ItlMM

liiiiü

mssśmmm

■Bills

II

Siüill

l»i|

11

ÄH

I«

Hé¹

' " MÈÊÊ

Y: ;

x-::

II

9b

v;

:'v

—a

■ iiiii

iliii

■■

WWW

.... • ^ ....

r:Æ

Hi

X

yjyLßm«z

'77 '

,1

zum Gebrauche

'.•■5

er elliptischen Functionen.

WM':,

Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor

K. Weierstrass

bearbeitet und herausgegeben

von

H. A. Schwarz.

Erste Lieferung, enthaltend Bogen 1 und 2.

Gröttingen.

+v«

Dieteriehsche Univeraitäts-Buchdruckerei (W. Pr. Kaestner).

1881.

*N

*

LET P

o

*3

r

^ '■

l(

V

; <

K. R

H

AS1

g/

. ' JS^V 5„

,.*•

Biblioteka Politechniki Kiakowskie|

. ■■;;•■ —..........ç?2y<-j

, X

Allgemeine Lehrsätze betreffend diejenigen analytischen Functionen, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen.

l.

Wenn eine analytische Function <p(«) des Argumentes u die Eigenschaft besitzt, dass zwischen den zu je drei Werthen des Argumentes

u,

v,

u -f v

gehörenden Functionswerthen

?0),    <p0)>    <pO + v)

eine algebraische Gleichung besteht, deren Coefficienten von u und v unabhängig sind, so sagt man, dass für diese Function ein algebraisches Additionstheorem besteht, oder dass diese Function ein algebraisches Additionstheorem besitzt.

Jede analytische Function <p(w), welche ein algebraisches Additionstheorem besitzt, hat die Eigenschaft, dass zwischen der Function und ihrer in Bezug auf u genommenen ersten Ableitung cp'(w) eine algebraische Gleichung besteht, deren Coefficienten von dem Argumente u unabhängig sind.

Der Bereich des Argumentes einer solchen Function kann in jedem Falle auf alle endlichen Werthe ausgedehnt werden, ohne dass die Function aufhört, den Charakter einer algebraischen Function zu besitzen; denn jede analytische Function <p(w), welche ein algebraisches Additionstheorem besitzt, ist Wurzel einer algebraischen Gleichung, deren Coefficienten eindeutige Functionen des Argumentes a sind und für alle endlichen Werthe desselben den Charakter rationaler Functionen besitzen. Es kann also das Argument dieser Functionen nur eine im Unendlichen liegende Grenzstelle haben.

Zum Gebrauche der elliptischen Functionen.

f*

Eine analytische Function cp(w), für welche ein algebraisches Additions-theorem besteht, ist

entweder L, eine algebraische Function von u, oder

II., wenn mit oo eine passend gewählte Constante bezeichnet wird,

um

eine algebraische Function der Exponentialfunction e~™ ,

oder

wer-

III., eine algebraische Function einer Function pu = s, welche, wenn mit g₂ und g₃ zwei passend gewählte Constanten bezeichnet den, durch die Differentialgleichung

fds V

\duJ

= 4sS—9₂s—

und die Bedingung £?(0) = oo bestimmt werden kann.

Die beiden ersten Fälle sind als specielle Fälle im dritten enthalten: der erste, wenn g₂ und g₃ einzeln den Werth Null haben, der zweite, wenn g\ — 21gl gleich Null ist.

2.

Unter den analytischen Functionen eines Argumentes u, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen, sind diejenigen ausgezeichnet, welche für alle endlichen Werthe des Argumentes den Charakter ganzer oder gebrochener rationaler Functionen haben, welche daher eindeutige Functionen ihres unbeschränkt veränderlichen Argumentes sind.

Alle eindeutigen analytischen Functionen cp(w), welche ein algebraisches Additionstheorem besitzen, haben die Eigenschaft, dass cp(w-}-t’) rational aus-drückbar ist durch die Werthe cp(w), y(v) und die Werthe der ersten Ableitungen <p'(w), cp».

Wenn eine analytische Function cp(«) die Eigenschaft besitzt, dass cp (w -j— v) rational ausdrückbar ist durch cp(u), cp(v), cp'(u),    so ist diese Function eine

eindeutige Function ihres unbeschränkt veränderlichen Argumentes, welche für alle endlichen Werthe desselben den Charakter einer ganzen oder gebrochenen rationalen Function hat.

Es gilt auch der Satz: Wenn eine eindeutige analytische Function <p(w) die Eigenschaft hat, dass zwischen der Function und ihrer ersten Ableitung cp'(w) eine algebraische Gleichung besteht, deren Coefficienten von dem Argumente nicht abhängen, so besitzt diese Function ein algebraisches Additionstheorem.

Eine eindeutige analytische Function cp(u), welche ein algebraisches Additionstheorem besitzt, ist

entweder I., eine rationale Function von u, oder

uni

II., eine rationale Function einer Exponentialfunction e w ,

oder

III., eine rationale Function einer Function pu und ihrer ersten Ableitung pu.

Die beiden ersten Fälle sind wiederum als specielle Fälle im dritten enthalten.

3.

Jede transcendente eindeutige analytische Function, welche ein algebraisches Additionstheorem besitzt, ist nothwendig eine periodische, und zwar entweder eine einfach periodische oder eine doppelt periodische Function.

1.    Wenn alle Perioden des Argumentes der Function als positive oder negative ganzzahlige Vielfache einer und derselben Periode 2m dargestellt werden können, so heisst die Function einfach periodisch. Die Grösse 2m heisst primitive Periode.

2.    Wenn eine periodische eindeutige analytische Function nicht im erklärten Sinne einfach periodisch ist und wenn dieselbe sich nicht auf eine Constante reducirt, so ist es auf unendlich mannigfaltige Weise möglich, zwei Perioden 2m und 2m' des Argumentes der Function derart auszuwählen, dass alle übrigen Perioden durch Addition und Subtraction aus diesen beiden zusammengesetzt werden können. In diesem Falle wird die Function doppelt periodisch genannt und jedes System von zwei Perioden 2m, 2m', welche die angegebene Eigenschaft haben, heisst ein primitives Periodenpaar.

Der imaginäre Bestandtheil des aus den zwei Perioden 2m' und 2m eines primitiven Periodenpaares (2u>, 2m) gebildeten Quotienten — = t ist stets von

Null verschieden und zwar kann vorausgesetzt werden, ohne dass die Allgemeinheit der Untersuchung hierdurch wesentlich beschränkt wird, dass der reelle

Bestandtheil des Quotienten —r,

an

werden soll, einen positiven Werth hat.

Zwei Periodenpaare (2m, 2m') und (2m, 2m) sollen aequivalent genannt

welcher in der Folge mit ^ bezeichnet

werden, wenn die Gesammtheit aller derjenigen Grössen, welche durch Addition und Subtraction ganzzahlig aus den Perioden des einen Paares gebildet sind, übereinstimmt mit der Gesammtheit aller auf analoge Weise aus den Perioden des anderen Paares gebildeten Grössen.

Damit zwei Periodenpaare (2o>, 2a>') und (2(55, 2(55') aequivalent seien, ist nothwendig und hinreichend, dass zwischen den Perioden beider Paare Gleichungen von der Form

2(5 = 2p(ü -j- 2qta',

2£' = 2p'«> -f 2gV

bestehen, in welchen p, q, p, q ganze positive oder negative der Bedingung

pq' — qp' = ±1

genügende Zahlen, einschliesslich der Null, bedeuten.

Die beiden Grössen

und

«(£)

haben dasselbe Vorzeichen.

Durch geeignete Bestimmung der Zahlen p, q, p, q kann stets erreicht werden, dass

“(Ir) ä W« •

4.

Der allgemeinste Fall der eindeutigen analytischen Functionen, für welche ein algebraisches Additionstheorem besteht, wird gebildet von den eindeutigen doppelt periodischen Functionen, welche für alle endlichen Werthe des Argumentes den Charakter rationaler Functionen besitzen, deren Argument also nur eine im Unendlichen liegende wesentlich singuläre Stelle hat. Diese Functionen werden im weiteren Sinne elliptische Functionen genannt.

Wenn in dem Folgenden von einer elliptischen Function die Bede ist, so ist stillschweigend immer eine eindeutige elliptische Function gemeint.

Es sei (2(o, 2(o ) ein primitives Periodenpaar, so sind alle Perioden in der Formel w = 2|juo -f- 2jjtV enthalten, in welcher jeder der beiden Zahlen g und g alle ganzzahligen positiven und negativen Werthe, Null eingeschlossen, beizulegen sind.

Zwei Werthe des Argumentes heissen congruent oder incongruent, jenachdem die Differenz derselben eine Periode ist oder nicht.

Ein Periodenparallelogramm des Argumentes u einer elliptischen Function, für welches (2o>, 2a>') ein primitives Periodenpaar ist, wird analytisch definirt durch die Gesammtheit aller Werthe, welche in der Formel

w = m₀ + 2*d + 2*V

enthalten sind, falls jeder der beiden veränderlichen Grössen t, t' alle reellen Werthe zwischen 0 und 1 (0 eingeschlossen, 1 ausgeschlossen) beigelegt werden.

Unter dem Grade einer elliptischen Function versteht man die Zahl, welche angibt, wie oft diese Function innerhalb eines Periodenparallelogramms unendlich gross wird; hierbei ist jede Stelle, an welcher die Function unendlich gross wird, so oft zu zählen, als die Ordnungszahl des Unendlichgross Werdens an dieser Stelle anzeigt.

Es gibt keine elliptische Function ersten Grades.

Die Function du.

5.

Die einfachste analytische Function, welche für alle endlichen Werthe des Argumentes u den Charakter einer ganzen Function besitzt und die Eigenschaft hat, für u = 0 sowie für alle diesem Werthe congruenten Werthe w — 2pia> —j— 2jjlV von der ersten Ordnung unendlich klein zu werden, wird gegeben durch die Formel

(1-)

(du =

ulV (i-—)e

»V wJ

[x, jx' — 0, ± 1, ± 2, ± 3,... ± oo w ⁼⁼⁼ 2jjuo —J— 2 ix u> ausgenommen w = 0

in welcher der Grösse w alle in dem Ausdrucke 2|xw -f- 2 pW enthaltenen Werthe, mit Ausnahme*) des Werthes w = 0 , beizulegen sind. Hierbei wird vorausge-

u>r

setzt, dass der reelle Bestandtheil der Grösse —r einen von Null verschiedenen

m

und zwar positiven Werth hat.

d(u) ist.

Aus der obigen Definition ergibt sich, dass d (— u) —

*) An diese Ausnahme wird in den bezüglichen Formeln durch einen dem Product- oder Summenzeichen folgenden Accent (') erinnert.

Es bestehen ferner die Gleichungen

(2-)

6(0) = 0, Gf'(O) = 1, 6"(0) = 0, <5"'(0) = 0.

Die Function (du ist durch eine nach Potenzen der Grösse u mit ganzzahligen positiven Exponenten fortschreitende Reihe darstellbar, welche für alle endlichen Werthe von u convergent ist.

Die Coefficienten der einzelnen Glieder dieser Reihe sind ganze Functionen zweier Grössen g₂ und g%, welche durch die Gleichungen

(3.)

= 2²-5-7-T' ~

w*>

bestimmt sind. Auch in diesen Gleichungen sind der Grösse w alle in dem Ausdrucke 2[A(ü -j- 2{juo enthaltenen Werthe, mit Ausnahme des Werthes w = 0, beizulegen.

Die Grössen g2f g% heissen die zu der betrachteten (d-Function

(4.)

(Su = <S»(w|a>,a/) = 6(u-,g₂,gs)

gehörenden Invarianten.

Wird mit m irgend eine von Null verschiedene reelle oder complexe Grösse bezeichnet, so besteht die Gleichung

(5.)

= S(«;ya,sr₃) =

%)■

Für alle endlichen Werthe des Argumentes u und der Invarianten g% und gs besitzt die Function C>(w; g₂,g%) als Function der drei unbeschränkt veränderlichen Grössen u, g%, g% betrachtet den Charakter einer ganzen Function.

Es ergibt sich

(6.) (du '=i u —J— #

2⁴.3.5

9^

9₂9^

2³. 3.5.7

2⁹.3².5.7

2⁷.3².5².7.11

(7.)

Die Function G>(m; g₂, g₃) genügt der partiellen Differentialgleichung

j29₂u*G>    '

d²(S

du²

ö(d . 2 d(S

d9₂

aus welcher sich, wenn

(8.)

m,n

(m,n = 0,1,2,3 • • • oo)

gesetzt wird, zur Berechnung der ganzzahligen Coefficienten a formel

nt,n

die Recursions-

(9.) a

m,n

16 1

= 3(m+ 1) «tn+l.n-l H g"(ll + 1) am—2, n+l--^(2ttt + 3tt — l)(4nt+ 6 tt — l)«m—l,n

ergibt. Dem Coefficienten a₀₎₀ ist der Werth 1, dagegen denjenigen Coefficienten, für welche einer der beiden Indices einen negativen Werth erhält, der Werth 0 beizulegen.

Die Werthe der Coefficienten am>n, für welche die Summe 4m+ 6n+-1 die Zahl 35 nicht überschreitet, sind in folgender Tabelle enthalten.

M4m+6n+l| m | xi

^m.tt

w4m+6n+I m | fl . I

ara,n

g I g g g g §

»-• CO -a U» H*

tH

05

(O

CO

WKi 050    t4>    03 O + tO O H O

H» OM KCO MO t-j- o fcO t-* O H- o O

te

O»

— 18

te

— 54 + 69

+ 513

+ 321 + 4968 +14904 + 33588 ++5 7580 + 160839 + 502200 + 2808945

vJî

CM

os

CO

CO

CO

O CO CO (N ÎO H TiU> O CO CO N îo 00

rH ^ C>

HCOOT OMiłi. HCO

iO CO H

+ 1506600 + 20019960 + 1416951

+162100440 — 41843142 + 796330440“

—    376375410

—    388946691 + 2388991320

—    9465715080

—    6519779667

—    144916218720

—    210469286736 + 25514578881

—    1289959784640

—    4582619446320 — 485174610648

Darstellung der Function <ou durch einfach unendliche Producte.

6.

Für unendlich grosse Werthe von    ergibt sich

(du =

(1-)

h{^~)    2«> . u TZ

e V2w/--sm —,

7t    2(1>

denn es besteht, wenn bei der Bildung der unendlichen Producte der Zahl n alle ganzzahligen positiven Werthe beigelegt werden, die Gleichung

Die Function (du.

Art. 6.

Mittelst der Function sinus kann die Function (du auf verschiedene Weise als ein einfach unendliches Product dargestellt werden.

Es ergibt sich nämlich

2tü

(3.) 0M = —

. wie

sin ——

2o>

8f*

n.

sin(2woj“u)•sin( w+ w)

/ UTZ V ' Yft»/

und, wenn mit 7] die Grösse

(4-)

TC²

r> = ^

T-i ko

+2

n

8in!(^K)

bezeichnet wird,

(5.)

TJU*

6» = e^.-^sin “ü

TC

2(0

n„(

Zur Abkürzung soll

Mit»

(6.)

2(0

e 2tu

VKl

= e = z\

u>'

(O

-TC i

TTC %

= 6

gesetzt werden. Der reelle Bestandtheil der Grösse tizi ist in Folge der bezüglich des Vorzeichens der Grösse    getroffenen Festsetzung negativ; der

absolute Betrag der Grösse h ist also kleiner als 1.

Unter Benutzung dieser Bezeichnungen ergeben sich die Gleichungen

(7.)

(du =

(8.)

(9.)

> 2to^ gin ^ „ sin (m —v)t:    V7Cj „ sin(wT-f^)^ qVtzi

7C    SinWTTT y    SinWTTT

2r,(ov² 2 vi z— z ¹ r 1—h2n z~²

« "V---2Ï~n»~

2r,(uv² 2(o    Tr 1

= 6    ---sinwc II —

'TC    U

— h2n

n„’i

— h2nz²

— h2n

— 2h2ncos 2viz

(1 — h2nf

T—I

05 | t—¹

Wn

(i —h2ny.

Vermehrung des Argumentes der Function (du um eine Periode.

7.

Zwischen (d{u) und (o(w-}-2(o) besteht die Gleichung

(10

(d(u-f-2co) = —g²⁷l(M"h °0 (5(m)? aus welcher sich -q = y

ergibt. Bei der Vertauschung des Periodenpaares (2u>, 2u>') mit dem Periodenpaar (2ü>', —2(o) bleibt die Function (du ungeändert und es ergibt sich in Folge dessen analog den obigen Gleichungen

(2.)

^27) '(« +o/)

(d(u)

⁷¹    (5 (<!>') *

Für die Aenderung des Argumentes um eine beliebige Periode gilt die

Gleichung

(3.)

tf(«+2p.+2j»') = ₍_x)P*+«’+*e²(«+n')("+f+«•’>«(.),

oder, wenn pio -f- qio = &, prj -f- qyl ⁼ Q gesetzt wird,

2^(m + «)

Ö(m),

(d{u-\- 2ä) = zp 6

wo das obere oder das untere Vorzeichen gilt, jenachdem die Grösse (!> (<5) einen von Null verschiedenen Werth hat oder gleich Null ist.

Zwischen den vier Grössen to, to', tj, r[ besteht die Relation

(40

(5.)

7]«/— (Q-q —

, wenn

einen positiven W erth hat ;

dagegen ist

Tri

W— «)7i' =--, wenn, entgegen der getroffenen Voraussetzung,

u

einen negativen Werth hat.

Die Function

(d'u

(du

8.

Für die Function -^Aogß(«) = gelten die Gleichungen

+ 2V,

(10

(d\u-\- 2oj) 6'(m)

(5(w-|-2o>)    Ö(w)

F2tj

(5>/(te + 2fi>)    6'(^)

Ö(w-J-2ä)    (d(w)

(p'(u+ 2(of) _ 6>'(m)

(5 (m -f- 2«/)    5 (m)

-Si

Wenn o> -f- ü>' = «>", 7] -j- x\ — tj" gesetzt wird, so ergibt sich

(2.)

<D( u>")

= V'.

Für die Umgebung des Werthes u = 0 gilt die Reihenentwickelung

(3.)

&(u) _ (3 (u)

2².3.5

ws —

2².5.7

9l

2⁴.3.5².7

w⁷

2⁴.3.5.7.11

M⁹----,

während die Ausdrücke

(*•)

<3'(u)

(5.)

== 2ü.u) “b 2 jj. u)

0)

—-b£' f—--

⁼ »M+£: icotg !ür+(cotg £: (u~²(cotg (“+²«“')+i) J

(3 (u)

/ tt?

\ ausgenommen w =

(n = 1, 2, 3 ... 00)

für alle endlichen Werthe des Argumentes Geltung haben.

Die Function pu.

9.

Mit der Function (3u ist die Function pu = £?(w|u>, co) = p(u; g^g*) durch die Gleichung

d²

(i-)

verbunden. Es bestehen daher die Gleichungen

(2.)

(w—wf

b)

W = 2{XCO -j-

ausgenommen W —

0)

(3.) = -

i+r^-Y _i_+v » V²<”yU²te) ^

(4.)

« sin²-^-(w — 2wo>') P(— *0 — P(«),

n sin² (u -f- 2mo')

(5.)

(6.)

vs).

w .

—    , m

m¹

Für die Umgebung des Werthes u — 0 gilt die Reihenentwickelung

w2 + 2U7m4 +

pOK«»') = Ç(u-,g₂,g₃) =

92

2².5

2⁴.3.5²

w⁶-f

³9.₂^₃

2⁴.5.7 .11

M⁸ H----

■»

und zwar besteht, wenn

(7.)

P» = -wT+'* + C2M2 + C3W4+-'-+C^2i~²H----

gesetzt wird und X grösser als 3 ist, die Recursionsformel

2^/ CvCX-v>

(8.)

(21+1J(1 — 3)

Die Function (pu ist eine doppelt periodische Function, für deren Argument (2u>, 2ü>') ein primitives Periodenpaar ist; dieselbe wird innerhalb jedes Periodenparallelogramms nur an der Stelle, welche dem Nullwerthe des Argumentes congruent ist, unendlich gross und zwar ist die Ordnungszahl des Unendlichgrosswerdens gleich 2.

Die Function pu ist also eine elliptische Function zweiten Grades. In der für die Umgebung des Werthes u — 0 geltenden nach Potenzen des Argumentes fortschreitenden Reihenentwickelung der Function

1    ,    ,    #2    ₂ |    #3

l? + #+2ÖM +28

ist ~ das einzige Glied mit negativem Exponenten, während das constante Glied

Xi !

(9.)

pu =

u⁴ -J----

dieser Entwickelung den Werth Null hat.

Durch die angegebenen Eigenschaften ist die Function pu unzweideutig bestimmt. Unter allen doppelt periodischen Functionen überhaupt ist daher die Function pu die möglichst einfache.

Die erste Ableitung pu der Function pu ist eine elliptische Function dritten Grades, welche nur für die dem Nullwerthe congruenten Werthe des Argumentes unendlich gross wird.

Es ergibt sich

(10.)

(11.)

p'u =

p\—u) = —p'(u),

^ 1

—2 y -

(U — w)

(w — 2[uo -f- 2p/o/).

(12.)

(18.)

Aus der letzten Gleichung wird für u = u>, u>', tu" gefolgert

’pXo>) == o, p'(°0 = °>    — °-

Für die Umgebung des Werthes u = 0 gilt die Reihenentwickelung

2.5.7.11    ‘

,    2    i 92    , 9z ₃ ,

*>“ = -^ + #+2Tw + Tm4

Gleichung

(14.)

Zwischen der Function pu und ihrer ersten Ableitung <@u besteht die

(p'u)² ~ 4p³u—g₂pu—g₃₎

aus welcher sich

p"u = 6p² u — %g₂₎ p’"u = 12 pu-p'u

ergibt. Alle Ableitungen der Function pu, deren Ordnungszahl grade ist, sind ganze Functionen von <@u.

Die drei Grössen

(15.)

pta = elf pw"= e₂, p(io'= e₃

sind von einander verschieden, wenn beide Perioden 2co, 2to' des primitiven Periodenpaares endliche Werthe haben, und es ergibt sich

(p'u)² = 4(pu — pw)(pu— pm")(pu—pm) = 4 (pu —e₁)(pu — e₂)(pu—e₃).

Es bestehen daher die Gleichungen

e\ 4" e2 H- e3 = ⁰ »

e2e3+e3ei + eie2 = —10?+⁶1+<%) = —Î9₂) eie2ß3 ~ \9z'

Die Grösse (e₂ — e₃f [e₃ — e^f [el — e₂f = TV {g\ — 27^) möge mit G bezeichnet werden.

(16.)

(17.)

(18.)

10.

, / Für den besonderen Fall, in welchem der reelle Bestandtheil der Grösse —

U)l

unendlich gross wird, während 2(o einen endlichen von Null verschiedenen Werth hat, werden die beiden Grössen e₂ und e₃ einander gleich. Unter dieser Voraussetzung ergeben sich folgende Gleichungen:

(1-)

pu —

(—1

V2o)/

siü2(-£)

3 \ 2o)/

³^3

(2.)

\2<oJ

⁹^3

⁶1    «    1 e2 e3

s9₃

2^2 ’

(3.)

(5'w    TT

(5 w    2oo C0^ 2(«

?<Tt

ł(£)’*

TC²

(du =

9% '27^3 = 0,

e (sr) 2tu

--sin

wt:

TC

2 co

Wenn endlich sowohl 2o), als auch 2io unendlich grosse Werthe annimmt, während lim 31von Null verschieden ist, so werden alle drei Grössen

— > 6u = u-,    — e₂ — e₃ — 0, g₂ = 0, g₃ = 0.

e₁₉ <?₂, e₃ einander gleich und es ergibt sich (4.) pu = ~,

Additionstheorem der Function

(d'u

(du

11.

Zwischen der Function pu und der Function (du besteht die Gleichung

(1.)

pu — pv —

6 (uĄ-v)(d(u—v)

6²u (d²v

Aus derselben ergibt sich durch logarithmische Differentiation

(2.)

&(u + v)

<d'(u — v)

(d (u -j- v)

(d (u — v)

2®£ _

p'u

(3.)

(d'{u-\-v)

(j'(u — v)

(d (u -f- v)

G» (u — v)

pu — pv ’

— p'v m (dv pu — pv

(d'v

2-w-

(4.)

(5.)

Folglich besteht das Additionstheorem

(p'(u v)___

(3(u -|- v)    (du

&(u—V)

(d[u—v)    (du

(D'u

<D'u

(d'v 1 p'u — p'v (dv ' 2 pu — pv

(d’v , 1 p'u-j-p'v (dv ' 2 pu — pv

Additionstheorem der Function pu.

11-348785

Additionstheorem der Function pu.

12.

Durch Differentiation ergibt sich aus dem Additionstheorem der Function -g— das Additionstheorem der Function pu

¹    d fp'u + p'v\

2    du \pu — pv J

(10

p (u ± v) — pu — —

= pv — -

f pu -p p'v\ 2 dv \pu — pv y

(2.)

{§p²u —    (pv — pu) -F 4 p³u — g₂pu —g₃ + p'u p'v

2 (pu—pv)²

(3.)

= Pv -F

(6p²v-%g₂)(pu — pv)-\-4p³v -g₂pv—g₃ + p'up'v

2 (pu—pv)²

(4-)

p(u±v) =

2 (jpu pv—\ g₂) (pu + pv) — g₃ + pu p'v

2 (pu — pvf

(5.)

₌ ¹ + 4 L £)M—

£>'yl²

Aus diesen Formeln erhält man die folgenden

(6.)

2 ($>m py — | g) (pu + pv) — ga ± p'u p' v

p (m ± y)

(7.)    p(« + fl) + p(w —*0 =

2(pwpy -^.₂)(pu + pv)—g ₃

(pu—pvf

(8.)

ö²

= 2$>m — -^\o%(pu — pv) = 2pv

dv²

log($w — fw),

(9-)

p(u-\-v) — p(u—v) =

p'« £>'y

ö²

(pu — pvf

dudv

lo s(pu — pv)₁

(pu pv + i g₂f + g₃ (pu 4- pv)

(10.)    p(u-\- v) • p(u—v) =

(11.) p\u±v) = (

(12.)    4(p(u) + p(v)-\-p(u + v)) =    = (

£>(M + y) — p(y) ’

(^y)²

1____PJf _

— ^w)s 2 (py —jp4)

(g>'^)² _ 4 p"u

(pu—pvf 2 ($>m—py): p(M + y) — p(y)

-)*>

) P'v,

(13.)

p’u — p'v

pu — pv

p'u

(14.)

pv

p'v

= 0.

1 p(u-fv) — p\m + y)

(15.)

|?(2w) =

+ i S'a)²+2^3^“

4p³u — g₂pu — g₃

= Pu--7

1 _Æ*_ 4 du²

logp'w.

Durch Integration ergibt sich aus der letzten der vorstehenden Formeln

(16.)

(5'(2m) <o'u 1 £>'m    (5(2 m)

(5 (2m)    (5 m 2    #/m ’    (5⁴m

(5 (2m) = (5⁴m

= —P'u,

d³log (5m

du³

= 2 (5 m ((5m)³ — 3(5²m6'm(5"m+ (5³m(5"'m.

Darstellung einer elliptischen Function beliebigen Grades durch die Functionen ö(u|o>, w) und g?(w|u>, o>').

13.

Wenn <p(w) eine elliptische Function rten Grades, (2go, 2to') ein Periodenpaar des Argumentes derselben und (d (u) die zu diesem Periodenpaare gehörende Function (d (m|«), «/) bezeichnet, so ist es stets möglich, 2r —{— 1 Grössen

f/j , u₂, ... wr}

vvv₂,...vr- C

derart zu bestimmen, dass die Gleichung besteht

?0) =

(i)

d)(u — (d(u — u₂) . ..(3(u —ur)

<J (u—t>j)(S>(tt — v₂)...(d(u— v )

Zwischen den Grössen ux, u₂, ... ur;. vlf v₂, ... vr findet hierbei die Beziehung statt

(2.)

Ul + "b ’ ’ ‘ + Ur — Vl "f* V2 ’ ’ ‘ "ł" Vr *

Dieser Satz lässt sich folgendermassen umkehren.

Wenn die Grössen w1? u₂, ... w,.; vx, v₂, ... vr die Gleichung (2.) befriedigen und wenn keine der Differenzen

U- —v

/.    \JL

VA

fi, X, fi = 1, 2,3 • • • r)

der Null congruent ist, so ist die durch die Gleichung (1.) bestimmte Function <p(w) eine Grades.

zu

dem Periodenpaare (2to, 2(«) gehörende elliptische Function r

ten

Wenn von den r Grössen ux, u₂, . .. wr, beziehungsweise i\,v₂, ... vr, keine zwei einander congruent sind, so sind alle Wurzeln der Gleichung cp(w) = 0, beziehungsweise cp(w) = oo, einfache Wurzeln. Sind hingegen einige der Grössen Mj, u2f .. . ur, oder einige der Grössen vx, v₂, ... vr einander congruent, so sind die entsprechenden Wurzeln der Gleichung y(u) = 0, beziehungsweise cp(w) = oo. mehrfache Wurzeln.

Wenn

W₀ }    } U2 } * • • Un

von einander unabhängige und unbeschränkt veränderliche Grössen bezeichnen, so ist die Function

¹    PK)    P'(u0>    •••    P(n~1}(uo)

1    p(uj    p'(u.)    ...    p(n~V(uj

(1-)

¹    p(u₂)    p'K)    •••    P{n~l)K)

¹ pK) p'K) ••• *>(M_1)W

in Bezug auf jedes ihrer Argumente eine elliptische Function (w-f- l)ian Grades. Als Function von u₀ betrachtet wird dieselbe nur an der Stelle uQ = 0 und den congruenten Stellen unendlich gross, dagegen für

U0 = U1 » U2 1 ’ ' ’ Un’ (U1 4“ U2 4* * ' * + Un)

und die congruenten Stellen unendlich klein.

Es möge vorausgesetzt werden, dass von den Grössen

U1 1U2>-"Un’ Ui + U2^-----\~Un

keine der Null congruent ist, ferner dass von den Grössen

w,, wa, ... un

keine zwei einander congruent sind. Es ergibt sich zunächst

(2.) cp(u₀,uvu₂,---un)=Cn-

14.

6(««0 + U1 + U2 H-----f- *0 GK — Ö(M0 — W₂) • * • ÖK — Un)

<5n+l (u₀)    ’

wo der Factor Cn nur von den Grössen Wj, w₂, ... un abhängt. Zur Bestimmung dieses Factors dient die Gleichung

-Gn = (—1)%!

?(uv u2> • • • MJ

6{mi + u₂-I----+ UJ 6 (ui) 6(w₂) * • • 6 OJ

Wenn nun vorausgesetzt wird, dass keine der Summen

U2~^~UZ~\-----UZ + U±~\----bMM>    Un-1 + Wn

11-348785

G. F. GAUSS WER

HERAUSGEGEBEN VON DER KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTIN'

AUSGABE AUF DRUCKPAPIER.

Band :

I. DIS QUI SITTONES ARITHMETICAE. Zweiter Abdruck 1870. Preis 12 Mark.

II. HÖHERE ARITHMETIK. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

Die Besitzer des ersten Abdruckes von Band II. können die beim zweiten Abdrucke hinzugekommenen Zusätze als „Nachtrag zum ersten Abdrucke des zweiten Bandes“ zum Preise von 1 Mark beziehen.

III.    ANALYSIS. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

IV.    WAHRSCHEINLICHKEITS - RECHNUNG UND GEOMETRIE. Zweiter Abdruck. 1880. Preis 15 Mark.

V.    MATHEMATISCHE PHYSIK. Zweiter Abdruck. 1877. Preis 15 Mark.

VI. ASTRONOMISCHE ABHANDLUNGEN. 1874. Preis 20 Mark.

Die Entnahme von einzelnen Bänden bezw. des vollständigen Werkes erfolgt gegen Baarzahlung von der K. Universitäts-Casse in Göttingen, welche nach wie vor den Vertrieb besorgt.

Versendungen nach auswärts erfolgen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn die Preiszahlung durch Postnachnahme gewünscht wird und zulässig ist; sonst sind wegen der für Werthsendungen erforderlichen festeren Verpackung pro Band 60 Pfennig Emballagekosten mehr zu zahlen.

Göttin gen im Mai 1881.

GAUSS - DENKMÜNZE.

Die K. Gesellschaft hat zur Feier der hundertsten Wiederkehr des Geburtstages von C. F. Gauss durch Herrn Münzmedailleur H. F. Brehmer in Hannover eine Denkmünze von 70 Millimeter Durchmesser in bronzirtem Kupfer herstellen lassen. Sie enthält den Kopf von Gauss und die auf ihn sowie auf die Feier sich beziehende Inschrift. Um dieses Kunstwerk allgemeiner zugänglich zu machen, hat die Gesellschaft verfügt, dass es zu dem Preise von fünf Mark von der K. Universitäts-Casse zu Göttingen bezogen werden kann, von Auswärtigen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn Postnachnahme des Preises erfolgen kann,

J#

I

■: V

&

ffy

g

»

si

il

M

i

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000305795

11-348785