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MITWIRKUNG EINER VON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

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ABHANDLUNGEN III.

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KARL WEIERSTRASS.

HERAU SGEGEBEN

UNTER MITWIRKUNG EINER TON DER KÖNIGLICH PREÜSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

DRITTER BAND.

ABHANDLUNGEN III.

MIT BILDNISS DES VERFASSERS.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER. 1903.

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Übersetzungsrecht Vorbehalten.

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VORWORT.

Der vorliegende Band enthält hauptsächlich den Rest der Abhandlungen, die von Weierstrass seihst für den Abdruck bestimmt worden sind oder sich in seinem Nachlass vorgefunden haben. Einige Abhandlungen sind nach Notizen oder mündlichen Mittheilungen für die Veröffentlichung ausgearbeitet worden, und zwar von den Herren E. Kötter (Nr. 9 des Inhalts -Verzeichnisses) , R. Rothe (Nr. 12), F. Schottky (Nr. 20) und H. A. Schwarz (Nr. 9, 12, 14).

Der Band war bereits im Anfang des Jahres 1897 zur Hälfte im Druck vollendet. Sein Erscheinen hat sich bis jetzt verzögert, weil auf Weierstrass' Wunsch zuerst der vierte, die Vorlesungen über Abelsche Transcendenten enthaltende fertiggestellt worden ist.

Berlin, den 13. Februar 1903.

Johannes Knoblauch.

'

.

INHALTS -VERZEICHNISS.

1.    Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen

reeller Argumente...................

(Sitzungsberichte der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885, S. 633-639, 789-805.)

2.    Untersuchungen über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall

gleich Kuli ist.....................

(Umarbeitung einer am 25. Juni 1866 in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin gelesenen, in den Monatsberichten der Akademie, 1866, S. 612—625, auszugsweise ahgedruckten Abhandlung.)

3.    Allgemeine Untersuchungen über 2w-fach periodische Functionen

n Veränderlichen..................

4.    Uber die Convergent der 0-Reihen beliebig vieler Argumente .    .    .

5.    Verallgemeinerung einer Jacobi’schen Thetaformel........

Anmerkung......................

6.    Nachtrag zu der am 4. März 1858 in der Königl. Akademie der Wissen

schaften gelesenen Abhandlung: Uber ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem............

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1879, S. 430 — 439.)

7.    Uber die Bedingungen der Zerlegbarkeit einer ganzen rationalen Function

von mehr als zwei Veränderlichen.............

8.    Zur Theorie der Jacobi’schen Functionen von mehreren Veränderlichen

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1882, S. 505-508.)

9.    Rein geometrischer Beweis des Hauptsatzes der projectivischen Geometrie

10.    Zur Dioptrik.....................

11.    Zwei specielle Flächen vierter Ordnung............

(Aus Jacob Steiner’s Gesammelten Werken, Bd. II (Berlin 1882), S. 741 — 742, mit geringer Veränderung abgedruckt.)

Anmerkung......................

12.    Über eine die Raumcurven constanter Krümmung betreffende, von Delaunay herrührende Aufgabe der Variationsrechnung.......

Anmerkung......................

13.    Fortsetzung der Untersuchung über die Minimalflächen......

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1866, S. 855—856.)

Seite

1-37.

39-52.

von

53-114.

115-122.

123-137.

138.

139-148.

149-153.

155-159.

161-174.

175-178.

179-181.

182.

183-217.

218.

219—220.

Seite

14.    Analytische Bestimmung einfach zusammenhängender Minimalflächen

stücke, deren Begrenzung aus geradlinigen, ganz im Endlichen liegenden Strecken besteht....................

Anmerkung......................

15.    Über eine besondere Gattung von Minimalflächen........

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1867, S. 511—518.)

Anmerkung......................

16.    Einfacher Beweis eines Hermiteschen Satzes..........

Anmerkung......................

17.    Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer

Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen.............

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1891, S. 1085—1101.)

Anmerkung......................

18.    Zur Determinantentheorie.................

Anmerkung......................

19.    Zur Theorie der hyperelliptischen Functionen.........

Anmerkung......................

20.    Über Normalformen algebraischer Gebilde...........

Anmerkung......................

21.    Zur Integration der hyperelliptischen Differential-Gleichungen .    .    .    309—312.

221-238.

239.

241-247.

248.

249-250.

250.

251-269.

270.

271-286.

287.

289-294.

295.

297-307.

308.

Anhang.

22.    Über die Sokratische Lehrmethode und deren Anwendbarkeit beim

Schulunterrichte....................

(Jahresbericht über das Königl. Progymnasium in Dt. Crone vom Herbst 1844 bis zum Herbst 1845, S. 1 — 11.)

23.    Ansprache bei der Übernahme des Rectorats der Friedrich-Wilhelms-

Universität zu Berlin am 15. October 1873.........

24.    Rede zur Gedächtniss - Feier der Friedrich-Wilhelms-Universität

Berlin am 3. August 1874 ...............

(Unter diesem Titel als Universitätsschrift erschienen; Berlin 1874.)

25.    Zu E. E. Kummers fünfzigjährigem Doctorjubiläum.....

26.    Verzeichniss der von Weierstrass an der Universität zu Berlin gehaltenen

und angekündigten Vorlesungen..............

Anmerkungen......................

Anmerkungen und Berichtigungen zum ersten, zweiten und vierten Bande ....    362.

315-329.

331-339.

zu

341-349.

351-354.

355—360.

361.

ÜBER DIE ANALYTISCHE DARSTELLBARKEIT SOGENANNTER WILLKÜRLICHER FUNCTIONEN REELLER ARGUMENTE.

(Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 9. und 30. Juli 1885.)

1.

wenn

Das Hauptergebnis der nachstehenden Untersuchung lässt sich man sich zunächst auf Functionen einer Veränderlichen beschränkt, folgender-maassen aussprechen:

Es sei x eine reelle Veränderliche, welche jeden dem Intervall (—00—1-00) angehörigen Werth annehmen kann, ferner bedeute f(x) eine reelle und durchweg continuirliche Function von x, so lässt sich stets auf mannigfaltige Weise eine Reihe von ganzen Functionen /)($),    ... der Art bilden, dass für

jeden der betrachteten Werthe von x ist. Dabei ist die Reihe fi(x) + fa (x) -\— in jedem endlichen Intervalle gleich-massig convergent.

Ist f(x) eine für jeden reellen Werth der Veränderlichen x eindeutig definirte, reelle und stetige Function, deren absoluter Betrag eine endliche obere Grenze hat, so gilt bekanntlich die nachstehende Gleichung, in der u eine zweite reelle Veränderliche bedeutet und unter k eine von x und u unabhängige positive Grösse zu verstehen ist:

(1.)

1 r+œ Lim —-j= /

* = 0 k\TZ J-00

_/u-xY

e

du — fix).

Der in dieser Gleichung ausgesprochene Satz lässt sich leicht verallgemeinern.

III.

Es werde irgend eine Function ty(x) von derselben Beschaffenheit wie f(x) angenommen, welche ihr Zeichen nicht ändert, der Gleichung    — ty(%)

genügt und überdies der Bedingung entspricht, dass das Integral

/»+CO

/ ty (x) dx

einen endlichen Werth haben muss, der mit to bezeichnet werden möge. Setzt man dann

(2.)

F(x,k) =

du

so ist

(3.)

Lim F (x, k) = f(x).

k — 0

In Betreff des Beweises der Gleichungen (1.) und (3.) möge Folgendes bemerkt werden. Es seien «₂, b₂ positive Grössen, bt> b₂> a₂, so hat man

du

bi+x

b₂-x

= f(— bt----aj f ty (u) du + f(a₂ ...bj f ty(u)du.¹)

*4j+¹    -

a₂-x

Tc

In Verbindung mit den in Betreff der Functionen f(x), ^{x) gemachten Annahmen lehrt diese Gleichung, dass das Integral

T-l |riè

-3-

wenn man den Grössen x, k bestimmte Werthe giebt und dann «t, a₂ unabhängig von einander unendlich gross werden lässt, sich einer bestimmten

endlichen Grenze nähert, und somit das Integral

du

eine wohldefinirte Grösse ist.

Dies festgestellt, sei nun d eine beliebig klein anzunehmende positive Grösse, so ist

F(x, h) =

2/cü)

•X—Ô

X+Ô

du

/»+CO    ^    /. + 00

.x — d)l <\>(u)du +—f(x+d ••• + oo) I <\>(u)du *4    w    dd

d

1 /*¥

+ I    Cfix — hu) + fix + hu)) (u) du.

j0) •'o

Daraus folgt

F{x, h)—f(x) =

f(— oo • •• + oo) — f(x) ⁺⁰°

cd

(u) du

s

1 f ¥

+    / (f(x — hu) + fix + hu) — 2/■($)) (m) du

jtü

^ (u) du

/■(— oo----h oo) — /■(#)    +c0

tu

+ - j ei (f(x -    ) + f(P> + £<D - ²/»)

wo e, positive, zwischen 0 und 1 enthaltene Grössen bedeuten.

Nun seien x₂ irgend zwei bestimmte Werthe von x, G die obere Grenze für den absoluten Betrag von f(x), und g₂ zwei positive Grössen, die beliebig klein angenommen werden können. Dann kann man zunächst der Grösse d einen so kleinen Werth geben, dass der absolute Betrag von

~ (f{pc-u) + f(x + u)-2f(x))

stets kleiner als gt ist, wenn x in dem Intervall (x₁...xa)f und zugleich u in dem Intervall (0...d) angenommen wird. Hat man einen solchen Werth von fixirt, so kann man ferner eine positive Grösse k’ so bestimmen, dass für jeden Werth von k, der ck\

to

~e-

§*

also vermöge der vorstehenden Gleichung die Differenz zwischen F{x, Je) und f(x) ihrem absoluten Betrage nach kleiner als gt + g₂ ist, und zwar der betrachteten Werthe von x.

Hiermit ist also nicht nur bewiesen, dass F(x, k) für jeden einzelnen Werth von x der Grenze f{x) sich nähert, wenn k unendlich klein wird, sondern auch, dass die Annäherung für alle einem endlichen Intervalle gehörigen Werthe von x eine gleichmässige ist.

Aus der Gleichung (3.) ziehe ich nun eine bemerkenswerthe Folgerung.

Unter den Functionen fy(x), welche den oben angegebenen Bedingungen entsprechen, giebt es unzählige, welche transcendente ganze Functionen und zugleich so beschaffen sind, dass auch die zugehörigen Functionen F(x,k) für jeden bestimmten Werth der Grösse k in beständig convergirende Potenzreihen von x entwickelt werden können. Nimmt man für ty(x) eine derartige Function, z. B. <\>(x) — e

A. »Ist f{x) eine nur für reelle Werthe der Veränderlichen x eindeutig definirte und durchweg stetige Function, so lässt sich auf mannigfaltige Weise eine transcendente ganze Function F(x,k) herstellen, welche ausser x noch einen veränderlichen (positiven) Parameter Je enthält und so beschaffen ist, dass für jeden reellen Werth von x die Gleichung

für jeden

an-

— XX

SO

ergiebt sich der folgende Satz:

lAmFix,Ti) — f[x)

k = o

besteht.«

Unter der Bedingung, dass die Veränderliche x auf irgend ein endliches Intervall beschränkt werde, kann man ferner, wie gezeigt worden ist, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse g\ dem Parameter k einen so kleinen Werth k' geben, dass für jeden Werth von x die Differenz zwischen

F(x, k') und f{x) ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g' ist. sodann F(x,k') in der Form einer Potenzreihe

Stellt man

A₀+Atx + A₂x²+ •••

dar und bezeichnet die Summe der n ersten Glieder dieser Reihe mit G(x), so kann man, nach Annahme einer anderen positiven Grösse g", dem n einen so grossen Werth gehen, dass für jeden dem angenommenen Intervall an-gehörigen Werth von x der absolute Betrag von F(x,k') — G(x) kleiner als g", mithin der absolute Betrag von f(x) — G(x) kleiner als g’+g" ist.

Damit ist bewiesen: *

B. »Ist f(x) eine Function von der angegebenen Beschaffenheit, und wird die Veränderliche x auf irgend ein endliches Intervall beschränkt, so lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse g, auf mannigfaltige Weise eine ganze rationale Function G(oc) bestimmen, welche in dem festgesetzten Intervalle sich der Function f(x) so genau anschliesst, dass die Differenz f(x) — G(x) ihrem absoluten Betrage nach beständig kleiner als g ist.«

Nun nehme man zwei unendliche Reihen positiver Grössen

so an

man

dass Lim a = oo ist und 2 9V einen endlichen Werth hat ; dann kann dem Vorstehenden gemäss eine Reihe von ganzen rationalen Functionen

Gi (x) i G₂ (ocj, Cr₃ (x), ...

SO

bestimmen, dass (für v — 1, 2

.. oo)

\f(x)-Gv(x)\ <zgv

ist, wenn x in dem Intervall (—av...av) liegt. Setzt man sodann

fo(x) = Gt(x), fv(x) = Gv+1(x)-Gv(x),

so ist

s m = Gn+1{x)

und für jeden bestimmten Werth von x

Lim Gn+1 (x) = f{x) ;

woraus sich ergiebt.

Nun seien    irgend zwei bestimmte, endliche Werthe von x, so er

giebt sich aus den Ungleichheiten

\f(x)-Gv(x) I < gv, \f(^)-Gv+1(x)\cgv+1

(—av<x< av) (~av+1<x<av+1)

dass für jeden dem Intervalle ([xt...x) angehörigen Werth von x

\fM\<g*+g*+i

ist, sobald v grösser ist als eine bestimmte Zahl v\ die dadurch definirt wird, dass jedes Intervall (— av...av), für welches v > v', die Werthe xx, xa beide enthalten muss. Man hat also

2 t W) I < Ê (ffv + ffv+x),

r = v'+l

v = v'+l

wenn xt<x<x₂;

und es convergirt demzufolge die Reihe

v = r'+1

und somit auch die Reihe unbedingt und gleich massig für die dem Intervalle {xi... x₂) angehörigen Werthe von x. Es ist aber die Wahl der Grössen xt1 x₂ keiner andern Beschränkung unterworfen, als dass sie endliche reelle Werthe haben müssen, und die Functionen fv{x) sind unabhängig von denselben; die vorstehende Reihe convergirt also unbedingt für jeden Werth von x und gleichmässig in jedem Intervall dessen Grenzen endliche Werthe haben. Es gilt also das Theorem:

con-

C. »Jede Function f(x) von der angegebenen Beschaffenheit lässt sich auf mannigfaltige Weise darstellen in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder ganze rationale Functionen von x sind; diese Reihe

vergirt unbedingt für jeden endlichen Werth von x, und gleichmässig in jedem Intervalle (xx... a?₂), dessen Grenzen endliche Grössen sind.«

In Betreff des Satzes B. ist zu bemerken, dass man zur Begründung desselben nur anzunehmen braucht, es sei ty{x) eine transcendente ganze Function, welche für reelle Werthe von x die im Vorstehenden angegebenen Eigenschaften besitzt, nicht aber, dass auch F(x,k) eine ganze Function von x sei, was keine nothwendige Folge der ersteren Annahme ist.

Setzt man nämlich, unter a: b zwei beliebig anzunehmende reelle Grössen verstehend, so hat man für reelle Werthe von x

F(x,k) =

F₁(x,k) + — I f(x — ku) (u) du + — j f(x + ku) i|>(u) du *4-a    W A-æ

und kann also, wenn a,b, xx1 x₂ der Bedingung

a < xx <    < b

gemäss angenommen werden, und eine beliebig kleine positive Grösse gx gegeben ist, den Werth von k so fixiren, dass für jeden dem Intervalle (x ... x₂) angehörigen Werth von x der absolute Betrag der Differenz f(x) — Fi(x₁ k) kleiner als gx ist. Dies vorausgesetzt, kann man ferner, da Fx(x,k) unbedingt eine (transcendente) ganze Function von x ist, nach Annahme irgend einer zweiten positiven Grösse g₂, eine ganze rationale Function G{x) so bestimmen, dass in dem Intervall (æx < Æ < X₂)

| G(x)-Fl(x,k)\<g„

also

\f(x)-G(x) \ cgt + g₂

ist; was den Satz B. giebt.

Dieser Beweis des in Bede stehenden Satzes ist, wie ich glaube, vollkommen streng und reicht aus, wenn nur gezeigt werden soll, dass ganze rationale Functionen G(x), welche sich einer gegebenen Function f(x) in allen Punkten eines beliebig angenommenen Intervalls (x ... x₂) so genau an-schliessen, wie man will, existiren und auch wirklich bestimmt werden können. Dagegen leidet die im Vorstehenden angegebene Bildungsweise solcher Functionen an einem wesentlichen Mangel. Setzt man

Ft(x,k) = 2 (4^

wo (k)y eine Function von k ist, für die sich der Ausdruck

{k\ =

_ (-l)v

2u)krvl

f(ku)

dv^(u)

duv

du

ergiebt, und

n—i

so existiren zwar

wenn irgend eine positive Grösse â gegeben ist, Werthe von k und n, für welche in dem Intervall (x <x<x)

ist; es wird aber, wenn d unendlich klein wird, k ebenfalls unendlich klein,

und es tritt der Ubelstand ein, dass aus dem vorstehenden Ausdruck von (k)v nicht zu ersehen ist, ob derselbe

wenn k unendlich klein wird, einer endlichen Grenze sich nähere oder doch wenigstens endlich bleibe, was unbedingt erforderlich ist, wenn auf die

in Bede stehende Weise für einen beliebig kleinen Werth d ein brauchbarer Annäherungsausdruck der Function f(x) sich soll hersteilen lassen.

Diesem Übelstande lässt sich aber folgendermaassen abhelfen.

Es bedeute f(x), wie im Vorhergehenden, eine für jeden reellen Werth der Veränderlichen x eindeutig definirte, reelle und stetige Function, deren absoluter Betrag eine endliche obere Grenze (G) hat. Dagegen sei $(x) eine transcendente ganze function, von der zunächst nur angenommen wird, dass sie reell sei für reelle Wer the

von x

nüge. Ferner seien u, v reelle, von es werde

und der Bedingung <p(—x) = ty(x) ge-einander unabhängige Veränderliche, und

\/^(u + vi) <l(u — vi) = v)

gesetzt, wo der Quadratwurzel ihr positiver Werth beizulegen ist.

Dann ist

gleich 1, und man hat daher, wenn a, b

der absolute Betrag von reelle Grössen sind,

(4.) J f(u)ty(u + vi)du = J f(u)

°a    a

ty (u + vi)

Hu>v)

• ty(u, v)du =

bG J ^(u, v)du

wo £ eine complexe Grösse, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, bezeichnet. Angenommen nun, es sei so beschaffen, dass das Integral

/*+»

I ty{u,v)du

•'O

für jeden Werth von v einen endlichen Werth hat, so erhalten, wenn at, at, bt, b₂ positive Grössen sind, bx> b₂> a₂, die Integrale

rh    r~a i

I ty(u,v)du,    / ty(u,v)du

•Ata    ^ —bi

von denen das zweite (weil <];(— u, v) —    v)) gleich

rh

I ty(u,v)du

*4

ist, beide unendlich kleine Werthe, wenn ax) a₂ unendlich gross werden. Dasselbe gilt also, der vorstehenden Gleichung zufolge, für die Integrale

r-ai    /»6₃

I f(u) 'KM + vi)du,    / f(u) ^ (u + vi)du ;

J-h    «4

und es hat demnach das Integral

/* + »

/ f(u) ty(u + vi)du

— GO

einen bestimmten endlichen Werth für jeden Werth von v. Ich will ferner annehmen, es convergire das Integral

r+<*>

I ty(u,v) du

4

wenn a₂ unendlich gross wird, für alle Werthe von v, deren absoluter Betrag einen beliebig festgesetzten Grenzwerth nicht übersteigt, gleichmässig

m.

gegen die Grenze Null, so gilt der Gleichung (4.) zufolge dasselbe von dem Integral

/*+»

I f(u)<\i(u + vi)du,

«2

und ebenso, wenn ai unendlich gross wird, von

/• —«!

/ f(u)ty(u + vi)du.

J—CD

Es lassen sich also, wenn F, g gegebene positive Grössen sind, von denen V beliebig gross und g beliebig klein sein kann, immer zwei positive Grössen «j, a₂ so bestimmen, dass der absolute Betrag der Differenz

/*+»    ra₂

I f(u) ^ (w + vi)du— I f(u) 4¹ iu + vi)du

00    J - Öfj

für jeden der Bedingung

-F<v<F

entsprechenden Werth von v kleiner als g ist.

/*+co

to = / k(u)du.

Dann ist also nach

Nun sei x — % + %i eine complexe Veränderliche und, wie im Vorangehenden, k eine positive Constante, dem Vorstehenden das Integral

(5.)

2/cu>

i + ao

CO

eine für jeden endlichen Werth von x eindeutig definirte, endliche Grösse, die oben mit F(x, k) bezeichnet worden ist.

Es muss nun nachgewiesen werden, dass F(x,k) eine (transcendente) ganze Function von x ist.

Man setze für den absoluten Betrag von x eine obere Grenze r fest, so kann man, nach Annahme zweier beliebig kleinen positiven Grössen g\g'\ zwei andere alf a₂ bestimmen, für welche der absolute Betrag der Summe

du

für alle der Bedingung entsprechenden Werthe von £, £' kleiner als g' ist.

Dann hat man

(6.)

F(x, Je) =

wo e' eine Grösse, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, bedeutet. Das Integral auf der Rechten dieser Gleichung lässt sich aber in eine beständig convergirende Potenzreihe    entwickeln, und man kann, wenn die Summe

der n ersten Glieder von    mit Gin){x) bezeichnet wird, n so gross an

nehmen, dass für jeden der Bedingung \x\<r entsprechenden Werth von x

I F(x, Je) — Gtn)(x) I < g'+g"

ist.

Dies festgestellt, kann man ferner durch das zur Begründung des Satzes

C. angewandte Verfahren zeigen, dass F(x,k) sich darstellen lässt in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder ganze rationale Functionen von x sind, und dass diese Reihe für alle in irgend einem endlichen Bereiche enthaltenen "Werthe von x gleichmässig convergirt. Man hat zu dem Ende zwei Reihen positiver Grössen

fi* (i* fi*

' V ⁷ 2>    ⁷ 3?

9n 9n • • •

so

so anzunehmen, dass Limr — oo und V qn einen endlichen Werth hat,

»=® ’

dann eine Reihe von ganzen rationalen Functionen G^x), G₂(x), Ga(x), ..

. so

zu bestimmen, dass für jeden der Bedingung | &] < r entsprechenden Werth

von x

(L)

IF (x, Je) — Gv(x) I < gv

(v = 1,2,... GO)

ist, und

(8.)

W) = ©,(*), f,(x) =    — G,(x)

zu

setzen: dann ist

(9.)

F(x,h) = ±fJx).

Nach einem Satze aber, den ich früher (Monatsberichte der Akademie aus dem Jahre 1880, S. 723*)) in elementarer Weise bewiesen habe, kann man die Reihe auf der Rechten dieser Gleichung, weil sie in jedem endlichen

*) [Vgl. Bd. II, S. 205 dieser Ausgabe.]

Bereiche gleichmässig convergirt, in eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Potenzreihe    verwandeln.

Nimmt man

— X²

so ist

^(u,v) = e w2+t;2,

und diese Function v) hat die im Vorstehenden angenommene Beschaffenheit. Dasselbe ist der Fall, wenn man

^ _ e~(ClX² + C₂Xi+-- + CQX²Q)

Q-l

setzt und der Constante einen positiven Werth giebt, während cl5 ... c beliebige reelle Werthe haben können.

Es existiren also in der That, wie bei Begründung des Satzes A. angegeben worden ist, unzählige Functionen ty(x) von der Beschaffenheit, dass die zugehörigen Functionen F(x,k) transcendente ganze Functionen sind.

Jetzt bedeute F(x,k) irgend eine bestimmte von diesen Functionen, so lässt sich die Potenzreihe ^3(æ), durch welche dieselbe dargestellt werden kann, in eine nach Kugelfunctionen fortschreitende, ebenfalls für jeden endlichen Werth von x convergirende Beihe verwandeln. Aus dem bekannten Satze des Herrn C. Neumann, betreffend die Entwickelung eindeutiger analytischer Functionen einer complexen Veränderlichen x nach den Kugelfunctionen erster Art, ergiebt sich nämlich unmittelbar, dass jede (transcendente oder rationale) ganze Function G{x) dargestellt werden kann durch eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Beihe von der Form

G(x) = ixp».*)

*) Dies lässt sich übrigens auch folgendermaassen beweisen. Aus der Definition der Kugelfunctionen ergiebt sich:

I P(n)(x) I < I x+s/x² — ! |M,

wenn man ^x² — 1 so bestimmt, dass | x+\/x² — 1 ] > 1 ist. Ferner ist

Kn = Cn>0PMX + Cntl P(w~²⁾(#) + •..,

und somit, wenn

Die Coefficienten dieser Reihe sind so beschaffen, dass

für jeden positiven Werth r einen endlichen Werth hat. Ferner ist die Reihe für alle einem endlichen Bereiche angehörigen Werthe von x gleich-massig convergent. (Vergl. die Abhandlung des Herrn Thomé: »Über die Reihen, welche nach Kugelfunctionen fortschreiten«, Borchardt’s Journal, Bd. 66, S. 337.) Auf der letzteren Eigenschaft der Reihe beruht es, dass man

f+l G{x’)^\x')dx' = 20, /,+1p⁽'⁰(a>')PM(aO<fo'

J_l    t — O J_i

hat, wo x’ eine reelle Veränderliche bezeichnet; woraus sich

y⁺ G(x')P*’(x')dx’

ergiebt.

Für die Function F(x,k) hat man also

— —2~

2v +1

4«)

/•+1 /»+00 I Pw{x')dx' J    f(x' + Im) 4» (u) du ;

*Z—1    «/—00

du

eine beständig convergirende Potenzreibe von x ist,

2 Anxn = 2 2^WP(B-îv)(«).

+ ...Xn + snd) ^(ujdu^.. cj>(un)dun

<?(u1 + P1,...un+Pn) = <p(ult...uj

... (P

m ••• &(*)

©[ttj, ...«Ja,, ...an\m.

— + 1.

Äcp(ix, i»)«-ł(ia, !„••• •••>]»)«. = o,

3k~

* “ü-r-8(ir)-3r)+w<^

u ~ J UÂC

m-Qo)

K-m'K-K).+ (»'), =

\(l + ki)(C?-Cy>)\<gd9

K.

\!Wph) sjRM

Während Ihrer dreizehnjährigen Wirksamkeit an der

¹

Ich bezeichne mit f(xt... x₂) einen Mittelwerth zwischen dem kleinsten und grössten derjenigen Werthe, welche f{x) in dem Intervall von x = xt bis x — x₂ annimmt.

CO

2 Anxn = 2 2^WP(B-îv)(«).

Es sind aber die cn>v sämmtlich positive Grössen und 2cn,v — B also ist

V

2    I ^ |*+V^?=T|*.

V

CO

Daraus folgt, dass 2 2 \^-ncn,v^n~iv) i,x) | eine endliche Grösse ist, und daher, wenn (für ft = 0,1,2,...oo)

n=zo y

CO

2 ^n,v = 2 ty+2v,r ■d-fi+iv

n,y    r = o

(n—2v = ft)

gesetzt wird, die Gleichung

00

00

2 4.«" = <?o+2

n = o    ft = x

besteht.

woraus man, wenn

gesetzt wird,

erhält.

2v~ j*'f{x' + u)V’\x')dx' = /»

i r+m

2~ / fv(ku)Ą(u)du

•/—CO

Gv =

Die Function fv{u) ist ebenso wie f{u) eine durchweg stetige Function, deren absoluter Betrag höchstens gleich (2v + l)G werden kann, da der absolute Betrag von P(W(af) für die dem Intervalle (—1 ••• + !) angehörigen Werthe von %' nicht grösser als 1 wird. Es ist aber, wenn a eine beliebige positive Grösse ist,

Cv =

und

i ra    i /* + °°    i p-a

2^ j fv(ku)ty(u)du + —J* fv(JM)ty(u)du + — j- fv(Jcu) ty(u)du

I /»+CD    I    /* + CO

I fv(7cu)ty(u)du <(2v + l)6r / \ty(u)\du,

\Ja    I    •/«

f fv(Jcu)ty(u)du <(2i/ + l)Gf f \ty(u)\du\

I •/—00    CO wenn man daher h unendlich klein werden lässt, so bekommt man

Lim Gv = fv(0) ~ j ty{u)du + •• •,

wo die weggelassenen Glieder auf der Rechten unendlich kleine Werthe erhalten, wenn a unendlich gross wird. Da man nun a beliebig gross annehmen darf, so ergiebt sich

⁼ 2h f 'H«)** = f,(*),

•✓—CO

Lim Cv = fy( 0) =

Setzt man

und versteht unter d eine reelle Grösse, deren absoluter Betrag kleiner ist als Je, so ist

i r+a

2^; J (fr(ku + du) — fy{Tcu)) (u)du + • • •

' •

?,(Ä+d)-<pv(Ä) =

wo wieder die fortgelassenen Glieder auf der Rechten beliebig kleine Werthe erhalten, wenn a gross genug angenommen wird. Ist daher dt eine gegebene, beliebig kleine positive Grösse, so kann man dem a einen bestimmten Werth beilegen, für welchen

d) -<$(*)- -i- J (fv(ku +[du)-fv(ku)) ty(u)du

dem absoluten Betrage nach kleiner als ist, und zwar bei beliebigen Werthen von ft und d. Dann lässt sich ferner, wenn d₂ eine zweite, beliebig anzunehmende positive Grösse ist, für den absoluten Betrag von d eine obere Grenze d' so festsetzen, dass

2^ J {fyijiu + du)—fv(Jcu))ty(u)du

dem absoluten Betrage nach kleiner als d₂, und somit

|<p,(ft + d)-<pr(ft)| cd*+d₂

ist, wenn |d| cd'. Es ist also cpr(ft) eine stetige Function von ft.

Hiermit ist also bewiesen:

»Ist eine Function von der oben angegebenen Beschaffenheit, und

du

F(x, Je) =

so hat man für jeden endlichen complexen Werth von x

(10.)

wenn

(11.)

f,(u) = J⁺ f(x'+u)V,n(x')dx'

1 r+co

= 2^- J fy(ku)^{u)du

gesetzt wird; und es sind dann die yv(Jc) stetige Functionen von ft.«

Jetzt werde unter x wieder eine reelle Veränderliche verstanden, so dass

f (x) — Lim F {x, ft)

k = o

ist. Wird dann x auf das Intervall

— a<x^ka

beschränkt, wo a eine beliebige positive Grösse bedeutet, so kann man, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse g\ zunächst dem Parameter k einen bestimmten Werth k' beilegen, für welchen

\f{x)-F(x,Ti')\cg'

ist. Bezeichnet man ferner mit R den grössten Werth, den der absolute Betrag der Grösse

x + \/x²— 1

für die jetzt betrachteten Werthe von x erhalten kann, so hat man

wenn a < 1,

— wenn a> 1,

und es folgt daher aus dem oben Bemerkten

1,

I PM(x) I < R\

Da nup die Reihe

21

einen endlichen Werth hat, so ist es nach Annahme einer zweiten positiven Grösse g" immer möglich, eine ganze positive Zahl n zu ermitteln, für welche der absolute Betrag von

V = H +1

kleiner als g" ist. Setzt man also

(12.)

so ist

Hiernach lässt sich der obige Satz B. folgendermaassen aussprechen:

»Es seien a,g positive Grössen, von denen die erste beliebig gross und die andere beliebig klein angenommen werden kann, so ist es immer möglich, in dem durch die Gleichung (12.) definirten Ausdruck G™(x,k), der eine ganze rationale Function ?iten Grades von x ist, dem Parameter k und der Zahl n solche Werthe

zu

geben, dass für die dem Intervall (— a...a)

angehörigen Werthe von x die Differenz zwischen

f(x) und Gm(x, h)

ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g ist.«

Der im Vorstehenden entwickelte Ausdruck der Function F(x,k) liât vor der Darstellung derselben in Gestalt einer Potenzreihe den wesentlichen Vorzug, dass die Coefficienten des ersteren — die cpy(&) — in einer Form sich darstellen, welche erkennen lässt, dass dieselben stetige Functionen der Grösse k sind, und dass es für jeden einzelnen Coefficienten eine Grenze giebt, welche sein absoluter Betrag für keinen Werth von k überschreitet, während zugleich, für jeden bestimmten Werth von k, Limyv(k) = 0 ist.

Damit ist der Übelstand beseitigt, welcher sich, wie vorhin hervorgehoben worden ist, herausstellt, wenn man die im Satze B. vorkommende Function G(x) so definirt, wie es bei der Ableitung dieses Satzes zuerst geschehen ist.

Es ist bisher in Betreff der Function f(x) angenommen worden, dass der absolute Betrag derselben eine endliche obere Grenze habe. Diese Annahme kann man fallen lassen, wenn es sich bloss darum handelt, eine ganze rationale Function G(x) zu bestimmen, welche sich in einem gegebenen endlichen Intervall (x ... xa) der Function f(x) so genau anschliesst, dass der absolute Betrag der Differenz f{x) — G{x) für jeden Werth von x unter einer beliebig festgesetzten Grenze g liegt.

In der That, definirt man eine Function f₁{x)₎ indem man festsetzt, es sei

/!(#) = f(xt) für xcxl, fi(x) — f(x) für x₁<x<x21 fi(x) — f(x2) für x>xa,

so

ist f (x) so beschaffen, wie bisher von der Function f(x) angenommen worden ist, und man kann demnach eine Function G{x) so bestimmen, dass für jeden in dem Intervalle    x₂) enthaltenen Werth von x

\f₁(x)-G(x)\cg

und somit auch

\f{x)-G{x)\cg

ist.

Nun ist bei dem Beweise des Satzes C. von der Function f(x) nur vorausgesetzt worden, dass es nach beliebiger Annahme zweier positiven Grössen av, gv möglich sei, eine ganze rationale Function Gv(x) herzustellen, für welche

\f(x)— G-V{x) I <c gv ist, wenn —av<x<av ;

und es gilt also der in Bede stehende Satz in unveränderter Fassung, wenn von der Function f(x) nur angenommen wird, dass sie für jeden endlichen reellen Werth von x einen bestimmten endlichen und mit x stetig sich ändernden Werth habe.

Es bliebe jetzt noch zu untersuchen, welche Modificationen die bisher entwickelten Sätze erleiden, wenn man auch die Annahme, dass fix) eine durchweg stetige Function sei, fallen lässt. Damit werde ich mich hier jedoch nicht beschäftigen.

Ich will jetzt annehmen, es sei f(x) eine periodische Function, d. h. sie ändere ihren Werth nicht, wenn ihr Argument um eine bestimmte positive Grösse 2c vermehrt wird. Dann lässt sich die zugehörige Function F{x, k) auch darstellen in der Form einer für jeden complexen Werth von x con-vergirenden Fourier’sehen Beihe, deren Coefficienten stetige Functionen der Grösse k sind.

Aus der obigen Gleichung (5.) ergiebt sich

F(x + 2c,k) — F(x, k) ;

setzt man also, unter z eine neue complexe Veränderliche verstehend,

F(») =

so ist F(z) eine eindeutige analytische Function von z, für welche im ganzen Gebiete dieser Grösse nur zwei singuläre Stellen, nämlich 0 und oo existiren, und die daher in eine beständig convergirende Beihe von der Form

v = + oo

entwickelt werden kann. Setzt man z = e c es ist demnach

so wird F{z) = F(x, fc), und

11t*.

F(x,k) = 2 Gye.‘

V = — GO

für jeden endlichen Werth von x.

Da diese Entwickelung von F(x,k) in jedem endlichen Bereiche der Veränderlichen x gleichmässig convergirt, so ist, wenn man mit x' wieder eine reelle Veränderliche und mit n eine ganze Zahl bezeichnet

dx' —

*dx' = Cn.

1    /»c    W*'it .

— j F[x\k)e~ o ‘

I r = + oo    pc (v-w)to'

jrSd« «

♦' = -» J-c

Man hat also

2cCn ==

/% c

- 2 toj_ce

¹ dx'

du

i rc -—>• l e c 2u> J-c

dx'

J_ /*+œ 2 <0 J-oo

nJcuK

•fr

/» + <*>

I f(x’+ku)ty(u)du 00

/v+

J—C

Nun hat man aber, wenn man

setzt und unter #₀ eine von a?' unabhängige Grösse versteht,

es ist also

rf{x'+u)e-^+m

J—c

dx' =

/•c    Mit*' .

/ /■(&') e c ‘da?',

«J-C

und somit, wenn man, unter w eine beliebige reelle Grösse verstehend

(13.)

1 /*+c0

tW = ITT / łW

«Z— 00

1    Z*⁰⁰

ew*dw = — i ^(w) cos (vu) du

und somit

(17.)

die für

setzt

n =

71

Setzt man

(15.)    4, =

w//(*')co s(iH

Æ»', A' =

so ist

(16.)

Cn =

Nach der Formel (13.) ist cp(r) eine stetige Function von v v — 0 den Werth 1 annimmt.

Setzt man in dem Ausdrucke auf der Rechten der vorstehenden Gleichung k — 0. so reducirt er sich auf

Ao + ²^lAn C0S X) + A'n sin (~ «)]

d. h. er geht in die Reihe über, in welche sich die Function f(x) im Allgemeinen — d. h. wenn man von speciellen, bisher noch nicht hinreichend charakterisirten Functionen absieht — nach dem Fourier’schen Theorem entwickeln lässt. Da aber, wie zuerst Herr P. du Bois-Reymond an einem Beispiele nachgewiesen hat, in der That Functionen f{x) existiren, welche für gewisse Werthe von #, die sogar in jedem noch so kleinen Intervall %₂) in unendlicher Anzahl vorhanden sein können, durch die vorstehende Reihe nicht dargestellt werden, so ist damit dargethan, dass man, um die Grenze zu bestimmen, der sich die Reihe auf der Rechten der Gleichung (17.) nähert, wenn k unendlich klein wird, nicht unbedingt in jedem einzelnen Gliede der Reihe k = 0 setzen darf.

M = + a>

Die Reihe 2 Cnzn convergirt, wie gezeigt worden ist, für jeden Werth

n = — oo

von z, mit Ausnahme der beiden Werthe 0, oo. Die Reihe

ao

convergirt also für jeden endlichen Werth von z.

Nimmt man nun z. B.

*=+<» 2 lmz \

= J, Hr'“"(t *)■

so ist

TT. K

== 0

und daher

daraus folgt, dass auch die Reihe

CO

für jeden endlichen Werth von s convergirt. Setzt man also

» = +00

(18.)

Xi

n = ~co

so ist yXx'iv) eine f^r jeden endlichen complexen Werth von x und für jeden von Null verschiedenen reellen Werth von v definirte eindeutige analytische Function, für welche sich auch, da cp(— v) = y(v) ist, der Ausdruck

n = -fco    co

(19.)

y (x ; v) = 2 ? (nv) cos nx — 1 -f 2 2 rf (nv) cos nx

Z=Z — Q0

ergiebt; und es lässt sich dann die Function F(x,Je) folgendermaassen aus-drücken :

(20.)

F(x, Je) =

JCTz\

*’ T"j

dx'.

Jetzt seien wieder g\ g" gegebene positive Grössen von beliebiger Kleinheit, und F ein bestimmter Werth von Je, der so anzunehmen ist, dass

I f(x)-F(x,Je')\

für jeden reellen Werth von x kleiner als g' ist. Bestimmt man dann eine ganze positive Zahl n so, dass der absolute Betrag von

ÜA^r){Ä’cos (W)⁺A: sin tr *))

Av cos xj + A!v sin x^jj + Rn,

für jeden reellen Werth von x kleiner als g" ist, und setzt

vJc't:

(21.)

so ist der absolute Betrag von Rn stets kleiner als g'+g

So ergiebt sich der Satz

D.    »Ist f(x) eine für jeden reellen Werth von x eindeutig definirte, durchweg stetige und reell-periodische Function, so lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse g, auf mannigfaltige Weise eine endliche Fourier’sche Reihe hersteilen, welche sich der Function f(x) so genau anschliesst, dass der Unterschied zwischen beiden Functionen für keinen Werth von x mehr als g beträgt.«

Aus diesem Satze lässt sich dann durch das beim Beweise des Satzes C. angewandte Verfahren, wenn man unter den dortigen Functionen Gi{x)₎ G₂(x) Ga(x), ... jetzt endliche Fourier’sche Reihen versteht, welche dieselbe primitive Periode wie f(x) haben, der folgende ableiten:

E.    »Jede Function f(x) von der unter D. angegebenen Beschaffenheit lässt sich, wenn 2 c die primitive Periode derselben ist, darstellen in der Form einer Summe, deren Glieder sämmtlich endliche Fourier’sche Reihen mit der Periode 2c sind. Diese Reihe convergirt unbedingt und gleichmässig für alle Werthe von x.«

Um das Vorstehende durch ein einfaches Beispiel zu erläutern, nehme ich

—x²

Dann ist 2ü) = \Jk und

«J»

1 /*d-co

V(v) = -7= / e J-a>

—u²+uvi

du —

f

«/—co

t>a

du — e ⁴.

Daraus ergiebt sich

(22.)

t' = +00

/(*,'    = S e 4 OOSVX

also, wenn man

(23.)

setzt

wo $₃(x,q) die Jacobi’sehe Function

1 + 2q cos 2x + 2g⁴ cos 4# + 2g⁹ cos 6x + • • •

ist.

Hiernach hat man für q — e 4c3

(25.)

ii, q\dx.

Die Formel auf der rechten Seite dieser Gleichung kommt schon hei Fourier vor (Théorie analytique de la chaleur, Chapitre X). Um den Temperaturzustand eines unendlich dünnen homogenen Ringes von der Länge 2 c, der keine Wärme ausstrahlt, für einen beliebigen Zeitpunkt anzugeben, wenn derselbe in irgend einem Momente bekannt ist, hat man eine Function cp von zwei reellen Veränderlichen x, t so zu bestimmen, dass dieselbe der Differentialgleichung

öcp _ d² cp

~dt ~

genügt, wo ft eine positive Constante bedeutet, als Function von x betrachtet die Periode 2c besitzt und für t — 0 in dem Intervalle

— C < X < c

einer gegebenen willkürlichen Function F(x) gleich ist, wobei nur angenommen wird, dass F(x) stetig und F{— c) = F(c) sei.

Fourier findet für die so definirte Function cp den Ausdruck

(26.)

1 r = + oo /* c

* = U. s'

r'c    v = + oo

• / Fix') S «

J-c    r = —oo

cos [v

x—x'

Tz\dx'

T—ł

*2 UTta --Ca

co s (v X g X~ Tzj dx\

also

(27.)

cp = F(x,k),

wenn man

die Function f(x) so bestimmt, dass sie in dem Intervalle (— c ^ x < c) mit F(x) übereinstimmt, und

(28.)

nimmt. Fourier setzt

k — 2

um zu beweisen, dass cp für t = 0 in dem Intervalle

(— c<x<c) gleich F(x) sei, in den einzelnen Gliedern seines Ausdrucks t = 0, wodurch derselbe in die Reihe

i    rc-, / x-x' \ _ ,

w JLi/(æ)coT^_T*

übergeht, von der er annahm, dass sie stets in dem angegebenen Intervall die Function jF(æ) darstelle. Es verdient aber bemerkt zu werden, dass ungeachtet der Einwendungen, die gegen Fourier’s Verfahren gemacht werden können, der aufgestellte Ausdruck der Function cp ausnahmslos richtig ist. Denn da derselbe, wie gezeigt worden ist, sich in F(x,2\J^t) umformen lässt, so ergiebt sich zunächst, ohne dass das Fourier’sche Theorem zu Hülfe genommen wird, dass

Lim cp — F (x)

ist. Ferner genügen die einzelnen Glieder der Differentialgleichung

<3<p    ö²cp

dt    ^ dx2 J

wenn man die Grösse

woraus folgt, dass auch cp selbst ihr genügt, da die in Rede stehende Reihe eine eindeutige analytische Function von x und t ist t der Bedingung unterwirft, dass ihr reeller Bestandtheil positiv sein soll, und weil überdies die Reihe in jedem endlichen Bereiche der Grössen x, t gleich-massig convergirt. Endlich ändert die Reihe ihren Werth nicht, wenn x+2c für x gesetzt wird; es entspricht also die durch sie ausgedrückte Function vollständig den gestellten Bedingungen.

Es ist äusserst merkwürdig, dass bei einem Problem der mathematischen Physik für eine gesuchte, von zwei veränderlichen Grössen, die nach ihrer physikalischen Bedeutung nur reelle Werthe haben können, abhängige Function, welche für einen bestimmten Whrth eines ihrer Argumente einer gegebenen willkürlichen Function des anderen gleich sein soll, ein Ausdruck sich ergiebt, der eine analytische Function der Veränderlichen ist und somit auch für complexe Werthe der letzteren eine Bedeutung hat.

Es bedeute jetzt n eine ganze positive Zahl, und es werde gesetzt

r = +n

cos vx

z(x]v)n = 2 e ⁴

so

ist nach Gleichung (22.)

xfo*) = x(*;«)»+2S <? ⁴

v = n+l

cosvx.

Für reelle Werthe von x ist aber der absolute Betrag des zweiten Gliedes auf der Rechten dieser Gleichung, der mit Rn bezeichnet werde, niemals grösser als

CO

vava

22 e ⁴ = 22*

w²+2nv + va „

--4-

r = n+l

also

na+2n    „

---- 7)2 co---

⁴ .22* ⁴ ■ v == 1

r²t>a

Setzt man nun in der bekannten Gleichung

1 / 00

-7-1+22« T

CO

1+22*

— r² T it

wo unter t eine positive Grösse zu verstehen ist, t == so ergiebt sich, wenn v positiv ist

es ist also

^ ^ 2\^ 22* = v

-i +

4va7i²

u²

4^ai:²

Setzt man nun, unter m eine positive Grösse verstehend

Rn < —-

n    v

(29.)

2 yWlog (w +1) n +1

so ist

— »n+i

\/W log (w + 1)

•(1+W)

wo [w] eine Grösse bedeutet, die für einen unendlich grossen Werth von n unendlich klein wird. Nimmt man also

m > 1

so wird

Lim Iln — 0.

W = CO

in.

Es ist aber dann

<TT = e

m log (n + 1)

(» +1)²

= o + i)

0 + 1)=

also, wenn man

(30.)

(n +1)

(n +1)2

und

(31.)

v = +n    n

x(x,n) = 2 {»jwcosva? = 1 + 22 M

v = —w    r = i

vv cos vx

setzt

X{X)v)n = X(*>»)-

Aus der Gleichung

X — %' IcTX \ , , -Tr : — dx

ergiebt sich dann

rr.v\dx' = J f{x')xiç—cX

Tt,n)dx'+ R’n)

wo auch R!n eine Grösse bedeutet, die für einen unendlich grossen Werth von n unendlich klein wird. Da nun Limt? = 0 und lAm.F[x,—\ = f(x) ist

n = co    Vz=o \    ¹ 7Z /    ¹ \ /

so ergiebt sich

(32.)

Tr, n ) dx’.

Das Fourier’sehe Theorem, präcise ausgedrückt, besagt, dass

(33.)

sei. wenn

v = + n

%(x,n) = 2 cos vx

r = - n

gesetzt wird. An die Stelle dieser Gleichung, die nicht unter allen Umständen richtig ist, tritt also die vorhergehende, ausnahmslos geltende, in der die Function ÿ^(x,n) ersetzt ist durch eine andere, y{x,ii), welche gleich \{x^n) die Form

(34.)

1 + 2(n, l)cos# + 2(n, 2) cos 2xĄ-----1- 2(n, n) cos nx

hat, wo 0, v) eine von n und v abhängende positive Grösse bedeutet, die in

~l{x) sich auf die Einheit reducirt. Für jede bestimmte Zahl v ist

1;

Lim (n, v) =

71 = cd

man kann also n so gross nehmen, dass die (v + 1) ersten Glieder von x(x,n) mit den entsprechenden Gliedern von y^(x, n) so nahe übereinstimmen, wie man will.

Functionen %(x, ri) von derselben Form und Beschaffenheit, wie die hier betrachtete, für welche die Gleichung (32.) ebenfalls unbedingte Gültigkeit hat, lassen sich auch aus der obigen Function v), die aus einer beliebigen Function ty{u) entspringt, ableiten. Man kann immer eine von n abhängende positive Grösse vn1 welche bei unbegrenzt wachsendem n unendlich klein wird, so bestimmen, dass die Differenz

r = +n

x0*0*0-2 ?K)cosw

v =—n

gegen Null convergirt, wenn n ohne Ende wächst, und dann ist

r = + n    n

(35.)

x(® 1 n) — 2 'p ('vvn) COS VX = 1+22? (Wn) COS VX

y = \

eine Function von der angegebenen Beschaffenheit.

Selbstverständlich soll damit nicht gesagt sein, dass man auf diese Weise alle Functionen der in Rede stehenden Art erhalte.

Schliesslich möge noch bemerkt werden, dass die Gleichung (32.) für die zwischen — c und c liegenden Werthe von x, wie leicht zu beweisen ist, auch dann noch besteht, wenn unter f(x) eine Function verstanden wird, welche in dem Intervalle von x = — c bis x — c eindeutig definirt und stetig ist, ohne dass f{c) = f(—c) zu sein braucht. Für x= ±c ist dann auf der Linken der Gleichung statt f(± c) zu setzen.

2.

Die vorstehenden Sätze lassen sich nun zum Theil auch auf Functionen von mehreren reellen Veränderlichen ausdehnen.

Im Gebiete von n unbeschränkt veränderlichen reellen Grössen æ , ... xn sei irgend ein n-fach ausgedehntes, unabgeschlossenes Continuum S gegeben.

Ferner sei f(x^...xn) eine beliebige, in dem Bereiche S überall eindeutig definirte, reelle und stetige Function, von der überdies angenommen wird, dass ihr absoluter Betrag eine endliche obere Grenze G habe. Endlich bedeute ty(x) eine für jeden reellen Werth der Veränderlichen x eindeutig definirte, reelle und continuirliche Function, welche der Gleichung    = <\>(x)

genügt, für jeden von Null verschiedenen Werth von x positiv ist und ausserdem der Bedingung entspricht, dass das Integral

/»+0O

I ó (x) dx

*^0

einen endlichen Werth hat, der mit cd bezeichnet werde.

Setzt man dann, unter (x'f... a?') eine unbestimmte, dem Bereiche S an-gehörige Stelle und unter Je eine von x^ ... xn und x', ... x'n unabhängige positive Veränderliche verstehend, (1.) F(xlt ...xn;%) =

(S)

wo die Integration über den ganzen Bereich S zu erstrecken ist, so gelten die folgenden Sätze:

A. Für jedes dem Bereiche S angehörende Werthsystem (xlf... xn) ist LimF(xt,... xn) 1) = f(xlt ...xn).

Ä = 0

B. Dagegen ist

LimF(xt,... xn]Jc) = 0,

k = o

wenn

die Stelle (xx,...xn) weder dem Bereiche S noch dessen Begrenzung

angehört.

Das Integral auf der Rechten der Gleichung (1.) hat unter den gemachten Voraussetzungen stets einen bestimmten endlichen Werth. Dies ist unmittelbar klar, wenn der Bereich S ganz im Endlichen liegt. Wenn das Letztere aber nicht der Fall ist, so sei S’ irgend ein ganz im Endlichen liegender Theil von dann ist, da die Grössen

ihr Zeichen nicht ändern, das Integral

dx[,.. dx'n

seinem absoluten Betrage nach nicht grösser als das Product aus G und dem Integral

dx\... dx'n ;

(S')

dieses aber ist kleiner als

.. dx'n

/* + <» r+œ

.. dun = 1.

r^r / ••• /

«/ — co J — CO

Es ist also

|F'|<G

wie man auch den Bereich 8' annehmen möge. Dies genügt zu dem Beweise, dass auch in dem Falle, wo der Bereich 8 von unendlicher Ausdehnung ist, der Ausdruck F(xt,... xnj U) für jedes System endlicher Werthe der Grössen xt1 ... xn nnd jeden positiven Werth von k einen bestimmten endlichen Werth hat.

Man denke sich nun in 8 eine Stelle (xi)... xn) fixirt und verstehe unter d eine positive Grösse, die so klein anzunehmen ist, dass alle durch die folgenden Formeln:

x[ = x,+uxÖ, ... x'n — xn+und

definirten Stellen (a?',... xn) in 8 liegen. Die Gesammtheit dieser Stellen werde mit 8 bezeichnet nnd die Gesammtheit aller übrigen Stellen von 8 mit S₂. Dann hat man, wenn

Fl 2nJcno>n

x[—x₁

dx\... dx'n

x[ — x₁

ü)m

-ł

X'n-K

dx[... dx'n

gesetzt wird

F(x1} ...xn] l) = Ft + Ft.

Nun ist Fa dem absoluten Betrage nach nicht grösser als das Product aus G und

also

F =

*    2"/cn«)

2 W /--/K *)•••*( *)

(s»)

(Sa)

Ąn/y^y-i^)

dx\...

dx[... dx'n

eff

2 Tü)

dx[... dx'n

= eff 1

wo £ eine Grösse bedeutet, die dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist. Ferner hat man

Ft =

2Mcori

“o Uae

•o »ae .

• • xn + fcwn) <K*0 • • • <K«Ü

“Ï

1    C~k    r~k

+    ...Xn + snd) ^(ujdu^..    cj>(un)dun

J 8    J d

"T

"T

_d

f\(ui)dui----~r f\(un)cK d>    */o

wo e1? ... £n Grössen bedeuten, von denen jede zwischen —1 und +1 liegt. Setzt man nun

= x(M)

1 f+cc

— I Ą(u)du

so hat man nach dem Vorstehenden

Fx

= f(xlt    +(/■(*! +•••*»+e»*)-/,0B₁, ...®»))(l-x(j))

-1

+ (/* (U + £1    • •

Jetzt nehme man für d eine stetige Function von k an, die gleichzeitig mit h unendlich klein wird, jedoch so, dass dies auch noch für -j gilt, z. B. man setze d = \fk: so ist

Lim.F₂ = 0, Lim .F, = f(x₁,... xn).

7c = o

k = o

wenn u zu-

Denn es ist    es nimmt also i{u) beständig ab

nimmt, und es ist

Lim y(w) — 0.

U— +œ

Ferner wird

f(x₁ + e₁d,...xn+end)-f(x₁, ...xn) gleichzeitig mit d unendlich klein. So ergiebt sich

LimF(xlt ...xn]k) =f(x₁,...xn)

k—0

für jedes dem Bereiche S angehörende Werthsystem (a?,... a?B).

Damit ist der oben ausgesprochene Satz A. erwiesen; und zwar ergiebt sich zugleich, dass die Function F(xx, ... xn\ k) sich für alle Werthsysteme a?a, ... xn, welche einem ganz im Endlichen liegenden, abgeschlossenen Theile des Bereiches $ angehören, gleichmässig der Function f(xi}...xn) nähert, wenn k gegen Null convergirt.

Um nun die Behauptung B. zu erhärten, nehme man die Stelle (x^ ...xn)

xl—d<xjL<xx + Ô

ausserhalb des Integrationsgebietes S an und wähle um (xt, ... xn) einen Bereich Sl der Art, dass die in ihm liegenden Stellen (x[,... x'n) durch die Ungleichungen

denmrt werden, und zwar so Gebietes 8 liegen, was sich durch passende Wahl von d immer erreichen lässt. Es ist

dass alle diese Stellen noch ausserhalb des

F(x₁,... xn] k)

2” Jcn o)

dx[... dx'n.

Bezeichnet nun S₃ den nach Ausschluss von 8 von dem ganzen Gebiete 2 der Veränderlichen    übrig bleibenden Theil, so ist 8 ein Theil von

$₃, also ist, wenn e' eine Grösse bezeichnet, die absolut genommen kleiner ist als 1 und als e,

F{x₁,...xn)h) =

e'G

2n Jen tu

dx[... dx'n

(ß₃)

Hieraus ergiebt sich, wenn man â = \JJc nimmt

Lim F(x₁,... xn] Je) = 0,

k = o

wenn (xi:...xn) ausserhalb des Gebietes 8 angenommen wird; zugleich erkennt man, dass die Annäherung an den Werth Null eine gleichmässige ist.

Für Punkte ...a?n), welche auf der Grenze des Integrationsgebietes 8 liegen, lässt sich die Bestimmung des Grenzwerthes von F(xv ... xn] k) für k = 0 nicht in voller Allgemeinheit durchführen.

Nimmt man nun innerhalb des Bereiches 8, der sich auch in’s Unendliche erstrecken kann, ein ganz im Endlichen liegendes, abgeschlossenes Continuum 8' an, so lässt sich zeigen, dass es, wenn man (xlJ...xn) auf beschränkt, stets möglich ist, nach Annahme einer beliebig kleinen Grösse â eine ganze rationale Function G(x^.,. xn) herzustellen, welche innerhalb 8' von der Function f(xt,... xn) um weniger als £ ab weicht, dass also ist für alle in 8' gelegenen Stellen (xt,... xn).

Zunächst werde 8 in zwei Theile, 8t und $₂, zerlegt, von denen der erstere die Gesammtheit aller Stellen (xt1    von 8 enthält, welche z. B. vom Co-

ordinatenanfangspunkt (d. h. der Stelle xx = 0, ... xn = 0) um weniger als R entfernt sind, während 8% den übrigen Theil von 8 enthalten möge. Offenbar

kann durch passende Wahl von JR immer erreicht werden, dass S den Bereich S' ganz in sich enthält. Dieser Theilung entsprechend zerlegt sich dann F{k) in zwei Theile Fx(k) und Fa(k) gegen Null convergirt, wenn k sich dieser Grenze nähert, weil alle Punkte von S₂ ausserhalb S' liegen. Dagegen convergirt für alle Punkte in S , also auch in S', Ft(k) gleichmässig gegen f(xx,... xj-, d. h. nach Annahme einer beliebig kleinen Grösse di ist es möglich, für k eine obere Grenze k' so festzustellen, dass für alle Werthe von k, welche kleiner als k' sind,

I F₁(Jc)—f(x₁,... xn)\ <

ist, wrenn (xit...xn) irgendwo in S' liegt.

Nimmt man nun an, dass ty(x) eine ganze transcendente Function ist, können die Grössen    j nach ganzen positiven

Potenzen von xx, ... xn entwickelt werden, da die x[ sowohl als auch die xx auf einen endlichen Bereich beschränkt sind, nämlich die ersteren auf S, die letzteren auf S'. Das Product der n Functionen (p ist also ebenfalls in eine Potenzreihe von xx,...xn zu entwickeln, welche, da sie gleichmässig vergirt, gliedweise integrirt werden kann; es ergiebt sich also auch für F (k) eine beständig convergente Potenzreihe von xx,...x Annahme einer beliebig kleinen Grösse <?₂ eine ganze rationale Function G{xx,... xn) derart von Ft(k) ab trennen, dass

I Fx (k)- G (xlt    <d₂

von

denen der letztere gleichmässig

so

con-

Man kann also nach

Combinirt man diese Ungleichung mit der vorhergehenden und wählt dx, d₂ so, dass ihre Summe gleich der vorgeschriebenen Grösse d ist hält man

ist.

so er-

wie verlangt wurde.

Es war bisher von der Function /’(xx,...xj angenommen worden, dass ihr absoluter Betrag eine endliche obere Grenze besitze. Diese Annahme kann man aber fallen lassen, wenn es sich nur darum handelt, eine ganze rationale Function G(xx,... xn) herzustellen, welche sich in einem gegebenen endlichen Bereiche S', der sammt seiner Begrenzung ganz im Innern von S enthalten ist, der Function ((x^.-.xj so genau anschliesst, dass der absolute

III.

Betrag der Differenz f(xi,...xn)—G(xi,...xn) für jede dem Bereiche S' angehörende Stelle (x^ ... xn) unter einer beliebig festgesetzten Grenze â liegt.

Man kann nämlich offenbar innerhalb S einen ganz im Endlichen gelegenen Bereich St annehmen, für welchen die Bedingung, dass für alle Stellen desselben | f(xt,... xn)\ unterhalb einer bestimmten Grenze liegt, erfüllt ist, und man kann diesen Bereich St so wählen, dass er den gegebenen Bereich S' ganz umschliesst. Zu dem Zwecke nehme man um jeden im Endlichen liegenden Punkt der Begrenzung von S eine Umgebung derartig an, dass kein Punkt irgend einer solchen Umgebung in S' liegt, und schliesse alle Punkte dieser Umgebungen aus sowie alle Punkte, welche z. B. vom Co-ordinatenanfangspunkte um weiter als R entfernt sind. Durch passende Wahl der Grösse R und der Radien der genannten Umgebungen kann man es dann stets erreichen, dass das entstehende Continuum St allen angegebenen Bedingungen genügt. Ersetzt man dann S durch St, so findet man durch Anwendung des obigen Satzes die Richtigkeit der ausgesprochenen Behauptung bestätigt.

Nach diesen Vorbereitungen ist man nunmehr im Stande, den Hauptsatz zu beweisen, dass nämlich die Function f(x^...xn) darstellbar ist in Form einer beständig convergenten Reihe, deren einzelne Glieder ganze rationale Functionen von xv ... xn sind.

Qii • ••

Zu dem Zwecke denke man sich um jeden im Endlichen liegenden Punkt der Grenze von S eine Kugel mit dem Radius und ferner um den Nullpunkt eine Kugel mit dem Radius Rt beschrieben. Schliesst man dann alle Punkte aus, welche innerhalb der ersten Kugeln und ausserhalb der letzten Kugel liegen, so bleibt bei geeigneter Wahl der Radien çt und R₁ von S noch ein Continuum übrig, welches mit St bezeichnet werde. Ferner seien und R , R, ... Grössen, welche die Bedingungen

Qi > Qz > Qs > • • ' > Bim Qm = 0,

m = oo

R₁ < R₂ < R₃ < • • •, Lim Iim — oo

m= œ

.. den Punkt P

befriedigen, und $₂, S₃,... diejenigen Bereiche, welche aus S genau so entstehen wie St1 wenn man Rt durch <>₂, R₂‘ pa, R3l ... ersetzt. Wenn alsdann ein bestimmter Punkt P = (xi,...xn) gegeben ist, so giebt es offenbar stets eine Zahl r von der Beschaffenheit, dass alle Bereiche Sr+l, $ enthalten.

Ferner nehme man eine unendliche Reihe beliebig kleiner positiver Grössen â,, ä, ... derart an, dass Limd = 0 ist und ausserdem

1 ' 2⁷    '    m — a> m

m— l

einen endlichen bestimmten Werth hat.

Nun kann man den verschiedenen Bereichen Sv entsprechend eine Reihe von ganzen rationalen Functionen

derart hersteilen, dass

ist, wenn die Stelle (#1?. ,.æn) dem Bereich angehört, die Grössen

Bildet man alsdann

fofcv-x») =

fl (Xi J • • • Xn)

G'ifaii • • •

•••«»)- Glfo

fm(.X 17 • • * Xn)    Grm+i (Xi ! ••• ^n)    *^»)

so sind auch , ... ganze rationale Functionen, und es ist

m

2 fft (Xi > * * • *^n)    Grm+1 (Xj, ... #„) .

ft = 0

Wählt man nun hinreichend gross, so wird der Bereich sowie alle folgenden Bereiche den Punkt (a^,...rcn) enthalten, und daher ist

I/‘fo» • • • xn)- G-m(xi, •.•«»)!< *«,

I /X^i » • • • ®n) ”* Grm+l(xi ,...xn)\<zd

tn+x >

also

I Grm+i fax ? • • • &n) Grm(x₁, . •. &n) | <c dn, + d

m+i

oder

I fm(Xn • ■ • Xn) I ^ nF $

m+1 >

sobald w grösser ist als eine bestimmte Zahl r. Daraus folgt also

2 l/ttl<2 ^ + 2 <W

ft = r+i    ft = r+i ft = r+x

Der Betrag der rechten Seite dieser Ungleichung hat nun aber wegen der

co

Convergenz der Reihe 2 einen endlichen Werth; es ist also die Reihe

)» = i

2 •

fl =z 0

unbedingt convergent für jeden bestimmten Punkt

Nunmehr kann auch der Werth dieser Reihe bestimmt werden; es ist

= f(xlf...xn),

2 U = Lim 2 U

u = o    m = co = o

= Lira G

TU — CO

m+i

da der Annahme gemäss Lim â =0 ist.

^    m = oo m

als eine für jeden bestimmten Punkt (xi: ... xn) unbedingt convergente Reihe von

Es ist also die Function f(x^...xn)

ganzen rationalen Functionen f^(xx,... xn) dargestellt. Ist nun

ein ganz im Endlichen liegender Bereich S' gegeben, der sammt seiner Begrenzung ganz im Innern von S enthalten ist, so kann r so gewählt werden, dass alle Bereiche

.. den Bereich S' ganz umschliessen; dann werden also die obigen Ungleichungen für alle dem Bereich S' hörigen Werthsysteme (^, ■■■ xj gelten, d. h. die Reihe

a

r+il r+2 ’ •

ange-

ist innerhalb des Bereiches S' auch gleichmässig convergent, das Theorem:

Es gilt also

Jede Function f(x

• • xn) von der angegebenen Beschaffenheit lässt sich auf mannigfaltige Weise in der Form einer unendlichen Reihe darstellen, deren Glieder ganze rationale Functionen

ii •

von

diese Reihe convergirt unbedingt für jedes endin dem Bereiche S gelegene Werthsystem    und

gleichmässig für jeden ganz im Endlichen liegenden abgeschlossenen Theil von S.

xt, ... xn sind; liehe

Hieran knüpfe ich noch einige Bemerkungen ziehung auf Functionen von

Man kann es so einrichten

die den oben in Be-

... xn) rationale Zahlen werden; ferner braucht

einer Veränderlichen gemachten ganz analog sind. , dass die Coefficienten der Functionen

man

wegen der gleich-

massigen Convergenz der Reihen jedes Werthsystem (x^.-.xj, für das der gehörige Functionswerth berechnet werden soll, nicht absolut genau, sondern

zu

nur mit einer gewissen, in jedem besonderen Falle zu bestimmenden Sicherheit zu kennen, um den gesuchten Functionswerth mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit zu berechnen, und zwar wird sich derselbe, da man zu dem Zwecke nur eine endliche Anzahl von Gliedern zu summiren hat, stets als eine rationale Zahl ergeben.

Doch ist dies theoretisch von geringerer Wichtigkeit; die Hauptsache liegt in der gewonnenen Erkenntniss, dass für jede Function von der angenommenen Beschaffenheit stets eine arithmetische Darstellung existirt, und zwar in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmtlich ganze rationale Functionen der Argumente der Function sind, wenn auch durch das Bisherige freilich noch nicht festgestellt ist, wie man die Entwickelung der Function in eine solche unendliche Reihe wirklich herstellen könne.

dass der Bereich $, innerhalb dessen die nur eine singuläre Stelle, die dann auch

angenommen, Function ... a?w) definirt ist

Wird ferner

im Unendlichen liegen kann, enthalte, so kann man an die Stelle der Veränderlichen

ry    /y

? * * * n

n andere ... x'n so einführen, dass die letzteren rationale Functionen der ursprünglichen, und umgekehrt diese rationale Functionen von ... xn werden, und zugleich die Function, in welche ... a?B) durch diese Substitution übergeht, nur eine und zwar im Unendlichen liegende singuläre Stelle besitzt.

Nach dem vorhergehenden Satze kann demnach f(xl)...xn) in eine Reihe, in welcher jedes einzelne Glied eine ganze rationale Function von a?', ... xn, also eine rationale Function von xx) ... xn ist, verwandelt werden.

Auf Grund dieses Satzes lassen sich nun leicht zusammengesetztere zur Darstellung von Functionen der betrachteten Art geeignete Reihen bilden; worauf ich jedoch hier nicht näher eingehe.

UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE FLÄCHEN, DEREN MITTLERE KRÜMMUNG ÜBERALL GLEICH NULL IST.

(Umarbeitung einer am 25. Juni 1866 in der Akademie der Wissenschaften

gelesenen Abhandlung.)

. . . Ich habe mich mit der Theorie dieser Flächen, der sogenannten Minimalflächen, besonders aus dem Grunde eingehender beschäftigt, weil sie, wie ich zeigen werde, auf das Innigste mit der Theorie der analytischen Functionen eines complexen Arguments zusammenhängt, so dass jede solche Function eine Fläche der in Rede stehenden Art bestimmt, und umgekehrt.

Die hauptsächlichsten Resultate meiner Untersuchungen erlaube ich mir der Akademie mit dem Bemerken vorzulegen, dass ich einen Theil davon, namentlich die Schlussformeln des § 1 und den Inhalt des § 4 bereits im Jahre 1861 im mathematischen Seminar der Universität vorgetragen habe.

1.

Ich betrachte von einer solchen Fläche zunächst nur ein ganz im Endlichen liegendes, von einer geschlossenen Linie begrenztes und von singulären Stellen freies Stück (M).

Ist dann (E) irgend eine einfach begrenzte ebene Fläche, so lassen sich bekanntlich die Punkte von (M) und (E) so paaren, dass jedem unendlich kleinen Elemente der einen Fläche ein ihm ähnliches der anderen entspricht. Versteht man nun unter x,y, z die Coordinaten eines unbestimmten Punktes von (M) und unter p, q die des entsprechenden Punktes von (J5) — wo dann die ersteren auf ein beliebiges orthogonales Axensystem im Raume, die anderen auf ein in der Ebene von (E) enthaltenes zu beziehen sind —, so werden x, y₎ z stetige Functionen von q‘ ich nehme überdies an, dass dies auch von ihren Derivirten erster und zweiter Ordnung

dx    dx dy dy dz dz

dp ’    dq    ’ dp    ’ dq    ’ dp    ¹ dq

d²z d²z dp dq ’ dq²

d*x    d²x    d²x    d²y d²y d²y d²z

dp² ’    dpdq ’    dq² ’    dp²    ’ dpdq    ’ dq²    ’ dp

gelte.

Dann bestehen die Gleichungen dx\²

(1.)

dy

dz

dx^²

dyV

dp

dp

dp

dq

dq

dz\²

dq)¹

(2.)

ex_dx_₊6y_dy_Jrd^dL

dp dq dp dq dp dq

und man hat, wenn

(3.)

Je =

dx\²

dy\²

dz

dq)

dp

dp)

gesetzt und die mittlere Krümmung der Fläche in dem Punkte (x, y, z) mit K bezeichnet wird

dx dx dq) ’ dq

d²x d²x dp² dq²

(4.)

K = -i

k²

dy

dy d²y d²y ¹ dq ’ dp²

dq²

dz    d² z    d²z

dp²

dq

dq²

Aus den Gleichungen (1.), (2.) erhält man aber unter Beachtung des Umstandes, dass bei der angenommenen Beschaffenheit von M die drei Determinanten

dy dz    dz dy    dz dx    dx dz dx dy    dy dx

dp dq    dp dq ’    dp dq    dp dq    ’ dp dq    dp dq

an

keiner Stelle gleichzeitig verschwinden,

(5.)

(6.)

Je² =

(■

d²x d²x\(d²y d²y\(d²z d²z dp² + dq² ) ' \ dp² + dq² ) ' \ dp² + dq²,

’ÈLÊL-ÊLÈL) . (ÜLÈL

dp dq dp dq) \dp dq

dy dz dz dy dp dq dp dq

dz dx dx dz dp dq dp dq

dx dz \ ' /dx_ dyt_ dp dq) ' dq

dx dy dp dq

dy dx

dp dq

■)

ro OD¹

Oj Oj «5    &

04

x =    y — Mg(u), z — dth(u),

(8.)

wo f, g, h Functionen von u sind, die im Bereiche (M) den Charakter ganzer rationaler Functionen besitzen und deren Ableitungen durch die Gleichung

(9.)

Wenn daher die mittlere Krümmung des betrachteten Flächenstücks (M) überall gleich Null ist, so müssen in allen Punkten desselben die Gleichungen

d²x d²x _ d²y d²y

dp² + dg² ’ dp² "1" dq²

bestehen. Daraus ergeben sich, wenn man p + qi = u setzt und den reellen Theil einer complexen Grösse durch den Vorgesetzten Buchstaben SÎ bezeichnet, für #, y, z die Ausdrücke

(70

n d²z d²z

°> w ⁺

dq²

(my+(g\u)y+(h'(u)y = o

verbunden sind. Zugleich lässt sich zeigen, dass durch die Gleichungen (8.), wenn die in ihnen vorkommenden Functionen /*, </, h die angegebene Beschaffenheit haben, stets eine Fläche der in Rede stehenden Art dargestellt wird.

Die Gleichung (9.) wird befriedigt, wenn man, unter G, H willkürliche Functionen von u verstehend,

(10.)

f\u) = Gr²—H², g\u) = i(G² + H²), h\u) = 2 GH

setzt. Zur Erfüllung aller Bedingungen, denen f, g, h genügen müssen, ist es aber nothwendig, dass überall, wo die letzteren den Charakter ganzer rationaler Functionen besitzen, G, H dieselbe Beschaffenheit haben. Aus der Gleichung

(11.)

(12.)

(13.)

= w*

ist nämlich ersichtlich, dass an einer bestimmten Stelle (a), für welche die Functionen /, h den angegebenen Bedingungen genügen, von den beiden Factoren auf der linken Seite nur dann einer verschwindet, wenn dort K gleich Null ist, und zwar nur dieser eine, weshalb seine Entwickelung nach Potenzen von (u— a) mit einer graden Potenz dieser Grösse anfangen muss. Dies ist aber nur möglich, wenn G, H Functionen von dem angegebenen Charakter sind, welche an keiner Stelle gleichzeitig verschwinden.

III.

Hiernach kann man, wenn man mit u° irgend einen bestimmten Werth von w, und mit x₀, y₀, z₀ die Coordinaten des zugehörigen Punktes von (M) bezeichnet, die Gleichungen (8.) in folgender Gestalt darstellen:

-H\u))du

x — a?₀ + 9î f (G\u)

•/m®

(14.)

y — y₀ + 91 f i(G\u) + H\u))du Juo

z — z₀ + 9t f 2G(u) H(u)du,

«/>/ 0

oder auch, wenn unter    6ri? H₁ die zu u, u\ G, Ff conjugirten com-

plexen Grössen verstanden werden,

* =    + f (Gl

(15.)

= ÿ„ + 4/’ i(G² + iP)d«—1 f i(G\+H\)du,

⁰ duo    4 Ju o

* = ^0 +

f GHdu+ f GJIJu,.

Juo    Ju 0

Wenn die willkürlich anzunehmende Figur (F2) ein um den Nullpunkt der Coordinaten jt?, # mit dem Radius 1 beschriebener Kreis ist, so lassen sich die Functionen f, g, h, G, Ff durch convergente Reihen, die nur ganze positive Potenzen von u enthalten, darstellen. Man hat also den Satz:

»Es lassen sich die Coordinaten eines Punktes einer Fläche (M) auch mittels convergenter Reihen von der Form

/ x = 2 j ——¹ (i> +    +    ₂

(16.)

(4 = 0, 1,... oo)

< y = S j— ₂    (i? + gO +——¹

( * = S

'    a durch zwei reelle Veränderliche jp, ^ ausdrücken, in der Art dass Ak, BC;, A![, Ff[, C[ sämmtlich reelle Grössen sind, und man alle Punkte der Fläche erhält, wenn man für p, q die Coordinaten aller Punkte setzt, die im Innern des mit dem Radius 1 um den Nullpunkt beschriebenen Kreises liegen.«

An Stelle von u werde eine andere Veränderliche s mittels der Gleichung

(17.)

£>)    f+ig'

G(u)    -V

eingeführt, wo dann in Folge der Gleichung (13.)

(18.)

f-W

h’

wird. Nöthigenfalls werde der Bereich (E) so beschränkt, dass in seinem Innern nicht nur s eine eindeutige Function von u, sondern auch u eine eindeutige Function von s ist. Dann ist auch die Function

(19.)

welche zur Abkürzung im Folgenden auch mit S bezeichnet werden soll, eine eindeutige Function ihres Argumentes. Aus den Gleichungen (8.) erhält man dann die folgenden:

1 — s²

—Sds +

^-^-Sds-i

u

= sSds + s₁S₁ds

dx² + dif + dz¹ = (1 + ssj² SS₁ ds dst,

wenn man die zu s, S conjugirten Grössen beziehlich durch st) 8t bezeichnet.

Es ist nun zunächst die geometrische Bedeutung der Grössen s und s , 8 und 8 festzustellen. Um den Nullpunkt der Coordinaten sei mit dem Radius 1 eine Kugel beschrieben, die von der positiven Richtung der z-Axe im Punkte Z geschnitten werden möge. Dann lässt sich der Ort eines beliebigen Punktes P der Kugelfläche, dessen Coordinaten in Bezug auf das gewählte Axensystem £, tj, C sein mögen, durch eine complexe Grösse p + qi (wobei jetzt p, q andere Grössen als oben bezeichnen) folgendermassen bestimmen. Man projicire den Punkt P von Z aus auf die (%, «/)-Ebene; dann sind p, q, 0 die Coordinaten der Projection, und man hat für s=p + qi, st=p — qi

dx = 3t (1 — s²) $ (s) ds =

l-s\

(20.)

(21.)

dy = 9U(1 + s²) $(s)ds = i

¹⁺^SJs,

woraus sich mit Berücksichtigung der Gleichung |²+?j²+C² = l

+ 5

SS, + 1 ’

ergiebt. Hiernach entspricht, wenn s eine beliebige complexe Grösse bedeutet, jedem Werthe derselben ein bestimmter Punkt der Kugelfläche, sowie umgekehrt jedem Punkte der letzteren ein bestimmter Werth von s. Wird im Besonderen unter s die durch die Gleichung (17.) definirte Grösse verstanden, so sind das Flächenstück (M) und ein bestimmter Bereich der Kugelfläche durch parallele Normalen auf einander bezogen. Infolge der bezüglich des Bereiches (E) gemachten Annahme sind im Innern von (M) keine zwei Normalen einander gleichgerichtet.

Aus den Gleichungen (20.) und (23.) ergiebt sich die Formel

I d²x + d²y + C d²z = — {ßds² + S, ds\),

aus welcher mittels der Gleichung (21.)

td²x + ^d²y+rd²z _ Sds²+S₁ds²1 dx² + dy² + dz²    (1 + ss₁ )² SS, ds ds₁

folgt. Die Formel auf der Linken dieser Gleichung ist bekanntlich der Ausdruck für die Krümmung p, welche der durch die beiden einander unendlich nahen Punkte (x,y,z) und (x + dx, y + dy, z + dz) gehende Normalschnitt der Fläche in dem ersteren Punkte besitzt.

Fixirt man nun den Werth von \JS nnd versteht unter die zu demselben conjugirte Grösse, so kann man, unter a eine unendlich kleine positive, unter x aber eine beliebige reelle Grösse verstehend

\/Sds = aeTi, \[S₁ds₁ = ze~Tl

setzen und erhält so für die Krümmung den folgenden Ausdruck

(23.)

(24.)

(25.)

(26.)

(27.)

ri =

SSJ— 1

SS! + 1

= «>

2 cos (2t)

(1 +SS,)¹ VS VS.

dessen Werth sich nicht ändert, wenn man —\/S statt \JS nimmt. Hiernach ist die Grösse q beständig in dem Intervalle

(l + ss,)!VŚVS,

(1 + ssj

'VsVs.l

enthalten und geht, wenn x stetig wachsend die Strecke    durchläuft,

beständig abnehmend von ihrer oberen Grenze zu der unteren über.

Betrachtet man nun die beiden durch den Punkt (x, y, z) gelegten Hauptnormalschnitte der Fläche, welche also dem grössten und kleinsten Werthe der Krümmung entsprechen, so lassen sich die Richtungscosinus der in diesen Hauptnormalschnitten gelegenen Tangenten der Fläche leicht angeben. Führt man nämlich die in (26.) definirten Grössen in die Gleichungen (20.) und (21.) ein, so nehmen dieselben folgende Gestalt an:

¹    \ß. aezi— i    -i- \/Ę. ae"T<

s₁\[S₁. oe~T*

dx —

(28.)

dy — i

dz —

s\JS. oeT,+

dx*+dy* + dz* = (1 + ssj* \ß \JS₁. o*.

Das Maximum der Krümmung entspricht dem Werthe x = 0, das Minimum derselben dem Werthe x = — • Bezeichnet man die Richtungscosinus der zugehörigen Tangenten mit |l5 7]a, Cx und |₂, 7]₂, C₂, so ergeben sich für diese Grössen die Werthe:

(29.) i

Tji = i

(1 + sst)\/S\/Ę

At

(1 + ss,)Pv^

(1+SS₁)\/S\/S₁

(1 +88X)\IS\ISX

C, =

s sJS + st \/St

s\/S—s₁ \JS₁

(l + ssjyfäfä

(l + ssl)\/S\/S₁

Der gemeinsame Nenner dieser Ausdrücke hat eine einfache geometrische Bedeutung. Bezeichnet man nämlich den Krümmungsradius der Fläche in dem betrachteten Punkte mit r, setzt also

so wird

(31.)

(1 + ss₁)\/S\/S₁ = y/2r.

Bildet man nun die Ausdrücke:

(32.)

V/2r(li —»1₂) = (1 ~s²)\/S \j2r(rh-irl2) = i(l + s²)\JS =

2 s\JS,

so ist ersichtlich, dass dieselben nur von s und \JS abhängen, also analytische Functionen von s sind.

Aus den vorstehenden Ergebnissen lässt sich nun eine wichtige Folgerung

ziehen.

Es bedeute F(s) eine Function von s, deren dritte Derivirte S ist; dann

hat man

(33.)

(1 -s‘)F(s)ds = ^j(l-s’) dF(s)

d²F(s)

dF(s)

ms)\

2SW = ^{2S^-2Ä}

ds²

ds

und somit, wenn man festsetzt, dass für s = 0

O dF(s) ₌

(34.)

*F(S) = 0

ds²

ds

— #o

»m

ds

² F(s) = ~(x₀+y₀i)

sein solle

d²F(s)

(35.)

x = *|

y = 9îjî(l+s²)

( ds    ds )

d²F(s)

ds²

-f- 2s

dF{s)

2 is

-2^(S)j

* +2iF®\

ds

dF(s)

Die Function F(s) ist zunächst nur für solche Werthe von s definirt,

für welche \s — s₀| unter einer gewissen Grenze liegt. Nach den Principien der Functionenlehre ist sie aber ein »Element« einer bestimmten

monogenen

analytischen Function von s, und es bleiben daher, wenn man fortan unter F(s) diese Function versteht, für sie die im Vorstehenden erhaltenen Resultate ohne Ausnahme gültig, so dass durch das System der Gleichungen (35.) stets eine Minimalfläche in ihrer ganzen Ausdehnung dargestellt wird.

Damit ist gerechtfertigt, was in der Einleitung gesagt wurde, nämlich

dass zu jeder monogenen analytischen Eunction eine bestimmte Fläche, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist, gehöre

so

wie auch umgekehrt.

2.

Wenn man Gewicht darauf legt, für alle drei in den Gleichungen (35.) vorkommenden Grössen x, y, z Ausdrücke von derselben äusseren Gestalt zu haben, so kann dies ohne Weiteres durch eine Coordinatentransformation erreicht werden.

Es seien (x^y^zj und Ov \i die Coordinaten der Punkte (x, y, z) und (g,7],C) in Beziehung auf ein zweites orthogonales Axensystem mit demselben Nullpunkt wie das ursprüngliche, so verstehe man jetzt unter s die Grösse

l-C:

und drücke xt, y1? et als Functionen derselben in der angegebenen Form aus. Mittelst der unter x, y, 2 und xt1 yx1 bestehenden Gleichungen

(36.)

x — u%₁+ uy₁ + a"z1 y = ßxt +ßryt+ß\

* = rxi+y'yx+y"zi,

in denen sich die Constanten a, a\ ... y" auf die bekannte Weise durch drei von einander unabhängige Grössen rational ausdrücken lassen, erhält man dann die folgenden Formeln, in denen

(37.)

gesetzt ist:

(s, 1) = a + a'i+ 2a” s — (cc — a'i)s2 (s, 2) = ß + ß'i+ 2ß"s — (ß — ß'i) s2 (s, 3) = y + y'i + 2y"s ~(y — y'i) s⁸

ds

ds

ds²

y - æ{(s,2)

d'F(s) _    2) dF(s) M d\s, 2) F j

ds²    )

ds²

ds

ds

d²F(s)    d{s, 3) dFjs) , d²(s, 3)

ds²

ds

ds

ds²

F(s)J.

3.

Die durch die Gleichungen (35.) oder (38.) dargestellte Fläche ist eine

Dies gilt aber

algebraische, wenn F(s) eine algebraische Function von 5 ist.

auch umgekehrt.

Zum Beweise schicke ich folgenden Hülfssatz voraus:

von

auch 0 (p + qi) mit p + qi durch

so muss

Es sei p + qi eine complexe Grösse, deren geometrischer Ort, wie oben, eine einfach begrenzte ebene Figur E ist, OQo + qi) eine eindeutig definirte und continuirliche Function derselben, und W(p,q) der reelle Theil ®(p + qi). Wenn nun in einem bestimmten Falle zwischen ^(p}q) und p, q eine algebraische Gleichung besteht eine solche verbunden sein.

Beschränkt man die Veränderlichkeit des Punktes p + qi zunächst auf einen ganz im Innern von E gelegenen Kreis, dessen Mittelpunkt p₀+q₀i = uo sein möge, und setzt

(39.)

2-00 = ß

P~P o = a,

so lässt sich $(p + qi) durch eine Reihe

aa + b₀ * + (ai + bi i) (« + ßi) + (a₂ + b₂ i) (u + ßi)² -j— darstellen, in der aoi ... b₀, b^ ... reelle Constanten sind; und es ist

(40.)

(41.) W(p,q)

— ö0+ ~2 (PiJrb₁ i)(u + ßi) + ••• + ^{al — bli){a — ßi) -f-----

Der Voraussetzung nach besteht

nun

eine Gleichung

(42.)

G(W,p,q) = 0,

in welcher der Ausdruck auf der Linken eine ganze rationale Function von Pi q ist. Entwickelt man dieselbe nach Potenzen

von a, ß, so müssen die Coefficienten der einzelnen Glieder sämmtlich gleich Kuli werden; die Gleichung besteht also auch noch

man an die Stelle von a, ß beliebige

complexe Grössen v₁ w treten lässt, vorausgesetzt, dass die Entwickelung ^ nach dieser Substitution convergent bleibe. Da das Letztere sicher der Fall ist,

wenn

von

die absoluten Beträge von v, tu beide kleiner als der halbe Radius des angenommenen Kreises sind

wenn

so kann man, mit u einen beliebigen

Punkt im Innern dieses Kreises bezeichnend

(43.)

nehmen, wodurch

(44.)

wird und die Gleichung

G(W, p₀+v, q₀ + w) = 0

die Form

(45.)

© (O (u) ,u) = 0

erhält, wo @ eine ganze Function von 0(m) und u ist. Die Gültigkeit dieser Gleichung für alle Punkte im Innern von JE steht aber fest, sobald bewiesen ist, dass sie für alle Punkte innerhalb eines noch so kleinen Theiles dieser Figur gilt.

Dieses vorausgesetzt, nehme man an, dass die durch die Gleichungen (35.) dargestellte Fläche eine algebraische sei. Dann besteht, wenn man

(46.)

1-C

= P,

l-C

setzt, zwischen diesen beiden Grössen und jeder der Coordinaten a?, y₎ z eine algebraische Gleichung. Versteht man daher unter F(s) zunächst die eindeutige Function von s, welche bei der obigen Herleitung der Gleichungen (35.) definirt worden ist, so entspricht von den Functionen

(1 -s²)

d*F(s)

ds²

(47.)

(l + s²)i

d*F(s)

ds²

2 si

2 dF® ds

jede einzelne den Voraussetzungen des eben bewiesenen Satzes und ist demnach mit s durch eine algebraische Gleichung verbunden, stehenden Ausdrücken erhält man aber F(s), wenn man sie der Reihe nach mit

ds²

ps’+l)*'

2~S

Aus den vor-

III.

multiplicirt und dann addirt; es besteht daher auch zwischen s und dem betrachteten Zweige von F(s) eine solche Gleichung. Dies reicht aber hin, um festzustellen, dass die Function F(s) in ihrem ganzen Umfange eine algebraische ist. Dasselbe gilt natürlich auch von der in den Gleichungen (38.) vorkommenden Function.

Hiernach hat man den Satz:

»Alle algebraischen Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist, werden durch die Gleichungen (35.) oder (38.) dargestellt, wenn man unter F(s) eine willkürliche algebraische Function von s versteht.«

4.

Man kann aus den Formeln (38.) noch leicht die Gleichung der Fläche in Ebenen -Coordinaten ableiten.

Es seien x\ y', z die Coordinaten eines Punktes der Ebene, welche die Fläche in dem Punkte (x,y,z) berührt, und

(48.)

ux'+vy'+wz' = t

die Gleichung dieser Ebene. *) Dann ist

(49.)

\Ju² + v² + lü‘

\Ju² + v² + w²

\ju² + v² + w²

und

(50.)

U+Vi

\JlT + V² + W²—W

wo

(51.)

TJ = ccu + ßv + yw V = a’u + ß’v + y'w W = a'u + ß"v + y"w u² + v² + iv² = U* + V²+ W².

Daraus folgt

(52.)

s²(U-Vi)-2Ws-U-Vi = 0

*) Es bedarf wohl keiner Erinnerung, dass u,v,w jetzt andere Grössen bedeuten als die vorhin

bezeichneten.

so

und hieraus

(53.) ds =

(1 — s²)dU+ i(l + s²)dV+ 2sdW (s, l)du + (5, 2)dv + (s, S)dw

2\Jü² + V² + W²

2 \ju² + v² + w²

Ferner ist

(54.)

U du

ds ds ds + v-z—h w

dv

dw

also

(55.)

u(s, 1) + v(s, 2) + w(s, 3) = 0.

Aus dieser Gleichung ergiebt sich, wenn man nach s differentiirt

(56.)

d(s, 2)

d(s, 3) _

ds

ds

~— = — 2 \]u² + v² + w²

und aus den obigen Ausdrücken von (s, 1) u. s. w.

d²(s, 2)

(57.)

<?»(*, 8)

ds²

ds²

ds²

= -2 (Ü-Vi).

Da nun

(58.)

t — ux + vy + ws

ist, so gehen die Gleichungen (38.):

(59.)

dF(s)

t = 91 2 \!u² + v² + w²

cts

-2(ü-F*)F(s)].

Es ist aber

dF dF

(M)

du

ds 2 \Ju² + v² + w²

(60.)

Qj Oj 0, Qj

dF

Oü²)

ds 2 \Ju² + v² + w²

dF

(«, 3)

ds 2 \Ju² + v² 4- w

(61.)

(ct-ct'i)(s, l) + (ß-ß'i)(s, 2)+ (y-/»)(«, 3) = 2,

und daher

dF(s) _

^(a — cc'i)

dF(s)

du

dF(s)

dw

■ j \Ju² + v² + w².

Bringt man also

U+Vi

\/U² + V² + W²-W

7*

auf die Form

Fa) + Fwi

in der Art, dass Fa\ Fw reelle Functionen von ZT, V, W sind, so erhält man

(63.)

2(U² + F² + TF²)(-

dFa) t dFC2) ~dTT ⁺ ~dV~

■)

— 2UFa)—2VF™

als die Gleichung der Fläche in Ebenen-Coordinaten.

Betrachtet man t als Function von u, v, w, so hat man für die Coordinaten des Punktes, in welchem eine dieser Gleichung genügende Ebene die Fläche berührt, die Ausdrücke

(64.)

dt

dt

dt

du' V dv ' ⁸

Anmerkung. Versteht man unter s,, jF₁(5₁) diejenigen beiden complexen Grössen, welche zu den im Vorhergehenden durch s, F(s) bezeichneten con-jugirt sind, so wird durch die Gleichungen

dw

* = V¹^+sT-^ ⁺

dF(s)

1 — s² d*F₁(s₁)

ds\

ds,

FM,

l + s* diF{s)

ds²

is

d²F(s)    dF(s)

S = S-^¹-~W1 + S~ dsl

<fe*

+ iF(s) - i i±£ æF^ ds    2

ä²FM dF,{s,)

ds\

+ is,

dFM

ds,

iFM

ds.

stets eine reelle Minimalfläche gegeben. Umgekehrt kann durch diese Formeln, wenn man die Grössen s, s₁, F(s), F,(s,) den angegebenen Bedingungen entsprechend annimmt, jede reelle Minimalfläche dargestellt werden.

Theil imaginär sind, im analytischen Sinne

zum

Dazu ist noch zu bemerken: Versteht man unter s, st zwei von einander unabhängige Grössen, und unter F(s), F^s,) beliebige analytische Functionen derselben, so wird durch die Gleichungen (35.) im Gebiete der Grössen x, y, s stets ein analytisches Gebilde definirt, das die partielle Differentialgleichung, durch welche sämmtliche Minimalflächen definirt werden können, befriedigt — ein Gebilde, das man aus diesem Grunde auch in dem Falle, wo die Punkte desselben alle oder

eine Minimalfläche zu nennen pflegt.

ALLGEMEINE UNTERSUCHUNGEN ÜBER m-FACH PERIODISCHE FUNCTIONEN VON n VERÄNDERLICHEN.

Einleitung.

Eine analytische Function <von n unbeschränkt veränderlichen Argumenten kann die Eigenschaft besitzen, dass für bestimmte Systeme con-stanter Grössen Pl? ... Pn bei beliebigen Werthen von ux, ... un die Gleichung

<?(u₁ + P₁,...un+Pn) = <p(ult...uj

besteht. Die Function heisst alsdann periodisch, und jedes einzelne Grössen-System (Pl5... Pn) ein Periodensystem derselben.

Aus dieser Definition ergiebt sich in bekannter Weise der Satz:

Sind (P;,... P'), (P;,... P"), ... (Pf,... Pf) irgend r Periodensysteme der Function, so lassen sich aus denselben unendlich viele andere {Pt,... Pn) ableiten, indem man r ganze Zahlen vx, vg, ... vr willkürlich annimmt und

P, = «^ + v₂Pr+»- + tvP«

K = V^+V^+^ + VrPr

setzt. — Die Function heisst r-fach periodisch, wenn sich alle ihre Periodensysteme auf diese Weise aus r von ihnen, aber nicht aus weniger als r zusammensetzen lassen.

Dieses gilt, wie die betrachtete Function im Übrigen auch beschaffen sein möge;¹) im Folgenden ist jedoch, was hier ein für allemal bemerkt werden möge, überall wo von einer periodischen Function die Rede ist, darunter eine solche zu verstehen, die nicht nur eindeutig ist, sondern auch bei endlichen

Werthen ihrer Argumente den Charakter einer rationalen Function besitzt.

Ferner wird angenommen, dass dieselbe nicht als Function von weniger als n Veränderlichen, die lineare Functionen der ursprünglichen sind, dargestellt werden könne, und auch nicht einen constanten Werth habe. Unter diesen Voraussetzungen gilt der Satz:

Eine Function von n Veränderlichen kann höchstens 2^-fach

periodisch sein.

Daraus folgt unter anderem als Corollar:

Ist eine Function r-fach periodisch, und sind irgend (r + 1) Periodensysteme derselben, so bestehen unter den Grössen (P) n Gleichungen

^p;+^₂p;'+-+^₊₁pri) = o

in denen v₂, ... vr+l ganze Zahlen sind.

Einfach periodische Functionen eines Arguments kennt man lange. Aber erst seit der Begründung der Theorie der elliptischen und Abel-schen Transcendenten weiss man, dass doppelt periodische Functionen eines Arguments, vierfach periodische zweier Argumente u. s. w. existiren; und hat zugleich in der 0-Function von n Argumenten die Quelle entdeckt, aus der unendlich viele 2w-fach periodische Functionen von n Veränderlichen entspringen. Hierüber will ich zunächst das für die folgenden Untersuchungen Erforderliche beibringen.

Es sei

eine ganze homogene Function zweiten Grades der 2n Grössen ut, ... un,; Vj, ... vn mit gegebenen Coefficienten, welche keiner anderen Beschränkung unterworfen sind, als dass

1) bei reellen Werthen von ... vn, wofern dieselben nicht sämmtlich

gleich Null sind, der reelle Theil von (7(0,... 0;    ... vn) beständig

negativ sein muss;

2) die Determinante der n linearen Functionen von ... un

dG(u₁,...un‘ vx, ...vn)

dvt

nicht verschwinden darf.

Dann hat die Reihe der Grössen, die aus dem Ausdruck

... Un'j v1; ... vn)

dadurch hervorgehen, dass für vx, ... vn alle möglichen Verbindungen von n ganzen Zahlen gesetzt werden, stets eine endliche Summe, die Jacobische Function benannt und mit

@(«i, ...un)

bezeichnet werden möge.*)

Die so definirte Function 0(wl?... un), welche bei endlichen Werthen der Veränderlichen ui, ... un stets einen ebenfalls endlichen Werth hat und überhaupt wie eine ganze Function sich verhält, besitzt die charakteristische Eigenschaft, dass für bestimmte Systeme constanter Grössen ... wn die Gleichung

ux ■ ■ • -f- Wn un -f- Wn+1

(A)

+    ...un+wn) = 8(ut, ...un).e

besteht, wo TV, ... WnJrX ebenfalls Constanten bezeichnen.

Bezeichnet man nämlich, unter cc, wie überhaupt im Folgenden unter den ersten Buchstaben des griechischen Alphabets, eine Zahl aus der Reihe 1, ... n verstehend,

dG

— mit G(u1}    vt, ...vn)

dG

dva

so hat man für beliebige Grössen wv ... wn\ Ai? ... ln die Gleichung Gfa + Wi, ...un+wn; v1}...vn) = G(ulf ...un; v, +    ... vn+ ln)

n+a ?

n + ct •

•»«J -K,----K)

*) Die Bedingungen, unter denen die 0-Reihe convergirt, finden sich in der folgenden Abhandlung

erörtert.

Bestimmt man nun, unter xt, ... xn gleichfalls willkürlich anzunehmende Grössen verstehend, wt, ... wn mittels der Gleichungen

G(w1}... wn; — Aj,----Aw)

= 2(2x,?«v +

/*

••-4)« = 2(²>w⁺²A^y>

wo die u)a/i,    7]aß, 7]^ rational aus den Coefficienten von G(^, ...    ... vn)

zusammengesetzte Grössen sind. Nimmt man nun

.. ln ebenso wie

so erhält man

und

G{wv...wn] -Xti-

= 2y.aT.i

Xl> • • • Xrai Â

sämmtlich als ganze Zahlen an, so ist

ß@Oi, • • • Wni H" h, • • •    "t"^n) H“2 ^

Ol, •■•«'»)

Oi,

und so ergiebt sich

(B)

ö(wi + «,₁» •••*«+*0») = (-¹)“

vi» • ••

o»; vv...vn)'

2^aOa + ł«>a)

WO

- 2 (2 X/J *°a/î + ² ^/S (u#jî)

⁼ S(2x/Î Tlceß + ²^î 7J^).

?

In dieser Gleichung sind namentlich die folgenden 2/i enthalten:

2 ² a|î Oa "+■ ^ccß ) 2 2rlaß(ua + ü>ajî)

(B,a)

(C)*

Wa

©(*«,+2(0^, ...Mn+2®^) = ©K,...wje e(**i+²<«ty» ...tt„+2®^) = 0(Mt, ...un)e

(|5 =

Da in dem Ausdrucke

G(ui, •••«*„; vt,...vn)

n(2n +1) Constanten Vorkommen, so müssen unter den Grössen (oo, yj) Relationen stattfinden, deren Anzahl n(2n — 1) ist.

Betrachtet man die in wB, IT vorkommenden Grössen x, l wieder als willkürlich anzunehmende, und setzt, unter /, ... x'; f,... f ein zweites solches System verstehend,

(B)

IT'

fr cc

- S(2x^    + ² ^ °>a|s)

== 2(2x/ï ⁷îa/«+ ²^'(ÎyÎ«|î),

so hat man

• ••<; ~K,—K)a-k®W,“-wn, -K>—*»)»+«)

a

(4 a #(«>» ) ••' ? ^1 ) ‘ ' ‘ 4)a 4 G'(lV₁, . . . W n| Ax, • • • 4)n + a) ?

oder

(E)

2(hTa<-tt>aïF«) = 2 Tzi. 2 0a^'a—V4).

In dieser Gleichung sind der Willkürlichkeit der Grössen (x, A, x', A') halber die folgenden n(2n — 1) enthalten, aus denen sie dann wieder hervorgeht:

20ja*«>ay— °>«*?]«y) = 0 «

(E,a)

SC^a.'S^ay ^a/î^îay) ü

a

wenn y = ß, wenn y ^ ß.

Setzt man in (E) A', = 1, die übrigen Grössen x, A' aber sämmtlich gleich Null; und hierauf x', = 1, die übrigen A' gleich Null, so erhält man

(E)

²Vd = 2(²y)^^«-²Vw«)

a

-²V* = I](2o)^Wa-27;a,sw;a).

Aus den unter (E,a) aufgestellten Gleichungen ergiebt sich

®iu *

.. ox

nl )

rn (;}

t^in! •** ^nn)    ^iin) •••

tOjj, ... U>nl,    7j11} ...    7jnl

••• ^jnn)    ••• ^lara

• • «4

• * 1 01 nni "Ąmi • * * ^nn > w

ml • •

. 10

nn 1

w!

n\ 1 •

. . (O

Es ist also die Determinante der als Functionen von x1? ... xw; Al? ... Kn betrachteten W^... Wn,; wt,...wn nicht gleich Null, so dass die letzteren Grössen für kein System von Werthen der ersteren, dessen Elemente nicht alle gleich Null sind, sämmtlich verschwinden können. Werden daher die Ausdrücke (F) der xa, la in die Gleichungen (B,a) eingesetzt, so müssen in jeder der so entstehenden Gleichungen die Coefficienten der einzelnen wa

III.

sämmtlich gleich Null sein, den w, 73:

So erhält man n(2n — 1) neue Relationen unter

(H)

—°Vy Wfty) ⁼ 0

y

izi

wenn cc = ß,

0, wenn cc^ ß.

Diese Relationen sind somit eine Folge der unter (E,a) aufgestellten, so wie auch, was in ganz ähnlicher Weise gezeigt werden kann, diese eine Folge jener.

In der Theorie der Abelschen Transcendenten wird ferner gezeigt, dass sich, wenn ein den Gleichungen (E,a) genügendes System von 4ri² Grössen w,7] gegeben ist, auch stets eine Function G(ut,... un; ... vn), aus der es auf die angegebene Weise hervorgeht, bilden lässt, vorausgesetzt dass die Determinante

tu

nicht gleich Null ist.*)

Bezeichnet man mit ((o)a(î den Werth, welchen to annimmt, wenn man (oß3 == 1, die übrigen der «ten Horizontal- und der /3ten Yerticalreihe angehörigen Elemente aber gleich Null setzt, so ergeben sich aus den ersten der Relationen (E,a) und (H) noch die folgenden:

(I)

N] (®Oay    Ni    (a>)/îy    ^ay

y    y

= 2 (°Oy/î ^ya* y    y

*) Setzt man in den Gleichungen

Gr(wlt... ton] Xj, ••• Xn)n+a — 2xa7ii die l sämmtlich gleich Null, so erhält man nach dem Obigen

(u = 1,... ft)

wa

= 2 2    tuaß,

?

(a = 1,... ri)

wenn, wie angenommen worden, die Determinante der Functionen G(w₁,...wn-, 0...0)„+ü, in Beziehung auf ... wn von Null verschieden ist. Daraus folgt, dass auch die Determinante io nicht gleich Null sein darf, wenn es möglich sein soll, eine Function G so herzustellen, dass sie ein gegebenes Grössensystem (u>,7]) liefert.

Mit Hülfe derselben wird dann gezeigt, dass, wenn man

9 S(U>)ay ^ßy^a^ß

* Ul ußy

(K)

Tzi

77 s Ol OL + • • • + «'»(«>)*») Oa + Vx <! + •••+ V» «L)

CI) a

G{ux)...un] vlf... vj =    ...wJ + œK, ...«»Î Vi,... v»)

setzt, diese Function 6r die verlangte Beschaffenheit hat.*)

Führt man statt w1} ... eben so viele lineare Functionen vt, ... vn dieser Veränderlichen ein mittels der Gleichungen

(a — 1, ... ri)

Va =

und setzt

Taß —

wo dann

Taß    Vf a

ist; so wird

(L) G(u1}vx,... v„) = 22 Vwy/îü«^ + ™2v«(2v« + v₁T«i + **- + v,lTaM).

a^y    a

so gewählt, dass bei reellen Werthen

Werden ferner die Grössen

¹⁰ aß)

von ... vn der reelle Theil von

O)'

aß

^VaVßXao

aß

beständig negativ ist; so existirt hiernach auch stets eine Function

e0i,

aß: U>aß

*) Dabei ist zu beachten, dass die Coefficienten der Function w bloss aus den Grössen «j (ohne Hinzutreten der r\aß, r\'aß) zusammengesetzt werden. Es ist also stets möglich, die verlangte Function G(uu ... un\ vv... vn) herzustellen, wenn die u>aß, <o'aß so angenommen werden, dass die ~n(n—1) Relationen

2OßyC0ify ^ßy^ay) — 0

y

bestehen, und die Determinante u> nicht gleich Null ist. Für r\{uv ... un) kann dann eine beliebige homogene ganze Function zweiten Grades von uu ... un gewählt werden. Dieselbe kann auch Null sein.

für welche das oben definirte Grössensystem (io, y]) mit dem gegebenen übereinstimmt.

.. u ) definirt

n/

Die für die Convergenz der Reihe, durch welche Q(u

worden ist, nothwendige Bedingung, dass der reelle Theil von

aß

bei reellen Werthen von vx1 ... vn beständig negativ sein muss, lässt sich noch in einer anderen Form ausdriicken, deren Kenntniss für das Folgende von Wichtigkeit ist.

Man setze, unter px1 ... pn willkürlich anzunehmende Grössen verstehend,

ß

uucc

2 ^Pß ^ßa p

— 2 ^Pß ^ßa J ^

P

und bezeichne die mit

Pß J ^ßal ¹⁰ ßa J ^at ^ti + a! ^ceß

conjugirten complexen Grössen beziehlich durch

Pß J ^ßa l

Mßa )    ^n + a ) c aß •

Dann ist

Ferner ist

und somit

also

(M)

2ß«ß

n+a

2 ^PßPy ^ßa ^ya ’

aßy

² Pß =

Y    yd    œ

22pyO)ya = 2 Qß^aßi

— 2^Taj5>

P

- 2 ®a®ßVaß 2 QaQßrßa 2    ~~ß taß

aß    aß    aß

— 2ßa^S|s, 2^«ß

aß    ¹    a

*2(^a^n + a—' ^a^n+a) — — * 2    ^ß(~aß ~ *aß) •

a    aß    1    1    1

Setzt man dann

so sind fxa1 vu reelle Grössen, und man erhält mit Berücksichtigung der Relationen

(Ta(S    Xaß )

aß

- * 2 (T«ß - %?) {Pa t*ß + Va V?) ,

aß

der Ausdruck auf der Rechten unter den für die Grössen za9 gemachten Annahmen stets positiv ist, wenn nicht die /iu, va sämmtlich verschwinden. Es müssen also die Grössen

wo

wenn sich eine zu ihnen gehörige

^aßl ^aßl

6-Function soll hersteilen lassen, so beschaffen sein, dass der Ausdruck

*S(ßßöÄ+a-ö₈ßn+a)

in welchem

Q,

ÜUa

= 2²iV°>

ß

conjugirten Grössen bedeuten, bei willkür

die mit Q

ist, und öa, Q

Rehen Werthen der pi5 . ..pn, wenn diese nicht sämmtlich gleich Null sind, beständig positiv ist. Die hierzu erforderlichen Bedingungen werden später

n+a

angegeben werden.

Nimmt man ferner die fia, va willkürlich an, und setzt

Û. = (*. + ».<. 2^ = 2-^^,

Ö w

so gilt die Gleichung (M). Daraus folgt, dass die Grössen zaß auch stets die erforderliche Beschaffenheit haben, wenn die (oaß, to'aß der vorstehenden Bedingung entsprechend angenommen werden.

Setzt man ferner    *

2 va(^^a ^1 ~al    ^n ~an)

(»■)

oder

(N)

T.iSva Vß Taß

.COS (2v₁v₁+----\-2vnVn)Tt

(>)

so hat man

•    (N,a) wenn für vx, ... vn die angegebenen linearen Functionen von u , ... un gesetzt werden.

Betrachtet man ... vn als unabhängige Veränderliche, so ist ... vn) diejenige 0-Function, bei der an die Stelle von G die Function

2 v«(2v« + v₁ral + • • • + vnxan) tu

tritt. Daraus ergiebt sich, dass für sie das System der Grössen co, tj das folgende ist :

0,

iH IcM

0, ... 0 ••• o, 4

tu,

to: M-

T12 , * '

to H*•

th |(m

2 T21’

th |<n

h2>

r-i |(M

T2«

(cü)

0, 0, ...

(0)

to| Hl.

hl,

to| M-

”»2,

to M.

hn

0, ... 0

o, o, ... o,

0, 0, ... 0, 0,

7t

(1).

0, 0, ... 0, 0

0,

7t

Die obige Gleichung (B) nimmt hierauf für ^(v^...vn) die Gestalt an:

(*)

— 2 *a (2 Va + h T«i 4-----f- h tan) TC*

= X«+S^v)*

Dieses vorausgeschickt, bezeichne man nun und unter

(wa

unter C eine willkürliche,

solche Constanten verstehend, die den Bedingungsgleichungen

aa + a'cc • • • + ^üT; —    + ^« • • • + 5«!)

On)

(m)

• • «»

(« = 1,... ri)

genügen, im Übrigen aber auch beliebige Werthe haben können, den Aus-

druck

(Q) 0.

©K + ö,,

S(u₁+b₁,...un+bn)e(ul+V₁,

_______+ anl))

un+Vn)...S(u₁+br,...un+b™)

un+a'n)...S(u₁ + o,[

...un

mit p(ut) ...un),

so ergeben sich aus den Gleichungen (C) die folgenden:

P («x +2a>1/i,...itn+2 u>nß) = p (ux, ... un), p(u₁+2w'₁p,...un+2œ'nfi) = p(ut,...un).

Die so definirte Function p(ut,... un) besitzt also bei endlichen Werthen der Veränderlichen u....u den Charakter einer rationalen Function, und

1 »n    ¹

hat die 2n Periodensysteme

(2 (Oji , ... 2 u>nl),    ...    (2 (i)lw j ... 2 u>nn) j

(2ü)'n...2ü>'u), ... (2«4,...2

Dasselbe gilt von jeder Function cp(tix,... un), welche sich rational durch •..%) oder auch durch mehrere Functionen dieser Art, die sämmtlich aus derselben 0-Function entspringen, ausdrücken lässt.

Die Grössen 2ioa^, 2uf^ sind ferner so beschaffen, dass die n Gleichungen

2(²x/î°v + ²^W‘V) = ⁰

nicht durch ein System ganzzahliger Werthe von x1? ... xB; 4, ... Ab, die nicht sämmtlich gleich Null sind, befriedigt werden können. Denn gäbe es ein solches, so müsste, wenn

Wa

t*

gesetzt wird, der obigen Gleichung (B) zufolge

7.a Xa

Ö(«i, •••«») = (-¹)“

also

2 (² X* F ²    ■ 6

P

sein, was nicht möglich ist, da nach Gleichung (G) die Determinante

wn> • • • wi?i?

<°n, ... «V

y ni 7 • • * "Ąnnl "Ąni > • • •

nicht gleich Null ist.

Daraus folgt, dem oben Bemerkten gemäss,²) dass jede auf die angegebene Weise gebildete Function ... un) eine 2M-fach periodische ist, wenn auch möglicherweise die angegebenen 2n Periodensysteme keine primitiven sind, d. h. solche, aus denen alle übrigen auf die im Anfänge beschriebene Weise abgeleitet werden können.

ge-

Hiermit ist also die Existenz unendlich vieler 2m-fach periodischer Functionen von n Argumenten nachgewiesen. Diejenigen, zu welchen die Theorie der elliptischen und Abelschen Transcendenten geführt hat hören sämmtlich zu den hier beschriebenen; wobei jedoch zu bemerken ist, dass die im Vorstehenden definirte 0-Function, sobald n> 3, allgemeiner ist als die durch jene Theorie gelieferte, indem bei der letzteren unter den Grössen cnoch andere Belationen als die unter (H) angegebenen bestehen.

ange-

von

es ausser

Es hat aber die Theorie der doppelt periodischen Functionen eines Arguments einen höchst befriedigenden Abschluss in dem fundamentalen Satze gefunden, dass jede solche Function in der im Vorstehenden gebenen Weise durch eine 0-Function ausgedrückt werden kann. Es drängt sich daher die Frage auf, ob für die 2w-fach periodischen Functionen n Argumenten, wenn n> 1, ein analoges Theorem gelte, oder ob den durch eine 0-Function von n Argumenten ausdrückbaren Functionen dieser Art noch andere gebe. Man begegnet aber, wenn man auf diese Frage näher eingeht, sofort einer sehr wesentlichen Schwierigkeit, welche es unmöglich macht, die Untersuchung auf dieselbe einfache Weise wie für die Functionen eines Arguments durchzuführen.

Es seien nämlich

(Pi.l? • • • P«,i)> (Pj,2J    ••• (Pl,2«> • • • P»,2n)

Dann

irgend 2n primitive Periodensysteme einer Function cp(uti... uj, welche in der beschriebenen Weise aus einer bestimmten 0-Function entspringt, hat man, die oben eingeführten Bezeichnungen beibehaltend,

2 n

^ ^ay 2 ^y, x ^a, x > x = 1

2 n

^ ^ay 2 ^M+y,X-^a,x >

X — 1

wo die m sämmtlich ganze Zahlen sind. Aus der Gleichung

2(w«y°Vy—= ⁰

7

ergeben sich daher \n(n — l) unter den Grössen P von der Gestalt

a,y.

stattfindende Relationen

(R)

271    2 n

2 2((M)R«,,R/łli) = 0

X = 1 Ż. — 1

-Cö S3

wo die von den Indices a, ß unabhängigen Coefficienten (x, A) ganze Zahlen und so beschaffen sind, dass

(yvjA) = — (A,x).

Setzt man ferner

Rx — 2av p^,x >

ß

so verwandeln sich die oben mit ßK, Q'u bezeichneten Ausdrücke in

2 n

2 ma,% R;

x = 1

2 ^W + «,X Rx )

X = 1

und man erhält, wenn Px die mit Px conjugirte Grösse bedeutet, für die die Bedingung, dass der Ausdruck

|*,x

(S)

27i    —

X = 1 A = 1

stets einen positiven Werth haben muss, wenn die jt>x, ...pn nicht sämmtlich gleich Null sind.

Setzt man nun

R«,x — G«,x+*R

(wo die Q, P, g, tj reelle Grössen bedeuten) und

a, X )

Pß = tß + hß

27Z    2%

(QQ) «{1 — 2 2 (x> 'O (L,X ^(9, A

X = i Ä = i 2ft. 2ft.

(QR) aß — 2 2 (X) Qa,X^ß,?. J

x — 1 L — l

2 n 2n

? — 2 2 (x >    R«, x R?, a

x = i X = i

so ist in Folge der Relation (x, A) = — (A, x)

(T)

(QQ)aß — (QQ)ßa > (QQ)

m^ß = -(mp, (RR)

Ui c

aa

= 0;

III.

und die Gleichungen (R) besagen, dass

(QQ)aß — (RR)ajs, (QR)afi — (Q^Qßa

so dass also unter den 4n² Grössen Q, R, sobald n> 1, n(n — 1) Relationen bestehen. Der Ausdruck (S) aber lässt sich mit Berücksichtigung dieser Relationen in

(U)

+ i(QQ)uß) (£cc + f]a 0 (£ß ~ Tiß O

aß

umgestalten; und dieser muss also bei reellen Werthen der Grössen |, yj, wenn dieselben nicht sämmtlich gleich Null sind, beständig positiv sein. Dazu ist bekanntlich erforderlich, dass n bestimmte, aus den Grössen (QR) (QQ)cp zusammengesetzte Ausdrücke positive Werthe haben.

Hiernach müssen, wenn eine 2w-fach periodische Function von n Argumenten in der angegebenen Weise mittels einer 0-Function darstellbar sein soll, die Elemente ihrer Periodensysteme — so mögen die Grössen Q R genannt werden — bestimmte, theils durch Gleichungen, theils durch Ungleichheiten ausgedrückte Bedingungen erfüllen. Wenn es sich also um die Aufstellung des allgemeinsten Ausdruckes einer Function der in Rede stehenden Art handelt, so ist zunächst zu untersuchen, ob für jede solche Function die Wahl der Elemente ihrer Periodensysteme Beschränkungen unterworfen ist, und ob, wenn sich dies so verhält, dieselben mit den im Vorstehenden ermittelten zusammenfallen oder nicht. Es ist mir aber erst

nach manchen vergeblichen Bemühungen gelungen, zur Durchführung dieser Untersuchung einen geeigneten Weg aufzufinden.

14. Febr. 1870 mitgetheilt), dass in der wenn eine Function von n Argumenten 2n vorgeschriebene primitive

In einer frühem Abhandlung (Monatsbericht der Berliner Akademie vom 2. Dec. 1869)*) habe ich auseinandergesetzt, wie jede 2^-fach periodische Function von n Veränderlichen mit einem Systeme von n Abelschen Integralen erster Gattung in der Art im Zusammenhang steht, dass je n zusammengehörige Perioden dieser Integrale auch ein Periodensystem jener Function bilden. Hierauf gestützt habe ich dann bald darauf ermittelt (und der Akademie in der Klassensitzung vom That,

Periodensysteme

(Qi, 7. +

(x = 1,... 2 n)

• • Qn,Y. 4” ® ^n,x)

*) Bd. II. S. 45 dieser Ausgabe.

haben soll, die Grössen Q dingnngen genügen müssen.

den im Vorhergehenden entwickelten Be-

a,Y.

Nachdem dies festgestellt war, hot die weitere Untersuchnng keine wesentliche Schwierigkeit mehr dar, und es ergab sich schliesslich der Satz:

»Jede eindeutige Function von n Argumenten, welche bei endlichen Werthen der letztem den Charakter einer rationalen

Function besitzt und zugleich 2w-fach periodisch ist, entspringt in der beschriebenen Weise aus einer 0-Function derselben Veränderlichen. «

Die Begründung dieses Theorems bildet den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung, in der ausser einigen der allgemeinen Theorie der analytischen Functionen angehörigen Sätzen die wesentlichsten Eigenschaften der Abelschen Integrale erster Gattung als bekannt vorausgesetzt werden.

§1.

Es bedeute jetzt cp(^i?... un) irgend eine bestimmte Function von der in dem aufgestellten Theorem vorausgesetzten Beschaffenheit. Dieselbe hat also folgende Eigenschaften :

1. Ist (a^ ... an) ein beliebiges System endlicher Werthe der Veränderlichen («# ,'... w ), so besitzt die Function stets einen in der Form

G₂(Ui, ...un\alt ...an)

darstellbaren Zweig. Dabei sind drei wesentlich von einander verschiedene Fälle zu betrachten.

Hat G₂ an der Stelle {a^...an) einen von Null verschiedenen Werth, so lässt sich der vorstehende Bruch auf die Form G{u^... un | «1?... aj bringen, und es hat also in diesem Falle, welcher der reguläre ist, <p(w1?... wn) an allen im Innern des Convergenzbezirkes von G{ux,... un | at, ... an) liegenden Stellen den Charakter einer ganzen Function.

Wenn ferner 6ra an der Stelle (al? ...an) verschwindet, Gl aber nicht, so hat man in einer bestimmten Umgebung dieser Stelle

...«J

= G(ulf ...wbK,

es wird also, wenn die Differenzen {u^ — aj, ... (un—an) sämmtlich unendlich klein werden, der Werth von cp(ui7...un) stets unendlich gross, und ist an der Stelle    selbst gleich

oo.

Wenn endlich Glf G₂ beide an der betrachteten Stelle verschwinden, wobei angenommen werden darf, dass sie keinen an derselben Stelle verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler G₃{u^ ... un | at1... an) haben, so giebt es in jeder Umgebung von (ai2 ... an) Werthsysteme (ut, ... un), für welche die Function ceinen beliebig festgesetzten W^erth erhält, so dass sie an der Stelle (alf...an) selbst keinen bestimmten Werth hat.³)

Wir nennen — in Beziehung auf die betrachtete Function — in diesem Falle (alf...an) eine Grenzstelle.

Die betrachteten drei Fälle unterscheiden sich ferner noch in folgender Weise von einander:

Flat cp(ui, ... un) an der Stelle (a^ ... an) einen bestimmten endlichen Werth, so gilt dasselbe auch für alle Stellen, die in einer bestimmten Umgebung von (a, ...an) — dem Innern des Convergenzbezirkes von

G(ulf ...un\alt ...an)

— liegen.

QjOli • • • un 1 ^11 • • • ®n)

ćr₂ (u1} ... un I (i,,... ciw)

auf die Form

• • • tn)

Gr ('Kj, • • . Un I CCy, . . . Cln )

t?+ &[(%,... tn)t( ¹    +

in der Art bringen, dass ©,(4,... tn), ... ®a(t₂,... tn), ©j(t₂, .••#»), ...    ... tn) Potenzreihen von t₂, ... tn

sind, welche sämmtlich gleich Null werden, wenn t₂,...tn alle verschwinden, Gr(ult...un | a₁₅... an) aber an der Stelle (at,...an) einen von Null verschiedenen Werth hat. Zugleich kann diese Umformung so geschehen, dass unter den Grössen t₂,...tn eine bestimmte Gleichung &'(t₂,... tn) — 0 bestehen muss, wenn ®(t₁,t₂,...tn),    t₂,... tn) zugleich verschwinden sollen. Es giebt daher unendlich viele Systeme

solcher Werthe von tlf t₂,...tn, für die &(tv t₂,... tn) verschwindet,    t₂,... tn) aber nicht, während

zugleich jeder dieser Werthe seinem absoluten Betrage nach kleiner als eine beliebig angenommene Grösse ist. Es giebt also auch in jeder Umgebung von (a1}... an) Werthsysteme (ut,... un), für die cp(w₁₅... un) = 0 ist. Nun hat aber, wenn b ein beliebig angenommener Werth ist, y(ult... un)—b in der Umgebung von (au...an) dieselbe Form wie cp(wj,... un); es existiren also in jeder Umgebung dieser Stelle auch Werthsysteme (uv ... un), für die cp(%,... un) — b = 0, cp(zt1?... un) = b ist.

Ist <p(^,... un) — oo an der Stelle (a1?. ..an), so giebt es in derjenigen Umgebung von (alt...an), innerhalb welcher ganzen Function hat, keine Grenzstellen, wohl aber, sobald n> 1, Stellen, an denen cp(u^ ... un) = oo ist; diese bilden eine (2n — 2)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit. Wenn dagegen (al} ...an) eine Grenzstelle ist, so giebt es in jeder noch so engen Umgebung derselben nicht nur Stellen, in denen cp(ui,... un) = oo ist, sondern auch, wofern n> 2, noch andere Grenzstellen; die ersteren bilden eine {2n — 2)-fach ausgedehnte, die letzteren eine (2n — 4)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit. *)

den Charakter einer

? (uv ... un)

von

2. Es wird vorausgesetzt, dass sich cp (24,... un) nicht als Function weniger als n Argumenten, die lineare Functionen von «4, ... u% sind, darstellen lasse.

3. Die Function cp («4, ... un) ist 2w-fach periodisch. Daraus ergiebt sich zunächst, dass man

erhalten, nur diejenigen Werthsysteme (ut,... un) zu betrachten hat, welche einem sofort näher zu beschreibenden, ganz im Endlichen liegenden Bereiche (17) angehören.

Es seien

um

alle Werthe, die sie überhaupt annehmen kann

zu

¹

Ist die Function mehrdeutig, so muss die Gleichung

(f(u₁ + Pl,...un+Pn) =

in dem Sinne gelten, dass jedem Werthe von cp(tfj,... un) ein ihm gleicher Werth von f(ul+P₁,... un+Pn) entspricht, und umgekehrt.

²

S. 54.

³

Man kann nämlich in diesem Falle, indem man an Stelle der Veränderlichen uu ... un ganze und homogene lineare Functionen fj, ... tn von (ul — «,), ... (un—an) einführt, in mannigfaltiger Weise

1,2 nl

... (P

*) In derjenigen Umgebung von (an .,. an), für welche die angegebene Umformung von

gültig ist, wird cp (u1}...un) — cc, wenn man tt, t₂, ... tn so wählt, dass ®pi> ta,... tn) verschwindet, nicht aber zugleich    ... tn) und G(Ui, ... un \ at,... an). Giebt man dagegen den t₂,...tn solche Werthe

4,... 4, dass    ... t'n) = 0 ist, so kann man t[ so bestimmen, dass    &'(t'v t'₂,... t'n)

von

beide verschwinden, und dass zugleich, wenn u'v...u'n die den t\, ...t’n entsprechenden Werthe Ui, ... un sind, die Stelle «,...«4) dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk von Gt (%,... un\ av... an), Gi(ui,...un\a₁,...an) angehört. Dann kann man diese Ausdrücke in andere

U i (w,, . . . Un I Ui, • • •    , Ga (Ui, . * . Un I Ui, . . . Uff^)

umformen, welche beide an der Stelle («j,... u'n) verschwinden, ohne einen gemeinschaftlichen Theiler von derselben Form zu haben. Denn existirte ein solcher, so müsste derselbe, in eine Potenzreihe von (4 —t'i), ... (tn—t'n) umgeformt, ein gemeinschaftlicher Theiler der ebenso umgeformten Functionen © (4, #₂,... 4), ©'(4, t₂,... 4) sein, und die oben durch ®"(t₂,... 4) bezeichnete Function für alle einer gewissen Umgebung der Stelle    t'n) angehörenden Werthsysteme t₂,...tn verschwinden, also identisch

gleich Null sein — was wider die Annahme ist. Daraus folgt, dass jede auf die angegebene Weise bestimmte Stelle (u'i,...u'n) eine Grenzstelle ist, sowie auch erhellt, dass es in einer bestimmten Umgebung von (oj,... an) keine andern derartigen Stellen giebt.

2n primitive Perioden-Systeme von cp(ui7... un), und es werde wieder, wie oben,

p«,x — Qa,x P iR

Ra X reelle Grössen bedeuten. Dann ist die Determinante

(1.)

«,7C

gesetzt, wo Q

a,x’

1,2 n

Qn, 1 1 • * * Qn,in

I?

i,x » •

.. R

1, 271

n, l > •

.. R

nicht gleich Null;*) und man kann daher zu jedem System endlicher Grössen (ut, ...un) ein System von 2n ebenfalls endlichen und reellen Grössen £1? ... £ so bestimmen, dass man

w.

(2.)

273

-    2 è x Pn, X

X = 1

hat.

Nimmt man dann ein System bestimmter Werthe von £ , ... £

beliebig an, bezeichnet mit vx die grösste in (£x —1°) enthaltene ganze Zahl, und setzt

(3.)

(4.)

£x = £x + v

K = s i;p

(x = 1,... 2 n)

so hat man

(5.)

'M'n    %n "b P« j

wo (Pi5... PJ ein Periodensystem der Function <p(u

?(U1> •••Un) = ?(Ült...Ün).

l’ *

.. u ) ist, sodass

71'    '

(6.)

Jede der Grössen %x ist nun > £°

aber < £° +1 ; die Gesammtheit der Werthsysteme ('ut,...ün) bildet also einen begrenzten, ganz im Endlichen

•) S. die Abhandlung: „Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen.“ [Bd. II. S. 55 dieser Ausgabe.] liegenden Bereich, der mit U, bezeichnet werden möge. Die vorstehende Gleichung besagt also, dass die Function ... un) jeden Werth, den sie überhaupt annehmen kann, auch für ein dem Bereich U angehöriges Werthsystem der Argumente ... un erhält.

Hieraus ergiebt sich unter anderm, dass es nicht möglich ist, cp(ut,... un) in der Form einer beständig convergirenden Potenzreihe von ux, ... un darzustellen. Denn dazu wäre erforderlich, dass jeder Werth, den cp(u ,... u ) innerhalb des Bereichs U annehmen könnte, seinem absoluten Betrage nach unterhalb einer angebbaren Grenze läge; daraus aber würde folgen, dass <p(ult... un) überhaupt nicht beliebig gross werden könnte, was doch eine nothwendige Eigenschaft jeder in der in Rede stehenden Form darstellbaren Function ist. Es giebt daher im Gebiete der Grössen ut, ... un jedenfalls Stellen (al5    für die von den drei unter 1. angeführten Fällen der

zweite oder der dritte eintritt, sodass auch stets bestimmte Werthsysteme (u^ ... uj existiren, für welche <p(ui7... uj = oo wird. Da nun, wenn b ein

beliebiger Werth ist besitzt

y(uu...un)-b

dieselben Perioden-Systeme wie cp(ut,... u ) so ergiebt sich weiter, dass auch diese Function unendlich gross werden, also 9(2^,... un) jeden beliebigen Werth erhalten kann, und zwar an

Stellen, die nicht Grenzstellen sind.

Nachdem dies zur genauen Charakteristik der Function <p(w , ...m ) Erforderliche vorausgeschickt worden, gehe ich nunmehr zum Beweise des in der Einleitung angeführten Satzes über, dass mit jeder solchen Function ein System Abelscher Integrale erster Gattung dergestalt in Verbindung steht, dass je n zusammengehörige Perioden dieser Integrale auch ein Periodensystem der betrachteten Function bilden. Dieser Beweis, dessen Gang bereits in der S. 66 angegebenen Abhandlung angedeutet worden ist, soll hier in etwas veränderter Weise durchgeführt werden.

2.

Aus der Function cp(^, ... un) lassen sich auf mannigfaltige Weise n andere

?i(«i, •..«»),    • • •    ?»(«„ •••**„)

von denen jede denselben analytischen Charakter und dieselben Periodensysteme wie jene besitzt, so ableiten, dass sie an der Stelle (0,... 0) sämmt-

lieh verschwinden, die Functional-Determinante

Oj Oj

F³

Qj Oj

d(?n

d<?n

dux ’

aber an derselben Stelle einen von Null verschiedenen Werth erhält.

Es kann dies z. B. folgendermassen geschehen.

Man nehme n Systeme von je n Constanten

o;,«\...o

dass cp(t/,... vn), ... cp... v™) sämmtlich bestimmte endliche Werthe haben, und dass die Determinante

so an

dun

welche mit D(ui:...un) bezeichnet werde, nicht gleich Null wird ... un sämmtlich verschwinden.*) Setzt man dann

---O = <pK + <, ...«»+«£) -?«, ...<)

?»(**! !•••«») = <p («x +    wB + O - cp «>,... <w))

wenn

(1.)

*) Dass das Letztere stets möglich ist, lässt sich so zeigen. Wäre D(0,... 0) = 0 bei beliebigen Werthen der Grössen (v[, ...v'n), ... (v'?\ ... v%l)), so hätte man,

d<P Ol, ••• W»)

bezeichnend,

dua

mit $Oi, • • • un)

-6~

-6S

= o,

tp (v[n\ ... <n)), •• • I («F⁾i • • • V'n) und es existirte also eine Gleichung von der Form

C₁<?(V₁,...v'n)---+CnĘ(v'₁,...v'n) = 0,

in der die Cv...Cn\on den v[, ... v’n unabhängig, aber nicht sämmtlich gleich Null wären. Diese

so ist ein Functionensystem von der angegebenen Beschaffenheit.

Sodann nehme man zwischen ... un und einer neuen Veränderlichen (x) die nachstehenden Gleichungen an, in denen F^x), ... F (x) ganze Functionen von x bedeuten, welche sämmtlich für x — 0 verschwinden, im Übrigen aber — abgesehen von einer sogleich anzugebenden Beschränkung — beliebig gewählt werden können:

(2.)

T»(Wi> •••«») = ^(Ü-Diese Gleichungen lassen sich für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag unter einer bestimmten Grenze liegt, befriedigen, indem man

(3.)

Constanten bezeichnen, welche mittels der Gleichungen (2.)

a, v

setzt, wto die k eindeutig bestimmt werden.

Unter den gemachten Voraussetzungen können nämlich

<Pi(Ui>---Un), ... <Pn(Mi,---Wn) für alle Werthsysteme (ult... «B), die einem bestimmten, die Stelle (0,... 0) umgebenden Bereich angehören, als ganze Functionen G^u^ ... un), ... Gn(ui}... u ) dargestellt werden. Bezeichnet man mit G ... un) die Summe der Glieder erster Ordnung in Gtt{u₀ ... wB), so ist die Determinante der Functionen

•••**«)> •••

nicht gleich Null, und man hat daher

(4.) wo die c; Constanten bezeichnen.

Gleichung würde dann besagen, dass <p(î>i ,...<) als Function von weniger als n Argumenten, und zwar so, dass diese lineare Functionen von ... v'n sein würden, ausgedrückt werden könnte — was gegen die Annahme ist.

10

III.

un) = 2lcatß(G^(ut,...un)-Ga(ult...uH))

(5.)

ß=l

Fu(x) = cat?Fß{x),

so gestalten sich die Gleichungen (2.) für die jetzt betrachteten Werthsysteme    um in die folgenden:

(6.)

Mi = ¹■«(¹)+ 0X(¹1,...«O

, Un =    ...uj,

in denen die Ausdrücke Gx, ... Gn nur Glieder zweiter und höherer Ordnung enthalten.

Aus diesen Gleichungen erhält man dann

(7.)

Setzt man also

Kl = [Fa{x)]x

und (für [i > 1)

(8.)

Kt¹ =

,U-X

f.t-1

GJ 2 Kvx\ ••• 2 K,vXv) ,

Hierbei ist noch

durch welche Formeln sämmtliche v gegeben werden. Folgendes zu bemerken. Man hat (gemäss Gleichung (5.))

(9.)

F» = G?(Ą(x),...Fn(x))

und kann daher statt Ft(x), ... Fn(x) auch die Functionen Ft(x), ... Fn(x) willkürlich

doch so, dass sie für x = 0 sämmtlich verschwinden — annehmen. Die Formeln (7.), (8.) lehren und somit auch Ft(x), ... Fn(x) als ganze Functionen n stimmen, dass jeder der Coefficienten

nun

dass es möglich ist, Ft(x), ... Fn(x) Grades so zu be-

ten

Kv ••• *

Man darf daher im Folgenden voraussetzen, es seien

gleich Null sein soll.

Fi(x), ... Fn(x) ganze Functionen nim Grades, welche — ausserdem dass jede

von ihnen für x — 0 verschwindet

so gewählt sind,. dass erstens unter ihnen keine lineare Abhängigkeit besteht, und zweitens die vorstehende Determinante nicht gleich Null ist. Eine Folge der letzteren Bedingung ist dann, dass der Ausdruck

K(x) + • " + CnKK) ,

wenn cx, ... cn von x unabhängige Grössen und nicht sämmtlich gleich Null sind, niemals für jeden Werth von x verschwindet, d. h. dass auch unter den Functionen cjq(&), ... K(x) keine lineare Abhängigkeit besteht.

Aus diesen zunächst für einen beschränkten Bereich der Veränderlichen x definirten Functionen    ••• tyn(x) entspringt nun den Principien der

Functionen-Theorie gemäss ein bestimmtes System analytischer Functionen, von dem sich zeigen lässt, dass es ein System Abelscher Integrale von der vorhin angegebenen Beschaffenheit ist.

§3.

a,ß

Determinante

/,•

i.i» *

•• Kn

Um dieses nachzuweisen, ersetze ich zunächst das System der Gleichungen (2.) des vorigen § durch ein anderes ihm äquivalentes. Man kann bei der vorausgesetzten Beschaffenheit der Functionen F^x), ... Fn(x) ein System von n² Constanten ii „ so bestimmen, dass man

(1.)

= 2 KßFß(x)

~ 2 KßFß(%)

|» = i

n

x = 2 KßFß(x)

xn

X*

hat. Setzt man dann

(2.)

da (Ul> = 2 K ß Vß (Ul » • • • Un)

ß = x

(cc = 1,n)

10*

so ergeben sich aus den genannten Gleichungen die folgenden:

(3.)

(4.)

Umgekehrt erhält man aus diesen

»—«+i

und daher (gemäss (1.), (2.))

und somit

2 K ß (Fß (X) - ?ß (Ui»•••«»)) = o

da

Fp(x)-9ß(ulf    = 0

l, n

n, n

nicht gleich Kuli ist. ursprünglichen ((2.), § 2) äquivalent.

Aus dem Grössengebiet («q,... wj denke man sich nun zunächst alle diejenigen Stellen ausgeschieden, an welchen eine der Functionen

?i(*u •••»*), ••• ?>!,•••««)

Das System der n Gleichungen (3.), (4.) ist also dem

keinen bestimmten oder einen unendlich grossen Werth hat; ferner die

aus den übrigen

an denen die oben mit D(u₁,...un) bezeichnete Functional-De-

terminante verschwindet, und betrachte von den alsdann noch bleibenden alle

diejenigen, welche die Gleichungen (3.) befriedigen. Die Gesammtheit dieser Stellen möge mit ®'[«q,...«qj bezeichnet werden. Ihr adjungire den ausgeschiedenen Stellen wieder diejenigen, denen Stellen des Gebildes ®'[«q,... un] unendlich nahe liegen; das

gefügten Stellen bestehende Gebilde möge dann das durch die Gleichung (3.) definirte heissen und mit (&[ulf... un] bezeichnet werden.

In den Gleichungen (3.) des § 2 kann man die Veränderliche x durch Festsetzung einer oberen Grenze für ihren absoluten Betrag dass die durch diese Gleichungen definirten Werthsysteme (u

man von

aus

J und den hinzu-

en

so beschränken, • ’ un) sämmt-

lieh dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der dort mit

G^Ui,... un), ... Gn(uv ... wj

bezeichneten Entwickelungen von yXuii ■ • • uX)i • • • 9n(ui> • • • un) angehören, mithin für keins von ihnen eine dieser Functionen unendlich gross oder unbestimmt wird. Dann gehören diese Werthsysteme sämmtlich dem Gebilde    ...un\

an; denn sie befriedigen die Gleichungen (3.), und es kann D(wi₅...wm) nur für einzelne von ihnen verschwinden, denen dann aber andere, für welche dies nicht der Fall ist, unendlich nahe liegen. Dies genügt, um vorläufig zu zeigen, dass es im Gebiete der Grössen ... un) ein Gebilde    ... un],

wie es definirt worden, wirklich giebt.

Jetzt ist Folgendes zu beweisen.

Es sei (ax, ... an) irgend eine bestimmte Stelle des Gebildes ® [w , ... un\ so lassen sich stets ganze Functionen (Potenzreihen) einer Yeränderlichen t welche für t — 0 sämmtlich verschwinden, so bestimmen, dass die durch die Gleichungen

(5.)

Un =

.. u )

n/

definirten Werthsysteme (ut,... un) sämmtlich ebenfalls zu dem in Rede stehenden Gebilde gehören; und zwar kann dies so geschehen, dass verschiedenen Werthen von t auch stets verschiedene Werthsysteme (u entsprechen. Wenn es sich ferner darum handelt, alle Stellen des Gebildes darzustellen, für welche die absoluten Beträge der Differenzen (u—aj,... (u —a ) sämmtlich unter einer vorgeschriebenen Grenze d liegen, so reicht für diesen Zweck, wenn man nur d hinlänglich klein annimmt, in jedem Falle eine beschränkte Anzahl solcher Gleichungssysteme aus, und insbesondere ein einziges, wenn (al7 ...an) dem Gebilde ©'[Wj,    angehört.

Es werde

bezeichnet, so ist

(Ui,...un) mit Fu(uif...un) &n(M 1 > ■ • • K) mit Fn(u₁

-a+i

(u = 1,... n— 1)

dUß

ÖUj

du^

(k = 1,... n— 1)

und daher

(6.)

Qj Qj Qj Qj

Qj

Qj

Qj

Qj

LM

Qj Qj Qj Qj

§ CS JK CS

Qj Qj Qj Qj

JS CS S CS

= h-D(u., ...un)

Qj

Qj

Qj Qj

Qj Qj

§ cs

Qj Qj

des

wo

hn, ... hln

^ m j • • • Ann

Wenn daher (al}...an) dem Gebilde ©' angehört, welcher Fall zuerst betrachtet werde, so kann man n Constanten clt ... cn so wählen, dass die Determinante

dF₁

dF,

dux

ÖUn

dFn-i

dut ’

dFn-1

Ci

zu-

an der Stelle (a1?. ..«J nicht gleich Null ist, da sie der Gleichung (6.) folge nicht bei beliebigen Werthen von c1? ...cw verschwindet. Fügt man daher den Gleichungen

(7.)

noch die folgende hinzu:

(8.)

c₁(u₁-a₁) + --- + cn(un-an) = t;

so kann man

da sich Fx{u^ ... un), ...    ...un) für hinlänglich kleine

Werthe von (ut — aj, ... (un—an) als ganze Functionen dieser Grössen darstellen lassen, nach einem bekannten Satze alle in einer bestimmten Umgebung (d) der Stelle (at, ... an) liegenden und die Gleichungen (3.) befriedigenden Werthsysteme (ulf... un) in der unter (5.) angegebenen Form darstellen, und zugleich so klein annehmen, dass dieselben sämmtlich dem Gebilde ($' angehören.

Wenn ferner (a^...an) eine der dem Gebilde ©' in der vorhin angegebenen Weise adjungirten Stellen ist, so lässt sich, wenn man

Ul — ai + Vi j • • • un — an + Vn

setzt, jede der Functionen Fa(u^...un) auf die Form

Ga(Vi,---Vn)

Ga(v1}...vn)

in der Art bringen, dass Zähler und Nenner dieses Bruches nicht einen an der Stelle (v ,... v ) = (0, ... 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler von derselben Form besitzen. Ist dann (bei einem bestimmten Werthe von a) Gu{0, ...0) nicht gleich Null, so ist unmittelbar klar, dass an allen Stellen des Gebildes ©', welche in einer gewissen Umgebung (d) von (al? ... an) liegen, 6ra(i? ,... vn) = 0 sein muss. Da es nun in jeder Umgebung von (aT, ...aB) der Annahme nach solche Stellen giebt, so folgt, dass 6ra(0,... 0) = 0 ist. Ist aber 6ra(0,... 0) = 0, so ergiebt sich aus dem in § 1 (Anmerkungen) Gesagten, dass bei hinlänglich kleinem Werthe von d alle Stellen, an denen GJv^ ... vn) verschwindet, zu denjenigen singulären gehören, an welchen F (ult... un) unendlich gross oder unbestimmt ist. Diese sind vom Gebilde ($' ausgeschlossen; es muss also an den diesem Gebilde und der betrachteten Umgebung von (a^ ... aB) angehörenden Stellen Ga(vi, ... vn) verschwinden; und da es solche Stellen unendlich nahe bei (al5...aj wirklich giebt, so ist auch Ga(0,... 0) = 0.

Man kann also d so klein annehmen, dass an allen Stellen des Gebildes (welche in der Umgebung (d) der betrachteten Stelle (a^...an) liegen, die (n — 1) Gleichungen

(9.)

bestehen. Aber es lässt sich nicht umgekehrt behaupten, dass jede Stelle, für welche diese Gleichungen befriedigt werden, zu ©' gehöre. Nun kann aber, wie in den Elementen der Functionen-Theorie gezeigt wird, wenn irgend ein System von Gleichungen wie die vorstehenden, in denen

G^v,,    ... Gn_t («>,,... vn)

ganze, an

der Stelle (0, ... 0) verschwindende Functionen von vt, ... vn sind,

gegeben ist, dasselbe durch eine gewisse Anzahl anderer Systeme ( G(wx,..

( G'(wlt    wm+1).w

(10.)

m)

Wm+i) = K+i + Gll)(wi , ••• «O <i+î + • • • + G^\wx , . . . Wm) = 0

= GM(wt}... wm,wm+1)

»l+V

(y = 2,... n—m)

wo w

. wn homogene und von einander unabhängige lineare Functionen

i’ * •

der Grössen v, ... vn bedeuten und

Gr'(lV₁, .. . W

Wm+1) =

ist, in der Art ersetzt werden, dass nicht nur jedes den ursprünglichen Gleichungen genügende Werthsystem (v^ ... vn), in welchem jede der Grössen v ihrem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze liegt, auch einem der neuen Gleichungssysteme genügt, und zwar, ohne dass in demselben G'(wx, • •

Anzahl der Gleichungssysteme, welche das ursprüngliche vertreten über die Grösse der Zahl m in jedem derselben lässt sich, so lange den Functionen Gt(vlt... vB), ... Gn(vx,... vj nichts Weiteres weiss als dass sie die angegebene Form haben, durchaus nichts Näheres feststellen. Es unterscheiden sich aber diejenigen Werthsysteme (vx,...vn), welche durch ein Gleichungssystem (10.), in dem m> 1 ist, geliefert werden, von den übrigen dadurch, dass für die erstem die Determinante

Mi’

wm+J =0 ist, sondern dies auch umgekehrt gilt.

In Betreff der

so wie

man von

dCr₁

dGx

dG

n— l

dG

n—i

dvx

cx

bei willkürlichen Werthen von ci? ... cn verschwindet.

(v[,...vrn) irgend eins der in Bede stehenden Werthsysteme in denjenigen Gleichungen von der Form (10.), durch welche dasselbe geliefert wird,

Es sei nämlich , so setze man

< + /£,, ... v'n+Jcn für vt,...vn so erhält man (n — m) Gleichungen von der Form

•••4) = 0

Fügt man denselben noch die folgende hinzu:

ci K H-----f Cn \ — 0

(ß — 1,... n—m).

und bezeichnet mit «/, ... w'n die Werthe von wt, ... wn an der Stelle (i/, ... v'n), mit w'+Aj,... w'n+Jin die Werthe derselben Grössen an der Stelle ,... v'n+kn), so kann man, da (5^(0,... 0) = 0 ist, in jedem Falle, wo m > 1, Werthsysteme (&i? ... AJ, in welchen die absoluten Beträge der einzelnen Grössen unter einer beliebig klein anzunehmenden Grenze liegen, ohne dass sie doch alle gleich Null sind, so bestimmen, dass die {n — m+ l) angegebenen Gleichungen befriedigt werden, aber G'{w\ +    ... w'n+ hn) nicht gleich Null ist, da der Annahme nach

G'{w[,... w'n) einen von Null verschiedenen Werth hat. Dann werden auch die Gleichungen (9.) befriedigt, wenn man

Vi = v[ + kt, ... vn = v'n+kn

setzt. Es lässt sich aber

QM + K,—9'n + K) auf die Form    +    +

in der Art bringen, dass G⁽f\ wenn k^...kn sämmtlich gleich Null gesetzt

dGa(v₁,...vn)

werden, gleich dem Werthe von Aus den Gleichungen

dvß

an

der Stelle (//, ...//) wird.

(cc — 1,... n— 1)

G?*t + - + G*»hm = 0,

Clh+ — + CnK = 0

folgt dann, indem Tcti ... \ nicht sämmtlich gleich Null sind,

G«\ ... G™

Ga)

= 0.

.. Gw>

• * w n-l

...

Da es nun bei willkürlich angenommenen Werthen von cx, ... cn Werthsysteme (ft₂,... kn) giebt, in denen jede einzelne Grösse beliebig klein ist, so folgt, dass auch

Ci

dGt

dG₁

dvt

dvn

dG

n—1

dGn_i

S’

dvn

sein muss an der Stelle (i/,... i/); wie behauptet worden.

ii

m.

Für diejenigen Werthsysteme (y^... vn) aber, welche die obigen Gleichungen (9.) befriedigen und zugleich, wenn man

Ui = cii + v^ ... un = an + vn

setzt, Stellen des Gebildes    ... un] liefern, ist die vorstehende De

terminante nicht gleich Null. Denn man hat

dup

dFa(u!, ... un) _ dGa _ Ga àGa

Ga àvp Gl ~dv^’

also für die genannten Werthsysteme, für die Ga nicht verschwindet,

dFa _ 1 dGa

so dass die fragliche Determinante gleich ist dem Producte aus Gx G₂... Gn_t und der Determinante

dl\

dFt

dun

äFn_!

dF.

n-i

dUi

Ci

von welcher gezeigt worden ist, dass sie an keiner Stelle des Gebildes bei beliebigen Werthen von ci5 ... cn verschwindet.

Da nun in jeder Umgebung der Stelle (a^ ... an) sich Stellen des Gebildes (3'[u1?... un] finden, so ist aus dem Vorstehenden der Schluss zu ziehen, dass unter den Gleichungssystemen (10.), welche die Gleichungen (9.) ersetzen, eine gewisse Anzahl solcher, in denen m — 1 ist, und welche also die Form

(11.)

G(wlfw₂) = w£+ Gm(w₁)w^ M-----t- Glfl)(wl) = 0²)

(v — 1,... n—2)

G'{wx, wt)w2+v = G(u>i,w₂)

haben, bei hinlänglich klein angenommenem Werthe von â sämmtliche Stellen (ui i²“un)i die dem Gebilde (§'[ux,... un] angehören und zugleich in der Umgebung (d) der Stelle (at,...an) liegen, liefern.

Nun lässt sich — für jede einzelne Gleichung G(wiiw₂) = 0 — eine beschränkte Anzahl von Functionenpaaren

g₁(t) = Jc₁t + lcit²-\—, g₂(t) = ltt + l₂t²+ •••,

wo t eine neue Veränderliche bedeutet, so bestimmen, dass durch die Gleichungen

Wi=9i(ß), w³ = g,(t),

wenn man alle diese Functionenpaare anwendet, und der Grösse t jeden Werth beilegt, der dem absoluten Betrage nach eine bestimmte Grenze (t) nicht überschreitet, sämmtliche der Gleichung G(wi,w₂) = 0 genügenden Werthepaare (wt1 wa) gegeben werden, unter der Bedingung, dass für den absoluten Betrag von wt sowohl als w₂ eine hinlänglich kleine obere Grenze (V) festgesetzt werde. Zugleich kann man t, d' so klein wählen, dass man jedes einzelne Werthsystem {w^ w₂) nur durch ein Functionenpaar ($,(£),9$)) und durch einen Werth von t erhält. Man erhält dann ferner für w , .. durch die Gleichungen (11.) ähnliche Ausdrücke

W3 = ^3 (Ol • • • Wn =

welche vollständig bestimmt sind, sobald man ein Functionenpaar (£), g₂{t\ wenn überhaupt mehrere vorhanden sind, ausgewählt hat. Drückt man darauf vi,...vn durch ... wn aus, so ergiebt sich zur Darstellung sämmtlicher Werthsysteme    welche den Gleichungen

Gifyi, ••• vH) = 0, ... G-n_₁(vli...vn) = 0

unter der Bedingung genügen, dass für sie die Determinante T nicht stets verschwinde und für den absoluten Betrag einer jeden der Grössen v eine hinlänglich kleine Grenze (d) festgesetzt werde, eine beschränkte Anzahl von Gleichungssystemen

(12.)

= Si (Ol • • • Vn = Sh(0

wo    ... %n(t) dieselbe Gestalt wie gi(t) haben.

muss

Unter den so definirten Werthsystemen (vx,...vn) müssen nun sämmtliche, denen Stellen des Gebildes    ... un] entsprechen, enthalten sein. Es giebt

also mindestens ein Functionen-System

¹

• Kn

^n, l ) • • • &n, n

einen vorgeschriebenen Werth erhält. Daraus folgt, dass unter den Coefficienten von Ft(x), ... Fn(x) eine bestimmte Relation bestehen muss, wenn die

²

Die Functionen Gil)(w₁),. ..    verschwinden sämmtlich für wt = 0.

³

Es sind die Gleichungen (11.) so beschaffen, dass man aus ihnen für jede der Grössen w2+v eine Gleichung zwischen wt und w2+v von derselben Form, wie die für w₂ aufgestellte erhält. Mithin w2+r nothwendig gleichzeitig mit t verschwinden, und es kommen in g2+v(t) nur positive Potenzen von t vor.

11³

m ••• &(*)

von der Beschaffenheit, dass in keiner der Potenzreihen von t, in welche sich

G^v,, ...vn), ...    ...vj

durch die Substitution verwandeln, sämmtliche Coefficienten gleich Null werden. Denn träte dies für jedes System (0?^),... i$n(t)) auch nur bei einer der Functionen Ga ein, so würden von den jetzt betrachteten Werthsystemen (ui — ax + v^ ... un — an + vn) wenigstens alle diejenigen, bei denen der absolute Betrag von t eine gewisse Grenze nicht überschritte, nach dem bereits oben Bemerkten von dem Gebilde ®'\ut,... un\ ausgeschlossen sein, so dass es in einer gewissen Umgebung der Stelle (ax,... an) gar keine diesem Gebilde angehörigen Stellen geben würde; was wider die Annahme ist. Für jedes Functionen-System (0^(0), • •• 5n(0) von der angegebenen Beschaffenheit kann man nun durch Festsetzung einer oberen Grenze für den absoluten Betrag von t bewirken, dass jede der Functionen nur für t — 0 verschwindet. Folglich werden dann sämmtliche durch die Gleichungen

(13.)

definirten Werthsysteme (u^...un) die obigen Gleichungen F₁(ul,...un) = 0,    ... F^iu,, ...un) = 0

befriedigen.

Setzt man endlich die vorstehenden Ausdrücke von (^,...^n) in die Function D(u^...un) ein, so lässt sich dieselbe in eine Potenzreihe von t verwandeln, deren Coefficienten wenigstens nicht für alle jetzt noch übrig gebliebenen Functionen - Systeme $t(t), ••• 0?Ä($)) sämmtlich verschwinden

können; denn auch dies würde besagen, dass es in einer gewissen Umgebung von    keine dem Gebilde ($' angehörige Stelle {u^...un) gäbe.

Für jedes System (5,(0» •    S„(0)» ^ welchem die in Rede stehende

Entwickelung von D(ut, ... un) nicht identisch verschwindet, lässt sich nunmehr die Grenze für den absoluten Betrag von t so klein machen, dass

nur für t = 0 verschwindet oder unendlich gross wird; und es geben dann bei jedem jetzt zulässigen Werth von t die Gleichungen (11.) wirklich ein dem Gebilde ©'[    ...«J angehöriges Werthsystem

Hiermit ist also bewiesen:

A) Es giebt, wenn (alf...an) eine beliebige bestimmte Stelle des durch die Gleichungen

••• K-AUV“Un) = 0

F₁(ui,..,un) =;o

in der oben festgesetzten Weise definirten Gebildes ® (ux, ... un) ist, Systeme von je n ganzen Functionen einer Veränderlichen t

von denen jedes einzelne für jeden von Null verschiedenen Werth von t, dessen absoluter Betrag unterhalb einer bestimmten oberen Grenze (x) liegt, ein dem Gebilde ©'[^x, ...«£„] angehöriges Werthsystem    darstellt, und

für t — 0 das System {a^ ...«„) selbst. Dabei sind ©x(0, ...    so beschaffen,

dass verschiedenen Werthen von t stets auch verschiedene Werthsysteme (u^...un) entsprechen, wenigstens, wenn die obere Grenze für den absoluten Betrag von t hinlänglich klein angenommen wird.

alle Stellen des Gebildes    ... un]

zu er-

um

Ferner reicht man

halten, die in einer vorgeschriebenen Umgebung (d) von    liegen, in

aus

jedem Falle mit einer beschränkten Anzahl solcher Functionen-Systeme wofern nur d klein genug angenommen wird, und namentlich mit einen einzigen, wenn (ßx, •••#„) selbst dem Gebilde © [wx, . ..^n] angehört.

Zusatz. Für die durch ein Functionen-System (©t(0, ... ©„(£)) dargestellten Werthsysteme (ul9 . ..wj lässt sich stets ein System von (n — l)

Gleichungen zwischen den Grössen

Oh-aj, ... (««-«»)

aufstellen, welches nur durch sie befriedigt wird.

Es sei gtv das Anfangsglied in der Entwickelung von ©l(^) —ax, so erhält man aus der Gleichung ux—ax — (&i(t) — ax die Grösse t als Potenzreihe von

ausgedrückt; es gehören also v verschiedene Werthe von t zu demselben Werthe von ux, also auch v verschiedene Werthsysteme von {u₂, . ..wn) zu demselben Werthe von ux. Sind nun ca, ... cn willkürliche Constanten, so lässt sich der Ausdruck

(ua-«*) + ••• + cn{un-an),

(~ V"~) en^w^c^e^n

der mit w bezeichnet werde, ebenfalls nach Potenzen von und zwar so, dass die Coefficienten dieser Entwickelung linear aus c₂, ... cn und rational aus den Coefficienten der Reihen

zusammengesetzt werden. Man kann dann ferner die Grössen ca, ... cn so wählen, dass unter den v Werthen von w, die zu demselben Werthe von ux gehören, keine zwei gleiche sich finden.

Dieses vorausgesetzt, bezeichne man nun die v Werthsysteme (u₂,... un), die zu einem und demselben (unbestimmten) Werthe von ux gehören, mit

und bilde, unter s, s₂, ... sn willkürliche stehend, das Product

von

ux unabhängige Grössen ver-

IT (s-    - a₂) - s₃{uf -a₃)----sn(u^-an)).

Dasselbe ist eine homogene ganze Function von s, s₂, ... sn, deren Coefficienten

Potenzreihen von a^) sind, und die mit G(ux—s, s₂,... s^) bezeichnet werden möge. Dann werden die v Werthe von w durch die Gleichung

G^-a^iv, c₂,...cn) = 0

G'fa-a^ s,s₂,...sn),

mit

geliefert. Bezeichnet man ferner, unter der Voraussetzung dass n > 2 dGfa-a^s, s₂, ...sw)

ds

dG(u₁-a₁,s,s₂,...sn)

ds*

mit G{fl\u₁ — a₁,s,s₂,...sn),

(fi — 2,... w)

so ergiebt sich

G'(u₂ — a,,w,c₂,...cn).(ull-ajl) = - G^fa—a,,w, c₂,... cn), (n = 2,...»)

welche Gleichungen für jeden der v Werthe von w das zugehörige Werthsystem (u^ ... un) liefern. Den Bruch

G'(u₁ — a₁, w,c₂,...cn)

kann man mit Hülfe der Gleichung für w auf die Form

G^ — a^w)

bringen, wo G eine ganze Function (v — l)ten Grades von w, deren Coefficienten gewöhnliche Potenzreihen von ui—a₁ sind, m aber eine ganze Zahl bezeichnet. Hiernach ergiebt sich also, wenn n = 2 ist, eine Gleichung

G(ur—a^ Mg —a,) = 0,

die in Beziehung auf u-a₂ vom pten Grade ist, zwischen ur,u₂ von der Beschaffenheit, dass dieselbe nicht nur befriedigt wird, wenn man

m₁ = ©,(0, U2 =

setzt — unter der Bedingung, dass der absolute Betrag von t unter einer gewissen Grenze bleibe —, sondern dass auch alle derselben genügenden Werthsysteme (ulfua), bei denen die absoluten Beträge von u-a^u-a^ unter

einer gewissen Grenze d liegen, durch das Functionen - Paar ((&₁ (t),    (t)) ge

liefert werden.

Ist n> 2, so nehme man ausser w noch (n — 2) andere homogene lineare von (^₂—ß₂), •• • an) so an, dass die letzteren ausgedrückt werden können, so erhält man ein

Functionen w\ ... w

(n—2)

(n—2)

Grössen durch w, w\ ... w System von (n — 1) Gleichungen

wv+G₁(ul\al).wv l + ... + Grv(ut\at) = 0,

-----= 0

(ux—a,) n ²iu

von der Beschaffenheit, dass das Functionen-System

(n-2)

-G

n—2, l

(ul I aj. wv

----G

n—2, v

Kk) = o

sämmtliche dieselben befriedigenden Werthsysteme    liefert —

unter der Voraussetzung, dass die absoluten Beträge unter einer gewissen Grenze bleiben.

Aus dem Satz A) lässt sich noch eine wichtige Folgerung ziehen.

Angenommen nämlich, es seien für eine bestimmte Stelle (alf... an) sämmtliche zur Darstellung der ihr benachbarten Stellen erforderlichen und hinreichenden Functionen-Systeme (©$),... ®b(£)) gegeben. Für jedes derselben hat der absolute Betrag von t eine obere Grenze t; es sei x₀ eine positive Grösse, die kleiner ist als die kleinste dieser Grössen t, und es werde â so klein gewählt, dass man alle in der Umgebung (<?) des Gebildes ©'[î^, ... #n] erhält, wenn man t jeden Werth, dessen absoluter Betrag die Grenze x₀ nicht überschreitet, giebt. Man nehme ferner in der genannten Umgebung eine bestimmte,

(«',... a') willkürlich an, setze

von

von

t = p + qi

von

(at,... an) liegenden Stellen

(«,, ••• an) verschiedene Stelle

unter p, q reelle, der Bedingung

F* + ?²    o

genügende Grössen verstehend, und betrachte für jedes einzelne Functionen-

System die Summe aus den Quadraten der absoluten Beträge der Differenzen

+    ••• (®„Cp + 3D-X)*

Diese ist eine stetige Function von p, q, und hat also nicht nur eine untere Grenze (s²), die ^0 ist, sondern es giebt auch unter den Grössenpaaren (p, q) mindestens eins (p₀, #₀), für welches diese Grenze wirklich erreicht wird. Ist dieselbe gleich Null, so sind auch

(®iCPo+2o*)-ai)f ••• (®n(Po + Q<>i) — a'n)

sämmtlich gleich Null; es gehört also («',... an) dem durch das betrachtete Functionen-System dargestellten Zweige des Gebildes ©'[2^,... 22J an. Ist aber e von Null verschieden, so ist für jede Stelle dieses Zweiges wenigstens eine der Differenzen

U₁ ... Un cin

dem absoluten Betrage nach nicht kleiner als —• Man kann also eine Umgebung der Stelle («',... aB) angeben, welche zugleich in der Umgebung (d) von (at, ... an) liegt und keine dem genannten Zweige angehörige Stelle (u^...un) enthält. Daraus folgt sofort, dass in dem Falle, wo («',... a'n) nicht zu dem in der Umgebung (d) von    ... an) enthaltenen Theile des

Gebildes ©'[2^,... un] gehört, in einer gewissen Umgebung der Stelle («',... a'n) sich überhaupt keine Stelle von ©' findet, also auch («',... an) keine der diesem Gebilde adjungirten Stellen ist. Man hat also den Satz:

B)    Ist (a, ... an) eine beliebige Stelle des Gebildes ©[2^,... un], so finden sich in einer bestimmten Umgebung von (at,... aj nur solche Stellen dieses Gebildes, die zu dem Gebilde ©' gehören.

C)    Daraus folgt weiter, dass in einem ganz im Endlichen liegenden, im

Übrigen beliebig weit ausgedehnten Theile des Grössengebiets {u^ ... un) nur eine endliche Anzahl von Stellen, die dem Gebilde ©'[2^,... 22J in der oben festgesetzten Weise adjungirt sind, und die fortan die singulären Stellen des Gebildes @[w ,    genannt werden sollen, vorhanden sein können.

Denn gäbe es unendlich viele, so würde mindestens eine bestimmte Stelle (a ,...« ) existiren, welche die Eigenthümlichkeit hätte, dass in jeder Umgebung derselben singuläre Stellen von ©[^x, ...wB], und somit auch Stellen des Gebildes ©'[2^, ... wj vorhanden wären. Dann gehörte aber

12

III.

(alf... an) selbst dem ersteren Gebilde an, was nach dem vorhergehenden Satze mit jener Eigentümlichkeit nicht verträglich ist.

Hieran knüpfen sich noch folgende Bemerkungen.

Es geht aus dem gegebenen Beweise des Satzes A) hervor, dass man von einem Functionen-System nur zu wissen braucht, dass es in jeder Umgebung der Stelle (t = 0) einen von Null verschiedenen Werth von t giebt, für den das System eine Stelle des Gebildes ©'[^,...2^] darstellt, um sicher zu sein, dass es diese Eigenschaft für jeden von Null verschiedenen Werth von t, dessen absoluter Betrag unter einer bestimmten Grenze liegt, besitzt.*)

D) Daraus lässt sich weiter folgern, dass ein solches System für jeden Werth von t, der dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk (T) der Entwickelungen von ^(t), ... ®n(t) angehört, eine Stelle des Gebildes (3 [uv ... u^\ giebt.

Denn es sei t₀ irgend einer dieser Werthe von t, q eine reelle und positive

*) Setzt man nämlich

<h = ®i(0), ... <*» = @»(0),

»i = ©i(t)-@i(0), ... »B = ©n(0-®»(0)

und bringt, wie oben, Fa(uii...un) auf die Form

Oh) • • • ^n)

so können unter der gemachten Voraussetzung in der Entwickelung von Ga(vt,... vn) nach Potenzen von t nicht alle Coefficienten gleich Null sein, dagegen müssen die Coefficienten der Entwickelung von Ga(vu... vn) sämmtlich verschwinden. Man kann daher für den absoluten Betrag von t eine obere Grenze so feststellen, dass für jeden alsdann zulässigen von Null verschiedenen Werth von t jede der Functionen Ga(vv... vn), von den Ga(vt,... vn) aber keine verschwindet, so dass also die Gleichungen

F₂ (Mj, ... wn) = 0,    ... Fn{u^ ... un) = 0

alle befriedigt werden, wenn man

ui = ©i(0>    •.. un = ®n(t)

setzt. In der Entwickelung von D(al+v₁,... an+vn) nach Potenzen von t ferner können nicht alle Coefficienten den Werth Null haben; man kann also die obere Grenze für den absoluten Betrag von t auch so festsetzen, dass Dfa + v^... an+vn) nur für t = 0 verschwindet. Alsdann liefern die vorstehenden Gleichungen für jeden von Null verschiedenen Werth, den die Veränderliche t jetzt annehmen kann, eine Stelle des Gebildes &' [mx, ... «„].

Veränderliche, so ist

stets ein dem Gebilde    ... u^\ angehöriges Werthsystem, wenn q kleiner

als eine bestimmte Grösse q₀ angenommen wird. Für den Fall, dass po < 1, setze man

Q = Qo+a>

so kann man ((>„£„ + o£#) als ganze Function von o darstellen, die mit ($a(a) bezeichnet werden möge. Dann ist

(ą(o),...©n(o))

für jeden, seinem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze liegenden negativen Werth von a ein dem Gebilde ©'[Wj, ...w ] angehöriges Werthsystem, und somit auch für jeden positiven Werth von a bis zu einer bestimmten Grenze hin. Es ist also auch für jeden Werth von p, der grösser als q₀ und kleiner als eine bestimmte Grösse çt ist, ein dem Gebilde ©'[^,... angehöriges und

(®i(*o<o), •••$»(?o*o))

ein demselben adjungirtes Werthsystem. Wenn nun auch ^<1, so lässt sich auf dieselbe Weise zeigen, dass

auch für jeden Werth von q, der grösser als und kleiner als eine bestimmte Grösse q₂ ist, ein zu    un] gehöriges, und für q — çt ein demselben adjun

girtes Werthsystem ist. So fortfahrend, wenn auch p₂ noch d, zeigt man, dass es eine Keihe bestimmter positiver Werthe (p₀, pj, pa,...) der Veränderlichen q giebt, die so liegen, dass

Qo Qi ^    • •

und dass für jeden innerhalb eines der Intervalle

0 • • • Qo i Qo’’'Qii Qi"’Qm •••

12*

enthaltenen Werth von q ein dem Gebilde ©'[^,... wj angehöriges, für q — p₀, p1} p₂, ... aber ein demselben adjungirtes Werthsystem ist. Da aber t₀ innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Functionen ®a(t) angenommen ist, so sind alle Werthsysteme

(ßi (e*o)f ••• ®n(Qto))>

wenn p zwischen 0 und 1 angenommen wird, in einem ganz im Endlichen liegenden Theile des Grössengebiets (u^...un) enthalten, und es giebt unter ihnen also nur eine endliche Anzahl solcher, die dem Gebilde ®'[w , ...mJ adjungirt sind. Daher muss sich in der Eeihe der Grössen 0, po, plf ... noth-wendig eine finden, die >1, während die vorhergehende < 1 ist; und dann ist

in jedem Falle ein dem Gebilde    angehöriges Werthsystem; womit

der aufgestellte Satz bewiesen ist.

E) Aus jedem Functionen-System von der im Satze A) angegebenen Beschaffenheit, von dem also jetzt feststeht, dass es für jeden Werth von t innerhalb T eins der durch die Gleichungen

F₁(u₁,... wn) 0, ... Fn_₁(ut)... un) = 0

definirten Werthsysteme (u^ . . un) liefert, lassen sich ferner unendlich viele? welche dieselbe Eigenschaft besitzen, in folgender Weise ableiten.

Man nehme in T einen bestimmten Werth (t₀) von t willkürlich an, setze t — t₀ + t\ und verwandle jede Function ®a(£„+£') in eine nach Potenzen von V entwickelte ©a(tf'). Dann ist auch ein Functionen-System, welches nach dem vorhergehenden Satze für jeden Werth von t' innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der Functionen ®a{t’) eine Stelle des Gebildes &[ulf... un] darstellt, indem für alle diejenigen Werthe von £', für welche tQ+t' in T liegt, ist. Substitnirt man sodann für t' eine beliebige ganze Function einer neuen Veränderlichen mit der Bedingung, dass für t₁ = 0 diese Function verschwinde, ihre erste Ableitung aber nicht, und verwandelt ®a(t') in eine nach ganzen Potenzen von tt entwickelte Function ©ö(£J, so hat auch das Functionen-System die Eigenschaft, dass es in derselben Weise wie das ursprüngliche einen Zweig (ein Element) des Gebildes ©[e^, ...wn] darstellt.

Aus dem so erhaltenen Functionen-System kann man dann in gleicher Weise ein neues

••• ©„(¹,)

von derselben Beschaffenheit ab leiten, u. s. f.

Alle so sich ergebenden Functionen-Systeme stehen nun in einem solchen Zusammenhänge, dass man aus jedem einzelnen, wenn man in der beschriebenen Weise verfährt, jedes andere erhalten kann; sie bilden deshalb ein in sich abgeschlossenes Ganzes, und die Gesammtheit der durch sie gelieferten Werthsysteme (u^...un) ist — nach dem von mir in den Vorlesungen gebrauchten Ausdrucke — ein monogenes Gebilde erster Stufe in dem Grössengebiet [w1?

Übrigens kann, so lange man von den Functionen i^(w,... un), ... Fn_i(u^... un) nichts anderes in Betracht zieht als dass sie den in §1 unter (l.) angegebenen analytischen Charakter haben, nicht behauptet werden, dass das ganze durch die Gleichungen

F₁(u₁,...un) = 0, ... Fn_,{Ul,...un) = 0

definirte Gebilde    ... un\ ein monogenes Gebilde sei; es kann vielmehr

dasselbe aus mehreren monogenen Gebilden, vielleicht aus unendlich vielen¹) bestehen.

Die unter A) bis E) aufgestellten Sätze behalten nämlich ihre volle Gültigkeit, wenn man unter

K > • • • wn),    ... (Wj, • • • un)

an

ein System von (w — 1) eindeutigen Functionen von dem in Bede stehenden analytischen Charakter versteht, und von denselben nur weiss, dass sie irgend einer bestimmten Stelle sämmtlich verschwinden, während die Determinante

Qj ²

. O» hH Qj P² SS 3^ • SS hrj

^ M    |    M ^ ^

Qj Qj

Qj

derselben Stelle nicht bei beliebigen Werthen von cx, ... cn gleich Null ist. Man hat dann das Gebilde <&[ux, ...wj in ganz ähnlicher Weise wie oben dadurch zu définir en, dass

an

man aus der Gesammtheit der Werthsysteme {ui,...uj zunächst diejenigen ausscheidet, welche für eine oder mehrere der

Functionen F die Grenzstellen bilden — deren Gesammtheit man als die Grenz

stellen des Functionen-S y stems Ft(uiy... uj, ... F^fa, ...uj bezeichnen kann —

und dann von den übrigen nur diejenigen beibehält, für welche Fu ••• Fn-i sämmtlich den Werth Null haben, ohne dass zugleich die Determinante T bei beliebigen Werthen

ci, ... cn verschwindet.

Das so

definirte Gebilde ®'\ux, ... un] ist dann ganz so wie oben zum Gebilde ® [ux1... un] zu ergänzen.

von

Das Letztere ist nur vollständig charakterisirt, man sagt, dass es aus einem oder mehreren monogenen Gebilden erster

wenn

Stufe bestehe. Es können aber leicht Beispiele dafür angegeben werden, dass die Anzahl dieser monogenen Gebilde auch unendlich gross sein kann.²)

Anmerkung. Die im Vorstehenden enthaltene ausführliche Erörterung, durch welche dargelegt wird, unter welchen Bedingungen und in welcher

Weise durch {n — 1) Gleichungen der betrachteten Art zwischen n Veränderlichen, von denen jede einzelne, für sich betrachtet, jeden beliebigen (com-plexen) Werth annehmen kann, ein analytisches Gebilde erster Stufe definirt wird, durfte hier nicht fehlen, weil die Resultate derselben für das Folgende erforderlich, bis jetzt aber meines Wissens noch nicht genügend und vollständig festgestellt worden sind. Die Existenz der Grenzstellen für Functionen mehrerer Veränderlichen, sowie der Umstand, dass durch (n — 1) Gleichungen der in Rede stehenden Art neben einem Gebilde erster Stufe auch noch Gebilde einer höhern Stufe definirt werden können, sobald die Anzahl der Veränderlichen grösser als 2 ist, machten es nothwendig, zunächst das im Vorhergehenden mit    ... un] bezeichnete Gebilde bestimmt zu definiren, und dann

von

zu zeigen, wie dasselbe durch Adjungirung singulärer Stellen, die in jedem Bereiche von endlicher Ausdehnung nur in beschränkter Anzahl vorhanden sind, zu einem vollständigen analytischen Gebilde ergänzt werden kann. Das Erstere ist so geschehen, dass, wenn (alf . ..an) irgend eine bestimmte Stelle in    ... uJ ist, alle übrigen, für welche die absoluten Beträge

(^i— aj, ... (un— an) eine vorgeschriebene Grenze nicht erreichen sollen, wofern diese hinlänglich klein angenommen wird, durch ein reguläres³) System von (n — 1) Gleichungen zwischen den Differenzen {u— aj, ... (un— an) gegeben werden.

Die dem Gebilde    ... un] zu adjungirenden singulären Stellen sind

ferner als solche definirt, denen Stellen dieses Gebildes unendlich nahe liegen.

Dies war hier zulässig, weil sich aus der angenommenen Beschaffenheit der Functionen F sofort ergiebt, dass sämmtliche Stellen des Gebildes (&', welche in einer gewissen Umgebung einer in der angegebenen Weise definirten singulären Stelle (al? ...aj liegen, einem Systeme von (ft —1) von einander unabhängigen Gleichungen*)

&i(vi> ••• vn) = 9,    .    G-n_x{v„...vn) = 0,

in denen v₁,...vn die Differenzen (ut-aj, ... (un- aj bezeichnen, genügen müssen. Die Existenz dieser Gleichungen ist das Wesentliche, während es im Allgemeinen unstatthaft sein würde, einem monogenen Gebilde irgend einer Stufe in dem Grössengebiet, dem es angehört, jede Stelle zu adjungiren, von der sich zeigen lässt, dass ihr Stellen jenes Gebildes unendlich nahe liegen. In der That giebt es schon im Gebiete zweier Veränderlichen uif u2 monogene Gebilde (erster Stufe), welche die Eigenthümlichkeit besitzen, dass in jeder Umgebung einer ganz beliebig angenommenen Stelle (a₄, aj sich

*) Solche (»—1) Gleichungen heissen unabhängig von einander, wenn es in jeder Umgebung der Stelle (0,... 0) Werthsysteme (v₁,... vn) giebt, die sämmtliche Gleichungen befriedigen, ohne dass gleichzeitig die Determinante

dG₁    dGt

dvn

8vt’ “ ’

dGn-1

dvn

Cn

bei beliebigen Werthen von cn ... cn verschwindet. Setzt man, wenn (v[,...v'n) irgend ein derartiges Werthsystem ist,

V1 = v\ + w1} ... vn = v'n + wn,

und verwandelt Gra(vt,...vn) in eine ganze Function Ga(w1}... wn), so ist

G₁(w₁,...wn) = 0, ... Gn_x{wu ... wn) = 0

ein reguläres Gleichungssystem, das ich ein aus dem gegebenen abgeleitetes nenne. Ebenso heissen (n—r) Gleichungen

Gi(vlt...vn) = 0, ... Gn-r(vl,...vn) = 0

unabhängig von einander, wenn es in jeder Umgebung der Stelle (0, ...0) Werthsysteme ...v'n) giebt, die sämmtliche Gleichungen befriedigen und zugleich, wenn man

va va+wcn &a (,vi +    j • • • wn) — @a(wii • " wn)

setzt, zu einem regulären Gleichungssystem

führen.

wn) = 0, ... Gn_r(w₁,...wn) = 0

Stellen des Gebildes finden. Diesem aber jede beliebige Stelle zu adjungiren würde keinen Sinn haben.

Um ein monogenes Gebilde erster, zweiter u. s. w. bis (n — l)ter Stufe in einem Gebiete von n unbeschränkt veränderlichen Grössen ... un) auf die allgemeinste Weise vollständig zu definiren, hat man Folgendes zu beachten:

Wenn irgend ein System von r Gleichungen

(A)

&iOi, • • • vn) = 0, ... Gr(vlt ...vn) = 0

gegeben ist (wo die Ausdrücke auf der Linken wieder ganze Functionen, die an der Stelle (vt — 0, ... vn = 0) sämmtlich verschwinden, bedeuten), so kann dasselbe, wofern es in jeder Umgebung der Stelle (0, ...0) andere Stellen (y₁, • • • vn) giebt, für die sämmtliche Gleichungen befriedigt werden (wie dies immer der Fall ist, sobald r c n), ganz in derselben Weise, wie das im Vorstehenden (Gleichungen (9.)) betrachtete, durch eine gewisse Anzahl anderer Systeme:

(B)

(v = 2,... n—m)

wm+1) = K₊₁+G⁽¹\w₁₁...wJ.tv%l+\ + "- + GW(w₁,...wm) = 0 G'(w₁,...wm,wm+I).ivm+V = Gw(w₁,...wm,wm+l)

(wo wl5 ... wn wieder homogene und von einander unabhängige lineare Functionen der Grössen vt, ... vn bedeuten) in der Art ersetzt werden, dass nicht nur jedes die ursprünglichen Gleichungen befriedigende Werthsystem (vt, ... vj, in welchem jede der Grössen v ihrem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze (d) liegt, auch einem der Gleichungssysteme (B) genügt, und zwar, ohne dass in demselben G'(wi:... wm, wm+1) gleich Null ist; sondern dass dies auch umgekehrt gilt. Dabei darf angenommen werden, dass die Function G(w^ ... wm1 wm+1) unzerlegbar, d. h. nicht als Product zweier Facto-ren von derselben Gestalt darstellbar sei, so dass jedes der Gleichungssysteme (B.) ein irreductibeles ist. Ferner sind in jedem dieser Systeme die Functionen GM(wt,... wm+1) so beschaffen, dass der Quotient

G'(ivl, ... wm, wm+1)

der Gleichung G(wt, ... wm, wm+^) = 0 genügen, stets einen endlichen Werth hat, der unendlich klein wird, wenn w... wm alle unendlich klein werden. Eine Folge hiervon ist, dass zwischen ... wm und

wenn

Wt1 • * • WnS Wm₊i

III.

13

so ist J? eine ganze homogene Function ftten Grades von syst,... sn_m, deren Coefficienten ganze Functionen von

wlX ... sind und an der Stelle ■ (wt = 0, ...    = 0) sämmtlich verschwinden. Dieser Ausdruck R, als Func

tion von SjSi,...sn_m betrachtet, behält

jeder der Grössen wt w. ... w und w

l⁷    ff»

n+v

eine Gleichung von derselben Form wie zwischen

besteht.

m+l

Bezeichnet man ferner mit

m+i ł •

.. <)

(Wm+1 ) •

• - <)

Kh, • • • K})

die verschiedenen Werthsysteme der Grössen w Werthsystem    gehören, und setzt, unter (sfst.

Grössen verstehend.

m+i’ * '

. wn, welche zu demselben .. sn_m) unbestimmte

tt(ß + <?₊₁V * + S„_J = R(ß, 5X) .

?y — 1

— ml

; wx,... wn^),

nun die Eigenschaft, als Product von ft linearen Functionen dieser Grössen darstellbar zu sein, auch dann noch, wenn den wx, ... wm solche Werthe gegeben werden, für welche die Discriminante der Gleichung

G(wx,    = 0

verschwindet; es finden sich alsdann aber unter jenen Factoren gleiche. Dies vorausgesetzt, sei (wlX    eines der Werthsysteme (wl7... wm), für welche

die genannte Discriminante verschwindet, und

s + wm+1s₁--- + wnsn_m

einer der Factoren von R(s,si kommender; so giebt es, wenn man unendlich nahe der Stelle (wl, ... wm) eine andere (w

.. sn_m'i ^i,... wm), und zwar ein f^mal vor-

..wm) annimmt, an der jene Discriminante von Null verschieden ist, unter den zugehörigen, durch die Gleichungen

i’ •

(C)

G(wx,    wm+1) = 0

gelieferten Werthsystemen (wt

n+l’ *

,“⁺’'    G'(w„ ...w

.. wn) genau solche

^m> Wm+1)

mi

('■

m+i

iy = 2,... n—m )

für welche die

Differenzen

(wm+l-wm+t), ... K-wJ

sämmtlich unendlich klein sind. Aus diesem Grunde sind alle Wertlisysteme

(w^...wn) den durch die vorstehenden Gleichungen unmittelbar gegebenen, in denen die w

nicht unter der Form ^ erscheinen

zu adjungiren,⁴) und bilden im Verein mit diesen die Gesammtheit der durch das Gleichungssystem (C) definirten Werthsysteme (wt, ... wn), in denen jetzt die

m+v

.. wm keiner anderen Beschränkung unterworfen sind als dass sie dem Innern des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der Ausdrücke G(w ,... w ), Gw(w j... w ) angehören müssen.

Da nun das Gleichungssystem (A), so lange es sich nur darum handelt, alle demselben genügenden Werthsysteme (vi:...vn), in denen der absolute Betrag jeder einzelnen Grösse unter einer beliebig klein anzunehmenden Grenze liegt, zu erhalten, durch eine gewisse Anzahl von Gleichungssystemen von der Form (C) vertreten werden kann; so genügt es nicht nur, ausschliesslich die letzteren zu betrachten, sondern dies ist ebenso nothwendig, wie man z. B. bei der Untersuchung einer algebraischen Gleichung zwischen mehreren veränderlichen Grössen, wenn dieselbe reductibel ist, sie durch mehrere irreductibele ersetzen muss.

Demgemäss gebe ich nun folgende Definitionen. Es werde zunächst zwischen (m + l) Grössen, die jetzt mit ... tm+1 bezeichnet werden mögen, eine Gleichung von der Form

(«)

G(tt, ... tm, tm+1) — Ą£+i+    ... 0⁴Ch+ I £(,U)(A ••• O = O»

in der die Gw{t^ ... tm) ganze, an der Stelle (^ = 0, ... tm — 0) verschwindende

Functionen sind, willkürlich angenommen, mit der einzigen Beschränkung,

dass sie irreductibel sei, d. h. dass sich G(t^ ...    tm+1) nicht als Product

zweier anderen Functionen von derselben Gestalt darstellen lasse. Dann kann

man unendlich viele Functionen rationalen Charakters von t.... t

1 •

die Gleichung (a) befriedigen, stets end-

stimmen, dass sie, wenn t

.. t

m+l

m+l

so be-

liche Werthe haben und gleichzeitig mit ^, ... tm unendlich klein werden. Jede solche Function hat aber die Gestalt

Cr(t₁₎ .. . t}n)

G~ (fi > • • • tm+x)

G(ł,<•••*,» *„+.) nach ł

in keiner höhern als der (ja — 1 )ten Potenz

Setzt man dann, {n — m — 1) solche Functionen G beliebig aus-

wo der Nenner die Ableitung von annehmen kann, dass im Zähler t vorkomme, wählend.

TO+X

m+1

ist und man

₌    tm+1)

G (tx,...    tm+1)

und, unter aiX ... an willkürlich anzunehmende Constanten verstehend

wx-«x    =    + Clntn

iß)

Ci

+v

(v = 2,... n—m)

(y)

Un~~ an - Cm h H-----l~ Cnn K >

wo auch die cn, ... cnn Constanten bedeuten, die so gewählt werden müssen, dass die Determinante

C11 x • • • Cm

Cnxi • • • Cnn

nicht gleich Null ist: so nenne ich die Gesammtheit der Werthsysteme (ulX...un), die den durch das System der Gleichungen («), (ß) in der vorhin angegebenen Weise definirten Werthsystemen . tn) entsprechen, ein »Element« eines Gebildes mter Stufe im Gebiete der Grössen (uiX... un), und bezeichne ein solches Element durch

¹

Für die hier betrachteten 2n-fach periodischen Functionen Fv ... Fn_x kann gezeigt werden, dass ©[«,,...%] aus einer beschränkten Anzahl monogener Gebilde zusammengesetzt ist.

²

Nimmt man z. B. » — 3, Ft = a^ + a²ua + atu₃, F% — sin(&₁M₁ + &₂«t + &₈Wg)^, w0 <jie a> 5

Constanten bedeuten, so besteht ©[«,, «₂, w₃] aus den unendlich vielen monogenen Gebilden, welche durch die Gleichungen

ai ui + w₂ + a₃ u₃ — 0,    -f- b₃ u₃ = m,

in denen m eine beliebige ganze Zahl bezeichnet, definirt werden.

³

Sind G₁(xl, ...xn), ... Gm{x1}...xn) ganze Functionen von x₁,...xn, -welche an der Stelle (xt = 0,... xn = 0) sämmtlich verschwinden, und bezeichnet man mit ga (xt,... xn) die Summe aller Glieder erster Ordnung in Ga(xt,... xn), so ist, men vorausgesetzt, das Gleichungs-System

Gi (Xi, ■ • • xn) = 0, ... Gtn(x ₁,...xn) = 0

ein reguläres, wenn sich (n—m) lineare Functionen gm+1(x₁,    gn(xlf... xn) so bestimmen lassen,

dass die Determinante von g₁(x₁,...xn), ... gn(x₁,... xn) nicht gleich Null ist. Setzt man dann

ffm+i (ß'l J • • • xn) ~ ü »    ffnip^u • • • xn) ~ tji

so giebt es n völlig bestimmte Functionen

®i (ü, - • • tn—m) , •••    • • • 4i—«i)>

durch welche, wenn man für (<n .•. tn-,n) a^e dem Innern des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks von angehörigen Werthsysteme, und xt = ©i(³ i,... tn-m), • • • xn =    ... tn_m) setzt, sämmt

lich e den gegebenen Gleichungen genügende Werthsysteme (x₁,... xn), in denen der absolute Betrag jeder einzelnen Grösse unter einer gewissen Grenze liegt, geliefert werden.

⁴

Dabei ist jedoch zu bemerken, dass diese Wertlisysteme (wv ... w„,) sich auch durch Gleichungssysteme von derselben Form wie das vorstehende, in denen aber an die Stelle von m eine kleinere Zahl tritt, bestimmen lassen, und dass diese in der Gesammtheit derer, durch welche die ursprünglichen Gleichungen unter den Grössen v ersetzt werden können, mit enthalten sind.

13⁴

©[ttj, ...«Ja,, ...an\m.

versteht.

ua

Dabei ist zu bemerken, dass von den Grössen ... an beliebig viele auch den Werth oo haben können, wenn man nur im Falle, dass a = oo, unter dem Zeichen (ua— aa) die für ua — oo verschwindende Function

Wenn ja = 1, so werden alle Grössen ... un ganze Functionen von ••• tm] ferner fällt, wenn m — n — 1, das System der Gleichungen (ß) fort. Sind nun zwei solche Elemente gegeben:

un\ax, •..«»]» und ®w[ux, ...un\bx, ...bn\

und sind dieselben so beschaffen, dass in einer gewissen Umgebung einer Stelle (c1? ...cn) jede Stelle des einen Gebildes auch dem andern angehört, so sage ich, die beiden Elemente coincidiren in der Umgebung von (c1?    und nenne dann jedes Element eine Fortsetzung des andern,

insofern es Stellen enthält, die diesem nicht angehören.

Sind ferner beliebig viele Elemente

... ... ]w

®⁽¹⁾K>...    ...<]

gegeben, von denen je zwei unmittelbar aufeinander folgende in der Umgebung einer bestimmten Stelle coincidiren, so nenne ich auch das letzte Element eine Fortsetzung des ersten, woraus folgt, dass jedes Element eine Fortsetzung jedes andern ist. Zugleich lässt sich zeigen, dass aus den Gleichungen, durch welche eins dieser Elemente definirt wird, das Gleichungssystem für jedes andere durch eine Reihe analytischer Transformationen abgeleitet werden kann.

Demgemäss nenne ich die Gesammtłfeit der Werthsysteme (Uj...u), welche dem ursprünglichen Elemente ®\u^ ... un \ai,...    ]

oder irgend einer Fortsetzung desselben angehören, das durch die Gleichungen (a), (/S), (y) definirte Gebilde mter Stufe im Gebiete der Grössen (ui7... un); und bezeichne dasselbe als ein mono genes, weil es in seinem ganzen Umfange durch irgend eins seiner Elemente vollständig bestimmt ist.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken.

1. Wenn in den Gleichungen (a), (ß), (y), durch welche ein bestimmtes Element ®\ut,... un | a1?... ajm eines monogenen Gebildes definirt wird, ^ = 1

ist. so werden t

m+1? ’

.. tn ganze Functionen von tr, ... tm1 und es ergiebt sich ein reguläres Gleichungssystem zwischen den Grössen aj, ... (un— aj. Umgekehrt kann man, wenn ein reguläres System von (n — m) Gleichungen zwischen {u-a^, ... (un-an) gegeben ist, alle Werthsysteme (ult... uj, welche demselben genügen und in einer gewissen Umgebung von (a^... an) liegen, durch Gleichungen von der Form

Wj U₁ ⁼⁼ 6r (t₁, ... A ) 1 >    • • •    Cln    ... tm'jn

in der Art darstellen, dass sich aus ihnen ... tm als homogene lineare Functionen von {ut— at), ... (ßn— an) ergeben.

Von einem Elemente (&[u₁,...un\ a^...an\n) welches die angegebene Beschaffenheit hat, sage ich, es sei in der Umgebung der Stelle (a ,... aj regulär gestaltet.

Wenn in den Gleichungen (a), (ß) ^>1 ist, so bilden diejenigen Werthsysteme (£,,•••£„), welche dieselben befriedigen, ohne dass gleichzeitig

,•••**, tm+i) = 0

ist, eine 2m-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, die übrigen nur eine (2m — 2)-fach ausgedehnte. Setzt man, wenn (t[,    irgend ein Werthsystem der

ersten Art ist, und u'u der zugehörige Werth von ua,

so lassen sich xm+i, ... ü, und somit auch (u — u[), ... (un— u'J als ganze Functionen von xi? ... xm ausdrücken, und man erhält so ein Element

...un\u’lf ...<]

das in der Umgebung der Stelle (u', ...u'J mit    ... un | at,... coincidirt

und regulär gestaltet ist. Daraus ergiebt sich, dass überhaupt in einem mono-genen Gebilde mt6r Stufe die Gesammtheit der Stellen, in deren Umgebung ein nicht regulär gestaltetes Element des Gebildes existirt, nur faltigkeit von (2m — 2) Dimensionen bildet, also namentlich in dem Falle

vereinzelten Stellen besteht. Ferner zeigt sich, dass der Übergang von einem beliebigen Elemente zu irgend einem andern stets vermittelt werden kann durch eine Reihe regulär gestalteter Elemente.

eine Mannig-

wo

m = 1, aus

2. Die innerhalb eines bestimmten Bereichs unbeschränkt veränderlichen Grössen t

.. t

sowie die von ihnen abhängigen t

m+i‘ ‘

welche zur

Darstellung eines Elements    ... uj at,... an]m dienen, sind so gewählt

worden, dass sie selbst lineare Functionen von

(u-aj, ... (un— aj sind. Damit ist auf die einfachste Weise erreicht worden, dass zu zwei verschiede-

Werthsystemen (^, ... tm, tm+l) auch stets verschiedene Werthsysteme {uxi • • • un) gehören. Indessen ist es weder nothwendig noch auch immer das Angemessenste, dass tt, ... t hängen.

nen

»i+i

gerade in dieser Art mit ... un zusammen-

Nimmt man nämlich die Gleichung (a) den angegebenen Bedingungen

gemäss, im Übrigen willkürlich an, und setzt

{ß) u₁ — a₁ =

G(ßq . . . tm, ^4,),

Gr (t₁, ... tm, G +i )

• • • w„-«„ =

G(ß i ; • • • ü+l )n

Cr (ti: ... tm, G+i )

so wird durch diese Gleichungen, wenn die Zähler der Brüche so gewählt werden, dass für alle in Betracht kommenden Werthsysteme (£x, ... tmĄJ, welche die Gleichung

G (ßi 1 • • • G > ü+i)    ^

befriedigen, (wx— «J, ... («#B— an) endliche Werthe haben, und dass zu verschiedenen Werthsystemen (^,... tm) tm+1), wenigstens wenn der absolute Betrag jeder dieser Grössen unter einer gewissen Grenze liegt, auch verschiedene Werthsysteme (ux, ... un) gehören, stets ein monogenes Gebilde mt6r Stufe zum Theil oder auch vollständig dargestellt. Man kann daher bei der Definition eines solchen Gebildes statt Gleichungen von der Form (y) solche von der Form (d) zu Grunde legen; wobei es sich dann empfiehlt, die Gesammtheit der durch die Gleichungen («), (d) dargestellten Werthsysteme (ux, ... un) einen Zweig eines Gebildes mt6T Stufe zu nennen, die Bedeutung eines Elementes aber so festzuhalten wie sie vorher gegeben ist.

Der Begriff der Coincidenz zweier Zweige in der Umgebung einer bestimmten Stelle wird dann in derselben Weise festgestellt wie für zwei Elemente, ebenso die Bedeutung der Fortsetzung eines Zweiges.

3. Wenn m — 1, so kann man alle der Gleichung G(tx, ta) = 0 genügenden Werthepaare, wie schon vorhin bemerkt worden, durch ein Functionenpaar ^i(x), g (t), wo t eine neue Veränderliche bedeutet, darstellen, vorausgesetzt, dass es sich nur um solche handelt, bei denen die absoluten Beträge von t t eine gewisse Grenze nicht überschreiten. Es kann daher jedes Element ... un I ax, ... an\ durch n Gleichungen

ux-ar = G(t\, . . . un-an = G(r)n

dargestellt werden, aus denen dann die entsprechenden Gleichungen für jedes andere Element auf die oben angegebene Weise abzuleiten sind. Man kann daher bei der Definition eines Gebildes erster Stufe auch von solchen Gleichungen ausgehen, und mit denselben, um das ganze Gebilde zu bestimmen, so verfahren wie oben (unter E) beschrieben worden.

In analoger Weise ist es stets möglich, ein Gebilde mUr Stufe im Gebiete von n V eränderlichen, wenn m > 1, in der Art in Elemente zu zerlegen, dass jedes einzelne durch Gleichungen von der Form

Ux-ax = Gt(rit    Un~«n =

dargestellt wird, in denen ... Gn ganze Functionen von m innerhalb eines bestimmten Bereichs unbeschränkt veränderlichen Grössen x , ... x sind und an der Stelle (xl = 0, ... xm = 0) verschwinden.

§ 4.

Die Anwendung der vorstehenden, dem Gebiete der allgemeinen Functionenlehre angehörigen Erörterungen, auf die ich aus dem schon oben angegebenen Grunde eingehen zu müssen glaubte, auf das durch die obigen Gleichungen

Fx(uv...un) = 0

(1.)

-F'n—l (®h ) • • •    ) - 0

Fn(u₁,...un) — x

im Gebiete der w + 1 Grössen uiX...un,x definirte Gebilde in Verbindung mit den in meiner Abhandlung »Untersuchungen über die 2r-fach periodischen Functionen von r Veränderlichen«¹) enthaltenen Andeutungen führt schliesslich zu folgendem Satze:

»Aus jeder 2ra-fach periodischen Function r^{u^...un) von der angegebenen Beschaffenheit lässt sich stets, auf mannigfaltige Weise, ein System von n Functionen

łx(¹)> •••

Einer V eränderlichen erhalten, welche zusammengehörige Abel-sche Integrale erster Art und so beschaffen sind, dass jedes Periodensystem derselben auch ein Periodensystem der Function 9(uii ••• «O bildet.

Die Ableitungen sämmtlicher Functionen

• • tyn(x) können

rational durch x und eine algebraische Function <p(x) dieser Grösse ausgedrückt werden.«

Aun kann man aber, wie aus der Theorie der Abelschen Transcendenten bekannt ist, alle Abelschen Integrale erster Art, deren Ableitungen rationale

Functionen von x und einer und derselben algebraischen Function y(x) sind, durch eine bestimmte Anzahl von ihnen, ... W , in der Form

C0 + C1 ^ 1 + C2 lf*2 H-----b Cç¥ç >

wo die c willkürliche Constanten bedeuten, darstellen und zugleich die ¥1? ¥s, ... so wählen, dass alle Periodensysteme derselben sich zusammensetzen lassen aus den folgenden q bestimmten

1, 0, ... 0 0, 1, ... 0

und aus q anderen von der Beschaffenheit, dass

^a.b — ^b.a

ist. Dabei ist zu bemerken, dass im Allgemeinen q grösser, niemals aber kleiner als n ist.

Setzt man nun (für a = 1, 2, ri)

und bezeichnet mit

L>

i,n > •

• • ^n,n

der vorstehenden

ten

dasjenige Periodensystem von 4*1, *••4'»» welches dem n entspricht, so führt die angegebene Relation unter den Grössen tc zu der folgenden :

welche für je zwei Zahlen a, ß aus der Reihe 1, 2, ... n besteht. Jetzt seien

III.

8* ßt

Si 8»

2,1 >

2,2 >

1,271 ?    ""2,271 7    ’

.. û>

TI, 271

14

irgend 2w primitive Periodensysteme der Function cp(«q,... e^), d. h. solche, aus denen sich alle übrigen zusammensetzen lassen, so ist nach dem angeführten Satze

a, X J

2 wn,x^

X = 1

ganze Zahlen sind, und es entspringen also aus den { der vorstehenden Gleichung zusammengefassten Relationen unter den Grössen Q ebenso viele unter den    Man erhält so den Satz :

A. Unter den 2n.n Grössen d>ax bestehen \n(n — 1) Gleichungen von der Form

wo die m

n,x

n(n-1) in

nMs

2 (²> l) = 0,

X 1 i = l

in denen die von den Indices a, ß unabhängigen Coefficienten (x, I) ganze Zahlen und so beschaffen sind, dass

(x, A) = — (A, x).

Die Grössen TCa b haben ferner die Eigenschaft, dass die quadratische Form

i 2 2 «b~^a,bK °b

a = i b = l

wo 7u'fb die mit TCa 6 conjugirte Grösse bedeutet, bei reellen Werthen

von    a,

wenn dieselben nicht sämmtlich gleich Null sind, stets einen positiven Werth hat.

Hieraus ergiebt sich zunächst für die Grössen Q und dann für die ü>

“>n    or, X

eine entsprechende Eigenschaft, die sich folgendermassen ausdrücken lässt: B. Die bilineare Form

271

wenn man

erhält stets einen positiven Werth

^x = 2 KÄ

a = l

«,x COn"

2i ^a,a^a

(für a = 1,2, ... q)

«=.i

setzt und unter Z7J, S' die mit Un, Sa conjugirten Grössen versteht

2 uau;+a = s 2

a = i

S pç+.p: = £ £ s;s^₆,„.

a=i    a=i6=1

In der zweiten Doppelsumme vertausche man die Buchstaben q, b mit einander und setze in der ersten iza b für Tc'a, so ergiebt sich

i 2 (üaU'+a-U9+aU') = S S

a = i    a = i Ij = i

oder wenn

^cc lia

gesetzt wird,

i 2 (uau'j+a-u+auä) = 22 K^+^hJKb-^b)*-

a = i    o = i b = 1

Der Ausdruck auf der Rechten dieser Gleichung ist stets positiv, wenn die Grössen a, t nicht sämmtlich gleich Null sind, was nur der Fall ist, wenn t , ... t sämmtlich verschwinden. (Denn man hat

2    = 2 C«,o*« + 2 2 CtttataWa = 2 Ca>0ta+ 2 Va,

: — i    a = i    « = i a = i    a = i    q = i

und es können daher, da unter den Functionen cj^, ... <\>n keine lineare Relation besteht, die Grössen Sa nur in dem angegebenen Falle sämmtlich gleich Null sein.) Es ist aber

X .= 1

Es ist nämlich (für a = 1% 2, ... p)

^a,a ~ ca,al

Q

~ 2 Ca,b

b = i

». = i <.ß

und daher, wenn man

a, o+a

(für n= 1,2,... 2p)

(n = 1,2,... 2p)

14*

und daher

-ü

271

ł+.^) = iS 2(M)*Æ

■/. = i à=i

wodurch der Satz bewiesen ist. Man setze

*«,* = Pa,x + *Q wo die P und Q reelle Grössen bezeichnen sollen, und

n ss

r—ł rH

to to

to §

272.

(.PP)*,? = 2

¹    X = 1 A = 1

271    271

= S 2

x = i 2 = 1

272    272

(QQ)a,ß ⁼ 2 2 (X> Qa,xQß,l-

¹    X = 1>1 = 1

a»/5

Dann ist, in Folge der Relation

(x,A) = -(A,x),

(»)«., = -(**)* (QQ)a,ß — ~(QQ)ß,a)

der Satz A. aber besagt, dass

(PP) a,ß = M)a.ß,

(PQ) a,ß = PQ)ß.a-

Der Satz B. lässt sich dann folgendermassen ausdrücken : Die bilineare Form

mit Berücksichtigung dieser Relationen,

2 2 (tPQ)a,ß + HPP)a,ß)t*fß

cc — l ß = i    1    1    1

erhält stets einen positiven Werth, wenn man

isa “1"    ta ⁼⁼ £a ^a ^

setzt und den Grössen |, tj beliebige reelle Werthe sämmtlich gleich Null sind, beilegt.

die nicht

rH

CO

Dies kommt bekanntlich darauf hinaus, dass n bestimmte, aus den Grössen

und (PP)Bt(S

zusammengesetzte Ausdrücke positive Werthe haben müssen.

Unter Anderem folgt hieraus, dass die Determinanten

P\, 1 1 • * •    1, in

und

Pntl, P

Qi,i: • • ■ Q

n, 2 n

1,2 n

n, 2 n

(1,1)

... (l,2w)

(2n, 1), ... (2n, 2n)

beide von Null verschieden sind. Denn es ist, wenn man

^ = 22 (*,*)ft«P«,*+!«&,*),

X = l a = l n

~ĄctQctj à)

setzt,

2 fl

27i

271

iS 2 MW = -22 SA

x = i 1 = 1    Ä = 1

und es darf daher, wenn dieser Ausdruck die angegebene Beschaffenheit haben soll, die Determinante der gefassten — fl? ... \2n nicht gleich Null sein, das Product der beiden in Bede stehenden.

Ferner ist noch zu bemerken, dass die beiden Sätze A., B. auch noch gelten, wenn die betrachteten Periodensysteme keine primitiven, sondern nur von einander unabhängige sind, d. h. solche, aus denen sich keines zusammensetzen lässt, in welchem sämmtliche Perioden gleich Null sind. Denn sind

als Functionen von

’!.>•••    k auf-

Diese Determinante ist aber

“1.11    i

2n solche Systeme, so hat man

m.S)

cf, V.

°V«>

ganze Zahlen bedeuten, und es ergiebt sich die Richtigkeit des Behaupteten sofort daraus, dass die Form

wo m und sämmtliche a

x,.li

in in

sich durch die Substitutionen

?x =

in eine andere

1 in in

''t' f.iz=i r — i

verwandelt, in der die Coeflicienten [^, v] ganze Zahlen sind, unter denen die Relation

besteht.

Die Form

lässt sich stets durch Substitutionen von der Gestalt

=^KuUf

Yx = 2

in die einfachere

WrK+r-U^V,)

y = i

verwandeln —

Werth Null hat dass in den Ausdrücken der

wobei der Umstand, dass die Determinante | (x, A) | nicht den wesentlicher Bedeutung ist —, und zwar in der Art, Veränderlichen (£7, V) durch die ursprünglichen (X, Y) die Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen werden.

Daraus ergiebt sich der Satz:

C. Es ist stets möglich — und Arten —

von

neuen

aus

auf unendlich viele beliebigen 2n primitiven Periodensystemen einer

zwar

rH

rH

Function cp («^, ... uj ebenso viele andere, wenn auch im Allgemeinen keine primitiven Periodensysteme

so zusammenzusetzen, dass für je zwei derselben die Gleichung

2 (<0a, y ^(ï.n + y ^y^ß.ti+y)    ^

gilt.

Erhält man nämlich durch Ausführung der angegebenen Transformation

MUy = 2 mv>xXx

X = 1

und somit auch

MVv = 2 mv,-AYAl

X = 1

wo M und sämmtliche mrx ganze Zahlen bedeuten, so setze man

2n

Wa, ł    2 mr,-A ^cf,~A 7

X = 1

und es wird dann die vorstehende Gleichung bis auf den Factor M² identisch mit der unter A. aufgestellten.

Ganz ebenso ergiebt sich für die jetzt betrachteten Periodensysteme der

Satz:

D. Die Function von ... jjn, ij,, ... 7]n, in welche

» 2 (uYvn+r-un+YrY)

y = l

übergeht, wenn man

Fy    Ai (^a T 0 ®s,r 7

«=i

V = 2 (Sa-^î'Kr

conjugirte Grösse bedeutet, hat

setzt, wo wieder of v die mit w für reelle Werthe der Veränderlichen g, 7], wenn diese nicht

ß, r

sämmtlich gleich Null sind, stets einen positiven Werth.

Sind irgend 2n derartige Periodensysteme

• • «V !

'    271

gefunden, so erhält man aus ihnen alle übrigen durch das von Kronecker in der Abhandlung »Über bilineare Formen«³) angegebene Verfahren.

Namentlich darf man, wenn y eine der Zahlen 1, ...n ist, die beiden

Systeme

• • “>«,y

und

mit einander vertauschen, wenn man zugleich

für

- (a = 1,2, ...ri)

<Vy

Ebenso ist es gestattet, je zwei Systeme der ersten Hälfte und gleichzeitig die entsprechenden der anderen mit einander zu vertauschen.

Auf diese Weise kann man die gegebenen Periodensysteme so umändern, dass die n ersten durch je n aus allen beliebig ausgewählte ersetzt werden. Dabei ist zu bemerken, dass die Grössen o>ß ₃ gleich den ursprünglichen u> die Eigenschaft haben, dass die Determinanten

setzt.

v. v.

™n, x J    • •

. CD

n, v

wo x, A, ...v irgend n von einander verschiedene Zahlen aus der Feihe 1, 2, ... 2n bezeichnen, nicht sämmtlich gleich Null sind.

§ 5.

Nach dem Vorstehenden ist es

wenn irgend eine 2w-fach periodische Function y(ut)... un) von dem angegebenen analytischen Charakter gegeben

ist, immer möglich, ln Periodensysteme

«>«,1

to!

eu!

1,M>    '

n,n

derselben zu finden, welche genau die in der Einleitung (S. 59) angegebenen Bedingungen erfüllen, so dass es möglich ist, eine Function G(u₁,...un\vl)...vv) und eine zugehörige Function 0(^l?. ..wj zu bilden, für welche die früher (S. 56) erklärten Grössen toa(t und to mit den gegebenen übereinstimmen. Aus dieser Function Q(ui:...un) kann man sodann auf die in der Einleitung angegebene Weise n von einander unabhängige Functionen

FlK) •••«»)> ••• P*(W:!>•••«»)

ableiten, von denen jede die Periodensysteme der Function    eben

falls als Periodensysteme besitzt. Ist nun pn+1(ut,... uj irgend eine andere Function der gleichen Art, wie ... pn, so ist pn+1 eine algebraische Function der Grössen pt, ... pn.

Aus den Eigenschaften der Abelschen Integrale erster Art ergiebt sich nämlich, dass der Ausdruck pn+1(ut) • • • *0, a^s Function von pi9 ... p betrachtet, im Gebiete dieser Grössen überall definirt ist, und zwar so, dass er

in der Umgebung jeder bestimmten Stelle des Gebietes -..fpn) wie eine algebraische Function sich verhält

was

reicht, um das Behauptete festzustellen.

Durch geeignete Wahl der Function p

nach einem bekannten Satze *)

aus

kann man erreichen, dass sich jede Function, welche den gleichen analytischen Charakter und die gleichen

n+1

*) Dieser Satz lautet : Lässt sich für eine ein- oder mehrdeutige Function von beliebig vielen Veränderlichen (xlt xa,... xn) beweisen, dass sie in der Umgebung jeder bestimmten Stelle (x„ ... xn) wie eine algebraische Function sich verhält, so ist damit festgestellt, dass sie wirklich eine algebraische Function ist. Für eindeutige Functionen habe ich diesen Satz zuerst in einem im 89. Bande des Crelleschen Journals abgedruckten Briefe ausgesprochen. Einen Beweis desselben hat dann Herr Hurwitz gegeben (Crelles Journal Bd. 95, S. 201). Derselbe lässt sich aber ohne Schwierigkeit auf mehrdeutige Functionen von beliebig vielen Veränderlichen ausdehnen.

in.

an

C. W. Borchardt gerichteten,

15

Periodensysteme wie die Function <p(ul7...un) besitzt, also insbesondere diese letztere selbst, rational durch die (w+l) Functionen    ... p

aus-

n+i

drücken lässt.

Damit ist der Beweis des am Schlüsse der Einleitung (S. 67) ausgesprochenen Satzes erbracht.

ÜBER DIE CONVERGENZ DER 0-REIHEN BELIEBIG VIELER

ARGUMENTE.

Setzt man in der durch die unendliche Reihe

n = + co

n =—oo

1+ 2q cos 2x + 2q* cos kx + 2q* cos 6x + ••• = 2 ^me2axt definirten Jacobi’sehen Function q)

, q — ea, xi — buĄ-b',

multiplicirt sie darauf mit

alv? + 2 b"u + a" e

und bezeichnet das Product, als Function von u betrachtet, mit 0(w), so hat man

0(m) =nf“ee(M;n) n = — oo

WO

G(u; n) = ßitJ + «V + (t"+ 2bnu+ 2b'n + 2b"u

eine ganze Function von u und n ist, deren Coefficienten keiner anderen Beschränkung unterworfen sind, als dass jeder von ihnen einen endlichen Werth hat und der reelle Bestandtheil von a negativ sein muss.

Die so definirte Function 0(m), in welcher die speciellen, von Jacobi in die Theorie der elliptischen Transcendenten eingeführten 0-Functionen sämmt-lich enthalten sind, nenne ich die allgemeine Jacobi’sche oder 0-Function des Argumentes u.

15*

In ähnlicher Weise definire ich die allgemeinste 0-Function von n Argu-* menten ... un).

Es sei

G(ut, vlf...vn)

eine ganze Function zweiten Grades der 2n Grössen

'    U1, •• • un\    ... vn;

so stellt die unendliche Reihe

wenn für iq,    alle Systeme ganzer Zahlen gesetzt werden und

die Coefficienten von G so beschaffen sind, dass die Reihe für jedes System endlicher Werthe der Veränderlichen ul,...un con-vergirt, eine (transcendente) ganze Function dieser Grössen dar, die ich mit bezeichne.

Zur Vervollständigung dieser Definition ist aber eine genaue Untersuchung der Bedingungen, unter denen die aufgestellte Reihe convergirt, erforderlich.

Setzt man

so lässt sich

x(»..    = 4s

d²G

² tp dvadv?

VaVp

•..**«» vlf... vn) auf die Form x(vi» ••• VJ + 2^vaüa + U

a

bringen, wo U eine ganze Function zweiten Grades von «q, ... un ist und Uj, ... Un lineare Functionen derselben Grössen bezeichnen. Ist dann

X0V •••«'») = XiOt, •.. Vn) + ix*(vt, • • • vn)j

WO

von «q, ... un) die reellen Bestandtheile von ZT, Z7, ... TJn mit

G(u.,...un-, vt,...vn)

unter y,, x₂ quadratische Formen von vx1 ... vn mit reellen Coefficienten zu verstehen sind, und bezeichnet man, für ein beliebig angenommenes System endlicher Werthe

gleich

von e

tT, ... ŁT, so ist der absolute Betrag

Xi Oi»... O + 22 va Va + TP

es muss also, damit die in Rede stehende Reihe für das betrachtete Werthsystem (uv ... un) convergire, die Grösse

XiOUj • • • H«) "t 2 2 ltß Ua

unendlich klein werden, wenn auch nur eine der ganzen Zahlen ni? ... unendlich gross wird. Dasselbe gilt für die Grösse

Xi(    • • • — it?i) 2^ ttß ua

und somit auch für das Product

X₁(ni>---nM) + 22naZ7'    ----nn)- 2£ ua ü'a

_ e²Xi(«»••• O

Daraus ergiebt sich zunächst, dass die Function ... vj bei reellen Werthen von vt1 ... vn] stets negativ oder gleich Null sein muss. Denn wäre sie für irgend ein System reeller Werthe von ... vn positiv, so Hesse sich auch ein System rationaler Zahlen v'f ... vn finden, für das ^(i/, • • • K) einen positiven Werth hätte, und man könnte eine ganze Zahl k so annehmen, dass kv[, ... kvn sämmtlich ganze Zahlen wären und zugleich der Werth

eh(Jcv^...Tcv'n) _ cä²xiW».--0

.e

von

beliebig gross würde.

•••

Angenommen nun, es erfülle ... vn) die angegebene Bedingung, so lassen sich bekanntlich n homogene lineare Functionen 2V, ... N von mit reellen Coefficienten so bestimmen, dass

= 2 CaK

und zugleich

cc = 1

wird

wo Cj, ... cn reelle Constanten bedeuten, von denen jede gleich Null ist, einen negativen Werth hat.

die nicht

Um zunächst den Fall zu erledigen, wo eine dieser Grössen ca gleich Null ist, schicke ich folgenden Hülfssatz voraus-:

»Es seien

irgend n — 1 homogene lineare Functionen der n Veränderlichen vx, ... vn mit reellen Coefficienten, so ist es stets möglich, unendlich viele Systeme ganzzahliger Werthe von vx, ... vn anzngeben, für welche die absoluten Beträge der entsprechenden Werthe von Nx, ... Nn_x sämmtlich kleiner sind als eine gegebene Grösse.«

Beweis. Es sei h eine positive Grösse, unterhalb welcher der absolute Betrag jeder der Functionen Nt, ... Nn_x beständig bleibt, wenn den Veränderlichen vx) ... vn nur solche Werthe beigelegt werden, die >0 und < 1 sind. Bestimmt man dann irgend ein System reeller Grössen v , ... v so, dass die Gleichungen

• • • v») = 0,    ...    ...vn) = 0

bestehen und bezeichnet, für eine beliebig anzunehmende ganze Zahl m, mit v™ die grösste in mva enthaltene ganze Zahl, so hat man

I—    ... mvn—v™)i di, ... INn_₁(mv₁-v[m\ ... mvn—v⁽”l))| < h, woraus folgt.

Nun sei g eine beliebig angenommene positive Grösse, und es werde mit Jclp die grösste in

(ß = 1,... n —1)

enthaltene ganze Zahl bezeichnet, so ist, wenn man

setzt

= qrg+gp

und jede der Zahlen k⁽'n) dem absoluten Betrage nach kleiner als

h «

¹

Crelle’s Journal, Bd. 89 [Bd. II, S. 125 dieser Ausgabe].

²

-A = 2 ^'x

a = l

setzt, den Grössen ... tn beliebige Werthe, die nicht sämmtlich gleich Null sind, beilegt, und unter t'a) &'a% die mit ta, ui jugirten Grössen versteht.

³

Monatsberichte der Berliner Akademie 1866, p. 609.

— + 1.

9

Für jeden bestimmten Werth von g giebt es also unter den Zahlsystemen

Um)    7.C»i)

S ) • • •

nur

eine endliche Anzahl (r) von einander verschiedener; unter diesen müssen

sich daher, wenn man der Zahl m irgend r + 1 verschiedene Werthe giebt, mindestens zwei (m\ m") finden, für welche

_    7>‘")

aß - hp

wird. Setzt man dann

(*»')

= Va '-Va

(m")

so ist und es sind also die absoluten Beträge von sämmtlich kleiner als g.

Nun kann aber mindestens eine der Grössen vt) ... vn beliebig angenommen werden; giebt man ihr einen ganzzahligen von Null verschiedenen Werth, so lassen sich demgemäss unendlich viele Systeme ganzzahliger Werthe von vx1 ... vn so bestimmen, dass die entsprechenden Werthe von ... Nn_t ihrem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als die willkürlich anzunehmende Grösse g werden.

Nach diesem Satze giebt es also, wenn eine der obigen Grössen ca gleich Null ist, und diejenige von ihnen, die den grössten absoluten Betrag hat, mit c bezeichnet wird, unendlich viele Systeme von n ganzen Zahlen ni5 ... nn für welche ist, also e*¹^¹’ ''’der Einheit so nahe kommt, dass die Differenz kleiner ist als eine beliebig angenommene Grösse. Die Beihe

G(ul} ...wn;n„...itn)

(ttj,... it,i)

ist also nach dem vorhin Bemerkten in diesem Falle stets divergent.

Wenn dagegen die Grössen ca sämmtlich negativ sind und diejenige von ihnen, die den kleinsten absoluten Betrag hat, mit c bezeichnet wird, so hat man

2(cn²+2n aU'a)

also auch

X(«n -.-nj <

und somit

I eG(uti... o»; n„... n») I < eU'' ei

Da nun die Reihe

2(cn²+2na^)

(itj.J • • • ttM)

= n n2°Vn2+2nL/“

a==i tt=—a>

eine endliche Summe hat, so folgt, dass in dem jetzt betrachteten Falle die Reihe

• • • r»)

(ttj,... ttw)

für jedes System endlicher Werthe der Grössen ... un unbedingt convergirt.

Wenn man ferner die Veränderlichen uti ... un auf irgend einen ganz im Endlichen liegenden Bereich beschränkt, so wird dadurch für die absoluten Beträge der Grössen Z7', ... £T, sowie auch für den absoluten Betrag von ZT eine obere Grenze bestimmt. Bezeichnet man die erstere mit u₀, die letztere mit U₀j so ist

2 (c ! na I² + 2 I tta ! W₀ ) + üo

die Summe von beliebig vielen Gliedern der betrachteten Reihe ihrem absoluten Betrage nach also kleiner als die Summe der entsprechenden Glieder der Reihe

2(c|îtJ² + 2|na|Mo) + C/-₀

(itj,... ttn)

Da die letztere, nur ihre Summe kleiner als

positive Glieder enthaltende Reihe convergirt, indem

2ne

(±e

\n = o

cn² + 2nw₀\”

ist, so folgt, dass die Reihe für die dem angenommenen Bereiche angehörigen Werthe von ut, ... uu gleich massig convergirt, und deshalb die durch sie dargestellte Function dieser Grössen bei endlichen Werthen derselben den Charakter einer ganzen rationalen Function besitzt.

Hiernach lassen sich die Bedingungen, welche erfüllt sein müssen, damit die betrachtete unendliche Reihe convergire und, wie oben angegeben worden, eine (transcendente) ganze Function der Veränderlichen ux) ... un darstelle, folgendermassen aussprechen:

Die im Vorstehenden mit ... iq) kezeichnete quadratische

Form

(cc,ß = 1, ...n)

muss so beschaffen sein, dass sie bei reellen Werthen der Grössen v1? ... vnj wenn diese nicht sämmtlich gleich Null sind, stets einen negativen Werth hat. Im Übrigen können den Coefficienten der Function G(u^ ... un‘ vt,... vn) beliebige endliche Werthe gegeben werden.

zur

Bei den folgenden Untersuchungen wird demgemäss von jeder Bildung einer 0-Function verwandten Function 6r(«q,... «q; iq,... v ) vorausgesetzt, dass ihre Coefficienten den angegebenen Bedingungen entsprechen. Ausserdem aber werde ich noch annehmen, dass die Determinante der im Vorstehenden mit CI, ... Un bezeichneten linearen Functionen von u ^... un einen von Null verschiedenen Werth habe,¹ ²) und der Function G{u... un\ ... v ), indem ich die Summe ihrer Glieder zweiten Grades mit

bezeichne, fortan die Gestalt

fl

vlt...vn) =    V,+vi, ...v„ + v'„) + 2 Tzi 2 ma(va+v'a)+g₀

a = l

geben, wo g₀,    ... mn, v\, ... vn willkürlich anzunehmende Constanten, d. h.

von eq, ... un; vt, ... vn unabhängige Grössen bedeuten. (Auf diese Form kann man G{u^ ... un\ vt,... vj stets bringen. Man drücke zu dem Ende die

16

Summe der Glieder ersten Grades von U als Function von U, ... U

aus

1'    ri

und nehme v'a gleich der Hälfte des Coefficienten von Ua, so ist die Differenz

G(u₁,...un] vlt-..vH)-g(ut,    vt + v\,...vn + v’n)

der man

von ut,...un unabhängig und eine lineare Function von die Gestalt

2 ma(vu + v'a)+go

geben kann.) Dann wird

g (w,,... un ; Ttx + vv ... JtM + v'n) -f- 2 ni ^ ma (tta + v'a )

0(«x, = 02 e

(«i, ...nw)

wo C = e⁹° eine von Null verschiedene Constante ist, der im Folgenden der Werth 1 gegeben wird.

VERALLGEMEINERUNG EINER JACOBI’SCHEN THETAEORMEL.

Für die 0-Functionen erster Ordnung hat Jacobi das nachstehende Theorem begründet:

Man nehme zwischen acht Veränderlichen

t, V, t", t"', u, u’, u", u'"

die folgenden Gleichungen an:

= Ut + r+r+t"')

u’ = \{t + t'-t"-t"') u” = ±(t-t'+t"-f") u" =

so gilt die Gleichung

e(*; 0,0) 0(r; 0,0) 0(*"; o, o) 0(r; o, o) + 0(*; o, \) ©(G o, *) ©(r; o, j) 0(r; o, j)

= 0(«; 0, 0) 0(«'; 0, 0) 0(w"; 0, 0) 0(*O 0, 0) + 6(«; 0, j) 0(*'; 0, }) 0(¥'; 0, j) 0(W"'; 0, *).

Der von Jacobi gegebene Beweis dieses Satzes, aus dem er in mehreren Vorlesungen die ganze Theorie der elliptischen Functionen abgeleitet hat, ist sehr einfach. Es werden in den in der vorstehenden Gleichung vorkommenden vier Produkten die Reihen, durch welche ihre Factoren definirt sind, eingesetzt, und durch Ausführung der Multiplicationen beide Seiten der Gleichung in unendliche Reihen verwandelt, von denen dann mit Hülfe der Identität

tt + tr+rt"+ r r = uu+«v + mv+ «"V"

nachgewiesen wird, dass sie Glied für Glied mit einander übereinstimmen.

Ich will nun zeigen, wie sich in ähnlicher Weise eine sehr allgemeine Relation unter ©-Functionen einer beliebigen Ordnung herleiten lässt.

Es seien 2r + 2 Veränderliche

U, U', . . .

t, f,... t⁽-\

durch r +1 homogene lineare Gleichungen, deren Coefficienten rationale Zahlen sind, dergestalt mit einander verbunden, dass unter ihnen auch eine Gleichung

(1.)

a₀ tt + ax t't' +----b ar t{r) t{r)

= b₀uu + b₁u'u' -\-----f bru' *

besteht, in der ao, ai: ... ar, £₀,    ... br rationale und positive Zahlen sind.

Dabei wird angenommen t, t\ ... t

Zahlen aus der Reihe 0, 1, ... r verstehend, setzen kann

= 2<W*(î) = fp(t, *',••• *(r>),

?

wo die cn Constanten bedeuten und u{0) — u, t⁽⁰⁾ = t zu nehmen ist.

Versteht man unter

(2-)

()•)

dass sich jene linearen Gleichungen sowohl nach als auch nach u,    ... u(r) autiösen lassen, so dass man, unter p, q

u[r)

<, ••• «Sf)

Grössen, welche durch dieselben Gleichungen, wie die Grössen

t, t’, ...

mit einander verbunden sind, so dass also

(3.)

u\p) = fpiki

ist, so hat man

SV¹’”'⁰”

2>,,W

und daher auch

Aus dieser Gleichung ergiebt sich sofort der folgende Satz: Es sei

sl

eine ganze und homogene Function zweiten Grades der s Grössen tv £₂, ... t so besteht die Gleichung

(5.)

P    P

wenn unter den 2s(r+l) Grössen (t,u) die ó‘(r + l) Gleichungen

CD

to

= f,(t„tf), ...    = ffi,,K,... ti

angenommen werden.

Aus der Gleichung (4.) ergiebt sich

p,q

woraus, wenn man

GO

setzt,

(8.)

...bru(r))

Uq

folgt.

Setzt man ferner in (2.)

apłp) =

f    (f)

so sind die Grössen v,v\ ... v ,

&pw(i,) = «e(p),

(r) durch die Gleichungen

(9.)

v'

p,p\a₀ a,

ar )

sowie auch durch die aus (8.) sich ergebenden

Fî} = /J(w>, w',... w(r})

mit einander verbunden, und man erhält unter den 4(r + l) Grössen (t,u,v,w) aus (4.) die Gleichung

(11.)

(p)v(p)

= 2W p

(p)w(p\

Jetzt nehme man zwischen 3p(r + l) Grössen

h,

* • * CQ J    >    ’

7«... 7«

und ebenso vielen anderen

ar‘ar

»«,... «f,

die nachstehenden Gleichungen an:

(a)    uf =

(b)    »?’ =    •••«?)

(c)    =

(12.)

so hat man auch

OO

00

.. w:

oo

oo

I f (ht- HSL .

pTp\a₀ ’ a- ’

5? »

7,00'

'* a

= S«„^

2

=

2

=

2 aq

( “ \J>» 2

=i,..

(a)    • • • M?) = J S»,

^    Uq p

(13.)

(h) i® =    ... &,»«) = ^2 V«»?’

¹¹ q    aq p

■    (c)    = 4'K,    • • • n$)

= 2^2m?}7

p

und man eihält aus (5.) und (11.), wenn G(u^ ... n... u ) irgend eine ganze und homogene Function zweiten Grades der Grössen u , un

.    .    .    i*    o’ i* * *

ist, die beiden folgenden Gleichungen:

(14.)    2«,(?(*<«”,... i«    J«) = £7, «(»«

■Sn 7,(p) /(p) _

la -

P

S*;

P

(p)«Cp)

a '"cc •

Setzt man also

(16.) g(u₁,...uQtm₁,...mQ,n₁,...nQ) = G(ult... uQ, nlt... nq) + 2ni £mttn so besteht die Gleichung

(17.)

^apg[AP\ •

p    \

? \

(?)

jJp) jSp)

fvfj

’ % ’

m[p^

ir»

••r)

mb

(?)

Man bestimme nunmehr, unter c die kleinste positive ganze Zahl stehend, mit welcher multiplicirt die Coefhcienten cpq der Functionen

sämmtlich ganze Zahlen werden, für jedes System von r + 1 ganzen der Reihe

r    (y)

0, 1, ... (c —1) entnommenen Zahlen Ï, f, ... I die Reste, welche bleiben, man von jeder der Grössen

ver-

wenn

die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl subtrahirt. Die verschiedenen auf diese Weise sich ergebenden Restsysteme, deren Complex mit N bezeichnet werde, seien

(v,v\ ... v{r)), (v, v, ... v(:r)), u. s. w.

Ist d die Anzahl derjenigen Systeme, welche das Restsystem (0,0,... 0) liefern, so gieich -Ç--

Ebenso bestimme man, unter c die kleinste positive ganze Zahl stehend, mit der multiplicirt die Coefficienten

aq

sämmtlich ganze Zahlen werden, für jedes System von r + 1 ganzen der Reihe 0, 1, ... (c— 1) entnommenen Zahlen n, n, ...n(,) die Reste, welche bleiben, wenn man von jeder der Grössen

ist die Anzahl der verschiedenen in N enthaltenen Restsysteme

der Functionen

ver-

i«Q

tH

CN

pA

3^

CrJ

bestehen.

die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl subtrahirt. Die verschiedenen, so sich ergebenden Restsysteme, deren Complex mit L bezeichnet werde, seien

¹¹    1 / \    2 2    2 f \

, u. s. w.

Ihre Anzahl ist —37— d’

Nun sei A, A, ... A ein beliebiges Restsystem aus dem Complexe L und Ï, T, ... l(,) irgend ein System von r +1 ganzen Zahlen. Dann kann man die Zahlen n, rt', ... u(,) so annehmen, dass

wenn

dg

(2 = 0, 1, ...r)

wird, die Differenzen £(?)-A(î) ganze Zahlen sind, Gleichungen

und erhält aus diesen

nw = f„(S,S',...ßw)

(jP = 0, 1, ...r).

Setzt man nun

_|_ ^p) _ jO)

und versteht unter (v, v\ ... v(r)) das dem Zahlensystem (J, f, ... t(r}) entsprechende Restsystem des Complexes N, so ist

/■p(t-S + A,T-S'₊i',..,P-ß« ₊ A«) = „<»> + einer ganzen Zahl,

und somit

4(I + Z,t'+r,...ï« ₊ Aw) = v^ + n^,

ganze Zahlen sind. Es lässt sich also jedem Werthsyst

A,A',

in welchem 1,1, ... Ï ganze Zahlen sind, ein W crthsysteni

(n,5',...n(r), v,v',...v%

in welchem n, u,...n° ebenfalls ganze Zahlen sind, so zuordnen, dass die r + 1 Gleichungen

(jp = 0,1,... r)

wo die n(i>)

em

/^(A + ï, A'+r,... A(r) + Ï(r)) = v(p)+n^

Ebenso lässt sieb zeigen, dass jedem Werthsystem

(n, n', ... n(,), v, v', ... v(r)),

(r)

ganze

wo

(v, v',... v(r)) ein Restsystem des Complexes N ist, lind n , n', .. Zahlen sind, ein Werthsystem

(I, I', ...I(r), A, A', ... A(r))

entspricht, in welchem I, I', ... I Restsystem des Complexes L bilden. Nunmehr seien

ganze Zahlen sind, während A, A', ... Aw ein

irgend 4) Restsysteme des Complexes jL, unter denen sich auch gleiche finden dürfen, und

(î„î;.-o, ft-ï;,•••?>), •••

O)

q Systeme ganzer Zahlen. Dann setze man in dem Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (17.) für l\

und bezeichne mit 97^ von n[p\ ... n p\ setze also

...    ïf

die dadurch hervorgebrachten Änderungen

.. vif

P = 0, ...rt

Dann kann man für jeden Werth von a ein dem Complex N angehöriges Rostsystem (vu,    vf ) und r +1 ganze Zahlen n„, it',... h" so bestimmen, dass

3Ç> = r«+H</>

wird.    Folglich ist

(18.)

Jc[p)

idp)

?⁾+A⁽/⁾ + i?⁾, ... Z^+Af+

?⁾ + ^⁾+«?⁾).

den Grössen tip\ hip\ tp) irgend welche bestimmte die ihnen nach (12.) entsprechenden

at

c\

, wW+1/(«-)₊₅W

In dieser Gleichung lege man Werthe und den Grössen \ m{p\ n⁽f

Nach den obigen Auseinandersetzungen ist dann die Gesammt-heit der Werthe, welche der Ausdruck auf der linken Seite der vorstehenden Gleichung unter der Bedingung annehmen kann, dass

Werthe bei.

((„i;,...i«), ... (ïç, t;,... if)

ganze Zahlen und jedes der q Systeme

(Kt K< ■■■ v)> •••

ein Restsystem des Complexes L sein soll, identisch mit der Gesammtheit der Werthe, welche der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung unter der Bedingung annehmen kann, dass auch

(K„fl;,...S«), ... (F,„nr...Sf) ganze Zahlen, und jedes der q Systeme

(vi> v'i> ••• v?), • • • (*V V ••• vf)

ein Restsystem des Complexes N sein soll.

Nun setze man

(«)

6(ulf ... uQ; m1}... m ; nlf... n) = 2e' ‘ ' nh’ * • ‘

und, falls a eine rationale und positive Zahl ist

(«)

0(w1? ... Uç] m

/    m. mg

1 ui ) • • • Uq -,    , • • • —— ; Wj + itx ).. •

(n)

Dann folgt aus den obigen Erörterungen die Gleichung

(IO

SM SM

P—0

( p = »• ( b-p)    , .    ,

\P = »

Das Summenzeichen 2 hat hier folgende Bedeutung: Es sind für

; 00    ;(*•)    jW

• •    J 'h J • • • \

alle Systeme von @(r + l) rationalen Zahlen zu setzen, welche der Bedingung

a₂, ... ; a;, a;, ... a;

genügen, dass für jeden Index a

4>)

c    x

ein Restsystem des Complexes L sein muss. Das Zeichen 2 hat dieselbe

(»0

Bedeutung in Beziehung auf die Restsysteme des Complexes N.

anderen Gleichungen

Aus der vorstehenden Gleichung (I.), welche der angeführten Jacobi’sehen ganz analog ist, lassen sich nun noch eine Reihe von ahleiten.

2.

Man setze, unter

t f'    f(r)    e f    f(r)

) . • . h )    • • •    lQ) • • •

ganze Zahlen verstehend, in dem Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (I.) k[p) + ip), ... Ąp)+t{p) für i!f\ ... ÿf.

Auf der rechten Seite hat man dann

(r)

w⁽/'⁾ +    , .. . m{p) + für m(p), ..

zu substituiren, wenn zur Abkürzung

(19.)

= \f,

i

*•a

lcc

cc =

ao ’

... e

ar

,p =

...r.

gesetzt wird. Mit Berücksichtigung der Gleichung

{ßp) , .

0 (t[p)

erhält man also aus (I.)

(P)

2 Tr

a

(aP)

2tc

Aus den Gleichungen (9.), (10.), (11.) aber ergiebt sich

wenn man in

denselben

und

K, i:, ... für t, f, ... <<r) f«, ... (J¹ für e, !>', ... »w

setzt, wodurch uip) i

(20.)

(P> und ivp) in    übergeht,

^i(p)lip) = ^Tt⁽ap)n[p\

p    p

woraus

Ue

p

-2 t

= il*

-2t

folgt. Es ist also

l (ap)

« (

-2ttt2®C⁽/⁾4p)

( (&»)

2 n ® (u[p),    n[p) + v[p),..)e

(>■) ( p

Aus dieser Gleichung gehen System von Zahlen

wenn man

für das mit (!) zu bezeichnende

f f t(r) t f f(f)

hervor, die durch Addition vereinigt werden mögen. So

en

alle V erbindungen von p(r + l) Zahlen aus der Reihe 0, 1, ...c— 1 setzt c'<,+,) Gleichung ergiebt sich

(21.)

sin'?««,.    ..>s(n

W [ p    "    t \ P

-27r»29«LP)w⁽/⁾

[    (&p)

= 2 2 II e (*?\... «J»; «<»+nSrt+...)«

(0 (*) ( p    v    '

Nun ist

I 27ri24p)4p)

(!) \ P

27tîï4p)

/c'-i

ns«

(p,a)\! = o

Nach der Definition der Grössen l{p) aber ist 0 < 4p) < l und zugleich c'A(p) eine ganze Zahl, also

= 211*

Ï p,a

c'—1

2*

2<Tïf4p)

c', wenn A^p) = 0 0 in jedem anderen Falle.

Folglich hat

c*—l

n s«

nur, wenn die Grössen

ifr)

•• A

3    3 '    3 (»')    ]    1 '

Q> ‘

Aj, Aj , . . . Ai ,    ... Aç, A^

sämmtlich gleich Null sind, einen von Null verschiedenen Werth, der dann gleich c,Q(r+n ist.

Hiernach ergiebt sich aus (21.)

c,Q(r+D

(aP)

(p)

(II.)

n e «

p

(    (6p)

22 n e(«;p),-

ÄP). 7.(P)    7.(P). 7(P)    1(P)\

* ’ *    ? ,V1    ? • • • iVq j t'j j • • .    J

ml

..n

f+^V

ver-

Die Summe auf der rechten Seite dieser Gleichung lässt sich in manchen Fällen in eine andere, die eine geringere Anzahl von Gliedern hat wandeln. Es sei der Rest, welcher bleibt, wenn man von der Grösse die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl abzieht, und

sw“ = f.f+s“.

Dann kann man die vorstehende Gleichung so schreiben:

(%>)

(22.)

p>p)

- 2m V (TO?> nÿl -    '+ ' j)

a

= 2 2 n @ («s >•

(?) m ( p

Man kann nun für jedes Restsystem (va, v'a,... v^) ein System ganzer Zahlen

.Al

a r r(,h

Vla> la ) • • • la J

so bestimmen, dass die r + 1 Gleichungen

(23.)

(P = 0, l,...r)

bestehen, und dass die Ditferenzen — ganze Zahlen werden. Dann ist nach (11.)

und somit

P.«

<?

2 ui V

P.«

(?

P.«

P,«

-2=12

P,«

P>«

v'

c^l^_ der r + \ Functionen bvfv(—

Oq    plp\al) ■ rtx

in ganze Zahlen, wenn sie mit c multiplicirt werden. Man bestimme daher für jedes System von r + 1 ganzen, der Reihe 0, 1, ... c— 1 entnommenen Zahlen f, Î', ... f(,) die Reste, wrnlche bleiben, wrenn man von jeder der Grössen

Die Coefficienten

Cly

verwandeln sich

Kw —

a₀

a₀

I sïf

W\ (

ï(0

a₀

ar

die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl subtrahirt. diese Weise sich ergebenden Restsyśteme, deren Complex mit M bezeichnet werde, seien

Die verschiedenen auf

O, #*', ... fi(r)), (fi, fi\... fi(r)), ....

Ist d" die Anzahl derjenigen Systeme, welche das Restsyst

liefern, so ist die Anzahl der verschiedenen in M enthaltenen Restsysteme c,r+1 J 9 — d" ’ Dann kommt auch jedes andere System d" mal

Gleichung (22.) sind daher in

folglich ist

em

(0, 0, ... 0)

In der

der 2 je dGlieder einander gleich, und

vor.

(Ha.)

(    (h)

= ss n ;»!V,

(*) (,«)( p

..m

Genau in derselben Weise gelangt man, indem man in der obigen Deduction die beiden Seiten der Gleichung (I.) vertauscht, zu einer dritten Relation.

Es sei (m) das System der Zahlen

... mQ, m', ... m£°.

Für jede dieser p(r-fl) Zahlen sind die Werthe

(»■)

0, 1, ... c — 1 zu setzen, so

dass (m) im ganzen c

o(r+D

(25.)

Systeme von Zahlen durchläuft. Es sei ferner

Dann ist

(bP)

cQtr+u 0 (u^p)}    7v[p), ... n[p\ ... n^)

III.)

v    "    '    s

[    T Ctv)

= S 2 U 0 (<f, • • • C” ; *?'+ »f, • • • *?+ »!,p> ;    4”, • • • ?“+1f ) e

Man bestimme nun für jedes System von r + l ganzen der Reihe 0, 1, ... c — J entnommenen Zahlen m, in, ... m(,) die Reste, welche bleiben, wenn man von jeder der Grössen

fo(nt, m\... m(r)), f[(m, m',... m(r)), ... f'(m, nf,...

die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl subtrahirt. Die verschiedenen auf diese Weise sich ergebenden Restsysteme, deren Complex mit K bezeichnet werde, seien

cr+1

Dann ist

Ist d¹" die Anzahl derjenigen Systeme, welche das Restsystem (0,0,... 0) liefern, so kommt auch jedes andere Restsystem d"’ mal vor, und die Anzahl der verschiedenen in K enthaltenen Restsysteme ist h —

(lila.)

(bp)

¥ n © (u[p\.

v

( P) ( P)

.. uQ ;

(P>. m(p)

o 1 n\ 1 •

(dp)

= 22 II 0 (t,

.. tf-, kf+    ... Zf+,f ;    ... Zf-uf) e

Die hier auftretenden Grössen sind so zu wählen, dass die Differenzen —ganze Zahlen werden, und dass

(26.)

Up

wird, wo ii, n', ... tt(r) ganze Zahlen sind. Daraus folgt, dass

(p)„(p)

eine ganze Zahl ist.

Nun lässt sich aber auch dieselbe Betrachtung, durch welche eben die

aus (I.) abgeleitet wurden, auf die Gleichung

Gleichungen (III.) und (lila.)

(II.) anwenden und führt dann zu der Relation

(IV.)

o'«Ir+',sjn<e'’V⁾,...4

(m) ( P

i (h)

= c«“⁺”S n © (t*!"’,.+ W

(Dl P

(P).

üf’ + S©", ... üf⁾ + 8‘',); 7“ ... ff)e ²”? K“ri f‘f)

(P).

nf

?)e

-2i«22

und da hier jedes Glied auf der rechten Seite dmal, auf der linken d'"Q mal vorkommt,

(IVa.)

•2to2*W⁾|

1

(    (ćZ®)

«nef, ...4W;    +    *»+*<

(x) ( P    *    ' v

( Op)

= Ä«S n e(ui«,

(p)( p

Bei der Herleitung ist die der Gleichung (20.) analoge Gleichung

... m

(p).

r+c?’; »!”

(27.)

= sjW

zu benutzen. Zur besseren Übersicht der angewandten Bezeichnungen füge ich noch folgende Bemerkung hinzu: Jedes der vier Systeme von Grössen

tP\ tP\ S?¹

hängt mit dem entsprechenden der vier Systeme

$l[p)

durch die nämlichen linearen Gleichungen zusammen; ebenso jedes der vier Systeme

(p)

uip)

«(P)

"'a )

K«

(P)

vf, kf, e>, »<«

mit dem entsprechenden der vier Systeme

(p)

Biese linearen Gleichungen sind so beschaffen, dass (11.) folgt, also auch die Gleichung

en

ihnen die Gleichung (1 5.), (20.), (24.) und (27.). Jede der

aus

ganzen Zahlen

bewegt sieb von 0 bis c — 1

„    0 bis c'— 1.

t(p) t.(p)

xa ? ua    T)

Für einen bestimmten Werth von a nehmen die von ihnen linear abhängenden Systeme rationaler Zahlen

9lip)

die beiden mittleren cr+1, die beiden äusseren c'r+1 Systeme von Werthen an. Zieht man von jeder derselben die grösste in ihr enthaltene ganze Zahl ab, so erhält man die positiven echten Brüche

v(p) 3 Cp) „(p)    „,(p)

X« »    ) Pa > Va

@(P>

o(P)

SW“,

und zwar jedes System dieser Brüche

d"',

d',    d”, d

mal.

ANMERKUNG.

von

Specielle Fälle der im Vorstehenden entwickelten Gleichungen (I.), (II.), (III.), (IV.) sind bereits Anderen, namentlich von Herrn Prym, behandelt worden. Ich habe meine Abhandlung bereits vor einer Keihe von Jahren der Akademie vorgelegt, dieselbe konnte jedoch damals wegen typographischer Schwierigkeiten nicht veröffentlicht werden. Ich möchte aber noch bemerken, dass die Gleichungen (H.), (III.), (IV.) aus der Gleichung (I.) auch dadurch erhalten werden können, dass man die darin vorkommenden Argumente um gewisse Constanten (halbe Perioden der zu den vorkommenden 0-Functionen gehörenden Abelschen Integrale erster Art) vermehrt, wie dies in dem Falle n = 1 von Jacobi geschehen ist, während bei meiner Ableitung die Kenntniss jener Constanten nicht erforderlich ist.

NACHTRAG ZU DER AM 4. MÄRZ 1858 IN DER KÖNIGL. AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN GELESENEN ABHANDLUNG : ÜBER EIN DIE HOMOGENEN FUNCTIONEN ZWEITEN GRADES BETREFFENDES

THEOREM.³) (Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften

vom 3. Mai 1879.)

von

wo

In der genannten Abhandlung habe ich den folgenden Satz begründet: »Sind y(xlt x^ ... xj, (pfa, x₂,... xj ganze homogene Functionen zweiten Grades der n Veränderlichen xlt x₂, ... xn mit reellen Coefficienten, und ist die erstere überdies so beschaffen, dass sie für reelle Werthe xx, x₂, ... xn stets dasselbe Zeichen behält und nur in dem Falle, diese sämmtlich gleich Null sind, verschwindet; so lassen sich stets n homogene lineare Functionen ulf ua1 ... un von xx, x₂, ... xn mit reellen Coefficienten, und n reelle Constanten st1 s₂, ... sn so bestimmen, dass

±<p(x₁,xa, ...xn) = ul + ul + --- + u²n,

"-xn) = s₁w;+s,«J+-.. + snw³

ist.« (In der ersten Gleichung gilt das obere oder das untere Zeichen, jenachdem cp bei reellen Werthen von x^ ... xn, die nicht sämmtlich gleich Null sind, beständig positiv oder beständig negativ ist.)

Dieser Satz — den ich später (Monatsberichte v. J. 1868, S. 310 ff.⁴)) als ein einfaches Corollar der a. a. O. von mir gegebenen allgemeinen Theorie der simultanen Transformation zweier bilinearen oder quadratischen Formen abgeleitet habe — war von Cauchy und Jacobi nur für den Fall, dass unter den als Wurzeln einer Gleichung nieu Grades sich ergebenden Constanten

si? s₂,... sn keine zwei gleiche sich finden, bewiesen worden. Der Nachweis, dass er auch noch gilt, wenn diese Voraussetzung nicht zutrifft, war um so mehr erforderlich, als ich zeigen konnte, dass im Allgemeinen die in Rede stehende simultane Transformation zweier quadratischer Formen cp, cp nur dann möglich ist, wenn die erwähnte Gleichung n von einander verschiedene Wurzeln hat.

Meine Begründung des Theorems stützt sich auf die beiden folgenden Hülfssätze :

1)    Die Determinante der quadratischen Form

ver-

wo s eine unbestimmte Grösse bezeichnet, ist eine ganze Function nten Grades von s, die nur für reelle Werthe dieser Grösse schwindet.

2)    Drückt man x^x%ł ... xn durch die partiellen Ableitungen der Form

« -.-<0

aus und setzt, die Determinante der Form mit f(s) bezeichnend,

x₂,...xn)

fop

so haben die ganzen Functionen /’(s) die Eigenschaft, dass sie in dem Falle, wo die Gleichung f(s) = 0 eine A-fache Wurzel (V) besitzt, sämmtlich durch

X-i

(s-s')

theilbar sind.

ver-

Für den ersten Satz giebt es bekanntlich eine nicht geringe Anzahl schiedener Beweise; ich erinnere nur an die von Cauchy, Sylvester, Bor-c har dt und Kroneeker gegebenen.⁵) Mein a. a. O. entwickelter Beweis

hat eine andere Grundlage. Er ist vollkommen streng, leidet aber — wie die Mehrzahl der übrigen Beweise — an dem Übelstande, dass er sich unmittelbar nur auf den Fall, wo die n Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 von einander verschieden sind, erstreckt und durch einige an sich freilich sehr einfache Nebenbetrachtungen ergänzt werden muss. Der in der späteren Abhandlung (Monatsberichte 1 868) ausgeführte Beweis des Satzes ist zwar von diesem Mangel frei, kann aber nur in einer vollständigen Theorie der simultanen Transformation zweier quadratischer Formen eine Stelle finden, während es doch, da die Gleichung f(s) — 0 auch bei anderen Untersuchungen vorkommt, wünschenswerth ist, dass die Realität aller ihrer Wurzeln unabhängig von jener Theorie nachgewiesen werde. Es möge mir deshalb gestattet sein, noch einmal auf den Gegenstand zurückzukommen, und einen neuen directen und zugleich sehr einfachen Beweis des in Rede stehenden Satzes mitzutheilen.

Es werde

dxa

1 öcp(oc₁, x₂, ...xn)

=    ...xn)a,

dxa

gesetzt, so ist f(s) die Determinante der n linearen Functionen

S cp (xx, X₂, ... Xn)₁ (xx, X₂, ... Xn)l, . . . S <p (Xx, X₂ , ... Xn)n cj; (Xx, X₂, ... Æn),j •

Angenommen nun, es werde f{s) = 0 für s — k + li, wo 7c, l reelle Grössen bezeichnen sollen, so lassen sich die n Gleichungen

(Je + li) epfo, xt,... xn)a-<[>(*,, xt,... xja = 0

durch Werthe von xx, %₃, ... xn, die nicht sämmtlich gleich Null sind, befriedigen. Es sei wo die £, yj sämmtlich reelle Grössen bedeuten, ein System solcher Werthe, so hat man (für a = 1,.. • n)

¹

Ist a eine Grösse, die einen complexen Werth hat oder haben kann, so wird durch 9î(a) ihr reeller Bestandtheil bezeichnet.

²

Wäre dies nicht der Fall, so Hesse sich 0(w,, ...un) durch Multiplication mit dem Factor e~u in eine Function von weniger als n Argumenten verwandeln.

III.

³

[Bd. I, S. 23B dieser Ausgabe.]

⁴

[Bd. II, S. 19 dieser Ausgabe.]

⁵

Ich bedaure, nicht angegeben zu haben, dass Herr Christoffel im 63. Bande des Crelle’schen Journals zwei Theoreme aufgestellt hat, von denen die hier unter 1) und 2) angeführten Sätze specielle Fälle sind. Es hat dies wohl seinen Grund darin gehabt, dass der Beweis, den Herr Christoifel für sein zweites Theorem gegeben hat, weder rein algebraisch noch ganz einwandsfrei ist und mir deshalb unbefriedigend erschien. Ich hätte aber hervorheben müssen, dass sein Beweis des ersten Theorems nicht nur ■vollkommen richtig ist, sondern auch an Einfachheit nichts zu wünschen lässt.

Äcp(ix, i»)«-ł(ia, !„•••    •••>]»)«. = o,

••■ *!«)«-'P(⁷h,rh, •■• *}»)<*+= 0.

%(ii> §»> •••!*) +    ••• r/J) = 0.

Bei der angenommenen Beschaffenheit der Function cp^, #₂, ... xn) haben aber die Grössen

? (in i₂ > • • * in) >    ? (rli i rl2 ) • • • rin)

niemals entgegengesetzte Zeichen, und wenigstens eine von ihnen muss, da ii» ••• lni ••• nicht sämmtlich gleich Null sind, einen von Null verschiedenen Werth haben. Folglich ist nothwendig

l = o,

d. h. die Function f{s) verschwindet nur für reelle Werthe von s; w. z. b. w.

Was den angeführten zweiten Hülfssatz angeht, so finde ich an dem a. a. O. gegebenen Beweise desselben nichts Wesentliches zu ändern.

Ich will aber bei dieser Gelegenheit noch einen anderen Gegenstand be

rühren.

ist, die Gleichung

Daraus folgt, da

2 £«<p(£x> &» ••• ü« = <p(ix» l₂₎ ••• in)

In der citirten Abhandlung v. J. 1858 habe ich gezeigt, dass die in Bede stehenden Hülfssätze für die Integration eines bestimmten Systems linearer Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten von wesentlicher Bedeutung sind. Dieses System ist aber in dem nachstehenden allgemeineren, das in ganz ähnlicher Weise integrirt werden kann, enthalten:

(1-)

dxa

dt

dxn+a _

dt

dGfa,... xj

dxa

und drücke xv ... x2n durch ... y2n aus, so erhält man, die Determinante des vorstehenden Systems von Gleichungen mit f(s) bezeichnend,

iiMi

änderlichen t, und G(x₁,...x2n) eine ganze homogene Function zweiten Grades von    ... x2n mit reellen Coefticienten und von der Beschaffenheit, dass

sie bei reellen Werthen der Veränderlichen xv ... a?an, wenn diese nicht sämmt-lich gleich Null sind, beständig positiv ist.

Die Darstellung der Integrale dieser 2n Differentialgleichungen kann nach der a. a. O. S. 219*) angegebenen Methode folgendermassen bewerkstelligt werden.

Man setze, unter s eine unbestimmte Grösse verstehend,

dG(xt, ...x2n)

SXn + cc +

(2.)

ÔXa

— sxa +

, dG(xt, ...x2n)

(« = 1, ... w)

⁰*» + «

Vn + a

(3.)

eine ganze Function von s, deren Grad nicht grösser als 2^ — 1 ist,

wo f(s)

bezeichnet, während der Grad von f(s) gleich 2n ist.

/.:u

Sind nun xt, ... x2n die Werthe von x^ ... x2n für irgend einen bestimmten Werth (£₀) von t, so setze man

(4.)

wo der Ausdruck auf der liechten die gewöhnliche Bedeutung hat.**) Dann ist (für = 1,... 2n)

(5.)

%u = 2 (Xn + a?(0u„u-Xa?(0n+a,fJ-

(X — l

*) [Bel. I, S. 245 dieser Ausgabe.]

**) Unter der Annahme, dass s dem absoluten Betrage nach grösser sei als jede Wurzel der Gleichung

f(s) = 0, entwickele man tiplicire diese mit der Entwickelung von    so lässt sich das Product in der Form

in eine nach steigenden Potenzen von — fortschreitende Reihe, und mul-

CO I h-1

V = — CO

darstellen, wo t₀)v eine beständig convergirende gewöhnliche Potenzreihe von (t-t₀) bezeichnet, und es ist dann durch Werthe von ... xm, die nicht sämmtlich gleich Null sind, befriedigen. Ein System solcher Werthe sei

F Tii * > • • • £2n 4 riin ? 1

wo die g, Y] wieder reelle Grössen bedeuten. Dann hat man, wenn

= G(xt, ...xin\

dG(xt, ...xj

dXu

Nun sei ki+l, wo l reelle Grössen bezeichnen sollen, irgend eine Wurzel der Gleichung f(s) = 0, so lassen sich die 2n Gleichungen

dG(xt, ...x2n)

(lei + l)xn+a +

(6.)

dxa

~(ki + l)xa +

dG(x₁, ...x2n)

àxn+a

gesetzt wird,

G(èn • ••&«)«*+Zi

^x,-.U

G(rh> ••• 0«+^«+a+*l Aus diesen Gleichungen ergeben sich die folgenden:

(7.)

n+a

n+a

O — 1, ...n)

= 0.

2G(%₁, ... |1B) = Ä 2

(8.)

(9.)

(10.)

a = l n

2Gr(y]lJ ... *y]₂n)    ^ 2 (£a*în-f-a    rJa£w + a)?

n

^ 2 (§a^n + a    ^îa^w + a)

a = 1

n

2 (§cc ? • • • ^2n)a    + « ^Oli 1 * * * ^2n)w + a)    ^ 2    ^]a£n+a)>

= 1    a = 1

n

^ 2 (^a^w + a ^ia^w + a) ⁼⁼ a= 1

Aus den Gleichungen (8.) ergiebt sich, dass bei der angenommenen Beschaffenheit der Function G(xt,... xan) weder k noch gleich Null sein kann. Folglich ist nothwendig

l = 0;

d. h. die Gleichung f(s) — 0 hat nur Wurzeln von der Form ki, wo k eine reelle, von Null verschiedene Grösse ist.

Es lässt sich ferner zeigen, dass in dem Falle, wo die Gleichung f(5) = 0 eine x-fache Wurzel (5') hat, sämmtliche Functionen f{s)Xfi durch (s — theilbar sind. Hierbei will ich ein Verfahren anwenden, welches von dem beim Beweise des obigen Satzes 2) gebrauchten in der Form verschieden ist, im Wesentlichen aber doch dieselbe Grundlage hat.

Man setze, unter ct, ... c2n bestimmte reelle Grössen verstehend,

(11.)

'n+a

Çn+a

(a = 1,... n)

so hat man nach dem Obigen

(12.)

»Ms

Mt.,

. m Cl-

Es sei sx% irgend eine Wurzel der Gleichung f{s) — 0 und m die kleinste positive ganze Zahl, bei der sämmtliche Functionen

Hier bedeuten

für s = sti einen endlichen Werth erhalten. Dann lässt sich, wenn s hinlänglich nahe bei sj angenommen wird, in eine Reihe von der Form

(& + \ ») (s - s, i)~m + (^ + i) (s - st i)~

wo    ... reelle, von s nicht abhängende Grössen bedeuten. Dabei kann man den cx stets solche Werthe geben, dass die    h•

nicht sämmtlich gleich Null sind. Diesen Ausdruck von x setze man in die Gleichungen (11.) ein, so ergiebt sich (für a = l,...w)

‘ ' 9m)a 'h h'n+a    b, &(J*i i • • • ^2»)a F Sig

• • * 9sn)n + a F ka    b, (x(hlf • • • Ä₂ra)

entwickeln

(13.)

m.

m+i

+ •••

n+a

19

ferner

(14.)

Gijfi » • • • 9in)n+u 4” ®i ^a 9a

0^0

wenn m > 1 wenn m— 1

wenn m > 1 cw+«> wenn m = 1

(15.)

Gr(h[, ... Ä'Ja + Sl#ń + a + K

-S.g'a-K

= o.

Aus den Gleichungen (13.) ergiebt sich

(16.)

2Gr(Äj , • • • Ä₂»)    2 ^9a^n + u    ^]/(x9n + a)

und es ist deshalb

/■;

(9cc^n + a foct9n + a)

cc — i

nicht gleich Null.

Aus denselben Gleichungen erhält man weiter:

2w    n

2 ^£(#1, ... ^ + Sj 2 (Ä« K

= 1

2n    n

2    •••4nh~Sl 2 G?aPW«-£a?« + «) = 0-

= 1

Aus den Gleichungen (14.), (15.) aber würde, wenn m> 1 wäre, folgen:

ha^n + a) — 0

(17.)

ctz=z 1

Aa9n+a)

(18.)

0 = 2 hG(g[,... g'2n\-sx 2 (KK₊a~KK₊a) ~2 (9aK

Da nun

27»

271

2 •

X = i

271

A=i

ist, so würde sich aus den vorstehenden Gleichungen ergeben:

(19.)

..*Ji = 2 9iG(K,-Kù

l — l

271

2 *a<?(»;. •••ÄJi

(20.)

(9a^n+a    ^a9n + a)

was mit dem vorhin Bewiesenen im Widerspruch steht. m — 1 sein; d. h. wenn f(s) durch (s — s^)⁷' theilbar ist, so haben alle Functionen    den Theiler

Deshalb muss

(s — s₁iJA 1.

Nun seien ... sr die von einander verschiedenen positiven Wurzeln der Gleichung f(si) = 0, so dass die Functionen

f Oku

f(s)

nur für

s — ± sti, ... ± sri

unendlich werden können. Dann hat man, wenn der Coefficient von (s — sj) 1 in der Entwickelung von nach Potenzen von (s — s i) mit

bezeichnet wird — wo (A, und (A, ^)' reelle Grössen sein sollen —,

(21.)

M (A, ^)o+i(A, (i)o ^ (A(i)'Q l'

s-sQi

s + sQi

Es ist aber

(22.)

s(t-t₀)

C>

. s — sQi h

S

- -. s + sçi h

_ gs(>(ł W

und es ergiebt sich demgemäss

(23.)

= 2    Ą COS    [iyQ sins

Damit sind die Ausdrücke von ... x2n, welche auf die allgemeinste Weise die gegebenen Differentialgleichungen befriedigen, vollständig bestimmt.

Unter den Grössen (A,^)?, (A,ja)' bestehen die Relationen

(24.)

I

i (*>Ą= (#*,*)J,

und somit insbesondere

(25.)

(*» = 0.

Diese Relationen ergeben sich aus den für die Functionen f(s), f(s)XfÄ in Folge' der Definition derselben geltenden Gleichungen

m = a-s)

= f(-s)uX.

ÜBER DIE BEDINGUNGEN DER ZERLEGBARKEIT EINER GANZEN RATIONALEN FUNCTION VON MEHR ALS ZWEI VERÄNDERLICHEN.

Es sei

G(x, xlt ...xn)

eine unzerlegbare ganze rationale Function der (von einander unabhängigen) Veränderlichen xłxi,...xn. Setzt man für diese Veränderlichen, unter der Voraussetzung, dass die Anzahl derselben grösser als zwei sei, ganze rationale Functionen zweier Veränderlichen u₁ v, so kann die Function g(u\v), in welche G(x, xlt ... xn) dadurch übergeht, zerlegbar sein; es soll aber gezeigt werden, dass dies im Allgemeinen nicht der Fall ist, und nur eintrifft, wenn unter den Coefficienten der für x, xt, ... xn substituirten Functionen von u, v bestimmte Bedingungsgleichungen stattfinden.

Ich will zunächst annehmen, dass G(x, xx1... xj die Form

xm+F₁(xt,...xn)xm-¹+-~ + Fm(xt,...xn)

habe, wo F, ... Fm ganze Functionen von ... xn bedeuten.

Dann gehören zu jedem System endlicher Werthe der Grössen xx) ... xn stets m endliche Werthe von x, welche die Gleichung

G{x, xlf... xn) = 0

befriedigen, und es finden sich unter diesen keine zwei gleiche annimmt, dass

wenn man

G(x,xlt ...xn),

dG(x,xlf...xn)

dx

als Functionen von x betrachtet, keinen gemeinschaftlichen Theiler haben.

Xj ß'j j • • • Xn ctn bestimmen, welche für x gesetzt die Gleichung

G(x,xt, ...xn) = 0

befriedigt, und den Werth aM annimmt, wenn

Ov •■•<»„) = (at,...an)

gesetzt wird. Diese Reihe, welche einen bestimmten Convergenzbezirk besitzt, werde mit xw bezeichnet.

Nun sei r eine ganze positive Zahl, die kleiner als m ist, und

v1} ... vr

irgend r der Zahlen 1, ... m. Bezeichnet man dann mit

G(x, xt,... xn)Vi>.Vr den Ausdruck (x — x^) ..,{x — x^),

• * Xn1

an-

Es sei al5 ... an irgend ein bestimmtes, dieser Bedingung genügendes Werthsystem der Grössen xx, ... xn, und

r    •

Dann lässt sich, wenn v eine der Zahlen

a⁽¹⁾

(m)

die zugehörigen Werthe von x. 1, ... m ist, eine Potenzreihe von

so lässt sich derselbe für diejenigen Werthsysteme der Grössen xx, welche dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk sämmtlicher Reihen xw gehören, in der Form

2 (Xi ai ) • • • xn — / = 0

darstellen, wo (xt — at,... xn— eine ganze homogene Function k

Grades von x

nicht möglich, dass die Functionen {xx—a₀... xn—an)} von einer bestimmten an sämmtlich identisch verschwinden. Denn man hat, wenn mit

ten

von xt— ai? ... xn—an, deren Coefficienten ganze rationale Functionen sind, bedeutet. Es ist

nun

f*i» • • • P

diejenigen der Zahlen 1, ... m, die nicht in der Reihe ... vr enthalten sind,

bezeichnet werden

VrGr(x, X₁, ...

Wäre nun G{x, xt,... a;n)    eine ganze Function von x und xi,...xn, so

würde sich, wenn man G(x, xv ... xn), als Function von x betrachtet, durch

mit Coefficienten, die ganze rationale Functionen von x^ ... xn wären, ergeben; d. h. es würde G(x, xt,... xn) zerlegbar sein, was wider die Annahme ist.

Jetzt setze man, unter ... bn Constanten und unter u eine Veränderliche verstehend,

G(x, xv ...xn) = G(x, xt, ...xn)

als ganze Function von x

Xi ⁼ «i+M)    • * • Xn == an+bnUi

so kann man b,, ... b so annehmen, dass

1 >71    •

G(x, a₁ + biu, ...an+bnu)v^

= S

X = o

nicht eine ganze rationale Function von w wird. Denn es sei G(x,x als Function von xt, ... betrachtet, von der sten Dimension, so nehme man eine Zahl l so an, dass £ > s, und (xt — at,... xn— nicht identisch gleich Null ist. Wählt man dann b^ ... bn so, dass

{b₁, •.. b^i

nicht gleich Null ist, so kann sich G(x, at+ bxu,... an+ bnu)v^ ^ nicht auf eine ganze rationale Function von u reduciren. Denn ist dies bei bestimmten Werthen von b , ... b der Fall, so hat man

1/71    '

G(x,    ...an+bnu) = G(x, a^b^i,... an+bnu)Vij tVfG(x, a^b^,... an+bnu)

und es ist auch G(x, at + bxu, ... an+ von x und u\ es kann aber der Grad von G(x, «x + btu,... an+ bnu) in Beziehung auf u nicht grösser als 5 sein, während bei der in Betreff der Grössen b^...bn gemachten Annahme, falls G(x, ax + btu,... an+ bnu)v^ eine ganze rationale Function von u wäre, dieser Grad grösser als s sein würde.

Bildet man nun alle Functionen

G(x, a. + b.u, ...an + bnu)

...vr

1» •

• • • Pm—r

eine ganze rationale Function

indem man für ... vr alle möglichen Combinationen von 1, 2, ... {m — l) Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... m annimmt, so ist nach dem Vorstehenden klar, dass im Allgemeinen, d. h. wenn biX ... bn nicht besondere Bedingungen erfüllen, keine dieser Functionen eine ganze rationale Function von u ist. Angenommen nun, es sei G(x, ax + bxu, ... an+bnu) bei bestimmten Werthen von biX ... bn zerlegbar, und man habe

G(x, a₁ + bxu, ... an+ bnu) = Gt(x, u) G₂(x, u).

Da der Coefficient von xm in G(x, ai + biu,...) von u unabhängig ist, so kann diese Function nicht dargestellt werden als Product zweier ganzen Functionen, von denen die eine von x unabhängig ist. G^x^u) und G₂(x,u) enthalten also beide die Grösse x. Ist die erstere vom Grade r, so ist das

von x

Product des Coefficienten von x* in Gi und des Coefficienten G₂ gleich i; beide Coefficienten sind also von u unabhängig, und man darf annehmen, dass jeder den Werth 1 habe.

m—r

Die Wurzeln der Gleichung G^x, 0) = 0 sind nun r der Grössen «<r); bezeichnet man dieselben mit

(v )    (v    •

# ¹ ci r , so ist nothwendig — für hinlänglich kleine Werthe

von u

...vr-

<?.(*,*) = G(x, al + b₁u,... an+bnu)v^

Es ist also G(x,a₁ + biu,... an+bnu) nur dann zerlegbar, wenn blt ... bn solche Werthe haben, dass in der Entwickelung einer der Functionen

vu...vr

G(x, al + b₁u, ...an + bnu)

nach Potenzen von u alle Glieder von einem bestimmten an identisch verschwinden.

Nimmt man also b .... b so

1⁷    n

lunctionen eintrifft, so ist die Function

an

dass dies für keine dieser

G(x, a₁ + b₁u, ...an+bnu)

nothwendig unzerlegbar.

Jetzt sei G(x,xlX ... xn) eine beliebige unzerlegbare ganze Function mter Di-

Man setze, unter c, cl5 ... cn Constanten verstehend,

mension von

X’xi ... xn.

und nehme

Xi = Ct0 + 2l,    ... Xn = CnZ + Zn,

c, ct, ... cn so an, dass der Coefficient von zm in G(cs, cxz, ...cnz)

GZ

zi — ax + M) • • •    — an + bnu

und nimmt die Constanten

«i»

nicht gleich Null ist.

Bezeichnet man denselben mit C, so wird

Gr{x,x₁, ...xn) = C-\zm+Z₁z

wo Z^ ... Zm ganze Functionen von zx, ... zn sind.

Setzt man nun

tn—i

^—F Zmj = CH(z, zt, ...zn)

so an, dass die Gleichung H(z, alf... an) = 0

m von einander verschiedene Wurzeln hat, so ist die Function

H(z,a₁+blu,... an+bnu)

nur für besondere Werthsysteme (àt1...bn) zerlegbar.

Setzt man v für z, so ergiebt sich, dass die unzerlegbare Function

G(x,xt,...xn),

wenn man

cv

xx — a₁Ą-b₁u + cxv,

»« = an + bnu + cnv

setzt, sich in eine Function von w, v verwandelt, die im Allgemeinen auch nicht zerlegbar ist.

Setzt man ferner allgemeiner

.. Ç ganze Functionen von u,v verstehend, so verwandelt sich

unter $

G(x, x ,... xn) in eine ganze Function von w, v, welche im Allgemeinen ebenfalls unzerlegbar ist. dem Vorstehenden sämmtliche Coefficienten der Glieder von höherer als der

i’ •

Dies geht unmittelbar daraus hervor, dass man nach

ersten Dimension in fÇ, 0rx, ... \5n gleich Null setzen, und die übrigen dann doch noch so annehmen kann, dass die in Bede stehende Function unzerlegbar bleibt.

03

(Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 4. Mai 1882.)

Für die Function 6(toju>,«>'), die hier bloss mit 6 (to) bezeichnet werden soll, gilt das in der nachstehenden Gleichung ausgesprochene fundamentale Theorem :

Es seien to, tox, to₂, to₃ vier willkürlich anzunehmende Grössen, so ist ' 6(w + Uj) 6(w — w,) S(w₂ + toj) 6(w₂ — w₃)

(1.)

+ 6(to + m₂) 6(to — m₂) 6(m₈ +Mj) 6(to₃—w,)

-F 6(w + to₃) 6(to — to₃) 6(to, + to₂) S(to, — to₂) = 0.¹)

Diese Gleichung ist wesentlich anderer Art als die von Jacobi entdeckten, auf S. 507 des ersten Bandes der »Gesammelten Werke« vollständig aufgestellten Relationen unter Producten von je vier ^-Functionen; sie enthält nur eine Function, während in jeder der Jacobi’sehen Gleichungen, die sich übrigens aus ihr ableiten lassen, zwei oder mehrere Functionen Vorkommen.

Bekanntlich existiren auch unter ^-Functionen mehrerer Argumente Relationen, die den Jacobi’schen, für ^-Functionen eines Arguments geltenden analog sind. Dagegen ist, so viel ich weiss, die folgende Verallgemeinerung des in der Gleichung (1.) enthaltenen Satzes noch nirgends gegeben worden.

Die Function 6(u) lässt sich durch die Jacobi’sche Function in der

Form

(2.)

6(u) = Ceauu^(cu)

ausdrücken, wo C, a, c von u unabhängige Grössen bedeuten, welche ebenso wie die in ^(F) vorkommende Grösse q bestimmte Functionen von cd, o>' sind. Es ist indessen leicht zu sehen, dass die Gleichung (l.) bestehen bleibt, wenn man bei willkürlicher Annahme der Constanten q, a, c, C die Function (d(u) durch die Gleichung (2.) definirt.

In ähnlicher Weise definire ich nun eine Function 6(u, u\ ... u(Q~v) von q Veränderlichen, indem ich irgend eine ungerade ^-Function von q Argumenten

^(v, v',... v⁽° ¹⁵)

annehme, in derselben für v,v\...v^~v von einander unabhängige homogene lineare Functionen der Veränderlichen u, u, ... u^~¹⁾ substituire und dann

6(u,u',...u⁽*-v) = Ce^(u'u',--'u(Q V)

setze, wo cp eine ganze und homogene Function zweiten Grades von w, u\ ... u(Q_1\ und C eine willkürliche Constante bezeichnet.

Dies vorausgesetzt sei

r = 2<?;

man nehme r + 2 Argumentensysteme

...

. . . ut ... u;

(o—l)

(o-l)

willkürlich an und bilde das Product

6{u + ux, ...)6{u — u₁, ...)6(u₂ + us, ...)6(uÿ—ua,...)... 6(ur + ur

(wo der Kürze wegen von jeder 6-Function nur das erste Argument gegeben worden ist).

1, 2, 3, ... r, r + 1 in folgender Weise.

+i)

...)S(ur-ur+1,...)

an--

In demselben permutire man sodann die Indices

Man lasse zunächst die (r + l) Indices einen Cyklus durchlaufen; in jeder der so entstehenden Permutationen nehme man dieselbe Operation vor mit ihren (r —1) letzten Indices, in jeder der so sich ergehenden Permutationen wiederhole man dieselbe Operation mit ihren (r — 3) letzten Indices u. s. w. ²)

Die Summe der auf diese Weise aus dem angegebenen Pro-ducte hervorgehenden Producte ist dann identisch gleich Null.

Der Beweis dieses Satzes ist sehr einfach. Setzt man in dem ursprünglich angenommenen Producte für jeden Factor die unendliche Reihe ein, durch welche er dargestellt wird, so lässt sich der Ausdruck in ein Aggregat von Producten, in denen jeder Factor bloss von einem der angegebenen Argumenten-Systeme abhängt, verwandeln. Wenn man dann in jedem einzelnen Gliede dieses Aggregates die Indices 1,2, ...r + l in der beschriebenen Weise permutirt, so zeigt sich, dass die Summe der so sich ergebenden Glieder identisch gleich Null ist.

Die Anzahl der Glieder der Gleichung wächst sehr stark mit p; sie ist

gleich

1.3.5 ... (r +1).

Setzt man    ... für u, u\ ... und

so dass

S(m« + Up,u'a + u'ß, ...)6(wa-Up,u'a-Up,...) = &a,a —    &a,p ⁼ ~ ^ß,a

st    ist, und

S = 2 G(m₀ ■+ Mi,...) 6 (u₀ ut,...) 6(us + u₃,...) 6(»f- ua. 6(ur+ur+16(ur-ur+1 so besteht die identische Gleichung:

S² =

O CQ CQ

,0

O CO

S₀,₂ ... S,

... s ... s.

,2

o,r+i

i,r+x

2, r+i

Man kann daher den aufgestellten Satz auch beweisen, indem man von der Determinante auf der rechten Seite dieser Gleichung zeigt, dass sie für beliebige Werthe der Grössen

, Wj ,    ..

verschwindet, was mit Hülfe bekannter Sätze geschehen kann.³) Setzt man

M}.₊i, Ur

. . für u, u', ..

.. für wr+1, u\

. . . für ux, u[, ..

wx+-g-,

w , w'

+    Mr+i + ~2~

so ergiebt sich:

6(^4-^! + ^,...) 6(u₂ + u₃ + w, ...) ... 6(ur + ur+l + w,...) 6(u — ux,...)    S(w₂-«₃, ...)    ... 6(ur-ur+1,...)

wo die Bedeutung des Summenzeichens aus dem Vorstehenden erhellt.

Auf die zahlreichen Folgerungen, die sich aus dieser Gleichung in ähnlicher Weise wie in der Theorie der elliptischen Functionen aus der Gleichung (1.) ziehen lassen, gehe ich hier nicht ein. Dagegen will ich noch eine functionentheoretische Frage berühren, welche sich an die Gleichung S — 0 knüpft.

Man kann, ohne von der Function S(u) irgend etwas zu wissen, direct nachweisen, dass es eine vier willkürliche Constanten enthaltende (trans-scendente) ganze Function der Veränderlichen u giebt, welche für <o(u) in die Gleichung (1.) eingesetzt, dieselbe befriedigt. Man zeigt zu dem Ende zunächst, dass der Gleichung formell genügt werden kann, wenn man für 6(u) eine gewöhnliche Potenzreihe annimmt; dieselbe enthält nur ungerade Potenzen von u, und die Coefficienten derselben lassen sich als ganze rationale Functionen der vier ersten, die unbestimmt bleiben, ausdrücken. Mit

Hülfe der Gleichung (1.) selbst lässt sich dann ferner nachweisen, dass diese Potenzreihe hei beliebigen Werthen der Veränderlichen u und der genannten willkürlichen Constanten convergent ist, also eine Function von der angegebenen Beschaffenheit darstellt. Setzt man sodann

<p(*0 = -

d² log 6(w)

du²

so ergiebt sich, ebenfalls aus der Gleichung (1.),

dy(u)

du

= Acp³(w) + B<p²(w) + C<p(u) + D,

wo A, B, C, JD Constanten sind; wodurch der Zusammenhang der auf die angegebene Weise definirten Function 6 (u) mit der Theorie der elliptischen Functionen festgestellt ist. Hiernach liegt es nun nahe, die Frage aufzuwerfen, ob sich nicht in ähnlicher Weise die Existenz einer (transcendenten) ganzen Function von p Veränderlichen u, u', ... ufQ~v, welche, für (5{u, u\ ... w(y-1)) gesetzt, die Gleichung 8 = 0 befriedigt, direct beweisen lasse. Es wird auch in diesem Falle ausreichen, zunächst zu zeigen, dass es eine gewöhnliche Potenzreihe von u, u\ ... u(Q~v giebt, welche, für 6(u, u\ ... uiQ~v) gesetzt, der in Bede stehenden Gleichung formell genügt. Die Ausdrücke der Coeffi-cienten dieser Beihe durch eine Anzahl von einander unabhängiger Grössen werden sich freilich complicirter gestalten, als für die Functionen 6(w); sie sind nothwendig algebraische Functionen jener Grössen, wie schon daraus erhellt, dass es, wenn p > 1, mehrere ungerade Functionen 6(u, u\ ... u^) giebt, für welche die Gleichung S = 0 besteht, z. B. sechs, wenn p = 2 ist. Bei der hohen Ausbildung, zu der die formale Algebra gelangt ist, sollte ich aber meinen, müsste eine Aufgabe, wie die angedeutete, nicht von vornherein als eine unlösbare betrachtet werden.

REIN GEOMETRISCHER BEWEIS DES HAUPTSATZES DER PROJECTIVISCHEN GEOMETRIE.

(Die nachstehende, bis jetzt noch nicht gedruckte Abhandlung verdankt ihre Entstehung mündlichen Mittheilungen an ehemalige Zuhörer. Die vorliegende Passung derselben rührt von den Herren E. Kötter und H. A. Schwarz her.)

Die projectivische Geometrie betrachtet drei Arten von Grandgebilden erster Stufe: das Ebenenbüschel — die Gesammtheit der durch eine Gerade, die Achse, hindurchgehenden Ebenen —, das Strahlbüschel — die Gesammt-heit der Strahlen, die in einer Ebene liegen und von einem Punkte, dem Mittelpunkte, ausgehen —, endlich die Punktreihe — den Inbegriff aller einer Geraden angehörenden Punkte. Nach dem Gesetze der Dualität steht bei Untersuchungen im dreidimensionalen Raume das erste Gebilde dem dritten, das zweite sich selbst gegenüber. Ein Ebenenbüschel schneidet auf jeder Ebene, die seine Achse nicht enthält, ein Strahlbüschel, auf jeder Geraden, die seine Achse nicht trifft, eine Punktreihe aus. Einer Ebene des Ebenenbüschels ist hierbei in jedem dieser Gebilde ein bestimmtes Element, das in ihr liegende, eindeutig zugeordnet. Diese Beziehung wird die perspectivische genannt. Für das Strahlbüschel und die Punktreihen, wteiche von einem solchen auf Geraden seiner Ebene ausgeschnitten werden, findet dieselbe Benennung Anwendung.

Von einer Reihe von Grundgebilden erster Stufe sei nun das erste zum zweiten, das zweite zum dritten, das dritte zum vierten, u. s. w. perspectivisch. Irgend einem Elemente eines dieser Gebilde ist dann in jedem anderen Gebilde der Reihe ein und nur ein Element zugeordnet. Diese Beziehung wird die projectivische genannt. — Von zwei Grundgebilden erster Stufe lässt sich alsdann beweisen, dass es stets möglich ist, zwischen ihnen eine

21

III.

project! vische Beziehung der Art herzustellen, dass drei beliebigen Elementen des einen Grundgebildes drei beliebige Elemente des anderen entsprechen, und dass eine solche Beziehung stets durch Vermittelung einer endlichen Anzahl von Hülfsgebilden herbeigeführt werden kann. Hierbei sind die beiden projectivisch auf einander bezogenen Grundgebilde entweder von derselben, oder von verschiedener Art, so dass sechs Fälle zu unterscheiden sind.

Ehe jedoch zu der Betrachtung dieser sechs Fälle geschritten wird, ist es zweckmässig, Folgendes hervorzuheben.

zu

Sind zwei Punktreihen, welche nicht auf derselben Geraden liegen demselben Strahlbüschel perspectivisch, so haben sie einen Punkt gemein, welcher sich selbst entspricht. Sollen daher zwei Punktreihen einer Ebene perspectivisch auf dasselbe Strahlbüschel bezogen werden, so muss ihr Schnittpunkt sich selbst entsprechen. Zwei beliebigen anderen Punkten der einen Punktreihe können dann zwei beliebige andere Punkte der anderen zugeordnet werden; hierdurch ist das erwähnte Strahlbüschel bestimmt.

zu

Sind drei beliebigen Punkten einer Punktreihe drei beliebige Punkte einer zweiten zugeordnet, so können diese beiden Punktreihen auf eine dritte projectivisch so bezogen werden, dass die erste und die dritte Punktreihe einem Strahlbüschel, die zweite und die dritte Punktreihe zu einem zweiten Strahlbüschel perspectivisch sind.

a.

a'

’P

b'

r/f

Fig. 1.

In Fig. 1 sind die Punktgruppen aßy und aß"y' einerseits, die Punktgruppen aß"y und cc'ß'y' andererseits zu je einer Strahlengruppe perspectivisch.

Sind die beiden Geraden, auf welchen die beiden Punktgruppen aß y und aß'y' liegen, windschief gegen einander, so sind die beiden Strahlbüschel, welchen die vorher erwähnten beiden Strahlengruppen angehören, zu einem Ebenenbüschel perspectivisch, dessen Achse die Mittelpunkte der beiden Strahlbüschel enthält.

Mittels der dualistischen Betrachtungsweise kann für zwei Ebenenbüschel die entsprechende Construction ausgeführt werden.

Eür die möglichen sechs Fälle ergiebt sich hiernach das Folgende:

a. Zwei Punktreihen, welche nicht auf derselben Geraden liegen, können auf zwei Strahlbüschel mit verschiedenen Mittelpunkten, und diese auf eine dritte Punktreihe perspectivisch so bezogen werden, dass drei beliebigen Punkten der ersten Punktreihe drei beliebige Punkte der zweiten Punktreihe entsprechen. Sind die Geraden, auf welchen die ersten beiden Punktreihen liegen, windschief gegen einander, so sind die beiden Strahlbüschel, folglich auch die beiden Punktreihen, zu einem Ebenenbüschel perspectivisch.

Sind die Achsen der

h. Zwei Ebenenbüschel, deren Achsen nicht zusammenfallen, können auf zwei Strahlbüschel, und diese auf ein drittes Ebenenbüschel perspectivisch so bezogen werden, dass drei beliebigen Ebenen des ersten Ebenenbüschels drei beliebige Ebenen des zweiten entsprechen, beiden Ebenenbüschel windschief gegen einander, so sind die beiden Strahlbüschel, folglich auch die beiden Ebenenbüschel, zu einer Punktreihe perspectivisch.

bezogen werden, dass drei beliebigen Strahlen

c. Zwei Strahlbüschel mit verschiedenen Mittelpunkten können auf zwei Ebenenbüschel, deren Achsen windschief gegen einander sind, und diese auf eine Punktreihe perspectivisch so bezogen werden, dass dreh beliebigen Strahlen des einen Strahlbüschels drei beliebige Strahlen des anderen entsprechen. Zwei in verschiedenen Ebenen liegende Strahlbüschel können auf zwei nicht in derselben Ebene liegende Punktreihen, und diese auf ein Ebenenbüschel perspectivisch so des einen Strahlbüschels drei beliebige Strahlen des anderen entsprechen.

Um zwei auf derselben Geraden liegende Punktreihen, zwei Ebenenbüschel mit derselben Achse, oder zwei in derselben Ebene liegende Strahlbüschel, welche denselben Mittelpunkt haben, in allgemeinster Weise projecti-visch auf einander zu beziehen, kann man zunächst je eins dieser zwei Grund-

gebilde auf ein anderes Grandgebilde perspectivisch beziehen, durch wird jeder von diesen drei Fällen auf einen der drei folgenden zurückgeführt.

Hier-

d. Es ist stets möglich, ein gegebenes Ebenenbüschel und eine gegebene Punktreihe auf einander projectivisch so zu beziehen, dass drei beliebigen Ebenen des Ebenenbüschels drei beliebige Punkte der Punktreihe entsprechen.

Wird nämlich das Ebenenbüschel durch eine Gerade geschnitten, welche weder mit der Achse des Ebenenbüschels, noch mit der gegebenen Punktreihe einen Punkt gemein hat, so ist das Ebenenbüschel perspectivisch zu der auf dieser Geraden liegenden Punktreihe, und die letztere kann (nach a.) auf die gegebene Punktreihe durch ein

zu beiden Punktreihen perspectivisches Ebenenbüschel projectivisch so bezogen werden, dass drei beliebigen Ebenen des gegebenen Ebenenbüschels drei beliebige Punkte der gegebenen Punktreihe entsprechen.

e.    Es ist stets möglich, ein gegebenes Strahlbüschel und eine gegebene Punktreihe auf einander projectivisch so zu beziehen, dass drei beliebigen Strahlen des Strahlbüschels drei beliebige Punkte der Punktreihe entsprechen. Wird nämlich das Strahlbüschel und die Punktreihe auf je ein Ebenenbüschel perspectivisch bezogen, wobei die beiden Ebenenbüschel so gewählt werden, dass ihre Achsen windschief gegen einander sind, so können die beiden Ebenenbüschel (nach b.) auf dieselbe Punktreihe perspectivisch so bezogen werden, dass drei beliebigen Strahlen des gegebenen Strahlbüschels drei beliebige Punkte der gegebenen Punktreihe entsprechen.

f.    Es ist stets möglich Ebenenbüschel auf einander projectivisch

Strahlen des Strahlbüschels drei beliebige Ebenen des Ebenenbüschels sprechen. Wird nämlich das Strahlbüschel und das Ebenenbüschel auf je eine Punktreihe perspectivisch so bezogen, dass die beiden Geraden, auf denen diese Punktreihen liegen, gegen einander windschief sind beide Punktreihen (nach a.) auf dasselbe Ebenenbüschel perspectivisch so bezogen werden, dass drei beliebigen Strahlen des gegebenen Strahlbüschels drei beliebige Ebenen des gegebenen Ebenenbüschels zugeordnet werden.

Durch die angegebenen Constructionen ist die Möglichkeit nachgewiesen, zwei gegebene Grundgebilde erster Stufe durch eine endliche Anzahl

ein gegebenes Strahlbüschel und ein gegebenes

so zu

beziehen, dass drei beliebigen

ent-

so können

von

Hülfsgebilden projectiviscli so auf einander zu beziehen, dass drei gegebenen Elementen des einen drei vorgeschriebene Elemente des anderen entsprechen.

Es lässt sich aber ferner zeigen,

dass, wie auch diese Construction ausgeführt werden möge, jedem vierten Elemente des einen Gebildes stets ein bestimmtes, von der Wahl der Hülfsgebilde nicht abhängendes viertes Element des anderen Gebildes entspricht, und umgekehrt.

Dieses ist der Hauptsatz der projectivischen Geometrie.

Der im Folgenden mitzutheilende elementare, rein geometrische Beweis dieses Lehrsatzes stützt sich auf einige Hiilfssätze, welche projectivisch ähnliche Punktreihen betreffen.

Wenn die projectivische Beziehung zwischen zwei oder mehreren Punktreihen

. .    a'ß’y'd'...

aßyd ..., cc₁ß₁y₁d₁ a₃ß₂yA--

ausschliesslich durch Büschel von parallelen Strahlen vermittelt wird, in der Art, dass die Punktreihen

aßyd ... und alßlyidl ... zu einem Büschel von parallelen Strahlen ab cd ...,

... und a₂ß₂y₂d₂... zu einem Büschel von parallelen Strahlen aiblcidl...,

u. s. w.

perspectivisch sind, so heissen zwei derartig auf einander bezogene Punktreihen projectivisch ähnlich. Diese Eigenschaft soll durch

aß'yd'...

aßyd...

bezeichnet werden.

Liegen die beiden Strahlbüschel ab cd... und a₁b₁c₁dl... in verschiedenen Ebenen, so sind sie zu einem von parallelen Ebenen gebildeten Ebenenbüschel perspectivisch. Von der Schaar der Geraden aa₂, ßßa, yy₂, dd₂, ... liegt je eine in einer Ebene dieses Büschels.

Liegen

a₂ß₂y₂d ... angehören, in der nämlichen Ebene, so geht durch den Schnittpunkt dieser beiden Geraden auch diejenige, welche die Punktreihe <*lß₁y₁d₁...

die beiden Geraden, welchen die Punktreihen aßyd ... und

enthält, und die Geraden aa₂₎ ßß₂, yy₂, dd₂, ... sind einander parallel. Diesem besonderen Falle des D es argues’sehen Satzes kann folgende Fassung gegeben werden :

Hülfssatz (l). Bewegt sich ein veränderliches Dreieck in der Weise, dass zwei Ecken desselben gegebene Gerade durchlaufen, während die Seiten des Dreiecks sich selbst parallel bleiben, so durchläuft stets auch die dritte Ecke desselben eine Gerade. Entweder schneiden die drei Geraden einander in demselben Punkte, oder sie sind einander parallel.

Die Geltung des vorstehenden Hülfssatzes erstreckt sich auch auf den Grenzfall, in welchem die drei von den Ecken des Dreiecks beschriebenen Geraden in derselben Ebene liegen. Der Beweis für die Dichtigkeit dieser Behauptung kann dadurch geführt werden, dass eine dem ausgesprochenen Hülfssatze entsprechende räumliche Figur durch parallele Strahlen auf eine Ebene projicirt wird, da es stets möglich ist, zu einer gegebenen, dem ausgesprochenen Hülfssatze entsprechenden ebenen Figur eine derselben Bedingung genügende räumliche Figur zu construiren, so dass die erstere als eine durch parallele Strahlen erhaltene Projection der letzteren angesehen werden kann.

Hülfssatz (2). Die projectivische Beziehung zweier projectivisch ähnlichen Punktreihen ist durch zwei Paare entsprechender Punkte a, a und ß, ß' eindeutig bestimmt.

Werden die Punktreihen und die von parallelen Geraden gebildeten Strahlbüschel, durch welche die projectivisch ähnliche Beziehung der Punktreihen auf einander vermittelt wird, durch parallele Strahlen auf eine Hülfs-ebene projicirt, so ergeben sich aus den von parallelen Geraden gebildeten Strahlbüscheln wiederum Strahlbüschel, die von parallelen Geraden gebildet werden. Es ergeben sich daher aus den projectivisch ähnlichen Punktreihen wieder projectivisch ähnliche Punktreihen. Demnach genügt es offenbar, den ausgesprochenen Hülfssatz für den speciellen Fall zu beweisen, in welchem sämmtliche Punktreihen

aßyd ..

. .., a'ß'y'V...

“ißiVi••

auf Geraden liegen, die derselben Ebene angehören.

In Fig. 2 mögen die Punktreihen aß yd ..., aißiyidi ..., a₂ß₂y₂ö₂ .. aß'y'd'... und die von parallelen Geraden gebildeten Strahlbüschel abed...,

aib₁c₁d₁ - • ‘ i a₂bzc₂d₂ ....... die im Vorhergehenden angegebene Bedeutung

haben, mit der Festsetzung, dass alle diese Grundgebilde in derselben Ebene liegen.

¹

Ygl. »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, herausgegeben von H. A. Schwarz«, S. 47. Ich habe das Theorem zuerst im Jahre 1862 in meinen Universitätsvorlesungen mitgetheilt und auf die a. a. 0. angedeutete Weise begründet.

²

Für q — 2 z. B. ist r — 4,    und die angegebenen    Permutationen sind die folgenden :

1 2345,    2345 1,    345 12,    45 1 23,    5 1 234,

1 245 3,    235 1 4,    341 25,    452 3 1,    5 1 342,

1 25 34,    23 1 45,    3425 1,    453 1 2,    5 1423.

³

Bildungsweise des Ausdrucks, dessen Quadrat einer sogenannten Pf aff’sclien Determinante gleich ist und deswegen von Cayley »Pfafßan« genannt wird, hat zuerst Jacobi in der Abhandlung »Zur Pfaff’schen Integrationsmethode« im zweiten Bande des Crelle’schen Journals angegeben.

3k~

1- - -

\lv\

ft

«2

sy

Fig. 2.

Es bezeichne ab cb... ein beliebiges zu der Punktreihe aßyd... per-spectivisch.es, von parallelen Geraden gebildetes Strahlbüschel. Nach dem Hülfssatze (l) sind die beiden Strahlbüschel abcb... und a₁b₁c₁d₁... zu derselben Punktreihe a'ß'y'ä'... perspectivisch.

Ohne dass die projectivisch ähnliche Beziehung der beiden Punktreihen

aßyd... und aß'y'd'... geändert wird, kann das Strahlbüschel abcd... durch das Strahlbüschel a beb..

dem Strahlbüschel obeb... zu der Punktreihe

die Punktreihe aiß₁y₁d₁... durch die Punktreihe a 'ß[ y'i ó' ... ersetzt werden. Nach dem Hülfssatze (l) sind die beiden Strahlbüschel abeb... und a₂ b₂c₂d₂... zu derselben Punktreihe a'ß'y'd'... per-spectivisch. Es kann also die Punktreihe «₂ß₂y₂^\ • • • und das Strahlbüschel a₁b₁c₁di ausgeschaltet und von ttaß»y%Kmm,i von dieser zu dem Strahlbüschel a₂b₂c₂d₂... übergegangen werden, ohne dass die projectivisch ähnliche Beziehung der beiden Punktreihen aßyd... und aß'y'd'... geändert wird.

a'b'c'b'..

von

Durch Wiederholung dieses Verfahrens ergiebt sich schliesslich, dass zwei beliebige von parallelen Geraden gebildete Strahlbüschel nbeb... und welchen das eine zu der Punktreihe aßyd..., das andere zu

der Punktreihe aß'yd'... perspectivisch ist, stets zu derselben Punktreihe a"ß”y"ö"... perspectivisch sind. Da nun die Gerade, welcher die Punktreihe a ß”y"d"... angehört, bereits durch zwei ihrer Punkte a", ß" bestimmt ist, so ist der einem beliebigen Punkte y der ersten Punktreihe entsprechende Punkt y der zweiten Punktreihe eindeutig bestimmt, sobald die den Punkten a, ß der Punktreihe aß yd ... entsprechenden Punkte a\ ß' der Punktreihe a'ß'y'd'... bekannt sind.

Hülfssatz (3). Besteht zwischen fünf Punkten a, ß, ß\ y, y einer Geraden die Beziehung

aßß' ~ ayy',

so ist auch

aßy ~ aß'y'.

Auf einer zweiten durch den Punkt a hindurchgehenden Geraden mögen drei Punkte ßi} yi7 ß[ so bestimmt werden, dass die beiden Punktgruppen aßi y ß' und aßyß' congruent sind.

■*v

-X.

ßt

\r

iß y

Fig. 3.

con-

Werden hierauf die Geraden ßßt, yyl5    ßy±, ßly₁ ß[y\ ßtß\ yty' und ßß[

struirt, so ergiebt sich in Folge des Parallelismus der Geraden ßßt, ß'ß[, dass aßß' ^aß^. Da nun nach der Voraussetzung aßß'^ayy', so ist auch ccß₁ß[ ^ayy\ und es sind mithin, auf Grund des Hülfssatzes (2), die beiden Geraden ßxy und ß'/ parallel. Andererseits sind sowohl die beiden Dreiecke aßty und ccßy₀ als auch die beiden Dreiecke aßß' und aßxß' congruent.

Zwei Strahlenpaare (a,b) und (a',b'), welche derselben Ebene angehören, sollen als gleich dann und nur dann bezeichnet werden, wenn es möglich ist, durch Verschiebung der Ebene in sich den Strahl a mit dem Strahle a und zugleich den Strahl b mit dem Strahle b' zur Deckung zu bringen. Es ist also (a,b) im Allgemeinen nicht gleich (b,a). Sind (a,b) und

(a\ b') in dem angegebenen Sinne einander gleich

so mögen nicht nur ([a,b)

und (&,a), sondern auch (a:b) und (b\a) als entgegengesetzt gleich bezeichnet werden.

Zwei Strahlenpaare (b,a,) und (b',a') sind daher auch dann einander gleich, wenn sie einem dritten Strahlenpaare (a,b) entgegengesetzt gleich sind.

Die beiden congruenten Dreiecke aßyl und aßxy können nicht durch Verschiebung in der Ebene mit einander zur Deckung gebracht werden. Es sind daher die von je zwei Paaren entsprechender Seiten dieser Dreiecke gebildeten Strahlenpaare entgegengesetzt gleich.

Es sind mithin die Strahlenpaare

(«Y,ßiy) und (ay₁, ßyt)

entgegengesetzt gleich, während die Strahlenpaare

OY,ßiY) und (ßy^ccyj

in dem angegebenen Sinne gleich sind.

In Folge des Parallelismus der Geraden ßty und ß[y sind die Strahlen

paare

Oy,ßtY) und (ccy',ß[y)

ebenfalls in dem angegebenen Sinne gleich. Hieraus folgt, dass auch die Strahlenpaare

(ßYi,aYi) und (ccy',ß[y)

einander gleich sind.

Nach einem elementargeometrischen Satze haben die Scheitel zweier gleichen Winkel und die Schnittpunkte der beiden Paare entsprechender Schenkel von einem bestimmten Punkte der Ebene gleiche Entfernungen. Dies gilt von den Punkten yt, y, ß, ß[. Nach der Umkehrung dieses Satzes sind die Strahlenpaare

(ßß'uViß’i) und (ßv',YxY)

einander gleich. In Folge der Congruenz der Dreiecke aßß[ und aßtß' ist das Strahlenpaar (ßß'₁,Y₁ß'₁) dem Strahlenpaare (ßß’jßj') gleich. Es sind also die Strahlenpaare

(ßß'jßißl und (ßYr> Yiy)

22

in.

einander gleich, mit anderen Worten: die Geraden ßxß’ und yty' sind parallel. Es ist daher

aßy

aß'y'.

ttßrYx

Hiilfssatz (4). Jedes Strahlbüschel bestimmt auf je zwei parallelen Geraden seiner Ebene, von denen keine durch den Mittelpunkt des Strahlbüschels hindurchgeht, projectivisch ähnliche Punktreihen.

/ß-

TT

Fig. 4.

In big. 4 seien die beiden Geraden aßy und aß'y parallel. Die durch die Punkte ßr und y hindurchgehenden, dem Strahle pa parallelen Geraden mögen die Gerade aßy in den Punkten ß" und y" schneiden. Es ergiebt sich

paa ~ pßß' f.laa' ~ fiyy'

folglich ist

aßß\

ayy",

aßß"

Nach dem Hiilfssatze (3) ist aßy — aß"y". aßy ~ aßy-

ayy".

Da nun aß'y''

\j

aß"y" ist, so ist auch

Hiilfssatz (5). Drei

von einem Punkte ausgehende, in derselben Ebene liegende Strahlen a, b, c schneiden jede Gerade einer bestimmten Dichtung, welche den Schnittpunkt der drei Strahlen a, b, c nicht enthält, und keine dere

an

in einer Punktgruppe aß'y, welche einer gegebenen Punktgruppe aßy projectivisch ähnlich ist.

Es sei (Fig. 5) die Punktgruppe a'ß'y'

zu der Strahlengruppe abc per-spectivisch und der (in der Ebene dieser Strahlengruppe liegenden) Punktgruppe aßy projectivisch ähnlich.

Es seien à, b', c drei einander, aber nicht dem Strahle c parallele Strahlen in beliebiger Richtung, welche beziehlich durch die Punkte a, ß

hindurchgehen; b” seien zwei durch die Punkte ß[ hindurchgehende dem Strahle c parallele Gerade. Dann sind nach dem Hülfssatze (2) die beiden Strahlengruppen db’c und a"b"c zu derselben Punktgruppe a"ß"y" per-spectivisch. Von dieser Punktgruppe ist, nachdem die Richtung der Strahlen d, b\ c willkürlich angenommen worden ist, die Lage des Punktes y" bestimmt. Ist der Punkt a' yorgeschrieben, so ist zugleich die Lage des Punktes a" bestimmt. Folglich ist durch die Lage des Punktes ß auch die des Punktes ß" mithin auch die des Punktes /?' bestimmt. Aus den Punkten ß[ ergiebt sich dann der Punkt y[.

\/

ii

yL

%V

b"

7ä

7ÿ

Fig. 5.

Folglich geht durch den Punkt di des Strahles a nur eine Gerade, welche von den Strahlen a,b, c in einer der Punktgruppe aßy projectivisch ähnlichen Punktgruppe u\ß\y\ geschnitten wird.

Alle der Geraden a'ß'y' parallelen Geraden dß'y, und nur diese, werden von den Strahlen a, b, c in Punktgruppen geschnitten, welche der Punkt

gruppe aßy projectivisch ähnlich sind.

Hülfssatz (6). Sind zwei Strahlbüschel abcd... und atbtcxdt.. Mittelpunkte im Endlichen liegen, spectivisch, so lässt sich jeder Punktreihe aßyd ... ordnen, welche zu dem Strahlbüschel a^c^... perspectivisch ist.

Beweis. Liegen die Strahlbüschel abcd... und albicld₁... nicht in der-sind sie zu einem Ebenenbüschel perspectivisch. Die

deren

zu derselben Punktreihe «₁ß₁Yldt... perzu dem Strahlbüschel abcd... perspectivischen eine projectivisch ähnliche Punktreihe «'ß'y'ä'... zu-

selben Ebene, so

durch die Punktreihe aßyd ... hindurchgehende, der Achse des Ebenenbüschels parallele Ebene schneidet die Ebene des Strahlbüschels aibicldi... in einer Punktreihe a ß[y[A ... und wird von dem Ebenenbüschel in einem von parallelen Geraden gebildeten Strahlbüschel a'b\c\d\... geschnitten. Es sind daher die beiden Strahlbüschel alblcidi... und a[b\c'd[ ... zu der Punktreihe a'ß'y'd'.. perspectivisch, welche der Punktreihe aßyd ... projectivisch ähnlich ist.

so

Liegen die Strahlbüschel ab cd... und a^^c^d^... in derselben Ebene, kann zwischen diese beiden Strahlbüschel ein drittes zu der Punktreihe perspectivisches Strahlbüschel a"b”c"d"... eingeschaltet werden, zu dessen Mittelpunkt ein beliebiger, nicht in der Ebene des Strahlbüschels ab cd... liegender Punkt gewählt werden kann. Dann findet der im Vorstehenden angegebene Beweis sowohl auf die Strahlbüschel abcd... und a'ib"c''d"..., als auch auf die Strahlbüschel a"b"c'd"... und albicldi... Anwendung. Es ist daher das Strahlbüschel a"b"c"d''... perspectivisch zu einer der Punktreihe aßyd... projectivisch ähnlichen Punktreihe d'ß”y''d"..., das Strahlbüschel aiblcidi... perspectivisch zu einer der Punktreihe a"ß"y"d"... projectivisch ähnlichen Punktreihe a'ß'y^d' ... . Die letztere Punktreihe ist aber zugleich der Punktreihe aßyd... projectivisch ähnlich.

Der vorstehende Hülfssatz ist daher allgemein bewiesen.

Nachdem dieses vorausgeschickt ist, kann zu dem Beweise des ausgesprochenen Hauptsatzes übergegangen werden.

Da jeder andere Fall zweier projectivisch auf einander bezogenen Grundgebilde erster Stufe auf den zweier projectivisch auf einander bezogenen Punkt reihen zurückgeführt werden kann, so reicht es aus, den Hauptsatz für diesen Fall zu beweisen.

Die projectivische Beziehung zweier Punktreihen auf einander wird durch eine endliche Anzahl von Grundgebilden erster Stufe vermittelt. Hierbei können, ohne dass in Hinsicht auf das gegenseitige Entsprechen der Punkte beider projectivisch auf einander bezogenen Punktreihen eine Änderung ein-tritt, die Grundgebilde, durch welche diese projectivische Beziehung vermittelt wird, in mannigfacher Weise durch andere Grundgebilde ersetzt werden.

Jedes unter den erwähnten Grundgebilden etwa enthaltene von parallelen Ebenen gebildete Ebenenbüschel kann ersetzt werden durch eine Punktreihe und höchstens zwei zu ihr perspectivische, von parallelen Geraden gebildete Strahlbüschel, oder durch ein von parallelen Geraden gebildetes Strahlbüschel und höchstens zwei zu diesem perspectivische Punktreihen. Hierbei sind die ersetzenden Gebilde perspectivisch zu dem Gebilde, welches sie er-Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit kann also angenommen werden, dass unter den die projectivische Beziehung der beiden Punktreihen vermittelnden Grundgebilden sich kein von parallelen Ebenen gebildetes Ebenenbüschel befindet.

setzen.

Jedes unter den erwähnten Grundgebilden etwa enthaltene

DES HAUPTSATZES DER PROJECTIVISCHEN GEOMETRIE.

rH

co

von parallelen Geraden gebildete Strahlbüschel kann durch eine zu ihm per

spectivische Punktreihe, oder durch ein zu ihm perspectivisches Ebenenbüschel, dessen Achse im Endlichen liegt, ersetzt werden. Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit kann demnach die Annahme gemacht werden, dass unter den die projectivische Beziehung der beiden Punktreihen vermittelnden Grundgebilden sich weder ein von parallelen Ebenen gebildetes Ebenenbüschel, noch ein von parallelen Geraden gebildetes Strahlbüschel befindet.

Jedes unter den erwähnten Grundgebilden etwa enthaltene Ebenen

büschel, dessen Achse im Endlichen liegt, kann ersetzt werden durch eine ihm perspectivische Punktreihe und höchstens zwei zu dieser und zu dem Ebenenbüschel perspectivische Strahlbüschel, oder durch ein zu dem Ebenenbüschel perspectivisches Strahlbüschel und höchstens zwei zu ihm perspectivische Punktreihen.

werden,

zu

Hierbei kann in allen Fällen die Ersetzung

dass die Mittelpunkte dieser Strahlbüschel im

so vorgenommen Endlichen liegen.

Aus den vorstehenden Betrachtungen ergiebt sich die Folgerung:

Um den Hauptsatz der projectivischen Geometrie allgemein zu beweisen, die Richtigkeit desselben für zwei projectivisch auf einander

reicht es aus

bezogene Punktreihen unter der Voraussetzung darzuthun, dass die Grundgebilde, durch welche die projectivische Beziehung dieser Punktreihen vermittelt wird, nur dies die Mittelpunkte aller dieser Strahlbüschel im Endlichen liegen.

Die beiden in der angegebenen Weise projectivisch auf einander bezoge-Punktreihen seien aßyd... und a'ß'yd'....

Strahlbüschel und Punktreihen sind, während über-

nen

Zu der Punktreihe aßyd ... sei perspectivisch das Strahlbüschel abcd..., zu diesem die Punktreihe <*₁ß₁7’₁d₁... ;

zu der Punktreihe oclßlyidl .. . sei perspectivisch das Strahlbüschel a₁blc₁di ..., zu diesem die Punktreihe a₂ß₂y9ld₂... ; u. s. w.

Zu dem Strahlbüschel abncndn... endlich sei perspectivisch    die Punkt

reihe a'ß'y'd'... .

Auf je zwei benachbarte Strahlbüschel der Reihe

abcd..., a₁blc₁dl..., a₂b₂c₂d₂..., ..., anbncndn...

findet nun der Hülfssatz (6) Anwendung.

Das Strahlbüschel    ai bicidl ...    ist perspectivisch    zu einer    Punktreihe

KKr'.K-

welche der Punktreihe aßyd... projectivisch ähnlich ist.

Das Strahlbüschel    a₂^₂c₂d₂ ...    ist perspectivisch    zu einer    Punktreihe

a'ß'y''tf'..., welche der    Punktreihe    a[ß[y ' d'..., mithin    auch der    Punktreihe

aßyd ..., projectivisch ähnlich ist.

welche der Punktreihe aßyd... projectivisch ähnlich ist.

Durch Fortsetzung dieser Schlussweise ergiebt sich: Das Strahlbüschel anbncndn..., welches zu der zur Punktreihe aßyd... projectivischen Punktreihe a'ß'y'd'... perspectivisch ist, ist auch perspectivisch zu einer Punktreihe a ß' y d' ..

Da nach dem Hiilfssatze (5) die Strahlengruppe anbncn nur die Geraden einer bestimmten Richtung in Punktgruppen a'nß'ny'n schneidet, welche der Punktgruppe aß y projectivisch ähnlich sind, so ist die Punktgruppe a'nß'ny'n durch einen ihrer Punkte, etwa a'n, eindeutig bestimmt.

Aus dem Hiilfssatze (2) ergiebt sich sodann, dass durch jeden vierten Punkt d der Punktreihe aßyd... der entsprechende Punkt d'n der projectivisch ähnlichen Punktreihe a'nß'ny'nd\.. eindeutig bestimmt ist. Es ist daher auch der entsprechende Strahl dn und der Punkt d' eindeutig durch den Punkt d bestimmt.

Der Hauptsatz der projectivischen Geometrie ist hierdurch rein geometrisch bewiesen.

ZUR DIOPTRIK.

(Aus einem zu Wien am 22. September 1856 in der mathematischen Section der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte gehaltenen Vortrage.)

Im Nachstehenden theile ich eine geometrische Construction mit, durch welche man den Weg eines durch mehrere ,an einander grenzende isophane Mittel gehenden Lichtstrahles in dem Falle, wo sämmtliche brechende Flächen sphärisch sind, in aller Strenge verfolgen kann.

Offenbar genügt es dabei, den Fall, wo nur eine brechende Fläche vorhanden ist, zu betrachten. Unter dieser Voraussetzung sei M der Mittelpunkt und r der Radius der Kugelfläche, von welcher die brechende Fläche ein Theil ist.

man

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes für das erste Mittel werde mit n und für das zweite mit n bezeichnet, wo also, wofern unter Voraussetzung der Undulationstheorie des Lichtes die Geschwindigkeit desselben im freien Äther als Einheit annimmt, diese Grössen echte Brüche sind, deren Werthe von der Beschaffenheit der beiden Mittel abhängen.

Um den Mittelpunkt M beschreibe man noch zwei andere Kugelflächen, mit den Radien

ri

— r, — r, n n

Der

welche die erste und die zweite Hiilfsfläche genannt werden mögen, einfallende Strahl (in der Figur mit PQ bezeichnet) treffe nun die brechende Fläche in einem Punkte Q, und gehörig verlängert die erste Hülfsfläche in Q', wobei man, falls der Radius der letzteren kleiner ist als der der ersteren,

von den beiden alsdann stattfindenden Schnittpunkten den von Q am weitesten entfernten zu nehmen hat. Verbindet man sodann M mit Q' durch eine Gerade, so schneidet diese oder ihre Verlängerung über Q' hinaus die zweite Hülfsfläche in einem Punkte Q", durch welchen der gebrochene Strahl geht, dessen „Weg daher durch die Gerade QQ'' bezeichnet wird.

9'

M. i

Zum Beweise verbinde man M mit Q durch eine Gerade, so haben die beiden Dreiecke QMQ' und QMQ einen gemeinschaftlichen Winkel, und da der Construction zufolge

MQ': MQ — n:n', MQ : MQ" = n : n',

so sind sie ähnlich.

Fällt man daher auf die homologen Seiten QQ\ Q"Q von M aus die Lothe ML, ML', so verhalten sich auch diese wie n zu ri, und da

ML = MQ[am (.MQ Q'), ML' = MQ sin {MQ Q")

so hat man

sin {MQQ') _ n

ri

sin (MQQT)

Nun ist aber QM die Normale der brechenden Fläche im Punkte Q, QQ' die Richtung des aus dem ersten Mittel kommenden Strahles, und somit der Winkel MQQ' der Einfallswinkel desselben. Ferner liegt der Construction zufolge der Punkt L in jedem Falle zwischen den Punkten Q und Q' und daher liegt auch der Punkt L' zwischen den Punkten Q und Q", so dass der Winkel MQQ' ebenso wie der Winkel MQQ ein spitzer Winkel ist. Überdies liegen QQ" und QQ mit QM in einer Ebene und zwar an derselben Seite von QM und somit bezeichnet, nach dem bekannten Brechungsgesetz, in der That QQ'' den Weg des gebrochenen Strahles.

Aus der vorstehenden Construction lassen sich nun nicht nur die gebräuchlichen dioptrischen Näherungsformeln mit Leichtigkeit herleiten, sondern auch die Grenzen feststellen, innerhalb welcher diese Formeln in bestimmten Fällen hinlängliche Genauigkeit darbieten; worauf ich jedoch hier nicht eingehe.

Es sei P ein innerhalb des ersten Mittels liegender leuchtender Punkt. Es werde der vom Punkte P ausgehende Lichtstrahl, welcher die brechende Fläche im Punkte Q trifft, und der durch die angegebene Construction sich ergebende zu dem Strahl PQ gehörende gebrochene Strahl QQ' betrachtet.

Jedem vom Punkte P ausgehenden, dem Strahl PQ unendlich benachbarten Strahl entspricht ein dem Strahl QQ" unendlich benachbarter gebrochener Strahl. Unter den letzteren sind diejenigen ausgezeichnet, wrelche den Strahl QQ" schneiden. Es sind dies

erstens, die in der Einfallsebene PMQ liegenden gebrochenen Strahlen, zweitens, die mit den Seiten des Rotationskegels zusammenfallenden Strahlen, welcher durch Rotation der Figur PMQQ" um die Gerade PM als Axe entsteht und dessen Mantelfläche bei dieser Rotation von der Geraden QQ" beschrieben wird.

Bezeichnet nun

F den Schnittpunkt des gebrochenen Strahls QQ" mit dem in der Einfallsebene PMQ liegenden unendlich benachbarten gebrochenen Strahl,

F₂ den Mittelpunkt der erwähnten Kegelfläche, also den Schnittpunkt der beiden Geraden PM und QQ ,

23

m.

so ergiebt sich, dass das durch die vier Punkte Q, Q", FP₂ bestimmte Doppelverhältniss den Werth

besitzt.

(Q'QT'FvFj =

cos²(MQQ”)

cos² (MQQ')

Die

Diese Eigenschaft führt zu folgender Construction des Punktes F Man verbinde die beiden Punkte L und L' durch eine Gerade.

Diese schneidet den gebrochenen Strahl QQ' im

Gerade LL' schliesst mit der Geraden MQ'Q' einen rechten Winkel ein. . Den Schnittpunkt L" beider Geraden verbinde man mit dem Punkte P durch eine Gerade.

Punkte Ft.

ZWEI SPECIELLE FLÄCHEN VIERTER ORDNUNG.

(Aus Jacob Steiner’s Gesammelten Werken, Bd. II, S. 741—742 mit geringer

Veränderung abgedruckt.)

Die erste dieser Flächen ist diejenige, welche man gegenwärtig die »St einer’sehe Fläche« zu nennen gewohnt ist. Steiner hatte sich mit derselben besonders während seines Aufenthalts in Rom (1844) beschäftigt, und pflegte deshalb von ihr als seiner »Römerfläche« zu reden, hat aber niemals etwas darüber veröffentlicht. Es waren ihm nämlich Zweifel darüber

geblieben, ob die Fläche, wie er durch Betrachtungen, die ihm selbst nicht genügten, gefunden hatte, wirklich vom vierten, und nicht etwa vom sechsten Grade sei. Möglicherweise nämlich, meinte er, könne der Durchschnitt der Fläche mit jeder ihrer Tangentialebenen aus zwei vollen und einem beständig imaginär bleibenden Kegelschnitt bestehen, so dass die Fläche, wie er sich ausdrückte, von einem »Gespenst« begleitet wäre. Dass er über diesen Punkt mit den ihm gewohnten Betrachtungsweisen nicht in’s Klare zu kommen ver

mochte, verdross ihn so sehr, dass er lange Zeit sich nicht entschliessen konnte, einem Analytiker die Sache zur Prüfung vorzulegen. Erst etwa ein Jahr vor seinem Tode sprach er mit mir über seine Fläche und ersuchte mich, was er darüber gefunden, analytisch zu verificiren. Dies war nicht schwierig. Sind

?3    = 0

die Gleichungen dreier Flächen zweiter Ordnung, die durch sieben gegebene Punkte gehen, in gewöhnlichen Coordinaten, so hat jede andere, durch dieselben Punkte gehende Fläche gleicher Ordnung die Gleichung

^l + ł*?t + V?a = 0

wo A, ft, v veränderliche Parameter bedeuten. Nach dem Satze, von welchem Steiner ausgeht — der übrigens schon früher von O. Hesse (Crelle’s Journal Band 18, Seite 110) gefunden und analytisch bewiesen worden war —, gehört nun jeder solchen Fläche in Beziehung auf eine gegebene Fläche F²₀ und einen auf dieser angenommenen festen Punkt A ein Pol; für die Coordinaten (a?,?/,#) desselben ergeben sich Ausdrücke von der Form

_ Ft(X}fi,v) _ Fa(X,(i,v) __ Fa(X,ii,v)

F(X,p,v)’ y~ F(X,n, v) ’    F(X,p,v)’

wo F, F^ F₂, F₃ ganze und homogene Functionen zweiten Grades von A, v bedeuten, und es lassen sich dann aus diesen Ausdrücken die im Text angegebenen Eigenschaften der Steiner’sehen Fläche mit Leichtigkeit ableiten.

Steiner hat von dem, was ich damals für ihn aufschrieb, keinen Gebrauch gemacht. Als aber nicht lange nachher mein Freund Kummer bei einer Untersuchung »über Flächen vierten Grades, auf welchen Schaaren von Kegelschnitten liegen« die in Rede stehende merkwürdige Fläche ebenfalls entdeckt hatte, theilte ich ihm mit, was ich von Steiner darüber erfahren. Hierauf sich beziehend hat Herr Kummer, als er (am 16. Juli 1863) die genannte Abhandlung in der Akademie las, die Fläche als eine von Steiner entdeckte bezeichnet, wodurch ich veranlasst wurde, was ich von Steiner’s auf dieselbe sich beziehenden Untersuchungen wusste, noch in derselben Akademie - Sitzung vollständig mitzutheilen. Seitdem haben sich die Geometer vielfach mit der Steiner’sehen Fläche beschäftigt, ausser Kummer namentlich Schröter, Cremona, Clebsch. Die kurze Notiz, welche ich über dieselbe in die Ausgabe der Steiner’sehen Werke aufnehmen zu müssen geglaubt habe, stimmt im Wesentlichen mit der in dem Monatsbericht der Berliner Akademie vom Jahre 1863 (S. 339) von mir gegebenen überein. Die geringen Abweichungen haben ihren Grund darin, dass ich damals aus der Erinnerung referirte, jetzt aber mich genau an die erwähnte, für Steiner gemachte Aufzeichnung halten konnte.

Die unter (II) mitgetheilte Aufgabe¹) wurde mir von Steiner bei Gelegenheit einer von ihm unternommenen Untersuchung über confocale Flächen zweiten Grades vorgelegt (i860). Indem ich die Gleichung der definirten

Fläche herleitete, fand ich, dass sie in dem Falle, wo sie wirklich vom vierten Grade ist, nämlich, wenn die gegebene Fläche zweiten Grades einen Mittelpunkt hat, ohne eine Kegelfläche zu sein, mit Hülfe einer zweiten Fläche desselben Grades, die zu der gegebenen in naher Beziehung steht, ebenso geometrisch construirt werden kann wie die Fresnel’sehe Wellenfläche durch Vermittelung eines Ellipsoides. Hat die gegebene Fläche zweiten Grades keinen Mittelpunkt, oder ist sie eine Kegelfläche, so ist die von Steiner definirte Fläche von niedrigerem als dem vierten Grade.

Um alle Fälle zu umfassen, werde die Gleichung der gegebenen Fläche, bezogen auf ein orthogonales Axensystem, in der Form

F — Ax²+ By² + C0²+2A₁x + 2B₁y + 2C₁# + D = 0

angenommen. Setzt man dann

G = (B + C)(Ax²+2A₁x) + (C+A)(By*+2B₁y)

+ (A + B)(Ce²+2C₁z) + (A + B + C)D-A²₁-B²₁-C H = BC(Ax²+2A₁x)+ CA(By²+2B₁y) + AB(Cs²+2C₁z)

+ (BC+CA + AB)D-(B+C)A²₁-(C + A)Bl-(A + B)C²₁,

K = ABGD-BCA\-GAB\-ABG\;

so

ist die Gleichung der gesuchten Fläche

GH-KF = 0.

man

In dem angegebenen allgemeinen Falle kann

At = Bt = Ct = 0

annehmen; setzt man dann

1 1 « _ ¹ ,

B^⁺~C’ ß - C + 1

so

erhält die Gleichung der Fläche die Form

(3t + y' + 8*)(as?+ßyt+r**)-a(ß + r)sf-ß(y+tt)yl-y(a + ß)** + aßy = °*

Die Fläche ist also, wenn A, B, C alle drei positiv sind, eine Fresnel’sche Wellenfläche, und lässt sich auch in den übrigen Fällen in ähnlicher Weise, wie diese, construiren.

ANMERKUNG.

Die auf S, 180 erwähnte Aufgabe (J. Steiner’s Ges. Werke, Bd. II, S. 724) lautet:

Unter den Tangenten - Kegeln einer Fläche zweiter Ordnung giebt es stets Rotationskegel; der Ort ihrer Scheitel ist bekanntlich eine Linie.

Dem Rotationskegel, welcher von allen Ebenen, die einer von seinen Haupt-Diametralebenen parallel sind, in Kreisen geschnitten wird, steht in ähnlicher Weise, wie die gleichseitige Hyperbel dem Kreise, gegenüber ein besonderer Kegel zweiter Ordnung, welcher von allen Ebenen, die einer von seinen Haupt-Diametralebenen parallel sind, in gleichseitigen Hyperbeln geschnitten wird. Unter den Tangential-Kegeln einer Fläche zweiter Ordnung giebt es stets auch Kegel dieser Art; der Ort ihrer Scheitel ist aber eine Fläche, und zwar im Allgemeinen eine Fläche vierter Ordnung. Wie wird dieselbe geometrisch construirt?

ÜBER EINE DIE RAUMCURYEN CONSTANTER KRÜMMUNG BETREFFENDE, VON DELAUNAY HERRÜHRENDE AUFGABE DER VARIATIONSRECHNUNG.

In seiner Preisschrift »Mémoire sur le calcul des variations«, Journal de l’École Polytechnique, tome XVII (1 843), cahier 29, p. 37—120, behandelt Delaunay die Aufgabe:

Von allen Curven vorgeschriebener constanter Krümmung, welche zwischen zwei gegebenen Punkten stetig und ohne plötzliche Richtungsänderung verlaufen, diejenigen zu bestimmen, deren Bogenlänge ein Maximum oder Minimum ist.

Diese Aufgabe unterscheidet sich von den gewöhnlich in der Variationsrechnung behandelten, bei welchen die zu ermittelnden Functionen, die be-dass ein bestimmtes Integral ein Maximum oder Minimum wird,

wirken

gress

de calcul des variations« (1861), p. 284—289 behandelt wurde, ist weder von

noch gewissen Nebenbedingungen unterworfen sind, dadurch nicht unwesentlich, dass diese Nebenbedingungen nicht ebenfalls in der Form bestimmter Integrale von vorgeschriebenen Werthen, sondern zunächst in der Form einer gewöhnlichen Differentialgleichung gegeben sind. Das Problem, welches später noch von Jellett, »An elementary treatise on the calculus of variations« (1850), p. 194—202; ferner von Todhunter, »A history of the proof the calculus of variations« (1861), p. 164 — 179 und Lindelöf, »Leçons

Delaunay, noch von den anderen eben genannten Mathematikern vollständig in der Weise gelöst worden, dass erstens die allgemeinen Integrale der Diffe-

rentialgleichungen, von

deren Integration die Lösung der Aufgabe abhängt?

sich vollständig angeben lassen, sodann aber Untersuchungen über die zweite Variation oder über eine Entscheidung darüber angestellt sind, in welchem Falle unter der Voraussetzung, dass die Glieder der ersten Variation verschwinden, wirklich ein Maximum, ein Minimum, oder auch keines von beiden eintritt.

Im Folgenden soll zunächst die Frage nach der Darstellung der allgemeinen Integrale der Differentialgleichungen des Problems behandelt werden; es wird sich ergeben, dass die Bestimmung der gesuchten Curve im allgemeinsten Falle mit Hülfe der ellijDtischen Transcendenten möglich ist.

1.

Es seien x, y, z die rechtwinkligen Coordinaten eines beliebigen Punktes der zu bestimmenden Curve und als Functionen einer reellen Veränderlichen t betrachtet, welche innerhalb eines bestimmten Intervalles (t₀...tx) nebst ihren ersten und zweiten Ableitungen stetig sind. Die bestimmten Werthe t₀ und tt des Argumentes t, von denen tt als der grössere vorausgesetzt wird, sollen den gegebenen Punkten der Curve zukommen.

Das Bogendifferential ds der betrachteten Curve ist alsdann durch die

Formel

ds = \Jdx² + dy² + dz²,

das zu variirende Integral also durch den Ausdruck

(1.)

gegeben. Die Functionen x, y, z sind ferner noch der Bedingung zu unterwerfen, dass die Curve in jedem ihrer Punkte eine und dieselbe constante Krümmung, deren Werth stets gleich 1 genommen werden kann, besitzen soll; es besteht also noch die Differentialgleichung

(2.)

\/P²+Q² + B²

ds \³

dt

oder

in welcher zur Abkürzung

dy d²z dz d²y dt df dt dt²

dz cfx

dx d²z

^ dt df dt df ’

dx d²y dy d²x

dt df dt df

ll — —

gesetzt ist.

Variirt man nun das Integral S, indem man die Grössen x, y, z durch die Grössen x +dx, y + dy, z + dz ersetzt, unter dx, dy, dz unendlich kleine Functionen der Variablen t verstehend, so hat man diese so anzunehmen, dass nicht nur sie selbst, sondern auch ihre ersten und zweiten Ableitungen stetige Functionen ihres Arguments t sind, welche der Bedingung

PÔP+QÔQ + B SB- 3 ÆY. 9 ~

Genüge leisten. Diese Gleichung geht unter Einführung der Bezeichnungen

(3.)

dt

et² y

d²z

df

d²z

df

® df ’

ß d²x

df

d²x

dt ’

*■    =    «    ät

p dz

y    —    R—__

in die folgende über

von

(Sa.)

\x-’(îïw I

ddx

dsY dy) ddy

dt

dt

+IMÎP

ddz

dt

dt

d²dx

d²dy

d²dz

df

df

df

welcher die linke Seite zur Abkürzung mit T bezeichnet werden möge.

in.

24

Soll das Integral S ein Maximum oder Minimum werden, so muss die erste V ariation

dS =

fł'(dx ddx

J [ds dt ^ ds dt *0

dy ddy

dz ddz\

⁺ ls~dt~jdt

gleich Null werden für je drei beliebige Functionen äx, dy, dz von der angegebenen Beschaffenheit, welche der vorstehenden Gleichung (3a.) und den für die Punkte (t₀) und (tj vorgeschriebenen Grenzbedingungen genügen. Daraus folgt aber, dass wenn e eine willkürlich anzunehmende Function des Arguments t bezeichnet, auch die Gleichung

(4.)

fł'(dx ddx dy ddy dz ddz 1 \d.s dt ⁺ ds dt ⁺ ds dt

to

eT^jdt — 0

bestehen muss.

Man kann nun zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist die Anfangs

richtung der Curve im Punkte (tj und ihre Endrichtung im Punkte (tj

ddx ddy ddz dt J dt ⁵ dt

keiner Beschränkung unterworfen, d. h. die Variationen auch in den Punkten (t₀) und (£J willkürlich zu wählen; oder aber es sind

sind

für die Pichtungen der Curve in den Punkten (t₀) und (tj beliebige, aber bestimmte Werthe vorgeschrieben. Im ersteren Falle ist es leicht, nachzuweisen, dass die Curve der constanten Krümmung 1, für welche das Integral S ein Maximum oder Minimum wird, eine ebene, also ein Bogen eines Kreises vom Halbmesser 1 ist. Es ist demnach für die Aufgabe in diesem Falle, auf den im Übrigen nicht weiter eingegangen werden soll, nur dann eine Lösung vorhanden, wenn der Abstand der beiden gegebenen Punkte höchstens gleich 2 ist.

In dem anderen, im Folgenden näher zu untersuchenden Falle, in welchem

sowohl für t = t₀, als auch für t — tx der Werth Null beizulegen ist, gestaltet sich die Gleichung (4.) durch Anwendung einer partiellen Integration in die folgende um:

also den Grössen

ddx ddy ddz dt ’ dt ⁵ dt

(5.)

dSx

{ V t~dT

däT + Z-dif)dt-⁰

in welcher

dx

dy

„ de    ( „ nt ds'd äz\ d , „.

¹

[S. die Anmerkung S. 182.]

* “ü-r-⁸(ir)-3r)⁺w<^

gesetzt ist. Betrachtet man nun die Coordinaten a?, y, z als Functionen der von einem beliebig anzunehmenden Punkte aus gerechneten Bogenlänge s₎ so lässt sich den vorstehenden Functionen Xa, F₂, Z₂ eine Gestalt geben, in welcher sie als lineare Functionen der Grössen

= *■ ÈL = V’ _

^ ’ ds * ’ ds

und deren ersten und zweiten Ableitungen nach der Variablen 5 erscheinen. Zu dem Zweck werde

dx

de

ds

= e'

y, , de , dy

P = y -,--e' - f-

ds ds

dx'

dz'

XW’

—    , dy , dx

B = x -Ę---y ~

ds J ds

gesetzt; es ergeben sich dann für die Grössen P, Q, R unter Berücksichtigung der Formeln

dx

ds

dt

dt

dx'( ds y , d*s W ⁼ ~ds\Jt) W

d*x

und der entsprechenden für

die folgenden Ausdrücke

dt

ds\³

« = Wir

ds

dt

X‘ - (Qz'~Rÿ,'\dt

dsV

Daraus folgt

für die auf der rechten Seite dieses Ausdrucks stehende Determinante

dx'

X[y ds +Z ds

dz'

ergiebt sich unter Anwendung der Gleichung

(6.)

x'² + y'² + z'² = 1

der einfache Werth    Man erhält somit nach Ausführung der entsprechen

den Rechnungen das folgende Formelsystem:

dx'

dx' / ds \⁴

W¹

(7.)

Rx'—Pz' =

Y —

ds

dy' ( ds \⁴

U*/

dz'

Py'-Qx' =

ds ’    ^ ds

dz' fdsV \dt )

Aus den vorstehenden zweiten Ableitungen der Grössen    y, g nach der

Variablen s ergiebt sich

P’ + Q’ + JR² =

(dx'\² , /d*A² (dz'V [ds ) ⁺ (<fc) ⁺ {ds)’

die Bedingungsgleichung (2.) verwandelt sich also in die folgende:

dy’Y

(8.)

dx’

dz'

ds

ds

ds )

1.

Ferner ist

(ä ,v

ds \³ d²s dt } dt² ’

und da für die erste der auf der rechten Seite vorkommenden Determinanten die Gleichung

Rd?/_

dx'

ds

ds

gilt, so ergiebt sich bei Berücksichtigung der Gleichungen (6.), (7.), (8.) die Formel

dx' ( ds\³ d?s

dt²

Führt man nun an Stelle der beliebigen Function e eine andere A mittels der Gleichung

/ ds\⁵

£U)

ein, so wird

also

Aß (£    ^ <

’ dx' d ds

ds

d / dx'\ tds\ ¹ ₌ dx' Ids\³ d²s dt \ ds) \dt) £ ds Ui dt²

dt

„ d , „,    . , dt. dx't\

~eX+w(sXi) “ _'u + *v&7

Setzt man diesen und die entsprechenden Ausdrücke in die Formeln für X,, F„ .Z, ein, so folgt

(9.)

(10.)

(11.)

r* = (1 + 3,l)2/,+'S'(,l‘*")’

■z» = (1 + 2*)/+

X,

Dies sind die gesuchten Umformungen der in der Gleichung (5.) auftretenden Functionen X₂, Y₂, Z₂.

Aus der Gleichung (5.) ergiebt sich der Aufgabe gemäss annimmt, dass die Variationen dx, dy, dz sowohl für t = t0 als für t = t verschwinden, durch Ausführung einer partiellen Integration

nun. wenn

man den Bedingungen

r~{^sx+É^sv+^s¥-°-

to

Aus dieser Formel leitet man in bekannter Weise die Folgerung ab, dass die erste Variation des Integrales £ verschwinden soll, wie auch

wenn

immer die Variationen dx, dy, dz den angegebenen Bedingungen gemäss gewählt werden mögen, sich stets vier Grössen x,y,z,l so als Functionen der

Variablen t bestimmen lassen müssen, dass die Gleichungen

dX₂

— 0    = o = 0

dt    ’ dt    ’ dt

Nimmt man wieder die

und die Gleichung (3a.) gleichzeitig erfüllt sind.

Grösse s als unabhängige Variable, so ergeben sich die Gleichungen

(12.)

= c,

in denen a, b, c beliebig anzunehmende Constanten bedeuten; die Gleichung (3a.) wird durch die beiden folgenden

(13.)

x'²    + y'² + z

dx'Y

'2

dy

t\ 2

dz Y

ds

ds

ds

ersetzt.

Dabei ist nun aber noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. Wenn

nämlich die fünf Differentialgleichungen (12.), (13.) Functionen a?, y, #, A benutzt werden sollen,

zur Bestimmung der vier so ist vor Allem zu zeigen, dass sie mit einander nicht im Widerspruch stehen. Und dies kann man in der That nachweisen. Die Gleichungen (12.) sind nämlich identisch mit den Gleichungen

dX,

d¥₂

ds

ds

= 0 *5.

’ ds

während aus den Gleichungen (13.) sich

H.

03

& 8-

0,

dx'    d²x' dy'    d²y' dz    d z

ds    ds²    **" ds    ds2    + ds    ds²

ergiebt, woraus man die Gleichungen

d²x' , ä²y' ds² + y ds²

x’^ ₊ ,yĘ£ + z'

x'

dV ds²

dV

ds³

ds³

ds³

herleitet.

Nun ist aber vermöge der Formeln (9.), (10.), (11.)

dX.

= 2^.x'+(l ₊ 2ü+^)-^-₊2f. -AX ds \    ds J ds ds

dY₂ = ₂dl

ds

ds²

dV

ds³

ds

di£

ds

,    /.    d²A\ dy dl d²y'

- *--*⁺[¹⁺*i+-3rr*⁺*-di-

= 2    + (1 + 2,l+d?7'

ds²

dz' g dA dV ds ds ds²

dV ds³ » dV

ds³

Demnach ergiebt sich

dX₂ , dr₂

ds

+ 2/

ds

d/?₂

ds

woraus sofort folgt, dass eine der drei Gleichungen (12.) eine Folge der beiden anderen und der Gleichungen (13.) ist. Die fünf aufgestellten Gleichungen sind also in jedem Falle mit einander vereinbar.

2.

Nachdem dies vorausgeschickt, ist nunmehr dargethan, dass die Bestimmung der allgemeinsten Curve, welche der in Bede stehenden Aufgabe genügt, abhängt von der Ermittelung von vier Functionen x, y, *, A des Argumentes s, welche den Differentialgleichungen

(i+²^'+i(^)⁼ °

(1.)

(l + «)3G--£(»-f0 = 6

(1 + 2^' ⁺ i(A^) = C

(2.)

F² + 2/'² + * dF\² / d/\²    / d#'\²

ds

ds

ds

genügen, in denen x\ y\ z die Ableitungen der Functionen æ, y, z, und æ, &, c drei willkürliche Constanten bedeuten; die sämmtlichen in diesen Gleichungen auftretenden Grössen sind reell.

Es soll zunächst gezeigt werden, wie es möglich ist, die Integration des obigen Systems von fünf simultanen Differentialgleichungen auf die Lösung einer einzigen der ersten Ordnung zurückzuführen, nach deren Integration die Bestimmung der Grössen %, y, z nur noch die Ausführung einer Quadratur erfordert.

Aus der zweiten und dritten der Gleichungen (l.) leitet man die folgende her:

bz'—cy' = z'

('S

y äs

ta -

\ äs ) ds\ \ äs

, dz'

-y~äf '

aus

dieser und aus den beiden entsprechenden Gleichungen ergiebt sich

(3.)

( , dz' , dx'\

= cx — az+b'

= ay—bx+ ć

wo a\ b\ c ebenfalls drei willkürliche Constanten bedeuten.

ver-

Wenn jede der drei Constanten a, b, c gleich Null ist, so wird die durch die Gleichungen (1.) und (2.) definirte Curve ein Kreis. Sieht man von diesem speciellen Falle ab, nimmt man also an, dass mindestens eine der Constanten a, b, c einen von Null verschiedenen Werth besitze, so können die Gleichungen (1.) bis (3.) durch Einführung eines passenden Systems der rechtwinkligen Coordinaten eines beliebigen Curvenpunktes beträchtlich einfacht werden. Es seien nämlich jetzt unter X, Y, Z die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes {x₎ y,z) in Bezug auf ein Axensystem verstanden, das dem ursprünglichen congruent ist und mit ihm den Nullpunkt gemein hat. Dann gelten die Gleichungen

(L)

X — ux + ßy + yz Y = a'x + ß'y + y'z Z = a"x + ß"y+fz

x = uX + a Y + a"Z y = ßX+ß'Y+ß"Z z = y X + y Y + y"Z,

a", ß", y" Constanten sind, zwischen welchen die bekannten Relationen bestehen. Ans diesen folgt, dass die Gleichungen (1.) und (2.) Gültigkeit behalten, wenn man in ihnen die Grössen

(4a.)

WO U

ßi r; y

X,

durch

Y,

die Constanten

durch

aa + bß+cy, au + bß'+cy', au"+bß" + cy"

und die Constanten

durch

a,

V,

c'

ersetzt.

a'a + b'ß + c'y, a'u'+b'ß'+c'y', a'u"+b'ß"+ c'y"

Das neue Axensystem werde nun so angenommen, dass

au + bßr + cy' = 0, au"+bß"+cy" = 0

wird: zu dem Ende setze man

(5.)

\Ja² + b² + c2 u = al, ß — bl, y — cl

und lege der Quadratwurzel ihren positiven Werth bei; dann ergeben sich die obigen Gleichungen aus

den bekannten Relationen

u'²+ ß,2 + y³ = 1 au’+ ßß'+ yy — 0,

denen zufolge die Grössen ß\ y anzunehmen sind, und

u" — ßy—yß' ß" = ya'—uy’

V" — aß'-ßu,

(6.)

(7.)

in.

25

durch welche die Grössen a", ß'\ y" bestimmt werden. Setzt man noch

dX

dY

dZ

so verwandeln sich die Gleichungen (1.) und (2.) in die folgenden:

(8.)

*<¹⁺²^⁺lr(ut)

Z(l+2A),,+ A(u-|l)

Z(l + 2A)C + -^-(u-^] r + y? + C²

(9.)

während an die Stelle der Gleichungen (3.) die folgenden treten:

4#-c&)- h m(c£~*§)-

(10.)

Z+ii'

u(t

dt]

ds

ät\ ¹¹ ai)

= - Y+h",

in welchen die Constanten h, h\ k" die Werthe

(11.)

besitzen.

h — —I (a'a + b'ß + c'y) = — h' = -l(a'a'+b'ß'+cy) h" = — I (a «"+ b'ß"+ c’y")

Aus den Gleichungen (9.) ergiebt sich

aa’+ bb'+ cć

a² + b² + e²

dl

i~di + r‘ ds

dr> + C-A = 0

ds

d²l

ds²

+ ri

æ-q

d² c

ds²

ds²

Multiplicirt man also die Gleichungen (8.) der Reihe nach mit fj, vj, Ç nnd vereinigt sie sodann durch Addition, so erhält man

l(l + 2k)-lX = |

oder

(12.)

n = i-i.

Aus den Formeln (10.) erhält man dann ferner

d(ri + ÊÇ)'

t-H

(Y-h") + i(Z+JÏ) = (£-Z)

= (t-i)

di

dlog (v] + iQ

ds

(rj + iQ.

Es ist aber

dlog (r^ + iC) _

ds

dr\    d£

T| ds    ds

d£,    d^

^ ds    ds

7j²+C²

ff + C²

1 — £² ds

■~ + i

(i-FXS-J)

also wird

(13.)

(F-Ä") + i(Z+Ä') = {

i-2 dl _• ä|

i-r ds

l-£

}(*] + *£)•

Daraus folgt

(r-/*")²+(^+⁷0² =

(i-^ /dfy ² 'Usj

i-i

i-r

Andererseits ergiebt sich aber aus den Gleichungen (10.) unter Berücksichtigung der Formel (12.) und der Gleichung

ds

dC

dr]

ds

dass auch

(r-r)²+(^+^)² = (t-iy-h*

ist. Setzt man die beiden erhaltenen Werthe für den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung einander gleich, so entsteht die Gleichung

(14.)

Sie ist eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung zur Bestimmung der Function £ des Arguments s; die Grössen h und l sind dabei willkürlich

Diese Differentialgleichung hat die singuläre

anzunehmende Constanten. Lösung

£ = Io»

wo £o einer der speciellen Werthe von g ist, für welche die Gleichung

(i-r)(£-r>²-A² = 0

besteht. In der That ergiebt sich eine Lösung der Differentialgleichungen (1.) und (2.), bei welcher £ constant ist. Soll das Letztere der Fall sein, so muss in Folge der Gleichung (11.) auch die Function X einen constanten Werth haben. Die erste der Gleichungen (8.) giebt also

H1 + 2% = 1,

und aus den beiden anderen findet man, wenn man

V—⁻¹

setzt und zugleich beachtet, dass

r/+C² = 1 —I²

eine von der Variablen s unabhängige Grösse ist,

= cos (ms) + j? sin (ms),

= — JB cos (ms) + A sin (ms),

wo A, B reelle Constanten bedeuten. Damit die Gleichungen (9.) bestehen, müssen die Constanten den Bedingungen

A²+B² + % = 1,

m²(A²+B²) = 1

unterworfen sein, aus denen sich

£² + — ⁰ m²

ergiebt. Es ist nun aber vermöge der Gleichung (12.)

2/1+1 =

2£₀-l

also in Folge der obigen Gleichung /(2A + l)|o == 1 auch

6.(21»-0 = 1.

Diese Gleichung dient zur Bestimmung der Constanten £o; sie hat stets zwei reelle Wurzeln, eine positive und eine negative, von denen eine dem absoluten Betrage nach stets kleiner als 1 ist. Für einen solchen Werth von £o wird dann, wie die drittletzte Gleichung zeigt, auch m reell.

Es werden also die Gleichungen (8.) und (9.) befriedigt, wenn man, unter l eine beliebige positive und unter |o eine solche Constante verstehend, deren absoluter Werth kleiner als 1 ist,

A ==

und für 7], C die angegebenen Ausdrücke setzt, wobei jedoch die im Übrigen willkürlichen Constanten A, B der einen Bedingung

A²+B² = i-g;

gemäss zu wählen sind. Die Grösse h hängt ebenso wie A von £₀ und l ab, und zwar in folgender Weise. Aus den Werthen von 7] und C ergiebt sich also vermöge der ersten der Gleichungen (10.)

lï ⁼ ïPï ⁼ v/l-ë’

so dass zwar £ in der That eine Wurzel der Gleichung

ist: man sieht aber

dass nur dann eine Wurzel dieser Gleichung zu .der besprochenen Lösung der Differentialgleichungen (8.) und (9.) führt, wenn die Grösse h so gewählt wird, dass zwischen ihr und der willkürlich genommenen l eine Relation von der Art besteht, dass jene Wurzel zugleich die Gleichung

6(26-2) = 1

befriedigt und zwischen den Grenzen +1 und —1 gelegen ist. dingung erfüllt, nnd bestimmt man £, tj, C wie angegeben worden

Ist diese Be-

so er-

hält man weiter

X - |₀ S + X₀ ,

wo X₀ eine Constante bezeichnet, und aus der Gleichung (13.)

Ho

i-r₀

Ho

—    (A sin (ms) —B cos (ms)) + h'\

171

—    (A cos (ms) + B sin (ms)) — h' ;

771

woraus sich dann schliesslich mittels der Formeln (4 a.) die Ausdrücke oo, «/, z ergeben. Es ist bei der Herleitung dieser Ausdrücke worden, dass £* nicht gleich 1 sei; dies kann aber nicht stattfinden, weil dann, der Gleichung

von

angenommen

gemäss, die Grösse (g₀ — /), d. h. ll gleich Null wäre (8.) also folgen würde, dass die Functionen tj, Ç alle drei constant wären, was der zweiten der Gleichungen (9.) widerspricht.

Den besprochenen singulären Fall bei Seite lassend, nehme man jetzt an, dass die Function f sich nicht auf eine Constante reducire. Dann kann es eintreten. dass

aus

den Gleichungen

h = 0

ist. In diesem Falle hat man nach der Differentialgleichung (14.)

und es muss also, da die Grösse (|-Z) nicht beständig gleich Null ist, die Function % der Gleichung

genügen, also

I = cos (s — s₀)

sein, wo s₀ eine Constante bedeutet.

Aus der ersten der Gleichungen (10.) folgt ferner

di]

⁷¹ ds C- ds ~

Daraus folgt

7] — Asin(s — s₀), C = B sin (s — s₀),

wo A, B reelle Constanten bedeuten, unter denen der ersten Gleichung (9.) wegen die Relation

A²+ B² = 1

man

bestehen muss; dann ist aber auch die zweite Gleichung (9.) erfüllt. Diese Ausdrücke von £, 7j, C genügen nun wirklich den Gleichungen (8.), wie sich durch Einsetzen überzeugt, 'wenn man die Grösse l der Gleichung

u = i-z

gemäss bestimmt. Aus ihnen erhält man dann

sin (s-s₀) + X₀,

Y = - Acos(s-5₀) + r₀, z — B cos (s s₀) -j- Z₀,

wo X₀, F₀, Z₀ Constanten bezeichnen. Die Curve ist also auch in diesem besonderen Falle ein Bogen eines Kreises.

Bestimmung der

zur

und es ist vermöge der ersten der Gleichungen (9.)

-»iHjLrŚL ¹ äs äs

dlog(7] + K) _

äs

7]²+C²

i-i²

₌ cos(g-g₀)

sin (s — s₀)

Im allgemeinen Fall, wo also weder die Constante h den Werth Null noch die Function g einen constanten Werth hat, gelten Grössen g, tj, C die Gleichungen

(14.)

(15.)

(i-0!(-§-J= (i-i *)(«-«)’-*•,

ä log (7] + iC)

i dt

äs

I-I² äs

(i-!²)(S-Z)'

Es sei s₀ irgend ein bestimmter Werth des Arguments s, für welchen ~ nicht verschwindet, und £₀ der zugehörige Werth der Function £, und

zwar

von der Art, dass die Grösse ((l — £*)(£„ — l)*—h²) einen positiven Werth hat, und demnach £o zwischen — 1 und +1 liegt. Dann giebt es zwei bestimmte Werthe §,, g₂, von denen der erste zwischen —1 und go, der andere zwischen |o und

+ 1 gelegen ist, von der Beschaffenheit, dass für g = gl und g —g₂ die Function ((1 -£²){è-iy-à²) gleich Null wird, für jeden zwischen gt und g₂ enthaltenen Werth von g aber positiv ist. Es ist also

(f) =

wo F(g) eine rationale Function des Arguments g ist, welche für g = | , l — êa und für jeden zwischen gi und g₂ liegenden Werth von g positiv ist. Wie in der Abhandlung »Über eine Gattung reell periodischer Functionen«*) gezeigt wurde, ist demnach g eine reguläre und reell periodische Function des unbeschränkt veränderlichen Arguments s, und zwar hat man

è = v(s + g),

wo cp (5) eine noch von den Constanten l, h abhängende Function bezeichnet, während g die Integrationsconstante ist, die so bestimmt werden kann, dass für einen beliebigen bestimmten Werth von s die Grösse g einen zwischen g₀ und g₂ willkürlich angenommenen Werth, und zugleich ~ ein vorgeschriebenes Zeichen erhält. Dabei bleibt g beständig in dem Intervalle (g₁ — ga) und erreicht dessen Grenzen für unendlich viele Werthe des Arguments s.

Aus der Gleichung (14.) ist nun ersichtlich, dass ebenso wie die Grösse (1-g²) auch die Grösse (g-/) für keinen Werth von s verschwindet; es ist also der Ausdruck

(i-O(i-r)

Da nun der Relation

ebenfalls eine reguläre Function des Arguments s.

Tf+C =* 1-g²

wegen

gesetzt werden kann, wo cp eine reelle Function der reellen Grösse s bezeichnet, so ergiebt sich zu deren Bestimmung aus der Gleichung (l 5.) die folgende:

(16.)

äs    (1 -g²)(g-0 '

*) Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften dieser Ausgabe.]

vom

22. Februar 1866. [Bd. II, S. 1

Bezeichnet man nun den mittleren Werth, welchen die Function auf der rechten Seite der vorstehenden Gleichung besitzt, mit so hat die Function <[) die Form

(17.)

Ÿ = h> + ^(s+3r)+lF(s+0)>

wo <jj₀ eine reelle Constante, ^(V) eine reelle reguläre Function von s ist, deren mittlerer Werth gleich Null ist, und welche dieselbe reelle Periode besitzt wie die Function cp(s). Demnach ergiebt sich

(18.)

v) + iC = /,l(s+i,)+'")<.(4>₁(s + ÿ) ₊ i'I>s(s+ÿ)),

eine Gleichung für die Grössen tq , C, in welcher O^s), 0₂(s) ebenfalls reelle reguläre Functionen des Arguments s bedeuten.

Damit ist die Existenz von drei reellen Functionen §, yj, C des Arguments s nachgewiesen, welche den Gleichungen (14.), (15.) gleichzeitig genügen, und in welchen die Integrationsconstanten so bestimmt sind, dass die Gleichung

!² + if+ C² = 1

Es ist jedoch nunmehr noch zu zeigen, dass zwischen den so

stattfindet.

bestimmten Fhmctionen |, 7], C und der durch die Formel

U = %-l

gegebenen A wirklich die Gleichungen (8.) und (9.) bestehen, wobei zu beachten ist, dass sich diese Bestimmung der Function A als nothwendig erweist, wenn die genannten Gleichungen mit einander vereinbar sein sollen. Aus den Gleichungen (8.) und (9.) ergeben sich dann durch die Substitution

\Jd* + b² + ć

-^r- = «I +    + «"C,

ds

ds

^ ₌ ßt + ß'ri + ß"r,

äs

die Gleichungen (1.) und (2.).

26

III.

Aus der Gleichung

di\²

ds

= i-r-

h²

folgt

d²i

tt-l)

daher oder

l;

dies ist die erste der Gleichungen (8.), wenn man, wie angegeben, IX = % — l einsetzt.

Es ist ferner nach Gleichung (15.)

l i(j-Q dj h \ \ l~i² ds ⁺

d(m + iV)

woraus folgt

£(«-*>

ä^ + iq

ds

Es ist aber

urrwMiH-*)

-d-o

i+r

(i-r)

-(f)

+«

2Ag di

(l-i²)² ' ds

i+i²

/i²(i+i²)

1-1

(l-i²)² ds

= _(2i-o-(i-o

f(0 _ i²(i-z)

i-z i-i²

A²(i + i²)

i-e

/^²i²

(i-r)²(i-0

+»

Ä²

(1—r)²(i —0    (l-F)'(g-l)

d|_

(i-i²)² ' ds ’

2 Ai di (l-i²)² ' ds ;

daraus folgt

f\s) +

m _

i-i ~

Es ergiebt sich demnach

+ (2|-0(>J + iC) = 0

oder durch Trennung des Reellen und Imaginären

= 0.

Es bestehen also die Gleichungen (8.), wenn man für |,Y],C irgend drei den Gleichungen (14.) und (15.) genügende Functionen des Arguments s, und für X den durch die Formel IX = |    / gegebenen Ausdruck setzt.

Aus der Gleichung (15.) ergiebt sich aber nun weiter

4-iogcv+c-j —tËV"# = -æ-1 og(1-r):

daraus folgt

V + C = C( i-|²),

wo C die Integrationsconstante bedeutet. Man kann also durch eine passende Wahl der in den Functionen rn C auftretenden Integrationsconstanten, z. B. dadurch, dass man der oben mit <]># bezeichneten nur reelle Werthe beilegt, stets bewirken, dass die Gleichung

r,²+C² ₌

besteht. Endlich folgt noch aus der Gleichung

dt]

ds * ds

1 — |² ds

(i-r)(i-o

dass

oder

dyj\²

ds

ds

(i-ry

•(f)’

Id

(i-r)²(i-0²

Ur i-r U/

(f)'

+i

*iY

dC V

•W+c¹)

Id

(i-rKi-0⁹

ds

ds

ds

ist. Man sieht also in der That, dass die auf die angegebene Weise bestimmten Ausdrücke für |,vj,C,A die fünf Differentialgleichungen (8.) und (9.) befriedigen.

Da stets, wenn

£* + 7j*+ C² = 1

ist, die Gleichung

d:

dlogfr + it)

r dri ’ ds

ds

i—è² ds

besteht, so sieht man aus der Gleichung (15.), dass man in den Formeln (10.), welche eine Folge der Gleichungen (8.) sind, der Constanten h denselben

während man den

beiden anderen Constanten h\ K' willkürliche reelle Werthe ertheilen kann. Man erhält dann mittels der Gleichung (13.) die Grössen Y\ Z durch die Functionen i, tj, Ç, ~ ausgedrückt, während X durch die Gleichung

i-r

"Werth beilegen muss, wie in dem Ausdrucke von

dX

ds ^

bestimmt wird. So ergeben sich definitiv die Coordinaten x, y, z durch die Formeln

(19.)

x = uX+ ct'Y+a'Z y = ßX + ß'Y+ßr,Z z = y X + y' Y -j- y"Z.

Dabei ist noch zu bemerken, dass man ohne Einschränkung der Allgemeinheit der in den Ausdrücken von tj, Ç vorkommenden Constanten <po den Werth Null geben kann. Setzt man nämlich

(20.)

fXs+äQ+’ÜO+^Ji

(21.)

Y+iZ =

g-Z di

1-g* ds

1-1

so wird

(Y-W) + i{Z+V) = e^oi(Y+iZ),

also

(22.)

Y = Fcos ^₀— Z + V Z = F sin <h> + Fcos<j>₀— A',

und man erhält, wenn man, den mittleren Werth der Function y(s) mit p bezeichnend, eine Function <f(s) so bestimmt, dass

(23.)

« - ,»->•

und der mittlere Werth von cp(s) gleich Null wird, und dann

(24.)

X — p’(ß + g) + y(s + g)

setzt, die Formeln

(25.)

x = aX + atY+ cc₂Zx0 y — ß N + ß₁ Y + ß₂ Z + y0 e = yX + yiY+yaZ+z₀, in welchen x₀, y₀, z₀ Constanten bedeuten, die beliebige Werthe erhalten können, Kii ßii Vi denselben Relationen wie vorher a\ ß\ /, nämlich den Gleichungen

a\ + ßl + y\ ⁼ 1 >

aat+ ßßi + yyj, — o

genügen, und ß₂, y₂ durch die Formeln

«₂ = ßYi-vß ß 2 =

y 2 = «ßi~ß«i

gegeben sind.

Die Grössen X,Y,Z sind nun Functionen von (s + ^), welche keine anderen willkürlichen Constanten enthalten als h und l. Die Grössen a, 0, y; a , 01, y ; a₂, 0₂, y₂ kann man rational durch drei andere, die dann beliebig anzunehmen sind, ausdrücken. Demnach enthalten die Ausdrücke von x, y, z ausser der mit der unabhängigen Veränderlichen s additiv verbundenen Constanten g noch acht willkürliche Constanten.

3.

Nach dem Vorhergehenden ist die zu lösende Aufgabe auf die folgende zurückgeführt :

Man bestimme zunächst eine Function § der unbeschränkt veränderlichen Grösse s, welche der Differentialgleichung

genügt; dabei bedeuten Ä, l reelle und positive Constanten, deren im Übrigen willkürliche Wahl an die Bedingung geknüpft ist, dass es reelle Werthe von I geben muss, für welche die Function

*(S) = (i

positiv ist. Setzt man ferner fest, es soll die Function £ an der Stelle (s — 0) einen der Werthe annehmen, für welche Jß(£) verschwindet, so ist sie nunmehr vollständig definirt und hat für jeden reellen Werth ihres Arguments einen ebenfalls reellen Werth, der zwischen —1 und +1 liegt.

Nach Ermittelung der Function {• bestimme man zwei reelle Functionen 7], des Arguments s, für welche die Differentialgleichung

dlog (?) + G)

1 — I² ds

gilt, wobei zu beachten, dass die Grössen (1 — £), (1 +g), (g — /) alle drei für keinen reellen Werth von s gleich Null werden. Die Constanten der Integration sind dabei so zu wählen, dass die Bedingung

rß+C ₌ i_g»

ds

(i-r)d-o

stattfindet. Alsdann setze man

X = ft{s)ds Y+iZ =

t-l dl

i-r ds

-i

1-É

+ G)

wo der Werth der Function X an der Stelle (s = 0) beliebig angenommen werden kann, so wird

dZ

dY

Endlich bestimme man die Grössen x,y,z durch die Formeln

x = aX + a'Y+a"Z+xQ, y = ßX+ß 'Y+ß”Z+y₀, z — yX+y'Y+y"Z+z₀,

von

in denen a, a"; /S, ß\ ß"’ y, y\    a?₀, y₀, £₀ reelle Constanten bedeuten

welchen die neun ersten so gewählt werden müssen, dass

(x-xj + (y-y₀)' + (z-z₀y = X² + F²+X²

für unbestimmte Werthe der Grössen X, Y, Z wird — welche sich also * rational durch drei von einander unabhängige Grössen ausdrücken lassen. Dann stellen die Grössen x, y, z, wie man auch die Constanten h, /; a, a\ a" • ß, ß\ ß"j y, y\ y"j xo, yo, zo den angegebenen Bedingungen gemäss annehmen möge, stets die rechtwinkligen Coordinaten eines beliebigen Punktes einer krummen Linie dar, welche der in Bede stehenden Aufgabe genügt, und für welche die Veränderliche s die Bogenlänge bedeutet.

Umgekehrt lassen sich von einer jeden Curve, welche der behandelten Aufgabe genügt, die rechtwinkligen Coordinaten eines ihrer Punkte in der Form der obigen Grössen &, y, z darstellen, wenn man von gewissen Grenzfällen ab sieht.

Nunmehr soll zur expliciten Darstellung der Grössen æ, y, z übergegangen

werden.

Man führe eine Grösse u ein mittels der Gleichung

C ds

u ~ J UÂC

*y0

so

durchläuft, wenn s stetig wuchsend von — oo bis +oo übergeht, u ebenfalls beständig zunehmend die Strecke (— oo • • • + oo); man kann daher die Grösse jj, und ebenso 73, Ç; X, F, Z\ x, y, z als Functionen von u ausdrücken. Dann ergeben sich die Gleichungen

(1-)

(2.)

(H)'= a -exi-o*-*’ = m)

d log (■/] + *£) _ l dè . h “ l²-l' du l²-l

du

dl

dl

tH I CM

du

1-1

1-1

+ TT

du

. h

2\l+l Zl+1

(3.)

Y+iZ =

dl

hl

i²-i 'du+lr-i

dl

dl

du

. h

- 2\g-l⁺ *l-l

1 [du . h

2\J+Ï~ZJ+Ï

G-)

(5.)

ds

du

Setzt man nun

so ist

A = -1

_Z? =

ł‘

l-*¹ w

B = -

I*

A' = ?² —A²

und

I •B'd) = id-o(i+d-2r),

*.(i) =

Daraus bildet man

D = B.

w(1 + ¥iS)

(6.)

ł*

= -i(l -P)* + Ä*

= 2D(Siy-g,)-AE' = 22>(8Z)*-ÿJ) + -Lr.

Die so bestimmten Grössen y₂, y₃ sind die Invarianten der im Folgenden kommenden 6- und ^-Functionen.

Wenn die Discriminante

g₂ = ^^-4J5I?'+3Cr2

vor-

£ - ^-27^²

positiv ist, so hat die Gleichung

m) = o

\iei reelle T\ urzelnj ist sie negativ, zwei reelle und zwei conjugirt complexe. In beiden Fällen hat

eine Constante v so zu bestimmen, dass

i°v = 2D, pv — —2 iE

man

um die Grösse g als Function von u auszudrücken,

(7.)

wird. Versteht man unter

w den kleinsten positiven Werth von u

für den p\u ; g₂

9z) = 0

unter

& den kleinsten positiven Werth

von u

für den *>’(«; g,, -g,) = 0

VON DELAUNAY HERRÜHRENDE AUFGABE DER VARIATIONSRECHNUNG.

wird, so ist in beiden Fällen v von der Form

a<ed);

v = 2isö)'

setzt man nun u₀ — \ v, so dass also u₀ die Form

u₀ = isw

hat, so wird in beiden Fällen durch die Gleichung

(8.) eine der Differentialgleichung (1.) und den angegebenen Bedingungen genügende Function dargestellt, welche für reelle Werthe des Arguments u stets ebenfalls reelle Werthe annimmt.¹)

von

Wenn die Gleichung jR(g) = 0 die beiden reellen Wurzeln a0l al hat, von denen a₀ die grössere sein soll, so nimmt die Function g für u = 0 den Werth a₀, für u — u> den Werth ax an; für alle anderen reellen Werthe u befindet sich g beständig im Intervalle (ao...a).

Wenn die Gleichung Jß(g) =0 die vier reellen Wurzeln a0l ax, aa, ßs hat, von denen «₀ grösser als ax grösser als a₂ und a% grösser als a₃ sei, so liefert die Formel (8.) eine zweite Function g, welche für u — 0 den Werth a₃, für u = ü den Werth a₂ hat, im Übrigen aber von derselben Beschaffenheit wie die erste ist, wenn man

«o =

Dabei ist zu beachten,

annimmt. — Man kann demnach stets bewirken, dass die den reellen Werthen des Arguments entsprechenden Werthe der Function g beständig zwischen a und ax oder beständig zwischen a₂ und a₃ liegen, dass a₀ und a₃ im Innern des Intervalls (—1--- + 1) liegen, sowie, dass die Grösse l keinem der genannten Intervalle angehört. Es soll dies weiter unten noch näher auseinandergesetzt werden.

so giebt es zwei

Bezeichnet man die so bestimmte Function g mit y(u)

III.

9'fa) = ih, v’fa) — —ih

Werthe u₂ der Variablen u, für welche

9 fa) =    ¹

9 fa) = -¹

ist, wobei die Gleichungen für die Grössen cp'(^), cp'(w₂) aus den anderen folgen, wenn man berücksichtigt, dass die Function -R(l) für | = 1 und für § = — 1 den Werth — h² annimmt. Man kann auch den Grössen u₂ rein imaginäre Werthe geben.

Ist nämlich, die Discriminante (^® —27^) als negativ vorausgesetzt, der Werth aQl den die Function cp(u) für u — 0 annimmt, die grösste Wurzel der Gleichung R(Q = 0, so kann man setzen

u₁ =

vm)

u₂ =

V-R(i)

* V-B(l)

” dl

L Ww

-I

WO

I r di i r1 U, ±»

di

während man das unbestimmt gebliebene

dann ist cffa) = 1, cp(^₂) = — 1 Vorzeichen in den vorstehenden Formeln so festsetzen kann, dass auch die

Gleichungen y(ui) ⁼    9(u») — ~^¹ bestehen, wobei zu beachten ist, dass

cp(u) eine grade Function von u ist. — Ebenso wird das Behauptete be-^ wiesen, wenn in dem Falle, wo die Gleichung i?(§) =0 vier reelle Wurzeln hat, cp(V) diejenige Function ist, deren Werth für u — 0 der kleinsten dieser Wurzeln gleich ist.

Nachdem dies festgestellt ist, betrachte man die Functionen (1 — g) und (l + g); ihre gemeinsamen Unendlichkeitsstellen sind (uQ) und (— uo), während die Nullstellen für die Function (1 —|) die Stellen (uj, (—2^), für die Function (1 + 1) die Stellen (uj, (-u) sind. Man hat demnach

1-1 = <v

(10.)

6(u — ut) 6(u + uj 6(u — u₀) 6(u + u₀)

6(u — u₂) 6(u + u₂)

C'² 6 (u — u₀) 6(w + u₀)

Die noch zu bestimmenden multiplicativen Constanten c₄, c₂ haben jedenfalls, da die Functionen (1 — £) und (l + l) für jeden reellen Werth von u positiv sind, beide reelle positive Werthe; sie werden dadurch ermittelt, dass man

dem Argumente u specielle Werthe (wi5 u₂, wo) ertheilt, für welche die Function £ (oder deren Ableitung) bekannte Werthe annimmt. Auf diese Weise erhält man

cx = —i

G (2 u₀)

(11.)

6{u₁-u₀)6(:u₁ + u₀)

c₂ = +i

6(2u₀)

6 (w₂ - n₀) 6 (u₂ + u₀)

es ist demnach

1 — | = —i

6 (2u₀) 6(u — ux) 6 (u + ux)

(12.)

6 (ux — u₀) 6 (ux + u₀) 6(u — u₀) 6 (u + u₀)

l + £ = +i

6 (2u₀) 6(u — w₂) 6 (u + w₂)

S (wf - w₀) 6 (w₂ + w₀) 6 (u - w₀) S (m + u₀)

Ferner ist

#'(S) -

o d³£ ; d£ = 2 ^> + Wq)-^>-^₀)

dw³ ' d«    p (u + u₀) — p (w — u₀)

woraus sich mittels der Formel (15.) des Artikels 9

1 —Z²

(Z-|)i + —g— = ff>(w + w₀) + P(«-w₀)

ergiebt; daraus folgt nach der Gleichung (4.)

Z²-l 6'

(13.)

(14.)

6'

Weiter hat man zufolge der Gleichung (2.)

du

dlog(rj + ZC) _ £ <p'(u) + ?'M ₊ i_ ?'(M) + <?'M .

2 <p(w)-<p(«0    2 <p(u)-<p(ua) ’

Setzt man in diese Gleichung für die auf der rechten Seite auftretenden Zähler und Nenner die aus den Gleichungen (12.) berechneten Ausdrücke ein, und wendet auf das so erhaltene Resultat die Formeln des Artikels 11 und die Formel (1.) des Artikels 38 an, so ergiebt sich nach einigen leichten Umformungen die Gleichung

6'

6'

S'

du

(15.)

1/6'    S'    6'    6'    \

27 [-Q    - Uo) + -0 (Ui + Wo ) + -ß (M2 - Mo) + 5- (W2 + M₀)J zu setzen ist, also eine reelle Grösse bedeutet. Daraus folgt

„ , ir _ r    »«u

¹    ’    6(w —w₀) 6 (u + «o)

wo C die im Allgemeinen complexe Integrationsconstante ist, und weiter

— imu

__,*r ₌ r' Sfo + wJSfo + tt,)

/    6(w — m₀) 6(u + w₀)

wenn C" die mit C conjugirte Grösse bezeichnet. Durch Multiplication erhält man aus den beiden vorstehenden Gleichungen

1-i² = cc-

6 (u — M,) 6 (m + wx) 6 (w — u₂) 6(w + w₂) _

6²(u — u₀) 6²(u + u₀)    ¹

nach den Gleichungen (10.) muss also

CG' = cxc₂

sein; man kann demnach

C= S/c^e^,

C'=^e~^

setzen, wo eine reelle Constante bedeutet. Sie entspricht der im vorigen Abschnitt (vgl. Gleichung (18.)) mit c[>₀ bezeichneten, und kann daher, wie dort nachgewiesen, ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit gleich Null genommen werden; man kann also

(16.)

in welcher

„_àr __ t/TT ^(M + uJS^ + M,) -imu

¹    V 1 2    5(w_    + w₀) annehmen.

Endlich ist noch zur Bestimmung der Grössen Y, Z die Function

ft

r-i

H    _ ¹ ?'(“) + v'M _ _i <p'(u) 4- <p'(m»)

ś²-l 2 <p(u) — <p(ut) 2 <p(w)-cp(w₂)

zu berechnen, welche mit a(u) bezeichnet werden möge: man erhält auf dem

<nog to+tc)

nämlichen Wege, wie er vorher zur Berechnung der Function gegeben wurde, den Ausdruck

dn

an-

ff(») = §(«■-«O- %(«-«.) + j §(«V-«o) + ~ §(w,+«o)-^(“r“₀)-j|(M!+M₀)'

Daraus erkennt man, dass die Function g(u) eine elliptische Function zweiten Grades von u ist, für welche (uj, (u₂) zwei nicht congruente Unendlichkeitsstellen sind. Ist nun g(u) für specielle Werthe von u gleich Null, so ist auch

(|-Z)²-/*²

i-i²

= 0;

dies ist der Fall, wenn man g = l±h: d. h.

(0= a-?)*■-** = - k\i±h)

oder

dl

setzt.

Es wird aber in der That g{u) gleich Null, wenn I = l±h,

du

gesetzt wird. Demnach lassen sich zwei Argumente w₃, so angeben, dass die Gleichungen

= —ih(l + Ji) cp'(w₄) = —ih(l — Ji)

erfüllt sind; die Stellen (u₃), (u₄) sind die Nullstellen der Function g(u), und daher stets so bestimmbar, dass die Relation

w, + w₂ = w₃ + ué

besteht. Die Function g{u) lässt sich dann darstellen in der Form

6 (u — w₃) 6 (u — w₄)

6(w — mJ 6(u — u₂) ’

wo c eine Constante bedeutet, welche dadurch ermittelt werden kann, dass

(17.)

cp(u₃) = l + 7i,

?M = l~]h

g(u) =

man die beiden Ausdrücke für die Ableitung g\u) einander gleich setzt und dem Argument einen speciellen Werth (uj beilegt. Auf diese Weise erhält man

c = __

6 (Mj — w₈) 6 (m₃ — w₂)

Für die Function g{u) ergiebt sich also der Werth

du

r-i

___ 6 (ut — u₂) 6 (u — uz) 6 (u — ut — u₂ + ua)

i² — 1    6(w, — m₈) 6 («, — w,) 6(u —    6(m — u₂) '

Nunmehr folgt aus der Gleichung (3.) für Y, Z die Formel

imu

(18.) Y+iZ —

also auch

\lcJ. ⁶ (“» ■- ui ) 5 (U - 213) 6 (m - ^ - m, + «*,) < G(w₃—w₂)6(w-m₀)S(w + w₀)

(19.)

wenn

ist.

Y-iZ = \!cY ⁶ (Ul ~ u2 ) 5 (m - K ) 6 (w +    + m₈ + u'₃ )

6 («•' + mJ 6 («4 + w,) 6 (w - m₀) 6 (u + u₀) ’

unter ?/' die mit 24 conjugirte Grösse verstanden wird, so dass

?«) = l + h, <pK) = *ä(2 + ä)

— imu

dX dY dZ -,    . ,

*«*->-* als eindeutige

So sind demnach jetzt die Grössen X,Y,Z] und reellwerthige Functionen einer unbeschränkt veränderlichen reellen Variablen u dargestellt; sie hängen ausserdem noch ab von den beiden willkürlichen Constanten h, l.

Daher sind auch die Grössen

(20.)

~ = ccX+ a'Y+cc"Z+x0 y = ßX+ß’Y+ß"Z+y0 j — yX + y Y + y"Z + z₀

dx 0. y dz 'ii* 11    .•    1    .

'di’dï'lïs' emdeutlge Functionen des Arguments u, m

und ihre Ableitungen welchen noch acht von einander unabhängige Constanten auftreten.

Die Grösse s erhält man mittels der Gleichungen (5.) und (8.) als Function von u ausgedrückt in der Form

(21.)

6(m + «o)

6(m₀)

-log

⁶(u-u₀)) S(-«o) i’

wo in dem Falle

dass der Punkt (u — 0) der Curve von der Stelle (5 = 0) nicht verschieden ist, für diesen Punkt jedem der Logarithmen der Werth Null zu geben ist.

Den vorstehenden Untersuchungen mögen noch einige Bemerkungen über die Nullstellen der Function

m) = (1

beigefügt werden. — Zunächst werde angenommen, dass die positive Constante l nicht gleich 1 sei; unter dieser Voraussetzung besitzt die Function

deren Ableitung

ist, zwei Maxima und ein Minimum.

Wenn erstens l< \ ist ein, wenn | die Werthe

so

treten die Maxima Xi?X₂ der Function x(£)

_ i-\j8 + r

<0

Z+\/8 + Z³

>o

annimmt, wo dann

u₂ = -

und

Xi > X₂ > ⁰

ist; das Minimum (x = 0) liegt an der Stelle (£ = /), und man hat

■H

NH«*

ta

— K|,<o<ki,< + i,

In diesem Falle hat also die Gleichung

m) = o,

wenn h²^y₂ ist, vier reelle Wurzeln, die in den Intervallen gelegen sind; sie hat, wenn ^₁<ä²<x₁ zwei reelle Wurzeln, und diese liegen in den Intervallen

(-1.

Wenn h² — y₂₎ so fallen von den vier reellen Wurzeln zwei an der Stelle (|₂) zusammen; wenn h² = */i5 so gilt dies von den beiden reellen Wurzeln und für die Stelle (§J. Die Gleichung hat überhaupt keine reellen Wurzeln, wenn h² > yt ist.

Wenn zweitens / > 1 ist, so treten die Maxima    ^ = 0) der

Function y(g) ein, wenn | die Werthe und / annimmt; das Minimum (X = X₂) liegt an der Stelle (g₂), und man hat

Xi

-ft    o

+ ¹ Xs

Vitt

-lc^cOc + l <l₂cl. In diesem Falle hat also die Gleichung

m) = ⁰

wenn /r<v ist, zwei reelle Wurzeln, die in den Intervallen

zusammen. Die

liegen; ist h² = so fallen sie beide im Punkte (jjj Gleichung hat keine reellen Wurzeln, wenn h² > yx ist.

Es werde nun vorausgesetzt, dass die Grösse l gleich 1 sei; dann nimmt auch die oben mit £₂ bezeichnete Grösse den Werth 1 an, und die Function X(!) hat ein Maximum (v ) für £ = — |, aber kein Minimum:

X,

In diesem Falle hat also die Gleichung

m) = 0,

wenn A² < ^ ist, zwei reelle Wurzeln, die in den Intervallen

(-i--ł), (-ł- + i)

Ist

liegen, und die, wenn A² = Xi im Punkte (-}) zusammenfallen. A² > y , so besitzt die Gleichung überhaupt keine reellen Wurzeln.

28

in.

ANMERKUNG.

Die vorstehende Abhandlung ist aus Aufzeichnungen entstanden, welche Weierstrass im October 1884 im Anschluss an einen mit Herrn H. A. Schwarz geführten Briefwechsel von Wilhelmshöhe aus an diesen gesandt hat. Die Bearbeitung des Manuscripts rührt von den Herren R. Rothe und H. A. Schwarz her, welche auch die bis zum Jahre 1884 reichenden Literaturangaben hinzugefügt haben.

K.

FORTSETZUNG DER UNTERSUCHUNG ÜBER DIE MINIMALFLÄCHEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom December 1866.)

Die kleinste Fläche, welche von einer einfachen — d. h. durch keinen Punkt mehr als einmal gehenden — geschlossenen Linie begrenzt wird, hat bekanntlich die Eigenschaft, dass ihre mittlere Krümmung überall gleich Null ist. Überdies lässt sich zeigen, dass sie eine einfach zusammenhängende, monogene und in ihrem Innern keinen singulären Punkt enthaltende Fläche ist. Daher kann sie durch die in meiner frühem Mittheilung²) angegebenen Gleichungen dargestellt werden. Die Bestimmung der in diesen Gleichungen³) vorkommenden Functionen G(^), H(u) ist aber, bei vorgeschriebener Begrenzung der Fläche, im Allgemeinen mit unüberwindlichen Schwierigkeiten verknüpft. Ich habe mich daher darauf beschränkt, den Fall, wo die Begrenzung aus geraden Strecken zusammengesetzt ist, genauer zu untersuchen, und erlaube mir, das verhältnissmässig einfache Resultat, zu welchem ich gekommen bin, der Akademie in wenigen Worten mitzutheilen, wenn ich auch auf die Herleitung desselben heute nicht eingehen kann.

Die a. a. O. mit (E) bezeichnete Figur, von der die zu bestimmende Fläche (.M) ein conformes Abbild sein soll, sei ein um den Nullpunkt der Coordinaten (p, q) mit dem Radius 1 beschriebener Kreis. Dann entspricht jedem im Innern und in der Peripherie dieses Kreises liegenden Punkte (u=p + qi) ein Punkt (x, y,z) von (M), und es gelten die folgenden Gleichungen, in denen $o) yo, z₀ die Coordinaten des zu dem Mittelpunkt des Kreises gehörenden

(und willkürlich anzunehmenden) Punktes von (M) bedeuten:

-H⁴(u))du,

x — a?₀ + 9î f (6t⁴(m)

Jo

y₀ + 91 Ji {G\u) + E\u)) du

s = #₀+9î f 2 G(u) H(u)du.

Jq

Die in diesen Formeln vorkommenden Functionen G(u), H(u) besitzen nun an allen Stellen im Innern und in der Peripherie des genannten Kreises, mit Ausnahme derer, die den Ecken des die Fläche (M) begrenzenden Polygons entsprechen, den Charakter ganzer Functionen, so dass sie auch durch Keihen von der a. a. O.⁴) angegebenen Gestalt dargestellt werden können. Ferner genügen sie beide einer und derselben linearen Differential-Gleichung zweiter Ordnung, deren Coefficienten rationale Functionen von u sind.

Die in dieser Differential-Gleichung vorkommenden Constanten, sowie diejenigen, welche durch die Integration eingeführt werden, hängen ab von den Pichtungen und den Längen der einzelnen Strecken, aus denen die Begrenzung von (M) besteht. Im Allgemeinen erfordert die Bestimmung dieser Constanten die Lösung transcendenter Gleichungen; es ist aber nicht schwierig, specielle Fälle aufzufinden, in denen man zu vollständig entwickelten Ausdrücken von G(u), H(u) durch bekannte Functionen gelangen kann.

Die Figur (JE) kann übrigens auch eine der beiden Halbebenen sein, in welche die Ebene der (p, q) durch die p-Axe getheilt wird. Die Constanten der Differential-Gleichung sind dann sämmtlich reelle Grössen.

Eine ausführlichere Mittheilung behalte ich mir vor.

ANALYTISCHE BESTIMMUNG EINFACH ZUSAMMENHÄNGENDER MINIMALFLÄCHENSTÜCKE, DEREN BEGRENZUNG AUS GERADLINIGEN, GANZ IM ENDLICHEN LIEGENDEN STRECKEN BESTEHT.

Im Folgenden sollen diejenigen Untersuchungen und Beweismethoden mitgetheilt werden, welche zu den bereits im Jahre 1866 in der kurzen Abhandlung: «Fortsetzung der Untersuchungen über die Minimalflächen«*) veröffentlichten Resultaten geführt haben. Die Unterscheidung derselben drei Fälle, welche im Nachstehenden mit L, II., III. bezeichnet werden, ist bereits in einer im Jahre 1868 verfassten, in den Sitzungsberichten der Akademie vom Jahre 1894, Seite 1237 —1266 veröffentlichten Arbeit von H. A. Schwarz enthalten; die Art der Herleitung ist aber von der hier mitgetheil-ten in mehreren wesentlichen Punkten verschieden.

Die hauptsächlichsten Resultate der Abhandlung »Untersuchungen über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist«**) werden im Folgenden vorausgesetzt.

Das Problem, um welches es sich handelt, ist das folgende:

Es soll ein einfach zusammenhängendes Minimalflächenstück (M)

aus n

welche eine einfache, geschlossene, nicht verknotete Linie bilden.

analytisch bestimmt werden, dessen vorgeschriebene Begrenzung (L) geradlinigen, ganz im Endlichen liegenden Strecken besteht,

*) Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 20. Dec. 1866. [S. 219—220 dieses

Bandes.]

] -

**) Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 26. Juni 1866. [S. 39 — 52 dieses

Bandes.]

Es werde zunächst das Verhalten des Flächenstücks (M) in der Nähe eines Eckpunktes A untersucht, welcher zwei aufeinander folgenden Strecken der Begrenzung (L) gemeinsam ist; hierbei soll vorausgesetzt werden, dass die Fläche in der Nähe des Eckpunktes A einfach ist, mit andern Worten, dass sie keine von der Ecke A ausgehende Doppelcurve besitzt.

Es seien AA, AA" die beiden an der Ecke (A) zusammentreffenden Strecken der Begrenzung (X); ihre Bichtungen bilden mit den positiven Bichtungen der drei Coordinatenaxen Winkel, deren Cosinus die Werthe

a, ß, y haben mögen; ferner sei viz die Bogenzahl des Winkels, wel-

ß\ y

chen die Bichtungen der beiden Strecken AÄ und AA' mit einander bilden, wobei festgesetzt werden soll, dass die positive Zahl v nicht grösser als 1 ist. Setzt man dann

cos (vir) = — d

so bestehen die bekannten Belationen

«²+ ß² + f = l, a'*+r + Yn = F au' + ßß' + yy' = d.

Der seiner Lage nach als gegeben zu betrachtende Eckpunkt A habe die rechtwinkligen Coordinaten a, b, c, während unter x, y, z die eines unbestimmten Punktes des Minimalflächenstückes (M) verstanden werden sollen. Definirt man dann drei Grössen p, p, q durch die Formeln

a . (x —a)+ a . (x — a) +

ß . (y-b) + ß' . (y-b) +

y .    (z-c),

y . (*-c),

P =

P =

q = (yß,— ßy'^x — d) + (ay'—ya')(y — b) + (ßa—aß')(z — c)

so bestehen umgekehrt für die Grössen x—a,y — b,z — c die Gleichungen

,. yß'-ßy'

•P H—₁ — ^2 Q.

ay'—yu 1-d2    ¹

r'~ra .„•+ P*-“?..«

1 —d²    1-d²

a — ad

a = ■ ₁_d2 X +

a — ad

1-d²

(L)

y-b =

. ß-fi'9

1-d²

■P +

ß'-ßd

1-d

r-P' +

y — y'd

c =    +

und es findet noch die Relation

(1 — d²)-j(æ — a)²+(î/ — &)*+(£ — c)*} = p¹ +p'²Ą- q*—28pp' statt; es sind dann feiner die durch die Formeln

X = p

8p—p'

(2.)

\Jl — 8²

\Jl-8²

bestimmten Grössen X, Y, Z die rechtwinkligen Coordinaten des betrachteten unbestimmten Punktes (a?, y, 2), bezogen auf ein anderes rechtwinkliges Axen-system, dessen Ursprung der Punkt A ist, dessen X-Axe in die Richtung der Strecke AA' fällt und dessen X-Axe auf den beiden Strecken A A und AA senkrecht steht. Das System (X, F, Z) kann mit dem System {x,y,z) zur Deckung gebracht werden.

Nach diesen Vorbereitungen nehme man an, es sei ein in der Umgebung

des Punktes A gelegener Theil von kleinsten Theilen ähnlich auf eine Ebene (E) abgebildet, deren Punkte die

(M) zusammenhängend und in den

von

Werthe einer complexen Veränderlichen u geometrisch darstellen. Man kann dabei voraussetzen, dass dem Eckpunkte A der reelle Werth u = u0l den Punkten der Strecke AA" reelle positive Werthe der Grösse (u-u₀), den Punkten der Strecke AA reelle negative Werthe der Grösse (u-u₀) entsprechen, während für alle inneren Punkte des abgebildeten Stückes (,M) der imaginäre Theil der Grösse u positive Werthe besitzt.

Wie in der Abhandlung »Untersuchungen über die Flächen, deren mittlere Krümmung überall gleich Null ist« gezeigt worden, lassen sich die Coordinaten x, y-, z in der Form

x = SR,f(u), y = fRg(u), z = 9ÎA(w)

das Zeichen 9Î angiebt, dass der reelle Theil der nach-

darstellen

folgenden Grösse zu nehmen ist, und unter /(^), h{u) drei analytische

wo

Functionen des complexen Arguments u verstanden werden, welche der Bedingung

(3.)

(*m\ (ikM-W __ o

[du j [du ) [du ) g

Genüge leisten. Von ihnen wird vorausgesetzt, dass sie sich für alle Werthe der Variablen u, die im Innern und auf der Begrenzung des Ebenenstückes liegen, auf welches der betrachtete Theil von (M) conform abgebildet ist, regulär verhalten und den Charakter ganzer Functionen besitzen, mit Ausnahme des Werthes für diesen Werth und für seine Umgebung mögen die reellen Theile der drei Functionen f{u)₎ g(u), h(u) endlich und stetig sein.

Definirt man drei analytische Functionen P, P', Q des Arguments u durch die Formeln

cc . f(u) + a . f(u) +

ß • ff(u) +

ß' • 0(«O +

y . 7i(u) y . h(ii)

F -----

Q = ^yß'—ßy')f{il)jr{ay'—ya')g{u)^{ßa'—aß')h{u)

so bestehen umgekehrt für die Functionen f(u), g(u), h(u) drei Gleichungen, welche den obigen Formeln (1.) ähnlich lauten, und aus denen man mit Hülfe der Gleichung (3.) folgert, dass die drei Functionen P, P', Q der Relation

(4.)

[du )    [ du ) ~ [du )

du du

Genüge leisten. Sie stehen mit den oben eingeführten Grössen p, p\ q in folgender Beziehung: Bezeichnet man mit po, p[, qo drei Constanten, welche die Werthe

ß . b + ß' . b +

Po =

Po =

q₀ — (yß'—ßy')a + (ay—yu')b + (ßa'-aß')c

besitzen, so gelten die Gleichungen

P+Po = p'+p'₀ = HP' q + q₀ = ÏHQ.

Es ist nun das Verhalten der drei Functionen P, P', Q für die der Umgebung der Stelle (u₀) angehörenden positiven und negativen reellen Werthe der Differenz (u—u₀) gesondert zu untersuchen.

1. Es bezeichne s den Abstand eines beliebigen Punktes der gebrochenen Linie AAA vom Punkte A, positiv in der Richtung AA\ negativ in der Richtung A A gerechnet; dem Punkte A' entspreche der Werth u — u". Für das Intervall (u₀... u") gelten dann die Gleichungen

x = as + a, y = ßs + b, z — ys + c,

und es nehmen die Grössen p, p\ q die Werthe

p = s, p' = ds, q = 0

an, woraus dann mittels der Gleichungen (5.) folgt, dass

SK(P'-dP) = p[-àp = %

ist. Für alle Werthe des Argumentes u, welche dem genannten Intervalle angehören, haben also die reellen Theile der Functionen P — dP, Q constante Werthe. Daraus folgt, dass die beiden Ausdrücke für dieselben Werthe von u rein imaginäre Werthe, ihre Quadrate also reelle negative Werthe besitzen. Beachtet man nun, dass zwischen den Grössen    die Gleichung (4.) besteht, welcher auch die Form

—V* fdQ^

(6-)

(L)

9IQ

dP’

du

dS und 4^-

du

du

(8.)

du

du

du

gegeben werden kann, so sieht man, dass die Grösse gegebenen Werthe von u ebenfalls nur reelle und zwar nur positive Werthe besitzen kann, den Werth Null nicht ausgeschlossen. Es ist daher

für die an-

Hieraus folgt, dass längs der Strecke A A

31 (tP) = C

ist, unter C eine reelle Constante verstanden.

(9.)

m.

29

2. Dem Punkte A entspreche der Werth u — u. (u'...u₀) gelten dann die Gleichungen

Für das Intervall

x = a's + a, y = fi's + b,

S — y S + C.

Durch Schlüsse, welche den unter 1. angegebenen völlig entsprechen, ergiebt sich, dass längs der Strecke A A die Gleichungen

(10.)

9t(P-äP') =p₀-dp'₀

= 2o

= C

fftQ

9l(*P')

bestehen, wo C eine reelle Constante bezeichnet. Setzt man

(11.)

Po-iC = p'-iC' =

so kann man unter Beachtung des Umstandes, dass die Constanten jt>₀, jt/, qo, C, C reelle Werthe besitzen, die gefundenen Ergebnisse (6.), (7.), (9.) und (10.) in die folgende Form setzen:

1.    für das Intervall (u₀...u"):

H(i(P-P₀))

K(P’-P'-d(P-P₀)) = 0,

¹

Man erhält die obige Gleichung (8.) leicht aus der allgemeinen, für die Umformung eines elliptischen Differentials geltenden, wenn man noch die Formeln (2.) des Art. 11 und (16.) des Art. 12 der »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen« von H. A. Schwarz, zweite Ausgabe (Berlin 1893), in Rücksicht zieht; auf diese Schrift beziehen sich auch die im Folgenden angegebenen Citate.

27

²

[S. 39—52 dieses Bandes.]

³

[S. 42 dieses Bandes (Gl. 14).]

⁴

[S. 42 dieses Bandes (Gl. 16).]

= 0:

m-Qo)

2.    für das Intervall (u...u₀):

= 0,

ÿt(i(Pr-P'))

Ä(P-P₀-d(P'-P')) = 0

= 0.

»(«“«o)

Die aus den Functionen (P— P₀), (P'— P'), (Q — Q₀) gebildeten Ausdrücke

t|P'-P₀'+e”ł (P-P₀)j.(*-Mor, tjP'-P.'+e-”“ (P-P₀)|.(W-w₀r,

sind als Functionen der complexen Veränderlichen u zunächst nur für solche Werthe ihres Arguments erklärt, für welche

9U (u — u₀) < 0

nen

ist, d. h. für alle solche der oben angegebenen Umgebung des Punktes (u₀) angehörenden Werthe von w, deren imaginärer Theil nicht negativ ist. Für diese sämmtlichen Werthe — den Punkt (u₀) zunächst ausgeschlossen — besitzen diese Functionen den Charakter ganzer Functionen. Sie haben aber ferner die Eigenschaft, für die der genannten Umgebung angehörenden reellen Werthe ihres Arguments ebenfalls nur reelle Werthe anzunehmen. Nach einem bekannten Theoreme¹) ist es daher möglich, dadurch dass con-jugirten Werthen des Arguments u conjugirte Werthe der drei Functio-zugeordnet werden, die Erklärung der letzteren auf die ganze Umgebung des Punktes (u₀) in der Weise auszudehnen, dass sie für alle dieser Umgebung angehörenden Werthe ihres Arguments — den Werth u₀ zunächst noch ausgenommen — den Charakter ganzer Functionen besitzen. Es ist daher jede der drei angegebenen Functionen für die Umgebung des Werthes u0 in eine Reihe entwickelbar, welche nach Potenzen der Grösse (11 — u₀) mit reellen ganzzahligen positiven und negativen Exponenten fortschreitet, und in welcher die Coefficienten der einzelnen Glieder sämmtlich reelle Werthe besitzen.

Man kann demnach unter Abtrennung des constanten und reellen Factors

2 sin (vu)

(12.)

2i sin (vu) • P¹(u j u₀)

j P'-P'+eVKi (P-P₀)}(>-w₀) j P'- PÓ + e~VKi(P- P₀) J o - uoy = - 2i sin (vir) • Q¹(u [ u₀)

Q-Qo

= — 2 i sin (v x) • R¹(u\u₀)

wobei P¹(^|^₀), Q¹(u\u₀), R¹(u\u₀) wieder drei Potenzreihen von

setzen

{u — u) bedeuten, welche die eben angegebenen Eigenschaften besitzen. Diese drei Reihen convergiren unbedingt für alle Werthe der Variablen u, für welche der absolute Betrag der Grösse (u-u₀) eine vorgeschriebene hinreichend kleine von Null verschiedene positive Zahl e₀ nicht übersteigt.

Für das Folgende von der wesentlichsten Bedeutung ist nun die Möglichkeit des Nachweises, dass in den Potenzreihen P*(w|w₀), Q*{u\u₀), R*(u\u₀) die Coefficienten sämmtlicher Glieder mit negativen Exponenten verschwinden, mit anderen Worten, dass die betrachteten drei Functionen für die Umgebung des Werthes u₀ auch mit Einschluss desselben den Charakter ganzer Functionen haben.

Für die Function R*{u\u₀) ergiebt sich dieser Schluss sofort aus dem Umstande, dass die Grösse q, der reelle Theil der Function

(13.)

Q — Qo = - %i• R*(u\u₀),

in der ganzen Umgebung der Stelle (u₀) und für diese Stelle selbst endlich und stetig bleibt.

Für die Functionen P*{u\u₀) und Q*(u\u₀) kann die angegebene Eigenschaft auf folgende Weise dargethan werden.

Aus den Gleichungen (12.) ergiebt sich zunächst

P -P

(14.)

(u - uj • P*(w I w₀) +    (u - u₀)~v • Q*(u I u₀)

P'-R'o = -e-'«\u-uJ-T*(u\u₀)-e'«\u-u₀)-'-Q*{u\u₀)

und ferner

P'-P₀'+(P-P₀) cosM

P-P-i

p_p , i P'-PÓ+(P-Pq)cosM

⁰    sin(v7r)

sin (vn:)

= 2(w —w₀)v P*(u\u₀)

= ²(u-u₀)~vQ*(ul'u₀)

Q-Qo

sin (v~)

— 2iR*(u j u₀).

Bezeichnet man nun mit ux die zu u conjugirte complexe Grösse und beachtet, dass die Coefficienten der Potenzreihen P*, Q*, R* sämmtlich reelle Werthe haben, so folgt aus den vorstehenden Gleichungen unter Berücksichtigung von (2.), (5.) und (11.)

x+iY = (u-u₀yp*(u K) + K-w₀rß*KK)

(15.)

X-iY = (w₁-w₀)vP*KI«o) + (M-u₀)~vQ*(tt |w₀)

Z = -<(Ä*(w|M₀)-jB*(»l|«o)).

Es werde ferner, unter n eine ganze Zahl und unter fn, gn7 hn reelle Grössen

verstanden,

g*(Mjw₀) = ^gn{u-u₀)n

n

(n — —oo —h oo)

B*(u\u₀) = 2K{u-UoY

gesetzt, wo der Summationsbuchstabe n in den beiden ersten Summen alle ganzen Zahlen, in der dritten nur alle positiven ganzen Zahlen zu durchlaufen hat.

Intervall 0 < w < ic angehörende Grösse w der Art, dass die Gleichungen

u — u₀ = u₁ — u₀ = ee"

erfüllt sind, und versteht unter m eine beliebige ganze Zahl, so ist e(m-r)wi' (X+iT) = 2 /n £ ”⁺* e (m + H) W * + 2    £ ” ~ V e (m ~ W) W *

Bestimmt man endlich eine positive Grösse e und eine dem

eewi

wi

+ 9r

n—n

m-n-v

je““',

(n = -00..- + 00)

oder, wenn von beiden Seiten dieser Gleichung der reelle Theil genommen wird

Xcos((m — v)iv) — rsin((m — v)w) = 21^»

m-w-v

I cos (mv)

£«-w+r + g

(W = — CO--- + CO).

Aus dieser Formel ergiebt sich durch Integration in Bezug auf die Variable w zwischen den Grenzen 0 und ic die folgende

i—m

m—n

r j X cos ((m -v)w)-Ysin ((m -v)w) j div •'o

der Ausdruck auf der linken Seite eine stetige Function der

in welcher

Variablen e ist von der Eigenschaft, dass sie, wenn e unendlich klein wird, ebenfalls unendlich klein wird. Diese Eigenschaft auf der rechten Seite stehenden Ausdruck gelten, wie auch immer die ganze

Wird der Grösse m der Werth Null bei

muss also auch für den

Zahl m gewählt werden möge.

folgt, dass der Coefficient g₀ verschwinden muss,

rechten Seite der Gleichung stehende Ausdruck für unendlich dem absoluten Betrage nach unendlich grosse Werthe

gelegt, so der auf der kleine Werthe von e

weil andernfalls

annehmen würde. Wird der ganzen Zahl m ein positiver von Null verschiedener Werth beigelegt, so folgt aus denselben Gründen, dass der Coefficient f_m verschwinden muss. Wird der ganzen Zahl m endlich ein negativer von Null verschiedener Werth beigelegt, so folgt, dass auch der Coefficient q verschwinden muss. Es ist also

(für n — — 1, ••• —oo)

(für n = 0, — 1,-2,----oo).

Damit ist auch für die Functionen P*(w|^o), Q*{u\uo) die oben ausgesprochene Behauptung erwiesen. Es hören demnach die durch die Gleichungen (12.) definirten Functionen auch an der Stelle (u₀) nicht auf, den Charakter ganzer Functionen zu besitzen.

Nachdem dies festgestellt ist, mögen mit

fn = o

9n = 0

die Ordnungszahlen der Glieder niedrigster Ordnung in den Potenzreihen

2*(«l«₀), Q*(u I *0 > -ß*0«K)

bezeichnet werden, so dass

p*(u\u₀) = 2fn(u-u₀y,

w

$*(«!0 = H9n{u-U₀T,

n

B*(ii\u₀) = ^hn{u-u₀)n

ist. Die ganzen positiven Zahlen a, t, c sind nicht unabhängig von einander, denn zwischen den Functionen P*(u\u₀), Q*(#]m₀), JR?(u\u₀) besteht die Beziehung

(16.)

welche sich aus der Gleichung (8.) dadurch ergiebt, dass man in ihr die Functionen P, P', Q durch P*(u\u₀), Q*(^|^₀), R*(u\u₀) mittels der Formeln (13.) und (14.) ausdrückt. Die vorstehende Gleichung kann aber nur dann bestehen, wenn die Grössen o, 6, c der Bedingung

(17.)

ct + 6 = 2c

BESTIMMUNG VON MINIMALFLÄCHENSTÜCKEN MIT GERADLINIGER BEGRENZUNG. 231 genügen, während unter den Coefficienten fa, g , hc die Gleichung

(a + v)(b-v)fagb = eh\

stattfindet. Es ist zu beachten, dass die Zahl f> unter den angegebenen Voraussetzungen den Werth 1 nicht annehmen kann, wie sich durch folgende Betrachtung ergiebt. Angenommen zunächst, es wäre o gleich Null, während 6 den Werth 1 hätte, so würde, da die Zahl c mindestens gleich 1 ist, der Bedingung (17.) nicht genügt werden können. Wäre aber a positiv, während B den Werth 1 hätte, so würde, wie die erste der Gleichungen (15.) zeigt, das in dem Ausdrucke von (X + '/V) enthaltene Glied niedrigster Dimension in Bezug auf die Grösse £ den Exponenten (1 — v) haben, also, abgesehen von Gliedern höherer Dimension,

X+iY = g₁.s¹~ve~a~r)wU—

der, von einem Vielfachen von 2ir abgesehen, gleich viz ist.

sein; dies steht aber im Widerspruch damit, dass wenn man der Grösse £ einen genügend kleinen constanten Werth beilegt und die Grösse w das Intervall (0 ... tu) durchlaufen lässt, die Grösse (X + *T) einen Winkel überstreichen muss,

Demnach sind die ganzen Zahlen a, 6, c, ausser der Gleichung (17.), noch den Bedingungen

a> 0, B>2, c>l

zu unterwerfen.

Es soll nun von der Voraussetzung Gebrauch gemacht werden, dass das untersuchte Minimalflächenstück in der Umgebung des Eckpunktes A die

ein einfaches Flächenstück zu sein, d. h. es sollen zu

Eigenschaft besitzt

verschiedenen "Werthen des Argumentes u auch verschiedene "W erthe der

Es ist hierzu nothwendig und hinreichend, dass

Grössen X, V, Z gehören, entweder die ganze Zahl a den Werth 0, oder die ganze Zahl f> den Tritt nämlich keiner dieser beiden Fälle ein, so lässt sich

Werth 2 habe.

das durch die Formeln (15.) analytisch dargestellte Minimal

zeigen, dass

flächenstück in seinem Innern jedesmal mindestens eine vom Eckpunkte A

Die reellen Constanten

ausgehende Doppelcurve besitzt.

fn (*^ß)» 9n

sind hierbei keinen anderen Bedingungen zu unterwerfen, als der, dass die

Jin (w> c)

Potenzreihen P*(u\u₀), Q*(u\u₀), R*(u\u₀) für alle Werthe der Variablen, u convergent sind¹, für welche

|w-w₀l<£0

ist, und dass für den durch die vorstehende Ungleichheit definirten Bereich die Gleichung (16.) erfüllt ist.

Nach diesen Darlegungen sind gemäss den Beschränkungen, denen die ganzen Zahlen a, B, c zu unterwerfen sind, folgende Fälle zu unterscheiden:

HH hH

III.

Il II A

= 2,

= 2:

demnach ergeben sich diesen drei Fällen entsprechend für die Grössen X, F, Z, durch welche das Minimalflächenstück analytisch bestimmt wird, folgende Entwickelungen nach Potenzen der Grösse immer nur das Anfangsglied angegeben werden soll.

von

denen jedoch

I.

X + iY = f₀ sV'm' +••• X-iY = f₀eve

Z = 2h₁zsmw + ••• sJX²+Y² + Z² = f₀ bv+...,

X + iY \JX²+Y² + Z

— vtei

(C = 1)

\JX² + Y² + Z²

—Lp}-*

fo

sin w H-----

II.

X + iY = f₀zverwi X—iY — f₀ave

Z = 2hc sc sin (civ) H— \JX²+Y²+ Z² = f₀e'+--,

X + iY \JX² + Y²+Z²

— rtoi

(f> 0)

(Ol)

\jX² + Y² + Z²

_ 9 K _c-v

- f/

sin(cw>) + ••• •

welche sich aus den Gleichungen (1.) sofort ergeben.

Durch die vorstehenden Untersuchungen sind die verschiedenen Möglichkeiten erschöpft, welche unter den angegebenen Voraussetzungen hinsichtlich der Beschaffenheit eines in der Nähe der Ecke A liegenden Stückes einer Minimalfläche eintreten können, dessen Begrenzung die beiden auf einander folgenden geradlinigen Strecken A'A, AA" enthält.

Es seien nun G*(u), H*(u) zwei Functionen des Argumentes u, welche mit den Functionen P*(u\u₀), Q*(u\u₀), R*(u \uo) durch die Gleichungen

^ ((«-«„)” p*(«i«.)) = -(ß* («»'

±((u-uomu\ua)) = (G*(u)Y,

30

III.

\/X² + Y²+Z'■ X + iY

\fX²+Y²+Z²

X +    = g₂z²-ve-⁽-²-^wi+...

X — iY = g₂z²~ve⁽-²~r)wi +••• Z = 2äcsc sin {zw) Ą----,

= e-(«-*)*<₊.

(ff» > o)

(c = 2)

— 2 —sc (2 r) sin (cm?) -t-----

Vx² + r²+z²

Die ursprünglichen Coordinaten a?, y, £ findet man nach Ermittelung der drei Functionen P*(w|w₀), Q*(w|w₀), P*(^j^₀) und Bestimmung von P, P', Q aus den Gleichungen (13.), (14.) durch die Formeln

wp' ₊ jlh 1-d2    + l

■VIP +

vß'-ßv

-d²

ß-ß«

i-d²

•3tP' +

ay'—ya'

i-d²

•81«

y'—yd

1-d²

•9iP' +

ßa—aß'

1-d²

•««

ni.

verbunden sind. Diese beiden Functionen sind, abgesehen von einem ihnen gemeinsamen Factor ±1, durch die vorstehenden Gleichungen eindeutig bestimmt und zwar so, dass die erwähnte Differentialgleichung (16.) identisch erfüllt ist. In der Umgebung der Stelle (u₀) werden sie durch Ausdrücke von folgender Form analytisch dargestellt:

G*(u) — (u — u₀)

— |-(x—U

H*(u) = i(u — u₀)

in ihnen bezeichnen tyl(u\ u₀), ^Xu\uo) Heiken, welche nur Potenzen der Grösse (u — u₀) mit ganzzahligen positiven Exponenten enthalten, während die Coefficienten aller Glieder reelle Werthe haben. In Folge dieser Entwickelungen der Functionen G*(u), H*(u) bestehen aber folgende Gleichungen, in denen $₃(m|wo),    k)> ^ßB(u\u₀) ebensolche Potenzreihen bezeichnen, wie

GHu), ll*(u)

G*(u),    H*(u)

i?*®' ß»’

= i(u-u₀) ¹ $ß₈(u|w₀)

= i(u-u₀) ²%(u\u₀)

= i(u-u₀) ³ %₅(u]u₀).

du²

Hieraus ergiebt sich, dass die Functionen G*(u), H*(u) zwei particuläre Integrale einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

J-±-fWui).W= 0

$3 HO'

ä?W

dW

du²

du

sind.

Setzt man nun in Übereinstimmung mit den Festsetzungen der anfangs citirten Abhandlung

f(u) = G² (u) — H² (u), g'iu) = i(G²(u) + H²(u)) li(u) = 2 G(u)H(u),

wo dann die Gleichung (3.) identisch erfüllt ist, so ergeben sich die Functionen G(u), H(u) als ganze homogene Functionen ersten Grades der Functionen

G(u) = GG*(w) + ą#*G), Hill) = Cs G* (u) + Ci H* (u).

Für gegebene Werthe der Grössen a, ß, y j ß\ y können die Constanten G₂, C₃, C₄, welche stets die Gleichung C₁Ci — C₂Cs = 1 befriedigen, nur zwei von einander verschiedene Systeme von Werthen annehmen; die Werthe des einen dieser beiden Systeme gehen aus denen des anderen durch Multiplication mit — 1 hervor.

Die Beziehung der Functionen G*(u), H*(u) zu dem Systeme der Coordi-naten X, Y, Z ist der Beziehung der Functionen G{u), H{u) zu dem Systeme der Grössen a?, y, z analog.

Zwischen den Coordinaten y, z und X, F, Z desselben Punktes bestehen die Gleichungen

vß'-ßv' z

\/i - <r ’

ay—ya „

ßa—aß' 7 \Jl-d²

Die Coefficienten der einzelnen Glieder der auf den rechten Seiten stehenden Ausdrücke können in bekannter Weise wie folgt als eindeutige Functionen dreier Grössen (20, 2e', 2s") dargestellt werden:

cos 2 0 cos 2 s'cos 2 s"—sin 2 s'sin 2 s", cos 2 0 cos 2 s' sin 2 s" + sin 2 s' cos 2 s",

— sin 2 0 cos 2 s',

x — a = aX +

y — b = ßX +

z — c = yX +

ad — a

ad — a

s/i-d*

ßd-ß'

\Jl -d²

yd — y

\/ l - Ó ²

Y+

Y+

= — cos 2 0 sin 2 s' cos 2 s" — cos 2 s' sin 2 s",

\Jl-d²

ßd — ß_ __ _ cos 20 sin 2 s'sin 2 s" + cos 2 s'cos 2 e",

yd — y' _

\/r^ ~

sin 20 sin 2 s'.

yß -ßv’

= sin 20 cos 2 s",

ay — y a

Vi-d²

= sin 2 0 sin 2 s",

= cos 20.

ßcc'-aß'

\/l-ö²

Für vorgeschriebene Werthe von a, ß, y’ ß\ y giebt es, wenn von den Fällen abgesehen wird, in denen sich für cos 20 einer der Werthe +1,-1 herausstellt, nur ein einziges den vorstehenden Gleichungen genügendes und die Bedingungen

0 < 0 < - Tr,    0 < s' < t:, 0<e"dr

befriedigendes System, von Werthen (0, e', e").

Aus jedem solchen Systeme (0, e', e") ergiebt sich mittels der Glei

chungen

-(e'+ z”)i

= sin 0-' = cos0-e(s'+e")<

cos 0 • e C₃ = — sin 0 • e

eines der beiden Systeme von Werthen, welche die Constanten C , Cs, C₃, Ci unter den angegebenen Voraussetzungen annehmen können.

Aus dem Vorstehenden ergiebt sich, dass die Functionen Cr(«$), H(u) ebenfalls particuläre Integrale der oben erwähnten linearen homogenen Differentialgleichung sind.

Ot =

—(e'—e") i

Nunmehr betrachte man ein einfach zusammenhängendes von n ganz im Endlichen liegenden geradlinigen Strecken A₁A₂,A₂A₃,...An_iAn,AnAi begrenztes Minimalflächenstück (M)\ es soll vorausgesetzt werden, dass es in seinem Innern keine Punktsingularität, und in der Nähe jedes der n Eckpunkte die im Vorhergehenden angegebene Beschaffenheit besitzt. Man bilde das Flächenstück (M) auf die Halbebene

> 0

zusammenhängend und in den kleinsten Theilen ähnlich ab, wobei den Eck-

, u₂, ... un

des complexen Argumentes u entsprechen mögen. Yon diesen kann vorausgesetzt werden, dass sie sämmtlich reell und endlich sind. Wird das Flächenstück mittels der beiden Functionen G(u), H(u) analytisch dargestellt, so müssen diese für die Umgebungen der singulären Stellen (u —    ... un)

sich analog verhalten, wie die im Vorhergehenden betrachteten Functionen G(u), H(u) für die dem Eckpunkte A entsprechende singuläre Stelle (u = u₀). Der Werth u — oo ist für die Functionen G(u), H(u) insofern nicht singulär, als sie in seiner Umgebung den Charakter rationaler Functionen besitzen, welche für unendlich grosse Werthe des Argumentes u unendlich klein werden. In der Umgebung der Stelle (u = oo) gelten demnach Gleichungen von der Form

G (u), H (u) G'(u), H'iii) G(u), II (u) G"(u), H"(u) G'(u), H'(u) G"(u), H"{u)

in ihnen bezeichnen welche für unendlich grosse Werthe des Argumentes den Charakter rationaler Functionen besitzen, die für die Umgebung des Werthes u = oo endlich bleiben.

Die Functionen

G(u), H(u) G"(u), H"{u)

G\u), H\u) U», II'{u)

punkten

die Werthe

G(u), H(u)

g\u) , n\u)

besitzen also folgende Eigenschaften: sie haben für alle endlichen Werthe des Argumentes u mit Ausnahme der Werthe

Wj, u₂, ... un

238 BESTIMMUNG VON MINIMALFLÄCHENSTÜCKEN MIT GERADLINIGER BEGRENZUNG, den Charakter ganzer rationaler Functionen, und für die Werthe

ut, ua, ... un und oo

den Charakter gebrochener rationaler Functionen. Sie sind demnach nach einem bekannten Satze aus der Theorie der analytischen Functionen selbst rationale Functionen des Argumentes u.

Nunmehr ist die Aufgabe der analytischen Bestimmung eines Minimalflächenstückes (M) mit vorgeschriebener aus n geradlinigen Strecken bestehender Begrenzung zurückgeführt auf die Ermittelung zweier particulären Integrale G{u), H(u) einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Coefficienten rationale Functionen der unabhängigen Variablen u sind. Für reelle Werthe des Argumentes u nehmen diese Functionen ebenfalls reelle Werthe an.

Damit ist die in der eingangs erwähnten Abhandlung zuerst veröffentlichte Fundamentaleigenschaft der Functionen G(u), H(u) bewiesen.

Die Function G(u)H'(u) — H(u)G'(u)i welche nach dem Vorstehenden eine rationale Function des Argumentes u ist, kann, als Quotient zweier ganzen Functionen dargestellt, die keinen gemeinsamen Theiler haben, im Nenner keine anderen Factoren enthalten, als diejenigen des Productes

(ll — ujiu — ua)... 0— ttj.

Der Zähler aber ist, da die betrachtete Function für u — oo mindestens von der vierten Ordnung unendlich klein werden muss, eine ganze rationale Function höchstens (n — 4)ten Grades. Der Grad der betrachteten rationalen Function ist daher höchstens gleich n. Jeder der Werthe, für welche der Zähler verschwindet, und der Werth u — oo ist für die lineare homogene Differentialgleichung eine ausser wesentlich singuläre Stelle.

ANMEKKUNG.

Die vorstehende j noch nicht veröffentlichte Abhandlung hat Herr H. A. Schwarz auf Weierstrass’ Wunsch nach einer ihm mitgetheilten, ausschliesslich Formeln enthaltenden Aufzeichnung ausgearbeitet.

K.

ÜBER EINE BESONDERE GATTUNG VON MINIMALFLÄCHEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 1. August 1867.)

vor

Meine heutige Mittheilung bezieht sich auf eine bemerkenswerthe Gattung periodischer Minimalflächen, auf die ich gekommen bin, als ich mich einiger Zeit mit der Beurtheilung der am Leibniz-Tage d. J. von der Akademie gekrönten Preisschrift, deren Verfasser Herr H. A. Schwarz ist,²) zu beschäftigen hatte.

Versteht man unter <p(s) eine algebraische Function eines complexen Arguments s — die jedoch nicht die dritte Ableitung einer ebenfalls algebraischen Function sein darf — so wird, wie ich bei einer andern Gelegenheit zeigen werde, durch die Gleichungen

x — 91 f’(1 — s²) cp (s) ds y —    + s⁸) y{s)ds

8 = 91 f2s(o(s)ds,

besitzt, dass sie sich in un-

in denen x, y, z orthogonale Punkt-Coordinaten bedeuten, eine Minimalfläche dargestellt,³) welche die ausgezeichnete, in der Periodicität der Integrale algebraischer Differentiale begründete Eigenschaft endlich viele congruente, gleich li egende und einfach zusammenhängende Theile zerlegen lässt, also eine periodische Fläche ist. Versucht man aber, dieselbe durch eine für alle ihre Punkte geltende Gleichung zwischen

«/, z zu defmiren, so stellt sich heraus, dass dies nur in wenigen Fällen möglich ist. Denn eine solche Gleichung kann nur existiren, wenn in einen nach allen Richtungen hin begrenzten Theil des Raums nur eine endliche Anzahl jener Theile der Fläche eintritt — eine Bedingung, welche unter der gestatteteten Voraussetzung einer Zerlegung der Fläche, bei der mit jedem ihrer Theile dieselbe, aber möglichst geringe Anzahl anderer unmittelbar zusammenhängt, nur dann erfüllt ist, wenn diese Anzahl, die stets gerade ist, 2, 4 oder 6 beträgt, während sich leicht zeigen lässt, dass sie beliebig gross werden kann.

Noch mehr beschränkt wird die Wahl der Function cp(s), wenn die Theile der Fläche alle eine endliche Ausdehnung haben sollen, indem dann die in den Ausdrücken von x, y, z vorkommenden Integrale von der ersten Gattung sein müssen.

j wirklich

V ± (1 — 14s⁴ + s⁸)

In der genannten Schrift hat nun Herr Schwarz die Gleichungen zweier speciellen Flächen der in Rede stehenden Art ^cp(s)

hergeleitet, und es ergiebt sich aus diesen Gleichungen sowohl als aus der geometrischen Entstehungsweise der Flächen, dass sie in der That allen angegebenen Bedingungen genügen.

Es lässt sich nämlich bei der einen wie bei der anderen der Raum durch drei Systeme äquidistanter Ebenen so in Würfel zerlegen, dass in jedem einzelnen ein einfach zusammenhängendes Stück der Fläche enthalten ist, an welches sich in jedem der sechs benachbarten Würfel ein congruentes und gleichliegendes anschliesst.

Indem ich mir klar machte, in welcher Eigenthümlichkeit der Function <p>(s) diese merkwürdige Beschaffenheit der beiden Flächen ihren Grund hat, fand ich, dass es eine wohl definirte Gattung ähnlich gestalteter Minimalflächen giebt, bei denen an die Stelle jener Würfel Parallelepipeda treten, und erhielt zugleich die allgemeine Gleichung derselben in höchst einfacher und ansprechender Form.

Es liegt nahe, cp(5) gleich dem reciproken Werthe der Quadratwurzel aus einer ganzen Function R(s) achten oder siebenten Grades zu setzen, damit man in den Ausdrücken von x, y, z Integrale erster Gattung erhalte, wie es sein muss. Dann hat man, wenn a einen der Werthe von s, für welche R(s) verschwindet, bezeichnet, und unter st1 \/E₁ (s,) die mit

a, s, \jR(s) conjugirten complexen Grössen verstanden werden,

. f 1 — s² äs x = x₀+J —j

r. 1 + s² ds

y = ».+jf*-2

VS(«)

/* 1 — s² ds,

*/a.

Vs»)

V-B(s)

f*. 1 -j- S? ds,

J*-2--

WO

* = #0 + (~

Ja

sds

s,ds,

Vs»

Vs»)

wo æ₀, ?/₀, reelle Constanten bedeuten.

Damit aber aus diesen Gleichungen die Grössen s, s, sich eliminiren lassen, gebe ich den Coefficienten von R(s) solche Werthe, dass die Differentiale

1 — s, ds,

1 -f" s² ds,

² VS») ’

s,ds.

2 Vs»)’ Vs»)

durch eine Substitution gleichzeitig auf die Form der drei anderen gebracht werden können. Denn dann besteht, wie sich aus der Theorie der hyper-elliptischen Functionen ergiebt, zwischen æ, y, # in der That eine Gleichung

F(x,y,z) = 0,

in welcher der Ausdruck auf der linken Seite eine für alle endlichen Werthe von a?, «/, # eindeutig definirte Function ist.

Bezeichnet man die für einzuführende neue Veränderliche mit s\ so muss

1 + sl

l-s²

1-s'²

1 + s'²

2 s,

2 s'

2s,

2 s'

sein, und somit

s' = -

Vs (O = -y Vs»).

Es sind also die Coefficienten von JR(s) so anzunehmen, dass

oder, was dasselbe ist

wird. Daraus ergiebt sich

-BW =

-4₀(s⁸+l) +-4x(s⁷-s) + A₂(s⁸+s²) + A₃(s⁵— s³)

+ B₀(s⁸- 1)i + B^ + s) i + B₂(s*-s*) i + B₃(s⁵ + s³) i + Cs\

wo A₀, Ą, ... C reelle Constanten bedeuten.

Es kann jedoch die Anzahl dieser Constanten noch reducirt werden. Repräsentirt man die Werthe von s in der bekannten Weise durch Punkte auf der mit dem Radius 1 um den Nullpunkt der Coordinaten beschriebenen Kugelfläche,*) so gehört zu jedem Grössenpaare s, — j- ein Paar einander gegenüberliegender Punkte; und es besagt also die Gleichung

s⁸R

dass die Punkte, für welche R(s) verschwindet — denen im Falle, dass R{s) vom 7. Grade ist, der Punkt 00 zugesellt werden muss — vier Paare solcher Gegenpunkte bilden. Da nun, in Folge der geometrischen Bedeutung der Grösse s, denselben auf der Minimalfläche bestimmte singuläre Stellen entsprechen — diejenigen nämlich, durch welche drei Asymptoten-Linien gehen — so ist ihre Lage auf der Kugelfläche unabhängig sowohl von den Richtungen als von dem Durchschnittspunkt der Coordinaten-Axen. Man kann demnach die letzteren so annehmen, dass s für einen der acht Punkte = 0, für den gegenüberstehenden also = 00 wird, und für einen dritten einen reellen, positiven Werth a erhält, welcher nicht grösser als 1 ist, und dass zugleich xo, y₀, z₀ alle drei verschwinden. Dann wird

B (s) = Cs (s — a) {as + 1) {s — V) (b's + 1) (5 — c) (c's + 1),

wo &, c beliebige complexe Grössen und b\ c die denselben conjugirten bezeichnen, während C reell sein muss.

Unter Voraussetzung dieser Form von R(s) werde nun

ds

r 1-s²

iW)

r. 1 + s² ds

J:~

J 2

«'GO

f

«'CO

sds

\fm

*) S. die angeführte Abhandlung S. 618. [S. 43—44 dieses Bandes.]

(-ł) = w*’

mit der Bestimmung, dass unter F (s), F„(s)i Ft(s) simultane Werthe der drei Integrale, d. h. solche, zu denen man auf demselben Integrationswege gelangt, verstanden werden sollen. Dann erhalten die obigen Gleichungen für æ, s die Gestalt

x -f- w₁ + w[ — F₁[s) + Fj^^s ) y + w₂ + w, g = F₂(s) + FM) z + w₃ + w₃ = Fs(s) + FM)-

Nun ist, wenn unter sechs Veränderlichen    us, s, s\ s' die Gleichungen

= fm + fm + fm) u₂ = Ft(s) + F₂(s') + F₂(s”) u₃ = FM) + F₃(s') + FM)

angenommen werden kannt, dass sich das Product

aus der Theorie der Abelschen Transcendenten be-

(s₀-s)(s₀-s')(s₀-s"),

wenn s₀ irgend einer der Werthe von s ist, für welche R(s) verschwindet, und F₁(s₀) = w% F₂(s₀) = K, FM) = <

gesetzt wird — wobei es gleichgültig ist, welches System simultaner Werthe dieser Integrale genommen wird — in der Form

0²(^ - w\, u₂ - ivl, u₃ - tv°₃) c [ux, u₂, u₃\

6²K,    «,)

ganzen

auf den es hier nicht weiter ankommt. Hieraus ergiebt sich, dass 0(^l5 w₂, u₃)

darstellen lässt, wo Q(ut,ua,uz) eine eindeutige Function von ult u₃ bezeichnet, welche für alle endlichen Werthe dieser Grössen den Charakter einer rationalen Function besitzt, und [^, w₂, uj einen linearen Ausdruck,

stets gleich Null wird, wenn man

ut = fm + fm) u2 — F₂(s) + F₂(s') u₃ = F₃(s) + Fz(s')

setzt.

gesetzt, und

Fr (a) — w

FM = W2,

FM =

Denn man kann, welche Werthe auch s, s' haben mögen, die Grösse s immer so wählen, dass das Product

(So-S)(So -s’)(s₀-s")

für s" = oo ebenfalls unendlich gross wird; und dann ist der Nenner des vorstehenden Bruches nothwendig gleich Null, weil u₀ u , us stets endliche Werthe haben und deshalb der Zähler und der Exponential-Factor niemals unendlich gross werden können. Ferner ist (0,0, 0) ein System simultaner Werthe von F^s"), Ft(s")t Fs(s") für s" = oo.

Übrigens lässt sich auch beweisen, dass durch die vorstehenden Formeln alle Systeme solcher Werthe von ult ua1 für welche ^(u^u^u ) verschwindet, gegeben werden.

In Folge der obigen Ausdrücke von x, y, z ist hiernach

©(x + wx + tvj, y + w₂ + tv', z + iv₃ + Mg) = 0

die Gleichung der in Eede stehenden Fläche.

Zur vollständigen Entwicklung derselben ist nur die Bestimmung eines Systems von Fundamental-Perioden der Integrale jF (s), _F(Y), Fs(s) erforderlich, worauf ich jedoch, da der Umstand, dass die Coefficienten von    im

Allgemeinen complexe Werthe haben, einige Auseinandersetzungen nothwendig machen würde, hier nicht wohl eingehen kann, sondern mich begnügen muss, das Schlussresultat anzugeben.

Die Gleichung der Fläche lässt sich darstellen in der Form

nz’\

⁺-) = ⁰’

2

l, m, n    \

₊ (m +1) V

wo x\ y\ z homogene lineare Functionen von x, y: z bedeuten, wTelche man als die Coordinaten des Punktes (x,y,z) in Beziehung auf ein bestimmtes, im Allgemeinen schiefwinkliges Axensystem betrachten kann:

a, 13, y positive Constanten;

l, m, n ganze Zahlen

von denen jede bei der Summation alle Werthe von —oo bis +oo zu durchlaufen hat, und ^(/,    + n) eine

homogene ganze Function zweiten Grades von /, m + mit reellen

Coefficienten von der Beschaffenheit, dass die Function nur negative Werthe annimmt.

In dieser Gleichung giebt sich die Periodicität der Fläche unmittelbar zu erkennen. Der Baum kann durch drei Systeme äquidistanter Ebenen so in Parallelepipeda zerlegt werden, dass die Fläche durch alle hindurchgeht, und die in je zweien enthaltenen Theile derselben einander congruent und gleichliegend sind.

Da in der Function R(s) sechs willkürlich anzunehmende reelle Con-stanten Vorkommen, so scheint es, dass die Parallelepipeda jede beliebige Gestalt und Grösse erhalten können; ich habe dies indess noch nicht genau untersucht.

Schliesslich bemerke ich noch, dass Herr Schwarz in einem Nachtrage

zu seiner

Preisschrift die Aufgabe gelöst hat, unter der Voraussetzung, dass ₂ly eine ganze Function 8ten Grades sei, dieselbe auf die allgemeinste Weise so zu bestimmen, dass die zugehörige Fläche gerade Linien enthalte und sich durch eine algebraische Gleichung zwischen drei elliptischen Functionen, deren Argumente lineare Functionen der Coor-dinaten sind, darstellen lasse. Jede Fläche, die diesen Bedingungen

genügt, gehört der hier betrachteten Gattung

die Co efficienten der Function % (zwischen denen bei der angenommenen

an, und wird erhalten, wenn

man

Form von R(s) zwei Belationen bestehen) so bestimmt, dass die vorstehende Thetafunction dreier Argumente in eine Summe von Producten dreier elliptischer Thetafunctionen, deren Argumente lineare Functionen von jenen sind, verwandelt werden kann.

ANMERKUNG.

K.

Die vorstehende Abhandlung enthält gegen Ende einige unrichtige Behauptungen, es schien jedoch nicht angebracht, Änderungen vorzunehmen.

EINFACHER BEWEIS EINES HERMITESCHEN SATZES.

Es seien «a, ... ccn reelle Grössen. Unter m werde irgend eine positive ganze Zahl verstanden, und es bedeute (m)y die grösste in (mccv + }) enthaltene ganze Zahl, so dass

— •§- < mav — (m)v <c

0 < mccv — {m)v + I < 1

.. n. Man bezeichne ferner, unter r eine positive ganze Zahl,

ist für v = 1, 2

die grösser als 1 ist, verstehend, mit (w, r\ die grösste in r(mav— (*») +}) enthaltene ganze Zahl, und betrachte für irgend einen bestimmten Werth

von r,

m = 1, 2, ... rn + 1

setzend, die (r"+l) Werthsysteme

(UO»

(²>0i

(1)

(²)

(M'X ••• (UOn

(2,0.    •••    (²>0n

(r”+ 1) (rw+l,r)i (r"+l,r), ... (r"+l,r)n.

Da jede der Zahlen (m₎r)v einen der Werthe 0, 1, ... r — 1 hat, so kann es unter den vorstehenden Werthsystemen höchstens rn von einander verschiedene geben; es müssen also mindestens zwei von ihnen identisch sein, d. h. es muss zwei verschiedene in der Reihe 1, 2,...rn+l enthaltene Zahlen m,m" geben, für welche

« 0v = (m"> rX

ist. Es sei m > m', so hat man

0<<d

32

r(niav— (m')v + 1) = K + (m'> r)v r (m”ar — (m")v + f) = e" + (m", r)v

III.

¹

|flan vergleiche: »Gesammelte Mathematische Abhandlungen« von H. A. Schwarz (Berlin 1890), Bd. II, S. 66.

²

S. den Bericht über die öffentliche Sitzung vom 4. Juli d. J.

³

Ygi meine Abhandlung in den vorjährigen Monatsberichten, S. 619. [S. 43 dieses Bandes.]

Daraus folgt

K-m'K-K).+ (»'), =

Es liegt also (m"— ?w')    (m")v + (m')v zwischen — — und 4-, also auch zwischen

— y und yj und es ist demnach    die zu m = rrï—ni gehörige Zahl

Damit ist bewiesen:

Ist r eine beliebig angenommene positive ganze Zahl, grösser als 1, und bestimmt man zu jeder in der Reihe 1, 2, ... rn enthaltenen Zahl m die zugehörigen Zahlen (m\, so dass

— y < mav — (m)v <

(>»),•

JL

(v = l,2

ist, so giebt es mindestens einen Werth von m, für welchen die Differenzen

mav—(m)v

sämmtlich zwischen —j und — liegen, so dass

«-Ml+A.

wenn man

«i =

_ (»»), ,

mr

mr

(m)«₊A.

mr

setzt, die Grössen <^,d₂, ... ân sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 sind. Dabei ist m < rn oder r > \Jm.

ANMERKUNG.

Der vorstehende Satz findet sich in der Abhandlung Hermites Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 77, p. 18 (Paris 1873). Ob er schon früher ausgesprochen oder bewiesen worden ist, hat sich nicht feststellen lassen. Den obigen Beweis hat Weierstrass Herrn H. A. Schwarz auf einem mit dem Vermerk Juli 1882 versehenen Blatte mitgetheilt.

K.

NEUER BEWEIS DES SATZES,

DASS JEDE GANZE RATIONALE FUNCTION EINER VERÄNDERLICHEN DARGESTELLT WERDEN KANN ALS EIN PRODUCT AUS LINEAREN FUNCTIONEN DERSELBEN VERÄNDERLICHEN. •)

(Aus dem Sitzungsbericht der König! Akademie der Wissenschaften

vom 17. December 1891.)

von

Obgleich wir gegenwärtig von dem in Rede stehenden Fundamental-theoreme der Algebra eine Reihe strenger Beweise besitzen, so dürfte doch die Mittheilung der nachstehenden Begründung desselben, deren Eigentümlichkeit hauptsächlich darin besteht, dass sie ohne Heranziehung Hülfsmitteln und Begriffen, die der Algebra fremd sind, rein arithmetisch durchgeführt wird, vielen Mathematikern nicht unwillkommen sein.

1.

Bezeichnet man, unter x, xt, . ..xn unbestimmte Grössen verstehend, mit

Ul ; ¹ • • Xn)v

von x aus-

die ganze Function von xti ... a?n, welche in der nach Potenzen geführten Entwickelung des Products

den Coefficienten von xn~v bildet, so lässt sich das Theorem, um das es sich handelt, folgendermaassen aussprechen:

Sind C^, ... Cn irgend n gegebene Grössen, so existirt stets ein System bestimmter Werthe der Grössen xt, ... xn1 für welches die n Gleichungen

(b)

O^iJ • • ²^n)v    G

bestehen und somit, wenn

(2.)

fix) — xn + Clxn 1 + —V Cn

gesetzt wird, für jeden Werth von x

(3.)

fix) = Hv(x — xv)

ist.

wenn

Der so formulirte Satz soll nun auf directeste Weise begründet werden durch Entwickelung eines Verfahrens, mittels dessen man numerisch gegeben sind, n Zahlgrössen, die für x₁,...xn gesetzt die Gleichungen (l.) befriedigen, mit Sicherheit berechnen kann, und zwar ohne dass zuvor die Existenz solcher Grössen bewiesen zu sein braucht.

Es werde zunächst der (allgemeine) Fall betrachtet, wo die gegebene Function f(x) und deren erste Derivirte keinen gemeinsamen Theiler besitzen, also die Discriminante²) von f(x) einen von Null verschiedenen Werth hat. Das Letztere gilt dann auch für jede Function

GO

cp (x) = xn + Ax Xn~x Ą-----b An,

deren Coefficienten (Alf...An) so angenommen werden, dass jede der Differenzen

<W|, ••• On-An

ihrem absoluten Betrage nach unter einer gewissen Grenze liegt. Um hierüber etwas Genaueres festzustellen, setze man

• • • An On lin

A₁ = C₁ — h

dann wird, wenn man die Discriminante der Function y(x) mit bezeichnet

(5.)

wo der eingeklammerte Ausdruck dargestellt werden kann als eine Summe, in der jedes einzelne Glied ein Product aus ganzen positiven Potenzen der Grössen A , ... An,    ... Cn und einer (positiven oder negativen) ganzen Zahl

ist. In jedem Gliede, wo diese Zahl negativ ist, verwandle man sie in die ihr entgegengesetzte positive; der Ausdruck, in den {Äx,... Ab, (?,... CJ dadurch übergeht, werde mit

[ih,...K, c„...cj

bezeichnet.

Bedingungen

Nimmt man sodann n positive Grössen ... Cn so an, dass die

(6.)

\ox\<clt ... !cn\<cn

erfüllt werden, und ersetzt in dem vorstehenden Ausdrucke die Grössen Clt ... Cn beziehlich durch Ct, ... CB, jede der Grössen ... hn aber durch ein und dieselbe positive Grösse A, so ist

|{AX, ...hn, C1}... Cn}\ stets kleiner als [h,...h, Ölf...Cn],

die absoluten Beträge von \, ... hn sämmtlich kleiner als Ji sind. Es .. C ], wofür jetzt kürzer [7z] geschrieben werde, eine Function von h mit lauter positiven Coefficienten und ohne ein von h

kann also eine positive Grösse h₀ so bestimmen, A, der die Grenze \ nicht übersteigt, [h\ kleiner

wenn

ist aber [A,... A, C ganze

unabhängiges Glied ; man dass für jeden Werth von ist als eine willkürlich angenommene Grösse.

Nun sei D* irgend eine positive Grösse, die kleiner ist als der absolute Betrag der Discriminante A(C1?...CJ, und A₀ eine andere, die < D*; dann kann man h₀ so annehmen, dass

ist.

A₀+[A₀]<D*

Hieraus und aus Gleichung (5.) folgt

\A(At,...An)\>B*-[A₀],

die absoluten Beträge der Differenzen C-A

(7.)

nun

wenn

.. C — A sämmtlich

n    n

kleiner als h₀ sind. Da nun D* — \h₀] = Ao +(_D*-A₀ —[fyj) und D* — Ao — [ÄJ nicht negativ ist, so ergiebt sich

(8.)

I A (At,... An) I > A₀

für jedes den Bedingungen

(9.)

entsprechende Werthsystem (A ,... A ).

Angenommen nun, man habe, nachdem ein der Bedingung (7.) genügendes Grössenpaar Ä₀, Ao fixirt worden, ein System von n bestimmten Zahlgrössen ... an ermittelt, für welches, wenn

(10.)

Av    (Cfx J • • • ßn)y

gesetzt wird, die Bedingungen (9.) erfüllt werden. Dann ist

(v = 1, .. . tt)

\Av\<\Cv\ + h₀,

also sicher

\Av\<Cv + h

und daher für jeden Werth der Veränderlichen x

<2v

+ K

Nimmt man also eine positive Grösse a so an, dass

ay

(ll.)

so hat man für jeden Werth von x eben so gross als a ist,

dessen absoluter Betrag grösser oder

v A

xv

also, wenn

7i—r

o(%) = IT v(x — av) — xn + ^y.Arx

gesetzt wird

Ay

>0

ist,

n—i

(15.)

?'K)

sich ergiebt.

Man setze jetzt, unter ... |n zu bestimmende Grössen verstehend,

0 = 1,.-.»)

(16.)

a'v = av+%r,

9,0») = IT v(x — a’v) = Il v(x — av—%v),

= f(x)~ <p0*0 = EvC^--⁴*)®’

<W(æ) = /’(a0 - 9,0*0 = Sv(G-^v)^ A = A(^,...^n).

, -dy («„ ••• ^n)vJ

Dann wird

• (17.)

<K0) = /’O») - ? ix) -    - ? 0*0)

= /,(»)-?(®) + S

?0*D

(/ł = 2,... n)

v x — av

WO [|t,... |Ju eine ganze Function ^ter Ordnung von g1? ... bedeutet. Nimmt man nun

(18.)

iv =

fM _

?'(«*)

<?'K)

also a' = av —

/K)

(14.)

0=1

woraus weiter, da

(13.)

ß = nun ł + .S*(w — v)(Cv + h₉)a

n—v—1

woraus sich

(12.)

I ay J < a

ergiebt.

Man hat ferner, wenn

gesetzt wird,

___ ?'(«»)

<p'M A(J.1? ...An)

so hat man

cp(a?) -av

für jeden Werth von x, und es ergiebt sich aus (17.)

(19.)

<K«i)

?'(«J

?'(«»)

xn~v

Ja

Es ist aber nach (17.)

= -nv(a?-ar-i,) + n,(^-av)-2v

also, da A = H,<p'(aJ

-łK)

. ?'(«»)

?(*)

x — av

(20.) A2U

?'(«»)

£“-u ₌ _ nt((* - av) c?'K) + <J> («*)) + Uv((x - ay) <p'(ay))

+ (x-a₂)...(x-an) ?'(«*)... <p'(a„) <J> (aj

+ (a - a,)... {x - an_x) cp'(«x) • • • ?K-i) ł («»)•

Daraus ergiebt sich, dass    die Gestalt

(21.)

([L = 2,...n)

hat, wo j    ^ («,),... ^(an)[ eine ganze Function von at1 ... an und

(p(aj, ... ^(«J bezeichnet, welche nur solche Glieder enthält, die in Beziehung auf die Grössen ^(«J, ... ty(an) mindestens von der zweiten Ordnung sind. Hiernach hat man

t>|

(22.) ą-A; = o, ą-A' =

•••«ni 'Uai)> ••• <KöOt G = 2,...n).

Bezeichnet man nun von den absoluten Beträgen der Differenzen Ct — At, ... Cn — An den grössten mit d und setzt

(23.)

v = Sv a

so ist (nach 16.)

(24.)

I -K«,) I = IS.C^-AK-’lcy«.

Aus den Gleichungen (20.), (14.), (24.) erhellt dann, dass (für ft = 2, ... ri)

(25.)

|j«i» •••«*.» ł(«i)» ••• łWjJ

kleiner ist, als der Coefficient von xn~,u in der nach Potenzen von x ausgeführten Entwickelung des Ausdrucks

(ß(x + a) + yd)” — ßn(x -f a)n—7ißn~¹yd (x + a)n ¹.

Dieser Coefficient ist eine durch da theilbare ganze Function von d mit lauter positiven Coefficienten, die mit ö²(a, ß, yj d)w bezeichnet werde. Aus Gleichung (22.) ergiebt sich dann, da A > Ao ist,

d\u,ß,y; d)^

c-a\ = o,

Nun verstehe man unter d₀ eine bestimmte positive Grösse, für welche die Bedingungen

d₀(a, ß,y, d₀\ < A₀

erfüllt werden, und unterwerfe die Grössen at> ... an der Beschränkung, dass die absoluten Beträge der Differenzen

(26.)

d₀ ^ hQ,

(fi = 2, ...n)

... Cn-An

sämmtlich kleiner als d₀ sein sollen, so dass man

ó = zd₀

setzen kann, wo e eine positive Grösse, die kleiner als 1 ist, bezeichnet. Dann ist

ö²(cc, ß, y; ô)u — £ d₀. d₀(a, ß, y, £^₀),u. < e d₀&₀, und man hat daher, wenn man von den absoluten Beträgen der Differenzen

Ct-A't, ... Cn-A!n

den grössten mit bezeichnet,

(27.)

s'C £².

Aus dem im Vorstehenden Bewiesenen ergiebt sich nun, da die Grösse e'd₀ in Bezug auf das System (a[,... an) dieselbe Bedeutung hat, wie ed₀ in Bezug auf («,-...«„), ohne Weiteres Folgendes: Angenommen es sei ein den Bedingungen

0 = l,...»)

(28.)

I Ov (*^1) • • • ®n)v I    d₀

entsprechendes System von Zahlgrössen ... an gegeben, und es werde aus demselben nach dem in den nachstehenden Gleichungen ausgesprochenen Gesetze eine Reihe anderer Systeme

33

III.

so ist

(34.)

I /■(«?’) I =

wobei zu bemerken, dass jede der Grössen o,, ebenso wie    aB, ihrem

absoluten Betrage nach kleiner ist, als die oben mit a bezeichnete Grösse. Man hat ferner, wenn AU) die Discriminante der Function yx{x) bedeutet,

(35.)

(v = 1, •.. «; 1 = 0,1,2,...)

haben dann sämmtlich bestimmte endliche Werthe, und es ist für jeden bestimmten Index A

wenn man

Af = («?’,...<),

setzt und von den absoluten Beträgen der Differenzen

n _ à(Z) p — à(X)

(30.)

(v = 1,... n)

den grössten mit e(X)d₀ bezeichnet,

(31.)

s'<es, s” c eV< s*, s" < e"s"< s⁸, ..

also allgemein

(32.)

ea> < (ef

Setzt man nun

(33.)

?>(*) = n,(as-a?)i

W*) = «*)-?>(*) = 2,(0,-^?)*

n—\

(v = 1,... n)

abgeleitet :

a'v —

fM

(29.)

a” = a'v

/K)

(v = 1,

ci” — a"

m)

u. s. w.

Die so definirten Grössen

und somit, da |Aa)|>Ao und nach (14.)    ist,

vßn~ld

(36.)

-Cs

Ti—1

Ti«)

fl«?)

?i«)

L.(e)2\

Hiernach sind, wenn man

(37.)

(v = 1,... j»)

_    • f(d?)

x' - a’ ?" ?j(<)

setzt, xx, ... xn wohldefinirte endliche Zahlgrössen, indem jedes Glied der Reihe, durch welche sie dargestellt sind, seinem absoluten Betrage nach kleiner ist, als das entsprechende Glied der Summe

-

welche einen endlichen Werth hat. Man hat aber, wenn r irgend eine der Zahlen 1, 2, ... bedeutet, nach (29.)

(38.)

Vf f(a?)

also

(39.)

X.M²

und es werden demnach die absoluten Beträge der Differenzen

xv — af

sämmtlich kleiner als eine beliebig angenommene Grösse, sobald r eine bestimmte Grenze überschreitet. Dasselbe gilt dann aber auch von den absoluten Beträgen der Differenzen

C.-A?

woraus sich, da

I ... xn\-Cv I < I (xt,... xn)v-Ar I + I AV-CvI ist, und (xt,...xn) -Cv einen von r unabhängigen Werth hat,

(p^i j . • • Xn)v    Gv j

(40.)

(41.)

fix) = Uv(x-xv)

0 — 1,... n)

ergieht.

Es lässt sich also in der That jede Eunction f(x) von der vorausgesetzten

Beschaffenheit als ein Product aus ganzen linearen Functionen der Veränderlichen x darstellen, wofern man ein den oben angegebenen Bedingungen ent-

sprechendes Grössensystem [a^...an) ermitteln kann. Dies ist aber stets möglich, wie nun gezeigt werden soll.

2.

Zunächst sind zwei Hiilfssätze zu beweisen.

Es seien f₀(x), fr{x) zwei Functionen der Veränderlichen x von derselben Form und Beschaffenheit wie die im Vorhergehenden mit f{x) bezeichnete:

n—v

(1.)

f₀(x) = xn + ^vC^x ft(x) = xn + '%vC™xn-v.

Setzt man dann, unter 0 einen veränderlichen Parameter verstehend

(2.)

f{x) *) = (!- e) f₀(x) + sfx{x)

so hat f{x\z), als Function von x betrachtet, eine Discriminante -D(^), welche eine ganze Function von 0 ist und der Annahme nach sowohl für 0 — 0 als für 0 = 1 einen von Null verschiedenen Werth hat, also sicher nicht identisch, sondern nur für eine endliche Anzahl von Werthen der Grösse 0 verschwindet. Setzt man nun, unter s, t reelle Veränderliche verstehend,

(3.)

1 + 5^

t + si

so entspricht jedem Werthe von 0, mit Ausnahme der Werthe, welche auf dem Umfang desjenigen Kreises liegen, der die Strecke (0...1) zum Durchmesser hat, ein Paar endlicher Werthe (s, t). Für 0 — 1 ist t = 1 und s unbestimmt, während keinem der übrigen auf dem Umfang des erwähnten Kreises liegenden Werthe von 0 ein Paar endlicher Werthe von s und t entspricht. Es kann daher nur eine endliche Anzahl von Paaren endlicher Werthe (s,t) geben, für die

Giebt man also der Grösse s irgend einen bestimmten, in

gleich Null wird, keinem dieser Paare vorkommenden Werth A*, so ist

n( i±li\

eine Function von t, die für keinen (reellen) Werth dieser Ver-• ander liehen verschwindet. Es handelt sich nun darum, ein Verfahren

anzugeben, durch das man einen der gestellten Bedingung entsprechenden Werth h wirklich bestimmen kann, ohne von den Werthen der Grösse für die D(z) verschwindet, irgend welche Kenntniss zu haben.

Man bringe D(z) auf die Form

(4.)

Di*) =

wo m den Grad der Function bezeichnet und unter a , ß reelle Constanten zu verstehen sind. Dann hat man

(fi — 0,... ni)

= jfàïr-^⁺^Hl+sir"{t+sir

und kann also setzen

(5.)

G{t,s), H(t, s) ganze Functionen von t, s bezeichnen. Giebt man nun der Grösse s irgend einen bestimmten endlichen Werth Je, so kann die Function in dem Falle verschwinden, wo für einen bestimmten (ebenfalls t die Functionen 6r(£, ft),    beide verschwinden.

wo

nur

endlichen) Werth

Denn es ist G(t,Tc) + iH(t,7c) eine ganze Function mten Grades von t, in welcher der Coefficient des höchsten Gliedes, nämlich a + ß i = D(0), einen von Null

von

verschiedenen Werth besitzt, und man hat daher, wenn unter D irgend eine bestimmte positive Grösse, die kleiner als |D(0)| ist, verstanden wird,

t, dessen absoluter Betrag eine gewisse Grenze (£₀) iiber-Für die übrigen Werthe von t ist aber -f4_ki dem absoluten Be-

nur dann ver-

für jeden Werth von schreitet.

trage nach niemals kleiner als -j—

schwinden, wenn es in dem Intervall    t₀) Werthe von t giebt, für

welche G(t, A), H% A) beide gleich Null sind. In diesem Falle ist aber die

: es kann also

t+Tci)

aus den Gleichungen

(6.)

G(t,s) = 0

durch Elimination der Grösse t hervorgehende Resultante, welche eine ganze Function von s ist und mit R(s) bezeichnet werden soll, für s = Je nothwendig gleich Null.

Hiernach braucht man, unter der Voraussetzung, dass R(s)

nicht identisch gleich Null sei, bei der Wahl der Constante k nur diejenigen Werthe, für welche R(k) = 0 ist, auszuschliessen, dann ist

stets eine Function von t, die für keinen (reellen) Werth dieser Veränderlichen verschwindet, wie auch der Werth von k angenommen werden möge.

Es lässt sich aber zeigen, dass die in Betreff der Function R(s) gemachte Voraussetzung stets zutrifft, wozu zwei Bedingungen hinreichen: dass die Coefficienten von tm in G(t, s) und H(t, s) nicht beide gleich Null sind, und dass diese Functionen nicht für jeden Werth von s einen gemeinsamen Theiler haben.

Man bezeichne die aus den Gleichungen (6.) durch Elimination der Grösse s hervorgehende Resultante, welche eine ganze Function von t ist, mit jRj(£). Von derselben ist leicht zu zeigen, dass sie nicht identisch verschwindet.

Nach (5.) hat man, wenn

(?•)

+    = “ + ßi,    = a-ßi

gesetzt wird,

m—1

H-----b

d-----b &m(0>

G(f, S) = asm+ ©₁(^) S = ßsm + §t(t)s

wo ©,(0? Ch(0 u. s. w. ganze Functionen von t bedeuten. Da a + ßi = imD(i) so sind a, ß niemals beide gleich Null, und es könnte daher R^t) nur dann identisch gleich Null sein, wenn G(t, s), H(t, s), als Functionen von s betrachtet, für jeden Werth von t einen gemeinsamen Theiler besässen. Nun ist aber für t = 1

(8.)

m—l

(9.)

6r(l, s) + iH(l, s) = (a + ßi)(s — i)m,

G(l,s)-iH(l,s) = (cc-ßi)(s + i)m,

und aus diesen Gleichungen erhellt unmittelbar, dass G(l, s), jff(l, s) keinen gemeinsamen Theiler haben. Folglich ist Rfi) für t = 1 nicht gleich Null und verschwindet also niemals identisch.

Hieraus folgt nun weiter, das sich zwei ganze Functionen von £, s

bestimmen lassen, welche die Gleichung

(10.)

Gl(t,s)G(t,s) + H₁(t,s)H(t,s) = Bt(t)

befriedigen. Aus dieser Gleichung kann nun gefolgert werden, dass G(t, s), H(t, s), als Functionen von t betrachtet, nicht für jeden Werth von s einen gemeinsamen Theiler besitzen.

Existirt nämlich für einen bestimmten Werth von s ein gemeinsamer Theiler von G(t,s), H(t, s), so ist er auch ein gemeinsamer Theiler der Functionen

JR^t) und G(t,s) + iE(t,s) =    + »%.(*))«

<8.(0 =    ©o(0 = ß

wo man

zu nehmen hat. Nun kann aber G(t, s) + iH(t, s) nicht für jeden Werth von s mit der von s unabhängigen Function Rfi) einen Theiler gemein haben; denn dazu wäre nach einem bekannten Satze zunächst erforderlich, dass ein gemeinsamer Theiler sämmtlicher Functionen (g +    (£) existirte, was nicht der Fall ist, wie schon daraus erhellt, dass

o(0 eine von Null verschiedene Constante ist.

Zieht man nun noch in Betracht, dass in dem Ausdrucke der von s unabhängige Coefficient von tm, nämlich am +ßmi, einen von Null verschiedenen Werth hat, in G(t, s), H(t, s) also die Coefficienten von tm nie

von der ver-erhalten, die Constante k nur so zu wählen, dass

zu

mals beide gleich Null sind, so ist durch das Vorstehende bewiesen, dass unter den gemachten Voraussetzungen R(s) in der That niemals identisch verschwindet. IVfan braucht also, um eine Junction I)^j langten Beschaffenheit jR(^) nicht gleich Null ist.

Werth

Folgende genügt es aber, eine Grösse zu ermitteln, die für jeden dem Intervall (!••• +00) angehörigen Werth von t der angegebenen Bedingung genügt.

Nach Fixirung eines solchen Werthes von k lässt sich nun auch auf mannigfaltige Weise eine positive Grösse bestimmen, welche kleiner ist als jeder den der absolute Betrag von -£>(7^) annehmen kann. Für das

Man bilde, was immer möglich ist, zwei ganze Functionen von t, h

@2

welche der Gleichung

(11.)

Gr₂(t, 1c)G(t, Tc) + Ha(t, Je) H(t, Tc) = tim-lR{1c)

genügen und in Beziehung auf t von nicht höherem als dem (m — l)ten Grade sind. Setzt man dann

(12.)

G(t, Ti) — t m cp (t, Je)

Cr₂(t, Je) = T

Hit, Ti) =    Tc)

?i(~, Ę, H₂{t, 1) = t

so bedeutet x eine reelle Veränderliche, die jeden dem Intervall (0...1) an-gehörigen Werth annehmen kann, und

—m+1

—m+1

^(t,1c), 9x(t,ä), <J/x(t,7c) sind ganze Functionen von x, welche der Gleichung

(13.)

(T> &) ? (T» fy +    (t, Ä) <|» (t, Tc) = R (Ti)

genügen. Dann hat man

(14.)

/(l+/q)t\ _ y(x, Z;) + ^(t, Tc) '    (1 + 7c~i)m

1 + Tcii

und es folgt, da

(15.) (<p’(t, Tc) + <p*(r, Je)) (?²(t, Tc) + f (t, Tc)) > (<?x(t, X*) <p (t, &) + ^(t, ß) (t,

ist,

(16.)

/(1 + Z-Qt\ 2 \ 1 + Æxi /

R²(7c)

— (1 + Ä² x²)M. (9²(x, Tc) + <ß(r, Tc))

Bestimmt man also, was ohne Schwierigkeit geschehen kann, eine positive Grösse K so, dass für jeden der betrachteten Werthe von x

(17.)

*>??(*, *) + *;(*,*),

so ergiebt sich

(18.)

/(l + fciM

V 1 + lczi )

(1 + Tc²)mK

j, wofür fortan kürzer /'(æ;x) geschrieben werden soll, eine Function von æ, deren Discriminante für jeden dem

Hiernach ist

also f(x

Intervalle (0:..l) angehörigen Werth von t ihrem absoluten Betrage nach grösser ist als eine angebbare positive Grösse.

Eine solche Grösse — sie möge mit D* bezeichnet werden — lässt sich mit Sicherheit bestimmen, wenn sämmtliche Coefficienten der Functionen fo(x), f (F), wie von jetzt ab angenommen werden soll, reelle oder complexe rationale Grössen sind.

Ferner kann man dann, wenn

(19.)

f(x; r) = xn + '£lyC™x

71 — V

0 = I, ... n)

gesetzt wird, wo

(20.)

Cf =

1 + kxi

mit Leichtigkeit n positive rationale Grössen C,, ... Cn ermitteln, welche für jeden der in Betracht kommenden Werthe von x den Bedingungen

(21.)

... cn>\c™\

genügen. h ? ... Ji die im § 1 mit

Bildet man dann für unbestimmte Werthe von Ct1...Cn und

\ht,...hn, Ojh.-.F«},    ,...Cn]

bezeichneten Ausdrücke und setzt, unter h wie a. a. O. eine positive Veränderliche verstehend,

[h,... h, CX,...C.] = [Ä],

so ist jetzt für jeden Werth von x

\{K,...hn, crV..C£°ll<[*L

wenn

man

die absoluten Beträge von ... hn sämmtlich kleiner als ln sind. Nimmt also zwei bestimmte positive Grössen A₀, \ der Bedingung

\+[h₀]<D*

entsprechend

an

und versteht unter

ßi y> ci₀

III.

34

die im § \ ebenso bezeichneten Grössen, wobei zu beachten ist, dass die letzteren nur von Ao, Ct, ... Cn, nicht aber von den Werthen der bloss den Bedingungen

Ct>\Ct\, ... Cn>\Gn\

unterworfenen Coefficienten der Function f(x) abhangen, so ist ohne Weiteres klar, dass die jetzt definirte Grösse d₀ für jede Function f(x\x) dieselbe Bedeutung hat, wie im § 1 die dort ebenso bezeichnete für f{x). Wenn also für irgend einen bestimmten Werth von x sich ein den Bedingungen

(v = 1,... n)

genügendes Grössensystem (at, ...aB) finden lässt, so kann aus demselben mittels der Formeln (§ 1, Nr. 29), in denen dann f{x) — f{x\ x) zu nehmen ist, ein anderes (at,...ün) abgeleitet werden, für welches die absoluten Beträge der Differenzen

0 = l,... »)

C'T)    an)v

sämmtlich kleiner sind als eine willkürlich angenommene, noch so kleine Grösse.

3.

Nach Begründung der beiden vorstehenden Hiilfssätze lässt sich nunmehr das am Schlüsse des § 1 Behauptete folgendermaassen beweisen.

Man nehme n von einander verschiedene rationale Grössen a®\ ... a willkürlich an und setze

(1.)

fo(x) = n v(x — a™) = xn + ^vC'vmx Ferner sei, wie im Vorhergehenden,

/;(*) = xn + ^vC?x

(v = 1,ri).

(2.)

n—v

unter der Annahme, dass jeder der Coefficienten C⁽¹⁾ eine rationale Grösse sei und die Discriminante der Function einen von Null verschiedenen Werth habe.

der

Giebt man sodann, mit g eine ganze positive Zahl bezeichnend Grösse x die Werthe

9-1

so ist leicht zu zeigen, dass man, vorausgesetzt, es sei g hinlänglich gross angenommen, g Systeme von je w rationalen Grössen

Gi, 1 f * * * ®i,m) J Gï, l > • * •    » ••• Gÿ, 11 • • • ®g,n)

berechnen kann, für welche, wenn man die Bezeichnung des vorhergehenden Paragraphen beibehält, die absoluten Beträge der Differenzen

(3.)

(7)

g «CS

sämmtlich kleiner als sind.

Man hat nämlich nach Formel (20.) des vorhergehenden Paragraphen

1 + hi

(X + l)lci

Xki

(C-cT); (*z ;;; ~‘)

O r-T

§ «SS

nimmt man also g so gross an, dass

¹

Ich habe bereits vor Jahren (vergl. die Monatsberichte v. J. 1859, S. 758, und v. J. 1868, S. 428) der Akademie einen Beweis dieses Satzes vorgelegt, der auf demselben Grundgedanken, wie der gegenwärtig mitgetheilte, beruhte, für mich aber aus dem Grunde, dass er nicht ganz frei von Stetigkeitsbetrachtungen war, etwas Unbefriedigendes hatte und deshalb nicht veröffentlicht worden ist. [Siehe Bd. I S. 247—256 dieser Ausgabe.]

²

D. h. die Resultante der Functionen f'(x), fix).

GO

\(l + ki)(C?-Cy>)\<gd₉

ist, so hat man

A+l

(5.)

-Oi

■ ff

< d₀

C= ::: G

I-* o

Daraus lässt sich nun das Behauptete leicht folgern.

Da

m0) = /•(*) =    ö« =

so werden zunächst die Bedingungen

(6.)

(v — 1,.,. n)

(7.)

(t)

(v = 1,... n)

erfüllt, wenn man

(8.)

ö,.i = <»

setzt. Angenommen nun und g liegenden Werth von X ein den Bedingungen

es sei für irgend einen bestimmten, zwischen 0

(9.)

(v — 1,... ń)

genügendes System rationaler Grössen

%,1 » • • • aX,n

gefunden worden, so führt das oben (§ 1, Nr. 29) beschriebene Verfahren, wenn man in den dortigen Formeln

f(x) für f(x) und    für at, ... an

setzt, nothwendig zu einem neuen System rationaler Grössen

^A+i, 11 • • • %+l,w)

für welches die absoluten Beträge der Differenzen

(I)

• • • ty.+\,n)v

sämmtlich kleiner sind als eine beliebig angenommene, noch so kleine Grösse d. Dann hat man

(10.)

cr-(ax

+i,i?

(v = 1,... n)

(11.) c

Pr)

-ißl

+1,1 ?

• “«ł+l,= C

< o:

'j ’ hcP+(cP

m_ß

(%+i, i ? ‘ • • ax+i,

also nach (5.) für einen hinlänglich kleinen Werth von â auch

(—)

C) 9 }

• • • %+i ,n)v <do

Damit ist, wenn man l — 1, 2, ... g— 1 setzt, das am Schlüsse des § 1 Behauptete zunächst für den Fall, wo die Coefficienten der Function f(x) sämmtlich rationale Grössen sind, so dass man ft(x) = f(x) nehmen kann, bewiesen und zugleich ein Weg gezeigt, auf dem man durch eine endliche Anzahl arithmetischer Operationen mit Sicherheit zu einem System von n rationalen Grössen

(12.)

- (fh

+i,i?

®i ^g,i? • * *    ßg,n

gelangen kann, für welches die absoluten Beträge der Differenzen

(7,    (a,,... ön)₁₍ ... Cn (ötx,... ün)n

sämmtlich kleiner als d₀ sind.

In dem Falle, wo die Coefficienten der Function f(x) beliebige Zahlgrössen sind, kann man immer eine Function fx(x) mit lauter rationalen Coefficienten ermitteln, von denen ein jeder von dem gleichstelligen der Function f(x) so wenig abweicht, als man will; es ist also stets möglich, mittels einer endlichen Anzahl arithmetischer Operationen ein den Bedingungen

\CV —(«i,... an)v\ < d₀

(13.)

(v — 1,... ri)

entsprechendes System rationaler Grössen ... an zu berechnen.

Von einem solchen System ausgehend kann man nun -mittels des im § 1 beschriebenen Verfahrens zu einem System wohldefinirter Grössen xt, ... xn gelangen, für das die Gleichungen

(14.)

(ß'v • • • ^n)v    G

bestehen und somit

ist.

(15.)

f{x) = Uv(x-xv)

0 — 1,... n)

Damit ist zunächst unter der Bedingung, dass die Discriminante der gegebenen Function f(x) nicht gleich Null sei, das oben (im Anfänge des § 1) ausgesprochene Theorem bewiesen.

Wenn aber die angegebene Bedingung nicht erfüllt ist, so lässt sich f(x) mittels rationaler Operationen umwandeln in ein Product aus mehreren anderen Functionen derselben Veränderlichen

ganzen von

Functionen von x darstellbar ist.

von

denen jede einzelne eine

Null verschiedene Discriminante besitzt, also als Product ganzer linearer

Das in Kede stehende Theorem ist dem

nach allgemein gültig.

Am Schlüsse des Abdruckes in dem Sitzungsbericht der Akademie vom 17. December 1891

findet sich die Anmerkung:

„Einige Zusätze und Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung werden in einer folgenden Notiz ihren Platz finden.“

Eine solche Veröffentlichung ist jedoch nicht erfolgt.

ZUR DETERMINANTENTHEORIE.

l.

Die folgende Mittheilung bezweckt, von den eigentümlichen arithmetischen Gebilden, die man Determinanten nennt, eine Definition zu geben, die in vielen Fällen von Nutzen ist, und diese Definition zum Beweise einiger Sätze der Determinantentheorie zu verwenden.

Man ist auf die Determinanten gekommen bei der Auflösung linearer Gleichungen mit unbestimmten Coefficienten. Die Unbekannten ergeben sich dabei als Quotienten mit einem und demselben Nenner, und die Betrachtung dieses Nenners führte auf die eigentümliche Zusammensetzungsweise der Determinanten.

Æ, y, z,

Gleichung der Reihe nach a, b, c\ a\ b\ c'\ a \ b", c", so findet man durch Ausrechnung als gemeinschaftlichen Nenner von x,y,z:

Sind, zunächst für drei Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten die Coefficienten der Unbekannten in der ersten, zweiten und dritten

A = ab'c"— ac'b" + bc'a" — ba'c" + ca'b" — cb'd'.

Die neun Grössen a, 6, ... c", aus denen A gebildet ist, und die als die Elemente von A bezeichnet werden, sind in drei Zeilen von je drei Elementen und der Ausdruck A ist nur dann bestimmt, wenn einmal die

vertheilt

Dann bemerkt man, 1) dass der Ausdruck A eine ganze

Reihenfolge der Zeilen, und zweitens die Anordnung der Elemente in jeder Zeile gegeben ist.

lineare homogene Function der Elemente jeder Zeile ist; 2) dass wenn man

die entsprechenden Elemente zweier Zeilen sämmtlich vertauscht, A dem absoluten Betrage nach ungeändert bleibt, aber sein Vorzeichen wechselt; 3) dass wenn das erste Element der ersten, das zweite der zweiten, das dritte der dritten Zeile gleich 1, alle anderen Elemente gleich 0 gesetzt werden, A = 1 ist.

Diese Eigenschaften wollen wir unter der Annahme verallgemeinern, dass n² Grössen, in n Zeilen geordnet, gegeben sind. Dabei muss erstens die Reihenfolge der Zeilen bestimmt sein, und zweitens die Anordnung der Elemente in jeder Zeile. Um eine möglichst kurze Bezeichnung anzuwenden, benutzt man Doppelindices und bezeichnet also mit aa(t das ßte Element der aten Zeile.

Ausgehend von dem obigen speciellen Falle, wird man sich die Aufgabe stellen können, eine Function A der Grössen aaß zu bilden, welche folgende Eigenschaften hat:

1)    A soll in Bezug auf die Elemente jeder Zeile eine ganze lineare homogene Function sein;

2)    A soll nur das Vorzeichen ändern, wenn man zwei Zeilen mit einander vertauscht;

3)    wenn an —    = • • • = ann — 1 und alle anderen Elemente gleich 0

gesetzt werden, so soll A den Werth 1 annehmen.

Ehe wir nun nachweisen, dass die Function A durch diese drei Eigenschaften eindeutig bestimmt und mit der gewöhnlich als Determinante \aaf}\ bezeichneten Function identisch ist, wollen wir zeigen, dass die zweite Eigenschaft in Verbindung mit der ersten vollständig durch die Festsetzung vertreten werden kann, dass A verschwinden soll, wenn irgend zwei Zeilen übereinstimmen.

Aus 1) folgt nämlich, dass A in Bezug auf die Elemente zweier Zeilen eine bilineare Form ist. Bezeichnen wir also mit xa die Elemente irgend einer Zeile, mit die einer anderen, so können wir schreiben

A — 2 %a )

cc,[i

und nach der eben gemachten Voraussetzung soll die Gleichung

^Aaßxaxß = 0

identisch erfüllt sein. Daraus folgt, dass die Coefficienten der Potenzen und

Producte der Grössen xa gleich Null sind, also

cca

aß

ßa

Vertauscht man nun xa mit ya (a = 1, 2,... w), so geht A über in

^Aa?x?ya

a,ß

oder, wie wir auch schreiben können

2 Aßa Xa IJfi.

a,ß

Dies ist aber nach dem Obigen gleich

— 2 Aaß xa y ß —    A

a,ß

(<x = 1, 2,... n) O, ß — 1, 2,... n).

und somit ist gezeigt, dass die zweite Eigenschaft erfüllt ist, wenn die Festsetzung gilt, dass A verschwindet, falls zwei Zeilen übereinstimmen. Dass aber umgekehrt das Letztere eine Folge der Eigenschaft 2) ist, erhellt unmittelbar.

Aus den oben genannten drei Eigenschaften lässt sich nun das Bildungsgesetz der Function A in folgender Weise herleiten. Aus 1) ergiebt sich, dass A die Gestalt haben muss:

A — A₁ an F A₂ ö/j2 F * ■ ' F An ciln,

. A Grössen bezeichnen, die nur von den Elementen der

n    '

= 0, so

wo At, A

(n-1) letzten Zeilen abhängen. Wählt man nun «„ = «„ = •■• = aln folgt, da A eine lineare homogene Function von «₂₁, «₂₂, ... am sein soll, dass Aj auch eine solche Function ist, und ebenso Aa, ... An. Wir können daher

*» : •

setzen

A = 2Aaßalaa2?

a,ß

Durch einen analogen Schluss leitet man ab, dass die Grössen Aa(i ganze lineare homogene Functionen der Elemente «₈₁, «₈₂, ... a9>l der dritten Zeile sind, u. s. f. Schliesslich findet man

(1.)

A — 2 ß J * * • fyß • • • Q'nv 1

III.

35

wo a, ß, ... v Zahlen aus der Reihe 1,2bedeuten und [a,ß,...v] ein Ausdruck ist, der von den Elementen an, als, ... ann nicht mehr abhängt. Zu bemerken ist dabei, dass die Zahlen a,/3, ... v sämmtlich oder zum Theil einander gleich sein können. Wie man sieht, ist der durch die Formel (1.) bestimmte Ausdruck der allgemeinste, der der Bedingung 1) genügt, eine lineare homogene Function der Elemente jeder Zeile zu sein, und anderseits genügt auch jeder Ausdruck von der Form (1.) der genannten Bedingung.

Um nun die Eigenschaft 2) zu benutzen, vertauschen wir die erste Zeile mit der zweiten; dann geht A über in

Ä = SK £f ••• V\a2« air-‘anv,

oder, wie wir schreiben können

.. v]altxav...anv.

Da Ä == — A sein soll, und die Elemente an, anl ... ann von einander unabhängig sind, so folgt vermöge der Gleichung (1.)

(2.)

K ß, ...v] = - [ß, a, ... v];

und allgemein ergiebt sich, dass der Factor [a, ß, ... v\ nur sein Zeichen ändert, wenn zwei der Zahlen a, ß,...v unter einander vertauscht werden. Daher ist insbesondere dieser Factor gleich Null, wenn von den Zahlen a, ß, ... v zwei einander gleich sind. Diejenigen Glieder, bei denen dies der Fall ist, sind also von vornherein in der Entwickelung von A fortzulassen; wir schreiben daher

A = S'[«, ß, ... v]alaa2r..an

wo der dem Summenzeichen angehängte Strich bedeuten soll, dass nur über solche Werthsysteme (a,/3,...v) zu summiren ist, bei denen nicht zwei Zahlen einander gleich sind.

Um nun die Natur des Ausdruckes A noch näher zu erkennen, betrachten wir das Product

welches ohne Rücksicht auf das Vorzeichen alle Differenzen der Grössen a, ß, ... v enthält, und zwar jede nur einmal.

Dieses Product ist nur dann gleich Null, wenn zwei der Grössen a, ß, ... v einander gleich sind, ein Fall, den wir jedoch hier nicht zu berücksichtigen brauchen, da er bei der Bildungsweise des Ausdrucks A nicht in Betracht kommt. Es ergiebt sich ferner, dass P nur sein Zeichen ändert, wenn zwei der Grössen cc, ß, ... v vertauscht werden, woraus folgt, dass wenn überhaupt cc, ß, ... v in eine andere Anordnung gebracht werden, P höchstens sein Vorzeichen wechseln kann.

■Ob

Nehmen wir nun die Ordnung der Grössen cc, ß, ... v so an, dass a = 1, = 2, ... v = n ist, so erhält P den Werth

P₀ = (n — 1) ! (n — 2) !... 1 !.

Aus dem eben Gesagten ergiebt sich dann, dass bei einer beliebigen Ordnung von a,ß,...v der Ausdruck P dem absoluten Betrage nach mit P0 übereinstimmen muss, d. h.

Po

ist. Setzen wir

Po

rT =    ß, ...V)

so

folgt leicht, dass (cc,ß,...v) gleich +1 oder gleich -1 ist, je nachdem die Anzahl der Inversionen in der Reihe a,ß,...v gerade oder ungerade ist.

Dies vorausgesetzt, wollen wir nun die Grössen [«,/?, ...v]' durch die Gleichung

[a, ß, ... v] =    v).[a, ß, ... v\

einführen; [«, ß, • • • v]' hat dann einen ganz bestimmten Werth, da der Fall, dass zwei der Grössen a, ß, ... v einander gleich sind, ausgeschlossen ist.

Aus der Gleichung (2.) ergiebt sich

• •• v) = - [a, ß, ... v]'(a. ß, ... v)

[ß, cc, ...v]'(ß, cc

35*

ist,

[ß, a, ... v\ = [a, ß, ... v]'.

Durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung folgert man, dass [«, /3, ... vj überhaupt von der Anordnung der Grössen a,ß,...v unabhängig ist; wir können also diesen Coefficienten, der bei allen Gliedern von A derselbe ist und mit C bezeichnet werden soll, aus der Summe herausziehen:

(3.)

oder, da

(ß, a, ... v) = -(«, ß, ... v)

A — C 2 (et, ß} ... v) ala a2jS... clw.

Bis hierher sind nur die oben mit 1) und 2) bezeichneten Eigenschaften benutzt; der allgemeinste Ausdruck, der diese Eigenschaften besitzt, muss also die Form (3.) haben, und umgekehrt hat jeder Ausdruck von der Form (3.) die Eigenschaften 1) und 2).

Um nun die Constante C zu bestimmen, wenden wir die dritte Eigenschaft an, setzen also

aaa — 1 a?Y — 0

Es bleibt dann auf der rechten Seite der Formel (3.) nur das eine Glied

(7.(1, 2, ...w)

übrig, und da (1, 2, ...«) = 1 ist und A für diese Wahl der Elemente den Werth 1 annehmen soll, so ergiebt sich und somit

A — 2 > ß > * * * ^0 a    ®»v *

Durch die angegebenen drei Eigenschaften ist demnach das Bildungsgesetz der Function A vollkommen bestimmt, und da es mit dem übereinstimmt, durch welches die Determinante \att?\ gewöhnlich erklärt wird, so wollen wir jetzt A als die Determinante der n² Grössen an, a₁₂, ... ann bezeichnen.

2.

Mittels der gewonnenen Ergebnisse kann z. B. sehr einfach bewiesen werden, dass die Determinante ungeändert bleibt, wenn die Zeilen und Co-lonnen (Horizontal- und Verticalreihen) mit einander vertauscht werden.

Die Ausführung dieser Operation in dem Ausdruck

A = 2 (a, ß, ... v) o.la ct₃ß ... ünv

kommt auf eine Vertauschung des ersten Index mit dem zweiten in jedem Elemente hinaus; A geht dann über in

A =    (et, ß, • • • V) dai

(«, ß, ••• v) weg. dem Gliede

Daraus folgt, dass Ä in Bezug auf die Elemente jeder Zeile eine lineare homogene Function ist; denn diejenigen Glieder, in denen zwei der Zahlen «,/3, ... v einander gleich sind, fallen wegen der Eigenschaften des Zeichens Ferner entspricht für jedes zulässige Werthsystem a, ß, ... v

(F)

(®j ß ! • • • ^ai ^ß3 * * ' ®vn

ein anderes Glied

(2.)

( ß ) et, ... V) Cl^ Qiai ... CL

vn'

dass die entsprechenden Elemente der aten und /3t6n Zeile

so heben sich die

Nimmt man nun an, einander gleich sind, d. h. dass aal    , aa2    , . •

Glieder (1.) und (2.) gegen einander auf, da

ist* es nimmt also Ä in diesem Falle den Werth Null an. Hieraus ergiebt sich wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, dass Ä nur das Vorzeichen ändert, wenn zwei Zeilen mit einander vertauscht werden. Ferner ist leicht

sehen, dass für

zu

(<x = 1, 2,... ń)

(cc,ß = l,2a^ß)

A’ — 1 wird, schäften von

<*aa = 1 V = ⁰

Der Ausdruck Ä hat mithin die charakteristischen Eigen-A und muss also mit A identisch sein.

Eine weitere Anwendung der Ergebnisse des ersten Abschnitts lässt sich auf die Herleitung des Begriffs der Unterdeterminanten machen. Wir wissen aus dem Vorhergehenden, dass jedes Glied der Determinante ein Product von n Elementen ist, dass ferner jedes Element nur in der ersten Potenz vorkommt, und dass endlich aus jeder Zeile und Colonne ein und nur ein Element in jedem Gliede vorkommt. Man kann daher der Determinante A des Systems

«11 «12 • • • «ira «21 «22 • ' • «2n

«rai «ra2 • • • «raw !

oder, wie wir dafür kurz schreiben wollen, des Systems {aa^j, folgende Form geben:

A — %u. Aku + A',

und es kommt dann das Element ak weder in Alu noch in Ä vor. Es lässt sich zeigen, dass der Coefficient Ak selbst wieder eine Determinante ist, welche in sehr einfacher Weise aus A erhalten werden kann. Wir können Al auch als diejenige Grösse erklären, in welche A übergeht, wenn man ax — 1 und alle übrigen Elemente der At6n Zeile und ^ten Colonne gleich Null setzt. Denn die letzteren Elemente kommen in Ax nicht mehr vor, wohl aber in A\ und zwar muss Ä eine lineare homogene Function dieser Elemente sein, so dass, wenn diese gleich Null sind, auch Ä verschwindet.

Um nun eine leichtere Übersicht zu gewinnen, wollen wir zunächst I — p = n annehmen. Wenn man dann, wie eben verlangt wurde

«in    «2n    ‘ ' *    «ra-i,ra

(3.)

71—1

«rai    «n2    * * "    «w,

«ran    ^

setzt, so erhält man

«u «21

; «n-1,1 «n—1,2 • • • «n—1,»-1 ^ 0 1

Dieser Ausdruck ist eine lineare homogene Function der Elemente jeder Zeile des Systems

(E)

«n

«21

«12

®22

n-1

• • ’ «2,M~1

«n—1,1 «n—1,2 • • * «»—i,n—1>

ferner verschwindet er, wenn zwei Zeilen dieses Systems einander gleich gesetzt werden, weil dann auch zwei Zeilen des Systems

I ««i* I

’ (a,ß = l,2,...n)

für die speciellen Werth e (3.) einander gleich werden; endlich wird offenbar A = 1, wenn

nn    ¹

0/lt - - ’ " '    «W—1,M—1    ^

und alle übrigen Elemente von (4.) gleich Null sind. Mithin ist Ann gleich der Determinante des Systems (4.), welches durch Weglassung der n Um nun A

aus

dem ursprünglichen System

ten

Zeile und der nteu Colonne hervorgeht.

?.u

zu

berechnen, bringen wir es durch (n-X) Vertauschungen

ten

Zeile wird, wobei zunächst die Ate Zeile mit

dahin, dass die Ve Zeile zur n der (A + l)ten, dann mit der (A + 2) wir durch {u — ft) aufein anderfolgen

dass jetzt das Element die Stelle von ann einnimmt. 2n-X-p Vertauschungen ist aber die Determinante mit (-1)

so

ten

s. f. vertauscht wird; ebenso machen 3rtauschungen die ftte Colonne zur wten,

Durch diese

X + ₍U

multiplicirt

worden, und es ist daher

Ah, = (-1

Aai" die Determinante desjenigen Systems welches aus dem gegebenen durch Weglassung der A

wo

von (w — 1)² Elementen bedeutet, Zeile und ftten Colonne

ten

hervorgeht.

Die Grössen A Systems    bezeichnet.

Xii

werden als Unterdeterminanten der Determinante A des Das System {Aaß} heisst das dem gegebenen ad-

jungirte.

Man kann die hier gegebene Definition der Determinante durch die drei charakteristischen Eigenschaften auch für die Auflösung eines Systems von

linearen Gleichungen benutzen.

Gesetzt, es sei das Gleichungssystem

2 aafi X(S ⁼

gegeben, so betrachte man die Determinante

ya

Vi • ' • ß'in

Vn    ' • • ^Jnn

Da dieselbe eine lineare homogene Function der Grössen ya ist, so können wir sie, nachdem wir für diese die linearen homogenen Functionen der Grössen Xß eingesetzt haben, schreiben:

CCnß Xß j cin2, ... cinn

oder

; aiß ai2 • • • ain 2^! • • ••

P j anß «„a • •

^nn

Von den n Determinanten, die in dieser Summe Vorkommen, ist die erste gleich der Determinante A des Systems \aa?j, alle anderen verschwinden, weil in ihnen stets zwei Colonnen gleich sind. Wir haben also die Gleichung

A.Xx —

Vl    n

Un Q'ni ¹ * * ®nn

durch welche die Unbekannte xt bestimmt wird, stimmen sich die übrigen Unbekannten, und zwar erhält man

A.Xß = 2 -^-aßVa'

In ähnlicher Weise be-

3.

Wir gehen nun zur Entwickelung der Lehrsätze über die Zusammensetzung der Systeme über.

Zwischen n Veränderlichen xx, xz, ... xn und n anderen x₀ ... xn mögen die Gleichungen bestehen

(1.)

Xa - 2 Xß »

wobei, wie überall im Folgenden, die ersten Buchstaben des griechischen Alphabets Zahlen aus der Reihe 1,2,...n bedeuten sollen. Ferner seien die Grössen xß wieder linear und homogen durch andere Veränderliche ausgedrückt :

(2.)

==

r

endlich

u. s.

f. Man hat dann auch Gleichungen von folgender Form:

%a — (a > a )aß Xß 1

(la.)

(V.)

= ^((a,a'),a')aßxß.

.. ((«, a'),    sind dabei in leicht zu übersehender

Die Coefficienten (a, a )

Weise aus den Grössen aaß, a'aß, ... zusammengesetzt. Aus den Gleichungen

(1.) und (2 ) folgt z. B.

Xa = 2 aYß Xß

mithin

Man bezeichnet das System

((«» »')«?!

den beiden Systemen {aaß\ und \aaß\ zusammengesetzte und drückt

als das aus dies durch die symbolische Gleichung

aus.

= Ka><Wi

Dabei ist das Multiplicationszeichen gewählt wegen der Analogie, welche

HI.

36

die Zusammensetzung der Systeme in gewisser Hinsicht mit der Multiplication zeigt. Allerdings besteht bei dieser Zusammensetzung nicht das commutative Gesetz; denn es ist von verschieden. Wohl aber gilt ein Gesetz, welches dem für die Multiplication einer Summe :

a(b + c) — ab + ac

ganz analog ist. Denn für

^aß    ^aß F ^aß

wird

\baß + b'aß]-\a'aß\ — Ia )aß + (b > a')aß\'

Ferner besteht auch ein anderes Gesetz, welches der Multiplicationsgleichung

(AB) G = A(BG)

entspricht. Wenn man nämlich aus einem System A und einem anderen B ein drittes, und aus diesem und einem System C wieder ein neues zuerhält man dasselbe, wie wenn man A mit dem aus B

sammensetzt, so

und C componirten System zusammensetzen würde. Denn drückt man die Grössen xa durch die xß, diese durch die x” und diese wieder durch die x'ś aus, so erhält man das Gleichungssystem

(lb.)

Andererseits folgen aus die Gleichungen

V'a

= (a ) & )aßxß) ?

und daraus weiter

in Verbindung mit (l\) ergiebt sich also

((a,a’),a")aß = (a, (a, a!'))ar

Man kann daher für diese Coefficienten einfach

o, a', a")a?

schreiben. Nun ergiebt sich unmittelbar

⁼    = jo»

Dies kann auf Systeme, die aus

was den zu beweisenden Satz ausdrückt. beliebig vielen anderen zusammengesetzt sind, ausgedehnt werden.

Weit wichtiger als diese Sätze sind jedoch die Beziehungen, die zwischen den Determinanten der ursprünglichen Systeme und der Determinante des zusammengesetzten Systems, sowie zwischen den zugehörigen Unterdetermi

nanten bestehen.

Wir untersuchen zunächst die Determinante |(a, a')\?\ des zusammen

gesetzten Systems, die wir mit (A, Ä) bezeichnen wollen, während A und Ä die Determinanten

aap I und I aaS | der einfachen Systeme sein sollen.

(J., A') ist eine lineare homogene Function

von

0» ^ )ai ) 0» ® )«2 > • • • 0» a )an)

diese Grössen sind aber ihrer Definition zufolge selbst wieder lineare homo-Functionen von

gene

es ist also (A, Ä) auch eine lineare homogene Function der Elemente jeder Zeile des Systems jaa?\. Nimmt man ferner an

Systems einander gleich sind, also aaß — actfi (ß ⁼ 1 ? 2,... n), so werden auch in j{a,d)a?\ die Elemente der aten denen der cc'ten Zeile gleich, mithin (A,A') = 0. Demnach hat {A,Ä) die beiden früher mit l) und 2) be-

dass zwei Zeilen des letzte

ren

36*

zeichneten Eigenschaften mit A gemeinsam; es ist also, wenn C eine von den Elementen aa(j unabhängige Grösse bezeichnet,

(A,Af) = C.A.

Um C zu bestimmen, setzen wir

(ß^Y)

dann wird A = 1 und

(aia)aß — ⁰aßl

also (A,Ä) — Ä. Demnach ergiebt sich C — Ä und

(A, A') = A.A',

d. h.

\aap\’\<ß\ = I (a,a)aß I

wenn, wie oben,

(q> , CI )ao 2 ®ay ®yß 7

Dies ist das Multiplicationstheorem der Determinanten. In den Lehrbüchern wird es gewöhnlich in der Form

ist.

I aaß I ' I aaß I    aay aßy I

geschrieben. Im Grunde genommen, kommt dies auf dasselbe hinaus, da der Zusammensetzung in dem System \da(i\ die Zeilen mit den

vor

man

Colonnen vertauschen kann; doch ist die hier entwickelte Form vorzuziehen, weil man auf Determinantenproducte zunächst durch Zusammensetzung von

Systemen geführt wird.

Wir betrachten nun die Unterdeterminanten des zusammengesetzten Systems, und bezeichnen mit

diejenige, die als Coefficient von terminante (A,Ä) auftritt.

(A, A\ß

(a, d)

in der Entwickelung der De-

Durch Auflösung des Gleichungssystems (1\)

findet man

(3.)

(A, A').Ą = 2(A, A')B/Î«B;

andererseits erhält man aus (2.)

A'.x; =

y

und aus (1.) also

a,y

A A . Xß - 2 Aay Ayß xa.

Da nun AA'= (A, A'), so folgt durch Vergleichung mit (3.)

(A, A )aß    2 AayAyß.

y

aus

Daher ist das System {(A,A')ffjSj das

{Aa(î} und \A'ap\ zusammengesetzte:

\Aap\-\A'ap} = \(A,A')aß\.

Hat man mithin drei Systeme

a, b, c

und ihre adjungirten

A, B, C

aus

d. h. die aus den Unterdeterminanten gebildeten Systeme, so ist, wenn c das a und b zusammengesetzte System ist, auch C aus A und B zusammen-

gesetzt.

Dieser Satz kann nun, ebenso wie das Multiplicationstheorem, leicht auf die Zusammensetzung beliebig vieler Systeme ausgedehnt werden. Sind

z. B. drei Systeme zusammengesetzt:

{aaßHa'aßMaaßI — \(a,a,a )ajS|,

so kann man nach dem Vorhergehenden auch schreiben

Mittels des soeben bewiesenen Satzes über das adjungirte System ergiebt sich dann und durch nochmalige Anwendung desselben Satzes

ANMERKUNG.

Die vorstehende Mittheilung ist, von formalen Änderungen abgesehen, einer von Paul Günther angefertigten, im Besitz des Mathematischen Vereins der Universität Berlin befindlichen Ausarbeitung der von Weierstrass im Wintersemester 1886—87 gehaltenen Vorlesung über Theorie und Anwendung der bilinearen und quadratischen Formen entnommen. Aber schon in früheren Jahren hatte Weierstrass im, mathematischen Seminar der Universität die Herleitung der Fundamentalsätze der Determinantentheorie mit Hülfe der oben zu Grunde gelegten drei charakteristischen Eigenschaften angedeutet.

K.

ZUR THEORIE DER HYPERELLIPTISCHEN FUNCTIONEN.

Es sei

R(x) — Aû(x — a₀)(x — a₁')...(æ — aiQ)

eine ganze Function (2p + l)ten Grades des Argumentes x, wo Ao1 a₀,    ... at

reelle Constanten bedeuten, und die Grössen ao, ... seien so geordnet, dass für A₀ > 0

a₀ > ax > «₂ > • • • > a2?

und für A₀ c 0

a₀ < at <    < ••• < a2(?.

Dann mögen 9 Variable 2^,    ... a? als Functionen von ebensovielen unbeschränkt veränderlichen Grössen    ...u mittels der Gleichungen

U> = / •'«i

F₂(rr)

\£R(x)

Fo(^)

v/ro)

/•

dx + /

A*3

x* Fx{x)

r

dx + I

^a₃

VR(æ)

** f₂(^)

r

dx + I *4g

VR(^)

\jR(x)

Fr H-----(-

ö20-l

\]R(x)

a20-l

definirt werden, in denen F^x), Fa(x), ... F^x) ganze Functionen von nicht höherem als dem (<>-l)ten Grade bedeuten.

37

III.

Es werde gesetzt

dx,

iW = fa,P-'JL(xL

°p lM»)

i K^v ⁼⁼ i Kfxi "ł" i ^u2 "t" ’ ¹ ’ 4" ^    >

wo in allen Integralen der Werth der vorkommenden Quadratwurzel durch die Formel

dx,

gegeben wird.

Versteht man noch, je nachdem A₀ positiv oder negativ ist, unter a2 den Werth +oo oder — oo, unter £ den Werth +1 oder —1, und bezeichnet die Intervalle

Q+l

^2Q+1 • • •    ‘ J    • Cl’2 ) ••• Q ¹ ¹ ¹ ^2Q+l

der Reihe nach mit

0,

... 2q + 1

so kann man setzen

\/R(xj = e<?⁺¹ ix \/(-lfB(x)

wo A das Intervall anzeigt, in dem x liegt, und \J(— 1)¹R(x) positiv zu nehmen ist.¹)

Die Zahlen ml, .

nQ seien so gewählt, dass • • • + \ Ka<> + i (ni Ki + • ¹ ‘ + nQ Kq) gesetzt werden kann; ihre WTerthe sind in der folgenden Tabelle enthalten.

J

00

«a Fa(x)

x x

.. mQ, nx) ...

x

dx — m, Kal +

O rH (M CO

-1

-1

-1

0    -1

0    -1

-1

O rH iH o

t-^OOO

0 0 0 0 -3

IO

o.

rH

An Stelle von    ... uq sollen nun andere Veränderliche    v₂, ... vQ

mittels der Gleichungen

ut = 2Kni\+ 2Kai\ + -- + 2K1qvq, = 2K₂₁vt + 2K₂₂vz+    + 2K2qvq,

'Q

eingeführt werden, aus denen

Vj — GrW, 4" Gt~2i + • • * + Gtq₁ Wq i V2 GrJ2 Wj 4" Gr₂₂ U2 4* ' ‘ * 4" Gtq2 Wç ,

— 6-jo Wi 4- 6₂ç w₂ 4" ’ * * 4" Uq

folgen möge.*) Wird

V = (²G¹!«    + ²^²“    + * *‘ + ²Gga K#)¹

raß ^ßa

gesetzt, wo dann

ist, so werden die 0-Functionen durch die Gleichungen erklärt

a,ß

ni 2 Tôjîwaw(î

®(vx,... v ) = S . e

(Wj, ...w?)

ni

&(V •*<?)* =

2 raß k + Y W«) (nß + Y nii)

<x,ß

cos

in denen nt -, .. zahligen Werthe von

. n. bei der Summation unabhängig von einander alle ganz-_oo bis 4-00 zu durchlaufen haben. Unter

• • • Vq)^

gleich — 1 ist, dass

soll die Function verstanden werden, in die b(vt1... vQ\ dadurch übergeht, dass m , n durch ma, na ersetzt werden, wo ma entweder gleich Null oder nu entweder gleich Null oder gleich 4-1 und so angenommen

« = ma 4- vna mod 2, a = na+ a mod 2.

♦) [Vgl. Bd. I S. 148—150 dieser Ausgabe.]

Endlich sei noch

?(*) = (x-x₁)(x-x₂)...(x-xç) R,{x) =

R(x)

Mit Hülfe aller dieser Bezeichnungen ergeben sich auf Grund des durch die q Integralgleichungen vermittelten Zusammenhanges zwischen den beiden Grössensystemen ut1 ... uQ und xi: ... x die folgenden Formeln:

ÿeg(-l)«<p(qgB) ₌ 9 (fl,, ...Vç)ta

#(*!>••• *>ç)

\/R'Aata)

2a—1

\l R (x a )

wo das Vorzeichen von ak — afi so zu wählen ist, dass —-~A -a^ positiv wird, während der Quadratwurzel der positive Werth beigelegt wird. Die Wurzel

grössen \lR(xt), ... \/R(xq) müssen dieselben Werthe haben, wie die Endwerthe \jR(x) bei den einzelnen Integrationen in dem ersten Gleichungssystem

von

(S. 289).

Man erhält ferner, wenn

R(x) = (x-a₁)(x-a₃)...{x-a2Q_₁)

gesetzt wird,

to| M.

P(x) \/R(d)\ dx B(«) \ß(x))x-a ~

a log 9«,... v'o)

~IX

6v'

a

+ log

9(0, . . . 0) 9    + v'j, . ■. Vg + Vq)

9(vi; ...^)9(v;, ...v')

WO

und

⁼/

Ja

\jR(x)

dx.

In diesem Integral muss der Anfangswerth von    mit dem in der

gehenden Integralformel vorkommenden Werthe von \jR(a) übereinstimmen.

vor

an

Die Integration zwischen ßJM und xa ist auf dieselbe Weise auszuführen wie in dem ersten Gleichungssystem. Unter derselben Voraussetzung gelten noch die Formeln

?łf

P(x) SjBja) äx \/B(x) x-a

a2cc— 1

+ |ïog

+    ... ye + t?g)

<p(q) _ ft²(0,... Ojftfo + pj, ... vq+Vq)^(v₁ — v'₁, ... Vq — Vq)

••• VQ) ••• V'Q)

~IX

P(a)

dVa

Die Systeme von Fundamentalperioden 2Kap 2iK'ap die bei der Definition der 0-Functionen auftreten, können nach einem jetzt näher anzugebenden Verfahren auf unendlich viele Weisen durch andere ersetzt werden.

Es sei

Qx,-Q₉)

ein System von Fundamentalperioden einer Integralfunction, die aus je 9 Integralen erster und zweiter Art zusammengesetzt ist. Jede homogene lineare Function dieser Fundamentalperioden mit ganzzahligen Coefficienten stellt wieder eine Periode des Integrals dar.

Sind p und p' zwei solche Perioden, und

P = «J Pi + ■ • • + aQ Pq + Qi + • ' ■ +    ;

P — a\ Pt + • • • + a' PQ +    + • • • + bç Q(j )

so

wird durch das Periodenpaar p,p' eine ganze Zahl (p,p) vermittelst der Formel

(p ,p) = a₁b'₁+a₂b,₂+--- + aĄ-(ar₁bi+a 2h* + -" + a'Ą)

bestimmt. Aus dieser folgt

(p,pr) = -(p',p),    (p,p) = 0,

und wenn tu eine beliebige ganze Zahl bedeutet,

(p,mp) = m(p, p'), (mp, p') = m(p,p').

Ferner gelten, wenn p" eine dritte Periode derselben Art wie p und p' be-zeichnet, die Gleichungen

(p,p'+mp") = (p,p') + m(ptjf), (p + mp'',p') = (p,p') + m(p",p').

Sind nun

SU ••• 2*

Pi, • • • PQ

2q in der eben beschriebenen Weise aus den obigen Fundamentalperioden entstandene Perioden, so bilden sie wieder ein Fundamentalsystem, wenn sie folgenden Bedingungsgleichungen genügen, in denen a und ß beliebige Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... q bedeuten:

(ß^v)

(PafPß) = °> (äa>fy) = ⁰’ (Pa>fy) = °» (Pa* 2«) = ¹*

kann das System auf vier verschiedene

Sind diese Bedingungen erfüllt, so Arten in ein anderes umgestaltet werden, das denselben Bedingungsgleichungen

ebenfalls genügt.

Und zwar kann erstens, wenn A irgend eine Zahl aus der Reihe 1, 2,...p die Stelle von px und gleichzeitig — px an die Stelle von qx woraus sofort folgt, dass das Paar px, qx auch durch —px, — qx

bedeutet, qx an gesetzt werden, und durch -qx,px ersetzt werden darf.

Zweitens können irgend zwei Perioden aus der Reihe pt1 . untereinander vertauscht werden, wenn dasselbe mit den beiden entsprechenden

Perioden aus der Reihe q^ ... qQ geschieht.

durch

Drittens darf qx durch qx + mpx vertreten werden, für m als ganze Zahl. Endlich können, für [i -g A, gleichzeitig px durch px + mpu und q^ %~m(h erselzl werden.

ANMERKUNG.

Die vorstehende Abhandlung ist, von unbedeutenden Änderungen abgesehen, der Inauguraldissertation von M. Henoch: De Abelianarum functionum periodis (Berolini 1867) entnommen, wo sie, als Mittheilung von Weierstrass an den Verfasser, auf S. 2 —5 in lateinischer Sprache reproducirt ist. Ihrem Inhalt nach deckt sie sich im Wesentlichen mit dem ebenfalls eine Mittheilung von Weierstrass wiedergebenden § 1 der Abhandlung von L. Königsberger: Zur Transformation der Abelschen Functionen erster Ordnung (Crelles Journal Bd. 64 (1865), S. 18—21). An einigen Stellen, auf die durch Fussnoten hingewiesen ist, unterscheidet sie sich nur in den Bezeichnungen von der von Weierstrass selbst veröffentlichten Arbeit Zur Theorie der Abelschen Functionen (Crelles Journal Bd. 47 (1854); Bd. I S. 133—152 dieser Ausgabe).

K.

UBER NORMALFORMEN ALGEBRAISCHER GEBILDE.

Der Fall q — 5

Die Aufgabe, die im Folgenden für specielle Fälle behandelt werden soll, ist: die einfachsten Gleichungen aufzustellen, durch welche eine gegebene zwischen x und y ersetzt werden kann, oder: alle Gleichungen vom Range q zu bilden, aus denen die übrigen durch Transformation entstehen. Eine Gleichung zwischen x und y kann ersetzt werden durch eine andere zwischen zwei rationalen Functionen g, tj von x, y, die nur der Beschränkung unterworfen sind, dass auch umgekehrt x, y sich rational durch g, tj aus-drücken lassen. Um die einfachsten Gleichungen zu erhalten, wählt man die rationalen Functionen g und yj in der Weise, dass sie nur an einer Stelle und von möglichst niedriger Ordnung unendlich werden. Solche Normalgleichungen werden im Folgenden für q = 1, 2, 3 vollständig aufgestellt; bequem durchführbar ist die Untersuchung noch für q = 4. ist schon complicirter; doch scheint es, als ob sich die Aufgabe allgemein erledigen lasse.

1.

Für jede Stelle des Gebildes vom

Range 1 giebt es rationale Functionen, die nur an dieser Stelle unendlich werden von der zweiten, dritten und jeder höheren Ordnung, aber für keine Stelle existirt eine Function, die nur an dieser und von der Ordnung 1 unendlich wird. Man kann daher eine unendliche Reihe von Functionen

38

III.

aufstellen, die

willkürlich angenommenen Stelle unendlich

nur an einer

werden, jede von derjenigen Ordnung, die ihr Index angiebt.*) Zwei davon, und zwar die beiden ersten, greifen wir heraus. und £₃ sind von der Ordnung 6, beginnen also, nach Potenzen von t entwickelt,**) beide mit t~e. . Die Coefficienten der Anfangsglieder können dadurch in Übereinstimmung gebracht werden, dass £ mit einem constanten Factor a multiplicirt wird; die Differenz

ist dann eine Function von der fünften Ordnung.

ys ist ebenfalls von der fünften Ordnung und kann mit einem constanten Factor b so multiplicirt werden, dass die Anfangscoefficienten beider Functionen übereinstimmen. Dann wird

eine Function vierter Ordnung. Eine solche ist auch j£; man wird also c so wählen können, dass

Z-aZ-bU-cZ

von der dritten Ordnung ist. Fährt man so fort, so kann man noch die Coefficienten d und e so bestimmen, dass

von einer niedrigeren als der zweiten Ordnung unendlich wird. Eine solche Function existirt aber nicht; es wird also

sein müssen, wo auch f eine Constante bedeutet. Diese Gleichung, welche in I quadratisch ist, kann man in der Form

(l₃ —+    = a%l + b'%\ + c'£₂ + d'

schreiben.

Nun ändert die Function |₃ ihren Charakter nicht, wenn man

*) [Vgl. Bd. IV S. 225 dieser Ausgabe.]

**) [Vgl. über die Bedeutung von t Bd. IV S. 16 dieser Ausgabe.]

sie durch l₈ —j(&£₂ + ^) ersetzt, halten wir

Bezeichnen wir diese Grösse mit yj, so er-

rß =    + &'|₂ + c'§₈ + d\

Hier kann noch |₂ = a£ + ß gesetzt und cc, ß so bestimmt werden, dass der Coefficient von den speciellen Werth 4 annimmt, der von |₂ gleich Null wird. Es wird nämlich

Man setze nun

aa³ = 4,    +    = 0.

Diese Bestimmung von a und ß ist möglich, da a nicht gleich Null ist.

Die Gleichung zwischen g und y] nimmt jetzt die Form an:

rß = 4

Man kann noch eine Constante herausbringen, indem man bewirkt, dass g und g₃ einander gleich werden. Setzt man nämlich

7j = mrß, g = »g',

so wird

vrfrß² — 4w³|'³-^₂ni'-5r₈.

Wählt man die Factoren w, w so, dass

m³ = ns

ist, so erhält man in der That

V* = 4i'³-A(r+i)

für

m²

so ist es

Da aber hierbei der Fall g₃ = 0 ausgeschlossen weiden

zweckmässiger, beide Constanten g₂ und beizubehalten.

sehen, dass durch £ und yj alle rationalen

muss

Es ist jetzt nicht schwer Functionen des Paares (ocy), und somit auch x und y selbst, rational ausge-

zu

drückt werden können.

Zunächst ist klar, dass nach Aufstellung der Reihe

I3J I4» •••

jede rationale Function, die nur an der betrachteten Stelle unendlich wird, dargestellt werden kann in der Form

g ®0 t ^2 ^2 F ^3 ^3 F * ' ' j

wo a , a₂, ... constante Coefficienten bedeuten; die Reihe auf der rechten Seite bricht mit an%n ab, wenn £ von der ni&n Ordnung ist. Nun können wir die Functionen in folgender Weise wählen:

i₅ =

g₂ — g> £3 = *1» I* = i!

allgemein

g, gleich £ ² oder £ ²

je nachdem m eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Daraus folgt: Jede rationale Function von æ, y, die nur an der gewählten Stelle unendlich wird, lässt sich als ganze Function von £, 73 darstellen.

Haben wir aber eine Function £, die ausser an dieser auch an anderen Stellen unendlich gross wird, so lässt sich eine ganze Function Cr(g) so wählen, dass das Product £.6r(£) nur gleichzeitig mit £ unendlich wird. Man hat zu diesem Zweck nur diejenigen endlichen Werthe alt fljt fl,, ... zu bestimmen, die £ an den Stellen annimmt, wo £ unendlich wird, und die zugehörigen Ordnungszahlen mt, mt1 mai ... . Setzt man alsdann

Dem-

so kann £.6r(£) offenbar nur gleichzeitig mit £ unendlich werden, nach ist    f

£.£(£) = FX£,yî),

wo jP(£,7]) eine ganze Function von £ und tj bedeutet. Hiermit ist bewiesen, dass alle rationalen Functionen von x, y, also auch x und y selbst, sich rational durch £, 7] ausdrücken lassen.

Q = 2.

man

Yon diesem Werthe des Hanges an gilt die Bemerkung, dass eine ausgezeichnete Stelle immer so gewählt werden kann, dass eine Function existirt, die nur an ihr und zwar von der Ordnung q oder einer niedrigeren, unendlich gross wird. Die Stelle ist nämlich so anzunehmen, dass eine bestimmte Determinante verschwindet. ²) Die Zahl 1 fehlt sicher in der Reihe der Ordnungszahlen; g₂ muss demnach existiren. Ausser der Zahl 1 muss noch eine fehlen, und dies muss 3 sein. Denn angenommen, es wäre g₃ vorhanden, so würden, da g sicher vorhanden ist, weil man hierfür |₂ nehmen kann, alle folgenden Functionen: g₈, g#,g₇, ... ebenfalls vorhanden sein; für g₅ könnte g₂g₃ nehmen, dann g® für g₆, u. s. f.

Also muss g₃ fehlen; die Functionen    .. • existiren dann sämmtlich.

Zwischen je zwei dieser Functionen besteht eine algebraische Gleichung. g₂ und g₄ zu wählen, würde unzweckmässig sein, weil sich durch diese Functionen nicht umgekehrt x und y rational ausdrücken lassen. Wir untersuchen also, welche Gleichung zwischen g₂ und g₅ besteht.

g ist von der Ordnung 10; g! — agj, wenn a zweckmässig bestimmt wird, von der Ordnung 9; in ähnlicherWeise wie vorher schliesst man weiter, dass der Ausdruck

r₅-ag;-6g;gB-cgi-dg₁gB-eg;-^₅-^;

Wir be-

bei geeigneter Wahl der Coefiicienten von der Ordnung 3 sein müsste. Eine solche Function existirt aber nicht; folglich muss dieses Aggregat von der Ordnung 2 und demnach in der Form h%₂+k darstellbar sein, kommen also zwischen g₅ und g₂ die Gleichung

(i₅ -HHi+d^+ny = R(U,

wo _R(g ) eine ganze Function fünften Grades bedeutet. Oder, wenn in derselben Weise wie vorhin g₅ und g₂ durch g und tq ersetzt werden:

r;² = 4 g,-$r₁g³-0ir-0,|-&.

Es lässt sich noch, ebenso wie dort, eine letzte Reduction vornehmen, durch

die die Anzahl der vorkommenden Constanten um eine Einheit verringert wird; die Gleichung enthält also drei wesentliche Constanten.

q — 3.

nur

Wir wählen wüeder eine Stelle so, dass eine Function existirt, die an dieser Stelle und von der Ordnung q oder einer niedrigeren unendlich wird.

Existirt £₂, so giebt es auch Functionen der vierten, sechsten, achten Ordnung, u. s. w., nämlich £², j£, £*, ... . £a und £₆ müssen dann fehlen, £7 aber existiren. In £₂£₇, £₂£₇, ... haben wir dann Functionen neunter, elfter Ordnung u. s. f. vor uns. Die Reihe der fehlenden Zahlen ist demnach hier J, 3, 5.

Fehlt £a, so existirt £₃. Ausser den Ordnungszahlen 1, 2 muss dann noch eine fehlen und zwar 4 oder 5. Denn wenn £₃, £₄, £₅ existirten, so könnte man aus ihnen auch Functionen aller höheren Ordnungen bilden, z. B.

.. aber existiren.

Die fehlenden Ordnungszahlen sind demnach für q = 3 entweder 1, 3, 5 oder 1, 2, 4 oder 1, 2, 5. Wir behandeln zunächst den Fall, wo die Functionen £x, £₂, £₄ fehlen, £₃, |₅, £e, i₇, .

Greifen wir aus dieser Reihe £₃, £₆, £₇ heraus, so lässt sich allgemein eine Function £ von der ftten Ordnung mittels eines der drei Ausdrücke

£;n oder £”‘£₅ oder £₃m£₇

bilden, vorausgesetzt dass n nicht gleich 1, 2 oder 4 ist; denn jede Zahl, die grösser ist als 4, lässt sich darstellen in einer der drei Formen 3m, 3w + 5 oder 3m+ 7. Es folgt hieraus, dass jede Function, die nur an der betrachteten Stelle unendlich wird, in die Form

£ = a£₇ + /3£₅ + y

gesetzt werden kann, wo a, ß, y ganze Functionen von £₃ sind, und zwar nur auf eine Weise, weil eine Gleichung

nur bestehen kann, wenn a\ß' und y gleich Null sind. Die Grade der drei

Functionen cc, ß, y bestimmen sich dadurch, dass eins der drei Producte a%₇, ß%₅, y von derselben Ordnung sein muss wie g, die beiden anderen von niedrigerer.

Man kann also folgende Gleichungen ansetzen:

is = «i ił +/Mb + Pi » i₅i₇ = «2 ił + k Is + r₂, i' = a₈i₇ + /M5 + ?v

Hierbei kann cc₂ höchstens vom ersten, ß₂ höchstens vom zweiten Grade in Bezug auf g₃ sein. Daher kann g₅ durch g₅ — a₂, g₇ durch g₇ — ß₂ ersetzt werden. Hierdurch wird bewirkt, dass die Coefficienten a₈, ß₂ fortfallen, die mittlere Gleichung also die einfachere Form annimmt:

is i₇ ='jv

Aus den drei Gleichungen ist nun g₇ zu eliminiren. Wir bilden zunächst auf doppelte Weise, indem wir die erste Gleichung mit g₇, die zweite mit I multipliciren. Auf diese Weise ergiebt sich

<M? + ß^x + yX — vX'

Ersetzt man hier g| und g₅g₇ durch ihre linearen Ausdrücke, so folgt durch V ergleichung

oder

Yt = — «|#„ y₂ = «ißn 7a = ~ßiß»’

Dasselbe Resultat würde sich aus der zweiten und dritten Gleichung ergeben haben. Wir bekommen also

= <M, + /M .“«i«.»

iö i₇ - ßl 1^3)

i? = «3 i₇ + /k is — ßlßf

Gleichung ist jetzt eine nothwendige Folge der beiden ersten.

dritten Grade sein; der Grad von ß₂ ist höchstens

Die dritte

a₈ muss vom ersten, ß₃ vom gleich 1, der von cc₃ höchstens gleich 2.

Indem wir jetzt g₇ eliminiren, bekommen wir die Gleichung zwischen

g. und g •

£5 - ßl + «1 «3 is - «Î ft = 0.

Sie kann die ursprüngliche zwischen x und y ersetzen. Denn einerseits sind g₃, I rational in x,y. Andrerseits lassen sich zunächst diejenigen Functionen, die nur an der ausgezeichneten Stelle unendlich werden, sämmtlich darstellen in der Form

«& + ß%₅ + Y-

Da nun £? rational in g₃ und g₅ ist, so lassen sich alle diese Functionen rational durch £s und g. ausdrücken. Daraus folgt aber sofort, dass alle rationalen Functionen von æ, y, somit auch x, y selbst, rational durch g₃ und |₅ ausdrückbar sind. *)

Da ai, ßi lineare Functionen von g₃ sind, während u₃ vom zweiten, ß₃ vom dritten Grade ist, so enthält die Gleichung zwischen g₅ und g₃ elf Coefficienten. Man kann nun zunächst einen Coefficienten dadurch wegschaffen, dass man g6 durch g + xa, ersetzt und die Constante x zweckmässig wählt. Es lässt sich auf diese Weise bewirken, dass die lineare Function ßi durch eine Constante ersetzt wird.

Ferner darf man g₃ durch ersetzen, wodurch zwei weitere Constanten wegfallen. Endlich kann man noch zwei Constanten entfernen, indem man g durch Ag , g₃ durch jx.g₃ ersetzt, und A, y passend wählt. Die so reducirte Gleichung enthält dann nur noch sechs wesentliche Constanten.

Wir denken uns nun umgekehrt eine Gleichung der Form

V - ßi V + ai «3 Ti - «i ß₃ = ⁰

gegeben, in der a , ßt) a₃, ßs ganze Functionen von g sind, von denen ui wirklich vom ersten, ß₃ vom dritten Grade ist, während ßt vom ersten, a₃ vom zweiten Grade sein kann, aber auch von niedrigerem Grade. Die Gleichung kann, für hinlänglich grosse Werth e von g, aufgelöst werden, indem

£ = r³,    = x₀r⁵ + x₁r« + ... .

gesetzt wird. Der erste Coefficient xo bestimmt sich durch die Bedingung

x® = m'n,

*) [Ygl. Bd. IV S. 216—217 dieser Ausgabe.] wenn m den Coemcienten von | in n den von g₈ in ß₃ bedeutet. Durch dieses Functionenpaar sind alle Werthepaare (|ïj) gegeben, die der Gleichung genügen, und bei denen g dem absoluten Betrage nach einen bestimmten Werth überschreitet. Die Gleichung besitzt mithin nur ein unendlich fernes Element, und zwar wird g von der dritten, yj von der fünften Ordnung unendlich. Man kann daher g als g₃, -q als g₅ annehmen. Setzt man nun

ßs

so ist, da ai an der unendlich fernen Stelle von der dritten, ß₃ von der neunten Ordnung unendlich wird, tj aber von der fünften, C offenbar eine Function, die dort von der siebenten Ordnung unendlich gross wird.

Nach dem Ausdruck für Ç wäre nicht ausgeschlossen, dass Ç auch für Yj = 0 unendlich gross würde. Nimmt man aber die Gleichung zwischen I und Y] zu Hülfe, so kann man die Formel aufstellen

C² = a₃t + ßsri-ß₁ 3,

aus

der hervorgeht, dass C nur gleichzeitig mit g und 7] unendlich gross werden kann. Wir dürfen also C = £₇ setzen. Aus g₃, g₅ und g₇ können wir durch Multiplication andere Functionen g bilden, die von einer beliebigen Ordnung unendlich werden. Ausgenommen sind nur die Ordnungszahlen 1, 2 und 4. Die Gleichung zwischen g und 7] ist demnach nicht von höherem als dem dritten Bange.

Wir setzen noch ax = g, ‘q = g|'. Dann verwandelt sich die Gleichung in folgende:

£r³-&r+*3r-& = o.

so

ß a₃ und ß₃ sind ganze Functionen von g; ßt vom ersten, «s vom zweiten, ß vom dritten Grade. Von der vierten Dimension ist nur das Glied gg'³. Fasst man das durch die Gleichung dargestellte Gebilde als eine Curve auf, stellt die Gleichung

die Asymptotenrichtungen dar} aus ihr ist ersichtlich, dass die Curve im Un endlichen eine Wendetangente hat. tangenten aufweist

Da jede Curve vierten Grades Wende

so

braucht man, um diese Form zu erhalten, nur eine

39

Projection der Art zu machen, dass der Berührungspunkt der Wendetangente ins Unendliche fällt, und kann daher sagen: Unsere Gleichung entspringt aus der allgemeinen Gleichung vierten Grades zwischen zwei Veränderlichen.

Nicht jede Gleichung dritten Ranges kann in dieser Weise transformirt werden. Wir betrachten jetzt den Fall, wo |₃ und g₄ existiren, aber ga und £g fehlen. Jede Function, die nur an der ausgezeichneten Stelle unendlich wird, muss sich in der Form

§ = «II + ßk + y

darstellen, wo u, ß, y ganze Functionen von |₈ sind. Die Grade dieser drei Functionen sind wieder dadurch bestimmt, dass eins der drei Producte «{■*, ßt₄, y von derselben Ordnung sein muss wie g, die beiden anderen von niedrigerer. Setzt man also

£3 = <*%l + ß%i + y,

so muss diese Gleichung erfüllt werden können, indem für a eine ganze Function ersten, für ß eine Function zweiten, und für y eine Function vierten Grades von |₃ gesetzt wird. Die Gleichung enthält demnach zehn willkürliche Coefficienten. Man kann aber noch eine Transformation vornehmen, durch welche die Anzahl der Coefficienten um 5 erniedrigt wird, indem man

i₃ =    + A,

M + vl + Q

einführt und x, A, /*, v, q zweckmässig bestimmt. Es sind also nur fünf wesentliche Constanten vorhanden. Dies ist eine speciellere Form der Gleichung vierten Grades; die Curve hat eine Wendetangente, die zugleich Doppeltangente ist.

Es bleibt nur noch der Fall übrig, wo |a existirt, il? |₃ und §# aber fehlen. Jede Function, die nur an der ausgezeichneten Stelle unendlich wird, lässt sich hier auf die Form

a%i + ß

bringen, wo a und ß ganze Functionen von sind. Es besteht also eine quadratische Gleichung

wo a höchstens vom dritten, ß aber nothwendig vom siebenten Grade ist. Diese Gleichung kann man auch in der Form

(TTC

coi &

«sa.

schreiben, wo ß' ebenfalls vom siebenten Grade in |₂ ist, und nun g₇ für |₇ — y setzen. Dadurch ergiebt sich als dritte Form

I? = a% + m+.~,

wie denn überhaupt immer, wenn eine Function |₂ existirt, die Gleichung auf die Normalgleichung des hyperelliptischen Gebildes zurückführbar ist. Diese Gleichung enthält wiederum nur fünf wesentliche Constanten.

39*

ANMERKUNG.

Die vorstehende Abhandlung hat Herr F. Schottky unter Benutzung eines Theiles der von Weierstrass im Winter-Semester 1873—74 über die Theorie der Abelschen Functionen gehaltenen Vorlesung ausgearbeitet.

K.

ZUR INTEGRATION DER HYPERELLIPTISCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.

(Zusatz zu der in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 17. Februar 1862

gelesenen Abhandlung.)

Ohne das AbeLsehe Theorem voranszusetzen, kann man die Integrale der in der genannten Abhandlung³) behandelten Differential-Gleichungen

(L)    2

dxv

xy dxv

v \jR(xv)

*    Si KM

... 2

X;~l dxv

v \]R(xv)

folgendermassen erhalten.

Aus den vorstehenden Gleichungen folgt, wenn x eine willkürliche Grösse und f{x) eine beliebige ganze Function [q — l)ten Grades bedeutet,

= 0.

fjxf) dXy_

' SjKjxfj

Bezeichnet man nun

(x — x₀) (x — xf) ... (x — X )

mit F{x) und nimmt

ffc) =

Fix)

(x-xx)(x-x^) ’

unter A, ^ irgend zwei der Zahlen 0, 1, ... q verstehend, so hat man f(xv) = 0, sowohl von A als von verschieden ist, und

wenn v

F'{xx)

fM =

Xx - Xu ’

fix«) =

XiU-xx ’

und daher

f(x-,)dxx f(x,) dxu

\ß(xx)

Vp(a)

oder

F'{xi)dxl F'(xu)dxa

¹

[Ygl. Bd. I S. 137 dieser Ausgabe.]

²

[Ygl. Bd. IY S. 213 dieser Ausgabe.]

³

[Ygl. Bd. I S. 267-273 dieser Ausgabe.]

\!Wph) sjRM

Es ergeben sich also aus den Gleichungen (1.) die folgenden:

(2-)

F'(x₀)dx₀ _ F,(xi)dx₁ _    _ F'(x,j) dxQ

V-Rfe)

\/R(xs)

Aus der Gleichung

F(xx) = 0

folgt nun

F'(ocx)dxx+ (dF(x))x = Xi = 0,

wo sich das Zeichen d, wie überall, auf die in den Coefficienten von F{x) enthaltenen Grössen x₀, xif ... x , nicht auf die von denselben ganz unabhängige Grösse x bezieht. Ferner sei

7* (xv—x)F'(xv)

so ist

und somit

G(x)

% = xx

Vermöge der Gleichungen (2.) hat also

dF(x)

₌ F,(xl)dxx \jE(xx)

G(x)

für x = a?#, «j, ... x denselben Werth, der mit g bezeichnet werde. Dann besteht die Gleichung

dF(x) — gG(x) = 0

für x = x₀, xt, ... xQ, für jeden Werth von x gelten muss. Die Gleichung

woraus

da sie nur vom q

tan

Grade ist, folgt, dass sie

G\x)-R(x) = 0

ferner besteht ebenfalls für x — xo, xi, ... x^ folglich muss der Ausdruck auf der Linken durch F(x) theilbar sein, so dass, wenn man

G\x)-R{x) = F(x)F₁(x)

setzt, Fy{x) eine ganze Function von x ist, und zwar vom pten oder ($> + l)ten

Grade, jenachdem R(x) den Grad 2p+ 1 oder 2p + 2 hat.

2 G (x) d G (x) — F (x) dF₁ (x) + F₁ (x) dF (x)

F(x)dF₁(x) = 2 G (x) d G (x) — F₁ (x) dF (x) — G(x) (2dG(x) — gF^x)). Es haben aber G{x) und F{x), wie aus der Gleichung

G\x)-R(x) = F{x)F₁(x)

Dann ist

erhellt, keinen gemeinsamen Theiler, und es muss daher

2dG(x) — g Fl (x)

durch F(x) theilbar sein. Ist nun die Function R(x) vom (2p + 2)ten Grade und A der Coefficient von x2Q+2 in derselben, so ist — A der Coefficient von X'⁺¹ in F₁ (x), und

man

hat daher, da G(x) nur vom pten Grade ist

2dG(x) — gF^x) = AgF(x).

Dieselbe Gleichung gilt aber auch, wenn R(x) vom (2p + l)t<m Grade ist; denn dann ist A = 0, und der Ausdruck auf der Linken kann, da F^x) vom pten Grade ist, nicht anders durch F(x) theilbar sein, als wenn er für jeden Werth von x verschwindet.

Mithin erhält man

dF^x) = Ag G (x) — AdF(x), d(F₁(x) — AF(x)) = 0,

d. h. es ist F^x) — AF(x) eine ganze Function von x, deren aus den Grössen x₀, xlt ... x , \JRJxJ, (xj, ... \/R(xQ) zusammengesetzte Coefficienten in Folge der Gleichungen (1.) sämmtlich Constanten sind. Da nun

G²(x) R(x)

~F\x) ~Fjx)

— AF(x) = F₁(x)-AF(x)

so

ist folgender Satz bewiesen:

Wenn zwischen (p + l) veränderlichen Grössen x₀, xt, ... x die Differential-

man setzt, unter x eine von x₀, xt, ... xq unab-

Gleichungen (1.) bestehen, und hängige willkürliche Grösse verstehend,

F{x) = (x-x₀){x-x₁)...{x-x^) dF(x)

F’(x) =

dx

G(x) _    \/R (x₀)_

F(x) - {x-x)F\xü)

(x₁-x)F'(x₁)

+ ••• +

\JR (OCg)

(xq-x)F\xq)

so ist

— A F ix)

G\x) R(x)

F(x) Fix)

eine ganze Function von x, welche sich nicht mit xt, ... x ändert, so dass alle ihre Coefficienten, welche aus den Grössen

x₀, xx

... xQ und S/Bixo), slR{x\), ... S/R(xq) rational zusammengesetzt sind, constante Werthe haben.

Ist

Rix) = Ax²°⁺² + Atx2Q+1 + •••

und setzt man

so hat man

S = X₀ + xt + • • • + xQ

Fix) = x>⁺¹ — sxQ+ Glieder mit niedrigeren Potenzen von x, und es werden daher, wenn man R{x) durch F{x) dividirt, die beiden höchsten Glieder des Quotienten gleich

Ax?⁺¹ + (At + As)x'.

Daraus folgt mit Rücksicht darauf, dass G²(x) vom (2())ten Grade ist,

G²ix) Fix) Fix) Fix)

— AFix) = — 2Ax$+l — AtxQ + F₂ix)

wo Fa{x) eine ganze Function (p —l)ten Grades von x ist. Entwickelt man dieselbe und bezeichnet ihre Coefficienten mit Pl? P₂, ... Pp, so sind

-Pt Cj, P₂ c₂, ... P.

Q CQ’

wo ct,ca1...c willkürliche Constanten bedeuten sollen, die q Integrale der aufgestellten Differential-Gleichungen. Da sich nun, wenn    |₂, ... | q will

kürlich gewählte, bestimmte Werthe von x bezeichnen, die P linear durch P(|₂), ... Pa(| ) ausdrücken lassen, so kann man diese Integrale auch durch die folgenden ersetzen:

£²cy m>)

Ffa) Ffo) -AF&) = G

£²(y mQ)

Fit,) F(y

-AFitQ) = CQ,

.. C ebenfalls willkürliche Constanten bedeuten.

Q

Diesen Satz hat auf andere Weise Richelot bewiesen (Crelle’s Journal, Bd. 25, S. 107, Theorem (3)).

wo C , C

»> '

ANHANG.

m.

40

ÜBER DIE SOKRATISCHE LEHRMETHODE UND DEREN ANWENDBARKEIT BEIM SCHULUNTERRICHTE.

(Der wissenschaftlichen Prüfungscommission zu Münster vorgelegt im Erühjahr 1841. Abgedruckt im Jahresbericht über das Königl. Progymnasium in Dt. Crone vom Herbst 1844 bis zum Herbst 1845.)

Bei der Bearbeitung des vorliegenden, bereits vor längerer Zeit auf äussere Veranlassung geschriebenen Aufsatzes¹) wurde ich durch das Bemühen, die Eigenthümlichkeit und das wahre Wesen der nach Sokrates benannten Lehrmethode zu einer klareren und lebendigeren Anschauung zu bringen, als die Definitionen der gewöhnlichen pädagogischen Compendien zu geben vermögen, darauf hingeführt, zunächst die Art und Weise, in der sie von jenem trefflichen Philosophen selbst in Anwendung gebracht wurde, ausführlicher darzustellen. Wir kennen die Weise des Sokrates, wie er mit den Jünglingen, die sich

ihm anschlossen, und mit seinen Mitbürgern überhaupt verkehrte, aus Xenophons Schrift über ihn und aus den Dialogen des Plato. Xenophon führt eine Reihe einzelner Scenen aus dem Leben seines geliebten Lehrers worin dieser ganz in der eigenthümlichen Haltung seines Wesens auf-

uns vor

tritt, und in Unterredungen mit den verschiedenartigsten Personen sich der Pflicht entledigt, die, wie er selbst sagt, der Gott ihm auferlegt hatte, seinen Mitbürgern rath end, ermahnend, zurechtweisend, anregend zu nützen. Gespräche haben grösstentheils eine praktische moralische Tendenz, und die Gegenstände sind durchaus populär behandelt.

Die

Erörterungen wissenschaft-

licher Begriffe kommen weniger in ihnen vor; deshalb sind sie auch nicht geeignet, die Sokratische Methode vollständig kennen zu lehren. Plato dagegen zeigt uns den Weisen, der sich, obwohl er bescheiden von sich bekennt, dass er nichts wisse, zur Ahnung des Höchsten und Heiligsten erhoben hat, und der einzig dafür lebt und wirkt, die vom Schein und Trug der Sinne befangenen Menschen von dem eitlen und verderblichen Trachten nach Beichthum, Macht, Wohlleben und unfruchtbarer Wortweisheit abzuziehen und für ein ernstes Streben nach dem, was ewig wahr, gut und recht ist, zu gewinnen. Das ist sein Zweck, wenn er hier die prunkende Weisheit anmassender Sophisten in ihrer Blösse zeigt, dort den jungen, nach Ehre und Auszeichnung begierigen Staatsmann aufmerksam macht auf das* wodurch er allein wahres Verdienst sich erwerben könne; wenn er nach Wahrheit strebende Jünglinge auf den Weg des rechten Forschens leitet, oder wenn er im Kreise seiner Freunde das heitere Mahl durch sinnige Gespräche würzt, sodass Flötenspieler, Tänzer und Lustigmacher darüber vergessen werden. Und diese Tendenz der Sokratischen Philosophie, glaube ich, muss man beständig im Auge halten, wenn man eine richtige Ansicht von der ihm eigen-thümlichen Methode zu lehren fassen will. Es schien mir daher anfänglich nicht unangemessen, den Versuch zu machen, ob sich das Wesen der Sokratischen Methode nicht vielleicht am befriedigendsten durch eine genaue Analyse eines der Platonischen Gespräche entwickeln lassen möchte. Auch dachte ich, durch eine näheres Eingehen in die Natur der von Sokrates behandelten Gegenstände am besten zeigen zu können, welche Gegenstände sich überhaupt nach seiner Weise behandeln lassen, und so zugleich für die Beantwortung der Frage, inwiefern bei unserm jetzigen Jugendunterrichte davon könne Gebrauch gemacht werden, einige Anhaltspunkte zu gewinnen. Ich versuchte es mit dem Menon, weil dieses Gespräch oftmals als ein schönes Muster der Sokratischen Methode empfohlen wird; und mit dem Theätetos, der mir vorzüglich geeignet dazu erschien, nicht nur, weil hier Sokrates in der Unterredung mit seinem jungen Freunde von seiner Art zu lehren eine sehr klare Anschauung giebt, sondern sich auch über diese seine »gaieoTix^v    mehr

fach selbst ausspricht. Aber ich fand bald, dass eine solche Zergliederung eines Dialogs von dem »göttlichen Weisen«, sollte sie befriedigend ausfallen, eine etwas längere und vertrautere Bekanntschaft mit den Werken desselben voraussetzt, und überdies nicht durchzuführen sein dürfte, ohne in Erörterungen, die für den beabsichtigten Zweck zu umständlich sein würden, einzugehn. Denn einmal kann ein Werk von Plato nicht füglich völlig verstanden werden, wenn es nicht in seinem Zusammenhänge mit den übrigen betrachtet wird; und dann würde überhaupt auf die behandelten Gegenstände selbst mehr Rücksicht genommen werden müssen, als mit der Absicht, bloss den Begriff der Sokratischen Methode auf diesem Wege zu -entwickeln, verträglich sein möchte. Ich werde mich daher auf einige Andeutungen über die Ansicht, die ich auf dem angegebenen Wege von der Sokratischen Methode gewonnen habe, beschränken müssen. Einige Bemerkungen über das Wirken des Sokrates und den Geist seiner Lehre überhaupt scheinen mir aber nöthig zu sein, weil seine Methode in innigem Zusammenhänge damit steht.

Sokrates unterschied sich in mancherlei Hinsicht von den übrigen Jugendlehrern und sogenannten Weisen seiner Zeit. Nach den Perserkriegen, seit welchen die Cultur in Griechenland so herrliche Fortschritte machte, regte

sich bei der griechischen Jugend, besonders der athenischen, das Verlangen nach einer höhern Bildung, als sie Waffenübungen und Gymnastik zu geben vermochten. Namentlich fühlten diejenigen, welche im Staate etwas gelten, als Redner in der Volksversammlung oder vor Gericht auftreten wollten, das Bedürfniss eines entsprechenden Unterrichts. So kam es, dass sich bald eine Leuten einfand, welche gegen angemessene Belohnung alles

grosse Menge von

das zu lehren sich erboten, was jeder für sich erspriesslich halten mochte,

und dass die jungen Männer in Schaaren ihnen zuströmten. Es war natürlich, dass besonders eifrig die Redekunst betrieben wurde als das unentbehrlichste Mittel, im Staate sich auszuzeichnen und zu Einfluss zu gelangen, wie denn auch viele zu Sokrates kamen, damit er sie in der Kunst »zu herrschen über

Aber freilich ward nicht sowohl gelehrt, durch

die Menschen« unterrichte, die Kraft der Rede zu überzeugen und die Herzen der Menschen für das

überreden und für die

Rechte und Grosse zu gewinnen, als die Menge zu ehrgeizigen Zwecke des gewandten Sprechers zu leiten, dann eine vorzügliche Stärke darin, den Gegner durch Trugschlüsse

und alles, Wahres und Falsches, nach Bedürfniss und Laune zu be-

Und auch über alle übrigen menschlichen und

Dabei suchte man

zu ver

wirren

haupten und zu bestreiten, göttlichen Dinge wussten diese weisen Männer auf Verlangen Auskunft zu

geben. Wirklich hatten sie aus der Schule der Eleatischen Naturphilosophen, von denen schon damals viele sich trefflich darauf verstanden, »den Geist in ein tönendes Wort zu kerkern«, eine Menge prächtig klingender Formeln mitgebracht, die sie ihren erstaunten Zuhörern einprägten, sodass diese nun vermeinten, den Schlüssel zu aller Erkenntniss zu besitzen. Dem Treiben dieser Menschen, und deren sogenannter, alles sittlichen Grundes entbehrenden Weisheit trat zuerst Sokrates mit Ernst und der überlegenen Kraft, welche die Wahrheit verleiht, entgegen. Mit Recht erkannte er in ihnen die heillosesten Verderber der Jugend, weil sie das erwachte Bedürfniss einer höhern Geistesbildung für ihre selbstsüchtigen Zwecke missbrauchten, und gleich so vielen ihrer Nachfolger dem Geiste ihrer Zeit, statt ihm durch besonnenes und kräftiges Eingreifen die Richtung auf ein würdiges Ziel zu geben, sklavisch dienend sich an der Menschheit versündigten, um nur selbst Ansehen bei der Menge und — Geld zu gewinnen. Es gehört nicht hieher, darzustellen, wie glänzend Sokrates den Kampf mit den Sophisten bestand; wie er die Leerheit der Weisheit, deren sie sich rühmten, aufdeckte; wie er ihre künstliche Dialektik niederschlug; wie er selbst ihre Redekunst, durch die sie am meisten galten, in ihrer Nichtigkeit darstellte, weil sie nicht auf dem festen Grunde der Wahrheit ruhete. Ich will nur in wenigen Zügen anzudeuten versuchen, wie er selbst mit den Jünglingen, welche die Sophisten verliessen und sich ihm anschlossen, zu verfahren pflegte, um sie auf den rechten Weg zur Wahrheit und zur Tugend zu führen.

Das erste, was er that, war gewöhnlich, dass er sie zu der Überzeugung brachte, wie sie von allem, was dem Menschen das Wissens würdigste sein müsste, noch nichts wüssten. Denn den Dünkel, schon recht vieles zu wissen und über die wichtigsten Dinge im Klaren zu sein, hielt er für das grösseste Hinderniss der Weisheit, die Erkenntniss der eigenen Unwissenheit dagegen als den Anfang derselben. Bekannte er doch von sich selbst, nichts zu wissen. »Nicht als ob — sagt Stoib erg — er sagen wollte, dass er mitten unter eleganten Zeitgenossen ein Idiot wäre; aber innig durchdrungen von dem Gefühle der hienieden gehemmten Kräfte; voll von Bedürfnissen, welche die Weisheit, wie sie gäng und gebe war, nicht befriedigen konnte; hoch auf den Flügeln der Ahnung gehoben, achtete er, gegen diese Ahnung, das menschliche Wissen satter Sophisten so viel als nichts«. Diese Ansicht des

Sokrates von der Nichtigkeit des menschlichen Wissens, wohl zumeist hervorgegangen aus seinem fruchtlosen Bemühen während eines guten Theils seines Lebens, über so viele Fragen, die seinen herrschenden Geist beschäftigten, bei den berühmtesten Weisen seiner Zeit befriedigende Aufschlüsse zu erlangen — diese Ansicht darf nicht übersehen werden, wenn man den Geist seiner Lehre richtig auffassen will.

Gar viele von denen, welche sich seiner bereits mit positiven Irrthümern behaftet, und

Sokrates fand aber nicht bloss nöthig, gegen den Dünkel des Wissens anzukämpfen, sondern noch manche andere Hindernisse der Empfänglichkeit musste er erst aus den Gemüthern wegtilgen, ehe er den Samen besserer Erkenntniss ausstreuen konnte.

Leitung übergaben, waren zumal von der herrschenden Lichtung, die auf Reichthum, Macht und Genuss

ging, angesteckt. Manche suchten sogar

hofften sie es vorzüglicher von ihm zu erhalten, weil sie ihm bestehen konnten, er also wohl weit

bei ihm nichts anderes als bei den

Sophisten ; nur

sahen, wie die Sophisten nicht vor

In der Art, wie er solche Verirrte zurechtwies, sie zur

weiser sein müsste.

Erkenntniss ihres verkehrten Strebens führte und ihren Sinn auf das Bessere

lenkte

Menschen zu behandeln, gegründet auf eine tiefe Kenntniss des menschlichen Herzens und klare Durchschauung der mannigfaltigsten Lebensverhält-aber auch in dem herrlichsten Lichte sein liebevolles und von der

In dieser

_ hierin zeigt sich vorzüglich seine unübertreffliche Kunst, die

nisse ;

reinsten Begeisterung für das Gute und Edle beseelte Gemüth.

über

ihr sich beugte.

Alcibiades dem Sokrates im Gastmahl hält.

Das Verfahren aber, das Sokrates befolgte, wenn er jugendliche Seelen

verkehrten Bestrebungen ab-

vor

Beziehung ist sein Verhältniss zu Alcibiades, wie es uns Plato, wenn auch wohl idealisirt, schildert, höchst interessant. Sokrates allein hatte Gewalt diesen feurigen Geist, die dieser selbst unwillig oft empfand und doch Trefflich wird dies dargestellt in der Lobrede, die

gefährlichen Irrthümern befreien und von

sich höchst einfach und natürlich.

Schonend und

von

ziehen wollte, war an milde liess er sie gar nicht empfinden, dass er etwas Irriges und Ungehöriges

an

oft durch eine leise Ironie ihren Irrthum gleich

ihnen bemerkte, welches er vertilgen wollte. Er liess sich vielmehr zu

nur

dem Bereiche ihrer

aus

ihren Ansichten herab Anfangs sie ahnen lassend; und durch Beispiele

eigenen Erfahrungen sie an bestimmte, unbestreitbare und von ihnen selbst anerkannte Wahrheiten erinnernd führte er sie allmählig zur Erkenntniss des Unhaltbaren und Widersprechenden ihrer vorgefassten und oft nicht einmal recht verstandenen Meinungen. Dann pflegte er, ebenfalls allen Schein ausdrücklicher Belehrung vermeidend, ihnen fühlbar zu machen, wie sie auf dem schon betretenen oder gesuchten Wege nicht einmal das erreichen würden, nach dem sie doch strebten. Und nun erst liess er sie ahnen, es möge doch wohl etwas Besseres geben als die Güter, nach denen die bethörte Menge trachtete, und etwas Gewisseres als der äussere Schein. So entflammte er in ihren Gemüthern eine edle Begierde nach höherer Erkenntniss, und bereitete sich für die Aufnahme seiner eigenen Lehre einen empfänglichen und fruchtbaren Boden.

Und

Denn Sokrates blieb nicht dabei stehen, falsche und verderbliche Grundsätze zu bekämpfen, und die von denselben Missleiteten von ihren Verirrungen und verkehrten Bestrebungen zurückzuführen; als den eigentlichen Beruf seines Lebens betrachtete er es vielmehr, allen, die sich seiner Führung übergaben, den Weg zur wahren, das ganze Leben durchdringenden und bestimmenden Weisheit zu zeigen. Diesen finde aber nur der, lehrte er, welcher frei von dem Wahne, die ewige Wahrheit in dem Gebiete der sinnlichen Erscheinungen entdecken zu können, auf die Regungen des Göttlichen in dem menschlichen Geiste mit frommer Seele achte, wo es sich vor allem in dem sittlichen Bewusstsein klar und verständlich ausspreche. Darum sei Selbsterkenntniss das Erste und Nothwendigste, nach dem jeder Mensch streben müsse; diese werde ihm, nachdem er das vernünftige Prinzip in den Gesetzen seines eigenen geistigen Lebens erkannt habe, zur Ahnung einer ewigen, durch die ganze Welt waltenden göttlichen Vernunft führen, in welcher alles, was ist und geschieht, seine Einheit finde, und von der das Vernünftige und Göttliche im Menschen ein Ausfluss und Abbild sei. in der Erkenntniss dieser höchsten Vernunft immer weiter vorzudringen, und nach ihr sein ganzes Leben einzurichten, sei die wahre Bestimmung des Menschen, in deren Verfolgung er allein seine Glückseligkeit finden könne.

Es ist hier nicht der Ort, diese Grundsätze der Sokratischen Philosophie näher zu entwickeln; ich habe bloss anzugeben, auf welche Weise er seine Lehre seinen Schülern mittheilte.

Sokrates befolgte nicht die Weise der meisten Philosophen vor ihm und nach ihm, bestimmte Wahrheiten als das Resultat angestellter Forschungen vorzutragen und in fortlaufender Rede die Gründe derselben zu entwickeln. Sein Bemühen ging vielmehr darauf hinaus, die Erkenntniss in der Seele des Lernenden nach und nach sich entwickeln zu lassen, in der Art, dass sie ihm als Produkt seiner eigenen geistigen Kraft erscheinen sollte, wenn diese auch noch zu schwach war, um ohne fremde Führung das Rechte zu finden. Darum war sein Unterricht nicht sowohl ein eigentliches Mittheilen als vielmehr ein Anregen und Beleben der geistigen Thätigkeit. Die Natur der Gegenstände, welche den Inhalt seines Unterrichts ausmachten, und die eigenthümliche Ansicht, die er von ihnen hegte, bestimmten ihn zu dieser Methode. Die Wahrheiten, für welche er die Geister gewinnen wollte, waren nicht vor der Beschaffenheit, dass er sie ihnen hätte bloss äusserlich mittheilen und einprägen können, wenn sie Bedeutung und Werth für den Empfangenden haben und nicht bloss zn leeren Formeln werden sollten, wie es selbst bei den Schülern des Pythagoras zum Theil der Fall gewesen. Sondern wie ihr Keim nach seiner festen Überzeugung in jedem menschlichen Gemüthe vorhanden war, so sollten sie auch aus diesem organisch entspriessen ; und sein eigenes Geschäft dabei verglich er selbst mit den Verrichtungen der Geburtshelferinnen.

Zur nähern Bezeichnung des Geistes seiner Lehrart möge noch Folgendes dienen.

Mehrfach wird bei Plato von Sokrates die Behauptung aufgestellt, alles

Wohl nicht ganz mit Recht; denn

Lernen in seinem Sinne sei nichts als ein Sich-Erinnern. So spricht er sich unter anderm im Men on aus, und führt zum Beweise an, dass man namentlich jeden Menschen dahin bringen könne, die Sätze der Geometrie sich selbst zu entwickeln, wenn man ihn nur durch zweckmässige Fragen anleite. Er zeigt dies durch ein Beispiel an einem Sklaven, aus dem er einen geometrischen Lehrsatz herausfragt. Man führt diese Stelle oft als ein besonders passendes Beispiel seiner Methode an. die Sache an sich ist höchst einfach, und Sokrates bezweckt ja auch nichts weiter dadurch, als dem Menon auf eine ganz naheliegende Weise den Sinn

ausgesprochenen Ansicht anschaulich

seiner

aber der Umstand, dass Sokrates auch hier den Sklaven, der auf die ersten

zu machen. Bemerkenswerth ist

41

in.

Fragen ganz keck und zuversichtlich antwortet, zunächst von seiner Unwissenheit hinsichtlich der in Frage stehenden Sache überführt, und nach dem Eingeständniss derselben den Menon darauf aufmerksam macht, wie der Sklave gerade hierdurch dem Ziele um einen bedeutenden Schritt näher gekommen sei.

Dieselbe Behauptung, dass Lernen ein Sich-Erinnern sei, findet sich im Phädon und wird dort näher erörtert. Sokrates spricht von den Ideen. Die Ideen können keine der Sinnenwelt entnommenen Vorstellungen sein, weil sie sich nirgends an einem sinnlichen Objekte vollständig realisirt finden. Darum sind sie nothwendig ursprünglich in der Seele vorhanden und in dem Wesen ihrer Natur begründet. Sokrates hält sie für Erinnerungen der Seele aus einem frühem, vollkommenem Zustande. Daraus folgt, dass der Geist auf keinem andern Wege zu ihrer Erkenntniss geführt werden kann als durch Belebung der Erinnerung.

Ich habe diese Stelle angeführt, weil sie zugleich einen Wink giebt von der Beschaffenheit der Gegenstände, die auf Sokratische Weise behandelt werden können.

Besonders lehrreich sind die Äusserungen des Sokrates über seine Methode im Theätetos. Hier vergleicht er, auf das Geschäft seiner Mutter anspielend, seine Kunst mit der Geburtshülfe, um anzudeuten, von welchem Gesichtspunkte er das Lehren betrachte. »So viel ist gewiss, — sagt er — dass die Jünglinge, die mit mir umgehen, nicht etwa von mir jemals etwas gelernt haben, sondern aus sich selbst entdecken sie viel Schönes und halten es fest. Die Geburtshülfe dabei aber leisten wir, der Gott und ich«. Als das Grösseste seiner Kunst aber rühmt er, »dass sie im Stande sei zu prüfen, ob die Seele des Jünglings etwas Missgestaltetes und Falsches zu gebären im Begriffe sei, oder etwas Gebildetes und Echtes«.

von

Die äussere Form der Sokratischen Methode stimmt im Wesentlichen mit der sogenannten katechetischen Lehrart überein, wenn man von dem häufigen Gebrauch der Ironie absieht, die aber auch nur für einen Mann Sokrates Geiste ist, aber manchem von denen, die gern seine Jünger heissen möchten, gar schlecht ansteht. Lehrer und Lernender verkehren gesprächsweise mit einander; jener fragt und dieser antwortet. Der Lehrer

den Begriff, den er beibringen will, zuvörderst gehörig zergliedert haben,

muss

wie er sich in der Seele des Lernenden erzeugen lässt. Darnach richtet er seine Fragen ein, die immer von der Art sein müssen, dass sie jener nach dem, was er schon weiss, beantworten kann, wenn er nur seine geistige Kraft, so weit sie schon entwickelt ist, gehörig braucht. Erfolgt eine unrichtige Antwort, so wird sie nicht unmittelbar von dem Lehrer berichtigt, sondern der Lernende wird durch neue Fragen dahin geführt, sie selbst zu verbessern. Die Kunst des Lehrers besteht hauptsächlich darin, dass er den Gedankengang des Lernenden zu verfolgen und hiernach seine Fragen zu stellen weiss, und dass er nicht beim Berichtigen der falschen Antworten sein eigentliches Ziel aus den Augen verliert, sondern immer wieder gehörig einzulenken versteht. Sokrates bediente sich der katechetischen Form durchgehends, und war vollendeter Meister darin. Wie man sich der jugendlichen Fassungskraft anschmiegen müsse, davon wird unter andern im Euthydemos ein schönes Beispiel gegeben im Gegensätze zu dem Verfahren zweier Sophisten, deren Weisheit sich darin gefiel, die Gemüther in Verwirrung zu setzen.

wenn eine

Das

Es scheint aber, als ob man nicht selten die katechetische Form mit dem Wesen der Sokratischen Methode überhaupt verwechselt, und Katechetik und Sokratik gewissermassen für ein und dasselbe gehalten habe. Wenigstens waren in diesem Irrthume alle die befangen, welche den Jugendunterricht durchaus in Sokratischer Methode ertheilt haben wollten. Allerdings wird beim Elementar-Unterrichte die katechetische Form immer vorwalten müssen; es bezieht sich aber hier das Katechisiren, abgesehen davon, dass es zum Theil bloss prüfend und wiederholend ist, meistentheils auf einen gegebenen äussern Stoff, der für die Fassungskraft des Schülers zergliedert wird. Selbst solche Übung einzig die Weckung und Stärkung der geistigen Kräfte zum Zweck hat, so ist das doch noch keineswegs Sokratik.

Wesen derselben glaube ich vielmehr nach dem Vorhergehenden etwa so aussprechen zu können.

den

bereits vorhandenen Vor

Diejenigen Erkenntnisse, welche entweder ihre Quelle unmittelbar in Anlagen der menschlichen Natur haben, oder aus Stellungen, Begriffen und Ideen abgeleitet werden können, lässt die Sokratische Methode den Lehrling durch eigene Geistesthätigkeit auffinden und gewisser-

massen erzeugen.

Es geschieht dies unter der beständigen Führung des

Lehrers, der nicht nur die Geistesthätigkeit anregt, sondern auch fortwährend leitet und bestimmt.

Ich bemerke noch, dass es nicht richtig ist, wenn man zuweilen den Zweck der Sokratischen Methode darauf beschränkt, dass sie denken lehren solle. Allerdings übt sie die Denkkraft in ausgezeichneter Weise, weil sie ja alles auf dem Wege der Reflexion hervorgehen lässt. Aber sie hat keineswegs eine bloss formale Tendenz, sondern es soll durch sie jedesmal ein bestimmtes Resultat erreicht werden, das dem Geiste als sein Eigenthum verbleibt, und es soll dieser gerade dadurch, dass er reicher wird an Ideen, also an wahrem Wissen, auch intensiv an Kraft gewinnen; so wie auch der leibliche Organismus, wie er im Wachsthume fortschreitet, zugleich an innerer Lebenskraft zunimmt. Wenn daher Jemand sagt: »die Sokratische Methode lehrt denken, aber nicht wissen« — so muss einer solchen Behauptung ein seltsamer Begriff vom Wissen zum Grunde liegen.

Mehrere Schriftsteller unterscheiden zwischen Sokratischer und heuristischer Methode. Als Hauptunterschied beider wird angegeben, dass bei der heuristischen eigentlich der Schüler der Thätigste sei, unter der wissenschaftlichen Aufsicht des Lehrers; bei der Sokratischen dagegen seine Thätig-keit weit mehr von der Thätigkeit des Lehrers abhängig erhalten werde. Bei jener gehe nämlich der Schüler ganz seinen eignen Weg, auf den der Lehrer nur in der Art zu achten habe, dass er kein Irrgang werde; bei dieser müsse er sich auf dem Wege fortbewegen, den ihm der Lehrer vorzeichnet; bei der heuristischen entwickle also der Schüler seine Schlüsse aus dem Innern; bei der Sokratischen werde ihm durch des Lehrers Fragen immer vorgehalten, woraus er schliessen solle; oft schliesse sogar der Lehrer versteckter Weise für ihn. (S. die Erläuterungen zu dem Leitfaden für einen heuristischen Schulunterricht in der Mathematik von Matthias.)

Diese Bemerkungen scheinen jedoch weniger das Wesen der Sokratischen Methode als deren Form zu treffen. Ihr Prinzip ist ja auch eben, den Schüler so viel als möglich selbst finden zu lassen, was er lernen soll. Es handelt sich hier nur darum, wie weit die eigene Geistesthätigkeit des Schülers gehen könne, und in welcher Art der Lehrer einzugreifen habe. Darüber lässt sich aber nicht wohl im Allgemeinen etwas festsetzen; die Natur des Lehrgegenstandes, der Grad der Vorbildung des Schülers, die Virtuosität des

Lehrers und andere zufällige Umstände müssen darüber entscheiden. Wollte man aber hiernach einen Unterschied zwischen Sokratischer und heuristischer

Methode machen, so möchte sich die Grenzscheide schwer bestimmen lassen. Mehr Bedeutung hat die Bemerkung, dass hei der Sokratischen Weise der Schüler nicht gleich anfangs sehe, wie und woraus er sein Resultat finden werde, während bei der heuristischen das Ziel in heller Nähe vor ihm liege. Wo sich das Letztere erreichen lässt, kann es allerdings für den Erfolg des Unterrichts nicht anders als höchst förderlich werden; bei mathematischen Gegenständen lässt es sich in manchen Fällen am ersten bewerkstelligen.

Der Sokratischen Methode gegenüber — jedoch keineswegs entgegen — steht die sogenannte akroamatische Lehrform. Der Lehrer entwickelt hier in zusammenhängender Rede seinen Gegenstand den Schülern, deren Thätigkeit auf ein gehöriges Auffassen, Überdenken und Einprägen des Vorgetragenen angewiesen ist.

Witz daran geübt, diese Lehrart lächerlich zu machen. Trapp nennt sie die Professor-Methode und meint, da schütte der Lehrer aus seinem vollen Magazine nur immer in den leeren Kopf des Schülers hinein, unbekümmert, ob die Saat dem Boden angemessen, ob des Samenkorns auch zu viel, ob

Gewisse pädagogische Schriftsteller haben ihren

auch gerade jetzt die rechte Saatzeit sei. Es ist leicht, gegen eine Sache zu reden, wenn man nur ihren Missbrauch im Auge hat. So viel ist gewiss,

wenn er von Erfolg sein soll, Schüler von Wenn aber ihrerseits die Fähigkeit vorhanden folgen, sie im Einzelnen und Ganzen

der akroamatische Vertrag setzt bereits reiferm Geiste voraus.

ist, einer langem Rede gehörig richtig aufzufassen, und das Gehörte auf die rechte Art zu verarbeiten; wenn sie bereits ein gewisses wissenschaftliches Interesse fühlen, das sie die er-

wenn dann auch der Lehrer mit

zu

forderliche Anstrengung nicht scheuen lässt den nöthigen Eigenschaften ausgerüstet ist, seines Gegenstandes vollkommen Meister ist, die Gabe einer klaren Entwicklung besitzt, mit Leichtigkeit, Präcision und angemessener Lebendigkeit zu reden weiss: manchen Fällen der zusammenhängende Vortrag den Vorzug vor jeder andern Unterrichtsform behaupten, und selbst als formales Bildungsmittel sehr seiner Stelle sein. Ich rede hier noch nicht von den Fällen, wo er durch

pädagogischen und andern Gründen sich. Die klare Überschauung

— dann dürfte in

an

die Natur des Gegenstandes oder nothwendig wird; ich betrachte ihn

aus

nur an

des Gegenstandes, die durch den akroamatischen Vortrag möglich wird, wenn er gehörig eingerichtet ist; der sachgemässe ununterbrochene Fortschritt, der ihm eigen ist; das Interesse, welches schon die Form der Darstellung zu erregen vermag: alles dies sichert ihm unstreitig eigenthümliche Vorzüge. Und dann, wer sollte verkennen, welche bildende Kraft an sich schon in einem trefflichen Vortrage liegt? Zumal wenn nicht nur der Verstand, sondern auch das Gemüth in Anspruch genommen, wenn nicht nur das Wissen bereichert, sondern auch auf die Gesinnung gewirkt werden soll; so möchte wohl von einer zusammenhängenden, Geist und Leben athmenden Rede der stärkste und dauerndste Eindruck zu erwarten sein.

Dann ist es aber auch noch ein höchst bedeutender Vortheil der akroamatischen Lehrform, dass sie dem Lehrer Gelegenheit giebt, dem Schüler Muster wissenschaftlicher Behandlung und Forschung darzulegen. Nichts ist bildender für den aufstrebenden Geist als die Betrachtung des Weges, den ein schon mehr ausgebildeter bei seinen Unterschungen nimmt. Wenn also der Lehrer die Kunst versteht, nicht bloss Resultate mitzutheilen und a posteriori zu begründen, sondern die ganze Gedankenfolge, die zu ihnen geführt hat, anschaulich zu machen, so darf er zumal bei schon vorgeschrittenen Schülern eines guten Erfolges sicher sein. Ich finde von F. A. Wolf die Bemerkung, der philologische Lehrer würde wohl thun, den Schülern der obern Klassen zuweilen in einem Musterverträge zu zeigen, »wie ein alter Klassiker studirt und aufgefasst werden müsse«. Ein Ähnliches gilt von den übrigen Lehrgegenständen. Vormachen hilft mehr als Vorsagen.

Es bleibt nun noch übrig, die Gegenstände näher anzugeben, für welche sich die Sokratische Methode eignet, und welche eine andere Behandlungsweise entweder nöthig oder doch unter bestimmten Verhältnissen räthlich machen. Ich muss mich jedoch auf einige Andeutungen beschränken, da eine vollständige Ausführung die vorgeschriebenen Grenzen dieses Aufsatzes überschreiten würde.

Wenn ich in dem Vorhergehenden den Begriff der Sokratischen Methode richtig bestimmt habe, so sind dadurch im Allgemeinen zugleich die Grenzen gezogen, innerhalb welcher sie ihre Anwendung finden kann. Ausgeschlossen durch ihren Begriff bleibt sie von dem Gebiete des historischen Wissens im weitesten Sinne des Worts und der Real-Disciplinen. Als ihr eigenthiimliches

Feld sind also die philosophischen Wissenschaften, die reine Mathematik und die Theorie der allgemeinen Gesetze der Sprache zu betrachten. Hiermit soll aber keineswegs behauptet werden, dass sie bei diesen Gegenständen unter allen Umständen durchaus nothwendig oder auch nur zweckmässig sei. Denn die Frage nach dem Umfange ihrer Anwendbarkeit gewinnt eine andere Gestalt, sobald man untersucht, inwiefern der Jugendunterricht in den Schulen Gebrauch davon machen könne. Hier fallen sogleich einige äussere Umstände in die Augen, welche die Grenzen ihrer Anwendbarkeit um ein Bedeutendes verengen.

Die Sokratische Methode kann auch bei den ihr an sich ganz angemessenen Gegenständen ihren Erfolg völlig nur dann haben, wenn der Lehrer

zu verfolgen.

hineinfinden können, was oft für den Lehrer schwer genug ist. er auch selbst ganz anders geantwortet haben; dann vermengt er seine Ge

nur einen oder doch nur sehr wenige Schüler vor sich hat. Ich sehe von allen übrigen Hindernissen, die der Lehrer in einer gefüllten Klasse findet, ganz ah, und bemerke nur dieses. Während der Lehrer mit einem Schüler verkehrt, — und bei wahrer Sokratischer Methode ist es doch nöthig, dass die Untersuchung mit einem wo nicht zu Ende, doch zu einem bestimmten Abschlüsse geführt werde — geht ein grosser Theil seines Unterrichts für die übrigen Schüler verloren. Es ist in manchen Fällen für den Schüler zu schwer, das Gespräch, welches der Lehrer mit einem andern hält, gehörig Dazu müsste er sich ganz in den Gedankengang des letztem

Oft würde

danken mit denen des andern und geräth in Verwirrung; hat er einmal den

Faden verloren, so ist alle Aufmerksamkeit dahin.

weniger

welche die geeignetsten für sie sind, diejenigen, über welche des Sokrates Unterricht sich erstreckte, gehören nicht für das Knabenalter. Uber-

Die Sokratische Methode in ihrem wahren Geiste durchgeführt passt für Knaben als für reifere Jünglinge. Zumal die Gegenstände,

eigener

waren, die Sokrates vor

haupt darf man nicht vergessen, dass es griechische, schon auf einer nicht unbedeutenden Stufe der Bildung stehende Jünglinge

sich hatte.

aus

Nicht minder erfordert die Sokratische Methode einen Lehrer von

gezeichnetem Talente.

Sokrates Geiste etwas in sich tragen. Mancher Lehrer aber, der auf

Wer in Sokrates Weise unterrichten will, muss auch

von seinem Wege, welchen er sich seiner Individualität gemäss selbst gebahnt hat, Tüchtiges leistet, würde sich nur schwer in einer ihm nicht natürlichen Torrn bewegen.

Aus diesen Bemerkungen möchte wohl der Schluss zu ziehen sein, dass bei dem Schul-Unterrichte die Sokratische Methode weder die allgemeine, noch selbst die vorherrschende sein könne. Dass die Schule den Lehrling auch zum selbständigen Gebrauch seiner Kräfte anzuleiten habe, ja dass dieses ganz vorzüglich ihre Aufgabe sei, bedarf keiner Erinnerung. Es war hier nur zu untersuchen, ob sich für diesen Zweck die Sokratische Methode als unbedingt anwendbar erweise. Auf welche andere Weise übrigens die Schule ihre Aufgabe lösen könne, das nachzuweisen gehört nicht hieher.

Hinsichtlich des Gymnasial-Unterrichts insbesondere bemerke ich noch E'olgendes. Die Bildung, welche der Unterricht auf den Gymnasien erzielt, basirt zum grossen Theile auf historischen Grundlagen. Sprache, Litteratur und Geschichte der Völker des Alterthums, deren Cultur die Grundlage der neuern Bildung überhaupt ist, werden als die vorzüglichsten Mittel für die geistige Bildung der Jugend betrachtet. Dass aber bei diesen Gegenständen die Sokratische Methode keine Anwendung finden könne, ist schon oben gesagt; und schon deshalb bleibt sie vom Gymnasial - Unterrichte grösstentheils ausgeschlossen. Die Naturwissenschaften können ebenfalls nicht auf Sokratische Weise gelehrt worden. Der Religions-Unterricht wird zwar sehr oft in kate-chetischer Form ertheilt; aber eigentliche Sokratik kann doch wenig Vorkommen, und bleibt wenigstens von den Lehren, die dem Gebiete der positiven Religion angehören, gänzlich ausgeschlossen. In den obern Klassen möchte selbst eine der wissenschaftlichen Form sich annähernde akroamatische Be-

Von den philosophischen Disciplinen

Hier sind

handlungsweise die passendste sein.

gehören nur die propädeutischen in den Gymnasial-Unterricht.

Proben Sokratischer Behandlung ganz an ihrer Stelle. Somit bliebe hauptsächlich noch die Mathematik übrig, welche auf Sokratische Weise gelehrt werden könnte. Hierfür haben sich in der That stets viele Stimmen erhoben. Manche mögen den Auspruch des Sokrates im Sinne gehabt haben, den ich bereits oben anführte. Sokrates möchte indess gegenwärtig kaum noch so urtheilen. Aber es ist auch manches sehr gewichtige Urtheil dagegen vernommen worden, und zwar von Männern, deren Leistungen als Lehrer sehr bedeutend waren, und denen man nicht den beliebten Vorwurf machen konnte, dass sie »am alten Schlendrian hingen«. Diese erklärten es für nicht möglich, eine ganze Klasse durchaus nach Sokratischer Methode mit gutem Erfolge zu unterrichten. Ihre Gründe waren zum Theil von ähnlicher Art wie die vorhin in Beziehung auf den Schulunterricht überhaupt angeführten. Aber mit Hecht erinnerten sie auch, dass gründliches Verstehen erzielt werden könne, wenn man den Schüler auch nicht gerade selbst den Weg der Erfindung durchmachen lasse. Der Lehrer soll die Wissenschaft vor den Augen des Schülers entstehen lassen. Wie sie sich in dem Geiste des gereiften Denkers den ihm inwohnenden Grundvorstellungen entwickelt und gestaltet, so soll er sie, nur für die jugendliche Fassungskraft eingerichtet, darstellen und als ein organisch sich bildendes Produkt der Vernunftthätigkeit mittheilen. An seinem Verfahren soll der Schüler mathematisch denken lernen. An Folgerungen aus fruchtbaren Hauptsätzen

aus

an Lösungen mannichfaltiger Auf-

Aber als

gaben mag dann auch die Sokratische Methode geübt werden, herrschende Form kann sie auch beim mathematischen Unterrichte nicht in

Anwendung kommen.

Wenn demnach nach meiner Ansicht der Sokratischen Methode beim Schulunterricht nur ein beschränkter Gebrauch zugestanden wird, so soll damit ihr hoher Werth an sich keineswegs herabgesetzt werden. Es liegen

nur zum

Theil die Gegenstände, für welche sie am geeignetsten ist, nicht im

Theil wird durch die Eigentümlichkeit

3S Bereiche des Schulunterrichts, zum

des letztem ihre Beschränkung geboten. Sokrates bildete sich seine Methode für den bestimmten Zweck seines Wirkens, wie ich ihn oben darzustellen versucht habe, seiner Individualität und den Bedürfnissen seiner Zeit gemäss; eine allgemeine Methode für die Schule konnte er

Aber schön wäre es, wenn der Geist, aus welchem sein Wirken hervorging,

seine hohe Be-

ir

ir

nicht aufstellen wollen.

überall die Seele der Erziehung und des Unterrichts wäre — geisternng für das Wahre, Schöne und Gute, und die Liebe seines reinen

Gemüths.

42

ANSPRACHE BEI DER ÜBERNAHME DES RECTORATS DER FRIEDRICH - WILHELMS - UNIVERSITÄT ZU BERLIN AM 15. OCTOBER 1873.

Alle während der letzten drei Jahre in diesem Saale gehaltenen Reden, von den rein geschäftlichen abgesehn, tragen die Signatur der grossen Zeit, in der sie entstanden sind. Sie gleichen nicht den gewöhnlichen, auf einen beschränkten Zuhörerkreis berechneten akademischen Ansprachen, sondern »Reden an die Nation«, alle durchweht von demselben frischen Hauche des

Lebens, mag nun der Sprecher in Zorn und Empörung über den frevelhaften Friedensbruch dem feindlichen Yolk sein wahres Bild entgegen halten und der Siegeszuversicht des eigenen Worte geben, oder ein anderer dem Königlichen Führer der deutschen Heere als Kaiser des wiedererstandenen Reiches ehrfurchtsvolle Huldigung darbringen, oder wieder ein anderer in geschichtlichpolitischen Betrachtungen die Gegenwart mit der Vergangenheit verknüpfen, zugleich Aufgaben und Ziele der Zukunft andeutend. Künftige Geschichtschreiber werden diese Reden den werthvollsten Documenten aus unserer Zeit

anreihen; wir legen sie zu

Andenken an drei andere glorreiche Jahre aufbewahrt — jiingern Epoche haben sich denen der altern nicht als unebenbürtig erwiesen. Meine Herren! Die Zeit, in der es den Vertretern der Universität, wenn

war, die sie zu-

den Urkunden, in denen unsere Universität das

die Söhne der

alle als Söhne des Vaterlands

uns

sie von diesem Platze aus sprachen, erlaubt und geboten nächst angehenden Angelegenheiten den und Bürger des Staats lebhaft und tief berührenden Fragen des allgemeinen

42*

Wohls hintanzusetzen — diese Zeit scheint für jetzt vorüber zu sein. Der feindliche Boden ist geräumt, das Fundament des neuen Reichs gelegt. Jedermann sichtbar ist vor wenigen Wochen der Abschluss einer ruhmvollen Epoche bezeichnet worden durch die Enthüllung des »vom dankbaren Vaterland dem siegreichen Heere« errichteten weithin glänzenden Denkmals.

Freilich den Beginn eines Zeitalters des Friedens für unser Volk bedeutet dieser Abschluss nicht. Aber die zunächst uns bedrohenden Kämpfe, deren Ausbruch unsere Erfolge selbst beschleunigt haben, während ihr Ende vielleicht kaum einer der Jetztlebenden sehen wird, erwachsen aus dem Widerstreit unversöhnlicher Principien, und können nur mit dem Aufgebot aller geistigen Kräfte siegreich bestanden werden.

Deshalb mahnt mich auch der Hinblick auf die kommende Zeit und die

ernsten Anforderungen, die sie an das jetzt heranwachsende Geschlecht stellen wird, heute in altgewohnter Weise meine Ansprache vorzugsweise an unsere

richten, deren Heranbildung zu wissenschaftlicher

jugendlichen Genossen zu Tüchtigkeit, geistiger Freiheit und männlicher Willensfestigkeit in den Wirren der Gegenwart mehr als je die nächste Aufgabe und höchste Pflicht unserer

Hochschule ist. Und so begrüsse ich denn Sie alle, liebe Commilitonen, mit herzlichen »Willkommen«, insbesondere diejenigen von Ihnen, die sich

einem

Aber ich möchte Ihnen nicht einen Wunsch bloss

heute zum erstenmale des neu erworbenen akademischen Bürgerrechts erfreuen. Sie treten in einen neuen Abschnitt Ihres Lebens, gewiss alle voll der freudigsten Hoffnungen und der edelsten Entschlüsse. Mögen sich Ihnen diese Hoffnungen in reichstem Masse erfüllen, diese Entschlüsse zu fruchtbaren Thaten werden.

sondern auch Einiges an’s Herz legen was Sie wissen

an eines

entgegen bringen müssen, wenn Sie auf Ihrer akademischen Laufbahn von Anfang

bestimmten Zieles sich wohl bewusst ohne Schwanken vorwärtsschreiten und

vor

nicht Gefahr laufen wollen, dass die Zukunft, die jetzt so verheissungsvoll Ihnen liegende, Ihnen bittre Enttäuschungen bringe und die Klage ab-

presse :

»Die Ideale sind zerronnen,

«.

Die einst das trunkne Herz geschwellt Alma mater wird die Universität pietätvoll genannt, wenn Männer, deren Geist sie gebildet und deren Charakter sie gestählt hat, die Erinnerung an

ihre akademischen Studienjahre feiern. Aber sie ist keine Mutter, welche ihre Liebe bedingungslos gewährt, sie an Unwürdige und Schwache verschwendet, und auch unverständigem Begehren nachgiebt. Wer die Universität bezieht mit der Absicht, die höchste intellectuelle und sittliche Bildung, die sie ihm geben kann, und mit derselben die beste Vorbereitung für seinen künftigen Lebensberuf auch wirklich sich anzueignen, darf nicht bloss empfangen wollen, nicht erwarten, dass der Ertrag der geistigen Thätigkeit vieler Geschlechter ihm könne überantwortet werden, ohne dass er, unter der Führung zieles-und wegeskundiger Lehrer allerdings, ihn selbst sich erarbeite und für diesen Zweck einsetze, was er an Kraft und Willen besitzt. Er darf nicht das Einsammeln sofort oder künftig praktisch verwerthbarer Kenntnisse und Geschicklichkeiten als das Hauptziel seiner Studien betrachten, sondern muss vor allen Dingen, wie man es treffend bezeichnet hat, das Lernen zu erlernen suchen. Auch muss er wissen, dass die Organisation unserer Hochschulen nicht etwas willkürlich Festgesetztes und beliebig Umzuänderndes ist, sondern dem Wesen ihrer Aufgabe, wohlvorbereitete junge Männer zu Trägern und Förderern der Wissenschaft, sowie für den Dienst des Vaterlandes zu erziehen, naturgemäss und in stetiger Entwicklung sich herausgebildet hat und ein unberechtigtes Eingreifen von Aussen nicht verträgt. Hiernach wird auch jeder beurtheilen können, ob Art und Mass der Vorbereitung, die er mitbringt, für den Genuss des akademischen Unterrichts ausreiche, und nicht etwa verlangen, dass die Universität ihrer eigentlichen Aufgabe untreu werde und sich seinen Bedürfnissen anbequeme.

aus

Über alle diese und manche eben so wichtige andere Punkte würden

Sie, liebe Commilitonen, am allerbesten sich aufklären können, wenn Ihnen

darüber von einer grossen Anzahl meiner

zugänglich gemacht würde Amtsvorgänger in Antrittsreden oder bei andern Gelegenheiten gesagt worden erschöpfend klar und eindringlich, dass kaum etwas Wesentliches

Ich möchte wirklich wünschen, dass von einer

ist, so

hinzugefügt werden kann.

was

die bedeutendsten dieser Beden vielleicht von

geschickten Hand wenigstens

Erläuterungen begleitet in einem massigen Bande zusammengestellt Man hätte dann die vortrefflichste »Anleitung für Studirende

wie eine früher viel gehörte "V or-

eimgen

würden.

zur

Einrichtung ihres akademischen Lebens«

Am liebsten wäre es mir schon, wenn Jedem bei der Immatri-

lesung hiess.

culation ein Exemplar zugleich mit den Disciplinai-- Gesetzen in die Hand gegeben werden könnte; auf die letztem würde so vielleicht auch ein Schimmer des idealen Lichtes fallen, in welchem dann die Universität und ihre wesentlichen Einrichtungen dem jungen Studenten erscheinen würden.

von

In der That, meine Herren, nehmen wir einmal an, wir haben ein solches Buch vor uns, so will ich Ihnen an ein Paar Beispielen zeigen, welche Fülle Belehrung und Anregung Sie daraus schöpfen können.

Sie fragen nach der Idee der Universität, ihrer Aufgabe und Bestimmung. Fichte, der erste erwählte Rector dieser Hochschule, sagt Ihnen, »dass sie da ist, um dem Fortgange der Bildung des Menschengeschlechts Stetigkeit und Sicherheit zu gewähren, indem durch ihre Vermittelung mit Besonnenheit und nach fester Regel jedes Zeitalter seine höchste Verstandesbildung dem folgenden Zeitalter übergiebt, damit auch dieses sie vermehre und in dieser Vermehrung auch seinem folgenden übergebe und so fort bis an das Ende der Tage«.

an

eigenem Studium mitgetheilt wird. Denn

zu

Sie wollen sich ferner klar machen, worin das Eigenthümliche der akademischen Unterrichtsweise bestehe, von der man Ihnen sagt, dass sie auch durch die vortrefflichsten Compendien nicht ersetzt werden könne. Rudorff, dessen Verlust wir heute schmerzlich erinnert werden, giebt Ihnen Aufschluss: »Das Wesentliche aber auch Unersetzliche der Hochschule und ihrer Unterrichtsweise besteht darin, dass die Wissenschaft durch unmittelbare persönliche Berührung des von ihrer Hoheit ergriffenen forschenden Lehrers mit der frischen noch unverbrauchten Jugendkraft, gleichsam selbst Person geworden, lebendig und anregend nicht sowohl das Lehren als solches als vielmehr das Erkennen- und Fortschreiten-Lehren ist die eigentliche Aufgabe des Universitätsunterrichts«.

von

ver

Man will Ihnen aber die Besorgniss einreden, bei so idealen Vorstellungen der Aufgabe und Lehrweise der Universität gleiche diese ja einem phantastischen Luftschlosse, worin keine Werkstatt Raum habe für die Bedürf-isse des Staats, für das eigentlich Praktische und die Technik, die Wunder wirkend Zeit und Raum überflügelt. »Keineswegs — beruhigt Sie unser un-gesslicher Boeckh. Dies ist das wahrhaft Praktische, dass der Gedanke in seiner Idealität ausgeprägt sich Bahn breche durch das Leben, die Idee, welche niemals und nirgends im Leben vollkommen erreicht wird, in diesem

annäherungsweise sieh verwirkliche; dadurch wird in die Räder des Lebens eingegriffen, nicht aber dadurch, dass die Jugend geschult wird, sich in dem gewohnten Kreise der herkömmlichen Geschäftsthätigkeit mechanisch fortzubewegen oder vielmehr forttreiben zu lassen, statt mit der Kraft und Fülle des Geistes das Triebwerk in Bewegung zu setzen«.

Sie hören endlich vielerlei Gerede von der Stabilität der heutigen Universitäten, ihrer Abgeneigtheit, sich den veränderten Zeitideen anzupassen u. dgl. Auch hierauf hat Boeckh die Antwort schon gegeben in den trefflichen Worten: »Eine wissenschaftliche Körperschaft darf und kann nicht bewegungslos sein; dennoch ist ihr nichts zuträglicher als Stetigkeit des Geistes und der Grundsätze, wenn anders diese von Anbeginn tüchtig und löblich waren. Und sie waren es hier. Solche Stetigkeit ist selber Bewegung und Fortschritt «.

Ich darf diese Anführungen nicht noch vermehren, möchte Sie nur noch besonders hinweisen auf Fichtes und Trendelenburgs in grossem Sinne und freiem Geiste gedachte Auslassungen über Begriff und Nothwendigkeit der akademischen Lehr- und Lernfreiheit, sowie des letztem eindringliche Mahnung an die Studirenden zu frühzeitig begonnenem ernstem Quellenstudium.

Wenn ich nun noch einige eigene Bemerkungen hinzusetze, so geschieht dies auf die Gefahr hin, dass Ihnen dieselben nach dem Gehörten trivial klingen mögen.

zu

zu neuen

von denen

Der Erfolg des akademischen Unterrichts beruht, wie Sie vernommen haben, zum grossen Theile darauf, dass der Lehrer den Lernenden fortwährend eigener Forschung anleitet. Dies geschieht aber nicht etwa durch pädagogische Anweisung, sondern zunächst und hauptsächlich dadurch, dass der Lehrer beim Vortrag einer Disciplin in seiner Darstellung selbst durch Anordnung des Stoffes und Hervorhebung der leitenden Gedanken angemessen den Lernenden erkennen lässt, auf welchem Wege der gereifte und das bereits Erforschte beherrschende Denker folgerichtig vorschreitend Ergebnissen oder besserer Begründung schon vorhandener gelangt. Dann versäumt er es nicht, ihm die zur Zeit nicht überschrittenen Grenzen der Wissenschaft zu bezeichnen und diejenigen Punkte anzudeuten aus ein weiteres Vordringen zunächst möglich scheint. Auch einen tiefem

Einblick in den Gang seiner eigenen Forschungen versagt er ihm nicht, verschweigt selbst nicht begangene Irrthümer und getäuschte Erwartungen. Auf diese Weise kommen zwar nicht so farbige, elegante und auch geistesträgeren Zuhörern verständliche Vorträge zu Stande wie sie z. B. die meisten französischen Docenten nach lithographirten, einem vorgeschriebenen Programme gemäss vollständig ausgearbeiteten Heften halten oder auch wohl durch ihre Assistenten ablesen lassen; indessen, wenn aus diesen vielleicht mehr Kenntnisse sich erwerben lassen, so verschaffen jene eine intensivere Bildung.

Der einigermassen vorgeschrittene Student muss auch mit selbstgefundenen Problemen sich beschäftigen. Den meisten wird es schwer, solche Probleme entdecken, welche von ihnen bewältigt werden können und zugleich ein wissenschaftliches Interesse haben. Jacobi, der grosse Mathematiker, dessen

zu haben ich niemals aufhören werde

zu

persönlichen Unterricht nicht genossen

zu

das ist ganz

bedauern, hat seinen Zuhörern einmal folgenden Rath gegeben. »Nicht sich hinsetzen und Entdeckungen machen wollen ist der Weg, in die Wissenschaft einzudringen, sondern das Einzelne, Bekannte klar und durchsichtig machen, sich mit Problemen beschäftigen, welche es seien

einerlei; auf diesem Wege findet

man

die wahren Probleme der Wissenschaft

und die Principien, die zu

Freilich werden es so nur sehr tüchtige Köpfe machen können. I ür

empfehlen sein, auf dem, wie man weiss,

Entdeckungen führen«.

zu

andere möchte ein Weg mehr

In den

Jacobi selbst den Anstoss zu manchen seiner Arbeiten erhalten hat. altern, wenig mehr gelesenen Schriften der gelehrten Gesellschaften, sowie

in der umfangreichen wissenschaftlichen Correspondenz

ausserordentliche Fülle wissenschaftlichen Stoffes aufgehäuft,

der Gelehrten früherer

Zeit ist eine

Vielerlei zu eigenen Arbeiten ihn An-

aus welchem, wer zu finden weiss regendes herauslesen und nebenbei noch manches Nützliche lernen kann. Noch zwei Punkte habe ich flüchtig zu berühren.

innersten Wesen des mensch-

zu entdecken. Die

dass sie alle zu

sondern gleichsam eine Kette bildend, welche von der Mathematik als dem

Der Forschungstrieb entspringt dem im liehen Geistes begründeten Bedürfniss, in dem Mit- und Nacheinandersein der Dinge Ordnung und gesetzmässigen Zusammenhang einzelnen wissenschaftlichen Disciplinen erhalten ihre Bedeutung dadurch, diesem Zwecke mitwirken, aber nicht zusammenhangslos,

einen änssersten Gliede ausgehend durch die verschiedenen Zweige der Naturkunde und der historischen Wissenschaften im weitesten Sinne des Wortes

hindurch bis zu der Philosophie als dem Schlussgliede sich hinzieht. Mathematik und Naturwissenschaft beschäftigen sich beide mit den Erscheinungsformen des Seins in Raum und Zeit, jene mit den in der Idee existirenden, überhaupt möglichen, diese mit den in der Körperwelt verwirklichten. So ist die Mathematik für die Naturwissenschaft eine nothwendige Voraussetzung, nicht eine Hülfsdisciplin im gewöhnlichen Sinne; umgekehrt liefert der beobachtende und experimentirende Naturforscher in seinen Resultaten dem Mathematiker mehr als eine blosse Aufgaben-Sammlung. Die histo

rischen Disciplinen ferner, Geschichtswissenschaft im engern Sinne, Sprachforschung u. s. w.

waltenden Gesetze und treibenden Kräfte zu erforschen und darzulegen haben, finden ihre Verbindung mit den Naturwissenschaften darin, dass die Entwicklung des Menschenlebens, in den Völkern wie in dem Einzelnen, durch die Wechselwirkung zwischen seinem eignen Sein und dem gesammten Sein ausser ihm bedingt ist. aller Wissenschaften zusammenfasst, reinigt, vergeistigt, arbeitet an der Verwirklichung des wissenschaftlichen Ideals, in der unendlichen Mannigfaltigkeit der Erscheinungen der Natur und des geistigen Lebens die Einheit, das Absolute zu erkennen. In diesem Sinne kann man sagen, dass Erkenntniss des Wesens der Dinge das letzte Ziel aller wissenschaftlichen Forschung sei, und dass nach der Stufe, welche auf dem Wege alter die Menschheit erreicht hat, der Grad der allgemeinen Bildung dieses

Wie und in welchem Masse nun der

die im Entwicklungsgang des Menschengeschlechts die

Die Philosophie endlich, indem sie die Ergebnisse

zu

diesem Ziele in jedem Zeit-

Zeitalters bemessen werden müsse.

Einzelne an der allgemeinen Bildung seiner Zeit Theil nehmen könne und solle, ist nicht so leicht zu bestimmen. Für Sie, liebe Commilitonen, mögen folgende Winke genügen. Zunächst steht fest, dass es Beschäftigung geben kann als Vielerlei treiben und Nichts ergründen; überdies werden Sie nur dadurch, dass sie einem Hauptfache ein tiefei ein-

das Wesen wissenschaftlicher Forschung über-

nicht nur alle wissen-

keine unfruchtbarere

dringendes Studium widmen

haupt verstehen lernen. Auch kann heutzutage schaftlichen Disciplinen eine Überfülle des Stoffs darbieten, sondern auch viele in raschester Entwicklung begriffen sind, Niemand mehr dazu gelangen,

wo

43

in dem gesammten Gebiet des Wissens in dem Masse heimisch zu werden wie es in früherer Zeit wohl einzelnen besonders hochbegabten und unermüdlich thätigen Menschen gelungen ist. Gleichwohl ist es einem wohlvorbereiteten und fleissigen jungen Manne auch gegenwärtig möglich und, wenn er später den Sinn für ideale Zwecke nicht ganz verlieren, den Bestrebungen anderer nicht fremd gegenüber stehen und auch in den Bewegungen und Kämpfen des Lebens nicht haltlos hin und her schwanken will, unumgänglich nothwendig, neben dem gründlichen Studium eines Hauptfachs auch mit denjenigen Disciplinen, die nicht grade Hiilfsdisciplinen der seinigen sind, sich wenigstens so weit zu beschäftigen, dass er von der Aufgabe und der wissenschaftlichen Bedeutung jeder einzelnen eine richtige Vorstellung erhält. Kein Student sollte also die Universität verlassen ohne Vorlesungen über politische Geschichte, allgemeine Culturgeschichte und Geschichte der Philosophie insbesondere gehört zu haben. Keiner auf dem Gymnasium in die klassische Litteratur eingeführte sollte auf der Universität derselben ganz untreu werden. Aber es könnten auch Vorträge aus dem Gebiete der Mathematik und der Naturwissenschaften so eingerichtet werden, dass sie für Juristen und Philologen in dem von mir angedeuteten Sinne verständlich und bildend würden. Die Vorkenntnisse, die jeder auf dem Gymnasium sich erwerben kann, reichen vollkommen dazu aus. Ich widerstehe nur ungern der Versuchung, dies an einem Beispiele ausführlicher darzulegen.

Ich schliesse mit einer Mahnung, deren Ernst Sie, theure Commilitonen, nicht verkennen wollen.

Mit Hecht rühmt man, was der Fortschritt der Wissenschaften, insbesondere der Naturwissenschaften für die Vermehrung der Wohlfahrt des Menschengeschlechts geleistet hat. Grössere Erfolge noch, hofft man mit nicht minderm Rechte, werde er in Zukunft erreichen. Erwärmen Sie sich für alle edlen Bestrebungen, die auf dieses Ziel gerichtet sind. Begeistern Sie sich durch den Gedanken, dass Männer, die unsterbliche Entdeckungen in der Wissenschaft gemacht haben, dadurch auch Wohlthäter von Millionen geworden sind. Doch nach dem, was ich vorhin über den Zusammenhang der Wissenschaften sagte, werden Sie sich nicht der Einsicht verschliessen, dass nur aus dem harmonischen Zusammenwirken aller der Menschheit wahres Heil erwachsen werde. Keine von ihnen, auch nicht die Naturwissenschaft, hat allein die Mission, nicht nur die Menschheit aus geistiger Sklaverei zu erlösen, sondern sie auch zur wahren Sittlichkeit zu erziehen und ihr zugleich die materiellen Mittel zur Glückseligkeit zu liefern.

Vor allem aber erfüllen Sie sich mit der Überzeugung, dass der Wissenschaft höchsten Preis nur erringt, wer — um mit dem Dichter zu reden — in ihr die hohe, himmlische Göttin erblickt, nicht aber das Weib in ihr sucht oder gar die dienende Magd.

Freilich ist Wissen auch Ehre, ist Macht, ist die Wünschelruthe, die zeigt wo Schätze liegen, ist der Stein der Weisen, den die alten Alchymisten nicht auf dem richtigen Wege suchten. Darum kamen schon zu Sokrates die jungen Männer von Athen, damit er die Kunst »zu herrschen über die Menschen« sie lehre; und so drängt sich auch in unsere Hörsäle eine Schaar, welche Weisheit begehrt zu allerlei Gebrauch, den Schein der Wissenschaft, nicht sie selbst.

Aber alle diese bleiben — ich gebrauche ein altes Bild — in der Ä or-halle des Tempels zurück, in dessen innerstem Heiligthum der reine Gottesdienst der Wahrheit gefeiert und nicht den bösen Dämonen der Zeit geopfert wird; wer dies Innerste betreten will, erscheine reinen Sinnes, von lauterem Wissensdrang beseelt und voll echter Begeisterung für alles Grosse, das der Menschengeist schafft und für alles Edle und Schöne, das im Menschen-gemüth seine Stätte hat.

43*

REDE ZUR GEDÄCHTNISS-FEIER DER FRIEDRICH-WILHELMS-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

AM 3. AUGUST 1874.

Als König Friedrich Wilhelm der Dritte, dessen Gedächtniss in dankbarer Verehrung zu feiern wir uns abermals hier versammelt haben, in der bedrängtesten und zugleich ruhmreichsten Zeit seiner Regierung die Gründung einer grossen Universität in der Hauptstadt seines Landes beschloss, waren es, wie man weiss, Erwägungen mancherlei Art, die ihn leiteten, und wurden auch Zwecke von vorübergehender Bedeutung ins Auge gefasst. Der Grundgedanke aber, von dem der hochsinnige Monarch und seine erleuchteten Rathgeber ausgingen und an dem sie unbeirrt durch Bedenken und Widerspruch festhielten, war der, dass auf der zu stiftenden Hochschule, für welche die bedeutendsten Forscher und Lehrer zu gewinnen und die reichsten Unterrichts

Sie mit richtigem Verständniss erhaben in einer Zeit, wo Philanthropen

ganze

Strebungen kaum vorhanden war gängliches Verdienst, dem kein Abbruch geschieht, wenn darauf hingewiesen

welche auf das Kulturleben eines

mittel zu beschaffen man bedacht war, die Wissenschaft ihre höchsten Ziele verfolgen und zugleich den höchsten Zwecken des Staates dienen solle. In diesem Gedanken fand, verständlich für jedermann, dem Wissenschaft und Staat keine fremden Begriffe sind, zum erstenmal ihren vollen und reinen Ausdruck die Idee, welche zu verwirklichen in der Gegenwart überhaupt Aufgabe und Beruf der Universitäten ist. fasst und in ihrem Sinne gehandelt zu und Kosmopoliten für Errichtung vollkommenster Bildungsanstalten für die Menschheit schwärmten, bei der Masse dagegen Sinn für ideale Beist Friedrich Wilhelms des Dritten unver-

wird, dass diese Idee wie jede andere grossen Volkes dauernd einen bestimmenden Einfluss auszuüben die Kraft hat, nicht die Konzeption eines Einzigen, sondern die langsam gezeitigte Frucht geschichtlicher Entwickelung ist.

Die Universitäten des Mittelalters waren autonome Körperschaften, in sich abgeschlossen und ohne sichtbaren Zusammenhang mit dem Staate, in welchem sie ihren Sitz hatten. Die älteren besassen sogar, wie wir es jetzt nennen würden, einen internationalen Charakter, etwas ganz Natürliches, so lange es nur wenig Orte gab, wo eine bestimmte Disziplin vertreten war, und zugleich die lateinische Sprache innerhalb des Gelehrtenstandes die Verkehrssprache bildete. Die Studenten waren meist Männer von schon vorgerücktem Alter, welche kamen, um eine bestimmte Fachwissenschaft, Theologie und scholastische Philosophie, Jurisprudenz, Medizin zu studiren, die Mehrzahl eines praktischen Zweckes halber, viele auch aus wirklichem Wissensdrang, oder um als Gelehrte Ansehen und Ruhm sich zu erwerben. Der Unterricht bestand, abgesehen von formalen Übungen, in der Überlieferung des aus dem Alterthum überkommenen wissenschaftlichen Stoffes von einer Generation an die andere; Fähigkeit und Neigung zur selbstständigen Durcharbeitung desselben oder zu eigener Forschung auf noch nicht betretenen Wegen war bei Lehrern wie Schülern nur ausnahmsweise vorhanden.

um eins

eifriger gepflegt wurden, als fast alle bedeutenden

Diese Verhältnisse änderten sich erst, als gegen Ende des Mittelalters die neue Schule der Humanisten in ihrem Kampfe gegen die Scholastiker aller Orten die besten Köpfe für sich gewann und der frische Hauch der Zeit »in der es eine Lust war zu leben« auch in die Zellen der Mönche und die Bursen der Universitäten drang. In Deutschland aber — und nur von diesem ist im Folgenden die Rede — war es die Reformation, welche den mächtigsten Einfluss auf die Universitäten ausübte und den Geist derselben auf das wesentlichste änderte. Nicht als ob mit der Reformation sofort das Prinzip der freien Forschung zur Geltung gekommen wäre — wurde doch, anzuführen, in Wittenberg die Kopernikanische Lehre auf das heftigste bekämpft und verdammt, während sie in Rom noch Duldung fand. Auch ist nicht das Wichtigste, dass auf den protestantischen Universitäten in Folge der Reformation die historischen und sprachlichen Studien als unentbehrlich für die vorzugsweise betriebene Schrifterklärung mehr wie bisher Eingang fanden und um so

Humanisten sich der Reformation anschlossen und die überall aufblühenden Gymnasien wohl vorbereitete Studirende jüngeren Alters lieferten. Aber das war eine neue Erscheinung im deutschen Leben, dass Gelehrte der Universitäten, auf der einen wie der anderen Seite, mit Wort und Schrift für eine Sache wirkten und kämpften, die nichts gemein hatte mit den gewohnten Schulstreitigkeiten, sondern ihnen wie allen im Volk, die zu ihnen standen, eine heilige war, welche ihre ganze Seele füllte. So entstand die erste nachhaltige Wechselwirkung zwischen dem Gelehrtenstande und dem Volke. Jener wurde seiner Zusammengehörigkeit mit der Nation sich bewusst; das vom Katheder gesprochene Wort drang über die engen Grenzen des Hörsaals hinaus in weite Kreise, und das Volk blickte voll Achtung auf die gelehrten Männer, welche mit den Waffen des Geistes verfochten, was ihm Herzenssache war. Heisst doch der volkstümlichste der Reformatoren bis auf den heutigen Tag im Munde seiner Landsleute stets noch der »Doctor« Martin Luther.

Freilich war der Aufschwung, den die Universitäten unter dem Einfluss der Reformation nahmen, auch auf den protestantischen, nur von kurzer Dauer.

Der anfängliche Glaubenseifer entartete zu starrem Dogmatismus, aus der Schriftforschung erwuchs der bornirteste Buchstabenglaube, und der Streit unter den Vertretern der verschiedenen Richtungen in der protestantischen Kirche ward mehr und mehr zum persönlichen Hader erbitterter Gegner. Dazu der unselige Krieg, der den Wohlstand und die Kultur der Nation schier vernichtete, die Schulen verödete und die Sitten verwildern liess. Wie trostlos bei solcher Lage der Dinge sich der Zustand der Universitäten im 17. Jahrhundert gestaltet hatte, bezeichnet ein geistvoller Historiker treffend mit den Worten: »Formzwang in der Wissenschaft und Formlosigkeit im Leben«.

Doch der kräftige und tiefe Geist des deutschen Volkes rettete die Uni versitäten vor dem sie bedrohenden gänzlichen Verfall. Die Gründung der Hochschulen Halle und Göttingen bezeichnet in der Geschichte des Universitätswesens einen abermaligen Wendepunkt.

In Halle lebte der ursprüngliche Geist der Reformation, nur nocn mehr auf das Innerliche gerichtet, wieder auf und erregte aufs tiefste die Gemüther, während nach einer anderen Richtung hin die Bestrebungen eines Thomasius,

Wissenschaft und Leben mit einander in Einklang zu setzen, eine Bewegung hervorriefen, welche auf allen Universitäten die wesentlichsten Reformen des akademischen Unterrichtes, namentlich die Einführung der deutschen Sprache als Lehrsprache, zur Folge hatte.

man

Göttingens Verdienst und Ruhm beruht auf einem anderen Grunde. In Göttingen machte sich von Anfang an das Bestreben sichtbar, die Studirenden zu tüchtigen Menschen zu erziehen, die einen hervorragenden Platz im Leben mit Ehren sollten behaupten können. Die juristische Fakultät stand daher auf dieser Universität im Vordergründe und galt im vorigen Jahrhundert unbestritten als die erste in Deutschland. Aber neben ihr war es die philosophische Fakultät, die in Göttingen zuerst eine grössere Wirksamkeit entfaltete — wenn auch nicht gerade in dem Fache, nach welchem sie benannt wird —, indem hier die historischen, philologischen, kameralistischen und — soweit davon in damaliger Zeit die Rede sein konnte — die naturwissenschaftlichen Disziplinen in grösserer Vollständigkeit und gründlicher gelehrt wurden als an irgend einer anderen Universität. Freilich fehlte viel, dass die Bedeutung, die alle diese Fächer als selbstständige Wissenschaften haben, voll anerkannt hätte; man schätzte sie mehr als Hiilfsdisziplinen oder ihrer Wichtigkeit für das praktische Leben halber. Freier wissenschaftlicher Geist, der im innersten Wesen des Menschen wurzelnde Trieb, in dem Neben- und Nacheinandersein der Dinge Zusammenhang, Ordnung und Gesetz zu erkennen, dieser Geist, der nach dem Wahren strebt nur um der Wahrheit willen, waltete auch in Göttingen damals nicht.

nur

Aber schon hatte er die Stätte gefunden, von wo aus er mit belebendem Hauche über die deutschen Lande sich ergiessen sollte. Im fernen Osten waren im Kopfe eines einsamen Denkers jene bewunderungswürdigen Werke gereift, welche die Grundlage der deutschen Philosophie bilden, und allen Wechsel der Systeme überdauern werden. Das heutige Geschlecht kann sich schwer eine Vorstellung von der Gewalt und Tiefe der Bewegung machen, in welche das Erscheinen dieser Werke, in denen der Königsberger Weise

unternahm, die Grenzen des Erkennens festzustellen und gleichwohl den höchsten Thatkraft anzuspannen, während der beiden

es

Forschungstrieb zur letzten Dezennien des vergangenen Jahrhunderts alle denkenden und höheren

Die Wirkung dieser

Interessen zugänglichen Geister der Nation versetzte.

Bewegung aber dauert fort. Die Kant’sehe Philosophie hat unserm Volke den Sinn für ernste und tiefe Forschung, das Verständniss echter Wissenschaft aufgeschlossen.

zu

einen

Um an einem Beispiel zu zeigen, welch unermesslichen Einfluss sie ausübte, will ich daran erinnern, dass sie selbst in die theologischen Fakultäten der katholischen Universitäten Eingang fand. Noch im ganzen ersten Viertel dieses Jahrhunderts galt es als Vorschrift, dass die jungen Theologen, bevor sie die Priesterweihe empfingen, ein strenges Examen in der Philosophie — und diese basirte damals fast überall auf den Kant’schen Prinzipien — bestehen hatten. Damals würde eine gesetzliche Bestimmung wie die jüngst erlassene, dass ein Kandidat der Theologie, auch ein katholischer, gewissen Grad allgemeiner wissenschaftlicher Bildung besitzen und zu deren Nachweis sich prüfen lassen müsse, nur insofern bei den Betheiligten

Befremden erregt haben Forderungen sich gewundert haben würde. Aber jene aus der Schule eines Fürstenberg, Sailer, Wessenberg hervorgegangene Generation hochgebildeter, denkender und humaner Geistlichen, wie ich sie in meiner Jugend noch gekannt habe, auf deren Bücherbrett neben der Kritik der reinen Vernunft Nathan der Weise stand, ist gegenwärtig ausgestorhen.

als man über das geringe Mass der gestellten

Aus der Lehre Kants erwuchsen die philosophischen Systeme Fichtes auf die ich ebenfalls einen Blick werfen muss, indem sie

und Schellings

beide auf den Geist der deutschen Universitäten wesentlichen Einfluss gehabt

haben.

Als anregendes Ferment unstreitig zunächst einen wohlthätigen. Was

so darf man, um zunächst von Schellings sprechen, ohne Furcht vor

aber ihre dauernde Wirkung angeht

zu

Denn was

und seiner Schule angeblicher Naturphilosophie Widerspruch sagen, dass, wenn überhaupt etwas durch sie dauernd gefördert worden ist, dies jedenfalls die Naturwissenschaften nicht sind, sollte diesen jenes sinnlose Spiel mit Worten, Formen und Zeichen, die der Physik und Mathematik entlehnt in ganz anderer oder eigentlich gar keiner Bedeutung gebraucht wurden, oder jene kindlichen Erklärungsversuche durch

Bilder und Gleichnisse, an ist für die Vermessenheit — denn hier ist ein milderes Wort nicht an der Stelle —, dass man ohne positive Kenntnisse, ohne Beobachtung und F ersuch

denen man Gefallen fand, frommen? Vielmehr

die Welt mit ihrer unendlichen Fülle von Erscheinungen begreifen und »aus der Idee« oder, wie es später hiess, »logisch« konstruiren wollte, Deutschland schwer genug dadurch gestraft worden, dass es in den Naturwissenschaften Dezennien lang hinter anderen Ländern zurückgeblieben ist, und zugleich von vielen der heutigen Vertreter derselben die spekulative Richtung der Naturforschung mehr als frommt missachtet wird.

Was ferner Fichte angeht, so steht wohl fest, dass der Erfolg seines Wirkens mehr seiner gewaltigen Persönlichkeit zuzuschreiben ist, als seinem philosophischen System. Ein Mann, für den »das Sittliche die Substanz der Welt und alles übrige nur da war, damit das Sittliche sei«, ein Mann der That zugleich, in welchem Kants Begriff vom reinen Willen verkörpert erschien, war er berufen, dem in sittliche Erschlaffung versunkenen Zeitalter das Bewusstsein der Pflicht und den Muth des Handelns wiederzugeben.

Dies ist etwas so Grosses, dass dagegen die von niemandem geleugneten Schwächen in Fichtes Lehrsystem völlig verschwinden. Eins aber darf nicht verschwiegen werden, weil es erklärt, warum die sichtbaren Erfolge seiner Thätigkeit so weit hinter seinen Absichten zurückgeblieben sind. Es ist das seine Missachtung des Empirischen und historisch Gewordenen. Ohne alle Rücksicht auf die bestehende Ordnung der Dinge zog er die Konsequenzen seiner Prinzipien; was immer diesen widersprechen mochte, sollte weichen. Zum Heile der Menschheit gab er — bei seinem bekannten Plane der gemeinsamen Erziehung der Kinder in öffentlichen Anstalten — unbedenklich das wesentlichste Element der Gesellschaft, die Familie, Preis. Es walten aber auch in der Organisation und geschichtlichen Entwickelung des Menschengeschlechts Gesetze, in die mit der Kraft des Geistes einzugreifen dem Einzelnen ebenso wenig gegeben ist als der Wille des Menschen auf andere Naturgesetze Einfluss hat.

Insbesondere aber ist es bei Fichte ein charakteristischer Zug, den er jedoch mit den meisten Zeitgenossen, die selbst beim Becherklang »auf das Wohl der ganzen Welt zu zielen« gewohnt waren, gemein hat — dass es stets die gesammte Menschheit ist, auf die sich seine Pläne richten. Von der Bestimmung der Menschheit, das Göttliche, Übersinnliche in der sichtbaren Welt zur Darstellung zu bringen, hat er den höchsten Begriff; der Einzelne ist nur da, damit die Menschheit diese ihre Bestimmung erreiche.

Dass aber in einem organisch gegliederten Ganzen, wie doch das Menschengeschlecht es ist, das Individuum nur an der Stelle, wo es dem Organismus eingefügt ist, dem Ganzen dienen kann, und auch dies nur, indem es nach der eigentümlichen Anlage seines Wesens sich entwickelt, ist vielleicht eine zu triviale Wahrheit, als dass sie in Fichtes System Platz fände. Ferner, dass innerhalb der Menschheit Familie, Gemeinde, Nation, Staat, Kirche Individuen höherer Art sind, ein jedes innerhalb einer bestimmten Sphäre zu selbstständigen Existenz berechtigt und eben dadurch, dass es in dieser sich auslebt, seine Bestimmung erfüllend, auch das wird übersehen oder geradezu verneint.

eine!'

Darum ist auch der Staat Fichtes der nach der Idee konstruirte Ver

nunftstaat, nicht der wirkliche, historische Staat, dessen Bestimmung ist, in wohlorganisirter Verfassung des Einzelnen Freiheit und Recht zu schützen, während jener als der ärgste und unerbittlichste lyrann auftritt.

Ich habe mich bei Fichte nicht ohne Absicht etwas länger aufgehalten. Bei keiner Persönlichkeit seiner Zeit tritt so deutlich hervor, wie wenig

damals auch die hellsten Köpfe zur

dem ich im Anfang meiner Rede sagte, dass er bei der Stiftung

Anerkennung des Grundsatzes geneigt

waren, von

unserer

Universität der leitende gewesen sei.

Fichte hat einst an dieser Stelle von der Universität, wie sie in seinem

Geiste lebte, ein Bild entworfen, das in seiner idealen Verklärung wie ein

Die Universität ist ihm » die

Erzeugniss dichterischer Phantasie erscheint.

Menschen ausdrücklich für Sicherung der Stetigkeit im F ortgange der geistigen Entwickelung der Menschheit geschaffene Anstalt, indem durch ihre Vermittelung mit Besonnenheit und nach fester Regel jedes Zeitalter

Verstandesbildung dem folgenden Zeitalter übergiebt, damit auch

von

seine

höchste

dieses sie vermehre, und in dieser Vermehrung seinem folgenden übergebe,

und so fort bis an’s Ende der Tage«.

der Idee wird niemand verkennen. Wenn aber FÄchte fort-

Universität als die wichtigste Anstalt und den heiligsten Besitz

unseres

Die Grösse fahrend die

der Menschheit preist, als die sichtbare Darstellung der Unsterblichkeit Geschlechts, der Einheit des Überweltlichen und Weltlichen, der Erscheinung Gottes, ja Gottes selbst, so mag wer kann, diese Überschwänglichkeit als Ausfluss eines schönen Enthusiasmus hinnehmen (in der Ihat aber bezeichnet

sie eine der Stellen, wo Fichtes Idealismus die Grenze streift, jenseits welcher das Unbestimmte und Leere liegt), aber dies wird auch der eifrigste Verehrer Fichtes zugeben, in dem Staate, wie er ist, findet seine Universität keinen Platz. Und das sollte sie auch gar nicht nach seinem Willen; sie sollte, einmal errichtet, als eine dem Heil der ganzen Menschheit dienende Anstalt, unbeeinflusst von irgend einer staatlichen Einwirkung durch sich selbst bestehen und aus sich selbst sich fortentwickeln. Das waren auch nicht blos theoretische Ansichten. Fichte hat bekanntlich bei der Stiftung unserer Hochschule sehr bestimmte und wohldurchdachte Vorschläge umfassendster Art gemacht und mit der ihm eigenen Energie verfochten, welche auf die Realisirung seiner Idee hinzielten. Dass ihre Ausführung die Lebensfähigkeit der neuen Hochschule schon im Keime erstickt haben würde, bestreitet heutzutage kein Einsichtiger.

Ich komme zum Schluss. Die flüchtige Skizze, welche ich von der Geschichte des Universitäts-Wesens in Deutschland und den mit demselben unmittelbar zusammenhängenden Bewegungen auf dem Gebiete des wissenschaftlichen und sozialen Lebens zu geben versucht habe, selbstverständlich mit Beschränkung auf die mir als die wichtigsten erscheinenden Momente und ohne Anspruch, etwas Neues gesagt zu haben, sollte nur zeigen, wie die Universitäten von ihrem Ursprung an in beständiger Um- und Fortbildung-begriffen und im Wesentlichen stets der Ausdruck des allgemeinen Kulturlebens der Zeit gewesen sind, so dass nichts ungerechter sein kann als der Vorwurf der Stabilität, der ihnen so oft gemacht worden ist. Kaum wird es noch nöthig sein, jetzt ausdrücklich darauf hinzuweisen, welche Läuterung die Idee der Universität durch die Gründung dieser Hochschule erfahren hat. Uber Zweck und Bedeutung der Universität als einer wissenschaftlichen, nicht blos zur Erwerbung von Fachgelehrsamkeit oder praktisch zu verwerthenden Kenntnissen und Geschicklichkeiten bestimmten Anstalt gingen die Ansichten der Urtheilsfähigen kaum noch auseinander. Es konnte keinem Zweifel unterliegen, dass den Hechten der Wissenschaft im vollsten Masse Genüge geschehen werde, wo ein Schleiermacher, Fichte, F. A. Wolf und vor allen ein W. von Humboldt an der Gründung einer Universität den wesentlichsten Antheil hatten. Aber es galt jetzt, die Anforderungen der Wissenschaft in einem höheren Sinne, als man früher versucht hatte, mit den Ansprächen und Bedürfnissen des Lehens auszugleichen; es musste der Versuch gemacht werden, die Universität in den Staatsorganismus so einzufügen, dass sie die Pflanzstätte einer wahrhaft höheren Bildung werde, in der sich Intelligenz und Sittlichkeit, ideales Streben und praktische Tüchtigkeit, wissenschaftlicher Geist und vaterländische Gesinnung zu einträchtigem Zusammenwirken vereinigen.

Das ist, wenn ich nicht irre, wahr und klar ausgedrückt, der »Stiftungsgedanke«, welcher unserer Hochschule den Ursprung gegeben und ihr im höchsten Sinne des Wortes den Charakter einer Staatsanstalt aufgeprägt hat.

Seine treibende und belebende Kraft hat er dadurch bewährt, dass in unserem deutschen Vaterlande jetzt alle Universitäten in einem Sinne und für einen Zweck Zusammenarbeiten.

Priedrich Wilhelm der Dritte hat in seiner schlichten Weise diesen Zweck mit den Worten bezeichnet, die er kurz nach seinem Regierungsantritt an seinen Unterrichts - Minister richtete: »Die Schule soll den Menschen und Bürger bilden«. Denn etwas Anderes können und wollen auch in ihrer Sphäre die Universitäten nicht.

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ZU E. E. KUMMERS FÜNFZIGJÄHRIGEM DOCTORJÜBILÄUM.

(Im Aufträge der philosophischen Facultät der Königlichen Friedrich-'Wilhelms-Universität zu Berlin überreicht zum 10. September 1881.)

Hochverehrter Herr College !

Indem wir Ihnen zu Ihrem bevorstehenden fünfzigjährigen Doctorjubiläum, das zu unserem lebhaften Bedauern in eine Zeit fällt, wo Ihre Amtsgenossen und Freunde sich nicht in herkömmlichqr Weise zu einer würdigen Feier des Tages vereinigen können, unsere wärmsten Glückwünsche darbringen, vergegenwärtigen wir uns mit freudiger Bewunderung, was Sie im Dienste der Wissenschaft Grosses und Dauerndes geleistet haben, und nehmen Theil an dem Gefühle reinster und vollster Befriedigung, mit der Sie auf das abgelaufene halbe Jahrhundert Ihres segenreichen Wirkens zurückblicken können.

concentriren

massiges Arbeiten, mit idealem, auf das Höchste und Allgemeinste gerichteten Streben ein klarer Blick für das im concreten Falle Erreichbare und

Durch innere Neigung dem Studium der Mathematik zugeführt, erkannten Sie schon früh in der mathematischen Forschung Ihren eigentlichen Lebensberuf. Speculativ angelegt und darum an dem Besitz überlieferten Wissens allein kein Genügen findend, war Ihr Geist für productive wissenschaftliche Thätigkeit auf das glücklichste organisirt; mit dem Drange nach Erkenntniss des Grundes und Zusammenhanges der Wahrheiten verband sich in ihm die Fähigkeit, bei ausgedehnteren Untersuchungen die fundamentalen Fragen herauszufinden und auf deren Ergründung die ganze Kraft des Denkens zu mit dem Eifer des Schaffens Stetigkeit und Sinn für plan-

Nothwendige.

So ansgestattet mit allen Anlagen und Eigenschaften, die den Forscher kennzeichnen, und in strenger Arbeit geschult, gingen Sie alsbald zur selbständigen Production über, und zwar nach einander in drei Hauptgebieten der Mathematik, indem Sie in den ersten zehn Jahren, während Ihrer Thätig-keit als Gymnasiallehrer, hauptsächlich analytische Fragen behandelten, dann während eines noch längeren Zeitraumes fast ausschliesslich in die Theorie der Zahlen sich vertieften und zuletzt, zur Überraschung manches Fachgenossen, auch auf dem Gebiete der Geometrie die Vielseitigkeit Ihres Talentes bewährten.

aus der grossen Reihe Ihrer Meisterwerke einige heraus-besonders weitgehender Wirkung gewesen sind und

aber auch verwickeltsten und am schwersten zugänglichen

Die durch Reichthum an fruchtbaren Ideen, Fülle neuer Resultate und lichtvolle Darstellung gleich ausgezeichneten Arbeiten, mit denen Sie auf jedem der genannten Gebiete die mathematische Fiteratur beschenkt haben, nach ihrem vollen Werthe zu würdigen, und den Einfluss nachzuweisen, den dieselben auf den Entwicklungsgang der Wissenschaft ausgeübt haben, namentlich in der denkwürdigen Epoche, wo ein Geschlecht jüngerer Mathematiker, das in dem Göttinger Altmeister sein Haupt und Vorbild verehrte, und als dessen einziger Repräsentant Sie jetzt dastehen, die Blütezeit der mathematischen Forschung in Deutschland herbeiführte, das ist die Aufgabe eines künftigen Geschichtsschreibers der Mathematik des neunzehnten Jahrhunderts. Wir begnügen uns zugreifen, welche von Ihren Namen den Namen der berühmtesten Forscher auf dem Gebiete Ihrer Wissenschaft angereiht haben: aus den Productionen der ersten Zeit die vortreffliche Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, ferner aus denen der zahlentheoretischen Epoche die grossen Arbeiten, in denen Sie der Theorie der aus höheren Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen durch Einführung des Begriffs der idealen Zahl, Ihres Monumentum aere perennius, das Fundament geschaffen und mit der Entdeckung des Reciprocitäts-Gesetzes das Gebäude gekrönt haben, endlich aus den letzten Jahren die wichtigen Untersuchungen über die Singularitäten der Flächen, durch welche eine der interessantesten geometrischen Theorien wesentlich aufgehellt worden ist.

die unvergänglichen Verdienste,

Wir würden indessen, hochgeehrter Herr College, Ihnen nur wenig gerecht werden, wenn wir es unterliessen

welche Sie sich um die Verbreitung des mathematischen Wissens in unserem Vaterlande in verschiedenen Lebensstellungen erworben haben, gebührend hervorzuheben und dem Danke, den Ihre nach Tausenden zu zählenden Schüler Ihnen dafür schulden, vollen Ausdruck zu geben, wozu wir uns als Mitglieder der Facultät, die seit sechsundzwanzig Jahren in Ihnen einen ihrer bewährtesten und berühmtesten Lehrer verehrt, vor allen verpflichtet und berufen halten.

Die Erinnerung an die Zeit Ihrer Lehrthätigkeit am Gymnasium zu Liegnitz ist Ihnen immer besonders deswegen werth geblieben, weil Sie schon damals das Glück hatten, durch Ihren Unterricht und Ihr Beispiel eine Anzahl talentvoller Schüler für das Studium der Mathematik zu gewinnen, unter ‘ihnen solche, die sich später als Forscher ersten Langes bewährt haben.

¹

Der Aufsatz, der übrigens keinen Anspruch darauf macht, als eine den Gegenstand erschöpfende pädagogische Abhandlung zu gelten, war ursprünglich nicht für den Druck bestimmt, und nur ein zufälliger Umstand veranlasst mich, ihn gegenwärtig zu veröffentlichen, ohne dass mir die Zeit erlaubt hätte, ihn einer durchgreifenden Überarbeitung zu unterwerfen.

Während Ihrer dreizehnjährigen Wirksamkeit an der Universität Breslau haben Sie dort eine mathematische Schule gegründet, welche wetteifernd mit der berühmten Königsberger Schule für die Belebung und gedeihliche Entwickelung des mathematischen Studiums in Deutschland Ungewöhnliches geleistet hat. Wenn noch heute die Schulen Schlesiens den Universitäten eine verhältnissmässig grosse Zahl von Studirenden der Mathematik zuführen, und diese Disciplin dort einer besondern Achtung sich erfreut, so sind darin noch Spuren Ihres Wirkens zu erkennen.

der die deutschen Uni-

Glänzender und erfolgreicher noch hat sich indessen Ihre Lehrthätigkeit an unserer Universität entfaltet, wo Ihnen die Aufgabe geworden, die durch den Abgang Lejeune Dirichlets und Jacobis entstandene, schwer empfundene Lücke auszufüllen. Angezogen von der Gediegenheit des Inhalts Ihrer Vorlesungen, von der unübertrefflichen Klarheit Ihres Vortrags, von Ihrer Gabe, sich der Fassungskraft des Anfängers anzupassen, ohne der Strenge der Methode etwas zu vergeben, nicht minder endlich von dem Reize, den der Ihrem Wesen eigene und bei mündlicher Mittheilung noch mehr als in Ihren Schriften hervortretende ideale Zug auch dem sprödesten Stoffe verlieh, hat sich hier eine von Jahr zu Jahr angewachsene Schaar der ausgezeichnetsten Schüler um Sie versammelt, aus versitäten und höheren Schulen ihre besten mathematischen Lehrer empfangen haben, und aus deren Tüchtigkeit und begeisterter Anhänglichkeit an Sie wir besser noch als aus ihrer grossen Zahl ermessen können, wie vollständig

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III.

die einst an Ihre Berufung geknüpften hohen Erwartungen sich verwirklicht haben.

Indem wir, verehrtester Herr College, Sie bitten, den Ausdruck unserer aufrichtigsten Hochschätzung und Anhänglichkeit freundlichst entgegennehmen zu wTollen, gestatten wir uns hinzuzufügen, dass wir die Rüstigkeit und geistige Frische, mit der wir Sie täglich Ihres Amtes walten sehen, zu unserer innigsten Freude als eine Bürgschaft dafür betrachten, dass bei Ihnen der Eintritt in einen neuen Lebensabschnitt nicht zugleich den Abschluss Ihrer mit Erfolgen so reich gesegneten Wirksamkeit bezeichnen werde.

Dekan und Professoren

der philosophischen Facultät der Königlichen Friedrich-Wilhelms-Universität.

VERZEICHNISS DER VON WEIERSTRASS AN DER UNIVERSITÄT ZU BERLIN GEHALTENEN UND ANGEKÜNDIGTEN VORLESUNGEN.

(Die in Klammern gesetzten Ziffern bedeuten die wöchentliche Stundenzahl.)

Winter 1856 — 57.

Ausgewählte Kapitel der mathematischen Physik, publice.

Sommer 1857.

Allgemeine Lehrsätze betreffend die Darstellung analytischer Functionen durch convergente Reihen, publice (l).

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (4).

Winter 1857 — 58.

Ausgewählte geometrische und mechanische mit Hülfe der elliptischen Functionen zu lösende Probleme, publice (2).

Theorie und Anwendung der trigonometrischen Reihen und bestimmten Integrale, welche zur Darstellung willkürlicher Functionen dienen, privatim (3).

Sommer 1858.

Einige ausgewählte Kapitel der Integralrechnung, publice (2).

Neuere Geometrie, privatim (4).

Winter 1858 — 59.

Allgemeine Lehrsätze, betreffend die Darstellung analytischer Functionen durch unendliche Reihen, publice (1).

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (5).

Sommer 1859.

Die homogenen Functionen zweiten Grades mit beliebig vielen Veränderlichen, publice (2). (Nur angekündigt.)

Eine Anzahl ausgewählter, geometrischer und mechanischer Probleme mit Hülfe der elliptischen Functionen behandelt, privatissime und gratis (3). (Nur angekündigt.)

Winter 1859 — 60.

Die Formeln der analytischen Dioptrik, publice (l).

Einleitung in die Analysis, privatim (5).

Sommer 1860.

Einige ausgewählte Kapitel der analytischen Mechanik, publice (2). Einleitung in die Analysis (Fortsetzung), privatissime und gratis (4).

Winter 1860 — 61.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1861.

Einige ausgewählte, mit Hülfe der elliptischen Functionen zu lösende Probleme der Geometrie und Mechanik, publice (4).

Winter 1861 — 62.

Über Flächen zweiter Ordnung, publice (2). (Nur angekündigt.)

Allgemeine Theorie der analytischen Functionen, privatim (4). (Nur angekündigt.)

Winter 1862 — 63.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1863.

Ausgewählte mit Hülfe der elliptischen Functionen zu lösende Probleme der Geometrie und Mechanik, publice (4).

Einleitung in die Theorie der Abelschen Functionen, privatim (3).

Winter 1863 — 64.

Allgemeine Theorie der analytischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1864.

Neuere synthetische Geometrie, privatim (5).

Winter 1864 — 65.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1865.

Über Anwendungen der elliptischen Functionen auf geometrische und mechanische Aufgaben, publice (3).

Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1865 — 66.

Theorie der analytischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1866.

Theorie der Abelschen Transcendenten, privatim (4).

Neuere synthetische Geometrie, privatim (4).

Winter 1866 — 67.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1867.

Anwendung der elliptischen Functionen auf geometrische und mechanische Probleme, publice (4).

Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1867 — 68.

Theorie der Determinanten und deren Anwendungen, publice (2). Neuere synthetische Geometrie, privatim (4).

Sommer 1868.

Theorie der analytischen Functionen, privatim (6).

Winter 1868 — 69.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1869.

Theorie der Abelschen Functionen, privatim (4).

Verschiedene Anwendungen der elliptischen Functionen, privatim (4).

Winter 1869 — 70.

Variationsrechnung, privatim (4).

Neuere synthetische Geometrie, privatim (4).

Sommer 1870.

Theorie der analytischen Functionen, privatim (6).

Winter 1870 — 71.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (8).

Sommer 1871.

Neuere synthetische Geometrie, privatim (4).

Ausgewählte, mit Hülfe der Theorie der elliptischen Functionen zu lösende geometrische und mechanische Probleme, privatim (4).

Winter 1871 — 72.

^Theorie der Abelschen Functionen, privatim (6).

Sommer 1872.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (4). Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1872 — 73.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1873.

Elemente der neueren synthetischen Geometrie, privatim (4).

Ausgewählte, mit Hülfe der Theorie der elliptischen Functionen zu lösende geometrische und mechanische Probleme, privatim (4).

Winter 1873 — 74.

Theorie der Abelschen Functionen, privatim (6).

Sommer 1874.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (6).

Winter 1874—75.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1875.

Ausgewählte, mit Hülfe der Theorie der elliptischen Functionen zu lösende Probleme der Geometrie und Mechanik, privatim (4).

Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1875 — 76.

Theorie der Abelschen Functionen, privatim (6).

Sommer 1876.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (6). Ergänzungen zur Theorie der Abelschen Functionen, privatissime und gratis (2).

Winter 1876—77.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1877.

Anwendung der elliptischen Functionen zur Lösung geometrischer und mechanischer Probleme, an ausgewählten Beispielen erläutert, privatim (4). Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1877 — 78.

Theorie der Abelschen Functionen, privatim (6).

Sommer 1878.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (6). Anwendung der Abelschen Functionen zur Lösung ausgewählter geometrischer Probleme, privatissime und gratis (2).

Winter 1878 — 79.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (6).

Sommer 1879.

Variationsrechnung, privatim (4).

Anwendung der elliptischen Functionen zur Lösung ausgewählter geometrischer und mechanischer Probleme, privatim (4).

Winter 1879 — 80. Theorie der Abelschen Functionen, privatim (6).

Sommer 1880.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (6). (Nur angekündigt.)

Winter 1880 — 81.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (5).

Sommer 1881.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (5).

Winter 1881 — 82. Theorie der Abelschen Functionen, privatim (5).

Sommer 1882.

Variationsrechnung, privatim (4).

Winter 1882 — 83.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (5).

Sommer 1883.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (5).

Winter 1883 — 84.

Theorie der Abelschen Functionen, privatim (5). (Nur angekündigt.}

Sommer 1884.

Variationsrechnung, privatim (5).

Winter 1884 — 85.

Einleitung in die Theorie der analytischen Functionen, privatim (5).

Sommer 1885.

Theorie der elliptischen Functionen, privatim (5).

Winter 1885—86.

Ausgewählte Kapitel der Functionenlehre, privatim (4). (Nur angekündigt.)

Sommer 1886.

Ausgewählte Kapitel aus der Functionentheorie, privatim (5).

Winter 1886 — 87.

Theorie und Anwendung der bilinearen und quadratischen Formen, privatim (3).

Sommer 188 7.

Theorie der hyperelliptischen Functionen, privatim (5).

Winter 1887 — 88.

Variationsrechnung, privatim (4^2). (Nur angekündigt.)

Winter 1888 — 89.

an-

Grundbegriffe und Hauptsätze der Functionenlehre, privatim (3). (Nur kündigt.)

Winter 1889—90.

Variationsrechnung, privatim (3).

1 KRAKÓW J)

ANMERKUNGEN.

Zu S. 175.

Ein kurzer Bericht über den auf der 32. Versammlung deutscher Naturforscher und Ärzte gehaltenen Vortrag steht im Tageblatt dieser Versammlung (Wien 1856), S. 147.

Zu S. 251.

Die in der Anmerkung genannten Stellen der Monatsberichte der Berliner Akademie enthalten nur folgende Bemerkungen:

Monatsberichte v. J. 1859, S. 758. 12. December. Herr Weierstrass liest eine Abhandlung: Beiträge zur Theorie der Gleichungen.

Monatsberichte v. J. 1868, S. 428.    9. Juli. Herr Weierstrass liest über einen neuen Beweis des

Fundamentalsatzes der Algebra.

Die auf S. 251—269 abgedruckte Abhandlung ist am 21. Februar 1889 in der Akademie vorgetragen

K.

worden.

Der Inhalt des vorliegenden Bandes ist bis auf die Nummern 18—21, 23 und 26 des Inhalts-Verzeichnisses von Weierstrass selbst für den Abdruck bestimmt worden. Von einer Aufnahme der Note zu Kummers Abhandlung „Über die Flächen vierten Grades, auf welchen Schaaren von Kegelschnitten liegen“ (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 64 (1865), S. 77 — 78; abgedruckt aus dem Monatsbericht der Berliner Akademie vom 16. Juli 1863), wurde abgesehen, weil sie nach Weierstrass’ Absicht durch den Text auf S. 180 ersetzt worden ist.

Die Mehrzahl der Abhandlungen ist einer sachlichen Durchsicht unterworfen worden, und zwar durch, die Herren G. Frobenius (Nr. 5), G. Hettner (Nr. 21), H. v. Mangoldt (Nr. 1, 3, 4, 17), R. Rothe (Nr. 2, 6, 7, 13, 14, 18), Ludwig Schlesinger (Nr. 19), H. A. Schwarz (Nr. 10, 13, 15, 16), die auch mindestens eine Correctur des von ihnen geprüften Textes gelesen haben. Ausserdem hat Herr R. Rothe die Bogen 1 — 30 corrigirt, Herr C. Barich dieselben Bogen in typographischer Hinsicht durchgesehen.

Das Vorlesungs-Verzeichniss (Nr. 26) hat Herr R. Ziegel aus den Akten der Universitäts-Quaestur ausgezogen. Wievielstündig die Vorlesung im Winter 1856—57 gehalten worden ist, hat sich nicht feststellen lassen.

Die Anmerkungen ohne Unterschrift rühren von Weierstrass, die mit K. unterschriebenen von dem mterzeichneten Herausgeber her.

J. Knoblauch.

46

m.

ANMERKUNGEN zu Band I und II.

Zu Bd. I, S. 257—266.

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Uber das Problem der kürzesten Linien auf den Flächen zweiter Ordnung hat Weierstrass dei im IV. Section der 36. Versammlung deutscher Naturforscher und Ärzte in Speyer am 21. September 1861 eine Mittheilung gemacht, die in der Beilage zum Tagblatt dieser Versammlung, S. 34—36, abgedruckt ist.

Zu Bd. I, S. 356 und Bd. II, S. 363.

An der Durchsicht der Abhandlungen Bd. I, Nr. 2—4 und Bd. II, Nr. 2, 4 und 6 ist Herr E. Wendt betheiligt gewesen.    K.

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Berichtigungen zu Band I, II und IV.

Bd. I S. 5 Z. 11 lies

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S. 6 und 7 lies überall Al statt D.

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S. 116 Z. 5 v. u. lies —— statt

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Z. 4 v. u. lies —“ statt —— und —= statt —=r •

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S. 157 Z. 2 lies § 2 statt § 8.

Z. 5 v. u. ist das Wort „positive“ zu streichen.

Bd. II S. 46 Z. 7 v. u. lies cp, cp1} ... cpn statt cpn ... <?n-S. 47 (d) lies Ev(x,yx) statt Ev(x).

(e) lies F(x,yx), F₁ (x, yx), Fn(x, yx) statt F(x), F₁(x),^Ę¹n(x).

S. 76    Z.    6 lies fi + v    = e — i statt p + v = e.

(5.) lies n + v    = ex—i statt fi + v = ex (zweimal)

und fi + v = e^—2 statt (i+v = e^—l.

Bd. IV S. 13    Z.    9 — 10 sind    die Worte „deren Coefficienten .... zusammengesetzt    sind“    zu streichen. HHt

S. 20    Z.    10-12 sind    die Worte „und dass in keinem ....    haben“    zu    streichen.

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Göttingen, Druck der Dieterich’schen Univ.-Buchdruckerei (W. Fr. Kästner).

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— Bein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen jè zwe .Druk* u* J‘ z,am’ libj.    mmmmm

gesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag 1817. fei f’acsimile-Druck 1894. M. 1,80.    •    P⁴*

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