y.

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MATHEMATISCHE WERKE

MATHEMATISCHE WERKE

= (v)a

u, ...

v = u+

? = SÄ*!)*» + = 2<fc(55)*+2(55)*

G(x) = n •£(!-, «Oe

JMM]

/>(«!)••• Wf) = fx^i + K, ...«,+ <)> ••• /r(w n---«r) = AK+cf"“, ...Wr+4r",>),

|y <<b, ... Kl<^

$o(*» *,»•■•*.) = 0

1.

2 /»(*) = 2 /*(*)

mv = 2V,

a8s

log (1-0 = Q + o»,

w* (Vf

y^2 —l + \Jltf

1.

p = sc. A 7. = o

MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTRASS.

IIEEAU SGEGÈBEN

UNTEE MIT WIEKUNO EINER YON DEE KÖNIGLICH PEEUSSISCHEN AKADEMIE DEE WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN GOMMISSION.

ZWEITER BAND.

ABHANDLUNGEN II.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER.

1895.

%

&

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

...

/

MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTRASS.

MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTRASS.

HERAUSGEGEBEN

UNTER MITWIRKUNG EINER VON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

ZWEITER BAND.

ABHANDLUNGEN II.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER.

1895.

KD 5 >7(0

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Übersetzungsrecht Vorbehalten.

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KRAKÓW

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2.

3.

5.

* 6.

7.

* 8.

9.

10.

INHALTS-VERZEICHNISS.

Über eine Gattung reell periodischer Functionen........

(Monatsberichte der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1866, S. 97—115, 185.)

Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen......

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1868, S. 310—338.)

Über die allgemeinsten eindeutigen und 2w-fach periodischen Functionen von n Veränderlichen................

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1869, S. 853—857.) Über das sogenannte Dirichlet’sche Princip..........

Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen von mehreren Veränderlichen.............

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1876, S. 680—693; Abhandlungen aus der Functionenlehre (Berlin 1886), S. 165—182.)

Anmerkungen......................

Über continuirliehe Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen Bemerkungen zur Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit constanten Coefficienten...........

Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen......

(Mathematische Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1876, S. 11—60; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 1—52.)

Untersuchungen über die 2r-fach periodischen Functionen von r Veränderlichen ......................

(Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 89 (1880), S. 1—8.) Anmerkung......................

Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze...............

(Autographirt, Berlin o. J. (1879); Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 105—164.)

Seite

1—18.

19—44.

45—48.

49—54.

55—69.

70.

71—74.

75—76.

77—124.

125—133.

134.

135—188.

*    11. Über einen functionentheoretischen Satz des Herrn G. Mittag-Leffler

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 707—717; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 53—66.)

x 12. Zur Functionenlehre..................

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 719—743; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 67—101.)

Anmerkungen......................

Seite

189—199.

201—223.

224—230.

231—233.

13.

14.

15.

x 16.

rH

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1881, S. 228—230; Abhandlungen aus der Functionenlehre, S. 102—104.)

Aus einem bisher noch nicht veröffentlichten Briefe an Herrn Professor Schwarz, vom 3. October 1875...............

Zur Theorie der elliptischen Functionen...........

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1882, S. 443—451.)

Zur Theorie der elliptischen Functionen...........

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1883, S. 193—203, 265—275, 1271—1297.)

Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen. (Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Jahrg. 1884, S. 395—414.)

Zusätzliche Bemerkungen von Herrn H. A. Schwarz..........

(A. a. O. S. 414—419, 516—519.)

Zu Lindemann’s Abhandlung: »Über die Ludolph’sche Zahl« .    .    .    .

(Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885, S. 1067—1085.)

235—244.

245—255.

257—309.

311—332.

332—339.

341—362.

Anmerkung

363.

ÜBER EINE GATTUNG REELL PERIODISCHER FUNCTIONEN.

(Aus dem Monatsbericht der König! Akademie der "Wissenschaften vom 22. Februar 1866.)

1.

Geometrische und mechanische Probleme führen nicht selten auf eine Differentialgleichung in der die von einander abhängigen Veränderlichen t, x reelle Grössen bedeuten und F eine gegebene eindeutige Function von x ist.

Ein besonderes Interesse hat der Fall, wo x eine periodische und stets endlich bleibende Function von t ist. Dies tritt ein, wenn folgende Be

dingungen erfüllt sind:

1) Es verschwindet F{x) für zwei reelle Werthe «, b von x\

(x—a) (b—x)

welcher mit -^y-Fx(x)

bezeichnet werde, ändert

2) der Quotient

sein Zeichen nicht und wird nicht unendlich, so lange x in dem Intervall

F(x)

a ... b bleibt;

3) für irgend einen bestimmten Werth von t ist der zugehörige von x in diesem Intervall enthalten.

Man setze nämlich, b > a annehmend und unter v eine neue reelle Veränderliche verstehend

cosy

a+b . a—b

dv

cos«;

so ist

~~2~~ (1 cos v)

b-

^-(1 + cosv)

b — x =

(x — a)(b — x) =    ~) s^n2v>

a — b . dv

—amvw;

und es wird also die gegebene Differentialgleichung befriedigt, wenn man v so bestimmt, dass

dx

dt

dt

ist, wobei der Quadratwurzel ihr positiver Werth beigelegt werde. Nun werde ferner

COS V

(a + b i a — b { 2 ⁺ 2

^ mit cosv)

und das Integral

r dv

S]f(ç,osv)

•4

bezeichnet, so ist <p(v) eine Function, welche, wenn v beständig wachsend alle reellen Werthe von — oo bis -foo durchläuft, ebenfalls stetig wachsend von — oo in +oo übergeht. Daraus folgt, wenn man setzt, dass zu jedem reellen Werthe von w ein Werth von v gehört, der sich stetig mit jenem ändert; oder mit anderen Worten, dass es eine ganz bestimmte continuirliche Function y{w) giebt, die für v gesetzt die vorstehende Gleichung befriedigt. Nimmt man also, unter x eine beliebige Constante verstehend

V = cp(ć + t)

an, so hat man

dv

t + t = ^ («;) und es wird die Differentialgleichung

befriedigt, wenn man

a — b r f±

—2“ cos    (* + T)1

setzt.

Es lässt sich aber auch leicht zeigen, dass dieser Ausdruck jede Function darstellt, die unter den gemachten Voraussetzungen der Differentialgleichung genügt. Denn es ist stets möglich, x so zu bestimmen, dass für einen gegebenen Werth t₀ von t nicht nur x einen in dem Intervall a ... b willkürlich angenommenen Werth xQ, sondern auch ~ ein vorgeschriebenes Zeichen erhält. Es folgt nämlich aus dem vorstehenden Ausdrucke von x

dx b —

dt

-— sin [cp (t + t)] co\t + t)

und es hat daher, da cp'(£ + x) =    positiv ist, sin[cp(£ + x)] stets dasselbe

Zeichen wie    Man braucht daher, um den angegebenen Bedingungen Ge

nüge zu leisten, nur einen Bogen v₀ so zu bestimmen, dass

a + b    a — b

— cosv₀

x° ⁼

wird und zugleich sini;₀ das Zeichen von    erhält, und dann

T = ty(V₀)-t₀

zu nehmen, so dass v₀ — <p(^₀+t) wird. Aus der Formel

dv

ergiebt sich

dty{v + 2tt) dty (v)

dv

dv

und hieraus

c|> (v + 2tv) = ^ (v) + 2«) wo ü> eine positive Constante bedeutet. Da nun

so folgt

t + 2(0 + T = ty(v + 2k) , cp (t + 2(0 + t) = cp (t + t) + 2tc ;

1*

und es ist daher eine Function, die ihren Werth nicht ändert, wenn t um ein beliebiges Vielfaches von 2to vermehrt oder vermindert wird.

Ferner wird

für t = für t = — t + w :

v    —    0,    x

V    —    TT,    x    —    b\

für t — — t + 2«):    v    ==■    2tc,    x    =    er,

— t:

a;

woraus sich weiter ergiebt, dass x die Grenzwerthe a, b unzählige Mal erhält, den ersteren für t — — t+ 2vio, wo (wie überall im Folgenden) v eine beliebige ganze Zahl bedeuten soll, und den anderen für t — —t + (2v+1)ü). Auch folgt aus dem in Betreff des Zeichens von — Bemerkten, dass x bei einem solchen Übergange von einer Grenze zur anderen beständig wächst oder beständig abnimmt.

Aus der Gleichung

<}i(v + 27r) == ^(i;) + 2œ

erhält man, wenn man v — —iz setzt und bemerkt, dass

ł(-«0 = -<K«0

ist,

dv

\Jf (cos v)

fb dx

wo SjF(x) positiv zu nehmen ist.

Führt man jetzt eine neue Veränderliche u — f-x) ein, so wird cosv eine gerade Function von u mit der Periode 2tt und kann daher in der Form

cosv = A₀ + 2A₁ cos u + 2A₂ cos 2u H-----2 An cos nu-\----

dargestellt werden, wo A₀,    ... Constanten sind, die sich als bestimmte

Integrale folgendermassen ausdrücken lassen.

Zunächst hat man

*An —

cos v cos nudu.

Es geht aber, der Gleichung

u — — (ź + t) = —ty(v)

CD    CD

zufolge, u stetig wachsend von 0 in tu über, wenn v das Intervall 0 ... tc durchläuft, und es ergiebt sich daher, da

, Tr dv

du =______- —

w \//'(cos v)

ist,

i r

— /

j₀

COS fl cos

(mz \ dv \ 10 v V / VAcosv) *

Ganz ebenso erhält man, wenn G(x) eine beliebige, für alle in dem Intervalle a...b liegenden Werthe von x eindeutig bestimmte und stetige Function ist

G(x) = JB₀ + cos u H— + 2_Bmcos nu + -'-,

^/°(*) cos(“łW)

dv

\Jf (cos v)

wo für x der Ausdruck

cosv

a + b a — b

—:--j--

2 2

zu setzen ist.

Durch partielle Integration erhält man ferner, wenn n > 0 ist

L f,

lTzJ₀

sin v sin

dv

G(x) aber kann man stets auf die Form

ćr₀ + G₁ COS V + G₂ cos 2v-\----

bringen und deshalb, da

cos vv cos

ln 7i \ ö»

-o-

dv

Vf (cos V)

-f

ITZJ₀

sin vv sin

ist, Bn aus den in der Formel

2h( K0S{^Hv)~V¥V

enthaltenen bestimmten Integralen zusammensetzen.

Als ein einfaches Beispiel für die Anwendung dieser Formeln erinnere ich an die Aufgabe, den Badiusvector eines Planeten und dessen Potenzen durch die Zeit auszudrücken, welche von Bes sei und Hansen in der hier dargestellten Weise behandelt worden ist.

In den meisten Fällen aber, selbst wenn die Function F(x) eine einfache Form hat, sind die Coefficienten An, Bn sehr complicirt zusammengesetzte Grössen, deren direkte Entwicklung aus den aufgestellten Ausdrücken schwierig erscheint. Man kann sie jedoch fast immer durch ein Verfahren bestimmen, welches das Eigenthümliche hat, ohne jede Integration zum Ziele zu führen, und zugleich sehr geeignet ist, eine Einsicht in die Zusammensetzungsweise der zu entwickelnden Grössen zu gewähren und so auch bei der Ermittelung angenäherter Ausdrücke für dieselben, mit denen man sich oft begnügen kann, wesentliche Dienste zu leisten.

2.

Ich nehme an, es sei die Function F(x) nicht bloss für reelle Werthe von sondern auch für alle complexen innerhalb eines die Strecke a ... b in sich enthaltenden Bereiches eindeutig definirt, und so beschaffen, dass Ft(x) weder Null noch unendlich gross wird. Es wird kaum ein der analytischen Behandlung überhaupt zugänglicher Fall Vorkommen, wo dies nicht zutrifft.

Setzt man dann, unter a, ß: |, 7j reelle Grössen verstehend,

v = a + ßi

so hat man

d — b

—cos ßi cos a

ri =

a — b sin ßi

sina.

Hiernach ist, wenn man ß einen bestimmten Werth beilegt, a aber veränderlich lässt, der Ort des die complexe Grösse x repräsentirenden Punktes,

dessen Coordinaten g, 73 sind, eine Ellipse mit den Brennpunkten a, b und den

Setzt man daher fest, es solle ß stets in*

Halbaxen —^—cosßi, —^--

dem Intervalle — ßo----[-ßo bleiben, a aber alle Werthe von —00 bis + 00 an

nehmen können, so liegt der Punkt x stets im Innern oder auf dem Umfange derjenigen Ellipse, die zu dem Werthe ß₀ gehört. Diese kann man nun, wenn man nur die positive Grösse ß₀ hinlänglich klein annimmt, der die Punkte a, b verbindenden Geraden so nahe sich anschliessen lassen, dass die Function F₁(x) für alle so limitirten Werthe von x die angegebene Eigenschaft besitzt. Wird dann bestimmt, dass \JF\{x) für x — a positiv sein soll, so sind dadurch und durch die im Folgenden stets festzuhaltende Bedingung, dass x beim Übergange von einem Werthe zum anderen nicht aus dem angegebenen Bereich heraustreten darf, \JF₁ (x) und -■„¹- als eindeutige und continuirliche Functionen von æ, und somit auch von v, vollständig definirt. Und da die-

selben ihren Werth nicht ändern, wenn ±v+2vtz für v gesetzt wird, so kann

durch eine für alle jetzt in Betracht kommenden

man

'JF₁ (x)

oder

Vf(cos «j

Werthe von v convergirende Reihe

a₀ + 2at cos v + 2a₂ cos 2v + • • •

darstellen. Setzt man dann

_    .    _ sin 2v

a₀ v + 2 sm v + 2 a₂ ■—-—

u

so ist    für reelle Werthe von v dieselbe Function wie die im Vorher

gehenden so bezeichnete, und somit

to = a₀it.

Jetzt werde eine Function z von v durch die Formel

wenn

definirt, so lässt sich zeigen, dass wenn a stetig wachsend von einem bestimmten Werthe ao in «o + 27t: übergeht, während ß unverändert bleibt, der Punkt z eine einfache geschlossene Linie beschreibt, welche ganz innerhalb oder ganz ausserhalb eines mit dem Radius 1 um den Nullpunkt beschriebenen Kreises liegt, je nachdem ß positiv oder negativ ist, während sie ß — 0, mit diesem Kreise zusammenfällt, vorausgesetzt, dass der Grenzwerth ßo

hinlänglich klein angenommen werde. Setzt man nämlich

71 Î

so ist

ty(a + ßi) = p + qi,

--q —p

ü)    io

p — a₀a + 2a₁ cos ßi sina + 2a₂ cos 2ßi —-Ä---sin ßi

q = a₀ß + 2at

cos a + 2a,--:

i

sin 2ßi cos 2a

und

dp

— = a₀ + 2a, cos ßi cos a -f 2a₂ cos 2ßi cos 2a -J-----

Für ß = 0 wird

dp

da

<L _

to

\jf (cos a)

7t

und es sind also beide Grössen positiv, woraus erhellt, dass bei hinlänglicher Kleinheit von ß₀

dp

stets positiv

sein und

q das Zeichen von ß

haben wird. Dann geht, wenn p₀ der Werth von p für a = a₀ ist, beständig wachsend von ~ in ~+2iz über, während a das Intervall ao ... «₀ + 2tc durchläuft, und es dreht sich die den Kulipunkt mit dem Punkte s verbindende Gerade beständig im positiven Sinne. Ferner ist

7t

= 1, je nachdem ß = 0;

womit das Behauptete bewiesen ist.

Man stelle sich nun vor, es durchlaufe v den Umfang des durch die vier Punkte

-ßoh ²~-ß₀i, 2tt + ß₀i, ß₀i

zu

bestimmten Bechtecks in dem durch diese Aufeinanderfolge festgesetzten Sinne, so beschreibt der Punkt z zuerst von einer bestimmten Stelle z aus im positiven Sinne eine einfache geschlossene Linie (7₀), die ganz im Äusseren des eben genannten Kreises liegt, geht dann dem Nullpunkt sich nähernd einer innerhalb des Kreises liegenden Stelle zt über, beschreibt von da aus,

stets innerhalb des Kreises bleibend, im negativen Sinne eine zweite einfache geschlossene Linie (7J, und kehrt darauf von zx nach z₀ zurück, denselben Weg, den er beim Übergange von z₀ zu zi genommen, im entgegengesetzten Sinne durchlaufend. Nach einem bekannten Satze entspricht also jedem Punkte z in dem von den Linien lo, lx begrenzten Ringe ein Punkt v des Rechtecks, der mit ihm durch die Gleichung

verbunden ist; wobei jedoch von den beiden Seiten des Rechtecks, die durch die Punkte 0, 2tc gehen, eine ausgeschlossen werden muss. Und da z unverändert bleibt, wenn v+2vtz für v gesetzt wird, so erhält man aus diesem einen Werthe von v alle übrigen, die für denselben Werth von z die vorstehende Gleichung befriedigen, wenn man zu ihm alle Vielfachen von 2tc addirt. Hieraus folgt nun, dass e Function von z ist.

vi

eine

eindeutige und continuirliche

--q

w

nachdem man ß = ßo gesetzt

Nun sei q der grösste Werth, den e hat, annehmen kann, so ist nach dem Vorhergehenden q < 1 und zugleich

i    •    --²

— der kleinste Werth von e w

, wenn ß = —ßo genommen wird. Legt man also der Veränderlichen z nur solche Werthe bei, die dem absoluten Betrage nach nicht kleiner als q und nicht grösser als ü sind, so gehören diese alle dem von den Linien lo, lx begrenzten Bereiche an, und zugleich lässt sich alsdann em in eine Reihe

c₀ + ctz +c₂z* +•••

+ c[z~l + c>“² + ---

entwickeln. Daraus folgt, wenn man — v für v, mithin ~ für z setzt

e~m = c₀ + cxz~x + c₂z~² + • • •

+ c'xz + c'₂ z2, + ■ • •,

und man hat daher die Gleichung wo

-^o co

J (Pn + Cn)

ist, für jeden Werth von v, bei dem der absolute Betrag von

—+ («)

Ü)

nicht ausserhalb der angegebenen Grenzen liegt. Setzt man nun

v = cpO + t),

wo cp(£ + x) wieder die oben definirte reelle Function von t bedeutet, so ist

Ź + T = ł(l>),

TT    2 TT

= A₀ + 2A. cos — (t + t) + 2A. cos — (t + t) h----,

(O x    0)

COS V

und daher sind A₀, Al5 A₂, ... dieselben Grössen wie vorhin. Es geht aber der vorstehenden Déduction hervor, dass die durch die Gleichung

aus

—2— (^o + ² A cos — (^ + r) H----j

definirte Function von t nicht nur für reelle Werthe dieser Grösse der Differentialgleichung

f)' =

genügt, sondern auch für jeden complexen Werth, dessen zweite Coordinate — d. h. der reelle Theil von wisse Grenze nicht überschreitet.

— ihrem absoluten Betrage nach eine ge-Diese kann nicht grösser als ~ lg sein ; doch ist dies nicht nothwendig ihr wahrer Werth, indem durch das Vorher-

gehende nur nachgewiesen wird, dass es überhaupt eine solche Grenze giebt. Je grösser aber dieselbe ist reellen Werthen von t.

um so

stärker convergirt die Reihe für x bei

Aus der Gleichung

—2—    + A₁(3 + 3 *) + A₂ (z* + 3 ") -f—j

oder

WO

x = C₀ + Cyig + 3~x) + C₂(ß² + 3 ²) + • • •

n a + b 2

a~b i 2 JL°>

2^Ä

ergiebt sich jetzt, wenn wir wieder x und z als Functionen von v = a + ßi ansehen, folgende Bestimmung der Coefficienten CH. Man gebe ß irgend einen bestimmten Werth, bei dem der absolute Betrag von z für jeden Werth von a zwischen den Grenzen o und — bleibt, so ist

/•2it

J₀ * ¹ dv

Daraus folgt

dz

+ n — i dz

da — 0, wenn n > 0.

/• 2-

i

xs— — $- da = 2-iC z dv

r²~

xs⁺" — 4? z dv

da = 2tt iCn

und daher auch

da.

z w) als Function von x betrachtet eindeutig. Denn hat

Nun ist aber y (/* + man für einen bestimmten Werth von x einen de$ Gleichung

COSÜ

a+b . a—b

genügenden Werth v, so sind die übrigen in der Formel ±v+2vk enthalten; für alle diese aber hat. da

(± v + 2vtz) = ± <\> (v) + 2v(v ist, y(/* + £“”) denselben Werth. Ferner ist

1 dz z dv

Tzi

TZ i    1

¹⁰ \Jf (cos v)

dx —

b-

\JF₁ (x)

^-sin vda — ± \j{x — a) (6 — x) da,

u

wobei der Werth der Wurzelgrösse folgendermassen fixirt werden möge.

Für einen Punkt x ausserhalb der Strecke a ... b wird niemals eine

CC 0

reelle negative Grösse, und es ist daher für einen solchen \j(x — a) (b—x) völhg bestimmt, wenn festgesetzt wird, es solle

und der reelle Theil von

man

positiv sein. Dasselbe gilt von \jF(x) \/F(x) — \]{x—a)(b—x). \/F₁ (x)

wenn

nimmt und \jFl{x) so tixirt, wie oben angegeben worden. Nun ist für den Punkt, in welchem die betrachtete Ellipse die über b hinaus verlängerte Strecke a ... b schneidet, a — tc, also sinp == — sin ßi, und daher stets

b — a . .    ...

—g—sin (ct + ßi) =

+ \/(x—a) (b—x), wenn ß negativ, — \J(x—a) (b — x), wenn ß positiv,

indem es, weil \J(x—a)(b—x) und sin(a + /L') sich stetig mit a ändern, ohne jemals zu verschwinden, hinreicht, dass diese Zeichenbestimmung für einen Werth von a als richtig nachgewiesen wird.

Dieses vorausgesetzt, gebe man ß irgend einen negativen Werth, so dass die zugehörige Ellipse, wie aus den obigen Ausdrücken von |, yj zu ersehen ist, von einem Punkte in ihrem Inneren aus betrachtet im positiven Sinne

beschrieben wird, wenn « von 0 bis 2tu wächst. Dann erhält man, wenn man

von x aufgefasst, mit P(x,n) bezeichnet,

Y (zn + z~n), als Function

0„ =

xP(x, n)dx

\!F{x)

wo sich die Integration im positiven Sinne über alle Punkte der Ellipse zu erstrecken hat, an deren Stelle jedoch, was wohl zu beachten ist, jetzt jede andere einfache in sich zurücklaufende und die Punkte a, b in demselben Sinne umschliessende Linie treten kann, wenn sie nur ganz in dem Bereiche liegt, für dessen Punkte F(x) die oben angegebene Beschaffenheit hat.

Dieser Ausdruck von Cn erweist sich nun in vielen Fällen zur Berech-

P(x, n)

für alle einem einfach begrenzten, die Strecke a...b in sich enthaltenden Bereiche angehörigen Werthe von x durch eine Reihe

O    1    2

G (x, n) + Gr (x, n) + G (x, n) Ą—,

deren Glieder sämmtlich ganze Functionen von x sind, darzustellen ; so er-

nung dieser Grösse sehr brauchbar.

Angenommen z. B. es gelinge,

giebt sich zunächst

i

G{x,n)xdx

\j(x — a) (b—x)

unter der Bedingung, dass jede einzelne Integration auf die eben angegebene Weise ausgeführt werde. Da aber G(x,n) eine ganze Function von x ist, so kann man zur Bestimmung von

z

G (x, n) x dx

\](x — cl)Q) — x)

den ursprünglichen Integrationsweg durch irgend einen Kreis ersetzen, der die Punkte æ, b umschliesst, wobei es gar nicht nothwendig ist, dass die Reihe

0 1

G(x, n) + G(x, n) -\—

für alle Punkte desselben convergirt. Ist nun c der Mittelpunkt des Kreises, so kann man ferner seinen Radius so gross wählen, dass für alle Punkte des Umfangs

\J(x — a)(b — x)

sich nach ganzen und positiven Potenzen von — c das Anfangsglied y^--y sein muss, weil

entwickeln lässt, wobei

\J(x — a)(b—x)

für alle reellen Werthe von x, die >b sind, positiv ist. Dann ist aber der Werth des Integrals gleich

2 tti

i

x G(x, n)_\

\l(x-a){b-x)

und somit

-2 (-0> X \

z

xG(x,n)    \

Sj(x — d){x-b)    1

wenn hier für    ' ----- die Entwicklung dieser Function nach Potenzen

\l(x— a) (x—b)

—, in der das Anfangsglied    ist, gesetzt wird.

oc c

von

Ganz ebenso ergeben sich die oben mit JB₀, ... bezeichneten Coeffi-cienten, wenn nur die Function G(x) ebenfalls für alle complexen Werthe von x innerhalb eines die Strecke a ... b enthaltenden Bereiches eindeutig definirt und stetig ist. Man hat dann

G (x) P(x, n) dx

SlF{x)

-sf-

w 1 \

G(x, n) G (x)

\J{x — a) (x — b)

(x— c)_1

Nimmt man in dieser Formel G{x) = 1 und n = 0, so erhält man noch

- = s(-

n l \

G(x, 0)

Sl{x — o){x — b)

(x—e)'

wobei zu bemerken, dass

JTT =

ist.

\Fl (®)

P(x, n )

Entwicklungen der Function aber stets. Dies geht schon daraus hervor, dass ja

von

der angegebenen Form existiren

1 sn + s~n ² SfFÄÖ

als Function von v betrachtet für alle complexen Werthe dieser Grösse, bei denen ß zwischen -ßo und ß₀ liegt, durch eine Reihe

b₀ + 2bt cos v + 2b₂ cos 2v-\----

darstellbar, cos nv aber eine ganze rationale Function von x ist. Ebenso ist

2x—a—b

eine Entwicklung nach Kugel-Functionen mit dem Argument die für alle Werthe

b—a

möglich,

von x

innerhalb einer Ellipse mit den Brennpunkten ai b convergirt. W enn ferner Ft (x) für alle Punkte im Inneren eines die Strecke a ... b umschliessenden Kreises die vorausgesetzte Beschaffenheit hat, so lässt sich die in Rede stehende Function auch nach ganzen Potenzen von x—c entwickeln, wo c den Mittelpunkt des Kreises bezeichnet, und dann erhält man vermittelst der vorstehenden Formeln die einfachste Bestimmung der Grösse Cn. Alle diese Reihen werden sich aber am einfachsten aus einer linearen Differentialgleichung, der

P(x, n) s!Fi ipc)

genügt, herleiten lassen, zumal wenn, wie das oft vorkommt, F (x) eine rationale Function von x ist.

Aus der Gleichung

zn + z n — 2P{x, n)

erhält man nämlich, da

dz

dx

ist,

\F (x)

zn-z~n

zn — P(x, n) +

2o> dP(x, n) nui dx

dP(x, n)

\JF(x)

dx

SJI\X)

F \jF{x).

dx

z n = P(x, n)

w dP(x,n)

mzi

Der Wurzelgrösse \jF(x) müssen hier ihre beiden Werthe beigelegt werden, indem z als Function von x zweiwerthig ist. Daraus folgt weiter, wenn man jetzt P, P, F\ F" statt P{x, »), F(x), F'(x) F"{x) schreibt,

= (v)a

F d²Pn

dx²

, J_ TT' dPn

⁺ 2 dx

UTZ

oder auch

n = 0.

P(b,n) = (-!)**

Da <[>(») = 0 ist für v = 0, und <[>(«) = œ für v — w, so hat man P(a, n) — 1

SO

dass die beiden Constanten, welche die allgemeine Lösung der vorstehenden Differentialgleichung enthält, bestimmt werden können.

Man kann aber, statt die Functionen P{x,ri) und ■    ■ einzeln zu ent

wickeln, das Produkt derselben vermittelst einer ähnlichen Differentialgleichung direct bestimmen. Bezeichnet man nämlich

Pix, n)

mit B(x,ri) oder B

so hat man

dRn

VF ^ = F

\F'R , dRn

d fFdRn dx \ dx

d²R

dx²

dx

Wird ferner, n > 0 angenommen

Q(x,n) = Q

dx

\F'B

H"h-"

dP (x, n)

dx

= 0.

P dRn

jf’s«)

gesetzt, so erhält man aus der zweiten Gleichung für Pn

O)

mz

dx

oder

■p d Q

dx²

JF

, dQ

dx

also dieselbe Gleichung wie für P selbst. Da nun

dQn

dx

«> \² d wir ) dx

dx

ist, so ergeben sich aus den Formeln

Cn =

J xR(x,n)dx,

JBn = ~~ J G(x)R(x,n)dx

durch partielle Integration noch die folgenden:

Cn =

2^7 JQ(.x, n) dx

Pn =

J G' (x) Q (x, n) dx.

Nun hat man

R(x,ri) =

G(x, w)

\J{x — a) (b—x) ’

Q(x,ri) = H(x, n) \]{x — a) (b—x)

zu setzen und für G(pc, n), H(x,n) Entwicklungen von der Form

0 1 0 1

wo H, Ht ... ebenso wie 6r, G, ... ganze Functionen von x bedeuten sollen, aus den vorstehenden Differentialgleichungen abzuleiten; worauf man dann ausser den schon vorhin angegebenen Ausdrücken von Bn, Cn) wenn n > 0 ist,

— [ïï(x, n) \J(x—a) (x—b)j JBn = — 2 {g'(x)H(x, n) \](x—a)

(x — c)⁻¹

erhält, in welchen Formeln für \J(x — a)(x—b) die mit x—c anfangende Entwicklung dieser Function nach fallenden Potenzen von x—c zu setzen ist.

Hierbei ist noch zu bemerken, dass man zur Entwicklung der Functionen G(x,n), H(x,n), welche zur Abkürzung mit Gn, Hn bezeichnet werden sollen, auch die Gleichungen

(x—a) (x—b)

dHri

dx

+ (*

Hn = 0

F

anwenden kann, welche aus den vorhergehenden Gleichungen

dQn

p dR n

dx

-dx-R« = 0 + ~F'R„ +

(“)«

sich ergeben; oder auch die Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die sich aus ihnen für jede einzelne Function ableiten lassen. Zur Constanten-Bestimmung hat man dann

G (a,n) =

\IFi0) ’

G(b,n) =

(-i r

Vf, W)

und, wie aus der ersten Differentialgleichung selbst folgt,

n.

H(a, ri) —

(b-a) \JF, (a)

H(b,n) =

(a-b)\f¥Jb)

Alle diese Differentialgleichungen sind besonders brauchbar in dem schon erwähnten Falle, dass sich P, 6rÄ, Hn nach ganzen positiven Potenzen von x—c entwickeln lassen. Namentlich erhält man, wenn F eine rationale Function ist, und daher für die zu entwickelnde Reihe, z. B. für Jff , sich eine Differentialgleichung

dx²

L d²Hn

in der P, M, N ganze Functionen von x sind, finden lässt, zur Bestimmung ihrer Coefficienten Recursions-Formeln von möglichst einfacher Beschaffenheit. Es kann jedoch alsdann vortheilhaft sein, zunächst für P(x,n) eine Entwicklung

0 1

P(x, n) + P(x, n)-i—,

° 1

in der P, P, ... ganze Functionen sind, herzustellen, so dass

dx,

G(x)P(x, n)

\[F&)

wenn auch G{x) eine rationale Function ist, ein vollständiges Abel’sches Integral wird, zu dessen Bestimmung es besondere Methoden giebt.

Aus den obigen Formeln für , z~n geht noch hervor, dass

«> dP(x, 1)

dP(x, n)

dx

\/F(x) = (P(x, 1)±^

dx

dP(x, 1)

ist. Man kann daher P(x, n) aus P{x, l), den meisten Fällen wird es aber einfacher sein, P(x, n) vermittelst der obigen Differentialgleichung direct zu bestimmen, da man ja nur für die in der Entwicklung von P(x, 1) vorkommende Grösse ~ überall ~ zu setzen hat.

dx

P(x) zusammensetzen. In

ZUR THEORIE DER BILINEAREN UND QUADRATISCHEN FORMEN.

(Aus dem Monatsbericht der Berliner Akademie der Wissenschaften vom 18. Mai 1868

mit einigen Veränderungen abgedruckt.)

1.

Es seien zwei bilineare Formen derselben 2w Veränderlichen (x^ und yv ... yn) gegeben:

(1.)

P = ĘAa?%ayp

Q — ^jBaßXayß

«I»

wo a, ß — wie überhaupt in dieser Abhandlung die ersten Buchstaben des kleinen griechischen Alphabets — Zahlen aus der Reihe 1, 2, ... n bezeichnen. Die Determinante der Form

pP + qQ,

wo p, q unbestimmte Grössen bedeuten, d. h. die Determinante des Systems

(2.)

nn ?

PAn qP\\ i • • • PAm + 9,-^m PAm T qPni ) • • • PAnn F 9.P

welche ich, um auf ihren Ursprung aus den Formen P, Q hinzuweisen, mit

[P, Q]

bezeichnen will, ist dann eine homogene ganze Function wten Grades von p, q, und kann — wenn man von dem singulären Falle, wo ihre Coefficienten sämmtlich gleich Null sind, absieht¹) — als ein Product von n Factoren, die homogene lineare Functionen von p, q sind, und einer von diesen Veränderlichen unabhängigen Grösse dargestellt werden. Dabei möge, um diesen Ausdruck von [P, Q]

einem völlig bestimmten zu machen, ein Paar besonderer

zu

Werthe (g, h) von (p, q), für welche [P, Q] nicht verschwindet, nach Willkür angenommen und festgesetzt werden, dass jeder einzelne der genannten n Factoren für p — g, q = h den Werth Eins erhalten soll.

Dies vorausgesetzt, sei ap + bq irgend einer dieser Factoren, und l der Exponent der höchsten in [P, Q] aufgehenden Potenz desselben. Ferner bedeute den Exponenten der höchsten Potenz von ap + bq, durch welche alle aus den Elementen von [P, Q\ gebildeten partiellen Determinanten {n — x)t0r Ordnung — homogene ganze Functionen (n — x)ten Grades vom p, q, die kurz Unter - Determinanten von [P, Q] genannt werden mögen — theil-bar sind. ²)

Jede Determinante (n — v.+ l)ter Ordnung des Systems (2.) kann dargestellt werden als eine Summe, in welcher jedes einzelne Glied das Product aus einer Determinante (n — x)ter Ordnung und einem Elemente von [P, Q] ist. Ein gemeinschaftlicher Theiler aller Determinanten {n — x)ter Ordnung muss daher auch ein Theiler aller Determinanten der (n — x + l)ten Ordnung, und somit überhaupt aller Determinanten von höherer als der (n — x)ten Ordnung sein. Daraus folgt, dass wenn von den Zahlen Z, Z', ... irgend eine gleich Null ist, alle folgenden es ebenfalls sind. Da ferner die Ableitungen einer Determinante (n — x + l)ter Ordnung nach p und q sich darstellen lassen als Summen, in denen jedes Glied das Product aus einer Determinante (?i — x)ter Ordnung und einem Coefficienten von P und Q ist, so muss P_1) > P sein, wofern nicht llx) = 0 ist. Hiernach bestehen, wenn in der Reihe der Zahlen Z, l\ ... die letzte der von Null verschiedenen den Index (^ — 1) hat, die Ungleichheiten

(3.)

0.

Setzt man daher

(E)

e = l-V, é = V-r, . . . e(r-1) = Vr~l\

{ap + bq)

(also (ap + bq)z selbst, wenn V — 0 ist) möge ein Elementar-Theiler der Determinante von pP + qQ heissen — ein Name, dessen Einführung die folgenden Untersuchungen rechtfertigen werden.

Hiernach ist. wenn

(a,p + bx qf¹, (a₂p + b₂ q)e2,    ... {aQp + bQ q)e?

sämmtliche Elementar-Theiler von [P, Q] sind,

(6.)

positive Zahlen, und man hat

l    et’,    e(»--D

{ap + bq) = {ap + bq) {ap + bq) ... (ap + bq) Jeder einzelne der so definirten r Factoren von

so sind e, e\ ... e

(5.)

(r—i)

[P, Q] = C(a₁p + b₁q)ei(a₂p + b₂q)ę\..(aQp + bQq)e*,

wo C den Werth von [P, Q] für p = g, q = h bezeichnet. Die wesentliche Bedeutung aber, welche gerade diese Zerfällung von [P, Q] in Factoren für das Formenpaar (P, Q) hat, erhellt aus folgendem Satze:

Es werde durch die Substitutionen

... xn =

(7.)

Vi =

• • • Vn=

wo Uy...u und vi,...vn neue Veränderliche bedeuten, &M, ...h h, •••Ä aber Constanten, welche keiner anderen Beschränkung unterworfen sind, als dass die Determinanten

Ki i Kn

K» ••• h

'u ? • •

'\n

(8.)

II =

Kl J * ’ * ^nn

nnl

nicht gleich Null sein dürfen, die Form

P(x₁,...xn\y₁,...yn) in eine andere P'{ut,... un\vlt... vn)

und zugleich

verwandelt; so stimmen die Determinanten der beiden Formen

pP + qQ,    pP'+qQ'

in ihren Elementar-Theilern überein.

Und umgekehrt, wenn zwei Formen-Paare

und

P (pi J • • • \ Vi ) • • • Vn) ,    Q ; • • • I Vi , • • • Vn)

P (Pi ! •" I ^1 j • • • Vn) 1    Q (Pi ! ■    I Vt, ... yw)

gegeben sind, und es stimmen die beiden Determinanten

[P, Q]

[P\ Q']

in ihren Elementar-Theilern überein; so können auch stets die Coefficienten (hn, ... hnn) und (/cn, ... knn) so bestimmt werden, dass durch die unter (7.) angegebenen Substitutionen P in P' und zugleich Q in Q' übergeht.

2.

Der erste Theil des vorstehenden Satzes lässt sich sehr einfach beweisen. Es sei

P'

-    UaVß

(9.)

Q — 2 Paß Ua Vß >

so entsteht das System der Elemente von [P', Q']

PAi + qB'n, • • • PKn + qP'm

pA'm + qB’nl, ... pA'nn + qB'nn durch Zusammensetzung der drei folgenden:

(10.)

hllt ... hln

(11.)

K, ••• ]l

PÄn + qBn, ...pAm + qBm

\ PÄm+qPm, ••• PÄnn+qP Ki, ••• Kn

nn ,

nn,

[P', Q'] = HK[P, Q]

(13.)

Demzufolge ist

jeder Theiler der einen Determinante also auch ein Theiler der anderen. Ferner lässt sich jede Unter-Determinante (n — x)ter Ordnung von [P', Q'] als ein Aggregat von Producten dreier Factoren, die Unter-Determinanten (n — x)ter Ordnung von H, K und [P, Q] sind, darstellen. Jeder gemeinsame Theiler aller Unter-Determinanten einer bestimmten Ordnung von [P, Q] ist also auch ein Theiler aller Unter-Determinanten derselben Ordnung von [P', Q']. Nun geht aber auch P' in P, und zugleich Q' in Q über, wenn man für ... u und ... vn die aus den Gleichungen (7.) sich ergebenden linearen Functionen von ... xn und y^ ... yn setzt; es muss daher jeder gemeinsame Theiler aller Unter-Determinanten einer bestimmten Ordnung von [P\ Q'] auch ein Theiler aller Unter-Determinanten derselben Ordnung von [P, Q] sein.

Hiernach ist, wenn die vorhin gebrauchten Bezeichnungen beibehalten

werden,

(ap + bq)

auch die höchste in [P', Q'] enthaltene Potenz von ap + bq, und

Z(st)

(ap + bq)

die höchste in allen Unter-Determinanten (n — x)ter Ordnung von [P', Q'] enthaltene. Die als Elementar - Theiler von [P, Q] definirten r Factoren von (ap + bq)¹:

F-i)

l'-l"

l—V

(ap + bq) , (ap + bq)

sind also auch die zu demselben Theiler (ap + bq)¹ gehörigen Elementar-Theiler von [P', Q']; w. z. b. w.

Der Beweis für den zweiten Theil des aufgestellten Satzes beruht darauf, dass ein Formenpaar P, Q durch eine bestimmte lineare Transformation in ein anderes verwandelt werden kann, dessen Coefficienten gegeben sind, wenn die einzelnen Elementar-Theiler der Determinante [P, Q] kennt.

(14.)

. . . (ap + bq)

man

3.

Man setze, unter s eine unbeschränkt veränderliche Grösse verstehend und unter g\ K Constanten, die mit g, h durch die Relation

(15.)

gh’-hg' = 1

verbunden sind

(16.)

(17.)

(18.)

P = gs-g',

® = gP + hQ,

^aß    9-^-aß F hPaß

q — hs — h',

V = g'P + h'Q

^aß 9 -^-aß F Paß >

(19.)

S = [P, Q] =

sau~K, ••• sam~K

saH1-b

• • &(xnn b

Dann folgt ans den Gleichungen

dP dQ P dxa+q dxa

dP dQ „.    _

*w,+iw, = swr^ ⁼

(20.)

(21.)

go dW

S dxa

dxa

öd>

dW

wenn man mit

(-1 r+ßsaß

diejenige Unter-Determinante bezeichnet, deren Elementen - System aus dem von S durch Weglassung der at6n Horizontal- und der ßten Yerticalreihe entsteht,

(22.)

y? = 2

a

I*

'F = 2

Hi⁰1' %£\t Hk Hk

ö® ölF

dxa öxa

/ ö® ölF\ V àyp dyß)

Vß =

Hk Hk

Saß (n Ö® Ô® Ô® Ö^F

Saß

dxa dy? dyß dxa ö® dW dW ölF

S V“ öfy ôæB öa?a öfy e® ö® _ ö<F ö¥ dxa dy? dxa dy?

Nun ist 8 eine ganze Function wten Grades von s (indem in ihr der Coefficient von sn gleich der Determinante von gP + hQ ist), Saß aber eine von

à'® + w =

s    (

aß    \

5²

nicht höherem als dem {n — l)ten Grade. Setzt man daher, unter

... i

Vv ■■■ ’i«

2n neue Veränderliche verstehend

Saß

(23.)

so kann man für alle Werthe von s, die dem absoluten Betrage nach grösser sind als jede Wurzel der Gleichung S — 0, F nach fallenden Potenzen von s entwickeln, in der Form

dyn dx₁

(24.)

(25.)

O = gP+hQ =

0- = g'P + h'Q =

<50

Fl\dyiJ"’

F ••• •Vöy/

öO

dxn

ao

dxn

Jetzt werde mit

Sw

diejenige Determinante (n — x)ter Ordnung bezeichnet, deren Elementen-System aus dem von $ durch gleichzeitige Weglassung der x ersten Horizontal- und Vertical-Reihen erhalten wird. Ferner bedeute

(-i r⁺'s$

unter der Voraussetzung, dass a, ß beide grösser als x sind, die Determinante (n — x — l)ter Ordnung, deren Elementen - System aus dem von 8W durch Weglassung der (u — x)ten Horizontal- und der (/3 — x)ten Vertical-Reihe hervorgeht — werde aber gleich Null angenommen, wenn eine der Zahlen a, ß < x ist. Dann ist

(26.)

sir° = sm

und es bestehen die Relationen

SnSaß-SalSlß = SS’aß

qr qr    qr qr _ qrqn

°22 °aß — °a2 °2ß - & &ccß

qrr q»    qn qrr _ qrr qrn

®3S ®aß    ®as ®3ß    ^ ®aß

U. S. W.

II.

Ans denselben erhält man

(28.)

und es ist daher

So § CO Co qq Co

"    -36    -Ï6

Sal Siß

-    ~ss

S^Slß

-    S'S

Q„ O" ®<X3 Ugß

~ W

u. s. w.,

TT +

77T +

CO Go CO Co Cq

5-26'    ⁵-Sb'

Saß _ SaiSß . S'a2%ß Sa3 S"ft S SS' ⁺ S'S" ⁺

Der Ausdruck auf der Rechten besteht aus n Gliedern, deren Gesetz deutlich ist. Multiplicirt man nun auf beiden Seiten dieser Gleichung mit    und

summirt dann in Beziehung auf cc, ß, so ergiebt sich

(29.)

S"S

TÏT +    •

(30.)

XY X'Y' X"Y" SS' ⁺ S'S" ⁺ S"S

77T H----

WO

X — Sn li + S₁₂ |₂ + S₁₃ |₃ Ą-----1- Sln I,

X' =

X" =

St₂|₂+S2S h—i- s;n £n s?₃è₃+-+s"jn

(31.)

u. s. w.

Sll‘ifj₁ + Sal 7J₂ + S3l 7JS + • • • F Snl T[n

Y' =

Y" =

S%2 ^2 F S₃ 2 ^3 F • • • 4* Sn2 t]n S"₃ 7]a + • • • F St"₃ 7jn

u. s. w..

Dieser Ausdruck von F ist nun, als Function von s betrachtet, in Partial-Brüche zu zerlegen.

Es sei wieder ap + bq irgend ein linearer Theiler Werth von 5, für welchen er verschwindet. Da 8 aus [P, Q], und ebenso jede Unter-Determinante von 8 aus der entsprechenden von [P, Q], durch die Substitutionen p = gs—g\ q = Jis — li hervorgeht, so sind die Functionen

von

[P, Q], und c der

S, S', S", ...

(s~c)\ (.s-c)l, (s — cf",    ...

theilbar, wenn l, l\ l'\ ... die oben festgesetzte Bedeutung haben. Ich will

beziehlich durch

nun zunächst annehmen, dass in keiner dieser Functionen eine höhere Potenz von s — c als die angegebene als Factor enthalten sei.

Dies vorausgesetzt, seien

(s-c₂)e»,    ... (s-c^

die Functionen von s, in welche sich die Elementar-Theiler von [P, Q]

e2

(atp + \q)ei, (a₂p + b₂ q)

... (aQp + bQq)e?

durch die angegebenen Substitutionen verwandeln. Man entwickle, unter X irgend eine der Zahlen 1, ... q verstehend, wenn ex in der Reihe der zu dem Theiler dxp + bxq gehörigen Zahlen e die xte ist,

X⁽*~v,

nach steigenden Potenzen von s — cv Dann ist der Grad des Anfangsgliedes in der ersten dieser Entwicklungen um ex Einheiten grösser als in jeder der drei anderen. Man erhält also für hinlänglich kleine Werthe von s — cx

X<*~n

= (s-c.r^x^s-c.r

(ft = o, I,...oo)

0 = 0, 1, ...oo)

= ^x¥rus-cif+v-^

jUV

x* \J~C~ F * " ’ F Gj/u^h)

~^hr    ^îü F ‘ ‘ ¹ F "ï]n ) ,

wo Cx und sämmtliche Coefficienten der Grössen £, tj ganze Functionen von cx) den Coefficienten der Formen P, Q und den Grössen g₎ A, g\ h' sind.

Ist nun c irgend eine der Grössen c1? ... c , und kommt dieselbe in dieser Reihe ?*mal vor, so werden in dem Ausdrucke (30.) von F nur die r ersten Glieder unendlich gross für s == c; es stimmt daher die Reihe

(32.)

(33.)

(34.)

\jsw-üsw

Y&- u

\js(x-vs(x)

y (x-i) yot-u

s(y-vs™

A fXV ¹

wenn man die Summation nur auf diejenigen Werthe von X ausdehnt, für

4*

welche cx — c ist, mit der Entwicklung von F [nach Potenzen von s — c sin allen Gliedern, die für s = c unendlich gross werden, überein. Daraus folgt sofort, wenn man zugleich beachtet, dass F — 0 für s = oo wird,

fl + V—

(35.)

F(èi, ...inhn-..1») =

(fu + v<ex)

Zur Abkürzung werde, wenn e eine beliebige ganze Zahl ist

(36.)

mit (XxYx)e

(fi + v = e— l)

bezeichnet. Dann ist

(37.)

■Äh)

(X^-i

>!,,•••’!») = E —

x L s

Den Formeln (25.) zufolge ergiebt sich hieraus (D = gP + hQ = ^(XxYx)ei

V = fP+W = k^XxYx)h + ^{X,Yx)ei_

(38.)

-Cx

(s-cj

wenn man in den vorhergehenden Ausdrücken der Grössen X

dP ÔQ

^ = ⁹~dy~j+hlh^ ⁼ ^yA«P + }lBa(t)xa

(39.)

*ia = 9

dxa

dxa

setzt, so dass

(40.)

wird.

B’Js àyf

sjcx ^{cß?A⁹

dxa

Da man nun

also

cx — 9'ax + h'^x

¹ = g®x+JA

(41.)

\ = -g'+gcx

ax — h'—hcx

hat, so ergeben sich aus den Gleichungen (38.) die folgenden Darstellungen von P, Q:

P = ^[<h{XxYx)e-h{XxYx)ei Q — Ç[^(X;.l⁷).)e;i + ^(AiPi)^_₁].

verstanden werden

d (gP+hQ)

(43.)

= YXv.

(44.)

In diesen Formeln ist

ÂÏ1)

ex~¹

zu setzen, wenn ex — 1.

Den Grössen g, Ji, g\ Ti giebt man am einfachsten ganzzahlige Werthe. Wenn z. B. die Determinante von P nicht gleich Null ist, so kann man

h! = 1

9' = 0

nehmen, sowie, wenn die Determinante von Q nicht verschwindet

g = 0, h — — 1, g = 1

h' = 0.

(für jeden bestimmten Werth von A)

Aus Gleichung (38.) ergiebt sich unter g, v Zahlen aus der Reihe 0, ... ex—l, deren Summe gleich ex— 1 ist,

wenn

d (gP + hQ)

Hiernach hat gP + hQ, als bilineare Form der Grössen X^, Ylv betrachtet, die Determinante ± 1, und somit ist ± [P, Q] gleich dem Producte aus der Determinante der n Functionen X;u in Beziehung auf die Veränderlichen ... xn und der Determinante der w Functionen Y-/v in Beziehung auf yx, ... yn\ keine dieser beiden Determinanten ist also gleich Null. Man kann also die Grössen ... xn durch die XAw, und die Grössen ... yn durch die YXv ausdrücken in der Gestalt

(45.)

Es ist aber

2(«> À>g)x

(g = o,... ex—

¹ (v=o,...e₂-i)

M HM

(46.)

-v _ d (gP + hQ)

typ d(gP + JiQ)

a^

(47.)

0(#P+Ä$)

a^a a(#p+7üg)

also

ax,a

7m

a^«

, d (gP + hQ)

c*

typ

a(grP + Ag)

dxa

Die in den Formeln (45.) vorkommenden Constanten sind also durch die Gleichungen (34.) bestimmt.

Wenn die bei den vorstehenden Entwicklungen gemachte Voraussetzung, es seien P, Q so beschaffen, dass die höchste Potenz eines jeden linearen Factors der Determinante S, durch welche diese und alle ihre Unter-Determinanten (n — x)ter Ordnung theilbar sind, zugleich die höchste in $(!t) enthaltene ist, nicht zutrifft, so kann man, wie ich sogleich zeigen werde, die Formen P, Q durch eine simultane lineare Transformation stets in andere

P(x[,...x'n\y'u ...y'n)

verwandeln, welche die angegebene Beschaffenheit besitzen, und zwar so, dass die Grössen x'a lineare Functionen der xa mit ganzzahligen Coefficienten, und die y'ß ebensolche Functionen der yß sind. Da nun die Determinanten [P, Q],

[P, Q] in ihren Elementar - Theilern übereinstimmen, so kann man P, Q so darstellen, wie unter (42.) angegeben ist.

Drückt man darauf die V, y'ß durch die xa, yß aus, so gehen P, Q in P, Q über, die XAu, Ylv werden homogene lineare Functionen der Grössen

a (gP + hQ)    d(gP+hQ)

dxa

und es bleibt auch bestehen, was über die algebraische Zusammensetzung der Coefficienten dieser Ausdrücke gesagt worden ist. Die Umgestaltung P, Q in die unter (42.) angegebenen Formen ist also stets ausführbar. Da ferner die Gleichungen (43.), (44.) aus der Gleichung (38.) sich ergeben gilt auch allgemein, dass von den beiden Gleichungs-Systemen (45.), (48.) jedes eine Folge des anderen ist.    .

In dem besonderen Falle, wo unter den Coefficienten von P, Q, P', Q' die Relationen

(48-.) Aaß = Aßa,

von

so

— Bßa,

B'af = B’a

yß mit den yß.

bestehen, kann jene simultane lineare Transformation stets so gewählt werden, dass die Grössen xa mit den xa durch dieselbe Substitution Zusammenhängen, wie die

4.

Der von mir bei der ersten Veröffentlichung dieser Abhandlung gegebene Beweis des am Schlüsse des vorigen Paragraphen angeführten Hülfssatzes kann, abgesehen davon, dass er in Folge eines Versehens beim Abdruck unvollständig ausgefallen ist, erheblich vereinfacht werden, wie dies namentlich Herr Frobenius gezeigt hat. Um unnöthige Wiederholungen zu vermeiden, halte ich es unter diesen Umständen für hinreichend, zur Rechtfertigung der ausgesprochenen Behauptung auf die im Sitzungsbericht der Berliner Akademie der Wissenschaften vom 18. Januar 1894 mitgetheilte Arbeit des Herrn Frobenius zu verweisen.

5.

Angenommen nun, es sei ausser dem Formenpaare P(xx,...xn\yv...yn),

noch ein zweites gegeben, und es habe die Determinante von

pP' + qQ'

dieselben Elementar-Theiler wie die Determinante von

pP + qQ-,

dann lassen sich n homogene lineare Functionen der Grössen w , ... un und n andere

¹

Dieser Fall ist von mir nicht behandelt worden, weil ich wusste, dass derselbe zur Zeit, als ich die vorliegende Abhandlung schrieb, von Herrn Kronecker einer eingehenden Untersuchung unterworfen wurde. (Yergl. die betreffenden Abhandlungen des Herrn K. in den Monatsberichten der Akademie.)

²

Die Bezeichnung l(x) ist in dem Sinne zu verstehen, dass l⁽⁰⁾ = l, Vl) — V, Z⁽²⁾ = l", ...

io

u, ...

V V qo’ ’ ‘ ' Q(eQ— i)

der Grössen v , ... vn dergestalt bestimmen, dass

P'

Q’ =

wird. Wenn man daher in den obigen Ausdrücken (45.) der Grössen x, y durch die X, Y folgende Substitutionen macht:

Xlu = U1(l}

X₂,u ^2(1 >

v __ Tj    y _ y

^ Q/a    ' Qta )

so verwandeln sich xt,...xn in homogene lineare Functionen y1? ... yn in ebensolche Functionen von ... vn, und zugleich

P{x1} ...xn\yv ...yn) in P'(wIf ... un [g, ... vn),

<K»i,    •••&») in    ...«„Ivj,

Hiermit ist der in § 1 aufgestellte Satz vollständig bewiesen: damit es möglich sei, durch Substitutionen von der Gestalt

xx =

(49.)

V, = Vlfl,

Yçfi    Ya ^,

y—S

Ts Ts

von ut, ... un}

(50.)

... xn =

ißup

Vx =

ę 'W • • •

zwei gegebene bilineare Formen P, Q der Veränderlichen (^, ... xn\y^ ... yn) gleichzeitig in zwei andere P', Q' der Veränderlichen (ut1 ... ujvt, ... vj zu verwandeln, ist nothwendig und hinreichend, dass die Determinanten der Formen

'CnßVß

pP+qQ, pP'+qQ'

in ihren Elementar-Theilem übereinstimmen.

In dem besonderen Falle, wo unter den Coefficienten von P, Q, P' Q' die unter (48a.) angegebenen Relationen bestehen, ist YXu dieselbe Function

" xni Un(^ ebenso dieselbe Function Dies erhellt

von yi}...yn wie X¥ von x

».>••• ®. Wie ü* ™n »„•

nuci fins den <iiii Schluss© von 3 in Betreff' der etwti erforderlichen läufigen Umgestaltung von

aus

von

den Formeln (31.) bis (39.)

vor-

P, Q gemachten Bemerkungen. Die Substitutionen, durch welche P, Q in P\ Q übergehen, erhalten demnach in diesem Falle die Gestalt

Vi =

Um das vorstehende Theorem, durch welches eine der Hauptfragen in der Theorie der bilinearen Formen erledigt wird, anwenden zu können, braucht man jedoch die Zerlegung der beiden Determinanten in ihre Elementar - Theiler nicht wirklich auszuführen. Es genügt vielmehr, für die Form pP+qQ — — ¥ die im vorhergehenden § definirten Functionen

u. s. w.

R (5), R'(s)

und für die Form pP'+ qQ' = sO'— ¥' die entsprechenden

u. s. w.

jR (s), R'(s)

zu bestimmen. Jedem linearen Theiler (ap + bq) von [P, Q] entspricht dann ein Theiler (s — c) von P(s), und wenn für den ersteren /, l\ ... die oben definirten Zahlen sind, so ist lM auch der Exponent der höchsten in Rm(s) enthaltenen Potenz von (s — c). Da nun, wie bereits früher bemerkt, jeder Theiler von RM(s) auch einer von R(s), und der Coefficient von Rir\s) gleich Eins ist, so ist es nothwendig und hinreichend, dass — für jeden Werth von s — die Gleichungen

(51.)

u. s. w.

R(s) = R(s), R'(s) = R'(s)

bestehen, wenn die Determinanten [P, Q], [P', Q] in ihren Elementar-Theilern übereinstimmen sollen.

6.

Die in § 3 (Gleichung (42.)) erhaltenen Ausdrücke

(52.)

welche sich in P, Q verwandeln, wenn man für

A, ... X ,

9°    e(eç-i)

Y

9°’    ' e(eç-i)

die a. a. O. (Gleichung (48.)) angegebenen Functionen von xl} ... xn und ... yn substituirt, haben das Eigenthümliche, dass sie als bilineare Formen der Grössen X, Y betrachtet, völlig bestimmt sind, sobald man die Elementar-

II.

Theiler von [P, Q] kennt und die Constanten g, h passend gewählt hat. Es entsteht nun die Frage, ob auch umgekehrt aus diesen Formen, wenn man

in ihnen die Zahlen et1 ... und die Constanten alf    b , g, h

den Bedingungen

6, + • * • +    — Yt>

gat + Kbt = 1,    ... gaQ+hbQ — 1

gemäss, im Übrigen aber nach Willkür annimmt und dann für die X beliebige, jedoch von einander unabhängige homogene lineare Functionen von x1} ... xn und für die F ebensolche Functionen

... yn substituirt, stets ein Formenpaar P, Q hervorgeht, für welches die Determinante [P, Q] die Elementar-Theiler

(53.)

von

{utp + \q)e\ ... (aQP + bQqft

Es mögen die in Rede stehenden Ausdrücke, als Functionen der Grössen X, F angesehen, mit P, Q bezeichnet werden; dann braucht nur untersucht zu werden, ob die Determinante

hat.

[P, Q]

die angegebenen Elementar-Theiler besitzt. Man setze

(54.)

so ist, wenn

gesetzt wird

Px = a^Y^-h^Y^ x Qx =

<hP + hq. = w

gq-hp = v

(55.)

o, o, ... o, o, ...

[Px, Qx\ =

= ± u6x.

... o, o, o ... o, o, o

Ferner ist diejenige Unter-Determinante man aus

[PX) Qa], deren Elementen-System dem vorstehenden durch Weglassung der letzten Horizontal- und der letzten Verticalreihe erhält, gleich ±ve*~

von

also nicht durch a^p+b^q theilbar. Folglich hat die Determinante [P^, QJ nur den einen Elementar-Theiler

fap + hqfi-

Daraus ergiebt sich zunächst:

(56.)

Ferner verschwinden von den Unter - Determinanten {n — x)ter Ordnung von [P, Q] nur diejenigen nicht für beliebige Werthe von p, q, welche sich, wenn man mit

[G, ft]

(m)

irgend eine Unter-Determinante (ex — m)ter Ordnung von [P;, QJ oder m = 0, diese Determinante selbst bezeichnet, in der Gestalt

wenn

(57.)

dastellen lassen, wo

n m, ft](Bi)

i

(58.)

Man hat also für jeden linearen Theiler von [P, Q] zu ermitteln, wie oft er in allen diesen Producten als Factor enthalten ist.

Es seien, wenn ap + bq irgend einer dieser Theiler ist, Al5 ... A diejenigen Werthe von A, für welche ax = a, bx = 6; und

sein muss.

die zugehörigen Exponenten ev jedoch so geordnet, dass keiner von ihnen grösser ist als der vorhergehende.

Wenn nun x>r ist, so giebt es unter den betrachteten Unter-Determinanten wenigstens eine, in der ml für A = A

i? •

diese enthält den Factor ap + bq nicht. Ist aber Zahlen m

.. A. den Werth Eins hat, und so müssen von den

.. mindestens ₉-x = p-r + (r-x) den Werth Null haben, also auch unter den mit den Indices At, ... A}. versehenen wenigstens (r — x) solche sich finden.

i? •

Es ist also jede Unter-Determinante {n — x)ter Ordnung durch eine Potenz von ap + bq theilbar, deren Exponent die Summe von (r — x) der Zahlen

also sicher nicht kleiner als

e<*>

ist. Setzt man also

(* =

... r— l)

(59.)

^ — e H-----ł- e° l\ V = l — e, l" = V—e',

u. s. w

so hat jede Unter-Determinante (w—-x)ter Ordnung von [P, Q] den Theiler

p)

(ap + bq) ,

wofern x <c r ist. Unter ihnen giebt es aber stets eine, welche nicht durch eine höhere Potenz von ap + bq theilbar ist, und welche erhalten wird, wenn man denjenigen x Zahlen mv zu deren Indices die Exponenten

e, ... e(!t-1)

gehören, den Werth Eins, allen übrigen aber den Werth Null giebt. Hiernach ist also

(ap + bq)

die höchste Potenz von ap + bq, die in [P, Q], und

p>

(ap + bq)

die höchste, welchen in allen Unter - Determinanten (n — x)ter Ordnung von [P, Q] enthalten ist.*) Hieraus folgt unmittelbar, dass die in dem vorstehenden Ausdrucke von [P, Q] enthaltenen Factoren

(PiP + hif¹

in der That sämmtlich Elementar-Theiler dieser Determinante sind. Die aufgeworfene Frage ist also zu bejahen.

Um eine Anwendung von dem bewiesenen Satze zu geben, betrachte ich den Fall, wo die Determinante [P, Q] n Elementar-Theiler hat — unter denen jedoch auch gleiche Vorkommen können — die Exponenten e, ... en

*) Wenn man, von den ursprünglichen Formen P, Q ausgehend, für einen linearen Theiler ap + bq von [P, Q~\ die zugehörigen Exponenten e, ... ecr-1) in der im Anfänge angegebenen Weise bestimmt, so erhält man

e = l-r, e! = r-l", . . . e= p-».

Dieselben Werthe von e,... e(r-1) ergeben sich aber, da die Reihe der Zahlen l, V,... sich nicht ändert, wenn man ap + bq als einen Theiler von [P, $] ansieht, auch aus den Gleichungen (59.) unter der Voraussetzung, dass

eO—1)

sei. Man kann daraus schliessen, dass in dem Falle, wo r > 1 ist,

p)_p+1)

p-i)_p)

oder

21* < p-D^p+n

sein muss. Dies lässt sich mittels der obigen Relationen (27.) auch leicht direct nachweisen.

also sämmtlich gleich Eins sind. Dann erhält man den Formeln (42.) bis (48.) zufolge:

P — a₁ X₁ Yl + aa X₂ Y₂ + • • • + an Xn Yn,

(60.)

Q = ht XiY+b₂ X₂ra+... + bn XnYn ,d(gP+ hQ)

= S(«) A)X*>

1

y? = Z(/M)'ra.

l

wo    (M), (M)' für x;₀’ Yw («>A> °)> ÜM» °)' geschrieben ist.

dem Yorherstehenden hat aber die Determinante der Form

Yx = 2(fö> U

d(gP+hQ)

dx

a

Nach

pP+qQ = 2(aJtP + biQ) XxYx

i

die Elementar-Theiler

+    ... anp + bnq;

es ist daher, wenn P, Q sich in der angegebenen Gestalt sollen darstellen lassen, nothwendig, dass die Determinante [P, Q] n Elementar-Theiler besitze. Es ist aber, wenn [P, Q] einen ihrer linearen Theiler in der /ten Potenz enthält, und die zugehörigen Exponenten 0, e', ... alle gleich Eins sind, 1' = /— 1, l"= /— 2, ... u. s. w., r — l, und daher jener Theiler auch ein allen Unter-Determinanten {n — /+l)ter Ordnung gemeinschaftlicher. Und da auch umgekehrt ein gemeinschaftlicher linearer Theiler aller dieser Determinanten in [P, Q] mindestens /mal als Factor enthalten ist, so ergiebt sich der Satz:

Damit es möglich sei, die Formen P, Q durch n lineare Functionen Xx, ... Xn von xx, ... xn, und n andere Yx, ... Yn von yv ... yn in der Gestalt

(61.)

P — ax Xt Yx + a₂ X₂ Y₂ + • • • + cin Xn Yn Q = b₁X₁Y₁+b₂X₂Y₂ + --- + bnXnYn

auszudrücken, ist nothwendig und hinreichend, dass jeder lineare Theiler der Determinante [P, Q], wenn er in derselben /mal als Factor enthalten und />1 ist, auch ein gemeinschaftlicher Theiler aller Unter-Determinanten (n — l+ l)t6r Ordnung von [P, Q] sei.

7.

Ans den im Vorstehenden entwickelten Sätzen über bilineare Formen ergiebt sich nun unmittelbar eine Reihe analoger Theoreme für quadratische Formen.

Es seien ^ß, O zwei quadratische Formen von n Veränderlichen ... xn und

; 1 ÔÙ ^ 2 ô x p "

Vßy

V - vlü

T ² dxß

Dann sind P, Q bilineare (und zwar symmetrische) Formen der 2n Veränderlichen ... xn |    ... yn, und es wird die Determinante von pP + qQ die

Determinante der Form p^ß + q£l genannt und ist im Folgenden mit [*ß, £}] bezeichnet.

Unter der Voraussetzung, dass pß, £}] nicht für jedes Werthepaar p, q verschwinde, sind dann ferner unter den Elementar - Theilern von pß, £}] die Elementar-Theiler von [P, Q] zu verstehen, die nach Annahme zweier Grössen g, h, für welche die Determinante von gP+hQ einen von Null verschiedenen Werth hat, so zu bestimmen sind, wie im Anfänge des § 1 festgesetzt worden ist.

Dies vorausgesetzt, gelten nun die folgenden Sätze:

£i

von n Veränder-

A. Wenn zwei quadratische Formen ^ß

liehen x. ... x durch Substitutionen von der Gestalt

1 '    n

(62.)

xx

2^1 yUy, .    . .

y

Xn

gleichzeitig in zwei andere ^3', von u^...un verwandelt werden, und die Substitutions-Determinante

K, ••• K

Kn ••• h

ist nicht gleich Null, so stimmen die Determinanten der beiden Formen

+    plß'+gO'

in ihren Elementar-Theilern überein.

so sind die Determinanten von pty + q£l, pty'+ q£ï ihrer Definition nach identisch mit denen von pP+qQ, pP'+qQdie beiden letzteren aber haben dieselben Elementar-Theiler, weil P, Q in P', Q' übergehen, wenn man für xl,...xn die angegebenen Functionen von ux, ... un, und für yt) ... yn dieselben Functionen von ... vn setzt.

B. Es seien für zwei gegebene quadratische Formen iß, von n Veränderlichen x

Bildet man nämlich die bilinearen Formen

(68.)

/*»

Q' = S

••

+    ••• (aQp + hQq)e°

sämmtliche (den angegebenen Festsetzungen gemäss bestimmte) Elementar-Theiler der Determinante von piß + #£i; dann lassen sich n homogene lineare Functionen der Grössen xx, ... xn

X . ... X

bestimmen

Form

.. X

Q(eQ-1)

durch welche ausgedrückt iß, £) sich in der

i(«i —0

(64.) (65.)

darstellen, wo

Ą-1

zu setzen ist, wenn ex — 1.

Da nämlich in P sowohl als in Q die Coefficienten von x ya und

« ” p

Xpya einander gleich sind, so wird, wie schon im § 5 bemerkt worden, wenn man P, Q in der unter (42.) angegebenen Gestalt darstellt, YXu dieselbe Function von yt, ... yn wie XXfx von xt, ... xn, und daher YXu = X;u, wenn man yx — xx, ... yn — xn setzt, wodurch sich zugleich P, Q in iß, verwandeln.

ausdrücken lassen. Dann wird nach dem vorhergehenden Satze

(70.)

Setzt man

, ji a$ 1₇ am 2(/M,f*) [y,⁺

so hat man nach Gleichung (34.)

GM,!*) =

(66.)

(67.)

wo Cx und Cpjp ganze Functionen von av bv g, h, g\ K und den Coefficienten der Formen ^ß, sind. Zugleich ist

'X'a    2 (a ? ^ J p)

(68.)

C. Der Satz (A.) ist auch umgekehrt richtig; d. h. wenn die Formen *ß, £l, *ß', £)' so beschaffen sind, dass die Determinanten von

p9ß + q£l, pty'+qù'

dieselben Elementar-Theiler

(«i P + Kqf¹, ... (aQp + bQq)e*

haben, so können auch stets die Constanten h ....h bestimmt werden, dass durch die Substitutionen

nn

so

Xl

= 2Äiywy> • • V

^ß in *ß' und zugleich in JÛ' übergeht. Man hat zu dem Ende die n Functionen

... u

i (ei — i )

.. U

der Grössen Gestalt

QßQ- O

uti • • • u₉ zu bestimmen, durch welche sich $ß', in der

ço

<£>

ta ta ta ta

5s-

ta ta ta ta

O = O'.

wenn man

(71.)

A,,lt

setzt.

D. Auch der Satz (B.) lässt sich umkehren. Nimmt man die Zahlen    ... eç und die Constanten g, h, «q,    ... a,    den

Bedingungen

S** = n, gax + hbl = 1

... gaq+hbq = 1 gemäss, im Übrigen aber nach Willkür an, und setzt

% = a^X.X^-hiX.X^

ö = SO»;

hat die Determinante [^, OJ

wenn man die Form als Function der ex in ihr vorkommenden Grössen

so

betrachtet, nur den einen Elementar-Theiler

(aiP + hqf*,

und dieser ist zugleich ein Elementar-Theiler der Determinante [^3, £}].

Wenn man daher in    für die n Grössen X beliebige, jedoch von

einander unabhängige homogene lineare Functionen der Veränderlichen ... xn substituirt, so erhält man stets quadratische Formen *ß, von der Beschaffenheit, dass die Determinante [*ß, £}] die Elementar-Theiler

(«iJP + MyS ••• (PęP + ^gf⁹

besitzt.

E. Wenn die Anzahl der Elementar-Theiler von [*ß, £}] gleich n, jede der Zahlen ex also gleich Eins ist, so erhalten die Gleichungen (64.) bis (68.) die Gestalt:

n.

— a, X\ + a₂ XI4-----V an X²n

(72.)

Ù = blX'l + haXl + - + bnXl

(ß, «) =

. 1 ₇ dO,\ ⁺ 2 ¹ dxß)

C?a

s!oa

wo « für A und für C^a0 geschrieben ist.

Umgekehrt müssen, wenn sich «ß, aus den Quadraten linearer Functionen der Grössen xi,...xn sollen zusammensetzen lassen, die Zahlen ex sämmtlich gleich Eins sein. Dazu ist aber erforderlich und hinreichend, dass jeder lineare Theiler der Determinante [*ß, £}], welcher in derselben /mal als Factor vorkommt, auch ein gemeinschaftlicher Theiler aller Unter-Determinanten (Z— l)ter Ordnung von [*ß, £}] sei.

F. Diese Bedingung ist, wie ich in der oben angeführten Abhandlung (Monatsberichte der Akademie v. J. 1858, S. 207*)) gezeigt habe, stets erfüllt, wenn die Coefficienten von *ß, O reell sind und unter den Formen

+ g G

irgend eine sich findet, welche bei reellen Werthen von x^ ... xn nur gleich Null werden kann, wenn diese Grössen selbst sämmtlich verschwinden.

Der Beweis dieses Satzes kann jetzt nach vollständiger Entwicklung der Ausdrücke von    durch die Grössen X unmittelbar aus der Gleichung

wenn man

abgeleitet werden, wobei es jedoch erforderlich ist, den Grössen g,h,g',h! reelle Werthe zu geben. Wenn dann für einen bestimmten Werth von A der Quotient und somit der Gleichung gax + hbx = 1 wegen auch jede der Grössen ax, bx selbst reell ist, und ea die positive oder die negative Einheit bedeutet, jenachdem Cx positiv oder negativ ist, so wird

(73.)

Wu = V£;. • %

*) [Bd. I, S. 233 dieser Ausgabe.] setzt, 38^ eine lineare Function von xv...xn mit reellen Coefficienten, und man hat

(74.)

«SO* =

Ist dagegen — eine complexe Grösse, Theiler

so

gesellt sich zu dem Elementar-

(axp + bkq)ei

von [$($,£}] ein zweiter

(<*xP + h2)ei>

in welchem av bx die mit av b} conjugirten complexen Grössen sind. Giebt man dann den Wurzelgrössen \]cv \]cx ebenfalls conjugirte Werthe, und setzt

(75.)

j Vtu = t X¥ =

so werden auch 38,^ und 38^ lineare Functionen von xt, ... xn mit reellen Coefficienten, und man hat

(76.)

(X,X^+(X,X4 = 2(ąą)e^-2(ąą)er

~ sich o reelle finden,

Hiernach kann man, wenn unter den Quotienten + in der Gestalt

(77.)

so darstellen, dass zu reellen Werthen der ursprünglichen Veränderlichen x auch stets reelle Werthe der neu eingeführten 38 gehören. Ist nun für irgend einen Werth von A der Exponent e₂>l, so wird #*ß + A;Q = 0, wenn man sämmtliche Grössen 38, 38' ausser 38;o gleich Null setzt. Ferner verschwindet, wenn A eine der Zahlen a + l, ... a + -gist, auch in dem Falle, dass ex = 1, ^ + dadurch, dass man 38Ao = 3t'₀, die übrigen 38, 38' aber gleich Null setzt. Daraus folgt, dass wenn unter den Formen ^ + sich eine findet, die bei reellen Werthen der Veränderlichen xi}...xn nur gleich Null wird, wenn diese sämmtlich verschwinden, die Determinante von + nothwendig n Elementar-Theiler besitzt und zugleich die Quotienten alle reell sind. Dann aber erhält

die vorstehende Gleichung die Gestalt

(78.)

9% + hù = Set 3Ç

(X — l,... n)

(wo statt £,₀ geschrieben ist), und es müssen daher die Zahlen alle denselben Werth (e) haben. Ferner ist nach Gleichung (38.)

(79.)

ÿ'V + A'ü = UMK*

X

und daher

$ =

(80.)

i

& =

i

wo s = ± 1 ist, 2^, ... dcn homogene lineare Functionen von ^, ... mit reellen Coefficienten und die Constanten az, bx ebenfalls sämmtlich reelle Grössen sind.

ÜBER DIE ALLGEMEINSTEN EINDEUTIGEN UND ln -FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON n VERÄNDERLICHEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 2. Dec. 1869.)

Nimmt man zwischen 2n veränderlichen Grössen «n«,i •••«* und x1}x₂,...xn die nachstehenden Gleichungen an, in denen

L(0> L(0> • • • L>(a)

Functionen bedeuten, deren erste Ableitungen algebraische Functionen von xy sind:

i

n

(a)

W. = 2^00

i

so werden im Allgemeinen zu jedem Systeme der Grössen wt, ... un unendlich viele Systeme der Grössen x^x^ ... xn gehören. Es lassen sich aber, wie die Theorie der Abel’schen Transcendenten lehrt, die Functionen so bestimmen, dass jeder rational und symmetrisch aus xlixt1...xn zusammengesetzte Ausdruck eine eindeutige Function von u₂,...un wird, welche dann die ausgezeichnete Eigenschaft besitzt, 2w-fach periodisch zu sein, und durch 0-Functionen von n Argumenten ausgedrückt werden kann.

Indessen sind die 0-Functionen, die man auf diesem Wege erhält, nur specielle; zwischen den Vorkommen und bei allen dieselben sind, besteht eine Anzahl von Relationen, so dass nur 3n — 3 derselben willkürlich anzunehmende Werthe erhalten konin Folge davon sind auch die durch diese 0-Functionen ausdrückbaren 2w-fach periodischen Functionen von n Argumenten nicht die allgemeinsten ihrer Art.

nen.

n {n +1)

wesentlichen Constanten (Moduln), die in ihnen

Ich habe deshalb, um möglicherweise zu den letzteren zu gelangen, mir die Aufgabe gestellt, die Functionen so zu bestimmen, dass zu einem Systeme der Grössen u₂,u₂...un eine endliche Anzahl von Systemen der Grössen xtix2l ... xn gehöre. Denn es lässt sich zeigen, dass alsdann xt, ... xn die Wurzeln einer Gleichung wten Grades werden, deren Coefficienten algebraisch durch die partiellen Ableitungen einer eindeutigen und Zn-fach periodischen Function von    ... un sich ausdrücken lassen.*) Nun habe

ich zwar die algebraischen Schwierigkeiten, welche sich der allgemeinen Lösung der angegebenen Aufgabe entgegenstellen, bis jetzt nicht überwinden können; ich habe mich jedoch überzeugt, dass man auf dem bezeichneten Wege wirklich zu den allgemeinsten eindeutigen und 2/z-fach periodischen Functionen von n Argumenten gelangen muss. Ist nämlich    ... un) irgend

eine derartige Function, und

àuv

so gelten folgende Sätze:

1)    Zwischen und <p1? cp₂, ... cpn besteht eine algebraische Gleichung, deren Coefficienten von den Grössen u₂, ... un unabhängig sind.

2)    Jede eindeutige Function von ut, u₂, ... un, welche dieselben Periodensysteme wie 9 besitzt, lässt sich rational durch cpi? cp₂, ... ^ ausdrücken.

Namentlich ist also <p(«h +    ... un+ vn) rational durch

...

... <pn(vit...vH)

-6 -G

...uj

-G H3

darstellbar.

*) In besonderen Fällen kann diese Function in eine, die weniger als 2n Periodensysteme besitzt, entarten.

2H - FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON U VERÄNDERLICHEN.

47

3) Da hiernach die höheren Ableitungen von cp' rational durch cp, cpi5 ... <pw ausdrückbar sind, so werden, wenn man dux, da₂, ... dun auf die Form

[    du, = 2vFlvdcpv',

(b)

J du₂ = 2vF2rdcpv, \ 1

\ dun =

' 1

bringt, die Coefficienten JF ebenfalls sämmtlich rationale Functionen von cp, cpi; ... <pM. Nimmt man nun zwischen cp, cp1? ... <pM noch irgend (w — l) andere algebraische Relationen an, so kann man sämmtliche alsdann noch möglichen Werthsysteme dieser Grössen darstellen in der Form

(c)

cp == F{x,yx), ?! =    ... ?M = Fn(x,yx)

wo x eine unbeschränkt veränderliche Grösse, yx eine algebraische Function derselben und F, Fx, ... Fn rational aus x und yx zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten; und es erhält dann der Ausdruck von du die Gestalt

F,{x, yx)dx,

Setzt man

wo R ebenfalls eine rationale Function von x und yx ist. dann

(d)

Rx{x)dx = d^y{x),

so werden bei gehöriger Constanten-Bestimmung die Gleichungen

Fix) = ? (u„u₂, ...utl),

(e)

F,{x) = ?,(«!,«.....mJ,

FJx) = ?„K,w₂₎ ...mJ

befriedigt, wenn man

(f)

setzt.

4) Jedes System zusammengehöriger Perioden der Integrale ^(æ), ^(a:), ... tyn(x) ist auch ein Periodensystem der Function cp(«^, u₂i • • • un)-

5) Man kann die Functionen x(%), F₂, ... Fn stets so bestimmen, dass die Functionen cpt, ... cpM, wenn man

= SytiM

1

n

(g)

^2    2v Vz(Xv)

1

Xv)

1

setzt, sich in rationale Functionen von

xa) ... xn und x*i» xxv • • • Xxn

verwandeln, unter denen keine Abhängigkeit von einander besteht. Daraus folgt, dass den vorstehenden Gleichungen bei gegebenen Werthen von ui,u₂, ... un — wenn unter diesen nicht eine bestimmte Relation stattfindet — nur durch eine endliche Anzahl von Systemen der Grössen &l? sc₂, ... xn Genüge geschehen kann, und dass die zu einem solchen Systeme gehörigen Werthe dieser Grössen als Wurzeln einer Gleichung Grades, deren Coefficienten algebraische Functionen von

U₂,    ... <pn(ttx,Ma, ... Mm)

sind, erhalten werden können.

Aus jeder 0-Function von n Argumenten ergeben sich unzählig viele

2ft-fach periodische Functionen, unter deren "In.n Perioden nicht mehr als n(n— 1)

Relationen stattfinden. Durch das Vorstehende ist also bewiesen, dass es Gleichungssysteme von der Form (a), die allgemeiner sind als die bisher in der Theorie der Abel’schen Transcendenten betrachteten, und

Ob

gleichwohl einer ganz analogen Behandlung fähig sind, wirklich giebt. 2^-fach periodische Functionen von n Argumenten existiren, die nicht durch 0-Functionen ausgedrückt werden können, ist eine Frage, deren Erörterung ich mir Vorbehalte.

ÜBER DAS SOGENANNTE DIRICHLET’SCHE PRINCIP.

(Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 14. Juli 1870.)

In seinen Vorlesungen über die Kräfte, welche nach dem Newton’schen Gesetz wirken, hat sich Lejeune Dirichlet zur Begründung eines Hauptsatzes der Potentialtheorie einer eigenthümlichen Schlussweise bedient, welche später auch von anderen Mathematikern, namentlich von Riemann, vielfach angewandt worden ist und den Namen »Dirichlet’sches Princip« erhalten hat.

Über die Zulässigkeit dieses »Princips« haben sich seitdem manche Zweifel geltend gemacht, welche, wie ich im Eolgenden zeigen werde, durchaus begründet sind. Ehe ich aber darauf eingehe, will ich, da Dirichlet über den in Rede stehenden Gegenstand nichts veröffentlicht hat, aus einer von Dirichlet im Sommer-Semester 1856 gehaltenen Vorlesung, welche mir in einer von Herrn Dedekind angefertigten sorgfältigen Nachschrift vorliegt, die folgende Stelle mittheilen, aus welcher mit voller Bestimmtheit hervorgeht, was Dirichlet gemeint und wie er sein Beweis verfahr en zu rechtfertigen versucht hat:

»Ist irgend eine endliche Fläche gegeben, so kann man dieselbe stets, aber nur auf eine Weise, so mit Masse belegen, dass das Potential in jedem Punkte der Fläche einen beliebig vorgeschriebenen (nach der Stetigkeit sich ändernden) Werth hat.«

»Zum Beweise schicken wir den folgenden Satz voraus:

»Ist irgend ein endlicher zusammenhängender Raum t gegeben, so giebt es stets eine, aber nur eine einzige Function w, welche sich nebst ihren ersten Derivirten überall in t stetig ändert, auf der Begrenzung von t überall

n.

beliebig vorgeschriebene (stetig veränderliche) Werthe annimmt und innerhalb t überall der Gleichung

d²w d²w d²w

dx²

dz²

Genüge leistet. — Dieser Satz ist eigentlich identisch mit einem anderen aus der Wärmelehre, der dort Jedem unmittelbar evident erscheint, dass nämlich, wenn die Begrenzung von t auf einer überall beliebig vorgeschriebenen Temperatur constant erhalten wird, es stets eine, aber auch nur eine Temperatur-vertheilung im Inneren giebt, bei welcher Gleichgewicht stattfindet; oder dass, wie man auch sagen kann, wenn die ursprüngliche Temperatur im Inneren eine beliebige war, diese sich einem Finalzustande nähert, bei welchem Gleichgewicht stattfinden würde.«

»Wir beweisen den Satz, indem wir von einer rein mathematischen Evidenz ausgehen. Es ist in der That einleuchtend, dass unter allen Functionen u, welche überall nebst ihren ersten Derivirten sich stetig in t ändern und auf der Begrenzung von t die vorgeschriebenen Werthe annehmen, es eine (oder mehrere) geben muss, für welche das durch den ganzen Baum t ausgedehnte Integral seinen kleinsten Werth erhält. Wir wollen eine solche Function gerade mit u und das Minimum des Integrals mit U bezeichnen. Sei nun u irgend eine andere Function, welche dieselben Grenz- und Stetigkeitsbedingungen wie u erfüllt, und U' der entsprechende Werth des Integrals, so kann U'—U nie negativ sein. Setzen wir nun

u + hw — u',

wo 7^ einen unbestimmten constanten Factor bezeichnet, so ist w eine Function, welche dieselben Stetigkeitsbedingungen wie u und u' erfüllt und auf der Begrenzung von t überall gleich Null wird, sonst aber ganz willkürlich ist. Dann findet man leicht

Ü'-U = 2 liM+WN,

du div du dw du div dx dx ⁺ dy dy ⁺ dz dz

dt

ist.

Durch theilweise Integration mit Rücksicht auf die Grenz- und Stetig-keitsbedingungen für w und die Stetigkeitsbedingungen für die ersten Deri-virten von u findet man leicht

fw\

WO

d²u    d²u    d²u ) ,

dx²    dy²    dz² )

Da nun U'—XJ für jedes auch noch so kleine h niemals negativ sein kann, und N eine endliche positive Grösse ist, so folgt, dass M nothwendig gleich Null ist; und da dies der Fall sein muss, wie auch w beschaffen sein mag, so müssen wir schliessen, dass überall innerhalb t (höchstens mit Ausnahme einzelner Flächen, Linien, Punkte)

d²u d²u d²u

^ + -5TX +

dy

dz²

sein muss; denn wäre dies Trinom in einem körperlichen Raume von Null verschieden, so brauchte man nur w überall dasselbe Zeichen wie jenem Trinom zu geben, um einen von Null verschiedenen Werth für M zu erhalten.«

»Es giebt also jedenfalls eine solche Function u, welche die angegebenen Grenz- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt und der partiellen Differentialgleichung genügt. Aber es giebt auch nur eine einzige solche Function u. Denn ist u' = u + w irgend eine andere Function, welche dieselben Grenz-und Stetigkeitsbedingungen erfüllt, so ist das entsprechende Integral

v = u+

und folglich ist ZJ wirklich ein absolutes Minimum; und sollte etwa Uf = U sein, so müsste, wie leicht zu sehen, im ganzen Raume t

( div \²    (dw\² , / div \²

( dx ) ⁺ ( dy ) ⁺ ( dz ) ~

sein. Daraus würde folgen, dass w constant ist; und da es stetig und auf der Begrenzung von t Null ist, so muss es überall Null sein, d. h. u' muss mit u identisch sein.«

»Es wird später gezeigt werden, dass dieses w, welches die Grenz- und Stetigkeitsbedingungen erfüllt, und von welchem wir wissen, dass es der partiellen Differentialgleichung höchstens in einzelnen Punkten, Linien oder Flächen innerhalb t widerspricht, überall, d. h. in jedem Punkte ihr genügen muss, dass also solche Ausnahmestellen unmöglich sind.«

Unter der Voraussetzung, dass es für den Raum t überhaupt eine den festgesetzten Grenz- und Stetigkeitsbedingungen genügende Function gebe, soll hiernach das im Vorstehenden auseinandergesetzte Dirichlet’sche Verfahren dazu dienen, die Existenz einer Function von y, z nachzuweisen, welche der Differentialgleichung

ö²u d²u d²u öx² ^ dif ^ ds²

und zugleich den angegebenen Nebenbedingungen genügt. Das letztere ist in jedem bestimmten Falle leicht zu beweisen; das andere aber gilt nur in dem Falle, wo sich zeigen lässt, dass es eine Function u giebt, für welche der Werth des Ausdrucks

/K£WS'*(S>.

ein (absolutes) Minimum ist. Dieses lässt sich aber aus den von Dirichlet »

gemachten Voraussetzungen keineswegs folgern, sondern es kann nur behauptet werden, dass es für den in Rede stehenden Ausdruck eine bestimmte untere Grenze giebt, welcher er beliebig nahe kommen kann, ohne sie wirklich erreichen zu müssen. Hiernach erweist sich Dirichlet’s Schlussweise als hinfällig.

Ich will schliesslich das Vorstehende noch an einem einfachen Beispiel erläutern, durch welches die Unzulässigkeit der Dirichlet’sehen Schlussweise evident dargethan wird.

im

Es bezeichne nämlich cp(&) eine reelle eindeutige Function der reellen Veränderlichen x von der Beschaffenheit, dass erstens <p(x) und    ’

Intervall (—1—hl) stetige Functionen von x sind, und dass zweitens <p(x) an der Grenze —1 des Intervalls den vorgeschriebenen Werth a, an der

Grenze +1 den vorgeschriebenen Werth b hat. Dabei sollen die beiden Con-stanten a nnd b zwei von einander verschiedene Grössen sein. Wenn nun die Dirichlet’sche Schlussweise zulässig wäre, so müsste sich unter den betrachteten Functionen cp(#) eine solche specielle Function befinden, für welche der Werth des Integrals

rx-T-j“

gleich der unteren Grenze aller derjenigen Werthe ist, die dieses Integral für die verschiedenen der betrachteten Gesammtheit angehörenden Functionen cp(x) annehmen kann.

Die erwähnte untere Grenze ist aber in dem vorliegenden Falle noth-wendig gleich Null. Denn setzt man z. B.

a+b t b— ~~2 *"

<pC*0 =

arctg — a ° s

2    T~ ’

arctg —

£

wo e eine willkürlich anzunehmende positive Grösse bezeichnet, so erfüllt diese Function die beiden ersten Bedingungen; und da

dx

Cr»

CO

<7<r

und

dcp(x)

dx

2 arctg —

1 x² + s²

so ist für diese specielle Function

(b-ay

'L

⁺¹ sdx

a²+£²

und somit

arctg y

Daraus erhellt, da man e beliebig klein annehmen kann, dass die untere • Grenze des Werthes von J gleich Null ist, denn negative Werthe kann J überhaupt nicht annehmen.

Diese Grenze kann aber der Werth von J nicht erreichen, wie man

auch den obigen beiden Bedingungen gemäss die Function y(x) wählen möge. Denn da cp(#) und -d^~ stetige Functionen von x sein sollen, so wäre hierzu erforderlich, dass

dy(x) dx

für jeden dem Intervall (—1—fl) angehörenden Werth von x verschwinde, dass also y(x) eine Constante sei. Dies ist aber mit der Annahme, dass a und b von einander verschieden sind, unverträglich.

Die Dirichlet’sche Schlussweise führt also in dem betrachteten Falle offenbar zu einem falschen Resultat.

NEUER BEWEIS

EINES HAUPTSATZES DER THEORIE DER PERIODISCHEN FUNCTIONEN VON MEHREREN VERÄNDERLICHEN. ¹) (Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 9. Nov. 1876 mit einigen Veränderungen abgedruckt.)

1.

Eine Function f von n Veränderlichen (ult u%, ... un) kann so beschaffen sein, dass für bestimmte Systeme constanter Grössen (Px, P₂, ... P) bei beliebigen Werthen von ui: ua, ... un die Gleichung

/>i + P,, u₂ + P₂, ... un+ PJ = f(ult . un)

besteht. Die Function heisst alsdann periodisch, und jedes einzelne Grössensystem (Px, P₂, ... Pw) ein Periodensystem derselben.²)

Aus dieser Definition ergeben sich die folgenden Sätze:

1) Ist

ein Periodensystem einer Function von n Veränderlichen, so ist auch

(-p;,-p;,...-p;)

ein solches.

(P" p₂",... p;)

2) Sind

irgend zwei Periodensysteme der Function, so ist auch

(P/+P" p;+P", ...P' + p;)

ein solches System.

Aus diesen beiden Sätzen folgt dann der allgemeinere: 3) Sind irgend r Periodensysteme

(p;₇p;,...p'), (Pf,p;,...p;;), ... (Pf,p« ...p?)

der Function gegeben, so kann man aus ihnen beliebig viele andere .. PM) ableiten, indem man r ganze Zahlen (wi5 w₂, ... m.) willkürlich annimmt und (für a = 1, ... n)

=

(5 = 1

(P.. p

2? '

P«

setzt.

4) Werden aus der Gesammtheit der Periodensysteme der betrachteten Function irgend (p + 1) Systeme

(p;,p;, ...p;), ... (P^PrV-.Pr¹⁵)

willkürlich herausgehoben, und ist

Pf = Paß + ¥aß ,

wo paS und p'ai reelle Grössen bedeuten; so lassen sich im Falle, dass (> > 2n ist, stets (p + l) reelle Grössen    bestimmen, welche

die 2n Gleichungen

e+i

('+x

2 PßPaß = ⁰

(ce — 1,... n)

2 PßPaß = 0 /»=»

befriedigen und nicht sämmtlich gleich Null sind. Möglicherweise ist dies auch noch der Fall für q = 2^ — 1, q = 2n — 2 u. s. w., jedenfalls aber nicht für q — 0. Es muss also einen kleinsten, zwischen 0 und 2n — l liegenden Werth von q geben, bei dem es noch möglich ist, die vorstehenden Gleichungen für beliebige (p + l) Periodensysteme in der angegebenen Weise zu befriedigen. Dieser Werth von 9 werde fortan mit r bezeichnet. Dann existiren nothwendig Com-

/* = »

plexe von r Periodensystemen, für welche den in Rede stehenden Gleichungen, wenn man q = r — 1 nimmt, nur dadurch, dass man jeder der Grössen ... den Werth Null giebt, genügt werden kann. Angenommen nun, es seien

(pr P'    P'\ fprr p» p’t\    (pir) p(r) p₍m

irgend r Systeme, welche einen solchen Complex bilden, und

(P₁₅P₂,...PW)

ein beliebiges Periodensystem, so lassen sich (r + l) reelle Grössen [i, (ix, ... ftr, die nicht sämmtlich den Werth Null haben, so bestimmen, dass die Gleichungen

(9 = 1

bestehen.

In diesen Gleichungen hat dann g nothwendig einen von Null verschiedenen Werth; man erhält also, wenn man

(0 = 1

setzt

(A)

p, = s »fPr,

p, = ź

(9 = 1

Pn

0=i

Zugleich folgt aus der angenommenen Beschaffenheit der Systeme

(PW P?V..Pf),

dass zu einem bestimmten Periodensysteme (Pt, P₂, ... Pn) nur ein System reeller Grössen m₂, ... für welches die vorstehenden Gleichungen gelten, gehört.

5) Obgleich die Function unendlich viele Periodensysteme besitzt, so kann sie doch so beschaffen sein, dass die Anzahl deijenigen Periodensysteme, in denen jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach

n.

eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht überschreitet, endlich ist. In diesem Falle sind die in den vorstehenden Gleichungen (A) vorkommenden Grössen    ... mr immer rationale Zahlen.

Es lassen sich alsdann die Periodensysteme

(pr,pr,...pr)

(P" p",...p;)

stets auch so auswählen, dass die Grössen    m₂, ... mt für jedes

Periodensystem (Pl5 P₂, ... P.) sämmtlich ganze Zahlen werden.

Der Beweis dieses fundamentalen Satzes kann folgendermassen geführt

werden.

Es bedeute l irgend eine der Zahlen 1, 2, ... r, so fasse man, unter der Voraussetzung, dass die Periodensysteme

(P^,P^,...PW)

den unter 4) angegebenen Bedingungen gemäss angenommen seien, diejenigen Periodensysteme (Pl} P₂, ... PJ in’s Auge, für welche die in den Gleichungen (A) vorkommenden Grössen m₂, ... folgenden Bedingungen genügen:

, wenn ß < A, , wenn ß > A.

0 < mx < 1 0 < < 1 0 = Mp

von

Solche Systeme giebt es — namentlich ist (Pf’, P₂a), ... Pf’) eines ihnen —; sie sind aber, weil durch die angegebene Beschränkung der Grössen m,p für den absoluten Betrag jeder einzelnen Periode eine Grenze, die er nicht überschreiten kann, festgestellt wird, nur in endlicher Anzahl vorhanden, und es muss sich unter ihnen eines finden, für welches m₇ den kleinsten Werth hat. Die zu diesem System gehörigen Grössen ... mx mögen mit m⁽*\ ... bezeichnet werden.

Nach diesen Festsetzungen ist, wenn m'₂, ... mr reelle Grössen sind, welche die Bedingungen

erfüllen, das System

± m'fM

ß=‘    /

V/i = i '    |» =

ein Periodensystem nur in dem Falle Null sind.

Nun werde gesetzt

wo    sämmtlich gleich

(B)

so lässt sich, wenn mlt ... mr beliebige reelle Grössen sind, der Ausdruck

2

stets auf die Form

ß—¹

2    2 >»;pf

ß=i    ß=i '

in der Art bringen, dass m', »1', ... mr die eben angegebenen Bedingungen erfüllen und zugleich v₂, ... vr ganze Zahlen werden; was aus den zu befriedigenden Gleichungen

mr = vrm™ + m'r,

mr. = vr_tm^Z}} + vrm{p_x + m’r

-1 ;

= vx m™ + v₂ mf Ą-----Vvr + wi\

unmittelbar ersichtlich ist. Wenn aber

fśm.pw, 2 «.Pf®

\ß-l ¹    ß=l '

ein Periodensystem ist, so ist auch

2 »v-Pf)

0=1    !

2»0pf)

ein solches, und es müssen daher m[, m', ... m'r sämmtlich gleich Null sein. Man hat also

2 mßPW = 2 vßPaß,

ß=i    ß=i

und die Gleichungen (A) wandeln sich um in die folgenden:

( Px

(C)

= HVß^ß,

l* = i

P2 ~ 2 vßPs>ßi

P»

r

= 2 VßFnß> ß = i

Die durch die Gleichungen (B) definirten Periodensysteme

22 ? •

•• P«2) 1 • • • (Pjł-J P2»'}    P)î)')

sind demnach so beschaffen, dass sich aus ihnen alle übrigen auf die oben — unter 3) — angegebene Weise ableiten lassen.

In den Gleichungen (C) nehme man nun, unter y eine der Zahlen 1, 2, ... r verstehend,

Px = pw, P₂ = P₂(y), ... pw = PS\ und bezeichne die Werthe, die dann vlt v₂, ... haben, mit

so dass man

a ?»

= 1,...

hat. Dann ist die Determinante

Vu, ...

vri,    ... Vrf

nothwendig von Null verschieden, weil sich sonst die 2n Gleichungen

= ⁰

durch reelle Werthe der Grössen ohne dass diese sämmtlich gleich Null

Man kann daher

vt, v2l ... vr beliebige ganze Zahlen sind, r rationale Zahlen bestimmen, dass die r Gleichungen

2 PßPaß = 0

(a = 1,fi)

zu

sein brauchten, würden befriedigen lassen.

wenn

... mr so

2 mYVYß = Vß Y—\

bestehen. Dann ist gemäss den Gleichungen (C)

= 2 VßPaß = 2 ™yp«y) = 2 »«P?    (« =

ß—1    ‘ y=i    ß=i P C(

wie vorhin bemerkt worden, für jedes Periodensystem (-Px> -P.» •• -PJ nur ein System reeller Grössen ml,m₂,...mr giebt, für das die Gleichungen (A) gelten, so ist bewiesen, dass diese Grössen, wie

Da es nun

.. n).

man

...Pf)

den unter 4) angegebenen Bestimmungen entsprechend annehmen möge, stets rationale Zahlen sind.

6) Zu dem vorstehenden Satze ist noch Folgendes zu bemerken. Angenommen, es seien für eine periodische Function von n Veränder

.. mr reelle Grössen verstehend,

Setzt man dann, unter m

lichen die Zahl r und die Grössen P^ so bestimmt, wie unter 4) angegeben wurde.

wie oben

3 <30.

= Paß + Waß,

r    r

Pa = ^ßPaß + *2 ^ßPaß >

so hat der Ausdruck

auch die r Periodensysteme

P = 2 j( ^^ßPaß) + ( ĘmpPaf,

OL — 1

? == 1

= 2 1*«

stets einen positiven Werth, wenn die Grössen m nicht sämmtlich gleich Null sind. Es ist deshalb, wenn g eine willkürlich angenommene positive Grösse

bezeichnet, P>g, sobald der Werth von 2 eine bestimmte Grenze über-schreitet, und es giebt daher unter denjenigen Werthsystemen m₂, ... m ), in denen jede einzelne Grösse eine ganze Zahl ist, nur eine endliche Anzahl solcher, für welche die absoluten Beträge von P^ P₂, ... Pn sämmtlich kleiner als g sind. Daraus folgt, dass die Gleichungen (A), wenn in denselben den Grössen    bloss ganzzahlige Werthe gegeben werden, sämmtliche

Periodensysteme der Function nur in dem Falle liefern können, wo die oben (im Anfänge dieser No.) in Betreff der Beschaffenheit der Function gemachte Voraussetzung zutrifft.

Diese Voraussetzung ist aber gleichbedeutend mit der Annahme, dass die Function kein System unendlich kleiner Perioden besitze.

Man setze

(a = 1,... n)

Pa    Pu 4" iPn+a J

reelle Grössen bedeuten, und nehme an, es lasse sich eine

wo pa und p

positive Grösse k so bestimmen, dass in jedem Periodensystem wenigstens eine

n+a

der Grössen p . p₂, ... p dem absoluten Betrage nach grösser als Je ist.

Wenn man dann ‘ln ganze Zahlen

V*, ••• vm

willkürlich annimmt, so kann es höchstens ein Periodensystem geben, in welchem die Grössen p₂, ... pm den Bedingungen

genügen. Denn angenommen, es sei

+    P't+Wn+V

ein solches, und (iqq₂₎ ... q2n) ein beliebiges System von 2n Grössen, welche ebenfalls die Bedingungen

vih <vxh + h

erfüllen, so ist, wenn man

& = Pi + h

setzt, \ dem absoluten Betrage nach kleiner als fr, und deshalb

.. fr„+tfcłM)

(frj + ifrM+1, fr₂ + ifr

kein Periodensystem; woraus folgt, dass auch

(2i + *2#+i» £ + *2»

+ 2> *

• • S'm + ^2w)

kein solches ist.

Nun sei g eine willkürlich angenommene positive Grösse, so giebt es nur eine endliche Anzahl solcher Zahlensysteme (i^, v₂, ... v2M), für welche

ViJc, v₂Jc, ... v2nJc

sämmtlich zwischen den Grenzen g, —g liegen; es existirt also auch nur eine endliche Anzahl von Periodensystemen, für welche jede der Grössen p? ihrem absoluten Betrage nach kleiner als g ist.

2.

.. u )

n/

Ich will jetzt annehmen, die betrachtete periodische Function f(u^u ,. sei eine eindeutige analytische Function, und zunächst nachweisen, dass dieselbe ein System unendlich kleiner Perioden nur in dem Falle besitzt, wo sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen von    ... un sind, darstellen lässt.

Es seien v₁,v₂,...vm ganze lineare Functionen von ux,u₂,...un, und men, so können n Grössen Px, P₂, ... Pn so bestimmt werden,¹ dass vü v₀, ... vm sich nicht ändern, wenn man ut+ Px, u₂ + P₂, ... un+ Pn für ux,u₂,...un setzt. Im Falle, dass sich f als Function von vt, v₂, ... vm ausdrücken lässt, ist also

fOh + Px,n₂+P₂, ... un + Pn) == f(ux, u₂,... un).

Man kann aber (n — m) der Grössen P beliebig annehmen, und giebt man diesen unendlich kleine Werthe, so werden die übrigen ebenfalls unendlich klein. Es besitzt also f(ux, u₂,... un) Systeme unendlich kleiner Perioden.

Bezeichnet man f, als Function von vx, v₂, ... vw betrachtet, mit f, so

hat man

df

dua

_ y _àf_ dvß . jiî = i ty dua

(a — 1,ri)

es bestehen also zwischen den ersten partiellen Ableitungen von f, von denen jetzt die nach ua genommene mit f{ux, u₂,... un)a bezeichnet werden möge, (n — m) Gleichungen von der Form

2 Caffat • • • Un)a = 0. a = l

wo ct, c₂, ... cn Constanten bezeichnen, welche nicht sämmtlich gleich Null sind.

Dagegen findet bekanntlich, wenn die Function f nicht die besondere Eigenschaft besitzt, sich auf die angegebene Weise in eine Function von weniger als n Argumenten verwandeln zu lassen, unter ihren Ableitungen keine solche Relation statt, und es ist daher möglich, n nicht singuläre*) Werthsysteme der Grössen ux,u₂, ... un

Oh? ? ••• Un) ? Oh? ? ••• ^n)

so anzunehmen, dass die Determinante

. . . / Oh ?    ’ • • • ^n)n

. . . f Oh? ^h? • • • A»)n

/K?

m,

. .. fOC,<V..<W))n

einen von Null verschiedenen Werth hat.

*) Es ist (wi, u\, ... u'n) ein nicht singuläres Argumentensystem, wenn sich f{uv w₂,... mw) unter der Bedingung, dass die absoluten Beträge von u₁ — u'₁,u₂—u'₂,...un—u'n gewisse Grenzen nicht übersteigen, nach ganzen positiven Potenzen dieser Differenzen in eine convergirende Reihe entwickeln lässt.

.. h veränderliche Grössen ver-stehend, deren absolute Beträge eine Grenze Ji nicht übersteigen sollen, die letztere so klein annehmen, dass (für a — 1, ... n)

Man kann dann ferner, unter Ä , h

f(uT + K U<f+K, • • • «C + K) -f«⁰, <\... ^C>)

n    fl

2 hß i f(u[a) + t\, P = ¹ J₀

u’f + th₂, ... u™ + thH)ßdt,

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von Ä , Ä , ...Ä betrachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser n Gleichungen, welche für unendlich kleine Werthe von Ä, h₂, ... hn unendlich wenig von der vorstehenden verschieden ist, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlich gleich Null, wenn sämmtliche Grössen    . hn es sind. Hiernach ist es

unmöglich, dass in einem Periodensystem der Function f jede einzelne Periode ihrem absoluten Betrage nach kleiner als h sei; mit anderen Worten, die Function besitzt kein System unendlich kleiner Perioden.

Es gilt also der Satz:

»Eine eindeutige analytische Function von n Veränderlichen sei periodisch, ohne als Function einer geringeren Anzahl von Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellbar zu sein, und r sei für sie die oben für eine beliebige periodische Function definirte Zahl, welche also einen der Werthe 1, 2, ... 2n hat. Dann lassen sich stets r Periodensysteme

C^ii! ^2i> ••• Phi ) ) • • • (P*,, P₂r> ••• Pm-)

der Function so auswählen, dass durch die Gleichungen

Pa

(a = 1,.,. n)

in denen v1? v₂, ... vn beliebig anzunehmende ganze Zahlen bezeichnen, sämmtliche Periodensysteme der Function geliefert werden.«

Hierzu ist noch zu bemerken, dass es unmöglich ist, aus irgend welchen (r — l) Periodensystemen alle übrigen abzuleiten; was aus der gegebenen Definition der Zahl r unmittelbar hervorgeht.

Dagegen lassen sich die r Systeme

(Pißi P-zß, ••• Pnß)

durch unendlich viele Complexe von r anderen ersetzen. Nimmt man nämlich an

wo die v Systemen

/*r

“Cö K

Paß = 2 vßr P y — i

ganze Zahlen bezeichnen, und es sollen sich aus den r Perioden-

ay ?

(ß — 1, ...r)

(P.ß, P*ßl ••• Pnß)

alle übrigen ableiten lassen, so muss man haben

Par = 2 Kr Paß,

ß=l    ¹

wo die v'ßY ebenfalls ganze Zahlen bedeuten, und somit

r r

Pay = 2 2 PßrvßöPaö-

(9=1 0 = 1 1    1

Es sind aber die Grössen P

ay)

wie aus der gegebenen Definition derselben hervorgeht, so beschaffen, dass es unmöglich ist, die n Gleichungen

r

2 ß'y Pay 7 = 1

durch reelle Werthe von ^₂, ... ftr, wenn diese nicht sämmtlich gleich Null sind, zu befriedigen. Folglich muss

2 vßyvßd —

(9 = 1

1, wenn y — 8 0, wenn y ^ $

sein. Daraus ergiebt sich

Vn, ... Vir

vu, • • • v\r

vriJ .. • vrr

Vrl, ... vrr

und es müssen daher die Zahlen v?y so gewählt werden, dass die Determinante

vn, ... vir

II.

ist. Umgekehrt erhält man, wenn diese Bedingung erfüllt ist, die Grössen Pay durch die Pu? so ausgedrückt, dass die v'?y ganze Zahlen sind, und kann daher sämmtliche Periodensysteme (Pl? P₂, ... Pn) auch aus den r Systemen

(Pn,P₂₁,...PJ

(P,,., Pqri • • * Pwr)

ableiten.

3.

system (u^    ... un) gehören, mit fl\ f%\

unbestimmte Grösse, so ist das Product

(Hi)

Der im Vorstehenden bewiesene Satz gilt, wie ich jetzt zeigen will, auch in dem Falle, wo f(ut) ... un) eine m-deutige analytische Function ist. Bezeichnet man die m Werthe der Function, welche zu demselben Werthund versteht unter x eine

(x-fa))(x-fœ)

fm) definirt werden als

eine eindeutige analytische Function von ux)u^...un) und eine ganze rationale Function von es können also fa\ fw, die Wurzeln einer Gleichung mten Grades

xm + f₁(u₁, u₂,...un)x

m—i

F fm Ol,    , , . . Un )    0 ,

deren Coefficienten eindeutige Functionen von ux, u₂, ... un sind.

Diese Functionen von n Veränderlichen können nun so beschaffen sein, dass sie sich alle als Functionen einer geringeren Anzahl von Argumenten (vl7 ...    , welche ganze lineare Functionen von ux, ... un sind, dar

stellen lassen. In diesem Falle kann man n Constanten ct, c₂, ... cn, die nicht sämmtlich gleich Null sind, so bestimmen, dass die Gleichungen

= o

a — i ÖUa

befriedigt werden, und daher «₂, ... vl sich nicht ändern, wenn man, unter t eine unbestimmte Grösse verstehend,

ux + cxt, u₂ + c₂t, ... un + cnt für w,, w₂, ... un

setzt. Es bestehen also die m Gleichungen

(A)

4* Oi F Cj u₂ F c₂1 , ... un F cn t')    (ux, u₂, ...    ,

(n = 1,... m)

welche also eine nothwendige Folge der in Betreff der Functionen gemachten Annahme sind.

Umgekehrt haben diese Functionen die in Bede stehende Beschaffenheit, wenn für irgend ein System constanter Grössen cl? c₂, ... cn, die nicht sämmt-lich gleich Null sind, die Gleichungen (B) bestehen. Denn dann ist

àfpju t + ct t, ti₂ + ca1, ... un + cnt)

dt

also fu(U! +cj, u₂ +c₂t, ... un +cnt) von t unabhängig, und es gelten somit die Gleichungen (A). Setzt man aber in den letzteren

wo A so zu wählen ist, dass cx nicht den Werth Null hat, so ergiebt sich

G = i.... w)

und es sind demzufolge die m Werthe von /"(X+    u₉+ cj, ... un + cnt) iden

tisch mit den m Werthen von f(ui,ui,...un).

Die Function f besitzt also, wenn fi7 heit haben, ein Periodensystem (’c t^ct, unendlich klein annimmt, jede einzelne Periode einen unendlich kleinen Werth hat.

Aus den Gleichungen (A) ergeben sich die nachstehenden:

...Un) _ ₀

fm die angegebene Beschaffen

em), in welchem, wenn man t

(B)

cc = 1

dua

([i =

£(«„ w„ ... un) = £(t\, t>₂,... vn)

wo

Nun ist aber, damit f(ut, u₂,... un) als Function von (n — 1) linear durch u,u%, ... un ausdriiekbaren Argumenten betrachtet werden könne, nothwendig und hinreichend, dass sich ft{u^ u₂,... uj, ... fm{u^ u₂,... uj sämmtlich als Functionen derselben (n — 1) Grössen darstellen lassen. Wenn also, wie in dem zu beweisenden Satze angenommen wird, f{u₀u₂,... un) die angegebene besondere Beschaffenheit nicht besitzt, so ist es unmöglich, dass für irgend ein System constanter Grössen (ct, c₂, ... cj, wofern nicht jede von ihnen den

Werth Null hat, die m Functionen

wo f (uO« die erste Ableitung von    w₂> • • • un) na°h ua bedeutet,

alle identisch gleich Null sind. Daraus lässt sich folgern, dass man n nicht singuläre Werthsysteme

... «,...o

und w ganze Zahlen ^₂, ... ftw, von denen jede einen der Werthe 1, 2, ... m hat, so auswählen kann, dass die Determinante

••• /ft«, ••• On

... 4,«,• ••<)»

•••On

f^K, •••<)

/ił,«» • • • <)i»

(n)

einen von Null verschiedenen Werth erhält.

Man bezeichne, unter 5 eine der Zahlen 1,2, ...w verstehend, mit Dg die Determinante

• 4,«’ ••• O.

••On ••• 4S(0 ...<S,)S

so dass

A = /ftKi ---Oi und Z>n == D ist. Dann hat man, wenn s>l₁

a =    ... <*)>+... <'),+• ■ •

. nur von den (s —1) ersten Werthsystemen (u[a\ ... u^) ab-Sind nun diese und die Zahlen

wo D hängen, nicht gleich Null ist, so ist

-l

so gewählt, dass Ds i

A-X ffiK?... ^n)i F A-1 /u(^i ?... ^>1)2 F

nicht für jeden Werth von ^ identisch gleich Null; man kann also p und

«,... o

so annehmen, dass auch D$ nicht gleich Null ist. Da nun nicht alle Functionen

gleich Null sind, so kann man zunächst

sodann

fix und U₁ j u₂j ... un , f*a und u", u”, ... <,

u. s. w. bis zuletzt

f*„ und u'f, ... <H)

so wählen, dass -Dx, Z)₂, ... Dm sämmtlich von Null verschiedene Werthe erhalten.

Man kann dann ferner eine Grenze h so fixiren, dass für alle Werth

systeme

(Äj, h₂, ... hn),

in denen jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleiner als h ist,

0 = 1, . .. W)

...<s)+/g-4s«⁾, ...«*) =j/v    <+thn)?dt,

und zugleich die Determinante der als lineare Functionen von Ax, ... hn betrachteten Ausdrücke auf der rechten Seite dieser Gleichungen, welche bei einem unendlich kleinen Werthe von h sich unendlich wenig von D unterscheidet, ebenfalls nicht gleich Null ist. Dann sind die Differenzen auf der linken Seite der Gleichungen nur in dem Falle sämmtlich gleich Null, wenn sämmtliche Grössen hlf ... hn es sind. Es ist also unmöglich, dass in einem gemeinschaftlichen Periodensysteme der Functionen

/ i    ) ? ••• /mGi > ^2) • • • )

in dem Falle, wo    ... hn)

jede einzelne Periode dem absoluten Betrage nach kleiner als h sei. Da nun die m Werthe von f{ux-\-h^ u₂+h₂,... un + hn) nur ein gemeinschaftliches Periodensystem der Functionen ... fm ist, mit den m Werthen von f{u^u₂₎... un) identisch sind, so folgt, dass die Function f(ux, ... w ), wofern sie nicht die besprochene besondere Beschaffenheit hat, kein System unendlich kleiner Perioden besitzt, und demnach der in (2.) für eine eindeutige Function aufgestellte Satz bestehen bleibt, wenn das Wort »eindeutig« in »m-deutig« umgeändert wird.

ANMERKUNGEN.

(Vom Jahre 1886.)

1)    Unter welchen Bedingungen der vorstehende Satz für eine analytische Function f (uu ua,... un) auch in dem Falle gültig bleibe, wo sie so beschaffen ist, dass zu jedem Werthsysteme der Veränderlichen uvua,...un unendlich viele Werthe von f(uvua,...un) gehören, ist noch nicht ermittelt worden. Dass es aber Functionen dieser Art giebt, für welche der Satz nicht gilt, ist bekannt. Herr Casorati hat bereits vor Jahren gezeigt, wie sich analytische Functionen eines Arguments, deren Perioden sich nicht aus zwei derselben ableiten lassen, in sehr einfacher Weise definiren lassen. (Comptes rendus, 21 déc. 1863 et 25 janv. 1864.)

2)    Das in § 1 begründete Theorem gilt, wie schon oben bemerkt worden ist, für eine beliebige (analytische oder nicht analytische) Function f(uu u₂,... un). Es findet also auch Anwendung, wenn diese Function nur für reelle Werthe der Veränderlichen ut, u₂, ... un definirt ist und somit auch nur Systeme reeller Perioden in Betracht kommen, in welchem Falle dann die Zahl r der gegebenen Definition nach nicht grösser als n sein kann. Dagegen ist der Satz, dass eine Function von n Variabein nur dann Systeme unendlich kleiner Perioden haben kann, wenn sie sich als Function von weniger als n Argumenten, die ganze lineare Functionen der ursprünglichen sind, darstellen lässt, von mir nur für ein- oder m-deutige analytische Functionen bewiesen worden. Auf eine nicht analytische eindeutige und stetige Function reeller Argumente findet jedoch der gegebene Beweis auch noch Anwendung, wenn die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Function existiren und ebenfalls stetige Functionen sind. Dass der in Rede stehende Satz aber richtig ist und sich beweisen lässt, wenn für eine Function reeller Veränderlichen nur feststeht, dass sie eindeutig und stetig sei, hat neuerdings Herr Kronecker nachgewiesen. (Sitzungsberichte der Berliner Akademie, 20. November 1884.)

ÜBER CONTINUIRLICHE FUNCTIONEN EINES REELLEN ARGUMENTS, DIE FÜR KEINEN WERTH DES LETZTEREN EINEN BESTIMMTEN DIFFERENTIALQUOTIENTEN BESITZEN.

(Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 18. Juli 1872.)

Bis auf die neueste Zeit hat man allgemein angenommen, dass eine eindeutige und continuirliche Function einer reellen Veränderlichen auch stets eine erste Ableitung habe, deren Werth nur an einzelnen Stellen unbestimmt oder unendlich gross werden könne. Selbst in den Schriften von Gauss, Cauchy, Dirichlet findet sich meines Wissens keine Äusserung, aus der unzweifelhaft hervorginge, dass diese Mathematiker, welche in ihrer Wissenschaft die strengste Kritik überall zu üben gewohnt waren, anderer Ansicht gewesen seien. Erst Riemann hat, wie ich von einigen seiner Zuhörer erfahren, mit Bestimmtheit ausgesprochen (i. J. 1861, oder vielleicht auch schon früher), dass jene Annahme unzulässig sei und z. B. bei der durch die unendliche Reihe

® sin (n² x)

dargestellten Function sich nicht bewahrheite. Leider ist der Beweis hierfür von Riemann nicht veröffentlicht worden und scheint sich auch nicht in seinen Papieren oder durch mündliche Überlieferung erhalten zu haben. Dieses ist um so mehr zu bedauern, als ich nicht einmal mit Sicherheit habe erfahren können, wie Riemann seinen Zuhörern gegenüber sich ausgedrückt hat. Die Mathematiker, welche sich, nachdem die Riemann’sehe Behauptung in weiteren Kreisen bekannt geworden war, mit dem Gegenstände beschäftigt haben, scheinen (wenigstens in ihrer Mehrzahl) der Ansicht gewesen zu sein, es genüge, die Existenz von Functionen nachzuweisen, welche in jedem noch so kleinen Intervalle ihres Arguments Stellen darbieten, wo sie nicht diffe-rentiirbar sind. Dass es Functionen dieser Art giebt, lässt sich ausserordentlich leicht nachweisen, und ich glaube daher, dass Kiemann nur solche Functionen im Auge gehabt hat, die für keinen Werth ihres Arguments einen bestimmten Ditferentialquotienten besitzen. Der Beweis dafür, dass die angegebene trigonometrische Reihe eine Function dieser Art darstelle, scheint mir indessen einigermassen schwierig zu sein; man kann aber leicht continuirliche Functionen eines reellen Arguments x bilden, für welche sich mit den einfachsten Mitteln nachweisen lässt, dass sie für keinen Werth x einen bestimmten Ditferentialquotienten besitzen.

von

Dies kann z. B. folgendermassen geschehen.

Es sei x eine reelle Veränderliche, a eine ungrade ganze Zahl, b eine positive Constante, kleiner als 1, und

f(x) = 2 fr“ cos (ühæF) ;

n = o

so ist f(x) eine stetige Function, von der sich zeigen lässt, dass sie, sobald der Werth des Products ab eine gewisse Grenze übersteigt, an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitzt.

von x, und m eine beliebig an-

Es sei x₀ irgend ein bestimmter Werth genommene ganze positive Zahl; so giebt es eine bestimmte ganze Zahl am, für welche die Differenz

amx₀-am,

die mit xm+1 bezeichnet werde, > —aber ist. Setzt man dann

x' =

am

afr =

««»+¹

am

so hat man

x'—x₀ = —

m+i

am

x"—x₀ =

m+1 .

am

es ist also

x' c x₀ <c x".

Man kann aber m so kommen, wie man will.

gross annehmen, dass x , x" beide der Grösse x₀ so nahe

EINEN BESTIMMTEN DIFFERENTIALQUOTIENTEN BESITZEN.

73

Nun ist

00

x'—x₀

= 2 [V¹-

cos {anx'Tz) — cos {anx₀v:)

771—1

= S W-

n cos («w x'tzJ — cos (aH x₀ ti)

an(x'—x₀)

■)

cos (aw+wa;'7r) — cos (am+w#₀tt)

x'~x0

Der erste Theil dieses Ausdruckes ist, da

cos(cinx'tz)    cos(anx₍₎Tz) ₌    x' + x₀ ^

an(x'—x₀)

an

x'—x0 2 ¹¹

und der Werth von

an

x'—x₀

stets zwischen — 1 und +1 liegt, dem absoluten Betrage nach kleiner als

m—i

t. T (ab)"

yx - 0

also auch kleiner als

Ferner hat man, weil a eine ungrade Zahl ist :

cos (am+nx'7z) = cos (aw(aw—1)tc) = — (— 1)“”*,

cos (am+n x₀ tc) = cos (an am tz + an xm+1 tz) = (— l)Um cos (aM xm+1 ti) ,

also

n ( cos (am+nx'tc) — cos (a

m+n

X₀Tl)

x'—x₀

bn.

m+i

Alle Glieder der Summe

£ l + cos (anxm+1Tz) &w 1 + x

s₀

n — °

m+1

sind positiv, und das erste zwischen | und f liegt, nicht kleiner als f.

da cos {xm+1 tc) nicht negativ ist, l + x,

m+l

aber

74

ÜBER CONTINUIRLICHE FUNCTIONEN OHNE DIFFERENTIALQUOTIENTEN.

Hiernach hat man

x'—x₀

T + s~äb=i

wo y] eine positive Grösse, die >1, bezeichnet, während e zwischen —1 und +1 enthalten ist.

Ebenso ergiebt sich

TT

x"-x₀

ab — 1

wo y]j ebenso wie vj positiv und >1 ist, aber zwischen —1 und +1 liegt. Nimmt man nun a,b so an, dass ab> l + f-rc, also

it

ist, so haben

fV)-f{x o)    fix")-fix o)

/y* _ /y»

%Aj    iA/q

/y/'_ /y*

IV    IV»

stets entgegengesetzte Zeichen, werden aber beide, wenn m ohne Ende wächst, unendlich gross.

Hieraus ergiebt sich unmittelbar, dass f{x) an der Stelle (x = x₀) weder einen bestimmten endlichen, noch auch einen bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten besitzt.

BEMERKUNGEN ZUR INTEGRATION EINES SYSTEMS LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT CONSTANTEN COEFFICIENTEN.

(Der Königl. Akademie der Wissenschaften mitgetheilt am 28. Oct. 1875.)

Die Resultate, zu denen ich in meiner Arbeit »Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen« gelangt bin, finden eine Anwendung bei der Aufgabe der Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit con-stanten Coefficienten

GO

dxa

wo a?, a?s, ... xn die zu bestimmenden Functionen der unabhängigen Yariabeln

t sind. Auf diese Form kann man jedes derartige System bringen. Denn

d²xa

auftreten, so braucht man nur — x', Multiplicirt man die Gleichungen (1.) mit n unbestimmten Constanten und addirt sie, so erhält man

sollten höhere Ableitungen, z. B.

d² xa dx'a

dt²    dt

zu setzen.

dt*

(2.)

dt

wo

(3.)

a,ii

<*,ß

zwei bilineare Formen sind. Man kann annehmen, dass die Determinante | aap | von Null verschieden ist. Denn sonst kann man den Grössen yß solche Werthe B geben, dass identisch    .. • %n |    ... Bn) = 0, also nach (2.)

auch ty(x,...xn\B,...Bn) =0 ist. Ist nun keine der Gleichungen (l.) eine Folge der übrigen, so ist diese lineare Gleichung nicht identisch erfüllt. Man kann daher eine der Functionen xa durch die übrigen ausdrücken und erhält dann aus dem gegebenen Gleichungssystem ein anderes mit nur n — 1 unbekannten Functionen. Ich bediene mich nun derselben Bezeichnungen wie in

10*

der oben citirten Arbeit. Da \aa^\ von Null verschieden ist, so kann man dort g — 1 und h — 0 setzen und durch Einführung neuer Variabein die beiden bilinearen Formen auf die Gestalt bringen

¹

Vgl. Hermite, Extrait de lettres à C. G. J. Jacobi (Crelle’s Journal Bd. 40, S. 310); und Eiern ann, Auszug aus einem Schreiben an Weier strass, (ebd. Bd. 71, S. 197; Riemann’s Gesammelte Werke S. 276).

²

Dies gilt, mag die Function f eine analytische Function sein oder nicht. Ist sie mehrdeutig, so besagt die aufgestellte Gleichung, dass die Gesammtheit der zu einem bestimmten Werthsystem (wx, ua,... un) gehörigen Werthe von / identisch ist mit der Gesammtheit der zu (u₁+P₁, «₂+P₂, ... un+PH) gehörigen.

(4.)

? = SÄ*!)*»    + = 2<fc(55)*+2(55)*

wo {s—cx)6x die Elementartheiler der Determinante der Form scp—j> durchläuft und

(55)«= 2 5,5,

ist. Daher geht die Differentialgleichung (2.) über in

(5.)    2 S ^4rY,, = 2    2 <Ąr»,+2    2    x^r,,.

/ (fi+r = e^) Gf    2 (ft+v = «^)    A (,+r = ^—l)

Durch Vergleichung der Coefficienten von Ylv ergeben sich daraus die Differentialgleichungen

dXi^, _ „ ~v i v

~W ~ C*A** ⁺ 5,-1*

Dies System zerfällt also in mehrere Systeme von der Form

(6.)

3T = cX-+X’ Tr“«*-*-*

deren jedes einem Elementartheiler (5 — c)r der Determinante von scp —^ entspricht. Multiplicirt man diese Gleichungen mit e~c\ so erhält man

- °’

(7.)

dX

•-1 )

••• -^(Xre~ct) = Xr_te~ci

und durch Integration

X = Alf¹, A(Xi<r«) = X, X, = (Xf + X,)«⁻

= x<+x„ x, =

schliesslich

M j»- 1    ^-1

\H (r — 1)!

Die Constanten A, At, ... Ar sind die Anfangswerthe der Functionen X, X,, ... Xr für t = 0. Sie bestimmen sich mittelst der bekannten linearen Transformationsformeln aus den Anfangswerthen von x^ xt1 ... xn.

(8.)

X, =

■ + A,\ec‘.

ZUR THEORIE DER EINDEUTIGEN ANALYTISCHEN FUNCTIONEN.

(Aus den Abhandlungen der König!. Akademie der Wissenschaften vom Jahre 1876.)

1. Einleitung.

Unter den eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen zeichnen sich die rationalen durch eine charakteristische Eigentümlichkeit aus, die zunächst festgestellt werden soll.

zu

Ich will von einer eindeutigen analytischen Function f{x) der complexen Veränderlichen x sagen, sie verhalte sich regulär in der Umgebung einer bestimmten Stelle (x — à), wenn sie innerhalb eines gewissen Bezirks, dessen Mittelpunkt a ist, überall einen endlichen und mit x stetig sich ändernden Werth hat. Nach einem bekannten Satze existirt dann eine Potenzreihe y$(x\ a), welche innerhalb des genannten Bezirks die Function darstellt. Dies gilt auch, wenn a = oo ist, indem unter ^3(æ|oo) eine Potenzreihe von ~ verstehen ist.*)

Die Gesammtheit der Stellen, an denen f{x) diese beiden Eigenschaften besitzt, nenne ich den Stetigkeitsbereich der Function.

*) Ich bediene mich zur Bezeichnung einer Reihe von der Form

2 Avxv

(v — 0, 1, 2, ... œ)

in Fällen, wo es auf die Werthe der von x unabhängigen Coefficienten A₀, A₁, A₂, ... nicht ankommt, des Zeichens 5ß(x), auszusprechen »Potenzreihe von x«. Ist ferner a ein bestimmter Werth von x, so schreibe ich 5ß(a:| cs) für    a), um hervorzuheben, dass a der Mittelpunkt des Convergenzbezirks der Reihe ist.

Diese Bezeichnungsweise behalte ich auch bei, wenn a = oo ist, indem ich in diesem Falle der Formel

x— CD

die Bedeutung ~ gebe.

Dieser Bereich ist — wenn man von dem Fall absieht, wo f{x) sich auf eine Constante reducirt — stets ein begrenzter, wie sich folgendermassen beweisen lässt.

Es sei a irgend eine im Endlichen liegende Stelle und r der Badius des Convergenzbezirkes der Reihe $(sc| a), welche die Function f{x) in einer gewissen Umgebung von a darstellt.

Hat r einen endlichen Werth, so giebt es unter denjenigen Werthen von x, für welche \x —    ist,¹) mindestens einen (%'), der¹ dem in Rede

stehenden Bereich nicht angehört. Dann ist entweder x selbst eine Grenzstelle des Bereichs, oder es findet sich eine solche in der Strecke (x ... a) zwischen x und a.

Ist dagegen r = oo, so giebt es unendlich grosse Werthe von #, denen auch unendlich grosse Werthe von f(x) entsprechen; in diesem Falle ist also die Stelle (x = oo) — und zwar diese allein — vom Stetigkeitsbereich der betrachteten Function ausgeschlossen und bildet die Begrenzung desselben.

Hiermit ist festgestellt, dass für jede Function f(x) im Gebiete der Veränderlichen x nothwendig singuläre Stellen, wie ich sie nennen will, existiren, welche Grenzstellen des Stetigkeitsbereichs der Function sind, ohne diesem selbst anzugehören. (Das Letztere ergiebt sich unmittelbar aus der Definition des Stetigkeitsbereichs.)

Ist a irgend eine solche singuläre Stelle, so giebt es innerhalb eines beliebigen Bezirks, dessen Mittelpunkt a ist, unendlich viele Stellen, die dem Stetigkeitsbereich von f{x) angehören. Möglicherweise gilt dies, wenn der Radius des Bezirks hinlänglich klein angenommen wird, von allen Stellen des letzteren, und dann kann es Vorkommen, dass sich f(x) durch Multiplication mit einer ganzen Potenz von (x — a) in eine in der Umgebung von a regulär sich verhaltende Function verwandeln lässt. Jenachdem dies der Fall ist oder nicht, nenne ich a in Beziehung auf die Function f(x) eine ausser-wesentliche oder eine wesentliche singuläre Stelle.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Eine Function f{x) kann so beschaffen sein, dass es im Gebiete von x Stellen giebt, die weder dem Stetigkeitsbereiche der Function (A) angehören, noch Grenzstellen desselben sind. An diesen Stellen, deren Gesammtheit mit A" bezeichnet werden möge, ist dann die Function nicht definirt. Es ist aber A" ein Bereich von der

selben Beschaffenheit wie A; nimmt man in demselben eine Stelle a beliebig an, so liegen auch alle einer gewissen Umgebung von a angehörigen Stellen % A\

Daraus folgt, dass der Bereich A" ein begrenzter ist, seine Grenzstellen aber nicht zu ihm gehören, also, da sie auch nicht in A liegen, nothwendig mit Grenzstellen des letzteren Bereichs zusammenfallen, und zwar mit solchen, die wesentliche singuläre Stellen für die betrachtete Function sind. Nun liegt aber in jeder Strecke, die einen Punkt von A" mit einem Punkte von A verbindet, mindestens eine Grenzstelle des Bereichs A"; es hat also die Function f(x) in dem angenommenen Falle unendlich viele wesentliche singuläre Stellen.

Nach diesen Auseinandersetzungen lässt sich nun die Klasse der rationalen Functionen einer Veränderlichen (x) defmiren als die Gesammtheit derjenigen eindeutigen Functionen von æ, für die es im Gebiete dieser Grösse nur ausserwesentliche singuläre Stellen giebt.

Ist nämlich erstens f{x) eine rationale Function — im gewöhnlichen Sinne — und a irgend ein bestimmter Werth von x, so kann man f(x) zunächst als Quotienten zweier ganzen Functionen von (x — a), die für x = a nicht beide gleich Null sind, darstellen und sodann, wenn von den nicht verschwindenden Gliedern des Divisors das niedrigste von der mten Ordnung ist, bei hinlänglich kleinen Werthen von (x — a)

(x — d)mf(x)

in eine Reihe ^|3(^|n) entwickeln; d. h. es existiren für die Function f{x) nur ausserwesentliche singuläre Stellen.

Angenommen zweitens, es sei f(x) eine irgendwie definirte eindeutige Function, von der sich feststellen lässt, dass für sie wesentliche singuläre Stellen im ganzen Gebiete von x nicht existiren, so dass in der Umgebung jeder beliebig angenommen Stelle a die Function in der Form

Nimmt man

darstellbar ist, wo m eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, zunächst a = oo, so giebt es nach dem Obigen im Innern des Convergenz-

bezirkes der Reihe    jenachdem m>0 ist, entweder gar keine singuläre

Stelle, oder nur die eine oo. Sämmtliche singuläre Stellen — ausser oo — sind also in einem ganz im Endlichen liegenden Bereiche zu suchen. In demselben kann es aber nur eine endliche Anzahl solcher Stellen geben. Existiren nämlich für irgend eine eindeutige Function im Innern eines begrenzten Bereichs unendlich viele ausserwesentliche singuläre Stellen, so giebt es im Innern oder an der Grenze des Bereichs wenigstens eine Stelle, welche sich dadurch auszeichnet, dass in jeder Umgebung derselben von ihr verschiedene singuläre Stellen vorhanden sind, und die deshalb nothwendig eine wesentliche singuläre Stelle für die Function ist. Es ergiebt sich also aus der angenommenen Beschaffenheit der betrachteten Function f(x) mit Nothwendigkeit, dass es für sie nur eine endliche Anzahl singulärer Stellen geben kann.

Es ist nun zunächst der Fall möglich, dass f{x) in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, also durch eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe von der Form

A₀ + A₁ x + A₂ x* + • • •

dargestellt werden kann. Dann hat die Function nur die eine singuläre oo, und da diese der Voraussetzung nach eine ausserwesentliche ist, so muss sich eine ganze, nicht negative Zahl m so bestimmen lassen, dass

J \ m+1

fix)

für jeden unendlich grossen Werth von x unendlich klein ist. Dies aber ist nach einem bekannten Satze nur möglich, wenn in der vorstehenden Reihe jeder Coefficient, dessen Index grösser als m ist, verschwindet. Es ist also in dem betrachteten Falle f(x) eine ganze rationale Function.

In dem Falle ferner, dass f(x) im Endlichen singuläre Stellen besitzt, mögen dieselben mit

ax, ... ar

bezeichnet werden, und es sei mk die kleinste ganze Zahl, durch welche bewirkt werden kann, dass die Function

in der Umgebung der Stelle ak sich regulär verhält. Dann ist

(x — a₁)ntl ...(x — ar)m,'f(x)

eine Function, welche in der Umgebung jeder im Endlichen liegenden Stelle sich regulär verhält, woraus nach dem Bewiesenen folgt, dass f(x) in der Form

G{x)

(x —    ...(x — ar)m>'

dargestellt werden kann, wo G{x) eine ganze rationale Function von x bedeutet.

Hiermit ist bewiesen, dass durch die gegebene Definition wirklich die charakteristische Eigentümlichkeit der rationalen Functionen einer Veränderlichen ausgesprochen wird.

Durch die vorstehenden Erörterungen ist aber auch für die Untersuchung und Classification der transcendenten eindeutigen Functionen eines Arguments ein Fingerzeig gegeben.

Werden dem Stetigkeitsbereich einer Function diejenigen von seinen Grenzstellen, welche ausser wesentliche singuläre Stellen für die Function sind, hinzugefügt, so entsteht ein Bereich A\ von welchem man, dem soeben Festgestellten gemäss, sagen kann, dass in ihm f(x) überall wie eine rationale Function sich verhalte. Dieser Bereich ist ein unbegrenzter oder ein begrenzter, je nachdem f(x) eine rationale oder eine transcendente Function ist, und im letzteren Falle wird seine Begrenzung von den wesentlichen singulären Stellen der Function gebildet, deren Anzahl endlich oder auch unendlich gross sein kann.

/(*);

00

T—I

Betrachtet man nun als einer Klasse angehörend alle Functionen f{x), für welche der definirte Bereich A ein und derselbe ist, so bildet nach dem Vorhergehenden die Gesammtheit der rationalen Functionen von x eine solche Klasse. Dagegen existiren unzählige Klassen von transcendenten Functionen um für die Eintheilung derselben in Gattungen ein sachgemässes Princip zu gewinnen, wird man zu untersuchen haben, welche wesentlichen Verschiedenheiten in der Begrenzungsweise eines Bereichs A, der für eine Klasse eindeutiger Functionen von x die angegebene Bedeutung hat, möglich sind. Aber auch ohne auf diese Untersuchung näher einzugehen, wird man in den

eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen die den rationalen Functionen am nächsten stehenden erkennen, und als einer Gattung angehörend alle diejenigen betrachten, für welche die Zahl solcher Stellen dieselbe ist.

Man überzeugt sich leicht, dass es Functionen dieser Art mit beliebig vielen, und zwar vorgeschriebenen wesentlichen singulären Stellen wirklich giebt.

Wie oben bemerkt worden, wird durch jede unendliche Reihe

A₀ + Axx + A₂x² + ■■■,

deren Coefficienten gegebene Constanten und so beschaffen sind, dass die Reihe für alle endlichen Werthe der Veränderlichen x convergirt, eine Function mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo dargestellt. Dasselbe gilt, wie in ganz ähnlicher Weise gezeigt werden kann, wenn Gt(x), G₂(x) zwei solche Functionen sind — wobei jedoch eine von ihnen auch eine ganze rationale sein darf — für den Quotienten

Gt(x)

G₂(x)

wo derselbe nicht auf eine rationale Function reducirt

in jedem Falle werden kann.

Dies vorausgesetzt, seien nun

Gifai)i    (oCy), . . . b'ïM-iM> G2n(xn)

irgend n Paare solcher Functionen, xv ... xn aber lineare Functionen von x, welche an n verschiedenen, im Übrigen willkürlich anzunehmenden Stellen

clt ... cn

unendlich gross werden; dann ist

m ~ Ä Giv(xv)

eine eindeutige Function von x, für welche

Cj, ... cn

wesentliche singuläre Stellen sind, während sie in der Umgebung jeder andern Stelle sich wie eine rationale Function verhält.

Zusammengesetztere Ausdrücke solcher Functionen kann man bilden, indem man in einer beständig convergirenden unendlichen Reihe von der Form

v, V,₂ vn) . Vn *^l    )

sU

vuv₂,..

Oi = 0....GO, vi== 0, ... 00, ... vn= 0,...co)

oder auch in dem Quotienten zweier solcher Reihen für a?,, x₂, ... xn beliebige rationale Functionen der Veränderlichen x substituirt: die so gebildete Function von x hat dann keine anderen wesentlichen singulären Stellen als diejenigen, an denen eine der Grössen x^ ... xn unendlich wird.

Nun ist im Vorhergehenden gezeigt worden, dass man von einer Function f(x) nur zu wissen braucht, sie sei eine eindeutige Function ohne eine wesentliche singuläre Stelle, um sicher zu sein, dass sie als Quotient zweier ganzen rationalen F’unctionen von x (von denen sich eine auch auf eine Constante reduciren kann) darstellbar ist; mit anderen Worten, es ist nachgewiesen worden, dass durch die beiden angenommenen Eigenschaften der Function auch die Art der arithmetischen Abhängigkeit ihres Werthes von dem Werthe der unabhängigen Veränderlichen bedingt und bestimmt ist. Dadurch ist die Frage nahe gelegt, ob für die eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen etwas Ähnliches gelte — ob es möglich sei, arithmetische, aus der Veränderlichen x und aus unbestimmten Constanten zusammengesetzte Ausdrücke zu bilden, welche sämmtliche F'unctionen einer bestimmten Klasse — und nur diese — darstellen.

In der vorliegenden Arbeit findet diese Frage, in der ein den Elementen der Functionenlehre angehöriges, allgemeines und zugleich wohlbegrenztes Problem ausgesprochen ist, ihre vollständige Erledigung. Das Resultat ist einfacher als die Mannigfaltigkeit der Formen, in denen, wie die gegebenen Beispiele lehren, Functionen der in Rede stehenden Art auftreten können, es erwarten liess.

Unter den Functionen, um welche es sich handelt — die rationalen jetzt eingeschlossen — sind die einfachsten diejenigen, für welche es im ganzen Gebiete der unabhängigen Veränderlichen nur eine (wesentliche oder ausser-wesentliche) singuläre Stelle giebt. Liegt diese Stelle im Unendlichen, so kann, wie oben bemerkt, eine solche Function stets dargestellt werden durch

eine Reihe von der Form

A₀ + A₁ x + A₂ x² ,

in der x das Argument der Function, die Coefficienten A₀, A , A , ... aber von x unabhängige, bestimmte Grössen bedeuten; so wie anderseits jede Reihe von dieser Form, wenn sie für jeden endlichen Werth von x convergirt, der Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit der einen singulären Stelle oo ist. Eine solche Function will ich eine ganze eindeutige Function von x nennen — oder auch bloss, wo keine Zweideutigkeit dadurch entsteht, eine ganze Function —; man hat also zu unterscheiden zwischen rationalen ganzen Functionen, für welche die Stelle oo eine ausserwesentliche singuläre ist und die angegebene Reihe aus einer endlichen Anzahl von Gliedern besteht, und transcendenten ganzen Functionen, für welche oo eine wesentliche singuläre Stelle ist und die Reihe unendlich viele Glieder hat. Als Functionszeichen für eine unbestimmte, in der in Rede stehenden Form ausgedrückt gedachte Function verwende ich auch im Folgenden den Buchstaben G und unterscheide, wenn mehrere solche Functionen zu bezeichnen sind, die einzelnen durch hinzugefügte Indices.

Dies vorausgesetzt, ist nun die Beantwortung der gestellten Frage in folgenden Sätzen enthalten.

A. Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit nur einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle (c) ist

Gr

wo der obigen Festsetzung gemäss, wenn c = oo setzen ist.

durch x zu er-

X — C

Die singuläre Stelle ist eine wesentliche oder ausserwesentliche, jenachdem G eine transcendente oder eine rationale ganze Function von

ist.

x—c

B. Der allgemeine Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen (c , ...c ) kann in mannigfaltiger Weise aus Stelle zusammengesetzt, am einfachsten aber in den nachstehenden Formen aufgestellt werden:

n Functionen mit je einer singulären

wo R*(x) eine rationale Function bedeutet wesentlichen singulären Stellen der darzustellenden Function Null oder unendlich gross wird.

welche nur an den

C. Jede eindeutige Function von x, welche n wesentliche singuläre Stellen {c₀ ... cn) und ausser diesen noch beliebig viele (auch unendlich viele) ausserwesentliche hat, kann in jeder der beiden nachstehenden Formen:

1)

n+v

i=i

X — Cv

2)

n    —)

v = i    \x-cj

■R*(x)

n+v

X-Cv

ausgedrückt werden, und zwar dergestalt, dass Zähler und Nenner für keinen Werth von x beide verschwinden.

Umgekehrt stellt jeder dieser Ausdrücke, wenn die Functionen G, ... G willkürlich angenommen werden, eine eindeutige Function von x dar, welche im Allgemeinen n, in speciellen Fällen auch weniger als n wesentliche singuläre Stellen hat, während die Anzahl der ausserwesentlichen singulären Stellen, an denen die Function unendlich wird, unbeschränkt ist.

Von diesen Sätzen war bisher nur der unter (A) angeführte bekannt, und der unter (B, 1) aufgestellte aus bekannten Sätzen leicht abzuleiten. Die übrigen aufzuiinden war nicht schwer, nachdem einmal die Aufgabe, um die es sich handelt, gehörig präcisirt war. Um sie allgemein beweisen zu können, hatte ich jedoch, wie sich alsbald ergab, zuvor eine in der Theorie der transcendenten ganzen Functionen bestehende, sogleich anzugebende Lücke auszufüllen, was mir erst nach manchen .vergeblichen Versuchen vor nicht langer Zeit in befriedigender Weise gelungen ist.

von x

Für jede eindeutige Function f(x) gilt, dass in einem Theile des Gebiets der weder im Innern noch an der Grenze eine wesentliche singuläre Stelle enthält, Werthe, für die f(x) = oo, und ebenso Werthe, für die f(x) = 0 ist, stets nur in endlicher Anzahl vorhanden sind. Das Erstere ergiebt sich

unmittelbar aus dem oben (S. 80) Bemerkten, und das Letztere ebenfalls, wenn man beachtet, dass die Function dieselben wesentlichen singulären Stellen hat wie f(x) selbst.

Ist insbesondere f{x) eine ganze eindeutige Function, so giebt es also unter den Werthen von #, deren absoluter Betrag eine willkürlich angenommene Grenze nicht übersteigt, stets nur eine endliche Anzahl solcher, für die f(x) gleich Null ist. Dies gilt auch noch, wenn in Übereinstimmung mit dem bei ganzen rationalen Functionen Gebräuchlichen festgesetzt wird, dass bei Bestimmung der in Bede stehenden Zahl jeder Werth, für welchen ausser der Function f{x) selbst auch die (^ —1) ersten Ableitungen derselben verschwinden, die ^te aber nicht, als ein ^-mal zu zählender betrachtet werden soll.

Hieraus folgt, dass es stets möglich ist, aus denjenigen Werthen von x, für die eine bestimmte eindeutige ganze Function dieser Grösse verschwindet, eine Beihe

ci^j a„ (i₃] ...

un-

zu bilden, welche jeden Werth so oft enthält, als er nach der gemachten Festsetzung zu zählen ist, und zugleich, falls die Anzahl ihrer Glieder endlich gross ist, der Bedingung

Lim j an J = oo

n = co

genügt. Die so gebildete Beihe («l5 a₂, aa, ...) möge die Beihe der »Null-Stellen« der betreffenden Function heissen.

Dies festgestellt, ergeben sich nun zwei Fragen:

1)    In wie weit ist eine Function G(x) durch die Beihe ihrer Null-Stellen bestimmt?

ax? asi • • - i

= oo genügt, gegeben ist, stets eine

2)    Existirt, wenn eine unendliche Beihe bestimmter Grössen die der Bedingung Lim | a Function G(x), für welche diese Beihe in dem festgestellten Sinne die Beihe der Null-Stellen bildet?

Die erste Frage beantwortet sich leicht. Es giebt unendlich viele ganze Functionen, welche dieselben Null-Stellen haben wie eine gegebene G(x); sie

sind sämmtlich enthalten in dem Ansdruck

G(x)

G(x) e

wo unter G(x) eine willkürlich anzunehmende ganze Function zu verstehen ist.

Was dagegen die zweite, bis jetzt unerledigt gebliebene Frage angeht, so werde ich im folgenden Paragraphen nachweisen, dass dieselbe unbedingt zu bejahen ist.

Mit Hülfe des so gewonnenen fundamentalen Satzes lassen sich dann von den im Vorstehenden unter (C) aufgestellten Theoremen zunächst diejenigen leicht beweisen, welche auf Functionen mit einer wesentlichen singulären Stelle sich beziehen.

Sodann wird der nachstehende Hülfssatz eingeschaltet:

Es sei

x-cn

y(x) = Jc₀ + ——— x — cx

wo die c und k Constanten bedeuten, welche nur der Beschränkung unterworfen sind, dass von den Grössen ... kn keine gleich Null, und von den Grössen cl? ... cn nicht zwei einander gleich sein sollen. Ferner seien F₀(y), Fx(y), ... FM-x (y) eindeutige Functionen der Veränderlichen y mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo. Alsdann stellt nicht nur der Ausdruck

n-i    /    1 y

wenn man in demselben

wo c eine beliebige der Grössen cl5 ... cn bedeutet

y = <pOO

setzt, stets eine eindeutige Function mit den wesentlichen singulären Stellen c , ... cn dar, sondern es lassen sich auch für jede gegebene Function f(x) dieser Art die Functionen F₀(y), ... Fn_x(y) so bestimmen, dass ist. Dabei werden F₀(y), ... Fn_x{y) sämmtlich ganze Functionen von yy wenn die Function f{x) keine ausserwesentliche singuläre Stelle hat.

Dieser Satz dient zur Begründung des unter (B, 1) gegebenen Ausdrucks einer Function mit n (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stellen.

Eine solche Function kann so beschaffen sein, dass sie an keiner Stelle, welche von den Stellen ct, ... cn verschieden ist, verschwindet; in diesem Falle ergiebt sich für sie der Ausdruck

B*(x) JJe

v = 1

Ist nun f(x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen ct, ... cn, so hat man das Gebiet der Veränderlichen x in n Theile dergestalt zu zerlegen, dass im Innern eines jeden Theiles eine der genannten Stellen liegt, und dass zugleich die Function f{x) an der Grenze zwischen je zwei Theilen überall einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat; dies kann auf unendlich viele Arten geschehen. Dann giebt es, wenn mit c irgend eine der Stellen cl5 ... cn und mit C der zugehörige Theil bezeichnet wird, unter den zu C gehörenden Werthen von x, für welche

\X — C | > Q

ist, wo q eine beliebig klein anzunehmende positive Grösse bedeutet, nur eine endliche Anzahl solcher, für die f(x) verschwindet; dasselbe gilt auch noch, wenn auch jetzt festgesetzt wird, dass bei der Zählung dieser Werthe so verfahren werde, wie vorhin für eine ganze Function angegeben worden ist. Es kann demnach, wenn es überhaupt in C Werthe giebt, für die f(x) = 0 ist, aus der Gesammtheit derselben eine Reihe

)    ^2 >    ^3 J • • •

zählen ist, und zugleich, falls

in der Art gebildet werden, dass in derselben jeder einzelne Werth so oft vorkommt, als er der Festsetzung gemäss zu die Reihe nicht abbricht,

lAm\an — c\ — 0

ist. Dann ist die Reihe

so

an—c ’

beschaffen, dass eine Function G(x') existirt, für welche sie die Reihe der

a₂-c

Null-Stellen bildet: und wenn man in dieser x’=

— setzt, so ist

x—c    ¹

g(—Î-)

\x — c)

eine Function von x, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle c hat und zu der Function f(x) in der Beziehung steht, dass die vollständige Reihe ihrer Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der dem betrachteten Theile C angehörenden Null-Stellen von f(x). (Sind Werthe von x, für die f{x) verschwindet, in C nicht vorhanden, so ist die definirte Function G in den folgenden Formeln durch die Zahl 1 zu ersetzen.) Ebenso giebt es, da die Function ~y dieselben wesentlichen singulären Stellen wie f(x) hat, eine

l~r in derselben Beziehung steht wie G(-^~j

welche zu

Function    j

zu f(x).

Bezeichnet man nun diese beiden Functionen für die Stelle cv mit

Gw

Q(.n+v)

i-i-)

\x-cj

fey>

und setzt

x — cv

Gw

•fi¥)

Q.OI + V)

x — cv

so ist fx(x) eine Function, welche an allen Stellen des Gebiets von x, mit Ausnahme der Stellen clf ...cn, einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat.

Drückt man sodann diese Function ft(x) in der vorhin angegebenen Weise aus, so ergeben sich die unter (B, 2) und (C, 2) aufgestellten Formen von f(x). Aus der letzteren erhält man dann schliesslich mit Hülfe des Theorems (B, 1) den unter (C, l) gegebenen Ausdruck derselben Function.

Die im Vorstehenden zusammengestellten Ausdrücke einer eindeutigen Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen können nun noch weiter entwickelt werden, so dass die arithmetische Abhängigkeit des Werthes der Function von dem Werthe ihres Arguments unmittelbar in Evidenz tritt. In den Formeln (B, l) und (C, 1) ist es für diesen Zweck am

angemessensten, jede Function

in der Form einer Potenzreihe von

— darzustellen.

Es lässt sich aber, wie in § 2 nachgewiesen wird, jede

x—c

Function G(x) auch darstellen als Product unendlich vieler Factoren, welche ebenso wie die Potenzen von x bestimmt charakterisirte Functionen sind; diese Ausdrucksform der Functionen    wird man am zweckmässigsten

zur weiteren Entwicklung der Formeln (B, 2) und (C, 2) verwenden.

Ist

J C₂ J ... Cly

die Reihe der Null-Stellen einer ganzen rationalen Function G(x), und x0 irgend ein in dieser Reihe nicht enthaltener Werth, so hat man

G{x)

G(x₀)

Man hat schon früh versucht, diesen Satz auf transcendente ganze Functionen auszudehnen, wobei sich jedoch erhebliche Schwierigkeiten darboten. Man erkannte, dass es im Allgemeinen nöthig sei, dem Ausdruck rechts noch einen Factor von der Form

«®C>

hinzuzufügen (Cauchy, Exercices de Mathématiques, IV.); aber dies reicht, abgesehen von dem Falle, wo Null-Stellen der Function nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, nur aus, wenn die Reihe

M'n Xo

und mit ihr das Product convergirt, was im Allgemeinen nicht der Fall ist.

Bei manchen Functionen gelingt es zwar, durch Festsetzung einer bestimmten Aufeinanderfolge der Factoren, oder überhaupt durch Vorschrift einer bestimmten Ausführungsweise der unendlich vielen Multiplicationen, das Product zu einem bedingt convergenten zu machen; im Allgemeinen indess ist auch dies nicht möglich, wie unter anderen das Beispiel der Function

II(æ)

zeigt, bei welcher das in Rede stehende, aus den Factoren

oal «

„ x

! + Y

zu bildende Product unter allen Umständen divergirt.

Aber eben diese Function weist auf den Weg hin, der zum Ziele führt. Nach der von Gauss gegebenen Definition ist der Ausdruck derselben das beständig convergirende unendliche Product

-X

oder

njK)

^log(5±iV

d. h. die Function ist darstellbar als Product unendlich vieler Factoren, welche zwar nicht ganze lineare Functionen von æ, aber doch gleich diesen eindeutige Functionen mit nur Einer singulären Stelle (oo) und auch nur Einer Null-Stelle sind.

Von dieser Bemerkung ausgehend legte ich mir die Frage vor, ob sich nicht jede Function G(x) aus Factoren von der Form

(Jcx + l)e

G(x)

möge zusammensetzen lassen, und gelangte, indem ich diesen Gedanken verfolgte, schliesslich zu einem Ergebnisse, durch welches die Theorie der eindeutigen Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen einen befriedigenden Abschluss erhält.

Ich nenne »Primfunction« von x jede eindeutige Function dieser Grösse, welche nur eine (wesentliche oder ausserwesentliche) singuläre Stelle und entweder nur eine oder gar keine Null-Stelle hat. Der allgemeinste Ausdruck einer solchen Function ist, wenn die singuläre Stelle mit c bezeichnet wird

\x — c    )

und

wo jfc, l Constanten bedeuten, und zu beachten ist, dass k auch gleich Null eine Constante sein kann. Es erweist sich aber für den in’s

Auge gefassten Zweck als ausreichend und zweckmässig, ausschliesslich solche Primfunctionen einzufiihren, hei denen G{—^\ ekie rationale ganze Function von ist; dies soll also im Folgenden überall, wo von Primfunctionen die Rede ist, stillschweigend angenommen werden.

dass

Dies festgestellt, ergiebt sich zunächst, dass jede eindeutige Function f(x) mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle entweder selbst eine Primfunction ist oder ein Product von Primfunctionen mit derselben singulären Stelle; die unter (B, 2) und (C, 2) angegebenen Ausdrücke lassen dann unmittelbar erkennen und wie eine beliebige Function der dort betrachteten Arten aus Primfunctionen durch Multiplication und Division zusammengesetzt werden kann.

Ich lasse dieser Analyse des wesentlichen Inhalts meiner Arbeit und der Darlegung der leitenden Gesichtspunkte nunmehr die erforderlichen Entwicklungen in mehr synthetischer Form folgen, wobei ich bemerke, dass ich bei denselben mit Vorbedacht nur einige elementare Sätze der Reihen-Theorie und die Eigenschaften der Exponentialfunction als bekannt voraussetze.

2. Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen Einer Veränderlichen.

Ist eine unendliche Reihe gegebener Grössen von denen keine den Werth Null hat, so beschaffen, dass

Lim | an | = oo,

n = oo

so kann man derselben auf mannigfaltige Weise eine Reihe ganzer Zahlen

»*1, m2, »h, *

von denen jede >0 ist, so zuordnen, dass die Summe

IlMs

, mv x \ v

für jeden Werth der Veränderlichen x einen endlichen Werth hat.

Man braucht zu dem Ende nur irgend eine unendliche Reihe positiver

Grössen

£>    £2> £S>    ² ² ²

so anzunehmen, dass sei ist und dass

co

einen endlichen Werth hat, und dann die Zahlen    f» , ... so zu be

stimmen, dass (für v = 1, 2, 3, ... oo) wird.

Setzt man hierauf

so ist F{x) eine für jeden endlichen Werth von x definirte eindeutige Function von der Beschaffenheit, dass sich F(a + k), wenn a irgend ein bestimmter Werth von x ist, bei hinlänglich kleinem Werthe der Veränderlichen k in der Form

f+m

darstellen lässt, wo m eine ganze (nicht negative) Zahl ist, welche angiebt, wie oft der Werth a in der Reihe a^, a₂,    ... vorkommt. Nach einem

früher (Crelle’s Journal, Bd. 52, S. 333²)) von mir bewiesenen Satze existirt also eine Function G{x), welche der Gleichung

= F(x).6{x)

genügt und die Eigenschaft besitzt, dass für sie die Reihe

Cll)    Ua) ...

in dem oben angegebenen Sinne die Reihe der Null-Stellen bildet.

Dies lässt sich aber noch einfacher als a. a. O. folgendermassen beweisen. Für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag kleiner als Eins ist, hat man

1    ®    .. d ® xr+l

-X ~ Jo² _ dx ,?<

E(x, 0) = 1 — x E(x, 1) = (l-x)ex E(x, 2) = (l — x)e

X + l-X²

IIMS

woraus

II Ms

xr+1

r oVî’ + l

folgt. Man setze nun

xr

E(x, m) — (l — x)e ¹    ,

so ist, unter der Bedingung, dass \x\cl

E(x, m) = e

/3?wt+>'\

»• A m + r)

II Ms

Fasst man nun die Gesammtheit der Grössen in’s Auge, welche aus der Formel

x »* + »**

r + av

dadurch hervorgehen, dass man r = 1, 2, ... oo* v — n, n +1, ... oo setzt, so ist ersichtlich, dass die Summe dieser Grössen einen endlichen Werth hat, wenn der Veränderlichen x nur solche Werthe gegeben werden, die dem absoluten Betrage nach kleiner sind als jede der Grössen

denn dann ist sie kleiner als

00

00

av

av

av

also, wenn man mit h den kleinsten der Werthe

1- *

®n+1

bezeichnet, kleiner als das Product aus jAj und der Summe

2 — (—) V

= n ar\aj

welche der Voraussetzung nach einen endlichen Werth hat. Daraus folgt ? dass die Doppelsumme für die angegebenen Werthe von x nicht nur unbedingt convergirt, sondern auch dadurch, dass man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, in ein Glied zusammenzieht, in eine Potenzreihe

n)

verwandelt werden kann.

Nimmt man nun zunächst x dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen «a, ... an, so convergiren sämmtliche Reihen

$(x, 1), %(x, 2), ..

und man hat

woraus sich

ergiebt.

n CO    1    / cr\rJrm'¹

₌ ^ E/x_

mv).e

-5P(œ,n+l)

Es lässt sich aber jede der Functionen

(€■*)

in eine für jeden endlichen Werth von x convergirende Reihe von der Form

1 + A™ x + A™x³-t—

entwickeln, und

e-%(x,n+1)

in eine Reihe von derselben Form

l + B™x + B™x² + ---,

welche jedenfalls convergirt, wenn x dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen an+0 a beliebig, n aber so an, dass

n+zl ’

.. ist. Nimmt man daher eine positive Grösse g

|av | >g ist, wenn v> n,

so geht aus der Entwicklung des Products

(1 +    + B™x* + • • •) fl (1 + A™x + A™x* + • • •)

eine Reihe

1 + At x -j- A₂ x² -f- • • •

hervor, welche sicher für diejenigen Werthe von x, deren absoluter Betrag nicht grösser als g ist, convergirt. Die Coefficienten dieser Reihe sind aber, da der vorstehenden Gleichung gemäss für hinlänglich kleine Werthe von x

1 + A₁x + A₂x² + --- =

ist, unabhängig von der willkürlich anzunehmenden Grösse gj es folgt also aus dem Bewiesenen, dass die Reihe für jeden endlichen Werth von x convergirt und somit eine ganze eindeutige Function G(x) darstellt.

Diese Function verschwindet nun für einen bestimmten Werth a von x nur in dem Falle, wo a in der Reihe a₂, ... enthalten ist, wie aus der Gleichung

¹

Ich bezeichne den absoluten Betrag einer complexen Grösse x mit \x\.

²

[Bd. I, S. 349 dieser Ausgabe.]

—5ß(a?,» + l)

G(x) = n •£(!-, «Oe

V == 1    \ Wy J

ohne Weiteres erhellt, wenn man n so gross annimmt, dass a innerhalb des Convergenzbezirks der Reihe

?ß(x,n +1)

liegt, und beachtet, dass die Exponentialfunction für keinen endlichen Werth ihres Arguments verschwindet. Man sieht aber auch, dass, wenn a in der Reihe ax1 aa, ... ft-mal vorkommt,

G(x) auf die Form (x—aYf{x)

in der Art gebracht werden kann, dass f{x) für x = a einen von Null verschiedenen endlichen Werth hat. Die gegebene Reihe

c,, U₂, rts, ...

ist also die Reihe der Null-Stellen für die Function G{x), welche nach dem Vorstehenden dadurch hergestellt werden kann, dass zunächst die Summe

00 00 1 / r \r +

s S —-—f—)

»=i r=1 r + mv \aj

in welcher die Zahlen mv die oben angegebene Bedeutung haben, auf die Form 1) gebracht, und dann

e-y<& b

nach Potenzen von x entwickelt wird.

Multiplicirt man G(x) noch mit xx, wo l eine ganze positive Zahl bedeutet, so erhält man eine Function, für welche die Reihe der Null-Stellen ausser den Grössen a₂, as, ... noch A Glieder, die gleich Null sind, enthält.

Es ist also stets möglich, eine ganze eindeutige Function G(x) mit vorgeschriebenen Null-Stellen zu bilden, wofern nur die nothwendige Bedingung

Lim | an | = oo

n — co

erfüllt ist.

Es giebt aber nicht bloss eine solche Function, sondern unendlich viele.

Setzt man nämlich

G{x)

GM = G-(x)e

so hat offenbar die Function Gx(x) dieselben Null-Stellen wie G(x), wie auch die Function G(x) angenommen werden möge. Umgekehrt ist, wenn zwei Functionen G(x), G^x) dieselben Null-Stellen haben, der Quotient

G^x)

G(x)

der mit G₂{x) bezeichnet werde, eine Function, die für jeden endlichen Werth von x einen von Null verschiedenen endlichen Werth hat. Es lässt sich deshalb

dG₂(x)

dx

GM

in eine beständig convergirende Reihe

C₁ + C₂ x + C₃ x* + • • •

entwickeln, und man erhält, wenn man

G(x) = C₀ + Ctx + ±Caxa+jC₃x³ + ---

13

n.

setzt, und die Constante C₀ so annimmt, dass

G,{0) = eC°

ist,

1 dG₂(x) _ dG(x)

dx

G₂(x) dx

Die Formel

G(x)

G(x)e

giebt also alle ganzen eindeutigen Functionen von a?, welche dieselben Null-Stellen wie G(x) haben.

Jetzt bedeute G(x) irgend eine gegebene ganze Function von a?, so können drei Fälle eintreten:

• l) sie hat keine Null-Stellen — dann ist sie eine Function wie die eben mit Ga(x) bezeichnete, und kann in der Form

ausgedrückt werden;

2) sie hat Null-Stellen in endlicher Anzahl — dann ist sie in der Form

G(x)

G₀(x)e

darstellbar, wo G₀(x) eine rationale ganze Function bedeutet;

3) sie hat unendlich viele Null-Stellen — in diesem Falle kann sie auf die Form

xx G₀(x)

(m

gebracht werden, wo A Null oder eine ganze positive Zahl, G {x) aber in der beschriebenen Weise aus den von Null verschiedenen Null-Stellen {atj aa, a₈, . . .) der Function, einer Reihe ganzer Zahlen t, m₂, m₃, ...) und der Veränderlichen x zusammenzusetzen ist.

Dieser Function G₀{x) kann man nun nach dem Vorstehenden für einen bestimmten Werth von x die Gestalt

ÜE-

av ’

mv e

—5ß(a?, n + l)

geben, wenn man n so gross annimmt, dass x dem absoluten Betrage nach kleiner ist als jede der Grössen aM+1, an+2, .... Aus dem oben bestimmten Ausdruck der Grenze, unterhalb welcher der absolute Betrag von

ri)

stets liegt, ergiebt sich aber

n = oo

indem

Lim 2

n = co v = n

x\ v

av

ist, wenn die Zahlen mv) wie angenommen worden, so bestimmt sind, dass

¹⁻¹1 e*

. mv x \ '

aVi einen endlichen Werth hat. Folglich ist — für jeden Werth von x —

G₀(a) =

V = 1    \ Uy J

Der Function G(x) kann man ferner in mannigfaltiger Weise die Gestalt

G(0) + ±gv(x)

geben, in der Art, dass die gy(x) sämmtlich rationale, für æ = 0 verschwindende ganze Functionen werden. Setzt man dann

so ergiebt sich

“» 1 / x\r

^⁺I,7Ü'

wo C eine Constante bedeutet. Da man nun auch im Falle (1)

G(x) = cf[e9v{x)

und im Falle (2), wenn al7 ... am die von Null verschiedenen Null-Stellen der Function G₀(x) sind,

«?(*) = cxxfi j(i~—fi

r = l(\    ^r/    ) v = «t+i

hat, so ist hiermit der Satz begründet:

Jede ganze eindeutige Function von x kann dargestellt werden in der Gestalt eines Products, dessen Factoren sämmtlich Primfunctionen von der Form

g{*0

{hx + l)e

sind, wo g{%) eine rationale, für x = 0 verschwindende ganze Function ist und h, l Constanten bedeuten. (Dabei ist zu beachten, dass g{x) und ebenso eine der Grössen h, l auch den Werth Null haben kann, also auch eine Constante als Primfunction zu betrachten ist.) Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken.

Das Product, durch welches G(x) dargestellt wird, convergirt — wenn es aus unendlich vielen Factoren besteht — unbedingt und zugleich für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag eine willkürlich anzunehmende Grenze nicht übersteigt, gleichmässig, vorausgesetzt, dass bei der angegebenen Zerlegung der Function G{x) so verfahren wird, dass die Reihe

2 9v(?) y — i

unbedingt und für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig convergirt,* was unter allen Umständen möglich ist. Denn unter dieser Voraussetzung braucht man nur nachzuweisen, dass das Product

mv

n M—

,=i \av

die angegebene Beschaffenheit besitzt, was der Fall ist, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Nach Annahme zweier positiven Grössen £, d, von denen die erste beliebig gross, die andere beliebig klein sein kann, muss es möglich sein, eine Zahl n so zu bestimmen, dass das Product aus beliebig vielen derjenigen Functionen in denen v>n, für jeden Werth von æ, dessen absoluter Betrag kleiner als £ ist, von der Einheit um eine Grösse ab weicht, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als ü ist. Dies ist aber in der That möglich. Nimmt man nämlich n so gross an, dass \ay\> £ ist, sobald v > n, so hat man für jeden

von welcher Grösse gezeigt worden ist, dass sie für einen unendlich grossen Werth von n unendlich klein wird; woraus sich das Behauptete sofort ergiebt. Es ist ferner zu beachten, dass die in den Primfactoren der Function

G{x) vorkommenden Exponentialgrössen nicht vollständig bestimmt sind. Nimmt man nämlich eine Beihe rationaler ganzer Functionen g[{x) so an, dass für jeden Werth von x

2 Ä(») = ⁰

V=1

ist — was auf unendlich viele Arten geschehen kann — so ändert der Ausdruck von G(x) seinen Werth nicht, wenn man in jedem seiner Factoren

gv{x) + gv(x) für gv{x)

setzt.

Werth von v Betrag nicht grösser als jj ist,

der grösser als w, und jeden Werth, von sc, dessen absoluter

E[~

av

mv

« 1 + rÛi r + mv \ av)

und es ist daher, wenn man von diesen Functionen auswählt und das Product derselben gleich

e~m

E , m)j beliebig viele

setzt, \f{%)\ stets kleiner als

00 00

y y —-^    ^ r + mv

v = n+1 r — 1

r + mv

Umgekehrt erhellt, dass man auf diese Weise alle möglichen Darstellungen von G(x) in der Form eines aus Primfunctionen gebildeten Products erhält.

Endlich möge noch bemerkt werden, dass in dem häufig vorkommenden Falle, wo für eine bestimmte ganze und positive Zahl p

einen endlichen Werth hat, die in den Functionen    vorkommenden

Zahlen m , ?» , ... alle gleich (^ — 1) gesetzt werden können.¹)

3. Eindeutige Functionen von x mit Einer wesentlichen

singulären Stelle.

Ist f{x) eine eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo, so lässt sich in dem Falle, wo sie ausserdem beliebig viele (auch unendlich viele) ausserwesentliche singuläre Stellen hat, eine Function G₂(x) hersteilen, für welche die Reihe der Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der Null-Stellen der Function

Dann ist    ebenfalls eine ganze Function von x, und man hat, wenn

diese mit Gt(x) bezeichnet wird,

f(x) =

G.ix)

a₂{x)

Zugleich sind diese Functionen Gx(x), Ga(x) so beschaffen, dass sie für denselben Werth von x nicht beide verschwinden. Und umgekehrt, wenn man zwei ganze Functionen von dieser Beschaffenheit willkürlich annimmt, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist, so stellt der Quotient

GM)

G₂(x)

eine eindeutige Function von x dar, welche höchstens die eine wesentliche singuläre Stelle oo hat.

Ist ferner f(x) eine eindeutige Function mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle c, so verwandelt sich, wenn man

x' =

woraus

setzt, fix) in eine Function von x mit der einen singulären Stelle oo, sich

ergiebt. Dabei ist G eine transcendente oder rationale iunction, jenachdem die singuläre Stelle c eine wesentliche oder ausserwesentliche ist.

Ebenso ergiebt sich als allgemeiner Ansdruck einer eindeutigen Function von a;, welche ausser einer wesentlichen singulären Stelle c beliebig viele ausserwesentliche hat, der Quotient wo die Functionen Gx) G₂ nicht beide für einen und denselben Werth von x verschwinden, und wenigstens eine von ihnen transcendent ist.

4. Ein Hülfssatz.

Ist jF(y) eine eindeutige Function, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle oo hat, und <p(&) eine rationale Function wten Grades, welche an n verschiedenen Stellen (cl? ... cn) gleich oo wird, so verwandelt sich F(y), wenn man y — cp(a?) setzt, in eine eindeutige Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen (c , ... cM). Man überzeugt sich indessen leicht, dass man auf diese Weise nur besondere Functionen dieser Art erhält. Wohl aber ist es möglich, wie bereits in § 1 angegeben worden und jetzt bewiesen werden soll, jede eindeutige Function f(x), deren wesentliche singuläre Stellen (c1? ... cn) sind, in der Form

n—\    /    1 Y

darzustellen, wo c irgend eine der Grössen c1? ... cn bedeutet.

Ich will zuerst annehmen, dass eine der wesentlichen singulären Stellen von f(x), z. B. cl5 den Werth oo habe, so dass

?(») =

x — cn

U    1    SY* _ P

tA/    Vft

.. kn keine den Werth Null hat. Nimmt man

ist, wo von den Constanten k dann zwischen x und einer andern Veränderlichen y die Gleichung

<pO*D = y

jedem endlichen Werthe von y im Allgemeinen n ebenfalls

an, so gehören zu

endliche und zugleich von den ct, ... cn verschiedene Werthe von x, welche

mit « , ... xn bezeichnet werden mögen; und man kann, wenn von denjenigen speciellen, nur in endlicher Anzahl vorhandenen Werthen von y, für die unter den Grössen xv ... xn sich gleiche finden, vorläufig abgesehen wird, n von y abhängige Grössen F₀, F^ ... Fn_₁ dergestalt bestimmen, dass

n—i

«1 ) • • • «w •

2 Fvxv — f(x) ist für x —

Setzt man

ü(«) — (x — xx)... (x — xn)

W\x) =

d n(x)

dx

so ist

n—i

2 Fvxv = 2

” f{xv) Il(«) ,

r=i H'(^)    « —«y woraus sich — wenn

II (x) = xn+ Xxxn 1 + X₂ xn 2 H— + x„

gesetzt wird, so dass also

U(x)

= ä;”⁻¹ + (X + XJ af"² + X + X\xv + X₂) xn~³ + • • • + XT¹ + X, x”

-2

x — xv

ist — die folgenden Formeln ergeben:

^-----b Xn_x)

/‘X)

n'X)

«XX)

•a, +s

Y    , v ^XX)

2 +4 n'X)

' x‘ ⁺,l‘l n'(*,) ’

X fX) 4 n'X)

H /y>W 1 -f ( /y ^

4- i V ^    / V4W

⁺ irx)

Von diesen Ausdrücken .F₀, JF, ... Fn_t ist nun zu zeigen, dass sie eindeutige Functionen von y sind, welche höchstens die eine wesentliche singuläre Stelle 00 haben.

• Xn_x + 2

” «XX)

n'X)

n— 2

Setzt man

so ist

(x-c₃)...(x-cn) = <K«)

<K«)(?(«)-S0 = n («)

und es sind demnach Xt, ... sämmtlich ganze lineare Functionen von y.

Die Ausdrücke

^ fM _

rà n'(*j ’ v x n'(«v) ’

*Wn

UM*

<~'fM

y l li (ß'y')

ferner, in denen die Grössen xi,...xn ebenso wie in Xl5 ... XM symmetrisch Vorkommen, haben gleichfalls eindeutig bestimmte Werthe für jeden Werth von y, der nicht zu den vorläufig ausgeschlossenen gehört; es reicht dies aber nicht aus zu dem Nachweise, dass sie — und mit ihnen FoJ ... Fn_x — Functionen der angegebenen Art von y sind, sondern es muss auch gezeigt werden, dass sich dieselben, wenn y in der Umgebung irgend eines bestimmten endlichen Werthes b angenommen wird, entweder unmittelbar oder doch, nachdem sie mit einer gewissen ganzen positiven Potenz von (y—b) multiplicirt worden, in der Form darstellen lassen.

Wird zunächst b so angenommen, dass unter den Wurzeln der Gleichung <p(x) = b, welche mit ... an bezeichnet werden mögen, keine zwei gleiche sich finden, so ist

(v — 1,... ri)

nicht gleich Null, und es hat also die Gleichung

<PO) = y,

welche, wenn x in der Umgebung von av angenommen wird, auf die Form y'(av).(x-av) + \y"(av).(x-av)‘i + --- = y — b

gebracht werden kann, für hinlänglich kleine Werthe von (y — b) eine in der Form

ay+iy-b) %(y-b)

da IT(«V)

darstellbare Wurzel.

Wird diese mit xv bezeichnet, so hat man nicht gleich Null, und av nicht eine der wesentlichen singulären Stellen der Function f(x) ist, für A = 1, ... n

A Y(u)

= (%y—av) niv %v(xv—av)

wo my Null oder eine ganze positive Zahl ist, jenachdem f(x) in der Umgebung von ay sich regulär verhält oder nicht. Bedeutet also m die grösste

II.

14

der Zahlen ... mn) so ist

Hat aber b einen solchen Werth, dass die Gleichung

y(x) = b

weniger als n von einander verschiedene Wurzeln besitzt, so sei a eine derselben, und y die Ordnungszahl der niedrigsten Ableitung von cp(&), welche für x — a nicht verschwindet. Dann lässt sich die Gleichung

y(z) = y,

wenn x in der Umgebung von a angenommen wird, auf die Form

(U+l)

(a). (x — ayi+1 H----- y — b

bringen, und es giebt, wenn man

= rl

setzt, eine Reihe von der Form

welche Gleichung

für x gesetzt, bei hinlänglich kleinen Werthen von (y — b) die

cp(z) = y

befriedigt; wobei zu beachten ist, dass ^3(y]) für tj = 0 nicht verschwindet. Fixirt man also einen der y Werthe von tj und setzt

2tu

£ = 6 ,

— a + r^^), x₂ = a+e^Ovj), ... Xp — a + £^⁻¹yj^(e'w-17j),

so sind xtixti...x diejenigen y Wurzeln der Gleichung, welche für y = b den Werth a annehmen. Man hat dann, da die niedrigste Ableitung von n(«), welche für y = 6, x = a nicht verschwindet, die yte ist, für v = 1, ... y

U'(xr) = nxnr-¹+(n-l)X₁xr² + -- + Xn_₁ = (s

wo $(sv 1y]) für •/] = 0 nicht verschwindet, und, wenn für Werthe von x in der Umgebung der Stelle a

f(x) = (x — a) m[Ä₀ + At(x — a) +

so ist

^ xj lf(xv) _

rŁ n\Xv)

Aus der Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung müssen nun, da

= ri

—mix—u

nur für solche ganzzahligen Werthe von p, die durch [i theilbar sind, einen von Null verschiedenen Werth hat, alle Potenzen von rj, deren Exponent nicht ein Vielfaches von y ist, fortfallen; und es ist daher

U'M

= {y-bTmWl\y-b).

Hat also die Gleichung

cp(x) = b

r von einander verschiedene Wurzeln ... und haben fix, mx für ay dieselbe Bedeutung wie im Vorstehenden (i, m für «, so ergiebt sich für hinlänglich kleine Werthe von (y — b)

fl    F ( /y* \

«Sy / \ jsv )

,4 n-(*r)

ü =E 1

und somit, wenn jetzt m die grösste der Zahlen mx bedeutet, ganz so wie in dem Falle, wo unter den Wurzeln der Gleichung y(x) = b sich keine zwei gleiche finden,

(y-bm

” x} ¹f{xv)

n'W

= r\y-b).

Hiermit ist bewiesen, dass die Ausdrücke

UM*

lf(xy)

(l = 1,... n)

und daher auch die Grössen F₀, ... F

n-1 1

welche jetzt mit

F₀{y), ... Fn_x(y)

bezeichnet werden mögen, eindeutige Functionen der Veränderlichen y sind, welche höchstens die eine wesentliche singuläre Stelle oo haben. Zugleich folgt aus dem Vorstehenden, dass F₀{y)₎ ... Fn_t{y) in dem Falle, wo es für die Function f{x) ausserwesentliche singuläre Stellen nicht giebt — die Zahl m also stets gleich Null ist — sämmtlich ganze Functionen von y sind.

Der Definition dieser Functionen Fv(y) gemäss besteht nun die Gleichung

n—i

V=0

wenn für irgend einen endlichen Werth von y die Grösse x der Gleichung u(x) = y genügt. Versteht man also unter x irgend einen endlichen, von den c₂, ... cn verschiedenen Werth und setzt y = y(x'), so kann man x = x nehmen, und erhält dann

n—i

d. h. es gilt für jeden Werth von a?, der nicht in der Reihe (oo, c₂, ... c ) enthalten ist, die Gleichung

n—i

Es ist angenommen worden, dass cx gleich oo sei, weil dann einem endlichen Werthe von y stets endliche Werthe der Grössen xt1 ... xn entsprechen, und somit bei dem Beweise des vorstehenden Satzes das Verhalten der Functionen Fv(y) in der Umgebung der Stelle oo nicht besonders untersucht zu werden braucht. Sind aber ct, ... cn sämmtlich endliche Grössen, so setze man

x = ct + —t

und bezeichne mit f{z) die Functionen, in welche sich cp(#), f(x) dadurch verwandeln. Dann hat man

<?(*) = K+K* +

8-C'₂

— wo die Jc\ c wieder Constanten bedeuten — und es sind (oo, c', ... c'n) die wesentKchen singulären Stellen für die Function f(g). Man hat also, wenn man jetzt die Functionen F₀(y), ... F^^y) für die Function f(z) ebenso

bestimmt wie im Yorhergehenden für f(x)

n— l

oder

n-i    /IV

2 U(?(*))-b—r = f(*)-

t -l    \ ^ °i /

wenn man

In dieser Form, welche in die vorher aufgestellte übergeht ct = oo setzt, kann also die Function /"(æ) stets dargestellt werden, wenn y{x) eine beliebige rationale Function nten Grades ist, welche an jeder der n wesentlichen singulären Stellen der ersteren unendlich gross wird.*)

5. Eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer Stellen.

Eine rationale Function f{x) mit den singulären (ausserwesentlichen) Stellen c₀ ... cn lässt sich bekanntlich in der Form

ÈAxhù

darstellen, wo 6rx, ... Gn rationale ganze Functionen bedeuten.

Es soll nun gezeigt werden, dass jede eindeutige Function f{x) mit einer endlichen Anzahl (wesentlicher oder ausserwesentlicher) singulärer Stellen (cx, ... cn) in derselben Form ausgedrückt werden kann, und zwar dergestalt, dass unter den Functionen

gJ-^—

'\x — cv

so viel transcendente Vorkommen, als f[x) wesentliche singuläre Stellen hat.

Es möge zunächst f(x) nur wesentliche singuläre Stellen haben. Dann sind, wenn man f{x) auf die im vorhergehenden § auseinandergesetzte Weise in der Form

n-i    / 1 V

2U(?W)-b—-

v = o    \ ■*' °i /

darstellt, die Functionen Fv(y\ wie nachgewiesen worden ist, sämmtlich ganze

*) Es lassen sich leicht auch ähnliche Ausdrücke von f(x), in denen die Grössen ... cn symmetrisch Vorkommen, aufstellen; es genügt aber der vorstehende für den zunächst ins Auge gefassten Zweck.

Functionen von y, so dass man

*u?(*)) = s K.x-(v(x)f

2 = 0

hat, wo die -FrA von a? unabhängige Grössen sind.

Für alle Werthe von æ, bei denen der absolute Betrag von (%—cJ unterhalb einer bestimmten Grenze bleibt, ist nun

?(*) =

■^(?(«)) = 2

und somit, wenn man

oc

setzt

f.L = 0

U(?(*)) = 22 F^.A^x-c,)

7. — 0 \ u = o

-Ż+U r

Die Doppelsumme auf der Rechten dieser Gleichung hat aber die Eigenschaft, dass sie convergent bleibt, wenn man jedes ihrer Glieder durch dessen absoluten Betrag ersetzt. Convergirt nämlich die Reihe ^{x— cj, wenn der absolute Betrag von (x-cj kleiner als q ist, so lässt sich eine positive Grösse g so bestimmen, dass jeder Coefficient von nach kleiner ist als der entsprechende Coefficient in der Entwickelung der Function

^(x — cj dem absoluten Betrage

x — cx

und dann ist, wenn \x — ct \ = g gesetzt und g < q angenommen wird

IX — 0

also

.S S (F^.A^x-cJ-***)

2 = o ^1 = 0

woraus sich das Behauptete sofort ergiebt, indem die Summe

::

.2 (l-PLI-/)

/ = 0

für jeden endlichen Werth von y einen ebenfalls endlichen Werth hat.

Die Doppelsumme, durch welche Fv(y(x)) ausgedrückt worden, convergirt also unbedingt, und es ist daher gestattet, in ihr alle Glieder, welche dieselbe Potenz von (x—cj enthalten, in eines zusammenzuziehen. Geschieht dies in den Ausdrücken sämmtlicher Functionen

F MW)

so ergiebt sich

m = iou(-ArT+r(*-o

x — l \    /

für alle Werthe von x, bei denen der absolute Betrag von (x— cx) kleiner als q ist.

Die Reihe

¹

Die in diesem und dem folgenden § enthaltenen Sätze habe ich bereits im Herbst 1874 in meinen Universitäts-Vorlesungen ausführlich vorgetragen.

JMM]

und ist also eine

convergirt hiernach für beliebig grosse "Werthe von —

/ l \ x ci '

ganze Function dieser Grösse, welche mit    bezeichnet werden möge.

Man hat dann d. h. die Differenz verhält sich in der Umgebung der Stelle cx regulär.

Versteht man nun unter G) die Function, welche in Beziehung auf die singuläre Stelle cv dieselbe Bedeutung hat wie G ( _c J in Beziehung auf die Stelle ct, so ist

m-t g’(M)

v — 1    \ ^    /

eine eindeutige Function von x, welche sich in der Umgebung jeder beliebig angenommenen Stelle regulär verhält. Denn die Function    verhält

sich regulär in der Umgebung jeder von cv verschiedenen Stelle; es könnte also jene nur die singulären Stellen cx,...cn haben, was nach dem eben Bewiesenen nicht der Fall ist — und hieraus folgt, wie schon in § 1 gezeigt worden, dass sie einen constanten Werth hat, der mit C bezeichnet werden möge.

Es ist also

oder auch, wenn man zu den Functionen G , ...G constante Glieder,

'    17    fl    7

deren Summe gleich C ist, hinzufügt,

Wenn nun ferner f(x) die m und die (w — m) ausserwesentlichen (c der Zahlen (m + 1), ... n ist, und x in der Umgebung von cy angenommen wird,

f(x) in der Form (x — cv)

wesentlichen singulären Stellen (ct1 ... cm), .. cn) hat, so lässt sich, wenn v eine

+D ■

-mv

darstellen. Setzt man also

mv-1

-mv+%

V. = 0

«*)-i öi-T-) = m

so ist fx{x) eine eindeutige Function, welche m wesentliche singuläre Stellen (clt ... cm), aber keine ausserwesentliche hat, und deshalb nach dem Vorhergehenden in der Form

dargestellt werden kann.

Man hat also auch in diesem Falle

^ =lG'fe)

mit dem Unterschiede, dass jetzt unter den Functionen Gv tran scen dente sich finden.

Hiermit ist der in § 1 unter (B, 1) angegebene Satz vollständig bewiesen.*)

*) Es bedarf kaum der Erinnerung, dass unter Voraussetzung einiger Sätze, die nicht den ersten Elementen der Functionenlehre angehören, der im Vorstehenden entwickelte Ausdruck von f(x) auf kür-Wege ohne den im vorhergehenden § bewiesenen Hülfssatz hätte hergeleitet werden können. Indess giebt dieser Hülfssatz, auch abgesehen von dem Gebrauch, der von ihm gemacht worden ist, einen an sich bemerkenswerthen allgemeinen Ausdruck der untersuchten Functionen, den ich nicht übergehen mochte.

zerem

nur m

6. Eindeutige Functionen von x, welche n wesentliche singuläre Stellen besitzen, an jeder anderen Stelle aber einen endlichen und von Null verschiedenen Werth haben.

Ist f(x) eine Function dieser Art, so hat man, wenn x in der Umgebung irgend einer nicht singulären Stelle a angenommen wird

f(x) — A₀ + Ax{x — a) + A₂(x — cifĄ----,

wo Ao nicht gleich Null ist.

Daraus folgt, wenn a nicht oo ist

1 df (x)

f\x)

dx

dagegen, wenn in dem Falle

die singulären Stellen (c₄, ... cn) von f(x) alle im Endlichen liegen, a — oo genommen wird, also x — a = ^ zu setzen ist,

wo

¹ df(x) _ fix) dx    x² ^\x)

Die Function

1 df (x) f\x) dx

hat also nur die n singulären Stellen ci? ... cw, und kann daher, wie im vorhergehenden § gezeigt worden, in der Form

C+Êrtiéd

dargestellt werden, so dass in den Functionen G kein constantes Glied vorkommt.

Ist cv nicht oo, und Jcv der Coefficient von

—— in G

x—cx

so lässt sich

4- ©J—)

dx \x — cj

gJ——

\x-cv

bringen, wo auch G (——) eine ganze Function von —— ohne constantes Glied ist. In dem Falle ferner, wenn x dem absoluten Betrage nach grösser als jeder dieser Werthe ist,

auf die Form

x~cv

wo

die cr sämmtlich endliche Werthe haben, ist

II.

15

1 df(x) f\x) dx

~Cy

es muss also

sein, und man hat

Wenn dagegen eine der Grössen cv den Werth oo hat, so möge cn diese sein; dann ist

wobei man 6rM(0) = 0 annehmen kann; man hat also in diesem Falle

1 df(x) f (x) dx

Es ist nun zunächst zu zeigen, dass im beiden Fällen die hv sämmtlich ganze Zahlen sind.

Man setze, unter q eine constante, und unter x eine veränderliche reelle Grösse verstehend,

#x ~ Ci+Qe ,

wo A im ersten Falle eine der Zahlen 1, ... n und im zweiten eine der Zahlen 1,    —1) bedeutet. Dann lässt sich, wenn man q hinreichend klein an

nimmt, in beiden Fällen die Summe der Grössen

ly v dx^

X^Cy

auf die Form

\idx + d^ß(xT— c₂)

bringen; und es ist

¹ df(xz) __

f(xr) dx

Daraus folgt, wenn man

setzt :

F{x) =

II Ms

h~i

f(xT) = CF(ocx).e wo C eine von x unabhängige Grösse bedeutet.

Vermehrt man in dieser Gleichung x um 2tc, so bleibt xr ungeändert; es muss also

j

und somit \ eine ganze Zahl sein.

Setzt man jetzt, unter C₀ eine Constante verstehend,

w —s    7,

£*(*) = G₀JUx-cvt

wo e = 0 oder 1 zu nehmen ist, jenachdem cn einen endlichen Werth hat oder nicht, so ist

1 dR*(x)

B*(x)

dx

~ov

und es ergiebt sich bei gehöriger Bestimmung der Constante C₀

„ ei-¹—)

/■(*) = B*(*).n« [x~cJ

Da nun in dem Falle, wo die Grössen cy sämmtlich endliche Werthe haben, ist, so ist für x = oo die Function R*(x) weder Null noch unendlich gross; sie ist also eine rationale Function von x, welche an jeder Stelle, die nicht zu den singulären Stellen von f(x) gehört, einen endlichen und von Null verschiedenen Werth hat. Für n = 1 reducirt sich dieselbe auf eine Constante.

Es lässt sich also jede Function f{x) von der oben angegebenen Beschaffenheit in der bereits in § 1 aufgestellten Form ausdrücken.

r\X — Cv

Umgekehrt stellt die vorstehende Formel stets eine Function dieser Beschaffenheit dar, wenn man die Grössen ... cn und die Functionen willkürlich, die Function R*(x) aber so annimmt, dass sie die angegebene Eigenschaft besitzt.

in der

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Wenn von einer eindeutigen Function f(x) feststeht, dass nicht nur sie selbst, sondern auch Umgebung jeder Stelle, welche nicht zu einer Reihe gegebener Stellen (ci,    gehört, sich regulär verhält, während über ihr Verhalten in der

Umgebung einer der letzteren Stellen nichts bekannt ist, so ergiebt sich ebenso

15*

wie im Vorstehenden

1 df(x) f{x) dx

= c+s^(—')

r = i \X — Cj

H-S 7.

_ y< _

v = i x-cv

n G,!-¹—)

f(x) = R*(x)l{e {x~cJ

mit dem Unterschiede, dass jetzt die Functionen Gv zum Theil oder auch alle gleich Null sein können.

7. Eindeutige Functionen von x mit n wesentlichen und beliebig vielen ausserwesentlichen singulären Stellen.

Das Verfahren, durch welches man mit Hülfe der in den §§ 2 bis 6 entwickelten Sätze zu den in der Einleitung unter (B, 2) und (C, 1 u. 2) aufgestellten Ausdrücken einer eindeutigen Function f(x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen gelangt, ist der Hauptsache nach bereits in § 1 so vollständig auseinander gesetzt worden, dass nur Weniges hinzuzufügen bleibt.

Hat die darzustellende Function keine Null-Stellen, so sind die a. a. O. mit 6rcv) bezeichneten Functionen sämmtlich durch die Zahl 1 zu ersetzen.

Hat sie Null-Stellen in endlicher Anzahl, so kann man dieselben in beliebiger Weise den wesentlichen singulären Stellen zuordnen ,• es werden dann die 6r(v)^^c j rationale Functionen, welche zusammengenommen dieselben Null-Stellen wie f(x) haben. Am einfachsten ist es in diesem Falle, eine der Functionen 6rv) so zu bestimmen, dass die Beihe ihrer Null-Stellen mit der von f(x) übereinstimmt, und die übrigen dann durch die Zahl 1 zu ersetzen.

In dem Falle endlich, wo f(x) unendlich viele Null-Stellen hat, giebt es unter den wesentlichen singulären Stellen mindestens eine — sie möge mit bezeichnet werden — die so liegt, dass in jeder Umgebung derselben unendlich viele Null-Stellen von f{x) vorhanden sind. Ist dann c; irgend eine der übrigen wesentlichen singulären Stellen, und versteht man unter Cx diejenige Umgebung derselben, in welcher

\X-CX\<Q

ist, so kann man q so klein annehmen, dass Cl nur die eine wesentliche

singuläre Stelle c,, und Null-Stellen nur in dem. Falle enthält, wo in jeder Umgebung von cx sich solche finden. Wenn man dabei q auch so annimmt, dass an der Grenze von Cx keine Null-Stellen liegen, und dann unter Cx denjenigen Theil des Gebietes von x versteht, der nach Ausscheidung von C₂, C₃, ... übrig bleibt, so ist das ganze Gebiet dergestalt in Theile Cx, C₂, ... zerlegt, dass sich in der a. a. O. beschriebenen Weise Functionen

Ga)

x — c₁

G{2)

x-c₂

bilden lassen, deren Null-Stellen beziehlich die in G, G₂, ... enthaltenen Null-Stellen von f{x) sind. Dabei ist, wenn es in einem dieser Theile keine Null-Stellen von f{x) giebt, die entsprechende Function Gm durch 1 zu ersetzen; woraus erhellt, dass man auf die angegebene Weise verfahrend die geringste Zahl von Functionen    erhält, für welche die Gesammtheit

ihrer Null-Stellen identisch ist mit der Reihe der Null-Stellen der Function f{x).

Wenn nun ferner f{x) — wie in § 5 angenommen worden — n (wesentliche oder ausserwesentliche) singuläre Stellen (cx, ...cn) hat, so sind wieder drei Fälle zu unterscheiden.

Die singulären Stellen können sämmtlich wesentliche sein — dann ist, wenn man setzt, f\(%) eine Function von der im vorhergehenden § vorausgesetzten Beschaffenheit, so dass sie sich, da jede ihrer wesentlichen singulären Stellen in der Reihe ci, ... cn enthalten ist, in der Form

R*(x) f\eG^x~c^

darstellen lässt — wobei zu beachten ist, dass nach dem am Schluss d. a. § Bemerkten die Functionen Gv zum Theil oder auch alle gleich Null sein können. Setzt man also

Gw

=G’(-

Hat ferner f{x) m wesentliche singuläre Stellen (c , ... cm) und (n — m) ausserwesentliche (c , ... cM), so möge, wenn v eine der Zahlen m + l, ... n ist, mv die kleinste positive ganze Zahl sein, durch welche bewirkt wird, dass

so ergiebt sich

(x-cv)mvf(x)

Setzt man dann

für x — cv einen endlichen Werth erhält.

G-J—¹—) = (—

\x — cj    \x — cv

Ci-Cv

Vly

(v — m + l,... ri)

falls ci — oo ist, der Werth 0, falls cv = oo

wobei unter dem Zeichen

C1 cv

ist, der Werth ct zu verstehen ist, und

fix) = f(x). ri e,(-V)

V = m + l    Vy /

so ist f(x) eine Function, welche die m wesentlichen singulären Stellen (cx, ... ch), aber keine ausserwesentliche hat, mithin in der Form ausgedrückt werden kann.

Sind endlich cx, ... cn sämmtlich ausserwesentliche singuläre Stellen für die Function, und hat mv dieselbe Bedeutung wie oben, so ist, wenn von den Grössen c , ... cn keine den Werth oo hat

f{x) =

G'(x)

(x-c,)™¹ ...(oc-cn)

mn

oo,

wo G{x) eine ganze rationale Function von nicht höherem als dem (m + ••• + wn)tea Grade bezeichnet — dagegen, wenn cn =

f(x) ==

G{x)

(x-c₁fh...(x-cn_₁)

mn~i

Man

wo der Grad von G{x) den des Nenners um mn Einheiten übertrifft, kann daher in beiden Fällen f(x) auf die Form

bringen, in der Art, dass    eine ganze rationale Function mv

ten

Grades

von

ist.

X — Cy

Hiernach kann also jede eindeutige Function von x mit n singulären Stellen in der in § 1 unter (B, 2) aufgestellten Form

ausgedrückt werden. Dabei ist zu beachten, dass R*(x) — wie a. a. O. angegeben worden — nur an solchen Stellen, welche sich unter den wesentlichen singulären Stellen der darzustellenden Function finden, Null oder

wenn

unendlich gross wird; so wie auch, dass keine der Functionen G    —)

V\X Cy )

dieselben in der beschriebenen Weise gebildet werden, sich auf eine Constante reducirt.

wenn die Functionen Gv1 R* diesen Be-

Zugleich erhellt, dass

dingungen gemäss, im Übrigen aber willkürlich angenommen werden vorstehende Formel auch stets eine eindeutige Function von x mit höchstens n singulären Stellen darstellt.

die

Jetzt sei f(x) eine beliebige eindeutige Function mit den n wesentlichen singulären Stellen (cl7 ... c). Dann ist wieder, wenn man unter

^n+\x — cJ’

die Functionen versteht, welche zur Function    in derselben Beziehung

stehen wie

2M

X~Cn

G⁽¹⁾

x — cj’

... gw)

x-cn

zu f(x)*) — so dass die Gesammtheit ihrer Null-Stellen identisch ist mit der

— und

Reihe der Null-Stellen von -X

fix)

Gw

x — cv

-m

*) Es ist zu beachten, dass die zur Definition der Functionen Gn+V erforderliche Zerlegung des Gebietes von x in n Theile den in Beziehung auf die Function f (x) gegebenen Bestimmungen gemäss auszuführen ist, so dass diese Theile nicht notlrwendig dieselben werden wie die vorhin mit Cv C₂, ... be-zeichneten.

setzt, f[(x) eine Function von derselben Beschaffenheit wie die im Vorstehenden so bezeichnete. Man erhält also, wenn man für dieselbe den angegebenen Ausdruck setzt und

GM

gJ—M

\x-cvJ

bezeichnet,

x-cv

mit G-J—-—) \x-cj

f{x) =

ÈM-ïk)

Dies ist der in § 1 unter (C, 2) gegebene Ausdruck von f{x).

Die in diesem Ausdrucke vorkommenden Functionen G. ... Ga sind so

1¹    2 n

beschaffen, dass nicht zwei derselben eine gemeinschaftliche Null-Stelle haben, und auch keine von ihnen an einer der Stellen c .... c verschwindet. Ferner

l /    n

ist von den Factoren des Nenners jeder, welcher nicht unendlich viele Null-Stellen hat, eine rationale Function, und der entsprechende des Zählers dann nothwendig eine transcendente. Dabei darf angenommen werden, dass die Anzahl derjenigen Factoren des Nenners, welche nicht gleich 1 sind, ein Minimum sei; dann ist in dem Falle, wo f(x) unendlich viele ausserwesent-liche singuläre Stellen hat, jeder dieser Factoren eine Function mit unendlich vielen Null-Stellen, während im entgegengesetzten Falle der Nenner sich auf eine rationale Function von x mit einer — in der Beihe cx, ... cn enthaltenen — singulären Stelle, oder auch auf eine Constante reducirt. R*{x) hat dieselbe Bedeutung wie im vorher betrachteten Falle.

Zugleich ist klar, dass der vorstehende Ausdruck stets eine eindeutige Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen (c1? ... cn) darstellt, wenn die Functionen

■)’ Rt(x)

x — c₁

— n+1\x-ct

so angenommen werden, dass sie die angegebene Beschaffenheit haben, im Übrigen aber willkürlich gewählt sind.

Die Function R*{x) kann in der Form

A x — cj

/"Y*

x-cx

Cr₂

wo cx eine beliebige der Grössen c^...cn bedeutet, dergestalt ausgedrückt werden, dass 6r*, G* rationale ganze Functionen von ohne gemeinschaftlichen Theiler sind.

Es lässt sich also der allgemeinste Ausdruck einer eindeutigen Function von x mit den n wesentlichen singulären Stellen c. ... c auch in der Form

l⁷    n

ÜG-ri——)

r = i V\X — Cy)

darstellen, wo die Functionen G^ ... G2n dieselbe Beschaffenheit wie in dem vorhergehenden Ausdruck haben, mit der Modification, dass jetzt auch ein Factor des Zählers und der entsprechende des Nenners an einigen der Stellen clt ... cn verschwinden können.

Übrigens erhellt, dass beide Ausdrücke, wie auch die Functionen 6r , ... angenommen werden mögen, stets eine eindeutige Function von x darstellen, deren wesentliche singuläre Stellen sich sämmtlich in der Reihe c , ... cn finden; so wie auch, dass cK wirklich eine wesentliche singuläre Stelle dieser Function ist, wenn unter den übrigen Grössen cv keine ihr gleiche sich findet und der Quotient

Gx(——) \x-cj

sich nicht auf eine rationale Function reducirt.

Der zweite Ausdruck von f(x) kann nun auf doppelte Weise noch weiter entwickelt werden.

Setzt man

fr O)

f{x) =

fAX) = ń^n+r( ^

r = l    \    /

so

sind f^x), fa(x) Functionen von x, welche sich in der Umgebung jeder von

II.

16

Cj, ... cn verschiedenen Stelle regulär verhalten, und deshalb nach § 5 in der Form

m = A + ± ±A^x-cv)-^

V = 1 ,U = 1

łi    CO

/.(*) = -ß + 2 S ^ (»-C,)"'*

r = i = l

dargestellt werden können, wo die Coefficienten

A) -B, A^y, I>^iV

Constanten und so beschaffen sind, dass die Reihen für jeden von clf ... cn verschiedenen Werth der Veränderlichen x .unbedingt convergiren. So ergiebt sich der in § 1 unter (C, 1) aufgestellte Ausdruck von f(x).

Wenn man ferner das in § 2 auseinandergesetzte Verfahren zur Zerlegung einer ganzen eindeutigen Function in Primfactoren auf die Functionen 6r₄, ... Gin anwendet, so erhält man jede der Functionen fx(x), f₂(x), wofern sie nicht selbst eine Primfunction ist, als Product von (rationalen oder tran-scendenten) Primfactoren dargestellt, und zwar so, dass die singuläre Stelle jedes einzelnen eine der wesentlichen singulären Stellen von f{x) ist, und das Product, falls es aus unendlich vielen Factoren besteht, in jedem Theile des Gebiets von x, der weder im Innern noch an der Grenze eine der Stellen Cj, ... cn enthält, unbedingt und gleichmässig convergirt.

Hiermit ist vollständig nachgewiesen, wie sich jede eindeutige Function f(x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen aus den einfachsten Functionen mit einer (wesentlichen oder ausserwesentlichen) singulären Stelle durch arithmetische Operationen zusammensetzen lässt.

Es bleibt aber noch übrig zu ermitteln, wie eine solche Function sich in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen verhält.

8. Verhalten der untersuchten Functionen in der Umgebung einer ihrer wesentlichen singulären Stellen.

Ist f{x) eine ganze eindeutige Function, so weiss man, dass es unendlich grosse Werthe von x giebt, für welche der Werth von f(x) ebenfalls unendlich gross ist — mit andern Worten, dass sich, wenn a, b zwei willkürlich angenommene positive Grössen sind, unter den Werthen von æ, die ihrem absoluten Betrage nach grösser als a sind, stets solche finden, für die der absolute Betrag von f(pc) grösser als b ist.

Dasselbe gilt für jede eindeutige Function von x mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo. Man denke sich nämlich eine solche Function so, wie in § 3 angegeben worden, in der Form

Gt(x)

Ga(x)

ausgedrückt, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden. Ist der Nenner eine transcendente Function, so verschwindet derselbe für unendlich viele Werthe von x\ unter diesen giebt es also nothwendig unendlich grosse, und in einer unendlich kleinen Umgebung eines solchen Werthes ist der Werth von f(x) unendlich gross. Ist aber G₂(x) eine rationale Function, so kann

Gt(x)

auf die Form

G₃(x)

G₂(x)

in der Art gebracht werden, dass Gz{x) eine rationale ganze Function von niedrigerem Grade als G₂(x), und Gé(x) eine transcendente ganze Function ist; woraus sich, da der Quotient

Gs(x)

Gt(x)

für jeden unendlich grossen Werth unendlich klein ist, die Richtigkeit des Behaupteten auch in diesem Falle ergiebt.

Dies vorausgeschickt, bedeute jetzt f{x) wieder eine beliebige eindeutige Function mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen, so kann dieselbe, wenn c irgend eine dieser Stellen ist, nach dem vorhergehenden § in der Form

•F{x)

gI——)

¹\x — cj

dergestalt ausgedrückt werden, dass F(x) in der Umgebung der Stelle c sich regulär verhält, aber für x — c nicht verschwindet. Es giebt also, wenn q , R positive Grössen sind, von denen die erste beliebig klein und die andere beliebig gross angenommen werden kann, Werthe von x, für die

\x — c\cq

ist.

Nun hat aber, wenn C eine willkürlich anzunehmende Grösse bedeutet, die Function

m-o

dieselben wesentlichen singulären Stellen wie f(x)] es existiren also auch Werthe von x, für die

ist.

m-c

> 11,

Hiernach ändert sich die Function f(x) in einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle c in der Art discontinuirlich, dass sie jedem willkürlich angenommenen Werthe beliebig nahe kommen kann, für x = c also einen bestimmten Werth nicht besitzt; was sich in den entwickelten Ausdrücken der Function dadurch

żu erkennen giebt, dass dieselben für x — c aufhören deutung zu haben.

eine Be

UNTERSUCHUNGEN ÜBER DIE 2r-FACH PERIODISCHEN FUNCTIONEN

VON r VERÄNDERLICHEN.

(Briefliche Mittheilungen an C. W. Bor char dt. Crelle’s Journal, Bd. 89.)

1.

Im Monatsbericht unserer Akademie v. J. 1869 (S. 855)*) habe ich das folgende Theorem mitgetheilt:

»Es sei ... ur) eine eindeutige Function, die bei endlichen Werthen der r Veränderlichen ... ur den Charakter einer rationalen Function hat und 2r-fach periodisch ist; so lässt sich jede andere Function f(ut,...ur) dieser Art, welche dieselben Periodensysteme wie ft{u^... ur) besitzt, rational durch die (r + l) Functionen

df\ (u,, ... ur)

dur

du₁

ausdrücken, unter diesen aber besteht eine algebraische Gleichung.«

Du siehst, lieber Freund, dieses Theorem entspricht vollkommen dem Liouville’schen Satze, nach welchem, wenn ft(u) eine eindeutige doppelt periodische Function ist, die innerhalb eines Perioden-Parallelogramms nur an zwei Stellen unendlich gross wird, jede andere eindeutige Function f{u), welche dieselben Perioden wie fx(u) besitzt und innerhalb eines Perioden-Parallelogramms an beliebig vielen Stellen unendlich gross wird, in der Form

M+Nßiu)

dargestellt werden kann, wo L, M, N ganze rationale Functionen von ft(u)

bezeichnen. Der Unterschied ist nur, dass nach meinem Satze f(u) rational durch f\(u) und f'(u) ausgedrückt werden kann, wenn f^u) eine beliebige Function der betrachteten Art ist, welche dieselben Perioden wie f(u) hat; was sich übrigens aus dem Liouville’sehen Satze leicht folgern lässt.

Ich habe die Aussage meines Theorems im Wesentlichen so wiedergegeben, wie sie im Monatsbericht der Akademie steht. Dieselbe bedarf aber einer Modification.

Man betrachte als zu einer Klasse gehörend alle 2r-fach periodischen Functionen f(ut,... ur) der angegebenen Art, welche dieselben Periodensysteme besitzen; so ist das Theorem folgendermassen auszudrücken:

»Alle einer bestimmten Klasse angehörigen Functionen    lassen

sich rational aus einer von ihnen —    ... ur) — und den ersten Ab

leitungen derselben zusammensetzen, wobei diese Function im Allgemeinen beliebig ausgewählt werden kann, mit der Beschränkung, dass es möglicherweise particuläre Functionen der Klasse giebt, die auszuschliessen sind. Zugleich besteht zwischen jeder Function f und deren ersten Ableitungen eine algebraische Gleichung.«

Es ist aber dieser Satz nur ein besonderer Fall eines allgemeineren Theorems, das ich Dir bei dieser Gelegenheit mittheilen möchte. Es wird jedoch nöthig sein, dass ich einige Bemerkungen vorausschicke, durch welche der Charakter der Functionen, auf die das Theorem sich bezieht, genau festgestellt werden soll.

Liouville bezeichnet in den von Dir ausgearbeiteten »Leçons« die von ihm untersuchten Functionen als »fonctions bien déterminées«, ohne dieselben genauer zu definiren; es erhellt aber aus den Voraussetzungen, die er bei der Begründung seiner Sätze macht, und aus den Endresultaten seiner Untersuchung, dass er ausschliesslich solche eindeutige Functionen einer Veränderlichen im Auge hat, für die — nach der von mir in der Abhandlung: »Zur Theorie der eindeutigen Functionen«*) gebrauchten Terminologie — im Endlichen eine wesentliche singuläre Stelle nicht existirt. In der That haben für andere eindeutige Functionen seine Sätze keine Gültigkeit. (So z. B. ist

F(u) = e

sin am u

ausdrückbar. Für dieselbe ist aber jeder Werth von u, für den sin am u — oo wird, eine wesentliche singuläre Stelle. Denn es lässt sich F(u), wenn a irgend ein solcher Werth ist, für hinlänglich kleine Werthe von (u—a) zwar nach ganzen Potenzen dieser Grösse in eine con-vergirende Reihe entwickeln, in derselben kommen aber Glieder mit negativen Exponenten in unendlicher Anzahl vor.) Wenn es sich also darum handelt, die Liouville’sche Theorie der doppelt periodischen Functionen einer Veränderlichen auf 2r-fach periodische Functionen von r Veränderlichen auszudehnen, so ist von vorn herein klar, dass dies nur für Functionen von besonderer Beschaffenheit möglich sein wird.

eine eindeutige und doppelt periodische Function, jedoch nicht rational durch sin am u und

d sin am u

du

oo ist, die Bedeutung gegeben werde.)

Um mich im Folgenden kurz ausdrücken zu können, will ich, wenn gleichzeitig betrachtete veränderliche Grössen sind, ein einzelnes Werthsystem derselben eine »Stelle im Gebiete der Grössen u^ ... ur« nennen. Ferner soll, wenn (a^ ... ar) eine bestimmte Stelle des Gebietes ist, die Ge-sammtheit der Stellen {ur,... wr), für die jede der Differenzen (u^aj, ... (ur—ar) ihrem absoluten Betrage nach kleiner als eine gegebene Grösse d ist, die »Umgebung (tf) der Stelle (ai? ... ar)« heissen. (Dabei setze ich fest, dass der Formel (u — a) in dem Falle, wo a =

Dies festgestellt, gebe ich nun folgende Definitionen:

Ich sage von einer eindeutigen Function f(ui:... ur), sie verhalte sich an einer bestimmten Stelle («l} ... ar) regulär, wenn sie in einer gewissen Umgebung dieser Stelle durch eine Reihe von der Form

HAVu...    - «i Y¹ • • • (Ur~ar)Vr

dargestellt werden kann, wo ... vr ganze Zahlen bezeichnen und unter den Coefficienten A

v von ... w. unabhängige Grössen zu verstehen sind. (Ich gebrauche für eine solche Reihe die Bezeichnung

— «1 > • • • ur— ar) oder auch $ (ux, ... ur | ax, ... ar)

in Fällen, wo nur die Form der Reihe hervorgehoben werden soll und es auf die Werthe ihrer Coefficienten nicht ankommt.)

Die Stellen, an

denen eine Function f(u^ ... ur) sich regulär verhält, bilden ein 2r-fach ausgedehntes Continuum, das nothwendig begrenzt ist;

jede an der Grenze desselben liegende Stelle nenne ich eine singuläre Stelle für die betrachtete Function.

Ist («', . .. a') eine solche singuläre Stelle, so kann möglicherweise f(u^ ... ur) durch Multiplication mit einer Potenzreihe

'Po K    ? • • • 'M'f C). ) j

die für ut =    ur — d den Werth Null hat, in eine an der Stelle («', ... ar)

regulär sich verhaltende Function verwandelt werden, so dass sich f(u , ... ur) für alle einer gewissen Umgebung der in Rede stehenden Stelle angehörigen Werthsysteme (u^ ... ur) in der Form

a[, ...ur—dr)

darstellen lässt. In diesem Falle nenne ich    eine ausser wesent

liche, in jedem anderen Falle eine wesentliche singuläre Stelle.

Es giebt aber, wenn r > 1, zwei wohl von einander zu unterscheidende Arten ausserwesentlicher singulärer Stellen.

Wenn dann

Man kann, wenn («', ...a') irgend eine solche Stelle ist, in der angegebenen Form stets so darstellen, dass *ßo(nt—dl,...ur—d) und ^Xui~a\...wr—«') nicht beide durch eine dritte, für ux = a', ... ur = a'r verschwindende Function — a', ... ur— dr) theilbar sind. ç$i(ui — di,...ur—dr) für ut = a[, ... ur = ar nicht verschwindet, so ist für alle einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle (a[, ... d) angehörigen Werthsysteme (ul9 ... ur) der Werth von f(ul% ... ur) unendlich gross, und daher

f(uv...ur) = oo für ut — d1} ... ur = dr.

Ist dagegen    a1? ...ur-dr) = 0 für ^    ...    = a', so lässt sich

zeigen, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle («', ... dr) Werthsysteme    giebt, für die f(ut1... ur) einen beliebig vorge

schriebenen Werth erhält, so dass an der Stelle (a',...«') selbst die Function keinen bestimmten Werth hat.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Die Gesammtheit der Stellen, an denen sich ...ur) wie eine rationale Function verhält — d. h. die Gesammtheit der nicht singulären und der ausserwesentlichen singulären

Stellen — ist ein 2r-fach ausgedehntes Continuum, dessen Begrenzung die wesentlichen singulären Stellen bilden.

Ist (ax, ... ar) irgend eine bestimmte Stelle im Innern dieses Continuums, und hat f{a^...ar) einen bestimmten endlichen Werth, so verhält sich f(u^ ... ur) in einer bestimmten Umgebung der Stelle (at1... ar) überall regulär.

Ist f{ax,... ar) — oo, so giebt es in jeder Umgebung von («x, ... ar), die keine singuläre Stelle der Function

ffat •••Wr)

denen die Function f(ujt ... ur) den Werth oo hat,

an

enthält, wenn r > 1 ist, unendlich viele, eine (2r—2)-fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen,

während sie sich an allen übrigen Stellen des genannten Bereichs regulär verhält.

Hat endlich f(wx,... ur) für ux — at, ... ur — a. keinen bestimmten Werth, so giebt es in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (a , ... ar) nicht nur unendlich viele andere ausserwesentliche singuläre Stellen, an denen die Function f(u^ ... ur) den Werth oo hat, sondern auch, wenn r>2 ist, unendlich viele Stellen, an denen sie unbestimmt ist; die ersteren bilden eine (2r —2)-fache, die letzteren eine (2r — 4)-fache Mannigfaltigkeit.

Ich knüpfe hieran sogleich die Aussage eines fundamentalen Satzes, von dem ich später Gebrauch machen werde.

»Eine eindeutige Function    für die im ganzen Gebiete der

Veränderlichen ... ur keine wesentliche singuläre Stelle existirt, ist noth-wendig eine rationale Function.«

Für Functionen einer Veränderlichen habe ich diesen Satz in der vorhin genannten Abhandlung bewiesen; für Functionen von beliebig vielen Veränderlichen ist derselbe aber keineswegs so einfach zu begründen, wie es auf den ersten Blick scheint.

Endlich will ich noch Eins erwähnen. Wird aus dem Gebiete von r complexen Veränderlichen uil...ur auf irgend eine Weise ein 2r-fach ausgedehntes Continuum ausgeschieden, so lassen sich stets eindeutige Functionen von u , ... ur bestimmen, welche sich an allen Stellen im Innern dieses Continuums, aber an keiner Stelle seiner Begrenzung wie rationale Functionen verhalten. Es treten also die wesentlichen singulären Stellen einer eindeutigen

17

n.

Function von r Veränderlichen nicht nothwendig vereinzelt auf, sondern es kann vielmehr jedes im Gebiete von r complexen Grössen mögliche Gebilde der Ort solcher Stellen sein.

Nach diesen Vorbemerkungen, auf die ich mich mehrfach werde beziehen müssen, setze ich nun fest, dass überall, wro im Folgenden von einer 2r-fach periodischen Function von r Veränderlichen die Rede sein wird, darunter nicht nur eine eindeutige Function verstanden, sondern auch angenommen werden soll, dass für dieselbe im Endlichen eine wesentliche singuläre Stelle nicht existire.

Dies vorausgesetzt, kann man zunächst beweisen, dass einer beliebigen 2r-fach periodischen Function ft{ui7 ... ur) auf mannigfaltige Weise (r — 1 ) andere :

/ä (^1 > • • • Wr) ,    ... fr (Ux j ... Ur) ,

welche — nach der oben gegebenen Definition — derselben Klasse wie ur) angehören, sich so adjungiren lassen, dass die Functionaldeter-

minante

äfr

du₁

Us -a S

dfr

dur

nicht für beliebige Werthe von ut, ... ur verschwindet, die Functionen fi7 /₂, ... fr also von einander unabhängig sind. Bei den in Betreff der Function f\ gemachten Annahmen ist, wie ich in der Abhandlung: »Neuer Beweis eines Hauptsatzes der Theorie der periodischen Functionen mehrerer Veränderlichen« (Monatsbericht vom Jahre 1876, S. 687)*) gezeigt habe, die Determinante

dft(ult ... ur)

dur

du[

(»•—i)

du\

(r-i)

df\ (:<, • • • Ur)

dur

dw'.’

dwr

.. «„ ... <■”,... <"

von ...

nicht für beliebige Werthe der Grössen u gleich Null.

unabhängige Grössen verstehend,

u'a = ua + c'a,    .

so kann man den Grössen F, ... solche Werthe geben, dass die Determinante

X» •

Setzt man also, unter c', ... c', ... c₂ u

(r—l)

Cr—l)

(a =

dfur)

dut

dur

dft(ut + cb ...Wr+<Q

<3^

nicht bei beliebigen Werthen von ... ur verschwindet. Nimmt man dann

/>(«!)••• Wf) = fx^i + K, ...«,+ <)>    ••• /r(w n---«r) = AK+cf"“, ...Wr+4r",>),

so haben die Functionen ft, f₂, ... fr alle dieselben Periodensysteme, und ihre Functionaldeterminante ist nicht für beliebige Werthsysteme (w1} ... wr) gleich Null.

Es sei nun

fi (^i j • • • w,.),    /'g (wx,... ur) j . • • /i (w₁, • •. wr)

irgend ein System von r derselben Klasse angehörigen und von einander unabhängigen 2r-fach periodischen^Functionen, so gilt für dasselbe zunächst der folgende Satz: Nimmt man zwischen den Grössen ... ur und r anderen Veränderlichen ... sr die r Gleichungen an:

fif^i ? • • • ^r) ⁼⁼ *i > /*2 (^i ? • • • M'r) — ^2 i • • • frfat j • • • ^r)    j

so entsprechen jedem Werthsysteme der Grössen s^s2l...sr im Allgemeinen, d. h. wenn von gewissen particulären Werthsystemen (s^ s₂, ... sr), die nur eine (2r — 2)-fache Mannigfaltigkeit bilden, abgesehen wird — unendlich viele Stellen (ut, ... ur)₎ die weder zu den singulären Stellen der Functionen )f, f, ...f gehören, noch zu denen, für welche die Functionaldeterminante von f • • • fr verschwindet. Denkt man sich aber die zu einem Werthsysteme (s , s₂, ... sr) gehörigen Stellen (u^ ... ur) in der Art in Gruppen vertheilt,

dass je zwei Stellen (u[, ... ur), (u[, ... u') in derselben oder in verschiedenen Gruppen sich finden, jenachdem die Differenzen ù[—ux, ... u'—ur ein Periodensystem der Functionen f bilden oder nicht; so ist die Zahl dieser Gruppen endlich und hat für jedes Werthsystem fo,    sr) denselben Werth, der

mit m bezeichnet werden möge. Die so definirte Zahl nenne ich den Grad des Functionensystems fx,f₂, ... fr.

Aus diesem Satze ergeben sich sodann die nachstehenden Theoreme.

»Ist f{ux,...u^) irgend eine 2r-fach periodische Function, unter deren Periodensystemen sich auch alle Periodensysteme der Functionen fx, f₂, ... fr finden, so besteht zwischen f und ft, f₂, ... fr eine irréductible Gleichung, deren Grad in Beziehung auf f gleich m oder ein Theiler von m ist.«

»Unter den 2r-fach periodischen Functionen der Klasse, zu welcher /i, /a, * * * /»- gehören, giebt es unzählige, die mit /₂, ... fr durch eine irréductible Gleichung mten Grades Zusammenhängen; ist / irgend eine derselben, so lässt sich jede Function f(ui:...ur) von der im vorstehenden Satze angegebenen Beschaffenheit rational durch die (r + l) Functionen fx, f₂, ... fr+l ausdrücken «

Zu der Klasse der Functionen fx, f₂, ... fr+l gehören auch alle Ableitungen derselben. Setzt man also

so hat man auch

f =    - --fr+l)

öf

df

qu —    J /*2J • • • fr+l) >    ***    — Br(fi) /*2> • • • fr+i) >

a df df

und «v

du,.

wo B, Rx, ... Br rationale Functionen von fx, f₂, ... f bezeichnen. Aus diesen (r + 1) Gleichungen und der zwischen fr+1 und fx, f₂, ... fr bestehenden Gleichung kann man fx,f₂, ... fr+l eliminiren, und erhält dabei im Allgemeinen zugleich diese Grössen rational durch die Functionen f, ••• -Jj£- ausgedrückt. So ergiebt sich das im Anfänge meines Briefes angeführte Theorem. Ich habe aber nicht untersucht, welcher Beschränkung der Ausdruck R(fx,f₂,... fr+1) unterworfen werden muss, damit sich /j, f₂, ... fr+l wirklich rational durch/ ausdrücken lassen. Ich habe deswegen die ursprüngliche Fassung des in Rede stehenden Theorems etwas modificiren müssen.

Von den vorstehenden Sätzen ist der erste, wodurch der Begriff des Grades eines Systems von r derselben Klasse angehörigen und von einander unabhängigen 2r-fach periodischen Functionen festgestellt wird, am schwierigsten zu beweisen. Dies hat seinen Grund hauptsächlich in dem Umstande^ dass immer, sobald r> 1 ist, im Gebiet der Grössen u. ... ur singuläre Stellen existiren, an denen die Functionen yf, ... f zum Theil oder alle unbestimmt sind. Wenn Du mir gestattest, in meinen Mittheilungen fortzufahren, so werde ich Dir in einem folgenden Briefe den — allerdings nicht gar kurzen — Weg beschreiben, auf dem ich zu einem, wie ich glaube, völlig strengen Beweise der aufgestellten Sätze gelangt bin, und der mich dann schliesslich auch zu dem Ziele geführt hat, das ich bei meinen Untersuchungen über die hier betrachteten 2?*-fach periodischen Functionen von r Veränderlichen von Anfang an im Auge hatte — dem Nachweise nämlich, dass jede solche Function sich durch eine 0-Function von r Argumenten ausdrücken lässt.

Berlin, den 5. November 1879.

ANMERKUNG.

Die beabsichtigte Fortsetzung der vorstehenden Mittheilungen ist unterblieben, weil ich im Winter 1879—80 schwer erkrankte und noch nicht völlig wieder hergestellt war, als Borchardt (27. Juni 1880) starb.

EINIGE AUE DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FUNCTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN SICH BEZIEHENDE SÄTZE.

1. Vorbereitungssatz.*)

Ist F(oc,xiy... xn) eine gegebene, in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe dargestellte Function von x, xt, ... xn, welche, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, ebenfalls gleich Null wird, so giebt es stets unendlich viele, dem Convergenzbezirk der Reihe angehörige Werthsysteme der Grössen x, xx, ... xn) welche die Gleichung

befriedigen.

Bei vielen Untersuchungen handelt es sich nun darum, von diesen Werth

F(x, xlt ...xn) = 0

systemen alle diejenigen zu bestimmen, für welche der absolute Betrag jeder einzelnen Grösse eine — beliebig klein anzunehmende — Grenze d nicht überschreitet.

Diese Aufgabe lässt sich folgendermassen lösen. Es werde

F(x,o,...ö) mit F₀(x)

bezeichnet und

wenn xlf ... xn

F(x,x1} ...xn) = F₀{x) — Fx{x, a?x,...xn) gesetzt, so dass F für jeden Werth von x gleich Null wird

*) Diesen Satz habe ich seit dem Jahre 1860 wiederholt in meinen Universitäts -Vorlesungen vorgetragen.

sämmtlich verschwinden. Ich nehme nun zunächst an, dass F₀(x) nicht für jeden Werth von x verschwinde. Dann kann man eine positive Grösse q so annehmen, dass F₀(x) für keinen Werth von x, dessen absoluter Betrag > 0, aber < q ist, verschwindet, und dass es zugleich Werthe von xt, x t ... xn, die sämmtlich von Null verschieden sind, giebt, für welche die Reihe Fx(q, xit... xn) convergirt. Wenn ferner eine zweite positive Grösse q₀ so angenommen wird, dass sie >0, aber cq ist, und festgesetzt wird, dass der absolute Betrag von x zwischen q₀ und q liege, die absoluten Beträge von x^...xn aber alle unter einer Grenze q₁ bleiben sollen, so kann man so klein annehmen, dass für alle Werthsysteme von Æ, x^ ... asM, welche diese Bedingungen erfüllen, F₀ dem absoluten Betrage nach grösser als Ft ist. Man hat dann

F(x,x1}...xn) F₀ ⁺

F.    FJ

—L 4. .—Lj. ...

TT* ' W3 i -*• 0 0

dF

dF₀

X=zco JpX

¹ dx

dF₀

Fx

-    ¹ dx

F ~ F₀    Fx₀⁺¹

dx

dx

2 = 00

dFr

dx

Es ist aber, da der grösste Werth, welchen der absolute Betrag von ~ für , ^ 0 alle jetzt betrachteten Werthe von x, xlt ... xn besitzt, kleiner als 1 ist, die

Reihe

gleichmässig convergent, und daher

dF

dF₀

d 1 Fl ~F~ ~ ~F\~~te

Es kann ferner, wenn das Anfangsglied in der Entwickelung von F₀(x) den

n >2

Exponenten m hat, in eine Reihe von der Form

dx

dx

entwickelt werden, wo G(x^... xn)? eine gewöhnliche Potenzreihe von x₀... xn bedeutet; und bei der gleichmässigen Convergenz der Reihe

²¹ * K

kann man alle Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, in eines zusammenziehen und erhält so:

r = + co

2 G(x₁,...xn\xv

vi n _

r = —co

²¹ * ^

Ferner ist

wo auch G(x^...xn)v eine gewöhnliche Potenzreihe bezeichnet.

dF₀

dx

- = mx ł+ G(x)

wo

G{x) eine gewöhnliche Potenzreihe von x bedeutet. Also:

dF -f- = mx-'+G(x)-^Jiy(xt,...xn\x\

Aus dieser Gleichung lässt sich zunächst ersehen, dass, wenn man den Grössen x,x,...xn bestimmte Werthe, die dem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als qi sind, beilegt, die Gleichung

F(x, xt,...xH) = 0

stets durch m Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind, befriedigt wird, vorausgesetzt, dass jeder so oft gezählt wird als die zugehörige Ordnungszahl anzeigt. (Vgl- S. 86.)

0 machen, lässt sich so zeigen: Angenommen, es würde

für keinen der in Rede

Dass es überhaupt innerhalb des angegebenen Bereiches Werthe von x giebt, welche F

F(Xj xlt... xn) bei gegebenen Werthen von xt,...xH stehenden Werthe von x gleich Null, so liesse sich    für alle Werthe

von x

die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind, in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Beihe entwickeln, und diese müsste für die ihrem absoluten Betrage nach zwischen q₀ und p liegenden Werthe von x mit der vorstehenden übereinstimmen. Dies ist aber nicht möglich,

18

II.

da in der letzteren Reihe das Glied mx~l vorkommt. (Da die erste Ableitung einer Potenzreihe von x niemals ein Glied mit dem Exponenten —1 enthält, so kann sich das angegebene Glied nicht gegen ein anderes heben.) — Angenommen nun, es seien die in dem angegebenen Bereiche liegenden Werthe von x, welche die Gleichung F(x, xt,... xn) — 0 befriedigen, wobei ein jeder in diese Reihe so oft aufzunehmen ist, als seine Ordnungszahl anzeigt, so wird die Differenz

1 dF

F dx

x — xm

x — x'

für keinen Werth von x, dessen absoluter Betrag kleiner als q ist, unendlich gross, und kann daher in eine nur ganze positive Potenzen von x enthaltende Reihe ?ß(x) entwickelt werden. Für alle Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als p, aber grösser als jede der Grössen x\ x", ... x<r> und q₀ sind, hat man also:

r = co

1 dF F dx

WO und

V — +CO

1 dF

F ~dx = mX 1 + G(X)~ 2 G(xt,...xH\.vx*-\

dF

Die Vergleichung dieser beiden Ausdrücke von giebt

s₀ = m oder r = m,

d. h. die Anzahl der in Rede stehenden, die Gleichung F(x,xlf... xn) = 0 befriedigenden Werthe von x ist gleich dem Grade des Anfangsgliedes von Fix, o, ...o).

Ferner ergiebt sich, wenn man

v = — l und l> 0 annimmt

Setzt man daher :

m-1

f(x,xl,...xn) — (x—x') ...(x — x™) — xm-\-flx

so dass

1 df

f dx x — x'

(m)

ist, so erhält man für Werthe von die dem absoluten Betrage nach grösser sind als x\ ... xim\

mx

m—i

+ (m—l)ftx

m-2

xm + f₁x

m—i

H-----'rfm

= mx ¹ + slx ² + s₂a? ³ + ...

und hieraus:

fi = ~si

²f₂ = -S*-Sifi

= - s₃-sjx-sj₂

m— l •

mfm    Sm-ifi Sm-zfi    f

Hiernach sind /j, ...fm sämmtlich Potenzreihen von ... xn, welche sicher convergiren, wenn alle diese Grössen dem absoluten Betrage nach kleiner als sind. Die gesuchten m Werthe von x werden dann gefunden durch Auflösung der Gleichung

xm + f₁x

Man erhält ferner durch Vergleichung der beiden Ausdrücke von

Mt—1

"I-----^fm — °-

JL SF

F dx

$0*0 = G(x)~ 2 (v + l)G(xt, ...xn)r+1.xv

für alle Werthe von x, die dem absoluten Betrage nach kleiner als q sind. Setzt man daher

&(x,X₁,...Xn) =

f G(x)dx-flG(x₁,... JQ    r = o

Xn)r.₊₁Xv+1

%{x,x,, ...xn) —

so sind © und % gewöhnliche Potenzreihen von x, xt, ... #M, welche sicher convergiren, wenn \x \ < q, \xx | <    ... \ xn \ cq^ Dabei wird 8? = 1, wenn

x, x , ... xn sämmtlich verschwinden.

Aus der Gleichung

dF

df

dx

dx

dx

folgt nun

F(x,x1} ...xn) = f(x,xl,...xn).C%(x,xl,...xn)

wo C den Coefficienten von x'n in F(x, 0, ...o) bedeutet.

Die Coefficienten von /*, $ sind Grössen q, qj die vorstehende Gleichung von x, ... xn, bei denen die Reihen F, f, % alle drei convergiren.

Nehmen wir also eine Grösse d so an, dass erstens alle Werthsysteme von x, xt, ... xn, in denen jede dieser Grössen dem absoluten Betrage nach die Grenze d nicht überschreitet, dem Convergenzbezirk der genannten drei Reihen angehören, und dass zweitens $(x, xlf... x ) für keines derselben verschwindet, so werden diejenigen unter diesen Werthsystemen, welche die Gleichung F(x,x durch Auflösung der Gleichung m Es ist hierbei, wie bemerkt, angenommen worden, dass

F(x, o,... o)

nun unabhängig von den gewählten muss also gelten für alle Werthe

ten

.. xn) =0 befriedigen, Grades f(x, x^ ... xn) =0 bestimmt.

nicht identisch gleich Null ist. Ist dies der Fall, der gestellten Aufgabe folgendermassen zu verfahren.

Man bezeichne mit (x, xt, ... xn)x die Summe derjenigen Glieder von F(x,xt,... xj, welche von der Atea Dimension sind, und mit ft den kleinsten Werth von Ä, für welchen die Coefficienten von (x, x, ... xn\ nicht sämmt-lich verschwinden, so dass man

F(x, xl}... xj = (x,xt,... xn\ + (x, xlt... xn\l+1 + ...

so

hat man zur Lösung

Sodann führe man an Stelle von x,xl1...xn ebenso viele andere Ver-

hat.

änderliche y, y^ ... yn ein mittelst der Gleichungen

x — coo V + coi Vi + ••• + «„

^io y F V\ i* * * * F {'w yn

wo die Grössen c₀₀, ... cBn Constanten bezeichnen, die keiner anderen Beschränkung unterworfen sind, als dass

o0S>

und

(^00 > ^10 > • • • ^no)u

von Null verschieden sein müssen. Durch diese Substitution verwandelt sich F(x, xt,... xn) in eine ähnliche Function von    ...^w, welche mit

F(y, ... yn) bezeichnet werden möge. Dann hat man:

F(y 1 0,... 0) = (<?₀₀, c₁₀, ... cn0?/' + (c₀₀, cj0, ... cn0)u+1 y: + • • • *

Es ist also die Function F(y, 0, ... 0) nicht identisch gleich Null und ihr Anfangsglied von der yten Ordnung.

Man kann daher nach dem Bewiesenen F(y, ... yn) darstellen in der

Form

F(y,Vx, = (y^+y¹“    +    +

wo ©i5 ...®M Potenzreihen von y^...yn bezeichnen, die sämmtlich gleich Null werden, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, während ®(y, y₀ ... yn) eine Potenzreihe von y₁y^...yn ist, welche einen von Null verschiedenen Werth erhält, wenn «/, yt1 ... yn sämmtlich gleich Null gesetzt werden. Die letztere Reihe kann nun in eine ebenso beschaffene Potenzreihe von xfxt...xH verwandelt werden, die mit (3(x, xt1 ... xn) bezeichnet werden möge. Dann hat man

F(x, xt, ...xn) = ( / +    (yx,... yn) + • • • + %{y,,y„))®0»,<&!,•••«»)•

Nun kann man 8 so klein annehmen, dass für jedes Werthsystem der in welchem jede einzelne dem absoluten Betrage nach

Grössen æ, x.

kleiner als 8 ist, erstens ® (x, xt,... xn) einen von Null verschiedenen Werth erhält und zweitens das entsprechende Werthsystem der Grössen yt, ... yn dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen    ... yj, ...    • • • yj

angehört. Hieraus ergiebt sich Folgendes:

Wenn man zu jedem dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirke der Reihen ... © angehörigen Werthsysteme ... yn die g der Gleichung

2/'“+«/“ + + = ⁰

genügenden Werthe von y bestimmt, und dann aus den so sich ergebenden Wrerthsystemen y,yt, ...yn die entsprechenden AAVrthsysteme x, æx, ... xn berechnet, so finden sich unter den letzteren alle diejenigen, welche die Gleichung F{x:x^ ... xn) = 0 befriedigen und die Bedingung erfüllen, dass jede einzelne Grösse dem absoluten Betrage nach kleiner als die angegebene Grösse â ist.

2.

Eine Potenzreihe    ... xn) ist durch eine andere    ... xn) theil-

bar, wenn sich eine dritte Reihe ^₂(x^...xn) so bestimmen lässt, dass

ist.

¥₀(0,... 0) = 0 ist, während Es bleibt daher nur

wenn

Hat an der Stelle (xt — 0, ... xn = 0) einen von Null verschiedenen Werth, so existirt stets eine die vorstehende Gleichung befriedigende Reihe $ß₂; dagegen ist dies nicht der Fall ^(0,... 0) einen von Null verschiedenen Werth hat. zu untersuchen, unter welchen Bedingungen ^ durch $)3₀ theilbar ist in dem Falle, wo

beide gleich Null sind.

Man führe (wie in Art. l) an Stelle von x₀ ... xn n andere Veränderliche t .... t ein, indem man

1 /    n    '

xi = dnti + '-'+giJn

Xn = 9mh+"-+9nJn

setzt und die Constanten gn, g₁₂, ... gnn so wählt, dass erstens xl)...xn von einander unabhängige Functionen der Grössen tl} ... tn sind, und zweitens weder ^{gj,,... gnA) noch    •• *4,iO für jeden Werth von tt ver

schwindet. AVenn dann die höchsten Potenzen von t, durch welche diese beiden Functionen von 4 theilbar sind, beziehlich die Exponenten v haben, so kann man, wie in Art. 1 gezeigt worden,

• • • xn)    die Form G₀(tv t₂,... 4) f₀(4,... 4)

bringen, wo

GW*,,    = ^+L(^...4)rl + - + i(4!...Ü

ist.

Dabei verschwinden ^1? ...    , $x, ... ^3v sämmtlich an der Stelle

(4 = 0, ... tn = 0), während ^3o(0,... 0), ^3,(0,... 0) beide einen von Null verschiedenen Werth haben.

dass für jedes den Be-

Man nehme nun eine positive Grösse d so an dingungen

14|<*. ... Kl<*

?.(*

genügende Werthsystem (t,... tn) die angegebenen Umformungen von ... scw), .. #w) gelten. Dann kann man ferner eine positive Grösse d|5 die kleiner als d ist, so annehmen, dass für jedes den Bedingungen

Kl^*.

genügende Werthsystem (4, ... tn) jede der beiden Gleichungen

= 0,

= 0

nur durch solche Werthe von tx, die dem absoluten Betrage nach kleiner als d sind, befriedigt wird. Sind für irgend ein System bestimmter Werthe von t , ... t

2 /    n

, C ... C

die von einander verschiedenen Werthe von 4? welche der einen oder der anderen dieser Gleichungen, oder auch beiden genügen, so hat man

G₀(4>4>-..U

Hat

wo il,... ganze Zahlen bezeichnen, deren Summe gleich v—g. ist. eine dieser Zahlen einen negativen Werth, so kann man der Grösse 4 einen

solchen Werth geben, dass ist, wo g eine beliebig angenommene positive Grösse bedeutet, ohne dass Gü(ti)t₂,... tn) = 0 ist. Infolge der Gleichung

%(xl,...xn) G₀)’

existiren also in jeder noch so kleinen Umgebung der Stelle (0, 0, ... 0) Werthsysteme (xi: ... xn), für die der Quotient

dem absoluten Betrage nach jede beliebig angenommene Grösse übertrifft. Daraus folgt sofort, dass, wenn    ... xn) durch ^₀{x^...xn) theilbar sein

soll, jede der Zahlen Ai? ... Am positiv oder gleich Null, und somit (zunächst unter der Voraussetzung, dass t₂, ... tn bestimmte, den Bedingungen

I 4 I = > ... Kl^<h

genügende Werthe haben, und der absolute Betrag der Veränderlichen t nicht grösser als â sei)    ... tn) durch G₀(tt1 t₂,... tn) theilbar sein muss.

Dazu ist zuerst erforderlich, dass    sei.

Nun kann man aber, wenn diese Bedingung erfüllt ist, und

A₀% + Al%-¹ + - + A

zwei ganze Functionen von tx mit unbestimmten Coefficienten sind, zwei andere Functionen

A^_1 + --- + Ą

CA '“+••• + Cv_;x,

dergestalt bestimmen, dass die Gleichung

Ä^⁺¹    + Bv) = (ÄQ % + • • • + 4) (C₀ t'r + • • • + C^) + A tr¹ + - + Ą

besteht: und es sind dann

Co, G

ganze Functionen von A₀, .. At, B₀, ...

ba £

... D,

Die nothwendigen und hin

reichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten Werthen von A₀, ... A J5₀, ... By und unter der Voraussetzung, dass A₀ nicht den Werth Null habe,

B₀t\+ V B; durch    + • • • + A^

theilbar sei, werden dann durch die Gleichungen

A = 0, ... Du = 0

ausgedrückt.

Setzt man nun

iS- iS

s*¹*

A₀ = 1, At =

B₀ = 1, Bt =

so wird C₀ = 1, und C1? ... C , -D^ ••• werden Potenzreihen von t die sämmtlich an der Stelle    = 0, ... ^ = 0) verschwinden und mit

bezeichnet werden mögen. Damit    ... xn) durch ^(a^, ...xn) theilbar

sei, müssen nun sämmtlich verschwinden, wenn

\t₂\<ö1} ... \tn\<dt.

Dies ist aber nur möglich, wenn in jeder Reihe sämmtliche Coefficienten gleich Null sind.

Angenommen nun, diese Bedingung sei erfüllt, so hat man

...tn) =    • • • U•    + —h$*-/*&> •••*»))

6r₀ (t₁, t'2, ... ^M) . Ga (t₁, , ...    ,

und daher

?oOl,...2Ü = »oft, ^2 J ••• O*$o(*il4> •••**)

... tn).    ...tn)

= $„(*„ *„ e. ft. t„- ■ t.) • IfWI

^2 ? • • •    )

⁼⁼ $₀ (“^l 1^2 i • • • 'X'n ) ' ^2 (h 7 ^2 ) " " " t‘n ) •

Verwandelt man nunmehr ^ß₂(^, •••£„) in eine Potenzreihe von x^...xn, so

19

n.

ergiebt sich

Wir haben also folgenden Satz:

Es seien ^c(æj? ... xn),    ... xn) zwei Potenzreihen von xi} ... xH,

welche beide an der Stelle (xt = 0, ... xn — 0) verschwinden, bilde auf die angegebene Weise die beiden Ausdrücke

Man

0 0 1 1

und setze aus ^ ...    , $ß,,    die Potenzreihen

&(*.,.»O. •••

zusammen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass    durch ^(a^,... a? ) theilbar sei, besteht dann darin,

⁴    4

dass in jeder der Reihen *ßt, ...*ß sämmtliche Coefficienten gleich Null sein müssen.

Es geht aber auch aus dem Vorstehenden hervor, dass nur in dem Falle, wo eine der mit Al5 ... lm bezeichneten Zahlen negativ ist, ^ nicht durch theilbar ist. Daraus lässt sich schliessen:

Kann man zeigen, dass der absolute Betrag des Quotienten

- --gj

wenn (a?l5 ... xn) in einer gewissen Umgebung der Stelle (0, ... 0) und so, dass    ... xn) nicht gleich Null ist, angenommen wird, stets

kleiner als eine angebbare Grösse ist, so reicht dies aus, um festzustellen, dass ^(a^,... xn) durch tyo(xi: ... xn) theilbar ist.

Denn wäre das Letztere nicht der Fall, so müsste wenigstens eine der Zahlen Ai, ... Am negativ sein, und es existirte, wie gezeigt worden, innerhalb jeder Umgebung der Stelle (0, ... 0) ein Werthsystem (xx, ... xn), für welches der absolute Betrag des in Rede stehenden Quotienten jede angebbare Grösse überträfe, ohne dass *ß₀(a;,. ■. xn) gleich Null wäre; was der Voraussetzung widerspricht.

In jedem Falle, wo entschieden werden kann, ob der Quotient ~ die angegebene Beschaffenheit hat oder nicht, ist man demnach der Bildung der

4    4

Reihen ... überhoben.

Es soll nun ferner untersucht werden, unter welchen Bedingungen zwei Reihen    ... xn),    ... xn), die beide an

gemeinschaftlichen

einen

der Stelle (0, ... 0) verschwinden Th eil er von derselben Form, der ebenfalls an der Stelle (0,... 0) verschwindet, besitzen.

Angenommen, man habe

...Xn).^AXll •••»«)»

$i(*i>•••»*) = ^2(^1? ••• Xn)'^AXi.i * * * Xn)i

nen

und es sei ^3₂(0,... 0) == 0. Man verwandle wieder *ß₀, auf die angegebene Weise in Functionen von £r, ... tn. Zufolge der in Betreff der Functio-• *gnitJ, ^Aduhi • " 9nJ 1) gemachten Voraussetzung kann auch .. gni^) nicht für jeden Werth von tt verschwinden; die höchste Potenz von t, durch welche diese Function theilbar ist, habe den Exponenten A, so kann man

bringen, wo

GAK1K1 • • • K) —    + ^ßi(4, • •• A-----•••4)

und *ß₂(0,... 0) nicht gleich Null ist.

Dann hat man

GAKiKt-Q = GAK,K,---tn) =

5o(*» — 0

?.(*„ •••*»)

'ßs (*^T , • • * Xn ) ^2 (^1 1 Kl • • • 4i) ^ßä (^1 1 • • • Kl )

Es sind also

G₀(Kii Ki • • • K) i Gt(Ki Ki • • • Ki)

beide durch 6r₂(£l? ć₂,... £j theilbar.

Nun kann man bekanntlich, wenn

1“’

A0, Aj, ... A

J5₀₎ Ri, ••• Bv

unbestimmte Grössen bedeuten, aus denselben eine Reihe von ganzen Functionen

0, clt c₂, ...

zusammensetzen

-B,

vermittelst welcher die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass bei bestimmten Werthen von A₀, ... A , B₀, und unter der Voraussetzung, dass weder A₀ noch B₀ gleich Null sei, die Functionen

B₀t[-\-----f- Bv

v- ’

A₀%+ — + A

einen grössten gemeinschaftlichen Theiler Aten Grades besitzen, sich folgender-massen ausdriicken lassen: Es muss Cl in der Reihe der Grössen C, Cf Cf ... die erste sein, welche nicht gleich Null ist.

Diese Bedingung als erfüllt vorausgesetzt, stellt sich dann der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Functionen in der Form

t\+t\~x

Ci

Cf

dar, wo Cf ... Cf ebenfalls ganze Functionen von Ao, ... A , Bo, ... Bv sind. Nimmt man

A = B₀ = 1

• • • A^ =

B, = &ft,... ), ... Bv =    • ••

so werden C, Cf Cf ...; Cf Cf, ... Potenzreihen von £₂, ... tn) die mit m-.-a    T\t₂,...tn),...; ^(t₂,...Q,    ...

bezeichnet werden mögen. Dann muss, damit für ein bestimmtes Werthsystem ft, ... tn)

als Functionen von tx betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler haben,

$(*»...*») = 0

sein.

Diese Gleichung besteht also bei der in Betretf der Functionen ... xn), ... xn) gemachten Annahme, wenn man den Grössen t₂,... tn solche Werthe giebt, für welche die angegebenen Umformungen von ^3₀, gelten; woraus folgt, dass die Coefficienten der Reihe ^3ft, ---O sämmtlich gleich Null sein müssen.

Damit ist die nothwendige Bedingung dafür, dass $ß₀(a;,... xn), ,... xn) einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, festgestellt.

Angenommen nun, es seien für zwei gegebene Potenzreihen    ... xn),

... xn) die im Vorstehenden definirten Functionen

(ßi > ^2 > ’ ’ ' ^n) >    (K, K, ’ ‘ ■ Ki) ,

rp₂₎...y,...

gebildet, und es ergebe sich, dass die Coefficienten der Reihe    ...£„)

sämmtlich gleich Null sind, so wie ferner, dass ^5a) in der Reihe der Functionen *ß, ^3⁽¹⁾, ... die erste sei, die nicht identisch gleich Null ist. Nimmt man dann im Innern des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen

iS-

irgend ein bestimmtes Werthsystem (xa,    der Grössen ... tn an und

unterwirft diese der Bedingung, dass und ißa)(^₂,... tn) nicht gleich Null sein soll, so haben

Kr₀ (K, K> ■ ■ ’^n) , Krt (ßx, K, • • • ^n) ,

als Functionen von tl betrachtet, einen grössten gemeinschaftlichen Theiler vom Grade A, der zunächst in der Form erhalten wird. Die Werthe von tt, für welche diese Function verschwindet,

sind sämmtlich unter denen

für die ^XKiKi • • • K) ~ ⁰ wird, enthalten. Jeder der letzteren aber hat, wie man auch £₂, ... tn den angegebenen Bedingungen entsprechend annehmen möge, einen endlichen Werth, dessen absoluter Betrag unterhalb einer angebbaren, von ć₂, ... tn unabhängigen Grenze liegt. Dasselbe gilt also auch von dem Bruch

(*'= i,...*)

y>a\K,...tn) ’

woraus

sich nach dem Obigen ergiebt, dass der Zähler durch den Nenner theilbar ist. Damit ist bewiesen, dass der vorstehende gemeinschaftliche

Theiler von Go(t^t₂,... tn) und    t₂,... t) in der Form

t₂,... tn) = t\ +    (4,... tn) t\'_1 -1-----1-    (t₂j • • • K)

dargestellt werden kann.

Betrachtet man nun wieder G₀(tt, t₂,... tH), Gfi^ t₂,... tn), G₂(tt, t₂,. als Functionen von tt und dividirt die beiden ersten durch die dritte, giebt sich:

so er-

K (ßl) ^2 > ‘ • ' ^n) (ßl, t₂ , ... Gr₃ (^1 ) ^2 > • • • Q >

(^x > ^2 > • • • U G₂ (tlf t₂₎ ...    G-₄ ißn 12 > • • • ^n) ?

deren Coefficienten Potenzreihen von

wo 6r₃, Gi ganze Functionen von t t. ... t sind, bezeichnen.

Multiplicirt man sodann die erste dieser Gleichungen mit $ß (£, ... tn),

1?

die zweite mit    tn) und drückt darauf tv ... tn durch xt, ... xn aus

ergiebt sich:

so

WO

ist.

'ßoO^'l 1 * • * *^w)    ^2 (*^1 ) • • • Xn) ^$3(3^ , ... Xn) ,

(xt, • •. xn)    (xx, .. . Æn) j • •. xn),

^2J * • • ^n)    K (^1 ) 4) • • • tn)

Es lässt sich nun ferner beweisen, dass    ... xn), $₄(#l5... xn) nicht

beide durch eine an der Stelle (xt — 0, ... xn = 0) verschwindende Potenzreihe von xt, ... xn theilbar sind.

Es ist :

••• æn)    Ga(t1} t₂, ... tn) yß₀(t₁, t₂, ... tn) ,

%{xu ...xn) = KfoK,--.yixfoK> •••**)•

Wären nun ^₃(x^ ... xn),    ... xn) beide durch eine an der Stelle

(xx — 0, ... xn = 0) verschwindende Potenzreihe von xt1 ... xn theilbar, so müssten sich, wie oben gezeigt worden ist, zwei Grössen â, ät so annehmen lassen, dass für jedes den Bedingungen

|y <<b, ... Kl<^

genügende Werthsystem (t₂, ... tn) die Gleichungen

f₀(*i» —y =

) t₂i • • • tn) ^ßi(y • • • y = 0

dessen absoluter Betrag kleiner als ô wäre, befriedigt würden. Bei hinlänglich kleinen Werthen von d, di müsste dieser Werth von tx also den beiden Gleichungen

durch einen und denselben Werth von t

**■    CO

1)

genügen, und es hätten somit für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (t₂, ... t )

^3^1)    ••• U und    •••4) »

als Functionen von betrachtet, einen gemeinschaftlichen Theiler, und daher

Go(¹ n ¹.»•••¹») und    •••¹»)

einen gemeinschaftlichen Theiler von höherem als dem Aten Grade. Dies ist aber nicht der Fall, wenn man t₂,...tn so annimmt, dass ^3a>(£₂,... tn) nicht verschwindet; und es ist somit die Annahme, dass    ... xn) und ^3 (a?,... xn)

beide durch eine an der Stelle (xt = 0, ... xn = 0) verschwindende Potenzreihe von x^ ... xn theilbar seien, unstatthaft.

Wir haben also den Satz:

Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwei gegebene, an der Stelle (xt = 0, ... xn = 0) verschwindende Potenzreihen ^₀(xv...xn),    ... xn) beide durch eine dritte Reihe von

derselben Beschaffenheit theilbar seien, besteht darin, dass die Coeffi-cienten einer bestimmten, nach der gegebenen Vorschrift zu bildenden Potenzreihe von n — 1 Veränderlichen t2l ... tn sämmtlich gleich Null sein müssen. Ferner ist es, wenn diese Bedingung erfüllt ist, stets möglich,    ... xn\    ...xj in der Form

$„(¹, ) ^n) — 'ïk(^i J ¹ ' ' ’X'n) ^3(^1 ! ■ • ’ ¹„) ^1(^1 ) xn) =    ... xn)    ... xn)

so auszudrücken, dass    ... xn), ¹ P₄(ac,... æj keinen an der Stelle

(x — 0, ... xn = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben.¹)

Hieran knüpfen sich nun noch einige andere Sätze.

Ich nehme jetzt an, es seien ^(34,... æ ), ^(a^,... x) nicht beide durch eine an der Stelle (0, ... 0) verschwindende Potenzreihe von a? , ... xn theilbar, aber ^3₀(0, ...0) und ^(0, ...0) gleich Null. Dann giebt es, wenn ist, in jeder Umgebung der Stelle (0, ...0) unendlich viele Werthsysteme (flJj, ...xn), für die sowohl ^3₀(^,, ... xn) als ^(a^,... xn) verschwindet. Denn man drücke wieder ^ß₀(a?₁,... xn), ^(a^,... xn) auf die angegebene Weise durch die Veränderlichen ti,t₂,...tn aus, bestimme die Function $(4>..*4t) und nehme auch die Grössen â, äi so an, wie oben festgesetzt worden ist. Dann giebt es unendlich viele, den Bedingungen

141 = > ... I4J^<4

entsprechende Werthsysteme (£₂, ... tn), für die

m,...y = o

ist, und zu jedem dieser Werthsysteme giebt es wenigstens einen Werth von 4, dessen absoluter Betrag kleiner als â ist, und der die beiden Gleichungen

0O(*I, *„...*») = °>

— 0 = o

befriedigt; woraus das zu Beweisende unmittelbar folgt.

Man nehme jetzt im Gebiete der Grössen xl1...xn irgend einen die Stelle (0, ... 0) umgebenden Bezirk so an, dass für jedes demselben angehörige Werthsystem (a?1? ... xn) nicht nur die Gleichungen

to» •••*») = öLi(4»4»---OP,(4»*--U

gelten, sondern auch $₀(4> • • •    ^(4, ...^) beide einen von Null verschie

denen Werth haben; und setze, unter (ci5 ... cn) irgend ein bestimmtes Werthsystem der Grössen xlf ... xn in dem genannten Bezirke und unter (ft , ... bn) das entsprechende Werthsystem der Grössen t.... tn verstehend,

so dass man

Ui — 9nSi~\-----^9wSm • • • un — 9niSi^-----^ 9nnsn

^o(ci + un ••• €n+un) = G^b. + s,, b₂ + s₂, ...bn + sn)Sß₀(b₁ + s₁, ... bn +Sn) ^i(Ci+*h, ... Cn + un) = G₁(b₁ + s1} b₂ + s₂, ... 6m + S„)?i(⁶i + Sij ••• &M+*n)

hat.

Es können nun $ß₀(c, + ut, ... cn + un), ^(^ + 2^, ... cn + un), als Potenzreihen von wi5 ... betrachtet, einen an der Stelle (u = 0, ...    = 0) verschwin

denden gemeinschaftlichen Theiler nur in dem Falle besitzen, wo 5ß₀(c ,... cn), ... cn) beide gleich Null sind. Dann ist auch

£o(⁶iA>--A) = o,

Gi(&i, b₂,...bn) = 0;

es geht aber aus den Ausdrücken von 6r₀, Gt hervor, dass weder G₀(b +s , ö₂,... 5n) noch Gl(bl +    &₂, ... &„) für jeden Werth von ^ verschwindet; man kann also

G₀(b₁ + s₁,ba + s„...bn+sn) auf die Form («{* + $(«„...O^f"¹ + - + $(«., — MJŚPfo, — Oo» ą(6₁ + Si,&₂ + S₂,...&w+S.J »    »    »    (sI+^(S„...Sn)»«ri+- + ^(S«...S»)y)^(»₁,...Oi

in der Art bringen, dass

iß~ iß

o cT

iß~ iß

...0)

;u j

...ok

sämmtlich gleich Null sind, während *ß(0,... 0)o, ^3(0,... 0^ beide einen von Null verschiedenen Werth haben.

Angenommen nun, *P₀(ct + ui,... cn + uj,    + ux, ... cn + uj wären beide

zu

durch eine dritte an der Stelle (ut = 0, ... un = 0) verschwindende Potenzreihe von ut, ... un theilbar, so würde sich nach dem Vorhergehenden jedem System unendlich kleiner Werthe von s₂, ... sn ein ebenfalls unendlich kleiner Werth von st finden lassen, für den

&o(A + Si, b₂ + s₂, ...bn + sn), G₁(b₁ + sl, b₂ + sa, ... &M + sM) beide gleich Null wären. Dann aber müsste

^(^2 + ⁵2> K+Sn) = ⁰

für jedes System unendlich kleiner Werthe von ss, ... sn sein, was nach einem

20

II.

bekannten Satze nur der Fall ist, wenn

für jedes dem Convergenzbezirk der Reihe angehörige Werthsystem ... tn verschwindet, also die Coefficienten der Reihe sämmtlich gleich Null sind. Bei der in Betreff der Reihen    ... xn),    ... a?H) gemachten Annahme

ist aber $(£₂,... nicht identisch gleich Null; und es ist somit erwiesen: Wenn die Reihen

keinen an der Stelle (xt = 0, ... xn = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen, so haben auch

$ofa + *h, ... Cn + Un),    +    ...cH + «H),

keinen an der Stelle

als Potenzreihen von ... un betrachtet (ui = 0, ... un = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler, vorausgesetzt, dass die Stelle (xt = cx, ... xn = cn) innerhalb einer gewissen — oben definirten — Umgebung der Stelle (xt = 0, ... xn = 0) angenommen werde.

3. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen beliebig vieler Veränderlichen.

Ich sage von einer eindeutigen analytischen Function f(xt,...xn), sie verhalte sich an einer bestimmten Stelle (alf ... an) regulär, wenn sie in einer gewissen Umgebung dieser Stelle durch eine Reihe von der Form

vv...vn

sU

Ol,    0, ... oo)

dargestellt werden kann, wo ... vn ganze, nicht negative Zahlen bezeichnen und unter den Coefficienten A verstehen sind.

vi»---vn

von x^ ... xn unabhängige Grössen zu Diese Reihe nenne ich dann ein reguläres Element der Function. Dabei ist zu bemerken, dass die Grössen ax, ... an zum Theil oder auch alle den Werth oo haben können, wenn festgesetzt wird, dass das Zeichen (x — oo) gleichbedeutend mit sein soll.

Ans der vorstehenden Definition ergiebt sich nun sofort:

gilt dasselbe auch von jeder Stelle

so

Verhält sich eine eindeutige analytische Function f{xx) ... xn) regulär an einer bestimmten Stelle (a^ ... an)

(«', ... an), die in einer gewissen Umgebung der ersteren liegt.

Denn es sei ^{xx — a^ ... xn—an) die Reihe, welche die betrachtete Function in der Umgebung von (ax, ... an) darstellt, so lässt sich aus derselben, wenn man im Innern ihres Convergenzbezirkes eine Stelle (V, ... a'J willkürlich annimmt, eine andere Reihe ïfii(xi — a'i,...xn — a'n) dergestalt ableiten, dass für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (aj ... an) angehörigen Werthsysteme (xx, ... xn) die Gleichung

^(X-X, ... xn—an) =    ...xn—aH)

besteht. Es ist also ^₁(xi — a^...xn—a!n) ebenfalls ein Element der Function f\x^...xn)₎ und es verhält sich diese demnach auch an der Stelle (a', ... a'n) regulär.

Die Gesammtheit der Stellen

an denen die Function f{x^...x) sich regulär verhält, bildet hiernach ein 2w-fach ausgedehntes Continuum im Gebiet der Grössen xt, ... xn.

Dieses Continuum ist nun nothwendig begrenzt.

Angenommen nämlich, es sei ^3(^—0^,... xn—an) irgend ein Element der Function /, wobei vorausgesetzt werde, dass die Stelle (ai5 ...an) im Endlichen liege; so können zwei Fälle eintreten:

••• Xn~a'n) irgend

wenn

1. Convergirt die Reihe — ax, ... xn— an) für jedes System endlicher Werthe der Grössen xx1 ... xn) so besteht ein reguläres Element der Function f ist, für jedes dem Convergenzbezirk der Reihe angehörige System endlicher Werthe von x^ ... xn die Gleichung

$i(x-a\, ...xn-a’n) =    ... xn-an).

Dies ist aber unmöglich, wenn die Grössen aj ... an nicht sämmtlich endliche Werthe haben, woraus folgt, dass in dem angenommenen Falle eine Stelle (xx, ... xn) im Innern oder an der Grenze des in Rede stehenden Continuums liegt, je nachdem die Grössen xi, ... xn sämmtlich endliche Werthe haben oder nicht.

2. Liegen die den Convergenzbezirk der Reihe <ty(xi—av...xn—an) begrenzenden Stellen alle oder zum Theil im Endlichen, so giebt es, wie in

20*

der Functionentheorie gezeigt wird, unter ihnen mindestens eine Stelle der sich f(xt, ... xn) nicht regulär verhält; eine solche Stelle liegt dann auch an der Grenze des in Rede stehenden Continuums.

an

Dies festgestellt, nenne ich jede an der Grenze dieses Continuums liegende Stelle eine singuläre Stelle für die betrachtete Function.

Ist    eine solche singuläre Stelle, so kann es möglicherweise

eine Potenzreihe

geben, die für xx =    ... xn — a'n verschwindet und so beschaffen ist, dass

das Product

Sßofo - «î l • ■ • Xn~ a'n) f(ni» • • • Xn)

für alle einer gewissen Umgebung der Stelle («', ... an) angehörigen Werthsysteme (a?₄, ... xn) in der Form

... xn-a'n)

dargestellt werden kann. In diesem Falle nenne ich («', ... an) eine aus ser-wesentliche, in jedem andern Falle eine wesentliche singuläre Stelle.

Es gieht aber, wenn n> 1 ist, zwei wohl von einander zu unterscheidende Arten von ausserwesentlichen singulären Stellen.

Ist (at, ••• an) irgend eine solche Stelle, so lässt sich die Function f(xx, ... xn) für hinlänglich kleine Werthe der Differenzen xt — a^ ... xn — an stets dergestalt in der Form

••• Xn-an)

%(X1    ... Xn-an)

darstellen, dass ^ß₀(^₁ —    • • • xn~ aM), —... xn— an) nicht beide durch

eine dritte, an der Stelle (ax, ... an) verschwindende Reihe $(xt — al} ... xn—an) theilbar sind.

Wenn dann —«,,... xn—an) an der Stelle (a₄, ... an) einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist für alle einer unendlich kleinen Umgebung der Stelle (ai? ... an) angehörigen Werthsysteme (a^, ... xn) der Werth von f(x^...xn) unendlich gross, und daher

f(xv ...xn) = oo für (xx = alt ... xn = an).

Verschwinden dagegen    av ... %n-an),    ... xn-aj beide an

der Stelle (ai? ... aw), so kann man (nach Art. l), indem man homogene lineare Functionen tv ć₂, ... tn von xi — al, ... xn—an einführt, in mannigfaltiger Weise

~.tn))mx-av...xn-an)

%{x-av...xn-an) auf die Form (*“+^(4,-+ $,*(<«

^y(x-av...xn-an) »    »

bringen, dergestalt dass

für t₂ = 0, ... tn = 0 verschwinden, *ß₀(0, ... 0), *P₄(0,... 0) beide von Null verschieden sind und die Functionen

^i+$₂(4> ••• 4) K 1_f-----H    ••• tn)

keinen an der Stelle (ti == 0, ... tn = 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann existiren unzählige Systeme unendlich kleiner Werthe , für welche die erste der vorstehenden Functionen, nicht aber zugleich die zweite verschwindet; woraus folgt, dass es in jeder noch so kleinen Umgebung von (al5 ... an) andere Stellen (xj7 ... xn) giebt, an denen ^₀(xt— a y ... xn—an) verschwindet,    •.. %n—an) aber nicht, so dass an

jeder solchen Stelle f(x= 00 ist. Es hat aber, wenn b eine beliebig angenommene endliche Grösse ist, die Function

/*(*»»

in der Umgebung der Stelle (at,...aj dieselbe Form wie f(xt,...xn)] es existiren also in jeder Umgebung von (a₀ ... an) auch Stellen, an denen

f(xt, ...xn)-b    °°

d. h.

f{xt, ...xn) = b

ist.

Es kann also ]f(x,...x ) in dem jetzt betrachteten Falle in einer unendlich kleinen Umgebung der singulären Stelle (a1? ...aj jeden

Cr»

■ GO

beliebigen Werth annehmen und besitzt deshalb an dieser Stelle selbst keinen bestimmten Werth.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken:

Die Gesammtheit der Stellen, an denen sich f(x^...xn) wie eine rationale Function verhält — d. h. die Gesammtheit der nicht singulären und der ausserwesentlichen singulären Stellen — ist ein 2?«-fach ausgedehntes Continuum, dessen Begrenzung die wesentlichen singulären Stellen bilden.

Ist (« ,    irgend eine bestimmte Stelle im Innern dieses Continuums,

und hat f{a^...an) einen bestimmten endlichen Werth, so verhält sich, wie schon oben angegeben worden ist, f(x^...xn) in einer bestimmten Umgebung der Stelle (ai,...an) überall regulär.

Ist f{a ,... an) = oo, so giebt es in jeder Umgebung der Stelle (ax,... an), die keine singuläre Stelle der Function

/'(*!, - ..aj

enthält, unendlich viele, eine (2w —2)-fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen, an denen die Function f(xi:...xn) den Werth oo hat, während sie sich an allen übrigen Stellen des genannten Bereiches regulär verhält.

Hat endlich f(x^... xn) an der Stelle (alt ... aj keinen bestimmten Werth, so giebt es in jeder Umgebung dieser Stelle nicht nur unendlich viele andere singuläre Stellen, an denen f{x^...xn) den Werth co hat — was schon vorhin nachgewiesen ist — sondern auch, wenn n > 2 ist, unendlich viele Stellen, an denen f(x₁,...xn) keinen bestimmten Werth hat. Das Letztere lässt sich folgendermassen zeigen:

Es gelte für alle Werthsysteme (xt1... xn) in der Umgebung von (at,... an) die Gleichung

> • • •    ®n) t (p^i J • • • ^n)    Ih Gi ®i » • • •    ^n) 1

unter der gestatteten Annahme, dass die Potenzreihen *ß₀, ^ keinen an der Stelle («,...« ) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der beiden Reihen nehme man eine Stelle (a, ... an) zunächst beliebig an, und setze

xx — ax — g

x. a. = I,,

Ferner sei cy der Werth von für xx — a'x, und rlx — |x— cx, so sind §', y]b lineare Functionen von xx, die beide für xx = ax verschwinden; man hat daher

(x = 1,... n)

K%*

1F«’

wo hx, ly Constanten bezeichnen. (Wenn ax nicht gleich oo ist, so ist hy — 1 l =0.) Entwickelt man nun

x    /

Or F 7i ; • • • F 7w) > (Cj T f'h, • •. cw -j- "/j^)

nach Potenzen von y]x, ... yj und verwandelt die so sich ergebenden Reihen in Potenzreihen von ... die mit

gelten für alle einer bestimmten Umgebung der

bezeichnet werden mögen Stelle (a[, ... an) angehörigen Werthsysteme (xt, ... æn) die Gleichungen

so

("U    ) • • *    )    ^2 O^T ^'l ) • • •    ®« ) !

'ßiO^'i    • Xn Cf'n)    ®n) >

CU    J • • •    ) f (ß'i ) ¹ "    )    ^3 Gi    j ■ • •    ) •

Nun nehme man — was dem am Schlüsse von Art. 2 Bewiesenen zufolge stets angeht — n positive Grössen C₁,...Cn so an, dass erstens die Stelle .. £ = Cn) im gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Reihen ^5o(^,...    ^3i(|i,... |w) liegt, und dass zweitens, wenn man clf ... cn den Be

dingungen

Kl<ą, ... Kl<uw

unterwirft, ?₀(<Ä + 7]1? ... cn + rjJ,    yji5 ... cM+ yjJ, als Potenzreihen von

Tji, ... 7]w betrachtet, keinen an der Stelle (y)x = 0, ... rin — 0) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Dann besitzen auch die Reihen

... xn-a’n) und ^₃(^ —<, ... xn-a'n),

wie sofort erhellt, keinen an der Stelle (:xx =    xn = an) verschwindenden

fl*,» •••*.)

?ß₈(0,... 0) beide gleich Null sind.

an

gemeinschaftlichen Theiler, und es hat daher nach dem vorhin Bewiesenen der Stelle («', ... an) keinen bestimmten Werth, wenn ^3₂(0,... 0),

Es gieht aber, wenn n > 2 ist, wie am Schlüsse von No. 2 gezeigt worden ist, unendlich viele, den vorstehenden

Bedingungen genügende Werthsysteme (ct, ...cn), für welche die beiden Gleichungen

—O = ⁰

bestehen; jedem dieser Werthsysteme, deren Gesammtheit eine (2w —4)-fache Mannigfaltigkeit bildet, entspricht also im Gebiete der Grössen xt, ... xn innerhalb des durch die Bedingungen

\xl — a₁\<Cl, ... \xn-an\ <Cn

.. aj, an der f(x^...xn) keinen be-

i» •

detinirten Bezirkes eine Stelle (a!i stimmten Werth hat.

Hieran knüpft sich noch eine wichtige Bemerkung. Es seien zwei beliebige Potenzreihen

$06*1 “aif ••• Xn-an), Sßifo —••• ®n —»n)

gegeben, so lässt sich für die dem Innern des gemeinschaftlichen Convergenz-bezirks der beiden Reihen angehörigen Stellen {x₀ ... æm), deren Gesammtheit mit © bezeichnet werde, eine eindeutige Function f(xt)... xj in folgender Weise definiren:

Ist x[, ... x'n eine Stelle von ©, an der $₀, nicht beide verschwinden,

so soll

sein.

WiK~ai, -"X'n-an)

... x'n-an)

Hat aber an einer Stelle (&', ... x'n) sowohl ^]3₁ als den Werth Null, so bringe man auf die im Vorhergehenden angegebene Weise

%{Xi — ax, ... xn—an) auf die Form    ... xn—0$₄(#i —*1» ••• xn—x'n),

^3 (p^i ^i > • • • *^w    ) ^4 (p^i    ‘    ) >

in der Art, dass die Reihen ^ß₂, keinen an der Stelle {x₁ = x[, ... xn = xn) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler haben. Wenn dann

$,(0,...0), 0) nicht beide gleich Null sind, so soll

^₃(0» •••Q)

f(x[, ...<) =

Dagegen soll, wenn sowohl

sein.

der Stelle (#', ... xn) keinen bestimmten Werth haben.

an

ist, f(xx, ...xj

Dies lässt sich auch so ausdrücken. Ist (#', ... x'n) irgend eine bestimmte Stelle von ($, so kann man stets zwei Potenzreihen

••• xn~xn),    ••• Xn~Xh)

ohne einen an der Stelle {xt = x[, ... xn = xn) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler so bestimmen, dass an allen einer bestimmten Umgebung der Stelle (x[, ... xn) angehörigen Stellen die Gleichung

%(x₁-x[,...xn-x,n)y,₀(x₁-a₁,...xn — an) — $₂ (xl -x[,...xn- x\x ) ^ {xt- ax,... xn - an) besteht. Dann ist

f{x[,...xn) =

zu setzen, mit der Massgabe, dass, wenn so dargestellt f(x'l1...x'n) in der Form ^ erscheint, der Function f an der Stelle (#', ... x'n) kein bestimmter Werth beizulegen ist.

denen sie der gegebenen Definition gemäss den Werth

an

Es ist nun zu zeigen, dass die so definirte Function f(xt,...xn) innerhalb des Bereiches ® eine eindeutige analytische Function ist, für welche diejenigen Stellen

oo hat oder unbestimmt ist, ausserwesentliche singuläre Stellen in dem oben festgestellten Sinne sind, während sie an allen übrigen Stellen sich regulär verhält.

Es sei (x[, ... x'n) irgend eine bestimmte Stelle von G, und

^0(^1    > • • • xn ®n)    Xi ) * • • Xn Xn) •    (*^1 Xi1 • • • Xn Xn) )

ci₁, ... xn dw)    xx, ... xn arw).^3₄(ic₁ xlf ... xn xn)}

wo

nun

^3g, ^J3₄ dieselbe Bedeutung wie im Vorstehenden haben, und ^3₄ sich auf eine Constante reduciren kann. Nach dem oben Bewiesenen kann man eine Umgebung der Stelle (x[, ... xn) so bestimmen, dass, wenn (#", ... x'n) eine bestimmte Stelle dieser Umgebung ist, und man aus $₈, ^ß₄ die drei Potenzreihen ^₂, $₃, $₄ von x^x", ... xn-xn ableitet, für welche bei hinläng-

21

II.

lieh kleinen Werthen dieser Differenzen die Gleichungen

•••*»-*») = ••• «»“0»

= ^3(^1••• ««-<),

...xn-x'n) = f₄(X-<, ...xn-x"n)

bestehen, die beiden Reihen ^J3₂, keinen an der Stelle (a^ = a£, ... xn — x'n) verschwindenden gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Wenn dann f(x",... a?") einen bestimmten endlichen Werth hat, so ist

W,-<) = =

d. h. es gilt die Gleichung

•••

...xn-x'n)

innerhalb einer gewissen Umgebung der Stelle    aQ für alle Stellen

denen f(xt1...xn) einen bestimmten endlichen Werth hat.

an

(*,1 •••*.)

an

Wenn daher ^ß₂(0, ...0) nicht gleich Null ist, so verhält sich f(x₀...xn) der Stelle (a?', ... af ) regulär.

Ist *ß₂(0, ... 0) = 0, nicht aber ^P₃(0,... 0), so kann man die in Rede stehende Umgebung von (af, ... xn) so klein annehmen, dass an allen Stellen derselben der absolute Betrag von f(xi:...xn) grösser ist als jede beliebig angenommene endliche Grösse, so dass f(xi,... xn) — 00 zu setzen ist, wie der Ausdruck von f(xv...xn) angiebt.

Sind endlich $ß₂(0, ...0), ^ß₃(0, ... 0) beide gleich Null, so giebt es, wie oben gezeigt worden ist, in jeder noch so kleinen Umgebung von (a?j, ... xn) Stellen, an denen die Function f(xl1...xn) einen beliebig vorgeschriebenen Werth hat; sie hat also an der Stelle (x[, ... af) selbst keinen bestimmten Werth.

Damit ist bewiesen, dass die in der angegebenen Weise detinirte Function f(xt,...xn) innerhalb des Bezirkes © sich überall wie eine rationale Function verhält.

4. Zur Theorie der ganzen eindeutigen Functionen von beliebig

vielen Veränderlichen.

Dem Vorstehenden zufolge steht eine Potenzreihe ty(xi}... xj, die für jedes System endlicher Werthe der Veränderlichen xxl ... xn convergirt, eine eindeutige Function f(xi)...xn) dar, die sich an jeder im Endlichen des Grössengebiets (xx, ... xn) liegenden Stelle regulär verhält.

Umgekehrt weiss man, dass jede eindeutige Function f(x^...xn), die sich

von xi} ... xn conver-

an allen im Endlichen liegenden Stellen des Gebietes (xx, ... x ) regulär verhält, durch eine für jedes System endlicher Werthe

girende Reihe    ... xn) ausgedrückt werden kann.

Ich nenne eine solche Function f{x^...xn) eine ganze Function. Hat die Reihe, durch welche sie dargestellt wird, unendlich viele Glieder, deren Coefficienten nicht gleich Null sind, so ist die Function eine transcendente.

Sind ferner zwei Potenzreihen $₀(^,... xj,    ... xn) gegeben, welche

beide für jedes System endlicher Werthe von xx,...xn convergiren, so wird durch den Quotienten den in Art. 3 festgesetzten Bestimmungen gemäss eine eindeutige Function f(xir...xn) definirt, die dadurch charakterisirt ist, dass sie sich an jeder im Endlichen liegenden Stelle des Grössengebiets ($,, ... xn) wie eine rationale Function verhält.

aus-

Ob aber umgekehrt jede eindeutige Function ... xn), welche sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhält — also, wenn (ax, ... a) irgend ein System endlicher Werthe ist, in einer gewissen Umgebung der Stelle (a^ ... an) als Quotient zweier Potenzreihen von xx — a^ ...x gedrückt werden kann —, auch als Quotient zweier für jedes System endlicher Werthe von xt, ... xn convergirenden Potenzreihen sich darstellen lasse, das ist eine für Functionen von mehreren Veränderlichen bis jetzt unerledigte Frage, welche sehr erhebliche Schwierigkeiten darzubieten scheint.

Mit dieser Frage ist aber noch eine andere verknüpft.

Für jede rationale Function von xlt...xn gilt, dass sie als Quotient zweier ganzen Functionen dieser Veränderlichen dargestellt werden kann und zwar so, dass der Dividend und der Divisor keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Dann verschwinden Dividend und Divisor gleichzeitig nur an solchen Stellen, an denen die Function keinen bestimmten Werth hat. Es entsteht also die Frage, ob in dem Falle, wo eine Function als Quotient zweier ganzen Functionen von xv ... xn) von denen wenigstens eine transcendent ist, dargestellt werden kann, dies auch in der Art geschehen könne, dass der Quotient nur bei solchen Werthsystemen der Veränderlichen, für welche die Function unbestimmt ist, in der Form

o Io

erscheint — mit andern Worten,

dass aus den Werthen, welche Dividend und Divisor an einer bestimmten Stelle haben, sich unmittelbar entnehmen lässt, ob an dieser Stelle die Function einen bestimmten Werth hat oder nicht, und wie sie sich in der Umgebung dieser Stelle verhält. Auch diese Frage ist bis jetzt nur für Functionen von einer Veränderlichen — und zwar für diese im bejahenden Sinne — entschieden.

In manchen Fällen, wo eine eindeutige Function mehrerer Veränderlichen durch analytische Bestimmungen definirt ist, ist es aber möglich, die angeregten Fragen mittelst eines Theorems, das ich im Folgenden ausführlich entwickeln will, zu erledigen.

Es bedeute jetzt f(x^ ... xn) eine (transcendente oder rationale) ganze Function der Veränderlichen x,...xn. Man setze für diese Grössen ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x:

Xl == «, + c, T, ... xn = an + cnT,

so geht f{x^...xn) in eine ganze Function von x über, welche im Allgemeinen — d. h. wenn die Grössen ... cn einer sogleich anzugebenden Beschränkung unterworfen werden — nicht für jeden Werth von x verschwindet. Denn es erhält f{x^ ... xn), nach Potenzen von xi—a^...xn—an entwickelt, die Form

Ë    ••• xn~an)v,

wo (xz — alt ... xn—an)y eine homogene ganze Function vt6n Grades von —ai? ... xn—an bezeichnet; es brauchen also die Grössen ci7 ... cn nur die Bedingung zu erfüllen, dass die Ausdrücke

nicht alle gleich Null sind. Dies vorausgesetzt, sei in der Entwickelung von f(a₁+c₁ t, ... an+cnx) nach Potenzen von x das erste Glied, dessen Coefficient nicht verschwindet, von der Ordnung so hat man

f(a₁ + c₁T, ... an + cnz) =    Cu+1r^⁺¹ + -..,

wo C nicht gleich Null ist. Werthe von x

Daraus ergiebt sich für hinlänglich kleine

dlogfQi + ctt, ... an+cnx)

dx

Setzt man also

wo    • • • fn{xii • • • xn) eindeutige Functionen sind, welche sich an

jeder im Endlichen liegenden Stelle des Gebietes (&l? ... xn) wie rationale Functionen verhalten und den Gleichungen

dfa{xx, ...xn) _ rd/jifa, •••^)

genügen, so hat man

2 /«Ol, • ®») dXa = 0T ’ + $(T))

wenn

xi =    «i+

gesetzt wird, und es ist dann stets entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl.

Dieser Satz lässt sich nun in folgender Weise umkehren:

Es seien n Functionen

gegeben, welche den folgenden Bedingungen genügen:

1)    Sie sollen eindeutige Functionen sein, für die wesentliche singuläre Stellen im Endlichen des Grössengebiets (xi, ... xn) nicht existiren.

2)    Der Differentialausdruck

2 fJXlT'-Xn)dXa

soll die durch die Gleichungen

dxß

dxa

$ <30.

.. n.

ausgedrückten Integrabilitätsbedingungen erfüllen.

3) Es soll, wenn man für x^ ... xn irgend welche ganze lineare Functionen einer Veränderlichen x substituirt:

xi = at + ct t, ... xn = an+cn t für hinlänglich kleine Werthe von x

2 faixi > • • • xn) dxa die Form (^x ¹ + $ß(x)) dr

a = i

annehmen, und dann [i entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl sein, vorausgesetzt, dass von den beiden Potenzreihen von xx — ai, ... xn— an, als deren Quotient

2 Cafa(XlT--Xn)

in der Umgebung der Stelle (ati ... aj dargestellt werden kann, der Divisor durch die angegebenen Substitutionen nicht identisch gleich Null werde.

Alsdann existirt eine ganze Function fÇx^.-.xJ, welche der Differentialgleichung

d\0gf(xi, ... X'l) = 2 fa(Xr, '•'Xn)dXa

a~\

der Werth irgend eines ihrer Coeffi-

wenn

genügt und völlig bestimmt ist cienten, der in Folge der vorstehenden Gleichung nicht nothwendig gleich Null ist, fixirt wird, was in beliebiger Weise geschehen kann.

Um diesen Satz zu beweisen, nehme ich zuerst an, es sei innerhalb einer bestimmten Umgebung der Stelle (0, ... 0) jede Function fa in der Form

t a iXl I    Xn)    (,Xi ) • • • %n )

= 2 (Xi ,---Xn)l

V — 0

darstellbar. Dann ist zufolge der Bedingung 2)

öOi, •••*„);

dxa

ÖXp

Setzt man

ce ?

so ist

a =z i

ä^,...xny+i = 2

a —

il V + 1

{x₁,...xn)vadxĄ +

L_ v v - --O«

v+l ^ ^

i (î = i

Es ist aber

dx.

= 22

“—iß—t

dxa

xadxp

= 2 •••xH)}dxß ß=i    ¹

und daher

2 2fo>-

a = l v = 0

d(xv... Xn)v+1 = 2 (»i» • • • «»)«

a = i

--xnyadxa = d fi(x₁,...xny⁺¹.

Entwickelt man also, unter C eine willkürlich anzunehmende Constante verstehend, den Ausdruck

Cev=0

2 iæli • • • æn)V+1

nach Potenzen von æ, ... xn1 so genügt die so sich ergebende Potenzreihe, für f(xi,... a? ) gesetzt, der in Rede stehenden Differentialgleichung und ist sicher convergent in dem gemeinschaftlichen Convergenzbezirk der Entwickelungen von ffa, . • • xn), ... fn(xt,... xn).

Zweitens nehme ich an, man habe für alle einer bestimmten Umgebung der Stelle (0, ... 0) angehörigen Werthsysteme (&x, ... xn)

^\x₁,...xn)

fa(x1}...xn) =

wobei ich bemerke, dass es nicht eine nothwendige Bedingung ist, dass

der Stelle (xt = 0, ... xn = 0) versehwin-

nun für xv ... xn

0,1 • • • *„)>    •••*.) keinen

denden gemeinschaftlichen ïheiler haben. Man substituire

an

homogene lineare Functionen von n andern Veränderlichen tt, ... tn:

xa

(cc = 1,... n)

wodurch sich das Differential in ein anderes von der Form

2    ••• y dta

verwandelt, für welches die Integrabilitätsbedingungen ebenfalls erfüllt sind. Die Constanten g q hat man so anzunehmen, dass die Determinante

9ii 9n • * * 9m 921 922 • • • 9 in

9ni 9ni • ’ * 9nn

von Null verschieden ist, und bei keiner der Functionen ^i⁰⁾ (911 , • • • 9n&) > • • • (tfu    l) »

wenn man sie nach Potenzen von ^ entwickelt, sämmtliche Coefhcienten verschwinden.

Dann lässt sich

darstellen, und es ist ^3₀(^,0, ...0) eine Potenzreihe von deren Coefhcienten nicht sämmtlich gleich Null sind. Ist das Anfangsglied dieser Reihe von der Ordnung l, so nehme man eine positive Grösse dx so an, dass die Stelle (t₁ = d1? t₃ = 0, ... tn = 0) innerhalb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirks der Reihen liegt, und die Function

für jeden Werth von dessen absoluter Betrag nicht grösser als ist, einen von Null verschiedenen Werth hat. Wird darauf eine zweite positive Grösse d', die kleiner als dx ist, beliebig angenommen, so lassen sich n — i andere d₂, ... dn so bestimmen, dass die Stelle (tt = dx, t₂ — d₂, ...    = dn) inner

halb des gemeinschaftlichen Convergenzbezirkes der Reihen $ß₀, *ßx, ... liegt, und für jedes den Bedingungen

A)

•••

genügende Werthsystem    ... tn)

| «p₀(*„ o,... 0)I > It₂,... o-*₀fc, 0,... 0) I

ist. Dann giebt es, wie in Art. 1 gezeigt worden ist, für jedes den Bedingungen

B)

•••

entsprechende Werthsystem (t₂,...tn) unter denjenigen Werthen von tt, für welche | ^ | ist, nicht mehr als welche der Gleichung

¹

Es lässt sich aus dem Vorhergehenden noch leicht ableiten, dass jede Potenzreihe von xt, ... xn, durch welche die gegebenen Eeihen beide theilbar sind, nothwendig ein Theiler von $ß₂(#j,... xn) ist.

$o(*» *,»•■•*.) = ⁰

genügen, und diese sind ihrem absoluten Betrage nach sämmtlich kleiner als d'. Nun sei (£', ...Q irgend ein System bestimmter, den Bedingungen B) genügender Werthe von £₂, ... und es habe die Gleichung

=⁰

r von einander verschiedene Wurzeln

+' i"    /(r)

,    ... t-j ,

welche ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d' sind. Setzt man dann

11 =    + ta = t ... tn =

so werden æx, ... ganze lineare Function von x, welche der oben unter 3) angegebenen Bedingung genügen, indem

S />.....*.)    dt°

ist, und $o(£' + x, t'n) nicht für jeden Werth von x verschwindet. Man erhält also für hinlänglich kleine Werthe von x

m'

¥l(^+ T> C • • • O - “+^(T)>

wo m eine ganze Zahl und >0 ist5 und ebenso

m(r)

22

IT.

wo    gleichfalls ganze, nicht negative Zahlen sind. Daraus folgt,

dass die Differenz

¥l(^l > ^2) • •

m"

h-K

t-K

für keinen Werth von tl} dessen absoluter Betrag kleiner als d ist, unendlich gross wird und demgemäss in der Form

t-tr

W)

dargestellt werden kann. Setzt man also so ergiebt sich für jeden der Bedingung | ^ | < di genügenden Werth von t₁

+ $&)•

¹ dyfo)

?(h) ät,

Die Function cp(Z) lässt sich aber ermitteln, ohne dass es nöthig wäre, die Grössen £', Z", ... und die zugehörigen Zahlen m, m

Man kann, wenn man die Grössen Zx, t₂, ... tn den Bedingungen

Kl^*,» ••• Kl

.. tn) in der oben (in Art. 1) angegebenen Weise auf die

.. m(r) zu bestimmen.

C)

unterwirft, ^ßo(Zx,Z Form

1» •

bringen, in der Art, dass ^ß₀(^, ...^) für kein den vorstehenden Bedingungen entsprechendes Werthsystem (Zx,t₂,...tn) verschwindet. Die Function 6ro(Zx, kann dann nicht unendlich klein werden, wenn man die Grössen t, t, ... t den Bedingungen A) unterwirft. Für alle diesen Bedingungen genügenden Werthsysteme (Zx, Z₂,...Zn) lässt sich deshalb

^0 (ßn ^21 • • •    )

in eine gleichmässig convergirende Reihe von der Form

Z—v

±tj:

r = 0

entwickeln, in der die Coefficienten Tv gewöhnliche Potenzreihen von £a, ... tn sind. Diese Reihe convergirt dann auch, als Potenzreihe von £₂, ... tn betrachtet, bei jeder Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt für die gewöhnliche Potenzreihe von tx, £₂, ... tn, in welche der Quotient

verwandelt werden kann; man erhält daher für die jetzt betrachteten Werthsysteme    die Function cpi(^i, ...tn) dargestellt durch eine bei jeder

Anordnung ihrer Glieder convergirende Potenzreihe der Grössen tlt ta, ... tn) welche negative Potenzen von t₁ im Allgemeinen in unendlicher Anzahl, aber keine negativen Potenzen von 1₂, ... tn enthält und somit auf die Form

±    +± rj(4s... u t\

1.1=0

gebracht werden kann.*)

Es lässt sich aber auch

m"

m'

vn )

¹ ₌

?(h) dti    ti — t'i

wenn    ist, in eine Reihe von der Form

fl - - o

entwickeln, und es ist dann namentlich T[ = m + m" + ••• + m(rt. Man hat also

?(*,) dti

= s r^-o-wr+sn,...«?.

(.1 = 0

Aus dieser Reihe müssen nun dem vorhin Bemerkten zufolge alle Glieder mit einer negativen Potenz von tx verschwinden; man hat also

T.

fl+1

(fi = 0, ... oo) ,

*) Diese Reihe erhält man auch dadurch, dass man (unter der Annahme ^< | f, | <; Ą) die Function ■••tn) als Potenzreihe von t₂, ... tn darstellt und darauf die Coefficienten derselben, welche sämmt-lich die Form haben, nach steigenden Potenzen von entwickelt.

Es ist daher ^j$⁽⁻¹⁾(£₂,... £n) für jedes der betrachteten. Werthsysteme (t₂,... tn) eine ganze Zahl. Daraus folgt, dass sich $ß⁽⁻¹⁾(7₂,... tn) auf ein von t,...tn unabhängiges Glied reducirt. Denn wäre dies nicht der Fall, so würde ^3⁽⁻¹⁾(7₂, • • • K) e^ne continuirliche Function von t2l ... tn sein, die auch andere als ganzzahlige Werthe haben könnte. Es ist also die Summe + mw) von dem gewählten Werthsystem (£',... t'n) unabhängig und kann gefunden werden, wenn man gleichzeitig = 0, ... t'n = 0 setzt.

Da nun, wenn ... f sämmtlich gleich Null gesetzt werden,

0,... 0) = 2^-«(o,‘...o)Ç^ + SÇW(0,...0)^

V == 0

(.1 = 0

= (in + m" H-----h m{r) ) tx ¹

¹

?&) dti

tt wegfallen müssen, so sieht man,

von

ist, und aus der Differenz der Ausdrücke auf der Rechten dieser Gleichungen alle Glieder mit negativen Potenzen dass die Entwickelung von

für jeden Werth von tlt dessen absoluter Betrag < dt ist, die Gestalt hat, wo m eine ganze Zahl bedeutet, die ^0 ist, und dass man

m +m"-ł----+ ni(r) = m

hat.

Dabei ist noch zu bemerken, dass m immer >0 ist, wenn nicht etwa jede Function ^(x^ ... xn) durch    ... xn) theilbar ist, welcher Fall

schon behandelt worden und hier auszuschliessen ist.

Nachdem so der Grad der Function cp(^) ermittelt ist, setze man

?&) = t?+F;tr¹+- + F^,

so hat man, zunächst für die der Bedingung

genügenden Werthe von t ,

¹ fofo)

?&) dtt

Mtn₁l-¹+(m-l)FX~* + "- + F^_₁ = (C + F[t\n-¹ + • • •

= s = s •

[l — O

(.1=0

+j¹;) j »<+s ro ci •

'    (i = 1

Daraus ergeben sich die Gleichungen

F' +

2FÏ + F'. r'²⁾(^,...4) +

(-ni-l)

= 0.

. r-²⁾ß,= o +F’m_x r²⁾ ß,... Q + f;_₂    s> C) + ••• + *

Durch diese Gleichungen lassen sich die Grössen F'

.. F'm bestimmen.

Substituirt man in den Ausdrücken derselben für ... t' die unbestimmten Grössen ć₂, ... tn, bezeichnet die Potenzreihe von t durch übergeht, mit

2? *

.. t , in welche .F' da-

n'    /Li

und setzt

so ist durch das Vorstehende bewiesen, dass für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (tti t₂,... tn)

= sn.-<.K

dlogyQV *g> ••»*«)

ist. Da aber die Reihe auf der Rechten dieser Gleichung keine negativen Potenzen von ^ enthält, so convergirt sie für jedes den Bedingungen C) genügende Werthsystem    und zwar, wie aus ihrer Entstehungs

weise hervorgeht, unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder. Dasselbe gilt von den Reihen

Fx(t₂,    ... Fm(t„

es besteht somit die vorstehende Gleichung für jedes den zuletzt angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (tx1... tn).

Nun hat man, wenn a > 1 ist

C¹ esTfo,...*,)

aiog<p(^, ...y j _a_ * j

J

Es lassen sich aber, wenn man tx, t₂, . wirft,

.. tn wieder den Bedingungen A) unter-

dlog y ft,

in Reihen von derselben Form, wie die im Vorhergehenden für ç (£ ,...£ ) angegebene, entwickeln. Die vorstehende Gleichung lehrt nun, dass in der Diiferenz dieser beiden Reihen Glieder mit einer negativen Potenz von t nicht Vorkommen, und dass man

ölog<p(^, ...tn)

<p«ft> •••*»)--hat, wo ^3⁽a⁰⁾(ć

erwähnten Entwickelung von <pBft, ...$J bezeichnet, und 9™ ft, ...tn) dieselbe Bedeutung für die Function auf beiden Seiten dieser Gleichung ergiebt sich dann wieder, dass die Gleichung für jedes den Bedingungen C) entsprechende Werthsystem ft, t₂,... tn) gilt. Damit ist bewiesen, dass sich

dta

äh

.. tn) die Summe der von tx unabhängigen Glieder der eben

dta

hat. Aus der Form der Ausdrücke

auf die Form

Der Ausdruck unter dem Summenzeichen genügt dann wieder

bringen lässt.

den Integrabilitätsbedingungen und kann nach dem im zuerst betrachteten Falle Bewiesenen in der Form

dlog^Sft,... tn)

wenn man

dargestellt werden, wobei man ^3(0,... 0) = 1 annehmen kann. Folglich ist, unter C eine von Null verschiedene, im Übrigen willkürlich

anzunehmende Constante verstehend setzt

Drückt man nunmehr ćl? ... tn durch xt, ... #n aus und setzt

<K*i> •••*») = /■(*!,•••««)»

so ergiebt sich

2 fa(Xll--Xn)dx* = d lüg , . . . fl? J .

Diese Gleichung gilt nun ihrer Herleitung zufolge für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (0, ...0) angehörigen Werthsysteme (xi,...xn). Etwas Bestimmteres über den Convergenzbezirk der Reihe für f(x^...xn) lässt sich durch die gegebene Déduction nicht ermitteln, weil bei derselben nur vorausgesetzt ist, dass die Functionen fa(xt,... xn) innerhalb einer begrenzten Umgebung der Stelle (0,... 0) überall eindeutig definirt seien und sich wie rationale Functionen verhalten. Gleichwohl reicht der in der vorstehenden Gleichung ausgesprochene Satz aus, um für den Fall, wo die Functionen fa(x^...xn) sich an allen im Endlichen des Grössengebietes . ..æn) liegenden Stellen wie rationale Functionen verhalten, das oben ausgesprochene Theorem zu beweisen.

Es sei (at, . ..am) ein System bestimmter, endlicher Werthe von xt, ... xn, und man nehme an, es convergire die auf die beschriebene Weise hergeleitete Reihe f(x,... xn) (in der wir uns jetzt für die Constante C einen bestimmten Werth gesetzt denken) für jedes den Bedingungen

| ff ! | < | »! | , • • • I Xn I < I an I

genügende Werthsystem fo,... xn). — Ferner sei (a', ...a'J irgend ein bestimmtes Werthsystem, das den Bedingungen

Dann kann man inner-

gemäss, im Übrigen aber beliebig angenommen ist. halb einer bestimmten Umgebung der Stelle (al5 ...aw)

fa(x1} ...XJ in der Form

...xn-a'n)

...xn-a’n)

darstellen und nach dem Vorhergehenden eine Reihe

Ç§(x₁-a!₁,...xn-a'n)

herleiten, welche der Gleichung

dxa

VH

CO

dlog^fa-Ą, ...xn-a'n) = 2

genügt. Diese Reihe möge convergiren an allen Stellen, für die

<0, ... \xn-a'n\<d

ist, wo â eine positive Grösse bedeutet. Unter diesen Stellen giebt es nun auch solche — und zwar bilden dieselben ein 2ra-fach ausgedehntes Continuum —, welche zugleich den Bedingungen

KI < ! «i I > • • • KI < KI

genügen. Innerhalb des Bereiches dieser Stellen hat man also

n

dlog^tX-«;, ...xn-a'n) = 2    •••Xn)dxa,

a = 1 n

dlogf(xlt...xn) — 2 fafa, ...xn)dxa,

a = 1

d^(xt-a[,...xn-a'n) _ df(xlt ...xn)

...xn-a'n)

woraus sich, da die Functionen f{xx1... xn), —    ... xn— an) innerhalb des

in Rede stehenden Bereichs an allen Stellen sich regulär verhalten,

f(x₁,...xn) = C'^x.-a,, ...xn-an)

ergiebt, wo C eine von xt, ... xn unabhängige Grösse bedeutet. Da dies für jedes den angegebenen Bedingungen entsprechende Werthsystem (a',... an) gilt, so folgt daraus (nach einem der Sätze, welche in der Functionentheorie in Betreff der Convergenzbedingungen für Potenzreihen entwickelt werden) die Existenz einer positiven Grösse V, so beschaffen, dass die Reihe auch noch convergirt für jedes den Bedingungen

ki I < KI +    • • • KI < KI + * '

genügende Werthsystem (xt, ... xn). Daraus ergiebt sich sofort, dass die Reihe f{x^...xn) für jedes System endlicher Werthe von x^ ... xn convergirt und

die Gleichung

2 /«Oi, ...xn)dxa = dlogffa, ...xn)

befriedigt.

Man sieht zugleich, wie sich die in f(x^...xn) vorkommende Constante C so bestimmen lässt, dass einer der Coefficienten der Reihe, welcher nicht nothwendig bei jedem Werth von C gleich Null ist, einen vorgeschriebenen Werth erhält.

Es bedarf kaum der Erinnerung, dass in einem gegebenen Falle die Entwickelung der Reihe    nicht nothwendig auf dem beschriebenen

Wege bewerkstelligt zu werden braucht. Vielmehr kann man, nachdem einmal durch das Vorstehende die Form und der Convergenzbezirk der Reihe festgestellt worden sind, jedes zur Bestimmung ihrer Coefficienten führende Verfahren ohne Verstoss gegen die Strenge der Herleitung anwenden.

5.

An das im Vorstehenden entwickelte Theorem schliesst sich nun ein anderes an, durch welches in manchen Fällen für eine eindeutige Function f(xx,... xn), welche an allen im Endlichen des Grössengebietes (xi:...xn) liegenden Stellen sich wie eine rationale Function verhält, der Nachweis geführt werden kann, dass sie als Quotient zweier — transcendenten oder rationalen — ganzen Functionen von xt1...xn darstellbar ist, und zwar in der Art, dass nur an denjenigen Stellen, wo f{x^...x^) keinen bestimmten Werth hat, der Dividend sowohl als der Divisor verschwindet.

Angenommen, es sei eine bestimmte Function fix^.^xj in der angegebenen Weise als Quotient zweier ganzen Functionen gx{x^ ... xn), g₀(x^ ... xn) ausgedrückt, so hat man, wenn

dlogffppi, ...xn)

dxa

dlogg^x,, ...xn)

dxa

=    - ..a»)

gesetzt wird

d\ogf{x„ ...xn) = 2    ...xn)dxa-^ C\xl} ...xn)dxa,

<x = l

23

II.

und es besitzen die Functionen fc⁽°\ folgende Eigenschaften:

1)    Sie sind alle eindeutige Functionen von xl}...xn, welche sich im Endlichen wie rationale Functionen verhalten.

2)    Die Differentialausdrücke

»    n

2 fT Oi, ...xn)dxa, 2 fa Oi» • • • ««) dxa

genügen beide den Integrabilitätsbedingungen.

3) Jede im Endlichen gelegene singuläre Stelle einer der Functionen fT(xii ••• xn) zugleich eine singuläre Stelle der Function f(xx,... xn); jede im Endlichen gelegene singuläre Stelle einer der Functionen fa(xxi... xj ist entweder eine Null-Stelle von f(xlt... xj oder eine derjenigen singulären Stellen dieser Function, an denen sie keinen bestimmten Werth hat.

Dies Theorem — dessen Beweis auf der Hand liegt — lässt sich folgen dermassen umkehren.

es ge-

Angenommen, man wisse von einer irgendwie definirten Function dass sie eine eindeutige Function der hier betrachteten Art sei, und linge, das Differential

in der Form

dlogffa, ...xn)

2 fa Ol, Xn) dXa - 2 fT (xif...Xn) dXa

a=l    a=l

dergestalt auszudrücken, dass die Functionen fj°\ fT die im Vorstehenden unter 1), 2), 3) angegebenen Eigenschaften besitzen; so sind diese Functionen auch so beschaffen, dass sich auf die in Art. 4 gelehrte Weise zwei ganze Functionen gt(x^ ... xj, gt(xt1... xj bestimmen lassen, welche die Gleichungen

d log g o Oi, ••.*»)= 2 fT Oi,...«») dxa

A)

a = 1 n

d lüg ^i Ol J * • ' Xn) = Hfa\xi,...Xn)dXa

a = l

befriedigen. Dann ist

B)

f(xl}...xn) = C

giOi.-g»)

9o(Xi,---xn)

wo C eine von xl7 ... xn unabhängige Grösse bezeichnet, und es verschwinden

g₀1 0 \ gleichzeitig nur an solchen Stellen (x^...xn), wo f(x^ ... xn) keinen bestimmten Werth hat.

(0)

Es sei (al? ... an) irgend ein System endlicher Werthe der Grössen xv ... xn, so giebt es — nach Art. 2 — eine gewisse Umgebung ((£ ) der Stelle ... an), innerhalb welcher jede der Functionen /j f zweier Potenzreihen von xx — ax, ... xn—an in der Art darstellen lässt, dass der Dividend und der Divisor nur an solchen Stellen (xt,    wo die betreffende

Function keinen bestimmten Werth hat, gleichzeitig verschwinden. Bezeichnet man für f, f^\ f™ die Dividenden bez. mit p, p'a, qa und die Divisoren bez. mit q, p , qa, so hat man

jl /1 dp a = \p dxa

i)**-

n /I dq

a = Aq dxa

woraus sich, da die Veränderlichen xi,...xn unabhängig von einander sind,

1 dq

q dxa qa

TS TS

1 dp

P dxa

<L\dXa = 2

Qa

ergiebt.

Der Voraussetzung 3) nach kann qa innerhalb des Bereiches ((£) nur an solchen Stellen (&l5 ...&w) verschwinden, die zugleich singuläre Stellen der Function ^ sind, für welche also q — 0 ist. Ebenso kann pa nur an solchen Stellen verschwinden, an denen p = 0 ist. Daraus kann man schliessen, dass

die Function

Q'a

1 dq

q dxa qa

sich innerhalb ((S) regulär verhält. Denn wäre dies nicht der Fall, so hätte sie (nach Art. 3) innerhalb ((£) unendlich viele singuläre Stellen, und unter diesen gäbe es nothwendig solche, an denen q = 0 wäre, p aber, und somit auch p j einen von Null verschiedenen Werth besässe, was der Gleichung

Pa

1 dp p dx

_ sL

Pa

q dxa qa

widerspricht. Man kann also für die dem Bereiche ((§) angehörigen Werthsysteme (x₁,...xn)

« | i-*

àq Q'a

dxa

pr =    -ax)...xn-an)

[La

setzen und hat dann

2 fa⁰⁾(Xl ,-.-Xn)dXa = d log g - 2    •'* Xn~ ^n) <*»«,

a = 1

n

2 fa⁾{xl)...xn)dxa = d\ogp-'2l'$tt{xl-a₁,...xn-an)dxa.

cc = 1

Der Differentialausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichungen genügt nun den Integrabilitätsbedingungen; man kann ihn daher in der Form

dtyfa — a,, ...xn-an)

darstellen und erhält dann

2 fa\x 1 ,-••*«)dxa = dlog j

a = 1    v

n    /

2 fa\x!= dlog \p.e

'P Ul % > • • •

(%l CId ... Xn ün)

= dlog^’^j

j = d log -alf...xn-an).

-alt ••• xn-an),

Es sind also die Functionen    ... xn), f^(x^... xn) in der That so beschaffen, dass man (nach Art. 4) zwei ganze Functionen g₀{x^ ... &n),    ... xn)

In der Umgebung jeder

bestimmen kann, für welche — bei gehöriger Bestimmung der Constante C — die vorstehenden Gleichungen A), B) gelten, bestimmten Stelle (at,...an) ist dann

5p (x^ at,... xn an ) -5P (xl-a₁,...xn-an)

go(x1}...xn) = Ctqe

ffi(xlt - ..*») = C₂pe

wo U, C₂ Constanten bezeichnen; es verschwinden daher ^₀, gt gleichzeitig an der Stelle (a1? •••«„) nur dann, wenn auch jo, q an derselben beide verschwinden, ... o?n) also für das Werthsystem (xi = alf ... xn = an) keinen bestimmten Werth besitzt; w. z. b. w.

Anmerkungen.

1. Es ist vorausgesetzt worden

man wisse von der Function f(xi}... xn), dass sie eine eindeutige Function sei und im Endlichen sich überall wie eine

rationale Function verhalte.

Ist dies nicht bekannt, vielmehr die Aufgabe gestellt, die Function so zu bestimmen, dass sie der Differentialgleichung

dl°gf(x₁₇ ...xn) = 2 f™(x1} ...xn) dxa-^ f{°\x₁₇ ...xn) dxa

et — 1    a= l

genüge, so hat man zur Lösung dieser Aufgabe kein anderes Mittel als zu untersuchen, ob jeder der beiden Differentialausdrücke auf der Rechten der Gleichung die in Art. 4 von dem dort betrachteten Ausdruck

2 fa(X l,---Xn)dXa

vorausgesetzte Beschaffenheit habe, und im Falle, dass sich dies bestätigt und somit feststeht, dass f{xxy...xn) in der Form

9o(Xl> • * • Xn)

dargestellt werden kann, sich zu vergewissern, ob die Functionen f^\ auch der oben (unter 3) angegebenen Bedingung entsprechen.

2. Das im Vorstehenden entwickelte Theorem kann ohne Schwierigkeit folgendermassen verallgemeinert werden :

Es sei von einer irgendwie definirten Function f(xi,... xn) bekannt, dass sie sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhalte, und es lasse sich dmlogf(x^ ... xn) in der Form

dm log f{xi ,...xn) =    ... ccjx 1 >•••«») dxax • • • dxccm~Hfi

(0)

am{x₁,...xn)äxai...äxam

dergestalt ausdrücken, dass jeder der beiden Differentialausdrücke auf der Rechten der Gleichung den Integrabilitätsbedingungen genüge, und die Functionen f⁽⁰⁾    ,    die im Vorstehenden unter 1), 3) angegebene Beschaffen-

heit besitzen, so ist f(xx,... xn) in der Form

9l(Xl, ••• Xn)

9oiXl>”‘Xn)

darstellbar, wo g₀, gt ganze Functionen von xt, ... xn sind, welche nur an solchen Stellen (xx,... xn) gleichzeitig verschwinden.

Der Beweis dieses Satzes ist dem für den Fall

wo

f(x^...xn) keinen bestimmten Werth hat,

wo m — 1 ist, durchgeführten ganz analog, und es braucht dabei nur folgender, leicht abzuleitende Hiilfssatz vorausgesetzt zu werden:

Genügt ein Differentialausdruck

den Integrabilitätsbedingungen, so kann er auf die Form

dm^{x₁ — alt ...xn-an)

gebracht werden.

3. Auch das in Art. 4 bewiesene Theorem kann folgendermassen verallgemeinert werden :

Ist ein den Integrabilitätsbedingungen genügender Differentialausdruck

2/«!,... ccmi.xi > • • • Xn)    • • • ^xam

(kj,... ccm = 1,2,...%)

wenn

gegeben, in welchem die Functionen fa a (xi:...xn) eindeutige Functionen der hier betrachteten Art sind, und lässt sich zeigen, dass derselbe für xt, ... xn lineare Functionen einer Veränderlichen t gesetzt werden — welche nur der in Art. 4 für den Fall, wo m = 1 ist, angegebenen Bedingung unterworfen sind — für hinlänglich kleine Werthe von x stets die Gestalt

(idm log t + $ß(x) dim

erhält, wo fi entweder gleich Null oder eine positive ganze Zahl ist, so ist jede der Differentialgleichung

ajxi, ■••xn)dxul'"dxam

dmlogf(x1}... xn) =24 («)

genügende Function f(xi}...xn) eine ganze Function von xxY... xn\ und ist eine solche Function f₀(xx, ... xn) bestimmt, so erhält man den allgemeinen Ausdruck von f(xx,... #w), wenn man

Gr (Xy, ... Xn )

f(Xy,...xn) = f₀(xt, ...xn)e

setzt und für G(xx,... xn) eine ganze rationale Function (m — 1) x. ... x mit willkürlichen Coefficienten nimmt.

1 '    n

Um diesen Satz beweisen zu können, hat man zunächst zu untersuchen, unter welchen Bedingungen ein gegebener Ausdruck

ten

Grades von

2 fa (Xi ) • • • Xn) dXa ,

in welchem die Functionen fa(xt,... xn) eindeutige Functionen der hier betrachteten Art sind, das Differential einer ebenfalls eindeutigen Function ist — eine Frage, welche sich mit Hülfe der Ergebnisse der vorhergehenden

Untersuchungen ohne Schwierigkeit erledigen lässt, auf die ich aber hier, wo es sich hauptsächlich um eine Zusammenstellung solcher Sätze handelt, die in meiner Vorlesung über die Ahel’sehen Functionen als Hülfssätze gebraucht werden, nicht eingehe.

6. Über die Entwickelung w-fach periodischer ganzer Functionen

von n Veränderlichen.

Eine ganze Function f(u^ ... un) der n Veränderlichen ... un sei w-fach periodisch; d. h. es soll n Systeme von je n Constanten

2o>u,    2(d₁₂,    .. . 2o>m

2to₂₁, 2o)₂₂, ... 2u)2w

Ml

.. 2u>

geben, für welche bei beliebigen Werthen von ... un die n Gleichungen

f(u₁ + 2o)1(S, ... un + 2<»nß) — f(ut,un) gelten, wobei vorausgesetzt werde, dass die Determinante

®U)    ■ • • ⁰¹1«

nicht gleich Null sei.

.u andere Veränderliche ... vn ein mittelst

i» ••

Führt man statt u der Gleichungen

= 2 2«iaßv? ß=x

und bezeichnet mit v₂, ... vn) die Function, in welche    durch

diese Substitution übergeht, so hat man

Cp(^,^,.-.^+l) =    *>B)>

aus

welchen Gleichungen sich die allgemeinere

<?(v₁ + m₁,vi + ma,...vn+mn) = <p(vitva, ...vn) ergiebt, wo tïi , w₂, ••• Wîw beliebige ganze Zahlen bedeuten.

Es soll nun bewiesen werden, dass sich (p(vt, v₂,... vn) durch eine beständig convergirende Reihe von der Form

^^Vuva,...vn

ß2(v₁vl + v₂v₂ + --- + vnvn)r.i

(vt,V2, .. . vn = -CO,.-- + Co)

Vn von vi7 va, ... vn unabhängige Grössen sind. Es ist leicht, diesen Satz aus dem auf Functionen mehrerer Yeränder-

darstellen lässt, wo die C

liehen ausgedehnten Fourier’schen Theoreme abzuleiten. Ende, unter si? ... sn, tv ... tn reelle Grössen verstehend

Man setzt zu dem

Va - ta + Sai

so lässt sich <p(^ +    ... tn+ sni), als Function von ... tn betrachtet, in der

Form

'2uCvu...vn

(vv...vn— -co, ••■ + oo)

ausdrücken, wenn man

c:

vu —

* = /‘-/‘łft+M

•'o    •'O

nimmt. Man beweist dann leicht, dass die partiellen Ableitungen der als Function von ... sn betrachteten Grösse

c:

vv...vn

e2(vlsl + --- + vnsn)TZ

bei der vorausgesetzten Beschaffenheit der Function cp sämmtlich gleich Null sind, diese Grösse also einen von sv ... sn unabhängigen Werth hat, woraus sich der angegebene Ausdruck von cp(vl?... vn) und die Bestimmung von nämlich

vv...vn

—2(v₁#₁H-----1-vntn)m

dtn

ergiebt.

Die mit einer strengen Begründung des Fourier’schen Theorems für reelle Veränderliche verknüpften Schwierigkeiten fallen bei der Function cp(£x + sti,... tn+ sni) fort, indem deren Ableitungen stetige Functionen von t.... t sind.

i ' n

Es lässt sich indess der in Rede stehende Ausdruck von cp(t?t,... vn) auch aus den Fundamentalsätzen der Theorie der gewöhnlichen Potenzreihen ableiten. Dies soll hier ausgeführt werden.

Es sei

g{y,x^...xr)

eine ganze Function der r + 1 von einander unabhängigen Veränderlichen v, ajl} ... xr) welche in Beziehung auf die Veränderliche v die Periode 1 besitzt, so dass, wenn m eine beliebige ganze Zahl ist, die Gleichung

g(v + m, xlf... xr) = g(v, xt, ... xr)

besteht. Setzt man dann

g^v^^ ...xr) = ■§-g(v,x₁,...xr) + {g(-v,x₁,...xr)

sin 2vtt

gi(v,x1}...xr) =

so ist nicht nur g₀, sondern auch gi eine ganze Function von v, a?, ■... a? . Denn der Nenner von gx verschwindet nur, wenn v = ^ und m eine ganze Zahl ist; setzt man aber v = y + 7&, so ist

sin 2

Im ,\

(t+T

= ± sin 2Air

( m ₇

9[~Y~h’xi

also

®r)

(m ,    \ (mn

9 ( y + Ä, Xlt ... Xrj-g\-~- h, Xt

und es hat somit gt(v, x^ ... xr) auch für v = ~ einen bestimmten endlichen Werth.

Jetzt sei s eine neue unbeschränkt veränderliche Grösse, und es werde eine Function Go(s,xt,... xr) folgendermassen definirt: Jedem endlichen Werthe von s ordne man einen die Gleichung

s — cos2yrc

befriedigenden Werth von v zu und nehme dann

G₀(s, xtf... xr) = g₀(v, x₁}...xr)

24

II.

so hat G₀(s,xlt ... xr) für jedes System endlicher Werthe von s, ... xr einen bestimmten und ebenfalls endlichen Werth. Denn es sei v irgend einer derjenigen Werthe von v₁ welche für einen gegebenen Werth s' von s der Gleichung s' = cos2vrc genügen, so werden alle übrigen durch die Formel

+ v'+m

geliefert, wo m eine ganze Zahl bedeutet; für alle diese Werthe von v hat aber go(v, x t... xr) denselben Werth. Nimmt man ferner s hinlänglich nahe bei s' an und setzt h — 2tu(u—V), so erhält man aus der Gleichung

)-oos2«.V.(A—A- + -),

s — s' =

— sin 2v'tz . (li — ~ 4----

falls sin 2t; V nicht gleich Null ist, einen dieselbe befriedigenden Werth von v — v\ und in dem Falle, wo sin2FTc = 0 ist, einen Werth von (v — v')² in der Form einer Potenzreihe von s — s' ausgedrückt. Da nun im letzteren Falle v = ^ und daher

darstellen. Damit ist be

ist, also in der Entwickelung von g₀(v, xt,... xr) nach Potenzen von v-v nur gerade Potenzen dieser Grösse Vorkommen, so lässt sich in beiden Fällen 6ro(s, x^ ... xr) als Potenzreihe von s — s\xl} ... xr

wiesen

wenn s

dass G₀(s, xt,... xr) eine ganze Function von s₁xi,...xr ist, welche, = cos2u7t gesetzt wird, in go(v, x^ ... xr) übergeht.

Ebenso wird gezeigt, dass eine ganze Function Gt(s, xJt... xr) existirt, welche, wenn s = cos2w gesetzt wird, in gt(v, xt,... xj übergeht.

Hiernach hat man

g(v, xlt ...xr) = 6r₀( cos2otc, xt, ...xr) + cos2wc, re,sin 2»iu.

Wendet man nun diesen Satz auf die Function <p(vt1 vaf... vn) an, so kann man dieselbe zunächst auf die Form

6r₀(cos 2vlic,vs,...vn) + G₁(cos 2v₁tc,v₂, ...vjsin 2v₁x bringen. Die Functionen G₀, G₁ haben dann in Beziehung auf jedes Argument

... vn die Periode 1, und man erhält also (für e = 0, 1):

Gr,(cos2v₁tt,«;₂,...t;n) = Ge0(cos2v₁Tz,cos2v₂Tz,v₃, ...vn)

+ 6re>1(cos 2v₁tz, cos 2v₂tz, va, ... vn) sin 2w₂tt.

Dann haben die Functionen 6reo, 6rel, in Beziehung auf jedes der Argumente vaJ ... vn die Periode 1; man erhält also (für e = 0, 1; e₁ = 0, 1)

(r£)£i(cos 2v₁tz, cos 2^₂ TT, v₃, ...vn) — Gz^^₀(cos 2v₁tz, cos 2v₂tz, cos2vstz, vit ...vn)

£,£,,1

(cos 2vxTz, cos 2v₂ti, cos 2v₃zz,vi, ... vn) sin 2v₃7t.

So fortfahrend kommt man zu dem Ergebniss, dass sich cp(vi? v₂,... vn) in der F orm

£ra—l —

2 2 ••• 2 ff

:(cos 2v₁z, cos 2v₂x, ... cos2y„Ti) sin⁸i'^-.siiL⁸' 2vs-... sin⁸” ¹ 2vntz

£?l—1

£ = 0 £j = 0

darstellen lässt, wo die Functionen G der Grössen cos2vitu, cos2^₂tc, ... cos2vnTC sind. Setzt man sodann

£! £l) • • • £n—l

sämmtlich ganze Functionen

cos 2vutz — — e

dU

•    _    1 2iV(x TZt

sin2t>aic = -^e

—-7-e 2i

—2vC(tzi

(« = 1 ,•••»»)

so

kann der vorstehende Ausdruck in eine beständig convergirende Potenzreihe der 2n Grössen

ß2 vnm e—2vnTz i

—2v₁Tzi

2v, Tzi „

e ¹ , e

verwandelt werden, so dass man

2 [(X, - f*i) «l + (^ -fti) «« + *■■ +    «»] ™

Da diese Reihe unbedingt convergirt, so kann man, wenn vlt v₂, ...

erhält.

v irgend rc bestimmte ganze Zahlen sind, diejenigen Glieder der Reihe, in denen die Differenzen

bezüglich die Werthe

haben, in ein Glied zusammenziehen, wodurch sich die oben angegebene, ebenfalls unbedingt convergirende Reihe für v₂,... vn) ergiebt.

Drückt man sodann vt, v₂, ... vn durch die ursprünglichen Veränderlichen ... un aus, so gelangt man zu einer Entwickelung von f(ut1 u₂₎... un), in welcher jedes einzelne Glied dieselbe Periodicität wie die Function /*(w ,    )

selbst besitzt.

Der gleichmässigen Convergenz der für <p(vlt v₂,... vn) gefundenen Reihe wegen ist, wenn fit, ... [in beliebige ganze Zahlen sind,

f ’ f

*^0 A

... dvn

-2(fi₁v₁ + --- + (invn)ni

= S c*,..up"f

*y0

Cb

² [Ol “f»i) + — + (Vn-^n) Vn] ™

dvx...dvn,

(*'!»••■ Vn = -00, —+ 00)

woraus in Übereinstimmung mit dem oben Angegebenen

Ca

n> • • •

ft. =/•"/ T^--

-2(ft *! + ••• + #*»

folgt.

ÜBER EINEN FUNCTIONENTHEORETISCHEN SATZ DES HERRN G. MITTAG-LEFFLER.

(Alis dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 5. August 1880.)

1.

In den Berichten der Akademie der Wissenschaften zu Stockholm¹) a. d. J. 1877 hat Herr Mittag-Le ff 1er im Anschluss an meine in den Abhandlungen unserer Akademie a. d. J. 1876²) veröffentlichten Untersuchungen über die eindeutigen analytischen Functionen einer Veränderlichen einige sehr beachtenswerthe Theoreme entwickelt. Unter denselben ist von besonderer Wichtigkeit das nachstehende, auf welches näher einzugehen ich aus dem Grunde Veranlassung habe, weil es mir dazu gedient hat, die Ergebnisse meiner Arbeit in mehreren wesentlichen Punkten zu vervollständigen:

»Es seien gegeben

1) eine unendliche Reihe bestimmter endlicher Grössen:

«1, ^2 f ^3 >    • • • J

unter denen keine zwei gleiche sich finden, und die der Bedingung

Lim av — oo

V =GO

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen einer Veränderlichen x:

fi(x), fAx)> fAx)i ••

von denen f(%) nur an der Stelle (x — av) unendlich gross wird und für x = oo verschwindet.

Dann lässt sich stets eine eindeutige analytische Function F(x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo bilden, welche nur an den Stellen ai5 a₂, as, ... unendlich gross wird, und zwar so, dass — für jeden bestimmten Werth von v — die Differenz

F(x)-fv{x)

an der Stelle (x = aj einen endlichen Werth hat, und daher innerhalb einer gewissen Umgebung dieser Stelle

F(x) in der Form fy (x) Ą-^{x — av)

dargestellt werden kann.«

Herr Mittag-Leffler beweist diesen Satz, indem er zeigt, dass sich aus den gegebenen Functionen

fM, fM* fAx), •••

eine Reihe anderer rationaler Functionen:

Fx{x), F₂(x), F₃(x), ... dergestalt ableiten lässt, dass jede der Differenzen

Ft(x)    F₂(x)-f₂(x), F₃(x)-f₃(x), ...

eine ganze Function von x oder eine Constante ist, und zugleich die unendliche Reihe

2 FM

von

innerhalb jedes Bereichs, der keine der Stellen alf a₂, a₃, ... enthält, gleich-massig convergirt, woraus sich folgern lässt, dass dieselbe eine Function F{x) der angegebenen Beschaffenheit darstellt.

Man kann indess für die Functionen Fv{x) eine einfachere Bildungsweise als die von Herrn Mittag-Leffler auseinandergesetzte angeben und dadurch den Beweis des Satzes erheblich vereinfachen.

Man nehme eine unendliche Reihe positiver Grössen: deren Summe einen endlichen Werth hat, und ausserdem eine ebenfalls positive Grösse e, die <1 ist, willkürlich an.

Ist nun, für einen bestimmten Werth von v, av — 0, so nehme man

Fv{x) = fy(x).

Wenn aber av einen von Null verschiedenen Werth hat, so entwickele man fv(x) in eine Potenzreihe

2

tu = 0

welche für jeden der Bedingung

genügenden Werth von x convergirt. Dann kann man eine ganze Zahl mv so bestimmen, dass für jeden der Bedingung

x -,

-    <3

av

entsprechenden Werth von x der absolute Betrag von

2

kleiner als ev ist.*) Nach Ermittelung dieser Zahl my nehme man

mv— l

FM = fM-H

U=0

*) Nach Annahme einer positiven Grösse e₀, die kleiner als 1, aber grösser als e ist, bestimme man eine Grösse g so, dass für jeden Werth von x, der den absoluten Betrag e₀|av| hat,

I

ist. Dann hat man

I CO I

und es ist somit, wenn — — I av I

00

2 AFX,U

/x = m

- -ći *(tr-

£o

Man kann also für mv jede ganze, nicht negative Zahl m wählen, die der Bedingung

£ \m

£0

< Ev

genügt.

F,(x) = x"’₉,(x)

wobei zu bemerken, dass Fv(x) — fv{x) zu setzen ist, wenn mv = 0, und dass man

hat, wo cpv(F) e^ne rationale Function ist, die ebenso wie fv(x) nur für x = av unendlich gross wird und für x = oo verschwindet.

Nun sei x₀ irgend ein bestimmter endlicher Werth von x, der nicht in der Reihe

^2) ^3 )    • • •

enthalten ist, und q eine positive Grösse, die man so klein anzunehmen hat, dass auch unter denjenigen Werthen von x, für die

\x-x₀\<q,

Dann kann, wenn â irgend eine

keine der Grössen ax) a₂, a₃, ... sich findet, gegebene, beliebig kleine positive Grösse ist, eine ganze Zahl r so angenommen werden, dass

und dass für jeden der eben angegebenen Werthe von æ, sobald v>r,

x ^

- S £

und somit

av

I Fv{cc) | < e„

%Fr(x) <d

>z=r ist. Die Reihe

2 Fv(x)

convergirt also, und zwar gleichmässig, für alle der Bedingung

\X-X₀\<Q

entsprechenden Werthe von æ, und kann daher, nach einem bekannten Satz, für diese auch in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe von (x — x₀) dargestellt werden.

Ist ferner ax irgend eine der Grössen a₀ a₂, a₃, ..., und nimmt man q so klein an, dass sich unter denjenigen Werthen von x, für die

\x-ak\<Q₁

ausser aK keine der genannten Grössen findet, so ist nach dem Vorstehenden die Reihe

±Fv(x)-F,(x)

für die in Rede stehenden Werthe von x gleichmässig convergent und in der Form darstellbar, so dass man

2 K(x) = f\0) + $0-O = h 0) + $i0-0

hat. Damit ist bewiesen, dass die Reihe eine Function F(x) von der in dem angeführten Satze angegebenen Beschaffenheit darstellt.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken. Ist G(x) eine beliebige (rationale oder transcendente) ganze Function von æ, und setzt man

F(x) = F(x) + G(x),

so ist auch F(x) eine Function von der in Rede stehenden Beschaffenheit. Und umgekehrt, wenn F(x), F(x) irgend zwei solche Functionen sind, so ist die Differenz

F(x) — F{x)

nothwendig eine ganze Function von x.

2.

Nunmehr sei f{x) irgend eine gegebene eindeutige analytische Function von x, welche nur die eine wesentliche singuläre Stelle oo besitzt, und an beliebig vielen anderen Stellen

ci1} a₂, ctg) • • •

Lima,, = oo

r = CO

gleich oo wird. Dann ist in dem Falle, wo die Anzahl dieser Stellen unendlich gross ist

25

n.

da jeder endliche Bereich nur eine endliche Anzahl dieser Stellen enthalten kann.

Ferner lässt sich, wenn av eine /ymal zu zählende Unendlichkeits - Stelle der Function f(x) ist, für die einer bestimmten Umgebung dieser Stelle ange-hörigen Werthe von x

{x — affvf{x) in der Form 2 C™(x — avY

H — 0

darstellen; man hat also, wenn

ly—1

f,(*) = S C’A-«,)

— lv + fi

[.l — O

gesetzt wird

f{cc) — fv{x) + y>{x-av)

und es ist fv{x) eine rationale Function von x, die nur für x = ay unendlich gross wird und für x — oo verschwindet.

Leitet man aus den Functionen

. /iO), fs(x), •••

auf die in (1.) beschriebene Weise die Functionen

F», F%(z), Fs(x), ...

ab — wobei man, wenn die Anzahl der Unendlichkeits-Stellen von f(x) endlich ist, Fv(x) = fv(x) setzen kann —, so wird die Differenz

f(x)-^Fr(x)

V

für keinen endlichen Werth von x unendlich gross, und es ist also wo G(x) wieder eine ganze Function von x bedeutet.

von

Die Function G(x) kann aber auf mannigfaltige Weise als eine Summe ganzen rationalen Functionen der Veränderlichen x dargestellt werden. Es lässt sich also jede eindeutige analytische Function f(x), für die im Endlichen keine wesentliche singuläre Stelle existirt, als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x

dergestalt ans drücken, dass jede dieser Functionen im Endlichen höchstens eine Unendlichkeits-Stelle hat.

Dies war bisher nur für die rationalen und für einige bestimmte tran-scendente Functionen einer Veränderlichen bekannt.

3.

Aus den beiden in (1, 2) entwickelten Sätzen leitet man leicht die folgenden ab.

A.

Es seien gegeben

1) eine bestimmte Grösse c und eine unendliche Reihe schiedener Grössen:

von c ver-

unter denen keine zwei gleiche sich befinden, und die der Bedingung

Lim av — c

V = GD

genügen; und

2) eine unendliche Reihe rationaler Functionen:

/i0)> /.(*)>    ••

von denen ft (:xj nur an und für x = c verschwindet.

der Stelle (x — av) unendlich gross wird

Dann lässt sich stets eine eindeutige analytische Function F{x) mit der einen wesentlichen singulären Stelle c bilden, welche nur den Stellen öi5 a₂, as, ... gleich oo wird, und zwar so, dass

an

F(x)-fv(x)

an der Stelle (x = aj einen endlichen Werth hat.

Diese Function F(x) kann dargestellt werden in der Form

S Fv(x)

V = 1

wo

Fv(x) eine in der Form

ausdrückbare rationale Function bezeichnet.

B. Jede eindeutige analytische Function f{x) mit nur einer wesentlichen singulären Stelle c lässt sich als eine Summe von rationalen Functionen der Veränderlichen x dergestalt aus-drücken, dass jede dieser Functionen nicht mehr als eine von c verschiedene Unendlichkeits-Stelle hat.

Diese Sätze ergeben sich aus den in (l, 2) bewiesenen, wenn man

= x'

x — c

setzt und dann f{x) als Function von x betrachtet.

Der Satz B reiht sich den in §§ 2, 3 meiner oben angeführten Abhandlung entwickelten Sätzen an.

4.

In der genannten Abhandlung habe ich (§7) für eine eindeutige analytische Function einer Veränderlichen x mit n wesentlichen singulären Stellen (c,...c) zwei allgemeine Ausdrücke aufgestellt, nämlich

1)

2)

-⁼¹- KX^L-B*(x)

wo R*{x) eine rationale Function von x, die nur an den Stellen clt ... cn Null oder unendlich gross werden kann, bedeutet.

Bezeichnet man mit F(x\c) eine eindeutige analytische Function von x mit einer wesentlichen singulären Stelle c, so lässt sich der Ausdruck 2) auf die Form

2a)

n fx(x] cx)

bringen.

Nun stellt aber auch der Ausdruck

2 Fx(x; cx) 1 = 1

eine eindeutige Function mit n wesentlichen singulären Stellen (cl} ...cB) dar; es konnte aber mit den in der genannten Abhandlung angewandten Hülfs-mitteln nicht bewiesen werden, dass jede solche Function, wie ich jetzt mit Hülfe des Satzes (3, A) zeigen will, in der vorstehenden Form 3) ausgedrückt werden kann.

nun

Es sei f(x) irgend eine Function von der in Rede stehenden Beschaffenheit, so zerlege man das Gebiet der Veränderlichen x dergestalt in n Theile, dass im Innern eines jeden eine der Stellen cx, ... cn liegt, und zugleich an der Grenze zwischen zwei Theilen fix) überall einen endlichen Werth hat. Derjenige Theil, in welchem cx liegt, werde mit Cx bezeichnet. Angenommen es enthalte, für einen bestimmten Werth von A, Cx unendlich viele ausserwesentliche singuläre Stellen der betrachteten Function:

/|(^)

Cl'i j Ct'g > u3

so ist

Lima^ = cx.

V = CD

Bestimmt man dann eine Reihe rationaler Functionen:

f?0*0, f?&)>    •••

dergestalt, dass f*\x) nur an Differenz

der Stelle (x = a^) unendlich gross wird, die

/■(«) -/?(*)

aber an derselben Stelle einen endlichen Werth hat, und überdies f*\x) für verschwindet; so lässt sich nach (3, A) eine eindeutige Function Fa\x)

x = cx

mit der einen wesentlichen singulären Stelle cx hersteilen, welche nur an den Stellen af, af, af\ ... unendlich gross wird, und zwar so, dass die Differenz

der Stelle (x = af) einen endlichen Werth hat. Daraus folgt dann, dass die Function

an

f{x)-Fa\x)

im Innern und an der Grenze von Cx ausser cx keine singuläre Stelle besitzt.

Enthält ferner Cx nur eine endliche Anzahl ausserwesentlicher singulärer Stellen der Function f{x):

a[x\ (Ąh

so setze man

Fa\x) = ff{x) + ff(x) H—,

wo die Functionen ff(x), ff (x), ... dieselbe Bedeutung haben wie vorhin; dann wird Fa\x) nur an den Stellen af, af, ... unendlich gross, und es besitzt auch in diesem Falle die Function

f(x)-Fa\x)

im Innern und an der Grenze von Cx ausser cx keine singuläre Stelle.

In dem Falle endlich, wo Cx keine ausserwesentliche Stelle der Function f(x) enthält, setze man

Fa\x) = 0.

Sind auf diese Weise die Functionen Fw{x), ... Fm(x) bestimmt, so ist der Ausdruck

m-± Fa\x)

Ä—i

eine eindeutige Function von a?, die keine anderen (wesentlichen oder ausser-wesentlichen) singulären Stellen als ... cn besitzt, und somit (nach §5 der g. Abhdlg.) in der Form

HM*

X\x-cx

dargestellt werden kann, wo    eine ganze Function von

f{x) = Ê/i («;<&)•

Setzt man nun

so ist

h{x] cx) =

—'— bezeichnet. X~cx

Da die Functionen Fa\x), Gxi^af_c j

im Gebiete der Veränderlichen x keine von cx verschiedene wesentliche singuläre Stelle besitzen, so gilt dies auch von der Function fx(x\ cf] für diese aber ist in Folge der Voraussetzung,

dass f(x) n wesentliche singuläre Stellen besitze, cx nothwendig eine solche Stelle.

Zu bemerken ist, dass nicht zwei der Functionen

fl {x 7 Cx). ••• fniX) Cn)

eine gemeinschaftliche Unendlichkeits - Stelle haben.

Der im Vorstehenden mit Hülfe des in (1.) mitgetheilten Mittag-Leffl.er’-schen Theorems begründete Satz ist in meiner Abhandlung bloss für den Fall bewiesen worden, wo die Function f(x) ausserwesentliche singuläre Stellen entweder gar nicht oder nur in endlicher Anzahl besitzt. (S. § 5 d. g. Abhdlg.)

Stellt man jede der Functionen fx(x’ ca) in der oben (3, B) angegebenen Gestalt dar, so ergiebt sich ein neuer allgemeiner Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function f{x) mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmtlich rationale Functionen der Veränderlichen x sind. Diese Reihe convergirt gleich-

massig für alle Werthe von x im Innern noch an der Grenze eine der singulären Stellen der Function f(x)

weiche einem Bereiche angehören, der weder

enthält.

ZUE FUNCTIONENLEHRE.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 12. August 1880.)

Im Nachstehenden theile ich einige auf unendliche Reihen, deren Glieder rationale Functionen einer Veränderlichen sind, sich beziehende Untersuchungen mit, welche hauptsächlich den Zweck haben, gewisse, bisher — so viel ich weiss — nicht beachtete Eigentümlichkeiten, die solche Reihen darbieten können und deren Kenntniss für die Fnnctionenlehre von Wichtigkeit ist, klar zu stellen.

1.

Es seien unendlich viele rationale Functionen einer Veränderlichen x in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben:

fo(x),

Die Gesammtheit derjenigen Werthe von x, für welche die Reihe

1=0

Jim

einen endlichen Werth hat, nenne ich den Convergenzbereich dieser Reihe. Lässt sich ferner für eine bestimmte Stelle a dieses Bereichs eine positive Grösse q so annehmen, dass die Reihe für die der Bedingung

entsprechenden Werthe von x gleichmässig*) convergirt, so will ich sagen, die Reihe convergire gleichmässig in der Nähe der Stelle a. Die Grösse q hat dann eine obere Grenze; ist diese R, so möge — in Beziehung auf die betrachtete Reihe — die Gesammtheit derjenigen Werthe von x, für welche

\x — a\ < R

ist, die Umgebung von a, und R deren Halbmesser genannt werden. Nimmt man in dieser Umgebung eine Stelle beliebig an, so ist klar, dass auch in der Nähe der letzteren die Reihe gleichmässig convergirt. Daraus ergiebt sich, dass, falls überhaupt Stellen vorhanden sind, in deren Nähe die Reihe gleichmässig convergirt, die Gesammtheit dieser Stellen in der Ebene der Veränderlichen x durch eine zweifach ausgedehnte Fläche repräsentirt wird, welche aber aus mehreren, von einander getrennten Stücken bestehen kann.

*) Eine unendliche Reihe

GO

2 fr

deren Glieder Functionen beliebig vieler Veränderlichen sind, convergirt in einem gegebenen Theile (B) ihres Convergenzbereichs gleichmässig, wenn sich nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse 8 stets eine ganze positive Zahl m so bestimmen lässt, dass der absolute Betrag der Summe

00

2 fv>

und für jedes dem Bereiche B angehörige Werthsystem der Veränder-

für jeden Werth von n, der liehen kleiner als 8 ist. Soll die Reihe in demselben Bereiche zugleich unbedingt convergent sein, d. h.

bei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth haben, so muss es, wie man auch 8 annehmen möge, stets möglich sein, aus der Reihe eine endliche Anzahl von Gliedern so auszusondern, dass die Summe beliebig vielen der übrigbleibenden für jedes der betrachteten Werthsysteme der Veränderlichen kleiner als 8 ist. Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn es eine Reihe bestimmter positiver Grössen

von

0o, 0n 0ï, •••

giebt, für die sich feststellen lässt, dass an jeder Stelle des Bereichs B

i/;i<0„

(y = 0, . . . Co)

und die Summe

00

einen endlichen Werth hat. — Aus der gegebenen Definition der gleichmässigen Convergenz folgt u. A. unmittelbar, dass, wenn die betrachtete Reihe in mehreren Theilen ihres Convergenzbereichs gleichmässig convergirt, dasselbe auch für den aus diesen Theilen zusammengesetzten Bereich gilt.

Angenommen nämlich, es gebe überhaupt Stellen der in Rede stehenden Art, deren Gesammtheit mit A bezeichnet werde, so denke man sich eine von ihnen willkürlich angenommen, in der Umgebung derselben eine beliebige zweite, in der Umgebung dieser eine dritte, u. s. w. Die Gesammtheit der Stellen von A, zu denen man auf diese Weise gelangen kann, ist dann ein in der Ebene der Grösse x durch ein zusammenhängendes Stück derselben repräsentirtes Continuum (AJ, dessen Begrenzung aus einzelnen Punkten, aus einer oder aus mehreren Linien, und auch aus einzelnen Punkten und Linien zugleich bestehen kann. Möglicherweise existiren nun ausserhalb At noch Stellen von A, dann giebt es mindestens noch ein zweites Continuum (AJ von derselben Beschaffenheit wie A1? das ebenfalls ein Bestandtheil von A ist und mit A₁ keine Stelle gemeinschaftlich hat — was jedoch nicht aus-schliesst, dass die Begrenzungen von A₁ und A₂ theilweise oder ganz zusammenfallen. Existiren ferner noch Stellen von A, die weder in A noch in A₂ liegen, so giebt es mindestens noch ein drittes Continuum (AJ von derselben Beschaffenheit wie Ax, A₂, das gleichfalls ein Bestandtheil von A ist und mit den beiden ersten keine Stelle gemein hat. U. s. w.

Nachdem so festgestellt ist, wie der Bereich A möglicherweise gestaltet ist, kann leicht an Beispielen gezeigt werden, dass die angegebenen verschiedenen Lalle auch wirklich Vorkommen. Es genügt hier die beiden Reihen

co    co

2 x »    2 l/+ x-y

v = 0    r = 0\"(/ V "V

anzuführen. Für die erstere bilden den Bereich A alle diejenigen Werthe von x, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 sind, für die andere ausser denselben Werthen auch alle diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach grösser als 1 sind 5 es besteht also A in dem ersten Falle aus einem zusammenhängenden Stücke, in dem anderen aus zwei solchen Stücken, die keine Stelle gemein haben. Beispiele von Reihen der hier betrachteten Art, für welche der Bereich A aus mehr als zwei Stücken besteht, werden später Vorkommen.

Es ist ferner noch Folgendes nachzuweisen.

Angenommen, es convergire die betrachtete Reihe gleichmässig in der Nähe jeder Stelle, die im Innern oder an der Grenze eines gegebenen zusammenhangenden Bereichs (B) liegt, so convergirt sie auch in dem ganzen Bereiche gleichmässig.

Sind a₎ a irgend zwei Stellen des Bereichs A, von denen a in der Umgebung von a liegt, und ist R der Halbmesser der letzteren, D = \ a'—a\ der Abstand der beiden Stellen, so folgt aus den gegebenen Definitionen unmittelbar, dass der Halbmesser (JR') der Umgebung von d nicht kleiner als R — D sein kann. Ist D c {k, so ist also R’>\R, und es liegt a in der Umgebung von d; mithin muss R>R'—D sein, R' also zwischen

R — JD und R + B

liegen. Wenn daher die Stelle a in A ihre Lage stetig ändert, so ändert sich auch der zugehörige Werth von R stetig. Daraus folgt weiter, dass die untere Grenze R₀ derjenigen Werthe von jR, die diese Grösse im Bereiche B annehmen kann, mindestens an einer im Innern oder an der Grenze dieses Bereiches liegenden Stelle wirklich erreicht wird, und dass daher R₀ nicht gleich Null ist. Deshalb kann B in eine endliche Anzahl von Theilen dergestalt zerlegt werden, dass in jedem einzelnen Theile der grösste Abstand zweier Stellen kleiner als R₀ ist. Jeder solcher Theil liegt dann ganz in der Umgebung einer in ihm willkürlich angenommenen Stelle; für die demselben angehörigen Werthe von x convergirt also die betrachtete Reihe gleichmässig, woraus nach dem oben Bemerkten die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes sich unmittelbar ergiebt.

Eine Reihe der in Rede stehenden Art kann so beschaffen sein, dass sie in der Nähe jeder im Innern ihres Convergenzbereichs liegenden Stelle gleichmässig convergirt. Im Folgenden werde ich ausschliesslich Reihen von dieser Beschaffenheit untersuchen. Wenn man nämlich von der Reihe nur weiss, dass es im Gebiete der Veränderlichen x einen zusammenhängenden Bereich giebt, in welchem die Reihe convergirt, so lässt sich daraus allein nicht einmal folgern, dass ihr Werth in demselben Bereiche eine stetige Function von x sei. Macht man aber die angegebene Voraussetzung, so lässt sich zeigen, dass die Reihe in jedem der im Vorstehenden definirten Stücke (Ax, ...) ihres Convergenzbereiches im Allgemeinen einen eindeutigen Zweig einer monogenen analytischen Function von a?, und in besondern Fällen eine solche Function vollständig darst eilt.

Hierzu ist ein Hülfssatz erforderlich, den ich zunächst anführen und beweisen will.

2.

»Es seien unendlich viele Potenzreihen einer Veränderlichen a?, welche Potenzen dieser Grösse mit ganzen, positiven und negativen Exponenten in beliebiger Anzahl enthalten, in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben:

P₀(x), I\(x), P₂(x), ...;

und es sei möglich, zwei reelle Grössen jR, R\ von denen R’> R, RlPiO ist, so anzunehmen, dass für die der Bedingung

R < | x | < R'

entsprechenden Werthe von x nicht nur jede einzelne der gegebenen Reihen, sondern auch die Summe convergirt, und zwar die letztere für alle diejenigen Werthe der Veränderlichen, die denselben absoluten Betrag haben, gleichmässig. Dann hat, wenn der Coefficient von xf¹ in Pv(x) ist, die Summe für jeden Werth von ja einen bestimmten endlichen Werth, der mit Au bezeichnet werde, und es lässt sich zeigen, dass für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag grösser als R und kleiner als R' ist, die Reihe

HA

i“

convergirt und die Gleichung

2 PM = 24*^

v == 0    ₍ti

besteht.«

Es sei r irgend eine bestimmte, zwischen R und R' enthaltene positive Grösse, und k eine beliebige andere, so kann in Folge der hinsichtlich der Convergenz der Reihe

gemachten Voraussetzung eine ganze positive Zahl m so angenommen werden, dass für jeden Werth von x₎ dessen absoluter Betrag gleich r ist, und für jede ganze Zahl w, die    der absolute Betrag der Summe

2 pAx)

kleiner als und deshalb für jede Zahl n\ die > rc ist. Man hat aber

2    = si 2

fl \ v = n    /

und es ist deshalb nach einem bekannten Satze*) für jeden ganzzahligen Werth von fi

Demgemäss hat die Summe

2<

einen bestimmten endlichen Werth, der mit A bezeichnet werde.

iu

Nun nehme man zwei positive Grössen r, r₂ so an, dass

R <    < r < r₂ < R',

so kann man der Zahl n einen solchen Werth geben, dass auch kleiner als jede der beiden Grössen

kr"¹*, kr~^

*) [S. Anmerkung 1, S. 224 dieses Bandes.]

ist; woraus folgt:

Hiernach hat man, wenn

ft—1

JO

2 4V) = 4-

V = 0

gesetzt, und der Veränderlichen æ ein Werth, dessen absoluter Betrag gleich r ist, beigelegt wird

-oo I    -co / r \ft

2    2 (—)

p = -iI ¹    u = -i\rj

+ co    +0O / r \ft

2 <* 2 —

u=o f    n = o\rJ

und somit

+ GO

r₁

~ri

r₂-r

Die Reihe

2 A'X

ft ¹

ist also unbedingt convergent, und da

ft—1

2A^x* = 2 pv(x)

ft

so gilt dasselbe auch von der Heihe

Man hat ferner

2 A x*.

f*

= 2 PyW-ZA'^

r = ft    P

und somit

2

t’ = 0    ,u

r = o    ,u    '

r₂-r

Da man nun für jeden bestimmten Werth von x, dessen absoluter Betrag (r) zwischen R und R' enthalten ist, zunächst r₄, r₈ der angegebenen Bedingung gemäss, und dann h so annehmen kann, dass

~r i

r₂ — r

kleiner ist als eine beliebige gegebene Grösse, so folgt, dass für jeden der Bedingung

B c | x \ < B'

entsprechenden Werth von x nicht nur die Reihe

convergirt, sondern auch die Gleichung

besteht; w. z. b. w.

3.

Es sei jetzt

irgend eine Reihe von der am Schlüsse des § 1 angegebenen Beschaffenheit, und es werde mit Ä eines der Stücke bezeichnet, aus denen nach der vorangegangenen Auseinandersetzung der Convergenzbereich der Reihe besteht.

Nimmt man dann in Ä eine Stelle a₀ willkürlich an, und beschränkt die Veränderliche x auf die Umgebung von a₀, so lässt sich nicht nur jede der Functionen fv(x), sondern nach dem vorhergehenden Satze auch die Summe derselben durch eine gewöhnliche Potenzreihe von x — a₀, die mit

%{x-a₀)

bezeichnet werde, und die ich ein »Element« der Function F{x) nenne drücken. *)

Nimmt man ferner in der Umgebung von a₀ eine zweite Stelle (a ) an, und ist    — aj das zu dieser gehörige Element von F(x), so hat man für

aus-

*) Hierzu bemerke ich, dass nach dem Satze des §2 der Coefficient von («—«„)“ gleich

J_ 'S äUfv(x) ft!    dxlx

(x — Oq)

ist. Die Function F(x) hat also in AI Ableitungen jeder Ordnung, und es ist

duF(x) ₌ S dPfv(x) dxf¹ ~ T = ₀    ⁽^x'u

Es ist ferner leicht zu zeigen, dass auch die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung in der Nähe jeder Stelle von AI gleichmässig convergirt, und somit dieselbe Beschaffenheit wie die gegebene hat.

diejenigen Werthe von æ, die in der Umgebung von ao sowohl als von ax liegen,

wo

%(x-a₀) = 2 ^°(a,“Oé)

tu = 0

(x — ax y

fil

«o)

dxa

Daraus folgt, dass der Coefficient von (x — axY in    — at) mit dem ent

sprechenden Coefficienten der Entwicklung von ^)3₀(æ — a₀) nach Potenzen von (x— ax) übereinstimmen muss.

Nun kann man, wenn a eine beliebige Stelle in Ä ist, zwischen a₀ und a eine Reihe von Stellen so einschalten, dass ax in der Umgebung von ao, a₂ in der Umgebung von ax1 u. s. w., und schliesslich a in der Umgebung von an liegt.

Dann hat man, wenn die zu den Stellen a₂, ... an, a gehörigen Elemente der Function F{x) sind,

^(x-a,) = s ?rK-«o)

ju = 0

U = 0

(x — ax Y

{x — a₂y

fU

u. s. w.,

$ (x — a)

= s spr(« -«»)

,u=o

(# — a)¹“

ft!

Es besteht also in dem Bereich al' zwischen den Elementen der betrachteten Function ein solcher Zusammenhang, dass aus einem beliebig angenommenen Elemente jedes andere durch ein bestimmtes Rechnungsverfahren abgeleitet werden kann. Für die dem genannten Bereich angehörigen Werthe von x ist also die Function völlig bestimmt, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Möglicherweise erstreckt sich, wenn die Stelle a der Begrenzung von Ä hinlänglich nahe angenommen wird, der Convergenzbezirk der Reihe y$(x— a) über A hinaus. In diesem Falle (der sogar der gewöhnliche ist)

II.

27

existiren unendlich viele, aus ^3₀(æ — ao) durch das beschriebene Verfahren ableitbare Potenzreihen ty'(x — a'), deren Convergenzbezirke ganz oder theil-weise ausserhalb Ä liegen, und aus diesen können dann möglicherweise durch dasselbe Verfahren wieder andere sich ergeben, welche in ihrem Con-vergenzbezirk auch Stellen von Ä enthalten, aber an diesen andere Werthe als F(x) haben. Alle diese Reihen stellen Fortsetzungen der durch die gegebene Reihe F(x) zunächst für die dem Bezirk Ä angehörigen Werthe von x definirten Function dar; sie sind, nach der in meinen Vorlesungen über die Anfangsgründe der allgemeinen Functionenlehre eingeführten Terminologie, sämmtlich Elemente einer monogenen analytischen Function, die eindeutig oder mehrdeutig sein kann, aber als vollständig definirt zu betrachten ist, sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist.

Wenn der Convergenzbereich der Reihe ^3 (x — a), wie man auch a annehmen möge, stets ganz in Ä enthalten ist, so kann die durch den Ausdruck F(x) für den Bereich Ä definirte Function über die Grenzen dieses Bereichs nicht fortgesetzt werden. Es stellt also in diesem Falle — der wirklich vorkommt, wie weiter unten wird gezeigt werden — die Reihe, wenn die Veränderliche x auf den Bereich Ä beschränkt wird, eine eindeutige monogene Function von x vollständig dar.

Ehernach lässt sich das im Vorstehenden Auseinandergesetzte kurz so, wie am Schlüsse von § 1 geschehen ist, zusammenfassen.

Eheran knüpft sich nun eine für die Functionenlehre wichtige Frage.

Angenommen, der Convergenzbereich der betrachteten Reihe bestehe aus mehreren Stücken (Al? A₂, ...), so ist es möglich, dass sie in denselben Zweige einer und derselben monogenen Function darstellt. Es fragt sich nun, ob sich dies in allen Fällen so verhält. Muss diese Frage verneint werden, wie dies wirklich der Fall ist, so ist damit bewiesen, dass der Begriff einer monogenen Function einer complexen Veränderlichen mit dem Begriff einer durch (arithmetische) Grössenoperationen ausdrückbaren Abhängigkeit sich nicht vollständig deckt.³) Daraus aber folgt dann, dass mehrere der wichtigsten Sätze der

neueren Functionenlehre nicht ohne Weiteres auf Ausdrücke, welche im Sinne der älteren Analysten (Euler, Lagrange u. A.) Functionen einer complexen Veränderlichen sind, dürfen angewandt werden.*)

Ich habe bereits vor Jahren gefunden — und in meinen Vorlesungen mitgetheilt —, dass die oben angeführte Reihe

JC

F(x)

y-0 \    tÄy J

deren Convergenzbereich aus zwei Stücken besteht, zwei verschiedene mono-gene Functionen, und zwar eine jede vollständig darstellt.

Ist nämlich xo irgend ein Werth von x, der den absoluten Betrag 1 hat, so lässt sich

mit Hülfe von Sätzen, welche die Theorie der linearen Transformation der elliptischen ü-Functionen liefert — zeigen, dass sich sowohl unter denjenigen Werthen von x₁ für die |se|<:1, als auch unter denen, für die |#|>1, in jeder noch so kleinen Umgebung von x₀ solche finden, für die der absolute Betrag von F{x) jede beliebig angenommene Grösse übertrifft.**) Daraus folgt sofort, dass die Reihe in jedem der beiden Stücke ihres Convergenzbereichs eine Function darstellt, die über die Begrenzung des Stückes hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

Es blieb indessen, obwohl dies eine Beispiel zur Erledigung der in Rede stehenden Frage ausreichte, noch ein Bedenken übrig.

Die beiden durch die angeführte Reihe ausgedrückten Functionen stehen in einer sehr einfachen Beziehung zu einander, indem

F{x~¹) = F{x)

*) Wenn z. B. zwei Ausdrücke

2 fv(x)

v = 0

von x

der hier betrachteten Art gegeben sind, und sich zeigen lässt, dass es in der Nähe einer bestimmten, im Innern des Convergenzbereichs sowohl des einen als des andern liegenden Stelle unendlich viele Werthe gieht, für welche die Ausdrücke gleiche Werthe haben, so ist damit festgestellt, dass innerhalb eines bestimmten zusammenhängenden Bereichs der Veränderlichen x die Gleichung

¹

Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1877.

²

[S. 77 dieses Bandes.]

³

Das Gegentheil ist von Riem an n ausgesprochen worden (Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, §20, am Schluss), wobei ich bemerke, dass eine Function eines complexen Arguments, wie sie Riemann definirt, stets eine monogene Function ist.

2 /»(*) = 2 /*(*)

besteht; es lässt sich aber nicht behaupten, dass dieselbe an allen Stellen des gemeinschaftlichen Convergenzbereichs der beiden Reihen gelte, wofern nicht der Nachweis geführt werden kann, dass beide Ausdrücke in dem genannten Bereich monogene Functionen sind.

**) [S. Anmerkung 2, S. 226 dieses Bandes.] ist. Es war daher der Gedanke nicht abzuweisen, ob nicht überhaupt in dem Falle, wo 'ein arithmetischer Ausdruck F{x) in verschiedenen Theilen seines Geltungsbereichs verschiedene monogene Functionen der complexen Veränderlichen x darstellt, unter diesen ein nothwendiger Zusammenhang bestehe, der bewirke, dass durch die Eigenschaften der einen auch die Eigenschaften der andern bestimmt seien. Wäre dies der Fall, so würde daraus folgen, dass der Begriff der monogenen Function erweitert werden müsste.

Um jeden Zweifel über diesen Punkt zu beseitigen, habe ich mir die Aufgabe gestellt, einen Ausdruck

Fix) = s a*)

FM

von der hier angenommenen Beschaffenheit, der den folgenden Bedingungen genüge, zu bilden: Der Convergenzbereich der Reihe soll aus n Stücken (A1? A₂,... An), wie sie oben definirt worden sind, bestehen, und es soll F(x) in Ax gleich Ft{x), in A₂ gleich Ft(x)i ... in An gleich Fn(x) sein, wo F₂{x),... FJx) willkürlich anzunehmende, für das ganze Gebiet der Veränderlichen aj, mit Ausnahme von einzelnen Stellen, definirte eindeutige und monogene Functionen bedeuten.

von x

Zur Lösung dieser Aufgabe stelle ich zunächst einen Ausdruck von der angegebenen Form her, welcher in der Nähe jeder Stelle, wo der reelle Theil nicht gleich Null ist, gleichmässig convergirt und den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist. Formeln, die in der Theorie der elliptischen Functionen Vorkommen, führen zu einem solchen Ausdruck. Bei der nachstehenden Herleitung desselben habe ich jedoch absichtlich aus der genannten Theorie nichts vorausgesetzt.

4.

Nimmt man zwei endliche und von Null verschiedene complexe Grössen (io, ü>') so an, dass der reelle Theil des Quotienten

(oi

nicht gleich Null ist ganze Zahlen, so hat bekanntlich die Summe

und versteht unter v, v' unbeschränkt veränderliche

2'|2i/a> + 2vV|^

v, r'

einen endlichen Werth, wenn bei der Summation dasjenige Glied, in wrelchem ' beide gleich Null sind, fortgelassen wird.¹) Es stellt deshalb — wie in § 2 meiner Abhandlung »Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen«²) gezeigt worden ist — die Heihe

— 2vw — 2iAo' \ 2va> + 2v «)

die bei jeder Anordnung ihrer Glieder denselben Werth hat, eine eindeutige analytische Function der Veränderlichen u — mit der einen wesentlichen singulären Stelle oo — dar, welche Function hier mit

cj)(u, o>, o>')

bezeichnet werden möge.

Mit Hülfe der bekannten Gleichungen

Tr (ctg utz — ctg cm) =

—-—V wenn a keine ganze Zahl, a — vj’

( . TC Y = N ¹

V sintere/ v (u — v)

V _ V,J_

3 ~ V¹ v²

um-

lässt sich der vorstehende Ausdruck von <[>(²» “b «>') folgendermassen gestalten.

Es ist

>(u

O) , 0>') =--1" 2 in,

’ u \U

— 2vui — 2v'oj'

2vu)+2v'(a'    (2i/o) + 2v'u>')¹

Die Summe aller Glieder dieser Reihe, in denen v' den Werth Null hat, ist

U , 1    TT

Ło² ? V ~ ~2^ ctg 2m ⁺

UTZ

TC²

--v

12o>2 U’

2(0

Ferner die Summe aller Glieder, in denen v' einen bestimmten, von Null verschiedenen Werth hat

Man hat also

—-y\(—

2(0 y[ M

— 2v'(o'

v'(o'

2(0

(O

--v

v'(o'

(O

— 2v'(o'

TZ    U

= 2^(°tS_ 2.

v (o'

7t + Ctg-

0)

TT +

7t² U

4«)² sin²

v'(o'

(0

7t

= ictsS⁺^r?'(ots“

— 2v’(o'

V (O

2(0

71 + ctg --- TT

UTZ²

4c7’

oder auch, wenn man, unter w eine ganze positive Zahl verstehend,

t0| M

TT² / 1

¹ -u

setzt,

(1)

Tt    W7T 7C ® / . W

^ = ^r ⁺ 2^ct«2^ ⁺ 2^JActs“

. u + 2n(o 2c ’r + Ctg 2^

— 2nm

’)•

Aus dieser Gleichung ergiebt sich

+ 2(0, (O, o/) =    U), o/) + 27J

und hieraus, wenn man u = — cd setzt und bemerkt, dass ty{u, <o, <o) eine ungrade Function von u ist,

Y) =    <D, ü)').

Man erhält also aus dem vorhergehenden Ausdruck von o>, wenn man in demselben

U = (o'

nimmt,

(O , (Or) — U)^((l/, (O, «/)

TT Ö)'tC TT “ /    (2n— lW    (2w + l)(ü' \

— —ctg-+ — V ctg —— - 7T — ctg -—^ 7t •

2 ° 2(0 2 WS A ⁶    2(0 ö 2(1)    /

Man hat aber, wenn m eine beliebige positive ganze Zahl ist,

es ist also der Ausdruck auf der rechten Seite der vorhergehenden Gleichung gleich der Grenze, der sich

Tz .    (2m + 1)ü>'

2ct« ......

(2 m +1) <o' 2 <>>*

(2 m + l)u/

2io i

tc i

(2m +1) «/ 2uk ⁷¹

(2m+l)io'    2

2^ï    ⁷¹

nähert, wenn m unendlich gross wird. Diese Grenze aber hat den Werth

Tzi , m

T 0(ier “T’

jenachdem der reelle Theil von -A- positiv oder negativ ist.

Es geht ferner aus dem ursprünglichen Ausdruck von <[i(w, io,ü>'), da derselbe sich nicht ändert, wenn man gleichzeitig

v für v, und — v für v

setzt, die Gleichung

ty(u, to, ai') =    (ü)

hervor. Man hat also

, to, to') — top (a/, «/,— <o) —

, 7t i

~!TJ

WO

das obere oder das untere Zeichen gilt, jenachdem der reelle Theil von positiv oder negativ ist.

Es gilt ferner, wenn c eine beliebige Grösse ist, die Gleichung

ty(u, (O, to') = C$(<M,C<ü,Ciü'),

woraus sich, wenn c = gesetzt wird.

Cp («> , to, to') —

ergiebt. Ebenso ist

und man hat also

toi

mi

o)'

Setzt man nun

Ui'

<l)i

so dass a? eine complexe Grösse ist, welche jeden Werth, dessen reeller Theil nicht gleich Null ist, annehmen kann, und

so ist

x⁽*> =

x0*0 =    2'f

TT    TZ v<v' y

+ -2'

TT v,v'

a;

(1 — 2v — 2v'xi) (2v + 2v'a?fc ):

a;'

(1— 2v — 2v'x li) (2v -\- 2v'x ¹iJ

■)

ein in der Form einer unendlichen Reihe, deren Glieder sämmt-lich rationale Functionen von x sind, dargestellter Ausdruck und hat den Werth

+ 1 oder — 1

jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Man nehme nun im Gebiet der Grösse x einen ganz im Endlichen liegenden Bereich (X) so an, dass weder im Innern noch an der Grenze desselben der reelle Theil von x gleich Null wird; so lässt sich leicht zeigen, dass die vorstehende Reihe innerhalb dieses Bereiches unbe

dingt und gleichmässig convergirt. Man setze

w = 2v + 2v'xi,

so dass

<!>(!, 1,3») — ¹ +

ist. Versteht man nun unter k den kleinsten Werth, den der absolute Betrag der Grösse

e + s '(g + r*)*

für reelle Werthe der Veränderlichen e, e, §, §' unter der Bedingung, dass

££-)“££ ⁼⁼ 1

welche bekanntlich eine endliche Summe hat. Damit ist bewiesen, dass die erstgenannte Reihe für die dem Bereiche X angehörigen Werthe von x unbedingt und gleichmässig convergirt.

Es ist aber, wenn x in X angenommen wird, der Bereich der Grösse — ebenfalls so beschaffen, dass weder im Innern noch an der Grenze desselben

X    J ¹

druck von

von x unbedingt und gleichmässig. Dasselbe gilt also auch für die Reihe, durch welche i(x) dargestellt ist.

Es möge noch bemerkt werden, dass man in der Reihe <{*(1,1, xi), weil dieselbe unbedingt convergent ist, je zwei Glieder, in denen v denselben, v' aber entgegengesetzte Werthe hat, in eines zusammenziehen kann, wodurch man, wenn unter n eine ganze positive Zahl verstanden wird,

sein und | + §'* im Innern oder an der Grenze von X liegen soll, annehmen kann; so ist k nicht gleich Null, und man hat

\w\>2k \Jvv + v'v'

| 1 — iv j > k \J(2v — l)² + Av'v'

für jeden nicht ausserhalb des Bereichs X liegenden Werth von x. Es ist aber für jede ganze Zahl v

(2v-l Y>v\

also

(2v — l)² + A v'v' > vv + v'v',

und somit

(vv + v'v')

-t

Ak³

(1 — w) iV²

Hiernach ist jedes Glied der Reihe, durch welche <{*(1,1, aa) dargestellt wird, seinem absoluten Betrage nach kleiner oder höchstens eben so gross als das entsprechende Glied der Reihe

1 + S'

(vv + v'v')

-f

4/;s

der reelle Theil von — gleich Null wird. Daher convergirt auch der Aus-^1,1,-hj für die dem betrachteten Bereiche angehörigen Werthe

II.

i»xi) = ! + S'

7¹ Av²(l—2v)

* H,V v

(6v — l)n²x²—(2v — l)v² ) (An² x² + (2v -1)² ) (n² x² + v²)² )

28

erhält. Die Glieder der so umgeformten Reihe sind rationale Functionen von Æ, welche rationale Coefficienten haben und nur für solche Werthe von x, deren reeller Theil gleich Null ist, unendlich gross werden. Als Summe von ebenso beschaffenen Gliedern lässt sich also auch x(x) ausdrücken.

5.

Nun sei x eine beliebige rationale Function von x, und es werde

XiO») = xO')

gesetzt, so dass Xi(x) ebenfalls eine Summe von unendlich vielen rationalen Functionen der Veränderlichen x ist. In der Ebene der letzteren Grösse werden dann diejenigen Werthe derselben, für welche der reelle Theil von x' verschwindet, durch eine reelle algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt, dass der reelle Theil von x in einigen Stücken überall positiv, in den andern überall negativ ist. In den ersteren hat also Xi(x) überall den Werth +1, in den andern überall den Werth —1.

Nimmt man beispielsweise

x' —

ax + ß

yx + d an, wo cc, ß, y, â Constanten bedeuten, deren Wahl keiner andern Beschränkung unterliegt, als dass ccd — ßy nicht gleich Null sein darf, so ist die genannte Curve bekanntlich ein Kreis,*) und es können cc, ß, y, $ so bestimmt werden, dass dieser Kreis ein gegebener wird und der reelle Theil von x' für einen gegebenen Punkt ein vorgeschriebenes Zeichen hat.

Nun seien Ft(x), F₂(oc) irgend zwei eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen. Dann lässt sich, wenn

So(^) =

Ft(x) + F₂(x)

F x (x) — F₂ (x)

gesetzt wird, der Ausdruck

%₀(oc)Jr%Ax)yAx)

*) Dies gilt allgemein, wenn man eine unbegrenzte Gerade als einen Kreis mit unendlich grossem Radius⁻ betrachtet.

in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, uniformen, und diese stellt in dem einen der beiden Theile, in welche das Gebiet der Veränderlichen x durch den genannten Kreis zerlegt wird, die Function FJ(x), in dem andern Theile dagegen die Function Fa(x) dar.

Nimmt man ferner in der Ebene der Grösse x beliebig viele Kreise (oder unbegrenzte Geraden)

K', K", ... Km

willkürlich an, und bestimmt r lineare Functionen von x

%AJ j tAS j • • • tAs

so

, dass der reelle Theil von xd) in der Linie Ka) verschwindet, so wird die Ebene durch die genannten Linien in eine gewisse Anzahl von Stücken dergestalt zerlegt, dass der reelle Theil einer jeden Function xa) innerhalb eines solchen Stückes überall dasselbe Zeichen hat. Sind dann

eindeutige Functionen von x mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen, und setzt man

(1=1,...r)

so kann der Ausdruck

g₀(x) + g» -/Jx) +    ZAX) + • • • + 2fr(«) Zr(X)

ebenfalls in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Functionen von x sind, umgeformt werden, und diese Reihe hat dann die Eigenthümlichkeit dass sie zwar innerhalb eines jeden der Stücke, in welche die Ebene zerlegt

Function darstellt, in ver-

ist, einen Zweig einer bestimmten monogenen schiedenen Stücken aber Zweige verschiedener Tunctionen.

Sind z. B. K',K',...KW Kreise, von denen keiner einen andern umwird durch dieselbe die Ebene in (r +1) Stücke zerlegt; und die Function xa) so bestimmt,³) dass ihr reeller Theil im Mittel-

schliesst, so

wenn man

punkt von Ka) positiv ist, so liefert der Ausdruck

■FW»+4 2 (i + ;aW)(W(⁴)--F,₊,c⁴))

* /. = i

der mit dem vorstehenden übereinstimmt, wenn unter Fi{x)₎ F₂(x), ... Fr+l(x) ebenfalls eindeutige Functionen mit einer endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen verstanden werden, eine Reihe von der in Rede stehenden Eigenthümlichkeit, indem dieselbe, wenn x innerhalb der von Ka) begrenzten Kreisfläche angenommen wird, gleich Fx(x), und wenn x ausserhalb aller dieser Flächen liegt, gleich Fr+1(x) ist, also innerhalb eines jeden der (r + l) Stücke, worin die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer willkürlich anzunehmenden Function von der hier vorausgesetzten Beschaffenheit darstellt.

Ein anderes Beispiel erhält man, wenn die Kreise K\ K'\ ... K{r) so angenommen werden, dass jeder der (r — 1 ) ersten von dem folgenden umschlossen, und somit die Ebene durch sie gleichfalls in (r + l) Stücke zerlegt wird. Dann hat nämlich der Ausdruck die Eigenschaft, dass er innerhalb eines jeden der genannten Stücke gleich einer der Functionen Fr(x), F₂(x), ... Fr+1(x) ist. (Ein besonderer Fall ist der, wo an die Stelle der r Kreise r einander parallele gerade Linien treten.) Scheidet man ferner aus dem Gebiete der Veränderlichen x alle negativen Werthe (mit Einschluss von 0) aus, so existiren bekanntlich⁴) unendliche, aus rationalen Functionen von x zusammengesetzte Reihen, welche einwerthige Zweige gewisser mehrdeutiger Functionen, wie z. B. log#, xm (wo m eine beliebige Constante bedeutet) darstellen und in der Nähe jeder Stelle, die nicht zu den ausgeschlossenen gehört, gleichmässig convergiren. Es können nun in dem Ausdruck

So 0⁴0 + S₁ {x) Xi (x) + %₂ (x) x₂ 0⁴0 + — + g, (x) x, (x)

9M    (x), ••• %r(p) auch solche Reihen sein, und man erhält dann aus

ihm eine gleichfalls aus rationalen Functionen gebildete Reihe, welche in jedem der Stücke, in die das Gebiet von x durch die Linien K(h und die Strecke der negativen Werthe zerlegt wird, einen einwerthigen Zweig einer mehrdeutigen monogenen Function darstellt, in verschiedenen Stücken aber im Allgemeinen Zweige verschiedener Functionen.

Aus diesen Beispielen erhellt zur Genüge, dass die am Schlüsse des § 3 aufgeworfene Frage folgendermassen zu beantworten ist:

Wenn der Convergenzbereich einer Reihe, deren Glieder rationale Functionen einer Veränderlichen x sind, in der Art in mehrere Stücke zerlegt werden kann, dass in der Nähe jeder im Innern eines solchen Stückes gelegenen Stelle die Reihe gleichmässig convergirt; so stellt dieselbe in jedem einzelnen Stücke einen einwerthigen Zweig einer monogenen Function von x dar, in verschiedenen Stücken aber nicht nothwendig Zweige einer und derselben Fonction.

6.

Ich habe in meinen Vorlesungen über die Elemente der Functionenlehre von Anfang an zwei mit den gewöhnlichen Ansichten nicht übereinstimmende

Sätze hervorgehoben, nämlich:

bei einer F'unction eines reellen Arguments aus der

man

1) dass

einer

geschweige denn eine — wenigstens in Intervallen — ebenfalls stetige

Stetigkeit derselben nicht folgern könne, dass sie auch nur an einzigen Stelle einen bestimmten Differentialquotienten,

Ableitung besitze;

2) dass eine Function eines complexen Arguments, welche für einen beschränkten Bereich des letzteren definirt ist, sich nicht immer

über die Grenzen dieses Bereichs hinaus fortsetzen lasse; und dass die Stellen, für welche die Function nicht definirbar ist, nicht bloss einzelne Punkte

sondern auch Linien und Flächen bilden können.

Functionen einer complexen Veränderlichen,

Da im Vorhergehenden denen die unter 2) genannte Eigentümlichkeit zukommt, die Rede gewesen wüll ich bei dieser Gelegenheit ein leicht zu behandelndes Beispiel

von

ist, so

einer solchen Function beibringen.

Angenommen, der Halbmesser des Convergenzbezirks einer gewöhnlichen Potenzreihe

2 Avxv ' = 0

wenn unter

sei gleich 1, die Reihe convergire aber auch unbedingt und gleichmässig für alle Werthe von x, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, so dass t eine reelle Veränderliche verstanden wird,

2 A,evU

eine stetige Function von t ist.

liegt ein Theil der Begrenzung des Conver-

so

Im Innern des Convergenzbezirks der Reihe nehme man eine Stelle x0 beliebig an und forme die gegebene Reihe in eine Potenzreihe ty(x — x₀) um. Ist r₀ der absolute Betrag von £co, so kann der Halbmesser des Convergenzbezirks der Reihe ty(x — x₀) nicht kleiner als 1 —r₀, wohl aber grösser sein. Ist das Letztere der Fall, genzbezirks der gegebenen Reihe ganz im Convergenzbezirke von ?ß(x — x₀), und es besteht, wenn

ro

— = etoi ist und xt =

gesetzt wird, für alle Werthe von t zwischen zwei bestimmten Grenzen (£₀—x, £₀ + t) die Gleichung

±A,evU = <p (*,-*,).

V — 0

Nun hat aber ?ß(x — x₀), als Function von x betrachtet, Ableitungen jeder Ordnung, dasselbe gilt also auch von ty(xt—#₀), als Function von t betrachtet, für die zwischen t₀ — T und £₀ + T liegenden Werthe dieser Grösse. Hieraus folgt nun: Wenn sich in einem bestimmten Falle beweisen lässt, dass die Function

2 A,evti

in keinem Intervalle der Veränderlichen t Ableitungen jeder Ordnung besitzt, so ist daraus zu schliessen, dass der Convergenzbezirk der Reihe ^{x — x₀)} wie man auch xo annehmen möge, ganz in dem Convergenzbezirk der gegebenen Reihe enthalten ist, die Function also, welche durch diese letztere dargestellt wird, über deren Convergenzbezirk hinaus nicht fortgesetzt werden kann.

Nun sei a eine ungrade positive ganze Zahl, b eine positive Grösse, die < 1, und av = a. Dann erfüllt die Reihe

2 bvxav

V = 0

die oben für die betrachtete Reihe gestellten Bedingungen. Es ist aber von mir der Beweis*) geführt worden, dass die Function

co

2 bv cos av t,

x — 0

sobald ab>\+-\tc ist, für keinen Werth von t einen bestimmten Differential-quotienten besitzt. Durch die Reihe

2 bvxav

v = o

wird also, wenn ab > 1 + f-TC, eine Function definirt, die nicht über den Con-vergenzbereich der Reihe hinaus fortgesetzt werden kann, und also ausschliesslich für solche Werthe von x, deren absoluter Betrag die Einheit nicht überschreitet, existirt.

Es ist leicht, unzählige andere Potenzreihen von derselben Beschaffenheit wie die vorstehende anzugeben, und selbst für einen beliebig begrenzten Bereich der Veränderlichen x die Existenz von Functionen derselben, die über diesen Bereich hinaus nicht fortgesetzt werden können, nachzuweisen5 worauf ich jedoch hier nicht eingehe.

Schliesslich möge noch bemerkt werden, dass sich auch in Beziehung auf zusammengesetztere arithmetische Formen, welche eindeutige monogene Functionen einer und mehrerer Veränderlichen oder einwerthige Zweige solcher Functionen auszudrücken geeignet sind, Untersuchungen anstellen lassen, welche der hier für eine der einfachsten ł ormen durchgeführten analog sind und zu ähnlichen Resultaten führen.

<h. R.

heissen.) [S. Anmerkung 3, S. 228 dieses Bandes.]

*) Dieser Beweis ist von Herrn P. du Bois-Reymond, dem ich ihn brieflich mitgetheilt hatte, im 79. Bande von Borchardt’s Journal (S. 30) veröffentlicht. (Ich berichtige bei dieser Gelegenheit zwei 0. sich findende Druckfehler. Z. 10 v. 0. muss es »æ₀« statt »a₀«, und Z. 4 v. u. »auch« statt »nicht«

setzen.

x(i) =

rx-ax+x

ri+ai-x

ANMERKUNGEN.

1. Zu S. 206, Z. 13. ⁵)

Den hier angeführten wichtigen Satz beweise ich in meinen Vorlesungen in sehr einfacher Weise.

Ich betrachte zunächst eine Potenzreihe P{x), welche nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält, also die Form

v — +m v — —m

hat, wo m eine ganze positive Zahl bedeutet.

Es sei § eine bestimmte Grösse, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, und deren Wahl nur der Beschränkung unterliegt, dass jf, wenn v eine der Zahlen 0, ±1, ±2, ... ±m ist, nicht gleich \ sein darf. Ferner bedeute r eine beliebig anzunehmende positive Grösse, so existirt für den absoluten Betrag von P(x), wenn man der Veränderlichen x nur solche Werthe beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit G bezeichnet werden möge. Dann ist, wenn unter l eine beliebige ganze Zahl verstanden wird,

j S P(r?) < G.

A = o

Man hat aber

l—l    v=z + m l—l /I    \

2 P(r?) = 2 2 M/n

= 0    r=—mA = o\'/    /

- ^+7?'^

1—1"

i-ê

— rv

y '

wo bei der durch das Zeichen 2' angedeuteten Summation der Zahl v alle Werthe von —m bis + m, mit Ausschluss der Null, zu geben sind. Nun kann man aber, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, der Zahl l einen so grossen Werth geben, dass der absolute Betrag von

JLy ’A 1 — rv

l Ą A x_|v r

kleiner als d wird: dann hat man

Mol<G+*

also

Jetzt sei

V = +05

P(x) = s Ävxy

r = — co

P(x)

eine beliebige Potenzreihe, welche convergent ist für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag zwischen zwei bestimmten Grenzen R, R' liegt. Ist dann r eine zwischen R und R’ enthaltene, im Übrigen willkürlich anzunehmende positive Grösse, so giebt es wieder für den absoluten Betrag von wenn man der Veränderlichen x nur solche Werthe beilegt, deren absoluter Betrag gleich r ist, eine endliche obere Grenze, die mit g bezeichnet werden möge. Man kann ferner, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, eine ganze positive Zahl m so bestimmen, dass für jeden Werth von x, für den \x\ — r,

¹ = CO

2 ax

v — m+l    *

r = — oo    1

2 Ayxy <--d,

v=z—m— i    ■*“

ist: dann hat man

2 AvXy <£ + d,

v = —tn

also nach dem Bewiesenen

und somit

\A₀\<g.

der Grösse x nur solche Werthe giebt, deren

Lässt man ferner die Reihe x~^P(x), wo g eine beliebige ganze Zahl bedeutet, an die Stelle von P(x) treten, so ist gr~“ die obere Grenze für den absoluten Betrag von x~^P(x), wenn man

29

II.

was zu beweisen war.

absoluter Betrag gleich r ist; man hat also

Für Potenzreihen von mehreren Veränderlichen gilt ein analoger Satz,

der sich ebenso elementar wie der vorstehende beweisen lässt.

2. Zu S. 211, Z. 15.

von

Sind to, «>' zwei complexe Grössen, für welche der reelle Bestandteil ~ positiv ist, und bezeichnet man die Werthe, welche die Function fp(u |tü, to') für u — (o, ü) + ü/, «>' annimmt, beziehlich mit etJ e₂, e₃, so hat man*)

= (1 + 2h -f 2/i⁴ + 2h⁹ -f- • • -)⁴,

wo

u/rc

tai

ist.

so an

ll — e

Nimmt man ferner vier ganze, von Null verschiedene Zahlen p, q, p, q dass unter ihnen die Relation

pq'—p'q = 1

besteht, und setzt

ü)' 7t

ui = poi + go/,

u/ = p'ai -j- gfo/,

(bi

so ist, wenn p, q beide grade, p, q also beide ungrade Zahlen sind, auch

f(^'K »') = esi

p(<ü|a>,0)') = elf und es gilt die Gleichung

^?((U + to' J CO, to') = e₂

= (l + 2\ + 2h\ +2ä;+- OS-

man hat also

(₁₊₂J₅)‘= (i> + a

yf.

Nun sei t eine positive Grösse, und

y*.

*) S. die »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen, herausgegeben von H. A. Schwarz«, S. 43.

(1)

(1)' =

so ist

Limh — Lime t7Z = 0

tz=. CD

t=co

p'+ q’ti .

---—--7ZZ    1ZX

p + qti _ ß

Lim h₁ = Lim e

t —CD

es ergiebt sieb also, wenn unter x eine Veränderliche, deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, verstanden wird, aus der vorstehenden Gleichung, dass der absolute Betrag der Summe

t =GO

00

1+2 2 X'v

V = 1

unendlich gross wird, wenn sich x auf einem bestimmten Wege dem Grenz-werthe

7ii

nähert. Nun kann man aber, wenn x₀ irgend eine bestimmte Grösse vom absoluten Betrage 1 ist, die Zahlen p,q,p',q' so annehmen, dass dieselben den angegebenen Bedingungen genügen und überdies der absolute Betrag der Differenz

Tii

e -x₀

klein wird, wie man will; es giebt also in jeder noch so kleinen Umgebung von x₀ Werthe der Veränderlichen x, für welche der absolute Betrag von

so

co

1+22 r = i

grösser ist als jede beliebig angenommene positive Grösse.

Hieraus ergiebt sich nun ohne Weiteres das, was im Texte bereits von dem Ausdrucke

F(x) = i (7V)

gesagt worden ist, indem für diejenigen Werthe von x₎ deren absoluter Betrag kleiner als 1 ist, die Gleichung

1 + 4 F{x) = (l+22/j

gilt. *)

*) C. G. J. Ja co bi, Fund, nova § 40, Gl. (4.) und § 65, Gl. (6.).

Dazu bemerke ich noch Folgendes:

Setzt man, unter t eine Grösse verstehend, deren zweite Coordinate nicht gleich Null sein soll,

tui

so hat man, wenn die zweite Coordinate von t positiv ist woraus sich die Relation

ergiebt. Ist dagegen die zweite Coordinate von t negativ, so hat man

also

cd(t) =

f(-T ) = =^(7)

<p(t) =

Hiernach ist also der Ausdruck

?(t)

in dem einen Theile seines Geltungsbereichs gleich t, in dem andern aber gleich — t; er ist also nicht eine monogene Function von x, und demzufolge auch F{x) nicht eine monogene Function von x.

3. Zu S. 223, Z. 5.

(Der Beweis befindet sich auf S. 71—74 dieses Bandes.)

Im 13. Bande des »Jahrbuchs über die Fortschritte der Mathematik« finde ich auf S. 335 in einem Referate über Herrn Wiener’s im 90. Bande des Borchardt’sehen Journals erschienene, auf die im Vorstehenden betrachtete Function f(x) sich beziehende Abhandlung die Bemerkung, es sei Herr Wiener durch eine gründliche geometrische und analytische Untersuchung der in Rede stehenden Function zu dem Resultate gelangt, dass die Behauptung, es besitze diese Function an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten, nicht

durchweg aufrecht erhalten werden könne. Ich entnehme daraus, dass ich im Glauben, Jedermann wisse, was erforderlich ist, wenn eine stetige Function an einer bestimmten Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitzen soll, am Schlüsse des obigen Beweises mich doch zu kurz gefasst haben muss, weswegen ich die folgenden Erläuterungen hinzufüge, welche freilich für die meisten Leser überflüssig sein werden.

Wenn eine stetige Function F(x) der reellen Veränderlichen x an einer bestimmten Stelle (x — xo) einen bestimmten endlichen Differential-quotienten besitzen soll, so ist dazu nothwendig — selbstverständlich aber nicht hinreichend — dass alle Werthe, welche der Quotient

F(x)-F(x₀)

x-x₀

nach Festsetzung einer oberen Grenze für den absoluten Betrag der Differenz x — xo annehmen kann, zwischen endlichen Grenzen enthalten seien. Diese Bedingung ist für die von mir angegebene Function f(x) niemals erfüllt, wie man auch xo annehmen möge.

Soll ferner F{x) für x — x₀ einen bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten (+oo oder — oo) haben, so muss nach Annahme einer beliebigen positiven Grösse g für den absoluten Betrag von x — x₀ eine obere Grenze sich so festsetzen lassen, dass jeder Werth, den der Quotient

Fjx)-Fjx q)

x-x₀

alsdann erhalten kann, im ersten Falle zwischen g und + oo, im zweiten dagegen zwischen —g und — oo liegt. Eine nothwendige Bedingung für die Existenz eines bestimmten unendlich grossen Differentialquotienten der Function an der Stelle (x = x₀) ist also, dass der Quotient

F{x)-FM

rp _ rp

iv    iA/q

für alle einer hinlänglich klein angenommenen Umgebung der Stelle x₀ an-gehörigen Werthe von x dasselbe Zeichen habe. Auch diese Bedingung ist für die in Rede stehende Function f(x), wie gezeigt worden, niemals erfüllt. Ich muss also den Satz, dass die von mir aufgestellte Function an keiner Stelle einen bestimmten Differentialquotienten besitze, als unbedingt gültig aufrecht erhalten. Die dagegen erhobenen Einwendungen beruhen übrigens auf einem leicht aufzuklärenden Missverständnisse. Es ist mit dem Satze gar wohl vereinbar, dass für gewisse Werthe x₀ sich eine unendliche Reihe von Werthen xt, x₂, x₃, ... so bestimmen lässt, dass Lim xn = XQ ist und zugleich

fM-fM

Lim

xn xQ

n = co

einen bestimmten Werth erhält. Daraus aber zu schliessen, dass in einem, solchen Falle f(x) an der Stelle (x = xo) einen bestimmten Differentialquotienten besitze, ist ebenso unzulässig, wie es sein würde, wenn man z. B. von der Eunction

F(x) = x sin [x +

behaupten wollte, sie besitze an der Stelle (x = 0) den Differentialquotienten Null, weil sich, wenn man xn = ~ setzt,

ergiebt.

JAmxn = 0 und Lim

n = co

71 = CO

F{xn) = 0

71

Nachtrag.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 21. Februar 1881.)

In der am 12. August 1880 der Akademie vorgelegten Abhandlung »Zur Functionenlehre« habe ich (in §4) eine aus rationalen Functionen einer Veränderlichen x gebildete unendliche Reihe aufgestellt, welche die Eigen-thümlichkeit besitzt, dass sie den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

Obwohl diese Reihe an sich einfach genug ist und für den Gebrauch, den ich von ihr zum Beweise des in § 5 d. g. Abhdlg. gegebenen Hauptsatzes gemacht habe, durchaus geeignet sich erweist, so ist doch ihre Herleitung einigermassen umständlich und setzt mehrere Sätze aus der Theorie der trigonometrischen Functionen voraus. Um so interessanter war es mir, kürzlich durch eine briefliche Mittheilung von Herrn J. Tannery, Professor an der Faculté des sciences zu Paris, der meine Abhandlung in’s Französische übersetzt hat, zu erfahren, dass es höchst einfache Reihen ähnlicher Art giebt, welche nicht nur für den angegebenen Zweck dasselbe leisten wie die meinige, sondern vor dieser zugleich den wesentlichen Vorzug haben, dass zu ihrer Aufstellung und zum Nachweis ihrer charakteristischen Eigenschaft nur die elementarsten Sätze der Functionenlehre erforderlich sind.

Ich erlaube mir, aus Herrn Tannery’s Briefe das Nachstehende mit-zutheilen.

»Man nehme eine unendliche Reihe positiver ganzer Zahlen

m₀,    m₂, ...

so an, dass

so ist

Lim mn =

n =co

OO,

Lim , mn —

n=® 1 — x

1 + xMn _ [ + 1, wenn | x | <c 1,

— 1, wenn | x | > 1.

Man hat aber

setzt man also

1    mn

l—x n

1 + xm° , ^ ( 1 + X

m₀ 2j )

X ⁰ r= lf l—x

mv

1 + x™⁶-¹

l-

mv

1 «h-i

1 — x ¹

l + Xm°

1-

m₀ +2 X ⁰    ⁶'=

^ 2xm,-¹(xniv Vly~¹ -1) , (xmv — 1) (xrriv~¹ — 1)

IlMs

1 + xm°

1 — xm° Tv i (xmv — 1) (x™r~¹ — 1)

so

convergirt die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag von 1 verschieden ist, und hat den Werth

4-1 oder — 1

jenachdem der absolute Betrag von x kleiner oder grösser als 1 ist. Nimmt man in dem vorstehenden Ausdrucke von ty(x)

¹

Durch das dem 2 beigefügte Zeichen (') soll hier und im Folgenden darauf hingewiesen werden, dass unter den Werthen, die der Ausdruck unter dem Summenzeichen annehmen kann, sich einer findet, der = œ ist und hei der Summation fortgelassen werden muss.

²

[S. 92 dieses Bandes.]

³

jst r <jer Radius des Kreises K{1\ und a; der Werth von x im Mittelpunkt desselben, so kann man

⁴

S. die auf die Gauss’sehen Kettenbrüche und die nach Kugelfunctionen fortschreitenden Reihen sich beziehenden Abhandlungen von Tliomé im 66. und 67. Bande des Borchardt’schen Journals.

⁵

[Ygl. auch die Abhandlung „Zur Theorie der Potenzreihen“, Bd. I, S. 67 dieser Ausgabe.]

⁶

Ich bin vor nicht langer Zeit darauf aufmerksam gemacht worden, dass sich in einer Abhand

mv = 2V,

so erhält derselbe eine besonders einfache Gestalt; es ist dann

<K»0 =

1 + x 2x    2x²    2xi

l — x ^ x²-^l ^ xi— 1 ¹" X⁸— 1

cc

—-, wenn 1 x I < 1, x— 1    ¹¹

wenn | x j > 1,

findet, woraus sich die im Texte nachgewiesene Eigenschaft der Function <L(æ) in dem Falle, wo mv = 2V ist, unmittelbar ergiebt.

X—X”¹

" ^    "r' 2_/y²    2 "t    /yi -4 "t 8_r,‘    8

xAj    Lv    IV    t-O    vV

x-1 ’

Dazu bemerke ich noch Folgendes.

Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die von Herrn Tannery gegebene Reihe in der Nähe jedes Werthes von x, dessen absoluter Betrag nicht gleich 1 ist, gleichförmig convergirt.

Ist ferner %' eine beliebige rationale Function von #, so werden in der Ebene der letzteren Grösse diejenigen Werthe derselben, für die der absolute Betrag von % gleich 1 ist, durch eine algebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in mehrere Stücke zerlegt, dass der absolute Betrag von x in einigen Stücken kleiner als 1, in den andern grösser als 1 ist. Setzt man also

Ux') =

so ist Xi(x) e^n Ausdruck von derselben Beschaffenheit wie der von mir im Anfang des § 5 d. g.- Abhdlg. ebenso bezeichnete. Nimmt man insbesondere.

x’ —

so erhält man einen Ausdruck, der gleich dem von mir mit x(x) bezeichneten den Werth

+ 1 oder — 1

hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist.

30

II.

AUS EINEM BISHER NOCH NICHT VERÖFFENTLICHTEN BRIEFE AN HERRN PROFESSOR SCHWARZ, VOM 3. OCTOBER 1875.

... Je mehr ich über die Principien der Functionentheorie nachdenke — und ich thue dies unablässig —, um so fester wird meine Überzeugung, dass diese auf dem Fundamente algebraischer Wahrheiten aufgebaut werden muss, und dass es deshalb nicht der richtige Weg ist, wenn umgekehrt zur Begründung einfacher und fundamentaler algebraischer Sätze das »Transcendente«, um mich kurz auszudrücken, in Anspruch genommen wird — so bestechend auch auf den ersten Anblick z. B. die Betrachtungen sein mögen, durch welche Riemann so viele der wichtigsten Eigenschaften algebraischer Functionen entdeckt hat. (Dass dem Forscher, so lange er sucht, jeder Weg gestattet sein muss, versteht sich von selbst; es handelt sich nur um die systematische Begründung.)

Nachdem ich dies mein Glaubensbekenntniss, in welchem ich besonders durch eingehendes Studium der Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen bekräftigt worden bin, vorausgeschickt, gestatten Sie mir, in möglichster Kürze Ihnen aus meiner letzten Vorlesung über Abelsche Functionen diejenigen algebraischen Sätze vorzuführen, deren Kenntniss hinreicht, um in dem Resultat Ihrer Untersuchung (betr. den Satz, dass eine algebraische Gleichung zwischen zwei Veränderlichen, wenn sie unendlich viele Transformationen in sich selbst zulässt, nothwendig den Rang 1 hat) eine so zu sagen selbstverständliche Wahrheit zu erblicken.

Ist zwischen zwei veränderlichen Grössen y irgend eine irréductible algebraische Gleichung gegeben, so nenne ich die Gesammtheit der diese

Gleichung befriedigenden Werthepaare y) das durch die Gleichung definirte Gebilde, jedes einzelne Paar aber eine Stelle (Punkt) dieses Gebildes. Das Nächste ist dann, den Ihnen bekannten Begriff des Elementes eines solchen Gebildes gehörig festzustellen.

Es sei (a, b) eine bestimmte Stelle des betrachteten Gebildes, so giebt es eindeutige und in der Form gewöhnlicher Potenzreihen darstellbare Functionen /j(0? f₂(0 einer Veränderlichen t von der Beschaffenheit, dass erstens die gegebene Gleichung befriedigt wird, wenn man

y-b = ft(t)

x-a — f^t)

setzt, wobei (x — a) durch ~ zu ersetzen ist, falls a = oo — ein Ähnliches gilt von (y — b) —; zweitens x = a und y — b wird für t — 0, und drittens zu verschiedenen Werthen von t — wenigstens wenn dieselben dem absoluten Betrage nach eine gewisse Grenze nicht übersteigen — auch verschiedene Stellen des Gebildes gehören. Die Gesammtheit der durch ein solches Functionenpaar gegebenen Werthepaare (x, y) nenne ich nun ein Element des betrachteten Gebildes, und beweise, dass das ganze Gebilde in eine endliche Anzahl solcher Elemente zerlegt werden kann. (Zur Entwickelung von    f₂(t) habe ich jetzt eine Methode, die viel einfacher ist, als das

um

bekannte Verfahren zur Entwickelung von y — b nach ganzen oder gebrochenen Potenzen von x — a.) Ferner wird gezeigt, dass aus einem Elemente alle übrigen abgeleitet werden können, weshalb das durch eine irréductible algebraische Gleichung definirte Gebilde ein monogenes ist. Dann ist noch zu bemerken, dass im Allgemeinen alle Stellen (x, y), die einer gegebenen (a, b) unendlich nahe liegen, einem Elemente angehören; es giebt aber einzelne singuläre Stellen, für welche dies nicht der Fall ist. Wenn daher von einer bestimmten Stelle des Gebildes die Rede ist, so wird, falls es sich eine dieser singulären Stellen handelt, vorausgesetzt, dass das Element, dem sie angehören soll, bezeichnet werde. Hierauf wird festgestellt, was es heisst, es werde eine gegebene rationale Function von (x, y) an einer bestimmten Stelle unendlich gross von einer gewissen Ordnung; woran sich dann eine Reihe von Erklärungen und Sätzen schliesst, die ich nicht zu wiederholen brauche. Ich will nur anführen, wie ich den Begriff »zwei algebraische Gebilde sind rational in einander transformirbar« fasse.

Es sei f(x,y) = 0 die gegebene Gleichung und Rx(x,y) eine beliebige rationale Function von (x,y), so gehört, wenn man % = R₁(x,y) setzt, zu jedem Werthe von £ — eine beschränkte Anzahl specieller ausgenommen — eine bestimmte Anzahl verschiedener Werthepaare (#,?/), "welche ich den Grad von R^x^y) nenne. Setzt man diese in eine zweite rationale Function R₂[x,y) ein, und findet sich, dass für einen beliebigen Werth von £ die entsprechenden Werthe von R₂(x,y) alle von einander verschieden sind, so erhält man, wenn man yj = R₂(x,y) setzt, aus den Gleichungen

7j = R₂(x,y)

f(x,y) = 0, stets eine irréductible Gleichung

£ = R^x.y)

?(M) = °>

welche, wenn y,v die Grade von R^x^y), R₂(x,y) bezeichnen, in Beziehung auf 7] vom fden, in Beziehung auf £ vom vi6n Grade ist. Dann entspricht aber auch immer nicht nur einem Werthepaare (#, y) ein Paar (£,7]), sondern dies gilt auch umgekehrt, und man erhält

® = B₃(£,tj), y = RJ&, vj),

wo jR₃, J7₄ ebenfalls rationale Functionen bezeichnen. Die Gleichungen ^ = B₃(£,7j), y = R^, rj), ©(£,7]) = 0

führen sodann durch Elimination von £, 7] zu der ursprünglichen zurück. Man sagt daher, die Gleichungen f(x, y) — 0, <p(£,7j) = 0 seien rational in einander transformirbar, und wendet diesen Ausdruck auch auf die beiden durch sie definirten Gebilde an.

Dies hätte ich Ihnen allerdings nicht so weitläufig darzulegen brauchen, ich wollte Ihnen aber eine ungefähre Anschauung von meinem Gange geben. Wesentlicher und Ihnen wohl noch nicht vollständig bekannt ist das nunmehr

Folgende.

Es werde irgend eine bestimmte Stelle (a₎ b) des betrachteten Gebildes

so lässt sich zeigen, dass es unendlich viele rationale Functionen dieser Stelle unendlich gross werden. Unter

ausgewählt

von (x, y) giebt, die nur an diesen giebt es nothwendig eine vom niedrigsten Grade — ich will eine solche z nennen —, und es ist klar, dass dann jede andere von der Form a^ + ß ist,

wo a, ß Constanten bezeichnen. Unter den übrigen, d. h. denen, die von höherem Grade als zt sind, wähle man eine (^a) von niedrigstem Grade aus, ebenso eine (^s) von denen, deren Grad höher als der von ist u. s. w. So erhält man eine unendliche Reihe von Functionen

deren Grade

Vl> *2,    V3,

eine steigende Reihe bilden, und die der doppelten Bedingung genügen, dass sie alle nur an der Stelle (a, b) unendlich gross werden, und zugleich jede andere Function z von derselben Beschaffenheit sich in der Form

«o + «i *i + «2^2 + • • • + «»*«

darstellen lässt, wo a₀, ... am Constanten bedeuten. Es lässt sich ferner leicht zeigen, dass in der Reihe der Zahlen

^11 • ••

von einer bestimmten an jede um eine Einheit grösser ist als die unmittelbar vorhergehende.

so ist die Gleichung f{x₎ y) — 0 von der Beschaffenheit, dass sich alle Werthepaare (x, y) in der Form

Ist Vt = 1

x = B₁(t)

y = R₂(0

ausdrücken lassen. In jedem andern Falle müssen daher in der Reihe

Vt> V2, •••

einige ganze Zahlen fehlen, die mit bezeichnet werden mögen.

Durch sehr einfache Betrachtungen zeige ich nun, dass erstens zwar nicht diese Zahlen k selbst, wohl aber ihre Anzahl für alle Stellen (a, b) dieselbe ist — ich nenne sie p — und

zweitens für alle Stellen mit Ausnahme einer beschränkten Menge singulärer (und zwar algebraisch bestimmbarer) die in Rede stehenden fehlenden Zahlen die folgenden sind:

1, 2, ... Q.

(Hieraus werden Sie erkennen, dass q die Bedeutung hat, die ich sonst diesem Buchstaben gebe.)

Ist va die erste der Zahlen v , va, ..., welche kein ganzzahliges Vielfaches von vx ist, so besteht zwischen z und za eine algebraische Gleichung von der Form

zl'+GM.# ¹+ ->- + G(Vi_l)(z₁).za+GVi(z₁) = 0,

Gi- 0

wo 6ri5 6ra,... G ganze Functionen von zi bedeuten. Die Grade von 6rx, 6ra,... sind nicht grösser als bezieh lieb

•••

der von G aber ist va. Da man nun aber, wenn l die grösste in dem Bruche

enthaltene ganze Zahl bedeutet, aozc(+ axzx + a₂zx~x-i------+ für za

aber

setzen darf, so kann man durch geeignete Wahl der Function erreichen, dass in der vorstehenden Gleichung Gx(z^) — 0 wird. Da man ferner b₀z+b für zx setzen darf, so kann man ausserdem durch geeignete Wahl von z erreichen, dass in Gv^zJ der Coefficient von z[a gleich (—1), der von z* gleich Null wird. Dadurch ist das Functionenpaar {zx, zj soweit völlig bestimmt, dass man statt desselben nur noch das folgende

(cVlzt, cVaza),

wo c eine willkürliche Constante bedeutet, setzen darf.

Betrachtet man nun za1 z₈ u. s. w. als Functionen von z y so entsprechen jedem Werthe dieser Grösse vt Werthe jeder der übrigen, und man erhält für hinlänglich grosse Werthe von zx, wenn man

vi

s = z₁

setzt, alle Werthe von zm dargestellt durch eine Reihe von der Form

c₀ sVm + cx sm ¹ + C% 8

Man kann aber die Function zm durch

cc₀+cc₁z₁+cc₂z₂ + ’-- + amzm

m—² i ... .

ersetzen und die Constanten « so bestimmen, dass c₀ = 1, und von den übrigen Gliedern mit nicht negativen Potenzen von s nur diejenigen bleiben, in denen der Exponent von s eine der Zahlen &₂, ... k (und zugleich < vm) ist. (Dies gilt auch für die Entwickelung von za nach Potenzen von s.)

Auf diese Weise ergiebt sich eine Reihe von Functionen welche soweit bestimmt sind, dass man sie nur durch die folgenden

V-,    V₉    V»

c tzli c *02, c • • •

ersetzen kann.

Alles dies gilt, wie gesagt, für jede Stelle («, b). Nun möge aber (a, b) so gewählt werden, dass für diese Stelle die Zahl vi} die im Allgemeinen gleich 9 + 1 ist, so klein als überhaupt möglich wird. Hier tritt nun ein wesentlicher Unterschied ein. Wenn 9 — 0 oder 1, so kann v₁ nicht kleiner als 9 + 1 werden. Wenn aber 9 > 1, so giebt es stets Stellen, für welche vx < 9, und also auch mindestens eine, für die diese Zahl ein Minimum ist. Für diese Stelle seien nun die Functionen z^z^z₃, ••• gebildet. Im Allgemeinen ist dann die Gleichung zwischen z₁ und z₂ irreductibel. In besonderen Fällen kann aber das Gegentheil stattfinden, immer aber giebt es unter den Zahlen v₂, v₃, ... solche, die relativ prim zu vi sind. Ist vr die erste derselben, so besteht zwischen zi und zr stets eine irréductible Gleichung von der Beschaffenheit, dass für hinlänglich grosse Werthe von z die zugehörigen vx Werthe von zr durch eine Reihe von der Form

H-----1- Glieder mit negativen Potenzen von zxx

(in der Ct = 0 ist, wenn h > vr) gegeben werden.

Diese Gleichung zwischen zx und zr ist nun durch eine rationale Transformation aus der gegebenen f(x,y) = 0 ableitbar, und jede Function zm rational durch zx und zr ausdrückbar.

Umgekehrt ist aus der Form der Gleichung unmittelbar ersichtlich, dass, wenn sie durch eine rationale Transformation aus der gegebenen zwischen æ, y entspringt, zx, zr nothwendig rationale Functionen von x, y sind, welche beide nur an einer Stelle des Gebildes (x,y) und zwar derselben, unendlich gross werden, und lediglich die Grade vr haben.

Angenommen nun, die Gleichung f(x, y) — 0 lasse eine rationale Transformation in sich selbst zu, so ist ein Gleiches der Fall mit der zwischen zx und z bestehenden Gleichung, so dass es zwei rationale Functionen (Cl5 Cr) von {z^zr) giebt, zwischen denen dieselbe Gleichung besteht, wie zwischen zx und zr, so dass für hinlänglich grosse Werthe von C₁ die Entwickelung

i

von C. nach Potenzen von C,¹ aus der oben für z angegebenen durch die ¹    F    J_    *

von    so hat

Cl dieselbe Entwickelung wie zm

zt = oo, also auch CTO nur für folgt, dass auch Çm als Function

von x, y

Substitution von Ç/¹ für z/¹ hervorgeht. Dann sind C1? Cr rationale Functionen von (x, y), welche nach dem oben Bemerkten nur an einer Stelle des Gebildes (æ, y) unendlich gross werden und beziehlich die Grade vlt v haben. Ist ferner Cm dieselbe rationale Function von (Cl5 C.) wie zm auch CKi für hinlänglich grosse Werthe von für grosse Werthe von z±. Da nun z^ nur für Ç = oo unendlich gross wird, so nur an derjenigen Stelle («', b') des Gebildes unendlich wird, an der dies mit Cj der Fall ist. Hieraus ergiebt sich, dass für die Stelle (a, b') die Reihe der Functionen

Cx, c₂,    ...

genau dieselbe Bedeutung hat, wie für die Stelle (a, b) die obige Reihe

& 11    &31    * • • J

in der Art, dass nicht nur die Reihe der Zahlen v und somit auch die der k für beide dieselbe ist, sondern auch die für grosse Werthe von C, geltende

Entwickelung von tm nach Potenzen von Ç¹ für jeden Werth von m aus der

entsprechenden Entwickelung von zm durch Substitution von C/¹ für z*¹ hervorgeht.

Nun sind zwei Fälle möglich.

Dann muss nach

Erstens kann die Stelle (a\ b') mit (a,b) identisch sein, dem oben Bemerkten

Vm

C

Cl = cVlZn c₂ = cv*z₂

sein. Die Bedingung, dass die Gleichung zwischen C, and Cr dieselbe sei wie zwischen zx und zr1 hat aber zur Folge, dass c nothwendig eine bestimmte Einheitswurzel (im Allgemeinen 1 selbst) ist.

31

II.

Zweitens kann die Stelle (a, b') von (a,b) verschieden sein. Dann wird auf dieselbe Weise gezeigt, dass es nur eine geschlossene Anzahl von Functionenpaaren (Ç , C.) geben kann, welche nur an dieser Stelle unendlich gross werden und durch dieselbe Gleichung wie und zr mit einander verbunden sind. Es giebt aber, wenn p > 1 ist, überhaupt nur eine beschränkte Anzahl von Stellen, für die eine Function C₁ vom Grade existirt.

Damit steht fest: »Wenn eine Gleichung f{%₁y)= 0 überhaupt rationale Transformationen in sich selbst zulässt, so ist die Anzahl derselben, sobald der Fang (p) der Gleichung grösser als 1 ist, in jedem Falle eine endliche«.

Sie sehen also, lieber College, dieser von Ihnen bewiesene Satz ist ungemein leicht abzuleiten, wenn die erforderlichen algebraischen Hülfsmittel vorhanden sind. Ich weiss mich nicht zu erinnern, ob ich denselben in meiner

Vorlesung erwähnt habe — näher auf den Beweis eingegangen bin ich nicht —, muss es aber vermuthen, da ich ihn in der Dissertation von Schottky, worüber ich Ihnen schon schrieb — gedruckt ist dieselbe noch nicht —, als einen »bekannten« angeführt gefunden, welchen Ausdruck ich bei der Revision gestrichen habe. (In der Theorie der Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen auf einander ist derselbe von wesentlicher Bedeutung.)

Nun ist es aber meine Meinung durchaus nicht, dass Sie Ihren Beweis unterdrücken sollen, aber ich wünsche, dass Sie bei der Publication bemerken möchten, ich habe Ihnen eine rein algebraische Ableitung des fraglichen Satzes mitgetheilt, und zwar wünsche ich dies einfach aus dem Grunde, weil einige meiner Zuhörer mit den Principien, worauf meine Déduction beruht, so vertraut sind, dass leicht Jemand sich finden möchte, der nach Veröffentlichung Ihrer Abhandlung in vielleicht nicht angemessener Weise mit der Bemerkung, es lasse sich das Resultat viel einfacher begründen, hervorträte; was für uns beide nicht grade angenehm sein würde.

Gestatten Sie mir noch einige Bemerkungen in Betreff der Bedeutung, welche die Functionen z für die Theorie der Abelschen Integrale haben.

Wenn man die Stelle (a, b) so auswählt, dass die Zahl vl ein Minimum ist, so hat die zwischen zi und zr bestehende Gleichung ein Minimum von Constanten.

(Durch die Substitution von cVlzx, c rzr kann man bewirken, dass noch ein Coefficient der Gleichung den Werth 1 erhält.) Im Allgemeinen kann vx nicht kleiner als p werden, und dann ist der Ri eman n’sehe Satz von den (3p — 3) Constanten gültig.

Es kann aber vx bis auf 2 herabsinken (den Fall p = 0 ausgeschlossen),

und dann beträgt die Anzahl der Constanten nur 2p —1. (Fall der ellipt. und hyperellipt. Integrale.) Dazwischen liegt eine Reihe besonders zu behandelnder Fälle.

Besonders bemerkenswert!! ist

dass in eine solche

p die

Gleichung zwischen zx, zr (man muss für einen bestimmten Werth von zugehörigen Gleichungen (Gebilde) zunächst in Gruppen theilen, so dass kein Gebilde, das einer Gruppe angehört, aus einem Gebilde einer andern Gruppe durch rationale Transformation hervorgehn kann) die erforderliche Anzahl willkürlicher Constanten unmittelbar eingeht, d. h. dass alle Coefficienten rationale Functionen dieser Constanten sind. Ferner giebt es ein bestimmtes Verfahren, wodurch sich für jeden Werth von p die in Rede stehenden Gleichungen bilden lassen, während natürlich die Umformung einer gegebenen Gleichung in eine solche »kanonische« nicht ohne — practisch meist nicht durchführbare — algebraische Operationen geschehen kann.

Für p = 1, 2, 3, 4, 5 hat mir Frau von Kovalevsky die Gleichungen wirklich hergestellt.

Bildet man für eine beliebige Stelle (a, b) die Reihe der Functionen *,»•••> so ist

der allgemeinste Ausdruck einer Function, die rational durch x, y ausdrück-bar und an der Stelle (a, b) unendlich gross (von der Ordnung vm) wird. Dieselbe wird dann nothwendig an vm Stellen Null. Man kann aber unendliche Reihen

a₀ + a₁z₁+cc₂z₂+--‘,    *

welche beständig convergiren, so bilden, dass sie nur an der Stelle (<a,b), die für sie eine eigentliche Grenzstelle ist, unstetig werden, und zugleich nur an einer Stelle oder an gar keiner verschwinden. Diese Functionen von (x,y) nenne ich Primfunctionen. In Betreff der nirgends verschwin-

31*

denden zeige ich, dass es 2p solche,

E{x,y)i) •••

giebt, aus denen sich alle übrigen in der Form

2?

■■■ Eg‘*{x,y)

wo die g ganze Zahlen bedeuten, zusammensetzen lassen. Eine Function der andern Art, die an der Stelle (xx, yj verschwindet (und zwar mit der Ordnungszahl 1), bezeichne ich mit E(x,y-    und beweise dann zwei Funda

mentalsätze.

1) Jede rationale Function R(x,y) rten Grades lässt sich in der Form

B(x,y) =

c E(x, y, x[,y[) ... E(x, y, x'r, y'r)

E(x, y- xlt yt)... E(x, y; xr, yr) darstellen.

2) Wenn {xi, yj,... (xm, ym) die verschiedenen Stellen sind, an denen f R(x, y) dx — oo wird, so hat man

fü(x,y)dx = C₁logE(x, y] xt, yt)Ą-----b Cm\ogE(x, y, xm, ym)

+ G[ log E(x, y\ + • • • + C'Q log E(x, y)2Q +R₁(x,y),

wo R₁ eine rationale Function von x, y bezeichnet und die C Constanten sind.

Auf diese Weise sind die Integrale algebraischer Differentiale in einer Form, die den analytischen Charakter derselben zur Evidenz bringt, dargestellt. Fügt man noch zwei Formeln hinzu, die das Verhalten der E-Functionen in der Nähe der (willkürlich auszuwählenden) Stelle (a, b) angeben, so sind alle Sätze, welche die Theorie der Abelschen Integrale ausmachen, einfache Corollare der unter 1), 2) aufgestellten.

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN EUNCTIONEN. ³) (Aus dem Sitzungsbericht der König! Akademie der Wissenschaften

vom 27. April 1882.)

I.

Herleitung der Relationen, welche unter den Functionen 6(^|a>,ü/), 6x(u | u>, tu), 6₂(w| ü>, U)'), 6₃(^|m,cn') und deren partiellen Ableitungen nach u, m, co' stattfinden.

Es werde irgend eine dieser Functionen bloss mit S bezeichnet und

ô²log S

du²

gesetzt, so dass für die erste Function

,    <p = p(«0

und für 6A, wo A eine der Zahlen 1, 2, 3 bedeutet,

? = $>(U + (Oi)

ist. Dann hat man

(!•)

<3cp\²

(20

= 4cf-gay-gai

S - ³-l’-

du

Aus diesen Gleichungen erhält man, wenn man sich der Bezeichnung d'F bedient, um anzudeuten, dass ein die Grössen u₎ to, to' enthaltender Ausdruck in Beziehung auf to, to' differentiirt werden solle:

du du

₂^lJL

du du du d cp

d’<? = (12vi-92)d,<?-ydg₂-dg

d' cp — 2

du²

d'<? + ydgz + dga = 0,

(3.)

<?dg₂ + dg|

Cb Qj

= 0.

§ -6

Man hat aber

⁶?²-łg,2

I d cp

ôcp V

¹ ^9+łgs

ôw ! ôcp

dcp

du

du

9,?* + t9s<P

du ( d cp

dcp

du

dcp

⁼ 2*

dcp

dw

wenn man also «x, d₂ so bestimmt, dass dg₂ =    6&Æ,,

ist — was angeht, weil 27#* nicht gleich Null ist —, so lässt sich die Gleichung (3.) in der Form

^ du

GO

2cp

dcp

dw

dg s = -<°g₃d₁-

dj + f 2

ölog6 4cp² -f- g₂ \

ÖW

d cp

== 0

schreiben. In dieser Gleichung sind alle Glieder des Ausdrucks, auf den d

sich das Zeichen -q- bezieht, ungerade Functionen von u, weil cp eine gerade und ^°*®

du

eine ungerade Function derselben Grösse ist; folglich muss dieser

Ausdruck, da er von u unabhängig ist, gleich Null sein. Man hat also

öcp ö log 5 du du

(5.)

Öcp

+ 2 cp j d₁ +

+ ²<P²~y&)^

. = 0.

Nun ist

ö²

d'6

ö²d'logS

ÖM²

du²

= -ä' cp

Oj

Oj

u • öS S ÖW

ö log S

ÖW

-Mcp,

Vo ¹⁰

M ÖS 6 öw

ÖM

-2?,

_ö_/j_ ö²_S

Öto V ß Ö^^²

ö / ö² log 6

ö log S\²

öcp

öw

du²

ÖM

ÖW

2cp

ö log S

du ’

ö²

ö² cp    2 öcp ö log 6

ÖM² Ötf ÖW

= -4cp²-

öcp ö log S 1

.Z —i -r-

du

du

und es lässt sich also die Gleichung (5.) so schreiben:

u öS ₇

S 6*A +

rl Ö²S v 6 ö%²

+ Y2#2M2)d₂J

= 0.

In dieser Gleichung sind nun alle Glieder des Ausdrucks, auf den sich das Zeichen bezieht, gerade Functionen von U‘ folglich muss der Ausdruck einen von u unabhängigen Werth haben. Bezeichnet man diesen mit C, so wird

= CS.

öS /ö²S 1    \

2d'5+2u-^d^w+T2^⁶n

Nimmt man jetzt

S = S(m I co. «/)

so hat man

S = u + u⁵ $ (u),

i*

und es ergiebt sich, wenn man auf beiden Seiten der vorstehenden Gleichung den Coefhcienten von u bestimmt, C — ‘Id Nimmt man aber 6 = 6,, so ist

s, = 1-

~e;y+ w⁴^(w)

und man erhält, wenn man in der Gleichung u — 0 setzt, C = ~exd₂. So

ergeben sich die folgenden Gleichungen: 2d'6 +2^ ⁰⁶

(A.)

du

GW(

d²6    1

du² 12

g₂u²<ojd₂ = 0

(ß.)

2 d'(5x + 2u

du

(1 = 1,2, 3).

Wir haben hier 6, als Functionen von u, w, to' betrachtet, so dass dx, d₂ homogene lineare Functionen von dto, dm' sind, welche folgendermassen bestimmt werden können.

Man setze

d log 6

du

a- =

dty(u)

da)'

= <j/2> (u)

so folgt aus der Gleichung (A.), wenn man dieselbe durch S dividirt, wodurch sie die Form

2d' log 6 + 2 (uty — 1) dj + (— cp + ^ + -^g^d erhält, und dann in Beziehung auf u differentiirt:

(6.)

4⁽¹⁾ (w) dtO + ^<2) (w) dta'+ G (u) - ucp (u)) dt - (<P (u) ty(u)-~ 92 «) d₂ - y    d

f¹*(w)da> + tI»<,)(M)d(o'+(d₁-<p(w)d,)tK«) + ^5rtdi-d₁9(a)j«--i-^Ôàda = 0.

Aus den Gleichungen

^(m + 2u)') = ^{u) + 2ri'

^(m + 2o)) = 4(*0 + 2tj

aber ergiebt sich

2 d'X^ + 2(U)

(70

+ <j>⁽¹⁾(w + 2(u) =    + 2

2 a,^a±20J ^ + t]/²⁾(w + 2tu') = 4» + ²

da) ’

ör/

da)'

d»<2)(w + 2to) = <]/» + 2 -^L

oder

t]/¹⁾(w+2o>)    = 2-J^-+ 2cp(w),    <J/²⁾(w + 2u>) — t{/²⁾(w) = 2-J^_,

da)

y²\u + 2u>') — <j/²⁾(w) = 2 -^r + 2<p (u).

In der Gleichung (6.) setze man nun u + 2io, u + 2u>' für u, und subtrahire sie dann von den so entstehenden neuen Gleichungen, so kommt

dri + <p(w) doi+rl (dx-y(u)d₂) + m (^~g₂d₂ — dxy (w)J

dri'+ <P 0)    rl\d₁ - <p(u) d₂) + ü)'^g₂ä₂-dxy (u)j

= o,

= 0.

Da <p(u) jeden Werth haben kann, so folgt hieraus

dm = 7j d₂+ <o d

(C.)

du)' = 7] ’d₂ + «)rd

Mit Berücksichtigung der Relation

dri — —j2 92<lid2~Tid

dr{ = -

7]tt>'—0)7]' =

1 . T*¹

erhält man sodann

(D.)

d,

— (o)'do) — u)du)'),

TC

dx = —(j]'du) — r\du)'),

%

dt] = — dr/ = —

71

d92 =    (⁴#2r/— ⁶ &,«>'] du> — [fy₂ri— ⁶ 9s°>)dv'

d9z = -dx =

d2 =

Aus der Gleichung

ergiebt sich ferner

(12eJ—= exdg₂ + dg₃ — -(⁴#₂e₁ + ^9₃)dx-(6g₃ex +j gljd₂

= - (2 4 e! - ² g 2e! ) ^ - (2 4 - ⁶ g 2 e\ + J glj d₂

= - 2ex{!2e\-g₂)dx-{12e\-g₂) (2el-^g^d

(E.)

(F.)

(G.)

II.

_7P],+ 12 flr*aMD'Va> + (V “

(~V² +^gy² jdo) + ^7]'-^-^₂o)o)'jdu)'

2i r

* gl

⁶dsV-

j9²2wj d(° —    — j9²2 <°j do)'

92d92

±X9l-^9l)

1    d{g\— 21 g\)

12    ^2— 27^3

18g₃d92-¹²92d93

±(9l-^9l)

±e³x-g₂ex-g₃ = 0

32

also

det —

und ebenso

-2e₁ä₁ + (^-g₂-2el

de₂ =

— 2e₂ d₁ + g₂ — 2e\

de₃ — -2e₃dl + {~gi-2el)d₂.

Hieraus folgt weiter, da e + e + e = 0,

dfa-e,) = -2(e₁-e₂)(d₁-ead₂),

d(ei~e₃) = —²(e,-e,)(^i-e«rf*)»

^i-e^ie.-e,) = -2{e₁-e₂)(e₁-e₃)(2d₁ + exd₂).

Es ist aber, wenn man

(H.) e, = (e₁-e₂)(e₁-es)

£2    (^2 ei)(e2 ®s)

S8    (^8    ) (®3    ^2 )

setzt

(J.)

g₂ = 4(3e|-s^),

9S = ±e\-g₂ex = ⁴eA(e^-2el),

0 = 1,2,3)

und somit

-2exdx-(jh~2e]}jd₂ = -Ze^-eM-jsxd,

dh = -^hdi-2elexdi Die Gleichungen (A.), (D.), (E.), (F.) lehren hiernach, dass jede partielle Ableitung der Function <3 nach to und to' dargestellt werden kann in der Form

F 5_(_f ~ + F 0 + 1 du ²

(K)

d²6

dw²

H----,

den Gleichungen (B.), (D.), (E.), (J.), (K.) für

wo jF₀, F, F₂, ... ganze Functionen der Grössen io, io', yj, 7], g₂, g₃, u sind. Ebenso ergiebt sich aus

jede partielle Ableitung von (5X nach o>, «>' ein Ausdruck

FfSJ+Ff|| + Ff

.. ganze Functionen der Grössen w, u>', tj, tj', ea,

d²6,

d%²

in welchem Ff, Ff, Ff, . ^ sind.

Es lässt sich aber 6 in der Form einer beständig convergirenden Potenz- *

Betrachtet man demgemäss 6 als

reihe der Grössen u, g₂, gs darstellen.

Function von g₂, gs, so zeigen die Gleichungen (A.), (G.), dass jede partielle

Ableitung von 6 nach ga, ga die Form

¹

lung des Herrn E. Schröder a. d. J. 1876 (Schlömilch’s Zeitschrift für Math. u. Phys., 22. Jahrg. S. 184) die Formel

²

Ich bin vor nicht langer Zeit darauf aufmerksam gemacht worden, dass sich in einer Abhand

³

In Betreff der in dieser Mittheilung gebrauchten Bezeichnungen und als bekannt vorausgesetzten Formeln verweise ich auf die „Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weierstrass bearbeitet und herausgegeben von H. A. Schwarz“.

<56

a⁸s

hat, wo sich jede der Grössen G₀, Gl, 6r₂, ... als eine ganze Function von ga, gs, U, dividirt durch eine Potenz von (<7®—27#J), darstellen lässt.

Ferner ist, wenn man

du²

setzt

du²

2 ^²’

und für u — 0

<3w

= 0:

woraus sich ergiebt, dass in der Entwickelung von yx nach Potenzen von « nur Glieder mit geraden Potenzen dieser Grösse Vorkommen, und die Coeffi-cienten derselben ganze Functionen von #₂, ex und somit auch von ev ex sind. Demgemäss erhält die Entwickelung von <ox die Form

e~²^ + Ea>u 4 +    + ...) ;

wo Ea\ Ea\ .

2 )    3 5

.. ganze Functionen von s^, ex sind.

Betrachtet man nun <3X als Function von u, ev ex, so ergiebt sich aus den

Gleichungen (B.), (K.) für jede partielle Ableitung von 6X nach ev ex ein Ausdruck

in welchem jede der Grössen Ga) eine ganze Function von u, ex, eA, dividirt durch eine Potenz von (et—£,)(«, — e„) ist.

d²6

du²

II.

Gebrauch der im Vorstehenden entwickelten Differentialgleichungen zur Entwickelung der Functionen 6, (5X.

Aus der Gleichung (A.) erhält

<56    <56 ,    ^_____

= -l⁴^⁺⁶^F-l⁶^

bringt und beachtet, dass diy dB, als Functionen von dg₂, dgB betrachtet, von einander unabhängig sind — was aus den Gleichungen (4.) sich ergiebt, weil

man

indem man d'(o auf die Form

<56

<56

<56

. 1 ₂ <56 \

(g₂ — 27g²₃) nicht gleich Null ist —, die beiden nachstehenden partiellen Differentialgleichungen :

(A.)

ö²S

öw²

(B.)

öS

W-r--4flL

ÖW

3 ⁹² dg, öS

dg₂ ⁹ 3 ö^r

+ J2 ⁹*U*6 =

öS -

S = 0.

0,

Setzt man

tn,n,r

(m, n, ï = 0, 1,... oo)

so lehrt die zweite Gleichung, dass in jedem Gliede der Reihe, dessen Coefficient nicht gleich Null ist,

r — 4m — 6 tt — 1 = 0

sein muss.

Man kann daher setzen

(C.)

s (u) = 2«

tn,n

nt,n

(y&) Os)"-

^4nt+6n+i

(4m + 6n + l) !

(A.) die Recursionsformel

und erhält zur Bestimmung der Coefficienten a

16

(D.) ®nt, n ⁼⁼ ^    ^m+i,n—i d g~(ttffl)^

Bei der Anwendung dieser Formel ist jeder Coefficient, in welchem einer der Indices einen negativen Werth erhält, gleich Null zu setzen. Der Coefficient a₀ 0 ist gleich 1. Betrachtet man als zu einer Gruppe gehörig alle für welche die Summe 4m + 6n denselben Werth hat, so lehrt die vor-

einer bestimmten Gruppe aus zwei Zahlen der unmittelbar vorhergehenden und einer Zahl der zweitvorhergehenden Gruppe berechnet werden kann.

Die Function hat nach dem Vorhergehenden die Form e~*6xU . eine Potenzreihe von «, ev sA ist. Dann hat man

^m,n’

stehende Formel, dass jede Zahl a

nt,n

m-2,n+x

tn,n

aus

i—i co

(2m + 3n — l) (4m + 6n — 1) a

WO

dr(5, =

₌.e-^e?y

I d'Sk + w² Ą ^    — ex d₂ ) + —    d₂ j j,

d6x

du

du²    \ ÖW²

2 exu

SS,

du

und es geht die Differentialgleichung (I. (B.)) über in die folgende : 2d'Sx+2u^ (d-exd₂) + (^ +

(E.)

, = o.

Diese aber zerfällt, da

4 dSx

3 dex

+6e^hd‘

ist, in die beiden:

(F.)

d%

du²

⁸£a(

(G.)

IM

3 dex

⁺ ¥filf) + EiM!'Sl

= ».

dex

de*

Setzt man

Sx — Zt C.

m,n,r

tn,n,r

ef s” ux

so folgt aus (G.), dass

r — 2m — 4n == 0

nicht gleich Null ist. Man kann also setzen:

(H.) SU«) =

sein muss, wenn C

m, n,r

w2m+4n

wo 2sx — 6e|—^

2 ^²’

und erhält aus (F.) zur Bestimmung der Coefficienten cmn die Recursions-formel

m,it

(2m + 4tt)! ’

(j-)    = ¹6 (nt +1) cOT+lj    + n cm_lt „ — (nt + 2n — 1) (2m + 4tt — 3) cm

gleich Null zu setzen sind und c₀₀ = 1 ist. Endlich kann man auch der Function 6 die Form

S = e~^hu2Sa)

, rt-i >

geben.

Schreibt man die Gleichung (I. (A.)) in der Gestalt 2d'6+2u^d₁ + (^- + (J^g₂u²+ex')6]jd₂-2(5(d₁-exda)-3ex6d₂

so ist ersichtlich, dass man zu der Gleichung

d²Sa)

(K.)    2d'Sa)+2(u^-

S*yd-exd₂) + (-

du²

3exSa)+exu²SU))Jd

geführt wird, welche in die beiden nachstehenden zerfällt:

1 dSa)

3 dh

(L.)

d*Sa)

du²

dSa> U du

Man kann also setzen

(L*.)

dSa)

dex

4£a

dSa)

dzx

Sa> = 0.

2m+4n+i

(M.) S(M) _ ,-H«’s^„(₈,r(2%r_^+4n+i)i

und erhält aus (L.) zur Bestimmung der Coefficienten b formel :

wo 2zl = 6 e\—^

m,n

die Recursions-

(N.) &m,„ = 4(m+l)6

m+i,n-x

+ (4n + l)6

nt-i, n

— (m + 2n—l)(2m + 4n —1 )b

ra.ti-i •

Hier ist

b₀,o = 1

und b

= 0.

= °,    0-1, n =0, b

Aus den Gleichungen (J.), (N.) ist unmittelbar ersichtlich, dass die Coefficienten bmn und cm vi sämmtlich ganze Zahlen sind. Aber auch die a sind alle ganze Zahlen. Denn aus der Gleichung (M.) ergiebt sich, dass, wenn man

nt+i, —i

m,-i

m,tt

6(u) = 2 G

W2r+1

o r (2r + 1) !

setzt, Cx für jeden Werth von r eine ganze Function ganzzahligen Coefficienten ist. deren Exponent >2 ist, mittels der Gleichung

3    1    1

ei —    +

von

\9, und \el mit

Schafft man aus Cx alle Potenzen von

fort, so müssen in dem so umgeformten Ausdruck von C A = 1) 2, 3 denselben Werth hat, die mit ex und e\ multiplicirten Glieder fortfallen5 er reducirt sich also auf eine ganze Function von g₂₎ g₃, deren Coefficienten Brüche sind, die zu Nennern Potenzen von 2 haben. Die a könnten also, wenn sie Brüche wären, ebenfalls nur Potenzen

da derselbe für

nt, tt

von 2 zu

Nennern haben; dies ist aber nach der Recursionsformel (D.) nicht der Fall.

Die Werthe der Zahlen am nl für die 4m + 6n + l.<35 ist, finden sich in den oben erwähnten »Formeln und Lehrsätzen

zum

Gebrauche der elliptischen

Functionen« S. 7; die Werthe derjenigen Zahlen bm #, cmn, für die 2m + 4n<12 ist, welche also zur Entwickelung der Eeihen S°'\ Sx bis zu den Gliedern, welche in Beziehung auf u beziehlich vom 13ten und 12ten Grade sind, ausreichen, enthält die folgende Tabelle.

cm,n

m,jt

2m + 4n m n

#>■

CM ©

© i—l

1 -1

CO r-l

O tH

tH CO

O tH

00

© rH <N

tH

H-*

<N

IO m H (O rfl N O

© tH <N © TH (N CO

10 -1 -141    —6

ZUR THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNCTIONEN. *) (Aus dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 15. und 22. Februar und vom 13. December 1883.)

I.

Um die elliptischen Functionen

sin am (u, Je), cos am (u,k)} A am (u,k)

durch die Jacobi’schen Functionen

$₃(x,q) = 1 + 2# cos 2x + 2#⁴ cos 4x + 2q⁹ cos Sx H----

auszudrücken, hat man die Aufgabe zu lösen, für jeden gegebenen Werth von Je einen die Gleichung

(L)

\JJc =

Ą(°; g.)

= 2\Jq •

1 + #² + #⁶+#¹² + ---

1 + 2q + 2qi + 2q⁹ + • • •

befriedigenden Werth von q zu bestimmen. Ist ein solcher Werth gefunden, so hat man, wenn

utz

(2.)

*) Durch diese Abhandlung soll eine Lücke ausgefüllt werden, welche sich in der Jacobi’schen »Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet« (Gesammelte Werke, Band I, S. 497 ff.) findet, und auf die ich in einer Anmerkung auf S. 545 a. a. 0. aufmerksam gemacht habe. Es sind deshalb hier durchgehends die Jacobi’schen Bezeichnungen von mir angewandt worden.

gesetzt wird

tfk • sin am (u, Je) =

4(a?, ff)

3(tf, ff)

(3.)

\/Ä

•cosam^qÄ) =

3, (ff, ff)

3 (ff, ff)

3 (ff, ff)

Dabei kann der Werth einer der beiden Wurzelgrössen \Jh, \[q beliebig fixirt werden, worauf dann der Werth der anderen durch die Gleichung (1.) bestimmt wird. Der Werth von \Ji — h² ist so zu wählen, dass

3(0, ff) ___

3S(0, g) ~ 1+ 2g + 2g⁴ + 2q⁹ + •••

(4.)

\/T^V =

1— 2g + 2g⁴ — 2q⁹ + • • •

wird.

In der nachgelassenen Abhandlung Jacobi’s »Theorie der elliptischen Functionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet« ist die genannte Aufgabe für den Fall, dass Je eine reelle, zwischen 0 und 1 enthaltene Grösse ist, behandelt (§ 6) und nachgewiesen worden, dass man von der Gleichung (1.) ausgehend zu demselben Ausdrucke von q gelangt, den Jacobi in den »Fund. nov. funct. ellipt.« auf dem in diesem Werke eingeschlagenen Wege erhalten hatte. Ich werde jetzt zeigen, wie man mit den von Jacobi in der genannten Abhandlung angewandten Hülfsmitteln für jeden (complexen) Werth von Je alle die Gleichung (l.) befriedigenden Werthe von q bestimmen kann, und zwar mittels einer Reihe, welche nicht nur ihrer starken Con-vergenz wegen für einen numerisch gegebenen Werth von Je eine bequeme Berechnung der zugehörigen Werthe von q gestattet, sondern auch, wenn man Je als eine veränderliche Grösse und q als Function derselben betrachtet, dazu dienen kann, die charakteristischen Eigenschaften dieser Function aufzufinden. Es kommen dabei hauptsächlich in Anwendung die beiden, auch von Jacobi benutzten Gleichungen

(5.)

3,(0? ff) = 3,(0, ff⁴)+ 4(0? ff⁴)

3(0, g) = 3₃(0,g⁴)-4(0,g⁴),

welche sich unmittelbar aus den Ausdrücken von 4(0? ff), 3(0, q) ergeben, und die Relation

Ich betrachte zunächst ausschliesslich reelle, der Bedingung

wenn

unterworfene Werthe der Grösse und setze fest, dass im Folgenden a eine positive Grösse ist, unter log a der reelle Werth des natürlichen Logarithmus von a, und unter aw, für einen beliebigen Werth von m, der durch die Formel

m log a

gegebene Werth der Potenz an verstanden werden soll. Dann haben 3(0, q), 3(0, q), 3₃(0, 9) stets reelle Werthe und sind stetige Functionen von q. Ferner ist aus den Ausdrücken der Grössen 3(0> g)? ^(0? g) unmittelbar ersichtlich, dass die zweite beständig positiv ist, und für die erste, die für q — 0 verschwindet, dasselbe gilt, wenn q> 0. Was aber 3(0, <7) angeht, so würde, wenn diese Grösse für einen bestimmten Werth von q gleich Null wäre, aus (5.) folgen:

Ą(0,S?) = Ą(0, g⁴)

und es müsste demnach (gemäss Gleichung (6.)) auch 3(0, #⁴) = 0 sein. Daraus würde dann weiter folgen, dass auch 3(0, q¹⁶)₎ -5(0, q6i) u. s. w. gleich Null wären, was unmöglich ist, weil 3(0, qm) für einen unendlich grossen positiven Werth von m unendlich wenig von 1 verschieden ist. Es kann also 3(0, q) für keinen der betrachteten Werthe von q verschwinden und ist demnach beständig positiv.

Hiernach ist

3(°, 2)

eine stetige Function von <7, die für q — 0 verschwindet und für jeden anderen Werth von q einen positiven Werth hat. Dieselbe ist, indem in Folge der Gleichung (6.)

3?(°,2)> A⁴(°>3)>

von

stets kleiner als 1; es lässt sich aber zeigen, dass sie sich, wenn q der Grenze Null an stetig wachsend der Grenze 1 sich nähert, ebenfalls beständig wachsend, derselben Grenze nähert.

Da nämlich

²ff⁴(¹ + ff² + g⁶+---)

3(0, g) __

3(0, g) l+2g+2₂⁴+2₂⁹+...

so lässt sich jedenfalls eine positive Grösse qQ, die <1 ist, so annehmen, dass

3(o?g)

3(o, g)

beständig zunimmt, wenn q stetig wachsend das Intervall (0 ...#₀) durchläuft. Aus den Gleichungen (5.) folgt aber, wenn qT für q gesetzt wird,

^(o, g¹) _    Ą(0, g)

3(0, g)

3(°, 2)

(70

Ą(o,sł) '

1+

0(0, g*)

#3 (0,2ł)

Intervall durchläuft, oder es nimmt, was dasselbe besagt,

Hiernach nimmt

beständig ah, wenn q stetig wachsend das genannte

beständig

0(0,2)

0s(o> g)

ab, wenn q stetig wachsend von 0 aus in q* übergeht. Es ist aber

A(0, g)

Ą(0, q)

y(o ,g)v.

Ą‘(0,2)/ ’

1

gleichzeitig mit so lange q c <fQ ist. Daraus folgt sofort, dass dasselbe gilt, so lange q kleiner als

es wächst also

0a(o, 2)

0s (0,2)

T6

ï'i

go ? go, •••

ist. Die Glieder dieser Reihe convergiren aber gegen die Grenze 1; es wächst also

0a(O, 2)

0a(o, 2)

Es ist ferner, wenn

gleichzeitig mit q, wie nahe auch q der Einheit kommen möge.

,    3(0, g)

Ą(# ,q)

gesetzt wird, nach (7.)

(o, g")

Ą(o,₂ł)

Cd⁴

und somit auch

a«,«*)

aM

<S‘.

Daraus folgt für jeden ganzzahligen positiven Werth von m

₁ mg4W

a(o,^

es nähert sich daher, wenn m unendlich gross wird, der Werth von q der Grenze 1 unendlich nahe kommt,

ïr<W⁴’n;

also

3\o, q

ebenfalls dieser Grenze. Damit ist das oben hinsichtlich der Function Behauptete bewiesen.

Dies vorausgeschickt, denke man sich nun den Quotienten

#s(0,q)

A⁴(Q ,g)

in eine Potenzreihe    entwickelt. Das Anfangsglied derselben ist 16</,

und ihre Coefficienten sind sämmtlich ganze Zahlen; man kann daher eine unendliche Reihe rationaler Zahlen

ccQ, cc₁, cc₂₎ . . .

so bestimmen, dass für hinlänglich kleine Werthe von q die Gleichung

(8.)

g. = S«.r⁺¹(2)

besteht, aus welcher sich, da = 4 ist,

log(16₂) = logSP(2) + |;^r(0

(9.)

n= i

Nimmt man nun eine positive Grösse g₀, die <1 ist, so an, dass dieselbe im Convergenzbezirke der Reihe ^3(g) liegt, und zugleich, wenn man

MilJY

Ą(0> q₀)l

setzt, die Summe

2 I ßnK

(wo \ßn\ den absoluten Betrag von ßn bezeichnet) einen endlichen Werth hat, so gilt die Gleichung

(10.)

logg + log 16 = 4 log

3(0» g) , ^ * (MilIV”

Ą(0,g) nàPwU₃(0,g);

sicher für die der Bedingung

entsprechenden Werthe von g, weil für jeden solchen Werth nach dem Vorhergehenden

Ą(0, g) y

4(°, g)/

ist.

Man bezeichne

3,(0, g) V

3,(o, g))

mit t

und setze in (10.) q⁴ für g, so erhält man

da nach den Gleichungen (5.)

(11.)

,1m

Ą(o,g⁴) _ Ą(o,g) _ i-o-ty A(0, g⁴)

1+

Ą(°»g)

i + (i-0*

ist, einen zweiten Ausdruck für logg, nämlich

(12.)

4 log 3 + log 16 = 4 log I

1 (1 *K)+ś ft,(1 (1 -h ■

i + (i—0*' “=I    'i+(i—*)•/

Aus (10.) und (12.) ergiebt sich dann die Gleichung

*-e-oT.

1+ (!-()*/

(13.)

2 /V” =

io«(i

HM

Bei der Herleitung dieser Gleichung ist t als Function von q angenommen worden. Da aber, wenn q stetig wachsend das Intervall (0...<y₀) durchläuft, t ebenfalls beständig wachsend vom Werthe 0 zum Werthe t0 übergeht, so erhellt, dass die Gleichung (13.) besteht, wenn man t als eine unabhängige Veränderliche betrachtet und derselben irgend einen dem Intervall (0    angehörigen Werth giebt.

Es ist aber

_ 1(1-0 *dt ,    (1-0 *ät

1—(1—o

l + (l-0ł

i-(i-t)

!+(!-«)

!-(!-<)*

__3    _ _1

(14.)

entwickelt man also |(l — t) ⁴ + y(l — t) ⁴ nach. Potenzen von t und setzt t(1 — 0 ⁴ + 'ł(^~ 0 ⁴ = 1 +    + 2e₂^² + 3s₃^³ + •• •,

so ergiebt sich

(15.)

logt

1—(1 -o

■i

i+(i-0l

und es sind ex, e₂, es, ... sämmtlich rationale und positive Zahlen. (15.) folgt sodann

Aus

i-(i-o*r

i + (i-tfr

wo für einen beliebigen Exponenten m die Coefficienten e (16.) und (14.) sich ergebenden Gleichung

(16.)

oo

mittels der aus

(r⁺

bestimmt werden können. Man erhält aus dieser Gleichung die Recursions-formel

(17.)

= m S

,u — l

(v > 0)

aus welcher, da eM0 = (-|)w ist, sich die wichtige Folgerung ergiebt, dass für einen positiven Werth von m die Grössen sämmtlich positive Zahlen sind.

Es werde jetzt bezeichnet, so gilt nach dem Vorhergehenden die Gleichung

(19.)

s/»„<■ =

l = 1    W = 1    ^ M=1

Es

Die Reihen

2MV, 2£^v

convergiren, wie aus der Herleitung derselben erhellt, für jeden (reellen oder complexen) Werth von t, dessen absoluter Betrag kleiner als 1 ist. Bei der angegebenen Beschaffenheit der Grössen er, smv ist also für jeden zwischen 0 und 1 enthaltenen reellen Werth von t und jeden positiven Werth von m

i-O-tf

1 H- (1 — i)

1

l + (l-itf)

Daraus ergiebt sich, wenn man t gegen die Grenze 1 convergiren lässt

n

2 £* = i°g⁸

r = l

oder vielmehr, da dies auch gilt, wenn man n +1 für n setzt

n

2 £r < log 8

S < log

r +l°gT,

2 £m,, = ¹

2 £m,v < I-

Demnach convergiren die Reihen

co

co

auch für jeden Werth von £, dessen absoluter Betrag gleich 1 ist, und es ergiebt sich aus den Gleichungen (15.), (16.), wenn man t der Grenze 1 sich nähern lässt,

(18-)

2 £* = log⁸

00

2 £m, v    1 •

für jeden in dem Intervall (0...£₀) enthaltenen reellen Werth von t.

möge jetzt aber t₀ irgend eine positive Grösse, die cl ist und zugleich im

co

Innern des Convergenzbezirks der Reihe 2 ßntn liegt, bedeuten. Dann ist,

n — i

wenn man

t₁ = t

setzt

in Folge des Umstandes, dass die Coefticienten der Reihe $ß(£, 4ri) sämmtlich positiv sind und die Summe derselben den Werth 1 hat,

positiv, aber kleiner als Ç,

und daher

I ß„ IC

n == i

Für jeden der Bedingung entsprechenden Werth von t ist nun und hat also die Summe

4 n+y

einen endlichen Werth. Es ist deshalb die Reihe

^ßnhn,Jm+V

n, v

(n = 1,... oo; v = 0,... cd)

unbedingt convergent, und es ergiebt sich, wenn man alle Glieder derselben, welche dieselbe Potenz von t enthalten, in eines zusammenzieht,

2/MK*.*») = 2(G*>)*4r+?,

n—i    r,(J

(20.)

(e = 0,1,2,8; r = I,...»)

wo

(21.)

(r, q) = 2 ⁵

ßn•

"4M,4r-4M+Ç

Aus der Gleichung (19.) erhält man hiernach

ßl ⁼⁼ £1 J ß2 == £2 J ßa == £3 >

(22.)

ßi r+ç

1 r

^r+o'b'T' 2 £4n,4r-^ n — i

4 n+qßn

/ =l,...co \ l = 0,1,2,3/

'O

und kann also die Grössen der Reihe nach berechnen, nachdem man zuvor die durch die Gleichungen (14.), (17.) definirten Zahlen en, s4n v bestimmt hat.

34

n.

Ans den vorstehenden Formeln (22.) ist ersichtlich, dass die Grössen ßn ebenso wie die eB, e4nv sämmtlich positive rationale Zahlen sind. Es ergiebt sich aber auch aus dem Vorstehenden, dass die Reihe

für jeden (reellen oder complexen) Werth von t, dessen absoluter Betrag nicht grösser als 1 ist, unbedingt convergirt.

Um dies nachzuweisen, bemerke ich zunächst, dass man die im Vorstehenden gemachte Voraussetzung, es liege die mit t₀ bezeichnete Grösse im Innern des Convergenzbezirkes der Reihe ’2ußntn, jetzt fallen lassen kann und nur anzunehmen braucht, es sei die Reihe für t = t₀ convergent. Denn nach dem eben Bewiesenen ist \ßn\ = ßnl und es bleibt somit bestehen, dass die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung (20.) für t = £* convergirt. Für denselben Werth von t convergirt aber auch die Reihe    die Gleichung

(19.) lehrt also, dass, wenn die Reihe 2ßntn für t = t₀ convergirt, dasselbe nothwendig auch für t = t* und somit auch für

t = <*, t*,...

stattfindet. Demgemäss convergirt die Reihe für positive Werthe von £, die der Einheit so nahe kommen, wie man will, und es ist also der Radius ihres Convergenzbezirks nicht kleiner als 1.

Hiernach gilt die Gleichung (10.)

log 2 +log 16 = 4 log

4(0, g)

4(0,2)

+ tßn(-n — i    \

4(0, g)y 4(0, 2)1

für jeden der Bedingung

0 < q c 1

entsprechenden Werth von q. Nähert sich aber q der Grenze 1, so convergirt der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichung gegen die Grenze

2ßn

n = i

und es ist daher

Ê ßn = Dg 16.

Demzufolge convergirt die Reihe

HßJn

n = i

auch dann, wenn der absolute Betrag von t gleich 1 ist, und stellt für den durch die Bedingung definirten Bereich der Grösse t eine continuirliche analytische Function derselben dar.

Setzt man nun

(23.)

W) = Tg «

2 ßnt*

so erhält man

(24.)

-KO = 2 “Jn+‘

wo die Coefficienten an identisch sind mit den in der obigen Gleichung (8.)

s = s «„r+,(î)

vorkommenden, welche also aus den ßn berechnet werden können und ebenso wie diese sämmtlich positive rationale Zahlen sind. Lässt man t der Grenze 1 sich nähern, so ergiebt sich

-log 16+ 2 ßn

(25.)

1.

Die Function j>(t) ist demnach durch die Gleichung (24.) für jeden der Bedingung entsprechenden Werth der Veränderlichen t definirt. Für t — 1 ist c)j(£) = l, dagegen für jeden anderen Werth von t

Nun besteht nach dem Obigen die Gleichung

(26.)

q =

wenn man

f _ /Ą(o,g)\⁴

~ U.(0,2)j

setzt, sicher für die einem gewissen Intervall (0...^₀) angehörigen reellen Werthe von q. Für alle diesen Werthen von q entsprechenden Werthe von t gilt also die Gleichung

(27.)    (l+2<K*) + 2f(0 + 2<|;#(0 + --0⁴.* = 16^^)(l+f (0 +W + -•)•

Es sind aber, wenn man t als eine unabhängige Veränderliche betrachtet und auf den durch die Bedingung definirten Bereich beschränkt, den Werth t — 1 jedoch ausschliesst, beide Seiten der vorstehenden Gleichung eindeutige und continuirliche analytische Functionen von £, weil für jeden der betrachteten Werthe dieser Grösse ist. Nach einem bekannten Satze besteht also die Gleichung für jeden dem angegebenen Bereiche angehörigen Werth von t. Es lässt sich ferner zeigen, dass 3(0, q) auch für einen complexen Werth von q nicht verschwinden kann, und zwar in derselben Weise, wie oben unter der Voraussetzung, dass q eine positive Grösse sei, für die Function ^(0, q) bewiesen worden ist, dass sie nicht gleich Null werden kann.

Hiermit ist nun bewiesen:

Ist t eine (reelle oder complexe) Grösse, deren absoluter Betrag die Einheit nicht übersteigt, und die auch nicht gleich 1 ist, so wird die Gleichung

U(0,2)J ~

befriedigt, wenn man setzt.

Wenn also der Modul (k) der elliptischen Functionen seinem absoluten Betrage nach die Einheit nicht übersteigt und sein Quadrat nicht gleich 1 ist, so gelten die unter (3.) «aufgestellten Ausdrücke von

sin am (w, Je), cos am (u, Je), A am (u,Jc),

wenn man

q = 2

n = o

nimmt. Da ferner die elliptischen Functionen eines beliebigen Moduls auf solche, deren Modul den eben angegebenen Bedingungen entspricht, zurückgeführt werden können, so genügt das Vorstehende zu dem Nachweise, dass jede der genannten Functionen als Quotient zweier Thetareihen darstellbar ist. Weiter unten werde ich aber zeigen, wie man die Reihe

in eine für jeden Werth von t convergirende umgestalten kann, und zugleich nachweisen, wie sich mit den hier angewandten Hülfsmitteln auch die Aufgabe lösen lässt, aus einem die Gleichung

A(0,g)Y_ , U(o,a)j ”

befriedigenden Werthe von q alle übrigen abzuleiten.

II.

Nach dem, was im Vorhergehenden über den Convergenzbezirk der Reihe

und die Beschaffenheit der Zahlen ßn festgestellt worden ist, besteht die Gleichung (I., (13.)), welche sich in der Form

i—(i-0*\‘ i + (i-0*

schreiben lässt, sicher für jeden reellen, in dem Intervall (0...1) enthaltenen Werth von t, indem die Gleichung (I., (10.)), aus wurde, nach dem Vorangehenden für jeden der Bedingung 0<^<1 entsprechenden reellen Werth von q gilt, und für t = 1 in Folge der

log* —log 16 + 2 ßntn =

tM

)-logl6+j|j ^„(

i-c-o*fi

welcher sie abgeleitet

Gleichungen

2 ßn = log 16

n = i

beide Seiten gleich Null werden. Setzt man also

I ßn\ = ßn,

-|logl6 + {- 2 ßntn

e

oo

= S y.**

H =0

wo dann die Coefficienten y gleich den an sämmtlich positive rationale Zahlen

oo

sind und ^ yn = 1 ist, so hat man

n — o

(i.)

W) = t(ï)vA‘

\n = o /

und zugleich

(2.)

i+(i—M

UM⁸

i+(i-Oł

Die Reihe auf der rechten Seite dieser Gleichung ist aber für jeden (reellen oder complexen) Werth der Grösse t convergent und stellt eine analytische Function derselben dar, wenn man von den vier Werthen, die man für jeden bestimmten Werth von t der Potenz (1 — ty beilegen kann, einen so, wie folgt, fixirt.

Schliesst man von dem Gebiet einer unbeschränkt veränderlichen Grösse x die negativen reellen Werthe derselben, sowie auch die Stellen 0, oo aus, so giebt es unter den unendlich vielen Werthen, die der natürliche Logarithmus von x für einen bestimmten Werth dieser Grösse annehmen kann, immer einen, dessen zweite Coordinate zwischen

— ii und + tc

liegt. Dieser Werth des Logarithmus soll im Folgenden überall unter logo; verstanden werden; er ist innerhalb des definirten Bereichs der Veränderlichen x eine eindeutige analytische Function derselben, indem sich, wenn x irgend eine bestimmte Stelle des Bereichs ist, eine Umgebung derselben angeben lässt, innerhalb welcher die Reihe

(3.)

log#'+2

® (-1)”"¹ (x-x'\n n \ x' )

einen solchen Werth des natürlichen Logarithmus von x darstellt, dessen zweite Coordinate gleich der von log«' zwischen — tc und % liegt. Daraus ergiebt sich insbesondere, dass

n—i

^—(x-l)n n

ist, wenn man die Grösse x auf den durch die Bedingung

GO

logÆ = 2

£ (-¹)

x — l\ < 1

definirten Bereich beschränkt. Denn innerhalb dieses Bereichs sind die einander gleich gesetzten Ausdrücke beide eindeutige analytische Functionen von X] die Gleichung gilt daher für den ganzen Bereich, da sie nach dem eben Bemerkten für eine gewisse Umgebung der Stelle 1 besteht.

Wenn ferner x₀ eine bestimmte negative Grösse ist, so ist für die einer gewissen Umgebung der Stelle x₀ angehörigen Werthe von x die zweite Coordinate der Grösse

^    (_i)» i fx-xX

nz=.i

^ n \ x₀ )

negativ oder positiv, je nachdem die zweite Coordinate von x — x₀ positiv oder negativ ist; man hat daher im ersten Falle

(5.)

log# = log (— x₀) + iti + 2

im zweiten dagegen

(6.)

£ (-l)w 1 fx-x₀\n n \ x₀ ) !

(—l)n_1 fX — X₀S* n \    )'

lo gx = log(—a?₀)~irt + 2

Hiernach kommt, wenn x der Stelle x₀ sich nähert, je nachdem dies von der positiven oder der negativen Seite der Strecke (— 00...O) her geschieht, log# der Grenze log(— #₀) + to oder der Grenze log(— x₀) — iw unendlich nahe. Bezeichnet man die durch die Formeln

log(-x₀) + 7zi, log (— x₀) — iti gegebenen Werthe von log#₀ beziehlich mit

log x₀ und log x₀,

wo dann

ist, so hat man also nach dem Vorstehenden für die einer gewissen Umgebung der Stelle x₀ angehörigen Werthe von x

ft

(8.)

logx = iogî₀+2 LA!—L-L,

n = x    ro \ u,₀ /

wo das obere oder untere Zeichen über x₀ gilt, je nachdem die zweite Coor-dinate von x—x₀ positiv oder negativ ist.

Aus der Definition von logx₀, log^₀ erhellt übrigens, dass beide Grössen innerhalb der Strecke (—00... 0) stetige Functionen von x₀ sind.

Definirt man ferner, für die betrachteten Werthe von x und für einen beliebigen Exponenten m, die Potenz xm durch die Gleichung

(9.)

xm

mlogX — 6 ,

so ergeben sich aus den Gleichungen (3.), (4.) beziehlich die folgenden:

(10.)

Xm —

(m, — l)n

£)

xm

(11.)

es ist also auch xm eine eindeutige analytische Function von x.

Aus den Gleichungen (7.), (8.) aber erhält man, wenn man für eine negative Grösse x₀

(12.)

setzt

(13.)

(14.)

xm =

(î₀)”* = e™\-xX

(KT = «

r+\m _ 2mni/- \w

W₀) - ^ Wo) 1

n = 0    \    •"o    /

—mni

(-*.)"

wo das obere oder das untere Zeichen über x₀ gilt, je nachdem die zweite Coordinate von x — x₀ positiv oder negativ ist. Der Bereich von x, innerhalb dessen die Gleichungen (10.), (11.), (14.) gelten, ist derselbe wie bei den entsprechenden Gleichungen (3.), (4.), (8.).

Endlich erhellt aus der Definition der Grössen

(KT, (KT

dass beide innerhalb der Strecke (—00... 0) stetige Functionen x₀ sind.

von

Nach dem Vorstehenden ist, wenn man jetzt unter t eine unbeschränkt veränderliche Grösse versteht,

(1-0

eine Function, welche für jeden der Strecke (l—(-oo) nicht angehörigen Werth von t eindeutig definirt ist, während sie zwei Werthe hat, wenn t in der genannten Strecke angenommen wird. Setzt man, die Werthe t = 1 und t = 00 ausschliessend und mit p, o reelle Grössen bezeichnend,

log (1-0 = Q + o»,

so hat man

(1-0* = eł9(cosi-a + isin|a) und daher, da 0 in dem Intervall (—    + liegt,

|l+(l-0ł|²- I l-(l-Ołr= 4cłecos|a> 0. Daraus folgt, dass der absolute Betrag von

i—(i— 0 ! + (!-<)*

stets kleiner als 1, und demgemäss die Reihe auf der Rechten der Gleichung (2.) für jeden Werth von t unbedingt convergent ist. Das Letztere gilt selbst noch, wenn man der Grösse t einen der aus-

für t = 1 den Werth 1, und für

geschlossenen Werthe giebt, indem

t — co den Werth —1 hat.

Hiernach ist, wenn man nunmehr ^(0 durch die Gleichung

i+(i-Oł

+(<) =

1—(1—0*

1 + 0-*)

r-Sr.(

* n — o y

definirt, ^(0 eine Function, welche ebenso wie

i+(i—0

- nur für die zwischen

T

1 und +00 liegenden reellen Werthe von t zwei Werthe hat, für jeden andern

Werth von t aber eindeutig bestimmt ist.

Dabei ist zu beachten, dass die

n.

35

beiden Werthe von <[>(£), die zu einem zwischen 1 und + oo liegenden reellen Werthe von t gehören, conjugirte complexe Grössen sind, wie sich aus den Gleichungen (12.) unmittelbar ergiebt.

1-P-O* i+(i-Oł

ferner, dass <p(l) = 1, <j>(°°) = — 1, für jeden von 1, oo verschiedenen Werth

Bewiesenen ergiebt sich

Aus dem eben in Betreff der Function

der Grösse t aber

IHOI <2 rn,

n= o

also

IHOI <¹

ist.

Schliesst man vom Gebiete der Veränderlichen t die der Strecke (l—boo) angehörigen Stellen aus, so ist nach dem Vorstehenden nicht nur (1 — ty eine eindeutige analytische Function, sondern dasselbe gilt auch von den Functionen

! + (!-<)*

und es besteht also die Gleichung (I., (27.))

= *3-(0,ł(0)

deren Richtigkeit für die zwischen 0 und 1 enthaltenen reellen Werthe von t nachgewiesen worden ist, für jeden der jetzt betrachteten Werthe dieser Grösse.

Ist ferner tt ein zwischen 1 und +oo liegender reeller W^erth von t und setzt man, unter x eine positive Veränderliche verstehend,

HO = LinnJj(^ + xi)

x = o

Da nun <J>(£ +x®),

so sind HO. HO die beiden Werthe von cj;(£) für t

yd) sich stetig mit x ändern, und die absoluten Beträge von HO» HO beide kleiner als 1 sind, so erhellt, dass die vorstehende Gleichung auch noch für t = tt gilt, welchen von ihren beiden Werthen man auch der Grösse HO geken mag.

Damit ist nun bewiesen:

Wird die Function <};(£) so, wie im Vorstehenden angegeben worden, definirt, so erhält man für jeden Werth der Veränderlichen t, mit Ausschluss von t = 1 und t = oo, einen die Gleichung

'4(q, g) y

. Ą(V q) )

befriedigenden Werth der Grösse q, wenn man

,    . JL . 47»

i-

l-(l-ć)ł «

i+(i-0ł

setzt, wobei man, wenn t einen zwischen 1 und +oo enthaltenen reellen Werth hat, sowohl den einen als den andern der zugehörigen Werthe von <{>(£) nehmen kann.

Die Coefficienten yn können entweder auf die im Vorhergehenden angegebene Weise oder auch durch folgendes Verfahren berechnet werden.

Nach dem eben bewiesenen Satze ist, wenn man

q = «|,(t) =

• 2 Yn

-KO* = -n

setzt

OO

l + S 7,

4y(v+l)

oder

■n = f

* V = 1

(2V+1) (2V+1)

)•

Ferner ist nach der oben unter (l.) gegebenen Formel für die dort betrachteten Werthe von t

1 = 2 y,nl4m+1.

Hieraus ergiebt sich y₀ = ~ und, wenn man

rin = 2 Y ml

4tt!+l

(n = 0,1,...00)

in — 0

setzt,

Yn+l

= 2 [^r-^2v+lH2v+i)

|47ł+5 1

wobei von der Summe nur diejenigen Glieder in Betracht kommen, in denen

v²<w +1 ist. Mittels dieser Formel erhält man

15

150

Ti 2⁵ *

—    ₂9

Vz — 2¹³

u. s. w.*)

III.

Es soll jetzt gezeigt werden, wie man sämmtliche Werthe von q findet, die für einen und denselben Werth von t die Gleichung

(h)

A(°, 0)

Ą(o,a)

befriedigen. Dazu ist erforderlich, dass man für jede ^-Function alle Werthe des Arguments kenne, für welche dieselbe bei einem gegebenen Werth von q verschwindet. Diese Werthe lassen sich sowohl durch Umwandlung der ^■-Reihen in unendliche Producte (wozu die in den »Fund, nov.« hergeleitete identische Gleichung j

n (!— 2²”) (1 + ç?n~lz) (1 +

M=1

+ oo

= 2 2VV

r = —co

dient) als auch, wenn man nur die von Jacobi in der mehrgenannten Abhandlung entwickelten Sätze benutzen will, auf folgende Weise finden.

Aus der Gleichung**)

Afo-y) ₌ A(y)^(y)A(y) 3⁸Qg) Ą(« + y) ^(y)Ą(« + y)Ą(«-y)

log

$\y) , 1 d

${y) f 2 dx

welche sich im ersten Bande der Jacobi’schen Werke auf S. 536 unter ((!.),'(4.))

*) Die Formel

2 = 2 Vn[-» = o \l

4W+1

! + (!-¥)*

habe ich seit vielen Jahren in meinen Vorlesungen über die elliptischen Functionen gegeben, aber auf eine andere Art wie hier abgeleitet. Wendet man von ihr nur die r ersten Glieder an, so ist der Fehler, den man begeht, dem absoluten Betrage nach kleiner als

' r—l \

y»)*

ér+i

l₊(l_fc²)4

Vgl. die »Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen« von H. A. Sch warz, S. 56. **) Bei den folgenden Formeln ist vorausgesetzt, dass in allen vorkommenden at - Functionen die Grösse g denselben Werth habe.

findet, ergiebt sich, wenn man beide Seiten nach Potenzen von y entwickelt, durch Vergleichung der Anfangsglieder

(2.)

3"(0) ælogĄ(*) _ ^(0)Ą(0)Ą(0)^(a?)

^(0)

dx²

-S' (0) Ą² (x)

Ist nun to irgend ein Werth, für den ^(w) = 0 ist, so folgt aus der vorstehenden Gleichung, dass der Quotient

friO)

&(x)

während aus den Gleichungen (2.), (4.) auf S. 511 a. a. O. erhellt, dass &(se)

Formel für

für x = co jedenfalls verschwindet,

fr»(s)

&(x)

Aus der

für x = to von Null verschiedene, endliche Werthe haben.

fr (g+y)

^(x + y)

(S. 513 a. a. O.) ergiebt sich hiernach

3t(x + o>)    , ^(x)

und man hat also

d² log ^ (x + «>) _ d² log (#)

dx²

dx²

woraus

(3.)

— 2tm

Ą(*)

■Ą(a? + w) = Ce

folgt, wo C, v von æ unabhängige Grössen bezeichnen.

Aus den Gleichungen (2.) und (3.) auf S. 502 a. a. O. erhält man

AO + *) = -ĄO);

setzt man also in (3.) x + tz, x — ilogq, und in (4.) x + u für x, so ergeben sich die Gleichungen

(4.)

^(x — ilogq) = — q~²e

—2xi

AO);

-2m

(# + to + tt) = — e Ą (æ + w + it) = —Ce Ą(* + o>-iloga) = -e“2,’logä.₂-,Ce_2(,'+1)m>₁(*),‘ ^(a: + «> — «log 2) = —6

• Ce

s(*)

— 2im

30*0

—2 un

.₂-¹0e“2(v+1)a5iĄ(a;).

Es muss also sein

— 2vni

—2un

_ -2vlog2 e    j

und somit

wo fi, v ganze Zahlen bedeuten. Umgekehrt ist, wie aus den Gleichungen (4.) leicht abgeleitet werden kann, stets

— iv logg) = 0,

wenn (i, v beliebige ganze Zahlen sind. Aus der Gleichung

—2 vxi

Ą(tu + x) — Ce

ist ersichtlich, dass 4M nicht gleich Null ist, die Gleichung 40*0 = 0 also nur einfache Wurzeln hat. Da ferner

4^ +

tH |<N

— 4 0*0 >

yiog?) = iq~ *e~Xl$(x),

y log ff) = <r*e~Xl$₃(x)

4(* ⁺ T1t

so werden sämmtliche Wurzeln der Gleichungen

40*0 = ⁰

d(x) = 0,

40*0 = 0

beziehlich durch die Formeln

fnc-i^v + y^logg, (f* + y)^-»(v + y)log2

gegeben, und es hat jede dieser Gleichungen ebenfalls nur einfache Wurzeln. Der Werth von log 2 kann in den vorstehenden Formeln beliebig fixirt werden.

Setzt man nun

X ~ 4'(0,î)

f(u,q) =

4(0,2) 4(s>g)

4(0,2) $(*,g)

/iMg) =

3(o,g) 4fo,g) 4(°>g) ^0&,g)

/■.(«» g) =

so sind f(u, q),    ÿ), f₂(u, q) eindeutige Functionen der Grössen u und q,

und es bestehen für dieselben, wenn man

3(0, g) y

3(o, g)/

setzt, nach den Formeln (18.), (23.) auf S. 515, 517 a. a. O. die folgenden Gleichungen:

(7.)

0/~(“,g)

du

= ~f(u,q)f₃(u,q)

àffo,g)

du

#Kg )/*»(«, g),

/z(0, g) = 1.

fi(P, q) = ¹

Beschränkt man die Veränderliche u auf eine gewisse Umgebung der Stelle 0, so können f(u, q), f₁(u₁ q), f₂(u, q) in der Form gewöhnlicher Potenzreihen dargestellt werden. Die Coefficienten dieser Reihen ergeben sich aus den Gleichungen (7.), und zwar als ganze rationale Functionen der Grösse t, in denen die Coefficienten rationale Zahlen sind. Wenn es daher zwei Grössen q, qx giebt, zu denen derselbe Werth von t gehört, so erhält man für f(u, qj, ft(u, qj, f₂(u, qx) dieselben Reihen wie für f(u, q), f^u, q), ft(u, q), woraus sich in bekannter Weise folgern lässt, dass für jeden endlichen Werth von u die Gleichungen

(8.) f(u,qt) = f(u,q), fM^i) = /i(w,g),    /,(**, g,) = £(«, g)

gelten.

Nun wird nach dem Vorhergehenden

(9.)

f(u,q) = 0 für u = (fiTT— vilog q) 3²(0, q)

((#* + y) ¹¹ “ vi lo& g) 3² (°, q)

(l™ - (v + — ) i log qj 3²(0, q)

f^u^q) — 0 für u =

f(u, q)

= 0 für u —

((#*+y)¹¹ ~ (v+y)* log q) 3² (°, g)

jf,(w,g) == 0 für u =

wenn unter ft, v beliebig anzunehmende ganze Zahlen verstanden werden. Zugleich gilt, dass jede der vorstehenden vier Functionen nur für die angegebenen Werthe von u verschwindet.

nun

In Folge der Gleichungen fx{u, q) = fx(Uj qj, f(u, q) = f(u, ^) wird

/*,(«, 2) = 0 auch für u = y3²(0, gj

und

= 0 auch für u =

îjio gqt',

es müssen sich, also vier ganze Zahlen a, ß, y, ö so bestimmen lassen, dass

*4* (Mi) = Ą'(0,2).((2a+l)«-2^tlogg)

= Ą*(0, g).(2yir —(2tf + l)tlogg)

ist. Aber ebenso muss es vier ganze Zahlen a\ ß\ y\ ör geben, für welche die Gleichungen

f(u, q)

(10.)

(11.)

= 4²(°> &) • OV +l)iz-2ß'i log qt) -i3?(0,q)lo gq = ^(0,q₁).(2y,ic-(2d'+l)ilogqt)

gelten. Aus diesen vier Gleichungen ergiebt sich, wenn man

setzt

s = (2a'+ l)(2d'+ 1) — 4/3'y'

-S?(0) s) • ^2« + 1

•Ą,(0,j).((2j' + -^)ir-(2J + l

²“_hi)ilogg)

= 0;

diese Gleichungen können aber, da *0(0, q) und der reelle Theil von logg stets von Null verschiedene Werthe haben, nur bestehen, wenn

2a+ 1 =

2<T+1

2ß = -

2ß'

2y = —

2y'

2tf + l =

2a'+l

ist; folglich muss

also

£ == ± 1

sein.

(2<x + l)(2d+l)-4:ßy = y,

£

(2a + l)(2d + l)-4j8y = ±1

Aus (11.) ergiebt sich nun 2d + l,

(12.)

2 y+ ^--logg

²P

2a + l + -^-lo gq

Damit g, qx dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 seien, ist erforderlich, dass die zweite Coordinate von ■— logq sowohl als von -K\ogqi positiv

ist, und das Letztere findet in Folge des Ersteren nur statt, wenn

(2a + l)(2d + 1) —4/?y

einen positiven Werth hat. Es muss also

(13.)

(2a + 1) (2d + 1) - ±ßy = 1

sein.

Nimmt man nun q — <[»(£), so ^ durch das Vorstehende bewiesen: Bedeuten a, ß, y, â ganze Zahlen, unter denen die Belation (13.) besteht, so sind alle für einen gegebenen Werth von t die Gleichung

A(Q>g)\⁴

befriedigenden Werthe von q in der Formel

2iym + (2d +1) log ^ (t)

(2a + l)TO + 2ßlog^(i) ~l

enthalten. Dabei sind jedoch die Werthe t — 0, 1, oo auszuschliessen.

Es bleibt aber noch zu untersuchen, ob man durch diese Formel, wenn man in ihr für a, ß, y, d beliebige, der angegebenen Bedingung genügende ganze Zahlen setzt, stets einen die in Bede stehende Gleichung befriedigenden Werth von q erhält. Dass dies wirklich der Fall ist, lässt sich leicht durch die Theorie der sogenannten linearen Transformation der H-Functionen begründen, kann aber auch bloss mit Heranziehung der Formeln, mittels welcher sich die elliptischen Functionen des Arguments ui und des Moduls k auf die Functionen des Arguments u und des Moduls k' = \Ji — k² zurückführen lassen, nachgewiesen werden. Dies will ich im Folgenden ausführen.

IV.

Mit Zuhülfenahme der aus den Gleichungen (III., (6.)) und aus den in der Jacobi’sehen Abhandlung auf S. 511 unter (D.) zusammengestellten Formeln sich ergebenden Belationen

H.

fî(u, q)+ />, q) = 1

/>, q) + tP(u,q) = i

fra(0,g)\⁴

«8(0,2)'

36

leitet man aus den Gleichungen (III., (7.)) die folgenden ab:

d f(u,q) ₌ fa(u, g)

du f\(u, q) fl{u, q) du j\(u, q)

= (!-0

fl(u, q)

d /;(M,g)

du f\(u,q)

Setzt man in diesen Gleichungen ui für u, q für q und bestimmt q

so, dass

MhAX

3,(0,*))

MiïïX

3(o, q))

ist, so ergiebt sich

/;(«*, q')

A f(ui' _ __________________

f(ui, q)

wo die Grösse £ dieselbe Bedeutung hat, wie in den Gleichungen (III., (7.)), so dass also diese bestehen bleiben, wenn man in ihnen an die Stelle von

f(u,q), f, (u,q),    f₂(u,q)

beziehlich

A(ui, q')

f(ui, q)

ft(™, q’)

setzt. Daraus folgt, wenn man die Schlüsse wiederholt, mittels welcher im Vorhergehenden die Gleichungen (III., (8.)) begründet worden sind, dass die letzteren Functionen mit den ersteren identisch sind. Man hat also

f(ui, q')

f(u,q) =

\    /»(*♦» g) =

f*(u, q) =

aui,q') f₂(ui, q)

fx(ui,q ) ’

wenn die Grössen q₎ q durch die Gleichung

(2.)

Ą(o,a)y

Ą(o,a)/

AMY- i Ą(o, a')/

mit einander verbunden sind.

man der Grösse t irgend einen reellen, zwischen 0

wenn

Es möge jetzt unter £ wieder eine unabhängige Veränderliche verstanden, und die Function, in welche 3₃*(0, q) durch die Substitution q— <[»(£) übergeht, mit F(t) bezeichnet werden. Dann ist, wie aus den Formeln (III., (9.)) erhellt,

und 1 enthaltenen Werth giebt und q — <p(ż), q = «J>(1 — nimmt, der kleinste positive Werth der Grösse u, für den f(u,q) —0 ist, gleich ttF(t), und der kleinste positive Werth derselben Grösse, für den f(ui, q) verschwindet, gleich — _F(1 — £)log^(l —£); und es besteht also in Folge der Relationen (l.) die Gleichung

(3.)

•uF(t) — — F(l — t) log ^(1 — t) aus der dann, wenn man 1 — t für t setzt,

( )    TzF(l-t) =

( )    log 'KO log^(1 0 = folgt.

Jetzt bedeute t eine Grösse, welcher nur solche complexe Werthe, deren zweite Coordinate positiv ist, beigelegt werden sollen. Ferner mögen (wie es in den »Formeln und Lehrsätzen« geschehen ist) die Functionen, in welche durch die Substitutionen

VTZ

rizi    */—    4 tit i

q = e , \Jq = e übergehen, beziehlich mit bezeichnet werden. Dann ist jede der letzteren Functionen eine eindeutige analytische Function der von einander unabhängigen Veränderlichen v, x, wofern man das Gebiet von x so, wie angegeben worden, beschränkt, während v jeden Werth, mit Ausnahme von oo, annehmen kann.

Man gebe nun der Grösse x zunächst irgend einen Werth, dessen erste Coordinate gleich Null ist, so dass 4 einen reellen, zwischen 0 und + oo enthaltenen Werth hat und somit, wenn man

T7Ï i

Ą(q. g) y

Ą(0, q))

Ą(0|t)V

Ą(0|x)J

Daraus folgt

setzt, t, q beide reell und zwischen 0 und 1 gelegen sind. xixi = logcp^), weil einem reellen, zwischen 0 und 1 enthaltenen Werthe von t, wie in (I.) gezeigt worden ist Werth q und diesem nur ein Werth von x, für den 4 reell ist, entspricht. Setzt man nun xW — log 4(1 — £), so ist nach Gleichung (5.) xx' = — 1 und nach Gleichung (4.)

nur

ein demselben Intervall angehöriger

S(«K) =73(01-4)

Ferner hat man

3/(0 |x) _ 3/(0 |x)

Ą‘(o I Tj - 3,*(o jx)’

also

3/(0 |x) =

und somit auch

4⁴(0|t) =

Da nun Ą(0|x), Ą(o| —u. s. w. sämmtlich positive Grössen sind, so ergiebt sich

Ą(oh) = (f) 3,(o l-i)

(6.)

Ą(0|x) = [i

Ą(0|t) =

Diese Gleichungen sind hergeleitet unter der Voraussetzung, dass j einen zwischen 0 und +00 enthaltenen reellen Werth habe. Da aber alle vorkommenden Functionen eindeutige analytische Functionen von x sind, wenn der Werth, von j so, wie in (II.) angegeben worden, fixirt wird, so ist durch das Vorstehende die Richtigkeit der Gleichung für jeden Werth, den x annehmen kann, bewiesen.

Aus den Ausdrücken der ^-Functionen ergehen sich ferner unmittelbar die folgenden Relationen:

(7.)

4 (o IT + i)

4(«4) =

4(°4) = ^_'"4(°It + ¹)

4(o 4) -    4(o|r + i).

Aus (7.) erhält man nun weiter:

(8.)

4 (° 4 +²)

4(0 4) =

4(0 4) = -»4(0 4 + 2)

4(° 4) =    44 4 + 2).

die ^--Functionen auf der rechten Seite 4—2j und diese dann in Functionen von

Ferner aus (6.), wenn man zunächst in Functionen von

—4- verwandelt,

1 + 2t

1 + 2t

1 + 2t

(9.)

Setzt man

für x in (8.) x —2 und in (9.) ₁ J2x,

so

ergiebt sich weiter :

(10.)

4(o 4) = 444-2) 4(o4) = »4(° 4-2) 4(0 4) = 4G4-2);

--'(-r=îî)V0|rä

4(° 4) =

4(o4) =

Aus diesen Gleichungen (7.) bis (11.) leitet man nun die folgenden ab, in denen g₎ h beliebige ganze Zahlen bedeuten:

(12.)

Am

A(0|x)

A(Qh) : A IT)

A(o|t)

3(0[0

A(o !T + 2#)

A(0|t + 2 g)

Ab

ą(o|

= i~9.

A(° l T) _ A(01t + 2ff)

A(0 | t) A(0 lT+ 2^)

1 + 2hx

1 + 2hx

ą(°I

2(7+ t

1 + 4gh -f- 2hx

A(o|t)

Ą(0|t)

Am

= ih•

Ab

1 + 2hx

^ (° ' 1 + ‘ihr )

3(o|

2g+ t

1 + 4gli + 2hx

3(01*)

= ih-

A°i

A(° !

1 + Agh + 2hx

2g+ t

1 + 4gh -f 2hx

Angenommen jetzt, es seien a, b, c, d vier gegebene ganze Zahlen, unter denen die Relation ad — bc — 1 besteht; 6 und c seien grade, a und d also ungrade. Man setze in den beiden letzten der vorstehenden Gleichungen

c + dx

a + bx

für t , und —g, —h für g, h ;

dadurch erhält man, wenn man ct = c—2ga,

d₁ = d — 2gb

ox = a— 21ict,

bt = b — 2hd₁,

T2 =

setzt

A(°k) _ ,a A(0|t₂)    A(°k)

A(o|tj ’ A(°k) ’    A(°k)

= i'h-

A(Qlb)

A(° I x₂)

Es ist aber, wenn man mit s diejenige der Zahlen 1 welcher a mod. 4 congruent ist,

• EC

— 1 bezeichnet,

eci

₂    Y^⁹ (mod-⁴)>

ferner, in Folge der Gleichung ad—bc = 1, d = a (mod. 4) und somit dt = d = £,

= h (mod. 4). z

man

Folglich hat

£C

(13.)

2 A(0[b) A(°k)

£CX

zb

2 a(o[t₂)    . 2 Am) _

A(°k)

£&I

A I T2 )

2 A(ok)

’ A(o|t₂)

Zugleich besteht unter den Zahlen bx, cx, dl die Gleichung axdx — bxcx = 1 und es ist

ax = a = e (mod. 4).

Hieraus folgt nun sofort weiter:

Setzt man, unter g, h,    g₂, \ u. s. w. beliebig anzunehmende ganze

Zahlen verstehend, cx = c — 2ga, c₂ = c₁-2g₁a₁,

cs =

dx = d — 2gb, d₂ = d₁—2g₁b₁, d₃ = d₂ 2g g b ₂,

ax = a — 2hcx, a₂ = ax—2hxc2 as = «2 - ²K C3

b₁ — b — 2hdli b₂ = bx — 2hxd₂, b₃ = b₂-2h₂d₃,

u. s. w.

und

T2 =

TS =

«₂ + 6₂t

T4 =

a₈ + ⁶8T

u. s. w.

so sind 6l5 cl5 6₂, c₂, &₃, c₃ ... grade, al5 d1? a₈, d₂, a₈, d₃ ... ungrade Zahlen, unter denen die Gleichungen

a₂d₂—b₂c₂ — 1

axdx—bxcx = 1

bestehen, und es ist

EC

ec₂

sc₃

~~2

Ą(0|Tf) _ , 2 Ą(0|x.) __ . 2 3(0 1 O ₌

’3(oK) - '

Ł 3(0 K) _

3(°It₂)

E&s

J-P J-P

£b.

3(⁰lTa)

' 3(°ITJ

Ist nun b nicht gleich Null, so bestimme man g, h so, dass |dj < | b

bx\<\dx \ tund somit

was

immer angeht, die Zahlen

IM<H

wird. Ist dann auch b₁ von Null verschieden, so bestimme man weiter gx) hx so, dass ferner, wenn auch ba von Null verschieden ist, g^ \ so, dass wird, u. s. f. Auf diese Weise verfahrend gelangt man nothwendig zu einem Aus

druck t , in welchem b

= 0 ist. In Folge der Gleichung ar_ldr_x— bf icr_x = 1,

und weil a, a , a₂, ... ar_r sämmtlich = £ (mod. 4) sind, ist dann a = e, dri xr=£Cr_l+T, folglich (nach (12.))

£C₄-_i

2    3(0 ]t,)    3(0|t)

3(0 T,)    3(0|t)

3,(0 K) ₌ 3(0 L)

3(0|tr)    3(0|t)'

So ergiebt sich schliesslich

ec

E&

(14.)

4(°K) _ J 4(o 1T) - ■ ■ •    4(o It)

4(° k)

4(°lh) _ •    2    Ą(0[t)

4(010    ’ 4(°It)

wenn man

Aus der ersten dieser Gleichungen folgt

nimmt,

/4(oK)\4 \4(°k)/

oder

(15.)

3,(0,a)y 3(°,î)/

wenn

(16.)

m + dlogl}^) . ani + b log 4¹ (t)

gesetzt wird. Damit ist das am Schlüsse des § III Behauptete bewiesen, und kann nunmehr der dort aufgestellte Satz bestimmter folgendermassen aus

gesprochen werden:

Für jeden gegeben

en Werth der Veränderlichen t giebt es unendlich viele Werthe der Grösse q, die der Gleichung

4(°» g) V 4(°, g)/

Formel

'genügen; dieselben werden sämmtlich durch die

• ni

2yni+(28+ 1) log<HQ „ _ „(2a + l)iti+2^1ogtj;(0 1 — e

geliefert, in welcher a, ß, y, â ganze Zahlen bedeuten, die der Bedingung

(2a + 1) (2ä + l)-4ßy =1

genügen müssen, einer weiteren Beschränkung aber nicht unterworfen sind. (Der Werth des Logarithmus von KO in der vorstehenden Formel kann beliebig fixirt werden.)

y.

Giebt man nun der Grösse q irgend einen der Werthe, die sie nach der vorstehenden Formel annehmen kann, wenn man t = k² setzt — wobei die singulären Werthe k² — 0, 1, °o auszuschliessen sind —, so hat man

4.(0, g) 4fo,g)

4(o,g) 4(:Lg)

4(o,g) 40*ög)

4(0, q) 2(x,q)

4(0, q) 40*0 g)

4(°, g) 4(a?,g) J

sin am (u,k) —

(1.)

cos am (u,k) =

À am (m, ä) =

wo

(2.)

* “ 4²(°, g) *

In dieser Form dargestellt erscheinen sin am (u, k), cos am (u, k), A am (u, k) als eindeutige Functionen von u und q, indem die in 4(^? q), 4(4? g)? 4(0? g) vorkommende Wurzelgrösse \fq sich weghebt. Drückt man aber durch k² aus, so wird

g) ^o(0,g) «-3(0,2) ’ »s(0,q)

i 4 folg)

y/F ’ 4(a,g)

yi-F 4(a?,g)

’4(æ,g)

4fo,g) .

4(æ,g) ’

es bleibt jedoch noch zu ermitteln, welche Werthe man den Wurzelgrössen \[W, \/l — Je*, \fq beizulegen hat. Dazu sind noch einige, die Functionen K0> log(j;(0 betreffende Erörterungen erforderlich.

Scheidet man von dem Gebiete der Veränderlichen t die der Strecke

(1----f- 00) angehörigen reellen Werthe aus, so ist K0 eine eindeutige und

continuirliche Function von £, welche ausserdem, dass ihr absoluter Betrag beständig kleiner als 1 ist, die folgenden Eigenschaften besitzt:

/ sin am (u, k) =

(3.)

cos am (u,k) =

Aam(w,it) = y^l — k² •

n.

37

1.    Sie hat einen reellen oder imaginären Werth, je nachdem t reell oder imaginär ist.

2.    Im ersteren Falle stimmt ihr Zeichen mit dem Zeichen von t überein.

3.    Für jeden imaginären Werth von t hat ihre zweite Coordinate dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t.

Das Erste ergiebt sich unmittelbar aus den Gleichungen

n = o \

3(Q. t«»V -Ą(<>,m)    v( ) l

4W+1

1+ (!-<)*

i + ^²(C + 4|6(0 •••

1 +    + 2<J/(*) + •••

-)■

von denen die erste zeigt, dass fy(t) für die der Strecke (—oo... 1) angehörigen reellen Werthe von t ebenfalls reell ist, die andere aber lehrt, dass umgekehrt, wenn c[»(£) einen reellen Werth hat, auch t reell ist und somit, unter der gemachten Annahme, zwischen — oo und 1 liegt. Aus der zweiten Gleichung erhellt ferner die Richtigkeit des unter No. 2 Angegebenen. Das Dritte aber wird so bewiesen.

— ~ i, also

Für t = 1 + i ist log (1 — 0 =

1 -(1 -0* _ 1-e 8 ! + (!-*)*

TZ . ^

TZ .

X- l

= itëTê’

l + e

und somit, da die yn sämmtlich positive Zahlen sind, fy(t) gleich dem Pro-ducte aus i und einer positiven Grösse. Von dem Werthe 1 + i aus kann aber t stetig sich ändernd zu jedem anderen complexen Werthe tx1 dessen zweite Coordinate positiv ist, übergehen, ohne dabei einen reellen Werth anzunehmen; die zweite Coordinate von c[»(0 ändert sich bei diesem Übergange stetig mit £, ohne den Werth Null anzunehmen (No. 1) und ist also für t = ebenso wie für t — 1 + i positiv. In ganz ähnlicher Weise wird gezeigt, dass <K0 für t = 1 — i gleich dem Producte aus i und einer negativen Grösse ist, und daraus die Übereinstimmung des Zeichens der zweiten Coordinate von jj(t) mit dem Zeichen der zweiten Coordinate von t auch in dem Falle, wo die letztere negativ ist, gefolgert. Übrigens ergiebt sich aus der oben festgesetzten Bedeutung von (1 — 0* und aus No. 1, dass conjugirten complexen

Werthen von t auch conjugirte complexe Werthe von (1 — t)* und von <]>(£) entsprechen, und es daher genügt, die unter No. 3 angegebene Eigenschaft der Function <]j(0 für Werthe von t, deren zweite Coordinate positiv ist, nachzuweisen.

Hierzu ist noch Folgendes zu bemerken: Setzt man

?(0 =

so ist

¹ + ? 00 / ’

dass der

und es lässt sich mit Hülfe dieser beiden Gleichungen zeigen Function cp(t) die unter No. 1 bis 3 angegebenen Eigenschaften ebenfalls zukommen; es braucht dazu in der vorstehenden Beweisführung nur überall <p(t) statt <[;(£) gesetzt zu werden.

Nach dem Vorstehenden sind nun, wenn man von dem Gebiete der Veränderlichen t auch die der Strecke (—00...O) angehörigen reellen Werthe ausscheidet, nicht nur cp(ć), ^(0? sondern auch

log cp (0, k>g<K0

eindeutig definirte und continuirliche Functionen von t. Aus der obigen Gleichung (II.)

*n

-log2 + i! ßntn

S vJn = e

ergiebt sich aber, wenn man <p⁴(t) für t setzt

und hieraus

logł(0 = iog^cP(0) + xw2ii³«?⁴”(0 + ²^

== 1

wo m eine ganze Zahl bedeutet, die innerhalb des jetzt der Grösse t angewiesenen Gebietes, der Stetigkeit der Functionen <p(t), log(}cp(t)), log<j>(£) wegen, nicht verschiedene Werthe haben kann. Für jeden zwischen 0 und 1

enthaltenen reellen Werth von t sind aber die genannten Functionen alle drei reell und somit m — 0; es gilt also die Gleichung

(*•)

log ^ G) = log^

1 1 — (1 _

/    V i-V 4W

i (i 0T\

l + (l-0

*/ \1 + (1-0T

für jeden der nicht ausgeschlossenen Werthe von £, unter der Bedingung, dass die Werthe der Logarithmen so, wie in (II.) festgesetzt worden ist, bestimmt werden.

Giebt man ferner der Grösse t einen zwischen 1 und + oo enthaltenen

reellen Werth, so bleibt die vorstehende Gleichung gültig, wenn man der Potenz (1 — ty den einen oder den andern der beiden Werthe, die sie alsdann annehmen kann, und zugleich der Function ty(t) den entsprechenden Werth beilegt.

Für einen negativen reellen Werth von t endlich hat man

Lim log (t ± h) = log (— ^ (t)) ± ni,

Lim log cp (t ± h) = log (—<p(t)) ± ni

(wo x eine positive Grösse bedeutet), und somit

(5.)

log (-'KO) = iog|-

² i + (!-0

,    v JLi 471

i + (i—o

Dies vorausgeschickt, definire man nun die Werthe der Potenzen

♦ (**)*

(Ił)

(l-*²)

so, wie in (II.) festgesetzt worden ist; dann ergiebt sich, zunächst unter der Voraussetzung, dass weder k² noch 1— k² einen der Strecke (— 00...O) an-gehörigen reellen Werth habe, aus den Gleichungen

i³ =

3.(0,

i-ł? =

3(o, *(*•)) V 4(o,W)P

wenn man der in 3,(0, <},(&')) yorkommenden Wurzelgrösse y0|i(Ä;!) den Werth ^(F)¹ beilegt,

(6.)

(*T =

3,(0, <!>(**)) 3,(0, «*’))

,,    3(0, ł(ł»))

¹    ' “ 3.(0, +(*■)) '

Denn diese Gleichungen bestehen, wenn k² eine zwischen 0 und 1 enthaltene Grösse ist; sie gelten also, da (F*)⁴, (1 — &²)⁴, 3₂(0, <J>(ft²)), 3₃(0, cf(ft²)), 3(0, ty[k²)) sämmtlich eindeutige analytische Functionen von k² sind, wenn vom Gebiete dieser Grösse die den Strecken (— oo---0) und (1—|-oo) angehörigen reellen Werthe ausgeschlossen werden, auch für jeden complexen Werth von k².

Da ferner die zweite Coordinate von <j;(Ä;²) nach dem Obigen dasselbe Zeichen hat wie die zweite Coordinate von k², so nähert sich

log 'K&²) — log (k?)

wenn k² einem reellen negativen Werthe unendlich nahe kommt, einer reellen und somit

w* (Vf

einer positiven Grenze; die erste der Gleichungen (6.) bleibt daher auch für einen negativen Werth von k² gültig, unter der Bedingung, dass man

l_    _

nach Fixirung des Werthes von (k²y der Wurzelgrösse \f^(k²) denjenigen ihrer Werthe gebe, für den

VW)

Die zweite der Gleichungen (6.) behält ebenfalls

eine positive Grösse ist. für einen negativen Werth von k² ihre Gültigkeit, indem für einen solchen Werth c[>(&²) reell und daher 3(0, <j>(ft²)), Ą(0, cjj(ft²)) ebenso wie (l — ft²)⁴ positive Grössen sind.

Für einen zwischen 1 und +oo liegenden reellen Werth von k² endlich bleiben die in Rede stehenden Gleichungen gültig, wenn man nach Fixirung des Werthes von (1 — k²y den zu diesem gehörigen Werth von ty(k?) nimmt.

Hiernach bestehen die obigen Gleichungen (3.), wenn man die Werthe der Wurzelgrössen yOfc⁵, \Jl — k² so fixirt, dass in jeder von ihnen die erste Coordinate positiv und ihrem absoluten Be-

trage nach nicht kleiner als die zweite ist,¹) ferner

q = ^(1?)

= V y / ¹_VA—ft¹

nù/n\l + yi

4«+l

setzt und endlich auch den Werth von \Jq so bestimmt, dass seine erste Coordinate positiv und ihrem absoluten Betrage nach nicht kleiner als die zweite ist, wobei in dem Falle, wo Je² und somit auch q einen negativen Werth hat, die Bedingung zu erfüllen ist, dass

-A=- eine positive Grösse sein muss.

Man setze ferner, unter Beibehaltung der im Vorstehenden bestimmten Werthe der Grössen y^, yü — #², <J;(1V) und nach Annahme von vier, der Bedingung

(2a + 1) (24 + 1) - Aßy == 1

entsprechenden ganzen Zahlen a, ß, y, ä,

ÇL =

'i =

2y+(2d + l)r

2a + 1 + 2ßz

gleich dem im Vorher-Dann ist, den Gleichungen

wobei in dem Falle, dass Je² eine negative Grösse ist, dem log4»(&²) derjenige Werth beigelegt werden muss, für welchen e¹logv^ ^ gehenden bestimmten Werth von ^(ä²) wird.

(14.) des vorhergehenden Paragraphen zufolge, wenn unter e diejenige der Zahlen 1,-1 verstanden wird, der 2a + lmod. 4 congruent ist,

3,(0 K)

4(°lTl)

3₂ (o 1 t)    3₀(o I xt)

3,(0Jt) ’    Ą(0|tJ

-tß 3,(0 1t)

* 3,(0 It)¹

Man hat daher

(8.)

3,(0, q) = 3,(0, q)

itYyw,

3(0 ,q)_

3,(0, q)

yl — ft²

und die Gleichungen (1.) gestalten sich folgendermassen:

i~zy Ą(x,q)

\J¥ ' ^0&,2)

r,p-eyyi=F A(g,2)

■^(®»2)

sin am (w, &) =

cos am (m , Je) =

V/ä²

(9.)

* ~ 4’(0,a)

2y^ + (2^ + 1) log ^(Æ²) rz 4/—_ ^ (2a4-l)Tti + 2^1og4l(fc²)    4

Vervollständigung der von Jacobi

Hiermit ist die Aufgabe, welche zur in der mehrgenannten Abhandlung entwickelten Theorie der elliptischen Functionen noch zu lösen war, im Wesentlichen erledigt. Es bleibt aber

noch Eines auszuführen.

Die unendliche Reihe, durch welche die Function <[>(£) ausgedrückt ist, convergirt nur schwach

also t einen wenig von 1 verschiedenen Werth hat. sentlicher Bedeutung, dass sich, wie jetzt gezeigt werden soll, aus der in Rede stehenden Reihe andere Ausdrücke von <|>(£) herleiten lassen, von denen, welchen Werth auch t haben möge, immer einer wenigstens zur Berechnung von <};(£) sehr wohl sich eignet.

wenn

der absolute Betrag der Grösse 1 — t klein,

Es ist daher von we-

VI.

Unter der Bedingung, dass vom Gebiete der Veränderlichen t die der gehörigen reellen Werthe ausgeschlossen werden, ist <|;p)

Strecke (1 • • • + oo) an nicht nur, wie im vorhergehenden Paragraphen gezeigt worden, eine eindeutig definirte und continuirliche, sondern auch eine überall regulär sich

wenn man beachtet, dass in

ver

haltende Function.*) Dies erhellt sofort, dem Bereiche, auf den durch die angegebene Bedingung die Veränderlichkeit

*) Ich sage von einer eindeutig definirten Function einer Veränderlichen t, dass sie sich in der Nähe eines bestimmten Werthes t₀ der letzteren regulär verhalte, wenn sie sich für alle einer gewissen Umgehung der Stelle t₀ angehörigen Werthe von t in der Form einer gewöhnlichen Potenzreihe von t—t₀ darstellen lässt.

- eine eindeutig definirte und reguläre Function ist, und dass die Potenzreihe von cp(£), durch welche <p(£) dargestellt

von t beschränkt wird, cp(£) =

wird, in der Nähe jedes bestimmten Werthes von t gleichmässig convergirt.

Scheidet man ferner von dem Gebiete der Grösse t auch die negativen reellen Werthe aus, so kann in dem Bereiche, auf den dann die Veränderlichkeit von t beschränkt ist — derselbe möge mit T' bezeichnet werden —, weder verschwinden noch einen negativen reellen Werth erhalten; es ist also in diesem Bereiche auch log^(^) eine eindeutig definirte und reguläre Function.

Aus dieser Eigenschaft von log cp(t) ergiebt sich nun, dass die in (IV.) unter der Voraussetzung, dass t eine zwischen 0 und 1 liegende reelle Grösse sei, begründete Gleichung

(1.)

log^KOiog'K¹—0 =

für jeden dem Bereiche T' angehörigen Werth von t Gültigkeit hat.

Da nämlich nicht nur logcp(^), sondern auch logeai — t) in T' überall regulär sich verhält, so lässt sich, wenn t₀ irgend ein bestimmter Werth von t ist, in einer bestimmten Umgebung von t₀ der Ausdruck

log'KOiog'Ki-O-«*

in der Form einer Potenzreihe von t —1₀ darstellen. Nimmt man t₀ in der Strecke (0...1) an, so sind die Coefficienten dieser Reihe, weil es dann in jeder Nähe von t₀ Werthe der Grösse t giebt, für welche der vorstehende Ausdruck verschwindet, nothwendig alle gleich Null; dies muss also, da der Bereich T' ein Continuum ist, nach einem bekannten functionentheoretischen Satze auch für jeden anderen Werth von t₀ der Fall sein, und somit die Gleichung (1.) an jeder Stelle von T' bestehen.

Es ist ferner, da die zweite Coordinate von ^(0 dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t hat,

iog<K0 = iog(-<K*))±tw,

wo das obere oder das untere Zeichen vor i gilt, je nachdem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist. Da nun log (— cp (jÇ)) in der Nähe eines jeden negativen reellen Werthes von t sich regulär verhält, so er-

log <]>(*) = log (—<K0) + ^ iog^(0 = iog(—»KO)-^

giebt sich

(2.)

für jeden negativen reellen Werth von t.

Mit Hülfe dieser Formeln erhält man aus Gleichung (1.) für einen reellen Werth von t, der > 1

(3.)

iog<K#) =

TT²

l°g(— F(! — 2f)) —«Tr

iog<KO =

TT²

log (— di (1 — t)) + in

Man nehme jetzt an, es habe die Grösse t einen imaginären Werth, und verstehe unter e die Zahl 1 oder —1, je nachdem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist. Dann verwandelt sich

1—(1-0

wenn man

1 — t für t setzt, in

l-y

l-l-

t-iy

1 + tl

1+1-

t-iv

man hat also

+0-0 = -+(++)

woraus

(5.)

— tin.

Die Gleichung (1.) ferner verwandelt sich, wenn man in ihr

t-1

für t

setzt, in

(6.)

i°g+(iT¹)iog+(j)

= TC².

Setzt man dann in (5.) -j¹- für t und beachtet, dass die zweite Coordinate von dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von t hat, so kommt

l08+(j) = loS+(i37-)

(7.)

— ehe.

II.

38

Endlich ergiebt sich aus (J.), wenn man

l-t

für t setzt

(8.)

1osHt=t)1os+(t=t)

= TC².

Die Gleichungen (l.), (5.), (6.), (7.), (8.) führen nun zu den folgenden, in denen auf der Rechten vor i das obere oder das untere Zeichen gilt, je nachdem die zweite Coordinate von t positiv oder negativ ist:

logł(*) =

7T²

log^(l-ć)

7T²

log<K0 =

(9.)

log^(0 =

*logł(-y)

71 + ïlog^yj

log ^ (0 =

7T²

+ in

± in.

i°g^(0 = los^(jér)

Die Moditicationen, welche diese Gleichungen erfahren, wenn die zweite Coordinate von t verschwindet, sind nach dem Vorhergehenden leicht zu ermitteln.

Jetzt denke man sich in der Ebene der Veränderlichen t einen Kreis (L₀) mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt 0, einen zweiten Kreis (LJ mit demselben Radius und dem Mittelpunkt 1 beschrieben und durch die

TZ i

Durchschnittspunkte von (LJ, (LJ, in denen t die Werthe e ³ , e unbegrenzte Gerade (LJ gelegt. Dann wird durch diese drei Linien die Ebene in sechs Stücke (T₀, T ,... TJ zerlegt, in der Art, dass die Strecken

Tzi

3“

hat, eine

ts2 M-

tH

(1-2),    (2 h oo),    (-00...-1),    (-I-O)

liegen.

?ti

e3

L2

fl

— CSO

-T-

4L-

3 +oo

-KL

e3

so

Ordnet man jedem Werthe von t zwei andere t\ t" zu mittels der Gleichungen

t + f = 1

entsprechen Werthen von t in

tt" = 1

T„, T„ T„ T„ T„ Ts

Werthe von t' beziehlich in

Tlt T₀, T„ T„ T„ Tt,

und Werthe von t" beziehlich in

Daraus ergiebt sich dann leicht der folgende Satz : Liegt t in

T    T    T    T T

Xl!    -t2î    -La >

so liegen beziehlich

1 -t

t-1    1

t-1

beziehlich in

T₀, Tt, T„ T„ Té, T,

in T₀.

Nach den unter (9.) zusammengestellten Formeln lässt sich also die Berechnung von <{;(£) für jeden gegebenen Werth von t zurückführen auf die Berechnung derselben Function für ein dem Bereiche To angehöriges Argument.

Für reelle Werthe von t kommen dann die folgenden Formeln zur An

wendung :

—... i

log KO =

t:²

t — 1 ... 2

log'KO =

TT²

l°g + (V-)

logKO =

71*

— Ï7T

log ł(V-)

+ MT

(10.)

t — 2 •. • + oo

logK*) =

Tt-ilog^y^

log KO =

*1° g^(y)

7C + *log<j/(y)

t — — OO •

••-1, logK*) =

7t²

logł^)

+ Î7T, log KO =

t ==— 1 ... 0

logK*) = iog^THY”)

+ in

log KO = log^T^r)-^.

Es bleibt nun noch zu untersuchen, welches der grösste Werth ist, den der absolute Betrag von

KO =

annehmen kann, wenn die Grösse t auf den Bereich T₀ beschränkt wird.

Wie bekannt, gehört dieser grösste Werth zu einem an der Grenze von Tq liegenden Werthe von t. Die Grenze von To aber wird gebildet von der

Kt

zwischen den Punkten e

, e ³ liegenden Strecke der Geraden Jb₂ und dem von denselben Punkten begrenzten und durch den Punkt 0 gehenden Bogen des Kreises Lx.

Setzt man, unter w eine reelle Grösse verstehend

ici

e +1

so durchläuft t die Gerade X/₂, wenn w dl°g l<p(*)l

die Strecke (— tc • • • + tc) durchläuft.

Dann ist

dw

gleich dem reellen Bestandtheil von

d log <p(t)

dw

also, da

(B*

dw ’

wi

l — t ==

dlogt

„ w ’ 2 cos —

£

dw

= — ite

wi

= -*(i-o

d\y(t)

dw

yl?(0l*((²COSy)

sin —

+ (2 cos - -j

-I

sin — •

Innerhalb der Strecke (w = — tc••• + tc) wird |cp(ć)| weder gleich Null noch

d\<p(*)|

für w = 0 und ist positiv, wenn

unendlich gross; es verschwindet also w zwischen 0 und tc, negativ, wenn w zwischen 0 und — tc liegt. Der absolute Betrag von cp-(t) ist also ein Minimum für w = 0 und nimmt beständig

div

t stetig wachsend die Strecke (0 ... tc) oder stetig abnehmend die Strecke (0----tc) durchläuft.

zu. wenn

TZl

TZ i

it i

Für t — e

hat man, da 1 — e = e

~T

ist

7t i

?(0 =

l-e

ni    24 ’

1+e ¹²

TZ i

und für t = e

“T

<p(0 =

TZt

~3~

Der grösste Werth, den der absolute Betrag von <p(£) in der die Punkte

TZl

verbindenden Geraden annehmen kann, ist also gleich tg • Setzt man ferner

— wi

so durchläuft t den Kreis L Dann hat man

X’

wenn w die Strecke (— ir • • • + tu) durchläuft.

wi

<p(0 =

l-e

wi

w

= *tg —

1 + e ⁴

und der absolute Betrag von cp(£) ist ein Minimum an der Stelle w = 0, t — 0 und ein Maximum an der Stelle w = ± tu, t = 2. Den grössten Werth, welchen derselbe in dem einen Theil der Begrenzung von To bildenden Kreis-

7t i

izi

X

bogen annehmen kann, erreicht er also in den Punkten e , e bewiesen:

“X

Damit ist

Der absolute Betrag von <p(£) hat in dem Bereiche T₀ seinen

grössten Werth an den Stellen t = e gleich tg-^-

Hiernach convergirt für jeden dem Bereiche To angehörigen Werth von t die Reihe

7t i

Tii

und t = e

~x

und es ist derselbe

1    9    1 K    1 fSO

y?(0 + ^?(0⁶ + -ÿ-?(0⁹ + -^x?(0¹³+-

so rasch, dass in der Praxis der Regel nach schon die drei ersten Glieder, in manchen Fällen sogar die zwei ersten den Werth der Function    in

hinlänglicher Annäherung geben.

VII.

Setzt man in den Reihen, durch welche die Functionen ^(v | t), j x) u. s. w. defmirt werden, unter e eine der Zahlen 1,-1 verstehend, e + x für t, so ergiebt sich, dass die Functionen beziehlich den Functionen

~2

Ą(v|e + T), i ²Ą(t>|e + T)

gleich sind.

Setzt man ferner in den Gleichungen (IV., (1.))

r.i

T7W

\fc=e ⁴

drückt [mittels der Formeln (III., (6.))] f(u, q),    q), f₂(u, q) durch die

Functionen 3 (vir, q), Ą(vtc, q), ..., f(ui, </'), f^ui, </'), f₂{ui,q') durch H(tńt, q), ^(vTz^q'), ... aus, und bemerkt, dass nach den Formeln (IV., (6.))

4t

u = 4²(0,g).^,

ui = Ą²(0, q) .v'tz

4(o, 2)    ₌ 4(0, g')    3(o,g)    4(0, g’)    3J0, t)    4(0, j)

4(0,2)    3(0,2')’    4(0,2)    3(0,2')’    4(0,2)    4(0,2')’

4(0,2) = -4(0,2')

und somit ist, so gelangt man zu dem folgenden Satze:

Der Quotient je zweier der Functionen

ändert seinen Werth nicht, wenn man an Stelle dieser Functionen beziehlich die folgenden:

ł)

setzt.

Jetzt setze man, wie oben (V.)

(1.)

2yxzi 4- (2d + 1) log (&²)

(2u + 1) v:i + 2ß log <|>(&²)

und

t₃ = e + T₂ =

t₄ =

(2.)

~T3

1— eTj

t5 = e + t₄ =

1 — erx

T0 =

~T5

= -e + Tj,

V1 =

^sGlh)

V1

vz = v₂ = -

V1

h’

Ob _

vx

T3

hT3 ’

v₅ = evA =

— tv₁

hT3

v₅ _ —iV₁

hT3T6

X6

oder, da nach den Formeln (IV., (6.), (7.))

"(° I Ti) = -Ą‘(0jr,) = — Ą!(0|t,)

Çl    S

èwi'j = AWrJ = ^?(0K)

T1 L3 L5

T1T3

ist

•>

Ul

ui

(4.)

*4*(°hi)

^o(ok)

ui

^(0 | x₆) ’

Dann erhält man, indem man in den Gleichungen (V., (9.)) die Functionen 3(o?, q), 4(k #), ... beziehlich in

4kk)> 4kk)> 4kk)> 4k Ik

verwandelt und diese mittels wiederholter Anwendung der beiden vorstehenden Sätze durch 3--Functionen der Argumente

k>T*)> k>Ts)> ••• k-Ta)

ersetzt, die nachstehenden Darstellungen der elliptischen Functionen sin am (w, /c), cos am (w, &), Aam(«h), in denen e, ß, y, \/¥, \/l —k* dieselbe Bedeutung haben wie in den citirten Gleichungen (9.):

(5.)

izy\Jk² . sin am (m, k)

₌ 4k l~i) ₌ ¹ 4k h«) ₌ ¹.4khs) 4k hi) * 4k I k    i ' 4k I ~₈)

e

■2~ 4k t₆)

4 k h«)

₌ 4 k hé) ₌ .2 ¹ 4 k he) 4 k lh)    4kk)

(6.)

• cos am (u,k) —

(7.)

\jl-k*

• A am (u, k)

Ąfc.K) ■Jq(«.L,)    .2

e    e    e

_h. 4 hé i Té ) __ a ² 4 k 1 h>) -2 4 h e i ~e )

4khé) ’ 4k k) ‘4kh«)

__ 4 k i ~i ) __ 4 k 1 t₂ )

4k î h)    4k h,)    ____

_h • 4(^41 k 4 k1 r5 ) 4 k i Te)

4k ;k)    4kh₅)    4k k)

² Akk) 4 (Va ' ^3 )

Dabei ist zu bemerken, dass

v₃ = v₂

v₅ = ev₄₎

ist.

Die Grössen xx, ... t₆, durch ti ausgedrückt, haben die Gestalt

c + hx,

a + btj ’

wo jede der Zahlen a, B, c, b einen der Werthe 0, 1, —1 hat und die Relation ab — Bc = 1 besteht. Durch t = -ilog^(Ä²) ausgedrückt erhalten sie also die Form

c+ dx a+ bx

wo a, b, c, d ganze, durch die Gleichung

ad — bc = 1

mit einander verbundene Zahlen sind.

Es ist zugleich leicht zu zeigen, dass umgekehrt, wenn a, &, c, d irgend vier, der vorstehenden Bedingungsgleichung genügende ganze Zahlen sind, der Ausdruck

a + br

stets auf eine der 6 Formen

1 — er,

Ti

— e + rx

gebracht werden kann, wo xi die Gestalt

ti =

2 y + (2d + 1)t

(2a + 1) + 2ßx

hat und a, ß, y, d ganze, durch die Gleichung

(2a + 1) (2d + 1) - ±ßy = 1

mit einander verbundene Zahlen sind. Dabei kann e nach Belieben gleich 1 oder gleich —1 gesetzt werden.

Nimmt man insbesondere a, ß, y, ô gleich 0 an, also

ilogtKÄ;*)

39

H.

und bestimmt, zunächst unter der Voraussetzung, dass Je² eine imaginäre Grösse und, wie oben, e gleich 1 oder gleich —1 sei, je nachdem die zweite Coor-dinate von Je² positiv oder negativ ist, mittels der Formeln (2.) die Grössen t₂, ... T₀, so ergiebt sich aus den Gleichungen (VL, (1.), (5.), (6.), (7.), (8.))

(8.)

h™ = log <HZ;²) > t₄to = log ^ ^ Man hat ferner

T₂m = log-K¹ — k-), = logłfjthr),

T.Jti = lOg ■} (    >

= logHï^r)'

log(/c²) = log(— Je²) + e«,

log (1-Z:²) = log (Je² — 1) — c izi,

und daher

(9.)

\/¥ = i² \J—Je²

\jl— Je² — i ²\/Je²-l.

Man erhält also ans den Gleichungen (5.), (6.), (7.), wenn man jetzt wieder die Jacobi’sehen Bezeichnungen einführt und

Je²-1

(10.)

tO    CO

Qs =

Je²) ’

Q* =

Qö =

(11.)

4²(°> 2i) ’

x₃ =

ui

4²(°; Qs)

Ą²(°,Qi)

setzt — wo dann

(12.)

Q = ~Qs x₂ = x1}

= “2,

Qi = -2s

x₅ — X

ist —, sechs specielle Formel-Systeme, die in der nachstehenden Tabelle zusammengestellt sind.

In den drei ersten Colonnen stehen unter sin am (w, Zs), cos am (^, Je) A am (u, Je) die Zähler, und in der vierten Colonne der gemeinschaftliche Nenner der Brüche, durch welche diese Functionen in den sechs angegebenen Fällen ausgedrückt werden.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

sin am (w, k)

cos am (u, k)

A am (u, k)

■4ż=-Ą(®»3)

yfl-k²

\/k²

\fV

•AK 2)

/3(x,q)

^‘AK^l)

,/JJ ' A K> 9,2)

4/TT ' A 0^8 > 2a)

= • AK»?.)

\fï^¥

\fW^Ï

ÿ/7

y/Z;²-!

y/Z;²

ÿ-Z;²

\Jl — k²

v'-ä*

/ AK: > 2i)

■ A K > #2 )

•AK, 2s)

• AK, 2e)

/AK» 2.)

/^K,g₃)

y/l-F-AK,?J

y/l k²-^(x₅,q₅)

/AA,?J

/ AK,» 2s)

Diese Ausdrücke der elliptischen Functionen gelten nun auch für reelle Werthe von Zc²,

wenn

werden, worüber ich Folgendes bemerke.

die vorkommenden Wurzelgrössen richtig bestimmt

Es ist oben angegeben worden, wie man für einen gegebenen reellen Werth von Z;² die Wurzelgrösse y/l — Ä;², von welcher der Werth von q = <|;(Z;²) abhängt, sowie die Werthe von Gleichungen

V^Z;², y^ zu bestimmen habe, damit die

A(°, g)

A(°, 2)

= ÿF,

_AK_g)

A(0,2)

= y/l-Z;²

bestehen. Auf dieselbe Weise fixire man

wenn an die Stelle von k² die 39*

Grössen

F-l

F — — "'s F ’

treten, für v = 1, 2, 3, 4, 5 die Werthe von

(13.) F₁ = 1 — F,

1-F

-F

1-Ä²

v'i-ÆL \/K, s„ v'ï.,

so dass man

(14.)

•3,(0, ffv)

-3,(0, ff„)

= \/K,

p0, gy) _

*3,(o,öv)

(v= 1,2, 3,4, 5)

Setzt man andererseits in den Formeln der vorstehenden Tabelle u — 0

g»)    ^(o, gv)

#3(0,2v)’    ^₃(°, 4v)

hat.

und bestimmt sodann die Werthe, welche haben müssen, so ergiebt sich

nach diesen Formeln

pf = pT^F

v'i-ä; = p²

m=

(15.)

.7"F=T _ purr v &² p*

i

“ p^

V?

^=vS =

p^F

_ P^F

p-F

\f¥

*/~F^ï _ ÿF=T

v £² “ yw

<r—jï i/^-F~    \I^-F

p-*²

Durch diese Gleichungen werden also die Werthe gegeben, die in den Formeln (l.), (2.) der Tabelle die Grössen p% p — F, in den Formeln (3.), (4.) ferner p²—f, p², und in den Formeln (5.), (6.) pTp, p —F haben müssen, wobei es nun keinen Unterschied macht, ob F imaginär oder reell ist.

Gehört die Grösse t — F dem oben (VI.) mit T₀ bezeichneten Bereiche so wird man von den vorstehenden Ausdrücken der elliptischen Functionen am zweckmässigsten die unter (1.) aufgestellten anwenden, weil dann der absolute Betrag von q niemals die Grenze

an

471+1

überschreitet und deshalb die ^-Reihen sehr rasch convergiren.

liegt k*v im

Gehört aber t — k² dem Bereiche Tv an (y = 1, 2, 3, 4, 5)

Bereiche T₀, und man gebraucht dann zur Berechnung der elliptischen Functio-

so

nen am zweckmässigsten die in der (v + l)ten Horizontalreihe der Tabelle angegebenen Ausdrücke.

Ist k² reell und liegt im Bereiche Tv {y = 0, ... 5), so sind in den unter No. (v + l) aufgestellten Formeln qv und die vorkommenden Wurzelgrössen sämmtlich reelle und positive Grössen.

Es ist noch zu bemerken, dass aus den Gleichungen

3(°,?J = 3(°, ?‘) + 3(°,?r)

3(q, g?) ₌ î-yi-Æ? 3(°,?î) i + v^i -K

sich die folgenden Ausdrücke von 3(0, <?„), 3(0, qv), 3(0, ?*) ergeben:

(16.)

3(°,?*) ==

2\]l-k\

l + \/l -kl

■3(o, at) -

•3(° ,?t) =

i+v'i-äv

2 (/1 — kl

• (1+2q⁴v+ 2q™ Ą )

.(l+2^+2^⁶+...)

3(°,?*) =

2\lK

•3(°,?v) =

2\/K

i + \/i-K

• (1 + 2g* + 2qle +•••)•

l+yi-K

Man erhält also insbesondere für die in den Gleichungen (11.) vorkommenden Grössen 3(0, q), ••• 3(0, qB):

3 (°,?) =

• (1 + 2g⁴ + 2g¹⁸ + • • •)

3(°, ?x) =

l + y/1-Æ²

_^_.(1 + 2î;+2î;.₊ ...)

3(0, &) =

-^=•(1 + 2^+ 2₃“ + ".)

3(°, ?.) =

¹

Dass nach dieser Bestimmung \Jh², \J\-Ti¹ dieselben Werthe erhalten wie die Potenzen (fc²)¹, (1 — h²)^, folgt unmittelbar aus der in (II.) gegebenen Definition der letzteren.

y^² —l + \Jltf

• (1+ 2^3+ 2q™ -\    )

3(0, 9.4t) —

yÜWF+f-/P

• (1 + 2ql + 2q\⁶ + • • •)

3(0, ?₅) =

l + ^l-fc²

• (1 + 2q\ + 2q™ Ą ) •

if|kY>«v > ,

'ï

Y

.

-

.

-

ZUR THEORIE DER AUS n HAUPTEINHEITEN GEBILDETEN

COMPLENEN GRÖSSEN.

(Auszug aus einem an H. A. Schwarz gerichteten Briefe, der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen mitgetheilt am 1. December 1883.)

Berlin, 19.—27. Juni 1883.

......Ich komme jetzt zur Beantwortung Ihres Briefes vom 9. d. M.

Die Fragen, die derselbe enthält, lassen sich, wie ich glaube, in völlig befriedigender Weise erledigen.

In der Selbstanzeige seiner zweiten Abhandlung über die biquadratischen Reste schliesst Gauss, nachdem er seine Autfassungsweise des Begriffes und der Theorie der aus zwei Haupteinheiten (1, i) gebildeten complexen Grössen dargelegt hat, mit folgender Bemerkung:

»Der Verfasser hat sich Vorbehalten, den Gegenstand, welcher in der vorliegenden Abhandlung eigentlich nur gelegentlich berührt ist, künftig vollständiger zu bearbeiten, wo dann auch die Frage, warum die Relationen zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr als zwei Dimensionen darbieten, nicht noch andere in der allgemeinen Arithmetik zulässige Arten von Grössen liefern können, ihre. Beantwortung finden wird.« (Gauss Werke, Band IL S. 178.)

Aus dieser Bemerkung scheint mir hervorzugehen, dass Gauss Untersuchungen darüber angestellt habe, ob sich für complexe Grössen mit n Haupteinheiten die Grundoperationen, Addition, Multiplication, Subtraction und Division so definiren lassen, dass die im Gebiete der sogenannten reellen Zahlgrössen (der Grössen mit einer Haupteinheit) bestehenden arithmetischen

(6.)

(5.)

eb ec

Ni £a, b, c ⁶a a

Ferner folgt aus

(2.)

(4.)

ab = 2(<Xbßc)(ef>ec)

b,c

oder, da ebec die Form

haben soll:

= 2 (\t,cabßc)ea-a,b, c

Ans den Gleichungen

(7.)

(ebe c)eb (ebeb)ec

ergiebt sich nun eine Anzahl von Bedingungsgleichungen, denen die Grössen £abc genhgen müssen, welche hinzuschreiben für das Folgende jedoch nicht erforderlich ist. Man überzeugt sich aber leicht, dass denselben durch unendlich viele Werthsysteme der Grössen $nbc Genüge geschehen kann. Wählt man irgend eins dieser Werthsysteme aus, so wird durch die Gleichung (6.) das Product ab stets so definirt, dass die Gleichungen

ab = ba,

Cf, 6C — 6C

(6, c,b = 1,2,... n)

(db)c — (ac) b

a(b + c) = ab + ac

bestehen. Um dann

zu definiren, setze man

j = Sr»«.,*

u    a

dann sind yx, y₂, ... yn so zu bestimmen, dass die Gleichungen

«a = 2£a,6, zßbYc

(8.)

(a = 1,2,... n)

b. c

bestehen.

Hat nun die Determinante

e I 2 £a,b,cßb i

b

(a,b,c = 1,2,...»)

einen von

Null verschiedenen Werth, so sind durch die vorstehenden Gleichungen die Coordinaten yx, y₂, ... yn eindeutig bestimmt, und es ist demnach die Division von a durch b möglich. Ist aber s = 0, so ist die Division nur dann ausführbar, wenn unter den Grössen ai? a₂, ... an eine bestimmte Relation stattfindet; es hat aber dann der Quotient j- unendlich viele Werthe.

40

II.

Hiernach ist die Wahl der Grössen ea b c der Beschränkung zu unterwerfen, dass die in Bede stehende Determinante nicht identisch, d. h. für beliebige Werthe von ß₂, ... ßn verschwinden darf. Aber, wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann es doch specielle Grössen b geben, für welche die zugehörige Determinante verschwindet — eine genauere Untersuchung zeigt sogar, dass solche Grössen stets existiren, sobald n > 2 ist —,*) worauf jedoch hier noch nicht eingegangen zu werden braucht. Eine derartige Grösse b ist dadurch charakterisirt, dass sich ihr, und zwar auf unendlich viele Arten, eine andere Grösse c, die nicht gleich Null ist, so zugesellen lässt, dass

bc — 0

ist; ich will sie deshalb einen »Theiler der Null« nennen, und diese Benennung auch auf den Fall ausdehnen, wo sie selbst den Werth Null hat. Es ist klar, dass ein Theiler der Null wieder einen solchen giebt, wenn er mit einer beliebigen Grösse multiplicirt wird.

Hiernach wird die Gleichung

a + bx — 0

durch unendlich viele Werthe von x befriedigt, wenn a₎ b die Form

a = ka\

haben und k ein Theiler der Null ist, b' aber nicht. Denn dann kann man, wenn l irgend ein solcher Theiler der Null ist, der mit k multiplicirt das Product 0 giebt, x so bestimmen, dass a'+b'x — l ist, und hat dann

k(a'+b'x) — M = 0.

Ebenso kann eine algebraische Gleichung beliebigen Grades

a + bxĄ-----1- hxm = 0

unendlich viele Wurzeln besitzen, wenn ihre Coefficienten («,&,... h) die Form

a — ka, b = kb', ... li — kii

haben und k ein Theiler der Null ist. Dazu brauchen bloss die Grössen

*) Auch in dem Falle, wo n — 2, kann es solche Grössen geben, wenn man bei der Definition der Multiplication die Grössen ea c den angegebenen Bedingungen entsprechend, im Übrigen aber nach Willkür annimmt.

d, b\ ... d so beschaffen zu sein, dass sich die Gleichung

a'+b'xĄ-----f h'xm — l

für unendlich viele Werthe von /, für welche M — 0 ist, lösen lässt.

Die Existenz der »Theiler der Null«, welche nicht gleich Null sind, scheint also einen wesentlichen Unterschied zwischen der Arithmetik der aus mehreren Haupteinheiten gebildeten Grössen und der gewöhnlichen Arithmetik zu begründen. Indessen, da es im Gebiete der aus einer Haupteinheit gebildeten Grössen keinen anderen Theiler der Null giebt, als diese selbst, so ist der Satz, dass in der Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen eine algebraische Gleichung von der angegebenen Beschaffenheit unendlich viele Wurzeln haben könne, eine naturgemäss begründete Analogie zu dem in der gewöhnlichen Arithmetik geltenden, dass eine algebraische Gleichung unendlich viele Wurzeln hat, wenn alle ihre Coefficienten gleich Null sind. Und diese Analogie würde eine vollkommene sein, und die Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen mit der Arithmetik der aus einer Haupteinheit gebildeten, so weit als es überhaupt möglich ist, in Einklang gebracht werden, wenn es sich herausstellte, dass im Allgemeinen, d. h. wenn bei der Eestsetzung des Multiplicationsverfahrens nur specielle — bestimmt anzugebende — Werthsysteme der Grössen ea b c ausgeschlossen werden, eine algebraische Gleichung nur in dem Falle, wo alle ihre Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication desselben mit beliebigen Grössen hervorgehen, unendlich viele Wurzeln haben könne.

Dies verhält sich aber in der That so. —

Angenommen wird also zunächst, dass die vorhin mit £ bezeichnete Determinante nicht identisch gleich Null sei. Daraus ergiebt sich die Existenz einer Grösse e₀ von der Eigenschaft, dass e₀a = ae₀ = a ist für jeden Werth von a. *)

Nun sei

X — U <?! + l₂ ß2 + ^%nen

eine Grösse des betrachteten Gebietes mit unbestimmten Coordinaten (|l? |₂,... gn),

*) Siehe die Anmerkungen auf Seite 382.

und es werde xv auf die Form

^ = ^e₁ + t?e₂+-.- + &en gebracht. Angenommen nun, es sei die Determinante

(9.)

o = 1, 2,... n)

ir

identisch gleich Null, so lässt sich aus den Gleichungen (9.) eine andere von der Form

X₀xm+1 + Xtxm + ••• + Xmx = 0

ableiten, wo men und die Coefficienten Xu ganze Functionen von ^,|₂, ...|n sind, von denen X₀ nicht identisch gleich Null ist.

Man lege nun den Grössen £1? |₂, ... bestimmte Werthe ||,J;₂, ... |^ bei, wodurch X den Werth X' erhalte. Dann existiren, wenn man von

fj.    fj,

particulären Werthsystemen der Grössen g' absieht, unendlich viele Werthsysteme (|l51₂,... |n), für welche die Gleichungen

X X'

x₀ ~ x;

A _

x₀ x;

bestehen.¹) Setzt man daher

i    X, e₀

so hat die Gleichung

a₀x

m+1

+ a₁xm+ ••• + amx = 0

unendlich viele Wurzeln, ohne dass ihre Coefficienten sämmtlich Theiler der Null sind.

Die Determinante

ir

1,2,...»)

ist eine homogene ganze Function der Grössen |1? g₂, ... %n und im Allgemeinen nicht identisch gleich Null, wie man leicht nachweisen kann.²) Ihre Coeffi-cienten können mithin nur für specielle Werthsysteme der Grössen ea6c verschwinden, und diese müssen also ausgeschlossen werden, wenn der Forderung, dass eine algebraische Gleichung nur in dem besprochenen Falle solle unendlich viele Wurzeln haben können, genügt werden soll.

Gesetze ihre Gültigkeit behalten gekommen sei, es werde dies unmöglich, sobald n>‘l.

und dass er dabei zu der Überzeugung

Um über diesen Punkt ins Klare zu kommen, habe ich bereits vor Jahren³) folgende Betrachtungen angestellt.

Nach Aufstellung des Begriffes einer aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grösse ist zunächst zu untersuchen, ob und wie sich für ein Gebiet solcher Grössen, d. h. für die Gesammtheit der aus denselben Haupteinheiten (e<?₂,... en) gebildeten Grössen die arithmetischen Grundoperationen so definiren lassen, dass erstens, wenn a,b, c, ... beliebige Grössen des Gebietes sind,

a + b, a-b, ab, ■

ebenfalls dem Gebiete angehören, und dass zweitens die in den folgenden Gleichungen ausgesprochenen Gesetze gelten:

ab — ba

(ab)c = (ac)b

a(b + c) = ab + ac a ,

— b=-a. b

Es mögen im Folgenden mit den griechischen Buchstaben Zahlgrössen bezeichnet werden, die aus einer unbenannten Haupteinheit gebildet sind, so kann jede Grösse des betrachteten Gebietes in der Form

F F • • • F vn

dargestellt werden, wenn man unter £aea die Grösse versteht, die man dadurch erhält, dass man ea an die Stelle der unbenannten Haupteinheit von £a setzt. Die Zahlgrössen £a sollen die Coordinaten der betrachteten complexen Grösse genannt werden. Dies vorausgeschickt, sei

b = Hßaea

(b)

a + b = b + a (a + b) + c — (a + c) + b (a — b)+b = a,

(2.)

(a = 1,2,...»)

so ergiebt sich aus den Gleichungen (1.), dass a + b, a — b zu definiren sind durch die Formeln

(3.)

2 (aa F ßa) ea a

= 20a-/hK a

(a = 1,2,...»).

Dies vorausgesetzt, gebe man den Coordinaten g irgend welche bestimmten Werthe, für welche die in Rede stehende Determinante einen von Null verschiedenen Werth und zugleich x einen Werth g erhält, der nicht ein Theiler der Null ist. Dann lassen sich die Grössen et) e₂, ... en in der F orm

(10.)

ea

= IX.b#⁶

b

darstellen, und man erhält, wenn man auch g

gn+1+el9n+E₂g

n+1

bildet, eine Gleichung

(11.)

n—i

H-----'r En9 — ⁰

oder

(lia.)

g*+&lg«-' + hg

n—2

-j-----1- sne₀ — 0.

Setzt man nun, unter u irgend eine ganze positive Zahl verstehend,

9n = 9n,

(12.)

so lässt sich jede Grösse a des betrachteten Gebietes in der Form

(a = 0,1,... n— 1)

(13.)

a = 2«a0a a

darstellen. Dann ist

(14.)

i'^jcca9a) (2ßa5a)    2 (ab ßc)9b+c »

0M = 0,1,... n 1)

b,c

und mittels der aus (lia.) sich ergebenden Gleichungen

(n = 0, 1, ... oo)

9n+n F zi9n+n-i d" Zi9n+n-2 F * ' * F zn9n    ^

kann dann das Product auf die Form

ÜYaffa

a

(a = 0,1,... w—1)

gebracht werden.

Führt man nun die Grössen g₀, gt, ... gn_x statt der Grössen et1 e₂, ... en als Haupteinheiten ein, so erhält man ein vereinfachtes Multiplicationsverfahren, bei welchem jede der Grössen sa6c eine ganze Function der Grössen ex, ea, ... en ist, oder auch einen der Werthe 0, 1 hat. Dasselbe lässt sich nun auch folgendermassen formuliren.

Man verstehe unter £ eine unbestimmte Grösse mit einer unbenannten Haupteinheit und setze

Ferner werde, wenn

(a = 0, 1,

ist, die Function als die zu a gehörige Function von g bezeichnet, sowie umgekehrt a die zu dieser Function gehörige Grösse genannt. Dann lässt sich das Multiplicationsverfahren kurz so ausdrücken:

Es seien cp(g), 6(g) die zu zwei gegebenen Grössen a, b gehörigen Functionen, ^(g) der Rest, welcher bei der Division des Productes cp(g). (g) durch f(£) bleibt, so dass man hat — wo ^(|), /(I) ganze Functionen der Grösse g von nicht höherem als be-ziehlich dem (n — 2)tea und (n — l)ten Grade sind —, und c die zu ^(|) gehörige Grösse, so ist

ab — c.

Umgekehrt lässt sich leicht zeigen, dass die in den Gleichungen

{ab) c — {ac)b

ab — ha

a(b + c) = ab + ac

ausgesprochenen Gesetze der Multiplication bestehen, wenn man nach willkürlicher Annahme der Grössen et, e₂, ... en das angegebene Multiplicationsverfahren anwendet. Dasselbe lässt sich übrigens unverändert auch auf ein Product von mehr als zwei Factoren anwenden.

Die Function /"(g) werde in Factoren ersten oder zweiten Grades mit reellen Coefficienten zerlegt; diese seien (I),    (I), ***/»-(ê), und in jedem

derselben sei der Coefficient der höchsten Potenz von g gleich Eins.

Angenommen nun, es seien unter diesen Factoren gleiche vorhanden und es komme z. B. der Factor ft{ g) A-mal vor, so setze man

m = /?(!). F(i),

₉(è) = ft(è).F(è). ?t(è)

unter cpt(g) eine ganze Function mit willkürlich anzunehmenden reellen Coefficienten verstehend, deren Grad kleiner ist als der von /f⁻¹(g) — wo dann, wenn A = 2 und /^(g) vom ersten Grade ist, cpx(g) auf eine Constante sich reducirt —, so ist theilbar. Es ergiebt sich aber aus dem angegebenen Multiplicationsverfahren, dass ein Product beliebig vieler Eactoren den Werth Null hat, wenn das Product der zugehörigen Functionen durch f(|) theilbar ist. Folglich hat man, wenn x die zu cp(|) gehörige complexe Grösse ist,

= 0.

Diese Gleichung besteht also für unendlich viele Werthe von x.

Wenn also für die Arithmetik der aus n Haupteinheiten gebildeten Grössen gelten soll, dass ausschliesslich algebraische Gleichungen von der oben angegebenen Beschaffenheit möglicherweise unendlich viele Wurzeln haben, so müssen von den Werthsystemen der Grössen ea6c, welche den aus den Gleichungen (7.) sich ergebenden Bedingungsgleichungen genügen, ausser den bereits angegebenen noch alle diejenigen ausgeschlossen werden, bei denen für irgend eine Grösse g die Grössen ei? e₂, ... en solche Werthe erhalten, dass die Discriminante der Gleichung

n— 2

verschwindet.

Es lässt sich aber nachweisen, dass die in Bede stehende Forderung stets befriedigt wird, wenn für ein bestimmtes Werthsystem der Grössen e ₆ die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

Aus den Gleichungen (9.) erhält man für jede Grösse

(a = 1,2,...»)

eine Gleichung

X₀æ”⁺¹+ X₁xnĄ-----\- Xnx

0,

wo

■Xo = IÇH

und die Coefficienten X1? ... Xn ebenso wie X₀ homogene ganze Functionen von |₂, ... %n sind. Dann sind von den fraglichen Werthsystemen der Grössen ea6c nur diejenigen auszuschliessen, für welche entweder die oben mit e bezeichnete Determinante, oder X₀, oder endlich die Discriminante der Gleichung

71—1

x₀r+xj

identisch verschwindet.

Denn man wähle aus den übrigen Systemen irgend eins aus und gebe den Coordinaten £x, £₂, ... £n bestimmte Werthe, der Art dass weder s, noch X₀, noch die genannte Discriminante gleich Null wird, setze

(15.)

und definire die Multiplication auf die vorhin angegebene Weise mit Hülfe der Function

m = r+e₁r,“i+-+v

Den Functionen, welche zu den mit einander zu multiplicirenden Grössen gehören, gebe man aber eine andere Form. Unter den vorhin mit fx(£), /*₂(|), ... fr(£) bezeichneten Factoren giebt es jetzt weder gleiche, noch solche,

die einen gemeinschaftlichen Theiler haben; man kann also dem Quotienten

wenn cp(£) eine beliebige ganze Function von nicht höherem als dem

y(l)

AI)

(n — l)ten Grade mit reellen Coefficienten ist, die Gestalt

(16.)

y(i) _ u(i) , ?,(l)

m M). my

~h * * ' +

■a

geben, in der Art, dass cp^(£) eine reelle Constante oder eine ganze lineare Function von £ mit reellen Coefficienten ist, jenachdem f (£) vom ersten oder zweiten Grade ist. In dieser Form wollen wir uns fortan cp(£) dargestellt denken. Die Gesammtheit der Grössen, für welche die zugehörige Function von £ die Form

W)

hat, und die mit bezeichnet werde, bildet nun eine Mannigfaltigkeit von einer oder von zwei Dimensionen, jenachdem /^(£) vom ersten oder zweiten Grade ist, indem alle in ihr enthaltenen Grössen im ersten Falle aus der zu gehörigen Grösse, im anderen aber aus den zu

AI)

AI) IAI) /u(l)’ Ad)

gehörigen zwei

Ad)

Grössen abgeleitet werden können. Demnach lehrt die Gleichung (16.), dass

wenn

jede dem betrachteten Gebiete angehörige Grösse a dargestellt werden kann als Summe von r anderen («x, ... n₍.), die beziehlich den Theilgebieten @x, ... ($t. angehören und die Componenten von a genannt werden mögen. Dabei ist noch zu bemerken: Nach (16.) ist <f(£) nur dann identisch gleich Null, sämmtliche rfu(£) es sind. Eine Grösse a hat also nur dann den Werth

Null, wenn ihre Componenten (a1? . ..ar) sämmtlich verschwinden; woraus noch folgt, dass a nur auf eine einzige Art als Summe von r den Gebieten ... (&r angehörigen Grössen dargestellt werden kann.

Dies vorausgeschickt, seien nun a , by zwei Grössen, die den Theilgebieten © und angehören, und

?(S) =

?,*(£)>    <K§) =

die zu ihnen gehörigen Functionen. Dann ist, wenn [i v, cp (|). <];(£) durch /*(!) theilbar, also

(17.)

ar\ = 0.

Wenn aber v — [i, so ist aus der Gleichung

ersichtlich, dass '/_(£) den Theiler

f(6)

also die Form

f(i)

X„© hat

WO

W)

eine Constante oder eine ganze lineare Function von £ ist, jenachdem

fa(Ł) V

vom ersten oder zweiten Grade ist. Es ist also a .b eine Grösse, die dem

selben Theilgebiete angehört, wie btx.

Es ist ferner ersichtlich, dass das Product

nur dann durch f(£) theilbar sein kann, wenn eine der Functionen cp (g), <L (g) identisch gleich Null ist. Denn da /^(|) und keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so muss, wenn eine ganze Function sein soll, cpu(£). <j;u(|) durch f;i(|) theilbar sein, wozu erforderlich ist, dass cpu(|) „ <J^(|) identisch gleich Null sei, was in dem Falle, wo fu(£) vom ersten Grade ist, unmittelbar erhellt, in dem andern Falle aber daraus folgt, dass f (%) nicht ein Product zweier linearen Functionen von | mit reellen Coefficienten ist.

Hiernach wird das Product zweier demselben Theilgebiete angehörenden Grössen nur in dem Falle gleich Null, wo einer seiner Factoren verschwindet.

41

II.

dass

(19.)    '

ist.

Wenn nun /^(g) vom ersten Grade ist, so kann jede dem Gebiete angehörige Grösse in der Form ag⁽^ dargestellt werden, und es ist

(20.)

(ag(fl))(ßg⁽^) = (ocß)g^.

Wenn dagegen /^(g) vom zweiten Grade ist, so sei Ä(,u) irgend eine nicht aus glu) ableitbare Grösse des Gebietes ©₍₍, so kann jede andere Grösse des Gebietes aus g(,u) und h⁽'L) abgeleitet werden; es ist also auch

= yh^ + y'g^,

oder

(21.)

(Ä(ft)—iyg^)²-(/+ ly^g^g^ = 0.

Die Grösse y'+\y² ist nothwendig negativ. Denn wäre sie positiv oder gleich Null, so würde das Product der beiden dem Gebiete (3 angehörigen Grössen

h^-{\y+\Jy'+-\f)g^

Nun seien g\ g'\ ... gw die Componenten der Grösse g0 aa irgend eine dem Gebiet angehörige Grösse ist, aus den Gleichungen

9o%~% = °>

(18.)

9o = 9'+9”+-‘-+9ir)

so

folgt

wenn

gleich Null, ohne dass einer seiner Factoren verschwände. Setzt man also

(22.)

V-(y'+ły*)

9(fl)

² V-(/+lr²)

so ist V‘l) eine Grösse des Gebietes © , für welche die Gleichung

= — gW

(23.)

besteht. Man kann dann jede Grösse des Gebietes in der Form

ag(fl) +

darstellen, und es ist

(24.)

(«/">+ a’tfVXftfv + ß'W⁰) = (aß ~    + (aß + aß') Je'¹⁰.

Es lassen sich also statt der ursprünglichen Haupteinheiten (et, e₂,... en) n andere, aus denen alle Grössen des betrachteten Gebietes ebenfalls abgeleitet werden können, dergestalt einführen, dass erstens in jedem der Theil-gebiete © alle Grössen, jenachdem der Grad der zugehörigen Function f (|) 1 oder 2 ist, aus einer dieser neuen Einheiten oder aus zweien sich ableiten lassen, und dass zweitens die Multiplication zweier diesem Theil-gebiete angehörigen Grössen im ersten Fall so wie hei den aus 1 abgeleiteten (sogenannten reellen) Grössen (Gleichung (20.)), im andern Falle aber nach der für die Multiplication der gewöhnlichen complexen, aus zwei Haupteinheiten (1 und i = y/TTf) abgeleiteten Grössen geltenden Hegel (Gleichung (24.)) ausgeführt werden kann.⁴)

Sind dann a, b zwei beliebige Grössen des Gebietes, und a₂, ... ar die Componenten von a, bv b₂, ... br die Componenten von b, so ist

(25.)

üb = ttlb₁-\- a₂b₂-\- • • • -Ą- ürby |

d. h. man findet für jedes der Gebiete ® die ihm angehörige Componente des Products a&, wenn man die entsprechenden Componenten der Factoren mit einander multiplicirt, was nach einer der Formeln (20.), (24.) auszuführen ist.

Soll das Product ab gleich Null sein, so müssen die sämmtlichen Pro-ducte a b^ es sein, also in jedem derselben einer der Factoren verschwinden. Ist also keine der Componenten von b gleich Null, so kann ab nur verschwinden, wenn a gleich Null ist. Sind dagegen einige Componenten von b gleich Null, so ist, damit ab verschwinde, nothwendig und hinreichend, dass die den übrigen Componenten von b entsprechenden Componenten von a sämmtlich gleich Null sind. Theiler der Null sind also sämmtliche Grössen b, deren Componenten nicht sämmtlich von Null verschiedene Werthe haben.

Ist b nicht ein Theiler von Null, so ergiebt sich aus (25.)

CN

und aus (20.), (24.)

(27.)

ag⁽‘u)

__ _ —aW

ßg^ ß J

wenn © eine einfache Mannigfaltigkeit,

(28.)

ccgW+a'kW

aß + aß'

ßgW+?¥**> ßß + ß'ß

Tg^ +

aß — aß'

ßß + ß'ß

wenn © eine Mannigfaltigkeit von zwei Dimensionen ist.

Nimmt man zu den vorstehenden Formeln für die Multiplication und Division noch folgende hinzu

(29.)

a + b —    + bß) -f (a₂ + b₂) -}-••• + (ar + br)

a — b = (aj—b₁) + (a₂— b%) Ą + (ar— br)}

so erkennt man die Richtigkeit des nachstehenden Satzes:

Sind beliebig viele Grössen a, 6, c, d, ... des betrachteten Gebietes gegeben und es soll aus denselben durch eine bestimmte Rechnung, bei der nur die elementaren RechnungsOperationen (Addition, Subtraction, Multiplication und Division) in Anwendung kommen, eine andere Grösse abgeleitet werden; so erhält man die Componente der letzteren für jedes Theilgebiet © man die vorgeschriebene Rechnung mit den diesem Gebiete angehörenden Componenten der Grössen a, b, c, d, ... ausführt.

Angenommen nun, es seien a, b, ... I gegebene Grössen, und es sei eine unbekannte Grösse x so zu bestimmen, dass die Gleichung

a + bx H-----h lxl = 0

f⁴’

wenn

bestehe.

Die Coefficienten einer solchen Gleichung können auch (a ausgenommen) unbenannte, aus einer Haupteinheit gebildete Grössen sein.

wenn z. B. in der Gleichung das Glied axm vorkommt, dafür

Dann kann

man aber

(cego)xm setzen; man braucht also nur den Fall zu betrachten, wo alle Coefii-cienten complexe Grössen des betrachteten Gebietes sind.

Es seien #u, au, 6t, ... Zu die dem Gebiete ©u angehörigen Componenten

von x, a, b, ...l, so hat der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

nach dem Vorstehenden im Gebiete ©u die Componente

% + bflxfl+-- + I/lx*-,

es zerfällt also die vorgelegte Gleichung in die folgenden r Gleichungen

Uu + b^Xp-]-----VlpX* — 0

Eine Gleichung von dieser Form, in der die Coefficienten und ebenso die zu bestimmende Grösse Grössen mit einer oder mit zwei Haupteinheiten sind, kann aber — wenn für sie die Definition der Multiplication wie im Vorhergehenden (Gleichungen (20.), (24.)) gegeben wird — nur dann unendlich viele Wurzeln haben, wenn alle ihre Coefficienten gleich Null sind.

Die vorgelegte Gleichung kann also nur in dem Falle durch unendlich viele Werthe von x befriedigt werden, wenn v,wenigstens für einen Werth von ft

sämmtlich gleich Null sind.

Nehmen wir an, es finde dies statt für (r — q) Werthe von ft, und diese seien p + l, ... r, so dass man

¹    ft

= 2*,

ft

(ft= 1,2, ...(>)

hat. Nimmt man dann eine Grösse

(fi = 1,2, ...q)

ff

* = 2*j

wo k eine von Null verschiedene Grösse des Gebietes © bedeutet, will-

f*    '

kürlich an, so kann man die Grössen b\ ... V so bestimmen, dass

a = Ica', b = Jcb\ ... I — kV wird. Denn es sei d die Componente von a in <5^, so ist

Ttd

«fi

es muss also d =

f*

willkürlich angenommen werden kann.

sein für ft = 1, 2, ... p, während tsf für ft = p + 1, ... r

Ebenso werden ... V bestimmt. (Nimmt man für sämmtliche 4,    ... wenn ft > p ist, von Null verschie

dene Grössen an, so sind die Grössen a\b\...V nicht mehr so beschaffen, wie die a,b,...l, nämlich es findet nicht mehr statt, dass für einen bestimmten Werth von ft die Componenten 4, ... ^ sämmtlich verschwinden.)

Hiermit ist nun bewiesen:

Wenn die arithmetischen Grundoperationen so definirt werden, wie im Vorhergehenden geschehen, so findet in der That statt, was oben als Forderung hingestellt worden ist: eine algebraische Gleichung

a + bx Ą-----\-Jxx = 0

kann nur in dem Falle durch unendlich viele Werthe von x befriedigt werden, wenn alle ihre Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication mit anderen Grössen hervorgehen.

Sie sehen, lieber College, aus der vorstehenden Darlegung, dass bei meiner Untersuchung über die Möglichkeit einer Arithmetik der complexen Grössen mit beliebig vielen Haupteinheiten zwei Gesichtspunkte als massgebend im Auge gehalten worden sind: es sollen nicht nur für das Addiren, Multipliciren u. s. w. complexer Grössen die in den obigen Gleichungen (1.), (2.) ausgesprochenen formalen Gesetze gelten, sondern es sollen zugleich zwischen der Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen und der Arithmetik der aus einer Haupteinheit gebildeten Grössen nur solche Unterschiede bestehen, die in der Natur der Sache begründet sind, d. h. welche sich heraussteilen, wie man auch unter Aufrechterhaltung der ersten Forderung die arithmetischen Operationen definiren möge. In der gewöhnlichen Arithmetik gilt nun, dass eine Grösse, welche algebraisch von andern gegebenen abhängt, im Allgemeinen, d. h. wenn specielle, bestimmt charakterisirbare Werthsysteme der gegebenen Grössen ausgeschlossen werden, stets nur eine endliche Anzahl von Werthen haben kann. Dies ist von solch wesentlicher Bedeutung, dass eine Arithmetik complexer Grössen, für die nicht dasselbe gälte, eine von der gewöhnlichen ganz verschiedene sein und nicht als eine naturgemässe Verallgemeinerung der letzteren betrachtet werden könnte.

Wie man nun aber auch die Multiplication — auf die es allein ankommt — der ersten Forderung entsprechend definiren mag, es zeigt sich, dass es stets algebraische Gleichungen giebt, welche unendlich viele Wurzeln haben. Als Gleichungen dieser Art geben sich zunächst diejenigen zu erkennen, deren Coefficienten aus einem und demselben Theiler der Null durch Multiplication desselben mit anderen Grössen hervorgehen. Da es immer Theiler der Null giebt (wenn man nämlich in dem Falle, wo n — 1 oder 2 ist, die Null selbst als solchen auffasst), so ist die Existenz solcher Gleichungen in der Natur der Sache begründet. Zugleich hat sich aber gezeigt,

dass es andere Gleichungen mit unendlich vielen Wurzeln nur giebt unter den das Multiplicationsverfahren bestimmenden Grössen e

wenn

gewisse,

nicht durch die Multiplicationsgesetze bedingte Kelationen stattfinden. Solche Werthsysteme der Grössen sn6c mussten also ausgeschlossen werden, wenn die Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen soweit, als überhaupt möglich, mit der gewöhnlichen in Übereinstimmung gebracht werden sollte.

a,6,c

Dass aber dies auch genüge werden, ist im Vorhergehenden streng bewiesen.

um den gestellten Forderungen gerecht zu

Aus dem Obigen geht noch hervor, dass die Gleichung

a + bx H-----\-lxl — 0

durch keinen Werth von x befriedigt werden kann, wenn für irgend einen

aber nicht.

.. I sämmtlich verschwinden, a

jU.    ¹

Werth von ^ die Grössen b Will man nun die weitere Forderung stellen, dass in jedem andern Falle die

fii

Gleichung wirklich Wurzeln haben solle, die dem betrachteten Grössengebiete angehören — mit anderen Worten, will man die Vorstellung imaginärer Wurzeln beseitigen —, so ist dazu nothwendig und hinreichend, dass jedes der Theilgebiete ($u eine zweifache Mannigfaltigkeit sei — d. h. man hat bei der Festsetzung des Multiplicationsverfahrens die Grössen ea6c so anzunehmen, dass die Gleichung

tr+h^-'+...+sn = o

keine reelle Wurzel hat, so dass also n gerade sein Gleichung

muss. Dann hat die

a bx -f⁻ • • • -j- Ix — 0

Wurzeln, wofern l nicht ein Theiler der Null ist — die Modificationen, die ein treten, wenn l ein solcher Theiler ist, sind leicht festzustellen , ein Satz, der dem für n = 2 geltenden nicht widerspricht, sondern als eine Ver-

zu betrachten ist.

allgemeinerung desselben

begründet an

Wenn ich nun mit dem Ergebniss der vorstehenden Untersuchung die im Anfang angeführte Gaussische Bemerkung, dass complexe Grössen mit mehr als zwei Haupteinheiten in der allgemeinen Arithmetik unzulässig seien, Zusammenhalte, so scheint es mir, dass Gauss diese Unzulässigkeit als dadurch gesehen habe, dass das Product zweier Grössen, sobald n

verschwinden kann, ohne dass einer seiner Factoren den Werth Null hat. Denn hätte er diesen Umstand nicht als ein unübersteigliches Hinderniss für die Einführung der allgemeinen complexen Grössen in die Arithmetik betrachtet, so würde es ihm schwerlich entgangen sein, dass sich eine Arithmetik dieser Grössen begründen lässt, in welcher alle Sätze entweder mit denen der Arithmetik der gewöhnlichen complexen Grössen identisch sind oder doch in der letzteren ihr Analogon finden. Er würde dann auch ohne Zweifel seinen Ausspruch dahin modificirt haben, dass die Einführung der allgemeinen complexen Grössen in der Arithmetik zwar nicht unstatthaft, wohl aber überflüssig sei. In der That geht aus dem oben (Seite 324) ausgesprochenen Satze hervor, dass die Arithmetik der allgemeinen complexen Grössen zu keinem Resultate führen kann, das nicht aus Ergebnissen der Theorie der complexen Grössen mit einer oder mit zwei Haupteinheiten ohne Weiteres ableitbar wäre.

Gestatten Sie mir nunmehr auf die in Ihrem Briefe enthaltenen, auf den besprochenen Gegenstand sich beziehenden Bemerkungen einzugehen.

Wenn in dem betrachteten Gebiete nach Fixirung der Grössen £a6c eine Reihe von Grössen go, g₂ u. s. w. existiren soll, für welche die obigen Formeln (14.), (15.) gelten, und durch die sich jede andere Grösse des Gebietes in der Form

-1

mir war es

ausdrücken lässt, so darf (ausser e) die im Vorstehenden mit Xo bezeichnete Function der unbestimmten Grössen £l5 ... gB nicht identisch verschwinden. Dass dies an sich nicht unmöglich sei, geht aus dem mir von Ihnen mit-getheilten Beispiele des Herrn Kyparissos Stephanos evident hervor — aber durch Erwägungen bekannt, die geeignet sind, auf die Frage betreffend die Einführung allgemeiner complexer Grössen und die möglichen V erallgemeinerungen der gebräuchlichen arithmetischen Algorithmen noch von einer anderen Seite her Licht zu werfen, und über die ich noch einiges sagen möchte. Vorher will ich nur noch erwähnen, dass ich mich in früheren \ orträgen auf die Möglichkeit des identischen Verschwindens der Function Xo gar nicht eingelassen, sondern nur bewiesen habe, dass dieselbe im Allgemeinen nicht identisch gleich Null sei. Wahrscheinlicherweise habe ich

mich dabei nicht deutlich genug ausgedrückt. Im vergangenen Semester,*) wo ich über den Gegenstand abermals im Seminar vorgetragen, habe ich

aber ausdrücklich gesagt, ich werde mich zunächst auf den Fall beschränken, in welchem die Grössen e

0,6. c

noch die Discriminante der Gleichung

solche Werthe haben, dass weder e, noch X₀,

x₀r+^ar-i+--+x„ = o

Ac

identisch verschwinde. Unter dieser Annahme wurde der soeben angeführte Satz (Seite 324) bewiesen, was mir diesmal die Hauptsache war. Am Schlüsse sollten dann die Erörterungen folgen, die mir jene in Betreff der Grössen £fl gemachte Annahme als nothwendig erscheinen lassen. Leider reichte zu dem Letzteren die Zeit nicht aus, ich werde in diesem Semester darauf zurückkommen.

Für Grössen, die aus einer Haupteinheit gebildet sind, lassen sich die Multiplicationsgesetze auch aus den folgenden Grundgleichungen ableiten:

(A.)

a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc, a(bc) = (ab)c.

Die beiden ersten begründen das sogenannte distributive, die dritte das associative Gesetz. Das commutative Gesetz ab — ba ist dann eine Folge der genannten. Bei complexen Grössen gilt dies nicht mehr allgemein; man kommt vielmehr bei Zugrundelegung der Gleichungen (A.) auch zu Algorithmen, bei denen ab nicht gleich ba ist. Unter diesen Algorithmen ist z. B. Hamilton’s Quaternionencalcul enthalten, in welchem das commutative Gesetz nicht gilt.

Aus den beiden ersten Gleichungen ergiebt sich ebenso wie oben

(B.)

(2 Ka^a) (2 ßaea) 2 “a.fi.c ab ßc a    a    a,b,c

(a, b, c — 1,2,... n)

wenn

(C.)

ebec    2 La, 6. c ea

a

*) Winter-Semester 1882—88. .

42

H.

ist. Setzt man nun wie oben so ergiebt sich wieder eine Gleichung

X₀xn+1 + X₁xn^{-----VXnx — 0,

in der die Coefticienten Xo, Xl? ... Xn homogene ganze Functionen der Grössen I sind. Ist nun X₀ nicht identisch gleich Null, so kann man ganz dieselben Schlüsse machen wie oben; es muss sich eine Reihe von Grössen go1 g , gz u. s. w. so bestimmen lassen, dass man

(E.)

9m9 n — 9 nt+tt

hat, und dass sich jede Grösse a des Gebietes in der Form

a = <x₀9o + <x₁g₁ + --- + ccn-₁gn-i

darstellen lasse. Dann hat man

(2aa0a)(2A»0«) = 2 (uaßb)9a+b a    a    a,b

gesetzt wird. Unter den Grössen £

müssen dann die aus den Gleichungen

a,6,c

?b(e ceb) = (ebe cK

sich ergebenden Relationen stattfmden, während man aber £ als gleich annehmen darf.

Nimmt man an, was nothwendig ist, dass, wenn der Werth eines Products und einer seiner Factoren gegeben ist, dadurch im Allgemeinen auch der andere Factor eindeutig bestimmt sei, so lässt sich mittels der dritten der Gleichungen (A.) die Existenz einer Grösse g₀ beweisen, für welche

9üb = bg₀ = b

(D.)

a,b,c

und £n c t nicht

ist, bei beliebiger Annahme der Grösse b. Gleichung, dass

Ferner folgt aus derselben

aman — am+n == anam

(a,B = 0, lf...n-l).

Hiernach gilt für das Product zweier beliebigen Grössen a₇ b das Gesetz

ab = ba,

sobald die Function Xo nicht identisch verschwindet.

Da nim z. B. für die Quaternionen dieses Gesetz nicht gilt, so muss man schliessen, dass die Function X₀ auch identisch verschwinden kann. Man ist also auch nicht berechtigt, in dem Falle, wo man von den Gleichungen (2.) ausgeht, von der Function X₀, auf die man alsdann kommt, anzunehmen, dass sie nicht identisch verschwinden könne, was ja, wie das Beispiel des Herrn Stephanos lehrt, in der That der Fall sein kann.

Das von Herrn Stephanos gefundene Multiplicationsverfahren ist enthalten in der Formel

(«0 F F ' ’ ‘ H" Wn—1 ^n—l ) (.ßo "b "t " "t ßn—l ^'n—l ) ⁼⁼ &o ßo ^0 "b («o ßl b ßo) "b ‘ ‘ ‘ "b (&q ßn—l F ^n—1 ßo) ^n—1 •

Für eine beliebige Grösse

X = tto€o+Ciiei+--‘ + CCn-ien.

gilt dann die Gleichung

x² — 2cc₀x + «oeo = Oj

die bei gegebenem Werthe von aQ also durch unendlich viele Werthe von x befriedigt wird. Nach den im Vorstehenden entwickelten Grundsätzen würde also ein solches Multiplicationsverfahren zu den unzulässigen gehören.

Ich bemerke noch, dass bei Adoptirung desselben auch für ein gerades n die Lösung der Gleichung

x² = a — cc₀e₀+ a^Ą- +

nicht immer möglich sein würde, nämlich dann nicht, wenn a₀ negativ ist.

dass sich an ihm

Indem ich diesen langen Brief überlese, finde ich

sehr bemerkbar macht, dass er in Folge mancherlei Störungen mit vielen

Wollen Sie es also mit Nachsicht

Unterbrechungen geschrieben worden ist. aufnehmen, wenn Sie darin manche Wiederholungen, manche zu umständliche Darstellung finden. Es lag mir daran, Ihnen einmal eine authentische Darstellung meiner Theorie der complexen Grössen zu geben; die Aufzeichnungen auch der besten Zuhörer enthalten doch manches unrichtig Aufgefasste —

mit oder ohne Schuld des Docenten —, namentlich, wo es sich nicht bloss um Wiedergabe von Rechnungen handelt.

42

Wollen Sie von dem Mitgetheilten für Ihre Vorträge Gebrauch machen, so habe ich selbstverständlich nichts dagegen. Auch wenn Sie Einwendungen zu machen haben, so enthalten Sie mir dieselben nicht vor.

(Geschlossen den 27. Juni 1883.)

Zusätzliche Bemerkungen zu dem vorstehenden Briefe. (Von Herrn H. A. Schwarz.)

¹

Siehe die Anmerkung auf Seite 332.

²

Siehe die Anmerkung auf Seite 337.

³

Im Wintersemester 1861—62 habe ich zum ersten Male über diesen Gegenstand etwas vorgetragen.

⁴

Zu demselben Resultate ist, wie Ihnen bekannt, auf einem anderen Wege auch Herr Hazzi-dakis gekommen.

1.

Seite 315. »Daraus ergiebt sich die Existenz einer Grösse e₀ von der Eigenschaft, dass eoa = ae₀ — a ist für jeden Werth von a.«

Ist nämlich a eine Grösse, für welche e nicht gleich Null ist, so ist ^ eine Grösse, mit der multiplicirt jede andere Grösse unverändert bleibt. Diese Grösse ~ — e₀ hat aber für jeden Werth von a einunddenselben Werth; es ist nämlich, wenn a eine andere Grösse bezeichnet, für welche £ ebenfalls nicht verschwindet,

a I ss

o!

a' indem diese beiden Grössen mit a multiplicirt einander gleich werden.

2.

Seite 316. »Dann existiren, wenn man von particulären Werthsystemen der Grössen §' absieht, unendlich viele Werthsysteme (^, |₂,... §b), für welche die Gleichungen

X X'

x₀ —    x₀ ~ x'₀

bestehen.«

Die Richtigkeit dieser Behauptung kann folgendermassen dargethan werden. Die rationalen Functionen ~ der n von einander unabhängigen Veränderlichen |l5 £₂, ... %n mögen mit

bezeichnet werden. Die Coefiicienten dieser rationalen Functionen haben ausschliesslich reelle Werthe, und die Anzahl n der unabhängigen Variablen, von welchen dieselben abhängen, ist grösser als die Anzahl m der betrachteten Functionen.

Nun besteht ganz allgemein der Satz:

Wenn m rationale Functionen fi5 f₂, ... fm mit ausschliesslich reellen Coefiicienten von mehr als m veränderlichen Grössen £a, ... £n gegeben sind, so kann man den letzteren stets unendlich viele Systeme solcher reellen Werthe beilegen, dass für alle diese Werthsysteme jede der gegebenen Functionen denselben Werth erhält.

Um diesen Satz zu beweisen, denke man sich für die Umgebung einer nicht singulären Stelle (£', §',... Q im Gebiete der reellen Werthe der unabhängigen Variablen die Differenzen

(ft = 1,2,... m)

in Reihen entwickelt, welche nach Potenzen der Grössen %v— £'v (v — 1, 2,... n) mit ganzen positiven Exponenten fortschreiten.

Es ergeben sich also m Gleichungen von der Form

(1-)

in welchen gu den Werth    .. • £') bezeichnet.

Die Grössen g und die Coefiicienten der einzelnen Glieder der Potenzreihen 93 haben reelle Werthe.

aren

Wenn nun die Potenzreihen ^)3W auf die in denselben enthaltenen line-Glieder reducirt werden, und es ist unter den Determinanten Ord-

nung, welche aus den Systemen der gebildet werden können, für ein nicht singuläres System von Argumentwerthen (g', g',... Q mindestens eine von Null verschieden

da es auf die Reihenfolge, in welcher die n Argumente mit

Coeflicienten dieser linearen Glieder

so möge angenommen

werden

dass die Determinante

In In •

.. £ bezeichnet werden, nicht ankommt —

n    ⁹

ölv

(2.)

für das betrachtete System von Argumentwerthen (£', £', ...Q einen von Null verschiedenen Werth habe.

Unter dieser Voraussetzung können bekanntlich die Gleichungen

(3.)

(ft = 1,2,... m)

in Bezug auf die Grössen ^ —    |a— £', ... \m— als Unbekannte durch

Reihenentwickelungen aufgelöst werden, welche nach Potenzen der Grössen . .|n— £n mit ganzen positiven Exponenten fortschreiten und für .. £b) hinreichend nahe liegenden Werthsysteme (| convergiren. Diese Potenzreihen haben reelle Coefficienten, und das constante Glied derselben hat den Werth Null.

I -g'

*»»+1

alle der Stelle (£'

m+ll

m+i⁵

m+ił

••u

.. i J in der

.. gB) willkürlich gewählt werden kann, die Rieh-

Hieraus ergiebt sich aber, da das System der Werthe (g Umgebung der Stelle (£'n tigkeit des angeführten Lehrsatzes.

Es kann aber auch der Fall eintreten, dass für das System der Functionen f (g , g ,... gj, ... fn(gl7g ,... g ) jede Functionaldeterminante mtei Ordnung

den Werth Null hat; dann sind die Werthe der Potenzreihen nicht mehr, wie in dem ersten Falle

von

einander unabhängig, sondern die Werthe

einiger derselben sind durch die Werthe der übrigen bereits bestimmt.

In diesem Falle kann man annehmen, dass, während alle Functional-subdeterminanten des Systèmes der Functionen f (gt, g₂,... gn), deren Ordnungszahl gleich r oder grösser als r ist, den Werth Null haben, mindestens eine der Functionalsubdeterminanten (r —l)ter Ordnung für das Werthsystem (£', g',... gB) der unabhängigen Variablen einen von Null verschiedenen Werth habe.

Da es bei dieser Annahme weder auf die Reihenfolge, in der die Functionen f mit f1? fs, ... fm, noch auf die Reihenfolge, in der die Argumente gv mit g₂, ... gn bezeichnet werden, ankommt, so kann man von der Voraus

setzung ausgehen, es habe die Determinante

(4.)

Öf,u

öl»

für das betrachtete nicht singuläre Werthsystem (g', g',... gB) der Argumente einen von Null verschiedenen Werth.

Zu dem Systeme der Functionen fu(g = l,2,...r —1) füge man eine von diesen Functionen unabhängige rationale Function fo derselben Argumente .. ln hinzu und wähle zugleich aus der Gesammtheit der übrigen Functionen f , für welche also \i>r — 1 ist, eine beliebige aus, etwa fr.

2? *

Die Function f₀ möge der Bedingung gemäss gewählt werden, dass die F unctionaldeterminante

(5.)

äf.

G = 0,1,... r—1; V — 1,2, ...r)

für das betrachtete Werthsystem    ...(£) einen von Null verschiedenen

Werth hat, was auf unendlich viele Arten geschehen kann.

Es ergiebt sich dann, wenn zur Abkürzung

ui

gesetzt wird, ein System von r Gleichungen

(6-)

G = 0,1,

welches bei Beschränkung der Veränderlichkeit der Grössen

foi fj » • • • fr—1 > ^

auf eine gewisse Umgebung der Stelle

(So > 9i > • • • 9r—i i

in Bezug auf die Grössen    êt—ê', ••• lr— i' als Unbekannte durch con

vergente Potenzreihen

r+i >

... i;)

(7.)

— ^Pr(fo 9o> fl 9i ) ••• fr—i    9r— 11 ^r+i    %r+1)

aufgelöst werden kann.

Es giebt also unendlich viele der Umgebung der nicht singulären Stelle (!', g',... gj angehörende Systeme von reellen Werthen (£,, I,,... ij, welche die Gleichungen

G = 1,2,...r—1)

befriedigen.

Für die Differenz

ergiebt sich nun ebenfalls in Folge der Gleichungen (7.) eine convergente

Potenzreihe

(®0 fr(ii> i»> * * * in) Qr ^r(fo 9o>fi 9i J • • • fr—l    9r—11 ir+i ir

r+i > •

..in-i;).

Aus dem Umstande aber, dass für das System der von den n Argumenten |i5 |₂, ... %n abhängenden Functionen f (g = 1, 2,... r) der Voraussetzung zufolge alle Functionaldeterminanten rter Ordnung den Werth Null haben, wird gefolgert, dass die partiellen Ableitungen

Oj

und

àL

(v — r+l,r+2, ...ri)

.. £n unmittelbar abhängen, nicht vor. Ein ganz analoger Schluss gilt für jede der Differenzen

identisch gleich Null sind; es kommen also in der Potenzreihe Glieder, welche von den Grössen f₀, £r+1, *    , .

(fi, — r + l,r + 2,... m).

Unter den angegebenen Voraussetzungen besteht also, wenn dem Index fi irgend einer der Werthe r, r + 1, ... m beigelegt wird, jedesmal eine Gleichung von der Form

(9.)

^2 J • • • in)    9,ti    %(fx 9i > fï 9a J * * • f»—l    9r-i)    (f¹    r, r-ł-1,... tn).

Werden daher den Grössen fj₂, .

.. %n solche, einer gewissen Umgebung

der Stelle    |Q angehörenden Werthe beigelegt, für welche die Glei

chungen

U£i,£a, •••!«) = 9u

erfüllt sind, so befriedigen diese Werthe auch die Gleichungen

O — r,r + l, ...m)

da in allen hier mit ^|3, ^)3 bezeichneten Potenzreihen das constante Glied den Werth Null hat.

Hiermit ist die allgemeine Richtigkeit des angeführten Lehrsatzes dar-gethan.

in die Determinante |Ę| (ft, v = 1, 2,... ri) über; die letztere je zwei der Grössen von einander verschieden sind

einen von Null verschiedenen

Bei Zugrundelegung dieses Multiplicationsverfahrens geht die Determinante I £(v)

I p

aber hat, wenn

und keine dieser Grössen gleich Null ist Werth.

4.

Seite 320 — 324.

Man kann die Frage aufwerfen, oh die in Rede stehenden Theilgebiete von der Wahl der Grösse g abhängig sind oder nicht. Es lässt sich zeigen, dass das Letztere der Fall ist — vorausgesetzt, dass g kein Theiler der Null sei und dass die Determinante | Ç⁵1 = X₀ sowohl als auch die Discriminante der Gleichung f(£) — 0 einen von Null verschiedenen Werth habe.

Es sei bei Zugrundelegung einer bestimmten Grösse

9 = 2 SX

a

r die Anzahl der Theilgebiete welche Mannigfaltigkeiten einer Dimension, r" die Anzahl der Theilgebiete ©G, welche Mannigfaltigkeiten zweier Dimensionen sind, so dass r — r’+r", n = r'+2r" ist, während die Indices 9, a zwei ganze Zahlen bezeichnen, von denen die erste r\ die zweite r" von einander verschiedene Werthe annehmen kann.

Denkt man sich nun die Grössen (ß‘ und die Grössenpaare ß\ WJ) zu neuen Haupteinheiten gewählt, so ist die Grösse e₀ bestimmt durch die Gleichung

[Siehe Seite 322 (18.)].

43

3.

»Die Determinante |Ç’| ist ... . im Allgemeinen nicht identisch gleich Null, wie man leicht nachweisen kann.«

Dieser Nachweis kann dadurch geführt werden, dass man ein specielles Multiplicationsverfahren aufstellt, bei dessen Zugrundelegung die Gleichungen (7.) auf Seite 313 erfüllt sind und für welches die in Rede stehende Determinante sich als im Allgemeinen von Null verschieden erweist.

Ein solches Multiplicationsverfahren ist durch die Gleichungen

eae₆ = 0 wenn ï> a

Seite 316.

bestimmt.

eaea ea

(a,ï> = 1,2,... n)

II.

Es bezeichne jetzt x eine beliebige Grösse des betrachteten Gebietes, es sei also

V    a

so ergiebt sich, wenn festgesetzt wird, dass die Bezeichnungen

G' = v/-i)

•    ri9m +    und    (>j +    C i)g⁽⁽⁵⁾

gleichbedeutend sein sollen, aus der Gleichung

*    = S^^+S(^«+w® ■

O    '    a

durch Erhebung beider Seiten in    die vte Potenz    die Gleichung

xv

= Sl^ + Sfta+CaOV®.

O    a

Denkt man sich nun n aus einer unbenannten Haupteinheit gebildete Grössen el5 e₂, ... en bestimmt, welche der Bedingung genügen, dass die Gleichung

xn + e₁xn * + e₂x

n— 2

-----^eneo — ⁰

besteht, was stets möglich ist, so ergiebt sich, dass die algebraische Gleichung

Xn +    + s₂æ

im Gebiete der aus den Haupteinheiten \ und i — \]—i gebildeten gewöhnlichen complexen Grössen die Wurzeln yj , rh+C₀i, vja —Cai besitzt. Es ergiebt sich hieraus, wenn mit % eine veränderliche aus einer unbenannten Haupteinheit gebildete Grösse bezeichnet wird, die Identität

n— 2

m = r+s.r-wsj”-²+•••+£«

= n(i-⁷io)n(i²-²^ai+ri²s+q ?    ' a

durch welche die Grössen e1? e₂, ... ew als ganze homogene Functionen der Grössen tj , yj₃, C₅ bestimmt sind.

Wenn die Coordinaten der betrachteten complexen Grösse x bezogen auf die früheren Haupteinheiten e₂, ... en mit |₂, ... £n bezeichnet werden, so ist klar, dass die neuen Coordinaten yj , rls, Ca der Grösse x ganze homogene Functionen ersten Grades der Grössen |1? £a,... sind.

Aus dem Umstande, dass die im Vorstehenden mit f{%) bezeichnete Function und die von Herrn Weierstrass ebenso bezeichnete mit einander übereinstimmen, ergeben sich folgende Sätze:

1.    Die mit X, X₂, ... Xn bezeichneten ganzen Functionen der Grössen .. ln sind in Folge der Bedingungen, welchen die Grössen ea 6 c unterworfen sind, durch die Function X₀ theilbar.

2.    Jede Wurzel der Gleichung f(g) =0 im Gebiete der aus 1 und yUTf gebildeten gewöhnlichen complexen Grössen ist eine ganze homogene Function ersten Grades der Grössen |₂, ... (jn.

3.    Die Grössen

fAx) =

sind Theiler der Null, und zwar hat im Theilgebiete die Componente von fQ(x), im Theilgebiete die Componente von fa(x) den Werth Null. Wenn die Discriminante der Gleichung f(£) — 0 einen von Null verschiedenen Werth hat, mit anderen Worten, wenn die Grössen 7]ç, y]₃ + C„*\ ?)₀—sämmtlich von einander verschieden sind, so hat keine andere Componente der Grössen fa(F) den Werth Null. Hieraus folgt aber, dass, wenn in dem Producte der r Factoren

um

ft

(ft = 1,2, ...r)

ein beliebiger Factor fv(x) weggelassen wird, das Product der übrigen Factoren unter der angegebenen Voraussetzung eine von Null verschiedene dem Theilgebiete angehörende Grösse ist.

Hiermit ist bewiesen, dass die erklärten Theilgebiete ®₂, •••($,. sich nicht ändern, wenn an die Stelle der ihrer Definition zu Grunde liegenden

Grösse g =    eine

a

die gestellten Bedingungen erfüllt sind.

beliebige andere Grösse x —    tritt, für welche

Û

Die zu Anfang dieser Bemerkung aufgeworfene Frage ist hiermit beantwortet.

(Ans dem Sitzungsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 3. December 1885.)

Für die Ergebnisse der in der genannten Abhandlung¹) mitgetheilten Untersuchungen des Herrn Lindemann, namentlich für den darin enthaltenen, bis dahin vergebens erstrebten Beweis, dass die Zahl tu keine algebraische Zahl und somit die Quadratur des Kreises auf constructivem Wege unausführbar ist, hat sich in den weitesten Kreisen ein so lebhaftes Interesse kundgegeben, dass ich glaube, es werde eine möglichst elementar gehaltene, nur auf allbekannte Sätze sich stützende Begründung der Lindemann’sehen Theoreme, wie ich sie • im Nachstehenden zu geben versuche, zahlreichen Mathematikern willkommen sein.²)

§ 1. Hülfssätze ans der Theorie der Exponentialfnnction.

I. Es bedeute [#, A] für jeden ganzzahligen, nicht negativen Werth von A die durch die Gleichung

(1-)

[M]

x\

definirte ganze Function Aten Grades des Arguments #, ferner sei

(2.)

9(e) = 2

A = o

eine beliebige ganze Function von z, und es werde gesetzt:

(3.)

dann besteht die Gleichung

(4.)

g{z)e — d(—G(z)e e)

und es ist G(z) eine ganze Function der Veränderlichen z von demselben Grade wie die Function g{z).

Dabei ist zu bemerken, dass durch die vorstehende Gleichung die Function G{z) eindeutig definirt wird.

II. Es seien

(5.)

M+l

2 av#

v = o

n+i—v

h(z) = 2

zwei ganze Functionen von z, beziehlich vom (w + l)ten und vom wten Grade; die Coefficienten der zweiten sollen willkürlich anzunehmende Grössen und die Coefficienten der ersten nur der Beschränkung unterworfen sein, dass a0 nicht gleich Null sein und die Function f(z) mit ihrer ersten Ableitung f'(z) keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen darf. Man bestimme, unter m eine beliebig anzunehmende positive ganze Zahl verstehend, auf die in I. angegebene Weise eine Reihe von ganzen Functionen

welche den Gleichungen

(7.)

h(z)e~*dz = d(-H₀(z)e~e) f\z)H^)e-*dz = d(-H^)e~°)

genügen; dann hat man, wenn

(8.)

ho(z) = h{e)

gesetzt wird, für fi = 0, 1

(9.)

(w — ft) !

m-n \

f(z) e 'j

m—u

(m — ft) !

f{*) eBdé

Au+iQ)

m—f.i —l

(m — ft — 1)!

fi*)

e~*dz

und (für g = m)

(10.)

d(~Bm{n)e *) = *„(*)« ‘de.

Aus diesen (w + l) Gleichungen ergiebt sich, wenn man sie durch Addition mit einander vereinigt :

(HO

A (*) «

^fX*)e-*dz =

m-f.c \

m *-'[

Die Coefficienten der Functionen [#, A] sind, wie aus der Formel (1.) unmittelbar erhellt, ganze Zahlen; die Coefficienten der durch die Gleichung (3.) definirten Function G(ß) also ganze lineare Functionen der Grössen &o, bv ... bl mit ganzzahligen Coefficienten. Demgemäss lehren die Formeln (7.), dass jede der Functionen H₀(z), Hx(z), ... Hm(z) eine ganze Function der Grössen

mit ganzzahligen Coefficienten ist.

III. Die im Vorstehenden definirte Function Hm{£) ist niemals durch die Function f(z) theilbar, ausgenommen in dem Falle, wo die Grössen c₀, cl7 ... sämmtlich den "Werth Null haben und somit jede der Functionen H₀(z), Ht{z), ... HJjs) sich für jeden Werth von z auf Null reducirt.

Es werde gesetzt:

m — ii

(12.)

so ist (nach Gleichung (11.))

dHJz) _ h(e) *

«•w—T?

Wenn daher die Coefficienten der Function h(z) nicht sämmtlich den Werth Null haben, so ist Hm(z) eine ganze Function von z, die nicht für jeden Werth dieser Grösse verschwindet und deren Grad (nach I.) nicht grösser ist als m(n + 1) + n = (m + \){n + 1) — 1. Bezeichnet man also mit q + 1

_    e+i

die kleinste positive ganze Zahl, für welche Hm(z) nicht durch f(z) theilbar ist, und setzt so ist H*(z) eine ganze Function von z, die nicht für jeden Werth dieser Grösse verschwindet, und q < m. Man hat dann

_ K*)

m\

und es ist daher QTI*(z)f'(z) durch f{z) theilbar. Dies aber ist, da die Functionen f{s), f'(z) keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzen und die Function H*(z) nicht durch f{z) theilbar ist, nur der Fall für q =0; es ist also f{z) kein Theiler von Hm(z) und somit, der Gleichung (12.) zufolge, auch kein Theiler der Function H (z).

IV. Bezeichnet man (unter der Annahme, dass n> 1 sei) mit /, z" irgend zwei derjenigen Werthe von z, für welche f(z) — 0 wird, so ergiebt sich aus der Gleichung (11.) die folgende:

(13.)

h(z) ™

f(z)e~zdz.

Aus den Gleichungen (7.) und (1.) bis (4.) erhellt, dass die Function Hm(z), bei unbestimmten Werthen der Grössen c₀, ct, ... cn, vom (mn + n)ten Grade ist und dass in derselben die Coefficienten von

,mn+n

ginn+n-1    g

beziehlich durch

theilbar sind.

of.

Daraus folgt, dass die Function a’

... a₀

m (n—1)

Hm(z) sich auf die

Form

(14.)

<Cn l)HJz) = #(*, m)f(z)+g(z, m)

bringen lässt, in der Art, dass G{z, m), g{z, m) beide ganze Functionen der Grössen z, a₀, ax, ... a , c₀, cx, ... mit ganzzahligen Coefficienten werden und g{z,m)'in Beziehung auf z von nicht höherem als dem wt6U Grade ist. Die Gleichung (13.) kann also in die folgende verwandelt werden:

(15.)

g (z", m) e z'r—g (zr, tri) e~z' —

Ä(s)(a₀w-Y(s))w

ml

Die Coefficienten der Functionen Hm{z)t G(z, m), g(z, m) sind, wie für die erste aus ihrer oben angegebenen Bildungsweise, für die beiden anderen aber aus der vorstehenden Definition derselben hervorgeht, homogene ganze lineare Functionen der willkürlich anzunehmenden Grössen c₀, cx, ... cn. Wenn man daher, unter v irgend eine der Zahlen 0, 1, ... n verstehend, mit gv{z^m) die Function bezeichnet, in welche g(z, m) dadurch übergeht, dass man cv = 1 und die übrigen der Grössen c₀, cx, ... cn sämmtlich gleich Null annimmt, so hat man

n

(16.)

9 (»>«>) = 2    >»)

und es gehen aus der Gleichung (15.) die folgenden (n +1) Gleichungen hervor:

(17.)

gv(z",m)e z"-gv(z’,m)e z’ ==

f

Je'

s" zv{g^~¹f(z))m

ml

e~zdz

Die Functionen gv(z, tri) sind ganze Functionen der Grössen z, a₀, at1 ... an+l mit ganzzahligen Coefficienten. Bezeichnet man ferner mit Gv(z, tri) die Function, in welche G(z,m) durch die Annahme

h(z) = zy

übergeht, so ist

H

G(z, m) = 2 cvGv{z, m)

(18.)

V = 0

C‘"4(') = A*) 2    ’») +2 m) und es ergiebt sich aus der letzten Gleichung, da FZ”m(^) (nach III.) nur dann durch f(z) theilbar ist, wenn die Grössen cf sämmtlich verschwinden, dass

44

II.

2 cvgv 0, m)

r = 0

nur dann für jeden Werth von z gleich Null ist, wenn jede der Grössen c₀, clf ... cn den Werth Null hat — mit anderen Worten, dass unter den in den Gleichungen (17.) vorkommenden (w+l) ganzen Functionen von z

... gn(z,m)

für keinen Werth von m eine lineare Abhängigkeit stattfindet. Aus dieser Eigenschaft der Functionen gv(z,ni) ergiebt sich ferner: Giebt man der Grösse z irgend (n-fl) bestimmte Werthe

! &i? • • • &n )

unter denen keine zwei gleiche ksich finden minante

so hat die Deter-

I gv(#x ) m) I

stets einen von Null verschiedenen Werth.

Wäre nämlich diese Determinante gleich Null, so würden sich (w + l) Grössen c₀, ci5 ... cn so bestimmen lassen, dass die (n + i) Gleichungen

n

= 0,1,... n)

2 cvg*(*nm) = ⁰

beständen, ohne dass sämmtliche Grössen c₀, cl} ... cn den Werth Null hätten. Dann würde aber der Ausdruck

2 c*9v(z, m)

der eine ganze Function der Veränderlichen z von nicht höherem als dem wten Grade ist, für jeden Werth von z verschwinden, was nach dem Vorhergehenden nicht stattfinden kann.

V. Da

mi

eine (transcendente) ganze Function von z ist Rechten der Gleichung (17.) bei gegebenen Werthen von m

der Ausdruck

so hat das Integral auf der v, z\ z* einen

von dem Integrationswege unabhängigen, eindeutig bestimmten Werth, den

man, unter x eine auf das Intervall (0 ... 1 ) beschränkte reelle Veränderliche verstehend, in der Vorm

(z"-z')(z' + {z"-s')Ty[an₀-'f{z'+ (g"-g')x)]m

ml

darstellen kann.

Es lässt sich aber, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, eine ganze Zahl M so bestimmen, dass für jeden Werth der grösser als M ist, und für jeden der betrachteten Werthe von x

(z"-z,)r)v[a^-lf(e,+ {z"-z') r)]m

von m

ml

und somit auch, nach einem bekannten Satze, der absolute Betrag des Integrals

f

Jz'

zv(a”‘~¹f(z)yn

ml

e~*dz

kleiner als â ist. Aus der Gleichung (17.) ergiebt sich also, wenn man beide Seiten derselben mit

multiplicirt

(19.)

lAm\gy{z\ m)ez"—gv(e", m)e*'\ = 0

m = oo

VI. Bis jetzt sind die Coefficienten der Function f(z) keiner anderen Beschränkung als der oben (unter II.) angegebenen unterworfen worden. Setzt man aber nunmehr noch fest, dass dieselben sämmtlich gegebene ganze Zahlen sein sollen, so werden, nach dem oben (IV.) Bemerkten, für jeden Werth der Zahl m auch die Coefficienten der Functionen gv(z,m) sämmtlich ganze Zahlen. Man kann ferner, wenn zQ, ... zn die Wurzeln der Gleichung f{z) =0 sind, den Gleichungen (19.) gemäss m so gross annehmen, dass jede der Differenzen

gv(*o,m)eh-gv(2x,m)ez°

IX — 0,1,... n\ \v = 0,l,...n)

ihrem absoluten Betrage nach kleiner ist, als eine beliebig klein angenommene positive Grösse d. Zugleich hat dann die Determinante

\gv{zx,™)\

(X,v = 0, 1, ...n)

einen von Null verschiedenen Werth, indem unter den Grössen z0lzl}...zn keine zwei gleiche sich finden.

Damit ist ein Satz bewiesen, der im Folgenden hauptsächlich zur Begründung der Lindemann’sehen Theoreme dienen wird und sich so aussprechen lässt:

»Es sei f(z) eine ganze Function (w + l)ten Grades der Veränderlichen z mit gegebenen ganzzahligen Coefficienten, die so beschaffen sind, dass die Gleichung (w + l) von einander verschiedene Wurzeln hat, welche mit

*0, *tt ••• *n

bezeichnet werden mögen. Alsdann lässt sich, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, auf mannigfaltige Weise ein System von (n +1) ganzen Functionen

9o(s), 9i(e), ••• 9n(*)

des Arguments z von nicht höherem als dem nteTl Grade, deren Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen sind, so bestimmen, dass erstens jede der Differenzen

e=

9y^₀)eh-9M)eZo

ihrem absoluten Betrage nach kleiner als d ist, und zweitens die Determinante

\9M\

(X,v = 0,1

einen von Null verschiedenen Werth hat.«

§2. Beweis, dass die Ludolph’sche Zahl iz eine transcendente Zahl ist.

Da e™ = —l ist und die Function ex nur für solche Werthe ihres Arguments, welche (ungrade) Vielfache von tu sind, den Werth —1 annimmt, so kann dem zu beweisenden Satze der folgende substituirt werden:

»Die Grösse ex+l hat, wenn x eine algebraische Zahl ist, stets einen von Null verschiedenen Werth.«

Es bedeute x₁ irgend eine gegebene algebraische Zahl. Wurzel einer Gleichung rten Grades

Dieselbe sei

xr + c₁xr~¹+ •■• + cr = 0,

deren Coefficienten sämmtlich rationale Zahlen sind — wobei angenommen werden darf, dass r> 1 sei, weil für r — 1 eXl = e Cl und somit eine positive Grösse ist. Die vorstehende Gleichung hat dann ausser xx noch {r — 1) andere Wurzeln; werden diese mit #₂, ... xr bezeichnet, so ist es, damit der auf-gestellte Satz bestehe, nothwendig und hinreichend, dass die Grösse

ń(e^+1)

einen von Null verschiedenen Werth habe, maassen zeigen:

Es seien |₂, .

Dies aber lässt sich folgender-

.. fjr von einander unabhängige Veränderliche, so hat man

geiii + E2 -----

ń(eSi+l) = s

1 = 1    f -

j (Ei, ea > • • ■ er — 0,1)

oder, wenn man 2’= p setzt und die p Functionen

ii ^2 ^2 "h ‘ * ' "t" i

in irgend einer Ordnung genommen, mit C₀, Cx, ... Cp_x bezeichnet

(e₁,Eî,...er = 0,l)

n(eêl + l) = S A

l = 1    f.l — 0

Sind also

die Werthe, welche

Co, Clf ... c

'p—1

dadurch annehmen, dass man

^1 , ^2 *^2 ,

setzt, so ist

•>

ń («*'+!) = S ez“.

1 = 1    /J. =0

Die Anzahl der von einander verschiedenen Werthe, welche in der Reihe 2₀,    ... e vorhanden sind, sei (w + 1), und es mögen die Aus-

drücke C₀, Cx, ... Cp_, so geordnet sein, dass unter den (?î + 1) Grössen z0l zt1 ... zn keine zwei gleiche sich finden, und z₀ = 0 ist; wobei zu bemerken, dass n +1> 1 ist, weil in der Beihe zo, z^ ... z auch die Grössen ... xr enthalten sind. Dann kann man, unter z eine unbestimmte Grösse verstehend, eine ganze Function f(z) vom Grade (n +1) herstellen, welche nur ganzzahlige Coefficienten hat und für z — zo, zt, ... zn verschwindet. Es kann nämlich das Product

p—1

Es lässt sich also JJ (z — zt) als ganze

fl = 0    ^

Function von z mit lauter rationalen Zahlcoefficienten darstellen; dividirt

dargestellt werden als ganze Function der Grössen z, |₂, ... gr mit ganzzahligen Coefficienten, welche sich nicht ändert, wenn die Grössen gx, g₂, ... £}. in beliebiger Weise permutirt werden, und sich somit, wenn man für £l5 fa, ...|r die Wurzeln einer Gleichung rten Grades mit lauter rationalen Zahlcoefficienten einsetzt, in eine ganze Function pien Grades von z mit eben solchen Coefficienten verwandelt.

man diese Function dann durch den grössten Theiler, den sie mit ihrer ersten Ableitung gemein hat, so ist der Quotient eine ganze Function (w + l)ten Grades von £, aus der man, indem man sie mit einer passenden ganzen Zahl multiplicirt, eine Function

f(z) = a₀ zn+1 + a, zn + • • • + an+1

erhält, welche lauter ganzzahlige Coefficienten hat und für z — z₀, z t ... zn verschwindet.

Nachdem diese Function f{z) hergestellt worden, kann man aus ihr, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, ein System von (n +1) ganzen Functionen

••• 9»(*)

von der im Schlusssatz (VI.) des vorigen Paragraphen angegebenen Beschaffenheit ableiten, so dass, wenn man

ß=

\v —    1

setzt, jede der Grössen elv ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist.

Die Grössen gy(z?) sind sämmtlich algebraische Zahlen; multiplicirt man jede derselben mit a”, so verwandeln sie sich alle in ganze algebraische Zahlen. *)

Nimmt man nun â so klein an, dass | (p — l)a”ä | <: 1 ist, so ergiebt sich aus der vorstehenden Gleichung

p—¹    «    p-¹

(v = 0, 1,...»)

Kfft(0) 2 e ^ = 2 «t"äW + 8,

1-1 = 0    (.1 = 0

wo jede der Grössen ev dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist. Es ist aber

p-i

für jeden Werth von v eine symmetrische ganze Function der Grössen ij, §a, ... gr mit ganzzahligen Coefficienten; also ist die ganze algebraische Zahl

2

ju = o

zugleich eine rationale Zahl, d. h. sie ist eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne. Ferner lässt sich zeigen, dass die (n + 1) Zahlen

p-i

2 «o 9r(^u')

(1 = 0

nicht sämmtlich den Werth Null haben. Man hat nämlich

p-1

2 Ni9v{*ù

*) Nach der von Herrn Kronecker eingeführten Terminologie heisst eine Grösse x eine algebraische Zahl, wenn sie einer algebraischen Gleichung von der Form

xv+A₁xv~¹ + --- + Av = 0,

in der die Coefficienten A₁,...AV sämmtlich rationale Zahlen sind, genügt. Sind insbesondere diese Coefficienten sämmtlich ganze Zahlen, so wird x eine ganze algebraische Zahl genannt, und es ist in diesem Falle au eh jede ganze rationale Function von x mit lauter ganzzahligen Coefficienten eine ganze algebraische Zahl.

Hiernach sind, da

«o f 0) = Oo *)”⁺¹ + «i («o *)" + • • • + an aß ⁻¹ (a₀ *) + «B+i «o ist, a₀z₀, a₀zv... a₀zn sämmtlich ganze algebraische Zahlen, und dasselbe gilt also auch, da der Grad der Function gv(z) nicht grösser als n ist, von jeder der Grössen a%gv(zx).

wo IV , Nx, ... Nn sämmtlich positive ganze Zahlen sind; es müsste also, die in Rede stehenden Zahlen alle den Werth Null haben sollten, die Determinante

wenn

\gM\

(X, v = 0,1,... n)

gleich Null sein, was nicht der Fall ist.

Es giebt also mindestens einen bestimmten Werth von v, für welchen

p~ i

eine von Null verschiedene ganze rationale Zahl, und somit

0—1    P-1    #    ³ ⁴    /y»

S nV,(ł)H =    2 e “ = <0,(0) Il (« '+!)

p=z o    P — 0    * = 1

nicht gleich Null ist.

Daraus folgt unmittelbar, dass das Product

rn^+i)

*=i

und somit auch jeder einzelne Factor desselben einen von Null verschiedenen Werth hat; w. z. b. w.

Damit ist, dem oben Bemerkten gemäss, dargethan, dass die Zahl ra und daher auch tc selbst eine transcendente Zahl ist.

Als ein Corollar zu diesem Satze ergiebt sich, dass die »Quadratur des Kreises« eine unlösbare Aufgabe ist, wenn verlangt wird, dass sie durch eine geometrische Construction, bei der nur algebraische Curven und Flächen zur Anwendung kommen, bewerkstelligt werde. (Vergl. den Schlusssatz des §3.)

(1)

(2)

' A'

1 J ^2 >

" A"

... A'r

... Al

(Je)

Af, 4«, ... Af

xa, ,, . XrJ

wobei angenommen werde, dass m jeder der k ersten Reihen wenigstens eine Grösse vorkomme, die einen von Null verschiedenen Werth hat, und in der letzten Reihe keine zwei gleiche Grössen sich finden. Man bilde das Product

S A'aeXa. 2 A^eXh ... 2 A^eXt

i = i    6 = i    ï = i

und bringe dasselbe, welches mit P bezeichnet werde, auf die Form⁵)

P = 2 ÄaAl...A⁽?⁾eXa+Xii+'"+Xt

a,b, ...Ï

Aus der Gesammtheit der Werthe, welche die aus k Gliedern bestehende

Summe

annimmt, wenn man für a, B, ... ï alle möglichen Systeme von k der Reihe 1, 2,...r entnommenen Zahlen setzt, hebe man die von einander verschiedenen, deren Anzahl (w + l) sein möge, heraus; bezeichnet man dieselben mit £₀,    ... #B, so ergiebt sich

¹

Diese Abhandlung, deren Inhalt durch die Überschrift nur unvollständig angegeben wird, ist von mir am 22. Juni 1882 der Akademie vorgelegt worden und bald darauf etwas weiter ausgeführt auch in den »Mathematischen Annalen« (Bd, XX) erschienen,

) Ich bemerke ausdrücklich, dass die Veröffentlichung dieses im Sommer 1882 entstandenen und seinem wesentlichen Inhalte nach am 26. October desselben Jahres in der Akademie vorgetragenen Aufsatzes im Einverständnisse mit Herrn Lindemann erfolgt, und dass ich damit nur bezwecke, die von demselben gegebenen oder angedeuteten Beweise seiner Sätze ohne wesentliche Modification der leitenden Grundgedanken zu vereinfachen und zu vervollständigen. Das erstere erreiche ich hauptsächlich dadurch, dass ich nicht, wie Herr Lindemann es thut, bei dem Leser die vollständige Kenntniss des Inhalts der berühmten Hermite’schen Abhandlung »Sur la fonction exponentielle« (Compt, rend. t. 77, 1878) voraussetze , sondern aus derselben nur die Methode zur Herleitung des in § 1 unter Xr. VI aufgestellten Hülfs-satzes entnehme.

²

Der Aufsatz ist übrigens im Manuscript mehreren befreundeten Mathematikern mitgetheilt und dann unter Benutzung der Bemerkungen, die mir einige von ihnen haben zukommen lassen, umgearbeitet worden. Namentlich hat mir Herr H. A. Schwarz verschiedene redactionelle Änderungen vorgeschlagen, auf die ich gern eingegangen bin. Besonderen Dank schulde ich ferner Herrn Dedekind für eine auf den Beweis des im Anfänge des § 3 aufgestellten Hülfssatzes sich beziehende Mittheilung, durch welche es mir möglich geworden ist, diesen Beweis wesentlich zu vereinfachen.

³

3. Allgemeinere, auf die Exponentialfunction sich

beziehende Sätze.

⁴

I. Zunächst ist der folgende Hülfssatz zu beweisen. Es seien gegeben (& +1) Reihen von je r Grössen:

⁵

Es ist nothwendig, dass bei dieser Umformung von P das Argument der Exponentialgrösse, durch welche das Product aus den Factoren

eX(t, eXb

dargestellt wird, gleich xa-\-Xf}~\—• 4-x^ genommen werde, und nicht etwa, was an sich gestattet wäre, gleich dieser Summe plus einem Vielfachen von 2ni. Ohne diese Festsetzung würden die im Folgenden einzuführenden Grössen Cx nicht gehörig bestimmt sein.

p = sc. A 7. = o

wo für j'eden bestimmten Werth von l

fH

G = 2

Û, O, . .

ist, unter der Bedingung, dass die Summation sich über diejenigen Werthsysteme a,B,...ï, für welche xa + xi + --- + xl = g% ist, erstrecke. Es ist nun zu beweisen, dass unter den so definirten Grössen Cx mindestens eine sich findet, die nicht gleich Null ist.

Die Grössen ... xr können sowohl imaginäre als reelle Werthe haben. Man betrachte eine complexe Grösse t + t'i (wo t, t' reelle Grössen bezeichnen) als positiv, wenn t > 0 oder auch t = 0, £'>0, dagegen als negativ, wenn t < 0 oder auch t = 0, £'<0 ist; dann darf man, da das Product P seinen Werth nicht ändert, wenn in dem gegebenen Grössensysteme irgend zwei Colonnen unter einander vertauscht werden, voraussetzen, es seien die Grössen xlt xa1 ...xr so geordnet, dass die Differenzen

xt — x₂, x₂ — x₃, ... xr_x — xr

sämmtlich positive Grössen sind.

Dies vorausgesetzt, nehme man aus jeder der obigen Reihen (1), (2), ... (Je) die erste Grösse, welche nicht den Werth Null hat, heraus; diese sei A'a in der ersten Reihe, A" in der zweiten,    in der A;t6n, so ist

^4j...4V“⁺^⁺",+Ą

eines der Glieder, aus denen P zusammengesetzt wird. Irgend ein anderes Glied, dessen Coefficient nicht den Werth Null hat, sei

so ist

A'A'^..A^eXa+Xi + -+Xt,

a>a, b>ß, ... f > ,

und es giebt unter den Zahlen a, B, ... ! mindestens eine, welche grösser ist als die entsprechende der Zahlen    x. Folglich ist

\(xa + Xß + — + xa) — (xa + x₆ + — + xt) = (xa-xa) + (xß-xi) + — + (xH-xl)

eine positive Grösse und somit (xa + xh +—vxt) nicht gleich (xa + xß+ ••• + a?J. Es findet sich also unter den Gliedern

A' Al... eXa+Xb+,"+xi

keines, in welchem das Argument der Exponentialgrösse denselben Werth hätte, wie in dem Gliede

A' A" AJ® QX<3iJrX?^—t~xx.

der Coefficient des letzteren ist also eine der Grössen Cv unter denen sich hiernach unter allen Umständen eine findet, welche nicht gleich Null ist.*)

*) Dass man in der Reihe der Grössen C₀, Cv ... Cn eine, die nicht gleich Null ist, ohne Weiteres auf die angegebene Weise ermitteln könne, wenn man die Grössen xu ...xr so auf einander folgen lässt, dass die Differenzen x₁—x₂,x₂—x₃,...xr_₁—xr sämmtlich positive Werthe (in dem festgesetzten Sinne) erhalten, ist eine Bemerkung, die ich Herrn Dedekind verdanke.

2

a⁼¹

niemals den Werth Null hat.

Man bezeichne die Grössen, welche aus der vorstehenden Summe dadurch

hervorgehen, dass man in derselben die Grössen x₁,...xr auf jede mögliche Weise permutirt, mit

V' y»    y®

A*. j A j • • • A j

wo h = r\ ist, so hat, wenn n irgend eine der Zahlen 1,2, ...ß bedeutet, Xm die Form

x(n)

/•

ten

II. Nunmehr seien, wie in § 2, æa, ... xr die Wurzeln einer Gleichung Grades

xr + c₁xr 1 -----b cr — 0,

deren Coefficienten sämmtlich gegebene rationale Zahlen sind, und deren Discriminante einen von Null verschiedenen Werth hat.

IV₂, ... N gegebene ganze Zahlen, unter denen wenigstens eine nicht gleich Null ist. Dann lässt sich beweisen, dass die Summe

Ferner seien

= 2 jV'"'«®! ?=1

wo

.. JV}(n) aus der Eeihe iV₂, ... Nr durch

Setzt

die Eeihe der Zahlen N^\ iV₂(n), . bestimmte Permutation der Glieder der letzteren hervorgeht.

eine man dann

p = U x(n)

so ist

(1.)

p = 2 N^'...iVf⁾ea;a+Ä;ö + '"+ir!, (0,6,...1*1,2,...r)

a,b,...ï

woraus sich, wenn man die von einander verschiedenen Werthe der Grössen wie in I., mit #₀, zti ... zn bezeichnet

(2.)

P = 2 0»«*»

Ä = o

ergiebt, wo jetzt die Grössen Cx sämmtlich ganze Zahlen sind, von denen,

dem in I. Bewiesenen gemäss, wenigstens eine nicht gleich Null ist.

45*

Mittels der gegebenen Gleichung, deren Wurzeln x^ ... xr sind, kann man nun eine Gleichung (w+l)ten Grades mit lauter ganzzahligen Coefficienten hersteilen, deren Wurzeln die Grössen £₀, z^ ... zn sind. Bildet man nämlich, unter z, |l5 fja, ... |r von einander unabhängige Veränderliche verstehend, aus den durch die Formel

(a, b,... Ï = 1,2,... r)

(ia+ £& +----1 li)

repräsentirten Grössen ein Product, so ist dasselbe eine ganze Function von #, ii? ... er mit lauter ganzzahligen Coefficienten, und zugleich eine symmetrische Function von fji} g₂, ... gr, verwandelt sich also, wenn man ^ = xlt — x₂, ...    = xr setzt, in eine ganze Function von z mit lauter rationalen

Zahlcoefficienten, welche für z = z₀, zt, ... zn, und zwar nur für diese Werthe von z, verschwindet. Dividirt man dann diese Function durch den grössten Theiler, den sie mit ihrer ersten Ableitung gemein hat, so ist der Quotient eine ganze Function (^ + l)ten Grades, aus der man, indem man sie mit einer passenden ganzen Zahl multiplicirt, eine ganze Function

(8.)

f(z) = a₀zn+1 + axzn-----f ctn+1

erhält, welche lauter ganzzahlige Coefficienten hat und für z = z₀z^...zn verschwindet.

Aus dieser Function f(z) kann man nun, nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Grösse d, ein System von (» +1) ganzen Functionen

••• 9n(*)

von der im Schlusssätze (VI.) des § 1 angegebenen Beschaffenheit ableiten, so dass, wenn

ß = 0,1,...

\v = o, l,...

GO

9Me*x-9Me** =

gesetzt wird, jede der Grössen eir ihrem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist. Dann ergiebt sich aus dem obigen Ausdrucke der Grösse P

(5.)

0 = 0,1,... n).

KgMe-^p = 2 CiKs.M + «."« e’» 2 %Xx

?. — o    X—o

Hier ist nun jede der Grössen a”gr{Zy) eine ganze algebraische Zahl; es lässt sich aber zeigen, dass jede der (rc + 1) Summen

S Cx<$9M

eine ganze rationale Zahl, d. h. also eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne ist.

Versteht man wieder unter #, |l5 |a, ... |r von einander unabhängige Veränderliche, so ist das Product

2 2V'. 2 N* eh ... 2 2V<Ä)

a = i    6=i

und somit auch die Summe

2 N'NZ...N}k)e^ + Lb + '" + èî

(a,B, ...Ï = 1, 2,...r)

a,b,...ï

eine symmetrische Function von gl7 ga, ... gr. eine Potenzreihe von gl} g₂, . dieser Reihe, nämlich

Entwickelt man dieselbe in .. so ist die Summe der Glieder mter Dimension

A- s jr;jç...j/«(êa+&+- + i,r

KI ' a,b,...ï

(a, f>,... ï = 1, 2,... r)

und daher auch, wenn g{z) eine beliebige ganze Function von z ist,

jvZ^..Jv?V&,+ &+--- + fc) («.».-* = i.«. •••’•)

.Ï

Die

eine symmetrische ganze rationale Function der Grössen letztere erhält also, wenn man (für v = 0, 1, ... n) g{z) = gv{z) annimmt und | = iCj, |₂ = xa1 ... %r = xr setzt, einen rationalen Werth, der sich durch Multiplication mit ano in eine ganze Zahl verwandelt.

Obigen für jeden bestimmten Werth von A

cx = s' nw...K\

a,b,...I

die Summation über diejenigen Zahlensysteme, für welche

X<x +    + ’ ’ * +

Es ist aber nach dem

(6.)

wenn

ist, erstreckt wird, und daher

(7.)

2 ci<Cj.W =

* = 0    c

also auch Cxa"gv(zx) eine ganze rationale Zahl.

X=o

Es lässt sich aber auch zeigen, dass diese Zahl wenigstens fiir einen Werth von v einen von Null verschiedenen Werth hat. Da nämlich die Grössen Cx nach I. nicht sämmtlich gleich Null sind, so müsste, wenn alle (w + l) Zahlen

o = 0,

den Werth Null hätten, die Determinante

(X, v = 0,1,... ri)

gleich Null sein, was nicht der Fall ist.

Nimmt man also die Grösse so klein an, dass jede der Grössen

<e~‘‘â ±

X — o

so findet sich unter den

dem absoluten Betrage nach kleiner als 1 ist Grössen auf der Rechten der Gleichungen (5.) wenigstens eine, die nicht gleich Null ist; woraus sich unmittelbar ergiebt, dass das Product P, und somit auch die Grösse

welche ein Factor dieses Productes ist, einen von Null verschiedenen Werth hat; was zu beweisen war.

Selbstverständlich gilt dieser Satz auch, wenn unter 2VS, ... Nr rationale Zahlen verstanden werden.

Nimmt man für xi: x₂, ...xr irgend r von einander verschiedene ganze Zahlen an, so ergiebt sich als ein besonderer Fall des vorstehenden Theorems der von Hermite bewiesene Satz, dass die Zahl e keine algebraische Zahl ist.

Eine naheliegende Verallgemeinerung des Theorems ergiebt sich folgender-maassen :

Sind xl)xi)...xr irgend r gegebene, von einander verschiedene algebraische Zahlen, so lässt sich stets eine algebraische Gleichung — im Allgemeinen von höherem als dem ?,ten Grade — mit lauter rationalen Zahl-coefficienten und nicht verschwindender Discriminante hersteilen, unter deren Wurzeln die gegebenen Grössen #₂, ... xr sich finden. Ist der Grad dieser

Gleichung gleich r, so sind xx) x^ ... xr solche r Grössen, für welche das bewiesene Theorem unmittelbar gilt. Hat die Gleichung aber ausser xt, x₂, ... xr noch l andere Wurzeln

r+l

und werden unter JV, N, ... N

%r+1, ... Xy+l >

rationale Zahlen verstanden, so ist

r+l

2 N,***

sämmtlich den Werth Null

nur in dem Falle gleich Null, wo Nx, JV₂, ... N} haben.

N = 0 an, so ergiebt sich:

Werden unter x^x^...xr irgend r von einander verschiedene algebraische Zahlen, unter Nx, W₂, ... Nr aber beliebige rationale Zahlen verstanden, so kann die Gleichung

r+l

Nimmt man also für jeden Werth von p, der grösser als r ist,

S Nexd = 0

nur dadurch befriedigt werden den Werth Null giebt.

III. Jetzt seien

dass man jeder der Zahlen NQ

X,, xf, ... xr,

ry    ry    ry

a/1 y t^/9 j • • •    «A/j.

zwei Systeme von je r gegebenen algebraischen Zahlen, wobei angenommen werde, dass die Grössen Xl,Xjj1... Xr nicht sämmtlich gleich Null seien, und unter den xt, x₂, ... xr keine zwei gleiche sich finden.

Die Grössen Xx1 X₂, ... Xr lassen sich durch eine Grösse g, welche eine der Wurzeln einer bestimmten irreductiblen algebraischen Gleichung mit lauter rationalen Zahlcoefficienten ist, in der Form

Xt =    X₂ = 0,(g), ... Xr = Gr(g)

Bezeichnet man mit g'

ausdrücken, wo GX(Q₉ G₂(g), ... Gr(Q ganze Functionen von g, deren Coeffi-cienten sämmtlich rationale Zahlen sind, bedeuten.

irgend eine andere Wurzel der genannten Gleichung, so sind die Grössen

GW), ^(g'), ... W)

nicht alle gleich Null, weil der bekannten Eigenschaft einer irreductiblen Gleichung gemäss 6rç(§') nicht gleich Null sein kann, wenn nicht (für denselben Werth von p) auch G ($) = 0 ist. Nun seien |,    ... g

der in Rede stehenden Gleichung, so bringe man das Product

(*-o

sämmtliche Wurzeln

P = 2 <?.(«)**'■-Ś G,(ï')ex\..±Gt(f-‘>)eXl

a = 1    6 = i    t = i

auf die in I. beschriebene Weise, indem man für die dort mit

A"    /((*)

» ...

bezeichneten unbestimmten Grössen beziehlich

Al

»,«). ff,«-), •••

substituirt. auf die Form

.. zn also von einander verschiedene algebraische Zahlen

wo die Grössen z0l z

sind, die C₀, (7l? ... Gn aber zunächst als symmetrische ganze Functionen von mit lauter rationalen Zahlcoefficienten und sodann sämmtlich als

ij i'j ••• i

(*-o

rationale Zahlen dargestellt werden können. Da nun C7₀, C7a, ... O nicht sämmtlich gleich Null sind, so hat nach dem Schlusssätze von II. die Grösse

n ?

2 c>. e l

unter den in Betreff der Grössen Xl} X₂, ... Xr1 xx, x₂, ... xr gemachten Voraussetzungen einen von Null verschiedenen Werth. Dasselbe gilt also auch von dem Producte P und somit auch von dem Ausdrucke der ein Factor des Productes ist.

Damit ist bewiesen:

»Werden unter xl)x2l...xr irgend r von einander verschiedene, unter X1? X₂, ... X. aber beliebige algebraische Zahlen verstanden so kann die Gleichung

nur

in dem Falle, wo Xl5 X₂, ...Xr sämmtlich den Werth Null haben, bestehen.«

In diesem von Lindemann ohne ausgeführten Beweis aufgestellten allgemeinen Satze finden die von Hermite begonnenen Untersuchungen über die Exponentialfunction ihren Abschluss.

IV. Schliesslich mögen noch einige, aus dem vorstehenden Theorem unmittelbar sich ergebende specielle Sätze angeführt werden.

Nimmt man r — 2, Xl = — 1,    = 0 an und setzt x für xt1 X für X

so ergiebt sich, dass die Gleichung ex = X nicht bestehen kann, wenn x, X beide algebraische Zahlen sind und zugleich x einen von Null verschiedenen Werth hat. Daraus folgt:

»Die Exponentialgrösse ex ist stets eine tr'anscendente Zahl, wenn x eine von Null verschiedene algebraische Zahl ist.«

»Der natürliche Logarithmus einer algebraischen Zahl X ist immer eine transcendente Zahl, wenn X nicht den Werth 1 hat.«

Diese beiden, von Lindemann besonders hervorgehobenen Sätze scheinen mir zu den schönsten Sätzen der Arithmetik zu gehören.

Nimmt man ferner

X₂ = -i

x₃ = 0

x₂ = — Xx

r — 3

an und setzt — für xt1 X für X₃, so ergiebt sich, dass die Gleichung

2 siny

nicht bestehen kann, wenn x, X beide algebraische Zahlen sind und x einen von Null verschiedenen Werth hat. Daraus folgt:

Ein Kreisbogen, dessen Sehne, durch den Halbmesser des Kreises gemessen, eine algebraisch ausdrückbare Länge hat, kann nicht durch eine geometrische Construction, bei der nur algebraische Curven und Flächen zur Anwendung kommen, recti-ficirt werden; ebensowenig ist der zu einem solchen Bogen gehörige Kreissector durch eine derartige Construction quadrirbar.

Hat nämlich in einem Kreise, dessen Halbmesser als Längeneinheit angenommen wird, ein Bogen die Länge &, seine Sehne also die Länge 2sin-^-und der zugehörige Kreissector den Inhalt \x, so würde, wenn durch eine Construction der angegebenen ■ Art der Bogen rectificirbar oder der Sector quadrirbar wäre, daraus eine algebraische Gleichung zwischen x und 2 sin sich ergeben. Eine solche Gleichung existirt aber nicht, wenn 2 8^^, w angenommen, eine algebraische Zahl ist.

Fast alle in diesem Bande abgedruckten Abhandlungen sind einer sachlichen Durchsicht unterworfen worden, und zwar durch die Herren G. Frobenius (Nr. 7), K. Hensel (Nr. 2), G. Hettner (Nr. 1,4), H. v. Mangoldt (Nr. 8 bis 15,17), R. Rothe (Nr. 5,6). Jeder dieser Herren hat auch mindestens eine Correctur des von ihm durchgesehenen Textes gelesen. Die erste Correctur aller Bogen bis auf drei ist durch Herrn R. Rothe, die Revision vom 18. Bogen an durch Herrn A. Gutzmer besorgt worden. Herr C. Bar ich hat sämmtliche Bogen in typographischer Hinsicht revidirt.

2D o"

I

.

Göttingen, Druck der Dieterich’scken Univ.-Buchdruckerei (W. Fr. Kästner).

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

Verlag von Mayer & MülIer in

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

MATHEMATISCHE W

VON

KARL WEIERSTRASS

111-306281

ERSTER BAND: ABHANDLUNG!

DruK. u. J. /.am. o->u. xu.vw.

1894. Auf Druckpapier Preis broschirt M. 21,—, in Original-Halblederband M. 24,—. Auf Schreibpapier (nur bei Subscription auf alle erscheinenden Bände) broschirt M. 28,—.

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DESCARTES, Réné, Geometrie. Deutsch herausgegeben von Ludwig Schlesinger. Mit 2 Figurentafeln. 1894. M. 3,60.

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