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Formeln und Lehrsätze

zum Glebrauche

der elliptischen Functionen.

Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn Professor

K. Weierstrass

bearbeitet und herausgegeben

von

H. A. Schwarz.

Zweite Lieferung, enthaltend Logen 3 und L

Göttingen.

Dieterichsche Universitäts- Bucbdrackerei (W. Fr. Kaéstner).

1881.

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Biblioteka Politechniki Klak

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Art. 14.

Elliptische Functionen beliebigen Grades.

der Null congruent ist, so ergibt sich durch wiederholte Anwendung der angegebenen Formel

n(tt — 1)

(3.) 9(w₀,w₁,w₂,...mJ = (— 1) ²

1 ! 2 ! 3 !... w !

6K + ^ + WąH-----HJ 11,,, 6(uk—uj

&'+\u₀) C>w+¹(w₁)6’ra+¹(w₂)... (3n+l(un)    \

À, fi — 0,1,2...«).

Die Geltung dieser Formel ist, wie sich aus Stetigkeitsbetrachtungen ergibt, nur an die Bedingung geknüpft, dass keine der Grössen uA (A = 0,1, 2 ... n) der Null congruent ist.

Für die im Art. 13 betrachtete elliptische Function cp(t<) ergibt sich hiernach die Darstellung

G)

?(u) =

c,    U₂,...ur)

’ <p(w, Vv v₂, ... vr)

wo der Factor C nur von den Grössen au u₂, ... ur\ v₁, v₂, . .. abhängt. Hierbei ist vorausgesetzt, dass von diesen 2r Grössen keine der Null congruent ist und dass keine zwei derselben einander congruent sind. Es bietet keine Schwierigkeit, aus dieser Formel durch einen angemessenen Grenzübergang andere Formeln herzuleiten, welche sich auf die angegebenen Ausnahmefälle beziehen.

Es gelten überhaupt folgende Sätze :

Jede zu dem Periodenpaare (2u>, 2to') gehörende (eindeutige) elliptische Function cp (w) ist rational ausdriickbar durch die zu demselben Periodenpaare gehörende Function pu und deren in Bezug auf die Grösse u genommene erste Ableitung pu. Umgekehrt sind diese Functionen pu und pu durch die Function <p(w) und deren erste Ableitung cp'(w) rational ausdrückbar, wenn (2io, 2a>') ein primitives Periodenpaar des Argumentes der Function cp(u) ist.

AVenn die betrachtete Function cp(u) eine grade Function ihres Argumentes ist, so ist dieselbe eine rationale Function von pu; wenn die Function

<p(u)

eine ra-

fp’u

cp(w) dagegen eine ungrade Function ihres Argumentes ist, so ist

tionale Function von pu.

Wenn die betrachtete Function cp(w) nur für u = 0 und die congruenten Werthe unendlich gross wird, so ist dieselbe eine ganze Function von pu und pu.

Zum Gebrauche der elliptischen Functionen.

Akc. Nr. .

Die Function

G> (nu)

6nn(ü) *

15.

Unter der Voraussetzung, dass n grösser als 1 ist, ergibt sich für den’

Grenzfall

U1 = U2 = M3 = • •

wenn

(i-)

?(*0 = (— lf

6n(u—v) (d(u -j- nv) 6n+\u) <5n(v)6(nv) ’

r„W =

Ob Sb

p"v .. p^n p"'v .. p^v

^(n—l)/y pi'O-y

^(2w—3)^

gesetzt wird,

(2.)

pu — pv p'u—p'v .. p^n~l)U — p(n %

pMp pO i+l) y

pWv

p(2n—2)v

p(n-l)v

Wird nun beiderseits nach Potenzen der Grösse u — v> entwickelt, so folgt aus der Vergleichung der Coefficienten der mit (u — v)n multiplicirten Glieder

(3.)

P»+iQ)

(S((n -f- l)v)

G(nv) <52n+\v) ~

Andererseits ergibt sich, wenn die Grösse cn durch die Gleichung

n\ n\

P »(«)

(4.)

(5 (nv) —

(-iy

• Cn

TP

definirt wird,

’    (5.)

Ö((w + l)v)

(5(nv) <52n+\v)

n\ n\

c,+i Pw+i(^)

Cn

Quotient

Für jeden hier in Betracht kommenden Werth von n hat demnach der

CM+1

Cn

den Werth 1.

Für n = 2 ergibt sich

Ç>{2v) — —c₂. p’v. (5\v) ;

in Folge der Gleichung (16.) des Art. 12 ist also c₂ =

1.

Mithin ist auch cn — 1 und es besteht daher, wenn u statt v eingeführt wird, die Gleichung

(6.)

(j (nu)

W\u) ⁼ TU2l3!...(w- 1)!?

(-1)

n— 1

p'u    p"u    ..

p"u    p'”u ..    p(nhi

p(n-l)u p(n)u . . £>(2m—3)m

Den Gleichungen (14.) und (15.) des Art. 9 zufolge sind sämmtliche Ableitungen der Function pu als ganze Functionen von pu, pu, \-g₂* 9z ganzzahligen Zahlencoefficienten darstellbar. Die Determinante PH(u), durch welche

die Function    ausgedrückt ist, ist daher ebenfalls eine ganze Function dieser Grössen.

(d (nu)

- eine grade Function von u, es ist

Wenn nun n ungrade ist, so ist

daher

(d (nu)

eine ganze Function von pu, \,g₂, g₃\ wenn dagegen n grade ist,

ungrade Function von u und es ist —,---^

ö    6nn(u)

Gnn(u)

G> (nu)

—>—- eine <5nn(u)

Function von pu, \g₂, g₃.

Es besteht daher für alle ungraden Werthe von n eine Gleichung von

so ist

eine ganze

der Form

(7.)

(5 (nu)

6nn(ü) “

rG (pu,ig₂,g₃)

(1 ! 2! 3 !... (w— 1)!) und für alle grad en Werthe von n eine Gleichung von der Form

(8.)

(d (nu)

— p'u

(5nn(u)

(1 ! 2 ! 3 !... (w — 1) ! )

2~ Cr (pu, \g₂, g₃ )

w⁵—4 *

In diesen Gleichungen bezeichnet G (pu, ^g₂, g₃)N eine ganze Function der’ drei Grössen pu, %g₂, g₃ mit ganzzahligen Zahlencoefficienten und der Index N den Grad dieser Function in Bezug auf das Argument pu.

Da

(9.)

d² , ^ (o(nu)

°g~(5™(ü)

= n²(pu —p(nu))

so

können die angegebenen Gleichungen dazu benutzt werden,, um p (nu) rational durch pu auszudrücken.

16.

Aus der Gesammtheit derjenigen Werthe des Argumentes w, für welche eine elliptische Function rten Grades

cpO) =

(1.)

Darstellung einer elliptischen Function beliebigen Grades

und deren Ableitungen.

durch die Function

(D'u

Q> u

— Mj) Q>(m — m₂) ... G»(m — Ur)

(d (u — Vj) Qi (u — v₂)... Q» (u — vr)

unendlich gross wird, sei ein vollständiges System einander nicht congruenter Werthe

«2» ••• Vm

herausgehoben und es sei für tu = !, 2. ... m

²+c';(u-viys+--- + o^ j î

die Summe aller Glieder mit negativem Exponenten, welche in der für die Umgebung des Werthes geltenden nach Potenzen der Grösse u — © fortschreitenden Reihenentwickelung der Function cp(w) enthalten sind.

Unter diesen Voraussetzungen bestehen die Gleichungen

G + GH-----Hg» = u

(2.)

(3.)

<p(*0 =

6'0 —y,u)

6(u—Vu)

^ + ^2 + —HG» = o,

i v V ( D riW ä ^ (u—u) r ^ A! ' dw* (5(M —©)»

U = 1, 2, . . . (ru l) ; (X — 1, 2, ... in).

Die Constante C₀ kann bestimmt werden, wenn der Werth der Function <p(w) für einen nicht singulären, d. h. keinem der Werthe vlf .v₂, ... vm con-gruenten Werth des Argumentes u bekannt ist, oder wenn in der für die Umgebung irgend eines der Werthe geltenden nach Potenzen von u — vfC fortschreitenden Reihenentwickelung der Function cp(u) ausser den Gliedern mit negativem Exponenten noch das constante Glied gegeben ist.

Integration einer elliptischen Function beliebigen Grades.

17.

Aus dem in dem vorhergehenden Art. enthaltenen Ausdrucke für die Function cp(w) ergibt sich für die zu derselben gehörende Integralfunction, wenn mit CQ die Constante der Integration bezeichnet wird, folgender Ausdruck :

f ? 0)du —    Cu log S(w—v^) + C₀w + C'₀

<6'{u—Vp)

S(w — vu)

—y c;

^fi i“

f    c<V-²’

(1 = 2, 8, . . .    1) ; fi = 1,2,    m).

Die Functionen ©i«, o₂u, (d₃u.

18.

Durch die Gleichungen

6,w =

e r>uä(w + u)

(5o)

d S (u> — w)

(DO)

= S₁(% j U) , W) ,

(1-)

(3,m =

— r/'w

e

r"u

S(W'+w) ___    S(W'-w)

SW'

Sa)"

= S₂(w| u>,W),

e-V«

S(W+w)

r/w

d S(W— w)    .

--SW----- = ö»(wl¹⁰ » w )

werden drei Functionen (dxw, S₂w, S₃w als eindeutige Functionen der unbeschränkt veränderlichen complexen Grösse u erklärt.

Werthe des Argumentes u besitzen dieselben den Charakter ganzer Functionen.

Jede der drei Functionen <oxu, (d₂m, S₃w ist eine grade Function des Argumentes u. Dem Werthe u = 0 entspricht der Functionswerth 1.

Wenn in der Formel (1.) des Art. 11 für v beziehlich die Werthe w. tu". W gesetzt werden, so ergeben sich die Gleichungen

So'

Für alle endlichen

(2.)

IW—«! —

( 6iu Y v Sw y

sjw—-e₂ =

pw —e₈ =

(

V Sw y

22

Die Functionen (56₂u, 6₃u.

aus welchen hervorgeht, dass jede der drei Differenzen pu Quadrat einer eindeutigen Function des Argumentes u ist. Es bestehen die Gleichungen

p    tiuGuGu

Art. 18.

e? (X — 1, 2, 3) das

(3.)

Bezeichnen 4, /u, v die drei Zahlen 1, 2, 3 in irgend einer Reihenfolge, so gilt die Reihenentwickelung

(4-)

(5.)

Die Grösse g₂ hat zufolge Art. 9 (18.) den Werth

s, =    +    %)(h—O—»«!)■

Für die Vermehrung des Argumentes um eine ganze Periode gelten

die Formeln

(6.)

S(M+2«₎) = -e2r‘(M+,"%«

<5,(^2«) = Vl(“+0,)6,«

2yj(w+to) 2r₍(w+«>)

Ö₂(w+ 2«>) = + 0

(5₂m

(5₃(w+2<d) = + 6

G>(m+2cü") = —ć2r‘ (UJrW ) fiu    ö(w+2o)') = — g2yi (M+œ

s₁(«+2a>") = + c2f‘"{’"+l,'"jsiM si(«+2oi')= + e2ri'(«+®')SiM

©!(M+2U1")=-e2,î"<:M+“"⁾S!M    S₂(M+2o)') = + e2,i'(«+®')|5jM

S.« i Ss(«+2m') = -<?2l>'(M+ro')ss«.

2rj"(w+tu")

Diese Formeln sind specielle Fälle der folgenden, in welchen p, q irgend welche ganze positive oder negative Zahlen, einschliesslich der Null, bedeuten:

2(ù = 2p<o -|- 2(/to'

2 r{ — 2p?t + 2gr/, S(« + 2<5) = (_!)«+*+«    +

e²«« + -)Ss„>

6,(m + 2<5) =    (-1)OT+Î

(5₁(m + 20>) =

<D₂(u 4-2«))=    (-1)

V<1

19.

Es bezeichne jetzt

Û) = p o) qm'

eine halb e Periode, mit anderen Worten, es werde vorausgesetzt, dass die beiden ganzen Zahlenp und q nicht beide zugleich grade sind.

Wird entsprechend der im Art. 7 erklärten Bezeichnungsweise

= pn 4- qr! =

(5'ö>

(5 (O

gesetzt, so stimmt die Function

— r, u

&    (5(ö) + u)

YjW

6    (5 ( — u)

<5ü>

(5(o

mit der Function (d?u überein, wobei der Index A den Werth 1, 2 oder 3 hat, jenachdem pü gleich e₁, e% oder es ist.

(1-)

Unter der Voraussetzung, dass    der Werth von A    den vorstehenden Bedin

gungen gemäss bestimmt wird, bestehen die Gleichungen :

(20

pü — e},

(3.)

— r, u

6    (5(«> + u)

e (5(ü)—u)

(5&

* (5(o

(d'-(u ± ü)    (5'u

(5±(5)    (du

Wird in den Ausdrücken für p (u ± v) der Grösse v der Werth (i beigelegt, so ergibt sich

(4.)

(5'(w ± (T>) __ ^    (3[u

S (u ± (o) ⁺ 'f{    (5xii ’

±T(.

•    (5.)

p{u± (o) — el =

(e?-0(e?~ev)

<pu — ex

20.

Für den ersten im Art. 10 betrachteten Grenzfall 9? (~~j)

(dxu =

Wenn aber sowohl 2u>, als auch 2co' unendlich gross wird, während lim    einen von Null verschiedenen Werth hat, so ist

= 6₂m = (d₃u = 1

= oo erhält man

(1-)

/ Mn \

ß \ 2tü/

rHCD

WTT

2u> ⁷

(5„M = (5.M =

1 / MH \ a ß 6 \ 2w /

(2.)

zu setzen.

21.

(1-)

Durch die Gleichungen VW— ex =

(DyU

\Jpu — e₂ =

(5w ’

\Jpu — e₃ =

(5₃u

5 m ⁷

sind die Werthe der drei Quadratwurzeln als eindeutige Functionen des Argumentes u definirt.

Wenn dem Argumente u der Reihe nach die Werthe

OJ₂ = (O -f- O)' — Ü)",

== (o,

(0₃ = 0/

« beigelegt werden, so ergeben sich folgende Gleichungen

r," w

e

sjizz7 ₌ A“

V >    ! Sa.

(du

— r/u)

e öo)”

_ (5o>'

(5(0 (5a7r >

TO)”

d

(5(o t5(o" ⁷

— TU)'

d (5o>"

‘ (5(0(5cu' ⁷

durch welche die AVerthe der sechs Quadratwurzeln in eindeutiger Weise bestimmt werden.

Zwischen diesen Wurzelgrössen bestehen in Folge der Voraussetzung

'Je-e ₈ =

__

(5 <o

(5(0(50)'    ⁷

(2.)

ß,(o"

(5 (o"

GV G\

O)

9Î !> 0 die Beziehungen (3.) \Je 3 —e₂ = —i^Je₂ — e₃,

(5o)'

Ve2~ e3 =

Ve₃—=

f rr Ti CÜ

d <5«>

(5₃(o"

(5 o>"    C5(o'Ö(o''⁷

S.,0)'

(5 o)

(1)

(5(o

(5(o'6(o" ⁷

Verwandlungsformeln für die Functionen du, dxu, d₂u, dsu.

22.

Aus den Gleichungen (2.) des Art. 21 ergeben sich für die Grössen dto, du)", du)' folgende Ausdrücke

(1.)

\/e~e₃ \le-e, ’

Su>" =

\Ji e

, tr rr (0

\Jei~ea \le~e* ¹

Su/ =

ie

Hierbei ist zu bemerken, dass die drei Wurzelgrössen

\l^est

nur solche Werthe annehmen können, deren Quadrate den durch die Gleichungen (2.) des Art. 21 bereits eindeutig bestimmten Grössen

\let-e3}

\Jei e3 >

beziehlich gleich sind. Jede der drei vierten Wurzeln kann demnach nicht vier, sondern nur zwei Werthe annehmen; sobald aber über den Werth einer dieser drei Grössen entschieden ist, sind die Werthe der beiden andern eindeutig bestimmt.

Der Grösse i ist der Werth ebeizulegen.

Für die Vermehrung und Verminderung des Argumentes der vier d-Func-

tionen um eine halbe Periode gelten unter der Voraussetzung, dass den zweiten und vierten Wurzeln die im Vorhergehenden bestimmten Werthe beigelegt werden, die in der Tabelle auf der folgenden Seite enthaltenen Verwandlungsformeln :

6(m± tu)

Sw =

+ 1 y'e.-e, \Je,

-e₃

e±T<(M±łuV

(2.)

6j(m ± tu) = q; \Jet—ea \lei~es &    ^ öw 6m = T\/ei~ ea \Jei— e₃ ö Y/^    ²

6a(w ± u>) =

>Jel-et • e±7iW So> 6sw =

6₈(w±«))

\Zcj-e₈ • 6 YjM S«> 6₂it =

Ve!-e₂

(3.)

(5(w ± o>") =

5₁(m±(o") =

±e

S«/'6₂m = ±

V^X ^2 V^2    ^3

e±V'(«±t»")SiM

Ve2~ei • 6 Ti WÖ(U "(5au =

1 fo-e,

V« ^2-^8

e^'^'Xu

6₂(m±(o") = + sJe₂—e₁ \et—e₈e

±7]"w

(5ui"(5 u =

_    ±iq"(u±i«/')

+--rpr-e

V*

(5 W

6s(u ± o>") =

\lei~e9 ’ 6 t[ U6u>"6₁u =

ö(w±u>') =

± r/w

6w' (3#w = i:

e±V(«±ł«>')

\Zej-e, • e±r'W(3«>'S₂w =

\/gl ^3 \f ^2

E . e±7î'(w±i«)')

6₃w

^3

SaM

6 ₂(w±o>') =

SjM

Ve8—e2 • # r* U 6u>'6tu —

*»    ±V(«±*«0

ÿï=ï *

S,(« + »') = +\je,-e,    e±r,U<ôi»’(Ôu=±i\Jel-et\Je,-e,e±r‘'⁽-U±im^<ôu.

Verwandlungsformeln für die Quotienten zweier 6 - Functionen.

23.

Für die Quotienten zweier C>-Functionen gelten folgende Verwandlungs

formeln :

5 (m ± cd)

5₁(m ± cd) y/et — e₂ y/^i — e₃ 6 u

5₂m_

5₃m

5 (m ± cd") ₊

(di(m± cd")    “

5 (m ± cd') _ _J_    -    -3-

(^(m + cd') — ~ Vv-ëi

5₃m

(5j(m± u>)

5₂(m± cd)

5₃m

5 (m ± cd)

5jM

5:(m ± to)

5m

5₂(m ± cd)

5₃m

5₃(M± cd)

5₂m

5₂m

5 (m± cd") _    ___

Q‘) 5s(m±cd")    V/ei~-eî V^a⁻A 5m

\Jei —c, 5₃m

5 (m± cd')

5₃m

5₂(m± cd')

5j(m± cd")

6₃(m±co")

5x(m ± cd') _ _

g^VFw') ~ ⁺ v/v¹^

5₂m

5 (m± cd) _ ₊

G>₈(m±cd)

5 (M± cd") ₊

5₃(M±cd")    _

5jM

\Je₁—e₃    6₂u

5₂m

5₂(M±œ)

5₃(m±cd)

Ve₂-es

5jM

5₂(m±cd")

5₃(m± cd")

v^—<*, S.«

— 5 M

5tM

= ± i\je₁~e₂

5 (m± cd')

5sm

5₃(m±cd') y/e — e₈ \Je₂—e₃ 5 m

(3a(M± cd') _ __

5₈(m i cd') “ ⁺

5t«

5m

6 (m ± 2cdx)

6m

(2.)

6. (m ± 2cüi)

6,m

6,m

6 (w + 2cd(U)

6-(m + 2co„)

6,m

6„(m ± 2cd;,)

(5(M±2coi) ~

5,(m ± 2cd^) __ _

6(m±2cdJ —    6 m" *

6rM

6um

Sw

Suw

ein-

Aus diesen Formeln ergibt sich, dass die Functionen

deutige doppelt periodische Functionen sind, für deren Argument (2u)is 4ioJ ein primitives Periodenpaar ist.

S,w

und

Sw

Gleichungen zwischen den Quadraten von je drei d - Functionen.

Gleichungen zwischen den Quadraten von je drei d - Functionen.

24.

Aus den Gleichungen

pu—ex =

S]w

S²w

(X = 1,2,8)

ergeben sich durch Elimination von pu die folgenden Gleichungen zwischen den Quadraten von je drei d-Functionen

(pau— Sîw-f-(e₂—e,)Sf# = 0,

SgW — S,w -f- (e₈—ej S*w = 0,

S*w — SgW+ (6, — e₂)S²w = 0,

(et — O S²w -f- (c₃ — ej S²w -f- (e₁ — e₂) S²w = 0.

Differentialgleichungen der d - Quotienten.

25.

Die Gleichung

(1.)

<p'u =

₂ GjU.fyu . S,.W Sw. S w. Q w

geht durch Einführung der Bezeichnungen Sw

(2.)

S«w

3.U

Sw

Sw

über in die Differentialgleichungen

Kr

d2»uv

I _*2_ _ _ g . Ł

dw ~ $fl° •

Die Functionen |oi,    genügen hierbei der Bedingung, dass für den

Werth u = 0

¹ ^ -du

Die angegebenen Differentialgleichungen nęhmen in Folge der zwischen den Quadraten von je drei 6 -Functionen bestehenden Gleichungen (Art. 24) folgende Formen an:

(*•) 5* = 0,

du

oX _ 1 .

L 1

fulV

= i;

lim

— l.

(5.)

(6.)

(7.)

Es genügen daher die vier Functionen

6u

1 <5vu

(5,u ⁹

CDVU ⁹

Vv*»

derselben Differentialgleichung

6,u

s“

(8.)

(9.)

Zu bemerken sind noch die Gleichungen :

— = Aiok-SîL =

(du du (du

d . (DuU

du (d,u

(d[u ß’u

³»«

6flu

6„W

p’u

6aU . <DVU

² pu — ex

(5xu. 6 u

6V ) W

(JW—fy) (|w — ev)

= -(v«

(D)U . 6 M 6fiU.6tu ’

(io.)

d (d\u d² ,

W~6XÜ ~ Ifa? °g6*W ~

(ex-ep) (ex—et)

jpu — ex

«j = -(v^HvO

(du

6>

- ( V«r)

SJm

s>

e, = — (Ve,.)

<DVU

s’«

Vergleichung der 6 - Quotienten mit den Jacob F sehen elliptischen

Functionen.

26.

Wenn der Modni k der Jacobi’schen elliptischen Functionen durch die

Gleichung

(10

Gl e3

bestimmt wird, so ergeben sich für die C) - Quotienten folgende Ausdrücke durch die Jacobi’schen elliptischen Functionen:

-rs—- =    ----sin a,m — e₃-u, A)

Ö3W    — e₈

6X u

cos am

(V^ — ea'U, k)

sin am (^e₁ — e₃-u₎ k)

6xm

6au

cos am (\Zex — e₈-M, 7c)

6u

sin am (\/ex—e₈*M, Je)

6₂m

6su

A am (\le₁ — e₃-u,k)

sin am — es-u, k)

(20

6xm

6₂w

sin coam (\jel — e₃ • m , A)

6xm

6₂m

-----cos coam (\/ą — e₃-M, 7c)

\e₁—ei

6₂m _

6xm

sin coam (yex — es-M, 7c)

6₃m

6₂m

A coam (\je₁—e₃-u₁k)

6₈m

6xm

cos am (\/ex — es-M, 7:)

(A— \le₁ — e₃-u, k).

coam(\/ex —es-M, A) = am

Der Quadratwurzel Vex—e₈ kann hierbei jeder ihrer beiden Werthe'beigelegt werden, die Entscheidung über.den der Quadratwurzel \/ex—e₂ beizulegenden Werth hängt hingegen von der Uebereinkunft über die Bestimmung der Grösse ül ab, welche der Definition von coam (\Asx—e₃-M, A) zu Grunde liegt.

Art. 27.

Einführung der Grössen K und K\

31

Die von Jacobi mit K bezeichnete Grösse kann nämlich jeden in dem

Ausdrucke

\Jel— e₃ (w -f- 4^o) -|- 2qa>')

enthaltenen Werth annehmen, wobei p und q beliebige ganze Zahlen bezeichnen. Der in den vorstehenden Formeln vorkommenden Wurzelgrösse ^e₁—ea ist nun derselbe Werth wie im Art. 21 , oder der entgegengesetzte Werth beizulegen, jenachdem die Zahl q grade oder ungrade ist. ■

Bestimmung eines primitiven Periodenpaares für das Argument der Function pu mittelst zweier eindeutig bestimmter Grössen K und K'.

27.

Die Wurzeln der Gleichung 4s³— g₂s — g₃ = 0 mögen, — unter der Voraussetzung, dass g\ — 27^ nicht gleich Null ist, — in irgend einer Reihenfolge mit ex, e₂, e₃ bezeichnet werden, mit der Bedingung, dass, falls die bei der geometrischen Darstellung den drei reellen oder complexen Grössen e₁, e₂, e₃ entsprechenden Punkte in gerader Linie liegen, e₂ dem mittleren dieser drei Punkte entspricht.

Unter dieser Voraussetzung sind die Grössen

e% es _ jg

(1.)

ei e2

= k'²

so beschaffen, dass keine von beiden einen reellen negativen Werth hat und dass auch keine von beiden einen reellen positiven Werth hat, welcher grösser als 1 oder gleich 1 ist.

Mit k und k' sollen diejenigen Werthe der Quadratwurzeln aus

^2_^3

und -vILfi bezeichnet werden, deren reelle Bestandtheile positiv sind. Es hat

e~e‘ v dann auch der reelle Bestandtheil des Quotienten einen positiven Werth.

Die Grössen K und K' sollen die Werthe der bestimmten Integrale

(2-)

dt

dt

Vi-P Vi-ic'Y

2ü)₃ entsprechen, ein recht

Einführung der Grössen K und K'.

bezeichnen, vorausgesetzt, dass die Integration auf directe in Wege ausgeführt und den Quadratwurzeln diejenigen Werthe beigelegt werden, deren reelle Bestandtheile positiv sind.

Werden nun zwei Grössen und u)₃ durch die Gleichungen

32

Art. 27.

(3.)

(«i

K'i

\Jei~ es ’

bestimmt, in welchen der Werth von    beliebig fixirt ist, so ist (2a)!, 2a>₃)

ein primitives Periodenpaar des Argumentes der zu den Invarianten g₂ und g3 gehörenden Function p(tr, g₂, g$) und es bestehen, wenn

“>*    = toi + «>*

gesetzt wird, die Gleichungen P“>i =

Die reellen Bestandtheile der beiden Grössen ül, K' und der reelle Bestandteil des Quotienten

&>«>3 = <V

œ,

K’

«v K

haben positive Werthe. Wenn die Grösse

= einen reellen Werth hat, so haben K und

K' positive Werthe. In diesem Falle ist das Dreieck, dessen Ecken bei der

geometrischen Darstellung den Grössen 0, 210 winkliges und zwar entspricht dem Werthe 0 der Scheitel des rechten

Winkels.

Das erwähnte Dreieck ist jedoch ein spitzwinkliges, wenn die Grösse k² eine complexe Grösse mit positiv imaginärem Bestandtheile ist; es ist ein stumpfwinkliges, wenn k² eine complexe Grösse mit negativ imaginärem Bestandtheile ist, und zwar entspricht dem Werthe 0 der Scheitel des stumpfen Winkels. In dem letzteren Falle sind die bei der geometrischen Darstellung den Grössen 0, 2u)₃, —2u)! entsprechenden Punkte die Ecken eines spitzwinkligen Dreiecks.

Das Periodenparallelogramm, dessen Seiten bei der geometrischen Darstellung beziehlich den beiden durch die obigen Formeln bestimmten Perioden

É KRAKÓW J

's^'fechn'icjS^^

— Biblioteka Politecłmiki Ktakowskiej .

11-348784

C. F. GAUSS W

L. in w.

HRRAUSGE&EBEN VON DER KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT D

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

AUSGABE AUF DRUCKPAPIER.

Band :

T. _ DISQIJISITIONES ARITHMETICAE. Zweiter Abdruck 1870. Preis 12 Mark.

II. HÖHERE ARITHMETIK. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

Die Besitzer des ersten Abdruckes von Band II. können die beim zweiten Abdrucke hinzugekommenen Zusätze als „Nachtrag zum ersten Abdrucke des zweiten Bandes“ zum Preise von 1 Mark beziehen.

III.    ANALYSIS. Zweiter Abdruck. 1876. Preis 12 Mark.

Zweiter Abdruck. 1880.

IV.    WAHRSCHEINLICHKEIT^ - RECHNUNG UND GEOMETRIE.

Preis 15 Mark.

V. MATHEMATISCHE PHYSIK. Zweiter Abdruck. 1877. Preis 15 Mark.

VI. ASTRONOMISCHE ABHANDLUNGEN. 1874. Preis 20 Mark.

vor

Die Entnahme von einzelnen Bänden bezw. des vollständigen Werkes erfolgt gegen Barzahlung von der K. Universitäts-Gasse in Göttingen, welche nach wie den Vertrieb besorgt,

Versendungen nach auswärts, erfolgen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn die Breiszahlung durch Postnachnahme gewünscht wird und zulässig ist; sonst sind wegen der für Werthsendungen erforderlichen festeren Verpackung pro Band 60 Pfennig Emballagekosten mehr zu zahlen.

Göttingen im Mai 1881.

G A U S S - D E N K MI N Z E.

von

Die K. Gesellschaft hat, zur Feier der hundertsten Wiederkehr des Geburtstages U. F. Gauss durch Herrn Münzmedailleur H. F. Brehmer in Hannover eine Denkmünze von 70 Millimeter Durchmesser in bronzirtem Kupfer hersteilen lassen. Sie enthält den Kopf von Gauss und die auf ihn sowie auf die Feier sich beziehende Inschrift, Um dieses Kunstwerk allgemeiner zugänglich zu machen, hat die Gesellschaft verfügt, dass es zu dem Preise von fünf Mark von der K. Universitäts-€asse zu Göttingen bezogen werden kann, von Auswärtigen ohne Nebenkosten, ausser Porto, wenn Postnachnahme des Preises erfolgen kann.

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