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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

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<£Ие Sammlung

Л us 'ïtafur unb ©riftesœelt’

nunmehrüber800ВапЬфеп umfaffenb, bietetшШфе»(Einführungen* inbie£auptwiffendgebietefut ben Un ter г 1ф4 ober Selbpunterr^tbeo Sälen паф ben heutigen тефоЬрфепЯпркЬегипдеп, [eil Ibtem (Entfielen (1898) ben ©ebmiten bienenb, auf benen bie beute fo mächtig entœicfelte ВоиоЬоф(фи1Ьетедипд beruht. в le шШ febein geffiig Wünbigen bie Wögl^teif fchaffen, РФ ohne befonbereBottenntniffean рфегрег Quelle, ш!е pe bie Datpellung Ьигф berufene Bertreter ber ЭДЩеп[фар bietet, über febed ©ebiet Ьес^ШРеп[фар, Кипр unb ХефпК }\x untersten. Sie »ill ibn babel ?ид!е{ф unmittelbar imBecuf f5tbern,ben©ef^totreldeiweiletnbf Ь1е(Е1п[1ф1 in bieBebingungenbetBerufdarbeitoerliefenb. Blefem Be* bürfnio tönnen Stilen im (Eharatter oon »Äudjugen* aus großen ЁеЬгЬйфет nie еш[ргефеп, benn [о1фе [eben eineBertrautbeitmitbem Stoffe [фопоогаиз.

Bie Sammlung bietet abet аиф bem Зафтапп eine га[фе juoet* läffige tiberf 1ф1 über bie рф beute oon Sag ju Xag œeitenben Gebiete beo geiftigen Sebeno in weiteftem Umfang unb oetmag fo oot allem аиф bem immet pätfer metbenben Bcbürfnid bed $ог[фего jn bienen, рф auf ben ВафЬагдеЬ(е(еп auf bem laufenben ju erhalten,

3n ben Bienp bie[et Aufgabe haben рф barum аиф in banfenemerfet Weife oon Anfang an bie bepen Flamen gepellt, gern bie Gelegenheit benutzenb, рф an weitefte Kreife ju menben.

So tonnte bet Sammlung аиф bet Erfolg п!ф! fehlen. Webt old bie Öälfte bet ВйпЬфеп liegen, bei febet Auflage Ьигфаио neu bearbeitet, beteitd in 2. bid 8. Auflage oot, indgefamt bat bie Sammlung bid fety eine Begleitung oon fap 5 Millionen (Exemplaren gefunben.

5Uled in allem pnb bie [фтиФеп, gebalfoollen Bänbe befonbetd geeignet, bie Steube am Вифе ?u werten unb baran gewöhnen, einen Betrag, ben man für (Erfüllung !огрег11фег Beburfnlffe п1ф1 anjufeben pflegt, аиф für bie Befriebigung geipiget an?uwenben.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej sèiftesi^r юо"£

genffänben.

Wenn eine Betteuerung bet Sammlung Infolge bet аирегогЬепШфеп Steigerung ber Öerpellungstoften - pnb Ьоф bie Söhne bid Яидир 1922 auf etwa bad ЗютпЬо1егл'д[афе, bie Qftaterialien auf bad (Einbunbertunb* fünfzig* bid ЗюегЬипЬе^афе (teilweife поф weit bomber) geftiegen - аиф unoermeibbar gewefen ift, wie bei anberen »billigen* Вйфет, ). B. ben ‘Keclambefleit geftiegen, uni fell, I

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Ь. Xeubner

€tn ooUftûuôîgci?, паф Itiiftcnegcbietcn georOnetee Ивг?«фте ocrfenOct auf сШии|ф Осс Vertag, Êcîpjig, Poftjtr. 3/S

3«t blatheniatif unb Kftconomic

finb bisher erfcf)ienen:

(£infüf)cutig in Oie ÏHattjemütiî.

(Einführung in dieblathematif. bon ©tubienrat Ж blenb eUfobn. THit 42 Figuren im Xe*t. (bb. 503.)

♦blathcmati^eSormelfammlung. (ИпЬИеЬегИипдбЬиф bet (Elemcntatmat&ematit. bon Ptof. Dr. ©. Oe to bi. I. Ktü()metü unb Klgebta. II. ©eomettie. (bb. 646/47.)

&ritf)metif, JUgebta unb 3Uiait)ftd.

ftrithmctif und Klgebra jum ©elhftunterr^t. bon ©e&. ©tubienrat p. (Stand. 2 banbe. I. Xeü : 'S« КефпипдоаПеп. ©leiüungen elften ©labe« mit einet unb meuteren Unbekannten. ©Шфипдсп ?meiten ©tabeo. 7. Kufl. blit 9 Figuren im Xejü. (bb. i 20.) 11. Хей: ©1е*фипдеп. Кпфтеффе unb деоте1п[фе Reiben. ЗМеорпо* unb 'Kenten* гефпипд. Komplexe 8<ф1еп. ЬтопиЁфег £еИ<Ф* 5. Kufi. ЬШ 2) XejUftguren. (bb.20S.) Ёе^гЬиф der Кефепоог teile. ©фпейгефпеп unb Ked>entunft. büt ?аЬ1шфеп ПЬипдв» beifpielen. bon 3ng. Dr. phil. 0. bojfo. (bb. 739.)

(Einführung itt die 3nfinitefimolre<hnung. bon Prof. Dr. ©. Komalerosti. зп oet» beffette Kufl. ЬШ ) 8 ^iguten. (bb. J97.)

Differentiah^nung unter betüdfiebtigung bet ргайЦфеп Knmenbung in bet Хефпй mit ?а(>1тфеп öcifpielen unb Kufgaben oetfeben. bon ©tubienrat Dr. TR. £inbom, 4. Kufi. ЬШ 50 5iâ««n unb J6I Kufgaben. (bb. 387.)

Зп1сдго1гефпипд unter berütf^tigung bet ptaftifeben Knmenbung in bet Хефпй mit тЬЫфеп beifpielen unb Kufgaben oetfeben. bon ©tubiemat Dr. bl. £ i n b о m. 2. Kufi. blit 43 §iguten im XejEt unb 200 Kufgaben. (bb. 673.)

Differcntielgle^ungen unter berütf^tigung bet ргайЦфеп Knmenbung in bet Хефпй mit ?аЬ1тфеп beifpielen unb Kufgaben oetfeben. bon ©tubienrat Dr. Ж £inboro. ЬШ 38 ^фигеп im Xejtt unb l6o Kufgaben. (bb. 589.)

Kaufmänni^es Кефпеп juin ©elbftunterr^t. bon©tubientatK.DtôlI. (bb.724.)

(Geometrie.

Planimetrie jum ©elhftunterr^t. Hon ©«b. ©tubienrat Ptof.p. ©tanh* 3. Kufi. ЬШ 94 £igutcn im Xejü. (bb. 340.)

(Ebene Xrigonometrie ?um ©elbftuntcrcicf)t. bon ©ф. ©tubieniat Ptof. P. (Etant), 9. Kufi. blit 50 Figuren im Xejtt. (bb. 43).)

©рЬап)фе Xrigonometrie jum ©elbfümtcrrubt. bon ©eb. ©tubienrat Ptof. P. (Etant), blit 27 &ДОсп im Xe*t. (bb. 605.)

Änalçtijdjc ©cometrte der (Ebene )um ©clbjtunicrrüht. bon ©ф. ©tubienrat Ptof.P. (Etanh. 3. Kufi. blit 55 Figuren im Xejtt. (bb. 504.)

Einführung in die darf teilende ©eomeirie. bon ptof. p. b. £Нфег. ЬШ S95ig. im Xejtt. (bb. 541.)

ЛпдешапМе 3ttatyemattf.

Pvattifdft btathematif. bon Ptof. Dr. K. b e и e n b о t f f. 2 bbe. 1. XeÜ : ©гарМфе Datftellungcn. betiürjteô Кефпеп. Dao Кефпеп mit Xabellen. Ыефапйфе Кефеп(нПо* mittel. Kaufm. Кефпеп tm tägi. £eben. ЬЗаЬп'фет1|ф£ей$1сфпипд. 2., oetbeffette Kuflage. ЬШ 29 5t0Ute« unb ) Xafel. (bb. 34).) II. Xeii: ©eomettifthee 3«фпеп, Ptojettione» lebte, 51афепте{1ипд, Kôtpetmeffung. ЬШ ) 33 Siguten» (bb. 526.)

Die Кефепта)ф1пеп und dao Ыа)фШепгефпеп. bon Kegietungorat Dipl.*3ng. ft. £en?. blit 43 Kbbübungen. (bb. 490.)

©еотеЫ)фео З^фпеп. bon atab. Зйфепифгег К. ©фиЬеиСф blit )72 Kbb. im Xe*t unb auf )2 Xafeln. (bb. 568.)

ProjeCtionolehre. Die 1еф1и>1п£Цде patalielptojeEtion unb фге Knmenbung auf bte Dar« ftellung 1ефпНфег ©ebiibe nebft einem Knbang übet bie )ф{е(т1пШде Patalieiptojeftion in turret le^tfaf)I^er Datfteiiung fut ©е1Ь)ГиШешфГ unb ©фи1деЬгаиф. bon atab. Зе1фсп» lebtet К. ©<bubeis£b‘ bl it 208 Kbbübungen tm Xe;t. (bb. 564.)

Die ©rundjüge der PerfpeEtioe nebft Knmendungen. bon Prof. Dr. Я. Doehle* mann. 2. Kufi. blit 9) Ś»fluren unb )) Kbbübungen. (bb.5)0.)

Kbu© 14: blatf)ematü u. Kfttonomie. VIII. 22.

ftttgewattbie 3Hatf)emattl.

©еарЭДфе* Яефпеп. ©on prof. O.p toIf). ©Ш 164 frg. im îe*t. (Sb. 708.)

©it gropMftfjc ©arfteUung. CEine allgemeinoetftânb^e, Ьигф хаЬЫфе öeifplele aus allen ©ebfeten bet TIHffcnfd)ûft unb Praxis erläuterte (Einführung in ben ©tnn unb ©сЬгаиф bet ©letbobe. ©on ^ofeat Prof. Dr. fr Я и e r b а ф. 2. Äufl. ©Ж ) 39 frg. im Xejrt. (39b. 437.) ©lafte unb ©teffen. ©on Dr. 7Ö. ölotf. ©Ш 34 'KbbUbungcn. (öb. 385.)

©autiE. ©on ©irettot Dr. D-©tollet. 2. ©ufl. ©Ш 64 Figuren im Xext unb I ©ее* farte. (33b. 255.)

©ctmeffunge« unb KovtenEunbe. 6 öünbe. Debet 33anb mit Äbbilbungen.

*1. öb. ©eograpbifdje Ortsbeftimmnng. ©on prof. ©фпаиЬег. (öb. боб.) *11. öb. (Erb* meffung. ©onprof. Dr. Os©. (Eggert. (33b. 607.) III. öb. ©ie £anbmePung, ©on ©eb» frnan?rat fr Sutfo©. ©Ш 69 Зе1фпипдсп im Xejrt. (öb. бое.) IV. öb. Äusgletdmngs* гефпипдnad>bet©tetbobebet fleinftenQuabrate. ©on ©eb.©eg.OlatProf. <E. Oegemann. ©Ж ) ) frguten im Xe?t. (öb. 609.) V. öb. Programmétrie ((Einfache ©teteo* unb £uftpbotogrammetrte). ©011 ©ipL*3ng. 0 e t m a n n £ fi f ф e t. ©Ш 78 teuren im Хф Unb auf 2 Xafeln. (öb. 612.) VI. öb. Kartentunbe. ©on frnanjrat ©г. Зпд. Л. (Egeter. I. (Einführung in bas KartenoetftSnbnis. ©Ш 49 33bbtlbungen im %ф. (öb. 6)0.)

‘Шофето^фе Spiele.

©latytmatifót ©piele. ©on Dr. Ж Щи ns. 4., oeebefferte îftufl. THit ) Xitelbilb unb 78 Figuren, (öb. 170.)

©а* ©фаф)р1е! unb feine ftrafegffôen Prinzipien. ©on Dr. ©I. £ange. THit ben ÖUbn.(L£ae!ets u.p.TUorpbbs, ) ©фафЬге^е! u.43©iagrammen. 3.ftufl. (öb. 28).)

<8cfdMd)te.

©amcœiffcnfchaftcn, ©îat&ematiE unb ©tebizin im Elaff^cn Altertum. 73on Prof. Dr. Dob. £. 0 ei b erg. 2. Aufï. ©Ш 2 frguten. (Öb. 370.)

*©ie ©аЖгюШеи1фа)Сеп im ©Zittclalter unb im 3eitalter be* ■ШеЬегсгдаафеи* bet ©Щеп)фа1*еп. ©on ©ireftor Dr. g. ©annemann. (öb. 695.) *ф{е71оЕиешЩеп(фв^епin ber©eu?efl. ©on©tteffotDr.fr©annema nn. (öb.696.)

(Äftronotme uttb Jljtrologie.

©et öau be* ©Jcltalls. ©on Prof. Dr. D* ©«bei net. 5. ©ufl. öearbeitet oon Prof. Dr. p. ©utbnirf. ©Ш 28 frguten im Sejf. (Öb. 24.)

<Entfte$une bet ©Jett unb bet Ctbe паф ©age unb TOjffenfebaft. ©on ©eb. ©e* gierungstat prof. Dr. ©l. ö. ©3 «in ft ein. 3. Aufl. (öb. 223.)

©Jeltuntergang in ©age unb ©Jiffenfèaft. ©on Ptof. Dr. Я. 3iegler. unb Prof. Dr. ©.Oppenheim (öb. 720.)

Фа* aftronon^c ©Jeltbilb im TBanbcl bet 3«it. ©on Prof. Dr. ©. Oppenbetm

I.    Seil: ©от Altertum bis zur ©euzeif. 3. ©uflage. ©Ш )8 ©bbilbungen. (öb. 444.)

II.    Seil. ©lobeme Aftronomie. 2. Auflage. THit 9 Figuren im Sejt unb ) Safel. (öb.445.) Aftronomie in i&ret öebeutung für ba* praEtffdje fîebctt. ©on Ptofeffor Dr. A. ©latcufe. 2. Aufl. ©Ш 26 Abbifbungen. (öb. 378.)

©it ©onne. ©on Dr. A. Kraufe. ©Ш 64 Abhebungen. (öb. 357.)

©Ie Planeten, ©on Prof. Dr. ö. Peter. THit )6 Leuten. 2, Aufl. oon Obfero. Dr. $.©aumann. (öb. 240.)

©et Äalenbet. ©on Prof. Dr. Ж fr TPislicenus. 2. Äufl. (öb. 69.)

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ctnglanbe unb ©tetnbeutung. ©ie ©efdbic^te unb bas Töefen ber Äfttologie. Unttt ©litroitiung oon ©eb. CHat Ptof. Dr. (L öe?olb bargeftellt oon ©eb. ^oftat Ptof. Dr. fran? öolL 2. IRufl. 7Rit ) ©ternfarte unb 20 3ibbUbungen. (öb. 638.)

‘meteorologie.

«Einführung in bie TOettetEunbe. ©on Ptof. Dr. £. TD e bet. 3. Ли ff. ©Ut 28 Äbbilbungen im Xejrt unb 3 ïafeln. (öb. 55.)

Unfct ©Jettet. (Einfühlung in bie Klimatologie ©еи{[ф1апЬв an bet ^anb oon TDettert tarten. ©on Dr.©. Çennig. 2. Äufl TKit 48 Äbb. im Se^t. (öb. 349.)

^Dte mit * Ье)е{фпе1еп и. »eitere 35ättbe befinben fn ТЗогЬ.

2tUS ‘îletur unb ©CÎffCStDClt

Sammlung rotffenfcfraftltd)5gemetnDerftanbltd)er Parftellungen

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unter ЗЗегМ^фНдипд ber рга!Н[феп SRnmenbung in ber £ефш! mit ?сф!шфеп 33eifptelen unb Aufgaben t>erfel>en

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Dr. Martin £mbow ©tublcnrat, QKunfter i. Ж dritte Auflage

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THtt 43 Siguren im Xe*t unb 200 Aufgaben

Verlag unb Pruct »on 35. ©. Seubner in £etp?tg unb Berlin )922

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6d)Utrformel fur bie T3eremiöten ©tauten non America: Copyright 1922 by B.G.Teubner in Leipzig

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Sßortoort.

3« ber erften Stuftage beßanbette ein ЗЗйпЬфеи jufammenfaffenb differentiate unb Sntegratrecßnung, für bie jweite Würbe jeber 91 еф mmgSart ein abgefcßtoffeneS SSücßtein jur SSerfügung geftetlt. da baS differentiieren bie ©runbtage ber jgntegratrecßnung ift, fo tourbe häufig auf beS SSerfnfferä „differeutiatrecßnung" (9Ши®. 23b. 387) unter Stnfüßrung ber betreffenben ©eite (d. ©....) ßingeWiefen.

die Sntegratrecßnmtg bietet bent dßeoretifer unb bem ^rattiter gleich oiet. der eine fcßößft au» ißr ftetS neue Stnregung junt ©tubium rein Wiffenfcßaftticßer (fragen, beut anbereit gibt fie bie ©iogticßfcit, gtöcßen= unb fiörperinßatte ju finben, ©djtoerpunfte ttnb drägßeitSmomente ju berechnen, ben jeitticßen Stbtauf bon ^Bewegungen unb oon dßemifcßen ißrojeffen ju erforfcßen ober in bie ©eßeimniffe bed elettrifcßen Stromes einjubringen. diefe prattifcße ©eite teilt bie oortiegenbe darftettung befonberS betonen, fie will jeigen, baß mit wenigen Sauberformetn fief» feßon reiche ©chöße heben taffen.

die auf bas prattifcße gerichtete ©igenart bes ÜBucßeS wirb aber auch ben dßeoretiter anjiehen, benn erfahrungsgemäß flafft jwifchen SBiffen unb können, genauer gefagt, jWifcßen ber Kenntnis ber reinen SRatßematit unb ber SKögticßfeit, fie auf bie tttaturerfeßeinungen an« juwenben, oft ein ©palt, ber manchem junäcßft unüberbrürfbar er: feßeint. Unb boeß haben gerabe bie größten Sftatßematiter — oerfotgen wir nur bie Steiße, welcße bon StrcßimebeS über Stewton, (Suter unb ®auß bis ju fitein unb Poincaré führt — erfannt, baß bie „reine" äKatßematit oft etwas an Stutteere frantt unb ißr eine dranSfufion bon ber tftaturwiffenfcßaft her recht gut beïommt. SluS biefem ©rmtbe finb bie Öetfpiete unb Stufgaben bem ©ebantengange organifcß ein« gefügt; bie Settüre foil bem Sefer nicht nur SBiffen, fonbern aueß fiönnen bermittetn.

der Bwect beS 33ucßeS braeßte eS weiter mit fieß, baß bie grapßifcße &arftettung oft $u State gezogen mürbe, gerner mußten neben ben be* ïannten eçaîten Verfahren auch bie 9Ш)египдЗтефоЬеи pr Berechnung ber integrate in bie rechte Beleuchtung gerücft merben. approximation^ formetn für Sfategrale, bei benen ber Sotegranb ober eine Orenje un-enbtid) mirb, pflegen bie 2е£)гЬйфег ängftlich aus bem SBege §u gehen, gerabe be^hcilb mürben fie hier gebracht. ®rft bie Übung im nahermtgS* meifen^tttegrieren lafśt jenes ©efüht ber Unficherheit fchtoinben, meines baS häufige Berfagen ber exalten SWethoben in Oielen praïtifd) mistigen gatten erzeugt. StuS bemfetben (Srunbe mirb ein $inmeiS auf bie TOttel, mit beuen man bie Sticljtigleit einer ^integration prüfen ïann, fehr ermünf^t fein.

9tuch bieSmal unterftü^te mich £>err ^rofeffor Dr. 3.sßtafjmann in fremtbüchfter unb Oietfeitigfter SBeife beim ®orre!turtefen. $err Oberlehrer®, ©mbe in Bremen hot atte Stechnungen einer genauen $)urchficht unterzogen. §err ßehrer ©üttgeS in Dptaben hot mit großer Sorgfalt bie in ber streiten Stuflage noch borhanbenen ФгисЕ* fehler unb Ungenauigïeiten sufammengeftettt unb fiep ЬаЬигф um bie §erftettung eines möglichft fejjlertofen Textes fehr oerbient gemacht. 2)en brei Herren fpredje ich аиф an biefer Stelle meinen horslidhften Фап! für ihre mertootte Unterftüfeung aus.

3ft bie ®ifferentialredhnung ein 2luflöfmtgSprosef$, fo ftettt bie Sote-gralredhnung aus ben Heinften Seiten mieber ein (SanseS hör. SWöge bieS Виф fein Teilchen juin SBieberaufbau ber ®ultur beitragen.

SW. ßiitbom.

SRünfter i. S3., Slpril 1919.

Snljitü.

Gette

16

24

37

I. daë unbefiimmte integral . . . .

die integratred)nung alë Umfetjrproblem ber differentiation, die Qnîegratîonéfonfiante. gunbamentalintegrale. ©eometricfye unb тефапЦфе Stnmenbungen ber integration. integration einer (Summe ober different der fonftante gaïtor.

П. daô bejfimmte integral.....

die ШЬипд beë beftimmten intégrais auë bem unbeftimmten. (Säfce über bie ©гещеп beë beftimmten integrals, die (Simpfonfdje Sftegel für Suroen brüten ©rate§. Weitere gladjenbcredjnungen. daë beftimmte integral alë Summe. UneigentliĄe bejtimmtein= tegrale.

III. 5lntocnbung ber integralredjnung

auf ßinieit, glühen unb Färber . . . .

1. glacfyenberecfjmmgen in ^olatfoorbinaten. (Spiralen. 2. $8е= гефпипд oon Suroen bogen: SieiljĄe Parabel, Seitenlinie, ^olar^ formel. 3. Sörperinljalte: Sßpramibe, Segel, $riëmatoib, éintp* fonjĄer Körper, Sugel, Sugelabfdjnitt, Stotationëparaboloib unb SRotationëeïïipîoib. 4. brumme DberflaĄen : Sugel^one, Sugelfappe, Sugeloberflädje.

IY. iutegrationëbeifpiele auë ber 6tatif . .

1. ©inigeë auë berSetyre oom (SĄmerpunft: 6tatifdje Momente. (SĄmerpunft eineë ^unftfpftemë. 2. (Sdjmerpunft einer Sinie. Seitenlinie. 3. (Scpmerpunft einer gläcbe: Slecfyted, dreied, Parabel. 4. die ©ulbinfdje Siegel. 5. ©Ąmeipunfte oon Sörpern: Segel, §alb* fuget, @impfonfcber Sörper. 6. diftgljeitëmomente: 9ïed)ted, drei* ed, drägfyeite moment bezogen auf parallele Sieben.

Y. Slntnenbungen auf berfdjiebene ©ebiete . .

5luëflu§bauer. ©ine SSereinfaĄung ber darfteüungëmeife. S3aro= metrijdje § öl) en form el. Arbeit bei ifottyermer Sompieffion. $bia* Batifcpe Snftanbëgleid^ung. SRagnetifcfyeë potential, (Selbftinbuftion. ierfall rabioaftiôer éitbftangen.

YI. 9lfl gemeine Sntegrationômetljoben . . .

6eite

60

73

83

(Sinbeutigfeit ber gttiegralfunftion. 1. ©infüïjrung einer neuen ЯЗегйпЬегйфеп. 2. partielle integration. 3. ßerlegung in $artial= Ьгйфе. (£фепй?фе $КеаШопёде(фштЫд!ей. gerjegung ЬеЗ gob* wafferftop. 4.9iefurfion§formeïn. die ^ercatorprojeltion. 5. dut* wicflmtg, in ^oten^rei^en.

ТП. Waljcrungômetljoben.....

1. 9$eif)enentwitfhmg. 2. die drape§reget für ©eljnen unb für Tangenten. 9Intoenbungen auf @üif)fenin^alt unb =umfang. 3. die ©int))fonfĄe Sftegel. 9żći|erung§formeIn für ©фшегрипве unb dräg* geitSmomente. 4. 9MI)erungéformeln für uneigentlû^e befHmmte integrale.

Till, ^rüfungômetijoben.....

TOgemetnetenter! ungen. $rüfung3metI)obenfürunbeftinunte integrale: 1. die differentiation. 2. Sßerfcgiebene integration^ môglûîgîeiten. 3. Prüfung Ьигф ^otenjrei^en unb 9töfyerung§= formein. 4. ©pe^ialifierung. ^ßrüfungSmettjoben für beftimmte integrale: l. Prüfung Ьигф 58ergIekg3funftionen. 2. der Mittel* wertfag. 3. Ш^сф1ипдЗ' unb ШдипдётефоЬе. 4. ЗОДегипдЗ* n erfahren.

<Srfte§ kapitel.

ttnbeftiwwte integral.

$)ie©ifferentiatredjnung teîjrt un$, auê einer gegebenen%тЪ lionF(x) nad) beftimmtenSä|en eine anbere, bie abgeleitete gunf* tion F'(x) = f(x) jn bilben. SDÎan ïann fidj umgeïeï)rt bie Slufgabe ftetten, toemt biefe Ableitung gegeben ift, au§ it)r ben urfprüngïidjen 2lu3brnd.F(æ) tnieberïier^nfteûen.    ift ba§ problem ber 3ttt eg r aU

redjnung.

3ur 33eranfd)auli$mtg biene folgenbe 33etrad)tung. ®ie9lbbition fud^t au3 jtoei pofitiöen ganzen Sagten a unb Ъ bie Summe s ju bilben (s = a + b). $)ie Subtraïtion fc^tieftt, menu bie Summe s mtb ein Summanb a gegeben ift, auf ben anbern, b=s—a. 3ebe Slbbition^ aufgabe auâ bem ©ebiet ber pofitiöen ganzen 3at)Ien fffljrt lieber auf eine fotdje^afß, bie Subtraïtion mtr bann, menu ber 2Kinuenb größer ate ber Subtrafyenb ift. 3m anbern gafle forbert bie Slufgabe bie ®tm füljrung negativer ©röften nnb forbert fo bie mattjematifdje ©rïennfc nte Ьигф Sermeïjrmtg beê 9ttateriate, mit bem man arbeitet. 3n gleichem Sufammen^ange ftet)t bie SKuItipIiïation mit ber $)ibifion

a ' Ь —p: Ъ = —•

’    a

Sie Siüifion ergänzt baê 3af)tenreidj Ьигф ©infiüjtung bet ЗЗгйфе; bie Umfel)rungen beé 5ßoten$ieren3, bn« Stabileren unb 2ogaritlj= mieten, tiefem bie einfadjften irrationalen unb tranêjenbenten ,8at)ten.

SBei bet Sifferentiak unb gntegralredjnung baben mir ей nidjt mit Sagten allein, fonbetn mit gunftionen ju tun. ©ine betannte gunl* tion liefert burd) Sifferentiation mieber eine beïannte, bie Integration eine? elementaren 2tu§brud8 fülfrt aber burcfjauê nid)t immer mieber auf einen elementaren, fonbern befiniert häufig ganj neue gunltionen. ©erabe bereu Stubium oerbanlt bie moberne 3)tatl)eniati! eine Steife ber mid)tigften Stnregungen unb ©rgebniffe. |>ier foüen nur bie ein* fünften {fülle beljanbelt merben.

@8 fei alfo f(x) eine gegebene ffunïtion (ber gntegr anb); mir fuc^eit

F(x) fo §u beftimmen, bafc F!(x) = —= /*(ж) toirb. 3ft utt$

n*) =ff(x)dx.

SBarum man ben gattor dx ^infĄreibt, atfo nidjt F(x) = j f (x) [e^t,

wirb frater ïtar merben. 3ft j.33. f(x) = ж², fo ift F(x)=Jix!dx = x-.

bie3 gelungen, fo nennen toir bie gefnnbene gmtïtion ba§ 3«tegral non f(x)dx.

benn bifferentiiert man biefett Stusbrud, fo ergibt fid) mieber хг, mie её »erlangt mar.

2lber аиф y + 4, у - 7,23, allgemein у + c bat biefelbe ©igen*

fdjaft. c bebeutet babei eine beliebige Jftonftante. Sie Integration liefert alfo тф1 nur eine gunïtion, fonbern beliebig biete, Ьоф unterfctjeibcn fid) biefe alte nur Ьигф bie abbitio t)injugefügte integrations* ïonftante c. SSBir ^згефеп bi« »on unbeftimmten integralen.

2>iefe Unbeftimmttieit pflegt ben Anfänger abjuftofien; fpäter geigt fidj, bafj fid) bie integratiouetonftanten bei fpejietten Slufgaben febr motjt ermitteln taffen, ja bafj fie ber allgemeinen Söfung geniigenbe etaftigität öerteiben, um jebem ©injetfatt geregt ju merben.

©S ift einteucbtenb, baf man jebeS ЙеЬгЬиф ber differentiate гефпипд atëgunbgrube fürintegratformetn beraten ïann. ®ie tRicbtigïeit mirb jebeëmat bemiefen, inbem man baë ©rgebnië bifferen* liiert, ftetS mufj man ЬаЬигф auf ben integranben jurüdfommen. in ber fotgenben dafet ber gunbamentatintegrate gebe icb bie ©eiten meiner „SHfferentiatrecbnung" (SI3iu@ 33b. 387) an, metdje ber Sefer, menn nötig, ju State sieben tann.

©runbfnrmcln.

а.) /<

j- c, benn bie differentiation ber

axndx=

axw+1 n + 1

(2.) J^ = alx + c (@. 36). diefe gormet öerfagt, menn x negatiü ift. $aitn ift

rechten ©eite liefert axn (@. 18, 25, 26). Stur für einen galt ift biefe (Шфипд ntöjt richtig, menn n = — 1 ift. 3®ir haben bann

J«|ï ₌ aU_*)+c.

(3.) I (a -(- bx -j- c«:² -J- gx* -}-••• + lex") clx =

fcx”⁺¹

f Cl (@.18).

3n ben fotgenben gormeîn tft ber S'ürje galber bte ^integration^ ïonftante meiftenê fortgelaffen.

(4.) y*smædûc=—

(6.)/

(8.) AÆ

doc

sin" a?

yï-x²

doc

COS#

ctg ЙС

(5.)^*coseia;=sma?(@.31f.u.29f.).

== = arc sin X + c = — arc cos x + ci (@. 32 f.), arctga?+c = — arc ctg a: + ci (6. 33).

(10.)@inx<fa?=©ofa; (ll.)^y(Eof£ceia? = @ina? (@. 38).

mf;

(U.)/:

Ы-

doc

T-

<1

= 9lrc @iit йс = ln {x + Ух- + 1) (@. 39).

= = Sire ©of x = ln (x + У a?² — l) (@. 39 f.).

= 3trc x = — ln    / rocnn ac²< 1 (@. 40).

f'f~ë “ 8tïC®*fl£C= Tln (^“т) 'wcnn aß2> 1 (®- ⁴⁰)

(19.) J*<axdx —    (@. 37).

©in" аз

]/x²+l

doc

. Уж" -

Г dx J 1-аз²’

(18.) f

erdx = e*

Aufgaben.

%$x (@. 38).

\.Çdx\ 2.J'xdx-, S.J*j^x³dx] i.J^4:Xsdx; 5.J* G-fédx> ¹jÙidx:’ ⁸\fV*dxi 9-JVxdx-, lO.jf-

x* dx\ 13.

Jè

1’ dx’>

hi%'

бфе Wir roeiter in bie Зфеопе ber ЗИедгакефпипд ein^ubringen пегффеп, ift e£ aber ^wedmäpig, 31иЗ{фаи $u Ratten, ob bte Ausbeute unfere ЗОЙфе аиф belohnen wirb. ®фоп ein ®inb pflegt рф §n ärgern, wenn eine mit gewaltiger ffraft geïnadte 9îup рф als taub erweift. befragen Wir $ипафр bie ©eometrie.

®ie gcomctrif фе éebcutnng bes gnicgralS tritt fyeroor, wenn man bie gunttion y = f{x) in ber beïannten S33eife (ogt. Ф¹) ©. 4f.) Ьпгф

eine ihtrüe barfteHt. Selbftoer* je рапЬйф ift апф bie 51афе, j wetó)e oon фг, oon ber 2lb* f§iffeгtaфfe unb ben im 2lb* ftanbea (a fei eine Sonftante) unb X jur ОгЬ^епаф{е ge= jogenen parallelen begrenzt wirb (gi9-1 ), eine gnnïtion oon X, benn mit таф{епЬет ober abne^menbem x änbert рф апф фг gnljatt. SBirb j. S3. x um B G = Д x groper, fo nimmtFumBGrJEC%u. ®en ЗитафЗ faun man Ьпгф baS ЭТеф1ес! JBGrJH erfe^en, wenn man beffen §otje ym paffenb beftimmt. ЖаШгИф тир ym jwifcben bem ШаутаЬ unb äftinimatmert liegen, ben у in bem gnteroatt BGr an-nimmt. äftan erpätt

SŁ-Л

Су

•?»

AF

AF — ут Д ж;

Säfjt man G immer näher an В rüden, Д ж atfo immer mehr an 9lutt, fo nähert fidj ber 9KajtmaI= unb апф ber SKinimalroert, ben bie £)rbi? note in bem immer fdjmäter merbenben Streifen hat, unbegrenzt ber <$röfje y, ber Sifferenjenquotient getjt in ben ®ifferentiaîquotienten über ($. ®. 14); eS ift dF _ y _ f ^

®ie gtad)enfunttion ift baburdj geïennjeid^net, baê if)re Ableitung gleich f(x) ift. 3)tan hat bemnad) bie Stadjc

д x ~Ут'

(formet 17.) F=Jf{x)dx.

1) Ф. ift t)ier unb Weiterhin ein Hinweis auf baS ЗЗапЬфеи 387 btefer ©ammtung, те1феё bte Ффегепйай:ефпипд enthält.

®iefe Söfung jcfjeint unbotlftänbig ju fein, ba in if)t ja поф bie 3«te= grationêlonftante auftritt. Фигф einen leisten ffunftgriff lann man ber ©Ąmierigleit |>err toerben.

.45Й

D,

«cifoiel 1. SSie grofc ift bie ЗШфе 5l ABGD, шсИ)сиоиЬегУиие,у=2 + 0,5 x, 4 ber Slbfgiffenad^fe unb ben 1 cm unb 6 cm non ber Dcbinatenadjfe entfernten Drbis 3 naten begrenzt toirb? (gig. 2)

2)ie Sinie ift eine ©erabe (Ф.    16), l

2ftg. 2.

bie gläctje ein Xrapej. Фа beffen gnïfalt auê ber ©lementarmatbematiï beïannt ift, ° fo gibt unê bie Bortiegenbe Aufgabe bie SDÎôglid^ïeit, unfere llnterfuct)migen auf фге fRic^tigïeit ju prüfen.

F =J"(2 + 0,5a:)da; = 2x + 0,25a;* + c (@. 9, gormel 3).

©efudjt ift ber SSSert, ben F für x = 6 aitnimmt ; er ift F = 12 + 9 + c ==21 + с. Фа bie glädje aber Bon ber Drbinate x = 1 an gejätet toerben foH, fo mufj F für biefen SBert gteid) Stuli fein, alfo 2 4- 0,25+с = 0. ®iefe SSebingimg liefert unS bie Sntegration§Ionftantec=—2,25, b te ju ЬегефпепЬеу(йфе bat alfo ben 3nbatt F= 21—2,25=18,75 qcm. ®ie fßaratlelfeiten beä ®rafteje§ finb 2,5 unb 5 cm, bie SJtitteffinie ift

m = i (2,5 + 5) = 3,75 cm, bie 4?öl)e h = 6 — 1 = 5 cm, alfo ber Snbalt F = mli = 18,75 qcm.

©cityiel 2. ®Иой bte in gig. 3 fchraffiert gezeichnete gtadje, bie üon

ber karabel y — — begrenzt toirb, beregnet toerben.

glädbe für æ = 0 üerfcbtoinbet, fo muff 0==0 + c;c = 0 fein, alfo F=

gür ben SSert xt erhält man

©rfe^tman nod) im âübler x* burd) ayv toad паф ber Suroengleûljung

geftattet ift, fo ergibt ficf» F*= jx,yv ©ie anftofjenbe, nic^t fdjraf* fierte gtädje ift Fx = xxyx — F=~x₁yl. ©ie ißarabel teilt alfo bag

gtedjted, roeldjeg bie ®oorbinaten eines beliebigen Äurüenpunfteg mit ben Steifen bilben, im SSectjattnië 1 : 2.

-s»

©cifbicl 3. ©in Sorter bemegt ft cf) gerabltitig; man fennt injebem Slugenblide feine im Saufe ber 3eit öeränberlidje (Sefcffminbigïeit. S55ie grofj ift ber SSeg, ben ber ffiorper tmm âeitfmnït t= 0 an bis jum .ßeitfnmtt tx burdjläuft?

•«

1    2    3 4 t (sec)

Sifl.4.

Sie oorfommenben ©trecten merben in Bietern gemeffm, bie ;>eit wirb in ©elunben auggebrüeft. S3ei ber gleidfj* förmigen ©emegung, bie baburdj ge== fenngeicfjnet ift, bafj in gleichen geitab* fdjuittenaudiftetg gleidjeStreden burdj= eilt merben, tierftetjt man unter ber ©e= fdjroinbigleit c ben SGSeg, ber in einer Se= Zen hmbe jurüdgelegt mirb. ©erfolgt man ben Körper t ©elunben lang, fo bat man ben ©efamtmeg s Ьпгф t ju bi*

Setter ©eïunbe

(m/sec) auSgebrüdt. ©ann ift umgelehrt s = ct. 3Kan tarnt bief en àuèbrud öeranfchautichen, menu man auf ber 9Ibfôiffenachfe bie $eit tf auf ber Drbinatenachfe bie ©e= fchminbigleit c abträgt unb au3 bief en ©eiten ЬаЗ 9ted)tedE bitbet; fein Sn^attiftber 2Begs.(Sig.4.)

SSei ber ungleichförmigen ®emegnng ift bie (Sefchminbigleit V in ben einzelnen StngenbtiiJen nerfd)ieben. Xrägt man mieber bießeitangabenanf berStbf^iffen^ B ai)fe (gig. 5), bie ©efd^minbig^ leiten afô Drbinaten ab, fo ergäbt man eine ®uröe. AB ift bie A ainfangêgef^toinbigleit. 3^ Ьет

»ibieren, um bie ©efdjminbigleit ju erbalten; c = j; ba bie ©ejeidj* nung für s bag Bieter, für t bie ©elunbe ift, fo mirb c in

CdiE

gig-5.

Keinen Snteröaü ton t big t + Д* ïann bie ^Bewegung napep alg gleichförmig aufgefaßt »erben. @§ ftellt alfo ber Scholl beg Strei= feng CEBF beit in biefem Keinen Zeitraum prücfgelegten 2Seg bar. §üt bag folgenbe ober borpergepenbe ЗеШеКсреп mürbe man eine ent= ffjred^enbe female §lädje erhalten, burd) Summation biefer ©iitjel= mege belommt man ben ©efamtmeg. Sein Söetrag ift in tx Selunben numer ifdj gleich ber glädje AG HB.

(formet 18.) s =Jvdt. Umgelehrt ift natürlich

(formel 19.) v —

tBeifpiel 4. Sie ©efcpminbigleit eine» frei ohne 91nfangggef<hmin= bigleit fattenben Körpers ift v = gt, menn t bie in Selunben auêge= brüdte 3eit feit bem beginn ber 93emegung unb g bie 3aht 9,81 (m/sec²) bebeutet. SSie groß ift ber in t Selunben burd)laufene 2Seg?

■j*vdt —Jgtdt = \д№ + c.

Sa p SSeginn ber SSemegmtg (t = 0) nod) lein SSeg prüdgelegt mar ('s — 0), fo folgt: 0 = 0 + c; c = O, alfo

(formel 20.) s = \gt².

Aufgaben.¹)

14.    SK an berechne burch Integration ben Inhalt eine» Srapege», beffen fßarattelfeiten a unb Ъ unb beffen .frope h man lennt. SDSaS er= hält man, menn a ober Ъ gleich 0 ift?

15.    Sann bie in üBeifpiel 2 gelöfte Aufgabe für eine fßotenjluröe mit beliebigem ©jfmnenten ermeitert merben? (S. S.49f.)

16.    ®g foil bag <«> = Siagramm ber gleichförmigen Semegung ge* jeidjnet merben.

17.    SDtan jeidjne ba» ttwSiagramm für bie ffattbemegung opnę Siu fangggefchminbigleit.

18.    35ei jeber gleichmäßig befchleunigten SBemeguitg opnę 21nfang»= gefchminbigleit (v=bt,b lonftant) oerhalten ficp bie inl,2,3 • • • Selun=

11 Sei allen Sturgaben, in benen gtäctiencnpalte berechnet merben fotlen, empfiehlt fidj eine SKachprüfung. SJÎan überbedt bie Çigur mit einem (ge= jeiepneten ober auf bunhfdjeinenöem papier aufgetragenen) 9te| ponOuabrat= Zentimetern, znplt bie oolten, fdiäpt bie »on ber Segtenjunggluroe jer= fdjnittenen unb abbiert.

ben prücfgelegten SBege toie bie Quabrate biefer $eiten; bie in ber erften, in ber $meiten, in ber britten ©eftmbe ujf. burdjtanfenen ©trecfen finb ben ungeraben 3<*f)ten proportional. 9Jlan betoeife biefe ©a§e grapî)i^cf).

19.    2Мфе ©efdjwinbigfeit f)at ein ofjite Slnfangggefcfjwinbigfeit frei fallcuber Sorter, wenn er bie Streife s SReter burdjeitt Ijat?

20.    @g fott bag 3eit*®efd)Winbigfeitg=Siagramm einer SSewegung gejeidjnet werben, wenn bie Sfnfangggefcfjwinbigfeit bie gegebene ©röfje c ift unb bie ©efdjwinbigfeit in jeher Sefunbe unt ben beïannten S3e* trag Ъ ju* ober abnimmt. (©teicfymäfjig befcfileunigte ober oerjögerteS3e= wegnng.) SSie grojj ift ber SBeg in t Sefunbeit?

Śetjren wir nacf) biefen Stnwenbungen ber SJntegralredjnmtg jur Sfyeorie juritcf, um jWei Sä§e ju finben, bie frater oon grojjem SBert fein werben.

Satj 1. Sine Summe ober Sifferettj fann gtiebweife inte* griert werben. r>    Г    Г

(formel 21.)    I (и + v)dx = I tidx -f- I vdx;

u unb V bebeuten gunftionen oon x.

dü

dV

dx U' dx v‘

©g fei Uidx; V =j“vdx, alfo

U + У —J'itdx +J*vdx'

Sie Stbteitung ber Unten Seite — (TJ + V) ift (S. S. 22 Sa| 1) gleid^ + £ = u + «• $egf)atb ift U + V felbft bag integral biefer ©röfje.

П + V =J'(u+v)dx. ®ergleicf)t man bie beibeit StBerte oon U-\-V,

fo folgt baraug bie SSetjauptung. Ser S3eweig für eine Sifferenj ift ganj entfpredjenb.

Satj 2. Sft ber Soif granb einlßrobnft mit einem fonftan* ten gaftor, fo fann biefer oor bag gntegraljetdien gefteftt werben.

(Some! 22.) J’af(x)dx = ajf{x)dx.

dü

a dx

®g fei J‘f(x)dx = U, alfo = f{x). 9lun ift ^ (a U) =

($. 6. 22 ©a^ 2) = af(x), alfo mu% ba biefer 2lu£brnc! bie 2lb^

gntegration »on Summen, ©tjfetemen unb ißtobuften. Aufgaben 15

leitung non aU iff, aü felbft Ш enttyredÇenbe S^cgrat fein; aU

=j*af(x)dx\ fefet man für U feinen SBert, fo ftet)t bie S3e^anf)tung

betoiefen nor uns.

21.

/'

a cos ж dæ; 22.

24. ^(a ©in# + 6 &ofa;)da;; 26. J*[a ©in ж — Ъ Sof x)dx\

Г dx

Jvviç;

29.

36.

ao о

Л¹

Ь*Ц

&sin²#>

Stuf gaben.

Jb sin X dx;    23. J*(a cos x + Ъ sin x)dx\

25. J*(a cos x — Ъ sin:r)cZ#; 27. J^dx\    28. J[ex- a*)dx;

e J'4e* + 3xn)dx\

; »«./(l+i)*; *5./|(Sk+r.fc)‘"'

30.

37.

Bl

шг’жйж +J'sinx cosixdx,y

J*x² do\² xdx —^'x¹ ©m² irtiz; З9. у cos²(|-)(/.t —Jsins^da;; J*ln (У*² + 1 + *)<&» ln (У*² + 1 —

Bweiteê kapitel.

$>aê bejHmmte integral.

î)ie Ьпгф eine Confiante Çerborgerufene Unbeflimmtlieit beê gute* grafô üerf^minbet, fobatb man genügenb fpejialifiert; in ber ЭКефат! beifpiefêweife, toenn bie Stnfangêbebingungen beê èewegungSBorgangeê oorgefajrieben finb. Фаз btéljer pr SBeftimmung ber integration^ tonftante angeWenbete Sßetfaljren war in feinen ©runbpgen ftetè baë= felbe, e6 entfprid)t ber SCSirtfcEjaftlid^îeit geiftiger Slrbeit, wenn Wtr eS ein für allemal feftlegen.

©efien wir p biefem ^wed auf bie ЯЗегефпипд ber in gig. 1 bar= geftetlten Städje prüd. Slur Woüen wir fie redjté nicĘit Ьигф eine b e= Uebige Drbinate begrenjt fein ïaffen, fonbern Ьигф eine ©erabe, bie in bem beftimmten unb betannten Slbftanb Ъ parallel pr Г^21ф(е gepgen ift.

Um unfere Aufgabe p löfen, Ьегефпеп wir cm3 ber gegebenen S’urbeit-gleidjung y=*f{x) §unad)ft bie gladjenfunïtion F(x)=J*f(x)dx. ©ie

möge in bcr gornt Ф(х) + c auftreten, mobei Ф(я) bie burd) Sute* gration gcfunbene Munition nub c bic Sntegrationêïonftante bebeute. Фа bic    crft bon a an gerechnet merben foil, fo mujj F(a)~* 0

fein, ШсфгепЬ für x = Ъ ber gefucfyte SBert Fi refultiert. 91u§ ben Gleichungen O = Ф(а) + c unb Fi = Ф{Ъ) + c folgt burd) Sub traïtion Fi = Ф(Ъ) — Ф(а); bie gntegrationêïonftante ift, ba fie in beiben Gleichungen afô gleiche Gröfce auftrat, berfdjtounben.

Феи Sluêbrud Ф(Ъ) — Ф(а) ober [Ф(я)]*, ber аиЗ bent unbe*

gration bie SSariabte x einmal burd) bie obere Grenue Ъ, einmal Ьигф bie untere a erfe^t unb bann ben ^meiten SIuêbrud fubtrahiert, nennen

b

ftimmten integralJ ?(x)dx herborgeht, menu man паф ber Sûtes

toir baê bt\timmtt%nte$valj'f(x)dx.

a

Stufgaben.

13    2    -fl    +1

J*xdx; 42,J*x^dx\ 43. j"xzdx\ 44,J*xzdx\ 45.jf;

O    2    3    —1    — 1

41.

x*dx\

46.

J'[хг— x)dx\ 47. J'(ж²

— ж)йж;

48. J{bx'+\)dx-y

О

49.

21и§ Ьег ^Definition b её bestimmten integrals ergeben fi tf) Sofort einige €>ä$e, bei beren SSeweië mir bie obigen SBejeictjnungen feftljatten.

éatj 3. S3ertaufdjt man bie (Srenjen eineê beftimmten integrals, fo änbert fidf) allein fein S3or$eidfjen.

b    a

Semciê: J"(ж) dx = Ф(Ь)- Ф(а); Jе(х) dx = Ф{а) - Ф(Ъ),

folglich

(gamet 23) J*f(x) dx = —j'ftx) dx.

a    b

Ф(Ъ)~ Ф(а)+ Ф(с)-Ф(Ь)

©eweis

gigur 6 liefert ben geometrifdjen -ïtadjweté für bie SRic^tigfeit be£ bierten @a|e3; ber fünfte ïann ganj ent-

fpredjenb beranfdjaütidjt    U^yvîxvvooO^⁴

/*

b.

tnerben; bei bent britten hat man auf baê ©er* jeidjen ber glädje ju achten; Д x änbert fein ©orjeidjen, wenn man bie ©egrenjung umïe^rt. üöian oergU'irf)e and) bie testen Aufgaben mit ben eben entwiefeften ©äjjen.

st«, e.

©eifftielü. SBiegrofj ift bie glücke, Welche bon ben 2ld)fen, ber Drbinate x = xt unb einer Sum britten ©rabeo begrenzt wirb? (gig. 7.)

®ie ©Ieict)Ung ber Surbe fei y *= a i Ъх + cxi + А:а;⁸; а, Ъ, с, Je feien gegebene ft'onftanten.

+ TÎ

. Ъх⁸ . ex3 ax + — +

F*' = / {а + Ъх + cx² + hx*) dx = £

*0* - X1 (a + Ъ~Т + CJt + ~~i~) *

(gormcf 41.) fiugeljone = ЯидсИаДОе = 2nrh = nd-h. (gönnet 42.) Sugeloberftätbe = 4ягг2 = nd?.

■" y?

Aufgaben.

д = г*п, V=^(R*-\-Rr + r*). 70. Sie finb Simbfonfф

ж,, «омьашт *«&№. ж 7.50 JTffiStofë эдЬЙ? & «só

*0* - X1 (a + Ъ~Т + CJt ⁺ ~~i~) *

©rgebniè ïann поф fceremfadjt Serben. ®ie 5U x = 0; x = у* •x == xt gehörigen Drbinaten feien y₀, ymt yv З^аф ber Suröengtei^

Ф ift

rau© 673: ßinboft), Sntegralret^nung, 3.9lufl.

У„ = «

= a + bx± + cxt² + 7схлв . Ъхг ex,* ,

Уш= a +-^ + -j- +

9lbbicrt man bic brei ©teidjungen, nad)bem man bic te|tc mit 4 mul>

ti^tigiert tjat, fo finbet man

W*

Уо + У\ + 4*“

=6 d-f" 3 5 £Cj -f- 2    y&Æj

-«(“+т+т'+¥)'»Ч»

(formel 26.)

Ху

Jf F%>> :=-jj- (2/0 + 2/1 + 4 »/«.)•

$>ie§ ift bie Sim^jonfc^c fflcgcï; fie gilt genau, menu bie Śumngte^ung I)öd)ften§ *    öom Bitten ©rab ift, fie

fann aber näljerungä* meife aud) bann ange*

Ут

Уо

гх1

xi

ftmnbt merbeit, menu bie§ nidjt ber galt ift, ba fief» eine beliebige Surbe bon eittfad^er ©eftatt bnrd» jjaffenbe SBaljl ber ©rôfîena, b, c, h Щг-rungêtneife burd) eine ®urbe brüten ©rabeê erfefceu täfü; bie ßa^I ber Äonftanten nermet)rtnatM^bie,,©iegfamfeit''ber2inie. 5Шап tueife nad», baf$ bie Simpfоп{фе gormet and» für ba§ ^ntertialX x₀-*- xt gilt (ftatt 0 • • • oîj).

©cifpicl 6. ®ie gtädje merbe burd) bie gteidöfeitige .Ç)t)perbet У = ^ (®. S. 45), bie ^2(c^fe unb bie Drbinaten im Wbftaribe x = xt

Xl

/*    ²    X

unb ж

=ж₂ begrenzt (ж, <ж₂). g^r3n^atttt)trbJ’= / %/ж=[а²1пж^*’

= a² ln ж₂ — a² ln    = a² (ln ж₂ — ln xj) = a² ln = a² ln •

(Dlatürlidje Sogaritfimen!)

©cijfiicl 7. 2Kcm ftelle biefelbe Unterfliegung für bie poltytro* ifфe unb abiabatifdje ®urbe an (©.@.46 unb 48, Slufg. 132).

©ie ßurbengleidjung lautet y = für bie glätte erhält ntan

X

J

*1

ax~”dx

((X

-”⁺'t

J*i

-n-f j[*s

— n-f-1

-xx

— n-\- 1

]-

Фа

n~¹lxl

F= \я\У\ — ^2?/₂]) У ift barin ax~n. 95ei ber Slbiabate f)ût man n = 1c = 1,41.

Sdjiuct 8. SBie groß ift bie gładzę ber Sinuätinie, geregnet tom Stufangêbunft bté §ur hbchften Drbinate?

*    7t

= Г— cosæI = — COS — + COS O ==> ex V    L    Jo    ¹    n

Sie Simßfonfd)e SläherungSformet ergibt #₀=O, 2/m=sin — =

= 0,707, у, = 1 ; F = ~ (1 + 4 • 0,707) = 1,002.

SBoïïte man bte bon ber Sinuêtinie begrenzte gtädje, geregnet bon

2 7t

sin xdx

1.

X = 0 bté я = 2 я, ïennen lernen, fo t)ätte man F = J smx dx — 1 + 1=0. Statt beffen ^erlegt man fie in

2 n

sin xdx = 2 nnb F₂

— cos ж

ул

Jo

§mei Seite: Ft

Sntegratredjnung t)at bei ber glachenberednuiug bie Sor^eidjen ber Drbinaten berildfic^tigt unb fo F = Ft + F₂ = O geliefert.

Stud) ohne Senutnté ber Sntegratre(|nnng unb ber Simpfonfchen Sieget taffen fid) bie bisher angeführten gtädjen ioenigftenê nät)e-rungStoeife bered)nen. fei zunächft boranêgefe^t, baß bie $urbe у = f(x) in bem Suterbatt a • • • Ъ, юе!феЗ bie gefugte gtäd>e abgrenzt, fteté fteigt, toaê ficß Ьпгф Sifferentiatrechmmg teicht entfdjeiben läßt (S. S. 41). SRan ^erlegt bann ba§ S^terbatt а • • • Ъ = P₀P auf ber Х*Щ\е Ьпгф bie Spunfte Plr P₂, • • • Pn-i in n Seitinterballe (in gig. 8 ift n = 4 angenommen), bereu Breite xx — a, x₂ — xv x₃ — x2 • • • Ъ — жя_х ift, toenu bie Stbfjiffe bon Px mit xv bie bon P₂ mit x2 bezeichnet toirb, uff. Sn ber gigttr finb biefe (4) Seitinterballe gteict) groß angenommen, tnie man e§ in ber ^rajté inot)t ausnahmslos mad)t.

Setjt ift !tar, ba§ bie gefudjte gtäd)e P₀PBB₃B₂BXB₀ (ihr S^h^tt fei F) größer ift afô bie ganz in ihrem Stmern tiegenbe tre^^ertför^

sina: dx == — 2. Sie

2*

•^5

в.

litige g läqje P₀ PA Bz As B₂ A₂ BxA j B₀ unb Heiner ofô bie fie ganj umfctjtiefjenbe, eben* fattê au» lauter 9ted)ts eden jufammengefefcte 5t ää)tP₀PBCbBaC2 Ąąąco5₀. Se= jeidfuet man bie Dr=

j£_æ bina ten Р₀Д„ Pj Bt

6 uff. mit y₀ ober f(a), y₁ ober f(xt) uftö., fo

в,

в.

Û.

4г

P,

fctg. в.

ift ber ^nfyalt ber gu großen ЗЯ^фе F₂ = (x,    a) fix,) + (x₂ Æj) +(xs zg) f(x.à) -f (&    xb)f(P\

ber Suçait ber gu ïleinen glüd^e

Fi = (»1 - <0 A» + («* -    ffa) + (x₅ - x₂) f(x₂) +(b- x₃) f (хъ).

b

x liegen, unb jebe biefer ©ro?

Зт^феп F, unb F₂ ти{з F== I Kx)d fcen ïauu mou beredten. «

З^аШгйф anbert fidj im ©ebanïengang biefer Überlegung gar тф!ё, menu mon bie ©tredfe Р₀Ртф1 iu 4, fouberu iu 100 ober allgemein in n Seile gerlegt, nur unterf<f>eiben fid) F₁ unb F₂ um fo meniger, je größer bie 3a^ ber gnterballe ift. Dbmoljl bieë geometrifĄ un; mittelbar einleuc§tet, fei её für beu praïtifd) faft allein in 93etradj)t ïont? menben galt gleicher STeitinteröatte and) algebraifd) nad^gemiefen. SBir fe|en x, — a = x₂ — x, = x₃ —x₂ ••• = & — xn-t = Д æ unb erhalten F>= Ax [f(xx) + ffo) + f{x₃) + ... + /*(&)]

^ - Д * Ifia) + fix,) + fix₂) + . •. + f(Xn-1)].

F2~Fi= A*\fQ>) -fia)].

33ei ber ©ubtraïtion fallen alle ©lieber au£er fia) unb fib) meg unb её ift

Ser Slammerinl^alt l)at einen beftimmt gegebenen SBert, bie©röf3e Ax ift aber дШф bem wten Seile bon P₀P; Дж == fie ïann balder,

menn man n genügenb groft mäl)lt, alfo bei fet>r ga^lreid^en gnterballen, unter jebe поф fo ïleine 3a£)l Ijeruntergebrüdt merben, mithin ïann man aud) F₂ — F, fo ïlein тафеп, mie man miß. Ser @a^ gilt аиф bann, menn bie gnterbaüe niфt gle^ finb, nur mu§ фге Slngaljl un? епЬИф grojs, фге Sänge ппепЬИф ïlein merben.

Unfere |>itf?flädjen Ft unb F₂ nähern fief) unbegrenzt bentfelben SïBerte F, bent gefudjten gtaeffenintjatt.

Statt ber 9lnfang?orbinate (in-Fj) ober ber ©nborbinate (in F₃) ^fttte ntanau^iniebemgtâ^eneïementeinejtoifc^enibnentiegenbeDrbinatewj, m2lm₃... uflo.(ögf.gig. 1) nehmenlönnen. geberSBeftanbteitber gtädje Fm = (*! — a) ml + (x₂ — xt) m, -f (x₃ — x₃) m₃ + (b — x₃) mi ift Heiner at? ber entfpredjenbe öon F₂ unb gröjjer at? ber entfpredjenbe Oou-Fj, alfo liegt^mjwifdieniF¹! unb F₃\unb ba bei unbegrenzt ioad)fen= ber ©tieberzalft bie 2tu?brücfe Fx unb F₂ bemfetben SBerte-Fjuftrebeu, fo ïann man ba?fetbe tton ber z)oifd)en irrten tiegenben ©röfte Fm beraubten.

Offenbar genügt e? jefjt, nur eine fpttfsffädje, ettoa Fv zu betrag«

b

ten; её ift F=J"r(x)dx = Fv wenn man n über alle (Grenzen toadjfen

täfjt. 2)ie? brüeft man burd) ba? ffetdjett be? ©renzübergange?, lim (= limes, ©ren^e) au§ (2). S. 58).

t»

(gorntel 27.))/(x) dæ=lim Jjdei - a)/(«) -|- (а?а -x{)f(x{)-\-+ («3— X₂) f{pCi) -f-----h (P — X.,-l)f(Xn-i)l

/I = QO .

Sk^eidjnet man eine ber ©rö|en xt — a, x₂— xv x₃ — x₂ ufto., bie nid)t gleidj ju fein braunen, au§ praïtifdjen ©rihtben aber meift gleich gemäht toerben, mit Дж, bie Keinfte in bem pge^örigen 2eitinteröalfe twrfontmenbe Drbinate mit f(x) ober y, fo t)at ein beliebige^ ©lieb Oon F₁ bie©röfee f{x)/\x ober y/\x. $ie Sorberung ber Summation gteidjgebauter 2lu3brücte gibt ba3 geilen atfo ift, unter ^Beifügung ber ©rennen, jtoifc^en benen fnntmiert toerben foß,

x— b

x= b

Fi =2* f(x)Ax =2 y AX.

x = a    x—a

3)ie gorberung, ben betreffenben 9lu?brud einem ©renztoert zuftreben ZU taffen, ergeben mir lnie oben burd) ba? 3eidien lim. Somit ergibt fidj

h

(5«mel 28.) jf(x) dx = F = lim Zf{x) Дx=lim 2у Дгс «    (für n = oo).

S)ie eben angeftettten Überlegungen gelten offenbar mit geringen 3diobi fitationen audj bann, tncnn bie ®urbe in bem Suterbatt a • • • b ftetë fällt. Жеип fie aber weßenförmig b erläuft, fo lann man fie ftetë

ßt

ъ,

II

III

Pi

(abgefeljen bon Säßen, bie nur ben $f)eoretifer intereffieren) in Heinere ©tilde gerfdjneiben, bie entweber nur fteigenbe ober nur faßenbe Senbeng tjaben. ©o ift in giß- 9 bie 31 äü)tP₀PBB.2 Bx B₀ in bie Seite I, II unb III gerlegt. ©ë iftFj=lim S у Д xr wobei bie Summation fid) auf baë Snterbatt P₀ Px (x = a bië ^ x =&) erftredt, jP/^=lim Sy Д x für baë Suterbaß РгР₂₍ P///= = lim Sy /\x\vLxbtâ Sn ter ball 1\ P, alfo JF= Ff + Fjf + F ui ** lim Sy/\xf wobei bie Summation baë gange Suterbaß PQP(x = a bië ж = e) umfaßt. formel 28 gilt alfo allgemein.    „

x. ©ë bebeutet

Se^t bcrfteljen Wir and) bie Sd)reibweife I f(x)d

dx eine immer Heiner werbenbe ®iffereng Дя, baë f*, weldjeë

auë bem lateinifd)en s (summa) ljerborgegangen ift, eine Summe, bie fidj über eine immer größere 3<H)I bon ©liebern erftredt.

S3ei ber ®ifferentialred)nung t)at man ein problem, baë ber Шф nannte eineë éinematograbljenfilmë äfwlidj ift, bie Sluflöfung eineë 83organgeë in feine ©lemente; bie Sutegralredjnung fefet foldje ©lemente gu einem ©äugen gufammen Wie её bie £id)tbilbborfül)rung tut.

Slufgabcn.

51.    ©egeben ift bie burd) bie ®leid)ung у = 1 + ^ xz d^aratterifierte Surbe. ©ë foil baë bon iïjr, bon berSlbfgiffenadjfe unb bonbenörbinaten x = 1 unb x = 4 begrengte glädjenftücf einmal genau, bann Ьигф 21n; näl)erungberec^uetwerben.3Kauwä^lebie3ü^lber(glei^en!)Suterballe, n, ber 9îeit)eua(^ 1,2,3,6,12, beftimmebie SBerte^ uub F₂ unb bergleid^e febeëmal fie unb фг апфтеОДеё ïïîittel Fm mit bem genauen SBert.

52.    Hut Wellen S3etrag unterf^eiben fic^ bie in ber borigen Slufgabe gefunbenen©rö^en Fx unb F₂ boneiuanber unb bon фгет SWittelwert?

53.    Sn Wiebiele S^ierbaHe muß ber gwifdjen x = 1 unb x == 4

Aufgaben. UneigenHiĄe beftimmte ^integrate

23

tiegenbe Xeil bet Slbfgiffe minbefteus jerlegt werben, wenn ficĘ) 1\ ton F₂ t)ôd)ftenê urn 0,01 unterjdĘieiben foli?

54.    SBie grofś ift bie gliidje, tueldje toon ber ©çfwnentialturbe y = e*, ben Sldjfen unb ber Drbinate x = a begrenjt Wirb?

55.    SBie lautet bie Slntwort, wenn y = e~J- ift?

56.    5Ве1фет SBert nähert fid) bie eben beredjnete 31афе, Wenn а über alte ©rengett wädjft?

57.    SBie groß ift bie glädje ber Seitenlinie, beren Steigung bie

X    X

gönn у = j(em + e m) Ijat, wenn bie anbern ©renglinien biefelben finb wie in Slufg. 54 unb 55?

58.    ©ilt ©ajg 1 unb 2 auf ©.14 аиф für beftimmte integrale?

59.    Stan beweife, baff ber ©ifferentialquotient beê иаф ber gor*

X

те! 27 berechneten SfategralêJ*r{x)dx gleich f(x) ift*

a

ь ШтдепШфс beftimmte integrale.

I f(x) dx tfeifjt ein ипе1депШфеЗ integral, wenn ber 3ntes

granb f(x) für einen gw^en a unb Ъ (ет{ф1к$Кф) liegenben SBert non xипепЬйф дсо| wirb; biefelbe Sege^nung wenbet man аиф bann an, wenn eine ber ©rengen (a ober b) ипепЬйф wirb.

id cc

1. I = / 47= ift ein ипетеиШфе» intégrât ber erften Strt. s fei

JVx

eine ше!фе nur toeitig größer ift atö ber SBert x = 0, für ben ber ^ntegranb unenbüch tnirb.

®iefer Sluäbrucf bleibt г1фНд, wie Kein аиф г ift, wir werben alfo afé SBert be§ шшдепШфеп Sntegrafô bie ©röjje befinieren, bie wir er* ■ galten, wenn г — 0 wirb. Stan belommt bann I == у-

Biegt x₀, ber !гШ{фе SBert üon x, äWifфen ben ©rengen, fo ift

l>    *o    à

паф ©ab 4 auf ©. 17J f(x) dx=J f(x) dx +J‘f(x) dx, unb man

tann biefelbe Überlegung wie eben anwenben.

©o befinieren mir I =J'ie~xdx = lim — e~

со

2. I =■ / e~xdx ift ein uiteigenttidEjeê integral ber jtoeiten STrt. V    Я

to fei eine grope епЬИфе 3apt. J e~xdx —    1 — e~m. 3e

größer mir со wägten, um fo mepr nähert fid) e⁻" = -- bent SBert 0.

go    еы

“l unb erbat

Jw=oo

ten I = 1. ®gl. Aufgabe 56.

©oftpe nneigentli^en integrate befipen bureaus nkpt immer einen

enblùpen SBert. S- ®. ift I— f паф unferer definition gleich

lim

[JÄ],₌₁ felen- ^an ег1)ш [ь(ж—i)J- gür г = 1

W

refuttiert fein епЬйфег SBert.

©o näpert рф auгхйх = [ет—1]

für ю=оо feiner епЬИфеп 3apt, fonbern ber ®tammerinpali mirb bei рттфепЬ таф1еиЬет a> beliebig grop.

drittel Kapitel.

îïnhienbttng ber Sntejjralredjniutfj auf Siuicn, Stfidjen uttb $or^er.

Unfere lepten Überlegungen patten gegeigt, bap bie bei ber $10фет Ьегефпипд auftretenbe Summe

(x₁-a)f(a)+(x₂-x₁)f(x₁)+(x₃-x₂)f(x₂)-l-----V(b~xn^₁)f(xn_l)

h

mit mad^fenber ©tieber§a£)t bem $3eritj*if(x)dx unbegrenzt znftrebt,

derartige Summen fomrnen апф bei bieten anberit Stufgaben bor, nnb пафЬет mt£ einmal bie 3bentität jener beiben ЙефепаиЗЬгйсЕе !tar gemorben ift, fönnen mir ftetê einen Ьигф ben anbern erfe|en, апф menu nid)t gerabe eineЭ1афепЬегефпппд zur SDtótnffionfielet. Зит Überfluß taöt ^ф aber апф поф jebeê problem, ЬаЗ auf eine Summe bon ber gorrn Sf(x)/\x füf)rt, geometry Ьигф е{пеЭ1афепЬегефттд interpretieren, menu man bie ®urbe у = f(x) z^net (bgt. ^ig. 8).

UneigentliĄe beftimmte gntegtak. ffiolatfootbinaien

25

1. ^ladjenbcrctfjttuttgcn in $oïitrïôorbiuatett.

ßaffen tt)ir einen SBinïeï, beffen einer ©фепМ feftliegt, toaefyfen, unb tragen auf bem betoegtiefjen eine ïonftante ©treefe r ab, fo entfielt ein ®rei3. 3ft bie abgetragene ©tretfe Oari* abel, fo entfielt eine anbere Snrüe, beren ©eftalt beftimmt ift, trenn man angeben tann, tnie r non bem SBinfet cp abf)ängt (gig. 10). r = f(sp) bie ©leitfjmtg ber $urt>e in ^olarïoorbinaten. ßie^tman ju gtoei be* naeparten ffumenpnnlten Sftabien, fo entfielt ein glädpnelement, ba§ um fo metjr afô ®reté* auêfdpitt aufgefap tnerben ïann, je nper bie ©tragen einanber liegen. ®ie 3etttritoin!eI ber ßj ©temente, in toetdp АО В verfällt, finb — a, k <p₂ — Фг •••/ ß ~ фп—if alfo ift bie gtadje#

AOB =

jF=lim

bf

\jy

ÏV

Го

S'tg- io.

[tVOPi- K)+Tri²(9>2~<)[,i)d-----

(formel 29.) F

À

=J jr²d<p.

Seifpieï 9. ©ine Slrdjimebifche ©pirate betreibt ein fßuntt, wenn er fid) auf einer ©eraben gleichförmig bewegt, wätjrenb biefe fidj um einen fßuntt gleichförmig bretjt (®ref)fran mit horizontalem Stuêteger). Sft bie SBintetgefchWinbigfeit (®. <5. 28) = со, fo toirb in tSehmbeit ber SBitiM cot (im abfotuten SJÎafj) iiberftridien; cp — cot. ©teichjeitig bewegt fid) ber auf bem bretjbaren Strait Wanbernbe ißuntt, wenn wir feinen Sauf jur Seit 0 im ®rehfnmft beginnen taffen unb ihm bie ©efdfwinbigteit c m/sec geben, r = ct -Sieter Weit. .§ierau§

folgt al§ ©teidjung ber Strchimebifcheu Spirale r = ®ie gfadfe, welche Ьигф bie ben SSintetn « unb ß entfpredjenben SRabien begrenzt

\~~^räcp =    ( cp²d<p (ügl. ©a^ 2 auf ©. 14);

toirb,

F?

J a

ift it =ß C1 <*

2. Sercdjuuttg bon Surbeubogen.

Huf guten.

60.    S)ie ^1афе, Ше1фе ber оегапЬегйфе 9tabiu3 einer StrĄimebi^

fdjen Spirale bei ber erften noïïeu Umbrepung überftre^t, ift gleich bent brüten Seil beê ®reife§, ber mit bem testen SRabiuê betrieben merben !ann (geid^nnngl).    _

61.    Sie (Sleidjmtg bcr рагаЬоЩфеп Spirale ift r = a]/gp (3eiĄnungl). SBie groff ift bie beim erften öoHen Umlauf beê 9iabiu£ überftridjene gladje?

62.    SBie bereiten fid) bie glädjen, №е1фе gmifdien cp = О urtb <p = a; cp = 0 unb cp = 2a; cp = 0 nnb cp = 3a ufm.liegen, bei ber 21гфшеЫ{феп unb bei ber рагаЬоЩфеп Spirale?

63.    Sie рррегЬоЩфе Spirale ift befiniert burd) bie S3e-$iel)ung

— (ßei^nnng!). SBeldje glücke grenzt fie jmif^en ben SRabien <p - 90° unb cp = 180° ab?

64.    SDtan löfe bie entfpre^enbe Aufgabe fur ben „Situuê" r *=-?=•

V ф

65.    SJlan §eid^ne tneitere ®urt>en non ber ©leicpmtg r = a<pn unb unterfudje fie.

Ду.

xd

£So

die. li.

^raïtifd) mirb bie Sange eine§ ®urbenbogenê beftimmt, inbem man rtnf ipm, nom Slufangêpunït auêgepenb, mit ïonftanter ßirlelöffnung mieberl)olt Keine Seile abftic^t, ipre Sln^apl fid) rnerft nnb ben am @nbe i3iedeic^tnbrigbleibenben5ReftfĄa|t. Srägtman, oïffte bie SirfeU Öffnung ju änbertt, biefelbe Slnjapl Seile auf einem genauen gerab^ Unigen SKittü metermaffftab ab, fo ïann man auf ipm fofort bie ge^ finite Sange ab iefen, menu bie Seilnng aufging, fonft ift baè le^te lleinere Seildjen поф für fiep anju« tragen, ober feine ßefc^ä^te ®rö§e bm ©rgebniffe

гефпегОД ^тщи[йдеп.(5Шап!а^аиф, j.S.beiSanbfarten, ет$КаЬфеп auf ber Suche abrotlen, beffen Umfang in Sängeneiuljeiten geteilt ift.)

Sie* 2krfal)ren, beffen Sern barin liegt, ba§ man Weine Sogen* рййфеп Ъгггф bie bon фпеп fefyr roenig abmeidjenben Seinen erfe^t, ntadjt рф bie ЗМедга1гефиипд ju eigen. @3 ift (gig. 11) bie Summe ber Seinen

= Д s₀ + Д sx 4- « • • 4- Д sn = У Д у 4- Д ffp² +

+ /Д*>4 Д^Ч-----1-т/Дя;ч!!+ ДуЛ

- Д*.]А + (Ц»)‘ + Ai.y'i + (fj)’+ • /* + (£>•

+ A4

Somit bie gebrochene ßinie jur Äuroe werbe, muß Дж₀, Д^--- Дж„ immer Heiner Werben, bie Sifferenjenquotienten werben Sifferentiab quotienten, unb bie Summe wirb jum Sntegrat. (Sgl formel 28.) Sie Sänge bes ®urüenbogen§ ift *

dx, . mobei a

fönraelSO.) £=/]/! +(g)

nnb Ъ bie Stbfôiffen ЬеЗ 2lnfaug§* nnb 6nbpunïte3 finb. 93et ber 93e-гефттд ï)at man meiftenè nidp biel greube, ba SBur^etn, bereu 9tabi* !anb eine Summe ift, nur feiten Steigung geigen, рф integrieren SU taffen.

Sciffiicl 10. SSßie tang ift ber Sogen ber üfteitfcfyen ober femi^

_s_

fubifd)en Parabel у = ax* jtotpfyen x = 0 nnb x = a;₁?

3 -i T -аж s; L

dy

*i

-SV

1 + --a²xdx =

4

toa§ man Ьпгф Differentiation leicht bestätigt. 2)er Surbenbogen ift

dx

27a²

27 a²

atfo

Scifpict 11. SBie tang ift ber Sogen ber Jîettentinie, geregnet oon itjrem tiefften Sooft bis ju einem beliebigen Sunft mit ben ®o* orbinaten xv yß

_ y- (ogt. s.@. 61,

m~ Slufg. 140).

™(em + e m) = m ßof (|); 1 + (У)¹

Oi

t.

Y^T(fr = I

m Sin

m( z~ ⁼ 2 \

\    Scijfiicl 12. ffite lang ift ber Sogen

\ p AP in gig. 12, toenn bie ®urbengteid>ung RirT* in $olarïoorbinaten г = f(y) ift?

''Щ'р Sefcfjreibt man um O mit OP ben ®rei3, /\ fo entfteijt bie gigue PRPy bie fidj urn fo I rneljr einem bei R redjttoinfligen S)reied ^Aa nähert, je enger P unb Pt pfammentreten. /    ©§ ift Д s — У(г Д g>)² + (Д »•)* =

lig. 12.

(formel 31.) X

3. Äär|icrtn^ttlte.

SUS belannt fe|en toir OorauS, baß ber 3fahaft iebeê priSmatifdhen (fdhetben^ ober fäulenförmigen) SörperS gefmtben toirb, inbem mon ben gläd)enint)att ber (Srunbflâche mit ber фо^е beS Körpers muttu pikiert (7 = G • h), ÿlatürlicb finb ftetS entfpredfjenbe äftaßeinheiten ju oertoenben; mißt man bie $öhe in ßentimetern, fo muß bie ©rmtb fläche in Buabrat^entimetern angegeben toerben, unb ben gnhalt er* hält man in ®ubif$entimetern.

Ши man ben ungefähren    eines unregelmäßigen Körpers,

l. 33. einer Kartoffel, ïennen lernen, fo $erfd)neibet man if)n in bünne Scheiben, bie amtäfjernb als ^ßriSnten aufgefaßt toerben fönnen, be= regnet beren Spalte unb fummiert fie. SDieS ©erfahren ift um fo genauer, je bümter bie Scheiben toerben. Um es rechnerifd) ju erfaffen, legen toir burch ben Körper eine ©erabe, bie alle Buerfchnitte fenïrecht burdhftidht, unb machen fie $ur A^Slchfe. (gig. 13.) $u jebern x gehört bann ein ganj beftimmter Buerfchnitt Q, ber Buerfchnitt ift alfo eine gunïtion oon x. $u x = a möge Qa gehören, $u bem üftachbartoert xt gehört Qt ufto., bis toir für Ъ ben SBert Qb befommen. 2)amt ift baS ©olumen ber ©ren§toert bon

Fj =*= (хх a) Qa + (x₂ xt) Qx H • + (b — xn—i) Q

t*

(formel 82.) V=J Qdx,

a

П — 1/

alfo

gig.13.

©ciffłicf IB. SBiegrofjiftbergnbatt einer ißprantibe, beren @Srunb= flôdje G unb beren £öbe h ift? (gig. 14.)

\\\

/ 'W

Lp«

A-K

3n ber Stereometrie toirb “ gegeigt, bafj bei biefem ®ör= per jeber Schnitt, ber il)n parattet jur ©runbftäcbe G burcpfagt, eilte i^r ftjntidje gigur au§fdjneibet. ®ie 3n= h botte ber beiben giguren oer* batten fidj mie bie Quabrate ihrer Stbftänbe pon ber ißpramibenfpibe. ©iefe ttmb* ten loir atè Stuâgangâpunft — ber Xs?t<bfe, beren ЭШ)= tung mit ber f>öbe be» ®ör= perê jufammeufalten möge, ©amt ift

h

л „    . ₇, л вх⁵ „ С—1    г^³!⁴

Q-.G-X : li- ; <?--jjrî ^-J л*

fôottriel 33.) fp^ramitocninÇalt =

Stimmt man afô ©runbflä^e einen Sreté mit bem du^meffer dr f о erhält man afô gormet für ben 3n!jalt eines S e g e I § 7= ~ ^ *=

©eifoicm.Un*

ГУ

'/

Fs

Fi

F>

\/Fb

F*

ter einem $ri£î ¹ matoib (Sörper* ftnmpf) berfteïjtman einen Körper, beffen h ©nmbftdd^en §mei паф gorm nnb©rö= fśe gan§ beliebige ebene ©ielede finb, L tum beneit nur t>or-auSgefefet mirb, baf* fie in parallelen -ri Sbenen liegen. ©ei-1 ne feittic^e ©egrem jung bilben ebene gladjen, bie bon ber einen (Srunbflädje ^ur anbern gepen. §m allgemeinen finb fie dreiede; nur menu $mei entfpre* фепЬе Santen par* aM finb, erhalten mir drаре$е. @о!ф draper !ann aber Ьигф eine diagonalem ^meidveiccfe^erlegtmerben, fo baf$mir allgemein bie |еиНфе Segren^ung afô ein 9le| bon ФгаейепЬе^фпеп ïbnnen, bie bon einer ©eite ber einen ©гипЬрфе auêge^en nnb in einer ©de ber anbern ©гипЬрфе enbigen. die 8^t)I ber feitt^en dreiede ift atfo ebenfo grof$ mie bie Summe alter Santen ber ©гипЬ^афеп. ©§ foü ber Snîjatt biefe§ Sor^erê beftimmt merben. (gig. 15 nnb 16.)

®ie ^)öt)c be£ Pri§matoib£ fei h. 2tuf ipr tragen mir bon einer, j. 8. ber oberen ©runbfläcbe g auê ein beliebige^ ©tüd x ab nnb legen burdj bereit ©nbpunït eine neue ©bene, bie parallel ju ben ©rnnb-flächen berläuft. ®en!t man fich ein SJÎobett ЬеЗ ®örper§ au§ $Braî)t angefertigt, ftettt e3 mit ber unteren ©runbfläche auf eine photographie s43Iatte nnb belichtet e§ bon oben ber, fo erfdjeinenbiebeiben ©runbflächen nnb ber ©djnitt Q in magrer ©röfje nnb ©eftalt, bie Seitenflächen mer* ben afé ©reiede projiziert; ber Inhalt biefer Projeïtiônêbreiede, bie um bie Heine ©rnubfladje g herumliegen, fei Gv G₂ • • • Gr ©ie ©lüde bon ipnen, melche fich bou 9 btó Q erftreden, feien Fv F₂ -- F,r @§ gilt je£t, bie Śladje Q zu Ьегефпеп, meldje bon bem Sinien* Zuge JKLMNOP umfchtoffen toirb, fie fefct fidj auê g nnb Fx bi§ Frj zufammen. Seftimmen mir zunächft Ft = CJK. 21u$ ben ©efe|en ber Projeïtion folgt teid)t, baf$ fid) CJ zu CH mie x : h berhalten muß. ®a aber bie guljalte ber ähnlichen ©reiede CJK nnb CHF ben Quabraten entfprechenber ©eiten proportional finb, fo ift Ft:Gt

= CJ² : CH² =• æ² : h² ober Ft = — ©benfo ift in unferem galt

^5 = ^ unb    3n ber Sigur CJF.B gilt

(h-xyGt

h*

aber bie proportion: Д F KL : /\FCB = (h—x)²: h² ober Д jP/f L unb e§ ift F₂=>G₂- FKL = jł [h* - (h - я)²]

=» ^ (2hx — x2>j. ©benfo ift JP₄= -^₂⁴ (2 hx — x²^j unb F₇ =

= ~l(2hx — x²), alfo ber Inhalt be§ ©фпШеё Q =    +(j₃+ö₅+(j₆)+ ⁷    — (G₂ + &₄ + (?₇) + g\

Q ⁼ p(^i+^3+^5+^e“    ^7) + Х^²“^^⁴"^ ^7) + ^

Se|t man beifpiefémeife ж = 0, fo erhält man bie obere ©rmtbfläche g, für x = h ergibt fich fft + ff, + G, + £₄ + £₆ + G₆ + G₇ + 0 - ff,

für ж = у refultiert Ж=~ G₁ + ₄ (x₃ + \ Gb + F Q-g -f | G₂ + -|- (r4 + x ^7 + 9- gefugte Volumen ift je|t leidht zu berechnen.

h

Г-f'Qdx-J(Gl+G.+GB+GrGt-G4rG₁) + /г((г₂+(т₄+ ćr₇)-|-

+ 9h “y(39 +    + 2 ćr₂ + Cx₃ + 2 ćr₄ + Сгь + 6^ß + 2 (r₇)*

33er Sngalt ber Slammer ift, mie man fofort erfreut, gleidj

G+g+iM

alfo

(formel 34.) $rtèmotoibinl)alt = ^(€? + g + 4M).

©eifpiel 15. Sngalt beê ©impfonfcgen Sörperä.

(Sin ©impfonfcger Sörper ift baburd) getennjeidjnet, bag er öon jtoei parallelen ebenen ®runbflädjen begrenjt mirb, unb bag bie gläcge jebeS jn biefen parallelen Duerfdjnittè Q burd) bie formel Q = a + bx -f cx* + ex³ bargefteüt merben lann. hierin bebeutet x ben Slbftanb bc§ ü.uerfdjnittl bon einer ©runbftädje, a, b, c, e finb beliebige Sonftanten.

3)ie 4?bge beê Sbrperê, ber 9lbftanb ber ©runbflädjen, fei h.

h

bx . cx |_i£LT фигф eine ©nttoidlung, ⁴ Jo

V =J* Qdx — £ о

ax -I

bie genaubem ©ebanïengange beê ©eifpielg 5 auf®. 17 entfbrid)t, er«

gibt fid)    h

{formel 35.) Snljalt bc§Simbfotifrf)cntärbcrg=-^{G+д+кМ).

G unb g finb tnie in Seifyiel 14 bie ®runbfläd)en, toelcfye $u я = 0

unb x = h gehören, Ж ift ber äftittelfdjnitt [x *= y^* ®ag $rigma*

toib ift ein ©be-^iatfatt beg ©impfonfdjen ®ör{>erg, toeil bort Q nur eine

gunïtion gtoeiten ©rabeg non x ift.

©eifjuel 16. SBie gro§ ift ber Suivait einer ®ugel nom Słabiug г? (gigЛ7.) AB fei'ein S)urĄmeffer d ber Sugel. ©entrecht $u it>m legen mir eine ©bene, bie ben Körper in einem Greife nom Sîabiug q fdjneibet. Ш unferer gigur gefyt fjernor, bag g² = r² — (r — X)² = 2 r x — x² ift. ®er gnt)att ber fêugel tnirb V==

2 r    2r

nrx — nx²)dx

I.

•w

% q² d x

Stg. 17.

= 2Г7Г

2r    2r

; j*xdx — % J*x²dx —

b    O

2 nr

\~X*V r Г Xs12r

Pd -4tJ₀-

(formel 36.) ÄugeUnljült =    л r³

Л (fi

SDtan faun bie ®uget and), ba Ç = е²л;= 2гл£ — лаг nur eine qua-bratifd^e gunftion t>on x ift, afê ©impfonfdjen Körper auffaffen, menu man bie ©runbfladjctt auf bie fünfte A unb В ^ufammenfcprumpfen Iä6t. 2)er äJUttelfdjnitt ift ber Äquator, bie §ö^e ber ®itrd;meffer.

©wnitift G=g = 0, M=r²7t, h=*2r, morau§ V=~ |бг4 +

— J firc folgt.

©eijpicl 17. SSie grof$ ift ber^nijalt eine£$ugelabfd;nittä öon ber |)öl)e Л?

gütjrt man einen ebenen ©cbnitt burd; bie ffiugel, fo gerfättt fie in jtnei ®ugelabfd;nitte, bereu §öf)en h unb 2r — h finb. Um ben erften §u beredeten, muf} mau in bem vorigen ©eifpiet nur bie obere ©reit^e be£ integrate paffenb änberrt.

#²d.r =

(ffomel 37.) Snljalt bc8 Âugelabf^nittê =    (3r —/i).

©3 ift 5U beachten, bafcr uad) mie Uor benSugelrabiuê bebeutet, nid;t etma ben £albmeffer ber ©runbfretéflâcpe; biefer fei rr SSitt man фп einfüÇren, fo braucht man nur baran $u benfen, baf$ rx% *= 2rh — h*

rfi+h*

2h

(3 V+n

Seifpiel 18. ®ie ^arabeî y = ~ (Ф. ©. I6f.) breljt fid; um it)re

©pmmetr ieaepf e. 2Bie grof$ ift ber Sntjatt be3 entftetjenben 3t o t a t i о n 3 ? parabotoiba, menu feine £iЩг h ift (gig. 18)?

nah*

ift (ügt. q in SBeifpiel 16). fpierauê folgt r =

ätVIt) h 8 г,Ч-*‘ 7 =

• 3r - h

2ft

F =) nx³dy = Cnaydy = ïreisrabiuâ ЬеЗ ^araboïoibê mit r, bie ©rimbflätfje mit (?, fo ift

,    тг Л?‘²Л

h = —г а = j-r V = —-—

ah    2

• ©e^eidmen mir ben ©runb^

(formet 38.) 3«(jelt beê fflotationlfitttaboliiibS

Ши© 673: ßinboto, 3fntegraIreĄnung, 3. Kufi.

(;л

We. 18.

®rept man alfo bon einem 3plinber fo biel Späne ab, bté ber Übrigblei-benbe Körper ein ^araboloib bon gleicher ©runb^ ftäcpeunb форе ift, fo gept gerabe bie §älfte berloren. Garnit man einen ®egel erpält, muft manfogar|-beêur^ fprünglicpen ®ör* perê opfern.

SSemt ein teil*

toeife mit glüffigïeit gefüllter ^opljplinber um feine 2lcpfe rotiert, fo brept fiep halb bie Slüffigfeit mit, ipre Dberfläepe toirb ein ïïlotas tionêparabotoib.    ₂    ,

©etfpicl 19. ®ie ®£tipfe ~ + -f* = 1 brept fiep einmal um bie

Heine Slepfe 2 b, einmal um bie grofśe Sldpfe 2 a. SBie grofś ift ber 2npalt be3 im erften gaH entftepenben abgeplatteten, beê im feiten entftepenben berlängerten 9îotationêetlipfoibe£?

2m erften gatt ift V =J*/rtx*dy =    ~w) ^ ⁼ 's"yca2&^

J* ) y л ab*.

4-ъ

im ^weiten tjaben totr V =j'xyidx = nj'

W| 4b

(formel 39.)

Ci| 4b

Snljatt beë abgeplatteten Metntiouecöipioib? = л ab. (formet 40.)

3«tjatt be$ bertängerten 9totation8eI(ii)foib§ = я ab-.

Aufgaben.

66 SDlait ermittle ben Straft eine? $rtématoibê, wetdjel oon cm; bern Sßtetecfen atö in gig. 15 «nb 16 begrenzt wirb, unb weife nach,

baf$ bie für biefeit Spegiatfaït angefteiïten Überlegungen allgemeine ©üttigfeit haben.

67.    ©in haften hat atê ©runbftâchen 3ïec£)tecïe mit ben Seiten a, b unb c, d. a fei c nnb b fei d paraM. Seine форе fei h. Sôie gro§ ift fein $affmtg§oermögen?

68.    ©in Фаф pat afê (Srunbftäche ein 3îcct)tecf mit ben Seiten a unb b. Sie §öhe ift h, bie girfttänge c. S33ie grofś ift bie non ipm umfchtoffene Snftmenge? ,

69.    Sie gorrnet V ₆ (6r + # + 4Ж) gilt für ben 3^t)oIt be£

SBürfefô, Quaberê, sprtémaS, Bptinberê, ber ^pramibe, beê ®egetê, beê Sßpramiben* nnb beê Âegelftumpfeê. 3Barnm? 9Ran leite bie üb* lidjen gormetn au3 it>r ab.

70.    SBarurn ïann man biefetbe gormel auf bie Äuget, ben Äugeb abfchnitt, baê Sftotationêparabotoib unb baê 3totationêeïïipfoib an* menben?

71.    933ie nerhatten fidj bie Spalte eineê 3^inberê, einer §atbfuget, eineâ 3totation*parabotoibe§ nnb eineê Âegefô, menu man allen Äör* pern gteidje ©runbfretérabien nnb gleiche форе gibt?

72.    Ser Snhatt eineê 9îotation3parabotoibe£ ift gleich bem *Pro* buïte anê ber форе nnb bem SRittetfchnitt.

fy

73.    303ie grof} ift ber Inhalt eineê gaffeê, metdjeS ein Simpfonfcher Sorter ift, menn ber Surdjmeffer am Spunb Ą ber Sobenburchmefferdmtbbie §öhe hift?

/h

74. Ser gnî)aü einer Äuget nom Surdj* meffer d ift nüherungêmeife -f-d⁸; mienie! s$rogent beträgt ber gepter?

T,

4. ftrumme Obetflä^en. x Seifptel 20. 9Ran berechne ben gtâchen* titrait einer Äugetgone.

Sie Äugetgone mirb au£ ber Oberfläche ber ganzen Äuget burdj gmei parallele ©be-nen anêgefchnitten (gig. 19). Фигф reiche nahe ©benen, те!фе alle paraM jn ben obigen geführt rnerben, ^erfättt bie Äuget* gone in Seite, bie um fo beffer atè äRanteЬ flächen abgeftnmpfter Äeget anfgefa^t mer^

ben ïihmett, je fdjmaler fie finb. Фигщ Summation eutftef)t bie gefügte

Шпфе.    __    ,-—i

&F= 2яt/Д«; e§ift abert/ = )/r² — x Д« = у 1 + Да;

(S. 27). ge fdfmater bte Streifen merbett, um jo weniger unterbleibet fidj “I bon biefer Sifferentiatquotient ift aber = — ^ (Ф. ©. 51).

I S?

<« M

V‘+e9‘-y>+ ■Гт*⁼т

— 2 тс r h.

/\F ft* 2rcy • — • Дж ==> 2тггДж.

? ⁹

jP == f 2%rdx = 2тсг(ж₁ — ж₀)

xo

$ie gtädje ber fiugetjone ift alfo ebenfo grofi, mie bie SKantelftadje eine£ St)tiîtberê, ber ben ifugeïrabitrê gum ©runbfrei^atbmeffer Çat unb beffett öölje ber ber ®ugetgone gteidjtommt.

Seifjuel 21. SBie groft ift bie <Щфе ber Sugelïappe (Calotte) imb mie grofc bie gange ®ugeloberfläd)e?

©djneibet man bie ®ugeloberfIätf)e nur Ьпгф eine ©bene, fo ger^

h

fällt fie in gmei ®ugetfappen. SJtan finbet f)ier F =^2nräx = 2nrJir toenn h bie $öt)e ber Kalotte ift. ©nblidj ift bie gange Jfugetoberftätfie

2 r

°-ß

2nrdx = 4 nr² = nd².

(gormcf 41.) fiugeljone = ЯидсИаДОе = 2nrh = nd-h. (gönnet 42.) Sugeloberftätbe = 4ягг² = nd?.

SSierteë kapitel.

Sntegrationë&eif^teïe aus ber 8tatif.

1. (Sinijcl ou§ bet Seljre botn Sdjtoerÿunït.

Sin einem §tneiarmigen £ebet mögen anf ber einen Seite bie ffräfte KlfK₂, Къ angreifen, il)re {entrechten Slbftänbe bom $)rehpnnft 0 feien

0 ABC

/г, Kt Ц

OA = xv OB = x.2t OC= x^

(gig. 20). Slnfberanbern Seite -mitte bie ßraft К in ber ®nt* fernnng k, $>er §ebel felbft fei atö деЬлфШоЗ ober auebalati; eiert angenommen. ®ann tebjrt bie'SJtectiani!, baf$ bie Йогпф tnng im ©leidjgenncht bleibt, menu bie ^Beziehung beftef)t Kk =    K%x.₂ -f- Kzx.₆.

33ei mehr Kräften treten natürlich mehr entfpreetjenbe ©lieber anf. S^beê bon ihnen ift bai ^ßrobutt au3 einer $raft nnb ihrem Slbftänbe bom 2)rehfnmtte, e$ toirb al3ba3 ftatifdje SJtoment ber ftraft in bezug anf ben ®reï$untt bezeichnet.

©anz entfbrechenb finb bie gormeln, menn man bie nm einen $unft brehbare §ebetftange Ьпгф ein Srett erfefct, baê auf einer Schneibe liegt, ober, mehr mathematifcf) gebrochen, bnreh eine ©bene, bie fich um eine in ihr liegenbe ©erabe brehen tann. 2Bir ftwllen annehmen

v (Sig. 21), ba§ baS SSvtttSTUV, f omit audh bieSchueibe W Z, ma* gerecht liege, nnb bafc bie Kräfte ©iumirfuugen ber Schinere anf bie Körper A, В, C feien, ше1фе auf bem Särette befeftigt finb. $iefe Korber feien bon fehr geringer Slnêbehnung, fo ba§ fie in ber 3^iĄnnng bnrdh fünfte r miebergegeben mecbeit fönnen. ®ie ©rö|e ber in ihnen fenk

Big* 20.

IV

Q.

Ш 21.

redjt паф unten wirïenben träfte fei wie border mit Kv Ks, K₃ be; jeidjnet. ge|t finb xlr xi, x₃ bic Stbftänbe ber fünfte A, В, C bon ber Фге1)аф{е. Stuf ber cmberit Seite bon WZ greife in Q (Stbftanb k) bie ebenfalls totrecpte traft К an. OHeufjgcmidjt tjerrfdjt, wenn bad ftatifd^e Sftoment ber „Saft“ КgteidE» ber Summe ber ftattfdjen ®tomente aller Kräfte Kv Ii2l K₃ ift, wobei bie ftatifcfjen Momente ftetd auf bie Фге1)аф)е WZ bezogen werben. ®ann ift аиф t)ier K.k — jfiTjxx "f" K₂x₂ ~i~

3ft beifpietdweife К = 12 kg, к = 0,5 m, fo ift bad ftatif«i)e iW о ment Ж = Kk = 6 mkg. SBir WägtenWitttürt^iC₁ = 10,irä = 2,Ä₃ = 3kg. Фапп f)errfd)t @teidigerotct)t, wenn bie еп!(ргефепЬеп Stbftänbe xx = 0,28 m; x₂=1 m; хй=0,4 m finb, aber аиф, wenn man xx=0,38 m ; x₂ = 0,2 m ; x₃ = 0,6 m тафк So faim man bie gegebenen ferneren Körper поф auf ипепЬйф biete Strten berfctjieben, olfne bad ©tekfj; geWutjt ju ftörett, wenn nur bie aJîomentengte^nng beaфtet wirb. 3nd= befonbere lann man fie аиф auf einen einzigen fßunft ftetten; fein Stb= ftanb bon ber 2)ге1;аф(е fei | SJÎeter. $>ie äftomentengte^ung liefert

6 = 10| + 2|+ 3| = i(10+2 + 3)=15|;| = ~è = 0,4 m.

®iefe Überlegung gilt паШШф allgemein. SJtan !ann bie brei Körper, bereit @eroid)te Kv K₂, K. finb, auf einen fßunlt ftetten ober, anberd auögebrüdt, fie Ьигф einen einzigen törper erfefcen, beffen ©emicf)t gteid) фгет ©efamtgew^t Ex + K₂ + K₃ ift. Garnit bad ©le^geWiĄt niфt geftört Wirb, muff er einen gattj beftimmten Stbftanb | bon ber ®re[)ad)fe tjaben, fo bafj fein ftatifdjcd SJloment gteid) bem ber brei urfpri'mgtidjen Körper ift.

(Ä₁ + K₂ + E₃) I - Kxxx + K₂x₂ + K₃x₃.

(formet 43.) % —

К ! 03, + K»X -Kg*»

K,+ A₂+ K.,

2)er ®rfa|!örper muß auf irgenb einem fßuntte ber im Stbftänbe | jur ФгеЦф?е gezogenen fßaratteten liegen.

bont

S)iefe SBitttür fällt fort, wenn Wir unferm Sörett ST UV поф eine jweite ju WZ fentredjte 6фпе4Ье geben ttnb bertangen, baff ber törper ©ет!ф1 Kx -f K₂ + K₃ (паф Studfcfjattung bon WZ) аиф in bejug auf bie neue @erabe bie urfprüngtidien brei törper böttig er; fefct. ЯЭе5е1фпе1 man i§re Stbftänbe bon ber neuen Steife mit yv y₃, y₃, fo erhält man tjter

Klyi +

Kl + Ä₂ -t- Ą f unb burd) bic berechneten ©röfcen § unb ^ ift bie Sage be£ (Srfa£!örper£ in bent Koorbinatenfyftem, metcheê bie beiben Stufen befinieren, ganz . einbeutig feftgetegt. SBir h^ben bie Kombinaten ЬеЗ ©djmerpunftcê ber brei Körper A, B, C gefunben.

(formel 44.) r\

2. Sdjtoerpuuft einer Sinic,

(Sine gerabe ßinie non gleichartiger S3efc£>affenb)eit pat, mie \ià) mu mittelbar einfepen tafjt, ipren Sd&merpunït im 9Rit* telpunft. (Sine ïrumrne ßinie ^erlegen mir m feljr oiete Seite nnb erfeijen nachft jeben Kuroenbogen burd) bie entfpred) enbe Sehne, bie Kuroeatfo burd) eine gebrochene Sinie. 1cm möge fteté p ©ramm mie= gen, bann finbet man in Sig.22, menu man bießänge ber ©eraben OSt mit slt bie ber gebrochenen ßinie OSt S₂ mit s₂ bezeichnet ufm., mährenb \ nnb rj bie Schmerpmtftéïoorbinaten ber Kuroe bebenten:

Pxi + (*» — si) Pxt ~f («,- Si)pxs + (s±-ss)px₄+ (д₆- s₄)px6 si P + Cst - si)P + (* - sî)p + («4 - sa)P + («6 - h)P hierin finb xlt x₂, xSt x₄, x₅ bie Stbftânbe ber Sehnenmittetpunïte A, B, G, B, E oon ber Srehadjfe.

Sie (atê tonftant angenommene) ©rö§ep !ann im^ähter nnb Шхи ner anêgeîtammert unb bann fortgehoben merben. SRan beïommt

By As BA s *

£pö-

BxAs

I?

-X,-

j£ł

Ль

iE

Sb

Stß.22.

; ebenfo ri ft*

Д$ erfepen mir Ьпгф ben auf ©. 27 ermittelten SBert

/•У¹*®?-

dx

il

(formel 45.) §=-

tuobei l bie ßänge ber $urbe (oon x = a bté x = b) bebeutet. ©cityitl 22. ©ie ©leicfjung ber Settentinie ift y = m ©of g)-

, [    23ie fjodj liegt ber ©rfjmerpmtït be§ fiuroen--

ftücfeê, tuetdjeë burrf) x — 0 unb x = a be* grenjtroirb, über ber 2lbfjiffenad)fe(gig.23)? 9iad) SBeifpieï 11 auf <S. 27 ift 1 =

mSin g)- ferner|/l + (ff)² = ©of g).

о

9}ian ertiüit l • V—fi¥~j/¹ +

^    Гт ©ofsg)d.r. SI us ben 3rormetnffiof*g^

+ ©in»g)^©of (g) unb ©of* g)

©in*(-) = l(©.S. 39)finbet man leicht

, , „ , /2я\

1 + e°'U7

г/Я

. ®ê ift =

$i0- 83.

2a

m —-    m

—em \a- —

e m    a

⁴a--3ft ш tlein, fo bafj

man

ew — e

bie 9teiI)enenttoicflung ber ©jponentialfnnïtion (Ф. ©. 72) mit bem !ubifd)en ©liebe abЬгефеп fann, fo erhält ntan паф ?Intoenbmtg

einiger ?łal)erung3formetn r\ га m £l +

3. ©djtocrtiuuft einer $1афе.

бтеЗКф t ttnrb man §ur ЭЗегефттд фгеёЗфгаегрппЙеё in fфmaIc Streifen ^erlegen. SBemt fie b лгф eine gegebene ®uroe, Ьпгф bie XMdfit

unb bie beiben ju ж = a unb V x = b gehörenben örbinaten. J begrenzt mirb (gig. 24), fo führen mir niete nahe Schnitt geraben ^агайе! jur r^Ślcbfe geben ber fo erhaltenen 6treb fenïannman Ьпгф feinen 9ШЬ ~ tefyunft S₁ vertreten taffen, menu ntan hier ba§ ©etoicht beê ganjen Streifend (pAF) fonjentriert. ®ie ©röf$e p be-bente baê in ©ramm auêge^ brücfte ©etoicht non l qcm ber glücke. SDtan erhält für bie ©(htoetyuulfôïoorbmaten ber gtäche AB Gl) in gigur 24

ZxpAF ~

ZpAF,ri~ zpaF

auftretenbe ©röf^e p hebt fid) fort.

„    2~rA F Z~yAx

Sx A F    SxyAx    ²    ^    ²

ś ^ za F ~ SA F > ^ 2AF ~ SaF '

jŁ

Ud

StA- 24.

• ®ie in jebem ©nmmanben aU gaftor

alfo genau

JxdF Jxydx

(formel 46.) «

cm

fidF j%'idx

n    n

Sig.25.

4—    F

Sßirb bie Stäche burd) bie ®urüe, bie Г4ЭДе unb bie im Slbftanbe c unb d jur X=3ld)je gezogenen фагаШеп begrenzt (gig. 25), fo erijäit mau (formel 47.)

j\*?dy

T—; n =

Mi)

«T

Jxydy

©ctfptcï 23. foü ber ©фтегрипй eineä    mit ben

©eiten a nnb b gefunben merben.

Ъа% ®oorbinatenfpftem laffen mir ^mecfmaftig mit §mei anftoften^ ben ©eiten ber gigur pfammenfallen, a bilbe bie Х^31ф|е. ®ann ift in unferer gtâcpe y bauernb ber ïonftanten Öhröfte b gleid).

fib*dx

i a*> n ⁼

«Лгг

Ixb dx

ah

_ if!* A

ab

i*!î = хь

ab * °'

©etjpic(24. 38o liegt Ьег©фтегрипЙетегФгаейзрафе(Зйд.26)?

„A

2Bir legen eine ®de beê ®reiecfë in ben ®oorbinatenanfangêpunft unb bie non iftr auêgeftenbe §öfte auf bie Xг 8Mjfe. ®aô glâd)enelement B EF G ift pier ungefähr gleidj BE • Дж; BE !ann aber leicht Ьигф eine proportion gefunbeu merben, ba bie $)reiecUBEA unb BGA einanber арпйф finb;

'* DE-.BC — x:k: DE=-^-

h    h

Гая⁸"] л    а Л*

L3foJj) 3

/ X r-ax ' h

^ah “ * 'h-Фег ©cftmerpunft liegt alfo auf einer Parallelen $u ber ©reiecfëfeite ВС, те1фе non ber @pi£e A ben Slbftanb

iah

gtg.S6.

I h, alfo non ВС ben Slbftanb jIjat. ©ntfpre^enbeè gilt иаШгИфаиф

non feiner Sage ju ben beiben anbern ©reiecfêfeiten. Sftan überzeugt \iâ) geometrifd^ leidet, baft ber ©фпШрипК ber brei SKittellinien biefen Slnforberungen genügt, ba fie рф im ©erfyâltnté 1:2 teilen.

-Л

о

©eijpiel 25. 2So liegt ber ©cftmerpunït ber glädien F unb. Fx in gig.3(©.ll)?6

%üï F ift J*xydx ==У^ ♦ —- dx

a    X ⁵ °

auf ©.11 ift F= za • §ierauê ergibt рф S = J

J\y4x -f£täx = Ч - ~ia>: fa - iVÏ =

gür i*) benujjt man tie gormetn 47; man ertjätt

»1    ft

J^x'dy f^aydy

мЛ-

ii =

"i* щщ'аа

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СО J ОО

«I,», я, T*‘

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X JL a² y ² dy

Чх F,

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F,

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ł^y.¹

I®. Ух

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\XlVt

4. $ie ©ulbtnfrbc Siegel.

®ie im brüten Kapitel betjanbeUen, Doit Immunen glädjcn begrenz ten Körper maren (bom allgemeinen ©impfonftben Körper abgelegen) aitgfcbliefflicb 3îo tationglörper. SSir motten je|t gornteln für ben Sntjatt unb bie SKantelftadje biefer Körper abteiten, bie megen фгег ©pmmetrie praltifd) befonberg tmdjtig finb.

©egeben fei atfo bie Kurbe y = f(x), fie brebe ficE) nm bie X=9lcbfe. SBir betrauten baë ©tücf bon фг, meldfeg jmifcben x = a nnb x = b liegt, unb fuctjen bie gladfe, meldje burdf bie Knrbe D C (gig. 24) bei ber dotation erzeugt mirb, unb ben Körper, ber aus AB CD bei ber Streuung berborgettf.

A) Stie ©lentente Д s ber Kurbe erzeugen 9Jtäntet bon abgeftumpf= ten Kegeln, ©in beliebiger bon ihnen bat bieDberflMje 2ny As. S)ie Dberftadfe, meldje burd) Dotation bei auö geraben ©tementen, ben ©ebnen ber Kurbe, beftebenben Sinienpgeg DG erzeugt mirb, ift

Z2ny Дs = Z2%y"|/1 -f- (-^|) Д*. dotiertbieKnrbe, fo gebt bie Summe in bag integral über.

ь

ж₁₌=

M=2^fy]/l + Qÿdx.

S)ag gntegrat ift aber паф gorrnel 45 gerabe gleich vh toenn y ben ©cbmerpunîtgabftanb unb l bie Sänge ber Kurbe bebeutet. SJlan be-ïommt fo für bie gefugte SOiantetfläcbe Ж = 2nr\l.

9înn betreibt aber bei ber Strebung ber ©фюегрипК ber Kurbe einen Kreig mit bem Stabiug щ\ 2 щ ift ber SBeg beg ©cbroerpunfteg.

Фег gtädjcnin^alt einer SRotationgfiädje ift д1еЦ bem Sßrobult au§ ber erjengenben ®nrbe unb bent SBege iljreS ©фтегрипНеЗ.

В) Фег S«f|aït etneê SlotationSlörperS läßt fidß teidjt паф ber auf ©,28f. angegebenen Sietßobe ermitteln; ber üuerfdjnitt Q ift f»ier ftetS ein ŚreiS, fein Sîabiuâ ift bie Drbinate y, baßer ift Q = л«/²;

b    6

eS mirb V

=Jrtysdx =    Iifdx. ФаЗ gntegrat ift паф gor;

mel46gteußij F, toenn ij ben ©фтегрипНёаЬ^апЬ ber ЗШфе F=AB GD non ber ®reßacßfe bebeutet; V = 2%r\F.

2 nr] ift аиф ßier ber ©фЮегрипЙЗтед.

Фег gnßalt eitteè SlotationSförperg ift дШф bem ißro = buït aus ber erjeugenben ^1афе (F) unb bem SBege ißreS ©фтегрип^её.

S3 muff ftreng barauf geachtet merben, baff man im galt A ben ©фЮегрипН ber ЙигОе GD, im galt B ben ber gläфe AB GD ЬгаифЕ ®iefe fallen im allgemeinen ЬигфаиЗ niфt jufammen, fo baff rj in ben beiben gäEett eine uet'fdjtebette SSebeutung ßat.

©eifpiel 26. S3 foli ber gnßalt be§ Slotationêparaboloibeê паф ber ©п1Ьш{феп Siegel gefunben merben.

'3)a F₁^ l x₁y₁ (©.11, S3eifpiel2), |,=-§ift (6.42, 93etfpiel 25), fo ßat man V = 2л|, • Fl = \nxliy₁ (ögl. ©. 33, 93eifpiel 18).

Aufgaben.

75.    ®ie größere ißaraEelfeite eine» Фгаре$еЗ ift a, bie Heinere b, bie fjöße h cm. ЗВе1феп Slbftanb ßat ber ©фЮегрипЙ ber Srapej* Рафе ооп а?

76.    Sin regelmäßiges ©ефЗес! breßt fuß um eine ©eite, (beren Sänge s cm fei). SBie groß ift bie Dberfläcße unb ber gnßalt beS entfteßen= ben S'örperS?

77.    Sin ®rei3 üom Siabiuë r breßt рф um eine äußere, in feiner Sbene liegenbe fefte 31ф{е, beren Slbftanb oom Stittelpunit l ift. SBie groß ift ber gnßatt unb bie Dberfläcße beS entfteßenben SlinglörperS? Süßt ^ф auf фи bie ©ипрфффс Sieget anmenbeit?

78.    Жо liegt ber ©фтегрппН einer |mlbfreiëlinie?

79.    SBo liegt ber ©фтегрипН einet .ра1Ыгс1ф(афс?

80.    ©S foil ber Scbtoerpunft eines beliebigen Kreisbogens beftimmt tnerben.

81.    9Kan ermittle ben ©cbmerpunft eines KreiSauSfcbnitteS.

5. ©фшсгрипНе bon Körpern.

.£,

Sie-*?.

©etfpiel 27. 2Bo liegt ber ©cbmerpunft eines Kegels? (gig. 27.) $>a er natürlich auf д ber @l)mmetriead)felie* gen muf$, fo Ijanbelt es fidj nnr barurn, feinen 2lbftanb£oon berSpi^e feftjnfteüen. ®er©rmtb= freiSrabiuS beS Kegels fei r, bie $ö^e h. ïftan fann ben Kegel Ьигф oiele na^e ^araKetebc; nen jur ©runbfläcbe in ©Reiben ^erfcbneibeu, beren SKaffe im SJlitteb punît einer jeben Oerei- -nigt gebaut tnerben fann. gül)rt man bann als ®rebad)fe eine beliebige ©erabe А В ein, bie Ьигф bie @pi|e beS Kegels parallel ju feiner ©rmtbfläcbe gezogen toirb, fo

h

j'xQdx

finbet man £

У—Q ift ber ^araüelfcbnitt, melier oon ber

©pifce ben Slbftanb x bat.

h    h

h

JxQdx -fx dx = £ fx* dx - r'**'

О    о

V = \r':Tth) I = fh. 3)er ©ctjtoerfmntt liegt um 5, gteid) ber £>ölje oon ber ©ruubftädjc entfernt.

9Kan fü^re biefetbe Überlegung bei ber ißtjramibe burd). (SSgl. S3ei-foiet 13 auf ©. 29.)

©eiffitet 28. SBo liegt ber ©d^toerfjunït einer ^aïbfug et? (§ig.28.) 9Kan nimmt bie ©tjmmetrieünie OP bei Sörperi ati XMd)\t an, ben ißot P ati Slnfangifiunft bei Mjfenfaftemi. ®er ©d^nitt Q toirb

#fo tjiuburdjgetegt mie in ber norigen 9Iuf* gäbe. Q=2%rx—nx². (^Sgt. Seifbiet 16

--r    r

■Г~ Д?

r/ \ auf @. 32.) J*xQdx = 2я;гJ*x²dx

/    \ Г °    °

Q    —71 I X³ Cl X = *2 Г* Л) У = I rS

SiM8- « ’

©eifbicl 29. ЗМфеи Stbftanb t)at ber @d)merpun!t eiueè ©intb* fonfфen ®ôrperê (ngt. ©. 32) non ber ©гипЬ^афе g? k    h    Q=a + Ъх + ex² 4- ex³.

а/г* &7гя с/г⁴ с/г'^ 2 S 4    ’

J xQdx =*==аж + Ъх² -f cæ³ + ея⁴)с/# =

V = ^(G + g + ±M).

h' (î + т + "T"⁺ t )    » (³ e + 2 bh + I e*4 {«**)

ćr -}- g    4: JM

a;:

(e+?+4Jf)

ЗКафеп mir поф bie befonbere Sorau£fe£uitg, baf$ e — O ift, alfo Q nur eine quabratifd^e gunftion non x, fo fäHt ba3 te^tc (Śtieb im

Sät)ter non £ meg. Stun iftl = a + y + G = a + b/г + с/г²,

unb man fief)t leidet, bafe 3a + 2bh + |с/г²= 2Ж+ G ift; e* gilt

alfo in unferm ©be^iatfatt (formet 48.) §

Л(2Ж + G)

G -t- g + Ш'

®er Stbftanb non G ift £x = h — £

b(*M + g)

G+g+±M'

Sei allen biêfjer betjanbetten Sörbern aufier bem ®rei3ring (Stufg. 77 auf @.44) unb bem allgemeinen ©impfonfdjen Körper fefjtt baê ЫЬЩг ©lieb in Q, gor met 48 gilt atfo ftrenge. gft ba3 nid)t met)r ber galt, fo !ann fie toenigfienê als gute Statjeruugêformet gelten. 2)a |>öbe, ©гипЬрфеп unb SDtittetf^nitt meift burd) praftifdje SKeffmtgen ot)ne grofje Sted^enarbeit beftimmt merben fönnen, fo ift unfere gormet für bie ^raçté mertnolt.

Aufgaben.

82. 2Bo liegt ber ©фшегрипй eineê Sîotation&parabotoibeè? 91аф ber in Seifbiet 29 gefunbenen gormet Ьегефпе man ben 91b-ftanb beê ©фтегЬипЙеЗ non ber (Srunbftadje für 83. beu SSürfel,

84. ben Dumber, 85. bas PriSma, 86. ben 3t)linber, 87. bie Ppra* mibe, 88. ben S'egeï, 89. ben Phramibenftumpf, 90. ben Äegelftumpf, 91. bie|>albïugel, 92.ben йпде1аЬ{фпШ, 93.baSfRotationSparaboloib, 94. bie $ülfte eines fftolationëeEi^foibeâ.

6. Trägheitsmomente.

Sei ber$nrücffüt)rung eines pt)ljfifcf)en penbelê auf baS mathematif фе, bei Aufgaben über ТпгфЫедипд eines ©tabeS, bei ber ^Berechnung ber 2Виф1, bie in einem rotierenben ©фптпдгаЬ ftetft, unb bei uieten on= beren Problemen fpielt baS Trägheitsmoment eine fe£)r mistige 9iotte.

TaS Trägheitsmoment einer geometrifd|en ebenen 2г1афе in begug auf eine ©erabe, гое!фе in фгег ©bene liegt, erhält man, menu man jebeS $1афепе1етеп1 mit bem Ouabrat feines Sl&ftanbeS r oon biefer ©eraben multipligiert unb bie erhaltenen SluSbrütfe abbtert; es ift alfo </pö .Sr⁸ Д f,

(formel 49.) J = f r*df.

SBctfpief 30. SBie grofi ift bas Trägheitsmoment eines 1фта1еп 91еф1ес!е&, beffen Sänge a cm unb beffen (geringe) Sreite ô cm ift, in begug auf eine 21ф{е, те!фе a parallel läuft unb Oon ber SDÎittellinie beS ©treifenS ben Slbftanb l hat?

SBir тафеп bie Steife gur Trä* geriit berStbfjiffen(gig.29)unb gerlegen baS 5йеф(ссЕ Ьпгф parallelen gur ОгЬта1епаф?е in ©lemente, bei benen bie SluSbehnungen fehr Hein finb. Tann ift

Air

ТТГ

xx

x%

Ш8.29.

хч

J ~*Ji:4dx = Ps(x₃

*1

- xt) = PaS = Pf,

toenn f bie 91еф1е&^йфе bebeutet.

©cifpiel 31. @S foil baS Trägheitsmoment beS SWjtedS oon Sig. 30 in begug auf bie eingege^nete SKittettinie AB gefunben toerben.

SBir $ erlegen gu bem 3 ше cf bie gegebene 31афс Ьигф parallelen gur 91ф)е in fфmale ©treifen. TaS Trägheitsmoment eines jeben löntten

JX

<Î|«y

Ьэ

»•IÖ-

Siß SO.

tbir itctcf) bent borigen SBeifyiel ftiibeu. 3tn bie Stelle bon I tritt x, a tntrb burctj b unb ô burdj Д x erfe^t.

+1

Г ₉    bh⁸

J — f bx²dx = £2 *

h

Фа£ îrâgïjeitémoment für benöuerf^nitt eine3 ®oppet=“T%gifen3, be* ^ogen auf bie SJtoteffinie .4Я (gig. 31), ift J = ^ (БЯ³ - b/*³).

Aufgabe 95. SBie grofj ift ba3 2rägf)eit£moment einer Фшес^афе in bepg auf eine ©erabe, bie Ьигф eine ©cïe parallel jur gegenüber^ fiegenben Seite gezogen ift?

©cifpicf 32. Фаз Sräg* peitêrnornent einer ЗДафе, be*

■*ogen auf eine in фгсг ©bene liegenbe, Ьигф ben @ф tu er* punît ge^enbe 2M)fe, fńJs.

SBie grofc ift фг XragÇeitè* moment J, bezogen auf eine paratiefe ©erabe, bie Oou ber erften 2Щс ben 5lbftanb l at?

®er ©фтегршхЙ S tuerbe ^urn Sborbinatenanfang^ punît детаф^ bie erfte Щ\г

ii

-*^x

чСЗ*'

öig.32.

jur Y-Мф. ©aim ift J, —j*ix4F, J=*j(x + VfdF—ßchi F +

+ 2 ißKdF + ißdF (gig. 32). ©er erfie ©ummanb ift J„ ber

Sroeite berfdjtoinbet, ba ber Sd)töerpunlt§abftanb | (ügl. gorrnel 46 auf ©. 41) gleich Siull ift, für bcn brüten erhält man PF, wobei F ber ganje gladjeninhalt ift. Sllfo wirb J - «7„ + PF.

Mufgabcit.

96.    SBie grojj ift baè ©râgheitêmoment beg Sîecbteds in gig. 30, menu man Ъ alg Südjfe wählt?

97.    3Kan berechne baä ©rägheitgmoment eineâ ©reiedg in bejug auf feine ©runbtinie.

98.    2Ве1фе Ślitbernug tritt ein, wenn man bie Sldjfe parallel jur ©runbtinie burd) ben Sdiwerpunft beg ©retecfg gehen läfjt?

99.2Md)eg ©rägheitgmoment haben bie gladden F unb Ft in gig. 3 in bejug auf bie X= unb bie r^Slchfe?

100. ©egeben fei eine g-Iadje unb ein Sldjfenïreuj. ©ag ©räghettg moment ber gläthe in bejug auf bie Slbfjiffenac^e fei J,, auf bie Dr-binatenadjfe Jy. SBie grojj ift bag polare ©rägheitgmoment, weldjeg auf bie fenlredjte ©erabe bejogen wirb, bie man im Schnittpunlt ber beiben anberit auf ber ©bene errichten fonu ?

günfteg ©apitet.

^lutoenbungeu auf betriebene ©ebiete.

SSeifpicI 33. ©in oben offenes ©efäft f)at überall benfelben üuer^ fdmitt Q Quabratmeter. ©3 ift H SKeter t)od) mit äßaffer gefüllt, am 93oben b^t её eine Slbftujśoffnuug tmm Querfdjnitt q öuabratmeter. (^atürlicbleit g meiftenê ein Heiner $8гиф.) Sn melier Seit finft ber SBafferfpieget auf bie oorgef^riebene §öf)e Hx SJceter?

(Sig. 33). Um baë problem an einem ïonïreten Satt $u erläutern, nehmen mir an, Der Querfdjnitt fei überatt ein ®reiS tmm Sm^meffer d = 60 cm, bie p'öljc betrage H = 1,20 m, bie ïreiëfôrmige 3tuêf(nB= Öffnung hübe einen 3)urd)meffer oon dx == 9 mm. Ht fei ber 3teil)e паф 1 m; 0,80 m; 0,60 m; 0,40 m; 0,20 m; 0 m.

2öir motten unë öorftelten, baê Pineau fei bereite auf h steter ge^ funlen. Sann beträgt bie 2tuêftuf$gefd)minbig!eit v == У"2дЪ, mobei

Stfftu© 678: ßiitboh), ^nteQroIrc^nung, 3. 2lufl.

g== 9,81 m/sec² ift. gu einer Setuube mürbeeineîSafferfâutebom Qnerfc^nitt q öuabratmeter unb ber Sange v SKeter bie 9tu3ftuf$öffnung bertaffen, menu bie (Sefdjminbigfcit фгеп SBert in biefer 3eit beibebiette. ®a3 mirb nid)t genau ber galt fein, eine gute Stnnä^erung erzielen mir aber, menu mir eine red}t furge 3eitfpanne At betrauten. ®ie Sänge ber Sßafferfäute mirb jet^t nur v At fein, in ber 3eit Д£ ftiefśen alfo qvAt®ubifmeter auä. ®a§ ändert fid^ and Ьигф baê Sinïen beê oberen 9îi* bzzjg beauê; bie§öt)eü ntögeum Дй$Шег fteigen, alfo um — Д/г SDÎeter fatten (ДА ift negatib, ~ ДА^Шь). ®ann beträgt bie SSerringernng ber gtüffigteitémenge — QAh Subifrneter, nnb toir tjaben

//

?ri0.33.

Q Ah qy2gh

Summiert man unb gef)t §ur ©ren^e über, fo finbet man für bie ge= fudjte 3eit

q v A t = q Y%9h A t = — Q ДА;    alfo At — —

Qdh

--    ~= ( -==—7= f -=(gormel22auf©.14).

q}/2gh iVZgJ Vh ąV2gJ VhK    ’

H    Hx

чУ^д

3n SBirffidjfeit muf$ bie ttjeoretifctje Stnêftu^gef^minbigteit v=>y2gJi поф Ьигф ben ©rfa^rungêtoeffi^ienten ft berbeffert merben, metier ber 3^fommenjie^nng be3 @trat)teê unb bet SReibnng an ben SRotyrmanbuitgen 9ted)nung trägt. ©e|t man v = дУ2дк, fo mirb

(Ун - УЩ) ©efunben.

(УН - y%) Sefunben.

ggV^g

3ur (Sntfeerutifl be« Se^atter« (i/j = 0) ift bie ßeit

sec erforbertid).

T e *QV£

qii]/2g

ft’ motten mir 5U 0,6 anneljmen, y'2g finbet man in ïabetten unb auf bem Sftedjenfdjieber gleich 4,429.

qn]/2g 0,6-4,429

gtt utiferem gali ift Q = 0,6s- ~ = 0,283 qm, q = 0,009²- j = 0,0000636qm; —= 4444 (=    —² -    2 4444

У Я = 1,095.    q _    _

t = 3340(1,095 - ŸHi) = 3660 - 3340 УHv ®łe gefugten SluSflufeeiten fiitb 4 = 320* = 5m20s; 4 = 11“ 10*; 4 = 17’" 50s; 4= 25'"40'; 4= 36”* 10*; 4 = T = 61m0*. SScgen ber Unfidjer* heit ber Saf)I ^ genügt f)ier bie ©enauigfeit be§ 9lechenfchieber§ boß= ïommen.

3340,

Stufgabcii.

101.    (Sin trichterförmige^ ©efâfî ift дапз mit gtüffigfeit gefüllt,

а) SBetche 3^it brauet biefe 31Ш 2luêftuf$? b) SBanit fteht bieglüffig^ teil nur halb fo hod) über ber 9Iu§flufjöffnung mie 3U Anfang? c) SBauu ift ba§ hatte Solumeu auêgeftrômt?

102.    (Sin fugeiförmiger ©ehalter bom 3iabiu» r ift (дапз ober teil* meife) mit äöaffer gefußt. 2tn feinem tieffteu Sßuuft liegt bie Stuêjlufc Öffnung mit bem Duerfchnitt q. Sa meld)er Seit finît ber SSafferflieget bon ber фо^е Н auf bie £mhe Hlf beibe fmhen bom tieffteu $unft an geregnet?

@inc $creiufathung ber 2)ûrjteUuugëmcije.

Фег Sefer mirb gemerft haben, bajś berfette ©ebanfengang bei jeber 9Inmenbmtg berSntegralrechnung mieberfehrt: mau3erlegteinen®örher, eine Stäche ober ma§ mau fouft betrachtet, in (Elemente, erfe^t jebeê burdh ein einfachere^, 3. 93. ein fleineê éurbenftüd burd) eine ©erabe, ein glädjenelement burd) ein 3ted)ted, uub fn&pft hieran feine 93etradj^ tungen. Sfi man mit tf)nen fertig gemorben, fo geht mau $ur ©гепзе über, mobeifich ^ifferen^euquotieuten in 2)iffereutiaIquotienten,Summen in integrate bermanbeln, uub ba3 urtyrmtgliche ©ebilbe att ©гепз-faß au§ ber Summe feiner bereinfad)ten ©lemente mieber erfleht.

Dh*te bief en ©ebanfengang irgenbmie 31t änbern, maßen mir bie 93езеЦпипд je^tbereinfachen, Фа3UAnfangftetê®iffereu3enquotien^ ten auftreten, bie 31 tm ®d)Infś in ®ifferentiatquotienten übergehen, fo macht e§ offenbar im (Srgebni^ feinen Unterfd)ieb, menu mir bon bom^ herein ba3®ifferentiat3eid)eu d ftatt be§®iffereu3en3eid)eu§ Д brauchen, menu mir un3 nur babei bemüht bteibeu, ba§ mir e§ in Söirfti<h!eit immer 3unächft mit епЬйфеи, menu аиф meift f ehr Keinen, ®iffereu3en SU tun haben. @0 fönnen mir in Seiftet 33 fagen: Sa bem $eit=

öeifpiel 34. ©in ©aïïon fteigt ooit einem örte auf, ber Hv äfteter über bem STceereäfpiegel liegt. $er$arometerftanb beträgt tjierP* äJhtfo meter Ctuedfilberfäule. 9tadj einiger &it fäljrt ber Nation in einer Bnftfd)idjt, beren 33arometerftanb P₂ mm ift (P₈ < Pt). Sie mittlere Sufttemperatur ift t⁰ C. SBie §od) fcfymebt ber Saüon über bem äfteere^ fpiegel?

Sie gefud)te£>öl)e feiÄ>, ber £>öfyenunterfd)ieb alfo Н₂-Нг Steter. 9Bir betrauten bie ®erbättniffe in ber §öf)t h Steter über bem 3lu3; gangêpuult. Ser Querfdjnitt be§ 93arometerrot)re£ fei Q öuabrak Centimeter. Selanntlid) lann man ein Quedfilberbarometer afé ÏBage auffaffen, anf beren eine Senate ber Snftbrnd mirlt, toäljrenb bie an* beremitberBuedfilberfäulebelaftetift. ©tetgtba»8uftfd}iffumd/*9Keter = 100d/^3entimeter, fo toirb auf ber einen ©eite eine Suftfäule meg-genommen, beren SSolumen 100 Qdh ccm ift. 9ßun miegt 1 ccm Suft bei 0° unb 760 mm 33arometerftanb 0,001293 ©ramm, bei t⁰ unb p mm — e£ fei p ber in h SRetcr Ijerrfdjcnbe Sarometerftanb — aber

• SaSDuc d?

^unfere ßu№uteS^S

fitber fteige um dp (finie alfo um — dp) äftiHimeter. (dp ift nega^ tio, — dp pofitiö). ©ein fpecififd)e§ ©eloidjt ift 13,6, eine Duedfilber^ faule oon Q qcm Duerfdjnitt unb — dp mm |)öt)e tuiegt alfo —1,36 Qdp ©ramm, ©o ergibt fid)

= - 1,36 Qdp;

0,1293 pQdh

dh -

Sefet tarnt man linfê jmifdjen ben ©renjen Я, nnb Hs, red)t§ ent* fprectjenb jtoifdjen P, unb P₂ integrieren, t ift tonftant.

ją i\    r,

Я? - Hx = 7994 (1 + 278 0 (lPi - lPi)- ift bequemer, ftatt ber Ijier gebrausten n a t ü r ( t ф e u üogaritfjmen t ü n ft ( i ф e einjttf iitjren;

element dt erreicht bie Sänge ber Sfasflufjfäule ben SBert v dt, ba3 obere Sîibeau finît nm — dh, ез ift

qvdt = — Qdh; dt = —

ÇcZ/i

ąV%gh

-V

я,

gV*gh

j'** =J- 7994 (1 + p₃f) df = 7994 (1 + ^t)Jdj-K Pi    h

bann tritt red)tê поф berSaïtor 2,3026 auf (®.®.36.); 7994-2,3026 = 18400, alfo

Ih - Ил - 18400 (1 4- ,;₃ t) (IgP, - lgl\) =

(18400-f 671) (lgP₁ - lgPt). gft J.S. tfj = 120m, Px= 730mm, t= + 20°, P₂= 585 mm, fo finbet man Hi — H,= 1898 m, IL = 2018 m.

SSufgnbe 103. SJfan ftette ben obigen 9(uêbrucE graptjtfd) bar, m

p

bem man baë ©erhâltnië ₇/ atë unabhängige ©eränberliche ПшрИ unb

■L 2

ihm zunädjft ben SBert 1, bann fteigenbe SBerte beilegt.

©eifpiel 35. ©m ©aë erfüllt einen SRaum non ccm bei einem ©rud Oou p₀ Atm (= kg/qcm\ @ë bepnt fid) unter ©eibebab A tung feiner ©emperatur (ifotherm) auf ben größeren Sîaurn vx ccm auë. ЗВеЦе Arbeit ïeiftet e§ babei?

Hdh

©aë ©aë erfülle einen gpünber, metdjer an einer Seite burd; ben Soften JK (gig. 34) oerfdjfoffen ift. Sein Ouerfdjuitt fei Q qcm.

©er ursprüngliche Шит, v₀, ift CDKJ, ber j fpätere, vv mirb burd; CD B A bargeftcüt.

gtg 34.

©ie SRauntoergröfierung ift bei bent ifotJ)er* men ©ertauf nur babnr^ möglich, baf$ ber auf ^ bem Soften taftenbe ©rud, urfprüngHd) p0 Atm, fidt) allmählich auf ben ©nbbrud, px Atm, ermäßigt, ©in 3tnif(^en= mert fei p (Atm), er merbe erreicht, menu baë ©aë baë ©oïumen V = CDHG erfüllt; bie £оГ)е DH fei h cm.

©et)t ber Soften ein ©tüdchen, dh cm, meiter, fo leiftet er eine ge^ ringe Slrbeit dA, bereu ©etrag fid) leicht finben läftt, menu man bie Sraft, mit ber baë ©aë ben Soften t> or mär të treibt, mit bem zurüd^ gelegten ЗВеде multipliziert, ©a auf 1 Duabratzentimeterp Sitogramm brüden, fo ift bie gefamte Sraft p • Q kg, uub bie 9Irbeit dA — p Qdh.

Qdh ift aber bie SSotumeuäubernug dv, alfo ift dA == pdv.

©a nun nad) bem äftariottefchen ®efehi>₀ro ift, fo faun man

P = -‘v° tefeen.

•=ад> [ln »!— ln v₀] = p₀v₀ln=p₀ v₀ ln cmkg. ($gt. Seifpiet 6 auf 18.)

A =J^dv *0

SBitt man bie Arbeit in äJieterKtogramm fabelt, fo ntuft bag ©rgebnig bur ф 100 biöibiert merben ; filtert man auft erbem noф ï ü n ft t i ф e ftatt ber

natürt^enSogarittjmen ein, fo ift A = 0,02303pov₀/g— mkg.

SKeift mirb bag Sotumen in ffubiïmetern ober Sitem gegeben fein; im erften galt ift ber ßatpenfaKor 23030, int feiten 23,03.

p₀v₀ ïann man апф Ьигф p₁v₁, ~ Ьигф ^ erfe^eit.

Sft vt Keiner atg vQl fo ift bag Sor^eidjett ber Strbeit negatib. 2)aS ©ag teiftet ïeine Strbeit, fonbern фт mirb ©ttergie pgefüprt. préfet man $8. ein Suftbotumen bon 2,41, bag рпафр unter bent

745 • 1,033

trud bon 745 mm Elu edfitb er faute (t. ©. 74), auf 2,0 1 jufammen, fo ift

A = 23,03 • 1,013 • 2,4 (lg 2,0 - lg 2,4) = — 4,433 mkg.

760

1,013 Atm ftanb

8cijptcl 36. ©g foil ber ßufamntenljang $Ы?феп trud unb ЗЗо? turnen eines bottïontmenen ©afeg bei аЫаЬаЩфег ßttftanbgänbermtg (t. ©. 48) abgeleitet toerben.

©ine ©agmenge, bereit Sftaffe a kg fei, erfülle ben in gig. 34 ge^ §eid)neten ßptinber. ФаЗ SlnfangSbotumen fei loieber v0f bag ©nfc botumen vt ccm, ber 2tnfanggbrud por ber ©nbbrud px Atm. 9ftan !ann ben ßptinber, unb mit фт bag ©ag, er inarm en ober ablüpten, man ïann ben Kolben beliebig berjdjieben (орпе aber ©ag entmekpen ober ftin§utrelen ju taffen), immer gilt паф ben Sehren ber Sßppfif bie ©ap^Suffac^ariottefcpe „ßuftanbggteicpung": pv = RT. tarin bebeutet R eine für bett betreffenben ЯЗегфф ïonftante ßapt, p ben trud, V bag pgepörige SBotumen unb T bie um 273° bermeprte temperatur ć,.bie in ©etfiuggraben angegeben ioirb. T peiftt bie ab^ fotute temperatur.

güpren mir bem ©afe, menu eg fkp in bem ßuftaitb befinbet, ШЬ фег Ьигф bie ßapteit p, v, T фагаЙегЩег! ifi (®otbenftet(ung GH), eine Keine SBärmemenge dQ $u, opite ben trud ju änbent, bann mirb bie abfotnte temperatur auf ben SBert T! fieigen unb аиф bag botumen um dv größer merben (Sotbenftellung EF).

p(v + dv) = RT'.

pdv = R (T¹ - T).

SJtan îann babon bie urfprüngticpe ©teicpung p?; = BT fubtrapieren bann pat man

acpp dv B

Sinn patten mir ben ®otben in ber neuen Stellung JEF feft, fo ba§ ba£ S3otumen bauernb beu neuen SBert v 4- dv beibepatt, unb entjiepen burcp Slbîüptung bem ©afe mieber bie SBärmemenge dQ. Slatürticp finît babei ber trud, ber btéper p Atm mar, auf ben Heineren SBert p + dp (dp ift negatib). tie abfotute temperatur itepme ben SBert Tn an. SBir paben bann

Sefet m o Hen mir bie f p e 5 i f i f cp e SB ä r m e entführen, unb p)ar bie f p e £ û fifфе SBärnte bei ïonftantem trud cp. SJłan berftept barunter bie in Mogrammîatorien au£gebrüdteS5ärmemenge, bie einem Kilogramm be» ©af e£ pgefüprt merben mufś, mill man b eff en temperatur bei gleich-bleibenbem trud um 1°C erpöpen. ta mir pier a kg um T’ — T ©rab erpi^en, fo ift bieerforberticpe SBärmemengedQ = acp(Tr — T), turcp bie borige formet ïounen mir bie temperaturbifferen^ perau£= fcpaffen, mir finben

(p + dp) (v + dv) = BT⁴.

SBir fubtrapieren bie ©teicpung p(v + dv) = BT¹ unb erpatten vdp 4- dpdv = B (T" -T').

ta^ ©tieb dpdv îann afô ^robuît jmeier ©röfsen, non beuen febe fepr îtein ift, bernacplâffigt merben, alfo ift vdp = B(T" - T’).

acovdp

dQ = ac₀(T' - Tn) = -

SBir îônnen jcfet bie beiben Sßropffe jufammenfaffenb at$ einen be^ trauten, bann ift er abiabatijcp, menn SBärme meber gemonnen nocp bertoren mirb, menu atfo dQ in beiben gatten benfetben SBert pat. gür bie abiabatifd^e 3uftanb3änberung gШ bemnadp bie ©teicpung acppdv

Stucp pier berecpnen mir bie SBärmemenge, bie mie borper dQ ift. ta fie aber bem ©afe entzogen mürbe, mäprenb fein SSotumen ïonftant blieb, ift pier bief pe^if if cpeSBärnteb eiîonftantemSSo turnen,c*,p berüdficptigen.

a c₀ v dp

dp

dv

cp

p = — k—, №enn ~ = к gefegt wirb.

^ierauä ergibt fitf», wenn man biele berartige Sßrojeffe fummiert:

Pi    vx

yv-/-*

ln^—lnp₀=—it In Vj -f /bln v₀= ln(v“*)— In

Po

»0

Aufgabe 104. ®in ©aê erfüllt einen SRaum üon vQ ccm bei einem Drud bonp₀ Atm. @3 beî)nt fidj abiabatifф auf ben größeren 3?aum vt ccm au$. $Setd)e Arbeit leiftet e3 babei? SBeldjeS ©rgebnté tiefem bie in Seifbiel 35 gegebenen galten bei abiabatifdjer äompreffion?

Slufgabc 105. Der SbtfangSjuftanb eines ©afeS ift burdj vQt p₀, T₀ djaraïterifiert; es geht abiabatifdj in ben ©nb^nftanb vlt plt 1\ über. Tt foH Ьигф bie anbern ©röften auSgebrüdt toerben. Же groft ift bei bem hörigen 3at)ïenbeif^ieï bie ©nbtemperatur, menu bie Sin* fangStemperatur + 40° C ift?

©eifbiel 37. ©in fefter SDlagnetpol befifct bie im übfoluten Ша% angegebene $otftär!e M, ein beweglicher gleichnamiger 5ßot hon ber @tär!e m wirb natürlich bon фт abgeftojjeu. SBeldje SIrbeit mnę man gegen biefe SlbftofśungSfraft anfmenben, bamit ber bewegliche ?ßoI, m wetdjer ифгйпдНф bon bem feften rx *7    % cm entfernt mar, in bie Keinere @nt=

fernnng r₂ cm gebracht wirb?

M_

>4

dig- 35.

Шх betrauten eine ßwifdjentage, in ber bie ©ntfernmtg r cm ift (ftig. 35). Sîach ber Definition ber magnetifdjen *ßotftär!e nnb паф

bem ©ои1отЬ[феп ©efefe beträgt bort bie abftofsenbeffraft Mr™ Dtjuen. Serfd^iebt man m nm bie Keine Strede dr — fie ift negatib, weit r abnehmen foil—, fo muf$ man bie geringe 9Irbeit d A

teiften. dÄ befi^t einen ęofitiben SBert, weit — dr ęofitib ift. Sür bie ©efamtarbeit befommt man

Mm

,.₈ drErg

Гч

ч

?

= Mm I -

dr = Mm    Erg.

3ft 5. 58. bie «Starte beź feften фо!е§ M = 200, bie be3 betoegltdjen m = 30 5ßoIeint)eiten, unb foil biefer bem feften bon 6 cm auf 2 cm Slbftanb genähert toerben, fo ift A = 6000 (y — y) = 2000 Erg

И 60Ш mk^-

Mm 7 --pr*r

r²‘

SBäljlt matt rx fo groß, baß ~ außer Setradjt bleiben ïann unb gibt m ben SBert 1, jo erhält man A = —• @3 ift ba3 potential

ri

beê ^$oIe§ Ж in be$ug anf einen r₂ cm entfernten 5ßnn!t, bie Slrbeit, toeldje nötig ift, um bie CSinfjeit ber Sßolftärfc im ®ampf mit ber ab ftoßenben ®raft M anê ber „Unenblid)feit" biê in bie ©ntfernung r2 bringen.

3ft M = 200, fo haben alle fünfte, toeldje bon M urn 2 cm entfernt finb (Stetéperipljerie!), ba£ potential 100.

©cifjnel 38. ®£ foil bie ©imoirfung ber Selbftinbuïtiouauf ben eleftrifdjen Strom beim ©im unb 3tu3fd)atteu unterfudjt toerben.

©ie lonftante Spannung be§ Stromeê fei E SSolt, ber SBiberftanb einer Spule W Dljro. ©er SBert, melden bie Stromftärfe nadj bent

Dfymfdjen ©efe| annimmt, J = toirb паф bem ©in flatten er ft

allmählich erreicht, ba bie S et b ft in bn! t i on iïjm entgegentoirït. ©iefe ift urn fo größer, }e fd)neder fid) bie Stromftärfe in bem burdjfloffenen di

©raht änbert, alfo proportional, menu i bie momentane Stromftärfe unb t bie ßeit ift. SJtan fetjt baßer S = bie ©int)eit be£ Selbfb

inbu!tionè!oeffi§ienten L ift ber Coefficient für eine ©pule, in toeldjer 1 SSolt inhaliert toirb, menu ber Strom gleichmäßig um 1 Slim

pere in ber Sefunbe toädjft. ©iefe ©inßeit heißt 1 £>enrp.Qtbt,

toennX in^enrp gemeffen toirb, bie eleftromotorifdje^raft ber Selb ft-inbuttion in Soit, ©a fie ber eleftromotorifdjen C'raft E entgegen^ toirït, fo ift i$ur Seit t bie Spannung an ben ©nben ber Spule gleich

E — Ljÿ anberfeitê ift fie gleich ber zurzeit herrfdjenben Strom= ftärfej, multipliziert mit bem SBiberftaubT^. So entfteht bie ©leidjung

di

Lät = iW-

hieraus folgt :Edt-Ldi=iWdt'₎dt(E-iW)^Ldi-₎dt=^£~->

, W dt obtx —

dt =

Ldi

Ldi

di

T- i

SBenn ber Strom ein*

W(w~‘)

gefc^ottet toirb, fo ift jur 8«it t = 0 bie Stromftärle i =■= 0, man bat

t    i

J; [Çj~ [“ln (J"—0]o(S3ett>eté bm^Sifferentiation )

- Tp = ln (J— i) — ln /; e

wt

/-i

ober

TW

L,

Sft ®. Æ - 4 » oit, Ж= 8Sl,L=*0,2 фетф, f о ift J=Ej Ж= 0,5 Sim? bere, i = 0,5 (1 — e~40г); паф щ- sec ift г = 0,165 Sincere, паф sec bagegen 0,275 Sincere.

Seim 9Inêf galten nimmt bie Stromftarfeoon/auf 0 ab, unb^mar megen ber Selbftinbuftion аПтЭДКф. Sie е1еНготоЬп{фе $raft E ift Ьпгф ba% 21и^файеп mirïungêloè gemorben; mir fyaben je£t nur bie ШеЦипд

di

LTt = iW.

Sa bie Stromftärfe finît, ift negativ, bie linïe Seite ber ШеЁфипд

bofitio, bie Selbftinbüftion erzeugt einen Strom, ber bem urfbrüng? Нфеп gteidE)geric^tet ift. äftan erteilt hier di __ Wdt i    L

Bur 3^t t = 0 (3eitbnn!t beê 91и§|*файеп§) ift i = J (ифгйпдйфе Stromftarîe), alfo

*    t

ПЧ

J    0

Wt

-5^‘lni—ln«7=— -^:1пг==1пе7+1пе

±j i    Ju

wt

Wt

;i=Je

“T

tBäljtt man bie Balten nnfereê Seifbiefô, fo ift 0,01 sec паф bem Ши^файеп bie Stromftärfe поф 0,335 Ашр, паф 0,02 sec ift fie 0,225 Amp.

Aufgaben.

106.    ШЁап fteïïe bie eben gefunbenen ©efe^e für bie angegebenen Balten ober für anbere, ШйХШгИф gemähte, дгоЬ^^Ф bar.

107.    Шап fteüe für Heine SBerte bon t Sftäberungäformeln auf.

108.    ЯВе1феЗ ©efe£ gШ in einer Serfudjêanorbmmg für bie Strom? ftärfe, те!фе t Sefunben паф bem ©infdjalten unb t Sefunben паф iem Яи^фаЙеп t)errlcî)t ?

109.    SBamt ift bie Stromftärfe i gleidj ber £>a(fte ber urfbrüng? Нфеп <7?

©etfpief 39. SInmenbung ber 3ntegratred)mmg auf ben ЗефИ rabioaïtiber Snbftan^en.

®ie SBtrftmgen, metdje non einer beftimmten ЯКепде eines rabiot aïtiben Stoffes anSgefyen, faun man j. 93. burd) SKeffmtg ber Sufb gonifation feftfteïïen. Sie Шпдеп mit ber 3eit meftr unb metjr ab. 3ft bie пфгйпдйфе StrafytnngSintenfität, in irgertb einem Sftafś auS^ gebrüdt, J₀, fo te^rt bas ©périment, bafc fie nad) ber 3m* i ben 9Bert J = JQe~u t)at, atfo äfyntid) abnimmt, mie ber UnterbredjungSftrom im borigen 93eifbiel. Я ift babei eine für ben betreffenben Stoff Ьшгф ans d)arafteriftifd)e Confiante. 9Kan nimmt an, baft bie rabioaïtiben SBirïmtgen burd) ben Зефй ber „Шоте" ber betreffenben „©lemeute" pftanbe ïomrnen, unb baft bie ^ntenfitat berjenigen Stoffmenge pro* portionat ift, meldje in ber 3^ttein^eit urngemanbelt mirb.

3ft iV'bie Sln^a^l ber Шоте, bie bis §n bem beftimmten 3eitwoment t nod)nid)tumgemanbeItfinb,foiftbieUmmanbïungSgefd)minbigteit dN

—jri alfo, wenn Je einen ÎBroportionalitâtlfaltor bebeutet

■" y?

dt * J°e > dt ~ к '

N =*J-J-£e~udt-, N = ^e~u+ c.

фа in uuettbUd) langer Seit bie ganje Subît ana ftd) jerfe&t l;at, fo muff für t = со ber ©ruffe N ber 28ert 0 gegeben weröen. e~" = О, alfo folgt О = с; ЬаЬигф ift bie §ntegratiousfonftante beftimmt.

К = ~*e~Xt.

Jo

N fei bie Slnjafyl ber Шоте pr $eit t = 0, bann ift Na=worauf nt n fdjliefjt    N=N₀e~Xt.

®iefe Sonnet fagt au3, baff bie $ahl ber unjerfaltenen Шоте паф bemfetben ©efe§e abnimmt Wie bie Strahlung, benn bie dfaralteriftifche Gonflante X tritt hier in bemfetben 3ufamntenl)ang wie bort auf. Фигф töitiifion ber Sormeltt für J unb N folgt

N~N₀

3)ie rabioattiüe SSirlung J eines ffSräftarateS ift ftetê ber ÜKenge N ber поф niфt jcrfallenen Subftanj proportional.

S)ie Beit, in 1ое1фег eine gewiffe ЗКепдс рф gerabe aur Hälfte aer-fe^t hat (§atbWertêperiobe) finbet man letójt:

J° = M\ J - MN.

sec.

©о ift für 9t ab ium*®m anation X = 2,085 * IO⁻⁶, t = 332450 sec = 3,85 Sage. Sür Uran ift Я = 4 - IO“¹⁸, * = 6000000000 iahre, für Slttinium^Smanation ift X = 1,8 • IO“¹, t = 3,9 sec.

©e'djfteS ftapiteL

'îlüflcmcine ^ntcgrationêmcttjoben.

Sie vorigen Kapitel geigten, tnie mit beu einfadjften integralen auf fel)r nerfd)iebeuen ©ebieten fd)öne ©rfotge ergiett merben tonnen. Siefe ©rfolge muffen aber noch gefiebert merben.

Sei manchen Stufgaben gibt té met)r ate eine Söfnng. @o tarnt j. S. afô Dnabratmur^el au$ 25 ebeniogut bie Saht 4- 5 tnie ~ 5 auftreten, benn (+ 5)² ift ebenfo mie (— 5)² = + 25. Sie (Steigung x⁴—7xs + 9 x² + 7 x — 10 = 0 bat fogar nier ßöf ungern öglid)!eit en; man ïann x = 1, 2, 5 ober — 1 fefcen. ©3 ift bentbar, baft and) bie integration einer gegebenen Santtion f(x) auf mehrere, noneinanber ganj ner^ fdjiebene 3lu*brüde Fx{x), F%{x), Fd(x) ••• führt, ieber non ihnen muft banu nad) ber Sefinition Ьез integral bie Slbteitung f(x) haben. SBäre bie£ ber Sad, fo mürben ade unfere bisher erhaltenen ©rgefc niffe in ber Suft fd)meben, benn mir tonnten ja niedeicht gerabe bie ungeeignete Sunftiou genommen haben.

2öir brauchen $ur Seantmortung biefer S^age ben £ilf§fai?: ift für alle SBerte non x $mifd)eu xx unb xt bie Slbteitung einer ftetigen Sunttion ftänbig gleich 9httt, fo ift biefe Sunïtion eine ®onftante.

Sunt ©emeije nehmen mir $mei    a unb b, bie auch in bem

internad xx- • • x₂ liegen. 9îad) bem SKittetmertfah (S. 8. 80) ift bann f(b) = f(a) + (b — a) f [a -f 0 (b — a)\ mobei 0 einen pofitioen echten Srud) bebentet. а + 0(5 — a) ift eine Saht, bie jmifdjen а (für 0 = 0) unb b (für 0 = 1) tiegt, atfo gan$ fid)er im interoad xt ••• x₂ enthaften ift. Sa nad) Soranêfe^ung f für ade Söerte non x, rnetdje ben inhaft biefe» internad^ auśmadjen, nerfi^minbet, fo ntn§ auch f [a + 0(5 — a)] gteidh ?lud fein. Semnad) ift f(b) = f(a). Siefe Überlegung gilt für gan$ beliebige, atfo für atte Saf)fet a unb b bté intemade» xt ••• x2r bal)er ift bie Snnftion in ihm tonftant. Sie geometrifd)eSeutung ift einfach, eineSinie, bie ftet» baê ©tei-gttngèma^ 0 hat, ift eine ^aradete jur Z^Sld)fe.

SBenn nun ^mei Sanftiouen Ft (.x) unb F₂ (x) atö ßöfungen ber Sluf^

dF\ _ dj!\

gobe J*r(x)dx eçiftieren, fo mujs паф ber definition ЬеЗ integrate (omoÇI wie лиф ^ flteid) /'(.c) fein, etfo    piec

dx dx

da beibegunïtionen, Fx mtb F₂, bifferentiierbarfinb, fo müffen fie, mie аиф ihre different ft et tg fein.

91аф Ьеш eben bemiefenen §itf3fa| ift notmenbig F₂ — Fx eine Confiante; bie gunttionen F₁ nnb i^₂ lönnen рф nur burd; bie ber-fd^iebene SBaht ber gntegrationêtonftante unterjc^eiben, unb bief er Unterfdjieb tourbe ja ftets genau berüdfidjtigt. SBir bitrfen alfo auf bie eindeutige @idjerf)eit nuferer ©rgebniffe bertrauen.

©ine mtbere grage ift bie, ob mir mit ben bisherigen integrations; methoben bei allen meiteren тафетаН|феп unb р1ф№Щф4ефп^феп Problemen auStommen. daS ntuf$ glatt oerneint merben. ©in fo einfacher Vorgang mie baS ©фттдеп eines SßenbetS — bon ber Reibung unb fonftigen ftörenben ©inftüffen molten mir gащ abfehen — führt fdhon auf integrate, bie ben bisher behanbetten gunïtionen nidht mehr angehören, das problem ber Bemegung breier Sorter, bie fich gegen' feitig паф bem 91епйоп{феи ($efe£ an^iehen, trofct поф Émeute alleu Bemühungen ber феогеЩфеп Stftronomie, obmohl bie differential gte^ungen ber Bemegung beïamtt finb mtb bie Sftatur uns in bieten ©ternfhftemen bie ь^^Ш|фе Söfung borführt.

(Setreu bem ©ргифе:

„©in 9Jîann, ber reĄt ju mirfen benft, mujj auf baS befte SBetfyeug hatten"

motten mir uns aber рпаф^ mit einigen fefjr allgemeinen ЗКефоЬсп jur Bereinfaфung ?фт1ег1дегег integrate bertrant тафеп nnb bann fehen, mie mir SßäherungSberfahren anmenben ïonnett, menu апф biefe SJłittel berfagen.

1. ©ittführung einer neuen ВегапЬегНфеп.

mz.

Sft baä SutegratJ*zos (J~)dx borgelegt, fo rnirb man Ьеффеп, e§ auf eine ber ©rmtbformetn jurüdpführen, патйф auf gormet 5. @$ ftört ber Meitner m. 2Bir fe^en 5itr Веге1:^афипд — = e, atfo x « dann mirb ~ = nt, atfo dx — mdz.

= mJ*зовz dz.

®ieë ift паф gormel 5 gletd) msin* -b c, unb hierfür !ann man lieber msin^ + c fdjreiben. ®in дап$ сфпйфег gali trat fd)on in Aufgabe 57 auf.

feat mau её mit einem beftimmteu integral $u tun, fo пш{з man паШгНф аиф bie ©rennen entfprec^enb önbern; in mtferem Seifbiel

fcos&dxzi'

cos z • m • dz

mit

ift J =

Л x    h

I cosl —) dx = m I (

J W J

cos zdz, benn menn x = О ift (untere

®ren$e), fo ift аиф z -= - = o, ift aber x = — (obere ©ren^e), fo

m.

ах 4- Ъ-dx.

JVax + b-dx^j'y- îïp- = lfy*dy = ~ys =    + «O³-

a

Г dx

J «! + я!'

0

Um auf bie ©runbformet 9 ju Ïornmen, fubftiiuieren mir x ^ ai, bann ift dæ = ad*.

Sciftnel 41.

a    i

f dx f

J«4*’ J <

adt

a* + a²żs

{x == a entfpricbt f = 1)

a    и 1

Г dx _ f

Ja> + x' Ja*

0    U Xx

adt

3ft allgemein^f(x)dx ju integrieren unb mäfylt man bie (Substitution *0

X — <p(t), mobei cp eine befannte gmtftion ift, fo mirb f'(x) Ьигф bereu ®infüf)rung in eine anbere befannte gunftion f[(p(t)], bie mir

fur^ mit Ф(0 Ье^фпеп motten, übergeben, dx in -fr dt, unb mir erhalten

.rx    /,

(gomtl 50.) Jf(x) dx =j<l> (t)^~

•'■o    t„

dt, wobei bie

neuen ©renjen fo beftimmt werben muffen, baffx₀=gp(i₀), x₁=q>(tj) ift.

Aufgaben.

dx. 111. 9ftan bitbe ©ffegiatfatte ber

x*dx (4 + 7xV"

110. J

=/(a+bxî

oorigen gormet.

-fi

114. J

117./

112. J

= ( f'(x)-f(x)dx. 115. /

*>x_    _*

-/■*.- ‘—dx. 118. /

J e -\-e~

—^J'tgxdx.

Лч«-*

J eI-e

113. /

-fi

116. J

—dx.n^.J

-J

&ä,.

fix)

sin.sxdx.

120. /

= jos *xdx.

121./=/

J l

xdx

123. /

₌ Г dx

J

■j/а¹ —ж*

124. /

-s

]/a* + x*

• 122./

-fi

xdx

l/V--**'

• 9Jtan fe^e f/as + ж*

— t — x.

125. /

126. /

-fi

dx

У а -\-2bx-j-cx³

127.    SBie grofj ift bie gtäcfje, welche jwifcfjeii einem 3weig ber ge; тбрпУфеп 3t)ttoibe (55). ©. 57) unb ber XMd)\t liegt?

128.    SBie tang ift ber ®uröenbogen, ber biefe gtädje begrenzt?

129.    2Sie tang ift ber Sogen ber fôretéetiotoente (Ф. ©. 56), »on ifjrem Stnfang big gu einem beliebigen ißunlte geregnet?

2. qjortieüe Integration.

häufig ift bie ju integrierenbe gunttion ein ißrobutt, beffen einer gaftor рф teidjt at§ ©ifferentiatquotient u' eineô beïonnten 9tu3brucfé w gu ertennen gibt, ©ann ift

(formet 51.) J

u'vdx^uv

-fi

uv¹ dx.

©etocis

: J*u'vdx fJ*^v'dx =j*[u¹ v + v' w)tfa.(©a£lauf3.14.)

=j    dx. (Ф. <3. 23, @a| 3.)

J*[u'v

+ v'u) dx

©efetmanuv=*z, fo mirbJ^^dx==j?J^dx=sJ*îz=z=uv,alfo

j*+J*uvrdx = ш;. 2)urc£) Umfteïïung erhält man bie obige

formet. ®ie gntegrationêïonftante ift ber ©infadjtjeit galber unberücfc ficfytigt geblieben.

©ctjjucï 42. J чкх

9Kan fiefyt fofort, baf$ ekx bie Slbteitung bon u = ^ekxift; vi)t=x, = 1. ©entnad) ift

©cifbicl 43. SBetdjen Slbftanb fyat ber $8ogen ber Seitenlinie (SSeifpiel 22 auf ©. 40) bon ber У^21ф)е?

• xdx.

• x•dx =

е*ж . ж —

M.

e** • 1 da; =

~¥

Ç-S(—o-

TO@in(m)

©a ©°î(“) bie Slbleitung bon m Sin ift, fo fe£en mir biefeit 3Iu3s brud gteid) u, mćtfyrenb x = v ift.

(m) ' x ~Jm ®in im) '

= тЖ®т (™) - m> Sof (£)•

®in © - mS (£) + w>-

“HO“’)

m ©in

1 • da; =»

/■‘•'(i)¹"

Ö

MÖ

6in

2lu§ beu gormetn ©of* u — ©in² u = 1, Sof²w + ©in²w = ©of(2 u) (©.©.39 ) finbet man leid)t, bafî Sof ^2 u) -1 = 2 ©in² г* ift. ferner t)at man

(£of 2 и — 1

= £gM. §ier ift « =

©in 2 u = 2 @in w Sof w, alfo

©tn 2 u

alfo

I -а-»гд(£).

SBitt man feine ipftberbelfmtftionen oermenben, fo taffen fidj bienot-toenbigen Integrationen auf Seifpiet 42 zurüdfüftren.

Aufgaben.

xn\n xdx.

130. J ==J\nxdx, 131. J =>J*xlnxdx. 132. J =J*x 133. J =J*x?ć*dx.

134. 3Bie finbet man / xne*dx, menu n eine ^ofitibe ganze3^1 ift?

135.28o liegt ber@cf)ioerbunftbert>onber©inuSlinie, berX^Sldjfe unb ber Drbinate x = y begrenzten gläcfte?

136.    SBie groft ift ba3 $ragf)eitémoment biefer glüdje in bejng auf bie 21nfang3orbinate?

137.    2So liegt ber ©cftmerpunft ber falben Bftfloibenflädje?

3. Verlegung in фагНаПийфс.

Xritt bie SSeranberlidje im ÿtenner be§ gntegranben auf, fo l)at man meiftenê unbequeme Slecftnungen Oor fid) ; man fud)t ben Stuêbrud bann immer axtf möglidjft einfadE)e Satte biefer 2lrt zurüdzufüljren. Sßir to ollen annefymen, ber tenner f ei eine g a n z e r a t i o n a 1 e g u n f t i o n o on x, mir oerfteften barunter einen 21u3brud öonbergornt Axn+ Bxn~x

+ Cxn—² H-----\-Lx + M. Фпгф 2lu3flammernber (SröfteJ. gefttbie

• • ~= ft unb ~ = l gefegt mirb.

gmtftion in bie gorrn А (хпЛ- ах⁷¹—¹ + Ъхw—² + • • • -ł- kx -j- ï) über,

menu ~ = a, y = b •

3n ber ШдеЬга toirb gezeigt, baft eine berartige gunïtion fteté für n SBerte oon x (bie and) alle ober teitmeife gleid) fein fönnen) oer= fdjtoinbet; fie feien a, ß, y • • • к, L Samt ift

. ... (x — %) (x — 1).

xn + axn~~x + bxn~² + • • • -f + I = (я — cc) (x — ß) (x — y)

SKan fieljt unmittelbar, baft ber recfttéfteftenbe Sluêbrud für jeben ber SBerte a, ß, y • • • %, X gleid) îtutt mirb, unb baft er, auèmultiptiziert, eine gunftion n ten ©rabe$ ift, alfo ЬигфаиЗ ber linfen ©eite ber ШеЬ фипд entfbrid)t.

51аф biefen borbereitenben 33emer!ungen molten mir bas SSerfafjrcn ber ^arliaïbru^geriegimg an einem ïonïreten 93eifpieï erläutern.

г Г 9х-31    ,

J "J ^Ш+Тьах'

Um bie ©röften a mtb ß ju betommen, feften mir x²— 8 ж 4-15 = 0 unb ftnbett au§ biejer quabratifcften ©leidjung « unb ß unter ber gorm

4 ± "|/l6 — 15, ermatten alfo bie reellen Süßerte « = 5 unb /3 = 3;

9x-31 (x — 5) (x — 3)

®s fei

ber S^tegranb mirb gleid)

Sßir motten nmt, nnb barin liegt ber Kern nnferer SMljobe, ber*

barpftetten. P nnb Q îoiïcn

P

fndjen, it>n in ber gorm —- -f ;

x — 3

ïonftante $аЩп fein, bie mtS bortänfig nodj nnbeïannt finb. S5rüd)e

P

biefer 9lrt, aber audj folrfje bon ber gorm ——-, fteifteu ißartiab

(x—a)

³¹ I i .

(x — 5) (x — 3) '⁰ ^ burd) ЗКиШрШаНоп mit bem Hauptnenner: P(x — 3) + Q(x — 5) = 9 я — 31; Px — 3P + Qx—bQ=~$x— 31; x(P+ Q) — 3P - 6Q = 9æ — 31.

Фигф S3ergleidjmtg ber entfpredjenben ©röften finbet man, baft I -f Q = 9, — 3P—5Ç = — 31 ift, unb IjierauS ergibt fidj P = 7, Q= 2.

brücfte.    p ₀

9lul ber ibentifdjen ©leidjung : —— +    =

9x —

4\

9Ж-31

{x—b)(x— 3)

138. J

d'x fU ⁺ х-з]dx=7]n(x—5) +2 ]n(;r—3)4-a.

Aufgaben.

: 139. J

=/

= f dx

J х*-а"

23 x-

3 х*-\- 9x -f- 6

dx;

„ , , ⁹j-rdx-, 141. J= 1-*—=-

6æ²—5#4-l    J x*—lx

- dx.

Seifjîiel 44. ©t)emifd)e ffteaftionSgefdjminbigteit.

Söenn ^mei gasförmige ober getöfte Stoffe d^emifd^ anfeinanber mir* !en, fo ^ängt bie ®efd)minbig!eit beS fßro^effeS bon i^rer Konzentration ab. ®a biefe Vorgänge zmifd^en ben SJMefüten ftattfinben, fo !ommt es anf bie Stnzatjt 3Kote an, bie ein ßiter enthält, (l 9KoI ift baS in ©ramm auSgebrüdte SDÎoteïnïargemic^t, j. S3, finb 58,5 g Kodtfatz ein 9)toI biefeS Stoffes, meit fein SKoteMargemi^t 58,5 ift.) ®S mag

140. J

__$QttiaIbtüd)e. (Styemifdje 9teaffion§gefd)minbigfeit

jur Srit ł== 0 ein ©toff A, oon те!фет ein Siter а ШМе entsaft, mit einem zmeiten, В, jufammengebrac^t merben,beff en Konzentration 52ftoIe pro Siter beträgt. Sur f mögen ж 9йо(е bon A fid) mit x SJMen Oon B oereinigt t)aben, fo baft nod) a — x nnb Ъ — x SKoIe übrig; geblieben finb. ®iefe merben \i<fy nùf)t met)r fo fdjnett mie bie erften

Oerbinben, benn bie Stjemie letjrt, baf* bie 9£ea!tion3gef$minbigïeit

ben поф in ber 3tanmeint)eit oor^anbenen ©toffmengen (meldje anfangs größer maren) proportional ift. ®gï. SSeifpiet 39 anf 59. ®ie ^roportionalitätStonftante fei c, bann ift

Ji = c(a- *) (b - x).

hieraus tonnen mir Ieid)t ben Sufammenfjang jmifc^en ber Seit unb ber ©röfje x berechnen. (2x ift bie 5lnjabl ber ÜTOoïe pro Siter, bie fćfjon in bie neue Śerbinbung übergegangen finb.) ®S ift

dx г i__il

c(a — x)(b — x) c(x — d)(x — b)    С{а — Ъ)\_х — а    х — Ъу

- а) -1п - ь%>]+Ci=фЬъН^-ъ)+ci-

= г^гь)1п(|тгЭ+с1-

Фа jur3eitć=0 biegerfe^mig erft begatt«, fo ift für i=0 aucf) ж=O, alfo

0 = cia — b) ln(y) +ci’ ci

dt —

dx

dx

с(а-!гу)1п(у);

c{a —

Г)[ЧЬгЭ“1п(т)]-

^ierburd) ift bie gcmünfd^te Sejie^nng t)ergefteHtf bie Confiante c mirb gefunben, menn man jn einer beftimmten $eit tx bie ©rofśe x = xt experimentell ermittelt, gür x = a ober x = b (aus leidet егрфШфеи ©rünben rnufś bie Heinere ber beiben ©röf$en genommen merben) mirb ż = oo, ber ooïïftânbige Slbtauf ber SReattion erforbert tîjeoretif ф unbegrenzte gett, praïtifdf) ift паф einiger Seit bie поф zur fe^ung oerfügbare SRenge meift unmef$bar Hein.

@3 mürbe bisher angenommen, bafś bie S^Ien cc nnb ß, те!фе, für x eingefe^t, ben Meitner beê S^tegranben %um $8ег)"фттЬеп bringen, nngleid) feien. ®en entgegengefe^t engall erläutere baêfotgenbe Seif piel.

6x + 6 (i-4)*

©cifptcî 45. J =J

bx + 6

x*-8x+ 16

dx

dx. SBir fe|en

P    О

= ÿ + ^zr₄; muttiptigieren toir auê, fo ergibt ft$

5Д! + G (æ - 4)s

bx + 6 = P + Q(x — 4) = Qx + P — 4Ç. ®ie ®oeffijienten* bergte^ung gibt Ç = 5, P — 4 $ = 6, atfo P= 26.

+ ИЬ]    + ⁵ ln (* - ⁴)-

8lufgabel43. J=J'{

■r~A-»-r

*ttfea*tl42.

®ie ßei'K'bmtg beë iobtoafferftoffë Ьнгф ®emperaturer§ö* E) u n g gefd)ief)t паф ber geratet: 2 HJ= Hi + Js. Фа bie Seftanbteite beë urfprimgMjen ©toffeâ, HJ mbH J, gteitf) finb, atfo аиф gterôjeÂ'on*

generation a t)aben, fo ift g=c(a- *)•; i =j^

$ier ift für t — О аиф x = O, atfo c, =» — -A batjer t

SSiê^er fatten toir её bei a ttnb ß mit reellen ßSröften gu tun. 3ft eine bon фпеп ïompteg, etwa 3 + 4i, fo muff bie anbere tonjugiert ïomfttej fein, atfo 3 — 4i. ®ie bisherige ЗКефоЬе toitrbe bann auf einige @фплепд1еНеп führen, man fommt beffer gum $iete, toenn

Г dx

man auf einen Stnêbrncf non ber gormJ ——

©ciffttcl 46. J =J

|>ier ift gibt J =J

f» « j -f

Slufgabc 144. 2Ве1феп 333ert ^atJ*:

ber qnabrati|d)en ®Ieid)nng p + qi nnb p — qi finb?

Stritt im Kenner eine gnnïtion leeren ©rabeê anfr fo ift ba§ SSer? fahren entf^rec^enb, aber fompli^ierter.

26

dx

a*+

(x-a)

\dx.

ca(a — x)

Ifinfteuert.

xt— 6x + 25

3 + 4г, /3 = 3 — 4i. SDie qnabratifd^e ßrgänpng f X- $+ü■    mflnx — 3 = g,

= Tarctg (ï) + c = l arctg (nn) + c•

dx

(ж⁸-6x + 9)4-16

dz

z*+ 16

dx

tc²+ mx -\-n

meitn bie SBnr^etn

4. Słcfurfiongformctn.

Oft gelingt её, ein {фЫепдеё Sntegrat ftnfenloeife jn ьеге^афеп, fo ba| man паф einer епЬйфеп Stnja^t bon ®фгй(еп am 3iete, ber egatten integration, antangt. gormetn, bie bieë еппбдйфеп, tjeifjen

9teïurfion3formetn. Фег 9îaum geftattet un§ nur an roenigen93ei= fpieten ipr SBefeu jeigen.¹)

Seifpiel 47. J = f xne?dx (bgt.3lufg.134) fott auf J : jurüdgefüt)rt merben. ^    ^

$ur<f) partielle Sntegration finbet man

(A) J*nnexdx = xnex

9ftan ïommt bei дтщарйдет n

xtl~¹exdx.

fd)tiefîtid) auf J*i

xn~¹exdx

e*dx = ex + c.

Aufgabe 145. J*cbexdx.

©cifpict 48. J = Г—— füll auf Гrebat^iert merben.

еУ a;’"    J

®urdj Umftetluug ber (Steidjung (A) folgt

хп—\ e*dx = ———

■■

xvexdx.

gür n — 1 = — m mirb

(B)

е/ Л?”*

в*

(m — 1 ) xm

^dx.

9Jlan îommt fdjtiefttid) bei gan^aptigem m auf /~ dx\ biefer 3tu^ brud erforbert 3îeit)enenttt)idtung.    ^ x

foil auf Jsinn—*xdx rebu^iert toerben.

^=(w—l)sinw—2#cos²a:—sinnÆ;cos²æ=*l—sin²#; J = (n — 1) sinw—2 X — wsinw X. Фигф SKutti^

ffieifpiel 49. Js

^ ^sin⁷¹⁻"¹

ati° Ł (sin”_1

dx

ÆCOSÆ

$mnxdx

XGOSX

ptüation mit dx unb Integration finbet man

sinM"~²a;d:r —

«/■

"I¹

sin⁷* ~¹ x cos X = (n —

®urcf) Umftellung:

(C)    /sinnxdx = — — sinw—1^cosa; + -—- / s

ęj    %    ^    fl çj

Setf}itcl 50. JfoH auf Jprüdgefütyrt werben. 3tu8 formel (C) folgt burcf) Umftettung

1) ©ine sJteibe toid)tiger Üîeïurfionêformeïn finb in£.2t.<5oï)n de$ 0атт* Iurg üon Aufgaben au3 ber SntegratreĄmmg angegeben.

sin nxdx.

smn~~² xd x.

fàmn-*xdx — —rein—

J    n-1

gür n — 2 = — m, alfo n — — m 4 2 erf)ätt man

cos л

w — 1 sinTrt~¹X

©cif^iiet 51. 9ftan ftette entfpredjenbe Formeln für ben (Sofinuä auf. ©efct man ~ — x = z, dx = — dz, fo entfielt au§ (С) паф $or^ 5eidjemoecf)fet

XGQSX -{--

n —

hß

sin⁷¹ xdx.

(D)/^

sin”¹#

+ ÎLZ* m-lj t

sin™ ² я

(E) J*зовn zdz = * со: , Г dz

ml—

v—i .    . n

z sinz + -1 sin z

cos mz    m— 1 cosw

—¹ J*(cos” ² unb au3 (D)

w-8 /* dz__

?    m — 1J соят~~²z

Aufgaben.

j*{m^xdx^ltf .j sm*xdx\\№.j'ńn⁴xdx;1^9.J^cos²xdxy 150. J зовzxdx\ 151.^cos⁴xdx\ 152. J^

7t    7t

154. sinna;da:; 155,J*²

146.

fdx

J <

cosnxdx. 5)a§ ïvâgtjeitêmoment einer §albfreiêflâd)e (ж = r cos <p, у = r sirup), bie ftimmetrifdj jur X=9tdjfe liegt, ijt J—jn (2rsingp)⁸ d(rcosg>)— " r

2 г* Г* . ,    г*я

— I sin cpdcp —

Sft n eine ungerabe 3<*t)t, fo fommi man bei fortgefe^ter Sftebufc tion ber in gönnet (D) unb (F) anftretenben 2tu§brücfe    auf

(G)/sinx-ln*(t) + ci (H) fésx=ln(т+t) +c-

2)ie SRidjtigleit biefer Formeln toirb leidet burd) Differentiation ertoiefen.

©citytcl 52. Die Sftercatorprojeftion. З^Шд-36 fteïïe ber £>alb!reté NAS einen fflîertbiait beè ©rbgïobnè bar, N ben îlorb^ ïjoï, S ben ©ubpol, M ben ®ugeïmittefyunïtf A einen $un!t beè Stquatorê unb TATlt bie in it)m an ben ®rei§ gelegte Dangente. Dre^t man bie 3igur um bie Щ\г NS, fo entfielt ané bem фаШ* treiê bie finget, auè TTX ber SJÎantet eineê fie umgebenben 3^)tinberè. Diefer 3qtinbermantet foil §ur Slbbitbung für bie fünfte ber fiugck

sin⁴ic>

153.

cos⁴æ>

,4 Го

-I sin⁴çp d <p У

Oberfläche benu§t merben. 9tatürttd) mirb NASbnгф TA2\ abgebitbet unb ebenfo feber anbere 2Reribian Ьигф bie entfprecfyenbe (Seitenlinie beë 3h^n^erman^et^- T un^ T\ ftnb    _ К _    ⁷

?/R

S'

beliebige fünfte ber Sangente, nicht etraa bie Silbpunîte für N unb S. Ser Punît В, те!фег auf TATX bem fünfte P entfpre^en foß, ïann поф шШШгйф befiniert merben. SBir mob len eê fo einridjten, baft ein fepr Keines gttd)enftüd ber ®иде1оЬег^афе bem entfpred)enben ЗЯафеп^йс! beë Splinbermantelê ähnlich merbe (minîeltreue Slbbiîbung).

Tl

Si0.36.

Ser Äquator mirb Ьпгф einen дЫфдго^еп fi'reië miebergegeben.

©ein Umfang ift 2n r. (Sin ParaßeKreiS, ber Ьигф Dotation öon P um MN entfielt, pat nur ben Umfang 2tcq = 2%r coscp, mobei cp bie geogra^hHcheSBreite bebeutct. Ser entftn^enbe ®reië auf bem Splinbermantel, те!фег Ьигф dotation non B um N S entfielt, be-fifet aber mie twrper bie Sänge 2 m. Säftt man ben gegebenen SReribian bei ber Dotation nur ben Keinen Sogen dl Ье{фтЬеп (l ift bie geo^ дгарр^фе Sänge), fo entfielt auf ber ЙидеЬЬегрфе ein Keines ©tüd beë ParaßeltreifeS t>on ber Sänge dx₁ = rdl cos 9), auf bem

dx j    сов (p

Um ein Keines S^tecf ab^ugrenjen, taffen mir поф bie Sreite um ben geringen Setrag dtp таф|еп, bann mirb baS е:К|ргефепЬе Stücf auf bem SReribian dy₁ = rdcp. @oß baS Sîechtecï auf bem Sptinber; mantel bem auf ber Kugel а^пИф fein, fo rnuft bie proportion befielen:

dy : dyx = dx : dxi ; dy = dyt- d~ = r dcp •    hieraus folgt

StyUnbermantet ein Kreisbogen dx = rdl\t§> ift dx

</>

y jc

0

t'dcp

-=rln

COS (p

^(т+ *)•

©nb^iф fann man ben 3pUnbermantel tângë einer ©eitenlinie auf= fфneiben unb abroßen, bann merben bie 3Reribiane unb Paraßelfreife Ьигф ein Spftem Oon тадегеф!еп unb fenh^ten Sinien miebergegeben, unb ber Punît, те!фег bie деодгар^фе Sänge! unb Sreiteq? Щ bejtpt tjier bie Soorbinaten x = rl

у = r ln tg J + y) •

Aufgaben.

156. SOlan jeidjne bag @rabne| einer Sugel in SOiercatorS Sßrojef= tion auf, inbent man bie Sänge Oon 0° begimtenb um je 10° Wachfen täfit unb in bemfetben gnterüall bie SSreite Don — 80° bis + 80° oariiert. Фег SRabiuS r »erbe paffenb gewählt, am beften fo, baß bie Zeichnung jur Prüfung einer entfpredjenbeit fiartc im SltlaS bienen !ann.

157. gür Heine geograpt)ifc^e SBreiten liegt ber Sßunft li nur wenig unter bem fünfte Q, in welchem ber SRabiuS MP bie Tangente TTX fdfneibet. SBarum?

5. dntwtcflung in tßoten3tei^en.

häufig läfjt fid) burd) feine ber bisherigen Sötetfwben ein oorgetegteS integral auSführen. 5)ann pflegt man ben gntegranben in eine Steil» p entoidefn unb gtiebweife p integrieren. 35ieS iftbei епЬНфеп 9teil»n nadj @a| 1 auf @.14 ohne weiteres geftattet, bei uuenblid)en SReif»n ift eine Unterfudfung über bie Verewigung beS Verfahrens um erläfilich. SBir wollen hier nur ben einfachen gall, bie Integration oon Sßotenjreihen, behanbeln.

(gegeben fei bie SReifw f(x) = a + bx + cx* + ex* H----, weld)e

für ben pofitioen SEßert x = я₀ abfolut fonOergiere. Фапп fonüergiert fie aud) für alte Sßerte üon x, welche püfchen — x₀ unb + x₀ liegen (Ф. @. 67). gn bemfelben Sttieröall fonoergiert ficherlidh bie Steif»

‘‘"i'T'i'T'i----' ^enn iebe« ®lieb biefer Steil» ift, abfolut ge=

bx* . cx*

8 '

(Sine abfolut fonoergente Sßotenjreif» barf aber gtiebweife bifferentiiert werben (®. @. 68), folglich ift

= а + bx + ccs²-f- exa+ •••, unb baS ift

gerabe bie urfprünglidj gegebene gunftion y. ®a F nad) ber ®ifferew= tiation y liefert, fo ift

nommen, Heiner als baS ber urfprünglid»n. 9Jlitf)in gilt bie Sonoergenj auch oon F(x) = x(a + ^ + ^|- + •••) = алМ

=J''ßx,

ober

■ •) dx =

(formel 52.)    f(a-\- bx + cx*-\- exz -f- •

. bx² . cx³ , ex⁴ .    ,

= ax + -g- -f - + ₄ -\-----h Cu

tënttoicflunfl in ^Diensteiden. SMjerunçfflnetdoben

7a

aufflûbcn.

158. J =

^    i**-J

f(x)d%\ 162. J —Jlf(a + x) ^x-©iebenteS kapitel.

Watjerunggntetljaben.

Stuf ©.61 würbe erWüfjnt, bafi nidjt jebeê integral in gt'fcfiloffснег gornt beregnet, b. 1). auf eine епЬНфе Sinjabt belannter gunltionen prüdgef üf)rt werben lann ; in biefem galt töft man её Ьигф nafjerungS* weifeintégration. ®iegrojjepraltifdjeSebeutung biefer ЗЯефоЬеп,. beren einfarfjfte f)ier mitgeteilt Werben fotlen, leuchtet ein, benn bie Statur, wetdje unS fo Biele integralaufgaben ftettt, ïümmert ЙФ тф1 im ge= ringften barum, ob unfere tfjeoretifdjen Hilfsmittel аиёшфеп; ber ißraH tiler ift p Skalierungen gezwungen. 21иф bie Slftronomie, bie ejaltefte unter benSłaturwiffenfdjaften, arbeitet fetjr Ejäufig mit Slpprojimationen. Samt man bie ©enauigleit beë SerfalirenS beliebig weit treiben, fo wirb её аиф ber ftrengfte Xtjeoretiler gelten laffen müffen.

1. SReiljcnenttoiiflung.

, Sei ftarl lonöergierenben ißotenjreitien genügen oft |фоп bie erften ©lieber.

worin к

8t«„w 53. 5M 3nt«„C«l / -/

eine belannte ©onftante, Heiner als 1, bebeutet, täfjt ЙФ Ьигф leine Umformung auf eine elementare gnnltion prücffitljren. gür Heine SSerte üon я unb x ift, wenn man bei xx Ijattmadjt

^==j = (i-a;²)    =l+i»²+ia;⁴;

(2). 6. 69). Фигф ÜDtuttiptilation fytbet man bei Unterbrüdung ber polieren Sßotenjeit = 1 + у(1 + x²) + ç(3 + 2** + Зк⁴), alfo

dx

»c+z+^ + O + J(3 + 2-л⁸+ Зх⁴).

Seifriefêmeife erhält man für x — ОД

J.

dx

— 0,25000 + 0,00263 + 0,00007 =- 0,2527.

Äufflabe 163. / =

/уц—*¹

z^rdx> * ~ °Д-

2. 2>ic Xraiłcjregcl.

А

Sur ЯЗегефпипд non F = / f(x)dx ftetten mir /*(я) Ьигф eine v    a    Sum bar unb be*

у,

ул

ftimmen bie $ugeijö* rigegläcfye. S)a§u tei= ten mir (Sig. 37) baè Snteröatt x = а---Ъ in w (}. S3.10) gtei* фе Seite, öon benen паШгИф jeber h *-

— ift. ®ie glädje

Ша-зт.

* verfällt ЬаЬигф in Streifen; in jebem non irrten erfefcen mir benSuroenbogen Ьигф bie Sefyne. Sie Summe der Sebnentrape^e ïomrnt bem gefud^ten gtädjeninbatt um fo псфег, je größer if)re Stn^a^t ift.

F^\ (У a + Vi) + \ [vi + Уъ) + \ {у* + Уь) 4-----ь \ (yd + Vb ) *

F ^ \ (y* У1 + У* + У* + У2 + Уз + • • • + Уд + Уь) •

(Çornel 58.) *⁷ sa (j,e + *,₆ -j- 2 23 j/m)

(Sebnen^Sr ар erreget).

Saê tefete (Stieb bebentet bie hoppelte Summe ber mi ttt er en Drbinaten.

ift fetbftoerftänbtidb, bafj biefegormet für ein beliebige^ gart}* obligea n gitt, man Щ nur in ber Шейипд yd burd) уп-1 ju erfe^en.

9Kan erïennt leidet, baf$ F baê arit^metif^e Strittet ber auf S. 20 definierten дШфеп 2^ nnb F₂ ift (fÇig. 8). SgL Slufg. 51 unb 52. $îan tann bie Sum аиф Ьигф bie Sangenten, ftatt Ьигф bie

Seinen, erfe|en. 3>n 3*9- 37 mögen biefe burd) bie ©nb^unïtc non Ун Уы Уь uîf- 9е*е9* fein* ®aê erf*e    ï)at bann bie §5be 2 h

unb bie SKittellinie yit alfo ben S^ûlt 2 h • yx =    Уг ®i*

Summation liefert bte Stangenten^rape^regel n 2 (fr — a)

(l/l + 2/3 + 2/5 + * * • 2/>«—1)*

(formel 54.) Fæ

n bebeutet ï)ier eine g er ab e gafyl.    л 8

Scijpiel 54. ®ie @leid)ung einer ©tlipfe ift ~ + Дт

VT/

grofś ift ber Sftâfjerungêmert für bie glâcfye eiue§ Ciuabranten, menu w = 6 angenommen mirb?    1

y = \/1 - **, -F -J T /ï

O

-1. SBte

— x²dx.

a;

³/e

Ve

0,49300 I 0,47140 | 0,43301 | 0,37268 | 0,27638 | 0

У I 0,5

$>ie ©extern ïrape^regel liefert F 0,5 + 0 4- 2 • 2,04647) = 0,38274, bie Tangentens ïrapejregel Fæ 0,40080, ber SKittet* inert ift Fra 0,39177. gur (Ermittlung beê genauen 2Berte£ fe£t

-A

bJ

, psina; cos л; g? dep =    ₄

0,39270. ®ie getjler finb 2j-%, 2 %, 1»/,

©eifptel 55. äRan beftimme ben Sogen, welcher bie eben berede neie glädje begrenjt.

i

man jtoednmfcig x = sin ą>, F

+Hł-

cos 9 • cos

dx. 51иф l)ier fe^t man x =» sin 9, bann ift 2/ = -g"cos 9» dx = cos 9 d<p, dy — — -|-sin 9^9,

л    rt

1 ₊ i siu'² ?.

' 4 cos² cp

-Д

cos 9 c2 9 ==*

/ ]/ cos² 9    -4* sin² 9 d 9

0

-/«

sin² 9 + y sin⁸ cp dq> ^ j*yi 0

— ~ sin“ cp dcp. 2)er 9Iu^

brud läftt fid) nid)t geïd)ïoffen integrieren. SBir geriegelt baê Suter* naß 0    ~ in 10 Xeile.

У,о*

7m*

7«o *

yi-|.in4

0,9908

0,9635

0,9196

0,8607 I 0,7006

7.0*

7to*

■j/l —sin* qp 0,7135 I 0,6361 gorrnel 53 liefert 7v æ 1,21105, gönnet 54: L = 1,21108, ber genaue S33ert ift i = 1,211056 - -    ® er gange (Sßipfenitmfaug ift4mal

fo gro£.

0,5671

0,5180

0,5

Aufgaben.

164.    S3ie grof$ ift bie glacée ber Sinuëlinie, geregnet bont Sln^ fangëpuitft bië gnr l)öd)ften Drbinate, wenn mau fie nad) ben %xарц* formein 53 nub 54 beredjnet, unb n = 2, 4, 6, 12 gemalt mirb?

165.    Man beantworte biefetbeu gragen für bie glćtdje, weldje bon ber Seitenlinie 2/= у (e*-f e~x), ber X;2ld)fe unb ben im Slbftanbe X = O unb X = 3 gezogenen SDrbinaten begrenzt wirb.

166.    @ë foßeu bie natürlichen Sogarittjmen ber gangen Sagten bon 2 btó 10 burd) bie gormeln 53 unb 54 gefunben werben, n fei gleich 10.

167.

Sernanb ÿat J*'jdx nad)gormel53 gefunben

, wobei er n= 5

wählte. ®er SRâ^erungêWert fei F&. ®r bermutet aber, baf$ biefer SBert uod) gn ungenau fei, nnb gerlegt batjer jebeë ^ttterbaß in gwei neue. 2öie gro£ ift -F₁₀? 2Bie finbet mau F2n anë Fnl

3. 3Die Simÿionfdje Siegel.

ЗШ weitere Slä^erung^formel Ijaben Wir fdjon in 93eifbiel5 auf @.17 bie @ imp f о nfdje Siegel {ernten gelernt, ©rjdjeiut её ЬеЬепШф, fie auf bie gange glädje anguwenbeu, fo mufś man biefe in Streifen gerlegen nnb fie eingeln genähert berechnen. Sie 3^1 n mujî ^ier g er ab e fein, benn fonft l)ätte man für jebett Streifen erft nodj bie Mittellinie ym gn fudjen; jettf faftt man je gwei Streifen gn einem glächenelement gu^ fammen. gig. 37 Ijat baë erfte bie Snborbinateu ya unb y2t bie

2ф-а)_ф-а)^ фег№феп;

Mittelorbiuate^ nub bie §ö£)e 2 h inhalt Wirb

io

Fpü-jf {Уа+УЛ^Ух) +    (&+Уа+^Уь) -I-----i“ir (^8+⁴%)-

+ % + ⁴^i + % + 2/4+ ⁴ % + ' • • + 24 + У» + 4%).

F~b~iö“ [^ + У» ■+ ⁴ (У1 + Уз + Уъ + Уп + У9) + 2(2/₂ + J/₄+ 2/₆+у,)]. Sttlgemein ift

(formel 55.)    -----)rVn-i)

+ 2 (2/2 + Vi 4-----J- f/«_s)].

Stufgnbc«.

168.    ЗМфеп StäfierunggWert liefert bie ©impfonfôe Sieget für bie 51йфе ЬеЗ ©üipfenquabranten in S3eifpiet 54?

169.    Stau berechne beit entffireebenben ©Iltpfettbogen (SBeifpiet 55) паф ber ©impfonfetjen Sieget.

170.    Stau beantworte bie Sragen ber Stufgabe 164 паф ber ©imps feigen Sieget.

171.    ®eggt. bie ber Stufg. 165.    172. ®eêgt. bie bon Stufg. 166.

173. ®ie 3nf|t n fott паф ber ©impfon^en Sieget Ьегефпе* werben. SDÎit ber S i mp f о n {феп Sieget tann man bidtoorbinaten be§ © ф w er=

punïtê einer ebenen Städ)e näljerungSWeife ermittetn.

Ш möge bie Stnfangäorbinate ber Й1афе jur Г=21ф(е genommen Werben, baê Snterbalt auf ber Х31ф{е möge in eine g er ab e Stngaljl n leite jertegt werben, bie betreffenben Stbfjiffen feien 0, xv x₃ • • • xn,

xn    xn

bie jugetiörigen Drbinaten y₀, 24 • • • yn. Фапп ift | =J"tydx-.j'ydx. $>a§ im Slenner auftretenbe Sntegrat ift рь jj/₀+ y„+ 4 (yt + ys

+----h tln—i) + 2 (t/₂ + 2/4 H----+ уп-г)J. Sw 3äf)terintegrat,

bag Wir Z nennen, ftetjt ftatt у überall xy, atfo 0-y₀ ftatt y₀, — ■ yt 2x    n

ftatt Ун    ftott У* uff. ®° erfjäft mau

z^[xnyn+l(^yi+*^-

+ ² (тЛ-^

Уп-1

Уъ + • • • +

Z~~Źn'~n \-ПУп + 4^1+ 3%+ • • • + (п~ 1)2/я-0 + ²(2у* + 4у₄

• + (w — 2)î/„_₂)J.

”Уя+⁴(У1+³У»+‘• "К”-1)Уп-1)+²(гУ»+⁴У4+-• •+(и-2)Уя-₈)

"    2/₀+2/rt+⁴ (2/i +2/зН-----h 2/w — i) + ² (^2 + 2/4H-----\-Уп—2)

©benfo einfad) ergibt fid)

¹ Уо* + Уп¹+⁴(У1> + Уа> + --' + У>,-1⁸) + 8(У>* + У4Ч-- + Уп-1⁸).

У₀+2/я+⁴ (У1 +УзН----+ Уя-i) + ² (Уа + У*Н-----hy„_2)

174. ©3 fol! baê Srägljeit$moment einer ebenen gtädje in be* gug auf bie X* unb bie r=2td)fe naf)erungêmeife beregnet merben.

4. SRâ^cruttgêformcIn für uneigentli^c bcftimmtc integrale.

©rftcr gaH. SBirb eine Drbinate uuenbtid) (@. 23), fo nerfagen natürlich unfere ^atjerungSformetn. SSir gerlegen gunäd)ft baê Sitten

кУ

oo

ШМ-

grat in fo niete Seite (bie entfpre* d) enbe gtädje in f 0 niete Streifen), b af* in jebern mtr bie Slnfang^ ober nur bie ©nborbinate uuenbtid) grofśmirb, unb beregnen feben für fidj. gig. 38 geigt eine gtäd)e mit mtenbtidjer Slnfangäorbinate (A 00 С' С). Séfct J? nehmen mir eine Slbfgiffe b an, bie £.—^X nur meitig größer atê bie untere ©renge a ift. Sie enbtidje 8täd)e ^ BB'C'C täfet fid) nad) ben ЪЩь* rigen gormetn, am beftert nad) (55) finben, fo ba§ nur nod) A oo Bf A’ gu unterfudjen ift. Siefegtäd)e ift ingig.39 (ohne ^Beibehaltung be3 !3Kaf$ftabe£) miebergegeben.

Sie Strede AB mirb burd) Mt unb Хг gebrittett, ebenfo AXt burd) M₂ unb X₂, AX₂ burd) Жд.ипЬ XB uff. ЗКаи t)at atfo Sttfgiffen OB = b 0= a + -|-(b — a) 0X₁ = a + {ft-a)

Drbinaten yb=f(b) rn^fia + ^ib—aj) yl=*f(a + \(b — aj) Slbfgiffen OM₂= a + -f- (b — a) OX₂ = a -\- \(b — a) örbinaten m₂ = f(a + ~ (b — a)) y₂ == f(a + y (b — a))

+-$-)+№+2+2+-+%+-)}

Scijjuel 56.    f⁰^ beregnet toerben.

1-Я-

о 0 0,2

1У

у*

тпч

Vt

mt

а А X, Mt X,

rr~x

i^iQ. 39.

3e£t tuenbet matt bie6im})fonfdje IReget auf biegtädjenftüde mit ben SOÎit^ tellinienmit m₂ • • • an; \ = Xx В =

2(5—a)

/?2 — -Xj A₂ ==*

2(5 —a)

«ff-

6

/ =J*ydx Rj

- (*/* + 4mt + -f    + 4m₃ + */₂)

+ -gp (2/2 + 4 тз + 2/3) + * * *•

@e$t man 5 — a t>erau§ ltnb nereinigt bie pfammengetjorigen ©tie-ber, fo finbet man

(formel 56.)

5-

®er Sntegranb mirb für x = O unenbïid); mir fejjen 5 elttm = 0,2 1    0,2    1

Jt -f Ą- S^eite integral tä^t fid), ba ber 3ftte^

granï) fteté епЬйф bteibt, паф formel 55 ermitteln. 2Bir tnäblen n = 8 nnb finben

y 11,495311,351211,257411,189211,136211,093211,0574] 1,026711,0000 JtRj0,9346 (genau 0,93458). Sei Jx ift b — a = 0,2; yt= 1,9680, y, = 2,5900 ...«»!= 1,6549; m₂= 2,1779 uff.

X I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5 I 0,6 I 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0

Jjfâ 0,2 [0,1661 + |(0,6560 + 0,2878 + 0,1262 + 0,0554 •• •)

+ |(0,5516 + 0,2420 + 0,1061 + 0,0466 + •••)].

Sie Sîedjnmtg wirb baburdj ôereinfacfjt, bafj (lier in ben Шштпегп

geometrifdje Sîei^en ^mit bent Quotienten = 0,43869^ auf*

treten ($.©.58); <7^0,3992 (genau J{ = 0,39875). /pö1,3338 (genau 1,33333 .. .).

SBitt man bie9tedjnung fdjnetter (atterbingS auf Soften ber ©eitauxg-teit) ju ©nbe führen, fo tarnt man bal Snterbatt a • • ■ b in eine grü= fjere Stnja^I, etwa 10, gteidje Seite jertegen, benjenigen, wetter a näd)ft liegt, auSfdiatten unb ben 9îeft naif) ber ©impfonfdien gönnet beregnen. ©obann wirb ber tftücfftanb ebenfo befyanbett, uff.

§ier gitt fotgenbeS ©фета:

mbfeiffen 1 b |a;₁=-a + i¹ö(b-a)k⁼a+i^(b-a⁴)la₃=a+₁-₀¹()a(5-a)

örbinaten] yb=f (b)| yt = f(xt)

Уз    f(xs) »ff-

Уг =■ f(xs)

I, fei baS arittjmetifdje Sßittet non b unb ж,; li = у(% + b) =

ïLa + й(&-«)+ а + (Ь - a)]¹, li = « + Ц(6 - «)i    + *»)

= a + ŁQ> - а) «ff-

m3=f(k) »ff-

Slbfeiffen [g₁=’a+^(b-g)ll»=a+-^(b-a) j g₃=a+^,¹₀(5-à) Drbinatenl m₁ = f(^)    | m₂ = f(Q

Fiи ~ • (Уь +У1+ imi) = 2o (ъ - a) (:Уь +Vi+ 4wix);

F3 ~ loi (& “ a) (Vi + ?h+ ⁴“i) ufw.

F» (p ~ a)[У» + M (#i + v>y-t + ТОоУз 4----) + 4 (»»14-    +

+ Ioöws + *••)]•

0,2

rdx

Sn unferem Seifpiet Wirb /    =

0,4050 (genau 0,39875). Stud) Ijier üereinfac^t eine geometrifdje 91ефе bie Serectjuung.

!    Slufgaben.

{ d ос

175. J =j —=~ joli genau unb nâberungëweife beregnet werben, «Mo 176. S-Jfë    178.Д'.

179.    Sur tnetd^e SBerte non n bat bie gtâd)e, bie jtmfćĘten ber ber Г4(ф(е, ber Й'игое y = axn unb ber Drbinate x = 1

liegt, einen епЬПфеп SBert?

180.    SGSte Berbätt её fid) mit formel 55, wenn md)t bie erfte, fon= bern bie Ießte Drbinate unenblid) wirb?

= Г =

J Vï^5’

0,5

184.    9Jlan bitbe formet 53 für ein uneigentlitfjeë beftimmteê ^ntes grat ber bisser bebanbetten 2lrt um.

185.    Saëfetbe foil mit formel 54 gefebeben.

Stocitcr Çafl. SBirb bie eine ©renje beë Sntegratë unenbtidb grog,

181. J

•    182. J -

. t dx

J

0

i; 183. J —j\ dx 0

1 —TC*

ift atfo jydx =J"f{x)dx ju berechnen, fo trennt man аиф bier nacEift ein епЬйфеё ©tüd ab, beffen obere ©renje b man um fo größer

00    b    CO

je genauer baê ©nbergebnté fein foil. (gig. 40.)    j-j-J*.

a a b

Фаё erfte integral beregnet man паф einer ber früheren ЗКефоЬеп.

Sann trägt man Born ©nb= ßuntt beë Snteroalleë, В, baë ©tüd h ab, mobei h eine beliebige, aber jwed* mäßig gewählte ©röße bebeutet — fie muß um fo tlein er fein, je genauer baë ©nbergebnië werben foH —unb erhält Д/j. ge|t таф1 man M₁ Zj аиф x gleich ä (atfo BXl = 2 h), Z₁J4=2Aiilf₂Z₃ = 2A;

У.

Уь т'\У'

\]h

В М, X, М, X,

Sie*"-

St92u© 673: ßtubott), SiitegralrfĄmittfl, S.9lufl.

Х₂м₃ = 4 А; Ж, Х₃ = 4A uff. ®ie Söejekfjnuitg ber jugeprigen Dr* binaten ift au§ folgenbem ©фета ег^фШф.

b + 2h

gibfsiffen    ______

Orbinaten|yb=f(b) \m₁ = f(b + h) fгд = f(b + 2A) | m₃ = f(A + 4A)

Ъ+ 6Л

A -f⁻ 10 A

A + 14 A

griffen

Orbinaten | уг = ДА + 6A) | m₃ = /-(A + 10A) | */₃ = f(b + 14A) 9tun ift паф ber <Зтр{оп{феп 9îegel

GO

J"yrfæ = -- (yb + 2/t + 4ą) + ~ (yt + lh + 4ms) + ^ (y₂ +

6

«    +2/8+ 4и»з) + • • •

integrate in 6 Seite nnb menbet gorrnet 55 an, fo remitiert j*e~xdx

о

=0,9505 (genaner SBert 0,9502). Зиг ЗЗегефпипд ЬеЗ ^netten gnte-grafê nehmen mir h gleidj 1 an. ©3 ift yb = e~³ = 0,0498; mx=e~^ ==0,0183;    = e"~⁵ = 0,0067; m₂ = e~⁷ = 0,0009; y₂ = e

00

atfoj*г~х

3

= 0,0001

dx=0,0503 (genan 0,0498). ®er angenäpte

28ert beê ganzen Sntegrafó ift {omit 1,0008, ber genane 1,0000, ber Sepr

186. J

ßdx

Slufgabeit.

187. J

-ß-

i

188. J

= fßdx.

J W*

0

«

_ Г dx

J (i+*)V« 0

CO

-s

о

190. J

ex-l

192.    gür metdpSßerte bon n f)at biegtäcp, metdfje bon ber $oten^ ïurbe у = axn, ber X9td)fe unb ber Drbinate ж = 1 begrenzt mirb, einen enbtidfjen Spalt?

со

193.    /

189. <7

x⁶dx l + x

191. <7

=J*e~xidx ^oü näpruugSmeife beregnet tuerben.

194. /

0 ao

-/

0

e—p^dx.

195.    fflîan transformiere gönnet 53 für ein uneigenttidjeS Snte^ grat ber feiten 9trt.

196.    Шап berfape ebenfo mit gönnet 54.

SldpeS ®apitet.

^rttfnnfjSmetljobeit.

®a bie Sntegratredpung gan^ unb gar auf ben Sdptterlt ber ®iffe^ rentiatredpung ftep, fo ift eine genaue Kenntnis jener SBiffenfcpft unbebingt erf orbertp. ®ieŚeprrf cpng ber X t) e o r i e genügt aber nidp, es ntufj Übung unb ©emanbtpit im ©ifferentiieren borauSgejep merben.¹)

S3ei ber StuSfüpmtg ber einzelnen Operationen bermeibe man §aft unb UnüberficpticPeit, fdpeibe beuttid) — aud) bie ©rennen bei be^ ftimmten Sntegraten — unb richte bie ©arftettung fo ein, ba§ bieîteben^ redpmtgen überfepbar finb unb bie £muptergebniffe burdf) ipe Stellung unb Ьигф Unterftreidpn als befonberS mistig ïennttidj gemalt toerben. Sft bann ein gelter begangen, fo ïann man ip bei forgfättiger 9îadp Prüfung meiftenS teidp entbeden.

spnifun03inetl)obcn für unbeftimmłe intégrale.

3ft Jf{x)dx = F(x) + c gefunben

1. 2>ie differentiation.

worben, fo neufs nad) definition (©.7 nub 8) ber ®ifferentialquotient »on F(x) ben SBert f(x) annehmen.

ÏBeiffiiel 58. @8 fei bie fformel J'y^l — x²dx =    ~ x*

fo erhält man y j/i - ** + y(ÿ==,) + y •

vib)⁼ï (У¹³*5 ⁺ >&) “W

+ \arc sin* ju prüfen.²) SBenn man bie rechte ©eite bifferentiiert,

Vl -X*

— X*

X*

yi - хъ    _

+ |/l — xs) <= У1 — x², alfo ift bie Integration richtig auêgefü^rt. ЗВШ man ganj fidjer gehen, fo mirb man bie differentiation möglidjft auf oerfdjtebenett Sßegen Bolljiehen.

2. SSerft^iebene Sntegrationëm'àglidjtciten. Oft ïann man вег* fchiebene ber im fecljfteu Kapitel angeführten Verfahren 6enu|en. Sind) hier

werbe ba§ SSeifpiel J —J'|/l — ж² dx behanbelt.

costcostdt

A -f cos 21

J *

a)Einführung einer neuenS3eränberlidf en.3Birfehena=sin<, dæ=cos<dt,banniftyi — a;ä=|/l—sin²i=cosi,/=J

= i cos²1dt

Г1 -f COS2

dt. Seht fei 21 = z, dt = \de, J =

•^dz\ J = dz + \ f>zoszdz. ®er j weite ©umrnanb tft i sin г = \ sin 21 = -²- sin t cos t -= x |/l — x², ber erfte ift z = у < = у arc sin x, folglich ift J = -у У1 — x² + у arc sin x.

= ]/l — X².

b) partielle Sntes*“*¹⁰¹¹- m'=1 (а1{ом = я), v J =j\ - Yi — x*dx — xy^l — x² —Jv(^Z?L=)dx

xVl — x² + f—~=—dx.    ®aê lehte Snte=

«y

grat tüirb einfad)er, шепп man im Säfyter i abbiert unb fubtrat)icrt.

= x}/l — x9j + J*

^l=S±îi.

1^1 -æ²

?+/

•r,-1 + 1^ 1/1 -ж²

(lx.

= xyr=*-jÿl - X4x +y^_.₁

«7 = ж ]/l — я² — J -f arc sin X. $)ie3 ift eine (Steurung für J, bie aufgetöft ben Vorigen SBert ergibt.

, Sor-

c) Sîeïurfionêformetn. J*sosHdt tann паф Seifyiet 51 met (E) auf @.70 Ьегефпе! merben.

3. Prüfung burd) ^otenjrciljcn unb JRaljcrungêfatmeln. Kann man ben gntegranben in eine ïonbergente $otenzreif)e entmicfetn, fo ift bie gtiebmeife Integration geftattet (@. 72). @ie muff ba§ Snte^ grat ergeben, паШгИф апф in gorm einer ïonüergenten $о*еп$гефе.

SBenben mir bie3 ©erfahren zur Prüfung ber gormet f*}/1 — x*dx — y ]/l — X² + y arc sin x an!

l/l-æâ= 1 -t*s-2^*⁴-2^*s- £-l<*<+l).

J — X — г—г .г³ —

2-4-5

Sinn entmidetn mir ba§ angegebene 5Refu(tat

_1_Ж5_ 24-2*

2-4-6-7

2-3

X³— • • •

1.3

Ж⁷----

2-4-6-2 1-3-5

1-3

ж⁵ 4

*⁸-

2 K л 2 2-2

arc sin x

2-3-2

2 • 4 • 5 • 2

Slbbiert man, fo ergibt fût) j. ©. afô Koeffizient Oon x³ bie (Sröfte

x³ 4- •••

unb апф bei alten anbern

2 • 4 - 6 • 7'

2-4-6 • 7 • 2

(Stiebern ïommen biefetben Balten öor mie oben.

Um einen Saturn nadjzumeifen, genügen oft fфon bie erften (Stie-ber ber ©nimidtung. @ott biefe für jeben SSert non x getten, fo muft fie апф für Heine SBerte getten, unb bei biefen merben bie bötjeren (Stieber ber fRei^e bebeutungHoé.

Slufgabe 197. З^тапЬ fe|tj*f'dx = ex\ gft ЬаЗ пфНд?

Stufgabc 198. gemanb fefct J - ff~ = 1(1 + x³). gft bas ©rgebnté пфНд?    ^ +x

®ie§ 35erfat)ren ift mo^t geeignet, get)ter aufenbeden, aber п1ф1, bie

fRid^tigïeit be£ ©rgebniffeä eintoanbfrei bar^utun. @o tourbe 5. S3. bie ]/l — X³ 4 bie $robe befielen, trenn man bet ber

gormetJ

SReihenenttnidlung nur bie erfte $otenj Поп x berüdfid)tigt, bie Untersuchung ber weiteren ©lieber lä^t aber feinen Süffel barüber, bafś ba3 (Srgebntéfalfch ift; baê gefugte S^tegral hat rielmehr ben SBert arctg x. -Katürlid) fällt aud) bie 2)ifferentiation§brobe negatir auê.

4. (Sjiejtaltficrung. Sntegralformeln, in benen S3ud)ftabenau§brücfe norfontmen, muffen аиф bann richtig bleiben, trenn man ben ЯЗиф ftaben beliebige, am beften einfache 3ol)lenmerte beilegt (0, + 1, — l, 00 uftn.). ®aburd) toerben oft bie integrale leichter ausführbar.

eax(smx-\-acoax)

1 -\-x%

=> x

©cifpict 59. ©3 foil bie formetJ't

eax cosr dx

1 Ą-a*

geprüft trerben. @e|t man a = 0, fo befommt man, tneil e" = 1 ift,

ben einfacheren 2luSbrndj*зоsxdx = sinx. ®r ift richtig; unfere gor;

mel befteht and) jebe anbere 5ßrobe. Slbleiten läfst fie fid) am einfach-ften Ьигф partielle Integration.

Slufgabcl99.J = f d* -+ a~Vf~^)+ ⁰    J **+2 ах + Ъ 2 У а⁴— 6 V* + a -Hj/a⁴-b ’

+ -J ßl(xt+ 2ах + Ъ)

foa burd) ©pejiatifierung geprüft toerben.

sprüfungSmettjoben für heftimmte Sntegrate.

©ei ber ©егефпипд eines beftimmten Integrals ermittelt mon im allgemeinen juerft ben SBert be3 unbeftimmten, fe£t bann bie ©renj= toerte ein unb bitbet bie ©ifferenj. ©er erfte ©eit biefeS ©erfahren? !ann bnrd) bie bisherigen StRetijoben leidet lontrottiert werben, ber jtoeite üertangt nur ©orgfatt in ber 9lu3führung elementarer ^Rechnungen. ©s gibt aber auch ißrüfungSmittet, bie gerabe auf bie beftimmten lynte= grate jugefdjnitten finb.

fix). SBir faff en je|t baê beftimmte intégrât alg ©renjmert einer Summe auf, bie mir abftirjenb mit 2f(x)/\.x bejeicfjnen.

Фапп liegt паф S3oraugfe|mtg jeber Summanb jtoifdjen <p(x)f\x unb Ф(х)Дх, atf о aucf) Sf{x) Д x jmifdfen 2д>{х)Дх mtb 2Ф(х)Дх. Фа biefe SBeljauptung gilt, mag bie ©lieberjafjt grofi ober Mein feilt, fo gilt fie аиф für ben ©renjfatt, eg ift

b    A    b

J*y(x)dx <j*f(x)dx <j*$>(x)dx.

$)a bie gmtïtionen cp{x) unb Ф(х), abgelegen twn ber jugrmtbe ge^ legten 83orou3fe£ung, gan$ beliebig fein fönnen, fo toirb ntan fie red)t einfndj mähten unb bamit bie SKögtidjfeit gemimten, ba3 t> orgelegte beftimmte Sntegrat in beretfjenbare ©rennen einpfdjliefjen.

fvi - ;*

Seiffiiel 60,

gefd)ïoffen merben. x⁸ fei ein echter ЗЗгиф. _

9ttg SBergleicfjgfunïtion müßten mir до (ж) = Yl—sin⁸ x = cos x unb

2. Фсг fKittefmertfab. ©g fei ße(x)dx = Fix), bann iftßf{x)dx

— Fib) — F (а). Фег 3Jtittelmertfa| (ф. S. 80) liefert bafür F(b) - F{a) = (b - a) F' [a + 0 (5 - a)].

®ie ©röjje F' ift фег aber g(eicf) f, alfo

ft

(formel 58.) Jf(x) dx = (ö — a)f[a -f- в (b — a)].

©bebentet einen edjten SSrudj. а -f © (Ъ — a) ift ein SBert ber Stbf^iffe x $mifdf)en a unb &; f[o + © (b — a)] ift'bie jngeprige örbinate; ber

sin²xdx foH in angebbare ©rennen ein=

— je² ins²xdx </1 • dx. о

xdx

У l-x*

ben SBert 2 ^aben?

©a£ fagt alfo au3, bafc bie burd) integration gefunbene glacée (gig. 1, menu bie ©nbabfziffe b ift) einem 9led)ted gle^fommt, ba3 auê фгег Sauge (b — a) nnb einer paffenben Drbinate aU Sreite gebilbet mirb.

я

©tifptel 61. Satin J =Jt?einxdx gleich 5 fein?

J = Y е’1П [°⁺® • f] e8in(® ' f); 0 • y tiegt jwifàen O nnb y, ber ©inné biefer ©röfje §mifd)en O nnb 1, J alfo ^mifdjen

=1,57 nnb y • e = 4,27; alfo beftimmt unter 5.    ^

x in

3.    Äbjaljlungg* tmb ШдипдЗтефоЬе. SKan lann J*?{x)d

beïannter SBeife Ьпгф eine glacée barftetten, beren ©nborbinaten non ber YMi)\t ben 5lbftanb a nnb b haben. $Beuu|t man 3eid)enpapier, те!фе§ in Bnabratgentimeter nnb Ouabratmittimeter eingeteilt ift, fo laffen fid) bie ganzen Dnabrat^entimeter nnb QuabratmiUimeter zählen, 33rud)teile fĄa|en.

ift biefe éinteilung nid)t borfjanben, fo faun man bie glacée mit ber ©феге anêfc^neiben. ®ann fteût man фг ©etoidjt feft nnb ber; gleicht e§ mit bem ber gläcbenein^eit. ©iefe fei ettoa lqcm, bann toirb man baê ©еьлф! eines mögtidjft genau gezeichneten GuabratbezimeterS meffen nnb Ьпгф 100 bibibieren.

®ieS Verfahren fe^t glekhmafśige ©tarïe beS papier» borauS. $Шап aфte genau auf ben 3ïïaf$ftab ber З^Ф^и^¹9-

4.    lïtaljerungêtoerfaljreu. $)aS hefte ättittel, um zu entfфeiben, ob ein beftimmteSintegral пфйд gefnnben ift, merben immer bie im vorigen Kapitel entbndelten gormeln zur nähermtgSmeifen йегефпппд fein, ©ie fixtb in ber Slntoenbmtg bequem nnb liefern jebe дешй^ф!е ©enauig* !eit, laffen alfo bie Prüfung bis zu jebem ©rabe ber Schärfe zu; fie bedangen nur, bafś ber integranb aufjer ber SSariabeln x feine miU-ШгИфеп ЗЗиф^аЬеп, fonbern lauter feft beftimmte3uf)len enthalte. ®aS ift aber bei ben meiften ргаШ{феп Aufgaben ber gaü.

Sofungen.

1. я + с; 2.-|-Æa + c; 8. -^#⁴+c; 4.-|-л;в+с; 5.

/* 2 1 / ix~Sdx = — 2#~² -f- c = — -₃ -f c; 7. “ ^5^3 + °*

= -i + c; 6.

8, Ix² dx = ~x² +c = — ]/x*-\- c; 9. |j/æ⁴ + c;

10. 2 l/ж -f c;

11.' 1V^+C; ¹²* IV^+c; 18. 5^+c. 14. gn gig.2 fei unb AD bûê ЭДф[еп!геи5, AD = a, ВС=Ъ, AB=h. $ann ift y = a-{-—- ^ X (2). ©. 16).    F—ax-\-*⁾-—j^xt-\-c SBeil für # = 0 аиф F= 0 ift, fo

= 0 fein, alfo F=x^a-\-    ^

• (Sin $rape£, beffen ©феп!еЦейеп beibe nid)t {еп!геф! ju ben

mup аиф = Ä- ÎL±

о-«

(b—a)x

©runMinien fielen, toirb Ьигф eine beliebige ф(фе in jtoei paffenbe giguren Serlegt. Фег glaĄenin^alt beê Xreiedê ift ein ©pe^ialfall ЬеЗ $rapej*

inïjalteé. 15.3ft n pofitiö, fo teiït bit $urüe y = cx”, ba

Fx =    auê ben Äoorbinaten eines фгег fünfte gebitbete Шеф!*

eci im 2$erïjâltnté l:(n + l). 3fï n negatio unb feinem abfoïuten betrage (3). ©.63) паф Heiner aïs 1, fo bleibt bie§ ©rgebnté ungeänbert, trofcbem bie ®uroe bie Orbinate а(ртр!оЩф berührt (Ф. ©. 65). SUtan erläutere biefen gall Ьигф eine Зе'фкипд unb beute ba§ in ber gorntel auftretenbe negatioe ЯЗог^феп. gür n = — 1 unb SBerte üon n, bie unter — 1 liegen, erhält man feinen епЬНфеп gIäфenin^)a^t. 16. parallele jur £=91ф{е. 17. V = 9,81t; ©erabe Ьигф ben 5lnfangêpunït. 18 (gig. 41). 2)ie SBege s * • */ bie in ben erften 1, 2, 3 • • ©efunben jurütfgelegt toerben,

merben Ьигф bie 3nf)ûïte ber $)reiecfe OlJ., 02 J5,03 (7ufto. bargefteüt;bie* fe finb а^пНф unb begatten рф be^aïb toie bie Ouabrate е^{ргефепЬег ©eiten, alfo

6 Çn/çec)

В,

\a

\b

•t (secï

8fie.4i.

mie Ol²: 02²: 03² • • • Фк Sßcge in ber erften, in ber jmeiten ©efunbe uff. finb Ьигф ЬаЗ Фгекс! 01J. unb bie Фгарс^е 12BA, 2 3CB, 34DC - • • bargeftettt. Фк §öt)en Ol, 12, 23, 34 • • • finb alle gleid) 1, bie gfödjeninljalte alfo numerifd) gïeid) ben Mittellinien a, b, c, d •• •, nnb biefe oetljaïten fid), mie bie gigur unmittelbar jeigt, mie bie ungeraben 3at)len. 19. formel 20 auf ©. 13 unb v = gt folgt v*=2gs. 20. V = c j- Ы ober c — ht. Steigenbe ober faüenbe Qterabe. s = ct-\-\bt* ober s — et — Y&J*.    21. a sin x -f c. ' 22. — Ъ cos x -f c. 23. a sin x —

— bcosæ-fc. 24. a (Sofic+5©inm-f c. 25. a sin a; 4 5 cos a;-|-c. 26. a Sofa; —

— Ъ^ВхпхЛ-с 27. a^lnxA-c. 28. e —,--\-c. 29. 6x — 6 arc sin x + c

ri lna 1 r

ober 6а; 4- 6 arc cos ж-f cr 30. I —f(x)dx= a I f(x)dx. 31. 4e -f

34. x-\-\nx-\-c.

+ c‘

n+¹ „ 35. -|(Фд x— (£tg x) -f c. 36. j -

adx

J Уа*+х*

Summe ber beiben Sntegrale ift J*>in³a; -f sina; сов*a;) dx =J*sin^-f 4-eos²a;)sina;da; =J*iinxdx=* — cosaj-fc.    x— ©in*a;) dx =

*=J*x*dx =y^⁸+ °•    39.^*^c°s²(y) — sin*(|r)"] ^x=J^cosx dx=

»=sina; + c. 40

41

,J'xdx = YX*-\-c;J^xdx =

45.y- 46.8|~ 47.-8-§- 48.    49.Ц- 50.|§ = -§- 51. ®er genaue

«Bert ift

t^(l-\-YQX³)dx = 9f^lo. giir n = l mirb Да; = 3; F₁ = 3,3;

JPj = 22*2; Fm— 12,75. gür n=2 l)at man Ax— 1,5; 2^ = 5,49; ^=14,94; Fm= 10,22; für w = 3 ift Дя = 1; 1^ = 6,6; F₂=12,9; Fm — 9,75; für w = 6 mirb Да; = 0,5; ^ = 7,89; j^₂=ll,04; Fm= 9,47; für n = 12 ift Да; = 0,25; F, = 8,611; Fs= 10,186; Fw= 9,398. $n gig. 42 finb bie SSerte Don n alê ^bf^iffen, bie ^u i^nen gehörigen Söerte Don Flf Ft unb Fm afê Orbinaten eingetragen; bie fo gefunbenen fünfte merben mit bem Æurüenlineat oerbunben. 52. 97аф 6. 20 ift Ft —F[ =

-    [f (b) - f (a)] ; F^ — Fm — F>- ?*±^a , F* "5. Man befta-

w    2    2

tige bie gormeïn burd) bie 8Ф i6f len ber öorigen Aufgabe. 58. Ъ -a = 3; f(p)= 7,4; f(a)=1,1; auâ " i(7,4-l,l) = 0,01 folgt и = 1890.

= Г5* da = ГехТ =

«У    L Jo

е*-1. ¹⁰

54. F

3ft bie TOafjetnljeit ba§ ßentimeter, 8 jo erhält manbtegtadje, inbem matt bie tefcte Orbmate um 1 öecminbert u. bteje ©trecfe j$ur (ÿrunbUnie eineë 4 fRedjtedâ nimmt, beffen §öije 1 cm

= 1 — e

SBemeté burd) differentiation ber Шаттег.

$ljnlid)e Æonftruïtion.

56. lim F= 1 für a = oo. 57. F

'Pt

tft. 55. \-e~xT L Jo

3h0-±*-

41

10 12

a

=Jm (Sof (~) dx = [m* ©in (£)] •

der SBetoeté erfolgt Ьигф differentiation be§ ШатшегаиЗЬгийЗ.

a    a

F= m*

©in =* ~y (e™ - -e m ) * 58. 3^, ba ba§ beftimmte integral auS

bem unbeftimmten entfielt, gig. 43 gibt bie geometrifĄe deutung fur ©afc 1: Фигф ©ummation ber Orbinaten fummieren fid) аиф bie glasen, der ©a& über bie integration einer different unb bie inte= gration eines ^robüfteS mirb gan§ entfyredjenb öeranfdjauttdjt. 59. x möge erft ben Sßert xn, bann ben nur menig größeren xn+l anneïjmen. (£$ ift F{xnJrl) = (xL - a) f (a) -f (xt - xx) f(xt) + • • • + («я+1 - xn) f(xn);

fb

-ju dx

J=f{rź

b

F^Jvdx

a

= vfc.

=TF}

V    b

¹ F^F+F^J(u+v) djc

a

.rfr

a -t- n

a \dx\ -b

* '4xt \ ь

% *

F(xn)=(xl-a)f(a) + (xi-x₁)f(xi)+- ■ • +(xn-xn_l)f{xn_l). S3el ber Subtraction bleibt nur baS legte ©lieb bon -F(#w+1)fteijen; F(xn+1) —

— F(xn) — (xn ! — xn) f (xn) ;

Xn + \~ Xn

fall gel)t bie Summe in baS integral, ber 2)ifferenaenquotient in ben $)iffe*

4ä*c*

F(xn+1)-F(x„) AF ------------------= =nxn)- 3m ©ren^

dF

;    ; F=\R*1C.

m    ³

3 оэ*

rentialquotienten über; = /*(#). 60,F==

2 71

.J^^a'cpdtp^

а*я*. 62.S3ei ber9Ird)iniebifd)enSpirale tote 1⁵:2*:3S ■ • - ,

О

bei ber рагаЬоЩфеп mie l*:2²:3*- •

61

dcp=*

68. F= —• 64. F

2я

J ²<p

Tt

=    n2 = 0,347 а².    66. Ъхг ©фпШРфе Q Ijangt ftetS

диаЬгаН{ф bon bem Slbftanbe x ab. 67. Фег Körper ift ein ^riSmatoib.

M=

' b\d' V= l⁽²ab + ²cd + bc + ad)‘ Шп №eift Icid)t nadk

baß F= hMĄ- ~(a — c) (& — d) ift. 68. Sgeaialfatl ber hörigen Aufgabe. F=-^-(2аЪ + Ъс). 69. §Ше biefe Börger fönnen als befonbere gälte beS

D

^riSmatoibS angefeßen merben. ©S ift nur jn ЬеафСеп, baß bei ber ^qramibe nnb bem ®eget bie eine ©гипЬрфе ипепЬИф flein mirb (g = 0), unb baß man beim Sßlinber, Äegel unb Äegelftumpf einen ®rété als ©ren^ fall eines regelmäßigen SBielecfS bon großer Seiten^aßl auffaffen muß. 3Me Ableitung ber gormeln maфt nur beim $qramibenftumbf 6фпиепд= . feiten, ©ine Seite ber großen ©гипЬрфе G fei a, bie еп^гефепЬе Sette ber Ueinen ©гипЬрфе g fei Ъ, bie beS Sftitte^nittS M fei m. $ann

ift TO = i+i. Sluè bet 9tf)iilid)feitêlefjre folgt £:ÿ = a*:b*;

²    ^ Vg

unb anberfeitë М:д = ±(а + Ъ)г:Ъ*; Jf = |(|+l);

= y(]/^ + V дУ- @egt man bief en Söert in bie $riSmatoibformel etn, fo entfteßt V=^(G -\-}/Gg    g)- 93eim ^egelftumpf ift G = R*ir,

¹

©ine grofte 9tn5at)l bon Aufgaben aus ber ©ifferentiab unb Qntegrab recpung enthält $8. bie born SBerfaffer bearbeitete ©opdefdje Aufgaben = jammlung.

²

®er ^ür§e Çal&er finb Цгх bie Qntegrationêfonflanten fortgelaffen.

³

tßrüfung burd) ©ergteichsfuuftiouen.

b

⁴

©egeben fei j*e{x)dx, e» fei ferner <p(x) eine gunttion, bie für jebett

tBert öon x innerhalb beS gnterüaïïeS a ••• Ъ tteiner fei atS f(x). ©ine jtoeite gunttion Ф(х) fei in bemfetben Bereich ftetS größer at§

д = г*п, V=^(R*-\-Rr + r*). 70. Sie finb Simbfonfфe$öгper. 71. 3)ie

©runbfretSrabien feien r, bie §öße ber §atbfugel, alfo аиф bie ber anbern Körper, gleiфfaas г. Фапп berljaften рф bie ^nßalte, menn man bie Ш^еп*

folge ber Aufgabe augrunbe legt, trie яг⁸:^лг⁸:-|-7гг⁸:-|^r³=l:-§-:-|-:-|-=» *=6:4:3:2. 3pftuber,®ugeiunb$egeloergik!j (фоп ШгфшеЬеЗ. 72. Qnber

S3eieiĄnuug§weije be$ »eifotetó 18 ift M=na^, F= —, V= Mh. S)er ©a$ gilt аиф für ben Äörper, гое1фег аиЗ bem Sftotationäparaboloib Ьигф amei jur ©pmmetrietinie fenîreфte ©beneit 1)егаиЗде{фшиеп mirb.

73.    ЗИап «pit, ba G = g= M = ift, V=~{di + 2D't).

74.    Фег genaue SBert ift \nd*t ber 9Ml)erung$mert ift urn 4*% ju ïlein.

h    h

75. SBa^U man a aur х^Щfe, fo

iftJ*xy dy ~ Ç (a- —~^y) ydy =

h cl 2 Ъ 3 а -|- Ъ

cm. Фег ©фтегрипИ mu& аивегЬет auf ber

(Seraben liegen, bie bie SJtitten ron a unb Ъ Oerbinbet. 76. 9Jłan oerbinbe

ben TOttetyunft be£ ©еф£ес!3 mit ben @den. 8ebe£ Xeilbreted tyat bie Hötye ~|/3 unb ben 51афетп1)а11 ^-j/З; 2lf = 6s²jtj/3 = 32,65s* qcm,

F=^$⁸= 14,14s³ccm. 77.0 = 4л²г2 = 39,48г7; F= 2я*гЧ= 19,74r²Z.

93ei 2lnmenbung ber ©1тр{оп{феп Siegel ift G = g=* 0, ber ЗШйеЦфпШ M=±rnl, F= y7tr²Z = 16,765r*Z. Фег SSert ift offenbar fa^) (ge^ 1er œ 15%); ber Körper erfüllt патИф тф1 bie Slnforberungen, bie mir an bie &иег|фпШе beS ©Ьп^о^феп törperS fteüen müffen. 78. Offenbar ift er auf ber ©çmmetrielinie au {пфеп, fein Slbftanb oom Sftittelpunft fei £. ßaffen mir ben HalblreiS um feinen ФигфтеЯег rotieren, fo ent* fteljt eine ®иде1оЬегЯафе. 3ft ber föugelrabiuS дШф r, fo ift ber 8nl)att biefer ЭШфе паф ber ®и1Ьт{феп Ołegel nr- 2л£, паф gorrnel 42 auf

©eite 36 aber дШф 4nr*. S3eibe 5luêbrütfe müffen д1еЦ fein; £ =— =

n

= 0,6366r 79. SSenbet man ebenfo a*uei Sormeln für ben föugelinljalt an, fo ergibt Яф £ = ~ = 0,4244г. 80. 2)er 9iabiu£ fei r, bie ©el)ne s

unb ber treisbogen Ъ. Sföan laffe bie Dotation um eine Щ\е üuSfüljren, bie Ьигф ben IreiSmittelpunft geïjt unb ber ©eïjne parallel ift. S)er Ш)*

ftanb be$ ©фтегрип^З ront sJOtitteïpunft ift è = ~ =

ber Sentriminïel ift (ogl. Ф. ©. 77). 81. Фег gentriminïeï fei a, feine Halbierungslinie fei bie яг21ф(е. Фег ©фтегрипИ beS 2)reiecîS, те1фе»

2 r sin-?-

, тепп а

buret) jmei SRabten gebilbet mirb, Me mit ber ж=91ф{е ben SBinïet çp unb <t> + <źg> einfd)Ite6en, ift oom TOttefyunït um | r entfernt unb Ijat bie

«bfêiffe x = ²-^089>

/>    О

4- — ' 2

Шд) SormeU6euf©.4liftiJF’= ГtdF-, | • — =

+ “    J

_ /*2r cosqp tr*dcp . . 3    2    ’ ’    2

rb r³ /*

cos cp dtp —

2r³sin-^-

----(£3 ift aber

ö

»i »

2rein ~ = 5, alfo è = Yb' 82e ®r auf ^cr ^mmetr^n'e unb ift

oon ber ©runbpdje ~yu oon bem SĄeitefyimft ^yx entfernt, menu yt

bie §öt;e beâ SfSarabotoibê ift. 83—86. G —g — M, | «£,'«— 87 unb

88. M=~, |, = A. 89. 3iad) Stufe. 69 ift М=1(уо+У~д)г, alfo

è h(G + aÿGg_+ig)_ h(g + 2yGl+ZG)

¹    i(G + VGg + g) ’    4 (* + VGg + G)

oorigen Aufgabe. 91. Q = 2%rx — nx¹ (bgt. 93eiff)iel 16), M —

ê = |n It“T*¹- 92. Q mie in 91; M=nrh-~<,

y- 93. Q = nxt = -xay\ M = —    ; n unb rjx tiatürüd)

mie in Slufg. 82. 94. $ret)t fiĄ bie ®Hipfe ^ = 1 um bie Х=1ф{е, fo ift Ç =    Ж=£яЬ’; l = |a; i, = |a. S3ei ber

dotation um bie ïfeine $ld)fe gelten gang entfprecf)enbe gormeln (93er*

axs,

T~dx =

bx*dx = ^bh* 93gl. SBeifpiel 32. 97. Фег 91bjtanb

• 90. SÿqialfaU ber

h

-f

taufdjung bon b nnb a). 95.SOÎan ïcmn Çier gig. 26 benufcen. J 96 .J

eine£ parallel ftreifen3 bon ber ®ruitb linie a fei x, bie £ôt)e h. Фалп

ift J

h

-f

x1 a ^ ■ - dx = ^afo⁸. 98. 3ôî)ît man x mie borner, fo Çat

о h

T Cl h\* /    a#\ cih³

man J=j {x--} («- -)<** =

__ •    91u3 SBeifjnel 32 folgt апф

36

Js = J— PF. 99. ФаЗ SrâgïjeitSmoment bon F in begug auf bie XMâ))t

( y'(xl-x)dy J yx

Ух

=У У* (#1 - Va у) dy — ^    2/j⁸; l)ot baè 9fto=

ment    V*V

a У dy = \xxyx*. (ШЬе aufammen ergeben natürlich

Ш Xragïjeitémoment be$ SRedjtecfê mit ben ©eiten xx unb yx.) $ie £rag=

ХЛ    *l

ÇeitSmomente in begug auf bie Y=sM)fe finb Jy ==J tfydx^j*

/£ 5    O    S    O

⁼ 6a ⁼ 's'^18yi* ^V =    82^1* ¹⁰°- ®cr Slbftanb eines glâctjenelementeS

non ber neuen ШЭДе ift г = Ухг-\-уг, (omit ift J =J*r*dF=J*\

+J*x²dF=Jx+Jy' 101. ФаЗ (Sefdfjïann afê $reiê!egeï aufgefajjt ioerben,

beffenWjfe fenïred)t fteljt, mit ber ©рфепаф unten. .R fei bei®runb!retérabiu3, H bie §6§e ЬеЗ ифгипдйфеп glüffigïeitêfegeté, q ber OuerfĄnitt ЬеЗ au$* fliefjenben ©iraïjleS, h eine beliebige §ölje (nom tiefften fünfte an дегефпе!), Q ber jugebörige ®еде1диег{фпШ. Hx fei bie §ôï)e be3 ©nbnioeauS. Q ift

je&t nid)t lonftant, fonbern Ąat ben SSert тс(-jr) • toirb (ttjeoretifĄ) в    я _з    /

Г Qdh _ CnR^dh

J qVïgh J

üy    Uy

y'dF+

2яД²

______ / Ą A\

qH'yTg ЬдН'УЪдУн* -Н^У

2

2«Æ»|/g

5q\/2g

вун

= 0,2336 —---

2»Д»_/gT дЛ

ЬдИ*УЧд\    ₂т/

alfo müffen TjT₂ unb Г₃ поф Ьигф у (ft*0,6) bioibiert merben. 102. Ç, ber Виег{фпМ in ber beliebigen §ölje h, ift ein ®reté; fein 9iabiu£ fei q. SEftan finbet фп auê ber ©leMjung g*=h (2r — h). Фапп ift

/ Л_ 4^

h (2 r — h) n d h 4 n r \H ²    Hx /

q У2gli    3q\ïg    bq\/ïg

ber $raj:i§ mu§ man паШгйф bie gefunbenen te поф Ьигф g bioibieren.

a) Г,=

%7tR²yH /

ЬдУЪд

Т*Й’ у' aIï° =

; Тл= 0,1245—Зп ber 'ÿrajië ift

b) T,=

H)-

2я

H² -Hx

!)• 3n

Sft bie Æugel ganj gefüllt, fo ift bie geit bi^ §ur oötligen Leerung T=

16л:г

ХЬдУ g

<феогеН|ф). 104. dA iftauĄ fyierpdv; il

®e

P„vO*

U-L-

ЛЧ*⁻¹

. ©inïjeit cmkg. (S8gl. ^Beifpiel 7 auf

1,013 • 2400

[l — 1,20,41]= — 460 cmkg = — 4,6 mkg.

©.18.) <&ЩШ\\{А=

105.2tu4p₀»₀ = B jT,unbi>0 = -RTfoIgt,ba{j T= ^~ T, = —— • T₀ -^    Po vo Po vo

• T₀ ift. gür uttfere SSertc befommett totr, ba

Vo~k

T₀ = 273°+ 40°= 313° ift, T = 1,2°'⁴¹ • 313 = 337,3. $iefe 3at)t entfernet

Wt

~2Z, ⁺ 6i*

. 108. 3)ie beiben ©trom=

+ 64,3° C. 107. Шф bent ©injdjatten ift i =

TF*tł

/ W/

паф bem Ш$\й)аИт i = Jn —-f —j-¥

flärlen finb jufammen gleich ber ифгйпдйфеп, J. 109. Qn beiben gradert ЬП

fur t = —^уг = 0,693 ^p-sec. 110. a+bx = t, /=

(а + Ьж)”⁺¹

nôon—

b (n + 1)

îneifdiiebenift. Г—--.!ln(a+ftæ)+c. lll.®Stfl/^_ dx

J a + bx b    J (a

+ cf menu

toenn n

non 1 Betrieben ift;./ V(a + bxf dx =

Ъ (n-l)(a-\-bx)

g|/(a + 6a:)p+ł ⁼ b (p + q)

M ». »/^r+V=_ïT5+c;/*

= ||/(i+a:)4c; fÿl-xdx=-% |/(l-æ)s+c; ^^==2f/ï+i-f.c;

/ _j£_ ₌ — 2~|/ï — a; + c, ujtn. 112. 4 + 7a:’=2/; 21a:*rfa: = dy, alfo Л¹-*

+ c. Фигф ©peaiattfierung ber SBerte a, b unb n ergibt

dx

(1 - x)*

J =■Ji~=‘\nf(x)+c. 114.f(x)=y; j=J'/dy = i[f(x)Y + c- H». J= — I -⁸—- dx——lncosæ-f c. ©pe^ialfad ôon 113 für f(x) — cosa;. 116. J=

j COSÆ

-S

cos а; sina;

daj=lnsina; + c; f(x) = sina;. 117, J

⁼ftofxdx^lnmx+C-

118. /

-f

Soja; (Sina; sin 2 a;

dx— ln©ina;+c. 110. J

-f-

— cos 2 a;

dx\ 2x = t\

j    , -w- X . sin 2 X ,

dx\ 2 x—t\J= — Ą-----hc.

_ f*l + cos 2 a?

~j >

'-s-

121. x*=t; xdx = \dt\ /=ya²-f a;²-f c. 122. аз²= ż, <7= —Уа² —аз²+с. 123. x = at; J= arcsin -f c- 124. a²-f a:²= £²—2ta-f #²; l)ierait§ folgt

d£. 2)aa²=ź²—2 £a;ift, fo ergibt fid) d a;=

+ c. 120. J

t*-a*

2t *

t~X r =—J

»gl. Some! 14.

125. J= -L Г

VcJ

X *=

da=

<*+as

2£²

dx

2£²— 2£a;

2 £²

d t=

f*dt

= / — = ln И-с= ln (а;+Уа²+а;²)-|-с.

/гг/

dx

=» -4= arc sin

X--

6²

+ <?t. »gl. «fafg. 123.

7*.

126. J

=4= f

vJ

dx

y(HD+W)

1.    , b , i / a . 2 bx . , ,

Г^1п*+7+У7⁺Т+а: +c-

»gl 5lufQ. 124. hierfür !ann man аиф fĄreiben: J=~lĄcx-\-b +

}/c L

2 аЛ

+ Ус ya + 2ôa; + ca;²J+c8/mcnnc,=c₁—127. F=J*ydx. (£3ift

o

y = a (1 — cos g>);

X = a (g> — sin g>),

2Л

alfo dx = a(l — cosg?) dtp;

~/-⁽¹

O

— cosgp)² dg?

-4‘

0

— 2cos<p -f cos²g?) dg> = Зла². ФаЗ

OteĄtedf, ше!феЗ ben Styfloiben^meig umfdjüefjt, miïb Ьигф iljn im »er*

2ал

Çftltniâ 3:1 geteilt. 128. L

4У<гЭ'^й-‘‘4У‘+(й)'-

о

2 7t

-; dx = 2 a sin* ^rd<p\ L= 12asin-^dy = 4a — cos —    = 8 a.

sin —    ²    J    2    L    2J°

129.гс=а(созф-{-фзт 9);2/=a(sinqp—qpcosqp);

■/«

0

a cp d cp —    180.te,=sl, w=#,t?=lna?.

c • i eto=ec(ln#—l)+e;. 181. «7= у (Ina;—i)+c. 132. /=

(¹^-,4-т) ⁺

⁼ côsÿ; dx = a<pcoupd<p; i=

c. 133. ur=u = ex;v = x²;J—ex*xi—^J*2xexdx.

_a:n + 1 ^ —}“ 1

@опййрпафШ{рШ2Ьаё^едга№=егс-я²-2еж(л:— l)^c=e*(æ²--2#-f2)-fc. 134. Фигф partielle integration toirb её auf^¹ e^^^^urüÆgefüÇrt nfto.

-< о

= i;*>—*

135. f=-    -

'“8‘

7Ï

У ² sin x dx

«-/

о

136. J

klammern fontmen aujjer е^афегеп ШеЬеш folgenbe Seilintegrale üor :

l.J^cpcoacpdcp = co8cp-\-cpsmcp;2.^J*cpcosicpdcp = j*p.

dcp-»

= ^ 4“-(соз2ф4-2ф8т2ф); 3.^J*smcpcoscpdcp—~^ńn2cpdcp=—Jcoe 2ф;

4. J*dn ф cos* cp dcp — — cos⁸cp (Ьигф bie ©ubftitution t = cos cp). Sie integrationëtonftanten finb niфt aufgefü^rt, toeil fie ^ier ппШе{епШф finb. SQfarn finbet | = a (^ +    = ¹/854ai r3⁼⁼    138.    ;

1 -j- cos 2ф

dx

{x — a) (x + a) x — a x + ai

(x — a) (x-\-a) Px-\-Pa-\-Qx-Qa = 1; P-f Ç = 0;

Pa-Ça = l,aïfoP=~, Q = -^-, J=^\n(x-a)-^ln(x+a)+c=?

1. (x~a\ 1Qq г i Г ж + ³ л ж + ³ P i Q 2л1п* ~~ ³ J х³-\-Зх + 2 Х'х*+Зх-\-2 х-\-1^х-\-%' man finbetP=2, Q = — 1, Р=4[21п(я+1)—1п(ж+2)]+с. 140. a =

ß=i,J=it/[“⁵'ł+~|]da:=łlnM+łlnM+«- Ui..T=ą\nx+

^    In (ж+5)+с. 148. ./=

+mln(аг—a)+c. 144. / = arctg ^ -\-c. 145. J=x⁵ée— 5 j*x*exdx uff.;

+ fln(#-7). 142. J =

+ -—]^ =

X — CCJ

w -f wi cc

(x — cc)

(Snbexgebnté: J=e*(x⁶— 5ж⁴ + 20ж⁸ —

— 60гс*+120л; —120) +c. 146. J= —4sina;cosaj + £a;4-c (öQl- 2hifg. 119). 147. J— — у sin² x cos x — -д-cos x 4- c. 148, J= — -jsmsx cos x —

sin x cos x

-f у я 4 c. 150. J= 4 cos *x sinaH-cos x

—-|-sina;cosa;-|-|-a;+c. 149. J=

4-f-sinæ4-c. 151.-|-cos⁸a:sinaH-y sina;cosa;4--§-#-| c. 152. J=—

³ sin⁸a; sin x (sin² x 4- cos²a:)

sin x

co.^ +***+*-*[

4-2 tga; 4-с = Ц tg³x4-tgx + 2tgx\ + c = tgx-f Jtg⁸a: + c. 2)iefegox=

- |ctgx + c.

153. J=i

mel mixb bei ber ЯЗехефтшд рахаЬоЩфех Æometenbaljnen деЬхаиф!.

(n — l)(n — 3) « » » 3 « 1 я n(n — 2). • .4 • 2

•    155. 2ftan exïjâït biefelben SSexte.

154. 3ft n gexabe, fo mixb J=

(n — 1) (n — 3) « « « 4 » 2 n • (n — 2) • • • 5 • 3

157.^LP=2/=rlntg^4-|-^; AQ=rtgcp. (Sntmttfeftntan beibe2lu3bxücfe паф bex 9ïïac £аихт{феп goxmel (2). ©. 62), fo exgibt fid) untex ЯЗехпаф* läffigung bex (ШеЬех tmn 9s an: J.P = r (ф+у ф⁸);    = r (ф4"уф⁸)*

• — ; ift n ungexabe,

fo mixb P=

æ²

ж⁸

158. J= Inx+x+^Yi + з“з"1 H-----hc (8ntegxaïïogaxitî)mu£). 159. J=x—

я⁸

л⁴

я²

4-----fc(5ntegratfinu3). 160.Р=1пж-^-2| +

(Sntegxaïcofmuê). 161. J=c+xf(o)+ y/T(o)+

162.J=c+^(a)+4V(a)+3^Tr(a)+^lr(a)+vl63.J'=[c+a:+

+ y (1 — fe²) + ^(3-2Æî-l:⁴)]i = 0,2526ll. 164. 91аф formel 53 ftnb

J°    7*

3-31    5-51

Xs

3-21

rm

4-41

Xi

4-3!

bie SMperungSfeerte 0,9481; 0,9871; 0,994В; 0,9986; formel 64 liefert 1,1107; 1,0262; 1,0116; 1,0029. Фа bic ®uröe ftetS îonoej ift, jo ift bte (Summe bet (Seljnentrapege ftetS gu Kein, bte ber Sangententrapege fteté gu grofc. gntereffant ift eine дгарЭДфе Sarftellung ber Ünnätjerung toie in 2lufg. 51. 93eint Sftittelneljmen Bereinige man SiaÇerungêmerte, bie ber gleichen Slngaljl bon Seilinterbatlen entfpreĄen. 165. 37аф formet 63 finb bie 97al)ermtg3raerte 11,8295; 10,4882; 10,2268; 10,0700; паф gormel54 finb fie 7,0572; 9,1370; 9,6123; 9,9143. Ser genaue SBert ift 10,0179. Sie $urbe ift ftetS ïontab, baljer SCnnaïjerung einmal bon oben, bann bon

7

unten.

d x

166.Skifpiel:ln7=»l —. 2ttan ermatt паф gormel53 ben SSertl,9743,

i

паф 54 ergibt рф 1,8968. Sie genaue 3al)l ift 1,9459. 167. F₆ -= ^[уа+У₆+²(У1+У₈+!/8+г/4)]- neue Drbinate jroi^cn yaunb y, 1eł Vo.KÏ зИФеп y, unb уг liege yl5 u(f. « ift jefct = 10; Ftt -

=    \ya +2lb+ ²(Уо,5 + Ух + У i fi-+ У» + У2,5 + У» + У s, 5 + 2/. + 2/4,5)] =

Ъ—а

20 [2/a+2/(,+²(2/i+2/t+2/:!+2/i)+²(2/o,5+2/i,5+2/j,5+2/3,5+2/4,5)]⁼£^s+

+    (Уо,5+2/1,5+2/j,5+У86+2/4,б)- 2fttgememiftFln=|F+

menu unter ЬепФгдреп 77 bie neu е1пде(фаШеп Orbinaten berftanben merben. 168. F — 0,38876. Ser geiler ift 0,00394^5 1%.    169. X= 1,2111.

170. 1,00228; 1,00013; für w = 6 unb n = 12 ift bie Slbmeütjung öon 1 mit fünffteüigen Safeln ntö)t meljr gu ermitteln, ein Sktoeté für bie bor= ^йдИфе ©enauigteit ber (£итрр>п5феп Siegel. 171. 10,2387; 10,0344₆;

10,0213; 10,0181. (Kroge (Keuauigteit. 172.1,9485. 173. em30°=ain

güljrt man 10 Seilinterbatle ein, fo ergibt

л    r dx

ol|o- = arcBmJ=j^=.

0

рф ä = 3,141600 (genauer SBert 3,141592. -.). SlnbereS Skrfaljren:

1 -\-x%

% = 4arc tg 1 = 4 Ç ^x

V

xn

174. J

*=/^~F[ÿ*'+ *+⁴(y*’+2/«"+⁻ ' ’2/n—1)+²(2/i’+ 2/.' + 'Vn— s)] 0

*л

JS~j*a■*»«.« ^5 [*»’У*+ ⁴ (‘ Vi + ³'2/b+ • • • + (n - l)⁸ yn_i) 4-

+ ² (²*2/j t ⁴²2/« + •••(»»- 2)*y„_,)]> 175. /=2. 176./=2,381. 177.2,828. 178.[lnæ]J= cx>; in bcr RäherungS*

mennn

formel 56 biüergierenbte Reihen. 179. F

tttdjt gleich — 1 ift. (Sßgl. formet 1 unb 2 auf 6. 8.) gür bie obere ©ren^e er? Ratten mir bann ftefê ben епЬПфеп 2Bert    3ft n größer als — 1,

fo ift xn + l fur X = 0 ebenfalls gleich O, bie glaĄe епЬИф. 3ft n ïleiner als — 1, jo toirb xn+1 ипепЬИф, bie glaĄe аиф. gûr n = — l gibt 5lufg. 178 bie Rnttoort. 180. Фаз gnterbatl bon a bis b mirb ttneber in brei £eile ^erlegt, bie Reihenfolge ber Drbinaten fei ya, mlt yx. Qefct mirb ber Raum ^mijĄen yx unb yb gebrittelt (yx, wt,, yt) uff. 9Ran errait biejelbe gorrnel, nur mug yb Ьигф ya erjefct merben. 181. /=1,4142. 182. /=1,5708.

183. /= cx>. 184. 3n /

b

=J*ydx merbe bergntegranb füï£c=*

а ипепЬИф

a

grog. sJRan jte^c bie Drbinate , ше1фе baS gnterbatl a • • • b in xx halbiert, bann bie Orbinate, те1фе in xt baS gnterbatl a • • • xx halbiert ujf. 3)ie Rntoen*

ь

bung ber @ehnen=Xrabe$regel liefert bie gormel j*ydx    ³ (\У\ +

+T^+i&+ ••*)]• ¹⁸⁵‘ ^an tciIt ш Snteroall fo mie in gig. 89

b

-^+|y4 • •    186. gur nal)etung3=

unb belommt

tj*ydxz&2(b-a)(^-\-

(l    00 v    CO

tneifeu Seredfnung fefce man ettnaj'=j'f J*• S9tad)t man im elften integral

tit

187. «Г=оо

n=S, fo liefert bie ©impfonfdje 9teget ben StS^erungStoert 0,4455 (genauer betrag 0,4444). 3m ^weiten Sntegral fei h = {, StffljerungStoert 0,0561 (genau 0,0556).    0,5016, J =[-^r»] =0,5.

188. J= 0,21344. 189. J= 1,64493. (gür «eine SBerte Bon ж ift -

tx -1

—• Pt æ = 0 mirb alfo ber ptegranb gteiĄ 1.)

*⁺т ¹⁺¹    гва,+Т

190. «7= 1,0262. 191. J = 3,1416.    192. F=[ ^ j . n mufs unter

— 1 liegen. $ie SRSIjenmgêformeln lehren baêjetbe. 193. g-ür a = 0, b =2,

~**dxSÖ 0,88207;mit A

w=8 erhalt man I e

6

со

= 0,6 mirb f*£30,00449,

0,88656 (genauer SBert 0,88623).    194. ©efct man kx=*y, fo mirb

dy, baê integral ift fomit auf ba$ ber hörigen Aufgabe aurücfs

j'ïf

о

geführt. ©3 foielt in ber ШЭДфетИфШёгефпипд, ber ïinettfàen teorie

-y²

ber ®afe unb anberen ©ebieten eine grofce Oioïïe. 195.

%

I ydx

b

mirb ers

mitteït, inbem man bon 6 auê bit beliebige (Strecïe h abträgt, bon beren ©nbpunït 2h, bann 4h ufm. $ie entfpreĄenben Drbinaten feien ybf yu

ce

yif У» * • * ^nmenbung ber Seinen « ïrapegregel

liefert J*ydx&id

jj/₆ + ⁸(2/i + ²2/* + ⁴2/s * * )J- 196. ^tanteittbaêSnterbalI mieingtg.40

j t/dææ26(mt+2m,-f 4m₈+8m₄-f •. •). 197.    + i

ex4xtt

« + J.r⁸unb uicbt l + x*. ®ie formel ift fatfĄ, entftanben Ьигф SBer* meĄfelung mitj*exdx = ex. 198.

fatnmenftetomg a = 1, /5 = 0, a = 0, 6 = 0 eignet fidj тф1, bagegen a = 2, /5 = 1, a — 1, 6 = 0, ober a = /5=1, a — 1, 6 = 1; ober a = 0, /5 = 1, « = 5 = 0; ober a = 1, /5 = 0, a = 2, 6 = 3 uff. $ie prntel toirb ftetS aïâ пфНд befunben. SBetreiê Ьигф ^artialbruĄ^erteguug. 200. x ift Çier

Rrf l — xs. JPdx — ^x⁴, mâïjrenb

i + x*

= 1п(1+ж³). 199. Sie fbe^iette 8^

■S\

1 • dx    Г    ll

ftetè ein ed)ter ЯЗгиф; «7"ift Heiner afê / —== = arc sina; = 1,67 •.. i    J ]/1-æ! l    Л

größer aïê j*xdx~\. Фег angegebene Sßert ift falfĄ, ber ma^re ift 1. о    -

unb

ч . == Die angegebenen Preise    .........■..........-r

sind Grundpreise, auf die ein den jeweiligen Herstellungs- und allgemeinen Unkosten entsprechender Zuschlag (August 1922: 1500%, Schulbücher mit * bezeichnet 900%) berechnet wird. Nur durch diese im geschäftlichen Verkehr sonst auch allgemein übliche Berechnung ist es möglich, den durch die fortschreitende Teue-__rung bedingten Preisänderungen zu folgen.

Von Studienrat Dr. M. Lindów erschien ferner: Differentialrechnung. Unter Berücksichtigung der praktischen Anwend, in der Technik mit zahlr. Beisp. u. Aufgab. versehen 4. Aufl. Mit 50 Fig. i.Text u. î6i Aufg. [VI U.97S.] 8. 1922. (ANUG387.) Kart. M. 2.35, geb.M.3.—

(Techn. Mitteil. u. Nachr.)

„... Der Verfasser hat es verstanden, in kurz gedrängtem Raume uns ein überaus klares Bild von dem Wesen der Differential- und Integralrechnung zu geben, und bringt vor allem auch eine große Menge Beispiele aus den verschiedensten Gebieten der Technik, wodurch das Buch besonders für den Praktiker wertvoll wird.“

Differentialgleichungen. Unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlr. Beisp. u. Aufg. vers. Mit 38 Fig. im Text u. 160 Aufg. [106S.] 9. 1921. (ANuG Bd. 589.) Kart. M. 2.35, geb.M.3.—

Als Ergänzung zu den beiden bereits in 3. und 4. Auflage erschienenen Bänden Differential-und Integralrechnung des gleichen Verfassers will der vorliegende gleichfalls an der Hand von praktischen Beispielen und Aufgaben in die Rechnungsart einführen, die der mathematischen Untersuchung der Bewegungsvorgänge dient.

Einführung in die Infinitesimalrechnung.Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat amGymnas.zumHeil. Kreuz in Dresden. Bd.I: Die Differentialrechnung. 2. Aufl. Mit i Porträttaf., vielen Beisp. u. Aufgab. u. 33 Fig. i.T. [IVU.52S.] 8. 1920. Bd.II: Die Integralrechnung. 2. Aufl. Mit I Porträttaf., 35 Beisp. u. Aufgaben u. mit 9 Fig. im Text. [50 S.] 8. 1921. (Math. Phys. Bibi. 9 u. 41.) Kart, je M. 18.—

„Eine methodisch ganz vorzügliche, ausführliche und klare Einführung, die in ihrer Eigen art den erfahrenen Schulmann verrät.“    (Natur und Unterricht)

Differential- und Integralrechnung. Von Dr. L. Bieberbach, Prof, an der Univ. Berlin. I. Differentialrechnung. 2., verm. u. verb. Aufl. Mit 34 Fig. [VI u. 132 S.] 8. Kart. M. 4.50 II. Integralrechnung. Mit 25 Fig. [VI u. 142 S.] (Teubners technische Leitfäden, 4 u. 5.) Kart. M. 5.—

Der Gegenstand der einführenden UniversitätsVorlesung über Differential- und Integralrechnung wird hier in knapper, aber leichtfaßlicher Form dargestellt. Die geometrischen Anwendungen sind überall in gehöriger Weise berücksichtigt.

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer Anwendungen. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Prof, an der Techn Hochsch. Braunschweig, gr.8. I.Bd.: Differentialrechnung. 2.U.3. Aufl. Mit i29ind.Text gedr. Fig., i Samml.v.253Aufg. u. 1 Formeltab. [XII u.388 S.] 1921 .II. Bd. : Integralrechnung. 2.u.3.Aufl. Mit 100 in d.Text gedr.Fig., 1 Samml.von 242Aufgaben u. i Formeltabelle. [IV u. 406 S.] 1921. Geh. je M. 20.—, geb. je M. 24.—

Das Problem des Unterrichts in den Grundlagen der höheren Mathematik an den Tech-i nischen Hochschulen ist seit mehr als zwei Jahrzehnten nicht nur wiederholt besprochen und in Monographien behandelt, sondern hat auch die Gestaltung der neueren Lehrbuchliteratur wesentlich beeinflußt. Auch das vorliegende Lehrbuch ist aus dieser Bewegung hervorgewachsen.

II. Band:

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Ursprünglich Übersetzung des Lehrbuches von J. A. Serret, seit der 3. Aufl. gänzlich neu bearbeitet von Geh. Reg.-Rat Dr. G. Scheffers, Prof, an der Techn. Hochschule Berlin, gr. 8. I. Band: Differentialrechnung. 6. u. 7. Aufl. Mit 70 Fig. [XVI u. 670 S.] 1915. Geh. M. 12.60, geb. M. 15.— Integralrechnung. 6.u.7. Aufl. Mit 108 Fig. [XIIU.612S.] 1921. Geh.M. 13.40, geb. M. 16.— III. Band: Differentialgleichungen und Variationsrechnungen. 4. u. 5. Aufl. Mit 64 Fig. [XIV u. 735 S.] 1914. Geh. M. 13.40, geb. M. 16.—

„Die rasche Aufeinanderfolge der Auflagen spricht zur Genüge für die Güte des Buches, das auch wegen der Reichhaltigkeit des Stoffes und der leicht faßlichen Darstellung Lehrenden und Lernenden aufs wärmste empfohlen werden kann.“ (Archiv der Mathematik u. Physik.)

■■ - == Die angegebenen Preise ;..    -.:,■.    —=

sind Grundpreise, auf die ein den jeweiligen Herstellungs- und allgemeinen Unkosten entsprechender Zuschlag (August 1922: 1500%, Schulbücher mit * bezeichnet 900%) berechnet wird. Nur durch diese im geschäftlichen Verkehr sonst auch allgemein übliche Berechnung ist es möglich, den durch die fortschreitende Teuerung bedingten Preisänderungen zu folgen.

Teubners Technische Leitfäden

Die Leitfäden wollen zunächst dem Studierenden, dann aber auch dem Praktiker ln knapper, wissenschaftlich einwandfreier und zugleich übersichtlicher Form das Wesentliche des Tatsachenmaterials an die Hand geben, das die Grundlage seiner theoretischen Ausbildung und praktischen Tätigkeit bildet. Sie wollen ihm diese erleichtern und ihm die Anschaffung umfänglicher und kostspieliger Handbücher ersparen. Auf klare Gliederung des Stoffes auch in der äußeren Form der Anordnung wie auf seine Veranschaulichung durch einwandfrei ausgeführte Zeichnungen wird besonderer Wert gelegt. — Die einzelnen Bände, für die vom Verlag die ersten Vertreter der verschiedenen Fachgebiete gewonnen werden konnten, erscheinen in rascher Folge. Bisher sind erschienen bzw. unter der Presse: Analytische Geometrie. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschw. 2. Aufl. M. 96 Fig. VI u. 125 S. (Bd. 1.) M. 4.50. Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Pn f. an der Eidgen. Techn. Hochschule zu Zürich. Bd. I. Mit 134Fig.u. 100 Übungsangaben. 1922. (Bd.2.) M. 3.50

arstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prof. a. d. Eidgen. Techn. Hochsch.z. Zürich Bd.II.2.,umg.Aufl. Mit 144 Fig. [VI u. 154S.J 1921. (Bd.3.)Kart. M.5.-ifferential- und Integralrechnung. Von Dr. L. Bieberbach, Prof. a. d. Universität Berlin. I. Differentialrechnung. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 34 Fig. [VI u. 132 S.) 1922 (Bd. 4.) Kart. M. 4 50. 11. Integralrechnung. Mit 25 Fig. [VI u. 142 S ] 1918. (Bd. 5.) Kart. M. 5.-Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate und ihrer Anwendung auf Physik, Maschinenbau, Elektrotechnik u. Geodäsie. Von Ingenieur K. Happach, Charlottenburg. (Bd. 18).

Funktionentheorie. Von Dr. L. Bieberbach, Prcf. an der Universität Berlin.

Mit 80 Fig. [IV u. 118 S.[ 1922. (Bd. 14.) Kart. M. 4.50 Einführung in die Vektoranalysis. Mit Anwendungen auf die mathemat. Physik. Von Prof. Dr. R. Gans, Dir. des physikalischen Instituts der Univers. La Plata. 4.АП. M.39 Fig. [VI U.118S] gr.8. 1921. (Bd.16.) Geh M.5.50, geb. M.7 50 Praktische A stron omie. Geograph. Orts-u.Zeitbest. Von V.Theimer, Adjunkt a. d. Montan. Hochsch. zu Leoben. Mit 62 Fig. [IV u. 127S.[ 1921. (Bd. 13.) Kart. M.4.50 Feldbuch ftirgeodätische Praktika Nebst Zusammenstellung d. wichtigsten Meth. u. Regeln sowie ausgef. Musterbeispielen. V.Dr.-Ing О Israel, Prof a. d. Techn. Hochsch. in Dresden. Mit 46 Fig. [IV u. 160 S.] 1920. (Bd. 11.) M. 5.50 Grundzüge der Festigkeitslehre. Von Geh. Hofrat Dr. phil. Dr. Ing. A. Föppl, Professor a. d. Techn. Hochschule in München. (Bd. 17.) [Unter der Presse 1922.] Srdbau, Stollen- und Tunnelbau. Von Dipl.-lng. A. Birk, Prof. a. d. Techn.

Hochschule zu Prag. Mit 110 Abb. [V u. 117 S.] 1920. (Bd. 7.) Kart. M. 4 50 Landstraßenbau einschl.Trassieren. V. Oberbaurat W. Eu tin g, Stuttgart. Mit 54 Abb. i. Text u. a. 2 Taf. [IV u. 100 S.) 1920. (Bd. 9.) Kart. M. 4.-GrundrißderHydraulik. Von Hofrat Dr. Ph. Förch heim er, Prof. a. d. Techn.

Hochschule in Wien. Mit 114 Fig, im Text. [Vu. 118 S.] 1920. (Bd. 8.) M. 4.— Hochbau in Stein. Von Geh. Baurat H. W alb e, Prof. a. d. Techn. Hochschule zu Darmstadt. Mit 302 Fig. im Text. |VI u. 110 S.] 1920. (Bd. 10.) Kart. M. 4.50 Leitfaden der Baustoffkunde. Von Geheimrat Dr.-Ing. M. Foerster, Prof, an d. Techn. Hochsch. i. Dresden. M. 57 Abb. i. T. [Vu. 220 S.] 1922. (Bd. 15.) M. 7.4C Veranschlagen, Bauleitung, Baupolizei, Heimatschutzgesetze Von Stadtbaur. Fr. Schultz, Bielefeld. Mit3Taf. [IVu. 150S.] 1921. (Bd 12.) Kart.M.5.— Mechanische Technologie. Von Dr.R.Escher, weil.Professor an der Eidgenössischen Technischen Hochschule zu Zürich. Mit 418 Abb. im Text. 2. Aufl. [VI u 164 S.J 1921. (Bd. 6.) Kart. M. 5 50

=г.^т——,■■ .■ -rr-r.== Die oitoegebenenptclte-—-- -    =

flttb (Bruitbpreife, ouf bie ein ben jeweiligen tjerfieHungs* (CEmfeonb--) unb allgemeinen Unftojten entfpredienber 3ufdilag (ftuguft 1922: 1100%, Sd)ulbtid)er mit * be3eid)net 700 %) beredetet wirb, tîur burd) biefe im gefdiäftttdjen üerfteijr fonft audi allgemein tiblidje Berechnung ift es möglich, ben burd) bie fortfdjreitenbe Neuerung bebingten preisänberungen зи folgen.

Xeubners

geben га(ф unb juoerläffig Jiusfunft auf jebem 6pe?ialgebiete unb laffen ПФ je паф ben 3ntereffen unb ben Mitteln be$ einzelnen паф unb паф )\i einer (£n?ijElopäbie aller ^Biffenojweige ermeiiern.

„7Ш1 biefen Meinen ^офшоПаЬйфегп bat bet T3etlag Śeubnet roiebet einen febr дШсШфеп ©tiff flétan. ©ie etfe&en 1аНафНф fût фге ©onbergebiete ein Kom>etfationsie?i!on unb œetben geœtj) großen Entlang finben.“    (Die *ÏBarle.)

„TBer ift jefjt in bet £age, teuere 7?аф[ф(адеЬифег ?u taufen? *ÎX?ieoicle aus ben Reiben bet 03о1ЕзЬоф[фи1Ье1ифсс oerlangen паф £)апЬшфипдеп, bie bas ©tubiurn bet Tîatur* unb <SVetftesrDiffenfd>aftcn еипбдИфеп. Die (Srflätungen finb (афИф ?utreffenb unb fo tut? als шбдИф gegeben, bas ©ргафЦфе ift дгипЬНф erfaßt, bas 'ЯЭДепШфе berü<ffi4>tigt. Die Вйфег finb eine дШсШфе Ctgän?ung bet ВЗпЬфеп „31us 'îlatut unb ©eiftesroelt“ bes gleiten 73erlags. ©elbftoetftänbl^ ift bem neueften ©tanbe bet 'НМе^фо^ 'Лефпипд getragen.“    (Pädagog. iArbettsgcmetnfdmtt.)

„Diefe ЬапЬПфеп 31аф1ф1адеЬйфег bieten паф Sorm unb 3nbalt 'Borjüglidies unb œetben РФ, œie ?u etœatten ftebt, in unfeten 'ВоИвЬифешеп 1фпе11 einbürgern.“

(Blätter für Boirsbibiiatyceen.]

Heine ^афшоНесЬйфес

Bisbet ег{ф1епеп:

PÜ t lofop^tf фез^Вог t er Ьиф. 3.mfl.<B.Stubienrat Dr.p.X bormefjer. (Sb. 4.) (U. b. Pr. 22.)

Р?!)фо1о0|?фе* Юбг*есЪиф non Prioatbojent Dr. Stify ©iefe. Ш 60 5ig. (Sb. 7.) Ж 5.40

Wörter Ьиф }ut beutfdfen Eitevatut oon 6tubienrat Dr. CHöbt. (Sb. 14.) Ж 6.—

^ÏÏluftialifÿes Wörter Ьиф oon Prioatbo?. Dr. $. $. 7ÏÏ о f er. (Sb. 12.) *TBörterbud) ?ur fi>unftgefd)td)te oon Dr. Ç. V о lim er. Pbyfiïalifebes Wöttetbucfy von Prof.Dr.©.Sernbt. QHit 81 <£ig. (Sb. 5.) Ж 6,—

*<£фет{?фев ТВо^егЬиф oon Prfoaibojenl Dr.Ç.Tîemt). (Sb.io.) * Л ftronomt^cö^brtcrЬиф о. Obferoator Dr.Ç/П a u m a n n. (Sb. 11.) веоЬд1?ф»ш1пега!1од|{фе0 TB Örter Ьиф oon Dr. <£. Ж @фт*М.

они 211 ть. (Sb.ó.)mó.—

©cograpl)tfd)C0 ТВо^егЬиф oon Prof. Dr. O. Kenbe. I. ЗШдет. (£rbfunbe. ГШИ 81 Ш. (Sb. 8.) Ж 6.-. *11. ШПегЬиф ber Êanber* unb ХШффаМипЬе. (Sb. 13.)

Зоо1од1$фео ТВо^егЬиф oon Фи. Dr. Х|). KnottnerussTHeîfer. (Sb. 2.) Ж 5.40

Botanice* ТВог1егЬиф oon Dr. O. ©er!e. THit ЮЗЭДЬ. (Sb.l.) Ж 5.40

Юо^еоЬиф 5ct ‘îBarenCunbe oon Prof. Dr. Ж Piet(ф. (Sb. з.) Ж 6.—

Çanbelôujôrferbucf) oon öanbe^ulbir. Dr. S. ©ittel u. Chifltyraf Dr.TU. 6trauÇ. Зugle^ф fünffprad)iges <ВЗог(егЬиф, ^ufammengeftelU oon S. !Ârmf>aus, oerpfl. 'Dolmetfфer. (Sb. 9.) Ж 6.—

* in 'Botbetemmg b?œ. unter bet Pteffe (J922)

c)3er(ag oon B. &. Xeubnec in £eip?ig unb Betiin

N VIII. 22

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'S erlag t>on S.O.Xeubner in £etpjig unb Scrlin

§-S6

S, 61

Pie angegebenen greife •■---.—    .=^

finb (Brunbpreife, auf bie ein ben iemeiligen Iferfteüungs: (Œinbanb*) unb allgemeinen Unftoften entfprechenber 3ufctilag (Bugu ft 1922: 1100%, Schulbücher mit * be3eidmet 700%) beregnet rairb. nur Ьигф biefe im gefchäftlichen üerbeht fonft auch allgemein übliche Berechnung fît es möglich, ben burch bie fortf<hreitenbe {Teuerung bebingte« preisänberungen зи folgen.

Xeubiters

3iaftirwiffenf4>afftt4>e Btbliof^el

Serie A. §ür eifere Schüler, Stubierenbe unb Hafurfreunbe

Alle Bänbe finb r<Iф illufttiett unb gefcbmactooll gebunben

©rofte Pbpffeer. T3on 0o(). Kefetfleln. Geologie* TBanberbud). Bon Я. ©.

THU J2 Bilbniffen......Ж 4.50 Bolt. 2 Seile. I.2.mufl. QKit20J mbb.u.

ЮрНШЦфев <Ejepedmcnti«tbud). T3on lOtiennctumielaid. Же.-. II. 2. îlufl. 8. Ot е Ь е n ft о t f f. 3n 2 Stilen. I. Itil. Ж1 jafik. îtbb. (U. i>. Pt. 22.J 2. mufï. THU 99 mbbilbungen Ж 6.— Grefte Geographen. Bilbet aus bet ©e-II. Seil. THU 67 mbbilbungen . Ж 4.50 fd)id>te bet (Jtblunbe. Bon §, fiampe. THU СЬстЦфе» Сгреп'тепНегЬиф. Bon Я. 6Potttäts, 4 mbb. и. Kattcnf!l??e. Ж 5.50

Betg. 2. Äufl. mt 2)2 mbb. Ж 5.50

©фе!Ь. дп 2 Seilen. I. Sell. 4. mufl. ©cograpbtfcbeo ТВапЬегЬиф. Bon m. THU 77 mbbilbungen. Ж 4.50. II. Seil. ⁹«wnvwuat.

2. Л u fl. THU 51 mbbilbungen . Ж 5.—    _ л ....    _ л

Яп ber ÎBetfbanf. Tîon 5. © ( é е i Ы « n.    в® вР||Т‘та»

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Tlom (Einbaum ?um £lmenfd)iff. ©tteif-?üge auf bem ©ebicte bet ©ФШаЬи unb bes Mnfere $rühlingopflan?en. Bon 5 t» ©eetoefens. Bon Я. Я ab un?. THU 90 mb-    Ь 5cf. THU 76 mbbilbungen . . Ж 3.—

btlbungen..........TH. з.— <gtofte Biologen. Bilbet aus bet ©е7ф1фсе

Gie £uf tfdbiffabrt. Bon Я. В l m f ü b t. bet Biologie. Bon TB. TH a if. THit 2t Bilb-

THU 99 mbbilbungen.....TH. 3.— niffen

maвЬem£uftmcer.BonЖ©affenfelb. ВЫодНфев ©tpcrimeni/crbud). mn-

THU 40 mbbilbungen.....Ж 3.— ïdtung ?um felbftänbtgen ©tubium bet

$1тте!*ЬсоЬаф tung mitbloftem Лиде.    £еЬеп$е1|ф«пипдеп fût тдепЬИфе Batut-

Bon 5.01 ufф. 2. mufl. THit 30 §iguten    freunbe. Bon <S. ©фäffet. Ж1 ?00 mb-

. . Ж 6.—    bilbungen..........Ж5,-

ÄÄÄÄÄ Vte,U,U.«,J*ZTnet».W'lb.

net. THtt 40 mbbilbungen . . Ж 2.—

Ж 4.-

unb I ©temfatfe . .

(U. b. Preffe 1922.)

mn ber ©ce. ©eogr.«geologifd>e ВеПафШп- 3nf efienbiologie. Bon <E&t. ©фгоЬег. gen. Bon P. © a b m s. THU 6 J mbb. TH. 2 &ûftenmanberungcn. ВЫод1[фе mus- <Ег1еЫеВаи1гдс[ф1'ф1е.Воп(Е.6фпИtt. fluge. Bon B. S t a n ?. THit 92 5*0. m 2.50    2. mufl. THit 35 mbb. i. 2e*t. Æatt. TH. 5.—

Serie B. §ür jüngere Sa)üter unb Ttaiurfreunbe.

Pbpfifalifcbc piaubeteten f. bie Ougenb. THein £ant>toerfo?eug. Bon O. SteÇ. Bon £.TGunbet. THU )S mbbilôungen. THU 12 mbbilbungen . . . ftatt. TH. ).60 TH. 2.—

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Bon £. TB unb er. THit 5 mbbilbungen. Betfucfte mit lebenben Pflanzen. Bon TR. 2.— Ж O et tli. THU 7 mbb. flatt. Ж J.60

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Born Xierleben in ben Xropen. Bon Я.©иеп1Ьег. THU7mbb. Яаи.Ж J.óo

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