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Formeln und Lehrsätze

zum Gebrauche

der elliptischen Functionen.

Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor

K. Weierstrass

bearbeitet und herausgegeben

von

j***

H. A. Schwarz.

Vierte Lieferung, enthaltend Bogen 7 und 8.

Göttingen.

Dieterichsche Universitäts - Buchdruckerei (W. Fr. K a e s t n e r).

1882.

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ikoWsKiPl

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Art. 38.

fii33,b%9

'Qi

ET.

Ü -O

*

3 < x

<x>

In der Gleichung [B. 4] hat für (a, ß, y) = (2, 3, 0), (0,2,3), für (er, /?, y) — (2, 0, 3), (0,3,2),

, 2, 0) das obere Zeichen, ,0,2) das untere Zeichen Geltung. In der Gleichung [B. 6] gilt für a — 2 und für er = 0 das obere, für er = 3 das untere Zeichen.

so co

Bei dem Uebergange von den Functionen 0{u) zu den Functionen ^(t?) ergibt sich aus den Gleichungen der Tabelle [B.] nach Abtrennung eines Expo-nentialfactors mit dem Exponenten JL(a²-\-b²+c²+d²) unter Berücksichtigung der Gleichungen (3?) ein System ganz analoger auf die Functionen 3(v) sich beziehender Gleichungen, welche dieselbe Form haben, wie die Gleichungen der Tabelle [B.].

Die Argumente der in den Gleichungen der Tabelle [A.] auftretenden d-Functionen hängen ab von vier von einander unabhängigen veränderlichen Grössen. Diese Zahl erniedrigt sich, wenn einem oder zweien der erwähnten Argumente der Werth Null beigelegt wird. Aus den auf diese Weise sich ergebenden speciellen Fällen der in der Tabelle [A.] enthaltenen Formeln, in welchen die Indices 2, v beliebig permutirt werden können, sind die in den Tabellen [C.] und [D.] zusammengestellten Formeln hergeleitet. Die Argumente der hierbei in Betracht kommenden (j- Functionen sind durch drei von einander unabhängige unbeschränkt veränderliche Grössen u, v, w ausgedrückt, während die Indices 2, ju,, v in irgend einer Reihenfolge die Zahlen 1, 2, 3 bedeuten.

Aus [A. 2] sind hergeleitet [C. 1, 16, 19]

,, [A. 6] 5?

Die Substitutionen, durch welche der Uebergang von einer Gleichung der Tabelle [A.] zu einer Gleichung der Tabelle [C.] oder [D.] vermittelt wird, und die eventuell anzuwendende Permutation der Indices ergeben sich in jedem einzelnen Falle ohne Schwierigkeit aus der Vergleichung der einander entsprechenden Glieder beider Gleichungen.

Die rechten Seiten der Gleichungen [C. 7] und [C. 8] enthalten, vom Vorzeichen abgesehen, dieselben Glieder, wie die rechten Seiten der Gleichungen [C. 13] und [C. 1 4] und wie die rechten Seiten der Gleichungen [C. 17] und [C. 18].

[C. 7, 8, 13, 14, 17, 18]

[C. 2, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 15, 20] [C.4]

[C. 3]

und [D. 1],

„ [D. 7, 8],

„ [D. 2, 5, 6, 9], „    [D. 4],

„ [D. 3].

Zum Gebrauche der elliptischen Functionen.

i\« *

1)033/50

[i]

6x(w) 6 (u+v+w) <d (u—v) [2] (ev—e^)(5x(w) 6(u+v+w) 6 (u— v)

[C.l

6 (u+w) S (u)6x(v+w)(dx(v)

3ß(u+iv)6ß(u)6v(v+w)6Xv)

ß₁(«+w)6i(»)6(e+«i) 6 (v) 6V (u+w)6v (u)6ß(v+w)6ß(v)

0^ («0)0* (M+«+sc;)<5jt (w—i>)

[4] (e„—elu)6;.(w)(3A(w+ü+«(;)6;.(w—^v)=(ez—efl)(Dv(u+w)(5v(u)6v(v+w)6v(v) 6p(w)<5x(u+v+w)<ox(u—v)

6p.(w)6x (u+v+w)6x(u—v)

[3]

[5]

[6]

6x(u+w)6x(u)6x(v+w)(5x(v) —(ex—e^ex—e^) 6 (u+w) 6 (u) 6(«+«;) 6 (v)

(^—eF)öM(M+w)6^(w)S/4(v+w)^₄(f;) (e;i—(u+w) 6(u)6v(v+iv)6y(v) (.ex—efl)6v(u+w)6y (u) 6 (v+w) 6 (v)

6ll(u+w)6fl(u)(5x (v+w)(5x(v) 6x(u+w)(ox(u)6ß(v+tv)6ß(v)

[7]

[8]

6ß(w)(ox(u+v+w) (5 (u—v) %(w)<5x(u+v+w) 6 (u—v)

(5x(u+w) 6 (u)6ß(v+w)6y(v) 6 (u+w)6x(u)6y(v+w)(5ß(v)

(5ß(u+w)6v (u)<5x(v+w) 6(v) 6y(u+w)6ß(u) 6(v+w)6x(v)

[9]

[10]

[11]

[12]

6ß(w)<5ß(u+v+iv)(5x(u—v) 6ß(w)(5ß(u+v+w)6x(u—v) 6x(w)6ß(u+v+w)6x (u—v) &x (w)6ß(u+v+w)6x (u—v)

6ß(u+iv)6x(u)(jß(v+iv)(5x(v) (5x(u+w)(5ß(u)(5x(v+w)(5ß(v) (5X (u+w)6ß(u)6ß(v+w)6x (v) ^(u+w)6x(u)(5x(v+w)6ß(v)

(evr~ei)6v(u+w) ö(u)6v(v+w) 6 (v) 6 (u+w)6v(u) (o(v+w)<ov (v) (e^—ex)(5v (u+tv) 6 (u) 6 (v+w)(5y (v) (cft—ex) 6 (u+w)6y(u)6v(v+w) 6 (v)

[13]

[14]

6v(w) 6(u+v+w)6x(u—v) Gv(w) 6(u-{-v+iv)6x(u—v)

6-^n+iv) 6 (u)6ß(v+w)6y(v) 6 (u+w)(5x(u)6r(v+w)6u(v)

(5V (u 4 w)%(u)6(v+iv) (3X (v) 6^u+w)6v(u)(dx(v+w) 6(v)

[15] (ev~ejö (w)(Sx(u+v+w) 6(u—v) 6(w)(5i(u+v-\-w) 6(u—v)

[16]

6ß(,u+w)6v (u)6v (v+w)6ß(v) 6X (u+w) (5 (u) (5(v+w)6x(v)

6t,(u+iv) 6ß(u)6ß(v+w) 6y(v) S (u-fw)6x (u)6x (v+w) 6(v)

[17]

[18]

6 (w)6v (u+v+w)6fl(u—v) <3 (iv)6v(u+v-\-iv)6ß(u—v)

6v(u+w)6ß(u) (5(v+w)6x(v) (3 (u+w)(5x (u)(5v(v-\-w)<oß(v)

%(u-\-w)(ov(u)<ox(v+w) <o(v) <Ol{u+w) 6(u)<Oß(v+w)<5v(v)

[19]

(5 (w) 6 (u-\-v+w) 6X (u—v)    —

[20] (ev—e^)(5(w) 6(u+v-\-w)(5x(u—v)    =

(3^(w+w)S(m)(3a(ü+w;) S(v)

S„(w+w)(5J[l(w)Sr(t)+w;)6jU(t?).

Art. 38.

Additionstlieoreme.

51

Wenn der Grösse w in den Formeln [1 —14] der vorstehenden Tabelle der Werth Null beigelegt wird, so ergeben sich die in der Tabelle [D.] zusammengestellten Formeln.

d.

G (u + v) <5(u—v) — (5²u(o\v—6\u<o v (ev— ep) G (u + v) G(u—v) — Ö*w6avv—6²vu6*v

6X (u + v) 6x(u—v) — G² u 6; v—(ex— eu) (gä— ev) G² u G² v (e„— e^) <5x(u + v)<5x(u—v) = (ga—gu)G²mG²v—(e*— gv)G*m G,²-y 6x(u + v)6x(u—v) =    (ö*— e^)Ö*f«Qjv

(5;. (w + v) Ga(m—«0 = 6;u6*v—(ex— efl) G² u G²v •    G^m + v) G(m—Q = G;:uGmGuwGrv—GflmGvmGAv G-y .

G (m + v) 6X(m—v) = G^m Gm G,xv G^ + 6au (5vu 6}v <ov 6fM(uJrv)(5x(u—v) = 6xu6^u6xv6fJLv—(efl—ex)6u6vu6v6vv.

Aus den in der vorstehenden Tabelle enthaltenen Formeln ergeben sich auf sehr einfache Weise die für die Quotienten zweier (d~ Functionen geltenden Additionstheoreme.

Man erhält beispielsweise durch Verbindung von [D. 8] mit [D. 3], indem der Factor (&x(u— v) bei der Division fortfällt, ^    ra^onal ausgedrückt durch

Gm Gum G/m 6v 6ßv 6vv 6}v ’ (jxv J 6xv '

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

G;_m ’ G₂m j 6xu

durch Verbindung

man

Andere Ausdrücke für die Grösse + erhält

6x(u + v)

von [D. 8] mit [D. 4], [D. 5] und [D. 6], von [D. 8] mit [D. 9] und nachfolgende Vertauschung von 2 und jlo, endlich durch Verbindung von [D. 1] und [D. 2]

mit [D. 7].

Analogerweise erhält man verschiedene Ausdrücke für die Grösse —^u +

6x(u + v)

durch Verbindung von [D. 9] mit [D. 3], [D. 4], [D. 5] und [D. 6], oder indem man mittelst [D. 7] (ä^u + v) G){u — v) und 6x(u + v) 6(u— v) berechnet und aus den erhaltenen Grössen den Quotienten bildet, oder endlich, indem man mittelst [D. 9] + v) 0)v(u — v) und G)x(u + v) <ov(u— v) berechnet und aus den erhaltenen

Grössen den Quotienten bildet.

Die Functionen 2?(«), Z(w), Q(w), <9(w)> //(m), fl{u,a) Jacobi’s.

39.

Die Functionen, welche Jacobi mit E(u), Z(u), Q(u), &(u), Ef(u), fl(u, a) bezeichnet hat, sind erklärt durch folgende Gleichungen:

/» u

V

E(u) =

Z(u) = JE(u)—~u, j'“E(u) du

f“Z(u)du

A²amMdw,

Jacobi’s Gesammelte Werke Bd. I. S. 299.

S. 187.

GO) =

S. 300.

00) = 0(0)6

•0(0) =

S. 198. S. 231.

■ ^    (2i+K'i)

-e 4K G(u + K'i),

H(n) = \

JI(ii,a) = Je²sin am «cos am a Ä am a

S. 224. S. 226.

/• u

J0

sin² am adu

1—k² sin² am a sin² am u

S. 197. S. 305.

= il°8‘

Zur Vereinfachung der nachstehenden Formeln, sowie zur Erzielung grösserer Uebereinstimmung derselben mit den Formeln des Art. 26 empfiehlt es sich, die von Jacobi mit u, beziehungsweise mit a, bezeichneten Argumente der vorstehend erklärten Functionen mit es-w, \Je^ea-a zu bezeichnen. Es ergeben sich dann folgende Gleichungen:

f E(a) • u.

E()Je₁—e₃‘U) = -

f S'w 4

KG?**'*)’

(d'u

Z(\le₁-e₃-n) =

Ü(\Je^e₃-u) =    6au,

Qiyle. — e.-u) =    \!ex — e₃<5

HQ/ei—e₃‘U) = \J^\l~G-e

-e3

^u)

(O J

<5₃u = ^oO|t),

H (\Je₁ ~e₃-u,\/e₁-e₃-a) = 4 log

= ^i(t>|x),

(5gQ-a)

63O +«)    6,«

dienen die Gleichungen (l.), (4.), (13.) des Art. 35, in welchen Ä = 1 & = to, tj = 7] zu setzen ist.

Nach Potenzen des Moduls k fortschreitende Reihenentwickelungen

für die Grössen K, K\ h.

40.

Unter Zugrundelegung der im Art. 27 getroffenen Festsetzungen möge jetzt angenommen werden, dass der Modul k dem absoluten Betrage nach klein er ist als 1.

Unter dieser Voraussetzung gelten, wenn der Werth der unendlichen Reihe

¹⁺(y>+(Ur>⁴⁺(

(!•)

1.3.5V,

2T4T<r>⁶⁺-" mit $ bezeichnet und zur Abkürzung

(2.)

¹+(!>*= *

gesetzt wird, die Gleichungen

Act-®,)

Hierbei ist Folgendes zu bemerken:

Bei der Definition der betrachteten sechs Functionen können die von Jacobi mit K, K' bezeichneten Grössen als bekannt angenommen werden. Der

hat stets einen positiven Werth. Der

Werth der mit \jel~e₃ bezeichneten Grösse kann beliebig gewählt werden.

Die Grössen w, to', v, x, h sind durch die Gleichungen

K'i

reelle Bestandtheil des Quotienten

K'

to

to —

o/

1—«»⁷

bestimmt. Zur Bestimmung der Grössen

2o> ’

K'i u> ~ K ’

T TCi

(8.) K = I*, jr'= S'!ognat|-²[-n2_(t''S«⁾⁺I^4(Ä_S’') +

Dem natürlichen Logarithmus ist hierbei sein Haupt werth*) beizulegen.

*) Unter dem Hauptwerthe des natürlichen Logarithmus einer Grösse x, welche mit Ausnahme der reellen negativen Werthe jeden complexen Werth annehmen kann, wird hier und im Folgenden

Weil die Grösse K nicht gleich Null werden kann, da der reelle Bestand-

tlieil derselben stets einen positiven Werth hat, so ist auch die Grösse 4 fc’j,

2 log nat j-----für alle Werthe von &, deren absoluter Betrag kleiner ist als

1, durch eine nach Potenzen der Grösse k mit ganzzahligen positiven Exponenten fortschreitende Reihenentwickelung darstellbar. Die Coefficienten der einzelnen Glieder dieser Potenzreihe sind rationale positive Zahlen.

Es ergibt sich

(4.)

7c⁶+ • • •

_ K'r.

In Folge dieser Reihenentwickelung ist auch die Grösse h = e K und jede Potenz derselben, deren Exponent eine positive Zahl ist, für alle Werthe des Moduls k, deren absoluter Betrag nicht grösser ist als 1 , durch eine nach Potenzen der Grösse k fortschreitende Reihe darstellbar; die Coefficienten der einzelnen Glieder dieser Reihen sind positive Zahlen und die Summe derselben ist für jede dieser Reihen gleich 1.

Insbesondere ergeben sich folgende Reihenentwickelungen :

—— lc*+ —L

1024    2048

(5-)

Jq¹*²+J21c*+

(6.)

+ 15

Der Wurzelgrösse \jh ist derjenige ihrer beiden Werthe beizulegen, dessen reeller Bestandtlieil positiv ist.

Wenn von der Reihe für die Grösse K‘ das Anfangsglied allein, oder die zwei, drei, vier ersten Glieder in Rechnung gezogen werden, so ist der begangene Fehler dem absoluten Betrage nach beziehlich kleiner als

nur

2"

(i

2~~~

2 2⁶

mithin kleiner als

209

1597

512

4096

derjenige Werth des natürlichen Logarithmus der Grösse x verstanden , dessen imaginärer Bestandtheil dem absoluten Betrage nach kleiner ist als ti.

Unter derselben auf die Veränderlichkeit der Grösse x sich beziehenden Einschränkung soll für beliebige Werthe des Exponenten m unter dem Hauptwert he der Potenz xm der Werth emlo£nat-1 verstanden werden, vorausgesetzt dass dem natürlichen Logarithmus sein Hauptwerth beigelegt wird.

Entwickelung der Grösse h nach Potenzen der Grösse 1 41.

Die in dem Art. 27 enthaltenen Definitionen und Lehrsätze bleiben be

stehen, wenn an die Stelle von ex, e2i ez beziehlich eA, eu, ev gesetzt wird, wobei die Indices k, /u, v in irgend einer Reihenfolge die Zahlen 1,2,3 bedeuten. Hierbei muss indess die Bedingung aufrecht erhalten bleiben, dass, falls die den drei Grössen    eu, ev bei der geometrischen Darstellung der complexen

Grössen entsprechenden Punkte in gerader Linie liegen, dem mittleren dieser drei Punkte entspricht.

Für jede unter der angegebenen Bedingung zulässige Permutation der Indices sind daher dem Inhalte des Art. 27 zufolge zwei Grössen k, k\ folglich auch zwei Grössen K, K' eindeutig bestimmt. Aus den letzteren Grössen ergibt sich, sobald über den der Quadratwurzel \[er%— e beizulegenden Werth eine Entscheidung getroffen ist, ein bestimmtes primitives Periodenpaar (2«);, 2<oJ des Argumentes der Function pu, für welches die Gleichungen

p(o>^ + o>,v,) =

(!•)

K«b) =

ü)/ , (S)fl =■ (D; + (D

andere ist.

Art. 41.

Berechnung der Grösse h.

55

bestehen. Hierbei ist zu bemerken, dass die Gesammtheit der drei Grössen ü>,, für jede der zulässigen Permutationen der Indices eine

Nachdem eine bestimmte Permutation k, der Indices 1, 2, 3 ausgewählt worden ist, möge ein Werth der Wurzelgrösse    beliebig fixirt und

das Quadrat desselben mit \]e}—ev bezeichnet werden.

Es mögen ferner y\/ex—e~. diejenigen Werthe dieser Wurzelgrössen bezeichnen, welche unter der Voraussetzung, dass den beiden Potenzen mit dem Exponenten -f- ihr Hauptwerth beigelegt wird, durch die Gleichungen

ftp**

(20

\lei~ev

S/hf =

\e?-eyJ

erklärt sind.

Die Grössen io; und wv seien durch die Gleichungen

K'i

(3.)

°>X =

di

bestimmt.

Wird hierauf

* TTzi

e

gesetzt, so gelten für die erklärten Wurzelgrössen die Gleichungen des Art. 35.

diesen Gleichungen vorkommende Grösse y - ~ ergibt sich

/~2%

der Wurzelgrösse 4/—— derjenige

Für die in

hierbei der Werth

^ r

(*> =

«>r

/ 2 K

y ~z~ und zwar ist

V'v-e,

ihrer beiden Werthe beizulegen, dessen reeller Bestandtheil positiv ist.

Die Grössen c*, e„, ev können als veränderlich betrachtet werden, mit der

Einschränkung, dass keine der beiden Grössen &², &'² negativ werden darf. Wenn nun ferner die Veränderlichkeit der Grössen ex, cu, e,, vorübergehend in der Weise beschränkt wird, dass der absolute Betrag der Grösse k² kleiner bleibt als 1, so finden die im vorhergehenden Art. enthaltenen Entwickelungen Anwendung. Die rechte Seite der Gleichung (9.) des Art. 35 wird daher, wenn man für hx die Reihe

Ä*

\Jk

,5

+ 15

+ 150

13

vergl. Art. 40 (6.)

und für die Potenzen von Ks die aus dieser Reihe durch Potenzerhebung sich ergebenden Reihen setzt, identisch in \/Jc übergehen.

Hieraus folgt, dass die der Gleichung (9.) des Art. 35 analoge Gleichung (11.) desselben Art.

2h + 2ä⁹+ • • •

l+2A⁴+2ä¹⁶+V. .

identisch befriedigt wird, wenn für h die Reihe

(5.)

}⁺²CD +i⁵(4) +i⁵o(l)

gesetzt wird, vorausgesetzt dass diese Reihe convergirt. Diese Folgerung ist von der Voraussetzung, dass die Grösse k² dem absoluten Betrage nach kleiner sei als 1, nicht abhängig, denn die Convergenz der Reihe (5.) ist allein an die Bedingung geknüpft, dass die Grösse

• (6.)

l-VF

i+VF

Berechnung der Grösse Ji.

Art. 41.

57

dem absoluten Betrage nach den Wertli 1 nicht überschreitet. Diese Bedingung aber ist den getroffenen Festsetzungen zufolge stets erfüllt und zwar stimmt der aus den Gleichungen (5.) und (6.) sich ergebende Werth der Grösse h, wenn die Werthe der Wurzelgrössen in der angegebenen Weise bestimmt

werden, mit dem Werthe h = eL‘^ überein.

Ist die Wahl der Indices /, u, v so getroffen, dass von den drei Grössen eA —    . e? — efl, efl—er die erste den grössten, die letzte den kleinsten absoluten

Betrag hat, so ist die Grösse l dem absoluten Betrage nach nicht grösser als

tg , also kleiner als - , während die Grösse h dem absoluten Betrage nach

nicht grösser ist als 6 K. Unter dieser Voraussetzung ist, wenn die drei ersten Glieder der nach Potenzen der Grösse l fortschreitenden lleihenent-wickelung für die Grösse h in Rechnung gezogen werden, der absolute Betrag des begangenen Fehlers kleiner als eine Einheit der dreizehntenDecimalstelle.

In den meisten Fällen der Anwendung wird es daher, wenn die Indices 2., u, v passend gewählt sind, ausreichend sein, die zwei oder drei ersten Glieder der angegebenen Reihenentwickelung allein zu berücksichtigen.

Die Reihenentwickelung (5.) kann indess für numerische Rechnungen in vielen Fällen auch dann noch mit grossem Nutzen angewendet werden, wenn die Grösse l dem absoluten Betrage nach nicht den in jedem einzelnen Falle erreichbaren kleinstmöglichen Werth hat.

Wenn nämlich der absolute Betrag der Grösse l nicht grösser ist als so ist der absolute Betrag der Summe aller auf die zwei ersten, beziehungsweise auf die drei ersten Glieder der Reihenentwickelung für die Grösse h noch folgenden Glieder bereits kleiner als

Z⁹? beziehungsweise

und hieraus folgt die Richtigkeit der vorhergehenden Behauptung.

Wenn der Werth der Grösse h gefunden ist, so ergibt sich der Werth

durch die Gleichung (8.) des Art. 35 und der Werth von u>„

V!ognat(x)-

Dem natürlichen Logarithmus ist sein Hauptwerth beizulegen.

der Grösse mittelst der Gleichung

(V.)

30

0)

b?¹³

50

Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2u> zu dem Periodenpaare (2ü>„, — 2u>i).

2«)v)

42.

Die Entwickelungen des vorhergehenden Art. ergeben sich ans den Gleichungen des Art. 35 unter der Voraussetzung, dass w = to' = cov gesetzt wird. Analoge Entwickelungen ergeben sich mittelst analoger Schlüsse, wenn u> = tov, w — —u); gesetzt wird.

Bei dem Uebergange von dem primitiven Periodenpaare (2u);, 2ü>„) zu dem primitiven Periodenpaare (2u>v, —2üj₂) bleiben nämlich die beiden Invarianten g₂, g₃ und die Grösse e^ ungeändert, während an die Stelle der Grössen

⁶ 7. ’ CV 1

beziehlich die Grössen

1c,    1c', K, K’, t

treten. Diejenigen Grössen, welche bei diesem Uebergange an die Stelle der Grössen k, l zu setzen sind, sollen mit H, T bezeichnet werden.

Wenn nun die Wurzelgrössen \Je~ev, \/e— ev, \jer-e , \/eT^ev in der Weise fixirt werden, wie im vorhergehenden Art. angegeben ist, so können die Wurzelgrössen, welche aus diesen durch die Vertauschung von ex und ev sich ergeben, durch die Gleichungen

=

(10

isJex—e^

\le~ex =    ^-Cv,

v'v

erklärt werden. Der Wurzelgrösse y’ZJ ist hierbei irgend einer ihrer beiden Werthe, aber jedesmal derselbe, beizulegen.

Es bestehen hiernach die Gleichungen

(20

welche zur Gleichung (8.) des Art. 3 5 ergibt sich

Berechnung der Grösse H angewendet werden können. Aus der

(8    — ¹+²^+2^⁴+2V⁹-j-..

(l+2/i'⁴+2A',6+--)=

1—t/M

Art. 42.

59

Vertauschung von e} und ev.

Hierbei ist der Wurzelgrösse ^derjenige ihrer beiden Werthe beizulegen, dessen reeller Bestandteil positiv ist.

Die Gleichung (3.) kann zur Berechnung der Grösse o>„ angewendet werden; zur Berechnung der Grösse ergibt sich dann die Gleichung

|Mognat(A).

(4.)

Dem natürlichen Logarithmus ist sein Hauptwerth beizulegen. Die beiden Grössen h und K sind durch die Gleichung

log nat h • log nat h' — tu²

(5.)

mit einander verbunden.

Aus den Gleichungen (l — 4.) und (13—16.) .des Art. 3 5 erhält man, wenn = riv gesetzt wird, die folgenden:

S'o),,

5«),

(6.)

\¥;

2cuv

(70

3*(o|

(8.)

h₈(o!

(9.)

- *r =

3„(o|

(10.)

2r₍,o>‘v =

(11.)

2riV tov —

2 eft(w² ——

7 h'3A+ • • •)

L) =    hh

T '    WV

1) = 2h'*(l+h'l-*+h'™+h'BA+ ...), 1) = 1 + 2h' + 2Zf⁴+ 2hr9-\~ • • •,

1) = 1- 2h' + 2/f⁴- 2h'³ + • • • ,

2eAco²——

>2.3

w1-t) ² S.(oJ-t)

= —2ey(o^—~ —

1 ^(o|-t)

²A₈(o|_4)'

²

Aus den Gleichungen (15—18.) des Art. 34 ergeben sich in Ueberein-stimmung mit den bezüglichen Formeln des Art. 37 folgende Gleichungen:

ui

<n v

2u>v

h'= e T

(12.)

(13.)

(14.)

(15.)

\ HG

= e2Y1’"’*² $.(, |

\/Wv^^u =    ^.(«1

S/W^-e^ = e2r"¹"'*² $,(.(

P) = iOl (u j w I) = 0o(m|ü) ■7) ⁼    («* i ,0i >

f) = @₉(m|«>

I' ?

1»/)

">i)

Uebergang von dem primitiven Periodenpaare (2u> zn dem Periodenpaare 2o>*, 2(o,,±2(o*).

/. *

2tor)

43.

Bei der Vertauschung der beiden Grössen 0 und gehen die Grössen / und A beziehlich in —/ und —A über, während die Grösse w — (0* den Gleichungen (7.) und (8.) des Art. 3 5 zufolge unverändert bleibt. An die Stelle des primitiven Periodenpaares (2(0*, 2«>.,,} tritt hierbei das primitive Periodenpaar (2io*, 2(o,,±2(o*) und zwar gilt das obere oder das untere Zeichen, jenachdem. die Grösse/,-'² eine complexe Grösse mit positiv oder negativ imaginärem Bestandtheile ist.

Formeln zur Berechnung der Perioden und Ausdrücke der (^-Functionen durch 3-Reihen für den Fall reeller Invarianten.

44.

Wenn die Grössen e*, 0 , ev bekannt sind, so sind die in den Artikeln 34, 35, 41 und 42 enthaltenen Formeln ausreichend sowohl um ein primitives Periodenpaar (2a>*, 2«ov) des Argumentes der Function pu und die Grössen ß'a>*

^ ~ w

solche 3-Reihen auszudrücken, bei denen die Grösse A, beziehungsweise die Grösse A', dem absoluten Betrage nach einen möglichst kleinen Werth hat.

Zur Erleichterung des Gebrauchs dieser Formeln sollen dieselben für diejenigen‘Fälle, in welchen die Invarianten g₂, gz reelle Werthe haben, mit den

rj,

6'u)„

6u),.

zu berechnen, als auch um die vier (d-Functionen durch

durch diese Specialisirung herbeigeführten Modifikationen in den Artikeln 4 5 und 46 nochmals zusammengestellt werden.

45.

Haben die beiden Invarianten g₂ und g₃ reelle Werthe und ist die Discri-minante G = {gl — 27g\) der kubischen Gleichung 4s³ — g₂s — — 0 positiv, so sind alle drei Wurzeln derselben reell.

Es bezeichne e₁ die im algebraischen Sinne grösste Wurzel dieser Gleichung, e₂ die mittlere, e₃ die kleinste Wurzel derselben. Den Wurzelgrössen Yk e₃, \je—ez, \]<\— cg, \/ea—ea lege Man setze

(i.) #= fcf» r² ₌ A-£s;

man

ihre positiven Werthe bei.

K'i

V^l e3

«>8=

S'iü

So)₃

(2-)

1.0

■>

4, h, \ haben positive Werthe.

%

Nach diesen Festsetzungen ergibt sich, wenn <2=1, ,n = 2, v u> = coj, di' = to₃ gesetzt wird, dem Inhalte der Artikel 34, 35 und 41 sprechend das System von Gleichungen

Die Grössen

ü>₃

ent-

(3.)

\/ei — e» + \ß*

(4.)    t/1”' -

=r(l+2A⁴ + 2Ä1C + • •)

(5.)

\/e₁ — e₃ + \/e₁—e,

k* 1“3HA²+5³AG-7³A¹²+ • f4sAa4- 5Ae— 7A¹²+ •    ?

2rhwi =    ₆

w₃ =

^lognat({),

r/i t0₃ —1oji⁷1₃ =

(6.)

e₈ = 2ä*(1+ h²+h⁶+hu-\----),

(70

e₃ = Ü+2A+ 2A⁴+ 2A®+ • • •

(8.)

— «2

= 1— 2Ä + 2A⁴— 2A⁹4----,

(9.)

= — h* (1— 3A®+ 5A⁶— 7A⁹+ • • •).

(10.)

(ii.)

(12.)

(13.)

f+ V+- «₈<v< = e2 v”'r

e2w+(„K>.

-e₂S₉M =

^₀(w[t) = 1— 2Acos2ütt + 2/+eos4wu—•2A⁹cos6vtt+ • • •,

^i(v|t) = 2/Fsin vir —2/Fsin 3t)Tr + 2/f^sin Svtz—••,

= 2Ä¥C0SVTr + 2Ä‘cos3fTr + 2Avcos 5^ + • • •,

^₃(v|t) = 1+ 2äcos2vti + 2A⁴cos4y7i +2Ä⁹cos6vtt + -• •

< V^Zli h

\j%-\-1 ’

Wird dagegen A = 3 , ju = 2, v = 1, w = o)₃, d>'= — o^ gesetzt, so ergibt sich entsprechend dem Inhalte des Art. 42 folgendes System von Gleichungen

_ \fe1    ^8 ' V^2 ^3

\fi—e» + foa—et

(14.)

(15.)

(16.)

(17.)

Wenn

also

e₉ == 0 ist, so ist l =

= tr⁷⁷.

(18.)    7, =

+ •••

(19.)

»/]£ V IC»

(1+ 2Äi + 2Jii + • •)

wi =

^lognat(i-),

(20.)

TI² 1_₃³^₊₅3ä6_₇3ä12+> .

6    1— 3Äi + 5Ai — 7A}²+- • ’

V°3

<Ms =

(21.)

— 2Äf (1 + hi +    + A}² + • • •)

(22.)

(23.)

-e, = 1 + 274 + 2/4 + 2/4+...,

— 1— 2Ai + 2/<i — 2/n + • • •,

Art. 46.

fepecielle Formeln für den Fall reeller Invarianten.

63

(25.)

(26.)

\/    \J Gr 6 u

\/ ²™f\ie*~eAu

(27.)

iw

c,5.k =

(28.)

y-T-v^i—«>s»“

(29.)    = 1 ~hi{e¹W+e-^«)+h\{ei^+eiw)-hiM',>*+e^) + ---,

(80.) i-^XvI-v) = hiie^-e-o^-hfie^-e-^+hTie^-e-^*)----,

(31.)    3,(^41 _i) = hf'e,;‘~+e-<:'-) + hf(e3v‘n+e-3v‘n)+ hf {e^+ebv‘%) + •••,

(32.)    3,(»,ij-4) = 1 + hi (e2j?l7r+ e~2vtK) -f h\[eiv'-K+ e~ivin) 4- hl (e6,’l7I+ e⁻⁶*’¹“) 4- • • ■

yä-1 7, > g-57

\ 2 | 1 * ‘

i 0 ist, so ist 1, =g

Die Grösse e_7r= 0,04321 .. ist kleiner als Wenny₃ positiv, also e₂ negativ ist, so empfiehlt sich der Gebrauch der Gleichungen (3 —17.), ist aber g₃ negativ, also e₂ positiv, so empfiehlt sich der Gebrauch der Gleichungen (18— 32.), weil in dem ersten Falle h kleiner ist als /fij während im zweiten Falle hx kleiner ist als h.

Wenn

<r

also

46.

Haben die beiden Invarianten g₂ und g₃ reelle Werthe und ist die Discri-minante G = ~ (g\—27g\) der kubischen Gleichung 4s³—g₂s—^3=0 negativ, so ist nur eine Wurzel derselben reell, während die beiden anderen Wurzeln conjugirte complexe Werthe haben.

Es bezeichne e₂ die reelle Wurzel dieser Gleichung; die beiden complexen Wurzeln derselben seien in der Weise mit ex und e₃ bezeichnet, dass die Differenz ex — e₃ positiv imaginär ist.

Es seien p und <|> zwei positive Grössen, für welche die Gleichungen

pe^¹*,    e₂—= pe”^*,    (0<4><ti)

bestehen. Allen in den folgenden Gleichungen vorkommenden Wurzelgrössen ist ihr Hauptwerth beizulegen.

Man setze

(!•)

ft2__ h__£i

ei“e3

7c'² =

e₃-e₁

e-’^K

«>! = —==r ,

\lKes~ei)

(0₃ =

e\rdK,

03₂ — (0₃+ (Ox

®i=    «>3—Wli

ö'to₂

6V

Öo>₂

'S

t02

(2-)

(ul

r =    :

a»₂

Ä₂ =

£ t'i»

ä₃= e

2x'.

^2 =

2oj₂ ’

ui

Die Grössen

«4

Äj, ä₈ haben positive Werthe.

Nach diesen Festsetzungen ergibt sich, wenn x = 2, u=l. *> = 3, ü> = u>₂, ä' = üj₃ = F °>2 + F ^ J = *7a, h = ih₂ gesetzt wird, dem Inhalte der Artikel 34, 35 und 41 entsprechend das System von Gleichungen

y+²(t)⁶⁺¹⁵(t)⁺¹⁵⁰(t)

(3.) 7₂ =

¹ fc»—₌

* V^«.—Cs + V/«i-«i

(40

\/e₂- es + yV- ex

(Dj =    ^ 0>₂ |n >

U)'

W3 - i W2 + i «4 )

= nrlosnat(|)

(5.)

2rj2 o>₂ =

tF l+3^|-5³^-7³A2²+--6    1+3Ä2-5/4— 7Ä2² + - •

ril ⁼⁼ 4 ri2 2^2 >

*/8 W2~ WJ2r/2 =

(6.)

(’•)

v/^WT^ + v^

ex ¹ — 1 + 2^2 4~ 2tf + • • •

(8.)

A'-

v/^

— es — \/e2—<0 — 2i(Ji2 + ä₂ + ä₂⁵ 4—0

03

4-

CO

Cw

tc H-* tö

’§ 2 ^ »    > C,

2” * Tn o o O .5

^

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WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

HERAUSGEGEBEN VON DER KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT

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L. inw.

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

AUSGABE AUF DRUCKPAPIER.

Band:

I. UISQUISITIONES ABITHMETICAE. Zweiter Abdruck 1870. Preis 12 Mark.

IT. HÖHERE ARITHMETIK. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

Die Besitzer des ersten Abdruckes von Band II. können die beim zweiten Abdrucke

hinzugekommenen Zusätze als „Nachtrag zum ersten Abdrucke des zweiten Bandes.“ zum Preise von 1 Mark beziehen.

III. ANALYSIS. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

IY. WAHRSCHEINLICHKEITS - RECHNUNG UND GEOMETRIE. Zweiter Abdruck. 1380. Preis 15 Mark.

Y. MATHEMATISCHE PHYSIK. Zweiter Abdruck. 1877. Preis 15 Mark.

YI. ASTRONOMISCHE ABHANDLUNGEN. 1874. Preis 20 Mark.

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Die Entnahme von einzelnen Bänden bezw. des vollständigen Werkes erfolgt gegen Baarzahlung von der K. Universitäts-Casse in Göttingen, welche nach wie den Vertrieb besorgt.

Versendungen nach auswärts erfolgen ohne Nebenkosten

ausser Porto, wenn die Preiszahlung durch Postnachnahme gewünscht wird und zulässig ist; sonst sind wegen der für Werthsendungen erforderlichen festeren Verpackung pro Band 60 Pfennig Emballagekosten mehr zu zahlen.

G ö Hingen im Mai 1881.

GAÜSS-D EN K MÜNZE.

Die K. Gesellschaft hat zur Feier der hundertsten Wiederkehr des Geburtstages von (. F. Gauss durch Herrn Münzmedailleur EI. F. Brehmer in Hannover eine Denkmünze von 70 Millimeter Durchmesser in bronzirtem Kupfer hersteilen lassen. Sie enthält den Kopf von Gauss und die auf ihn sowie auf die Feier sich beziehende Inschrift. Um dieses Kunstwerk allgemeiner zugänglich zu machen, hat die Gesellschaft verfügt, dass es zu dem Preise von fünf Mark von der K. IJniversitäts-Casse zu Göttingen bezogen werden kann, von Auswärtigen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn Postnachnahme des Preises erfolgen kann.

owskiej

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