen, wie H(xy,x'y') aus

(aM, ... (aQbq), sodass H(xy, x'y'',

(^i^i), ...    von der ersten Ordnung unendlich gross wird.

Für die Functionen H(xy,ab) , die als Coefficienten in der Entwickelung

ebenfalls für alle in Betracht kommenden Werthsysteme (ut, ... u) nicht gleich Null ist. Dann giebt es keine rationale Function des Paares (xy), die den Stellen    ... (£?7}o) von der ersten Ordnung unendlich gross

wir können demnach eine Function H(xy, x'y'',    ... ^r^) ebenso aus

(xy), (x'y), an jeder der Stellen ('xy'),

H(xy,xzyr)^ =

-2 H(xy, ab)u x“

definirt worden sind (S. 79, (B.)), wobei der Mittelpunkt des Elements (x^yz) die Stelle (ab) ist, bestehen die Gleichungen (S. 84, (II, 1 und 2))

+ *(*)

(a = 1, 2,... p)

H(xtyt, aaba\ = -t ¹ H(xzyz)ß^-

ten

Die Function H(xy,aabu)/X wird also an der Stelle (aaba) von der (fi + 1) Ordnung und an den Stellen (aßbß) (ß^a) von der ersten Ordnung unendlich gross. Bilden wir daher aus H(xy,x'y'',l₁\,...lq‘f\^) die Functionen H(xy,    in gleicher Weise, wie aus H(xy, x'y') die Functionen H(xy, aaba)ft,

so wird H(xy, |B7]B)tt an der Stelle (ga7]a) von der (^ + l)ten Ordnung und an den übrigen Stellen (IjTjJ, ... (1^) von der ersten Ordnung unendlich gross.

Nun sollte die rationale Function R{xy) an jeder der Stellen    ... (| tj )

mit der Ordnungszahl n unendlich gross werden, wir können demnach

Q n—l _

s (xy) = 0.+ S S C?'B(xy, MJ,

setzen (S. 97). erstens die q Relationen

Zwischen den pw +1 hierin enthaltenen Constanten bestehen

= 0,

= 1, 2, ... p)

J«-¹

denen jede rationale Function des Paares {xy) genügt (S. 98). Ferner müssen in der Entwickelung von R(xtyt) für a = 1, 2, ... q die Coefficienten von t°, t\ ... tn~² gleich Null sein, da R(xy) an der Stelle {aaba) mit der Ordnungszahl n — 1 verschwunden soll. Wir haben mithin insgesammt p +    — 1) = qu

lineare homogene Gleichungen unter den q?i + 1 Constanten, sodass. deren Verhältnisse bestimmt sind.

angenommen, so

bestimmenden Nullstellen der rationalen Function R(xy) ergeben, mit den

Werden die absoluten Beträge der Variablen ... u hinreichend klein sind die Werthe der Paare {xayu), die sich als die noch zu

Werthen von cpa(ult...u) und ^B(w₁,. . uQ) identisch, reduciren sich also für Ui = 0, ... uo = 0 auf die Paare (aabj. Denn wird für einen Augenblick «pB(w₁,... uo) = xa und    uj = ya gesetzt, so ist gleichzeitig

und

mithin

Q r{xaVa)

UH = 2 /    H(xy)?dx

a==lJ(*M

Q rWaVa)

Uß = 2 /    H(xy)ßäx

a==1*W«)

9 r{xa Va)

2 / H(xy)ßdx = 0

“ = 1 Va)

(ß = h2, ...(>)•

Nach der

Existenz einer rationalen Function folgen

Umkehrung des Abelschen Theorems (S. 417) würde hieraus die

stellen die Paare {xiyi)₎ ... (x^yQ) und {x[y(xQyq) sind.

deren Null- und Unendlichkeits-Dies ist aber

für Werthe von ... die dem Bereiche U₀ angehören, unmöglich, da für diese die Determinante \H{x'uya)^\ nicht verschwindet. Jene Gleichungen können mithin nur bestehen, wenn für diesen Bereich die Paare (so,y\), ••• (v₉y₉) und (x[y[), ... (xQy'q) übereinstimmen.

Mittels der Function JR(xy) lässt sich nach dem Früheren (S. 417) die Gleichung qUu Grades

P₀x? + P₁x°~¹ + ••• + PQ

von

bilden, welche die Grössen xt1...x zu Wurzeln hat; ihre Coefficienten sind ganz und rational in Bezug auf (1,7]!), ••• (lçvjç). Die Function auf der linken Seite dieser Gleichung ist entweder irreductibel oder Potenz einer irreductiblen Function. Im letzteren Falle müssten zwei Grössen xa beständig denselben Werth haben, was unmöglich ist, denn für kleine Werthe . \u \ ist xu = ya(uii • • • uq)i imd nur für specielle Werthsysteme (ut,... uç) können zwei der Functionenelemente    ... ^(u^ ... u )

übereinstimmen. Demnach ist die Gleichung pten Grades irreductibel, und es lässt sich rational durch x in der Form

V a    a

Ql    ² + • • • + Qq

.. P

darstellen, wo die Grössen Q₀, ... Qq dieselbe Eigenschaft haben, wie P₀, . Führen wir die Reihen

*1« „

V\

n j

in die Coefficienten ein, so werden P₀, ... P, Q₀,...Q^ Potenzreihen von die innerhalb des Bereiches U convergiren. Da der Werth der positiven Grösse U keiner Beschränkung unterworfen ist, so sind wir daher zu folgendem Resultat gekommen:

Das System von Differentialgleichungen

dUß

Q

= 2 S(xa ya)a dxa

a = i

(ß=l,2,...Q)

mit der Nebenbedingung, dass für ut = 0, ... UQ

(or = 1, 2,... q)

i%aya) = (««&«)

st, kann durch die q Wurzeln xti ... x einer Gleichung pten Grades

== o

P₀a* + Pła*“, + -» + Pę

befriedigt werden, während sich die zu xa zugehörige Grösse ya als eine ganze rationale Function (p — l)ten Grades von xa:

Qo

„ _ g»gr, + p,gri+- + ^

Va

ergiebt. Für jeden beliebig grossen Bereich lassen sich die Coefficienten P₀, ... P , Q₀, ... Q als convergirende Potenzreihen von ut, ... darstellen.

Jetzt muss nachgewiesen werden, dass die Werthe der Functionen xu und ya von der Grösse U und der ganzen Zahl n unabhängig sind. Gehen wir in den vorhergehenden Betrachtungen statt von U und n von einer positiven Grösse U' und einer ganzen positiven Zahl n aus, wobei aber

Acp ri = ⁰

sein muss, so möge sich zur Bestimmung von xlt ... xQ die Gleichung

p₀'^ + p;^-l + -- + Pp' = 0

Da für alle Werthe von ut,...u

die dem absoluten Betrage

ergeben.

nach unterhalb U₀ liegen, sowohl die Wurzeln dieser, wie die der obigen

Gleichung mit den Werthen der Functionenelemente

übereinstimmen müssen und beide Gleichungen irreductibel sind, alle jene Werthsysteme (ut,... uQ)

i _ Ä A _ A

p. - py p₀ py

(a = 1, 2,... q)

so

ist für

A _ A

p₀ pó

mithin

p„p' = p;p„ ... p„p; = p;iv

Demnach sind die Coefficienten der entsprechenden Potenzen von auf beiden Seiten dieser Gleichungen einander gleich, und die Relationen

P, _ p; Ą. ₌

p. ~ K ’ P. r.

p V’ — p' p

P«

P'

¹ P

p„ p;

bestehen für alle Werthsysteme, die dem kleineren der beiden Bereiche U und TT angehören. Für jedes den beiden Bereichen gemeinsame Werthsystem (ut1 .. u) stimmen daher die Wurzeln xt, ... x^ der beiden Gleichungen

P₀ x* + P, x*~l + • • • + PQ == 0

und

P₀'^ + P><?"¹ + --- + P^

ihren Werthen nach überein.

Durch ähnliche Schlüsse lässt sich zeigen, dass die Werthe von yy, ... y nicht von der Grösse U und der Zahl n abhängen.

Für singuläre Werthsysteme der Argumente ut, .. kann eine Unbestimmtheit in den Werthen der zugehörigen Paare (xlyi),... (x^yj dadurch eintreten, dass die sämmtlichen Coefficienten P₀,Pl7... P der algebraischen Gleichung pt8n Grades gleichzeitig verschwinden. Wenn der Coefficient P0 gleich Null, aber von Null verschieden ist, so wird eine Wurzel der Gleichung

P₀P? + piX?-l + ••• + PQ

unendlich gross; verschwinden gleichzeitig P₀ und Px, während Pt nicht gleich Null ist, so werden zwei Wurzeln unendlich gross, u. s. f. Wenn aber alle p + 1 Coefficienten P₀, Pt, ... Pç für ein Werthsystem    )

verschwinden, so können alle Wurzeln    der Gleichung unbestimmt

werden.

In dem Auftreten solcher singulären Werthsysteme besteht ein beachtens-werther Unterschied zwischen Functionen einer und mehrerer Veränderlichen. Der Quotient zweier gewöhnlichen Potenzreihen einer Veränderlichen u, die gleichzeitig für u — a verschwinden, hat für u = a einen bestimmten, wenn auch vielleicht unendlich grossen Werth. Um ihn zu finden, entwickelt man Zähler und Nenner nach Potenzen von u — a und dividirt durch die höchste als gemeinsamer Factor auftretende Potenz dieser Grösse.

Anders verhält es sich bei dem Quotienten zweier Reihen, die nach ganzen positiven Potenzen mehrerer Variablen fortschreiten. Wenn nämlich Zähler und Nenner für ein bestimmtes, dem gemeinsamen Convergenzbereich angehörendes Werthsystem gleichzeitig verschwinden, so kann der Quotient

für dieses Werthsystem jeden beliebigen Wertli annehmen,*) falls sich nicht die Division ansführen, d. h. der Quotient als gewöhnliche Potenzreihe oder als reciproker Werth einer solchen darstellen lässt. Z. B. kann der Quotient zweier homogenen linearen Functionen mehrerer Variablen nicht in dieser Weise reducirt werden.

dem gemeinsamen Convergenzbereich der

Es sei jetzt (ct, ...c ) irgend ein

Reihen P₀, P₁, ... PQ angehörendes Werthsystem. Dann werde für die Um-

gebung dieses Systems

u, = c, + Jc[t, ... uQ = cQ+k'Q T

Variable und    beliebige Constanten bedeuten.

gesetzt, wo Führt man diese Ausdrücke in die Gleichung

t eine

P₀x? + P₁+ • • • + PQ = 0 ein, so gehe sie nach Division durch P₀ in

x* + Xi(T) xQ~l + X₂(x) x'~* + • ' ‘ + Xo(t) = ⁰

von Potenzreihen der

Die Coefficienten ^(x), ••• XÇ(T) s^n(^ Quotienten Veränderlichen x, erhalten daher für x = 0 bestimmte Werthe, auch wenn sie zunächst in der Form -jj- auftreten. trachteten singulären Werthsysteme

über.

Ist nun (ci? ... c) keines der eben be-sind ^(0), ••• Xç(°) von ^en Grössen .. k' unabhängig, mithin haben auch für ut = cl7 ... uq = die Wurzeln ... x der algebraischen Gleichung bestimmte Werthe. Wenn aber (c1?... cQ) ein solches singuläres Werthsystem ist, welches von jetzt an mit

so

k'

i» •

(Ui,U₂, ... UQ)

bezeichnet werden möge, so hängen die Grössen Xi(⁰)> ••• X?(°) von 'W *•* \ sodass bei verschiedener Wahl dieser Constanten auch die Wurzeln

Die "Werthe von x^ ... x^ ändern

ab

verschiedene Werthe erhalten.

x,j ••■xQ

sich also mit der Art der Annäherung der Variablen ut, ... uç an das smgu läre System (üt,...üQ). Der zu xa gehörige Werth ya kann aus der Gleichung

Qtxr + Q'*r + -+Q*

Qo

der Abhandlung »Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer "Vei-

*) Vgl. Art. 3

änderlichen sich beziehende Sätze« ; Bd. II, S. 154—162 dieser Ausgabe.

Abelsclio Functionen.

58

berechnet werden, wobei in Qo, Qx, ... statt ult...u die linearen Ausdrücke ui + //t, ... Uç+k'çX einzuführen sind und dann t gleich Null zu setzen ist. Auch für die symmetrischen Functionen, die im Folgenden aus den Paaren (xlyl)₁ ••• (x VQ) gebildet werden, sind diese Werthsysteme (u^ ... w) singulär.

Da das zu dem singulären System ... ü ) gehörende System von q Werthe-paaren    ... (x^yo) nicht eindeutig bestimmt ist, so sei gleichzeitig

und

woraus

Uß = 2 /    H(xy)ßdx

a = lJ(aaba)

c r(K y’a)

Uß = 2 /    H(xy)ßdx,

a = lJ(aM

q    r(K y'a)

S / H(xy)ßdx — 0 a==lJ(xaya)

(ß = 1,2, ...ß)

(ß — 1, 2,... q)

(ß — i» 2,... e)

folgt. Nach der Umkehrung des Abelschen Theorems (S. 417) giebt es demnach eine rationale Function pten Grades des Paares (xy), die nur an den Stellen (ïËjÿJ, •.• (%QÿQ) von der ersten Ordnung unendlich gross und für {x[y'i)i ••• {x'qin derselben Weise Null wird; mithin muss die Determinante

\H(xaya)ß\

(a,ß =1,2

gleich Null sein (S. 68).

Sind umgekehrt die Stellen    ... (äi ÿ ) so beschaffen, dass eine

rationale Function R(xy) des Paares (xy) existirt, die nur für sie von der ersten Ordnung unendlich gross wird, und setzt man

? K^aVa)

uß=zH    H(xy)ßdx,

a = lJ(aM

ist (    ,... «^ ) ein singuläres Werthsystem.

so

Denn es seien (x[y[), ... (x'Qy'Q) die Nullstellen von R(xy), wobei eine dieser Stellen willkürlich gewählt werden kann, so ist nach dem Abelschen Theorem

(ß= i, 2,... p).

?    r (*®« y'a )

2 / H(xy)ßdx = 0 a = lJ(xaya)

Demnach wird auch

Or

IS

Sm

c-j

-*

(/? = !,2,...<?)

dem Werthsystem \üiy...ü) entsprechen also verschiedene Systeme (xiyi)₎ ... (x^yj, d. h. (ût,...üç) ist singulär.

Jede veränderliche complexe Grösse repräsentirt zwei Dimensionen, die Gesammtheit aller Werthsysteme der Veränderlichen    bildet .daher

ein Continuum von 2p Dimensionen. Verschwindet aber die Determinante I H(xa ya)p

die singulären Systeme scheinen also ein Continuum von 2p —2 Dimensionen zu bilden.

so

besteht auch zwischen den Variablen ui, ... eine Gleichung,

Es soll jedoch bewiesen werden, dass die Gesammtheit der singulären

von nur 2p —4 Dimensionen bildet.

Werthsysteme (u^ ... uj ein Continuum Für die elliptischen Functionen, d. h. für p = 1, führt das Umkehrungsproblem

auf Functionen einer Veränderlichen, die keine singulären Argumente dieser Art haben. Für p = 2 treten nur einzelne singuläre Werthsysteme auf, und erst für p = 3 existirt eine continuirliche Folge von zwei Dimensionen. In allen Fällen bewirkt aber die Ausschliessung der singulären Werthsysteme keine wesentliche Beschränkung, denn es bleibt auch dann noch die Möglichkeit bestehen, von jedem regulären System stetige Folge nicht ausgeschlossener Werthsysteme zu gelangen.

zu

jedem anderen durch eine

Ist

Q r^aVa)

2 / B\xy)?dx

“ = 1*W«)

Grade,

von der ersten Ordnung unendlich gross

existirt nach dem Vorhergehenden eine Function R(xy) vom p die an den Stellen (x^J, ••• (%QÿQ) wird. Die Function

so

ten

R(xy) — II (ab)

58*

hat nun, wenn (ab) eine beliebige Stelle des algebraischen Gebildes ist, dieselben Unendlichkeitsstellen wie R(xy) und verschwindet ausser für (xy) = (ab) noch an p —1 Stellen, die mit (x[y[), ••• (^^y'^J bezeichnet werden mögen.

Nach dem Abelschen Theorem ist daher

oder

(xaVa)

(»«&«)

Q-¹ r (PaVa)    r

2 / H(xy)ßdx + / a — lJ(xaÿa)

q-¹ r{n’tty'a)    r

H(xy)ß dx = 2 / H(xy)ßdx + /

J(o

folgt

Q-¹ r«y'a)

Uo — 2 / H(xy)pdx a=lJ(*a K)

(XQ Vo)

H(xy)ßdx = 0

(/»= 1, 2, ...p)

Wählen wir nun für (ab) die Stelle (aQbQ)

so

(ab)

Mo)

H(xy)ßdx

lässt sich jede der

so

Wenn also (üt,...ü) ein singuläres Werthsystem ist,

Grössen üs als Summe von q — 1 Integralen erster Art darstellen, d. h. als Function von q — 1 Werthepaaren (x'ty[), ... (af _ty^). Diese Paare sind aber nicht von einander unabhängig. Denn die Function

B(xy)- R{aQb{?)

wird nur an den q Stellen (æ'y'), ... (x^y^J, (a^Q) von der ersten Ordnung unendlich gross, es muss daher die Determinante

I ü(xa ya)ß I

(aiß — 1,2, ...ç; [x^y^)—

verschwinden. Nur p —2 der Werthepaare    ... (x^y^J können dem

nach beliebig gewählt werden, sodass ^, ... ü nur Functionen von q — 2 unabhängigen Grössen, z. B. x',    ... x'_₂ sind; denn die Werthe von y', y',... y

sind durch x', x', ... x’_₂ n- deutig bestimmt. Die singulären Werthsysteme bilden also ein Continuum von 2q — 4 Dimensionen.

Dass der Fall wirklich eintritt, dass die p + 1 Functionen Po, Pi? ... P der p Veränderlichen ... u für eine continuirliche Folge von Werthsystemen gleichzeitig verschwinden, ist nicht unmittelbar einleuchtend. Wir haben diese Möglichkeit hier daraus erkannt, dass es rationale Functionen des Paares (xy) vom pten Grade giebt. Die Nichtbeachtung dieser singulären Werthsysteme kann leicht Fehler bewirken.

Die vorhergehenden Betrachtungen haben also Die Coefficienten ••• und ~

zu dem Resultat geführt: in der Gleichung çtea Grades

Qo’

ro    Pq

p    p

X 0    xo

und in der ganzen rationalen Function (p — l)ten Grades

Qjlxq-* ₊ ...₊ Qr.

Qi

Qo

Qo

Qo

(« — 1, 2, ... q)

sind innerhalb jedes noch so grossen Bereiches eindeutige Functionen der veränderlichen Grössen ut1...uj diese Functionen haben stets bestimmte Werthe, wenn gewisse singuläre Systeme der Veränderlichen, die ein Continuum von 2q — 4 Dimensionen bilden, ausgeschlossen werden.

Es sei nun

F(x₁y₁,x₂y₂, ... xQyQ)

irgend eine Function, die rational und symmetrisch in Bezug auf die Werthe-paare {xyj ist, d. h. bei Vertauschung irgend zweier der Paare [xxyl), ... (x^y^) ungeändert bleibt. Führen wir für ya den vorhergehenden Ausdruck ein, so wird F(pciyi,... x^yj eine rationale symmetrische Function von xx, ... x f deren Coefficienten rational aus    zusammengesetzt sind; mithin lässt

sich F(xxyx, ... XQyJ rational durch    ausdrücken. Setzen

wir nun

F(x₁ yx, ...xQyQ) = <b(ux, ...uQ)

ist ®(ux,... uo) für jedes endliche Werthsystem (ux, ... p) eine eindeutige Function, denn der Bereich, innerhalb dessen die Quotienten

so

Ql

Po ’

Po

• •• -p eindeutig definirt sind, kann beliebig ausgedehnt werden. Und zwar

Qo ’

hat $>(ux,... uQ) im Endlichen überall den Charakter einer rationalen Function. Wenn zwischen den Paaren (xiyi), ... (xyç) und den Variablen ult ...

Qo

die Gleichungen

? r(xaya)

uß — 2 / H(xy)ßdx

(ß — b 2,... p)

bestehen, so heisst jede rationale symmetrische Function der Werthepaare

(xaya)’ a^s Function von    aufgefasst, eine Abelsche Function der

q Variablen ... u . Doch ist bereits in der Einleitung (S. 9) bemerkt worden, dass auch algebraische symmetrische Functionen der Paare (&,«/,),... (^?/?), wenn sie eindeutige Functionen von ux, ... u sind, Abelsche Functionen genannt werden.

Da den Functionenelementen xa = cpa(^,... u^) und ya = c[>a(ui5... uo) für Werthsysteme    die dem absoluten Betrage nach hinreichend klein

sind, ein algebraisches Additionstheorem zukommt (S. 450), so folgt das Gleiche für ein System von q Abelschen Functionen. Es möge

F₁{x₁yl, ... xQyQ), F%{xty„ ... xqyq), ... FQ(xty1}... xQyQ)

ein System von q von einander unabhängigen rationalen symmetrischen Functionen der Werthepaare fayj, ... (x^yj sein und

(a = l, 2,... 9)

Fa(xly₁, ... xQyç) = %(ult... uQ)

gesetzt werden, so sagt, entsprechend den allgemeinen Erörterungen (S. 449), das algebraische Additionstheorem dieser q Abelschen Functionen aus, dass in dem System

fcçfa» •••*,»)

••• v

••• V

^1 (u₁+vli...uQ + vQ), ...    <t\(U₁ + V₁,...UQ + VQ)

jede Function der dritten Reihe sich algebraisch durch die Functionen der beiden ersten Reihen ausdrücken lässt. Dabei können die Argumente u und vt, ... beliebige endliche Werthe haben.

Es sei nämlich

(paVa)

H(xy)ßdx — Up

(«a &«)

und

s /

a = X Jr„

«2/«)

H(xy)pdx = Vp]

(ß'a )

wird dann

? /•(«)

2 / H(xy)pdx az=tJ(aaba)

gesetzt, so ist

Fa(x"y”, ••.<2/o) = ^a(Ui+^i, ••• UQ+Vq).

Nach dem Abelschen Theorem ergeben sich die Grössen x”, ... x" durch Auflösung einer Gleichung pten Grades, deren Coefticienten rationale Functionen der Paare fayj, ... (a? y ), (&'?/'), ... (æ'y') sind, während y"a rational in Bezug auf x"a ist. Daher lässt sich Fa{x"y", ... %”y”), als symmetrische Function . der Wurzeln a?", ... a?", rational durch die Paare (xxyx), ... {xyy^), (x'iy'i)₁... (xyy'J darstellen. Setzt man nun

(xx yti ... y^ Fa(xx yx, ... x^y^ xx yx,... x^y^j,

so folgt

Fa(xxyx, ...xçyy x'xy'x, ...x'Qy'ç) = ®a(u₁ + vx,... uQ + vQ).

Für die 4p Grössen a?c, ?/ß, F, ya bestehen die 4p Gleichungen

Fa(xxyx,... xqyQ) = <Da(w,,... uQ),

Fa(x'xy'x, ...x'Qy’Q) =

f(%a,ya) = o,

f(Xa,y'a) = 0,

demnach sind a?a, ya, a?', y'a algebraische Functionen von    ... w ), ...

• • • V» • • • V’ ' ‘    *••%)’ deren Einführang in

Fa(xxyx, ... xqyQ) xxy'x, ...x'Qy’Q)

Auf

rem

zwischen <&a(u₁ +vv ... u^+v^) und denselben Functionen mit den einfachen Argumenten ux, ... und vx1 ... v eine algebraische Gleichung liefert, die wirkliche Bildung dieser p Gleichungen, in denen das Additionstheo-für die gegebenen Abelschen Functionen enthalten ist, kommt es hier

nicht an.

Das Additionstheorem lässt sich auch in der Form aufstellen, dass jede Function ®a(^h +^ + rational durch die Functionen mit den einfachen Argumenten und deren erste partielle Ableitungen ausgedrückt wird.

Wie eine elliptische Function doppelt periodisch ist

F(xxylf... x y ) = <D(ux,...uQ)

Function

so

ist eine Abelsche

in Bezug auf die q unabhängigen Variablen ...    2p-fach periodisch.

Für eine bestimmte Wahl der q Wege ((aa b) ... (xa yj) möge

i /

sein, und es ergebe sich aus diesen Gleichungen

F(xiVi, — i» y )

(*«y«)

■H(xy)ß dx = Up

0(ulf...uç).

Bei Festhaltung der unteren und oberen Grenzen, aber einer anderen Fixirung der Integrationswege sei dagegen

(ß — b 2,... e)

Q r(xaVa)

2 / H(xy)ßdx a = lJ(aaba)

wo (2toi5 ... 2coç) ein System simultaner Perioden der p Integrale erster Art ist (S. 306). Zu den p Werthepaaren (xly₁): ... (x^yj gehören also unendlich viele verschiedene Werthsysteme der Variablen ... u , während umgekehrt nach Ausschluss der singulären jedem System (ux, ... uq) nur ein einziges bestimmtes System (xiyi), ... (xy) entspricht (S. 456). Dann folgt aus den letzten Gleichungen

F(x₁y₁, ...xQyQ) = <!>(>, + 2o>1} ... uQ+ 2<aę)

mithin ist

d»(M₁+2a>₁,...Wç+2(üç) = <D(wlf...Mç).

Die Abelsche Function F (^,... u^) bleibt ungeändert, wenn die Argumente gleichzeitig um die simultanen Perioden 2a>l} ...2<o vermehrt werden; wir nennen daher die Grössen

2(0,, 2o>₂, ... 2<ÜQ

ein Periodensystem der Abelschen Function. Bilden

.. 2o)'ßQ

²^1> •••    ••• 2rißQ

ein primitives System von simultanen Perioden der Integrale

J H(ccy)ß dx und j H\xy)ß dx,

und

2 o)

. . 2«)

2u)'

(P = l, 2

(ß = !>2,... ç>)

das sich durch Integration über die Kreise K₁, ... K, K[, ... K'^ ergiebt (S. 337), so können alle Systeme von simultanen Perioden (2(0^ ... 2toJ der p Integrale erster Art in der Form

2u>ß = ^ (~2m'aoioa+ 2maw'ßa)

(X = 1

dargestellt werden, wobei ma und m'a ganze Zahlen oder Kuli sind (S. 334). Wählt man daher im Vorhergehenden die Integrationswege {{aabj ... (%uya)) in geeigneter Weise, so folgt unmittelbar, dass die p Grössen jeder der 2 p Horizontalreihen

• • 2(s)qq

2°⁾iç> 2o)₂

und

21 ? *

. • 2 tu;

2 of... 2 uf

ls0>

. . 2 of

QQ

ein Periodensystem der Abelschen Function 0(^l?    ... «^) bilden. Es existiren

also 2p Systeme von je p constanten Grössen der Beschaffenheit, dass die Vermehrung der Argumente ... uQ

Werth der Function ungeändert lässt. Alle Periodensysteme (2co der Abelschen Function lassen sich durch Addition und Subtraction aus diesen 2 p Systemen zusammensetzen. Andererseits ist es unmöglich irgend welchen 2p —1 Periodensystemen in gleicher Weise alle übrigen Periodensysteme einer Abelschen Function von p Veränderlichen abzuleiten.

der Abhandlung: »Neuer Beweis eines Hauptsatzes der

um

die p Grössen eines Systems den

.. 2to )

QJ

aus

Dies ergiebt sich aus Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen«.*) Auf

die dort bewiesenen

einige Betrachtungen, welche noch erforderlich sind Sätze hier anwenden zu können, kommen wir später zurück.

Aus diesen Gründen nennt man die Abelsche Function    ... u^)

um

2p-fach periodisch.

*) Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften vom

9. November 1876; Bd. II S. 55—69 dieser

Ausgabe.

Abelsche Functionen.

59

Für die singulären Werthsysteme (S. 45 8) gilt bei Änderung um ein System simultaner Perioden der Satz: Ist (2o)l5 ... 2coç) irgend ein System simultaner Perioden der Abelschen Function §{uv ... u)y so sind

und

(«ii • •• «*)

(«i + ²«ü> • • •    ²«\,)

gleichzeitig singuläre Wertbsysteme der Argumente. Denn ist, wie früher,

? ri^aVa)

H(xy)ßdx

(ß — 1,2,e)

^ = s /

&«)

und zugleich

(ß=l,2,...Q)

? riKVa)

Ufi = 2 / H(xy)*dx a = lJ(*aK)

und werden die Integrationswege in beiden Formeln so geändert, dass die Summen auf den rechten Seiten sich um dieselbe Periode 2u>^ vermehren, so folgt

? r^’M

(0 = 1,2,...ç)

(Va U)

H(xy)ßdx — 2 / H(xy)ßdx ß==1^K &«)

Mithin

wobei sich die Integrale auf die neuen Integrationswege beziehen, gehören auch den Argumenten e^+2«^, ...    + 2o> verschiedene Systeme von

Werthepaaren {xxy^), ... (%Qyo) zu, d. h. sie bilden ein singuläres System.

.. uq + 2ioJ nicht der Fall, denn das erste System unterscheidet

Umgekehrt, wenn (^1? ... u ’) kein singuläres System ist, so ist dies auch mit (ux+ 2ü>

• — 2o) .

Die im Folgenden zu lösende Aufgabe besteht nun darin, die in diesem Kapitel definirten Abelschen Functionen durch analytische Ausdrücke darzustellen. Hierzu können wir nicht den Weg benutzen, der zum Beweise der Existenz dieser Functionen geführt hat, denn wir würden auf ihm nicht

sich von dem zweiten nur durch die simultanen Perioden — 2oo

zu

Darstellungen gelangen, die für alle endlichen Werthsysteme der Argumente gültig sind.

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Die Functionen E(xy\ y, ... uj und J(u^u^ ...uq)^.

Im neunzehnten Kapitel haben wir die eindeutige transcendente Function des Paares (xy)

H(xy, x'y') dx'

j(p i2/i)

E(xy, xxy„ x₀y₀) = e ⁽*°yo)

mit q wesentlich singulären Stellen (at... (aqbj eingeführt und die Formen ihrer Entwickelung für die verschiedenen Elemente des algebraischen Gebildes zusammengestellt (S. 383 u. 384). Für alle von    ... (a^b^) ver

schiedenen Stellen hat E(xy₁xiyi,xoy₀) den Charakter einer rationalen, und zwar mit Ausnahme der Stelle (x₀y₀) den einer ganzen Function. Die Function verschwindet nur für das Paar (xtyj und wird für (x₀y₀) unendlich gross, in beiden Fällen mit der Ordnungszahl 1.

Wir wollen jetzt das System von q E-Functionen

(a = l, 2,... q)

E(pcy, xaya1

betrachten, bei denen das vorher mit (x₀y₀) bezeichnete Werthepaar der Reihe nach durch die q wesentlich singulären Stellen (à^,), ... (aQbj, das Paar (xiy₁) aber durch q beliebige Stellen (a^), ••• (xqyq) ersetzt ist. Das Product dieser q Functionen:

fl E(xy] xaya, aaba)

cc= 1

ist eine eindeutige transcendente, in Bezug auf die q Werthepaare (a^), ... (%QyQ) symmetrische Function des Paares (xy). Zwischen (a?^), ••• (%qyQ) un(^ den

59 *

Variablen y, ... u bestehe nun das System von Gleichungen

9 r(xaya)

uß = 2    /

a==lJ(aM

H(xy)pdx,

(ß = b 2, ...ç)

in denen die Integrationswege beliebig bestimmt sein mögen.

... (xaya)) für die Integrale dritter Art J

(cia hu )

in den Exponenten der Functionen E(xy, xaya, aubu) auftreten, seien mit

(xa Va)

Die Wege H(xy: x'y') dx\ welche

Dann soll zunächst gezeigt werden, dass der Werth des Productes der E-Functionen sich nicht ändert, wenn sowohl in den vor-

diesen identisch.

stehenden Gleichungen, als auch in den Integralen dritter Art die Integrationswege ba) ... (xaya)) beliebig, aber so verändert werden, dass utl ... u ihre Werthe beibehalten; d. h. dass das Product eine eindeutige Function der Argumente ... u ist. Dabei werde aber in diesem Kapitel angenommen, dass das Werthsystem (y, ... u ) mit keinem der singulären Systeme der Variablen Zusammenfalle.

Um diesen Beweis zu führen, setzen wir zur Abkürzung

IT E(xy, xaya, aa ba) = F{xy)

so ergiebt sich für die Umgebung einer singulären Stelle (a^bp)

^ j(xaya) a=:1 KA)

t-¹

F(xtyt) =    +

H(xy)pdx

oder

F(xty,) =    +

wobei Ep eine von Kuli verschiedene Constante ist. Nun sei F{xy) gleich dem Product derjenigen E-Functionen, die sich auf die in der angegebenen Weise veränderten Integrationswege beziehen. Dann ist auch

F(xJt) =    +

mithin wird

F{xtyt)

8 ß

F{xtyt)

Aus der Tabelle auf S. 383 u. 384 folgt unmittelbar, dass für die Umgebung jeder anderen Stelle des Gebildes ebenfalls

F{xtyt)

F{xtyt)

ist. Der Quotient

Fjxy)

hat demnach überall den Charakter einer ganzen Function, d. h. er reducirt sich auf eine Constante. Für {xy) — (a₀b₀) nimmt

F(xy)

aber jede Function E{xy\xay a,acb a) den Werth 1 an, es ist daher

F{xy) = F(xy).

ein einziges System von Paaren

Zu jedem Werthsystem {ux,... uq) gehört {xtyj, ... (xQy₀) (S. 464), und da eine zulässige Abänderung der Integrations-den Werth des Productes nicht ändert, so ist II E{xy\xa ya, aa ba) eine

nur

wege

eindeutige Function von ut, ... uq.

Wenn zwischen den q Werthepaaren {xtyx)y.., (%QyQ) und den q Variablen

Q r(æaVa)

2 / H(xy)päx a = lJ{aala)

uxj ... u die Gleichungen

Uß =

Ci = 1

bestehen, so werde nun bleibend

II F(xy, xaya, aaba) = F(xy,

Die so definirte Function E(xy;ut, ...w ) ist eine transcendente

gesetzt.

Function des durch die algebraische Gleichung /*(&, y) — 0 verbundenen

ver-

ver-Da aber

Paares {xy) und der q variablen Parameter ... u. und zwar ist sie, wie wir bewiesen haben, sowohl in Bezug auf das Paar {xy), wie in Bezug auf ui,...uq eindeutig. Dabei haben wir allerdings diejenigen singulären Werthsysteme {ut, ... uo) von der Betrachtung ausgeschlossen, denen schiedene Systeme von Werthepaaren {xxyx), ... {xqyq) und folglich auch schiedene Systeme von Functionen E{xy, xaya, aa ba) entsprechen.

vermuthen

wird; in der That lässt sie sich als Quotient zweier beständig convergenten Potenzreihen darstellen, welche für die singulären Systeme gleichzeitig

E{xy, ux,... u) im Allgemeinen in Bezug auf ux, ... uq eindeutig ist, so lässt sich dass diese Function für die singulären Werthsysteme unbestimmt

verschwinden.

Als Function des Paares (xy) hat E(xy\uv ... u) die in den Gleichungen

(1)    E{xtyt-,ul,...uq) = J0{1+ *$(*)[,

(2)    E{xtyt\ ulf ...uQ) = 1 + ^(0,

(3)    E(xtyt-,ul,...uQ) = Æ(a)^jl + ^⁽“>(0),

(4)    E(xłył;u₁,...uQ) = Eßrl{l + tfyÿ)]-e* ‘“0

enthaltenen Eigenschaften. Hierbei darf der Mittelpunkt des Elements ) mit keiner der Stellen    ... (%QyQ) oder der wesentlich singulären Stellen

... (ap6 ) zusammenfallen; das Element (xtyt) hat den Mittelpunkt (h₀ö₀); ist das von (xtyt)

Stelle (xaya), während (xtyt), wie immer, die Umgebung von (a^bß) darstellt. Die erste, zweite und dritte dieser Gleichungen ergiebt sich unmittelbar aus den Eigenschaften der einzelnen Factoren E{xy\ xaya, aabu) von E{xy\ ul5... u), die vierte Gleichung haben wir eben bewiesen. Da die linken Seiten dieser Gleichungen eindeutige Functionen von ux, ... u sind, so hängen auch die Coefficienten der Potenzreihen auf den rechten Seiten von diesen Variablen eindeutig ab. E{xy\ux,... uQ) verschwindet an den Stellen (xx yx), ... (xy)j und nur an diesen, mit der Ordnungszahl 1.

Diese vier Gleichungen sind für die Function E(xym,ult... u ) charakteristisch, d. h. eine eindeutige Function F(xy) des Paares {xy) und der mit den Stellen {xxyx)₎ ... (%QyJ durch die Relationen

q r(xaya)

uß = 2    /

a=lJKA)

verbundenen Parameter ut1 ... u , welche den Gleichungen

F{xtyt) = $(0,

(cf = l, 2,... e)

zu

unterscheidende Element für die Umgebung der

H(xy)ßdx

(0 = 1,2

F(xat) = i+ <$(<)>

F(xtyt) = C‘»U|l + tra(i) |,

F(VJt) =    +

genügt, ist mit der Function E(xy; ux,... u ) identisch. Denn aus diesen und

(a = b 2)... (0

(0 = 1,2,...e)

den Yorhergehenden vier Gleichungen folgt für jedes beliebige Element (xtyt) des Gebildes

F{xtyt)

wobei höchstens für eine endliche Anzahl nicht äquivalenter Elemente in den Eeihen P(t) negative Potenzen von t auftreten könnten. Der Quotient

F{xy)

an

den Stellen (at b₁)₁ ... (a bn),

an

hat demnach an allen Stellen den Charakter einer rationalen Function des Paares (xy) und ist daher eine solche (S. 244—246). Die Function im Nenner wird nur an den q Stellen (aq^), ... -(x yq) und zwar mit der Ordnungszahl 1 gleich Null; da aber der Annahme nach die Function F (xy) ebenfalls diesen Stellen mit der gleichen Ordnungszahl verschwindet, so bleibt der Quotient für {xly₁)₎ ... (x yQ) endlich. Auch für die F{xy) unendlich gross wird, hat der Quotient einen endlichen Werth, demnach muss, er sich auf eine Constante reduciren, und zwar auf 1, da Zähler und Nenner an der Stelle (,a₀b₀) beide diesen Werth haben. Es wird daher, wie behauptet,

F{xy) = E(xy;

Jetzt gehen wir dazu über, E(xy] «q,... uQ) als Function der variablen Parameter ut1 ... u zu betrachten, und ermitteln zunächst, wie sich der Werth der Function für jedes endliche Werthsystem («q, ... u^) berechnen lässt. Wir wenden dabei dieselbe Methode an wie im vorhergehenden Kapitel (S. 451—456) hei dem Nachweise, dass sich die Paare (aqgq), • • • (%QyQ) aus den Gleichungen

H(xy)ßäx

q r(xclya)

u[i ⁼ 2    /

für beliebige Werthsysteme («q, ... uq) bestimmen lassen. Wir haben (S. 447) diese Gleichungen durch Einführung des Elements    mlt dem

punkt (aJJ für Werthe    deren absolute Beträge hinreichend klein

sind, in der Form

= tß + (*i> •••    —

. u aus-

dargestellt und dann die Grössen ta durch Potenzreihen von u gedrückt. Für x und ya haben sich die Functionenelemente:

= ?«(«„ - ..w«)

i’ * *

Va =

ergeben, welche für einen gewissen Bereich U₀ gelten und für alle ihm angehörigen Werthsysteme {ut, ... u) die vorhergehenden Integralgleichungen identisch befriedigen. Um nun Ausdrücke für die Werthepaare (xaya) zu erhalten, die in einem beliebig grossen Bereich U gültig sind, haben wir eine ganze positive Zahl n der Ungleichung

gemäss gewählt und

= Va

«£

Ti a =

'!>«(■

ut

(a

1,2, ...q)

Diese Reihen convergiren dann für alle Werthsysteme (u^ ... uj.

gesetzt.

für welche \ut \ c Z7, ... \u\<U ist, und genügen den Gleichungen

(ß=l, 2

u,    Q riŹaria)

Ä ₌ 2 / H(x,j)fdx

In den Functionen

H(xy, x'y') dx'

*1 a)

E{xy\ %a rla, aa ba) = e

mögen nun die rechts auftretenden Integrale dritter Art auf denselben Wegen ausgeführt werden, wie die entsprechenden Integrale erster Art in den vorhergehenden Gleichungen für dann ist das Product

11 E(xyj £,a 7ja, o,a

als Function von ... betx achtet, gleich

Wo

E(xy;

\ n ¹ n

und zwar ist diese Function für alle Werthsysteme (ult ... uQ) bestimmt, die dem absoluten Betrage nach kleiner sind als die beliebig grosse, positive Grösse U.

Hierzu bilden wir eine

Nun muss der Zusammenhang der beiden Functionen E(xy\ ... u ) und E(xy, ••• näher untersucht werden, rationale Function jR(xy) des Paares (xy) vom (wp)ten Grade, die an den Stellen    ... (| 7j?) mit der Ordnungszahl n unendlich gross wird, für

(^6 ), ... (a bo) mit der Ordnungszahl n — 1 verschwindet und für (a₀b₀) den Werth 1 annimmt; durch diese Bedingungen ist die Function bestimmt (S. 411). Ausser für (a^J, ... (aç6ç) verschwindet B(xy) noch an q anderen Stellen (xiy^)₎ ... (%QyQ)i welche rational von den Wurzeln einer Gleichung pten Grades abhängen, deren Coefficienten rationale Functionen der Paare ('ijTjJ, ...    ] )

sind (S. 413).

Nach der Formel, die wir im neunzehnten Kapitel (S. 390) für die Darstellung einer rationalen Function des durch eine Gleichung f(x, y) — 0 verbundenen Paares (xy) als Product von Primfunctionen gefunden haben, ist

Q    ?

B(xy) = II [E(xy, L?ia)Y IT E(xy, xaya, %aria)

denn der Annahme nach ist R(a₀b₀) = 1. In Folge der beiden Eigenschaften der JS-Function (S. 383 (1) u. 386)

E(xyi    ®ab a)

E(xyj c^aba,

E(xy,xaya,%aria) =

E(xy, xaya, aaba)

E{xy^ łsa~Ąai O'aba)

lässt sich diese Gleichung auch in der Form

Q

11 E (xy, xa ya, cta ba)

B(xy) =

fl Ve (xy, %a 7]a, aa ba)]n

a=zi

Hierbei kann man die Integrationswege in den bestimmenden

will-

schreiben.

Integralen der einzelnen E- Functionen mit Ausnahme eines einzigen kürlich annehmen, der Integrationsweg des letzten ist dann aber bestimmt.

gewählt werden, dass die rechte Seite dieser Gleichung

Und zwar muss er so

Abelscbe Functionen.

60

auch für die singulären Stellen (albi), ... (aQb) den Charakter einer rationalen Function hat, d. h. es muss sein

<? r(xaya)

H(xy)ßdx = 2 / H(xy)ßdx a = lJ(aah)

*£/

a=lJ(aM

wobei die Integrale in den Summen links auf denselben Wegen, wie die entsprechenden Integrale in den Gleichungen

(LVa)

H(xy)pdx

(»<*&«)

genommen werden mögen, sodass

n E(xy, M«) = eUv, •••

x = i    \ n    n i

ist. Dann wird

(*« 2/«)

H(xy)ßdx = «fj,

mithin folgt

TLE(xy]xayaiauba) = E(xy,ut,...« )

Cf = 1

und demnach ist

E{xy\ ulf ...uQ) = Æ(æy). E(xy, • n

Mittels dieser Gleichung lässt sich der Werth der Function E{xy\ ut, ... UQ) für jedes Werthsystem (ui1...u) berechnen, für das die absoluten Beträge der einzelnen Variablen kleiner als die beliebig grosse, positive Grösse U sind. Denn die Function E [xy^    ist für alle diese Werthsysteme bestimmt,

und die Coefficienten von E{xy) sind rationale Functionen von (g^), ... (gç7]e), lassen sich daher als Quotienten zweier Potenzreihen von ux) ... darstellen, die für \ux \ < U, ... \u \ < U convergiren. Um den Werth der Function

Q

II E(xy, xaya, aaba) 2 = 1

E(xy] Wj,... uç) =

für ein beliebiges Werthsystem (ux, ... u) zu ermitteln, ist es demnach nicht

nöthig, die Gleichung pten Grades aufzulösen, welche die für jenes Werthsystem gültigen Ausdrücke der Grössen xt,...x liefert, man kann vielmehr den Werth von E(xy\ ... u^) mit Hülfe der in einem hinreichend kleinen Bereiche gültigen Functionenelemente    ... u ) und    , ... u ) finden.

Für alle endlichen Werthsysteme (utJ ... u) ist also E{xy\u^ ... u) eindeutig definirt und lässt sich berechnen, sobald man die Argumente auf einen bestimmten Bereich U, der beliebig gross angenommen werden kann, beschränkt. Die Function hat im Endlichen keine wesentlich singulären Stellen (ui,...uç).

Wir wenden uns jetzt zu der Frage, welche Änderung die Function E{xy\ ... Uq) erleidet, wenn die Parameter ... uç um ein System simultaner Perioden vermehrt werden. Es mögen in den Gleichungen

(ß — h 2, ... ç)

Q r(xaVa)

u, = 2 / H(xy)pdx a = lJ(aaba)

die Integrationswege so geändert werden, dass    ... u um die Perioden

2a»,, 2cü₂, ... 2wq

wachsen; sind dann E{xy\ xaya, aaba) die E-Functionen, die sich auf die neuen Integrationswege beziehen, so ist

H E(xy, xaya, aaba) = E(xy\w,+ 2^, ... uQ+ 2m).

Der Quotient:

n E(xy] xaya: aaba)

<b(xy) =

wird an einer von    ... (aQbQ) verschiedenen Stelle weder Null noch un

endlich gross (S. 383 u. 384); wenn daher der Mittelpunkt des Elements (xtyt)

nicht mit einer dieser singulären Stellen zusammenfällt,

so

gilt die Ent-

Wickelung

Ofctt) = C{l + f$(Ql,

wo C eine von Null verschiedene Constante ist. Für die Umgebung einer

60*

Stelle (aaba) aber wird

<b(x,y,) = Cae

und da

^Mo) = ¹

ist, so ist §(xy) die zu dem Periodensystem (2«^, ... 2o>ç) gehörende, nicht verschwindende E-Function (S. 365 u. 367):

E(xy\ ">!,-•• «>ç).

Da nun, als Function von u , ... u_ betrachtet.

<b(ocy) =

Ejxij] ut + 2 <o₁, ... uQ + 2 o>e) E{xy\ ulf... uQ)

ist, so ergiebt sich

E{xy, w,+ 2a>i; ... wç+2d)$) = ^(^;«#₁,...wç).F(a;«/|a)₁,...a)?).

Wenn also die variablen Parameter ut,...u gleichzeitig um die zusammengehörigen Perioden 2o)t, ... 2(op vermehrt werden,, so ist die U-Func-tion für das veränderte System der Parameter gleich der E-Function für das ursprüngliche System, multiplicirt mit der nicht verschwindenden Function E{xy I cot,... a>e).

Daraus ist sofort ersichtlich, dass

(« = b 2,... q)

d logEjxy, «,+ 2(1),, ... uQ + 2mg)_ d logE(xy; ut, ... uQ)

dua

_ ___

ist; die partiellen Ableitungen des Logarithmus der Function E{xy\ux,... u^) nach den einzelnen Variablen ux, ... u sind demnach periodische Functionen. Mit der Function E{xy\ul}. .u) hängen die q Functionen

K,... *<ç)„    •••

eng zusammen, die wir im nächsten Kapitel bei der Darstellung von E(xy-ux,... Uç) durch einen Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen gebrauchen werden. Wir definiren sie durch die Gleichungen

(ß —1,2, ...q)

J(u1} ...uQ)? = -[logE(xłył]ul1...uQ)\t in denen das Element (xtyt) die Umgebung der Stelle    darstellt.

Diese Functionen haben eine einfache Beziehung zu den Functionen H'(xy)p. Aus der Gleichung (S. 467 und 469)

lo gJE(xy‘,u₁,...uq) =

0®a Va)

H(xy, x’y’) dxr

K "bcl)

ux, ... u

ergiebt sich nämlich durch vollständige Differentiation in Bezug auf die Variablen

d\ogE(xy, ti„ ...u) = ^H(xy,xaya)dxa

s    a = x

ß ß

mithin nach Einführung des Elements (xtyt) statt (xy)

ß ß    Q ß ß

d log E (xt yt ;w„ ... u) = 2 H(xtyt- xa ya) dxa.

a = 1

Entwickelt man nun beide Seiten nach Potenzen von t und vergleicht die Coefficienten von so folgt (S. 252)

Q

2 H\xaya),dx

a = i

(ß = 1, 2,... q)

dJ(U J, ... Uy)ß —

eine Gleichung, von der ebenfalls bei der Definition von J(ux)... u^)ß hätte ausgegangen werden können.

Die Function E(xy\ut,... u) ist für endliche Werthsysteme (ut,...uQ) eindeutig definirt und hat im Endlichen keine wesentlich singuläre Stelle; mit Hülfe der Gleichung

ß ß.

uQ)ß = — [log E (xt yt ; ut,... uq)]t

ergeben sich daher dieselben Eigenschaften für die Functionen J(ut,... Es sei nun

Q ri^aVa)

iß = 2 / H(xy)ßdx, a = lJ(aaK)

und es seien

u[, ... w' und w", ... w"

diejenigen Werthsysteme der Variablen ... u , die den Stellen (x[y\), ... (x’qy’o) und «//), ... (a£yj)

entsprechen, sodass also

(«)

H(xy)f! dx

q r(x'ay'a)    q r

uZ = 2 / H(xy)ßdx und uZ = 2 /

‘    a=lJ(aM

ist, dann folgt

H(xy)ßdx

Uß Uß —

q rKvä)

s /

Andererseits ergiebt sich durch Integration der Differentialgleichungen für die Functionen J... ujß zwischen den Grenzen (%'ay'a) und (x"ay"a)

(x'ây'â)

s /

a==lJ(*'M

In den beiden vorstehenden Gleichungssystemen müssen die Integrationswege für die einander entsprechenden Integrale erster und zweiter Art dieselben sein, weil in den Gleichungen

H'(xy)ßdx

(P = l,2

log    ... Mç) =

H(xy, x'y') dx'

(jxa ba )

und

? r(xaya)

H(xy)ßdx

uß — 2 /

die Integrale zwischen den Grenzen    und (æa«/J auf gleichen Wegen zu

nehmen sind.

Lässt man die Paare (#'?/') und (#"«/"), (x[y[) und (a£ f/” ), u. s. w. Zusammenfällen, so bilden die Differenzen

q riKy'ä) u" — u[ = 2 /

a=lJ(Ky«)

ein System simultaner Perioden

H(xy)l dx

UQ~UQ =

(a£y£)

«y'a)

(2a),, . . .    2u)§)

der q Integrale erster Art, und es werden daher die Summen

Wy'ä)

Ky'a)

£/

a = l

■ 2/

« y'L)

« y'a)

H(xiĄ dx

H’(xy)Qdx

da sich die Integrale auf dieselben Wege beziehen, gleich dem zugehörigen System simultaner Perioden

(²*h, •••    )

der q Integrale zweiter Art. Demnach ergeben sich die Delationen

(ß — b 2,... e)

J{u₁+ 2(o₁, ... Uq +    — J(ut,... Uy)ß + 2rjß

wenn jetzt ... uo statt u[, ... geschrieben wird. Die geschlossenen Wege ({x'ay'u) ... (%ay'a)) können willkürlich gewählt werden, es ist daher in diesen Gleichungen (2(ol} ... 2o)?, 2y... 2y}?) ein beliebiges System simultaner Perioden der Integrale erster und zweiter Art.

Vierundzwanzigstes Kapitel.

.. u) durch einen Quotien-

ii •

Darstellung der Function E(xy, xüyo] u

ten zweier beständig convergenten Potenzreihen.

der Stelle (aQb₀)

an

Während die Function E(xy\ut,... u ) den Werth 1 annimmt, für welche H(xy, x'y) verschwindet, sei

E{py,®Qy₉\ux,...u₉)

eine Function, die zwar die erste, dritte und vierte der früher (S. 470) für E{xy\u^ ... u) als charakteristisch erkannten Eigenschaften hat, aber an der beliebig gewählten Stelle (x₀y₀) gleich 1 wird. Diese etwas allgemeinere Function wollen wir jetzt unseren Betrachtungen zu Grunde legen.

Wenn die Elemente (xtyt) und (xt ⁽yt) die Umgebungen der Stellen (x₀y₀) und (xaya) darstellen und

? ri^aVa)

u? = 2 / H(xy)pdx

gesetzt wird, so soll

(1)    E{xtyt,x₀y₀]u₁₎...u^) = E{l + t^(t)\

(0) (0)

(2)    E(xtyt, X₀y₀-, ut,...uQ) = 1 +

(3)    E(xty], x₀ y₀;    uQ) = E(a) t\l + t ^a)(t) j,

(4)    E(xtyt,x₀y₀-,u₁,...uQ) = Elir¹{l + t‘$[i(t)]-eł u?

• (cc = 1, 2,... o)

(0=1,2,...*)

sein. Dann ist

E(xy, x₀y₀;    ... uQ) =

E(xy, uJf... u₉)

E(x₀y₀-,    ... m$)

wie sich unmittelbar aus den Eigenschaften der Functionen auf der rechten Seite ergiebt. Die im vorhergehenden Kapitel untersuchte Function

E{xy\ ... u ) ist also gleich E(xy, a₀b₀-,u Aus der Gleichung (S. 477)

ii •

.. u ).

logE(xy;    ... mç) =

2 /

a — l J/.

(xa y a)

H(ocy, x'y') dx'

folgt für die allgemeinere Function:

logE(xy, x,y^ uv ... uq) =

ç z¹ 2/« J

2 / {jgr(Äcy, x'y') - H(x₀y₀, x'y') j rf®'. a~lJ(aa ba)

Als Function der Paare (xy) und (x₀y₀) betrachtet, ist E(xy, xQy₀] ... u^) eine eindeutige transcendente Function (S. 469), und auch in Bezug auf die Parameter ... u ist sie, ebenso wie E{xy\ux,...    (S. 475), innerhalb

jedes noch so grossen Bereiches eindeutig definirt.

Nun tritt die wichtige Frage auf, ob die Darstellung von E(xy, x₀y₀;    ... uç)

in Form eines Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen möglich ist. Ihre Beantwortung bot zunächst erhebliche Schwierigkeiten; sie lässt sich auf den folgenden allgemeinen Satz stützen, dessen Beweis sich in der schon im ersten Kapitel (S. 15) erwähnten Abhandlung »Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze«*) findet :

»Es seien q Functionen

/iK> •••«*)’ ••• /*(**!>••• V

gegeben, welche den folgenden Bedingungen genügen:

1)    Sie sollen eindeutige Functionen sein, für die wesentlich singuläre Stellen im Endlichen des Grössengebiets {ux,... u^) nicht existiren.

2)    Der Differentialausdruck

••• uq)du?

Abelsche Functionen.

soll die durch die Gleichungen

••• V)

(cc,ß = 1, 2, ...q)

uq)

dua

ausgedrückten Integrabilitätsbedingungen erfüllen.

3) Es soll, wenn man für ... irgend welche ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x substituirt:

U1 — K + K T >    • • • UQ =    + &Q r >

für hinlänglich kleine Werthe von jxj die Form

O? ¹ +    (t)) dx

annehmen, und dann ^ entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl sein, vorausgesetzt, dass von den beiden Potenzreihen von u, — k^ ... Uç — kç, als deren Quotient in der Umgebung der Stelle (klf...k) dargestellt werden kann, der Divisor durch die angegebenen Substitutionen nicht identisch gleich Null werde.

Alsdann existirt eine ganze Function f(ul7... uj, welche der Differential

gleichung

d log f(ux ,...uQ) = 2 fß («h,.. • w₉) duß

ß — i

der Werth irgend eines ihrer Coeffi-

wenn

genügt und völlig bestimmt ist cienten, der in Folge der vorstehenden Gleichung nicht noth wendig gleich Null ist, fixirt wird, was in beliebiger Weise geschehen kann.«

Nach der in jener Abhandlung gebrauchten Terminologie ist eine tran-scendente ganze Function    eine solche, die durch eine für jedes

System endlicher Werthe von ... u convergirende Potenzreihe ausgedrückt werden kann.*)

Um mittels dieses Satzes nachzuweisen, dass sich die Function

E(ocy, x₀y₀; ult...uQ)

als Quotient zweier beständig convergenten Potenzreihen darstellen lässt, ist erstens zu zeigen, dass eine Gleichung der Form

besteht, in der die 2q Functionen    ...uq) und g^{u^...uQ) eindeutige

Functionen ohne wesentlich singuläre Stellen im Endlichen sind, zweitens, dass die Integrabilitätsbedingungen

dua

und

dup

(u,ß = 1,2

d,ff,? K, ...Mg) _ àga(ult...uq)

dua

du^

erfüllt sind, und drittens, dass nach Substitution der linearen Functionen -f F T, ...    + /c' T für die Veränderlichen u^...uq bei hinlänglich kleinen

Werthen von |x| die Gleichungen

2 fß Oi, • • • UQ) duß = OiT 1 + ?i(T)) 2 9ß Ol, •.. Mç) «fy, = 0₂ T 1 + (t)) dt

bestehen, wo und ganze positive Zahlen oder Null sind. Dann existiren nach dem angeführten Satze zwei beständig convergente Potenzreihen F{u^ ... und G(ut, ...w ), für welche

2 fß(ui, •••uQ)duß = dlog F(ui:...uq)

ß—i

Q

2 9 ß Oi, ^-u)dUß = d log G(u₁,... uQ)

ß = i

ist, mithin wird, wie behauptet,

F(ult...u₉) ° G(mu ... Wç)

Die Zerlegung des Differentials dlog E(xy, x₀y₀,    ... u^) in die ange

gebenen beiden Bestandteile habe ich zunächst für die hyperelliptischen Functionen auf einem sehr mühsamen Wege durchgeführt.*) Aus der Gleichung

y r(xayu),

2 /    \H(xij,x'y')-H(x₀y₀,x'y')\dx'

a=lJ(aaba)

log%, xQy₀] m,, ... wç) =

erhält man für das vollständige Differential in Bezug auf ... u

Q

dlogE(xy, x₀y₀]ut, ...u ) = 2 \H(xy, xaya) - H(pc₀y₀, xaya)\dxa.

Auf der rechten Seite wurden nun mittels der Gleichungen

q    r (xu y a )

H(xy)pdx

(ß — h 2,... p)

US = 2    /

a = lJ(aM

die Differentiale dxt,...dx durch dui, ... du dargestellt, und sodann jeder Coefficient eines Differentials dua in zwei Theile zerlegt, wodurch sich schliesslich

dlogE(xy, x₀y₀; ul} ...uQ) = 2    .

ß = 1

ergab. Hinterher zeigte sich, dass die Functionen    und gß{u^...uQ)

mit Summen von Integralen zweiter Art Zusammenhängen, was für den Fall der hyperelliptischen Functionen nicht sogleich erkannt werden konnte, weil die Function lo gE(xy, x₀y₀]    ... uo) nur in einer Form dargestellt war, aus

der ihre Entstehung aus H(xy, x'y') nicht deutlich hervorging. Nach Ermittelung dieser Beziehung kann man aber durch eine verhältnissmässig einfache Bechnung zum Ziele gelangen, wenn man von vornherein die Integrale zweiter Art einführt. Als ich diese Untersuchungen in Angriff nahm, waren überhaupt die Abelschen Integrale der drei verschiedenen Arten noch nicht aus der gemeinsamen Quelle der H- Function hergeleitet worden.

Aus dem Gebiete der Variablen    scheiden wir vorläufig alle

diejenigen singulären Systeme aus, für welche zu Folge der Gleichungen

(ß — h 2,... ç)

? )

— 2 / H{xy)?dx a==lJ(.aabu)

die zugehörigen Werthepaare {xiyi)₁ . • • (xQyQ) nicht eindeutig bestimmt sind (S. 458—459).

für die ihnen entsprechenden Stellen (a^), ... {xQyQ)

Es ist mithin möglich

Dann sind, wie wir gesehen haben, die übrig bleibenden Werthsysteme (ut,...u) so beschaffen, dass es keine rationale Function des Paares (xy) giebt, welche nur

an

mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross wird.

statt («^J, ... {aQbQ) die Paare {xj/J, ... {x^yj zu Unendlichkeitsstellen einer Function H{xy, x'y') zu werden soll.

wählen, während statt {xy') jetzt die Stelle {xoy₀)

Wird für einen Augenblick die bisherige FT-Func-

genommen

tion mit H{xy, xy'- a^b^ ... a b ) bezeichnet, so haben wir

H(xy,x'y') ...aQbq) =

F(xy, x'y' ; ax b,,... aQ bQ) - F(a₀ b₀, x’ybQ)

gefunden (S. 7 3). Setzen wir daher zur Abkürzung

F(xy, x₀y₀-, xlVlJ ...xQyQ)-F(a₀b₀, x₀y₀;    ... xQyq) = F{xy),

so

bildet F{xy) den Zähler der neuen H-Function, sodass

H(xy, x₀y₀; xxy,,... xqy₉) =

F{xy)

f (xo y 0)2

wird.

Es sei nun (|t]) ein zweites variables Werthepaar, dann ist

F (xy) — F(%rt)

F(a₀\)-F{lr{)

denselben

eine rationale Function (ç>+l)ten Grades des Paares {xy), die Q +1 Stellen {x₀y₀), {yyj, •• • (%QyQ) wie

E{xy, x₀y₀; xtylt ...xqyR)

mit der Ordnungszahl 1 unendlich gross wird, an der Stelle (!*»]) verschwindet und für {xy) = {a₀b₀) den Werth 1 annimmt, für (£7]) noch an q anderen Stellen

an

Diese Function muss ausser

(<y[), (Ky'z), ••• (<y'Q)

Primfunctionen, die an

gleich Null werden; ihre Darstellung als Product von

der Stelle (a₀6₀) den Werth 1 haben, ergiebt daher (S. 390 u. 386)

Q

F{aM~F{U)

= E(xr, U, xoVo)• IT F(xy, xay'a, xaya)

a = l

Q

hl E(xy\ x'ay'a, aaba)

Nach dem Abelschen Theorem bestehen die Relationen (S. 406)

R{xy)pdx = 0

r(h)    <? rWaV'a)

/ H(xy)pdx + 2 /

2/0)    a^lJ(xaya)

wobei die Integrale auf denselben Wegen zu nehmen sind, wie die ihnen entsprechenden bestimmenden Integrale in den E - Functionen. Wenn die Integrationswege ((aaba) ... (a?' y'a)) so gewählt werden, dass für die eben betrachteten Summen die Gleichungen

gelten, so folgt

9 rKy'a)    9 r(Kya)

2 / H(xy)ßdx = 2 / H(xy)ßdx a=lJ(xaya)    a==lJ(aM

r(h)

Up — / H(xy)ßdx

*^o 2/o)

-Up

?    r(n'*y'a)

2 / H(xy)pdx a=lJ(aaba)

(0 = 1,2

Zur Abkürzung woben wir nun die folgenden bleibenden Bezeichnungen einführen :

/W)

Wp    —    j    H{xy)pdx —    J(xy)p,

J(% K)

H(xy)pdx = J(xQy₀)p,

(flo bo )

r(h)

Vp    =    /    H{xy)pdx =

Wo) r(ctaba)

/    H(xy)pdx =    J{aaba)p;

J(«o&o)

"'“I

(®o 2/o )

(a, 0 — 1» 2,... p)

dieser Gleichung leicht überzeugen.

Wir können uns auch hinterher von der Identität der beiden Seiten

Denn wie aus den Eigenschaften

die Integrationswege sollen hierbei in jedem einzelnen Falle näher angegeben werden.

Dann ist

Q r(Ktfa)

S / H(xy)pdx

a=zlJ(<*M

= Uß-Vp + wß,

(ß = 1, 2,... ç)

wobei die Integrationswege in und Wß so zu wählen sind, dass Vß — Wß mit dem Integral

r(h)

I H(xy)ßdx J(x₀y₀)

In Folge dieser Relationen gehören die Werthepaare

(x[y[), ... (x'qy'Q) zu dem zusammengesetzten System

0 0 (u₁-v₁ + wl7 ... UQ-Vç + WQ)

genau so, wie vermöge der Gleichungen

übereinstimmt.

Q r^aVa)

2 / H{xy)ßdx a==lJ(aaba)

= Up

(ß = l,2,...e)

zu dem einfachen System

K, ••• V-

Unter Berücksichtigung der Definition der Function E(xy]Uv ... u^) ergiebt sich daher

die Paare fayj, ... (xQyQ)

F(xy)-F(trl)

F(aM-F(^)

= F(xy) |t), x₀yQ)-

E(xy; «i,...)

(S. 383, 384 u. 470) der Functionen E(xy₁^x₀y₀) und E(xy, ut,... hervorgeht, hat der Ausdruck auf der rechten Seite, zunächst mit Ausnahme der Stellen (a^b?), überall den Charakter einer rationalen Function des Paares (xy). Für die Umgebung der Stelle (aßbß) lässt sich aber

F(xtyt) x₀y₀)•

E(kvd    ...)

F(xtyt,

ebenfalls nach steigenden Potenzen von t entwickeln, denn der Exponent des auf der rechten Seite auftretenden Exponentialfactors wird

t ¹ (Vß — Wß) + t~l (Uß — Vß + Wß) — t~XUp = 0.

Mithin hat die Function

E(xy) Gi, x₀y₀)-

E{xy\; u₁ — v₁ + w₁, ...)

E(xy\ Wj, ...)

an. Da der

auch an den Stellen (a^), ... (a 6 ) den Charakter einer rationalen Function, sie ist demnach eine solche (S. 244 — 246), und zwar wird sie für (x₀y₀) und (xi y x), ... (x^y ) unendlich gross, denn an den letzteren Stellen verschwindet der Nenner. Ferner ist die Function für die Werthepaare (£■/]), {x[y[), ... (x'ç y'ç ) gleich Null und nimmt für {xy) = {a₀ b₀ ) den Werth 1 Quotient

Ejxy)- F (Ir,)

F{a₀b₀)-F{fr)

dieselben Eigenschaften hat, so müssen beide Seiten der obigen Gleichung einander identisch gleich sein.

Vertauschen wir in der Formel

F{xy)-F{^)

F{a₀\)-F{U)

E(xy; u₁ — v₁ + w₁, ...)

E{xy\ w,,...)

die Paare {xy) und (£tj), so ergiebt sich

F(xy)-F(£ri)

F{xy)-F(a₀b₀)

= E(h‘,xy,x₀y₀)-

E(%ry,    +wt, ...)

Eßry,

ir

von

wobei der Integrations weg in den Integralen w? so zu wählen ist, dass (S — Wß mit dem Integrale erster Art übereinstimmt, das in der Entwickelung xy, x₀y₀) für die Umgebung der Stelle (aß b?) auftritt. Durch Übergang zu den Logarithmen und Differentiation nach x und | gehen die linken Seiten der beiden vorstehenden Gleichungen übereinstimmend in

^log (*(„,)-*■«,))

über. Demnach muss auch die entsprechende Differentiation der Logarithmen der rechten Seiten gleiche Resultate liefern, wodurch sich

i 1Ęlog E^xy’ ^⁺ lkl0g E^Xy5 Ul~Vl +    ^ !

wl + IV ]

= ~Ix\ '^"log^^7î; xy> xoy₀) + -^ioëmr,ul-

ergiebt. Nun ist

/US⁷];

logE(xy, Itj, x₀y₀) = / H(xy,x'y')dx' ‘'Wo)

mithin wird

— log E{xy, |t], x₀y₀) = H(xy,^ri)]

substituirt man diesen Werth in die vorhergehende Gleichung und führt für (|yj) das Functionenpaar (xtyt) ein, so folgt nach Multiplication beider Seiten

a

•, äxt

mit -Trać

+ log E(xy\    ...)}

lx\ ^tlo%E&Mxyi xoVo ) + -§f^gE(xtyt; ^-w. + w,,

Hierbei muss aber beachtet werden, dass jetzt Vß gleich J(%tyt)ß ist, also von i abhängt.

Beide Seiten dieser Gleichung entwickeln wir nach Potenzen von t und setzen die Coefficienten von t° einander gleich. Das erste Glied links liefert nur Potenzen, welche die 0te übersteiget, denn es ist (S. 198)

a

H(xy,Zt°yt)^ = - £ H(xy,a„K\t\

WO    (U = 1

Ferner wird

•J-log E(xy, +wlf .

Abelsche Functionen.

0 ⁰

e, d logE(xy, u₁—vl + w₁, ...) d(Uß — Vß + Wß)

Ö

d(uß-Vß + wß)

0

Q d logE(xy, u. — v₁ +wlf ...) dvß

[i = i

dt

= -2

(i = i

dUß

dt

62

dx'

rif^y) r « «

^o^o) L

dx'.

dvß

dt

ergiebt sich demnach

A log E(xr,»,-v, +«„■■■) =

dUß

Benutzt man nun die in den Formeln (S. 107)

3(kk)f~

= o,

(cc,ß = 1,2, ... Q-, cc^ß)

ausgedrückten Eigenschaften der Functionen H{xy)

sowie die Relation

so erhält man

ôlog JE(xy; ux-wla + wx,...)

Jtn

dua

Der Coefficient von t° in der Entwickelung der linken Seite der obigen Gleichung ist daher gleich

ä ölogE(xy₎ul-wla + wl,...)

dx

dua

Aus der Relation

(*y)

a a    r

logE{xtyt] xy, x₀y₀) = /

J(x₀y₀)

ergiebt sich (S. 252) für das erste Glied auf der Rechten jener Gleichung

H(xtyt] x'y')dx

d a “    r

^rlogJE(xtyt-,xy,x₀y₀) = / ai    V J(i

(*y) r d

(®0 I/o)

(lt H&yt, x'y') dx'

Jt°

mit Hülfe der Gleichung

r(xy)

/ HW)«

J(x₀y₀)

oder wenn die auf S. 373 eingeführte Bezeichnung für die Integrale zweiter Art gebraucht wird,

-J^-logjE{xtyt) xy, x₀yü)

Die Integration ist hierbei so auszuführen

H'(x'y')adx übereinstimmt, wobei das letztere Integral sich über den-

(xoVo)

selben Weg erstrecken muss, wie das Integral dritter Art

r{xy)

/ H^xYldx')

dass J\xy)a-J\x₀y₀)a mit

es können demnach (S. 488) für J{xy)a = wa und J'(xy)a dieselben Integrationswege angenommen werden, wenn das Gleiche für J{x₀y₀)a = wa und J\xoy^)a

geschieht.

Im zweiten Gliede der rechten Seite wird (S. 476)

= [log E{xtyt] u,-w, + wt,...)]

Jt0

mithin folgt, wenn wir die Coefficienten von t° auf beiden Seiten der obigen Gleichung einander gleich setzen

0

d d log JEjxy) ux—+    ...)

i J\xy)a - J'{x₀ y₀)a + J(u₁-W₁+Ml,...)« )

(a = 1,2, — 9).

Da die Variablen uß und die Grössen wßa — wß nicht von x abhängen, so kann man in der vorstehenden Formel uß durch uß + wßa — wß ersetzen; dann ergiebt sich

dx

dua

Hieraus folgt durch Ausführung der Integration in Bezug auf x alogE(xy; ult... uQ)

dua

= J'(xy)a - J'(xo y₀)a + J(ui-Wi+Wi<n " 0« + Ga

wo Ca eine nicht von dem Werthepaar (xy), aber von    abhängige

Grösse ist. Um sie zu bestimmen, kann man (xy) = (a₀b₀) setzen.

Wenn das Element (xtyt) den Mittelpunkt (a₀b₀) hat, so ist (S. 470, (2))

•••«*) = ¹+ *$(*)

mithin folgt

dua

= m*)

und man erhält daher für t = 0, d. h. für (xy) = (aQ b₀),

= 0.

ölogE(a₀b₀; u^...uQ)

dua

Auf der rechten Seite gehen für (xy) — (aob₀) die Integrale w

. wQ

und J'(xy)x, ... J'(xy)q in simultane Perioden 2(0^ ... 2io? und 27^, ... 2tjç über, sodass

iaj

J'(xy)a + J(ui — W₁ + Wtai • • •)« = 2rl<* + (J Ol + Wiai • • •)<* “ 2r\a) = Jfa+W

ist. Demnach ergiebt sich zur Bestimmung der Grösse Ca die Gleichung

0 = - J'(x₀y₀)a + J(Ui + wia} ...)a + Ca,

mit Hülfe deren

d log E(xy) ux,... uQ)

dua

= J'(xy)a + J(ux - wt + wla,.. .)a - J(ux + iv

la?

..0.

(« = 1,2,... q)

wird.

Diese Ausdrücke, für die partiellen Ableitungen in das vollständige Diffe

rential

dlogE(xy\ u1}...u) = 2

(5 = 1

t, ölogJE(xy, ult ...uQ)

dup

eingesetzt, liefern die wichtige Gleichung

dlog E(xy\ ut,... Uq)

= 2 i J"(xv)ß + J(Ut-wt+wl(i,

.. E(xy) beliebig angenommen werden, und das

=    denn

In dieser Formel kann nun der gemeinsame Integrationsweg für die Integrale wt, ... und J'(xy)

Gleiche gilt auch für die Integrale = J(aßbß)x, ..

...)ß und J(u, + wlß, ...)ß

beide den Zuwachs 2tj , ihre Differenz bleibt also ungeändert.

Aus dieser Darstellung von dlog E{xy\ ut,... uq) ergiebt sich sofort eine entsprechende für das vollständige Differential des Logarithmus von

E(xy, x₀y₀; ut, ... uQ) =

E{xy; Mj, ... uQ)

E{x₀y₀; ulf

es wird nämlich

ändern sich z. B. w

*•*

Werthe der Functionen

Wyß um die Perioden 2(0^ ... 2to^, so erhalten die

d\ogE(xy, x₀y₀-, u„ ... u ) =

Q

2 \J(u₁—wt + w

Q    o

- 2 I\j(ul-*wt + wlp ...),î + J\xoyo)fi}dut}-

...)? + J\xy)ß]du?

i» = *

Die Stellen (xy) und (xoy₀) müssen dabei von    ... (aQbQ) verschieden

angenommen werden, damit die Integrale J\xyund J\x₀y₀)ß endliche Werthe haben (S. 259).

Setzen wir nun

J(ui — W₁ + W₁p, . . .)(9 + J'{xy)ß = fß(Ui» •••**) J(ut — wl + wli9, .. .)(S + J\xoy₀)ß ⁼ 9ß(un • • • uq)

so besteht die Gleichung

Q    Q

= S fp(uii---uQ)duß- 2    ...Uq)duß

ß—i    ß—¹

cllog E(xy, xQy₀] ut, ...uQ)

und die Functionen f?(uti...uQ) und g?(ult...uç) sind für alle endlichen

^ ) eindeutig definirt und haben im Endlichen keine

Werthsysteme (ut1 ...

wesentlich singuläre Stelle (S. 477).

Mit dieser Zerlegung des Differentials von log E(xy,xoy₀] ... uQ) in zwei Theile ist die erste Bedingung (S. 483) für die Gültigkeit des allgemeinen

Satzes über die Darstellung einer Function durch einen beständig convergenten Potenzreihen erfüllt.

Nun müssen wir zweitens nachweisen, dass die beiden 1 heile

Quotienten zweier

2    uo) duß = Si j«7‘(«₁-w₁ + wlj»,...)|î + J'(xV)ß ! duß

besteht. Denn aus ihm folgen die beiden vorhergehenden Systeme, wenn

ux~wxt ... uQ-wQ

oder

- «0i, ... uQ - wQ

statt

w,, ... uQ

Da die Grössen J'{xy)ß und J'(x₀y₀)ß nicht von ut, ... abhängen, so lassen sich die zu beweisenden Gleichungen auch in der Form

-w,+ «0^=

ist.

d T.    v

dUß

und

1?’

dUß

schreiben, und diese sind erfüllt, wenn das eine Gleichungssystem -^-J(ul + wlß,...)? =

dUß

(ct,ß = 1,2,... q)

und

du,.

vollständige Differentiale sind, dass also die Integrabilitätsbedingnngen

àf?(ult...uQ) _ dfa(u1} ...uQ)

dua

dUß

(cc,ß = 1,2 ,...q)

und

dw«

(«,/?== l, 2, ...e)

und

Q    Q    o

2    duß = ßi 1JXux~wx + *V •• •)/» + ^'(»0 &V I «fyj

befriedigt werden, d. h. dass

~ S J(ut-wt+ wt+ J'(xy)ai

du ^ ^4 ^ijî> • • *)jî "t J {x₀ yà)p I    {«7"(*b    4 ^ioj • • *)a 4 J (x₀ y^)a |

gesetzt wird.

Die Gleichungen

(cc,ß= 1,2,...p)

können nun mittels der für die Zerlegung von d\ogE{xy,ut,... u^) entwickelten Formeln bewiesen werden, ein Kennzeichen dafür, dass der hier eingeschlagene Weg naturgemäss ist. Wird in

d logE(xy, ut, ... uQ)

dup

für {xy) das Functionenpaar (xtyt) eingesetzt und dann die Gleichung nach t differentiirt, so folgt

d d log E(xtyt] u1} ...uQ) _

dt

diip

J{u₁ — w₁ + ivlß, ...)p.H{xtyt)

Y dt

Da die Variablen ... uq Reihenfolge der Differentiationen vertauschen.

von t unabhängig sind, so kann man links die Entwickelt man sodann beide

Seiten nach Potenzen von t und setzt die Coefficienten von t° einander gleich,

so

ergiebt sich für u ^ ß mit Rücksicht auf die Gleichungen

logE{xtyt; ult ...u )

h«

a

dxt '

y dt J^o —

d(P'a^a)y ^ya

r a ct

I H{xtyt) L

0    (a^y)

1, (cc = y)

die Relation

dup

oder nach Vertauschung von ... mit ux + w

*

J («x + W

dup

d^-J(Ul~Wla + Wlß, •••)/?>

•• V'*V

Jfa+Wiß, ...)p.

dua

Hieraus folgt aber, wie vorher gezeigt worden ist, dass die Integrabilitäts-bedingungen erfüllt sind. Die beiden Summen auf der rechten Seite der Gleichung

2j - “ä + «V • •,)ß + J'(xy)ßi dUß

Q ,    o

- 'S, \J(ut-w ₁ + wl(h ...)ß + J\x₀yü)ßj dUß

sind demnach vollständige Differentiale, womit der zweite Punkt in dem zu führenden Beweise erledigt ist.

Die dritte Eigenschaft der Functionen /^K, ...wç) und ffß(ut, ...w ), die für die Darstellbarkeit von E(xy, %₀y₀] ut,... uQ) durch einen Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen erforderlich ist, besteht darin, dass nach Einführung der linearen Functionen A^ + A/x, ...    + A ' x an Stelle

der Veränderlichen ... u für hinlänglich kleine Werthe von |x| die Gleichungen

2^ Ki • • • duß =

Q

¹ + ą5₁(T))dT,

0*>T"ł + $,(T))dr

bestehen; und müssen dabei ganze positive Zahlen oder Null sein. Die Existenz von singulären Werthsystemen    ist sorgfältig in Be

tracht zu ziehen.

..«^) bestehende Gleichung

i» •

WTird in die für tGog E(xy, x₀y₀] u

Uß + iVß = Uß + J(x₀ y ₀)ß

wt + wlß,...)ß dUß-^J(ut + wlß,.. .)ß dUß

Q

+ 2 {J\xy)ß-J\x₀y₀)ß\dUß.

statt Uß eingeführt, so geht sie über in dlog E(xy, x₀y₀\ u. + w,,...)

ß=i

Wir substituiren nun auf der linken Seite dieser Gleichung für ... u die linearen Functionen A^ + Afx, ... & +Ä'x und untersuchen, welche Form die

Entwickelung nach Potenzen von x annimmt. Es ist

logE(xy, x₀y₀] ult... uQ) =

Q    n (xa y a )

2 /    \H(xy,x'y')-H(x₀y₀,x'y')\dx',

mithin folgt durch Differentiation in Bezug auf die Variablen ult ... u dlogE(xy,x₀y₀]u₁,...u ) = 2    xttya) — H(x₀y₀, xaya)]dxa.

a = l

Hierin sind die Grössen xlf ... xQ Wurzeln einer Gleichung ptea Grades (S. 455)

P₀x? + P₁x*~¹ + --- + PQ = 0,

.. Pç Potenzreihen der Variablen ut, ... uQ sind.

deren Coefficienten Po, P Der zu xa gehörige Werth ya ist dagegen eine rationale Function von xa:

i’ *

Qo

in welcher die Coefficienten Qo1Q₁,...Qq die gleiche Beschaffenheit wie ,Pi,...Po haben. Durch Einführung der linearen Functionen gehen , ... P , Q , ... Q in Potenzreihen von x über, und zwar verschwinden für t = 0 in den sämmtlichen Quotienten (a = 1, 2,... p) die Zähler und der Nenner nur dann gleichzeitig, wenn das Werthsystem    mit einem

das Werthsystem (u^ ... u^)

ein Continuum von 2p Dimensionen

Q

der früher betrachteten singulären Systeme («^, ... u^) zusammenfällt. In diesem Falle haben die Quotienten ••• -y- für x = 0 zwar noch bestimmte Werthe, diese hängen jedoch von den Constanten ... Jc'Q ab, d. h. von der Art der Annäherung der Variablen ... u an

(S. 457). Da aber die Grössen ux) ... u bilden, die singulären Systeme ein solches von nur 2p —4 Dimensionen, so giebt es in der Umgebung jedes Systems {üx, ... üQ) unendlich viele nicht sin-

guläre. Wir nehmen stets an

dass die linearen Functionen u — \ + ^x, ...

von x auch voraus-

u =k+k'x so beschaffen sind, dass sie nur für singuläre Werthe

Q Q Q

singuläre Systeme ... üj liefern, und zunächst wollen wir setzen, dass (k^...k) nicht zu diesen letzteren gehört.

•*e

Aus der Gleichung pten Grades ergiebt sich für jede der Wurzeln xt1 .. eine Potenzreihe:

Abelsche Functior.en.

Xa

= P.(tD

63

in der A>1 ist. Substituirt man diese Reihe in den Ausdruck für ya, so erhält man eine Potenzreihe derselben Beschaffenheit:

ya = #«(**).

Beide Reihen enthalten keine oder nur eine endliche Anzahl negativer Potenzen von xA und convergiren, wenn x dem absoluten Betrage nach hinreichend klein angenommen wird. Ist A > 1 und e eine primitive Ate Wurzel

_ i    _ j_

der Reihe nach

der Einheit, so liefern die beiden Potenzreihen Pu(tx) und Qa(xA) A Paare feyj, wenn für x

gesetzt wird.

Führt man nun diese Reihen in die Summe

j 3(xy i xa y a ) H(x₀ y₀,    ya) j dxa

ce = l

ein, so geht sie in

e    _    _ _

Jx {H(xy, Pa Qa) - H(x₀ y₀, Pa QJ} ^ dr

über. Die Entwickelung von

\H(xy, PaQa)-H(x₀y₀, PaQa)}

dPa

dx*

enthält negative Potenzen von x* nur dann, wenn die Reihen Pu, Qa für x = 0 eines der beiden Werthepaare (xy) oder (x^y^) ergeben, und zwar

im ersten Fall nur das eine Glied x im zweiten —x / (S. 197).

Wenn daher zunächst die Stellen (xy) und (xoyQ) so gewählt werden, dass keines der q Paare (Pa Qa) für x = 0 eine dieser beiden Stellen liefert, so ist

__    __fip    _

\E(xy, PaQa)-E{xaya, PaQa)]^f =

dr¹

mithin

tH

dr =

Falls A = 1 ist, treten auf der rechten Seite dieser Gleichung ausser dem constanten Gliede nur Glieder mit ganzen positiven Potenzen von x auf. Ist aber l> 1, so kommen in der Summe

Q    _ _    _ _    . J JJ

S jH(xy, PaQa)~H(x₀y₀, PaQa) \ -jf-dx

a=l    UT

A — 1 Glieder vor, deren Entwickelungen aus

¹ T

at

Die Summe

entstehen, wenn xl mit ex*, s²x*, ...    vertauscht wird,

dieser Gruppe von A Reihen enthält daher weder gebrochene Potenzen von t, noch negative, da y —1>— 1 ist. Das Gleiche gilt für die Entwickelung der übrigen Gruppen, in welche die Summe der q Glieder zerfallen kann. Es ist daher

2 (H{xy, Pa«„) - H(x„y„P.Q„)\

a = i

d. h. es ergiebt sich

wenn

dlogE{xy₎x₀y₀]u₁,...uq) = ^(x)dx u₁ = Jct + ¥₁x, ... uQ = 1cQ+Jc'Q t

gesetzt wird und sich keines der q Werthepaare (xaya) = (Pa QJ für x auf eine der Stellen (xy) oder (x₀y₀) reducirt.

Zweitens gehe (xaya) für t = 0 in die Stelle (xy) über, so ist

__    __dP

\H(xy, PM - H(x,ye, P„Q„)| —f

di¹

folglich wird

K*⁻¹+$«(**)

— — dP

! H(xy, PaQa)-H(x₀y₀, PM}-^fdr =

Addirt man nun wieder die A zusammengehörigen Potenzreihen, so kommt in

A-mal vor, während alle gebrochenen

Potenzen herausfallen; die Entwickelung hat daher die Form

der Summe das Glied |x ¹

genau

63*

(T-ł + <P(T))dT.

Reduciren sich daher v Werthepaare (xu ya ), die verschiedenen Gruppen angehören, sich also unter einander nicht nur dadurch unterscheiden, dass in

i

den Reihen Pa, Qa das Argument t a mit verschiedenen Einheitswurzeln mul-tiplicirt ist, für x = 0 auf das Paar {xy)₎ während hierfür kein Werthepaar (xaya) in (x₀y₀) übergeht, so erhält man

d log E(xy, x₀ y₀; ut, ... uQ) = (vt"¹ + «ß(r)) dx,

Ergiebt sich drittens aus den Reihen

xa

Va

= Qa(?x)

für t = 0 die Stelle (%₀y₀)i so hat die Summe der l zusammengehörigen Reihen eine Entwickelung der Form

(-T ¹ + $ (r)) dx ]

liefern daher y Gruppen der Paare (xaya) für x = 0 die Stelle (x₀ya), jedoch keines dieser Paare die Stelle (xy), so ist

dlogE(xy, x₀y₀] u1}... uQ) =    + $(t))Æt.

Aus dem Vorhergehenden folgt nun der Satz: Wenn von den q Paaren (xaya) für x = 0 v Gruppen in die Stelle (xy) und fi Gruppen in die Stelle (x₀y₀) übergehen, während die übrigen Gruppen für x = 0 beliebige, hiervon verschiedene Werthepaare liefern, so ist für Uß — kß + k'ß'z

dlogE(xy, x₀y₀-, ui: ...uQ) =    +

hierbei sind g und v ganze positive Zahlen oder Null.

Ehe wir diese Gleichung auf die Entwickelung von

d log E(xy, x₀y₀;

anwenden können, müssen wir zeigen, dass bei geeigneter Wahl der Stelle (x₀y₀) die linearen Functionen

(/3 = l, 2,... e)

0

Uß + Wß = kß + J (x₀ y₀)ß + kß T

für T = 0 kein singuläres Werthsystem der hier in Frage kommenden Art liefern und dass dies überhaupt nur für singuläre Werthe von t der Fall sein kann, denn wir hatten dies in den vorhergehenden Betrachtungen für die Functionen kp + kpX vorausgesetzt. Wir beweisen dazu allgemeiner: Wenn das System Up — kp + k'^x nur für singuläre Werthe von t ein singuläres Werthsystem ergiebt, so können in der Umgebung zweier beliebigen Stellen (ab) und (a'b') des Gebildes stets zwei Paare (£73) und (£'73') so angenommen werden, dass das System

(ß = i, 2,... e)

Up + J(U)p-J^-n')p = lp + J(lri)p-J^'ri’)p+-k'pX

die gleiche Eigenschaft hat. Nachher werden wir (£73) = (x₀y₀) und (£'73') = («₀£>₀) setzen.

Von den Systemen

und

zu-

kann das eine nur dann singulär sein, wenn das andere es ist, vorausgesetzt dass keine der Stellen (£73) und (£'73') mit einem der Paare (xiy₁)₎ ... (xQyQ) sammenfällt. Bei dem Beweise dieses Satzes können wir (£73) und (£'73') unter einander verschieden annehmen, sonst kommen wir auf den früher (S. 466) bewiesenen Satz zurück. Unter der Voraussetzung, dass das System (ut,..iU) nicht singulär ist, haben die durch die Gleichungen

q r(xaya)

Uo — 2 / H(xy)*dx a = lJ(aM

Unendlichkeitsstelle hat.

bestimmten Stellen (xlyi)₇ ... (xQyQ) die Eigenschaft, dass es keine rationale Function des Paares (xy) giebt, die nur für sie von der ersten Ordnung unendlich gross wird. Es sei nun F(xy) eine Function (^ + l)ten Grades, die ausser den Paaren (x^J, ... (x y ) noch (£73) zur Die Function

F(xy)-F(^r()

wird an denselben Stellen wie F(xy) unendlich gross und verschwindet für (£'73'); werden daher ihre q übrigen Nullstellen mit (x^y'J, ... (xQy'Q) bezeichnet,

so ist nach dem Abelschen Theorem

mithin

i /

«=i Jt,

d. h.

/•(SV)    a r

/ H{xy)pdx + 2 /

J(^)    a=zlJ(xaya)

/•(Śn)    e /•

H(xy)pdx + / H(xy)p dx = 2 /

•/(«V)    aasl*W«)

"ß+j(U)ß-wn')ß = è f

a = l

04 2/a)

H(xy)ßdx = 0

(0 = 1,2,... p)

(®« 2/«)

042/«)

(fla bu )

(fla y'a)

(«o &«)

I£(xy)ß dx,

H(xy)pdx

(ß = 1)2, ...p).

Wenn nun das durch die Grössen

wi + '7'(S*i)i-Jr(SV)₁i •••    +

gebildete Werthsystem singulär wäre, so würden q von schiedene Paare (x"y"), ...    existiren, für die auch

« 2/«)

M^+= i /*

«=i «a

Ç riflaVu)    q r

2 / = 2 /

“ =    tt = lJ(flaba)

/•(IV)    a rWy'ä)

/ H(xy)ß dx + 2 /

•TSO    a=lJ(flaya)

Nach der Umkehrung des Abelschen Theorems (S. 417) ist das Bestehen dieser q Gleichungen gleichbedeutend mit der Existenz einer rationalen Function des Paares (xy)} die an den Stellen

ist, folglich wäre

und daher

KA)

(«)

H(xy)ßdx

H(xy)ßdx

H(xy)ßdx = 0

(«ly»)» ••• (^y*)» (i>j)

(0 = 1,2,...*)

(0 = l,2,...p).

von der ersten Ordnung unendlich gross wird und an den Stellen

«yD,... W), (SV)

mit derselben Ordnungszahl verschwindet. Nun ist eine Function, welche für die Paare der ersten Reihe unendlich gross und für (S'tj') gleich Null wird,

bis auf eine multiplicative Constante bestimmt, ihre Nullstellen müssen daher dieselben, wie die der Function F (xy) — F (§' 7]') sein, d. h. die Gesammtheit der Stellen

(«)> ••• («)

stimmt mit der der Paare

überein.

Ky'i), ••• (x'₉y'Q)

Aus den Gleichungen

(KVa)

H{xy)päx

a = lJ(aaba)

ergiebt sich mithin nur ein einziges System von Paaren (x[y[)^ ... (#'y'^); das System ist daher nur singulär, falls

Ol > • • • Wç)

diese Eigenschaft hat, und umgekehrt.

Wenn demnach das System (kt,. ..&) nicht singulär ist und die linearen Functionen

= ... =

nur

für singuläre Werthe von t ein solches Werthsystem liefern, so bilden auch die Grössen

*ß + J(h)ß-W-n')ß = ty + Jdrif-WDp + ty'' (^ = h2,...c

und insbesondere

für singuläre Werthe von t ein singuläres System nicht für x = 0. Hierbei mussten die Stellen (|tj) und    von den

Diese Bedingung lässt sich

nur

Werthepaaren (xtyt), ... (xQyQ) verschieden sein, erfüllen, auch wenn (|tj) und (£'-/]') in der Umgebung von beliebig vor

geschriebenen Stellen (ab) und (ab') liegen sollen.

dem Vorhergehenden

aus

Wählen wir jetzt für (£?]) die beliebige Stelle (x^y₀) und für (£ ?] ) die Stelle (anb₀), für welche die Function H(xy,x'y) verschwindet, so kann /(I'tj') = J(a₀b₀)? gleich 0 angenommen werden, und folgt, dass unter der für die linearen Functionen Uß — kß + kßT gemachten

Annahme die Grössen

Up + wß = up+ J (x₀ yü)p = Jcp + J (x₀ y₀)ß + h'ß x

nur für singuläre Werthe von x, und jedenfalls nicht für x = 0, ein singuläres System bilden.

Nun vertauschen wir in der Gleichung (S. 500)

d log E(xy, xQyQ) ux, ... uQ) = (vx-¹-fix^ + ^Çx))dx

.. u mit u + w. ... u+w. was nach dem eben Bewiesenen

<    il    (J

Wird die Stelle (xy) so angenommen, dass keines der durch

(ß=l,2,...Q)

die Variablen u zulässig ist. die Gleichungen

i’ •

o q r(xuya)

Up + iVp = 2 / H(xy)pdx

a==lJ(aM

definirten Paare (xaya) für x = 0 mit ihr zusammenfällt, so ist in der Formel, die aus der vorhergehenden bei dieser Vertauschung entsteht, v gleich Null zu setzen, und es ergiebt sich

dlogE(xy,x₀y₀;u₁ + w₁,...) = (-pT-l + ?ß(x))dx,

wo y eine ganze positive Zahl oder Null ist.

Führen wir diese Entwickelung in die Gleichung (S. 496)

Q

.. .)p diip - 2 J (ux + tvip,.. .)p dup

ß—i

Q

+ ^2 IJ (xy)p J (x₀ y₀)p I dup

d log E(xy, x₀ y₀] ut + «>„...) = 2 (w + wt — w. + w

ein, so folgt.

wx + ivxp,.. ,)p dup + ({ix ¹ + $(*)) dx,

9    Q    o

2 JK +    • • •)p diip = 2 Gl + wl —

wobei

ui = K +    • • • uQ = \ + vqx

gesetzt ist. Dabei darf (^...Jc) kein singuläres Werthsystem sein, und es dürfen überhaupt die linearen Functionen rechts nur für singuläre Werthe von x solche Werthsysteme liefern. Die Paare (xy) und (xoy₀) müssen von den Stellen (at bj, ... (a^ bQ) verschieden angenommen werden, und die Integrationswege der Integrale J'(xy)^ und J'(x₀y₀)ß dürfen durch keine dieser Stellen hindurchführen.

Ist der Rang des Gebildes gleich 1, so ergiebt sich das gesuchte Resultat unmittelbar aus dieser Gleichung, die dann in

0 —

Jiu + wjdu = J(u + w — w + îv₁)du+(yx~¹ + ‘^(r))dr

übergeht. Die Stelle (xy) möge nun so gewählt werden, dass die Function

0

J(u -\-iv — w + wt)

für T = 0 einen endlichen Werth hat, mithin in ihrer Entwickelung nur positive Potenzen von t auftreten. Dann ergiebt sich

J(u + wt)du —    $(t)) di.

Da die Function J(u + wJ die erste Bedingung des allgemeinen Satzes (S. 481) erfüllt, die zweite für q = 1 aber ihre Bedeutung verliert, so ist diese Gleichung die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die der Differentialgleichung

d log f(u) = J (u + w₁ ) du

genügende Function f(u) sich in eine beständig convergente Potenzreihe von u entwickeln lässt.

Wenn aber der Rang des Gebildes grösser als 1 ist, so gestaltet sich die Untersuchung nicht so einfach, da für 2 singuläre Werthsysteme {u^...u^) existiren. Sind die Stellen (xy) und (x₀y₀) so beschaffen, dass das W erthsystem

(X + w₁-w₁ + wlß, ... uQ+wQ-wQ+ wQß)

für t = 0 sich weder auf ein singuläres noch auf ein solches reducirt, wofür

können wir dieselben

die Function J(ut1...uQ)ß unendlich gross wird, so Schlüsse wie für q = 1 machen; aber es lässt sich nicht von vornherein erkennen, ob diese Bedingungen stets erfüllbar sind. Um dennoch ähnlich, wie

in diesem speciellen Falle, schliessen zu

können, wenden wir die Gleichung

d\ogE(xy,x₀y₀)u₁ + w₁,...) =

2 J(Mi + W₁ — Wl + W₁₍5, .. ,)p dllß —    J(ut + 10tß,.. .)ß dUß

64

Abolsclie Functionen.

wiederholt an. "Wir schreiben dabei der Gleichmässigkeit der Bezeichnung wegen    statt (xy) und (£₀t]₀) statt (x₀y₀)j wobei wir also annehmen

müssen, dass die Integrationswege der Integrale J'(%x\)p und /'(§#yjo) nicht durch eine der Stellen (a^), ... (a^b^) hindurchführen. Setzen wir dann

= vß>

so geht die vorhergehende Formel in

= vß,

Q    ox    Q

— S «/"K + vx—vt + wlß, ...)ßduß— 2 J(ut +

ß = 1    ß = 1

+ 2i {Jl’(6i *ii V “    rio)ß j dup

über. Führt man nun die Werthepaare (|₂t]₂) und (l₃ir]₃) an Stelle von (x₀y₀) und {xy) und das System (ux+vx — vx, ... u + v —v ) statt {u^ ... u^) ein und setzt

«7(1« *!*)/» = >

dlog^dj^, t>H₀]Ux + vx,...)

Vp,

wiß) • • -)ß dup

(ß — 1, 2,... q)

SO folgt

d log F(|₃ yj₃, ê₂ V}₂; w, + V.-V. + vt,...)

?    0    12    3

— 2 J(ux+Vx — V₁+V₁~V₁ + «0

e    oi

.. dwp — 2    + vi~vi + wip> • • -)ßduß

ß=i

+ 2₁ i J\lz ^3 V -    ^)ß i duß.

iß,

Für die Stellen (Ś₄yjJ, (i₅rj, ... (g

4

d'ik^ß = Vß.

4v-l) Werde

2r—2

2 V—1

Tl2V-2)ß Vß

gesetzt, so ergiebt sich schliesslich die Gleichung dlog§

2 V— 2

^(iîV-l ^2V— l)ß    Vß

2 V—2

r/2v_₂; Wi + Vi-Vi + Vj-»^----»x + »x

2V —3

?    0    12    3

2 J(ux + vx — vx + V,—i>,+ •••

2r—3    2r—2 2V—1

- vx + vx - vx +wxp, ...)pdUp

Q    0123    2V-3

- 2 'I(«x + ^₁ — ^x + ^1 —1>, +----Vj + ...)pdup

+ s K'd

!* = ■

2 V—1

■yÎ2r—2)^1

Gleichung vorkommenden Differentiale des Logarithmus einer JE-Function die Form

(—fix ¹ +    (t)) dx

an, und es wird

2 V —2    21—1

• + vx — vx + w₁ß,.. .jßdup

Durch Addition aller dieser Gleichungen erhält man

o

±J(u1 + wlß,...)ßdup

Q    0    12    3

= 2 J(U! + V1 — V! + ^ — Vt + • • •

ß = 1

~ 2 I «nSo ^0)/* - J'(£l    - «His Ti₃)/? + • • • + e7',(g„_₁- J"'(£

(* =¹

— dlog-Eft^, £₀t]₀; Wi + v^ ...)-dlogJ5J(^7j3,    + v, — «a +vÄ, •

-dlogJ0(g

Nun mögen für ... die linearen Functionen Jct + Ft, ... Æ j + Fx eingeführt und die Werthepaare (|₀7]₀), (i^), ...    ^2V_J den folgenden Be

dingungen gemäss gewählt werden : Erstens seien sie von den Stellen (a^J, ... (a 6 ) verschieden; zweitens sollen sie successive so bestimmt werden, dass die Systeme, die sich aus den Grössen

2V — 3    2V — 2    2V—1

- vx+ vx- vx +wlß,...)ßduß

2V—1

⁷Î2v-l)/î| dUß

2V-1

^2V—1> ^

0    1    24—3    2V—2

rj2v_₂; ux + vx — vx +----vx + vx

2T—3 2V — 2

+    ••• uß+ ß-Vß + Vß-----Vp+Vß

für ß — 1, 2, ... q ergeben, nur für einzelne Werthe von x und jedenfalls nicht für x = 0 singulär sind (S. 500 — 503); drittens dürfen sich für keinen der Werthe x = 1, 2, ... v die durch das Gleichungssystem

up+ ß~vß^-----

2 X — 3    2X-2    P r{xaVa)

va + Vß = 2 / H(xy)*dx a = lJ(*aK)

(ß = 1.2,... e)

y)2X_x ) reduciren, wenn x gleich Null

definirten Paare (xxyx), ... (%çyQ) auf (£ gesetzt wird (S. 504). Dann nimmt die Entwickelung jedes der in der letzten

2X-1

P    0    12    3

2 J(ux + wlßi ...)gdug — 2 Jr(w₁ + vx — vx +1\ — vx + ••

ß=l    ß=l

+ CumT-'+ %,(-)) d~

wo jt(r) eine ganze, nicht negative Zahl ist.

Die Zahl v ist in dieser Formel beliebig. Wir wollen nun v — q setzen, da, selbst wenn die linearen Functionen

ux + wl? = hx + ivXß + h[x, ... uQ + wQß = JcQ + wQß + Jc'Q x

sich für X —0 auf ein singuläres Werthsystem ...«) reduciren, also K + u>tf = »,) •••    = % ist- die Werthepaare (|₀ï]„), (i,vj,), ...

so bestimmt werden können, dass das System

__    2Q — 2    2Ç> — 1

• • •    + VQ - Vq )

2 0—1

_    0    1    2Q-2

(w, + vt — vt + ••• + vt —

nicht singulär ist. Es sei nämlich

? r(g'aK)

**/» = 2 / H(xy)ßdx a==lJ(aaK)

und

(ß = 1, 2,... q) .

Q r(gaK)    q r«K)

2 / H(xy)oäx = 2 / H(xy)ßdx

tt=lJ(g'aK)    a=lJ«K)

Dann sind nach dem Abelschen Theorem die Paare (gaha) algebraisch von WiK), ••• MĄ), W*!), ••• (#'&'), 0X)> ••• (alh"o) abhängig, man kann daher (alK)i ••• (a'Ą)i WK)i •••    in der Umgebung

so wählen, dass es keine rationale Function giebt, die nur für (gi\), ... (gq\) von der ersten Ordnung unendlich gross wird. Setzt man dann

(9a K)

(9a ^a)

uß =

2 /

ß = i Je,

H(xy)ß dx

von

2 p beliebigen Stellen

so ist das System

q r(9aK) uß + u'ß = S /

a=lł/K&«)

nicht singulär (S. 458—459). Die Annahme

^ß    Tl2a-1

H(xy)pdx

(ß — 1,2, ...q)

~ri2a — 2

zeigt daher, dass die 2p Paare (£₀t]₀), (g^J, ... (gl?_,    in der Umgebung

von 2p beliebigen Stellen so bestimmt werden können, dass die Grössen

2 a—1J

«/* + **£ =

(§2ß —2 *12(1-2 )

E(xy)ßdx

(&2a— 1 r]2a— i)

^i2a—2)ß t^(.^2a—l‘rl2a—i')ß\ (ß — 1,2, ... q)

2a—2

—    uß + 2 j 'f(g

a = l

_    2 £ — 2    2Ç—1

—    uß + /î “ ß H-----1    ^

ein nicht singuläres Werthsystem bilden. Durch Hinzufügung der geeignet bestimmten Constanten

'S o

2Q — 2    2Q—1

ß — /* + •••+ vß — vß

geht also aus dem singulären Systeme (üx,... ü^) ein nicht singuläres hervor.

Da ferner die Function J{u₀ ... in einem endlichen Bereich nur eine endliche Anzahl Unendlichkeitsstellen haben kann, so ist es immer möglich den Werthepaaren (g₀7j₀), ••• (£₂?-i^-i) ausser den obigen Bedingungen (S. 507) noch die aufzuerlegen, dass für das System

2£—2 2£—1 +    + Wç(t)

0    1    2Q—2 2Q—1

(7c₁ + v₁-v₁+---+ vx - vx+wl(l, .

Dann enthält die Ent-

die Function J(uxi... endlich bleibt, selbst wenn sie für das System + wisi • • • \ + wqß) unendlich gross werden sollte.

Wickelung der Function

0    1    2Ç-2 2Q — 1

J (ut Ą-V₁~V₁Ą-----h vt — Vl +    , .. ,)ß

keine negativen Potenzen von x; mithin folgt aus der Gleichung

2 J(ul + wtp,...)ßdug = 2

p=i    |* =

Q    0    12    2Q — 2 2Q—1

^ J(u₁ + v₁-v₁ + v₁----+ vt- vx +wlß, ...)pdUp

+ ((•'«' T-' + S^T))*

auch für den Fall, dass sich das System (ux + w ein singuläres reduciren sollte,

i,s> •

•• »₉+“w)für T

= 0 auf

(«, + Wji*,.. Oj* duß = (f*<?) T_1 + $(T))dx-

Demnach ist auch für

U1 = K+KX7 • • • UQ = bei hinreichend kleinen Werthen von I x ]

2 fa(ult...u)äuß = 2 \J’(*i-wl+wlß,...)p + J'(xy)t,\du(l = (X? l + ^))dx ' ?—¹

und, wenn man (xy) mit (x₀y₀) vertauscht,

Q

2 9p(ui

...Uç)dup

V .    0

=    2 \    wi+w

ß=l

u,

wo

yi und ft₂ ganze positive Zahlen oder Null sind.

Damit ist die dritte Eigenschaft der Functionen fß(ut,... u ) und    ... u^)

bewiesen, die für den Nachweis der Darstellbarkeit von E(xy, xoyo; ux,... u ) durch einen Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen erforderlich war (S. 483).

Die entwickelten Formeln zeigen sofort, dass die im Zähler und Nenner von E(%y₁%₀y<),ul,...u ) auftretenden Potenzreihen in einfacher Weise Zusammenhängen. Um dies noch deutlicher hervortreten zu lassen, definiren wir eine Function    durch die Gleichung

d log f(u„ ...uq) =    + wlßi... uQ+ wQ(S)pdup.

...)p eindeutig und ohne wesentlich singuläre

Da die Functionen J(ux + w Stellen im Endlichen sind, den Integrabilitätsbedingungen

»i»

dj(u₁ + wlß,...)p _ dJ(u₁ + ivia,. ,.)a

dua

diiß

r    ?

genügen (S. 494) und für uß =    + kßz die Summe 2 J(u₁ + w₁ßi -")ßdUß gleich

(g(?)r-I + ^|3(t)) dr

wird, so lässt sich nach dem allgemeinen, zu Anfang des Kapitels angeführten Satze die Function ... u) durch eine beständig convergente Potenzreihe darstellen.

Nun ist

• • UQ - WQ) - ä log f(ut - n\, ... uQ - wq)

Q

+ d s \JX%y)ß-J'(xQyo)ß\

ß = X    '    ¹

d\ogE{pcy, x₀y₀) ult... u) = d\ogf{ut — w

Uß ,

wobei sich die Differentiation auf die Variablen ergiebt sich durch Integration

... u bezieht.

Mithin

f(u₁ — w

.. uQ~wQ)

E{xy,x₀y₀] ut,...uq) =

Q

2₁ j J\xy)ß - J'Ooy₀)ß j Uß

zu er-

Hierbei sind die Integrale J{xy)x = wx, ... J{xy)q = wq und J\xy)l, ... J'{xy\ über einen gemeinsamen, beliebig anzunehmenden Integrationsweg

rH

strecken, und das Gleiche gilt auch für die Integrale J(^₀y₀\ = wl1... J(xoyo) == und J\oo₀yQ)l, ... J'{x₀y₀)^ (S. 492). Eine Integrationsconstante braucht nicht hinzugefügt zu werden, denn für (xy) — (x₀y₀) kann man wa = wa setzen, mithin werden beide Seiten der Gleichung gleich 1.

Schreibt man die Gleichung in der Form

2 J'(xy)p up

E{xy,x₀y₀‘,ut,...uQ) =

f(ui-wlt ... uq-wq)-e

(x₀y<>) abhängt.    entspricht der

so ist E(xy,x₀y₀‘,ui,...uJ der Art als Quotient zweier beständig convergenten Potenzreihen dargestellt, dass der Zähler ausser von ut1 ... u nur von dem Paare {xy), der Nenner nur von o-Function in der Theorie der elliptischen Transcendenten.

Die in der Definitionsgleichung der Function    vorkommenden

Integrale erster Art

= J(aßbß)i> • • * WQß = J(aß hß)n

haben unendlich viele Werthe. Bei einer anderen Bestimmung des Integrationsweges ((a₀b₀) ... {aßbß)) können sich die p Integrale um ein System simultaner Perioden ändern. Es giebt daher unendlich viele Functionen    ... w ),

auf den Ausdruck von ć/log E(xÿj ... u ), mithin auch auf den von dlogE{xy,x₀y₀]U₁,... u ), keinen Einfluss hat.

Für den Fall der hyperelliptischen Functionen habe ich die Darstellung

von denen wir uns eine bestimmte herausgehoben denken. Wir haben bereits gesehen (S. 492—493), dass diese Vieldeutigkeit der Grössen

der Function E(x y ; ulf... u) durch einen Quotienten zweier beständig convergenten Potenzreihen bereits in der im Jahre 1853 verfassten Abhandlung »Zur Theorie der Abelschen Functionen«*) gegeben. Für das hyperelliptische Gebilde

%f = {x-a₀){x-a₁)...{x-aiq)

ist

H(xy,x’y') =

P(x’)

V’

2(x'—x)iy' \ P(x)

P(x')

wo

gesetzt ist (S. 341). Dabei fällt die Stelle (a₀b₀) mit der unendlich fernen Stelle des Gebildes zusammen, während für (atbt)f (a₂b₂), ... (aQb^) die Paare (atO), (a₃0), ... (as? iO) gewählt sind. Mithin wird in diesem Falle

•(paVa)

(P'a ® a )

if

S (oc y, x’y')dx'

E{xy, u1} ...uQ) = e

(xaya)

if

“-¹ («2«-l0)

1¹⁺

P(x') y ) dx' P(x) y'\ x' — x

und genau diese Function ist in der erwähnten Abhandlung*) in der Form

a

— 2 Al (wt,...)

a

Al(«t + w1}...)

Al^, ...) Al(ttt, ...)

dargestellt worden, wo Al..) eine für alle Werthe von u ,u vergente Potenzreihe ist.

Im nächsten Kapitel soll aus f{u^...u^) eine neue Function hergeleitet werden, die den Thetafunctionen in der Theorie der elliptischen Transcendenten entspricht. Durch diese stellen wir dann zunächst E(xy,x₀y₀,u später die Abelschen Functionen dar.

2? ' '

. con-

i? •

.. u^) und

*) Bd. I S. 146 dieser Ausgabe.

Fünfundzwanzigstes Kapitel.

Einführung der Function 0(^l5 ...^?).

Die als beständig convergente Potenzreihe darstellbare Function f(ut,... ist durch die Differentialgleichung

definirt worden (S. 510). Bevor wir zu ihrer wirklichen Darstellung übergehen können, müssen wir noch für sie Relationen entwickeln, welche den für die Thetafunctionen einer Variablen aus der Theorie der elliptischen Transcendenten bekannten entsprechen.

Wird mit

2^, ... 2t]?)

ein System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art bezeichnet, so ist (S. 479)

J(u₁+2(ö₁, ...Mç+2o>ç)B = J(ut, ...uQ)a+ 2yj„ Demnach erhält man aus der Definitionsgleichung der Function

dlog/>(w₁+2o>₁, ... wç+2(oç) = dlogf(u₁,...uQ)+J£2riadu oder nach Ausführung der Integration

f(ui + 2a)j, ... wç+2®?) = öf(u₁,...UQ).e

Setzt man nun für

65

Äbelsche Functionen.

2o)x, ... 2o>ç,

²łjx, ... 2yjç

und

(0 = 1,2,...p).

f(Ui + ¹<ß, ••• wp+2o>i/ï) = tyf(ui,...u(!).e

In der Theorie der elliptischen Transcendenten ist 0₃(w) die einfachste der vier Functionen 0o(w), ö^w),. 0₂(^), 0s(w), weil die Fundamentalgleichungen für sie die Form

2 Tj (u + lü)

(ß — 1, 2,... p)

der Reihe nach die simultanen Perioden eines primitiven Systems (S. 337)

2tV> ••• 2tv>

²v> ¹ V

(0=1,2,...p)

und

2to'iß, ••• 2lV>

²⁷}iß> • • • 2y!ç/î>

so ergeben sich die 2p Fundamentalgleichungen

(0 = 1,2,... p)

f(u₁ + 2mip,...u₉+2<Oçft) = Cpf(u₁,...uq).e

9

0₃(w + 2io) = ®₃(u).e

0₃(w + 2w') = 0₃(w).^,(w+lü?

haben, während bei den drei anderen Functionen wenigstens in einer der beiden Gleichungen ein negatives Zeichen auf der rechten Seite hinzukommt. Hierdurch geleitet, wollen wir die Constanten Cp und Cp durch 2p andere der Art ersetzen, dass in den Exponentialfactoren

und e

2 2t)aßUa 0 = 1    ¹

welche auf den rechten Seiten der Fundamentalgleichungen Vorkommen, ua + i°aß und ua + ü)’ap an die Stelle von ua treten. Dazu bestimmen wir die 2p neuen Grössen

mittels der Formeln

•• • *V K» • •• f*p

C’ = e

2 2rlaß<ß-^ß^*

Zu jeder der Grössen p,ß und die nicht etwa ganze Zahlen zu sein brauchen, können wir ein beliebiges, positives oder negatives Vielfaches von 2 hinzufügen, da die Exponentialgrössen dadurch keine Änderung erleiden. Die Fundamentalgleichungen für die Function    nehmen jetzt die Gestalt an

Q

2 2rlaß(ua + u>ccß) + tfini

cc 1

(ß — i» 2,... e)

2a>[ß, ...Mç+20)^) = f(u₁,...Uç).ett Es mögen nun C und zunächst auch

“i> *•* «V

S^YccßCUa + Kß) - (*ß

Vi 1 • • • VQ

beliebige Constanten sein, so werde eine Function

F(w1?...Wç)

durch die Gleichung

F(ut,...uq) =    ...uQ-ioQ).ea

Dann ist F{u^ ...w), ebenso wie f(ux, ...uQ), durch eine beständig

definirt.

convergente Potenzreihe darstellbar und genügt den 2 p Gleichungen

Q    Q    _

2 2ïJa«(wa + lOa«)— 2 2 (u>a⁷\aß — ⁷latoajî)

jF(«₁ + 2a»1/ł,... wç+2ü)ç(S) = F(w1?...uQ).e

ce — 1    ¹    a = 1

2^+20^, ...fłę+2®J.) == F(u1}...uQ).ett

(ß = 1>2,

Werden aber nun zwischen den 4p Constanten

und

die 2p Relationen

, ... ftg, [il} ... ftg

(« = 1,2,... q)

w« = 2 (PßVaß+PßVaß)

ß — i Q

Va

— 2    +f^V«|î)

angenommen, aus denen umgekehrt

2 ²{(üa‘naß~^a^aß) =

(ß = l,2

a — i

Q _

2 ²(⁰⁾aVaß-rlce<ß) =

a = i

folgt (S. 331—332), so erhält man für F(u^...uq) die 2q Gleichungen

q

F(u₁ + 2m1?,... uQ+2(oQß) = F(ulf ...uQ).e

2 2rjao(wa + coa«) a = i ‘

(ß=l,2,...₉)

F(ul+2(ü'₁ßJ... Uq+2<o'qp) = F(ul} ...uQ).e

Diese bilden das vollkommene Analogon zu den vorher aus der Theorie der elliptischen Transcendenten für die Function 0s(¥) angeführten.

Aus diesem Grunde schreiben wir von jetzt an

⁰K---V

statt F(ut,... u ), sodass    eine bis auf einen konstanten Factor be

stimmte, durch eine beständig convergente Potenzreihe darstellbare Function ist, für welche die 2q Fundamentalgleichungen

2 2r\aß(ua + u)aß) a = l

2 Zrfaß(ua+U>afi)

0(«₁ + 2cü;?)...«?+2(I)ÿ = @(u₁,...uQ).e

bestehen.

Ist (2(0^... 2o)ç, 2-^,... 2nj ) ■ ein beliebiges System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art und wird

(a — 1, 2,... q)

²⁽⁰« —’2 i(2mß<°*ß+²n(lv>aß)

gesetzt (S. 334), so ergiebt sich

0(^+2«^...^ + 2«,e) = (-1)

2    2ï]«0« + ü>a)

0(^,... w ).e“ ¹

Diese Gleichung lässt sich leicht mit Hülfe der unter den Perioden eines primitiven Systems bestehenden Relationen (S. 330) beweisen. Denn unter der Annahme ihrer Gültigkeit folgt mittels der vorhergehenden Fundamentalgleichungen

0(Wj + 2cüj± 2toljS,...)

= ("I )“

E mct

2 { ² Oîa ± f]a (?) (ucc + <«« ± «>ßj9) ± 2 (lf]a lOa/} - (Oa YJaß) }

Nun ist

2 j ^y 2 O^icsy    ^ay ^î«/î) F ^y 2 (riay    ^ay^îa/î)!

mithin wird

2 ² Ola ± TJa jS ) 0« + wa ±    (Î )

a

2 ma »« ± »/*

0(Wj + 2(üj± 2(Dj=    (-1)“

Auf gleiche Weise ergiebt sich

0(mä + 2tOj ± 2oi[ß,...) = (-1)“

'Zmana±mp

2 ² Oja ± laß) 0« + ")«± <,S)

Die als richtig angenommene Gleichung bleibt also bestehen, wenn man eine der Zahlen m

i’ •

um

eine Einheit vermehrt oder vermindert,

die übrigen aber ungeändert lässt; sie ist daher allgemein bewiesen, da ihre

Gültigkeit für mi — 0, ...    — 0, nt = 0, ... n — 0 unmittelbar klar ist.

Die Functionen f(ut, ... uq) und * 0 (^x,... u) hängen nach dem Vorhergehenden durch die Gleichung

2 rlaua

fiu.-io,, ...uQ-ioQ) = CS(ul}...uQ).e

oder die damit identische

/■(«i» •••V = CQ(ut +UQ+o>Q).e

wobei die in den Fundamentalgleichungen für    ent

••• \

zusammen

haltenen Constanten ... ft', ... pQ und die Grössen co,,., durch die Relationen

«>a

fia

Q

^2 (f^jS F {Iß ®«^j £ ;

(« = 1, 2, .. . 0)

mit einander verbunden sind.

Führt man nun in die am Schlüsse des vorigen Kapitels (S. 510) gefundene Formel

E(xy,x₀y₀\ ut,...uQ) =

i {J'(xy)a - y» )«} w«

••• uQ-we)

die Function 0(mi? ...w ) statt f(u^...u^) ein, so ergiebt sich

E{xy, xQy₀] u1} ...uç) = A

0 (ut—wt +    ,...)    2 1 J\xy)a - J\xo Vo )« ( w«

-ö ~—--ea_1

Q(ut — wt + u»1}...)

wo A eine von uy, ... unabhängige Grösse ist. Diese Gleichung lässt unmittelbar erkennen, dass bei der Bestimmung der Grössen ö>t, ...5> , die später durchgeführt werden muss, die Werthsysteme    in Betracht

kommen, für welche J2(xy, x₀y₀]    ... u ) verschwindet und unendlich gross

wird.

Um die Grösse A zu ermitteln, geben wir den sämmtlichen Variablen ... Uç den Werth Null. Dann fallen zu Folge der Gleichungen

(ß = 1, 2, . . . Q)

q r(xaya)

uß = H    H(xy)ßdx

a = lJ(<>aK)

die Stellen (xaya) und (aaba) zusammen, und aus der Formel (S. 481)

[H(xy, x’y’) - H(x₀y₀, x'y' )] dx'

(xaVa)

Efry, x₀y₀', ut

= e“

¹ (»«&«)

ergiebt sich

E{xy, x₀y₀; 0, ...0) = 1.

Daher wird

0(— W₁ + ta₁, ...)

0(—<0,, ...)

mithin folgt

0(m, —+    ...)    2 \d\xy)a-J\x₀ya)a]na

-    — . ß

0(m, — Wt+ mlf ...)

Man sieht unmittelbar, dass der constante Factor, der zu der Function

8(wl5 ...wç) hinzugefügt werden kann, auf die rechte Seite dieser Gleichung keinen Einfluss hat.

Da    als beständig convergente Potenzreihe eine eindeutige

Function der Argumente ist, so zeigt die vorstehende Formel explicite, dass E(xy₎x₀y₀]U₁,... uQ) eindeutig von den Parametern ... u abhängt (S. 481).

Die Function E(xy,x₀y₀] ... u^) ist auch in Bezug auf die Werthepaare (xy) und (x₀y₀) eindeutig (S. 481), was sich ebenfalls an dem für sie gefundenen Ausdruck erkennen lässt. Das Paar (xy) kommt nämlich nur in den über denselben Weg ({a₀b₀)... (xy)) zu erstreckenden Integralen (S. 510)

J(xy\ = wlt ... J(xy\ = wQ

und

J'(xy\, ... J'(xy\

vor.

Ändert man nun diesen Integrationsweg so ab, dass die Werthe der

Integrale um die einem primitiven System angehörigen simultanen Perioden (2«)

. 2(0

ei⁸’

2y]^, ... 27]^) wachsen, so folgt

und

—    2 2rlccß(- Wa+Wa-tUajS)

a = 1

mithin wird

@(— Wt+ (Uj,

0(w,— w,+ (Oj— ²«>i£»jj_-) _ 0(^t— Wx + «V e(-w₁+w₁-2u)lß,...)

Gleichzeitig geht J'(xy)a in J'(xy)a + 27]a(î über (S. 374), es bleibt daher

2 J\xy)aua

0(“i-W₁+JQi,...) c 0(-M?₁+«>lJ...)

ungeändert, woraus sich das Gleiche für E(xy, x₀y₀,ut,... uQ) ergiebt. In derselben Weise lässt sich zeigen, dass E(xy,x₀y₀]u einer Vermehrung der Integrale J(xy)t = wlt ... J(xy)Q —    J’(%y)₁i ••• J(XV\

ii •

.. u) seinen Werth bei

2tj'^, ... 2rf p beibehält, womit die Unabhängigkeit dieser Function von dem Integrationsweg ((a₀6₀)... {xy)) und damit ihre

um die Grössen 2ü>'^, ... 2u/

Durch dieselben

Eindeutigkeit in Bezug auf das Paar {xy) bewiesen ist.

Schlüsse wird dieser Nachweis für das Paar {x₀ya) geführt.

Wenn (2^,... 2ioç, 2?^,... 2yjo) ein beliebiges System simultaner Perioden der Abelschen Integrale ist, so genügt die Function B(^,... u ) einer Gleichung der Form

e(M₁+2o)₁,...M^+2a>ç) =

Können nun ausser den simultanen Perioden noch andere Systeme von 2p Grössen

(«1» ••• V '"hQ)

der Art existiren, dass für jedes Werthsystem (ul}...uç) die Gleichung

?

2 Kua

&(ut + a1} ... uQ+aQ) = AQ{ult... uQ) .e“-¹

besteht? c, A, und im Folgenden Cp und c'p, bedeuten dabei von u^...u unabhängige Grössen. Führen wir hier + 2a> , ... uq+ 2<oç(î statt ... ein, so ergiebt sich mit Hülfe der Gleichung

⁰(wi+2co1/î, ... uQ+2(aQp) = cjî0(M₁, ...uQ).e

die Formel

^L\^ba{ua-\-2^ap)Ą-2f\apuĄ

e(**i+²®i> + «i» ••• Wç+²⁽V + <V> = AcpS(uir...uç).e

Wenn aber in der vorletzten Gleichung ut + al} ... uQ + a^ statt ... gesetzt wird, so folgt

ŒÈ{2,Ja/j(«a +»«) + &«*«« 1

eK+2o>»/* + «i> ••• UQ+²<V + aQ) = Acp<d{u„...uq).e Demnach muss

sein. In derselben Weise werden mit Hülfe von

0(^+2®^, ...Mç+2®^) = ćp$(u₁,...uQ).e

die Relationen

2 m'p 7t i

abgeleitet, wobei mß und m'^ ganze Zahlen oder Null sind. Durch Auflösung dieser 2q Relationen nach aa und ba erhält man (S. 331 — 332)

aa = 2 (—2«J®B/î + 2mi,wô|ï)

p—i

(a = 1, 2,... ç)

ba

= 2 (-2w^ V3+ 2m?rî«fs)

,    bilden ein System simultaner Perioden

der Integrale erster und zweiter Art. Es giebt also nur die schon vorher gefundenen Grössensysteme, welche die der Annahme nach für die 0-Function bestehende Gleichung befriedigen.

Nun handelt es sich darum, die Function 0(«^,...w) durch einen analytischen Ausdruck darzustellen. Wir werden sehen, dass wir dazu keine anderen Eigenschaften der Function zu kennen brauchen, als dass sie für alle endlichen Werthsysteme    den Charakter einer ganzen Function

hat und den 2 q Fundamentalgleichungen

d. h. die Grössen a

2 ²⁷la^(wa+tt)ajî)

9(ut + 2m'iß, ...M»+2«^) = 6(ult...u).ea

2 2T3«|î(tta + t0«j*2

genügt. Daraus ergiebt sich sofort, dass die Function jedenfalls nur bis auf einen constanten Factor bestimmt sein kann. Von den Grössen 2cd 2rja^ braucht nichts weiter vorausgesetzt zu werden, als dass sie den Relationen (S. 330, (A.)) genügen, die zwischen den Perioden eines primitiven Systems bestehen.

Abelsche Functionen.

und

66

In der Theorie der elliptischen Transcendenten wird die Function 0₈(w) zunächst auf eine Function &₃(v) zurückgeführt; setzt man

«/

2oi ’

(0

so ist

e.« =

Während 0₃(u) sich bei Vermehrung des Arguments um 2u> oder 2io um einen Exponentialfactor ändert (S. 514), bestehen für fra(v) die Gleichungen

^₃(v+¹) = &,(p)

— Tzi(2v + z)

&₈(v + r) = b₈(v).e

In ganz ähnlicher Weise wollen wir nun auch in die 0-Function von q Variablen statt ut, ... neue Veränderliche vx1...v so einführen, dass einer Änderung von

«i»

...

um die in einer der q Horizontalreihen

2(üu> ²u)2u ... 2to 2u)12 1    2(Ü22>    2t0()2J

2(o1?, 2(oJ?, ... 2o>^

enthaltenen Perioden eine Vermehrung der Argumente

vi,

0, 0, ... 1

enthaltenen Zahlen entspricht. Dazu haben wir

zu setzen, denn vermehren wir vY um 1 und lassen vt, ...    vr+1, ... un

verändert, so wachsen ux1 ... u um die Perioden 20)^, ... 2ü)?y, und umgekehrt.

gleich Null wird, so erniedrigt sich der

Eine derartige Zurückführung der beiden Systeme utl ... UQ und v von je q unabhängigen Variablen auf einander ist aber offenbar nur dann möglich, wenn die Determinante

i» ' •

l°vl

(cc,ß =1,2,...?)

nicht verschwindet. Denn sonst haben die zu einem beliebigen System endlicher Grössen ut1 ... uQ gehörigen v liehe Werthe.

l’ • •

. v_ nicht sämmtlich bestimmte end-

Aus der Definition der Perioden der Abelschen Integrale erster Art lässt

von Null verschieden ist.

sich nicht beweisen, dass die Determinante

Es kann von vornherein nicht einmal behauptet werden, dass sie im Allgemeinen nicht verschwindet. Ich habe früher den Beweis für das Nicht

verschwinden dieser Determinante ausschliesslich aus den Relationen unter den Grössen to und iq (S. 330, (A.)) herzuleiten versucht, gelangte jedoch damit nicht vollständig zum Ziel. Es konnte auf diese Weise nur gezeigt werden, dass es unter den möglichen Systemen der Grössen ü>B(î solche giebt, deren Determinante von Null verschieden ist. Im weiteren Verlauf der Untersuchung stellte sich jedoch mit Hülfe der Eigenschaften der Thetafunctionen heraus, dass für jedes primitive System von simultanen Perioden der Integrale erster und zweiter Art die Determinante | u>B/î | nicht verschwindet. Dies gilt, wenn die Gleichung f(x, y) — 0 des algebraischen Gebildes wirklich vom Range q ist. Lassen wir aber die Constanten in dieser Gleichung solche Werthe annehmen, für die Rang des Gebildes.

Wir gehen nun zur Untersuchung dieser Determinante über.

66*

Sechsundzwanzigstes Kapitel. Die Determinante |u>B/î|.

Im sechzehnten Kapitel ist gezeigt worden, dass sich für die 2q Abel-schen Integrale erster und zweiter Art

<1(4, •••    ••• J\xy\

ein primitives System simultaner Perioden

2o>n,    ...    2u>

Ç1J

² Tin,

... 2tj

2(üle, ...    2(0ÇÇ

2 (o'j,    ...    2 «)'

2rii

... 2yj

e*>

2^;

... 2V

QU

2 a).'

i? ’    *

..    2<o'?,

2VxÇJ

... 2V

'.■v

Um nun die eben aufgeworfene, wichtige Frage zu be-

bestimmen lässt, antworten, ob die aus den Grössen

«>n» «>i,,    • • • «v

V» V ••• V

gebildete Determinante

l<vi

verschwinden könne, zeigen wir zunächst, dass wenn dies der Fall sein sollte, sich jedenfalls eine von Null verschiedene Determinante dadurch bilden lässt, dass man eine hinreichende Anzahl geeignet gewählter Verticalreihen des vorstehenden Systems durch die gleichstelligen Verticalreihen des Systems

ersetzt.

“n, o>î

12 J *

. . UK

1ÇÎ

<V> "V • •• °>ôç

Hängen 3ç Grössen Pti ... P , P[, ... P', pt1 ... p durch die 2p Gleichungen

zusammen

P Y    2 wb y 1

a = i

so erhält man mittels der Relationen (S. 332, (B.))

Pÿ = 2 Pa<°ay

(y = 1,2,

2 ((x)aytütfy ^y^ay) b

y = l

S^ay ⁽°'ßY~UißY Vay) =

zwischen P1? ... Pç, P', ... P^ die p Gleichungen

0 0*^«) f (/> = «)

2KyP;-<yPy) = 0

Y — X

(a — 1, 2,... (>)

während sich , ... mit Hülfe der Formeln

1.9

~n Pa    2 Oi«y Py ^îay Py )

"    y = 1

durch Px,... P? darstellen lassen. Es sind daher Pt,... P , P',... P' nur dann sämmtlich gleich Null, wenn auch alle Grössen ... diesen Werth haben.

Verschwindet nun die Determinante |a>B|î| dadurch, dass sich ihre sämmt-lichen Elemente einzeln auf Null reduciren, so ist Px = 0, ... PQ mithin können die q Gleichungen

p; = o

(« = 1, 2,... q)

^ = o, ... p; = o

nur befriedigt werden, wenn jede der Grössen p^ ... p^ gleich Null gesetzt wird, d. h. es ist in diesem Falle die Determinante

ltvl

(«,0 = 1,2,...*)

von Null verschieden.

Ist aber zweitens die Determinante

gleich Null, ohne dass der eben behandelte specielle Fall eintritt, so wählen wir unter denjenigen ihrer Unter-

determinanten, die von Null verschieden sind, eine möglichst hohen Grades aus. Sie sei vom rten Grade, wo r auch gleich Eins sein kann, und aus den Elementen der a^⁶“, ... aten Horizontalreihe und der ß^⁶“, ... /3.t0n Verticalreihe von |(oa(î| gebildet; ßr+1, ... ßQ seien die von ßx, ... ßr verschiedenen der Zahlen 1, 2, ... q. Dann verschwinden alle Grössen Px, ... Pç, wenn wir pt1 ... pq so bestimmen, dass P^ , P« , ... Pß gleich Null sind. Sobald daher die Werthe von pt, ... pQ die Gleichungen

pß, =⁰

• • pp, =⁰

•• PK

befriedigen, was jedenfalls für = 0, p₂ = 0, ... p = 0 der Fall ist, so sind sämmtliche Grössen P1? ... P^ gleich Null, und aus den Relationen

Pi

p,+,= 0

ergiebt sich

(« = 1,2,... q).

“ßft    Fß₂ + * * ' + Waß, P'ßr = ⁰

Behalten wir von diesen q Gleichungen nur diejenigen r bei. in denen « = a , ... ar ist, und berücksichtigen, dass die Determinante

“«ifc *•* “«ift-

“«rPi    “a,ßr

nicht verschwindet, so folgt

pß, =⁰

Pß, = °

Eür jedes System pi7 ... pQ, das den Gleichungen

•• Pß, = 0,

genügt, sind daher alle Grössen P zu Folge der Relationen

Pß> =

i’ •

•• pßr = o.

P P'

• * *q! *il •

.. PJ gleich Null. Dies ist

= 2 (Ttay Py~ri'ay Py) y = i

nur für px = 0, ...    = 0 der Fall. Wenn aber das Gleichungssystem

Pßi ⁼ °»    * ' * Pft- ⁼ °»

Pa

ßr+1

... Pr.

dadurch befriedigt werden kann, dass    sämmtlich gleich Null

angenommen werden, so ist die Determinante

nur

¹ ßr+i

. U>.

¹⁰9ßi ' ‘ • °Wr

Ui'.

&ßr+i * ’ * ^Qßq

von Null verschieden.

Auch das Ergebniss des zuerst behandelten Falles, bei dem alle Elemente einzeln verschwinden sollten, ist für r = 0 als Grenz-

der Determinante [ w fall hierin enthalten.

Das gegebene primitive System simultaner Perioden

• • • ²⁽°Qß>

und

(ß = i> 2,... e)

2 to'

l;D •

,. 2 to'

lässt sich auf mannigfaltige Weise durch ein anderes ersetzen, für welches ebenfalls die Relationen (A.) auf S. 330 bestehen, aus denen die vorher benutzten folgen (S. 331—332). Im Speciellen kann dies dadurch geschehen, dass für

2rllY. } * * *    2rlQXi

eine bestimmte der Zahlen 1, 2, ... q bezeichnen soll, die Perioden

2rlIX ? • • • 2rl(>X

eingeführt werden, und an die Stelle der letzteren

- ²⁽⁰1X)    ' ' ' 2tÜçXJ    2rlix> * ’ * 2rlç>x

treten (vgl. S. 326). Denn setzen wir

wo X

2o)ix>

2 a>

QV. 1

2 to'

ca!

(« = 1, 2,... 9)

und für jede von x verschiedene Zahl ß

R " W -Ob    "Ob

= TQ«(Ï

(a = 1, 2,... e)

so geht jeder der Ausdrücke

2 frlaß^ay ^a/î^lay)

a = i

2 (ifKr-KfVay)

a = i    *

2 (rlaßway ’“a ß rlay) J a = 1

wenn y^ß ist, in eine Summe über, die zu Folge der unter den Grössen toa/i, w'aßi Tiußi rLß bestehenden Gleichungen den Werth Null hat; ist aber y — ß, so verschwinden die beiden ersten Ausdrücke identisch, während der dritte gleich

Ti i

JEf^aß ^aß ^aß^aß) — "g“

wird. Dabei kann ß auch gleich x sein.

Durch wiederholte Anwendung dieser Vertauschung ergiebt sich unmittelbar das gesuchte Resultat. Es seien «l? ... a. und ßt1 ... ßr die oben bestimmten Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... q, für welche die Determinante

¹⁰ccr ßi ‘ ‘ • °V ßr

nicht Null ist, so werde für ß — ß

Ü>aß —

~ r    r

■■ßr

aß

rlaß - rt<xß

_ ?

riccß - Tlaß

(« = 1, 2,...9)

und für ß — ß

r+i 1 ’

.. ß

°>aß, ⁷laß = V — <°aß, r/aß — -Tlaß

gesetzt. Dann bestehen unter den Grössen <î>a^, <5'^, yja f[a^ die Relationen

-ÜaßTlay) = °>

&aß =

~ r OK

aß —

(* = 1, 2,... q)

2    r) = ⁰

a = i

0 (ß ^ y)

T- ((î = ^

wa|î ^iay)

Q

2 (rlaß ***ay a = x

und es ist

OJ

oj!

\&aß\ = ±

¹ßr+1

. oj'

¹ ßo

oj!

. . oj!

m9ßi ®Qßr

"von der Determinante auf der rechten Seite ist aber bewiesen worden (S. 527), dass sie nicht den Werth Null hat.

Die Function 0(#1?....«), die wir im vorigen Kapitel definirt haben, genügt den 2q Fundamentalgleichungen (S. 516)

Qßr+i ’

Qßg

0(w₁+2ojlj9, ...uQ+ 2ojçjî) = 0(mx,...mç).c

(ß = 1,2, ... q)

JL^rfctßfyct + Vaß)

0(M₁+2oj;jł, ...Wç+ 2©^) = 0(mi7 ... Mç).<?

Wir müssen nun noch untersuchen, wie sich diese Formeln ändern, wenn die Argumente ua statt um 2ü)a/î und 2oo^ um die simultanen Perioden 2ä)ßj, und 2&'ag vermehrt werden. Führen wir wieder

oj'

^îaX ? ^îax

«V/. =

Wa7. — WaV, J

ein, während für jede von x verschiedene Zahl ß die Grössen ü>a/Jf ö>^, Ÿja(î, mit ü)a?, to'W(S, k]b)S, 7]^ übereinstimmen sollen, so ergiebt sich

?

2 2Tf]a(S(«a + «Ja|s)

«X J

0(«i+2ojlj}, ... Wç+ 2ojÇ(î) = S(ulf ...uQ).e

a2i2ii«₍sK+(U's₁«)

0(m₁ + 2o)^, ...mç+2oj'(î) = 6(utt...ue).e

so sind sie gleichbedeutend mit den

Denn ist ß von x verschieden, so sind diese Gleichungen mit den vorhergehenden identisch; ist aber ß = x Formeln

2 ^ rJ a V. (wa + °J« 7- )

0(Wi + 2oj;x, ... wç+2oj'x) = 0(w,, ...uQ).ea

0(m₁-2o)1x, ... mç-2ojçx) = 6(wx, ...uQ).e Zu Folge der Definition der Perioden 2i5k(S,

Abelsche Functionen.

- 2 2ija*(ua- «J„x)

a = 1

2Ä'

«|S»

67

erhält man

®(u₁+2mlß, ... wç+2â>^) = 6(ut, ...uQ).e

¹

2 7] aßUa ea=zl

0(1*, +2®;,, ...t^+2»;,) = 0(Ml,...Wç).ett

²“V 2lU> 2rl’af

sodass die Fundamentalgleichungen, denen die Function &(uti...u) genügt, ihrer Form nach ungeändert bleiben, wenn man statt 2iu ein anderes System simultaner Perioden in der angegebenen Weise einführt.

Es wird sich zeigen, dass zur wirklichen Darstellung der Function S(Uj...u) irgend 2q simultane Periodensysteme ausreichen, für welche die Relationen

2 ( aß^ay ^afi^lay) a = X

(ß,r = i, s,... e)

2 (v«w-<vr,;y) = o

a = i

( 0    (ß^y)

•It «»“»’>

daher

2 (V«Vy-<V?l«y) =

cc = i

bestehen und die Determinante | ô>aJÎ | nicht verschwindet.

Siebenundzwanzigstes Kapitel. Einführung der Function ... v ).

Die Grössen und ria(i, die am Schlüsse des vorigen Kapitels eingeführt worden sind, mögen jetzt einfach mit <i>a(S und rlap bezeichnet werden. Setzt man die Determinante

l°vi>

deren Werth also von Null verschieden ist, gleich to, und ferner

da)

*..7 ⁼

so folgen aus den Gleichungen (S. 522)

(cc,ß = 1,2, ...(>)

Ua

= 2 ²<v^

ß = i ¹¹

(a = 1, 2,... q)

die nachstehenden:

(.ß = 1)2, ...p).

Es ist a. a. O. bereits erwähnt worden, dass wenn man die Grösse vy um 1 vermehrt und die übrigen Grössen des Systems (vt, . . . i^) ungeändert lässt, ua um 2toay vermehrt wird. Auch ist sofort zu sehen, dass man auf keine andere Art eine Vermehrung von ua um 2a>ay bewirken kann; d. h. die beiden auf S. 522 angegebenen Periodensysteme der Grössen ua und Vp entsprechen einander vollständig. Bezeichnet man nun

67*

als Function von vf, ... betrachtet, mit

so ergeben sich aus den ersten q der für die 0-Function aufgestellten Gleichungen (S. 521) die folgenden:

2 2rlal(ua+^al)

0(^1 +1, vt,...vQ) = 0(vi:va,...vQ).e

2 27)a2(wa+ü)«₂)

0(vt,va+l,...vQ) = 6(vlf v₂, ...vQ).ea

6= ^(v₁,vi,...vQ).ea Führt man in die Summe

2 2lJaÇ(tta+«oaÇ)

für die Grössen ua ihre Ausdrücke durch vt1 ... v ein, so ergiebt sich

23 i^a F (î) ⁼⁼ 2 ^^bxfi ^ay Vy F 2 ^ ^a? ^la?* a    ct,Y    ct

Wird sodann

2]    £?y

a = i

gesetzt, so besteht zu Folge der Gleichung (S. 530)

die Relation

S'?    £?y!

und man erhält

Q    Q

2]    23 ^£y?S F 2s««.

a = i    y = i

Man kann demnach die Exponenten, die auf den rechten Seiten der für die 0-Function gefundenen Formeln auftreten, durch die Grössen auf den rechten Seiten der eben aufgestellten Gleichungen ersetzen.

Es lässt sich nun zeigen, dass durch Multiplication mit einem Expo-nentialfactor aus der Function 0(1^, ...t> ) eine periodische Function gebildet

werden kann. Durch die Gleichung

. eingeführt, so

werde eine homogene Function zweiten Grades yon v hat man bei beliebigen Werthen der Constanten ^₂, ... p

s(*\+#h> ...VQ+pQ) = e(viy... VQ) + s(pt1 ...ftę) + S2s(Jyt,|jfły+S2e|îy^vy,

ß> y    y

oder, da ey/î = ^Y ist,

i? • •

E²⁸y/»#łl»^y ⁺ S⁴⁶y|»#*|9f;y

ßtY

= ²2Sy? P(s(²*V + Py)-

?>y

Mithin ergiebt sich

?

= 2 ⁴®ylt; +2eu,

y —¹

Q

E 4sy2 F 2s2î ,

y = i

Q

e(v₁,va,...vQ+l)-e(v₁,v₃,...vQ)=^eYQvY + 2s^.

®0i, va + l, ...    v„ ...wç) =

Setzt man daher

woraus umgekehrt

folgt, so erhält

man

0(^+1, va,...vQ) = &(viyvał...v₉) b(vl}v₂ + l,...vQ) = b(vt,v„...v₉)

Hvt,vt} ...vq+i) = öfa,v₂,...vq).

Man kann also in der That aus der ursprünglichen Function

.0(Mi»---wç)

OC^,... vç)

herleiten, die in Bezug auf jedes einzelne Argument, unabhängig von den

eine andere

übrigen, periodisch ist und zwar mit der Periode 1. Die Function d(vi? ...vj ist als beständig convergente Potenzreihe von ... vq darstellbar, da 0^,... u?) in Bezug auf ... diese Eigenschaft hat (S. 516). Jedes aus den Perioden des Systems

TH O

0, 0, ... 1

durch Addition und Subtraction zusammengesetzte Periodensystem hat die Gestalt

...    0

...    0

0, 0

... (lQ,

wo    beliebige ganze Zahlen sind. Wie sofort ersichtlich ist, erhält

man bei gleichzeitiger Vermehrung von ... v um

Diese Eigenschaft der b-Function, auf welcher ihre Darstellbarkeit in Form einer Fourierschen Reihe beruht, hat im Wesentlichen ihren Grund in der Gleichung d. h. in dem einen System von Relationen, die unter den Grössen und 7]a(î bestehen.

Es soll nun untersucht werden, welche Eigenschaft der Function b(vx,... vç) sich aus dem zweiten für S(ut, ...u?) gefundenen Gleichungssystem (S. 521)

(ß — i» 2,... e)

e(M₁+2cu;/î>... Mç+20)^) = 6(«„ ...uq).e ergiebt. Es mögen, wenn

um

2(1)!

»/*> *

. . 2o)'

Qß

vermehrt werden, die Variablen

V ••• vo

sich um die Grössen

ändern. Da

ist, so ergiebt sich

T₁₍* = s

a =

ti/î> • • • h>/?

2-1    (°0«i ¹⁰ aß

O)

... V=J

2, HaQKß

OL»

d. h.

O)

Für diese Grössen bestehen, wie jetzt bewiesen werden soll, die Relationen

(«,/?= 1,2,...$).

*ßa    Laß

Aus den Gleichungen zwischen den Perioden 2toa(î und 2u>^ (S. 332 (B.))

2 ^ay^ßy    2 ^ßy^ay

y—i    y=i

folgt sofort

2_Wd« (^sß ⁰¹ dy wey    (t⁰)e/S ^sy ^dy

(«,^= 1, 2, ...$).

y.d.e

Nun ist

2 (tü)d« °*dy d = 1

0 (y ^ a) tu (y = a)

und

2 Haß œey =

0    (y^ß)

«>> (r = ß)

mithin wird

(a,/3 = 1,2, ...$).

2 (<°\ß<»'£a(!) = 2 (<j))d«tudis(ü

£ = 1 ¹ 0 = 1 ¹

(ce, ß = 1» 2, ...$).

Da nun die Determinante o> von Null verschieden ist, so erhält man, wie behauptet

T|îa — Xaj9

Diese Beziehungen sind also eine einfache Folge eines anderen Systems der unter den Perioden 2ioa(S und 2to^ bestehenden Relationen.

Es werde jetzt untersucht, welche Veränderung die ö-Function erfährt, wenn man die Variablen

um

vermehrt. Zunächst erhält man

aK+T„,,...tV+v) =    v-v)e₍«I+2«,;

-e(Vi + T₁,j,...) + e(v₁,...^) + 22r)^(wa + a);₍})

— e    “

lä J

...uQ + 2(»'qö)

Nun ist (S. 533)

+    —    V = ²1ießA2vß + xßö)xyö

ß,Y

= ²a2yV₍î«iay(²^ + ^<î)~y<5*

Nach der Definition der Grössen tK(? hat man aber

Q

"jLi ^ay^yd    waâi

y = i

mithin folgt

£(^+Tłd, ...^+r(?d)-£(v₁,...^) = 2^riapwfaâ(2v/i + r^).

u, p

Wird

0 für ß ^ <3 1 für ß — ô

gesetzt, so lässt sich ein drittes der unter den Perioden bestehenden Gleichungssysteme in der Form

OM) =

= è 2u>ccßrl'aä +    (Ô, ß)ni

schreiben. Mit Hülfe hiervon ergiebt sich

e (vt + Tti ,...vQ + xQä) - e(vlt... VQ) = izi (2vô + râô) + 2 £ t{ad <»aß (2vß + x^)

a,ß

und daher, wenn man die Gleichung

benutzt

²Hxi'adt3)aß(²^ß + Xßö) — 2²^dK+<D

a,ß    a

— e(v₁ + xI(), ... Pç+ TqÔ) + e(vt, ...v ) +2²⁷iad(Ma + «⁾ad) = — ni(2v₀ + TtJ(j).

a

Demnach erhält man das Resultat

+    ••• ^ + T?is) = ^(vt, ...v₉).e

Nunmehr seien

vi, ■■■ VQ

beliebige ganze Zahlen oder Null, und es werde

gesetzt. Dann folgt, wie jetzt bewiesen werden soll, durch wiederholte Anwendung der vorhergehenden Formel

... Vç + Tç) =    ...vQ).e

Wir wollen annehmen, diese Gleichung gelte für ein gewisses System der v , und zeigen, dass sie auch noch gilt, wenn man die ßte dieser Zahlen um eine Einheit vermehrt oder vermindert. Es treten dann

Zahlen

vi, •••

— Liß ; • • • lq — TQß

an die Stelle der Grössen

Daraus ist ersichtlich, dass die Vermehrung der Zahl vß um ±1 einer Vermehrung der Grössen

V •••

um

• * ~ ~Qß

gleichkommt. Nun ist nach der bewiesenen Formel

^Oi + Ti + T^, ... vç + t?±tç/J) = Ofa + T,, ... ^ + Tç).c + (2^ + 2^±V(î)'t\ mithin, wenn

i*» •

gesetzt wird,

#& + <, ... V-tJ) = Hvti...vQ).e Bezeichnet man das veränderte Grössensystem va mit v«, sodass

-^va(2vu + Ta)izi + (2Vß + 2’z^±rßp)v:i

(ce = 1, 2,... $; cc ^ ß)

ist, so erhält man

S *a(2va + T«)™±(²*,«+²'C*±T|*l»),ci = 2 «'tt(²«\* + '0™

a = 1    a = l

folglich

^+t') =

Der für

&(»1 + Tl> ...^+T?)

aufgestellte Ausdruck bleibt also bestehen, wenn irgend eine der Zahlen va um 1 vermehrt oder vermindert wird, und da er gilt, wenn sämmtliche Zahlen va gleich Null sind, so ist er allgemein richtig.

Die eben bewiesene Formel kann noch mit der auf S. 534 gefundenen

zu

der allgemeineren

- 2 va(2va + T:a)Tii

&(Vl + f*l+Tl> «ç + fy+Tç) = H(yi!    “

vereinigt werden, in der ^1? ...    , vl? ... v beliebige ganze Zahlen oder Null

bedeuten. Wir hätten diese Gleichung auch aus der ebenfalls auf induc-tivem Wege bewiesenen Formel (S. 516)

2 P«va

a — 1

®(u₁+2o>₁, ...uq+2u>q) = (-1)

2 2ï]a(w« + ü>a)

®(ull...uQ).ea

in der

= 2i(^/»a,«/ï + v(ï®«/ï)

~^ia = ^0? V + ^ßrlaß)

ist, durch Übergang von der Function dfu^.-.u) zur Function herleiten können.

Achtundzwanzigstes Kapitel.

Darstellung der Function 0(1^,... 1; ).

Um die für die ö- Function aufgestellten Formeln zur Entwickelung dieser Function zu verwenden, schicken wir einige Erörterungen über die Darstellung einer Function durch eine trigonometrische Reihe voraus.

Es sei v eine reelle, zwischen den Grenzen 0 und 1 gelegene Variable und y(v) eine in dem Intervall (0...1) stetige Function, die nur eine endliche Anzahl Maxima und Minima besitzt, so ist nach dem Fourier sehen Lehrsatz

2nvrzi

cp(v) =

1 œ

-4₀ + 2 (Ay cos 2wk + Bv sin 2wk) = ^Gne

“    v = 1    n wo die Zahl n alle ganzzahligen Werthe von — oo bis +oo durchläuft. Dabei ist

O₀ =

u

~(An + iBn),    (n > 0)

On =

G-, =

und

Cn =

f ?(v)e

— 2nvTzi

dv (n ^ 0).

An den Grenzen 0 und 1 liefert die Reihe den Mittelwerth von cp(0) und cp (l). Ist cp(v) für alle endlichen reellen Werthe des Arguments als stetige Function mit der Periode 1 definirt, so gilt die obige Entwickelung von cp(F) für alle diese Werthe von v. Dabei ist es gleichgültig, ob <p(r) eine reelle oder complexe Function ist; denn der Satz besteht für eine complexe Function, wenn er für ihren reellen und ihren imaginären Bestandtheil gilt.

Nun werde angenommen, dass die Function <p(v) auch noch für alle im Endlichen gelegenen, complexen Werthe des Arguments definirt sei, für diese den Charakter einer ganzen Function besitze, und die Periode 1 habe; dann soll gezeigt wTerden, dass die obige Beihenentwickelung auch für complexe Werthe von v den Werth der Function giebt.

Es sei

v = t + si,

wo t und s reell sind. Dann kann

<p(t + si)

als eine complexe Function der reellen Grösse t betrachtet werden, welche für alle endlichen Werthe von t stetig ist und die Periode 1 hat. Diese Function lässt sich daher in der Form:

2ntizi

<?(t + si) = 2(7' *

entwickeln, wo

Cn =

f cp(t + si)e

*T>

— 2ntni

dt

ist. Wird

— 2nsTi

o; = cne

gesetzt, so folgt

2n{t + si)-rA

?(* + «) = HGne

Cn =

f cp(t + si)e

— 2n(t + si)Tzi

Wenn nun die Entwickelung für complexe Werthe von v dieselbe sein soll wie für reelle, so muss dieser Werth von Cn mit dem vorher angegebenen übereinstimmen, d. h. es müssen sämmtliche Coefficienten C von s unab-hängig sein. Unter dem Integralzeichen steht eine analytische Function von s; denn sowohl cp(t + si) als die Exponentialgrösse sind in beständig convergente

Potenzreihen von s entwickelbar. Man kann daher die Ableitung von Cn nach s durch Differentiation unter dem Integralzeichen bilden. Wird zur Abkürzung

— 2nvizi

mithin

gesetzt, so folgt demnach

àCn

= 40)

Cn = f 40 + si)dt Jo

f ty'(t + si) dt

*T)

= i (<l> (1 + si) —ty (si)).

— 2nv%i

Da nun die Functionen cp(u) und e

beide die Periode 1 haben, so ist

4(1 + si) = ty (si),

folglich

àGn

ds 0,

d. h. C ist von s unabhängig. Das Integral Cn muss aber, als stetige Function des Parameters s, stets denselben constanten Werth haben; es ergiebt sich daher für 5 = 0

Cn =

/ <P(0¹

Ü)

—2ntni

dt

d. h. die Coefficienten Cn in der Reihe

2n(t + si)7zi

?■(¹ + «¹) = 23.¹

n

haben unter den über die Function <p(v) gemachten Voraussetzungen dieselben Werthe wie in der für reelle Argumente v gültigen Entwickelung

?0) = 2e¹⁶

2nvni

Dieser Satz lässt sich nun leicht auf Functionen von mehreren Veränderlichen ausdehnen. ¹)

Die Function

?(vi, • ••«*)

habe für jedes beliebige System endlicher Werthe der Argumente den Charakter einer ganzen Function und in Bezug auf jede einzelne Variable die Periode 1. Wenn v....vn reell sind, so lautet der Fouriersche Satz über die Entwickelung dieser Function:

VC’    (2n₁v₁ + --- + 2nQvQ)rJ

U"»-V

wo das Zeichen 2 die q-fache Summe, ausgedehnt über die Zahlen wi? ... no, bedeutet, deren jede alle ganzzahligen Werthe von — oo bis +oo durchläuft. Diese Entwickelung gilt zunächst, wenn jede der Grössen vt1...v in dem Intervall (0...1) liegt; da aber die Function cp (rt, ... v^) in Bezug auf jede Variable die Periode 1 hat, so besteht die obige Gleichung für alle endlichen reellen Werthe der Argumente. Die Coefficienten werden durch die F ormeln

...nç

bestimmt. Man kann nun ähnlich wie in dem Falle einer Variablen beweisen, dass die eben betrachtete Entwickelung der Function cp (vl7... auch gilt, wenn man für vt, ... v beliebige complexe Werthe einführt, da vorausgesetzt worden ist, dass die Function cp (t?L,... v ) auch für solche Werthe den Charakter einer ganzen Function hat; und zwar sind die Coefficienten Cn dabei in derselben Weise wie für reelle Argumente zu berechnen. Betrachtet. man nämlich cp(^ + sj, • • • £ + sQi) als Function der reellen Variablen ... £ , so kann nach dem Vorhergehenden für beliebige reelle Werthe der Grössen s .... s

1>    Q

(2 n₁ [tt + st i) 4-----(- 2 nQ {tQ + sQi))iz i

'?(*i + «ib    *? + V) ⁼ ĘGn^.-nę

gesetzt werden, wobei

Oni

ist. Um nun zu zeigen, dass diese Coefficienten von ...sq unabhängig

sind, setze man zur Abkürzung

<?(?, +s,i, ...tQ + sQi)e

- (2 nl (i, + s, i) H-----f- 2    i)) ni

= M + Sih •••tQ+sQi),

so folgt, da man aus denselben Gründen wie für den Fall einer Variablen (S. 540 — 541) auch hier unter dem Integralzeichen differentiiren kann,

dCn,

ds,

...nq

/-/

dt,

Weil aber die Function + Äib... tQ + sj) in Bezug auf t, die Periode 1 hat, so ergiebt sich hieraus

d(^n,

ds,

sind von st unabhängig. Ebenso wird auch

d. h. die Coefficienten C„

ni

die Unabhängigkeit von den Grössen s₂, ... sç bewiesen. Man erhält daher, wenn man s

...Wo

. s gleich Null setzt,

@n, ...nQ — f ” ’ f 9 (h} •

Jq •'o

.. t) e~(2 łl + *’* + 2> V ni dt,... dt

Q’

Damit ist gezeigt, dass die Entwickelung der Function <p(vl5... u ), die für reelle Werthe der Argumente gilt, unter den gemachten Voraussetzungen auch für complexe Werthe der Veränderlichen bestehen bleibt.

Man hat hiernach folgenden Satz:

von

Dann lässt sie sich auch stets in der Form

»Eine für jedes System endlicher Werthe der Veränderlichen ... vQ eindeutig definirte Function cp^,... v ) ändere ihren Werth nicht, wenn ein beliebiges ihrer Argumente um eine Einheit vermehrt wird, während die übrigen unverändert bleiben; und sie besitze überall den Charakter einer ganzen Function, sodass sie als beständig convergirende Potenzreihe v,, ... darstellbar ist.

e2(n₁v₁ + --+nQvQ)v:i

darstellen, wo ... alle ganzen positiven oder negativen Zahlen mit Einschluss der Null durchlaufen. Die Coefficienten C unabhängige Grössen, und zwar ist

sind von

»1 • • • no

Der hier mit Hülfe des Fourierschen Theorems geführte Beweis dieses Satzes kann auch ohne Voraussetzung desselben aus den Fundamentalsätzen der Theorie der gewöhnlichen Potenzreihen abgeleitet werden. Aus den Gleichungen

?0l+ D V2i -"Vq) =    •••

va + l,...vQ) = y(y₁, v%,... vQ),

? Oi »    • • • VQ + !) = ? Oi

folgt die allgemeinere

in welcher , ... « beliebige ganze Zahlen bedeuten. Setzt man nun

•••**)⁺    ••• V = 'Pofa,*'*, •••%),

= ?iKv₂, ...v₉),

9 Pi, O, > • « • VQ) - 7 ? (~    > V2 , • • • vq)

sin 2v₁n

so ist auch

9oPi + *h> v* + n2, ••• »*+«*) = 9oPi>*V

<PiPi + »i> *. + »*> •••ve+w?) =    ».»•••.V-

in der nur

Die Function cpo(ri,... v ) ist als eine Potenzreihe von r>i, ... p gerade Potenzen von vx Vorkommen, darstellbar; dasselbe gilt aber auch von ... vj. Denn die Function

•••Vo)-T<?(-Vl’V2, --VQ) = 2^2V+lO,, ...®^)®r+i

S    T ~ o

verschwindet bei beliebigen Werthen von vs, ... t>o für ^ = 0 und i>t = y, also auch, wenn vt = ist, wo m eine ganze Zahl bedeutet. Nur für diese Werthe von v wird aber sin 2vti: gleich Null, und zwar mit der Ordnungs

zahl 1.

Daraus folgt, dass sich cpx(v1?... vQ) in eine beständig convergirende Potenzreihe von vt) ... entwickeln lässt, die wir erhalten, indem wir die vorstehende Reihe für den Zähler von cpt (v₁,... v^j mit der für hinlänglich kleine Werthe von | vt | geltenden Entwickelung

sin 2v₁tz

multipliciren. So ergiebt sich

rz=z o

Zugleich ist ersichtlich, dass wenn in der Entwickelung von ç(vx, ...u ) nur gerade Potenzen einer der Grössen ... vo Vorkommen, auch die Entwickelungen von cpo(vi? ...v ) und    ... v ) nur solche Potenzen dieser

Grösse enthalten.

Hiernach kann man

00

= ^%r(v₂,...v)vlv+äin2v₁T:.^^v(va,...v)vlv

s    v = 0    r = 0

setzen, wobei man auf der rechten Seite statt vt auch eine der anderen Variablen bevorzugen darf.

Für 9 = 1 hat man

<p(»i) = $(»;)„+ sin 2^71.$(vl\ = S (sin 2!^)'* $(»*), .

«l=°

Für 9 = 2 erhält man zunächst

<p(*ä,*h) = S (sin 2Tl7:)ei^(vhv₂)ej

«i = °

und hieraus, da

ist

¥(«!,«,). = Ś (sin 2«,*)’’ (K, »5),,e,

¹    £2 = °

<?(vu va) = S 2 (sin 2vtit)El (sin 2v₂it)e'² $(vj, v\)

£j = 0    £₂ = 0

Für 9 = 3 ergiebt sich weiter

t>(vi>v₂,v₃) = 2    2 (sin 2r₁Tr)Ex(sin 2y₂rc)S2 $ß(vx, v\, v₃)£i

£x — 0 £₂ = 0

Abelsehe Functionen.

69

und daher, wenn    t?a) auf die Form

± (sin 2»„x)SsSP(t>;, «*,»*)

e₃ = 0

gebracht wird,

£1 £2 £3 *

T^ił^ł»«) = 2    2    2 (sin2^7r)£l(sin2tJ₂7r)E2(sin2z;3 7r)Es«P(^,^,^)

£i⁼⁼ 0 e₂ = 0 e₃ = 0

So fortfahrend erhält man allgemein

<p(^,...^)= S 2 ••• 2 (sin2t7₁it)ei(sin2v₁ir)e,...(sin2^7c)eP«P(t>;,

£j = 0 e₂ = 0 E^ = ⁰

wobei sämmtliche Reihen

C'£l Ejj . . . ln

als Functionen von vt1 ... v betrachtet, dieselbe Beschaffenheit wie cp(vx,... t? ) haben.

Wird nun eine dieser Functionen herausgehoben und mit

<?(*!, *„••• Vo

dass sie nach Potenzen von cos 2t> 7u, ...

bezeichnet, so lässt sich zeigen

cos 2v tu entwickelt werden kann.

?

Es seien ... s unbeschränkt veränderliche Grössen, so bestimmen wir zu jedem Werthsystem ($t, ... s ) ein Werthsystem (vi5 ... t> ) der Art, dass

cos 2^71: = s₁, cos2v₂7t = s₂,    ... cos 2vQtt =

wird, und definiren eine Function ...,$ ) durch die Gleichung

Dann hat ...s) für jedes System endlicher Werthe von 5X, ... einen bestimmten endlichen Werth. Denn ist («', ...v'Q) irgend eines der unendlich vielen, zu einem Werthsystem (äj, ...$ ) gehörigen Systeme (v^... ?u), so werden alle übrigen durch die Formeln

v, = ±v'₁ + n₁,    ... vQ = ± »J + iiç

gegeben, wo    ... no beliebige ganze Zahlen bedeuten. Hierfür ist aber stets

also    ...s) eindeutig bestimmt. Ferner gehört zu jedem System endlicher Werthe ... s auch ein gleiches System (yt,...    , und es hat daher

auch die Function ...s) einen endlichen Werth.

Nun sei (äj, ... sj irgend ein bestimmtes System der Grössen st1 ... sQ und (v^...vj eines der zugehörigen Werthsysteme der Grössen vt1...v^. Wir nehmen sa hinlänglich nahe bei sa an und bringen, um einen die Gleichung

COS 2vaK =

befriedigenden, in der Nähe von va gelegenen Werth von va zu erhalten, diese Gleichung auf die Form

cos 2vait — cos 2yair = sa—sa

oder

cos 2^7:(cos 2(va—üa) 7T — 1) — sin 2vari sin 2(va—va)v: — su-sa, woraus sich, wenn sin 2vktc nicht gleich Null ist,

va-va = %(sa-Ia)

ergiebt. Ist aber sin 2üa7u = 0, so wird

(va-vj =

und entwickelt man dann y (vt,... vj₀ nach Potenzen von

vt-vv ... vQ-vQ,

Denn ist z. B.

so enthält diese Reihe nur gerade Potenzen von va — va. sin 2^71 = 0, also vt = so hat man (S. 544)

?(vttvt,...v)₀ = <p(-t't + mt,va,...v)₀

oder

¹

Ygl. für das Folgende Bd. II S. 183—188 dieser Ausgabe.

.    ,„-4

und daher

=    V₂,...VQ).

9(V1 > V2 1 • •• Vq)0

Daraus folgt, dass sich cp(^, ...® )₀ in beiden Fällen mit Hülfe der Gleichung

---Vq-Vç)

auf die Form

••• VS<?)

bringen lässt, sodass man in der Umgebung jedes im Endlichen gelegenen Werthsystems (slt ... s )

hat. Es besitzt also    im Endlichen überall den Charakter einer

ganzen Fonction und lässt sich somit durch eine beständig convergirende Reihe

darsteilem Aus der Detinition von    ergiebt sich mithin

9(Vi>---Vq)o = ^0^08 2^71, ... cos 2^tt)

für jedes System endlicher Werthe von vt1 ... v .

Setzt man nun, unter t , t', ... t, f unbeschränkt veränderliche Grössen verstehend,

si — h + t[,    ... sQ — tQ + t'Q,

so

geht    ... sQ) in eine beständig convergente Potenzreihe

über, aus der man für

ta =

?(Vi,'~Vç)₀

JL 2v₀7r» 2 *

= f(

2e

— 2vaTii

erhält.

von

Wendet man dieses Resultat auf jede der in dem obigen,Ausdruck (S. 546)

an, so ergiebt

cp(Vj, ... Vç) vorkommenden Potenzreihen    ^

sich, dass auch cp^,... v ) durch eine Reihe von der vorstehenden Form dargestellt werden kann. Jedes Glied dieser Reihe ist das Product aus einem Exponentialfactor

in ein einziges zusammenziehen. Auf diese Weise er-

in welchem nt1 ... n ganze positive oder negative Zahlen oder Null sind, und einer von ... v unabhängigen Grösse, und da die Reihe unbedingt convergent ist, so kann man alle Glieder, für welche das System der Zahlen »l? ... n dasselbe ist hält man

‘ ‘ nQ

^2(«x VjH-----\-nqVç)i:i

(n)

und zwar ist diese Reihe ebenfalls unbedingt convergent.

Die Reihe    ... £, t') ist ferner, wenn jede der Grössen ...

auf einen im Endlichen liegenden Bereich beschränkt wird, für alle alsdann zulässigen Werthsysteme dieser Grössen gleichmässig convergent. Daraus folgt, dass auch die vorstehende Reihe für alle Systeme (ui5... eines endlichen Bereiches dieselbe Eigenschaft hat. Mithin ist das q-fache Integral

²^⁺‘-' + v^)nidvl...dvQ,    •

in dem die Integrationswege mit den reellen Strecken (0...1) übereinstimmen sollen, für ein gegebenes System ganzer Zahlen (vl5 ...v ) gleich

j(w₁-v₁)u₁H-----f Vç

dvt ...dvç = CVi

SC'n,.

(«)

also ergiebt sich

Damit ist der vorher mittels des Fourierschen Theorems bewiesene Satz auf eine andere Art begründet.

Nun hat die Function    ... v^j dieselben Eigenschaften wie die im

Vorhergehenden mit cp(vi? ...u ) bezeichnete Function, denn sie ist in der Form einer beständig convergirenden Potenzreihe darstellbar (S. 5 34) und hat

■ * w<?

...*v

»„=/•"/ f(»„-

•'O

■ \)e

Nun kann man durch ganz ähnliche Schlüsse wie auf S. 542—543 beweisen, dass das q-fache Integral von t1? . ..t unabhängig ist, und erhält mithin

-7C»2»aT«

•••V*

f f ^(v₁,...vQ)dvl...dvQ.

Die rechte Seite ist eine Constante, die mit (£ bezeichnet werden soll; dann ergiebt sich

r.i 2 na^a

= (£e “

C«,

+ Te) dvt...dvQ.

in Bezug auf jede Variable die Periode 1. Man kann daher

2 tr*2>«0«

(»)

a

..nQe

setzen, und es handelt sich jetzt darum, die Coefficienten

/* f ü(vt,...vQ)e ^0 *'0

*>X • * *

genauer zu bestimmen. Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung, in der vt1 ... v bei der Integration reelle Werthe zu durchlaufen haben, mit

wo wie früher (S. 537)

= 2 »jjV

gesetzt ist, so folgt mit Hülfe der Relation

die Gleichung

£?    Ć? “

f • f »(«, + Tj, ...»

•'o    ''O

.. •

womit die Bestimmung der Entwickelungscoefficienten auch für die O-Function vollständig durchgeführt ist.

Setzt man den Werth von C„

ein, so folgt

n\

o(t, t,) ₌ (s.2*ut(Wl(2ri+Tl)+'''+Wç(2Vç+Tç)). i} ?    w

Nun ist aber anf S. 521 gezeigt worden, dass die Function 0(ut, . ..w^), aus welcher die Function d(vif...v^) abgeleitet wurde, nur bis auf einen con-stanten Factor bestimmt ist; man kann daher (5 = 1, mithin

= 2*

v (n)

Tujnj (2v₁ + t₁)H-----hWç(2Vç + Tç)|

setzen, womit auch über die willkürliche Constante in der Function 0(ul7... uç) verfügt ist, da die Gleichung (S. 533) bestehen bleiben soll.

Für q = 1 ergiebt sich hieraus die Darstellung der elliptischen Theta-function 0₃ (V) in der Form

Ttin? 'z+2nVTzi

».(*) = 2*

Da die Zahl n alle Werthe von -oo bis + oo durchläuft, so kann man —n für n setzen und erhält dann

itin²T — 2nvni

K(V) = 2*

n

Addirt man diesen Ausdruck zu dem ersten und dividirt durch 2, so folgt

Ttin²T

7t in7rz

= 1 + 2 2* n = i

Auf eine ganz ähnliche Form lässt sich auch die Entwickelung der d-Function von q Variablen bringen. Es werde

cos 2nvK

cos 2nvK.

n — i    a,ß    *

Dann ergiebt sich

gesetzt, sodass ^(wł} ...w ) eine homogene Function zweiten Grades der ganzen Zahlen njy ... n ist.

Jede der Zahlen nt1 ... n durchläuft unabhängig von den übrigen alle Werthe von — oo bis + oo ; daher ist auch

i( v) = ^ gX(ni> • ■ • ng) (2w₁r₁4 f-2neve)Tt*

¹⁷ ^ («)

Addirt man jetzt wieder die beiden Ausdrücke und dividirt durch 2, so folgt

x(nl}...nQ)

#(®i» •••%>) = 2* (»)

cos (2ntvl 4----+ 2» t; )ic.

Aus der Gestalt dieser Reihe ist ersichtlich, dass sie einen hohen Grad von Convergenz besitzt.

Besonders hervorzuheben ist, dass in der Reihe ausser den Variablen nur

die Constanten Ta? auftreten, die aus den Grössen und a>'fl

vor-

••• VQ

zusammengesetzt sind (S. 535), während die Grössen und nicht kommen.

aß

Aus dieser für die 0-Function geltenden Reihe kann man mit Hülfe der Gleichung eine Entwickelung der Function 0(wx, ...wj ableiten, wenn man die Grössen vt, ... durch ut,...u ersetzt (S. 531). In dieser werden aber auch die Grössen i]a(f auftreten, denn sie kommen in den Coefficienten der Function

s(v,, ...^) == 22e₍*r^r

vor (S. 533).

Die Function

!(K-«e) + (²«Ji+- + 2)^)d = Ki’2jna7zliTa[i + Tzi%2nava

in den Exponenten der Reihe für die b-Function ist eine homogene Function zweiten Grades von

vt, ... vQ, nlt ... nQ,

in der aber vt1 ... vQ nicht mit einander multiplicirt oder zur zweiten Potenz erhoben Vorkommen. Bei der Entwickelung von 0 (ux)... u^) tritt im Exponenten des allgemeinen Gliedes die Function

XK, ... n₉) + (2w₁w₁ + — + 2w?i>ç)tu + z(vt,... t>?)

0(Wi, ... W ) =

(»)

Das hier auseinandergesetzte Verfahren zur Herstellung der 0-Function ist genau dasselbe, welches ich in den vierziger Jahren gefunden habe.*) Göpel und Bosenhain haben sich gleichzeitig mit mir mit den Abelschen Functionen zweier unabhängigen Variablen beschäftigt und sind zu derselben Form ihrer Darstellung gelangt, aber auf einem anderen Wege. Die Reihe

He

auf, also eine vollständige homogene Function zweiten Grades der 2q Argu-Bezeichnet man sie nach Einführung der Variablen u ... mit g{ut,...u^ n^.-.n^), so erhält die Entwickelung die Form

mente.

von

.. u statt

Q

0 («„•••«,)

an² + bn + c

in der b und c als lineare Functionen einer Variablen u betrachtet werden, während a eine Constante bedeutet, war den Schülern Jacobi’s sehr geläufig; sie geht z. B. für

«>'

a — —it i — Tizi

ur.i

Ui

Ui

= 2 ii

in die Function ft₃(v) über (S. 551). Göpel und Rosenhain kamen nun den glücklichen Gedanken, sie in der Form

a n\ + a'nl n₂ + a"n\ + bn₁ + b'n₂ + c

auf

He

(n)

a\ a Constanten, 6, b' und c dagegen lineare Func-

zu verallgemeinern, wo a tionen zweier Veränderlichen ut und u₂ sind. Sie gaben auch die Bedingung dass diese Reihe beständig convergent ist, und stellten mit ihrer

dafür an Hülfe periodische Functionen her. Mir war die Entwickelung

He

n

n² zTii + 2nvr.i

für die Function ü₃(î;) und die entsprechenden für die anderen elliptischen

Es lag

Thetafunctionen geläufiger als die eben erwähnte Jacobische Form.

*) Vgl. Bd. I S. 131 dieser Ausgabe.

Abelsche Functionen.

70

mir daher nicht nahe, denselben Weg einznschlagen wie Göpel und Rosen-hain. Ihr Verfahren, für zwei Variable die 0-Function in einer bestimmten Form von vornherein anzunehmen und aus ihr periodische Functionen zu bilden, bietet übrigens bei Verallgemeinerung auf mehrere Veränderliche grosse Schwierigkeiten dar; für mehr als drei Variable ist es überhaupt noch nicht durchgeführt worden. Auf den von mir eingeschlagenen Weg wurde ich durch die Analogie mit der Theorie der elliptischen Functionen in dem Punkte geführt, dass sich die Integrale erster und zweiter Art durch Logarithmen von nicht verschwindenden jF-Functionen darstellen lassen (S. 374).

Is eunundzwanzigstes Kapitel.

Beweis für das Nichtverschwinden der Determinante |ü>a/î|.

Der Übergang von der Function S(ut,...uç) zu der Function ... v^) erforderte (S. 523), dass die Determinante

nen Werth hat. Es würde daher, wenn ein bestimmtes Periodensystem

(²«V 2u/

nicht etwa für dieses System verschwindet.

Theorie der elliptischen Functionen gezeigt, dass keine der Grössen 2 tu und 2ü/, die zusammen ein primitives Periodenpaar bilden, jemals verschwindet. Für die Perioden der Abelschen Integrale

J{xy\, ... J{xy\

lässt sich ein analoger Satz begründen, der folgendermassen lautet:

Sind für die Integrale erster und zweiter Art

J(xy\, ... J{xy\, J'(xy\, ... J'(ocy\

irgend 2ç Systeme von je 2q zusammengehörigen Perioden

2riii ••• ²V>

ne*

einen von Null Verschiede

aß)

27]a(î, 27}^) gegeben ist, zunächst zu untersuchen sein, ob sie

Nun wird für

= 1 in der

2o)n . . . 2oj

1Ç •

²®n • • • 2(Uo

•• 2(Vçç> 2rÜç>    2lf]çÇ)

2rin • •• ²V’

Ql)

2(o;ç ... 2(o'ç,

²Vie • • • ²*4?

so bestimmt, dass die Relationen (A.) auf S. 330 bestehen, so hat die De-

70*

terminante

o)n ... u)1Q

(U

°V * * * ¹⁰ QQ

stets einen von Null verschiedenen Werth.

Das vorstehende System der Grössen u)a[i, io'ai, rja!j, rj'a[j werde mit

(a>, 7j)

bezeichnet, und es bedeute, wenn x eine der Zahlen 1, 2, ... 9 ist, das Grössensystem, welches aus (to, y]) hervorgeht, indem jedes Glied der xten Reihe durch das gleichstellige der (9 + x)ton Reihe und zugleich das letztere durch jenes mit entgegengesetztem Zeichen ersetzt wird.

Ferner werde mit (to)⁷' die Determinante bezeichnet, in welche to übergeht, wenn das System (to, tj)⁷ an die Stelle von (to,-/]) tritt.

Dann lässt sich zuerst zeigen, dass wenn für das System (to, tj) die Determinante to nicht gleich Null ist, auch sämmtliche Determinanten (to)⁷ von Null verschieden sind.

Es war (S. 535)

Hya^yß

u>

0 ,ß = 1,2, ...q)

gesetzt worden, daher ergiebt sich

o)Ttl = (o>)x

= W» • • • uïqq = H^-

Unter der über die Determinante to gemachten Annahme verschwindet also auch keine der Determinanten (to)⁷, wenn die Grössen x^ nicht gleich Null sind. Die Reihe

a,ß

(2nlv₁+ - +2nQvQ)ni+ 2 nan^xa^i

(n)

(S. 551) ist für alle endlichen Werthsysteme (vtf ...vç) convergent, also auch für das specielle System

0.

Man betrachte nun die Gesammtheit der Grössen, die durch den Ausdruck

Tli 2 naUßiap

e a'?

dargestellt werden, wenn nt, ... n unabhängig von einander alle ganzen Zahlen von — oo bis +oo durchlaufen. Sondert man alle diejenigen aus, für welche jede der Zahlen ... zwischen zwei Grenzen

— N und + N

liegt, so muss es aus dem eben angegebenen Grunde möglich sein, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d die Zahl N so gross zu wählen, dass jede der übrig bleibenden Grössen ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d ist. Daraus folgt, dass für einen hinreichend grossen Werth der ganzen Zahl x

7UX² 2 VaVaVa¹

<0

e

sein muss, wenn man für ... vo irgend ein System bestimmter ganzer Zahlen annimmt, die nicht sämmtlich gleich Null sind. Denn welchen Werth auch N haben möge, immer sind unter den Zahlen

XVj, Xl/₂, ... XVQ,

sobald der absolute Betrag von x eine gewisse Grenze überschreitet, solche vorhanden, die nicht zwischen -N und +N liegen. Daraus ergiebt sich nun weiter, dass der reelle Theil der Grösse

negativ sein muss.

Eins, alle übrigen aber gleich Null

Nimmt man insbesondere eine der Zahlen va gleich

findet sich, dass die reellen

an. so

Theile von

irn, n

sämmtlich negativ sind, sodass also keine der Grössen

und somit auch keine der Determinanten

(o)S (o))², ... W

gleich Null sein kann.

Nunmehr werde von dem Grössensystem (to,7]) nur angenommen, dass für dasselbe die Relationen

2 frlaß^cty ^aß^ay)

a = l

(ß,y = 1,2, ...q)

o    (ß^r)

Tri

2    W = A

bestehen und dass eine Function 8(ut,... u ) existire, die für alle im Endlichen gelegenen Werthsysteme den Charakter einer ganzen Function hat und den 2 q Gleichungen

8(ut + 2isytßt ... uQ+ 2wQß) = 0(w,,... uQ). e “

&(uv+2m'tp, ...u₉+ 20,'p) = 9(uit...uç).e

2i2r)aß(ua+ ^aß)

(ß = h2,... q)

genügt (S. 516).

Wir bezeichnen, wenn xl?x₂,... beliebig viele Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... ? sind, wobei es gestattet sein soll, dass jede einzelne wiederholt vorkomme, mit

*1²2

K?i)

das Grössensystem, welches aus (u>,7j)Xl durch dieselbe Operation hervorgeht wie (to, 7])²²

aus

(u),7j); ferner mit

dasjenige Grössensystem, welches aus vorgeht wie (oj,y])/3

Ferner werde mit (cd)²¹

aus (w, 7]); u. s. w.

... X,.

*1 ²2

durch dieselbe Operation her-

die Determinante bezeichnet, in welche to übergeht, wenn das System (to,7]) durch (to,**])²¹ ersetzt wird.

Wie im sechsundzwanzigsten Kapitel bewiesen worden ist, existirt nun jedenfalls ein System (io, yj)*¹ ” ', für welches die Determinante (u))*¹" einen von Null verschiedenen Werth hat (S. 529). Bezeichnet man die Elemente desselben mit ^,^,<5^,^, so gelten für die Function 0^, ...# ) auch die 2q Gleichungen (S. 530)

. VLf

Q(u₁+2S>1(f, ...uq+2S>Qß) = 6(ut, ...Uf).e

2 ²*lccfi(.ua + &afi)

0(m₁+2ô>;(!,...mç+ 2(5^) = ©fa, ...uq).e “ Nach dem eben Bewiesenen ist also auch

HXl

••• *r*r+i

für einen beliebigen Werth von xf+l nicht gleich Null. Daraus folgt weiter, dass jede Determinante

WX1

... x}. x,r+1. . .

wenn man von den Zahlen

einen von Null verschiedenen Werth hat

die r ersten so wählt, dass (io)*¹’"⁴¹’ nicht gleich Null ist, die

V ••• Vs

übrigen aber willkürlich annimmt. Nun lässt sich aber zeigen, dass in dem

Grössensystem

...*r*r+1 • • • *r+s

wie auch x , ...xr gewählt sein mögen, das ursprüngliche (to, vj) enthalten Denn es ist für jeden Werth von x das System

identisch mit (<u,7j),

ist.

xxxx

Ob⁷])

also auch, wenn x,, ... xm_1? xm beliebig angenommen werden,

identisch mit (w,^)*1 Daraus folgt, dass bei beliebigen Werthen von xi? ... xr das System

. . . Xm_ i ’Am    bw

• • • X»i—1

Ob⁷])^

mit dem zuerst angenommenen identisch wird, wenn man s = 3r und für die Beihe der Zahlen xr+i ... xr+g die folgende annimmt:

x,. xr x, xr_, xr_, xr_, ... Xj X, xx.

Hiermit ist bewiesen, dass auch die zu dem ursprünglichen System (w,*/]) gehörige Determinante u> einen von Null verschiedenen Werth hat.

Die 4p² Grössen

2oiai, ... 2(o

CiQ ?

2 öd'

(cc = 1, 2,... q)

und

2rlai ) • • • 2ria

die gleich den Werthen der Integrale J'H(xy)adx und fH\xy)adx (a = 1,2,...p) sind, wenn die Integration über die Kreise ... K,    ... K[ erstreckt

wird, bilden ein primitives System simultaner Perioden dieser 2p Integrale erster und zweiter Art (S. 337). Jetzt soll gezeigt werden, dass es keine reellen ganzen Zahlen ftt, ... p , vt, ... vo giebt, welche, ohne sämmtlich gleich Null zu sein, den o linearen homogenen Relationen

fh ⁰⁾«₁+----1 ^çO>aç+    H----+VQ(ii'ag = 0

genügen. Daraus folgt dann, dass die 2p² Grössen

••

für die Abelschen Integrale erster Art allein ein primitives Periodensystem bilden (S. 336).

Mit Hülfe der Formeln

2(oai, ... 2«)

(O

?»

ciq ?

2 (o'

cc l ? •

0    (ß^y)

1, (ß = y)

(« = b 2,... q)

O = 1, 2,... q)

ergiebt sich, wenn wieder

2 vy ~ßy    ~ß

gesetzt wird

#V + T/s = 2

g, (“)«/* (    ,    ,    ,    , )

— i#*i “«l + • •• + Pq <°aQ + Vl «>«i + * " + V (O j

und

+    + ••• + vqKq =^2i⁽vO/î + t/»)-

Existiren also reelle ganze Zahlen ft1? ... ft ,    ... v , für welche

(« = 1,2

ist, so genügen diese Zahlen den q Gleichungen

(ß = 1,2, ...p)

und umgekehrt. Oder wenn

gesetzt wird, wo tap und t’a^ reelle Grössen sein sollen, so müssen ftL, ... ft die 2 q Gleichungen

e»

i/,, ...

Pp + Vlt(Jl+"’ + Vqt(iQ = 0 Vltpl+    = 0

(^ = 1,2,... ç)

befriedigen.

Um zu zeigen, dass die Determinante dieses Gleichungssystems von Null verschieden ist, schicken wir folgenden Hülfssatz voraus. Sind yt1 ... yk homogene lineare Functionen von Tc Variablen x₀ ... xk mit reellen Coefficienten, und ist die Determinante dieser Functionen gleich Null, so lassen sich stets Systeme reeller ganzzahliger Werthe von xt, ... xk angeben, welche nicht sämmtlich gleich Null sind und für welche jede der Functionen yt, ... yk Werth erhält, dessen absoluter Betrag unterhalb einer beliebig klein angenommenen, positiven Grösse liegt.*)

Ist die Determinante der Functionen yt, ... yh nicht gleich Null, so kann man a? , ... xk als homogene lineare Functionen von y^ ... yk darstellen; es ist daher unmöglich, für ganzzahlige Werthe von xt1 ... xv die nicht alle verschwinden, die zugehörigen Werthe von yl1...yk Betrage nach beliebig klein zu machen.

einen

sämmtlich dem absoluten

mögen zunächst den unabhängigen Variablen xt, ... xk reelle Werthe zwischen 0 und 1 beigelegt werden; dann sind die zugehörigen Werthe von yt, ...yk endlich, d. h. es lässt sich

Verschwindet dagegen die Determinante, so

*) Vgl. Bd. III S. 117—119 dieser Ausgabe.

Abelsche Functionen.

71

eine positive Grösse G so angeben, dass für

0 < Æj < 1,    ...    0 < ^ < 1

die absoluten Beträge von yt) ... yk sämmtlich kleiner als G sind. Zu Folge der über die Determinante gemachten Voraussetzung kann man mindestens einer der Variablen xi7 ... xk, z. B. xt, einen beliebigen ganzzahligen Werth nt geben und dann xa1...xk so annehmen, dass yx = 0, ... yk = 0 wird. Sind dann ra₂, ... nh die grössten, in den so bestimmten Werthen von xt, ... xk enthaltenen ganzen Zahlen, und werden die Werthe, welche die Functionen y , ... yk für xl = ni, ... ock = \ annehmen, mit 2V, ... Nk bezeichnet, so ist

\Nt\<G, ••• |2V*|<G.

Nun sei d eine beliebig kleine, positive Grösse und mx, ... mk die grössten ganzen, in ••• — enthaltenen Zahlen. Wird dann

2V, = tn₁ ó + d

... Nk = mkÖ + dk

gesetzt, so ist

0<dt< ä,

....    0 < dk < â

mithin

v + 1-

Jedem bestimmten Werth von d entspricht demnach nur eine endliche Anzahl möglicher Systeme (iw,, ...mk). Wenn man daher für die ganze Zahl n1 mehr Werthe annimmt, als die Anzahl der möglichen Systeme {mx,... mk) beträgt, so muss man mindestens zwei verschiedene Systeme (nx,...nk) erhalten, zu denen identische Systeme (m,,... gehören. Bezeichnet man nun zwei solche Systeme von nx1 ... nk mit (»', ...«*) und (n",...rik) und die

zugehörigen Werthe von yx, ... yk mit 2V', ... Nk und 2V", . die reellen ganzzahligen Wierthe xx = n[ — n", ... xk — nk~nk

.. 2V", so ist für

2V-2V*",

mithin womit der Hiilfssatz bewiesen ist.

Aus der Annahme, dass die Determinante

0 Al--*

0 . . . 1 tqt ' • • tqq

0 t'n ... t[₉

0 ... 0 t'Ql ... t’q

der 2 p Functionen von ... p ,    ...

(0 = 1,2... .₉)

+

gleich Null ist, würde daher folgen, dass sich für ... p , vt, ... ganzzahlige Werthe finden lassen, welche nicht sämmtlich verschwinden und den Ungleichungen und

K^l+ — + V|»J <

d. h.

I Pß + V 1 < S

Und

genügen, in denen e eine beliebig kleine, positive Grösse bedeutet, zwar können hierbei schon die Zahlen vt, ... nicht sämmtlich gleich Null sein, da sonst auch ... p verschwinden müssten.

Wenn nun zur Abkürzung

dvu

.= W*(vt,...v₉) gesetzt wird, so ergiebt sich aus der Relation (S. 538)

- 2 va(2va + -«)Ki

+    +    ••• Vq+Pq+'q) = &(»»» •••»*)•*

in der ft1? ... p , vt, ... v beliebige ganze Zahlen sein können, durch logarith-mische Differentiation nach der Variablen

— —2rari (a = 1,2,... g).

ft(g)(”i + f*i + Ti> ••■”(>+fy+Tg) ^>1»-^) Ä(®i + f*i + Tn

Wählt man hierin für    ein Werthsystem, wofür ü(vt)... vQ) nicht

Null ist, und setzt pt, ...p ,    ...vç gleich den eben bestimmten ganzen

Zahlen, für welche JPj + tJ, ... |pç+xç| kleiner als e sind, so können die absoluten Beträge der linken Seiten dieser p Gleichungen durch passende Wahl von e beliebig klein gemacht werden, während wenigstens eine der Grössen | — 20^7^1, ... I — 2v TciJ nicht kleiner als 2ir ist.

Demnach ist die Determinante der obigen 2 p Functionen nicht gleich Null, woraus sich sofort ergiebt, dass auch

K,l

(a,ß = 1,2, ...f)

nicht verschwindet, was für manche Untersuchungen von Wichtigkeit ist. Daher lassen sich die 2p linearen homogenen Gleichungen

Pß + vjp i +    + Vi*e ⁼ °>

+ •*• + — ⁰

nur durch die Werthe Pj = 0, ... p = 0, vx — 0, ... vç — 0 befriedigen, d. h. es existiren keine reellen, ganzen Zahlen p1? ...    ... die nicht sämmt-

lich gleich Null sind, für welche die p Relationen

0»«,+ — +    +V, »«!+•••    = 0

gleichzeitig bestehen. Dies ist aber der zu beweisende Satz.

Hieraus ergiebt sich auch, dass man für eine Abelsche Function

= 0(w1}...wç)

(S. 461—462) nicht sämmtliche Periodensysteme aus irgend welchen r von ihnen durch Addition und Subtraction ableiten kann, sobald r^2p —1 ist. Denn angenommen, es sei r < 2p —1, und es seien

(2ßli?... 2üqX)

r Periodensysteme der Function, durch die alle übrigen Systeme in der gegebenen Weise dargestellt werden können, während sie selbst sich nicht weiter reduciren lassen. Ist dann

(2 u)ai, • • • 2u>aç,

(0 = 1,2,...*)

(a — i) 2,... e)

(l — 1,2,... r)

an-

...    2«>«ç),

oder wenn

gesetzt wird,

..    2(i)a ay)

das vorhin betrachtete primitive Periodensystem der Abelschen Integrale erster Art, so lassen sich reelle, ganze, von « unabhängige Zahlen mso bestimmen, dass

(2 tu

. . 2tu

2 tu

a, Ç+1 J •

(a = 1, 2,... p)

ist, wo m Determinante

r

= 2 ^y. X ^~aX X — i

.. myr für keinen Werth von x sämmtlich verschwinden.

WcrX

Die

h«x I

(x, % — 1, 2,... r)

der r Aggregate ^mi?QaV ... 2 mrx®ax ^ von Null verschieden, da sonst

q lineare homogene Gleichungen mit ganzzahligen Coeffi-

zwischen o>

. Ü)

« i»

cienten der Form

(a = 1,2, ...p)

'M-i 0>ai F -^2 u)a2 + *" + Mr<Öar = 0 bestehen würden. Daher giebt es r reelle, rationale Zahlen ... Jcr1 welche nicht sämmtlich gleich Null sind und die Gleichungen

r

2 m-aK = mf+ltx x = i

(i = 1,2,... r)

erfüllen, mithin wird

¹⁰a, r+x

r

2 K *«x

(« = 1, 2,... p).

Setzt man nun

Ar+1’

wo Kt, ... Kr1 Kr+1 reelle, ganze Zahlen bedeuten, von denen ausser Kr+1 wenigstens noch eine von Null verschieden ist, so ergeben sich die Gleichungen

(a = 1, 2,... p).

der Abel-

ein primitives Periodensystem

führen diese Gleichungen ebenso wie

Da aber die Grössen 2toai, ... 2u> sehen Integrale erster Art bilden die vorangehenden, zwischen coal, ... <oar bestehenden auf einen Widerspruch.

Eine Abelsche Function von q Variablen ist also in der That 2p-fach periodisch. Dies kann auch mit Hülfe der vorangeschickten Betrachtungen der früher (S. 465) erwähnten Abhandlung gefolgert werden.

aus

a, ap

SO

Dreissigstes Kapitel.

Die allgemeinen Thetafunctionen.

Auf Grund der für die Function f(ut,... uq) geltenden Gleichungen

(S. 515)

¹

S¹'«V(ïTa₍ï

²

1 ²2 ²3

^2 ^aß^a + ^aß) + f*'ßT.i

Q    (ß

J^^aß^a + Kß) -flßTTt

= 1,2,.. .Q)

f(Ui + ²<p,    Wç+2«)^) = f(ut,...uQ).e

in denen

...    Constanten bedeuten, lässt die 9-Function eine

Verallgemeinerung zu. Es war

_    Q

^ = 2 +

_    Q

*)« =    +f*J v)

gesetzt und dann 9(ux,...uç) durch die Gleichung

f(ut,...uQ) = ce^j + co,,... Wç+«>e).e

definirt worden (S. 517). Die Fundamentalgleichungen für die Function /’(«#,, ...«^) unterscheiden sich von denen der Function 9(wlł...w) (S. 516) nur durch das Auftreten der die Parameter ^, ... nfj, f/, ... /T enthaltenden F actoren

Wir wollen daher auch f{uv ... uÿ) eine 0-Function, und zwar die 0-Function mit den 29 Parametern p^ ... p ₇ p't1 ... pq nennen und

f(ult ...uQ) = CS(u1} ...uQ) p, p’)

setzen, wobei C eine Constante sein soll; dann ergiebt sich

(J

■=j    +

a

Es möge nun die Summe

2 [laK + y⁰»«)

mit

7] (Wj,...    ; /*,/*')

bezeichnet und die bisher willkürliche Constante C so bestimmt werden, dass

-Yj( Mn... WçJ ft, fl')

S(u1} ...uQ] p,p') = S(u₁+w₁, ... uQ+(oç).e

ist.

Am Schlüsse des achtundzwanzigsten Kapitels haben wir gesehen, dass die Entwickelung von S{u^ ... u^) auf die Form

g(ult...uQ;    Wç)

(w)

gebracht werden kann, wo g{ul,...u^ni1...n(}) eine homogene Function zweiten Grades ist. Demnach erhalten wir für d(ul7... p, p) eine Summe

G(u₁,...u(!ï nu...nQ)

(n)

in der G (ul7 ... w ; nl7 ... nj eine nicht homogene Function zweiten Grades ihrer 29 Argumente bedeutet.

Nun liegt die Frage nahe, ob bei willkürlicher Annahme einer allge-

meinen Function zweiten Grades G(ut, ...u]n

i» *

.. n ) durch die Summe

Q'

0(ult    nlt...nQ)

(»)

in der, wie vorher, ni, ... w unabhängig von einander alle ganzen Zahlen von — 00 bis +00 durchlaufen sollen, eine analytische Function von ux, ... mit

den charakteristischen Eigenschaften einer Thetafunction definirt wird. Damit diese Reihe für ein beliebig angenommenes System endlicher Werthe von utf ... u₀ convergirt, müssen die Coefficienten der Function G(ut,... uQ]nt,... w?) so beschaffen sein, dass der reelle Bestandtheil von

d*G

2 ^ dna dnß W“

KP = 1,2, ...q)

die nicht sämmtlich gleich Null sind, be-

für reelle Werthe von ständig negativ ist; und ist diese Bedingung erfüllt, so stellt diese Reihe eine transcendente ganze Function von ... u dar. Der Beweis für diesen Satz soll hier übergangen werden.*) Ferner darf die Determinante

d*G

dua dtip

(cc,ß = 1,2

nicht verschwinden, da sonst die Summe nach Multiplication mit dem Factor

e~Cr(uli...uQ] Oj• • ■ o) -n e»ne yunc^on

von weniger als q Argumenten übergeht.

Zunächst betrachten wir den speciellen Fall, dass an die Stelle der allgemeinen Function eine homogene Function zweiten Grades g(ut,...    ... nQ)

tritt, deren Coefficienten die beiden vorher aufgestellten Bedingungen erfüllen, und setzen zur Abkürzung

(« = 1, 2,... Ç)

q+a'

Dann ist die Summe

(»)

eine für alle endlichen Werthsysteme der Veränderlichen ut1 ... u in Form einer beständig convergenten Potenzreihe darstellbare analytische Function, welche wieder mit

d(uti...uQ)

bezeichnet und die allgemeine 9-Function ohne Parameter genannt

*) Siehe Bd. III S. 115—122 dieser Ausgabe.

werden möge. ¹) Die für die Convergenz dieser Reihe erforderliche Bedingung kann jetzt so ausgesprochen werden, dass bei reellen Werthen von w , ... n , die nicht sämmtlich gleich Null sind, der reelle Theil von #(0,... 0;    ... n^)

beständig negativ sein muss, während die zweite unter den Coefficienten g{u^ ... u ¹ nlt... n ) bestehende Bedingung aussagt, dass die aus den Coefficienten der q linearen homogenen Functionen g(u₀...uQ] 0, ...0) dasselbe ist, aus denen der Functionen g(0,... 0;    ... n)a gebildete Determi

nante nicht verschwindet.

Aus der Relation

von

oder was

•.••)«+ »«0K---; ni,• ¹•)<»+«Î

folgt, wenn (rat,... wy), (wt,... wq) und (Al?... A ) drei zunächst beliebige Grössensysteme sind,

9(»i + Wi, • ••; »i+a», •••) =    »ia„ ...)«

cc    "

+ |K+{h) ö'K, •••; a„ ...)

woraus sich nach Einführung von — la für Aa und na + Aa für na

l> • • •) + 2 (^o F "y ^«) g (W u • • ■ j Aj, . . .)a

+ 2K+vi) g(wv •••; — Aj,...)

a    ^

^(Wj + Wj, »i,...) =    +A

Q+a

ergiebt.

Jetzt mögen Xj,...x beliebige Grössen sein, linearen Gleichungen

Wj, ... aber aus den

g (Fä > • • • i Aj, ...) bestimmt werden, die mit Hülfe der Relation - A,,...)

Q+a

(« = 1, 2, . . . q)

o+ «

= W,...; 0,...)+a + g(0, ...; -A,,...)

o+a

die Form

(a = 1» 2,... q)

= 2¹«™ + #(0, --d Aj, ...) annehmen. Da die aus den Coefficienten der Functionen    ...; 0,...)

Q+a

Q+a

S I 9 l ? • • • j    > • • •)«    9 (^l > • • • J > * • ’)ç+ a j

a

^1» • • *)ç+a|’

-A

gebildete Determinante der Voraussetzung nach von Null verschieden ist, so erhält man für wt, ... wç lineare homogene Functionen von x₄, ... x , A sodass

.. A ,

Q⁹

— 2K^X|?U)«I«+ 2A(Stü^) gesetzt werden kann. Durch die Gleichungen

(« = h 2,.. ■ q)

(a == 1, 2,... p)

d. h.

g(wtl...] 0,.. .)a — g (0,... ; Aj,.. ,)a = TFa,

in denen wlt ... w die eben bestimmten Werthe haben sollen, mögen die Grössen W₁, ... W eingeführt werden, so ist Wa ebenfalls eine lineare homogene Function von xl5 ... x , At, ... A , und zwar sei

?

nun

(« = h 2,

Dabei sind die Grössen o)a(9j u>^,    rational aus den Coefficienten der

Function g{uxi ... u \ nx, ... n) zusammengesetzt.

Da in der homogenen Function g(ux1... uq‘ nx1... nQ) nur (2^>4-1) willkürliche Coefficienten Vorkommen, so müssen p(2p — 1) Relationen unter den 4Q² Grössen (oaj9, io'aß, tbestehen, die sich leicht aus der in der Gleichung

dy(yi>

dxv.

ausgesprochenen Eigenschaft einer quadratischen Form cp^,... #a?) herleiten

.. A') zwei beliebige Grössensysteme

lassen. Denn sind (/',... -/') und (A' ist für die quadratische Form ...; — A , ...)

i’ *

so

= Sjw’Lö'K, ...;

a

Setzt man mithin

so erhält man

2(²'4œ«/* + 24to«/î) =

2(²4V + ²^*Ja|ï) = ?

W[

w:

Zu Folge der Willkürlichkeit der Grössen xa, Aa, x', k'a ergeben sich hieraus die p(2p —1) Relationen:

-^aß^ay) = °>

Q

2 (^1aß way a = i

N i^iaß^ay    ^aß^iay)    d

0    (ß**y)

f. (ß = r)

2 i^laß    (iiaß'riay')

a = l

und umgekehrt geht die allgemeine Relation auch aus diesen speciellen wieder hervor. Dieses System von ç(2p — 1) Gleichungen entspricht dem auf S. 330 (A.) gefundenen, und es lassen sich aus ihm auch für die hier betrachteten Grössen u>a(S, ca^, rla^ 7]^ die Gleichungen (B.) auf S. 332 herleiten. Die Formelsysteme (A.) und (B.) werden also nicht dadurch bedingt, dass 2r^ß Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter

2u)    2«/

aßl

aßl

2yj

aßl

Art sind.

Nimmt man nun die bisher noch beliebigen Grössensysteme (n^ ... nj (x1?... x^), (Ax, ... sämmtlich als ganzzahlig an, so folgt

g{u₁ + w₁,

g («j,... ; n-i +    ,...) H- 2 Wa (ua + wa) + 2 2 na (na ■+• — ni

a    a

(»)

(n)

d. h.

e(ux+w i,...) = (-i)a

©K,

2 Wa(ua + ~wu)

Als Specialfälle sind, hierin die 2q Fundamentalgleichungen für die 0-Function

0 (u₁ + 2 tu

i/»» ’

0(tt₁+2a>;/„ ...) = 0(w,,

2%rlaß(.ua + wuß)

(/3 = 1, 2,... q)

enthalten.

Wir kehren jetzt zur Betrachtung der Summe

G(ul,...uQ\nli...nq)

(«)

zurück, bei der die im Exponenten auftretende Function G{ut,... nt,... nQ) eine allgemeine, nicht homogene Function zweiten Grades ihrer sämmtlichen

Argumente bedeutet, für welche die für die Convergenz erforderliche Bedingung erfüllt ist und die Determinante

d²G

dua dnp

nicht verschwindet. Es werde

G(ut, ...j M₁₍...) — g(ut,...5    > • • •) F 5r₁ (Wj, • • • j 7 • • •) F 9₀

g(ut, ... ; U y ...) eine homogene Function zweiten Grades,

Aus

gesetzt

gt(ut1..Wj,...) eine solche ersten Grades und g₀ eine Constante sei.

wo

der Relation (S. 569)

= g(u+    +    -jp'i

• • i 2 J * ’ *)?+«

in der (p', ...p') ein System willkürlicher Grössen sein soll, ergiebt sich für w. = 0, ... w =0

1    ’    Ç

g(u₁₇nt +    g(0,..

~ 2 (na + ~4 Pa) 9 (d? • mithin wird, da für die homogene Function ersten Grades die Gleichung

• * > 2    ' * ’)ç+a I

S(w«

a \

dg

besteht

Die Grössen ... ft' bestimmen wir nun mittels der linearen Gleichungen

•• •; y^i

Ö9r

-^(°f ”

•5 y^’

i ,

-, y^¹’ '

Q+a

•O

O+Of

ÖMa ’

(« = l) 2,... e)

in denen die rechten Seiten Constanten sind; unter der über die Deteimi-gemachten Voraussetzung ist dies stets möglich (S. 569). Füh-

nante

d²G

duadnp

ren wir ferner 9 neue constante Grössen ... fio ein, indem wir

'Q+tt

(« = !,2, ...q)

setzen, so erhalten wir

&K,...; nlf...) = g(ut,.

wobei eine von ... wx, ... unabhängige Grösse ist. giebt sich, wenn emit C bezeichnet wird.

Hieraus er-

= ^2*

?(«!,•••; %+Y?ih--) + 7ti2^«(wa+Tft“)

(«>

(n)

Die durch diese Reihe definirte Function hängt ausser von den 9(29 + 1) in g{ux,..nx,...) enthaltenen Constanten noch von den 29 Constanten in gx{ux) ...; n,...) und von g₀ ab, und in der That treten in der Entwickelung auf der rechten Seite zu den Constanten der Function g{ux,..nx,...) noch die 29 + 1 Grössen C, fia, fi'a hinzu, welche man bei passender Bestimmung der Coefficienten in G(ux,...;    ...) willkürlich annehmen kann.

Wird nun durch die Gleichung

= 8(ulf...uçi fi, fi')

die allgemeine 0-Function mit den 29 Parametern fit1 ... fiQ, fit, ... fiQ definirt, so ist 0(^,.; fi,fi), abgesehen von einem von f^, ... ^ unabhängigen Factor, die allgemeinste Function, dio aus der Reihe

2*

g(ut,...-, Wi+Y^i,-") + TCi2^a(w«+yK)

2*

entspringt. Die vorher betrachtete Function 0 (ux,... w ) ist gleich 0(ux,...    0,0).

die oben

Die allgemeine 0-Function mit Parametern lässt sich nun wieder auf die ohne Parameter zurückführen. Sind nämlich u)a/3, u>^, 7]WjS, definirten, rational aus den Coefficienten der Function g(ux,...; nt, .. •) gebildeten Grössen, und wird

2(^<V+#4«V) =

+ Pfiiaß) =

(a = 1, 2,... q)

rla

gesetzt, so ist (S. 569 und 570)

g ((Oi,— — (i'i,. ..)ç+ce

= Pc*™

und

= Tla

folglich

- 9 j • • •, Wj + 2 fh J ■ ' *) d" 2 Pafaa h 2 ^«) 4" 2 I ^iaO^a 4 2 W«) 4 f*a f*a '3T* | ‘

Führt man nun die Function 7](^x,... fi, p) durch die Gleichung 2 jï«K+    f*ffO

ein, so wird

p->pO

f*>fO = @(>i+<V ... Wç+a>ç).e

Diese Beziehung zwischen den beiden allgemeinen 0-Functionen entspricht derjenigen zwischen den speciellen 0-Functionen, die wir zu Anfang dieses Kapitels (S. 567) aufgestellt haben.

Es sollen jetzt die wichtigsten Relationen für die allgemeine 0-Function mit Parametern abgeleitet werden, und zwar wollen wir zunächst den Zusammenhang zwischen zwei 0-Functionen mit verschiedenen Parametern untersuchen. Wird entsprechend der Definition von cöa und ÿ\a

^(Vß (Daß + Vß (ü'aß) —    «)'a,

22 fy¹!«/» +V'(irlaß) =

gesetzt, wo (vx, ...v ) und (v', ...o/) zwei Systeme von beliebigen Grössen sind, so bestehen die Relationen

(a = 1, 2,... q)

ricc

~Y

= VaTti

9(Kt-i

= ria-

Aus der Gleichung

folgt nun, wenn cd' statt wK

woraus sich

ergieht.

so

Sind (ptf-'pQ) und (g¹,, ...£ç) zwei beliebige Systeme von ganzen Zahlen, folgt aus der Darstellung von 6(uif... u ; fi, g) durch die Summe

2*

g(ut, «i + -|-K> ...) +w* 2 #*«(*«+y**«)

(»)

unmittelbar

= 2*

(m)

®K,fH- ²Jb p' + ²tf)

(Wi + Sll + Y fł’b***) + łt®2łŁ« |(w« + 2a)+Y^aj +Tt®|i⁾af*a

da bei der Summation die ganzen Zahlen    • • • nQ+ 9Q durch nt, ... nQ ersetzt werden können. Hieraus erhält man die beiden Relationen

0(m,, ft, ft' + 2 q) =    ft, ft')

lind

Führt man ferner die Grössen 2o>a, 2yja durch die Gleichungen

2(²iv«v+ ²^a)«/î) = ²⁽⁰

(« = b 2,... p)

”*3 a (S "i

ein, so folgt aus der Relation zwischen zwei 0-Functionen mit verschiedenen Parametern

0 («J + 2 u>

i» •

..; ft, ft') = 0(wt,...; p + 2p, [i'+2q).e

r] (u,,... ; 2 j?, 2 a) + iri 2 (p« ft« - 2a ft«)

=    0(#i, •••;

Nach der Definition der Function ...; ft, ft') (S. 574) ist nun ri{uv 22>,2g) = 2 f 2i]B(wB+coB)

a

sodass sich

0(m₁+2o>i, ft, ft') = (-1)“

^LiPaSa ^^^CPaPa Sa Pa)

2²⁷)ßO« + <ü«)

ergiebt. Wenn also in 0(«tx,...; ft, ft') die Argumente ut,...u um die Grössen 2u>t, ... 2to^ vermehrt werden, so ändert sich die Function um einen Exponentialfactor.

Im Besonderen ergiebt sich, dass für Q(u ,...; ft,ft') die 2q Fundamentalgleichungen

2 2riaß(ua + ^aß) '2l2ri'aß(ua + U>'aß)

0(w*+ ²⁽°tß> ■••uQ+²<»Qß-, ft, ft') = e^nl Q(ulf ...    ft, ft'). e

0(w«+ 2<°iß,uq+²<»^] ft, ft') = e~fiP™S(u₁, ...uç; ft, ft'). e

(0= 1,2,...P)

Hieraus lässt sich durch dieselben

befriedigt werden (vgl. S. 566 — 567).

Schlüsse wie auf S. 520 — 521 folgern, dass es keine anderen Systeme von

Grössen (2(0^... 2wę, 2Yjl5... 2yj^) giebt, für welche eine Gleichung der Form

227]a(M« + U)a) ,

®(wi + 2tüj,= C<d(ux, besteht, als die in den Formeln

2(üa

= 2(2^ °>ap + 2^ <o'ap),

2rl« = 2(2^V +2^^)

für specielle Werthe der ganzen Zahlen pt, ...p , qt, ... qQ enthaltenen.

Die 2q für die Function 0(^,... uq] (i, (i) aufgestellten Gleichungen sind für diese charakteristisch, d. h. wenn eine Function f(üt1...w) für alle endlichen Werthsysteme der Variablen den Charakter einer ganzen Function hat und den 2q Gleichungen

/»» *

= 1,2,... e)

f(ui+ 2o>₁

S2ïla|ï(Ma + ü»,«|ï)“ï*/*n*

/XW1 +    • • •) - f(Uli

genügt, so ist

/■(«ii ---V = c0(«i„ ...wç; f*,fO

wo

c nicht von    abhängt. Dabei müssen die Grössen 2(oa(j,

Sind nämlich at, ... a ,

2(o'

ap

27ja(5, 27]^ die Relationen auf S. 571 befriedigen.

cQ zunächst beliebige Constanten, so werde die Function F{ut, ...uQ)

€i >

durch die Gleichung

eingeführt; dann ist

F(u₁ +2v)lß,...) = F(ui:...) .e

'2t2‘\rlctß(ua~act + loaß) + U>aßCa j +

2 2 j Y« («« - att + 0)^^) + m'aß Ca j - [iß «i

F(ut+ 20)^,...) = F(ut,...).e Bestimmt man nun die Grössen aa und ca mittels der Gleichungen

2 (y]aß    waä^ai)

a

'E²(ji'afiaa-<o'apÇa) = — ftp ni

(X

lipni

(ß — b 2,... ç)

es sind demnach aa und ca die vorher (S. 573) mit (öa und rju bezeichneten Grössen. Für die Function F{ux,... u^) bestehen daher dieselben 2q Fundamentalgleichungen wie für 0^,... uQ) (S. 516 und 571), und da eine Function durch diese und durch die Eigenschaft, für alle endlichen Werthsysteme (wi?...« ) den Charakter einer ganzen Function zu haben, bis auf einen con-stanten Factor bestimmt ist (S. 550 — 551), so erhält man

mithin

/K,...) = ce^+o),,...).« = c0(w„

Von den allgemeinen 0-Functionen mit den Argumenten ut1 ... u kann man nun, entsprechend den Erörterungen im siebenundzwanzigsten Kapitel, zu h-Functionen mit den Argumenten    übergehen. Die Constanten

in der homogenen Function zweiten Grades g{u^ ... nt1... wç) mögen die auf S. 569 angegebenen Bedingungen erfüllen, sodass

Q(ult...u) = 2«

(n)

g(uu...uq-, nt,...nQ)

für jedes im Endlichen gelegene Werthsystem (ut,... u^) den Charakter einer ganzen Function hat. Haben dann die Grössen toß4, <o'^, vja^, rj'ai die in diesem Kapitel festgestellte Bedeutung, so werde wieder

Ua = 2 2u>aßVßi \maß\ =

~aßi

so ergiebt sich

F(u₁ + 2⁽»llj, ...) = F(ut,...).e F(ut + 2«)' , ...) = F(ul}...).e

v 2r}aß(ua + waß) ^2rlaß(^a + Kß)

und (S. 331 — 332)

°a — 2 (pß ^aß + Pß ^aß) j

= 20^ + P'ß Haß) i

ca

~ 2 Hy a «V =

2 ^aß^lay Zßy

gesetzt. Die Determinante a> ist dann von Null verschieden (S. 558—560), und wie früher (S. 532 und 535) lässt sich beweisen, dass auch jetzt die Relationen

zaß - xßct

sfiy £yß

bestehen. Die quadratische Form

2 ^sßy vß

P<Y

die durch Einführung von eq, ... uQ statt ... v in

W77 2 (W)ay \iy Ua Uß ⁰⁽⁰ a, (St, y

übergeht, werde wieder mit

••• *><,)

bezeichnet, und sodann die Function b(iq,... u ) durch die Gleichung

definirt.

Diese Function, die für alle endlichen Werthsysteme (iq, ...vç) den Charakter einer ganzen Function hat, soll die allgemeine b-F unction

ohne Parameter genannt werden, die allgemeine 0-Function lassen sich dem Früheren (S. 534 und 537) ent

Aus den Fundamentalgleichungen für

sprechend die Gleichungen

und

...    +    = b(v„...Vç)

bfo + q, ... VQ+rQ) = Hvtt ...vq).e

-5>a(²«a + T«)*»

herleiten, in denen (fq,... [ij und    zwei beliebige Systeme ganzer

Zahlen sind und

Sv«? =

gesetzt ist.

Das Bestehen der vorstehenden Gleichungen war nun allein für die Entwickelung der b-Function in eine Fouriersche Reihe erforderlich (S. 549 —551). demnach gilt auch bei geeigneter Wahl des constanten Factors für die allgemeine b-Function die Darstellung

ni'2na(2va + nl TKl + --- + nv xftÇ)

(»)

und durch Vergleichung der Beihen für die Functionen 0(^,... u^) und v) ergiebt sich

nlf...nç) = z(v₁,---vQ) + ni'Zna(2va + nlxal + -'- + n(}TaQ).

Wählt man andererseits ~9(9 + 1) Grössen xa? beliebig, nur so, dass ißjS = Xßa und der reelle Bestandteil von für reelle, von Null verschiedene Werthe von ... n beständig negativ ist, so convergirt die Summe

2e7ti2\(²^+MiT«i+,"+w(-T«f)

(w)

für alle endlichen Werthsysteme {y^ ...v ). Dies ergiebt sich, wenn man in den auf S. 569 angestellten Betrachtungen

™2>«(2v«+§*w)

a    P

an die Stelle von

setzt; die zweite früher für die Function g(ul5... w ;    ... nç) aufgestellte Be

dingung ist dagegen hier von selbst erfüllt. Die durch die obige Summe definirte Function genügt dann stets den für die 0- Function geltenden Fundamentalgleichungen.

Da diese O-Function -p(p + l) unabhängige Grössen xa/S enthält, so ist sie allgemeiner, als die in den vorhergehenden Kapiteln untersuchte. Denn dort sind die Grössen TajS durch die Constanten der Gleichung    = 0 des

den Betrachtungen zu Grunde gelegten algebraischen Gebildes bestimmt. Eine gegebene algebraische Gleichung lässt sich nun, wie schon auf S. 60 erwähnt worden ist, rational so transformiren, dass die transformirte Gleichung ein Minimum von Constanten enthält. Durch Untersuchungen, auf die wir in diesen Vorlesungen nicht eingegangen sind, kann gezeigt werden, dass dieses Minimum für p = 1 gleich 1 und für p > 2 höchstens gleich 3p —3 ist; d. h. die allgemeinste algebraische Gleichung vom Bange p> 2 enthält 3p —3 wesentliche Constanten, und diese Anzahl lässt sich durch rationale Transformation nicht weiter reduciren. Für 4 hängen also die d-Functionen, welche mittels der Perioden der aus einem gegebenen algebraischen Gebilde entspringenden Integrale erster und zweiter Art gebildet werden, von weniger unabhängigen Constanten ab, als die hier definirten. Es tritt demnach bei den Thetafunctionen der merkwürdige Umstand ein, dass man durch Lösung des Jacobischen Umkehrungsproblems nicht zu den allgemeinsten Functionen der gleichen Beschaffenheit gelangt.

Entsprechend der zwischen den Functionen 0(^,    und Ofy,... v^)

angenommenen Relation definiren wir jetzt die allgemeine b-Function mit den Parametern fti5 ... ft , ft', ... ft' durch die Gleichung

• • • VQ) ft, ft').

Die Entwickelung von d(vl5 ...v ; ft, ft') ergiebt sich sofort aus der Summe

0(*i> • • •; *i+4-Pi, • • •) + ** 2 f*a(»»«+J- f*«)

a

©K, ...wç; ft, ft') =

(»)

durch welche die Function 0(^,... uq- ft, ft') erklärt worden ist (S. 573). Denn es ist

tfK,...««,; n1}...nQ) = e(v₁,...vQ) + Tzi^na(2va + n₁ral + --- + nçxaQ)

mithin

• •♦v ; ft,ft') = s« “

(«)

wenn

= 2#vtt(î

von

gesetzt wird. Die Reihe für ... ■y ; ft, ft') geht durch Vertauschung

aus

1 1 S na mit nu + j^ia und von va mit va+-^-fta

Wir wollen jetzt noch einige Eigenschaften der Function ••• ^5 ft, ft )

entwickeln. In der für sie gefundenen Summe werde zunächst an Stelle von

¹

Vgl. für das Folgende Bd. III S. 54—62 dieser Ausgabe.

«, ... wç)

(»i + 2i» ••• wç+^)

das Grössensystem

gesetzt, wo qt, ... beliebige ganze Zahlen bedeuten. Dann ändert sich die Function nicht, denn jede der Zahlen na + qa durchläuft ebenso alle Werthe von — oo bis +CO wie na selbst. Man kann aber statt dessen auch jeden der Parameter pa um die gerade Zahl 2qa vermehren und erhält daher

b(v1}...vQ; n,(i’+2q) = ü(yt,...vQ; p, p’).

Vermehrt man dagegen die Parameter p^...pQ um die geraden Zahlen 2p ^ ... 2j9 , so tritt aus jedem Gliede der Beihe der Factor

r.i^(na+YPa)²Pa e “    — e

r-i'ZPcHa

heraus, mithin ergiebt sich

&(vx,... p + 2p,p') = ö(v„ ... vQ) p,p').e

Durch Zusammenziehung beider Formeln folgt

&(«!»••• v f* + ²p, f»'+2î) =

Wenn man also die Parameter der 0-Function um beliebige gerade Zahlen ändert, so geht die Function in sich selbst über, multiplicirt mit einer von ... v unabhängigen Grösse. Diese Gleichungen hätten sich auch aus den entsprechenden für die Function 0 (ut,... p, p) herleiten lassen.

Nimmt man die Parameter p^...p^ p[, ... pr als ganze Zahlen an, so erkennt man hieraus, dass sich alle zugehörigen Thetafunctionen auf eine geschlossene Anzahl, nämlich 22?, zurückführen lassen, in denen sämmtliche Zahlen pp und p\ z. B. die Werthe 0 und 1 haben. In der Theorie der hyperelliptischen Functionen werden diese Parameter zweckmässig so gewählt, dass die Zahlen pp sämmtlich gleich 0 oder gleich —1, die Zahlen p'p gleich 0 oder gleich + l sind.

Die Functionen 0(ut1... p, p) und ö‘(v₁,... p: p) mit ganzzahligen Parametern p^ ... pQl p[, ... po sind durch einige wesentliche Eigenschaften vor denen mit beliebigen Parametern ausgezeichnet; insbesondere sind

sie stets gerade oder ungerade Functionen ihrer Argumente.

Die Glei-

chung (S. 573)

0(-MiJ----u ; ^;/P) —

(»)

lässt sich nämlich, da

9 ( ui ł • • • î + 2 Pi’ * * •) — 9(wi? • • • 5 wi 2"^, ...)

ist, auf die Form

2^«

(tln . . . Wç,; W, ₂ fd > • • •) ~ ~* 2 i“« («a + y 9a) '

(»)

bringen.

Setzt man nun hier —na— aa statt wtt, so ergiebt sich

g{uli • • •    ^1 + ~2 g'lt • • •) +    2 ^a(wa+ ~2 g'a)

(n)

= (-1)“

2 ga 9a

0(w1?...

Je nachdem also 2! f*u 9U eine gerade oder ungerade Zahl ist, ist    ft, ^')

eine gerade oder ungerade Function von ux, ... w .

Führt man in den Ausdruck der Function ö^,...    ; j», p) wieder

— n —ii an Stelle von w ein, so erhält man

et * a    u    /

*♦ 2 («a + y M-a) (-²^a - f*a +    + Y T«)

(**)

Addirt man diesen Ausdruck zu dem ursprünglichen und dividirt durch 2, so folgt, wenn wie früher (S. 551) die Function ^(w1? ...w) durch die Gleichung

™2w«t« = x(»u ••• nQ)

definirt wird

|2(2^a+fta)(wa + -^g'a)7rJ-

• V = 2e * («)

Wenn man nun den Cosinus des zusammengesetzten Arguments auf löst und

cos

1

w2 9<x9a = 9

& a

setzt, so ergiebt sich für

I)

= S(-i)

00

= 0 (mod 2) :

2 naPa X (nl + Y^l> •••)

e

cos

und für

H)

(-1)

#(*!»••• v f*»fO = SC-¹)

*    oo

2#*«/*« = 1 (mod 2):

CL

^naPa x(«i+ÿ^»”0 “ ^

Im ersten Falle ist also auch die Function 0(vl5...    ji, ft') gerade, im zweiten

ungerade.

Jetzt kehren wir zu den speciellen Thetafunctionen zurück, auf die uns die Lösung des Umkehrungsproblems geführt hat, bei denen also die Grössen 2ü)ö(9, 2(o^, 2tja?) 2rj^ Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art sind.

Einunddreissigstes Kapitel.

Darstellung der Abelschen Integrale zweiter und dritter Art

mit Hülfe der 0-Function.

Um die 0-Function mit Hülfe der Function ... u^) zu defmiren, hatten wir die in den Fundamentalgleichungen für f(u^ ... u^) (S. 514) auftretenden constanten, bisher noch nicht bestimmten Factoren C....C,

'    1 '    Q'

l5 •

.. C' durch 2q andere Grössen ^, ... fd, ... ersetzt und an Stelle

von diesen wieder ebenso viele Constanten to

. tji5 ... ÿj eingeführt (S. 515). Ueber die Bestimmung dieser Constanten ist Folgendes zu bemerken.

Die beiden Functionen    und 0(ax, ...w ) waren durch die

Gleichung (S. 517)

- 2 «(««+“«)

verbunden, aus der, wenn

d8(ult...uç)

(a)

= 0(WU...M?)

gesetzt wird

dlogf(ut,...uQ) =

i(

a = i \

(a)    _ _

0(m, + u>,, ... « + I» )

- -Tf]a

folgt. Andererseits ist (S. 510)

dlogf(ut,...u) = 2 J‘(«*₁ + *o1Œf... w+w )adw„, « = 1

mithin erhält man

••• Wç+Wç«)« =

⁽a)    _    _

0(“i+ mi> ••• “g+V

0(M,+    0łę)

Àbelsche Functionen.

74

oder wenn man u, — io. für ua setzt,

pp    p    ⁷

(a)

J(i*t + wla-üi, ... + w    =

(a)

Da nun 8(ut,... eine gerade Function ist (S. 583), also 0(«f,...w ) eine ungerade, so ergiebt sich

J'(-w₁ + wla-œll ... -Mç + wça-^)B + ^B =    +    ... Wç + Wça-Wç)„-^a

oder

(a = l, 2,... q).

J(-u₁+2wla-2<o₁,----u^₊2wQa-2o>q)a+ J(ut,...uQ)a = -2 rja

Hängen nun die Variablen ut, ... uQ mit den Paaren (xxyj, ... (oc yQ) durch die Gleichungen

?

H(xy)?dx = 2 !J K yY)ß - J K ôy )/» i

q r(xyyy)

»! = 2 /

y 1 (ay 6y)

zusammen, so ist (S. 477)

dJ(u1}... w )a = 2 E\xyyy)adxy y—x

mithin

)a 2 J {xy y y) a    Cc

r —¹

wo c', ... c' Constanten sind. Dabei sollen die Integrationswege (pz₀7>₀)...pzy7>y)) beliebig fixirt werden und diejenigen der einander entsprechenden Integrale J(xYy₇)a und J\xyyy)a dieselben sein.

Setzt man zur Abkürzung

2    = 2 wßy = cß>

y = i    y = 1

so gelten gleichzeitig die beiden Gleichungssysteme

(a = 1, 2,... ç)

w« = 2 J{xYyy)a-ca,

y = i

ç    ,

«7"(w, j . • • W.)a — 2 *7" (*£y yy)a

y = i

Lässt man nun alle Stellen pr^),... (x y ) mit (a₀b₀) zusammenfallen und

wählt die Integrationswege so, dass

wird, so ergiebt sich

Uß — — Cß

und die Formel

J(-u₁ + 2wla-2u>₁, ... -uQ+2wQa-2oiQ)a+ J(ulf ...uQ)a = - 2rja

liefert

J(et+ 2wla-2mlt ... Cç+ 2wça-2(1>Q)tt-ća = -2yj₀.

Erklärt man ferner q Grössenpaare (x[y'J, ... (V ï/'J für einen bestimmten Werth von a durch die Gleichungen

_    Q r(«yVy)

-uß + 2ivßa-2o>p = 2 /

y = 1*>A)

H(xy)ßdx —

y

und erstreckt die Integrale J{x'yy'yund J'{x'yy'y)ß wieder über dieselben "Wege, so kann man

= £ JVyVyX

y = l

J(-u₁ + 2wla-2(ö₁, ... -uQ + 2Wça-2u>Q)i

setzen; die Gleichung zwischen den Functionen J{—ut+2wla— 2«^,... —uq+2wqix— 2«)ç)a und J(ut,... u)a lässt sich demnach auf die Form

S J\*?yy)a + S J'KWa

y=i    y=i

= Ja

bringen, wo Ja eine Constante bedeutet.

Nun ergiebt sich aus den Ausdrücken für uß und —Uß + 2Wßa — 2wß

s J(x yy)ß+ 2 J{x'yyy)ß = 2Wßa-2uiß+ 2 2 J(ayby)ß

y — 1    ¹ 7 = 1    y = i

Denkt man sich die rechten Seiten dieser Gleichungen auf die Form

bestimmende Werthepaare sind, so

gebracht, wo    passend

folgt aus der Umkehrung des Abelschen Theorems für die Integrale eistei Art (S. 417), dass eine rationale Function R{xy)a

zu

vom

Grade 2 q existirt, die

für die 2p Paare {xlyl)₎ ...    ), (x[ yt), ... (#'?/') verschwindet und für die

...    unendlich gross wird.

eine rationale Function (2p)ten Grades R(xy)a für

2p Paare (a' &'), .

Umgekehrt, wenn

(xy) = (xyyY) (y = 1, 2,... p) verschwindet, und wenn ihre übrigen Nullstellen mit (&'?/'),... {x'y' ) und ihre 2p Unendlichkeitsstellen mit (Vè'),... (a^b'₃J bezeichnet werden, so besteht ein Gleichungssystem der Form

(/? = !,2,...<>)

Q    Q    2 Q

2 ^xyVy\ + 2 WM? = 2 J(AK)ę

ł — i    y — l    v = i

und nach dem Abelschen Theorem für das Integral JH\xy)adx ist (S. 428)

2 J\Xy Vy)a + 2 J\X'y lj'y)a = 2 «^K K)a ~ [log R (xt yt )B]

y = i

Hat dann die Function R{xy)a die weitere Eigenschaft, dass [logR{%tyt)a~\t gleich Null ist, und werden die Grössen ut, ...u durch die Gleichungen

Q    r(xyVy)

= 2 /    H(xy)pdx,

Y-lJ(Cty by)

... 5 durch

(0 = 1,2,...*)

a    Q r^'yVy)

Vß-Up = 2 / H(xy)pdx

r=lJ(ayby)

definirt, wobei eine Verwechselung mit den auf S. 506 — 509 ebenso bezeichnten Grössen nicht eintreten kann, so bestehen die Relationen

ç)a + J(**i > • • • M?)« — 2    ~ 2ca

V = 1

Um eine solche Function zu ermitteln, setzen wir zunächst voraus, das algebraische Gebilde

f{x,y) = 0

sei so beschaffen, dass die zu x — oo gehörigen w Werthe von y sämmtlich endlich und von einander verschieden sind (S. 117). Dann ist, wie im fünften Kapitel bei der Bestimmung der Zahl p gezeigt worden,

Z, H(xy\ + • • • + Kq H(xy\

eine rationale Function des Grades s — 2ç + 2n — 2 (S. 125 —126); dabei sollen specielle Relationen unter den Constanten ... i? ausgeschlossen werden. Von den 2^ + 2w —2 Nullstellen Hessen sich 2n unmittelbar angeben: es sind die n Paare, für die x unendlich gross wird, jedes mit der Ordnungszahl 2 gezählt. Für die Unendlichkeitsstellen (g^), (ga\), • • • ist f{x,y\ gleich Null (S. 119), und es sei für die Umgebung von (gx\) (S. 118)

xt = 9x + 9xt*x+ •••,

Vt =

Wir wollen jetzt den Grad der Function

H\xy)a+ 2    xy)?

P=\

untersuchen.

An jeder von (gjij, (#₂#₈), • • • und von («A) verschiedenen Stelle (ab) bleibt sie endlich; denn ist (xtyt) das Element mit dem Mittelpunkt (<ab), so hat man

und beginnt nicht mit einer positiven Potenz. Was ferner die Paare (g₂h₂), ... angeht, so seien diese erstens sämmtlich von (aaba) verschieden, dann gilt die Gleichung (S. 257, (I, 1 und 3))

x

dxt

H'(xtyt)a^ m

mithin folgt

$(*)•

S'(xiyt)a == t

Da aber ^>2 ist (S. 119), so wird H'(xy)a für (xy) = (gx\) unendlich gross und zwar mit der Ordnungszahl s]L-1, die sich erniedrigt, wenn    nicht

mit einer Constanten beginnt. Die Stelle (aaba) ist, wie aus der Formel (S. 257, (1,2))

S'(xtyt)a-i

= -r² + ^(0

hervorgeht, in die Reihe der Unendlichkeitsstellen mit der Ordnungszahl 2 auf-

zunehmen. Unter der gemachten Voraussetzung wird also H'(xy)a + '^tK H(xy)a den Stellen    (#₂ÄJ, ... mit den Ordnungszahlen ^ — 1,^—1, ...

nur an

nnd für die Stelle (aaba) mit der Ordnungszahl 2 unendlich gross, der Grad der Function ist gleich

+ 2.

m

Wenn zweitens (g h ) mit der Stelle (aaba) zusammenfällt, so liefert die Ein-

^ P    fi u    "    a a

führung des Functionenpaares (xtyt) für (xtyt) in die Formel

fJL tl    .    /    \

als Anfangsglied der Entwickelung von H'(xtyt)a die Potenz    sodass

das Paar (su +1 ) - mal unter die Unendlichkeitsstellen von H'(xy)a aufgenommen wrerden muss. Der Grad von H'(xy)u + 2K^H{xy)^ wird daher jetzt

su + 1 +    2 (ä — 1) >

also wieder gleich

2 (SJL~ ¹) +²-

Nun war (S. 120)

mithin ist H'(xy)a + 2 H(xy)ß vom Grade

ß 1    p

2 q + 2 n.

Wir betrachten nun den Quotienten zweier solchen Functionen:

H'(xy)a + 2 H{xy)?

S\xy)a + 2 Kp H(xy)ß

= R{xy)a

ß=*

und sehen zu, an welchen Stellen er unendlich gross wird, wenn die Constanten Kt, ... K, K', ... K' beliebige Werthe haben. Die Unendlichkeitsstellen des Zählers sind (aJJ,    (g%\), . •für dieselben Paare wird aber auch

derselben Ordnung, unendlich gross,

von

der Nenner, und zwar jedesmal sodass der Quotient endlich bleibt. Er kann demnach nur dann unendlich

werden, wenn der Nenner verschwindet, was für 2p+ 2n Stellen eintritt. Allein von diesen Werthepaaren kommen diejenigen, für die x = oo wird, nicht in Betracht, weil sie auch Nullstellen des Zählers sind; denn es lässt sich genau so wie auf S. 118 auch für die Function H'(xy)a zeigen, dass sie für x — oo wenigstens von der zweiten Ordnung verschwindet. Die Anzahl dieser Stellen ist, wenn man jede mit der zugehörigen Ordnungszahl rechnet, gleich *ln. Demnach wird die Function R(xy)a an 2p Stellen unendlich gross, d. h. ihr Grad ist 2p.

Es seien nun

KK),‘--«oKq)

die von den unendlich fernen Stellen verschiedenen Nullstellen des Nenners

[i = 1    ¹

der Function R(xy)a. werden, dass der Zähler

Die Coefficienten Kv ... Ff mögen jetzt so bestimmt

H'(xy)a +2^ H(xy)?

für die beliebig gegebenen Paare    ... (xQyq) verschwindet. Dann wird

R(xy)a noch an p anderen Stellen Null, die mit

(x[y[),...(x'Qy'Q)

Nach dem Abelschen Theorem für das Integral

bezeichnet werden sollen. jH'(xy)adx ist, wie schon vorher bemerkt worden,

2 J'(xvyr)a+ 2 J\x\y'X = 2 ^K^)«”[iog

y=l    r=i

Da aber

R{XtVt)a =

wird, so ergiebt sich

[lo gR(xtyt)a)t = 0,

d. h. die Function R{xy)a hat die Eigenschaft, dass bei ihrer Einführung in die Formel des Abelschen Theorems für das Integral zweiter Art JH {xy)a dx

das algebraische Glied wegfällt. Demnach erhält

man

s J'(*ryr)«+ i = s

==i    y = i    v

und nach dem Abelschen Theorem für die Integrale erster Art

(0 = 1, 2,.. .9).

Setzt man daher (vgl. S. 588)

*ß = ś K¹ 0»y yyV - J K &y)|* i

und

= 2 \J(x'yy\)?-J{aYhY)p}

y = i

und

so erhält man

Vß = JS J«    - 2 2 JK Jy)/î

Of    «    ²?

(}-u)a + J(u₁,...u)a = ^ J'{a'rVv)a-2ć0i.

r = l

Werden nun die Grössen    u/ durch die Gleichungen

(ß = 1,2, ...ç)

eingeführt, wo

«V = J(aaha)ß

ist (S. 486), so wird

_ _ 20 J{-ul+2wla-2iü[,...-u^2wQa-2iü'Q)a^J{ul)...uq)a = 2 J'(a*K)a-²C,

4 = 1

und für gilt die Formel

Die Grössen to',... «/ können noch in einer etwas anderen Weise dar-gestellt werden. Es werde eine neue rationale Function des Paares (xy)

durch, die Gleichung

= B(xy)a

2 KßH(xy)ß

ß = i ¹    ¹

•ff'(*y).+ 2 Z’3(xy)f

nur

definirt. Auch für sie werden Zähler und Nenner an jeder der Stellen O^), 00s)’*** mit derselben Ordnungszahl unendlich gross, sodass die Function nur an den Nullstellen des Nenners unendlich werden kann, und von diesen kommen die Stellen, für welche x — oo ist, nicht in Betracht, da für sie auch der Zähler verschwindet. Daher bleiben als Unendlichkeitsstellen die auf S. 591 eingeführten Werthepaare (a' &'),... (a'a?b') übrig, die Function R(xy)a ist vom Grade 2p. Sie verschwindet an der zweimal zu zählenden Stelle (aaba), für die der Nenner von der zweiten Ordnung unendlich gross wird, und für 2p—2 andere Werthepaare (piÇ₁)j-“(p2Q_₂q2Q_₂)j die übrigen Nullstellen des Zählers.

Nach dem Abelschen Theorem für die Integrale erster Art ist daher

2Ç —2

und man erhält

l ²?-2    Q

— y 2    2 J(,avbY)p

V := 1    y = i

2 JOr <lv)ß + 2J(aa ba)? =

(ß ⁼ 1) 2,... ç)

Endlich kann die Bestimmung der Werthepaare (pvqv) noch durch Einführung der Function

j^KßH(xy)ß

= B{xy)

2Q—2

®i» **

vereinfacht werden. Mit Hülfe der vorangehenden Betrachtungen ergiebt sich nämlich unmittelbar, dass B{xy) vom Grade 2p —2 ist und an den Stellen qaç_a ) verschwindet. Diese Stellen und damit auch die Grössen . sind demnach von dem Index a unabhängig.

Setzt man nun nach S. 109

H(ocy)ß =

&(vy)ß

f(?y\

kann man die zuletzt eingefiihrte Function auch in der Form

so

G,{xy)

2 %

(S = l ¹    ‘

schreiben, wo Zähler und Nenner ganze Functionen des Paares (xy) sind. Sucht man die Stellen auf, an denen der Zähler, aber nicht zugleich der Nenner verschwindet, so .erhält man die Werthepaare (pvqv)-

Bei der Bestimmung der Constanten scheint insofern noch eine grosse Willkür zu herrschen, als man die Grössen Ff* auf unendlich viele Weisen annehmen darf und daher auch unendlich viele Werthsysteme (pvqv) erhält. Es sei nun (j?xgj,... (p2Q_₂q2Q_₂) das System der Nullstellen einer durch Veränderung der Coefficienten Ff*, unter Festhaltung der Grössen FÇ, erhaltenen rationalen Function der zuletzt betrachteten Form. Dann ergiebt sich, wenn man das Abelsche Theorem auf die ursprüngliche und die veränderte Function anwendet und die ihnen beiden gemeinsamen Unendlichkeitsstellen eliminirt,

2Ç-2

2j5 — 2

(0 = 1,2

Hieraus ist ersichtlich, dass bei einer Veränderung der Constanten Ff* die Grössen wj* ihre Werthe behalten.

Diese Ergebnisse gelten zunächst nur unter der Voraussetzung, dass das algebraische Gebilde im Unendlichen die specielle, auf S. 588 angenommene Beschaffenheit hat. Allein es ist leicht, sich von dieser Beschränkung frei zu machen. Transformirt man nämlich die Gleichung

Ti) = ⁰

eines beliebigen algebraischen Gebildes durch rationale Substitution in eine andere

f{x,y) = 0,

welche die vorausgesetzte Eigenschaft hat, so wird

= ^K(tH(xy)pdx.

Multiplicirt man demnach Zähler und Nenner der rationalen Function mit J£, so erhält man

und gewinnt daher, wie auch die Gleichung des Gebildes beschaffen sein möge, auf die angegebene Weise immer eine rationale Function (2p —2)ten Grades von den verlangten Eigenschaften. Dasselbe gilt auch von den Functionen R{xy)a und R(xy)a, mit deren Hülfe die Grössen    zuerst

bestimmt worden sind.

cd in einem ein-

Mit den Grössen    oT stehen die gesuchten

fachen Zusammenhänge. Aus einem Gleichungssystem der Form (vgl. S. 592)

(cc = 1, 2,... q)

J(-u₁+2wla-2ü'₁,...)a + J(ul,...)a = -2^[

in dem    von uxl...uQ unabhängige Grössen sein sollen, folgt nämlich

in Verbindung mit

(cc =

die Gleichung

«7'(-M₁ + 2t0la-2œ'₁,...)«-c7‘(-tt₁ + 2tcla--2a>₁,...)B = 2^-2^,

d. h. (S. 585)

(a)

0(^ + 2 o,—u>o,..,)

(a)

e K,...)

= ²(va-v'a)

und demnach

S2(ïj a-%-)ua

WO

A eine Constante bedeutet. Nach dem auf S. 520 — 521 Bewiesenen kann diese Gleichung aber nur bestehen, wenn

(cc = 1, 2,... q)

2ä>« = 2wa+2(ua,

² Va = ² Va +²Va

E(æ₀?/₀; mi; ... Mp)

E{xy\ ul} ...Uo)

ist, wo (2(0^ ... 2<o?, 27]t,... 2v]ç) ein System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art bedeutet. Es unterscheiden sich also im Besonderen wl5...S von den Grössen ü>',    nur durch ein System simul

taner halber Perioden der Integrale erster Art; durch welches, bleibt hier unentschieden. Man kann daher die Integrationswege der Integrale J\pvqv) immer so bestimmen, dass

I*

_    ^ 2Ç-2    e

«V = - 2 rS J + 2 J K ör)/5

Es sei noch bemerkt, dass die Grössen t^, ... tj mit den auf S. 586 eingeführten c', . ..<f in einfacher Weise Zusammenhängen. Aus den beiden Gleichungen (S. 586 und 592 )

(/? = !, 2

wird.

el( u₁ 2 m?10£ 2 u),, .. .)a -f- J(u₁j .. .)„    2~iia

j(~Ul + 2ivla-2ü'l,...)„ +    •••)« = 2 JXKK)«-²<

"V = 1

deren zweite wegen

² <*>« = ² «><* + ² o>«

auch in der Form

2«?

Jr(-w₁ + 2wla-2co₁, ...)« + ^K,...)« = 2 '⁷'K&v)«-²Ca + 2yja

geschrieben werden kann, folgt nämlich

1 ²e

*1« = --Ö-S    +

^ r = 1

r= 1

Wenn man die Grössen o^, ... kennt, so kann man vermittelst der auf S. 518 aufgestellten Gleichung

E(xy, x₀y₀; mx, ...mç) =

0(— ^1+ 0),, ...) 0(wt — wt+ «),, ...)

_    *    o _    ' ^

0(— Wx+ °>D •••)    0(W,—Wj+füj, ...)

2 I J (æy)a J'faoVo )a\ua

einen Ausdruck für das Integral dritter Art herleiten, und 469)

Hierin ist (S. 481

E(xv, xoVo; ui, • •• V =

₌    ? E(XV\ xßy^, a^ß)

ß = 1 E(xo Voi xßV^ aßbß)

eine eindeutige Function sämmtlicher Grössen, von denen sie abhängt.

An Stelle von ... u werde in diese Gleichung ein anderes Grössensystem u'f ... u' eingeführt, zu dem die Paare (x[y'), ... (Vy'J gehören mögen, sodass

u’

ce

(« = h 2,... e)

Aus der so entstehenden und der ursprünglichen Formel folgt durch Division (S. 386), wenn statt ü^,... die durch die Gleichungen

ist.

(ß = 1,2

detinirten Grössen ... w eingesetzt werden,

E{xy,xoyoiun •••«<>)

E(xy,x₀y₀] u\,... u')

0 _ * _ ^

©(Mj —    —    ...)    @(w' — w,—    ...)

r “    xaya, x'M

t    i

Q

₁ («a- O {*7'0»y)« - «Pfo y₀)a}

Man kann diese Gleichung dadurch specialisiren, dass man sämmtliche Paare {x^y^) und {x?y’^) bis auf zwei zusammengehörige, etwa {xty^) und (x[ 2/'), gleich (a₀ 6₀) annimmt. Setzt man dann, der Definition von wa = J{xy)a (S. 486) entsprechend,

J{x₁y₁)a =

J{x[y\)a = W'l

a    af

so reduciren sich ua und ua auf w — ca und w^ca. kürzung

(ß = 1,2,... q)

Führt man ferner zur Ab-

l 2Ç-2

~2 2 J{Pr<ly)a =

* r = l

(ß = l, 2,... e)

ein, woraus

w«-c«

folgt (S. 586 und 596), so ergiebt sich

A («o Vo j x₁y₁, xM

1

0 (w —

- »i.

2 (w-w')jJ'(xy)a — J'(xay₀)a\

a = l    v

10 ¹ ~

0 (w — w₁ — tv₁, ... )    0 ( w'— w, — Wl, ... )

Nun ist

Ejccy] x.y^x'M

E(x₀ y₀ , xxyl} xy y y )

/■(®i2/i) f    ¹    .

/ j H(xy, x'y') - H(x₀y₀, x'y')\dx' = log

My[)

mithin lassen sich, ähnlich wie in der Theorie der elliptischen Functionen, die Integrale dritter Art durch Logarithmen von 0-Functionen ausdrücken, deren Argumente Integrale erster Art sind. Allerdings treten dabei zunächst noch Integrale zweiter Art auf, doch können diese ebenfalls durch 0-Functionen und ihre Ableitungen dargestellt werden.

Wir greifen, um dies zu beweisen, auf die Gleichung

ria

J(ut+ wla, ...)ß

(a)

0 (Uy + tÜ, , . . . )

0(^1+ ...)

zurück, die, wenn Up — Wpa für Up und top = — Wp gesetzt wird, die Form

J(uv...uQ)a =

(«)

0 (Uy — W

G(Uy-Wy-Wya, ...)

rla

«rhält. Nimmt man hierin Up = — Cp, benutzt die Relation (S. 587)

J    ^>)a

und subtrahirt die entstehende Formel von der ersten, so erhält man wegen

J(ulf    Uq)a + Ća

Q

= 2 J'(*ryr)a y = 1

(S. 586) die Gleichung

Q

2 J'(xYyY)a =

Y=i

ICC1

(or)    _

0(Uy-Wy-Wya, ...)

S (Uy — Wy — W

(«) _ 0(— Cy— W

0{-Cy-Wy~WyaJ ...)

Setzt man jetzt sämmtliche Paare (xyyy) gleich (a₀b₀) bis auf eines, das mit (xy) bezeichnet werden möge

so

folgt, da

ua = J [xy)a — Ca = wa-ca

wird

(ß)

0{Wy—Wi—W

1 ct ?

0{Wy-Wy-Wya, ...)

(«) ^

. ..)    0(— Wy— W

...)

0(-Wy~Wia, ...)

oder allgemeiner, wenn J(xoyo)a — wa gesetzt wird,

J,(^y)a-J\oc₀ya)a =

S(w₁ — w₁ — wiaj ...)

(a) o ^

0(w, —w₁ — wla,

Dies ist der Ausdruck für das Integral zweiter Art durch die 0-Function. Denkt man sich ihn in die Formeln für

E(xy, x₀y₀•

und

r(xiyi)

/ j H(xy, x'y') - H(x₀ y₀, x'y) j dx' y'i)

eingesetzt, so sieht man, dass auf den rechten Seiten nur noch 0-Functionen, deren Argumente aus Integralen erster Art gebildet sind, und die ersten Ableitungen solcher Functionen Vorkommen.

Zweiunddreissigstes Kapitel.

Die Werthsysteme, für welche die 0-Function verschwindet. Aus der im vorigen Kapitel (S. 597) aufgestellten Formel für die Function

E(xy,x₀y₀] u[,... w')

lassen sich die Argumentensysteme bestimmen, für die die Function 0(wt, ...w ) gleich Null wird. Die Function auf der linken Seite dieser Formel, in der die Paare (x[y[),... (#'so gewählt werden sollen, dass 0(m' — wx —    ...)

nicht gleich Null ist, verschwindet, wenn man (xy) gleich (xaya) (a — 1, 2,... <p) setzt (S. 480, (3)), und aus der Gleichung

E{xy,x₀yü]u[,...uq)

folgt alsdann

©(m,— wt — wlf ...) = 0.

Nun ist

ua-wa = ßJ(xßyp)a - J(xy)a - ca)

nimmt man also z. B.

{xy) = (xQyQ)

und setzt zur Abkürzung

Q-l

2/(*ßyß)a

= ta

(a = 1,2,... ç)

Es könnte sein, dass ausser den Werthsystemen (t₁ —    ... t — wQ) noch

andere existiren, für welche 0(^x,...w) = 0 ist, da auch der zweite Factor auf der linken Seite der Ausgangsgleichung verschwinden kann. Wir müssen daher noch auf einem anderen Wege sämmtliche Werthsysteme ermitteln, für welche die 0-Function gleich Null wird.

Angenommen zunächst, die Gleichung

ÖOh-wä, ... uQ-wQ) = 0

gelte für ein nicht singuläres Grössensystem

(& — 1> 2,... (?) von Werthepaaren (x^y^) den Gleichungen

ua = h

sodass man nur ein einziges System

(« = 1,2

so verschwindet die Function 0(^ — w± — w

Ua—Wa = ta-Ca.

i? •

..) für

Mit anderen Worten, die Gleichung

gilt

wenn

^a    Ca Wa

(a = 1, 2,... q)

oder, da

Wa =    - Ca

ist (S. 597)

ua — K Wa

(cc = 1, 2,... q)

Die in ta enthaltenen Integrale können dabei über beliebige wenn nur die einander entsprechenden Integrale J{xpyp)ii ••• J(x?yp)Q sich auf denselben Weg beziehen. Denn vermehrt die Grössen ... um ein beliebiges System zusammengehöriger Perioden, gebt die 0-Function in sich selbst über, multiplicirt mit einem Exponential-factor (S. 516), d. h. sie wird auch für das veränderte Grössensystem gleich Null.

gesetzt wird.

Wege erstreckt werden

man

so

Q

= 2 J(%ßyß)a-Ca

gemäss finden kann (S. 457—459). Nach den Formeln auf S. 585 in Verbinchmg mit der Gleichung iow = — wa ist

_    Q    _

tflog    = 2 {Jfa + Ww ...)«+

a = i

und hieraus folgt, wenn ... k' beliebige Constanten und x eine Variable bedeutet,

Q    _

d log Q    —    ...) = 2 \J(K + KT + Wla, --Oa + Tal^dT.

a = i

Für hinreichend kleine Werthe von ] x j besteht nach S. 510 eine Entwickelung der Form

dlog0(Ä₁ + ^t—wx, ...)

dv

— fl T ¹ + $(x)

wo fi positiv sein muss, denn für fi = 0 würde 0(^ —    nicht ver

schwinden. Demnach wird in der Summe

2 I + ^G+ Wia, ...)«+ j K

..) für t = 0 unendlich gross.

so kann man die

mindestens eine der Functionen J(Jct + Äj-x + w Da nun das Grössensystem (Ät,... kJ nicht singulär ist,

Grösse t dem absoluten Betrage nach hinreichend klein und so annehmen,

••VV + wf„) gilt

dass das Gleiche auch für das System (äi + ä't + w (vgl. S. 501 — 503). Gehört zu ihm das System von Werthepaaren (&'«/'), ,.. (%'Qy'Q) vermöge der Gleichungen

(a = 1, 2,... p)

K + K T + W*y = 2 Jy’p)a - Ga J

so wird (S. 477)

äJ(k₁ + k[T+wla, . ..)„

--

dx'p

(« = b 2,... q)

Auf Grund dieser Gleichungen kann aber ein Unendlichwerden einer der Functionen J(k₁ + k'lx + w , ...)w für x = 0 nur dadurch eintreten, dass eines der Paare {x^y^) mit einem der Paare {ayby) zusammenfällt (S. 257). Bei passender Wahl der Bezeichnungen ergiebt sich dann für x = 0

di

O-l

K + Way = 2 J(Xß Vß)a + Way ß — i

oder

Wenn also Q(ut,... u ) für ein nicht singuläres System (u^ ... u) verschwindet, so ist hinreichend und nothwendig, dass ut1 ... u die Gestalt

(« = 1 »² » • • • Q)

W« = ta-™«

haben.

chungen

Es sei zweitens (e^,...w) ein singuläres Werthsystem, sodass die Glei

Ua =

Q__

^J(xßiyß)a

ß—i ¹

-Ctt

durch unendlich viele Systeme von Grössenpaaren    ... (x yQ) befriedigt

R (xy), die endlich gross wird, keitsstellen wie R(xy) ; sind daher (#'?/'),... (x yihre von (a₀&₀) schiedenen Nullstellen, so ist

werden können. Dann existirt (S. 458) eine rationale Function pten Grades nur an den Stellen    ... (%Qy ) von der ersten Ordnung un-

Die Function R(xy) — R(a₀b₀) hat dieselben Unendlich-

ver-

Q

y?)a = 2 J(xy y'y)

ç-i

(a — 1, 2,... ç)

mithin erhält u die Form:

ua

Q-¹

= 2<G»r)«

y = i

r{xy)

H(xy)adx + / H(xy)a

Da jetzt das Paar (xy) als Grenze der Integrale erster Art erscheint, also an die Stelle eines Paares (xaya) getreten ist, so wird (S. 480, (3))

und daher wird

ua + w

(XyV'/)

(aYby)

dx

(a = 1,2,... p).

R(xv, xoVoi K + Wi

Schreibt man demnach die Gleichung, von der wir in diesem Kapitel ausgegangen sind, in der Form

0 (u₁ + w₁ — w₁ — w₁, .. .) 0 (u\ — w

2 (“«-<) j    - J'(xo y₀)a j

E(xy, x₀y₀; u, + w

-O

R(xy, x₀y₀] u't + w

— 0 (Mj — w,, ... ) 0 (u[ + w₁ — w₁ — w so ergiebt sich, dass für alle singulären Werthsysteme (wx,... üQ) die Gleichung

©(^-ą,... ü-w) = 0

besteht.

Dreiunddreissigstes Kapitel.

Darstellung Abelsclier Functionen.

Schon im zweiundzwanzigsten Kapitel (S. 461—462) sind die rationalen symmetrischen Functionen der durch die Gleichungen

(0 = 1, 2,... q)

H(xy)pdx

e r(®aya)

uß = 2    /

a=lJ(aaba)

definirten Werthepaare (xxyi)₎... {%qyQ) als Abelsche Functionen der Argumente ... u bezeichnet worden. Eine ausgedehnte Klasse solcher Functionen hat die Form

II F(xaya)

wo F(xy) eine beliebige rationale Function des Paares (xy) bedeutet. Nach dem im vorigen Kapitel Bewiesenen hat es keine Schwierigkeit, Functionen dieser Art durch 0-Functionen darzustellen.

Es seien

die Unendlichkeitsstellen und

die Nullstellen der Function F{xy). Ferner sei (If if?) das die Umgebung von (|v Y]r) darstellende Functionenpaar, lv die zu dieser Stelle gehörige Ordnungszahl, so dass

V    |î = l

und für die Entwickelung in der Nähe der Unendlichkeitsstelle (£'7]') mit der Ordnungszahl l[ gilt eine ähnliche Formel, in der nur —V an die Stelle von l tritt. Nach S. 264 kann daher

V

dlogF(xy)

dx

gesetzt werden. Wie aus den dort angegebenen Formeln ersichtlich, treten zu dem Ausdrucke rechts weder Functionen H'(xy)ß noch die Ableitung einer rationalen Function des Paares (xy) hinzu. Da nun für jede rationale Function die Anzahl der Nullstellen gleich der der Unendlichkeitsstellen ist, wenn jede mit der zugehörigen Ordnungszahl gerechnet wird, so kann man, indem man in die Reihen    und (|'t]'),... jede Stelle so oft auf

nimmt wie die Ordnungszahl angiebt, auch einfach schreiben:

d log F(xy)

dx

ist. Dann folgt

dlogFWn?)

dt

Hierin ist

'd\ogF(xtyty

dt

= logF(xtyt) .

Bezeichnet jetzt (ab) eine beliebige, nur von den Null- und Unendlichkeitsstellen der Function F(xy) verschiedene Stelle des algebraischen Gebildes, so folgt durch Integration

r(xy)    •    q    ripcy)

2 /    1 V X'y’)-H{x'y')\dx' + 2 c<» /    3(x'y')fdx'.

^    ab)    "'(ab)

I

r(xy)

/    \H(^ v x'y')-H(^, x'y')\dx' = log

J(flb)

log

F(xy)

F\äb) ~

Nun ist (S. 598)

FUM xy, ab) ab)

mithin wird

F(xy)

F (ab)

A EdpUr) xy, ab) ?

xy, ab)

eingeführt, und wird

ß= 1,2,...f

/* = 1|2 ,...Q

Wpn = WpH'ii)?

folgt (S. 597)

Während früher (S. 390) eine rationale Function F{xy) durch ein Product von E - Functionen des Paares (xy) ausgedrückt wurde, erscheint sie hier dargestellt mittels eines Productes von E-Functionen, in denen das Paar {xy) als Parameter auftritt. Setzen wir in die letzte Formel statt {xy) der Reihe nach die q Werthepaare (a^),... (%QyQ) ein, so erhalten wir durch Multiplication

rr F(x«y«)

¹¹ F {ab)

- tt tt    ah)

~    ¹¹ F(|;tj;,- xaya, ab) 'e

.. u und u,

Q    ¹

Q

Uß = 2 J&aVaXS-C«

a = i

cc = i ix

Werden sodann die Variablen u

x’ *

1» '

a.[j

.. ii durch die Gleichungen

und

u'ß — q J{ab)ß —

(ß=l,2,...Q)

gesetzt, wobei eine Verwechselung mit den auf S. 486 eingeführten Grössen wßii • • wßQ ausgeschlossen ist, so

Ą F{xaya) «üi F {ab)

ß E(î,xrhl, % Yju\, ... uQ)

Il

^(Uß-Uß)

-j BK-ą-wltt,.,.) e(w;-«)₁-«g;/t,...)

tj ök-w-«;,•••)    ...)

.e

2 2 {ua-K)\j\^)a-JUWa j Î C&(Uß-u'ß)

ft a = l    e(î = ¹

Setzt man endlich

so ergiebt sich

TT    y à)

H F {ab)

2 ba(ua ua)

...) .

L/    ...) S{u[-Wt-Wifl,...)

Nun hat man nach dem Abelschen Theorem für die Integrale erster

und zweiter Art

(«)

H\xy)adx = - [log F(xtyt)] = -da)

H{xy)adx = 0

(« = 1» 2,... 9)

* Aw

wenn die Integrationswege passend und in beiden Gleichungssystemen übereinstimmend gewählt werden. Fixirt man daher die Integrationswege der Integrale wau und w' in geeigneter Weise, so ist

und

mithin

,u

ta)

7ca = 0.

In der obigen Formel fällt demnach der Exponentialfactor weg, und man erhält

A

«Ul F(a6)

Dabei sind die Integrationswege für die in ... u und u'^ ... yorkommenden Integrale willkürlich, während für die Grössen w und vf die Bedingungen

0(u₁ — w₁ — wlu, ...) 0...) _

L/ Q(»t-Wt-W't , ...)    w , ...) ‘

bestehen.

-Uf ) = 0

(a — 1, 2,... (?)

Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die betrachtete Function unabhängig von dem Werthe der Zahl q durch ein Product von Quotienten von 0-Functionen dargestellt werden kann, deren Anzahl gleich der der Nulloder Unendlichkeitsstellen der Function F(xy) ist.

Ist z. B.. F(xy) eine lineare Function von x und y, so giebt es r Werthe-paare (S. 155), wofür sie Null wird, wenn r, wie früher, die Dimension der Gleichung f(x,y) — 0 bedeutet. Die Anzahl der Factoren auf der rechten Seite wird also in diesem Falle gleich r.

Stellt man sich die Aufgabe, eine beliebige rationale symmetrische Function der Paare (xiyx), ... (xQyQ) als Function der Grössen ... uç darzustellen, so wird man die Lösung dieser Aufgabe dann, wenn das algebraische Gebilde durch eine specielle Gleichung gegeben ist, leicht dadurch vereinfachen können, dass man zunächst gewisse einfache symmetrische Functionen, aus denen sich alle übrigen Functionen derselben Art zusammensetzen lassen, in der verlangten Form ausdrückt. So spielt für p = 1 die ^-Function eine ausgezeichnete Folie, insofern alle elliptischen Functionen rational durch <@u und (jp'u darstellbar sind.

Wie in der Theorie der elliptischen Transcendenten bewiesen wird, lässt sich jede elliptische Function auch in der Form

q 6 (u — ux) 6(u — w„)... 6(u — ur)

6 (u — vt) 6 (u — va) ... 6 (u — vr)

darstellen, wobei zwischen den Grössen ut, ... ur und ... vr die Beziehung

M, + U₂ 4- • • • +    — Vx -j- V₂ + • ' • + Vr

.. ur, v , ... vr beliebig, aber dieser Bedingung

i’ •

besteht. Umgekehrt, wenn u gemäss angenommen werden, so ist dieser Quotient eine elliptische Function. Diese Resultate bleiben bestehen, wenn statt der 6-Function eine der 0-Functionen einer Variablen eingeführt wird.

Der letzte, eben erwähnte Satz lässt sich nun leicht auf Functionen von ę Variablen ausdehnen. Es sei

Q rfaaDa)

h = 2 / H(xy)ßdx

a=¹‘W«)

ist bei beliebigen Werthen der Grössen

so

und (2(ot, ... 2o)ç, 2^,... 2k] ) ein System simultaner Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art

Ki ••• v ••• K (s-⁵¹⁶)

0(^+ 2»),-u[, ... uq+2u>q-u'q)

Qfa-K,... uQ-u'Q) i

®(u₁+2(0i-v'₁~..uq+2u>q-v'q) ~    ... uQ-v'Q) ⁶

22*la(Va-<)

Der Quotient

... uQ-v'Q)

ändert sich demnach um einen

Exponentialfactor, wenn die Argumente

...2(0 vermehrt werden. Sind nun

ut, ... Uç um 2(ol5

r Systeme von je 2p beliebigen Grössen, so ergiebt sich aus der vorhergehenden Relation

X = ¹ 0(wx + 2CÛJ — vx, ...)

Genügen daher die Grössen u1} ... vç den p Bedingungen

7. — 1

= S

X = t    7. = 1

2²łJa(2«L-2 m«)

a X    x

(«. — 1. 2, ... 9)

so ist, wenn C eine willkürliche Constante bedeutet, die durch die Gleichung

cn

definirte Function cp(wx, . ..m ) 2p-fach periodisch, da für sie die Relationen

<p(Mi + 2(Si₁ß, ... Mç+    = <p (m1} ... Wç),

<p(M₁+2a>;|î, ... Mç+20)^) = <p(m», ...m?)

bestehen.

Führt man für das Paar    ein Element (a?^) ein, dessen Mittel

punkt eine beliebige Stelle des algebraischen Gebildes ist, so lassen sich u für hinreichend kleine Werthe von \t\ als Potenzreihen von t dar-

darstellen. Bei der Entwickelung des Products

^    ... Uq—Uç)

0 (Wj — v₁, ...u-v)

können dann nur in der Umgebung einer endlichen Anzahl Stellen negative Potenzen auftreten.

Es ist demnach cp(wx,...w) eine rationale Function des Paares (æ y ) (S. 244—246) und daher auch eine rationale und symmetrische Function der Paare (xtyt), ... 0^), d. h. eine Abelsche Function der Va

riablen %x, ... w .

Für r = 1 wird ua — va, und <p(ut,...u) reducirt sich auf eine Con-

um eine möglichst ein-

stante.

Nehmen wir aber r — 2 an und geben,

fache Abelsche Function zu erhalten, den sämmtlichen Grössen vt,.. und Pj, ... v den Werth Null, so wird

f?

M« = -Wa

(a = 1, 2,... ç)

mithin

c    ...uq-uq)®(ut + ulf ...uQ+ug)

S\u1}...uq)

Es seien nun ...p , p j, ... p ' beliebige ganze Zahlen, und es werde

+ = «>«>

P

I*

.. 2o>?, 2yjł, ... 27]e dieselbe Bedeutung haben wie vorher. Qfa,...;    p,p') e7}(«

e²K,...)

und da die 0-Functionen mit ganzzahligen Parametern gerade oder ungerade sind und

gesetzt, sodass 2to Dann wird für u =

i» •

.. u

= toç (S. 574)

(ce = 1, 2,... ç)

p,p') + 7}(-wn •••;'= 2Ql«a>a--lpaP>Q

a    ^

ist, so folgt

0>i, ... W )

0' e’(^>

wo C" wieder eine Constante bedeutet. Das Quadrat des Quotienten einer 0-Function mit ganzzahligen Parametern und der Function 0(wi7... u^) ist daher eine Abelsche Function. Das Gleiche ergiebt sich hieraus auch für das Quadrat des Quotienten irgend zweier 0-Functionen mit ganzzahligen Parametern. Auf die Quotienten selbst wollen wir hier nicht eingehen.

Vierunddreissigstes Kapitel. Relationen unter Producten von Thetafunctionen.

Es seien

Y.    Y Y '    Y '

( P\ i * • ' Pq i Pli    Pç)

r Systeme von je 2q beliebigen Parametern, wo r eine beliebige ganze Zahl bedeutet, und

X X

(*=l, 2,... r)

6(**n •••«*; f*>#0

die r zugehörigen allgemeinen 0-Functionen, wie wir sie im dreissigsten Kapitel untersucht haben. Dann soll das Product dieser r Functionen

'S s

betrachtet und mit

bezeichnet werden. Wird

S(²i,jïa>«^+    =

(a = 1, 2, ... p)

I*

S(²i,/»¹lal*+2^7)«^) = 2y]a /*

gesetzt, wo ___jo und    irgend welche ganzen Zahlen sein sollen,

so besteht die Relation (S. 576)

^ 2 (Pa f^a Q.aPct)

Setzt man daher zur Abkürzung

Pa + Pa + *•• + #*« = Pa> Pa + Pa+'‘- + Pa = Pc

so folgt

»■22lïa(«o+®«)

woraus sich

n(w₁ + 2(«;/S,...) = n(w1? ...).«

r 2 ²»1« ß (ua+ ®« ß ) + ^ « *

î’2²ï)«/s(w« + tua/*)-/t/î7t*

(0 = 1,2,...*)

ergiebt.

Ist auch (vt,... v , v',... */) ein System von 2p beliebigen Grössen, und wird wie früher (S. 574)

(« = 1, 2 ... *)

^(VßVaß + VßKß) =

H(vß v +v'pri«ß) =

/*

2f^a(Ma + y“«) -    =    V>V')

gesetzt, so werde eine Function

!!(«»,... uQ‘, v, v')

mit den 2q Parametern vx1 ... v , v', ... v' durch die der Gleichung

0(wi;v, v') = 0(m₁+o>;, ...).«

-7j(wn...; », *')

entsprechende

», »')

n(M„ ...; v, v') = II    e

eingeführt; dann ist II(e^,...; 0,0) mit IIidentisch. Zunächst mögen nun einige Eigenschaften der Function II(ut,v, v') entwickelt werden.

Nimmt man für die Parameter v und v' beliebige ganze, und zwar gerade Zahlen 2p ^ und 2^ , so treten 2ioa und 2yjo an die Stelle von wa und

und man erhält

n2p, 2q) = e

Wenn ferner (AX,...A) und (A',... A') zwei Systeme von je p beliebigen Grössen bedeuten und

(a — 1, 2,... ç)

^ji^ß^aß + rfaß) — a ?

gesetzt wird, so findet sich zunächst

n^j + o)", v, v')

rj7)(Mn...; v + *, v'+r)-7](«₁ + <,    v, v')j

= II (wx,v + A, v'+ A').e Mit Hülfe der Relation (vgl. S. 570)

folgt dann

VJ(«!, •••; V + A, v' + A') — ?](wx + to",v, v') = 7j(w,, A, A') — 2vuKt

A    a

sodass sich

11(^4- tu", v, v') — n(Wj,.v + A, v'+ A'). 6

ergiebt.

Werden wieder für (vJ? ... und (i/, ... v') zwei Systeme gerader Zahlen (2p1? ...2p^) und (2qi,...2g^) angenommen, so liefert die vorstehende Gleichung in Verbindung mit der ersten auf dieser und der letzten auf der

vorigen Seite:

II(Wj, ...| A + 2p, A + 2<2) — II(w,, ...i A, A ).c

2 |Pa O« + »■%) “ 2a Pu j

Setzt man aber bei beliebigen Werthen von vx, ... vç für (A1?... Aç) und (A;,... A') zwei Systeme gerader Zahlen (2pl? ...2pç) und (2^,... 2</ç), so erhält man

rri    2p, 2 q) - riti 2 2a va

n(M₁+2o)₁, r, v) — IIv + 2p, v'+2^).^

woraus mit Hülfe der eben bewiesenen Relation

n(w,+ 2o)₁,    v,v') = Il(uv ...; v,v').e

folgt.

rr)Oi,..2j>, 2ą) + ni £ \pa(p'a + rv'a) - qa((ta + rva)(

Mittels dieser Formeln lässt sich das mit Ï1    ) bezeichnete Product

von 0-Functionen linear und homogen durch transformirte Thetafunctionen

r

0(w„ ... uQ; n,p')

darstellen, die aus    (i) bei Einführung der Grössen

(X>aß

—~ł ^aß) ^aß) rrlaß

an Stelle von

^aß) waßi Vaß) riaß

hervorgehen. Die Summe

Ille

(m)(

n (ui > • • « f i d )

in deren allgemeinem Gliede für ... m ) der Reihe nach alle rq Variationen pter Klasse mit Wiederholung aus den Zahlen 0, 1, ... r — 1 zu setzen sind, wollen wir zur Abkürzung mit bezeichnen: ferner sei

O)„o

S(²Ą’l«/!+

ß

wobei (2j?i?... 2joç) und (2^, ...2qQ) wieder zwei beliebige Systeme gerader Zahlen sein sollen. Wir untersuchen nun das Verhalten der Function S(utJ. ..u bei Vermehrung der Argumente ut, ... u um 2<î>

Aus der Gleichung

n(Mt+<, ...; v, v') = !!(«!,...; v + A, v'+ k').e

(* = 1» 2,... q)

= ²?la

.. 2Ô) .

ergiebt sich für    ^ — 2 q?, v? —

2m

— Ve = 0

r ? P

II(Mj + 2ÄJ, ..

2m

2(m+^))

2^).e

2 j2î)a(M«+ <"«)-■ .Pa Sa⁷'*!

Ist nun pa die grösste, in —■²—^ enthaltene ganze Zahl, und wird

^q+ffa = n, , <

&    y*

(a — 1, 2,... ç)

gesetzt, so ist

2 (m +p)

™2(jPaP'a-2at*a)

•7

man erhält demnach

n(w₁+2«),,    ~ > 0)

2 I ² ^jaC^a “ł*    ) .Pa Sa ⁷¹ * | "ł" ⁷¹ * 2 (jPa j, Sa J*a)

2m'    .

— ,0),e

Diese Gleichung bleibt bestehen, wenn man (i[,    um beliebige gerade

Zahlen 2»t, ... 2wç vermehrt, da sich dann beide Seiten um den Exponential-factor

n (u₁

2ni v

--2 ma na

Y a

ändern.

Wenn für (mi? ...mo) der Reihe nach die    Variationen pter Klasse mit

Wiederholung aus den r Elementen 0, 1, ...r-1 gesetzt werden, so ist die Gesammtheit der Systeme (mt,    mit der der Systeme (m',..

mithin ergiebt sich aus der vorhergehenden Formel

P identisch,

S(u₁+2G>₁,...) = S(ulf...).e Als Specialfälle sind hierin die 2q Gleichungen

pp**

...) = e r 8(ulf ...).ea

2toljS

vJ

2{²⁷}aOa + «i«) Pa Sa⁷⁷⁷1    2 (Pa~ Sa f*a)

⁷'2²⁷!a₍î(«a + UJajs)

(ß = 1,2,... q)

enthalten.

Für die allgemeine @-Function mit 2p Parametern haben wir nun die Fundamentalgleichungen (S. 576)

2 ²^aßi^a + ^aß) 2 2rl'aß(ua + ^aß)

(ß — 1, 2,... q)

© (Mt + 2o)lj?,...; ft,ft') = e

0(Mj+ 2<ü[ß,...; ft, fi') = e~^1c%S(ulift, ft').«

gefunden. Führen wir in diese statt

^aß J ^aßl ‘'Ictßl Tlaß

die Grössen

“«i?    ,    ,

<°aß, HaßJ Triaß

ein, was erlaubt ist, da sie ebenfalls die auf S. 571 aufgestellten p(2p —1) Relationen befriedigen, so ist

0K, f*>fO

die zu den Grössen der zweiten Reihe gehörende allgemeine 0-Function mit den 2p Parametern fti5 ... ft^, ft', ... ft', und es bestehen für

0 (wi i * •

die 2 p Gleichungen

© (ui + 2 w'tß ? ..

ft,

ft\

— )-e r

ft' \

— )•« y /

2²^«^K+-^)

j

J,2 ZrfaßiUa + Waß) ^

Da nun S(u^...uQ), als Summe von Producten von 0-Functionen, in der Umgebung jedes im Endlichen gelegenen Werthsystems (ult. ..w ) den Charakter einer ganzen Function hat und denselben 2p Fundamentalgleichungen wie

genügt, so ist

•Ł)

r

(§(«4,...) = c0(w,,.. wo c eine Constante bedeutet (S. 577—:5 78).

Wie auf S. 615 kann man sich davon überzeugen, dass diese Gleichung gültig bleibt, wenn ft', ... ft' um beliebige gerade Zahlen 2nt, ... 2nQ vermehrt werden. Demnach erhält man mit Hülfe der Definition der Function S(u ,... u ) die Gleichung

0«)

™2>aO« + 2w„)

2m

CU    p'+2n.

eine in Bezug auf ut1 ... constante Grösse bezeichnet,

...nQ

in welcher Cm

nl )

die sich bestimmen lässt, indem man für (u^ ... uq) ein geeignetes specielles Werthsystem einführt.

Setzen wir nun für die Zahlen nl, ... n der Reihe nach dieselben r⁹ Variationen wie vorher für ... und addiren alle so entstehenden Gleichungen, so geht aus der linken Seite die Grösse

S e

(m) (

, o). 2e r (»)

-~r~^mana ¹ a

hervor. Da aber die Summe

(«)

2m

-2 ma na

r a

r—i

2 m m₁ %

= 2 ‘ «1 = 0

r— l

2m'm? nÿ

... 2 «

«o = 0

irgend eine der Zahlen mt, ... einen von Null ver

wenn

gleich Null ist,

schiedenen Werth hat, dagegen gleich rQ, wenn gleichzeitig mi = 0, ...    = 0

ist, so erhält man

HK,...) =

...nQ

ft,

(i'+ 2 n

Diese Formel giebt die Darstellung des Products

y. x

nK,...) =    PifO

als lineare homogene Function der re transformirten Thetafunctionen.

Wenn man die Werthe der Grössen fti? ... ftç, ft', ... fF fixirt, so sind in der eben aufgestellten Gleichung die rQ Functionen

ft' + 2n.

78

Abelsche Functionen.

bestimmt, während die einzelnen in II(^, ...) enthaltenen 0-Functionen noch auf beliebig viele Weisen gewählt werden können. Zerlegt man nämlich das gegebene System (px,... fi', ... p ) auf verschiedene Arten in Summen (vgl. S. 612):

Pa — Pa + Pa H-----^ Pal

Pa Pa F pa + **• + Pa 1

Pa = Va + Va+ ”' + Va

1 2

Pa = Va + < + -• + V'a

so liefern die Producte

n 0(w„p,p)

n⁰K,...; ,v)

im Allgemeinen verschiedene Functionen FI (w,...). Bildet man nun in dieser Weise r⁹+l verschiedene Functionen    so kann man aus den rç+l

Gleichungen der Form deren rechte Seiten sich nur durch die Coefficienten Cn n unterscheiden,

r    ¹’"'    ?

die rQ 0-Functionen eliminiren, wodurch sich eine lineare homogene Gleichung zwischen den rQ+ 1 Functionen II (^,...) ergiebt.

Die Gleichung zwischen dem Product von 0-Functionen und den trans-formirten Thetafunctionen lässt sich noch etwas verallgemeinern. Es seien

Vt, V₂, ...

vt, v₂, ...

rç nur den Bedingungen

(a = 1, 2,... p)

unterworfene Grössen. Definirt man nun eine Function

durch die Gleichung

T    ^

n    »i. ••

* Ä.

X'

so genügt sie derselben Relation (S. 612)

nK+H,...) = (-i) *

<?

nK,...).e “

wie die bisher mit ü^,...) bezeichnete. Denn die Gleichung zwischen B (u₁ — v₁ + 2«^, ..fi, fi') und 0(^ — vtJ ... ; jà, ji') unterscheidet sich von der zwischen 0(^4-2«^, ...; fi, ^') und 0 (ut,...; ft, £/) (S. 611) nur dadurch, dass auf der rechten Seite der Factor

k ²ria^o:

hinzutritt, und es wird

-S²rla^a

2 2ï]cÂa

ne a

X

X, a

= 1.

Dieselben Schlüsse, durch welche die Darstellung der Function ü^,...) in Form einer Summe von transformirten Thetafunctionen hergeleitet wurde, und die wesentlich auf jener Relation beruhten, führen zu der Gleichung

n ®(ui-v1}..

IC = 1

... Wç

0 0h,—-—),

wo jetzt die Coefficienten Cn

auch von den Grössen , ... v abhängen.

wenn von

...nQ

Mit einer kleinen Änderung bleibt dieses Resultat bestehen,

den q Bedingungen

(cc — 1,2,... q)

2^ = o

X = 1

abgesehen wird. Gleichungen

Denn führen wir alsdann die Grössen ... v durch die

2>« =

r va

(a — 1, 2,... q)

ein, so ist

(« = 1,2,... ç)

sein muss und unter ... v beliebige, von w1? ... uQ unabhängige Variable verstanden werden können. Da die Grössen (7 M . ausser von n. ... n nur

™ 1, . . . W/q    1    Q

von den Parametern und von vl7 ... v abhängen, so kommen auf der rechten Seite der Gleichung die Variablen ut, ... u und vt, ... vQ getrennt vor.

ft',... ft' mögen jetzt als ganzzahlig angenommen werden, und zwar mögen fti? ... ft einen der Werthe 0 oder —1 und ft', ... ft' einen der Werthe 0 oder 1 haben. Wenn für fia, ft'₍ und fta, fi'a ebenfalls

Die Parameter

ganze Zahlen gesetzt werden, so genügt es zu Folge der Formel (S. 575)

X    x    * x    ni2PaP'a

⁰(Mi» •••; P + ²P, p'+2q) = S(ut,...; p,pf).e “    ,

•    1    X    Xr

m der ... und ... ^ ganze Zahlen bedeuten, die Grössen fiu und fia so zu wählen, dass

P» + Pa = #*«

(mod 2)

*r ²

f*« +    = Pa

fÜr (PalPa) = (°>°)

folgt daher

n ..

X = 1

X X

•; p,fO =

•; p,

ft 4" 2%

Wird im Folgenden r = 2, va = — va angenommen und für geschrieben, so ergiebt sich

+    •••; A»i')*⁰(wi-f,ii •••; A» 4') =

...«ç

<m(T)

ft,

£+»)

wobei

Wegen

c\ /    X    XX    ~ ,    ⁰    X O    XX

e(wi“vi> •••; p,p) = ⁰-(»i-»,), •••;

wird, und ihre Werthe in derselben Weise wie die von ft und fia zu beschränken. Dann erhält man

(k,k,k,k) = (o,o, o,o), (o,o, i,i), (-1,-1,o,o), (-1,-1, i,i)

...»Ç

f+»)

enthalten nun für ein bestimmtes Werthsystem der Parameter f*x,. • • fy,

nur

2 ⁹ verschiedene 0-Functionen, durch deren Elimination aus 2⁹+l dieser

Gleichungen sich eine lineare homogene Relation zwischen 2⁹+l Producten

11 2 2 ©K + b,...; fi').0(^1 —«1,...; fbfO

Es steht frei, diesen Grössen vor der

ergiebt, die sich durch die Systeme der Parameter unterscheiden. Die Coefficienten sind Functionen von vt, ... v .

Elimination der Functionen 0(^,...; ft, + w) in den verschiedenen Gleichungen verschiedene Werthe beizulegen.

gene

und ebenso können zu jedem der drei anderen möglichen Werthsysteme

auf vier ver-

(K,!Ü die Parameter

(0,1), (-1,0), (-1,1) schiedene Arten angenommen werden. Für ein bestimmtes, in der angegebenen Weise aus den Zahlen (0,-1) und (0,1) gebildetes System der Parameter ... fi und fi't, ... fi'Q gehen demnach

von

aus

der Gleichung

0(w, + b> fi,    fbfO =

0(wu ..

T + ">

insgesammt 4⁹ Gleichungen hervor, in denen auf den linken Seiten die 0-Functionen verschiedene Systeme von Parametern enthalten, während die rechten Seiten sich nur durch die Werthe der Coefficienten Cn^ scheiden. Wird von je zweien dieser Gleichungen, deren linke Seiten bei

nur eine

-w<?

unter-

Vertauschung von vt, ... vQ mit -vt,----vQ in einander übergehen,

beibehalten, so bleiben, jedenfalls für q > 1, noch mehr als 2⁹ Gleichungen übrig. Die rechten Seiten:

Setzen wir in allen 2⁹+l Gleichungen vt1 ... gleich Null, so erhalten wir durch Elimination der Functionen 0(^x,...; fi, y + n) eine lineare homo-Relation zwischen 2⁹+l Producten

5= M

wo aber stets

(mod 2)

P«.+ fb = fb>

1 2 , fb + fb — fb

Demnach gilt der Satz: Wenn die ganzen Zahlen und [i'a beliebig angenommen und alle Producte

sein muss.

.    1 l/ 2

, gebildet werden, m denen [ia, (ia, pa) pu den vorstehenden Congruenzen ge

nügen, so besteht zwischen je 2?+l dieser Producte eine lineare homogene Delation. Setzt man z. B. die sämmtlichen Parameter

fv • •• #v ••• K> gleich

Null, so kann [ia = und (i'a = fia angenommen werden, mithin gehen die eben betrachteten Producte in die Quadrate von 0-Functionen über, und es ergiebt sich unter den Quadraten von je 2Ç+1    0-Functionen mit beliebigen

ganzzahligen Parametern eine solche Delation.

Wird aber nur in 2⁽' der Producte

den Grössen , ... der Werth Null beigelegt, während die Werthe von Vj, ... v in einem Product beliebig bleiben, so entsteht eine Gleichung

⁰(“! + *>,»• ••; • ••; =

. . 1 1 . . m der die Parameter va, na, va gleich 0 oder —1, die Parameter f*', v'a, fr, F

gleich 0 oder 1 sind und

(mod 2)

pa+Va = pa +    ,

1 l,

(l'a + v'a =

ist. Dabei soll der Beweis für die Möglichkeit übergangen werden, die in dieser Delation benutzten Producte von Thetafunctionen so zu wählen, dass sie von einander linear unabhängig sind. Die Coefficienten (vt,.. .)z lassen sich bestimmen, indem man für u Grössen der Form

V>a = JXPpVap + fyKfi)

einführt. Da die-Parameter fi/ und val F ganze Zahlen, die 0-Functionen mithin gerade oder ungerade sind, so besteht die Delation (vgl. S. 575)

©K + v•••; fb#0«e(®₁~f,x»• ••; v,v')

= <70(17,,...; [i+p, n'+q).Q(tv+p, v'+q).ea

in der rechts die Parameter pa+pa, Va+Pa wieder durch die ihnen mod 2 congruenten Zahlen 0,-1, die Parameter [i' + qa, v'a + qa durch die congruenten Zahlen 0, 1 ersetzt werden sollen. C bedeutet eine von pa, (i'a, va, v'a) p^ hängige Potenz von i. Formt man in gleicher Weise jedes der Producte

ab-

i i

•••; PiP')-0(«>n •••; v,v')

um, so liefert die in Rede stehende Gleichung für ui =    , ... u — <oç die

Relation

0(«1, p+p, p'+q).Q{vt,...; v+p, v'+q)

lf

2?

= 2 ci(vi’ ■■■)iS(°> •••; P+P, p+q).&(0,v+p, v'+q),

1=1

wenn mit eine Potenz von i bezeichnet wird. Auf diese Weise kann man durch geeignete Wahl verschiedener Systeme (o^,... toj die zur Bestimmung der Coefficienten (vt, .. .)z erforderliche Anzahl von unabhängigen Relationen finden, durch deren Auflösung (vl5 ...)ż sich als lineare homogene Function von Producten je zweier 0- Functionen der Form

•••; P+P, ^+.î)*ô(»„ •••; v+p, v'+q)

ergiebt. Dann nimmt die betrachtete Gleichung die Gestalt ÖK + »1,fI, i*')-&(ut-Vt, •••; v,v')

(1) (1) „ (2) (2) (1) (1) „ „ (2) (2) = 2(x, A) 0(Mn X, x')0(w„...; x, x') 0(«„ ..A, A') 0(wx, A, A')

an

wobei die Parameter xa, xa, Ae, Aa die Werthe 0 und —1, die Parameter ï , x', A', A' die Werthe 0 und 1 haben.

In dieser Gleichung setzen wir jetzt die Parameter vt, ...vp, vx,...v sämmtlich gleich Null, so folgt, da

0(«i,-«ç; o,o) = e(ulf...uç)

ist

©KF»*,pr)-®(ui~vi, •••)

(1) (X)    (2) (2) ^ ,    (1) ^ _    (2) (2)

= 2(x} A) 0 (u,, ..x, x ) 0(u₁x, x ) 0(v,, ...i , A ) 0(vt,,..i A, A ).

Ist nun (jü^,    irgend eine von (^, • • • ^) verschiedene Variation der

Zahlen 0 und —1 und (jä',... jä' ) eine von (ft',... j*/) verschiedene der Zahlen

0 und 1, so werde der Quotient

ft>ft')

mit

•••“*)

bezeichnet, wobei die Indices w die 22? Quotienten unterscheiden, die sich für die verschiedenen zulässigen Werthsysteme der Parameter ftl5. ergeben und von denen sich einer auf 1 reducirt. Für das Product

lässt sich nun eine der vorhergehenden entsprechende Gleichung aufstellen, und man erhält, indem man die obige Gleichung durch diese dividirt, für

0K + ^,ft,

einen Quotienten von zwei Summen. Nach Division durch

⁰²K> •••; ft,ft').0'(f>lfft, ft')

ergeben sich für den Zähler und den Nenner dieses Quotienten Ausdrücke der Form

2(M)

®Oi, •••; *, *') 0K,...; x, x') Q(^i;...; A,A') 0(^,A, F)

00h, •••; ft,ft')    •••; ft,ft') 0(»„ •••; /*,#*') 00h,ft')

= S (*, *)    K,---) Tx" 0h » • • •) <p* 0h, • • •)    (»!,...)•

Der Quotient zweier 0-Functionen mit den zusammengesetzten Argumenten

ul + vii ...    + ist damit rational durch Quotienten von 0-Functionen mit

den einfachen Argumenten u

i» •

.. u und vt1 ... v dargestellt.

I KRAKÓW

V?/.Vechnic*S

ALPHABETISCHES INHALTS -VERZEICHNISS.

Seite

Abel...........

Abelsche Functionen; Erklärung .

—    Periodicität

Darstellung durch die 0-Function

Abelsche Integrale; Erklärung

erster und zweiter Art; Erklärung —    Perioden

1,6,9,266-267,401-403,428,437. ... 9, 461-462.

... 8, 463-465, 564-565.

.    .    .    604-610.

.    .    .    1-3, 249-251.

.    .    .    258-259.

.    .    .    324-329,    337-339.

Darstellung durch Logarithmen der

Functionen E(xy):.> und JE'(xy)ß

—    dritter    Art;    Erklärung    ....

—    —    Perioden.....

—    —    Darstellung    durch Logarithmen    von    AJ-Functionen    394—400.

—    zweiter    und    dritter Art;    Darstellung    durch    die    0-Function    .    598 — 599.

Abelsches Theorem; für die Integrale erster Art

373-376.

259-260.

399.

Umkehrung

für die Integrale zweiter Art ...........

für das Integral dritter Art............

für das Integral einer beliebigen rationalen Function des Paares (xy) .    . . .

Beweis nach Abel. .    .

Historische Bemerkungen

7, 403-417, 419-421, 427. 417-419.

404, 427-428.

404, 422-423, 427.

Äquivalente Elemente.............

Algebraisches Additionstheorem der Abelschen Functionen Algebraische Ausführbarkeit gewisser Abelscher Integrale Algebraische Functionen; charakteristische Eigenschaften Algebraisches Gebilde; Erklärung........

.    404, 423-426.

.    428-437.

.    401-403, 428, 437.

.    16-19.

.    9, 448-450, 462-463.

.    267-269, 302-303.

.    242-244.

13,

im Unendlichen regulär

38,

vom Range Null yn— B(x) = 0 .

.    62, 172.

.    135-145, 345.

Abelsche Functionen.

79

Seite

Allgemeine Thetafunctionen...................

Al uQ)........................

(aaba); Erklärung......................

Bildung einer rationalen Function mit gegebenen Unendlicbkeitsstellen . . . .

—    mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle . .

566-584. 330-331, 512. 65, 73.

60-69,71-72,98-103.

211-225.

Cauchy...........................

Coincidenz zweier Integrationswege.................

Congruenz zweier Elemente....................

— je zweier Elemente durch Vermittelung einer endlichen Anzahl von Elementen

Convergenzbedingung für die allgemeine Thetafunction..........

Convergenzbereich einer ein Element darstellenden Reihe.........

Determinante der Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art .    . .

— I <üaß I eines primitiven Systems von Perioden der Abelschen Integrale

erster Art...................

Durchkreuzung zweier Strecken in bestimmtem Sinne......... .    .

—    zweier Integrationswege.................

348, 402.

311.

227- 228. 240-241. 567-568.

228- 235.

332.

523, 524-529, 555-560.

311.

318.

Einfache Integrationswege...........

Element eines algebraischen Gebildes.......

Endlichkeit der Anzahl nicht äquivalenter Elemente . Eulersches Additionstheorem der elliptischen Integrale

E(xy, x'ÿ)................

E{xy)\ Erklärung.............

— Eigenschaften............

301.

16-45. 241-242. 5-6, 442. 199-206.

313.

313-314, 365-370.

E(xy I (o,,... (Uç); Erklärung

367.

E(xy)p und E'(xy)?    . . .

E{xy,x₁yl,x₀y(i)\ Erklärung

Darstellung als Product von Functionen E{xy)ß und E'(xy)ß.

372.

371.

383.

—    Eigenschaften.

E{xy\ul,...u^)\ Erklärung .    .

—    Eigenschaften .

383-386.

469.

. 470-476.

Ausdruck in der Theorie der hyperelliptischen Transcendenten 511—512.

480.

E(xy, x₀y₀] w1}... uQ)- Erklärung .

—    Eigenschaften

480-481.

Darstellung durch einen Quotienten zweier beständig con-

vergenten Potenzreihen............

Ausdruck durch die 0-Function..........

481-511.

518.

tßY] Erklärung.................

E (vt,... Vq) ; Erklärung..............

rlaß und r^ß) Erklärung......\.......

rja ; Erklärung und Bestimmung...........

f\ Om • • • y, y') ; Erklärung.............

Fouriersche Reihe für eine periodische Function einer Variablen

532,    578.

533,    579.

324, 570.

515, 585-596. 567, 574.

539-541.

Fouriersche Reihe für eine periodische Function mehrerer Variablen .    .

Functionenpaar.....................

Seite

. . 542-549.

16.

F(^i, ■ •• uQ) .    .    .    .

ttç) ; Erklärung

515-516.

510.

die 2q Fundamentalgleichungen

513-515.

Gemeinsame Stellen zweier algebraischen Gebilde

Geschlossener Integrationsweg.......

Gewöhnlicher singulärer Punkt.......

Göpel................

Grad einer rationalen Function des Paares (xy)

G(xy,x'y')\ Erklärung.........

—    Eigenschaften........

—    für das hyperelliptische Gebilde. .

146-155.

4, 281, 299.

172.

9, 553-554. 50, 56.

269.

270-274.

273-274.

Hauptwerth der Quadratwurzel aus einer complexen 'Grösse

348-352, 355-356.

Historische Bemerkungen über die Integration algebraischer Differentiale ....    1, 266—267.

—    die Relationen unter den Perioden der Abelschen

Integrale erster und zweiter Art .    .

Kummers ideale Primfactoren ....

.    .    330-331.

392.

das Abelsche Theorem..........

das Jacobische Umkehrungsproblem......

die Darstellung von E(xy,~xay₀\ uly... w„) durch einen Quotienten zweier beständig convergenten

Potenzreihen.............

die Determinante [    |..........

die Thetareihen.............

401-403, 428, 437. 9-10, 444-445.

484, 511-512.

523.

Hyperelliptisches Gebilde ; Erklärung

Berechnung des Ranges..........

Bildung der Function G(xy, x'y')......

Bildung der Functionen H(xy)a.......

Bildung der Functionen H'(xy)a......

Bildung der Function H(xy,x'y')......

Construction der Periodenwege.......

Bildung der Functionen Q(xy)p und Q’(xy)p .    .

Integration eines mit dem Abelschen Theorem zusammen

553-554.

5, 130-131. 131-134.

273-274.

134-135, 343-344.

343- 344.

340-343.

344- 345, 360-363.

.    .    371.

Hyperelliptische Integrale; Erklärung —    Perioden .

hängenden Systems von Differentialgleichungen. .    .    437—438.

Darstellung der Function E(xy\ut,.. .u^).....511 — 512.

5.

344-345, 357-363.

H(xy,x'y')\ Erklärung

73.

Fundamentaleigenschaften

85,

Zusammensetzungsweise.........

Eigenschaften in Bezug auf das Paar (x'y')    .

Bildung für ein gegebenes algebraisches Gebilde

73, 195-197.

197-199.

193—210.

Seite

H(xy, x'y') ; Darstellung der Differenz — H(xy, x'y') —    H(x’y', xy) in der

Form 2 ! HW), E\xy\ - H(xy)„    j

dx' a '

251-254.

; Entwickelung

H(xtyt, x'xy'z)-d_

H{xy); Erklärung H(xy)u'i Erklärung

—    Fundamentaleigenschaften.....

—    lineare Unabhängigkeit der q Functionen

—    Grad und Dimension der im Zähler auftretenden ganzen Function von x und y 108—112, 116.

73-78.

104.

79.

86, 109-112, 257. 105-107.

Verhalten bei einer rationalen Transformation..........

Grad........................

Bildung für das Gebilde yn—B(x) — 0............

Bildung für ein Gebilde ohne singuläre Stellen..........

Bildung für ein beliebiges algebraisches Gebilde.........

Darstellung durch logarithmische Ableitungen der Functionen E{xy)ß

und E'(xy)r}.....................

Ii'{xy)u\ Erklärung......................

—    Eigenschaften.....................

—    Darstellung durch logarithmische Ableitungen der Functionen E(xy)ß

und E'(xy)ß.....................

—    Grad ...    .....................

MIII!

112-116.

118-127.

140-145.

177- 178.

178- 192.

315-316, 373. 79, 252. 254-257.

315-316, 373. 589-590.

II(xy,a b)p ; Erklärung.....

—    Eigenschaften ....

H(^r], I'tj'); Erklärung.....

—    Eigenschaften ....

H(E,n)a] Erklärung und Eigenschaften

79.

79-84.

219.

219-225.

223-224.

2-4,249-251,295-299.

Integral einer rationalen Function des Paares (xy); Erklärung

— Darstellung durch Abelsche Integrale erster, zweiter und dritter Art 260—266, 275. — Darstellung durch Logarithmen der E - Functionen Integration einer rationalen Function einer Veränderlichen auf directem Wege .    277—280.

Integrationsweg; geschlossener...................

Integrationswege; einfache und zusammengesetzte............

J\xy)a und J'(xy)a; Erklärung..................

Darstellung durch Logarithmen der Functionen E(xy)ß und E'(xy)ß

J'(xy)a ; Darstellung durch die 0-Function..............

J (x y \x₁ yv, x₀ y₀ ) ; Erklärung...................

J(u₁,... Uç)p ; Erklärung.....................

—    Eigenschaften............•........

400.

4, 281, 299.

301.

373.

373-376.

598-599.

396.

476.

477-479, 585-588.

Jacobi

Jacobisches Umkehrungsproblem; Erklärung —    Lösung .

Kreise von Werthepaaren

1, 7, 9, 401-402, 437, 444-445, 553.

7-9, 444-445, 450. 446-448, 450-462.

299, 318-329.

Seite

Kummers ideale Primfactoren...................

Legendre...........................

Logarithmus.........................

L (x) ; Erklärung........................

Mehrfache Stellen eines Gebildes..................

Mittelpunkt eines Elementes....................

Monogeneität eines algebraischen Gebildes...............

Nullstellen einer rationalen Function des Paares (xy) ; ihre Anzahl ist gleich der der Unendlichkeitsstellen................

391-393.

402.

281-294.

282.

32.

16.

13, 241.

56.

Ordnung einer algebraischen Gleichung in Bezug auf die Stelle (0, 0) .    .

Ordnungszahl einer Stelle..................

Q (xy) ; Erklärung....................

— Eigenschaften.................    . .

Q(xy)p und Q'(xy)p...................

Q(xy\x₁ylix₀y₀); Erklärung................

—    Eigenschaften...............

. .    19.

54.

. 305-306. . 306-313.

370.

(üaß und c*/a(S; Erklärung .    .    .

I u)aß j ; Determinante .    .    .    .

u5a ; Erklärung und Bestimmung

. . 305, 377.

. . 377-383.

. . 324, 570.

.    523, 524-529, 555-560.

. . 515, 585-596.

Periode des Logarithmus.....................

Perioden der Abelschen Integrale erster und zweiter Art; Relationen unter ihnen

—    des Abelschen Integrals dritter Art..............

—    der hyperelliptischen Integrale...............

Periodicität der Abelschen Functionen................

Positive complexe Grösse.....................

Positive und negative Seite einer Geraden...............

—    einer gebrochenen Linie...........

Primfunctionen ; Darstellung einer rationalen Function des Paares (xy) durch solche

Primitives Periodensystem eines Integrals...............

Primitives System simultaner Perioden mehrerer Integralfunctionen......

—    der Abelschen Integrale erster und zweiter Art

294.

311-313, 330-334.

399.

344-345, 357-363.

8, 463-465, 564-565.

349.

288.

317.

387-391. 4, 335.

336.

337-338.

Punkt in einem algebraischen Gebilde................

Erklärung........................

P(t, t) ; Erklärung.......................

nOj,...Mç) .    ........................

n(wn ...ty, v, v’).......................

Quotient zweier Potenzreihen ; Bedingung für die Entwickelbarkeit in eine gewöhnliche Potenzreihe...................

13.

18.

76.

611- 612, 617.

612- 614.

74.

69.

Rang q des algebraischen Gebildes ; Erklärung

—    Unveränderlichkeit bei einer rationalen Transformation des Gebildes .    .    .    69 — 70.

—    mit der Anzahl der linear unabhängigen Functionen H(xy)a übereinstimmend 105 — 107.

Seite

Rang g des algebraischen Gebildes; erste Art der Berechnung .    .

—    —    zweite Art derfîBerechnung ....

—    —    gleich der Anzahl der Zahlen y.ly y.₂, ..., wenn unter

den rationalen Functionen mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle solche -46n, -4en,... Grades fehlen .

—    —    Zusammenstellung der verschiedenen Bedeutungen .

117-130.

155-175.

219-225.

421.

—    eines Gebildes ohne singuläre Stellen . . . *....... .    . .

—    eines Gebildes mit nur gewöhnlichen singulären Punkten......

—    eines hyperelliptischen Gebildes...............

—    des Gebildes yn—R(x) = 0.................

Rationale Function des Paares (xy)\ Erklärung............

—    Bestimmung der Paare {xy), für die sie einen gegebenen Werth annimmt .

—    mit gegebenen Unendlichkeitsstellen..............

—    Bedingung für die Existenz einer Function, die an weniger als g + 1 Stellen

von der ersten Ordnung unendlich gross wird.........

172.

172.

131-134, 139-140. 137-139.

46.

47-56.

68-69, 98-103.

Beweis der

68, 198. 88-95.

—    Darstellung durch die Functionen H{xy,xvyv)x.........

—    mit einer einzigen Unendlichkeitsstelle.............

—    charakteristische Eigenschaften................

—    Darstellung durch die Functionen H(xvyv,xy), H(xy)a und H'(xy)a .    .

Rationale Transformation des algebraischen Gebildes...........

—    specieller Art..............

Relationen unter den Grössen cua/î, w'aß, rja(î, 7)'aß

Riemann .    .    ...    .    . ,. .........

Rosenhain...............

. 95-98.

211-225.

244-246.

260-264.

56-60.

112-116, 117, 160-161, 175, 200, 216-218. 330-332, 571.

10.

9, 553-554.

Simultane Perioden mehrerer Integralfunctionen..........

—    der Abelschen Integrale erster und zweiter Art .    .

Singuläre Stelle eines algebraischen Gebildes; Erklärung......

—    Darstellung der Elemente für die Umgebung einer solchen Stelle 19 — 32.

Singuläre Werthe des Arguments einer algebraischen Function Singuläre Werthsysteme der Argumente Abelscher Functionen.

Steiner....................

Stelle eines algebraischen Gebildes..........

335.

. . 306, 337.

14.

42.

456 - 460,466,501 - 503,603.

402.

13.

Theilbarkeit einer Potenzreihe durch eine andere Transformirte 0 - Functionen........

.    74.

9 (t*i, ... Mç) ; Erklärung

die 2g Fundamentalgleichungen

sonstige Eigenschaften..............

Darstellung..................

Werthsysteme, für welche die Function verschwindet .    .    .

Historisches.................

. . 614-616.

. . 516, 568.

. . 516, 571.

. . 516-521.

.    .    521-523,    552-553.

. .    600-603.

.    .    553-554.

Seite

0    [i, ft') ; Erklärung

573.

die 2q Fundamentalgleichungen

576.

Relationen unter Functionen mit verschiedenen Parametern. .    573—576.

— unter Producten solcher Functionen

mit ganzzahligen Parametern Quadrat des Quotienten zweier solchen Functionen.....610.

611-624.

582-583.

r

S(uj,...uQ-, fi, fi') . &(vlf... Vg); Erklärung

Periodicität...........

sonstige Eigenschaften.......

Darstellung durch eine Fouriersche Reihe

614-616.

533, 579.

533- 534.

534- 538.

550-552, 579-580. 581-582.

mit ganzzahligen Parametern

Erklärung .    . .

— Beweis der Relation

583-584. 535, 578.

535.

Umgehung einer Stelle.................

Umkehrungsproblem in der Theorie der elliptischen Transcendenten —:    in der Theorie der Abelschen" Transcendenten .

Unendlich ferne Stellen des Gebildes.................

—    Elemente.....................

—    singuläre Stellen..................

Unendlichkeitsstellen einer rationalen Function des Paares (xy) ; ihre Anzahl ist gleich der der Nullstellen................

14, 36.

6, 441-444.

7 - 9,444- 448,450 - 462. 13, 32-36.

36-41.

162.

56.

Variation eines Integrationsweges Vollständiges Integral ....

Vp -, Erklärung

Wesentlich singuläre Werthe des Arguments einer algebraischen Function ...    45.

Ąs, «b«, «Lu , Wppi Erklärung wa, wa ; Erklärung......

299-300. 281, 299.

486.

486, 606.

597.

Zusammengesetzte Integrationswege..........

54.

79.

335.

301.

Das Manuscript für die Einleitung und die Kapitel 1, 5 — 10, 13, 18—26, 29 (S. 560 — 565), 30, 33 (S. 608—610) und 34 ist von G. Hettner, das für die Kapitel 2 — 4, 11, 12, 14—17, 27, 28, 29 (S. 555 — 559), 31, 32 und 33 (S. 600—607) von J. Knoblauch verfasst worden, doch hat jeder die von dem Anderen bearbeiteten Theile eingehend geprüft. Eine Correctur sämmtlicher Bogen hat Herr R. Rothe gelesen; von Herrn C. Bar ich, der vor Beendigung des Druckes gestorben ist, sind die Bogen 1 — 67 in typographischer Hinsicht revidirt worden.

Berichtigungen.

S. 47    Z.    15    statt s und x    lies s.

S. 115    Z.    10    v. u. statt (p,    q₀) lies    (p, q)₀.

S. 254    Z.    4    statt 253 lies    252.

Güttingen, Druck der Dieterich’scken Univ.-Buckdruckerei (W. Fr. Kästner).

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Gr. 1. 1899. M. 36,—.

An Tb.say on the Application of Mathematical Analysis to the Theories oB| Electricity and Magnetism. Nottingham 1828. 4. Faesimile-Druckin lOOExempI. 1889. M. 10,—

Morn. Di Ju ob. Leber Systeme Hnearer Differentialgleichungen mit mehreren Veränderlichen

I*¹ it....... 7nr Verallgemeinerung der Fuehs’sehen Theorie der linearen Differentialgleichungen®“"®

1891. M. 3.60.    ^

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ha n (or. S. Theorie der endlichen Gruppen von eindeutigen Transformationen in der Ebene 1111

1895. m.    "üiiü

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Krause. Dr. Aug ^t, über Fuelis’schc Differentialgleichungen vierte« Grades. Leibniz, Gottfjjj

1897. M.

m il! . Briefwechsel mit Mathematikern. Herausgegeben von C. J. G-erhardi ^WWwS8 •Mii I nł"it/.ung der König]. Pivuss. Akademie der Wissenschaften. Erster Band. Mit einemjHH|HH| pholographi.' Iifu La« simile. 1899. Auf Druckpapier. M. 28,- . Auf Schreibpapier M. 36,—

Lo h » ( schewsky. Nikolaus. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. 2. im.MHKfcyj|P

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iränderte A ullage. 1887. M. 2.—

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P '*> hi. Di Friedrich, neue Theorie der ultraclliptischcn Funktionen 2. Ausgabe. Mit nach-SPIl

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Birman n. Primi,. Schwere, LTectricitiit und Magnetismus. Nachdem Vorlesungen von B. Riei amJHHHH bearbeitci von Karl Haltendorff. 2. Ausg. Mit 50 Holzschnitten im Text. Hannover 1880. M.

Schering. Kind. Gesammelte Werke. Herausgegeben von Robert Haussner und Kar|^^Jl|j^ Schering. Erster Band. Mit einem Bilde von Ernst Schering. Gr. 4.    1902. M. 25,—.

Seli les I n ger, Ludwig, über lineare homogene Differentialgleichungen vierter Ordnung, zwischen d.-nm ! : i.egralen homogene Relationen höherer, als ersten Grelles bestehen. Gr/d.f 887. M. 2,40.

I bonis on. Sir William, 1‘opn Lire Vorträge und Reden. Autorisierte Liebersetzung nach der*Weiten "dag • ai Originals: Bl. I. Konstitution der Materie, 1891. M. 5,—. Tn Leinenband M. 5,80.

1 se h e by sch eff, I . L. Elemente der Zalilentlieorie. (Theorie der Congnienzen.) Deutsch mit Autorisation des Verfassers herausgegeben von Dr. 11. Schapira. Neue, wohlfeile Ausgabe.

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B e i e r s ( r ns s. Karl, Motlu inatisclie Werke. Herausgegeben unter Mitwirkung einer von der IG migi. I'rcuss. Akademie der Wissenschaften eingesetzten Commission. Erster und zweiter Bainl. Abhandlungen i. II. 4°.    18^1- 1890. Auf Druckpapier: brosch. je M. 21—, in

Ong. lialhlcderband M. 24,    . Auf Schreibpapier (nur bei Subscription auf alle erschei

Bande) broach. M. 28,— . Land III ist im Druck.

born Professor Dr. H., Gerbert. Beitrüge zur Kenntnis der Matlieniatik des Mittel-•'»Hers. Mit 6 Figurentafelu. 1888. M. 9,—.

Zur Grschichtc der Linrülnung der jetzigen Ziffern in Europa durch Gerbert. 1892. M. 3,—.

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Druck der

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