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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000301663

Band Tl i.

Heit з.

ENZYKLOPÄDIE

MATHEMATISCHEN

WISSENSCHAFTEN

MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN.

HERAUSGEGEBEN

IM AUFTRAGE DER AKADEMIEN DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTINGEN, LEIPZIG, MÜNCHEN UND WIEN,

SOWIE UNTER MITWIRKUNG ZAHLREICHER FACHGENOSSEN.

IN SIEBEN BÄNDEN.

AND I: ARITHMETIK U^ALGEBR A, j RED yQN w FR MEYER Ш KÖNIGSBERG.

TT AXT*TV*™    TXT « ™tttw    f    H. BURKHARDT IN ZÜRICH UND

П: ANALYSIS,    IN 2 TEILEN......{    w. WIBTINeEB ш WIEN.

-    Ш: GEOMETRIE, IN 3 TEILEN......VY. FR. MEYER IN KÖNIGSBERG.

TV. мтггндшн    TNT 9 ТТГТТ тгтчг    f    F* KLEIN Ш GÖTTINGEN UND

IV. MECHAMK,    IN 2 TEILEN.....(    с. H. MÜLLER IN GÖTTINGEN.

-    V: PHYSIK, IN 2 TEILEN........A. SOMMERFELD Ш MÜNCHEN.

irr * шглплспл ttxtty ßdADuvciir    I PH* FURTWÄNGLER IN AACHEN UND

-    VI, 1: GEODÄSIE UND GEOPHYSIK... . ( E WIECHERT Ш GÖTTINGEN.

K. SCHWARZSCHILD IN GÖTTINGEN. F. KLEIN IN GÖTTINGEN UND С. H. MÜLLER IN GÖTTINGEN.

— VI, 2: ASTRONOMIE . . . ........

GESCHICHTE, PHILOSOPHIE, DIDAKTIK {

VH:

BAND VI1. HEFT 2.

P. PIZZETTI IN PISA: HÖHERE GEODÄSIE.......

S. 117

AUSGEGEBEN AM 25. JULI 1907.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1907.

£РвГ* Jeder Band ist einzeln käuflich.

— Bisher erschien: Bd.I (vollständig); Bd.II1, Heft 1—6; Bd. II2, Heft 1; Bd. IIIi, Heft 1; Bd. III2, Heft 1—3; Bd. Шз, Heft 1-3; Bd. IV11, Heft 1—3; Bd. IVm, Heft 1; Bd. IV21. Heft 1-3; Bd. IV211, Heft 1; Bd. Vi, Heft 1-4; Bd. V2, Heft 1 und 2; Bd. VI1, Heft 1 und 2; Bd. VI2, Heft 1.

PQ(Г* Einhanddecken in Halbfranz werden auf Bestellung mit dem Schlußheft eines jeden Bandes zn wohlfeilen Preisen von der Verlagsbuchhandlung geliefert.

Aufgabe der Encyklopedie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen Zweige der Teohnik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den Mathematiker orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber orientiert, welohe Antwort die Mathematik auf diese Fragen gibt. In 7 Bänden, werden die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich angeordneter Artikel behandelt; jeder Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Sätze muß natürlich verzichtet werden. — Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sollen so gehalten werden, daß das Werk auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht. — Eine von den beteiligten gelehrten Gesellschaften niedergesetzte Kommission, z. Z. bestehend aus den Herren

W. v. Dyok - München, 0. Holder-Leipzig, F. Klein-Göttingen, V. v. Lang-Wien, W. Wirtlnger-Wien,

H. v. Seeliger-München, H. Weber-Straßburg,

steht der Redaktion, die aus den Herren

H. Burkhardt-Zürich, Ph. Furtwängler-Aachen, F. Klein-Göttingen, W. Fr. Meyer-Königsberg, C. H. Miiller-Göttingen, K. Sohwarzschild-Göttingen, A. Sommerfeld-München, E. Wieohert-Göttingen und W. Wirtlnger-Wien

besteht, zur Seite. — Als Mitarbeiter an der Encyklopädie beteiligen sich ferner die Herren

A. Voss-München    Ph.    Forohheimer-Graz

W. Ahrens-Magdeburg    A. Wangerln-Halle    Ph.    Furtwängler-Aachen

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J.    Bausohinger-Berlin    W. Wirtinger-Wien    L. Henneberg-Darmetadt

G.    Bohlmann-Berlin    E. Zermelo-Göttingen.    K. Heun-Karlsruhe

L. v.Bortkewitsoh-Berlin    _ .    G. Jung-Mailand

H.    Burkhardt-Zürich    III. Band.    F. Klein-Göttingen

E. Czuber-Wien    L. Berzolari-Pavia    A. Kriloff-Petersburg

W. V. Dyck-München    H. Burkhardt-Zürich    H. Lamb-Manchester

D.    Hilbert-Göttingen    G. Castelnuovo-Rom    A. E. H. Love-Oxford

O.    Hölder-Leipzig    1У1. Dehn-Münster i.W.    C. H. Müller-Göttingen

G.    Landsberg-Kiel    F. Dingeidey-Darmstadt    J. Petersen-Kopenhagen

R. Mehmke-Stuttgart    F. Enriques-Bologna    L. Prandtl-Göttingen

W.Fr. Meyer-Königsbergi.P. G.Fano-Turin    [rand H. Reiflner-Aachen

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V.    Pareto-Lausanne    P. Heegaard-Vedbaek bei    P.    Stäckel-Hannover

A. Pringsheim-München    Kopenhagen    0. Tedone-Genua

K.    Runge-Göttingen    K. Heun-Karlsruhe    A. Timpe-Danzig

A. Schoenflies-Königsberg G. Kohn-Wien    E. Timerding-Straßburg i. E.

H. Liebmann-Leipzig    A.    Voss-München

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D. Seliwanoff-St.Petersburg R. v.Lilienthal-Münsteri.W.    G.    Zemplén-Budapest.

H. v. Mangoldt-Danzig W.Fr. Meyer-Königsberg i.P.

E. Müller-Wien

J.    Neuberg-Lüttich    M.    Abraham-Göttingen    E.    Anding-Gotha

E. Papperitz-Freiberg i. S. L. Boltzmann (f)    J.    Bauschinger-Berlin

K.    Rohn-Leipzig    G.    H. Bryan-Bangor (Wales)    A. Bemporad-Catania

M.    B5oher-Cambridge,Mass.    G.Scheffers-Charlottenburg    P. Debye-München    E. W. Brown-Haverford

G.    Brunei (f)    A. Schoenflies-Königsberg    H. Dubois-Berlin    C. Ed. Caspari-Paris

H.    Burkhardt-Zürich    C. Segre-Turin    [i. P. H. Diesselhorst-Berlin    C. V. L. Charller-Lund

G.    Faber-Karlsruhe    M. Simon-Straßburg i. E.    S.    Finsterwalder-München    F. Cohn-Königsberg    i.P.

R.    Fricke-Braunschweig    J. Sommer-Danzig    R.    Gans-Tübingen    R. Emden-München

H.    Hahn-Wien    P. Stäckel-Hannover    F.    W. Hlnriohsen-Aachen    F. K. Ginzel-Berlin

J.    Harkness-Montreal    0. Staude-Rostock    E.    W. Hobson-Cambridge    J. v. Hepperger-Wien

K.    Hensel-Marburg    H. Steinitz - Charlottenburg    J. H. van t’Hoff-Berlin    G. Herglotz-Göttingen

G. Herglotz-Göttingen    A. Voss-München    H.    Kamerlingh-Onnes-Leiden    H. Kobold-Kiel

A. Kneser-Breslau    E. Wälsch-Brünn    Th.    Liebisch-Göttingen

A. Krazer-Karlsruhe    H. G. Zeuthen-Kopenhagen H. A. Lorentz-Leiden

L.    Maurer-Tübingen    K. Zindler-Innsbruck.

W.    Fr, Meyer-Königsberg LP.

W. F. Osgood-Cambridge,    Büöd.

P.    Painlevé-Paris [Mass. M. Abraham-Göttingen

S.    Pincherle-Bologna    C. Cranz-Berlin

A. Pringsheim-München    P. u. T. Ehrenfest-Göttingen    F. Pockels-Heidelberg

A Sommerfeld-München    S. Finsterwalder-München    L. Prandtl - Göttingen

E.    Vessiot-Lyon    0. Fischer-Leipzig    R.    Reiff-Stuttgart

I. Band:

K. Runge-Göttingen A. Schoenflies-Königsberg M. Schröter-München A. Sommerfeld-München E. Study-Bonn A. Wangerin- Halle W. Wien-Würzburg J. Zenneck-Braunschweig

i. P.

E. Study-Bonn K.Th. Vahlen-Greifswald H. Weber-Straßburg i. E. A. Wlman-Lund.

VI, 1. Band:

R.    Bourgeois-Paris

G.    H. Darwin - Cambridge

S.    Finsterwalder-München

H.    Hergesell-Straßburg S. Hough-Kapstadt

H. Meldau-Bremen J. M. Pernter-Wien P. Pizzettl-Pisa C. Reinhertz (f)

A. Schmidt-Potsdam W. Trabert-Wien E. Wiechert-Göttingen.

V. Band:

VI, 2. Band :

II. Band:

F.    R. Moulton-Chicago

G.    v. Niessl-Brünn S. Oppenheim-Prag L. Schulhof-Paris

K. Sohwarzschild-Göttingen

L. Mamlock-Berlin

G.    Mie-Greifswald

H.    Minkowski-Göttingen

0. MUgge-Königsberg i.P. E. Strömgren-Kiel J. Nabl-Wien    K. Sundmann-Helsingfors

E. T. Whittaker-Cambridge C. W. Wirtz- Straßburg i. E. H. V. Zeipel -Pułkowa.

Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften.

Unter der Abteilung Sprechsaal für die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften nimmt die Redaktion des Jahresberichts der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (herausgegeben von A. Gutzmer in Halle a/S.) ihr aus dem Leserkreise zugehonde VerbesserungsVorschläge und Ergänzungen (auch in literarischer Hinsicht) zu den erschienenen Heften der Encyklopädie auf. Diesbezügliche Einsendungen sind an den Unterzeichneten zu richten. Beiträge für den Spreohsaal haben bisher beigesteuert die Herren W. Ahrens, M. Bôoher, A. v. Braunmühl, T. J. FA. Bromwich, H. Burkhardt, G. Eneström, H. F ehr, L. Henneberg, E. Jahnke, F. Klein, M. Koppe, M. Krause, Josef Kür-sch&k, E. Lampe, A. Loewy, Gino Loria, J. Lüroth, Otto Meißner, W. Fr. Meyer, E. Müller, E. Netto, M. Noether, W. Osgood, K. Petr, 8. Pincherle, C. Runge, L. Saalschütz, Carl Schmidt, A. Schoenflies, F. Schur, E. Study, Th. Vahlen, A. Wangerin, K. v. Wesendonck,

W. Wirtinger.

W. Fr, Meyer, Königsberg i. Pr. - Maraunenhof, Herzog Albrechtallee 27.

"VI i, 3. P. Pizzetti. Höhere Geodäsie.    ; ;

117

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VI 1,3. HÖHERE GEODÄSIE.

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P. PIZZETTI

IN PISA.

Inhaltsübersicht.

I. Allgemeine Grundlagen.

1.    Aufgabe der höheren Geodäsie.

2.    Lotrichtung, Schwerkraft.

3.    Beobachtungstatsachen und Sätze der Potentialtheorie.

4.    Weitere Folgerungen aus der Potentialtheorie. Theorem von G. G. Stokes.

5.    Beobachtungen zur Bestimmung des Geoids. Reduktion der Schwerkraftsmessungen.

6.    Geodätische Bestimmung des Geoids. Referenzellipsoid.

7.    Lotabweichungen.

8.    Reduktion der beobachteten Lotrichtungen.

9.    Bessels Rotationsellipsoid.

II. Rechnungs- und Messungsmethoden.

A. Geodätische Rechnungen auf dem Rotationsellipsoid.

10.    Fundamentalformeln.

11.    Normalschnitte.

12.    Geodätische Linien.

13.    Übertragung der geographischen Koordinaten und des Azimuts.

14.    Fortsetzung. Fall kleiner Bogen.

15.    Bestimmung der Länge und des Azimuts eines geodätischen Bogens aus den geographischen Koordinaten der Endpunkte.

16.    Geodätische Polarkoordinaten.

17.    Vergleichung der geodätischen Linie mit einem Normalschnitt.

18.    Das geodätische Dreieck.

19.    Auflösung des geodätischen Dreiecks durch Reduktion auf das ebene Dreieck. Sphäroidischer Exzeß.

20.    Sehnen und Normalschnitte.

21.    Reduktion ellipsoidischer Figuren auf sphärische durch konforme Abbildung.

22.    Rechtwinklige geodätische oder Soldnersche Koordinaten.

23.    Übertragung der geographischen Koordinaten vermittels rechtwinkliger geodätischer.

24.    Projektionen auf die Ebene.

Encyklop. d math. Wiasensoh. VI 1.

26. Basismessungen.

B. Landesvermessung.

26.    Basisapparat.

27.    Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid.

28.    Triangulation.

29. Basisnetze oder Vergrößerungsnetze.

80.    Berechnung einer Triangulation und der geographischen Koordinaten der Dreieckspunkte.

81.    Ausgleichung.

82.    Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen.

33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmessungen.

C. Höhenmessung.

34.    Trigonometrisches Nivellement.

35.    Der Refraktionskoeffizient als Funktion der atmosphärischen Verhältnisse.

36.    Empirische Untersuchungen über den Refraktionskoeffizienten.

37.    Geometrisches Nivellement.

38.    Einfluß der Schwerestörungen auf Nivellements.

39.    Das Mittelwasser der Meere und der Nullpunkt für die Höhen.

40.    Genauigkeit eines Nivellements. Ausgleichung.

D. Erdmessung.

41.    Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei oder mehr Meridianbogen.

42.    Bestimmung von a und e durch Parallelkreisbogen.

43.    Stücke des Ellipsoids. Lotabweichungen.

44.    Fortsetzung. Bestimmung der Lotabweichungen.

45.    Fortsetzung. Angenäherte Bestimmung von Geoidstücken.

46.    Die Schwerestörungen und die Abweichungen zwischen Geoid und Ellipsoid.

III. Summarische Entwicklungsgeschichte der geodätischen Kenntnisse.

47.    Anfänge der geodätischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel betrachtet wird.

48.    Physikalische Untersuchungen über die Gestalt der Erde.

49.    Die wichtigsten geodätischen Messungen bis 1860.

50.    Die hauptsächlichsten Berechnungen der Erdkonstanten.

51.    Bestimmung der Abplattung aus Pendelmessungen.

52.    Benutzung einiger astronomischer Daten zur Berechnung der Konstanten des Erdellipsoids.

53.    Moderne geodätische Arbeiten. Lotabweichungen.

Literatur.

A. Bibliographisches.

0. Börsch, Geodätische Literatur, auf Wunsch der Permanenten Kommission im Zentralbureau zusammengestellt, Berlin 1889.

J. H. Gore, A bibliography of geodesy. 2. ed. Report of the superintendent of the U. S. coast and geodetic survey 1901/02, Washington 1903, p 429.

J. Herschel, A bibliographical list of works relatives to pendulum operations in connection with the problem of the figure of the earth. Operations of the great trigonometrical survey of India 5 (1879), Appendix 5.

B. A. M. Sadebeck, Literatur der praktischen und theoretischen Gradmessungsarbeiten, Berlin 1880 (auch im Generalbericht der Europäischen Gradmessung 1880).

Man vergleiche auch die jährlichen Literaturübersichten in der Zeitschrift für Vermessungswesen, Stuttgart.

B. Historisches.

J. J. Baeyer, Über die Größe und Figur der Erde, Berlin 1861.

J. S. Bailly, Histoire de l’astronomie ancienne depuis son origine jusqu’à l’établissement de l’école d’Alexandrie, Paris 1781.

—, Histoire de l’astronomie moderne depuis la fondation de l’école d’Alexandrie jusqu’à l’époque de 1730, Paris 1785.

A.    Börsch, Die Grundlagen der Bestimmung der Erdgestalt, 3. intern. Math Kongr., Heidelberg 1904.

J. H. Gore, Geodesy, London 1891.

P. S. Laplace, Mécanique céleste, 5, livre XI, Paris 1825.

J. B. Listing, Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Größe der Erde, Göttingen 1872.

—, Neue geometrische und dynamische Konstanten des Erdkörpers, Göttingen 1878.

L. Posch, Geschichte und System der Breitengradmessungen, Freysing 1860 (Diss.).

B.    A. M. Sadebeck, Entwicklungsgang der Gradmessungsarbeiten, Berlin 1876.

J. Todhunter, A history of the mathematical theories of attraction and the figure of the earth from the time of Newton to that of Laplace, 2 vol., London 1873 (Todhunter, History 1, 2).

A. Westphal, Basisapparate und Basismessungen, Berlin 1885—88.

F. X. von Zach, Monatliche Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde, Gotha 1800—13.

—, Correspondance astronomique, géograph., hydrograph, et statistique, Gênes 1818—26.

C. Die hauptsächlichsten Publikationsorgane staatlicher geodätischer

Behörden.

Mémorial du Dépôt général de la guerre, Paris.

Mitteilungen des к. u. к. militär-geographischen Instituts, Wien 1871—1906 (Mitt. mil.-geogr. Inst. Wien).

Ordnance trigonometrical survey of Great Britain and Ireland, London 1858. Procès verbaux des séances du Comité international des poids et mesures, Paris 1875—1906.

Report of the superintendent of the U. S. coast and geodetic survey, Washington 1845—1906 (R. C. G. S.).

Verhandlungen der Allgemeinen Konferenzen der Europäischen Gradmessung, von 1886 ab der Internationalen Erdmessung, Berlin 1865—1906 (Int. Erdm.). Verhandlungen der Permanenten Kommission der Europäischen Gradmessung, Berlin 1865—1896.

9*

Veröffentlichungen des kgl. Preußischen Geodätischen Instituts, Potsdam 1868 bis 1906.

Veröffentlichungen des Zentralbureaus der Internationalen Erdmessung 1861—1906.

(Außer diesen sind die Publikationen der geodätischen Behörden von Holland, Indien, Italien, Norwegen, Rußland, Schweden, Schweiz, Spanien usw. zu nennen.)

D. Lehrbücher.

A. R. Clarice, Geodesy, Oxford 1880.

L. B. Francoeur, Géodésie, 8. Aufl., Paris 1903.

F. R. Helmert, Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie, 2 Bde., Leipzig 1880—84 (Helmert, H. G. 1, 2).

W. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Stuttgart. Bd. 1, Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate, 5. Aufl. 1904; Bd. 2, Feld- und Landmessung, 6. Aufl. 1904; Bd. 3, Landesvermessung und Grundaufgaben der Erdmessung, 4. Aufl. 1896 (Jordan, Handbuch 1, 2, 3).

P. Pizzetti, Trattato di geodesia teoretica, Bologna 1895.

E. Pucci, Pondamenti di geodesia, vol. 2, Milano 1883—87.

L. Puissant, Traité de géodésie usw., 3. éd., Paris 1840.

E. Monographieen theoretischen Charakters.

G. B. Airy, On the figure of the earth, Lond. Phil. Trans. 116 (1826).

С. C. G. Andrae, Problèmes de haute géodésie, Copenhague 1881—83.

J. J. Baeyer, Über die Strahlenbrechung in der Atmosphäre, Petersb. Mém. (7) 3 (1860).

—, Das Messen auf der sphäroidischen Erdoberfläche, Berlin 1862.

—, Über den Einfluß lokaler Lotablenkungen auf das Nivellement, Astr. Nachr. 84 (1874).

C. M. V. Bauernfeind, Die atmosphärische Strahlenbrechung auf Grund einer neuen Aufstellung über die physikalische Konstitution der Atmosphäre, Astr. Nachr. 67 (1866).

F.    W. Bessel, Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen, Astr. Nachr. 4 (1826).

—, Bestimmung der Achsen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht. Astr. Nachr. 14 (1837).

—, Über den Einfluß der Unregelmäßigkeiten der Figur der Erde auf geodätische Arbeiten und ihre Vergleichung mit den astronomischen Bestimmungen. Astr. Nachr. 14 (1837).

G.    O. Bonnet, Mémoire sur la figure de la terre considérée comme peu différenté d’une sphère, Ann. di mat. 2 (1859).

O. Börsch, Die Lotablenkung und ihr Einfluß auf ein geometrisches Nivellement, Zeitschr. f. Vermess. 4 (1875).

—, Anleitung zur Berechnung geodätischer Koordinaten, 2. Aufl., Cassel 1885.

C. Bremiker, Studien über höhere Geodäsie, Berlin 1869.

H.    Bruns, Die Figur der Erde, Berlin 1878.

—, Über die Umkehrung der Besselscheu Methode der sphäroidischen Übertragung, Astr. Nachr. 97 (1880).

E.    В. Christoff el, Über die Bestimmung der Gestalt einer krummen Oberfläche durch lokale Messungen auf derselben, J. f. Math. 64 (1864).

—, Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke, Berlin Abh. 1868.

A. C. Clairaut, La théorie de la figure de la terre tirée des principes de l'hydrostatique., Paris 1743.

G.    De Berardinis, Alcune formole per calcolare un arco di parallelo terrestre, Messina 1890.

J.    B. J. Delambre, Méthode analytique pour la détermination d’un arc du méri

dien précédé d’un Mémoire sur le même sujet par A M. Legendre, Paris 1798.

H.    A. Faye, Réduction au niveau de la mer de la pesanteur observée à la surface de la terre (Coast and geodetical survey), par M. G. B. Putnam, Paris C. R. 120 (1895).

C. F. Gauß, Disquisitiones generales ci)Tca superficies curvas, Göttingen 1827.

—, Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie, Göttingen 1844—47. —, Werke, Bd. 9, Göttingen 1903.

P. A. Hansen, Geodätische Untersuchungen, Leipzig 1865.

F.    B. Helmert, Studien über rationelle Vermessung im Gebiete der höheren Geodäsie, Leipzig 1868.

—, Zur Theorie des geometrischen Nivellierens, Astr. Nachr. 81 (1873).

—, Entwicklung der ersten Glieder für die Reduktion eines sphäroidischen Dreiecks auf ein sphärisches mit denselben Seiten, Zeitschr. f Vermess. 18 (1889). —, Zur Bestimmung kleiner Flächenstücke des Geoids aus Lotabweichungen mit Rücksicht auf Lotkrümmung, Berlin Ber. 1900 und 1901.

H. Hergesell, Über die Formel von G. G. Stokes zur Berechnung regionaler Abweichungen des Geoids vom Normal sphäroid, Straßburg 1891.

K.    G. J. Jacobi, Über die Figur des Gleichgewichts, Ann. Phys. Chem. 33 (1834). ■—, Nouvelles formules de géodésie communiquées par M. le prof. E. Luther à

Königsberg, Astr. Nachr. 41 (1835).

N. Jadanza, Guida al calcolo delle coordinate geodetiche, Torino 1891.

W. Jordan, Ein Beitrag zur Theorie der terrestrischen Refraktion, Astr. Nachr. 88 (1876).

—, Sphäroidische Koordinatenumformung, Zeitschr. f. Vermess. 20 (1891).

L.    Krüger, Zur Theorie rechtwinkliger geodätischer Koordinaten, Zeitschr. f. Vermess. 26 (1897).

P. S. Laplace, Théorie de l’attraction des sphéroides et de la figure des planètes, Paris Mém. pour 1782 (1785).

—, Mémoire sur la figure de la terre, Paris Mém. pour 1783 (1786).

A. M. Legendre, Recherches sur la figure des planètes, Paris Mém. pour 1784 (1787). —, Suite des recherches sur la figure de la terre, ibid. 1789 (1795).

—, Analyse des triangles sur la surface d’un sphéroide, ibid. 7 (1806).

J. Liouville, Note sur la figure d’une masse fluide homogène en équilibre, et douée d’un mouvement de rotation, J. éc. polytechn. 14 (1834).

—, Note sur un passage de la Méc. cél. relatif à la théorie de la figure des planètes, J. de math. 2 (1837).

C. Maclaurin, A treatise on fluxions, Edinburgh 1742.

C. O. Meyer, De aequilibrii formis ellipsoidicis, J. f. Math. 24 (1842).

E. F. A. Minding, Über einige Grundformeln der Geodäsie, J. f. Math. 44 (1852). P. Pizzetti, Sulla espressione della gravita alla superficie del geoide supposto ellissoidico, Rend. Acc. Line. (5) 3 (1894).

J. H. Pratt, A treatise on attractions, Laplaces functions and the figure of the earth, London 1871.

E. Pucci, Sulle formole fondamentali della geodesia geoidica, Milano Ann. d. mat. (2) 14 (1886).

B. A. M. Sadebeck, Über den Einfluß der Lotablenkungen auf Winkelmessungen, Astr. Nachr. 90 (1877).

Ch. M. Schols, Sur l’emploi de la projection de Mercator pour le calcul d’une triangulation dans le voisinage de l’équateur, Delft Ann. éc. polyt. 1 (1885).

0. Schreiber, Die konforme Doppelprojektion der trigonometrischen Abteilung der kgl. Preußischen Landesaufnahme, Berlin 1895.

Th. Simpson, A mathematical dissertation on the figure of the earth, London 1743.

A. Sonderhof, Die geodätischen Korrektionen der auf dem Sphäroid beobachteten Horizontalwinkel, Arch. Math. Phys. 15 (1870).

—, Ein Beitrag zu höheren Geodäsie, Zeitschr. Math. Phys. 17 (1872).

J. Stirling, On the figure of the earth and the variation of gravity on the surface, London Phil. Trans. 39 (1735).

G. G. Stokes, On attractions and on Clairauts theorem, Cambr. Dubl. math. J. 4 (1849) = Papers 2, Cambridge 1883.

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I. Allgemeine Grundlagen.¹)

1. Aufgabe der höheren Geodäsie. Um die Ziele der höheren Geodäsie in Kürze bezeichnen zu können, definieren wir als eine Niveaufläche der Erde²) eine solche Fläche, deren Normale in jedem

Punkte mit der Vertikalen oder Lotrichtung dieses Punktes zusammenfällt. Die Hauptaufgabe der höheren Geodäsie ist dann das Studium dieser Niveauflächen und die Lösung der damit zusammenhängenden Probleme. Die praktische Geodäsie zieht aus diesen Studien insofern Nutzen, als die Niveauflächen die besten Bezugsflächen für die Vermessungsoperationen abgeben, soweit man dabei wie in der niederen Geodäsie nicht überhaupt von der Krümmung der Erdoberfläche ab-sehen kann.

2. Lotrichtung, Schwerkraft. Überläßt man einen materiellen Punkt an der Stelle M, der in bezug auf ein mit dem starren Teil der Erde fest verbundenes Koordinatensystem keine relative Anfangsgeschwindigkeit hat, der Wirkung der Schwere, so bewegt er sich in einer Richtung MV und erhält nach der unendlich kleinen Zeit dt die Geschwindigkeit g dt. Die Richtung MV nennt man die Vertikale oder die Lotrichtung und g die Schwerkraftsbeschleunigung oder kurz Schwerkraft³) im Punkte M. Nach den Sätzen über die relative Bewegung gilt für den Vektor g ⁴)

(i)

s>

9 = K-Ä

wo Aa den Beschleunigungsvektor der absoluten Bewegung des Punktes M und Äs den des beweglichen Raumes (moto di strascinamento) in demselben Punkte bedeutet, d. h. den Beschleunigungsvektor für den Punkt M, wenn er mit dem angenommenen Koordinatensystem fest verbunden gedacht wird. Die Beschleunigung Aa hat ihre Ursache in der Anziehungskraft der Masse der Erde und der Gestirne auf Mf As in der täglichen Umdrehung der Erde um ihre Achse und in ihrer Translation im Raume.

ю nennen.

Wir nehmen jetzt als Koordinatenanfangspunkt den Schwerpunkt der Erde an und als z-Achse eines rechtwinkligen Koordinatensystems die Achse der täglichen Umdrehung, deren Winkelgeschwindigkeit wir Bezeichnen wir dann mit V das Potential der Erdmasse in bezug auf M(x, y, z), mit X{, Yi} Z. die Koordinaten eines punktförmig gedachten Gestirns von der Masse gi, mit Rif die Entfernungen des Gestirns vom Koordinatenanfangspunkt und von M und

mit f die Gravitationskonstante, so ergeben sieb als Komponenten des Vektors g nach (1):

& - fVx +    ¹

9y = fTy +    ^

9z=f\7

dV

wo

Xi

Ci³

^ (X— X    X\

'g\ Q³    MS)

/> (дг — (jR-J-d)*)’

wo d die größte Entfernung des Punktes M vom Koordinatenanfangs-

punkt bedeutet. Die letzte Größe kann man aber angenähert durch

d    a d³

2 f g • -д-j oder auch durch A g = 2g • — ersetzen, wo m die Masse

der Erde bezeichnet. Für die Sonne ist ~ — 324400, ^ > 23000, daher A g <

ist und ähnliche Ausdrücke für rj und £ gelten; die Summation ist über die verschiedenen Sterne zu erstrecken.

Bei einer ersten Definition der Vertikalen, und soweit man die Figur der Erde als unveränderlich betrachtet, können die Glieder I, 77, £ vernachlässigt werden. Denn es ist die Länge des Vektors, dessen erste Komponente

ist, immer kleiner als

mföööo^ fUr dea Mond «üt S<0’⁰¹²⁶’ §> ⁵⁶>⁹' A g < 73^ööö g'⁵) ®^r P^ane^en ergibt sich Д g noch viel kleiner.

In Anbetracht der Beobachtungsungenauigkeit bei der Bestimmung von g sind aber solche Werte von A g für die Geodäsie ganz ohne Bedeutung.

Wir reduzieren deshalb die Komponenten der Schwerebeschleunigung auf die Ausdrücke:

(2)

9x =

dW

cW

' gy dy ’ 9z dz ⁷

wo

(3)

5) Solchen Änderungen der Größe von g entsprechen Änderungen der Lot-

О'',028.

richtung, die nicht größer sind als

g • arc 1"

ist. Auf Grund der Sätze über die Kräfte, die ein Potential (vgl. II A 7b (H. Burkhardt und W. F. Meyer)) besitzen, findet man dann, daß:

W — konst.

die Gleichung einer Niveaufläche ist und daß die Schwerkraft im Punkte M durch

(4)

_ dW g — ~~~dF

gegeben ist, wo dn ein Element der auf der Niveaufläche in M nach außen hin errichteten Normalen ist.

Wenn man von den Meeresbewegungen, die aus astronomischen oder meteorologischen Ursachen entstehen, absieht, so wird die Wasseroberfläche des Meeres zu einer Niveaufläche gehören, und wenn man noch annimmt, daß die Oberflächen der verschiedenen Meere in einer einzigen Niveaufläche liegen, so wird man diese als Bezugsfläche wählen und ihre Bestimmung als das Endziel der geodätischen Operationen ansehen können⁵ 6). Nach einer von J. B. Listing'¹) eingeführten Bezeichnung hat man ihr den Namen Geoid gegeben. Da es aber erstens zweifelhaft ist, ob das Mittelwasser der Meere, wie es von den Pegeln aufgezeichnet wird, genügend genau mit demjenigen übereinstimmt, das sich bei Abwesenheit der störenden Ursachen einstellen würde, und zweitens, ob die Mittelwasser verschiedener Pegel derselben Niveaufläche angehören, so ist es präziser, durch Übereinkunft diejenige Niveaufläche, die durch den Stand des Mittelwassers an einem bestimmten Pegel gegeben ist, als Geoid anzusprechen⁷).

3. Beobachtungstatsachen und Sätze der Potentialtheorie.

3. Beobachtungstatsachen und Sätze der Potentialtheorie. Wir

wr+2 _|_ щтг+2пг+4: -f- • • -,

(21),

= tg cp, rß = Y-e*

(A)

D. Erdmessung.

52. Benutzung einiger astronomischer Daten zur Ber

¹

   Einen großen Teil der Literaturnachweise über die fundamentalen Fragen der Geodäsie findet man in Teil III (Summarische Entwicklungsgeschichte der geodätischen Kenntnisse).

²

   C. Maclaurin (A treatise on fluxions, Edinburgh 1742) benutzte zuerst (nach Todhunter, History, chapt. IX) die Bezeichnung Niveaufläche bei Unter Buchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeitsmassen.

³

   Die einfache Anziehungskraft der Erde auf einen Massenpunkt 1 bezeichnen P. L. M. de Maupertuis und A. C. Clairaut mit gravité, C. Maclamin mit gravity und B. G. Boscovich mit gravitas primitiva. Die zusammengesetzte Wirkung der Anziehungskraft der Erde und der durch die tägliche Bewegung verursachten Zentrifugalkraft bezeichnen die genannten Autoren der Reihe nach mit pesanteur, gravitation und gravitas residua (vgl. Todhunter, History, § 25).

⁴

   Da in dem betrachteten Augenblicke die relative Geschwindigkeit Null ist, ist auch die sog. „zusammengesetzte Zentrifugalbeschleunigung“ gleich Null.

⁵

   Daß das Studium der Figur der Erde an eine Niveaufläche anknüpfen muß, ist explizite zuerst von C. F. Gauß ausgesprochen in „Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona usw.“, Werke 9, p. 49. Stillschweigend ist man allerdings immer von diesem Gedanken ausgegangen, sobald man begonnen hatte, sich systematisch mit dem Problem der Figur der Erde zu beschäftigen. So stellt J. Newlon in t. Ill, prop. XVIII der Principia, wo er das Verhältnis der polaren Halbachse eines Planeten zur äquatorealen bestimmen will, die Bedingung auf, daß die Meere sich im Gleichgewicht befinden sollen. Man vergleiche ferner A. C. Glairaut, Theorie de la figure de la terre, Paris 1743, Einleitung. F. W. Bessel (Gradmessung in Ostpreußen, Abhandlungen 3, p. 128) definiert als mathematische Figur der Erde diejenige Fläche, in der die Oberflächen eines Netzes von Kanälen liegen würden, die mit dem Meere kommunizieren usw.

⁶

   Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Größe der Erde, Göttingen 1873, p. 41. Man benutzt auch nach F. W. Bessel die Bezeichnung „mathematische Figur der Erde“ (F. Ji. Helmert, H. Bruns u. a.).

⁷

   Die genannten Zweifel sind speziell ausgesprochen von H. Bruns, Die Figur der Erde, Berlin 1878, § 1. Die Frage, der präzisen Definition des Geoids

129

3. Beobachtungstatsachen und Sätze der Potentialtheorie. Wir

können als gegebene Tatsachen annehmen:

1) daß die physische Erdoberfläche wenig von einer Kugel verschieden ist, deren Mittelpunkt auf der Rotationsachse der Erde liegt oder daß, nachdem man einen Punkt C auf der Rotationsachse und einen Radius В geeignet gewählt hat, die Differenz zwischen В und dem Radiusvektor r von C nach einem Punkte P der Erdoberfläche eine kleine Größe im Vergleich zu В ist, genauer, daß

I B-r > /

I T<

ist:

OJ*PS

2) daß das Verhältnis

wo

M die Masse der Erde bezeichnet, ungefähr gleich

Folgerungen. Wenn man von den vorstehenden Daten ausgeht, so kann man beweisen, daß

1) die Richtung der Schwerkraft in einem Punkte P der Erdoberfläche oder außerhalb derselben mit dem Radiusvektor CP einen

stumpfen Winkel bildet, wenigstens so lange dieser Radiusvektor rundgerechnet weniger als sechsmal so groß ist als der mittlere Radius B. Außerhalb der Erdoberfläche und innerhalb dieser Grenze kann man deshalb sicher sein, daß die Funktion W nach oben hin abnimmt.

2) Innerhalb der genannten Grenze sind die Niveauflächen geschlossen und schneiden je den von C ausgehenden Radius nur einmalll).

Sätze der Potentialtheorie. Aus den Eigenschaften der Potentialfunktionen und aus einfachen Rechnungen mit Benutzung von (2), (3), (4) findet

man:

a) Die Niveauflächen W = konst, sind stetige Flächen ohne Kanten und Ecken.

hängt mit der Wahl des Nullpunktes für die Höhen zusammen, worüber man Nr. 37 vergleiche.

9) Wenn man von den geographischen Beweisen absieht, so wird die annähernde Kugelgestalt der Erde noch durch verschiedene astronomische Tatsachen, speziell durch die Mondparallaxen, bewiesen.

10) Helmert, H. G. 2, p. 82; J. Tisserand, Traité de mécanique céleste 2, p. 91. Den Wert dieses Verhältnisses kann man aus der Theorie der Mondbewegung ableiten.

11) Daß die Niveauflächen der Erde geschlossen sind, wird gewöhnlich ohne Beweis angenommen. Der Beweis ergibt sich leicht aus den angeführten Tatsachen, vgl. P. Pizzetti, Acc. Line. Rendic. (5) 10 (1901), p. 9 u. 35.

b)    Die Richtung der Schwerkraft ändert sich stetig von einem Raumpunkt zum andern. (Diese beiden Tatsachen gelten sowohl innerhalb wie außerhalb der Erdoberfläche.)

c)    Die Krümmung der Niveauflächen (d. h. die Hauptkrümmungsradien und die Richtung der Krümmungslinien) ändert sich im Innern der Erde nur dann stetig, wenn die Dichte sich stetig ändert. Erleidet diese an einer Stelle eine sprungweise Änderung, so treten auch Krümmungsdiskontinuitäten in den Niveauflächen auf¹).

d)    Wenn X eine Tangente in einem Punkte P einer Niveaufläche ist und wenn man auf der Vertikalen von P einen unendlich benachbarten Punkt Pt im Abstande dz annimmt, so bildet die Vertikale P₁V₁ von Px mit der Geraden x einen Winkel, dessen Kosinus bis auf Glieder zweiter Ordnung den Wert hat² 3):

(5)

, x dz d q

eos(«i*)“=y05> wo die Werte von g und der Ableitung von g sich auf den Punkt P beziehen.

e) Wenn das Potential der anziehenden Masse aus irgend einem Grunde eine unendlich kleine Änderung ÔV erfährt, so erleidet die Niveaufläche (die einem bestimmten Werte der Funktion W entspricht)

die Verschiebung dJi — — ) (h positiv nach oben gerechnet).

4. Weitere Folgerungen aus der Potentialtheorie. Theorem von G. G. Stokes. Wenn man eine Niveaufläche S außerhalb der Erdmasse als bekannt voraussetzt und wenn die Gesamtmasse M der Erde gegeben ist, so ist die Funktion W und deshalb auch der Wert der Schwerkraft für alle Punkte auf S und außerhalb von S bestimmt⁴). Denn macht man zwei verschiedene Annahmen Vy V' über den Aus-

druck des Potentials der Anziehungskraft der Erde, so muß die Funktion V — V sich auf S auf eine (unbekannte) Konstante C reduzieren und überdies außerhalb von S der Gleichung A = 0 genügen. Andrerseits ist V — У die Potentialfunktion der Gesamtmasse Null. Die Konstante C muß deshalb Null sein¹⁶) und daher auch F — V sowohl auf S wie außerhalb von S verschwinden.

Setzt man speziell voraus, daß S ein abgeplattetes Rotationsellipsoid sei, dessen kleine Achse mit der Rotationsachse der Erde zusammenfällt, so erhält man für einen beliebigen Punkt P:

2 7CQa²b

(a* - b²)s/l

V = (Ж + -f л p а²Ъ)

arc tg E (a² — 6²)¹/*

(E

arc tg E)z²

(6)

яQ агЪ

^arc tg E

! Ы ^ + У^‘

Darin bedeuten х, у, z die Cartesischen Koordinaten von P, der Mittelpunkt des Ellipsoids ist Anfangspunkt des Koordinatensystems und die z-Achse fällt mit der Rotationsachse zusammen; а, а, Ъ sind die Halbachsen des Ellipsoids. Außerdem ist gesetzt:

a² — 6²

ь* + х

unter Я die größere Wurzel der Gleichung:

z²

b²-f-^

verstanden. Die Größe q ist ferner definiert durch die Formel:

a² -f-1

£ö²

3-1- s    ,    3

= -73- arc tg s —- -^s-,

l/a² — b² . , WO £ = -----.--------- ist.

In dem praktisch wichtigen Falle, daß e sehr klein ist, ist es zweckmäßig, die Ausdrücke für V, E und Я in Reihen zu entwickeln, bei alle höheren Potenzen von s als die dritte und das Produkt von E² mit со² vernachlässigt werden können.

Die Formeln (3) und (6) geben dann:

a²Mf

wo-

(7)

Mf

r ¹

6r⁸

(3 sin² в —2) (f²

ascos

Mf

eo²r² ein² 0

wenn man mit r den Radiusvektor und mit в das Komplement der geozentrischen Breite von P bezeichnet. Mit demselben Grade der Annäherung ergibt sich für die Schwerkraft im Punkte P:¹⁵)¹⁷)

16)    Beweis durch Anwendung der Formeln (16), (17) in II A 7b (H. Burkhardt und W. F: Meyer) auf die Funktion V—V.    .

17)    Helmert, H. G. 2, p. 75. Der vollständige Ausdruck von V für ein Ellipsoid ist 1890 von M. Нашу mit Hülfe .Lameseher Funktionen gegeben [J. de

(8)    9 =

Mf , a^Mf

(3 sin* 9 —2—

— œ² r sin² в,

wo да die Schwerkraft auf dem Äquator bezeichnet. Durch Anwendung der letzten Formel ergibt sich, indem man nacheinander 9 = 0 und в = 90° setzt:

9ь —9a _ ± m*a

² 9a

oder auch mit derselben Annäherung:

5 со* а ²    9 a

9ь--9л g

9a

Hier bezeichnet gb die Schwerkraft am Pol und а die Abplattung -—- des Ellipsoids. Die Gleichung (9) heißt das Clairautsche Theorem.

CO² CI

Der Bruch----(Verhältnis der Zentrifugalkraft zur Schwerkraft am

9a

Äquator) ist merklich identisch mit dem Ausdruck

(9)

,,.'n?

aus Nr. 3

und hat deshalb den numerischen Wert ----- - ; wir werden ihn mit у

288,4

fM

bezeichnen.

Mit demselben Grade der Annäherung können wir Formel (8) die Gestalt geben:

(8')

9 = 9a(l + ß Sin2 4>) = #45 (l

--r- COS

in der man gewöhnlich die Schwerkraft im Meeresniveau ausdrückt; cp bedeutet die geographische Breite und gtó die Schwerkraft unter der Breite 45°.

Die Formel (8') ist von J. Newton¹⁸) für den Fall eines homogenen Planeten gegeben und von А. C. Clairaut unter der allgemeineren Voraussetzung bewiesen, daß die Dichte im Erdinnern sich in gewisser regelmäßiger Weise ändere; unter derselben Voraussetzung hat Clairaut auch zum ersten Male die Formel (9) bewiesen¹⁹). G. B. Airy²⁰) behauptete dann und G. G. Stokes²¹) bewies, daß die Relation (9) ledig-math. (4) 6 (1890), p. 69]. Ohne Benutzung jener Funktionen hat P. Pizzetti den expliziten Ausdruck für V (Formel (6)) entwickelt | Acc. Line. Rend. (5) 3 (1894), p. 166]. Es ist leicht zu sehen, daß der angenäherte Wert (7) von W mit dem durch Formel (1) bei Helmert, H. G. 2, p. 75 gegebenen übereinstimmt, wenn man die Formeln (10), (11), (12) (p. 75) berücksichtigt. Mit derselben Annäherung stimmt unsere Gleichung (8) mit (3) bei Helmert überein.

18)    Phil. nat. principia 3, prop. XX.

19)    Théorie de la figure de la terre tirée des principes de l’hydrostatique, .Paris 1743, 2. partie, § 49.

20)    London Phil. Trans. 116 (1826), p. 562—578.

21)    Vgl. Fußnote 15.

lieh daraus folgt, daß die Niveaufläche im Meeresniveau ein abgeplattetes Rotationsellipsoid sei. Die Benutzung der Schwerkraftsmessungen zur Bestimmung der Abplattung ist deshalb völlig unabhängig von der Annahme über die Verteilung der Dichte im Erdinnern.

Setzt man voraus, daß die Niveaufläche 8 ein wenig von einem Ellipsoid verschieden sei und daß in jedem Punkte die Differenz Ag zwischen dem wirklichen Wert der Schwerkraft mit dem durch Formel (8') gegebenen bekannt sei, so kann man nach Stokes in jedem Punkte den Abstand An der Fläche S von dem Ellipsoid E, auf das (8') sich bezieht, ermitteln. Mißt man den genannten Abstand An längs des Radiusvektor vom Zentrum C des Ellipsoids nach irgendeinem Punkte P von S (oder mit derselben Annäherung längs des Lotes in P), so ergibt sich:²²)

(10)

An —

*ofAg {

S

cosec

- 4-2

-f- 1 — 6 sin

’S <M

— 5 cos ip — 3 cos

t lg (sin + sin²J

d £1,

wobei die Integration über S oder mit derselben Annäherung auch über eine Kugel zu erstrecken ist; d£l bedeutet das Flächenelement auf einer Kugel um C mit dem Radius 1, A g ist die Schwerestörung im Punkte Ж, auf den sich das Element dkl bezieht und ф der Winkel, unter dem die Entfernung PM von C aus erscheint; 6r bezeichnet einen Mittelwert von g.

Die Stokessche Formel wird einen praktischen Wert haben, wenn von zahlreichen gleichmäßig über die Erde verteilten Orten Schwerkraftsmessungen vorliegen. H. Hergesell²³) glaubt sogar, daß man auch aus einer beschränkten Zahl von Schwerkraftsmessungen um einen Ort herum, wenn auch nicht auf den Betrag, so doch auf das Vorzeichen der Abweichung des Geoids vom Ellipsoid an jenem Orte schließen kann.

Sowohl bei dem Beweise des Glairautschen. Satzes wie bei dem der Formel (10) macht Stokes von der Entwicklung des Potentials nach Kugelfunktionen²⁴) Gebrauch, indem er mit den Kugelfunktionen

22)    Cambridge Phil. Trans. 8 (1849), p. 672; Helmert, H. Gr. 2, p. 258.

23)    Über die Formel von G. G. Stokes zur Berechnung regionaler Abweichungen des Geoids vom Normalsphäroid, Diss. Straßburg 1891 (vgl. dazu die Bemerkungen von A. Börsch in Fortschr. d. Math. 22 (1893), p. 1194).

24)    Die Entwicklung der Potentialfunktion schreitet nach ganzen positiven

Potenzen des Verhältnisses

nach dem „Aufpunkt“ fort. Da dies Verhältnis nicht immer kleiner als 1 ist, so

Encyklop. d. math. Wiaaensch. VI 1.

's. I

des Radiusvektors nach dem Massenelement und

10

zweiter Ordnung abbricht. Helmert²⁵) berücksichtigt auch noch Kugelfunktionen vierter Ordnung und erhält, indem er die Darstellung der Schwerkraft durch die Formel:

9 = 9a(\ + ß* sin2 <P + & sin4 4>)

als gegeben ansieht, als Gleichung des Meridians der Niveaufläche die folgende Beziehung zwischen dem Radiusvektor r und der Breite cp:

(11) r = a{ 1 — a(l -f- ß — a) sm²<p — dsin²cp -f- (aß — a²-}- d) sin⁴<p},

wo

ß — ßi + ßa a — ₂ У — ß — a (« + у) + у ^ y (7 a² — 4 a/3 -f /3₄)

ist.

5. Beobachtungen zur Bestimmung des Geoids. Reduktion der Schwerkraftsmessungen.

a) Astronomisch-geodätische Beobachtungen. Die Lotrichtung V eines Punktes P wird charakterisiert durch die beiden Elemente: astronomische Breite und Länge, von denen die erste das Komplement des Winkels ist, den die Richtung V (nach oben hin) mit der Nordrichtung der Erdachse macht und die zweite derjenige Winkel, den die durch die Vertikale parallel zur Erdachse gelegte Ebene (astronomische Meridianebene in P) mit einer festen Ebene durch die Erdachse (Nullmeridian) macht. Wir werden die Länge positiv von 0° bis 360° nach Osten rechnen; den Ort der Punkte mit der Breite Null werden wir Erdäquator nennen und allen Punkten nördlich vom Äquator positive und südlich vom Äquator negative Breite beilegen. Durch Vergleichung der Zenitrichtung mit den Richtungen nach den Gestirnen an der Himmelskugel liefert die sphärische Astronomie (vgl. VI 2, 2, F. Cohn) die Mittel, um für jeden Erdort Länge und Breite zu ermitteln. Es gibt noch ein drittes astronomisch-geodätisches Element, „das astronomische Azimut“, das folgendermaßen definiert ist. Ist A irgend ein von P aus sichtbarer Punkt, so heißt astronomisches Azimut des Punktes A in bezug auf P der Winkel, den die durch A bestehen Konvergenzbedenken gegen eine solche Entwicklung (vgl. Helmert, H. G. 2, p. 135 und Tisserand, Me'c. cél. 2, p. 317). Um solchen Bedenken aus dem Wege zu gehen, hat Helmert die „Methode der Kondensation“ ersonnen, von der in der nächsten Nummer die Rede sein wird. Eine Ableitung der Formel (10), die von den genannten Bedenken frei ist, hat Pizzetti gegeben, Torino Acc. Atti 31 (1896), p. 859.

25) H. G. 2, p. 77—85.

gehende Vertikalebene in P mit der Meridianebene von P bildet; es wird positiv von Norden über Osten-Süden-Westen von 0° bis 360° gerechnet.

b) Die eigentlichen geodätischen Messungen. Als solche kommen in Betracht:

1. der Winkel, welchen der Visierstrahl von P nach einem Punkte A mit der Lotrichtung in P bildet (.Zenitdistanz von A in bezug auf P);

2.    der Winkel BZ A zwischen den Vertikalebenen in P; die durch zwei von P aus sichtbare Punkte A und В gehen (Horizontalwinkel zwischen den Punkten A und В von P aus oder Differenz der Azimute);

3.    die Länge gewisser, im nächsten Abschnitt zu definierender Linien zwischen zwei Punkten der Erdoberfläche;

4. die Höhen der Punkte über dem Meeresniveau, c) Andere astronomische Daten außer den unter a) genannten, wie die Mondparallaxe, die Ungleichheiten der Mondbewegung, die Präzession und Nutation, können nur in geringerem Grade zur Kenntnis der Erdgestalt beitragen wie die vorher angeführten; wir berichten darüber in Nr. 53.

d) Schwerkraftsmessungen. Indem wir wegen der Theorie des Pendels und der Messung der Schwerkraft mit demselben auf IV 7 (Ph. Furtwängler) verweisen, sei hier nur erwähnt, daß man die Schwer-kraftsmessungen in absolute und relative Messungen einteilt. Die ersten haben den Zweck, direkt den Wert von g an einem Orte zu ermitteln und erfordern viel Zeit, Sorgfalt und komplizierte Apparate; bei den relativen Messungen will man dagegen nur die Differenz der Schwerkraftswerte für zwei Orte ermitteln, was sich in kürzerer Zeit und mit verhältnismäßig einfacheren Apparaten erreichen läßt⁵).

Indem wir die Auseinandersetzungen über die Reduktion der eigentlichen geodätischen Messungen (welche die Hauptaufgabe der Geodäsie bilden) auf den folgenden Abschnitt verschieben, seien hier nur einige Worte über die Reduktion der Schwerkraftsmessungen gesagt.

Die beobachteten Schwerkraftswerte müssen reduziert werden, um sie sämtlich auf eine Niveaufläche (gewöhnlich das Meeresniveau) zu beziehen. Sei Q der Ort, an dem die Schwerkraft gq gemessen ist, und P der Punkt, in dem die Vertikale von Q das Geoid trifft, und setzen wir für den Augenblick voraus, daß sich zwischen Q und

10*

P keine Masse befindet, so kann die Differenz gp — gą mit genügender Genauigkeit nach der Formel⁶):

(12)

dp dq jg 9 q

berechnet werden, wo H = PQ ist und R einen mittleren Erdradius bedeutet. Befindet sich zwischen A und В Masse, so hat man lange Zeit die Attraktion der gesamten Schicht von der beobachteten Schwerkraft abgezogen. Wird der Einfachheit halber das Terrain um Q als horizontal vorausgesetzt, so kann man diese Attraktion mit

(13)

3 H ©

2 JR &m g%

ansetzen, wo &m die mittlere Erddichte und Q die Dichte der Massenschicht zwischen Q und P bedeutet. Die vollständige Korrektion würde also sein⁷):

(14)

9, —9, =

CO •'vH

0 \

@m) ⁹'l '

Will man auf die Abweichung des Terrains von der Horizontali-tät Rücksicht nehmen, so muß man noch die Attraktion T der Masse, die sich zwischen der horizontalen Ebene von Q und der wirklichen Erdoberfläche befindet oder dort fehlt, in (14) rechts hinzufügen. Man hat dann:

(i

3    0

4    0m

T heißt die Reduktion auf horizontales Terrain⁸).

Diese Reduktionsart der beobachteten Schwerkraft stützt sich auf ein Prinzip, dessen Richtigkeit die Erfahrung im allgemeinen nicht bestätigt hat, nämlich, daß die Abweichungen des Geoids von einem Ellipsoid ausschließlich der Wirkung der sichtbaren Störungsmassen

(140

9p    9 q    ft

) 9, + T,

zuzuschreiben seien, also den Massen über dem Meeresniyeau und dem Massendefekt, der durch die geringere Dichte des Meerwassers im Vergleich mit den oberflächlichen Erdschichten heryorgerufen wird. In Wirklichkeit liegen die Dinge in der Mehrzahl der Fälle so, daß irgend eine Ursache (Massendefekte unter den Gebirgen und die erhöhte Dichte der Massen, die den Meeresboden bilden) die Wirkung der sichtbaren Störungsmassen zu kompensieren strebt, so dass wenigstens auf kontinentalen Stationen mit größerer Wahrscheinlichkeit die nach Formel (14) oder (14') reduzierten Schwerkraftswerte mehr von den normalen (auf dem Ellipsoid) abweichen als die nach der einfachen Formel (12) reduzierten⁹).

In jedem Falle ist es sicher, daß die nach Formel (14) oder (14*) reduzierte Schwerkraft sich nicht auf das wirkliche, sondern auf ein fingiertes Geoid bezieht.

Helmert¹⁰) hat vorgesehlagen, hauptsächlich um Konvergenzbedenken bei der Entwickelung des Potentials nach Kugelfunktionen zu beseitigen²⁴), der wirklichen Massenverteilung der Oberflächenschichten der Erde eine fingierte Massenverteilung zu substituieren, die dadurch erhalten wird, daß man auf eine Fläche S', parallel zum Geoid in der Entfernung о Ft (ü Abplattung), alle Masse zwischen S' und der Erdoberfläche kondensiert. Helmert beweist — und das ist von besonderer Wichtigkeit —, daß bei dieser Kondensation die Niveauflächen nicht merklich geändert werden¹¹).

Auch die Änderungen der Schwerkraft bei der Kondensation sind im allgemeinen ziemlich klein, wenigstens im Innern der Kontinente¹²), sie sind etwas erheblicher für kleine Inseln und die Meeresküsten. Die Kondensationsmethode hat außer dem schon erwähnten theoretischen Vorteil noch den, daß sie die Wirkung lediglich lokaler Störungen auf die beobachteten Schwerkräfte werte herabmindert, ohne doch den allgemeinen Gang der Niveaufläche erheblich zu ändern³⁴).

Wir übergehen die Probleme und Formeln, welche sich auf den Zusammenhang zwischen den Schwerkraftswerten und der Dichte der Oberflächenschichten der Erde beziehen und verweisen dieserhalb auf VI l, 7.

6. Geodätische Bestimmung des Geoids. — ReferenzeHipsoid.

Die im vorigen Paragraphen aufgezählten Beobachtungsdaten genügen, um die Richtung und die räumliche Lage einer Anzahl von Vertikalen oder Normalen zum Geoid festzulegen, und diese Fläche kann dann (wenigstens für begrenzte Gebiete) mit der praktisch erreichbaren Annäherung durch die beiden Bedingungen bestimmt werden, daß sie erstens durch einen festen Punkt geht (Mittelwasser eines gewissen Pegels) und zweitens das System der beobachteten Vertikalen orthogonal schneidet. Praktisch schlägt man zur Lösung des Problems einen indirekten Weg ein, indem man zunächst eine einfache Hypothese über die allgemeine Gestalt des Geoids macht und die Fläche in dieser vereinfachten Gestalt als Referenzfläche für die geodätischen Rechnungen zugrunde legt. Indem man die Beobachtungen dieser Fläche anzupassen versucht, ergeben sich dann die systematischen Abweichungen des gesuchten Geoids von der Referenzfläche.

Als hervorragend geeignet hat sich die Annahme eines Rotations-ellipsoides, dessen Rotationsachse mit der Erdachse zusammenfällt, erwiesen, eine Annahme, zu der man vor allen Dingen auf Grund hydrostatischer Erwägungen geführt wird. Auf Grund der genannten Hypothese werden wir dann im nächsten Abschnitt sehen, wie man die Konstanten des Ellipsoids in der Weise bestimmen kann, daß seine Normalen möglichst wenig von den beobachteten Vertikalen abweichen, und wie man, wenigstens für bestimmte Gegenden der Erdoberfläche, die Abweichungen des Geoids vom Ellipsoid ermitteln kann.

Wie die Schwerkraftsmessungen zur Kenntnis des Geoids beitragen, geht zur Genüge aus Nr. 4 hervor.

berücksichtigen, und bei Inselstationen auf hoher See nur die Masse des Inselpfeilers in Rechnung zu ziehen.

34) Wegen der Reduktion der Schwerkraft auf eine gemeinsame Niveaufläche vgl. auch F. B. Helmert, Berlin Ber. 1902, p. 843; 1903, p. 650.

7. Lotabweichungen. Eine geodätische Bestimmung der Gestalt des Geoids kann man nur in begrenzten Gebieten der Erde ausführen, nämlich nur dort, wo es möglich ist, eine Anzahl von Punkten durch geodätische Messungen zu verbinden. Aber auch in dieser Beschränkung kann man das Problem nur durch sukzessive Annäherungen lösen. Um sich die zur Berechnung der geographischen Positionen auf dem Referenzellipsoid nötigen Daten zu verschaffen oder um die Winkel, Längen und die beobachteten astronomischen Elemente auf das Ellipsoid reduzieren zu können, muß man in erster Annäherung Ellipsoid und Geoid identifizieren. Erst wenn die Abweichungen zwischen beiden Flächen näherungsweise bekannt sind, kann man die Beobachtungsdaten mit größerer Genauigkeit auf das Ellipsoid reduzieren.

Wenn P (mit der astron. Breite Я und der astron. Länge V) ein Punkt des Geoids ist und P' seine Projektion auf das Ellipsoid, so bezeichnet man mit „totaler Lotabweichung“ (déviation, attraction locale)¹³) in P den Winkel О, den die Vertikale v in P mit der Normalen n des Ellipsoides in P' bildet; ellipsoidische Breite cp und Länge со heißen (entsprechend Я und Ï) die Winkel, welche die Richtung der Normalen n bestimmen. Die Differenzen Я — cp, l — ю nennt man Lotabweichungen in Breite und Länge.

Bezeichnet man mit у den Winkel, den die Ebene vP'n mit dem ellipsoidischen Meridian von P' macht (Azimut der Abweichungsebene), so hat man:

(15)

(16)

дер — Я — cp = & cos у, дсэ — I — со — & sin у sec cp.

Die Korrektionen ôA, ÔÇ, die man an dem astronomischen Azimut A und der Zenitdistanz Z eines zweiten Punktes В auf dem Geoid in bezug auf den Punkt P anbringen muß, um die analogen Größen a, £ für das Ellipsoid zu erhalten, haben die Werte¹⁴):

A — a = dM = sin<]pda> — & cotg £ sin (y — a),

(17)

(18)

Z — £ = d£ = — co s A • dep — sin A co s cp da.

In (17) ist das zweite Glied wegen der Kleinheit von cotg £ im allgemeinen zu vernachlässigen und man hat dann

(17')

dA = sin (p ■ da,

was von P. S. Laplace (Méc. cél. 2, livre III, § 38) zuerst angegeben ist.

Beschränkt man sich auf die Genauigkeit, mit der (17') gilt, so haben die Lotabweichungen auf die Messung der Horizontalwinkel keinen Einfluß.

8. Reduktion der beobachteten Lotrichtungen. Bei einer endgültigen Bestimmung von Geoidteilen muß man noch eine andere theoretische Korrektion berücksichtigen. Ist A ein Beobachtungspunkt, Av die Vertikale von A, ferner A' der Punkt, in dem Av das Geoid trifft und Äv die Vertikale in A', so müßte man zur Bestimmung des Geoids die Richtung Äv kennen, während die astronomischen Beobachtungen nur Av liefern. Der Richtungsunterschied zwischen beiden Geraden ist aber im allgemeinen nicht zu vernachlässigen, wenn nicht die Höhe AÄ — H des Punktes A über dem Meeresniveau sehr klein ist.

Nimmt man die Meeresoberfläche als Rotationsellipsoid an, so fällt die Länge von A mit der von A' zusammen, während die Breite X von A um den Betrag³⁷):

öMÖ s*n ^ ^ C®" in m ? d X in Sek.)

zu korrigieren ist, um die Breite X' von A' zu erhalten.

Aber bei einer hypothesenfreien Bestimmung des Geoids kann man den Übergang von Av auf Äv nicht in dieser Weise ausführen. Das einzige nicht willkürliche Mittel wird hier durch Schwerkrafts-

dX = X' — X = —

36)    F. W. Bessel, Astr. Nachr. 14 (1837), p. 333; Y. Villarceau, J. de math. (2) 18 (1873), p. 393; Helmert, H. G. 1, Kap. 12.

37)    In dieser Gestalt wird die Korrektion von Helmert, H. G. 2, p. 98 gegeben; auch C. F. Gauß hat sie bereits berechnet, indem er von der Clairaut-schen Formel:

5, = 5,4б(¹— g cos 2 qp)

ausging. Gauß setzt

ДЯ = — 1070” •

— sin 2 œ. а

Man findet diesen Ausdruck in einem Briefe an J. J. Baeyer, vgl. Astr. Nachr. 84 (1874), p. 1.

messungen auf Grund von Formel (5) geliefert, aus der sich ergibt:

(18')

öl = —

*g ■ (!)secU-

WO

sich die Quotienten ^0 und auf den Punkt A beziehen. Es

ist indessen zu bemerken, daß die eben angegebenen Formeln eine stetige Änderung der zweiten Ableitung von W zwischen A und A' und deshalb auch eine stetige Dichteänderung zwischen den genannten Punkten zur Voraussetzung haben, was in Wirklichkeit im allgemeinen nicht zutrifft. Der Einfluß unvorhergesehener Dichteänderungen kann aber von derselben Größenordnung sein, wie die aus (18') resultierenden Werte von dl, öl.S8) Die Formeln (18') werden am besten benutzt, wenn man darauf verzichtet, die Gestalt der Meeresniveaufläche direkt zu bestimmen und statt dessen eine höhere Niveaufläche bestimmen will, die gänzlich außerhalb der festen Erdrinde verläuft.

Helmert¹⁵ 16) hat gezeigt, wie man kleine Flächenstücke des Geoids bestimmen kann, ohne daß dabei die Reduktion von Länge und Breite auf das Meeresniveau nötig wird. Statt dessen braucht man einen Mittelwert gm der Schwerkraft längs des Lotabschnitts zwischen dem Beobachtungsort und dem Geoid.

9. Bessels Rotationsellipsoid. Wir werden als Referenzfläche das von F. W. Bessel¹⁷) berechnete Rotationsellipsoid annehmen, dessen Konstanten folgende Werte haben:

e² =

as — Ъ*

Halbe große Achse a = 6 377 397,16 m Ъ = 6 356 078,96 m

‘I- =0,003342773 = jA,

kleine

= 0,006674372

Die Rechnungen von A. R. Clarke¹⁸) und die ersten Resultate

der Nordamerikanischen Gradmessung scheinen allerdings bewiesen zu haben, daß es zweckmäßig ist, die große Halbachse des Besselsehen

70    50

bedenken, daß der

ihres

Ellipsoides um 800 bis 900 m und die Abplattung Wertes zu vergrößern. Aber andererseits ist zu aus den Schwerkraftsmessungen abgeleitete Abplattungswert weit besser mit dem Bessel sehen als dem Clarkesehen Werte stimmt und daß auch neuere europäische Triangulierungen sich besser dem Besselschen

um

Ellipsoide anzupassen scheinen¹⁹). Nun genügt für die praktischen Zwecke der Geodäsie die Ersetzung des Geoids durch das Bessel sehe Ellipsoid vollkommen; für die theoretischen Studien soll es aber nur als Referenzfläche dienen, es hat also nur die Bedingung zu erfüllen, daß seine Abweichungen vom Geoid so klein sind, daß die sogenannten Differentialformeln auf sie angewandt werden können. Da das Bessel-sche Ellipsoid diese Bedingung erfüllt, kann man stets auf dasselbe Bezug nehmen²⁰).

Wenn man für Näherungsrechnungen das Ellipsoid durch eine Kugel ersetzen will, so kann man als Radius:

a(l—Ç\ = 6370,3 km

nehmen. Diese Kugel hat dann bis auf Glieder von der Ordnung e⁴ in R die folgenden Größen mit dem Besselsehen Ellipsoid gemeinsam: 1) den mittleren Krümmungsradius der Fläche (unter Krümmungsradius einer Fläche in einem Punkte das Reziproke der Gauß sehen Krümmung verstanden), 2) den mittleren Halbmesser (die Mittelbildung erfolgt in beiden Fällen durch Integration über die Fläche), 3) die Oberfläche, 4) das Volumen²¹).

II. Rechnungs- und Messungsmethoden.

A. Geodätische Rechnungen auf dem Rotationsellipsoid.

10. Fundamentalformeln (Fig. 1). Es seien a und b die beiden Halbachsen des Rotationsellipsoids (а — OE — OF, b — OP), e die

numerische Exzentrizität *j/a²—b², a die Abplattung ----- -, rp die

geographische Breite eines Punktes A (90° — -je ARB), cp' die geozentrische Breite (<£ AOF), r der Radiusvektor OA, r der Radius des Parallelkreises (AH) durch den Punkt A und z die Entfernung von A von der Aquatorebene. Es folgt dann aus elementaren Formeln der Differentialgeometrie²²):

,    ,    a cos qp

r — r COS ф =    ..... ——0

r yi— е²вш²ф

tg Ф = (1 — e²) tg ф₇

und hieraus durch Reihenentwicklung:

cp — cp' = m sin 2 cp

t>2

— r sin cp' —

a{ 1 — e²) sin cp — e² sin² qp

2    ли 3

sin 4<p -|—— sin 6 cp ■ ■ -,

wo

e²

2 — e²

ist.

?*

O,

W⁷

)v

n:

Fig. 1.

Nennt man reduzierte Breite den durch die Gleichung⁴⁶): tg u = tg cp ]/l — e²

definierten Winkel u, so ist:

n²

ns

cp — и = n sin 2cp--— sin 4cp -j—— sin 6 cp ■ ■ -,

wo

1 — yi — e² . ,

n =- ,    — ist.

1 + yi — e²

Die Hauptkrümmungsradien in einem Punkte mit der Breite cp sind: Krümmungsradius im Meridian: q =

a(l — e²)

(i)

(1 — e² sin² ф)³/*

Querkrümmungsradius :

yi — e² sin² ф

46) A. M. Legendre, Analyse des triangles sur la surface d’un sphéroide, Paris Mém. de l’Inst. 7 (1806); C. Bremïker (Studien über höhere Geodäsie, Berlin

1869) und Th. Albrecht4б) geben die numerischen Werte von log

sin 2 ф

In einem Normalschnitt im Azimut a ist der Krümmungsradius JRa gegeben durch ²³):

(2)

1 cos² a , sin² a

я. “ ~v~⁺ T

e² cos² cp sin² а

Щ1 — e²)

Jsri¹ + 1

e²

— c²

COS² cp cos² .

Der Meridianbogen б zwischen den Breiten cp₁ und cp₂ wird durch das Integral:

<Pi    fi

-³/₂

dcp

б = Iq dcp — a(l — e²)J(1 — e² sin² cp)

<pi    (pi

dargestellt. Auf die bequemste Weise erhält man das Integral, indem man die Funktion unter dem Integralzeichen nach dem Kosinus der Vielfachen von 2 cp entwickelt²⁴). Setzt man:

cp₀ = F(<Pi + cp₂),    <p₂ — (Pi = & cp (Amplitude des Bogens),

1 —l/l —e²

n —---------

1 -f yï — e²

1 +yï — e*

, mr =

m (m — 1)... (m — r -j- 1)

--,

r\

¹

   Diese diskontinuierlichen Änderungen sind berechnet von H. Bruns, Figur der Erde, § 2. Vgl. auch Helmert, H. G. 2, p. 35.

²

   Diese Formel ist leicht abzuleiten nach Bruns, Figur der Erde, § 2. Ygl. auch P. Pizzetti, Astr. Nachr. 138 (1895), p. 353.

³

   Dies Theorem ist von H. Bruns bewiesen (Figur der Erde, p. 20). 0. Za-notti-Bianco (Torino Atti 31 (1896), p. 1022) hat bemerkt, daß die genannte Relation bereits von J. H. Pratt (A treatise on attractions etc., 4. edit. Cambridge 1871) angegeben ist; aber die Ausführungen von Pratt sind kaum ein Beweis zu nennen.

⁴

G. G. Stokes, On attractions and on Clairaute theorem, Cambr. and Dubl. math. J. 4 (1849), p. 194. In der Fassung des Theorems bei Stokes fehlt die Bedingung, daß die gesamte Masse bekannt sein muß, und infolgedessen ist der Beweis unvollständig. Der Satz und Beweis wurden vervollständigt von H. Poincaré (vgl. Tisserand, Méc. cél. 2, p. 324).

⁵

R. V. Sterneck, Milit.-geogr. Inst. Wien 7 (1887), p. 83; G. Defforges, Paris C. R, 106 (1888), p. 126, 191.

⁶

   Diese Formel kann man aus (8) ableiten, vgl. Helmert, H. Gr. 2, p. 98, 166.

⁷

   Diese Reduktionsmethode ist nach Todhunter (History, chapt. XII) zuerst von P. Bouguer (La figure de la terre déterminée etc. aux environs de l’équateur, Paris 1749) angegeben. Die Formel (14) geht gewöhnlich unter dem Namen der Th. Yowm/schen Regel, der sie ohne Beweis in London Phil. Trans. 109 (1819), p. 89 (Todhunter, History letztes Kapitel) gab. Ygl. auch P. S. Laplace, Méc. cél. 5, livre XI, 6.

⁸

   P. G. Boscovich scheint zuerst 1755 an die Möglichkeit einer solchen Kompensation gedacht zu haben (vgl. Todhunter, History, § 476). Wegen weiterer Notizen betreffs einer solchen Idee vgl. J. J. Saigey, Petite physique du globe; J. H. Pratt, London Phil. Trans. 161 (1871), p. 335; Clarke, Geodesy, p. 351;

H. Faye, Paris C. R. 90 (1880), p. 1185; 102 (1886), p. 651 und 786; 112 (1891), p. 69; Helmert, H. G. 2, p. 364—368; Pucci, Fondamenti 2, cap. XII.

⁹

   J. L. d'Alembert (nach Todhunter, History, § 593) gibt den Ausdruck von T für verschiedene Annahme über die Gestalt der Berge. Erschöpfende Methoden und Formeln findet man bei Helmert, H. G. 2, Kap. 3. Vgl. auch B. V. Sterneck, Mitt. milit.-geogr. Inst. Wien 11 (1892), p. 214.

¹⁰

   H. G. 2, Кар. III und IV.

¹¹

   H. G. 2, p. 155.

¹²

   F. B. Helmert, Die Schwerkraft im Hochgebirge, Berlin 1890, p. 38. Bei kontinentalen Stationen kann man die Korrektion wegen Höhe einfach nach Formel (12) (wie in freier Luft) ausführen. B. v. Sterneck (Mitt. milit.-geogr. Inst. Wien 17 (1898), p. 109) hat auf Grund von 508 Schwerkraftsmessungen nach der Methode der kleinsten Quadrate gefunden:

gq — gp = 0,3023 H

(.H in m und gq — gp in Einheiten der 5ten Dezimale), was sehr nahe mit Formel (12) übereinstimmt; H. Faye, [Paris C. R. 90 (1880), p. 1185, 1462] nimmt an, daß die äußeren kontinentalen Erhebungen und marinen Senkungen ohne Einfluß auf die Schwerkraft seien und schlägt deshalb vor, nur die Anziehung isolierter Massen, welche sich über das mittlere Niveau einer Gegend erheben, zu

¹³

Der Ausdruck „attraction locale“ kommt daher, dass man zuerst und lange Zeit hindurch der Ansicht war, daß die Lotabweichungen hauptsächlich durch lokale Unregelmäßigkeiten in der Erdkruste verursacht würden. Die ersten

¹⁴

Studien über Lotabweichungen von diesem Gesichtspunkt aus sind von P. Bouguer und С. M. La Condamine (1730) in Peru und von N. Maskélyne (1775) in Schottland (Todhunter, History 1, § 363, p. 724—727) ausgeführt. Der erste, der vermutete, daß die Lotabweichungen eher durch ausgedehnte Kontinente oder Meere hervorgerufen werden könnten als durch einzelne Berge und daß sie deshalb systematischen Charakter haben könnten, war B. G. Boscovich (1750), vgl. Todhunter, History, 1, § 472—475. Im 18. Jahrhundert wurden verschiedene geodätische Untersuchungen zum Studium der Lotabweichungen in den Alpen ausgeführt

¹⁵

   P. Pizzetti, Astr. Nachr. 138 (1895), p. 353; ferner Helmert, Arch. Néerl. (2) 6 (1901), p. 442.

¹⁶

   Berlin Ber. 1900, p. 964; 1901, p. 958.

¹⁷

   Astr. Nachr. 14 (1837), p. 333 und 19 (1842), p. 97.

¹⁸

   Geodesy, p. 319; vgl. Nr. 50.

¹⁹

   Literaturangaben zu den neueren Triangulierungen in Nr. 58.

²⁰

   F. B. Helmert, Lotabweichungen 1, Berlin 1886, p. 3.

²¹

   Helmert, H. G. 1, p. 65—68.

²²

   Helmert, H. G. 1 gibt die numerischen Werte von log ]/l — e* sin* ф für die Werte cp von 10' zu 10'. Die vollständigsten numerischen Tabellen findet man bei Th. Albrecht, Formeln und Hilfstafeln für geographische Ortsbestimmungen, 3. Aufl., Leipzig 1894. Vgl. auch W. Jordan, Math, und geodätische Hilfstafeln, 9. Aufl., Hannover 1895.

²³

   Helmert, H. G. 1, p. 58; Bremiker⁴⁶) gibt die numerischen Werte von log Ba für die Werte von cp zwischen 36° und 64° von Grad zu Grad und für die Werte von cc zwischen 0° und 90° von Grad zu Grad. Vgl. auch Albrecht*⁵).

²⁴

   Der Gedanke einer solchen Entwicklung stammt von A. M. Legendre (J. B. Delambre, Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc du méridien, précédées d’un mémoire sur le même sujet par Legendre, Paris, An 7, 1798—99). — Legendre nimmt an, daß die Meridiankurve durch die folgende Gleichung zwischen dem Radiusvektor r und der geozentrischen Breite ip dargestellt sei:

r — P(1 -f- m sin² ip -j- n sin⁴ ip).

Delambre (p. 72) gibt die Entwicklung für den elliptischen Meridian; die Koeffizienten werden nach Potenzen von e² entwickelt. L. Puissant (Traité de géodésie, Paris 1805, 5. Aufl. 1849) gibt die Entwicklung mit Koeffizienten, die nach

Potenzen von ^

von F. W. Bessel (Abhandl. 3, p. 46).

Ar — m₀mrnr m^m

wr+² _|_ щтг+2пг+4: -f- • • -,

so ergibt sich:

(3)

у*

/(!

<Pl

— e² sin² cp)m dcp

2m

und speziell¹)

(л A(P +    sin (r Acp) cos (2 rcp₀) (

1    r = l    I

Die nicht angegebenen Glieder sind von der Ordnung e¹⁰ und deshalb stets zu vernachlässigen. Aus (4) erhält man:

4 a a₀ ж (1 — e²)

' (T+vVT?)»’

Meridianquadrant :

Länge des Meridiangrades unter der Breite cp:

{ ш + sin 10 cos 2    sin 2° cos4ç> -f----J

oder bis auf Glieder der Ordnung e⁴:

G(p = G₀ -j- f a e² sin 1° sin² cp.

Eine für kleine Meridianbogen (höchstens 2°) sehr passende Entwicklung ist die von C. G. Andraeb0)

(5)

e2

⁶ = Po Д Ф + ₈ 9o cos 29>o (A9>)³ H----, wo p₀ der Wert von q für die mittlere Breite <p₀ ist. In der angegebenen Entwicklung sind die Größen von der Ordnung e³ • (A <p)³; e² • (A<p)⁵ vernachlässigt.

Der Parallelkreisbogen zwischen den Längengraden ю₁, сэ₂ und unter der Breite cp ist durch:

a(co% — £ox) cos qp У1 — e² sin² qp

gegeben. Die Oberfläche eines ellipsoidischen Trapezes zwischen den Breiten 0° und cp und den Längengraden col7 co₂ ist² 3):

wo

сс₂ =

ist.

8а(1 — в²)

(i+yï-e²)

«o=i+4>*²+1^⁴+---, t»*+w и‘ + -'

3 |<*оsin (rAcp) cos (2rç>₀)J — 3 w — ^w³---,

о    ⁷

«3    = —

«1 =

³-v...

24

315

256

W⁴ -f- • • •

в = г (оэ₂ — oq) =

e²

fortschreiten. Die im Text gegebene Entwicklung stammt

— e²

$    fQdcpdco

Y (1 — ß2) (ю2 ûîi) {

sin qp

col 0

1 — e² sin² qp

.1    1 -J- e sin qp

' 2e 1 — e sin qp

00

= a² (1 — e²) (oo₂ —

e2n-²    n-2 gpj.

11. Normalschnitte. Es seien A(<p1} cox) und В (cp, со) zwei Ellipsoidpunkte; AB sei der Normalschnitt in A, der durch В geht, und BÄ der Normalschnitt in В, der durch A geht (reziproker Normalschnitt). Das Azimut A von AB in A ist dann durch die Formel:

(6)

cotg А =

COS qp, tg qp (1 — e²y) — sin qp, COS (ca — ca,)

gegeben, wo

sin (ca — ca,)

sin qp, у 1— e² siu² qp sin qp y\ — e2 sin² qp,

ist. Wir nehmen nun auf der Normalen in В ein Segment BB' = h

⁷ а⁷

nachlässigen kann. Nennt man dann A' das Azimut von B' in bezug auf А. so hat man annähernd:

an

, das so klein ist, daß man die Größen e² • (^j

■ ver-

cotg Ä — cotg А = e² ■ tg cp cos cpx cosec (со

cox).

Ist die Entfernung s zwischen den Punkten A und В so klein, daß — zu vernachlässigen ist, so folgt aus der vor-

das Produkt e² • stehenden Formel⁵²):

(6')

А — А' =

-- cos² epx sin 2 А ■

diese Gleichung gibt die Reduktion eines beobachteten Azimuts wegen der Höhe des Beobachtungsortes.

Theorem von I)alby. Es sei A das Azimut des Normalschnitts AB in A und В das Azimut des Normalschnitts BA in B. Man betrachte dann auf einer Kugel vom Radius 1 das sphärische Dreieck PxAlB₁, dessen Seiten B₁A₁, P₁B₁ resp. gleich sind und dessen Winkel in P₁ gleich œ — ist. Betrachtet man dann die Bogen P₁A₁, Pt B₁ als sphärische Meridiane und sind Ax, Bx die Azimute von Bx bezüglich Ax und von Ax bezüglich Bx (in derselben Weise wie für das Ellipsoid gerechnet), so hat man bis auf

Größen von der Ordnung e⁴ •

s³

a³

(s = AB):⁵³)

to Я

7t

— <Pi, y— <P

52)    H. James and A. R. Clarke, Ordnance trigonom. survey. — Account of the observations and calculations of the principal triangulation and of the figure, dimensions and mean specific gravity of the earth as derived therefrom, London 1858, p. 231; Helmert, H. G. 1, p. 190 gibt einen genaueren Ausdruck für A—A'. Die genannte Reduktion ist schon von C. F. Gauß angewandt werden, vgl Werke 9, p. 95 und p. 320—321 (Brief an Others vom 14. Mai 1826).

53)    W. Roy, London Phil. Trans. 80 (1790), p. 111. Dort ist der geometrische Beweis der von J. Dalby angegebenen Formel (7) mitgeteilt und gezeigt, wie sie

A - В = Ax — Bx

(7)

oder mit größerer Annäherung:

e⁴ .

В = Ax — Bx -f- -j- sin (cd — азх) sin² (<p — çq) cos⁴ cp₀ sin <p₀,

wenn

yi ~j~ ^ = cp₀ gesetzt wird.

Die Differenz zwischen den beiden Seiten von (7) beträgt bis zu Entfernungen von 1200 km einige tausendstel Sekunden; sie ist im allgemeinen zu vernachlässigen.

Aus (6) und dem analogen Ausdruck für В findet man durch geeignete Entwicklungen:

(8)

e²

А-\-B    Ax -fiĄ ~

2 ' ' 2 '

cos cp cos qpx sin 2 a'sec²

A jcM

+ Te,

1 — e² (1 — cos² cp sin² а )

—■ у¹-- = а' setzt und mit </ den sphärischen Bogen

AXBX bezeichnet; T₆ ist eine kleine Größe von der Ordnung e⁴-und e⁶. Die Formeln (7), (8) liefern das bequemste Mittel zur Berechnung der reziproken Azimute А, В, wenn die geographischen Koordinaten der beiden Punkte gegeben sind. Die sphärischen Azimute Ax, Bx erhält man mit Hilfe der Delambresehen Gleichungen aus dem sphärischen Dreieck PXAXBX. für die Länge К der Sehne AB hinzugefügt⁵⁴):

(9) log К = log (2 В sin 0

-f- 4 M {3e⁴ cos⁴ cpm sin²2a -f- e² (Дcp)² (cos 2qp — 2 sin²«') -f- • • •},

wenn man

s²

а²

Es sei noch die Formel

wo jR der Krümmungsradius des Normalschnittes in der Breite

und im Azimut a ist. Die Formeln (7), (8), (9) bilden

r m    2

die Grundlage für diejenigen geodätischen Rechnungsmethoden, die sich auf die Benutzung der Sehnen und der astronomischen Azimute stützen⁵⁵).

zur Berechnung der Längendifferenz dienen kann, wenn die astronomischen Azimute und die Breiten zweier Punkte gegeben sind. Ygl. in dieser Hinsicht J. L. Tiarks, Phil. Mag. 4 (1828), p. 364. Genaue Beweise von (8) findet man hei Helmert, H. G. 1, p. 150 (dort wird e⁶ noch berücksichtigt) und hei Pucci, Fondamenti 2, p. 178.

54)    Helmert, H. G. 1, p. 144—158.

55)    Wegen weiterer Untersuchungen über die Normalschnitte vgl. J.J.Baeyer, Das Messen auf der sphäroidischen Erdoberfläche, Berlin 1862 (Gleichung des Normalschnittes in seiner Ebene, Achsen, Exzentrizität), Bremiker⁴⁶) (Winkel des

12. Geodätische Linien. Unter der geodätischen Linie zwischen zwei Punkten A und В einer Fläche versteht man die kürzeste Verbindungslinie auf der Fläche zwischen den beiden Punkten. — Es seien nun A (cp, со), В (cp -f- dcp, со -f- dco) zwei unendlich benachbarte Punkte auf dem Rotationsellipsoid, r der Radius des Parallelkreises durch A, ferner ds die Länge und a das Azimut des Elementes AB in A. Aus elementaren Überlegungen der Differentialgeometrie folgt dann:

(9')

Qdcp = cos a ds

rdco — sin cc ds, tg a =

'O I

dco

‘Jy

und, wenn man mit r -f- dr den Radius des Parallelkreises durch В bezeichnet:

dr

(10)

dr dcp

-j- = j— • ~~ = — sin cp cos а. ds dcp ds    T

Aus den Differentialgleichungen der geodätischen Linien für eine beliebige Rotationsfläche, deren Achse als z-Achse eines Cartesischen Koordinatensystems genommen wird, folgt:

dx

— konst.

dy

X — V -4-ds J ds

und hieraus

(и)

r sin а —

c (c Konstante),

wie ein Satz von Clairaut⁵⁶) ausspricht.

Differentiiert man (11) und beachtet (10), so ergibt sich:

sin cp ■ sin а

(12)

da

dco

ds

=    -TZ-

Die Relation da — sin • do gilt in Wirklichkeit für eine geodätische Linie auf einer beliebigen Fläche⁵⁷), wenn die astronomische Bedeutung von со, cp, a unverändert bleibt.

Eliminiert man a aus (9') und (11), so bekommt man:

(13)

d со = —(—

cq dcp

ds = -f-

rçdcp

y'r² — o²

(das Zeichen -j- gilt, wenn a im ersten oder vierten Quadranten liegt).

Sehnendreiecks, Übertragung der geographischen Koordinaten vermittelst der Sehnen usw.).

56)    Nach Todhunter, History 1, § 160 kommt diese Formel zum erstenmal vor bei Clairaut, Détermin. géométrique de la perpendiculaire à la méridienne (Mém. Paris 1733). Der Gedanke, die geodätischen Linien bei den geodätischen Rechnungen zu benutzen, wurde auch von L. Euler ausgesprochen (Todhunter, History, chapt. XV).

57)    Vgl. Bessel se).

Der Krümmungsradius in einem Punkte einer geodätischen Linie folgt aus (2). Eliminiert

man « aus

(2) und (11), so folgt:

к

oder: Längs einer geodätischen Linie ändert sich Ba proportional mit q (Satz von Ch. Gudermann)⁸⁸). Man erhält endlich:

₌________ _______

Ba ds q ds 2 q 1 — e⁸ sin⁸ qp

13. Übertragung der geographischen Koordinaten und des Azimuts (Fig. 2). Gegeben sind die geographischen Koordinaten tpx, со, топ A und das Azimut a, und die Länge s der geo-dätischen Linie AB-, gesucht    \

die geographischen Koordi-    x

naten cp, со von В und das Azimut der geodätischen Linie AB in B (mit a werde das Azimut der Verlängerung von AB über В hinaus bezeichnet; das sogenannte reziproke Azimut zu cc, ist а + 180°). Man löst das Problem, indem man (13) durch Reihenentwicklung integriert. Die folgende Methode stammt in ihrer speziellen Form von Bessel⁸⁹). Führt man die durch die Gleichungen:

tg ul = Vl — e² lg <Pi, tg и = ]/1 — ê¹ tg cp

3 e⁸ sin 2 qp cos a

OL

P-

A'

(И')

(14")

Fig. 2.

definierten reduzierten Breiten ein, so kann man geben:

(15)

cos u sin а = cos w, sin ccx

cc.

Ib'

(11) die Gestalt

und aus (13) wird:

ds = —h

(16)

a cos аду 1 — e⁸ cos⁸ ад ,

:--- .....— dU,

У cos⁸ ад — cos⁸rt, cos⁸«.

dco = —j—

cos ад, yi — e⁸ cos⁸m “ С08адУс08*М — cos⁸u, cos⁸а,

du.

58)    J. f. Math. 43 (1852), p. 284.

59)    Die Methode verdankt man im wesentlichen Legendre 4e), der den Gedanken hatte, die geodätische Linie auf dem Ellipsoid mit der auf der Kugel zu vergleichen. F. W. Bessel gab für die numerische Rechnung bequeme Formeln (Abh. 3, p. 5). Helmert, H. G. 1, p. 225 gibt die Formel (18') nach y aufgelöst.

Encyklop. d. math. Wissensch. YI 1.

11

Man betrachtet nun auf einer Kugel vom Radius 1 das Dreieck

P'A'B', dessen Seiten P'AP'B' resp. gleich ~    ---и sind

und dessen Winkel А', B' mit den Winkeln А, В des ellipsoidischen Dreiecks übereinstimmen (was wegen (15) möglich ist). Bezeichnet man den Winkel bei P' mit W, die Seite ÄB' mit y, so geben die Gleichungen (16), verglichen mit den entsprechenden Formeln für die Kugel :

ds — а УI — e² cos² u dy, do.э = ]/l — e² cos² u dW.

(П)

(18)

Setzt man

(19)

cotg M — ctgWj cos a1}

so hat man

(20)

sin и = sin ü₁ sin (Ж -(- y) cosec M

und erhält, indem man hiermit cosw aus (17) eliminiert und mit Hilfe der Entwicklung (3) integriert:

(180 У

■ ßo ßi s^n У cos (2 M -{- y)

-f- ß₂ sin 4 у cos (4 M -f- 2 y) -j- • • •, wo die ß in folgender Weise zu berechnen sind. Man setze: e sin ut

У1 — e² sin M

«У 1 — ei

(19')

= tg E,

Л = ¹ + ^ Y + ₆₄ %⁸ Y + • • -J ■^2    Y 2    32 Y “

A, =

1 , E .

Xê ^g⁶ Y

und hat dann:

(20')

ßo =

cos E

, ßn =

— 2 An

nA₀ arc 1"

Jt₀cos² arc 1"

Der Winkel y in (180 wir4 dann in Sekunden erhalten.

Die Formeln (140, (¹⁹); (¹⁹0> (2O0; (¹⁸0; (²⁰)> (14"), (15) dienen

zur Bestimmung von (p und a. Zur Berechnung der Länge substituieren wir näherungsweise für (12) die folgende Gleichung:

•^-e²cos²w^ *dy,

6^    l

da — dW--— cos щ sin ay (1

die sich yon (12) nur durch Glieder der Ordnung e⁸ unterscheidet⁶⁰).

60) Der auf diese Weise bei der Berechnung von со begangene Fehler ist

Indem man dann in analoger Weise wie vorher integriert und setzt:

p —_£_

arc 1"

3e²

— 3e² >

cos E'

cos!l

at

О Г P- arc 1" f Po =-----2---

¹ + T tgi

р|т^²у +    ----Ь &'= p{y *g4:y ^----},

U)| И

erhält man:

G) — C3j = Ж-

e² sin ut sin a.

{ ßo'r + /3/ s™ У cos (2 Ж -f у)

i/h — ie²

-f- ß₂' sin 2y cos (4M -(- 2y) + •••}'

Den Winkel Ж erhält man aus dem sphärischen Dreieck В A B'. Bessel hat numerische Tabellen für die Logarithmen von ß₀, ßx, ß₂, ßo > ßi gegeben, die nach den Argumenten log tg E, log tg E' fortschreiten⁶¹).

Da das Problem auf diese Weise auf die Auflösung eines sphärischen Dreiecks zurückgeführt ist, wird es zweckmäßig sein, einige der hierzu geeignetsten Formeln anzugeben.

Die JDelambresehen Gleichungen liefern:

а-l-W    . cc.

sin —-— = sin y cos

« + W

(45» + |)si (45»+|)

“ (⁴⁵° +y) sin “ ~E

in (45° + -|)

COS

cos

cos

cos

(45»+^p), (45» +^p), = s™ f sin (45° + “‘ 7 ?) ’ sin (4/sß+hp.y

= cos

fl

cos

= COS

Nach Gauß⁶²) führt man die Berechnung von uf a, W am bequemsten mit den Formeln aus: tg s = cos cq tg y, tg t = sin cq sin y tg (ux -f- s),

W

sin б = tg t tg — cos (ux “|— s),

tg Ж = tg cq sin s sec (ux -)- s), sin % = sin cq tg ⁸⁴¹¹

и = ux -f- s — 6, a = ax t — r.

kleiner als    und deshalb kleiner als 0",000 007 für eine geodätische Linie,

die einmal nm die ganze Erde hernmgeht (у = 2тг). Genauere Entwicklungen siehe bei Bessel⁶⁹).

61)    Ygl. auch Albrecht*⁶).

62)    Untersuchungen über Gegenstände der höheren Geodäsie, Göttingen 1844, p. 30 = Werke 4, p. 259. Unsere Formeln unterscheiden sich ein wenig von den Gauß sehen, weil das Azimut anders gerechnet wird.

11

Sind u1} u, W gegeben und sucht man cc, a1} y, so geben die Delambresehen Gleichungen:

sin    ¹—

sin \ sin I cos

“l_+“

. W sm — cos

COS

sm

u-4-u.

—2> cos и —■ ul 2 ;

COS

c*J

а — ос, . W . u -f- и, n —= sm — sm —-

cc— а,

COS —~ — COS — COS

14. Fortsetzung. Fall kleiner Bogen. Betrachtet man cp, m, а

als Funktionen des Bogens s und entwickelt diese Funktionen nach Maclaurin, so erhält man mit Berücksichtigung von

(9), (10), (12):

4> = 9>1 + — cos «1 — 2tg ⁹⁾¹ sin2 ai ~ 4

• sin 2 cp cos² ccj —

ss

e²

s²

(0 = 63 j -f-

6Ç1JV1 s sin cc, АГ, cos qp,

L — er 2 Çl JVj cos sin² Wj (1 -f- 3 tg² фх) -{-•••,

s² tg cp, sin cos cc,

s³ sin а, 32V cos 94

« = ax -f-

tg² <pt sin² cct } -j----,

{ (1 —j— 3 tg² cpj) cos² at

si

sin tg cpx -j- ₂^ä sin ax cos (1 + 2 tg² g>j)

+    • Щ1sin «1 cos cos2 9h 4----•

Es sind dabei in dem Ausdruck für cp und für о Glieder mit e²s3 und s⁴, in dem von a Glieder mit s³ vernachlässigt; q1} Nt sind die Werte von q, N aus (1) für die Breite cpvG3)

Gauß6i) hat mit Hilfe der konformen Abbildung, die wir in Nr. 21 behandeln werden, Formeln für die Übertragung der geographischen Koordinaten abgeleitet, die die mittlere Breite und das mittlere Azimut enthalten; außerdem hat er noch eine direkte Ableitung derselben Formeln gegeben. 0. Schreiber64 a) hat die Gaußschen Formeln so abgeändert, daß alles indirekte Rechnen vermieden wird. ⁴ 5

Andrae^) hat das Problem dadurch gelöst, daß er die geodätische Linie BF durch В senkrecht zum Meridian von A konstruiert, das Dreieck BAF auf löst und die Breite yon F berechnet. Zwei einfache Entwickelungen gehen die Differenzen zwischen den Koordinaten von В und F. — Die Andraesehe Lösung ist nicht wesentlich von der verschieden, die rechtwinklige geodätische Koordinaten benutzt (vgl. Nr. 23).

Die Lösung von K. G. J. Jacobi stützt sich auf elliptische Funktionen⁶ 7). P. A. Hansen⁸) hat eine Methode angegeben, die sich von der des vorigen Paragraphen nur dadurch unterscheidet, daß er als Anfangspunkt der Bogen auf dem Ellipsoid und der Kugel den Punkt wählt, in dem die geodätische Linie AB einen Meridian rechtwinklig schneidet.

Die Differenz der Azimute tq — a nennt man gewöhnlich Meridiankonvergenz⁹).

15. Bestimmung der Länge und des Azimuts eines geodätischen Bogens aus den geographischen Koordinaten der Endpunkte. Das vorstehende Problem, das die Umkehrung der in den vorhergehenden Nummern behandelten Aufgabe ist, löst man durch sukzessive Annäherungen. Es möge auf die folgenden Lösungen hingewiesen sein:

Hansen¹⁰) (benutzt

von

für Bogen von beliebiger Länge: 1. Umkehrung der Legendre-Bessehchen Methode¹¹) (Nr. 13); 2. Lösung

die Beziehung zwischen der geodätischen Linie und den Normal-schnitten); 3. Benutzung der elliptischen Funktionen¹⁰ 12);

für Bogen von begrenzter Länge: 1. Lösung auf Grund der konformen Abbildung von Gauß (vgl. Nr. 21); 2. Umkehrung der Entwicklungen von Legendre (Nr. 14), indem als Anfangspunkt der Mittelpunkt des Bogens angenommen wird¹³); 3. Lösung mit Hilfe des Theorems von J. Dolby¹⁴ 15). Durch Anwendung des genannten Theorems und unter Benutzung der Formel (27) der nächsten Nummer kann man die Differenz at — a berechnen. Mit Hilfe der Formel

tg“-“.₀0tgî±^ = tg^tg^,

die man aus (15) ableitet, bekommt man dann a und ccv Ist ay bekannt, so findet man nach Nr. 13 ohne Schwierigkeit y und s; 4. Formeln von Ch. M. Scholsu), die die astronomischen Azimute und die Sehnen benutzen; 5. Formeln von W. Jordan74a). Wie bei der Umkehrung der Legendre-Besselschen Methode wird zunächst die in Nr. 13 erwähnte Hilfskugel benutzt. Dann aber entwickelt Jordan aus (18) den sphärischen Längenunterschied W in eine Reihe nach Potenzen von со und ebenso aus (17) у in eine Reihe nach Potenzen

— und — als

von s. Durch Einführung der Mittelbreite erhält man

Funktionen der ellipsoidischen Längen- und Breitenunterschiede. Indem man nun zunächst W berechnet (das sich bei einem Breiten-und Längenunterschied von je 10° unter Beschränkung auf die Glieder bis zur 3. Ordnung noch bis auf etwa 0,001 genau ergibt), kann man dann das Kugeldreieck APB' auf lösen. Die Winkel A und B' sind gleich den ellipsoidischen Azimuten; aus у wird s berechnet; 6. Formeln von Helmert¹⁶), die aus denen von Gauß⁶²) abgeleitet sind, in denen die mittlere Breite und das mittlere Azimut auftreten. Im Gauß sehen Nachlasse haben sich allgemein für Rotationsflächen geltende Formeln gefunden, aus denen sich die Helmerts che Umkehrung sofort ergibt75a).

Die Helmerts eben Formeln mögen schließlich angegeben werden, da sie eine bequeme Lösung des Problems liefern.

Wir bezeichnen das reziproke Azimut von a₁ mit a₂, so daß «₂ = a dz 180°. Setzt man dann:

t — «₂ — cq + 180°, <Pi + <Pt

T — ^(a₂ -f-    ± 180°),

Ъ = № — 9>lt

m = l sin B,

W = У1 — e² sinYB,

I = «₂ - œl,

n — l cos B,

so bekommt man (indem man als Einheit die 7. Dezimale des Logarithmus nimmt)

log t — log (rn sec log (s sin T) = log (w[l]) — Tcm² -f- [7]6², log (s cos T) = log ^>[2] cos 0 -f- [5]w² -j- [8]Ъ².

Die Koeffizienten [ ] haben die folgenden Werte :

а (l — eä)

[1] = arc 1",

[3] = Ъ ■ {

[6] = fc.^cos -S,

[2] =

Ws

arc 1"

[5] = i(l — j-^5 COS® B),

[7] = 1c ⁽'¹~ei) (¹~¹0e*8in* Bl

I cos 2 В -j- e² sin² B(4 — 3 sin² B) |, log Je = 4,6287228 — 10.

16. Geodätische Polarkoordinaten. Wenn man die Punkte einer Fläche auf ein System von orthogonalen Koordinaten а, б bezieht und wenn die Linien а = konst, geodätische Linien sind, so kann man dem Linienelement die Gestalt geben:

ds = УТб² + G da².

Der Winkel в, den das Element ds mit der Linie а — konst., natürlich im. Sinne wachsender 6, bildet, ist durch die beiden Relationen definiert:

[8] =

2 W²

3 e4

W*

(21)

(21')

da

cos ⁶ - di’

^e=VG.%.

Der geodätische Bogen s, der von einem festen Punkte zu einem beliebigen Punkte mit den Koordinaten б, a geht, genügt den partiellen Differentialgleichungen :

sin в — —,

ds

ds

cos в =    , dO =

dya

da

da.

Der Koeffizient G ist mit der absoluten Krümmung к der Fläche im Punkte (а, б) durch die Gleichung verbunden¹⁷):

(23)

&VG

de*

In der Geodäsie ist speziell die Benutzung der geodätischen Polarkoordinaten von Vorteil. Nennt man den Winkel, den eine von dem festen Punkte 0 ausgehende geodätische Linie 0A mit einer festen Richtung in der Tangentialebene von 0 macht, a und б den Bogen OA, so ergibt sich, wenn man beachtet, daß für 6 — 0 auch dVG

dem man У G als Funktion von

У G = 0 und

= 1 ist, durch Entwicklung nach Maclaurin, in-б betrachtet und (23) beachtet:

*’).+•••

&⁶    12 \ а)о    120 V

d²k

(24)    У G = б

Speziell für das Rotationsellipsoid wird (k

(25)

У& =

! e²«?⁴ sin 2 <p₀ cos a t 6 9₀Щ ⁺ 6 " ' ^₀²Po(l-es) '    »

as

wo cp₀ die Breite von 0 bedeutet.

Helmert¹⁸) hat (23) integriert mit Vernachlässigung von Größen der Ordnung e⁴; er erhält:

(26')

У G — а У Q N sin

аУр N

COS

. ас₉ ! 3

+ -ïil¥cos^-

1    . Зб

— sin-

9    •    \

Т 8Ш )

?! : ci

WO

с₁ — — е² sin 2 ф₀ cos a und с₂ = 2e²(sin² <р₀ — cos² <р₀ cos² а). Vernachlässigt man Größen von der Ordnung e²(^^ , so hat man:

e*6⁴ sin 2qp₀ cos а

(25")

6 as

У G =    sin +

E. jB. Christo ff ei ¹⁹ j hat У G die „reduzierte Länge“ des Bogens б genannt und gezeigt, daß diese Größe ungeändert bleibt, wenn man die Endpunkte O, A des Bogens vertauscht, indem man A als Anfangspunkt, 0 als Endpunkt annimmt.

17. Vergleichung der geodätischen Linie mit einem Normalschnitt. Es sei A ein Flächenpunkt, B₁ und R% die Hauptkrümmungs-radien in A und AB ein geodätischer Bogen von der Länge <?, der in A den Winkel cc mit dem zum Radius Rx gehörigen Normalschnitt bildet. Ist dann X, y, z ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse mit den Haupttangenten in A zusammenfallen, so erhält man für die Koordinaten x, y, 2 des Punktes B, wenn man sie als Funktionen von б betrachtet, durch Entwicklung nach Maclaurin⁷⁹ ):

x = б cos a —

a³cos cc Ba

(26)

y — 6 sin а —

^ i 2 в ’

wo Ba der Krümmungsradius der geodätischen Linie in A ist. Nennt man den Winkel, den der Normalschnitt AB mit der x-Achse macht, A (in demselben Sinne wie a gezählt) und beachtet, daß dieser Winkel durch die Relation у — x tg A definiert ist, so folgt aus (26) bis auf Glieder der Ordnung <P:

as sin cc

à)8in 2A'

в* / 1

1 *Ba\Br

ein angenäherter Ausdruck für die Abweichung der geodätischen Linie im Punkte А топ dem Normalschnitt AB. Für das Rotationsellipsoid ergibt sich speziell:

(27)

cos² cp sin 2 A,

е²б2 12 a²

wenn man die Glieder e⁴o² und e²o⁴ vernachlässigt.

Die stärkste lineare Abweichung zwischen beiden Linien ist annähernd:

e²g3 18|/3a²

Die Längen differ enz zwischen den Bogen s, б des Normals chnittes und der geodätischen Linie findet man durch Integration von

(28)

cos² cp sin 2J.

¹

Helmert schreibt den ersten Faktor in der Gestalt: a(l—n)(1 — n²).

²

   Problèmes de haute géodésie, 2. cah., p. 3. Wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil bemerkt wird, sind die Winkel immer im Bogenmaß oder analytischem Maß zu rechnen.

³

   Vgl. z. B. Helmert, H. G. 1, p. 61.

⁴

   Entwicklungen dieser Art sind von Legendre gegeben (Paris Mém. Acad, pour 1787 (1789), p. 352). Legendre berücksichtigt Glieder mit e⁴s, e²s², ss. Die im Texte gegebenen Entwicklungen sind genügend genau, so lange s nicht 100 km übersteigt. Für weitere Annäherungen vgl. Helmert, H. G. 1, p. 298, wo die vernachlässigten Glieder von der Ordnung e²s⁴ und s⁶ sind, oder N. Ja-danza (Guida al calcolo delle coordinate geodetiche, Torino 1891), der Glieder von der Ordnung e²s⁵ und s® vernachlässigt.

⁵

   Vgl. Zitat in Fußnote 62, П. Abt.

64a) Rechnungsvorschriften f. d. trig. Abt. d. Landesaufnahme. Formeln und Tafeln zur Berechnung der geographischen Koordinaten aus den Richtungen und Längen der Dreiecksseiten, Berlin 1878.

⁶

   Ygl. Zitat in Fußnote 50, 2. cahier.

⁷

   E. Luther, Astr. Nachr. 41 (1855), p. 209 und 42 (1856), p. 337 ; J. f. Math. 53 (1857), p. 342; C. Winterberg, Astr. Nachr. 89 (1877), p. 103, 113 und 91 (1878), p. 113.

⁸

   Geodätische Untersuchungen, Leipzig 1865, Erster Abschnitt. Man sehe auch wegen der Übertragung der geographischen Koordinaten die Lösung von J. J. BaeyerбБ), der die Gleichung (13) transformiert, indem er den Radius r des Parallelkreises als Yariabele einführt, dann nach Potenzen von e² entwickelt, integriert und cp durch sukzessive Annäherung berechnet.

⁹

   In diesem Sinne wird der Ausdruck gewöhnlich in den Lehrbüchern gebraucht (Francoeur, Jordan, Pucci, Puissant usw.). Gauß legt ihm einen anderen Sinn bei. In der konformen Abbildung der Hannoverschen Landesvermessung (vgl. Nr. 24) nennt er Meridiankonvergenz den Winkel, den der Meridian in В mit der Parallelen macht, die man in В zu der den Anfangsmeridian repräsentierenden Geraden ziehen kann. Helmert (H. G. 1, p. 426) und Clarke (Geodesy, p. 272) brauchen den genannten Ausdruck nur in dem Falle, daß die geodätische Linie AB den Meridian in A rechtwinklig schneidet. Die beschränktere Definition stimmt mit derjenigen von Gauß überein, wenn man die Abplattung der Erde vernachlässigt. Vgl. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde 3, p. 464—65.

¹⁰

   Ygl. Zitat in Fußnote 67, 2. Abschnitt.

¹¹

   Helmert, H. G. 1, p. 247.

¹²

   G. H. Halphen, Fonctions elliptiques, 2e éd., Paris 1888, p. 286; vgl. auch G. Ciscato, Yenet. 1st. Atti (7) 3 (1892), p. 1087.

¹³

   J. Guarducci, Sopra due probierni di trigonometria sferoidia, Torino 1882; Pucci, Fondamenti 2, p. 168.

¹⁴

   H. Bruns, Astr. Nachr. 97 (1880), p. 73; Pucci, Fondamenti 2, p. 177.

¹⁵

   Ch. M. Schols, Arch, néerland. 17 (1882), p. 101; Helmert, Zeitschr. f. Yermess. 11 (1882), p. 555 und 589; Th. Albrecht, Astr. Nachr. 96 (1880), p. 209.

74“) Zeitschr. f. Yermess. 12 (1883), p. 65.

¹⁶

   Lotabweichungen, Heft 1, Berlin 1886.

75“) Werke 9, p. 89.

¹⁷

   G. F. Gauß, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen 1828, Art. 19 = Werke 4, p. 217.

¹⁸

   H. G. 1, p. 278.

¹⁹

   Über die allgemeine Theorie des geodätischen Dreiecks, Berlin Abh. 1868.

(21),

79) Diese Entwicklungen gehen unter dem Namen von J. Weingarten, der sie 1862 in einer Note zu einer Abhandlung von Baeyer⁶⁶) entwickelt hat. Dieselben Entwicklungen findet man aber schon in einer Note von V. A. Puiseux zu:

G. Monge, Application de l’analyse à la géométrie, Ausgabe von J. Liouville, 1851. Man findet sie auch bei E. F. Minding, J. f. Math. 44 (1852), p. 66. Ebenso waren sie schon C.F. Gauß bekannt, Werke 9, p. 94. Wegen weiterer Glieder der Reihenentwicklung (26) vgl. Weingarten.

indem man da durch da vermittelst (27) ausdrückt und für ]/G den angenäherten Wert (25) setzt; man erhält:

e⁴g5 90 ax

(29)

cos⁴ cp sin²M cos³M -f- • • •.

Setzt man

100 km in (27), so folgt A — cc < O' ,014,

20 km in (28), so folgt ó < 0,000042 m, s — б < 0,0024 • IO⁻¹⁰ m, б = 1000 km in (29), so folgt s — б < 0,000075 m.

Die Ditferenz (27) zwischen dem Azimut des Normalschnitts und der geodätischen Linie ist im allgemeinen gegenüber den Beobachtungsfehlem zu vernachlässigen; die Abweichung ö und die Differenz s — 6 sind bei direkten Messungen immer zu vernachlässigen.

Der Ausdruck von А — a für Bogen von beliebiger Länge ist schon von Bessel¹) angegeben, der von seiner in Nr. 13 gegebenen sphärischen Darstellung und von dem in Nr. 11 angeführten Ausdruck für das Azimut des Normalschnitts ausgeht. Man erhält bis auf Glieder der Ordnung e⁴:

cotg cos² % sin 2 cc

(*g

S 05

^ sin 2 ux sin cc,

zum Vergleich der geodätischen Linie mit dem Normalschnitt auch von Reihenentwicklungen der Cartesischen Koordinaten Gebrauch gemacht, hat aber als ж-A dise die Tangente

wo ux die reduzierte Breite von A ist. C. Gr. Andrae²) hat

an die geodätische Linie in A genommen.

Es folgt aus den Rechnungen von Andrae, daß mit derselben Annäherung, mit der (27) gilt, der Winkel, den die geodätische Linie AB im Punkte A mit dem Normalschnitt AB bildet, die Hälfte von demjenigen ist, den sie mit dem reziproken Normalschnitt B A bildet.

18. Das geodätische Dreieck. Der Ausdruck (24) für ]/G (Nr. 16) zeigt, daß ein begrenztes Stück В einer Fläche um einen Punkt О herum, so lange die Glieder von der Ordnung u⁴ gegenüber б vernachlässigt werden können, als ein Stück einer Kugel aufgefaßt werden kann, deren Radius gleich dem geometrischen Mittel ]/jRjR% der Hauptkrümmungsradien in О ist. Für das Erdellipsoid kann man zu dem Gebiet R die Umgegend von О bis zu einer Entfernung von

200 km rechnen, da der prozentuale Fehler von (25), bei der angegebenen Vernachlässigung, kleiner als

ist. — Innerhalb eines solchen Gebietes kann deshalb ein geodätisches Dreieck nach den Formeln der sphärischen Trigonometrie berechnet werden, indem man als Kugelradius das geometrische Mittel der Haupt-krümmungsradien im Zentrum des Gebietes В nimmt oder allgemeiner in einem Punkte, der von den Ecken des Dreiecks nicht mehr als 200 km entfernt ist.

Wir kommen jetzt zu weiteren Annäherungen.

Die verschiedenen Methoden zur näherungsweisen Auflösung eines geodätischen Dreiecks lassen sich zum größten Teil aus der schon erwähnten Abhandlung von Gauß⁷⁶) ableiten. Gauß⁸²) nimmt ein System rechtwinkliger geodätischer Koordinaten (б, a) an; die Linie 6 = 0 und die Linien a = konst, sind geodätische, der Parameter a mißt den Bogen der Linie 6 — 0 von einem willkürlichen Anfangspunkte aus. Betrachtet man ein rechtwinkliges geodätisches Dreieck, das die Punkte (0, 0) (0, а) (б, а)

überliegenden Seiten hat und nennt den Winkel (s, 6) 0, so entwickelt Gauß die Größen s cos в, s sin в, s² in Reihen nach Potenzen von б und a, so daß sie den Differentialgleichungen:

(30) s cos 0 —    , s sin 0 = —-

v '    de*    2~\/G

die aus (22) folgen, genügen. Nimmt man У G in eine Reihe:

VG == 1 + fo ~h fi“h ' • * + 9o °³ “h 9\a tf³ + ’ ’ • + ü<?⁴ -f- • • • entwickelt an, so lassen sich die Entwicklungskoefüzienten von s cos 0, s sin 0 und s² durch die f, g, h, • • • ausdrücken. Gauß betrachtet dann ein beliebiges geodätisches Dreieck als Summe oder Differenz zweier rechtwinkliger Dreiecke und bestimmt die Differenzen zwischen den Winkeln A, В, C dieses Dreiecks und den Winkeln A*, В*, C* eines ebenen Dreiecks mit denselben Seiten; diese Differenzen ergeben sich als Funktionen der f, g, h, • • •. Eliminiert man drei dieser Koeffizienten durch Einführung der Krümmungen ka, kb, kc in den drei Ecken, die mit dem Ausdruck von У G durch (23) Zusammenhängen, und vernachlässigt kleine Größen vierter Ordnung in bezug auf die Seiten, so ergibt sich:

eV>

6a³

oder

ggTToe für ⁶ = 200km

tsj M-

zu

Ecken und 6, s, a zu gegen-

Cb Cb

(31)

A*=^(2ka + hb + be)

82) Die von uns mit s, а, cc, в, G bezeichneten Größen nennt Gauß r, p, q, ibt n*.

und analoge Ausdrücke für B — B*, C — C*; S ist der Inhalt des ebenen Dreiecks.

Hansen⁸³) hat die Methode von Gauß weiter entwickelt, indem er sich geodätischer Polarkoordinaten bediente. Er erhält die Differenzen zwischen den Winkeln des geodätischen Dreiecks und denen des sphärischen Dreiecks mit denselben Seiten bis auf Glieder vierter Ordnung einschließlich und wendet die Resultate vermittelst einer sehr komplizierten Rechnung auf das Rotationsellipsoid an, indem er Glieder von der Ordnung e²s⁶, e⁴s⁴ vernachlässigt. Aber die Entwicklungen Hansens enthalten Größen, die von der Gestalt z—cp(x, y) der Flächengleichung in Cartesischen Koordinaten ahhängen, was die Rechnung unnötig kompliziert, da die Beziehungen zwischen den sechs Stücken eines geodätischen Dreiecks von der speziellen Gestalt, die die Fläche durch Verbiegung annehmen kann, unabhängig sind und nur von der Form des Linienelements der Fläche ahhängen.

Unter Vermeidung dieser Komplikation hat J. Weingarten⁸⁴) in einfacher Weise für eine beliebige Fläche und bis auf Glieder vierter Ordnung einschließlich die Differenzen A — A.*, В — В*, С — С* ermittelt, indem er die Krümmungen und die Werte des Differentialparameters erster Ordnung von к (Inflektent) in den drei Ecken einführt. Er hat seine Formeln auch auf das Rotationsellipsoid mit derselben Annäherung wie Hansen⁸⁵) angewandt.

Auf einfachere Weise erhält man den Vergleich zwischen den Winkeln des geodätischen Dreiecks und denen eines ebenen Dreiecks mit denselben Seiten, wenn man Polarkoordinaten benutzt und nach G. Darboux⁸⁶) die Differentialgleichung : (32) nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten zu integrieren versucht. Darboux betrachtet das Dreieck, das den Koordinatenanfangs-punkt und die Punkte (<?₀, a₀) (<?, a) zu Ecken und s, б, 6Q zu Seiten hat und setzt auf Grund einfacher geometrischer Überlegungen:

(33) s² = 6² -)- б ff — 2бб₀ cos (a — aff) — б² б ff sin² (a — a₀) P, wo P eine Entwicklung nach Potenzen von б₀, б ist, deren Koeffi-

83)    Ygl. Zitat in Fußnote 67, III. Abschnitt.

84)    Astr. Nachr. 73 (1869), p. 65; 75 (1870), p. 91.

85)    Einen analytischen und numerischen Vergleich der Formeln von Hansen und Weingarten findet man bei Helmert, H. G. 1, p. 375—386.

86)    Leçons sur la théorie générale des surfaces, Paris 1890, 3, livre VI, zienten als Funktionen von a, cc₀ vermittelst (32) zu bestimmen sind. Für G führt man die Entwicklung (24) ein. Nach Bestimmung der ersten drei Glieder von P und durch Vergleich von (33) mit dem Kosinussatz: s² = <?₀² -f- <?² — ~бб₀ cos A* der ebenen Trigonometrie findet man leicht die Differenz cc — a₀ — A* oder Formel (31) von Gauß. Darboux treibt dann die Annäherung bis zu den Größen vierter Ordnung einschließlich, indem er die Krümmungen in den Seitenmitten einführt.

Nennt man die Winkel des sphärischen Dreiecks, das die gleichen Seiten wie das geodätische hat und auf einer Kugel mit dem

liegt, wo h = (ka -f- lcb -f- hc), A, B', C, so hat man yk    ó

mit derselben Genauigkeit wie in (31):

Radius

(34)

A- A' =

A (2

und analog В — В', С — C'. Beschränkt man sich auf den speziellen Fall des Rotationsellipsoids, so hat Bessel⁸¹) ohne Beweis die Ausdrücke für A — Ä, usw. bis auf Glieder e²s⁴ oder mit entsprechender Annäherung wie (34) gegeben.

Helmert³ 4) hat eine vollständige Entwicklung der sphäroidischen Trigonometrie für den Fall des Rotationsellipsoides auf Grund der Differentialformeln von E.B. Christoffel⁵) gegeben, welche die unendlich kleinen Änderungen der Stücke eines geodätischen Dreiecks bei einer infinitesimalen Verlängerung oder Drehung einer Seite liefern. Für У G setzt Helmert die Entwicklung (25"). Die Helmerts che Methode unterscheidet sich in ihren Grundlagen nicht von der Hawsmschen, aber sie bietet im Vergleich mit dieser den Vorteil größerer Einfachheit und überdies enthalten die in dem Ausdruck für У G vernachlässigten Terme sämtlich e² als Faktor und sind deshalb sehr klein, auch wenn die Dreiecksseiten ziemlich lang sind⁶).

19. Auflösung des geodätischen Dreiecks durch Reduktion auf das ebene Dreieck. Sphäroidischer Exzeß. Legendre⁷) verdankt man die Idee, zur Berechnung des sphärischen Dreiecks das ebene

Dreieck mit denselben Seiten zu benutzen. Er hat bewiesen, daß bis auf Größen vierter Ordnung die Differenzen Ä — A*, usw. (A'} В', C' sphärische, A*} В*, C* ebene Winkel) durch die Formeln:

(35)

Ä — A* = B' — В* = C — C*=

gegeben sind, wo S der Inhalt des ebenen Dreiecks und В der Kugelradius ist. Treibt man die Annäherung weiter, so erhält man bis auf Glieder sechster Ordnung:

7Ь²-1- 7c*

з1Г’(¹ +

und analog für B' — В*, C — C*. Hieraus und mit Hilfe von (34) erhält man bis auf Glieder mit se und e²si, wenn

A'— A* =

120 R*

R= ¹

y±

}/k Ука + kb kc

(36)    2 i.+ *, + *„ +

gesetzt wird⁸):

30

Diese Annäherung genügt in praxi immer.

Meistens ist es sogar schon ausreichend, das geodätische Dreieck

durch ein sphärisches zu ersetzen, indem man als Kugelradius

}/k

annimmt und vom sphärischen Dreieck zum ebenen mit Hilfe der einfachen Formeln (35) übergeht. Man vernachlässigt dann in den Ausdrücken für die Winkel Glieder mit s⁴ und e²s³, was bei Seiten unter 127 km Länge nicht mehr als 0",0001 bezw. 0",0005 ausmacht⁹). Mit dieser Genauigkeit wird der sphäroidische Exzeß A = M + H+ 0— 180°

des geodätischen Dreiecks in Sekunden durch die Formel:

kS

arc 1"

gegeben und man hat:

ОЭ t>

A — A*= В — B*= C — C* =

Wir wollen die durch diese einfachen Formeln erhaltene Annäherung als übliche Annäherung bezeichnen. Mit derselben Genauigkeit kann man für Je den Wert der Krümmung unter der Breite <p₀

des mittleren Parallels¹⁰) des Dreiecks nehmen. — Den Exzeß A kann man durch folgende Formeln berechnen:

b ■ c sin A*

piVarcl" 2qN arc 1"

c* sin A* sin В *

2 q N sin (A* -f- B*) arc 1"

_ c* sin A* sin (A* -j- G*) _]/p (p — a) (p — b) (p — c)

2 qN sin C* arc 1'

qN arc i"

oi —(- b —j— c

ist. Man ändert den Grad der Annäherung nicht, wenn man in diesen Ausdrücken AL*, B*} C* durch A, В, C ersetzt. Soll Д mit derjenigen Genauigkeit berechnet werden, die (36) entspricht, so ist zu setzen:

wo p —

Sk

arc 1"

(* +

as-f&s + cs

24

*)•

20. Sehnen und Normalschnitte. Sowohl hei der Übertragung der Koordinaten und des Azimuts wie bei der Auflösung der geodätischen Dreiecke ist die Benutzung der geodätischen Linien natürlich nicht unumgänglich notwendig. Man kann auch die Sehnen oder Normalschnitte benutzen. So löst Delambre¹¹) das Problem der Übertragung der geographischen Koordinaten, wenn die Sehne und das astronomische Azimut (oder Azimut des Normalschnitts) gegeben sind. C. Bremilcer¹²) löst dasselbe Problem mit größerer Annäherung und behandelt auch die Aufgabe, die Länge der Sehne und das astronomische Azimut zu bestimmen, wenn die geographischen Koordinaten der Endpunkte gegeben sind. Wir haben in Nr. 11 die auf dies Problem bezüglichen Formeln von Helmert gegeben. Bremilcer gibt auch Methoden zur Berechnung der Dreiecke mit Hilfe der Sehnendreiecke, deren Winkel er aus den Horizontalwinkeln berechnet. Helmert¹³) hat bemerkt, daß man bequem die Sehnen benutzen kann, ohne die Winkel zwischen den Sehnen in die Rechnung einzuführen, da zwischen den Sehnen a, b', c und den Horizontalwinkeln einfache Relationen von

< CO

zu berechnen, um in

95)    Уgl. Zitat in Fußn. 48, p. 77 f.

96)    Vgl. Zitat in Fußn. 46, § 6 u. f.

97)    H. G. 1, p. 105, 190. Wegen der Übertragung der geographischen Koordinaten unter Benutzung der Sehnen vgl. ibid., p. 142; es interessieren besonders die Formeln für den Fall kleiner Entfernungen.

genügender Annäherung bestehen. Es verdient in dieser Beziehung für den Fall eines sphärischen Dreiecks die Sinusformel von J. A. Grunert¹⁴ 15 16) erwähnt zu werden, die bezüglich der Seiten bis auf Glieder vierter Ordnung ausschließlich genau ist:

a : Ъ' : c — sin

(Ä

T) : s- (B

: sin (C

)■

Helmert ") hat eine analoge Formel für das Rotationsellipsoid aufgestellt, indem er auch noch die kleinen Größen vierter Ordnung und die Exzentrizität e berücksichtigte.

Berechnungen aus der sphäroidischen Trigonometrie mit Hilfe der astronomischen Azimute und der Normalschnitte findet man bei James und Clarke ¹⁰°). Die Normalschnitte haben indes den Nachteil, für jedes Punktpaar doppelt vorhanden zu sein und weniger einfache Rechnungen zu liefern als die geodätischen Linien.

21. Reduktion ellipsoidischer Figuren auf sphärische durch konforme Abbildung. Gauß¹⁷) hat von den Hauptproblemen der höheren Geodäsie eine Auflösung gegeben, die sich auf eine konforme Abbildung des Rotationsellipsoids auf die Kugel stützt. Die Parallelkreise und Meridiane des Ellipsoids entsprechen den Parallelkreisen und Meridianen auf der Kugel nach den Formeln:

a cd,

(37)

*8Т

1 + е cos vj , (а, к Konstante), со ist die Länge, v das Komplement der Breite — cpj

— e cos v

für einen

Ellipsoidpunkt, Si, V sind die analogen Größen für den entsprechenden Kugelpunkt. Der lineare Modul oder das Verhältnis zwischen einem Linienelement auf der Kugel und dem entsprechenden auf dem Ellipsoid ist:

(38)

а В sin F(1 — e² cos² v)

a sin v

wenn R den Kugelradius und a den Äquatorradius des Ellipsoids bezeichnet. Die Größen R, а, к sind so zu bestimmen, daß auf einem ausgewählten Parallel mit der Breite P (Normalbreite)

dim dvî

Bezeichnet man die P entsprechende sphärische Breite mit Q, so lauten die Bedingungen:

a cos P

cc cos Q |/l — e² sin² P’

(39)

m — 1,

a sin Q = sin P,

are

e² cos⁴ P

— ei ’

*\T.

1 -f- e sin Р/

— e sin

Aus den ersten dreien ergibt sich durch Elimination yon cc, P:

oj/l — e*

— e² sin² P

d. h. der Kugelradius ist das geometrische Mittel der Hauptkrümmungsradien unter der Breite P. Wenn man eine ellipsoidische Zone betrachtet, die nur wenig von dem Parallel abweicht, und mit s die größte Entfernung eines Zonenpunktes vom Parallel bezeichnet, so können die Ellipsoidbogen innerhalb jenes Gebietes den entsprechenden auf der Kugel mit einem relativen Fehler von der Ordnung

gleichgesetzt werden. In dieser Annäherung können daher die

ellipsoidischen Dreiecke als sphärische aufgelöst werden, was die Resultate der Nr. 18 bestätigt.

Zur Übertragung der geographischen Koordinaten von einem Punkte A(v, со) nach einem anderen B(y', со') bei gegebenem geodätischem Bogen AB — s und Azimut t in A, verfährt man so:

1)    Man berechnet aus (37) das dem ellipsoidischen v entsprechende sphärische F;

2)    man löst ein sphärisches Dreieck aus zwei Seiten (v,

e²-

ss

und

dem eingeschlossenen Winkel t auf und berechnet dadurch das v entsprechende У und die sphärische Längendifferenz Q';

V und со — со' = ab. Bei dem Über-

3) aus (37) leitet

man

gang von den ellipsoidischen Breiten zu den sphärischen ist es zweckmäßig, an Stelle von (37) Reihenentwicklungen zu benutzen. Ist P -J- p die Breite eines Ellipsoidpunktes und Q -f- q die Breite des entsprechenden Kugelpunktes, so findet man durch Entwicklung von (37) : 3 e*h

q=p

e*h

6cos⁵0

Durch Umkehrung der Reihe ergibt sich:

Encyklop. d. math. Wisaensch. VI 1.

COS0 ¹    2 CO

(3c²— 3s²-(— 12e²c²s²-f- 3e²s⁴)p³H—.

p = I cos ö -    (- C² + S! + о <W - «“«*) + • ■

wenn für den Augenblick gesetzt wird:

s — sin P, c = cos P, h — У1 — e², e sin P = sin в.

Gauß hat die Annäherung noch weiter getrieben. — Will man Größen von der Ordnung e² —g, wo s den Bogen bedeutet, berück

sichtigen

dätischen Bogen AP auf dem Ellipsoid entspricht, nicht mit dem

so

kann der Bogen A'C'B' auf der Kugel, der dem geo-

Bogen des größten Kreises A'C'B' identifiziert werden, und an den Azimuten der geodätischen Linie AB muß man gewisse Korrektionen il>1} ip₂ anbringen, um die Azimute t₂ des Bogens A'C'B' abzuleiten. Setzt man:

so

arc (AB) — S, к =

1 dlogm_

1 d log 2 dV    2 d(Q -f- q) ’

ergibt sich¹⁸):

к!"*

(— k₂ sin a₂ -f- 2 \ sin cq)

t₂ — t₂ = if₂ = g-j ( — \ sin a± -j- 2 Jc₂ sin a₂),

bis auf Größen der Ordnung e²s⁴. Mit derselben Annäherung erhält man für das Verhältnis yon S zum Bogen S' = A'C'B' des größten Kreises:

V Утх m₂

k1} m₁ sind die Werte von k, m im Punkte A, k₂, m₂ im Punkte B. Weitergehende Formeln sind von 0. Schreiber entwickelt worden102a).

22. Rechtwinklige geodätische oder Soldnersche Koordinaten¹⁹).

Von besonderem Interesse sowohl für theoretische Zwecke wie für die praktische Geodäsie ist die Bestimmung der Ellipsoidpunkte durch das

Fig. 3.

Annäherung (Nr. 19) aus dem geodätischen Dreieck АА'0;ш) dessen sphärischer Exzeß aus der Gleichung:

s² sin «j cos aj 2 pj JVj arc 1"

folgt (p₁₅ Nx sind die Werte von q, N für 0). Man bekommt:

(40)

folgende System geodätischer Koordinaten. Für einen beliebigen Punkt A (Fig. 3) nennen wir die Länge der geodätischen Linie AÄ, die von A senkrecht zu einem Hauptmeridian gezogen ist,

Y und den Bogen dieses Meridians zwischen Ä und einem festen Punkte 0 (Anfangspunkt der Koordinaten) X. Wir werden Y positiv vom Meridian nach Osten und X positiv nach Norden rechnen.

\B

II

S'

Sind die geodätischen Polarkoordinaten des Punktes A in bezug auf 0: s, ux, so erhält man die Koordinaten Xx, Yx von A in der üblichen

JY

jew y,.....j-M

'S

Xx = s cos («j — 2 s), Yt — s sin (ax — s).

Für die umgekehrte Rechnung hat man mit derselben Genauigkeit:

XjYj

2 pj Aj arc 1" ’

s sin ax = Yx ^1 -f-= X,(l

6 pj JVj

).

Yi*

3 pj JVj

Der Winkel des Dreiecks ÄАО in A ist 90° — av -f- 3 s.

Es sei jetzt die Länge s des geodätischen Bogens AB und der Winkel A'AB — M gegeben; gesucht sind die Koordinaten X₂, K2 von B. Macht man auf BB' (Ordinate von so bekommt man aus dem Viereck AA'B'H, wenn man den sphäroi-dischen Exzeß mit E bezeichnet, in der üblichen Annäherung:

S COS ttx

B) B'H = A'A = Yv

läge, München 1873) und unabhängig von ihm von J. Bohnenberger bei der Württemberg. Landesvermessung (De computandis dimensionibus trigonometricis etc. Tübingen 1826, deutsch bearbeitet von E. Hammer, Stuttgart 1885).

104) Die hier befolgte Methode stammt von G. Zachariae, Die geodätischen Hauptpunkte und ihre Koordinaten, Berlin 1878, und von N. Jadanza ⁶³). 0. Schreiber hat Formeln für geodätische Koordinaten im II. Teile der Hauptdreiecke der

K.    Preuß. Landestriangulation, Berlin 1874, p. 605 gegeben. Ihre Entwicklung findet sich bei W. Jordan und K. Steppes, Das deutsche Yermessungswesen, Stuttgart 1882; Bd. 1, Höhere Geodäsie und Topographie des deutschen Reiches von W. Jordan, p. 103. Ygl. ferner O. Börsch, Anleitung zur Berechnung geo-dät. Koordinaten, Kassel 1885; W. Jordan, Zeitschr. f. Vermess. 20 (1891), p. 213;

L.    Krüger, ibid. 26 (1897), p. 441.

=    = 90» +

(AH) = (AH)

—2— Е (А А) (Е in Sekunden).

Aus dem Dreieck ABH findet man dann, wenn sein sphäroidi-scher Exzeß mit 3 ^ bezeichnet wird :

(q, A⁷ beziehen sich auf A)

arc 1"

s ² sin M cos M 2 q N arc 1" ;

X₂ — Xl = s' sin (M — E — 2st) -|---

Y₂ — Yj = — s' cos ^Ж

Den Exzeß E kann man nach der Formel berechnen:

Y₁ s' sin M q N arc i

Zur Ausführung der umgekehrten Rechnung (gegeben Xv Y1} X₂, Y< gesucht s', Ж) setzen wir:

Z₂ - X, = AI,

TT⁹

24

Y₂ - Yt = Д Y

und erhalten dann:

Y,AX

q N arc 1"

, 3 £x -

arcl"

Д1Д Y

2 q N arc 1"

— s' cos Ж = Д Y +    - (E + 2fl)AI

s' sin Ж = AI — arc 1"(E -f 2ft)AF

arc 1"

г-ЕГ.-

Auf direkterem Wege löst Helmertm) die Probleme für die rechtwinkligen geodätischen Koordinaten, indem er von den Differentialgleichungen (analog mit (21) in Nr. 16)¹⁰⁶):

i a(s²)

2 У6? dX ’ s sin а

1    Э(в*)

2    dY

ausgeht, denen der geodätische Bogen s genügt, der einen festen Punkt A(X₁Yl) mit einem beliebigen Punkt (17) verbindet; a ist der Winkel, den das Element ds im Punkte В mit der Kurve Y = konst., natürlich im Sinne der wachsenden X, macht (Richtungswinkel), und G der Koeffizient im Ausdruck für das Linienelement:

(42)

s cos a =

ds = YdY* + GdX².

105)    H. G. 1, p. 412—420.

106)    Diese Gleichungen erhält man am einfachsten auf geometrischem Wege, wenn man den Satz berücksichtigt, daß das eine Ende eines geodätischen Bogens

von

rechtwinklige Linie erzeugt.

konstanter Länge, das um das andere Ende rotiert, eine zum Bogen selbst

— N arc 1" }

Indem man (42) nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten integriert, erhält man für s cos a, s sin a Reihen nach Potenzen von X — Xv Y — Yv Durch Umkehrung der Reihen lassen sich X — Xv Y — Yt durch s und a ausdrücken. Die Helmertschen Formeln gehen bis zu Gliedern mit s⁵ und e²s⁴ einschließlich.

23. Übertragung der geographischen Koordinaten vermittelst rechtwinkliger geodätischer. Das in Nr. 13 und 14 behandelte Problem kann man auch mit Hülfe der rechtwinkligen geodätischen Koordinaten XtYt des Punktes В in bezug auf A als Anfangs- p punkt lösen; denn nach Berechnung von XY kann man die Breite von F (Fig. 4), des Fußpunktes der geodätischen Linie, die durch В senkrecht zum Meridian von А

F\JP'

CL2i

Y,

geht, finden und hierauf die geographischen Koordinaten von F nach В übertragen.

Wir geben die Helmertschen Formeln¹⁰⁷) unter Benutzung der in der Figur angegebenen Bezeichnungen, wo BP der Meridian von В und BP' die durch В gehende Linie Y = konst, ist. Der Winkel PBP = t ist die Meridiankonvergenz zwischen F und В (Nr. 13).

Setzt man:

Fig. 4.

so hat man

и — s cos an,

V = s sin cc₁₂,

log X = log H + i    wy

log Y = log V — i log (F - <p.) = log (^~-)

Mu*

a* (1 — e*)

Wo⁴

(M = 0,4342945 ...),

(F — (pi in Sekunden), tg оэ₁₂ = tg g ■ sec F,

sin {F — щ) = sin ri tg F tg    ;

107) H. G. 1, p. 456. Dort ist aber die X-Achse positiv nach Süden, die У-Achse positiv nach Westen und das Azimut von Süden aus gerechnet. 0. Schreiber (Rechnungsvorschriften für die Trigon. Abt. der Landesaufnahme, Berlin 1878) hat das Problem der sphäroidischen Übertragung nach demselben Prinzip gelöst. Seine Formeln sind etwas weitläufiger, vermeiden aber indirektes Rechnen. In den Albrechtschen Tafeln⁴⁶) findet man numerische Tabellen zum Gebrauch der Schreiberechen Formeln.

УГ—еЧт*Г'

cp₁₇ F\ cp₂ sind die Breiten yon A, F, B\ a₁₂ ist die Längendifferenz zwischen B und A, W₀ der Wert von ]/l — e² sin² cp für die Breite cp₁ -(-(F — cpt) [in erster Annäherung findet man F aus: log (F — cpf)" = log и -|- 8,5111; Qm ist der Krümmungsradius im Meridian unter der Breite (F¹-f-(pj, W der Wert von ]/l —e² sin² cp für die Breite

Den Winkel t findet man aus

F-UF-cp₂), N =

der Formel:

tg t — sin i] tg F

und das Azimut a₂₁ von B A in В ist gegeben durch:

u2i = a₁₂ + 180° -f- t —

XYWĄ

2 as( 1 — es) arc ï"

Die in diesen Formeln vernachlässigten Größen sind von der Ordnung s⁵ und e²s⁴ in bezug auf X, Y, von der Ordnung e⁴s³, e²s5 bei F— cp1} e²s⁴ bei F — <p₂, e²s⁵ bei ю₁₂, e²s³ und s⁴ bei dem Azimut cc2l. Für s — 300 km sind diese Fehler kleiner als 0",0002 in cp₁ — F, 0",0004 in F — cp₂, 0",0003 in оэ₁₂ und 0",014 in cc₂₁ (vgl. Helmert, H. G. 1, p. 452—454).

24. Projektionen auf die Ebene. Wir haben in Nr. 21 auseinandergesetzt, wie Gauß mit Hülfe einer konformen Abbildung die Probleme der sphäroidischen Trigonometrie auf die der sphärischen zurückgeführt hat. In analoger Weise (und mit größerem Nutzen für die Anwendungen in der praktischen Geodäsie) kann man Projektionen auf die Ebene benutzen, um die geodätischen Rechnungen auf solche der ebenen Trigonometrie zurückzuführen²⁰). Es seien einige Hauptsysteme dieser Projektionen genannt.

Projektion von Soldner. Die Cartesischen Koordinaten eines Punktes der Ebene werden den rechtwinkligen geodätischen Koordinaten des entsprechenden Punktes auf dem Ellipsoid gleich gemacht²¹ 22).

Konforme Kegelprojektionno), bei der die Meridiane durch ein Strahlenbüschel und die Parallelkreise durch konzentrische Kreise ab-

gebildet werden. Entspricht dem Flächenpunkte qp, a ein Punkt in der Ebene mit den Polarkoordinaten R, в, so ist

R = 1: Ф

в — ka,

eh

WO

ф = cotg* (45° +    ² Qh к Konstanten).

Wenn man eine Erdzone mit der Mittelbreite qp₀ abbilden will, so sind die passendsten Werte der Konstanten:

h = sin qp₀,

r₀

Ф₀ sin <p₀ ’

Ф₀, r₀ sind die Werte von Ф, r (Radius des Parallelkreises) für die Breite qp₀. — Die Theorie dieser Projektion ist vollständig analog der sphärischen Abbildung von Gauß (Nr. 21).

Konforme Projektion von Gaußш), bei der der Hauptmeridian durch eine Gerade dargestellt wird und die Bogen dieses Meridians den entsprechenden Strecken in der Ebene gleich sind (längentreue Abbildung des Hauptmeridians). Setzt man:

— e sin qp\ 2

Q. ~ dfP = log tg (45° + -J) (J *o

so kann man das Linienelement der Fläche in der Gestalt

ds — rYdq² -f- da*

ansetzen und jede konforme Abbildung auf die Ebene wird durch eine Relation der Form:

(» • V— 1)

X + iY = f(q + ia)

vermittelt. Wenn die X-Achse den Hauptmeridian darstellt, so muß sich für o = 0 die Gleichung X — б ergeben, wo б den Meridianbogen zwischen dem Äquator und der Breite qp bedeutet. Dies bestimmt die Gestalt der Funktion f und für kleine Werte a erhält man durch Reihenentwicklung:

X = б + у X sin qp cos qp -f- ^ N sin qp cos³ qp (5 — -f- 9 -j— 4rf) -|— Y—aN cos qp -f- y N cos³ qp (1 — f -J- rf) -f- • • -,

111) Diese Projektion ist von Gauß für die Rechnungen der Hannoverschen Gradmessung und ihrer Fortsetzung nach Jever (1821—1825) sowie für die Hannoversche Landesvermessung (1828—1844) benutzt. Die Theorie ist von 0. Schreiber auseinandergesetzt, Theorie der Projektionsmethode in der Hannov. Landesvermess., Hannover 1866. Die in Gauß Nachlaß gefundenen Formeln sind Werke 9, p. 141—204 von L. Krüger zusammengestellt; vgl. dazu auch den Briefwechsel mit Schumacher, ibid., p. 205—218.

9 e*COS*qp

¹

   Abhandlgn. 3, p. 1 und 29; siehe auch Baeyer⁶⁵) [Korrektion in Astr. Nachr. 60 (1863), p. 133].

²

   Vgl. Andrae⁵⁰), 1. cahier, p. 5 ff.; siehe auch J. De Berardinis, Torino Mem. (2) 36 (1885), p. 159.

³

   Astr. Nachr. 1 (1822), p. 85 = Abk. 3, p. 3.

⁴

   H. G. 1, Кар. VIII.

⁵

   Über die allgemeine Theorie des geodät. Dreiecks, Berlin Abh. 1868.

⁶

   Über das Problem der geodätischen Dreiecke vgl. auch : H. James und A. B. Clarke⁵²), p. 240ff.; J. J. Baeyer, Astr. Nachr. 61 (1864), p. 225; Helmert, Zeitschr. f. Vermess. 18 (1889), p. 257.

⁷

   Paris Mein. Acad, pour 1787 (1789), p. 352 oder auch Delambre ⁴⁸),

⁸

   Bis auf die Bezeichnung stimmen diese Ausdrücke mit Helmert, H. G. 1, p. 359, Formel (6) überein.

⁹

   Helmert, H. G. 1, p. 96 u. 361.

¹⁰

Wenn die Seiten nicht länger als 120 km sind, so hat ein Fehler von zwei Einheiten der fünften Stelle des Logarithmus anf Д keinen größeren Einfluß

¹¹

als 0",0015. Andererseits ist die Änderung von log nicht größer als 0",00011,

¹²

wenn cp sich um 1° ändert. Es genügt deshalb, die Mittelbreite bis auf 10' genau

¹³

sicher keinen größeren Fehler als 0",0005 zu erhalten.

¹⁴

   Arch. Math. Phys. 25 (1855), p. 197 ; bezüglich des Sehnendreiecks vgl. auch A Nagel, Zeitschr. Math. Phys. 1 (1855), p. 257.

¹⁵

   H G. 1, p. 197.

¹⁶

   Ygl. Zitat in Fußn. 52, p. 232 f.

¹⁷

   Ygl. Zitat in Fußn. 62. In dieser Hinsicht siehe auch: E. Hammer, Zeitschr. f. Yermess. 20 (1881), p. 609 u. 641.

¹⁸

   Bei dem Vergleich dieser Formeln mit denen von Gauß beachte man, daß Gauß das Azimut von Süden statt von Norden aus rechnet. Die von Gauß

er

mit L bezeichnete Größe ist hei uns — •

а

102a) Die konforme Doppelprojektion usw., Berlin 1897.

¹⁹

   In der Karte von Frankreich, die von C. F. Cassini de Thury und seinem Sohne ausgeführt ist (vollendet 1815), sind die ebenen rechtwinkligen Koordinaten genau gleich den hier definierten rechtwinkligen geodätischen Koordinaten, wobei das Observatorium von Paris als Anfangspunkt genommen ist. Der rationelle Gebrauch dieser Koordinaten zu geodätischen Rechnungen wurde von J. v. Soldner 1809 für die bayerische Landesvermessung eingeführt (vgl. C. v. Orff und С. M. V. Bauernfeind, Die Bayer. Landesvermessung in ihrer wissenschaftlichen Grund-

²⁰

   Eine vollständige Behandlung der ebenen Projektionen findet man bei Jordan, Handbuch 3, p. 255—291 und 404—487 ; Bemerkungen dazu voni. Börsch in Fortschr. der Mathem. 27 (1896), p. 785. Man sehe auch C. F. Gauß Werke 9, p. 137 und vergleiche im übrigen VI i, 4 (P. Bourgeois).

²¹

   Vgl. Fußnote 103.

²²

   Diese Projektion ist von F. Paschen bei der mecklenburg. Landesvermessung benutzt, vgl. W. Jordan, Großherzogi. Mecklenb. Landesverm., 5. Teil, Schwerin 1895. Für die geodätischen Rechnungen in der Äquatorgegend ist die Mer/catorprojektion von Ch. M. Schols vorgeschlagen und studiert [Delft J. éc. polyt. 1 (1885), p. 1].

wo zur Abkürzung:

= tg cp, rß = Y-e*

gesetzt ist. Um die umgekehrten Formeln hinzuschreiben, bezeichnen wir mit (px die Breite des Parallelkreises, der vom Äquator den Abstand X hat. Man hat dann mit derselben Genauigkeit:

(5 + 3V + V-9%V-4%⁴)+-

У = ₍p₁ —

Y*

Y*

2 -ZVq

Ys

6 JY, ³ cos qPj

wo Qt, Nv rjv tx sich auf die Breite cpx beziehen. — Das Verhältnis zwischen einem geodätischen Bogen AB = s und der Strecke A'B' = S

(Fig. 5) in der Ebene, die die A und В entsprechenden Punkte verbindet, ist bis auf Größen der Ordnung e²ss und s⁴

2V, COS qp.

.B’

4,

\C

^(7,4-Г.Г.+ Г,•) + -...

Die Winkel, welche das ebene Bild A'C'lÏ der geodätischen Linie AB mit der Strecke A'B' macht, sind mit derselben Genauigkeit:

(X, - X,)(2 Г, + Yt)

6 e,2V,

Fig. 5.

*2 =

(X₂-X,)(2 Г. + Гр

6 e,2V,

Der Bogen A'C'B' kehrt immer die konkave Seite zur X-Achse, was als Regel zur Bestimmung der Vorzeichen von dt, d₂ dient. Die Ordinate Yt macht mit dem Bilde des Parallels im Punkte (X1; Yx) einen Winkel:

32V,

h (1 + k² — V1² — 2 %⁴) + • • •

«³

= со sin qp -f- у sin cp cos² cp (1 -f- 3 rß -f- 2 rf) -}- • • -,

dies sind die fundamentalen Formeln der konformen Projektion von Gauß. Wegen weiterer Entwicklungen vgl. man Schreiberm) und Jordan, Handbuch 3. In neuerer Zeit hat die Gauß sehe Projektion bei der Landesvermessung von Frankreich durch Ch. Lallemand Verwendung gefunden; man beabsichtigt Frankreich in 7 Meridianstreifen von je 2° Breite zu teilen111 a).

In der Praxis hat sich die „konforme Doppelprojektion“, die von 0. Schreiber bei der preußischen Landesaufnahme eingeführt ist, als

111*) Zeitschr. f. Vermess. 28 (1899), p. 42, 138.

sehr zweckmäßig erwiesen. Man erhält sie durch 1) eine konforme Abbildung des Ellipsoids auf die Kugel nach Gauß (Nr. 21) und 2) eine konforme Abbildung der Kugel auf die Ebene, bei der ein Mittelmeridian längentreu abgebildet wird111 ъ).

В. Landesvermessung.

25. Basismessungen. Um die gegenseitige Lage von Punkten auf der Erde zu bestimmen, muß man wenigstens die Länge einer Strecke direkt messen; eine solche gemessene Strecke nennt man Basis. Die Einrichtung der Basis, d. h. der Linie AB, längs der die Träger der Meßstangen aufgestellt werden, erfolgt durch Aufstellung eines Alignementsfernrohrs (d. h. eines um eine horizontale Achse drehbaren Fernrohrs) in einem Ende A, mit dessen Hilfe man auf dem Boden die Punkte des Vertikalschnitts AB festlegen kann; umgekehrt kann man von В aus den Vertikalschnitt B A festlegen. Endlich kann man auch durch sukzessive Aufstellung des Instruments in Zwischenpunkten P zwischen A und В diese Punkte P so bestimmen, daß die Azimutdifferenzen zwischen den Vertikalschnitten PA, PB 180° betragen. Man erhält in diesem Falle die sog. Feldlinie¹ 2) (courbe d’alignement), die als Ort der Punkte definiert werden kann, in denen die Normalen von den Punkten der Geraden AB aus auf die Fläche diese schneiden. Eine solche Linie berührt die Normalschnitte AB und B A in A und В resp.³), und ihre Abweichungen von diesen sind von derselben Ordnung wie die zwischen den geodätischen Linien und den Normalschnitten (Nr. 17), d. h. in praxi völlig zu vernachlässigen⁴).

Bei dem Gesagten ist stillschweigend vorausgesetzt, daß die Einrichtung der Basislinie auf dem Ellipsoid erfolgt. In Wirklichkeit geht sie aber auf der physischen Erdoberfläche vor sich und die Abweichung dieser vom Referenzellipsoid ist nicht zu vernachlässigen⁵).

Es sei AN B (Fig. 6) die Basislinie; fällt man dann von А, В Normalen auf das Ellipsoid bis A, B, so ist aus der gemessenen

Länge AN В die Länge der geodätischen Linie oder des Vertikalschnitts А'B' abzuleiten. Der Winkel zwischen den beiden Vertikalebenen AA'B, A AB (Nr. 11) ist so klein, daß sie, was die Einrichtung und Messung der Basis angeht, als identisch betrachtet werden können.

kQ

ж.

lv

Mit dieser Annäherung kann die Projektion P' Q' einer Stangenlage BQ auf das Ellipsoid als ein Element von AB betrachtet werden. Die beiden Normalen PB, QQ' bilden einen so kleinen Winkel miteinander, daß der Bogen B'Q' mit dem Bogen des os-kulierenden Kreises in P' identifiziert werden kann. Aus dem Dreieck PCQ (C ist der Krümmungsmittelpunkt топ В auf AB) erhält man dann:

A'

Fig. 6.

wo Ъ — PQ, h die Höhe QQ' der Stange über dem Ellipsoid und i — 90° — <fiVPQ ihre Neigung gegen den Horizont ist; В ist der Krümmungsradius von Größen wird deshalb die Länge von AB':

L — 2{BQ') = Nb -    — Zb-~-

Der Ausdruck £ N b i² heißt Reduktion auf den Horizont¹¹⁶) (die Neigung i wird an einer mit der Meßstange verbundenen Libelle ab-

A'B in B.

Bis auf zu vernachlässigende

(44)

Helmert, H. G. 1, p. 487 und E. Pucci, Sulla teoria delle base geodetiche, Neapel 1880. Es ist mir nicht bekannt, wann zum ersten Mal die Reduktion einer Basis auf das Meeresniveau ausgeführt ist. — Lacondamine und Bouguer haben diese Reduktion bei dem Peruanischen Bogen angebracht (siehe Todhunter, History, § 358).

116) Diese Korrektion scheint zuerst von Bouguer bei der Basis von Quito eingeführt zu sein (Gore, Geodesy, p. 99).

gelesen) und ZJ

bh

Redaktion auf das Meeresniveau. Diese kann mit

H

genügender Genauigkeit auch in der Gestalt: L geschrieben werden,

0

L von L aus-

10⁷

wo Д, der Krümmungsradius yon A'B' in A'¹¹⁷) und Hm die mittlere Höhe der Basis über dem Meere¹¹⁸) ist, die durch ein geometrisches Nivellement bestimmt wird. Es ist nicht notwendig, daß das Nivellement die Höhe jeder Stangenlage gibt, es genügt das Mittel aus den Höhen einer Anzahl passend verteilter Stangenlagen oder sogar der Enden A, B. Ein Fehler von 64 cm in Hm würde machen.

26. Basisapparate¹¹⁹). Bei den metallischen Basisapparaten, die heutzutage fast ausschließlich benutzt werden, muß man die Änderung der Stangenlange mit der Temperatur berücksichtigen. Wird diese direkt mit einem Quecksilberthermometer gemessen, so erhält man die Stangenlange bei der Temperatur fl durch die Formel:

& = fy)(l + ßfy)

wo Ъ₀ die Stangenlange bei 0° und ß der Ausdehnungskoeffizient¹*⁰) ist. Aber meistens verzichtet man auf die direkte Messung der Temperatur und stellt nach dem Prinzip des Metallthermometers von Borda¹²¹)

(dB\ 3e!s

Ыо_ 2 7B«am2’’C0s“

117) Der Krümmungsradius in einem Punkte В von A'B' unterscheidet sich von B₀ sehr nahe um:

(Nr. 12), wo s = arc (AP'). Für s = 10 km ist diese Differenz kleiner als 0,000016 B₀, d. h. wenn man in dem letzten Gliede von (44) B₀ für В setzt, so

I£

Bo

begeht man einen prozentualen Fehler, der kleiner ist als 0,000016 —- (oder kleiner

für H= 2000 m).

als

200 • 10®

118)    Genau genommen müßte man die Höhe der Stangen über dem Refe-renzellipsoid benutzen, aber in erster Annäherung identifizieren wir dies mit dem Geoid (Nr. 7).

119)    Уgl. A. Westphal, Zeitschr. f. Instr. 5 (1885), p. 257, 333, 373, 420; 8 (1888), p. 189 und 337.

120)    Das Thermometerquecksilber muß in möglichst direkter Berührung mit dem Stangenmetall sein. Deshalb bringt man in der Stangenoberfläche Hohlräume an, die mit Quecksilber oder Eisenfeilspänen gefüllt werden; in diese tauchen die Thermometerkugeln ein.

121)    J. C. Borda, Expériences sur les règles qui ont servi à la mesure des bases (Anhang zu: Delambre, Base du système métrique etc., Paris 1806—1810). Neuerdings sind Zweifel an der Genauigkeit der bimetallischen Apparate aufgetaucht, weil die beiden Stangen verschiedene Trägheit gegenüber Temperaturänderungen besitzen. Ygl. 0. Schreiber, Zeitschr. f. Yermess. 11 (1882), p. 1; A. Fischer, Astr. Nachr. 103 (1882), p. 33.

den Apparat aus zwei Stangen yon verschiedenen Ausdehnungskoeffizienten, die an einem Ende verbunden sind, her (Fig. 7). Die Länge b einer der beiden Stangen ist dann eine lineare Funktion der Differenz Je der Längen beider (Angabe des Metallthermometers), deren Konstanten durch Vergleich der Stangen mit einem Prototyp bei verschiedenen Temperaturen zu bestimmen sind.

\CV

“)

a>

Fig. 8.

Fig. 7.

Man hat auch Kompensationsapparate konstruiert, bei denen zwei Metallstangen mit verschiedenem Ausdehnungskoeffizienten so ver-verbunden sind, daß zwei bestimmte Punkte eine von der Temperatur unabhängige Entfernung besitzen. Die beiden benutzten Apparattypen sind in Fig. 8 schematisch dargestellt. Bei dem ersten (englischer Apparat von Th. Colby) gehen die Querstäbe асе und belf (Fig. 8 a) in Scharnieren und die Entfernungen ce und df sind so gewählt, daß die Strecke ef von der Temperatur unabhängig ist. In Fig. 8 b (nordamerikanischer Apparat von С. A. Schott) sind ab und cd zwei gleich lange Stäbe aus gleichem Material und fe ein Stab aus anderem Material, der mit den beiden ersten bei a und c resp. verbunden ist. Das Verhältnis ab : ac läßt sich so wählen, daß die Entfernung bd konstant ist.

Die Basismessung selbst wurde ursprünglich so ausgeführt, daß die Stangen unmittelbar aneinander geschoben wurden; die Länge der Stange wurde dann durch die Entfernung der beiden Endflächen oder Kanten definiert (Endmaß). Später hat man diese Methode verbessert, indem ein kleiner Zwischenraum zwischen den Stangen gelassen wurde, der mit Hilfe eines Keils (Bessel) oder Fühlhebels (E. G. W. Struve) oder Schiebers (J. C. Borda) (slide-contact, linguetta) bestimmt wurde, wie Fig. 9 zeigt. Neuerdings ist das dritte System noch durch Anbringung von Feder und Schraube verbessert worden.

Der erste, der Striche auf den Maßstäben anbrachte und ihre Länge durch Entfernung der Striche definierte (Strichmaß), war JR. G. Bo-scovich⁶) (Basis auf der Via Appia und bei Rimini, 1751). Er schob dann die Maßstäbe mit kleinem Zwischenraum aneinander (Fig. 10) und

bestimmte die Entfernung ab' mit Hülfe des Zirkels und einer geteilten Skala. G. B. Beccaria in Turin¹²³) (1774) und die Mailänder Astronomen (Basis von Somma, 1788) legten die Maßstäbe so, wie es Fig. 11 zeigt (Seitenkontakt). Bei dem Apparate von Colby wurde

a)

7?

c)

V.

b)

Fig. 9.

ebenfalls ein kleiner Zwischenraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stangenlagen gelassen, der mit Hilfe eines Systems von zwei Mikroskopen mit vertikalen Achsen gemessen wurde. Die Nachteile der

«!

Fig. 11. *

Fig. 10.

direkten oder indirekten Berührung der Stangen werden am besten vermieden bei dem modernen optischen System, das kurz folgendes ist (Fig. 12): Eine einzige Meßstange trägt an jedem Ende eine Teilung,

XL,

XL,

c'

f.

Fig. 12.

auf die, wenn die Stange in der Basis liegt, zwei Mikroskope mit vertikalen Achsen gerichtet werden. Die Mikroskope werden fest auf Böcken, die von denen für die Stange unabhängig sind, aufgestellt, und die mit Hilfe der Stange ermittelte Entfernung ihrer Achsen

123) Ibid., p. 336.

bildet ein Element b der Basis (Formel (44)). Indem man dann das Mikroskop c und die Stange im Sinne des Pfeils vorwärts bewegt, mißt man von c aus ein neues Element der Basis usw. Mit der Erfindung dieser Methode sind die Namen J. Porro, F. B. Häßler, J. F. d'Aubuisson verknüpft; wem die Priorität zukommt, ist nicht sicher⁷).

von

verein-

Geschichtlich sei noch bemerkt, daß anfangs Holzstäbe, z. T. mit metallenen Einsätzen benutzt wurden; Cassini II. benutzte zum ersten Mal eiserne Stäbe⁸). Wir lassen hier die Namen einer Anzahl von Basisapparaten mit den zugehörigen Literaturnachweisen folgen (die in Klammern beigesetzten Namen geben mit den Apparaten gemessene Basen an): Apparat von J. Bamsden⁹) (Hunslow-Heath in England, 1784); Borda¹⁰) (Melun und Perpignan, 1798—99); Gr. Beichenbach¹¹) (Nürnberg und Speyer, 1807 und 1819); Th. Colby¹²) (Lough,-Foyle in Irland, 1827) ; Bessel¹³) (Königsberg, 1834,und die meisten deutschen und italienischen, außerdem belgische, eine schwedische und eine dänische Basis); Struve¹⁴) (Rußland von 1827 an); J. Porro, modifiziert von A. Secchi¹⁵) (Via Appia, 1854—55); Porro, modifiziert von P. Hossard¹⁶) (Algier, 1854 — 67); C. Ibanez, konstruiert von Brunner¹⁷ 18) (Madrid, 1858); Preuß. geodät. Institut¹⁶), dem vorigen fast gleich, (Strehlen, 1879, Berlin, 1880, Bonn, 1892); Ibanez facht¹⁹) (Spanien, 1865—79, Schweiz, 1880—81); Bepsold-Com-

stock¹⁹ 20) (Chicago, 1877); Schott²¹ 22) (Yolo und Los Angeles in Kalifornien); Eimbeck¹⁸⁹) „Duplex“ (Salt-Lake, 1896)²³); Woodward²⁴) in Eis (Holton, 1890).

Wir nennen endlich noch den Jäderinsehen Apparat²⁵), der zwei Drähte von 25 m (oder 50 m) Länge, einen aus Phosphorbronze und einen aus Stahl, enthält, die durch eine Federwage oder durch ein System von Gewichten gespannt werden. Der Apparat ist neuerdings unter Verwendung von Nickelstahldrähten abgeändert worden und scheint in dieser Form eine große Zukunft zu haben²⁶).

27. Winkel; ihre Reduktion auf das Ellipsoid. Auf die Messung der Horizontalwinkel gehen wir hier nicht ein, sondern verweisen, soweit ihre Darstellung überhaupt in den Rahmen der Ency-klopädie gehört, auf den Artikel über „Niedere Geodäsie“ (VI l, 1 (C. Reinhertz)). — Es sei hier nur bemerkt, daß die Kreisablesung an den Winkelmeßinstrumenten bei den Aufgaben der höheren Geodäsie heutzutage immer mit Hilfe von Mikroskopen erfolgt²⁷).

Ist an einem Beobachtungsort Ä der Horizontalwinkel 21' zwischen R' und C' oder die Differenz der astronomischen Azimute von B' und C' in bezug auf Ä gemessen (vgl. Nr. 5), so muß man daraus den Winkel 21 zwischen den geodätischen Linien AB und AC auf

dem Ellipsoid berechnen¹⁴⁵). Die Punkte A, B, C sind die Schnittpunkte der Vertikalen топ Ä, B', C mit dem Ellipsoid. — Berücksichtigt man die Formeln (6') in Nr. 11 und (27) in Nr. 17, so ergibt sich:

e! cos² cp

(45)

2 a arc 1"

{ hc sin 2 Ac— hb sin 2 Ab}

ег cos² qo

{ sc² sin 2AC — sb² sin 2Ab},

wenn hb, hc Ab, Ac die Höhen resp. die Azimute yon В und C, sb, se die Entfernungen AB, AG bedeuten. Der zweite Teil dieser Korrektion ist fast immer zu vernachlässigen, der erste wird nur dann merklich, wenn die Meereshöhe der Beobachtungspunkte 500 m übersteigt¹⁴⁶).

28. Triangulation. Einen Punkt В mit einem anderen A geodätisch verbinden heißt: diejenigen geodätischen Messungen ausführen, die notwendig sind, um aus den gegebenen Koordinaten von А (ellipsoidische Länge und Breite) und der Meridianrichtung in A die Koordinaten von В und die Meridianrichtung in В zu bestimmen. Um

die direkte Messung der Entfernung А В zu umgehen, die nur für ₇B zehn bis zwanzig Kilometer praktisch ausführbar ist¹⁴⁷), hat Wille-brord Snellius van Boijen um 1615 die Methode der Triangulation erfunden und angewandt. Man wählt bei dieser Methode in der Gegend zwischen A und В eine Anzahl wohl definierter Punkte C,D,E,... (die wir der Einfachheit halber auf dem Ellipsoid gelegen annehmen) und denkt sie sich durch geodätische Linien in der Weise verbunden, daß sie eine Dreieckskette

12 a² arc 1"

я.

n.

Fig. 13.

145) Bezüglich der Reduktion der beobachteten Winkel auf das Ellipsoid vgl. u. a. A. Sonderhof, Arch. Math. Phjs. (Grunerts Archiv) 51 (1870), p. 20 und 42.

146)    Man müßte noch zweierlei berücksichtigen: 1. die Lotabweichung in A' oder die Abweichung der Ellipsoidnormale von der Lotrichtung in A'; 2. die Tatsache, daß die Vertikalen von A und A' nicht zusammenfallen. Es ist aber in Nr. 7 gezeigt, daß die Abweichung des Ellipsoids vom Geoid ohne merklichen Einfluß auf die Messung der Horizontalwinkel ist; um so mehr ist der Einfluß der Verschiedenheit der Vertikalen von A und A' zu vernachlässigen.

147)    Die längste in neuerer Zeit gemessene Basis ist 14,6 km lang (Madri-dejos); im allgemeinen sind die Basislinien nicht über 10 km lang. Nach Jordan, Handbuch 3, p. 103 ist die mittlere Länge der gemessenen Basislinien 6 km.

bilden (Fig. 13). Man mißt nun eine Seite und eine genügende Anzahl von Winkeln, um von dem Dreieck aus, dem die gemessene Seite angehört, sämtliche Dreiecke nacheinander auf lösen zu können; die Punkte A, C, D, . . ., В sind dann geodätisch unter sich verbunden. Kann man in verschiedener Weise von A nach В übergehen, so nennt man die Gesamtheit der Dreiecke ein Netz.

Bei der Auswahl der Dreieckspunkte spielen vor allen Dingen praktische Erwägungen, die sich auf die örtlichen Verhältnisse beziehen, eine Rolle; indessen sind auch einige theoretische Forderungen in bezug auf die beste Gestalt und Dimension der Dreiecke so weit als möglich zu berücksichtigen. Das Problem der besten Gestalt der Dreiecke, d. h. derjenigen Gestalt, bei der die Winkelmeßfehler den geringsten Einfluß auf die geodätische Verbindung haben, kann man nicht allgemein lösen; man kann nur in speziellen Fällen und mit vielen Beschränkungen Lösungen geben²⁸ 29). Ohne hier auf detaillierte Rechnungen, die von geringer theoretischer und praktischer Bedeutung sind, einzugehen, beschränken wir uns auf die Bemerkung, daß in einem Dreieck, in dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind, der Einfluß der Winkelfehler auf die beiden anderen Seiten (relativ zu diesen Seiten) ungefähr den Kotangenten der gemessenen Winkel proportional ist. Ein kleiner Winkel bedeutet deshalb, wenn er zur Seitenübertragung notwendig ist, eine schwache Stelle in einem Netze und ist darum in einem solchen Falle möglichst zu vermeiden. Von diesem Gesichtspunkt aus ist es vorteilhaft, sich nicht allzusehr von der Gestalt gleichseitiger Dreiecke zu entfernen.

Was die Größe der Dreiecke betrifft, so würde es einerseits zweckmäßig sein, die Netze erster Ordnung aus möglichst wenigen Dreiecken aufzubauen, damit eine möglichst geringe Zahl von beobachteten Winkeln in die Rechnung eingeht; aber andererseits muß man beachten, daß der mittlere Fehler der Winkelmessungen mit der Entfernung der Dreieckspunkte wächst. Speziell kommt hier die sogenannte Lateralrefraldion zur Geltung, d. h. die azimutale Ablenkung, welche die Sehstrahlen durch die atmosphärische Refraktion erleiden³⁰ 31).

F. Pfaff'lbl) in Erlangen hat während eines Jahres eine Reihe

13

von Winkelmessungen ausgeführt, indem er die Horizontalwinkel zwischen zwei in einer Entfernung von 11 und 19 km gelegenen Punkten und einer benachbarten Mire beobachtete; die gemessenen Winkel ändern sich periodisch und die größte Abweichung beträgt resp. 19" und 18".

dem Schluß¹⁵⁴), daß die

A. Fischer hat nach dem Beispiel von W. Struve¹⁵²) das Problem der Änderung des Einflusses der Lateralrefraktion mit der Länge der Yisuren praktisch dadurch zu lösen versucht¹⁵³), daß er die Schluß-fehler der Dreiecke des „Rheinischen Netzes“ mit der mittleren Länge der Dreiecksseiten verglich. Er kommt zu Entfernung des Objektes an sich nur geringen Einfluß auf die Lateralrefraktion hat. Hiernach und nach anderen statistischen Zusammenstellungen Fischers scheint der Schluß erlaubt, daß die langen Visierstrahlen (länger als 100 km) in bezug auf Genauigkeit¹⁵⁵) keine merklichen Nachteile haben, wenn der Beobachter für das Einschneiden günstige Luft- und Beleuchtungsverhältnisse wählt.

29. Basisnetze oder Vergrößerungsnetze. Das im vorstehenden über die Gestalt der geodätischen Dreiecke Gesagte gilt nicht für diejenigen Netzteile, die zur Vergrößerung der Basis bis zur Länge der gewöhnlichen Dreiecksseiten dienen. Da die Basen selten länger als 10 km und die Dreiecksseiten im allgemeinen länger als 30 km bis zu 100 km hin sind, so muß zunächst ein Dreieckssystem mit wachsenden Seiten au die Basis angeschlossen werden. Der gewöhnlichste Typus der Basisnetze ist der rhombische (Fig. 14 a). Nach Helmert¹⁵⁶) stellten Beobachtungen haben nicht mit Sicherheit einen Einfluß der Lateralrefraktion erkennen lassen.

152)    Astr. Nachr. 7 (1829), p. 389.

153)    Eine theoretische Untersuchung muß sich immer mit der Annahme begnügen, daß die Atmosphäre aus homogenen, durch regelmäßige Flächen (etwa konzentrische Ellipsoide) getrennten Schichten bestehe. Solche Untersuchungen führen zu unmerklichen Resultaten; vgl. Sonderhof¹⁴⁵); Helmert,

H. G. 2, p. 564—565; Pizzetti, Torino Acc. Atti 25 (1889), p. 101. In Wirklichkeit ist die Verteilung der Luftschichten in der Nähe des Bodens weit davon entfernt, sich durch eine einfache mathematische Formel darstellen zu lassen.

154)    Fischer ¹⁶°), p. 40.

155)    Der Grund, daß der Einfluß der Lateralrefraktion nicht sehr mit der Entfernung wächst, scheint darin zu liegen, daß die Gesichtslinien nach sehr entfernten Objekten meistens hoch über dem Boden hinwegziehen und infolgedessen durch gleichmäßig gelagerte Luftschichten hindurchgehen, welche eine seitliche Verschiebung des Lichtstrahls nicht bewirken; vgl. auch W. Struve, Gradmessung in den Ostseeprovinzen Rußlands 1, Dorpat 18,31, p. 149; Jordan, Handbuch 1, p. 550.

156)    Zeitschr. Math. Phys. 13 (1868), p. 163.

bekommt man in bezug auf Genauigkeit die günstigste Entwicklung, wenn die Diagonale jedes Rhombus ca. 1,5 mal so groß als die des vorhergehenden ist.

a)

Ein anderer Typus von Basisnetzen (Gitternetz,

Ai

Fig. 14.

Fig. 14 b) ist der, bei dem die Basis vermittelst eines Systems von annähernd gleichseitigen Dreiecken verlängert wird. Nach Jordan³²) erfordert das zweite System eine größere Arbeit an Winkelmessun- Л gen, ist aber auch genauer als das rhombische.

30. Berechnung einer Triangulation und der geographischen Koordinaten der Dreieckspunkte. Für eine erste angenäherte Berechnung eines Dreiecksnetzes kann man von allen Korrektionen ab-sehen³³) und die Dreiecke als ebene berechnen. Diese Rechnung liefert angenäherte Werte der Dreiecksseiten. Setzt man dann, wie es notwendig ist, die Breite eines Dreieckspunktes und das Azimut einer Dreiecksseite als bekannt voraus, so kann man rohe Werte für die Breiten sämtlicher Dreieckspunkte und die Azimute der Seiten ermitteln. Am einfachsten verschafft man sich eine angenäherte graphische Darstellung des Netzes. Man bekommt so die notwendigen Daten, um die Korrektionsglieder und die sphäroidischen Exzesse für die einzelnen Dreiecke berechnen zu können.

Nachdem dies erledigt ist, kann man zur Ausgleichung des Netzes nach der Methode der kleinsten Quadrate (I D 2, J. Bauschinger) übergehen, d. h. zur Berechnung der im Sinne dieser Methode besten Werte der Winkel, die sich aus den Beobachtungen unter Berücksichtigung der geometrischen Bedingungen des Netzes ergeben. Davon wird im folgenden Paragraphen die Rede sein.

Sind die Dreiecksseiten definitiv berechnet, so hat es keine Schwierigkeit mehr, vom Punkte A aus, in dem die Koordinaten und das Azimut einer Seite bekannt sind, die geographischen Koordinaten (in bezug auf das Referenzellipsoid) der übrigen Dreieckspunkte zu berechnen. In der Tat, betrachtet man das Polygon AD EF В. . ., (Pig. 13) dessen Seiten sämtlich Netzseiten sind, so kann man nach den Methoden von Nr. 13 und 14 die Koordinaten von D und das Azimut von DA in D berechnen; fügt man zu diesem den Winkel ADE (im Sinne der rechtsläufigen Drehung von DA nach DE gezählt) hinzu, so erhält man das Azimut von DE in D usw. Man kann so die Koordinaten und das Azimut schrittweise übertragen.

Wenn man nicht die Koordinaten eines jeden Dreieckspunktes gebraucht, kann man auch anders verfahren. Wenn z. B. die Koordinaten von D und E nicht berechnet zu werden brauchen, so kann man die Dreiecke ADE, AEF auflösen, Seite AF und DAF berechnen und so direkt die geographischen Koordinaten und das Azimut von A nach F übertragen.

Man kann auch auf das Polygon ADE F. . . die Methoden von Nr. 22 anwenden und die Soldnerschen Koordinaten der verschiedenen Dreieckspunkte berechnen, mit deren Hilfe man dann die geographischen Koordinaten ableitet.

31. Ausgleichung. Die Horizontalwinkelmessungen, die auf jeder Station ausgeführt sind, werden zunächst für sich ausgeglichen (<Stationsausgleichung), d. h. es werden die plausibelsten Werte der Winkel (oder Richtungen) ermittelt, wenn man die auf einer Station ausgeführten Beobachtungen für sich betrachtet. Die so erhaltenen Werte müssen dann der Netzausgleichung unterworfen werden, um die Bedingungsgleichungen, welche die Winkel der verschiedenen Stationen verknüpfen, zu befriedigen. Die Ausgleichung geschieht nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen¹⁰⁰).

Über die Ausgleichung selbst sei noch folgendes bemerkt:

a) Stationsausgleichung. Gegenwärtig betrachtet man als beste Methode zur Erledigung einer geodätischen Station die Winkelmessung in allen Kombinationen³⁴ 35), d. h. man mißt für sich sämtliche Winkel,

die zwei beliebig von der Station ausgehende Richtungen miteinander bilden. Nennt man die Richtungen 1, 2, 3, . . s, so sind

für sich und mit gleicher Genauigkeit zu messenden

(12) (13).. . (1 s) (23) (24) ... (2s) (34) ... (3s) ... (s — 1, s) die s(s-1)

Bezeichnet man mit { 11} den ausgeglichenen Wert des

Winkel.

Winkels zwischen den Richtungen 1 und t, so ist:

{l«)=i{(U)-(a) + (12)-((2) + (13)-((3) + ... + (lS)-(fe)},

wobei

ist.

(rr) = 0, (rt) — — (tr)

Die Gewichtskoeffizienten sind:

[aß] = [ay] = • • • 0,

[««] = 4

[ßßl = [ЗД = 0, usw.

Den mittleren Fehler der Gewichtseinheit kann man nach der

Formel :

2 [vv]

berechnen, wo v die Verbesserungen der sind.

s(s —1)

gemessenen Winkel

Hansen nimmt an Stelle der Winkel die Richtungen¹⁶¹) als Unbekannte an, d. h. die Winkel, welche die Gesichtslinien mit einer willkürlich fixierten Richtung auf jeder Station bilden. Nennt man [1], [2], . . ., [s] die ausgeglichenen Werte der Richtungen, so ist:

M = — 4 i И) + (r2H-----h (rs)}

und die Gewichtskoeffizienten sind:

Kreises erhalten werden. Vgl. 0. Schreiber, Die Kgl. Preußische Landestriangulation, 2. Teil, Berlin 1874; Zeitschr. f. Vermess. 7 (1878), p. 209 und 8 (1879), p. 97. Er sagt, daß nach der Erfahrung die größere Schnelligkeit, welche die Methode der Beobachtung von Sätzen bietet, illusorisch ist und daß bei gleicher Mühe die Methode der Winkelbeobachtungen genauer ist. Vgl. auch P. A. Hansen, Fortgesetzte geodät. Untersuchungen, Leipzig 1868—69; Jordan, Handbuch 1, p. 259 ff.; N. Jadanza, Torino Acc. Atti 33 (1898), p. 883; mit Verbesserung ibid. 34 (1899), p. 698; C. Bremiker, Astr. Nachr. 89 (1877), p. 65; L. D. Bache, R. C. G. S. 1854, App. 33.

161) Wegen des Vergleichs von Winkel- und Richtungsmessungen s. auch Jordan, Handbuch 1, p. 230 u. 276.

т. °- °>

0, 0, ...

s ein und liest die

Wenn man an Stelle der Winkelbeobachtungen die Methode der Satzbeobachtungen befolgt, so geht die Stationsausgleichung anders vor sich. — Bei einer bestimmten Stellung des Horizontalkreises schneidet man nacheinander die Punkte 1, 2, . entsprechenden Kreisstellungen llf l₂, . . ., ls ab; man hat so einen Beobachtungssatz erhalten. Bezeichnet man mit к den Winkel, den die Richtung 1 mit der der Ablesung 0° entsprechenden Richtung macht und mit X, Y, Z, . . . die Winkel, welche die Richtungen 2, 3, 4, . . . mit 1 bilden, so hat man die Fehlergleichungen:

к — h — vi> к X — 4 = v21 к -J- Y — l₃ = Vg usw.

Jeder neue Satz mit einer neuen Limbusstellung gibt ein neues System analoger Gleichungen, in denen an Stelle von к eine neue Unbekannte k' auftritt. So liefern r Sätze sr Gleichungen (wenn jeder Satz vollständig ist, was im allgemeinen nicht zutrifft) zwischen r —|— s — 1 Unbekannten, aus denen man mit Hilfe der Normalgleichungen die Werte X, Y, Z, . . . und die Gewichtskoeffizienten ableitet. Diese Methode stammt von JBesset³⁶).

b) Netzausgleichung. Wieviel Bedingungsgleichungen bestehen zwischen den Elementen eines Netzes? Um die relative Lage von n Punkten auf einer Fläche zu bestimmen, muß man 2n — 3 Stücke (Entfernungen oder Winkel, eine Entfernung mindestens) messen; jedes weitere gemessene Stück läßt sich als Funktion dieser 2n — 3 Stücke darstellen und liefert so eine Bedingungsgleichung. Sind В Basislinien und M Winkel in einem Netz von n Punkten gemessen, so ist die Anzahl der Bedingungsgleichungen deshalb:

(48)

Ж+ B— 2n + 3.

Man teilt diese Bedingungsgleichungen in drei Kategorien³⁷):

1. Winkelgleichungen; diese sagen ans, daß die Winkelsumme eines geodätischen Polygons von r Seiten gleich 2 (r — 2)R ist, vermehrt um den sphäroidischen Exzeß. Ist die Zahl der Stationen n und V die Zahl der von beiden Seiten beobachteten Linien, so ist die Zahl der Winkelgleichungen:

(49)

V — n -f- 1.

2. Seitengleichungen. Um n Punkte miteinander zu verbinden, muß man außer einer direkten Längenmessung die relativen Richtungen von 2n — 3 Linien zwischen diesen Punkten bestimmen; die Richtung jeder anderen Linie, die zwei von diesen Punkten verbindet, ist dann bestimmt. Wenn deshalb die Richtungen von l Linien beachtet sind, so hat man

(50)

l — 2n + 3

Bedingungsgleichungen, die man Seitengleichungen nennt.

3. BasisgleichungenUi). Da eine Basismessung genügt, so ergeben sich, wenn В Basislinien gemessen sind:

(51)

В — 1

Bedingungsgleichungen, die Basisgleichungen heißen.

Man verifiziert leicht, daß die Summe von (49), (50), (51) gleich (48) ist, da M — l -f- V — n'.

Die Aufstellung der Winkel- und Basisgleichungen bietet keine Schwierigkeit. — Bei den Seitengleichungen kann man drei Typen unterscheiden :

(52)

1. Viereck mit seinen beiden Diagonalen. Man hat (Fig. 15a): sin (CBA) sin (DCA) sin (AD В)

= sin (A CB) sin (ADC) sin (DBA).

Nennt man lX) l₂, .

. ., l₆ die beobachteten Werte der sechs in der vorstehenden Formel auftretenden Winkel und (1), (2), (3), . . ., (6) die unbekannten Korrektionen (in Sekunden), so kann man Gleichung

den nur von einer und den von beiden Seiten beobachteten Linien; Jordan, Handbuch 1, gibt die Formeln mit Berücksichtigung dieses Unterschiedes. Vgl. auch James and Clarke⁵*), p. 277f.; F. Ji. Helmert, Die Ausgleichungsrechnung usw., Leipzig 1872, p. 325; B. v. Prodzynski, Astr. Nachr. 75 (1869), p. 81.

164) Um die Rechnungen nicht zu komplizieren, geht man bei der Ausgleichung eines Netzes gewöhnlich von einer Basis aus, ohne die Basisgleichungen zu berücksichtigen. Eine angenäherte Methode, um dann den Grundlinienanschlüssen Rechnung zu tragen, ist angegeben und angewandt in : A. Börsch und L. Krüger, Die europäische Längengradmessung in 52 Grad Breite 2, Berlin 1896, p. 21—30.

(52) (mit Vernachlässigung der Quadrate der Korrektionen) schreiben: (1)Д, + (2) Д, + (3) Д, - (4) Д₄ - (5) Д₅ - (6)Д„ +W = О,

WO

W = log sin \ -\- log sin 4 -J- log sin l3 — log sin 4 — log sin 4 — log sin lG

ist und Ar die Änderung von log sin lr bei der Änderung von lr um 1" bedeutet. Sind in einem Viereck mit den Diagonalen je zwei Winkel an allen 4 Ecken gemessen, so kann man der Seitengleichung

a)

tu £

k\

л^с

Fig. 15.

4 gleichberechtigte Formen geben. Für die Rechnung ist es am vorteilhaftesten , bei der Aufstellung der Seitengleichung diejenige Ecke des Vierecks auszuzeichnen, der die größte Dreiecksfläche gegenüber liegt164 a).

2. Geschlossenes von einem Punkte projiziertes Polygon (Zentralsystem) (Fig. 15 h). Man hat im System der Dreiecke О AB, OBC, . . ., OEA die Gleichung:

sin OB A sin О CB sin OI)C sin OED sin О AE — sin В А О sin CB О sin DC О sin ED О sin AE О,

die man in ähnlicher Weise wie (52) transformieren kann³⁸ 39).

3. Außer diesen beiden gewöhnlichen Fällen von Bedingungsgleichungen hat man noch einen weniger einfachen Fall, der bei der Betrachtung eines Betzes, das sich um ein geschlossenes Polygon hinzieht (Fig. 16) (Kranzsystem)⁴⁰), auftritt. — Wir nennen ein Netz,

in dem nur Seitengleichungen des ersten oder zweiten Typus auf-treten, ein gewöhnliches Netz. Deformiert man ein solches Netz in der Weise, daß zwei äußere Dreieckspunkte mit zwei anderen zusammenfallen, so entsteht ein Kranzsystem.

Die Zahl der

Ny

Fig. 16.

Linien im deformierten Netz ist um 1 geringer als im ursprünglichen Netz, die Zahl der Dreieckspunkte um 2. Erinnert man sich an (48) und (50), so sieht . man, daß im Kranzsystem, wenn die Zahl der gemessenen Stücke unverändert bleibt, vier Bedingungsgleichungen mehr als im gewöhnlichen Netz auftreten; von diesen sind drei Seitengleichungen und eine eine Winkelgleichung. Die letzte bezieht sich auf die Winkelsumme in dem inneren Polygon ABC DE.    Um die anderen drei zu erhalten, stellt C. F. Gauß

erstens die Bedingung auf, daß die Länge einer Netzseite, wenn man durch das Netz hindurch rechnet, sich unverändert ergibt, und zweitens die Bedingungen, daß die Koordinaten eines Netzpunktes denselben Wert erhalten, wenn man auf irgend einem von den Seiten des Kranzsystems gebildeten Linienzuge zu ihm zurückkehrt.

Bezüglich der Netzausgleichung ist noch der folgende Satz von 0. Schreiber erwähnenswert¹⁶⁷): Wenn in einem Dreiecksnetze mit —339 (s. a. die Bemerkungen von L. Krüger dazu). Der Publikationszeit nach stammt die erste Methode zur Ausgleichung der Kranzsysteme von B. v. Prod-zynslci, Astr. Nachr. 71 (1868), p. 145. Ferner hat 0. Börsch, Astr. Nachr. 71 (1868), p. 266, eine Methode angegeben. Ein anderer Weg zur Behandlung des Problems ist von 0. Schreiber eingeschlagen, der rechtwinklige geodätische Koordinaten benutzte (Kgl. Preuß. Landestriangulation, Hauptdreiecke, 1. Teil, Berlin 1870). Vgl. auch L. Krüger, Beiträge zur Berechnung von Lotabweichungssystemen, Potsdam 1898, p. 29—30.

167) 0. Schreiber, Zeitschr. f. Vermess. 11 (1882), p. 129. Es sei n die Zahl der Unbekannten und r die Zahl der Bedingungsgleichungen. Das Theorem von Schreiber läuft dann in Wirklichkeit auf die Beschränkung der Beobachtung auf die n — r unumgänglich notwendigen Unbekannten hinaus, d. h. auf die Abschaffung der Ausgleichung. Aber es ist zu bemerken, daß zur Bestimmung einer Funktion F die eine oder andere Wahl der zu messenden Unbekannten keineswegs gleichgültig ist. Wählt man die n — r Unbekannten beliebig, was

C)

auf

verschiedene Arten möglich ist, so wird der mittlere Fehler von F im

Bedingungsgleichungen eine Seite mit möglichst großem Gewicht, bei konstanter Summe [p] der Winkelmessungsgewichte plf p₂₇ ... bestimmt werden soll, so ist unter den hierzu möglichen Verteilungen der Gewichte p1} p₂, ... jedenfalls eine Verteilung, in welcher nur so viele Gewichte p wirklich Vorkommen, als die Zahl der zur Bestimmung jener einen Seite unumgänglich nötigen Winkel beträgt, während die übrigen Gewichte p alle gleich Null zu setzen sind.

32. Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen. Helmert¹⁶⁸) hat zur Ausgleichung einer Triangulation eine andere speziell für große Netze zweckmäßige Methode angegeben. Er nimmt an, daß mit Hilfe der unkorrigierten Triangulationsdaten provisorische Werte für die Längen und Breiten der Dreieckspunkte und die Azimute der * Dreiecksseiten berechnet seien, und führt dann die Verbesserungen dieser Größen als Unbekannte ein.

Wenn die Enden i und Je eines geodätischen Bogens die infinitesimalen Änderungen дср{, dcpk in Breite und дсо^ dook in Länge erleiden, so erfährt das Azimut aik der geodätischen Linie im Punkte i die Änderung¹⁶⁹):

6^

Г sin aki ⁰ <Pk

1 — e* / dm\    .    V    1

(53)

COS Cpk    \

+ (ßсо. — дcok) -Щ- cos aki},

(TV =1/1 — e² sin² cp) ,

wo mik die reduzierte Länge des Bogens (Hi) nach Christoffel (Nr. 16) ist.

Es sei nun aik das provisorisch berechnete Azimut der Richtung (г/г) im Punkte i, ferner u{ der Orientierungsfehler der Beobachtungen einer Station (bei Beobachtungen mehrerer Sätze auf einer Station allgemeinen beträchtlich größer sein, als wenn man die Beobachtungen auf sämtliche Unbekannte verteilt und ausgleicht. Über die Regeln für eine geeignete Auswahl, die praktisch zu großen Komplikationen führt, vgl. Jordan, Handbuch 1, p. 144. Aber auch unabhängig von dieser Schwierigkeit ist zu beachten, daß ein System von Winkelmessungen im allgemeinen nicht zur Bestimmung einer, sondern mehrerer Punktionen dient. Eine für die Bestimmung einer Funktion passende Wahl der Unbekannten wird dann aber im allgemeinen für die anderen Funktionen nicht passen. Es wird daher trotz des Satzes von Schreiber im allgemeinen die Messung überschüssiger Größen und nachfolgende Ausgleichung von Nutzen sein. Allgemeinere Untersuchungen hierüber findet man bei PL. Bruns, Über eine Aufgabe der Ausgleichungsrechnung, Leipzig 1886.

168)    H. G. 1, p. 495—512.

169)    Helmert, H. G. 1, p. 282. Man erhält diese Formel aus den Dififerential-formeln von E. B. Christoffel (vgl. Ende von Nr. 18).

ist für jeden Satz ein besonderes и einznfübren). Bezeichnet man dann mit lik den beobachteten Wert der Richtung (ilc) und mit vtk die plausibelste Verbesserung, so ergibt sich die Fehlergleichung:

(54)

ùik + duik = lik +    + vik7

in der man für daik den Wert (53) zu substituieren hat. Diese und analoge Gleichungen für die übrigen Richtungen der Station i und für die anderen Stationen werden nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen behandelt. Ist n die Zahl der Dreieckspunkte, n die Zahl der Stationen, so hat man:

n—1 Unbekannte и und 2(n—1) Unbekannte дер, дю, zusammen also n -f- 2 n — 3 Unbekannte (da man auf der Ausgangsstation дер = дсэ — и — 0 annehmen kann).

^

cos aik dcpi + -Щ- cos aki dcpk

Jede gemessene Basis liefert eine Gleichung: fl —e²

coscPk ■    } л

— sm% J=°,

in der sik die mit den provisorischen Werten <pi; yk, ~cok berechnete Länge des Bogens (ih) bedeutet. Die vorstehende Gleichung wird wegen der geringen Messungsfehler der Basismessungen nicht als Fehlergleichung, sondern als Bedingungsgleichung (rechte Seite Null) behandelt; die Basismessungen werden also streng befriedigt.

Nimmt man В Basislinien und R Richtungen als gemessen an (und wie üblich die Koordinaten und das astronomische Azimut in einem Punkte als bekannt), so hat man R -f- В Gleichungen und folglich

R -J- В — (n -f- 2n — 3)

Bedingungen, was mit (48) stimmt, da M — R — n ist¹⁷⁰).

170) Ausser den bereits zitierten Werken vgl. über Netzausgleichung noch: А. M. Nell, Schleiermachers Methode der Winkelausgleichung in einem Dreiecksnetze, Z. f. Vermess. 10 (1881), p. 1 und 109 (ehe die Normalgleichungen gebildet werden, werden aus den Korrelatengleichungen soviel Korrelaten eliminiert als Winkelgleichungen vorhanden sind); Z. f. Vermess. 12 (1883), p. 313; C. Haupt, Astr. Nachr. 109 (1884), p. 7; P. Simon, Gewichtsbestimmungen für Seitenverhältnisse usw. Berlin 1889; L. Krüger, Astr. Nachr. 133 (1893), p. 153; F. JR. Helmert, ibid. 134 (1894), p. 281 und in: Die Europäische Längengradmessung in 52 Grad Breite, Heft 1, Berlin 1893, p. 33—50; L. Krüger, Beiträge zur Berechnung von Lotabweichungssystemen, Potsdam 1898; Über die Ausgleichung von bedingten Beobachtungen in zwei Gruppen, Potsdam 1905; Zur Ausgleichung der Widersprüche in den Winkelbedingungsgleichungen trigonometrischer Netze, Potsdam 1906.

33. Genauigkeit der Basis- und Winkelmessungen. Wir werden hier einige summarische Notizen und Literaturnachweise über die Genauigkeit der Triangulationen geben.

Basismessungen. Den zusammengesetzten mittleren Fehler hei der Messung einer Basis von der Länge l km kann man durch

У A4² -f- ВЧ

.., dn die Diffe-

7 П

darstellen, wo A der mittlere systematische und В der mittlere zufällige Fehler (für 1 km) ist. Der mittlere Fehler A hängt hauptsächlich von den benutzten Instrumenten⁴¹) und von den Mängeln der Vergleichung der Stange mit dem Normalmaß ab. Um В zu bestimmen, teile man die Basis in n Abschnitte von der Länge l1} ?₂, .. - , ln und messe jeden Abschnitt zweimal. Sind dx, d renzen zwischen den Hin- und Rückmessungen, so kann man setzen⁴²):

VLW ■

und ist vier- bis

100 000

Der eigene Fehler der Basismessung ist aber immer viel kleiner als der, der aus dem Vergrößerungsnetz entspringt (Nr. 29), so daß es nach A. Ferrer о17 43) zweckmäßig ist, den mittleren Fehler der berechneten Basis anzugeben, d. h. der ersten Seite im Dreiecksnetz erster Ordnung, die mit Hilfe des Vergrößerungsnetzes aus der gemessenen Basis abgeleitet ist. Der mittlere Fehler der berechneten Basis liegt im allgemeinen zwischen -^боШ un(^ fünfmal so groß wie der mittlere Fehler der direkten Messung⁴⁴).

Winkelmessungen. Eine erste Genauigkeitsschätzung für die Winkelmessungen gewinnt man aus den mittleren Fehlern der Stationsausgleichungen. Dabei bleiben aber gewisse systematische Fehler (wie z. B. Lateralrefraktion), die man durch Vergleich der auf den verschiedenen Stationen gemessenen Winkel erhält, verborgen. Deshalb leitet man auf die einfachste Weise den mittleren Winkelfehler nach der Ferrer o$(A±&n. Formel⁴⁵)

¹

b) 0. Schreiber, Die konforme Doppelprojektion der Trigonom. Abt. der Kgl. Preuß. Landesaufnahme, Berlin 1897; Zeitsckr. f. Vermess. 28 (1899), p. 491, 593; 29 (1900), p. 257, 289.

²

112)    Über die Feldlinie vgl. James und Clarke⁵²), p. 237; Bremiker ⁴⁶), p. 62—67; Helmert, H. Gr. 1, p. 400.

³

113)    Über den Vergleich der Feldlinie mit den Normalschnitten vgl. Clarke, Geodesy, p. 113—116 und Pizzetti, Giorn. di mat. 21 (1882), p. 1.

⁴

114)    Für eine Basis von 10 km Länge beträgt die größte lineare Abweichung zwischen den beiden Normalschnitten nicht mehr als 0,005 mm, während man bei der Einfluchtung auch mit einem sehr guten Alignementsfernrohr seitliche Abweichungen von mehreren Millimetern für eine Stangenlage kaum vermeiden kann.

⁵

115)    Wegen der Reduktion einer Basis auf eine gegebene Niveaufläche vgl.

⁶

Vgl. A. WestpJial, Zeitsckr. f. Instr. 5 (1885), p. 333.

⁷

   E. Hammer, Zeitschr. f. Vermess. 20 (1891), p. 446; G. Daviso, Riv. di topografia 9 (1896), p. 49.

⁸

   A. Westphal, Zeitschr. f. Instr. 1885, p. 265.

⁹

   W. Böy, London Phil. Trans. 15 (1785), p. 385.

¹⁰

   Vgl. JDelambre et Méchain in Fußnote 121.

¹¹

   C. M. von Bauernfeind und G. von Orff, Die Bayerische Landesvermessung, München 1873.

¹²

   James and Clarke ⁵²), p. 200 ff.

¹³

   F. W. Bessel und J. J. Baeyer, Gradmessung in Ostpreußen usw., Berlin 1838 (Bessels Abhandlgn. 3).

¹⁴

   F. G. W. Struve, Arc du méridien de 25°20' entre le Danube et la mer glaciale mesuré depuis 1816 jusqu’en 1850, sous la direction de Tenner, Selander, Hansteen und F. G. W. Struve, St. Pétersbourg 1857—60.

¹⁵

   A. Secchi, Misura della base trigonometrica della Via Appia, Rom 1858.

¹⁶

   P. Hossard, Note sur la mesure des bases (in L. Francoeur, Géodésie, 4. éd., Paris 1865).

¹⁷

   C. Ibanez et Saavedra, Expériences faites avec l’appareil à mesurer les bases appartenant à la commission de la carte d’Espagne (Traduction par A. Laussedat, Paris 1860).

¹⁸

   Generalbericht der Europ. Gradmessung 1878 — 79. Vgl. auch F. Kühnen und B. Schumann, Die Neumessung der Grundlinien bei Strehlen, Berlin und Bonn, Berlin 1897. In dieser Abhandlung findet man einen interessanten Vergleich zwischen den Basisapparaten von Bessel und Brunner.

¹⁹

   Zeitschr. f. Instr. 1885, p. 173. Vgl. auch G. Koppe, Der Basisapparat des Generals Ibanez und die Aarberger Basismessung, Zürich 1881.

²⁰

   Jordan, Handbuch 3, p. 90—93.

²¹

   C. A. Schott, Description and construction of a new compensation base-apparatus, R. C. G. S. 1882, App. 7. Vgl. auch Zeitschr. f. Inst. 1885, p. 315.

²²

   W. Eimbeck, The duplex base-apparatus etc., R. C. G. S. 1897, App. 11.

²³

   Das Prinzip des Metallthermometers wird hier nicht auf die einzelne Stangenlage, sondern auf die ganze Basis angewandt (wie in dem später erwähnten Jäderimchen Apparate); die Dilferenz der Messungen mit zwei Metallen dient zur Elimination der Temperatur.

²⁴

   S. Woodward, On the measurement of the Holton Base etc., R. C. G. S. 1892, App. 8, Teil 2.

²⁵

   E. Jüderin, Svenska Akad. 9 (1895), Anhang, p. 57; vgl. auch Int. Erdm. 1898, p. 277. Wichtige Versuche über die Verwendung von Nickelstahldraht (Invar) zur Basismessung sind im Internationalen Bureau für Maße und Gewichte in Breteuil gemacht. Vgl. R. Benoît et Ch. Guillaume, Les nouveaux appareils pour la mesure des bases géodésiques, Paris 1905. Über neuere Versuche zur Basismessung vgl. auch Int. Erdm. 1903, I. T., p. 186; II. T., p. 84, 90, 293; ferner A. L. Baldwin, R. C. G. S. 1901, App. Nr. 3.

²⁶

   Um nicht zu sehr auf technische Details bei Basismessungen einzugehen, sprechen wir nicht weiter von der Einfluchtung, der Fixierung der Basisenden usw. Uber viele Einzelheiten findet man bei Kühnen und Schumann 13S) Auskunft.

²⁷

   Nach Gore, Geodesy, p. 139 ist das Mikroskop zur Kreisablesung zum ersten Male von J. Ramsden (ungefähr 1787) benutzt.

²⁸

Rechnungen dieser Art findet man bei Jordan, Handbuch 3, § 19, 20

²⁹

und Pucci, Fondamenti 2, cap. VII.

³⁰

   Historische Notizen s. bei A. Fischer, Der Einfluß der Lateralrefraktion auf das Messen von Horizontalwinkeln, Berlin 1882; Jordan, Handbuch 3, p. 135—141.

³¹

   A. Fischer³⁰); die von С. M. von Bauernfeind (Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion, 1. Mitteilung, München 1880) ange-

Encyklop. d. math. Wisaensch. VI 1.

³²

   Handbuch 3, p. 121.

³³

   Solche Korrektionen sind z. B. durch die Formel (45) gegeben. Ferner kommt die Reduktion der gemessenen Winkel auf das Zentrum der Station oder des Signals (Zentrierung) in Betracht, wegen der wir auf die niedere Geodäsie verweisen.

13*

³⁴

Das allgemeine Problem der vermittelnden Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen wurde in seinen Hauptteilen (mit Ausnahme der Berechnung des mittleren Fehlers) von Bessel1S0) gelöst. Die Anwendungen auf die Geodäsie wurden vollständig von C. G. Andrae (Den Danske Gradmaaling 1, Kopenhagen 1867) und P. A. Hansen [Leipzig Abhandlgn. 13 (1865), p. 573] behandelt.

³⁵

In die Praxis ist diese Methode von General Schreiber eingeführt worden, dem es außerdem gelang, die Winkelmessungen so auf verschiedene Kreisstände zu verteilen, daß die Mittel möglichst frei von Teilungsfehlem des

³⁶

   Gradmessung in Ostpreußen, Abhandl. 3, p. 89. Wegen der Ausgleichung von Sätzen vgl. auch James and Clarke⁵*), p. 62; Ch. A. Vogler, Zeitschr. f. Vermess. 14 (1885), p. 49; F. B. Helmert, ibid., p. 263.

³⁷

   Die Zahl der Polygon- und Seitengleichungen ist von C. F. Gauß bestimmt; vgl. die Briefe an Gerling vom 5. Juni 1838 und 14. Nov. 1838, Werke 9, p. 323; s. a. p. 297. Die bezüglichen Formeln von Gauß sind von Ch. L. Gerling publiziert und bewiesen in: Die Ausgleichungsrechnungen der praktischen Geometrie, Hamburg 1843. Gauß macht keinen Unterschied zwischen

³⁸

a) G. Zachariae, Die geodätischen Hauptpunkte usw., Berlin 1878, p. 152; Jordan, Handbuch 1, p. 299; C. F. Gauß, Werke 9, p. 245, 249, 325.

³⁹

165)    Bei dieser und der Formel des vorhergehenden Falles nimmt man an, daß die Winkel bereits um x/s des sphäroidischen Exzesses korrigiert seien. Strengere Formeln, bei denen die Krümmungsdifferenz in den drei Eckpunkten des Dreiecks berücksichtigt wird, sind von С. H. Kummell gegeben [Astr. Nachr. 89 (1877), p. 49].

⁴⁰

166)    Die Bedingungsgleichungen für ein Kranzsystem sind bereits von C. F. Gauß aufgestellt, wie aus seinem Nachlaß hervorgeht, Werke 9, p. 329

⁴¹

   Bezüglich der Fehler hei Basismessungen vgl. Kuhnen und Schumann'¹³⁵).

⁴²

   S. z. B. Jordan, Handbuch 2, p. 55.

⁴³

   Intern. Erdm. 1892, Rapport sur les triangulations, p. 7.

⁴⁴

   Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XXYI—XXXY; 1903, H. Teil, p. 294.

⁴⁵

   Intern. Erdm. 1887.

Ъп

(A)

ab, wo n die Zahl der Dreiecke, in denen alle drei Winkel gemessen sind, bedeutet und A1} Д₂, . . . Ди ihre Schlußfehler. Die Formel (A)

83. Genauigkeit der Basis- und Winkelmessungen.

193

berücksichtigt die Netzbedingungen nicht und ist deshalb nur als Näherungsformel aufzufassen; sie empfiehlt sich aber durch ihre Einfachheit¹⁷⁶). L. Krüger176 a) hat sich mit einem Vergleich der Formel (A) und der aus der Ausgleichung hervorgehenden in folgenden Fällen beschäftigt:

a)    Zentralsystem (vgl. Nr. 31) mit unabhängigen Winkelbeobachtungen der drei Winkel eines jeden Dreiecks.

b)    Zwei Zentralsysteme, die durch zwei gemeinsame Dreiecke Zusammenhängen, mit Winkelbeobachtungen.

c)    Einfache Kette mit unabhängigen Richtungsbeobachtungen.

d)    Fälle a) und b) mit unabhängigen Richtungsbeobachtungen von gleichem Gewicht.

e)    Polygon, in dem die Richtungen aller Seiten und Diagonalen beobachtet sind (Richtungsbeobachtungen von gleichem Gewicht).

f)    Doppelkette, die von einer Reihe vollständiger Vierecke ge

bildet ist.

Aus den beigebrachten Beispielen geht hervor, daß in den meisten Fällen die Formel (A) einen zu kleinen mittleren Fehler liefert. Nur im Falle e), wenn man nur die Winkelgleichungen berücksichtigt, führt die Ausgleichung zu demselben Wert von m wie (A).

Man kann im Mittel m gleich 1" setzen. Die beste Bestimmung des mittleren Winkelfehlers erhält man aus der gesamten Ausgleichung des Netzes und der Stationen¹ 2); der auf diese Weise gefundene mittlere Fehler ist im allgemeinen etwas größer als aus Formel (A) folgt.

Genauigkeit der geodätischen Verbindung. Ein Mittel zur Schätzung des Einflusses der Winkelfehler auf die geodätische Verbindung besteht in dem Vergleich zweier direkt gemessener Basislinien, die durch eine Triangulation verbunden sind. Sind Ъх, b₂ die gemessenen Längen der durch n Dreiecke verbundenen Basislinien und nennt man

; -^2 7 ••• y -A-n, Bx, B₂,    , Bn

geeignet gewählte Winkel, so müßte man haben:

(55)

log Ъ₂ — log bt = ^log sin Ar — ^log sin Br.

Wir nennen nun die beobachtete Differenz zwischen den beiden Seiten von (55), wobei Ar, Br die aus der Netzausgleichung abgeleiteten Werte sind, kurz Mißstimmigkeit der beiden Basislinien. Diese kann

1)

von den Fehlern der Basismessung selbst, 2) von den Fehlern in den Vergrößerungsnetzen und 3) von den Fehlern des Verbindungsnetzes verursacht werden. Im folgenden sind einige Mißstimmig-keiten von Basispaaren in Einheiten der siebenten Dezimale des Logarithmus zusammengestellt¹⁷⁸).

Ostende—Lommel    —|— 32 + 46

+ 38 +31 — 12 +14

Ö M — 23 4- 32

Berlin—Königsberg Königsberg—Strehlen — 23 +35 Strehlen—Czenstochau + 4+34

Lommel—Bonn Bonn—Göttingen

ô ist die beobachtete Mißstimmigkeit und M die a priori aus den mittleren Fehlern der berechneten Basislinien gefundene mittlere Mißstimmigkeit; in M gehen die Fehler des Verbindungsnetzes also nicht ein. Daß d größtenteils kleiner als Ж herauskommt, ist wohl Zufall¹⁷⁹); aber es beweist doch, daß in den betrachteten Beispielen das Verbindungsnetz die Ungenauigkeit der geodätischen Verbindung kaum vergrößert ¹⁸°).

Es ist bis jetzt nicht möglich, numerisch den Genauigkeitsgrad einer geodätischen Verbindung anzugeben. Nur soviel kann man sagen, daß 1) die Hauptfehlerquelle das Vergrößerungsnetz ist und aus dem Verbindungsnetz herrührende Fehler kleiner ist als man ihn nach den aus der Netzausgleichung resultierenden mittleren Fehlern erwarten sollte¹⁸¹). Diese Ausgleichung trägt deshalb wahrscheinlich zur Elimination gewisser systematischer Fehler bei, deren Wirkung sich in den Widersprüchen der Bedingungsgleichungen zeigt.

daß 2) der

C. Höhenmessimg.

34. Trigonometrisches NiveHement. Es mögen A und В (Fig. 17) zwei Punkte der Erdoberfläche sein, Jia und hb ihre Höhen über dem Referenzellipsoid. Die Differenz hb — ha kann dann annäherungsweise mit Hilfe der Messung einer oder der beiden scheinbaren Zenitdistanzen , £₂ bestimmt werden. Die durch В gehende Normalebene in A möge die Ellipsoidoberfläche längs А' B' schneiden;

178)    Ibid. Tableau II und III. Man bemerke, daß 10 Einheiten der siebenten Stelle des Logarithmus ungefähr einem prozentualen Fehler von ₄₉₄¹₀₀₀ entsprechen.

179)    Ganz anders ist es bei der russischen Triangulation, wo M noch nicht + 50 erreicht, während die beobachtete Mißstimmigkeit bis zu 2609 Einheiten geht.

180)    Das folgt in anderer Weise auch aus den Rechnungen von Helmert¹⁷⁰),

p. 244.

181) Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, Tableau III.

bei dem gegenwärtigen Problem kann man dann ohne merklichen Fehler die Linie A' B> durch den Kreisbogen ersetzen, der sie in Ä oskuliert.

к.

In der Tat, wenn der Radius dieses Kreises B₀ ist und s die Entfernung A B', so ist der Abstand des Punktes J/ von dem genannten Kreise sehr nahe gleich

s³

! (dB\

? * \4'

dB

den

Setzt man für die Ableitung

in Nr. 12 gegebenen Ausdruck, so erkennt man leicht, daß die genannte Abweichung kleiner als 0,006 m ist, für s = 50 km. Ist C der Krümmungsmittelpunkt für A', so kann man mit derselben Annäherung die Normalen in den Punkten des Bogens A' O' sich in C schneiden lassen. Den Gang des Visierstrahles zwischen A und В berechnet man, indem man die atmosphärische Refraktion auf Grund derselben Hypothese berücksichtigt, die man in der Astronomie gebraucht, d. h. man setzt voraus, daß die Atmosphäre aus homogenen sphärischen Schichten mit dem Mittelpunkt C zusammengesetzt sei. Ist i der Winkel, welchen der Visierstrahl in einem Punkte M mit dem Radius CM bildet, у der Winkel A'CM, t der Radius CM und V der Brechungsindex in M, so hat man:

Vtsin i — konst, (aus der Refraktionstheorie),

щ- = taoigi (nach den Formeln für die Polarkoordinaten). Wir setzen weiter

(56)

ds

Fig. 17.

dv

dn r

dï = n

und bezeichnen mit dem Index 1 die Größen, die sich auf den Punkt A beziehen. Betrachtet man dann t als Funktion von y, so findet man mit Hilfe der Taylorschen Entwicklung

(57)

hb — Jia= rt Tcotg + r-¹-~ {cotg² & -j-

* Ç {cos² £i + 5 — lnx -f 2 V — nxrx}, wo Г der Winkel ACB ist und rx — CA.

Setzt man rt Г= = der horizontalen Entfernung³) zwischen A und В im Niveau des Punktes A gemessen, so wird:

(58)

si cotS & + bf {cotS² Ł 1

+ Slf~ *    - icos2 + С¹ — п1) (5 — 2 %) —    } •

Vernachlässigt man hierin die Glieder dritter Ordnung und das (meistens zu vernachlässigende) Glied

-₂- cotg² £

so reduziert sich diese Entwicklung auf die einfache Form

(58')

2r,

к — к = si cotg

oder auch, wenn man beachtet, daß £x in praxi wenig verschieden von 90° ist:

V-

(58")

Diese Formeln⁴) werden gewöhnlich hei dem trigonometrischen Nivellement gebraucht.

Man sieht leicht, daß man zu derselben Formel gelangen würde, wenn man den Visierstrahl als geradlinig voraussetzt und die Zenithdistanz in A gleich £x -f- — Г, wenn man also annimmt, daß der

Lichtstrahl in A den Winkel ^ Г mit der Sehne AB bildet.

Betrachtet man i als Funktion von у und entwickelt nach Taylor, so ergibt sich:

r²

(59)

180° — £₂ = ti + l~4wi — 1) + у niri cotg £A + • • • •

Wenn man in (58) die Glieder dritter Ordnung vernachlässigt, was darauf hinausläuft, daß man die Kurve AB durch den Berührungskreis in A oder В ersetzt, so kann man auch in (59) die Glieder mit Г² vernachlässigen, und es ergibt sich

(6 )    nx Г— 180° — lx — £₂ -|- Г, womit gezeigt ist, daß nF in dieser Annäherung die totale Refraktion DFB ist. Die Größe n (das Verhältnis zwischen der totalen Refraktion und der Winkelgröße des Erdbogens А' B') nennt man den Refraktionskoeffizienten.

Die Formel (60) zeigt, wie nx zu berechnen ist, wenn die beiden gegenseitigen Zenitdistanzen £₂ gemessen sind. In diesem Falle⁵) kann man indessen die Niveaudifferenz bequemer ohne die Berechnung von % erhalten. Denn setzt man <)C EAB — <)C EBA — Д, so ergibt sich aus dem Dreieck AGB:

& + & + 2Д = 180° + Г

²П tg ~ tg £г ~£‘

1-tgÇtg^

Da der Refraktionskoeffizient mit den atmosphärischen Verhältnissen sich ändert, müssen die beiden gegenseitigen Zenitdistanzen gleichzeitig gemessen werden. Die aus den klassischen Arbeiten über Höhenmessung abgeleiteten Werte des Koeffizienten n sind⁶):

(1736) P. L. M. de Maupertuis (Lappland) n = 0,1053 (1751) T, Mayer (Frankreich)

(1792) J. B. J, Delambre (ebenda)

(1821—25) C. F. Gauß (Hannover)

(1831) F. G. W. Struve (Russ. Ostseeprovinzen) 1237 (1834) F. W. Bessel (Ostpreußen)

(1849) J. J. Baeyer (Küstenvermessung)

(1858) H. James und A. R. Clarke (England) 1587 (1870—75) Preußische Landesaufnahme

1250

1678 1306

1370

1300 1180

Mittel 0,1322

Wenn man die Annäherung, die Formel (60) entspricht, nicht für genügend hält, so muß man die Glieder berücksichtigen, die von den Ableitungen n , n",. . . von n abhängen. Man vergleiche in dieser Beziehung die Arbeiten von Jordan und Helmert⁷ 8).

35. Der Refraktionskoeffizient als Funktion der atmosphärischen Verhältnisse. Man verdankt J. J. Baeyerш) den Gedanken, daß die Refraktion um Mittag kleiner ist als am Morgen und Abend, weil um Mittag die Abnahme der Temperatur mit der Höhe eine größere ist und darum die Verminderung der Luftdichte bei wachsender Höhe eine geringere.

Baeyer setzt n = ab, wo b der absolute Wert der Zeit, von Mittag aus gerechnet, ist, der als Bruch des halbtägigen Sonnenbogens auszudrücken ist; a ist eine Konstante, der Baeyer auf Grund seiner eigenen Beobachtungen den Wert 0,2132 gibt. Eine solche Formel hat den Nachteil, daß die Refraktion um Mittag Null wird; es ist indessen immerhin das Verdienst von Baeyer, die Abhängigkeit des n von der Tageszeit erkannt zu haben.

Das Gesetz der Veränderung der atmosphärischen Dichte mit der Höhe ist bekannt, wenn zwischen zweien der vier Größen © (Dichte), p (Druck), O’ (Temperatur) und t (Höhe) eine empirische oder hypothetische Relation angenommen wird (außer derjenigen, welche die Gesetze von Boyle und Gay-Lussac liefern). Wird nun © als bekannte Funktion von t ausgedrückt und wird die eine der beiden folgenden Beziehungen:

V²—1 = 2c@, (c = 0,000293),

V — 1 = c©

die in der astronomischen Theorie gebraucht werden, benutzt, so hat man V und deshalb n als Funktion von t und den meteorologischen Daten ausgedrückt.

Bauernfeind¹⁸⁸) hat zwischen dem Druck p und der absoluten Temperatur T = 273 -|- О die Beziehung angenommen, und für die Dichte die Formel

©0

(x)⁶

abgeleitet, wo die Höhe h des Punktes in der Weise zu berechnen ist, daß man im Meeresniveau \ = 51400 m hat. In geeigneterer Weise hat sich Jordanш), ohne eine willkürliche Formel für die Konstitution der Atmosphäre einzuführen, damit begnügt, n mit Hilfe des Druckes, der Temperatur und der Wärmeabnahme auszudrücken,

Beobachtungsserie von reziproken Zenitdistanzen für die verschiedenen Tagesstunden zwischen Kupferkuhle und Brocken (Entfernung 48 km, Niveauunterschied 971 m).

188)    С. M. von Bauernfeind, Astr. Nachr. 67 (1866), p. 33. Kritische Notizen zur Theorie von Bauernfeind findet man in Helmert, H. G. 2, p. 687.

189)    Zit. V. 186, oder Handb. 2, p. 536.

n = 0,1041 + 0,0840 6².

Indem er dann in (63) die aus dieser Formel erhaltenen Werte für n einführt, sucht Hartl die den verschiedenen Tageszeiten entsprechenden Werte der Wärmeabnahme abzuleiten und vergleicht sie mit den aus den Luftballonbeobachtungen Glaishers folgenden Werten. Der Vergleich ist einigermaßen befriedigend.

14

wobei er findet⁹)

B    — 29,39*),

wo В der Druck in mm ist, T die absolute Temperatur, x die Wärme-abnabme in Graden für 1 m Höhe [im Mittel nach J.Hann¹⁰ 11) x—0,0057].

36. Empirische Untersuchungen über den Refraktionskoeffizienten. Außer den erwähnten Beobachtungen von Baeyer sind die Beobachtungen von Bauernfeindm) in Bayern zu nennen zur Bestimmung der täglichen Variation der Zenitdistanzen zwischen zwei Punktpaaren. Die von Baeyer beobachtete tägliche Periode hat sich dabei gut bestätigt.

Hartl¹²) hat später auf Grund der Beobachtungsresultate, die in sechs Gegenden Deutschlands und der russischen Ostseeprovinzen gefunden sind, die folgende Tabelle über den Zusammenhang zwischen dem Koeffizienten n und der Tageszeit b, letztere, wie schon erwähnt, als Bruch des täglichen Sonnenbogens ausgedrückt, aufgestellt.

Ъ = 0,0 ! 0,1    0,2    0,3    0,4 j 0,5    0,6    ,

n = 0,10 ! 0,10    0,11    0,11    0,12 I 0,13    0,13    ,

Nimmt man zwischen n und Ъ eine Relation n — x yb² an, so bestimmt er die Werte von x und у für jedes der sechs Nivellementsnetze und erhält im Mittel

(63)

n = 0,2325

760

0,8    0,9    1,0

0,16 0,17 0,19 '

V. Heina und Cr. Cicconetti¹³) haben zwischen Rom und Monte-Cavo (Entfernung 30 km, Höhenunterschied 900 m) eine Beobachtungsreihe von gegenseitigen Zenitdistanzen an 11 Tagen ausgeführt, und haben eine Tabelle für den Zusammenhang zwischen n und Ъ gegeben. Der Gang der Zahlen ist regelmäßig, aber nicht symmetrisch zum Mittag (n variiert am Nachmittag weniger stark).

Heina hat auch vermittelst der Formel von Jordan die Werte von n berechnet, indem er die Wärmeabnahme aus gleichzeitigen Thermometerheobachtungen auf beiden Stationen bestimmte. Die beobachteten Koeffizienten n ergeben sich im allgemeinen kleiner als die nach (63) berechneten; aber die Differenzen übersteigen (von wenigen Ausnahmen abgesehen) nicht 0,02, was als eine gute Bestätigung der Jordanschen Theorie angesehen werden kann.

Abschließend kann man sagen, daß der sogenannte Refraktionskoeffizient eine nicht gut bestimmte Größe ist, und zwar aus zwei Gründen: 1) weil er von der Schnelligkeit der Wärmeabnahme mit der Höhe abhängt, die sehr veränderlich ist mit der Tageszeit, mit der Örtlichkeit und mit der Beschaffenheit des Bodens, über den der Visierstrahl hingeht, und 2) weil die Definition dieses Koeffizienten, wenn man ihn als unabhängig von der Entfernung betrachtet, nur in den Fällen gilt, in denen die Formel (58") als genügend genau betrachtet werden kann¹⁴).

Bei kleinen Entfernungen hat übrigens die Unsicherheit im Werte von n wenig Einfluß auf die Berechnung der Höhendifferenz, wie aus einer instruktiven Tabelle Jordans (Handbuch 2, p. 542) hervorgeht. So ändert sich bei einer Entfernung von 5 km, wenn n zwischen 0,10 und 0,16 variiert, die berechnete Höhendifferenz um nicht mehr als 11 cm; bei einer Entfernung von 10 km beträgt die entsprechende Änderung 47 cm¹⁵).

37. Geometrisches Nivellement. Wenn man von der größeren Präzision sowohl bezüglich der Instrumente als der Messungen ab-

catasto 10 (1897), p. 10; С. A. Schott, R. C. G.

sieht, so unterscheidet sich die Beobachtungsmethode des geometrischen Nivellements nicht in der höheren und niederen Geodäsie. Wir werden uns deshalb darauf beschränken, den Umstand, der die Berechnung des Präzisionsnivellements von der der topographischen Nivellements unterscheidet, zu behandeln, nämlich die Berücksichtigung der Abweichung der Niveauflächen vom Parallelismus¹⁶).

Es mögen A und В (Fig. 18) zwei Punkte der Erdoberfläche sein, Sa und ^

Fig. 18.

Sb die zugehörigen Niveauflächen und S₀ die Niveaunullfläche, auf die die Höhen bezogen werden. So lange diese Flächen als parallel betrachtet werden, hat die Definition des Höhenunterschiedes zwischen A und В keine Schwierigkeit; aber wenn man auf ihre Abweichung vom Parallelismus Rücksicht nimmt, so ergibt sich die Höhendifferenz verschieden, je nachdem man sie definiert 1) als das Stück

АЛ' der Vertikalen von A zwischen Sa und Sb, oder 2) als das Stück PP' der Vertikalen von В zwischen Sa und Sb oder endlich 3) als die Differenz BB₀ — AA₀ zwischen den Höhen der Punkte В und A in bezug auf die Fläche S₀. Es macht sich noch eine andere Schwierigkeit hier geltend. Wenn man, um die Ideen zu fixieren, die zweite Definition annimmt, d. h. die Niveaudifferenz zwischen A und В gleich PP' setzt, und man im Gelände zwischen A und В eine Reihe von Punkten Px, P₂, . . ., Pn einschaltet, die so dicht liegen, daß der Höhenunterschied zwischen aufeinander folgenden Punkten direkt mit einem Nivellierinstrument bestimmt werden kann, so ist die Summe der sukzessiven Höhenunterschiede dz (zwischen Px und А, P₂ und Px, . . ., В und Pf) im allgemeinen nicht gleich dem gesamten Unterschiede PP⁷, wie man es in der niederen Geodäsie annimmt, und diese Summe wird sich auch verschieden ergeben, je nach dem Wege APXP₂ . . . PnB, den das Nivellement einschlägt. Noch mehr, wenn man ein geschlossenes Polygon APXP₂ . . . PnA betrachtet, so ist die Summe der Höhenunterschiede je zweier aufeinander folgender Punkte im allgemeinen nicht Null, sondern hat einen nicht immer zu vernachlässigenden Wert (theoretischer Schluß-fehler des Nivellementspolygons). Man hat zwei Wege, um diese Schwierigkeit zu überwinden.

1) Die orthometrische Theorie. Man definiert als Höhenunterschied zwischen A und P das Stück PP' der Vertikalen in P, das zwischen P und Sa liegt, und sucht die Korrektion, die man an der Summe der sukzessiven Höhenunterschiede zwischen den Punkten Px und A, P₂ und Px, ... P und Pn anbringen muß; man nennt sie die orthometrische Korrektion.

2. Die dynamische Theorie. Man sucht die Differenz zwischen den Werten Wb und Wa des Erdpotentials (2) für Sb und Sa zu ermitteln; diese Differenz, geteilt durch die mittlere Schwere G (für 45° Breite und im Meeresniveau) liefert den sogenannten dynamischen Höhenunterschied zwischen P und A. — Der angegebene Gedankengang stammt von F. B. Helmert¹⁷). Das Verhältnis ( Wa — TF₀): G, wo W₀ den Wert von W auf S₀ bedeutet, nennt man dynamische Kote des Punktes A. Die an der Summe der dz anzubringende Korrektion, um die oben erwähnte Differenz (Wb— Wa): G zu erhalten, nennt man die dynamische Korrektion¹⁸).

Es seien (Fig. 19) M und N zwei aufeinander folgende Punkte einer Nivellementsschleife. Das Nivellierinstrument sei in der Linie MN aufgestellt, in der Mitte zwischen den Vertikalen MM₁ und NNt und es seien z₁ — MMt, z₂ — NNX die Lattenablesungen; es sei ferner M₂N₂ die durch das Zentrum des Fadennetzes des Fernrohrs gehende Niveaufläche; dx — MXM₂, d₂ = NXN₂ seien die Depressionen dieser Niveaufläche unter dem Visierstrahl M₁Nl. Sind

Mz

Fig. 19.

dann W, Wm, Wn die Werte des Erdpotentials in M₂ (und N₂), M und N, gl und g₂ die Werte der Schwerebeschleunigung in M und N und behandelt man die Abschnitte MM₂ und NN₂ als unendlich klein, so ergibt sich

wn — wm = (*, — d₂)g₂ — (zt — d₁)g₁.

Die beiden Depressionen können als merklich gleich angesehen werden¹⁹), und man kann auch das Produkt der Depression und der Differenz gl—g₂ vernachlässigen, so daß die vorhergehende Formel in die folgende übergeht:

wn - Wm = 0₂ - *,) л + fe - ä) •

Vernachlässigt man auch noch den zweiten Term der rechten Seite²⁰) und setzt

ł Ol +9i)=9, e₁ — zi = dz,

so erhält man

(64)

Wn-Wm = -gÔz.

Wenn man mit dz den Abstand der beiden Punkte M'N (Fig. 18), in denen die durch M und N gehenden Niveaufläehen die Vertikale von В treffen, bezeichnet, so ergibt sich nach (64) und nach der analogen Formel für M’N :

(65)

dz' = -,dz

wo g die mittlere Schwere für den Abschnitt M'N' bedeutet.

Die dynamische und orthometrische Theorie gründen sich bezüglich auf die Formeln (64) und (65).

Orthometrische Theorie. Nimmt man an, daß die Schwerkraft der theoretischen Formel²⁰²)

(66) g = G (1 — ß cos 2 (p) (1 — Ш) (Je =    , ß — 0,00265)

folgt, wo H die Meereshöhe und R den mittleren Erdradius bedeutet, so kann man das Verhältnis 4 in (65) in folgender Weise schreiben:

?-м

wo (p, cpb die Breiten von N und В bedeuten. Hieraus ergibt sich mit genügender Annäherung, wenn man die mittlere Breite zwischen A und В mit cpm bezeichnet, für die Niveaudifferenz (BB') der Ausdruck:

(67) (BB) -2¹ w    • Ę in - »)«*•

Will man dann die Höhe (B B₀) = HB des Punktes В über S0 haben, so muss man zu (BB') die Größe HA -}- (jB'B₀) — (MH₀) (vgl. Fig. 18) hinzufügen, welche näherungsweise durch

(68)

Нл — 0,0053

ein(9>a + 4>b) sin (Фб — VJ JJ 1 — 0,00265 cos 2    Ил

ausgedrückt wird.

Die Summe (67) -j- (68) gibt die gesuchte Höhe HB des Punktes J?; dies ist in Kürze das Verfahren von Helmert (H. G\ 2, p. 505). Lallemand in dem (Fußn. 197 Ende) zitierten Werke, p. 366, gibt die

trag von 16 mm (die Schwereänderung als normal vorausgesetzt.) Setzt man + (г, -f- jss)= 2 m, so würde hei einer Messung im Gebirge der entsprechende Beitrag ca. 3 mm sein, wenn der Höhenunterschied 8000 m beträgt.

202) Vgl. Nr. 4 und 5.

wo H und cp die Höhe und Breite irgend eines Punktes des Nivelle-mentszuges sind²⁰⁴).

Dynamische Theorie. Wir nennen Аab die schon definierte dynamische Niveaudifferenz. Wir haben dann, indem wir auf kleine Niveauunterschiede dz die Differentialformel dW ——gdz anwenden:

в

(70) t±AB —

Formel ein wenig verschieden²⁰³):

(69)

HB = H

n

л + ^ (dz) — 0,0053fHsin2(pdcp,

<Pa

±(wA-wB)=±2ge*=2Se+b2^-G'>Si1-

А

Die letzte Summe ist die dynamische Korrektion, welche man auf Grund von (66) in folgender Form schreiben kann:

V = % +

wo

Vi = —

und

в

ß f cos 2 cp dz

А

в

h j^Hdz oder angenähert

{Нл -f Нв) (Нв - На)

(уj heißt dyn. Breiten-, ri2 dyn. Höhenkorrektion).

Fall eines geschlossenen Polygons APXP₂ ... PnA. Die linke Seite von (70) ist 0, und man hat deshalb

(71)

Die letzte Summe (in welcher man für G einen konstanten Wert gQ setzen kann) ist der theoretische Schlußfehler des Polygons. Nimmt

203) Das letzte Glied stellt die sogenannte „orthometrische“ Korrektion dar (ein von С. M. Goulier eingeführter Name, siehe Zit. derFußn. 197, Ende ders.).

204) Um Gleichung (69) mit (67) und (68) zu vergleichen, muß man 1) in der letzteren die Einheit an Stelle von (1—0,00265 cos 2 <p₆) setzen; 2) näherungs-

B

weise die Summe durch ein Integral ersetzen und 3) beachten, daß f H ■ sin2qp dcp

A

durch partielle Integration

в

— — -1 HA (cos 2 (pb — cos 2 qpa) — У(сов2фь— cos2qp )dH

А

oder näherungsweise = — ł HA(c°s2 cpb — cos2(pa) -j- sin(qpm -fi <jp₆) f(<pb — cp)dH

ist.

А

man den normalen Ausdruck (66) für die Schwere an und beachtet, daß das von kH abhängende Glied in der Summe verschwindet, so ergibt sich der folgende angenäherte Ausdruck für den Schlußfehler²¹) :

'Sdz = ßsm2cpm^HA(p.

38. Einfluß der Schwerestörungen auf Nivellements.

Wir

haben bisher die Schwerkraft unter der Voraussetzung berücksichtigt, daß sie durch Formel (66) dargestellt sei, wobei indessen zu beachten ist, daß die Schwerestörungen einen nicht zu vernachlässigenden Einfluß auf die Nivellements haben. Helmert²²) hat eine Nivellementsschleife in den Tiroler Alpen (Innsbruck, Brenner, Brixen, Bozen, Innsbruck), längs der in 37 Punkten von R. v. Sterneck die relative Schwere bestimmt war, daraufhin geprüft und hat gefunden, daß der wirkliche theoretische Schlußfehler auf Grund der beobachteten

Schwerkraftswerte nach Formel (71) berechnet — 0,024 m²³) beträgt, während der mit der normalen Schwere berechnete Schlußfehler (sphäroidischer Schlußfehler) — 0,007 m beträgt. Der sphäroidische Schlußfehler kann also unter Umständen nur ein kleiner Bruchteil des wichtigen theoretischen Schlußfehlers sein. Der Einfluß der wirklichen Schwereänderungen auf die Berechnung der Niveaudiffe-renzen²⁴) ist sehr schwer auszuwerten, besonders wenn es sich um größere Niveaudifferenzen handelt. In der Tat würde eine solche Rechnung die Kenntnis der wirklichen Schwerewerte \g in Formel (65)] in verschiedenen Punkten eines vertikalen Abschnitts im Inneren der Erde erfordern und die Annahmen, die man in dieser Hinsicht machen kann, sind immer etwas willkürlich. Es wird deshalb, auch wenn längs der Nivellementslinien relative Schweremessungen ausgeführt sind, bei großen Niveaudifferenzen immerhin eine beträchtliche Unsicherheit bestehen bleiben²⁵).

39. Das Mittelwasser der Meere und der Nullpunkt für die Höhen. Die Höhen der Nivellementsbolzen beziehen sich in den verschiedenen Ländern auf einen mehr oder weniger willkürlich angenommenen Nullpunkt. Größtenteils dient zu diesem Zweck das Mittelwasser eines bestimmten Pegels. In seiner einfachsten Gestalt ist ein Pegel ein mit Skala versehener Apparat, der in jedem Augenblick die Höhe der Wasseroberfläche über einem bestimmten Nullpunkt angibt. Das Mittel aus den während mehrerer Jahre stündlich ahgelesenen Werten der Wasserhöhe kann, wenigstens für den Zeitraum eines Jahrhunderts, als konstant angesehen werden. Die auf ein solches Mittel bezogenen Höhen nennt man kurz Meereshöhen.

Gehören nun die Mittelwasser der verschiedenen Pegel alle derselben Niveaufläche an, oder bestehen systematische Unterschiede zwischen den Höhen der verschiedenen Meere? Die Antwort auf diese Frage hat praktische Wichtigkeit, insofern es sich um die Übereinstimmung der Nivellements der verschiedenen Länder handelt, die sich auf verschiedene Pegel beziehen; sie hat auch theoretisches Interesse, insofern mit ihr die Definition des Geoids verknüpft ist, die wir in Nr. 2 angenommen haben.

Die Frage ist bis jetzt nicht gelöst, und es haben sich, wenigstens in bezug auf die europäischen Meere, in den letzten Jahren die Ansichten geändert. Bis 1890 schien es nach den Messungen, daß zwischen dem Atlantischen Ozean und dem Mittelmeer, zwischen diesem und der Nord- und Ostsee beträchtliche Niveauunterschiede (bis zu 1,10 m) beständen. Die wachsende Genauigkeit der Nivellements und die strengere Berechnung²¹⁰) und Ausgleichung der Resultate hat diese Differenzen zum Teil verschwinden lassen, zum Teil beträchtlich vermindert.

Cil. Lallemand²¹¹ ; (1890) hat, indem er sich speziell auf die Resultate der neuen französischen Nivellements stützt, zuerst den Gedanken ausgesprochen, daß die erwähnten Differenzen ihre Ursache zum größten Teil in Beobachtungsfehlern haben. Wir geben aus der Lallemand-schen Tabelle einige Zahlen an, wobei zu bemerken ist, daß seine Daten orthometrischen Korrektion höchstens ein paar Zentimeter betragen kann. Dagegen findet er bei der Bestimmung der Höhe des Stilfser Jochs, indem er eine spezielle Hypothese über die Schwereänderung mit der Höhe einführt, eine Differenz von ca. 30 cm zwischen der wirklichen uud der sphäroidischen Korrektion.

210)    So würde z. B. die orthometrische Korrektion den Höhenunterschied zwischen den Nord- und Südküsten von Zentraleuropa um 15 cm vermindern (Yerh. der Intern. Erdm. 1891, p. 150).

211)    Revue scientifique 46 (1890), p. 1—6 und Int. Erdm. 1890, p. 181—187.

noch nicht die definitiven waren ; wir fügen deshalb in der letzten Kolumne die durch die Rechnungen des Zentralbureaus der internationalen Erdmessung, die wir gleich noch erwähnen werden, gelieferten Zahlen bei.

Mittlere Meereshöhe einiger Häfen in bezug auf Marseille (in cm):

Rechnung des Zentralbureaus

Nach den alten Rechnung von Beobachtungen :    Lallemand

42

Triest ........

Cette..........

Brest..........

Cherbourg......

Amsterdam.....

Swinemünde ....

Auf Grund dieser Rechnungen spricht Lallemand den folgenden Satz aus: „L’ancienne hypothèse de l’uniformité de niveau des mers, primitivement admise d’après les lois de la mécanique des fluides, puis abandonnée sur la foi de mesures inexactes, paraît en voie de se réhabiliter dans l’ensemble et abstraction faite peut-être de quelque anomalie locale“²⁶).

Die schon erwähnten Resultate des Zentralbureaus²⁷), die auf der Ausgleichung von 48 Polygonen in Zentral- und Westeuropa beruhen, bestätigen im allgemeinen das Vorhergehende. Die erwähnten Differenzen verschwinden zwar nicht, aber sie werden von der Ordnung der Beobachtungsfehler. So findet man z. B. eine mittlere Depression von 13 cm des Mittelmeeres und des Adriatischen Meeres gegenüber der Nord- und Ostsee und dem Ärmelkanal, aber der mittlere Fehler dieser Niveaudifferenz ist 18 cm vor und 9 cm nach der Ausgleichung²⁸).

Außerdem führen verschiedene Rechnungen zu verschiedenen Resultaten. Aus drei Ausgleichungen des Zentralbureaus und einer von Lallemand ergibt sich die Höhe der nördlichen Meere über der der südlichen:

11

110

90

74

86

—2

13

17

17

27

I. Ausgleichung 13,4 cm 26,5 cm 4,6 cm 2,0 cm.

II.

III.

Lallemand

Diese Resultate sind zu verschieden, als daß man einem unter ihnen genügendes Vertrauen schenken könnte²¹⁵).

Bedenkt man, mit welcher Unsicherheit die erwähnten Niveaudifferenzen sich ergeben, so verbietet jedenfalls nichts, sie als rein lokale Erscheinungen aufzufassen, weil man Unterschiede von derselben Größenordnung zwischen Pegeln derselben Küste findet, die nur wenig von einander entfernt sind (z. B. 22 cm zwischen Ostende und Boulogne, 29 cm zwischen Biarritz und Sables d’Olonne, 13 cm zwischen Pola und Fiume²¹⁶)).

Die Frage nach dem internationalen Nullpunkt für die Höhen, die wir hier erwähnen müssen, obgleich sie von mehr technischem als theoretischem Charakter ist, ist um 1864 aufgeworfen worden und bis heute noch nicht definitiv entschieden²¹⁷).

40. Genauigkeit einer Nivellementsausgleiehung. Wenn man, wie es üblich ist, ein Nivellement mit konstanter oder ungefähr konstanter Zielweite ausführt, so ist der mittlere Fehler eines Höhenunterschiedes der Quadratwurzel aus der Entfernung proportional²¹⁸):

(72)

= fG • VL-

Nimmt man L in km an, so nennt man ux den mittleren Kilometerfehler eines einfachen Nivellements. Abgesehen von anderen Umständen hängt von der Zielweite s ab. Wenn der mittlere Fehler M einer einfachen Stationsbeobachtung (Rückblick—Vorblick) proportional mit s angenommen wird, so ergibt sich ₁a₁ proportional mit ]/s und daher hat man²¹⁹)

= к • Yb ■ s.

215)    Ygl. Zit. der Fußn. 213, p. 89.

216)    Int. Erdm. 1892, p. 551.

217)    Eine zusammenfassende Geschichte dieser Diskussionen findet man in einem Artikel von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1893, p. 124. Ygl. auch den dies-» bezüglichen Meinungsaustausch in den Sitzungen der Int. Erdm. 1891, p. 44, 94; 1892, p. 53—57 und 113—117.

218)    Ygl. den Art. von 0. Barsch in der Zeitsch. f. Yerm. 7 (1878), p. 455 und 495. Die Formel (72) wird meistens gebraucht. Indessen hat 0. Bär sch [Astr. Nachr. 96 (1880), p. 33 und 81] versucht, m als Funktion von L durch einen komplizierteren Ausdruck darzustellen.

219) Jordan, Handb 2, p. 466 ff. O. Börsch (Fußn. 218, erstes Zitat) hat auf Grund des Präzisionsnivellements der Elbe untersucht, welche der drei Formeln

Die Konstante gŁ in Formel (72) kann man in der Weise bestimmen, daß man die Nivellementslinie in mehrere Abschnitte abteilt und die Höhenunterschiede jedes Abschnitts hin und zurück misst. Sind l1} l₂, l₃, . . .ln die Längen der verschieden en Abschnitte, dt, d.₂, d₃,... dn die Differenzen der Doppelmessungen, so kann man gt nach der Formel berechnen²²⁰):

(73)

gi =

d-

Der mittlere Kilometerfehler eines Doppelnivellements ist dann

(74)

‘    j/2

. . wn die Schlußfehler der Polygone,

Hat man n geschlossene Polygone, von denen jedes doppelt nivelliert ist, und sind w₁, w₂, . so kann man g in folgender Weise berechnen.

(75)

“I /1 \T wi

Vn2j r> wo llf l₂,...ln die Längen der verschiedenen Polygone sind. Man vergleiche in dem Bericht über das Präzisonsnivellement in Europa von V. Kalmar²²¹) die numerischen Werte von g für die Nivellements der verschiedenen Staaten; sie variieren etwa von 0,1 bis 5 mm. — Aus 48 Polygonen der erwähnten Vergleichung der Mittelwasser²²²) ergibt sich g aus den Polygonschlußfehlern zu 4,42 mm und aus der allgemeinen Ausgleichung zu 4,48 mm. Für das nivellement général de la France²²³) (1897—1898) ist g = 2,45 mm.

Die Ausgleichung eines Nivellementsnetzes kann auf zwei Arten

erfolgen :

M—h, M=hys, M = hs

(h konstant) am meisten geeignet ist, die Beziehung zwischen M und s auszudrücken und hat sich für die zweite der drei Formeln entschieden. Danach würde sich m — 1гУ L ergeben, d. h. der mittlere Kilometerfehler würde unabhängig von der Zielweite s sein. In Wirklichkeit hängt m stark von der lokalen Bodenbeschaffenheit und andern Umständen ab, die man theoretisch nicht in Rechnung ziehen kann.

220)    J. J. Baeyer in Astr. Nachr. 86 (1875), p. 177. Allgemeinere Formeln für den Fall, daß die verschiedenen Züge beliebig oft gemessen sind, gibt 0. Börsch in seinem am Anf. der Fußn. 218 zit. Aufsatz.

221)    Int. Erdm. 1895, II. T., p. 31 ff.

222)    ibid. p. 75—76.

223)    Bericht von Ch. Lallemand in Int. Erdm. 1898. Die Zahl 2,45 ist von uns mit Hilfe der Formel (75) berechnet auf Grund der Angaben der Kolumnen 2, 7 und 8 in der Tabelle p. 419 des genannten Berichtes.

1) Es seien 1, 2, ... n die Seiten des Netzes und es sei allgemein (r) die dynamische Höhendifferenz der beiden Endpunkte von r, wobei ein bestimmter Durchlaufungssinn als positiver von vornherein festgesetzt wird. Das geschlossene Polygon a, b, с,... p gibt den Schlußfehler

± О) + (b) + • • • • ± (p) — W,

wo man für eine bestimmte Seite das Zeichen -f- oder — zu nehmen hat, je nachdem die Seite, wenn das Polygon im Sinne a, b, c, . . .p durchlaufen wird, im positiven oder negativen Sinne durchlaufen wird. Bezeichnet man mit [a], [ft], . . . [p] die an den beobachteten Höhenunterschieden anzubringenden Korrektionen, so ergibt sich die Be-dingungsgleichung

Die Zahl dieser Gleichungen ist gleich der Anzahl der voneinander unabhängigen geschlossenen Polygone im Netz; das Gewicht jeder Beobachtung (r) ist umgekehrt proportional der Länge der Seite r. Ein solches System von Bedingungsgleichungen kann entweder nach der Methode der bedingten oder der vermittelnden Beobachtungen behandelt werden²⁹).

2) Die Ausgleichung eines Nivellementsnetzes kann auch nach der Methode der vermittelnden Beobachtungen erfolgen, ohne daß man die Polygongleichungen benutzt. Es seien F₀, F1} ... Fq diejenigen Netzpunkte, in denen mehr als zwei Seiten Zusammenstößen und es sei Hrs die beobachtete Höhendifferenz zwischen zwei Punkten Fr, Fs, die direkt durch eine Nivellementslinie verbunden sind. Bezeichnet man die Höhe des Punktes Fr über dem Niveau des Punktes F₀ mit xr, so ergibt sich die Fehlergleichnng

Xr - X, - Hrs = Vrs-

Wenn die Punkte F durch L Linien verbunden sind, so wird man L Fehlergleichungen der angegebenen Art haben, aus denen man die plausibelsten Werte der x ableiten kann.

¹

   Vgl. die Tabelle der nach Formel (A) berechneten mittleren Fehler für die verschiedenen Triangulationen in Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. VI.

176a) Zeitschr. Math. Phjs. 47 (1902), p. 157.

²

   Intern. Erdm. 1898, Rapport sur les triangulations, p. XIII.

³

   Helmert (H. G. 2, p. 555) gibt die Entwicklung bis zu den Gliedern vierter Ordnung einschl. Vergl. auch: Pucci, Fondamenti, cap. VI.

⁴

   Abgesehen von kleinen Unterschieden in der Form, findet man Formel (58") bei Laplace, Méc. cél. 4, p. 279. Für die Größe n, ist dort ihr Ausdruck als Funktion der meteorologischen Daten gesetzt. Dieselbe Formel findet man in alten und neuen Lehrbüchern der Geodäsie, z. B. L. Puissant, Traité de géodésie 1, chap. XX.

⁵

   J. B. J. Delambre, Méthodes analytiques, p. 98 ff.

⁶

   Jordan, Handbuch 2, p. 509.

⁷

   W. Jordan, Astr. Nachr. 88 (1876), p. 99 oder Handbuch 2, p. 537.

⁸

   Astr. Nachr. 14 (1837), p. 65; 17 (1840), p. 205; Trigonometrisches Nivellement zwischen Swinemünde und Berlin, Berlin 1840; Petersh. Mém. Akad. (7) 3 (1860), Nr. 5. In der letzten Abhandlung gibt Baeyer die Resultate einer

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1.

⁹

   Laplace (Méc. cél. 4, p. 279) hat zum ersten Mal den Refraktionskoeffizienten als Funktion der meteorologischen Daten gegeben, indem er für die Konstitution der Atmosphäre dieselbe Formel anwandte, die von ihm auch zur Berechnung der astronomischen Refraktion benutzt worden war. Vgl. Fearnley in der Beilage YII zum Generalbericht der Europ. Gradmessung, 1883.

¹⁰

   Handbuch der Klimatologie 1, p. 241, 2. Aufl., Stuttgart 1897.

¹¹

   Ergebnisse aus Beob. der terrestrischen Refraktion, München 1880-—90. Vgl. die Diskussion dieser Beobachtungen bei Jordan, Handb. 2, p. 589, und in 0. Eggert, Vergleichungen der Ergebnisse des geometr. und trigonom. Nivellements usw., Diss. Berlin 1898.

¹²

   H. Hartl, Mitt. mil.-geogr. Institut Wien 1883, p. 110—136 und in der Zeitschr. d. Österreich. Gesellschaft für Meteorologie 16 (1881), p. 12. Hartl hat auch den mittleren Refraktionskoeffizienten mit der mittleren Höhe h des Visierstrahles über dem Meeresniveau in Beziehung zu setzen gesucht, vgl. Mitt. mil.-geogr. Institut Wien 4 (1884), p. 15.

¹³

   Mem. Soc. Ital. XL (3) 10 (1896), p. 14; Rezension von Jordan in Zeitschr. f. Verm. 26 (1897), p. 17. Siehe ferner A. Venturi und E. Soler, Prime ricerche sul coeff. di refrassione in Sicilia, Palermo 1893 ; ferner A. Venturi und Loperfido in Riv. topog.

S. 26 (1883), App. Nr. 12.

¹⁴

   Versuche, eine Beziehung zwischen den Koeffizienten n und der Entfernung der beiden Stationen aufzustellen, sind von E. Pucci gemacht: Sulla livellaz. trig., Firenze 1879; vgl. auch M. Dietze in Zeitschr. f. Vermess. 13 (1884), p. 245.

¹⁵

   In demselben Kap. von Jordan findet man auch ausgedehnte Literaturnachweise zu diesem Gegenstand.

¹⁶

Nach S. Günther (Handh. d. math. Geographie, Stuttgart 1890) verdankt man W. Fuchs (1843) den ersten Gedanken, den Nichtparallelismus der Niveauflächen bei der Berechnung der Nivellements in Rechnung zu ziehen. Die Anwendung der Potentialtheorie auf diesen Gegenstand wurde zum ersten Male (nach Bruns) von Th. Wand (Prinzipien der math. Physik und Potentialtheorie, 1871) angegeben. Th. Wittstein [Astr. Nachr. 81 (1873), p. 292] und G. Zachariae [ibid. 80 (1873), p. 305] berechneten, indem sie von einer ungenügenden Voraussetzung über die Krümmung der Lotlinien ausgingen, die sphäroidische orthometrische Korrektion. Der letztere verbesserte dann die eigentliche Formel [ibid. 82 (1873), p. 73], indem er die Formel von Gauß benutzte (vgl. Fußn. 37). Helmert [Astr. Nachr. 81 (1873), p. 297] führte die „reduzierte Niveaudifferenz“ ein (welche später von Lallemand „dynamische“ genannt wurde), indem er zeigte, daß es bei diesen Rechnungen zweckmäßiger sei, die Werte der Schwerkraft einzuführen anstatt die Krümmung der Lotlinien zu benutzen. J. J. Baeyer [ibid. 84 (1874), p. 1] handelt von den Wirkungen der Krümmung der Lotlinien (nach Gauß) und der lokalen Lotabweichungen auf die trigon. und geom. Nivellements. Eine zusammenfassende Darstellung der orthometrischen und dynamischen Theorie findet man bei E. Czuber, Techn. Blatt. Prag 23 (1891), p. 86, 152. Ferner sei verwiesen auf В. V. Sterneck in den Mitt. mil.-geogr. Inst. Wien 8 (1888), p. 69 ; F. B. Helmert, Die Schwerkraft im Hochgebirge, Berlin 1890; C. M. Goulier in Paris C. R. 105 (1887), p. 270; Ch. L. Durand-Claye, A. Pelletan et Ch. Lallemand, Lever des plans et nivellement, III. partie par Ch, Lallemand, Paris 1889.

¹⁷

   Vgl. Fußn. 197.

¹⁸

   Vgl. das in Fußn. 197 (Ende ders.) zitierte Werk von Lallemand.

¹⁹

Daß diese Hypothese allgemein zulässig ist, wenn das Nivellierinstrument in der mittleren Entfernung zwischen den Vertikalen von M und N aufgestellt wird, ist von Helmert (H. G. 2, p. 503—511, 589) bewiesen. Mit dem Einfluß der Differenz der beiden Depressionen in Folge der Gestalt der Niveauflächen beschäftigt sich J. A. Oudemans [Astr. Nachr. 83 (1876), p. 22]. Mit dem Einfluß der normalen Refraktion beschäftigt sich Lallemand in dem in Fußn. 197 zitierten Werke, p. 396.

²⁰

Vgl. Helmert, H. G. 2, p. 503. Setzt man    2%) = 3 m, so liefert

die Gesamtheit der Ausdrücke, die -f- га)(дг—yx) entsprechen, zu einem Nivellement, das sich über einen ganzen Meridianquadranten erstreckt, einen Bei-

²¹

   Helmert, Die Schwerkraft im Hochgebirge, p. 20.

²²

   Ibid. p. 19 und Tafel H.

²³

   Der mittlere Fehler dieses Resuites ist von Helmert zu + 0,013 m ausgerechnet worden, indem er die zufälligen Fehler der Schwerkraftsmessungen und die zufälligen Änderungen berücksichtigt, denen die Schwerkraft von Ort zu Ort unterworfen ist.

²⁴

   Eine theoretische Untersuchung über den Einfluß der Schwereänderungen auf die Resultate der Nivellements unter der Voraussetzung, daß diese Störungen auf Grund der Attraktion der sichtbaren Massen sich berechnen lassen, ist von Helmert (H. G. 2, p. 517—533) angestellt.

²⁵

   Für ein Nivellement von der Nordsee bis zum Adriatischen Meere durch die Alpen hindurch findet Helmert (Die Schwerkraft im Hochgebirge, p. 26—29), daß die Differenz zwischen der wirklichen und der sphäroidischen

²⁶

   Derselbe Gedanke wurde (1890) von A. von Kalmar wenigstens in bezug auf die europäischen Meere ausgesprochen (Int. Erdm. 1890, p. 102—103); vgl. ferner Bouquet de la Gryes Bericht in Int. Erdm. 1898, p. 363.

²⁷

   A. Börsch und F. Kühnen, Vergleichung der Mittelwasser der Ostsee und Nordsee usw., Berlin 1891.

²⁸

   Helmert in Int. Erdm. 1891, p. 251. Neuere Bestätigungen hat man in den Resultaten der neuen französischen Nivellements und der russischen längs der Ostsee (Int. Erdm. 1898, p. 153—154 und p. 412—431). Vgl. ferner den Artikel von A. Börsch in Int. Erdm. 1892, p. 547.

²⁹

   Es ist die erste oder die zweite dieser Methoden passend, je nachdem die Anzahl der Polygone ^ ~ ■

D. Erdmessung.

41. Ableitung der Konstanten des Erdellipsoids aus zwei oder mehr Meridianbogen¹). Wenn man von vornherein das Geoid als Rotationsellipsoid annimmt, so genügen zwei Messungen von

Meridianbogen in verschiedenen Breiten theoretisch zur Bestimmung der Konstanten a und e dieses Ellipsoids. Zur Berechnung des Meridianbogens zwischen den beiden Endpunkten einer Triangulation, die sich längs eines Meridians erstreckt, kann man in folgender Weise verfahren. Ausgehend vom Punkte A (Figur 20), in welchem die astronomische Breite und das Azimut als bekannt vorausgesetzt werden, kann man durch Auflösung der Dreiecke ABM, MFN,.... die Stücke AM, MN,. . . . QB des 9 Meridianbogens berechnen. Legt man dann durch den Endpunkt JE des Netzes die geodätische Linie EX senkrecht zum Meridian von A und löst das q Dreieck ВЕХ auf, so bekommt man den ganzen Bogen AX. Ist die Breite cp des Punktes E astronomisch bestimmt, so erhält man die des Punktes X mit genügender Annäherung aus der Formel

А]

/I

(fx = (p +

1    S² tang (p

2    N q arc 1"⁷

Fig. 20.

wo S — (EX) ist. Man hat so die Länge eines Meridianbogens zwischen zwei Punkten von bekannter Breite. Es ist dies die Methode von A. M. Legendrem).

Oder man verfährt auf folgende Weise. Durch Berechnung der Dreiecke ABC, ACD, ADE, .... bekommt man die Länge s und das Azimut cc± der geodätischen Linie, welche die Endpunkte der Triangulation verbindet und aus diesen Elementen kann man leicht den Meridianbogen zwischen den Breitenkreisen von A und E erhalten. Damit diese Rechnung soweit als möglich unabhängig von den benutzten provisorischen Werten von a und e ausfällt, ist es zweckmäßig, auch in dem Endpunkt E das astronomische Azimut zu bestimmen; die Länge des Meridianbogens б ist dann durch die Formel von Besselm) gegeben: (Meridian- und Parallelbogen) findet man in: P. L. M. de Maupertuis, La figure de la terre, Paris 1738, p. 127; B. G. Boscovich, De litteraria expeditione per pontificiam ditionem, 5, Romae 1755; J. L. d'Alembert, Recberches sur différents points du système du monde 2, Paris 1754. Wegen der neueren Untersuchungen und speziellen Wege der bis heute ausgeführten numerischen Rechnungen vgl. J. B. Listing, Über unsere jetzige Kenntnis der Größe und Figur der Erde, Göttingen 1872.

226)    J. B. J. Delambre, Méthodes analytiques etc., p. 3.

227)    F. W. Bessel in Astr. Nachr. 14 (1837), p. 338; vgl. auch Helmert, H. G.,

(76) б =

S COS Ci

COS ——

{i +

s² sin² a

12 a²

[1 + e² cos (tjpjL + <p₂)] + •••},

wo а — £ (aŁ -f- a2 — 180°), Да = a₂ — at — 180° ist und a₁₇ a2 die reziproken Azimute des Bogens s bedeuten und <jp1; <p₂ die Breiten der Endpunkte.

Nach Berechnung von б kann man mit genügender Genauigkeit (wenn der Bogen nicht mehr als 2° Amplitude hat, vgl. Nr. 10) schreiben:

(77)

WO

(78)

a(l—f)

(1 — e² sin² qp)^

und cp = —    + ç>₂)

ist und die Breitendifferenz in Sekunden auszudrücken ist.

Die Formeln (77) und (78) liefern eine Gleichung zwischen a, e und Beobachtungsgrößen. Wenn man wie gewöhnlich mehr als zwei Meridianbogen zur Verfügung hat, wird man die Methode der kleinsten Quadrate in folgender Weise anwenden. Es seien a₀, e₀ Näherungswerte von a, e, mit denen der vorläufige Wert q von q in Formel (78) berechnet ist. Wir setzen dann

а = a₀ da, e* = e₀² -f- d(e²)

und nennen vt, v₂ die Verbesserungen der astronomischen Bestimmung von (p1} <p₂. Die Formeln (77), (78) geben dann die Fehlergleichung:

(7Э) ШТ¹ ! 7 - ^ + (⁷ - 4sin! 4 Л + Vi = ».

in der die Glieder mit e²da, e²de ²²⁸) vernachlässigt sind. Die Fehlergleichungen werden dann mit Hilfe der Bedingung [v²] = Minimum aufgelöst.

42. Bestimmung von a und e durch. Parallelkreisbogen. Wenn die Triangulation längs eines Parallelkreisbogens erfolgt ist, und wenn in den Endpunkten A und В die astronomischen Azimute und die Längendifferenz Аш beobachtet ist, so kann man, unter &N den

Parallelkreisbogen in der Mittelbreite cp = TłiLAi, zwischen den Meridianen von A und В verstanden, für & die folgende Formel aufstellen:

1, p. 304—308. Andere Methoden für die Berechnung von б haben F. G. W. Struve und J. J. Baeyer gegeben. Ygl. N. Jadanza, Metodi per la miaura di un arco di meridiano, Firenze 1881.

228) Genauere Formeln findet man in einem Aufsatz von F. W. Bessel, Abhdlg. 3, p. 41.

15

Encyklop. d. math. Wisaensch. VI 1.

© = A co cos (p — sin a 11 — 2I1P ^ — seß2 ^ s*n2 a) |

(80)

(N = Querkrümmungsradius für die Mittelbreite =    ....._!?    ,

wo s die Länge der geodätischen Linie AB bedeutet und die übrigen Buchstaben dieselbe Bedeutung haben bezüglich der Punkte A und В wie in der vorigen Nr. Die Formel (80) gibt eine Beziehung zwischen gemessenen Größen und den Unbekannten a, e². ²)

43. Stücke des EHipsoids. Lotabweichungen. Das Problem, aus einem System von Erdbogen die plausibelsten Werte von a und e abzuleiten, hat an Wichtigkeit verloren, seitdem die Geodäten sich überzeugt haben, daß die Resultate der verschiedenen Gradmessungen nicht mit genügender Genauigkeit einem einzigen Ellipsoid angepaßt werden können. Gibt man einmal zu, daß systematische Unterschiede zwischen dem Geoid und dem Ellipsoid vorhanden sind, so hat die Ausgleichung der Resultate von unabhängigen Gradmessungen keinen anderen Zweck, als für a und e Mittelwerte am und em zwischen den Werten (alf e₁), (a₂, e₂),.... zu liefern, die sich auf die verschiedenen Ellipsoide El7 Es,... . beziehen, welche sich jeweils den verschiedenen Gradmessungen am besten anpassen. Aber dies ist nicht gleichbedeutend mit der Bestimmung eines Ellipsoids, das am besten den gesamten Gradmessungen entspricht. Denn so lange diese nicht untereinander verbunden sind, haben wir keine Kenntnis bezüglich der Lage, welche die verschiedenen Ellipsoidstücke E1} Eif ... . zueinander haben, und deshalb haben wir keine Garantie, daß das mittlere Ellipsoid (am, em) nicht nur bezüglich der Krümmung seiner Teile, sondern auch bezüglich seiner Lage zum Erdkörper sich sämtlichen studierten Teilen des Geoids anpasse.

Da die Ermittelung der absoluten Abweichungen des Geoids von einem einzigen Ellipsoid bis jetzt nicht möglich ist, müssen wir uns darauf beschränken, einzeln jede Erdgegend zu untersuchen, die mit geodätisch und astronomisch untereinander verbundenen Triangulationen überdeckt ist, indem wir die Dimensionen und die Lage eines Ellipsoids²“) zu bestimmen suchen, welches sich möglichst gut den Daten dieser Triangulationen anpaßt, und die Abweichungen er-mittein, welche in der betreffenden Gegend das Geoid vom Ellipsoid aufweist.

Die Bestimmung eines Ellipsoidstückes verbindet sich unter diesem Gesichtspunkt mit der Bestimmung der Lotabweichungen ²³°) und ebenso mit dem Problem der Ausgleichung verschiedener, miteinander verbundener Triangulationen. Wir wollen hier in Kürze die Methode und die Formeln von Helmert angeben³ 4). Es mögen i, к zwei geodätisch miteinander verbundene Punkte sein. In bezug auf ein vorläufiges Ellipsoid E₀ (z. B. das Bessels che) mögen B{ Li} Bk Lk angenommene Werte⁵) für die geodätischen Längen und Breiten der Punkte i und к sein. Indem man von diesen Daten ausgeht und die Elemente a, e des Ellipsoids E₀ benutzt, berechnet man (Nr. 15) vorläufige, aber streng zu BiLi, BkLk gehörige Werte der Länge Sik und der Azimute Tik, Tki der geodätischen Linie ik in ihren Endpunkten. Es seien dann weiter:

B + dB, L + dL, T + äT, S + dS

die analogen Größen für das gesuchte, sich am besten anschließende Ellipsoid E. Die Relationen zwischen den Differenzen dB, dL, dS, dT erhält man dann (abgesehen von kleinen Größen 2. Ordnung), indem man die Formeln, welche zur Übertragung der geographischen Koordinaten und des Azimutes dienen, differentiiert und dabei die Breite, die Länge und das Anfangsazimut Д , Lif Tik und die Größen a und e als Veränderliche ansieht⁶).

Bezeichnet man mit a die Abplattung 1 — ]/l — e² und mit da, da die Korrektionen von a, a, wenn man vom Ellipsoid E₀ zu E übergeht, so ergeben sich Relationen folgender Art:

15*

—    äBk =p₁dBi +pidStk+pŁdTik+p₆ ^ + Peda,

(81)

—    cos BkdLk = — cos BkdLt + qtdBt -f q₃dSik -f qAdTik

4" fis + fie

— cotgBkdTik =    + r₃dSik + r±dTik + r₅ ~ + r₆da.

Bezeichnen wir mit B', L', T die Koordinaten und die astronomisch bestimmten Azimute, mit 8B, ÔL8 T die Fehler dieser Bestimmungen; ferner mit £f, Xi} £*, Xk die Lotabweichungen in Breite und Länge der Punkte i resp. Je, bezogen auf das Ellipsolid E₀, so haben wir

= в; + öb; -

(82)

Li -f- dLi = LÎ 8L[ — X.,

Lik 4“ dTik — Tik -j- à Tik — Яг- sin Bi, und drei andere von entsprechender Bauart für den Punkt 7c.

Wir nennen dann Sa die Länge der Seite г 7c, die direkt durch Triangulation gefunden ist, dSU die entsprechende Korrektion, so daß Sik ~h 8 Sik = Sik -j- dSik •

Vermittelst dieser letzten Gleichung und (82) eliminieren wir die dB, dL, dT, dS aus (81). Auf diese Weise kommen wir zu den drei Gleichungen:

'£* = #* — Bk + 8B'k + Р4Д — Bi + 8B'i — I,-) -

-f" Рз ($a — Sik 4 8Sa) 4 (T'a — Tik 4" $ Tué)

da

+ ^5^ 4- Рб^а>

(83)

h = L'k - Lk 4 Li— L'i + 8L'k - 8L'î 4 fii (-®t⁻ — Bi -f- 8Bi — £i) — q₂Aj -{- q₃ ($^ — Sik 4" à $*■*)

4 Ч4(Tik — Tik 4- dTik) 4- %    4“

Xk = cosecBk{Tki—Tkî-j⁻8Tki) 4~L.C®c—Bi-^-dB'i—£,)—t₂Â;

4~ ^3 (Sik — Sik 4“ à SI a) 4~ 4(T'ik — Tik + 8 Та)

da

+ I57 + Ï6 ^а-

Für die Koeffizienten dieser Gleichungen gibt Helmert²³⁴) die folgenden Näherungswerte an.

234) Lotabweichungen, Heft 1, p. 10, 11, 13. Für die Koeffizienten mit den Indizes 1 bis 5 sind die vernachlässigten Größen von der 4. Ordnung bezüglich

ß

e und —, für die Koeffizienten mit dem Index 6 von 3. Ordnung.

Setzt man

l —£t — L„ b = Ą — S„ W = Vl - 7 sin* В, В =

so wird:

W³

Pi = —

W³

cos I, q₃ == —

(1-е*)

Wa

l

sin I tg Bk,

sin I

sin В cos В (1    si¹!² В COS² JE?) ,

к    к

p₂ = p4 sin Bv q₂ = q₄ sin Bt — 1, r₂ = r₄ sin Ą,

W sin T .

____к    ki

*3 = W*

C0S Tki

a(l — e²) arc 1" ’

a ■ arc 1"

sec Bk,

W³ sin T

p4 = -^T=^fm’

Wb

q₄ = coe Tki sec Bk m,

r₄ = qd —

dm

ds '*ьЖ>

A;

Pô ⁼ Ps^ikf Яб ~ Г5 ~ Яв ^ik>

Рей

2 b -f- (3b — y sin В cos В arc 1"^ sin² В,

сов³ В

q₆ == I sin² Bt cos B{ sec Bk, r₆ — q₆ — Ы

m ist die reduzierte Länge des Bogens Sik und zwar gilt mit genügender Annäherung:

lo«e =

sin В

arc 1".

MS²

Ытв)

_ MS2 ~    2 a²’

44. Fortsetzung. Bestimmung der Lotabweichungen. Ausgleichung. Es sei eine Gegend der Erde mit Triangulationen überdeckt, die in einem oder mehreren Punkten Zusammenhängen. Die Triangulationen seien an unabhängige Basismessungen angeschlossen und jede für sich ausgeglichen²³⁵). Betrachten wir zunächst nur die astronomischen Funkte, so wird es unter diesen einige gehen, in denen sowohl die Länge wie das astronomische Azimut bestimmt sind ; diese nennen wir Laplace sehe Punkte. In anderen Punkten wird außer der Breite entweder nur das Azimut oder nur die Länge bestimmt sein. Wir gehen nun von einem Zentralpunkt aus und ziehen Polygone, die durch die astronomischen Punkte hindurch zu den ent-

M = 0,43429.

235) Wir werden nur voraussetzen, daß, wenn zwei Triangulationen eine Seite gemeinsam haben, die Länge der Dreiecksseiten derart geändert wird, daß ein event. Unterschied zwischen den beiden Werten der Seiten, die aus den beiden Triangulationen erhalten sind, beseitigt wird. Vgl. Helmert, Lotabw. § 3.

femten Punkten hinführen. (Es kann Vorkommen, daß ein und derselbe Punkt mit dem Zentralpunkt durch mehrere Polygonzüge verbunden ist.) Für jede Polygonseite schreiben wir dann die Gleichungen vom Typus (83); es ist klar, daß diese sich in der Weise kombinieren lassen, daß man Gleichungen erhält, in denen die |, A irgend eines Punktes к auftreten und solche für den Zentralpunkt l.⁷) Die Lotabweichungen in Länge ergeben sich für die Laplace sehen Punkte aus (83) auf zwei Arten, aber der Vergleich zwischen dem astronomischen Azimut und dem aus der Triangulation abgeleiteten ist für Punkte, die vom Zentralpunkt weit entfernt sind, bedeutend ungenauer, als der Vergleich der Längen. Es ist deshalb zweckmäßig (wenigstens für eine erste Annäherung), nur die Längen zur Bestimmung der A zu benutzen und sich der Azimute nur bei der Ausgleichung zu bedienen. Dies läuft darauf hinaus, daß man die Verbesserungen dl! der astronomischen Längen gleich Null setzt. Es bleiben dann (abgesehen von den Verbesserungen dB', welche offenbar nicht von den entsprechenden § getrennt werden können) in den Gleichungen (83) die Verbesserungen dSU und dT'ik. Jede der Verbesserungen dT kann als Summe zweier Verbesserungen щ -j- vik betrachtet werden, von denen die erste (die für alle vom Punkte i ausgehenden Richtungen die gleiche ist) die Verbesserung der astronomischen Orientierung ist, während die zweite die Verbesserung der geodätischen Bestimmung der Richtung ik ist. Die Ausgleichung kann man dann auf Grund der Minimumsbedingung:

= Minimum

ausführen, wo m der mittlere Kilometerfehler der geodätischen Bestimmung von S, mu der mittlere Fehler der astronomischen Azimutbestimmung, mv der einer geodätischen Richtungsbestimmung ist. — Die Bedingungsgleichungen können so in folgender Weise erhalten werden :

1)    für jeden Laplace sehen Punkt liefert die Elimination von A zwischen der zweiten und dritten Relation (83) eine Gleichung (erweiterte Laplace sehe Gleichung);

2)    für jedes geschlossene Polygon, das sich ergibt, wenn zwei Punkte i, к durch zwei verschiedene Polygonzüge (irk), (isk) verbunden sind, hat man drei Gleichungen, welche ausdrücken, daß die Werte

I*, Xk des Punktes к aus (83) sich in derselben Weise ergeben, wenn man (irk) oder wenn man (isk) durchläuft, oder, was dasselbe ist: man erhält zwei Gleichungen, indem man die Identität der Werte von §*, Xk für die beiden Wege aus den ersten beiden Gleichungen (83) ausdrückt. Die dritte ergibt sich aus den Laplace sehen Gleichungen für die beiden Wege. In Wirklichkeit ist diese Gleichung nichts anderes als die Polygonwinkelgleichung (ygl. Netzausgleichung in Nr. 31) für das Polygon (irksi))²³⁷). Wenn man deshalb Л Laplace sehe Punkte hat, die mit einem Laplace sehen Zentralpunkt verbunden sind, und p geschlossene Polygone, so ergeben sich im ganzen A -f- Ър Bedingungsgleichungen. Die praktischen Regeln für die numerische Aufstellung der Bedingungsgleichungen und für die Annahme der mittleren Fehler m, m , mv können hier nicht auseinandergesetzt werden; wir verweisen in dieser Beziehung auf die genannten Arbeiten von Helmert und A. Börsch und L. Krüger, wo zahlreiche Beispiele zur Illustration der Theorie vorhanden sind²³⁸). Als Resultat der Ausgleichung ergeben sich schließlich die Lotabweichungen der verschiedenen Punkte mit Ausnahme des Zentralpunktes als lineare Funktionen (mit numerisch bekannten Koeffizienten) der Größen:

-, da 7

(vgl. Helmert, Lotabw., Heft 1, § 31), wenn man absieht von den Fehlem ö H, à L' der astronomischen Längen- und Breitenbestimmung. Setzt man der Bequemlichkeit wegen r]{ anstelle von X{ cos Bi} so ergeben sich Beziehungen folgender Art:

£.■ = i +    + ci ~ + ^da +

(84)

r\i — a'i£,x -f-    ~h ct- ——f- dida -j- li,

wo а, Ъ,. ., а, Ъ',... bekannte Zahlenwerte haben.

Will man ein Ellipsoid bestimmen, das sich demjenigen Teile der Erdoberfläche, auf den sich die Triangulationen erstrecken, anschließt, so kann man als Bedingung nehmen²³⁹):

(85)

Z(i² + rj²) = Minim.,

237)    Die sogenannte Laplace sehe Gleichung ist nichts andres als die Winkelgleichung für das Dreieck, welches den Nordpol und die beiden Punkte i und к zu Ecken hat.

238)    Helmert, Lotabw., Heft 1, §§ 22—26; A. Börsch und L. Krüger, Die europ. Gradm. usw. Heft 2, Kap. 5, §§ 4—8.

239)    Es ist klar, daß man dabei die verschiedene Genauigkeit, mit der £ und 7j bestimmt sind, nicht berücksichtigt. Diese können nicht einfach wie wodurch das Problem auf die Formeln der Methode der kleinsten Quadrate zurückgeführt ist. Die Fehlergleichungen sind die Gleichungen (84), zu denen man hinzufügen muß:

% = Vv

= £i>

Angenäherte Bestimmung von Geoid-

45. Fortsetzung.

stücken. Bestimmt man die Komponenten |, rj der Lotabweichung für eine große Zahl von Punkten, so kann man dadurch näherungs-weise eine Niveaufläche in der betrachteten Gegend konstruieren. Wir betrachten eine Reihe von Punkten, die ungefähr längs einer geodätischen Linie l liegen; für einen beliebigen Punkt derselben Pf seien die Werte von |, ??. Ist a{ das Azimut von l in Pi7 so ist die Komponente der Lotabweichung in der Richtung l und im Punkte Pi ²⁴⁰) :

(86)

Гг = £< cos + щ sin ar

Nennen wir Hit Hk die Erhebungen des Geoids über dem Ellipsoid in den Punkten Pt, Pk, so hat man mit genügender Genauigkeit:

к

(87)

Hk-Ht=fydl

i

wo dl ein Element der Linie l ist. Die Integration kann man näherungsweise durch mechanische Quadratur ausführen, indem man die Entfernungen l als Abszissen und die durch (86) gegebenen Werte у als Ordinaten nimmt. Man muß natürlich den Wert von H in einem Punkte kennen, oder a priori annehmen. Die Frage hängt mit der Reduktion der Basislinien auf das Meeresniveau zusammen (Nr. 25). Die Basislinien müßten streng genommen auf das Referenzellipsoid reduziert werden, während wir sie auf das Meeresniveau reduzieren, was darauf hinausläuft, willkürlich in einem bestimmten Punkte des Triangulationsgebietes H — 0 zu setzen. Solange man indessen nur begrenzte Gebiete der Erde betrachtet, interessieren nur die relativen Werte der Höhen, und es kann deshalb die Willkür bei der Wahl des Nullpunktes für die Höhen nicht als ein Mangel der oben angegebenen Methode angesehen werden.

Beobachtungsfehler behandelt werden; die Formel (85) muß deshalb nur für den Ausdruck eines konventionellen Verfahrens angesehen werden, um dasjenige Ellipsoid zu bestimmen, das sich in der betrachteten Gegend dem Geoid am besten anschließt.

240) Man findet dies leicht aus den Entwicklungen in Nr. 7. Die Grundlage .für das analytische Studium des Geoids wurde von Bessel geliefert (vgl. Zit. unter Fußn. 228).

Wenn die Werte топ H für verschiedene Serien von Punkten in verschiedenen Richtungen⁸) bestimmt sind, so kann man die Gestalt und Lage des Geoids zum Ellipsoid in der betrachteten Gegend graphisch nach topographischer Methode oder mit Hilfe von Niveaukurven (H — konst.), wie man sie in der niederen Geodäsie zur Darstellung der Höhenverhältnisse benutzt, darstellen⁹).

Man kann auch analytische Hilfsmittel zur Bestimmung des Geoids, wenigstens in der betrachteten Gegend, heranziehen. Setzt man in einem Punkte P:

H = A₁ Av + A₂ Aw + B₁ Ay -)- 2Д,ДфДш-|- В₃АШ² -\----,

wo Ду, Д(у die Breiten- und Längendifferenzen zwischen dem Punkt P und dem Zentralpunkte mit H = 0 sind, so ergibt sich mit genügender Genauigkeit:

— Ai + ² A \ + ² A A«, H—')>

Az~\~ 2 P₂ Ay -f- 2P₃ Дш -]----)

(88)

_ J\-_dH_ Q Эф

rj =

i дн

N cos ф da

N cos ф

(q, N Hauptkrümmungsradien in P)242a).

Wendet man diese Relationen auf Punkte an, in denen |, r\ bestimmt sind, so können sie zur Bestimmung einer gewissen Zahl der Koeffizienten А, В dienen. Man benutzt auch trigonometrische Entwicklungen ¹⁰) :

H = &o + \ cos# -f- b₂ cos2x -j- • • • + ax sina; -f- a₂ sin 2x -f- • • -,

wo

bi=    -j- bi2sm2y H----,

ai = aio + <*n siny + ai2 sin 2у -|----

ist, und wo X, у geeignet gewählte Vielfache der A^, Ди sind. Aber im allgemeinen ist zu erwarten, daß diese analytischen Hilfsmittel keine besseren Resultate liefern als die oben erwähnte topographische Methode. Die lokalen Geoidstörungen sind zu sehr mit den geologischen Oberflächenverhältnissen der Erdkruste verknüpft, als daß man hoffen könnte, daß sich die Änderungen von H in einer nur einigermaßen ausgedehnten Gegend genügend durch eine einfache Formel darstellen ließen.

A. J. Y von Villarceau¹¹) hat vorgeschlagen, die Abweichungen des Geoids vom Ellipsoid durch ein doppeltes Nivellement, ein trigonometrisches und ein geometrisches, zu bestimmen; das erste gibt die Höhen der Punkte in bezug auf das Ellipsoid, das zweite in bezug auf das Geoid. Die Methode hat augenblicklich gar keine praktische Bedeutung wegen der großen Ungenauigkeit der trigonometrischen Nivellementsergebnisse, die durch die Refraktion verursacht wird. Außerdem ist zu bemerken, daß die in die Rechnung eingeführten Zenitdistanzen auf das Ellipsoid und nicht auf das Geoid bezogen sind, und deshalb ist an die beobachteten Zenitdistanzen die in Nr. 7 angegebene Korrektion anzubringen, wozu bereits eine wenigstens angenäherte Kenntnis der Lotabweichungen notwendig ist.

Von theoretischem Interesse ist auch die Methode von E. B. Christoffel¹² 13) mungsradien in jedem Punkte gegeben sind.

Von den theoretischen Untersuchungen über das Geoid nennen wir noch das Theorem von Villarceau™), das die geometrische Bedingung ausdrückt, der ein orthogonales Strahlen system genügen muß; in unserer Bezeichnungsweise kann man es schreiben:

d (tj cos qp)

zur

Bestimmung einer Fläche, wenn die Hauptkrüm-

aa

dco

Diese Bedingung müßte man berücksichtigen, wenn man die £, rj nach Potenzen von Aw entwickeln wollte. Aber sie ist schon mit genügender Annäherung berücksichtigt, wenn man bei der Bestimmung der I, q die in Nr. 43, 44, angegebenen Methoden anwendet, oder

dcp

246) Vgl. Fußnote 244, p. 412.

46. Die Schwerestörungen. 47. Anfänge der geodätischen Messungen. 223

wenn man von einem analytischen Ausdruck für H, wie oben angegeben ist, ausgeht¹⁴).

46. Die Schwerestörungen und die Abweichungen zwischen Geoid und Ellipsoid. Wie die Schwerkraftsmessungen, wenn sie sich auf die ganze Erdoberfläche erstrecken, zur Bestimmung der Abweichungen H dienen können, haben wir schon in Nr. 4 bei Gelegenheit der Formel von Stokes erwähnt; aber eine solche Formel kann augenblicklich noch nicht mit Sicherheit angewandt werden. Bestimmungen von H durch lokale Schwerestörungen sind unmöglich, wenn man nicht a priori Voraussetzungen über die geologischen Verhältnisse der Oberflächenschichten der Erde macht, da die Schwerestörung in jedem Punkte sowohl von dem lokalen Werte von H als auch von lokalen Unregelmäßigkeiten in der Konstitution der Erdrinde abhängt¹⁵). Daß diese Unregelmäßigkeiten durchaus nicht zu vernachlässigen sind, kann heutzutage als sicher bewiesen angenommen werden. Indessen sei in dieser Beziehung, was den Zusammenhang zwischen der Schwerkraft und der Erddichte betrifft, auf die Geophysik verwiesen.

III. Summarische Entwicklungsgeschichte der geodätischen

Kenntnisse.

47. Anfänge der geodätischen Messungen, bei denen die Erde als Kugel betrachtet wird. — Die Kugelgestalt der Erde wurde von den alten Griechen (Aristoteles, Archimedes, Pythagoras) aus rein metaphysischen Gründen angenommen und vor ihnen noch von den Chaldäern (vgl. Bailly, Astron. ancienne). Der erste Versuch, den Erdumfang wirklich auszumesseu, ist, soweit wir sichere Nachrichten haben, von Eratosthenes aus Cyrene (geb. 276 v. Chr.) unternommen worden. Dieser bestimmte durch Meridianbeobachtungen der Sonne den Breitenunterschied zwischen Alexandria und Syene in Ägypten zu 7° 30'; indem er dann die Entfernung der beiden Orte nach der Marschdauer zu 5000 Stadien ermittelte, fand er den Erdumfang E = 2 500000 Stadien. Posidonius (geb. 135 v. Chr.) leitete aus dem Bogen Rhodus-Alexandria, dessen Breitendifferenz er mit Hilfe der

Höhen von Kanopus bestimmte, E = 2 400 000 Stadien ab. Das von beiden benutzte Stadion ist sehr wahrscheinlich das olympische, dessen Länge von TJckert zu 570 Pariser Fuß¹⁶) (entsprechend 185 m) bestimmt ist. Es würde deshalb nach Eratosthenes der Erdquadrant sich zu 11562 km, nach Posidonius zu 11100 km ergeben. Über diese Messungen des Eratosthenes und des Posidonius hat uns Kleo-medes¹⁷°) Nachrichten hinterlassen. Eine Messung eines Meridianbogens von 2 Grad mit Hilfe von Stäben wurde von den Arabern im Jahre 827 auf Befehl des Khalifen Almamun in der Ebene von Sandjar in Mesopotamien ausgeführt. Das Messungsresultat ist in arabischen Ellen angegeben. Setzt man eine Elle¹⁸) = 0,540 m, so erhält man den Erdquadranten Q — 11 016 km.

Von der Zeit der Griechen bis 1525 liegt keine Nachricht über irgend eine in Europa ausgeführte Messung vor¹⁹). In diesem Jahre maß Fernei, ein französischer Arzt, die Entfernung Paris-Amiens, indem er die Anzahl der Umläufe eines Wagenrades zählte, und erhielt Q — 10011 km, wobei er die Breitendifferenz durch Sonnenbeobachtungen bestimmte.

ersten Mal sich der Triangu-

zum

Die modernen geodätischen Operationen wurden von Willebrord Snellius (1580—1626) eingeleitet, der lation bediente²⁰). Er berechnete den Meridianbogen zwischen den Breitenkreisen von Alkmaar und Bergen-op-Zoom in Holland (Amplitude ca. 1° 11') durch eine Kette von 33 Dreiecken, indem er die Winkel mit Hilfe eines geteilten Halbkreises von ungefähr 3% Fuß Durchmesser maß. Die Basis von ca. 1230 m Länge wurde zweimal mit einer Kette und dann mit einem Holzstab gemessen; die Breiten der beiden Endpunkte wurden mit einem Quadranten von 5% Fuß Durchmesser bestimmt. Nachdem Snellius ein astronomisches Azimut

in Leiden gemessen hatte, erhielt er die Länge des Meridianbogens, indem er eine Reihe von Dreiecksseiten auf den Meridian projizierte und dabei wie in der Ebene rechnete. Die Messungen wurden 1622 von Snellius wiederholt, und die neuen von Musschenbroek²¹) veröffentlichten Resultate ergaben Q — 10 004 km.

Es sind dann die beiden folgenden Messungen zu erwähnen: Bogen von London bis York, von B. Norwood direkt mit der Kette gemessen (1635); Bogen bei Modena, im Jahre 1645 von G. B.Biccioli und F.M. Grimaldi²²) durch eine Triangulation gemessen. Die Amplitude des Bogens wurde durch Beobachtung reziproker Zenitdistanzen erhalten, eine Methode, die zweifellos sehr bequem wäre, wenn nicht die Unsicherheit der atmosphärischen Refraktion die Resultate fast illusorisch machte²³ 24).

Auf Betreiben Ludwigs XIV. beschäftigte sich die französische Akademie in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts mit dem Studium der Erdgestalt und beauftragte J. Picard, in Frankreich den Bogen zwischen Amiens und Malvoisine (36 km südlich von Paris) zu messen. Picardm) bildete eine Kette von 13 Dreiecken, indem er von einer Basis von 5622 Toisen ausging, die in der Nähe des Südendes gemessen war. Eine Kontrollbasis von 3900 Toisen wurde bei Amiens²⁵) gemessen. Die Breiten wurden in Mal voisine, in Amiens und in Sourdon (bei Amiens) bestimmt. Auf diese Weise wurden zwei Meridianbogen erhalten: Malvoisine-Sourdon (Ampi. 1° 12') und Malvoisine-Amiens (1°23'), aus denen im Mittel die Länge eines Grades zu 57 060 Toisen folgte.

Bei diesen Messungen wurden zum ersten Mal die Winkel mit Hilfe eines Fernrohrs mit Fadenkreuz gemessen²⁶) und zum ersten Mal zur Messung der Grundlinien vier Maßstäbe (EWmaße) benutzt. Dem sphärischen Exzeß wurde keine Rechnung getragen, indem die Dreiecke als eben behandelt wurden.

Die Fortsetzung der Picardschen Messungen durch ganz Frankreich von Dunkerque bis Collioure wurde nacheinander von J. D. Cassini, J. Cassini (Sohn des Vorhergehenden), PL de Lahire, G. F. Maraldi, C. A. Couplet und J. M. de Chazelles von 1683 bis 1718 ausgeführt und lieferte einen Meridianbogen Es ergab sich aus diesen Messungen die folgende Länge für einen Meridiangrad:

von

ungefähr 8Уд⁰. ²⁷)

Aus dem Südbogen .    .    .    .    1° = 57 098 Toisen

r>

aus dem Bogen Paris-Amiens 1° = 57 060 aus dem Nordbogen .    . .    .    1° = 56 960

Die Gradlängen schienen also nach Norden abzunehmen. Dies veranlaßte die französischen Astronomen zu der Annahme, daß die Erde sich nach den Polen zu verlängere. So wurde die Abplattung der Erde durch die Resultate ungenauer geodätischer Beobachtungen in Zweifel gezogen²⁸).

48. Physikalische Untersuchungen über die Gestalt der Erde²⁹). Wichtige Einwürfe gegen die Kugelgestalt der Erde waren schon vom mechanischen Standpunkte aus erhoben worden. J. Bicher beobachtete in Cayenne (5° nördl. Br.) im Jahre 1672, daß das Pendel einer Uhr, welche von Frankreich nach dort transportiert war, langsamer als in Paris schwang und daß es um iy₄ Pariser Linie verkürzt werden mußte, um normalen Gang zu erhalten; die Schwere nahm also mit der Breite ab ³⁰). J. Newton und Ch. Huygens behaupteten, daß die

Zentrifugalkraft nicht genüge, um die beobachtete Verminderung zu erklären und daß man deshalb der Erde eine sphäroidische Gestalt mit Abplattung an den Polen zuschreiben müsse. In den Prop. 18 und 19 des dritten Buches der „Principia“²⁶⁴) von Newton, die seine Theorie der Erdgestalt auf Grund der allgemeinen Anziehung enthalten, stellt er sich die Aufgabe, zu berechnen, wieviel der flüssige Teil der Erde am Äquator höher sein müsse als an den Polen, damit die Meere im Gleichgewichte seien (Prop. 18). Von diesem Gesichtspunkte aus denkt er sich zwei Kanäle, welche von der Oberfläche zum Erdmittelpunkt gehen, der eine längs eines Äquatorradius, der andere längs einer polaren Halbachse, und stellt dann unter der Voraussetzung, daß die Erde homogen sei und ellipsoidische Gestalt habe, die Bedingung auf, daß das Gesamtgewicht der beiden Kanäle dasselbe sei. In moderner Sprache kann man den Gedankengaug Newtons so wiedergeben: Die Anziehung eines homogenen Rotationsellipsoids von der Abplattung в auf das eine Ende der kleinen Achse steht zur Anziehung auf einen Äquatorpunkt²⁶⁵) in dem Verhältnis

^1 -j- -|-j : 1 und deshalb verhält sich die Schwere am Pol zu der Äquator wie (l + ■£) : (l - ~) , wobei ^

das Verhältnis zwischen der Zentrifugalkraft und der Schwere am Äquator ausdrückt.

Wenn man sich den polaren und den äquatorialen Radius in die gleiche Anzahl gleicher Teile zerlegt denkt, so ist das Verhältnis der Schwerkraft in zwei entsprechenden Punkten dasselbe, weil für zwei ähnliche homogene Ellipsoide die Anziehungen auf homologe Punkte sich wie die linearen Dimensionen verhalten und weil andererseits die Zentrifugalkraft der Entfernung vom Mittelpunkte proportional ist. Deshalb verhalten sich die totalen Drucke der beiden Kanäle auf ihren

Damit dieses Ver-

am

Schnittpunkt wie ^1 -f-    : ^1

= 1 sei, muß s = ^ • 1 ¹    4

hältnis

8э) ‘ C¹ + *)•

sein²⁶⁶). In Prop. 20 be-

289 = Ca' 280

rechnet Newton das Gesetz für die Änderung der Schwerkraft vom Pol zum Äquator unter der Bedingung, daß man gr — konst, habe,

264)    Prop. 18 lautet: Axes planetarum diametris quae ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse. Prop. 19: Invenire proportionem axis planetae ad diametros eisdem perpendiculares.

265)    Die höheren Potenzen von e außer der ersten sind vernachlässigt.

266)    Newton (Principia, liber III, prop. 20) behauptet zu unrecht, daß die Abplattung, wenn die Erddichte nach innen wachse, größer sein müsse als im Falle einer homogenen Erde. A. C. Clairaut hat auf den Fehler Newtons aufmerksam gemacht (De la figure de la terre etc. Paris 1743, 2. Teil, §§ 35 u. 50).

wenn g die Schwerkraft am Ende des Halbmessers r bedeutet. Aus dieser Bedingung, die theoretisch ungenügend ist, leitet er ein wenigstens bis auf Größen zweiter Ordnung richtiges Resultat ab, nämlich g = g₀(l s • sin² cp), eine Näherungsformel, durch welche die Schwerkraft unter der Annahme eines homogenen Ellipsoides ausgedrückt ist. Gh. Huygens³¹) fand unter der Voraussetzung, daß die Anziehungskraft nach dem Mittelpunkt der Erde gerichtet sei, die Abplattung zu • Er benutzt bei seinen Überlegungen zwei Kanäle, von denen der eine äquatorial, der andere beliebig gelegen ist, und nimmt an, daß die Anziehungskraft konstant sei, bemerkt aber dann, daß man zu demselben Gesetze gelange, wenn man annähme, sie ändere sich dem Newtonsch&n. Gesetze entsprechend.

A. C. Clair aut hat gezeigt, daß die Rechnung von Huygens darauf hinausliefe, die Erdmasse im Mittelpunkt sich kondensiert zu denken.

Newton hat a priori das Rotationsellipsoid als Gleichgewichts-figur angenommen, J. Stirling³²) dagegen ging lediglich von einer homogenen rotierenden Flüssigkeitsmasse aus. Er stellte als Gleichgewichtsbedingung die Forderung auf, daß die Resultante der Anziehungskraft und der Zentrifugalkraft in Punkten der freien Oberfläche normal zu ihr stehen müsse³³), und bewies so, daß in erster Annäherung das abgeplattete Rotationsellipsoid in der Tat Gleichgewichtsfigur sein kann³⁴ 35). Ferner bestimmte er das Verhältnis zwischen der Abplattung und der Winkelgeschwindigkeit.

C. Mac Laurin2n) konnte auf Grund seiner Entdeckungen über die Anziehung von Ellipsoiden die genaue Beziehung zwischen der Exzentrizität und der Rotationsgeschwindigkeit für eine homogene rotierende Flüssigkeitsmasse feststellen. T. Simpson³⁶) zeigte dann, daß für jede gegebene Winkelgeschwindigkeit nicht nur ein, sondern zwei Rotationsellipsoide den Gleichgewichtsbedingungen genügen³⁷).

Clairaut™) studierte außer dem Fall eines homogenen Planeten auch den eines solchen, der aus festen, homogenen, von Kugelschalen wenig abweichenden Schichten von verschiedener Dichte zusammengesetzt und von einer homogenen Flüssigkeit umgeben ist. Ferner betrachtete er einen flüssigen Planeten, der von homogenen, annähernd sphärischen Schichten von verschiedener Dichte gebildet wird. Für beide Fälle zeigte er, daß das Ellipsoid Gleichgewichtsfigur sein kann und gab die Differentialgleichung an, welche die Änderung der Elliptizität der verschiedenen Schichten bestimmt, wenn das Gesetz der Änderung der Dichte bekannt ist. In der Abhandlung „An inquiry concerning the figure of such planets etc.“ stellte er zum ersten Male das berühmte Clairautsche Theorem auf (vgl. 4, § 5 dieser Abhandlung) ²⁷⁵).

A. M. Legendre™) zeigte durch Benutzung der von ihm erfundenen Koeffizienten Pn (Kugelfunktionen), daß die einzige Gleichgewichtsfigur für eine homogene, um eine Achse rotierende Flüssigkeitsmasse das Rotationsellipsoid ist, wenn man annimmt, daß die Oberfläche wenig von einer Kugel verschieden ist. Aber der Beweis von Legendre setzt a priori voraus, daß die Oberfläche eine Rotationsfläche ist; diese willkürliche Beschränkung wurde von P. S. Laplace™) aufgehoben. Es ist indes zu zwei Rotationsellipsoide als Gleichgewichtsfiguren existieren können und daß diese

Ellipsoide reell sind, falls die Größe v = —^— <( 0,2246 (oj — Winkelgeschwindigkeit,

ç = Dichte, к — Attraktionskonstante). Schließlich behauptete K. G. J. Jacobi (Ann. Phys. Chem. 33 (1834), p. 229), daß auch ein Ellipsoid mit drei ungleichen Achsen Gleichgewichtsfigur sein kann und daß die dritte Achse und die Winkelgeschw. bestimmt sind, wenn man zwei Achsen willkürlich annimmt. J. Liouville (J. écol. polyt. 23 (1834), p. 289) gab den Beweis dafür und C. 0. Meyer (J. f. Math. 24 (1842), p. 44) zeigte, daß für jeden gegebenen Wert der Winkelgeschwindigkeit außer den beiden bekannten Rotationsellipsoiden als Gleichgewichtsfigur ein einziges dreiachsiges Ellipsoid existiert, wenn das Verhältnis v kleiner als 0,1871 ist. Im Falle der Erde ist v — 0,0023 und die drei Achsen des Jacobiechen Ellipsoides stehen im Verhältnis 1:1,02:19,57, wobei die kleinste Achse die Rotationsachse ist. Vgl. auch Liouville, J. de math. 16 (1851), p. 241.

274)    Theorie de la figure de la terre etc., Paris 1743.

275)    London Phil. Trans. 40 (1738), p. 277. In Wirklichkeit gibt der Satz von Clairaut eine Beziehung zwischen dem relativen Anwachsen der Schwere vom Äquator zum Pol, der wahren Abplattung und derjenigen Abplattung, welche der Hypothese einer homogenen Erde entsprechen würde. Setzt man für die letztere ⁵/₄ des Verhältnisses zwischen Schwerkraft und Zentrifugalkraft, so hat man den Satz von Clairaut in der bekannten Form.

276)    Paris Mém. Acad. 1784 (1787), p. 370. Nach Todhunter geht diese Abhandlung der von Laplace von 1782 voraus.

277)    Paris Mém. Acad. 1782 (1785), p. 113; vgl. auch Méc. cél., t. 2, livr. 3,

16

Encyklop. d. math. Wissensch. VI 1.

bemerken, daß die Rechnung von Legendre sich nicht wie die von Laplace auf Glieder beschränkt, welche die erste Potenz der Abplattung enthalten. Legendre²⁷⁸) dehnte dann den Beweis auf den Fall eines festen Planeten aus, der aus homogenen, ähnlichen Schichten zusammengesetzt ist und auf den eines flüssigen, aus ellipsoidischen Schichten aufgebauten Planeten. Laplace bewies in der Méc. cél.²⁷⁹), daß das Rotationsellipsoid in zwei Fällen Gleichgewichtsfigur ist:

1.    für einen homogenen,

2.    für einen flüssigen, nicht homogenen Planeten, wenn die Dichte von innen nach außen abnimmt und die Flächen gleicher Dichte wenig von Kugeln sich unterscheiden²⁸⁰).

49. Die wichtigsten geodätischen Messungen bis 1860. Nach dieser Abschweifung wenden wir uns jetzt dazu, die hauptsächlichsten Gradmessungen aufzuzählen.

Die Resultate der französischen Messungen, die von J. Cassini von 1716 bis 1733 veröffentlicht wurden, und die theoretischen Untersuchungen von Newton teilten die wissenschaftliche Welt in zwei Lager, von denen das eine für ein verlängertes, das andere für ein abgeplattetes Ellipsoid eintrat²⁸¹). Die Frage wurde auf Veranlassung der französischen Akademie durch eine geodätische Doppelexpedition nach Peru und Lappland gelöst. P. L. M. Maupertuis³⁸ 39 40 41), A. C. Clairaut und andere maßen in Lappland (1736—37) den Meridianbogen zwischen Kittis und Tornea (Ampi. ca. 57,5'), während P. Bouguer, C. M. de la Condamine und L. Godin²⁸⁹) in der Gegend der heutigen Republik Ecuador den Bogen zwischen Cotchesqui und Tarqui (Ampi. 3° 7') maßen (1735—41). Wertvolle Fortschritte bei diesen Messungen waren: chap. 4. Za denselben Resultaten im Falle einer rotierenden Flüssigkeitsmasse gelangten auch J. L. d’Alembert und J. Ivory, aber auf unbefriedigendem Wege (vgl. Todhunter, History §§ 75, 1422, 1430).

278)    Paris Mém. Acad. 1789 (1795), p. 372.

279)    Vol. 2, livre 3, chap. 4.

280)    Für den ersten Fall gab Laplace außer dem Beweise mit Hilfe der Kugelfunktionen noch einen anderen, wenig befriedigenden, welcher dann von

J. Liouville und S. D. Poisson so umgeformt wurde, daß er einwandfrei war (J. de math. 2 (1837), p. 286).

281)    Über die Geschichte dieses Streites vgl. Todhunter, History 1, cap.

3, 4, 7.

der Gebrauch von Mikrometern für die Ablesung der Kreisleitungen, eine genauere Kenntnis der Sternpositionen und eine größere Genauigkeit bei den Basismessungen. Die beiden Expeditionen stellten die Abplattung der Erde außer Zweifel, obgleich der aus ihren Messungen abgeleitete Abplattungswert⁴²) = —— ziemlich stark von dem wirklichen abweicht.

Wir erwähnen dann in Italien ausgeführte Messungen, wo R. G.Bos-covich und C. A. Lemaire einen Bogen zwischen Rom und Rimini⁴³) (1751—53), G. B. Beccaria⁴⁴) einen solchen zwischen Mondoyi und Andrate (in der Nähe von Ivrea) (1762—64), mailändische Astronomen in der Lombardei maßen (1788). Später wurden die Triangulationen von Piemont und der Lombardei zugleich mit den französischen (1821—23) und denen des Kirchenstaates in Angriff genommen und im Osten bis nach Dalmatien und im Süden bis nach Genua ausgedehnt⁴⁵).

Lacaüle⁴⁶) maß 1750 einen Meridianbogen von ca. 1° 13' Ampi, am Kap der guten Hoffnung (die Messung wurde erweitert und revidiert von Maclear 1836—48). — Gh. Mason und J. Dixon⁴⁷ 48) maßen in den Vereinigten Staaten von Nordamerika direkt (ohne Triangulierung) im Jahre 1764 einen Bogen von 1° 29' längs der Grenze zwischen Maryland und Delaware. Eine systematische Aufnahme der Atlantischen Küste in den Vereinigten Staaten wurde 1816 von F. B. Hassler begonnen.

Im Jahre 1790 schlug Talleyrand der gesetzgebenden Versammlung vor, daß ein Maßstab prototyp ²⁹°) studiert würde, welches aus der

16*

Länge des Sekundenpendels abzuleiten sei. Eine aus J. C. Borda, J. L. Lagrange, P. S. Laplace, G. Monge und M. de Condorcet bestehende Kommission beschäftigte sich mit dem Vorschläge und zog als Längeneinheit den 100000008ten Teil des Meridianquadranten vor²⁹¹), dessen Länge aus der eines Meridiangrades unter 45° Breite abgeleitet werden sollte²⁹²). Sie beauftragte dann J. B. J. Delambre und P. F. A. Me'chain, einen Bogen von ungefähr 9У₂°, von Dünkirchen bis Barcelona, zu messen. Umgeben von vielen Schwierigkeiten, die durch die französische Revolution verursacht wurden, führten die beiden Astronomen von 1792 bis 1798 die angegebene Messung aus²⁹³), indem sie die Triangulationen auf zwei Grundlinien aufbauten (Melun bei Paris und Perpignan). Sie benutzten für die Basismessungen den bimetallischen Apparat von J. C. Borda und für die Winkelmessungen den Repetitionstheodoliten von E. Lenoir²⁹⁴). Die Kommission, welche die Ergebnisse dieser Messung mit denen der peruanischen Expedition kombinierte, fand für die Abplattung den Wert —- und setzte die Länge des Meters zu 443,296 Pariser Linien fest²⁹⁵). Im Jahre 1803 wurde Me'chain beauftragt, den französischen Bogen bis zu den Balearen zu verlängern. Diese Messungen wurden dann von 1807—08 von J. B. Biot und D. F. J. Arago berechnet, die auch zahlreiche Schwerkraftsmessungen in Spanien, Frankreich und Schottland ausführten²⁹⁶).

In England waren bereits seit Mitte des Jahrhunderts Vermessungsarbeiten unter General Boy im Gange, als 1783 C. F. Cassini

J. Picard konstruierte einige Jahre nachher (vgl. Gore, Geodesy, p. 53) ein Sekundenpendel, das er „rayon astronomique“ nannte und dessen 4. Teil er als Längeneinheit vorschlug. J. Cassini (1718) empfahl als Längeneinheit den 10 000 000Bten Teil des Erdradius.

291)    Paris Mém. Acad, pour 1788 (1798), p. 7; das Datum des Berichtes ist in Wirklichkeit der 19. März 1791.

292)    Der Meridiangrad unter 45° Breite unterscheidet sich sehr wenig von dem 90. Teile des Quadranten; die Differenz kann auch mit einem angenäherten Abplattungswert genügend genau berechnet werden.

293)    Méchain et Delambre, Base du système métrique décimal ou mesure de l’arc du méridien compris entre les parallèles de Dunkerque et Barcelona, Paris 1806—10. Es interessiert besonders in historischer Beziehung der „discours préliminaire“.

294)    Der erste Theodolit mit vollständigem Kreise ist 1770 von J. Bamsden, und der erste Repetitionstheodolit 1785 von J. C. Borda gebaut worden {Gore, Geodesy, p. 139).

295)    Zitat von Fußnote 294, p. 94.

296)    Biot et Arago, Recueil d’observations géodésiques et astron. et phys. etc., Paris 1821; vgl. ferner: L. Puissant, Paris Mém. Acad. 14 (1833), p. 1 (veröffentlicht 1838).

de Thury die geodätische Verbindung der beiden Observatorien von Greenwich und Paris vorschlug, die von ihm 1787—90 ausgeführt wurde⁴⁹). In den Jahren 1800—02 maß W. Mudge den Bogen von Dunnose (50° 37' n. Br.) bis Clifton (53° 27' n. Br.). Die gesamte Zwischentriangulation von Dunnose bis Saxavord (Shetlands-Inseln) wurde unter der Leitung von H. James in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts wiederholt und die Resultate 1858 publiziert⁵⁰). Besonders erwähnenswert sind die von den Engländern in Ostindien ausgeführten Arbeiten*, W. Lambton von 1800—1823 und G. Everest von 1823—1842 beendigten den großen Meridianbogen von 21°, welcher vom Kap Comorin bis zum Himalaya reicht. Danach wurde unter der Leitung von Waugt und nach ihm von J. T. Walker eine große Triangulation längs vier Meridianen und drei Parallelkreisen ausgeführt. Die Hauptketten der Triangulation hatten eine Länge von ca. 17 300 km⁵¹).

In Preußen wurde die Triangulation im Jahre 1805 begonnen. Ein Parallelkreisbogen Seeberg-Dünkirchen wurde 1817 von F. F. K. V. Müffling berechnet; 1820 begann C. F. Gauß die Verbindung von Göttingen mit Altona (Ampi. 2° 1'), wobei er das Heliotrop benutzte und die Netze nach der Methode der kleinsten Quadrate ausglich⁵²).

Etwas vor Gauß wurde eine Gradmessung von 1° 32' Ausdehnung von H. G. Schumacher⁵³) im Süden Schleswig-Holsteins ausgeführt. Gegen die Mitte des Jahrhunderts wurde die dänische Triangulation von C. G. Andrae erweitert und berechnet⁵⁴ 55). Im Jahre 1820 zeigte J. M. Schwerd⁵⁶) auf praktischem Wege durch eine kleine Triangulation in der Pfalz bei Speier, wie man in zweckmäßiger Weise kleine Grundlinien benutzen kann.

Im Jahre 1831 wurden von Bessel und Baeyer die klassischen Arbeiten in Ostpreußen begonnen⁵⁷). Bei ihnen wurde die Methode der Richtungsmessung von F. G. W. Struve und der bekannte Basisapparat von Bessel benutzt.

Auf der skandinavischen Halbinsel wiederholte und erweiterte J. Svanberg so5) im Jahre 1801 die Triangulation von P. L. M. de Maupertuis. In Rußland begannen systematische Vermessungsarbeiten im Jahre 1726 unter der Leitung von J. N. Delisle, der von Peter dem Großen berufen war. Der große russisch-skandinavische Bogen⁸⁰⁶) von der Donaumündung bis zum Eismeer (Hammerfest) von ca. 25° 20' Ampi, wurde von 1816—50 gemessen; zum größten Teile unter der Leitung von F. G. W. Struve und G. Tenner, auf der norwegischen Seite unter Hansteen und Selander. Die Triangulation besteht aus 259 Dreiecken und stützt sich auf zehn Grundlinien. Im Jahre 1860 wurde in Rußland die Messung des großen Parallelkreisbogens unter 52° Breite begonnen. Ein Parallelkreisbogen in der Breite von 45° wurde 1811 von den Franzosen begonnen und in der Folge mit den Arbeiten in Piemont und in der Lombardei verbunden, so daß ein durchgehender Bogen von der Mündung der Gironde bis nach Fiume entstand⁵⁶ 58 59 60 61).

50. Die hauptsächlichsten Berechnungen der konstanten des Erdellipsoids. J. B. Listingш) hat die numerischen Resultate der hauptsächlichsten Berechnungen der Konstanten des Erdellipsoids, die von 1800 bis auf seine Zeit ausgeführt waren, zusammengestellt. Er gibt die Resultate von J. B J. Delambrem) (1810), H. J. Walbeck (1819; die Rechnung stützt sich auf die Methode der kleinsten Quadrate⁶²)), J. K. E. Schmidt (1830), G. B. Airy (1830), F. W. Bessel (1841), G. Everest (1847), H. James und A. Ii. Clarke (1858). Bessel benutzte den peruanischen, den ersten und zweiten Meridianbogen in Ostindien, den französischen, englischen, hannoverschen, dänischen, preußischen, russischen und schwedischen Bogen (Summe der Amplituden der Meridianbogen 50° 34', Zahl der beobachteten Breiten 38). James und Clarke benutzten neun Meridianbogen: den englischen mit 10° 56' Ausdehnung (mit Einschluß der Verbindung mit Frankreich), den französisch-spanischen (von Formentera bis Dünkirchen), den russisch-skandinavischen, zwei indische Bogen, den peruanischen, den preußischen, hannoverschen und dänischen (Summe der Amplituden 78° 36', Anzahl der astronomischen Stationen 67). Bei einer ersten Rechnung benutzte Clarke einen nicht elliptischen Meridian⁶³), dessen Krümmungsradius als Funktion der Breite cp er durch die Formel⁶⁴ 65) darstellte:

cp = A -f- 2В cos 2 cp -j- 2C cos 4 cp.

Bei einer zweiten Rechnung setzte er den Meridian elliptisch vor-

313

aus

T. F. V. Schubert⁶⁶ 67 68 69) hat 1859

zum ersten Male die Rechnung unter Voraussetzung eines dreiachsigen Ellipsoids ausgeführt; die Abplattungen der beiden Hauptmeridiane ergaben sich zu 1 : 292,109 und 1 : 302,004. Clarke hat 1866 die Rechnung ebenfalls für ein dreiachsiges Ellipsoid durchgeführt. Ph. Fischer leitete 1868 die Abplattung nur aus Schwerkraftsmessungen ab und die große Achse aus dem englisch-französischen Bogen. Von neueren Rechnungen auf Grund der Hypothese des Rotationsellipsoides sind die von A. B. Clarkeslb) (1880), A. BonsdorffUG) (1890) und A. Shdanowsn) (1894)

zu nennen.

E. Pergola³¹⁸') hat 1874—75 ein Rotationsellipsoid unter der Voraussetzung bestimmt, daß die Achse der täglichen Umdrehung durch den Mittelpunkt des Ellipsoids gehe, aber nicht mit der Figurenachse Zusammenfalle. Indessen verbessert die Einführung einer solchen Hypothese die Übereinstimmung zwischen Theorie und Beobachtung nicht wesentlich, und die mittleren Fehler in der Bestimmung der beiden Koordinaten, welche die Lage des Rotationspols bezüglich des Pols der Figurenachse festlegen, sind so beträchtlich, daß man eine wirkliche Verschiedenheit der beiden Achsen nicht als erwiesen an= sehen kann³¹⁹).

Am meisten benutzt werden das Bessel sehe und das Clarkesehe

Ellipsoid von 1880, deren Konstanten zum Vergleich hier nebeneinander gestellt seien:

Besselsches Ellipsoid

6 377 397 m 299,153 10000 856 m

Clarkesches Ellipsoid (1880)

6 378 180 m 293,465 10001871 m

Halbe große Achse Reziproke Abplattung Meridianquadrant

51. Bestimmung der Abplattung aus Pendelmessungen. Jér. de Lalande³²°) leitete 1785 unter Benutzung des Clairautschen Theorems die Abplattung aus den bis dahin bekannten Schwerkraftsmessuugen zu — ab. Aus einer Tabelle von W. Harkness³²¹) leiten wir die folgenden Ausdrücke für die Länge des Sekundenpendels (in Metern) ab, die sich aus den hauptsächlichsten bis dahin bekannten Rechnungen

ergeben. Hinzugefügt sind die Werte der reziproken Abplattung —, welche aus der Anwendung des Clair mischen Theorems folgen.

Laplace (1799) L — 0,990631 -f- 0,005637 sin cp -i- = 336 Mathieu (1816)

Biot (1821)

Sabine (1825)

Saigey (1827)

Pontecoulant (1829)

Airy (1830) '

Poisson (1833)

JJnferdinger (1869)

Helmert (1884)

0743

0880

0977

1026

0555

1017

0941

0970

0918

5466

5340

5142

5072

5679

5087

5142

5185

5262

317

305

287

282

341

283

287

291

297,8

318)    Napoli Acc. sei. fis. mat. 6 (1875), n° 10; 7 (1878), n° 7.

319)    Ibid., p. 25 u. 26.

320)    Paris Mém. Acad, pour 1785 (1788), p. 1.

321)    The solar parallax and its related constants, Washington 1891, p. 8.

¹

   Die elementaren Formeln für die Ableitung von a und e aus Erdbogen

²

Siehe: N.Jadanza in Torino Atti Accad. 19 (1887), p. 990; G.deBerar-dinis, Alcune formole per calcolare un arco di parallelo terrestre, Messina 1890.

229a) Schon zu Beginn des vorigen Jahrhunderts beschäftigte sich W. Lambton mit der Bestimmung eines lokalen Ellipsoids, das am besten geeignet wäre, die Resultate der englichen Messungen darzustellen [An account of the measurement of an arc of the meridian etc., Asiatic Researches 8 (1805), p. 137].

³

   Der Gedanke, die Lotabw. an den beiden Enden eines geodätischen Bogens mit den wahrscheinlichsten Verbesserungen der Konstanten a und e des Ellipsoids in Einklang zu bringen, ist von Bessel analytisch entwickelt, Astr. Nachr. 14 (1887), p. 269, §§ 8 und 9; vgl. auch C. G. Andrae, Problèmes de haute géodésie, 3e cah.

⁴

   Lotabw. Heft 1, Berlin 1886. Wegen der weiteren Behandlung des Problems vgl. Helmert, H. G. 1, p. 533—562. Vgl. ferner: Die Europ. Längengradmessung in 52 Grad usw., Heft 1 und 2, 1893—96 ; L. Krüger, Beiträge zur Berechnung von Lotabweichungssystemen, Potsdam 1898; A.Börsch und L. Krüger, Lotabweichungen, Heft 2, Berlin 1902; A. Börsch, Lotabweichungen, Heft 3, Berlin 1906.

⁵

   Diese vorläufigen Werte können innerhalb gewisser Grenzen noch beliebig angenommen werden; wenn sie sich ändern, ändern sich S, T und die Schlußformeln (83) bleiben dieselben.

⁶

   Diese Beziehungen sind von Helmert in H. G. 1, p. 282—294 angegeben, indem er die reduzierte Länge von E. B. Christoffel benutzte.

⁷

Indem man , X. in den Gleichungen (83) bezüglich der Seite г Je und den analogen bezüglich der Seite li eliminiert, hat man drei Gleichungen zwischen

£l 1 hl èk V Ajf

⁸

   Es ist natürlich notwendig, daß eine Linie vorhanden ist, welche alle anderen kreuzt, damit man alle H von einem einzigen Ausgangspunkte (H = 0) ableiten kann.

⁹

   Als Beispiel einer Bestimmung von Profilen oder von ebenen Schnitten des Geoids vgl. bei Helmert (H. G. 1, p. 568) die Bestimmung eines Meridianprofiles in der Harzgegend; ferner vgl. Int. Erdm. 1888, p. 19 (und die beigegebene Karte). Die topographische Darstellung des Geoids ist von C. G. Andrae (Problèmes de haute géodésie, 3me cahier, p. 53) für die Gegend des Harzes und des Thüringer Waldes auf Grund der Lotstörungen £ und unter Annahme einer willkürlichen Hypothese bezüglich der Werte 1 längs eines Parallels versucht worden. Pomerantzeff hat eine solche Darstellung für das Gebiet zwischen den Flüssen Kara- und Syr-Darja in Zentralasien (zw. den Br. 40° 15' und 41° 15' und d. L. 39°30' und 42°25' östl. von Pułkowa) angegeben. Die Abhandlung von Pomerantzeff findet sich in rassischer Sprache in den Denkschr. der Milit.-topogr. Abteilg. des Generalstabs, St. Petersburg 1897, p. 76; ein Auszug aus ihr in: Bull. astr. 14 (1897),. p. 479. Bezüglich der Bestimmung begrenzter Teile des Geoids vgl. Helmert, Zit. der Fußnote 39, ferner die Zitate zu Nr. 53.

242a) Beispiel hierzu James and Clarke⁶²).

¹⁰

   Bessel, Zit. der Fußn. 228, § 10.

¹¹

   J. de math. 18 (1873), p. 393.

¹²

   J. f. Math. 64 (1864), p. 193; V. Bema [Rom. Accad. Lincei (5) 2 (1893), p. 287] hat eine Methode zur Bestimmung der Hauptkrümmungsradien an

¹³

gegeben.

¹⁴

   Bezüglich der geodätischen Rechnungen auf einer Oberfläche, die sich wenig vom Ellipsoid unterscheidet, vgl. P. S. Laplace, Méc. cél. 2, 3. Buch, § 38; BesselL. Puissant, Traité de géodésie; E. F. Minding, J. f. Math. 44 (1852), p. 66; James and Clarke, Ordn. trigon. survey etc., p. 609 ff.; O. Bonnet, Ann. di mat. 2 (1859), p. 46, 113, 180; E. Pucci, Ann. di mat. (2) 14 (1886), p. 199.

¹⁵

   Helmert, H. G. 2, p. 261, Formel (10).

¹⁶

   L. Posch, Breitengradmessungen, p. 26. Vgl. darin auch den Anhang: Über die französische Stadienhypothese.

¹⁷

   De motu circulari corporum coelestium, Leipzig 1891, lib. I, cap. X. Kleomedes spricht noch von einer anderen Messung, die von Posidonius ausgeführt wurde, aber J. S. Bailly (Astron. moderne, p. 163) bezweifelt ihre Echtheit.

¹⁸

   Die Länge der arabischen Elle wurde auf Grund hydrometrischer Messungen am №1 bei Kairo bestimmt (Jordan, Handbuch 3, p. 4).

¹⁹

   Bezüglich der Anschauungen, die im Mittelalter über die Gestalt der Erde Geltung hatten, vgl. Bailly, Astron. ancienne; Gore, Geodesy; ferner G. Marinetti, La geografia e i padri della Chiesa, Roma 1882 (aus dem Italienischen übersetzt, Leipzig 1884); S. Günther, Studien zur Geschichte der math, und phys. Geographie, Halle 1877.

²⁰

   W. Snellius van Boijen, Eratosthenes Batavus, seu de terrae ambitus quantitate vera suscitatus, Lugduni Batavorum 1617.

²¹

   Physicae, experimentales et geometricae dissertationes, Leyden 1729.

²²

   F. X. von Zach, Corresp. astron. 2 (1819), p. 115.

²³

   F. Maurolico schlägt 1543 vor, den Erddurchmesser aus der Länge der Tangente abzuleiten, die von einem Punkte in bekannter Höhe an die sichtbare Erdkugel gezogen ist; T. W. Wright (ungef. 1595) führte in England eine Messung aus, die sich auf eine etwas verschiedene Methode gründet, indem er nämlich die Horizontaldepression eines Punktes von bekannter Höhe beobachtete (vgl. O. Zanotti-Bianco, Sopra una vecchia e poco nota misura del semidiametro terrestre, Turin 1894).

²⁴

   J. Picard, La mesure de la terre, Paris 1671; später aufgenommen in: Paris Mém. Acad. 1718 (1720), 2e partie, p. 1.

²⁵

   Mit Unrecht schreibt man der peruanischen Expedition von 1735 das Verdienst zu, zum ersten Mal eine Kontrollbasis gemessen zu haben.

²⁶

   Der Quadrant von Picard war in Wirklichkeit mit 2 Fernrohren versehen, von denen das eine gegen das andere beweglich war wie bei den späteren ićepeżiUoHsinstrumenten von J. C. Borda.

²⁷

   J. Cassini, Traité de la grandeur de la terre et de sa figure, Paris Mém. Acad. 1718 (1720), p. 1. Die Messungen wurden von C. F. Cassini de Thury und N. L. de Lacaille (1739—40) wiederholt. Vgl. C. F. Cassini de Thury, Paris Mém. Acad. 1740 (1742), p. 276.

²⁸

   Nach Todhunter, History § 76 erscheint die Hypothese des verlängerten Erdsphäroids, aus Gradmessungen abgeleitet, zum ersten Male hei J. Eisenschmidt, Diatriba de figura telluris, Straßburg 1691. J. Cassini stellte diese Hypothese auf in: De la figure de la terre, Paris Mém. Acad. 1713 (1739), p. 187. Auch die Messungen von Parallelkreisbogen durch J. und C. F. Cassini (1733—35) schienen die Verlängerung der Erde an den Polen zu bestätigen (Todhunter, History §§ 215, 224, 226).

²⁹

   Wir beschränken uns darauf, einige mathematisch-physikalische Untersuchungen anzuführen, die mit dem Problem der Erdgestalt in direkter Beziehung stehen. Vgl. dazu: Todhunter, History und O. Zanotti-Bianco, Il problema meccanico della figura della terra, Turin 1880—85.

³⁰

   Bezüglich weiterer Pendelbeobachtungen in jener Zeit vgl. Todhunter, History 1, Kap. 3.

³¹

   Traité de la lumière avec un discours sur la cause de la pesanteur, Leyden 1690.

³²

   On the figure of the earth and the variation of gravity on the surface, Lond. Phil. Trans. 39 (1735), p. 98.

³³

   Huygens hatte eben dieses Prinzip aufgestellt, zog es aber dann vor, die Methode der Kanäle zu benutzen.

³⁴

   Clairaut bewies dasselbe unabhängig von Stirling, Lond. Phil. Trans. 40 (1737), p. 19.

³⁵

   A treatise on fluxions etc., London 1742.

³⁶

   A mathematical dissertation on the figure of the earth, London 1743.

³⁷

   Dasselbe wurde von J. L. d’Alembert bewiesen (Opusc. math. 46), der in allgemeinerer Weise zeigte, daß eins der beiden Ellipsoide instabil ist. P. S. Laplace (Méc. cél. liv. 3, chap. 3) bewies, daß in Wirklichkeit nicht mehr als

³⁸

   P. L. M. Maupertuis, La figure de la terre déterminée par les observations au cercle polaire, Amsterdam 1738.

³⁹

   P. Bouguer, La figure de la terre dét. par les observ. aux environs de

⁴⁰

l’équateur, Paris 1749; C. M. de La Gondamine, Mesure des trois premiers degrés

⁴¹

du méridien dans l’hémisphère austral, Paris 1751.

⁴²

   La Condamine, Zitat der vorigen Fußnote, p. 260.

⁴³

   C. A. Lemaire und R. G. Boscovich, De litterariae expeditione per ponti-ficiam ditionem ad dimetiendos duos meridiani gradus, Romae 1755.

⁴⁴

   Beccaria, Gradus Taurinensis, Aug. Taurinorum 1774.

⁴⁵

   J. Reggio, De mensione basis habita anno 1788 etc., Etfem. astr. di Milano 1794; F. Carlini, G. A. A. Plana und Сатрапа, Opérations géodésiques et astr. pour la mesure d’un arc du parallèle moyen en Piemont et Savoye, Milan 1825. Wegen anderer italienischer Gradmessungen vgl. man v. Zach, Corr. astr. 1 (1818), p. 17; 2 (1819), p. 240.

⁴⁶

   N. L. de Lacaille, Journal historique du voyage fait au Cap de Bonne Espérance, Paris 1763; vgl. auch Paris Acad. Mém. pour 1751 (1755), p. 398; T. Maclear, Verification and extension of Lacailles arc of the meridian at the Cap of G. H., London 1866.

⁴⁷

   Lond. Phil. Trans. 58 (1768), p. 270.

⁴⁸

   Der Gedanke, als Einheit des Längenmaßes einen aliquoten Teil des Meridians zu benutzen und der, das Sekundenpendel als Prototyp zu nehmen, scheinen von G. Mouton (1660) ausgegangen zu sein (vgl. Gore, Geodesy, p. 47).

⁴⁹

   W. Boy, Lond. Phil. Trans. 80 (1790), p. 111.

⁵⁰

   H. James and A. B. Clarke, Ordnance trig, survey etc., London 1858.

⁵¹

   J. T. Walker, Account of the operations of the great trigon. survey of India, Dehra-Dun 1870—83, 1—9. Eine gute Übersicht der Resultate dieser Arbeiten findet man in Walker, Lond. Phil. Trans. 186 (1895), p. 745.

⁵²

   Gauß, Werke 9, p. 5.

⁵³

   V. Zachs Corresp. astr. 1 (1818), p. 266.

⁵⁴

   C. G. Andrae, Den Danske Gradmaaling, Kopenhagen 1867—78.

⁵⁵

   J. M. Schwerd, Die kleine Speierer Basis usw., Speier 1822.

⁵⁶

   Vgl. Gore, Geodesy, p. 168.

⁵⁷

   F. W. Bessel und J. J. Baeyer, Gradmessung in Ostpreußen und ihre Verbindung mit preußischen und russischen Dreiecksketten, Berlin 1838 (= Bessel, Abh. 3).

⁵⁸

   F. G. W. Struve, Arc du méridien de 25° 20' entre le Danube et la Mer glaciale mesuré depuis 1816 jusqu’en 1850 etc., St. Pétersbourg 1857—60.

⁵⁹

   Carlini, Plana usw. siehe Fußnote 287. Vgl. ferner: L. Puissant, Nouvelle description géométrique de la France, Paris" 1832.

⁶⁰

   Über unsere jetzige Kenntnis der Gestalt und Größe der Erde, Göttingen 1873.

⁶¹

   Base du système métrique 3, p. 135.

⁶²

   Man kann nicht sagen, daß die Rechnung von Walbeck den ersten Versuch gebildet hätte, die Gradmessungen rationell zur Berechnung der Konstanten des Erdellipsoids zu kombinieren. R. G. Boscovich hat schon Ende 1760 (De recentissimis graduum dimensionibus etc. in Philosophia recentior, Romae 1760) vorgeschlagen, die genannten Konstanten unter folgenden Bedingungen zu berechnen: 1) die Summe der positiven Fehler in den Längen der gemessenen Grade soll gleich der Summe der negativen Fehler sein und 2) jede der beiden Summen soll möglichst klein sein. P. S. Laplace (Méc. cél. 3, § 40 u. 41) wendete dasselbe Prinzip zur Berechnung der Meridianellipse an. Was die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Berechnung der Konstanten des Erdellipsoids betrifft, so scheint der erste Versuch von A. M. Legendre ausgegangen zu sein, vgl. Nouvelles méthodes pour la détermination de l’orbite des comètes, Paris 1806, p. 76.

⁶³

Schon N. Bowditch hat 1832 in einer Note zur Übersetzung der Méc. cél. von Laplace (Boston 1832) die Berechnung eines nicht elliptischen Meridians versucht. M. G. v. Paucker (vgl. Helmert, H. Gr. 1, p. 17, 18) führte eine analoge Rechnung durch, indem er für den Krümmungsradius die Formel

q = a (1 -f- cc sin² qp -f- ß sin⁴ cp -]- у sin⁶ cp -f- d sin⁸ cp)

annnahm.

⁶⁴

   Ordnance trigon. survey, p. 765.

⁶⁵

   Ibid., p. 771.

⁶⁶

   Petersb. Mein. Acad. 1 (1859), p. 32. Wegen theoretischer Rechnungen bezüglich des dreiachsigen Ellipsoids vgl. auch Clarke, Geodesy, p. 305 ; A. Sonderhof, Zeitschr. Math. Phys. 17 (1872), p. 89, 177; H. Levret, Paris C. R. 76 (1873), p. 410, 700.

⁶⁷

   Geodesy, p. 319.

⁶⁸

   Jahrb. d. Astron. u. Geophys. 1 (1890).

⁶⁹

   Ibid. 5 (1894).

52. Benutzung einiger astronomischer Daten zur Berechnung usw. 237

Auf Grund von ungefähr 1400 Schwerkraftsmessungen gibt Helmert¹) in einer seiner neuesten Publikationen für die normale Schwerkraft die folgende Formel (in cm) an:

y = 978,046 (1 + 0,005302 sin² <p — 0,000007 sin⁴ cp),

woraus mit Hilfe der in Nr. 4 erwähnten Formeln, welche die Kugelfunktionen vierter Ordnung berücksichtigen, a = 1 : 298,3 folgt.

Iwanoff²) leitete aus den Resultaten von 300 Schwerkraftsmessungen für die Länge des Sekundenpendels folgende Formel (in cm) ab:

I = 99,0997 -f 0,5240 sin²cp — 0,0016 (sin cp' — f sin⁸cp'),

wo cp' die geozentrische Breite bedeutet. Der entsprechende Wert von a ist 1 : 296,6.³)

52. Benutzung einiger astronomischer Baten zur Berechnung der Konstanten des Erdellipsoids. a) Ableitung der Abplattung aus der Mondparallaxe. Die Dilferenz zwischen den geozentrischen Positionen des Mondes, die sich aus der Mondtheorie ergeben, und den an einem Erdorte beobachteten Positionen, oder mit anderen Worten die Mondparallaxe in Rektaszension und Deklination, sind einfache Funktionen des Verhältnisses der Mondentfernung zum äquatorialen Radius a und der Exzentrizität e. Solche Parallaxenbestimmungen können deshalb zur Kenntnis von e beitragen. Wir nennen in dieser Beziehung die Namen: E.Manfredi⁴ 5), P.Bouguer⁸²⁶), Jér.de Lalande⁶ 7 8), J. A. Euler⁸²⁸), A. Cagnoli⁸²⁹). Laplace handelt davon auch in dem 3. Buche der Méc. cél. Indessen entspricht die Genauigkeit der erwähnten Methode nicht den Anforderungen der modernen Geodäsie.

b) Ableitung der äquatorialen Halbachse a aus Messungen der Mondparallaxe und der Schwerkraft. Zwischen der mittleren Schwere g, dem mittleren Erdradius В, der mittleren äquatorialen Mondparallaxe p und der mittleren Winkelgeschwindigkeit a der Mond

(A)

bewegung besteht näherungsweise folgende Beziehung⁹) (aus der elementaren Theorie der Planetenbewegung abgeleitet):

wo ja das Verhältnis zwischen Mond- und Erdmasse ist. J. H. Lambert¹⁰) kam auf den Gedanken, die Mondparallaxe vermittels dieser Formel abzuleiten, indem er В und g als bekannt voraussetzte, und Laplace führte die Rechnung aus (Méc. cél. 1). Helmert schlug vor, indem er an Stelle von (A) eine genauere Formel setzte, bei der die Exzentrizität der Erd- und Mondbahn berücksichtigt ist, umgekehrt die äquatoriale Halbachse a aus beobachteten Werten von g und p abzuleiten. Er fand¹¹ 12 13)

a = 6 378 830, die Abplattung a = 6 381 460, „    „

zu 1 : 299,15 vorausgesetzt.

„ 1:289,76

c)    Die Ungleichheiten der Mondbewegung in Breite und Länge sind a priori auszurechnen, wenn der Ausdruck des Erdpotentials für Punkte außerhalb der Erde bekannt ist. Wenn diese Ungleichheiten beobachtet sind, so liefern sie deshalb ihrerseits ebenso wie die Schwerkraftsmessungen ein Mittel zur Bestimmung der Erdabplattung. Überdies ist diese Methode unabhängig³³³) von jeder Hypothese über die Änderung der Dichte im Innern der Erde. — Helmert3M) leitete aus einer Diskussion der Hansenschen Arbeiten die Abplattung zu 1 : 297,8 + 2,2 ab.

d)    Die Erscheinungen der Präsession und Nutation sind, wie bereits erwähnt, geeignet, numerische Daten für die Berechnung der Abplattung zu liefern. Aber die theoretische Auswertung dieser Erscheinung erfordert außer der Kenntnis des Erdpotentials für äußere Punkte auch die des Trägheitsradius der Erdmasse in bezug auf die Rotationsachse. Die Benutzung der Präzession und Nutation zur Berechnung der Abplattung kann deshalb nicht gänzlich auf eine besondere Hypothese über die innere Erddichte verzichten. Man kann indessen beweisen, daß die beobachteten Werte der Präzession und

Nutation notwendig zu einer kleineren Abplattung als У wenn man annimmt, daß die Erddichte beständig von der Oberfläche nach dem Mittelpunkte hin wächst ³³⁵).

führen,

297,3

e) W. Harkness ³³⁶J bemerkt, indem er eine genaue Diskussion der numerischen Werte verschiedener terrestrischer und astronomischer Konstanten vornahm, daß zwischen zwölf von ihnen sieben Bedingungsgleichungen aufgestellt werden können, die man benutzen kanu, um in geeigneter Weise die beobachteten Werte nach der Methode der kleinsten Quadrate zu verbessern. Unter diesen Konstanten befindet sich die Abplattung, für welche aus der Rechnung von Harkness der Wert von 1 : (300 + 3) folgt.

53. Moderne geodätische Arbeiten. Lotabweichungen. Im

Jahre 1861 publizierte J. J. Baeyer eine Abhandlung, welche den Zweck verfolgte, für den Gedanken einer geodätischen Vereinigung der Staaten Mitteleuropas Stimmung zu machen. Er setzte den augenscheinlichen Nutzen auseinander, den das Studium der Krümmung des zentralen Meridians von Europa haben würde, und schlug daher vor, durch Meridian- und Parallelkreisbogen eine Zone von 12° Länge mit dem Mittelmeridian Berlin und den Parallelkreisen von Christiania und Palermo als Grenzen geodätisch zu studieren. Baeyer brachte seine Gedanken schließlich in einem bestimmten Vorschlag³³⁷) zum Ausdruck, den er dem preußischen Kriegsministerium einreichte und der von der preußischen Regierung durch Kabinetsorder vom 20. Januar 1861 angenommen wurde. 15 Staaten traten der Vereinigung bei, die „Mitteleuropäische Gradmessung“ genannt wurde; der erste Generalbericht wurde 1862 veröffentlicht, und 1864 fand die erste allgemeine Konferenz statt. 1867 wurde der Name der Vereinigung in „Europäische Gradmessung“ und schließlich 1886 in „Internationale Erdmessung“ umgewandelt. Eine Erneuerung dieser Vereinigung mit teilweiser Neuordnung fand 1895 statt; gegenwärtig sind folgende Staaten an

885) Vgl. Tisserand, Mécanique céleste 2, p. 224. Solche Untersuchungen verdankt man H. Poincaré.

336)    Vgl. Zitat der Fußnote 321, p. 121—133. Die 12 der Rechnung von Harkness zugrunde gelegten Konstanten sind: die mittlere Mond- und Sonnenparallaxe, die Erdabplattung, das Verhältnis der Erdmasse zu der der Sonne, das Verhältnis der Mondmasse zu der der Erde, die Mondgeschwindigkeit, die Aberrationskonstante, die vom Licht gebrauchte Zeit, um die mittlere Entfernung Sonne—Erde zu durchlaufen (aus der Beobachtung der Jupitertrabanten abgeleitet), die Konstanten der Präzession und Nutation, die beiden Ungleichheiten der Mondbewegung.

337)    Vgl.: Zur Entstehungsgeschichte der Europäischen Gradmessung (im Generalbericht der Mitteleurop. Gradmessung 1862).

ihr beteiligt: Argentinien, Belgien, Dänemark, Deutschland, Frankreich, Griechenland, Großbritannien, Italien, Japan, Mexiko, Niederlande, Norwegen, Österreich, Rumänien, Rußland, Schweden, Schweiz, Portugal, Spanien, Ungarn, Vereinigte Staaten von Nordamerika. Die Vereinigung verfolgt hauptsächlich folgende Ziele: darauf hinzu wirken, daß die geodätischen Arbeiten soweit als möglich nach übereinstimmenden Regeln ausgeführt werden; die Resultate der einzelnen Arbeiten in einer Hand zu sammeln, damit sie einer zusammenfassenden Diskussion unterworfen werden können; spezielle Studien, welche die Geodäsie interessieren, zu begünstigen, und durch Vermittlung der bestehenden Kommissionen sowie durch Anweisung der Mittel diejenigen Untersuchungen von allgemeinerem Interesse zu fördern, welche die Mitarbeit verschiedener Staaten erfordern. Die wichtigste dieser internationalen Untersuchungen ist augenblicklich die über die Veränderlichkeit der Breite oder die Polhöhenschwankungen. Uber diesen Gegenstand werden wir hier nicht sprechen, obgleich er von großer Bedeutung in der theoretischen Geodäsie ist, weil in der Geophysik davon die Rede sein wird.

Gegenwärtig ist Europa fast ganz mit Triangulationen überdeckt⁸⁸⁸), die zum Teil gänzlich erneuert worden sind. Außer dem schon erwähnten großen russisch-skandinavischen Bogen und den in Österreich, Dalmatien und Griechenland ausgeführten Arbeiten haben wir: den mitteleuropäischen Bogen, der von den Lofoten bis nach Malta in einer Ausdehnung von ca. 33° reicht; den englisch-französisch-spanisch-algerischen Bogen⁸⁸⁹) von den Shetlands-Inseln bis nach Laghouat in Algier (ca. 27° Ampi.); den Parallelkreisbogen in 52° Breite vom atlantischen Ozean bis Orsk (Sibirien); den Parallelkreisbogen in 47 Breite vom Atlantischen Ozean bis Astrachan. Das zusammenhängende Netz, das sich durch Italien, Frankreich, Spanien, Algier und Sizilien hinzieht, umgibt fast den ganzen westlichen Teil des mittelländischen Meeres. Die Russen und Schweden haben auf Spitzbergen zwischen 76,7° und 81,7° Breite geodätische und astronomische Arbeiten ausgeführt⁸⁴⁰).

338)    Vgl. die Karte von Europa, welche dem Rapport sur les triangulations in Intern. Erdm. 1903, II. T., p. 292 beigegeben ist.

339)    Die geodätisch-astronomische Verbindung von Spanien mit Algier und die von Malta mit Sizilien hat für die europäischen Arbeiten eine besondere Bedeutung wegen der ungewöhnlichen Länge der Sichten. Vgl. J. Perrier et C. Ibanez, Jonction géodésique et astronomique de l’Algérie avec l’Espagne, Paris 1880 und R. Comm. geod. italiana, Collegamento delle isole Maltesi colla Sicilia, Firenze 1902.

340)    Int. Erdm. 1900, I. T., p. 159; 1903, II. T., p. 127.

In den Vereinigten Staaten von Nordamerika haben wir hauptsächlich die Triangulation längs des 39. Parallels vom atlantischen bis zum pazifischen Ozean¹⁴) und den schiefen Bogen längs der atlantischen Küste von der Grenze Kanadas bis New Orleans¹⁵). Man mißt dort auch einen zentralen Meridianbogen¹⁶) (längs 98° östl. L. von Greenwich), dessen Verlängerung durch Mexiko¹⁷) bis zum pazifischen Ozean ebenfalls in Angriff genommen ist. — In Australien ist seit längeren Jahren die Triangulation von Victoria vollendet und die von New South Wales so gut wie vollendet¹⁸); in Japan ist die Triangulation der Hauptinsel vollständig¹⁹). Wichtige geodätische Arbeiten sind an der Westküste von Sumatra ausgeführt²⁰). — In Südafrika ist außer den verschiedenen Dreiecksnetzen in der Kap-kolonie und dem benachbarten Deutsch-Süd westafrika eine Triangulation längs des Meridians in 30° östl. L. im Gange, welche die Kap-kolonie mit den bereits bestehenden Netzen in Natal verbinden und bis zum Tanganjika-See durchgehen soll²¹). Man hofft, in nicht zu ferner Zeit durch Rhodesien, der Küste des Tanganjika entlang, durch Uganda bis zum Nil hin eine Dreieckskette legen zu können, die dann vom Kap bis Kairo reichen würde. — Der sogenannte peruanische Bogen wird mit 6° Amplitude neu gemessen von der Nordgrenze Ecuadors am pazifischen Ozean bis zur Nordgrenze Perus²²). Die große Indische Triangulation²³) hat jetzt schon eine Ausdehnung von 22° in Breite und 25° in Länge, und soll durch einen Meridian- und einen Parallelbogen in Birma fortgesetzt werden.

Bezüglich der Schwerkraftsmessungen, von denen im Jahre 1903 etwa 1900, über ganz Europa und die Küsten eines großen Teils der übrigen Erdteile verteilt, vorhanden waren, verweisen wir auf die

Berichte von Helmert und E. Borrass³³¹). Besondere Erwähnung verdienen die Schwerkraftsmessungen auf dem atlantischen Ozean²⁴ 25).

Die Schwerkraftsmessungen zusammen mit astronomisch-geodätischen Bestimmungen führen zu einem Abplattungswert, der nur wenig von dem Besselschen verschieden ist, so daß von diesem Gesichtspunkt aus das Besselsche dem Clarke sehen Ellipsoid vorzuziehen wäre. Die Frage nach dem best anschließenden Ellipsoid steht indessen, wie bereits früher (vgl. Nr. 43) hervorgehoben ist, nicht mehr im Mittelpunkt des geodätischen Interesses, weil man nicht alle Gradmessungen durch ein Ellipsoid befriedigend darzustellen vermag. Man strebt vielmehr heute danach, die Krümmungeverhältnisse der Niveauflächen in den von den Gradmessungen bedeckten Gebieten zu erforschen, was durch Berechnung der Lotabweichungen gegen ein in gewissen Grenzen willkürlich zu wählendes Referenzellipsoid geschieht.

Ein Verzeichnis der bis 1887 bekannten Lotabweichungen gibt Helmert in den Verhandlungen der Internationalen Erdmessung von 1887. Fortgesetzt ist dasselbe 1889, 1892 und 1895 von Helmert und 1898 und 1903 von A. Börsch. Wir machen in den folgenden Fußnoten einige Literaturangaben bezüglich der Untersuchungen über Lotabweichungen in den Ländern: Deutschland²⁶), Österreich-Ungarn²⁷), Frankreich²⁸), Großbritannien²⁹), Italien³⁰), Schweiz³¹), Englisch-

Indien³⁵⁹), Südafrika³⁶⁰), Vereinigte Staaten land³⁶²), Schweden³⁶³), Norwegen³⁶⁴), Dänemark³⁶⁵), Australien³⁶⁶) Java³⁶⁷) und den Sandwich-Inseln³⁶⁸).

Nordamerika³⁶¹), Ruß-

von

latitud. e d’azimut lungo il meridiano di Roma, Firenze 1903; A. Biecd, Rend. Acc. Line. (5) 7 (1898), p. 11; А. Biccö, T. Zona, G. Saija, Mem. Soc. Spettro-scopisti 28 (1899), p. 12; A. Venturi, Rend. Acc. Line. (5) 6 (1897), p. 327; A. Venturi, Azimut di Monte Alfano etc., Palermo 1892; B. v. Sterneck, Mitt, milit.-geogr. Inst. Wien. 11 (1892), p. 212.

358) Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 25; 1895, П. T., p. 181; 1898, p. 260; 1903, II. T., p. 406; J. Messerschmitt, Das Schweizerische Dreiecksnetz 6 (1894), 8 (1898), 9 (1901), Zürich; A. Beck, Astr. Nachr. 159 (1902), p. 133; 163 (1903), p. 190.

359)    Int. Erdm. 1892, p. 516; 1898, p. 273; 1903, p. 415; J. T. Walker, London Phil. Trans. 186 (1895), p. 770; S. G. Burrard, The attraction of the Hymalaya M. upon the plumbline, Dehra-Dun 1901.

360)    Int. Erdm. 1895, П. T., p. 188; 1898, p. 270; D. Gill, Report of the geod. survey of South-Africa, 1, Capetown 1895, 2, Capetown 1901.

361)    Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 38; 1895, II. T., p. 185; 1903, I. T.,

p. 208; П. T., p. 424;    Ch. A. Schott, R. C. G. S. 1869, p. 113 und    Fußn. 341 u. 342).

362)    Int.    Erdm.    1887,    Beilage A, p. 35; 1893, p. 183; 1895, П. T., p. 184;

1898, p. 265; 1903, П. T., p. 412; K. G. Schweizer, Moscou Bull. Soc. Nat. 37 (1864), p. 96; J. A. Iweronow, Mém. Topogr. Abt. d. Generalstabs, Petersburg 51 (1894), p. 324; Lebedeff, ibid. 48 (1896), p. 1; Vomerantzeff, ibid. 54 (1897), p. 75; Venukoff, Paris C. R. 123 (1896), p. 40.

363)    Int. Erdm. 1892, p. 620; 1898, p. 263; V. G. Bosen, Die astr.-geodät. Arbeiten der Topogr. Abt. des Schwed. Generalstabes, 2, Stockholm 1903.

364)    Int.    Erdm.    1895,    IL T., p. 183 u. 184.

365)    Int.    Erdm.    1887,    p. 17, 27; 1903, IL T., p, 412; Den    Danske Gradmaa-

ling 3 (1878), 4 (1886), Kopenhagen.

366)    Int. Erdm. 1903, П. T., p. 419; T. F. Furber, The trigon. survey of New South Wales, Sydney 1898.

367)    Int. Erdm. 1903, II. T., p. 421; J. A. C. Oudemans, Die Triangulation von Java, Haag 1900.

368)    Int. Erdm. 1895, II. T., p. 186; E. D. Preston, R. C. G. S. 1888, app. 14; 1893, app. 12.

(Abgeschlossen im April 1906.)

f KRAKÓW

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE КВА

Biblioteka Politechniki Krakows

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Druk. и. J. Zaxn. 356. 10.000.

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Oberlehrer am Königl. Gymnasium zu Düren.

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Inhalt des I. Teiles: Einleitung. 1. Ortsbestimmung. 2. Kartographische Vorbegriffe. I. Allgemeines über Abbildungen. II. Projektionen auf die Ebene.

1. Azimutale (zenitale) Projektionen («==!).    2. Perspektivische Projektionen.

3.    Die Konstruktion azimutaler Projektionen aus einer bereits gegebenen.

4.    Konventionelle Projektionen auf die Ebene. — Projektionen auf abwickelbare Flächen. I. Projektionen auf den Kegelmantel. 5 Die geometrisch einfach definierten oder wahren Kegelprojektionen. 6. Modifizierte Kegelprojektionen. II. Projektionen auf den Zylindermantel. 7. Die geometrisch einfach definierten oder wahren Zylinderprojektionen (n—o). 8. Konventionelle oder unechte Zylinderprojektionen. 9. Über die Auswahl der Projektion mit geringster Verzerrung. Anhang I. Einige Grundregeln für das Zeichnen mit Zirkel und Lineal. Anhang П. Tabellen.

„Jeder Kartograph, welcher eine Projektion zu entwerfen hat, wird nun-/ mehr zum neuen Zöppritz greifen; hat er aber diesen durchstudiert, so kann er gar keine andre als die richtige Projektion wählen.“ (Petermanne Mitteilungen.)

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Aus dem Vorwort: Den Anlaß zur Herausgabe des vorliegenden Buches gaben Vorlesungen, die der Verfasser im Jahre 1904 an der Universität Berlin hielt, und deren Veröffentlichung der Verlagsbuchhandlung wünschenswert „ erschien. Auf Grund seiner jetzigen Lehrtätigkeit hielt es der Verfasser jedoch für zweckmäßig, den Inhalt über den Rahmen der früheren Vorlesungen hinausgehen zu lassen und auch einen kurzen Abriß der Ausgleichungsrechnung hinzuzufügen, um einzelne Messungsmethoden gründlicher behandeln zu können. Da der Umfang des Buches dennoch in engen Grenzen bleiben sollte, so wurde von den üblichen Methoden und Hilfsmitteln nur eine Auswahl zur Darstellung gebracht, die sich indessen auf fast alle Gebiete der niederen Geodäsie erstreckt. Dabei konnte der Besprechung der Instrumente mit wenigen Ausnahmen die hiesige geodätische Sammlung zugrunde gelegt werden. Für weitere Studien wurden den einzelnen Kapiteln Literaturnachweise beigefügt, in denen aber nur spezielle Lehrbücher genannt sind.

Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate.

Mit Anwendungen auf die Geodäsie, die Physik und die Theorie der Meßinstrumente von

F. ß. Helmert,

Direktor des Königlich Preußischen Geodätischen Instituts und Zentralbureaus der internationalen Erdmessung.

Zweite Auflage. [XVIH u. 578 S.] gr. 8. 1907. In Leinwand geb. n. M. 16.—

Die Entwicklungen sind mit Absicht in den ersten Abschnitten etwas breit gehalten, ebenso ist die Kenntnis der Determinantentheorie nicht vorausgesetzt. Die weniger entwickelten Lösungen sind nicht übergangen, um den vereinzelten Anwendungen zu entsprechen, für welche ein Studium der eleganteren und meist rationelleren Lösungen nicht am Platze ist. Von Wichtigkeit erschien es, die Untersuchung der plausibelsten Beobachtungsfehler mehr zu betonen. Die Unterscheidung wahrer und plausibler Fehler ist allenthalben möglichst streng durchgeführt und demgemäß auch bei der Untersuchung des Verteilungsgesetzes der plausibelsten Fehler zur Vergleichung nicht ein wahrer Fehler benutzt (etwa der mittlere oder wahrscheinliche), sondern ebenfalls ein plausibelster Fehler.

Um recht ersichtlich zu machen, welcher erhebliche Unterschied zwischen zwei Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate stattfinden kann bezüglich der Bedeutung der Resultate, ist auch die Anwendung derselben zu interpolatorischen Zwecken mit aufgenommen.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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¹

   Berlin Ber. 1901, p. 328. Der Koeffizient —0,000007 von sin⁴ cp ist nicht aus den Schwerkraftsbeobachtungen abgeleitet, sondern von E. Wiechert und G. H. Darwin auf Grund spezieller Annahmen über die Dichte des Erdinneren berechnet.

²

   Bulletin Acad. St. Pétersbourg 8 (1898), p. 219.

³

   Zitat in Fußn. 323, p. 8.

⁴

   Mém. Acad.    Paris    pour    1734 (1736),    p.    1.

⁵

   Mém. Acad.    Paris    pour    1751 (1755),    p.    64.

⁶

   Mém. Acad.    Paris    pour    1752 (1756),    p.    78.

⁷

   München Abh. 5 (1763), p. 197.

⁸

   Verona Mem. di mat. Soc. Ital. 6 (1792), p, 227.

⁹

   Helmert, Höhere Geodäsie 2, p. 461.

¹⁰

   Vgl. Seidel, Astron. Nachr. 50 (1859), p. 261.

¹¹

   Helmert, Höhere Geod. 2, p. 465.

¹²

   Diese Unabhängigkeit wurde von Stokes hervorgehoben (On attractions and on Clairaut's theorem, Cambridge 1849). Die Zitate der hauptsächlichsten Arbeiten, die sich auf die Berechnung der Mondungleichheiten beziehen, findet man in dem in Fußn. 321 zit. Werke, p. 101.

¹³

   Höhere Geod. 2, p. 473.

¹⁴

   A. Schott, The transcontinental triangulation and the American arc of the parallel, Washington 1900 (R. C. Gr. S., Special public. Nr. 4).

¹⁵

   A. Schott, The eastern oblique arc of the U. S. and osculating spheroid, Washington 1902 (R. C. Gr. S., Special public. Nr. 7).

¹⁶

   Int. Erdm. 1903, I. T., p. 185.

¹⁷

   Int. Erdm. 1903, I. T., p. 141.

¹⁸

   Int. Erdm. 1903, IL T., p. 242.

¹⁹

   Int. Erdm. 1895, П. T., p. 287; 1900, I. T., p. 215.

²⁰

   Int. Erdm. 1903, I. T., p. 155.

²¹

   Vgl. die Karte in Int. Erdm. 1903, II. T., p. 292.

²²

   H. Poincaré, Ann. du Bur. d. longitudes 1901 und Int. Erdm. 1903, П. T., p. 113.

²³

   J. T. Walker, London Phil. Trans. 186 (1895), p. 199; Int. Erdm. 1903, П. T., p. 219, 228.

²⁴

   Int.    Erdm. 1900, IL T., p. 139; 1903,    IL    T., p. 133.

²⁵

   Int.    Erdm. 1903, IL T., p. 15 und O.    Hecker, Bestimmung    der    Schwerkraft auf dem    atlantischen Ozean, sowie in Rio    de    Janeiro, Lissabon    und    Madrid,

Veröffentl. d. preuß. Geod. Inst., Berlin 1903.

²⁶

   Int. Erdm. 1887, p. 16; 1898, p. 258; 1903, II. T., p. 400. Ferner die Veröffentlichungen d. preuß. Geod. Inst.: Lotabweichungen, Heft 1, 1886; Heft 2, 1902; Polhöhenbestimmungen aus dem Jahre 1886 usw., 1889; Das Märkisch-Thüringische Dreiecksnetz, 1889; Lotabweichungen in der Umgebung von Berlin, 1889; Bestimmung der Polhöhe und der Intensität der Schwerkraft auf 22 Stationen usw., 1896; Bestimmung von Azimuten im Harzgebirge, 1898; Bestimmung der Polhöhe und der Intensität der Schwerkraft in der Nähe des Berliner Meridians, 1902. E. Hammer, Astronom. Nivellement durch Württemberg usw., Stuttgart 1902.

²⁷

   Int. Erdm. 1903, IL T., p. 404; Die Ergebnisse der Triangulierung des milit.-geogr. Inst., Wien 1901/02; J. Netuschill, Mitt. milit.-geogr. Inst. Wien, 21 (1902), p. 44.

²⁸

   Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 14; 1898, p. 263; 1903, H. T., p. 411; Memorial du dépôt général de la guerre 12 (1902).

²⁹

   Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 11.

³⁰

   Int. Erdm. 1887, Beilage A, p. 26; 1898, p. 262; 1903, IL T., p. 409; P. L. Cattolica, Differenza di longitudine tra Livorno e Genova, Genova 1899;

³¹

G. Ciscato, Astr. Nachr. 149 (1899), p. 385; V. Peina, Rend. Acc. Line. (5) 9 (1900), p. 189; 10 (1901), p. 284, 346; 11 (1902), p. 431; V. Peina, Determ. astron. di