mi

УШ2-

■

;

:x:*;

1

:.

:

: : '

'Ш

Ш

I

V.

Ш

Щ:

й-

il;

1

fgg

SP>:

:v

р

gg?:;

У

i-v

■р

-Ур

Ш-

ш

■jjjjgjtgjjjvjjj

.

SS®ä

sä

'•

'

: ■

ш

м

ш

ш

ч

,ч

р;

Ш

Щ

Щ-

:

ш

р:

:

У.

§§§

•i;    ;

Ш

Щ I

У,-::-:;;

Щ

• -Р

...

'

;л.

•УУ;

I , 'л

I

Ш

ш

V,;;

:

Щ

i

У; ;■

S

ш

ш.

щш

4

>

J

ALEKSANDER OSTRZENIEWSKI,

Inżynier-Technolog.

DO TEORYI MOSTÓW.

ZASADA DŹWIGNI W WYTRZYMAŁOŚCI MATERYAŁÓW.

UWAGA 0 PRZEDSTAWIENIU RYSUNKOWEM ZMIENNOŚCI FUNKCYI tang «.

Cena kop. 70.

V*

WARSZAWA, NAKŁADEM W Ł Ä SN Y M.

1008.

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

100000299633

RLEKSftNDER OSTRZENIEWSKI, lnżynier-T echnolog.

DO TEORYI MOSTÓW.

ZASADA DŹWIGNI W WYTRZYMAŁOŚCI MATERYAŁÓW.

UWAGA 0 PRZEDSTAWIENIU RYSUNKOWEM ZMIENNOŚCI FUNKCYI tang «.

Cena kop. 70.

WARSZAWA,

NAKŁADĘ M WŁASNYM.

1908.

2'-i, h J.Ok -b&20. i ~+

^ис'нл^

( KRAKÓW '4^'ł«ehni eîS#

шзч

DO

TE0RY1 MOSTÓW.

С/Л

i—H

Belka jakakolwiek А В (rys. 1), pod ciężarem G, ugnie się na dół, jak wiemy, i to wątpliwości nie podpada żadnej; jeżeli pod tą samą belką AB (rys. 2) umieścimy drugą belkę DE, na której umocujemy szereg słupków s, s,..., końcami górnymi dotykających prawie belki AB, to jak najwyraźniej widać, że belka A B, kiedy zacznie się pod ciężarem C uginać—zacznie także stopniowo naciskać na słupki s, s,... jedne mniej,

Rys. 1.

drugie więcej. Z kolei rzeczy znów, słupki s, s,.. przenieść muszą ciśnienie na belkę dolną D E i musi się ona także ugiąć, jeżeli ciśnienie będzie dostateczne. Ponieważ belka DE uginając się, stawia słupkom opór, więc każdy ze słupków dozna

J \ ii

*FVT'

j î T W

Rys. 2.

od dołu ciśnienia, idącego od belki DE] od góry zaś dozna ciśnienia od belki AB. Przy takiem działaniu sił równych i wprost przeciwnych, wzdłuż każdego słupka — wszystkie słupki będą ściskane w kierunku długości. Oczywiście, że ściskane także będą i wszelkie części ukośne u, niezależnie od tego w jakiej są liczbie i pod jakimi kątami a będą do kierunku pionowego ustawione. Niech teraz ciężar C działa na belkę dolną D E (rys. 3), a słupki s, s,... niech będą umocowane na belce górnej А В końcami górnymi; naturalnie, belka D E

I_1$

ff/i

7//

?fw

Rys. 3.

na

ugnie się tak, jak się ugięła np.na rys. 1 belka AB, jeżeli końce dolne słupków nie będą w żaden sposób z nią, t. j. z belką D E, połączone; ale, jak tylko końce dolne zwiążemy z belką D E, to, uginając się, pociągnie ona teraz zapomocą słupków s, s,... belkę А В także, gdyż inaczej nie może być przecież. A ponieważ belka A B nie da się słupkom pociągnąć na dół bez wszelkiego oporu, tylko okaże znaczny właśnie opór,— więc, rzecz zupełnie zrozumiała, że tutaj znów wszystkie słupki będą pociągane przez belkę Ai? do góry, a przez belkę DE dół; przy takiem zaś działaniu sił wszystkie słupki będą w tym razie rozciągane.

I tutaj tak samo działaniu rozciągania ulegać będą wszelkie części ukośne w, pod wszelkimi stojące kątami a do kierunku pionowego, we wszelkiej liczbie także.

«leżelibyśmy na rys. 2 i 3 połączyli ze sobą końce belek AB i DE zapomocą części dodatkowych stałych F i G, oczywiście w rozumowaniach naszych nic się przez to nie zmieni; możemy odrzucić wtedy części muru M, M] zaś belki nasze zamienią się wtedy na przęsła mostów: z rys. 2 — z jazdą górą, z rys. 3 — z jazdą dołem.

Jeżeli teraz, zamiast belek AB i CD, wspomnianych powyżej, weźmiemy przęsło dowolne AB mostu (rys. 4), to, pod ciśnieniem C przy jeździe dołem, wszystkie kraty Jcv &₂, Æ₃,.. . będą rozciągnięte. Wyjątek stanowią tylko 2 kraty a i b, jeżeli byłyby tutaj ustawione, one będą ściśnięte: jest to wynik logiczny działania ugięć, gdyż w kracie a punkt jej krańcowy dolny e, jako umieszczony na oparciu stałem (na przyczółku,

CL-

/

fe

4.

7f

Rys. 4.

na filarze) ustąpić na dół nie może; punkt zaś krańcowy drugi g, wskutek ugięcia się pasa górnego na dół, musi się wraz z tym pasem osunąć także na dół; więc oczywiście krata a skurczy się, t. j. będzie wzdłuż długości swojej ściśnięta. To samo zupełnie stosuje się do punktów fi h kraty prawej i ta więc krata musi być także ściśnięta.

Biorąc przęsło kratowe mostu z jazdą górą (rys. 5) AB, pod ciśnieniem C wszystkie kraty Jcv hv &₃, .... będą ściśnięte.

⁷77T7/7ŻV/r/

z,

tf

z,

T—ff,

Rys. 5.

Wyjątek, zupełnie także logiczny, stanowić będą i tutaj dwie kraty a i &, jeżeli byłyby tam umieszczone, które podległe będą rozciąganiu: bowiem punkt A znajduje się nieruchomo na słupie przęsłowym, zaś punkt f kraty a będzie się oddalać na dół; zatem krata a będzie rozciągnięta. Również i krata b także; bo i do punktów die stosuje się zupełnie to samo,, co i do punktów A i f.

Należy tu zwrócić uwagę baczniejszą w obydwóch wypadkach, t. j. przy rys. 4 i 5, na tę ważną okoliczność, w celu lepszego wyjaśnienia zachodzących zjawisk, że w wypadku jazdy dołem (rys. 4), zaczyna giąć się naprzód ten pas (tutaj dolny ef), na który działa bezpośrednio obciążenie (7; a już. pas górny gh będzie pociągnięty potem, a samodzielnie się nie ugina: początek działania sprawia siła G. Tak samo, przy jeździe górą (rys. 5) obciążenie C działa na pas górny najpierw Ad] a potem, za pośrednictwem części łączących, przenosi się na pas dolny f B.

za-

Dotychczas co do tego panuje, jak wiadomo, zupełnie inne mniemanie, mianowicie: że tak w jednym, jak i w drugim wypadku, w przęsłach jednocześnie ulegają rozciąganiu jedne kraty, kiedy inne są ściskane. Jak widać, wcale tak nie jest; charakter działania sił nie może się zmieniać od jednej do drugiej kraty i znak (-]-) na (—-) przeskakiwać ciągle nie może: jeżeli zachodzi rozciąganie, to wszystkich krat; jeżeli chodzi znów ściskanie, to także wszystkich krat; wyjątek stanowić niekiedy mogą dwie kraty końcowe, jeżeli są wtedy tam umieszczone, jak o tern już powiedziano; wszystkie zaś inne kraty mają zawsze znak działania siły stały albo(-J-), albo (—).

Naturalnie, krata gruba, mocna, postawiona w przęśle w tern przypuszczeniu, że działać na nią będzie siła ściskająca, doskonale także spełnić może zadanie i wtedy, jeżeli naprawdę okaże się tam działanie siły rozciągającej; most na tern nic nie ucierpi. Glorzej znacznie być musi, jeżeli na kratę cienką, zamiast przypuszczalnej siły rozciągającej, działać będzie naprawdę siła ściskająca; wtedy, jeżeli sąsiadki grubsze i mocniejsze nie wyręczą kraty zanadto słabej, ustrój przęsła pozostawia wiele do życzenia.

W obydwóch wypadkach w moście nie da się to zauważyć, tkwi jednakowoż tam zasada błędna.

Z natury rzeczy teraz wyciągniemy wniosek, że, kiedy po moście AB jazda odbywać się będzie (rys. 6) środkiem, jak wskazuje obciążenie C, to części krat znajdujące się nad pomostem AB, mianowicie: a₀, 6₀, c₀,... będą rozciągnięte, zaś części krat au bv e,,..., znajdujące się pod pomostem А В będą ściśnięte. Ten wypadek bowiem stanowi połączenie, tylko co, rozpatrzonych powyżej dwóch mostów osobnych, oddzielnie z jazdą dołem i oddzielnie z jazdą górą. Należy i tutaj

Ич

ŻL

А.

Nb*-

Rys. 6.

przyjąć pod uwagę możliwość wyjątków względem 2-ch krat końcowych, jeżeliby takie były, jak to wskazano na rys. 4i5, przez kraty a i b.

Wszystkie wywody powyższe, zupełnie jasne ze strony rozumowania, tak samo też mogą być stwierdzone drogą doświadczalną. Został mianowicie zbudowany model (rys. 7) z blachy białej, wyobrażający przęsło mostu AB z jazdą środkiem, jak wskazuje obciążenie (7, długości 320 mm, wysokości 100 mm, gdzie zamiast krat prostopadłych i ukośnych, przylutowano cienkie sprężyny kręcone z drutu.

Boki stojące, ramy przęsła, wygięte w kształcie korytka, dla lepszego usztywnienia całości, liczącej 8 przedziałów, po 40 mm długości każdy, t. j. razem 320 mm. Pod naciskiem ręki gdziekolwiek na pomost środkowy AB, widać zawsze, iż te wszystkie kraty, które są nad pomostem rozciągają się,

a które są pod pomostem — ściskają się i kurczą. Model oparty na podstawie drewnianej DD, w celu ułatwienia z nim doświadczeń, które są bardzo ciekawe i jasno przedstawiają

Jj

1П!

"ß

'///////77/ WZ/zV///,/////// ///////// V///////////// ////' /////////// У?/?//////)'///////////

Rys. 7.

wszelkie zachodzące tutaj zjawiska. Jeżeli zechcemy naciskać na pas górny, zobaczymy, że kraty ściskają się; jak naciskać będziemy na pas dolny — kraty rozciągać się będą, z zastrzeżeniem uczynionem co do krat a i Ъ na rys. 4 i 5¹).

ooo

Przypuśćmy, że do rozpatrzenia mamy (rys. 8) węzeł w zawiasowy, t. j. ruchomy²) około osi wspólnej przecięć wszy-

*) Model taki, jako bardzo niekosztowny, bo całość wynosi około 2 rub., może być łatwo przez każdego blacharza uskuteczniony. Taki jeden model w r. 1906 został posłany do redakcyi Czas. Techn. we Lwowie.

²) Nie pochwalam nazwy przegibny lub przegubny albo przegubowy, bo są to wyrażenia pod każdym względem zupełnie złe; za lepsze uważam: połączenie zawiasowe albo ruchome, lub też węzeł zawiasowy albo ruchomy, jako zgodne z duchem języka.

stkich, zbiegających się w punkcie w. kierunków krat i pasa górnego AB w przęśle mostu, pod działaniem obciążenia C gdy są dwie kraty, jedna prostopadła P, druga ukośna U.

Jeżelibyśmy tu przyjęli rozkład zwyczajny siły C na dwie składowe Ct i (7₃, to musimy powiedzieć, że siła C₂ jest szkodliwą dla całego ustroju, bo dąży do zerwania całego przęsła z miejsca (na prawo, jak rysunku); życzyć sobie tego wcale nie możemy.

Jeżelibyśmy przypuścili znowu, że rozkładu powyższego sił nie będzie i siła C, mając pod sobą kratę prostopadłą P, na nią przejdzie w całości, to wypada, że krata ukośna U zbyteczna, gdyż nie przyjmuje udziału należytego w pracy całości ustroju. Zupełnie to samo odpowiednio stosować się będzie i do węzła zawiasowego w na pasie dolnym AB (rys. 9),

Uf-

«г 4-

. ..'У

na

Rys. 8.

».

74

л/

ГЛ

Rys. 9.

pod działaniem siły C, gdy mieć będziemy jednę kratę prostopadłą P, drugą zaś ukośną Z7, i tutaj tworzy się siła pozioma szkodliwa raczej, niż pożyteczna C₂, lub też niepotrzebną się staje krata U.

Rozbiór bliższy tego przypadku i model wskazują, że zachodzi tu zjawisko pośrednie. Mianowicie, jeżeli np. pas górny AB (rys. 10) pod ciśnieniem C, przejdzie do położenia A' B\ to i węzeł w, gdyby była tylko jedna krata prostopadła

AÀT,

<r

il

il

O

tH

■£]

P, zająłby miejsce wx\ ale, ponieważ istnieje także krata U, więc odepchnie ona węzeł na prawo, t. j. do położeniu w₂\ krata więc P musi się wygiąć i zająć położenie P', krata U tak samo wygnie się, zajmując albo położenie Ur albo U". Mogłoby się wydawać, że możliwe jest także położenie środkowe, proste U₀, ale model właśnie wskazuje, że najczęściej wytwarza się położenie U". Stąd wypływa niezaprzeczenie, iż kraty ukośne niesymetryczne pociągają za sobą znaczne nieprawidłowości w pracy us-d troju, podczas gięcia się przę-_ sła; są zatem bardzo wadli-

we.

v'

Rys. 11.

Łatwo spostrzedz, że kraty ukośne symetryczne (rys. 11), gdzie kąty a = ß, pomiędzy kratami ukośne-mi Ux i U₂, a kratą prostopadłą P,— nie posiadają już tych wad: bo tutaj obciążenie C, rozkładając się na dwie siły równe i symetryczne Cx i C₂—nie wywołuje już w ustro-

ju, podczas gięcia się przęsła, tych zaburzeń i zboczeń jednostronnych, jakie widoczne były powyżej; wypadkowa zawsze tu spłynie po kracie prostopadłej P, nie wywołując sił bocznych jednostronnych. Te więc kraty nie są szkodliwe, bo nie wytwarzają sił szkodliwych ¹).

OOO

co

Jeżeli mamy jakiekolwiek przęsło kratowe AB (rys. 12), to, niezależnie od tego, czy wprowadzimy do obliczeń momen-

;A

, i.

Й1/ f

/w

7v\-

If

ßys. 12.

tu wytrzymałości Ж«,, na przecięciu dowolnem jop, wytrzymałość krat w miejscach w i w, odległych od osi obojętnej F G na wielkości x i y\ czy też tej wytrzymałości uwzględniać nie zechcemy, licząc tylko na masy materyału w pasach górnym i dolnym; zawsze wytrzymałość ta w rzeczywistości istnieje i w całości pracy przęsła rolę odpowiednią odgrywa. Weźmy to pod uwagę. Jeżeli będziemy mieli kraty rzadkie, t. j. takie, które dają oka a,    c, d wielkie, spostrzedz musimy, że

moment wytrzymałości Mw belki w punktach aie w każdem oku będzie najmniejszy, zaś w punktach blizkich do b i d będzie największy; ze względu, że (x = y) może się zmieniać od zera do , gdzie w₀ wysokość mostu, widzimy, że’;wielkość

x) Przenosimy tu wszystkie rozumowania z węzłów zawiasowych na węzły nitowe, gdyż jest to w tym razie droga jedynie dostępna, jak wiadomo.

liczebna momentu, jako zależna od x²=y², musi się w każdem oku ciągle wahać w bardzo znacznym stopniu. Aby praktycznie nie dało się to uczuć, trzeba znacznie nadkładać mate-ryału w pasach, żeby pokryć ten brak wytrzymałości; zwiększa to znowóż koszt ogólny budowy. Naturalnie, że takiego chwiania się momentu wytrzymałości Mw w każdem oku za okoliczność pomyślną w ustroju przyjąć niemożna. Trzeba więc powiedzieć, że kraty rzadkie są także wadliwe. Na tej podstawie również możemy orzec, iż kraty gęste (rys. 18) nie posiadają tej wady, bo tu oka ab cd są małe; płaszczyzna za-

■&

Rys. 13.

u¹

v.i'

tem przecinająca pp w ruchu swoim na prawo lub na lewo, wykaże o wiele mniejszy stopień wahania się wielkości liczeb-nej wytrzymałości Mw, co stanowi znaczną już korzyść ustroju. Bo tutaj zawsze będziemy mieli wiele krat w przecięciu, na wysokościach x₂, x₃, i t. d., yv y₂, г/₃, i t. d. (rys 14); gdy tymczasem w kratach rzadkich będziemy mieli jedną lub dwie tylko kraty w przecięciu; a to stanowi, bez zaprzeczenia, wielką różnicę w całości przęsła. Kraty więc gęste mają istotną przewagę nad kratami rzadkiemi, tak ze - - względu na większą stałość ustroju, jak również i ze względu na większą taniość budowy.

:rr.:

4.

Rys. 14.

Biorąc wszystko to, co powiedziano powyżej, pod baczną uwagę, przyjdziemy do wniosku, że

mosty współczesne nie są rzeczywiście ostatnim wyrazem doskonałościx).

Zastanawiając się głębiej nad charakterem wad, wytkniętych powyżej, przychodzę do wniosku, że o wiele będzie prawidłowsze przęsło o pasach wielokrotnych równoległych (rys. 15) au 6₁, cv... od dołu i od góry; symetrycznie ułożonych względem osi obojętnej FG] szereg krat prostopadłych a, b, c,.... służy do silnego powiązania między sobą pasów poziomych, równoległych. Utworzone w ten sposób przęsło AB za doskonalsze uważam, najpierw z tego powodu, że odbywa się tu rozkład sił prawidłowy, bo siły jednostronne boczne nie powstają tutaj; po wtóre, moment wytrzymałości nie podlega tu ciągłym zmianom, o jakich mówiliśmy powyżej; po trzecie, da się wyzyskać lepiej wytrzymałość całkowita materyału, gdyż materyał pracować tu może w warunkach o wiele lepszych, niż dotąd; bowiem pasy równoległe zbliżają zupełnie ustrój przęsła do budowy naturalnej, przyrodzonej—belek. Jak bowiem widzimy, gdy przyroda rozwiązuje u siebie to samo zadanie, np. w drzewach i wogóle w świecie roślinnym, to używa właśnie włókien podłużnych, równoległych, nawet stosuje całe szeregi warstw włókien podłużnych i równoległych, wszystko to związuje mocno pomiędzy sobą spojeniami prostopadłemi właśnie. Do ustroju takiego zbliża się zupełnie przęsło AB (rys. 15). W ustrojach belek naturalnych nie widzimy wzmocnień ukośnych, któreby nam przypominały nasze kraty ukośne. Sądzę z tego wszystkiego, że kraty ukośne w danym względzie więcej też są dziełem fantazyi, aniżeli potrzeby rzeczywistej i świadomości celowej z naszej strony. W przyrodzie spotykać się dają włókna ukoś-

h Zdarzyło mi się raz usłyszeć zdanie, ciekawe w tej mierze, znanego specyalisty z innej dziedziny nauki, że technika od najlepszego mostu jest bardzo jeszcze daleką, na co wskazuje sama obfitość różnych wzorów: bo most najlepszy i najtańszy zarazem, będzie zawsze jednego wzoru. Może jest tu dużo prawdy.

ne, przeważnie, zdaje się, tylko w świecie zwierzęcym, w skórach zwierząt, czyli w ustrojach takich, które służyć powin-

-*4-

cc

■V

т/щ

Rys. 15.

ny do okrycia objętości pewnych, biorąc np. idealnie, do pokrycia kuli geometrycznej. Pokrycie takie, wskutek zastosowania warstw włókien, krzyżujących się z sobą ukośnie, nabiera we wszystkich kierunkach wytrzymałości i rozciągliwości jednostajnej. W belkach zaś chodzi nam tylko o wytrzymałość w jednym kierunku pionowym¹), głównie.

Zastosowanie w mostach pasów równoległych, ułatwia znacznie wyzyskanie lepsze samego materyału; bo, przy jedna-

v/r/Z/Z.’Zr/Z/f'Wl/Z'Z/M

1 r

n4

-CL. ;

Rys. 16.

Rys 17.

*) Nie należy przypuszczać, aby przęsło AB (rys. 15) pochyliło się i przybrało położenie CD В: bo, ani węzły nitowane nie są osiami obrotu, ani nie ma siły zewnętrznej P, któraby przęsło pochylała.

kowej wszędzie grubości, pas każdy od środka ku końcom może być coraz węższy, jak tego właśnie wymaga belka o wytrzymałości jednostajnej przy zginaniu. Wygrywa więc most na lekkości i trwałości, a jednocześnie i na taniości także. Pasy równoległe, jak wskazują rys. 16 i 17, mogą obejmować z dwóch stron kratę prostopadłą P lub mogą być wpuszczane pomiędzy dwie kraty prostopadłe Pv P₂, zawsze napłask; t. j. płaszczyzna pasów av bv c₁₅... powinna być prostopadłą do płaszczyzny pasów głównych AB dolnego i górnego.

Zasada Dźwigni

Wytrzymałości Materyałów.

c/30

Т-Ч

Mamy dźwignię łamaną lub kolankową COB (rys. 1); w punkcie O znajduje się punkt oparcia dźwigni, lub wszystko jedno w danym razie, jej oś obrotu, prostopadła do płasz-

Rys. 1.

-ДО

---1.

i\⁴

/I

ii

>r

Rys. 2.

czyzny rysunku. OB=A wyraża ramię dłuższe dźwigni; OC—a ramię krótsze; s—siła, umieszczona¹) prostopadle do ramienia A w punkcie B\ p—opór, działający prostopadle do ramienia a w punkcie (7; a—kąt, pomiędzy kierunkami obydwóch ramion.

Jeżeli kąt a=l80°, t. j. ramię OC przybierze kierunek OF, przedłużonego ramienia OB, to, podług dawnego podziału, jak wiadomo, był to rodzaj I-szy dźwigni.

Gdy a=0°=360° czyli, gdy ramię OC przybiera położenie OD, na kierunku ramienia dłuższego OB—był to rodzaj Il-gi dźwigni.

Gdy, nakoniec, ramię OC, przybrawszy kierunek OB, stanie się od niego dłuższe, będzie np. OE, wtedy mamy rodzaj III-ci dźwigni. To jest:

= 180° i a < A I-szy rodzaj dźwigni,

= 0° = 360° i a < A Il-gi rodzaj dźwigni,

= 0° = 360° i a > A III-ci rodzaj dźwigni.

Jeśli ramiona A i a (rys. 2) leżą w dwóch różnych płaszczyznach, nie zmienia to, naturalnie postaci rzeczy; przypuszczamy tylko jedno, że oś 00 jest dostatecznie mocną, aby przenieść natężenie sił z jednego ramienia na drugie.

Podział dźwigni czyli drąga, jako machiny prostej, na 3 rodzaje podobne—jest zupełnie dowolny i, właściwie mówiąc, na niczem koniecznem nie oparty; możnaby np., przy a = 90°, przyjąć rodzaj IV-ty dźwigni, a przy a=270°, przyjąć jeszcze rodzaj V-ty dźwigni, i t. d. Jednak, w gruncie rzeczy, wszystkie te podziały są zbyteczne, bowiem istota rzeczy—wskazuje nam jasno—jedną tylko rzeczywiście dźwignię. Ponieważ, jak widać, ramiona a i A mogą, każde zoso-bna, zakreślać okręgi całkowite kół, więc zupełnie rzecz zro-

ł) Należy mówić punkt umieszczenia albo punkt działania siły, nie zaś—przyczepienia albo przyłożenia, gdyż jest to przykre bardzo — psucie języka.

zumiała, iż ramiona mogą stawać względem siebie, we wszelkich położeniach; ale, zawsze, jest to ta sama ciągle, jedna dźwignia. Również siła s i opór p—mogą także działać, to na jednem, to znów na drugiem ramieniu. Słusznie można tylko pozostawić nazwę, przy dźwigni COB—łamanej, a przy FOB lub OBE—prostych, jako określenia pomocnicze jedynie; bo to wypływa z natury rzeczy.

. . (1)

Jako jest jedna dźwignia, tak jeden również istnieje związek pomiędzy jej ramionami i siłami, a mianowicie: sA = pa

wyrażający równowagę momentów; t. j. moment siły sA równać się powinien momentowi oporu pa. jeżeli chcemy mieć dźwignię w równowadze.

СЛО

to

Zginanie.

Mamy belkę BC, zamocowaną jednym końcem (rys. 3) C stale, a na drugim końcu В działa siła s, która zgina belkę na dół.

щш/т _

'■СО

г

#/////////M jy?

Rys. 3.

Jeżeli belka rzeczywiście pęknie w płaszczyźnie OD, to punkt O rozpatrywać możemy, jako oś obrotu dźwigni, lub jako punkt oparcia jej; przyczem A— będzie ramię działania siły s, zaśą—ramię wypadkowe, t. j.jako średnie ze wszystkich ramion cząstkowych—działania siły W—wytrzymałości 'przecięcia poprzecznego belki, w płaszczyźnie OD; punkt D jest punktem umieszczenia właśnie wypadkowej wytrzymałości całego przecięcia danego. Następuje, oczywiście, bardzo wyraźny i jasny związek ramion dźwigni i jej sił, podany w zrówn. (1), gdzie opór p zastępuje teraz wytrzymałość W przecięcia poprzecznego:

• (2).

Wa = sA

Oznaczymy Wa=m, jako moment wewnętrzny (czyli moment wytrzymałości); sA=M, jako moment zewnętrzny (czyli zginający); to mamy:

m — M

Moment M jest wiadomy, obliczyć trzeba tylko moment sił wewnętrznych m.

W tym celu zwrócimy uwagę na to, że gdy belka pęka np. w płaszczyźnie OD, to wszystkie włókna muszą być zerwane, t. j. materyał ulega rozciąganiu. Jeżeli wytrzymałość gatunkową na rozciąganie, odniesioną do 1 cm², oznaczymy przez w, wysokość przecięcia poprzecznego belki przez k, szerokość przez e (rys. 4), to znajdziemy, zapomocą rozumowania poniższego, wartość liczebną wielkości W. Grdy w punkcie 0 mamy oś obrotu dźwigni, to rzecz jasna, iż na krawędzi górnej BC— materyał belki uległ największemu natężeniu; takowe nie powinno być większe od wytrzymałości gatunkowej w, ale jej równe tylko.

Jeżelibyśmy wprost natężenie w przedstawili jako długość BC, t. j. jako podstawę trójkąta OBC, to natężenia włókien, bliższych do wierzchołka 0, będą coraz mniejsze, w sto-

coraz

(3)

AT

AT

Я) $

ł—/

>\

Rys. 4.

sunku właśnie do tych podstaw trójkąta, ciągle malejących; aż, w samym punkcie 0, gdzie ta podstawa stanie się równą zeru i natężenie włókna będzie równe zeru. Zatem, w przecięciu poprzecznem belki, jakiemkolwiek, natężenia rozwijają się różne, mianowicie od największego w, aż do równego ze-Należy te wszystkie natężenia zsumować, aby otrzymać wartość W.

ru.

Podzielimy, w tym celu, przecięcie DEFG linią HI na 2 połowy równe: połowę I-ą, DHIE i połowę II-ą, HEGI\

MII

odjąwszy te połowy od siebie, złożymy je po-

sUZ-

-^ tern tak, jak wskazuje

iff

f.

SÄT дХ

„ Rys. 5.

rys. 5; t. j., aby góra połowy Ii-ej — zeszła się z dołem połowy 1-ej. Wtedy zpoztrze-żemy, że wszystkie natężenia, zupełnie ściśle i naturalnie, układają się na całem przecięciu poprzecznem, wszędzie — do całkowitego natężenia w, wytrzymałości gatunkowej materyału. Trzeba je teraz odnieść tylko do połowy całego przecięcia, gdyż podzieliliśmy to przecięcie na pół i złączyliśmy obiedwie połowy z sobą, aby się przez to natężenia zsumowały. Tym sposobem, otrzymamy, że:

(4).

TT;

W = — w .

u

Możemy także na rys. 4, podzielić na połowę linią 00x — wszystkie natężenia i złożyć je potem do siebie tak, aby krawędź górna CD HE belki znalazła się na miejscu krawędzi dolnej OFIG, a ta ostatnia z dołu — przeszła do góry; t. j. aby część prawa belki obróciła się na 180°; — wtedy powierzchnia przecięcia poprzecznego pozostaje całkowita, a natężenia sumują się wszędzie do równych |^-j; t. j. mieć będziemy:

т*

(5),

Jest to ta sama wartość, co i wzór (4). Jeżeli oznaczymy zatem przez

P— eh

(6),

to będziemy mieli wzór ogólny

W=

Pw

.    . (7).

wytrzymałość przecięcia poprzecznego belki równa się: połowie iloczynu powierzchni przecięcia poprzecznego, przez wytrzymałość gatunkową materyału.

Wzór (7), jako ogólny, stosuje się do wszelkich form możliwych, t. j. okrągłych, kwadratowych, krzyżowych i t. p., jak również i do wszelkich innych, aby tylko one były symetryczne w kierunku poziomym i pionowym HI (rys. 4); niesymetryczne zaś, jak to jasno wypada z rów. (2) (rys. 3) powinny być odpowiednio, w każdym wypadku, obliczone na podstawie form prostokątnych.

Pozostaje jeszcze do oznaczenia długość ramienia a, na którem działa siła W — co znajdziemy w sposób następujący (rys. 6 i 4). Podzielmy, w kierunku pionowym, przecięcie poprzeczne belki DEFO na n części równych; wysokość każdego paska będzie ж, zatem к = nx\ zgodnie z zasadą stopniowego zmniejszania się natężenia włókien od góry do dołu (rys. 4), musimy przyjąć, że na pasku dolnym, ostatnim, przecięcia,

SX

Tl •* ir 4r

Г^—е.

'TV

i"

'г

ff

______)**

ßys. 6.

и*г

Уп

natężenie włókien równać się będzie i na każdym wyższym pasku — odpowiednio będzie większe; mianowicie, na

2-imjuż |2-^-j,na3-im już|3^-j

i t. d., aż na ostatnim, czyli na

krawędzi górnej belki — będzie już |w— j, t. j.: w.

W ten sposób, moment wytrzymałości sił wewnętrznych m—równać się będzie sumie wszystkich momentów cząstkowych, t. j. wszystkich pasków:

= Wa—ex^x-\~ex^~2x-\-ex^—3x-\- .... ех^-пх . . . (8).

'Yb ¹ Yl ¹ YŁ    Yl

Po uproszczeniu, otrzymamy:

(9).

m = ex² — (l² 4- 2² + 3² 4- . . . . n²) n

Ponieważ suma kwadratów liczb kolejnych, od 1 do w — równa się:

n(n -j- 1) (2n + 1)

więc:

. . . (10).

eh²w n(n-1-1) (2w-j-l)_e^w (w-J-1) (2w-f-l)

(w -j- 1) (2n -j- 1)_1 -j- Зтг -j- 2n²

Ponieważ ułamek

su równa się 2, gdy n — oo ; więc, otrzymujemy:

2 eJc²w

n²

u kre-

(11).

Jeżeli przyjmiemy teraz pod uwagę rów. (5), gdzie oznaczoną została wielkość siły W, to otrzymamy, że:

(12).

²    h

3    *

To znaczy, że ramię wypadkowe, na którem działa siła wytrzymałości W, przecięcia poprzecznego belki, wynosi, licząc od osi obrotu dźwigni, § całej wysokości przecięcia.

Tym sposobem, obiedwie części wzoru (2)—są teraz wiadome już i w wypadku szczegółowym z równ. (5) dadzą:

Wa = e^ = sA

3

lub, w przypadku ogólniejszym (równ. 7):

= sA

„T PTcw Wa=-3~

Wskazana więc na rys. 3 dźwignia łamana D OB, występująca przy zjawisku zginania, uczy nas, że, gdy pomiędzy jej ramionami i siłami—zachowamy równowagę, —zabezpieczymy przez to trwałość samej belki także, gdyż wtedy moment wytrzymałości materyału — pokona moment siły zginającej (teoretycznie—dorówna mu).

na

Na rys. 3—przedstawiona belka, która pęka — wskutek zerwania wszystkich włókien w przecięciu poprzecznem; rys. 7—przedstawiamy belkę OD, która pęka pod działaniem

V/.

-a

7f

Ш7777777ЛЩ

У/

Rys. 7.

siły zginającej s, wskutek zgniecenia materyału pomiędzy płazczyznami OE i OZ); wtedy oś 0 obrotu dźwigni łamanej DOB znajdować się będzie na krawędzi górnej belki. Przecięcie OD było na jednej płazczyźnie z przecięciem OE przed zgnieceniem materyału; po zgnieceniu zaś, albo, wogó-le—po rozpoczęciu działania przez siłę zginającą s — płaz-czyzny DO i OE—rozchodzą się i wytwarza się oddziaływanie wytrzymałości W przecięcia poprzecznego. Ponieważ co do tego zjawiska nic się nie zmienia w rozumowaniu, prze-prowadzonem przy belce na rys. 3,—więc wszystko to samo stosuje się i do wypadku obecnego; należy tylko oznaczyć przez w' — wytrzymałość gatunkową materyału na zgniatanie, bowiem zdolność materyału—wytrzymywać rozciąganie i zgniatanie, może być nie zawsze równa. Mielibyśmy więc z równań 13 i 14, że:

. (15)

eJc²w'

— = sA

. (16).

Piciu'

-8~ = U-

Jeżeli, naturalnie, w' = w, to otrzymujemy wzory dawne: 13 i 14.

iïi

jy ;

TS.

Rys. 8.

Rozpatrzymy teraz rys. 8 belkę BBV leżącą na dwóch oparciach E i E{, pod działaniem obciążenia C wytworzą się dwa oddziaływania s i jeżeli przypuścimy, że oś obrotu dźwigni leży na krawędzi górnej, w punkcie 0 i że materyał belki podlega rozciąganiu,—to warunki równowagi dadzą nam:

sb = s₁b₁ i s —f- = C . . . . (17)

(18)

także

aW = sA I aW = s₁-A₁ J

bo tutaj tworzą się dwie dźwignie: część prawa belki ma swoją dźwignię BOD i część lewa ma swoją także dźwignię BxOD. W miarę tego, jak rozpatrywać będziemy zjawisko, t. j. czy następuje rozciąganie materyału belki, czy zgniatanie, — na-

l JPJc^o \

leży wziąć zamiast aW — albo f »—j

m-

albo też

Moment wytrzymałości m — aW jest tutaj jeden, wspólny obydwóm częściom BBX belki.

4.

Dotąd rozpatrywaliśmy zjawisko zginania w przypadkach takich, w których oś O obrotu dźwigni — mieściła się zawsze na jednej z krawędzi belki, albo na górze, albo na dole; ale, jeżeli przypuścimy w belce BC (rys. 9) oś środkową

XL

*1 _ ś_

V777777777?,|

Rys. 9.

jej, podłużną CB, albo inaczej—linię obojętną belki i na tej właśnie linii przypuścimy położenie punktu O oparcia dźwigni;—to przypadek ten różnić się będzie od poprzednich. Mianowicie, w połowie górnej belki, ponad osią CB w przecięciu DD zajdzie rozciąganie włókien; a pod osią CB w przecięciu DD — zajdzie zgniatanie włókien; do połowy górnej odnosi się wytrzymałość gatunkowa materyału na rozciąganie, w\ a do połowy dolnej—wytrzymałość na zgniatanie, w'. Oczywiście, moment wytrzymałości m (rów. 3), równać się będzie sumie momentów obydwóch połówek belki, t. j. dwóch dźwigni:

(19).

m — Wa -f- W'ar

A, jeżeli jeszcze uczynimy jedno uproszczenie, mianowicie, przyjmiemy, że wytrzymałości gatunkowe — są jednakowe, na rozciąganie i na zgniatanie, t. j., że:

w'\ otrzymamy wtedy: ek²w

• - (22).

Zatem, wypada, że:

• (23).

zachodzą tu bowiem, jakby jednocześnie, obydwa wypadki rozpatrzone poprzednio; do każdej też połowy belki stosuje się właściwy tejże wywód. Równ. (11, 13) dadzą

ez²w'

nam:

ex²w m = —

• • (20).

Jeżeli przypuścić, iż x

to

— to :

ek²w    eh² w'

12

12

■ ■ (21).

eJc²w

-q- = sA

Porównywając ten wzór ze wzorem 13, widzimy, że zachodzi bardzo wielka różnica w zginaniu, gdy oś 0 dźwigni leżeć będzie na jednej z krawędzi belki, lub na jej linii środkowej: w 2-ch pierwszych wypadkach przecięcie poprzeczne belki ma wytrzymywać tylko 3 momenta sA; w ostatnim zaś wypadku musi ono wytrzymać 6 tych samych momentów sA; . t. j. w tym razie belka musi być 2 razy mocniejszą. Nie może to być wcale rzeczą obojętną —wydać na materyał dwa razy mniej, lub dwa razy więcej.

Teorya dotychczasowa podaje jeden tylko wzór, mianowicie (23), na wszystkie te wypadki i nie odróżnia ich; tymczasem, okazuje się, że mogą one istnieć. Kiedy oś 0 dźwigni, przy zginaniu, przenosi się na jednę z krawędzi belki, a kiedy pozostaje na linii środkowej—nie wiemy tego: należałoby to—zbadać dopiero, zapomocą odpowiednich prób

i doświadczeń. Zauważona niezgodność w wielu wypadkach pomiędzy obliczeniami ze wzoru (23) i praktyką, tłomaczona dotąd wyłącznie tylko wpływem różnorodnych wartości w i w\ przejawiających się w materyale, — oprócz tej przyczyny, może mieć także jeszcze i tę głębszą przyczynę, że oś O dźwigni, w rozmaitych warunkach, może mieć rozmaite położenia, — to na krawędzi, to na środku przecięcia poprzecznego. Ponieważ podług teoryi, czyli w ścisłości myśli, nic się w praktjme odbywać nie może, — albowiem mniejsze lub większe uchylenia się materyi od tych praw—są zrozumiałe;— więc można również przypuścić, że i tutaj położenie istotne osi 0 dźwigni, nie będzie — ani na linii środkowej belki, ani na krawędzi, — ale pośrodku, między terni granicami. Jest to bardzo prawdopodobne.

Przj^jmując pod uwagę, że np. gdy zginamy linijki, pręty i t. p. małe beleczki gumowe, — jasno występuje rozciąganie na powierzchni górnej belki, a kurczenie się mate-ryału czyli zgniatanie—na części dolnej; — możnaby wnosić, że właśnie w razach, gdy ma się do czynienia z ciałami sła-bemi, o wytrzymałościach w i w' nie wielkich—oś 0 dźwigni leży blizko osi obojętnej CB (rys. 9); w materyałach zaś mocnych — oś O leży zapewne blizko krawędzi. Wtedy do drzewa, ołowiu, cyny, miedzi i t. p. — należałoby stosować może wzór (23); a do stali, żelaza i t. p. materyałów mocnych— wzór (13). Ale, powtarzamy, iż rzecz ta wymaga—zbadania. Zapewne, że i forma przecięcia poprzecznego, nie pozostaje tu bez wpływu; tak np., w przecięciach kołowych, owalnych— można łatwiej przypuścić, iż oś 0 dźwigni znajduje się bliżej środka przecięcia poprzecznego, czyli bliżej do linji obojętnej CB (rys. 9); w przecięciach zaś prostokątnych, szczególniej zaś w niesymmetrycznych względem osi poziomej, a także i w przęsłach mostowych, z powodu jazdy górą lub dołem — belki; można przypuszczać znajdowanie się osi O dźwigni— bliżej do jednej z krawędzi.

CO

COO

Jeżeli ustrój belek taki, że massy materyału przecięcia poprzecznego, jak wskazują (rys. 10) powierzchnie Pl5 P₂, P₃... ześrodkowane są przeważnie, albo też — zupełnie na odległościach, od osi 00 obrotu dźwigni, alf a₂, a₃ . . . , to wtedy, rzecz zrozumiała, iż wytrzymałość takich przecięć, należy brać nie z rów. (7) ale bezpośrednio: W = P{iv = = P₂w — P₃w =    również wielkość ramienia nie

/•

-t -

>-

pa

4“--

---à - -

Rys. 10.

z rów. (12), ale całkowite, av a₂, a% .. . osi 00 — środków ciężkości, odpowiednich przecięć po-

czyli odległość od

przecznych; odpowiednio też moment wytrzymałości byłby m — wP₁al = wP₂a₂ — wP%a% — wP^a^ . . . . i t. d.

уШ7777/777\

TÎ V

i ** t j

’’tyZZZZZZZZZZZZZZb,

Rys. 11.

Przypuśćmy, że mamy krzyżówkę podwójną Kv poje-dyhczą K₂, kątówkę _ЙГ₃; - oś obrotu dźwigni 00 przechodzi

przez ich krawędzi dolnej to ich dokładne momenta wytrzymałości, byłyby odpowiednio (rys. 11):

g(k — f)²w . ef²w

Kx .... m = efwîc-\~ gk²w

K₂..

ef²w

. . (24).

qh²w    ef² w

3    +    3

Ale, ponieważ półki dolne tych przecięć, jak to widać rys. 3 i 4, mają natężenia włókien, w blizkości osi O dźwigni, równe prawie zeru; więc stąd wypada, że półek dolnych, w rachunek brać nie należy, właściwie mówiąc, tak z powodu niedziałania ich włókien, jak też i z powodu małej długości ramienia f\ na którem występuje wytrzymałość efw — każdej półki. Zamiast więc układu (24), będziemy w takich razach mieli wyrażenie praktyczniejsze:

g(Jc _ ffw

Кг--

na

Kx . .

K₂...

. . (25).

Ks--

gh²w

I odwrotnie, mając przecięcia K₂ i K₃ — lub tym podobne, jeżelibyśmy mogli rzeczywiście wytworzyć oś obrotu dźwigni, zamiast 00, na końcu drugim przecięć, t. j. 0X01X to rzecz jasna, że teraz, materyał, zawarty w półkach dolnych, będzie zupełnie wyzyskany, bo teraz te właśnie włókna będą ulegać natężeniu największemu. Wtedy moment wytrzymałości ich byłby odpowiednio:

K₂ i K, . .

= efwh -|-

g{h — f)²w

. . (26).

Jeżeli w równ. (23) podzielimy obiedwie strony przez wytrzymałość gatunkową w, to otrzymamy:

^ 6

eh²

sA

(27)

wielkość [j.Ł), zwaną w ^dotychczasowych wydawnictwach — momentem wytrzymałości — znajdujemy gotową w rozmaitych tablicach i podręcznikach, zastosowaną do mnóstwa rozmaitych przecięć poprzecznych, używanych powszechnie w praktyce; można przeto, bez osobnego obliczania, brać je gotowe zawsze,—pamiętając tylko, że odnosi się to do położenia osi 0 dźwigni — na linii obojętnej, belki; a, jeżeliby miała oś dźwigni przechodzić przez krawędź górną lub dolną tejże belki, — to, jak wiemy, musi być wtedy:

eh²

sA

(28)

t. j. wtedy: p/ —2 u.

СЛО

05

Zkręcanie.

Na rys. 2 — ramiona dźwigni lężą w dwóch płaz-czyznach, oddalonych mniej lub więcej od siebie; ten właśnie wypadek zachodzi przy zkręcaniu. Jeżeli mamy ciało HLK (rys. 12), o przecięciu poprzecznem kołowem, umocowane w płazczyźnie FG, a na drugim końcu К, na ramieniu A — działa siła zkręcająca s,—to, rozpatrując wytrzymałość ciała w płazczyźnie FO lub jakiejkolwiek innej, widać, iż od końca ńf, w płazczyźnie którego działa właśnie siła s, płazczyzna FG—zawsze musibyćmniej lub więcej—odległą; długość ООг— wyrażać będzie odległość pomiędzy płazczyznami omawia-

!) Wielkość (pp)

i inne, jej podobne, niesłusznie została

nazwaną momentem wytrzymałości: przecie tu niema nawet wielkości w, charakteryzującej wytrzymałość właśnie. Moment wytrzy-

e/c²w

małości m = Wa ==

ek²w

g-lub

nemi, albo lepiej, pomiędzy ramionami dźwigni. Jeżeli zkręcanie następuje w kierunku strzałki 6, to opór materyału czyli wytrzymałość W₀ przecięcia, jako oddziaływanie, mieć będzie kierunek strzałki d, odwrotny. Oznaczając przez a — ramię siły wytrzymałości przecięcia, dla równowagi mamy:

(29).

W₀a = sA

те

те?

Rys. 12.

Iloczyn sA = M₀ — jest momentem sił zewnętrznych czyli momentem złcręcającym; zaś W₀a — m₀ — jest momentem sił wewnętrznych czyli momentem wytrzymałości przy zkręcaniu. Zatem, mamy zawsze:

(30).

m₀ = M₀

Ażeby uprościć rozbiór, nie będziemy zwracać uwagi na zginanie, jakie często powstaje przy zkręcaniu, bo to nie zmienia natury zkręcania; ale samo zkręcanie rozpatrzymy. Istota tego zjawiska polega na tern, że promień LO przecięcia poprzecznego, po zkręceniu — zajmuje położenie HO, różniące się od pierwotnego o kąt a.

Moment M₀ = sA, jako wiadomy,—nie wymaga obliczenia; potrzeba obliczyć tylko moment wytrzymałości m₀ = W₀a. Niech będzie, w tym celu, wycinek HOL (rys. 13)—ten sam, co i na rys. 12; jeżeli przy kącie a nastąpiło pęknięcie materyału, to znaczy, że włókna na powierzchni walca, na żenią; inne zaś wszystkie luki, nie o promieniu r, ale o promieniach 37, 2x, 3x i t. d. — począwszy od natężenia = 0,

łuku HIL doznały największego natę-

tf

i'

U

Rys. 13.

Rys. 14.

w punkcie O, — będą stopniowo dochodzić do natężenia największego, jakie rozwija się na łuku H1L. Oczywiście, iż te natężenia znajdują się do siebie w stosunku do owych właśnie łuków albo, co na jedno wypada, do ich promieni. Jeżelibyśmy tedy, dla krótkości, przyjęli łuk HIL—za samo natężenie, — to rzecz jasna, iż, aby ciało nie pękło, potrzeba, aby łuk HIL = w>₀, gdzie w₀ — znaczy wytrzymałość gatunkową materyału na zkręcanie; jak wiadomo, ta wytrzymałość jest równą wytrzymałości na zcinanie, czyli f do f wytrzymałości gatunkowej podczas rozciągania, t. j. w₀ = f w; odnosi się również do lew² przecięć poprzecznych. Jeżeli wycinek HILO podzielić linią 10 na dwie części równe, I-ą lewą i Il-ą prawą i złożyć, jak wskazano na rys. 14, aby góra połowy drugiej znalazła się na dole u połowy pierwszej, — to łatwo zauważyć, że wszystkie natężenia, od zera zwiększające się, aż do w₀ na rys. 13, tutaj sumują się ściśle i widocznie przytem, na całej dawnej powierzchni wycinka, gdyż ta się nie zmieniła — wszędzie do połowy natężenia naj większego w₀]— t. j. mamy¹):

*) Odnosząc do powierzchni całego koła.

(31).

Jeżeli zaś ogólnie nazwiemy powierzchnię przecięcia poprzecznego—ciała, przez P—to

W — P — v° 2

(32).

Zatem, jak i przy zginaniu, tak i przy zkręcaniu,—wytrzymałość przecięcia poprzecznego ciał zkręcanych, równa się: iloczynowi powierzchni przecięcia przez połowę wytrzymałości gatunkowej.

Pozostaje do znalezienia teraz tylko ramię a, na któ-rem działa siła wytrzymałości W₀.

Weźmy część BOC przecięcia poprzecznego i podzielmy je od środka ku obwodowi na n pasków równych, o wysokości x;

zatem, x =

na powierzchni walca mamy natężenie w₀, to na ostatnim pasku, czy też — krążku, przyległym do środka O, natężenie będzie oczy-

na następnym musi

Г    *

— (rys.. 15). Jeżeli

■Ś

-Ib

wiście

Rys 15.

być (2^»); potem (з^)

— właśnie do n — =

i t. d., aż

A zatem, rozszerzając wycinek BOC do całego przecięcia kołowego, o promieniu r, — otrzymamy, że moment m₀ zkła-dać się musi z sumy momentów wszystkich pasków:

wo ■

-j- 2rc 3sc . ж

m₀= 2nx.x

^3* + ..

n

— x + 2ж . x 2ж -j-

n    n

. . 2%nx. x-nx .

. . (33).

Po wzięciu za nawias wyrazu wspólnego, otrzymamy:

—(l³ + 2³ + 3³ + . . . . n³) . . (34).

77

Ponieważ suma sześcianów liczb kolejnych, od jedności do n, znaną jest i równa się:

'n(n -j- 1)\²

l³ —2³ —j— 3³ . . .

więc, biorąc jednocześnie, zamiast x =. _ TtrSW₀ (n 1\²

2 \~1T~)

— będzie

m₀

(36).

'7Ъ I

' I , u kresu, gdy n — co, bę-

Ponieważ ułamek

dzie jednością, więc ostatecznie, znajdziemy, że:

. (37).

71 r³lV₀

Z rów. (31) mamy WQ, zatem, teraz otrzymamy, iż:

a — r...........

(38).

To znaczy, że ramię wypadkowe, na którem działa siła wytrzymałości przecięcia poprzecznego przy zkręcaniu, równa się całej odległości od osi obrotu dźwigni, do powierzchni ciała.

Na podstawie przeto rów. (29) możemy teraz napisać: 7ir³W₀

= sA

(39).

Stąd, w razie potrzeby, oznaczymy promień r:

(40).

j/2 sA Г Kwo

coo

-a

Równ. (39) zciśle odnosi się do przecięcia poprzecznego— kołowego; przy innych figurach moment w₀, obliczony na (43).

I zatem, ostatecznie, mamy: ek{e -}- Jc)w₀

(44).

— sJ

Mamy tutaj niejaki zapas wytrzymałości, gdyż punkta В i C narożne u góry, a także u dołu, — mają ramię a — cokolwiek większe, niż lub ; tymczasem, liczymy

k³iv₀

(45).

Ponieważ:

• • (42),

podstawie rów. (32) i (38) — będzie cokolwiek różnić się od rzeczywistości. Aby tę różnicę uczynić bardzo nieznaczną, rozpatrzymy tu niektóre przypadki. Jeżeli mamy prostokąt (rys. 16), o wymiarach: wy- 1 sokość h i szerokość e, — przyczem, przez punkt 0 przechodzi oś zkręcania ciała; to należy zauważyć, że, z jednej strony, od środka

0 do powierzchni ciała mamy

tO

, z drugiej zaś jako ramię wypadkowe dźwigni, bez wielkiego błędu, możemy tedy wziąć wielkość średnią, pomiędzy niemi, czyli:

Rys. 16.

to

«-è ( -+y)

_k + e

■ ■ (41).

Pw* ekwn

W₀=

więc moment wytrzymałości będzie:

wszędzie na i |~j. W przypadku przecięcia kwadratowego, gdy = rów. (44) da nam: sA =

Jeżeli mamy przecięcie trójkątne (rys. 17), gdzie O jest środkiem ciężkości powierzchni trójkąta BCD, — to, nazywając przez: Ъ, c, cl — odległości od punktu O do boków trójkąta, w kierunkach prostopadłych, — możemy przyjąć:

.    . (46).

Dl=Ąr=

Rys. 17.

a = h + c + d

PW

Ponieważ W₀ = ———

u

efov₀

— ą ; więc otrzymamy :

12

. . (47).

W razie równości Ъ =. c — d, byłoby: ekbw₀

sA --

(48).

Możemy poszukiwać i w inny sposób momentów wytrzymałości przy skręcaniu; mianowicie, przypuśćmy, iż mamy prostokąt MM (rys. 18); pro-

mieniem r

J^e² 4- k²

----możemy

:    zawsze opisać koło, ze środka 0;

Rys. 2.

jeżeli oznaczymy przez p₁ i p₂ — powierzchnie odcinków koła nad prostokątem i z boku,—to moment wytrzymałości przecięcia da się teraz wyrazić:

7C T^W

— rwo (Pi -f Pt)‘ .• • (49).

Jest to sposób ogólny, bo zamiast prostokąta MAI — może być wpisana do koła — figura dowolna; należy tylko wtedy odjąć odpowiednie części urojone momentu, zależne

od właściwych, jak widzimy, powierzchni:    p₂> Ръ i t. d.

Wziąwszy zamiast wyrazu w nawiasie—jego wartość, t j

• • (50)

Pl +P2

7rr² — ek

po podstawieniu, ostatecznie znajdujemy:

Ve² + k²

W przypadku kwadratu, gdy e = k, wzór ten dałby:

У 2 khVr. s A = —

sA =

(51).

(52).

Wzory (52) i (45) nieco się różnią; ale, są to też różne stopnie przybliżeń.

; : i.

nT

*=J

Rys. 19.

Rys. 20.

W myśl wzoru (49), opartego na różnicy pomiędzy częściami momentu wytrzymałości przecięć poprzecznych, można otrzymywać momenta przecięć takich, jak np. rury, kwadratu pustego i t. p.

Jeżeli mamy rurę (rys. 19), o promieniu zewnętrznym R i wewnętrznym r—to:

r3)    .    .

U

Jeżeli to będzie kwadrat (rys. 20), którego bok zewnętrzny oznaczony został przez K, a wewnętrzny przez to:

.    . (53).

sd

^ {№ — к³).    . .

• • (54).

Tak samo postąpić należy i przy innych figurach, odejmując od momentu całkowitego moment cząstkowy.

Wzory te łatwo jeszcze sprawdzić w inny sposób; к(Л² — r²)w₀

rys. 19 da nam:

. R\ tutaj zamiast jßr², może-

my zawsze przyjąć r³ i będziemy mieli sA =

— ; tutaj również zamiast Kk² może-

U

— к³), — t. j.

t. j. dawny wzór (53). Rys. 20 da nam tak samo: (№ - F) '^.-K

my przyjąć kz i otrzymamy sA =    (К³

dawny wzór (54).

c**

Wzory (44) i (45) są, pomimo tego, że zostały zupełnie prosto i łatwo wyprowadzone — zcisłe także. Weźmy w tym celu prostokąt FG (rys. 21) o wysokości к i szerokości e; przy-

ÎÎ

К

-V____

Ił..

czem, oznaczymy v, — -

*-

U

-i..

Rys. 21.

i e = - -; podzielmy powierzchnię jego na 4 odpowiednie trójkąty, schodzące się wierzchołkami w środku O. Rozpatrzymy trójkąt górny FOH. Podzielmy powierzchnię jego, poczynając od środka 0 — na n pasków, o wysokości równej,

która będzie w takim razie f-^-j ; długość pierwszego paska będzie, jak widać drugiego    i t. d., aż do ^ = e\ , dru-

wytrzymałość pierwszego paska będzie także j^j

nw₀

== w₀ — na powierzchni ciała

giego

2W₀\ - ,    !

—-I i t. d., aż do -— n I    n

czyli na krawędzi FH\ ramiona wytrzymałości tycli pasków, będą także, kolejno: |~j ,    • Suma momentów

wytrzymałości wszystkich pasków, da nam moment wytrzymałości całego trójkąta F OH—tak samo, jak to odpowiednio wzięliśmy przy rozpatrywaniu przecięcia kołowego (rys. 15); będzie więc:

m'= —

Ci

ivn *

11 11

3e 3iv₀ 3%

11    71    '

71

±2e 2», 2*

11    11    71    71

* ne nw₀ n*

11    11    11    71

. . (55).

Biorąc za nawias wyraz wspólny, otrzymamy:

m'

’^Ł(l³+2s+3³+...«³)- . . (56).

Zastępując szereg sześcianów przez jego sumę z rów. (35) i wprowadzając skrócenia, znajdziemy:

k²eiv₀ In 1\²

\ n I

m'

16

(57).

ułamka

A ponieważ, jak już wspomnieliśmy wyżej, — wartość kresu, gdy n = co , będzie jednością;

m- «

zatem, ostatecznie:

m' —

k²w₀e

16

(58).

Takiż sam moment, odnośnie do trójkąta HOG, będzie odpowiednio znowuż:

m"

e²kw₀

(59).

A zatem, moment wytrzymałości całej powierzchni prostokąta FG, będzie, oczywiście:

m₀

= 2(jw' + m") = ^(k²e-\-Jce²) = sA . . . (60).

O

Jeżeli zaś Jc = e, to znajdujemy:

Jcsîv₀

sA —

. (61)..

Jak widać, wzory (60) i (61) są te same, co i dawne

(44) i (45).

cco

00

Zestawiając wzory (2) i (29) z wzorami np. (13) i (45), trzeba zwrócić uwagę przy obliczeniach, że wzór, napisany pod postacią np. Wa — sA lub W₀a = s4, — wymaga oczywiście, aby ramiona a i A. dźwigni, były zmierzone jednakową miarą, np. metrem i t. p.; siły zaś W lub W₀ is — będą wyrażone również w jednostkach wspólnych, np. w kilogramach i t. p.: tu już rzecz obojętna, jak otrzymaliśmy wartości liczebne sił W, W₀ i s — aby tylko były obliczone dobrze; i możemy użyć, do obliczenia powierzchni przecięcia — miar dowolnych, zupełnie innych, niż te', które były użyte do mierzenia ramion a i A. Mogą więc być np. ramiona wyrażone w metrach, a przy oznaczeniu sił W lub W₀ — możemy użyć millimetrów lub centymetrów i t. d. Lecz, jeśli korzystać

Jc³w₀

~T~ ’

rzecz jasna, iż we wszystkich wzorach podobnych —musimy, dla zgodności z prawdą, brać ramię A w takich jednostkach długości, w jakich wyrażone będą boki e, Tc] a ponieważ wytrzymałości gatunkowe w lub w₀ — odnosić najdogodniej do lew²,—więc najlepiej używać centymetrów, tak do mierzenia ramienia A dźwigni, jak i do mierzenia powierzchni przecięcia. Inaczej bowiem, trzebaby jednę potęgę od Jc³ lub od Jc2 oddzielać na ramię małe a dźwigni, aby je doprowadzić do

— to

zechcemy z postaci wzorów sA — lub sA =

— 39

zgodności z ramieniem A; a toż samo k² lub już zmniejszone i stosujące się teraz tylko do powierzchni, a nie do ramienia a,— obliczać niezależnie choćby, alezgodnie już z siłą s, jak wspomniano z początku. Taki, naturalnie, sposób postępowania, byłby uciążliwszy i mniej dogodny.

Zasada dźwigni, przedstawiona w części powyższej—wytrzymałości materyałów,—ma tę zaletę, jak widać, że prosto bardzo, wyraźnie i jasno podaje i wskazuje konieczność tych związków i stosunków, jakie zachodzą pomiędzy siłami i wymiarami ciał; t. j. podaje łatwość ułożenia równań—równowagi sił.

Tablica wytrzymałości gatunkowych, niektórych materyałów.

Wytrzymałość gatunkowa średnia ')

«o

Na rozciąga- Na zgniata- Nazcinanie nie w    nie w'

!—*• H* ł—l ЮИО

Żelazo Surowiec Stal. . Miedź

600

200

600

1100

1000

460

300

1100

150

H Mosiądz

4 Drzewo f równolegle /dowłókien (prostopadle

170

700

800

130/

15(

100

230

80

70/

50

10

Cynk Ołów Cyna Szkło Łupek . Cegła .

so

90

00

20

70

100

140

15

40

20

40

80

50

30

20

15

Uwaga. W tablicy powyższej—siły wyrażono w kilogramach; odniesione są do jednego centymetra kwadratowego.

Są gatunki materyałów—lepsze i gorsze; tutaj bierzemy gatunki średnie, przeciętne.

Pewność przyjętą została siedmiokrotna, t. j.: jeżeli ciało, przeciętnej dobroci, obciążymy siłą siedm razy większą, niż wskazana pod którymkolwiek znakiem w, w', w₀,—to natychmiast ulegnie ono zniszczeniu — albo przez rozerwanie, albo przez zgniecenie, albo nakoniec — przez zcinanie, — zależnie od tego, jakiemu działaniu materyał poddany.

Wytrzymałość na zcinanie jest ta sama, co i wytrzymałość na skręcanie, w₀ = f do f mniejszej z dwóch wartości w i w'.

Naj właściwiej, wypróbować, dany do budowy, materyał i przyjmować te wytrzymałości, jakie każdy gatunek da z doświadczenia. Stopień pewności zależy po części od nas, po części od rodzaju budowy i okoliczności towarzyszących. Może być jednak zachowywany i zawsze ten sam, niezmienny stopień pewności, np. siedmiokrotny; można tylko, w miarę potrzeby, wtedy wymiary nieco powiększać lub zmniejszać, jak tego wymagać będą okoliczności i warunki rzeczywiste.

UWAGA

o przedstawieniu rysunkowera zmian funkcyi:

tangens a.

Jeżeli mamy kąt a (rys. 1), to na stycznej EF odcinek EG —or, wyrazi nam, przy promieniu OE—r — 1,—wielkość

-ł- co

V\4v

Ci'

ïï

; iZf

/ j — CO

Rys. 1.

funkcyi tg a; t. j. x = tg a.

Gdy kąt a rośnie od 0° do 90°,

* X rośnie od 0 do -f-co; t. j. punkt G, przecięcia się promienia przedłużonego OG ze styczną EF, będzie się posuwać do góry, w kierunku strzałki a, po stycznej EF.

Kiedy zaś kąt a zaczął przechodzić wartości od 90° do 180°, objaśniano, że wtedy raptem x przeskakuje od-|-co do — co; t. j. przeszła już wartość x — pod linię AB i znajduje się już teraz na stycznej HI.

Objaśnianie podobne — niewłaściwe, z różnych nawet punktów widzenia i bynajmniej tego nie wymaga — istota rzeczy. Widzimy, iż bieg wartości kąta a od 0° do 180° — zupełnie naturalny i nie ulega przecie żadnym nadzwyczaj-nościom; dlaczego więc ma się znaleźć w wartości x tak wielki przeskok, jak dwie aż naraz niezkohczoności? Pocóż mamy szukać, przy a = 91° np. wartości x około punktu I, na stycznej HI, pod linią AB, — kiedy prościej nierównie i daleko właściwiej, idąc za logiką rysunku czyli w tym razie — rzeczy samej, — poszukać jej około punktu К, na stycznej Kffl W niezkohczoności, punkta F i K, zchodzą się, jak gdyby do punktu jednego L, który musi znajdować się na osi OC, gdyż w tern miejscu, przy a = 90°, promień koła przyjmuje położenie prostopadłe do osi AB; a funkcya tg a. = -J- oo. Od punktu L, biegiem naturalnym, zpadać będzie tg a po stycznej LH lub KH — na dół, aż do zera. Punkt L zatem, w niezkohczoności, jest punktem zwrotu funkcyi; zatem, w tym punkcie, albo wszystko jedno, w punktach F i K, styczna EF z prostopadłej do osi AB, staje się równoległą do niej; a w biegu już dalszym potem, znów staje się prostopadłą do tej samej osi AB, ale jako styczna już KH, po której funkcya tg a. — zpada do zera. Zmiany więc funkcyi tg a idą tak: od 0 do -j⁻ co po stycznej EL i od -j- oo do 0 po stycznej LH. Ten bieg zmienności funkcyi — zupełnie prosty i nie wymaga objaśnień, że tutaj—raptem funkcya przeskoczyła od -|- oo do — oo: gdyż widać, iż tych przeskoków właśnie — czynić nie potrzebuje.

Żadna też funkcya, prawidłowo rozumiana, nie może ominąć podstawy zasadniczej, iż punkt zwrotu — jest jeden, a nie dwa, oddzielone od siebie, aż dwiema niezkohczonościami. Żadna też funkcya nie może ominąć i innego jeszcze prawa zasadniczego: od wartości dodatniej, do wartości odjemnej, przejść musi przez wartość zero; a gdzież tg a około 90°— przeszedł przez wartość zero, żeby już miał prawo stać się odjemnym, w ćwierci Ii-ej koła?

Tak więc, w kierunku strzałki a idzie ruch wstępny wartości, a w kierunku b — ruch zstępny jej, od tegoż samego punktu L. W tern przedstawieniu rzeczy — rozwój wartości X nie ulega żadnej przerwie, ale odbywa się sposobem — ciągłym. Zmiana więc znaku w Ii-ej ćwierci koła z (-}-) na (—) do wartości x odnosić się nie może, — bo, jakkolwiek w tej ćwierci, zmiany funkcyi odbywają się w kierunku strzałki h, odwrotnym do strzałki a, — to okoliczność ta ma związek tylko z kierunkiem ruchu, jeżeliby chodziło w znaczeniu mechanicznem— o ruch; na wartość zaś wpływać—nie może; w ten sposób bowiem, trzebaby również przyznać, że wziąwszy np. tg a przy 75°, jeżeli potem mamy przejść do tg a przy 40°, —to, ponieważ się cofamy, czyli idziemy na dół, — to tg a będzie miał tutaj wartość — także odjemną. Tak jednakże nie liczymy, bo weźmiemy znowuż kąt a od początku E.

Na ogólnych również zasadach uznać musimy, iż odcinek X, nad osią AB, wszędzie musi być dodatni; więc, nie tylko w I, ale i w II ćwierci koła; a pod osią już AB, w ćwierci III i IV -- dopiero może być odjemny. Wszak wartości sin a — nie szukamy, przy a = 90° — 180°, w III ćwierci koła, ale w II,—t. j. tam, gdzie on jest nad osią AB; pocóż tg a przenosić z ćwierci II do III?

Jeżeli to zawikłanie stąd powstało, że funkcya tg a =

-5-^, co dawało w ćwibrci II cos a

tg a, a koniecznie trzeba było otrzymać (-(- tg a) i udano się w tym

-f- sin a

— cos a

44

celn do ćwierci III, w której już mamy

— sin а

= tg a; —

— cos a

to, podobny sposób postępowania — można uznać, jako zbyteczny, gdyż i w ćwierci II możemy algebraicznie brać także

-f- sin а (+ |/l—sin²a)

= tg a; t. j., przed pierwiastkiem mamy 2 znaki, więc wybrać możemy ten, który będzie właściwszy.

Łatwo więc uniknąć przeskoku niepotrzebnego od -}- oo do — oo, gdyż w istocie takowy nie istnieje wcale; a funkcya tg a jest dodatnią w ćwierci I i II koła, odjemną zaś w III i IV.

(-}- tg a), na tej podstawie, że

sin а

— cos а

Toż samo stosuje się także do funkcyi sec a.

Jakkolwiek korzystaliśmy z przypuszczenia, iż w nie-zkończoności punkt L staje się miejscem wspólnem obydwóch punktów F i К,—to jednakże, przy odległościach wszelkich zkohczonych, od osi AB do góry (lub odpowiednio—na dół), pomiędzy stycznemi EF i KH — zawsze odległość prostopadła — być musi równą średnicy HE koła; zatem, styczne EF i KH—mogą, służyć za obraz doskonały — równoległości geometrycznej linij.

^ KRAKÓW

• пгщ

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

и 8 O 34

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299633

щшш ■

u".-* --    - ~

: .

Ш

'ЯЙ

-i!sV|4::.f X.

- >-v- -    'Л.

:\

-‘Ш--

# «f|

■■ ■- ■' - _.* -■■ ■ . "■ - - . .

r ..    .    - ' .....'    . ■■    . . , ' ~    _    -    - '-

" ~ " ' '

Г2 -    .

c; Ä

VJ:

••

‘

В - |ж

\

даак    -    - ' -

, • . - *>;■ '--•. i?“. - - Jg&? X *

SS

. - -.- .. - -

ЙЙ-

-'•

T •

' ".: *5^31й32?*&82в

■

-    ■:. : I

-W-*    -',.v: ~ „

0Й?Э

X

.

•Г. V ;

r*r :

мЖ-Ofü- v_-

• ■ -.-г..-; .:    ,:-'::vVr««

jess-i - - 1Г ■'.-

5gSfe*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299633

:hniki Krakowskiej

11-8034