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MATHEMATISCHE WERKE

VON

KARL WEIERSTRASS.

HERAUSGEGEBEN

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UNTER MITWIRKUNG EINER VON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

ERSTER BAND.

ABHANDLUKGEN I.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER. 1894.

Biblioteka Politechniki Ki akowskiej

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MATHEMATISCHE WERKE

YON

KARL WEIERSTRASS.

I

MATHEMATISCHE WERKE

YON

KARL WEIERSTRASS.

HERAUSGEGEBEN

UNTER MITWIRKUNG EINER YON DER KÖNIGLICH PREUSSISCHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN EINGESETZTEN COMMISSION.

ERSTER BAND.

ABHANDLUNGEN I.

BERLIN.

MAYER & MÜLLER.

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Übersetzungsrecht Vorbehalten.

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VORWORT.

Bereits vor mehr als fünf Jahren hatte ich mich entschlossen, eine Gesamtausgabe meiner mathematischen Werke zu veranstalten. Aber ich hatte kaum mit den dazu erforderlichen Vorarbeiten begonnen, als mich ein hartnäckiges Leiden heimsuchte, das mich jahrelang vollständig arbeitsunfähig machte. Erst im vergangenen Sommer besserte sich der Zustand meiner Gesundheit soweit, dass ich hoffen durfte, es würde sich mein Vorhaben unter bestimmten Bedingungen doch noch durchführen lassen. Allerdings konnte ich bei meinem hohen Alter nicht mehr erwarten, dass es mir möglich sein werde, das geplante Werk in der ursprünglich beabsichtigten Weise zu Ende zu führen; ich musste daher dafür Sorge tragen, dass auch im Falle meines Todes oder einer längeren Erkrankung die Herausgabe keine Unterbrechung erfahren werde. Dazu hat sich nun durch das bereitwillige Entgegenkommen der hiesigen Akademie der Wissenschaften ein Weg finden lassen. Die Akademie hat aus ihrer Mitte eine Commission von vier Mitgliedern ernannt, welche die Herausgabe der in Rede stehenden Arbeiten überwachen und sich im Falle eines etwaigen Abgangs eines Mitgliedes durch freie Wahl ergänzen soll. Diese Commission, welche zur Zeit aus den Herren Au wers, Frobenius, Schwarz und mir besteht, hat mit der eigentlichen Herausgabe'die Herren Hettner, Knoblauch, Fritz Kötter, Phragmén und Stickelberger betraut. Einige andere Herren, deren Namen am Schlüsse der einzelnen Bände genannt werden sollen, sind an der Herausgabe durch die Revision und Correctur specieller Abhandlungen betheiligt. Alle diese Herren haben die ihnen zugedachten Arbeiten bereitwilligst übernommen, wofür ich ihnen an dieser Stelle meinen verbindlichsten Dank ausspreche. Dieses gilt namentlich von Herrn Knoblauch, dessen thätigem und umsichtigem Vorgehen es hauptsächlich zu verdanken ist, dass der erste Band in verhältnissmässig kurzer Zeit hat fertig gestellt werden können.

Berlin, den 15. Mai 1894.

Karl VMeierstrass.

1.

« 2.

io

zó

8.

* 9.

10.

11.

INHALTS-VERZEICHNISS.

Über die Entwicklung der Modular-Functionen.........

Anmerkung.....................

Darstellung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, deren absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt

Zur Theorie der Potenzreihen .    ..............

Definition analytischer Functionen einer Veränderlichen yermittelst algebraischer Differentialgleichungen............

Anmerkung.....................

Bemerkungen über die analytischen Facultäten........

(Jahresbericht über das Königl. Progymnasium in Dt. Crone vom Herbst 1842 bis zum Herbst 1843, S. 3—17.)

Reduction eines bestimmten dreifachen Integrals........

Beitrag zur Theorie der Abel’schen Integrale.........

(Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg in dem Schuljahre 1848/49, S. 3—23.)

Zur Theorie der Abel’schen Functionen...........

(Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd.47 (1854), S. 289—306.) Anmerkung.....................

Über die Theorie der analytischen Facultäten.........

(Crelle’s Journal Bd. 51 (1856), S. 1—60; Abhandlungen aus der Functionenlehre (Berlin 1886), S. 183—260.)

Akademische Antrittsrede................

(Monatsberichte der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1857, S. 348—351.)

Über die Integration algebraischer Differentiale vermittelst Logarithmen (Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1857, S. 148—154.)

Seite

1-49.

50.

51—66.

67—74.

75—84.

85.

87—103.

105—109.

111—181.

183—152.

152.

153—221.

223—226.

227—232.

Seite

12.    Über ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theo

rem, nebst Anwendung desselben auf die Theorie der kleinen Schwingungen .................... .    .    .

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, S. 207—220.)

13.    Neuer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra . .

14.    Über die geodätischen Linien auf dem dreiaxigen Ellipsoid ....

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1861, S. 986—997.)

15.    Bemerkungen über die Integration der hyperelliptischen Differential-

Gleichungen .....................

(Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1862, S. 127—133.)

16.    Zur Integration der linearen partiellen Differential - Gleichungen mit

constanten Coefficienten.................

(Acta mathematica Bd. 6 (1884), S. 254—279.)

Anmerkung .....................

17.    Theorie der Abel’schen Functionen.............

(Crelle’s Journal Bd. 52 (1856), S. 285—339.)

Anmerkungen.....................

233-246.

247—256.

257—266.

267—273.

275—295.

296.

297—355.

ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN.

von

In der Einleitung zu dem »Précis d’une théorie des fonctions elliptiques« Abel (Crelle’s Journal, B. 4, S. 244; vgl. B. 6, S. 76) findet sich die Bemerkung, dass die Modular-Function snw — von Abel a. a. O. durch Я (и) bezeichnet — ausgedrückt werden könne als Quotient zweier nach ganzen Potenzen von и fortschreitenden und beständig convergirenden Reihen, deren Coefficienten ganze Functionen des Moduls sind. Der vorliegende Aufsatz enthält einen Versuch, die Entwicklung dieser Reihen, sowie ähnlicher für die übrigen Modular-Functionen, auszuführen und zugleich nachzuweisen, wie von ihnen auf eine einfache Weise zu den übrigen bekannten Darstellungen dieser Functionen übergegangen werden kann. Es erschien zweckmässig, bei der ganzen Entwicklung nur die Fundamental-Eigenschaften der Modular-Functionen vorauszusetzen, sowie auch besonders darauf gesehen ' worden ist, die Gültigkeit der Formeln auch für imaginäre Werthe des Arguments und des Moduls zu zeigen.

§ 1.

Aus den zur Definition der Modular-Functionen snw, спи, dnw mit dem gemeinschaftlichen Modul к dienenden Differential - Gleichungen

ddnw

(L)

dsnw

du

— cnwdnw

öcnw

du

= — sn u dn и

du

= — Fsnwcnw

I.

zu denen noch die nähere Bestimmung kommt, dass für u = 0 snw = 0, cnи = 1, dnw = 1 sein soll, lassen sich für diese Functionen zunächst unendliche Reihen von der Form

2/*-fl

sn и =    и + «j и³ H-----i-aru

(2.)

cn u —    1 + Ь₁м²-|-----\-bru2r-\—

dnu =    1 + схи²л-----b cru2r-\—

herleiten, in welchen die Coefficienten ganze Functionen von /с² sind, deren nähere Kenntniss für den gegenwärtigen Zweck nicht erforderlich ist. Diese Reihen können nun zwar nicht immer convergent sein, wie man sich leicht überzeugt; man darf aber annehmen, dass sie es für jeden reellen und imaginären Werth von и sind, dessen absoluter Betrag eine bestimmte, von dem jedesmaligen Werthe des Moduls abhangende Grenze nicht überschreitet.¹) Aus den Formeln, welche sn(«« + v), cn(u + v), dn (u + v) durch sn«, cnw, dni«,

dn^- ausdrücken lassen, wenn n eine ganze positive

snv, cm;, dm; ausdrücken, ist ferner sofort ersichtlich, dass sich snw, cnm, dm« rational durch sn —

Zahl bedeutet, in der Art, dass man

(3.)

snw

спи

, В

dn?« =

о

sind. W erden

hat, wo P, Q, JR, S ganze Functionen von sn-^-, cn — für sn^-, cn-^-, dn-^- ihre Reihen-Entwicklungen substituirt, so gehen auch P,

Q, P, S in unendliche, nach ganzen Potenzen von и fortschreitende Reihen über; und wenn angenommen wird, dass die Reihen (2.) convergiren, sobald der absolute Betrag von и kleiner als eine bestimmte Grösse a ist, so sind die Reihen für sn —, cn —, dn— und demnach auch die Reihen-Entwicklungen von P, Q, R, S convergent für jedes ?«, dessen absoluter Betrag kleiner als na ist. Da nun na mit n ohne Ende wächst, so steht zu erwarten, dass P, Q, R, S für n = oo in solche Reihen übergehen, die beständig convergiren, und man auf diesem Wege zu Entwicklungen der Modular-Functionen gelangen werde, die für jeden beliebigen Werth des Arguments gültig bleiben. Dies ist jetzt durch eine nähere Betrachtung der Ausdrücke P, Q, R, S zu bestätigen. Man hat

Ô² log SELM

du²

= ¥ snu²

snw²

GO

a² log с пи

д и²

= ¥ sn и²

dim²

СП и²

ô²logdnw

du²

= 7c²snw²

¥ сп и²

dn«t²

und daher

(5.)

a² log P    _ a²log S    ¥P²

du²

p2

du²

d²log$ , B²

ô² log S , ¥ P²

ôm²

ÔM²

/S

a² log P ¥Q² _ a² log s , &²p²

du²

R²

du²

s² *

Durch die Entwicklung der logarithmischen Differentiale erhält z. В. die erste Gleichung die Gestalt

p a²P ap ap aw²    a^ a«

+ S² s

a²£ a£ as

du²

ам ам

~^ + ¥P

/S²

Ohne die entwickelten Ausdrücke von P, £ zu kennen, lässt sich doch aus der Art, wie sie aus den Grundformeln abgeleitet werden können, über ihre Form Folgendes angeben. (Vgl. Abel Précis § 4.) Es werde ~ — v gesetzt, und es mögen die grossen deutschen Buchstaben überhaupt ganze Functionen von snv bezeichnen, wo dann der Grad durch einen beigefügten Index angedeutet werden kann, so ist

I. wenn n ungrade

nn ?

ap

du

= —en v dn V

ast

wn

aSny

= cn«;dn«;S3

nn—1 )

a²p

-r—г- = -^-cim²dn«;²

du² n

a²st

Hfl

i a²snv ast

asnv² + n² dv² asnw

= (S

nn + 2 7

ap²

an²

2nn + 2 ?

s = st:

dS

nn—1 7

- = cnwdnüS3'

аи

nn—2 7

d²S

-r-j- = -4-cn^²dnü²

an n

a²st:

nn —1

a sn«;²

i a²sn«; ast' .

_l----

n² dv² asnv

nn+1 ?

dS

an²

2nn 7

1*

Ferner sind

P% P

II. wenn n grade P = cnvdnwÜt

ии- 3 ?

= — en V² dn V²

1 ö²sdv d sn V n dv²

d§t

wn- 3

d²P

ö»

d²P

dit²

dw

nn-1 ?

2n»—2 ?

dw²

= <g

2nn7

dS

nn 7

= cnw dny 23'

dw

nn—1 ?

d²S

du²

= -Д- en V² dn V²

n²

d²Si[;,n 1 d²sn^ dSl^, dsn^² n² dv² dsnv

nn + 2 1

dS²

du²

= 3)'

2nn + 2'

d²P dP dP dw2 J dw dw

d²S dS dS du² ’ dw dw

grade Functionen von snv, und der Coefficient von snv² in S ist gleich 0. Hieraus erhellt, dass die Ausdrücke

d²P dP dP

d²S dS dS

du²

du du

du²

du du

-7Г- + 1C²P²

ganze, und zwar grade Functionen von sn-y sind, deren Grad um zwei Einheiten höher als resp. der Grad von P² und S² ist. Da ferner P², S² keinen gemeinschaftlichen Factor haben, so muss vermöge der obigen Gleichung der erste Ausdruck durch P², der zweite durch S² theilbar, und der Quotient für beide derselbe sein. Man kann daher setzen

d²P dP dP

du* du Ж+ S‘ = ^ + ÄSn8)i> ’

d²S dS dS

du²

du du

+ 7c² P² = (g + h sn V²) S'

wo h von и unabhängig sind. Wird и — 0 gesetzt, so ergiebt sich aus der zweiten Gleichung g = 0. Ferner, wenn l den Coefficienten der höchsten in P, S vorkommenden Potenz von sny bezeichnet, so erhält man mit Rücksicht auf das über die Form von P, S etc. Bemerkte für den Fall, dass n ungrade ist, aus der ersten der vorstehenden Gleichungen

2 Jc²n²

n²(n²— 1)

n²

7c²l²+

n²

n²

= kl², d. h. h = 7c² j

und wenn n grade ist, so giebt die zweite Gleichung denselben Werth für h. Man hat daher

d²S dS dS

du²

du du

+ h²P² = Je² snv²S²,

oder

S²

Hiernach erhält man ans (5.)

дЧоgP

du²

d²log$

sn u2 dn u²

(6.)

du²

cn и²

-F(Sn0

-Wsn-Y

ö² log R ¥ cn u²

du²

dnw²

hian^j

ö²log£

du²

+ ß²snw² — 7<;²(sn-^-j = 0.

Nun können

dn и² ¥ cn u²

sn и² ’ cn u²

dn u²

¥snu² in Eeihen von der Form

sn u2 dn u²

cn u2 FsnM2 dnw²

~^2~ + 1 + cc₁ u² + • • • + ccr u²' + • • • l + ßlU²+... ₊ ßyr₊...

¥+y₁u²+--- + yru2r '+•••

¥ sn u² =

¥ u²+ д₂и*+ ••• + dru2r+ •••

entwickelt werden. Setzt man dann

u²

-lo gu + — + cc1 u²

~Y + ßi ¥u²

~ + 7г

¥u⁴

u*

2r+2

3.4

г*⁴

3.4

W⁴

3.4

(2r + 1) (2r + 2)

-1------ cp(ü)

4-----V ßr

2ł- + 2

(2г + 1) (2г + 2)

2i-+2

so dass

3.4

+ d₂

5.6

(2г + 1) (2г + 2) и2г+2

(2 г + 1) (2г + 2)

<9 ²<p(w) _    1

ôw²

ô²4»(«0 _ dnw² ô²/ (et) _ Fcnw² ô² 3 (m)

sn W²

<3г«²

cnw² ’

ÔM²

dnw²

ôm²

- = &²snw²

ist, und

Al (w), = е~*(и\

Al (и), = e~'p(u)

Al (u)₃ = e~y-(u\

Al (u) = <Гд(и),

so können Al(w)l5 A1(m)₂, А1(г<)з, Al(w) in Reihen von der Form

Al(w)j = u + A₁ и³ -I-----1-Aru2r+1-j—

(7.)

Al (w)₂ = 1 + P₁ m²+ • • • + JBru2r А ’ • •

Al (u)₃ = 1 + u² + • • • + Cr u²' + • • •

Al (и) = 1 + D₂ u* -(-••• -j- Dr u2r -f- • • •

entwickelt werden, und es ist

ö²logAl(w)

(8.)

du²

snu²

= 0,

d² log Al (u)

du²

dn u²

спи

= 0,

д² log Al (и)

к² en и²

d² log Al (и)

ди²

dn и²

ди²

+ Ä²snw² — 0.

Verbindet man diese Gleichungen mit (6.), so erhält man

d² log P    <3² log Al (ü) j

du²

du²

+ n²

du²

ô²lo gQ    <3²logAl(w)₂

du²

du²

+ n²

du²

ô²logP ô²logAl(M)₃

anogD(f)

du²

du²

du²

ô² logiS ô²logAl(w)

w(f)

du²

du²

du²

= 0,

und hieraus ergiebt sich, wenn man zugleich beachtet, dass zufolge der angegebenen Form von P, Q, P, S die Reihen-Entwicklungen dieser Ausdrücke ganz dieselbe Form haben, wie die Reihen (7.)

(9.)

А1(м)а = D Al(w) '= JDnn(^)-S

und

P    Al (м)₈

Ппг^ = -Ö- = Л1Н--iS    Al (м)

Q ₌ А1 (м)2 iS Al (и)

, ч    Р    А Цм)»

(10.) snw — ₅ — дддо i

Nimmt man nun wie vorhin an, dass die Reihen (2.) bei einem bestimmten Werth von к convergiren für alle Werthe von w, deren absoluter Betrag kleiner als a ist, so sind auch — nach bekannten elementaren Sätzen — die

ciiw

Reihen für Psn гг², й(гг), und — weil die Exponential-Reihe beständig con-yergirt — auch die Reihe, worin D (и) —    entwickelt ist, sicher für

dieselben Werthe von и die für D

na ist; für einen solchen Werth sind aber, wie schon bemerkt, auch die Reihen - Entwicklungen von P, Q, P, $, und somit vermöge der Gleichungen (9.), auch die von

letzteren von n unabhängig sind, na aber beliebig gross angenommen werden kann, so folgt, dass die Convergenz stattfinden muss für jeden noch so grossen, d. h. für jeden beliebigen Werth von u. Jede der Modular-Functionen snw, спм, dnw lässt sich demnach als Quotient zweier nach ganzen Potenzen von и fortschreitenden und für jeden Werth von гг, wie von h convergirenden Reihen darstellen. Die Coefficienten dieser Reihen sind, wie aus der vorstehenden Entwicklung ersichtlich ist, ganze Functionen von Ä;².

Die Gleichungen (8.) lassen sich nun auch so schreiben

nn

convergent. Die Reihe für convergirt also, sobald der absolute Betrag von

und mithin auch и kleiner als

А1(гг)₁₅ А1(гг)₂, А1(гг)₃, Al (гг) convergent.

Da aber diese

Al (гг),

d² Al (гг), dAl (гг), öAl (гг)

<3гг²

du

du

+ Al (гг)² = 0

Al (гг)₂

<Э²А1(гг)₂    <ЗА1(гг)₂ <ЗА1(гг)₂

(11.)

бгг²

du

du

+ Al (гг)| = 0

Al (гг)₃

(Э²А1(гг)₃ бА1(гг)₃ <ЭА1(гг)₃

<3гг²

ди

du

+ 7с² Al (гг)! = О

А1(гг)

д² А1 (гг) ôAl (гг) ÔA1 (гг)

<3гг²

du

du

+ &²А1 (гг)! = ⁰

und vermittelst dieser Gleichungen Hessen sich die Coefficienten der Reihen (7.) vollständig bestimmen. Man kann aber, wenn man auch den Modul als veränderlich ansieht, partielle Differential-Gleichungen herleiten, welche für die Reihen-Entwicklungen bei weitem geeigneter sind.

aon

Es werde

crm = у,

А 1(м)₁ = р, gesetzt. Man hat

А1Н = q

dim = z Al(tt)₃ = г,

А1 (гг) = s

d²x

— (1 + Je²)x + 2ä²^³.

du²

Differentiirt²) man die erste Gleichung nach k₎ so ergiebt sich

dx d²x du дидк

dx

— [— (1 + к²) X + 2F X³]    — lex² (1 — x²)

oder, wegen der zweiten

dx d²x dx d²x du dudle die du²

lex²

lex²

dx\²

1 — ¥ x²

1 ¹ JL

g²    le 8² **" le'

du

Es ist aber

le'²

le'²

du²

8²

8²

oder weil (§ 1, 8.) le²æ² —

d² log s

du²

ist,

le'²

ä/Öl0g£

\ du

1 d8

8 du

) ä(al°B    +M\

)    \ du    8    )

8²

du

du

Multiplicirt man daher die vorangehende Gleichung mit &(1 —&²), so kommt

Je(l-Je²)

+ 1 -Je²,

dx d²x dx d²x du dudle die du²

dx \²

ô/alog£_Fa+ A \ du    8    }

du

du

woraus

wenn man nach и integrirt

dx

die

= —le² и

d log s le² xy

du

du

oder

(i.)

dx

du

folgt. Differentiirt man die Gleichung

d² log 5

du²

+ k²x² = 0

nach и und к, so erhält man

Ô³ log s

du³

+ 2k? X

dx

dît

ö³logs

dx

du² dk

+ 2 Je² X -ту- + 2k X² — 0.

dk

Vermittelst dieser beiden Gleichungen kann man ~ aus (l.) eliminiren, und erhält dann

k{l-k²)

d³ log s

du² dk

+ k²u

d³ log s d log s d³ log s

du³

du

du³

+ 2k²x²—2kixi = 0.

Diese Gleichung werde in Beziehung auf и integrirt, so findet sich, wenn man bemerkt, dass

ist,

Aus

f.

J 0И*

d log s d³ log s

dît

du³

du —

du =

f k² x² du

/

ô²logs d log s

-г ö;

du²

du

d log s d² log s

du

du²

П d² log s V

J₀\~ä¥-J

du

d log s d² log s

Л/

du

du²

j xi du

*T>

ölogs

du

du dk    du    du    du du du

d² log s

§№ f x* du = 0.

*T>

du²

+ k²x² = 0 folgt aber ferner

d⁴ log s

+ 2 k²

i-S

du

d⁴ log s

du*

+ 2k² x

d² x

du²

**<)

0,

d* log s

+ 2k²— 4&² (1 + V) X² + 6k* x* = 0,

und hieraus durch Integration

Ô³ logs

du³

+ 27г²м + 4(1 + й²)

dlogs

du

+ Qk f

*r>

x*du = 0.

der vorhergehenden, die auch /xidu enthält,,

*4)

Wird diese Gleichung zu addirt, nachdem die letztere mit 2 multiplicirt worden, so ergiebt sich

I.

d³logs

du³

+ 2 h²u

ö²logs ölogs ö²logs + 2

du²

du du

ö log s

du

+ 2h(l-h²)

ö²log s

du dh

+ 2h“ и = 0,

und hieraus durch Integration in Beziehung auf и

dlogs

d² log s

du²

+ 2 h²u

dlogs

du

dh

+ h²u² = 0.

Substituirt man nun hier

6logs _ 1 ös

s du ¹

und multiplicirt mit s, so kommt

du

ö²logs _ 1 ö²s 1 /ös\²

s du² s² l öw J ¹

du²

ölogs _ 1 ös

s ö& ’

dh

(2.)

ö²s

ÖS

ÖS

_ ₊ 2*>м_₊2*(1-*’)ж + ^ = 0.

Setzt man in (1.) x — —, so ergiebt sich

s

dp s S

ds

h(i-h²)

dh P dh

dp ds s —

du P du

s²

s²

tfŁ ₊ h*Ą-

s²

oder, wenn man mit 2ps³ multiplicirt,

ps² ^2&² w —-

ÖM

— h²p²s²+2h²pi = 0.

Aus der Gleichung

folgt aber

s²

ös

= s⁴— (1 + h²)p²s² + h²p*,

und wenn man vermittelst dieser Gleichung 2ps —- — aus der vorhergehenden

eliminirt

— s*

= sp

-h²p*.

Weil aber (§ 1, (8.))

(dp y [du)

d²p

= fe?+s!

ist, so verwandelt sich diese Gleichung, durch ps dividirt, in: woraus vermöge (2.)

(3.)

^ + 2k²u^- + 2k(l-k²)~^ + (l-k²+k²u²)p = 0

folgt. Aus der Gleichung æ²+y² = l ergiebt sich s²=p²+q², und hieraus

ds dp , da    ds dp da

S du    ^ du ® du’ S dk    ^ dk^^ dk’

Setzt man in der dritten Gleichung

(dp_V [du J

d²p

=pw+s

dq

d²q

d²q

du

(—]

[du)

d²s

= s*?⁺^s’

so findet sich

Ô²S

p0+(i-iv+*!?⁺²’

und daher

ô²p

ÔM²

oder wegen (2, 3)

(4.)

+ 2X:!m|| + 2it(l-2;s)|| + (l-7t4 JSV)p) + 2*(l-»*)^+(l + **«¹)î),

6î+»»MÔ«

du²

du

Ж" + 2*,“Ж + м(1-*,)Ж + (1 + г:‘“,)г = °-

dq

dq

Ferner hat man

s² = /г²_р² + r²

ds

dp

dr

s— — k²p-^- + r — du    du du

ds

dp

dr

SM =^Ж + ,'Ж ⁺ ^’

d²s

S -, g- + ÔM²

m - --

d²p

d²r

dr

бм²

6w²

бг<

oder wegen

f—'l

[du

d²s

dp\² d²p a

-'=*W ⁺ *’

du

{$ = r&⁺** = Гтг⁺*'-**

d²s

s ж =kp

d²p

d²r

du²

¥ (1 — ¥)p² + r + ¥ r²

und daher

's §г

d. h.

(5.)

d²r

dr

dr

— + 2к’иш + Я(1-1с‘)Ж + Ф'‘+Ьаи‘)г = 0.

Jede der Functionen

Al (u)₁ = jp

Al (w)₂ = g,

Al (гг) = s

Al (w)a = r

genügt also einer linearen partiellen Differential - Gleichung der zweiten Ordnung. Diese Gleichungen, welche zur Uebersicht hier zusammengestellt werden mögen,

Ш + 2кгг‘Ж + 2к<'¹~к^Ж ⁺ (¹~!с'+к’и‘',р - ⁰

+    +    + (! + *■«*) 4 = ⁰

d²q

dp

dp

(6.)

du²

d*r

dr

dr

du²

+ 2¥u — + 2lc(l—¥)-^- + (k²+¥u²)r — 0

d²s

-гг-3- + 2/г² гг

ds

бгг²

du

+ 2k(l-¥)

ds

дк

+ h² u² s — О

haben sämmtlich die Form

0+2i*.^-+2i(l-f)^-+(, + iV)x = 0,

P (w + 2tt , v) = P (w , -y)

4ж+(2г+1)ч = 0 - »,

2 ,

1.

§ 8.

\ £a — 2 (m6 Ja,b + J'a,bi):

3.

1.

■-КЮ-К)

6.

жшь^-жк

(l, +1)2 + lj ,

1.

\[Щ)

[DJ-a^Di+DJ + ^C-^-a^ĄCD.ę + ĄTj + ĄC) = О

ГА*)!

y  У Ob) 

in der жх, ж2, ... я? , Spfłfa), \/lî(x2), ... die durch die Gleichungen

öy

dX

0+2i*.^-₊2i₍l-f)^-₊₍, ₊ iV)x = 0,

unter г eine nur von к abhangende oder constante Grösse verstanden. Setzt man % = e<p, und denkt sich unter e eine Function von к allein, so verwandelt sich diese Gleichung in die folgende

du²

du

+ 2Æ(1 —Ä²)~ + ¥u²<p + ^

k(l — k²) ds

dk

= 0.

Nimmt man nun hier

wie in (3.) т = 1 — Tf, und setzt e —

V Л/

oder wie in (4.) т = 1

und setzt s =

\/L

V Ä »

oder wie in (5.) x — h2 so wird in allen diesen Fällen

und setzt e = \Jh¹

2h (1 — Ts²) de _ ф

dh

und so erhellt, dass die vier Functionen

y/y-Al («)..    Al(«)

sämmtlich einer und derselben partiellen Differential-Gleichung

(7.)

dep

Genüge leisten.

§ 3.

Vermittelst der im vorhergehenden § entwickelten Gleichungen gelangt man leicht zu den Reihen - Entwicklungen von Al(w)l5 Al(w)₂ u. s. w. Zuvor mögen aber folgende Relationen angemerkt werden. Aus den beiden Gleichungen

sn(hu, y)

— hsn и

d* log Al (u)

du²

+ h² sn u² = 0

ergiebt sich Al^w, yj = Al (гг), und hieraus in Verbindung mit den Formeln

= dnw,

спгг

sn(hu, 1)

= hsTiu,

cn {ku,

dn (hu, yj

zusammengenommen

(к)

Al (гг)

AI^äw, = äA1(w) А!(/ш, у)

Al {hu, i-)₂ = Al(«)„ Al [hu, -yj = Al (гг).

Es werde nun

u³

u⁵

Al (u)₁ — p — и — Aj gj + A₂ -gj------i-(—l)nAu

u2n+1

(2 n +1)

_ -I—

gesetzt,³) oder

2J' + 1

P = S(-lYArWy +

wo dann A₀ — 1 zu nehmen ist. Es möge hier zugleich bemerkt werden, dass überall, wo in diesem § griechische Buchstaben als Exponenten oder Indices Vorkommen, dieselben durchaus ganze positive Zahlen, die Null mit eingeschlossen, bezeichnen sollen, und dass, wo in den folgenden Formeln ein Coefficient mit einem negativen Index erscheint, dieser gleich 0 zu setzen ist. Dann ist

2}' + l

д²р

ÔM²

= — S(—1У A

(2y)’

= S(-l/(2y + l)Ay

u2y+1

(2 У + 1)

2у — 1

J' + l

U2y+1

dp

(2у + 1)

^ = S(-1)

у öAy

u2y+1

дк (2y+i)

2}' + 3

= -S(-iy2y(2y + l)A

w2>,+1

y-l

(2y + l)

und aus (§ 2, (3.)) ergiebt sich die Recursions-Formel

Ay₊₁ — [1 + (4^ + l)^²] Ay+ 2^(1 — Je²)

dAy

(A)

2y (2y+ 1)A

Ay ist eine ganze Function von k- weil Al (ku, = kÄÜ(u)t ist, so muss

^л(1) = А

sein, und daraus folgt, dass Ar vom (2y)ten Grade ist. Da überdies nur grade Potenzen von к Vorkommen dürfen, so kann man setzen

dk

y-v

Ay — A0/y + A

i,y-i

Dann ist

к² Ą-----h Ayi0k2r =

(u + ß = y)

Ay₊₁ = Si^r, (a + |3 = y + 1)

Ay = SĄ/²* = S Aaß_JTt

(a + ß = y)    (a + ß = y +1)

*²Л = S Aai(tk2a+2 = S Aa_hß¥\

(cc + ß = y + 1)

ô/t’

(cc + ß — y)

= S2 uAaiß¥a = S2«A

(« + P = y)

fc²“

(«+/3 = y+1)

= S2ccAa>ßk2a+2 = S (2a — 2) Aa_lß k2a

(a+ß = y)

k²Av_x = S AUißk2ct+2 = SA

O + ß — у 1) (a + /î = y+l)

Substituirt man diese Ausdrücke in (A), so erhält man die Relation (I*) AU/ß = (iaĄ-l) AC(/ß_x-\- (4ß-fl)Aa_liß (2a+2/3 2)(2a+2/3 1)Au_xß_x, (cc+ß — y + 1)

vermittelst welcher, da A0 0 = 1 bekannt ist, sämmtliche Coefficienten A rechnet werden können. Uebrigens erhellt sofort, dass alle ganze Zahlen sind, und dass, wie auch schon die Gleichung A\(ku, = ÄAl^ erfordert, allgemein Acliß — Aß/U ist. Man hat dann

AIM. = sj(-i7A,^“

(“ + P = y)

(2.)

A1(w)₂ hat die Form

oder

dk

u²

A1(w)₂ = q = 1-Bx^r+B₂^r-

wo B₀ = 1. Es ist dann

0 = S(—1)^

2y-2

(a + (î = y + 1)

~~ 1

u2y+1

k2a.

u,ß be-

(2y + 1)’ J *

u2n

r4—

u2v

(2y-iy u²q = S(-l7Ry

(2y —2 )’

- s(-4'²^4

= -S(-l У В

u2y

y+1

dą

(2 V)

-śr = S(-1)

у à By u2y

w²>'+²

Ш

und aus (§ 2, (4.)) folgt die Recursions-Formel

= — S (— l)⁵' 2y (2y — 1) Z?

u2y

7-1

(2y)

B,₊₁ = (l+iy¥)Br+2h(l-k‘)^-(2y-l)2y¥B

y-i •

(B)

Weil Al [ku, = Al(w).

ist, so muss

(-1)

У+1

^,+Ч₊.|

der Coefficient von

(2y + 2)

u2r+2 in der Entwicklung von Al (и) sein, und da dieser eine ganze Function

von k² ist und überdies für к — 0 verschwinden muss, weil dnw = 1 wird für к — 0, so folgt, dass Bv+X von nicht höherem als dem (2j/)ten Grade sein,

und man daher setzen kann

Br+l = B%r + Bltr-lV+- + Brf9W = S BttißF\

(a + ß = y)

Dann ist ferner, y > 1 vorausgesetzt

BY = S Bai(tF* = SB^F“

(C£ + |3 = y)

?(« + (? = y-l)

(« + ß == y-l)

FBr = s BUißra+* = s Ba_hßFa

(cc + ß = y)

(cc + ß = y-l)

= S2 ccB

Fa

¥дВу_

die

(« + ß == y)

FBv_i = SRa,^²“⁺² = SR

(ог-Ь/З = у-2)

= S2 ccBa/ßFa+* = S(2u-2)Ba_lißF“

(a + ß = y)

(a + ß = y-l)

7c²“.

(a + ß = У)

Daraus ergiebt sich die Relation

(П.) B„if = (4a + l)B,łi)_₁+(4p + 4).B„_li,-(2« + 20-l)(2a + 2/J)Ą,_WI_₁.

Es darf hier а + ß — у nicht kleiner als 2 genommen werden ; man erhält aber aus (B) B, = 1, В, = 1 + 2ü², also Bat = 1, B₀₁ = 1, Bl t = 2, und somit können sämmtliche Coefficienten B„ß berechnet werden, und man hat dann

i    u2y+2    )

Al Ms = l-S{(-l)"Be,^»^wj.

(cc + ß = y)

Hieraus folgt sofort, weil Al(w)₃ = Al^w,

A1(«)S =

(cc + ß = y)

Die Reihe für Al (и) endlich hat die Form

.,, .    „ u⁴ „ n⁶

Al (u) = s = 1 — C₂-jj- + C₃—,

(3.)

(4.)

oder

ist,

u2},+2

(2y + 2)T

v2n

- +    *55

(2y)

wo dann C = — 1, Ct = 0 zu nehmen ist. Es ist

^ = S(-l ГЧ(^_₂у

du²

ÔS

чу— 2

игг

u2y

= -Si-iy-'C

=    s(-ir-2,c^

(2 У)

ds

dCy u2r

dk ~ S( ^ und daher (§ 2, (2.))

r-i

dk (2y)

u²s = S(-l y-xCv~

2y + 2

(ЗД

Cy+1 = ±yk²Cr+2k(l-k²)

0C

ö/c

(2y—l) 2yk?C,

}'-l⁻

(C)

Weil Al^cw, = Al(w) ist

verschwinden muss für Je = 0 (sobald y>0), so kann СЦ, von nicht höherem als dem (2y — 2)ten Grade sein, und man kann daher

V+Cll7,_₂ki+~' + Cy_₁₎₀k²>' = SCUi(tk2a+r

(cc + ß = y-1)

so muss k?yCr[~^ = Cv sein, und da zugleich

o,r-1

setzen, welche Form auch für у = 0 noch gilt, weil C und man dann, wie erforderlich, Cx — 0 erhält. Dann ist, y> 1 vorausgesetzt,

0,-1

= 0 zu setzen ist

k2a+2

k²Cr = S ca/ßk2a+i = s ca

(a + ß = y — 2)    (« + /? = у—1)

6Jc- = S(2a+2)Caißk²“⁺² = S(2u + 2)Cctifl_₁k²“⁺²

(a+ß — у — 1)

-hß

(« + /? = y—2)

k2a+2

= S(2a+2)<7Kf/î&²“⁺⁴ = S2«(7a

O + ß = У-2)

= SC,,**"» = SC„

(«+ß == y-3)

Diese Ausdrücke sind in (C) zu substituiren, und so findet sich (III.) = (la + i)CUiß_₁+(±ß + 4:)Ca_liß-(2a + 2ß+ l)(2a + 2ß + 2)Ca_bß_v

In gegenwärtigem Falle muss a + ß = y-1 > 0 sein; man erhält aber aus (C) C₂ = 2k?, also C0/0 = 2, und so können vermittelst (III.) sämmtliche Coeffi-cienten gefunden werden, wo sich dann wieder Ca/ß — Cß a ergiebt; es ist dann

Al(«) = 1-Sj(-1

(a + ß = y)

Mittelst der Formeln (I, И, III) sind die nachstehenden Ausdrücke der 10 ersten Coefficienten in den Reihen für Al(w) u. s. w. berechnet.

(5.)

dk

-i.ß

(a + ß = y-1)

k²C,

Jç2a+2

(a + ß = y-1)

2J' + 4

U³

u⁵

Al (u)₁ — и — Аг -gj- + Az -ту-----+ (— 1)" An

u2n+1

(2w +1)

г + •**

Aj = 1 + Ä²

A₂ = 1 + Z4 4Ä*

A₃ = 1 + Ä49(Ä4F)

= 1 + Z416(Z;² + Z;®)-6Z;4 A₅ = 1 + к¹⁰+25(к²+к⁸)-494(к*+кв)

A₆ = 1 + Z;¹² + 36(Z;² + Z;¹⁰) —5781 (Z4Z;⁸) — 12184 Z;®

A₇ = 1 + ku + 49 {k² + k¹²) -55173 (*4 7c¹⁰) — 179605 (k⁶ + k⁸)

A = l + k¹⁶+ 64 (Zf + *¹⁴) — 502892 (Z4 *¹²) — 2279488 (k⁶+ Je¹⁰) — 3547930 Z;⁸

A₉ = 1 + &¹⁸+ 81 (Z;²+Z;¹®) - 4537500 {F+ku) - 27198588 (k⁶+ ku) - 59331498 (k⁸+ k¹⁰)

A₁₀ = 1 + k²⁰+ 100 (7c4*¹⁸) - 40856715 (F + k¹⁶) - 313180080 (¥+ кы) - 909015270 (F+ F²)

-1278530856F°

u. s. w.

г 4----

3. = 1

JB₂ = 1 + 2F

_B₃ = 1 + 6F+8Æ⁴

В₁ = 1+ 12*4 60*4 32*⁸

J5S = 1 + 20F+348F+448F+128F

Вв = l + 30F+ 2372F+4600k⁶+2880k⁸+512F°

В₇ = l + 42F+ 193087c⁴+51816&e+45024£⁸+ 16896&¹⁰+ 2048 F²

Д, = 1 + 56F+ 169320*4 628064*®+ 757264*®+ 370944F4 93184F² + 8192 F⁴

Д = 1 + 72 k² + 1515368 Z:⁴ + 7594592 *®+ 12998928*⁸ + 9100288 F° + 2725888k¹²

+ 491520 F⁴+ 32768 F®

Д₀ = 1 + 90*² + 13623480**+ 89348080*®+ 211064400*® + 219361824 Л¹⁰ + 100242944Z;¹²

+ 18450432 Z;¹⁴+ 2506752F® + 131072F⁸

u. s. w.

₊ ...

, гг'*

(2w)ł

б; = F Д = 2*4 F Д = 8*46*4*®

= 32*4 60*4 12*®+*8 Д = 128*4 448 *4 348 *®+ 20*4 F°

15; = 512 *4 2880*4 4600*4 2372 *4 30F° + F2 Д = 2048*4 16896 7ii⁴+ 45024*®+ 51816*4 19308F°+ 42F²+ *¹⁴

= 8192*4 93184 Z;⁴ + 370944*®+ 757264*®+ 628064*ł0+ 169320 ZF + 56 F4 Z:¹⁶

B'₉ = 3276874 49152074 272588874 910028874 12998928 74 75945927b¹²

+ 151536874 7274 7;¹⁸

JB₁₀ = 13107274 25067527,4 18450432 74 1002429447,4 21936182474 211064400¥²

+ 8934808074 1362348074 90 74 7c²⁰

u. s. w.

w2n

r + -"

0₂ = 2V C₃ = 8 (T;² + T;⁸)

Ci = 32 (747;®) +68 T;4 C₅ = 128 (T;² -h T;⁸) + 480 (74 7;®)

Oe = M2(¥+¥°) + 3008(747*) + 54007;®

0₇ = 2048(&4&¹²) + 17408 (747c¹⁰) + 49568 (74 T;⁸)

C₈ = 8192 (¥+¥*) + 95232 (7b⁴+7b¹²) + 395520 (T4&¹⁰) + 603376 7b⁸

C₉ = 32768 {¥ + ¥*) + 499712(74 ¥*) + 2853888(74Iй) + 5668096(74 F°)

C₁₀ = 131072 (¥ + ¥⁸) + 2539520 (74 V⁶) + 19097600 (74 &¹⁴) + 38153728 (74 7;¹²)

+ 42090784 T;¹⁰.

u. s. w.

§ 4.

Es mögen jetzt zunächst einige Formeln hergeleitet werden, welche für die weiteren Entwicklungen nöthig sind.

Aus der Gleichung

folgt

du²

(1.)

und hieraus

(2.)

el(w) = / dn?d

*4)

1т(гг) =' / е1(м) *ч>

• du — u +

1 öA1(m)

Al (m) du

•du — yw41ogAl(M).

Die Formel

lm (u + v) + lm (m — v) — 2 lm iu) + 2 lm (г;) + log (1 — ¥ sn u² sn v²)

giebt dann

log Al (и + v) + log Al (w—v) = log [Al (u)² Al (v)²- ¥ Al (u)\ Al G)²]

oder

(B.)

Al(w + v) A1(m—v) = А1(м)²А1(4—7;²A1(w)² A1(v)J.

3*

Verbindet man diese Gleichung mit den Formeln, weiche Relationen zwischen den Modular-Functionen von u + v, u — v,u, v ausdrückten, so lassen sich eine Menge Relationen zwischen den Functionen Al(w)l? A1(m)₃, A1(w)₃, A1(m) herleiten, die ich aber übergehe, weil sie in keiner Beziehung zu dem Folgenden stehen. Es ist ferner

oder

1ш(га) = lm'(w) — logcn'w

log Al (ui) — juz = log Al'(w) + log А1'(м)а— log Al'(w)

Al (ui) = ei UUAV(u)

wenn man auch hier durch den beigefügten Accent andeutet, dass der Modul Je mit dem conjugirten Je' zu vertauschen ist. In Verbindung mit den Formeln

sn(m) == i

sn'w

cn ' и

dn (ui) —

dn ' и

cn ' и

giebt diese Gleichung zusammengenommen

(4.)

Al(wi)j = ie² АГ(м) А1(ш‘)д = ebUUAV(u)

Al (ui\ = егША Г (и), Al (ui) = e~UU Al ' (u)₂.

Weiter hat man

lm (w + AT) = lm (w) + \EK+ Eu + logdnw — log \jlć, lm (u + K) — |(w + K)² = lm(u)-±u²+logAnu-(K-E)u-}K(K-E)-\og\/Ê, logAl(M+X) = log Al («),- (K-E)(u + \K) + log~.

Setzt man

so ist

-(K-E)(u + \K) = -\^(u + Kf+\xu2 und man erhält aus der vorstehenden Gleichung

ЙГ)³ ...    1 4fTUU ... .

e    Al (u + K) —    =-e    Al(w)₃.

V&

Verbindet man diese Gleichung mit den folgenden

,    ., SüM

cn(u + K) = -łK,

sü (u + K) —

спгг

dnw

so findet sich

4т(гН-.ЙГ)\ ,,    „    1

e* J Aliu+K). = —p=r

{-xuu

\x(u+KY

Al(u+K), = -\Jk' е‘шиАЦи\,

Al(u+K)B = \jV е4тмяА1(м), еЫа+КУАЦи+К) = А Vertauscht man in der obigen Gleichung

logAl(w + A) = logAl(w)₃— {K— E)(u + \K) + log—L-

(5.)

-7=r 6

Vf

A1 (w)a, e

-|-т (и+Ку

—p=- e

Vf

A XUU

Al («)».

V*

h mit Je', so ergiebt sich

V*

logAl'O + JH = log АГ(м)₃— (K'—E') (u + \K') + log-^

oder vermöge (4.)

log Al (ui + K'i)-\{u + KJ = \ogA\{ui\-\ui-{K'-E'){u + \K') + \og^r

у fc

oder, wenn j für и gesetzt wird,

Sjh ‘

logAl(w + Z'i)₃ = log Al (u)₃— E'i (u + \ K'i ) + log —L-.

Wird nun

E'

K'

gesetzt, so folgt hieraus

Az'iu+K'iy

Al (u + K'i), = -ще

1 %xuu

Al Из,

und mit Rücksicht auf die Formeln

cn(w + K'i) =

1 dnw

M snw

dn(M + K'i) =

1 СИМ

i snw

zusammengenommen

łT '(u+K’iy

(6.)

\ r' (u+K'iy

А 1{и+КЧ)х = ще

Al (u+K'i\ = -j=e Y ä

i i-r'uu

'(u+K'iy

\t'uu

Al (u+K’i) — i \k e Àl(w)₈, e² (U+K ^ Al(u+K’i)₃— \Jlce

Al (w), e

Al Hi,

1 \x'uu

A T'uu

Al H*.

Aus (5, 6) folgt sofort weiter

Ąt (и+2КУ \х(и+2КУ

(7.)

А1(м+ 2А)Х = —е А1(м + 2АГ)₃= е

£тгш

{ш

А1(м),, с А1(м)„ е

.’т(м+2/С)²

£т(г1+22Г)а

Al (и + 2К)₂ ~—е А1 (и + 2 К) — е

£тгш

Ахмад

А1(м)„ Al Н*

(8.)

\e

\x'(u+2K'iy

Iе

ix'(u+2K'i)‘

Al(u+2K'i)₁ = — e А1(м+2_йГ'г), = e

I xuu

\x'uu

%t'(u+2K'iY

I x'(u+2K'i Y

Al(u+2K'i\ — e ~ WA1(m)₂ , Al(u+2K'i) =-e*ZUUAl{u).

Es werde jetzt

to₀ = 2uK + 2ßKri,

p₀ = 2a (К— E) + 2ßE'i

<°o

gesetzt, unter a, ß beliebige ganze (positive oder negative) Zahlen verstanden. Aus (7, 8) leitet man her

%x(u+2ccKy

Ат'(м+2/?^'г)

. ,    ixUU . ,

А1(г« + 2«А) = e A1(m), Al(w+ 2ßK'i) = (-l/ełT4ł“Al(tt).

Setzt man in der ersten Gleichung и + IßK’i für и und benutzt dann die zweite, so erhält man

e Al(w+to₀) = (—l)^Al(w)

wo

â = ir(u+2aK+2ßK'i)²-ir(u+2ßK'iy+\T,(u + 2ßK'i)²-{r'u²

ist. Zu einer Reduction dieses Ausdrucks gelangt man auf folgende Weise. Es sei

A = а К+Ъ К'i

Б = а (К—Е) + Ъ E'i

А' = а'К + Ъ'К'г

Б' = а (К—Е) + b'E'i

А" = А + А'.

Б" = Б + Б',

С" = G+G',

wo я, Ь, а\ V willkürliche Grössen bedeuten, so hat man

(9.)

АБ'-БА! = (ab'-ba')i(KE'+ EK'-KK') = (db'-ba')^-i.

Ferner ist

\C(u + A)²-\Cu² = Б(и + \А),

und daher

G(u + A + A')²-\G(u + AJ+\G\u + A')²-\G'u² = Б(и + А'+\А) + Б'(и + \А')

= (Б+Б')и + БА'+ЬАБ + \А'Б'.

Aber es ist — nach (9.) —

БА'+\АБ + \А'Б' = \БА'+\АБ'+\АБ + \А'Б'-(аЪ,-Ъа')^1 = \(E + E')(A + A')-(ab'-ba')^i.

Daher

(10.) I C(u + A + A')²— IС (и + А')*+1С {и + А')²— \ Си²

= (Я + Я0(« + тА + |А')-(аЬ'-6а')|-* = I С"(м + А")²-1С V- (а&'~ ba') j г.

Nimmt man nun hier а = 2а, b = 0, a = 0, b' = 2/3, so giebt diese Gleichung

und daher ist

^ — lT₀(M + а>о)²—|т₀гб²— aßizi,

<?

AT₀(tf + lO₀)²

Al (w + ü)₀) = (-1)

(u-l)ß J-ТQUU

Al (w)

und hieraus ergiebt sich mittelst der Formeln

а

sn(w+o)₀) = (—1) SnM

Ci+ß

(11.)

сп(м + ш₀) = (-1) хто(м + шо) . -, .    .    ,    c/3 + «+^ -|т₀ии

е    АЦм+шД = (-1)    ⁰ Al (w)

lt₀(m+ü)₀)²

e

en u,

dn (u + a>₀) = (—1) dn u

2To(M+Wo)²

-‘-т₀(ад+ш₀)²

А1(м + ш₀)₂ = (-1) Al {u + o>₀)₃ = (-1) Al(w + o>₀) = (— l)

“(ß+1)    vT₀tlił

aß

Ат₀uu

(«+1)0

I т₀ uu

Al (u) Al (u) Al (u).

Ferner werde

со, = (2a+l)K+2ßK'i

р, — (2«4"1)(A—E) + 2ßE'i

(Ol

gesetzt. Aus (5.) in Verbindung mit (7.) folgt

A1(m + (2«+1)JT) = -~e

%r(u+(2a-\r\)Ky

I xuu

Al(tt)3>

und aus (8.)

-£т'гш

Al(u + 2ßK'i)₃

Al (w),.

Setzt man in der ersten Gleichung u+2ßK'i für и und reducirt mittelst der zweiten, so findet sich

s    i

e Al (u + œj = ——- Al(w)

WO

d = ±-T(u + (2a+l)K+2ßKri)²-iT(u + 2ßK'i)²+±T'(u + 2ßK,iy-}T,u2 ist, oder — nach (10.), wenn man a — 2а+ 1, b = 0, а = 0, b' = 2/3 nimmt —

à = yT^w + to,)²— |т,м²— /3(2«+l)yf,

werde и + (2/3+ l)K'i für и gesetzt, und dann die aus (6.) und (8.) sich ergebende ^{u+(2ß+l)K'if

Al (u + (2ß + 1) K'i) = (-1 fi\Jke

%т'ии

Al(u)

{z(u+2uKf

Diese Gleichung führt in Verbindung mit den Formeln

a + ß+1 Fsnw dnt« ¹

sn(M + (ox) = (— 1) zu den folgenden

a en и

dn и

сп(м + ш₁) == (—1)

dn(ti+o)j) = (—1)

ß Je

dnw

(12.)

‘tO+Wj)*    1 \aß (— 1) ^ л

e    Al(w+ (•>»), = (-1) л - ф— e

A . ,    .    .    „.«/?    —\]h' £т,гш

с2 л •    А 1(м + «оя>. = (-1)    *    A1(W)

|Tj ии

Al (м)₂,

eivuM(u),

e^lUUM{u\.

Weiter sei

a», = 2aK+(2ß+l)Ki In der Gleichung

p₂ = 2a (K—JE) -f- (2ß + 1) JE i

T2 =

_ p2

u>₂

\/k

und daher

e    Al(w + wx) = (—1) —j= в Al(tt)₃.

Al(u+ 2aK) = e~ WMAl(w)

angewandt, so erhält man

e A1(w + o)₂) = (—1/А1(«)„

wo

Ô = ±-T(u + 2aK+(.2ß + l) К if-1 т (и + (2ß + 1) Кг)²+ \х\и + (2/3 + 1) Ki) -{х'ии, oder — nach (10.), wenn а = 2a, b = 0, d — 0, b' = 2/3+1 gesetzt wird —

à = |T₂(ti+to₂)²-|T₂w²-a(2/3 + l)|-t

ist. Mithin

|T₂(« + co₂)²

А1(м + о)а) = (-1)

(к+1)/3 г

i“\Jk ⁶

A1(m)₁.

Mit Hülfe der Formeln

сп(м + о>₂) =

(-1)

dn«

1c Sil и

dn (м+ш₂) =

(—1) си и

i SR и

folgert man hieraus

-|т₂(м+ш₂)²

(13.)

A1(m + o)₂\ = (—1)

-»-т₂(м + ш₂)а

e    Al (w + o)₂)

А1(м + ш₂)₃ = (-1)

Jt₂(m+ö)Js.    aß

в    А1(м + ш₂)₂ — (— 1)

-JtA+w,)*

= (-1)

ß

Ciß (—1) г i T2u u

%a^T e

aß    {:\uu

TWe

“ß « /7-

i у Je e

Al (и)

Al (и)

£тагш

fT₂UU

Al (и)

-F~ e

ia\Jh

Al (w)₃.

Endlich sei

w, = (2a+l)K+(2ß+l)K'i In der Gleichung

p₃ = (2a + 1)(2T— E) + (2/3+ l)E'i

Уч(и+{2и+\)Ку л,,    w 1

А1(г^ + (2a + 1) К) — —г.

Al (м)₈

-j xuu

\/Тс

werde u + (2/3+ l)K'i für u gesetzt, so erhält man vermittelst der aus (6.) und (8.) folgenden

^x'(m + (2ß+1 )K'i)a    \x'uu ....

e    Al(u + (2ß+l)Kfi\ = Sjlce* Al(w)a

Лц(« + а>₈) = ^jL Al (u)

wo

д = Iг (u + (2a +1) К + (2/3 +1) K'i)²— * т (и + (2/3 +1) А'г)² + f т'(м + (2/3 +1) K'i)²-j т V, oder — nach (10.), wenn а = 2a+ 1, а = 0, b' — 2/3 + 1 genommen wird —

d = 1т₃(м + (о₃)²-1т₃ад²-|(2а+1)(2|3 + 1)тгг = |т₃(м + а),)г-|т₈«г-а^ + (a + /?)ji—

— i

ist. Also, da e⁴ = sjl.

-1тз(м + шз)²А 1 /    \    /    J

e    A1(m + o>₃) = (—1) г

TO

4 / Ä'i iX₃WM

V lre

Al (w)₂.

Verbindet man diese Gleichung mit den folgenden « t / Tii

aß ¹

.ß-

sn(«f + tü₃) = (— 1)

к cn и

сп(м + 0>з) = (—1)

«+(3 Ti' 1

ki cn и

dn (ic + о»з ) = (— 1 ) k'i

sn и

спг^

so erhält man

V h' uu .... -j—e Al («0₈,

(14.)

еЫа+^АЦи + т,), =

tH

<>i.

“Cü

|K|

e^UUAl(u\,

4-т₃(м+ш₃)¹

Al (u 4- w₃ )₂ =

«Si.

£

Al (u)

4т₃(м+ш₃)²

Al (u + ш₃ ) =

r—I

«Si.

TS)

\ t₃ uu

A1(w)₂.

C0O

4-t₀uu

Nach den Formeln (11.) des vorigen § bleiben die Functionen e

\1₀UU

Altó

u. s. w. ungeändert, oder ändern nur ihr Zeichen, wenn u+ «>o für

и gesetzt wird. Diese Eigenschaft hat zur Folge, dass sie in Reihen entwickelt

werden können, die nach den trigonometrischen Functionen der Vielfachen von

— и fortschreiten, und die gleichfalls für jeden reellen und imaginären «>0 e (

Werth von и und Ti convergiren. Diese Reihen lassen sich einfach mit Hülfe der im vorhergehenden § entwickelten Relationen herleiten, jedoch vollkommen strenge nur unter der Bedingung, dass ihre Convergenz für jeden Werth von и und Ti zuvor nachgewiesen sei.

Wenn F(x) eine Function ist, die für jeden Werth von x zwischen den reellen Grenzen а, h endlich und continuirlich bleibt, so giebt bekanntlich die unendliche Reihe

}A₀+A₁ cos gx + A₂ cos 2gx Ą-----1- Ar cos rgx H----

+ Bx sin gx + B₂ sin 2gx +----vBr sin rgx H----

wo g =

.dx

В = — f F(x) sin rgx. dx

* Ja

ist, den Werth von Fix) für jeden zwischen a, b enthaltenen Werth von x. Für x = a, und x — b ist die Summe der Reihe = \[F(a) +F(b)]. Da ferner die Reihe ungeändert bleibt, wenn x + b — a für x gesetzt wird, so folgt, dass F(x), wofern diese Function von x = — oo bis x = oo continuirlich bleibt und ihren Werth nicht ändert, wenn x in x + b —a übergeht, für jeden reellen Werth von x durch dieselbe dargestellt ist. Es fragt sich nun, wenn eine Function so definirt ist, dass ihr auch für imaginäre Werthe des Arguments bestimmte Werthe zukommen, ob sie auch für diese durch eine convergente Reihe von der angegebenen Form dargestellt werden könne. Für Functionen

Al (u)₁ n. s. w. ist die

von der Beschaffenheit wie die hier betrachteten e Beantwortung dieser Frage in folgendem Satze enthalten.

Wenn F(x) eine Function ist, die nach ganzen Potenzen von x in eine beständig convergirende Reihe (mit reellen oder imaginären Coefficienten) entwickelt werden kann, und ungeändert bleibt, wenn x in x+a übergeht, wo a reell oder imaginär sein kann, so ist die Reihe

-|-T₀uu

.    .    .    2t

tA+Acos—-

tl

+ F sin — ¹ a

4 t:

x + A ₉ cos — x + —1-A cos —-a    r a

T. • 4тг    . 2nr

x + Д, sin — xĄ-----Ь Д, sin-

² a    r а

xĄ----

XĄ----

worin allgemein

2 rr.    n

COS-X . ox

~ f F(x)sm^Fx.dx

*4)

für jeden reellen oder imaginären Werth von x convergent, und ihre Summe gleich F{x). Ist aber

F (x + a) — — F(x),

so erhält man F (x) durch eine convergente Reihe von der Form

. тг . Зтг An cos — x + A, cos — ⁰ а ¹ а

+ F₀ sin — x + В sin

a    ¹ а

хл-----1- Ar cos

x H-----1- A sin

(2r+ 1) 7C

(2 r + 1) ir

x-i—

x + •••

dargestellt, wo

ist.

» I to

faF(x)

4)

cos

(2r + l) 7t

x.dx

Br =

x.dx

Es werde zuerst angenommen, dass alle Coefficienten der Reihe, worin F(x) entwickelt werden kann, reell seien, und man

F(x) = F(x + 2tt)

habe. Setzt man oo — u + vi, unter u, v reelle Veränderliche verstanden, so geht F{x) in eine Function von и und v über, und man hat

F(ac) = F(u + vi) = ср + гф,

wo cp, ф reelle und, so wie ihre Differentialquotienten aller Ordnungen, beständig endliche und continuirliche Functionen von w, v sind. Wird w+2tc für и gesetzt, so ist

d. h.

cp (u + 2ж, v) + г'ф (и + 2тг, v') = cp (u, v) + гф (u,v),

cp (и + 2tc, v) — cp(u,v)

(и + 2-iz, v) = ф (u,v).

Vermöge dieser Eigenschaften von cp, ф erhält man nach dem vorhin angeführten Satze, wenn man sie blos als Functionen von и betrachtet, und

cp. cos ru . du

cp. sin ru. du

1 Г²*

a- = V /

< = ф f

*4)

setzt,

iГ

Jo

-c-

. cos ru. du

* = т/

JQ

ф. sin ru. du

und

cp    =    -§- ß₀+ cq cos и H-----p ar cos, ru 4—

+ a[ sin и H-----f- a'r sin ru -f—

Ф    =    ~&₀ + btCOSU -ł-----р&гС08ПН----

+ b[ sin и H-----h b'r sin ru 4—

F(u + vi) — j-(a₀ + b₀i) + (a^bj) cos и-j-----f (ar + bri) cos ru-i—

+ (a[ + 6'i) sinw-}-----p {a'r+b'ri) sin ru H----

Hier sind nun die Coefficienten ar1 br, аb'r Functionen von soll aber der zu beweisende Satz richtig sein, so muss sich die vorstehende Reihe auf die Form

j-A₀+ At cos (u + vi) H-----p Arcosr (u + vi) H—

+ Rj sin (u + vi) H-----p Br sin r (u + vi) H

bringen lassen, in der Art, dass Ar, Br von и und v unabhängig sind. Die Vergleichung beider Formen giebt

ar+bri = Ar&o%rv + iBr<5inrv a'r+b'ri = Br (£o§ rv — iAr <Stn rv

oder

Ar = (ar + bri) (So§ rv — i(a' + b'ri) Sinn; B. = (a'r + b'ri) (So§ rv + i(ar + bri) <Sin rv

oder, wenn man für ar) dr) br1 b'r ihre Werthe setzt

Д. =

1

—    I (cp + ^i)cosr(w + w)

“ Jo

1 Г2lT

—    I (cp + ^i) sinr(w + w)

Jq

1 r2iz

.du = — I F (и + vi) cos r(u + vi)

*4)

1 г2к

.du — — / P(w + m) smr(w + w)

Jq

.du

.du.

Es haben aber die Functionen F (æ) cos rx, F (cc) sin rx ganz dieselbe Beschaffenheit wie F(æ), so dass auch, wenn man

F(x)cosrx — F (u+ vi) cos r(u + vi) = P+Qi,

F{x)smrx = F(u + vi)smr(u + vi) = P'+ Q’i

setzt, P, Q, P', Q' reelle Functionen von derselben Beschaffenheit wie cp, ф sind und namentlich

¹

Ar = — f F(x) cos rgx

²

^-, und allgemein

Q(u + 2tz, v) = Q(u,v) ф'(м + 2тг, = ф'(м,я)

P (w + 2tt , v) = P (w , -y)

P'(w + 2тг, v) = P'(w, v)

ist.

Differentiirt man die beiden vorhergehenden Gleichungen nach и und v, so erhält man

dP

du

dQ dQ _ dP dv ’

dv

du,

dP’

du

dQ' dQ’ _ öP dv ’

dv

du

und daher

d_ Г²*

dv I

Pdu —

2k ßp

Ir f= /

^0    *ч)

/..

²⁷¹ dQ

du —

2k ßQ

— du = Q(2tz,v)-Q(0,v)

dv

du = —

und ebenso

d_ Г²*

dv )

Jо

P'du = ф'(2тс, ü) — <2'(0, v)

ô /*²~

Q'eu

Jo

= P\0,v)-P'(2tz,v).

Aber nach den oben angegebenen Gleichungen ist

P'(2tt, v) = P\0,v),

P(2t:,v) = P(0,v),

Q(2k,v) = Q(0, v),

Q\2t:,v) = Qr(0, v),

also

д_ Г²*

dv J

о

Pdu = 0

Ô Г²* . л д Г2к ~J QSu = °,

P'du = 0

d f2n

ö7 / Q 6u = °-

Es sind also in der That

1 f²\p+Qi)du

^о

~ r\P'+Q'i)du

^0

von V unabhängig, und man kann daher bei Bestimmung dieser Grössen v = 0 setzen, wo man dann

J0

cosru.du

1 Г2к

— I F (и) sin tu

.du

erhält. Die Reihe

}A+ AjCosaH-----b Aro,osrxĄ—

+ Px sin X Ą-----1- JBr sin rx H—,

deren Coefficienten. so bestimmt sind, dass für alle reellen Werthe von æ ihre Summe gleich F{x) ist, geht also, wenn x — u + vi gesetzt wird, in die oben für F(u + vi) gefundene und für alle reellen Werthe von и und v conver-girende über, und sie giebt daher den Werth von F(x) für jedes beliebige x.

Der allgemeinere Fall, wo F(x) = F(x + a) ist, und a einen beliebigen reellen oder imaginären Werth hat, auch die Coefficienten der Reihe für F(x) beliebige Werthe haben können, wird leicht auf den hier betrachteten zurückgeführt. Setzt man nämlich x — -^-y, so geht F[x) in eine Function von у über, und man kann F(x) = cp(y) + ity{y) setzen, in der Art, dass die Reihen-Entwicklungen von cp, ф nach Potenzen von у nur reelle Coefficienten haben. Setzt man x + a für л?, so geht у in y+ 2tu über, und man hat

? {У + 2*) + Ц О + 2îc) = <р(у) + *ф(у), d. h. <?(*/ + 2тг) = ср(у), ф(у + 2тг) = ф(у),

also nach dem eben Bewiesenen für jeden Werth von у

<?(*/) = T ao+ °icos У Л-----Ь «rcos ГУ —

+ a[ sin у Ą-----h a'r sin ry H----,

ł(y) = }b₀+b₁Gosy + --- + brcosry + ---+ b\ sin у H— + b'r sin ry H----,

wo

i г2к

ar = — I <?(y)cosry.dy

*4)

1 /*2îT

— / Ą(y)cosry.dy

Ьг =

1 Г2к

- J <?(y)smry.dy l Г2тс

K = — ty(y)smry.dy

ist. Dann ist aber

«r+м ⁼ T f F(-^y)Qosry'dy

^0

а'+&'г = -i- f Fyj sin ry.dy = | f F(x) sin ^-x.dx. ⁷¹ Jq    *a>

I/>(«)

2гт:

COS-X. ÔX

Mithin hat man

2 t:

F{x) = j^+^cos —

2r~

X H-----h i,cos-—

а

-Г,    . 2тс    . 2m

+ Il sm — ан-----h I? sin-

¹ a    r a

für jeden reellen und imaginären Werth von л?, wenn

X Ą----

X -\----

2nr

COS-ж. o#

д. =

■| faF(x)sin^-x.dx

gesetzt wird. Wenn man aber zweitens

F{x) = —F{x + a)

hat, so ist F(x+2a) — F [æ], und es kann daher F ix) in eine Reihe entwickelt werden, deren Glieder die Form

* 2m A cos ——X 2a

haben. Wegen der Gleichung F{x + ci) = —F[x) muss aber jedes Glied sein Zeichen ändern, wenn x + a für x gesetzt wird, und es können daher nur ungrade Werthe von r Vorkommen. Somit hat man in diesem Falle

(2r+l)îc

В sin

2a X

F(x) — -d₀cos — x + Ax cos — a    ci

+ B₀ sin — x + Вt sin    x Ą-----f- В sin

а    а

xĄ-----h Ar cos

(2 r + 1) тс

x-\—

Д. =

1 г2а

aj

fm

^o

ra

I m

•'O i /»2 a

ä / ?Wsi

Jo

cos

(2r + l)r

х.дх

а *-

a to

cos

(2? + W x qxj^ }_ Г j? (% + a)

ćl /

*4)

cos

—ii— (ж + a). дл*

COS

(2г + 1)тс

х.дх

х.дх.

Uebrigens lässt sich auf die bekannte Weise zeigen, dass Fix) nur auf eine einzige Art in eine Reihe von der'angegebenen Form entwickelt werden kann.

cosinus

Werth von x convergirt, immer in eine Reihe der angegebenen Art umgeformt werden kann, worauf ich jedoch hier nicht näher eingehe. Ich bemerke nur noch, dass auch die Reihe, welche man erhält, wenn man jedes

Es ist angenommen worden, dass sich F{x) nach ganzen Potenzen von X in eine beständig convergirende Reihe entwickeln lasse. Diese Bedingung ist nothwendig, indem sich leicht zeigen lässt, dass eine nach den sinus und der Vielfachen von x fortschreitende Reihe, wenn sie für jeden

einzelne Glied der Reihe

... 2tc IA+Acos —

• 2tc + B. sm — ¹ a

2nr

• • + A. cos-

' a

T-,    . 2лг

x H-----1- Br sm-x-j—

x-j—

wmal differentiirt, convergent und ihre Summe gleich ⁵ *^ ist, was im All-gemeinen bei Reihen dieser Art nicht der Fall ist. Setzt man ^ ’ so folgt aus F(x+a) = F[x)

F'ix + a) = F'(x).

Es ist also F\x) eine Function ganz von derselben Beschaffenheit wie F{x)1 und man hat daher

wo

F\x) = \A'a+A[cos^-

ТУ * 2r

-h В. sm —

. f 2nr

X+----h A cos-

а

TT! ' 2ПГ

x H-----h Br sm-

а

x-j----

x-j—

I/'f'(*)

4)

2r~

cos-х.дх

Bl =

^ f F'{x) sin AF x. dx

ist. Hier hat man nun zunächst

ferner

A'r =

also

(aF\x)

[F{a)-F{ 0)] + ^| faF{x) sm^x.dx =

/>(*)

aal w

•'o

■4; =

a to

.dx —

0:

a to

i- ?

2гтт:    -,

COS — æ.oæ =

2гп:

F\x) =

2тг

2тг

A, sin -—- X---

а    а

2тг    2тг

Н--Д cos — X + •

а    а

2 r TU

2 TTZ

•• + -—

.    . 2пг

Ar sin-

а    а

т>    2г7С

Jj COS--

а    а

X---

XĄ----

genau dieselbe Reihe, welche man erhält, wenn man differentiirt ; aber

F(a) = F{0) ist. allgemein - in einer conyergirenden Reihe erhält, wenn

die Reihe für F (x) man sieht zugleich, dass dies nur darum zutrifft, weil Hieraus lässt sich nun sofort weiter schliessen, dass man

man yon jedem

einzelnen Gliede der Reihe für F(x) die nte Ableitung nimmt. — Ein Gleiches gilt für den Fall, wo man Fix + a) = — F(x) hat.

§ 6.

Nach dem so eben bewiesenen Satze können also die Functionen

£ T₀ im

2 T0 д 1 /    \

e Al (u)

-|-T₀UU

-\T₀uu

A1(m)₈,

Al (u)

durch convergirende Reihen, deren einzelne Glieder die Form

Acosr— и

Al (w)

°>0

В sin г—ад

°>o

haben, dargestellt werden, und man kann auf diese Weise unendlich viele Entwicklungen der Hülfs-Functionen erhalten. Es mögen jedoch hier nur zwei davon ausführlicher behandelt werden, diejenigen nämlich, welche sich ergeben, wenn wo = 2K₎ und wenn wo = 2Ki genommen wird, welche, wenn Je reell und kleiner als 1 ist, allein in reeller Form erscheinen. Zur Ausführung derselben bieten sich nun zwei Wege dar. Da nach dem vorigen § die Form der Reihen bekannt ist und auch ihre Convergenz für jeden reellen und imaginären Werth von и und h feststeht, so kann man ein ganz ähnliches Verfahren befolgen, wie Herr Jacobi in den »Fundamentis« bei den Reihen-Entwicklungen der Functionen H(w), 0(w) aus den unendlichen Producten, wodurch sie ursprünglich dargestellt sind, und man reicht dann mit den in § 4 entwickelten Formeln aus. mation der in § 2 entwickelten partiellen Differential-Gleichungen ausgehen, und so auf einem ganz verschiedenen Wege zu denselben Resultaten gelangen. Man hat (§ 4, (7.))

Man kann aber auch von einer Transfor-

Al(и + 2К) — e* ШAl(u),

und man kann daher e*™uAl(«), wenn man zugleich berücksichtigt, dass diese Function grade ist, in eine beständig convergirende Reihe von der Form

A₀+ 2Ax cos 2vjM -f 2A₂ cos 4rtu H-----h 2Ar cos 2ryu -\ ,

oder wenn man

7]iii

setzt,

entwickeln, wo yj = ist. so dass man

A₀+ At(z²+z~²) + A₂(z*+#-*') + •■■ +Ar (z2r+s~2r) + • • •

Diese Reihe möge durch F(z) bezeichnet werden

•>

(1.)

%ZUU

hat.

Al(w) = F(»

Man bezeichne ferner ~tz durch 0 und e Setzt man nun in (1.) u+ 2K'i für u, so geht Tjm in Tjm—ü, also z in hz über, und es ist

-ft

durch h.

±z(u+2K'iy

Al(u + 2K'i) = F (hz).

Aber — nach § 4, (8.) —

Al(u + 2K'i) — —e

und daher, wenn man bemerkt, dass

-2 E\u+K'i)i

Al (u)

\x(u+2K’iy-2E'(u + K'i)i = |шЧ2

(K-E)K'-KE'

ui — 2 —

(.K-E) K'-KE'

2tz

К'

2KUi + 'K~:Z =    Ш2_ 2y?*** ⁺ ^

ist,

ix (u+K'i)²

{там

d. h.

Al (w) = — Jiz² F (hz)

(2.)

Setzt man u + K'i für и in (1.) man hat

F(#) = — hz²¥(hz).

so geht r\ui in y\ui— -f-h, z in h‘zz über, und

Al (u + K'i) = F (Ä**).

Es ist aber (§ 4, (6.))

Al(u + K'i) = i\!he

-E'(u+\K4)i

Al(w)

und daher, weil jetzt

}т(и + К'г)²-Е'(и + }К'г)г = }xu² +

(K-E)K'-KE'

ui — }

(K-E)K'-KE'

ist

= } xu² — r(ui + } &

(8.)

\Jhe^UWk\(u\ =

Setzt man in dieser Gleichung u + K für w, so geht т]ui in tjui + ^i, z in zi über, und nach § 4, (5.) erhält man

GO

i / Je \xuu

у Vе

Al (u)₂ = h^zl? (h*zi).

Setzt man endlich auch in (2.) u + K für m, zi für z, so erhält man (nach § 4, (5.))

(5.)

1 {хм

\J¥e

Al (<4 = F (zi).

Setzen wir nun

F (z) = SAa*²“,

wo dem Index и alle ganzzahligen, positiven und negativen Werthe zu geben sind, so ist

Aber nach (2.) ist F(z) = — hz*F(hz); mithin muss

Aa = -h²“-'Aa_t

sein, woraus sich

Aa = (-1 )ah““A₀

ergiebt, so dass man

36

ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN.

F(*) = A₀(l —ä(£²4-£~²) + ä⁴(«s⁴4-£~⁴)-----h (—l)rhrr(z2rĄ-s~ir) 4—)

Al(w) = 1 und auch z = 1, wonach sich ¹ = i_2Ä+2Ä⁴----+ (-l)r2Ä,r+ —

erhält. Für и = 0 wird aber e

ergiebt, welcher Werth durch g bezeichnet werden soll.

Man hat dann

ge

Al (и) = l -Ä(^+0 + Ä4(^⁴+0 —•• + (-¹)rA”'(ief2,,+jerSr) + -

Ferner ist nun

jÄ**F(Ä**) =

ß*?S(-l)“Ä““ÄV“ = is(-l)“Ä ⁴

1    (2a+l)²

-SÄ ⁴ 8

^2Ct+l

Ä**F(Ä**i) =

2«+i

und

FH = -

-Sä“V“.

Hiernach erhält man, vermöge der Gleichungen (3, 4, 5), wenn zugleich für = cos7]w + «sinY]w gesetzt wird,

Al(w)x = 2ÄTsin7jM—2ÄTsin3rjM+2Ä*'sin5yjM-----\-(—l)r2h

(2r+l)³

z wieder e

7] ui

uu

(2H-1)²

sin (2r + l)TjW + ,,‘

(6.)

4 / Je £тш

9\¥e

A1(w)₂= 2Ä⁴cos7jM+2Ä⁴cos3iriM+2Ä'¹ cosor]to4-----\-2 h

C0s(2r + 1)YJW + -"

4/ 1 £тшг

9\¥e

А1(г<)₃ = l+2Äcos27;w-f 2Ä⁴cos4rjW4-2Ä⁹cos67]iH-----b2Ä"cos2rT]M4--"

I Tuu

ge

Al(w) = 1—2Äcos27jM + 27i⁴cos47jW—2ä⁹cos6yjmH-----ł-2(—l)rÄ"cos2n]W-4—

und hieraus

2h ⁴ sin r{u — 2h ⁴ sin 3vjм + 2h ⁴ sin 5t]M----

1—2h cos 2т]М + 2/г⁴ cos 4rjW — 2h⁹ cos 6yjw 4----

2/г⁴ cos rjW + 2/г^ cos 3rjW + 2/гт cos о^гИ—

1 — 2h cos 2t|M + 2/г⁴ cos 4tjw — 2/г⁹ cos б^гг 4----

1 + 2/г cos 2щ + 2/г⁴ cos 4rjW + 2/г⁹ cos 6т]гг 4----

1 — 2/г cos 2ïjM 4- 2/г⁴ cos 4^гг — 2/г⁹ cos б^гг 4----

Dieses sind die zuerst von Herrn Jacobi gegebenen und aus den Frans-

(7.)

S/Je

snw

\/¥cnu

formations - Formeln hergeleiteten Entwicklungen der Modular - Functionen. Hier beruht ihre Herleitung auf den in § 4 entwickelten Eigenschaften der Hülfs-Functionen, und man erhält zugleich die Ueberzeugung, dass sie für beliebige (reelle oder imaginäre) Werthe des Arguments wie des Moduls gelten; aber man sieht, dass die Herleitung auf dem hier eingeschlagenen Wege durch-nicht strenge sein würde, wenn nicht vorher bewiesen wäre, dass die Reihen auch für imaginäre Werthe von и convergiren; denn die Bestimmung der Coefficienten wurde nur dadurch gewonnen, dass u + 2K'i für и gesetzt ward.

aus

Setzt man in (6.) Je für к und ui für w, so erhält man vermittelst der Gleichungen (4.) des § 4 sofort, wenn man

' — 2lz Y(    _gv >

Al(tt\ = 2Jïî<&mrl'u-2h'î®mSri'u+-‘- + 2(-iyh'~?L@m(2r+l)VtH—•

setzt

I g'№ e

А-Т'ММ

I x'uu

g' = 1 — 2JÏ+ 2Д'⁴— 2Д'⁹-^----

Al (w)₂ = l-2Â,eoê2rî,M + 27i,4eo§4ri'M— .. + 2(-l)rA,,r(£o82n/«+»-

(8.)

.if 1 'uu 9 \je

A1 (w)₈ = 1+2А'(£о§2г/м + 27г'⁴(£о§4г/гН-----}-2/г',г(£о§2пг]'гН—

А1(м) = 2Ä'T(So3i}'w + 2A,lf(£o§3r/M + *** + 2Ä' ⁴~(Soê(2r+l)^,w + -”

Dies ist die erwähnte zweite Art von Reihen für die Hiilfs-Functionen, welche man auch auf eine ganz ähnliche Weise wie die unter (6.) aufgestellten hätte herleiten können.

Es soll jetzt noch gezeigt werden, wie man zu denselben Resultaten durch Transformation der in § 2 entwickelten Differential-Gleichungen gelangen kann.

4 / Je' 4i'uu

УТе

Die Functionen

\/Jc Al (w)j,

A1(m)

genügen nach § 2 sämmtlich der partiellen Differential-Gleichung

dep

(а)

Setzen wir cp = wcpx, wo dann

dcp    de?, dw

y« = w +

dcp    dcp, dw

~dk = w ~d¥ + ?1 ~dk

so geht die vorstehende Gleichung über in

2^²m + —    2Jc(l — ¥)

_ du V w du) du ⁴    '

₌ a³?.

dw²    dw²

dw dcpj    d²9j

dw dw    dw²

à?!

dk

+ #?, = 0,

wo

d²w>

dw

dw

+ 2 k²u ——b 2k(l-k²)-4T- + k²u²w du    ' dk

ist. Für w = e    unter т hier eine bloss von к abhängige Grösse ver

standen. hat man

du²

div

du

— xuw

d²w

du²

= x²u²w — xw

dw

dk

dt

= ->SkW

also

w -x + (x²-2k²x + k²-k(l-k²)~j

Setzt man nun, unter a, b beliebige Constanten verstanden, со = aK + bK'i,

so erhält man durch Verbindung der Gleichungen

u² .

p = а (K—E) + bE'i

dK

k(i-г)— = E-a-k²)K

dK'

W-v)-ä

= k²K'-E',

dE

h~~ = E-K

dE’

dk

die folgenden:

dco

k(l-k²)

dp

dk

= Ä²(co — p)

(b)

und hieraus, wenn man

T = -P

(0

nimmt,

dt

^(1_^²⁾Ж ⁼ F(l-2t) + t².

(c)

Es ist daher S — —xw und demnach

d²?i

du²

+ 2(V-r)u^ ₊ 2H l-V)Tk

d?i

T?i = °-

Setzt man nun

TU

Yj U — t

und bezeichnet als Function von t und к betrachtet durch cp₂, so ist

₌ d^_dt_ ₌ дср^ d²cPl    ö²cp₂

du dt du ¹ dt ’    du2    J dt² ’

öä    ö/c ÖÄ

und daher

2 д'?2 4 "öF

d?₂

dk

X?2 = 0.

Aber es ist

d't]

TU 1 ÔO)

dk

2 io² dk

oder — nach (b) —

Ô7J

^-^Ы ⁺ -2

TU k² w — p

О)²

d. h.

Ö7J

(d)

Mithin

V-^+2*(l—*■)

Wird nun cp₂ = Аф gesetzt, unter A eine Function von к allein verstanden so verwandelt sich diese Gleichung in

d?₂

dk

тср₂ == 0.

4 w⁺²*(i-*ä)f)⁺(a(i-F)S4

und es kann nun A so bestimmt werden, dass

dk

dA

~A = 0

wird.

Substituirt man hier für x den Werth, der sich aus (d) ergiebt, so findet sich

₀ 1 Öi _ 1 Ö7]

AUF ~

к    1 d-q 1 dk'

i__    =

und dieser Gleichung geschieht Genüge, wenn

2lo gA = log 7] — log Je', genommen wird, und es ist alsdann

die

0.

Setzt man nun ferner

p 4 = a'(K-E) + b’E’i

to'i = a'K+b'K'i,

unter а, У ebenfalls willkürliche Constanten verstanden, so erhält man (op'i — poi'i = (ab'-ba') (E'K+ K'E-KK')i = (ab'-ba')^ г

и

und daher, wenn man sich a\ У so bestimmt denkt, dass ab'—ba' — 1 ist

r    r _

шр-рш = —

(e)

Führt man nun auch statt к eine andere Veränderliche vermittelst der Gleichung

Ui'

- 7Г

Ui

ein, so hat man

dui'

dui

db

Ui'—.7-

= Ц 1-F)

die

Ui²

Ti

_ Ui (]{?Uir— p') — Ui'(к² Ui— p)

Ui²

0)pf— pu/

-^-— TZ =

7Ï²

U)²

1 "

² U)²

oder

db

1с(1-Г)ж+2г? = 0

wonach sich dann die Gleichung für ф in

d4 = 4 di

(f)

dt²

db

verwandelt. Also : Setzt man

ui = aK + bK'i

a{K—E) + bE'i ~ ~ aK + bK'i

ui'i = a'K+b'K'i

7Г

ab'—ba' = 1

Г {il == t

Ui'

— Tz — b

(JL)

t    uu

V —e

v ri

und betrachtet dann ф als Function von £ und h, so transformirt sich die Differential - Gleichung

<9 cp

^^- + 2¥u:~-+21c(l — ¥)~- + ¥u²(f> = 0

in

af

a& '

(g)

Nimmt man я — 1, 6 = 0, « — 0, &' = 1, so geschieht der Bedingung ab'—ba— 1 Genüge; man hat dann, wie im vorigen §,

= 1-k’

TZ

r‘ — 2K

K'

-кж

und die Functionen

4 / Ш е^Пи

* Ъ

A1(«X,    \Ąe

{TW

Al (w)

genügen, als Functionen von b und t = r{u betrachtet, sämmtlich der Gleichung (g). Bezeichnet man sie der Reihe nach durch Al(jf)x, Al(£)₂, Al(f)e, Al(f), so hat man nach § 4,(7.), weil t in £ + tc übergeht, wenn u+2K für и gesetzt wird,

Al (< + *), = -A1(0..

А1(£ + тс) =    Al(£),

(1.)

Al(^+ tt)j = — Al(ż)1?

Al (t ~Ь 7t)₃ =    Al(£)s,

und dem § 5 gemäss kann man also setzen

Al(0i — «₀ sin t + aj sin dt -t-----h«,.sin(2r+ l)£-ł—

A1(0, — ßo oost + ßj^ cosS^-ł— + ßr cos(2r + 1) £-+—

Al(j5)₃ = \y₀ + Ti cos 2t + y₂ cos UĄ-----Yyr cos 2rt —

Al (t) — { d₀ + <h cos 2Ć + d₂ cos 4£ 4— + <?rcos2nH—,

wo

dann die Coefficienten Functionen von h sind. Substituirt man diese Reihen in (g), so erhält man

⁴ж+(2г+1)ч = 0 - »,

⁴-§^ + (2r+l)’/3r = 0

Ж ⁺ ^ = °-

oder

u.r = a re

_ (2r + l)³ft i

(2)-+1)a

ßr = Ke

_ (2r+l)aft

(2r+l>³

— nb

— »rö

= cX,

wo ar, c., Constanten sind.

Setzt man и = 2ÜTÏ, so wird Al =0; es geht aber dann t in Ы über, und es wird

Гг = cr e

К = dre

= drhr

£    (2Г+1Г /

arsin(2p + l)t — Ya<-h ⁴ \e

+ (2»-+l)d    ~(2r + l)&

\    (2r + l)a

J = -!.<!,* - (Г(2г ₊ „_^-И)

ЬЬ I <!S.

arh ²

2r + l 2r— a

2r+ 1 2r + 5

"I»'⁴

und es muss also für jeden Werth von к

2CC+1 2 cg— 3

0 = Saa& 2    2 — Saji

2CC +1 2CS+5

oder

2«+1 2a+5

2Ct+l 2CC + 5

0 = %h~% + a₁Ä-T + Saa+2& 2 sein, wonach man = — e₀, aa+2 = ae, und somit allgemein

aa = (— 1)“ a₀

erhält. Ferner, wenn man u = K+2K'i nimmt, so wird А1(м)а=0; aus t wird dann |- + hi, und ans ßreos(2r + \)t

— S aji

(2r+l)a

•    / 2r + I 2<- + 5

sin(2y+l)di = {-l)r^b\h 2    2 —h

2r + l 2r— 3

und es muss daher

20t+1 20t+5

2a+l 20t-3

-S(-lybji 2    2

oder

3    3    2a+1 20t+5

—b₀h~* + blłrx + S(—l)ccbah ²

-S(-l)“6e+tÄ ²

2a+1 2a—3

sein, woraus

К = b₀,

Ьа + 2 ^a)

d. h. allgemein

ba = b₀

folgt.

ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN.

Al(w)₃ wird gleich Null, wenn и — K+Ki, und Al (w), wenn и — Ki gesetzt wird; für den ersten Werth wird t— +

y,cos2r£ == |(—1 )rсгКг (e^ + e~^) = |(—l)rcr Qi

r(r — 1)

+ hr

(r + V

);

für den zweiten wird

dr cos 2rt = \ärhrr{eb + e~r%) = \är(]i

(r-l)

+hrir+1)

t =

und man erhält somit

0 = S(-l)4üa(““nS(-l)4üw(“⁺¹⁾ = -S(-l)“ca+ir⁺4S(-l)“tfi“(e+1», 0 = S^Aac“_1) + S^Ä“⁽“⁺¹⁾ = S da+1ha(a+1) + Sdaha(-a+v,

woraus

^a+l - bt)

d. h.

ca — c₀,

da = (-1)4

folgt. Demnach ergiebt sich

\Me

A1(m)j = a₀ |/iTsin^ — 7г* sinSć + ^sin 5t — ■

А1(м)₂ = b₀ \hx cost + hxcosSt Ą-Ji^cosbtĄ—j Al (u)g =    c₀ {\ + h cos 2t + h cos U + h⁹ cos 6t Ą----j

Al (u) =    d₀\\ — Ji cos 2t + h* cos U — h⁹ cos 6^4----j,

wo    a₀,    b₀, c₀,    d₀    Constanten sind.    Für к — 0 wird h = 0, und    A1(«)B,    sowie

auch    Al(w) gleich    1,    und deshalb    muss c₀ = d₀= 2 sein. Dividirt man

die dritte Gleichung in die zweite und setzt и = 0, t = 0, so findet sich

rr j й *+&*+**+•••

V — °0 1 ₊ 2Ä + 2Ä⁴+2A»+---’

und wenn man die vierte in die erste dividirt und dann и — K, t = ~ nimmt,

äv+ä*+ä¥+...

1 + 2h+ 2h*+ 2№ + -■■ ’

(2.)

i/k' i-ruu

\Jk = a₀

•*

nun

Wird aber h nach Potenzen von к entwickelt, so ist das

und daher a₀ = b₀. erste Glied gleich 16k², und daher muss a₀ — b₀ = 2 sein.

44

ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR - FUNCTIONEN.

Somit erhält man, wenn man wieder ч\и für t setzt,

Al(w)j = 2h* sin — 2ÄT sin 3щ + 2h ⁴ sin 5rtu----

\ —e'XUUA1{u)₂ = 2h% cosrtu+ 27г⁴ cosЗ^гг + 2h ⁴ cos57)MH— Al (гг)g = 1 + 2h cos 2r{u + 2/г⁴ cos 4трг + 2h⁹ cos 6tqи H----

i/hk'

V Y]

(3.)

Al (гг) = 1 — 2/г cos 2yjm + 27г⁴ cos 4г,гг — 2/г⁹ cos бг^гг -f----

ganz wie im vorigen §, nur dass hier zugleich für den durch die unendliche Reihe

1 — 2/г + 2/г⁴ — 2/г⁹ -j----

gegebenen Ausdruck g der Werth \J~ gefunden ist.

Anmerkung. Es seien 2m+l, 2n zwei ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor, und 2m', 2n + l zwei andere, welche der Gleichung

(2m + 1) (2n' + 1) — 2n. 2m' = 1

genügen,

. (?m+l)(K-E) + 2nE'i T    (2m + 1 )K+ 2 nK'i

tu = (2m + 1) K+ 2nK'i, ui'i = 2m’K+(2n'+l)K'i

Ui'

-TC

Ui

* Jl =

e~\

t — rtu

A1(m), = Alf/.),,

\£.

Атмгг

А1(гг)₃ = A1(0₃,

in -ЛЬ]

%TUU

\TUU

Al (гг) = A1(0

so bestehen — nach §4,(12.) — auch für diese Functionen die Gleichungen (1.); und auch sie können daher dem § 5 gemäss in convergirende Reihen von der Form (2.) entwickelt werden. Da sie ferner, wie oben bewiesen worden, sämmtlich der Differentialgleichung (g) genügen, und auch Al(f) А1(#)„, Al(f)e, Al(f) verschwinden, wenn man für и resp. die Werthe 2uu, to+2«u, со + ш'г, ш'г setzt, sowie die vorher betrachteten Functionen Null wurden für 2jfiCÏ, K+lK'i, K+K'i, K'i₁ so erhellt, dass man auch hier ganz unverändert die Gleichungen (2.) erhalten muss. Die Constanten a₀, 6₀, c₀, do können freilich nicht auf dieselbe Weise bestimmt werden; man findet aber vermittelst der Formeln (12.) bis (14.) des § 4, dass jede dieser Grössen einen von den vier Werthen +2, —2, +2*, —2i hat, dessen nähere Bestimmung von den angenommenen Werthen von m, n abhängt. Die Gleichungen (3.) bestehen also auch noch, wenn man unter &, y], т die hier angegebenen Ausdrücke versteht,

Vr> Vt’ Vt resP- YY Yb Yb Yf

setzt;

und nur für

wo jeder der Multiplicatoren el5 e₂, e₈, e₄ einen von den Werthen +1, — 1, -ł-г, —i haben muss.

Auf diese Weise gelangt man zu unzählig vielen verschiedenen Entwicklungen der Hülfs-Functionen; verbindet man noch diejenigen hiermit, welche

man erhält, wenn man in den Gleichungen (3.) ui für и, к' für к, sowie auch ku für и und

für к setzt, und dann wieder zu den Functionen des Moduls к übergeht, so bekommt man alle möglichen Entwicklungen von dieser Art. Man kann übrigens alle diese mit Benutzung der Formeln (11.) bis (14.) des § 4 durch ein dem im vorigen § angewandten ganz analoges Y erfahren herleiten.

§ 8.

Es ist nun noch übrig, die Hülfs-Functionen in der Form von unendlichen Producten darzustellen.

Es wird Al (гг) = 0 für alle Werthe von и, für welche snw die Form -!j-erhält, und nur für diese, welche sämmtlich von der Form 2aK+(2ß+ l)K'i sind, wo für «, ß alle möglichen ganzen Zahlen zu setzen. Für diese wird aber (wenn die Bezeichnung des § 6 beibehalten wird)

^2 = e2cm—(2fH-l)9i == h2ß+l

2rjui = 2cm — (2/3 + 1) Зг,

Bildet man daher das unendliche Product

3fW =

(1-A**)(1-ÄV)-(1 -T^+V)... (l—hjz~²)(l—h³0~²)---(l—h2r+10~!l)"-

(1—Ä) (1—A³) •••(!—A2r+1)---

(1—A)(l—Ä⁸)---(l—Ä2,,+1)---    ’

so

ist klar, dass auch dieses gleich Null wird, sobald z = h2ß+1 gesetzt wird, und es ist daher zu erwarten, dass es in einer einfachen Beziehung zu Al(w) stehe. Setzt man hz für z, so ergiebt sich

= —hz²x$(hz)

und für z — 1 wird g(») = 1. Nun kann offenbar $(z) in eine Reihe von der Form entwickelt werden; berücksichtigt man aber, dass in § 6 die Entwicklung von F (г) in eine Reihe von derselben Form einzig vermittelst der durch die Gleichungen

F(l) = 1

FO) = -hz²F(hz)

ausgedrückten Eigenschaften dieser Function bewerkstelligt wurde, so erhellt sofort, dass

&(*) = *(*)

sein muss, sobald nur bewiesen ist, dass das in Rede stehende unendliche Product convergent ist.

Man setze

cp (z) — 1 + A-x z~ + A₂ z^ -f~ • ■ ■ + Ar z2r 4- • • • und bestimme die Coefficienten dieser Reihe so, dass

cp (z) = (1 — hz²) cp (hz)

ist. Diese Eigenschaft führt zu der Recursions-Formel

woraus

Ar =

A2r-1

1 - /г ²

₇Ä

Ar = (-1Г

hrr

1 — А².1 — /г⁴... 1 — h2r

h ^    h*

1 -h? ⁸ + 1 — А².1 — A⁴

Weil die Reihen (6.) des § 6 beständig convergiren, so muss der absolute Betrag von A kleiner als 1 sein, welches auch der Werth von A sei (mit der einzigen Einschränkung, dass A nicht gleich 1 sein darf, weil in diesem Falle 7] = 0 wird und daher jene Reihen nicht verwendbar sind); deshalb wird — 0 für r — oo, und daraus folgt, dass die für cp(z) erhaltene Reihe für jeden Werth von г convergirt. Durch wiederholte Anwendung der Gleichung

folgt, so dass man

?(*) = l-

s⁴----

erhält.

Ar~i

cp (z) = (1 — hz²) cp (hz)

findet sich aber

<p(*) = (l-A*²)(l-AV)-..(l-Aar+V)cp(A²

r+ 1

*)>

und daher, weil für r — oo

h2r+1z = 0

cp (h2r+1z) = 1

TW*®

cp(.l)cp(l) •

Es hat also $(z) für jeden Werth von гг einen bestimmten, endlichen Werth; und weil cp(z) durch eine beständig convergirende Reihe dargestellt ist, so kann,

<р(г), und somit auch $ (z) nach

setzt

wenn man z =

r>ui    , 1    —Ti ui

e , und — — e

¹    z

ganzen Potenzen von и in eine beständig convergirende Reihe entwickelt werden, woraus dann, in Verbindung mit dem Umstande, dass g (г?) ungeändert bleibt, wenn u + 2K für и gesetzt wird, unmittelbar folgt, dass $r(z) durch eine convergirende Reihe von der Form

A₀ + 2At cos 2rtu + 2A₂ cos 4tjw h—,

oder

A₀ + Ax (z² + z ²) -f- A₂ (z⁴ + z ⁴) + • • •

darstellbar ist. Nach dem oben Gesagten kann man also in der That schliessen, dass

3(*) = FO)

ist.

und

Пт-

wird

<р(я) = dem unendlichen Producte (1 — Jiz²) (1 — h³z²) •• • (1 — h2r+l z²) •• •

(1 -hz~²)(1 -Wz-*) ■ • • (1 -h2r+1 z~²).• •

Vermöge der Gleichungen (1, 3, 4, 5) des § 6 ergiebt sich nun

\jke

ixuu

i/k_ i^uu

V h'e

A1(m)j = Gh*(?-4-^j (l—h²z²) (l—h*z²) • • • (l—h2rz²)• • • X(l—h²z~²) (l—h*z~²)• • • (l—h2rz~²)... A1(w)₂= Gh* (z+z~*) (l+h²z²)(l+hiz²)---(l+h2rz²)---x(l+h²z~²)(l+h‘lz~²)---(l+h2rz~²)--‘

Al(t»),= G(l + fe,)(l + ÄV)--.(l + Ä,r+‘«!)-x(l + Ä2-)(l + ÄsO-(l + Ä,'⁺Vs)...

uu

Al(«) = G( 1 - hz²) (1 - h³z²) •••(!— h2r+1 z²) • • • >< (1 - hz~²) (1 - h³z~²) •••(!- h2r+1z~²)...

wo ist.

Man hat

(1 —&V)(1_&V²) = 1 — 21i cos 2r{u + h2r = (1 — Vf + 47/ sin r(a²

also

(1 + AV)(1 + äV*) = 1 + 27/ cos 2rtu + h2r = (1 + hr)² — 4Jf sin tjw2 1-7/ = К*    -hl) = -2 Ä*©in£& = -27^©inrr]Z'

1 + 7/ = h* (h~² + йт) = 27T*(£o§^-fr = 2h*&Q%rriK',

(1 - ÄV) (1 - ÄrO = (1 - Iff (l + (l + r/)(l-ÄV²) = (l + r>²(l-

sin r₍M²

©in rr{Kn

sin i\u² ^ ©oSnjiTV*

Hiernach lassen sich die Gleichungen (1.), wenn man zugleich berücksichtigt, dass für и = 0 A1|A)l- = 1, Âl(u\ = 1, Al (и)₈ = 1, Al (w) = 1 ist, und daher

Sjlt = 2 ćrr^^ (1 — h²)² (1 — h*)² •••(! — 7/r)² • • •

■ (1 + Vrf ■ ■ ■

V|- = ÖäV+ *?(!+Ä‘)'”

\Ti

= G¹ (1 + hf (1 + Vf • • ■ (1 + htr+if ■ ■ ■

sein muss, also darstellen:

там

\TUU

(2.)

l-xuu

fWM

Al(w)j = -i-sin Yjw.pj 1 + A1(w)₂ = COS7]M.Pjl Al (u), = P jl —

Al (u) =pjl +

sin T|W²

©in (2 а + 2) г, K'

sin T|W²

@0§ (2 a+ 2) t] K'²

sin rtu²

o = 0, 1, 2, • • • + oo)

(So§ (2a + 1) rJC²

sin rtu²

©in (2a + 1)7]К'² Г

Setzt man ui für w, für 7:, so erhält man vermittelst der Formeln (4.) des § 4 :

(3.)

ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER MODULAR-FUNCTIONEN.

Al (и), = Agtan'e.pjl Al(«), = Pjl-Al(u), = Pjl +

Al (w) = (5o§ yj'tt. P j 1 +

I x’uu

Ix'uu

\i'uu

ix'uu

<sin ijV

©in (2a + 2) t]K

©tttTjV

©in (2a + 1) ri'K2 ©in 7] V

(« = О, 1, 2,----1- oo)

ÊOê (2a + 1) У]'K²

©in г; V

(£o§ (2a + 2) r{K² )

Anmerkung. Es behalten die Gleichungen (2.) ihre Gültigkeit, wenn man für Y], T die in der Anmerkung zum vorhergehenden § angegebenen Werthe sowie io für K' setzt. Ebenso verhält es sich mit den Gleichungen (3.), wenn für К, 7]', x resp.

CD

TZ

2o) ’

2m'(K-JE) + (2n'+l)E'i

2m'К + (2 n'+ 1) K'i

genommen wird.

Westernkotten in Westfalen, Sommer 1840.

ANMERKUNGEN.

Die vorstehende, im Sommer 1840 verfasste Abhandlung ist von mir im Herbst desselben Jahres der wissenschaftlichen Prüfungs-Commission zu Münster Behufs Erlangung der Facultas docendi vorgelegt worden. Von meinem verehrten Lehrer Gudermann, der rr'ch im Winter vorher in die Theorie der elliptischen Fnctionen („Modr’ar-Functionen“, wie er sie nannte) eingeführt hatte, sehr günstig heurtheilt, sollte sie gedruckt werden. Dies ist jedoch aus Gründen, auf die ich hier nicht näher eingehen mag, unterblieben. Emen Theil ihres Inhalts habe ich aber später im 52sten Bande des Crelle’schen Journals (S. 846—379) mitgetheilt und bin seitdem mehrfach aufgefordert worden, die ganze Arbeit zu veröffentlichen, was „namentlich den für die Geschichte der elliptischen Transcendenten sich interessirenden Mathematikern erwünscht sein werde“. Dies hat mich bestimmt, die Gesammtausgabe meiner mathematischen Abhandlungen mit der in Bede stehenden zu begannen. Ich habe nichts an ihr geändert — auch nicht die Gudermann’schen Benennungen und Bezeichnungen — mit der einzigen Ausnahme, dass an Stelle der in meinem Manuscript gebrauchten Functionszeichen

A (ад) , В (ад), С (ад), D (ад)

hei der Drucklegung d'e später von mir und anderen Mathematikern angewandten:

Al (u\, А1(ад)я, А1(ад)₃, Al (ад)

getreten s;nd.

1)    Vgl. die nachfolgende Abhandlung: Definition analytischer Functionen einer Veränderlichen vermittelst algebraischer Differentialgleichungen.

2)    Hier hätte bemerkt werden müssen, dass

snw, cn«t, dnw, Al (ад), Al (ад)

Al (ад),,

-А¹ (ад) з

eindeutige analytische Functionen der beiden Grössen ад, к sind und deshalb alle für das Differentiiren solcher Functionen geltenden Regeln auf sie angewandt werden können. Dies wird in der im Vorstehenden angegebenen Abhandlung nachgewiesen.

3) Die Bezeichnungen 1’, 2’, 3’, ... sind gleichbedeutend mit den jetzt gebräuchlich gewordenen

1 !, 2 !, 3 !, ...

DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMPLEXEN VERÄNDERLICHEN, DEREN ABSOLUTER BETRAG ZWISCHEN ZWEI GEGEBENEN GRENZEN LIEGT.

Es sei oc eine Veränderliche, welche jeden (reellen oder complexen) Werth erhalten kann, dessen absoluter Betrag zwischen zwei gegebenen Grenzen A, В liegt, und F(oc) sei eine Function derselben, über deren Charakter wir folgende Annahmen machen:

1)    sie habe für jeden Werth von <2?, der innerhalb der bezeichneten Grenzen enthalten ist, einen bestimmten endlichen Werth;

2)    sie sei in der Nähe eines jeden solchen Werthes von oc continuirlich;

3)    es sei für jeden unendlich kleinen Werth von 1c der Unterschied der Quotienten :

F(x + hk)-F(x) F(x + Tc)-F(x)

Kk

ebenfalls unendlich klein für jeden Werth von oc innerhalb der bezeichneten Grenzen und für jeden Werth von 7г, dessen absoluter Betrag eine bestimmte Grenze nicht überschreitet.

Es soll nun bewiesen werden, dass sich unter diesen Voraussetzungen F{oc) durch eine für alle Werthe von oc innerhalb jener Grenzen absolut convergente Reihe

(L)

A₀-\-Atx + A₂x² + • * ■ + Avxv• • •

+ A_j x~l + A_₂ X ² + • • • + A_v X v + • • • = 2 Av xv

v = +00

v = — 00

darstellen lasse, wo die Coefficienten A₀, Al7 ... von oc unabhängig sind.

§ 2-

Zu dem Ende bestimmen wir zunächst den Werth des Integrals

J = fxndx,

wo n

eine ganze Zahl bedeutet und die Integration im positiven Sinne über alle diejenigen Werthe von a?, die einen und denselben absoluten Betrag haben, sich erstrecken soll. Eine complexe Grösse a + biy deren absoluter Betrag r ist, lässt sich darstellen in der Form

1 +Xi

Г -

'1 —Яг

Setzt man

wo Я jeden reellen Werth zwischen — oo und + oo haben kann, daher

1 +Xi 1 -Xi ’

dw

dX ~ (1-Яг)²

mit der Bestimmung, dass Я eine reelle Veränderliche zwischen den Grenzen — oo und +00 bedeuten soll, so hat man

J = f⁺*

J — CO

dw

(t'w')n. T ~T7~ dX = rn+1

(XA

r + со

J— CO

„ dw wn —zrr~ dX. dX

Es ist aber

n dw

dX

-___^_<V⁺4

n +1 dX^ J

also

r+p J-V.

„ dw ,, w —гг- dX = dX

/1 + fu\n+1__1    /l-(ii\n+1

« + 1(1 — pi) n + l\ t + [ii)

Wächst nun ft ohne Ende, so nähert sich sowohl — 1, also ist

1 + (ii

als

1 — цг

1 + fW

der Grenze

J = 0.

Diese Bestimmung hat nur eine Ausnahme, wenn n = — 1 ist. Alsdann ist

r+œdw

гс

CO

dl

T+T²

Integral /

*4)

ist bekanntlich gleich y ; es reicht aber ans, zn wissen, dass es einen endlichen Werth hat, was so gezeigt werden kann. Es ist

Das

Г dl _ f

J₀ 1 +1² J₀

¹ dl

l + l²

l + l²

setzt man aber in dem zweiten Integral

'-7

dl =

dl'

so ist

dl

dl'

1 + Â²

'2 ?

Г dl

А

f° dl' _ f

1+ r ~ J₀

dl'

¹ dl

1 + Я² ’

mithin

Г dl

Л

Bezeichnen wir nun das bestimmte Integral

+°° ^

03 1 + Я²

1 + Я²

2 Г-+

Jq 1 + /

*4)

¹ dl

1 + Я²

durch тс, so ist der Werth von

fxn dx

in dem oben erklärten Sinne gleich 2m für n = — 1 und gleich Null für jeden anderen ganzzahligen Werth von n.

Betrachten wir jetzt das Integral

K= Jf(x

wo wir uns ebenfalls die Integration über alle diejenigen Werthe von x ausgedehnt denken, welche denselben absoluten Betrag r haben, unter der Voraussetzung, dass r zwischen den Grenzen А, В liege, so ist zunächst:

К = [⁺*F(rw">

J- оз    ги

dw

-prdl.

dl

Ist nun æQ irgend ein bestimmter Werth von o?, dessen absoluter Betrag gleich r ist, so können wir setzen

rl±£L

1 —/гг

rw — x₀

1 ~/ii 1 + Яг l + /ii 1 — Яг

Я — /1.

1 — --—i

1 /гЯ

und es verwandelt sich, wenn Я' =    , w —    gesetzt wird, der Aus

druck für К in

f F{Xpiü)

J w'

dw'

dr

dЯ',

wo wir noch die Grenzen, innerhalb welcher die Integration auszuführen ist, zu bestimmen haben. Wenn zunächst /i positiv ist, so liegt

wenn A zwischen den Grenzen — oo und — — enthalten ist, A' zwischen —

/i

— — und + и + /i und + oo

Wenn aber /i negativ ist, so liegt, wenn Я zwischen den Grenzen — oo und /i

a und ——

— — und + oo

77

77

77

77

r>

77

77

77

77

77

/I

Я'

r>

77

77 7

A'

77

/i

und + oo,

— oo und 0

/I

enthalten ist, Я' zwischen —

und 0

r>

77

77 7

77 7

Я'

A'

77

/i

0 und + oo,

— oo und

Hieraus folgt, dass sich die Integration in Beziehung auf A' ebenfalls von Я' = — oo bis А' = +00 zu erstrecken hat; man hat also

/»4-00

•/—oo

F(x₀w’) dw’ ^ ,

w'

dr

oder, wenn man A für A', w für w schreibt,

dw j. (1Я.

f⁺*F(x₀w) J_œ w dA

Sind daher æ₀ und хг irgend zwei Werthe, deren absolute Beträge zwischen A und В liegen, so ist

(2-)

r⁺°FM^dl = f+°

J— co    ДО U A    03

F(x₁w) dw

-t л CvA«

dl

Es ist übrigens

/•+»

t/— CO

F (a?₀ гс) dw ^

ДО

Al

Г F{x₀w) dw f J- oo w diaA+J₀

⁰⁰ F (л?₀ w) dw ^

до

Al

dw

Setzt man in dem ersten Integral — A für A, so verwandelt sich до in -in —und man erhält daher

f° F(pc₀w) dw

J-œ w dl

dl — —

J₊ о, ДО Al

div

-tt-dl =

also

f+œF(x^v)

X. и    до Al

dw

dl =

oo F(x₀w) + F(ç~j

dw

до

-гг- Al

Al

/

*4)

Ac

dl

dl+ f

A

dw

-чт-dl.

dl

dw

Setzt man in dem zweiten Integral 4- für A, so verwandelt sich дот——, —

dw    1    w w

m ——, und man erhält

/•+«

«/— CO

F(x₀iv) Ac ^ _

dw

dl

dl

dl

woraus deutlich hervorgeht, dass das Integral

/" + »

%/ — CO

F(x₀w) dw ^

до

Al

einen bestimmten endlichen Werth hat. Nach dem soeben Bewiesenen kann derselbe nur von dem absoluten Betrage r von x₀ abhängen; wir wollen daher

/*+» j — CO

F(x₀w) Ac

dl

mit <p(r) bezeichnen.

56 DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMPLEXEN VERÄNDERLICHEN, Setzen wir nun, unter e eine reelle positive Zahl verstehend

1 + ei 1 —ei

so hat xx denselben absoluten Betrag wie «r₀, und man hat daher nach (2.), wenn man

1 + ei

1 — ei

= 1 + 7ге ; h =

— 2e + 2i

1 — ei

l + £²

setzt

f+xF(x₀w) dw _ J-n w dX

/•+C0 J — CO

F(x₀w + x₀hzw) dw ^

ги

dX

oder

F(x₀w + x₀7izw) —F(x₀iv) div , _

- ' • • Cl А U.

x₀ hzw

dX

Sind nun «, b irgend zwei positive zwischen den Grenzen А, В gelegene Werthe, und E irgend eine gegebene Grösse, die so klein angenommen werden kann, als man nur will, so lässt sich vermöge der in § 1 hinsichtlich der Function F{æ) gemachten Voraussetzung 3), wenn man

F{x + -k)-F{x) _ F(x + hh)-F(x)

7c

Jik

setzt, unter der Bedingung, dass h eine bestimmte Grösse nicht überschreite, wie das in unserem Falle wirklich stattfindet, wo der absolute Betrag von Ji gleich ~L_- ist, für Tz eine Grenze p dergestalt bestimmen, dass für jeden Werth von л?, dessen absoluter Betrag nicht ausserhalb der Grenzen ß, b liegt, und für jeden Werth von 1z, dessen absoluter Betrag die Grenze p nicht übersteigt, der absolute Betrag von R kleiner als E ist. Setzt man daher

к — x₀ew

und

X = x₀w

F(x₀w + x₀ zw) — F(x₀w) _ F(x₀tv +    kzw) — F(xa iv)

x₀ zw

xjiziv

so wird R kleiner als E sein, wenn r nicht ausserhalb der Grenzen ß, b liegt und г kleiner als p ist. Nach dem eben Bewiesenen erhält man aber

r+œ

j— CO

F(x₀w + x₀ ziv) — F (x₀ w) dw ^ _

x₀zw

dX

/•+*>

¹¹ dX

dw

х₀г =

wobei wir unter n eine positive ganze Zahl verstehen, so ist

cp (ft) - cp (q)

(р(а + ух₀г + х₀г) — ^(а + ух₀г) _

^    nx₀ s    ’

und nimmt man n so gross an, dass Ъ~а kleiner als p wird, so ist für jeden Werth von V der absolute Betrag von

cp (a + vx₀ £ + x„e) — у{аЛ-ух₀г) nx₀ £

2t:

kleiner als    woraus folgt, dass der absolute Betrag von

cp (ft)-Cp 0)

kleiner als 2%E ist. Die Grösse E kann aber so klein angenommen werden, als man nur immer will; mithin kann cp (ft) nicht von cp(a) verschieden sein, d. h. der Werth des Integrals

f+œF(x₀w) dw ^

Lœ w di

ist für alle Werthe von «a?₀, deren absoluter Betrag zwischen den Grenzen А, В enthalten ist, derselbe.

wo n irgend eine ganze so lässt sich leicht zeigen, dass für dieselbe ebenfalls die in

oder

y (r + x₀z) — cp (r)

dw

Es ist aber

x₀z

-^-dl.

/’+»

Lœ ¹¹ dl

dw

-rr- dl =

/•+CO

J — CO

2üvB

dl

1 + Я²

Da nun

absolute

innerhalb der Grenzen der Integration positiv ist, so ist der /*+»

Betrag von /

00

2iwR

dA

kleiner als der grösste absolute Werth,

1 + A²

den 2шЬК innerhalb der Grenzen der Integration erhalten kann, multiplicirt

mit

⁺“ dl 1 + A2 Setzen wir nun

also kleiner als 2tzE.

Nehmen wir statt F{x) die Function xn.F(oc)

Zahl bedeute

§ 1 hinsichtlich F(x) gemachten Annahmen gleichzeitig gelten. Dies ist unmittelbar klar hinsichtlich der beiden ersten; was die dritte betrifft, so hat man

hk

(x + hk)n.F(x + hk) — xn. F(x)

(x + k)n. F(x + Je) — xn. F(x)

(pc + hJc)n— xn

hk

•F(x+hk) + xn-

F(x + hk) — F(x)

hk

(x + k)n— x"

F(x + k) — F(x)

(x + hk)n— xn    (x + k)n— xn

hk

+ xn

к---F(x + k)-xn-

-j-} F(x + Щ + ⁽*⁺    ¹ ² {F(x + hk) - F(x) j

F(x + hk) — F(x)    jF(x + k) — F(x) )

hk

(x+k)n-xn

, wenn U unendlich klein

Jedes Glied dieser Summe wird aber, da wird, der Grenze nxn~¹ sich nähert, unter der Bedingung, dass h eine bestimmte Grenze nicht überschreitet, für alle Werthe von x innerhalb der festgelegten Grenzen mit к zugleich unendlich klein. Die Function xn.F(x)

hat also ganz denselben Charakter wie F(x), woraus sich denn sofort ergiebt, dass auch der Werth des Integrals

„ F(x₀w) dw dx

dl

/•+»

/    (®o“0

•S—CO

derselbe bleibt für alle Werthe von x₀ innerhalb der bezeichneten Grenzen.

(3.)

r = -f-co

F(x) — 2

V =— CO

sei, so lassen sich unter dieser Voraussetzung die Coefficienten der Reihe leicht bestimmen. Denn aus (3.) folgt

1 r= -{-со

F(x).x~n = 2 -dvxy~n

r = — CO

¹ dw

---jT-dk.

w dl

r = -f-a>    /'+co

2 A-f M’-'

CO    'S— CO

Aber, wie oben bewiesen, ist das Integral

Л + ⁰⁰

/    0&o«0

-CO

v—n

¹ dw ,

— -jr ЙЯ = 0 w dl

für alle Werthe von v mit Ausnahme von v — w, wo dasselbe gleich 2то ist. Somit erhält man

(4.)

2 /'+co

2 tu J_œ

„ dw „

-TT- f/Я.

(U

Hieraus folgt zunächst, dass, wenn F(x) durch eine Reihe von der in Rede stehenden Form dargestellt werden kann, dies nur auf eine einzige Weise möglich ist. Es ist daher zu beweisen: 1), dass die Reihe

¹

3-

²

Nehmen wir nun an, dass sich F(x) in der That in eine Reihe von der in § 1 angegebenen Form entwickeln lasse, also für jeden Werth von x innerhalb der bezeichneten Grenzen

2 ,

wenn in ihr die Coefficienten Av nach (4.) bestimmt werden, für alle Werthe von x innerhalb der bezeichneten Grenzen unbedingt convergirt, und 2), dass ihre Summe wirklich gleich F(x) ist.

Sind ci, b irgend zwei Werthe zwischen A und B, von denen a kleiner und b grösser als der absolute Betrag von x ist, so kann man setzen

p    « £ Г"

2m J_œ    w dl    2тс J_œ

„ F (aw) dw

2dA

1 + Я! ’

av

2тгг

/•+CO

«/—CO

г/Я

,, _ O’ f⁺"

^ ~ 2* J_a

wv F(aw)

2dl

1 + Я²

Nun existirt, wenn man der Grösse Я alle Werthe von — oo bis +co beilegt, für den absoluten Betrag von F{aw) und ebenso für den von F{bw) eine obere Grenze; bezeichnet man erstere mit M und letztere mit IV, so ist unter der Voraussetzung, dass v eine positive Zahl bedeute, der absolute Betrag von Av kleiner als Nb~v und der von A_v kleiner als Md. Mithin ist, wenn r den absoluten Werth von x bezeichnet, der absolute Betrag von Avxv kleiner als N{jJ und der von A_vx~v kleiner als M^Çj. Da nun j beide kleiner als 1 sind, so ergiebt sich hieraus sofort, dass jede der Reihen

r = CO

v =co

2 Avxv und 2 v

60 DARSTELLUNG EINER ANALYTISCHEN FUNCTION EINER COMPLEXEN YERÄNDERLICHEN, und somit auch die Reihe

V = +œ

2 л,х'

У = — со

unbedingt convergirt.

Um nun den Werth von 2 Avxv zu bestimmen, verfahren wir so. Es

r = — 00

sei s eine positive Veränderliche, welche kleiner als 1 ist 2 Avxv convergirt,

r = 1

so ist, weil

V = +CD

V = + CO

2 Avxv = lim 2 Avevxv

und ebenso:

2 A_VX v = lim 2 A_v£vx v

(Conf. : Abel, Oeuvres complètes pag. 69. Theorem IV). Wir können aber setzen

Av =

1_ f+œ

2т:г %J._со

л - J-Г"

-* _ 2iri I»

(л А

l^L(xwJ *£äl,

W 4    7 aA

und daher ist

V = 4*°°

A+ 2    =

F(pcw) f e\v dw _

го

го/ dA

J_ f

2 тл J_cd

F (x w)

го

1 dw ,

VIй’

1--

ferner

V = + 00

2 A_varV =

r == 1

und daher

1 r+G0    e

~dl = ——r / F(xw)-—

2тсг j_co    ⁷ 1 —его dA

dw

dA,

(Ó.)

V = -f-00

2 A,x' =

V = — GO

JL lim f⁺‘°F(xw)\—

2tzI £ = 1J-œ    '(W—£ l — £W)dl

Setzt man nun

1 — его

= w’,

го' + e

so hat man

dw'

dw

edw

w'

— ew

Es ist aber

1 + Xi

1 - 6 -j" (1 s) Xi

1 -Xi

1 -Xi

1 — aw

1 — a — (1 + e) Аг

1 -Xi

und, wenn man

nimmt

w' =

1 + X'i

1-X'i

Bemerkt man nun, dass X' — — со für X = -со und A' = +oo für X = +oo ist, so ergiebt sich

J_ynén

dw

+ 1--[ —pr dX —

1 — aw dX

w' + e \ dw'

1 + zw' I dX' ^ '

Setzt man in dem letzten Integral e = 1, so wird schliesst :

гс'+г

14" zw'

— 1, woraus man

1 dw'

w' dX'

dX' = 2m F ix).

Gegen die Richtigkeit dieses Schlusses Hesse sich das Bedenken erheben, dass für w = — 1 oder für X' = ± oo der Ausdruck

w'+s

nicht gleich 1 wird, wenn e sich der Grenze 1 nähert, indem dann dieser Quotient für jeden Werth von £ vielmehr gleich — 1 ist. Um dieses Bedenken zu beseitigen, drücke man das in Rede stehende Integral als Summe der drei nachstehenden aus:

1 + ZW'

£>(■

w' + a

f Fix W'+e\ 1 dw'

J_Xo \ 1+ aw')w' dX'

dX':

Das erste derselben lässt sich, indem man — X' für A' setzt, transformiren in:

1 + ег(/\ 1 dw' a + w' )W ~dXTdl'

Die Summe des ersten und dritten Integrals giebt daher

1 + aw'

m/ + £

j+r(i

w' + s 1 -f sw’)\ dX'

тл 1 dw'

JJa — -jrr w dl'

innerhalb der Grenzen der Integration das Zeichen nicht

ändert, so kann man diesen Ausdruck auf die Form

JR.

œ 1 dw' w' dl'

dl'

bringen, wo der absolute Betrag von II kleiner ist als der grösste absolute Betrag, den

Fix

1 + zw'

w' + £

M*

w'+ z

1 + Ziv’

für die verschiedenen Werthe von A', oder

F{xw) + F{^)

für die verschiedenen Werthe von A erhält. Es ist aber

J,

ю 1 dw' _ w' dl'

f.

“1 dw'

—г -jjr dA —

w dl

f.

я° 1 dw’ w' dl'

dl' = та—

I.

A₀

¹ dw'.,

f n л r dX J

w dX

mithin ist das fragliche Integral gleich

w' + £

1 + zw'

)жм'+в\™~1

я° 1 dw' w' dl'

dA'J.

Die Grenze dieses Ausdrucks für den Grenzwerth e = 1 ist nun

oder

Г* о

F{x) /

2 TziF(x) — F(x) 12 та — J

Я° 1 dw’

-L^Ldi'+B,

w dl    ¹

Яо 1 dw’

w’ dl'

dA'J

I₀w dl )

so kann man den Werth dieser Zahl so gross

Da A₀ ganz willkürlich ist annehmen, dass die beiden eingeklammerten Differenzen kleiner als jede gegebene Grösse werden, woraus erhellt, dass die gesuchte Grenze wirklich

2TziF{x) ist.

Man hat daher

(6.)

lim f F(xw) i—---f -—-—|^-dA = 2tziF{x)

e = i J—œ    '{W-z    1 —£W ) dl

und vermöge (5.)

(7.)

V — -{-CO

2 A,x' = F(x)

V — — CO

für jeden Werth von x innerhalb der bezeichneten Grenzen.

so

Uebrigens lässt sich leicht nachweisen, dass, wenn eine Function durch eine Reihe von der Form (7.), die für alle, ihrem absoluten Betrage nach zwischen zwei Grenzen A₎ В liegenden Werthe von x unbedingt convergirt, dargestellt werden kann, sie die in § 1 angegebenen Bedingungen erfüllt dass diese nicht allein hinreichend, sondern auch nothwendig sind.

G00

Wenn die Veränderliche x alle Werthe haben kann, deren absoluter Betrag eine bestimmte Grenze nicht überschreitet, und wenn F(x) für keinen Werth von X in der Nähe von 0 unendlich gross wird, so kann man aus dem in § 3 bewiesenen Umstande, dass der absolute Betrag von A_v kleiner als Ma ist, wenn M den grössten absoluten Werth bezeichnet, den F(aw) für die verschiedenen Werthe von w erhält, folgern, dass

Av = 0

Denn man kann unter den gemachten

ist für jeden negativen Werth von v.

Voraussetzungen a beliebig klein annehmen, während M eine bestimmte Grösse

nicht überschreitet.

In diesem Falle lässt sich daher F(x) in eine Reihe von

der Form

A₀ + Ax X + A₂ X² + • • • + Av xy + • • •,

die nur ganze positive Potenzen enthält, entwickeln.

aus

luten Werth bezeichnet, den F{bw) für die verschiedenen Werthe von w er

Wenn dagegen die Veränderliche x alle Werthe erhalten kann, deren absoluter Betrag eine gewisse Grenze übersteigt, und wenn F{x) überdies für keinen unendlich grossen Werth von x unendlich gross wird, so kann man dem Umstande, dass Av kleiner als Nb~v ist, wenn N den grössten abso-

hält, folgern, dass Av = 0 ist für jeden positiven Werth von v. Denn man kann Ъ so gross annehmen, dass b~v kleiner wird als jede gegebene Grösse, während N eine bestimmte Grenze nicht überschreitet. Man kann daher in diesem Falle F(x) in eine Reihe von der Form

A+2 A-vx~v

entwickeln, die für alle Werthe von x innerhalb der bezeichneten Grenzen absolut convergirt.

§ 5.

Setzen wir F(x + Je) für F(x) und betrachten jetzt Je als Veränderliche, so hat die Function F(x + Je), wenn wir die absoluten Beträge von x und Je durch r und p bezeichnen, für alle Werthe von Je, welche so beschaffen sind, dass r+p innerhalb der Grenzen liegt, zwischen denen der absolute Betrag von x sich bewegt, diejenigen Eigenschaften, die erforderlich sind, damit sie nach Potenzen von Je entwickelt werden kann. Da ferner F(x + Je) für keinen Werth von Je in der Nähe von Je = 0 unendlich gross wird, so kann man nach § 4 setzen

r = 00

F(x + iio = f₀+f₁& + f₂ü²+--- =

und es ist, wenn Je₀ irgend einen bestimmten Werth bezeichnet, den Je erhalten kann, zufolge (4.)

2 r+a> 2тгг J_œ

F{x + Je₀w) 1 dw kn₀wn w dX

Man hat aber, wenn man in (7.) x + Jeow für x setzt,

(8.)

dX.

F(x + Jc₀w) — 2 Av(x + Jcw)v

mithin

V = — 00

_l_v^+co . f+œ

Nimmt man, was erlaubt ist, den absoluten Betrag von Jeo kleiner als den von x, so kann man (x + Jeow)v in eine convergirende Reihe

xv + v₁ xv~* Jc₀w H-----h vn xr~n Jcn₀ wnĄ—

• F.

{x + Je₀iv)y 1 dw Ęuf ~w ~dX dL

entwickeln, wo vx, v₂, . . . die Binominalcoefficienten für den Exponenten v bezeichnen.

1 dw

Multiplicirt man diese Reihe mit -^п ^ ^

dX und integrirt

zwischen den Grenzen X — — oo und X = +oo, so erhält man vermöge des in

§ 3 Erwiesenen

und daher

(9.)

/* + c°

**— CO

(;X + K w)v 1 dw

r₀ wn IV dl

dl — 2Tzivnxv n

V = -j-00

V —-00

Bezeichnet man nun durch Fn)(x) die Abgeleitete der Function F (cd), d. h. den Coefticienten von Tc in der Entwicklung von F(x + Tc) nach ganzen Potenzen von h, so ist

(10.)

Fu\x) = 2

V = — 00

Diese Reihe ist, wie aus ihrer Herleitung unmittelbar folgt, convergent für alle diejenigen Werthe von x, für welche '^lAvocv convergirt, und daher ist Fw[x) eine Function, welche für alle Werthe von x ganz denselben Charakter hat wie F{oc). Bezeichnet von Fw[oc\ durch F™(x) die von F⁽²\x) u. s. w., so folgt sofort, dass sämmt-liche Functionen

man nun

durch Fm(x) die Abgeleitete

Fix), F{1\x), Fw(x), Fw(x), ... den in § 1 angegebenen Charakter haben. Nun hat man

(11.)

Fa\x) = ^vAvxv-1 F«\x) = ^v(v-l )Avx™

Fi3)(x) =    !) (v—2)Avxv~³

FM(x) — ^lv(v—l)(v—2)...(v—n + l)Avxr " = n\ ^vnAvxv~n. Hieraus ergiebt sich vermöge (9.)

(12.)

F« -

Also hat man, da F₀ — F(x) ist,

(13.) F(x + Tc)

= F(x) + J?<»(*) • А + F“> (*). IJ- + F«\x) — + • • •

V =co    ЪУ

=

wo F⁽⁰⁾(x) = F{cc) ist, für alle diejenigen Werthe von x und Je, die so beschaffen sind, dass die Summe ihrer absoluten Beträge zwischen den Grenzen

F(x + 7c₀w) 1 dw , knQwn wi dX ’

enthalten ist, innerhalb welcher der absolute Betrag von x liegen muss. Ferner ergiebt sich noch aus (8.)

Fw (x) _

J_ f+œ

2 tu

(14.)

n\

wo Jco so klein angenommen werden muss, dass x + Jcow für alle Werthe von w von Я = —oo bis Я = +00 innerhalb der für x bezeichneten Grenzen liegt, mit dieser Einschränkung aber willkürlich gewählt werden kann.

Münster, 1841.

ZUR THEORIE DER POTENZREIHEN.

A. Es sei

V = -|—CO

F{x) = 2 Äv%v

V = — oo

F{x)₁ wenn man der

eine Potenzreihe der complexen Veränderlichen x mit gegebenen Coefficienten. Ist dann r irgend eine bestimmte, innerhalb des Convergenzbezirks der Reihe liegende positive Grösse, so hat der absolute Betrag von Veränderlichen x alle diejenigen Werthe beilegt, für welche \x\ =r ist, eine obere Grenze, die mit g bezeichnet werde; und es gilt der Satz:

für jeden ganzzahligen Werth von g.

Da die betrachtete Potenzreihe für alle, der Bedingung \x\ — r entsprechenden Werthe von x gleichmässig convergirt, so lassen sich nach Annahme einer beliebigen positiven Grösse 8 zwei positive ganze Zahlen w, n so bestimmen, dass

V = -f- CO

S Л *"

V = — CO

V = n +¹

ihrem absoluten Betrage nach kleiner sind als d, wenn | x | = r ist. ausgesetzt, nehme man eine complexe Grösse ç vom absoluten Betrage 1 so an, dass keine der Potenzen Г¹, ... V”',    den Werth 1 erhält, so hat man

lV)=:(Ui)i₀+2    +

Я = о    Я — о r — i    X — o v = i    я

wo die Grössen 8n 8[ dem absoluten Betrage nach cd sind, oder j-L-2‘2?(r?) = A₀+ 2

Dies vor-

X = l y — n'

X — l v=n

v = n'

1-r

(1 + l)v

1-5«

+ 1)V

(Ï + 1) (1 —Г)

wo e < 2d ist. Lässt man sodann die Zahl l ohne Ende wachsen, so nähern sich die Ausdrücke unter den Summenzeichen auf der rechten Seite der Gleichung der Grenze Null, während die Summe auf der linken Seite niemals > g wird. Setzt man also

141 — ör + £,>

so ist e'< e, und es kann also A₀ dadurch, dass man den Zahlen n\ n hinreichend grosse Werthe giebt, der Grösse g so nahe gebracht werden als man will, woraus sich, da der Werth von A₀ von den Zahlen n, n unabhängig ist, unmittelbar ergiebt, dass \A₀\ niemals >g ist.

Wendet man nun, unter g eine beliebige ganze Zahl verstehend, diesen Satz auf die Function F(x). дГ¹* an, so unterscheidet sich letztere von der ersteren nur dadurch, dass gr~** an die Stelle von g und Au an die Stelle von A₀ tritt, und es ergiebt sich also

41=0

B. Es sei

F(xt,x₂, ...x ) = 2A

0)

Vi,V₂,...VQ

rV\ rV2 r

VQ

Ol, v₂, ... VQ ==—00-- + 00)

wo л?1? a?₂, ... xq complexe Veränderliche bedeuten, während die Coefficienten A gegebene Constanten bezeichnen und so beschaffen sein sollen, dass die Reihe auch für Werthsysteme (xt) a?₂, ... a? ), in denen jede einzelne Grösse von Null verschieden ist, convergirt. Wird dann irgend ein System positiver Grössen rlt raf ... r so angenommen, dass die Stelle (xt = rx, x₂ = r₂, ... xq — r ) dem Innern des Convergenzbezirkes der Reihe angehört, so hat der absolute Betrag von Ffc, a?₂, ... а? ) für diejenigen Werthsysteme (a?l5 a?₂, ... a?ç), in denen |a?J = rt1 |a»a| = r₂, ... |a?J = r ist, eine obere Grenze, die mit g bezeichnet werde; und es gilt der Satz

***•••*¥ ^

für jedes System ganzzahliger Werthe von pit g₂, ... g

Da die betrachtete Potenzreihe für die der Bedingung

Kl =    |a?,| = r₂, ... \xQ\ = rQ

entsprechenden Werthsysteme (xl7 a?₂, ... x^) gleichmässig convergirt, so lässt sich aus ihr nach Annahme einer beliebigen positiven Grösse d eine endliche

Anzahl von Gliedern so herausheben, dass die Summe aller übrigen Glieder für jedes der angegebenen Werthsysteme (л^, л?а, . ..л??) ihrem absoluten Betrage nach < d ist. Bezeichnet man dann die Summe der herausgehobenen Glieder mit ■^0,0,-..о "1 F(xx) x₂, ... Xq) — ''^Av'^vr 'tf.Xy¹ x₃* ...

so ist

(У)    *

0,0,.

\F{xt, x„ ...x )\ + d>\A

.. о I "11 F (хг, x₂, ... Xq) I

und somit

g + d>\A

o,o,.

^\ + \F{ocvx₂,...x₄)\.

Nunmehr seien Sa, .

deren Wahl

.. £ Grössen vom absoluten Betrage 1 keiner andern Beschränkung unterworfen ist, als dass in jedem Gliede von

F(æl1 л?а, ... я?) wenigstens eine der Grössen

tVl tV2

) S ?•••'»£

von 1 verschieden sein muss. Setzt man dann

гг&, r₂&, ... r$ für xt, x₂, ... xQ,

wo A1? AJ? ... Aç ganze Zahlen bedeuten, von denen jede unabhängig von den übrigen die Werthe 0,1,... I durchlaufen soll, so hat man der Definition der Grössen <7, d gemäss für jedes System (A1? Aa, ... A )

o,o,.

also

l^ + ^l>Mo,o,...ol + !S

Es lässt sich aber zeigen, dass der Ausdruck

sich der Grenze Null nähert, wenn man l ohne Ende wachsen lässt.

Dies ergiebt sich unmittelbar, wenn man den vorstehenden Ausdruck in der Form

---г!.

II Mil

0^+1

Я₂ = 0

wo d' eine beliebig klein anzunehmende Grösse bedeutet. Es kann aber die

Function F(xv <p₂, ... so angenommen werden, dass auch d beliebig klein wird; es muss also

sein.

I A),o,...o I = 9

Lässt man sodann

я, ^    ^    F(x,, xa,...xQ)

an die Stelle von F(x^ л?₂, ... æo) treten, so hat man gr~... r~^ statt g zu nehmen, und es ergiebt sich

H ^ -‘'rQ

Aus den vorstehenden Sätzen А), B) lässt sich nun ein anderer von besonderer Wichtigkeit ableiten.

C. Es seien unendlich viele gewöhnliche Potenzreihen¹) in bestimmter Aufeinanderfolge gegeben :

F₂(x₁₎ x₂, ... Xq), . . .

Fx{xx, x₂, ... xQ),

schreibt und bemerkt, dass für jede complexe Grösse £ vom absoluten Betrage 1

x=i

2_£«+l) v’

wenn Г' von 1 verschieden, wenn £v' = 1,

und dass der Annahme nach in jedem Gliede von F (rt ç*¹, r₂^², ... r wenigstens eine der Grössen

—æ'f =

V\ t

v'i tv2 1 ) Ç2 t

...

• • • '•ç

nicht gleich 1 ist. Man kann daher schliessen:

F₀ Ox , x₂, ... Xq ) ,

und es werde angenommen, dass in einer bestimmten Umgebung G der Stelle (0, 0, ... 0) ²) nicht nur jede einzelne dieser Leihen, sondern auch deren Summe unbedingt und gleichmässig convergire.

Bezeichnet man dann den CoeffLcienten von    in F^jx^x^ ... xq)

mit A4*

und setzt

(f*)

v₁₎v₂,...vQ

so lässt sich zeigen, dass А

einen endlichen Werth hat und für jedes

vl>v2i • • ‘vq

der genannten Umgehung angehörige Werthsystem die Gleichung

(.1 =oo

S Ffl(xv . . . XQ)    x\x2 • • • XqQ

№ — 0    f j/J    s

besteht.

so an

G liegt.

Um diesen Satz zu beweisen, nehme man p positive Grössen r, r₂, ... r dass die Stelle (xt = r,, x₂ = rt, ... xç = r ) im Innern des Bereiches

Ist dann Те irgend eine bestimmte positive Grösse, so kann eine ganze positive Zahl m so gewählt werden, dass für jedes, den Bedingungen

Kl = rx, I #₂1 < r₂, ... I x₄1 < r

entsprechende Werthsystem (xt1 x%1 ... x) und für jede ganze Zahl n, die der absolute Betrag der Summe

= со

2    x₂, ...хя)<\Тъ

p — n

und deshalb für jede Zahl n\ die >n

/.l — n'

ist. Man hat aber

2fK,,..,{

0),“=« 1 2 ?

und somit nach dem vorhergehenden Satze für jedes Werthsystem (vx, v₂, ... v )

clcr~Vl r~v* ...

H=nr

2 F (x„ xai... X) =

fx = n

X?X?...X*9,

Iи —n'

У

reiches ist, so gilt dasselbe von jeder Stelle («7, x₂, ... xÿ), die den Bedingungen | x'î—a₁ \ ~\x[~ai l> ] x₂—a₂1 < I x₂—a₂1, ... J ж"—«ç I < I x'j— | entspricht. Ein solcher Bereich ist z. B. der Convergenzbezirk jeder gewöhnlichen Potenzreihe von ж,, x₂, ... x^.

Demgemäss hat die Summe

fX = CQ

У A(fl)

p = 0 Vl*Va,"'V*

bezeichnet werde.

einen bestimmten endlichen Werth, der mit А Hiernach hat man, wenn man

= а:

= Al

vt,v₂,...vQ

setzt und den Veränderlichen л?1? «ra, ... nur solche Werthe beilegt, deren absolute Beträge Ç₄, 6₂, ... Ç c^, ra, ... r sind

(v)

und somit

SU:

o)

¹ *... I ch

**2

Г1-&1    ^2-^2

... V-

Die Reihe

rv\ rvi r

auch von der Reihe

У A    rVl rv* rvQ

fir VuVi, — VQXl X2 •••*<>•

Man hat ferner

u = od

S ^(ß'n ^Zl

ft = 0 (Л = CO

/.i — n

und somit

ti = œ

S F {xu x₂

ft = 0

... ®?) —2-4

0)

vvva,...vQ

x*lxa* ...X** <h

ri

rz

+ |Ä.

Da man nun für jedes bestimmte, dem Bereiche G angehörige Werthsystem (Æj, x₂, ... Xç) zunächst r₂, ... r der angegeben.en Bedingung gemäss und dann ft so annehmen kann, dass

7. ri    Г2

rQ

Fjft

kleiner ist als eine beliebige gegebene Grösse, der Ausdruck auf der linken Seite der vorstehenden Gleichung aber von ft unabhängig ist

so

folgt, dass

и = <x>

sein muss.

Jetzt mögen

F₁ , x₂, ... X,

irgend welche eindeutigen Functionen von a?1? <r₂, ... «r bedeuten, welche die Bedingung erfüllen, dass für alle einem zusammenhängenden Bereiche G an-gehörigen Werthsysteme {x^ a?₂, ... xQ) die Reihe

[Л = OD

2    ж₂, ... я )

,« = О

unbedingt und gleichförmig convergirt.

an

Nimmt man dann in G eine bestimmte Stelle (al7 «₂, ... a ) beliebig

und setzt

æ₂ = a₂+2₂,    ... xQ = aQ+^Q,

so lässt sich jede Function FfX(x₁, <r₂, ... a?ç) in eine gewöhnliche Potenzreihe von i₂, ... £ entwickeln und im Gebiete der Grössen £l5 £a, ... É eine Umgebung der Stelle (^ = 0, £₂ = 0, ... £ == 0) angeben, innerhalb welcher die Reihe

2    (®! F %i > F ^2 ; •

ft — 0

unbedingt und gleichförmig convergirt, und somit nach dem vorstehenden Satze in eine Potenzreihe von ^, £₂, ... Ç verwandelt werden kann. Damit ist erwiesen, dass innerhalb des Bereiches G die Summe

2F (xvx₂, ...x )

ft

eine eindeutige analytische Function von x^x^ ... æ ist. Ferner ergieht sich,

I.

10

dass diese Function Derivirte jeder Ordnung besitzt und dass (für Я = 1, 2,... p)

и =oo

Ô

— F^, x„ ...x),

und allgemein

^ + ^ + ••• + «0 u

= CO

daf * da;“« ... dx“<2 u

S F/U(x₁, x₂, ...x) =

— o

= » ö“l + «2 + "- + «0

о dx%² ... dxp

и == <

'S

Ffi (Xi i x₃, ... ^ )

ist.

Münster, im Herbst 1841.

DEFINITION ANALYTISCHER FUNCTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN VERMITTELST ALGEBRAISCHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.

(Auszug aus einer im Jahre 1842 verfassten, bisher nicht veröffentlichten Abhandlung.)

¹

   d. h. Reihen von der Form 2-4у₁,г₂,...^£СГ¹я;Г*... x^Q, in denen jeder der Exponenten eine ganze positive Zahl oder Null ist.

²

   Unter Umgebung einer bestimmten Stelle (av a₂,... a„) im Gebiete von p Veränderlichen xt, xif ... xQ ist ein Bereich von folgender Beschaffenheit zu verstehen: Wenn (x[,x₂, ... æÿ) irgend eine Stelle des Be-

1.

Es sei vorgelegt das folgende System von n Differentialgleichungen, in denen o?, ... xn zu bestimmende Functionen einer unabhängigen Veränderlichen t und

... xj, ... Gn(xt, ...xm)

gegebene ganze rationale Functionen von x^ ... xn bedeuten sollen:

dx j

(h)

dxn

&n(.Xll -••Xn) = 0.

Dann lassen sich zunächst n in einer gewissen Umgebung der Stelle (£ = 0) convergirende (gewöhnliche) Potenzreihen hersteilen, welche für д?, ... xn gesetzt den vorstehenden Differentialgleichungen genügen und zugleich für t = 0 beliebig vorgeschriebene Werthe

«!»••• «»

annehmen.

Sind nämlich ^(f), ... фн(£) irgend n Potenzreihen, welche unter der Bedingung, dass der absolute Betrag von t unter einer gewissen Grenze (r) liege,

sämmtlich convergiren, und setzt man

(2.)

(Я = 1, ... n)

so lassen sich die Ausdrücke

(3.)

dxx

(Я = 1, ... n)

df-Gx&i, ••• я„)

nach Potenzen von t in Reihen entwickeln, die ebenfalls convergiren, wenn

111 < r

ist. Bezeichnet man den Coefficienten von tu in ^я(£) mit О = 0, l, •••+oo), so hat der Coefficient von C in der Entwicklung von

dxx

die Form

(4.)

wo G

X,u

a 1,(11 ••• «*f*

eine ganze rationale Function der Grössen

«1,0 1 • • * «», 0

«1,1, ••• «„,1

bezeichnet. Nimmt man nun

GO

«1,0 = «1

• «„,0 = «»

und bestimmt darauf die übrigen Coefficienten nach einander mittelst der Formeln

«i,

0i,o,

•    «»,i    =

(6.)

«1,2 2 0 «1,3 = ?0

1,1 ,

1,2 ,

• • •    «n,2    — 10»,1

— iß

3 ^»,2

TI • s. w.,

so werden, wenn man

= R(0

(7.)

CO

CO

= 53«i,u*“> ••

f* = 0

• яп

= *.(*) = 53

u = о

setzt, die Gleichungen (1.) für jeden dem gemeinsamen Convergenzbezirk dieser

Reihen angehörigen Werth von t befriedigt, und es erhalten zugleich л?, a?f,... xn für t — 0 die vorgeschriebenen Werthe аг1 aa, ... an.

Es bleibt daher, um den im Vorstehenden ausgesprochenen Satz zu begründen, nur noch zu beweisen, dass die auf die angegebene Weise bestimmten Reihen    ... ^}n(0 stets einen gemeinsamen Convergenzbezirk, dessen Radius

nicht gleich Null ist, besitzen. Zunächst möge aber noch eine zweite Bestimmungsweise der Grössen аг angegeben werden.

Man setze, unter v irgend eine bestimmte positive ganze Zahl verstehend,

(8.)

»ä = 2 ai,Jl ^6 = 0

(9.)

(Я = 1, ... n)

— %1 + hi

so bezeichnet £я eine Potenzreihe von t, in der das Anfangsglied vom Grade v + 1 ist. Man hat also

G*Ou ... Xn) = G-xioc^ ... Xn) + tv+1%(t),

^L-G^...xn) = ГШ-Hieraus lässt sich nun folgern: Man setze (für А = 1, ... и, n = 1, ... v)

(10.)

dxx

dxx

...xj =

±i~^GT{x₁₎...xn)Glc{xl,...xn),

(11.)

Ou ... Яя) =

• • ®.),

G[³⁾(Xi, ...xn) =

u. s. w.,

so hat man

(12.)

dxx

dtn

sn

Angenommen nämlich, es sei die Richtigkeit dieser Gleichung für A = 1,...» und einen bestimmten Werth von n, der < v, erwiesen, wie dies nach dem Obigen für n = 1 der Fall ist, so folgt aus ihr

dxk

und hieraus, da — nach (10.) —

n+IXT

(Я = 1, ... w)

ist,

dn+1ą

ćftn+l

woraus

sich das Behauptete unmittelbar ergiebt.

Setzt man nun in (12.) n = v und dann t — 0, so kommt:

>)•

C:

vlaXiV = G? ü(at, ... an)

Aus den Formeln (11.) geht nun hervor’, dass jeder der Ausdrücke G^~l\a₀ ... au) eine ganze Function nicht nur der Grössen al7 ... as, sondern auch der Coefficienten von G^, ... д?я), ... G(^, ... #) ist, und dass in denselben jedes Glied eine positive Vorzahl hat. den absoluten Betrag von Gj,-1)(a₁, ... aj eine Grenze, die er nicht überschreiten kann, folgendermassen bestimmen.

Man nehme an Stelle der ganzen Functionen £,(#,,... o?J, ...    ... л?в)

(13.)

Es lässt sich deshalb für

n andere

•••»„)» ••• ®„fo, •••«.)

dass (für Я = 1, ... ») jeder Coefficient von ©я(л?₁₅ ... a?n) positiv und

von

(? (^ ... л?п) ist. Ferner seien «1? ... an positive Grössen, welche der Bedingung

•••

so an

nicht kleiner als der absolute Betrag des entsprechenden Coefficienten

entsprechend gewählt werden müssen.

Wenn man dann unter

®ri5K,

den Ausdruck versteht, der aus den Functionen ©Дл?,, ... л?„), •••    •••

ebenso abgeleitet ist wie    ... #„) nach Vorschrift der Formeln (11.)

aus den Functionen СгДл^, ... л?в), ... G (o?1? ... o?n), so hat man

/* =    .n \

\v =    ... oo/'

H-»

Wenn also die Reihe

«i+s^er” («,>•••«.)*’

für einen bestimmten positiven Werth von т convergirt, so ist dies sicher auch der Fall mit der Reihe für jeden Werth von t, dessen absoluter Betrag nicht grösser als т ist.

Ein Functionensystem ©Дд^, ... xn), ... ©в(д?1? ... xj von der verlangten Be-schatfenheit findet man z. B. folgendermassen. Man bestimme eine positive Constante g und eine ganze positive Zahl m so, dass in der nach Potenzen von д?, ... xn ausgeführten Entwicklung des Ausdrucks

der Coefficient jedes Gliedes nicht kleiner ist als der grösste Werth, den in den entsprechenden Gliedern der Functionen 6r (xi, ... xj, ... Gn(x^ ... д?п) die absoluten Beträge der Coefficienten erreichen, und setze fest, dass für jeden Werth von Я

• •• ®.) =

sein solle. Mittelst der Formeln (11.) ergieht sich dann, wenn man

setzt

X = x₁-\----+ xn

1 = 1,

V =1,

Diese Gleichung gilt zunächst für v = 1. Angenommen, sie sei für irgend einen bestimmten Werth von v bewiesen, so ergiebt sich aus (11.)

(15.)

V (wi—1)+1

. n \

... oo)‘

®Г(*„ ...®J = 2

Ä= 1

» ... ®.)

... ®.)

—1)+1

(V+l) (m—1)+1

_ nvgv+i (i} + (m — l))r (1 + v (m — 1)) (1 + #)

= nv gvÆ1 (1, + (m— l))t’⁺¹ (1 + x)

Es besteht also die Gleichung (15.) auch noch, wenn man die Zahl v um eine Einheit vermehrt; sie ist demnach allgemein gültig.

Lim = ng (m — 1)(1 + a)m 1.

CO 0V

Dies festgestellt, nehme man nun n positive Grössen a1? ... an so an, wie im Vorstehenden angegeben worden, und setze

cc = «,-+-----Ь«„,

(1, + (w — l))v(l + «)

cr =

nv~lgv

V (m—1)+1

so hat man

oo

tr

00

Es ist aber

und somit

Setzt man also

— m+X

— _ (1 + ß)

ng(m— 1) ’

so convergirt die Reihe

v\

wenn T < T, und somit die Reihe

?я(0 = «я+ 2 ~j Gif ¹⁵К >•••«„)

sicher für jeden Werth von £, dessen absoluter Betrag kleiner als x ist.

Hiermit ist bewiesen, dass die Reihen    ...    stets einen gemein

samen Convergenzbezirk, dessen Radius nicht gleich Null ist, besitzen und somit, wenn die Veränderliche t auf diesen Bezirk beschränkt wird, eindeutige und continuirliche Functionen von t darstellen, welche für л?х, ... æn gesetzt den vorgelegten Differentialgleichungen genügen und für t — 0 die vorgeschriebenen Werthe ax, ... an annehmen.

Es erhellt ferner aus der im Vorstehenden angegebenen Bestimmungsweise der Coefficienten von ^(f), ••• 5ß„(0> dass es nur e^n System so beschaffener Potenzreihen giebt.

2.

Aus dem vorstehenden Beweise für die Convergenz der Reihen ... *))n(Y) lässt sich ein wichtiger Satz herleiten.

Es mögen jetzt die Coefficienten der in den Differentialgleichungen (1.) vorkommenden Functionen Gx{x₁, ... xn), ... 6rn(a?l7 ... а?я), und ebenso die mit я1? ... bezeichneten Anfangswerthe der zu bestimmenden Grössen л?, .. eindeutige analytische Functionen beliebig vieler, einem zusammenhängenden Bereiche angehörigen unabhängigen Veränderlichen иг1 и₂, ... sein, und es werde angenommen, dass innerhalb dieses Bereiches die absoluten Beträge der genannten Coefficienten, sowie auch der Grössen a , ... я , sämmtlich unter einer endlichen Grenze liegen.

Nach dem Vorhergehenden lässt sich nun eine positive Grösse r so annehmen, dass jede der Reihen ^(f), ...    für jedes der betrachteten Werth

systeme ма, ... unbedingt convergirt, wenn festgesetzt wird, dass der absolute Betrag von t kleiner als r sein solle. Versteht man dann unter r irgend eine zweite positive Grösse, die kleiner als r ist, und bestimmt, dass der Veränderlichen t nur solche Werthe beigelegt werden sollen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner oder eben so gross als r sind, so giebt es für die absoluten Beträge der Werthe, welche alsdann die Functionen $ßx(£), ...    annehmen können, eine obere Grenze, die mit R bezeichnet werden möge. Nach einem bekannten Satze ist dann, wenn der Coefficient von f in $&(*) mit bezeichnet wird

1?я₍>х,    ...)Г| < R. - .

Hebt man also aus der Reihe ^(f) die m ersten Glieder heraus, so ist die Summe der übrig bleibenden ihrem absoluten Betrage nach kleiner als

R-

CO

2R-- =

kann also durch Yergrösserung von m so klein gemacht werden, wie man will. Die Reihen ^(f), ...    convergiren somit für die den angegebenen

Bedingungen entsprechenden Werthsysteme der Veränderlichen t, ut, w₂, ... nicht nur unbedingt, sondern auch gleichförmig, und bilden also ein System eindeutiger analytischer Functionen dieser Veränderlichen. (Vgl. die Abhandlung »Zur Theorie der Potenzreihen«.)

.. an) beschränkt werde.

Innerhalb dieses Bereichs, der mit T₀ bezeichnet werden möge, nehme man nun einen zweiten bestimmten Werth (tj von t beliebig an, so hat man unter der Bedingung, dass die Veränderliche t auf eine ganz in T₀ enthaltene Umgebung der Stelle tx beschränkt werde,

ein bestimmter Complex regulärer Functionen von t definirt, welche den vorgelegten Differentialgleichungen genügen und für t — tQ die Werthe a , ... an annehmen. Zugleich ergiebt sich aus dem am Schlüsse des § 1 Bemerkten, dass es nur einen Complex so beschaffener und in der angegebenen Form darstellbarer Functionen giebt. Selbstverständlich wird hierbei vorausgesetzt, dass die Veränderliche t auf den gemeinsamen Convergenzbezirk der Reihen а

CO

(3.) wo

■ 1 <3V

V ! dt

4=ztx

wenn

3.

Man setze, unter t₀ eine von t unabhängige Grösse verstehend

(1.)

•••«») = «a + 2 Gl n(«„ ••• «*)’

V = 1

wo (a,, ... aj dieselbe Bedeutung haben soll, wie in § 1.

Dann wird, wenn man die Grössen żoł ... an fixirt, durch die Gleichungen

»i» ••• O» • • •    alf ... aj

vl

(я = l,... w)

(2.)

Die Potenzreihen auf der Rechten dieser Gleichungen genügen den gegebenen Differentialgleichungen, müssen also nach dem Vorstehenden man die Werthe, die sie für t = t% annehmen, mit a', ... a'n bezeichnet, identisch sein mit den Reihen

So ergeben sich die Gleichungen

av ••• «J =    «1» ••• a»)

(4.)

in denen

(5.)

< =    <A •••«*),    • • •    < =    av •••«*)•

Möglicherweise erstreckt sich aber der gemeinsame Convergenzbezirk der Reihen auf der Rechten der Gleichungen (3.), der mit Tx bezeichnet werde, über die im Vorstehenden bezeichnete Umgebung der Stelle tx hinaus, und es gelten dann, da die gemeinsamen Stellen der Bereiche To, T ein Continuum bilden, die Gleichungen (4.) für jeden diesem Continuum angehörigen Werth von t.

Nun können drei Fälle eintreten.

Der Bereich T₀ kann unbegrenzt sein. Dann gilt dasselbe auch von dem Bereiche Tx1 wie man auch die Stelle tx annehmen möge, und es bestehen die Gleichungen (4.) für jeden Werth von t, so dass es also nur einen Complex analytischer Functionen <r , ... xn giebt, welche den vorgelegten Differentialgleichungen genügen und für t — t₀ die Werthe ax, ... an haben.

Ist aber der Bereich T₀ ein beschränkter, also geometrisch darstellbar durch das Innere eines um den Punkt t₀ beschriebenen Kreises, dessen Radius mit p₀ bezeichnet werde, so ist auch der Bereich T ein beschränkter und wird repräsentirt durch das Innere eines um tx beschriebenen Kreises, dessen Radius (px), wenn man \tx — 1 = d setzt, in dem Intervall

Po-^ ••• Po+tf

liegt, woraus folgt, dass die Grösse p₁ sich stetig ändert, wenn der Punkt tx innerhalb T₀ seine Lage stetig ändert, niemals aber den Werth Null erreichen kann. Wohl aber giebt es stets in der Begrenzung von TQ mindestens eine Stelle, welcher der Punkt t nicht unendlich nahe kommen kann, ohne dass pi unendlich klein wird. Im Allgemeinen giebt es aber in der genannten Begrenzung Strecken, welche keine solche singuläre Stelle enthalten, und dann kann man tx so annehmen, dass pt > p₀— â wird. In diesem Falle zerfällt der Bereich T dergestalt in zwei zusammenhängende Theile, dass in

dem einen, der ganz in T₀ liegt, das Functionensystem

$ßi (*-*n a[,... a'n), ...    <)

identisch ist mit dem ursprünglichen

^ßl (ß K, «1J •••«»»)> * • • ^ßn t₀₎ ct₁ , (ln) , während es für die dem anderen, ausserhalb TQ liegenden, Theile angehörigen Werthe von t eine Fortsetzung des letztgenannten bildet.

Es kann endlich Vorkommen, dass die Grösse pi für jeden der Begrenzung von To unendlich nahe kommenden Punkt tt einen unendlich kleinen Werth erhält. Dann liegt, wie man auch den Punkt tt annehmen möge, niemals ein Theil des Bereiches Ti ausserhalb To, und es sind die Functionen

ai>-“ an), •••    «и    a»)

wenigstens nicht alle einer Fortsetzung über T₀ hinaus fähig.

Dies festgestellt, kann man nun auf mannigfaltige Weise eine B-eihe von beliebig vielen Complexen

u. s. w.

in der Art herstellen, dass jeder derselben, von dem zweiten an, aus dem unmittelbar vorhergehenden eben so entsteht, wie nach dem obigen der zweite aus dem ersten. Durch die Gesammtheit dieser Complexe wird dann ein (eindeutiges oder mehrdeutiges) System analytischer Functionen der Veränderlichen t definirt.

Münster, im Frühjahr 1842.

a ja »

Ш t-t»

ANMERKUNG.

Zur Zeit, als ich die vorstehende Abhandlung schrieb, war der in § 1 begründete Satz bereits von Cauchy gefunden und veröffentlicht worden, wovon ich indess keine Kenntniss hatte. Bei der gegenwärtigen Herausgabe meiner Abhandlung, deren Inhalt ich bisher nur bei?meinen functionentheoretischen Vorlesungen benutzt habe, konnte ich mich jedoch, was den genannten Paragraphen angeht, nicht an Cauchy’s Darstellung anschliessen, weil ich dann §2 und §3, welche wichtige, hei Cauchy nicht vorkommende Sätze enthalten, hätte vollständig umarbeiten müssen, und überdies mein Beweis des in § 1 enthaltenen Haupttheorems von dem Cauchy’schen abweicht.

BEMERKUNGEN ÜBER DIE ANALYTISCHEN FACULTÄTEN.

(Beilage zum Jahresbericht über das Progymnasium zu Dt. Crone für das Schuljahr 1842—1843.)

§ i.

Die analytischen Facultäten sind, nach Vandermonde und Kramp, in neuerer Zeit vorzüglich von Grelle¹) nach eigentümlicher Methode bearbeitet worden. Crelle definirt die analytische Facultät als eine von drei Argumenten, der Basis u, der Differenz x und dem Exponenten y abhängige und durch (u, + x)y bezeichnete Function, deren Grundeigenschaften in den Gleichungen

(L)

(2.)

(u, + x)y+k = (u, +xf(u + yx, +xf (Jeu, + Jcxf — ky (u, + x'f

(3.)

(и, + #)¹ — и

ausgesprochen werden. Aus diesen Gleichungen werden alle übrigen Eigenschaften der Facultät, so wie auch Formeln zur Berechnung ihrer Werthe für beliebige Werthe von и, x, у auf einfache Weise abgeleitet.

Diese Behandlungsart der Facultäten hat vielfach Beifall gefunden, wie denn namentlich Grünert in dem Artikel »Facultät« der Supplemente zu dem Klügel’sehen Wörterbuche ihr ganz folgt. Gegen sie aber finden sich in den Schriften Ohm’s einige gelegentliche Aeusserungen, welche ich, obwohl sie grösstentheils aus Missverständnissen hervorgegangen zu sein scheinen, hier anzuführen nicht umhin kann, weil sie mir Veranlassung zu einer genaueren Untersuchung der bisherigen Facultäten-Theorien gegeben haben, als deren Ergehniss ich allerdings die Ueberzeugung aussprechen muss, dass sich auch in der Crelle’schen Darstellung, wenn auch nicht in dem Sinne Ohm’s, noch einige Schwierigkeiten finden, die aufgehellt und beseitigt werden müssen.

Ohm stellt (System der Mathematik, Thl. 2, § 340) für Facultäten, deren Exponenten ganze Zahlen sind, fünf Gleichungen auf, von denen die erste mit Anwendung der Crelle’schen Bezeichnungsweise

G-)

(u,+x)y = (u + yx—x, — xf

heisst, die zweite und die fünfte mit den obigen Gleichungen (1.), (2.) Übereinkommen, die dritte und die vierte aber aus der zweiten folgen, und fügt dann folgende Note hinzu:

»Es ist nicht möglich, einen Begriff der gebrochenen Factorielle (Facultät) hinzustellen, wofür alle fünf Nummern des § 340 noch geltend bleiben. Und namentlich ist der Begriff der gebrochenen Factoriellen, wie solche in den Anwendungen von Vandermonde und Kramp gebraucht werden, von der Art, dass für diese gebrochenen Factoriellen nur die Formeln Nr. 1 u. 2 [d. h. der hiesigen (l), (4)], also natürlich auch die mit Nr. 2 [hier (1)] zugleich gegebenen Nr. 3 und 4 des § 340 noch stattfinden, nicht aber die Formel Nr. 5 [hier (2)]. Wenn daher zuerst von Kramp stillschweigend, dann von Crelle ausdrücklich die allgemeine Factorielle als ein Ding bezeichnet wird, welches die in den Nrn. 1, 2, 5 des § 340 [in den Gleichungen (l), (2), (4)] ausgesprochenen Eigenschaften hat, so rächt sich dies unlogische Verfahren sogleich dadurch, dass bei Kramp (Réfractions astronomiques et terrestres, 1799) sehr bedeutende, von ihm selbst zugestandene und ihm unbegreifliche Widersprüche hervorgehen, während bei Crelle (»Theorie der analytischen Facultäten, 1824«) die wenigsten Formeln wahr sind, ohne dass solches von dem Verfasser bemerkt wird, weil sich derselbe nicht, wie Kramp gethan, auf specielle Untersuchungen einlässt, sondern nur allgemeine Formeln auf allgemeine Formeln gehäuft hat, welche daher als solche grösstentheils für todtgeborene gehalten werden müssen u. s. w.«

In ähnlichem Sinne spricht sich Ohm noch an anderen Stellen aus, namentlich in seiner analytischen Geometrie in einer Anmerkung, in der es heisst, dass die Definition der Facnltät, wie sie Grelle gegeben, ihm selbst unbewusst einen Widerspruch aufgenommen habe.

Diese Einwendungen Ohm’s, so weit sie die Crelle’sche Theorie betreffen, lassen sich jedoch leicht beseitigen. Denn die obige Gleichung (4.), welche für gebrochene Werthe von y mit den übrigen (!.), (2.), (3.) allerdings nicht vereinbar ist, wird von Grelle keineswegs, wie Ohm es aussagt, zur Definition der Facultät mit benutzt. Dass es aber eine Function giebt, welche den Gleichungen (1.), (2.), (3.) genügt, ist nicht schwer nachzuweisen.

Denn setzt man mit Gauss*)

(5.)

2м

3“

nu

u+1 Iм и+ 2 2U u + 3

(n— 1)M u + n

so ist

(6-)

0, +xf =

eine Function, welche die in den genannten Gleichungen ausgedrückten Eigenschaften hat. (S. den folgenden §.)

Grösseres Gewicht aber hat eine andere Angabe Ohm’s. Nachdem er (Syst. d. Mathem., Thl. 2, S. 89) den sogenannten binomischen Lehrsatz für ganze Facultäten, nämlich die Formel

(7.) (u + lc, + x)y = (u, + x'f + y₁(u, +x)y-' (7c, +хУ + у₂(и, +x)y~²(k, +я)² +.......

bewiesen hat, fügt er hinzu, man würde sich sehr irren, wenn man mit Kramp, Grelle und so vielen Anderen annehmen wollte, dass dieser binomische Lehrsatz für Facultäten auch dann noch gelten müsse, wenn у eine gebrochene Zahl, oder gar, wenn у allgemein sei. Im Gegentheil finde man, dass, wenn у eine ganze oder gebrochene Zahl sei, und wenn im letzteren Falle die Reihe convergire, dann

sinWTc. sin (и +Jc +y)iг

•(u+Jc, + iy

sin {и +у)ъ. sin (h +у)ъ

(8.) (u,+l)y +y₁(u,+l)y '(Je, +l)¹+yi{u,+l'f ²(k, +1)²+---sein müsse.

*) Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1 + x + a^a ——-łl recent. Soc. Gotting., Yol. II.

2 • У (y + 1)

cc³+..... Comment.

I.

12

Ohm’s, dass schon in den Grundgleichungen derselben ein Widerspruch liege, völlig gerechtfertigt, und nur insofern einer Berichtigung bedürftig, als an die Stelle der Formel (7.) die Gleichung (8.) treten musste. Aber bei weiterer Untersuchung überzeugte ich mich gleichwohl, dass sie, auch nach der neuen Bearbeitung, die sie in dem angeführten Mémoire erfahren, noch an verschiedenen anderen, wie es mir scheint, nicht unwesentlichen Mängeln leide. Von dem hochverehrten Verfasser der eben genannten Schrift, dem ich mündlich meine Bemerkungen mittheilte, zur Veröffentlichung derselben aufgefordert, glaube ich die gegenwärtige Gelegenheit dazu benutzen zu dürfen.

§ 2.

Die Definition der Facultät durch die drei Gleichungen (1.), (2.), (3.) ist

nach dem Vorhergehenden in so weit zulässig, als sie mit einander nicht im Widerspruche stehen. Aber es lässt sich zeigen, dass sie allein zur Bestimmung der Facultät gar nicht hinreichen, sondern dass es vielmehr unendlich viele, ganz von einander verschiedene Functionen giebt, welche die in ihnen ausgesprochenen Eigenschaften besitzen. Aus den Gleichungen (1.), (2.) ergiebt sich nämlich (Th. d. f., 55.)

и

—by — i

X n я

(9.)

(w, + x)y = oc?

--1

Dieses Resultat fand ich bei näherer Prüfung vollkommen bestätigt, aber, nach den angeführten Äusserungen Ohm’s, wonach derselbe unter einer Facultät etwas ganz anderes zu verstehen scheint als Crelle, auffallen musste,

grade unter der Voraussetzung, dass man für den Ausdruck der Facultät

П (u+y- 1)

П (u— 1)

was

nehme, welche der Crelle’sehen Definition

(w, + \)y die Formel ly-entspricht.

Somit erschien mir die Facultäten-Theorie Crelle’s gegen die Behauptung

(i,+i)*

oder wenn man (1, + lV¹ durch ¥(y) bezeichnet,

(10.)

(и, +x)y =

'(H

Aber in dieser Formel kann, wenn (u,+x)y zunächst nur in so weit bestimmt

werden soll, dass den Gleichungen (1.), (2.) genügt werde, die Function F ganz willkürlich angenommen werden. Denn welche Form man ihr auch geben mag, man hat

(ll.) {u,-\-x)y+k — Xy

F( -г)

ï[ît£+i-l)

-Д» V* ) ął V Ж _Z

f(£-i) p(üäE_i)

— (u,+x)y(u+yx,-\-x)

und

(12.) (Jeu, + Jcxf — (kxj

F(s+H

= lyxy

Ffë+*⁺¹)

'(Ï-)

= Jcy(u,+x)y.

Damit nun ferner auch der Bedingung (3.) Genüge geschehe, hat man in (10.) y = 1 zu setzen, wodurch man findet, dass

(13.)

« = x 7-\

F( -l)

oder wenn man y für — schreibt,

'S    X

F(y) = yF(y-l)

Eine Function, welche diese Eigenschaft besitzt, ist П(г/). Wird nun, um die allgemeinste Form von F zu bestimmen,

(14.)

sein muss.

(15.)

gesetzt, so findet sich

(16.)

Ф(у)п(у) = ^(y-l).yU(y-l)

woraus, weil

(17.)

(18.)

П (у) = уЩу-l)

Ф(у) = Ф(2/-¹)

folgt, d. h. die Function ф(^) oder

F (2/)

muss

für jede zwei Werthe ihres

П(2/)

Arguments, deren Differenz gleich 1 ist, denselben Werth haben. Dies findet z. B. statt, wenn ф{у) eine willkürliche eindeutige Function von cos 2утс und

sin2yrc ist.

so

Das Resultat, welches sich aus dem Vorstehenden ergiebt, lässt sich nun aussprechen. Wird durch ф(у) irgend eine Function bezeichnet, welche

12*

der Bedingung (18.) genügt, und wird

(19.)

SS I s

-1

gesetzt, so besitzt diese Function die durch die Gleichungen (1.), (2.), (3.) ausgedrückten Eigenschaften. Es kann daher (w, + x)y, ohne aufzuhören, den genannten Gleichungen zu genügen, gleich wie ф (у) unendlich viele verschiedene Formen annehmen. Zugleich ist aber auch durch die Formel (19.) die allgemeinste Bestimmung von (u, -b x)y gegeben.

Hierdurch ist nicht nur die ausgesprochene Behauptung, es seien die Gleichungen (1.), (2.), (3.) nicht hinreichend, um (w, + x)y vollständig zu bestimmen, gerechtfertigt, und die Nothwendigkeit nachgewiesen, in die Definition der Facultät noch eine, in jenen Gleichungen nicht enthaltene Bestimmung aufzunehmen; sondern es ergiebt sich auch daraus, dass die Schlüsse, durch die man aus den Gleichungen (1.), (2.), (3.) völlig bestimmte Darstellungen von (w, + x)y hergeleitet hat, nicht fehlerfrei sein können und daher einer Revision bedürfen.

§ 3.

Ehe ich aber die verschiedenen von Crelle u. a. entwickelten Formeln in dieser Rücksicht durchgehe, will ich auf einen bisher, wie es scheint, ganz übersehenen Umstand aufmerksam machen, aus dessen Nichtbeachtung grosse Irrthümer hervorgehen können und wirklich hervorgegangen sind. Ich bemerke zuvor, dass ich mich bei allen folgenden Entwickelungen auf reelle Werthe der Basis, der Differenz und des Exponenten beschränke. Denn wenn es auch nicht schwer ist, auch imaginäre Werthe dieser Veränderlichen mit in Betracht zu ziehen, so würde das doch einige vorläufige Erörterungen nöthig machen, die hier der Raum nicht gestattet.

Setzt man in den Gleichungen (1, 3) x = 0, so erhält man

y+k

(20.)

(u, + 0)

(и, + 0)¹ = u.

= (m, +0 )v(u, + 0)*

(21.)

Hieraus ergiebt sich, dass

(22.)

sein muss.

(u, + 0/ = uy

Aber man darf daraus nicht schliessen, dass (и, +xY, wenn der

numerische Werth von x unendlich klein wird, nothwendig der Potenz uy unendlich nahe komme. Vielmehr lässt sich zeigen, dass jede Function, welche den Gleichungen (1.), (2.), (3.) genügt, in der Nähe von x = 0 sich nicht stetig ändert. Setzt man nämlich x = unter p eine positive Veränderliche verstanden, so erhält man nach (19.)

(23.)

к + ТГ

1 \y

Ą(P + y-1)

■P

-у

Щр + у-i)

nu?—i)

oder wegen (17, 18)

1Y Ą(p + y) П(р + у-1)

/    Ą(p) py~¹U(p)

(24.)

1, H—

P

Nun ist bekanntlich (s. die angeführte Abhandlung von Gauss) für einen unendlich grossen positiven Werth von p

(25.)

П (p + y) ₁

pyU{p)    ’

oder richtiger wegen der Vieldeutigkeit von py

(26.)

П(Р + У) _ ty

py\\{p)

Der Factor

Ь(р+у)

ist aber der Formel (18.) gemäss eine periodische Function von p, und nähert sich deshalb, wenn p unendlich gross wird, keiner be-

«KiO

stimmten Grenze, wofern nicht etwa die Function ф eine blosse Constante ist.

nur in diesem Falle einer bestimmten Grenze.

Daher nähert sich auch (к+^У

Setzt man ferner in der Formel (19.) —x für л?, so erhält man

(27.)

(«, -xf = (- 1)!

iKA+y-¹) . "Hr-*-»-¹)

♦ -i-¹

Es ist aber, wie bekannt

(28.)

Щ-х) =

TC

sin^TT. П {x— 1)

daher, wenn

(-1)

(-1)*

— ~y

für (— 1 )y gesetzt wird,

(29.)

{u ,—x)y =

(-1). sin    +

■xy

U¹)“    n(kÿ)

oder wenn man

(30.)

(—l/sinyTT (—l)y sin г/тг

= У(зО

setzt, wo dann <p gleich wie ф der Bedingung

(31.)

y(y) = ?(«/-!)

genügt

(32.)

(гг, —xf —

(-»), n6)

Uv

"GH

Mithin

(33.)

__ у О-у) i? УП(#) <p(p) ’П(р-у)²

Hieraus ergiebt sich ebenso wie vorhin, dass

wenn p unendlich gross wird, nur dann einer bestimmten Grenze sich nähert, wenn die Function cp

sich auf eine Constante reducirt.

Da nun cp und ф nicht zugleich constant sein können, so folgt, dass der Werth von (1,+a?)², und daher auch der von (u, + x)y = uy ^1, + ~pj jedenfalls entweder für einen positiven, oder für einen negativen unendlich kleinen Werth von x unbestimmt bleibt. Die Function (гг,+#)?у ändert sich also in der Nähe von x = 0 nicht stetig.²)

Zu bemerken ist jedoch hierbei, dass dies nur gilt, wenn у keine ganze Zahl ist. Denn in diesem Falle ergiebt sich aus (18.) und (31.)

(34.)

У (« ± у) = У И

^{u±y) = ф(м)

und die Functionen ф, cp fallen aus den Ausdrücken für (u, + x)y und (u,—x)y fort.

§ 4.

Nach dem im § 2 Gesagten ist es zur vollständigen Definition der Facultät noch nöthig, hinsichtlich der Function ф eine Bestimmung zu treffen. Eine solche ist, wie so eben nachgewiesen, enthalten in der Annahme, dass

zum

(1,+ xf entweder für einen positiven oder negativen Werth von x, wenn dieser ohne Ende abnimmt, der Grenze ly sich nähere, indem im ersten Falle ф, im zweiten die Function cp sich auf eine Constante reduciren muss. Eine dieser Annahmen ist, wie sich ergeben wird, nothwendig, wenn die Analogie der Facultäten und der Potenzen durchgehende behauptet werden soll. Ohne für jetzt näher zu untersuchen, welche von diesen beiden Annahmen zweckmässiger sei, obwohl mir die letztere aus mehreren Rücksichten den Vorzug zu verdienen scheint, will ich beide Arten von Facultäten, die sich aus ihnen ergeben, in Betracht ziehen. Die erste Art, für welche allein fortan die Bezeichnung (u,+xf bestimmt bleiben soll, hat die in den obigen Gleichungen (1.), (2.), (3.) ausgedrückten Grundeigenschaften, und ist ferner dadurch charak-

Man hat für sie den Ausdruck

terisirt, dass (l,+Fp für einen unendlich kleinen positiven Werth von x der Potenz V> unendlich nahe kommt.

(gemäss (19.))

(35.)

(m, + xj:f = X'¹

"(И

Für die andere Art soll, mit Aenderung des Zeichens von x, die Bezeichnung [и,— xf gebraucht werden. Sie wird demnach definirt durch die Grundgleichungen

(36.)

y+k

— [и,— xf [и—ух,— xf,

(37.)

[u, —x]

[hu, — kxf = hy\u,—xf,

(38.)

[u, —x]¹ = и

und die Bestimmung, dass, ebenfalls für einen unendlich kleinen positiven Werth von x, [1,— xf von der Potenz \y unendlich wenig verschieden sei. Ihr Ausdruck ist (nach (32.))

(39.)

[u, — xf = XJ

§ 5.

Ich gehe jetzt zunächst über zu den Entwickelungen von (u + h, +xf und \u + — xf.    Crelle entwickelt in dem erwähnten Mémoire (§41, Nr. 373)

die Formel

(40.) (u + k, + x)y = (u, + xf j 1 + y A + y₂

(    'll

к (k—x)

и ( и + x)

(Je, — х)н

(«, +x)

wo durch уг, u. s. w. die Binomial-Coefficienten bezeichnet sind. Der nach dem raten Gliede hinzugefügte Best Rn ist ein Ausdruck, welcher entwickelt die vorstehende Gleichung zu einer identischen macht. In so fern ist sie, die einzig aus den Gleichungen (i.), (2.), (3.) hergeleitet worden, für alle möglichen Arten von Facultäten, welche diesen Gleichungen entsprechen, gültig. In wie fern sie aber grade für die besondere Art, die hier betrachtet wird, eine convergirende Entwickelung gebe, bedarf noch einer nähern Untersuchung. Diese kann aber nicht nach den von Grelle (Th. d. f., § 23) gegebenen Bestimmungen durchgeführt werden. Nach derselben würde die von ihm mit dem Namen der allgemeinen Taylor’sehen Beihe bezeichnete Formel

1c (Je — a)

(41.) F(tf + &) = F(x) + ~AF(x) +

2a²

A²F (x) Ą-----h

(k, — a)n

(1, + 1 y<xn

An F {x) + Bn,

von

von x

wo Дx — a gesetzt ist, immer dann eine convergirende Entwickelung F (æ + /,:) geben, sobald der grösseste und der kleinste Werth des (ra+l)ten Gliedes dieser Beihe für die verschiedenen Werthe des Arguments der Function F von x bis x + k beide für ra = oo auf Null sich reducirten. Dieser Satz ist aber hergeleitet aus einer Bestimmung der Grenzen von Rn, welche, wie Crelle selbst in einer späteren Abhandlung über diesen Gegenstand bemerkt hat, nur dann gültig ist, wenn ^ eine ganze positive Zahl ist. Seine Anwendbarkeit ist daher zweifelhaft, wie sich auch leicht auf folgende Weise nachweisen lässt. Denn gesetzt, die Beihe (41.) sei, nachdem für a ein bestimmter Werth gewählt worden, für eine gewisse Form der Function F wirklich convergent, und es sei ф(<г) eine Function, die für keinen Werth unendlich gross wird, und der Bedingung

(42.)

ty(x + a) = ty(x)

genügt, z. B. eine ganze Function von cos-^u und sin ~ тс; so würde die Beihe für ф (cF + k) F (x + Je), da man alsdann

(43.)

Д”. 4» (x) F (x) = ty(x)AnF(x) hat, zugleich mit der für Y (x + k) convergiren, wenn der in Bede stehende

Satz allgemein richtig wäre. Man würde daher erhalten

(44.)

<K*+ft)F(* + Ä) = <Ka>)jF(aO+-|AF(aO +

TcÇk—a)

2a²

Aus (41, 44) würde sich dann für jeden Werth von ft, für den die Reihe (41.) convergirt, ergeben

(45.) ein offenbar falsches Resultat.

Die Frage nach der Convergenz der Reihe wird indess leicht auf einem anderen Wege entschieden.

Setzt man mit Gauss in der angeführten Abhandlung

a (a+l)... (cc+n—1) ß (/3+1)... (ß+n—1)

(46.)

welche Reihe eine endliche Summe hat, wenn a + ß — y negativ ist, so hat man, wie Gauss а. а. О. bewiesen,

1.2 .у (у+1)

+ ••• +

1.2 .... п. у (у+1)... (у+п—1)

(47.)

F(a,0, v) —

Setzt man in dieser Formel у —

П (у — а — ß — 1) П (у — 1)

П (у — а — 1) П (у — ß — 1) '

а = —у₁ ß — — —, so erhält man

(48.)

ft

ng«-.)n(ü±‘

■)'

Mithin ist gemäss (35.)

(u + ft, + xf

(U, + X)y

oder

(49.)

(u + ft, + x)!J

{и, + х)у

ft

= 1 + 2/₁ — + ys

ft (ft—x)

и {и + х)

+ yn

(ft,—

(и, +ж)

welche Reihe, da у — a — ß = ~^+у ist, convergirt, sobald ^^-+y positiv ist.

Die Reihe (40.) giebt demnach in allen Fällen, wo sie eine endliche Summe hat, den richtigen Werth von (w + ft, + F)V. Anders verhält es sich aber mit der anderen, von Crelle im § 40 entwickelten Reihe.

I.

13

Setzt man nämlich y = — y+ 1, « = —y, ß = so ist -r,( к и Л

'г*'»'™'*¹)

(50.)

nHM

u -j- Ib

~i—y.

woraus nach (28.)

<«■> r(-»-i-ï-»⁺¹)

folgt. Daher (35.)

sin

sm

ir.sin

GH- n(jîïi-i)n(ï⁺»-¹)

(52.)

(u + Je, + xJJ

(u, + x)y

. ( u + Je \    . ( и \

smj—rsinh⁺y r

. (u + Je \    . и

sm I --h у ) it. sm — Tr

\ x )    X

Je

У) x’

У +x)

oder

(53.)

(u+Je, +x)y

sin

u+Je

. и

Tc.sm —

x+,Jr

(и, +x)‘

. (u+Je \    . и

m[—+!/r-smx

u+xy—x

+2/z

Je(le+x)

(u+xy—x) (u+xy—2x)

oder

(54.) (u+Je, +x)y =

. (u+Je \    . и

sm[~r⁺T-smx*

sin

■+Je . (u \

{(«, -bxf+y,(u,+xf 'Qi, +ж)'+&(м, +X? !

(Je, +x)²+ • • • j.

tl “f" Je • i •    • j

— positiv ist.

Diese Reihe convergirt, wenn y — cc—ß = 1

Wenn 3/ eine ganze Zahl ist, so erhält man hieraus die bereits von Kramp

aufgestellte Binomial-Formel, welche demnach, wie oben (§1) bemerkt worden, für gebrochene Werthe von у ihre Gültigkeit nicht behält.

§ 6-

Zum Behufe der Entwickelung von [u+k,—x]y mögen zuvörderst folgende, aus den Gleichungen (36, 37, 38) sich ergebende Formeln hier ihren Platz finden.

(55.)

(56.)

[u, -xf~* =

[и,— xf = u(u—x)(u — 2x)...,(u — yx + x)

\u—yx + Jex, —x]k

und

(57.)

[u, -x]~y =

wenn y eine ganze positive Zahl ist. Setzt man nun in der Formel (47.)

(u + x)(u + 2x)

(u + yx)

а = -у,

so erhält man

и

У= --У+¹

(58.)

*(-*

2/ + ¹)

oder vermöge (39.)

(59.)

-*’-x

oder

2/ + ¹)

[u + k,—x]

[u, — x\y

(60.)

[u+k,-xf

[и, —x]y

+У₂

к Qc—x)

(n—yx+x) (u—yx+2x)

+ ”’+Уп

[lc-xf

u—yx+x

woraus endlich (nach 55, 56)

(61.) [u + k,—xf = [w,— xf + у₁[и,— хУ~'[к,—    +    +уп[и,— х]у~п[к,— a?]" + .....

~^-+l positiv ist.

Die Formel (61.) hat die grösseste Aehnlichkeit mit der Binomial-Formel (u + kf = uv + yx uy~' &+•••• + ynuy~nkn + • • •,

welche aus ihr hervorgeht, wenn man x = 0 setzt. Ebenso stellt sich die Aehnlichkeit der Formel (40.) mit derselben heraus, wenn man der letzteren die Form

Diese Reihen (60, 61) convergiren, wenn y—a — ß =

(62.)

[u—yx+nx, —x]

(u + kf =    +    +

giebt. Diese Analogie der Facultäten und der Potenzen würde aber, wie aus der vorhergehenden Darstellung erhellt, verloren gehen, wenn man hinsichtlich der Functionen ф, cp eine andere Bestimmung träfe. Die Reihe (40.) für (u + k, +x)y würde alsdann noch mit dem Factor

(63.)

kn

4-----Ь Уп тж 4----

-O

und die Reihe (61.) für [u + k, — xj noch mit dem Factor

13*

u + lc

X )^[x    У,

U -f- /ь

zu multipliciren sein.

§ 7.

Grelle entwickelt ferner im § 43 seiner Schrift eine bemerkenswerthe Reihe für log (u, + x)y. Dabei fällt es jedoch sogleich auf, dass dieselbe einzig aus den Gleichungen (1.), (2.), (3.) hergeleitet wird, während doch bewiesen ist, dass diese allein zur Bestimmung von (и, + x)y oder 1 og(u, + x)y nicht hinreichend sind. Dieser scheinbare Widerspruch findet aber darin seine Erklärung, dass die Convergenz der Reihe auf die im § 5 als unzuverlässig nachgewiesene Weise bestimmt wird. Die Formel selbst ist jedoch richtig, und kann auf folgende Art hergeleitet werden.

Setzt man in der Formel (40.) x = 1, und nimmt an, dass u+y positiv sei, so kann man den Werth von h so klein nehmen, dass die Reihe (40.) convergirt und nach ganzen Potenzen von к entwickelt werden kann. Bestimmt man in dieser Entwickelung den Coefficienten von &, so findet sich

1.2. ..{n — 1)

(64.)

d(u,+ l)y

du

u{u+l). ..{u+n— 1)

Es ist aber, wie bekannt

(65.)

daher

C-D"—1.2., .(«-i) = д„_,т u{u + l)...{u + n—l)    [и/

für Au = 1

(66.)

d(u, + l)y _

du

oder

(67.)

dlog (u, + l)y _

du

У' и ⁺^Д(м) ⁺ '" + !'”⁺‘Л"(м) ⁺ "''

Hieraus folgt durch Integration, wenn man auch и als positiv annimmt, und bemerkt, dass

(68.) A»(l)

»1

n₂

u + n—2

=    {log(w+w) — nl log (u+n— 1) -j-w₂log(w -j- n—2)----+ (—l)nlogwj =

d. AH log и

ist

du

log(w, + l)y = C + y₁logM + y₂AlogM + --- + y„₊₁ AMlog«< + ..-

(69.)

wo C eine noch zu bestimmende Constante bedeutet.

Es ist

daher

log(«,+ 1)* = log.M^l, + — J = y log и + log ^1, +

(70.)

= C + y₂logu + --- + yn+1Anlogu + ‘-Nun ist aber AMlogw = 0 für n — oo, also

(71.)

A”log«« =

und daher auch

Х“д“Ш

.du

(72.) y₂Mogu + --- + У

n+1

A’4ł)+-

X Кл (X)⁺" ''+y“⁺‘ A”(ł)⁺" 'S **•

oo,

Die Summe der Reihe j/₂A1ogu+ u. s. w. verschwindet also für м = und da (l,+^ = 1 wird für и — cx>, so verschwindet auch log(l,für w = oo • es muss daher C = 0 sein. Man hat demnach

(73.)

log(w₅ + lf = yx log u + y₂A\ogu Ą-----f yn+1 An log w + • • •.

Aus dieser Formel ergiebt sich sofort unter der Bedingung, dass ~ und — beide positiv sind,

(74.)

log(M,+aj)y = y^ogu + y^AlogUĄ— + yn+1 An logUĄ—,

wo Am = X zu nehmen ist. Diese Formel stimmt überein mit der von Crelle a. a. O. unter Nr. 399 aufgestellten.

Bemerkt man, dass

(75.)

(u, + x)y — (u, +x)

n+y—n

— (u, + x)n (u + nx, + x)

y—n

u+nx

+ n positiv wird.

Setzt man in der Formel (35.) —u für и und — у für j/, so erhält man

ist, so sieht man, wie man aus der Formel (74.) immer eine andere herleiten kann, welche zur Berechnung von log (и, +x)y dient, sobald nur ^+y positiv ist. Zu dem Ende braucht man nur für n eine so grosse positive ganze Zahl zu setzen, dass auch

тН

(76.)

(— и, + х)~у(и + X, 4- xj —

rH

oder vermöge (28.)

• rH

m

(77.)

(— u,+x) y{u + x,+x)y

CG

t-l.

SS I s

Aus dieser Formel sieht man, dass die Facultät (u,+xJJ für den Fall, dass A +y negativ ist, auf eine andere, für die ~ +y positiv ist, zurückgeführt werden kann. Die Reihe (74.) reicht also für alle Fälle zur Berechnung von (u, + oc)y aus.

¹

Theorie der analytischen Facultäten, 1824.

Memoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques, 1831. (Ursprünglich im 7ten Bande des Journals für Mathematik erschienen.) Diese Abhandlung wird im Folgenden durch Th. d. f. bezeichnet.

²

Die hierdurch als unzulässig sich herausstellende Voraussetzung, es sei (u, + xf sowohl für einen positiven als negativen unendlich kleinen Werth von x unendlich wenig von uy verschieden, hat Theil Schuld an den Widersprüchen und paradoxen Resultaten, auf die man in der Theorie der Facultäten gerathen ist. — Auch ergiebt sich aus dem Gesagten die Unmöglichkeit, (u, +x)y nach ganzen Potenzen von x in eine convergirende Reihe zu entwickeln.

§ 8.

Aus der Formel (60.) erhält man, nachdem x — 1 gesetzt worden, unter der Voraussetzung, dass u+ 1 positiv sei,

dlog[u,—lf

(78.)

(— I)”"¹ 1,2... (n -1)

+ '“ + Уп

lJl u—y+1 У² (u—y+ l)(u—y+2)

Setzt man hier u—y für m, und — у für у, so findet sich, wenn u—y+1 positiv ist,

du

(w—y+ 1)(m—î/+2) ... {u—y+n)

(79.)

dlog[u-y,-l] у

du

⁼-^Tï Aber es ist

1.2... (n — 1)

1.2    (m+1)(w+2)

(u+t)(u+2)...(u+n)

wo Дм = x zu setzen ist.

Da man

(84.)

y+n

[u, — xf = [u,—x\ n[u + ПХ, — x]

hat, so lässt sich, indem man für n eine ganze Zahl so wählt, dass ~ + w positiv wird, aus (83.) immer eine Reihe zur Berechnung von [m, — xf herleiten, sobald    1 positiv ist. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, so kann

man die Formel

sin

-y\iz

(85.)

\u, —xf [— U — X, —x]

-y

Sin — 7t

die sich aus (28, 39) ergiebt, anwenden andere zurückzuführen, die sich mit Hülfe der Reihe (83.) berechnen lässt.

um

die Facultät [m, — xf auf eine

In dem Vorstehenden glaube ich nun meine im Anfänge ausgesprochene Ansicht über die bisherige Theorie der Facultäten gehörig begründet, und die wichtigsten Formeln für beide in Betracht gezogene Arten dieser Functionen strenge bewiesen zu haben. Es ist jedoch, da es mir zunächst nur darauf ankam, sichere Resultate festzustellen, und diese so viel als möglich aus bekannten Sätzen herzuleiten, der Gang der Entwickelung nicht immer derjenige, welcher bei einer systematischen Darstellung des Gegenstandes zu befolgen sein würde. Ich gedenke, da die Grenzen dieses Aufsatzes keine grössere Ausführlichkeit gestatten, bei einer andern Gelegenheit auf die analytischen Facultäten zurückzukommen.

Dt. Crone, im August 1843.

(80.)

y(y+i)

У(У+!) —(У+w-l)

Дн 1 log (m+ !)+••*

(82.)    log[w,—l]y = ÿlog(w+l)+

und hieraus, unter der Bedingung, dass ~ +1 und ~ —y + 1 beide positiv sind,

1.2

Alog(w+l)+--- +

(83.)    log[w,—xf = ylog(u+x)+

y(y+1)

1.2

Alog(w+#)+-“ +

y(y+l)...(y+n~l)

1.2 ...n

Дп 1log(z(+^)+--

/

*

л

REDUCTION EINES BESTIMMTEN DREIFACHEN INTEGRALS.

Es seien «r, y, z drei reelle veränderliche Grössen, die man sich als die (rechtwinkligen) Coordinaten eines Pnnktes vorstellen kann; ferner sei

r = \jAx² + By² + Ся² + 2 Dy я + 2 jЕях + 2 Fxy,

wo die Coefficienten А, В u. s. w. reell und so beschaffen sein mögen, dass die Grösse unter dem Wurzelzeichen stets positiv ist, wenn «г, у, z nicht sämmt-lich den Werth Null haben, und wo von den beiden Werthen der Wurzel

Ferner sei и — fx + gy + hz eine

immer der positive genommen werden soll.

homogene lineare Function von x, y, z und f(r, u) eine Function von r und u. Endlich sei

S = ffß(r, u) dx dydz

ein dreifaches Integral, welches sich über alle diejenigen Werthe von x^y, z erstrecken soll, für welche der Werth von r zwischen zwei gegebenen Grenzen a, b enthalten ist, wobei zugleich angenommen wird, dass f(r,u) für alle diese Werthe endlich bleibe. Der Ausdruck

Ax²+ By²+ Ся² + 2 JDy я + 2 Еях + 2 Fxy

kann, wenn /,^, & reell sind, wie zunächst angenommen werden soll, in einen anderen

h{u²+v²+w²)

umgeformt werden, wo Я eine positive Constante und v₎ w reelle lineare Functionen von X) y, z bedeuten, welche die Form

V = f'x + g'y + 1г я,    w — f"x + g"y + Ь"я

haben. Führt man nun bei der Integration «, v, w statt <r, y₁ z als veränderliche Grössen ein, so muss man, da

Adx²+ В dy² + Cdz² + 21) dydz + 2Edzdx + 2F dxdy — A(d«²+ dv²+ dw²)

ist, nach den Regeln für die Transformation vielfacher Integrale

dx dy dz durch

ersetzen, wo G die Determinante

A³

• du dv dw

ABC- AD² - BE²-CF² + 2DEF

der quadratischen Form r² bedeutet. Demnach wird

-Q f (r, u)dudv dw

wo

sich jetzt die Integration über alle diejenigen Werthe von w, v₁ w erstrecken muss, für welche

cb

VA- \Ju² + v² + w²

ist.

Alle diese Werthe erhält man aber, wenn man v — sin cp cos V

U — —— COS cp

V/A

Va

— —= sin cp sin c]>

setzt und cp alle Werthe zwischen 0 und тг, ф alle Werthe zwischen 0 und 2тг, s alle Werthe zwischen a und b durchlaufen lässt. Führt man nun s, cp, ф statt и, v, w ein, so ist

— (ds² + s² dcp² + s² sin cp² d^),

A

und es muss dudvdw durch ~ sin cp ds c/cp dfy ersetzt werden, wodurch man

²* 8²

du² + dv² + dw² =

£ ==

лб /’S /•

*4) *4)

— f    cos cpj sin cp ds dcp d<j>

erhält, oder

2tt

//Vf(s’Woostp

^ sin cp dsdcp.

/;лр

2тг VA

"W" *

f (s, и) du.

Nun ist aber

f.4

-4= cos cp) sin о dy =

\/A

г vT

S Js

cos cp

f (s, u) du

also

vü

I f (5, cos cp J sin cp dcp V y Я /

Va

's, w) dw

und somit

a    Us

VT

Durch diese Formel ist die Bestimmung des vorgelegten dreifachen Integrals zurückgeführt auf zwei nach einander auszuführende Integrationen zwischen bestimmten Grenzen. Es handelt sich nur noch um Ermittelung von Я. Zu dem Ende differentiire man die Gleichung

Ax² + By² + Cz² + 2 Dy я + 2 Ezx + 2 Fxy — lu- 4- Iv² 4- Iw²

auf beiden Seiten der Reihe nach in Bezug auf x, y, z, indem man sich æ, y, z, wie oben angegeben, ausgedrückt denkt. Dieses giebt

Ax + Fy + Ez = l(fu + f'v + f"w)

Fx + By + Dz — l (gu + g'v 4- g"w)

Ex 4- Dy 4- Gz — X (hu + h'v 4 h"w).

Vermittelst dieser Gleichungen kann man x,y,z durch u,v,tv ausdrücken und erhält, indem man

BC-D²

CA-E²

AB-F²

EF-AB _ TV G ~

FD-BE

= E'.

BE-CF

= F'

setzt

X — A'I (fu 4- f'v 4- f"w) 4- F'I (gu + g'v 4- g"w) 4- E'I (hu + h'v 4- h"w) y — F'I (fu + f'v 4- f"w) + B'I (gu + g'v + g"w) 4- B'I (hu + h'v + h"w) z = E'I (fu + f'v + f"w) + B'I (gu + g'v 4- g"w) 4- C'I (hu + h'v 4- h"w).

Multiplicirt man nun diese Ausdrücke für x, y₁ z der Reihe nach mit /, <7, h, so muss die Summe dieser Producte fx+gy + hz identisch gleich ti werden,

14 *

woraus folgt, dass

sein muss.

1 = X(A'f²+B,g²+C'1ii+2D'gh+2E’hf+2F,fg) Setzt man daher — = e, so ist

vT

г = S/A'f² + B'g² + G'h² + 2 D'gh + 2E’hf+ 2F'fg wo der positive Werth der Wurzel zu nehmen ist, und

oder auch, wenn man и = st setzt,

Nimmt man

2тг Гь , r+es —/ sds I

Ja J_£S

f\4s Г

f (s,u) du

f (s, st) dt.

f (r, u) = cp (r). um,

wo m eine ganze positive Zahl bedeuten soll, so ist

2тГ

«»+1

(m +1) \/6r

sm) Jbsm+2y(s)ds

oder

S — 0, wenn m ungerade

Bezeichnet man

4тг£т    /*&

S = —    / s-+!tp(s)*

■——- / sm+2y(s)ds durch

wenn m gerade.

so hat man demnach

fff(fu + gv + hivym+1y(r)dudvdw — 0

ffftfu +gv + hw)2m cp (r) du dv dw =

Beide Seiten dieser Gleichungen sind ganze rationale Functionen von /, ü, und da sie für alle reellen Werthe von    gelten, so müssen sie auch

dann noch bestehen, wenn man diesen Grössen beliebige complexe Werthe beilegt. Daraus folgt weiter, dass auch der obige allgemeine Ausdruck für S seine Gültigkeit behält, wenn f, g, h beliebige complexe Werthe haben,

2m

\!G

(.A'f² + B'g² + C'h² + 2 D'gh + 2E'hf+ 2F'fg)m.

sobald sich f (г, и) für alle Werthe von r, u, die innerhalb der Grenzen der Integration liegen, in eine nach positiven ganzen Potenzen von и fortschreitende, convergirende Reihe entwickeln lässt.

Wenn insbesondere

r = \jAx² + By² -f Cz²

ist, so wird

G = ABC

i ff f h²

Wenn

f (r, u) — о (r). e

*(fx + g>j + hz)

ist, so erhält man

fffр (r) ew*+®+*’> dx dy dz =

Гэ<?(е)(еы

фх

-e~la)äs.

Die rechte Seite dieser Gleichung enthält nur gerade Potenzen von k. Setzt man kv für 7r, so folgt aus derselben

4тг

—j=r I 5co (s) sin kes ds i\G Ja

fffp (r) cos Ic (fx + gy + hz) äx dy dz fff p (r) sin k(fx + gy + hz) dxdy dz — 0.

Deutsch-Crone, 1 844.

BEITRAG ZUR THEORIE HER ABEL’SCHEN INTEGRALE.

(Beilage zum Jahresbericht über das Gymnasium zu Braunsberg in dem Schuljahre 1848—1849.)

Unter den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen der ersten und zweiten Art (den Modular- und elliptischen Quadranten nach Guder-mann’s Benennung), welche zu zwei conjugirten Moduln gehören, findet bekanntlich ein einfacher, zuerst von Legendre aufgefundener Zusammenhang statt, welcher in den jetzt gebräuchlichen Zeichen durch die Gleichung

KE’ + EK'-EK' =

dargestellt wird. In der vorliegenden Abhandlung beabsichtige ich, für die Abel’sehen Integrale aller Ordnungen eine Reihe analoger Relationen zu entwickeln, welche, wie ich glaube, nicht bekannt sind. Es findet sich zwar (Crelle’s Journal, Bd. 19, S. 312) eine gelegentliche Bemerkung von Jacobi, eine von ihm aufgefundene Verallgemeinerung des Legendre’sehen Satzes betreffend; allein nach den Andeutungen, die derselbe a. a. O. giebt, glaube ich annehmen zu dürfen, dass die Relation, welche er im Sinne hat, mit derjenigen übereinstimme, die später Hädenkamp (Crelle’s Journal, Bd. 22, S. 184) auf dem von Jacobi angegebenen Wege hergeleitet hat. Die Resultate indess, zu welchen ich gelangt bin, sind nicht nur von dem Hädenkamp’sehen verschieden, sondern auch weit einfacher und mit der Legendre’sehen Formel übereinstimmender.

Die von mir entwickelten Relationen sind für die Theorie der Abel’schen Transcendenten von besonderer Bedeutung. Ich beschäftige mich seit längerer

Zeit mit dieser Theorie und namentlich mit der Hauptaufgabe, die von Jacobi eingeführten umgekehrten Functionen der Abel’schen Integrale erster Art wirklich darzustellen. Es ist mir gelungen, diese Aufgabe vollständig zu lösen, auf einem Wege, welcher von dem bisher von Göpel u. A. betretenen gänzlich verschieden ist. Ich gehe nämlich unmittelbar von den Integral-Gleichungen aus, durch welche jene Functionen definirt werden, und zeige zunächst, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, dass sie sämmtlich Wurzeln einer und derselben algebraischen Gleichung sind, deren Coefficienten ich sodann durch eine Anzahl von Hülfsfunctionen ausdrücke, welche den sogenannten ©-Functionen, auf welche Jacobi die elliptischen Functionen zurückgeführt hat, vollkommen analog sind, und gleich diesen durch unendliche, nach einem einfachen Gesetze gebildete und beständig convergirende Reihen dargestellt werden können. Diese Reihen - Entwickelungen gewinne ich, indem ich für die genannten Hülfsfunctionen mehrere charakteristische Eigenschaften nach-weise, durch welche sie vollständig bestimmt werden. Dazu aber ist die Kenntniss der Relationen, welche der Gegenstand des gegenwärtigen Aufsatzes sind, ein wesentliches Erforderniss. Nun hat zwar der Weg, den ich bei Behandlung der Abel’schen Transcendenten eingeschlagen, das Eigen-thümliche, dass man auf ihm selbst in ungesuchter Weise zu jenen Relationen geführt wird, wie ich sie denn in der That auch so zuerst gefunden habe. Es ist aber diese Art der Herleitung einigermassen umständlich, indem namentlich die Bestimmung einiger Constanten Weitläufigkeiten macht. Um so erwünschter war es mir, in einem von Abel in der Abhandlung: Sur une propriété remarquable d’une classe très-étendue de fonctions transcendantes (Œuvres complètes, Tome II, pag. 54) begründeten Theoreme, durch welches die bekannten Sätze über die Vertauschung von Parameter und Argument bei der dritten Art der elliptischen Integrale eine sehr bemerkenswerthe Verallgemeinerung erhalten, die eigentliche Quelle zu entdecken, aus der die in Rede stehenden Relationen, so wie noch andere weit allgemeinere, auf eben so einfachem als directem Wege abgeleitet werden können.

§ 1.

Es sei R(x) eine ganze Function von x\ a, b seien irgend zwei Wurzeln der Gleichung R(x) = 0, und es werde

(1.)

= F{x, y)

1    B(x)-B(y) _ 1 R\x) + R'{y)

x-y

2    (x-yf

gesetzt, wo jR'(o?), R\y) die ersten Differential - Coefficienten von R(x), R(y) bedeuten, so dass, wie man sich leicht überzeugt, F(x, y) eine ganze Function von x, y ist. Alsdann gilt als ein besonderer Fall des angeführten Abel’schen Theorems die folgende Gleichung, in welcher a, ß irgend zwei bestimmte Werthe der Veränderlichen о?, y bezeichnen:

2 Г fß F(x’ y)dxdy

Ja Jb

(2.) №(«)£

dy

(y-и) \jB{y)

dx

(x—ß) \jB(x) \jR{x) \!Щ)

Als nothwendige Bedingung des Bestehens dieser Gleichung ist noch hinzuzufügen, dass innerhalb der Grenzen der Integration x—у nicht gleich Null werden darf.

Es ist nämlich

also

d \JВ (x) ^1 B\x) ^ B(x)

dx y—x

2 y-x {y-x)7 \lB{xY

1    Æ-ЁЛ. ¹

2    x-y {x-yf) \jB{y) ’

d_ sjRjti) _ _d__\Щу) ₌    2F(x, y)

dx (y—x)\jB{y)    dy (x—y)slR(x) SjR{x)\jB{y)

d \JR (у)

dy x—y

Ça çv 2F(x, y)dxdy _ Г$ Га d

Ja Ą №(?) s! B {y)    Jb yJa dx (;y-x)\lR(y)

_ p ß

= №(«) /

Jb

dx —

rdx f * уды d,

Ja Ą dy (x-y)\jB(x) ly

dy

dx

(y-a) SjR(y)

(x-ß)S/B(x)

Es sei nun

R(x) = {x-a₁){x-a₂)...{x-a2n+1)

und es werde zunächst angenommen, dass die Grössen at1 at,... sämmtlich reell und so geordnet seien, dass

I.

o, < a₂ < a₃ < ... < a2n+t.

15

Alsdann hat -R(F), wenn x zwischen den Grenzen л , a enthalten ist, wo у irgend eine der Zahlen 1,2,... ‘ln bedeutet, dasselbe Zeichen wie (— l)'u_1, so dass man setzen kann

\jR{x) — + F ¹\/(— iy* lR(x),

wo V(— 1)'U_1-R(^‘) den positiven Werth der Quadratwurzel aus der positiven Grösse (—1)м_1.К(л?) bezeichnen soll. Liegt x zwischen — oo und alf so hat man

n+ 1

und wenn x zwischen a₂

und ч-co enthalten ist

\]R(x) — ± y¹ + R(%).

einem Integral wie J

F(x) dx

\[Щх)

gehen, werde für das Folgende festgesetzt, dass bei der Integration von den beiden Werthen, welche \JR(x) hat, immer derjenige in Anwendung kommen soll, den man erhält, wenn man in den vorstehenden Formeln das obere Zeichen nimmt.

Um nun

eine ganz bestimmte Bedeutung zu

Dies festgestellt, setze man in der Gleichung (2.) а = « , b — « und nehme zunächst an, dass v>y + 1, aber <2w+l sei, so darf man а

= Vi»

ß — a nehmen, weil in diesem Fall die Differenz x—y innerhalb der Grenzen der Integration nicht gleich Null wird. Die linke Seite wird alsdann gleich Null, und man erhält demnach

(3.)

ra^+i r ‘'о«, ^av

«v+i F(x,y)dxdy

= 0.

ЛУепп aber v = y+1, so kann man den Werth des Doppel-Integrals

Гаи+1 Г

a/“+² F(x, y)dxdy

\jR{x)\jR(y) ’

gelangt jedoch dazu auf folgendem

man

welches durch S bezeichnet werden möge, mit Hülfe der Gleichung (2.) nicht direct auf dieselbe AYeise ermitteln;

Wege.

Es werde a„ durch а. а

,u '

/t + l

durch с, а

(U + 2

durch b bezeichnet, so ist

ff

Ja Jb

c F(x, y)dxdy

\/R(x) \jR{y)

Sodann seien s, t zwei positive Grössen, so gewählt, dass c — s>a und c+tcb bleibt, so ist 8 die Grenze, welcher sich das Doppel-Integral

Г1

Ja Jb

C -f-1

F(x, y)dxdy

\jR(y)

= S'

nähert, wenn s, t unendlich klein werden. Für dieses letztere Integral aber darf man vermöge der Gleichung (2.) setzen

~s \JR (c + t)dx (x—c — t) \/R (ж)

CO b*

c+t

\jR(c — s) dy

(;y-c + s) \jR(y)

Dieser Ausdruck wandelt sich, wenn x — с—и, у = c + v gesetzt wird, in den folgenden um :

~fS    \/-R (c +1)

²Jc-a (w + 0\jR(c—u)

Es mögen jetzt о, т zwei bestimmte Werthe von s und t bezeichnen, die nur so klein anzunehmen sind, dass sich \jR(c—s), \jR(c +t) für alle Werthe von s, t, welche nicht grösser als о, т sind, durch convergirende Reihen, die nach aufsteigenden Potenzen dieser Veränderlichen fortschreiten, darstellen lassen. Alsdann hat man

du-\f

²^b-c

\JR (c—s)

(V + s) SjR(c + v)

dv.

2 S' =

\]R (c +1) Г Jc-

du

J,

a (t + u) \jR(c-u) s \jR(c + t) du (t + u) \JR (c — u)

\JR{c — s) Г J b—с

dv

(s + v) \/R(c + v)

Çt    \/R (c — s) dv

Jr. (s + v) \JR (c + v)

Die Integrale

Г _

Jc-a (t + u)\jR(c-u)

du

dv

(s + c)\/R{c + v)

b — c

bleiben für alle Werthe von t, s innerhalb der für diese Veränderlichen be-zeichneten Grenzen endlich; \jR(c + t), \jR(c—s) nähern sich aber, wenn t, s unendlich klein werden, der Grenze \lR(c) — 0. Daraus folgt, dass die Grenze von 8’ für t — 0, s = 0 dieselbe ist wie die, welcher sich die Formel

s \jR(c + t)du (t + u)\jR(c—u)

nähert, wenn s, t unendlich klein werden.

TH |cm

f.

iH CM

Ç* \/ü(c — s)dv X (s + v) \JR (c + v)

Nach, den oben für \] В (x) getroffenen Bestimmungen kann man nun, da c—u zwischen ал und а , c+v zwischen au+i und a^₊₂ liegt, setzen

\jB(c + v) = F    1 fB'(c). \jv. (1 + F(v)),

Sjli (c — u) = iu~l VF lf i^'(c).sju.(l + F(-uj),

wo jF(V) in eine convergirende Reihe entwickelt werden kann, die nur ganze, positive Potenzen von v enthält, und F(—u) aus F(v) hervorgeht, wenn man —u für v setzt. \ju und \Jv sind positiv zu nehmen. Alsdann ist

f.

SjB (c + t) du

(t + и) S/B (c — u)

f.

s i\jt. (1 + F(t)) du (t + u) sju. (1 + F(—u))

Sjt du

F(t) — F(—u)

du

(t + u) sju

\Ju.(l + F (— и))

Der zweite Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung lässt sich, weil F(t)—F(—u) durch t + u dividirbar ist, in eine Reihe von Gliedern entwickeln, welche nur positive Potenzen von s, o, t enthalten und für t — 0 verschwinden. Ebenso findet man

i f Sjsdv ₊ (Glieder, die für s — 0 verschwinden. Л (s + v)\Jv

Daraus ergiebt sich, dass der Werth von S die Grenze ist, welcher sich die Formel

s:

S/B(c — s) dv

(s + v) SjB (c + v)

\Jsdv

s \jt du (t + u) \ju

i_

+ 2 JT +

nähert, wenn t, s unendlich klein werden. Diese Formel lässt sich aber, wenn man bei dem ersten Integrale die Substitution ~ — w,bei dem anderen die Substitution ~ — w anwendet, und ~ = p, ~ = q setzt, umwandeln in

dw

if

welcher Ausdruck für s = 0, t — 0 übergeht in

/*CO

^0

dw

1 + w‘‘

Es ist demnach

oder

(*•)

Гац+1 r

*4*    "4+1

«u+2 F(x, y)dx dy _ Tr

“ 2Г

§ 2.

Die Doppel-Integrale auf der linken Seite der Gleichungen (3, 4) des vorhergehenden § können, weil F(x, y) in Beziehung auf x sowohl als y eine ganze Function vom (2n— l)ten Grade ist, dargestellt werden als ein Aggregat von Gliedern, von denen jedes ein Product zweier Abel’schen Integrale der ersten und zweiten Art ist; die Gleichungen (3, 4) gehen also eine Reihe von Relationen unter solchen Integralen, die man in Erweiterung der Le-gendre’schen Benennung vollständige Ahel’sche Integrale nennen kann.

Wenn R(x) vom dritten Grade ist, so ist F(x^ y) = ~(y—x), und reduciren sich die Gleichungen auf die einzige

«3 (y — x) clx dy

4 \jB(x) \jB{y) 2i

(1.)

oder

Га 2 r Jax *'a₂

tc

es

(2.)

Setzt man

ja₂ ja3 at    a2

(y — x) dx dy

4 \jB(x)\J-B{y)

TC

\ß

-«1

so ist

y/.y-g. - s

т а₂ — аг

\ßEK =гь

dx

dt

dy

äs

2V«3-«i \/(s²-l){l-¥s²) ’ und die Gleichung (2.) geht, wenn man

dt

JL

dt

\J(l-t²){l-¥t²)

\J(t²-l)(l-¥t²)

I.

¥ s² ds

¥ s² ds

V/(l-s²)(l-Ä²s²)

V/(5² — 1)(1 — 7c²s²)

setzt, über in die folgende:

(3.)

KJ-JK, =

Diese Gleichung ist identisch mit der oben angeführten Legendre’sehen. Denn es ist

J = K-E.

und wenn man

setzt, so erhält man

clw

= K',

und durch dieselbe Substitution

P = Er,

mithin

KE'-(K-E)K' =

oder

(L)

KE' + EK'-KK' = ⁷¹

Ich werde jetzt zeigen, dass man den Gleichungen (3, 4) des § 1 eine ganz ähnliche Gestalt geben kann, wie der Gleichung (3.) dieses §. Zu dem Ende wird es aber nöthig sein, einige Bemerkungen über die Form, unter welcher nach meiner Ansicht die Abel’schen Transcendenten zu behandeln sind, voraus zu schicken.

§ 3.

Dem System der Integral-Gleichungen, von welchem man nach Jacobi in der Theorie der Abel’schen Transcendenten ausgehen muss, kann man immer folgende Form geben, welche mir die angemessenste zu sein scheint, wenn man die Analogie dieser Functionen mit den е11фtischen so viel als möglich will hervortreten lassen.

Es werde die Function E (æ) in zwei Factoren P (x), Q(x) zerfällt, und

zwar sei

Ferner werde

E{x) = (x-a₁)(x-as)...(x-a2n_₁)(x-am+1), Q(x) = (x-a₂)(x-a₄)...(x-ci2n).

1)

(^2a    ^га—i) ^ (®2a—1)

= 9a

gaE(x)

= Fa(x)

gesetzt, wo q, wie überhaupt jeder im Folgenden als Index vorkommende

deutsche Buchstabe, eine der Zahlen 1, 2, 3, ... n bedeutet, und es seien xn n Veränderliche, welche als Functionen eben so vieler veränderlichen Argumente w₂, ... un durch die Gleichungen

ui =

4.

Xa F₁ (X) dx

a2a-i

(1.)

u₂ =

Xa F₂ (x) dx \jR(x)

a2a-i

Xa Fn (x) dx \fR(x)

Zf

\    a2a-i

definirt werden, in denen sich das Summenzeichen auf den Index et bezieht. Es handelt sich darum, die Functionen xx, я?₂, ... xn durch ihre Argumente in einer für alle AVer the der letzteren gültig bleibenden Form wirklich auszudrücken.

Zunächst erhält man für dieselben unendliche Reihen, die nach ganzen positiven Potenzen von i\, u₂, ... un fortschreiten, und zwar ist, wenn man durch (u^ w₂, ... un)c eine homogene Function des aten Grades von bezeichnet,

(2.)

i / ‘G «20-1 V «2a

«2a—i

= «a+ К, ••• Un\+(ui, u2, ••• «O» + •••

Diese Reihen convergiren zwar nicht beständig, aber doch für alle Werthe die ihrem absoluten Betrage nach bestimmte Grenzen nicht über-

von mx, n₂, .

schreiten. Sodann kann man mit Hülfe des Abel’sehen Theorems nachweisen,

• •)

dass xx, x₂, ... Xn AVurzeln einer und derselben Gleichung n man die Form

ten

Grades sind, der

«2    «1    2 ₊ «4~«3

x — ax¹' x

geben kann, wo jt?₂, ... pn eindeutige Functionen von w1? w₂, ...wm sind, die ganz den Charakter rationaler Functionen besitzen. In Reihen nach Po-

(3.)

-«3

PI + --- +

«2 П    «2W— 1

X C₂w-i

pI = i

tenzen von ux) u₂, ... entwickelt haben sie genau dieselbe Gestalt wie die Reihe

. ist. Ferner hat man

auf der rechten Seite der Gleichung (2.), wToraus erhellt, dass pa eine ungrade Function von

(4.)

Pa =

— xt) («₂a-i — X₂)... (a

2 a—1

-Xn)

(«20—1 «20 ) P («

2 a—i

Für n — 1 ergiebt sich, wenn man <r, w, p für o?₄, wl5 pt schreibt

[X

%'a₁

T\aa~ai

\/(x — a₁)(x—a₂)(x-a₃)

p = \ßEK

T a₂-at

woraus

ЛР

и — I ■

*4»

dp

\J (1 —p²) (1 — Je² p² )

70² = ^2 ^1 a3 ai

folgt, so dass p = sin am n, oder nach Gudermann’s kürzerer Bezeichnung (Theorie der Modular-Functionen) p = sn и ist. In Erweiterung dieser letzteren Bezeichnung setze ich

sowie ferner

Pa = Sn(M₀ U₂, ... Un)

(5.)

(6.)

4 / (Д₂а ^x)(^2a    ^2) • • • (^aa

v    BK)

n-fl

-a?n)

-ж₂)...(аги+1-жк)

B(«2n+i )

= cn(M1? u₂, ... мД

Auf diese Weise sind in die Theorie der Abel’schen Transcendenten (2w + l) Functionen eingeführt, welche mit den drei elliptischen Functionen

Датм = dn u,

in welche sie für n = 1 übergehen, eine grosse Aehnlichkeit haben. So z. B. lässt sich sn (u + v) rational durch sn?j, der Formel

sin am и = snu

cos am и

СПМ

dsn и

du ’

sn V,

ausdrücken vermittelst

dv

sn(w + v) =

sn M² — sn V*

sn w² — sn V²

snw

dsnv

dv

snv

dsn и

du

sn u en v dn v — sn v en u dn и

und ähnliche Formeln gelten für cn {u + v) und dn (u + v). benen Functionen mehrerer Veränderlichen aber findet man

Für die angege-

<%2a    ^2a—1

setzend :

(7.) Seft(snle

dsn(vvv₂,.,.)a

an (»„ »„...)«

= ?ь • (sn² (u,, u₂,.. .)„ - sn² (v1}v₂,.. .)₆).

Setzt man in dieser Gleichung b der Reihe nach gleich 1,2,    n, so erhält

dvb

dub

• sn (ux + Vv U₂ + V₂j .. .)a

man n Gleichungen, vermittelst welcher die n Functionen sn(«h + v , « + v , ...)a rational durch sn (ult w₂, .. .)₀, sn (vx, v₂, .. .)e und deren partielle Differential-Coefficienten, welche letztere algebraische Functionen jener sind, ausgedrückt werden können, tionen. Bezeichnet man ferner

Ähnliches gilt für die durch cn, dn bezeichneten Func-

(8.)

a2t> Fa(x) dx

«2b—1

\jR(x)

durch К

a,b i

(9.)

J

«2b

a^+i Fa(x)dx

\jR(x)

durch

%a,b

und setzt

(10.)

■ • + Ka,n — к:

a,b )

2 ^a,c -®-a,b F Fa fj₊₁ + • c = b

so haben diese 2 .гг² bestimmten Integrale Ka>bl K^b für die Theorie der Abel-schen Transcendenten eine ganz ähnliche Bedeutung wie die Grössen К, K' für die elliptischen Functionen. So z. B. findet man, wenn man

(11.) u)a — mxKaaĄ-m₂Ka%2Ą------ь ши J5TaiW+(n^ć.i + ih-^0,2 H-----bn HK'an)i

setzt, wo nij, nl5 tn₂, Tt₂, ... ganze (positive oder negative) Zahlen bedeuten, für die Functionen sn, cn, dn die charakteristischen Gleichungen

(12.)

SU. (ux -J- 2a»,, U₂ + 2ti)₂, ...WH + 2о»и)а = (_ 1)ша + «1+Л₂+ - + na i sn(Mi> >

ttta + Iti + tt₂ + • • • + Jta

cn(M₁+2a>₁, m₂+2o>₈, ...MH+2o>n)a = (-1) dn(w₁+2«>₁, u₂+2w₂, ... mw+2o)w) = (-1)

tii 4* Tt₂ H-----h и«

•• «я)в cn(M„ U₂, ... Un\ dn(ulf u₂, ... mw),

in welchen Formeln, wenn a = 1 ist, no = 0 zu setzen ist.

Die Functionen sn, cn, dn stehen übrigens in einem einfachen algebraischen Zusammenhänge, vermöge dessen je (n+ 1) derselben durch die übrigen ausgedrückt werden können.

Was nun ferner die Abel’sehen Integrale der zweiten Art anlangt, so lassen sich dieselben durch n neue Functionen der Argumente wi} w ... ausdrücken, von denen ich die cite durch /(mi? w₂, ... un)a bezeichne und auf folgende Weise definire. Man denke sich a?x, a?s, ... vermittelst der Gleichung (3.) durch Ma, ... ausgedrückt und setze

I.

16

wo für b der Werth а auszuschliessen ist.

Durch diese Gleichung ist J(ux, .. ,)a vollständig bestimmt, wenn noch hinzugefügt wird, dass in der Entwickelung dieser Function nach fallenden Potenzen von ua kein von

*) In der Formel (13.) und in einigen folgenden habe ich mir erlaubt, die allgemein eingeführte Bezeichnung für ein bestimmtes Integral in einem Sinne zu gebrauchen, in welchem sie auch dann noch anwendbar bleibt, wenn die Function unter dem Integral-Zeichen an einer der Grenzen der Integration oder an beiden unendlich wird. Es sei nämlich F(x) eine Function von x, die für alle Werthe dieser Veränderlichen innerhalb eines gegebenen Intervalls, dessen Grenzen а, Ъ sind, endlich bleibt, und es lasse sich dieselbe für alle Werthe von x in der Nähe von a durch eine Reihe von der Form

SA (x — a)m,

so wie für die Werthe von x in der Nähe von Ъ durch eine Reihe

S В(х-Ъ)п

darstellen. Sind nun a, ß zwei bestimmte Werthe von x innerhalb des gegebenen Intervalls, der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von Ъ angenommen, so kann man, wenn unter den Exponenten m, n keiner gleich — 1 ist (auf welchen Fall ich mich hier beschränke), setzen

г

•s а

F(x)ix = C+S^Tj.BC/î-S^-S-jAj- A(a-ar",

wo C einen von a, ß unabhängigen Werth hat. Wenn die Exponenten m+1, n+1 sämmtlich positiv sind, so ist

F (x) dx.

•Ja

Weil aber C auch dann noch einen bestimmten endlichen Werth hat, wenn einige der Exponenten m+1, n+1 negativ sind, so scheint es mir gestattet und angemessen zu sein, die Formel f F(x)dx allgemein

pH    Ja

überall aufzufassen.

(13.)

Fa ( X ) dx я-«2а-1 ’ \}Щх)

Xb «2 a~a₂

a—i

^2 6—1

mit der Bestimmung, dass x und \]B{x) bei jeder einzelnen Integration dieselben Werthe durchlaufen wie in den Gleichungen (1.).*) Auf diese Weise erklärt ist J{ui7 w₂, .. .)a eine für alle Werthe der Argumente wl? w₂, ... völlig bestimmte, eindeutige Function. Drückt man dxx1 dx₂, ... durch dux, du₂, ... aus. so ergiebt sich für /(w , w₂, ... ww)a der Ausdruck

⁽¹⁴'} Л

sn²(^, м₉, ...)a    Kq - «aa-i) ^4, - gq O2Ü - «2b-i ) dua \

ea(«2a-i-«2b-i)    ,    /’

Г sn²(wi; м₂, ...)a

als das constante Glied in der Entwickelung von iF(x)dx nach Potenzen von (ce—a) und (ß—Ъ) zu definiren. In diesem Sinne ist im Verlauf der Abhandlung die Bezeichnung j'

U!i u₂i ••• un unabhängiges Glied Vorkommen darf. Für den Fall der elliptischen Functionen hat man

J(n) = J■

du

sn² и

ohne Schwierigkeit angeht, Functionen von

während man gewöhnlich die elliptischen Integrale zweiter Art auf die Function f^dïdu.du zurückführt, was keinen wesentlichen Unterschied macht. Für die Abel’sehen Integrale zweiter Art haben aber die hier gewählten Formen den Vorzug, dass sich viele Formeln einfacher gestalten, als es der Fall sein würde, wenn man, was u₁i u₂i ••• einführte, welche dem angeführten elliptischen Integral conform sind.

Man bezeichne nun

und

(15.)

fChb Ъа-Ъа-! Fa(x)dx

J X

«26-1

“ a2Ct-l \Jli (X)

durch Ja

,6 ;

/

«2b

aaS+1 <hq-a2Q—1 Fa(x)dx

\!Щх)

durch

«U,6

c — tt    _ _    _

2 'L.c = 'U.b F ^a.b+i d-----Ье/,

c = b

so erhält man 2. n² bestimmte Integrale J, der Legendre’sehen Benennung vollständige Abel’sehe Integrale zweiter Art nennen kann, und die in der Theorie der Abel’schen Transcendenten dieselbe Bedeutung haben wie die Grössen

K — E, E',

auf welche sie sich für n — 1 reduciren, für die elliptischen Functionen. Während z. B.

(16.)

a,n

durch J'

T

a,b) "a.b?

a,b i

welche man in Erweiterung

du

sn² и

f lb sn² и

*4)

.du —

cn u dn и

SDM

I dn²u.du

cd и dn и

sn u

und daher, wenn m, n ganze Zahlen sind,

J(u + 2 mK + 2 nK'i) = J (u) + 2 m(K— E) + 2rt E’i ist, so erhält man, wenn man setzt

j = ^3(mb^o tb + vbK'atbi)

¹

«—У.-1Г =

²

(81.)

Hiernach ergiebt sich aus (79.) durch Integration auf dieselbe Weise wie im vorhergehenden §, wenn auch u + 1 als positiv angenommen wird,

(17.)

\ £a — 2 (m6 Ja,b + J'a,bi):

(18.)

«7"(wi + 2o>1} u₂+ 2ш₂, ... un + 2o)w)₀ —    w₂, ... w„)a + 2sa.

Nach diesen vorläufigen Auseinandersetzungen, deren nähere Begründung einer ausführlichen Bearbeitung der Abel’schen Transcendenten Vorbehalten bleiben muss, werde ich nun nachweisen, dass die Gleichungen (3, 4) des § 1 eine Reihe einfacher Relationen unter den 4.w² Grössen Küib1 K'a>b, Ja6, J'a>b enthalten.

§ 4.

Es seien а, b, c, d irgend vier Wurzeln der Gleichung R(x) = 0, und

es werde

s(-

^20    ^2q-l

У-U 2a-l

_ Fa(*)Fg(y)

j \jR(y)

durch T

^2a a2 a-i

durch U,

гЪ

I I U dxdy

J a

bezeichnet, so erhält man zunächst

Substituirt man für Fa(x), Fa(y) die in § 3 gegebenen Ausdrücke,

<gKa-i)

łs

und daraus, indem man

a P {(12а—i) \(^2а—i    *®) (^га—1    У~)

_________P(x)P(y)

? (a2a-i~x) (a

Q Ка-i )

2Û—1

— y) P\anx-i)

durch V

bezeichnet,

U = 4-

1 fdV 4 i dx

dV\ P(x)P{y) dy ) \jR{x) \/R(y)

Es ist aber, nach bekannten Sätzen über die Zerlegung der Brüche

Q(t)

(t-x) (it-y)P(t)

__________ł__b 'S —____________—____

{x-y)P{x) t-x    (ix-y)P{y) t-y r (a2a_₁-x)(a2a_₁-y)P'(a2a_₁)

Entwickelt man beide Seiten dieser Gleichung nach fallenden Potenzen von

Q(x)

Q(x)

t lind setzt die beiden Coefficienten von t~x einander gleich, so ergiebt sich

! Qi*) , Q(y)

(y — x)P(x) (x-y)P(y)

Setzt man daher — N(x\ wo dann R(x) — P²(x).N(x) wird, so ist

und daher

x — y ’

u = {î

1 N(x)~N(y)    ¹ Щх) + Щу)

(x-y)²

x-y

Dieser Ausdruck für U lässt sich (s. § 1 im Anfänge) umgestalten in den folgenden :

Es ist aber

2Ü = S-

у'N(x)

\Щу)

dx (y — x)\/N(y) dy (x — y)\jN(x)

\/Щх)    _ P(y) Уде*)

(y-x)\jN(y) P(x) (y-x)SlR[y)

\/R(x)

(y-x)\/E(y)

P(y) — P(x)    \jR(x)

y-x

у/Щу)

P(x)-P(y)

\/m

(x — y) \jN(x) (x-y)\/R(x)

x-y

P(y) \jR(x)

und daher, wenn man

P(x)-P(y)

setzt,

x-y

= G(x,y)

2U = Л-

\jR(x)

V-R(y)

dx (y-x)\jR{y) dy (X-y)\/R(x)

⁺ dx P(x) \]R(y)

d G(x,y)\jR(x) d G(x,y)\jR(y) dÿ P(y) VlW

Bezeichnen nun a, ß zwei bestimmte Werthe von x in dem Intervall (a, b), und zwar der erste in der Nähe von a, der andere in der Nähe von b gelegen, und ebenso у, d zwei Werthe von y in dem Intervall (c, d\ der erste in der Nähe von c, der andere in der Nähe von d gelegen, so ergiebt sich aus der vorstehenden Formel mit Beachtung der im § 1 bewiesenen Gleichung

\jB(x)

____V^Q) ₌    %F(x,y)    _

dx (y _ X) slR(y)    dy (¹ _ y) \/яЩ    ■

fß f⁸Udxdy = fß fS F.^Jld-X-dL

*Лк •'у    ¹ Ла dy

\/B(x)\iB(y)

1 fs(G(ß,y)\jB(ß) g(g,y)Vü(«) Ч V r(ß)MB{y)    P(a)\jB(y)

i fe(GKx,MW) g(»,l-)№ ²-4 l P(S)\IB(x)    P(r)\jB(x)

)äV

dx.

Denkt man sich jetzt beide Seiten dieser Gleichung nach Potenzen von a — ß — b, y — c, d — d entwickelt, so ist das constante Glied auf der linken Seite die oben durch T bezeichnete Grösse; auf der rechten Seite aber findet sich als constantes Glied das Doppel-Integral

ff

Ja jg

d F(x, y) dxdy

\jB(x) \jB(y)

Mithin

(1.)

ff

ua Jc

d F(x, y) dxdy

/»& pd

i I U dxdy da dC

Ц/

a \da

ъ Fa (x) dx

\JB{x)

d <¹2a-<¹2a-i Fg(y)dy У a2a-i у/В {у)

d Fa(y) dy гь аы-аю_г Fa{x)dx Ja x-a2a_ x    уЩ$

\im

Nimmt man nun

b — a2b

so erhält man aus der vorstehenden Gleichung (nach § 1, Gl. 3)

SÄ,₆^a,C-^a,AC) = 0.¹)

a

CI - й2б-1

d — a2C,

(2.)

Nimmt man

а = a2b

Ь ®2&+l ?

c = o2c,

d =    «2C +

so ergiebt sich

(3.)

2(-Ke,b Ja,c—Ja,bKa,c) ~ °*

Setzt man in dieser Gleichung m für b, n für c und summirt von ni = b bis m — n, und von n = c bis n = n, so findet man

säij; -JibKj = o.

a

(4.)

Nimmt man ferner

a — ^2б-х

b öf₂₎j,

c — a2b,

d — a2b+I

so findet sich (nach § 1, Gl. 4)

(5.)

und für

^(KatbJa>,-JajbKa>b) = I

a - й2б-2

b = a2b_j

(6.)

oder

(7.)

c — W₂6-i > -?а,Ъ-гКа,ъ) = J

d — o2b:

S(x,

а

T

Я) 6 —iu а,Ъ

Nimmt man endlich

a — a2b-l>

und es ist entweder ob oder c-cb —1

Жкл,-^К,С) = о.

а

Setzt man in dieser Gleichung m für c und summirt von m — c bis m — гг, so erhält man, wenn c von b verschieden ist,

c = aK

d й2С+1

(8.)

so

giebt die Gleichung (3.) des § 1

(9.)

0.

H(Ka>bJi-Ja>bKic) =

а

Denn wenn b>a ist, so ist jedes Glied, das bei der Summation in Betracht kommt, nach (9.) gleich Null; wenn aber Ь < а ist, so sind nur diejenigen Glieder nicht gleich Null, welche man für m = b — 1 und m = b erhält; deren Summe aber ist in Folge der Gleichungen (5, 6, 7) ebenfalls gleich Null.

Setzt man in der Gleichung (9.) c = b + 1 und addirt alsdann zu ihr die Gleichung (5.), und bemerkt, dass = Ka<b +K'a<b+1, J’tb = /а,ь + Л',ь₊₁ ist, so erhält man

GOO

Die Gleichungen (2, 4, 9, 10) des vorhergehenden §, welche hier noch einmal zusammengestellt werden mögen:

S(-^Q,b«^o,c — ^a,b-^a,c) “

= o,

= 0, wenn cg6, о

Z(Ka,bJ'.,b-J^K*) = Y,

enthalten eine Reihe von (2n²—n) Relationen unter den 4w² Grössen Ka>b: Ja>bl а 6. Die erste Gleichung nämlich, deren linke Seite identisch gleich Null wird, wenn man c = b nimmt, und nur ihr Zeichen wechselt, wenn diese beiden Indices unter einander vertauscht werden, giebt eben so viele die zweite; die dritte aber giebt deren n(n— 1), und die vierte n, alle zusammen also enthalten —^ + n ^n~ ^ + n {n — 1 ) + n = 2n²—?i Relationen.

Ich werde jetzt aus diesen Relationen noch einige andere herleiten, welche bei den in der Einleitung angedeuteten Reihen-Entwickelungen der Abel⁷sehen Transcendenten gebraucht werden.

Es bezeichne G die Determinante des Systems

-kltx Ai,2 ••• А1И

7Г ТГ    ТГ

Л2,1 JX2i2 JX2yn

(1.)

(2.)

(3.)

(4.)

n(n— 1)

Relationen ;

n,n i

und Gflib den Coefficienten von Ka<b in dem Ausdrucke von G₁ so ist, wenn

4,b - -gT

(5.)

gesetzt wird

(6.)

(7.)

2 Ga,6 AüiC =

а

Se.,,4 =

0, wenn c ^ b, 1, wenn c = b, 0, wenn b ^ а, 1, wenn b = а.

Nun hat man (Gl. 1.)

also

2 Ac m ^С)П    2 -^c.n ^c,m i

c    c

2 m Gj,,n AC OT e7"c n = 2 &a,m &b, n АС)П    .

Summirt man auf beiden Seiten in Bezug auf die einzelnen Indices in der Ordnung, in welcher sie unter dem Summenzeichen geschrieben stehen, so erhält man mit Hülfe der Gleichung (7.)

(8.)

Są,,= Są,„ą,„.

Setzt man daher

(9.)

Są,tą,c = fi

a,b >

so ist

(10.)

•^а.б — -G,a.

Multiplicirt man die Formel Gcn,/a>n mit KCtb und summirt dann in Bezug auf c, n, so findet man mit Hülfe der Gleichungen (9, 6)

Jaib = ^FaiCKc<b.

C

(11.)

Ferner ist (Gl. 3, 4)

0, wenn c ^ b wenn c = b

daher

Aber

also

(12.)

S (r«,c ą,,c Ai.b — ą.bj

= S*¹» А =

1^ + 1^,!;,.

o,6-

Endlich ist (Gl. 2.)

und daher, wenn man /с'а und /с'>6 vermittelst der Formel (12.) ausdrückt, indem man das eine Mal с, a, nt für a, b, c und das andere Mal c, b, m für a, b, c schreibt, und bemerkt, dass

c,m

c,m

ist, weil man auf der rechten Seite dieser Gleichung m und c mit einander vertauschen und dann wieder Fmc für FCiüX setzen darf

I.

17

ist, so erhält man noch

(15.)

2£С)0 a;>6 = ZGCtbx;ia.

c    c

Diese Gleichung ist besonders bemerkenswerth, weil in ihr nur Abel’sche Integrale der ersten Gattung Vorkommen.

Bezeichnet man den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung wo dann

(13.)

durch H.

a,b)

(14.)

Ha,b = a

K'ib = ZHc,aKCb-

C    ⁹

Durch die hier entwickelten Formeln wird übrigens auch der Beweis geliefert, dass die (2n² — n) Gleichungen (1, 2, 3, 4) unabhängig von einander sind, d. h. dass keine von ihnen eine Folge der übrigen ist. Dies wird der Fall sein, wenn sich sämmtliche in denselben vorkommende 4w² Grössen durch (2n² + n) andere, willkürlich angenommene, ausdrücken lassen.

Nimmt man nun aber die n² Grössen Ka<b willkürlich, die durch jF0|6, Ha b bezeichneten aber so an, dass den Bedingungs-Gleichungen (10, 14) Genüge geschieht, und drückt dann durch diese Grössen, deren Anzahl (2n² + n) ist, vermittelst der Formeln (11, 12, 15) Jab, /a'₆, K'tb aus, und substituirt die so erhaltenen Ausdrücke derselben in die Gleichungen (1, 2, 3, 4), so überzeugt man sich mit Hülfe der Relationen (6, 7) leicht, dass in jeder dieser Gleichungen die linke Seite identisch gleich Null wird.

Es ist bei den vorstehenden Entwickelungen ausdrücklich angenommen worden, dass at, a₂, ... аан+1, die Wurzeln der Gleichung R(æ) — 0, sämmtlich reell und ihrer Grösse nach geordnet seien. Gleichwohl behalten die gewonnenen Resultate unverändert und ohne Ausnahme ihre Gültigkeit, wenn auch diese Bedingungen nicht erfüllt sind; es bedarf alsdann nur einer geeigneten Modification der in § 1 getroffenen Bestimmungen hinsichtlich der Aufeinanderfolge der genannten Wurzeln und der Festsetzung desjenigen Werthes von sjR(x), der bei jeder einzelnen Integration genommen werden muss. Ich kann jedoch, des beschränkten Raumes wegen, in nähere Erörterungen über diesen Gegenstand nicht eingehen. Ebenso muss ich es mir versagen, über den in der Einleitung erwähnten Gebrauch der entwickelten Relationen auch nur andeutungsweise etwas Näheres anzugeben. Ich begnüge mich schliesslich — besonders um darauf hinzuweisen, dass auch die zuletzt gegebenen Entwicklungen nicht ohne Bedeutung sind — den allgemeinen Ausdruck der Hiilfsfunctionen hinzustellen, auf welche die Abel’sehen Transcen-denten zurückgeführt werden können.

Es seien    t₂, ... tn unbeschränkt veränderliche Grössen; (i₂, ... fin,

vij v₂, ... vn ganze Zahlen, von denen jede entweder gleich 0, oder gleich 1 zu nehmen ist, «₂, ... an veränderliche ganze Zahlen, deren jede unabhängig von den übrigen jeden zwischen den Grenzen — oo und +oo enthaltenen Werth annehmen kann; man bezeichne ferner тгHütb durch üa b,    durch Yje>6, und

bilde die unendliche Beihe

(- К,Ъ («в - Г 'va) («b - T vb) + («а “ fva) (fa + fWO 0

wo sich das Summenzeichen 2 auf ci, b, S aber auf ccl7 a₂ ... bezieht. Bezeichnet man die durch diese Beihe dargestellte Function von tt, t₂, ... durch Hl (£,    ... G), so hat dieselbe je nach den verschiedenen Werthen, die man

den Zahlen jxa, va gehen kann, 4n verschiedene Formen, welche den Jacobi-schen 0-Eunctionen, in welche sie für n — 1 übergehen, durchaus analog sind. Führt man nun statt ti1 t₂₎ ... die Argumente wx, w₂, ... ein, indem man

rli,aui + /Î2,ftMa + ,,, + ¹J»»,eM»

setzt, so erhält man die erwähnten Hiilfsfunctionen von    ... un) durch

welche die von mir eingeführten Functionen sn(wx, w₂, ...)a, cn(w₁, w₂, ...)a, dn(î«l5 ма, ...), und noch mehrere andere, mit diesen im Zusammenhänge stehende, ausgedrückt werden können und zwar eine jede als ein Quotient zweier derselben. Das Nähere hierüber gedenke ich in der erforderlichen Ausführlichkeit in einem grossem Werke zu geben, welches ausser allgemeinen Untersuchungen über die Integrale algebraischer Functionen insbesondere die Grundzüge einer umfassenden Theorie der Abel’sehen Transcendenten enthalten soll.

Braunsberg, 17. Juli 1849.

X

■

(

л

(Aus dem Crelle’schen Journal, Bd. 47.)

nur

Seit mehreren Jahren mit der Theorie der Abel’sehen Transcendenten mich beschäftigend, bin ich zu Ergebnissen gelangt, welche der Beachtung der Mathematiker nicht unwerth zu sein scheinen, und die ich in einer Reihe von Abhandlungen ausführlich zu entwickeln beabsichtige. Die erste dieser Abhandlungen, welche bereits vollständig ausgearbeitet ist, soll hauptsächlich die Aufgabe behandeln, die periodischen Functionen mehrerer Argumente, deren Grund-Eigenschaften, wie es zuerst Jacobi nachgewiesen hat, in dem Abel’schen Theorem über die hyper-elliptischen Integrale ausgesprochen sind, wirklich darzustellen; was dasselbe Problem ist, welches für die Functionen zweier Argumente bereits von Göpel und Rosenhain mit glänzendem Erfolge gelöset ist, hier aber ganz allgemein erledigt wird ; auf einem Wege, der nicht gänzlich verschieden ist von dem, welchen die genannten Mathematiker eingeschlagen haben, sondern auch, wie ich schon jetzt behaupten darf, die Aussicht giebt, dass er für noch höhere Transcendenten zu ähnlichen Resultaten führen werde. Das Folgende ist eine kurze Uebersicht meiner Arbeit.

1.

Dem Systeme der Integralgleichungen, von welchem man, nach Jacobi, bei der Theorie der Abel’schen Transcendenten ausgehen muss, gebe ich folgende Form, welche ich als die einfachste und für die Behandlung geeignetste erkannt habe. Es sei

B(x) = (x-a₀)(x-a₁)(x-a₂)...(x-a2n)

eine ganze Function (2w + l)ten Grades; wobei ich zunächst annehme, es seien die Grössen « , ал, ... a2n sämmtlich reell und so geordnet, dass

a₀ > rtj > a₂ > ... > a2n

ist.

Ich zerlege nun R(x) in die zwei Factoren

P(x) = (x-a₁)(x — a₃)...(x — a2n_₁) und Q(x) = (x — a₀)(x — a₂)...{x — a2n)

und stelle, indem ich « , u₂, ... un als unbeschränkt veränderliche Grössen, д? , a? , ... a?M aber als Functionen derselben betrachte, den Zusammenhang zwischen diesen Ъг Veränderlichen durch nachstehende тг Gleichungen dar:

(1.)

и, = Г^(Х) *ч ж

(7а;

!..

u₂ =

Р(х)

J x

at

dx

-«з    2 \/Р(ж)

J

Ja₃

x* P (x)    dx

x — a l    2 V'P (ж)

p (ж)    dx

х-а₃ 2\]Щх)

Г хп    J

J    х

а2П—1

P(x)

~ai

Гхп р (ж)

J ж

%н -1

dx

2 у Р (а?)

da;

-«s    2 \]Щх)

=/

*4

P(a;) da;

' 2 УРр

Лт2 P(aj) da;    Г

Ja x-a₂n-i 2 \JbJx) J„

P (а?)

da;

a2n-l

2\jR{x)

Nun begründe ich, mit Hülfe des Abel’schen Theorems, ausführlich den

von

von xt1 <r₂, ... xn,

\lR(xn), völlig bestimmt sind. Und zwar sind #₂, ... xn die Wurzeln einer Gleichung nten Grades, deren Coefficienten völlig bestimmte

der Hauptsache nach bereits von Jacobi ausgesprochenen Satz, welchen ich als Fundament der ganzen Theorie betrachte; nämlich, dass zwar für gegebene Werthe von ду, л?а, ... xn die Grössen u^u₂₎ ... un unendlich viele verschiedene Werthe haben, umgekehrt aber, wenn wx, w₂, ... ww gegeben sind, die Werthe so wie auch die zugehörigen Werthe

eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Grössen wx, m₂, ... un sind, während eine zweite ganze Function von «r, deren Coefficienten eben solche Functionen von mx, w₂, ... un sind, für x = xt, x₂,...xn die zugehörigen Werthe von y'P(a;l), \/P(a;₂), • • • \/R(xn) giebt.

Hiernach kann jeder symmetrische rationale Ausdruck von xl1xs1...xn als eine eindeutige Function von ггх, u₂, ... un betrachtet werden. Namentlich

aber zeigt es sich, dass

(«« - xx ) К- a?a) ... К - xn),

Ich bezeichne demgemäss, indem ich die grösseste in \a enthaltene Zahl durch к ausdrücke und

(wo и eine der Zahlen 0, 1,... 2n bedeutet) das Quadrat einer solchen Function ist.

setze

(x-xl)(x — xt)...(x-xtt) = L{x)

(2.)

f(-l )“%)

durch al(w1? w₂, ... un)a

von

und nenne diese so definirten (2и + 1) Grössen al(wx, w₂, ...)o, al(ult wa, ...^ u.s.w. Abel sehe lunctionen, indem sie es sind, die den elliptischen Functionen sin am w, А am« vollkommen entsprechen. In Reihen nach Potenzen M₂> ••• un entwickelt, haben sie folgende Gestalt:

2Û—1

(4.) al (w,, w„ ...)₂₆

^ p\⁽aZ!)'iUa+(Ul'Ui

=

v Q’M

...)₃ + (Wj, w₂

• • Oe h— i

Ich bemerke überhaupt, dass

In diesen Formeln bedeutet о irgend eine der Zahlen 1, 2, ... и; В irgend eine der Zahlen 0, 1, ... w; und durch (wi? «₂, ...)c wird eine ganze homogene Function aten Grades von (ult w₂, ... un) bezeichnet, im Folgenden a, c, so wie auch а', c eine der Zahlen 1, 2, ... w; 6 dagegen eine der Zahlen 0, 1, ... n bedeuten soll. Ferner ist zu bemerken, dass überall, wo, hierund im Folgenden, die Wurzel (2ten oder 4ten Grades) eines positiven, aus den Differenzen a₀ — at, aQ — a₂, ...    —«₂, ci₁—aa u. s. w. durch Multipli

cation und Division gebildeten Ausdrucks vorkommt, stets deren positiver Werth genommen werden soll.

von wl? w₂,

convergent sein. Gleichwohl gehe ich von ihnen aus, indem ich die Func

Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe

tionen al(ut, иа, .. .)e zunächst nur für solche Werthe von и , w , ... definire, für welche die aufgestellten Reihen sämmtlich convergiren. Darauf entwickle ich die Haupt-Eigenschaft der so erklärten Functionen: nämlich, dass sich die Werthe derselben, wenn an die Stelle von м , ма, ... zweitheilige Grössen w, + ul5 w₂+u₂, ... treten, rational durch al(wł? w₂, ...)o, al(wi? u₂, ...) , ...

al к, и₂, ...)2И; al(vi7 va, ...)₀, alfy, v„ ...)»» ••• alfy, vt, ...),» und durch deren partielle Differential - Coefficienten erster Ordnung ausdrücken lassen; worauf ich dann mit Hülfe der so gefundenen Formeln zeige, dass es eindeutige, für alle Werthe von wx,w₂, ... existirende Functionen von wl}«₂, ... giebt, die mit den durch die obigen Reihen dargestellten Functionen für solche Werthe von wx,w₂, ... übereinstimmen, für welche dieselben convergiren, und die ich dann fortan unter alfy, w₂, .. .)₀, alfyx, u₂, .. .)1? ... verstehe. Dies vorausgesetzt, sind die Grössen a?₂, a?₂, ... xn, welche für beliebige Werthe von t#x, г*₂, ... un die Gleichungen (1.) befriedigen, die n Wurzeln der folgenden Gleichung:

(5.)

ein-, al²K, u₂, ...)

2 П -1

ax — x

a₃—x

a2n-i~x

in welcher

^2a-i

gesetzt ist. Ferner hat man:

(6.)

= s{

b, c 1

4,-1 P(*. ) al i • • Ой-, ô al    . 0

2b -1

a2b-i Xa

duc

Ь, c — 1, 2,... n

Uebrigens lassen sich statt der Formeln (5, 6) andere von ganz ähnlicher Gestalt aufstellen, in welchen n beliebige von den Functionen alfy^ w₂, .. .)₀, alfy, иа1 .. .)x, ... Vorkommen. Indem man ferner die Differentiale dieser Functionen durch л?х, a?₂, ... ocn ausdrückt, findet man Veranlassung, noch eine Reihe anderer Functionen einzuführen; nämlich die durch die Formel

(7.) alfy,m₂, ...)«,(* = \/±(а«-а^). alfy, w₂,...)a alfy, w₂, S{

¹ et \

Й(а«)

(x-aa)(xa-aß)L'(xa)

dargestellten, wo das obere oder das untere Zeichen von (aa— a^) gilt, jenach-dem a<zß oder ß>j3 ist. fy ß bedeuten je zwei verschiedene Zahlen aus der Reihe 0, 1, 2, ... 2n.) Man hat alsdann

dalfy, **■», •••)«

(8.)

el

2a—1

dua

V±K ^2a—1)

•alfy, w₂, • • O20-1 alfy, u₂₎ ...)

a, 2(1-1 1

vorausgesetzt, dass a;g2a-l ist.

Aus dieser Gleichung ergiebt sich die be-

merkenswerthe Relation

(9.)

el

20-1

d al² (Wj, u₂, ...)

2a-i

duc

= el

2C—1

d al² (ult u₂, ...)

2C-1

öua

Zwischen den Functionen al(wx, w₂, ...)e, al(«i5 wa, ...)a finden übrigens zahlreiche Relationen Statt. Insbesondere sind folgende zu bemerken:

al²(ui»    - -.U

(10.)

= 1-2

4-1 al² (ui, «a, ■■■)

2Ct—1

^2b    ^*20—1

а = i,... n

(11.) ±

al (ui, U₂, ‘■Огб.гс— i

el

26—1

= al²(ui» «a, --0.C-1 +

el

2C—1

⁺ 2{

4-1 al²K, wa, ...)

20-1, 2C—1

0>2b F ®2C— 1

e2a—i al (Wj, u₂, ...)

20—1,2C—1

Й2Ь °20—1 а = 1, ... C —1

In der letzteren Gleichung gilt das obere oder das untere Zeichen, je nachdem 2c—1 kleiner oder grösser als 26 ist. Mittels der Gleichungen (8.) bis (11.) lässt sich auch eine algebraische Gleichung zwischen jedem der (2w + l)w Differential-Coefficienten erster Ordnung der Functionen al (wl? mi, ...) und je n der letztem ableiten.

^26 ^20-1 а = c+1,... n

2.

Nunmehr führe ich diejenigen Grössen ein, welche den sogenannten vollständigen elliptischen Integralen erster Art analog sind. Wenn x reell ist und zwischen den Grenzen аа_г und aa liegt, so ist

R(x) = (-iy(a₀-x) ...(aa_₁-x)(x-aa)...(x-a2n),

und man kann daher

\jR(x) = ± ia \Ja₀—x... \/aa_₁ — x.\Jx — aa ... sjx — a2n

setzen, wo die Wurzeln rechts sämmtlich positiv zu nehmen sind. Ferner ist, wTenn x zwischen +00 und a₀ liegt:

\lR(x) = ±\Jx-a₀...^x—a2n,

und wenn x zwischen a2n und —00 enthalten ist:

\jR{x) = ± i2n+1 \Ja₀—x... \ja2n—x.

I.

18

Wenn nun a und b zwei reelle Grössen sind, so bezeichne ich durch

F (x) dx

\jR(x)

wo F(x) eine rationale Function von x bedeuten soll, denjenigen besonderen

F(x) dx -^е^с^еп sie dadurch erhält, dass bei der Integration \/R(x) stets mittels der obigen Formeln unter Anwendung des obern Zeichens bestimmt wird. Dies vorausgesetzt, werde

а

durch Ka

Werth der Formel

I.

\jR(x)

P(x ) dx

2 (x — a2a_i) sj.Щх.j

bezeichnet. Dann gilt die Kelation:

0    12    2 П

Aa-A„-j-Aa--..+ Аа

(12.)

= 0, für а = 1, 2, ... n.

Ferner sei

2C—1

(13.) A„,c = Аа-Аа =

-    2C — 2    2C—1

Га 2c

a2C-l

;1    Pa2C—l

“ ⁼1

P (x) dx

2{x—o2a_, )\jR(x)

fa“ JPg___

V, Qi?) ²K-1~®)

dx

P(x)dx

«*2C—2

2 (ж -    ) V'7; (ж)

also

(14.)

Aa,c = -

Ça2C-l ^

^«2C-2

— P (ж)    da;

#0*0    2 (ж C₂a-i)

Integration ^

wo bei der ersten zu nehmen ist. Dann findet sich

Р(Ж)

Q(x)

, und bei der andern

-P(*)

Q(x)

positiv

Fa — К,г + Aûi2 h-----f Аа,и

Аа = Ааа + Аа>2 + • • • + Aa,n - гКал Aa ⁼⁼ А"а,₂-Ь Aa,₃-ł- • • • -f- А"а,п— «Ад,!

Ад ⁼⁼ Аа,₂ + Аа,₃ + • • • + Аа,н— «Ад,!—«Aa,2 Аа = Ааз + Аа,₄ + • • • + Ад,п- гАа,!- г'Ад,₂

2П

А₀ = — «Ад₍₁ — г‘А₍

а,2

----«А,

а,» *

Ein besonderer Fall des Abel’sehen Theorems führt sodann zu den folgenden Relationen, in welchen «, /3, y Zahlen aus der Reihe 0, 1, 2, ... 2n bedeuten, und mit dem Symbol a\ß die Zahl Null bezeichnet wird, wenn cc cß, hingegen die Zahl 1, wenn u> ß ist:

(16.) al (ut + Klf

(17.) al (ut + Kx,

Hieraus lässt sich

-)• =

ia~² cc

а1(мX-K„ ...)« =

alK-K,, ...)« =

(18.)

al(u₁ + 2K₁, ...)„ = +al(w1} ...)e ß

&\(u₁+2K₁, ...)„ = — al(w1? ...)«, wenn /3^«,

und wenn man

Aa    [i₀ Ka + fit Aa + • • • +    Aa,

F =    ----+ ^2И

setzt, wo unter /xo, u. s. w. beliebige ganze Zahlen zu verstehen sind,

(19.)

folgern.

Es werde jetzt

(20.)

Aa',c — AQii+ A0i2 + ••• + Ka>c

und

0)a = m₁Z'ail + m₂E'a)2 + --- + tnnA0iM,

⁴⁰a    Ад, ₁ + it₂ Aa>2 + * • • + Пп Аа и,

gesetzt (unter mi? m₂, ..., ni? n₂, ... ebenfalls beliebige ganze Zahlen verstanden), so erhält man die Formeln

(21.)

a 1(^+2«),, ...)а = (-l)m“ “al(w₁₅ ...)«,

wo, wenn а — 0 ist, nt₀ = 0 genommen werden muss; und

al(«, + 2«,;i, ...)„ = (_₁)»«+»-.+-+"₅«al(Ml,...)

in welcher Formel für а = 2n der Factor von al(w1? . ..)2M gleich 1 zu setzen ist. Ähnliche Relationen erhält man mit Hülfe der Formel (17.) für die Functionen al(u , w₂, ...)

(22.)

(23.)

a’

a,ß '

¹

ЛУепп in einer Formel, wie Mer, mehrere deutsche Buchstaben n, b, c, ... Vorkommen, welche, wie schon oben bemerkt worden ist, hier ausschliesslich ganze Zahlen, aus der Reihe 1, 2,3, ... n genommen, bezeichnen sollen, so bezieht sich das Summenzeichen auf denjenigen von ihnen, der unter dem 2 ausdrücklich angezeigt ist, und der dann sämmtliche in der angegebenen Reihe enthaltenen Werthe durchlaufen muss, während jeder andere einen stehenden Werth hat. Sind unter dem Summenzeichen mehrere Buchstaben bezeichnet, so muss jeder derselben, unabhängig von den übrigen, dieselben Werthe durchlaufen.

3.

я» • • •

Die Functionen al(wi7 w₂, .. ,)a haben die Eigenthümlichkeit, dass sie sämmtlich für dieselben Beträge von m , wa, ... unendlich werden. Überdies kann jede derselben, wie es bei dem Beweise des in No. 1 angegebenen Hauptsatzes gezeigt wird, (wenn man für die absoluten Beträge von wi? и bestimmte, übrigens beliebig weite Grenzen festsetzt, die sie nicht überschreiten sollen), als der Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen von д, w₂, ... fortschreitenden Reihen dargestellt werden, welche für alle Werthe dieser Veränderlichen innerhalb der bezeichneten Grenzen convergiren. Dies führt zu der Vermuthung, dass sich al(w , ...), al(m, . ..)a, u. s. w. als Brüche mit gemeinschaftlichem Nenner darstellen lassen dürften, bei welchen dieser Nenner sowohl als die Zähler solche Functionen von m , w , ... sind, die nie unendlich werden und sich nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen. Wenn sich wirklich al(w1? .. .)e = ~ setzen lässt (unter p,pa Functionen von der eben beschriebenen Art verstanden), so muss d log al (ux, ...) aus zwei Theilen bestehen, deren einer für alle die Werthe von мх, ма, ... unendlich wird, für welche al(wt, u₂, ...)a = 0 ist, der andere hingegen für alle diejenigen, welche al(wa,.. .)a unendlich machen. Dasselbe ist der Fall für die höheren logarithmischen Differentiale von al(wi? w₂, ...)a- Angenommen nun, es ergebe sich

№ log al (ux, ...)e = Pa-P,

...)₁ u. s. w. ausdrücken lassen, also auch durch д, ...

i’

wo Pa = oo wird, wenn al(wi? ...)e = 0, und P = oo, wenn al(w1? •••)« — °°? so kann man dfllogpa — Pß, d^logp = P setzen; und da sich Pe, P durch al(Mj, ...)₀, al(u

p2n, p, so muss man auf diese Weise zu 2n + 2 Differential-Gleichungen für die genannten 2n +2 Grössen gelangen. *)

Für die elliptischen Functionen ist die anzustellende Rechnung sehr leicht. Man hat nämlich, wenn x — sin am и ist:

die²

d⁴?Zx. =    1.

Setzt man nun д? =

so ergiebt sich

d²logpt d² logp _ ,a

л    tu * O

du²

du²

ZUR THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN.

Diese Gleichung zerfalle man in zwei, indem man

d² log^j p²

d²\ogp

du²

Pl

du²

Nachdem nun vorher gezeigt worden, dass sich sin am w, wenn der absolute Betrag von als Quotient zweier, nach ganzen Potenzen von и fortschreitenden und für alle unterhalb jener Grenze liegenden Werthe dieser Veränderlichen conver-genten Reihen darstellen lässt, kann strenge bewiesen werden, dass sich die durch die beiden vorstehenden Differential-Gleichungen definirten Functionen Pi Pi nach ganzen positiven Potenzen von и in beständig (d. h. für alle reellen und imaginären Werthe von и) convergirende Reihen entwickeln lassen. Und wenn man die vier willkürlichen Constanten, die sie enthalten, so bestimmt, dass für и — О I

setzt.

и eine beliebig angenommene Grenze nicht übersteigt,

dp

dpi

du °

ist, so findet sich in der That sin am и — Ähnliche Entwicklungen giebt es für cos am w, Aamw, und man gelangt auf diese Weise zu denjenigen Darstellungen der elliptischen Functionen, deren Abel in einem Briefe an Legendre (S. Crelle’s Journal, B. 4, S. 244; vgl. B. 6, S. 76) erwähnt, ohne jedoch irgendwo die Ausführung, oder eine Andeutung seines Verfahrens gegeben zu haben. Von den Functionen p, px aus gelangt man ferner leicht zu den Jacobi’sehen Functionen 0 (w), H (гг), und kann so die Entwicklung der elliptischen Functionen in allen Formen ausführen, ohne dieselbe auf die Transformations- oder Multiplications-Formeln zu gründen. Überhaupt lassen sich die obigen Differential-Gleichungen für jt?, pr zur Basis einer vollständigen Theorie der elliptischen Transcendenten machen; wie ich dies in einer bereits im Jahre 1840 von mir verfassten und damals der wissenschaftlichen Prüfungs - Commission zu Münster übergebenen Abhandlung auch wirklich durchgeführt habe.

Für die Functionen al(u , w₂, ...) habe ich nun eine ähnliche Rechnung versucht. Mit Hülfe der in Nr. 1 erwähnten Formeln, mittels welcher man аЦг^ + г^, ...)₀, аЦг^ + г^, ...)l u. s. w. durch die Functionen von u^u^...un und V , V , ... vn ausdrücken kann, lassen sich die zweiten Differentiale der Abel’schen Functionen ermitteln, und man erhält d²logal{ui, .. .)a durch

du

а1(г^, . ..)₀, а1(г^, ...)t u. s. w. und deren erste Differentiale ausgedrückt. Mit Benutzung der unter (8.) bis (11.) aufgestellten Relationen lassen sich dann diese Ausdrücke auf die vorhin angegebene Form bringen, und indem man

al (ut

\ ₌ Pa_

' ’ ' a    p

setzt, für die Grössen p, PaiPa e eine hinreichende Anzahl Differential-Gleichungen zweiter Ordnung finden; so wie es sich auch nachweisen lässt, dass die so definirten Functionen sich nach ganzen Potenzen von wx, u₂, ... in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen. Auf diese Weise begründete ich (gegen Ende 1847) den Satz, welchen ich als den wichtigsten zur Erreichung meines Zieles, eine für alle Werthe der Argumente w₂, ... geltende Darstellung der Abel’schen Functionen aufzufinden, betrachten durfte: dass nämlich die Functionen al(i^, .. .)a, al (г^, .. .)a ^ in der Form von Brüchen mit gemeinschaftlichem Nenner sich darstellen lassen, in welchen die Zähler und der Nenner wesentlich den Character ganzer Functionen haben, indem sie für alle (reellen und imaginären) Werthe der Argumente w1? u₂, ... existiren und sich nach ganzen positiven Potenzen derselben in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen. Indem ich nun ferner auf die so gewonnenen Hülfsfunctionen genau dasselbe Verfahren an wandte, welches mich von den oben erwähnten Functionen, durch welche ich die elliptischen Functionen ausgedrückt hatte, zu den sogenannten 0-Functionen geführt, gelangte ich auf einem, alle Willkürlichkeit ausschliessenden Wege, zu den ebenso einfachen als durch ihre Form ausgezeichneten Reihen, auf welche, für n = 2, schon vor mir Göpel und Rosenhain die Abel’schen Functionen zweier Argumente zurückgeführt hatten.

Die zur Erlangung der angegebenen Resultate erforderlichen Rechnungen sind indess nicht ohne Weitläufigkeit. Ich versuchte daher, denselben Grundgedanken verfolgend, auf einem einfacheren Wege den Zweck zu erreichen. Es gelang mir dies, indem ich gleich von Anfang an auch die Abel’schen Integrale zweiter und dritter Art mit in Betracht zog und dieselben durch u^u₂₎ ... un ausdrückte; in ähnlicher Weise, wie es bei den entsprechenden elliptischen Integralen geschieht.

zu der Zeit, als ich mit diesen Unter-Seine Resultate sowohl, als sein Verfahren, sind

Göpel’s Abhandlung erschien suchungen beschäftigt war.

nicht so einfach, als sie, auch hei dem von ihm gewählten Wege, sein konnten. Y on Rosenhain’s Arbeit, die erst nach Vollendung der meinigen veröffentlicht worden, kenne ich bis jetzt nur die in diesem Journal aus Briefen an Jacobi mitgetheilten Notizen. So viel daraus zu entnehmen, stimmen für den von ihm behandelten Fall (n = 2) seine Resultate mit den meinigen, auf durchaus verschiedenem Wege ermittelten, vollkommen überein. Ich glaube aber nicht, dass sich nach den Methoden beider Mathematiker die Abel’schen Functionen von höherer als der ersten Ordnung werden behandeln lassen. Jacobi hat bereits bemerkt, dass schon für n — 3 die verallgemeinerten 0-Functionen mehr wesentliche Constanten enthalten, als die Abel’schen Functionen dreier Argumente. Es müssen daher unter diesen Constanten bestimmte Bedingungsgleichungen stattfinden, wenn die betreffenden Reihen zu Abel’schen Functionen führen sollen. Ich habe nun zwar diese Relationen für jeden Werth von n gefunden, zweifle aber, ob dies, wenn man von den genannten Reihen ausgeht, a priori möglich sei, ohne dass die Theorie der Abel’schen Functionen, nach einer andern Methode entwickelt, vorausgesetzt wird.

4.

Es werde, während a eine willkürliche Grösse bedeutet,

(24.)

1    \[Ща) P(x) dx

йга-1

2    P(e) x-a yJJtfö

gesetzt, indem man sich л?,, л?₂, ... x- durch w,, w₂, ... un ausgedrückt vorstellt, und festsetzt, dass bei jeder einzelnen Integration x genau dieselben Werthe durchlaufen soll, wie bei den Integrationen in den Gleichungen (1.). So definirt, lässt sich Sl(w,, w₂, ...) als eine logarithmische Function von к,«,... betrachten; d. h. als eine solche, welche die Form

A log (o (ux, m₂,    u₂, ...)

hat, wo cp, cp eindeutige Functionen von wl5 w₂, ... sind. Von den vielen Formeln, die sich auf diese Function beziehen, führe ich nur die folgende an:

d S1 (гг,, ...)

(25.)

duc

= тЪс-Мщ, ...)₂c-ial4wi» •••).c-i|al(Wi+«'₁, •••kc-i+alK-w

• • *)гс—i ]

4-1 v/R (e)

(«-«2c-i)-P(a)

al²K, - .-kc-i

i-Sj

а \

4-1 al² (u,, ...)

2Ct-l

^га-i a

Das dem 2 untergesetzte a bedeutet, dass in einer Formel wie 24i die

et

Summation auf die veränderliche ganze Zahl a sich beziehe, welche dann alle Werthe von 1 bis n durchlaufen muss.

Setzt man nun

(27.)

WO

(26.)

ist.

c    ra

iva = /

“2C-1

P{x) dx

2(x-a2a_₁)\jR{x)

P(a)

so lässt sich jedesmal, wenn a in der Nähe eines der Werthe at1 a₃, ... a2n-i liegt, Sl(«^, w„, ...) nach Potenzen von b entwickeln.

Den Coefficienten von b in dieser Entwicklung, für den Fall, wo a wenig von a2a 1 verschieden ist, bezeichne ich durch

SI (w,, u₂, .. .)„,

wo man dann

(28.)

dSl^, Wj, ...)c =

2{

¹ Q(aK-J

P(xa)dxa

oder auch

(29.) dSl(uif u₂₎ ...)c =

^2C — 1 dUC

al²(Wj, ...)

2C—1

+ 2'{

а V

&2C—i ^2q—1    (щ 1 • • “ha—i (duc dtig")

Kc-x-»2a_₁)al²K, «,,...)

2C—1

findet, in welcher letztem Formel für a der Werth c auszuschliessen ist.

Diese n neuen Grössen Sl(w1? г<₂, .. .)a sind eindeutige Functionen von t« w₂, ..., von derselben Art wie al(wx, .. .)₀ u. s. w. Es lassen sich auf dieselben alle Abel’sehen Integrale zweiter Art zurückführen; so wie auf Sl(wt, w₂, ...) die der dritten.

Ich bezeichne jetzt das bestimmte Integral

П Q Oha-i) -Р(д?) dx ² -P'(eîtt-i) («~«₂a-i)² \/Щх)

/

'/«a

a

durch Ja,

und setze (ähnlich wie oben, wo von den Grössen Ka die Rede ist)

2C—X 2C

^a, с    Л ^a!

^a.c — *^0,1 + Л.2+ *'• +^a,c-

(30.)

__    2C—2 2C —1

tf«.c ⁼ *^a *^a »

a log alfo, u₂, ,..)a

dua

Dann lässt sich

durch die Functionen Slfo, .,.)o in folgender Weise ausdrücken:

«    ГЧ-. ,    «    20-1    .    20-1

=    +    ...)„ + Sl(u-K„ ...) .

Nun lässt sich mit Hülfe der Formel (29.) leicht beweisen, dass

(32.)

d log al (m, , u„ ...)

dua

a_

2Я—1

(33.)

2C—1

asifo-jg;, ...)tt _ asifo-z,, ...)±

duc

dua

ist, woraus folgt, dass der Ausdruck

I 20-1    2tt—1

Sj-Ja-Slfo-Ai, ...)a\dua

а

ein vollständiges Differential ist.

Es lässt sich daher eine Function Alfo, w₂, ...) dergestalt bestimmen, dass

(34.)

2ü—i    2a—i

dlog Alfo, w₂, ...) = -Sj Ja + Sl(ut-Kt, ...)]dua

а

ist, und wenn man dann

(34 a.)

setzt, so erhält man

alfo, Ma, ...)« =

— Ałfo> «■,» •■•)«

Alfo, wa, ...)

(35.)

d log Al (Wj, w₂, .. ,)a    21 efa"tSl(w₁ tfaF «7"a, • • .)ajdwa.

Û

Fügt man diesen Gleichungen die Bestimmung hinzu, dass für иг — 0, м₂ = 0, . . ., un — 0 Alfo, ...) = 1 werde, so sind die sämmtlichen durch sie definirten Hülfsfunctionen völlig bestimmt. Entwickelt man sie in Reihen nach Potenzen von wl5 w₂, ..., so erhält man

= i + fo, w₂, ...)₂ + fo, w₂, ...)H—

Alfo, u₂, ...)

(36.)

Alfo, wa, ...)

20-1

• •O. + fo,«,

• • *)₆ н— i

Alfo, wa, ...)₂₆

Pfob)

G'fob)

jl + fo, wa, ...), + fo,W₂, ...)4+"*}

und es lässt sich erweisen, dass diese Reihen für alle Werthe von ux1 m₂, ... convergent sind.

Auf die Function Al (w , w₂, ...) lassen sich jetzt auch S1 (i^, ...) und Sl^, ...)a zurückführen. Setzt man nämlich

(37.)

1

W*=J 2

•ч*

P (x) dx

und

(38.)

d log Al (u₁, u₂, ...)

so hat man

(39.)

= Al(m1? m₈, ...)

a    1

S1(m1? m₈, ...) = ~^uaAl(wv ...) + -log

a    z

du.

Al(Mj — m>,, ...)

Hieraus lässt sich noch eine Formel herleiten, die für n = 1 in der Theorie der elliptischen Functionen (namentlich bei Anwendungen derselben) von grossem Nutzen ist, nämlich:

P(x) s/B(d)^ dx F(.a) \1ЩР)) x-a

=>M

(40.) e

PH

«Stt-l

a

— 2 % Al (wv...)

Al(mx + wt, ...)

A1K, ...) A1(m,, ...)

Für n — 1 dient z. B. dieser Ausdruck dazu, um leicht zu den Formeln zu gelangen, durch welche Jacobi die Rotationsbewegung eines festen Körpers darzustellen gelehrt hat.

5.

Zur wirklichen Darstellung der Functionen Al(wl5...), Al (uy, .. ,)a gelange ich nunmehr auf folgende Weise.

Zunächst entwickle ich die Relation

(41.)

Al(u₁ + 2K₁, ...) = {-l)ae a

— 22 Ja (W'a + K(x )

In dieser Gleichung setze ich sodann ux + 2Ff statt ux u. s. w. Dies giebt

Al («, + 2K, + 2K, ,...) = (- l)“+f e ⁰

— 22 [(Ja+da)(ua+Ka+ Ka)+KaJa—KaJa]

•A1(m.....).

Vertauscht man jetzt a und ß mit einander, so zeigt sich, dass

aß aß

— 22 (IT,, Ja—JaKa~) e a

aß aß

2 2(Kaja-jaKa)

sein muss. Hieraus folgt, dass

a ß a ß a

ist, wo ft eine ganze Zahl bedeutet. In der That finde ich durch eine directe

aß aß

aus-

Untersuchung der bestimmten Integrale, durch welche Ka, Ka1 Ja, Ja gedrückt werden:

(42.)

+ \m, wenn a > ß, — j-ni, wenn cc c ß.

Aus dieser Relation leite ich dann die folgenden ab :

~ "Л.с Vi.cO —

= o,

(43.)

J'lt-J'b.cKLA — 0, wenn c’^c,

a

Diese Relationen, deren Anzahl gleich (2n — l)n ist, entsprechen der bekannten Legendre’schen Gleichung zwischen den ganzen elliptischen Integralen erster und zweiter Art. Ich habe den Beweis derselben in einer Programm-Abhandlung (Braunsberg 1849) veröffentlicht, in welcher ich zugleich über die Resultate, zu welchen ich in der Theorie der Abel’schen Functionen gekommen bin, einige vorläufige Notizen gab, mit der Anzeige, dass ich diese Resultate in einer ausführlichen Schrift darzustellen gedenke; ein Vorhaben, dessen Verwirklichung durch eine Krankheit, die mehrere Jahre lang mich der Arbeit völlig entzog, bisher vereitelt wurde.

Mit Hülfe der aufgestellten Relationen kann man nun aus der Gleichung (41.) folgende zwei allgemeinere Gleichungen herleiten.

Es sei wieder

u)a — m,    , -f- ш₂ Ka< a 4* • • • F mn -K"0) H

wa = ni    i + п2^а>2 + Ь ПД0,»

und

(44.)

(unter ntj, tttj, ..

ea = nü Jai + m₂ Ja,₂ + -‘’ + mn*7’0tn

ea ⁼⁼    «1^0,1 + ^2 ^a, 2 F ‘ " F t7₀, n

.. beliebige ganze Zahlen verstanden).

Dann hat

man

-22ea(tta + wa)

e ⁰

-22£a(ua + w'ai)i e а

Al(w,+ 2to1} ...) =

Al(w₁ + 2(ü[i, ...) =

und erhält mittels (17.) ähnliche Formeln auch für A1(wi5 ...)a.

Ich führe jetzt statt    ... un n andere Veränderliche vt, v₂, ... vn ein,

mittels der Gleichungen

(45.)

.Al(w1? ...)

(46.)

u₂ =

^ (АГ₁₍₁ vx + KU2 v₂ + • • • + AT1W vM) ~ (-^2,i “b A2i2 v₂ + • • • ~b A"2jM vh)

Aus denselben mögen sich

(47.)

(^i,i ~b £^2,i w₂ + • • • + Grn l ww) Tr ■У₂    (^1,2 ^X "b G^2,2 ^2 "b ‘ * "b ^n,2 M«) ⁷⁷

"b G^2,M^2 + ••• + Grn>nUn) 7Î

ergeben. Sodann leite ich aus den Gleichungen (43.) die folgenden ab:

2 G~a, c *^e't c c

(48.)

(49.)

а, с'

= Se,lC/.,„

= 2в,Лс.

а

Setzt man daher

£a, c

(50.)

<*«,c =

so hat man

°o,c

°-M

а, c' v c, c' » c',a *«r,c • ⁷¹ >

.7Г,

(51.)

£а, с    £c, а >

und die obigen Relationen geben

*a,c = à

c ,a>

^а,с    ?ЧД,С

c

^a.c    T’^a.c'b ЕчДс'.о

*L« = Ü^C^.e-

ZUR THEORIE DER ABElfsCHEN FUNCTIONEN.

Bildet man nun ferner die homogene Function zweiten Grades von w, w,

2 £a, c ua uc > a,c

E(uv u₂, ...) =

so lässt sich mit Hülfe der vorhergehenden Gleichungen zeigen, dass

(53.)

ist. Hieraus folgt vermöge der ersten Gleichung (45.), wenn man

(54.)

JE(uv w₃, ...)

Al(u₁, u₂, ...) = Jc(v„ ...)

setzt, wo ^ eine Constante bedeutet:

(55.)

Jc^* 2тхтг, г>₂ + 2т₂тс, ...) = Jc(vn v₂₎ ...).

Ich nenne diese Function von vx1 v₂, ... die Jacobi’sche, weil sie für n — 1 von Jacobi in die Analysis eingeführt ist. Diesem Namen entsprechend ist das Zeichen Je angenommen.

Die zweite der angeführten Gleichungen giebt aber, wenn

а, и

da — nx da>1 + n₂ da>2 -1-----Ь Пн â

gesetzt wird :

(56.)

Jo(v₁+2d₁i, v₂ + 2d₂i, ...) =

Nun lässt sich beweisen, dass jede Function, welche die in (55.) ausgesprochene Eigenschaft und überdies, gleichwie Jc(v1? ...), den Charakter einer ganzen Function hat, wie ich denselben oben erklärte, durch eine unendliche, nicht nur für reelle, sondern auch für alle imaginären Werthe von ui? V , ... convergirende Reihe von der Form

g(«i ®i + n>»₈ + .•• + !!„ !>n)*J

sich darstellen lässt, in welcher Formel ni? ti₂, ... Itn veränderliche ganze Zahlen bedeuten, deren jede, unabhängig von den übrigen, alle Werthe von — oo bis too zu durchlaufen hat. Für die Function Je giebt die Gleichung (56.) die Bestimmung der Coefficienten, und man erhält

JC (v V ) — g Ieini(vi + 0 + n2(®a + <MH-----<-Ий(®» + ^»»)3*|^

S\A

Ии tt₂) • • •

(67.)

oder auch

(58.)

Jc(v„ va, ...) = S e a-c

COS(niV₁+H₂V₂+---+nwVn)J.

Eigentlich wäre der Ausdruck rechts noch mit einer willkürlichen Constante multipliciren ; was aber wegen der willkürlichen Grösse g unterbleiben kann. Der Coefficient g in (54.) wird dadurch bestimmt, dass für ux = 0, un = 0 Al(wl5 ...) = 1 wird. Hiernach findet sich:

zu

w₂ =

0, .

(59.)

Al(m₁ , wt, ...) =

-E(un ui}...) Jc(vltvaf ...)

■ Je(0, 0, ...)

К = IXawc)*

c

Für die Functionen Al(wx, w₂, .. .)a erhält man ferner, mit Hülfe der Gleichungen (35.), folgende Ausdrücke. Es sei

Ад Aai j + g2 Aa, 2 J ' ' ' 4* A

- (*, A',, + V₂ K,2 + • • * + *пКп) * ł

jede der Zahlen ^₂, ..., vl5 v₂, ... entweder gleich 1 oder gleich 0 ist und mittels der Formeln (15.) gefunden wird. Ferner sei

<?a =    +

WO

so ist

a,n

a, и i

,..)a = /?¹'a(Va    ^(у-ргс_+<М> ...)

Es ist aber, wenn ^ + fu, v₂ H-----t gnvn — Я gesetzt wird und

I. Я ungerade ist:

(60.) e

(61.)

II. Wenn Я gerade ist:

Jo(vt — f^icF dp, ...)

„ „ .    „    -2(Па+^а)(Пс + 4^с)⁵а,с

—    -----г ß a,c

Setzt man ferner

(62.)

. cos

al (Mj , Wj , • • •)al ß

Al(wu w„ ...)

so giebt der Ausdruck rechts in der Gleichung (60.) den Werth von

еЕ(-ы‘’-}АЦии.

wenn man

тН

für jede der Zahlen    f*₂, v₂ u. s. w. die Summe derjenigen

beiden Werthe setzt, die ihr für a und für ß zukommen.

Führt man statt г>₈, ... wieder ua1 ... ein, so erhält man noch folgende bemerkenswerthe Ausdrücke.

Es sei

wo dann

= o>eł

Ч = °»

2П-2

ша = «>а »    • • • »

1 2 Ч = wa J

2 П-1

°>a = ша, “а =

2П—1

••i Ч =

2С-1

ша---Ч с + А₍

a,c+i

+ - + А,

а, м

2С ч = А')С

ist. Ferner sei

aû    aa,i F П₂ад₎₂ +•••+ Виоа,и,

so ist

wa — И, Aa' 1 + Jî2 Ад, 2 H-----fit* Ад, и,

Sje

— 2(аа+г-аа)(ша + {-и>'а)

.cos[S(aa + { aa) К- Ч)] j

Sje “

—2«а«*а

. COS I Од Мд I

°а> wa

..5 аа aber bedeutet denjenigen Werth von oa, den

Das Zeichen S bezieht sich wieder auf die in den Ausdrücken enthaltenen Zahlen и1? tt₂, . man erhält, wenn man für n1? n₂, ... die Werthe nimmt, welche w'a gleich Ą machen. Und wenn man in dem vorstehenden Ausdrucke an die Stelle von Од, wa, а>'₀ die Summen

P « p

За+Са> ша+ша, «а + <»а

setzt, so stellt er die Function    w₂, •..)«,« dar.

an-

Aehnliche Darstellungen der Abel’schen Functionen, wie die hier gegebenen, existiren noch unzählig viele. Namentlich giebt es, wie bei den elliptischen Functionen, noch eine Darstellungs-Art, bei welcher an die Stelle der cyklischen Functionen sin, cos die entsprechenden hyperbolischen

treten. Sodann habe ich in meiner Abhandlung auch ausgeführt, wie sich jeder aus Abel’sehen Functionen auf rationale Weise gebildete Ausdruck als Quotient zweier Reihen von ganz ähnlicher Form darstellen lässt; und dadurch zugleich die Transformation der Abelschen Functionen vorbereitet.

Saline Westernkotten in Westfalen, 11. September 1853.

Anmerkung des Herausgebers des Journals für reine und angewandte Mathematik : Die schliesslichen Resultate des Obigen finden sich auch schon in einer Gelegenheitsschrift des Verfassers, datirt vom 17. Juli 1849.

ANMERKUNG.

*) Diese Stelle (vom Anfang des § 8 an) hätte einer präciseren Fassung bedurft. Vgl. die (für einen folgenden Band bestimmte) Abhandlung „Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze“, wo in § 5 ein allgemeiner Satz begründet wird, aus dem die Richtigkeit des hier Behaupteten sich ergiebt.

ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN.

(Aus Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 51.)

Einleitung.

Bezeichnet man, unter и und x unbeschränkt veränderliche Grössen, unter у aber zunächst eine positive ganze Zahl verstehend, die durch das Product

ПО + vx)

' = о

dargestellte Function von «, x, у durch f{u, «г, у), so gelten die nachstehenden, zum Theil schon von Vandermonde¹) und vollständig zuerst von Kramp²) aufgestellten Gleichungen, in denen y' auch eine positive ganze Zahl, к hingegen eine willkürlich anzunehmende Grösse bedeutet:

f(u,x,y + yr) = f(u,x,y)f(u + ijx, x,yr), f(u, X, 1) = u, f(ku, Tex, y) = 7cyf(u, x, y), f(u,x,y) = f(u + yx-x,-x,y), f(u,0,y) = uy.

Die in den drei ersten dieser Gleichungen ausgesprochenen Eigenschaften der betrachteten Function sind den durch die Gleichungen

уУ+l/ _ иУиУ ,

и¹ = и,

("kuf — ку иу

(а)

(Ь)

(с)

(d)

(е)

ausgedrückten Eigenschaften der Potenz in welche f(u,x,y) für x — 0 übergeht, so analog, dass die genannten Mathematiker sich berechtigt hielten, die Existenz einer analytischen Function f{u,x,y) anznnehmen, welche für jeden positiven ganzzahligen Werth von y durch das obige Product dargestellt werde, aber ebenso wie die Function uy für beliebige Werthe von y eine Bedeutung habe und den Gleichungen (a) bis (e) genüge. Für diese hypothetische Function schlug Kramp die Benennung »Facultät« und die Bezeichnung

uylx

vor; и nannte er die Basis, x die Differenz und у den Exponenten der Facultät. Der von ihm unternommene Versuch jedoch, eine Theorie dieser Function aus den vorausgesetzten Eigenschaften derselben abzuleiten, ist längst als ein gänzlich verfehlter erkannt. Eine Function, wie sie sich Kramp unter uy,x vorstellte, giebt es gar nicht; denn die Gleichungen (a) bis (e) sind nicht mit einander vereinbar, wenn у keine ganze Zahl ist. Ausserdem hat

Kramp bei seinen Deductionen den Fehler begangen, dass er aus der Gleichung (e) schloss, es sei

Lim uyx —

X=0

in welcher Weise auch x sich der Grenze Null nähern möge — eine Annahme, die sich als unzulässig herausstellt, wie ich im Folgenden (§ 2) zeigen werde.

Ungeachtet der Unhaltbarkeit der Kramp’sehen Facultäten-Theorie wurde indessen der Grundgedanke derselben, angemessen modificirt, von anderen Mathematikern als Ausgangspunkt für neue Untersuchungen aufgenommen.

Bessel*) suchte die Widersprüche, in welche Kramp sich verwickelt hatte, dadurch zu vermeiden, dass er zur Definition der Facultät utAx von den obigen Gleichungen (a) bis (e) nur die erste, zweite und vierte benutzte:

(f)

u,

uy+y= u*]x(u + yxf'x, ullx =

(g)

uyx — {u-\-yx — x)y'[~x, ausserdem aber, seine Untersuchung auf reelle Werthe der Veränderlichen

*) Königsberger Archiv für Naturwissenschaft und Mathematik, Jahrg. 1812, St. 3.

I.

u, x, y beschränkend, festsetzte, es solle

uylx

(h)

Lim

= 4-00

uy

sein, mit der auch im Folgenden festzuhaltenden Bedingung, dass der Potenz u1J, wenn и positiv ist, ihr reeller Werth beigelegt werde.

Diesen Bestimmungen gemäss ergab sich ihm:

uylx =

(k)

Lim ! (nx)v Pf f

n—œ'    r—o\

U + VX

wenn X positiv

U + yx + vx

и + yx — vx u — vx

Durch diese Formeln wird nun in der That für alle reellen Werthsysteme der Grössen гг, #, у (mit Ausnahme derer, in welchen x = 0 ist) eine Function uyx definirt, welche die in den Gleichungen (f), (g) ausgesprochenen Eigenschaften besitzt und zugleich, worauf Bessel Gewicht legte, stets einen reellen Werth hat.

Gegen diese Bessel’sche Definition der Facilitât ist aber Folgendes einzuwenden. Die Ausdrücke auf der Hechten der Gleichungen (k), (1) sind beide — unter der Bedingung, dass vom Gebiete der Veränderlichen x der Werth x — 0 ausgeschlossen werde — analytische, für beliebige (complexe sowohl als reelle) Werthe der Veränderlichen гг, x, у definirte Functionen. In der Bestimmung, dass uy'lX für positive Werthe von x durch den ersten Ausdruck — zu welchem man mit Nothwendigkeit gelangt, wenn man von den Gleichungen (f), (h) ausgeht —, für negative Werthe von x aber durch den zweiten Ausdruck, der eine ganz andere Function ist als jener, dargestellt werden solle, liegt also eine Willkürlichkeit, die ebenso wenig zu recht-fertigen ist, wie wmnn man z. B. log# für positive Werthe von x auf die gewöhnliche Weise definiren, für negative aber log# = log(—#) annehmen wollte. *) Auch wüsste ich nicht, nach welchem Princip man verfahren sollte, um die Bessel’sche Definition von u-Ax auf complexe Werthe von # auszu-

(1)

uy'x = Lim

71 ~ CO

\{-nx)yYl[

I    » = i \

wenn x negativ ist.

*) Mit Anwendung der in der Abhandlung-„Zur Functionenlehre“ eingeführten Terminologie würde ich mich jetzt so ausdrücken: Die von Bessel definirte Facultät иУ[Х ist keine monogene Function ihrer Argumente; die beiden Ausdrücke, von denen der eine sie für positive, der andere für negative Werthe von x darstellen soll, sind Zweige zweier verschiedenen analytischen Functionen. (Anmerkung vom Jahre 1886.)

Ein Uebelstand ist es ferner, dass die obige Gleichung (c) für Bessel’s Facultät nur gilt, wenn к eine positive Grösse ist, während doch die Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung auch für negative Werthe von к bestimmte Werthe haben.

dehnen.

Abweichend von Bessel hat Grelle³) von den obigen Gleichungen (a) bis (e) die drei ersten als die Grundgleichungen hingestellt, aus denen sich die ganze Theorie der analytischen Facultäten ableiten lasse. Dies ist aber keineswegs der Fall; denn die genannten Gleichungen sind zwar, wie im Folgenden (§ 1) nachgewiesen wird, mit einander vereinbar, reichen aber zur Bestimmung der Function f(u, x, y) gar nicht aus.

Es sei nämlich fx{u,x,y) irgend eine bestimmte, den in Rede stehenden Gleichungen genügende Function, so werden die Gleichungen (a), (c) auch befriedigt, wenn man, unter cp(w) eine willkürlich anzunehmende Function von и verstehend,

?( +2/)

Damit nun f(u, x, у) auch der Gleichung (b) genüge, braucht die

setzt.

Function cp(w) nur so angenommen zu werden, dass

*£⁺¹) = ł®

oder für jeden Werth von и

<P (и + 1) = 9 (и)

ist; man kann also z. B. für cp (u) eine willkürliche Function von cos(2wtc) und sin(2wTC) nehmen.

Es giebt hiernach unendlich viele Functionen f(u, x, y), welche den Gleichungen (a), (b), (c) genügen.

Wenn also Grelle aus diesen Gleichungen allein völlig bestimmte Darstellungen einer denselben genügenden Function f(u, x, y) abgeleitet hat, so sind dabei notbwendig Fehler von ihm begangen worden, die er nicht wahrgenommen hat. Die Quelle dieser Fehler findet sich in § 8 der Abhandlung angegeben.

Von den späteren Bearbeitungen der Facultätenlehre führe ich noch die von Ohm⁴) und Ö t ting er⁵) herrührenden an.

Ohm definirt die Facultät w²'1⁴, auf reelle Werthe der Grössen и, л?, у sich beschränkend, zunächst für (positive und negative) ganzzahlige Werthe von y} und gelangt dann zu dem Ausdrucke

für [U = "^⁰⁰’ wenn x positiv,

— oo, wenn x negativ ist.

uyx = Limj(w;r)³

n\x

11

unlx (u + ijx)

Diese Definition von uy'x stimmt vollkommen mit der Bessel’schen überein, so dass etwas Weiteres darüber zu bemerken unnöthig ist.

Öttinger’s Begründung der Facultäten-Theorie muss als eine ebenso verfehlte wie die Kramp’sche bezeichnet werden. Auch Öttinger hat es für überflüssig gehalten, genau zu definiren, was unter einer Facultät mit einem nicht ganzzahligen Exponenten zu verstehen sei, und kein Bedenken getragen, derselben alle diejenigen Eigenschaften beizulegen, die ihr zukommen, wenn der Exponent eine unbestimmte positive ganze Zahl ist. Das Auffallendste aber ist Folgendes. Es lässt sich eine Beihe von der Form

«S(l + (2l)Ą+ (s).£ +(9):

—Г + ••

w³

•)

wo (у)ii (Л? Ó0₃1 ••• ganze rationale Functionen von у sein sollen, wie schon Kramp ausgeführt hat, so bestimmen, dass dieselbe für jeden positiven ganzzahligen Werth von у gleich

TI (M + vx)

V = 0

ist. Öttinger hat nun diese Keihe für beliebige Werthe von у als Ausdruck der Facultät uylx betrachtet und häufig Anwendung davon gemacht, ohne zu ahnen, dass diese Beihe, wenn у keine positive ganze Zahl ist, niemals con-vergirt (§ 7 der Abhandlung), also jedes mit ihrer Hülfe erhaltene Ergebniss nothwendig, wenn nicht unrichtig, doch jedenfalls unsicher ist.

Aus den vorstehenden Bemerkungen erhellt zur Genüge, dass die Theorie der analytischen Facultäten, so vielfach dieselbe auch schon behandelt worden ist, noch immer an wesentlichen Mängeln leidet. Diese darzulegen und beseitigen, ist der Zweck des vorliegenden Aufsatzes.*)

¹

Siehe die Abhandlung : Mémoire sur des irrationelles de diff. ordres. (Mém. Par. 1772.) Vandermonde betrachtet nur die Function    — von ihm durch [м]у bezeichnet — auf die er f(u,x,y)

reducirt; es finden sich daher bei ihm die Gleichungen (c), (d) nicht ausdrücklich angegeben.

²

In einem Abschnitt der Schrift: Analyse des réfractions astronomiques et terrestres, 1798.

20

³

Theorie der analytischen Facultäten, 1824.

Mémoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques, 1831. (Ursprünglich im 7. Bande des Crelle’schen Journals erschienen.)

⁴

Crelle’s Journal, B. 39.

⁵

Ebend. B. 33,35,38,44.

zu

1.

Ich beginne mit der allgemeinsten Bestimmung derjenigen von drei Veränderlichen w, л?, y abhängigen Function f(u, x, у), welche den von Crelle aufgestellten Gleichungen

(1.)

(2.)

(3.)

f(u, x,y + Je) — f(u, X, у) f(u + yx, X, Je) f(ku,kx,y) = Jevf(u,x,y) f(u, X, 1) = и

Genüge leistet.

so er

Vertauscht man in der ersten Gleichung у und Je mit einander

hält man

f(u, x,y + Je) — f(u, X, Je) f{u + Jex, x, y) und wenn man hierin и—Jex für и setzt,

f(u — Jex, x, у + Je) _

f(u,x,iy) =

woraus ferner, indem man u—Jex = wx, also Je == w setzt

f(u — Jex, x, Je)

f{ivx, x, ~ + y — ги\

f(u,x,y) =

f(wx, X,

*) Der Leser wolle bemerken, dass die vorliegende Abhandlung bereits im Jahre 1854, und zwar auf den ausdrücklichen Wunsch Crelle’s, dem ich meine Bedenken gegen seine Theorie der Facultäten mit-getheilt hatte, geschrieben ist, nachdem ich einen Theil ihres Inhalts schon im Jahre 1843 (als Beilage zum Jahresbericht des Progymnasiums zu Deutsch-Crone) veröffentlicht hatte. Obwohl die Theorie der analytischen Facultäten in meinen Augen durchaus nicht die Wichtigkeit hat, die ihr in früherer Zeit viele Mathematiker beimassen, so habe ich doch die Abhandlung jetzt wieder abdrucken lass*en, weil sie manches enthält, das auch gegenwärtig noch, wie ich glaube, angehenden Mathematikern von Nutzen sein kann. Wesentliche Veränderungen habe ich nicht vorgenommen; nur die Einleitung ist neu bearbeitet worden, weil es mir zweckmässig erschien, auf den Inhalt der kritisirten, heutzutage nicht Jedermann mehr zugänglichen Schriften etwas ausführlicher als ich es früher für nöthig gehalten, einzugehen. (Anmerkung vom Jahre 1886.)

und sodann, mit Anwendung der zweiten Gleichung,

(4.)

f(u,x,y) = xy •

+ y- w)

w)

folgt.

Legt man jetzt der willkürlichen Grösse w irgend einen bestimmten Werth bei, und setzt

(5.)

so erhält man:

(6.)

*■(£+*)

f(u,X,y) = Xy--—T—

Umgekehrt erhellt, dass jede Function Дм, a?, ^), die, bei ganz willkürlicher Annahme von jF(«), durch diese Formel bestimmt wird, den beiden ersten der obigen Gleichungen Genüge thut. Denn es ergiebt sich aus (6.):

rQ .,+»)

f{u,X, y + JĆ)= X,J+k‘

SS §

ss §

F ^u + yx'j

sowie ferner

= f(u,x, y) f(u + yx,x, Je)

f(Jcu, Jex, y) — (lexy ■

, F{ +v)

g I SS

= Jc1Jf(u,x,y).

Damit nun auch die dritte Gleichung befriedigt werde, ist nöthig, dass

f{u,x, 1) =

X-

f( fl)

—^ ,    ■ ■ ■■ = и

SS I SS

oder

ÎL.F

sei; woraus,

wenn man их statt и setzt, die Relation F(m + 1) = uF(u)

folgt. Man sieht sofort, dass eine Function, welche dieser Gleichung genügt, die Legendre’sche Г (гг) ist,¹) und dass man, um den allgemeinsten Ausdruck von F{ii) zu haben,

F(u) = 9 (и) Г (гг)

setzen muss; wo unter 9 (гг) eine periodische Function zu verstehen ist, welche unverändert bleibt, wenn и in и +1 übergeht. Ohne aber hinsichtlich der Theorie der Г-Function irgend etwas vorauszusetzen, kann man folgender-massen fortfahren.

Aus (7.) folgt, wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet:

F(u + ri) = и (гг + 1) (гг + 2)... (гг + гг — 1) F (и), und hieraus, wenn w —1 statt гг, und 1 statt и gesetzt wird:

F(n) = 1.2 ... (гг—1) JP(1)

also

Ш -

F(u)

F(n)

и_\ __

n — lj F(u + n)

Nun ergiebt sich aber aus den Sätzen über die Convergenz der unendlichen Producte, die ich im Folgenden zusammenstellen werde, dass sich eine Function ф (гг) der positiven veränderlichen Zahl гг, falls гг ohne Ende wächst, einer bestimmten endlichen Grenze nähert, wenn der Werth von

гг²

(-Ш—А

U(n-1) V für гг = ос nicht unendlich gross wird. Setzt man nun so ist

ty(n — 1)

und man sieht, dass zwar nicht ф(гг), wohl aber гг~мф(гг) für гг = oo einen bestimmten endlichen Werth annimmt, weil für hinlänglich grosse Werthe ist, so hat man: und es hat das unendliche Product

7i+-

a = + oo

и. П

Da nun ferner

( n~uty(n)    \

\(w —1)—г‘<\)(п — 1) /

u(u — 1).

n-U

von n

n~u 4» (n)

(-^MM

и и (и — 1)

1.2. n²

и (и — 1)

1.2.П*

ist, für n — со also

а +1

einen endlichen, bestimmten Werth, welchen (reellen oder imaginären) Werth auch и haben möge. Ich möchte für dasselbe die Benennung »Factorielle von u«. und die Bezeichnung Fc(u) vorschlagen, indem die Anwendung dieser Function in der Theorie der Facultäten dem Gebrauch der Г -Function deshalb vorzuziehen sein dürfte, weil sie für keinen Werth von и eine Unterbrechung der Stetigkeit erleidet und überhaupt, gleich den einfachsten tran-scendenten Functionen eu, sinw, cos u u. s. w. im Wesentlichen den Charakter einer rationalen ganzen Function besitzt, so dass sie z. B. auch nach ganzen positiven Potenzen von и in eine beständig convergirende Reihe entwickelt werden kann.

Nun ist

(м+1)Л+^±1)(

м + n / u + l\ 2 )'”[ ⁺ n-l)

и \

n-l)

mithin, wenn man n = +oo setzt:

Fc (и +1) _

Fc (u)

oder

(8.)

Fç(u) = u.Fc(u + 1).

Verbindet man diese Gleichung mit der obigen (7.), so erhält man Fc (u) ,F(u) = Fc (u + 1). F(u + 1) ;

wenn

d. h. es ist Fc(u).F(u) eine Function von m, die sich nicht ändert w + 1 statt и gesetzt wird. Bezeichnet man daher eine solche Function durch cp (w), so ergiebt sich

Fin) =

? 0)

Fc(u) ’

und es wird daher der allgemeinste Ausdruck einer Function f(u, oc,y), welche die Gleichungen (1.), (2.), (3.) befriedigen soll, durch die Formel

(9.)

f(u, X, у)

, Fc&) ?№+y)

Cb

gegeben, wo

(10.)

Fc(u)

ja!

55

+ 55

г—i

tH

55 I §

ist, und <p(w) eine beliebige Function von и bedeutet, für welche die Relation

(HO

<р(м + 1) = <p(w)

gilt. Wenn у eine ganze Zahl ist, so fällt cp aus dem Ausdrucke von /*(м,л?,y) weg.

2.

Nach dem Vorstehenden ist es zur vollständigen Definition von f(u, x, y) nothwendig, den obigen drei Grundgleichungen noch eine neue Вedingung hinzuzufügen, durch welche die Function <p(w) bestimmt wird. Ehe ich aber dieselbe aufsuche, muss ich auf eine, allen Functionen, welche den Gleichungen (1.), (2.), (3.) genügen, gemeinsame Eigenthümlichkeit aufmerksam machen, aus deren Nichtbeachtung in mehreren der bisherigen Darstellungen der Facultätenlehre erhebliche Irrthümer hervorgegangen sind.

Man hat zur Bestimmung von f{u, x, y) unter anderen folgenden Weg eingeschlagen. Es ist (gemäss (1.), (3.))

f(u,x,y + l) — f{u,x,y) f(u + yx,x, 1) = (u + yx).f(u, x, y), f(u,x,y + l)=f{u,x,l)f(u + x,x,y) = u.f(u-\-x,x,y)

und daher

(12.)

f(u,x,y) = —^—-^{и + Х)Х,у)-woraus man, indem man u+x, ил-Ix, w + Ъх, u. s. w. statt и setzt, weiter

(13.)    f(u,x,y) =

и {и + x) (и + 2х) ... (и Л- (п — 1) х)

(и + ух) (и Л- ух л- х) ... (и + ух Л- (п — 1) х)

•f(u + nx,x,y)

Setzt man ferner in

folgert, wo п eine ganze positive Zahl bedeutet, dieser Formel u — nx statt u, so erhält man

(u + yx — x)(ил-ух— 2x)... (u + yx — nx)

• f(u — nx,x, y).

(14.) f(u,x,y) = Nun ist aber

(и — x) (u — 2x)... (u — nx)

(15.)

Fc{u) =

Lim \n~u •

П = CO V

и (и + 1) (и + 2)... (и + n — 1)

1.2 ...(л — 1)

also, wenn unter w eine beliebig anzunehmende Grösse verstanden wird

(16.)

Ц- = Lim « *

Fc

n = co

--⁺¥ w(w + x)(u + 2x) ... (и Л-(п— l)x)

w (w Л- x) (iv + 2x) ...{w-\-{n — Ï) x)

woraus

wenn man w—x statt u, u — x statt w, —x statt x setzt,

Fc

(17.)

К)

Fc

(‘-S

j. i    (w — x)(iv—2x) ...(w — nx)

(    (w — x) (u — 2x) ...(u— nx)

folgt. Hiernach geben die Gleichungen (13.), (16.), wenn man w = u+yx setzt

Fc

(18.)    f(u,x,y) =

Fc

(»

• Lim [ n y. f(u +

nx, X,

H = 00

y)\

und die Gleichungen (14.), (17.):

(19.)

Fc

I¹- ) ■

fc I 8

•Limjw y.f(u — >1=00

Bis hierher sind nur die Gleichungen (1.), (3.) angewandt. Mit Hülfe der zweiten ergiebt sich ferner, da

f(u + nx,x,y) = {u + mf

(u — nx)y.f( 1, ——

¹    \ u — nx

f(u — nx, X, у) =

y)

y\

und

ist:

(20.)

(l + —)* = X

\ nx)

Lim {n y (u + nxf I =

W = CD

Lim\n~y{u — nx)y\ = (— x)y. Lim ( 1——'j = (—ж)

fi ~~~ 00    И zsz CD \    /УЬ0С J

xy. Lim

n =oo

Fc

f(u,x,y) = xy •

Fc

а fc

+y)

und

(21.)

fht,x,y) = (-xf-

, Ч--Н

Fc

(-Э

у / ж

—-•Lim/’fl, —-к H = oo \ U — nx

y\

Setzt man x = 0, so können die Gleichungen (1.), (2.), (3.), die dann in

f{u,0,y + K) = f(u, 0,y)f(u, o,1c), f(Jcu, 0, y) = &V(m, 0,y), f(u, 0,1) = u

übergehen, nicht anders befriedigt wrerden, als wenn man

f(u,o,y) = uy

annimmt. Könnte man hieraus folgern, dass f(u,x,y), wenn x seinem numerischen Werthe nach beständig abnimmt, sich unbedingt der Grenze uy nähern

müsse, so würde die Gleichung (20.)

(22.)

Fc

e)

Fc

Die Gleichung (21.) würde, unter derselben Voraussetzung,

geben; was mit dem vorhin Bewiesenen, dass Дм,л?,^) durch die Gleichungen (!•)> (²-)j (3.) allein nicht bestimmt sei, im Widerspruch steht. Aber noch mehr.

(23.)

Fc

geben, und es müsste

Fc

Fc

Fc(l

Fc

(-7

y)

— = X

Fc

Fc

( *>)'

кма

= (-1)

sein; was ein offenbar falsches Resultat ist, wie schon daraus erhellt, dass für и = X der Ausdruck links die Form -J- annimmt, sobald у keine ganze Zahl ist.

Da die Gleichungen (20.), (21.) strenge Folgerungen aus den Gleichungen (1.), (2.), (3.) sind, und dieselben wirklich befriedigt werden, wenn man für f(u,x,y) irgend eine der durch die Formel (9.) gegebenen Functionen annimmt: so kann der hervorgetretene Widerspruch nur in der Voraussetzung seinen Grund haben, dass sich f(l,<r, y), wenn der numerische Werth von x unendlich klein wird, unbedingt der Grenze 1 nähere. Diese Annahme ist also unstatthaft.

Dies lässt sich aber auch direct folgendermassen nachweisen.

Setzt man, unter w eine positive reelle Grösse verstehend, in der Formel (9.) wx statt и, und wendet die Relation (2.) an, so erhält man:

? (w + y)

(24.)

= ÏJ.

Fc(w)

wy .Fc (w 4- y)

<?(w)

Setzt man aber — sc statt sc und darauf wsc statt u, so ergiebt sich:

-w’V

Fc (— w)    cp (— w + y)

. Fc (— w + y)    cp (— iv)

In Folge der Formel (10.) ist aber

Fc (u).Fc(-u) = —u.u

TC

'=+“/H    w²\

Д ( v)

sin (wtt)

— II

oder, weil Fc(u) = и. Fc (w + 1) ist :

(25.)

Fc (— u) =

sin (ггтс)

daher ist

TT Fc (1 -+• u) ’

(26.) f[l

_1_    \ _ г ул, Fc(t + iv — y) sin (wF)

w ’ V ^    ivyFc(l + w) sin (iv — y) iż

o(-w)

oder, wenn man

(-i)M

sin (mtc)

cp(-tt)

= <KM)

setzt, wo dann 4*(w), eben wie cp (гг), die Eigenschaft hat, dass

ф(и + 1) = c|*(и)

ist:

= l²'.

(27.)

Fc(l + w — y) ty(tv) wyFc{l + iv)    ty(w — y)

Nun hat man ferner:

(28.)

wenn n

Fc (и) = и (и + 1) (и + 2)... (м + п — 1). Fc (и + п),

Fc(l) = 1.2.3... (п — 1). Fc (»),

eine ganze positive Zahl bedeutet. Nach (10.) ist Fc( 1) = 1, also

и (и +1)... (и + n — 1) #

1.2...(»-!)' ’

Fc (n)

Fc (u + n)

•Fc(u) =

woraus

mit Berücksichtigung von (15.),

(29.)

Lim !

n = cd l

Fc (и)

folgt.

nu Fc [n + и)

Es sei nun n die grösste in iv enthaltene ganze Zahl, und w — n + w, so hat man:

Fc(w)

wnFc{w + u)

_ /_Fcjn)_ Fcjn) \ fiv'+n\

\nH+wFc{n + w'+ u) nw Fc{w'+ n)J \nJ

Fc (w)

mithin nach (29.)

(80.)

Ebenso ist, weil

w=+к 1 w Fc (iv -J⁻ u)

= 1.

ist

(31.)

Fc(l + w — u) iv‘Fc (1 + w)

Fc{\ + w)

(l + w) u .Fc{l + w — n)

)■№'

Lim

w = +œ

Fc( 1 + w — u)

ivn Fc (1 + w)

folglich, gemäss (24.), (30.) und (27.), (31.):

(32.)

— ly Lim

2V = + 00

cp (W + y)

= ly Lim

Es sind aber    und

<p(w)

'p(w)

beides periodische Functionen w, und können als solche, wenn w ohne Ende zunimmt, keiner bestimmten

Ф (w~y)

von

Grenze sich nähern, wenn sie sich nicht etwa auf Constanten reduciren. Soll dies für jeden Werth von y geschehen, so müssen cp(u) und ф(ад) selber von и unabhängig sein. Das ist aber, weil

ł(*0 = (-¹)

„ sin (mz)

<p(-w) ist, für beide gleichzeitig nicht möglich. Mithin können sich die Functionen

f{l,x,y) und f( 1,-X, у),

wenn x unendlich klein wird, in keinem Falle beide einer bestimmten Grenze nähern.

3.

Aus dem Vorhergehenden ist zugleich zu ersehen, dass man eine Bestimmung der Function cp (гг), wTie sie zur vollständigen Definition von f(u,x,y) noch nöthig ist, erhält, wenn man festsetzt, es solle sich f(l,x,y) entweder für einen positiven, oder für einen negativen Werth von x, wenn derselbe ohne Ende abnimmt, der Grenze ly nähern. Eine dieser Annahmen ist nothwendig, wenn die Analogie der Facultäten mit den Potenzen so viel als möglich behauptet werden soll.

Bei der ersten Annahme muss sich cp(w) auf eine Constante reduciren; und wenn man die Function, in welche alsdann f(u,x:y) übergeht, mit Crelle durch (w, + bezeichnet, so hat man:

Fc

(33.)

(m, + x)¹' = Xy ‘

Fc

(H

Hiernach bedeutet (m, + x)y eine Function von w, x,y, welche den Glei

chungen

?/+£

= (u, +xf (ti + yx, +xf

(34.)

(u, +x)

(Im, + kx)v — hv(u,+x)

(г*, 4-я)¹ = и

genügt, und zugleich die Eigenschaft hat, dass sich (l, 4-#)?/ der Grenze l*

nähert, wenn л?, stets positiv bleibend, ohne Ende abnimmt.

eine Constante sein.

Bei der zweiten Annahme muss ф(м) = (— 1)

« sin(wTt)

cp(-M)

Dann hat man:

Fc

f(u,-X, y) — (-xf-

(-Э ’(-H

Fc

Fc{-~ + y) ?(-£)

= xy •

(•♦h

Fc

(l+ ■)

Diesen besonderen Ausdruck für f{u,—x,y) will ich durch

(u, — x)!l

dass man in den Ausdrücken

dass also (w, -xf keineswegs die Function be

bezeichnen 5 wobei wohl zu beachten ist (u,+x)?y, (w, -xf die Zeichen (+) und (-) vor x nicht als zu x gehörige Vorzeichen betrachten darf, so

deutet, in welche (u:+xf übergeht, wenn x in -x verwandelt wird, welche

vielmehr durch

(и,+ (-*))*

Es soll vielmehr, ganz in dem Sinne des Urhebers

zu bezeichnen wäre, dieser Bezeichnungsweise, durch das (+) oder das (-) vor dem x nur angedeutet werden, dass x mit и in eine gewisse Verbindung trete, die in dem einfachsten Falle, wo у eine ganze positive Zahl,

(w, + x)y — и (и + x) (и + 2а?)... (и + (у — 1) х)

und

(w, — x)y — u{u — x)(ii— 2x).. .(u — {y — 1)X)

ist, in der That bei dem ersten Ausdrucke durch Addition, so wie bei dem andern durch Subtraction vermittelt wird.

Es ist also

(85.)

(n ,—xY =

4⁺£)

und es gelten für (w, — xf die Grundgleichungen

(36.)

(u,—x)y+k — (u, — xf(u — yx, — x)k, (ku,—hx)y = ky(u,—x)y,

(u, —x)¹ — u,

zu denen noch die Bestimmung tritt, dass sich (1, —x)y der Grenze ly nähert, wenn «r, stets positiv bleibend, ohne Ende abnimmt.

Hierdurch sind nun zwei Arten von Facultäten auf völlig bestimmte Weise definirt, indem für beide analytische Ausdrücke gefunden sind, die für alle Werthe von w, x, у ihre Gültigkeit behalten. Es scheint zweckmässig, beide Formen

(u, + x)y und (u, — x'f

beizubehalten, indem man, wenn die Differenz x positiv ist, vorzugsweise die erstere, im entgegengesetzten Falle aber lieber die andere anwendet. Sie hängen übrigens, wie aus (33.), (35.) ersichtlich, sehr einfach zusammen, indem

(37.)

(u,—x)v = (u — (y— l)x, + x)y

und

(38.)

(u, + x)y — (u + (y — l)x,—x)y

ist. Man hat ferner

I.

(«» +(-x)f = (- xf •

Fc

Fc

В)

(- +y)

= (-*?•

и . + Ï-»

sin

Fc

22

(39.)

•К ~x)

woraus man sieht, dass (м, + (— x))y nur dann mit (и, — x)y gleichbedeutend ist, wenn у eine ganze Zahl ist.

Anm. Wenn man die in der Einleitung angegebene, von Bessel und Ohm aufgestellte Eormel für die von ihnen durch uJX bezeichnete Function entwickelt, so erhält man

uyx — (и,-Ь%У, uy'~x = (и,— x)y,

wenn in beiden Fällen x positiv ist. Hiernach kann, wie schon bemerkt, uyx nicht für alle Werthe von x durch einen einzigen analytischen Ausdruck dargestellt werden — abgesehen davon, dass die Definition von uyx nur fibre eile Werthe von x gegeben ist. Ferner ist es zwar dadurch, dass für positive und negative Werthe von x verschiedene Definitionen gegeben werden, erreicht, dass für positive Werthe von и allerdings die Gleichung

Lim uy],x = uy

X=0

besteht, sowohl wenn x positiv, als wenn x negativ ist; es gilt aber diese Gleichung nicht mehr für negative Werthe von u, also auch nicht allgemein.

4.

Die bisherigen Erörterungen haben nun zwar zu einer unzweideutigen Definition von

(u, + x)y und (и,— x)y

geführt; es sind dazu aber vier Bestimmungen für jede dieser Functionen Dies ist, wie schon aus den im Vorhergehenden ausgeführten

also

sm

nöthig gewesen.

Entwicklungen ohne Mühe nachgewiesen werden könnte, mehr, als nöthig. Ich werde daher jetzt zeigen, wie man, ausgehend von einer ganz allgemeinen Definition von

(u, + xf und (и, —x)y,

die für jede dieser Functionen nur zwei Bestimmungen giebt, auf völlig systematischem Wege zu den Darstellungen derselben durch die Formeln (33.), (35.) gelangt; wodurch zugleich die Grundgleichungen (34.), (36.) gegeben werden.

So wie sich aus dem Begriffe eines Products von gleichen Factoren der allgemeine Begriff der Potenz entwickelt hat, so bildet für die Facul-tätenlehre die Betrachtung eines Products äquidifferenter Factoren den Ausgangspunkt. Nachdem nun, wenn y eine ganze positive Zahl bedeutet, das Product

и {и + x) (и + 2x) ...(u + (y — l)x)

durch (и, bezeichnet worden ist, findet man, auch ohne dass die Eigenschaften eines solchen Products weiter untersucht werden, indem

(u + x, + xf —

u+ÆL.{Ui + xY

Ы

ist, die Differenzen-Gleichung

(40.)

А (и, +x)y _ y Au (и, + X)

wenn

sich das Zeichen Д auf и bezieht, und Дм = œ angenommmen wird. Gleich wie nun die Betrachtung der Differential-Gleichung

df(u) _ y du

f{u)

zu der Potenz uy mit willkürlichem Exponenten führt, so kann man sich die

и zur Aufgabe stellen, welche der Diffe-

Bestimmung einer Function von renz en-Gleichung

(41.)

Af(u) y Au

ft«)

bei einem beliebigen Werthe von y genügen soll.

Aus der vorstehenden Gleichung folgt, wenn Ди = oc gesetzt wird:

f{u+x)-f(u) = fm,

f(u + x) = -l--J-f(u),

wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet, weiter

woraus

/■(**) =

и (и + X) (и + 2x)... {и + (n — 1) X)

{u 4- yx) (u 4- yx 4- x)... (u 4- (y 4- w — 1) Я/)

• f (м 4- nx)

oder

(42.)

(ц , + x)n

(u + yx, + x)

w-f(u + nx)

folgt. Wenn y eine ganze positive Zahl ist, so kann man, wie gezeigt, f(u) = (w, +œ)y setzen. Dann hat man:

(u + nx, + x)y — (u + nx)y • |^1 +

и + nx

2x

(y-l)x

и 4- nx

also

Lim

11 —

(u 4- nx, 4- xf

oo (u 4- nx)y

= 1.

Dieser Umstand führt darauf, in der Gleichung (42.) n = oo zu setzen und sie so zu schreiben:

(43.)

f (u) = Lim i (u 4- nxf •

n =00 (

(u, +x)n

f(u + nx)

{u 4- yx, 4- x)n \ (u 4- nxf

Es ist daher vor allen Dingen nöthig, genauer zu untersuchen, was aus dem Ausdrucke

(u 4- nxf •

(u, + xf

{u 4- yx, 4- x)n

wird, wenn die positive ganze Zahl n ohne Ende wächst.

Zu dem Ende schalte ich hier zunächst einige allgemeine Sätze über die Convergenz der unendlichen Producte ein. Dieselben sind zwar, so wie die damit verbundenen Sätze über die Convergenz einer bestimmten Gattung von unendlichen Reihen, zum grossen Theile bekannt. Ich glaube aber, wenn ich gleichwohl ausführlicher darauf eingehe, nicht nur wegen der ganz elementaren Herleitung derselben, die einiges Eigenthümliche haben dürfte, sondern vorzüglich deswegen auf Entschuldigung rechnen zu dürfen, weil ich überall bei den vorkommenden Grössen die Untersuchung nicht auf reelle Werthe derselben einschränken, sondern auch auf complexe (imaginäre) Werthe ausdehnen werde.

5.

Einige Sätze über die Converg

unendlicher Producte.

(I.) Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe

enz

und Divergenz

UQJ Ulf u₂₎ ...

sämmtlich reell, positiv und kleiner als Eins sind, und zugleich diese Reihe eine endliche Summe hat, so convergiren die Producte

P« — (1    ) (1    ^2) •••(-!-    «»)

Qn — (¹+Mo)(¹ + M*)(¹ + w*)**-(¹ + «M)i

wenn n ohne Ende wächst, beide gegen eine bestimmte, positive Grenze; und zwar das erste beständig abnehmend, das andere beständig zunehmend.

Es ist klar, dass Pw, Qn beständig positiv sind, und dass die erste Grösse beständig ab nimmt, die andere aber zunimmt, wenn n beständig wächst. Es ist daher zum Beweise des aufgestellten Satzes nur nöthig, zu zeigen, dass P stets grösser, und Qn stets kleiner bleibt, als eine gewisse positive Grösse.

Es ist, wenn a, 6, c, d, ... reelle und positive Grössen sind,

(1 -f- u) (1 -f- 6) = 1 -J⁻ я -j- h -f- cib i> 1 4- ci -f- b (1 -j- а) (1 + V) (1 + с) > (1 + ü + b) (1 + c) > 1+ ci + Ъ -f- c (1 + ci) (1 + 6) (1 + c) (t + d) > (l + c + & + c)(l + d)> 1Ą- ci -\-Ъ c Ą- d

u. s. w. Dieselben Ungleichheiten bestehen auch, wenn 0, &, c, d, ... sämmtlich negative Grössen, ihrem absoluten Betrage nach aber kleiner als 1 sind.

Ferner kann man, wenn E irgend einen echten positiven Bruch bedeutet, m so gross annehmen, dass die Summe

^m+1 F ^'wi+2 + ”• + ^m+r

für jeden Werth von r kleiner als E ist. Dies vorausgesetzt, werde n — m + r gesetzt, \vo auch m, r ganze positive Zahlen bedeuten sollen; so ist

Pm+r

Pm

— (1 — и

m+i

)(1 -ww+2)

m+r

)> 1 -um+1-u

ГИ + 2

----и

m+r

also

PM> Pm(l — F), wenn n> m;

was gezeigt werden sollte. Ferner ist

u₀

Un

Qn

1 + Wn

und da nun, wenn n> m, E auch grösser als

m+1

Un

m+1

¹ + Un

ist, so hat man:

W₀

Um

1 + Um

1 + W₀

Qn<

Qm

1 -E

, wenn n > m.

(II.) Wenn dagegen die Reihe

W₀, Wj, w₂, ...

keine endliche Summe hat, so wird, wenn n ohne Ende zunimmt, PM, beständig positiv bleibend und abnehmend, sich der Grenze Null nähern, während Qn über jede Grenze hinaus wächst.

Es ist nämlich

und die Summe u₀Jtul-1-----ł- un wächst mit n über jede Grenze hinaus, ber

ner ist

Pn

, —, -, • • • hat ebenfalls keine endliche Summe. Es nimmt

1 u₀ ’    — ux ⁷

zeiti mit n ohne Ende zu, und zwar über jede Grenze

CfQ h-

und die Reihe mithin p- gli

hinaus; woraus folgt, dass PM, beständig abnehmend, sich der Grenze Null nähern muss.

Zusatz. Setzt man

¹

Г(м) ist gleichbedeutend mit der Gaussischen Function П(м—1).

so ist

■-КЮ-К)

1.2 ... (n — 1)

also Pn = 0 für n = oo. Daraus geht hervor, dass die unendliche Reihe

bo н»

Оэ| Hi

keine endliche Summe haben kann. Wird dagegen

Pn =

gesetzt, so ist

("йкн-а

1.3

2.2    3.3

also Pn = у für w =

2.4 (tt-l)(w + l) _ 1.2.:.(n-1) 3.4... (n + 1)

2,3 .. .n

oo.

2.3... »г

Mithin wird die unendliche Reihe

тЧ О

w² ’

eine endliche Summe haben.

(III.) Wenn die Glieder der Reihe

Uq , ui: M₂, ...

sämmtlich reell sind, und von einem bestimmten Gliede an beständig dasselbe Zeichen behalten und absolut kleiner als 1 bleiben, so wird das Product

Pn — (¹ + Wo)(¹ + Wi)**'(¹+Mw)j

wenn n ohne Ende wächst, gegen eine bestimmte endliche Grenze (die, sobald keine der Grössen uoJ ul9 ... gleich —1 ist, nicht Null ist) conver-giren, wofern die Reihe uoJul9... eine endliche Summe hat.

Wenn aber das Letztere nicht der Fall ist, so wird

Pn = oo oder Pn — 0 für n — oo

sein, je nachdem die Grössen u₀, w1? ... von einer bestimmten an stets positiv oder stets negativ sind.

Alles dies folgt unmittelbar aus den beiden vorhergehenden Sätzen.

(IV.) Auch wenn die Glieder der unendlichen Reihe

u₀, Mj, w₂, ...

complexe (imaginäre) Werthe haben und die Reihe unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe hat, nähert sich das Product

P« — G + uo) G + ui) •• • G + un)i

wenn n ohne Ende wächst, einer bestimmten Grenze, die von Null verschieden ist, wofern nicht eine der Grössen мо, и;, ... gleich — 1 ist.

Es werde un = vn + iwn und

G + uo) (1 + ui) • • * (1 + un) = Pn + 4*

S/pl+qi = sn

gesetzt, wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist.

s« = VG + vo У+К • VG + vi )a+К

Dann hat man:

VG+ **)* + «£.

dass für jeden Werth von n} welcher >m

so

Nimmt man nun m so gross an ist, die Summe der absoluten Beträge von v und wn kleiner als 1 ist

kann man

Л¹ +    + К = 1 + Vn + £nWn

setzen, wo eM dasselbe Zeichen wie wn hat, dem absoluten Betrage nach aber

kleiner als 1 ist. Bezeichnet man darauf den absoluten Betrag von vn

durch v. so liegt wenn n>m ist, zwischen den Grenzen n

(1 -vn-enwn)

G ®m+1 £«!+i ^m+i ) ( 1 ^m+2 £m+a ^m+2 )

und

(1 + v'n + SH Wn) .

Beide Producte nähern sich aber, wenn n ohne Ende wächst, zufolge des

und

Satzes (I.), bestimmten positiven Grenzen; also bleibt der Werth von —, daher auch der Werth von sn oder sjpl + ql stets zwischen zwei endlichen

Grenzen, wie gross auch n werden mag. Mithin muss es auch für jede der Grössen pn, qn eine Grenze geben, welche der absolute Betrag der Grösse nicht übersteigen kann.

und

Pn+i F Щп+i (t F vn+i F ü^n+i) (pn F Щп)

Pn+1 Pn    +i Pn ^и+i )

Qn+i Qn    ^n+i Qn F Wn Pn ,

woraus, wenn man statt n der Reihe nach m, m + 1, ... m + r — 1 setzt

Pm+r    Pm    *" ^m+iPm"^    ^m-f-2Pm+i "b    * * *    ®m+rPm+r—1

^m+i Qm    ^’»1+2 Qm+1    * ’ *    +r Qm+r—i

Qm+r    9W    “l⁻ ^»и+i 9m "Ь    ^m+2 Qm+i "t"    * ' * F    ^m+r Qm+r—l

F ^m+i Pm F tVm+2 Pm+i F * * * F ^m+r Pm+r—1

folgt. Es hat aber jede der Reihen

§ 'S

vo

Wo,

unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe; und da die absoluten Beträge von pn, qn, wie gross auch n werden mag, gewisse Grenzen nicht übersteigen, so müssen auch die Reihen

PoW 1, P1W2, ••• Qowi, Qi™*, •••

ад, ад, • ••;

Qovi, qtv„ ...;

endliche Summen haben. Folglich kann man m so gross werden lassen, dass für jeden Werth von r die Ausdrücke auf der Rechten der vorstehenden Gleichungen, also auch pm+r—pm und qm+r—qm, dem absoluten Betrage nach, kleiner als jede gegebene Grösse sind. Damit aber ist bewiesen, das p , qn nicht blos endlich bleiben, wenn n ohne Ende wächst, sondern auch dass jede dieser beiden Grössen gegen eine bestimmte Grenze convergirt. Ferner ist klar, dass diese Grenzen nicht beide gleich Null sein können, weil sonst sn = \Jp²n-f g* für n — oo ebenfalls gleich Null sein würde; was, wie vorhin gezeigt, nicht der Fall ist, wofern nicht eine der Grössen u₀, ut1 ... gleich —1 ist. Dieser Fall aber kann ganz ausgeschlossen bleiben, weil dann P, für jeden Werth von n von einem bestimmten Werthe an, gleich Null sein würde.

(У.) Nicht selten trifft man eine unendliche Reihe an, deren Glieder

^2, * * * К, • • •

ein solches Gesetz befolgen, dass sich der Quotient in eine (endliche

Un~ 1    ⁴

I.

Nun ist aber

23

oder unendliche) Reihe von der Form

entwickeln lässt, wo at1 a₂, <z₃, ... von n unabhängig sind, übrigens aber beliebige complexe Werthe haben können, auf die Weise, dass

Lim n

RH-

Lim n²

»n-i

Lim n³

\w„-i

i_A\

11 )

= «2

für 11 = 00

i-A

a₂

11

n²

=    «3

u. s. w. ist.

Wenn in diesem Falle aa die erste der Grössen a1? a₂, ... ist, welche nicht verschwindet, so dass

Lim n* fHîL--Л

H = CD \ Mn-1 /

ist, und es ist erstens ^>1, so wird uH, wenn n ohne Ende zunimmt, gegen eine bestimmte, endliche und von Null verschiedene Grenze con-vergiren. Wird dieselbe durch и bezeichnet, so kann man ferner

n'*"¹

wie gross auch n

setzen, wo vn eine Grösse ist, die endlich bleibt werden mag.

Setzt man

Un

- 1 H--77

и—1

11*

so erhält man

un = u₀

Nun ist aber Lim&n = а ; es bleibt mithin Jcn endlich, wie gross auch n

n = co

werden mag. Daraus folgt, dass die Reihe

А А ... А

» 2* ’ n* ’

unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder eine endliche Summe hat, weil dies für die Reihe

i — JL

’ 2,u ’ 3'“

gilt, was bereits für [i — 2 im Zusatze zu No. II gezeigt wurde, und daher auch feststeht

wenn ^ > 2 ist. Damit ist aber nach No. IV erwiesen, dass un für n — oo einen bestimmten endlichen, von Null verschiedenen "Werth annimmt.

■)

Bei diesem Beweise ist allerdings vorausgesetzt worden, dass keine der Grössen uo, ... gleich Null sei; der Satz bleibt aber gültig, wenn diese Bedingung nur für alle Grössen der Reihe von einer bestimmten um an erfüllt ist. Setzt man nämlich n — m + r, so ist

Um+r

— 1 -f-

_c__L __3й±!__

(r + mY (r -f- w)w+l

woraus, sobald r>m ist

H-m+r

Mtn+r—i

= i + 4+^Ш

für

m+r

folgt, wo « , a'u+i, ... von r unabhängig sind. Mithin bekommt и r = oo einen endlichen, von Null verschiedenen Werth.

Ist nun

Limwn = и

fl =GO

so setze man

M« = Vn + iwn,

alsdann hat man:

Un-Un-i =

_ ffn+ihn

nu

(Vj + Wh-i)

und daher, wenn man

9nVn-i—Kw

П—1

= Pn

9Л-i + KVn-t = qn

setzt

^«+1

_ _ ffn+l Щп+l t

(» + l)u

Setzt man nun der Reihe nach ?г + 1,м + 2, ...n + r— 1 statt w, wo r irgend eine positive ganze Zahl bedeutet, und addirt die so entstehenden Gleichungen

23 *

zu der vorstehenden, so ergiebt sich:

K Un+r —

Pn+1 jgH+1

Pn+r + Щп+г

(» + lf

oder auch, wenn

cn,r

(n + r}a

(n + lf

ist, und Риг einen Mittelwerth zwischen der grössten und der kleinsten der Grössen p

und kleinsten der Grössen qn+l, ... qn+r bezeichnet:

мп un+r ⁼ (Pn,r iQn.r) •G«,»- •

Lässt man nun r ohne Ende wachsen, während n constant bleibt, so nähert der Grenze w; ebenso nähert sich anr einer Grenze, die durch on bezeichnet werden möge, und deshalb müssen auch PM r, Qnr gegen bestimmte Grenzen convergiren, welche Pw, Qn sein mögen. Man erhält daher

un ⁼⁼ w on (Pn + iQn') )

und es ist klar, dass PH, Qn endlich bleiben, wie gross auch n werden mag, da dies für gn, hH, vn, wn) also auch für pn, qn der Fall ist, und daher Grenzen existiren müssen, die Pnr und Qtłr und mithin auch Pn, dem absoluten Betrage nach, nicht übersteigen können. Ferner ist

sich и

M+r

n+l* ■

* • Pn+ri un(^ ebenso Q einen Mittelwerth zwischen der grössten

°n =

(n + l)'* (w + 2)

Ï* +

(n + 3)

(n + 2 )² (w + 2)“

-T +

O +1)

(n + 2)

5" +

O + i)“-²

(w(n + 1) (w + 1) (n + 2)

also

n \n

d. h.

<r

Man kann also

°« ⁼

Jbr setzen, wo sH ein echter Bruch ist, und wenn man

nt¹-¹

en(Pn + iQtt) durch — vn bezeichnet, so hat man:

wu-¹ ’

Uu — u +

und es bleibt vn endlich, wie gross auch n werden mag.

(VI.) Wenn aber zweitens ax nicht Null ist, so sind drei Fälle zu unterscheiden.

(A.) Ist der reelle Theil von ^positiv, so wird и unendlich

für n —

OOj

(B.) Ist der reelle Theil von. a₁ Null, so bleibt zwar un endlich, wie gross auch n werden mag, nähert sich aber, wenn n beständig zunimmt, keiner bestimmten Grenze.

(C.) Ist der reelle Theil von negativ, so wird un = 0 für

n = oo.

Es sei ai = g + Ы und es werde

Pn =

Q» =

(1 + -Ü)(¹⁺^+t).....(1 + "snv)’

V m )\ m + lj \ m + nj

gesetzt, wo m eine ganze positive Zahl bedeuten soll, die grösser ist als der absolute Betrag sowohl von g als auch von h. Dann hat man:

un . un_x PnQn ' Pn-1 Qn-1

Un Pn—\ Qn— 1 ^n— 1 Pn Я.П

ai

1 -j---Ь

«2 ■ \Л |    9 \    ₊

n²    )\ n + m) \ n + m)

eis

H*-

toll §

hi

tH

wo aa u. s. w. von n unabhängig ist. gehenden Satze

Un

’ Mn

wenn n

Mithin convergirt, nach dem vorherbeständig zunimmt, gegen eine bestimmte end-

liche und von Null verschiedene Grenze, und man kann

Vn

un

Pn Яп

also

Vn

Un = Pn Яп • ^    “

setzen, wo v von n unabhängig ist, vn aber stets endlich bleibt. Setzt man qn — qn + iq"ü so hat man

ЯпЯ'п + ЯпЯп =

(m + 1):

(m + n)7 ’

und es nähert sich diese Grösse nach No. I, wenn n ohne Ende wächst, einer bestimmten, von Null verschiedenen Grenze, weil die Reihe

Ti

(m + 1)

eine

endliche Summe hat. Mithin bleiben auch q'n und q” stets endlich. Bezeichnet man

m+n

durch t , so hat man

я'п+ч'п = (1 + itn) {f/n-i + 4n-i)

also

Яп Ян 4 Яп

4 Яп—i •

Яп~Яп

Setzt man in diesen Gleichungen statt n der Reihe nach n, n+ 1, ... n + r und addirt die so sich ergebenden Gleichungen, so erhält man

Ян+Г Яп—1    (4 "t" 4 +I "b * ' ' Ч⁻ 4 + r) Яп, r

Яп+r Яп-1    (4 ”ł" 4+i *ł* * ’ * 4+r) Яп,г f

wo

q'n r einen Mittelwerth der Grössen qn

-i *

+r-i

und

Яп) • • • Яп+r ■

qnY einen Mittelwerth der Grössen q"x

bedeutet. Nun bleiben aber die Werthe der Grössen auf der Linken dieser Gleichungen stets endlich, während die Summe

4 + 4+i + "* + 4+r =

wenn r wächst und n constant bleibt, über jede Grenze hinaus zunimmt. Daher müssen q'n r, qn r beide sich der Null nähern, wenn r ohne Ende zunimmt, n aber unverändert bleibt.

Es werde nun n so gross angenommen, dass die Differenz zwischen je zwei aufeinander folgenden Gliedern der Reihe q'n_^ qn, q'n+l1 ... dem absoluten Betrage nach kleiner sei als eine beliebig angenommene, noch so kleine Zahl E' was möglich ist, weil

Qn + r Qn+r—1    ^n+rQ-n + r— 1

und t

beliebig klein werden kann, wenn nur n gross genug angenommen

n+r

wird, während qn

der absolute Betrag von q' kleiner als E ist.

sämmtliche Glieder dasselbe Zeichen, so ist q'nr dem absoluten Betrage nach grösser als das kleinste derselben; dieses muss daher von Null weniger verschieden sein als E. Im entgegengesetzten Fall aber muss zwei unmittelbar auf einander folgende Glieder von verschiedenen

+ r—1

+»•—i

stets endlich bleibt. Ferner sei r so gross, dass auch

Haben dann in der Reihe

es

Zeichen geben, und da die Differenz derselben kleiner als E ist, so folgt,

Man sieht also, dass man, wenn

dass jedes von ihnen kleiner als E ist. man in der Reihe q₀, q ...

von

irgend einem Gliede aus weiter geht, stets

das dem absoluten Betrage nach kleiner als jede Dasselbe gilt für die Reihe q”o, q", ...

Nun nähert sich aber der Werth von q'nq'n+q''q", wenn n beständig zu-

auf eines kommen muss

gegebene Grösse ist.

nimmt, einer bestimmten Grenze G, und wenn daher wieder E eine beliebig kleine Grösse ist, so muss man, ausgehend

unter den folgenden stets auf eines kommen, für welches

von

einem beliebigen Gliede der

Reihe

die Bedingungen

G — E < q»qń+ q'ńq'ń <G + E q'ń Qn < E

erfüllt werden. Dann hat man

von

d. h. es muss auf jedes Glied der Reihe qo, q1? ..., wie weit vom Anfänge entfernt es auch sei, stets wieder ein solches Glied folgen, welches seinem absoluten Betrage nach der Grenze \ß beliebig nahe kommt. Dasselbe gilt den Gliedern der Reihe q", q", ...; und somit ist erwiesen, dass sich qnJ

wenn n beständig wächst, keiner bestimmten Grenze nähert, sondern sowohl der reelle, als auch der imaginäre Theil dieser Grösse zwischen zwei verschiedenen endlichen Grenzen schwankt.

Für das Product pn folgt unmittelbar aus No. II, in Verbindung mit dem Umstande, dass die Reihe keine endliche Summe hat:

LimpH = oo, wenn g positiv ist,

П = GO

Lim pH = 0 , wenn g negativ ist.

n = CO

Aus der Formel

vn

ergiebt sich jetzt ohne Weiteres Folgendes:

1.    Wenn g positiv ist, so wird der absolute Betrag von un unendlich gross für n — oo;

2.    Wenn g negativ ist, so wird derselbe unendlich klein für n — oo;

3.    Wenn g gleich Null ist, so nähert sich derselbe, wenn n beständig zunimmt, zwar einer bestimmten Grenze, aber da dann und

n — co

ist, so convergirt un selbst gegen keinen bestimmten Werth, sondern schwankt.

Anmerkung. Setzt man, was hier absichtlich vermieden ist, die Theorie der Potenzen mit beliebigen Exponenten voraus, so lässt sich der vorstehende Satz viel kürzer begründen. Denn es ist

g + hi

W« .

»n-i

nff+hi ' (n- l)9+hi

Jüs-.fi-ir=(

\ n! \

)(¹⁻ . ⁺ ")

(-

ril

n⁹

folglich nähert sich, wenn n ohne Ende zunimmt, —~ÿ nach No. V einer

bestimmten, von Null verschiedenen Grenze; und wenn man dieselbe durch V bezeichnet, so kann man

un

vn

n9+hi

oder

un =

n⁹. (г> 4-    [cos (hlog n) + ism(hlog n)\

setzen, wo vn stets endlich bleibt. Aus dieser Formel folgt der zu beweisende Satz unmittelbar.

(VII.) Wenn wieder

Un

n²

Un-1

ist, so weiss man, dass die Summe

(A.)

u₀ + ulx + u₂x²-\-----ъ unxn,

wenn n ohne Ende zunimmt, gegen eine bestimmte endliche Grenze convergirt, sobald der absolute Betrag von x kleiner als 1 ist; so wie auch, dass sie divergirt, wenn der genannte Betrag grösser als 1 ist. Beides gilt auch, wenn tH den absoluten Betrag von unJ £ den von x bedeutet, für die Summe

(B.)

gelten folgende Sätze.

Ist aber der absolute Betrag von x gleich 1

1)    Die Summe (A.) convergirt, wofern nicht x = 1 ist, sobald # negativ, die Summe (B.) aber nur, wenn gc—l ist.

2)    Wenn aber x = 1 ist gleichzeitig auch (B.) — nur in dem Falle, wo gc-1 ist; sie bleibt

endlich, wie gross auch n werden mag, nähert sich aber keiner

so

so

convergirt die Reihe (A.) — und dann

zwar

bestimmten Grenze, wenn g = -1 und 0 ist; und divergirt in

jedem anderen Falle.

3) Beide Reihen divergiren, wenn    ist, indem dann weder unxn,

noch f Ç , für n — oo unendlich klein werden.

Da der absolute Betrag von x der Einheit gleich sein soll, so ist die Summe (B.) gleich

= 1 + 2-

Setzt man nun, wenn m eine ganze positive Zahl bedeutet, die grösser ist als der absolute Betrag von g, wieder

Pn

Ferner, wenn

Un

g + hi g'+h'i

un-i

ist. so hat man

h'

П²

(*⁺ii) (r+ ^tt) • • • i¹⁺Tvhr)

so kann man (nach No. VI) zeichneten Grösse treten lässt, wo dann qn = 1 wird

wenn man

tn an die Stelle der dort mit un be-

t. =

(*⁺тг)А

setzen, wo t von n unabhängig ist, t'n aber stets endlich bleibt. Nun ist

Pn Pn-1

m + n 19 (m + n).pH-(m + n- 1).A_, = (g+l)-Pn-i]

man

setzt man also in dieser Gleichung statt n der Reihe nach 1, 2, ... w, so erhält durch Zusammenziehung der so entstehenden Gleichungen:

(m + ri)pn-mp₀ = (0+l)(#o+iJi + -*-+lV-i)-Aus dieser Gleichung aber ist zu ersehen, dass es, wofern nicht <7 + 1 = 0 ist, zur Convergenz der Summe

Po+Pi + ’-'+Pn-i

hinreichend und nothwendig ist, dass (m + n)pn einer bestimmten Grenze sich nähere, wenn n beständig zunimmt. Dies kann aber, da

(m + n) pn

(l + —-—) (l--1-Г

\ m + n) \    m + n )

ist, nur dann geschehen, wenn g + l negativ ist (indem der Fall g+l = 0 ausgeschlossen ist), wo dann (m + n)pn für n — oo (gemäss No. YI) unendlich klein wird.

Ist g + 1 = 0, so hat man

1-

Pn =

i-i'

und

(m — 1) ^

Po+Pi^-----1~Pn —

Diese Summe ist aber (No. II Zus.) divergent. Mithin ist es zur Convergenz der Summe

Ро+Рг-\-----VPn

nothwendig und hinreichend, dass g < — 1 sei.

Nun ist aber

----+ 4 = h+t(Pi-\-----ł-Pw) + (^Pi)+9-(^P*)d-----I — (tliVn)'

Wenn daher g< — \ ist, so wird auch t₀+ttĄ— + tn convergiren, indem

(KPi) + ~2 ^*^*) -----OnPn)

gleichzeitig mit рг+р₂ +—\-pn convergirt.

Ist g> — 1, aber <0, so divergirt von diesen beiden letzten Summen die zweite, während die erste, da

(1 +

)(i-L) = ₁₊L=1 J\ nj    n

Pn . Pn—1 П ' П — 1

Pn

n — 1

Pn— 1

ist, noch convergirt; folglich divergirt auch    -----h tn. Dasselbe findet

statt, wenn <7 > 0 ist, weil dann tn für n — oo nicht unendlich klein wird. Man sieht also, dass die Reihe (B.) convergirt oder divergirt, je nachdem g — 1 ist oder nicht.

n = 00

Zur Convergenz der Summe (A.) ist zunächst erforderlich, dass Lim tH — 0 sei, weshalb ^    0 sein muss. Dies vorausgesetzt, werde

(i ₊ £+K)(i ₊ £±*) (₁₊s±K) = Pn

\ m J\ m + 1)    \ m + n) n

gesetzt, so hat man:

Un . 4,-1    _    ^n-x

P ' P    V P

Mithin kann man (nach No. Y)

* ⁺ "+4+-IU +

g + hiy¹

al

n²

n²

un =

setzen, wo wieder v von n unabhängig ist, wn aber stets endlich bleibt. Ferner sei

sn = игх + u₂x² Ą-----\- unxn

Sn = Ргх + Р₂х²^-----\-Pnx'

Sń = w₁P₁x + -^w₂P₂x² + --

^WnPnXn)

dann hat man

s« = vSn + S„.

Nun ist

Pn . Pn-X

' П — 1

(i_AWi ₊ £±**

\    n/\ t П

g—l + hi

und da g— 1 < — 1 ist, so convergirt, wenn man durch Qn den absoluten Betrag von Pn bezeichnet, nach dem vorher Bewiesenen die Summe

Daraus folgt, dass sn

und daher auch, indem ccnwn stets endlich bleibt, S'n. gleichzeitig mit Sn convergirt, schwankt oder divergirt.

Es ist aber

(1 — x) Sn = Ptx+ (P₂- Pt) x*+(P₃-P₂)x³+--- + (P„-Pn_t) xn-PnxH+1 = Ptx + (g + hi)- j

?x

x² + --- +

p

n-1 QQn~l

m + n

x — Pnxn+1.

m + 2

Die eingeklammerte Summe convergirt, was gerade so gezeigt wird, wie für S\ und es ist LimPH = 0, weil g negativ angenommen worden; folglich wird

n = oo

auch (1-#)&W, und, wenn nicht 1— oc = 0, auch Sn convergiren.

Die Summe (A.) convergirt also stets, wenn g < 0, und nicht ос — 1 ist.

Wenn aber x — 1, so hat man

Sn+P₀ — P₀ + РгЛ-----Ь Pn —

(m + n+1) Pn+1 — m.P₀_

g + hi+1

wie sich unmittelbar aus der im Vorhergehenden gefundenen Formel für die

Summe po+pi-\-----ergiebt, wenn man in derselben g + hi für g und n + 1

statt n setzt. Es wird daher, wofern nicht etwa g = — 1 und zugleich h — 0 ist, Sn convergiren, wenn sich (m + n + 1) Pn+l bei beständig zunehmendem Werthe von n einer bestimmten Grenze nähert. Dies kann, da

(m + n + 1) P

n+1

(m + n) Pn

(¹⁺

g + hi

m + n+1

g + 1 + hi

ist, nur geschehen, wenn g + 1 < 0 ist, indem der Fall g +1 = 0, h — 0 ausgeschlossen ist.

Ist g+1 =0 und h = 0, so ist die Divergenz der Summe P₀+ P^-----bPn

bereits im Vorhergehenden bewiesen.

Folglich convergirt, wofern x = 1 ist, die Summe (A.) nur, gleichzeitig mit der Summe (B.), wenn g< — l ist.

Wenn g = — 1 und h^ 0, so bleibt der Werth von (m + n + 1) Pn+1 nach No. VI zwar stets endlich, nähert sich aber keiner bestimmten Grenze. Dasselbe gilt also auch von Sn und von der Summe (A.).

Wenn endlich g>-1, also g + 1 >0 ist, so wird der Werth von (m+n+l)Pn+1 unendlich gross für n = oo. Mithin divergirt in diesem Falle Snf und auch die Summe (A.).

Damit ist der aufgestellte Satz in allen seinen Theilen erwiesen.

Anm. 1.

Ausdruck un = vn9+hl+vnn gleichzeitig mit der folgenden:

g—l+hi

Setzt man statt un den in der Anm. zu No. VI gegebenen so ist leicht zu sehen, dass die Summe (A.)

g+hi

l + x + x'tf+M+x,S? +■■■ + *"»

convergirt, schwankt, oder divergirt.

Anm. 2.

Die Sätze V bis VII stimmen, wenn man den in ihnen vorkommenden Grössen nur reelle Werthe beilegt, im Wesentlichen mit denen überein, welche Gauss in der Abhandlung »Disquisitiones generales circa seriem infinitam

<*ß x , <x(cc+l)ß(ß+ 1)

2.y(y + l)

x²-\---- «

begründet hat. Mit der hier gegebenen Erweiterung dienen sie für eine grosse Menge von unendlichen Reihen, die in der Analysis Vorkommen, zur Entscheidung über die Convergenz oder Divergenz derselben. Aus diesem Grunde habe ich sie ausführlicher entwickelt, als gerade für den nächsten Zweck nöthig gewesen wäre. Übrigens würden sie sich ohne Mühe noch bedeutend verallgemeinern lassen.

6.

und

Jetzt zurückkehrend zu der Gleichung (43.) des § 4, gebe ich, da

(u + nx)

Lim

П = GO

(nx)

= ly

(w, -Ь x)n _ и (и + x) (и + 2x).....(u + (n— l)x)

(u + yx,+x)n    (u + yx)(u + yx + x).....(u + (y + n — l)x)

(n — l)x

^u + yxj ^ ₊ u+j/xj ^

1+

u + yx

2x

■).....(-

u + yx

(n — l)x

■)

ist, indem ich

(44.)

n +    .....+    = F(u,n)

setze, derselben die Form:

(45.)

f(u) = xJ Lim

-гг/ U

F[-,n

f(u + nx)

•m j+s.Ay

Nun ist

F (u,n) F(u,n— 1)

1+

и \ n — l)

Rf(^)

Л w

( X---H

\ n

u(u— 1)

2 n²

_ ^ и (u — 1)

also convergirt F(u,n), wenn n ohne Ende zunimmt, gemäss No. У des § 5 gegen eine bestimmte endliche Grenze, welchen Werth auch и haben mag. Bezeichnet man diese Grenze, die eine Function von и ist, durch Fc(u) hat man:

SO

(46.)

Fc(u) = Lim j n

n— 1

oder

(47.)

а = + oo

Fc(u) — и

а — з

i+“ .

Es erhellt aus diesen Formeln zugleich, dass Fc(u) nur verschwindet, wenn и der Null oder einer negativen ganzen Zahl gleich ist.

Hiernach ist

Lim

F\ — ,n

X

Cb

fc I §

fc I §

und es muss daher, der Gleichung (45.) gemäss, wenn es wirklich eine Function f(u) giebt, die der Gleichung (41.) genügt, endlichen Grenze sich nähern, wenn n beständig zunimmt — wenigstens wofern nicht

f(uĄ- nx)

(u+nxf

einer bestimmten

Fc№

= 0 ist.

Bezeichnet man diese Grenze, als Function von и betrachtet, durch ф(м),

so muss

(48.)

ф (u 4- x) — 4» (w)

sein, da

f(u + nx)

Hs (u + nxf

f(u + x + nx)

= Lim ^

w = oo {u+X + nx)y

ist, und es ergiebt sich

Fc

(49.)

f(u) = xy

ф(*0-

Umgekehrt lässt sich nun erweisen, dass jede Function von u, welche durch diese Formel dargestellt wird, wenn nur ф(и) die in der Gleichung (48.)

ausgesprochene Eigenschaft hat, der Gleichung (41.) genügt.*) Denn es ist

uF(u + 1, ri) = n woraus für n — oo

_w_! u(u + l)(w + 2)

1.2

(n-1)

(50.)

Fc(u) = uFc(u + l)

folgt. Mithin ist

Fc

f(u + x) = ж

ей

Fc

oder

f(u + x)—f{u) _

/■(“)

welches die Gleichung (41.) ist.

Um nun die Function ty(u) zweckmässig zu bestimmen, kann man die Forderung stellen, es solle, sowie für die Function (u: +%)y, falls у eine ganze positive Zahl ist, die Gleichung

(ц + ш;, + xf _ у (и + nx)y

gilt, der Function f(u) für jeden Werth von у die durch die Gleichung

f(u + nx)

Ю (u + nxf

ausgesprochene Eigenschaft zukommen.

Dann muss nach dem Vorhergehenden ф (и) = ly sein und somit f(u) durch die Formel

Lim

n =03

Lim

П =

= ly

Fc

(51.)

X -/    V

Fi^+y)

definirt werden.

Nun ist (in § 2) mittels der beiden, aus (50.) und (47.) folgenden Gleichungen

(w + n — 1) Fc (u + n)

(52.)

Fc(u) — u(u + 1)

(53.)

Fc{ 1) = 1

*) Es ist zu bemerken, dass bei der Herleitung der Formel (49.) die Grössen x, у als Constanten betrachtet worden sind und deshalb ф(u) anzusehen ist als eine von и und von x, у abhängende Grösse, die, als Function von и betrachtet, der Gleichung (48.) genügt.

gezeigt worden, dass

(54.)

j. \n uFc(n)\

n™\Fc(u + n)\

ist; wobei zu bemerken, dass hier, wie auch in (46.)

n~u = e-î(logw = l-u\ogn +

u² log² n

1.2

zu setzen ist, unter der Bedingung, dass von den verschiedenen Werthen von logw der reelle genommen werde, so dass also Fc{u) eine eindeutige Function von и ist.

Hiernach ist, wenn man jetzt für die durch die Gleichung (51.) definirte Function f(u) die Bezeichnung (u, + x)y einführt,

Fc

(u + ПХ, + x)y = X

Fc(~+y+n)

(w + nx, + xj

(nx)y

n x Fc {ri) n x Fc (n) / _

(w 4- nxj>

(u + nxj

Fc

(^ + y + n) Fc(^ + n)

mithin ist für jeden Werth von у in der That:

(55.)

Lim i

n = OD !

(и + nx, + x)v

(u + nx)

= ly.

Hinsichtlich der Function Fc(u) ist noch zu bemerken, dass sie durch die Gleichungen (50.), (53.), (54.) vollständig bestimmt wird. Denn aus (50.) und (53.) folgt

Fc{u) =

u(u+ 1)

1.2

{u + n— 1) Fc(n + u)' Fc(n) ’

(n-1)

woraus

sich mittels (54.) die Formel (46.) ergiebt.

Durch das Vorstehende sind also jetzt folgende Resultate erlangt:

I. Es giebt eine, und zwar nur eine, für alle Werthe der unbeschränkt veränderlichen Grösse и definirte, eindeutige und für keinen endlichen Werth von и unendlich gross werdende Function

Fc (u), welche die in den Gleichungen

Fc (и) = uFc (u + 1),

(56.)

Fc{ 1) = 1,

T. n~MFc(n)

1лт-^=г*7-- — 1

tfl = CO i C (ti 4~

ausgesprochenen Eigenschaften hat und durch die Formel

a = + CD

Fc(u) = и ff

ct = X

dargestellt wird.

II. Es giebt eine, und zwar nur eine, von drei unbeschränkt veränderlichen Argumenten, der Basis u, der Differenz x und dem Exponenten у, abhängige und durch (г<, + xf bezeichnete Function, welche der Gleichung

(57.)

А (и, -j- xf

yx

(и, + xf

in der sich das Zeichen Д auf и bezieht und Au = x zu nehmen ist, genügt, und zugleich die in der Formel

(58.)

Lim

71 = 00

(u + nx, + xf

(u + mf

ausgesprochene Eigenschaft besitzt. Ihr allgemeiner Ausdruck ist

(59.)

(u, + xf = X

Fc

oder

(60.)

(u,+xf = xy

“_*n" ite+iy'

u + yx a = i (\ a /

и + ах

и + {у + а) X

Aus der Formel (59.) ergeben sich dann, wie in § 1 gezeigt worden, für (Uj + xf die Grundgleichungen

= («, + xf (u + yx,+ xf,

(61.)

(u, + x)

(69.)

■’ (v, +w)x

(*, + «)• •

u. s. w. (Vgl. Crelle’s »Memoire sur la théorie des puissances, des fonctions angulaires et des facultés analytiques«.)

Ich bemerke noch, dass die Formel (43.), welche aus der Bestimmungsgleichung (57.) folgt, mittels der anderen (58.) unmittelbar zu dem Ausdrucke von (u, +xf in der Form des unendlichen Products (60.) führt, dessen Con-. vergenz nach dem Satze No. V. (§ 5) feststeht, sobald nicht ~^ + y Null oder eine negative ganze Zahl ist. Ist aber — + y = —m (unter m eine ganze positive Zahl, Null eingeschlossen, verstanden), so folgt aus (69.), wenn man v — 1, w = 1 setzt :

(u, + xf —

_ xy(l, +1)

= oo ist, so sieht man, dass die Form

(62.)

v-k __

(u, + x)*

(63.)

(w, +%)

(Jeu, + Jcx)y = ky (u, + x)

(u + (y-li)x,+x)

(64.)

(и, + x)¹ = и

aus welchen sich nun eine Reihe anderer herleiten lässt, z. B.

(«, +a?)°

(u,+x)

(65.)

(66.)

-y _

(u — yx, + x)

und insbesondere, wenn у eine positive ganze Zahl ist,

(67.)

(68.)

(u, + x)rt    — u(u + x) (u + 2x)

(u,+x)~y =

(u + (y-l)x),

(u — x)(u— 2x).....

Ferner, wenn у, v, w beliebige Grössen bedeuten

(u—yx) ’

da nun, nach (66.), (1, +1) welche in diesem Falle das Product (60.) annimmt, durch die Natur der

Function (и, + xf gefordert wird.

Nachdem auf die angegebene Weise eine Definition der Facultät (u, + xf gefunden ist, die nicht mehr Bestimmungen enthält, als nöthig sind, und die alsbald zu einem allgemeinen Ausdrucke, sowie zu den wichtigsten Eigenschaften der Function führt, gelangt man auf einem ganz ähnlichen Wege zu der anderen Facultäten-Form (и,— xf’, worunter, um wiederholt daran zu erinnern, nicht (u, + (— x)f verstanden werden soll.

Sie wird nämlich durch die beiden Gleichungen

(70.)

A (u, — xf

(u, —x)y

yx

Lim

(u + nx, — x)‘

n = CO

(u + nxf

= ly

definirt, wo aber jetzt Ди — —x zu setzen ist.

Dann folgt aus der ersten dieser Gleichungen

(u — x, — x)y — (u, — x)y

yx

(u, — x}

u — yx

(u — x, — x)

(u,-x)y,

und hieraus, wenn man u + x statt и setzt:

(и,— x)y =

welche Gleichung zu der folgenden:

u + (l — y)x u + (2 — y)x и+ 2x

(u,—xf =

&⁺¹-у){¹⁺

и

—+ 1 —у

X

u + (l-ij)x

(u + x, —x)y

и + (n—y) X

и + пх

(и + пх, —х)':

и

—+ 1 -у

X

и

— + 1-2/ ж

“+1

(и + пх, — xf

führt.

Setzt man statt {и + пх, — xf

У (и + пх, — xf п Х (и + nxf

-- + У-1

/ пх \ Ü_1 \и + пх)

-у

.с

und dann n — oo, so erhält man, gemäss (70.) und (46.):

Fc

(71.)

(u, — x)y = x

е+ч

Hl⁺¹)

oder auch

(72.)

(u, — x)y =

ХУ u + x — yx    + l\y u + {u+ l — y)x j

и + X Ar, I \ а ) w + (а + l)x j

Zugleich lässt sich aus der Formel (71.) mittels der Eigenschaften der Function Fc{u) ohne Weiteres beweisen, dass die durch dieselbe ausgedrückte Function (u, —xf wirklich die in den Gleichungen (70.) ausgesprochenen Eigenschaften hat.

Es ergeben sich dann aus (71.) für (u, — xf die Grundgleichungen:

(73.)

(u, —X)

= (u, — x)y(u — yx, — xf

(74.)

(u,—x)

y-k _

(u, —xj

(75.)

(76.)

(Jcu,—Jcx)y — hy(u, — x)y,

(u, —x)¹ — u\

aus denen wieder die folgenden:

(77.)

(78.)

(и, —x)° (u, — x)

(u + yx,—x)

und insbesondere, wenn у eine positive ganze Zahl ist,

(79.)

(и, —х)'

= и (и — x) (и — 2х)

(u-(y-l)x)

(80.)

(и, —х)

-у

(и + х) (и + 2х).....(и + ух)

sowie, wenn «/, v, w beliebige Grössen bedeuten,

il

(81.)

= [Î]

» (v,-w)w

u. s. w. hergeleitet werden.*) Ferner hat man:

(и,— x)v — (и + X — yx, ą-х)

(82.)

(u Ą- x, + x)

-У >

(u,+x)y — (u — x + yx,—x)v —

(u — x,—x) y

Setzt man endlich in (59.) и = x = 1, und и — 1 für y, so findet sich

(83.)

Fc(u) =

M—1 >

(!> + D

und wenn man in (71.) и = 0, ж = 1 und —u + 1 statt 2/ setzt:

.Fc(m) = (0,-1)

so dass also die Factorielle Fc(u) selbst eine Facultät ist.

(84.)

1— U

7.

Es ist oben angegeben worden, dass sich die Function Fc(u) nach ganzen positiven Potenzen von и in eine beständig, d. h. für alle reellen und imaginären Werthe von и convergirende Reihe entwickeln lasse; sowie, dass die Reihe, in welche man die Facultät (и, +ж)'у nach steigenden Potenzen der Differenz x entwickeln kann, niemals convergirt, wenn у keine ganze Zahl ist. Es erscheint mir nicht unangemessen, auf die Rechtfertigung beider Behauptungen näher einzugehen.

Zu dem Ende stelle ich noch einige Sätze über die Convergenz der unendlichen Reihen zusammen, welche hier, sowie auch im Folgenden, zur Anwendung kommen.

1) Hat man eine unendliche Reihe von der Form

2“«,*V •'

wo x, у, ... veränderliche Grössen sind und a, /3, ... ganze Zahlen,

*) Es ist hierbei zu bemerken, dass, obwohl (u, — x)y nicht gleich (u, + (— x))y ist, gleichwohl alle Gleichungen, die ohne Zuziehung der zweiten Gleichung (70.) aus den Gleichungen (73.) bis (76.) folgen, aus den entsprechenden für (u, + x)y durch Verwandlung von x in (— x) sich ergeben.

von denen jede, unabhängig von den andern, alle Wer the von 0 bis + oo durchläuft, und es bleiben die absoluten Beträge der Glieder der Beihe, wie gross auch a,/3, ... werden mögen, sämmtlich kleiner als eine angebbare Grösse, wenn für x, y, ... bestimmte Werthe x₀, y₀, ... gesetzt werden; so convergirt die Beihe für alle Werthe von Æ, «/, ..., die ihrem absoluten Betrage nach beziehlich kleiner als x₀,y0i... sind, und zwar unbedingt.¹)

Bezeichnet man nämlich die absoluten Beträge von

durch

S» Ъ

so lässt sich, der Voraussetzung nach, eine (positive) Grösse G angeben, die grösser ist als

Aa,(i,..Xrlo •••>

von а

a, ß,...

Avelche Werthe auch a, ß, ... haben mögen. Alsdann ist der absolute Betrag kleiner als    ..., also der absolute Betrag von attypt...x“г/ ...

kleiner als G£₀ “y]~^ ...    ..., und daher die Summe von beliebig vielen

Gliedern der betrachteten Beihe dem absoluten Betrage nach kleiner als wofern £ < £o, 7] < 7)₀, ..., wodurch der aufgestellte Satz erwiesen ist.

2) Es seien die Glieder einer unendlichen Beihe

?» ?'» ?" .....

diejenigen Beihen bezeichnen, in welche die Beihen-dadurch übergehen, dass jeder Coefficient

Functionen beliebig vieler Veränderlichen гс, у, ..., die sich nach ganzen positiven Potenzen von ж, у, ... in Beihen entwickeln lassen. Ferner sollen ф, 4b ф",

Ausdrücke von cp, cp', cp",

derselben durch seinen absoluten Betrag ersetzt wird.

Wenn nun für bestimmte positive Werthe £₀, tj₀, ... von æ, у, ... jede einzelne der Reihen ф, ф', ф", ... und ebenso ihre Summe

Ф + Ф'+Ф'Ч.....

convergirt, so convergirt auch die Summe

cp + cp'+cp" +.....,

die Coefficienten von % y^ ... beziehlich

und setzt

für alle Werthe von x, y, ..., die ihrem absoluten Betrage nach nicht grösser als beziehlich £₀, tj₀, ... sind. Bezeichnet man in den Reihen-Ausdriicken von cp, cp', cp", . durch    «ä,

+ a"

so hat jede der Grössen    einen endlichen Werth, und es ist für

die genannten Werthe von ж, у, ... die Reihe

nicht nur convergent, sondern auch gleich der Summe

cp + <p'+ cp"+......

aus

Dieser Satz ergiebt sich unmittelbar aus dem vorhergehenden und dem Begriffe einer unbedingt convergenten Reihe.

3) Wenn von den beiden Reihen

? = •••

= 2    ...*V •••

jede für alle Werthe von x, ?/,..., die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich £₀, yj₀, ... sind, convergirt, so ergiebt sich aus dem vorhergehenden Satze, dass auch die Reihen

SK,?, ...±Ъа,?,... )*V •••

«".I*",—

SK

für dieselben Werthe von x, y, ... convergent sind, und beziehlich die Summe, die Differenz und das Product von cp und cp darstellen.

Daraus ergiebt sich, als weitere Folgerung:

beliebig viele Functionen von x, y, ... sind, die

4) Wenn 9, cpi7 9₂

sich nach ganzen positiven Potenzen dieser Grössen in Reihen entwickeln lassen, und F ist eine ganze rationale Function von 9, 9l5 <p₂,.....,

?» ?x»

ж, y, ... hervorgeht, stets unbedingt convergent und ihre Summe gleich F für alle diejenigen Werthe von ж, у,    für welche die Ent-

so ist die Reihe, welche aus F durch Substitution jener Reihen für und durch formelle Entwickelung nach Potenzen von

sämmtlich unbedingt convergiren.

die sich in eine unend-

wickelungen von 9, 9^ 9₂,

5) Ist aber F eine Function von 9, 9X, 9₂, liehe Reihe

20e,/J,y,

a ß y

? Г1У2

ihre Reihen-Aus-

entwickeln lässt, und man setzt statt 9, 9t, 9₂, drücke, so gelten hinsichtlich der Convergenz der Reihe, die man aus der vorstehenden durch Entwickelung derselben nach Potenzen von ж, y, ... erhält, folgende Bestimmungen.

A) Es convergire die ursprüngliche Reihe für F, sobald 9, 91? 9₂,.....

ihrem absoluten Betrage nach kleiner sind als beziehlich p, p₂, p₂,

die Reihen, in welche 9, 9^ 9₂,.....

jeden Coefficienten der letzteren durch seinen ab

üb er-

und es seien ф, ф₂, gehen, wenn man soluten Betrag ersetzt; ferner sei Дж, ?/, ...) die Reihe, in welche F durch die angegebene Substitution übergeht, und £, 73, ... seien wieder die absoluten Beträge von ж, у, ...; alsdann convergirt f{x₎ y, ...) und

es besteht die Gleichung

F(<?,    ?₂

I.

jedenfalls für alle Werthe von ж, у, ..., die den Bedingungen

Ф»(5» *b •••) < Pt»

?(5» *b •••) < p

Genüge leisten. Wenn daher 9(0, 0, ...), 9Д0, 0, ...), 9a(0, 0, ...),

ihrem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich p, pl5 p₂,.....

so wird die Reihe f(x, у, ...) wenigstens für alle Werthe von ж, у, ..., deren absolute Beträge gewisse Grenzen nicht überschreiten, convergiren.

sind,

26

B) Convergirt die Reihe, in welche F nach Potenzen von cp, cpx, cp₂,.....

entwickelt werden kann, für alle Werthe dieser Grössen, so convergirt die Reihe f(x*y, ...) und es besteht die Gleichung

•)

f(x, y, ...) = F{<?, c?1, <p₂

für alle diejenigen Werthe von x, y, ..., für welche die Reihen-Entwickelungen von cp, cpx, <p₂

sämmtlich unbedingt convergiren.

Anm. Es ist wohl zu bemerken, dass die vorstehenden Sätze 2) bis 5) nicht unbedingt umgekehrt werden dürfen; man darf also z. B. nicht behaupten, in dem zuletzt betrachteten Falle convergire f(x₎ y, ...) nur für

solche Werthe von x, y, ..., für welche die Entwickelungen von cp, tpx, <p₂,.....

sämmtlich convergiren. Die Sätze geben daher, obgleich sie sich bei vielen Untersuchungen nützlich erweisen, keineswegs die wahren Kriterien, nach welchen über die Convergenz von Reihen, die nach ganzen positiven Potenzen einer oder mehrerer Veränderlichen fortschreiten, entschieden werden kann. Diese Kriterien müssen vielmehr aus einer andern Quelle abgeleitet werden; wie ich dies bei einer andern Gelegenheit zu zeigen gedenke.

Ich betrachte jetzt, um den ersten der oben angegebenen Sätze zu beweisen, die Function Fc(u), und beschränke die Veränderlichkeit von и zunächst auf solche Werthe, deren absoluter Betrag kleiner als eine oberhalb 1 beliebig angenommene ganze positive Zahl m ist.

Man hat

и = 7П —1

Fc(и) — u. J

Of = 1

Setzt man nun

¹

Eine Reihe soll unbedingt convergent genannt werden, wenn sie bei jeder beliebigen Anordnung ihrer Glieder convergirt. Dazu ist erforderlich und hinreichend, dass die Reihe der absoluten Beträge ihrer Glieder eine endliche Summe habe.

jj = cp(и, m)

жшь^-жк

so ist

a = +CO

log у (u, Ml) = 2

|-Ml°s(1 + vb') + log(1 + V^))

a = + œ (a =

a (a + m)a

Es sei ferner

= <P«0)

0=^® (— l)0_1(wa— и) ^ a (m + a)a

und

°^+°° (ua + u)

a= 2

^ a (m + cc)a

so dass tya(u) aus der Reihe ya(u) dadurch hervorgeht, dass man in dieser jeden Coefiicienten durch seinen absoluten Betrag oder eine grössere positive Zahl ersetzt. Dann wird sich nach dem zweiten der vorstehenden Sätze

log ? (M? m) = ?o(w) + ?i(M) + * *¹ + CP»(M) + * * *

nach Potenzen von и in eine convergirende Reihe entwickeln lassen, wenn die Summe

a = + oo

a= + a> a = + 05

Ua + U

û (m + cc)a

für jeden positiven Werth von u, der kleiner als m ist, einen endlichen Werth hat. Dies ist in der That der Pall.

Es ist nämlich

a = + co

1    « = + oo    1

a=o (m-h cc)a ma

- 2 -r—as

“=° (1 + -)

\ m )

und wenn man in der letzteren Summe das (w + l)te Glied durch tn bezeichnet:

also wenn

A-l

Ы)'    (■♦?)'

-- (T., -• )'

V m)

a = + oo

= sa

gesetzt wird, für a > 1 nach § 5 (VII, 2) sa eine endliche Grösse, die abnimmt, wenn a wächst; woraus, da

a = + 00

a = + oo

2 -M») = 2

(ua + u) sa

(1 = 2

ama

a — o

ist, das Behauptete unmittelbar folgt.

Nach dem fünften der obigen Sätze (Art. B) lässt sich nun von den beiden Factoren, in die Fc(u) zerlegt ist, der zweite, welcher gleich

Q lOg 9 (И > WO

ist, nach ganzen positiven Potenzen von и in eine Reihe entwickeln, die sicher für jeden der betrachteten Werthe von и convergirt; der erste Factor aber ist durch eine beständig convergirende Reihe von derselben Form darstellbar. Es ergiebt sich also, nach dem dritten der angeführten Sätze, für Fc(u) eine nach ganzen positiven Potenzen von и fortschreitende Reihe, welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von и kleiner als m ist. Die Coefficienten dieser Reihe sind aber von m unabhängig; da man nun diese Zahl beliebig gross annehmen kann, so muss die in Rede stehende Reihe für jeden endlichen Werth von и convergiren; w. z. b. w.

Was den zweiten der obigen Sätze angeht, so bemerke ich zunächst Folgendes.

Wenn у eine positive ganze Zahl ist, so kann die Facultät (u, + x)y in eine endliche Reihe von der Form

£+(</)« |ï-+-

entwickelt werden, wo sich die Coefficienten (y)t, (y)₂, ... als ganze Functionen von y darstellen lassen. Nimmt man für y eine beliebige Grösse an, so verwandelt sich die vorstehende Formel in eine unendliche Reihe. Ist y eine negative ganze Zahl, so lässt sich leicht zeigen, dass diese Reihe für alle Werthe von w, x, bei denen der absolute Betrag von ~ unter einer bestimmten, von y abhängigen Grenze liegt, convergirt und ebenfalls gleich (и, + x)y ist. Man hat nun angenommen, dies müsse auch für nicht ganzzahlige Werthe von у der Fall sein, und es hat namentlich Öttinger in der oben (S. 157) angeführten Abhandlung bei seinen Deductionen die in Rede stehende Reihe vielfach benutzt. Aus den nachstehenden Betrachtungen erhellt indessen, dass die Reihe, wofern у keine ganze Zahl ist, niemals convergirt, welche Werthe man auch den Grössen u, x beilegen möge.

Wenn eine Reihe von der Form

а = + аз

2 aa%a

а = — со

wo a eine veränderliche ganze Zahl bedeutet, für jeden Werth von x, dessen absoluter Betrag zwischen zwei Grenzen a und Ъ liegt, convergirt, so giebt es, wofern man x auf irgend einen, ganz innerhalb des Convergenzgebietes

der Reihe liegenden Bereich beschränkt, in demselben stets nur eine endliche Anzahl von Werthen, für welche die Reihe den Werth Null annimmt. Der strenge Beweis dieses Satzes, von dem man bei manchen Untersuchungen Gebrauch machen kann, lässt sich aus den oben aufgestellten Convergenz-Sätzen ableiten; was ich jedoch hier der Kürze wegen übergehe.

ver-

von

Dies vorausgesetzt, werde in der obigen Reihe (was unbeschadet der Allgemeinheit geschehen kann) x = 1 gesetzt, für y irgend ein bestimmter Werth angenommen, und unter и zunächst eine positive reelle Grösse standen. Angenommen nun, die Reihe convergire für irgend einen bestimmten Werth uQ von u, so wird dies auch für jeden grösseren Werth der Fall sein, und es ist unter der Bedingung, dass и zwischen den Grenzen uo und +oo angenommen und bei der Bestimmung der Potenz uy dem Logarithmus и sein reeller Werth beigelegt werde,

<p(M) = M*'fl + (y)ł«r¹ + (y)a«“4—I

eine eindeutige und continuirliche Function der Grösse u. Wenn у eine ganze positive Zahl ist, so hat man

<p(w + l) =

also

(и + у){иу+(у\и»-¹ + (у\и!'-²+-\ = u{(u-]riy+(y)₁(u+If-¹+

Entwickelt man, у als eine unbestimmte Grösse betrachtend, beide Seiten dieser Gleichung in Reihen, die nach fallenden Potenzen von и fortschreiten, so müssen die Coefficienten der einen Reihe den gleichstelligen der anderen Reihe für alle positiven ganzzahligen Werthe von у gleich sein; woraus folgt, dass sie identisch einander gleich sein werden, weil sie nämlich sämmtlich ganze rationale Functionen von у sind. (In der That gelangt man, wenn man die angedeutete Rechnung ausführt, zu den bekannten Ausdrücken von (y)t1 (y)t1 ... .) Mithin muss die in der vorstehenden Gleichung ausgesprochene Relation

<P (w + 1) =    ? («)

gelten, sobald nur die genannten Reihen beide convergiren; was bei den obigen Annahmen sicher der Fall ist, wenn и nicht nur >^₀, sondern auch >1 ist.

wenigstens für jeden Werth von w, der >uo und zugleich >1 ist. Aus dieser Gleichung folgt

wenn man

Aus dieser Relation ergiebt sich, wenn n eine beliebige positive ganze Zahl bezeichnet,

cp (w) =

u(u + l) ...(u + n — 1)

(u + y) (u + y -f 1) . .. (tt + y + n — 1)

cp (w + n )

oder, wenn F(u, n) dieselbe Bedeutung hat wie im Anfänge des §6,

F(u, n)    cp (u + n)

F(u + y, n)

cP(w) =

Es ist aber

Lim

cp (u 4- n)

M = ОЭ

ny

und daher (§ 6, Gleichung 46)

cp (w) =

Fc(u)

Fc(u + y)

setzt

1 dFc (u) Fc 00 d-Fc (m)

du

Fc{u)

Fc (u + y) du dFc (u + y)

du

dFc(u + y) _    __

W cpj 00

)-Fc{u)Fc(u ₊ y)(l<P.W + ЭД = 0.

Der Ausdruck auf der linken Seite der letzten Gleichung lässt sich nun in eine nach ganzen (positiven und negativen) Potenzen von и fortschreitende Reihe entwickeln, welche jedenfalls convergirt, wenn der absolute Betrag von и grösser als u₀ ist; die Coefficienten dieser Reihe müssen aber, da die Gleichung für jeden zwischen bestimmten Grenzen liegenden reellen Werth von и gilt, nach dem oben angeführten Hülfssatze sämmtlich gleich Null sein.

Daraus folgt, dass die vorstehende Gleichung für jeden (reellen oder complexen) Werth von u, dessen absoluter Betrag grösser als u₀ ist, besteht. Dies ist aber nur möglich, wenn у eine ganze Zahl ist. Nimmt man nämlich eine ganze positive Zahl w, die > u₀ ist, so an, dass 9 (— n) einen von Null verschiedenen Werth erhält, und setzt и — —щ so reducirt sich die linke Seite der Gleichung auf

%(- ») *’«(-»+у) (тг)^

und dies Product hat stets einen von Null verschiedenen Werth, wenn y keine ganze Zahl ist.

Hiernach ist die Annahme, dass die Reihe

wenn der Grösse у ein nicht ganzzahliger Werth beigelegt wird, für irgend einen endlichen Werth von и convergire, unstatthaft.

Damit soll jedoch keineswegs behauptet werden, dass die Differenz zwischen (u, + l)y und der Summe mehrerer der ersten Glieder der vorstehenden Reihe, wenn и ohne Ende wächst, nicht kleiner werden könne, als jede gegebene Grösse. Indessen leuchtet ein, dass sich aus der in Rede stehenden Reihe hinsichtlich der Eacultät (u, + oc)y, namentlich was das Verhalten derselben betrifft, wenn der Quotient unendlich klein wird, ohne Betrachtung des Ergänzungsgliedes, welches der Reihe hinzuzufügen ist, sobald man sie mit irgend einem Gliede abbricht, durchaus keine sicheren Schlüsse ziehen lassen. Ein brauchbarer Ausdruck für dieses Ergänzungsglied dürfte sich aber nur mit Schwierigkeit ermitteln lassen.

8.

Ich gehe jetzt zu den Entwickelungen von

(u + lc, -f x)y und (u + 7c, — x)‘

sowie von

log (u, + xf und log (и, — xf

über, welche in dem erwähnten Grelle’sehen »Memoire« aus der daselbst als allgemeine Taylor’sehe Reihe aufgestellten Entwickelungsformel hergeleitet worden sind. In der Gestalt, wie diese Entwickelungen dort gegeben sind, ist ihre Richtigkeit ausser Frage, indem sie identische Umgestaltungen der darzustellenden Functionen sind, und dem allgemeinen wten Gliede jedesmal der ergänzende Rest beigefügt ist. Anwendbar sind sie jedoch nur, insofern sich dieses Ergänzungsglied der Grenze Null nähert, wenn n ohne Ende zunimmt. Ob dies der Fall sei, lässt sich in den meisten Fällen aus der Betrachtung des Ergänzungsgliedes selbst nur schwer erkennen (es dürfte vielleicht möglich sein, den in Rede stehenden Rest durch ein bestimmtes Integral auszudrücken, welches eine leichtere Beurtheilung seines Betrages zu-

Hesse), indem der am angeführten Orte zu diesem Zwecke aufgestellte Satz, wie es von dem Verfasser selbst in einer späteren Abhandlung über denselben Gegenstand bemerkt worden ist, nur dann gilt, wenn die Reibe mit irgend einem Gliede abbricht. Aus dem blossen Umstande aber, dass die Summe der n ersten Glieder, wenn n ohne Ende wächst, sich einer bestimmten endlichen Grenze nähert, lässt sich bei einer Reihe von dieser Form nicht schliessen, dass sie der zu entwickelnden Grösse gleich sei. Denn gesetzt, es bestehe für eine bestimmte Function F(x) und für alle einem gewissen conti-nuirlichen Bereiche angehörigen Werthe von x und x + k wirklich die Gleichung

r = + CO I

F(x + k) = F(x)+ 2

V = 1    (

(*,-*)’ VF(x))

(U+i)v wo « eine Constante bedeutet und Ax = и zu nehmen ist; so sei ф(а?) eine der Bedingung

<\>(х + а) = <K#)

genügende Function und

Dann convergirt, indem

AvFt(x) = <h(x) AvF(x)

ist, für die genannten Werthe von x und x + k auch die Reihe

(k,-*y AvFi(x) )

(l,+l)v    i’

dieselbe ist aber gleich    + also nur dann gleich F^x + k), wenn

+    = $(x)

ist, was bei einem bestimmten Werthe von x nicht für alle einem continuir-lichen Bereiche angehörigen Werthe von к stattfinden kann.

Wenngleich hiernach die Benutzung der in Rede stehenden Entwickelungsformel in den meisten Fällen nicht ohne Schwierigkeit ist, so bleibt sie doch jedenfalls ein treffliches Mittel, um für manche Functionen auf einem natür-Hchen und directen Wege Reihen-Ausdrücke zu erlangen, von denen man, nachdem sie gefunden worden sind, in vielen Fällen ohne Schwierigkeit nach-weisen kann, dass sie die zu entwickelnden Grössen wirklich darstellen.

Für die Function (и, —x)y erhält man, wenn man in der ersten Formel (70.)

yx

Aber es ist

also

(85.)

Д (u, + x)y — yx

(u, + x)y

(u + X, + x)y 1 = (w + X, + ж)⁻¹ (и, + x)y =

(u, + x)y

А (и, + x)y = yx (u + X, -f x)y 1.

Durch mehrmalige Wiederholung derselben Operation folgt hieraus : Д n(u,+x)y = xn(y,—l)n(u + nx, + x)y~n.

(86.)

Aber es ist

(u + flX, Ą-х)

y-n

— (u + nx, + x) ⁴ (u, + x)y —

(u, +xY

also

(u, + X)

(87.)

An(u, + x)y = х>г(у,-1)

« (u,+x)y

(и, + x)n

inan

Für die Function (u, + xf hat zieht und А и = x setzt:

wenn man das Zeichen Д auf и be-

(u — x,—x)y—(u,—x)y _

(u, — x)y

u + x statt и setzt und Ди = x nimmt

Д(м, —x)y =

yx

~(u + x,—x)y — yx(u, — x)y~l,

woraus weiter

(88.)

Д n(u,—x)y = xn(y, — l)”(w, — x)

= %n(y,-r)

y-n

(u, — xj

folgt.

(u — yx + X, + x)n

Die angeführte Entwickelungsformel giebt nun

(y> ~"¹)*> ß, -x)

(1, + 1)W (u, + x)

Rn das Ergänzungsglied bezeichnet, auf dessen Ausdruck es hier nicht weiter ankommt. Wenn у eine positive ganze Zahl ist, so bricht die Reihe mit dem (f/+l)ten Gliede ab und giebt den vollständigen Ausdruck für

wo

1.2

u (u + x)

»j+Aï

(u + Je, +x)y. In jedem andern Falle aber ist die Zahl ihrer Glieder unendlich, und es ist zu untersuchen:

erstens, unter welchen Bedingungen die Reihe dann eine endliche Summe habe; und

zweitens, ob diese Summe wirklich gleich (u + k, + xf sei.

Es werde (für n = 0, 1,----1- oo)

gesetzt; dann ist

^W—1

y — n + 1 Ji — WX + X и + ПХ — X

=    *±£)Л + “=5Г

V n )\ ПХ ] \ ПХ )

1-

u + Je

y +-+ 1

J X

Die Reihe 2 К hat daher nach dem Satze (§ 5, VII, 2) eine endliche Summe,

sobald der reelle Theil von

positiv ist.

Nun ist, wenn x = 1 gesetzt wird

(u + Je, + 1    _ _

(м, + 1У {и, + l)J(w> + 1)

(u, + 1)

У+Ь

Bezeichnet man diesen Ausdruck durch cp(A), so ergiebt sich nach Gleichung (57.)

v{u + l) =

(u + y + Je) и

(u + y) (u + Je)

? (*0

und nach Gleichung (58.)

Lim cp (и + n) = 1.

n = +oo

Setzt man daher

(i, + i№ + i)v

} = h(M)>

so ist zu untersuchen, ob bei bestimmten Werth en von y, Je für alle diejenigen Werthe von u, für welche die Reihe eonvergirt, ebenfalls die Re-

lation

(и + У + Je) и

(u + y) (u + Je)

<Pi(u)

sich ergebe. Ist dies der Fall, so hat man

?i0 +1)    ₌    ?i(«).

cp (w + 1) cp (m) ’

woraus weiter, für jeden ganzzahligen Werth von n,

ср^ц + м) _ cpt(u) cp (м + w) cp (u)

folgt. Daraus folgt, da auch Lim cp (и Л-n) = 1 ist,

n = + CO

= ?(«),

d. h. es besteht die Gleichung

(90.)

(m, + 1)

y+k

(и, + 1/(м, + l)⁴

-, , yfe I yQ-¹)    , уСу-¹)^-²) Je (Je-1) (Je-2)

⁺    1.2 w (m + 1)    1.2.3 и (m +1) (m + 2)

für alle diejenigen Werthe von «f, ?/, ü, bei denen u + y + Jc eine positive, oder auch eine complexe Grösse mit positivem reellen Theile ist. Wird dann — statt и und — statt Je gesetzt, so ergiebt sich die Richtigkeit der Gleichung

X    X

(91.) (.+»,+./ = („, +xy{1+ У± + УMbÈ.о.    *(*-«)(*-»»)

1.2

г« (m+æ)

1.2.3

м(м+#)(«+2я)

für die angegebenen Werthe von w, ж, у, Je, bei denen die Reihe convergirt. Die fragliche Relation für cp^u) lässt sich aber folgendermassen erweisen. Es ist, wenn man in dem obigen Ausdrucke für tn der Grösse x den Werth 1 beilegt,

?iO) = 2 Ki

V zzz 0

und aus dieser Gleichung ergiebt sich

indem sich tv in

— t verwandelt, wenn ил-i statt и gesetzt wird.

иЛ-v V    ⁷    °

Nun

u(y+l)

ist aber

K+l

(y — v)(k — v)

(y + 1) (w + v)

tv>

also

vutv

V = + 03

(u i _ y» (v+ 1)ц^₊₁    _ у, ______________

^    '    * = o {y — v)(l — v) r = i (У~ V+1)(Ä — V+l)

indem in der letzten Reihe das Glied, in welchem v — 0 ist, sich auf Null reducirt. Es ist aber

r = + oo

V = +00

vutv

»So (y—V+!)(&—v+l)

1/M

(2/ —1/+1) (/c —v +1) (Ä — y)(y — v + l)    (y — k)(k — v+l)

und daher

/.. i i\ у    u(y ~ь i)К

^    »So (Ä —y)(y —V+l)

t = +0O

V = +QO

(y — Jc)(k — v+ 1)

Ferner ist

(y — v) ty =

(v + 1) (u + v)

li — V

v+l >

also

T(y-v)K =

mithin

v = + со /

Je —v + 1

2 2/“v

r = 0 \

Aber es ist

y-

v(u + v — 1)

V--5--—-

ft— v+l

— (u + y + Jc) —

(& + 1) (w F к)

ft — v + 1

mithin

V = + 03

y = + oo

2 (u + y+k) tv — 2

(Je + 1) (и + ft)

r == 0

oder

V = + oo

и + /г

У (ft+ 1K. _ Ц + у +

^ ft — v + 1

Vertauscht man in dieser Gleichung & und у mit einander, so erhält man weiter:

Г = + 03

(у +1) ty, u + y + k

— V+l

~f,W,

U (u + ljĄ- li)

ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN.

und durch Verbindung beider Gleichungen, indem y\ (fc+ l)

r = о к — V + 1

ist, die zu beweisende Relation

r = + co

r = + co

(У + 1) tv _ y — l — v+ 1

<P|(W+ 1) =

(w + y)(u + Jc)

Die Formel (90.), eine der wichtigsten in der Facultäten-Lehre, findet sich in der oben (Seite 189) erwähnten Abhandlung von Gauss, wenn auch in etwas anderer Form; ich habe sie hier hergeleitet, ohne die allgemeinen Relationen, aus denen sie dort hervorgeht, vorauszusetzen.

Die Reihe für (u + k, — xJJ lässt sich auf ganz ähnliche Weise finden, noch leichter aber aus der vorhergehenden herleiten, indem nach der ersten Formel (82.)

(u + li, — Х)У — (îl + li — (y— l)x, + x)y

ist, und daher in (91.) nur (u, +£f in (u — [y — l)x, + x)J = (uf — xf zu verwandeln und in der eingeklammerten Reihe u — (y — l)x statt и zu setzen ist. Da nun aber, nach (74.) und (82.),

(и, — x)y

(u, — xf

(u — (y—l)x, + x)n (u — yx + nx,—x)n

= (u,-xy-n

ist, so ergiebt sich

(92.) (u + Jc,—xf = (u, — x)y+y{u,—x)y~lk +

yiy-¹)

1.2

(u,—x)y 2к(1с — х)

yjy-^iy-²)

1.2.3

(u,—x)y 3lc(k — x) (lc — 2x) H-----

Dem Obigen zufolge gilt diese Reihe für alle Werthe von u, x, y₎ k, bei denen der reelle Theil von    + У =    +1 positiv ist.

x

Dagegen ist die von Kramp u. A. aufgestellte Gleichung

V = + CD /

(« + i, + i)'= S

r = 0 \

(u + k, + l)y auf ähnliche Weise, wie im

zu welcher man gelangt, wenn man Vorhergehenden entwickelt, aber Aw = -1 setzt, im Allgemeinen unrichtig.

Weil nämlich

(u, + lf-\Je, + iy =

_ («, + l)»(L, + l)' (u -\r y — V, + l)v

₌ (u, + lf(Je, + l)v ₌ (u, + lf(-Je,-iy

(l-u-y, + l)v

(u + y-l,-l)v

ist, so hat in Folge der Gleichung (91.), wenn in dieser 1 — u — y statt щ ferner —Je statt Je und x = 1 gesetzt wird, sobald der reelle Theil von 1—u—Je positiv ist, die Reihe auf der Rechten der vorstehenden Gleichung den Werth

₌ («> + l f

(l-u-y, + iy

(—u — 7e, — if.

Es ist aber¹)

(u, + l)y _ _

(—u,—l)1J Fc(u + y) Fc (1 — u—y) sin (и + у)-к ’

und es ergiebt sich demnach an Stelle der obigen Gleichung die folgende:

Fc (u) Fc(l — u)

sin (utz)

v = o ( (1J + 1)

(u + Je, + 1)'J J

wie dies bereits Ohm²) bemerkt hat.

Man hat hier ein treffendes Beispiel zu dem oben Gesagten, dass man beim Gebrauch der Formel

F (u + Je) = F(u) +

AF (и)

Att

Je +

A² F (u) h (Je-Au)

Au²

AnF(u) (Je,-Auf

(1, + 1)

A un

n F R)i

nicht schliessen dürfe, es sei Rn — 0 für n = oo, sobald die Summe der n ersten Glieder bei stets wachsendem Werthe von n sich einer bestimmten Grenze nähert.

Aus (91.) folgt

(Je-x)(Je- 2x) и (и + x) (и + 2x)

У (У-1) к-х 1.2 и (и + х)

Nimmt man nun an, es sei der relie Theil ~ + y positiv, und lässt Je unend-

1 f(u + 7e, + x)

л V

(u, + xj

S p®2

1.2.3

(96.)

ДП-1

(1, + iy-

{u, +x)n

für Дм = x:

folglich ist

(97.)

61og(M,+aQy ₌ y_ y(y-l) д (1\ du    и '    1.2    \u)

У(у-1)(у-2)

1.2.3

A²

Ш+-

ÜBER DIE THEORIE DER ANALYTISCHEN FACULTÄTEN.

lieh klein werden, so ergiebt sich aiog(M, +xf __ y y(y-l)

(94.)

du

1.2

У(У-*)(у-2)

2xa

u{u + x)

, ,    (».-If (1,+ 1)"- r

¹⁴    >    (1, + X)» («, + *)»

1.2.3

и (м + яг) (w + 2a?)

4-...

гы §

У {у-¹)

м (м + ж)

У(у-1)(у-2)

ж²

Nun folgt aber aus und u + x statt и setzt:

w (w -f х) (iи + 2х)

der Formel (87.), wenn man in derselben n — 1 statt n

(95.)

An~\u + x, +x)y — (у, — 1)

{u + x, + x)yx (u -f X, + X)и~‘ ’

n—i

für Au = X

und hieraus, wenn man у = — 1 setzt :

Мд.н/11

(1, + 1)и w

Legt man nun, bei gegebenen Werth en von x, y, der Grösse г« nur solche Werthe bei, für welche nicht nur der reelle Theil von ~ + y, sondern auch der reelle Theil von — positiv ist, so sind die Ausdrücke auf beiden Seiten dieser Gleichung stetige Functionen von u, und man erhält durch Integration:

(98.)

log(w, +x)y — у log« 4-

yiy-¹)

1.2

A log и -f

?/(y-l)0-2)

1.2.3

A² log u-i—

У log X

gleich der in dem Ausdrucke (60.) von (u,+x)y vorkommenden Potenz xy ist. Ferner setze man, wenn w eine Grösse ist, für welche der

in welcher Gleichung die Werthe der darin vorkommenden Logarithmen folgendermassen zu fixiren sind. Man bestimme den Werth von log x so, dass e

reelle Theil von ~ einen positiven Werth hat,

log w — log X + log

und lege dem Logarithmus von ~ dessen Hauptwerth*) bei. Dann wird einer der Werthe von log(u, + xY durch die Formel

£* = •+'00 /    / ]\)

ylogx-hlogu—log{u + xy)+ 2 V-Og(u + UX) — \og(ll + (y + tt)x)Jrylog\l + ~J^ (wo dem Logarithmus von 1 + sein reeller Werth beizulegen ist) dargestellt, und dieser wird durch die Gleichung (98.) gegeben, wenn man auch in dem Ausdrucke auf der Rechten die Werthe der Logarithmen

logM, log(w + Æ), log (u + %x), ..

aus denen die Glieder desselben zusammengesetzt sind, so, wie bestimmt worden ist, fixirt.

Auf diese Weise definirt, sind nämlich beide Seiten der genannten Gleichung stetige Functionen von u, welche der Gleichung (97.) zufolge nur um eine von и unabhängige Grösse von einander verschieden sein können.

Setzt man ferner, unter v eine ganze positive Zahl verstehend, и = vx, so werden die Grössen

A²logw, . . .

log(t<, +x)y— ylogu, Alog«j

sämmtlich unendlich klein für einen unendlich grossen Werth von v\ es muss also die genannte Grösse gleich Null sein.

Da

(u, +x)

?/+>■

= (u, +xf(u + yx, + x)v = (u,+x)v(u + vx,+x)y,

also

7 {U + VX,+ Xf

(u, +xf =

(u, +x)v

(u + yx, Ą-х)

ist, und man die ganze positive Zahl v so gross annehmen kann, dass die

*) Ist £ eine positive und rj eine beliebige reelle Grösse, so ist der Hauptwerth von log(£ + yji) gleich

Ylog(£²+7]⁸) + tarc.tg^kj? wo dem Logarithmus von ($² + V) sein reeller Werth beizulegen und der

Arcus zwischen

""2

— und +A anzunehmen ist.

2*

и    , и

■—\-v und —b V + у ОС    ос

beide positiv sind, so folgt, dass die Formel (98.) in allen Fällen zur Berechnung von (u,+x)y ausreicht.

ergiebt sich ferner, wenn die

(u + x,+x) y

reellen Theile von

Aus der Gleichung {u, — x)y = reellen Theile von

и _    ,

--hl und

beide positiv sind:

(99). log(w, — xf = y\og{u+x)—

y{y+1)

Alog(w+#) +

n—i (y i + fT

(i, + i)w

wo wieder, wie in (96.), А и — x zu setzen ist. Ferner hat man

{u-xTv

1.2

y{y+1) (y + 2)

1.2.3

A²log(w+ x)----

+ (-l)

Ди łlog(w + p) + *..,

— (w , — xf (u — yx, — x) ’’ =

(u, —x)

(u — yx + x,+x)

(u,-x)

y-v

= (u,—x) '(u + vx, — xf =

(и + vx, —x)

also

(u ~h X, ~h x)

(100.)

(u — yx + X, + xf

{u,-x)y =

(U -h X, -b xf

(и + vx, —x)

und es lässt sich wieder in allen Fällen v so gross annehmen, dass die Formel (99.) zur Berechnung von (и,— xf benutzbar ist.

9.

Um eine Anwendung der im vorhergehenden Paragraphen entwickelten Formeln zu geben, will ich daraus die Ausdrücke der trigonometrischen Functionen durch Facultäten herleiten.

Man hat, wenn sin^ — z gesetzt wird,

1 8Z

u = г+*у ⁺

1.3.5    s¹

2.4.6    7

1.3    ł

2.4    5

für alle reellen Werthe von и zwischen den Grenzen —утс und    diese

selbst nicht ausgeschlossen.

I.

28

Substituirt man nun, unter m eine ganz beliebige (complexe) Grösse verstehend, den vorstehenden Ausdruck von и in die Reihe

1 + (mi) и + {mi)²

1.2

+ (mi)³

MS

mi

1.2.3

und entwickelt dann die Formel nach Potenzen von $, so muss die daraus hervorgehende Reihe, die von der Form

« = + 00

« = + 00

2 aa#a = 2 ß«sin“ ««

а = о

ist, in Folge des Satzes 5,B) (§7) ebenfalls für alle jene Werthe von и convergiren, und die Gleichung

а = + со

e”* = 2 «а sin“ w

а = о

bestehen.

Nachdem auf diese Weise die Bedingung, unter welcher die vorstehende Gleichung gilt, festgestellt ist, kann man sich zur Bestimmung der Coeffi-cienten aa irgend einer passenden Methode bedienen. Man erhält z. B. durch zweimaliges Differentiiren der Gleichung nach u, indem

d sin“ и

du

= a sin“ ¹ u cos и

d² sin“u

du²

ist,

—    a{a— 1) sin“ ²u cos² u — a sin“ и

—    а {а — 1) sin“"²« — а² sin“ и

U— + 00

— m² ënm — 2 aa (a (a ~ 1) sin“ ² u — u² sin“ и)

a = 0

Ci ~ + CD    Çj — + CO

= 2 ((а+2)(а+ l)aa+2sinuu)- 2 (u²aasin“t()

« = 0    a = 0

oder

а = + оо i «*“ = 2

es muss also

(«+!)(« + ²) ««*+») =

««,

(« = 0, 1, ••• +oo)

oder

а² — m²

(a + 1) (a + 2)

««

sem.

Hieraus ergiebt sich (für v — 0, 1, —bco)

«2V =

ß"4(

— — m. — 1

= -1)

= (-1)’

®2V+1

mi\l

v (m, — 2)v (m, +2)v

(2, + 2/ (1, + 2)v

(m,—2)v(m, +2)v

(i,+ir

—T’ ~¹

-l)

= (-1)

v mi(m— 1, — 2)v(m +1, + 2)v

(!> + !)

2V-H 1

indem dann wirklich

«■2V

(m — 2(v — 1)) (m + 2(v — 1)) _ (2v—2)

^2V — 2

&2V+1    _

^*2V— 1

(2v—1) 2v

(2v— 1) 2v

(m— 1 — 2(v — l))(m + l + 2(v— 1)) _ (2v—l)² — m

2v (2v +1)

■i

2v(2v+l)

ist, und durch Substitution der Reihe и = sin ил— in die Reihe für e e = 1, a = mi findet. Man hat daher

mui

sich

(101.)

У m •+• oo

cos (mu) =    2

у z= 0

2m’

-1

-1

Sin2v 24

V rr= -f* CO /

S M

v («*, — 2)v(m, +2у

(1, + ir

sin2vM

(102.)

у = 4* со

Sm(wm) = W 2

r = 0

—m — —

sin2v+1M

r = + 00 /

= W s (-¹)

v = 0 l

v (w— 1, — 2)v(m + 1, + 2)v

2V+1

sin2v+1wj

für jeden Werth von m, und für alle diejenigen reellen Werthe von u, die nicht ausserhalb des Intervalls — yu und + утс liegen.

Setzt man nun и — — тс, und 2m statt m, so erhält man durch Vergleichung der so sich ergebenden Ausdrücke von cos (mir), sin(mTr) mit der

1    3

Formel (90.), indem man in dieser w = —, у — m, к = — m, und auch ti = -, - setzt:

-»n J

! cos (mir) —

(103.)

2ш

sin (штг) =

(W

oder, weil

( ,+1)

CO |(M

—-1

±/ 3 \w_i

¹

S. d. folg. §.

²

System der Mathematik, Tkl. 2, S. 89.

(l, +1)²    + lj ,

ist

JL

4m(l, + l)² (1, +1)²

sin (ттг) =

Dividirt man diese Gleichung durch m und setzt darauf m — 0, so ergiebt sich:

(104.)

(l, + l)+w(l, + l)-”‘

(105.)

und daher (106.)

Da nach (83.)

sin(mTc) =

nnr

(1, + !)-'" (1, + l)+m

(109.)

und, da

|(M

b—¹■

Cb

T-l <M

ist :

cos (ттг) = ~Fc + w¹j Fc — wj

übereinstimmend mit (107.), wenn man dort m + — statt m setzt.

Alle diese Formeln¹) gelten, nach der hier gegebenen Ableitung, für jeden reellen und imaginären Werth von m.

(107.)

(108.)

Утг =

Fc

AKADEMISCHE ANTRITTSREDE

gehalten in der öffentlichen Sitzung der Berliner Akademie am 9. Juli 1857.

Unsere heutige öffentliche Sitzung ist die erste, in welcher ich mich freue, eine Pflicht erfüllen zu können, der ich schon längst gern nachgekommen wäre.

Indem die Akademie mich der Ehre würdig gehalten, als Mitglied in Sie aufgenommen zu werden, hat Sie meinen wissenschaftlichen Bestrebungen eine Anerkennung zu Theil werden lassen, für die ich mich gedrungen fühle, Ihr meinen aufrichtigsten und wärmsten Dank auszudrücken. Wohl wissend indess, wie weit meine unter Hemmungen mannigfaltiger Art entstandenen Arbeiten von dem einst in der Begeisterung der Jugend etwas weit gesteckten Ziele, zu dem ich sie hätte führen mögen, entfernt geblieben sind, täusche ich mich nicht darüber, dass nicht sowohl meine bisherigen Leistungen, sondern hauptsächlich nur die von wohlwollenden Beurtheilern daran geknüpften Erwartungen die Akademie bei Ihrer Wahl haben leiten können. Dem Vertrauen, welches Sie mir dadurch bewiesen, einigermassen zu entsprechen, wird für mich keine leichte Aufgabe sein; ich kann nur die Versicherung geben, dass ich an ihre Lösung meine ganze Kraft setzen werde.

Ich habe nun in wenigen Worten den Gang meiner bisherigen Studien anzudeuten, und die Richtung zu bezeichnen, in welcher ich auch fernerhin fortzuschreiten mich bemühen werde.

Ein verhältnissmässig noch junger Zweig der mathematischen Analysis, die Theorie der elliptischen Functionen, hatte von der Zeit an, wo ich unter der Leitung meines hochverehrten Lehrers Gudermann, dem ich stets eine dankbare Erinnerung bewahren werde, die erste Bekanntschaft mit derselben machte, eine mächtige Anziehungskraft auf mich geübt, die auf den ganzen Gang meiner mathematischen Ausbildung von bestimmendem Einflüsse geblieben ist. Die von Euler begründete und von Legendre mit Eifer und Erfolg, aber in zu einseitiger Richtung weitergeförderte Disciplin hatte damals seit etwa einem Decennium eine gänzliche Umgestaltung erfahren durch die Einführung der von Abel und Jacobi entdeckten doppelt-periodischen Functionen, in denen die Analysis eine neue, durch höchst merkwürdige Eigenschaften ausgezeichnete Gattung von Grössen gewonnen, welche alsbald auch auf dem Gebiete der Geometrie und Mechanik die vielfältigsten Anwendungen fanden, und auch dadurch den Beweis lieferten, dass sie die gesunde Frucht einer naturgemässen Fortentwicklung der Wissenschaft seien. Nun hatte aber Abel, der gewohnt war, überall den höchsten Standpunkt zu nehmen, ein Theorem hingestellt, welches alle aus der Integration algebraischer Differentiale entspringenden Transcendenten umfassend, für diese dieselbe Bedeutung hatte wie das Euler’sehe für die elliptischen. In der Blüthe seines Lebens dahingerafft, hatte er selbst seine grosse Entdeckung nicht verfolgen können; es war aber Jacobi gelungen, eine nicht minder wichtige daran zu knüpfen, indem er die Existenz periodischer Functionen mehrerer Argumente nachwies, deren Fundamental-Eigenschaften in dem Abel’schen Theorem begründet sind, wodurch zugleich der wahre Sinn und das eigentliche Wesen desselben aufgeschlossen wurden. Diese Grössen einer ganz neuen Art, für welche die Analysis noch kein Beispiel hatte, wirklich darzustellen und ihre Eigenschaften näher zu ergründen, ward von nun an eine der Hauptaufgaben der Mathematik, an der auch ich mich zu versuchen entschlossen war, sobald ich den Sinn und die Bedeutung derselben klar erkannt hatte. Freilich wäre es thöricht gewesen, wenn ich an die Lösung eines solchen Problems auch nur hätte denken wollen, ohne mich durch ein gründliches Studium der vorhandenen Hülfsmittel und durch Beschäftigung mit minder schweren Aufgaben dazu vorbereitet zu haben. So sind Jahre verflossen, ehe ich an die eigentliche Arbeit gehen konnte, die ich, gehemmt durch die Ungunst der Verhältnisse, auch seitdem nur langsam zu fördern vermocht habe. Wenn ich aber gleichwohl so glücklich war, zu einigen Resultaten zu gelangen, welche die Akademie mit Ihrem Beifall geehrt hat, obgleich ich sie erst in unvollkommener Gestalt habe veröffentlichen können, so brauche ich wohl nicht ausdrücklich anzugeben, in welcher Richtung das Ziel liegt, wohin sich zunächst nun meine Bestrebungen werden richten müssen.

nur

Glücklich aber würde ich mich schätzen, wenn ich späterhin aus meinen Studien auch für die Anwendungen der Mathematik, namentlich auf Physik, einigen Gewinn ziehen könnte. Ich habe schon angedeutet, dass es mir keineswegs gleichgültig ist, ob eine Theorie sich für solche Anwendungen eigne oder nicht. Dabei fürchte ich nicht, dass man mir vorwerfe, es werde die Bedeutung, welche die Mathematik als reine Wissenschaft mit vollstem Rechte beansprucht, herabgesetzt, wenn ich sie ganz besonders auch darum hochstelle, weil durch sie allein ein wahrhaft befriedigendes Yerständniss der Naturerscheinungen vermittelt wird. Niemand zwar kann bereitwilliger als ich es anerkennen, dass man den Zweck einer Wissenschaft nicht ausserhalb derselben suchen darf, und dass es nicht nur ihre Würde beeinträchtigen, nein, dass es geradezu an ihr sich versündigen heisst, wenn man, statt sich ihr mit vollster Liebe und Hingebung zu widmen, nur Dienste von ihr verlangt, nur sie brauchen will für irgend eine andre Disciplin oder für die Bedürfnisse des Lebens, und darum wohl gar sich vermisst, der weiterschreitenden Forschung ihren Weg vorzeichnen zu wollen, und jede Richtung verwirft, die nicht sofort zu practisch verwerthbaren Resultaten zu führen scheint. Ich meine aber, es muss das Yerhältniss zwischen Mathematik und Naturforschung etwas tiefer aufgefasst werden, als es geschehen würde, wenn etwa der Physiker in der Mathematik nur eine wenn auch unentbehrliche Hülfsdisciplin achten, oder der Mathematiker die Fragen, die jener ihm stellt, als eine reiche Beispiel-Sammlung für seine Methoden ansehen wollte. Ich darf jedoch heute diesen Gegenstand, der mir allerdings sehr am Herzen liegt, nicht wTeiter verfolgen. Auf die Frage aber, die ich schon vernommen, ob es denn wirklich möglich sei, aus den abstracten Theorien, welchen sich die heutige Mathematik mit Vorliebe zuzuwenden scheine, auch etwas unmittelbar Brauchbares zu gewinnen, möchte ich entgegnen, dass doch auch nur auf rein speculativem Wege griechische Mathematiker die Eigenschaften der Kegelschnitte ergründet hatten, lange bevor irgend wer ahnte, dass sie die Bahnen seien, in welchen die Planeten wandeln, und dass ich allerdings

I.

29

der Hoffnung lebe, es werde noch mehr Functionen geben mit Eigenschaften, wie sie Jacobi an seiner 0-Function rühmt, die lehrt, in wie viel Quadrate sich jede Zahl zerlegen lässt, wie man den Bogen einer Ellipse rectificirt, und dennoch, setze ich hinzu, im Stande ist, und zwar sie allein, das wahre Gesetz darzustellen, nach welchem das Pendel schwingt.

ÜBER DIE INTEGRATION ALGEBRAISCHER DIFFERENTIALE VERMITTELST LOGARITHMEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 26. Februar 1857.)

Das erste diesjährige Heft des Liouville’sehen Journals [2e Série, T. II, p. 1] enthält eine Abhandlung von Herrn TschebyschefF, in der ein Verfahren entwickelt wird, um bei einem vorgelegten Differentiale von der Form

p dx

\JR

ten

Grades von x, p aber eine beliebige rationale

wo jR eine ganze Function 4 Function bedeuten soll, zu entscheiden, ob dasselbe sich durch Logarith-

integriren lasse oder nicht, und zugleich, wenn das Erstere der Fall

men

ist, die Integration wirklich auszuführen. Der Verfasser setzt dabei die Resultate einer früheren Arbeit voraus, in welcher er dieselbe Frage für den

Fall, dass der zu integrirende Ausdruck rational aus der unabhängigen Veränderlichen und irgend einer Wurzel einer ganzen Function derselben zusammengesetzt ist, behandelt, sich aber damit begnügt, zu zeigen, wie man den algebraischen Theil des gesuchten Integrals finden könne, und von den logarithmischen Gliedern die. Form anzugeben, ohne auf die wirkliche Bestimmung derselben einzugehen. Das ganz allgemeine Problem aber, ein algebraisches Differential logarithmisch zu integriren, wofern dies überhaupt möglich ist, hatte sich schon Abel gestellt, und war, wie aus einem wenige

29*

Monate vor seinem Tode geschriebenen Briefe an Legendre erhellt, zu bedeutenden Resultaten gelangt, wie es denn auch sehr wahrscheinlich ist, dass eben diese Untersuchungen ihn zu dem Theorem geführt haben, welches unter seinen grossen Entdeckungen vorzugsweise seinen Namen trägt. Allein es war ihm nicht vergönnt, seine Arbeiten abzuschliessen, oder auch nur die bereits gewonnenen Ergebnisse vollständig zu veröffentlichen, so dass sich in den von ihm selbst und nach seinem Tode herausgegebenen Abhandlungen nur einige besondere Fälle der in Rede stehenden Aufgabe behandelt finden. Die erste, welche hierher gehört, steht in den nachgelassenen Werken und beschäftigt sich mit der Reduction der elliptischen Integrale auf die kleinste Anzahl von Transcendenten. Sie ist offenbar eine seiner frühesten; die Darstellung ist noch wenig elegant, und die Lösung des gestellten Problems wird mehr auf dem Wege mechanischer, dem betrachteten Einzelfalle angepasster Rechnung, als aus allgemeinen Principien gewonnen. In einer anderen, im ersten Bande des Crelle’schen Journals veröffentlichten Arbeit wird die Frage beantwortet, unter welchen Bedingungen sich das Differential

p dx \jR

unter der Voraussetzung, dass R und p ganze Functionen von x seien, durch einen logarithmischen Ausdruck von der Form

log(

p + q\fR

p-qS/lR in dem p, q ebenfalls ganze Functionen sein sollen, integriren lasse; wobei sich der merkwürdige Satz ergiebt, dass dieses nur angeht, wenn der Kettenbruch, in welchen sich die Wurzelgrösse entwickeln lässt, periodisch ist.

An dieses Resultat nun knüpft Herr Tschebyscheff an, und gelangt, indem er R auf den 4ten Grad beschränkt, an die Stelle von p aber eine beliebige rationale Function setzt, so dass es sich jetzt um das allgemeinste elliptische Integral handelt, durch eine Reihe algebraischer Umformungen dahin, für dieses das zu lösende Problem auf das von Abel behandelte zurückzuführen.

von

Hierbei muss ich jedoch bemerken, dass bei der angegebenen Beschränkung der Aufgabe dieselbe eigentlich schon vollständig erledigt ist durch die Abel in seiner letzten leider unvollendet gebliebenen Arbeit in Betreff

der allgemeinsten unter elliptischen, logarithmischen und algebraischen Functionen möglichen Relationen entwickelten Principien, welche zugleich eine klarere und tiefere Einsicht in das Wesen der Sache gewähren, als man sie erhalten kann, wenn man ohne Rücksicht auf die Theorie der ganzen Gattung von Grössen, zu denen die betrachtete gehört, das gewünschte Resultat unmittelbar durch eine algebraische Rechnung, die nothwendig sehr complicirt wird, zu erreichen sich vorsetzt. Am einfachsten und übersichtlichsten gestaltet sich aber die ganze Untersuchung, wenn man, nachdem das vorgelegte Integral durch eine einfache Substitution auf die Form

F(x) dx

\jx{ 1 — x) (1 — lc²x)

gebracht worden, wo F(x) eine beliebige rationale Function von x bedeuten soll, x — sin² am и setzt, und nun dasselbe als Function von и betrachtet. Dann kann man ihm, unter Beibehaltung der in Jacobi’s Fundamenten gebrauchten Bezeichnungen, stets die Gestalt

V₀+    a₂W₂ + ••• + ßu + yE{u)

geben, in welcher Formel «, a₂, ..., ß, у Constanten sind, V₀ eine rationale

(oder x und \/#(l—#)(l—Wx)\ die Grössen

d sin² am и

Function von sin² am и und ВТ, ... aber Ausdrücke von der Form

dit

AxП (и, a) +    (и, &) + П (m, c) + • • •

Я₂П {и, а) + ^₂П(м, Ъ) + vjl(u, с) H----

Dabei

Я₂, ft₂, r₂, ... ganze Zahlen sind, bezeichnen.

in denen Al5    ..

darf angenommen werden, dass unter den Coefficienten «1?    ... keine Re-

*5

lation

mla₁ + m₂a₂-\----= 0

unter der Bedingung, dass    m₂, ... rationale Zahlen seien, bestehe.

Wenn sich nun der vorstehende Ausdruck soll durch Logarithmen aus-drücken lassen, so ist leicht zu zeigen, dass

2 n₂

Щ = — logFi + e^ Ж = -57— iog V₂ + e₂u

l₂a + ц₂Ъ + г₂с + --- =

m₂K+n₂K'i

in denen unter mx, ttx, tti₂, tt₂, ... ganze Zahlen zu verstehen sind. Und umgekehrt, wenn

Ä₂ ci + (i₂ b + v₂ c + • • •,

wo я , к,, ... ganze positive Zahlen, ex, e₂, ... Constanten, und V. V, ... rationale Functionen von sin² am и und

1 7    2"

aber werden

sein muss

d sin* am и

du

bedeuten. Dann

e~ 2w₁e₁« + 2w₁TF₁

ç—2 «₈ e₂w + 2naWa

eindeutige Functionen von u, welche die Perioden 2 К und 2K'i haben. Daraus erhält man sofort die Bedingungsgleichungen, welche die Parameter a, 6, c, ... erfüllen müssen, nämlich

X₁a + iilb + vlc + ’-- =

= rlt

= K, ...

ш₁ K+ n„ K'i

»i

Axa + fi₂b + vtc H----

sich auf diese Weise durch К und K'i ausdrücken lassen, so kann man vermittelst der Formeln für die Addition und Subtraction der Parameter bei der dritten Gattung der elliptischen Integrale die Grössen JV, IF, ... wirklich in der angegebenen Weise darstellen, wobei sich

ex = A₁F(a) + ft₁F(6) + vxE{c) +----

e₂ = X₂E(a) + [i₂E(b) + v₂E(c) +----

m₂E+n₂(K'—E’)i

«2

als rationale Functionen von

sin² am a,

sin² am b

sin² am c

und

d sin² am a

d sin² am b

d sin² am c

da

db

dc

ergeben. Substituirt man dann die vorstehenden Ausdrücke für Wx, ... in die Formel

V₀+a₁W₁ + a₂W₂ + --- + ßu + yE (u),

so müssen aus derselben sowohl и als E(u) fortfallen, wodurch man die weiteren Bedingungen erhält.

Es bedarf keiner Erinnerung, dass diese Bedingungen sich nun auch algebraisch durch die Constanten, welche in dem vorgelegten Differentiale unmittelbar Vorkommen, ausdrücken lassen. Die dazu nöthigen Algorithmen sind aber keine neuen, sondern solche, die den Elementen der Theorie der elliptischen Functionen angehören, wie überhaupt die im Vorhergehenden angedeutete Behandlungsweise des in Bede stehenden Problems den grossen Vortheil hat, dass sie nur die Fundamental-Sätze über die elliptischen Functionen voraussetzt, deren Kenntniss es möglich macht, das ausgesprochene Eesultat fast ganz ohne eigentliche Bechnung abzuleiten. Was noch zu wünschen übrig bleibt, ist ein directes Verfahren, um das betrachtete Integral auf die hier vorausgesetzte Form zu bringen. Die Methoden, welche dafür gewöhnlich angegeben werden, sind wenig brauchbar; sie lassen sich aber durch eine andere ersetzen, welche auf dem Satze von der Vertauschung von Argument und Parameter bei der dritten Gattung der elliptischen Integrale beruht, und die ihren Zweck vollständig zu erfüllen scheint.

Die Leichtigkeit aber, mit der sich in der dargestellten Weise für die elliptischen Transcendenten die Bedingungen, unter denen sie auf Logarithmen reducirbar sind, aus den Fundamental-Sätzen der Theorie ableiten lassen, hat mich veranlasst, dieselbe Untersuchung für beliebige algebraische Differentiale in ihrer ganzen Allgemeinheit wieder aufzunehmen. Seit geraumer Zeit beschäftige ich mich mit der Theorie der Transcendenten, die aus der Integration solcher Differentiale entspringen, in der Hoffnung, dass es mir gelingen werde, auch für sie alle die Probleme zu lösen, welche ich für eine besondere Gattung derselben in meiner Theorie der Abel’sehen Functionen behandle. Meine Bemühungen sind nicht ohne Erfolg geblieben; die wesent-

lichsten Schwierigkeiten, die und ich habe nur noch verhältnissmässig wenige Fragen zu erledigen, um die

zu überwinden waren, sind glücklich beseitigt,

die es sich handelt, und welche ein grosses

um

Lösung der Hauptaufgaben Gebiet der Analysis umfassen, zu vollenden. Das Abel’sche Theorem, welches eine wesentliche Eigenschaft der Integrale algebraischer Differentiale ausspricht, und die Lehre von den Perioden derselben — die nach meiner Über

zeugung das Fundament der ganzen Integral-Rechnung bildet, und aus der z. B., wie ich bei einer anderen Gelegenheit zeigen werde, das Abel’sche Theorem selbst als ein einfaches Corollar sich ergiebt — sind die hauptsächlichsten dabei zur Anwendung kommenden Hülfsmittel, so dass meine Bemühungen vor allen Dingen auf deren weitere Ausbildung und Fruchtbarmachung gerichtet sein mussten. Ich habe mich nun überzeugt, dass sie auch vollständig ausreichen, um alle Fragen, auf welche man bei der erwähnten Untersuchung geführt wird, zu beantworten, und zwar dem Principe nach eben so einfach, wie es bei den elliptischen Integralen möglich ist — ein Resultat, welches, denke ich, wenigstens diejenigen Mathematiker inter-essiren wird, welchen es Befriedigung gewährt, wenn es gelingt, irgend ein Kapitel der Wissenschaft zu einem wirklichen Abschlüsse zu bringen. Die Logarithmen sind die ersten und einfachsten transcendenten Grössen, zu welchen man in der Integral-Rechnung geführt wird; es ist daher die Frage, welche Integrationen mit ihrer Hülfe überhaupt können ausgeführt werden, eine unabweisliche, die freilich in den Lehrbüchern bis jetzt kaum berührt wird — auch nicht von den Autoren, die sich darin gefallen haben, einer mehr oder minder zweckmässigen Zusammenstellung der durch die Bemühungen Euler’s, Legendre’s u. A. gewonnenen Resultate den stolzen Namen eines Systems der Integral-Rechnung zu geben.

Für die Integrale von der Form

fF(x, \/R(x)) dx,

wo

R(x) eine ganze Function von æ, F eine rationale Function von x und \f~R(x) bedeutet, habe ich die Untersuchung bereits vollständig durchgeführt, und werde mir die Freiheit nehmen, die Ergebnisse derselben in einer folgenden Mittheilung der Akademie vorzulegen.

ÜBER EIN DIE HOMOGENEN FUNCTIONEN ZWEITEN GRADES BETREFFENDES THEOREM, NEBST ANWENDUNG DESSELBEN AUF DIE THEORIE DER KLEINEN SCHWINGUNGEN.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften

vom 4. März 1858.)

Wenn zwei ganze und homogene Functionen zweiten Grades Ф, ¥ von n Veränderlichen x^ x₂, ... xn gegeben sind, so ist es im Allgemeinen immer möglich, dieselben in der Form

Ф =

¥ = st + s₂ h₂ -\— + sn

dergestalt darzustellen, dass 0₂, ... die Quadrate homogener linearer Ausdrücke von x₂,    und s2l s₂, ... sn Constanten sind. Bezeichnet man,

unter s eine willkürliche Grösse verstehend, die Determinante von

s0> —¥

mit f(s), so sind bekanntlich s9i ... diejenigen Werthe von 5, welche

f(s) = 0

wie sofort daraus erhellt, dass sich яФ-¥, wenn man s einen

machen

dieser Werthe beilegt, durch weniger als n lineare Functionen von xx, x₂, ... %n ausdrücken lässt —, während die Coefficienten von dl5 ü₂, ... \ rational aus denen von Ф, ¥ und aus s1? sa, ... zusammengesetzt werden.

Diese Transformation von Ф, ¥ ist eine der interessantesten und wichtigsten

bei den verschiedenartigsten Unter

algebraischen Aufgaben, welcher man suchungen begegnet. Für den Fall, dass unter den Grössen sa, ... sn keine zwei gleiche sich finden, ist sie von Cauchy, Jacobi u. A. so vollständig

behandelt worden, dass wohl nichts zu wünschen übrig bleibt. Dagegen scheint es nicht, als ob den eigenthiimlichen Umständen, die eintreten, wenn die Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 nicht alle von einander verschieden sind, besondere Beachtung geschenkt, und die Schwierigkeiten, die sich alsdann darbieten, und auf die ich bei einer nachher näher zu besprechenden Frage aufmerksam geworden bin, schon gehörig aufgeklärt seien. Auch glaubte ich anfangs, es würde dies bei der grossen Zahl verschiedener Fälle, die Vorkommen können, nicht ohne weitläufige Erörterungen möglich sein. Um so erwünschter war es mir, zu finden, dass sich die von den genannten Mathematikern gegebene Lösung der Aufgabe in einer Weise modificiren lässt, bei der es ganz gleichgültig ist, ob unter den Grössen slt s₂, ... sn gleiche Vorkommen oder nicht.

1.

Es mögen Ф, ¥ zunächst keiner andern Beschränkung unterworfen werden, als dass die Determinante von Ф nicht Null sein soll. Man setze, mit «, wie überhaupt im Folgenden mit den ersten griechischen Buchstaben «, /3, y, eine der Zahlen 1, 2, ... n bezeichnend,

1 дФ

dW

2 dxa

_ II/

—    ¹ ai

dxa

und drücke xx, x₂, ... xn durch

зФ-W,, S0₂-¥a) ... $ФН — ¥w

aus. So erhält man

(1.)

= (swi

wo f(s)aß eine ganze Function von nicht höherem als dem {n— l)ten Grade bedeutet, und das Zeichen 2 andeuten möge, dass die Summation in Be-

. n ent-

(i

ziehung auf ß auszuführen, und dieser Zahl alle in der Reihe 1, 2, .. haltenen Werthe beizulegen seien. Dann ist

(2.)

In der Gleichung (1.) muss aber der Ausdruck auf der Rechten von 5 unabhängig sein. Entwickelt man ihn daher nach fallenden Potenzen von s, so ist nur der Coefficient von s° nicht Null.

In der Entwicklung von

f(*)gß

f(ß)

kommen ferner nur negative Potenzen von s vor; denn f(s) ist eine ganze Function nieü Grades von s, und der Coefficient von sn in derselben, der nichts Anderes als die Determinante von Ф ist, nicht Null. Bestimmt man daher zunächst den Coefficienten von 5° in der Entwicklung des genannten Ausdrucks, und bemerkt, dass

f(?) Jso f(s)

-№

s~l

ist, so ergiebt sich

(3.)

f f(s)

J«“¹

und wenn man den Coefficienten von s ¹ in derselben Entwicklung bestimmt,

GO

Sf(S)gß

f (s ) Js⁻¹

ß‘

Es ist aber

Ф = 2Фа*«

(5.)

V = 2*.*.-

Daher

(6.)

•№

ccß L f(S)

(7.)

-fis)

aß L

und in Folge von (4.)

(8.)

aß L

Sf(S)aß '

/ (S)    - S⁻¹

<*>«%•

Nun seien s ,    die von einander verschiedenen Wurzeln der

Gleichung f(s) = 0. Dann hat man, wenn F(s) eine beliebige ganze Function von s ₄ und

F(s) /'(«)

den Coefficienten von (s—s^) ¹ in der Entwicklung von Potenzen von s—s, bezeichnet,

г

F(s)

nach steigenden

(9.)

\1Ш

■ t (s) -

F(s)

fl — 1, ... VI

Wird daher für fi = 1, 2, ... m

(10.)

-5-M -S.M

ФЛ =*=

gesetzt, so hat man

Ф = ^ + 0₂ + --- + 0m

XF = 0i + 02 + ... + 0w.

Dies sind Transformationen von Ф und 4**, aus denen die Lösung der gestellten Aufgabe in allen Fällen

(11.)

wo

sie möglich ist, abgeleitet werden kann.

2.

dass unter den Grössen

Nehmen wir zunächst an, es sei m — n, so sl} s₂, ... sn keine zwei gleiche Vorkommen. (Man beweist leicht, dass dies im

Denn die Bedingungsgleichung, die erfüllt sein wenn die Gleichung f(s) — 0 gleiche Wurzeln haben soll, kann nicht etwa für beliebige Werthe der Coefficienten von Ф, ¥ bestehen, indem z. В

Allgemeinen der Fall ist.

muss

wenn man

hat

Ф = æî + tf*+ ••• + #»

T = Atx\ + A₂x\ +    + Anxl

ist.) Dann hat man, da

und АгтФ nicht oo wird für s =

f(s)

sf(sU

№aß

und

f(s)

aß

f(s„)

f(s)

uJ aß

folglich

(12.)

0 == s 0

ft    ft ft

und

(13.)

Ф = О.+ ^ + '-' + дн Ф = Sj^i+5₂0₂ + ••• + sM9-„.

Nach einem bekannten Determinantensatze ist ferner

f(S)aßf(S)ay-f(S)aaf(.S)ßy

gleich dem Producte aus f(s) und einer anderen ganzen Function von s, folglich für s =

(14.)

Aus den in dieser Gleichung zusammengefassten Relationen, in Verbindung mit der schon angeführten

(15.) ergiebt sich aber, dass d das Quadrat einer linearen Function von Фх, Ф₂, ... Фн ist. Auch erhält man sofort zur Bestimmung derselben die eleganten zuerst von Jacobi aufgestellten Formeln, nach welchen, wenn

(16.)

Уу

= öj Ф, + a₂ Ф₂ +----f- an Фм

gesetzt wird

(17.)

Y Y

«а «а =

f(Sy)aa

f\Sy) ’

Y Y

а ая —

а р

f(Sy)gß

Г (Sy)

ist. Endlich folgt aus den entwickelten Formeln

(18.)

К = 2rt«V

Y

3.

Nehmen wir nun an, es seien die Coefficienten von Ф, Ф* sämmtlich reell. Wenn dann auch $ , s₂, ... sn alle reell sind, so ist dies auch mit den Qua-238 ÜBER EIN DIE HOMOGENEN FUNCTIONEN ZWEITEN GRADES BETREFFENDES THEOREM, draten von yx, yi} ... yn der Fall, und man kann setzen

У\ —    У\ —    ••• У» =

wo zx, z₂, ... zn lineare Functionen von Ф1? Ф₂, ... Фм oder xx, x₂, ... xn mit reellen Coefficienten, jeder der Factoren ex, e₂, ... sn aber entweder +1 oder — 1 sein soll, so dass

(19.)

Ф = si^ + £₂^ + --- + sw<

W = Sl5₁^ + £î5₂^ + ... + £M5w< wird.

Kommen aber unter den Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 imaginäre vor, so seien diese die 2r ersten, und man setze

= Pi + Qih    = Pt-qJ, . . . s„.t = pr + qri, s„ = pr~qrh

wo Pii 4ii Pri Яг reelle Grössen sein sollen. Dann lässt sich in der Form

darstellen, wo zx eine lineare Function von Ф1? Ф₂, ... Фм ist, deren Coefficienten ebenso wie bx rational aus denen von Ф, ¥ und aus sx zusammengesetzt sind. Man hat also

⁰1 = (Sh + h₁i)(ul + vli)²,

wo gx, h reelle Constanten, und ux1 vx lineare Functionen von xx, ... xn mit reellen Coefficienten sind. Dann ist aber und daher

Öx + 0₂ = 2gx (u\ — v\) — 4Aj ux vl ⁵Л + ⁵Л = 2(g₁px-h₁q₁)(u²l-vl)-4:(g₁q₁ + h₁p₁)ulv1 = 2gr₁(ul-vtl)-M'₁u₁v₁.

Verfährt man ebenso, wenn r >* 2, mit & und d₄ u. s. w., so ergeben sich jetzt die Darstellungen

(20.) j

Ф = К -    «i V, + • • • + 2g r (u²r - V²) - 4 hr ur vr + w z\r+1 + ■•• + £„<

¥ = 2g[ (u² -v\)~ Щ «,», + ••• + 2^; («<² - «>*) - 4A; wr + s₂,₊₁s2r+14.₊₁ + • • • + еи sn z²,

in welchen Formeln jetzt alle vorkommenden Grössen reell sind. Eine Function

g (iи² — г²) + /шг;

wo g, Ifh beliebige reelle Constanten bedeuten sollen, kann für reelle Werthe von w, V sowohl positive als negative Werthe annehmen. Da nun die Functionen

uit vn • • • w,, vn *2r+t, ... zn

vor-

nothwendig unabhängig von einander sind, und auch hi nicht beide Null sein können, weil sonst die Determinante von Ф Null sein müsste, so wird man reelle Werthe von xt1 ... xn dergestalt bestimmen können, dass die stehenden Functionen alle Null werden, mit Ausnahme von ux) v₀ diese aber beliebig festgesetzte Werthe erhalten. Folglich wird Ф bei reellen Werthen von    ... un sowohl positiv als negativ werden können. Dasselbe lässt

sich von W sagen. Denn da st imaginär, also nicht Null sein soll, so ist auch

д[ + К¹ = (Pi + Qii) (ffi + Ki)

nicht Null, also sicher auch nicht jede der Grössen g[, h', was genügt, um für W denselben Schluss zu machen wie für Ф.

Hieraus folgt nun unmittelbar der wichtige, für den Fall, wo

Ф = xl + %l + --- + x*n

ist, zuerst von Cauchy, und später in directerer Weise von den Herren Borchardt und Sylvester bewiesene Satz, dass die Wurzeln der Gleichung f(s) — 0, vorausgesetzt zunächst, dass sich keine gleichen unter ihnen finden, nothwendig alle reell sind, sobald eine der Functionen Ф, W bei reellen Werthen von xt, xzl ... xn stets dasselbe Zeichen behält.

4.

nur

Gehen wir jetzt zu dem Falle über, wo die Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 nicht alle von einander verschieden sind. Die in den Formeln (10.), (11.) vorkommenden zusammengehörigen Functionen 0^ haben alsdann die Eigenschaft, dass sie sich, wenn eine Я fache Wurzel der genannten Gleichung ist, beide durch dieselben Я linearen Ausdrücke von xv xs, ... xn darstellen lassen. Aber es ist im Allgemeinen nicht möglich, dies so zu be-

werkstelligen, dass in beiden nur die Quadrate der neuen Veränderlichen kommen.

vor-

Hierzu ist nämlich erforderlich, dass 0 = s, 0 sei: und dieses findet nur statt, wenn eine Anzahl von Bedingungsgleichungen unter den

Coefficienten von Ф, f und s erfüllt sind, welche keine algebraische Folge derer sind, die ausdrücken, dass s eine mehrfache Wurzel der Gleichung f(s) = 0 ist.

Hier tritt nun aber ein sehr bemerkenswerther Umstand ein. Wenn nämlich Ф, Ф’ reelle Coefficienten haben, und überdies Ф für reelle Werthe von xi1x₂,...xn stets dasselbe Zeichen behält, so folgt hieraus allein, dass su stets eine (A—1)fache Wurzel sämmtlicher Gleichungen

fis)

a?

= 0

wird, sobald sie eine A fache der Gleichung f(s) = 0 ist. Dann aber hat man

(21.)

fis)

f(s)

aß _

/•( 1) I aß

/42) I aft

(И1)

aß

S — S₁    S — S.J

s-sm

wo u. s. w. von s unabhängige Grössen sind, und es ist

(22.)

sf(s)

aß

fiß)

aß

fis)

(.s-s,,)-¹

(23.)

0    = S fr

fi fi

Stellt man nun, was immer möglich ist, d als Summe von A Quadraten dar, so werden auch jetzt Ф, ¥ durch die Quadrate derselben n linearen Functionen von xx) xit ... xn ausgedrückt.

Zum Beweise der angegebenen Eigenschaft der Functionen f(s) die folgende Formel, welche man leicht aus der Hegel ableitet, nach der eine Determinante, deren Elemente lineare Functionen einer Veränderlichen sind, in Beziehung auf diese differentiirt wird. Es sei

ф = 2A,,AV = л

wo

so hat man

Aaß

ßa

dient

(24.)

fis)

dfis)

w ds

Dann ist zu bemerken, dass auch in dem jetzt betrachteten Falle die Grössen s₂, ... sm sämmtlich reell sind. Denn angenommen, eine von ihnen sei imaginär, so könnte man durch unendlich kleine Variationen der Coefficienten

von W bewirken, dass die Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 alle von einander verschieden würden, eine derselben aber imaginär bliebe, was nach dem vorhin Bewiesenen nicht sein kann. Dieses vorausgesetzt, denke man sich y einen bestimmten Werth beigelegt, und dann die Functionen

f(s)iy    _

/'0) ’ f(s) ’    f(s)

№«r

nach steigenden Potenzen von (s—su) entwickelt, und bezeichne mit l den Grad des niedrigsten Gliedes, das in diesen Reihen vorkommt; so kann man setzen

= Л («—* )'+ Glieder mit höheren Potenzen von (.s—sj.

Die Coefficienten h sind, dann reell, und nicht sämmtlich Null. Aus der

nun

ay

Gleichung (24.) folgt

^ ( f(s\r \

V № >

ds

Nun kann Ф für reelle Werthe von ą, ж₂, ... я?ж nicht verschwinden, ohne dass diese sämmtlich Null sind. Folglich ist der Coefficient von (s-sj²* auf der Rechten nicht Null; es muss also

oder

l>-1

sein. Damit ist bewiesen, dass f(s)av durch (s-s^'¹ theilbar sein muss, wenn f(s) den Factor (s—s^f hat; mittelbar folgt.

Nach bekannten Sätzen ist ferner, wenn auch a, a aus der Reihe 1, 2, ... n bezeichnen, die Determinante

woraus die Richtigkeit der Formel (21.) un-

.., ß\ ß”,... Zahlen

f(S)aß f

fis)

durch f(s)

a'p'

№.p    m*r

f(shp /(s)«r f(s) f{Ś)a"№ /(s)

a’ß"

durch f*{s)

a"ß"

theilbar, u. s. f. Hieraus lässt sich mit Hülfe des eben Bewiesenen leicht folgern, dass von den partiellen Determinanten des Systems

y?(/0 r(U)

/IX /12    * * •    /1П

fifl fW    /tjU)

/ «i Im • • •    / nn

alle verschwinden, deren Grad Я übertrifft. Dies bedeutet aber, da nach Formel (10.)

(25.)

= |/?фЛ

ist, dass sich ô durch Я lineare Functionen von Ф1? Ф₂, ... Фм oder хг, x₂, ... хп ausdrücken lässt. Man kann daher b namentlich auch in der Form

r

bp —    -----h 4

darstellen, wo ... zx lineare homogene Functionen von x₂, x₂, ... xn bedeuten, deren Coefficienten ebenso wie ^, ... sämmtlich reell sind. Da ferner die Anzahl der Functionen die in allen d Vorkommen, n beträgt, so müssen dieselben unabhängig von einander sein; man kann sie also durch reelle Werthe von æ , æ , ... xn sämmtlich zu Null machen, bis auf eine, und dieser einen beliebigen Werth geben; woraus folgt, dass die Coefficienten к sämmtlich positiv oder negativ sein werden, je nachdem Ф eine beständig positiv oder beständig negativ bleibende Function ist.

So ist nun das folgende Theorem begründet.

Es seien Ф, T homogene ganze Functionen zweiten Grades von иУeränderlichen xlt x₂, ... xn mit reellen Coefficienten, und die erstere überdies so beschaffen, dass sie für reelle Werthe von

stets dasselbe Zeichen behält und nur Null wird, wenn

Die Determinante der

a\ ? Xi1 * * * Xn

diese Grössen sämmtlich verschwinden.

Function

вФ-W

ist dann eine ganze Function wten Grades der willkürlichen Grösse

st,s₂,...sm, und daher die Determinante, abgesehen von einem s nicht enthaltenden Factor, gleich

5, welche nur für eine Anzahl reeller Werthe der letzteren Null wird. Sind diese

(«-O

wo К•> ^2? ••• Ki ganze positive Zahlen bedeuten, deren Summe n ist; so giebt es ebenso viele völlig bestimmte homogene Functionen zweiten Grades    ... von xt, ą, ... xn, durch welche sich Ф, ¥

in der Form

Ф = ftj + öj+ •••■+8 '1 = Sj ft, + s₂ ft₂ Ą-----f sm ft,H

ausdrücken lassen, während oder — ftu, je nachdem Ф stets positiv oder stets negativ bleibt, als Summe der Quadrate von A reellen linearen Functionen der Grössen a?,,    dargestellt

werden kann, und zwar, wenn Au> 1 ist, auf unendlich viele Arten.

5.

auf

Die im Vorstehenden entwickelte Eigenschaft der Functionen f(s) welcher bei der vorausgesetzten Beschaffenheit von Ф, ¥ die Darstellbarkeit der letzteren in der besprochenen Form beruht, benutze ich, um bei dieser Gelegenheit einen Irrtum zu berichtigen, der sich in der Lagrange’sehen Theorie der kleinen Schwingungen (Mécanique analytique, II, sect. VI), sowie in allen spätem mir bekannten Darstellungen derselben, findet. Lagrange führt die Aufgabe, um die es sich handelt, auf ein System linearer Differentialgleichungen zurück, das mit dem folgenden übereinstimmt, in welchem Ф, ¥, Фа, dieselbe Bedeutung haben wie in der vorhergehenden No., Ф eine stets positiv bleibende Function ist, die Grössen a?,, a?t, ... xn aber als Functionen der Zeit t betrachtet werden:

æ Ф,

«|S’

(L)

df

= ¹P’

æ ф,

d² Ф„

dt²

dt²

Die Integration dieser Gleichungen hängt von den Wurzeln der Gleichung f(s) = 0 ab. Nachdem Lagrange die Form der Integrale angegeben und gezeigt hat, wie die willkürlichen Constanten derselben durch die Anfangs-

werthe von    u. s. w. bestimmt werden, führt er unter den Bedingungen,

die erfüllt sein müssen, damit xt, ~ u. s. w. stets unendlich klein bleiben, wenn sie es ursprünglich sind, auch die an, dass die genannte Gleichung keine gleiche Wurzeln haben dürfe, weil sonst in den Integralen Glieder Vorkommen würden, die mit der Zeit beliebig gross werden könnten. Dieselbe Behauptung findet sich bei Laplace wiederholt, da wo er in der Mécanique céleste die Säcular-Störungen der Planeten behandelt, und ebenso, so viel mir bekannt ist, bei allen übrigen diesen Gegenstand behandelnden Autoren, wenn sie überhaupt den Fall der gleichen Wurzeln erwähnen, was z. B. bei Poisson nicht geschieht. Aber sie ist nicht begründet. Um sich hiervon zu überzeugen, braucht man sich nur an den Dirichlet’sehen Beweis des Fundamentalsatzes dieser Theorie zu erinnern. (Über die Stabilität des Gleichgewichts, Crelle’s Journal Bd. 32.) Hiernach genügt es, damit xx1 x₂₎ ... xn so wie —, ... die angegebene Eigenschaft haben, vollständig, wenn nur die Function W stets negativ bleibt, und ihre Determinante nicht Null ist, was stattfinden kann, ohne dass die Wurzeln der Gleichung f{s) = 0 alle von einander verschieden sind; wie man denn auch wirklich besondere Fälle der obigen Gleichungen, bei denen diese Bedingung nicht erfüllt ist, mehrfach behandelt und doch keine Glieder von der angegebenen Beschaffenheit gefunden hat.

Die irrige Ansicht Lagrange’s rührt aber daher, dass er bei den mit (1.) bezeichneten Gleichungen nichts Anderes berücksichtigt, als dass sie lineare und mit constanten Coefficienten versehene Differentialgleichungen sind. In der That würden, wenn man den Coefficienten von Ф willkürliche Werthe beilegte, und die Gleichung f(s) — 0 hätte eine Я fache Wurzel, die jetzt mit (— r) bezeichnet werden möge, in den Ausdrücken von xx) хг u. s. w. im allgemeinen Glieder Vorkommen von der Form

F(t) cos (\A ,t) + F₁ (t) sin (\jr. t),

wto F(t), -F,(0 ganze Functionen (Я—l)ten Grades von t bedeuten sollen; und es ist nicht ohne Weiteres ersichtlich, auf welche Weise sich F(t), Fx(t) auf Constanten reduciren, wie es aus den angegebenen Gründen nothwendig geschieht, wenn Ф, 4** die vorausgesetzte Beschaffenheit haben, ohne dass sonst unter ihren Coefficienten noch besondere Relationen bestehen.

Diese Schwierigkeit lässt sich nun aber auf folgende Weise beseitigen.

aß

Wenn man alle Voraussetzungen und Bezeichnungen der vorigen No. beibehält, s aber durch p² und sl5 s₂, ... sm, die bei der angenommenen Beschaffenheit von ¥ alle negativ sind, durch — p², — pj, ... — p²n ersetzt, mit x(0 die Function

Y(p²)

f( P²)

und mit j»a, qa die Werthe von Фа und zur Zeit t₀ bezeichnet; so ergiebt sich

(2.)

Dieser Ausdruck für xa stimmt mit dem überein, welchen Cauchy mittelst seines Calcul des résidus hergeleitet hat; seine Richtigkeit kann aber auch ohne Schwierigkeit unmittelbar bewiesen werden. Zerlegt man nun

/X P²)

in Partial-Brüche, so erhält man (Formel 21)

fim) I aß

P²+P™’

f(?% _ fÿ Q Яр²) p² + p2 + p² + p²

und hieraus

(3.)

X(ß)aß = faß

щ sinM - f(2) sinp^ P:    Ta?

p2

+-+/y

sin p mt

Pm

dy (t)

-~Jf L = faß C°S px ^ + /JJ COS p₂ H----+ COS pmt.

Man sieht, in welch engem Zusammenhänge die Integration der betrachteten Differentialgleichungen mit den Entwicklungen steht, die zu der behandelten Transformation der Functionen Ф, ¥ geführt haben.

Die vorstehenden Formeln gelten auch in dem Falle, wo bloss Ф eine beständig positiv bleibende Function ist, während die Coefficienten von ¥ beliebige (reelle) Werthe haben. Die Grössen p1? p₂, ... können dann aber zum Theil oder alle imaginär werden, jedoch ohne reellen Theil, so dass sm pl 1, cos p t u. s. w. stets reell sind.

Pi ’    ri

Beiläufig will ich noch bemerken, dass man, wenn an die Stelle der obigen Differentialgleichungen die folgenden treten:

d²Ot

dt²

dt²

= % + F₂(t), ...

dt²

wo F^t), F₂(t), ... Fn(t) Functionen von t sind, die ж₂, ... xn nicht enthalten ,

(4.)

æ» = I to

«fc.

(, dx(t—r) p

dt—

erhält.

NEUER BEWEIS DES FUNDAMENTALSATZES DER ALGEBRA.

(Gelesen in der Königl. Akademie der Wissenschaften am 12. December 1859.)

¹

Setzt man die Darstellungen von sin («7t), cos (wir) in der Form unendlicher Producte als bekannt voraus, so ergeben sich die Formeln (107.), (109.) unmittelbar aus dem Ausdrucke von Fc(u).

1.

Man betrachte zuerst eine ganze Function f(x) von der Form

x — a₀ — a₂x² — a₃x³-----aqxQ

und bilde,

a₀+a₃x²Ą— +    mit <p(#)

bezeichnend, eine unbegrenzte Reihe von Ausdrücken #₀,    #₂, ... mittelst der

Formeln:

#o =    0

(1.)

= ?(»*-! )

Diese Ausdrücke werden dann sämmtlich ganze rationale Functionen der Grössen a,atfaaJ... mit ganzzahligen und positiven Coefficienten, und es lässt sich zeigen, dass unter bestimmten Bedingungen, wenn n ohne Ende wächst, xn einer bestimmten Grenze sich nähert, welche für x gesetzt die Gleichung f(x) = 0 befriedigt.

Man hat, wenn x eine willkürliche Grösse bezeichnet,

<p(x')-<p(x) = (x'-x)la₂(x + x') + a₃(x² + xxr+x'²) + "-}

= (x'-x) <p(x,x'),

so dass y(x, %') eine ganze Function топ », x\ aa, aa, ... ist. aus (1.)

Dann folgt

(3.)

», = «0

»₂-», = »,?(<>, »,)

»s“»3 = (».“»,)?(»,»»>) »4-»3 = (»3-®*)

»«“»H-1 = (»«-I“»«-,) ?(»«-*» »n-l)

oder, тгепп man

? (0, »,) = 4*i > ?(»,»»*) = Ф

setzt

(4.)

», = «o

»2-», = »,Ф, = «0^1

»3“»3 = (»3~»l)łl = «0Ф1Ф2 »4-»3 = (»3-»S)^3 = «оФЛФв

И— 1 »

und hieraus

(5.)

sowie, wenn men

»„~»w = ao {Ф1 • • • Фот + Ф1 • • • Фт+i d    F Ф1 • • • Фи-i} *

Die Ausdrücke ф , ф₂, ... sind ebenfalls ganze Functionen von a0latyaB,... mit positiven Coefficienten. Es wird daher der absolute Betrag von фа jedenfalls nicht grösser sein als der des Ausdrucks, den man erhält, wenn man in ф^ an Stelle jeder der Grössen a₀, «s, ... deren absoluten Betrag setzt. Es. werde deswegen zunächst der Fall betrachtet, wo aQl a₂, a₈, ... alle positiv sind. Bei dieser Annahme sind auch »₂, ... »M, фх, ф₂, ... фи sämmtlich positiv, und man hat

(6.)

xxext<xt< — <xn.

Ferner ist

oder

Legt man nun den я₂, а

?(Vn^) = «а(^ + Vx)+ «3 (»;-, ++    +

< 2a₂^+3asa£ + — ,

Фа < ?'(^)*

.. bestimmte Werthe bei und nimmt eine beliebige

positive Grosse £, die >1 ist gewisse Grenze nicht übersteigen,

an

so wird für alle Werthe von a0l die eine

<p'(a₀S) = 2a₀asE + 3afa₂£² + ••• < 1

und zugleich

<5

sein.

f\a ₀S)    1-2 a₀a₂£----

Für jeden solchen Werth a₀ lässt sich dann zeigen, dass xu xa> ••• sämmtlich <.a₀$

und

<K, ф₂> Фз> ••• sämmtlich < l-f’{a₀V)

sind. Denn angenommen, es sei das Erstere bewiesen für x%1 ... xm — wie es denn für xx unmittelbar klar ist — so gilt das zweite, da

% < ?'0O und <p'(*f*-i) < <p'(ao&) = ¹~fFK&) Dann ist aber

ist, auch für ... фт.

+    • • • Фт < ¹ + ?'(«.    +    +

i-cp'KS) r(a₀S)

also

Hiermit ist die Richtigkeit der ersteren Behauptung für alle Grössen xa1 ... bewiesen, und somit auch die der zweiten für alle ф₁₇ ф₂, ... .

Wenn man jetzt, ao) a₂, ... wieder als beliebige Grössen annehmend, fest-„ setzt, es sollen die absoluten Beträge derselben kleiner sein als bestimmte positive Grössen a₀, a₂, ..., welche der Bedingung genügen, dass man für irgend einen positiven Werth von £, der >1 ist,

2a₂a₀t + Sa₃a²₀^i----< 1

l-2a₂a₀| — 3cc₃al?----

hat — was sich bei beliebiger Annahme von a₂, a₃, ... stets dadurch erreichen lässt, dass a₀ klein genug genommen wird — so werden nach dem vorher Bemerkten

Г"¹

wie weit man diese Reihe auch fortsetzen mag, ihren absoluten Beträgen nach sämmtlich um eine angebbare Grösse kleiner als 1 sein.

Angenommen nun, es haben л₀, a₂, ... solche Werthe, und es sei der absolute Betrag von ф beständig kleiner als eine zwischen 0 und 1 liegende Grösse s, sobald ft einen bestimmten Werth m überschreitet. Dann ist, wenn V > ft > m,

kleiner als + e“⁺¹ -j-----\- ev < -A—.    Folg-

und der absolute Betrag von Xv a Xu-lieh kann man ft so gross annehmen, dass

xv-x^

für jeden Werth von v, der > ft, kleiner ist als jede beliebig angenommene noch so kleine Grösse. Daraus folgt, dass sich ж , wenn ft ohne Ende wächst, einer bestimmten Grenze nähert. Diese werde mit x bezeichnet, daun wird die Differenz

m-f%)

unendlich klein, wenn ft unendlich gross wird. Aber

f(*p) =

folglich muss, da й? — a?₊₁ der Grenze Null sich nähert, wenn ft ohne Ende wächst,

f(x) = 0

sein.

Die Grösse x ist durch die Werthe, die man a₀, a₂, ... beilegt, völlig bestimmt. Man hat daher den Satz:

Es ist möglich, die Grössen a0l aa1 as, ... durch Feststellung von Grenzen für ihre absoluten Beträge, ohne sie irgend einer andern Beschränkung zu unterwerfen, so zu limitiren, dass es eine völlig bestimmte eindeutige Function derselben

ж = а₀(1+ф₁ + ф₁ф> + --- + ф₁ф,...ф» + ---) giebt, welche für x gesetzt die Gleichung

x — a₀—a₂x²—a₃x³----- 0

befriedigt. Dabei ist es gestattet, die Grenzen für die absoluten Beträge «₂, «₈, ... willkürlich anzunehmen; es ist dann die Grenze, unter welcher der absolute Betrag von a₀ bleiben muss, eine völlig bestimmte.

von

zusammen-

zu vereinigen, wo-

Da die Ausdrücke фа, ф₂, ..., wie bemerkt, sämmtlich ganze Functionen von ao, a₂, ... mit positiven Coefficienten sind, so ist es erlaubt, aus der Ge-sammheit der Ausdrücke, aus denen die vorstehende Reihe für x gesetzt ist, alle diejenigen Glieder, welche dieselbe Potenz von a₀ enthalten, herauszuheben und durch Addition in ein einziges Glied durch man für ж einen Ausdruck von der Form

V — со

x — 2

r = i

erhält, wo B₁ = 1 und jede der übrigen Grössen Bv eine ganze Function von aa, «₃, ... cię mit lauter positiven Coefficienten ist. (Dabei ist zu bemerken, dass jede der Functionen фг, фа, ... durch a₀ theilbar ist, also eine bestimmte Potenz von a₀ nur in einer endlichen Anzahl von Gliedern der für x gefundenen Reihe Vorkommen kann.)

2.

Angenommen nun, es seien cx, c₂, ... c irgend p bestimmte Grössen, deren Wahl keiner anderen Beschränkung unterworfen ist als dass unter ihnen keine zAvei gleiche Vorkommen dürfen, und es werde

f₀(x) = {x-c₁){x-c₂) ...{x-cq)

gesetzt. Ferner seien    ... vorläufig unbestimmte veränderliche Grössen,

und es werde gesetzt

f(x) = f^xj + i^x? Ч«₂Ж? ² + --- + wç.

Dann lässt sich folgendes erweisen. Man kann für die absoluten Beträge von ux) ... obere Grenzen so festsetzen, dass für jedes der alsdann möglichen Werthsysteme (иг1ил,...и) die Gleichung

fix) = 0

p Wurzeln besitzt, von denen jede einer der Grössen .c,, c₂, ...c so nahe kommt wie man will.

Zu dem Ende setze man in f(x)

Я = cx + vx,

wo A irgend eine der Zahlen 1, 2, ... p bezeichnet, so wird

/О) = fó(ci) vi +1 fö(h)vl + ••• + «£

Q-l

+ VXo + Vil Vl + VXivlĄ-----h UXy v\

ganze lineare Functionen von ux) u₂, ... и sind, und

wo uu< ••• ц

bringe die Gleichung f{x) — 0 auf die Form

l,Q—l

Vi = Wio + wi2vl+’- + WxQv<i,

wo

Що =

VXo

Vxi + fK)

Щ2 =

Vu+\gci)

Üb + Ш

4тФ(Ь)

p!

üXl+acx)

Vu + fó(ci)

zen so

Man kann dann für die absoluten Beträge der Grössen ut, ... uQ obere Gren-festsetzen, dass für die dann möglichen Werthsysteme (u^ u₂, ... jede der Grössen wXo, ww ... wx ihrem absoluten Betrage nach eine angebbare Grenze nicht übersteigt und zugleich die vorstehende Gleichung mittelst des im Vorhergehenden auseinandergesetzten Verfahrens durch einen Werth von vx befriedigt werden kann, der die Form

4 = Щ₀ + wi2 К + wis < • • •

hat, wo W/2, Ww ... ganze rationale Functionen von ww ww ... wXq sind. So erhält man p Wurzeln der Gleichung f(x) = 0, welche eindeutige Functionen

der Variabelen ut1 ... sind, einander gleich sind,

Man sieht zugleich, dass keine zwei derselben wenn man die oberen Grenzen für die absoluten Beträge der Variablen ult ... и hinlänglich klein annimmt.

Man kann ferner die Grenzen für die absoluten Beträge der Grössen ... и so festsetzen, dass (für А = 1, 2, ... p)

ist. Dann lassen sich die Grössen wXo, wX2, ww ... und somit auch die Grösse vx in Potenzreihen von и^и₂,...и^ entwickeln. Es ergiebt sich also das Resultat:

"Wenn eine ganze Function

f₀(x) = x*+Clx*~l + - + C₉

für p von

einander verschiedene Werthe (c ,    ... cç) der Grösse x ver

schwindet, so hat auch die Gleichung

f(x) — x*+(Cl + u₁)x*-¹+~- + (Cq + u(!) = 0,

für alle einer gewissen Umgebung der Stelle (ux — 0, u₂ — 0, ... u^ = 0) angehörenden Werthsysteme (иг, ... u^) p ebenfalls von einander verschiedene Wurzeln. Diese lassen sich in der Form von Potenzreihen der Grössen % w₂, ...u₉ darstellen und gehen, wenn die letzteren sämmtlich verschwinden, in ct, c₂, ... cQ über.

3.

Jetzt seien At, ... A irgend welche gegebene Grössen, die keiner andern Bedingung unterworfen sind, als dass die Function

f(x) — xQ + Axx°~rĄ-----f Aq

mit ihrer ersten Derivirten f'(x) keinen gemeinsamen Theiler haben, also ihre Discriminante nicht gleich Null sein darf. Wenn man dann wieder, wie vorhin, p von einander verschiedene Grössen

Ci > C₂ ) ... Cq

beliebig annimmt und

m = {х — сг)(х — с%) ,..{x-Cq) = x^+ C₁xQ~¹ + --- + CQ setzt, so lassen sich auf mannigfaltige Weise p rationale Functionen

&(0>    ••• 9ß)

einer Veränderlichen t, der im Folgenden ausschliesslich reelle, dem Intervalle (0, ... 1) angehörige Werthe beigelegt werden sollen, so bestimmen, dass

•    • • 9q{°) = CQ)

•    • •    Aq

9i(°) =    9Ä°) = C21

9i(A) — Alf 9ъ(Х) Aa ,

wird und zugleich, wenn man

f(x,t) = x* + gt(t)x* ¹ + “- + gQ(t)

setzt, f(x, £) und    , als Functionen von x betrachtet, für keinen dem

Intervalle (0, ... 1) angehörigen Werth von t einen gemeinsamen Theiler haben.

Dies kann z. B. folgendermassen geschehen. Da die Discriminante der Function f{x, 0) der Annahme nach einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist, wenn man unter z eine von x unabhängige willkürliche Grösse versteht,

(1-*) f(x, 0) + ef(x, 1)

eine Function von ж, deren Discriminante nicht identisch, sondern nur für eine endliche Anzahl von Werthen des Parameters z verschwindet. Setzt man also, unter Je eine reelle Constante verstehend,

_ (1 + Ы) t

~ l + Jcit ’

so kann man Je stets so annehmen, dass die genannte Discriminante für keinen dem Intervalle (0, ... 1) angehörigen Werth von t verschwindet. Nimmt man dann

9y (0 =

(1 — t') Gv + (1 4- Jei) tAv

1 + Jcü

(v = 1,2,... p)

so hat die Function

f(x,t) = xv + g^x? ¹ + ... + gQ(t)

die verlangte Beschaffenheit. Nach dem Vorhergehenden hat nun die Gleichung

f(x,t) = 0

p AVurzeln, wenn die Grösse t so klein angenommen wird, dass die absoluten Beträge der Differenzen

9i(ß)-C₁, gt(t)-C„ ... 9o(t)-CQ

unter einer gewissen Grenze liegen. Angenommen nun, es stehe fest, dass die Gleichung f{x, t) = 0 p von einander verschiedene Wurzeln habe, für jeden Werth von t, dessen absoluter Betrag kleiner ist als ein bestimmter Werth f₀, so lässt sich zeigen, dass dieselbe Beschaffenheit der Gleichung auch noch zukommt für alle Werthe von t in einem Intervalle (0,... tj, dessen obere Grenze ti grösser als t₀ ist.

Es sei t' irgend ein bestimmter Werth von t, der kleiner als t₀ ist, und es habe die Gleichung f(x,t') = 0 die Wurzeln c', ... Setzt man dann,

unter T eine positive reelle Grösse verstehend

t — t'+x

so kann man die Gleichung f(x, £'-fx) = 0 nach §2, wenn man f(oc,t') an die Stelle der dort mit f₀(x) bezeichneten Function treten lässt, auf die Form

4 = щ.й+щ.Л + --- + г%4

bringen, wo

Що = -

Clo

c,+imo

-A-rfe'.o

p!

. . . гюг

Ub+r&n

und Uw Uw ... Ux ganze rationale Functionen von т sind, die für x = 0 sämmtlich verschwinden. Da nun keine der Grössen f(c’x, t') gleich Null ist, so erhält man durch das in § 1 auseinandergesetzte Verfahren für jeden unterhalb einer gewissen Grenze liegenden Werth von x eine die vorstehende Gleichung befriedigende Grösse v} in der Form

4 = щ.о+Щ.2 К+К+• • • »

wo Ww TVW ... ganze Functionen von ww wk3, ... sind.

Unter den in Betreff der Constante Je und der Veränderlichen t' gemachten Voraussetzungen hat nun jede der Grössen

üb+m,*)

/КО, /КО, ... /КО

eine von Null verschiedene untere Grenze. Da ferner die Coefficienten von üw U„ ... JJ\ continuirliche Functionen von t\ x sind, und TJlü für x == 0 verschwindet, so lässt sich für den absoluten Betrag von x eine Grenze x so bestimmen, dass für alle der Bedingung x<x genügenden Werthe von x die Reihen, durch welche v₂, ... ausgedrückt werden, sämmtlich convergiren, wozu nach § 1 nur erforderlich ist, dass die absoluten Beträge von Ww Ww ... Wfür jeden Werth von A endliche Werthe haben und | Wl0 J hinlänglich klein angenommen wird. Nimmt man also t' so nahe hei t₀ an, dass t₀—t’cx ist, so erhellt, dass die Gleichung f(x,t) — 0 auch dann noch p von einander verschiedene Wurzeln hat, wenn t in dem Intervall (t₀, ... £₀ + x) angenommen wird. Daraus folgt sofort, dass der Gleichung diese Eigenschaft zukommt für jeden dem Intervall (0, ... 1) angehörenden Werth von t.

f(x, 1) = fix)

Da nun

ist, so gilt also der Satz:

Jede Gleichung von der Form

хЧ + А^-' + ^ + А

in der At1 Aa1 ... A gegebene Grössen sind und deren Discriminante nicht gleich Null ist, hat p von einander verschiedene Wurzeln.

Diesen Satz kann man auch so ausdrücken: Die Function f(x) lässt sich darstellen in der Form eines Productes aus n Factoren, welche ganze lineare Functionen derselben Veränderlichen x sind.

In dieser Form ausgesprochen, gilt der Satz auch noch, wenn die Discriminante von f{x) gleich Null ist, denn in diesem Falle kann man mittelst eines bekannten Verfahrens f(x) stets als ein Product mehrerer ganzen Functionen von x so darstellen, dass jeder einzelne Factor eine von Null verschiedene Discriminante hat.

ÜBER DIE GEODÄTISCHEN LINIEN AUF DEM DREIAXIGEN

ELLIPSOID.

(Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften vom 31. October 1861.)

Der russische General Schubert hat in einer vor zwei Jahren erschienenen Abhandlung¹) die Resultate der verschiedenen zur Bestimmung der Gestalt der Erde ausgeführten Gradmessungen auf’s Neue mit einander verglichen, und ist zu dem Schlüsse gekommen, dass die Erde als ein Ellipsoid mit drei ungleichen Axen betrachtet werden müsse. Diese Hypothese ist allerdings auch schon früher ausgesprochen, aber so viel ich weiss noch nicht durch eine darauf gegründete Rechnung geprüft worden. Schubert nimmt, wie man es immer gethan, die Meridiane als Ellipsen an, für welche die Umdrehungsaxe der Erde ein gemeinschaftlicher Durchmesser ist, und berechnet für jede einzelne, von der man grössere Bogen gemessen hat, aus den gefundenen Längen derselben die beiden Hauptaxen. Dabei ergeben sich für die grosse Axe bei den verschiedenen Meridianen Werthe, welche merklich von einander abweichen — und zwar nach Schubert’s Ansicht zu stark, als dass man die Differenzen den Fehlem der Messungen allein zuschreiben dürfte —, aber ganz wohl mit einander harmoniren, wenn man annimmt, dass auch der Äquator eine Ellipse sei. Die unter dieser Voraussetzung durchgeführte Rechnung ergiebt dann die folgenden geodätischen Elemente:

3272671,5 Toisen 3272303,2    »

3261467,8    »

Länge des einen Endpunkts der grössesten Axe .    .    .    58° 44' (von Ferro).

Grösseste Axe der Erde .

Mittlere Kleinste

Ich halte mich nicht für berechtigt, in Betreff der Zuverlässigkeit dieser Resultate von Schubert’s Arbeit ein Urtheil abzugeben,²) sondern habe sie nur angeführt, weil ich durch sie veranlasst worden bin, die Theorie der geodätischen Linien auf dem dreiaxigen Ellipsoid wieder aufzunehmen und so weit auszubilden, dass sich auch für praktische Rechnungen brauchbare Methoden daraus ableiten lassen. Hierzu habe ich mich um so mehr aufgefordert gefühlt, als die hauptsächlichsten noch zu erledigenden Aufgaben mit Hülfe der Theorie der Abel’schen Functionen vollständig und einfach gelöst werden können.

Jede kürzeste Linie einer Fläche kann bekanntlich betrachtet werden als der Weg, den ein materieller Punkt durchläuft, welcher gezwungen ist, auf der Fläche zu bleiben, aber von keiner beschleunigenden Kraft getrieben wird. Die Coordinaten desselben zur Zeit t seien x: y, z, so sind dieselben eindeutige Functionen von £, zu deren Bestimmung man, wenn

F(x, y, z) = 0

die allen Punkten der Fläche gemeinsame Gleichung ist, die Differential-Gleichungen

d²x ' d²y # d²z dF # 6F # dF

dt² ² dt² ' df    6x ' dy dz

hat. Für eine Fläche zweiter Ordnung, deren Gleichung

я²

ist, kann man also setzen

d²x

d²y _ ey df ~ ß ’

wo e eine noch unbekannte Function von t ist. Zur Integration dieser Differential-Gleichungen, welche zuerst von Jacobi vermittelst der ihm eigen-thümlichen Methoden der analytischen Mechanik ausgeführt worden ist, bediene ich mich eines Verfahrens, welches den Vortheil hat, dass dabei keine

ex

d²z

ez

df а

df у

Transformation der vorgelegten Gleichungen erforderlich ist, und welches auch in andern Fällen Anwendung finden kann.

Es sei Я eine willkürliche von t unabhängige Grösse, und

№ = (Я-а)(А-0)(Я-у),

iffi- = ! i i t i ** f(K) Tl-« i-Uü-r

ÆV ßtf (*l)'

/’W

\dt) \dt) \dt) Я —а Я — ß Л — у

so erhält man, wenn man in den Ausdrücken von

d²(p(A)    ^<р,(Я)

dt‘

dt

ex гу гг о •• d²æ

т> T’ T fur 7'

-4^-, A?- substituirt und dann e eliminirt,

<*?(*) 0<

1    d cp (Я) d²cp (Я)

2    d t dt²

Diese Gleichung lehrt, dass

1 — \ 2 dt

Es ist aber dieser Ausdruck in Bezug auf Я eine

von t unabhängig ist. ganze Function 5ten Grades, welche für Я = 0, a, ß, у verschwindet. Folglich muss sein

(2 dt

1 ЙС?^у_ср(Я)ср₁(Я) = — c(Л — a)(Л — ß)(Л — y)Л(Л — ô)

wo с, д zwei Constanten sind, und zwar die erstere eine nothwendig positive

den Ausdruck

Grösse. Setzt man in dieser Gleichung für

А <*?(*)

2 dt

dz

dx

dy

{dt J dt , dt /•(Я)    + ₁—-5- + -3--

ein, so darf man, da die beiden Seiten der Gleichung in den correspondirenden Coefficienten übereinstimmen müssen, der Grösse Я jetzt auch solche Werthe geben, die von t abhängig sind. Wählt man als solche diejenigen beiden

33*

A , A , welche ausser Null die Gleichung

cp (Я) = 0

befriedigen, und Setzt

22(A) = -l(a-l)(ß-l)(y-l)(d-l),

so erhält man, nachdem noch die Formeln

/1 d cp (l)

dl,

.05

2 dt 1 dcp(l)

2 dt

abgeleitet worden

b£> H*

1 A,

dl

² Vе

Hieraus ergiebt sich

dA,

yc. dt

KiK~K) ~ 2\jB{il)

dA₂

Sjc.dt _ _

K(K-k) ~ 2у/ЩЛ

und somit

ArdA,

Ag dA₂

²V^(A₂)

\jc.dt —

A*dAt

К dl₂

2    2 \/22(A₂)

Dieses sind die von Jacobi gefundenen Gleichungen, genau in der Form, wie er sie in seinen Vorlesungen über Mechanik gegeben hat.

Die Grössen Al5 A₂ sind bekanntlich stets reell. Denn es ist

?(a) =    (cc-ß)(cc-y).x²

?(/*) = -(“-ß)iß-v)-y2 <p(r) = (<*-r)(ß-r)’*²

und es hat daher die Gleichung cp (А) = 0, wenn man a > ß > у annimmt, eine reelle Wurzel zwischen « und ß, so wie eine andere zwischen ß und y, woraus folgt, dass auch die dritte reell ist.

Aus der Gleichung

1    d cp (Я)

2    dt

ergiebt sich ferner von A bestimmt

wenn man auf beiden Seiten die Coefficienten von A⁵ und

dx² + d'if + de* _

dt²

und

(■

dy

dz?

cd dt²

а²

ос

oder, wenn man die Länge des von einem bestimmten Augenblicke t₀ bis zu dem betrachteten zurückgelegten Weges mit s bezeichnet

s = \fc, (t — t₀)

ds = \Jc.dt

und

X¹

я²

dx² dy² dz2 ⁺ ß ⁺ У

dds²

Aus diesen Gleichungen, von denen die letzte Joachimsthal gefunden und geometrisch interpretirt hat,*) ersieht man, dass die Constanten с, d bestimmt sind, sobald man für irgend einen Augenblick den Ort des sich bewegenden Punktes und die Grösse und Richtung seiner Geschwindigkeit kennt. Dabei kann c jeden beliebigen positiven Werth erhalten; für die Grösse d aber giebt es bei jeder Fläche bestimmte Grenzen, innerhalb welcher sie liegen Setzt man nämlich А = l₁ und А = A₂, so ist aus dem vorstehenden Ausdrucke von _ß(A) ersichtlich, dass

muss.

und

aßy

B( AJ = -A₁(«-A₁)(^-A₁)(r-A₁)(^-AJ) B(Ae) = -A₂(<*-A₂)(/3-A₂)(r-A₂)(d-A₂)

beide positiv sein müssen. Nun ist aber, wenn man

Aj > A₂

annimmt

I. beim Ellipsoide

«>A₁>/3>A₂>y>0

*) Crelle’s Journal, Bd. 26, S. 168.

und es haben daher d—A,, d — A₂ entgegengesetzte Zeichen, so dass d zwischen Ax und A₂ und somit

d stets zwischen a und у liegt.

II. Eben so findet sich, dass beim zweischaligen Hyperboloide, wo

o:>0>/3>A₁>y>A,

ist, d zwischen A, und A₂ und daher

d stets zwischen ß und — oo liegt.

III. Beim einschaligen Hyperboloide endlich hat man

а > Aj > ß > 0 > у > Аз,

und es ist daher auch hier d zwischen At und A₂ und somit

d zwischen a und — oo

enthalten.

Zugleich lässt sich für jede Fläche nachweisen, dass d jeden innerhalb der angegebenen Grenzen liegenden Werth auch wirklich annehmen kann.

Führt man nun in die obigen Differential-Gleichungen an die Stelle von t die Grösse s ein, so hat man

A, dl

Aj dAt

2 V-ßCA.) 2\/B(A₂)

ds =

A \dlx

li dl

2VB(AJ 2\/B(A₂)

und

ds

dAt

ds

dA.

A₂(Ai A₂)

2V^(A₂)

Hieraus folgt

dAt

dA.

ds

2VB(AJ 2\/^(A₂)

A, A₂

und daher, wenn man

Г ds

n = -J

setzt, wo dann и eben so wie A, und Л₂ eine völlig bestimmte eindeutige und continuirliche Function von s ist, wenn man dieser Grösse nur reelle Werthe beilegt

dl

dl.

du —

2\fR(Q

Aj dlx A₂ dl₂

2рЩ⁺"2\/Щ'

Vermöge dieser Gleichungen kann man nun Ai5 A₂ auch als Functionen von и betrachten, und die Theorie der Abel’schen Transcendenten lehrt, dass jeder aus Л , \JB(AJ und A₂, \/B(l₂) symmetrisch zusammengesetzte rationale Ausdruck für alle endlichen Werthe von и den Charakter einer rationalen Function dieser Grösse besitzt. Insbesondere aber sind

Ai A₂,

(«-*,)(« —A₂), (/3-AJ05-AJ, (у-ЛХу-А,), (d-Aj^-Aj die Quadrate solcher Functionen, und man kann daher, da man

ж2 _ «(« —Ai)(“ —A2)

(u-ß){u-y)

_ ßjß-lx)jß-l₂) iß-cc)(ß-y) ’

я² —

У (У — At) (F —A₂)

(y-cc)(y-f3)

hat, die Coordinaten x₎ у, £ selbst in der Form

Fin)

F (и)

Х-Ш.

x ~ F(u)

darstellen, wo F(u), Ft(u)i F₂(u), F₃(u) Functionen von и sind, die den Charakter ganzer rationaler Functionen haben und in beständig convergirende Reihen entwickelt werden können. Ferner ergiebt sich

, _ EM_

- F{u) »

Auf diese

wo

FM ebenso beschaffen ist wie die übrigen Functionen F.

Weise können x₎ y, £, s als Functionen einer Hülfsgrösse ausgedrückt werden, in der Art, dass, wenn man dieselbe alle reellen Werthe von —00 bis +00 in stetiger Aufeinanderfolge durchlaufen lässt, man alle Punkte der betrachteten kürzesten Linie und die zugehörigen Werthe von 5 erhält.

Beim Ellipsoid sind nach dem Vorhergehenden drei Fälle zu unterscheiden, indem

â cß, â > ß und auch â = ß

sein kann. Für den ersten mögen hier die vollständig entwickelten Formeln mitgetheilt werden.

Man hat in diesem Falle

* und es liegt Ät zwischen a und ß, Я₂ zwischen d und y. Setzt man daher

dl

«=f

p

K dl

2SjR{X)

u' =

I,

Я dl

*2

Я dl

2 \jli (Я)

so ist u’ eine Constante, ~ = ner sei

und beide Grössen sind reell. Fer-

Ях Я₂

I,

2\ЩЩ

Г dx

4

A' =

I,

1dl

2\Aй(Я)

В' = -

1dl

гу ^о

dl

2\J-É(1)

ГУ

*4)

1dl

dl

2\J-R(1)

ТУ =

1dl

2\I~B{1)

+ 0't

я²(?я

Я²(2Я

2\ß(l)

2\ЩЩ ’

wo hei der Ausführung der Integrationen allen Wurzelgrössen ihr positiver Werth beizulegen ist.

Sodann sei

— {avv + 2 bvv' + cv'v’) тг

. cos 2тг{vv + v'v')\,

wo V, г/ zwei unbeschränkt veränderliche Grössen bedeuten, а, d, c aber Con-stanten, welche der Bedingung unterworfen sind, dass

avv + 2bvv'y cv'v'

bei reellen Werthen von p, v' stets positiv bleiben muss, und v, v' ganze Zahlen, von denen jede, unabhängig von der andern, bei der Summation alle Werthe von — oo bis +oo zu durchlaufen hat. Ferner werde, wenn w, nr

$(v,v') —

r, v'

zwei willkürliche von v, v' unabhängige Grössen bedeuten, die Function e-[»(2»+*»₊»'K)+«'(2 '>'+«bi+n'd)]mS(v + M. + n,u^,+M + n,ci)

mit

$(v, v'] n, n')

bezeichnet.

Alsdann hat man, wenn

_ CB'-BC a    AB'-В A

AC-CA'

B B'-BD'

AB'-BA' ~ AB'-BA

AD'-DA' C ~ AB'-BA

v' — —

1 B'u — Bu'

2 AB'-BA

1 Au'—A'u

2 AB'-BA'

gesetzt wird

$(v, v')

(/Ja-ß) {cc-у) X

У «(« — à)

х/ШИШЕК

у ßiß-ä)

\У (*-r)(ß-r)

V y(â-y)

— 3(v,v'; 0,1) 5(v, V')

v'~Yi t)

3(v, v')

Ferner ergiebt sich bei passender Wahl des Punktes, in welchem s gleich Null ist,

s — 2 Bv -J- 2 Fv -f-

d log v')

du'

Hierbei ist zu bemerken, dass man die Entwicklung der Function

$(v, vn, nr)

in dem Falle, dass 2n, 2n ganze Zahlen sind, wie in den vorstehenden Formeln, aus der für v') gegebenen erhält, indem man w + v, n'+v' für v, v' setzt.

Wenn die Grösse u stetig wachsend alle Werthe von — oo bis +oo durchläuft, so erhält A₁ jeden zwischen u und ß liegenden Werth, und A₂ jeden zwischen â und y liegenden unzähligemal. Jedesmal, wenn A₂ = d wird, berührt die betrachtete Curve eine der Krümmungslinien des Ellipsoides, nämlich diejenige, in welcher dasselbe von dem confocalen einschaligen Hyperboloid, dessen grösseste Axe \/a—d ist, geschnitten wird.

I.

34

Wenn â zwischen ß und a liegt, so erfahren die gegebenen Ausdrücke nur leichte Modificationen. In dem besondern Falle, dass â = ß ist — wo es sich um kürzeste Linien handelt, die durch einen Nabelpunkt der Fläche gehen — verwandeln sich die vierfach periodischen Functionen in dreifach periodische. Dasselbe geschieht, wenn cc — ß oder ß = y- in jedem dieser drei Fälle werden x,y,z,s durch 3--Functionen eines Arguments und durch Exponential-Grössen ausgedrückt, und zwar in der Form, die sich zuerst in einer von Herrn Luther herausgegebenen hinterlassenen Abhandlung Jacobi’s findet. ³)

Für die übrigen Flächen zweiter Ordnung behalten die Formeln ganz dieselbe Gestalt, es treten nur statt der hier vorkommenden It-Functionen andere auf, und die Constanten u\ А, В u. s. w. werden durch Integrationen zwischen anderen Grenzen bestimmt.

Wenn a — y eine kleine Grösse ist, wie dies bei dem Erdellipsoid eintritt, so lassen sich die in den Ausdrücken von x, y, z₁ s vorkommenden Quotienten auch in rasch convergirende Reihen von der Form

2 Rv,r' sin (vv + v'v')

2 Av v, cos тс (vv + vV)

verwandeln; und ebenso ist es möglich, x, y, s durch Reihen von derselben Form, in denen aber v, v’ lineare Functionen von s sind, darzustellen. Auf die Entwicklung dieser Reihen, wodurch man Formeln erhält, die bei geodätischen Rechnungen, mag man nun die Erde als ein dreiaxiges oder, wie bisher, als ein Rotations-Ellipsoid betrachten, auch als praktisch brauchbar sich erweisen dürften, kann ich indessen hier nicht eingehen.

BEMERKUNGEN ÜBER DIE INTEGRATION DER HYPERELLIPTISCHEN DIFFERENTIAL-GLEICHUNGEN.

(Aus dem Monatsbericht der König!. Akademie der Wissenschaften vom 17. Februar 1862.)

Nach dem Ab eГ sehen Theorem lässt sich der Differential-Ausdruck

X* dx₀

\lR(x₀) sjR {xx)

XqdXq

\lR{xq)

in welchem a?₀,    ... x^ unbeschränkt veränderliche Grössen, R(x₀) eine ganze

von

Function (2p + l)ten oder (2p + 2)ten Grades von x₀, R(xJ dieselbe Function xt etc. bedeuten, für den Fall, dass a eine der Zahlen 0, 1, ... p—l ist, auf die Form

¹

Essai d’une détermination de la véritable figure de la Terre. St. Pétersbourg, 1859.

²

Erst nachdem diese Notiz bereits in der Akademie gelesen way, bin ich durch Herrn Encke auf eine spätere, mir nicht zu Gesicht gekommene Abhandlung Schubert’s (in den Astron. Nachrichten, No. 1303) aufmerksam gemacht worden, in welcher er die Differenzen der verschiedenen Gradmessungen durch eine andere Hypothese auszugleichen versucht hat.

³

Astron. Nachrichten Bd. 41, S. 210 und Journal für Mathematik Bd. 53, S. 335.

\[Щ)

bringen, wo g,, ... algebraische Functionen von ®t, xt, ... sind, und zwar für jeden Werth von a die Wurzeln ein und derselben Gleichung ptra Grades

+ + + = 0,

deren Coefiicienten cpl} ... tp rational aus

V^(*o),    *1» №(xl).    • • •

(und den Coefficienten von R) zusammengesetzt werden. Wenn man daher, mit Ct, ... willkürliche Constanten bezeichnend, unter den Grössen xo) ... x^ die p Gleichungen

<Pi =    ... <pe = q,

annimmt, und dadurch die £l? ... £ von den genannten Veränderlichen unab-

hängig macht; so hat man die vollständigen Integrale der folgenden p Differential - Gleichungen :

dx₀

dx₁

dxQ

\JR(x₀)

MV

= o,

x₀dx₀

xxdxt

Xo dxQ

\Jïi(xQ)

= 0,

x$ ¹ dx₀    X? ldxx

xfr¹ dxQ

V-K(^e)

= 0.

Die Zusammensetzung der Ausdrücke ^,...9 ist ferner von der Art, dass sie sich nicht ändern, wenn irgend zwei der Grössen xo, ... x und zugleich die zugehörigen Radicale unter einander vertauscht werden. Daraus folgt, dass sich aus den Gleichungen

?. = °.> •••    ?(= C9

durch Wegschaffung der Wurzelgrössen eine gleiche Anzahl anderer

F₁ = 0, ... Fq

muss ableiten lassen, in denen die Ausdrücke auf der linken Seite rationale und symmetrische Functionen von xo)...x sind, und daher, wenn man mit ux die Summe der x bezeichnet, mit u% die Summe der Producte je zweier, mit u₃ die Summe der Produkte je dreier etc., rational aus ui} u₂, ... u^+i zusammengesetzt werden können. In der That hatte für q = 1 bereits Euler gefunden, dass die Differential-Gleichung

dXj

dx 0

\/Ii (x₀)    \JÊ(x j)

durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen ut — xo + xi und u₂ — x₀ xt inte-grirt werden könne; und Jacobi hat für jeden Werth von q gezeigt,¹) dass zwischen je zweien der Grössen и eine quadratische, und zwischen je dreien eine lineare Gleichung besteht. Zur Begründung dieses interessanten Resultats hat jedoch Jacobi die bis dahin bei der Integration der in Rede stehenden Differential-Gleichungen angewandten Methoden verlassen und durch eine neue ersetzen zu müssen geglaubt. Es dürfte indessen gut sein zu bemerken, dass das Abel’sehe Theorem, so wie dasselbe auf die einfachste Weise zu den vorhin angegebenen Integralen der betrachteten Differential-Gleichungen führt, auch die rationalen Formen der ersten unmittelbar liefert.

Es sei H(x,t) eine rationale Function von ж, deren Coefficienten selbst beliebige Functionen einer andern, von x unabhängigen Veränderlichen t sind. Bezeichnet man dann mit xo1 x^ ... xn die von t abhängigen Wurzeln der Gleichung

\jR(x) = H(x,t)

so gelten, dem genannten Theorem gemäss, die q Gleichungen, welche aus der folgenden

I V^7) i

(v = 0, ... n)

hervorgehen, wenn man а — 0, 1, ... q — 1 setzt, vorausgesetzt dass man der

Wurzelgrösse \jB(xy) von den beiden Werthen, die sie haben kann, den durch die Gleichung bestimmten beilegt. Giebt man insbesondere H(x,t) die Form

M (x) + tN (x),

wo Af, N ganze Functionen von x, deren Coefficienten von t unabhängig sind, bedeuten sollen, so kann man bewirken, dass die Gleichung

\jPb{x) — Mix) + tN(x)

genau p+l von t abhängige Wurzeln erhält, und dass dieselben für einen bestimmten Werth von t, z. B. für t — 0, vorgeschriebene Werthe e*₀, clt ... c? annehmen, während zugleich die Zeichen der zugehörigen Radicale \^ß(co)> \/R(cj, ... ^R(cq) beliebig fixirt werden können. Zu dem Ende nehme man für M{x) eine ganze Function pten Grades von x, die für x = c₀, cx, ... die Werthe \/R(c₀), \JB (cj, ... ^й~(с ) erhält, so dass

B(x)-M²(x)

durch das Product

(x-c₀)(x-ct) ...(x-cç)

welches mit L(x) bezeichnet werde, theilbar wird; und

N(x) =

R{x)-M\x)

L(x)

wo dann N(%) eine ganze Function pten oder (p+l)ten Grades ist, je nachdem JR{x) den Grad 2p+1 oder 2p + 2 hat. Dann zerfällt die Gleichung

SjR(x) = M{x) + tN(x)

welche rational gemacht die Form

oder

R (x) — (M (x) + tN (x)y = 0 (L(x) — 2tM(x) — fN(x))N(x) = 0

annimmt, in die beiden

N(x) = 0,

L(x) — 2tM(x) — t²N(x) = 0

und die letztere, welche vom (p+l)ten Grade ist, liefert die p+1 von t abhängigen Grössen

x₀, xt, ... Xq

welche den Differential-Gleichungen

Я \jR(xx)

■ył xi dxi _ q

я \jR(xx)

4 ¹ dxx

я y RM

genügen, wenn man die Zeichen der Radicale so bestimmt, wie es die Gleichungen

\jR(x₀) = M(x₀) + tN(x₀) \/R(xq) = M(xQ) + tN(xQ)

erfordern. Zugleich sieht man, dass für t = 0

•••    S/R(x₀), \JR (xx), ... \/R(xq)

die festgesetzten Werthe erhalten.

Hiernach ergehen sich die allgemeinen Integrale der vorstehenden Differential-Gleichungen in rationaler Form, wenn man aus den p + l Gleichungen

L {xQ) — 2tM(x₀) — t²N (x₀) — 0,

L(xq)~ 2tM {xq) - tfN Gç) = 0

q andere durch Elimination von t ableitet. Dies kann auf mehrfache Weise ausgeführt werden.

Jacobi, der a. a. O. von der Gleichung

L (X) — 2 tM (x) — taN (x) — 0

ausgeht, in welcher er JL, M, N als gegebene ganze Functionen (q+ 1)ten Grades von x annimmt, und dann zeigt, dass die q +1 Wurzeln der Gleichung, als Functionen der Veränderlichen t betrachtet, den in Rede stehenden Differential-Gleichungen genügen, wenn man

R{x) = L(x)N(x) + M²(x)

setzt, verfährt dabei folgendermassen. Es werde

(x — x₀)(x — хг)... (x — Хц) mit F(x)

bezeichnet, so hat man jeden Werth von x

wenn N₀ der Coefficient von xQ+1 in N(x) ist, für

L(x)-2tM(x)-t*N(x) = (1 — N₀ f) F (x).

Wird daher

F (x) — x$⁺¹ — ux xQ + u₂ х$~г----± и

einen Ausdruck

gesetzt, so erhält man für jede der Grössen von der Form

l — 2 mt — nt² 1-N₀f

in welchem l, m, n von t unabhängig sind. Daraus ergiebt sich unmittelbar der schon angeführte Satz, dass zwischen je zwei der Grössen    ... и

eine quadratische, und zwischen je dreien eine lineare Gleichung besteht.

Man kann aber auch zu vollständig entwickelten einfachen Formeln in folgender Weise gelangen.

Es sei zunächst R(x) vom (2p-b l)t6n Grade. Dann ist N₀ = 0, und man hat N(x) F (x) — В (x) — (M (x) + tN (x))².

Daraus folgt, wenn man diejenigen Werthe von x, für welche R(x) = 0 wird, mit alf я₂, ... я2?+1 bezeichnet,

N(aa)F(aa) = -(M (aa) + tN (aa)y

für а = 1, ... 2p + 1. Aber

und daher

N(aa)L(aa) = -Ж²(«а)

FM _

LM

1-t

M(aa)V

L(aa)

Bezeichnet man also die von x₀, ... xQ unabhängige Grösse

und setzt

M(aa)

L{aa)

mit ha

LM    (<*a-c₀)(aa-Ct)...(aa-cç) ’

so hat man, unter cc, ß, y irgend drei der Zahlen 1, 2, ... 2p+1 verstehend,

Pa

pa = G -Kt)

Vß — (1 —hßty

Pr = C¹ —\ty

aus

welchen Gleichungen sich durch Elimination von t die beiden folgenden

ergeben:

(Ц (Pa - 1) - К (Pß ~ l))² - hß (Jia - hß) (hß (pa -1) - к (Pß-1)) — o, hß hy (hß-\)(pa-1) + h.,ha (\-ha)(pß-l) + ha hß (ha-hfl)(py— 1 ) = 0.

Es besteht also auch zwischen je zweien der Grössen p^->-P2Q+l eine quadratische, und zwischen je dreien eine lineare Gleichung. Wenn aber R(x) vom (2p + 2)ten Grade ist, so hat man

(1 -N₀f)N(x)F(x) = B(x)-(M(x) + tN(x))\

und daher, wenn man jetzt die Wurzeln der Gleichung R(x) — 0 mit ••• %+l bezeichnet,

(1-ВД

F(<*a) _ Л    Щ*д)

L(aa) - l¹    L(aa) Ъ)

für а = 0, ... 2p + 1.

Nun setze man, unter «, ß,y wieder irgend drei der Zahlen 1, 2, ... 2p+ 1 verstehend

Pc

₌ FM. FM ₌ a«~^o

L(aa)'L(a₀) aa-c₀

so wird

ag ~    CQ _ _ _ qo — Cq

a«~CQ ' a0 — %0 *

a0~XQ

Pc =

oder, wenn man

(IzMV

U-Kt)

i—Kt

setzt,

Pc = (1 -(К-КЮ*-

Daraus folgt, dass die vorstehenden Gleichungen zwischen p^p^p^ auch in dem jetzt betrachteten Falle gültig bleiben, wenn man nur Ä₀, hp—h0l h.—\ für ha) hp, setzt.

Es ist aber

M{x)

УДЫ

L(x)

(x-cx)L'{cx)

wo L'(x) —

6L(x)

дх i

und daher

уды

я Ы-Ы-Ь'Ы

К-К = К-Ы2

уды

я Ы-ся)К-ся)Д'Ы

I.

35

ZUR INTEGRATION DER LINEAREN PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT CONSTANTEN COEFFICIENTEN.

(Von Frau V. Kovalevsky 1884 veröffentlicht: Acta mathematica Bd. 6.)

Es seien u, v₉ w reelle, veränderliche Grössen, die wir als die Coor-dinaten eines Punktes im Raume in Beziehung auf drei in einem Punkte О unter rechten Winkeln sich schneidende Axen betrachten. Ferner sei a irgend eine geschlossene Fläche von der Beschaffenheit, dass in "jeder von О ausgehenden Richtung nur ein Punkt derselben liegt. Dann gehört zu jedem Punkte P des Raumes ein bestimmter Punkt P₁ der Fläche, nämlich derjenige, in welchem dieselbe von der Strecke OP oder deren Verlängerung über P hinaus geschnitten wird; und wenn man das Verhältniss OP zu OPx mit t bezeichnet, so ist t eine beständig positiv bleibende continuirliche Function der Coordinaten u₉ u, w von P, welche die Eigenschaft hat, dass sie in Jet übergeht, wenn man u, v, w alle drei mit derselben positiven Zahl Je multiplicirt. Der Ort aller Punkte ferner, für welche t denselben Werth hat, ist eine Fläche at, welche а ähnlich ist und von dieser ganz umschlossen wird, wofern tel ist, während das Umgekehrte stattfindet, wenn t> 1. Setzt man nun

du

dv

w' =

dt

dw

so sind u\ v\ w’ solche Functionen von u, v, w, die sich nicht ändern, wenn man diese Grössen alle drei mit Je multiplicirt, und welche folgende geometrische Bedeutung haben. Man denke sich in dem Punkte и, v, w an die durch denselben gehende Fläche at die Tangentialebene gelegt, so ist deren Gleichung, wenn man mit £7, V, W die Coordinaten irgend eines ihrer

35*

Punkte bezeichnet:

u'U+v'V+w'W = t.

Fällt man ferner von О aus auf diese Ebene ein Loth, so ist die Länge desselben

\Ju'u'+ v'v'+ w'w'

und die Coordinaten seines Fusspunktes sind

u't

v't

w't

u'u'+ v'v' + w'w'

u'u' + v'v' + w'w

u'u'+ v'v'+ w'w

Dieses vorausgesetzt, sei F(u,v,w) eine Function von u,v,w, die sich überall stetig ändert, mit Ausnahme etwa in der Nähe des Punktes О, und es werde der Werth, den das Integral

V, w)dudvdiv

erhält, wenn die Integration über alle diejenigen Punkte des Paumes ausgedehnt wird, die zwischen zweien Flächen at und liegen, — wo wir jetzt t als eine unbeschränkt veränderliche positive Grösse und t₀ als einen besonderen (festen) Werth derselben betrachten — mit

V, w) du)

± JF(u

bezeichnet, in welcher Formel dm das Paumelement dudvdw bedeutet und das obere oder das untere Zeichen zu nehmen ist, jenachdem

t > t₀ oder t <t₀.

Dann erhält man durch eine einfache geometrische Betrachtung die folgenden beiden Gleichungen, in denen dat ein Element der Fläche at bedeutet.

F(u, V, w)dat \ju'u'+ v'v + w'w' ’

u'F(u,v, w) da{

\ju'u' + v'v' + w'w'

(A)

(B)

JDtj'F(u, V, iv) du) — J

DtjDnF(u

V, w) du) =

(4...0

D‘f

*) Die Gleichung (A) ergiebt sich folgendermassen :

Der Zuwachs von j'F(u,v,w)du), wenn t sich um dt ändert, ist gleich

ÇF(u, V, w)du).

it.....t+dt)

Daraus folgt, wenn man in der ersten Formel и F für F setzt, Ft f FuF(u

(G...Ü

(C)

v,w)dio = F]

J* u'F{n

V, w) dtu.

Nun sei cp(w, v, w) eine Function, welche dieselbe Beschaffenheit hat, wie sie für F angenommen ist, f{u,v,w) eine andere Function, die sich überall stetig ändert (auch in der Nähe des Punktes О) und

F{x,y,z,t) = Dt fy{u

v, w) f(x + и, у + V, z + w) du)

wo x, у, z die Coordinaten eines unbestimmten Punktes bedeuten. Dann hat man:

f <?FJ{x +

J ?AJ{x +

(to...t)

= Ftf Fu[y.f(x + u, y + v, z + w)]dto-Dt j ^

(to...t)    (to...t)

Mithin, nach (C):

DXF = Dt

u, y + v, z + tv)dia

и, y + v, z + iv)dia

öcp

f(x + u, y + v, z + w)du>.

(D)

A F = D\

-Ft

tj u'(?f(x + u, y + v, z + w)du>

/ S«™

...t)

y + v, z + w)dv>.

Da der Abstand der Tangentialebenen in entsprechenden Punkten der beiden Flächen at und nach dem Obigen gleich

\lu'u'+v'v'+w'w'

ist, so kann das Raumelement auch die Form

datdt

erhalten. Mithin ist

sju'u+ v'v'+ w'w'

JF(U

V, tv) den

(t,..., t+dt)

⁼J

F(u,v, w) dütdt \lu'u'+v'v'+w'w'

oder wenn man durch dt dividirt:

V, го) dm

F(u,v, w) dit

\Ju'u'+v'v'+w'to'

(to...t)

Die Gleichung (B) ergiebt sich durch die bekannte Verwandlung eines Raumintegrals in ein Oberflächenintegral; vgl. z. B. Riemann, Schwere, Electricität und Magnetismus, §19.

Ebenso findet man:

D..F =

d„f = m

-D

D) I v'(pf(x + u, y + v, z-srtv)du>

(<i, ...t)

Dt J ^f(x + u,y + v,z + w) diü

f w'yf(x + u (Ż0...O

jJ^A^ + w, y + v, z + w)dia.

y + v, z + w)dio

Daraus ergiebt sich weiter:

D²X F = Dfj*u'u'y .f(x + u

-D*‘/(w* + 2uw)f(x+u’ -)*•+»•/

(4-.. i)

D\F — D) j*v‘Vcp. f(x + и

-Ä'/(£? + *•’'©««+••<    + A/

, ...) do>

...) t?o>

d²o

du²

f(x + u, ...)dш

, ...) doi

(4...0

d²j

dv²

f(x + u, ...)doi

(E)

Dl F = D]J'w'w'y ,f(x + u D²yzF — D] Jv'w'y .f(x + u, ...)d(u

d² cp

dw

№>...0

f(x + u, ...)dio

-A²

!Лт

0гс

ôv

■j/■(« + «, ...)d<o + Dt/

d² cp

dvdw

f(x + U,

«6... t)

D]XF = D³t j'w'u'o ,f(x + u, ...)dw

-D

‘/(?

du

du

dw

j/■(« + «, ...)dw + DtJ

ô²ç>

dwdu

««...O

D² F =

xy

D*y'«Уср,f(x+u, ...)dco

(to ...t)

du'

j{f ôv

dv

(t₀...t)

+ v'foï)f(x + u> •••)dm + DtJ

d²cp

du dv

(t₀...t)

Bezeichnet man die Function von u, v, w, welche den zum unbestimmten Punkte (и, v, w) gehörigen Werth von t giebt, mit ü(w, v, w), so ist

и' = -Г—

du

v' =

6v

w' —

also :

dw

dv'

dw'

d²b

dw'

du'

du'

dv'

d²b

dw

dv

dv dw ’

du

die

du div

Aus den Formeln (E), die beliebig fortgesetzt werden können, folgt nun, ■wenn А, В, C, ... Constanten bedeuten

dv

du dudv

A d²F

d*F

d²F

dx²

dy

r + G e«*

, d²F

J Pf (01 +

, d²F dx dy

u, y + v, z + w) doi

, d²F

+ 2C

+ 2J3

J Qf{x+

Uo-.-t)

y + V, Z+w)du).

dy dz

dz dx

u, y + v, z + w) du) — JD]

+ JD

j". Bf{x + u

(*...<)

Bei der Entwickelung dieser Formeln ist, ausser der in Betreff der Functionen f, cp gemachten Annahme, vorausgesetzt worden, dass die Functionen u, v\ w und deren Ableitungen, so weit dieselben in den Formeln Vorkommen, in der Fläche a sich stetig ändern. Die Formeln lassen sich jedoch auch in manchen Fällen anwenden, wo die hinsichtlich der Functionen cp, u, v', w gemachten Annahmen in einzelnen Punkten nicht zutreffen.

Bildet man nämlich für verschiedene Functionen cp, die mit cpt, cp₂, ... bezeichnet werden mögen, aber für eine und dieselbe Function f die Ausdrücke

F, =

J)t j c?1(u

v,w) f(x + u, y + v, Z + w) du)

F₂ = Dt

v, w) f(x + u, y+v, z + w) du

(io •• • t)

und ist T irgend ein aus partiellen Ableitungen von jF1? F₂ u. s. w. nach X, у, z linear und mit constanten Coefficienten zusammengesetzter Ausdruck, so lässt sich derselbe mittelst der aufgestellten Formeln in der Gestalt

DtjФt(u,v,iü) f(x + u, y + v, z + w)d(o

+ Ц fK.O*

v,w)f(x + u, y + v, Z + w) du)

darstellen, wo Ф1} Ф₂, ... Ansdrücke sind, welche aus den Functionen u\ v\ w\ <pi} cp₂, ... un(^ deren Ableitungen so zusammengesetzt werden, dass auch in dem Falle, wo die letzteren an einzelnen Stellen sich nicht stetig ändern, Ф , Ф , ... Functionen von u,v}w sein können, welche der im Vorstehenden hinsichtlich der Function cp gemachten Annahme entsprechen. Trifft dieses so ist die angegebene Darstellung von T zulässig.²)

zu

Diese Formeln sollen jetzt angewendet werden auf die Integration der Differentialgleichung

ж =    ⁺⁰ił+2A

, в²ф

dz dx

, d²T

dx dy

für den Fall, dass die reellen Coefficienten A, jB, ... solche Werthe haben, dass die Function

dy dz

Ax² + Bif + Cz² + 2 A'yz + 2 B'zx + 2 G'xy

wenn

bei reellen Werthen von ж, у, г stets positiv bleibt und nur dann Null wird, diese Grössen sämmtlich verschwinden.

von

Das Resultat, in Doppelintegrale verwandelt, stimmt überein mit dem Cauchy (Journal de l’École Polytechnique, Cah. 20, p. 297 — 309) und in dem besonderen Falle, wo

mit dem von Poisson in einer Abhandlung in den Mémoires de l’Académie des Sciences gegebenen.

Es sei in diesem Falle die Fläche о ein Ellipsoid, und die Gleichung

desselben

au² + bv² + cw² + 2 a’vw + 2b'wu + 2c'uv = 1.

Dann ist

9² = au² + bv² + cw² + 2a'vw + 2b'wu + 2d uv

und daher

aa

O -z— = au + c'v + b'w

du

aa

О г = c'u + bv + o!w

dv

dw

— Ъ'и + a'v + cw

welche drei lineare Functionen mit £7”, V, TV bezeichnet werden mögen, und

aa aa aa u -z— + V -T- + w -r— — a.

du dv dw

Daraus folgt, da

[(AU + CV+ B'W)^- + (C'U+]3r+Ä'W)^- + (J?Ü+]A'V+ CW) £]|

ist, dass man P = cp erhält, wenn man «, &, etc. so wählt, dass die Gleichungen

AÜ+C'V+B’W = u, C'Ü+BV+A'W = V, B'U+A'V+CW = w erfüllt werden. Aus denselben folgt aber, wenn man

G = ABC-AA’A'-BB'B'-CC’C'+ZA'B'G

setzt :

ВС-A'A'

CA-B'B'

AB — C'C'

a' =

B'C'-AA'

CA'— B B'

c' =

A'B'- CC

Nimmt man nun ferner

so hat man

aa

0? = -a~²— = -a ~³u

du

p = -a~²— = -a-³F,

dv

öcp = -a~²— = — a~³ w,

Oj Oj

cp

dw

dw

Ш = Kr)’

a²(p

dv dw

= — а'а_з+ за-

3 aa aa

dv dw

⁰ у = — &a-³ + за⁻

dv²

= - ca⁻³ + за-aw²

₃/öa\²

a² cp

dv

,/ö3

dw

dw du

a² cp

du dv

= — б'а_з+за_з

aa aa

dw du

= - c'a⁻³ + за-³ 4^4^-

du dv

I.

36

Daraus folgt, mit Berücksichtigung der Gleichung P = cp = h R = — (Aa + Bb + Cc+ 2A'a + 2B'b'+ 2C'c') 0⁻⁸+ 3&⁻³.

•>

Aber es ist

Aa+ Cc'+B'b' = 1, Cc'+ JBb + A'a = 1, B'b'+A'a'+ Cc = 1,

und somit woraus weiter auch Q — 0 folgt.

Wir haben also folgendes Resultat: Setzt man

0²(w, V, w) =

BG—A'A'

u² +

CA - BB'

AB —C'G'

~G

vw + 2

B'C-AA'

C'A'- В В'

А'В'-CC

und

///

F = JD

du dv dw,

f(x + u, y + v,z+w)

b(u,v,w)

[&²(w, V, w) < £²]

wo die Integration über alle Punkte des Raumes auszudehnen ist, für welche ft³(u,v,w) ct ist (t₀ ist gleich Null angenommen, was erlaubt ist, da F nicht davon abhängt und das dreifache Integral einen Sinn behält, trotzdem dass für den Punkt О г) = 0 ist), so wird der betrachteten partiellen Differentialgleichung genügt, wenn ф = F genommen wird.

Nach der Gleichung (A) ist

Dt

///

f{x Au,...)

[$²(w, V, w) <i²]

b{u,v, w)

-dudvdw =

f;

f(x+U, .)

i (dü\²    /<5Ь\² fdb\

V (ж)⁺ Ur) ⁺ \ш)

\jU‘ + r‘ + W'

dot,

wo dat ein Element der durch die Gleichung

au² + bv² + civ² + 2 a’vw + 2b'wu + 2c'uv = t2 dargestellten Fläche bedeutet. Daraus folgt weiter

da,

tfjx + tu,y + tv, z + tw)

\/U² + V² + W²

wenn man unter da ein Element der Fläche

au² + bv² + cw² + 2 a'vw + 21'wu + 2 c'uv = 1

versteht, unter и, w die Coordinaten eines zugehörigen Punktes, und die Integration über die ganze Fläche ausdehnt.

Das Vorstehende gilt zunächst unter der Voraussetzung, dass t positiv ist. Es ist aber für einen positiven Werth von t

fff

f(x + u, ...) dudvdw

[0²(w, v,w) <tf²]

Kf

f{x + TU, у + XV, 2 + XW)

\Jü² + V² + W:

da) xdx.

— t für t gesetzt wird, unverändert,

wenn

Der Ausdruck auf der rechten Seite hat nun auch eine Bedeutung für negative Werthe von t, bleibt jedoch denn

SM

f(x + xu,y + xv,z + xw)

\JÜ² + V² + W²

do I xdx

I if

f (x — XU, у — XV, z — xw)

Vü²+r²+w²

da) xdx.

Für jede Fläche о aber, welche die Beschaffenheit hat, dass sie von einer durch О gehenden Geraden in zweien, gleichweit von О abliegenden Punkten geschnitten wird, ist bei einer beliebigen Function f(u,v,w)

§f(u,v,w)da — ff(—u,—v,—w)da.

Es ist also das dreifache Integral, von dem F die Ableitung nach t ist, eine grade Function von t, F selbst also eine ungrade. Wenn aber die gegebene Differentialgleichung, unter der Voraussetzung dass ф eine ungrade oder grade Function von t ist, für alle positiven Werthe dieser Grösse besteht, so ist sie auch für alle negativen gültig.

Für t = 0 wird F = 0, und

da

\/ü² + r² + W²

Es ist aber

fff

du dv dw

(Ô² < 1)

fM

da

\JU² + V² + W²

da

\JU² + V² + W

Mithin, wenn man

fff

du dv dw

(ü² < l)

Ь(и, V, w)

setzt, und

f(x + u, y + v, z + w)

du dv dw

(0² <t²)

so ist ф eine Function, die der vorgelegten Differentialgleichung genügt und zu gleicher Zeit für t = 0 die Bedingungen erfüllt:

tjł = 0

Öt|i

-HT = fi*, У, 8).

dt

Daraus folgt sofort, dass man die allgemeine Lösung erhält, wenn man eine zweite willkürliche Function F(x,y,z) annimmt, und

iWff

F(cc + u, y + v, z + w)

(&²<£²)

0 (u, V, w)

du dv dw

du dv dw

f{x + u,y + v, z + w)

(ö² ct¹)

setzt. Denn dann wird für t — 0

-G-

ф = F(x,y,z)

of =

Führt man an Stelle von u,v,w drei andere Veränderliche p, q, r ein:

p = au + ßv + yw, q — a'u + ß'v + yw , r = u"u + ß"v + y'w,

so können die Constanten a, /5, etc. so bestimmt werden, dass

w² + V² + w² in p² + q* + r²

und

au² + bv² + cw² + 2 a'vw + 2 b'wu + 2c'uv in gp² + Jiq² + hr2 übergeht, wo g, 7г, Je positive Constanten sind. Dann hat man

für

du dv dw

0(г$, V, w)

zu setzen

dp dq dr

\jgp² + hq² + 1er²

und die Integration erstreckt sich über alle Werthe von jp, q, r, für welche

gp² + hq² + kr² < t²

ist. Diese erhält man, wenn man

4=- • t cos Я

—— • t sin Я cos g

\]h

— • t sin Я sin g

\JJc

setzt, und

t    alle Werthe    von    0    bis    t,

Я    alle Werthe    von    0    bis    тг,

g    alle Werthe    von    0    bis    2 тс

heilegt. Dann muss

dp dq dr

\Jgp² + Jiq² + kr²

ersetzt werden durch

t sin Я di dX dg

\Jghk

wobei zu bemerken, dass gJik — ^ ist. eine beliebige Function von u, v, w ist,

Danach hat man, wenn X(u, v,w)

WO

fff

< t²)

X(u, V, w) dudvdw

pt pn /*2it    _

/ / /    X(iu,, iv₁₇

J₀ J₀

w, ) г sin Я dg dX di,

и, =

cos Я

а~т=

sIg

+ а'

sin Я cos g

\Jh

+ cc"

sin Я sin g

sjk

vi — ß

cos Я

, эшЯсозр

„ sin Я sin g

\/g

\jh

\Jk

sin Я cos g ^ y, sin Я sin g

cos Я

w' = y~W

Setzt man X(u, v, w) — 1 und t = 1, so kommt

\Jh

\fk

= 2tc \JG.

SjG fff i sin X di dX dg

•'O    *4)    *4)

Wir haben also das Resultat:

Es seien F(x,y, z), f(x:y, z) zwei willkürlich angenommene Functionen von y,

G = ABC-AA'A’-BB'B'-CC'C'+ZA'B'C

Dann ist

0²(w, V, w) =

BC-A'Ä

W² +

CA-B'B'

V² +

AB—C'C'

W‘

B'C-AA'

F(x,y,z,t) =

vw + 2

Iff

CA'-BB'

wu + 2

А'В'- CG'

uv

F{x + u, y + v, z + w)

[8²(м, V, w) <£²]

■8 (и, V, w)

du dv dw

f{x,y,z, t) = JJ*J

f (x + и, у 4- V, z + w)

[8²(w, V, w) <tf²]

% (u, V, w)

du dv dw.

d'F(x,y, z, t)

df{x,y,z,t)

4т: \jG

dt²

dt

eine Function von х, у, z, t, welche der Differentialgleichung

dz dx

Ô4

dx dy

+ 2C

+ 2B

dx²

d?/ dz

genügt und zugleich so beschaffen ist, dass für t — 0

dt²

dy

Ф = F(x, y,z),    -0*- = f(x, y, z)

wird.

Dabei müssen aber

А, AB-CC, G

alle drei positiv sein.

Hat man namentlich die Gleichung

= аш(?±₊Р±₊

dt²    \ dx² JJ"²

dy

dz²

so

ist \JG = a%

&(u,v,w) = — \ju²-\-v² +

•,*)=] ff

F(x + и, у + V, z + w)

а² ум² + V² + w²

du dv dw

(m²+?;²+w² <a²1²)

уГЛв’*'’ t)=fff

(w²+«²+«?² < a² i²)

à² y w² + г;² + w

du dv dw.

Hat die Gleichung die Form

d²<\>

-с-

dt²

dx²

+ »& + ***

dy

ds²

so

ist \jQ — abc

also

d²F(x,y,0, t)

dt²

df(x, y,0, t)

dt

F{x, у, z, t) = fff

F(x + u, y + v, z + w)

sl-

W²

du dv div

+ -5-

c²

fff

f(x + u, y + v, z + w)

V'

u² V²    w²

Ö 1    “1

du dv dtv.

b²

c²

l и¹    V²    w² A

Die Integration des folgenden Systems partieller Differentialgleichungen (in denen a, b positive Constanten, t, ж, у, z unbeschränkt veränderliche reelle Grössen und £, tj, Ç zu bestimmende Functionen derselben bedeuten):

[Н|-а²(Н² + Н² + Н²)]^-(&²-а²)Х>ж(Н^ + Ни + НгС) == 0

¹

Crelle’s Journal, Bd. 32.

²

Ich muss bei dieser Gelegenheit auch bemerken, dass ich in diesem Sommer, nachdem meine Arbeit schon fertig war, durch eine freundliche persönliche Mittheilung von Prof. Kronecker erfahren habe, dass er ähnliche Transformationsformeln für dreifache Integrale, welche auf der Differentiation nach einem Parameter beruhen, von welchem die Begrenzung des Integrales abhängt, bei seinen Untersuchungen über das Potential gebraucht hat. [Anmerkung der Frau v. Kovalevsky.]

(F)

[DJ-a^Di+DJ + ^C-^-a^ĄCD.ę + ĄTj + ĄC) = О

lässt sich zurückführen auf die Integration der Differentialgleichung

Щ-Dl-Dl-DDf = 0.

Zunächst ergiebt sich aus den Regeln, nach denen man die Integration eines solchen Systems partieller Differentialgleichungen auf die einer einzigen mit einer unbekannten Function reducirt, dass man setzen kann:

I = m-b²(D²x+ Ц+ Ц)]^+ (b²-a²)Dx(Dx?1 + Dy(?2 + D^)

(G)

4 = [D²t-b²(Dl + I)l+Dl)]?2+(b²-a²)Dy(Dx?l + Dy^ + D^₃)

C = [F²t-b²(Dl+Dl+Dl)]'i3+(b²-a²)Dz(Dx^ + Dy^ + I)^₃),

wobei cp , cp₂, cps drei Functionen von t, x, у, # bedeuten, von denen jede

die folgende Differentialgleichung befriedigt, in der zur Abkürzung

Д = Dl+Dl + Dl

gesetzt ist:

(H)

(Ц-а²А)(Ц-Ь²А)<? = 0.

Nun bedeute f(t, x, у, z) oder kürzer f(t) eine Function von t, x, у, z, welche der Gleichung

(I)

Ferner sei ф(£, y, z) oder

genügt, und in Beziehung auf t ungrade ist. ф(£) eine in Beziehung auf t ebenfalls ungrade Function, welche die

Gleichung

лжо = m

befriedigt.

Dann hat man

(Ц-А)ЩУ) = 0

oder

D)№-A)W)] = 0,

mit Berücksichtigung des Umstandes, dass (D]—A) eine ungrade Function von t ist,

woraus

(D’-ДЖО = «M

folgt, wo ф₀ bloss von x, y, z abhängt.

Setzt man in dieser Gleichung at für £, so ergiebt sich

%.at

oder

(D²t — a²A)ty(at) = cl4.Ąq,

und ebenso

(D\-b²A)^(bt) = b³t.<\>₀.

Daher

{D²t-a²A)(D²t-b²A)^{at) = ~a³b²t. Дф₀,

(D²t —a²A) (D]—b² A) ty{bt) = -a²b³t.Aty₀,

(Ą’-a!A)(DbłsA)(U(«*)-U(W)) = «•

Setzt man daher

<P =

a² — b²

so ergiebt sich

(D²t-ct²A)(D²t-b² A)? = 0

und zugleich hat man für t = 0 <p = 0, Dt cp = 0, D]ip = 0, Dt³cp =

аЦ"'(аЬ)-Ъ²у"{Ы)

a² — b²

= Г(о) = Г(о)

so dass, wenn man f{t,x₇y^) so bestimmt, dass für t = 0

Dtf(t,x,y,z) = F(x,y, s)

wird, cp dasjenige Integral der Gleichung (H) ist, welches für t — 0 den Bedingungen genügt

cp = 0, Ącp = 0, D?cp = 0, B\ cp = F(x,y,z).

Dabei ist cp eine ungrade Function von t.

Bestimmt man nun drei solche Functionen fx(t, x, у, z), fa(t, x, «/, ^), j^($, x, у, #), welche für f gesetzt der Gleichung (I) genügen und bezeichnet mit cpi? сp₂, срз die Functionen, welche aus diesen so abgeleitet sind, wie hier cp aus f, und substituirt diese in die Gleichungen (G), so erhält man für Ç, yj, C Ausdrücke, welche den Gleichungen (F) genügen, und zwar so, dass für t = 0

S = 0, = 0, = 0,

A*3 = f№,x,y,z),

AC = /з'(0,#, 2/, -S').

Dabei ist zu bemerken, dass weil

ist, man

b²A^{at) = b²f(at) — ab²^₀.t,

(D²t — b²A)<\>(at) — ab²<]>₀ .t + (a² — b²)f(at)

hat, und daher

а²-Ь²

(D*-b*A) cp = (Я²-Ь²Д)

(a²-b²)^- + b²^.t-b²^₀.t

a² — b²

I.

37

Mithin kann man die Gleichungen (G) auch schreiben

ri =

Es ist ferner

Л

-r)fa(x)dx + ^.t,

♦.w = f‘(t

und daher

— т) [a/i(af) — ЩЫ)] dx

etc.

Zur Integration der Gleichung

(D|-a²A)(D|-&²A)cp = 0

kann man auch folgendermassen gelangen. Es sei

?(*»a)

eine Function yon f, welche der Gleichung

(D] — a²A)cp(f, а) = 0

genügt, und den Bedingungen, dass für t — 0

'p(M) = ⁰

G eine willkürliche Function von а?, у, z ist. Ebenso sei <p(£, 6) definirt durch die Gleichung

{D]-b^)^{t,b) = 0

а) = G(x,y,e)

wo

und die Bedingung, dass für t — 0

? (t, Ъ) = 0,

Dann sind <p(£, a), cp(£, J) beide ungrade Functionen von t. Wenn wir

?(0 = ?(*,&)-?(*» a)

&) = G(x,y,z).

setzen, so genügt cp(£) der Gleichung

(D?-aA)(Z)²,-&A)cp = 0,

und man hat für £ = 0

Aber

und daher

und ebenso

also

[^?(M)]te0 = b^G,

№vm₌o = (b'-a')bG.

Bestimmt man daher G so, dass

so ist <p(£) diejenige der betrachteten Gleichung genügende Function, welche die Bedingungen, dass für t — 0

D.cp(£) = 0,

?(0 = ⁰

sein soll, erfüllt.

Nun aber hat man, wenn

D]y{t,a) = <p"(M)

D^cp(£) = 0

DM*) = f

gesetzt wird, auch

(D²t-a²A)f(t,a) = 0,

(D²t-b²b)y"(t,b) = 0

und für t — 0

Dtf(t,a) = a² AG =

a²

b² — a²

f,

b) = 0

Dtf(t, Ъ) = Ъ²AG =

b²—a²

Es ist also

b²—a²

a²

diejenige der Gleichung

(D]-a²A)F = 0

genügende Function, welche die Bedingungen erfüllt, dass für t = 0

sei. Also

F — 0, JDtF = f

ft²-а²

a²

und ebenso

b²— a²

Daraus folgt

b²

cp(£, а) =

9(ß> b) =

?"(<>») =

?”(«, ») = jfW-

f f f(at) dtdt + tG,

4> 4)

ffw) dtdt + tG.

b² — a²

Ist nun ф(£) eine Function von t, deren zweite Ableitung f(t) ist und die für t = 0 verschwindet, so hat man

D)ty(at) = a²f(at), f f f{at) dt dt = — ф (at) - *ф'(0)

4>4>    a

wo

Also

m = [аф(о],₌₀.

und

<?(t,a) =

a(b²—a²)

ф (at) + t G

b²-a²

?(0 =

Die vorstehenden Formeln gehen die allgemeinen Integrale der Gleichungen (F) für den Fall, dass £, tj, C für t — 0 verschwinden, also jedenfalls auch, wenn £, y], C ungrade Functionen von t sein sollen. Nimmt man nun drei Ausdrücke von derselben Form, in denen aber ft)f₂,f₃ durch drei andere Functionen vertreten sind, bildet von diesen die Ableitungen nach t und fügt diese bezüglich zu Ç, tj, C hinzu, so hat man die allgemeinen Ausdrücke dieser Grössen.

Es ergiebt sich also folgendes Resultat: Man bestimme sechs Functionen

Fx{t,x,y,z) welche für f gesetzt, der Gleichung

f₂{t,x,y,z),

F₂{t,x,y,z),

f₃ (t,x,y,e) F₉(t, X, y, s)

(Dl-Dl-Dl-Dl) f = 0

genügen, und überdies alle für t = 0 verschwinden, ferner seien

W₂(t,x,y,z)

$i(t,x,y,z) ^,{t, Х,У, *)

W>x,y,0),

Vtf, x, У, é)

diejenigen sechs Functionen, deren zweite Ableitungen nach t beziehlich

fi, f*, U, Fx, F₂, F₃

sind, und welche ebenfalls für t = 0 sämmtlich verschwinden. Setzt man dann

Ф(*»я>У»*) =    x, У, z) + Dy ^(t, x,y, e) + DM$a(t, x, у, e),

¥ (t, x, y, s) = ДД, (t, x, у, в) + DyW₂(t, x, y, ß) + DgW₃(t, x, у, z),

so sind

~fM) + ~DtF₁{at)+J)Ą

W    Ci.

J №) + ±Dt F₃(at) + DÀ ( j ф (W) -j Ф {at) + jDtW{bt) -1ЯД«) “ /з (a0 Jr~^FtF₃ (at) + Dzj

die allgemeinen Integrale der Gleichungen (F).

Hieraus erhält man ferner mit einiger Änderung der Bezeichungen die Integrale der folgenden Differentialgleichungen, in denen

» = Dxt + Durt + Ds C

und P, Q, R gegebene Functionen von t, x, y, z bedeuten:

{Т)\ — а²А)\—{Ъ²—а²)РхЬ = P(t, x,y, e),

(D*t — a*A)rl—(b*-a?)Dyü = Q(t,x,y,z),

(Dt — a²A)Ç — (b*—a²)Dziï — R(t, x, y, s).

Man bestimme sechs Functionen

Kit), Ft{t), F₃(t) Kit),    Fft)

von t und x, y, z, welche für f gesetzt der Gleichung

Щ-А )F = 0

genügen und überdies für t = 0 sämmtlich verschwinden. Ferner seien

9.(0 9i(0»

Functionen, deren zweite Ableitungen nach t den obigen sechs Functionen respective gleich sind und die ebenfalls für t — 0 alle Null werden. Endlich seien

Kit,T)

m,r)

m,r)

— wo t eine unbestimmte Grösse bedeutet — drei Functionen, welche ebenfalls der Gleichung

{D]—A)F = 0

genügen und überdies so bestimmt sind, dass für t — 0

F? = 0

DtFZ = Р(т, x, y, z)

F'' = 0 DtF'Z = Q(x,x,y, z),

F'r = 0

DtFZ = R(x,x,y,s).

Bezeichnet man dann mit

?tit,X), ?2 it^),    <?№, T)

Functionen, deren zweite Ableitungen nach t

F",

TP"    TP"

2 ?    x я sind, und welche für £ — 0 ebenfalls verschwinden, und setzt:

<P(0 = A<Pi (0 +Ą?.(0    +Ą?.(0i

<P'(0 = A<Pi(0 +Ą?i(0    + А?з(*)>

?"(*> T) = Atf (*» T) +    T) + Fy'(t, t) ,

so ist

ji AM + В,(А ? (it)- j <Р {at))J + i AM + D.(! ¥'(М) -1<р'М)

i F;'(«/ - от, t) + Ą,    cp"( 6« - 6т, t) - А 9"((й - «, -) ) J dz,

|4 AM +1>,(11 (M) - 4 ? и)) + 4 им + л.(|

-U'«-i ?'(«<)

— FŹ'(at — ах, т) + D &

у(у <?"(Ы-Ьт, х)~~ у"(at —ах, т))|

di

|4ам+а(4?м

a i i-*

/ |4-р»'(<й~ят’т)+-а(|

? м) + 4 *>*)+а (4 ?w - 4

4 f"{bt—bz, z) — -^<f"(at — az, тШйт.

Bezeichnet man daher die Functionen, in welche

AA(0>    D,F,(t), DtF,(ty, D,F{{t),    AA'(0, AA(0

für t = 0 übergehen, mit

fAx>y> *)»

№,У>⁰)

so hat man für t = 0

f₃(x,y,e)-,

f[(x,y,z)

f»(xt У )0>)}    fз(хi У)

C = fz(x,y,8), АС = /ft®, У: *)'

ri = £(®, У, S)

Ач = Æ(®»y>*)

£ = fi(x,y,tt),

Щ = К(х,у,е),

Dabei können bei der Bestimmung der F¹ die f willkürlich angenommen werden.

ANMERKUNG.

Diese im Jahre 1861 verfasste und 1863 der Akademie der Wissenschaften vorgelegte Abhandlung (Monatsberichte S. 86) ist mit Erlaubniss des Verfassers von Frau v. Kovalevsky bei Gelegenheit ihrer Untersuchung „Über die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln“ veröffentlicht worden.

THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN.

(Aus der im 52. Bande des Crelle’schen Journals unter gleichem Titel erschienenen

Abhandlung.)

Einleitung.

Das A bei’sehe Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet die Grundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, die deswegen passend Abel’sche Functionen genannt, und folgendermassen definirt werden können.

Es bedeute

eine ganze Function (2p+ 1) unter den Grössen

B(x) = A₀{x-ax)(x-a₂) ,..{x-a2q+l)

Grades von x, wobei angenommen werde, dass

ten

«i

?    * * * a2Q+l

keine zwei gleiche sich finden, während sie im Übrigen beliebige (reelle und imaginäre) Werthe haben können. Ferner seien иг1 ... и q unbeschränkt veränderliche Grössen, und zwischen diesen und eben so vielen von ihnen abhängigen хг1х^...х die nachstehenden Differential-Gleichungen, in denen

P{x) das Product {x — al){x — a₂)...{x — aq)

bedeutet, gegeben:

I.

dux =

du ₂ = —

dxx

¹    BQh)

2    Xx-<*x ЩхЦ

¹

2 x₁ — a₂ \Щх~)

dx₂

1    P(x₂)

²    xa-at \jB(x₂)

1    P(x₂)

2    »2- »2 \[Щх₂)

• life)

2 xx~aQ ffîxj ² x₂-aQ \/B(x₂) g

dx j

dxx

dx₂

dx₂

L JL P(X?) ._dxQ

2 xQ-ax ' \jB(xQ)

1 P(x,>)    dxq

⁺ '" + ¥

1 P (Xq )    CÏXq

⁷

1±2

38

mit der Bestimmung, dass xv xt, ... xQ die Werthe ax% «₂, ... a sollen, wenn uiX w₂, ... и sämmtlich verschwinden.

annehmen

Alsdann sind a?i? x$1 ... xq als die Wurzeln einer Gleichung von der Form

x^+P₁x^~¹+ Р₂я<?-² + --- + Pq = o

zu

betrachten, wo Px, P₂, ... PQ eindeutige analytische Functionen von u₂, ... Uy bedeuten; während eine zweite ganze Function von x des (q — l)ten Grades

^?"4^r2 + - + <2

von

deren Coefficienten eben solche Functionen von u₂, u₂₎ ... sind, wenn man X = xx, x₂₎ ... Xq setzt, die zugehörigen Werthe

giebt. ¹)

Hiernach ist jeder rational und symmetrisch aus

x₁,x₂,...xQ und \jR(xJ, \jR(xt), ...    \IR(X')

zusammengesetzte Ausdruck als eine eindeutige Function von u₂, .. Zusehen. Insbesondere aber zeigt es sich, dass das Product

(ar xx) (ö!r x₂)... (ur Xq),

eine der Zahlen 1,2,... 2^ + 1 bedeutet, das Quadrat einer solchen Betrachtet man demgemäss, indem man

cp (X) = (X Xy ) (x X₂ ) ... (X Хц )

Constanten versteht, die Grössen

. и an-

wo x

ist.

setzt, und unter h , h

2¹ ¹

.. Ji

2Ç+1

SJKÏK), \Jh 2 9 (яг) > • • • V^2Ç+l T (a2Ç> + l)

so kann man nicht nur aus denselben die

cos am и

überhaupt vollkommen analog sind, durch eine solche Menge merkwürdiger

als Functionen von ut, u₂, ... и Coefficienten der Gleichung, deren Wurzeln ж,, ж,, ... ж, sind, leicht zusammensetzen, sondern sie zeichnen sich auch gleich den elliptischen sin am щ , Дат«, auf welche sie sich für q = 1 reduciren, und denen sie

und fruchtbarer Eigenschaften aus, dass man ihnen und einer Reihe anderer, im Zusammenhänge mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen »AbeF-sche Functionen« zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande der Betrachtung zu machen aufgefordert wird.

Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betrifft die wirkliche

Darstellung der im Vorstehenden definirten Grössen, sowie die Entwicklung ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das Integral

/[

F (xç) dxQ

F(x₁ )dxt ^ F(x₂)dx2 SlRM \JR(x₂)

wo F{x) eine beliebige rationale Function von x bedeutet, als Function von «q, u₂) ... и auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen Schrift, deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Abhandlungen²) bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar auf einem Wege, welcher von dem für die Abel’schen Functionen zweier Argumente von Göpel und Rosenhain betretenen gänzlich verschieden ist. Die genannten Mathematiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die sie aus denen, durch welche Jacobi die elliptischen Functionen auszudrücken gelehrt hat, durch eine von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallgemeinerung erhalten, und zeigen dann, wie sich ans denselben, die zwei veränderliche Grössen eq, u% enthalten, die Coefficienten einer quadratischen Gleichung so zusammensetzen lassen, dass zwischen deren Wurzeln und u2 zwei Differential-Gleichungen von der oben aufgestellten Form bestehen. Dagegen war mein Bestreben von Anfang an auf die Auffindung einer Methode gerichtet, die geeignet sei, unmittelbar von den genannten Differential-Gleichungen aus für jeden Werth von q auf einem einfachen, alle Willkür-lichkeit ausschliessenden Wege zur Darstellung der Grössen xi:x₂,...x als Functionen von ua, ... и in einer für alle Werthe der letztem gültig bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens, dessen ich mich bereits früher zur directen Entwicklung der elliptischen Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications- und Transformations-Formeln, mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schliessliches Resultat meiner Untersuchungen ergab, dass sich sämmtliche Abel’sche Functionen einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form darstellbare Transeendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe erreicht, was für die elliptischen Functionen Jacobi gethan hat, und was Lejeune Dirichlet in seiner Gedächtnissrede auf den grossen Mathematiker mit Recht als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet.

Gleichwohl hoffe

Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äussern Hemmungen entstanden, die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unterbrechung, mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird man Spuren davon an nicht wenigen Stellen entdecken, ich, dass ihr die Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer Beurtheilung vorlege, nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens ein Ergebniss derselben mit Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache nämlich, dass sich die elliptischen und die Abel’schen Functionen nach einer für alle Ordnungen gleich bleibenden und zugleich directen Methode behandeln lassen; und ich trage kein Bedenken, zu gestehen, dass ich auf dieses Resultat meiner Arbeit einigen Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft nicht unbedeutendes betrachte.

Erstes Kapitel.

Erklärung der Abel’schen Functionen; Bestimmung der analytischen Form

derselben.

Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusammenhang zwischen den Grössen x₂, ... xç und и₂, ... и dargestellt werden kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen, hier ein für allemal in Betreff einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe der ganzen Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt werden.

Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets, a,b,c, ... sollen, sobald nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wirdausschliesslich Zahlen aus der Reihe

1 , 2 , ... Q

bedeuten, in der Art, dass jeder derselben, wo er in einer Formel vorkommt, unabhängig von den übrigen etwa in ihr sich findenden, sämmtliche dieser Reihe angehörigen Werthe durchlaufen kann. Ein Ausdruck, der einen oder mehrere dieser Buchstaben enthält, repräsentirt demnach, je nachdem die Zahl derselben 1, oder 2, oder 3 u. s. w ist, q, oder p², oder q³ u. s. w. Werthe. Die Summe aller dieser Werthe soll dann ferner durch ein dem Ausdrucke vorgesetztes 2 bezeichnet wTerden, und zwar in der Regel ohne besondere Andeutung der Buchstaben, auf welche es sich bezieht, was nur in dem Falle nicht unterbleiben darf, wenn ausser denselben noch andere deutsche Buchstaben Vorkommen. Hiernach ist z. B.

2*» = 2>(«)

a = i

Dagegen soll

SF(», 6) = 2>(a,6)

а    а = i

= s's'-FM.c)

a,b

a=ib=i

sein; u. s. w.

Kommt es in einem besondern Falle vor, dass bei einer solchen Summation ein Buchstabe von den festgesetzten Werthen irgend einen bestimmten nicht annehmen darf, so soll darauf durch ein dem 2 oben beigefügtes (') aufmerksam gemacht, und zugleich der auszuschliessende Werth neben der Summenformel angegeben werden; wonach z. B. die Bedeutung der Formel klar ist.

Endlich bemerke ich noch, dass eine Gleichung, die einen, oder zwei u. s. w. der in Rede stehenden deutschen Buchstaben enthält, ein System von

p, oder q² u. s. w. Gleichungen darstellt;

fgestellten Differential-Gleichungen sämmtlich in der folgenden

so dass z. B. die in der Einleitung

au

(1.)

(K

du — У —

b ^ 2 xa—ab sßK)

enthalten sind.

Dies vorausgeschickt soll nun zunächst gezeigt werden, dass sich xt1...x bei hinlänglich kleinen Werthen von    ... nach ganzen

positiven Potenzen dieser Grössen in convergirende Reihen entwickeln lassen.

so

Wenn die Differenz x — at, wo r irgend eine der Zahlen 1, 2, .. 2 p+ 1 bezeichnen soll, dem absoluten Betrage³) nach kleiner ist als die Differenz zwischen av und jeder andern der Grössen at, a₂, ... a2o+l (was durch den Ausdruck »es befinde sich x in der Nähe von ar« bezeichnet werden möge) lässt sich

= durch eine convergirende Reihe von der Form

s[R’(ax) (x — ax)

■ 1¹ +    —«r) + OO2 (x ~ atY h I

darstellen, wo R'(x) —    , und (r)x, (r)₂, u. s. w. rational aus at und den

Coefficienten von R(x) zusammengesetzte Ausdrücke sind.

Wird daher angenommen, es befinde sich xx in der Nähe von ati x% in der Nähe von a₂ u. s. w., und setzt man,

R(x)

P{x)

= A {x - âç+1 )...(x-a2Q+l) mit Q (x)

d P(x)

bezeichnend,

(2-)

so hat man

¹

2 xa-ab

wo (a,b)₀, (a,b)t u. s. w. rationale, aus aa, ab und den Coefficienten von P{x), Q(x) zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten, und insbesondere

(a, b)₀ = 0, wenn a ^ b,

dxa

= ((a. b)₀ + (a, b), sl + (a, b)₂ < + • • •) dsa

(o,o)₀ = G

ist. Hiernach geben die Gleichungen (1.) durch Integration

(3.)

U2 =

«,+sjs

2n + l

n = 1, ... CO (g» ²)n

2n+ 1 Jt = 1,... oo

«Г⁴,

C⁺‘

(g> g)n „2П+1 )

2n+l “ Г

n = 1,... oo

Aus diesen Reihen erhält man dann ferner durch Umkehrung die folgenden, in denen (u^    ... u^)n eine ganze homogene Function u*⁶¹¹ Grades von

иг, ... bezeichnen soll:

UQ = 5Ç+Sj2

*1 =

(4.)

• • • UQ)5 H----

\ *<? =

Ferner, da sich

= wç+(w„ M2ł ... UQ)₃ + (ulfu₂, ... «Д + -- •

*(*.)

in eine Reihe von der Form

*a+(g)i *£+(«)» *5+'•*

entwickeln lässt

(5.)

-Pfat) ₌ V-Rfoq) VR(«a) ÖW

= Wa+(W1I W2₇ ••• V«+(**!»    MA⁺*" •

(а = 1,2,... q)

Die vorstehenden Reihen können nicht für alle Werthe von ux1 u₂, ... uq con-vergiren, sondern nur für solche, die gewisse Bedingungen erfüllen. Es ist aber für den gegenwärtigen Zweck nicht erforderlich, diese aufzusuchen; es genügt vielmehr anzunehmen, dass die Reihen (3.) bis (5.) für irgend welche Werthe von u₂, ... deren absolute Beträge durch 17, U₂, ... bezeichnet werden mögen, sämmtlich convergent seien — wozu man nach einem

allgemeinen Satze über die Reihenentwicklungen von Functionen, die algebraischen Differential - Gleichungen genügen, berechtigt ist,⁴) Dann sind sie es auch unbedingt, sobald man für и1Уи₂,...и nur solche Werthe zulässt, die dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich £/, t7, ... U sind, und geben unter dieser Voraussetzung

V-ßfo),    ••• S/b(xq)

Wenn man

als völlig bestimmte, eindeutige Functionen von u^u^...u. aber die vorstehenden Grössen für alle Werthe von    innerhalb

der bezeichneten Grenzen berechnen kann, so ist durch das Abel’sche Theorem die Möglichkeit gegeben, dieses auch für beliebig grosse Werthe der genannten Veränderlichen auszuführen.

§ 2.

Um dieses nachzuweisen, nehme man statt ui: ua, ...u (2^) Reihen yon je q solchen veränderlichen Grössen

(1.)

u^\ щ

an, die keiner andern Beschränkung unterworfen sein sollen, als dass

. . . uT

<

sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner als Ua vorausgesetzt werden. Ferner bezeichne man, wenn nt eine der Zahlen 1, 2, ... 2p bedeutet, mit

₀(Ш) *1 J

Ott)

(Ш)

(Ш)

(Ш)

die Grössen, welche man für

+ N«'U)) = 0

zu

vermittelst der Reihen (4, 5) des vorhergehenden § erhält, wenn man dort .. и^m) an die Stelle von    ... и setzt. Sodann hat man zwei

ganze Functionen M(x), N(x) von der Form

M(x) = x^+M₁x^~¹ + -‘- +Mt N(x) =

vermittelst der folgenden (2(iq) Gleichungen

(2.)

NflQ

Щ<)

ЯЮ

+ ЩК)

= 0,

(3.)

ЩаГа)

QK)

+ Щ<)

= о,

bestimmen, worauf die ganze Function (2^ + ^)ten Grades

P{x) M\x)-Q(x)N\x)

für ж = x[, ...    <, ... ж", ..

Product

(2jU)

(2/x)

Null wird, und daher durch das

{x~x\) ... (x — x'q) (x — x’l) ...{x — x"q)...{x — X^) ,..(x — Xq‘U)) , welches durch П(ж) bezeichnet werden möge, theilbar ist, so dass man

GO

P (x) M*(x) — Q (x) N² (x) = П (x) (x)

setzen kann, wo cp(x) eine ganze Function von der Form

X* + Px Xe⁻¹ + P₂x<?-² + • • • + PQ bedeutet, in der Pt, P₂, ... Pq rational aus

(5.)

к,

<,

und

... №$

... \[ЩЩ)

X(W

M“>

• * *    7

zusammengesetzt, und daher auch als eindeutige Functionen der Grössen (1.) zu betrachten sind. Bezeichnet man jetzt mit xt1 x₂, ... die q Wurzeln der

x\

tun

I.

39

Gleichung

<pOO = о,

so gelten nach dem Abel’schen Theorem die q Gleichungen, die sich aus der nachstehenden

¹    Pfaa)

²    «„“«b \/B(xa)

ergeben, indem man 6 = 1, 2, ... p setzt, unter der Bedingung, dass man der Wurzelgrösse \jR(xa) den durch die Gleichung

V ( PK) dx'a | f«) dx'l У' ^ \x'a-ab \jR(x'a)    \Aß«)

•j = s

>    о

dxa

(7.)

\/R(xa) =

P(xa)M(xa) _ QMNM

NM

MM

bestimmten Werth heilege.*) Nun ist aber

yiM.Ji-

« ² K~ab SjRM

= du[

b>

У 1 PK) dx'l

a 2 x"a—ab sjRM

— dub}

u. s. w.

Daher

(8.)

dxa

i pm xa~ab \JRM

dub + dub + • • • + dubLl) — 2 ~2

(b = l, 2,... p)

Bevor aber aus diesen Gleichungen weitere Folgerungen gezogen werden, ist es nothwendig, die Zusammensetzungsweise der Coefficienten von M(x), N(x), y(x) aus den Grössen (5.) oder (1.) einer nähern Betrachtung zu unterwerfen.

§ 3.

Es lässt sich, wenn x in der Nähe von aa angenommen und

а-)

gesetzt wird,

\Щсс)

Q(x)

oder

P(x)

\/R (x)

in eine convergirende Reihe

(2.)

s + (ah5s+ (a)₂s⁵+ •••

*) In Betreff des Beweises dieses Satzes verweise ich auf Abel’s Abhandlung: Remarques sur quelques propriétés etc. in Crelle’s Journal, Bd. 3, S. 313 und Œuvres complètes, tome I, 288. Einen auf ganz andern Principien beruhenden Beweis des Satzes werde ich später gehen.

entwickeln, welche mit R{(s) bezeichnet werden möge, so wie auch die Functionen von s, in welche M{x), N(x), P(x), Q{%) durch die Substitution

X = aa +

QM

P'M

s²

übergehen, durch Ma(s), Na(s), Pa(s), Qa(s) angedeutet werden sollen. Ferner setze man

(3.)

(s-s'a)(s -s:)...(s -sr) = *.(*),

Ma(s)Ra(s) + Na(s) = fa(s),

so kann auch fa(s) für jeden Werth von s, der so beschaffen ist, dass der zugehörige Werth von x in der Nähe von a,a liegt, in eine convergirende Reihe entwickelt werden. Es ist klar, dass s', s", u. s. w. in Folge der oben in Betreff der Grössen (1, § 2) gemachten Annahme sämmtlich zu diesen Werthen von s gehören.

Angenommen nun, es sei überhaupt f(s) eine Function von s, die sich für alle Werthe dieser Veränderlichen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als ein bestimmter Grenzwerth S sind, durch eine convergirende Reihe von der Form

ten

Grades, wobei

darstellen lasse, und tt(s) bedeute eine ganze Function n zugleich angenommen werde, dass die Wurzeln der Gleichung tu(s) =0 sämmt

lich dem absoluten Betrage nach kleiner als S seien. Alsdann lässt sich für jeden Werth von s, der seinem absoluten Betrage nach grösser als jede dieser Wurzeln ist,

L- = GS- + C.S

—и-х

+ Css—’ + ••• = SjC„s-”-“( nt = 0,... oo

setzen (wo m, so wie überhaupt im Folgenden die Buchstaben m, n, p, eine ganze Zahl, die alle Werthe zwischen den Grenzen 0 und oo annehmen kann, bezeichnet), und man erhält daher, indem man diese Reihe mit der für f(s) multiplicirt, wenn der absolute Werth von s zugleich kleiner als S ist,

f(ß)

*00

— D₀ + Dts + _D₃ s² + • • •

+ E₀s-¹ + JEls~²+---

welche Reihen-Entwicklung von durch

¹

Den ersten Tkeil dieses Satzes hat bereits Jacobi ausgesprochen, und dadurch den wahren analytischen Charakter der Grössen xx, xt,... Xq klar gemacht.

²

S. Programm des Braunsberger Gymnasiums v. J. 1849 und Crelle’s Journal Bd. 47 [S. 111 u. S. 113 dieses Bandes].

³

Unter dem absoluten Betrage oder Werthe einer complexen (imaginären) Grösse verstehe ich hier den analytischen Modul derselben, wie er sonst genannt wird. Der Umstand, dass das Wort Modul in so verschiedenem Sinne gebraucht wird, und namentlich in der Theorie der elliptischen und Abel’schen Functionen bereits eine feststehende Bedeutung hat, möge die Einführung der vorgeschlagenen Benennung entschuldigen.

⁴

Vergl. die Abhandlung über die analytischen Facultäten in Crelle’s Journal Bd. 51 [S. 75 dieses

Bandes].

ГА*)!

angedeutet werden möge, so wie durch

Г/•(*)!

der Coefficient von s±OT in derselben. Ist nun

Tr (s) — B₀ + B₁ s + • • • + Bn sn

mit 7c (s) multiplicirt, aus dem Pro

so müssen, wenn man die Reihe ducte alle Glieder mit negativen Potenzen von s fortfallen, und daher

~(s)

P₀ Дп + Bt Bm+1 H-----f Bn E

sein, indem der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung der Coefficient von s~m-1 in dem gedachten Producte ist. Diese Relation lehrt aber, dass die Coefficienten _E₀, E^ u. s. w. sämmtlich gleich Null sind, sobald dies mit den n ersten der Fall ist. Denn da Bn nicht Null ist, so erhellt unmittelbar, dass Em+n = 0 sein muss, wofern Em, E lieh verschwinden; woraus, indem man der Reihe nach m = 0, 1, 2, u. s. w. setzt, das Behauptete sofort sich ergiebt. Dann hat man

m+«

m+i’ ‘

.. E

m+n—i

sämmt-

7I(S)

oder

f(.s) — (Д>+ Д⁵ + " •) (Д,++ • • •)

für alle Werthe von s innerhalb der bezeichneten Grenzen. Die letztere Gleichung kann aber nicht anders bestehen, als wenn in der Reihe, die aus der Entwicklung des Products auf der rechten Seite hervorgeht, die Coefficienten mit den gleichstelligen von f(s) übereinstimmen. Dann aber gilt sie, und mit ihr auch die vorhergehende, überhaupt für alle Werthe von s, bei denen die Reihen

A₀ + AjS + •• •

beide convergiren.

Eür die letztere steht dies aber, ihrer Herleitung nach,

fest, wenn der absolute Betrag von s zwischen zwei Grenzen, von denen die obere S ist, enthalten ist; es muss daher für alle Werthe von s, die dem absoluten Betrage nach unter S liegen, der Fall sein. Hiermit ist folgender Hülfssatz bewiesen, der bei mancherlei Untersuchungen mit Nutzen angewandt werden kann:

Wenn die oben näher charakterisirten Functionen f(s)₁ tz(s) so beschaffen sind, dass man

irm

Г f(s) 1

\m

.⁷¹ (s) Je⁻¹

. ^ (^).s~²

. " (s) V*

= 0,

oder auch

r/■(«)!

'sf(s)'

.^(S) Je-X

7r(s)

-1s⁻¹

hat, so lässt sich der Quotient

TT (5)

für alle Werthe von s, bei denen die Reihe für f{s) convergirt, ebenfalls durch eine nur ganze positive Potenzen von s enthaltende convergirende Reihe darstellen. Umgekehrt ist dies nicht der Fall, sobald die vorstehenden Bedingungsgleichungen nicht sämmtlich befriedigt werden.

Für die durch die Formeln (3.) definirten Functionen fa(s), 7r₀(s) ist nun, nach dem oben Bemerkten, die Bedingung erfüllt, dass die Wurzeln der Gleichung тга(У) = 0 sämmtlich dem absoluten Betrage nach kleiner sind als der Grenzwerth, unter dem s bleiben muss, damit die Reihe für fa(s) unbedingt convergire. Wenn daher die Coefficienten von M{x) und N(x) so bestimmt werden können, dass die folgenden (2hq) Gleichungen

'Sfg(s)

GO

-    (S) JS“¹

-    (s) - s_1

. TCa(S) -S⁻¹

(a == 1,2,... q)

befriedigt werden; so hat man für alle Werthe von s, bei denen die Reihe für fa(s) convergirt,

fM = Tr a(s)fa(s)

wo fa(s) eine als unendliche Reihe von derselben Form wie die für fa(s) darstellbare Function bedeutet. Nun darf man aber in dieser Gleichung (—s) für s setzen, und erhält

oder da

Ma{-s) = MM,

Na(-s) = NM

Ra( s) —    Ra(⁵)

ist

N²a(s)-M²a(s)K(s) = Ka{s)Ka(-s)fa(s)fa(-s),

oder auch, indem

Pa®

QM

ist, durch Multiplication dieser Gleichung mit —Qa(s)i

(5.)

Pa(s)M²a(s)-Qais)N²M = *a(sK(-S)Xa(s)

WO

Xa(s) = -QMfa(s)fa(-S)

gesetzt ist. Nun gehört jeder Werth von s, der тса($) = 0 oder ire(— s) = 0 macht, zu denen, für welche die Reihen-Entwicklungen von fa(s)i fa(r~s) und somit auch die von fa(s)t fa(—s)> xM convergiren; es behält daher der Quotient

PMM²M-Qa(s)N²M

auch dann noch einen endlichen Werth, wenn der Divisor verschwindet; und da Dividendus und Divisor desselben beide ganze Functionen von s² sind, so muss der erstere durch den letzteren theilbar, und somit Xa(⁵) ebenfalls eine ganze Function von s² sein. Daraus folgt denn, dass die Gleichung (5.) für jeden Werth von s besteht. Setzt man nun in derselben

P'M

QM

(x — aa) für s²

so geht der Ausdruck auf der linken Seite in

P(x)M²(x)-Q(x)N²(x)

und

*.(*)*.(-*) = {s*-s'a²)(s²-s"²)...

abgesehen von einem constanten Factor, in

{x — x'a) (x — x")..,(x—X⁽a2f0)

über, während sich xa(s) ebenfalls in eine ganze Function von x verwandelt. Demnach wird, wenn die Gleichungen (4.) sämmtlich bestehen, der Ausdruck

P(x)Ma (x) — Q (x) N² (x) durch П (x)

Die Anzahl dieser Glei-

theilbar, und es gilt die Gleichung (4.) des § 2. chungen ist aber (2ftp), d. h. gleich der Anzahl der Coefficienten von M(x), N(x), und sie werden daher zur Bestimmung der letzteren hinreichen.

Nun hat die Reihe

die Form

-*a(s)

(6.)

CO

s-«“(l + o„₁s-, + aMs-+’") = S [ ⁰n,ns_!fl-nJ

n = 0, ...oo

wo o₀ „ eine ganze homogene und symmetrische Function n

ten

Grades von

«ii

bedeutet. Setzt man daher

(7.)

fa (s).= Fa,o +Fa,is + Fa,2S* + "’ — S-FajOTSm,

Ш = 0,... oo

wo die Ausdrücke F , F u. s. w. lineare Functionen von

0,0' 0,1

Mtr ...

*г,

N₂, ...

sind, mit Coefficienten, die rational aus aa und den Coefficienten von P(x) und R(x) zusammengesetzt werden, so wird

(8.)

tn = 0,... oo, n = 0,... oo

= Sjob»-P₀,* + «|

S“¹

(9.)

n — 0,... oo

und man erhält demnach, indem man p == 0, 1, ... 2^ — 1 setzt, zur Bestimmung der Coefficienten \оп-М(х), N(x) die (2pę) Gleichungen, welche durch

die folgende

(10.)

■^a,ł) + Sja0in-F₍

= 0,1,... 2fx— 1,

|J,V+K) n = 1,... oo

repräsentirt werden. Diese kann man durch Zusammenziehung der Glieder, welche dieselbe Unbekannte enthalten, auf die Form

(11.)

(<błOo +    +-- + (a,^JÇç

F (ß )    -^1 + * * * *ł* (Û f P)iUQ -N/.IQ ⁼⁼ ^

bringen, wo die Ausdrücke (a, p)₀, (o, u. s. w. sämmtlich Reihen von der Form

9o + 9i°a,i + 9з °a,2 + *'•

sind. Bezeichnet man nun mit $ШОТ die Determinante des Systems, welches aus dem folgenden

CO)

(1)

(1.0).

(1,1).

(1,0).

(1,1).

(2UO)

•    • (i.o),«;

•    • (i,i)

(l,*f»-l). (l,2p-l), ••• (1, *<• — !)

2,UO

WQ

(12.)

(?) °)o (?) !)о

(?) °)i (?) !)i

. .    (9,0)

. .    (p,l)

»IUQ

²“0

2,«<?

(?)    1)₀ (9, 2^-1), ... (9, 2(i-l)

dadurch sich ergiebt, dass man die mit (m) bezeichnete Vertikal-Reihe fortlässt, und zugleich die darauf folgenden, ohne ihre Aufeinanderfolge zu ändern, vor die mit (0) überschriebenen setzt; so erhält man

(13.)

M = —~L

m₀

M₂ =

m₂

M₀

M^

M₀

UQ+1

M₀

) Я* =

HQ+2

M₀ ’

...

2UQ

M₀

wo 3)î₀, 90^, u. s. w. als rationale und ganze aus (o, p)₀, (a, p)t u. s. w. gebildete Ausdrücke gleich den letztem nach ganzen positiven Potenzen der

hervorgehn, so muss man, damit die genannten Glieder Null werden,

ЖК) = 0, M\aa) — 0, ...    = 0,

N(aa) = 0, N'(aa) = 0, ... N^(aa) = 0

haben, d. h. es müssen M{x), iV(^) beide durch {% — aaY theilbar sein. Hiernach sagen die Gleichungen (15.) aus, es sollen die Coefficienten von M(x) und N(x) so bestimmt werden, dass beide durch

(x — alY(x — oiY...{x — aqY — PiU(x)

ten

theilbar werden. Dies kann aber, da M(x) vom (fip)tön, N(x) vom (до —1) Grade, und der Coefficient von in M(x) der Einheit gleich sein soll, nicht anders geschehen, als wenn man

N1 = 0, Nt — 0,    ... N

und

M(x) = P¹“ (ж)

annimmt. Hiernach liefern die Gleichungen (15.) für M, ilf, N₂ u. s. w.

0

völlig bestimmte endliche Werthe. Daraus folgt zunächst, dass 39î₀ oder das Anfangsglied von nicht Null sein kann, indem, wenn dieses der Fall wäre, die Gleichungen (15.) entweder gar nicht, oder auf mehr als eine Weise befriedigt werden könnten; und daher ergiebt sich

(16.)

Â₀^+É₁^J“¹ + --- + 9kuç = m₀Pu(x) ••• = &

110+ 2

2.UO

Mithin kann man, wenn man

setzt, M{x) und N{x) auf die Form

(17.)

M(x) = P^(x) +

Щж)

M₀

N(x) =

M₀

bringen, wo jetzt 5Ш(ж), 9Î(^) ganze Functionen des (до — l)ten Grades von x bedeuten, deren Coefficienten sich gleichwie MQ nach ganzen positiven Potenzen der Grössen (14.) in convergirende Reihen entwickeln lassen. Dabei reducirt sich M₀ auf die Einheit, wenn diese Grössen sämmtlich den Werth Null annehmen, während die Coefficienten von 5)1(x) und (x) dann ebenfalls sämmtlich verschwinden.

Hierzu bemerke ich noch Folgendes. Die Formel (7.) lehrt, indem

m = Ma(s)Ba(s) + Na(s),

und Na(s) eine gerade, Ma(s) Ra(s) eine ungerade Function von s tist, dass für einen geraden Werth von m

(Xf) >

und für einen ungeraden

a,m

die Form f₀ + f₁M₁ + f₂M₂ + --> + fUQ

hat. Ferner ist aan eine gerade oder ungerade Function von s', s", ... s^ jenachdem n eine gerade oder ungerade Zahl ist. Aus der Gleichung (10.) folgt daher, dass

und

G?$)o?    G?£)i?

G?£)

•G?ÜW gerade,

•• G,ł>)w ungerade

G,P)

IXQ+ 2?

Functionen der eben genannten Grössen sind, wenn p eine ungerade Zahl ist; dass sich dies aber umgekehrt verhält, sobald p gerade ist. Es ändert sich also jeder Coefficient der Gleichungen (11.) gar nicht, oder wechselt nur sein Zeichen, wenn man s', s", ... s⁽a2,w) in

UQ+1 ?

_ o"    C(2U

öa; • • • öa

verwandelt; und zwar geht dadurch, wenn man mit

m die Zahl 0 oder 1

bezeichnet, je nachdem m < gp oder m > gp ist

über, die Form

Der Ausdruck Ш1ш ist nun ein Aggregat von Gliedern, deren jedes

hat, wo Я = 2gp ist und die Reihe der Indices mt, ш Zahlen der Reihe О, 1, ... 2до enthält, mit Ausnahme von m, während für

.. mx sämmtliche

°я> Px

die in der folgenden Zusammenstellung enthaltenen Verbindungen zu setzen sind:

1,0    1,1    ...    1,    2/1-1

2,0    2,1    ...    2,    2/1-1

Qi 0 Q, 1    • • • Qj 2/1 — 1.

Giebt man daher jeder der unter (14.) zusammengestellten Grössen den entgegengesetzten Werth, so erfährt das vorstehende Product dadurch dieselbe Veränderung als wenn es mit

(-1)

Pi — 1+1>2 “ 14-----1-    1 + nu + OT2 4-----Ь %

multiplicirt wird. Aber

Px + p2 d-----h Ря — {>(0 + 1 +2-1-----f (2^ — 1)) = W(2g — 1)

m, +m₂+••• + m* = 0 + Г+ ••• + (2/iq) — m = [iQ — m,

und daher

(-1)

= (-1)

2|сц>0-1) —m

Man sieht also, dass die Glieder von SD?OT nach der Zeichenänderung der Grössen (14.) sämmtlich unverändert bleiben, wenn    und nur ihr

Zeichen wechseln, wenn m    d. h. mit andern Worten, dass

m₀, m,, ...

und somit auch M₀ und die Coefficienten von Ш?(ж) gerade, dagegen die Coefficienten von 9Î(æ) ungerade Functionen der genannten Grössen sind.

Hierdurch ist nun die Zusammensetzungsweise der ^Functionen M(x)y N(x) für den vorliegenden Zweck hinlänglich festgestellt. Aus denselben kann man ferner die Function cp {x) leicht erhalten.

Da der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (4, § 2) durch П(ж) theilbar ist, П (ж) aber die Form

2/XQ

hat, wo    u. s. w. ganze Functionen von x[, x[ u. s. w. und somit auch

der Quadrate von s', s" u. s. w. sind, von denen, nachdem man den gedachten Ausdruck durch П {x) dividirt, in dem Quotienten nur ganze positive Potenzen Vorkommen; so sieht man, dass man

(18.)

jp(2)

Ml

p<0>

Ml

erhalten muss, wo P⁽¹⁾, P<2), ... P^ ganz dieselbe Gestalt haben wie die Coef-ficienten von Зк(ж).

Man kann aber dieser Function noch eine andere, sehr bemerkenswerthe Form geben. Setzt man nämlich in der Gleichung (4, § 2)

ж = aa,

so erhält man

(19.)

I ?M _ N\aa) _ Щав)

-QM ~ П(e.) MlП (a₀) ’

y(ag+q) _ M\aQ+a) _ (M₀P^(aQ+a) + äft(ag+tt)) P(^+a)    ü(®ç+a)

cp(flt₂g+l) _ -ZlP(®20+l) _ (-^0 P|U(®2ÿ+l) 4"    (ć*2£+l))

P(^2Ç+l)    n(tt2Ç+l)

i;n(Va)

Io²n(v)

Nun ist

QM) sas"a‘--sT

K-^K-O-K-^¹)

und, wenn b von о verschieden,

aa-abJ \

aa-ab

-4)2

Aber

U. S. W.

\ х'ъ-аъУ*    /    Ą-аЛ *

aa—ab/ ?    V    aa—ab'

sämmtlich in der Nähe von ab sich befinden, nach

und somit auch von

sind, weil a£, xb u. s. w.

ganzen positiven Potenzen von (xb— ab), (xb— ab) u. s. w. sb, s'² u. s. w. in convergirende Reihen entwickelbar. Folglich kann man

S.

setzen, wo S₀ eine convergirende, nur ganze positive und gerade Potenzen der Grössen (14.) enthaltende Reihe bedeutet. In ähnlicherWeise findet man

Q2

Q2

•^2^+1

n («,,+,) “ i-'tv) ’

wo S

Reihen von ähnlicher Gestalt wie Sa bedeuten.

Q +-CX ^

Aus (19.) ergiebt sich nun

%(0q)Stt

-QM

o)

und aus (18.)

?(«») _

-QM Щ’

wo <p(a> eine nur ganze positive Potenzen von s[, s", u. s. w. enthaltende Reihe bezeichnet. Mithin muss

cp(a) =

M(e«)Sq

und daher 9I(«a)Sa durch s'a... s^l) theilbar sein. Bemerkt man nun, dass 91M eine ^gerade, Se, (s'a... s^), Mo, SW(aç+e), 3K(aïç+1) aber gerade Functionen der Grössen (14.) sind, so erkennt man, dass man

?M

-QM

Sg° + S«t) + - + S%_ + ...)«

i+s?+- + sz+-

= ?a,

(20.)

?Ma) _ ₍sra) + sra) + - + s^a) + --

l + S'⁰⁾ + ... + S™+--

sr+sr+- + sr+-)f

l + S», + -- + S® + — 1

P(«ç+a)

f ? K?+0 ₌

'    P(^20+l)

= Ÿ2Ç+1

hat, wo eine ganze homogene Function mt0n Grades der Grössen

s:

(21.)

.(2,U)

bezeichnen soll. Es ist aber

(22.)

?(*)

P(*)

= 1+2

vM

(x-aa)P'(aa)

und so erhält man

(23.)

?(*) = P0*0-2

QM -Pfo)

P'(aa) x-aa

?ä •

Drückt man nun die Grössen (21.) durch die folgenden

(24.)

"s 's

. . . Щ

. . . u₂

(2|U)

(2,U)

u”

aus (vermittelst der Formeln (4.) des § 1), so erhält man

<?a

-<KO

Щ» + Щй' + - + и%_₁ + -

l + цÎ0, + - + I7««+...

(25.)

?ç+a

V P(Va)

i / У (<%20-н)

VP(«*») '

- ^+ю+ц^⁺”+-+ра,+п)+-

l + 27,w, + - + CS + -

£7^J+1) + £7^⁺¹⁾ + • • • + ü^⁺¹⁾ + - • • 1+г7‘ю+- + га+...

Jf(æ) = Р“(ж) +

4-----ь %m(s) + •••

(26.)

i + P₂(0,+ --- + ^+---

Ux(x) Ą-----h иш+Лх) H—

1+0™ + -+Ц2+-

wo jetzt £7^r>, Um(x) ganze homogene Functionen mten Grades der Grössen (24.) sind, die zweite aber zugleich auch eine ganze Function ((^ —l)t0n Grades) von X ist, und sämmtliche in diesen Ausdrücken vorkommenden unendlichen Reihen unbedingt convergiren, sobald die absoluten Werthe der genannten Veränderlichen unterhalb der oben für sie festgesetzten Grenzen liegen.*)

*) Wenn F(sv sa,...) eine Function mehrerer veränderlichen Grössen s₁,sa,.., ist, die für alle Werthe derselben, die ihrem absoluten Betrage nach unter gewissen Grenzwerthen Slt S₂, ... liegen, durch eine convergirende Reihe von der Form

п₁ = 0,...схэ, n₂ = 0,...oo, ...

dargestellt werden kann; und man substituirt für sx, sa, ... ebenso gebildete Potenz-Reihen beliebig vieler anderer Veränderlichen щ,иа, ..., und ordnet nach Potenzen dieser letztem; so convergirt die so sich ergebende Reihe, sobald man für die absoluten Werthe von щ, ua, ... solche Grenzen festsetzt, dass nicht nur die Reihen für su sa,... sämmtlich convergent sind, sondern ihre Summen auch zu denjenigen Werthen von sv sa, ... gehören, für welche die angegebene Darstellung von F(s\, s₂gültig ist.

Dabei kann man bemerken, dass die Coefficienten von U™ und Um{x) aus ai, a₂, ... aQ und den Coefficienten von Q (x) rational zusammengesetzt sind, wie man leicht sieht, wenn man die vorhergehenden Entwicklungen in dieser Beziehung überblickt.

ал

4.

Nachdem nun ermittelt worden, welche Gestalt die Coefficienten von M(x), N(x), ср(ж), als Functionen von u', u[ u. s. w. betrachtet, haben,¹) kehre ich zu den Gleichungen (8.) des § 2 zurück.

Wenn die Grössen (1.) des § 2 sämmtlich verschwinden, so reduciren sich, nach den Formeln (25, § 3), cpi5 cp₂, ... cpç ebenfalls sämmtlich auf Null, und daher (nach (23.) desselben §) cp{%) auf P{x)₁ sodass alsdann xiyx%1...æ die Werthe a1? «₂, ... a erhalten. Man kann daher xa—aa^ \jR(xa) — die letztere Grösse mit Hülfe der Formel (7, § 2) — bei hinlänglich kleinen Werth en der genannten Veränderlichen nach ganzen positiven Potenzen derselben in Reihen entwickeln, die gleichzeitig mit ihnen verschwinden, und x₂, ... xq als in der Nähe beziehlich von «₂, ... a liegend betrachten. Dann aber führen die Gleichungen (8, § 2), indem man ganz denselben Weg verfolgt wie bei den Entwicklungen des § 1, und wieder

setzt, zu den folgenden:

ub + ub + • • • +    —

^w⁽¹‘ Яй) -

sb+s 12 ■

(o,b)n

C⁺¹

2n + l n = 1,... oo

\päK)

QM

— 6>a+ (a)isa +

und man sieht daher, dass man, unter der Voraussetzung, es seien nicht nur

ti'a, u"a, ...    sondern auch u+u"-i-----hua²‘a) dem absoluten Betrage nach

kleiner als Ua, durch Auflösung der Gleichung y(x) — 0 und Anwendung der Formel (7, § 2) zu denselben Werthen von хг, xt1 ... xq1    \JB(x₂), ...

\jB(xQ) gelangen muss, die man für diese Grössen vermittelst der Formeln (4, 5, § 1) erhält, wenn man in diesen

u[ + u”-\-----иГ an die Stelle von u₂

u₂

U₂ + u₂ + • • • + и{₂'¹⁾

setzt.

Aus den soeben angeführten Formeln erhält man ferner

4 / К - хг ) (att ■- x₂)... (a₀ - Xq) V -«(«.)

(1.)

1 /(aQ+a %i) (aç+a ^₂) • • • (ffÇ+a %q)

V    f(v«)

= 1+K, Wai

••• + K, u₂, ... Wç)^0,+ ---

4 / (Ü2Ç+I ^1) ($2Ç+1    #2) • • • (®2Ç+1    *^ç)

V    P(vJ~

wo wieder («^, u2j ...    eine homogene ganze Function mten Grades von

deren Coefficienten aus denen von Q (x) und aus

u%, ... bedeutet,

«₂, ... cię rational zusammengesetzt sind. Macht man nun in diesen Ausdrücken die angegebene Substitution, so ersieht man aus der Vergleichung der so hervorgehenden Formeln mit den unter (25.) des vorhergehenden § aufgestellten, wenn man die letztem nach Potenzen von u", u. s. w. sich entwickelt denkt, dass

Uya) ₌ ±1

IJUQ+i) ₌ +1

V™ = ±« + <+--- + <u)),

sein muss. Setzt man nun fest, es solle jeder der Wurzelgrössen

I.

Grössen

s'i,

si

(14.)

о"

й2)

g(2/0)

in convergirende Reihen entwickelt werden können.²) Hier ist es nun von besonderer Wichtigkeit, die Anfangsglieder dieser Reihen, d. h. die Werthe, welche sie annehmen, wenn die Grössen (14.) sämmtlich verschwinden, zu ermitteln. Offenbar erhält man dieselben, die mit

(2,1t)

«2

(2 U)

&o, m,, ... m

4lQ

bei der Bildung von 9Я₀, 50^ u. s. w.

bezeichnet werden mögen die Reihen für (a, p)₀, (o, ÿ)i n. s. w. auf ihre Anfangsglieder reducirt, oder, was dasselbe ist, wenn man die Gleichungen (11.), die mit den unter (10.) aufgestellten identisch sind, durch die folgenden ersetzt:

wenn man

(15.)

F =0

a,o

F =0 M 0,1 v

(a = 1,2,... ç)

о ⁰

und dann aus den Coefficienten derselben äk₀, äk₁ u. s. w. so zusammensetzt,

wie 9R₀, u. s. w. aus den Coefficienten der Gleichungen (11.). Nun sind aber F

а, о :

JFV u. s. w. die Coefficienten der Reihen -Entwick-

0,1

lung von

Ш = Ma(s)Ba(s) + Na(s)

und die Gleichungen (15.) drücken also aus, dass die (2^) ersten Glieder derselben verschwinden sollen. Dies kann, da Na(s) und Ma(s) gerade Functionen von s sind, Ra(s) aber eine ungerade, in deren Entwicklung der Coefficient von s¹ nicht Null ist, nur unter der Bedingung geschehen, dass in den Entwicklungen von Ma(s) und Na(s) nach Potenzen von s alle Glieder von einer niedrigem als der (2ff)ten Ordnung verschwinden. Da aber Ma(s) und Na(s) aus M(x) und N (ж) durch die Substitution

x = aa +

QM

\/?K+q)

V P(Va) ’ i/ 9 (a2g+l)

v J°K₊₁)

von

den beiden Werthen, die sie haben kann, derjenige beigelegt werden,

I.

41

bei dem in den vorstehenden Formeln die obern Zeichen gelten, so sind dieselben jetzt als völlig bestimmte eindeutige Functionen von u" u. s. w. zu betrachten, welche bei hinlänglich kleinen Werthen dieser Veränderlichen mit den unter (1.) aufgestellten übereinstimmen, wofern man in den letztem

ux = u[ + u" + • • • + u₂ = u₂ + u₂ + ■ • • F u₂^,

setzt.

Uß - К + U'q H-----Ь Uq'°

Angenommen nun, man habe für die absoluten Werthe der veränderlichen Grössen ux, ... и irgend welche Grenzen T₂, ... T , die sie nicht überschreiten sollen, festgestellt annehmen, dass

so

kann man die Zahl (i so gross

Tx <c 2 [i Ux

T₂ c2[iU₂, ... TQ<2(iUQ.

Dann darf man

u’t = < = ••• =

к = < .... = ««•> = а

setzen, und es werden, wenn man die Functionen von и dadurch die Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichungen (25.) des vorhergehenden § sich verwandeln, mit

<p(wx,w₂,...w)

.. u_, in welche

cp (и1} w₂,... Wç)j, oder auch kürzer mit

?(«lf    ?(**!,...)•»    •••    ?(**!»•••)

bezeichnet, dieselben die Gestalt cp(w1? w2J ...Mç)a

2(5+1

i+u<o,+- + ic+-

(2.)

1+ЦГ+- + ИГ + -

i+u«g+ï4--- + u;%⁺¹⁾+---

cp (wX3 w₂,... w^)₂q₊₁

1 + Ui0, + - + Uî" + -

haben, in welchen Formeln U™ eine ganze homogene Function mten Grades von uX)U₂,...Uç bedeutet, und die unendlichen Reihen, welche den Nenner und die Zähler bilden, für alle Werthe von    ... % , die ihrem absoluten

Betrage nach die Grenzen Tl? T₂, ... T nicht überschreiten, unbedingt convergent sind. Für hinlänglich kleine Werthe der genannten Veränderlichen lassen sich    V(uii • • 0*> u* s- w- nach ganzen positiven Potenzen der

selben in convergirende Reihen entwickeln, welche mit den entsprechenden unter (l.) aufgestellten übereinstimmen.

Durch Auflösung der Gleichung

<p (x) = 0

wo

(3.)

y(x) = P(a?)-S

QM BQ*;)

ist, und man i/ ?(«a)

i x-QM

(4.)

i f ?(flg+tt) V f(Va)

4 / У (^+i)

v P(s₊₁)

hat, ergeben sich sodann p Grössen ajl5 a?t, ... ж, welche den Differential-Gleichungen

(5-)

dux = 2

<?w₂ = 2

¹    -Pfa)

2    ®a-«i V-ß^e)

iZfel

2 яа-а₂ \/Р(жа)

Æra

dxa

¹    ZK)

²    «a“«* V^(^a)

genügen, und zugleich die Werthe аг, a₂, ... annehmen, wenn г#₂, ... и sämmtlich verschwinden. Die Werthe, welche die Wurzelgrössen in diesen Gleichungen haben müssen, erhält man ohne Zweideutigkeit, indem man mit

М{х,иг, ия, ...it )

<4 = Sv

N(x,ulfua, ...uQ)

die Functionen bezeichnet, in welche die Ausdrücke (26, § 3) durch die angegebene Substitution übergehen, durch die Formel

УД(а?а) _ F(xa, ut, u₂,...uq)

Q (ß'a)

Flierzu ist jetzt noch eine wesentliche Bemerkung zu machen. Nenner und die Zähler in den Ausdrücken von

?(*»!,...)l,    ?(«*!,•••)

(6.)

u. s. w.

(а = 1,2,... p).

Der

hängen, ausser von ul7 u₂₎ ..., noch von der Zahl ^ ab. Gleichwohl lässt sich nachweisen, dass die Werthe dieser Functionen selbst stets dieselben bleiben, welchen Werth man auch dieser Zahl geben möge, wenn derselbe nur gross genug genommen wird, um die in den in Bede stehenden Ausdrücken vorkommenden Beihen convergent zu machen.

Wenn nämlich F(ul7 u₂,...), G{u₀ u₂,...), F\ul7 u₂,...), G\u^ ...) eindeutige Functionen mehrerer Veränderlichen ul7 и₂, ... sind, die sich nach ganzen positiven Potenzen derselben in Beihen entwickeln lassen, und es gilt die Gleichung

F , u₂,...) _ F (ut, u₂,...)

G(Ui,u₂,...) ~ G'(ulf u₂,...)

für alle Werthe von ul7 u₂₎ ..., die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als gewisse Grössen sind; so muss sie überhaupt für alle Werthe der genannten Veränderlichen bestehen, bei denen die Beihen für F, Cr, F\ G' sämmtlich convergiren. Denn es folgt aus ihr

FG' = GF\

und wenn diese Gleichung für beliebige unendlich kleine Werthe von ul7 u₂, ... richtig sein soll, so müssen die Beihen, in welche FG' und GF' nach ganzen positiven Potenzen dieser Grössen entwickelbar sind, in den gleichstelligen Coefficienten übereinstimmen, woraus denn folgt, dass sie, und mit ihr auch die ursprüngliche

F _ F[ G ~ G'

gilt, sobald nur u₇u₇... solche Werthe haben, dass die Entwicklungen von F₇ Cr, F\ G' sämmtlich convergent sind.

Bezeichnet man nun die Reihen, welche in dem Ausdrucke irgend einer der Functionen cp(wi5 . ..)1?    u- s* w-> bei einem bestimmten Werthe

von ft, den Zähler und den Nenner bilden, mit jF, 6r, sowie mit F', G' dieselben Reihen für irgend einen andern Werth von ft, so stimmen, nach dem oben Bemerkten, die Reihen, in welche die Brüche

F'

bei hinlänglich kleinen Werthen von ux, ... и entwickelt werden können, vollständig überein, und es besteht daher die Gleichung

F'

G'

jedenfalls für alle Werthe von ux1 u₂, ... deren absolute Beträge kleiner als gewisse Grössen sind, und somit, nach dem soeben Bewiesenen, überhaupt für diejenigen Werthe dieser Veränderlichen, bei denen die Reihen F, 6r, F\ G' alle vier convergiren — wodurch die Richtigkeit des Behaupteten dargethan ist.

ver

teil

In ähnlicher Weise lässt sich ferner zeigen, dass man nach Bestimmung von xxl x₂, ... X auch für die Wurzelgrössen \[R{xx)i \Дй(ж₂), ... \jR(xQ) mittelst der Formel (6.) stets dieselben Werthe erhalte, welche Zahl (i man auch bei Bildung der Functionen M, N anwenden möge. Es ist aber bemerkenswert]!, dass man aus der Function cp (ж) eine andere vom (q — 1) Grade und mit Coefficienten von demselben analytischen Charakter wie die von cp (ж) selbst ableiten kann, welche jene Wurzelgrössen liefert, wenn man

x = xx, xa, ... x setzt.

Es werde    = ср'(ж) gesetzt, und nachdem man die Gleichung

dub = Sw

¹ PM

dxc

c 2 xc-ab SJR(xc)

mit

(xa-ab)P'(ab)

multiplicirt, auf beiden Seiten in Beziehung auf b summirt. Dies giebt

= yi._______

tc 2 (xa-ab)(xc-ab)P\ab) \jR(xc)

у 9 t dub b P'K) * «а— Щ

Nun ist aber

b (xa~ ab)(x~ab) P’(ab)

(xa-x)P(x) und daher, wenn man x = xc setzt

¹

Wenn man die m Rede stehenden Grössen direct durch Auflösung der Gleichungen (3, § 2) bestimmen, und in den so sich ergebenden Formeln x[, x’[, ..\/В(х'{), ... durch u[, u'{, ... ausdrücken wollte, so würden sie die Gestalt von Brüchen erhalten, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig verschwinden, sobald man in zweien oder mehreren der unter (1, §2) aufgestellten Reihen die gleichstelligen Glieder einander gleich setzte. Um diesen Uehelstand zu vermeiden, der sich schon bei Anwendung des Abel’schen Theorems zur Herleitung der sog. Additions-Formeln für die elliptischen Functionen zeigt, ist das im vorhergehenden § auseinandergesetzte, allerdings etwas umständliche Verfahren gewählt worden. Übrigens lassen sich die Gleichungen (3, § 2), auch ohne Üß (x[ ), ^B(x"), ... in unendliche Reihen aufzulösen, so umformen, dass derselbe Zweck erreicht wird, was namentlich in dem besonders wichtigen Falle, wo fi — 1 ist, keine Schwierigkeit macht.

²

Vergl. den Satz (5, B, § 7) in der angeführten Abhandlung über die Facultäten,

40

= 0, wofern с ^ а

y _У Ob)_

Ь (хс-<Ч)(ха-аь)Р'Ы ~

У_<рЫ_₌ _ <р'Ы

ь (ха - щ) (ха- аъ) Р'(аь)    Р(ха)

Hiernach reducirt sich die rechte Seite der vorhergehenden Differential-Gleichung auf

1 ч>'(ха) dxa

und man erhält

?'(xa)dxa = “22

Hieraus folgt

ь (xa-ab)P'(ab)

dub.

2уК)УД(^а)

дщ

(xa-ab)P'(aa)

ь (xa-ab)P'(ab)

Aber

?(x)

P(x)

?Ы

ь (x — ab)P\ab)

und daher für x = xa

= -1.

у ?Ob) _

ь (жа-а₆)Р'(аь)

Folglich

von x

Nun ist, nach dem Vorhergehenden, y(x) eine eindeutige Function und ult u₂, ... и f und man hat, weil y(xa) — 0 ist,

dxa

dcp (x)

ditb

дЩ fx — xa

Somit giebt die vorhergehende Gleichung, wenn man

(7.)

duq

1    /дур) d<p(x)    dep(x)

2    \ dWj    du₂

/у»    /у»    /у¹

wenn man dieselben vermittelst der im Vorhergehenden entwickelten Formeln berechnet

setzt

wo dann ф(ж) eine ganze Function (9 — l)ten Grades von x ist, deren

von cp (ж) eindeutige Functionen der Grössen

Coefficienten gleich denen

... u₄ sind,

(8.)

\Щх^) = — ф(жа)

(a = 1,2,... q).

Da nun die Werthe der Coefficienten von cp (ж), die aus den Functionen cp(^1?.. .)t, ... cp(Mj, ...) zusammengesetzt werden, von ft unabhängig sind gilt dasselbe auch hinsichtlich der Coefficienten von ф(x).    Und so ist er

wiesen, dass die Werthe der Grössen

so

nur von uv u₂, ... w , in keinerlei Weise aber von der dabei gebrauchten Zahl ft abhängen.

Die Functionen cp(^, ...)x, cp(^, ...)₂, u. s. w., auf welche, der vorstehenden Darstellung nach, das Abel’sche Theorem fast mit Nothwendigkeit führt,

können durch die Formeln (2.) für alle Werthe von u₂₎ ... als vollständig definirt betrachtet werden, indem man, wie auch die letztem angenommen werden mögen, stets ft so gross wählen kann, dass die in den Ausdrücken jener Functionen vorkommenden unendlichen Reihen convergirem Für ? = 1 gehen sie, wenn

gesetzt wird, in die elliptischen

sin am и,

cos am и

A am и

über. Aus diesem Grunde mögen sie vorzugsweise »hyperelliptische oder Abel’sche Functionen der Argumente    ... genannt werden.

al(u₁, w₂,... Wç)₂,

Ferner sollen, der letztem Benennung entsprechend, für dieselben von nun an die Bezeichnungen al(¹ h, w₂,

oder auch kürzer

20+1

gebraucht werden.¹)

Durch die bisherigen Entwicklungen ist jetzt das in der Einleitung ausgesprochene, die Form des Abhängigkeitsverhältnisses, welches zwischen den Grössen ж1? x₂, ... und ua, ... и durch die daselbst aufgestellten Differential-Gleichungen begründet ist, betreffende Theorem strenge erwiesen. Dasselbe möge, in noch bestimmterer Weise gefasst, hier wiederholt und mit einer übersichtlichen Zusammenstellung der wichtigsten Formeln verbunden werden.

Es sei

(IO

B(x) = Ä₀(x-a₁)(x-ai)...(x-a2Q+i) P{x) = (x — a₁)(x — a₂)...(x — aQ), Q(x) = A₀(x-a

dP(x)

so lassen sich die Grössen жх, x₂, ... welche die Differential-Gleichungen

Ç+1

¹    РЫ

2    xa-at \[В(хл)

¹    РЫ

2    xa-a₂ \[Щхй)

1    РЫ

²    *.-«« ffîb)

befriedigen, und zugleich die Werthe ax, af, ... aQ annehmen, wenn sämmtlich verschwinden, als die Wurzeln einer Gleichung pt6n Grades betrachten, welcher man die Form

y, j Q M al²(wn u₂, ...we)e

²¹ f *'(«.)

dui = 2 -гг

dxa

(II.)

(III.)

du₂ — 2

duQ = 2

x — aa

geben kann. In dieser bedeuten al(wlf u₂,... uQ)it

al(«i, u₂,... uQ)a, .

dxa

dxa

. . aX(ultut,

Journals [S. 1БЗ dieses Bandes] abgedruckten, aufgestellt sind. Die letztere dürfte, an sich betrachtet, einige Vorzüge haben; ich habe sie aber geändert, um den nicht unwesentlichen Vortheil zu erreichen, dass jede Abel’sche Function für <? = 1 geradezu in eine der elliptischen von der gebräuchlichen Form übergehe — was bei den dortigen al (ut,.. .)₀, al (uv u. s. w. nicht der Fall ist, indem diese vielmehr für p = 1 mit den von Abel in dessen erster Abhandlung über die elliptischen Transcendenten gebrauchten Formen überein kommen — und auf diese Weise die Vergleichung jedes gefundenen Resultats mit einem aus der Theorie der elliptischen Functionen bekannten erleichtert werde.

eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen Argumente иг1 u₂, ... w, welche für alle innerhalb irgend eines endlichen Bereichs liegenden Werthe dieser Grössen in der Form

(IV.)

1 + (wi} W₂, ... I-----Ь (wi? w₂, . • • Wç)gmd----

wo durch (w₄,    ... w eine homogene ganze Function m

bezeichnet wird, dargestellt werden können.

Setzt man ferner

ten

Grades

(V.)

(х-х₁)(х-хл)...(х-хя) = <р(ж)

wo denn

(VL)

QM В (ж)

und

(VII.)

<р(ж) = Р(ж)-2 j

J <pK) ₌ i/~K_

V Q (йа) V -AK-V)'"(öa“Vi)

P'M ж —aa

-ffi)(aq-a₂)...Oa-a;g)

= al(Wi, wa, ...мД

ist, und

(VIH.)

So

1    дер (ж)

2    ôwfl

= <Кя)

oder, indem man

(IX.)

ба1(ц,, и,,... t<e)g

dul

mit al(M„M₂, ... uQ)a

bezeichnet

(X.)    <K*) =

so giebt die Formel

(XI.)

\[вм = -łte,)

nach Bestimmung von a?₂, ...a? diejenigen Werthe der Wurzelgrössen \/P(ж₁ ), \/Р(ж₂), ...    welche diesen in den obigen Diffe

rential-Gleichungen (II.) beigelegt werden müssen. Weiter hat

I.

42

i / cp (gg+Q) 4J (p>Q+ a xt) (fy+a %₂) • • • (qg+a — xq)

V P(aq+a) ~ V (V«~ai)(Vaî)-(V«“aç)

(XII.)

man

= а1(мх, u₂, ... мД₊

4 / У (fl 20+1 ) i/ (ô^2g+l    ^i)(^2Ç+l    "^2 ) • • • (^2Ç+1 Œq)

V -P («2Ç+J — V K?+I - «J Kç+X - «2) • • • Kç+1-^)

al (Wj, u₂, ... Uq )₂^₊₁ >

.. al(и ,...)

wo al(ui:...) u. s. w. sind, die sich in der Form

2£+l

Functionen derselben Art wie а1(г^,...)

(XIII.)

al (Mj , w₂ ,... w^)2g+1

1 + к, u₂,,.. ag)⁽f⁺¹⁾ + • • • + (ut, u₂,... uje+v + • - -1 + (Ml, W₂, ...Wçr+••• + («!,    ••• V*m+"*    ’

^ 1    + • • • + (M, , U₂ , ■ ■ ■ Mg)^⁺¹⁾ + • • •

¹+(м1!«₂г--М?Г+-+(й₁₁«₂₎--^ш+-

darstellen lassen, wo der Nenner derselbe ist wie in den Ausdrücken (IV.).

Diesen Formeln füge ich noch die folgenden hinzu.

Bezeichnet man mit и irgend eine der Zahlen 1,2, ... 2^> — 1, und setzt

P(^2Ç+l)    )

= al(m„ w„ ... wç)e,

(XIV.)

(XV.)

-QM =

dalfa, ц,, ... Mg)a

P(^ę+a) ^ła)

d al (ut, u₂,...ue)a

dux

du

so ist

(XVI.)

? К) = гаа1²(мх, M₈,... uQ)a,

<K««) = ^al(wx,w₂, ...M?)eal(Mi,Mt, ...wç)

verschiedene Werthe von a sind, und

so dass man auch, wenn ax, aa, ... a p

(XVII.) gesetzt wird,

Pi(^) KM x-aa

cp(tf) = Ą(«) + sj

al (mx , w₂, • • • Mq )a j

hat.

(XVIII.)

<K*) = 2

lg RliX)

KM

x-aa

ai,a₂,...aQ

al (ut, m₂ »... wç )« al (m, , и,,... Mç)e

« = “i, «ä, ...«e

Ferner ist, indem

^0)

«K^g)

(a?-a?a)<p'(a?a)

<3<p (x)

w° ?'w = dx

in Folge von (X.), (XVI.) (XIX.)

IM

?(s)

уды

?'M)

(XX.)

а1(м1;г/₂, ...uq)a

у^м

Nun ist oben bei Herleitung der Gleichung (8.) gefunden worden

ôcp (ж)

/æ —

₌ _mYr ï.^ = ²⁽?Ы\КЫ _ ²?КИМ)

(xa-аъ) P\ab) ;

woraus man schliesst, dass für jeden Werth von x

¹    d?(aQ _

2    ÖMb

ist, indem die beiden einander gleichgesetzten Ausdrücke ganze Functionen (q — l)ten Grades von x sind, welche für q Werthe dieser Grösse, x^x der vorstehenden Formel gemäss übereinstimmen, also identisch sein müssen. Aus dieser Gleichung folgt, wenn man die durch (XIX.) gegebenen Ausdrücke von ф(аь) und ty(x) substituirt,

?K)?(F)

P\ab) T¹! (xa—%)(xa — ab)y'(xa)

(XXI.)

(x — ab) P\ab)

2? • *

\fRM_

1    <3<P (;X)

2    dub

Ferner, wenn man x = a setzt

¹    cc

dal...Me)g _ -QM al(«»-), alK, ...)ь-а1К, . ..)b al(“i> --•)«

aa~ab    ’

vorausgesetzt, dass « von 6 verschieden sei; oder wenn man, unter der Annahme, dass /3 ^ cc,

(XXII.)

(XXIII.)

al(wx, ...)bdtib

P'(ab)

(XXIY.)

al (mi; ...)g al(Mt>.. Pf— al(«n .. .)р а1(м1?...)«

aa-aß

durch al (мг, u₂,... uQ)ap

bezeichnet, wo denn zufolge (XX.)

(XXY.)

al(uvu₂, ...UQ)aß = -Sj

а1(мп ...)« alK, ...)ß\jB(xa)} (Xa-<ta)(Xa-aß)<p'(Xa) i

ist, und man

(XXVI.)

al (u₁, u₂, ... u^)aß — al (u₁, u₂,...

hat:

(XXVII.)

QM

dub

P'M

al (u₁,.. ,)₆ al (Wj,.. .)aß

(b^cc)

al(«1? ...)a multiplicirt, noch

aus welcher Gleichung, wenn man a = a setzt und auf beiden Seiten mit #Oa)

P'(«e)

(XXVIII.)

folgt.

*( QM \P'M

al²(w1? ..

dub

QM

P'M

al²(Wj, .

dua

Die in dem Vorstehenden eingeführten Functionen al(Wj,.. .)„,

al (Wj,.. ,)aß

al (wx, •••)«>

können (nach den Formeln (XVI.), (XX.), (XXIV.)) sämmtlich algebraisch durch xt1 ж₂, ... ausgedrückt werden; es müssen daher unter ihnen so viele algebraische Relationen bestehen, als Functionen vorhanden sind, weniger q. Diese sollen in dem folgenden § entwickelt und zusammengestellt werden.

§ 5.

Algebraische Relationen unter den Abel’schen Functionen und deren ersten

Differential - Coefficienten.

а1(м,, • • •)«£ Paß

alK,...)« = Pa,

Es werde der Kürze wegen al (Wj,.. .)a    pa

gesetzt; dann gelten folgende Sätze.

I. Durch je q von den Quadraten der Grössen pa können die übrigen linear ausgedrückt werden.

wenn

Aus der Formel (XVIII.) des vorhergehenden § folgt nämlich,

man X =

ae setzt, und ß nicht unter den Zahlen al? a₂, ... begriffen ist, mit Berücksichtigung von (XVI.):

lJL

BMß)

•p} = i-Sj

Pl

Ri M a«-aß

а — cel} a₂,... cCq

THEORIE DER ABEL’S CHEN FUNCTIONEN.

II. Ebenso können durch je q von den Grössen

Pyl Piyl P2y 7    ’ * * PliQ'+Uy

(wo pn fortzulassen ist) die übrigen linear ausgedrückt werden, vermittelst der Formeln

AoP], =

jW(aY)

s{

(aY—aß)lß

__    h ₂)

W«r) « Ч“«/ Щла)РаУ) in denen sich das Summenzeichen auf dieselben Werthe von a bezieht wie in (L), und у sowohl als ß nicht unter diesen begriffen sein darf.

In Folge der Gleichung

= - \jR(xa)

(a = 1,2,... 9)

wird die Function B(x) — ф²(ж) für x = xt, x₂, ... x gleich Null, und ist daher durch cp (x) theilbar. Setzt man nun

Py'f(x)-Py'HX)

x — ay

so wird der Zähler dieses Ausdruckes für x = ay (zufolge der Formel (XVI.) des vorhergehenden §) gleich Null, und es ist somit фу(ж) eine ganze Function (p — l)ten Grades. Dann hat man

p\R{x)-{x—ау)²ф}(®) =    — У(х)) +pvy(x){2pYty{x) — pYy(x)),

und es ist also der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung ebenfalls durch cp (x) theilbar, wie auch durch x — ay) so dass man setzen kann

и. Д(дО

x — а у

und dann сру(ж) eine ganze Function q x — aaJ a^y vorausgesetzt

(x-aY)¥y(x) = y(x)vy{x)

Grades bedeutet. Nimmt man nun ergiebt sich (zufolge Formel (XVI.) d. v. §)

^PyC^ot) — Gy ^a^aPctyi

SO

ten

<W(ff)

R,(x)

indem

tyyiPcî) ^aPaPay

ist. Ferner erhält man für x — ay

?rW =

B'(aY)

Bemerkt man nun noch, dass der Coefficient des höchsten Gliedes von <py(x) gleich A₀py ist, und man daher

<Pr(ff)

= A₀p] + 2

= A n² + y --h._

oPy + Ź x-aa R[(aa)Pav

hat, so ergeben sich die zu beweisenden Relationen, indem man x — ay und x = cip setzt.

III. Ähnliche Relationen finden statt unter den in der Reihe

« (ff - aa) R'iM

PiPiyi PzPzyi • • • P щ-\г\Р (2ç+i)y

enthaltenen Producten.

Setzt man nämlich in der Gleichung

frM

(x аа~) R₁(aa)

laPa Pay

7? {x-aa) R\(aa)

cip, so ergiebt sich

RM?)

р?р?у = 2

~^a PaPay

? (aß~aa) R'l(aa)

wo hinsichtlich der Zahlen a, ß, y dasselbe gilt wie bei der vorhergehenden Nr. IV. Unter je sechs Functionen pa, pp py, pßy,pya, paß, wo «, ß, y verschiedene Werthe haben müssen, findet die Relation

(Pß “ Q'y )PaPßy F (Py ^a)PßPya F iPa ^ß)PyPaß ⁼⁼ ^

oder

statt.

Paß =

(Py ^ß) PaPßy (Py ®,a)PßPay

{Pa~'aß)Py

Denn es ist (vermöge Formel (XXIV.) des v. §)

(aa — aß)paß ₌ Pß_

PaPß

(aß-aY)pßy _ Py__Pl Py Pß

Pa

Pß Pa

PßPy

(ßy O'a^Pya _ Pa Py

PyPa

Pa

Py

ans welchen Gleichungen, wenn man sie durch Addition verbindet, die aufgestellte Relation sofort folgt.

V. Endlich ergeben sich noch folgende Gleichungen, in denen et' irgend eine der Zahlen p + 1, p + 2, ... 2p + l bedeuten soll:

pa = 2

dpa

ъ диь

(ай.-оа)ра,раа, + ^'\ ь <

QM ag~ab P'M «ь —«er

(b^e)

PbPab

dpa

диа

К '-%)Ра'Раа' + И'\ ь (

QM aa~%' P'M аъ —

(Ь^а)

PbPab],

-QM

dPa'

= ?!

PbPa'b\

Man hat nämlich (Formel (XXVII.) d. v. §)

Pa' = 2

f dub

P'M

dp а

QM

диь

P'M

Pb P ab

Hieraus folgt, wenn man а — а' setzt, sofort die dritte der vorstehenden Gleichungen. Aus (VI.) aber folgt, wenn man x = аа, nimmt und b statt а schreibt,

Pb

QM

bi P'M «а' -abr

und hieraus, wenn man nach ua differentiirt

Pa'Paa' =

dPa

dua

-2'

\QM PbPab 'fl P'M aa'~ ab

(b^e)

aa. — aa

woraus sich die zweite Gleichung ergiebt, aus der dann weiter die erste folgt.

VI. Von den vorstehenden Relationen mögen nun die folgenden besonders hervorgehoben werden, in denen der Kürze wegen

q + о durch a',

2p -f 1 durch ö₀,

q + b durch b'

bezeichnet ist.

(1.)

= 1-S

S QM

ГЧ-Р'Оа) aao~% >’

(2.)

i-sj

a \

QM al⁸(“i» --Oa

P'M

(3.)

A₀al²K, •••)(,<, — P[aJ + 2 j pf^j al²(w,    »

ai² (и,, .. .)û0■- S { tt“° _ а“ •    al² (wi ’ • • •)*> а}

aP( } J

alaar-aa FM    ’

(4.)    aa>) al (u1}.. .)аоа>

Q'M

PM

QM al K, ...)q alK, ...)а₀а

а I P'M

aa-aa.

(6.)

(7.)

(8.)

al (Mj,.. .)ao al (Mj,.. ,)ag

_ Qa„— аь)al(mx> ...)qal(w„ ...)а„ь — (%„ — «a) al Oh, ...)ьal(^1? .--ka

— «6

al (Mj,.. -k al (ul, .. .)a'g

_ K,— a₆)alK, ...)q'al(M1? ...кь — К,— «apalOn ..QbalQh, .--ka'

C'a' Ujj

al(wn ...)a₀alK,y

_ (ago— ay) al(ttn ..Qq'alK, ...)0ob’ — К,—аар al K, - -Ой alQi, - --ka'

$(«b)

dub

P'M

(b^o)

dalQh, ---к ₌ ФОь)

R'M

dal(wlf ...)* _ Q(ab)

P'M

ôm₆

al (u1} .. .)& al (ulf .. • )a₀b ?

al (Mj , • • *)b al (Щ> • • Oa'bJ

dal(ttx, ...)a

— Oa₀ aa) а1(^1 ? • • Ooo al(Mi) • • *)a₀a

QM «a—«ao

■P'(«b) ’ «ao-«6

2'j

а1(м1? ...)bal(Mlf ...)вб[-

(b^a)

Von diesen Gleichungen gehen Nr. (l.), (2.), (3.), (4.), (5.) aus (I.), (II.), (III.) hervor, wenn man in diesen Rt(x) = P(x) setzt; Nr. (6.), (7.), (8.) sind die Relationen (IV.), wenn man y = a₀ nimmt, und die unter Nr. (9.) finden sich unter (XXVII.) des v. § und (V.). Sie stellen, wie man sofort übersieht, so viel Relationen unter den Functionen alfa,.. .)e, alfa,...)o^ und den ersten Differential - Coefficienten von al fa, ...)a dar, als nöthig sind, um alle diese Grössen algebraisch durch

alfa»--Oi» alfa,...)», ... alfa, ...)?

(an deren Stelle je q andere der Functionen alfa, ...)e treten könnten) aus-zudriicken, ohne dass in den betreffenden Formeln die Argumente u₂, ... selbst Vorkommen; woraus unmittelbar weiter folgt, dass auch die höheren Differential-Coefficienten der Abel’schen Functionen algebraisch durch je q der letztem ausdrückbar sein werden.

§ 6.

Die Abel’schen Integral - Functionen.

Das Integral

F(xQ)dx(fj

\/Щ) »

F(xt)dx₁ [ F(xt)dx%

V-Bfa)

wo

F(x) eine beliebige rationale Function von x bedeuten soll, geht, wenn man xx, x₂,...xQ, sjRfa),    ••• V-^fa) vermittelst der Formeln des §4

man

durch ua, ... uQ ausdrückt, in eine Function dieser Argumente über, welche eine »Abel’sche Integral-Function« derselben nennen kann, und deren analytischer Charakter jetzt näher untersucht werden soll.

Man kann, wie weiter unten wird nachgewiesen werden, jede in der vorstehenden Formel enthaltene Function auf eine einzige zurückführen, die mit

Шfa,ua, ...uQ) oder kürzer Шfa,...) bezeichnet werden soll, und durch die folgende Gleichung

(1.)

и и л —    РМ dXa

ЙШ(«„    - S 2 P (а) x.-a ffîg)

definirt wird, mit der näheren Bestimmung, dass 2hfa, ...) den Werth Null

I.

43

erhalte, wenn ui,u₂,...uo sämmtlich verschwinden. Die Constante a kann jeden beliebigen Werth haben, mit Ausnahme von a₂, ... a , nnd auch das Zeichen der Wurzelgrösse \jR(a) willkürlich bestimmt werden. Ist es nöthig, a in die Bezeichnung der erklärten Function mit aufzunehmen, so soll dieselbe Ш(иг1 ия,... uj a) geschrieben werden.

Nimmt man zunächst die Grössen    so klein an, dass nicht

nur xl% x%) ... X in der Nähe von аг1аш,...а sich befinden, und dieselben daher, so wie \jB(xt), \]R(xz), ... \JR(x), durch die unendlichen Reihen (4.), (5.) des § 1 ausgedrückt werden können, sondern auch die Differenzen x — al5 X2~ani • • • XQ— aq dem absoluten Betrage nach kleiner als beziehlich ci — aj a — a₂, ... a — sind; so erhält man, indem

РЫ _ ^q-«q

xa—a

xa — a

xa-aa

und

xa-a

aa-a

/#q~M , (xa-aa\² ,    ]

\ a~aa ) ⁺ \ <*~aa ) ⁺ " j

QM-*I (

(aa-a)F\aa) \

QM

(a-aa)P'M

m = 1,... oo

dxa

1    P(*q)

2    оол-ал \jR(xa)

(§ F) ist:

(2.)

P(«)

.js₃₊s₅₊... + s

2ПН-1

+-I

уlR(a)

P(a)

2m+i

eine homogene ganze Function (2m + l)ten Grades von slt

von u₂, ... bezeichnet wird, werden rational aus    a₂, ... a und

den Coefficienten von Q{x) zusammengesetzt; nach fallenden Potenzen von a entwickelt, fangen S sind.

wo durch S

2m+i

s₂, ... s und durch U Die Coefficienten von S

2m+i

eine eben solche

2m+i’ ”2m+i

21П+1 ’

lt

2П1+1

mit Gliedern an, die mit a m multiplicirt

Nun aber findet, wenn man jetzt wieder unter

x^!°

K,

x’

ua,

\[WK), Vä«), ••• V-ßOC’)

M(x), N(x),    <p(x)

№

dieselben Grössen versteht wie in § 2, nach dem Abel’schen Theoreme nicht bloss die dort unter (6.) aufgestellte Gleichung statt, sondern auch die folgende

(»•) S

dx’a

i та) ад

'? ² I P И *а-а УЩ)

1    \JR (a) Р{рса)

2    "Р(аГ‘ яв-а )

?f

УД (а) . -РЮ . dxl

Р(а) ‘    ' \/Р(<)

Î ₊ I д W (^(а)Р(«) + А(а)УЗЩ\

)    ²    \M{a)P{a)-N{a)\jR{a)f

Werden daher

«r,

...

wo p irgend eine der Zahlen 1,2,... bezeichnet, so klein angenommen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichung (2.), wenn man darin diese Grössen an die Stelle von    ...u setzt, convergiren, so hat man

s[

1    VP)» PipC q)____

²    P(a) ‘ Xa-a’ sjBfaj

= <m...) + ■•• H-^iogT

Jetzt setze man, wie in § 4,

(4.)

dxa

M(a)P(a)-N(a) ^R{a)

M(a) P(a) + N(a) \jR(a)

2^

und nehme ^ so gross an, dass nicht nur die unendlichen Reihen, welche in den dortigen Ausdrücken von а1(г^,.. .)l5 al(^1?.. ,)₂ u. s. w. und von M(x, ...), N(x, ...) Vorkommen, convergent werden, sondern auch die für Ш^-, • • j; so verwandeln sich die Grössen

УР(^), У-ДМ, ••• УД(^)

Зч»

der Gleichung (4.) in die durch die Gleichungen (HI.), (XI.) des genannten §

43*

bestimmten; und es ergiebt sich durch Integration

Uq

(5.)    ...u₉) =    —

^ 1 j (M{a, ux, ма,... uQ) P(a) — N(a, u₁ ,ия, ... uQ) \/R(a)\ ²    \M(a, u1}ua, ... u„) P(a) + N(a, uif u₂, ... uQ) \jR(a)/

Eine Constante ist nach der Integration nicht hinzuzufügen, indem die Function, deren Logarithmus in dieser Gleichung vorkommt, sich auf die Einheit reducirt, wenn uit ua1 . ..u sämmtlich verschwinden, wie aus den unter (26, §2.) gegebenen Ausdrücken von M(x), N(x) zu ersehen ist.

Setzt man

(6.)

M(a, ut,...) P(a) + N(a, ux, ...) \jR{a)

=    u₂,...uQ)

so ist

(L)

Ш(u1}u2f... Uq) = IlogШ(m,,w„ ... u₉),

und es bezeichnet alsdann Ш(иг, u₂,... u ) eine eindeutige Function von uv w₂, ...u, welche, wenn für die absoluten Werthe dieser Veränderlichen irgend welche Grenzen festgesetzt werden, die sie nicht übersteigen sollen, in der Form eines Bruches ausdrückbar ist, dessen Zähler und Nenner nach ganzen positiven Potenzen von uif ut, ... и in convergirende Reihen sich entwickeln lassen. Für hinlänglich kleine Werthe der Argumente hat man

vte(a)

P(a)

2 (tt₃ + tt₅ 4-----1- Ihm+i + •¹0

(8.)

Щих,и„ ...«?) = e

woraus sich leicht erweisen lässt, ganz in derselben Weise, wie dies in § 4 für die Functionen cp(ut1...)a geschehen ist, dass der Werth von Ш(их, ... м ), obwohl in dem Ausdrucke dieser Function, wie er durch die Formel (6.) gegeben ist, die Zahl {i vorkommt, dennoch von derselben ganz unabhängig ist. Man hat daher folgenden Satz:

Es giebt eine eindeutige Function Ш(их1 иа,... uQ) der unbeschränkt veränderlichen Grössen u^u^...u^ welche der Differential-Gleichung

dxa

¹

Die Form, welche ich in der vorliegenden Abhandlung den Abel’schen Functionen gegeben habe, stimmt nicht ganz mit derjenigen überein, in welcher sie in der frühem, im 47sten Bande des Crelle’schen

in der жх, ж₂, ... я? , Spfłfa), \/lî(x₂), ...    die durch die Gleichungen

(III.), (XI.) des §4 bestimmten Functionen von u^u^...u sind, genügt und, wenn diese Veränderlichen sämmtlich verschwinden, den Werth 1 annimmt.

Wenn nun F(x) eine beliebige rationale Function von x ist, so kann man dieselbe stets als ein Aggregat von Gliedern von der Form

тАг UEd Bx“~'

darstellen, wo m eine ganze positive Zahl, und A, B, a Constanten bedeuten. Mit Unterscheidung derjenigen Werthe von a, welche R(a) = 0 machen, von denen, bei welchen dies nicht der Fall ist, kann man daher als den allgemeinsten Ausdruck von F(x) den folgenden annehmen

(9.)

F{x) = S

(,X — a)

m = 1,... n\

2

At

оx-a)m

nt = 1

• • »? 2

(x-a₂) nt = 1,... wä

nt = 1,... n

WO

l5 ..., и, wl5 ю₂, ... ganze positive Zahlen (Null ausgeschlossen) und 1 2 An An? •

m> • • •)

wird, dass a, à Gleichung R(x) — 0, gehören.

à, à,... Constanten bedeuten, und angenommen .. nicht zu den Grössen

• •>

1И 5

den Wurzeln der

Nun ist

(10.)

r7 №*) _ /i

(ж — a)OT \ 2

Д'(ж)

2 (x — a)lu

Д (ж)    ^ dit;

m (ж — a)m+1 /

= 2 j(v ~m) ■R(r) ^ ~ a)

-m+r-i

dx

X = 0,... 2p+ 1

wenn man

R(x) = ^Rm(a)(x-ay

X — 0,... 2p +1

Da nim R⁽⁰⁾(a) = R (a) ist, so übersieht man aus dieser Formel sofort, dass sich, wenn R{ä) nicht Null ist, indem man nt= 1, 2, ... m — 1 setzt,

setzt.

(11.)

dx

(x — d)m \jR (X)

auf die Form

C_5>_+«?,(*)) dx

\X — Ch    /

\jR(x)

Cr₂ (X) \JR (;X)

(.X — a)

m—i

wird bringen lassen, wo G₀ eine Constante, Gt{x) und Gt{x) aber ganze Functionen von x bedeuten, die erste vom (2^ —l)teu und die zweite vom (»1 — 2)*“ Grade, wobei man für m — 1 G₀ = 1, Gx{x) = 0, G₂(x) — 0 hat.

Setzt man aber a = aa1 so ist R(a) = 0, nicht aber (1 — ш)Ra\ä), und es erhellt aus der Formel (10.), wenn man jetzt m = 1, 2, ... m nimmt, dass man

(12.)

dx

Gl (x)

6r₂ (x) \/R (x)

{x — aa)m SjR{x)

\/R (x)

{x-aS

erhalten muss, wo G (ж), G₂(x) wieder ganze Functionen sind, die erste vom (2p — l)t<m und die andere vom (m — l)ten Grade. Namentlich hat man

(13.) 1

R'(aa) dx

² (х — аа)\[Щсс)

1    R'(x) ₊ 1_ R\aa)

2    x — aa 2 x — aa

R{x)

dx

(x-ajj sjR(x)

äM.

x-aa

Ferner ist

d{xm 1 \jR{x)) =

jm -1) xm~² R (x) + I B'jx)

\jR{x)

dx

oder, wenn man

В ix) = SA-^+1_r r = 0, ... 2q +1

setzt

(14.)

-Up)As,e+

r = 0,... 2p + l

dx

. \jR(x) ’

und man hat daher

(15.)

x^~1+mdx _ Gxjx) dx

\/Щх)    \/R(x)

+ d (6r₂ (x) S/Rix))

gleichfalls Gt(x), G₂{x) ganze Functionen sind, die erste vom (2p-1) und die andere vom (m — l)ten Grade.

ten

wo

Aus den Formeln (11.), (12.), (15.) folgt nun sofort, dass sich

(i6.)

F(X)dx

\jB(x)

auf die Form

/ £q

\x—a

_ -I—

2(7—1

dx G (x) dx \jR(x) \jR[x)

G(x)

x — a 1 2

bringen lässt, wo G₀, 6r₀, ... Constanten,

Щх) = (x-afh~l Ro(x) = (x-aj⁴ (х-а₂)щ

+ d (g₀(x) +

) \®w]

IQ—l

und G(x), G (ж), G₀(x) ganze Functionen sind, von denen die erste von nicht höherem als dem (2p —l)ten Grade, die zweite von einem niedrigem als R₀(x) H(x) ist, und die dritte sich auf Null reducirt, wenn n < 2p, während sie vom (n — 2p — l)ten Grade ist, sobald n > 2p.

Da man ferner

P(x) — P(a) dx

F(«) ' (x-a)\jR(x) - \x-a)P[ä) '~\Щх)

eine ganze Function (p —l)ten Grades ist, und man, wenn f(x) eine Function (2p —l)ten Grades bedeutet,

hat, wo

dx

P(x)

dx

(x — a) \jR(x) P(aQ-P(a)

x—a

f(x) = f^x) P(x) + f₂(x)

setzen kann, wo f₂(x) beide vom (p — l)ten Grade sind, und

Р'(аь) x — ab

ist; so erhellt, dass man dem Differential

F(x) dx

auch die Form

(17.)

F (x) dx

s/Щх)

F \1в,(а) P(x) dx ¹ 2P(a) x — a \jR(x)

/1 r xb~'P(x)dx\ (1 H

••• Q

SjR(a) P(x) __

2 P(a) x — a \]R(x)

P(x) dx я — Ч \jB{x) b = !,•••(>

dx

G(x)

R₀(x)H(x)

geben kann, wo F^ F₃, ..., 6r, Hb Constanten bedeuten.

Nun folgt aus der Gleichung (1.)

(18.)

?h

1 x\ ¹P(xa)dxa

) = d\-*W

i    \/B(a)

-a~b

Г--Р(я)

2ÏI(^l5...) _b den Coefficienten von a~b in derjenigen Entwicklung der eingeklammerten Grösse, welche für sehr grosse Werthe von a gilt, be-

wo

4R(a)

zeichnet.

Aus den Formeln (2.), (6.) ersieht man, dass dieser Coefficient

[indem

wird für a = oo, und man daher für alle Werthe von a, die ihrem absoluten Betrage nach eine gewisse Grenze übersteigen,

m

P(a)

M(a, ut,...) P(a) + N(a, ut, ...) \jR(a) (    1    (N(a,ut,..r)\2tn+Y Q(a) \CT)

°(2т + 1\Ж(а,м₁,...)/    \Р(а)/ j

ш = 0,... со

hat, so wie auch (nach (2.))

2^ P (a)

\jB(a)

Ж!-", •••) = 2^S Ula,

2(U

2Ш + 3-

und die in Beziehung auf a rationalen Functionen

2ПН-1

Q0)\m

M(a,un ...)

P(a)

(“’ V"'Lh>’

wenn man sie nach fallenden Potenzen von а entwickelt, beide mit einem

multiplicirt ist] eine eindeutige unge-

-m-i

Gliede anfangen, welches mit а rade Function von    ist, welche für alle Werthe dieser

Grössen, die ihrem absoluten Betrage nach beliebig festgesetzte Grenzen nicht überschreiten, als Quotient zweier, nach ganzen positiven Potenzen derselben entwickelbarer Reihen dargestellt werden kann.

Berücksichtigt man ferner, dass

wenn f{x) eine beliebige rationale Function von x ist, rational durch die Coefficienten von cp(x) und <p(x) dargestellt werden kann; so ergiebt sich, wenn man

(19.)

-m

. \jR{a)

Ja'⁶

= Ш(Ь)(м1; ua,...uQ)

setzt, aus (17.)

F(xa)dxa

(20.) j S

\/ЩХа)

=    a) + F,m(ulfua,...u₉j «) + •••

+ 2(Gt№>(utfua,...v<f) + Bbvb)

+ 5(al(w₁, al«, ...)a),

wo ^ eine rationale Function von al(«^, .. .)1? al(^x, . .)x u. s. w. bedeutet. Man sieht also, dass in der That, wie oben bemerkt worden, eine jede Abel’sche Integral-Function auf die mit    ... u ) bezeichnete

zurückgeführt werden kann.

Es ist in § 4 bei Herleitung der dortigen Gleichung (8.) die Formel

t (xa — ab)P'(ab)

v'{xa)dxa = -22

oder

1 dxa

= -2

<pM

dub

f Р'(аъ) (xa-ab)y'(xa)

P(Pa)

auf beiden Seiten mul-

gefunden worden. Diese Gleichung werde mit tiplicirt, so findet sich, wenn man dann in Beziehung auf a summirt

cca-a

dxa

²    « \/R(xa)

= -2

?K)

P(xa)dub

Nun ist aber

P(x)

P(a)

(x — а) cp (ж) (ж — а) cp (а)

РЫ

(жа — а)(х — ха)ср'(ха)

und daher für x = аь

У PM ₌ P(a)

^ {xa-a)(xa-ab)^(xa)    (a-ab)<p(a)

Mithin

I.

2w

1    Р(^а)

²    xa-a V/P^a)

P(a)    cp (аа)

ср(а) Р'(«ь) « — «b

44

oder auch, wenn man jetzt auf der rechten Seite a statt b schreibt,

(21.)

2w

dxa

1    IM

2    xa-a \/R(xa)

P(a) , ?K)__

?(«) F'M ' a-aa

dua

S|

a~aa

Hieraus folgt

а aa

(22.)

ô Ш (м,, u₂,... uQ)

-QM

dub

(a — ab)P(a)

P'M

al²(M1? ...)₆

QM al >,,...)„ P'M '

«“«а

Ferner ersieht man aus der Gleichung (21.), dass die partiellen Differential-Coefficienten von    ...), Шт(иг, ...) u. s. w. rationale und ganze Functionen von    ...)₁, al(Ma, ...)₂, ... al(wi? ...)ç sind. Namentlich hat

_ QM ~ P'M

so dass man die Gleichung (III.) des § 4, deren Wurzeln die Grössen x X j ... X sind, auch folgendermassen

man

(23.)

<4

al («j, w₂, • •. Wç)a,

(24.)

Sf

u₂,... uQ)

(x-aa)dua

ausdrücken kann.

Zweites Kapitel.

Einige allgemeine Betrachtungen über die Darstellung eindeutiger analytischer

Functionen durch Reihen.

соэ

7.

Die im vorhergehenden Kapitel durchgeführten Untersuchungen haben hauptsächlich den Zweck, für die Functionen

durch welche sich, wie gezeigt worden ist, alle Abel’schen Transcendenten

al (ul,. • .)a,

al (ut,.. ,)aß,

Ша)(ип ...)

ausdrücken lassen, zu einer völlig bestimmten, auf beliebige Werthe ui,u%,...u anwendbaren Erklärung zu führen, und die analytische Form derselben in so weit festzustellen, als hierfür und zum Behufe der weitem Entwicklungen erforderlich ist. Die in § 4 und § 6 gegebenen Formeln genügen für diesen Zweck zwar vollständig, nicht aber, wenn die genannten Grössen in einer ihrem wahren analytischen Charakter entsprechenden, für alle Werthe der Argumente ws, ... и unverändert dieselbe bleibenden Form darzustellen. Diese bleibt vielmehr noch zu ermitteln.

von

verlangt wird,

so grössere Werthe von

um

Der Umstand, dass die unendlichen Reihen, welche in den Formeln ((IY.), (XIII.), § 4) und (6, § 6) Vorkommen, für

zu

... и convergent bleiben, je grösser man die Zahl ft annimmt, begründet die Vermuthung, es werde sich jede derselben, wenn ft = со gesetzt wird, in eine für alle Werthe der genannten Veränderlichen convergirende Reihe verwandeln, und sich auf diese Weise eine Darstellung der in Rede stehenden Functionen in der gesuchten Form ergeben. Es dürfte vielleicht möglich sein, durch eine genauere Untersuchung jener Reihen die Richtigkeit dieser Vermuthung strenge zu erweisen; ich gehe jedoch hierauf nicht ein, weil man, wenn es auch gelänge, dadurch noch nicht dahin kommen würde, für jede einzelne der beiden Functionen, als deren Quotient alsdann irgend eine Abel’sche Function sich darstellen liesse, eine analytische Definition gewinnen. Es tritt uns hier vielmehr eine Aufgabe entgegen, welche, so viel ich weiss, noch nicht allgemein behandelt worden, und doch für die Theorie der Functionen von besonderer Wichtigkeit ist.

Die einfachsten transcendenten Functionen sind solche, welche sich nach ganzen positiven Potenzen ihrer Argumente in beständig convergirende Reihen entwickeln lassen und somit im Wesentlichen den Charakter der ganzen rationalen Functionen besitzen. Nach ihnen kommen diejenigen, welche aus mehreren dieser Art in rationaler Weise zusammengesetzt und daher als Quotienten aus zweien dargestellt werden können. Man kann sie als transcendente Grössen vom Charakter der gebrochenen rationalen Functionen bezeichnen.

Oftmals aber ist eine Function in der Art definirt — und so verhält es sich, der vorhergehenden Darstellung nach, mit den Abel’schen —, dass zwar die Möglichkeit gegeben ist, sobald jedes ihrer Argumente auf einen

44*

endlichen, übrigens beliebig gross anzunehmenden Bereich beschränkt wird, dieselbe in der Gestalt eines Bruches, dessen Zähler und Nenner nach ganzen positiven Potenzen der Argumente entwickelte Reihen sind, auszudrücken, während eine stets gültig bleibende Darstellungsform noch unbekannt ist. Angenommen nun, es sei eine derartige Function durch eine (algebraische) Differential-Gleichung definirt (oder auch im Vereine mit andern durch mehrere solche), so kann man untersuchen, ob sie vielleicht zu den gebrochenen rationalen, in dem eben erklärten Sinne, gehöre. Hierfür aber reichen die gewöhnlichen Entwicklungs-Methoden nicht aus. Es handelt sich dann darum, zu entscheiden, ob man, nachdem in die gegebene Differential-Gleichung statt der gesuchten Function ein Bruch, dessen Zähler und Nenner noch zu bestimmende Grössen sind, eingeführt worden, dieselbe in zwei andere, aus denen sie wieder folgt, so zerfällt werden könne, dass die genannten Grössen beide den Charakter einer ganzen Function erhalten. Dazu kann man in vielen Fällen mit Hülfe eines allgemeinen Satzes gelangen, der verdient, bei dieser Gelegenheit entwickelt zu werden.

Wenn f{u) eine Function von и ist, welche durch eine nur ganze positive Potenzen dieser Veränderlichen enthaltende und beständig convergirende Reihe dargestellt werden kann, so wird der Differential-Quotient

dl log f(u)

dux

wo Я eine ganze positive Zahl bezeichnet, nur für solche Werthe von и unendlich gross, bei denen f{u) verschwindet. Es sei a einer dieser Werthe, so kann man setzen

f(a + 7c) = gJcm + glhm+1 + -",

wo m eine ganze positive Zahl bedeutet und g nicht Null ist, und hat also

= m log к + log g + ~ Je H—,

wo die nicht hingeschriebenen Glieder nur positive ganze Potenzen von к enthalten; woraus folgt

(dxlogf(u)\

[ drł )

dl log к

и = a+k

bił

+ {Glieder mit nur positiven ganzen Potenzen von &j,

welche Reihe convergirt, sobald der absolute Betrag von к kleiner ist als eine gewisse Grösse, auf deren nähere Bestimmung es nicht ankommt. Dieselbe Darstellung gilt aber auch für jeden andern Werth von a\ nur ist dann m = 0.

Dieser Satz lässt sich nun in folgender Weise umkehren.

Theorem.

Wenn eine eindeutige Function F(u) der unbeschränkt veränderlichen Grösse и die Eigenschaft besitzt, dass

F(a + k),

wo a irgend einen besondern Werth von и, к aber eine Veränderliche bezeichnet, für hinlänglich kleine Werthe der letztem in eine convergirende Reihe von der Form

à¹ log к

dkl

+ S hmkm,

ttt = 0,... oo

wo m entweder Null oder eine ganze positive Zahl bedeuten soll, entwickelbar ist; so lässt sich eine beständig convergirende Reihe

/X + />“⁺¹ + ••• + /■«, *^+m + • • • = fin),

in der y, den zu a = 0 gehörigen Werth von m bezeichnet, dergestalt bestimmen, dass

& log f(u)

du¹

= F(u)

ist. Und zwar erhält man den allgemeinsten Ausdruck von f(u), indem man, unter der Voraussetzung, dass für hinlänglich kleine Werthe von и

F{u) = p*bß}L ₊ SFm«*

m = 0,... oo

gefunden sei, die Formel

ife

Sj (m+T)(m+ï) j + °.+<л«+ -+Ci-tu¹-¹

in der С , Сг, ... C-

Я—i

willkürliche Constanten bezeichnen, nach

Potenzen von и entwickelt, wenn auch die dabei gebrauchte Reihe

{ (in + l)... (nt + A) j

nicht für alle Werthe von и convergirt.

Beweis. Es seien ai7 ... aa unter den Werthen von u, für welche F(ii) unendlich gross wird, diejenigen, die ihrem absoluten Betrage nach kleiner als eine beliebig angenommene Grösse U sind, den Werth Null, wenn er auch zu denselben gehört, ausgeschlossen. Es ist leicht zu erweisen, dass es nur eine endliche Anzahl solcher Werthe geben kann. Denn sonst müsste sich in dem angegebenen Bereiche von и wenigstens ein Werth a finden, in dessen Nähe eine unbegrenzte Menge derselben vorhanden wäre. Dann aber Hesse sich Fia + &), wie klein auch к angenommen werde, nicht nach ganzen Potenzen dieser Grösse in eine convergirende Reihe entwickeln, die, wie doch vorausgesetzt wird, nur eine endliche Zahl Glieder mit negativen Potenzen von к enthält. Bezeichnet man nun mit w₂, ... ma die zu at, a₂, ... a gehörigen Werthe der Zahl m in den Entwicklungen von

F{al + k),    F(a₂+k),    ... F (aa + k),

und setzt

«1

и \m*

. ma u\

a₂

«a

= TC0),

so hat man nach dem oben Bemerkten

(■

ö^logTr^)

da¹

и = a+k

~dF

+ {Glieder mit ganzen positiven Potenzen von k\

wo m — P, ml5 m₂, ... ma ist für а = 0,    ... ao, und Null für jeden andern

Werth von a. Setzt man daher

F{u)

dx log ~ (u)

du'-

= FM

so ist Ft(a + k) bei jedem Werthe von а, dessen absoluter Betrag kleiner als U ist, in eine nur ganze positive Potenzen von к enthaltende Reihe entwickelbar. Daraus folgt, dass -^(w), so lange der absolute Betrag von и unterhalb der genannten Grenze bleibt, stets einen endlichen Werth hat und

Q»Ul+n j ( (nt + 1)... (ш + Я) i

/i (w) = тс (m) 6

dFl (и)

sich continuirlich mit и ändert. Dasselbe gilt von hohem Differential-Coefficienten dieser Function).

Satze lässt sich daher Fx(u) für alle jene Werthe von и durch eine conver-

(so wie von den Nach einem Cauchy’sehen

du

girende Reihe

S Gmiim

m = 1,... oo

darstellen. Wird daher

gesetzt, so ist fx(u) in eine, jedenfalls für dieselben Werthe von и conver-girende Reihe von der Form

ш = u.i'+sL«-¹""

m = 0,... oo

entwickelbar,¹) und man hat

Ô¹log f^u) 0Яlog TT (w)

du¹

du¹

+ FM = F(u).

Nun kann man aber, wenn и dem absoluten Betrage nach kleiner als jede der Grössen ax, a₂, ... aa ist, F{u) durch eine convergirende Reihe

0я log w

+ SĄ.M¹”

ausdrücken, wo fi Null oder eine ganze positive Zahl ist. Nimmt man daher für f{u) die aus der Entwicklung des Ausdrucks

Sl(tn+4'.M.(m+l)! + C«+Cl“ ⁺ "' + qi-

иЯ-1

u^e

hervorgehende Reihe, so convergirt dieselbe sicher bei den eben genannten Werthen von u, und man hat für dieselben

0я log f(u)

dux

= F{u)

und mithin auch

^log f(») _ дя1оg/lO)

du¹

du¹

woraus durch Integration

log f(u) = log ft (w) łC₀4O> + - + CU u¹-¹

/■(*0 = /i (**)•«

folgt, wo C'j C[, ... C[_t gleich C₀, Ct, ... C. für f(u) und f(u) aufgestellten Ausdrücken sofort erhellt, dass man, wenn

Co + C[ и H-----h CU %C ¹

Я-1

Constanten sind, und aus den

ist

log(^) = С.П + СУ + •••

я-l

= C₀+    H— +    ¹—c₁u-----cx__xu

hat. Der Exponential-Factor in dem vorstehenden Ausdrucke von f(u) lässt sich aber nach Potenzen von и in eine beständig convergirende Reihe entwickeln; folglich muss auch das Product aus derselben und der Reihe für das heisst die mit f{u) bezeichnete Reihe convergiren, sobald der absolute Werth von и kleiner als U ist. Aber U kann beliebig gross angenommen werden, während die Coefficienten von f(u) stets dieselben bleiben, welchen Werth auch U haben möge. Mithin muss die Reihe für f(u) eine beständig convergirende sein, wenn auch die bei der Bildung ihrer Coefficienten gebrauchte

Fmul+m

s!

(m +1)... (m + Я)

es nicht ist.

Zugleich sieht man aus der vorhergehenden Darstellung, dass die aufgestellte Formel den allgemeinsten Ausdruck der Function f{u) liefert. Denn gesetzt, es sei f₀(u) irgend eine andere, welche auch der Differential-Gleichung

0я log/»

du¹

= F(u)

genügt, so muss, wie gezeigt

fo 0) = f(u) e/{u)

sein, wo i(u) eine ganze Function (Я — l)ten Grades bedeutet, wonach f₀(u) in dem für f(u) gegebenen Ausdrucke mit einbegriffen ist.

Anmerkung. Hätte die Function F(u) nicht für alle Werthe von щ sondern nur für alle dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen

Grenze liegenden, die angegebenen Eigenschaften; so folgt ans dem vorstehenden Beweise, dass die auf die angezeigte Weise gebildete Reihe f(u) jedenfalls fiir die bezeichneten Werthe von и convergent sein und der Differential-Gleichung

— F{u) genügen würde.

Der bewiesene Satz kann nun, wenn zwischen zwei veränderlichen Grössen X und и eine algebraische Differential - Gleichung besteht, dazu gebraucht werden, um zu entscheiden, ob sich wirklich x als eine Function von и, die den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen hat, betrachten lasse, und um, wenn das Letztere der Fall ist, zur Bestimmung des Zählers und des Nenners zwei Differential-Gleichungen zu ermitteln. Denn immer wird sich aus der gegebenen Differential - Gleichung für irgend einen Aten Differential-Coefficienten von logo; ein Ausdruck von der Form

ôHogÆ

dx

dux

— Flu. x,    • •

du

dx~'x

dux 1

herleiten lassen, wo F eine rationale Function von æ, u. s. w. bezeichnen soll, deren Coefficienten Constanten oder eindeutige analytische Functionen von и sind. Wenn nun x in der Gestalt

/i(*0

U 0)

wo unter /^(w), f^(u) zwei nach ganzen positiven Potenzen von и in beständig convergirende Reihen entwickelbare Functionen zu verstehen sind, darstellbar sein soll, so muss, indem dann

dxlog x öGog/iG)    dxlog f₃(u)

du¹

du¹

dux

ist, F sich auf die Form F±—F₂ in der Art bringen lassen, dass FF2 Functionen von der in dem aufgestellten Satze beschriebenen Art sind. Gelingt es nun, F in dieser Weise umzuformen, wo denn im Allgemeinen jF, F₂ Functionen von u, x, ||-, •••    sein werden, und der Nachweis, dass

sie die in Rede stehende Beschaffenheit haben, mit Hülfe dessen, was hinsichtlich des zwischen x und и bestehenden Abhängigkeits-Verhältnisses aus der gegebenen Differential - Gleichung folgt, oder sonst bekannt ist, geliefert

I.

45

werden muss; so kann man

d²iog/;o)

дЯЬ gfa(u)

du¹

du¹

= F

•Л- n

setzen, und dann, indem man für x diejenige Entwicklung nach Potenzen von и sucht, welche für hinlänglich kleine Werthe von и gilt, und hierauf die entsprechenden Entwicklungen von Fx) F₂ ausführt, die Reihen für ft(u\ fa(u) in der beschriebenen Weise bilden — oder man kann auch, in Flf F2 fl(u)

f» («)

cienten der gesuchten Reihen, deren Form und beständige Convergenz ja bereits vor ihrer Entwicklung feststeht, nach irgend einer passenden Methode ableiten; worauf man bei gehöriger Constanten-Bestimmung x =

Wenn man im Stande ist, von der Grösse x vor ihrer Entwicklung nach-dass sie eine eindeutige Function von и ist, welche sich für alle in der Nähe eines beliebigen besondern Werthes a liegenden Werthe dieses Arguments durch eine convergirende Reihe von der Form

A₀(u — a)u + Аг(и — ay+i + A₂(u — a)fl+2-|----,

wo fi eine ganze (positive oder negative) Zahl bedeutet, ausdrücken lässt; so genügt es, F als die Differenz zweier andern ähnlich gebildeten Ausdrücke Fi: F₂ darzustellen, von denen sich zeigen lässt, dass der erste nur für solche Werthe von x unendlich gross werde, bei denen x = 0, der andere nur für diejenigen, bei denen x = oo wird — und man kann überzeugt sein, dass die aus den Gleichungen

dxlogft(u)

statt x einführend, aus den so sich ergebenden Gleichungen die Coeffi-

zuweisen

du¹

d;‘lo gfa(u)

duя

f'i(u)

haben wird.

auf die beschriebene Weise für    f₂(u) sich ergebenden Reihen

beständig convergent sein werden.

Denn bei der angenommenen Beschaffenheit von x hat man für jeden Werth von a

6я loga;

6я log к

duя

и — a+Ä

dF

+ j Glieder mit nur ganzen positiven Potenzen von A’j

= *> + *)-*> + *),

wo m eine ganze positive Zahl ist, wenn für и = a x = 0 oder = oo wird,

und das obere Zeichen im ersten, das untere im andern Falle gilt, während man m — 0 für jeden andern Werth von a hat. Ferner geben Ft, F man in denselben и = a + k setzt und nach Potenzen von к entwickelt, Reihen mit nur ganzen Potenzen von к, wobei jedoch, da Ft und F₂ für keinen Werth von и beide unendlich gross werden, niemals in beiden zugleich negative Potenzen von к Vorkommen können. Daher folgt aus der vorstehenden Gleichung, wenn F^a) = oo ist (indem man mit (k) eine Reihe von der Form liQ + Je + b k' + • • • andeutet),

wenn

2?

Fx(a + Je) = m

dl log 1t

die¹

F₂ (a + k) = (Je)-,

und wenn F₂(a) == oo

0 я log Je

d¥

+(*)

Fx{k) = (Ä)

während man für jeden andern Werth von а

F₂ (a + Je) = (Je)

Fx (a + k) = (Je)

hat. Es besitzen also Fг(и), F₂(u) die bei dem entwickelten Satze für die Function F(u) vorausgesetzte Beschaffenheit.

Wenn sich nur nachweisen liesse, dass man x für alle Werthe von щ die dem absoluten Betrage nach unterhalb einer gewissen Grenze liegen, als eine Function dieser Veränderlichen von der angegebenen Beschaffenheit anzusehen habe; so würde man, in der beschriebenen Weise verfahrend, zu einer jedenfalls für alle jene Werthe von и geltenden Darstellung von x gelangen.

Sind für mehrere Functionen a?g, ... von и eben so viele algebraische Differential-Gleichungen gegeben, so kann man bei deren Entwicklung in ganz ähnlicher Weise verfahren. Auch ist es möglich, in dem Falle, wo es sich um Functionen von mehr als einem Argumente handelt, die Untersuchung auf den hier betrachteten zurückzuführen.

ANMERKUNG.

Im Vorstehenden ist nur ein Theil der im Crelle’schen Journal Bd. 52 unter dem Titel »Theorie der Abel’schen Functionen« veröffentlichten Abhandlung abgedruckt worden, weil die Theorie der hyperelliptischen Functionen in einem folgenden Bande dieser Werke in neuer Bearbeitung erscheinen soll, die Digression über die elliptischen Transcendenten aber ihrem wesentlichen Inhalt nach mit der ersten Abhandlung dieses Bandes übereinstimmt.

Die Mehrzahl der in diesem Bande enthaltenen Abhandlungen ist vor dem Abdruck einer Revision unterworfen worden, und zwar durch die Herren G. Hettner (Nr. 11), H. К or tum (Nr. 16), H. v. Mango ldt (Nr. 9), R. Rothe (Nr. 2, 8,12,15), Ludwig S c hiesing er (Nr. 5, 7, 8,17), H. A. Schwarz (Nr. 14), E. Wendt (Nr. 13). Auch hat jeder dieser Herren mindestens eine Correctur des von ihm durchgesehenen Textes gelesen. Die Correctur der übrigen Abhandlungen ist durch Herrn R. Rothe besorgt worden. Hinsichtlich des Typographischen hat Herr C. Barich, Factor der G. Reimer’schen Buchdruckerei, sämmt-liche Bogen dieses Bandes revidirt.

Göttingen, Druck der Dieterich’schen Univ.-Buchdruckerei (W. Fr. Kästner).

BIHLIUTËKÜ UŁUWNA

Verlag von Mayer & Muller in Ber

PB

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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ACTA MATH FM ATI CA. Herausgegeben von Mittag-Leffler.

Band XI—XVII. (XVIII im Erscheinen begriffen), à M. 15

Druk. U. J. Zam. iib. Ш.иио.

BIBLIOTHECA MATHEMATICA. Heransgegeben von G. Enestri à M. 2,40- Jahrg. 1886. M. 4,—.

— Neue Folge. Jahrg. 1887—1893. 1894 (im Erscheinen), à M. 4,—.

BOLZANO, Bern., Paradoxien des Unendlichen, herausgegeben ans dem schriftlichen Nachlasse des Verfassers von Dr. F. Prihonsky. 2. unveränderte Auflage. 1889. M. 3

DESCARTES, Réné, Geometrie. Deutsch herausgegeben von Ludwig Schlesinger. Mit 2 Figurentafeln. 1894. M. 3,60.

GILBERT, de magnete magneticisque corporibus; Löndini MDC. Folio. Facsimile-Druck. 1892. Gebunden M. 21,—.

GREEN, George. An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. Nottingham 1828. 4. Facsimile-Druck in 100 Exemplaren. 1889. M. 10,—.

HENSEL, Dr. Kurt, arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserordentlichen Theiler. Gr. 4. 1884. M. 1,50.

HORN, Dr. Jacob. Ueber Systeme linearer Differentialgleichungen mit mehreren Veränderlichen Beiträge zur Verallgemeinerung der Fuchs’schen Theorie der linearen Diffe-

M. 3,60.

rentialgleichungen. 1891.

LOBATSCHEWSKY, Nicolaus. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.

2. unveränderte Auflage. 1887. M. 2,-—.

PRYM, Dr. Fried. Eih., zur Theorie der Funktionen in einer zweiblättrigen Fläche. Gr. 4.

Zürich 1866. M. 3,—.

°RYM, Dr. Friedrich, neue Theorie der ultraelliptischen Funktionen. 2. Ausgabe. Mit nachträglichen Bemerkungen und (3) neuen Tafeln, Gr. 4.    1885. M. 3,60.

RIEMANN, Bernh., Schwere, Electricität und Magnetismus. Nach den Vorlesungen von B. Riemann bearbeitet von Karl- Hattendorff. 2. Ausgabe. Mit 50 Holzschnitten im Text. Hannover 1880. M. 6,— .

SCHLESINGER, Ludwig, über lineare homogene Differentialgleichungen vierter Ordnung,

zwischen deren Integralen homogene Relationen höheren als ersten Grades bestehen. Gr. 4. 1887. M. 2,40.

THOMSON, Sir William, Populäre Vorträge und Reden. Autorisierte TTebersetzung nach der zweiten Auflage des Originals. Band I. Konstitution der Materie. 1891. M. 5,—. In Leinenband M. 5,80.

rSCHEBYSCHEFF, P. L., Theorie der Congruenzen. (Elemente der Zahlentheorie). Deutsch mit Autorisation des Verfassers herausgegeben von Dr. H. Schapira. 1889. M. 7,—.

WEISSENBORN Professor Dr. H. Gerbert. Beiträge zur Kenntniss der Mathematik des Mittelalters. Mit 6 Figurentafeln. 1888. M. 9,—.

— Zur Geschichte der Einführung der jetzigen Ziffern in Europa durch Gerbert. 1892. M. 3,-.

Göttingen, Druck der Dietericli’schen Univ. - Buchdruckerei (W. Fr. Kästner).

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il

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¹

S. die Sätze des § 7 der Abhandlung über die Facultäten.