DZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

te*

BIBLIOTEKA M

QWNA

in w.

l m

....................._..................

*->

'«xitgX

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

■ii

t

m

c^?%

■

m

<9.5

:>

nr

;;

: J

w •

f#

ô.s

t'i '

/

I '*» d

r ** P

1>V'=

ïf V

5

fi

1

I

;Vîi

1

'■

M

#Ü>

-Y

%

\

ł

/

<

,

’■

v

i

i

i

# '

■ i

!

(

..

i

f

Sr*--.- -

LEHRBUCH

DER

ANALYTISCHEN MECHANIK

VON

DUHAMEL,

MITGLIED DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN IN PARIS.

DEUTSCH HERAUSGEGEBEN

VON

De. OSKAR SCHLÖMILCH,

Schlömilch.

Neuntes Capitel.

30

Zehntes Capitel.

Eilftes Capitel.

Zwölftes Capitel.

Dreizehntes Capitel.

— 100

Fünfzehntes Capitel.

Sechzehntes Capitel.

Siebzehntes Capitel.

Achtzehntes Capitel.

153

Neunzehntes Capitel.

Erstes Capitel.

Zweites Capitel.

— 209

Viertes Capitel.

243 —

Zweites Capitel.

— 280

296

312

Anhang.

~.-4

De. OSKAR SCHLÖMILCH,

PROFESSOR DER HÖHEREN .'MATHEMATIK UND ANALYTISCHEN MECHANIK AN DER POLYTECHNISCHEN SCHULE IN DRESDEN.

ZWEITE GÄNZLICH UMGEARBEITETE AUFLAGE.

NEUE WOHLPEILE AUSGABE.

ZWEIT BE BANT).

MIT IN DEN TEXT EINGEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN.

LEIPZIG.

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1861.

ł%

e.

rr*

ff

Druck voo B. G. Teubner in Leipzig.

%ff - \]p m

Vorwort.

Die erste, von Dr. Eggers vorgenommene Uebersetzung des Duhamel’schen Werkes hat ein eigenthümliches Schicksal gehabt. Sie war in ihrer ursprünglichen Form so wenig gelungen , dass ich Tausende von Fehlern corrigiren musste um sie, dem Wunsche der Verlagshandlung entsprechend, einiger-maassen leserlich zu gestalten, und wenn dabei ungefähr ein Dutzend Uebersetzungsfehler übersehen worden sind, so werden sich diejenigen nicht darüber wundern, die das Unangenehme solcher Arbeiten zu beurtheilen wissen. Dass gleichwohl die erste Auflage so rasch vergriffen wurde, ist ohne Zweifel ein starker Beweis für die innere Güte des Duhamel’schen Werkes und ich unterzog mich daher nicht ungern der Mühe, die vorliegende neue Auflage zu redigiren. Die Eggers’sche Uebersetzung ist hierbei fast durchaus beseitigt und nur Dasjenige beibehalten worden, was ich schon früher total umgearbeitet hatte. Im Allgemeinen habe ich mich treu an das Original gehalten und nur da, wo es mir nöthig schien,-Zusätze eingeflochten, namentlich auf S. 3 — 5, S. 59 — 76, S. 131 — 137,

S. 144 —150, S. 160 —171, S. 371 —375 des ersten Bandes und S. 53 — 55, S. 58 — 61, S. 118 — 121, S. 159-161, S. 192 — 195 und S. 251 —257 des zweiten Bandes, sowie hie und da einige kleinere Bemerkungen. Ob hierdurch das Buch gewonnen hat, mögen Sachkundige beurtheilen.

Dresden, am 30. Sept. J858- •

Schlömilch.

Inhalt des zweiten Bandes.

Drittes Bucli. Dynamik fester Körper.

Cap. IX. Theorie der Centralbewegungen.

Allgemeine Formeln

Die Bewegungen der Planeten............

Cap. X. Analytische Theorie der Planetenbewegungen.

Das allgemeine Problem.........'.....

Das Kepler’sche Problem..............

Cap. XI. Bewegung eines beliebigen Punktesystems.

Das d’Alembert’sche Princip ............

Das Gauss’sche Princip .    .............

Die allgemeinen Gleichungen der Bewegung^......

Die momentanen Kräfte.............

Cap. XII. Anwendungen des d’Alembert’schen Princips,

Beispiele von einfachen Maschinen....... .    .    .

Bewegungen eines biegsamen Fadens...........

Cap. XIII. Relative Bewegung eines Systems.

Specieller Fall der relativen Bewegung..........

Allgemeine Betrachtung der relativen Bewegung .......

Cap. XIV. Allgemeine Gesetze für die Bewegung freier Systeme.

Die Bewegung des Schwerpunktes.............

Das Princip der Erhaltung der Momente........ .    ,

Das Princip der Erhaltung der Flächen...........

Die Gleichung der lebendigen Kraft............

Cap. XV. Anwendung der vorigen Sätze auf den Stoss sphärischer t Körper.

Gerader Stoss Schiefer Stoss

Seite

io r-co ^

O O Ol 00 i— 00 Ci

CO o 00

O CO 00 00 CJ1 W CÎ1 w

-rp

O O

■-H H

Cap. XVI. Die Trägheitsmomente.

Seite

Allgemeine Formeln Beispiele ....

110

116

Cap. XVII. Bewegung eines starren Körpers um eine feste Achse.

122

Allgemeine Formeln ..................

Rotation eines Körpers in Folge einer momentanen Kraft ....    126

Verschiedene Eigenschaften der Rotation um eine feste Achse .    .    128

135

Anfängliche Bewegung eines festen Körpers, welcher sich um einen festen Punkt dreht und der Einwirkung momentaner Kräfte unterworfen ist

Cap. XVIII. Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt.

ffO ^    iO o

^    T-H «—8

— H—>

Allgemeine Formeln..................

Verschiedene Eigenschaften dieser Bewegung, falls keine äusseren

Kräfte existiren..................

Berechnung des speciellen Falles, wenn der Körper von keiner äusseren

Kraft getrieben wird................

Die doppelte Bewegung eines frei beweglichen Körper.....

Cap. XIX. Verschiedene Anwendungen des Satzes von der lebendigen Kraft.

Die Stabilität des Gleichgewichtes von Kräften an einem festen

Körper.....................

Das Princip der kleinsten Wirkung............

Die Berechnung der Wirkung von Maschinen.........

166

168

171

Viertes Bucli. Statik flüssiger Körper.

Cap. I. Die Grundsätze und Fundamentalformeln der Hydrostatik.

179

187

191

Erklärungen und Grundsätze..............

. 182

Die Fundamentalgleichungen der Hydrostatik........

Cap. II. Die Niveauflächen rotirender Flüssigkeiten.

Allgemeine Gleichung der Niveauflächen rotirender Flüssigkeiten Gleichgewichtsform einer rotirenden Flüssigkeit, deren Moleciile sich gegenseitig anziehen .    .    . ..............

Cap. III. Das Gleichgewicht schwerer Flüssigkeiten und schwimmender Körper.

Der Druck schwerer Flüssigkeiten.......

Der Druck auf eingetauchte Körper......

Gleichgewicht schwimmender Körper......

Stabilität des Gleichgewichtes schwimmender Körper Oscillationen eines schwimmenden Körpers ....

196

. 201

203

207

Cap. IV. Das Gleichgewicht elastischer Flüssigkeiten.

Gleichgewicht eines Gemisches von schweren Gasen .    .    .    .

Die barometrische Höhenmessung..........

Seite

222

223

Fünftes Buch. Dynamik flüssiger Körper.

Cap. I. Der Ausfluss von Flüssigkeiten aus Gefässen.

Die Grundgleichungen der Hydrodynamik..........

Bewegung einer Flüssigkeit unter Voraussetzung des Parallelismus

der Schichten .    ..............

Permanente Bewegung einer Flüssigkeit........

Anwendungen der vorigen Formeln.........

Ausfluss einer elastischen Flüssigkeit.........

Bemerkungen über den Widerstand der Flüssigkeiten .    .    .

231

242

249

251

257

. . 229

Cap. II Die Schwingungen elastischer Körper.

264

Die Grundgleichungen der Luftschwingungen Luftschwingung in einer unendlichen cylindrischen Röhre ....    268

273

Anhang

296

299

304

319

Verbesserung.

Auf S. 90 Z. 11 v. o. und Z. 20 v. o. ist statt „Flächen“ zu lesen „ Momente“.

Neuntes Capitel.

Theorie der Centralbewegungen.

Allgemeine Formeln.

1. Wir denken uns zunächst einen materiellen Punkt unter dem Einflüsse einer Kraft stehend, deren Richtung durch einen festen Punkt geht, und deren Intensität nur von der Entfernung des anziehenden Centrums abhängt; die Bewegung findet dann in derjenigen Ebene statt, welche die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit und das feste Centrum enthält. Nehmen wir diesen Punkt zum Anfänge rechtwinkliger Coordinaten x und y in dieser Ebene, bezeichnen wir ferner mit r den Abstand irgend, eines Punktes vom Coordinatenanfang, mit & den Winkel zwischen r und der positiven x-Achse, endlich mit cp die Intensität der beschleunigenden Kraft, so sind die Cosinus der Winkel, welche ihre Richtung mit den cc    u

Achsen bildet, durch--und —• — zu bezeichnen, wenn die Kraft

ejne anziehende, und durch—, —, wenn sie eine abstossende ist;

QC

die Componenten der Kraft cp werden also im ersten Falle — go —,

cp -r

—; beziehen sich demnach unsre For-

•—<p—, im zweiten cp—, r    r

mein auf den ersten Fall, so genügt die Aenderung des Zeichens von cp um zum zweiten Falle überzugehen.

Die allgemeinen Gleichungen der Bewegung des Punktes sind jetzt

x dry

dt²    ^ r ’ dt²    ^ r

d²x

Das Princip der Flächen giebt

1)

r^dft z=:c dt

wo c

eine willkürliche Constante bezeichnet, die sich folgender-massen durch den Anfangszustand bestimmen lässt. Die Compo-

II.

nenten der Geschwindigkeit nach der Richtung des Radius-vector

dr    rd&

und nach der auf dieser Richtung Senkrechten sind —und—:

dt    dt

zeichnet ferner a den Winkel, welchen die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit mit dem Radius-vector der anfänglichen Lage des Punktes bildet, und v{) die Anfangsgeschwindigkeit, so ist v₀ sin a der Anfangswerth jener Componente, die im Allgemeinen durch rd&

—— ausgedrückt wird.

Radius-vector, und beziehen die Gleichung

r²d& = cdt

auf den Anfangszustand, so erhalten wir

c = r₀?;₍₎ sin a.

Das Princip der lebendigen Kraft führt zu folgender Gleichung

Bezeichnen wir mit r₀ den anfänglichen

ds-

2 j'cpclr = v~ ;

elf

dieses unbestimmte Integral enthält eine neue willkürliche Constante, welche durch die Anfangswerthe von v und r bestimmt wird ; . es wird so

2)

v~ t=±    — 2 j'cp dr

ro

Mittelst dßr Substitution ds² = dr² + r²dd'² ergiebt sich arrs der vorletzten Gleichung

dr² + r²d&²

eif

2 j'pclr,

ernd wenn wir dt mit Hülfe der Gleichung (l) eliminiren, so entsteht eine Gleichung zwischen r und tf, d. h. die Polargleichung der Trajectorie; sie lautet

OJ

■€

s*

I lo

loi-

% II |v

% ! CT

'U -

' 2. Ist die Kraft eine bekannte Function von r, so bestimmt die Gleichung 3) die Trajectorie ; kennt man andrerseits die Trajectorie, nicht aber die Kraft cp, so braucht man nur die Gleichung 3) nach r zu differenziren um cp zu erhalten, nämlich

d²

4)

dff²

Die redite Seite wird mit Anwendung der Grleidrung der Trajec-torie gebildet, doch ist es zuweilen bequemer, liiezu die Formel 3) zu gebrauchen und die Differentiation zuletzt auszuführen.

Kennt man die Gleichung der Trajectorie, so kann man in allen Fällen die eine der Coordinaten als Function der andern darstellen,

und folglich giebt die Gleichung l) die Zeit als Function von r oder ff und umgekehrt. Das Problem ist dann vollkommen gelöst, weil man die Coordinaten des bewegten Punktes als Functionen der Zeit ausgedrückt hat.

Die Gleichung 2) kann eine bemerkenswerthe "Form annehmen, wenn man in dieselbe das Perpendikel vom Coordinatenanfang auf die Tangente der Trajectorie einführt. Aehnliche Dreiecke geben nämlich

r-V/ff

ds

rdff

woraus man mit Anwendung der Gleichung ]) zieht

ds dt

und darin liegt das Theorem, dass bei jeder unter dem Einflüsse einer Centralkraft vor sich gehenden Bewegixng die Geschwindigkeit in irgend einem Punkte der Trajectorie der Entfernung des Centrums von der Tangente umgekehrt proportional ist.

Substituiren wir diesen Werth von v in die Gleichung 2), so

wird sie

c²

5)

Dies ist die Gleichung der Trajectorie in einem eigenthijmlichen Coordinatensy stem.

sen

also, wenn man x und y als Coordinaten eines Punktes M in Bezug

3. Wir wollen zweitens annehmen, dass das Centrum der Wirkung beweglich sei. Im ersten Theile des vorliegenden Werkes wurde gezeigt, dass alle Eigenschaften der absoluten Bewegung noch für die relative existiren, wenn man überall für die absoluten Grös-die relativen substituirt; die vorhergehenden Formeln bestehen

auf Achsen betrachtet, welche beständig durch das bewegte Centrum gehen, und parallel mit sich selbst fortrücken, wenn man ferner r als die Länge der Geraden ansieht, welche in jedem Augenblicke dieses Centrum mit dem materiellen Punkt verbindet, ff als den Winkel, welchen die Gerade mit der Achse der x macht, endlich cp als die beschleunigende Kraft des materiellen Punktes, d. h. als die Resultante aus der absoltïtén beschleunigenden Kraft, welche in demselben angebracht ist, und einer Kraft, die jener gleich, parallel und entgegengerichtet ist, welche in dem beweglichen Centrum wirkt.

Beispiele..

4. Elliptische Bewegung. Ein Punkt beschreibt eine Ellipse vermöge einer Kraft, welche nach ihrem Mittelpunkte gerichtet ist; man soll die Centralkraft bestimmen.

Erstens ist leicht zu erkennen, dass alle Bedingungen der Aufgabe mit einander vereinbar sind; denn man kann einen Punkt immer zwingen, sich auf einer beliebigen Curve zu bewegen, und zwar so, dass die von einem Radius vector , welcher von irgend einem festen Punkte an den bewegten Punkt gezogen ist, beschriebenen Flächenräume der Zeit proportional sind. Man darf also immer voraussetzen, dass ein bewegter Punkt irgend eine Plancurve durch die Wirkung einer Kraft beschreibe, deren Richtung durch irgend einen festen Punkt ihrer Ebene geht.

Wir bezeichnen mit 2 a und 26 die grosse und kleine Achse der Ellipse, nehmen ihren Mittelpunkt als Pol und zählen die Winkel von der grossen Achse an; die Gleichung der Curve lautet dann

a)

1 \² ersi?i& + 6²cos²ff

a~b²

=4 +

er

a² — b~

ei~b~

strrQ-.

woraus durch Differentiation folgt

er

'S

er — b-aW-

sin & cos

Drücken wir den zweiten Tlieil dieser Gleichung mit Hülfe der Gleichung a) als Function von r aus, so erhalten wir aus der Gleichung

b) die Grösse

el&

als Function von r, und wenn wir diesen

c²r

cp ==

a²b²'

Bei dieser Bewegung ist also die Centralkraft proportional der Entfernung vom Centrum und zwar eine anziehende, weil der für cp ge^ - fundene Werth positiv ausfällt.

Dem Princip der, Flächen zufolge braucht der Punkt immer dieselbe Zeit, um die ganze Ellipse zu durchlaufen, von welchem Punkte an die Bewegung auch gehen möge. Bezeichnen wir diese Zeit mit T und berücksichtigen, dass die Constante c den doppelten durch den Radius-vector in der Zeiteinheit beschriebenen Raum dar

stellt, so ist \cT der Flächeninhalt der ganzen Ellipse, mithin

i27cab

\cT f== Ttab , woraus T =t

Durch die Umlaufszeit ausgedrückt ist hiernach die Kraft

*    ' 47t²

~jär-

man

liehen Gesetze wirkte.

Wäre statt einer Ellipse eine Hyperbel betrachtet worden, so würde eine abstossende Kraft gefunden haben, die nach einem ähn-

deren

Werth in die allgemeine Formel 3) übertragen, so bekommen wir

Nun giebt die Glei-

fpdr^ und folglich cp als Function von

r.

chung a)

b~ (fl²—r²)

(fl²—•b²) r²

die Gleichung b) liefert nach Substitution dieser Werthe

sin² fr =

cos²& =

u² (r²—b²) (a²—-b²) r²’

(o² — r²) (r² — b²)

dfr

a²b²r²

setzt man diesen Ausdruck in Gleichung 3), so findet man

c² fa² -f- b² r²

ÖW

und durch Differentiation in Beziehung auf r

j'cpdr

erb²

)•

5. Umkehrung der vorigen Aufgabe. Nach dem Vorigen darf man erwarten, dass ein Punkt, unter dem Einflüsse einer Kraft bewegt, die nach einem festen Centrum gerichtet und der Entfernung proportional ist, eine Ellipse beschreiben Avird Mittelpunkt in jenem Centrum liegt.

Um diess nachzuweisen denken wir uns eine Ellipse, deren Mittelpunkt mit dem Centrum zusammenfällt, welche ferner durch die Anfangslage des bewegten Punktes geht und die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit zur Tangente hat. Fügen wir, um die Curve vollständig zu bestimmen, noch die Bedingung hinzu, dass in der Anfangslage die normale Componente der anziehenden Kraft, oder die Centralkraft, gleich sein soll dem Quadrate der gegebenen Anfangsgeschwindigkeit, dividirt durch den Krümmungsradius in eben diesem Punkte, so ist dieser Radius bekannt, und man hat die zur Bestimmung der Ellipse hinreichenden Bedingungen. Soll nun der Punkt in irgend einer Weise sich so auf der Ellipse bewegen,, dass die Flächenräume, welche durch den vom Mittelpunkt ausgehenden Radius vector beschrieben werden, der Zeit proportional sind, so beweist die vorige Discussion, dass er von einer Kraft getrieben wird, welche nach dem Mittelpunkte gerichtet und der Entfernung proportional ist. Diese Kraft kann aber keine andre als die gegebene sein, denn sie ist gegen denselben Punkt gerichtet, sie befolgt dasselbe Gesetz, und sie hat denselben Werth im Ausgangspunkte, weil man den Krümmungsradius der Curve durch diese Bedingung bestimmt hat. Die erwähnte Ellipse wird also vermöge der gegebenen Kraft beschrieben.

Diese Bewegung bietet noch eine bemerkensvverthe Eigenthüm-lichkeit dar; die Kraft cp wurde nämlich mittelst der ganzen Revolutionsdauer T durch folgende Formel ausgedrückt

4ti~r

y2 i

bezeichnet man mit ft den in der Einheit der Entfernung stattfindenden Werth von 9), so ist

ft t== —5, woraus T =

T~

Demnach ist die Umlaufszeit unabhängig von den anfänglichen Zuständen, welche die besondere Ellipse bestimmen; sie ändert sich nur mit der Constanten ft, welche die Intensität der Anziehungskraft in der Einheit der Entfernung misst.

6. Analytische Lösung dieser z w e iten Fr a ge. Bewegt sich ein Punkt unter dem Einflüsse einer Centralkraft, welche der Entfernung des Punktes vom Centrum direkt proportional wirkt, so tritt fir an die Stelle von 99, wobei man ft positiv oder negativ zu

nehmen hat, je nachdem die Centralkraft eine-anziehende oder ab-stossende ist; die Gleichung (3) giebt nun, wenn c eine willkürliche durch den Anfangszustand bestimmte Constante bezeichnet,

für

'S ! —

V-

Iur² - I c~    r~

+ 2c;

= z wird hieraus

+ 2 d» =

dz

dz

so er-

integrirt man und bezeichnet man mit a eine willkürliche Constante, die durch die Anfangswerthe von r und & bestimmt wird, giebt sich    ,

+ 2 (& — a) == arc cos

Zählt man der Einfachheit Avcgen die Winkel von derjenigen Richtung an, welche den Winkel a mit der ursprünglichen, Achse bildet, so ist & für ft— cc zu setzen, und die vorige Gleichung wird, wenn man die Cosinus beider Theile nimmt,

cos 2ft,

c—z

woraus

z=c -

y:

'2

-[.y- cos²& — si/r d^J

Multiplient man mit r², so kommt

oder

c {x~ -f y¹) — y

c'²

c²

I,

c²

1.

Bei positiven y haben die Coefficienten von x² und y² dasselbe Zeichen, und die Trajectorie ist eine Ellipse, deren Mittelpunkt in dem festen Centrum liegt, wie wir schon synthetisch nacbgewiesen haben; bei negativen ft, d. h. wenn die Kraft eine abstossende ist, sind die Coefficienten von entgegengesetztem Zeichen, und die Curve ist eine Hyperbel, welche den Sitz der Centralkraft zum Mittelpunkte hat. In diesem Falle ist die Bewegung keine wiederkehrende, und der Punkt bleibt immer auf demselben Hyperbelzweige.

7. Die so eben behandelte Frage bietet einen Vortheil dar, den man zur directen Darstellung der Coordinaten x und y als Functionen der Zeit benutzen kann ; dies giebt die vollständigste Lösung der Aufgabe, weil man dann die Lage des bewegten Punktes in jedem Augenblicke kennt, und weil alle andern Elemente der Bewegung daraus unmittelbar abgeleitet werden. Die allgemeinen Gleichungen der Beivegung eines Punktes sind nämlich für cpz=yr

drx    dry

kann man jede

so

Da die Variabein x und y getrennt verkommen dieser Gleichungen integriren, mithin x und y durch l ausdrücken.

Bei positiven y erhält man

x — A sin (tj/y) + B cos (tj/y) y Â sin (tf/yj -f- B' cos (t]/y).

Zur Achse der x nehmen wir die Linie, welche den Coordinaten-anfang mit der anfänglichen Lage des Punktes verbindet, ferner be-zeichnei wir mit r₍₎ die Länge dieser Linie, mit v₀ die Anfangsgeschwindigkeit, mit a den Winkel zwischen der Kichtung dieser Geschwindigkeit und der Geraden, welche den Coordinatenanfang mit der Anfangslage des Punktes verbindet, und nehmen endlich die Achse der y auf derselben Seite der Achse der x wie die Anfangsrichtung der Geschwindigkeit; für den Anfangszustand t—0 erhalten wir jetzt folgende Bedingungen:

dx

dy

y = 0, x.=r₀₎ ~=v₀ sina, —= — v₀ cosu.

Die vier Coefficienten J, B, A', B' werden hierdurch bestimmt und so ist schliesslich ,

v₀ sin et

y ==*

v₀ cos a

ÿfi

sin (lj/ y) + r₀ cos

(*/**)>

Diese Gleichungen enthalten die vollständige Lösung des Problems ; sie gehen für x und aperiodische Werthe, und die Dauer der Periode

2 7t

ist für beide dieselbe —■ -, wie wir schon gefunden haben.

J/fi

Durch Elimination von t findet man

(x sin a -j- y cos a)² -j- — / y~ = r₀²sm²ß ;

hieraus ergiebt sich wiederum, dass bei positiven p eine Ellipse beschrieben wird, deren Mittelpunkt das feste Centrum ist; sie redu-cirt sich auf einen Kreis für

a = A 7t und fl₀² = pr₀².

Bei negativen p, d. h. wenn die Kraft eine abstossende ist, werden die Sinus und Cosinus durch Exponentialgrössen ersetzt; man kann aber die vorige Rechnung beibehalten und die Transformation in den-Resultaten ausführen. Diè Gleichung der Trajeçtorie wird durch Aenderung des Zeichens von p zu der einer Hyperbel, welche denselben Mittelpunkt hat, und die Werthe von x und y erhalten folgende Form:    '

X ----- ^

v₍₎cos a

2 7/p.

v₍₎ sin a

Sie werden erst unendlich für t = oo ; der Punkt würde also eine unendliche Zeit nöthig haben, um den Hyperbelzweig zu durchlaufen, auf dem er sich im Anfänge der Bewegung befindet.

8. Bewegungin einem Kegelschnitte. Ein materieller Punkt beschreibt einen Kegelschnitt durch die Einwirkung einer Kraft, deren Richtung beständig durch einen Brennpunkt dieser Curvegeht; man soll das Gesetz dieser Kraft finden.

Die Polargleichung der Kegelschnitte ist bekanntlich

wo p den halben Parameter und e die numerische Excentricität bezeichnet; dabei ist ein Brennpunkt der Curve zum Pol genommen, und die Winkel sind von derjenigen Seite der Achse an gezählt, auf welcher der nächste Scheitel der Curve liegt; die Curve wird zu einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem e 1, e = 1, e ;> 1.

Diese Gleichung giebt

e cos &

woraus

dl —

e sin &

d&

Will man, wie im vorigen Beispiele, von der Formel 3) Gebrauch machen, so hat man den vorliegenden Ausdruck dort einzusetzen, nachdem man zuvor sin & mittelst der Gleichung der Curve durch r ausgedrückt hat; man findet so

woraus

c²

cpdr = — — -j-

pr

c² (P—c²)

2p~    ’

c²

pr

rP •— —2-

Diese Gleichung zeigt, dass die Kraft eine nach dem Brennpunkt gerichtete Anziehung, und-dass ihre Intensität dem umgekehrten Quadrate der Entfernung von diesejn Punkte proportional ist.

In dem gegenwärtigen Falle würde es einfacher gewesen sein, die Formel 4) anzuwenden. In der That giebt die Gleichung der Curve unmittelbar

d~

e cos

dd'²    p ’

und durch Uebertragung dieses Werth es in die Gleichung 4)

c²

⁹⁹    pr²

Da sich diese Aufgabe bei Gelegenheit der Planetenbewegung wiederholen wird, so brauchen wir sie hier nicht erschöpfend zu behandeln.

9- U m k e li r vi n g des Problèmes. Wir w ollen j etzt untersuchen, welche Curven ein Punkt beschreiben kann, der von einem festen Centrum nach dem umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung angezogen wird ; dabei beschränken wir uns für jetzt auf eine synthetische Beantwortung. Das gegebene feste Centrum sei der eine Brennpunkt der Kegelschnittslinie, welche die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit auf derselben Seite mit dem festen Punkte berührt; ferner sei das Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit dividirt durch den Krümmungshalbmesser im Ausgangspunkte gleich der in diesem Punkte wirkenden normalen Kraft; aus dieser letzten Bedingung ergiebt sich der Krümmungsradius, und der Kegelschnitt ist vollkommen und eindeutig bestimmt. Wir werden sogleich sehen, wie man denselben aus den gegebenen Bedingungen con-struiren und seine Gattung erkennen kann. Auf dieser Curve bewege sich ein Punkt mit derselben Anfangsgeschwindigkeit wie der fragliche Punkt und zwar so, dass sein Radius-vector von dem festen Punkte aus der Zeit proportionale Flächenräume beschreibt; nach dem vorigen Satze muss die Kraft, welche auf diesen Punkt wirkt, gegen das feste Centrum gerichtet sein und ihre Intensität im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung stehen ; ferner geht er von derselben Lage wie der gegebene Punkt aus, und seine Anfangsgeschwindigkeit ist der Lage.und Grösse nach dieselbe; auch muss die Intensität der gegen das feste Centrum gerichteten Kraft im*Ausgangspunkte dieselbe sein , weil ihre Componente nach der gemeinsamen Normale gleich ist dem Quadrate der gemeinsamen Geschwindigkeit , dividirt durch denselben Krümmungsradius. Demnach muss die Kraft, welche die Bewegung auf diesem Kegelschnitte bewirkt, mit der gegebenen Kraft identisch sein, und da der fragliche Punkt, welcher den gegebenen Anfangsbedingungen unterwarfen ist, vermöge dieser Kraft eine vollkommen bestimmte Bewegung hat, so kann diese Bewegung sich nicht von derjenigen unterscheiden, welche auf dem Kegelschnitte stattfindet, d. h. ein Punkt, welcher gegen ein festes Centrum nach dem umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung gezogen wird, bewmgt üfich nothwendig auf einem Kegelschnitte, von dem der eine Brenn-, punkt jenes feste Centrum ist.

Es bleibt noch übrig, diese Curve nach den gegebenen Bedingungen zu bestimmen; als bekannt sind dabei vorauszusetzen : der Brennpunkt der Curve oder eines Curvenzwreiges, wenn es sich um eine Hyperbel handelt, ein Punkt und die Tangente in demselben,

— . 12

sowie der Krümmungsradius in diesem Punkte, wobei der Krümmungsradius auf derselben Seite der Tangente wie der Brennpunkt liegt.

(Fig. 1.)

Sei F (Fig. 1.) der Brenn-F punkt, M der gegebene Punkt, FQ die Tangente, und 0 der Krümmungsmittelpunkt ; fällt man von 0 ein Perpendikel OH auf MF, dann ein zweites von H auf die Normale, so gehört bekanntlich der Fusspunkt A" dieses letzteren zu der Hauptachse, welche den Brennpunkt enthält; die Gerade FÄf bestimmt daher die Richtung dieser Achse, und der zweite Brennpunkt findet sich durch den Schnitt dieser Geraden mit der Geraden MN, welche von M aus unter dem Winkel PMN=FMQ gezogen ist. Liegt der Schnitt auf der Seite von QP, wo sich der Brennpunkt F befindet, so ist die Curve eine Ellipse; sie wird eine Parabel, wenn MN parallel mit FK geht, und .eine Hyperbel, wenn der Schnitt auf die entgegengesetzte Seite fällt. Aus den Anfangsbedingungen ist aber leicht zu erkennen, welcher von diesen drei Fällen stattfinden wird. Sei nämlich durch F eine Parallele zu MN gezogen, welche die Normale in I schneidet, und erstens MK <C MI, so wird MN von FK in einem Punkte F' getroffen, welcher mit F auf derselben Seite von PQ liegt, und folglich ist die Curve eine Ellipse; für MK—MI wird FK || MN, und die Curve eine Parabel; ist endlich MK MI, so trifft FK die Verlängerung MN', und die Curve wird eine Hyperbel. Demnach hat man nur MK und MI aus den gegebenen Bedingungen der Aufgabe zu bestimmen. Da MI den Winkel FMF' halbirt, so ist das Dreieck MFI gleichschenklig, und wenn man den bekannten Winkel FMO mit e und die gegebene Länge FM mit r₀ bezeichnet, so ist

<1

F,

1L

JV

MI = 2r₀ cos £.

Ferner erhält man auf die nämliche Weise, wie der Punkt K gefunden Avurde,

MK = MO cos² £,

und Avenu man mit die AnfangsgeschAvindigkeit bezeichnet, so Avird der Werth von MO durch die Gleichung

<PC0S^MÖ

gegeben, wo cp die Kraft, welche auf den Punkt TU wirkt, ixnd — ihre Intensität ist; daraus folgt

roW

fl cos s'

Vergleicht man die beiden für MK und MI erhaltenen Ausdrücke und lässt den gemeinsamen Factor r₀ cos e weg, so sieht man, dass die Curve zu einer Ellipse, Parabel oder Hyperbel wird, je nach-

dem v₀²--—negativ, Null oder positiv ist. Die Natur der Curve

ro

bestimmt sich demnach aus der anfänglichen Entfernung des Punktes vom Centrum und aus der Anfangsgeschwindigkeit allein, ist aber unabhängig von der Richtung der letzteren.

Will man diese Aufgabe mit Anwendung der Gleichung 3) analytisch behandeln, so hat man eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen r und ff zu integriren ; man wird leicht erkennen, -dass die erhaltene Gleichung alle drei Kegelschnitte darstellen kann, auch findet man dieselben Kennzeichen, welche wir so eben aufgestellt haben. Wir werden bald nachher auf diese Frage zurückkommen und dann die hier angedeuteten Rechnungen durch-? führen.

MO —

mithin MK.

r₍fvQ²cos £

rł

10. Spiralbewegung. Die Trajectorie zu finden, welche von einem Punkte beschrieben wird, der nach einem festen Centrum im umgekehrten Verhältnisse des Cubus der Entfernung angezogen wird.

(Fig. 2.)

Sei A (Fig. 2) das anziehende Centrum, B die Anfangslage, a der.Winkel, welchen die Richtung BC seiner Geschwindigkeit mit AB macht, v₀ die Intensität dieser Geschwindigkeit,^ r₀ die Länge AB, so giebt die Formel 4) auf den vorliegenden Fall

cp =

~ angewendet,

r3

)*•

r{²v² sin² a

Hier sind drei Fälle zu unterscheiden, je nachdem die Differenz — 1 negativ, Null oder positiv ist. In allen Fällen wird

d&²

4Ś

(l

r„² v₍₎² sin² c< die Geschwindigkeit v durch die Formel

c'

ausgedrückt, wo c durch die Anfangswerthe von v und r bestimmt werden muss.

l) Sei zuerst

ja

r₍₎²v'sin²a dann wird die vorige Gleichung

1 = 0, was der einfachste Fall ist,

(f

0, woraus — = A& -f- B.

/•

(V&~

Die Constanten A und B bestimmen sich aus der Bemerkung, dass im Punkte B, durch welchen wir der Einfachheit halber die_Polarachsen gehen lassen, die Gleichungen

r=r₀,

(S)

= — tang a

gelten ; da nun für & = 0 aus der Gleichung der Curve

dr r²

folgt, so sind die Werthe von A und B

ro

cot a ro ’

und die Gleichung der Trajectorie lautet

ro 1 -f- & cot cc

Die Curve ist demnach eine hyperbolische Spirale, deren Pol im Punkte A liegt. Für a 90° ist cot cc positiv, und wenn & unendlich wächst, so nähert der bewegte Punkt sich dem Pole A unendlich. Für cc = 90° wird

cot cc — 0 und r ••= r₀ ;

die Curve reducirt sich dann auf einen Kreis. Ueberhaupt ist hei allen Anziehungsgesetzen die Trajectorie jedesmal ein um den Pol als Mittelpunkt beschriebener Kreis, wenn der bewegte Körper mit einer Geschwindigkeit beginnt, die senkrecht auf dem Radius-vector steht und deren Quadrat, dividirt durch den Radius-vector, gleich ist dem Werthe der beschleunigenden Kraft, welche in diesem Augenblicke auf ihn wirkt. Dieser Kreis würde nämlich ohne Zweifel

— 15

beschrieben werden, wenn die Centralkraft constant gleich ihrem gegebenen anfänglichen Werthe bliebe ; da aber nach den Anfangsbedingungen nur eine Bewegung möglich ist, so muss die Curve in jedem Falle dieselbe sein. Bei einem stumpfen a nähert sich der Punkt dem Pole nicht mehr, und der Radius wird unendlich für ft — — ing <x, wras die Richtung der Asymptote giebt.

Wir wollen jetzt die Coordinatcn des Punktes als Functionen der Zeit auszudriicken suchen. Die Gleichung r²d% — cdt giebt, wenn man für r seinen Werth setzt,

r₍₎²rfb

c (l -|- af cot a)² 5

voraus

c coi a 1 -f- ft cot a

bestimmt man die Constante c durch die Bedingung, dass gleichzeitig /=0 und    ist, und setzt für c seinen Werth r₀v₀sin a, so

wird

ro

v₀cos <x

1 + & col a

VqCOS a

(r₀ r)

woraus man ableitet

r = r₀ ■—• 2>₀ t cos a,

und

cot a

vJ

1--— cos a

ro

Der Werth von r nimmt in dem Maasse ab, als t wächst, und wird ; der bewegte Körper erreicht also nach diesem

Null für t =

ro

v^cosa’

Zeiträume, vom Axisgangspunkte an gerechnet, den Pol. Der entsprechende Werth „von & wächst ohne Grenzen, und der Körper hat in derselben Zeit eine unendliche Anzahl Umläufe um den Pol ge

macht.

sucht man die Lagen vor dem Augenblicke, den man zum Anfangspunkt der Zeit genommen hat, so muss man t negativ von Null bis Unendlich nehmen; r wird dann von r₀ bis oo wachsen und ft von 0 bis — ing a abnehmen, welcher letztere Werth die Richtung der Asymptote giebt.

jX

2) Sei jetzt

--- l = — w², wo n eine reelle Grösse

r₍₎²v₀²sin² a

bezeichnet, so ist das Integral der Differentialgleichung der Tra-jectorie

— = A sin n& -f- B cos nff;

bestimmt man die (konstanten aus den Anfangswerth en, so er-giebt sich

sin nd' —

sin (n& + s) -1- }

sin s

cota

— cos n& -\--

r    n

wobei

cot a    ~

-:= cot £ gesetzt worden ist.

Um den Punkt kennen zu lernen, in welchem der bewegte Kör-

per dem Pole am nächsten ist, hat man — möglichst gross zu neh men, was für

sin (n& -f s) = I

eintritt; diess giebt

— r₍₎ sin £, und n& -f e =

woraus

und

cot a

lny n d^cot £

<t)

d&

wie man gleichfalls gefunden haben würde, wenn man gesetzt hätte.

Geht man von diesem Werthe aus und vermehrt oder vermindert & um gleiche Grössen, so erhält sin (n& -f- e) immer dieselben Werthe und folglich ist die Curve symmetrisch in Bezug auf die Richtung des kleinsten Radius-vector.

Der Werth von r wird unendlich für

sin (nff -j- e) = 0 oder nft + e r= nm, wo m irgend eine ganze Zahl bezeichnet; man erhält dann tng ?i& s= — tng e = —• n tng a.

Der kleinste dieser Gleichung genügende Werth von ff giebt die Richtung, welcher sich der unendlich wachsende Radius-vector

nähert; hierzu gehört eine unendliche Zeit, wie man leicht einsieht, wenn man t mittelst der Gleichung

r²dff c= cdt

als Function von ff ausdrückt.

1 c= ril sei, so

3) Nehmen wir zuletzt an, dass giebt die Integration der Differentialgleichung der Trajectorie

r₍²i\fSin² a

«ff

— = Ae + Be

—/«ff

und wenn man die Constanten A und B aus dem Anfangszustand bestimmt ,

— «ff

Man sieht hieraus, dass r sich der Null nähert, wenn ff unendlich wächst. Setzt man der Einfachheit wegen a — so wird

r ~~ «ff

2r₀

—«ff

Diese Spirale liegt symmetrisch rücksichtlich der Polarachse ; ihre beiden Zweige haben den Pol zur Asymptote, und es ist leicht zu erkennen , dass der Punkt nach Verlauf einer endlichen Zeit dorthin gelangen wird. Aus der Gleichung

r²dff = cdt

erhält man nämlich

cdt

4r₀²dff

2«ff

4r₀²e

dff

/ «ff

p

—«ff

mithin

net

2r.₀²

2«ff

Die Constante Cy wollen wir durch die Bedingung bestimmen, dass c und ff gleichzeitig verschwinden sollen; es folgt daraus C\ t= mithin

2«ff

net

— 1.

1--5

ro~

II.

Da ft unendlich wächst, wenn t sich dem Werthe — nähert, so ge-

nc

langt der Punkt nach Verlauf dieser Zeit zum Pole.

Will man die Bewegung kennen lernen, welche der zum Anfang der Zeit genommenen Epoche vorhergeht, so muss man t nega

tiv nehmen; die vorige Gleichung gieht dann ein negatives & und

rJL

noch ;= — oo für t =

nc

, wie man voraussehen konnte.

BemerkensAverth ist der besondere Fall, wenn nur eine Expo-nentialgrösse in der Gleichung der Trajectorie vorkommt, welche letztere dann eine logarithmische Spirale wird; dieser Fall tritt ein für

cot a i= jp n.

Nehmen wir z. B. cot cc = — n , so ist die Gleichung der Trajectorie

ji&

r=r₀e .

Dies hätte man mit Hülfe der Gleichung (3) unmittelbar erkennen können, welche in dem gegenwärtigen Falle die Form hat:

c~

r⁴.

F*

Da nun die gegebenen Constanten der Bedingung r₀² = ~ genügen,

ro

so erhellt, dass die Gleichung einen constanten Werth für das Ver-

T

hältniss ,    - geben muss, welcher die Tangente der Neigung des

CS)

Kadius vector gegen die Curve Ist ; dies ist aber die charakteristische Eigenschaft der logarithmischen Spirale. Der Werth von ??², welcher

— 1 oder

r₀²v₀²siti²cc war, geht jetzt in den folgenden über

sin²a

— ], oder col~ a;

was auf die schon gefundene Bedingung zurückführt.

— 19

Die Planetenbewegungen.

11. Eine aufmerksame, Jahrhunderte hindurch fortgeführte Beobachtung der Planetenbewegungen hat mehrere allgemeine Gesetze erkennen lassen, welche der Anwendung der mathematischen Theorie zur Grundlage dienen. Diese Theorie ist in den vorigen Formeln gegeben, und um sie auf die Bewegung der Planeten und aller übrigen Himmelskörper anwenden zu können, genügt die Annahme, dass deren materieller Inhalt den Gesetzen unterworfen sei, welche wir ohne Ausnahme an den uns umgebenden dem Experimente zugänglichen Körpern erkannt haben. Wenn es nun auch möglich wäre a priori daran zu zweifeln, ob die himmlischen Körper aus einer mit jenen Eigenschaften begabten Materie gebildet seien, so würde doch die Uebereinstimmung zwischen den genauesten Folgerungen aus dieser Hypothese und den beobachteten Thatsachen den Beweis a posteriori dafür liefern.

Die Bewegungen der Himmelskörper sind, in Bezug auf die Erde betrachtet, sehr verwickelt; auf die Sonne bezogen, erlangen sie dagegen die äusserste Einfachheit. Sie gehorchen drei grossen Gesetzen bekannt unter dem Kamen der Keplerschen Gesetze, deren Inhalt wir sogleich angeben wollen, wobei wir uns jedoch die Planeten auf einfache materielle Punkte zurückgeführt denken ;

1)    die Planeten beschreiben in ihrer Belegung in Bezug auf die Sonne ebene Curven, und ihre nach dem Mittelpunkte der Sonne gezogenen Yectoren beschreiben Flächenräume, welche der, Zeit proportional wachsen;

2)    die Planetenbahnen sind Ellipsen , in deren einem Brennpunkte der Mittelpunkt der Sonne liegt;

3)    die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten um die Sonne sind den Würfeln der grossen Achsen ihrer Bahnen proportional.

Wir betrachten zunächst Folgerungen aus diesen Gesetzen. Da wir nicht wissen, ob der Mittelpunkt der Sonne unbeweglich ist, so müssen wir ihm irgend eine Bewegung beilegen. Die Erfahrung hat aber gelehrt, dass die von dem Radius vector um den.Mittelpunkt der Sonne beschriebenen Flächenräume derZeit proportional sind, und man schliesst daraus nach der Theorie der relativen Bewegung, dass die relative Kraft, welche einen Planeten angreift, gegen den Mittelpunkt der Sonne gerichtet ist, was auch sonst die Natur und das Gesetz dieser Kraft sein möge. Wie wir wissen, zeigt dies an, dass,

2*

wenn man in irgend einem Augenblicke an den Planeten eine Kraft anbrächte, gleich, parallel und entgegengesetzt derjenigen, welche der Sonne die ihr zukommende Bewegung ertheilen würde, die Resultante aus dieser und der an den Planeten thätigen Kraft beständig nach dem Mittelpunkte der Sonne gerichtet sein muss, zweite Keplersche Gesetz giebt die relative Bahn des Planeten an und bestimmt somit die Function, welche die Intensität der relativen den Planeten bewegenden Kraft ausdrückt. Sei 2a die grosse Achse dieser Ellipse, e ihre Excentricität, r der Radius vector, vom Centrum der Sonne an irgend eine Lage des Planeten gezogen, und co der Winkel, den ihre grosse Achse mit der festen Linie bildet, von welcher ab man die Winkel & zählt, durch die der Radius vector bestimmt wird,-so ist die Gleichung der Curve a (l — e²)

Das

1 -j- e cos (&—co)

oder

a (l — e²)

Y* • —■---• 1-

J -{- e cos — co)

Als allgemeinen Ausdruck für die beschleunigende Kraft cp hatten wir die Formel:

-J I A

►-

Die Gleichung der betrachteten Bahn giebt

d²

(t)

d&²

e cos (tt—co) a (1 — e²)

ferner

endlich

d²

(7)

d&²

a (l—e²) ’

a (l — e~)    r²

Hieraus folgt, dass die relative Bewegung irgend eines Planeten um die Sonne durch eine gegen das Centrum dieses Gestirns gerichtete anziehende Kraft hervorgebracht wird, deren Grösse im umgekehrten Verhältnisse mit dem Quadrate des Abstandes von diesem Punkte variirt. Eine analoge Rechnung würde zu eben diesem Gesetze führen, wenn die Bahn, statt eine Ellipse zu sein, eine Parabel oder Hyperbel wäre.

12. Es bleiben noch die beschleunigenden Kräfte mit einander zu vergleichen, welche auf verschiedene Planeten in derselben Entfernung von der Sonne wirken.

In der Einheit der Entfernung hat man

c²

a (L—e²)’

wo c den doppelten von dem Radius vector in der Zeiteinheit beschriebenen Raum darstellt; bezeichnet T die ganze Umlaufszeit, so ist hiernach

\cT — na¹]/1—e²

und folglich

4 7C²«3 ~T*~ '

in der Einheit der Entfernung vom Mittelpunkte der Sonne. Nach

<P

cv'

für alle

dem dritten Keplerschen Gesetze bleibt das Verhältniss ~i

Planeten dasselbe, mithin ist die Kraft, welche auf die Einheit der Masse eines Planeten in der Richtung nach dem Mittelpunkte der Sonne wirkt, eine und dieselbe in derselben Entfernung von dem letzteren. Demnach rühren die relativen Bewegungen der Planeten einer (nach dem Mittelpunkte der Sonne gerichteten) Kraft her, welche der Masse, worauf sie wirkt, proportional ist und im umgekehrten Verhältnisse mit dem Quadrate der Entfernung von jenem Mittelpunkte steht.

von

13. Ueber die Strenge dieser Folgerungen bemerken wir noch

Folgendes.

Die Keplerschen Gesetze beweisen, dass in der relativen Bewegung, sowie sie für irgend einen Planeten stattfindet, die Kraft, welche auf diesen Körper wirkt, das so eben ausgesprochene Gesetz

immer noch fragen, ob dieses Gesetz

befolgt; doch könnte man für eine andre Bewegung desselben Planeten auch dasselbe bliebe. Würde z. B. dieser Körper, ohne Geschwindigkeit in verschiedenen Entfernungen von dem Mittelpunkte der Sonne aufgestellt, nach diesem Punkte im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung angezogen werden? Diess folgt keineswegs aus dem für cp gefundenen Werthe, denn er könnte eine Function von & und sogar von t sein, und man hätte daraus mit Recht auf andre Gesetze für die beschleunigende Kraft schliessen dürfen. Diese Gesetze würden durch die in Rede stehende Bewegung, aber durch keine andre, be-

wiesen worden sein-, und es ist klar, dass zwei von ihnen zum wenigsten nicht allgemein sein könnten, weil jedes von ihnen die übrigen ausschliesst.    ,

Nichtsdestoweniger kann die Gesammtheit der Resultate, welche sich auf die verschiedenen Planeten beziehen, zur Kenntniss des allgemeinen Gesetzes führen, welches die ihre Bewegungen erzeugende Kraft erfordert. Erstens sieht man ein, dass sie nicht von der Zeit abhängen kann; denn für jeden Planeten müsste dann die Kraft durch eine periodische Function ausgedrückt sein, deren Periode dieselbe Dauer wie der Umlauf dieses Planeten hätte; diess ist unmöglich, weil die Umlaufszeiten von einem Planeten zum andern variiren. Ebensowenig kann man zugeben, dass die Kraft von der Richtung abhänge, denn die Rechnungen, welche sich auf jeden einzelnen Planeten beziehen, würden sich nicht vereinigen, dieser Function eine und'dieselbe Form zu geben. Im Gegentheil führen alle diese Bewegungen auf einen und denselben Ausdruck für die - beschleunigende Kraft als Function der Entfernung; man kann also nicht daran zweifeln, dass dies das wahre Gesetz sei, nach welchem die Materie, aus welcher die Planeten gebildet sind, gegen den Mittelpunkt der Sonne gezogen wird, so lange nämlich, als die Kep-lerschen Gesetze als genau und unveränderlich betrachtet werden.

Jene Wirkung, welche beständig nach dem Mittelpunkt der Sonne gerichtet ist, scheint nur der Substanz selbst, welche diesen Körper ausmacht, beigelegt werden zu können; und wenn man auf die Himmelskörper, welche aus der Entfernung auf einander wirken, das Princip der Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung ausdehnt, so muss man als gewiss ansehen, dass die Sonne gegen jeden Planeten den betreffenden Massen proportional angezogen wird. Da die Sonne jede Substanz, woraus die verschiedenen Planeten gebildet sind, anziebt, so muss man auch annehmen, dass sie in derselben Weise auf die Trabanten dieser Planeten wirkt, und da die vom Mittelpunkt der Sonne an die verschiedenen Punkte eines Planeten und seiner Trabanten gezogenen Radien beinahe gleich und parallel sind, so kann man dies System als von parallelen und den Massen proportionalen Kräften angegriffen betrachten, woraus folgt, dass die Wirkung der Sonne die relativen Bewegungen eines Planeten und seiner Trabanten nicht merklich verändert.

Nun erstrecken sich die Keplerschen Gesetze auch auf diese letzten Bewegungen; es folgt also aus den schon für die Planeten in Bezug auf die Sonne gegebenen Gründen, dass die Trabanten

eines und desselben Planeten gegen den Mittelpunkt dieses Planeten durch Kräfte getrieben werden, welche ihren Massen proportional sind und im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung von diesem Mittelpunkte stehen. Nach dem Princip der Gleichheit der Wirkung und Gegenwirkung ziehen andererseits die Trabanten ihren gemeinsamen Planeten proportional ihren Massen und derselben Function der Entfernungen an.

Da ein Planet die Sonne proportional der Masse, welche er besitzt, anzieht, so ist die Annahme natürlich, dass alle seine einzelnen Theile sich vereinigen, um diese Wirkung nach Verhältniss ihrer eignen Massen hervorzubringen und dass also irgend ein Molecül dieses Planeten die Sonne in dem Verhältnisse der Masse dieses Molecüls zu der des Planeten anzieht. Eben so natürlich ist die Voraussetzung, dass es sich in Betreff der Anziehung, welche der Planet auf seine 'Trabanten ausübt, gerade so verhalte, und dass irgend ein Molecül dieses Planeten einen Trabanten im Verhältniss der Masse dieses Molecüls zu der des Planeten anziehe. Da nun die Trabanten eines und desselben Planeten von diesem proportional ihren Massen angezogen . werden, so scliliesst man daraus noch, dass ihre gleiche und entgegengesetzte Gegenwirkung ihren Massen proportional ist, und dass folglich alle Theile eines Trabanten ihren Massen proportional an-zięhen. Endlich wird man nach Analogie dieselbe Eigenschaft auf die Materie der Sonne ausdehnen, und als ausgemacht annehmen, dass alle Theile, aus denen sie gebildet wird, die Materie proportional ihren eignen Massen und dem umgekehrten Quadrate der Entfernung anziehen. Passt man diesen Gedanken allgemein auf, so wird man es als ein für die ganze unser Planetensystem bildende Substanz gemeinsames Gesetz betrachten dürfen, dass irgend zwei Molecüle sich gegenseitig ihren Massen und dem umgekehrteu Quadrate ihrer Entfernung von einander proportional anziehen.

14. Wenn die Himmelskörper genau kugelförmig und aus con-centrischen homogenen Schichten gebildet wären, so würden sie bei dem angenommenen Gesetze der Anziehung so auf einander wirken, als wenn ihre Massen in ihren Mittelpunkten vereinigt wären ; so verhält es sich aber nicht ganz, weil die Gestalt von der kugelförmigen etwas abweiclxt, doch gehen daraus nur kleine Störungen hervor, denen man bei einer ersten Annäherung nicht Rechnung zu tragen braucht. Wir werden also die Sonne die Planeten und ihre Trabanten als materielle Punkte von verschiedenen Massen betrachten,

welche sich gegenseitig ihren Massen und dem umgekehrten Quadrate der Entfernung proportional anziehen.

Die Anziehung, welche ein Planet seitens der andern Körper des Systems erfährt, erzeugt in seiner Bewegung um die Sonne Störungen, welche den Hauptgegenstand der Mechanik des Himmels ausmachen; wir werden uns in diesem Werke nicht damit beschäf

tigen , sondern die Bewegung eines jeden Planeten unter der Voraussetzung betrachten, dass sie aus der Wirkung zwischen ihm und der Sonne allein hervorgehe.

gegeben wird ; die beschleunigende Kraft ist dann

Ausdruck

Unter Annahme dieser Bestimmungen wollen wir mit f die gegenseitige Anziehung zweier auf Punkte reducirten Masseneinheiten bezeichnen, welche um die Einheit der Länge von einander entfernt sind, mit M und m die Massen der Sonne und eines Planeten, so dass ihre gegenseitige Wirkung in der Entfernung r durch den fMm

r2

fM

für den Planeten v=s —5-, für die Sonne =

fm

r²

r²

, und in Bezug auf je-

den dieser Punkte gegen den andern gerichtet. Will man also die relative Bewegung des Planeten um die Sonne kennen lernen, so hat man anzunehmen, dass er von einer der Summe

fM fm f (M -f- m)

r²

r2

r2

gleichen Kraft gegen die als fest betrachtete Sonne getrieben werde; denn nach der allgemeinen Theorie der relativen Bewegung muss man an den Punkt, dessen Bewegung man untersucht, eine beschleunigende Kraft anbringen, welche der beschleunigenden Kraft gleich, parallel und entgegengesetzt ist, welche auf den andern Punkt wirkt, worauf man den letzteren als fest betrachten und die Bewegung des andern als absolut ansehen darf. Ebenso ist die Anfangsgeschwindigkeit, die man dem bewegten Punkte ertheilen muss, die Resultante aus seiner absoluten Anfangsgeschwindigkeit und einer Geschwindigkeit, welche der des andern Punktes gleich, parallel und entgegengerichtet ist.

als relative beschleunigende Kraft für die Entfernung =

wir

Bei der relativen Bewegung eines Planeten um die Sonne hatten 4 7t²as

T²

-1 gefunden, den vorigen Bemerkungen zufolge ist also

«³

Man sieht hieraus, dass von einem Planeten zum andern sich

ändern muss, da es von m abhängt, wofern die Planeten nicht gleiche Massen haben, was sehr unwahrscheinlich ist; da aber die Beobachtung Kepler veranlasst hat, jenes Verhältniss für alle Planeten als • gleich zu betrachten, so ist man zu schliessen genöthigt, dass fm ein sehr kleiner Tlieil von dem Werthe des zweiten Theils f (M + m) sei, und dass folglich die Masse irgend eines Planeten sehr klein im Vergleich zur Masse der Sonne ist. Wir werden bald eine Anwendung dieser wichtigen Bemerkung bringen.

15. Zu dem Gesetze der Anziehung gelangten wir mittelst der allgemeinen Formeln für centrale Kräfte, noch einfacher findet man es durch bloss'e Betrachtung der Centripetalkraft. Bevor wir aber diese Methode auseinandersetzen, erinnern wir an einige die Ellipse betreffende Formeln, die auch ausserdem häufig gebraucht werden.

Wir nennen a und b (Fig. 3) die Halbachsen einer Ellipse, c die Entfernung des Mittelpunkts von den Brennpunkten, wir verbinden ferner irgend einen Punkt M dieser Curve mit den Brennpunkten F, F\ fällen von F, F

(Fig. 3.)

und vom Mittelpunkte 0 Perpendikel FP, FP, OQ auf die Tangente in M, und ziehen die Normale MN] für FM

F'P

F M = <T,

FP = p MN = n

NMF

— P > OQ t=ä q,    ,

co, erhalten wir dann folgendeV Formeln :    ^

cd

cd'

P'

/A

o jv

JF

FN — —

*}

n =î

tV«'.

cos co == «w FMP =■

j/ôâ'

Aus diesen Gleichungen fliessen die Relationen JPP' — &25 ?» = ^

#// t=2 qn oder p\n = q:p’.

In allen Kegelschnitten ist ferner der Krümmungsradius i? gleich dem Cutras der Normalen dividirt durch das Quadrat des halben Parameters, also hier

und

o²«³ (dcT)

-ft E=3    = —-—

• Ol«

06

Man erkennt ausserdem unmittelbar, dass die Projection der Normalen auf den einen der Yectoren oder n cos co dem halben Parameter

b²

— gleich kommt. Auch ist die Projection des Krümmungsradius auf

einen der Radienvectoren oder R cos co =

öd'

— ; diese vierte Proportionale kann man unmittelbar so construiren, dass M der eine ihrer Endpunkte ist und der andere irgendwo in MF' liegt. Errichten wir in diesem Punkte ein Perpendikel auf MF“so schneidet es die Normale im Krümmungsmittelpunkte. Eine noch einfachere von Newton gegebene Construction beruht auf der Gleichung

R cos co

COS CO

errrichtet man nämlich im Fusspunkte der Normalen auf ihr eine Senkrechte bis zum Schnitte mit einem der Yectoren, und legt durch diesen Schnitt eine zweite Senkrechte auf diesen Radius vector, so schneidet letztere die Normale im Krümmungsmittelpunkte.

16. Wir kehren jetzt zu der dynamischen Aufgabe zurück. Da die Flächen den Zeiten proportional sind, so geht die Kraft, welche die relative Bewegung um die Sonne hervorbringt, durch den Mittelpunkt dieses Gestirns, und es handelt sich darum, das Gesetz dieser Kraft aufzufinden, wenn man weiss, dass die beschriebene Curve eine Ellipse ist, von welcher der eine Brennpunkt im Mittelpunkte der Sonne liegt.

Bezeichnen wir mit cp die beschleunigende Kraft, die an dem materiellen Punkte M nach MF wirkt, so ist cp cos co ihre Componente

v²

nach der Normalen MN und zugleich cp cos co s= — , wo » die Ge-

IX

ds

schwindigkeit ~ des bewegten Punktes bedeutet. Nennen wir

C den doppelten constanten in der Zeiteinheit vom Radius vector beschriebenen Flächenraum, so ist Cdt das doppelte der in der Zeit dt beschriebenen Fläche; letztere ist ein Dreieck, welches zur Grundlinie den in der Zeit dt beschriebenen Bogen ds und zur Höhe p hat; demnach wird

pds =■ Cdt, woraus v = —

und folglich

C²

cp cos co = —

R p² R

woraus cp=

C²

p² R cos co ’

setzt man für p, R und cos co ihre durch ö und 6' ausgedrückten Wertlie, so ergiebt sich schliesslich

(?a

9°    b2₀2i

die Kraft <p steht demnach im umgekehrten Verhältnisse des Quadrates der Entfernung vom Mittelpunkte der Sonne.

Die Constante C kann- man mittels der Umlaufszeit T des Planeten um die Sonne ausdriicken; da nämlich der doppelte Flächeninhalt der Ellipse = ‘lnab ist, so hat man

, _ _    2 7t ab

27t ab, C --

T

und

ist. Man kommt so auf die' schon oben gefundenen Resul-

so dass die beschleunigende Kraft in der Einheit der Entfernung 47i²as

T²

täte zurück.

17. Bevor Newton den strengen Beweis des allgemeinen Anziehungsgesetzes gefunden hatte, war er bereits durch eine inductorische Betrachtung auf dasselbe geleitet worden, die im Wesentlichen auf folgenden allerdings nicht völlig genauen Schlüssen beruhte.

Da die Planeten Bahnen mit verschiedenen Excentricitäten beschreiben, so kann man der Analogie nach annehmen, dass die ihnen gemeinsamen Keplerschen Gesetze auch für kreisförmige Bahnen gelten werden; man darf diess um so mehr, als die wirklichen Bahnen sehr wenig excentrisch sind und daher näherungsweis als kreisförmig gelten können. Unter dieser Voraussetzung zeigt das Princip der Flächen, dass die Kraft, die auf jeden Planeten wirkt, nach dem Mittelpunkte der Sonne gerichtet ist. Das zweite Gesetz, welches allgemein den Beweis lieferte, dass für denselben Planeten die beschleunigende Kraft im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung variirt, zeigt im gegenwärtigen Falle, dass die Geschwindigkeit constant ist; denn die Kreisbögen sind den Sectoren und folglich auch den Zeiten proportional; auch ist die Kraft immer normal auf der Trajectorie also die Geschwindigkeit constant. Nun hat die Centripetalkraft, für die Masseneinheit be-v²

rechnet, den Werth - ,woü die Geschwindigkeit und R den Kreis-R

radius bezeichnet; sie bleibt demnach constant. So lehrt denn das

zweite Gesetz, wie man voraüssehen konnte, nichts in Bezug auf die Veränderlichkeit der Kraft mit der Entfernung, aber es giebt immer den Ausdruck für dieselbe mittelst der Zeit T des ganzen Umlaufs des Planeten und des Radius seiner Bahn. Man hat nämlich

wi %

bezeichnet

‘IttR^vT, mithin ist, wenn cp die Centripetalkraft

und für v sein Werth als Function von R und T substituirt wird,

4 7t² R

ja ;

' 47t²a³

T² r²

<P

was mit dem allgemeinen Werthe man in demselben r = at=. R setzt.

übereinstimmt, wenn

Wir betrachten endlich das dritte Gesetz, welches im allgemeinen Falle das für die verschiedenen Lagen auf einer und derselben Bahn gefundene Anziehungsgesetz auf die Lagen ausdehnt, die in verschiedenen Bahnen Vorkommen. Im vorliegenden Falle wird das analoge Resultat, welches wir finden, keine Erweiterung, sondern vielmehr die erste Kundgebung dieses Gesetzes selbst sein. Bezeichnen wir mit cp und cp die beschleunigenden Kräfte, welche sich auf irgend zwei Planeten beziehen, deren Abstände von der Sonne i?, R' sind, mit T und T' die Umlaufszeiten, so ist vermöge der Werthe von cp und cp'

, R R' 9>;9> = y2 : fl]

nun giebt das dritte Keplersche Gesetz    *

T²: T'² = R³:R'\

Setzt man in das zweite Verhältniss der vorletzten Proportion für T2 und T'² die proportionalen Grössen R³ und R ³, so wird sie

<P : cp =

1 1 ~R²¹ Jf² ’

und diese Proportion zeigt, dass die an die Masseneinheit angebrachte Kraft sich im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung vom Mittelpunkte der Sonne ändert.

Da die Trabanten eines und desselben Planeten in Bezug auf letzteren denselben Gesetzen unterworfen sind, so schliesst man hieraus, dass die Anziehung der Trabanten ebenfalls im umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung vom Mittelpunkte desjenigen Planeten, um welchen sie ihre Bewegungen vollführen, veränderlich sei. Die Erde besitzt nur einen Trabanten und konnte daher

eine ähnliche Vérification dieses Anziehungsgesetzes nicht liefern ; dagegen gewährte sie eine andre, welche Newton nicht entgangen ist. Wenn man nämlich aus der Gesammtlieit der vorhergehenden Erscheinungen, wie wir es schon gethan haben, die Folgerung zieht, dass irgend zwei matérielle Molecüle sich proportional ilnen Massen und umgekehrt proportional dem Quadrate ihrer gegenseitigen Entfernung anziehen, und wenn man sich ferner die Erde aus concen-trischen homogenen Schichten zusammengesetzt denkt, so muss ihre Wirkung auf einen an der Oberfläche oder ausserhalb ihr liegenden Punkt dieselbe sein, als wenn ihre ganze Masse in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Nun ist die- Entfernung der Mittelpunkte der Erde und des Mondes im Mittelwerthe gleich 60 Erdhalbmessern ; die Schwere an der Erdoberfläche muss also 3600 mal grösser sein als die Anziehung, welche von der Erde auf eine gleiche Masse auf dem Monde ausgeübt wird; dasselbe Verhältniss muss auch zwischen den Räumen stattfinden, welche in einer und derselben Zeit von den auf der Erdoberfläche fallenden Körpern und von dem Monde in der

Richtung der Anziehung der Erde durchlaufen werden. Betrachten wir, um die Rechnung zu vereinfachen, die sehr wenig excentrische Ellipse, welche der Mond beschreibt, als einen Kreis, dessen Radius R 60mal grösser als der Erdhalbmesser r ist, so wird die Cen-tripetalkraft die Wirkung g der Erde darstellen. Diese beträgt 4tt²A

also

r-j—, wo T die Umlaufszeit des Mondes um die Erde bezeich-

net, deren Werth, in Secunden ausgedrückt, = 39343 X 60 ist; man hat demnach

47t²r 60 (39343)

und da 2?rr — 40000000, so kommt

, __ 4000000 ⁹    3 . (39343)² ’

unterscheidet; auch würde man

was sich sich sehr wenig von

°    3600

keinen angebbaren Fehler finden, wenn man auf verschiedene Umstände, die wir vernachlässigt haben, Rücksicht genommen hätte.

Das Resultat dieser Rechnung lieferte eine Bestätigung der Annahme, dass alle Molecüle der Materie sich ihren Massen direct und dem Quadrate ihrer Entfernung indirect proportional anziehen, und dass die Schwere an der Erdoberfläche eine Wirkung dieser

30

Anziehung ist, eben so wie die Schwere, welche den Mond gegen den Mittelpunkt der Erde treibt.

18. Die Massen der Planeten. Es ist leicht, das Ver-liältniss der Masse eines Planeten zur Sonnenmasse zu bestimmen, wenn dieser Planet-von einem Trabanten begleitet ist, welcher eine relativ sehr kleine Masse besitzt. Wir wollen durch M die Masse der Sonne, durch m, m die Massen des Planeten und seines Traban

ten bezeichnen , mit 2a, 2a' die grossen Achsen der Bahnen des Planeten und seines Trabanten, und mit T, T' ihre Umlaufszeiten; nach dem Vorhergehenden haben wir dann 4 TT²«³

woraus

47t²a ³

rfr 2

— f (m -f- m)

«³ T'²

ö'³ T²

M -f- m -|- m

Nun darf der zweite Theil als nahezu gleich — betrachtet werden,

m

weil m sehr klein in Bezug auf M, sowie m in Bezug auf m ist; man kann also schreiben

a^T2 ~M ^ ^Ff²'

T und T' sind durch die Beobachtung bekannt, und es genügt, einen

a

angenäherten Werth von — zu kennen, um daraus mit einer Annäherung vbn derselben Ordnung das Verhältniss der Masse des Planeten zu jener der Sonne abzuleiten. Newton hat durch dieses

Verfahren

1067

für das Verhältniss der Masse Jupiters zur Sonnen-

masse

gefunden; genauere Kechnungen haben

1050

sich nur sehr wenig von jenem Resultate unterscheidet.

ergeben

was

19. Die Masse der Erde kann durch das für Planeten und Monde gegebene Verfahren nicht sehr genau bestimmt werden, weil die Masse des Mondes nicht mehr gegen die Erdmasse vernachlässigt werden darf; nichtsdestoweniger wird jene Methode eine Probe liefern, wenn man das Verhältniss der-beiden Massen kennt. Zur Bestimmung der Erdmasse gelangt man durch ein andres Mittel, das

für keinen andern Planeten benutzt werden kann, und welches aus der Kenntniss hervorgeht, die wir von ihrer Anziehung auf Körper an ihrer Oberfläche haben. Diese Anziehung ist gleich der Schwere, vermehrt um die verticale Oomponente der Centrifugal-kraft; ferner muss man auf die Abplattung der Erde Rücksicht nehmen, und man findet, dass auf dem Parallelkreise, für welchen das Quadrat des Sinus der Breite = j , und dessen Abstand r vom Mittelpunkte der Erde = 6364551 ist, die Anziehung G der Schwere nahezu denselben Werth besitzt, als wenn die Erde eine mit dem Halbmesser r beschriebene Kugel wäre. Berechnet man G nach dem Gesetze der Aenderung der Schwere an der Erdoberfläche (Mmmnique céleste), so findet sich G = 9,81645, mithin etwas grösser als g. Hieraus ergiebt sich weiter, wenn r)i die Erdmasse, und f die gegenseitige Anziehung zweier um die Einheit der Entfernung von einander abstehenden Masseneinheiten bezeichnet,

fm

G = ~ = 9,81645.

r²

Dieser Gleichung kann man den Werth yon f entnehmen und ihn in = f (df -f- m) eintragen, welche sich auf die Bewegung der Erde um die Sonne bezieht; man erhält.

Gr² (M + m).

die Formel

4 Jt²a³

T~

4jt²«³

T²

woraus

4jt²u3 5=3 GrlT~

— 1.

Andererseits hat man

T = 86400. (365,256374) und der Werth der Sonnenparallaxe giebt

a = 23984 r-

nach Ausführung dieser Rechnungen findet sich

, m

354592

= 354592 oder — —

per

Hieraus leitet man leicht das Verhältniss der Dichtigkeiten der Erde und der Sonne ab. Der Durchmesser der Sonne ist nämlich HOmal so gross als der Erddurchmesser, und die Dichtigkeiten beider Körverhalten sich wie ihre Massen dividirt durch ihre Volumina,

woraus man leicht folgert, dass die Dichtigkeit der Erde ungefähr das Vierfache von jener der Sonne ist. Berechnet man hiernach die Schwere an der Oberfläche der Sonne, so findet man, dass eine und dieselbe Masse 29|mal so viel wiegt als auf der Oberfläche der Erde, und dass die Körper, der freien Einwirkung dieser Kraft überlassen, dort einen Raum von ungefähr 145 Metern in der ersten Secunde durchlaufen würden, während an der Erdoberfläche der in derselben Zeit durchlaufene Raum nur |g ist.

20. Die Massen der Planeten, welche keine Trabanten besitzen, können durch das in No. 18 angegebene Verfahren nicht bestimmt werden, und man nimmt in Bezug auf diese seine Zuflucht zu den gegenseitigen Störungen, die sie bei ihrer Bewegung um die Sonne hervorbringen. Da die Wirkung eines Planeten proportional seiner Masse ist, so begreift man a priori, dass die Störung, welche durch diese Wirkung in einer von der Sonne erzeugten Bewegung hervorgebracht wird, zur Kenntniss des Verhältnisses von jener Planetenmasse zur Sonnenmasse führen kann; natürlich lässt sich dieses Verfahren in gleicher Weise bei den von Trabanten begleiteten Planeten anwenden, und eben dadurch hat man die Masse Jupiters zu der Sonnenmasse gefunden.

Die Massen der Trabanten eines und desselben Planeten werden ebenfalls mit der Masse ihres Planeten mittelst der Störungen verglichen, welche ihre gegenseitigen Einwirkungen in ihrer Bewegung um diesen Planeten veranlassen, und daraus kann man das Verhältnis ihrer Masse zur Sonnenmasse ableiten, weil man das Verhältnis der Masse des Planeten zur Sonnenmasse kennt. Die Erde würde auch hier eine Ausnahme machen, weil sie nur einen Mond besitzt; aber man hat hier denselben Vortheil, wie vorhin bei der Untersuchung über die Masse der Erde, man kennt nämlich die Anziehung an ihrer Oberfläche. Der Mond bringt auf dieser Oberfläche Störungen hervor, die aus der Ungleichheit seiner Abstände von den verschiedenen Punkten der Erde entspringen; diese Störungen sind die Ebbe und Fluth des Meeres. Da die Sonne ähnliche Wirkungen auf das Meer hat, so begreift man, dass die Vergleichung dieser beiden Wirkungen zu dem Verhältnisse der Massen des Mondes und der Sonne führen muss. Diese Vergleichung ist leicht durch die Beobachtung der Mond- und Sonnenfluthen, welche verschiedene Gesetze befolgen. Wir wollen uns hier auf die Angabe beschränken, dass das Verhältniss der ersten zur zweiten in

dem Hafen von Brest 2,8533 ist (Mécanique céleste) 5 durch eine Rechnung, welche wir hier nicht mittheilen können, leitet man daraus das Verhältniss der Masse des Mondes zur Sonnenmasse, mithin aitcli zur Erdmasse ab, und zwar findet sich, dass die Masse des Mondes A der Erdmasse beträgt*).

Vergleicht man die Erde mit irgend einem andern Planeten, dessen Masse mi, dessen Umlaufszeit T₁, und dessen grosse Bahnhalbachse a! ist, so hat man die Gleichung:

2\²

T~

V ₌ M + m\

a³ M -j- m

Sind ml und T) bekannt, so lässt sich das Verhältniss — und folglich a] bestimmen, weil a bekannt ist. Diese Gleichung würde zur Berechnung von ml nicht geeignet sein, weil man eq nicht mit demselben Grade der Annäherung bestimmen kann, welchen wir für a in No. 18 voraussetzten, wo es sich um die Bahn eines Trabanten handelte.

21. Bis hieher haben wir nur die Verhältnisse der Massen der

Planeten und der Sonne bestimmt; man kann aber unmittelbar einen angenäherten Werth der Erdmasse auffinden und daraus die übrigen Massen herleiten. Es genügt hiezu, das Verhältniss der Anziehung, welche von einer bekanntem Masse in einer gegebenen Entfernung ausgeübt wird, zu dem Gewicht dieses Körpers zu kennen, und dazu kann man entweder durch Gleichgewichtsbetrachtungen oder durch Schwingungen gelangen; wir begnügen uns damit, eine Vorstellung von dem ersten Mittel zu geben.

Man denke sich eine Kugel von kleinem Durchmesser an einem

Faden von der Länge L aufgehangen, und der Einwirkung einer Kugel unterworfen, deren Radius E, deren Dichtigkeit D ist und deren Mittelpunkt in der Horizontalebene liegt, welche durch den Endpunkt des Pendels geht und von diesem Punkte um die Strecke a absteht; d sei die mittlere Dichtigkeit, r der Halbmesser der Erde, und a der Winkel, welcher von der Gleichgewichtslage des Pendels mit der Verticalen gebildet wird. Die durch die grosse Kugel auf

R?,I)fm

a²

die kleine, deren Masse m sei, ausgeübte Wirkung ist

*) Aus dem Antheile, welchen der Mond an der Nutation der Erdachse hat, findet v. Lindenau die Mondmasse genauer = Ar der Erdmasse.

II.

und ihr Hebelarm L cos ci, die von der Erde ausgeübte Wirkung fTtrdfm und ihr Hebelarm L sin a. Da die Momente dieser beiden Kräfte im Falle des Gleichgewichts gleich sein müssen, so folgert man hieraus mit Weglassung der gleichen Factoren nachstehende Gleichung :

R‘A1)

a²rd

—— cos a — m sin a, woraus t?ig a —

Beobachtet man also den immer sehr kleinen Winkel cc, so enthält die obige Gleichung nur die Unbekannte d, welche daraus bestimmt werden kann. Eine Beobachtuug dieser Art, die von Maskelyne in Schottland in der Nähe eines Berges gemacht wurde, dessen Masse und mittlere Entfernung näherungsweis ermittelt waren, gab die mittlere Dichtigkeit der Erde vier bis fünf mal 'so gross, als die des Wassers; ein von Cavendish gemachter Versuch, bei welchem die Anziehung einer bekannten Kugel Schwingungen erzeugte, deren Dauer bestimmt wurde, lieferte eine 5.¹, mal grössere Dichtigkeit als die des Wassers. Diese Versuche sind in neuerer Zeit mit grosser Sorgfalt wiederholt worden ; Reich findet bei seiner ersten Arbeit (Versuche über die mittlere Dichtigkeit der Erde, Freiberg 1838) die Dichtigkeit = 5,44, bei der zweiten Untersuchung (Neue Versuche mit der Drehwaage, Abhandl. d. K. S. Gesellschaft der Wissensch. zu Leipzig, Bd. I, 1852) die Zahl 5,58; Baily (Experiments Avith the torsion rod etc., London 185l) erhält 5,66; der mittlere Werth ist demnach 5,6- Hieraus schliesst man auf die Masse der Erde, so wie auf die Massen der übrigen Planeten und der Sonne.

Zehntes Capitel.

Analytische Theorie der Planetenbewegungen.

Das allgemeine Problem.

22. Während wir im Vorigen die Keplerschen Gesetze als bekannte Thatsachen der Beobachtungen ansahen und daraus die allgemeine Anziehung der Körper herleiteten, wollen wir jetzt den umgekehrten Weg gehen und nach der Bewegung fragen, welche ein materieller Punkt annimmt, sobald er von einem Kraftcentrum eine Anziehung erleidet, welche direct proportional der Masse und umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung ist. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem das anziehende Centrum fest oder beweglich ist; doch kann man den zweiten Fall auf den ersten reduciren, indem man annimmt, dass die beiden Punkte nur ihrer gegenseitigen Einwirkung und ausserdem noch gleichen und parallelen Kräften untefworfen seien, welche keinen Einfluss auf die relativen Bewegungen haben können. Wenn nämlich P die gegenseitige Wirkung der beiden Punkte, deren Massen M und m sind, bezeichnet, so ist die an den Punkt rn angebrachte beschleu-P

von m

nigende Kraft = — ; will man also die relative Bewegung

um M bestimmen, so muss man letzteren Punkt unbeweglich setzen, und den ersten durch eine beschleunigende Kraft gegen ihn getrieben denken, welche dem Ausdrucke

^ oder P (— + Jv) M    \m MS

gleich ist. Die Anfangsgeschwindigkeit, welche man m ertheilen muss, wird aus der absoluten Anfangsgeschwindigkeit und jener von M, in entgegengesetztem Sinne genommen, zusammengesetzt. Hiermit ist die relative Bewegung zweier Punkte, welche sich dem Quadrate der Entfernung indirect proportional anziehen, auf die absolute Bewegung eines Punktes zurückgeführt, der gegen ein festes

3*

Centrum von einer Kraft getrieben wird, welche dasselbe Gesetz befolgt, und sieb von der ersten nur durch einen constanten Coeffi-cienten unterscheidet.

23. Unter der Voraussetzung eines festen Centruins der Anziehung wollen wir durch ~ die beschleunigende Kraft, welche auf

den bewegten Punkt wirkt, bezeichnen; die Gleichungen der Bewegungen sind dann

d²x    (ix dry

r3 ’    r3

Das Princip der Flächen und der Satz von der lebendigen Kraft geben die beiden ersten Integrale:

1)

r²d& = cdt,

2)

dr² . r²d&²

2,a

wo b und c willkürliche Constanten bezeichnen.

Durch Elimination von dt erhält man aus diesen beiden Glei

chungen

c²dr²

c²

r^dd'²

v²

Dasselbe würde die Gleichung 3) in Ko. 1 gegeben haben, wenn man in derselben cp—^ gesetzt hätte.

Für — — z erhält man weiter

= — c² z² -f- 2fiz -(- b.

3)

c²dz²

d&² 'Wir suchen zuerst die Werthe der Constanten c und b auf, indem wir die Anfangslage' des Punktes und seine Anfangsgeschwindigkeit, der.liiehtung und Grösse nach, als gegeben anselien. Sind r₀ und v₀ die Anfangswerthe von r und v, so giebt die Gleichung 2)

b = v² —

ro

Die Constante c haben wir bereits allgemein in No. I bestimmt; sie ist

c — r₀t>₀ sin ct,

wo « den Winkel bezeichnet, welchen die Richtung der Geschwindigkeit mit dem Radius - vector beim Beginn der Bewegung ein-schliesst. Die beiden Constanten b und c sind hiermit bestimmt.

24. Zur endlichen Gleichung der Bahn gelangt man durch Integration der Gleichung 3), welche sich auf folgende Form bringen lässt,

d& =

± dz

wobei zunächst über das Vorzeichen zir entscheiden ist. Sehen wir d& immer als positiv an, so wird dz positiv, wenn der Radius-vector zugleich mit -fr wächst, und negativ im entgegengesetzten Falle; findet das Erste statt, so hat man das positive Zeichen für den zweiten Theil der Gleichung zu nehmen, im zweiten Falle das negative, wenn die Wurzel immer als positiv angesehen wird. Demnach ist vorerst zu untersuchen, wo die Zeichenwechsel von dz stattfinden; sie entsprechen den grössten oder kleinsten Werthen von z, und man erhält sie aus der Gleichung

dz

— = 0 oder c²z² — 2fzz — 6 = 0, #

nämlich

Z=L + 7/V + ±

f c‘ — f c⁴ + c²'

Wenn z durch irgend einen dieser Werthe hindurchgeht, hat man das Zeichen von dz zu ändern und es so‘lange beizubehalten, bis z den andern Werth erreicht; dann muss man von Neuem das Zeichen von z ändern, und so fort bis ins Unendliche.

Nehmen wir an, dass beim Ausgange aus der dem r = r₀ entwachsen aufangen, dass al-

sprechenden Anfangslage die Radien zu so der Winkel a spitz und dz negativ sei, so ist

— dz

•— dz

]/- * +

2ju,

c²

durcli Integration von den der Anfangslage entsprechenden Werthen

■&₍₎ und z₀ an erhält man hieraus

c² z-—(Z

— fi'o = arc cos

y fz² -j- bc²

— ar'c cos

C²Zq-[Z

]/(z² + bc²

C² Z₍₎-fl

j/fi² -j- bc¹

sich der Werth von 'fr durch folgende Gleichung:

c² z—fl

setzt man abkürzend fr₀ — arc cos

= fr

so bestimmt

5)

fr — fr, == arc cos

\/fi² + bc²

Für solche Integrationen, in welchen Kreisbögen Vorkommen, gilt noch eine Bemerkung rücksichtlich der Grenzen, zwischen welchen die Differentiale dasselbe Zeichen bewahren. So ist z. B. das

— du ]/l~u²

gens positiv bleibt, es ist im Gegentheil =

, wenn der Sinus des Bo-

Differential von arc cos u immer =

, wenn der Si-

+ du

)/l—u²

nus negativ ist. Die Gleichung 5) gilt daher nur so lange, als man, wie wir es thun, voraussetzt, dass zum Anfangswerthe des Bogens, um den es sich handelt, eine zwischen 0 und n liegende Grösse genommen sei, und man darf sie so lange gebrauchen, als-der wachsende Werth dieses Bogens zwischen denselben Grenzen bleibt, d. h. bis zu demjenigen Werthe von z, für welchen

c¹ z-fl

j/y+bc²

I, oder z=    —

c²

ist; wenn z diesen Werth überschritten hat, muss man das Zeichen des zweiten Theils der Gleichung ändern, damit er immer das Differential des Bogens sei. Der genannte Werth von z ist einer von de

damit es gleich demjenigen des ersten Theiles werde.

nen, wo man das Zeichen des zweiten Theils dieser Gleichung ändern muss

Demnach besteht die Gleichung 5) noch jenseits dieses Werthes, und bis der Bogen gleich 27t geworden ist, weil dann der Sinus wieder positiv wird, und man also das Zeichen von dz ändern muss, um noch das Differential des Bogens zu haben. Wird nun dieser Bogen — 2tc so ist sein Cosinus = 1, und man hat

-h

Yi

+4;

c²

dies ist wieder ein Werth von z, nach welchem man das Zeichen von dz ändern muss, damit die beiden Glieder der Gleichung dasselbe Zeichen behalten. Endlich also besteht die Gleichung 5) in der ganzen Ausdehnung der Bewegung ohne jegliche Aenderung. Die Discussion würde eine ganz ähnliche sein, wenn man den Winkel a

stumpf angenommen hätte, d. h. wenn die Radien mit Abnelitnen an-fingen; der Bogen würde sich mit einem entgegengesetzten Zeichen in der Gleichung 5) finden , und diese Form müsste in der ganzen Ausdehnung der Bewegung beibehalten werden. Diese Zeichenänderung würde für einen von dem vorhergehenden verschiedenen Werth ergeben, aber das Resultat würde bis auf diesen Umstand sich nicht von demjenigen unterscheiden, das wir aus der Gleichung 5) ableiten wollen.

Diese Gleichung kann auf folgende Form gebracht werden :

■C    = cos (ü —

j/^ + öc²

restituirt man für z seinen Werth —, so ergiebt sich

r c²

ja

bc~

6)

1 +    C05 (ot-üj)

Dies ist die Gleichung eines Kegelschnitts, dessen Pol den einen Brennpunkt einnimmt. . Die Curve wird eine Ellipse, wenn b negativ, eine Parabel, wenn b gleich Null, und eine Hyperbel, wenn b positiv ist.

. Die Gleichung einer Ellipse, auf einen ihrer Brennpunkte bezogen , lautet nämlichv in Polarcoordinaten

a (l — e~)

T --- -— 5

1 -j- e cos co

wo co den Winkel bezeichnet, welcher von dem Radius-vector mit der Achse der Curve auf der Seite des nächsten Brennpunkts gebildet wird ; a und e bezeichnen die grosse Halbachse und die Excen-tricität. Die beiden Gleichungen werden identisch für

bcr

7) ü —    = co, e² = 1    ,

fi

c²

«(1—*2) = —■

Die zweite dieser Gleichungen kann nur bei negativen b existi-ren, weil bei der Ellipse e < 1 ist. In diesem Falle wird e durch diese Gleichung bestimmt und ist reell, weil der zweite Theil positiv ausfällt; a ist durch die letzte Gleichung bestimmt, und die erste zeigt, dass ß₁ der Winkel ist, der von der Achse der Ellipse mit der

Achse der x gebildet wird, und zwar auf derjenigen Seite, auf welcher der dem Anfang zunächst liegende Scheitel sich befindet.

Die Gleichung einer Parabel mit dem Parameter 2p ist

1 + COS CO

den, welche den Brennpunkt mit dem Scheitel verbindet. Die Gleichung 6) wird mit ihr identisch für

wenn die Winkel von der Geraden an gezählt wer-

c²

'fr;—= co, b= 0, p =--

In dem Falle b — 0 Ist die Balm also eine Parabel, deren Achse durch den Anfang geht und mit der x Achse den Winkel -frj bildet ; ihr Scheitel liegt auf der dieser Richtung entsprechenden Seite, und

2c²

der Parameter ist

Wenn endlich b > 0, so kann die Gleichung 6) identisch mit folgender gemacht werden :

a, (e²—1)

1 -j- e cos oo

in welcher e >• 1 ist und die denjenigen Zweig der Hyperbel darstellt, in dessen Innerem der zum Pol genommene Brennpunkt liegt; die Winkel oo werden von der Geraden an gezählt, die den Brennpunkt mit dem Scheitel verbindet. Um die Identität beider Gleichungen herzustellen, hat man

bc~

& — &₁ — oj, e²= 1 + —y , a(e² — l) —

zu setzen. Diese Gleichungen bestimmen e und a, und folglich ist für b ]> 0 die Bahn ein Hyperbelzweig, dessen Brennpunkt der Pol ist, und dessen Achse mit der xAchse den Winkel -fr. einschliesst.

25. Man kann die Gleichung der Balm leicht in rechtwinklige Coordinaten umsetzen und die Resultate wiederfinden, welche wir aus der Polargleichung abgeleitet haben. Zur Achse der x wird man diejenige Gerade nehmen, welche vom Anfänge aus unter dem Winkel -fr^ gegen die x Achse gelegt ist; hiernach erhält man

x — r cos (-fr— -9^), y=r sin (fr—-fr^), x² + y² = r².

.    i

Eliminirt man cos (-fr — a^) aus der ersten dieser Gleichungen und aus der Gleichung 6), so wird

welche Gleichung einer Ellipse angehört, wenn b negativ, einer Parabel, wenn b Null, und einer Hyperbel, wenn b positiv ist. In allen drei Fällen ist die Achse, auf welcher die x gezählt werden, eine Achse der Curve, und der Anfang der Coordinaten liegt in einem der Brennpunkte, weil der Werth von r als rationale Function von x erscheint.

Man kann noch bemerken, dass die Natur der Balm einzig und

2 m,

ro

c~ ~i/ r —---xl/

y r

bc²

fi²

woraus man folgende lierleitet:

[i²y² — bc²x² -j- 2c²xj/y² 4~ bc2, — c⁴,

allein von b abhängt, dessen Werth v₀²--L nur durch den anfäng-

liehen Abstand, nicht aber durch die Richtung der Anfangsgeschwindigkeit bedingt ist. Dies Resultat stimmt mit demjenigen iiberein, welches wir schon auf einem anderen Wege erhalten haben.

Da die Gleichung der Bahn bekannt ist, bleibt uns nur noch übrig, die Coordinaten des bewegten Punktes als Functionen von / zu bestimmen: dies Problem nennt man gewöhnlich das Keplersche. Wir werden die Rechnung für den Fall anstellen, dass die Curve eine Ellipse ist, wie dies bei allen Planeten stattfindet; wir wollen sie auf Polarcoordinaten r, 9 beziehen und die Winkel von derjenigen Geraden an zählen, welche den Brennpunkt mit dem nächsten Scheitel verbindet, was darauf hinauskommt,-9'₁ = 0 oder co = 9 zu setzen. Wir erhalten dann

a (l—e²)

--5

1 + ß cos &

in welcher Gleichung a und e Grössen sind, welcher wir aus den An-fangswerthen bestimmt haben. Eliminirt man eine von den Grössen r und O aus den Gleichungen l) und 2), so entsteht eine neue Gleichung zwischen t und der andern Coordinate ; durch Integration erhält man diese Coordinate als Function von t, die andre lässt sich daraus ebenfalls mit Hülfe der Bahngleichung herleiten.

Die Elimination von (19' giebt

woraus

clr²

c²

dt²    r ²

2jU

dt = +

rdr

// br² + 2ft?--c²

Wählt man zum Anfangspunkte der Zeiten den Augenblick, avo ■O¹ —Ö ist, so befindet sieb der Planet in dem Scheitel, welcher dem Brennpunkte am nächsten liegt, und für den r=.a (l—c)wird; er heisst das Perihel. Der diametral gegenüberstehende Punkt der Ellipse heisst das Aphel; der Radius-vector hat dann seinen grössten Werth r — a (l -f- e). Hiernach ist dr positiv vom Perihel bis zum Aphel, und negativ von diesem letzten Punkte an, bis r wieder das Perihel erreicht hat. In der ersten Hälfte der Bahn hat man also die Gleichung

rdr

]/br² -j- 2fir — c²

zu nehmen, in der zweiten Hälfte muss man das Zeichen des zweiten Theils ändern. Man könnte diesen Ausdruck leicht mittelst Kreisbögen integriren, wobei das Zeichen des zweiten Theils eine ähnliche Discussion wie früher veranlassen würde; besser ist es aber, statt r eine neue Variable einzuführen.

Da r immer zwischen a (l—e) und a (l -j- e) liegt, so darf man r = a (l — e cos u)

setzen; der Winkel u geht gleichzeitig mit 0¹ durch dié Werthe 0, Jt, 27t hindurch; man hat ihm den Kamen excentrische Anomalie gegeben; und der Winkel & heisst die wahre Anomalie des Planeten. Nimmt man diese Substitution vor und setzt für' die Constan-ten b und c ihre aus den Gleichungen 7) bestimmten Werthe

b = — — und c² = fta (l — e),

so

kommt

dt =

a j/ — (i — e cos u) du.

■fl

Integrirt man diese Gleichung und beachtet, dass t mit u gleichzeitig verschwindet, und setzt der Kürze wegen erhall man

nt — u — e sin u ;

diese Gleichung bestimmt u als Function von t, nachher r mittelst der Gleichung

Man

r = a (1 — e cos u) , schliesslich wird aus der Gleichung der Bahn bekannt, könnte auch & als Function von u ausdrticken ; es ist nämlich

du

— '2dz ;

d&~

cdl

cdr

du

V 1—e²;

r ]/ bi'~ -f- 2{ir — c²

nra diese Gleichung zu integriren, machen wir von der Substitution Ing \u = z Gebrauch und erhalten

r²

1 — e cos u

cos²^u

weil ferner cos u = cos'^ii — si?i²^u, so ergiebt sich

dd-

2dz]/1 — e²

1 — e + (1 + e) z²

woraus

l'ö' = arclng

(VtS)

+ ci5

die Constante ist Null, weil & und z gleichzeitig verschwinden; man gelangt so zu der Formel

fl

*    Ing \u ; -

• • 6

liiermit ist die Coordinate als Function von u und mithin von t bestimmt.

tng =

26. Die Umlaufszeit T des Planeten findet man aus der Glei-

2 Tt

cliung nt = u — e'sin u für u = 2n, nämlich T'~ —-

Denselben Werth würde man auch erhalten, wenn man den Flächeninhalt der Ellipse durch die vom Radius-vector während der Zeiteinheit beschriebene Fläche dividirte. Da nämlich die Halbachsen der Ellipse a und aj/l — e² sind, so ist ihr Flächeninhalt — na²]/1—e²,

durch \c = ^j/fia (l — e²) dividirt, giebt diess 2na

= 2 na

v² =

Die Geschwindigkeit in jedem Punkte ist durch die Gleichung man leitet sie aus der Formel 2) ab,

wenn man

^(7 — 7) gegeben;

in ihr b durch seinen Werth — — ersetzt.

27. Die vorigen Formeln, Avelche t, r, & durch die Hülfs-variable u ausdrücken, können leicht geometrisch beAviesen Avcr-den, und man erkennt zugleich die Bedeutung der letzteren Variablen.

Nach diesen Bestimmungen ist der Winkel NO A nichts Andres, als die Variable u, die excentrische Anomalie. Nach dem bekannten Ausdruck des Kadius-vector der Ellipse als Function der Abscisse hat man nämlich

rz=a —• e. OP — a (l — e cos NO A) ;

bezeichnet man also NO A mit u, so kommt man auf die Gleichung r = a (l —■ e cos u) zurück.

Um t als Function von u auszudrücken betrachten wir den während der Zeit t beschriebenen elliptischen Sector. Da der doppelte in der Zeiteinheit beschriebene Flächenraum = c = y fia (1—e~) war, so ist

na²y l — c~

sect MFA ~ ^ tj/ya (1 — e²) =

wobei, wie vorhin,

— = n gesetzt wurde. Nun kann man einen

A'

(Fig- 4.)

MF A = ff, MF =r, OF^ae,

Sei O (Fig. 4) der Mittelpunkt der Ellipse, M irgend ein Punkt der Curve, w N der Punkt, wo die verlängerte Ordinate A den mit der grossen Halbachse concen-\ trisch zur Ellipse beschriebenen Kreis A trifft, so ist MP

NP

- = Yl — e². a

]/y

a j/a

zweiten Ausdruck desselben Sectors als Function von u aufstellen. Beachtet man nämlich, dass die Ordinaten, welche derselben Abscisse im Kreise und der Ellipse angehören, in dem constanten Verhältniss a:b stehen, so hat man entsprechend für die Flächen

sect MF A = - sect NF A = /1 — e² {NO A — NO F) ; a

nun ist

NO A =

a²

—u, NOF = 2

NO.OF sin u

a² e sm u .

also

sect MF A =

a² y 1 — e²

(u—e sin u).

Setzt man beide Werthe des Sectors gleich, so findet man die schon erhaltene Gleichung nt =: u — e sin u wieder.

Um eine Gleichung zwischen tf und u zu erhalten, braucht man nur die beiden Ausdrücke für r einander gleich zu setzen ; zuerst giebt diess

1 + e cos ft

— e cos u, woraus cos =-

1—

cos u — c

e cos u ’

diese Gleichung erhält eine elegantere Form, wenn man (l + ß) (1 — cosu)

1 — cos & =

1-—e cos u

, 1 + cos & =

(l — e) (1 -f- cosu)

1 — e cos u

berechnet, beide Gleichungen durch einander dividirt, und die Quadratwurzeln auszieht; man gelangt so wiederum zu d*er Formel •

Ing =

V\

X-~q in9 \u-

28. Bevor wir in der Aufsuchung bequemerer Formeln zur Bestimmung des Ortes des Planeten in jedem Augenblicke weiter gehen, wollen wir zeigen, wie dieselben sich vereinfachen, wenn man bloss die erste Potenz von e berücksichtigen will, was bei den meisten Planeten mit hinreichender Annäherung erlaubt ist.

Die Gleichung u = nt + e sin u giebt

u = nt + e sin {nt -f- e sin u), und mit Vernachlässigung von e², e³ etc.

u = nt + e sin nt.

Nun hat man

r ~ a (l—e cos u);

vernachlässigt man also Avieder e², e³ etc., so wird r = a (l —'ß cos nt).

Es bleibt nur noch & zu bestimmen. Man könnte es aus der Gleichung der Bahn ableiten, wenn man in sie den eben für r gefundenen Werth einsetzt; aber es ist besser, & direct aus der Gleichung

r²d& — cdt = dt j/fia (l — e²)

zu berechnen. Vernachlässigt man das Quadrat von ß, so giebt die Gleichung der Bahncurve

r — a (!•—e cos -0¹) und r² = a² (l — 2e cos -9¹) ;

folglich

a ]/ «

d& (l — 2e. cos &) — dt

= ndt\

mit Rücksicht darauf, dass gleichzeitig t 0 und & = 0 ist, erhält man durch Integration

nt — fr — 2e sin

und folglich mit Vernachlässigung von e²,

ff¹ = nt + 2e sin nt.

29. Die Winkelbewegung des Planeten würde gleichförmig sein, wenn man den Ausdruck 2e sin nt vernachlässigen dürfte; man kann sich aber einen Punkt denken, dessen Winkelbewegung durch die Gleichung ff = nt bestimmt wird, und welcher vom Perihel gleichzeitig mit dem Planeten ausgeht; er würde dann noch gleichzeitig mit ihm durch das Aphel gehen, weil man für diesen Punkt H = n und folglich sin nt — 0 erhält. In der ersten Hälfte der Bahn ist der wirkliche Planet dem gedachten Planeten um eine Winkelgrösse voraus, deren angenäherter Werth 2e sin nt ist, und welche man die Mittelpunktsgleichung nennt. In der zweiten Hälfte ist im Gegentheil der gedachte Planet dem wirklichen voraus, weil sin nt negativ ist ; sie treffen beide im Perihel wieder • zusammen; dieselbe Bewegung wiederholt sich fortwährend. Man hat diesem Winkes nt den Namen mittlere Anomalie gegeben, man nennt ihn auch die mittlere Bewegung des Planeten.

Die Betrachtung dieses gedachten Gestirns ist bei der Erde zur Bestimmung der mittleren Zeit von Nutzen. Man corrigirt auf diese Weise die Ungleichheit der Bewegung der Sonne in der Ekliptik; es bleibt noch die Ungleichheit zu verbessern, welche von der Neigung der Ebene der Ekliptik gegen die Aequatorialebene herrührt; hierzu gelangt man dadurch, dass man ein zweites Gestirn fingirt, dessen Bewegung gleichförmig in der Ebene des Aequators vor sich geht. Dieses Gestirn ist es, welches die sogenannte mittlere Zeit bestimmt; sie fällt vier mal im Jahre mit der wahren Zeit zusammen, welche durch die wirkliche Sonne angezeigt wird.

Das Keplersche Problem.

Das Problem, die Werthe der beiden Polarcoordinaten r und ff eines Planeten als Functionen der unabhängigen Variablen l zu entwickeln, wollen wir für die elliptische Bewegung unter der Voraussetzung lösen, dass e ein sehr kleiner Bruch sei, wie dies bei den meisten Planeten der Fall ist, für die Erdbahn z. B.

e = 0,01685318.

30.

Zwischen r, ff, t und der Hülfsvariablen tc bestanden folgende drei Gleichungen :

1)

2)

u — nis -f- e sin u, r = a (I •—■e cos u),

3)

- Ing \u ;

aus ihnen würden sich t, r und ff für ein gegebenes u leicht bestimmen lassen, dagegen bedarf es mühsamer Interpolationen, wenn r und ff für einen gegebenen Werth von t ermittelt werden sollen, und eben um diese .Unbequemlichkeit zu vermeiden, hat man r und ■ff direct als Functionen von t auszudrücken gesucht.

Das Mittel hierzu bietet die sogen. Umkehrungsformel von Lagrange, welche überhaupt zeigt, wie man aus einer Gleichung von der Form

4)

z —x + a f(x)

z als Function von .r, und allgemeiner F (2), ausgedrückt durch x, erhalten kann. Es ist nämlich

3)

, a /. / \ 1 d \fi.x)²] x -j--f (x) -}---—--

1 ' w 1.2

dx

d²[f(xf]

1.2.3‘ dx¹

... +

am

dm 1

dxm

6)

/    a    . . ar d \F' (x) f (x)~ 1

U(«) = F (*) + Y F <»/■(*) + Y72    --

dx

... +

am

dm~l [F' (x) f (x)m]

dxm

+ •• • ;

1.2 ... m

was den Beweis dieser Formeln und die Bedingungen ihrer Gültigkeit betrifft, so verweisen wir auf Moigno’s Leçons de calcul

différentiel, leçon XVIII., und bemerken nur, dass im vorliegenden Falle wegen der Kleinheit von a = e die Formeln ohne weitere Determination angewendet werden können.

31. Die excentrische Anomalie als Function der Zeit. Für z~u, x=nt, a=e, f (x)=sinx geht die Gleichung#) in die Gleichung l) über, man erhält demnach unmittelbar die Entwickelung von u nach Potenzen von e, wenn man dieselben Substitutionen in der Formel vornimmt. Behalten wir der Kürze wegen vorerst die Bezeichnung x bei, so wird

,    e² d (sin² x)

u — x -f- e Sin x -f---

1 .2

dx

dm 1 (sinm x)

em

1.2 ...m dxm

Um die angedeuteten Differentiationen zu vollführen, drücken wir die Potenzen von_sm x durch die Sinus und Cosinus der Vielfachen von x mittelst folgender Gleichungen aus :

2 sin²x = «—• cos 2x ff- 1, •

2²sini x = — sin 3x + 3 sin x,

2³sinix = -f- cos ix — 4 cos 2x -f- 3,

2isin⁵ x = -j- sin óx — 5 sin 3x -f- 10 sin x,

2³sin³x = •—< cos 6x + 6 cos ix — 15 cos 2x -f- 10,

dividiren wir jede Gleichung durch die Potenz von 2, welche sich als Factor auf der linken Seite findet, und differentiiren, so kommt:

= sin 2xj

d ( sin²x )

dx

d² (sin³ x) 3² sin 3a: — 3 sin x

dx²

2-

d³ (sin* x)

dx³

= 2³ sin ix — 4 sin 2 x ;

d* (sin³ x) b* sin 5x •—• 5.3⁴ sin 3x -f- 10 sin x

2⁴

da;⁴

= 3⁵ sin 6x — 6.2⁵ sin ix + 3.5 sin 2x.

d° (sin³ x)

Nach Substitution dieser Werthe und für x-=nt ergiebt sich die Entwickelung

e²

u =. nt + e sin nt 4--sin Int

2

^3

+ ^ (3 sin ‘int — sin nt)

7)

e⁴

+ —- (2 sin 4nt •—* 5m 2«0

e⁵

+    - (5³5w 5«?— 3⁴ 5m 3?*/ + 2sinnt)

e«

2⁴.3.5

(3⁴5m    —2ö5m 4nl -f- 5 sm 2nf) + ....

sen

zu

Da man jetzt u aus irgend einem “Vl^rthe von t finden kann, so lies-sich mittelst der Gleichungen 5) und 6) auch r und & für jedes l darstellen; es ist jedoch noch besser, die vermittelnde Grösse u vermeiden und diese Grössen unmittelbar als Functionen von t auszudrücken.

/

32. Der Radius-vector als Function der Zeit. Nach der Gleichung 5) ist— eine bekannte Function von w, und kann

F (x) = l — e cos x neh-bestimmt werden; es ist folglich F (x) — e sin x, und

mittelst der Formel 3), in welcher man

men muss,

wie in dem vorhergehenden Falle a = e, f (x) = sin x, x = nt ;

folglich

— = 1 — e cos x

-J- e² sin² x -j- —

ei d (5m³ x)

dx

2.3 ’

e⁴    d² (sin* x)

dx²

d³ (sin°x)

dx³

eh

2.3.4

+ ....

Man hat aber

sin² x

—• cos 2a? -j- 1

d (sm³ x)    •— 3 cos ix -j- 3 cos x

2*

dx

d2 (Sm X x) — — 2 C05 4a? + 2 C05 2a?, dx²

d³ (sm⁵ x) — 5³ cos 5^ + 5 • 3³ cos 2>x— 5.2 cos x ,

dx³

2⁴

dl (siifi x)

•—■ 3⁴ cos 6x -{- 6.2⁴ cos Ax ■—'3.5 cos 2a’

dxi

T

Substituirt man diese Werthe in den Ausdruck für — und setzt nt für x, so erhält man die gesuchte Reihe

— = 1 — e cos nt —

e³

— (cos !2nt— 1) *—’ ^(3 cosdnl—S cos nt)

ß4    ßh

8)

■—— (cos Anl — cos 2nt)‘—*    (5³ cos nt—5.3³cos3«t +

-J- 5.2 cos nt)

2*. 5

(3³ cos 6nt — 2⁵ cos 4nl -j- 5 cos 2nt) —.....

33. Die wahre Anomalie als Function derZeit. Die Gleichung 6) giebt mittelst eleganter von Lagrange ausgeführter Transformationen zunächst den Werth von & als Function von sin m, sin 2 u etc.; ersetzt man diese Werthe durch Entwickelungen, die nach Potenzen von e fortschreiten, so erhält man die Auflösung der Aufgabe.    v

Wir substituiren zunächst für die Tangenten die Verhältnisse von Sinus zu den Cosinus und für diese ihre imaginairen Exponential-ausdrücke; die Gleichung 6) geht dann, wenn e die Basis der Neper-schen Logarithmen und i die Wurzel Ÿ—1 bezeichnet, in folgende über :

1 + e sm— 1

ui

woraus folgt

ßi__    +e + j/l —e) + j/l~e —j/i + e

ui(j/i_e _j_ j/T+7) + j/T^e + /T+e

Setzt man ferner

so erhält man

_ Vl + e—ÿl — e ₌____

y\ + e + ]/\ — e    1 + j/l—'e² ’

_    .    — ui

1 — A s    ui

TVi £ — As

9i

. i ui

I—Af

und wenn man auf beiden Seiten die Logarithmen nimmt und dann durch i dividirt,

& = u -f-

l (1 — A a~ui)

l (1 —A aui)

Die Logarithmen kann man entwickeln, weil A weniger als die Einheit beträgt; ersetzt man nachher die imagiuairen Exponentialgrös-sen durch Sinus und Cosinus, so ergiebt sich

A²

A³

A⁴

u 4- 2 (A sin u -f- — sin 2u -j--sin 3u 4--sin 4w -f- ..

iv    '2    3    4

Man hat jetzt für u, sinn, sin 2u, .... ihre nach Potenzen von e geordneten Entwickelungen zu substituiren. schon durch die Gleichung 7) gegeben; und sin u wird aus der Gleichung 4) hergeleitet; sie liefert

Der Werth von u ist

sin u e=

^    ß    ß ^

-— — sin nt -{- - sin 2nt -f- ^ (3 sin 3nt—sinnt) + ....

Mittelst der Formel von Lagrange findet man weiter

sin 2w — sin 2nt -j- e (sin Zn t — sinnt) + e² (sin \nt — sin 2 nt) e3

-j- ~y~; (4 sin Lnt — 27 sinZnt + 'Ibsinbnt) + . 2.3

sin Zu

= sin Znl +    (3 sin 4nt — 3 sin Int)

e2

+ ^3 -(15 sin 5nt— 18 sin Znt + 3 sin nt)

e³

+ — (9 sin 6nt— 12 sin 4nt + 3 sin 2nt) + ...

Es bleibt noch übrig, die Potenzen von A nach denen von e zu ent-Avickeln. Wir setzen zu diesem Zweck

fe*a| %

1 + j/l — e² — E, woraus E — 2 —

und können nun £ p nach Potenzen, von e² mittelst der Formel 3) entwickeln, in welcher

z = E, œ = 2,a = e\ F (2) = 2“p = E~p

zu setzen ist; es ergiebt sich auf diesem Wege

• E~p =

1 4-    2 , P (P + 3) 4 , P(P+ 4) (P + 5)

2P ' 2P+2    '    2.2p~h⁴    '    2.3.2P+6    '.....’

oder wegen X — e E~' ,

^4-    + * , P(P + 3; p+4 , p(p + 4)(p + 5) ₊₆

2? ' 2P+²    '    2 2P + 4    '    2 3 2P+6

Substituirt man für die verschiedenen Potenzen von X die aus dieser Formel resultirenden Werthe, so findet sich mit Vernachlässigung der Potenzen von e, welche die sechste übersteigen,

9)

& = nt 4- \2e — —e³ + — e⁵ ) sin nt \    4    96 /

+ (Le² — -e* _j_ JLgA 2wf +(¹³

\4    24    192 /    \12

43

— e³ —--e⁵ 1 sin 3nt

64

103

96

451

*—eb ) stn 4nt 480    /

.    1097 , .    ,    1223    .

-j--e° srn bnt    -f-    ——    eb sw    6nf,

960

960

oder nach Potenzen von e geordnet,

5

= nt -f- 2e sin nt + — e² sin 2nt

e³

2².3

(l3 sin Snt — 3 sin nt)

10)

el

-f~    (103 sin 4nt — 44 sin 2nt)

e⁵

2°.3.5

(1097 sinbnt — 645 sw 3nt -j- 50sinnt) + .... —

Berücksichtigt män bloss die ersfe Potenz von e, so geben die Formeln 8) und 9),

r — a (l — e cos nt) & nt -1- 2e sin nt, wie wir früher schon bemerkt haben.

34. Die Formeln der vorigen Abschnitte erhalten eine elegantere Gestalt, wenn die vorkommenden Reihen nach den Sinus oder Cosinus der Vielfachen von nt geordnet werden, nämlich

u == nt fl- Cx sin nt fl- C₂ sin 'Int- fl- C?> sin 3nt fl- ....

V

— — D₀ + JDl cos nt -f- D₂ cos 'Int + B₃ cos dnt fl- ....

-9- — nt fl- Et sin nt -j- E₂ sin 'int fl- E₃ sin 3nt fl- ....

wie es bei der letzten Formel schon in Nr. 9) geschehen ist. Diese Anordnung bietet nämlich den Vortheil, dass die Coefficienten C, B, E nur von e abhängen und daher für jeden einzelnen Planeten individuelle Werthe haben, die sich ein für allemal berechnen und in einer Tabelle zusammenstellen lassen. Unabhängig von dem Vorigen gelangt man zu dieser, Auflösung des Keplerschen Problem’s auf folgende von Bessel¹) angegebene Weise.

Nach einem bekannten Satze kann jede Function einer unabhängigen Variabelcn r in die periodische Reihe

11)    f (t) = ^A₍₎ Ai cos x -f A₂cosix fl- . ••• oder auch in die Reihe

12)    f (x) — Bi sin x fl- B₂ sin ix fl- B₃ sin 3t fl- ...

verwandelt werden, wobei aber n >• x >> 0 sein muss und die Coef-licienten A, B nach den Formeln

7t

7t

13) Ak =

cos kx dx.

Bk=

i/fw

sin kx dx

zu bestimmen sind. Gleichung

Setzen wir \e = c, nt = x und denken uns die

14)

ic sin u — x

nach u aufgelöst, so ist u, mithin auch cos u eine Function von r, und es kann folglich die Gleichung ll) auf den Fall f (x) = cos u augewendet werden. Dies giebt

7t

cos u dx,

oder wenn statt r die Variabele u mittelst der Gleicliung 14) eingeführt und zugleich bemerkt wird, dass den Grenzen x ~ o und x~n die Grenzen u = 0, u — n entsprechen,

TC

— 2c cos u I du — — c.

2 j cosu cos kxdt s= 2 cosn

cos u sin kx

+ — | jcos(kx—u) du— j'tos (kx+u)du\

und hieraus wird nach Einführung der. Grenzen t = 0, x—tr, denen wie vorhin u~0, u = n correspondifen,

TC

TC

f    i ( r    r    i

21 cos.u cos kx dx — l cos (kx—u) du ■— J cos (kx + u) du}-0

Co

multiplicirt man noch mit — und setzt für x seinen Werth aus Nr. 14), TC

so erhält man

TC

k kn

Diese Gleichung zeigt, dass die Berechnung von auf eine eigen-thümliche Transcendente führt, deren Definition durch die Gleichung

TC

— A sin u) du

15)

jcos (pu

0

gegeben ist, worin p eine ganze positive Zabi, A eine beliebige positive Grösse bezeichnet. Mittelst einiger Transformationen des

vorstehenden Integrales kann man die Function J leicht in die

A,p

folgende immer convergirende Reibe verwandeln:

n T    A»¹

16) /, — ——-    .

1•2.. .p <

A ,P

A²

A⁴

l.(p+ 1)

1.2.(jp + l)(p + 2)

auch besitzt man schon eine ziemlich ausgedehnte Tafel für die genannte Transcendente ²). Es ist daher /. als völlig bekannte Grösse

zu behandeln und demnach

kc, k—1

Für co5 u hat man daher folgende Reihe

{COS U - =

17)

C,0

C,2

cos X

+ H⁷:

2c,3

cos 2t +.....

2c,i

Mittelst einer sehr ähnlichen Rechnung findet man, dass sin u, aus den Formeln 12) und 13) abgeleitet, durch nachstehende Reihe bestimmt ist

18) c sin u t==

HW

c, 1

sin x 4- kJ

² 2c,2

sin 2r +

Für die excentrische Anomalie selber erhält man wegen ja — x + 2c sin x,

c,t

sin x 4- Ł /

² 2c, ₂

sm 2r + •••• ) •

Aus Nr. 18) folgt weiter

- = 1 + 2c² — 2c fi (j —J

20)

C, o

C,2

COS X

J — J ) cos 2r + ... . 2c,i    2c,₃/    J

Auch der reeiprokc Werth von r lässt sich in eine Cosinusreihe Umsetzen; die Gleichung 14) liefert nämlich

du

dx    1 — 2c cos u

mithin ist, wenn linker Hand die Formel 19) angewendet wird

'S j a

21)    = l + 2 ( J cos x + J cos 2t + ....

V c, 1    2c,2

Die Berechnung von & liefert etwas zusammengesetztere Ausdrücke, die bis zur sechsten Potenz von ß bereits in Nr. 9) gegeben sind.

sen

Gotha 1843). Theorie und Tafel der Bessel’schen Function J\,n findet

¹

Abhandlungen der Berliner Akademie von 1816 und 1817 ; erschienen 1819. S. 49 — 55.

²

Schon Bes sei hat eine solche Tafel berechnet, welche von Han-bedeutend erweitert worden ist (Schriften der Sternwarte Seeberg;

man

in der Zeitschr. für Mathem. u. Physik. Jahrg. 2 (1857), S. 137.

Eilftes Capitel.

Bewegung eines beliebigen Punktesystemes.

Das d’Alembert’sche Princip.

35. Bei den folgenden Untersuchungen setzen wir immer solche Punktesysteme voraus, bei denen gewisse Verbindungen zwischen den Punkten des Systems bestehen; denn ohne diese würde die Bewegung jedes Punktes isolirt vor sich gehen und nach den früheren Regeln heurtheilt werden können. Wir nehmen an, dass jene Verbindungen durch Gleichungen von folgender Form ausgedrückt sind

L—0,    o, iV= 0, ....

deren Anzahl k sein möge, und welche in jedem Augenblicke zwischen der Zeit und zwischen den Coordinaten dieser Punkte stattfinden.

Kennt man der Grösse und Richtung nach die Kräfte, welche auf jeden Punkt wirken und die von den Lagen oder von den Zeiten abhängen können, weiss man ferner die anfängliche Lage jedes Punktes, sotvie die Richtungen und Werthe der Anfangsgeschwindigkeiten, so ist die Bewegung offenbar vollständig bestimmt,

und die Coordinaten jedes Punktes sind bestimmte Functionen der Zeit.

Bezeichnet n die Anzahl der materiellen Punkte des Systems, so hat man, da schon k Gleichungen zwischen den 3n Coordinaten vorhanden sind, nur noch 3n — k Gleichungen zwischen denselben Coordinaten und der Zeit aufzusuchen ; sobald diess geschehen ist, hat man die vollständige Lösung des Problems, weil man dann für jeden Augenblick die Lage aller Punkte, mithin alle Umstände der Bewegung kennt. Jene Gleichungen werden mit Hülfe des folgenden von d’Alembert aufgestellten Prineips gefunden, Avel-clies die Bestimmung der Bewegung eines beliebigen Systems auf die Betrachtung des Gleichgewichts dieses Systems zurückführt.

63. Wenn Punkte gewissen Bedingungen unterworfen sind, so ertheilen die auf sie einwirkenden Kräfte ihnen nicht dieselbe Bewegung, als wenn sie ganz getrennt und frei wären; könnte man aber die Kräfte, welche von jenen Bedingungen herrühren, isolirt aufzeigen und sie dann in jedem Augenblicke mit den Kräften verbinden, welche direct an den Punkten angebracht sind, so würde man alle Punkte als vollkommen getrennt und frei betrachten dürfen. Wir wollen mit m die Masse und mit x, y, z die Coordinaten eines' solchen Punktes bezeichnen; dann müssen die drei so berechneten Componenten folgende Werthe haben

d~x dry d~z m —Tr, m —ir , m — dt²' dt²' dt²'

deren Resultante Q heissen möge.

Es sind nämlich — , ~    ^ die zur Zeit t wirklich vorhandenen

dt dt dt

•    cfioc

Seitengeschwindigkeiten, mithin m m m die Componen-

dry

drz

ten der wirksamen Kraft, woraus folgt, dass die Kraft der Masse

(Fig. 5.)

?)i, wenn diese frei wäre, für sich allein ganz die nämliche Bewegung ertheilen würde, welche m in seiner Verbindung mit dem Punktesysteme thatsächlicli besitzt.

Wir bezeichnen mit P die

//

gegebene Kraft, die auf die Masse m wirkt und diese, wenn sie frei wäre, innerhalb der Zeit dt von A nach B treiben würde, und zerlegen P in zwei Compo-nenten der Art, dass die eine-^"^

heben.

sprochenen Principe der verlorenen Kräfte :

Componente mit der wirksamen Kraft Q zusammenfällt, welche in der nämlichen Zeit die thatsächlicli vorhandene Bewegung von A nach C erzeugt; die andere Compoaente heisse U. Auf gleiche Weise erhalten wir an allen übrigen Punkten entsprechende Componenten U\ U" etc. Nun geschieht die Bewegung aller einzelnen Systempunkte, auf welche die äusseren Kräfte P,P, P"... wirken, ganz ebenso, als wenn diese Punkte frei wären und nur von den Kräften Q, Q', Q" etc. getrieben würden, d. h. ebenso, als wenn die Kräfte P, U\ U" etc. nicht vorhanden oder verloren gegangen wären. Diess ist aber nur auf eine Weise und zwar dadurch möglich, dass sich die sogen, verlor enen Kräfte U, U\ ü" etc. unter einander auf-Damit gelangen wir zu dem von d’Alembert zuerst ausge-

Die Bewegung eines beliebigen Systèmes von Punkten, die irgend welchen Verbindungen unterworfen sind und von irgend welchen Kräften getrieben werden, geschieht immer so, dass die in jedem Augenblicke verlorenen Kräfte einander das Gleichgewicht halten.

Man kann diesem Satze noch eine andere, für seinen Gebrauch etwas bequemere Form ertheilen. Jede verlorene Kraft U lässt sich nämlich wieder als Resultante der gegebenen äusseren Kraft P und einer Kraft — Q ansehen, welche der sogen, wirksamen Kraft gleich und entgegengesetzt ist. Das vorige Princip lautet dann folgender-maassen:

Die Bewegung eines beliebigen Systèmes von Punkten, die irgendwie mit einander verbunden sind und unter dem Einflüsse irgend welcher Kräfte stehen, geschieht immer so, dass in jedem Augen blicke Gleichgewicht stattfindet zwischen den gegebenen Kräften und jenen Kräften, welche den Avirksamen Kräften gleich und entgegengesetzt sind.

Wie sich aus diesem Satze die Gleichungen der BeAvegung eines beliebig zusammengesetzten von beliebigen Kräften afficirten Punktesystemes herleiten lassen, werden Avir bald zeigen; vorher entAvickeln Avir erst ein anderes noch allgemeineres Princip.

Das Gauss’sche Princip.

(Fig. 6.)

jy

37. Wie vorhin sei m die Masse eines Systempunktes, A sein Platz zur Zeit t, B der Platz, den er nach der Zeit*lt in Folge der gegebenen Kraft P einnehmen Aviirde, Avenn er frei wäre, endlich C die Stelle, an die er nach jener Zeit wirklich gekommen ist. Die auf m wirkende @ Kraft P denken wir uns wieder zusammengesetzt aus der Kraft £), die den Punkt in der Zeit dt von A nach. C führt, und aus der Kraft U, die ihn, falls er frei wäre, von C nach B führen würde. Da nach dem Vorigen Gleichgewicht ZAvischen den verlorenen Kräften ü, U\ U" .etc. stattfinden muss, so lässt sich auf diese das Princip der virtuellen GeschAvindigkeiten am\mnden, undzwar in folgender Weise.

Es sei B ein von C verschiedener, aber mit den Bedingungen des Systèmes verträglicher Platz, an den A während der Zeit dt möglicherweise kommen könnte; an die Stelle der Linie CB tritt jetzt die Linie CB und diese ist nun eine virtuelle Bewegung des Punktes C. Fällt man von B auf die Richtung der Kraft U die Senkrechte BE und setzt BCB    so ist U. CB . cos das virtuelle Mo

ment der verlorenen Kraft U, mithin nach dem Principe der virtuellen Geschwindigkeiten, sobald man sich die gleiche Construction mit allen Systempunkten vorgenommen denkt,

2 (U.CB.cos &) = 0.

Da die Kraft U der Art ist, dass sie die als frei gedachte Masse m in der Zeit dt aus der Ruhelage durch die Strecke CB treiben würde, so ist sie proportional dem Producte m . CB ; ma« hat daher bei Weglassung der gemeinschaftlichen Factoren

cos

Z (m .CB .CD .

Andererseits ist.

BB² = CB² + CB² — 2 CB . CB. cos &

oder

CB² = BB² — CB² -f- 2 CB . CB . cos &■

multiplicirt man diese Gleichung mit m und bildet die Summe aller von den Systempunkten herriilirenden Gleichungen derselben Art, so verschwindet nach Nr. l) die letzte Summe Z (m. CB . CB ,cos&) ■ und es bleibt

2)

(m. CB²) — Z (in. BB²) — Z (m. CB²).

zu

Um den hierin liegenden merkwürdigen Satz bequem ausdriieken können, bemerken wir zunächst, dass die vorige Betrachtung im Wesentlichen dieselbe geblieben wäre, wenn man statt der verlorenen Kräfte U, U\ V"... die ihnen gleichen und entgegengesetzten — ?7, •—• U\ —V"... genommen hätte. Die Wirkung der Kraft U ist aber eine ab lenk ende, insofern sie die Masse m in der Zeit dt von B nach C treiben würde ; man hätte daher BC statt CB, ebenso BB statt BB zu setzen und erhielte:

3)

Z (m . BC²)    Z (m. Bir) — Z (m. CB²) .

Hier bedeutet BC die wirkliche Ablenkung der Masse m von der freien Bewegung AB, dagegen stellt BB jede mögliche andere

Ablenkung dar, und da nach Nr. 3) Z[m.BC²) immer kleiner als Z(m. BD²) ist, so hat man jetzt das folgende, zuerst von Gauss¹) auf-gestellte Princip :

Die Bewegung irgendwie miteinander zu einem System verbundener Punkte, die irgend welchen Bedingungen unterworfen sind und von irgend welchen Kräften getrieben werden, geschieht zu jeder Zeit in möglich grösster Uebereinstimmung mit der freien Bewegung, d. h. so, dass die Summe der Produkte aus der Masse jedes Punktes in das Quadrat seiner Ablenkung von der freien Bewegung ihren Minimalwerth erhält.

Die wirklichen Plätze C, C', C" etc., welche die Punkte A, A', À' etc. nach der Zeit dt einnehmen, sind hiernach unter allen möglichen,

m . BC² + m B'C'~ + m B"C + .... '

mit den Bedingungen des Systèmes verträglichen Plätzen diejenigen, bei denen

zu einem Minimum wird. Aus dieser Bedingung jene Plätze zu bestimmen, ist im Allgemeinen eine Aufgabe der Variationsrechnung.

m. BC etwa

38. Man kann übrigens der vorstehenden Summe eine mechanische Bedeutung unterlegen. Wenn nämlich der Punkt A von dem Orte B, an den er bei freier Bewegung gelangen würde, nach dem Orte C seiner wirklichen Bewegung abgelenkt werden soll, so gehört dazu ein gewisser Zwang oder eine gewisse mechanische Arbeit. Es liegt daher nahe genug, den schon früher bestimmten Begriff der Arbeit einer Kraft auch hier anzuwenden und die Arbeit der ablenkenden Kraft — Z7, d. h. das Produkt (— U) . BC alsMaass für jenen Zwang anzusehen. Der gesammte in dem Systeme vorhandene Zwang ist dann —Z^U.BC), und da U proportional dem Produkte k. m. BC ist, so wird der ganze Zwang — — k Z(jn.BC')-Dieser Ausdruck erreicht seinen Minimalwerth gleichzeitig mit Z (m. BC'), und zufolge dieses Umstandes kann das Gauss'sche Princip auch in der kurzen Form

Die Bewegung jedes beliebigen Punktesystem es geschieht immer unter möglich kleinstem Zwange ausgesprochen werden.

6t

Dieses „Princip des kleinsten Zrvangesu Lat den eigenthümliclien Vorzug, dass es die Gesetze der Bewegung und der Ruhe auf ganz gleiche Art in grösster Allgemeinheit umfasst. Beim Gleichgewichte fallen nämlich die Punkte C, C', C" etc. mit den Punkten A, A', A" etc. zusammen, und die Gleichgewichtsbedingung ist daher 2 (m. AB²) Minimum; sie sagt, dass das Beharren des Systèmes im Zustande der Ruhe der freien Bewegung der einzelnen Punkte näher liegt, als jedes mögliche Heraustreten aus demselben.²)

Es ist übrigens sehr merkwürdig, dass die freien Bewegungen, wenn sie mit notliwendigen Bedingungen nicht bestehen können, von der Natur gerade auf dieselbe Art modificirt werden, wie der rechnende Mathematiker, nach der Methode der kleinsten Quadrate, Erfahrungen ausgleicht, die sich auf unter einander durch nothwendige Abhängigkeit verknüpfte Grössen beziehen. Diese AiĄlo^ Agiter zu verfolgen ist hier nicht der Ort.

Die allgemeinen Gleichungen der Bewegung.

39.

Wir wollen nun zeigen, wie das Princip der verlorenen Kräfte zur Bestimmung der Bewegung eines jeden Punktes führt, indem es eben so viele Gleichungen liefert, als unabhängige Coor-dinaten vorhanden sind. Bezeichnen wir mit X, Y, Z die bekannten Componenten der totalen Kraft, welche an den Punkt mit der Masse in angebracht ist, mit X\ Y\ Z! die entsprechenden Kräfte für den Punkt m u. s. w., wobei diese Kräfte für eine beliebige Anzahl dieser Punkte auch Null werden können, so muss nach dem schon Gesagten in jedem Augenblick zwischen diesen Kräften und jenen Gleichgewicht stattfinden, deren Componenten sind

dry — m —s

Örz

drx m -pr, dt²

d‘lx

W'

avo er, y, z, x, y\ z,... die Coordinaten dieser verschiedenen Punkte bezeichnen; mit andern Worten, es muss Gleichgewicht stattfinden zwischen folgenden Kräften, welche an den Punkten in, in, .... parallel mit den Coordinatenachsen angebracht sind :

dt²

- m-r;

dt²

, dr y    , d ' Z

— in —r-, — m ——r, u. s. av. dt²’    dt¹

(fënr

mfï r—m Ql

dt² ’

m -7-5 dt¹

Die GleichgeAviclitsbedingungen av erden also durch folgende Gleichung, welche das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten in rechtwinkligen Coordinaten liefert, dargestellt:

1) A

X~

d²z'

mdfi

J%, fy, Jz die Componenten der unendlich kleinen Verrückung bezeichnen, welche man dem Punkte xyz in irgend einem Augenblicke der Bewegung ertheilen könnte, ohne die Bedingungen des Systems zu verletzen, sowie sie gerade in diesem Augenblicke der Bewegung sind, bei welcher Betrachtung die Zeit keinen Einfluss auf die Verrückungen oder virtuellen Geschwindigkeiten ôx, <h/, öz hat. Die Summe Z erstreckt sich auf alle materiellen Punkte des Systems, und die Grössen X, F, Z werden für diejenigen Punkte, an welche keine Kraft angebracht ist, als Kuli betrachtet.

Die Gleichung l) enthält 3n Variationen, wenn die Anzahl der Punkte t=zn ist, und dieselben müssen den k Differentialgleichungen der gegebenen Gleichungen L=- 0, il/=0, N — 0, ... genügen, woraus nachstehende Bedingungen folgen

AVO

dL

dL

dL

dL

2)

— d.r -f- — Sy -j- — öz + äx’    0,

dx

dy

dz

dM

dM

dx

dy

dz

Mittelst dieser Gleichungen können k Variationen eliminirt werden, dann bleiben noch 3n — k vollkommen unbestimmte Variationen übrig; setzt man die Coefficienten einer jeden von ihnen gleich Null, so erhält man Sn — k Gleichungen, welche in Verbindung mit den k ersten Gleichungen die Coordinaten aller Punkte als Functionen der Zeit bestimmen. Das Problem ist hiermit auf die Integration von Differentialgleichungen zurückgeführt.

40. Wir multipliciren die Gleichungen 2) mit unbestimmten Factoren A, p, v, ..., addiren sie nachher zu der Gleichung l), und setzen endlich den Coefficienten jeder Variation der Null gleich; es entstehen so die Gleichungen

d²x , dL , dM , dN ,

dl²

dx

X-m^+l^ + ,- + v +...=0,

dm

Y-

f*-T“ + v

dy

dN

dy

d~z

Z —- m —r, -j- A

dL

dM

dN

dt~

dz

4- p ~r + v i dz dz

X'~

, d²x'

m —Tr

dtl

dL

dM

dx

+ f*Â? ⁺ ^

dN

dx

+ • • • — 0,

. . . ge-

Durch Elimination der k unbestimmten Factoren A, y, v langt man zu 3n — k Differentialgleichungen der zweiten Ordnung zwischen x\ y, z, x, . . . und der Zeit t. Diese Gleichungen sind dieselben, als wenn man k Variationen eliminirt hätte, wie wir anfangs angegeben haben; das obige Verfahren hat aber denselben Vortheil, den wir schon bei Anwendung des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten erkannt haben ; es bestimmt nämlich die Kräfte, welche die Bedingungsgleichungen vertreten. Die Wertlre der Grössen A, p, v, . . . lassen die Einwirkungen erkennen, welche die Verbindungsmittel in jedem Augenblicke erfahren.

Ist das System durch andre Variable als die Coordinaten seiner Punkte bestimmt, so kann man denselben Gang befolgen, und die Anwendung des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten liefert immer eben so viele Gleichungen, als es unabhängige Variable giebt, so dass man durch Verbindung derselben mit den Bedingungsgleichungen immer alle Variablen als Function der Zeit bestimmen kann, wie es die vorgelegte Aufgabe jederzeit verlangt.

Die momentanen Kräfte.

41. Wir haben schon im ersten Tlieile gezeigt, dass eine constante Kraft durch die Quantität der Bewegung, welche sie erzeugt, dividirt durch die dazu gebrauchte Zeit, gemessen werden kann ; um also eine bestimmte Quantität der Bewegung hervorzubringen, muss die Dauer der Wirkung um so viel geringer sein, als die aufgewendete Kraft grösser ist, weil es keine Kraft giebt, welche, ohne eine gewisse Zeit zu gebrauchen, eine Wirkung von endlicher Grösse hervorbringen könnte. Nichtsdestoweniger darf man, wenn die Wirkung in einer so kurzen Zeit hervorgebracht wird, dass in der Lage der Punkte keine bemerkbare Veränderung stattfindet, in den meisten Fällen von dieser Zeit absehen, und um diess anzudeuten, wollen wir Kräfte dieser Art momentane Kräfte oder Stösse nennen.

Um den constanten Werth einer solchen Kraft oder ihren mittleren Werth, wenn sie veränderlich ist, zu messen, könnte man sie ajaf die gewöhnliche Einheit beziehen, und man würde als ihr Maass die hervorgebrachte Quantität der Bewegung, dividirt durch die Dauer der Wirkung, erhalten; weil aber diese Dauer nicht angebbar ist, so wird es da, wo die Betrachtung solcher Kräfte Vortheile bietet, besser sein, jene Zeit nicht in das htaass einzuführen und sich bloss auf die Quantität der Bewegung zu beschränken. Man kann in diesem Falle der Wirkung eine beliebige Dauer beimessen, wenn sie nur sehr klein ist; die Wirkungen hängen davon nicht ab, wie sich zeigen wird, wenn wir die Mittel zu ihrer Berechnung geben. Wir messen also eine momentane Kraft durch die Quantität der Bewegung, welche sie hervorbringt, wenn sie auf einen freien in Ruhe befindlichen Punkt.wirkt, und da die Zerlegung der Kräfte auf dieselbe Weise Avie die der Geschwindigkeiten beAverkstelligt wird, so folgt daraus, dass die Componenten einer momentanen Kraft, welche nach denselben Regeln wie für stetige Kräfte gegebenen Richtungen parallel genommen sind, nichts Andres bedeuten, als momentane Kräfte , welche den Componenten der totalen Geschwindigkeit nach denselben Richtungen entsprechen. Da endlich die Componenten der GescliAvindigkeit eines materiellen Punktes, parallel mit drei festen Achsen, durch die Wirkung von beliebigen Kräften in derselben Weise vermehrt werden, als wenn die AnfangsgescliAAÜndig-keit Null wäre, so folgt noch, dass die Componenten der momentanen Kraft, welche auf einen bewegten materiellen Punkt wirkt, gemessen werden durch die Quantitäten der Bewegung, weiche den Incrementen der Componenten der Geschwindigkeit dieses Punktes entsprechen.

42. Um die Wirkung von momentanen Kräften auf ein schon in Bewegung begriffenes System zu bestimmen, wollen wir die Gleichung l) auf diese Kräfte anwenden, indem wir alle andern vernach-

lässigen, welche keinen angehbaren Einfluss während der ganzen Dauer fl dieser Wirkungen ausüben, von denen die einen vor den andern auf'hören können. Die Werthe x, y, z, x', y, z, ... dürfen während dieser Zeit als unveränderlich betrachtet werden, und es ist leicht zu sehen, dass es sich ebenso mit dx, dy, dz, . .. verhält. Diese Veränderungen nämlich genügen den Differentialgleichungen von 1 = 0, M = 0, . . •, in welchen t als eine Constante betrachtet wird ; nun ändert sich diese Constante während des betrachteten Zeitintervalles nur unendlich wenig, also können die Grössen dx, dy, dz, ... sich nur um unendlich kleine Grössen in Bezug auf sich selbst ändern und müssen folglich als unveränderlich angesehen werden. Wenn man also die Gleichung l) nach t integrirt, indem man zu Grenzen den Anfang und das Ende des Intervalles -fl nimmt, und mit mX, m Y, mZ die Componenten der an die Masse m angebrachten Kraft bezeichnet, so ergiebt sich

dx₀

X rn

(f

dx

dt

dt

Ydt —

dl+'MAgy

dt dt J

(/■

Zdt —

dz dz₀\ dt dt )

= 0,

dz

~dt ' ⁽~if ’ ~1f    ^omPonen*en der Geschwindigkeit des Punktes

rn in dem Augenblicke bedeuten, wo die momentanen Kräfte anfangen zu wirken. Dä nun die an die Masse w,angebrachte Kraft zu

Componenten mX, mY, mZ hat, so sind die Integrale

wo

"7

Xdt,

rn

ij* Ydt, m j*Zdt die Componenten der Quantität der Bewegung,

■ welche diese Kraft in der Zeit ff hervorbringen würde, und folglich die Componenten der Kraft selbst in dem Sinne, den wir mit der Benennung „momentane Kraft“ verbinden. Wir bezeichnen dieselben mit X₁, Ylf Zlf und erhalten in leicht verständlicher Bezeichnung

dx

3) E

dt

) & + ( i,

(r,

t) &

dtj -*

Wäre die Masse m frei, so müssten die Componenten der momentanen Kraft, welche die Componenten ihrer Geschwindigkeit verändern würde, folgende sein

II.

dx dt ’

Also drückt die Gleichung 3) aus, dass Gleichgewicht herrscht zwischen den momentanen Kräften, welche gewirkt haben, und dén-jenigen in entgegengesetztem Sinne genommenen momentanen Kräften, welche dieselbe Veränderung in der Bewegung eines jeden Punktes hervorbringen würden, wenn er ganz frei wäre. Das d’Alembert’schePrincip erstreckt sich also gleichmässig auf die plötzlichen Aenderungen, wie auf diejenigen, welche stetig iu der‘Bewegung eines beliebigen Systems hervorgebiacht werden , wenn man die momentanen- Kräfte so auffasst, dass sie durch die Quantität der Bewegung gemessen werden, welche sie einem freien Punkte mittheilen würden.

Noch ist bemerkenswerth, dass die Zunahmen der Seitengeschwindigkeiten nicht von den Geschwindigkeiten selber abhängen und gerade so berechnet werden, als wenn das System in dem Augenblicke, wo die momentanen Kräfte wirken, sich im Zustande der Ruhe befände.

43. Hat man aus der Gleichung 3) alle abhängigen Variationen eliminirt, und die Coefficienten der übrig bleibenden gleich Null gesetzt, so enthalten die Endgleichungen die Componenten der momentanen Kräfte und die Incremente der Componenten der Quantitäten der Bewegung in linearer Form, auch ist kein Glied unabhängig von diesen Grössen. Diese Gleichungen, verbunden mit den Bedingungsgleichungen, aus welchen man durch Differentiation Gleichungen ableitet, welche in allen ihren Gliedern die Incremente der Geschwindigkeitscomponenten enthalten, bestimmen alle unbe-

dx

kannten Grössen A —-

dt'"'

Nach der Theorie der Gleichungen ersten Grades sind die Nenner ihrer Werthe unabhängig von Xl, Yl, ZJt, Xÿ.. ., und ihre Zähler enthalten sie linear und ohne unabhängige Glieder; ändern sich also die momentanen Kräfte alle in einem und demselben Verhältnisse, so variiren auch die Incremente der Componenten der Geschwindigkeiten in demselben Verhältnisse ; allgemeiner, „bei beliebig viel Systemen von momentanen Kräften sind die Incremente der Geschwindigkeitscomponenten eines jeden Punktes die Summen derjenigen Incremente, welche jedem getrennt wirkenden Systeme entsprechen würden.“

Zu derselben Folgerung gelangt man auch durch die Bemerkung, welche wir über die Form der Gleichungen der Aufgabe gemacht haben.

Demnach bestehen die Wirkungen, welche jede Kraft für sich allein hervorbringen würde, gleichzeitig ohne einander zu beeinträchtigen, sie lagern sich über einander, und aus der Vereinigung aller nach einer und derselben Richtung gehenden Geschwindigkeiten entspringt die totale nach dieser Richtung bewirkte Geschwindigkeit.

Auf eine ähnliche Weise erkennt man, dass dieselbe Eigenschaft sich auf die unendlich kleinen Incremente der Componenten der Quantitäten der Bewegung oder der Geschwindigkeiten erstreckt, welche in jedem Augenblicke durch die stetigen Kräfte hervorgebracht werden, d. h. dass sie sich mit denen vereinigen, welche statthaben würden, wenn diese Kräfte nicht existirten, und endlich, dass diese Incremente dieselben sind, als wenn die Kräfte auf das System in der Ruhelage wirkten.

5*

¹

Crelle’s Journal f. Mathem. Bd. 4. S. 232.

²

Ausführlichere Betrachtungen über das Gauss'sehe Princip enthält eine Abhandlung von S chef fier in der Zeitschrift für Mathematik und Physik. Bd. 3. S. 197.

Zwölftes Capitel.

Anwendungen des d’Alembert’sehen Princips.

Beispiele von einfachen Maschinen.

44. Wir betrachten zwei durch einen unausdehnbaren Faden mit einander verbundene Punkte auf zwei schiefen Ebenen, deren Durchschnitt horizontal liegt; ihr System soll immer in einer und derselben senkrecht, auf der Schnittlinie stehenden Ebene enthalten sein.

Seien m,m die Massen dieser Punkte , ot, die Winkel, welche die Ebenen mit der Yerticalen bilden, x, x die Entfernungen AB,

AC (Fig. 5) dieser Punkte vom Punkte A,- welcher den beiden Ebenen gemein ist, und l die Länge des Fadens; die welche an freien Punkten

(Fig. 5.)

Ml'

Kräfte

welche wirklich stattfindet, sind dann

die Bewegung hervorbringen würden

d~x m —r-

d²x'

dB

dt²

und wirken

man

nach den Richtungen AH, AK ; die in der That wirkenden Kräfte sind mg, mg im Sinne der Schwere. Es muss also Gleichgewicht stattfinden zwischen den ersten in entgegengesetztem Sinne,' und den letzten im Sinne der Schwere genommenen Kräften. Um dies Gleichgewicht auszudrücken, wollen Avir uns irgend eine unendlich kleine Verrückung denken, wobei wir jedoch beachten, dass die Punkte als in derselben Ebene AHK bleibend betrachten kann, welche senkrecht auf dem Schnitte der beiden schiefen Ebenen steht; denn da die wirkliche Bewegung nothwendiger Weisein dieser Ebene vor sich geht, so kann man, ohne etwas an ihr zu ändern, annehmen,-dass die Punkte in derselben zu bleiben gezAvungen sind. Bedeuten öx, öx' die Variationen von x, x, so giebt die Summe der virtuellen Momente, gleich Null gesetzt,

d ' oc    d^    ff

—jpr öxr— m    ^x -f- mg cos & öx -j- m g cos & öx = 0;

ferner hat man die beiden Gleichungen

x + x c= I und folglich öx + öx' = ö; multiplicirt man die erste Gleichung mit X, addirt sie zur ersten und setzt dann die Coefficienten von öx, öx' gleich Null, so kommt

cfioc

— m —T + mg cos & -f- X = 0 dt~

woraus

drx

dt²

-j- mg cos &' -f- _X 0,

d²x

mit + m

drx

dt²

-f- mg cos & — mg cos = 0,

Weil ferner

d²x

drx'

hl² = dt2 d²x

so ist auch

(m + m)

dt²

= g (m cos & — m cos &')

woraus

d²x

lf2=fJ

m cos & — m cos &'

Durch Integration ergiebt sich, wenn v die Geschwindigkeit des Punktes m bezeichnet,

d.r

m cos — m cos &'

dt

“b c

gt² /m cos ff — m cos &'

X '1F \

c und c sind willkürliche Constanten, welche sich durch die Anfangslage des Systems bestimmen. Bei dieser mögen u*₀ und vü die Anfangswerthe von x und v sein; man hat dann

c = v₀, c r=. x₀.

Kennt man v₍₎ und .r₀, so ist die Aufgabe vollständig gelöst, weil x und mithin x bestimmt sind; der Werth von X misst die Spanniing des Fadens, welche constant bleibt. Wären nur .r₀ und die momentanen Kräfte gegeben, welche auf die beiden materiellen Punkte im Anfänge der Bewegung wirken, so müsste man die Anfangsgeschwindigkeiten durch die Bedingung bestimmen, dass Gleichgewicht stattfindet zwischen den durch die Quantitäten der Bewegung gemesse-

— 70

lien Kräften und den in entgegengesetztem Sinne mit ihren Richtungen genommenen momentanen Kräften. Seien co, co' die De-schwindigkeiten, welche die momentanen Kräfte den beiden Punkten mittheilen würden, wenn sie frei wären, so werden diese Kräfte durch m'co, m'co' gemessen, und hei demselben Gange wie vorhin findet man

dx

dt

dt

--mco

+ mco' = 0, X == m ^

dx

dx

dx

wegen —— ==--— zieht man hieraus

dt

dt

dx

dt

{in +- in) — = mco — m'co'

und

dx mco — m'co'

dt

rn -f- m'

= Vo

Der Werth von À drückt die anfängliche Spannung des Fadens aus,

dx

Ersetzt man —

welche durch den Stoss hervorgebracht wurde.

durch seinen so eben gefundenen Werth, so wird

.    — mm

(    X — —-;

m -f- m .

Für & ==; 0, &'.= 0 ist das betrachtete Systetii nichts Andres als die Atwood’sche Maschine, bei welcher man auf die Masse der Rolle keine Rücksicht nimmt..

{co + co

)•

dl

45. Wir wollen jetzt den Fall betrachten, wenn die beiden Körper mittelst eines Rades an der Welle auf einander wirken und sich jeder in einer vertikalen Ebene bewegt. Die durch das d’Alem-bert’sche Princip gegebenen Gleichungen sind dann, wenn r und r die Halbmesser des Rades und der Welle bezeichnen, d~x'

d~x .

— m —Tr- dx — m dt²

df-

Sx + mg cos ft Sx -f- mg cos &' Sx' = 0

und*)

r'Sx -f- rSx = 0,

*) Bezeichnet nämlich co den Winkel, um welchen sich das an der Welle festsitzende Rad hei einer virtuellen Bewegung dreht, so ist gleichzeitig, wenn nur auf die absoluten Grössen von dx und Sx Rücksicht genommen wird, 8x = rca und Sx' — rm, mithin r'dx — rdx, woraus die obige Gleichung folgt, wenn man bemerkt, dass dx und dx stets entgegengesetzte Vorzeichen besitzen.

woraus man ableitet

(fix    f

— m —5- -f- mg cos -f- Ir =3 0 dl¹

}- mg cos &' -f- Ir =s 0. (fix'

Eliminirt man r und beobachtet, dass —= ---

dt*    r

(mr cos 8'

= 9~-—

dt²

r d²x

dt²

so kommt

— mr cos &') r

d²x dt²

Die Discussion lässt sich wie beim vorigen Falle zu Ende führen.

mr- -j- mr²

46. Wir betrachten jetzt eine homogene auf den beiden schiefen Ebenen ohneKeibung geleiteteKette, welche in einer vertikalen Ebene bleibt. Sei l die Länge der Kette und s die Masse der Längeneinheit, so haben wir zunächst

x -j- x = l und öx -j- öx' := 0.

Die Gewichte der beiden Theile der Kette sind gsx, gsx\ und die Kräfte, Avelche die stattfindende Beschleunigung hervorbringen, würden für jeden dieser Theile sein

d²x

aj

- r •

Das d’Alcmbert’sche Princip giebt dann beiWeglassung des gemeinsamen Factors e

— x öx — x öx + gx cos & öx -f- gx cos &' öx — 0, dt*    dt~

EX

1t²

mithin

d²x

X —y

dt2 d²x

-f- gx cos & -f- Ä ^0,

dl²

■f- gx cos + A =: 0 ;

nach Elimination von A und x' folgt hieraus

d²x

—rr- :=; — X COS & -j⁻ (x - /) COS &'

dl~ l _

~ (cos & -j- COS &')

cos & 4- cos

und durch Integration derselben

, n —at

y z=ae + ße ,

at . 0 x = cte 4- ßc

—at

Benutzen wir zur Abkürzung die Bezeichnungen -y (cos ff + cos ff") t= ö², a; so erhalten wir die Differentialgleichung

= «²y

l cos ff'

COS ff + COS ff'

d~y

dt²

l cos ff'

COS ff + COS ff’

Die Constanten «, ß bestimmen sich durch den Anfangszustand; für t = 0 wird nämlich

x₀ .— a -f- ß -j-

/ cos ff'

cos ff -f cos ff'

v₀"ä (a — ß),

woraus man <x und ß finden kann, wenn v₀ und x₀ gegeben sind. Kennt inan nur die momentanen Kräfte, welche die Anfangsgeschwindigkeit v₀ hervorbringen, und die Anfangslage der Kette, so würde man wie in einem der früheren Fälle verfahren.

d~T

Der Werth von —5- wird Null, für dt~

l COS ff'

l cos ff

cos ft 4" cos & ⁵

d. h. wenn die beiden Längen x, x den Längen der beiden schiefen Ebenen proportional sind; wäre die Kette zu Anfang in diese Lage gebracht , so würde sie in derselben beständig verharren.

COS ff 4" COS ff'

, mithin x =

Bewegung eines biegsamen Fadens.

47. Sei s die Masse der Längeneinheit eines Fadens, dessen Punkte sämmtlich von Kräften getrieben werden, deren Componen-ten, auf die Längeneinheit bezogen, X, Y, Z sind, und dessen Endpunkte von den Kräften Ä\, F₁, Zl5 X₂, Y₂, Z₂ angegriffen werden. Ein Element ds steht dann unter dem Einfluss der Kräfte Xds, Yds, Zds und folglich ist nach dem d’Alembert’schen Principe

X~

dz . ds 1

+ X₁ äxß+ Yl ôy₁ 4- Z₁ özt + X₂ öx₂ 4- Y₂ §y₂ 4- Z₂ öz₂)

wobei die Integrationsgrenzen sich auf die Endpunkte beziehen müssen. Ferner hat man dds =z 0 oder

dx

dy

dz

— ddx + — ddy + -7- dSz = 0. ds    ds    ds

Diese Gleichung gilt für alle Punkte des Fadens; multiplicirt man sie mit einem unbestimmten Factor I, welcher von einem Punkte zum andern variirt, und bildet darauf die Summe dieser Gleichungen und der ersten, so erhält man

> = 0.

+ d.r, + Tx dy, + Zj dzt + X₂ dx₂ + Y₂ dy₂ + Z₂ dz₂ ,

Durch theilweise Integration der Glieder des zweiten Integrals, welches dieselben Grenzen wie das erste hat, zieht man hieraus

§■18*

+ dzd

/M'î) + ‘»'('s)

Vereinigt man die Glieder unter dem Integralzeichen, so hat man dieCoefficienten von dx, dy, dz derNull gleich zu setzen; diejenigen Ausdrücke, welche ausserhalb der Integration stehen und sich auf^ die Grenzen beziehen, müssen einander von selbst aufheben. Demnach ergeben sich für irgend einen Punkt des Fadens zuerst folgende drei Gleichungen :

1)

-,

d²x

£ di².

ds —

/ dx\

"(W=°-

&(<§•

°,

cf z

£ w.

und wenn die beiden Endpunkte unabhängig von einander sind, so hat man noch die beiden Gleichungen .

clz

ds — d ( l —r I =-0 ;

ds

Aj 8xi + ï\ ÖVi + Zi 8z

dx

dz

SyY    —Ł 8z

= 0,

²)

ds{

W, dx2 ~j- 12 8y2 -j- Z₂ 8z₂

dx

+ h ( ôxï + fhd2 + öz2

= 0.

ds₂

ds₂

ds₂

Die Gleichungen l) sind dieselben, als wenn irgend ein Element ds, statt mit den andern verbunden zu sein, durch eine Kraft afficirt wäre, deren Componenten sind

oder auch durch Tangentialkräfte an seinen beiden Enden, deren Componenten sind

an dem ersten Endpunkte und [ ds

dx

X ——(- d I X

dx

- xt+d(xd4

L ds \

[*!+'(*£)]

ds) _

an dem zweiten. Die Wirkung der Verbindung der Elemente des Eadens ist also, in jedem Punkte eine durch —X ausgedrückte Spannung hervorzubringen.

Nach Elimination X aus den drei Gleichungen l) hat man zwei Gleichungen zwischen x, y-, z, t, welche in jedem Augenblicke die Lage aller Punkte des Fadens bestimmen.

Was die Gleichungen 2) betrifft, so wird man die Anzahl der in ihr befindlichen Variationen erst möglichst verringern und dann ihre Coefficienten gleich Null setzen. Man erhält so die Gleichungen, welche in jedem Augenblicke die Lage der Endpunkte und die durch die Integration eingeführten willkürlichen Grössen bestimmen, indem man mit ihnen die Bedingungen verbindet, welche sich auf den Anfangszustand und die Länge des Fadens beziehen.

Sind die an den Endpunkten angebrachten Kräfte der Null gleich und die Endpunkte beweglich, so kann man den Gleichungen 2) nur durch Xx — 0 und X₂ = 0 genügen, was anzeigt, dass die Spannungen an den Endpunkten beständig Null sein müssen.

Auszunehmen ist der sehr specielle Fall, wo der Faden beständig senkrecht auf der Curve oder der Oberfläche sein würde, auf

welcher einer der Endpunkte zu bleiben gezwungen wäre; für diesen Endpunkt würde nämlich die Gleichung

dx₁ 8x^ -j- dy₁ öyt -j- dz₁ öz₁ =2 0

gelten, und es wäre die Bedingung ^ = 0 nicht mehr nöthig. Ebenso würde es sich mit dem andern Endpunkte verhalten.

Bei festen Endpunkten sind die Gleichungen 2) von selbst erfüllt; dann kennt ifian Aj\ F₁, Zi, X₂, F₂, Z₂, und man wird die Bedingung ausdrücken müssen , dass die Gleichungen der Curve durch jene Coordinaten erfüllt werden, was auch t sein möge; dieser Umstand dient zur Bestimmung der willkürlichen Grössen.

48. Man könnte die vorigen Gleichungen direct erhalten. Bezeichnet nämlich T die Spannung in irgend einem Punkte, so wird' ' das Element ds durch Kräfte getrieben, deren Gesammtcomponenten nach den drei Achsen sind

Xds -f- d

/ „ dx \

(Td

, Yds + d

(Tfs)' ** + *(?

au ^

<*> ht

das d’Alembert’sche Princip, auf dieses Element angewendet, giebt

ds -f d

/    d²æ\

f dX \ \ds) ~ °

ds + d

(-40

(4)-

ds -j- d

f    d²z\

(4)-

welche Gleichungen sich von den Gleichungen ]) nur durch die Aenderung von — A in T unterscheiden.

In jedem Endpunkte des Fadens muss Gleich gewicht stattfinden zwischen allen ihn treibenden Kräften, wenn man die Spannung mit darunter begreift ; denn ein geometrischer Punkt würde, von irgend einer Kraft afficirt, in einer endlichen Zeit eine unendliche Ge-schwindigkeit erlangen. Daraus folgen Gleichungen, welche mit den Gleichungen 2) identisch sind.

(Fig. 8.

49. Wir betrachten insbesondere einen Faden, von dem der eine Endpunkt A (Fig. 8) fest ist, und der durch irgend einen andern festen Punkt B geht, auf welchem er gleiten kann und der um l von A entfernt ist.

Seine Verlängerung ist vertical und trägt

ein Gewicht T, welches die Spannung des Fadens in irgend einem Punkte in der Gleichgewichtslage misst; letztere sei die Gerade AB, wenn man die Kräfte X, F, Z gleich Kuli annimmt.

Entfernt man den Faden unendlich wenig von der Geraden AB, indem man voraussetzt, dass die Tangenten an den verschiedenen Punkten der Curve, in welche der Faden übergehen wird, unendlich kleine Winkel mit der Geraden AB bilden, so dehnt er sich um eine unendlich kleine Grösse der zweiten Ordnung, die man vernachlässigen darf; überlässt man hierauf jeden Punkt sich selbst, nachdem man ihm eine gewisse Anfangsgeschwindigkeit ertheilt hat, so kann man die eintretende Bewegung auf folgende Weise bestimmen.

Zuerst folgt aus der hinsichtlich der Anfangslage gemachten Voraussetzung, dass, bei Vernachlässigung der unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung, jeder Punkt sich in einer auf AB senkrechten Ebene bewegen wird, und folglich der Punkt des Fadens,, welchör ursprünglich in B war, als unbeweglich angesehen werden darf; demnach ist x für irgend einen dem Werthe des Bogens s entsprechenden Punkt constant, und man erhält

d folglich d Çx

— 0 un

d²x dt²

dx

zugleich ist — = 1

wenn man dies unendlich kleinen Grössen

ZAveiter Ordnung vernachlässigt, also dl = 0, oder l — c,. was anzeigt, dass die Spannung des Fadens nicht variirt, sondern beständig dem Gewichte T gleich ist. Die beiden letzten Gleichungen l) werden, wenn man s für x setzt, was nach dem Vorhergehenden gestattet ist,

d²y T d²y d²z T d² z

dt²    e dx² dt²    s dx²

Nimmt man der Einfachheit wegen an, dass die anfängliche Figur des Fadens in einer und derselben Ebene liege, in welche man die Achse dery legt, so hat man nur noch die einzige Gleichung

d²y_T dry

dt² £ dx² -

zu betrachten, deren Integral ist

F(* + ¹ //y) +\f(x

wo

F und f willkürliche Functionen bezeichnen, welche sich aus

77

den anfänglichen Lagen und Geschwindigkeiten aller Punkte des Fadens bestimmen lassen. Wenn nämlich die Anfangsfigur des Fadens zwischen A und B durch die Gleichung y ■==. cp (af) ausgedrückt ist, und ip (x) die Anfangsgeschwindigkeit des zur Abscisse x gehörenden Punktes bezeichnet, so muss die Gleichung 3) für t — 0 geben.

y = <p (x),

*9r|£

— t (»

was zu

folgenden Gleichungen führt :

F (x) + f (x) == cp (x),

/t

F' (x) — f (x)

=    (x)

mittelst deren man F (x) und f (x) leicht durch cp (x) und -ip (.r) aus-drücken kann.

Da letztere Functionen nur von x = 0 bis x = l gegeben sind, so lassen sich auch F (x) und f (x) nur innerhalb dieses Intervalles bestimmen, so dass man nicht für alle Werthe von t den entsprechenden Werth von y angeben kann. Wie dieser Mangel zu ergänzen ist, werden wir später zeigen, wo wir ausführlicher auf derartige Aufgaben zurückkommen.

Dreizehntes Capitel.

Relative Bewegung eines Systèmes.

Specieller Fall der relativen Bewegung.

50. Wenn alle die'Punkte, aus denen das System bestellt, vollkommen frei und von einander unabhängig wären, so hätte man nur die Theorie der relativen Bewegung eines freien Punktes auf jeden einzelnen Systempunkt anzuwenden. Durch Einführung der zwei in Capitel III erwähnten fingirten Kräfte würde man die relative Bewegung auf eine absolute reduciren.

Anders gestaltet sich die Sache wenn wir voraussetzen, dass gewisse Systempunkte nicht völlig frei sind, sondern auf gegebenen Flächen oder Curven bleiben müssen, welche letztere fest oder beweglich, von constanter oder von veränderlicher Form sein können. Wären die Normalkräfte bekannt, die von diesön Flächen oder Curven herrühren, so würde man sie mit den gegebenen Kräften verbinden und nachher jene Punkte als völlig frei betrachten können, also auf den 'ersten Fall zurückkommen. Man kennt nun zwar die erwähnten Normalkräfte nicht, doch ist diess kein Hinderniss, sie wenigstens als unbekannte Kräfte in Rechnung zu bringen. Allerdings vermehrt man dadurch die Anzahl der in der Aufgabe überhaupt vorkommenden Unbekannten, dafür erhält man auch ebensoviel neue Gleichungen als neue Unbekannte. Soll z. B. ein Punkt auf einer gegebenen Fläche bleiben, so hat man ebensowohl die unbekannte Normalkraft derselben, als auch ihre Gleichung in die Rechnung einzuführen, weil die Coordinaten des Punktes immer die Gleichung der Fläche befriedigen müssen; ist der Punkt gezwungeri, sich auf einer vorgeschriebenen Curve zu bewegen, so betrachtet man letztere als Durchschnitt zweier Flächen und hat dann zwei un

bekannte Normalkräfte und zwei neue Gleichungen zwischen den Coordinaten des Punktes einzuführen.

Wie man sieht, bleibt die Aufgabe immer völlig bestimmt. Die Gleichungen der betreffenden Curven oder Flächen können als Functionen der Zeit und der abso-

79

luten oder relativen Coordinaten gegeben sein; mittelst der bekannten Formeln zur Coordinatentransformation bezieht man sie, je nach Bedürfniss, auf das eine oder andere Coordinatensystem.

Wenn zwei Punkte des Systèmes in constanter Entfernung von einander bleiben sollen, so treten zwei neue gleich grosse und entgegengesetzte Kräfte auf, welche längs der Verbindungslinie der beiden Punkte an den letzteren wirken. Nach Einführung dieser Kräfte kann man die-Punkte als frei betrachten; hierbei wächst die Anzahl der Unbekannten um eine, nämlich die gemeinschaftliche Grösse der beiden Kräfte, gleichzeitig hat man auch eine neue Gleichung, welche ausdrückt, dass die Entfernung der beiden Punkte einen constanten Werth behalten soll. Derartige Bedingungen lassen sich beliebig vervielfältigen. So könnte man z. B. einen und denselben Punkt mit mehreren anderen verbinden und ihm zugleich eine oder zwei Flachen als Spielraum anweisen ; jede dieser Bedingungen bringt eine neue Unbekannte nebst einer neuen Gleichung in die Rechnung und es bleibt daher die Aufgabe immer bestimmt. Diese Bemerkungen führen zu dem Ergebnisse:

Wenn verschiedene Punkte eines bewegten Systèmes gezwungen sind, in constanten Entfernungen von einander, oder auf Flächen oder auf Curven zu bleiben, deren Lagen und Formen veränderlich sein können, so ist die relative Bewegung dieses Systèmes gegen drei bewegliche Achsen identisch, mit einer absoluten Bewegung, die auf folgende W eise gegen drei feste Achsen bestimmt wird: Man lässt das System von einer Anfangslage ausgehen, die mit der r el ati v en Anf angslag e zusammenfällt; man bringt ferner an jedem Punkte Kräfte an, welche ebenso durch die Zeit und die neuen absoluten Coordinaten ausgedrückt werden, wie die gegebenen Kräfte durch die Zeit und die relativen Coordinaten ausgedrückt waren; zu diesen Kräften fügt man jene fingirten Kräfte, die bei der relativen Bewegung eines freien Punktes bestimmt wurden, endlich stellt man noch die Gleichungen auf, Avodurch aus ged rückt wird, dass die betreffenden Punkte in constanten Entfernungen und auf gegebenen Flächen oder Curven bleiben sollen, indem man zu deren Gleichungen, in Beziehung auf feste Achsen,

die gegebenen in relativen Coordinaten ausgedrückten Gleichungen nimmt.

Allgemeine Betrachtung der relativen Bewegung.

/

51. Die vorhin angenommenen Bedingungen sind nur specieller Art, kommen aber bei relativen Bewegungen so häufig vor, dass sie eine besondere Untersuchung verdienten. Allgemein wird die Sache auf folgende Weise.

Die Verbindungen oder Bedingungen, welche für das System gelten sollen, denken wir uns durch Gleichungen zwischen der Zeit und den absoluten Coordinaten x, y, z, x\ y\ z , x\y'\ z\... der in Frage kommenden Systempunkte M, M\ M",... ausgedrückt. Nun bleibt, wie früher gezeigt wurde, die absolute Bewegung dieselbe, wenn man sich jene Verbindungen aufgehoben denkt und dafür an den Punkten neue Kräfte ein führt, welche aus jenen Verbindungsgleichungen abgeleitet werden können. An dem Punkte Msind diese Kräfte normal gegen die verschiedenen Flächen, welche entstehen, wenn man in diesem Augenblicke x, y, z als die einzigen überhaupt in den Gleichungen vorhandenen Variablen ansieht; die Compo-nenten dieser Kräfte, parallel den x, y, z genommen, sind Produkte aus den partiellen in Beziehung auf x, y, z genommenen Differentialquotienten jener Flächengleichungen und einem gewissen Factor, der zwar unbekannt, aber für die Derivirten einer und derselben Gleichung derselbe ist. Die Anzahl dieser Unbekannten stimmt daher überein mit der Anzahl der Flächengleichungen und man kann deswegen ebensowohl die Coordinaten aller Punkte ermitteln als auch die Grössen und Richtungen der neu eingeführten Kräfte, welche die Verbindungen ersetzen und alle Punkte als freie zu betrachten gestatten. Hiernach kommt die relative Bewegung auf eine absolute Bewegung zurück, bei welcher die neuen Kräfte zu den gegebenen Kräften und zu jenen fiugirten Kräften hinzugefügt sind, die überhaupt zur Réduction der relativen Bewegung eines freien Punktes auf eine absolute Bewegung desselben erfordert werden. Die Anzahl der Unbekannten ist dabei immer gleich der Anzahl der vorhandenen Gleichungen.

Es wird nun an den Bedingungen des Systèmes nichts geändert, wenn man alle in Rechnung stehenden Gleichungen mittelst der gewöhnlichen Formeln zur Coordinatentransforrnation so umwandelt, dass die relativen Coordinaten an die Stelle der absoluten Coordinaten

81

treten. Mann kann daher in jedem Augenblicke als neue Coordinaten-achsen drei Gerade nehmen, welche mit den beweglichen Achsen momentan zusammenfallen. Die Verbindungsgleichungen sind jetzt in den relativen Coordinaten ausgedrückt, und die Componenten der aus den Verbindungen entspringenden Kräfte erscheinen als die nach den relativen Coordinaten genommenen partiellen Differentialquotienten der Verbindungsgleichungen, multiplicirt mitFactoren, welche für die Derivirten einer und derselben Gleichung denselben Werth haben. Diess Alles zusammen führt zu dem Resultate :

Die relative Bewegung eines Systèmes von Punkten, die durch irgendwelche Gleichungen zwischen ihren relativen Coordinaten und der Zeit verbunden sind, kommt unter folg enden Umständen auf eine absolute Bewegung desselben Systèmes zurück:    I. die Anfangslage des Systèmes muss mit

seiner relativen Anfangslage zusammenfallen; 2. die äusseren Kräfte werden ebenso durch die absoluten Coordinaten ausgedrückt, wie die gegebenen Kräfte durch die relativen C o ordina ten ausgedrückt waren; 3. hierzu kommen die fingirten Kräfte für die Réduction der relativen Bewegung eines freien Punktes auf seine absolute Bewegung; 4- endlich sind die neuen Verbindungsgleichungen auf die-selbe Weise aus den absoluten Coordinaten zu bilden, wie die ursprünglichen Verbindungsgleichungen aus den relativen Coordinaten gebildet w aren.

Vierzehntes Capitel.

Allgemeine Gesetze für die Bewegung freier

Systeme.

Die Bewegung des Schwerpunktes.

Welche Verbindungen auch in einem bewegten Systeme vorhanden sein mögen, so findet doch vermöge dieser Verbindungen beständig Gleichgewicht statt zwischen den Kräften, deren Compo-nenten sind

52.

d~z

d²x _rT m —Tr, Y dt²’

Dieses Gleichgewicht würde durch Einführung neuer Verbindungen, welche das System der Punkte zu einem starren Systeme machten, nicht gestört werden; die Gleichungen, welche dann das Gleichgewicht ausdriicken müssten, finden daher wirklich statt, wenn man die Verbindungen so lässt, wie sie gegeben sind.

WTir wollen diese Betrachtung auf den Fall eines vollkommen freien Systèmes imEaume anwenden. Der Gleichungen, welche das Gleichgewicht eines starren freien Systems bestimmen, sind sechs an der Zahl; die drei ersten drücken aus, dass die Summen der parallel zu den drei Achsen genommenen Componenten einzeln schwinden; die drei letzten geben an, dass die Summen der Momente der Kräfte, in Bezug auf dieselben Achsen genommen, gleichfalls einzeln verschwinden. Wir wollen nacheinander die Folgerungen aus beiden Arten von Bedingungen untersuchen.

53. Die drei ersten Gleichungen sind

X~

d²V ₇

~mw ²

-m~dï

ver-

d²x

d²y

d²z

dt²

= »■

= °. Z[Z—m —j

= 0;

woraus man ableitet

1)

4-S)

d²y

d²z

dt²

dt²

Die linken Seiten dieser Gleichungen können dadurch transformirt werden, dass man die Coordinaten x±, yv z₁ des Schwerpunkts des Systems einführt, worunter man denjenigen Punkt versteht, welcher in irgend einem Zeitpunkte der Bewegung der Schwerpunkt des Systems werden würde, wenn man augenblicklich alle Punkte unter einander verbindet. In der That genügen die Coordinaten dieses Punktes den Gleichungen

2)

2 (mx) = Mx^, 2 (my) = Myx, 2 (mz)'z= Mzv

wo M die Gesammtmasse des Systems bezeichnet. Da diese Gleichungen in jedem Augenblicke stattfinden, so darf man sie in Beziehung auf die Zeit differentiiren, und hat

» 4Ï)

dXy

dt ’

d²xl

dt²

dy

dz

2[m-z    2[m —

\ dt J dt \ dl

dzx

d²y

d²y

dt²'

2[ m

drz

dt².

dt ’

d²zl dt ’

woraus vermöge der Gleichungen 1) folgt

5)

M*X «-

d²z

dt²

in diesen Gleichungen liegt der Satz, dass die Componenten der Beschleunigung der Bewegung des Schwerpunktes dieselben sind wie für einen Punkt, dessen Masse M wäre, und welcher von allen gegebenen Kräften, parallel an diesen Punkt versetzt, getrieben würde. Lässt man also einen Punkt mit der Masse M von der Anfangslage des Schwerpunkts aus sich mit derselben Geschwindigkeit und in derselben Richtung bewegen, so werden seine Coordinaten durch dieselben Gleichungen bestimmt, wie jene des Schwerpunkts, und beide Punkte würden in jedem Augenblicke zusammenfallen.

Was die Bewegung im Anfangszustande betrifft, so wollen wir annehmen, dass sie durch momentane Kräfte hervorgebracht sei, deren Componenten A, R, C für den Punkt m, A, B, C für den Punkt m u. s. w. sein mögen, wobei jedoch diese Kräfte für eine beliebige Anzahl von Punkten Null sein können. Ersetzt man in dem Vorhergehenden die stetigen Kräfte durch momentane, so treten statt der Gleichungen l) die folgenden ein

» *(-i)

==2A, E

(-1)

dz

= 2B, 21m-

’ V dt

— 2C\

daraus folgt nach den Gleichungen 3), welche vom Beginne der Bewegung an stattfinden und die wir in diesem Augenblicke grade betrachten wollen,

dz

MdJh

7).

= ZA. M — = ZB, M — = EC ; dt    dt    dt

diese Gleichungen entsprechen den Gleichungen 5).

Man sieht also, dass die Componenten der Anfangsgeschwindigkeit des Schwerpunkts dieselben sind wie für einen Punkt mit der Masse M, der von allen momentanen Kräften getrieben würde, welche die Anfangsgeschwindigkeiten d&s von der Ruhelage ausgehenden Systems bestimmen, wenn diese Kräfte parallel mit sich selbst in diesen Punkt verlegt wären. Durch Vereinigung beider Sätze erhält inan folgendes Princip:

Die Bewegung des Schwerpunkts eines beliebigen freien Systems ist dieselbe, als wenn in ihm die , Massen aller einzelnen Punkte vereinigt und an ihn die momentanen oder stetigen Kräfte, welche den Anfangszustand sowohl als die folgenden Zustände des Systems hervorbringen, parallel mit sich selbst verlegt wären.

Nicht überflüssig ist hier eine Bemerkung, welche sich bei der Behandlung momentaner Kräfte oft darbieten kann. Wenn nämlich die aus den Gleichungen 5) gezogene Folgerung auf derartige Kräfte während der sehr kurzen Zeitdauer angewendet wird, welche sie zur Hervorbringung der Anfangsgeschwindigkeiten gebrauchen, so er-giebtsich, dass die Componenten dieser Geschwindigkeiten genau dieselben sind, als wenn alle Massen im Schwerpunkte des Systems vereinigt und alle Kräfte an diesen Punkt verlegt wären ohne die Art ihrer Wirkung zu ändern. Dieser Beweis kommt darauf zurück, eine Integration auszuführen, welche sich auf jede Componente der Anfangsgeschwindigkeit des Schwerpunkts erstreckt; und so folgt in der That die Gleichung 7) aus der allgemeinen Gleichung 5), wenn man diese auf sehr grosse Kräfte anwendet, welche eine sehr kurze Zeit wirken. Die Gleichung selbst, welche uns bei allen den Fragen dienen wird, wo momentane Kräfte auftreten, d. h. die Anwendung des d’Alembert’schen Princips auf Stösse, ist durch eine analoge Integration erhalten worden, welche an der auf stetige Kräfte bezogenen Gleichung ausgeführt wurde. Weiss man diess einmal, so ist es besser, nicht jedesmal auf diese Betrachtung zurück-zügehen, sondern die momentanen Kräfte geradezu so einzufüliren, wie wir gezeigt haben; deswegen stellten wir die Gleichungen 6) und 7) auf, die wir der vorigen Betrachtung zufolge entbehren konnten; letztere hätten wir auch zuerst entwickeln können, als wir von dem Anfangszustand ausgingen, bevor wir die folgenden Zustände des Systems betrachteten.

Wenn das System feste Punkte, Linien oder Oberflächen enthielte, so könnte man es als frei betrachten, indem man die Kräfte einführte, welche aus diesen Bedingungen hervorgehen; das obige Theorem würde jetzt noch gelten, doch müsste man auch auf die Kräfte Rücksicht nehmen, welche nicht gegeben sind, und erst bekannt werden, wenn die Bewegung bestimmt ist.

54. Es geht hieraus hervor, dass, wenn keine äussere Kraft auf das System wirkt, d. h. wenn alle die Kräfte X, Y, Z Null sind, die Bewegung des Schwerpunkts gradlinig und gleichförmig wird. Ihre Richtung ist die der Anfangsgeschwindigkeit und folglich übereinstimmend mit der Resultante der momentanen Kräfte, welche das System• in Bewegung gesetzt haben, oder auch der momentanen Kräfte, welche ihm in jedem Augenblicke die Bewegung mittheilen würden, welche es befolgt.

Aber selbst wenn die Punkte des Systems gegenseitige gleiche und entgegengesetzte Wirkungen auf einander ausübten, sie mögen nun stetig odpr augenblicklich sein, so würde die Bewegung des Schwerpunkts dadurch nicht beeinträchtigt werden, weil diese Kräfte, an den Schwerpunkt versetzt, sich zu zweien aufliehen würden. Demnach können weder Stösse noch plötzliche zwischen mehreren Punkten des Systems hergestellte Verbindungen, noch innere Explosionen, welche nothwendig gleiche und entgegengesetzte Wirkungen erzeugen, die Bewegung des Schwerpunkts ändern. Hierin besteht das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts.

Wesentlich ist noch die Bemerkung, dass alle genannten Sätze, unabhängig von der Natur der Kräfte und den Gesetzen ihrer Wirkung sind.

Das Princip der Erhaltung der Momente.

55. Wir betrachten jetzt die drei letzten Gleichungen des Gleichgewichts, welche ausdrücken, dass die Momentesummen der

d²z

Kräfte Z— m , Y— m ^ Z~m dt~    dt²

Achsen, Null sind. Die erwähnten Gleichungen lauten

cPyY dt²) a

d²z\

m-r, I

dtVJ

d²x — m —^

dt²

, etc., in Bezug auf drei

d²z

= o,

_ r / Tr d²x\ (

S z ( X—m —r. ) — x I Z—

dt²

= 0,

S x I Y~m~

dt²

dt²

)]

oder auch bei besserer Anordnung

! Sm

d²z

Ski

i)

Sm

Sm

dt²

*g)=^-zr),

= S(zX — xZ),

-~yd^)=z(*r-,Jx).

d²z

x di².

Diese Gleichungen finden in jedem Augenblicke der Bewegung statt; sie drücken aus, dass die Summen der Momente der gegebenen Kräfte, bezogen auf drei rechtwinklige Coordinatenachsen, den Mo-inentensummen der Kräfte gleich sind, welche den freien Punkten die wirklich stattfindende Bewegung ertheilen würden.

Wir wollen uns besonders mit dem Falle beschäftigenwo die rechten Seiten der Gleichungen l) Null sind. Dieser Fall tritt zunächst ein, wenn die Kräfte X, F, Z verschwinden, d. h. wenn das System, nachdem es in Bewegung gesetzt ist, sich selbst überlassen bleibt, ohne dass eine äussere Wirkung hinzukommt. Jener Fall findet weiter statt, wenn die Punkte Wirkungen unterworfen sind, welche an dem System im Gleichgewicht sein würden, falls es starr wäre; denn jene rechten Seiten sind die Momentesummen der Kräfte in Bezug auf die Achsen, und diese Summen sind Null, wenn die Kräfte sich aufheben. Diess gilt zugleich für alle wechselseitigen gleichen und entgegengesetzten Wirkungen, folglich auch für beliebige Stösse zwischen den verschiedenen Th eilen des Systems. Endlich Averden jene Summen zu Null, wenn alle an die verschiedenen Punkte des Systems angebrachten Kräfte durch einen und denselben Punkt gehen, der zum Anfang der Coordinaten gewählt ist.

— 87

Da nämlich die Componenten A, F, Z irgend einer der Kräfte den Coordinaten des Angriffspunktes proportional sind, so wird yZ — 27=0, zX—xZ := 0, xY—yX~0.

Der Fall, mit welchem wir uns beschäftigen wollen, besitzt demnach eine grosse Allgemeinheit.

Die Gleichungen l) werden bei dieser Annahme

d'X

2)

f d²z d²y\

£m\yWz ~z~dë)

= 0, 2m

dt²

d'z\

= 0,

2m

/ d~y d²x\

Integrirt man nach t und bezeichnet die drei Constanten mit c, c, c", so erhält man

3)

2m (j)

dz

dy

dt

dt

= c, 2m

c,

2m

( x --y —

\ dt    *

dy

dx

dt

Die linken Seiten dieser Gleichungen sind die Momentesummen von

dx    dy    dz

Kräften, deren Componenten m —, m — , m — wären, d. h. von mo-

Cv L    w L    Cv b

mentanen Kräften, welche jedem freien Punkte von der Ruhelage aus die Bewegung mittlieilen würden, welche er befolgt. Demzufolge enthalten die Gleichungen 3) den Satz :

Auf drei rechtwinklige Achsen bezogen, sind die Summen der Momente der in jedem Augenblicke vorhandenen Bewegungsquantitäten unabhängig von der Zeit. Diese Constanz der Momentesumme gilt auch für jede vierte Momentenachse.

nen

Mit andern Worten, wenn man in jedem Augenblicke die momenta-Kräfte, welche jedem freien Punkte von der Ruhelage aus seine wirkliche Bewegungertheilen würden, in drei andre nach den drei Coordinatenachsen gerichtete Kräfte und in drei Paare zerlegt, welche dieselben Richtungen zu den Achsen haben, so ist die Momenten-summe der Paare für jede dieser Richtungen constant.

Der oben ausgesprochene Satz ist das sogen. Princip der Erhaltung der Momente. Es besteht solange, als alle in dem Systeme vorkommenden Veränderungen aus gegenseitigen Einwirkungen entspringen, also z. B. auch, wenn ein Theil des Systèmes aus dem gasförmigen Zustande in den tropfbarflüssigen und zuletzt in den festen Zustand überginge, oder wenn sich in Folge von Temperaturänderungen die gegenseitigen Einwirkungen änderten u. s. w., wie dergleichen Fälle im Planetensysteme Vorkommen.

Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, dass, dem d’Alemberf sehen Principe gemäss, die Momentensummen für ein System von momentanen Kräften, welche die nämliche Bewegung hervorbringen, auch dieselben sind.

55. Es folgt aus dem Vorhergehenden, dass, wenn man in irgend einem Augenblicke die Bewegungsquantitäten, welche in den verschiedenen Punkten des Systems auftreten, als Kräfte betrachtet, und sie so zusammensetzt, als wären sie an ein starres System angebracht, immer dieselbe Resultante und dasselbe resultirende Paar, bezüglich eines und desselben Coordinatenanfangs, zum Vorschein kommt.

Wendet man auf diese Kräfte die Sätze an , welche in der Statik für die Réduction irgend eines Systems von Kräften aufgestellt wurden, so kann man folgende Consequenzen ziehen:

drittens bleibt die Mo-

Wird irgend ein freies System durch Kräfte getrieben, welche sich gegenseitig aufheben würden, wenn das System starr wäre, so ist erstens die Summe der durch die Quantitäten der Bewegung der verschiedenen Punkte dargestellten Kräfte, auf eine und dieselbe Richtung bezogen, constant, zweitens bewegt sich der Schwerpunkt des Systems parallel mit der Resultante der an einen und denselben Punkt versetzten Bewegungsquantitäten mentensumme der Bewegungsquantitäten constant für eine und dieselbe Gerade.

Betrachtet man diese Momente in Beziehung auf alle Geraden, welche durch einen und denselben Punkt des Raums gehen, so ist die Gerade, für welche jene Summe am grössten wird, unveränderlich; sie ist die Achse des Resultantenpaares der Quantitäten der Bewegung bezogen auf jenen Anfang. Diese Richtung, soAvie der Werth des entsprechenden gesammten Momentes sind dieselben für alle Punkte der zur Resultante durch eben diesen Punkt gelegten Parallelen. Die Richtung kann, ohne dass das Moment dasselbe bleibt, nur in dem Falle dieselbe sein, wenn die durch die Quantitäten der BeAvegung dargestellten Kräfte auf eine Einzelkraft reducirbar sind. Dann liefern alle Punkte der Ebene, Avelche durch diese Kraft und den betrachteten Punkt gelegt ist, eine und dieselbe Richtung für die Aclise des grössten Momentes; aber das Moment ist an Grösse und Richtung nur für die Punkte einer und derselben zur Resultante parallel gehenden Geraden dasselbe.

Es giebt eine einzige sogenannte Centralachse, welche parallel zur Resultante liegt und die Eigenschaft bat, dass sie selbst für alle ihre Punkte die Richtung der Achse des grössten Momentes darstellt; dies Moment ist kleiner als das Maximum, welches sich auf jeden andern Punkt des Raums bezieht. Man kann sie leicht bestimmen, sobald man die Resultante und das resultirende Paar in Rücksicht auf einen gegebenen Anfang kennt. In dem Falle, wo das System der Kräfte, welche durch die Quantitäten der Bewegung dargestellt werden, sich auf eine Einzelkraft zurückführen lasst, ist die Gerade , nach welcher diese wirkt, die Centralachse selbst.

56. Die Erhaltung der Momente bei der relativen Bewegung. Wir betrachten jetzt den Fall, wo sich die Achsen, auf welche die Lage aller Punkte bezogen sind, parallel mit sich selbst fortbewegen; die relative Bewegung kommt dann, wie bereits gezeigt wurde, auf eine absolute BeAvegung zurück, wenn man das System in beiden Fällen von derselben Anfangslage ausgehen lasst und an jedem Punkte die früher angegebenen fingirten Kräfte einführt. Im vorliegenden Falle, wo die beweglichen Achsen nur eine Verschiebung erleiden, reduciren sich die fingirten Kräfte an jedem Punkte auf eine beschleunigende Kraft gleich und antiparallel der Kraft, welche einem freien materiedien Punkte die nämliche BeAvegung ertheilen würde, Avie sie der Anfang des beweglichen Coordi-natensyst'ems besitzt. Wenn nun die letzteren Kräfte den gegebenen Kräften das GleichgeAviclit halten oder mit ihnen zusammen eine Resultante geben , die jederzeit durch den Anfangspunkt des beweglichen Coordinatensystems geht, so erhellt unmittelbar, dass das Princip der Erhaltung der Momente auch für diese relative Bewegung gültig bleibt.

Wir wollen dabei voraussetzen, dass die gegebenen Kräfte un: ter sich an dem, als starr gedachten, Systeme im Gleichgewichte sein mögen; die fingirten Kräfte müssen dann gleichfalls einander aufheben, oder sie müssen eine durch den Anfang des beweglichen Coordinatensystemes gehende Resultante liefern. Da im vorliegenden Falle die fingirten Kräfte ein System paralleler Kräfte bilden, so besteht ihre Resultante aus einer im Schwerpunkte des Systèmes angreifenden Kraft, welche antiparallel der beschleunigenden Kraft

des beweglichen Coordinatensystems wirkt, und deren Intensität dem Produkte aus dieser beschleunigenden Kraft in die Masse des Systèmes gleichkommt. Für die Anwendbarkeit des erwähnten Prin-cips ist es nun erforderlich und genügend, dass die erhaltene Resultante entweder verschwindet oder fortwährend durch den Anfangspunkt des beweglichen Coordińatensystemes geht; die letztere Bedingung ist (wegen der Parallelbewegung des Systèmes) erfüllt, wenn die Richtung der beschleunigenden Kraft des Coordinatenanfanges immer durch den Schwerpunkt geht. Wir gelangen damit, zu folgendem Doppelsatze:

DasPrincip der Flächen gilt auch für eine relative Bewegung, wobei die Achsen des beweglichen Systèmes parallel zu sich selbst fortrücken, wenn erstens die auf das System wirkenden Kräfte im Gleichgewichte sind, und wenn zweitens die beschleunigende Kraft des Coordinatenanfanges entweder versehwindet (was eine geradlinige und gleichförmige Bewegung desselben geben würde) oder fortwährend durch den Schwerpunkt des Systèmes geht.

57. In dem vorigen Satze bezieht sich das Princip der Flächen auf die Unveränderlichkeit der relativen Momente ; man könnte aber . fragen, ob sich nicht eine Bewegung angeben liesse, bei welcher die relativen Momente dieselben sind, als wenn der Coordinatenanfang des beweglichen Systèmes in Ruhe bliebe. Die hierzu nöthige Bedingung ergiebt sich auf folgende Weise.

Irgend eine Lage der beweglichen Achsen nehmen wir zum absoluten (festen) Coordinatensysteme der x, y, z und nennen a, ß, y die zu irgend einer Epoche vorhandenen Coordinaten des beweglichen Coordinatenanfanges; die Momentensumme in Beziehung auf die Achse der x ist dann

X= Zm

(dz dy\

\vdt~zTt)'

und die Momentensumme, bezogen auf die gleichnamige parallele Achse des beweglichen Systèmes

d (* — y)

d (y -

X = Zm (y — ß)

Hieraus folgt

X— X' — (Zmz — yZm)    —■ (Zmy — ßZm)

dl

--(z — y)

dt

dß

dy

91 (ßZm^-yZmJ)

und durch Einführung der ganzen Masse M und der Schwerpunkts-coordinaten xx, yx, zx

x—x' = (Mzt - My) § ~ (%i - m

dß

Z1 T77

dt

"Cs

ai-è

Soll nun X — X werden, so muss die Bedingung erfüllt sein:

* dl — V, + y'Ml — ß'tl

¹ dt t [ dt ^ dl    dt

Unter den besondern Arten, auf welche derselben genügt werden kann, heben wir die folgende hervor

dy

+ ß dt

dß

— 0.

dß

dy

dz

dy

dt

= °’ßd,

dß

oder

ß : y = y₁ : z₁= dß : dy — dyx : dzx.

Verfährt man ebenso für die übrigen Momentensummen, so hat man die Proportion

u : ß : y = xx : yx : zx = da : dß : dy = dxi : dyx : dzx,

welche jagt, dass sich der Coordinatenanfang und der Schwerpunkt des mobilen Systèmes auf einer und derselben Geraden bewegen, die durch den Anfangspunkt des festen Coordinatensystems geht. Also :

welche der

so sind

Wenn sich derAn fangspunkt des mobilen Systèmes irgendwie auf der Geraden bewegt Schwerpunkt dieses Systèmes beschreibt die relativen Momentensummen die nämlichen, als wenn jener Anfangspunkt fest bliebe.

Hieraus folgt noch der speciellere Satz:

Wenn die Morn e n ten ach s e n parallel zu sich selbst fortrücken und immer durch den Schwerpunkt des beweglichen Systèmes gehen, so bleiben die relativen Momentensummen constant und zwar so, als

92 —

wenn jene Achsen in irgend einer ihrer Lagen unbeweglich verharrten.

Das Princip der Erhaltung der Flächen.

58. Die Gleichungen 3) können noch unter einem andern Gesichtspunkt betrachtet werden und zeigen dann eine merkwürdige geometrische Eigenschaft der in Rede stehenden Bewegung. Um sie kennen zu lernen untersuchen wir die Flachen, welche die Projection des nach dem Punkte xyz gezogenen Vectors während der Bewegung beschreiben.

Sei ff der Winkel zwischen der Projection des Radius-vector auf die Ebene FZ und der Achse der positiven y; vorausgesetzt, dass diese Projection sich von der Achse der positiven y gegen die der positiven z dreht, was in Bezug auf die Achse der positiven x

die directe Richtung ist, so hat man taug ff =-aller Grössen in dem gewöhnlichen Sinne zu nehmen sind. Aus

z

— , wobei die Zeichen dieser Gleichung folgt

y dz —- zdy

dff

cos- ff

und da y = r cos ff, so wird ferner

r²d& — ydz — zdy.

von

wird. Wenn man hiernach mit A, P, l" die Summen der Flächen bezeichnet, welche von den Projectionen der Radien-vectoren auf die Coordinatenebenen beschrieben werden, nachdem jede Fläche mit der Masse des entsprechenden Punktes multiplient worden ist, so können die Gleichungen 3) unter folgender Form dargestellt werden :

Demnach bedeutet ydz —- zdy das doppelte Differential des von dem Radius-vector r beschriebenen Flächenraums; er besitzt dasselbe Zeichen wie dff, und ist folglich positiv bei der directen, und negativ bei der rückgängigen Bewegung. Bildet die unendlich kleine im Raum beschriebene Fläche einen spitzen Winkel mit der Achse der x, so hat die Projection des Radius-vector auf die Ebene FZ eine directe Bewegung, ist jener Winkel ein stumpfer, so ist die Bewegung eine rückgängige, mithin kommt ydz—zdy an Grösse und Vorzeichen demProducte aus der doppelten unendlich kleinen im Räume beschriebenen Fläche und dem Cosinus des Winkels gleich, welcher der Achse dieser Fläche mit der Achse der positiven x gebildet

dl

dl'

dl"

dt

dt

dt

woraus

l = ct, l' = ct, l" c"t

folgt, wenn man die Flächen'von der Zeit t = 0 an rechnet. Diess giebt den Satz :

Wenn die Punkte eines freien Systems nur ihren gegenseitigen Wirk un gen unterworfen sind, welche Voraussetzung auch Stösse zwischen den verschiedenen Punkten des Systems mit umfasst, oder allgemeiner, wenn sie Kräften unterworfen sind, welche an dem starr gewordenen Systeme im Gleichgewicht sein würden, oder überhaupt beliebigen Kräften, welche durch den Coordinatenanfang gehen, so ist die Summe der Projectionen der Flächen, welche von den Kad ien-vectoren aller Punkte beschrieben werden, multiplicirt mit den Massen der betreffenden Punkte, der Zeit proportional, wofern man als positiv die in directer Bewegung beschriebenen Flächen b etrachtet,- und als negativ diejenigen, welche in rückgängiger Bewegung beschrieben sind.

Hierin besteht dasPrincip der Erhaltung der Flächen, welches sich von dem Principe der Erhaltung der Momente nur formell unterscheidet.

59. Wären zwei Centra der Wirkung vorhanden, so würden die rechten Seiten der Gleichung l) nicht mehr Null sein; doch würde der eine von ihnen verschwinden, wenn man zur Achse der z die Gerade nimmt, welche die beiden festen Centra verbindet; denn man hat in diesem Falle

X : Y — x : y, oder xY — yX = o.

Das genannte Princip gilt dann nur für die Projectionen auf eine Ebene, die normal gegen die der Verbindungslinie der beiden Centra liegt, und wenn die Paare, welche von den Quantitäten der Bewegung des Systems herrühren, nach den drei Achsen zerlegt werden, so geben sie ein in Beziehung auf die Achse, welche, durch diese beiden Punkte geht, constantes Resultantenpaar.

60. Die unveränderliche Ebene. Will man die Ebene bestimmen, auf welcher die Summe der Projectionen der Flächen, multiplicirt in die Massen, am grössten wird, so findet man leicht, dass die Cosinus der Winkel jo, q, r, welche die Richtung ihrer Achse mit den Coordinatenachsen bildet, folgende Werthe haben:

cos p

y,i² + i'² + r²’

cos q ■=

j/ii² + r² + a"²’

cos r =

ÿx² +1'² + r²’

oder

cos p =

j/c² -f- c'² + c

"2 ’

cos q —

]/c² c ² -f- c^² ’

cos r »

yc²    ć² + c"²

Die Lage dieser Ebene ist also unabhängig von der Zeit; Lapiace, welcher diess zuerst bemerkte, hat ihr den Namen der unveränderlich en Ebene gegeben. Die Gleichungen 3) zeigen, dass man sie bestimmen kann, wenn für irgend einen Augenblick die Massen der verschiedenen Punkte des Systems, ihre Lagen und die Componenten ihrer Geschwindigkeiten bekannt sind. Die gegenseitigen Wirkungen dieser Punkte und die Stösse, welche zwischen ihnen auftreten können, ändern die Richtung der invariablen Ebene nicht, weil die rechten Seiten der Gleichungen immer = 0 bleiben. Ebenso verhält es sich, wenn es ein festes Centrum der Wirkung oder einen festen Punkt giebt, wofern man ihn zum Anfang nimmt.

Man sieht, dass diese Ebene nichts Andres ist, ab die Ebene des resultirenden Paares der Quantitäten der Bewegung, und es müssen daher alle Sätze, welche für die letztere Ebene aufgestellt sind, identisch für die erste gelten. Wir wollen sie hier nicht in Erinnerung bringen.

61. Anwendung auf das Weltsystem. Betrachtet man die Sonne, die Planeten und die Trabanten als nur durch ihre gegenseitigen Wirkungen getrieben, so bewegt sich der Schwerpunkt dieses Systems gleichförmig in gerader Linie mit einer Geschwindigkeit, welche von denjenigen Geschwindigkeiten abhängt, die allen diesen Körpern ertheilt wurden, als sie noch sich selbst überlassen waren. Da wir keinen festen Punkt kennen, so müssen wir, wenn wir einen

c<

Anfang der Flächen nehmen wollen, welcher für die Ebene des Maximums der Flächen eine unveränderliche Richtung giebt, einen Punkt wählen, welcher sich parallel zu der vom Schwerpunkte beschriebenen Geraden fortbewegt, und da diese Gerade nicht bekannt ist, so muss man den Schwerpunkt selbst nehmen. Die Ebene des resultirenden Paares der Quantitäten der Bewegung, oder, mit andern Worten, diejenige des Maximums der relativen Flächen kann für irgend einen Zeitpunkt bestimmt werden, und da sie immer dieselbe bleibt, wenn man auf sie alle Punkte des Systèmes bezieht, so dient sie zur Vergleichung der astronomischen Beobachtungen verschiedener und namentlich sehr entfernter Epochen.

Wir bemerken noch, dass diese Ebene, weil sie unabhängig von der Grösse der gegenseitigen Wirkungen ist, sich selbst dann nicht ändern würde, wenn das Gesetz der Anziehung der Materie ein anderes würde; sie ist auch unabhängig von den Veränderungen, welche in der Gestalt der Himmelskörper vor sich gehen können, weil Jene immer von Kräften herrühren, welche zu zweien gleich und entgegengesetzt sind. Die flüssigen oder gasförmigen Theile würden sich auf unveränderliche Weise mit dem festen Theile des Planeten verbinden können, die Planeten könnten sich unter einander verbinden oder in irgend welcher Weise stossen, sie könnten durch Explosionen zertrümmert werden, ohne dass diese Ebene verrückt würde. Sie bliebe auch dann noch dieselbe, wenn alle Körper des Systems von parallelen und ihren Massen proportionalen Kräften angegriffen würden ; denn die Bewegungen, bezogen airf drei Achsen, welche durch den Schwerpunkt des Systems in constanten Richtungen gelegt sind, würden nicht verändert werden, und folglich würden die auf diese Ebenen projicirten FJâchen dieselben bleiben.

*[0

Die Gleichung der lebendigen Kraft.

62. Wir wollen jetzt die allgemeine Bewegungsgleichung

• d²x

>+(*—

dy

)<kr +(y

~mW

auf den Fall anwenden, wo an die Stelle der virtuellen Verrückungen Ar, öy, dz diejenigen Aenderungen gesetzt werden, welche die Coordinaten r, y, z bei der wirklichen Bewegung des Systèmes in* nerhalb der Zeit dl erleiden; mit anderen Worten wir nehmen

dx = dx, du = dy, dz — dz.

dt²

Bevor wir aber diese Substitution ausführen, haben wir erst zu untersuchen, ob die erwähnte Annahme gestattet ist; zu diesem Zwecke bemerken wir Folgendes.

Es bezeichne L~ 0 eine der Bedingungsgleichungen, welcher die Coordinaten x, y, z, x, y, z, x" etc. genügen müssen; diese Bedingungsgleichung enthält die genannten Coordinaten und daher auch implicite die Zeit, in so fern sich die Coordinaten mit derZeit ändern ; es wäre aber denkbar, dass L die Zeit noch ausserdem explicite enthielte, also von der Form L = F (t, x, y, z, x', ...) wäre, ixnd zwar entspräche diess dem Falle, wo die Bedingung L im Laufe der Zeit eine andere würde. Den ersten Fall vorausgesetzt, müssen die virtuellen Verrückungen immer der Bedingung

dL

dL

dL

dL

öz -f- —7 öx' 4- ....== o

dx

-sx + -sv + az

genügen ; aber auch wenn die Gleichung L — 0 die Zeit explicite enthielte, würde doch die vorstehende Bedingung ungeändert bleiben, weil sich alle virtuellen Verrückungen auf eine und dieselbe Epoche beziehen, mithin t hierbei als constant anzusehen ist. Andererseits muss die Gleichung L = 0, da sie für alle Zeiten gilt, richtig bleiben, sobald t, x, y, z, x', y, z', x" etc. um ihre wirklichen Incremente dt, dx, dy, dz, dx' etc. geändert werden; diess giebt, wenn man den allgemeinen Fall voraussetzt, dass L die Zeit explicite enthält,

dL

—x dt -f

dL

dL

dL

dL

dt

dx

dx -j- — dy + —- dz -j- dx' + .. . = o. dx

dy

dz

Wollte man nun öx =j dx, öy = dy, öz= dz nehmen, so würden sich die beiden Bedingungsgleichungen so lange widersprechen, als nicht für alle t

dL

dt

--- 0

ist. Ebenso verhält sich die Sache mit den übrigen etwa vorhandenen Bedingungen L' = 0, L" = 0 etc., und man ersieht hieraus, dass die virtuellen Veränderungen dx, öy, dz, ôx' etc. nur in dem Falle mit den wirklichen Incrementen dx, dy, dz, dx' etc. identificirt werden dürfen, wo keine der Bedingungsgleichungen L = 0, L = 0 etc. die Zeit t explicite enthält.

Unter dieser Voraussetzung wird die anfangs erwähnte allgemeine Bewegungsgleichung zur folgenden:

*(

(Fx

m —T-

dtl

) dx + (r—

d~y

m 7v dtl

)*/+ (2

d'Z

dl²

oder

² [w (S⁺Sf/y +!f ^)]= ² {Xdx + Ydy + Zdz)-

Die linke Seite ist die Hälfte des Differentials von dx²

w

wo v die Geschwindigkeit des Punktes mit der Masse m bezeichnet;

die vorige Gleichung wird daher

1)    1 dZmv² = X (Xdx -f Ydy -f Zdz).

Diese Gleichung enthält folgende^ Satz :

Der Zuwachs, welchen die halbe Summe der lebendigen Kräfte aller materiellen Punkte innerhalb ein es unen dlich k 1 ein e n Z eitr aumes e rhält, beträgt ebenso viel als die algebraische 'Summe aller der mechanisch en Ar beiten, welche die gegebenen Kräfte in der nämlichen Zeit verrichtet haben.

Ern

₊ d!T

dt²

-f- oder von Zmv

63.    Wenn E (Xdx -f- Ydy + Zdz) das vollständige Differential einer Function cp (x, y, z, x', y, z, x", . . .) ausmacht, worin die Coordinaten als unabhängige Variabele erscheinen, so lassen sich beide Seiten der Gleichung zwischen irgend zwei Epochen integri-ren; diess giebt

2)    \ Zmv² — \ Zmv₀² = cp (x, y, z, x', ...) — cp (ar₀, y₀, z₀, x

In diesem Falle kann der Zuwachs der lebendigen Kraft bestimmt werden, sobald man nur die Lagen aller Punkte in den beiden betrachteten Augenblicken kennt, und jedesmal, wenn das System durch eine und dieselbe Lage wieder hindurch geht, wird die Summe der lebendigen Kräfte wieder dieselbe.

Für X — Y = Z — 0 verschwindet die rechte Seite der Gleichung 2) und die Summe der lebendigen Kräfte ist constant. Hierin besteht das Princip der Erhaltung der lebendigen Kräfte.

64.    Wirkt nur die Schwere auf alle Punkte des Systems, ist

also

X= 0, Y = 0, Z = — gdm,

indem man die Achse der positiven z in entgegengesetzter Richtung mit der Schwere nimmt, so liefert das Princip der lebendigen Kräfte

II.

die folgende Gleichung, worin z₁ das z des Schwerpunktes, und M die gesammte Masse des Systèmes bezeichnet,

\ Zmv~ — \ Zmvł = —gM (z₁ — z₀).

Die Summe der lebendigen Kräfte ist also nur von der Höhe des Schwerpunkts abhängig, und sie wird immer wieder dieselbe, sobald der Punkt durch dieselbe Horizontalebene geht.

64. Wenn das System eine Lage erhält, in welcher es im Gleichgewicht sein würde , sobald seine Punkte keine Geschwindigkeit hätten, so wird für alle virtuellen Verschiebungen

Zm (Xdx -f- Y Sy -f- Zdz) = 0.

Andererseits darf man

dx - — dx, dy z=z dy, dz = dz

nehmen, und erhält folglich

Z (Xdx -f- Ydy -j- Zdz) — o ;    , -

demnach ist der zweite Theil der Gleichung 2), da sein Differential verschwindet, im Allgemeinen einMaximum oder Minimum rücksichtlich aller Werthe, durch welche er successive hindurchgeht, d. h. die Summe der lebendigen Kräfte des Systems erlangt ihre grössten oder kleinsten Werthe, wenn das System durch die Lagen hindurch geht, wo es im Gleichgewicht sein würde, wenn seine Punkte ohne Geschwindigkeit dahin gebracht wären.

64. Wir wollen jetzt beweisen, dass der Airsdruck Z (Xdx -f-. Ydy -f- Zdz)

ein exactes Differential bildet, wenn die betrachteten Kräfte aus gegenseitigen Wirkungen zwischen den Punkten des Systems bestehen, welche den Massen dieser Punkte proportional sind und nur von den Entfernungen der letzteren abhängen.

Mit x, y, z, x', y\ z', mögen die Coordinaten von zwei Punkten bezeichnet werden, deren Massen m, m und deren Entfernung f ist; ihre gegenseitige Wirkung wird dann durch mm F ausgedrückt, wo F eine Function von f allein bezeichnet; die drei Componenten der von m auf m ausgeübten Wirkung sind ferner, als eine anziehende Kraft betrachtet,

mm' F .

x — x

/'

2 (Xdx + Ydy + Zdz)

entspricht jenen Componenten das Glied

mm' F .

(x' — x) dx + (y —• y) dy -(- (z — z) dz

die Componenten der Wirkung von m auf m liefern den ähnlichen Bestandtheil

mm F.

(x — x) dx + (y — y') dy' + (z — z) dz

die Vereinigung beider Ausdrücke giebt

— mm' F.

In der Summe

(x—x') (dx-—dx') -j- (y—y) (dy—dy) + (z—z') (dz—dz')

was sich auf— mm' F . df reducirt, wenn man die Gleichung

(x~~x)² -j- (y—y')² + (z — z')²^=f²

berücksichtigt; dagegen würde man -j- mm F . df gefunden haben, wenn die Wirkung eine abstossende wäre. Demnach sind alle Glieder, welche von den gegenseitigen Wirkungen der Punkte lierrüh-ren, exacte Differentiale, wenn diese Wirkungen nur von der Entfernung abhängen und den Massen proportional sind.

Wir haben früher bewiesen, dass es sich ebenso mit allen Kräften verhält, welche nach festen Mittelpunkten wirken und einer Function der Entfernung allein proportional sind.

Das obige Theorem findet nicht mehr statt, wenn ein widerstehendes Mittel oder Reibung vorhanden ist; die Kräfte V, Y, Z sind dann entweder von den Componenten der Geschwindigkeit oder von dem Drucke gegen Oberflächen oder Linien, welche Reibung hervorbringen, abhängig, und die Summe

2 (Xdx + Ydy + Zdz)

ist nicht mehr ein exactes Differential. Man beachte noch, dass das Differential — mm F . df, welches die gegenseitigen Anziehungen betrifft, negativ wird, wenn df positiv ist, und positiv bei negativen df-, die gegenseitigen Anziehungen liefern daher einen Zuwachs in der Summe der lebendigen Kräfte, wenn die Punkte sich nähern, und eine Verminderung, wenn sie sich von einander entfernen. Ebenso würde hei abstossenden Kräften die Summe der lebendigen

— 100

Kräfte Avaclisen, wenn die Punkte sich entfernen, und abnehmen, Avenn sie sich nähern.

66- Die Summe der lebendigen Kräfte wird durch einen gegenseitigen Stoss der Punkte des Systems nicht geändert, wenn die zusammentreffenden Körper nach der Compression wieder in dieselben Zustände zurückkehren, in welchen sie sich vorher befanden, und Avenn die abstossende Kraft, welche sie auf einander ausiiben, für dieselben Zustände dieselbe ist; denn man hat in diesem Falle gegenseitige Wirkungen, welche nur von den Entfernungen der Punkte abhängen, zwischen welchen sie stattfinden. Anders dagegen wird die Sache, wie wir gleich sehen werden, Avenn die sich stossenden Körper jener Bedingung nicht mehr genügen, d. h. wenn sie nicht mehr vollkommen elastisch sind.

67. Verlust an 1 eb endig er Kr aft b eim S to ss e. Nehmen wir an, dass die sich stossenden Körper gar keine Elasticität besitzen, und bezeichnen wir mit a, ft, c die Componenten der Geschwindigkeit des beliebigen Punktes m vor dem Stosse, und mit A, B, C ihre Werthe nach dem Stosse, welcher zwischen irgend welchen Theilen des Systems eintritt, so muss vermöge des d’Alem-bert’schen Princips, dessen Anwendbarkeit auf momentane Kräfte wir (No. 40) nachgewiesen haben, Gleichgewicht stattfinden zwischen den Stosskräften, welche zu zweien gleich und entgegengesetzt sind, und denjenigen, deren Componenten für jeden Punkt durch

SU R,

oder, dem Vorigen zufolge, durch

m ( a — A ), m ( b—B ), m ( c—C)

ausgedrückt werden. Mittelst des Princips der virtuellen Geschwindigkeiten erhält man nun eine, von den unbekannten Kräften, welche der Stoss erzeugt, unabhängige Gleichung, wenn man zur virtuellen Verrückung diejenige nimmt, welche nach Beendigung des Stosses in der That eintritt. Die Körper werden nämlich aufhören, auf einander zuAvirken, sobald ihre Geschwindigkeit im Sinne der gemeinsamen Normale dieselbe ist, dann also sind die virtuellen Momente der beiden gleichen und entgegengesetzten Kräfte gleich und ATon verschiedenen Zeichen; es hat daher keinen Nutzen, auf sie in

der Gesammtsumme Rücksicht zu nehmen, und man bekommt so die Gleichung

Zm \(a — A) dx -j- (b ■—■ B) dy -f- (c — C) dz] = 0.

Nun ist

dx = Adt, dy ~ Bdt, dz — Cdt,

also

Zm (a A + b B + cC — A- — B-—C²) == 0.

Führen wir die Bezeichnungen ein

«H 6* _j_ c2_ ^ ^2_j_ £2_j_ ç2_ F2} (a—^)2-f (6—i?)² + (c— Cf— W², woraus

G + V²—w²

uA -}- bB -f- cC

so wird die obige Gleichung

Zm (v²— V~ — rv²) — o oder Zmv² — ZmV² = Zmtv²,

diess beweist, dass ein Verlust an lebendiger Kraft stattfindet, gleich der Summe der lebendigen Kräfte, welche sich auf die v erl orenen Geschwindigkeiten beziehen. Dieser Satz ist bekannt unter dem Namen des Car not’sch en Theorems.

Man hat dasselbe auch auf den Fall ausgedehnt, wo die sich stossenden Körper einen beliebigen Grad von Elasticität besitzen; die Schwierigkeit jedoch, diesen Grad genau zu bestimmen, macht jene Anwendung bei dem gegenwärtigen Zustande der Wissenschaft fast unmöglich. Um mit einiger Sicherheit Gebrauch davon machen zu können, müssten erst zahlreiche Versuche angestellt werden, mit denen man sich noch nicht beschäftigt hat.

Da der Verlust an lebendiger Kraft im Falle der unelastischen Körper = Zmrv² ist, wenn man das System unmittelbar vor und nach dem Stosse betrachtet , so haben die Punkte ihre Lage noch nicht merklich geändert. Bezeichnet man also die Coordinaten dieser Punkte in dem Augenblicke, wo die Körper zur Berührung kommen, mityc, y, z, x, . . . ., so wird die Gleichung l) mit Rücksicht auf den augenblicklichen Verlust an lebendiger Kraft:

2)

\Zmv²    ^Zmv<p (a?, y, z, x , ...)    (x₀, y₍„ z₀,    , ...)

.    — ^ Zmrv².

Wir werden später den Gebrauch sehen, welchen man von den Gleichungen l) und 2) bei der Berechnung -der Wirkung von Maschinen macht.

sen

68. Die Gleichung l) nimmt eine bemerkenswerthe Form an, wenn man die Geschwindigkeiten der Punkte in Bezug auf den Schwerpunkt des Systems in dieselbe einführt. Sind nämlich x, y, z die Coordinaten irgend eines Punktes in Beziehung auf feste Ach-£,17, £ die Coordinaten desselben Punktes in Bezug auf den Schwerpunkt, so hat man

x = a?i + £, y — yx + rj, z == zx + £,

und folglich

3)

, dy±_    , dz^_ dl'¹    dif dt¹

dt²    ^ dt² dt²    ^ dl²    dl²    ^ dt²

dx,²

dxv dl

dt dt

Sr

dt dl dt

Bezeichnet man mit v die Geschwindigkeit des Schwerpunkts, mit V die Geschwindigkeiten in der Bewegung rücksichtlich des Schwerpunkts, beachtet man ferner die Gleichungen

SrlJ-

und nennt M die gesammte Masse des Systems, so gelangt inan'zu der Gleichung

4) Smv² =■ V² -f- d/v² ;

die Gleichung l) giebt also

F² —    V² = y (V — v²) + (p (x, y, z, x , ..)

(#ö, y₀, z₍₎, x ₀, . . .)

69. Kücksichtlicli des Schwerpunkts ist noch folgende Bemerkung nicht überflüssig. Da die Bewegung dieses Punktes dieselbe ist, als wenn die ganze Masse in ihm vereinigt wäre und alle Kräfte parallel mit sich selbst dahin verlegt wären, so kann man Eigenschaften der Bewegung des Schwerpunkts aus den Eigenschaften der Bewegung eines von beliebigen gegebenen Kräften getriebenen materiellen Punktes herleiten. Betrachtet man insbesondere die Gleichung, welche sich auf die lebendige Kraft eines materiellen Punk-

tes be'zieht, und wendet dieselben Beziehungen wie oben an, so erhält man

5) \d (dfu²) == dxx ZX + dyx ZY + dzx ZZ,

welche Gleichung in vielen Fällen dazu dienen kann, unmittelbar den Ausdruck für die Geschwindigkeit v des Schwerpunkts eines Systems zu liefern. Wir wollen hier eine Anwendung davon machen , um eine merkwürdige Eigenschaft des Schwerpunkts eines Systems zu beweisen.

Die Gleichung l) giebt, wenn man in ihr Zmv² durch seinen Werth aus der Gleichung 4) ersetzt,

\dZmV² + \d (Mv²) = Z (Xdx + Ydy + Zdz) ;

bezeichnen nun £, y, f die Coordinaten in Bezug auf Achsen, welche denen der x, y, z parallel sind und durch den Schwerpunkt des Systems gehen, so gelten die Beziehungen

x -— xx -(- £, y    y\ -ł~ y i z    ł

dx z=zdxr + d², dy = dyx + dy, dz = dzx -f d£,

und die vorige Gleichung wird mit Anwendung von Gleichung 5) zur folgenden

-kd (Ztn V~) = Z (Xd'i + Ydy + Zdg),

d. h. die Gleichung der lebendigen Kräfte findet in Bezug auf den Schwerpunkt ebenso statt, als wenn er ein fester Punkt wäre.

70. Die Gleichung der leb endigen Kräfte b ei relativer Bewegung. Wie früher gezeigt wurde, kann die relative Bewegung jedes Punktes als eine absolute Bewegung angesehen werden, wenn man zwei fingirte Kräfte einführt. Letztere sind die Reaction des betreffenden Punktes und eine auf der relativen Geschwindigkeit senkrecht stehenden Kraft; die Arbeit des letzteren ist, ihrer Richtung zufolge, gleich Null. Wendet man nun den Satz von der lebendigen Kraft auf jene absolute Bewegung an, die mit der relativen Bewegung identisch ist, und berücksichtigt die vorige Bemerkung, so erkennt man augenblicklich, dass die Gleichung der lebendigen Kraft auch für die relative Bewegung des Systems gültig bleibt, sobald erstens die Verbindungsgleichungen nicht explicite die Zeit enthalten und wenn zweitens zu den gegebenen Kräften noch die Reactionen der einzelnen Punkte hinzugefügt werden.    t

Bei der absoluten Bewegung, welche mit der relativen Bewegung identisch ist, sind selbstverständlich die Bedingungsgleichun-gen aus ihrer ersten, in relativen Coordinaten gegebenen Form in die neue Form umzusetzen, welche nur die absoluten Coordinaten enthält; der Anfangszustand ist für beide Bewegungen derselbe; endlich sind auch alle Kräfte, sowohl die gegebenen als die hinzugekommenen, auf absolute Coordinaten zu beziehen.

Fünfzehntes Capitel.

Anwendung der vorigen Sätze auf den Stoss sphärischer Körper.

Gerader Stoss.

71. Wir denken uns zwei aus homogenen Schichten zusammengesetzte Kugeln, deren Mittelpunkte gleichförmige Bewegungen nach einer und derselben Geraden befolgen; bei dem Zusammentreffen dieser Körper werden sich die Geschwindigkeiten ändern, die Mittelpunkte aber werden nach rvie vor in der einen oder andern Richtung auf derselben Geraden fortgehen; wir stellen uns nun die Aufgabe, die Gesclrwindigkeiten nach dem Stosse aus den ursprünglichen Geschwindigkeiten zu berechnen.

Dabei betrachten wir nur die Grenzfälle, Avenn die beiden Körper entweder vollkommen Areich oder vollkommen elastisch sind, und um alle Schwierigkeiten zu vermeiden, Avelche aus der Form der Körper nach dem Stosse oder aus etwaigen im Innern auftretenden BeAvegungen entstehen könnten, denken wir uns die Kugeln auf zAvei materielle Punkte zurückgeführt. Wir nehmen ferner an, dass bei grosser Annäherung ZAAÜschen den Körpern eine abstossende Kraft auftritt, AA^elche für vollkommen elastische Körper nur eine Function der Entfernung ist, und für Aveiche Körper nach einem gewissen Grade der Annäherung Null Avird.

Zur Abscissenachse wählen wir die Gerade, auf der sich die Punkte bewegen und nennen x, x die Abscissen dieser Punkte, m, m ihre Massen, i>, v ihre Geschwindigkeiten vor dem Stosse, F, V' ihre Geschwindigkeiten nach dem Stosse, und betrachten diese Grössen als positiv oder negativ, je nachdem die Bewegung im Sinne der positiven oder negativen x vor sich geht. Wenn wir hiernach mit xt die Abscisse des Schwerpunkts der beiden Punkte bezeichnen, so ist beständig

mx

mithin durch Differentiation

dx

t dx    .    f. dx*

,    4-    m ——    ~    (m -ff    m ) —

dt    dt    v    J    dt

Zufolge des Princips der Erhaltung des Schwerpunkts bleibt constant, und hat denselben Werth vor und nach dem Stosse. Der erste Theil behält daher gleichfalls denselben Werth vor und nach dem-Stosse, was zuerst folgende Relation giebt

1)

mv -ff mv — mV -ff m'V\

welches auch die Zeichen der Grössen v, v, V, V' sein mögen, und gleichviel, ob die Körper weich oder elastisch sind.

Wir unterscheiden jetzt die beiden genannten Fälle.

-ff mv

a. Sind die Körper vollkommen unelastisch, so hört die gegenseitige Wirkung auf, sobald ihre Geschwindigkeiten gleich werden und in demselben Sinne gerichtet; es ist dann V — V, und die Gleichung l) giebt

mv

-ff m

-ff mv = 0

Man sieht, dass beide Körper nach dem Stosse in Ruhe bleiben wenn die Bedingung

mv

erfüllt ist, d. h. wenn die Quantitäten der Bewegung gleich und die Geschwindigkeiten in entgegengesetztem Sinne gerichtet sind.

Man würde leicht nachweisen können, dass die Summe der lebendigen Kräfte-nach dem Stosse geringer als vorher ist, und dass der Unterschied die Summe der lebendigen Kräfte ausmacht, welche den verlorenen Geschwindigkeiten entsprechen.

b. Bei vollkommen elastischen Körpern wird die Summe der lebendigen Kräfte nach dem Stosse nicht geändert, und man erhält folglich

mv¹ -ff mV² mV² -ff m V'².

2)

Die Gleichungen ] ) und 2) bestimmen V und V’ mittelst v und v. Bringt man sie auf die Form

( V — v) = m (y •—■ V')

m ( V² — v²) = m (v ² — V ²) so findet man durch Division beider Gleichungen

V -ff v = V' -ff v oder V— V' — — (v — v ) ;

was anzeigt, dass die relativen Geschwindigkeiten vor und nach dem Stosse gleich und entgegengesetzt sind.

Die Gleichungen l) und 3) geben

^_ (m — m) v + 2m V

4)

m + m

(m — m) v +2 mv

m rri

Sind die Massen beider Körper gleich , so folgt aus diesen Formeln V == v und V' ;= v,

d. h. die beiden Körper vertauschen ihre Geschwindigkeiten. Befindet sich die eine Masse, etwa m', in Ruhe, so wird

(m •— m ) v

m -j- m ’

V' =

2 mv

m + m ’

d. h. der bewegte Körper prallt zurück, wenn er eine geringere Masse als der andre besitzt, oder er setzt seine Bewegung in demselben Sinne fort, wenn seine Masse die grössere ist; in dem einen wie in dem andern Falle wird seine relative Geschwindigkeit — — v, wie aus der Gleichung 3) hervorgeht.

Wäre ausserdem noch m=m', so ergiebt sich V = 0,    V.' — v.

Der gestossene Körper, welcher die Geschwindigkeit des stossenden aufgenommen hat, kommt also seinerseits wieder in Ruhe sobald er auf einen anderen ruhenden elastischen Körper von gleicher Masse trifft u. s. f. ; dieses Resultat bestätigt sich durch ein sehr bekanntes Experiment.

Schiefer Stoss.

72. Wir betrachten jetzt den allgemeineren Fall, wo die Mittelpunkte der beiden kugelförmigen Massen m und m sich nicht längs derselben Geraden bewegen. Für den Augenblick der Berührung nennen wir 0 und 0' die Orte der Mittelpunkte, und zerlegen die Geschwindigkeit jeder Kugel in eine normale Componente längs der gemeinschaftlichen Centrale 00' und in eine tangentiale Componente, welche in die gemeinschaftliche Beriihrungsebene fällt. Diese Componenten mögen N und T heissen für die Masse m, N' und T' für die Masse m.

Nacli den früheren Auseinandersetzungen über die Wirkung momentaner Kräfte können wir zuerst die Geschwindigkeiten berechnen , welche die beiden Kugeln erhalten würden wenn nur die normalen Geschwindigkeiten N und N' vorhanden wären; setzen wir nachher die so berechneten Geschwindigkeiten mit den tangentialen Geschwindigkeiten T und T zusammen, so erhalten wir die Grössen und Richtungen der beiden nach dem Stosse vorhandenen Geschwindigkeiten.

Demgemäss betrachten wir die Kugeln erst so als oh sie sich längs der Geraden 00' bewegten und mit den Geschwindigkeiten -ZV, N' zusammenträfen. Hieraus ergiebt sich hei unelastischen Körpern die gemeinsame Geschwindigkeit

_m N -f- niN'

m -\- m ’

welche in die Richtung der Geraden 00' fällt; dabei sind A, N' und v positiv im Sinne von 00' und negativ im entgegengesetzten Sinne 0 0. Ausser der gemeinsamen Geschwindigkeit v hat die eine Kugel noch die Geschwindigkeit T, die. andere die Geschwindigkeit T. Durch Zusammensetzung von v mit T, sowie von v mit T' ergehen sich die Geschwindigkeiten nach dem Stosse.

Bei vollkommen elastischen Körpern liefern A und N' die neuen Geschwindigkeiten

5)

_ (m — m) A + 2mN' m + m

(m —• m) N' -f- 2mN

m -f- rri

von denen die erste mit T, die zweite mit T' zusammenzusetzen ist. Für m = m gehen diese Formeln

v = N\ v = N,

die Kugeln tauschen also ihre primitiven normalen Geschwindigkeiten gegenseitig ebenso aus wie beim geraden Stosse.

Wenn die Masse m sich ursprünglich in Ruhe befindet, also N' = 0 ist, so folgt aus den obigen Formeln

2m

N, v =

A;

m -r— m

m -f- rn

bei unendlich wachsenden m nähert sich hier v der Grenze 0, v der Grenze — N. Durch Zusammensetzung dieser Grenzgescliwindig-

m + m

keit — N und der tangentialen Geschwindigkeit T ergiebt sich folgender Satz :

Wenn eine vollkommen elastische Kugel auf einen unerschütterlichen und vollkommen elastischen Körper stösst, so wird sie so zurückgeworfen, dass die Geschwindigkeit ihres Mittelpunktes ungeän-dert bleibt und der Abprallwinkel dem Anprallwinkel gleich ist.

Dieses Reflexionsgesetz, welches dem Gesetze für die Zurückweisung der Lichtstrahlen von spiegelnden Flächen analog ist, kann auch leicht direkt bewiesen werden. ,

— N + 2N' =3 — (N — 2 M'), v = N'.

Die Normalcomponente der Geschwindigkeit nach dem Stosse ist'jetzt nicht mehr dieselbe wie vorhin, sondern um die doppelte Normalgeschwindigkeit der reflectirenden Fläche kleiner.

N = "2N' wird hier v = 0; die auftreffende Kugel bleibt dann nach dem Stosse in der Berührungsebene der Fläche.

Wenn die zurückwerfende Fläche, statt absolut fest zu sein, eine Bewegung besitzt, die von der auftreffenden Kugel nicht geändert werden kann, so hat man in den Formeln 5) nur rn = 00 zu setzen ; diess giebt v :=

Für

Sechzehntes Capitel.

Die Trägheitsmomente.

Allgemeine Formeln.

73- Wie sieh im nächsten Capitel zeigen wird, sind bei der Untersuchung über die Bewegung eines festen Körpers gewisse In- ' tegrale erforderlich, die sich auf den ganzen Körper beziehen, und deren Eigenschaften man genauer kennen muss. Um den späteren Vortrag nicht zu unterbrechen, schicken wir die Betrachtung dieser Integrale voraus. Dabei denken wir uns den Körper als continuirlich mit Masse erfüllt, was vielleicht mit der wahren Constitution der Körper nicht völlig übereinstimmt', aber wenigstens in allen Fällen, wo es sich nur um äussere und nicht um Molecularkräfte handelt, als eine Voraussetzung erkannt worden ist, deren Ergebnisse um keine angebbare Grösse von den Thatsachen der Beobachtung abweichen.

Man nennt Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf eine Gerade die Summe der Produkte aus den Massen aller seiner

Elemente in die Quadrate ihrer Abstände von dieser Geraden. Nimmt man letztere zur Achse der z so wird das Trägheitsmoment durch den Ausdruck

f (x² -f- y-) dm

dargestellt, worin ćfrn^die Masse des Elements bezeichnet, dessen Coordinaten x, y, z sind, und das Integral sich auf die ganze Masse erstreckt. Ebenso sind die Momente der Trägheit in Bezug auf die Achsen der y und der x

f (x² -f- z²) dm, f (y² +,2²) dm.

74.

Kennt man das Trägheitsmoment eines Körpers in Beziehung auf eine Gerade, so ist es leicht, dasselbe in Bezug auf jede andere parallele Gerade zu erhalten. Nehmen wir die erste Gerade zur Achse der z, legen wir ferner die Ebene der zx durch die zweite Gerade, und bezeichnen mit a den Abstand beider Ge-

raden, mit M die Masse des Körpers und mit Mk² sein Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse der z, so gilt für das auf die Parallele bezogene Trägheitsmoment der Ausdruck

²“ßdm +

dm —

I [\x—à)² -+- y²] dm = J (x² +. y~)

oder wenn man mit x₁ die Coordinate des Schwerpunkts bezeichnet, M {k² -f- a²) — 2aMxy.

75. Liegt der Schwerpunkt auf der Achse der z, so wird x₁~0, und der vorhergehende Ausdruck reducirt sich auf

M {k² + a²) ;

man sieht, dass er nicht von der absoluten Lage der zweiten Geraden, sondern bloss von ihrem Abstande von der ersten Geraden abhängt; demnach bleibt das Trägheitsmoment eines Körpers dasselbe in Bezug auf alle Erzeugungslinien eines beliebigen geraden Cylin-ders mit kreisförmiger Basis, dessen Achse durch den Schwerpunkt des Körpers geht. Für die Trägheitsmomente in Bezug auf irgend zwei parallele Gerade folgt hieraus, dass ihr Unterschied gleich ist der Masse des Körpers multiplicirt mit der Differenz der Quadrate ihrer Entfernungen vom Schwerpunkte dieses Körpers.

Denkt man sich ferner die Trägheitsmomente für alle einer gegebenen Richtung parallelen Geraden aufgesucht , so entspricht das kleinste jener Trägheitsmomente des Körpers der durch den Schwerpunkt gehenden Geraden.    i

(Fig. 9.)

76- Wir suchen jetzt das Trägheitsmoment eines Körpers in Bezug auf irgend eine Gerade AS, weiche durch den Anfangspunkt der Coordinatan geht, und mit den Coordinatenachsen die Winkel a, ß, y einschliesst. Daraus wird man leicht das Trägheitsmoment in Bezug auf eine dieser Geraden parallele d. h. in Bezug auf eine beliebige Gerade im Raume ableiten.

'S

Nennen wir x, y, z (Fig. ’9) die Coordinaten des Punktes M des Körpers, dm die Masse d.es Elements, zu welchem der Punkt gehört, und fällen ein Perpendikel MP auf AS, so haben wir

MP² = AM² — AP² =x² + y² f ?²

— (x cos a -f- y cos ß -f- z cos y~)², oder

1)2

MP² = x² sin¹ a -j- y²sin² ß -f- z¹ sin¹ y — 2yz cos ß cos y — 2xz cos a cos y — 2xy cos a cos ß.

Wir bezeiclinen jetzt mit (i das Trägheitsmoment des Körpers in Be

zug auf AS (j.i — J MP¹ dm) und setzen zur Abkürzung

x¹dm = a,

I y zdm =■ d, J ,

xzdm = e,

J xydm

es ist dann

fi = a sin¹ cc -f- b sin² ß -f- c siti² y — 2d cos ß cos y — 2e cos a cos y-^~2f cos a cos ß;

dabei bestimmen sich die Constanten a , b, c, d, e, f durch die Natur des Systems und durch seine Lage in Bezug auf die Achsen. Schneidet man auf AS eine Länge AN=—pz ab und wiederholt dieselbe

Um ihre

Construction für alle Richtungen, welche AS um den Punkt A annehmen kann, so ist der Ort der Punkte N eine geschlossene Oberfläche, da AN immer einen reellen nnd endlichen Werth hat.

Gleichung zu erhalten, wird man mit x, y, z die Coordinaten von N bezeichnen , es ist dann

cosa = x}/(i, cos ß = yj/(A , cos y := z ]/fi,

— x¹ + y¹ -J- z².

fi

Die vorhergehende Gleichung, welche den Werth von fi giebt, wenn man a, ß, y, fi eliminirt, wird nun zur folgenden 1 ) (b -f- c) x² -j- (a + c) y¹ -\-{a-\-b) z² — 2dyz — 2exz — 2fxy ~ 1.

Der Ort ist also eine Oberfläche zweiten Grades, deren Mittelpunkt im Coordinatenanfang liegt, und zwar ist er ein Ellipsoid, weil kein Durchmesser unendlich werden kann. Poinsot nennt es das Cen-tralellipsoid. Gestalt und Lage dieses Ellipsoids hängen durchaus nicht von der Wahl der Coordinatenachsen ab, aber seine Gleichung würde einfacher werden, wenn man diese Achsen in der Richtung der Achsen des Ellipsoids annähme, welche ein einziges System bilden, wenn die Grössen dieser Achsen ungleich sind, wie dies im Allgemeinen der Fall ist.

— 113

Nehmen wir an, dass man dieses System gewählt habe, so hängen die Werthe der Constanten a, b, c, d, e, f von dieser Wahl ab, und zwar so, dass die Produkte der Variabein in der Gleichung des Ellipsoids nicht Vorkommen; man erhält folglich

ä"0, e = 0, f=0,

oder

xzdm — 0,

Jxydm = 0-

Also giebt es immer ein solches Achsensystem, dass diese drei Integrale verschwinden, welches auch die Gestalt des Körpers sein möge, statt dessen man sogar eine beliebige Anzahl getrennter Körper nehmen darf. Dies System der Achsen des Ellipsoids ist ein einziges, wenn diese Achsen ungleich sind. Werden zwei von ihnen gleich, so ist die darauf senkrechte Achse unveränderlich, aber die beiden andern Achsen können zwei beliebige rechtwinklige Gerade sein, welche in der Ebene dieser Achsen liegen. Wenn endlich alle drei Achsen gleich sind, so hat jedes rechtwinklige Achsensystem, welches durch denselben Punkt geht, dieselbe Eigenschaft. Man hat diesen besonderen Richtungen den Namen Haupta chs en der Trägheit des Körpers gegeben.

Nennen wir A, B, C die Trägheitsmomente des Körpers in Bezug auf seine Hauptachsen oder ihrePIauptträgheitsmomente, so gelten für sie die Gleichungen

b -f- c A, ü -f- c = B, ci T b '=■ C, und die Gleichung l) des Centralellipsoids wird Ax² -f By² + Cz² — 1.

V !l

77. Das Trägheitsmoment fi in Bezug auf eine beliebige Achse, welche durch den Anfang geht und mit den Hauptachsen die Winkel a, ß, y bildet, findet sich durch die Bemerkung, dass der entsprechende Radius des Ellipsoids gleich —Lr ist, also für die Coor-

dinaten seines Endpunktes x, y, z die Gleichungen bestehen cos a    cos ß    cos y

X=~—,

y fi    y fi    y fi

substituirt man diese Werthe in die Gleichung des Ellipsoids, so erhält man

fi — A cos² a ~k B cos~ ß 4" C cos~ Y‘

II.

Der zweite Theil ist offenbar grösser als die kleinste von den Grössen A, B, C, nnd kleiner als die grösste. Daraus scbliesst man, dass das kleinste und das grösste der Hauptmomente der Trägbeit aucli das kleinste und grösste der Momente sind, welche sich auf alle Geraden beziehen, welche durch denselben Punkt gehen; dieses Resultat kann man auch sonst unmittelbar aus der geometrischen Vergleichung der Radien des Ellipsoids mit seinen Achsen ableiten.

In dem Specialfalle A=B wird

fi = A (cos² a -f- cos² ß) + C cos² y,

oder

fi = A + (C — A) cos²y,

woraus man ersieht, dass die Trägheitsmomente dieselben sind für alle Geraden, welche immer durch denselben Punkt gehen und mit der ungleichen Achse gleiche Winkel bilden. Diese Bemerkung kann man auch unmittelbar aus der Betrachtung des Centralellipsoids ableiten, welches dann ein Rotationsellipsoid um die Achse der z ist.

Wäre gleichzeitig nur

xzdm — 0 und

so würde die Gleichung des Ellipsoids das Produkt xy, nicht aber xz und yz enthalten; die Achse der z würde also eine seiner Hauptachsen sein und folglich eine der Hauptträgheitsachsen in Bezug auf den Coordinatenanfang.

78. Wir wollen jetzt untersuchen, ob es solche Punkte giebt, dass die drei sich darauf beziehenden Hauptträgheitsmomente und folglich auch alle andern gleich sind. Das auf diesen Punkt bezogene Centralellipsoid wird dann zu einer Kugel, und alle durch diesen Punkt gehen Geraden werden Hauptachsen. Wir wollen der Einfachheit wegen annehmen, dass man zu Coordinatenachsen diejenigen Hauptachsen genommen habe, welche sich auf den Schwerpunkt des Körpers beziehen, und mit x' f y\ z die Coordinaten des gesuchten Punktes bezeichnen. Denkt man sich durch diesen Punkt Parallelen zu den drei Achsen der x, y, z gelegt, so müssen diese Geraden in Rücksicht auf diesen Punkt Hauptachsen sein und es ist folglich :

j\y

— y) (z — z) dm — 0, J (z— z) (x — x) dm — 0,

J (oc —cc) (y

— y) dmt= 0,

nun hat man der Voraussetzung nach

0,^ = 0,

ßzdm= «,/«*.=

xdm =

zdtn — 0.

Die vorigen Gleichungen werden also, wenn man mit M die ge-sammte Masse des Systems bezeichnet,

Myz — o, Mxz = 0, Mxy — 0 ;

was erfordert, dass zwei der Grössen x', y , z verschwinden. Sei x =0 und y e=0, so sind die Momente in Bezug auf die neuen Achsen

A + Mz², B + Mz\ C.

Es bleibt nur noch auszudrücken übrig, dass diese drei Werthe gleich sind, wozu die Bedingung

Â — B, A+Mz²=C

gehört. Demnach müssen zwei der Hauptmomente in Bezug auf den Schwerpunkt gleich sein und die gesuchten Punkte, .wenn es solche giebt, auf der Achse liegen, welche dem dritten Moment entspricht. Damit aber z reell ausfalle, ist C >• A erforderlich; man erhält also als letzte Bedingung, dass dieses dritte Moment das grösste sein muss. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, so erhält man zwei Punkte, welche der Frage genügen; sie liegen auf der Achse des grössten Moments

zu beiden Seiten des Schwerpunkts und in,der Entfernung j/^

von diesem Punkte.

79. Die Hauptachsen der Trägheit, welche «sieh auf den Schwerpunkt beziehen, besitzen die merkwürdige Eigenschaft, Hauptachsen in Bezug auf irgend einen ihrer Punkte zu sein und zu con-jugirten Achsen diejenigen Linien zu haben, welche den auf den Schwerpunkt bezüglichen Achsen parallel gehen. Betrachten wir z. B. die Achse der z, und verlegen den Anfang in irgend einen ihrer Punkte, dessen z gleich h sei, so genügt es

z z + h

zu setzen. Nun hat man der Voraussetzung zufolge

116

und ferner

J'yzdrn = 0,    ’xzdm — 0, J'xydni

= 0;

I yzdm = J yzdm -j- h^j'ydm — j yz dm ;

also

SŁ.'

Qj

■s

die drei Linien, welche den auf den Schwerpunkt sich beziehenden Hauptachsen parallel durch irgend einen ihrer Punkte gehen, sind demnach Hauptachsen für diesen Punkt.

Beispiele.

80. Trägheitsmoment eines rechtwinkligen Parallele pipedes. Legt man durch den Mittelpunkt eines homogenen Parallelepipedes drei zu seinen Kanten parallele Gerade, so bilden sie die drei Hauptachsen in Rücksicht auf den Schwerpunkt. Wir wollen die Längen der Kanten mit a, b, c und die Masse des Parallelepipedes mit M bezeichnen; die Trägheitsmomente in Bezug auf die ihnen parallelen Achsen sind dann

I*2 (ft² + c²)üf, ^\{a² + c²)M, ^{a² + b*)M.

Das Trägheitsmoment in Bezug auf eine Gerade, welche die Winkel «, ß, y mit den Kanten a, b, c einschliesst und in einer Entfer-fernung d vom Mittelpunkt des Parallelepipedes liegt, wäre demzufolge

— (b² -j- c²) cos² a -f- (ö² -f- c²) cos² ß + {a² -f- b²) cos² y -f- Md².

IZ L    _

Nimmt man nach einander die drei Kanten des Parallelepipedes zn Momentenachsen, so sind die entsprechenden Trägheitsmomente

% (b² + c²)M, | (a² + c²)M, i («² + b²)M.

81. Trägheitsmomenteines hora og en en Ellips oi ds. Die Gleichung der Oberfläche sei

x²    y² , z² _

7Â + V² + c2 =

und die Aufgabe gestellt, das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse der z zu bestimmen. Der über dem Rechteck dxdij stehende Tlieil des Volumens ist

'ledx dy

ir

~ 7² ~ &*’

und folglich ist, wenn D die Dichtigkeit der Substanz bezeichnet, das Trägheitsmoment des Körpers

2cD

/yv + </-) y i

X2    yl

p    p dx dlJ-

welchen Ausdruck man folgendermassen zerlegen kann:

x-

+ 2 cD

y²

x²

y²

--^dxdy.

wir wollen zunächst den ersten Theil behandeln und nach y zwischen den Grenzen

bj/ l-^UDd + b

x²

~7²

integriren. Das Integral

zwischen diesen Grenzen genommen, ist nichts Andres als der Flä-

cheniuhalt eines mit dem Radius b

x²

es²

beschriebenen Halb

kreises; sein Werth ist also \nb2 den Ausdruck

v~i

X²

— p; und man muss jetzt

nbcDx²

(-5)

dx.

von x = •— ah\s x    a integriren ; diess giebt

- nbca?D oder —

15

AVO

M die Masse des Ellipsoids bezeichnet.

Der zweite Ausdruck, der noch zu integriren wäre, unterscheidet sich von dem ersten nur durch Vertauschung von x mit y und a mit Mb²

6, er führt also zu ——; das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse der z ist folglich

(a² + b²)M,

und für die beiden andern Achsen würde man finden

i(«² + c²)M, -\{b² + c²)M.

In dem Talle a = b = c erhält man das Trägheitsmoment einer Kugel in Beziehung auf irgend einen Durchmesser; sein Werth ist

| a² M oder JDa⁵.

Lässt man den Radius a dieser Kugel um da zunehmen, so wächst ihr Trägheitsmoment um | itDcàda, welcher Ausdruck das Trägheitsmoment einer kugelförmigen Schicht von dem Radius «, der Dicke da und der Dichtigkeit D angiebt. Denkt man sich D als eine gegebene Function von a und integrirt den obigen Ausdruck zwischen Rjind R\ so erhält man das Trägheitsmoment einer hohlen nicht homogenen Kugel, deren Dichtigkeit nur von der Entfernung vom Mittelpunkte abhängt.

82. Trägheitsmomente homogener Rotationskör per. In der a;y-Ebene denken wir uns eine Fläche, begränzt durch zwei Curven, deren Gleichungen

y₀ — f(x) und Y — F(x)

sein mögen und durch zwei Gerade, welche in den Entfernungen x0 und X parallel zur y-Aclise gezogen sind; bei der Drehung um die ar-Achse erzeugt diese Fläche einen Rotationskörper, dessen Trägheitsmomente in Beziehung auf irgend eine durch den Coordinaten-anfang gehende Momentenaclise allgemein mittelst einfacher Integrale dargestellt werden kann. Man hat nämlich zunächst, wenn x, y, z die Coordinaten eines Körperpunktes M sind und p seinen Abstand von der Momentenaclise AS bezeichnet, für das Trägheitsmoment die Formel

D j jjp² dx dy dz,

p² = x² sin² cc -f- y² sin² ß z² sin² y "    — 2yz cos ß cos y — 2xz cos a cos y ■— 2xy cos a cos ß.

ft

119

Statt des bisherigen rechtwinkligen Coordinatensystems bedient man sich hier mit Vortheil eines gemischten Systems, welches in der Ebene yz polar, längs der x-Achse aber rechtwinklig ist, d. h. man setzt

y r cos co, z = r sin co, dy dz ~ r dco dr.

Darin bedeutet r die Entfernung des Punktes M von der æ-Achse und co den Neigungswinkel von r gegen die Ebene xy\ die Grenzen für co sind 0 und 2rc, r geht von y₀ bis F, x von .r₀ bis X ; hiernach ist

X Y 27t

ft = D J* J J p² r dx dr dco xo Vo ⁰

p² = x² sin² cc -f- r² cos² co sin² ß -f- r² sin² co sin² y — 2r² cos co sitz co cos ß cos y — 2xr sin co cos a cos y

— 2xr cos co cos a cos ß.

Nach Substitution des Werthes von p² wird ft durch sechs dreifache Integrale ausgedrückt, die leicht auf einfache Integrale zurückführ-bar sind ; es ist nämlich

x² r dx dr dco =■ 7t

x² ( Y² — y₀² ) dx,

^0 i/o

xo

Y 27t

r³ cos² co dx dr dco =

X Y 27t

f I ß

*o Vo

r! sin² co dx dr dco

J (F⁴ —f/o⁴) dxx0

die letzten drei Integrale verschwinden. Für das gesuchte Trägheitsmoment ergiebt sich demnach

y — Dit sin² a

J x² (F²-—y²) dx

x₀

—doß dx f '

+ t (sin² ß -j- sin² y) j( F⁴

x„

Noch einfacher wird diese Formel in folgenden zwei Fällen:

a) Die Momentenachse falle mit der geometrischen Achse zusammen; es ist dann a = 0, ß = y = 90° mithin

— y₀⁴)dx

xo

Beispielweis hat man für einen abgestumpften Kegel, dessen Halbmesser a und £>, und dessen Höhe h sein möge,

x, Xq — 0, X h

F₀ = 0, Y=b + a-^b

folglich

x ) dx

fi = J Bit

= jL («⁴ -f- «³6 -f- «²&² -f-    -j- ô⁴) h

oder wenn M die Masse des abgestumpften Kegels bezeichnet,

fl E=3

3    M

¹⁰ «³ — 6³

Für die Kugel ist zu nehmen

y₀ == o, F² = a² —• x², x₀ = — a, X — + ö ; man findet damit das frühere Resultat wieder.

b) Die Momentenachse stehe senkrecht auf der geometrischen Achse und möge in diesem Falle zur Achse dery genommen werden ; es ist dann « = 90°, ß = 0, y — 90°, folglich

fi = Dit

< fx² ( F² — y₀²) dx + I- J[F⁴

~y₀⁴) dx > •

X₀

xo

Für einen Yollkegel, dessen Radius a, dessen Höhe A ist, und bei welchem die Momentenachse durch die Spitze geht, hat man

a

y₀ = 0, Y = — x, x₀ = 0, X = h,

mithin

ft = i- Dtc (h² + i«²) a²A = | (A «² + A²) 71/, wo 71/ die Masse des Kegels bezeichnet.

121

Für eine Kugel, deren Radius a ist und deren Mittelpunkt um c vom Coordinatenanfang oder von der Momentenaclise abstelit, gelten die Substitutionen

?/₀ — o, Y² = o² — (x •—• c)², x₀ = c •—• a, X ~ c + « ; man findet mittelst derselben

fi = | Btc (c² -j- f ö²) a³ =3 (I «² + c²) M wo il/ die Masse der Kugel bedeutet.

Siebzehntes Capitel.

Bewegung eines starren Körpers um eine feste Achse.

Allgemeine Formeln.

83. Wir betrachten einen festen Körper, dessen Gestalt und Dichtigkeit gegeben sind, und der auf unveränderliche Weise mit einer festen Achse verbunden ist, um welche er sich frei drehen kann. Alle seihe Punkte oder bloss eine endliche Anzahl von ihnen werden durch gegebene Kräfte getrieben, und es handelt sich darum, die Bewegung dieses Körpers zu bestimmen, wenn etweder die Anfangsgeschwindigkeiten seiner Punkte gegeben sind, oder wenn man bloss die momentanen Kräfte kennt, wodurch sie hervorgebracht wurden.

Liegen die gegebenen Kräfte nicht in den auf der Drehungsachse senkrechten Ebenen, so kann man jede Kraft in zwei Compo-nenten zerlegen, von denen die eine dieser Achse parallel ist und die andre in einer auf ihr senkrechten Ebetfe wirl^;; die erste wird durch den Widerstand der Achse aufgehoben, und man kann also bei der Untersuchung der Bewegung von ihr abstehen. Wir setzen daher voraus, dass alle gegebenen Kräften in Ebenen wirken, welche auf der festen Achse senkrecht stehen.

d²z

d\ dm, dm

dm

Dem d’Alembertschen Princip zufolge besteht Gleichgewicht zwischen den gegebenen und zwischen den Kräften, die denjenigen gleich und entgegengesetzt sind, welche jedem Punkte, diesen als frei gedacht, die Bewegung ertheilen würden, der er wirklich folgt. Die letzteren Kräfte sind d²x

dt²

dt²

für das Element, dessen Masse dm und dessen Coordinaten x, y, z sind; im vorliegenden Falle jedoch ist es besser, die tangentiale und

123

normale Componente zu betrachten; die erste bewirkt den Zuwachs an Geschwindigkeit, die zweite ist die Centripetalkraft und wird durch den Widerstand der Achse aufgehoben, weil jeder Punkt einen Kreisbogen beschreibt, dessen Mittelpunkt auf der Achse liegt. Man kann sich daher auf die Betrachtung der Tangentialkraft beschrän-dv

ken, welche durch — dm dargestellt wird, wenn man mit v die Geschwindigkeit dieses Punktes bezeichnet. Heisst ferner r der Abstand dieses Punktes von der Achse und der Winkel, der-von zwei durch die Achse gehenden Ebenen gebildet wird, von denen die eine fest

und die andre mit dem Körper beweglich ist, so hat man auch

*

dv

d&

r — und folglich

dt dt²,

Die Geschwindigkeit gilt dann als positiv, wenn der Winkel & wächst, und die Kraft wird als positiv angesehen, wenn sie diesen Winkel zu vergrössern strebt. Nun besteht die Gleichgewichtsbedingung bei einem festen Körper, der sich um eine Achse drehen kann, darin, dass die algebraische Summe der Momente der Kräfte in Beziehung auf diese Achse verschwindet, indem man die Momente der Paare als positiv oder als negativ betrachtet, je nachdem sie den Winkel zu vergrössern oder zu verkleinern streben. Bezeichnet also P irgend eine der gegebenen Kräfte und p ihren Abstand von der Achse, so gilt vermöge des Gleichgewichts zwischen den Kräften d²&

P und — r -jp die folgende Gleichung:

d²&

SPp —• Sr² —5- dm = 0, dP

die Summen sich auf alle Punkte des Körpers beziehen. Im zweiten Gliede der linken Seite dieser Gleichung kann der Factor d²&

wo

dt²

vor

das Summenzeichen treten, und dann wird dies Glied

Sr²dm. Bezeichnen wir mit Mk² das Trägheitsmoment, wel-

_

dt²

ches sich auf eine durch den Schwerpunkt zur Achse parallel gehende Gerade bezieht, mit M die Masse des Körpers und mit l die Entfernung des Schwerpunkts von der Achse, so ist

Jr²dm    M (k² + l²)

Sr² dm —

und die vorige Gleichung wird daher zur folgenden

Im Allgemeinen ändern sich die Kräfte mit der Lage des Körpers; sind sie von der Zeit unabhängig, so sind ihre Momente bekannte Functionen von ff, und indem man die Gleichung l) integrirt, erhält man ff als Function von i und zwei willkürliche Constanten. Diese Constanten und folglich auch die Bewegung aller Punkte des Kör-

rfff

pers lassen sich bestimmen, wenn man die Werthe von ff und — für

t = 0 kennt, d. h. wenn die Lage und die Winkelgeschwindigkeit im Anfänge der Bewegung bekannt sind.

Um die Integration der Gleichung l) auszuführen, wollen wir ihre rechte Seite mit 9>(ff) bezeichnen; multipliciren wir die nunmehrige Gleichung

d¹ff

■w = ^

auf beiden Seiten mit 2dff und integriren von dem Anfangswerthe ff = ff₀ an, so erhalten wir

2)

1)

d¹fr

ZPp

di¹ M (k¹ + 12) '

wo co wird ferner

die anfängliche Winkelgeschwindigkeit bezeichnet; daraus

dl =

dff

ff

Z{¹/

<p(ff) d& -f- co¹

Die Ausführung dieser Quadratur liefert t als Function von ff; die willkürliche Constante bestimmt sich dadurch, dass gleichzeitig t =: 0 und ff = ff₀ sein muss.

Sind die gegebenen Kräfte so beschaffen, dass für sie die Gleichung der lebendigen Kräfte besteht, so führt diese unmittelbar zur Gleichung 2), weil die Geschwindigkeit eines Punktes, welcher in

d&

der Entfernung r von der Achse liegt, — r — ist und mithin die Summe Zmv¹ gleich wird

2mr2=lP⁼lFZmr2-

Drückt man dann den zweiten Tlieil der Gleichung der lebendigen Kräfte als Function der Variabein ft allein aus, was immer möglich

Zd&\²

Vdt)

als Function von ft und gelangt so zur

ist, so findet man

Gleichung 2).

84. Wir wollen insbesondere einen schweren Körper betrachten, welcher sich um eine horizontale Achse drehen kann; wir nehmen diese zur y-Achse und die der Schwere entgegengesetzte Kich-tung zur Achse der z; ■& möge der Winkel sein, welchen die durch die feste Achse und den Schwerpunkt des Körpers gehende Ebene mit der Vertical ebene FZ bildet, endlich wollen wir voraussetzen, dass dieser Winkel von der Achse des positiven z gegen die Achse der positiven x hin wachse, also im Sinne der directen Bewegung. Das Moment in Bezug auf das Element dm ist gxdm, und es strebt den Winkel ft zu vergrössern, wenn x positiv ist, und zu vermindern bei negativen x ; die Gleichung ]) wird also

gSxdm

dl%

Up ⁼ m (k² + i²)

_ gxj dt²    k² + l² '

oder wenn man mit x₁ die Abscisse des Schwerpunktes bezeichnet, d²&

^ sin ft

3)

Nun ist xt = l sin & mithin d²& _

~dP ~ k² + l²

Diese Gleichung hat dieselbe Form wie jene, welche die Bewegung eines materiellen Punktes um den Anfang in der Ebene XZ bestimmen würde. Bezeichnet man mit R den Abstand dieses bewegten Punktes vom Anfang, oder die Länge dieses einfachen Pendels, so erhält man als Gleichung seiner Bewegung

= — sin R

d²&

dt²

Diese Gleichung lässt sich aus No. 3) ableiten, wenn man annimmt, dass die ganze Masse des Körpers in einem um R von der Achse entfernten Punkte concentrirt sei ; sie wird mit der vorigen identisch für

k²

Ü9

Sind für t = 0 die Werthe von & und — in beiden Fällen dieselben,

so ist auch die Bewegung beider Körper stets dieselbe. Die Bewegung eines schweren Körpers um eine feste Achse kommt somit auf die Bewegung des einfachen Pendels zurück, und wir brauchen deshalb nur auf die Discussion der letzteren zu verweisen,

85. Wir erwähnen für diesen besondern Fall noch die Anwendung, welche sich allgemein von dem Princip der lebendigen Kräfte machen lässt. Hier sind nämlich A == 0, Y = 0, Z — g dm die Componenten der an ein beliebiges Massenelement dm angebrachten vKraft; die Gleichung der lebendigen Kräfte wird daher

Emr ² = — 2 A

\dtj

J g dm dz = — 2 g Zzdm + C,

wo C eine willkürliche Constante bezeichnet. Nennt man zt das z des Schwerpunkts des Körpers, so hat man

Azdm = Mzy — Ml cos

Bestimmt man ferner die Constante durch die Bedingung, dass die

6? 0*

Anfangswerthe von & und — seien -9^ und co, so geht die vorige Gleichung, wenn wie früher

Emr² = M (k² + l²) gesetzt wird, in die folgende über

o-

(cos & - COS $0) + CO²,

k² + l²

die nichts Andres als das erste Integral der Gleichung 3) ist. Die weitere Rechnung würde denselben Verlauf wie der Theorie des einfachen Pendels haben.

Ist die feste Achse gegen den Horizont geneigt, so reicht eine blosse Zerlegung der Schwerkraft hin, um gen zurückzuführen.

diesen Fall auf den vori-

Rotation eines Körpers in Folge einer momentanen Kraft.

Wir haben die Bewegung eines Körpers um eine Achse un-der Voraussetzung bestimmt, dass seine Anfangslage und seine anfängliche Winkelgeschwindigkeit bekannt seien; wenn aber statt

die momentane Kraft, welche sie her-

86.

ter

dieser Geschwindigkeit nur

vorbringt, gegeben ist, so hat man erst zu bestimmen, welche Geschwindigkeit der Körper annimmt, wenn er während einer sehr kurzen Zeit der Wirkung einer Kraft unterworfen ist, welche einem freien Punkte eine bekannte Quantität der Bewegung mitgetheilt haben würde. Zerlegt man diese Kraft in zwei andere, von denen die eine parallel zur Achse und die ändere in einer darauf senkrechten Ebene liegt, so bringt letztere allein die Bewegung hervor. Wir wollen mit P ihren Werth und mit p ihren Abstand von der Achse bezeichnen ; das d’Alembert’sche Princip liefert dann die Gleichung

coSr-dm = Pp,

worin co die Winkelgeschwindigkeit bezeichnet; unter Anwendung der bisherigen Bezeichnungen erhält man daraus

Pp

M ~ M (k² + l²) '

Da^somit die durch den Stoss erzeugte Winkelgeschwindigkeit bekannt ist, so lässt sich die Bewegung wie vorher bestimmen, und wenn keine Kraft auf den Körper wirkt, so giebt die Gleichung l)

d²&

dt²

= 0,

und die Winkelgeschwindigkeit bleibt constant.

87. Wir wollen annehmen, dass der Impuls durch den Stoss eines materiellen Punktes erzeugt sei, der die Masse p besitzt und sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt, deren Richtung in einer zur Achse senkrechten Ebene und um die Jorösse f von der Achse entfernt liegt ; überdies setzen wir voraus, dass diese Masse mit dem Körper in dem Punkte vereinigt bleibe, in welchem sie auf ihn trifft, und dessen Entfernung von der Achse mit h bezeichnet werden möge.

Zerlegt man die Geschwindigkeit v nach der Normalen und nach der Tangente des Kreises, welchen der Punkt beschreibt, wo der Stoss stattfand, so wird die erste Componente aufgehoben und der

vf

Werth der zweiten ist —. Bezeichnen wir mit co die Winkelge-h

schwindigkeit des Systems nach dem Stosse, so hat die Masse p die

V~F

Geschwindigkeit — ^co verloren, und die Quantität der Bewegung , welche die Rückwirkung des Körpers ihn hat verlieren lassen,

ist ft ^y-—Aeo^; dies also ist dass Maass der momentanen Kraft, welche auf die Masse fi ausgeübt wird, und da Wirkung und Gegenwirkung gleich sind, so ist dies auch das Maass der momentanen Kraft, welche auf den gegebenen Körper gewirkt hat. Man kommt so auf den vorigen Fall zurück und erhält

/vf \ fih I —--hco )

= ioEr²dm, woraus co

fivf

fih² -f- Er²dm

Der Kenner ist das Trägheitsmoment des ganzen aus dem gegebenen Körper und der Masse, welche sich mit ihm vereinigt hat, zusammengesetzten Systems. Bezieht man die Summe E auf die Gesammt-heit beider Massen, so ist einfacher

o, « Pvf .

Er¹ dm

Geschieht der Stoss gleichzeitig von mehreren Körpern, deren Massen p, fi\ fi" etc., deren Geschwindigkeiten v, v, v" etc., und bei welchen die Entfernungen der Richtungen der Geschwindigkeiten von der Achse f\ f'\ etc. sind, so ist entsprechend

_ (*>vf + (*>' v f' -f- ju" v" f" -f- etc.

Er¹ dm

wo das Trägheitsmoment Er²dm sich auf die Vereinigung aller Körper bezieht.

Verschiedene Eigenschaften der Rotation um eine feste Achse.

88.

Ein fester Körper, welcher um eine horizontale Achse schwingt, heisst ein zusammengesetztes Pendel; unter der Länge desselben versteht man die Länge des einfachen Pendels, welches dieselbe Bewegung hat. Die Länge des zusammengesetzten

k²

Pendels ist demnach = l H—— ; sie wird nicht geändert, wenn man dem Körper eine beliebige andere Lage giebt, indem man ihn um eine Achse dreht, welche der durch den Schwerpunkt gehenden Achse parallel wäre; denn l und k würden dieselben Werthe beibehalten.

Man nennt Schwingungsmittelpunkt eines zusammengesetzten Pendels jeden Punkt dieses Körpers oder jeden fest mit diesem Körper verbundenen Punkt, dessen Bewegung dieselbe ist als

wenn er isolirt und gezwungen wäre, sieli durch die Einwirkung der Schwere um dieselbe Achse zu bewegen. Hiernach sind alle Punkte

k²

derjenigen Geraden, welche in der Entfernung / -j—— parallel zur

Achse gezogen ist und in der durch Achse und Schwerpunkt gehenden Ebene liegt, Schwingungsmittelpunkte; sie liegen um die Grösse

k²    '    '

— unterhalb des Schwerpunktes. Einige Schriftsteller nennen spe-

cieller Schwingungsmittelpunkt denjenigen dieser Punkte, welcher auf der Verticalen durch den Schwerpunkt liegt.

Da die Abstände des Schwerpunktes von der Achse und von der Linie der Schwingungsmittelpunkte zum Producte k² geben, so folgt daraus, dass, wenn man letztere als feste Achse nimmt, die erste . zur Linie der Schwingungsmittelpunkte wird. Die Länge des Pendels ist dann dieselbe wie vorhin und seine Bewegung identisch mit jener. Ebenso verhält es sich, wenn man zur Achse der Aufhängung jede andre parallele Gerade nimmt, welche in derselben Entfernung vom Schwerpunkte liegt, weil l und k² sich bei dieser Voraussetzung nicht ändern.

Ueberliaupt ist die Bewegung dieselbe um alle Achsen, welche dem Pendel dieselbe Länge geben. Bezeichnet man mit l die Ent-fernixng irgend einer Achse vom Schwerpunkte , mit cc, ß, y die Winkel, welche ihre Richtung mit den Hauptachsen in Bezug auf diesen Punkt bildet, und mit A, B, C die Trägheitsmomente in Beziehung auf diese Achsen, so ist jederzeit

Mk² = A cos²a + B cos²ß + C cos²y,

k²    *

und die Länge l Ą—— des Pendels wird

l -f-

A cos² a -f- B cos²ß + C cos² y

Ml

Diese Länge kann also für eine unendliche Menge verschiedener Geraden dieselbe bleiben, weil «, ß, y, l unbestimmt sind.

89. Kennt man die Werthe, welche diese unbestimmten Grössen haben müssen, damit der vorige Ausdruck ein Minimum werde, so weiss man auch, um welche Achse die Bewegung stattfinden muss, damit die Schwingung in der kleinstmöglichen Zeit vor sich gehe.

Von allen Achsen nun, für welche k² constant ist, entspricht

diejenige, welche das Minimum für die Länge l +

k²

giebt, dem

Werthe l — #; und die Länge des Pendels ist dann gleich 2k. Sie wird demnach am kleinsten, sobald# seinen kleinsten Werth erreicht. Die Schwingung ist daher die kürzeste, wenn die Drehungsachse parallel liegt zur Achse des kleinsten Trägheitsmoments in Bezug auf den Schwerpunkt; ihre Entfernung k von dieser Achse ist gleich der Quadratwurzel des Verhältnisses dieses Trägheitsmoments zur Masse des Körpers.

m — in Bezug auf alle Elemente des Körpers gemessen dz

werden; dabei ist —- =0, weil die Bewegung um die Achse der z dt    y    ¹

stattfindet. Bezeichnen x, y, z die Coordinaten des Elementes dm, r seinen Abstand von der Achse, ff den Winkel, welcher von der Achse der x mit der Projection des von diesem Elemente auf die Achse gefällten Perpendikels gebildet wird, und co die hervorgebrachte Winkelgeschwindigkeit, so gelten die Gleichungen

90. Stoss gegen die Achse. Die momentane Kraft, welche den Körper in Bewegung setzt, übt auf die feste Achse einen Stoss aus, der von Kräften herrührt, welche sich mittelst ihrer Festigkeit das Gleichgewicht halten. Nehmen wir diese Achse zur Achse der z, und zur Ebene der x und y die durch den Angriffspunkt der Kraft gelegte senkrechte Ebene, zerlegen wir ferner diese Kraft in zwei andere, von denen die eine, Z, der festen Achse parallel, und die andere, P, in der Ebene XY liegt und zu Componenten X, Y hat, so muss Gleichgewicht herrschen zwischen den Kräften — X, — Y, — Z, und denjenigen, welche durch die Bewegungsquantitäten dx dy dz dt ’ dt

x === r cos ff, y r sin ff,

d&

dt

durch Differentiation wird aus ihnen

rfff

. d& dy    .

= — r śni ff —, — = r cos ff dt dt

und die Componenten der an das Element dm angebrachten Kraft, parallel zur Achse der x und y, sind — mydm und + coxd/n. Wenn man jetzt das System dieser Kräfte in Verbindung mit •—X, ■— Y, —• Z in drei nach den Achsen der x, y, z gerichtete Kräfte und in drei Paare, deren Achsen eben diese Richtungen haben, zerlegt, so haben jene Kräfte die Werthe

dx

dx

dt

dt

, oder — =—an/, — ’ dt    J dl

dy

C=! (ÙX,

— X — (oMyl, — Y -J- coMx₁, — Z,

wo x₁, yl die Coordinaten des Schwerpunkts des Körpers bezeichnen ; die drei Paare sind

bZ -f- (oSxzdm, — aZ -f- coZyzdm, aY — bY —- coZr~dm,

wo a und b die Coordinaten des Angriffspunktes der Kraft bedeuten. Nun ist das letzte Paar vermöge des um die Achse herum vorhandenen Gleichgewichts von selbst Null, und die auf die Achse aus-geübten Wirkungen rühren nur von den beiden andern Paaren und von den nach drei Achsen gerichteten Kräften her.

91. Mittelpunkt des Stoss es. Wir wollen jetzt die Bedingungen aufsuchen, unter welchen die feste Achse keinen Stoss erleidet. Dazu ist nöthig, dass unabhängig von dieser Achse Gleichgewicht bestehe, und dass folglich die nach den Achsen gerichteten Kräfte sowie die in den Coordinatenebenen liegenden Paare einzeln verschwinden. Nehmen wir der Einfachheit wegen an, dass die Ebene der x und z durch den Schwerpunkt gehe, dass folglich y y = 0 sei, so erhalten wir folgende Bedingungen:

Z = o, X = 0, Y z= o) Mxy,

Sxzdm — 0, Syzdm 0, a Y — ca Sr¹ dm — 0.

Die letzte Gleichung liefert die Winkelgeschwindigkeit; die beiden vorhergehenden zeigen an , daês die Achse der z eine der Hauptachsen ist, welche sichim Coordinatenanfang schneiden.. Die erste lehrt, dass die Kraft in einer auf der festen Achse senkrechten Ebene liegen muss, und die zweite beweist, dass sie senkrecht auf der durch die Achse und den Schwerpunkt des Körpers gehenden Ebene steht.

Um die Entfernung a der momentanen Kraft von der Achse als Function der gegebenen Grössen kennen zfii lernen, hat man in die letzte Gleichung für «»seinen aus der dritten Gleichung hervorgehenden Werth, zu substituiren und findet so

Sr² dm _

MXy ’

bezeichnet Mk² das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf eine durch den Schwerpunkt zur Achse gelegte Parallele, so wird diese Gleichung

k²

und folglich ist a gleich der Entfernung der festen Achse vom Schwin

1°. dass die Kraft senkrecht gegen die Ebene gerichtet sei, welche durch die Achse und den Schwerpunkt des Körpers geht,

gungsmitt eipunkte des Körpers in Bezug auf diese Achse. Soll demnach die Achse keinen Stoss erleiden, so ist es nothwendig und genügend :

2°. dass diese Achse eine der Hauptachsen des Körpers in Bezug auf den Punkt sei, in welchem sie von derjenigen Ebene getroffen wird, welche auf ihr senkrecht steht und den Stoss enthält;

3°. dass der Abstand der Kraft von der Achse derselbe sei, wie derjenige des Mittelpunkts der Schwingung des Körpers um diese Achse.

Die letzte Bedingung zeigt, dass die vorliegende Aufgabe unmöglich ist, wenn der Schwerpunkt auf der Achse selbst liegt; dann würde nämlich die Kraft sich in einer unendlichen Entfernung befinden müssen.

Der Punkt, in welchem die Kraft angebracht werden muss, die also in der durch die Achse und den Schwerpunkt gehenden Ebene liegt, heisst der Mittelpunkt des Stos ses; er liegt auf der Geraden, welche die Schwingungsmittelpunkte enthält.

Wenn umgekehrt der Körper um diese Achse in Bewegung wäre, so würde man denselben plötzlich mittelst einer an den Mittelpunkt des Stosses angebrachten Kraft anhalten können, ohne dass dadurch eine Wirkung auf die Achse hervorgebracht werden könnte, wenn nämlich alle Umstände, so wie wir sie angegeben haben, stattfinden.

In dem Falle, wo nur

Sxzdm = 0, Eyzdm = 0, Z — 0

wäre, würde der auf die Achse ausgeübte Stoss sich auf eine Kraft reduciren, welche durch den Anfang geht, und folglich aufgehoben "    ;

würde,, wenn dieser fest ist. Dier momentane Kraft bringt dann çine anfängliche Bewegung um die Achse der z hervor, als wenn diese fest wäre. Dasselbe würde eintreten, wenn statt einer einzigen Kraft eine beliebige Anzahl von Kräften in derselben Ebene vorhanden wäre, denn mittelst des festen Punktes werden sie immer auf eine einzige Kraft zurückgeführt werden können.

92. Der auf die Achse während der Bewegung aus-geiibte Druck. Das Gleichgewicht, welches nach dem d’Alem-bert’schen Princip stattfindet, erzeugt in jedem Augenblicke auf die feste Achse einen Druck, welchen man wie bei einer momentanen

Kraft berechnen kann. Sind Xdm, Ydm, Zdm die Componenten der an das Element dm angebrachten Kraft, so findet Gleichgewicht statt zwischen den Kräften

+ Xdm, -f- Ff/m, + Zf/m

und den Kräften

cl²x    cl²y    d²z

von denen die dritte Null ist, da die Bewegung um die Achse der z vor sich gehen soll. Nennt man den Winkel, welcher von der Achse der x mit der Projection des von irgend einem Punkte des Körpers auf die Achse der z gefällten Perpendikels gebildet wird, und a die Winkelgeschwindigkeit, so hat man die Beziehungen

d& dt

woraus

d²x

_    dco d²y    „    , da

clf-

ax~yTt' äC- ⁼ -ay + xTi'

Wenn man ferner, das System aller Kräfte in drei nach den Achsen gerichtete Einzelkräfte und drei in den Coordinatenebenen liegende Paare zerlegt, so haben jene drei Kräfte die Werthe

da

XXdm -f- a²Mx₁ + d//y₁ —

da

EYdm + co²My₁ — Mxl —,

SZdm.

Die Momente der Paare, deren Achsen nach den Achsen der x,y,z gerichtet sind, werden ausgedrückt durch

da

X iyjZ — zY) dm — a²Xyzdm -}- ~ Xxzdm,

da

X (zX — xZ) dm + a²Xxzclm -\—— Xyzdm,

'    dl    v

X (x Y — yX) dm — — Xr²dm.

Das letzte Moment ist wegen der Bedingung des Gleichgewichts Null, und der Druck, welcher in jedem Augenblicke auf die Achse ausgeübt wird, rührt von den beiden andern Paaren und den drei in dem Anfänge angebrachten Kräften her.

93. Permanente Drehungsachsen. Wir wollen annehmen, dass der Körper statt einer festen Achse nur einen festen Punkt besitze, den wir zum Anfang wählen wollen; ferner setzen wir voraus, dass keine äussere Kraft den Körper angreife, endlich stellen wir uns die Aufgabe, die Bedingungen zu bestimmen, unter welchen die Bewegung, wenn sie um die Achse der z begonnen hat, so fortfährt, als wäre diese Achse unveränderlich fest.

Hierzu genügt offenbar, dass alle Kräfte mittelst des festen Punktes mit einander im Gleichgewicht sind. Nun hebt dieser Punkt die drei in ihm angebrachten Componenten auf, es genügt also, dass die drei Paare verschwinden, was folgende Bedingungen giebt:

do)

— — 0, Zxzdm ~ 0, Zyzdm = 0.

Es ist also nothwendig und genügend, dass die Achse der z eine der Hauptträgheitsachsen sei, welche sich in dem festen Punkte schneiden. Demnach besitzt jeder mit dem -festen Körper verbundene Punkt die Eigenschaft, dass, wenn man ihn fest macht, und der Körper sich um eine seiner Hauptachsen der Trägheit in BSzug auf diesen Punkt zu drehen beginnt und keine äusseren Kräfte einwirken, er sich gleichförmig'um diese Achse zu drehen ebenso fortfährt, als wenn letztere iest wäre. Unter diesem Gesichtspunkte betrachtet heissen jene drei Achsen die permanenten Drehungsachsen in Bezug auf diesen Punkt. Läge der Anfang im Schwerpunkte des Körpers, wäre also xt = 0 und yl — 0, so würden die clpran angebrachten Kräfte von selbst verschwinden, und es wäre nicht mehr nöthig, dass dieser Punkt fest sei; d. h.

Wenn ein ganz freier Körper sich um eine seiner durch den Schwerpunkt gehenden Hauptachsen zu drehen anfängt, und keine neue Kraft an ihn angebracht w-i r d, so setzt er seine Bewegung gleichförmig um die Achse for t.

Diese drei Achsen heissen natürliche Drehungsachsen oder permanente Drehungsachsen in Bezug auf den Schwerpunkt.

Der obige Satz bleibt in der Hauptsache auch dann noch richtig, wenn die in der Ebene xy wirkenden Kräfte auf ein Paar zurückkommen; nur ändert sich dann die Winkelgeschwindigkeit.

135 —

Anfängliche Bewegung eines festen Körpers, welcher sich um einen festen Punkt dreht und der Einwirkung momentaner Kräfte unterworfen ist.

94. Alle an einem festen Körper angebrachten Kräfte 'lassen sich bekanntlich auf eine durch einen Punkt gehende Einzelkraft und auf ein Paar zurückführen. Da jener Punkt, als fester Punkt genommen, einzig und allein die Einzelkraft aufhebt, so wird die Bewegung nur noch durch das Paar hervorgebracht. Dieses Paar wollen wir in drei Paare zerlegen, deren Achsen die Richtungen der Hauptachsen des Körpers in Bezug auf den festen Punkt haben; zugleich wollen wir dieselben zu Coordinatenachsen nehmen und L, M, N die Momente dieser Paare nennen.

Wir wissen, dass die Geschwindigkeit eines jeden Punktes dadurch gefunden wird, dass man die einzelnen von jedem Paare hervorgebrachten Geschwindigkeiten zusammensetzt. Nun ist das mit dem Momente L versehene Paar in der Ebene enthalten , welche senkrechbauf einer Achse steht, die in Bezug auf ihren Schnittpunkt mit dieser Ebene Hauptachse ist; sie bringt also eine Bewegung um diese Achse hervor, und die erzeugte Winkelgeschwindigkeit ist =

A’

^ wenn A das Trägheitsmoment des Körpers in Beziehung auf diejenige Achse bezeichnet, längs welcher man die x zählt. (Vgl. No. 86.)

Nennt man ebenso B und C die Trägheitsmomente in Bezug auf die Achsen der y und z, so bewirken die beiden andern Paare Drehungen um eben diese Achsen mit den Winkelgeschwindigkeiten M    N    .

— und — ; man hat also, wenn diese Winkelgeschwindigkeiten mit B    C

co, co', co" bezeichnet werden,

, co

co —

Wie wir früher gezeigt haben, lassen sich diese drei Bewegun-"gen nach den Kegeln iibbr geometrische Bewegungen zusammensetzen und es geht aus ihnen eine rotirende Bewegung hervor, deren Grösse gleich ]/co² + co’² -f co"² ist, und die um eine Achse stattfindet, die mit den Coordinatenachsen die Winkel a,ß,y bildet, deren Cosinus den Grössen co, coco" proportional sind.

136

Betrachtet man jetzt das Centralellipsoid, dessen Gleichung Ax² -f- By² -j- Gz² = 1

ist, so weiss man, dass — ,    ^ den Cosinus der Winkel proportio-

ax Jj C

nal sind, welche der conjugirte Durchmesser der Ebene Lx + My + Nz- — 0

mit den Achsen einscliliesst; also ist die augenblickliche Drehungsachse der conjugirte Durchmesser dieser Ebene. Das Perpendikel auf diese Ebene bildet mit den Achsen Winkel, deren Cosinus den Momenten Z, M, A proportional sind; diese Normale ist daher nichts Anderes als die Achse des Paares des Impulses; daraus geht nachstehender Satz hervor :

Die Achse der Drehung, welche durch ein Paar an einem festen mit einem festen Punkte versehenen Körper hervorgebracht wird, ist der c o n j u g i r t c D u r c hm e s -ser der Ebene des Paares in dem Centralellipsoid.

¹

+ co¹,

Achtzehntes Capitel.

Drehung eines starren Körpers um einen festen

Punkt.

Allgemeine Formeln.

95. Bei der folgenden Untersuchung denken wir uns ein starres Punktesystem oder einen starren Körper mit einem festen Punkte verbunden und von beliebig gegebenen Kräften afficirt; unter der Voraussetzung, dass der Anfangszustand des Systèmes gleichfalls bekannt ist, soll für jede beliebige Epoche der Ort und die Geschwindigkeit jedes einzelnen Punktes bestimmt werden.

Denken wir uns zu diesem Zwecke drei durch den festen Punkt gehende und mit dem Körper verbundene rechtwinklige Coordinaten-àbhsen, so kommt es nur darauf an, die Bewegung dieses Coordi-natensystemes zu ermitteln und zwar kann jede augenblickliche Lage desselben entweder durch die neun Winkel bestimmt werden, welche die beweglichen Achsen mit drei absolut festen Achsen bilden, oder durch die drei Winkel, von denen bei der Transformation rechtwinkliger Coordinaten Gebrauch gemacht wird. (S. Anhang zum ersten Bande.)

Um nun zu den Bewegungsgleichungen zu gelangen, benutzen wir wieder das (l’Älembert’sehe Princip, wonach in jedem Augenblicke Gleichgewicht stattfinden muss zwischen den gegebenen Kräften und jenen Kräften, welche den wirksamen beschleunigenden Kräften gleich und entgegengesetzt sind oder, kürzer ausgedrückt, zwischen den gegebenen Kräften und der Reaction des Systèmes. Hieraus entspringen drei Bewegungsgleichungen von schon bekannter Form und bezogen auf irgend ein zu Grunde gelegtes Coordinatensystem; letzteres braucht übrigens nicht absolut fest zu sein, denn jene Bewegungsgleichungen gelten für irgend eine beliebig aus deï Zeit herausgegriffene Epoche und für irgend ein in

diesem Augenblicke gerade vorhandenes Coordinatensystem , es ist daher auch ganz gleichgültig, welche Lage dieses Coordinatensystem hat. Am zweckmässigsten wählt man dazu das mit dem Körper verbundene und mit ihm bewegliche Coordinatensystem und trans-formirt nachher die erhaltenen Gleichungen, indem man die auf das bewegliche System bezogenen Coordinaten durch die Coordinaten eines absolut festen Achsensystemes ausdrückt. Diesen Gedankengang wollen wir nun ausführen.

96. Die Componenten der beschleunigend en Kraft. In dem beweglichen Achsensystem mögen xv yv zi die Coordinaten eines materiellen, die Masse dm enthaltenden Punktes bezeichnen und u, v, rv seine Seitengeschwindigkeiten parallel den Achsen der xx, Vn zi ! na°h der Zeit dt gehen diese Seitengeschwindigkeiten über in u -f- du, v -f- dv, w -j- drv, sind aber nicht mehr parallel den Achsen der xx, yx, zx, sondern vielmehr den Lagen, welche die genannten Achsen zur Zeit t + dt haben; diese neuen Dichtungen mögen x₂, y₂, z₂ heissen. Was nun die Werthe von u, v, m betrifft , so kennt man sie aus den früheren phoronomischen Untersuchungen (S. 269 des ersten Bdes.), nämlich

1)

u = qzy — ryx, v = rxL—pz₁, m=pyx— qx^

die Zunahmen derselben sind, weil xx, yi, zi nicht von der Zeit ab-hängen,

man

2) du = zx dq — yxdr, dv xx dr — zxdp, dm = yi dp — xplq ; hat daher auch die Werthe von u + du, v + dv, tv + dm.

Um nun die Componenten der beschleunigenden Kraft zu finden, darf man nicht etwa du, dv, dm schlechthin durch dt dividiren , denn der Satz, dass die Zunahme der Seitengeschwindigkeiten, dividirt durch die Zunahme der Zeit, die Componenten der beschleunigenden Kraft liefern, gilt nur unter der Bedingung, dass die Incremente der Seitengeschwindigkeiten auf dieselben Coordinatenachsen bezogen sind, wie die Seitengeschwindigkeiten selber. Hier ist diess nicht der Fall, daher müssen die Seitengeschwindigkeiten u -f du, v + dv, m + dm, welche den Richtungen x₂, y%, z₂ entsprechen, erst auf die Achsen der xv yv zx projicirt werden ; von den erhaltenen Pro-jectionen sind dann u, v, m abzuziehen und die Reste durch dt zu dividiren.

Bezeichnen wir mit x, y, z die Coordinaten des Punktes dm, bezogen auf ein absolut festes Coordinatensystem, so sind die Cosinus

139

der Winkel, welche xi mit den absoluten Achsen bildet, der Reihe nach

/ //

<t,    a , a 5

mithin sind die Cosinus der Winkel zwischen X₂ und denselben festen Achsen

a -J- da, a -f- da', a" -j- da".

Aehnliche Ausdrücke gelten für die Cosinus der Winkel, welche F1 und Y₂ sowie Zx und Z₂ mit den festen Achsen bilden; es ist daher leicht genug, die Cosinus aller neun Winkel zwischen Xl, Yx, Zl einerseits und X,, F₂, Z₂ andererseits zu berechnen. So hat man zunächst

cos X₂Xx = [a -j- da) a + {a -j- da) a -f- {a" + da") a"

— a² -j- a² -f- a"² -f- ci da -j- a da -j- a" da"

d. i. wenn man die Gleichung a² -f- a² -f- a"² — 1 berücksichtigt und die unendlich kleinen Grössen gegen die Einheit vernachlässigt,

3)

cos X₂Xt — 1, ebenso cosY₂ F₁ = 1, cos Z₂ Zv= 1.

Ferner ist z. B. für den Winkel zwischen F₂ und Zx

cosY₂ Zx =; (b + db)c -j- (b' + db ) c- + (b" -j- db")c ' z=: bc + b'c + b"c" + c db + c db' + c" db" -wegen bc -j- b'c + b"c" — 0 wird hieraus

cos F₂ Z^ ■= c db -j- c db' + c" db" = p dt.

Auf gleiche Weise erhält man

cos Z₂ F₁ = b de + b' de + b" de" =■ — p dt, also überhaupt folgende Beziehungen

4)

*)

cos Y₂ Zv = -—■ cos Z₂ F₁ p dt, cos Z₂ X₁ c=; — cos X₂ Zv — q dt, cos X₂ Yr = — cos F₂ Xx == r dt.

Die zur Zeit i + dt längs der Achse der Xx stattfindende Seitengeschwindigkeit ist hiernach

(u + du) cos X₂ Xt + (v + dv) cos V₂ X^ -f- (m + dm) cos Z₂ Xi

= u -f- du — (v -f- dv) r dt + (w + dm) q dt ;

zieht man hiervon u ah und dividirt den Rest durch dt, so erhält man für die Componente der beschleunigenden Kraft längs der nämlichen Achse :

du

— — (v -f- dv) r -f- (m + dm) q.

Es bedarf nur der Substitution der Wertlie von v, dy, m, dm, um die fragliche Componente, welche u heissen möge, vollständig entwickelt zu haben. Selbstverständlich fallen dabei die unendlich kleinen Grössen gegen endliche Grössen weg und so ergeben sich für die Componenten der beschleunigenden Kraft schliesslich die Wertlie

u i=

dq

dr

5)

ziJt ~ Vi Jt + q    ”    r    {rx\—Pzù    »

= œi Jt — zi + r (qz₁ — ry±) — p {py{~qxt) ,

~ yi % ~~ Xi Tt + p (rXi 7~pzà ~ q ” ry^-

Bezeichnen

97. Die Gleichungen der Bewegung.

Xi, ^, Z{ die drei, den beweglichen Achsen parallelen Componenten der am Punkte cc₁, yt, zx angebrachten bewegenden Kraft, so führt das d’ÄlemberVsehe Princip zu folgenden drei Gleichungen

2 (yi m — zx v) dm = 2 (yl Zl ~'zt Ft), 2 (zl u — xx m) dm — 2 (zt X₁ — xi Zt), 2 (a^ v — yx u) dm := 2 (xx ■— yl X^).

Die auf der linken Seite angedeuteten Summen beziehen, sich auf die ganze Masse, die Summen rechter Hand auf die äusseren Kräfte, welche sowohl an alle Punkte des Körpers als an gewisse besondere und der Anzahl nach begrenzte Punkte angebracht sein können. Die letzteren Summen lassen sich durch die Elemente ausdrücken, welche die Lage des Körpers in jedem Augenblicke bestimmen, sie sind also bekannte Functionen der Winkel <jd, tfj} & und vielleicht von t, letzteres in dem Falle, wenn die Kräfte von der Zeit ab-

liängen.

Die linken Seiten der obigen Gleichungen vereinfachen sich sehr, wenn man die Hauptträgheitsachsen des Körpers zu den

Achsen xx, yx , zx nimmt ; dann verschwinden die Summen Ey^zydni, 2z\Xydm, Zxpy^dm, und wenn man mit A, B, C die Trägheitsmomente des Körpers in Bezug auf die Achsen der xx, yv z± und mit L, M, N die Summen rechter Hand bezeichnet, so gelangt man zu folgenden Gleichungen :

A^=iB-C)Sr + L,

6)

B^=(C-A)rp + M, dr

C — = (A — B) pq + N.

Diese Gleichungen sind noch mit den bekannten früheren

Formeln

pdl — cdb -f- c'db' -j- c"db", qdt = ade 4* a'dc -f- a'dc', rdt — b da -f- b'da -f- b" da'

zu verbinden, welche letzteren gleichfalls durch die Winkel tf, cp und ip ausgedrückt werden können ; setzt man nämlich für a, a, a" b.. .c' ihre Werthe (Bd. I. S. 422), so findet man leicht

7)

pdl = cos cp d& + sin cp sin & dty, qdt = —■ sin cp dA -f- cos cp sin h dep, rdt — dep -j- cos & d'tjj.

von

Die Gleichungen 6) und 7) bilden zusammen ein System sechs Differentialgleichungen erster Ordnung mit den sechs Unbekannten p, q, r, cp, i)j, letztere können daher mittelst jener Gleichungen als Funktionen der Zeit t ausgedrückt werden. Die Werthe der bei den Integrationen auftretenden sechs willkürlichen Constan-ten bestimmen sich durch die anfänglichen Lagen und Geschwindigkeiten.

Verschiedene Eigenschaften dieser Bewegung, falls keine äusseren Kräfte existiren.

98- Anwendung des Princips der Flächen. Wehn ein fester Körper sich um einen festen Punkt bewegt , so könnten die Geschwindigkeiten, welche alle seine Punkte in einem beliebigen Zeitpunkte besitzen, in diesem Augenblicke durch momentane

Kräfte hervorgebracht werden, welche auf den Körper wirkten, wenn er in dieser Lage in Ruhe wäre ; in Folge des festen Punktes würden dann alle Kräfte auf ein Paar zurückführbar sein. Dieses Paar ist identisch mit demjenigen, welches aus den Quantitäten der Bewegung hervorgeht, denen die verschiedenen Punkte des Körpers unterworfen sind; zerlegt man daher beide Paare in drei andere, deren Achsen nach drei festen rechtwinkligen Geraden gerichtet sind, so müssen die componirenden Paare dieselben sein. Nun lehrt das Princip der Flächen, dass, wenn keine äusseren Kräfte existiren, die Summen der Momente der Bewegungsquantitäten in Beziehung auf drei feste Achsen constant bleiben, und mithin ein und dasselbe Moment geben, dessen Achse eine unveränderliche Richtung hat. Die momentanen Kräfte, welche in jedem Augenblicke dem in Ruhe gedachten Körper in derjenigen Lage, die er gerade einnimmt, die wirklich stattfindenden Geschwindigkeiten ertheilen würden, sind also auf ein Paar reducirbar, welches immer dieselbe Achse und dasselbe Moment besitzt. Wir wollen die Achse und dieses Moment aufsuchen.

Betrachten wir zu diesem Zwecke die Bewegungsquantitäten, welche in irgend einem Augenblicke nach den Hauptachsen der Trägheit, auf weichen die x₁, y y, zl gezählt werden, zerlegt sind, so haben die Momente der von ihnen hervorgebrachten Paare folgende Wertlie

2 (j/a w — zy v) dm, 2 (zy u — Xy w) 'dm, 2 (aq v — yx u) dm ;

und indem man für u, v, m ihre durch die Gleichungen 5) gegebenen Wcrthe substituirt, findet sich

2 (i/y rv — Zy v) dm = Ap,

8)

2 (Zy u — Xy 1V) dm ~ Bq,

, 2 (Xy v — y y u) dm ~ Cr.

wenn

Diese Grössen sind nicht constant, weil die Achsen der xx, y y, Zy nicht fest sind, dagegen bleibt die Summe ihrer Quadrate unveränderlich, weil das resixltirende Moment constant ist; man hat daher, dieses Moment mit k bezeichnet wird,

9)

J2p2 _|_ ß2q2 _]_ £2r2 ₌ foi.

Kennt man den Anfangszustand des Körpers d. h. seine anfängliche Lage so wie die Anfangsgeschwindigkeiten oder die momentanen Kräfte, welche sie erzeugt haben, so sind die Anfangswertlie von Ap, Bq, Cr und folglich auch die von p, q, r bekannt.

143

Nennen wir ferner OK die Richtung der Achse des resultirenden Paares der Bewegungsquantitäten, so erhalten wir zur Bestimmung dieser Richtung in Bezug auf die beweglichen Achsen folgende Gleichungen

10)

Ap

Bq

cos K0Xx = -f , cos K0Yx —    , cos K0Zx =

rC    ft

Cr

und in Bezug auf die festen Achsen :

cos KOK = -

Aap + Bbq -j- Cer

U)’

cos KO Y x=i

Aap -b Bb'q + Cer

cos KOZ =

Aap -f- Bb"q + Cer

Die Zähler dieser Ausdrücke sind constant wegen der Unveränder-lichkeit der Richtung OK.

Die Formeln 7) beweisen den schon bekannten Satz, dass die Cosinus der Winkel, welche die momentane Achse mit X\, Yx, Zx bildet, dieselben Zeichen wie die Grössen p, q, r besitzen. Die Com-ponenten der momentanen Drehung nach den Richtungen der Hauptträgheitsachsen sind nämlich Drehungen, welche die componirenden Paare Ap, Bq, Cr hervorbringen würden; sie haben also dieselben Zeichen wie diese Paare und folglich wie p, q, r.

die äusseren Kräfte Null sind, muss die Summe der le

wo

99. Anwendung d e s P r i n c i p s derlebendigenKräfte, Man weiss, dass die Gültigkeit des Princips der lebendigen Kräfte nicht aufhört, wenn Punkte eines Systems mit festen Punkten verbunden sind, und dass die von diesen letzten Punkten herrührenden Kräfte keinen Einfluss auf das Resultat ausüben. Im vorliegenden Falle

bendigen Kräfte constant bleiben. Wir wollen ihren Werth mit h bezeichnen; diese Constante bestimmt sich aus dem Anfangszustande des Körpers; um sie zu berechnen bemerken wir, dass das Quadrat der Geschwindigkeit des Punktes (xx, yx, z*) folgendes ist:

u² + v² -f w² = p² {yx² -f zx²) + q² {zx² + xx²) + r² (aq² + !/i²)

■— 2qryxzx •— 2rpzxxx '— 2pqxxyx.

Durch Multiplication mit dm und Integration über die ganze Ausdehnung der Masse erhält man die Summe Ti der lebendigen Kräfte für einen beliebigen Augenblick ; sie ist

Ap² -f Bq² + Cr² s= h.

1)

Fügt man zu den Gleichungen 8) und 11) die Bedingung hinzu, dass die Winkelgeschwindigkeit j/p² -j- q² + r² constant bleiben soll, so erhält man zwischen p, q, r drei Gleichungen, welche p, q, r bestimmen, wenn A, B, C ungleich sind; die Drehungsachse ist in diesem Falle unbeweglich. Die Gleichungen 6) erfordern dann, dass zwei der Grössen p, q, r verschwinden, weil dp, dq, dr, L, M, N sämmtlich Null sind. Die Bewegung geschieht also um eine der Hauptachsen der Trägheit, wie es leicht vorauszusehen war.

100. Winkel zwischen der momentanen Achse und

der Achse des resultirenden Paares.

Für den Winkel £ zwischen diesen beiden Achsen findet man aus den Werthen der Co

sinus der Winkel, welche sie mit Xx, Y₁, Zx bilden, folgende Bestimmung :

cos £ =

kco

Ap² -j- Bq² -f- Cr2 k ]/ p² -j- q² + r²

Diese Gleichung giebt

CO cos £ =

und beweist folgende merkwürdige Eigenschaft: die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit liefert eine in Bezug auf die Achse des resultirenden Paares constante Compo-nente, welches Paar das des Maximums der Flächen oder der invariabelen Ebene ist.

101. Lage der momentanen Achse in Bezug auf das Centralellipsoid. Die Gleichung des Centralellipsoids war

Axt² + Byf + Czx² s=s 1 ;

die Cosinus der Winkel, welche die Normale in einem beliebigen Punkte xx, yx, zx mit den beweglichen Achsen einschliesst, sind daher den Grössen Axx, Byx, Czx proportional; ferner sind die Cosinus, welche sich auf das resultirende Paar beziehen, den Grössen Ap, Bq, Cr proportional. Beide Gerade werden identisch für d. h. wenn der zum Punkte xx, yx, zx gehörende Radius-vector des Ellipsoids mit der momentanen Drehungsachse zusammenfällt; daraus folgt der von Pomsol gefundene Satz :

145

Wenn man an das C entralellipsoid eine Tangentenebene legt, welche der Ebene des resultirenden Paares parallel liegt, so stellt der nach dem Berührungspunkte gezogene Radius- vector die momentane Drehungsachse dar.

102. Die Winkelgeschwindigkeit als Function des Radius-.vector des Ellipsoids. Da die Cöordinaten des Pols der Drehung auf dem Centralellipsoid d. h. desjenigen Punktes, in welchem diese Oberfläche von der momentanen Achse getroffen wird, den Grössen p, q, r proportional sind, so gelten folgende Gleichungen, in denen R die Länge des Radius-vector des Ellipsoids und P das Perpendikel bezeichnet, welches von dem Mittelpunkte auf die berührende Ebene gefällt ist:

«l __ Vx _ h. p q r

_ kV + Vx + *1² __ VÄx\~ + Pył + V

]/ p² fl- q² -f- r²

]/ Ap² fl- Bq² fl- Cr²

j/Ä²xx ² fl- /A/rfl-l'V

]/A²p² fl- B²q² fl- (Pr²

Die drei letzten Glieder liefern die Beziehungen

L « ~ e ]/H, P =

]/ h

}/h P“

Hieraus folgen mehrere wichtige Pütze, welche zuerst von Poinsot aufgestellt sind.

Die Gleichung co = R ]/ h liefert zuerst das Theorem:

Die Winkelgeschwindigkeit ist de mjenigen Radius -vector des Ellipsoids proportional, um welchen die augenblickliche Drehung stattfindet.

Die Gleichung P = beweist, dass das Perpendikel, wel-

rC

ches von dem festen Punkte auf die Ebene gefällt ist, welche das Ellipsoid im Pole der Drehung berührt, constant bleibt. Nun ist diese Ebene auch der festen Ebene des resultirenden Paares parallel, mithin ihre Lage unveränderlich d. h.

Das Centralellipsoid berührt immer die Ebene, welche parallel zur Ebene des resultirenden Paares

10

II.

- / T

in der Entfernung^-—- construirt wird. Ihr Berüh-

rC

rungspunkt is t der Pol der Drehung, und folglich findet keine gleitende Bewegung auf der festen Ebene statt.

Diese Eigenschaft liefert eine sehr elegante geometrische geometrische Darstellung des von dem Körper befolgten Ganges.

103. DiePoloide. Lässt man eine Ebene sich so bewegen, dass sie sowohl das Centralellipsoid als eine concentrische mit dem

]/ h

-— beschriebene Kugel fortwährend berührt, so bilden ihre

rC

Berührungspunkte mit dem Ellipsoid eine stetige Curve, den geometrischen Ort der Pole. Diese sogenannte Poloide liegt symmetrisch gegen zwei Hauptebenen; auf die Hauptachsen des Körpers bezogen, wird sie*durch folgende zwei Gleichungen bestimmt:

Ax² + By² + Cz² = 1,

A^Xy -f- B-yy -f- (BZy = y-'

Radius

woraus man ableitet:

12) A (k² — Ali) x² + B (k² — BK) y ² + C (k² — Ch) zx²=0;

dieser Gleichung entspricht ein Kegel zweiten Grades, dessen Hauptachsen in derselben Richtung wie'die des Ellipsoids liegen, und welcher der Ort der momentanen Achsen in Bezug auf den Körper ist. Um die Lage seiner Mantelfläche zu finden, sei A das grösste Trägheitsmoment und C das kleinste ; man erhält dann

13)

k² —- Äh-=z B {B — A) q² -j- C (C — A) r², k² — Bh:=C{C — B) r² + A (A — B) p²,

■ k² — Ch = A (A — C) p² -f B (B — C) q², und hieraus ergiebt sich weiter

k² — Ah <i 0 und k² — Ch )> 0.

Diese beiden Ungleichungen kann man auch unmittelbar durch die

h    ‘

Bemerkung erhalten, dass jy das Quadrat des Abstandes des Mittelpunkts von der Ebene ist, welche das Ellipsoid in dem Punkte x{, y y, Zy berührt; daraus folgt

-i

Ss-

Ul

-H

Ul

rH

die elliptischen Schnitte des Kegels stehen daher senkrecht auf der Achse der xx wenn

k² — Bh > 0,

und senkrecht auf der Achse der zx wenn

k² — Bh < 0.

Dies sind die Achsen des kleinsten und grössten Trägheitsmoments des Körpers.

Für B ~C wird der Kegel zu einem Umdrehungskegel um die Achse der xx, für B ~ A ist er es um die Achse der zx, für A — B = C sind p, q, r constant, und die Bewegung geschieht um eine feste Achse.

Wenn k² einer der Grössen Ah, Bh, Ch gleich wird, so reducirt sich der Kegel auf eine Ebene; wenn aber A, B, C nicht alle drei gleich sind, so hat man nothwendig :

k² — Ah -< 0 und k² —• Ch > 0;

Also kann nur k² —• Bh verschwinden, und in diesem Falle ist die Gleichung des Orts der momentanen Achsen :

14)

_ C (k² — Ch) __ C (B — C) z² A (Ah — k²) A (A — B)

xx²

Diese Gleichung stellt zwei Ebenen dar, welche durch die Achse der yx gehen, die zugleich die Achse des mittleren Trägheitsmomentes ist; sie schneiden das Ellipsoid in zwei Ellipsen, welche die Oerter der Pole sind und folglich die Eigenschaft besitzen, dass die Entfernung des Mittelpunkts von der Ebene, welche das Ellipsoid in einem beliebigen Punkte dieser Ellipsen berührt, constant bleibt; diese Entfernung ist offenbar die Länge der mittleren Halbachse des Ellipsoids.

Bei positivem k²—- Bh umgiebt der Kegel die Achse der ocx, und die Gleichung 12) liefert:

zl²

C (k² —Ch) ^ C (B — C) A {Ah — k²) > A (A — B)

10*

also liegen alle Erzeugenden auf der Seite der positiven zl unterhalb der beiden erwähnten Ellipsen; bei negativem k² —Bh liegen sie oberhalb. Diese beiden Ellipsen tlieilen das Ellipsoid in vier solche Fächer, dass, wenn die augenblickliche Achse zu irgend einer Zeit sich in dem Innern des einen von ihnen befindet, sie immer darin bleibt und sich um die Hauptachse dreht, welche in eben demselben Fache liegt; liegt sie in einer der trennenden Ebenen, so bleibt sie auch beständig in dieser.

Wenn zwei fast gleiche Achsen vorhanden sind, so wird das eine der Fächer sehr eng, und dann geht die Polcurve, obgleich sie eine grosse Ausdehnung in diesem Fache hat, sehr nahe bei dem Endpunkte der grossen oder kleinen Achse vorbei; es findet also nicht immer Stabilität für die momentane Achse statt, wenn sie anfänglich der Hauptachse des kleinsten oder grössten Trägheitsmoments sehr nahe ist; giebt es dagegen nicht zwei beinahe gleiche Achsen, und liegt die augenblickliche Achse nahe der Achse des kleinsten oder grössten Trägheitsmomentes, so wird sie sich während des ganzen Verlaufs der Bewegung nur sehr wenig von diesen entfernen. Ist die anfängliche Drehungsachse nahe bei der Achse des mittleren Trägheitsmomentes, so entfernt sich die Poloide immer beträchtlich von dem Endpunkte dieser Achse und die Stabilität ist nicht mehr sicher. Hierzu wäre nöthig, dass der Pol nicht die ganze Curve durchliefe, und dieser Umstand erfordert eine Unter

suchung.

Kennt man die Polcurve und die anfängliche Geschwindigkeit

der Drehung sowie die momentane Achse, um welche letztere stattfindet, so kann man sich leicht die weitere Bewegung des Körpers darstellen. Nach einer unendlich kleinen Zeit hat sich nämlich der Körper um einen bestimmten Winkel gedreht; man kann als?) auch den Punkt der Polcurve bestimmen, welcher der Berührungspunkt mit der festen Ebene ist; man kennt dann den Radius des Ellipsoids und folglich den neuen Werth der Drehungsgeschwindigkeit; auf gleiche Weise erfährt man die Lage und die Geschwindigkeit nach einem zweiten unendlich kleinen Zeiträume u. s. w. Man sieht leicht, wie man die Curve bestimmen könnte, welche von den successiven Lagen des Pôles auf der festen Ebene gebildet wird. Wir wollen jedoch nicht weiter auf diese Einzelheiten eingehen.

104. Zweite geometrische Darstellung der Bewegung des Körpers. Die momentane Drehungsachse beschreibt im Raume eine conische Oberfläche, welche den festen Punkt zum Mittelpunkt und zur Basis diejenige Curve hat, welche von dem Pole auf der festen Ebene beschrieben wird. Nehmen wir sie als bekannt an-, so erhellt leicht, dass sie immer eine Kegelfläche berührt, welche mit dem Körper verbunden und der Ort der successiven Lagen der momentanen Drehungsachse im Körper ist. Da sich die momentane Achse in jedem Augenblicke auf beiden Oberflächen befinden muss, so haben letztere immer eine gemeinsame Erzeugende. Nach Verlauf einer unendlich kleinen Zeit fällt die unendlich nahe Erzeugende, welche zu dem beweglichen Kegel gehört, mit einer Erzeugenden des festen Kegels zusammen, und da sie sich bei dieser Bewegung nur um unendlich kleine Grössen zweiter Ordnung verschiebt, so folgt daraus, dass, wenn man auf beiden Kegeln, von einer gemeinsamen Kante ausgehend, zwei entsprechende Kanten nimmt, welche von der ersten um unendlich kleine Grössen erster Ordnung abstehen, dieselben von einander um Grössen zweiter Ordnung entfernt sind, d. h. dass beide Kegel sich berühren. Ausserdem gleitet der beAvegliche Kegel nicht auf dem andern, weil die Berührungskante die momentane Drehungsachse ist. Die Drehung des Körpers um nach mittelst zweier Kegel flächen construirt werden; der eine Kegel ist vom zweiten Grade und mit dem Körper so verbunden, dass er sich nur mit diesem bewegen kann. Dieser Kegel rollt ohne Gleitung auf einem absolut festen Kegel, welcher um die Achse des resultir enden Paares herumliegt.

einen festen Punkt kann dem-

Der letztere

Kegel ist transe endenter Art, hat aber Aehnlichkeit mit einem geraden Kreiskegel, dessen Mantel wellenförmig gefurcht ist..*)

*) Den geometrischen Ort der Punkte, welche in der Tangentialebene die successiven Pole darstellen, nennt Poinsot die Serpoloide. Sie ist die Basis des festen Kegels und hat die in beistehender Figur angegebene Form.

1/

Man vergleiche überhaupt mit dem Obigen die ( j älisserst elegante Abhandlung Poinsot’s, wovon eine deutsche Uebersetzung existirt unter dem Titel; Neue Theorie der Drehung der Körper, \ l\

' von Poinsot. Uebersetzt von H. Schellbach. Berlin, Verlag von Hayn. 1851.

W

105. Der Ort der aufeinanderfolgenden Lagen, welche die Achse des resultirenden Paares im Innern des Körpers einnimmt. Bezeichnen xv yv zt die Coordinaten eines beliebigen Punktes der Achse dieses Paares in Bezug auf die beweglichen Achsen, so gelten die Beziehungen

xx Ap

15)

zl

Cr

Vi __ Bq

zl

Cr

Die Gleichungen 12) und 15) geben ferner

16) A (k² — Ah) p² + B {k²— Bh) q² + C {k² — Ch) r² = 0.

p q

Durch Elimination von —, — aus diesen drei Gleichungen erhält man die Gleichung der gesuchten Fläche, nämlich:

Dies ist ein Kegel zweiten Grades, dessen senkrechte Schnitte auf die Achse des kleinsten oder auch des grössten Trägheitsmomentes Ellipsen sind.

Für B = C ist der Kegel durch Umdrehung um die Achse der x₁ entstanden, für A B ist er es um die Achse der zv

Wenn At=zB^=C,so hat man k² = Ah ; die Gleichungen 16) und 17) werden identisch, und die Gleichung, welche man aus denselben gezogen hatte, lehrt nichts mehr; aber die beiden Gleichungen in (15) werden

y±~i

zi

zi

was beweist, dass die Achse des resultirenden Paares mit der momentanen Drehungsachse zusammenfällt. Dasselbe Resultat hätte man auch aus der Formel ableiten können, welche den Winkel zwischen beiden Richtungen giebt. Dieser Fall findet statt, wenn die Bewegung um eine unveränderliche Achse vor sich geht.

106. Verschiedene Formeln. Man erhält noch einige brauchbare Relationen, wenn man die zweiten Theile der Gleichungen 4) mit den Summen der Projectionen von u, v, w auf x, y, z identifient. Setzt man die Coëfficienten von x₁, yt, zi auf beiden Seiten gleich, so erhält man folgende neue Beziehungen:

da

da

~ = br — cq, -— = b'r ■— c'q,

da"

dt

dt

dt

= b'r — c'q,

db

db'

db"

f    //

c p — a r,

de

de

de"

K- = «q~ bp, — ~aq b'p, — = d'q - b"p.

Man zieht aus diesen Gleichungen noch die drei folgenden: pda -j- qdb + rdc = 0, pda -j- qdb' + rdc = 0, pda" + qdb" + rdc" = 0.

Berechnung des speciellen Falles, wenn der Körper von keiner äusseren Kraft getrieben wird.

107. Wenn keine äussere Kraft existirt, so hat man L r= 0, 31 = 0, N= 0, und die Gleichungen (6) reduciren sich auf

‘ Af^B-CXr,

19)

clq

{ S — = (C-~A)rp,

dr

Multiplicirt man die erste mit p, die zweite mit q, die dritte mit r und addirt die Producte, so folgt

dr

dp

ApTt+B<i +Cr- = 0;

die Integration dieser Gleichung giebt

20)

Ap² + Bq² + Cr² = h,

wo h eine willkürliche Constante bezeichnet, welche nach dem oben Gefundenen die Summe der lebendigen Kräfte des Systems ist.

Man erhält ein zweites Integral, wenn man die Gleichungen 19) mit Ap, Bq, Cr multiplicirt und nachher addirt ; man findet zuerst

dp

dq

dr

A²p —--B²q — + C²r = 0,

¹ dt    * dt    dt

woraus

21)

wo k eine neue willkürliche Constante bezeichnet, welche, wie wir gesehen haben, das Moment des resultirenden Paares der Bewegungsquantitäten des Systems ist. Diese beiden Constanten h und k, sowie die Anfangswerthe von p, q, r sind leicht aus den gegebenen Anfangswerthen herzuleiten. Die Achsenrichtung des resultirenden Paares und sein Moment sind nämlich bekannt, entweder durch die momentanen Kräfte, welche die Anfangsgeschwindigkeiten erzeugen, oder vermöge dieser anfänglichen Geschwindigkeiten selbst. Demnach kennt man zunächst k, ebenso seine componirenden Paare in Bezug auf die Achsen 4q, yl, z1} deren anfängliche Lagen gegeben sind; aus ihren Momenten Ap, Bq, Cr, folgt, dass/), q, r nach Grösse und Zeichen im Anfänge der Bewegung bekannt sind. Die Constante h bestimmt sich daher von selbst nach No. 24.

Wenn man aus den Gleichungen 20) und 2l) die Werthe von p und q durch r ausdrückt und sie in die drifte Gleichung (l9) einsetzt, so entsteht eine Gleichung, welche t als Function von r mittelst einer Quadratur ergiebt. Man findet zunächst

22) p² —

k² — Bh -\- C (B — C) r²

q² =

k²— Ah +C(A—C) r²

B (B~A)

Die Zeichen, welche man für />, q, r nehmen muss, sind im Anfangszustande durch die Lage der Achse des resultirenden Paares in Beziehung auf die Hauptachsen gegeben, weil die letzteren für diesen Augenblick bekannt sind. Da die Cosinus der Winkel, welche die

Ap Bq Cr

’ T’ T

Achse dieses Paares mit den drei Richtungen einschliesst, —

sind, so kennt man die Werthe und Zeichen von p, q, r für diesen Zeitpunkt. Die Gleichungen 19) geben die Differentialquotienten von p, q, r als Functionen dieser Grössen; sie behalten immer ihr erstes Zeichen, so lange p, q, r das ihrige bewahren, und folglich ändern sich die letzten Grössen immer in demselben Sinne, so lange keine von ihnen verschwindet. Wenn p durch Null hindurchgeht,

dp

so lehrt die erste der Gleichungen 19), welche den Werth von

in diesem Augenblicke giebt, welches das Zeichen von p unmittelbar nachher sein wird; in gleicherweise verfährt man immer, wenn eine

153

der drei Grössen Null wird und ist daher nie in Ungewissheit über die Zeichen von p, q, r.

Sübstituirt man die Werthe von p und q, welche durch die Gleichung 22) gegeben sind, in die dritte der Gleichungen 19), und nimmt, um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, für p und q dasselbe Zeichen, so ergiebt sich die Gleichung:

23) dt =

C V A Bdr

]/ ld¹ — Bh -j- C (B— C) r² Y Ah — k² + C (C — Ä) r²

von r

Function von t ausdrücken, ebenso p und q mit Anwendung der

Das Integral der rechten Seite ist im Allgemeinen ein elliptisches, aber durch die gewöhnlichen Functionen ausdrückbar, wenn zwei der Grössen A, B, C gleich sind, oder wenn k² einer von den drei Grössen Äh, Bh, Ch gleich kommt, was dem früheren zufolge nur bei der mittleren möglich ist. Die Integration der Gleichung (23) giebt t als Function von r, und die Constante wird durch den Anfangswerth bestimmt; durch Umkehrung der Gleichung kann man r als

Gleichungen (22).

Um die vollkommene Lösung des Problems zu

erhalten, hat

sem

man noch die Winkel cp, &, tp aus p, q, r zu berechnen; und zu die-Zwecke dienen die schon früher erwähnten Gleichungen :

dfr

dtp

p =3 cos w ——I- sin q) sin & — , dt    dt

24)

,    d&    . dtp

^ q = — sin cp — -j- cos cp sin ü —,

dih dcp l    dt dt

aber die Achse des resultiren-

Man kann sich in derselben Absicht auch der Formeln 9) bedienen, von denen immer die eine in den beiden andern enthalten ist. Der Einfachheit wegen wird man den Paares zu einer der Coordinatenachsen z. B. zur Achse der z

nelimen.

Die linken Seiten der Gleichungen 9) sind nichts Anderes als die Grössen a, b", c" und nach den Werthen dieser letzten, welche in der Einleitung als Functionen von cp, ip, & gegeben sind, werden diese Gleichungen:

—— =3 sin & sin cp, —ß- = sin & cos cp, — — cos k    k    k

Hieraus ergeben sich cos & und tang cp als Functionen von p, q, r und folglich von t. Da diese trigonometrischen Linien in jedem Augenblicke bekannt sind, ohne dass ein Zweifel über ihre Vorzeichen herrscht, so sind auch die Winkel selbst, welche sich in stetiger Weise ändern, vollständig bestimmt. Um endlich den Winkel tfj zu finden, macht man von den Gleichungen 24) Gebrauch. DurchElimi-d&

nation von — aus den beiden ersten Gleichungen erhält man

dty

p sin (p -f- q cos cp ==: sin A —,

oder

Ap² -j- Bq²

k sin A

dt

woraus

mithin schliesslich :

26)

dty =

/£2^_c²r²

dt.

Substituirt man jetzt für dt seinen durch die Gleichung 23) gegebenen Werth, so erhält man ohne Ungewissheit über die Zeichen den Werth von difs als Function von r und dr. Der Winkel findet sich nun als Function von r und mithin von t durch eine Integration, welche auf elliptische Functionen reducirt und genau in denselben Fällen ausgeführt werden kann wie die auf dt bezügliche. Die Constante bestimmt sich durch die Anfangswerthe von rjj und r. .

Wir betrachten zunächst die erwähnten besonderen Fälle.

,    Der Specialfall A~B.

108. In diesem Falle reduciren sich die Gleichungen 19) auf

dr

dt

= 0, mithin r = n,

wo n eine durch den Anfangszustand bestimmte Constante bezeichnet, und

a)

dp

dt

nq,

— 155

ß)

dq

C— A

dt

np,

Avoraus

dp

dq

Pdt

dt

und folglich

p~ -f- q² = m²,

wo m² eine willkürliche Constante bezeichnet.

Man sieht also, dass die Winkelgeschwindigkeit constant bleibt, obgleich p und q es nicht sind; ihr Werth ist

co = Y m² + n².

Die Gleichungen 20) und 2l) Avürden dieselben Resultate geliefert haben. Um p als Function von t zu erhalten, hat man q aus den Gleichungen a) und ß) zu eliminiren , indem man die erste differen-de/    '

dt

tiirt und dann für— seinen aus der zweiten Gleichung gezogenen

— z=z (x gesetzt wird,

Werth nimmt; inan findet so, wenn

d²p

dt²

+ prn²p = 0

folglich

p =:• M sin {put -\- e) ,

wo M und £ willkürliche Constanten bezeichnen ; man erhält demnach

q = — ♦ -r = M cos (unt + s),

H    pn dt    Vl    ’

und

^ap² ~t~ q² =■ m², so wird noch

M ~ + m.

Lässt man also die Constante m ein beliebiges Zeichen annehmen, so ergeben sich für p} q folgende Werthe:

y) p =: m sin [pnt + s), q ~ m cos (fint -j- s).

Um die Constanten m, e zu bestimmen, seien und q₀ die Anfangs-werthe von p und q ; es ist dann

p₀ = m sin s, q^ = m cos e , m ~ + j/ p₀² + ^₀².

dann seinen Sinus und Cosinus kennt. Die

Der Winkel £ ist bestimmt, Avenn man das Zeichen von m ge-gewählt hat, Aveil man

Aenderung des Zeichens^von m würde £ bloss um 180° ändern, man hat daher die freie Wahl zwischen beiden Zeichen. Beispielsweise nehmen wir

m = + j/p₀² + q₀²

und suchen die Winkel 99, ip, ff. Die Gleichungen 25) geben

COS ff =

Zwei Bögen, welche dieselbe Tangente besitzen, können sich nur durch eine ganze Zahl von Halbkreisen unterscheiden, mithin diffe-riren 99 und gnt + £ nur um ein Vielfaches von je, dass man beliebig wählen kann. Führen wir vorzugsweise jlen Anfangswerth 9d₀ von 99 ein, so Avird offenbar

99 = 9p₀ -f- gnt.

Die Gleichung 26) geht nun in die folgende über

dip =

k ( h — Crr ) k²— C²n² ’

und giebt

kCh—Cn²)    ,

wo

ip₀ der bekannte Anfangswerth von ip ist.

Der constante Werth von cos ff lehrt, dass der Schnitt des Aequators dieses Ellipsoids mit der festen Ebene des resultirenden Paares sich gleichförmig bewegt, und dass folglich die Drehungsachse sich ebenfalls gleichförmig auf ihrer conischen Oberfläche bewegt. Der Werth von 99 zeigt, dass irgend ein beliebiger a]pr bestimmter Badius des Aequators sich gleichförmig in Bezug auf den variablen Schnitt des Aequators mit der Ebene des resultirenden Paares bewegt. Uebrigens darf die Winkelgeschwindigkeit fin dieser Bewegung nicht mit der Winkelgeschwindigkeit des Körpers, welche j/m² + 11² ist, verwechselt werden.

Endlich macht die momentane Achse mit der Achse der z₁ einen

constanten Winkel, weil sein Cosinus =

j/ m² -f- n~

schreibt also einen Kreis auf dem Umdrehungsellipsoid.

ist; sie be-

157

Achse, die Umdrehungsachse des Ellipsoids und die Achse des resultirenden Paares in einer und derselben Ebene liegen. Dazu genügt der Nachweis, dass die Cosinus der Winkel, welche die momentane Achse und die Achse des resultiren-den Paares mit den Achsen der x₁ und yx bilden, einander proportional sind; denn sie liegen dann in einer Ebene, die durch die Achse der z₁ geht, welche die Achse der Figur ist. Das Verhältniss

der beiden ersten Cosinus ist

P

— ; das Verhältniss der beiden andern

q

a"

Ap

ist —rr, und nach den Gleichungen 25) ist es gleich —— oder

b    Bq

zu beweisen war.

, was

Der Specialfall k² = Bk.

109. Wir haben für diesen Fall gesehen, dass der Ort der momentanen Achsen nur eine der beiden Ellipsen sein kann, deren Ebenen durch die Gleichung

C {B — C)

z.l²

A (A—B)

dargestellt werden. Zieht man aus den Gleichungen 20), 21) die Werthe von p und r als Function von q, so findet man

(C—B) (k² — B²q²)    ₂    —    (k² — B²q²)

BA (C—A)    ’    ~ BC(C—Ä) ⁵

welche Gleichungen zeigen, dass immer

p² =

k²

sein muss.

k²— B²q² >* 0 oder q² <1 Daraus schliesst man

(C—B) (.B—A)

AC

(k² —¹ B²q²),

mithin, indem man dq positiv nimmt,

B² y~2C _ _

y (O—B) (B^T) k² -B²p² ‘

dt —

dq

Setzt man zur Abkürzung

k    2k y (C—B) (B — A)

=    —UA-—^--fO

B    B y AC

so findet man, wenn a eine willkürliche Constante bezeichnet,

pt = l

m + q

a (m — q)

folglich q =■ m

ae •—• ]

ae

pt

+ 1

Heisst q₀ der Anfangswerth von q, so erhält man

<h

m (a— 1)

woraus a

und folglich

\it

m (m+g^e +q₀~m

,pt

(m + qAl) e + m — qt)

Mittelst dieses Werthes von q kennt man p und r als Functionen von t.

Die Gleichungen 21) liefern also und rp mittelst t. Die Gleichung 26) giebt, indem man für r seinen durch q ausgedrückten Werth setzt,

(C —• B) m² -f- (B — Ä) q² , M A (C— B) m~ + C {B — Ä)tf

was sich ohne Mühe integriren lässt, wenn man den Werth von q in t substituirt. Für unendlich wachsende t nähert sich q der Grenze

oder t

und folglich p sowohl als r der Grenze Null. Die momentane Drehungsachse nähert sich also der Verlängerung der mittleren Achse des Ellipsoids, auf welcher man die positiven yi zählt. Man hat hier, wie Poinsot zuerst bemerkte, den merkwürdigen Fall, dass die momentane Achse, wenn sie anfangs sehr nahe bei der Achse des mittleren Moméntes angenommen ist, sich immer nur sehr wenig von ihr entfernt und sich ihr unendlich nähert.

Von Gewicht ist noch folgende Bemerkung. Der Grenzwerth

, wenn dq wie vorhin positiv genommen wird; dies

von q ist -J- —

£>

erfordert, dass p und r für C^> A Anfangswerthe desselben Zeichens besitzen, dann ändern sich diese Zeichen nicht, weil p oder r nur Null werden können, wenn q² gleich w² wird, was nur für t = oo stattfinden kann. Haben dagegen p und r im Anfangszustande verschiedene Zeichen, so ist dq mit entgegengesetztem Zeichen zu nehmen, was darauf hinauskommt, in dem Resultate p in — p zu verwandeln. Dann ergiebt sich •— m als Grenze von q, so dass die momentane. Drehungsachse nach der einen oder der andern der beiden Richtungen, welche der mittleren Achse des Ellipsoids entgegengesetzt sind, fortschreitet, je nachdem p und r iń der Anfangslage mit denselben oder mit entgegengesetzten Zeichen versehen sind, d. h. je nachdem die momentane Drehungsachse mit den Achsen der positiven xx und z₁ zugleich spitze oder stumpfe, oder mit der einen spitze und mit der andern stumpfe Winkel bildet.

Die allgemeine Auflösung.

110. Um das auf S. 153 unter Nr. 23 vorkommende Integral

C Y AB dr

yk² — Bh + C (B — C)r² y Ah-—-k² + C (C—A) r²

auf die Normalform der elliptischen Integrale zurückzuführen, nehmen wir B als das mittlere Trägheitsmoment, setzen zur Abkürzung

a)

_ -j/(A •— B) (k² — Ch) ,_j/

r (b—c) (Ah—ja) ’ ~~ y

Ah — k²

c{A—cy

und suhstituiren für r den Ausdruck

r X yl — %²s² ;

wir erhalten so nach gehöriger Réduction

dr = — %²X

s ds

y 1 — %²s²

ÿk- — Bh + C (B—C)r² =y

C y A B ( A — C) (B — C) r_ds_

(.A — B) (k² — Ch) J /( 1 — s²) (1 — x² s²)

mithin

b)

t = — %²X

(.A — B) (k² — Ch)

y 1—s²

oder vermöge der Werthe von % und X

:-r

ABC

(B — C) (Ah — k²)

r ds

J y y—s²) (l—%²s²)

2 r ds

fij y(i—s² (î-—»i²s²)

wobei zur Abkürzung

c)

(Jh~k2)

P r    ABC

gesetzt worden ist.

so

160

Was ferner den Werth von ip in Formel 26) S. 154 betrifft hat man zunächst

] dl

I¹

k²~Ch

k² _ c²r²

und nach Substitution der für r und dl angegebenen Ausdrücke

A f \A &—Ch 1    *

Cfiji    h²— (ßX² + (ßXW f /(i~s²) (i_z²s²)

i f__

C(A J j/(l —.    - Z²S²)

Je {k² — Ch)

ds

ds

Cfi

(k²— C²X² + C²z²X²s?) j/(1~s²)(\—k²s²)

Giebt man dem zweiten Integrale die Form

k (k² — Ch)

ds

Cfi(k²—(ßX²)

(1 +

(ßzH²

Je² ■— C²X²

n²s²)

und setzt zur Abkürzung    ^

d)

k²—Ch 1    6'W

fi (k²-~C²X²)~fi ¹ k² — C²X² ~~

so ergiebt sich für ip die Gleichung

e)

ip^=

* f ______

CfiJ j/(i— s²) (1 -kV)

ds

ds

_k_ Ç_

J (1 + X's²) j/(1 — s²) (1 — z²s²) '

Mittelst der Formeln b) und e) sind t und ip auf elliptische Integrale zurückgeführt und zwar t auf ein Integral erster Art, ip auf zwei Integrale von erster und dritter Gattung. Aus der Gleichung b) erhellt zugleich die Möglichkeit alle veränderlichen GrössSn durch die Zeit auszudrücken; verschwindet nämlich s für irgend eine Zeit t = t₀₎ so geht jene Gleichung b) in die folgende über

ds

¹ /'

p J

J ÿ (1 -S²) (1 - KV)

und man erhält aus ihr s durch t ausgedrückt, indem man von den ' elliptischen Functionen Jacobi’s Gebrauch macht; dies giebt •—• s = ja sin am [p(t—ź₀)] und vermöge der zwischen r und s bestehenden Gleichung findet man r, nachher p und q als Functionen der Zeit und kann mittelst der Gleichungen 25) auf S. 162 auch & und <p, sowie mit Hülfe von Ho. e) endlich if; durch die Zeit ausdrücken.

Die erste Ausführung dieses Gedankens, den wir hier nur andeuten können, lieferte A. S. Eueb in seinem „Specimen inaugurale de motu gyratorio corporis rigidi etc.“ (Trajecti ad Rlienum 1834), nachher ist aber Jacob i noch weiter gegangen und hat die neun Coöf-ficienten a, <x, ... c", welche zur Orientirung des beweglichen gegen das feste Achsensystem dienen, unmittelbar als Functionen der Zeit dargestellt,.womit dem Probleme der Rotation eine neue Lösung von seltener Eleganz zu Theil wurde. Man findet dieselbe vollständig entwickelt im zweiten Bande von Jacobi’s Werken S. 139 bis 196, die von Rueb gegebenen Formeln werden dabei kurz wiederholt und dienen als Ausgangspunkt der Untersuchung. An die Jacobi’sche Arbeit schliesst sich die Abhandlung vonRichelot an: „Ueber das Problem der Rotation eines festen Körpers, auf welchen beliebige Kräfte wirken“ (Berlin bei Dümmler, 1851), worin die Grundgleichungen der Rotation eines durch äussere Kräfte gestörten Körpers aus einer neuen gleichfalls von J acobi entdeckten Quelle hergeleitet und auf eigenthümliche Weise integrirt werden.

Die doppelte Bewegung eines frei beweglichen festen Körpers.

111. Wenn ein fester Körper sich in Folge von anfänglichen Stös-und beliebigen stetigen Kräften im Raume bewegt, so kannseine

sen

man diesen Punkt als fest

Bewegung in jedem unendlich kleinen Zeiträume aus einer fortschreitenden und aus einer drehenden Bewegung zusammengesetzt werden. Man wählt nämlich einen beliebigen Punkt dieses Körpers und giebt dem Systeme in jedem Augenblicke eine Bewegung, zu Folge deren jeder Punkt eine unendlich kleine Gerade beschreibt, die derjenigen gleich und parallel ist, welche der betrachtete Punkt während dieses Zeitraums beschreiben muss; darauf kann annehmen und den Körper sich so lange um denselben drehen lassen,

bis jeder Punkt die Lage eingenommen hat, welche er am Ende dieses Zeitraums erhalten muss. Der Punkt, dessen Bewegung jeden Augenblick die fortschreitende Bewegung des Systems regelt, darf willkürlich genommen werden vorausgesetzt, dass er unveränderlich mit demselben verbunden wird ; aber es ist, wie wir sehen werden, viel vortheilhafter den Schwerpunkt des Körpers dazu zu wählen. Wir haben nämlich bewiesen, dass dieser Punkt sich so bewegt, als wenn die ganze Masse des Körpers in ihm vereinigt wäre und alle angreifenden Kräfte direct auf ihn wirkten. Man kennt daher die Richtung und Grösse der Anfangsgeschwindigkeit, welche er in Folge von gegebenen Impulsen annimmt.

Um die Anfangsbewegung vollkommen kennen zu lernen, wollen wir uns alle Kräfte auf eine einzige in dem Schwerpunkte angebrachte Kraft und auf ein Paar zurückgeführt denken. Wir können nun, wie wir in No. 43 bewiesen haben, die beiden Bewegungen bestimmen, Avelche einzeln durch die Wirkungen der Einzelkraft und des Paares erzeugt werden; setzen wir diese beiden Bewegungen für jeden Punkt zusammen, so erhalten wir diejenige Bewegung, welche aus der gleichzeitigen Wirkung aller Kräfte entspringt.

Nun kann die resultirende an dem Schwerpunkte thätige Kraft in gleiche, an alle Elemente des Körpers, die gleiche Massen besitzen, angebrachte Kräfte zerlegt werden, und mithin giebt sie allen Punkten eine gleiche und parallele Geschwindigkeit; daraus folgt also eine gemeinsame fortschreitende Bewegung.

Was das Paar anlangt, so kann es keine Veränderung des Schwerpunktes hervorbringen, weil seine beiden Kräfte, an diesen Punkt versetzt, sich aufheben; die Bewegung, welche es hervorbringt, wird also nicht geändert, wenn man den Schwerpunkt unveränderlich fest macht. Bringt man jetzt die resultirende Einzelkraft hinzu, so wird sie durch den festen Punkt aufgehoben und man erhält somit das System aller gegebenen Kräfte. Daraus ersieht man, dass die Rotationsbewegung als durch Stoss-Kräfte hervorgebracht angesehen werden darf, welche in ihren verschiedenen Angriffspunkten auf den'Körper so einwirken, als wenn der Schwerpunkt desselben fest gemacht wäre. Wir können diesen ersten Satz so aussprechen:

Die augenblickliche Geschwindigkeit jedes beliebigen Punktes eines frei beweglichen Körpers kann als'Resultante zweier Geschwindigkeiten angesehen werden, d i e z w e i gesonderten Bewegungen

entsprechen: nämlich einer fortschreitenden Bewegung, welche durch die gegebenen, parallel mit sich selbst an den Schwerpunkt verlegten Kräfte entsteht, und einer Drehung, welche von den gegebenen Kräften auf dieselbe Weise erzeugt wird, als wenn der Schwerpunkt fest wäre.

. Mit Hülfe dieses Satzes ist die anfängliche Bewegung des Körpers vollkommen bekannt, weil wir die Bewegung eines Körpers um einen festen Punkt bestimmen können. Was die in der Folge stattfindende Bewegung betrifft, so wissen wir, dass der Schwerpunkt sich so bewegt, als wenn die ganze Masse in ihm vereinigt und alle stetigen Kräfte ohne Aenderung ihrer Richtung und Grösse in ihn verlegt wären. Da aber diese Kräfte im Allgemeinen von der Lage der Punkte abhängen, so sind sie aus demselben Grunde von der Rotationsbewegung abhängig, so dass man die Bewegung des Schwerpunkts des Körpers nicht gesondert berechnen kann, ausser in dem Falle, wo diese Kräfte constante Richtungen und Intensitäten haben, wie die Schwere.

Uebrigens kann man denselben Satz in Bezug auf stetige Kräfte wie auf momentane beweisen. Betrachten wir nämlich den Körper in irgend einem Augenblicke, so dürfen Avir annehmen, dass er von der Ruhelage ausgehe, und dass er einerseits von momentanen Kräften angegriffen werde, welche jedem Punkte die GesellAvindigkeit ertheilen würden, welche er besitzt, andererseits von den stetigen Kräften, welche nur unendlich kleine Geschwindigkeiten in einem unendlich kleinen Zeitraum hervorbringen können, und die man als momentane Kräfte ansehen kann, welche im Anfänge eines jeden unendlich kleinen Zeitraums Avirken. Nach dem Princip nun, an Avelches wir erinnert haben, kann man die durch diese beiden Systeme hervorgebrachten Geschwindigkeiten gesondert bestimmen und sie dann zusammensetzen. Das erste System Avird die Wirkung hervorbringen , welche in dem betrachteten Augenblicke wirklich stattfand, das zweite ist identisch mit demjenigen, welches wir zuerst behandelt haben, und erzeugt erstens eine unendlich kleine fortschreitende Geschwindigkeit, welche von der Gesammtheit der stetigen mit sich selbst parallel in den Schwerpunkt verlegten KrSfte herrührt, und ziveitens eine RotationsbeAvegung um den fest gemachten ScliAverpunkt, welche durch die Gesammtheit der Kräfte in ihrer wirklichen Lage hervorgebracht wird; d. h.

Wenn man durch den S chwerpunkt drei rechtwink-ligeAchsen legt,welche parallel mit sich selbst fort-riicken, so bewegt sich ihr Durchschnitt ebenso, als wenn die ganze Masse des Körpers in ihm vereinigt wäre und alle momentanen oder stetigen Kräfte in demselben angebracht wären; die Bewegung des Körpers rücksichtlich dieser Achsen ist dieselbe, als wenn ihr Durchsch ni tt unveränderlich fest war e und alle Kräfte, welche die verschiedenen Punkte in dem wirklichen System angreifen, auf dieselbe Weise an eben dieselben Punkte angebracht wären.

112. Anw endung auf das schwere Ellip soid. Wir wollen annehmen, dass ein homogenes Ellipsoid einen Stoss empfange, dessen Richtung in der Ebene zweier seiner Hauptachsen in Bezug auf seinen Schwerpunkt liege, und dass es nachher der Wirkung der Schwere überlassen bleibe; dabei bezeichne \xv die Quantität der Bewegung, welche die momentane Kraft misst, f die Entfernung dieser Kraft vom Mittelpunkte, b und c die beiden Halbachsen, welche in der Ebene der Kraft liegen, a die dritte; endlich sei M die Masse des Ellipsoids und ,V die Anfangsgeschwindigkeit des Schwerpunktes. Weil nun der Schwerpunkt, welcher der Mittelpunkt des Ellipsoids ist, sich so bewegen muss, als wäre die Masse M in ihm concentrât, und als würde er im ersten Momente von der Kraft (iv und von seinem Gewichte getrieben, so erhält er zuerst in einer mit der Richtung des Stosses parallelen Richtung die Geschwindigkeit

V^—

und beschreibt daher eine Parabel, welche diese Anfangsrichtung berührt, und deren Gleichung sich wie in dem Falle eines freien Punktes bestimmen lässt. Um seine Bewegung in Bezug auf drei Achsen kennen zu lernen, welche durch den Mittelpunkt gehen und festen Richtungen parallel sind, muss man annehmen, dass der Mittelpunkt fest sei und der Impuls so wie die Schwere unter dieser Bedingung auf das Ellipsoid wirken. Von der Schwere kann man absehen, weil der Schwerpunkt fest ist, und es genügt, die durch den Stoss hervorgebrachte Drehung zu bestimmen. Da diese Kraft in einer Ebene liegt, die senkrecht auf einer Geraden steht, welche eine Hauptachse in Bezug auf ihren Schnittpunkt mit der Ebene ist, und da ferner dieser Punkt fest ist, so folgt, dass die Bewegung

05

i-

unaufhörlich um diese Achse stattfindet. Die Winkelgeschwindigkeit co wird erhalten, wenu man das Moment (ivf der Kraft durch das Trägheitsmoment des Körpers in Rücksicht auf die feste Achse divi-dirt; diess giebt

'    ^    5 (ivf

⁰³ = M (ö² + !?) ’

oder, wenn man die Anfangsgeschwindigkeit V des Schwerpunkts einführt,

CO t=:

5 Vf

Man sieht, dass die Drehungsachse parallel mit sich seihst fortschreitet,' und dass der Körper sich gleichförmig um diese Gerade dreht; die Lage dieser Drehungsachse kann man in jedem Augenblicke bestimmen, weil man die BeAvegung des Schwerpunkts kennt, welcher in ihrer Mitte liegt. Demnach lässt sich die Lage der Punkte des Ellipsoids leicht angeben.

Wird das Ellipsoid zu einer vollen oder hohlen, homogenen oder bloss aus homogenen Schichten gebildeten Kugel, so ist jeder Durchmesser eine Hauptachse; die Rotationsbewegung geht dann um denjenigen Durchmesser, welcher senkrecht auf der durch den Mittelpunkt und die Richtung des Stosses gelegten Ebene steht, und die Richtung dieser Achse bleibt immer sich selbst parallel.

Die Rotationsbewegung dieser Kugel wird nicht gestört, wenn alle ihre Punkte nach andern Punkten von Kräften angezogen werden, aveiche den Massen und einer Eunction der Entfernung proportional wären, weil die Resultante der Wirkungen, welche von irgend einem Punkte auf die ganze Masse der Kugel ausgeübt wird, durch ihren Schwerpunkt geht. Wenn jedoch der Körper, sei es auch noch so Avenig, von einer Kugel verschieden wäre, so würde sich die Sache anders gestalten, Avie dies z. B. bei der Erde der Fall ist.

Neunzehntes Capitel.

Verschiedene Anwendungen des Satzes von der lebendigen Kraft.

Die Stabilität des Gleichgewichts von Kräften an einem festen

Körper.

113. Wenn man ein im Gleichgewichte befindliches System unendlich'wenig verrückt, indem man es dann der Wirkung derselben Kräfte überlässt, so können zwei Fälle eintreten; entweder bleiben die auf einander folgenden Verrückungen jedes Punktes in Bezug auf seine Gleichgewichtslage immer sehr klein, oder sie erreichen nach Verlauf einer gewissen Zeit endliche Werthe. Im ersten Falle nennt man das Gleichgewicht stabil, im zweiten labil. Um diess zu erörtern betrachten wir das Gleichgewicht eines Systems von Punkten, deren Verbindungen von der Zeit unabhängig, sind und auf welches Kräfte wirken, bei denen 2 {Xdx + Ydy -f- Zdz) das exacte Differential einer Function cp {x, y, z, x,...) ausmacht. Wir wissen, dass in der Gleichgewichtslage diese Function zu einem Maximum oder Minimum in Beziehung auf alle unabhängigen Variabein wird, und wollen nun zeigen, dass das Maximum dem stabilen Gleichgewicht entspricht.

Vermöge dds Princips der virtuellen Geschwindigkeiten verschwindet das Differential der Function cp für alle unendlich kleinen den Bedingungen des Systems nicht widersprechenden Verrückungen 5 bezeichnen wir nun mit a,b, c, a\ ... die Werthe von x, y, z, x',... in der Gleichgewichtslage, verrücken wir alle Punkte um unendlich kleine Grössen, und theilen ihnen sehr kleine Geschwindigkeiten mit, so handelt es sich um den Nachweis, dass die Störung des Systems immer sehr klein und folglich das Gleichgewicht stabil bleibt. Setzen wir nämlich

und bezeichnen mit v₀, v₀, . . . die sehr kleinen Geschwindigkeiten, welche man den verschiedenen Punkten mitgetheilt hat, so gieht die Gleichung der lebendigen Kräfte :

1)

^Zmv² —■ \Zmv^ — cp {a + h, b -j- k, c +    •

- <P (a +    5 * + ^o» C + Z₍, ) • • •)>

wo h₀, k₀, Z₀ die anfänglichen sehr kleinen Verrückungen bezeichnen , parallel den Achsen genommen.

Da nun die Function cp (#, y, z, x,...) ein Maximum ist, wenn x, y, z, ... die Werthe a, b, c, ... haben, so verschwinden die Glieder des ersten Grades von h, k , Z, ... in der Entwickelung von cp (a + A, b -f- k, c + Z,...), und die Glieder zweiter Ordnung lassen sich mit verändertem Zeichen zu einer Summe von Quadraten solcher Grössen vereinigen, von denen jedes Glied eine der Grössen h, k, Z,..., im ersten Grade enthält, und deren Anzahl gleich ist der Anzahl der unabhängigen Variabein. Bezeichnet man diese verschiedenen Grössen mit s, s\ s\... und mit R die Gesammtheit der Glieder, welche den zweiten Grad übersteigen, so erhält man

cp{a + A, b+ k, c + Z,...) = cp(a,b, c,...) — (s² +    -j-...) -f- R,

und ebenso

(p(a + h₀, b + &₀, c + Z₀, ...)

= 9>0, b, c,...) — (s₀² + s₀² + s"₀² + ...) + R₀.

Die Gleichung l) wird also

\Zmv²——• (s² + s'² + s"² + ..) + (⁵o² + s\>² + s'₀² + ...)

+ R — iZ₀ ;

oder, wenn man mit y die sehr kleine Grösse

\Zmv o² + s² + /₀² + s" o² + ... — R₀

bezeichnet.

2)

Zmv² = y — (s² + s² + s"² +...) + R.

Die Grössen A, k, Z, A',... sind nicht alle unabhängig und man könnte eine gewisse Anzahl davon mittelst der Gleichungen, welche die Verbindungen des Systems ausdrücken, eliminiren. Die übrigbleibenden würden, zum ersten Grade erhoben, in den verschiedenen Gliedern der Grössen s, s', s", ... Vorkommen, deren Anzahl mit jener der unabhängigen Variabein übereinstimmt.

Besitzen also die letzteren sehr kleine Werthe, so gilt dasselbe von s, s\ s", . . . und umgekehrt. - Es genügt daher sich zu überzeugen, dass s, s'} s",... beständig sehr klein bleiben, um daraus zu folgern, dass die Verrückungen der Punkte gleichfalls sehr klein bleiben und dass folglich das Gleichgewicht stabil ist.

Da nun der erste Theil der Gleichung 2) wesentlich positiv ist, so muss auch der zweite beständig positiv sein, woraus man leicht ersieht, dass jede der Grössen s², s'²,... immer kleiner als y bleibt. Nach dem Werthe von y nämlich ist anfangs jede der Grössen s², s², ... kleiner als y, nachher ändern sie sich auf eine stetige Weise. Wenn nun auch selbst der Fall einträte, dass die eine von ihnen, z. B. s², gleich y würde, und dies wäre die grösste von allen, so würde sie doch noch sehr klein sein, und dieser Umstand fände mit noch grösserem Rechte bei allen andern statt, Mithin betragen h, k, l,... sehr wenig, und die Grösse B ist unvergleichbar kleiner als jede der Grössen s², s²,die Annahme s² z=s y würde also zu dem unmöglichen Resultate führen, dass der zweite Theil der Gleichung negativ wäre. Da mithin die Grössen $, s, s",... immer kleiner als j/y bleiben und folglich sehr klein sind, so verhält es sich ebenso mit den Orts Veränderungen A, k, /, ... und das Gleichgewicht bleibt stabil.

Wird die Function q>{x,y, z,cc',...) zu einem Minimum, so sind analoge Schlüsse nöthig, um die Unsicherheit des Gleichgewichts zu beweisen; welcher von beiden Fällen eingetreten ist, muss jedesmal speciell untersucht werden.

Das Princip der kleinsten Wirkung.

114. Das Princip der kleinsten Wirkung findet nur bei Systemen statt, für welche die Gleichung der lebendigen Kräfte gilt, und zwar besteht es in folgendem Satze: wenn für jeden Punkt des Systems das Product seiner Bewegungsquantität in das Element der Curve, welche er beschreibt, zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten integrirt wird, so ist die Summe aller Integrale ein Minimum, d. h. geringer, als wenn man durch neue Verbindungen diese Punkte zwänge, neuen Curven zu folgen, welche zwischen denselben zwei Grenzpunkten liegen, und unter dem Einflüsse eben derselben Kräfte beschrieben würden.

Die Richtigkeit des Principes folgt aus dem Nachweise, dass die Variation jener Summe Null ist, wenn man die Punkte dieser

169 —

Curven, während man ihnen dieselben Endpunkte giebt, unendlich wenig variiren lässt; denn es geht aus der Natur jener Summe von selbst hervor, dass sie im Allgemeinen kein Maximum haben kann, und dass sie folglich mit Ausnahme sehr specieller Fälle nur zu einem Minimum werden kann. Die genannte Variation ist

v-

Zmvds =

-J*ZmS(vds) = J Zm (Sv. ds -f- vSds) ;

um den Werth des ersten Theiles rechter Hand zu berechnen, wollen wir ds durch vdt ersetzen, wo dt sich auf die Bewegung bezieht, welche wirklich stattfindet: wir erhalten so

Sv. ds?= vSvdt = ^dtS(v²),

und folglich

Zm Sv .ds — \dtZmS{v²) ;

andererseits gilt, wenn C eine willkürliche Constante bezeichnet, die Gleichung

4Zmv² = cp (x, y, z, x,...) -f- C,

und hier ist die rechte Seite für alle Bewegungen, welche man betrachtet, dieselbe, weil die Kräfte ungeändert bleiben. Diebeiderseitige Variation giebt nun

dcp

^ZmS (v²) = ^Sx + ^ Sy -}- etc. = Z (XSx + YSy + ZSz) ;

und nach dąjr allgemeinen Gleichung der Bewegung ist dieser letzte Ausdruck gleich

d²x

d²y

d²z

Man erhält folglich

ZmSv.ds 0 Zm (^pdx + ÿôV + W⁶*)**’

Für die Berechnung des zweitenTheils bemerken wir zunächst, dass die Gleichung

ds² = dx² -j- dy² + dz²

zur

folgenden führt

dz

Sds = Sdx + <Sdy -f- — Sdz,

ds

ds

— 170

aus der sieli weiter ergiebt

v8ds

dx

cly

dz

SFÄ + diy + -m.

Demzufolge ist nun

Zmvdds = 2m

(teddx + d!Ldd+pdz)

\dt ^ dt y dt ) ’

die Vereinigung der beiden Theile der Variation von Emvds liefert die gesammte Variation

à Emvds =

Smdi^Sx + ÿ-ôs+T**)

\dt    dt    dt J

deren Integral ist

8 j Emvds = Eni

(d±Sx + dv.Sy + ‘L^zl + c'.

\dt dt dt J

An den beiden Grenzen des Integrals verschwinden die Variationen 8x, 8y, 8z, weil die Endpunkte der beschriebenen Curven dieselben bleiben, mithin ist der zweite Theil = 0 und ebenso

8J'Emvds ~ 0,

woraus nach den früheren Bemerkungen folgt, dass das Integral

Emvds .oder

Emv²dt

in der Bewegung des Systems ein Minimum ist.

\

115. Wenn die Punkte der Wirkung einer Kraft nicht unterworfen sind, so ist Emv² = k, mithin

^Emv²dt = kt -j- Cx k (t —    ,

t und tl die Wertlie der Zeit an den beiden Grenzen bezeichnen; da das Integral mithin auch t—■ti ein Minimum ist, so folgt, dass das System zu dem Uebergange aus der einen Lage in die andre eine geringere Zeit braucht als bei jeder sonstigen Art der Ver-

wo

bindung.

Ist specieller ein Punkt gezwungen, auf einer festen Oberfläche bleiben, ohne der Wirkung einer Kraft unterworfen zu sein, so ist seine Geschwindigkeit constant, und da die Zeit, deren er bedarf, um von einem Punkte zum andern überzugehen, ein Minimum

zu

ist, so folgt, dass auch die Länge der durchlaufenen Linie ein Minimum bildet, wie wir schon auf andre Weise gezeigt haben.

Die Berechnung der Wirkung von Maschinen.

116. Der Nutzen einer Maschine besteht im Allgemeinen darin, dass sie während ihrer Bewegung einen gewissen Widerstand überwindet; ihre Angriffspunkte bewegen siçh dabei so, dass deren Verrückungen, nach den Richtungen der Widerstände zerlegt, im ent> • gegengesetzten Sinne der wi d er s t e h e n den Kr äf te erfolgen. Die zur Hervorbringung einer solchen Bewegung angewendeten Kräfte heissen die b e we g e nd en Kräfte.

Gewöhnlich kann eine Maschine nur zwei einander entgegengesetzte Bewegungen annehmen, wobei die Lage eines Punktes die aller übrigen Punkte bestimmt. Es genügt daher eine einzige Gleichung, um das Gesetz dieser Bewegung zu bestimmen, sobald man ihre Richtung kennt, und die am bequemsten anzuwendende Gleichung ist die der lebendigen Kräfte. Sie lautet bekanntlich

\2mv^ ~JZ (Xdx + YdV + Zdz)'

1)

Emv² —

wo die Summe linker Hand sich auf alle Punkte des Systems erstreckt, und die Summe rechter Hand auf alle Kräfte, bewegende und widerstehende, welche daran angebracht sind, bezogen ist. Das Integral des zweiten Theiles wird zwischen zwei beliebigen Grenzen genommen, und v₀ und v sind die Geschwindigkeiten des Punktes mit der Massé m, welche diesen Grenzen entsprechen.

Die Kräfte, deren Componenten X, F, Z sind, theilen sich auf natürliche Weise in zwei Klassen. Bezeichnen wir mit P irgend eine der bewegenden Kräfte, und mit dp die unendlich kleine Verrückung ihres Angriffspunktes, auf die Richtung dieser Kraft projicirt, so ist EPdp der Tlieil von

2 (Xdx + Ydy + Zdz),

welcher den bewegenden Kräften entspricht. Sei ebenso Q irgend eine der widerstehenden Kräfte und dq die Verrückung ihres Angriffspunktes nach der Richtung dieser Kraft, abgesehen vom Vorzeichen, so ist — EQdq der den widerstehenden Kräften entsprechende Theil, und die Gleichung l) nimmt folgende Gestalt an:

— i Zmv0¹=jxPdp —JZQdq.

2)

117. Jede Kraft kann durch'ein an einem Faden hängendes Gewicht ersetzt werden, von dem das eine Ende im Angriffspunkte der Kraft befestigt ist, und dessen Richtung von diesem Punkte aus mit jener der Kraft vermöge einer Leitrolle zusammenfällt. Macht man diese Substitution für die Kraft P, so wird das dem P gleiche Gewicht, wenn die Maschine sich unendlich wenig verrückt, um die Grösse dp fallen, welche die Projection der Verrückung des Endpunktes des Fadens auf die Richtung dieses Fadens bezeichnet. Verfährt man ebenso mit irgend einer der Kräfte Q, so drückt dq die Grösse aus, um welche sich das dem Q gleiche Gewicht hebt, während das Gewicht P um dp herabgeht.

Nehmen wir zuerst alle Kräfte als constant an, so drückt also# die Gleichung 2) aus, dass der Zuwachs der halben lebendigen Kraft des Systems zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten gleich ist der Summe der Producte der ersten Gewichte in die respectiven Höhen, um welche sie sich gesenkt haben, weniger der Summe der Producte der zweiten Gewichte in die Höhen, um welche sie gestiegen sind.

Nach dem Vorgänge von Cor io lis nennen wir mechanische Arbeit oder Arbeitsquantität das Product aus einem Gewichte in die Höhe, um welche es sich gehoben oder gesenkt hat, oder allgemeiner das Product aus einer beliebigen Kraft in die Projection der Verrückung ihres Angriffspunktes auf die Richtung dieser Kraft. Aendert nun die Kraft ihre Intensität, so zerlegt man die Bewegung in unendlich kleine Theile; die Elemente der Arbeitsquantitäten, welche diesen Theilen entsprechen, hängen von dem Gesetze ab, welches die Aenderung der Kraft befolgt, und das Integral, welches deren Summe ausdrückt, ist dann die Arbeitsquantität, welche sich auf die Verrückung des Angriffspunktes dieser Kraft bezieht.

Bezeichnet man ferner mit bewegend er Arbeit diejenige, welche sich auf die bewegenden Kräfte bezieht, und mit widerstehender Arbeit jene, die den widerstehenden Kräften entspricht, so drückt die Gleichung 2) aus, dass, wenn das System von der einen Lage in die⁻ andre übergeht, der Zuwachs der halben lebendigen Kraft gleich ist dem Ueberschuss der bewegenden Arbeit über die widerstehende.

118. Rechnet man von dem Augenblicke an, wo die Maschine von der Ruhe in Bewegung übergeht, so hat man = 0, und die Gleichung 2) wird

J Z Pdp—J ZQdq-,

-ŁZmv² —

der zweite Tlieil ist also immer positiv, und folglich übertrifft die bewegende Arbeit die widerstehende. Beide Theile werden gleich, sobald die Maschine zur Buhe zurückkehrt. Wird die Bewegung der Maschine gleichförmig, was gewöhnlich das Vorteilhafteste ist, und betrachtet man sie nur nach Herstellung der Gleichförmigkeit, so verschwindet der erste Theil der Gleichung 2), mithin auch der zweite; daraus schliesst man, dass in irgend einem Zeitintervall die bewegende Arbeit der widerstehenden gleich ist. Aber da sich die letztere aus der Arbeit zusammensetzt, welche man hervorzubringen beabsichtigte, und die man die nützliche Arbeit nennt, und aus jener, welche den Reibungen, den Widerständen der Mittel, der Mittheilung der Bewegung an die umgebenden Körper u. s. w. entspricht, so folgt daraus, dass man bei jeder Maschine genöthigt ist, mehr Arbeit auszugeben, als man erzeugt. Die beste ist diejenige, bei welcher man am wenigsten verliert, und der Vortheil bei bewegten Maschinen besteht nur in einer Uebertragung, nicht in einer Vermehrung der Arbeit.

Wenn die Geschwindigkeiten constant geworden sind , muss zwischen allen Kräften Gleichgewicht herrschen, und in der That führt die Gleichung

jZPdp — j ZQdq — 0

zur folgenden

ZPdp — ZQdq — 0, wie es das Gleichgewicht verlangt.

119. Will man die der Reibung eines bewegten Körpers entsprechende Arbeit heraussteilen, und findet die Reibung nicht in einem constanten Punkte dieses Körpers statt, so muss man die Kraft der Reibung nicht als an dem Punkte wirkend betrachten, wo die Berührung vor sich geht, sondern die Entfernung von zwei auf einander folgenden Berührungspunkten als den von dem Angriffspunkte durchlaufenen Raum ansehen. Zur Anwendung des Princips der lebendigen Kräfte ist aber nöthig, dass die Kräfte an denselben materiellen Punkten während der sehr kurzen Zeit haften, welche sich auf die Verrückungen dx, dy, dz bezieht; nun kann die Reibung, weil sie tangential am Körper wirkt, in der That so betrachtet wer-

— 174

den, als wäre sie an denselben Punkt dieses Körpers wäbrend einer sehr kurzen Zeit angebracht, wobei man eine unendlich kleine Grösse zweiter Ordnung vernachlässigt. Man wird also bei der Entwicke^ lung der elementaren Arbeit, welche von der Keibung herrührt, das Product nehmen müssen, dessen Factoren die Kraft der Keibung und die Projection der räumlichen Verrückung des Punktes des Körpers sind, welcher in dem betrachteten Augenblicke in Berührung stand.

120. Wenn Stösse zwischen gewissen Theilen der Maschine, von welchen wir voraussetzen wollen, dass man sie als völlig unelastisch betrachten kann, Vorkommen, so findet augenblicklich ein Verlust an lebendiger Kraft statt, der durch die Summe der lebendigen Kräfte dargestellt wird, welche den von allen Punkten des Systems verlorenen Geschwindigkeiten entsprechen. Bezeichnet man mit u diese Geschwindigkeit für die beliebige Masse m, und beachtet man, dass die Integrale des zweiten Theils der Gleichung 2) sich während der Dauer des Stosses nicht merklich geändert haben, heisst endlich v die Geschwindigkeit der Masse m nach dem Stosse, so ergiebt sich die Gleichung

j'zpdp — JüQdq)

}>£mvl :—^2mv₀~ -f \2mxr =

d. h. um einen bestimmten Werth der Geschwindigkeit v zu erhalten, muss man eine um \2mii¹ grössere Arbeitsquantität ausgeben; es ist also von Nutzen Stösse so viel als möglich zu vermeiden.

121. Ist die Bewegung der Maschine nicht gleichförmig, so ist sie periodisch, und wenn die in. der Gleichung 2) vorkommenden Integrale sich auf eine ganze Anzahl von Perioden beziehen, so hat man v = t>₀, und folglich ist die bewegende Arbeit der widerstehenden gleich, als wenn die Bewegung gleichförmig wäre. Aber es genügt nicht, eine und dieselbe Arbeitsquantität zu erhalten, sondern man will meistentheils, dass diese Arbeit gleichförmig hervor-/ gebracht werde. Eine strenge Gleichförmigkeit lässt sich nun zwar nicht erreichen, aber man kann die Aenderungen der Geschwindigkeit während des Verlaufs einer Periode fast unmerklich machen.. Das gewöhnliche Mittel.hierzu besteht darin, dass dem Systeme eine hinreichend grosse Masse, ein sogen. Schwungrad beigefügt wird, dessen Aufgabe ist, die Geschwindigkeitsänderungen zu vermindern, welche einer Aenderung in der Differenz zwisclu^r der bewegenden und widerstehenden Arbeit entsprechen. Bezeichnet man mit co seine Winkelgeschwindigkeit, mit p das Product seiner Masse in das

175 —

Quadrat seines Halbmessers, so ist die Summe seiner lebendigen Kräfte nahezu = ftco², und es würde sehr leicht sein, ihren genauen Werth auszudrücken, auf welche Weise auch die Masse des Schwungrades vertheilt wäre. Sei Zmv² die Summe der lebendigen Kräfte aller andern Theile der Maschine, und bezeichnen wir mit a/ und die Werthe von co und v zu einer und derselben Epoche, so lässt sich die Gleichung 2) auf folgende Form bringen:

\Zm (v²— v₀²) -f- ~ (ra² — to'²) =j\zPdp — ZQdq).

Wir wollen zu den beiden Grenzen solche Zeitpunkte nehmen, dass

die grösstmögliche Differenz zwischen j ZPdp und jZQdq herrscht ;

es sind dies die Augenblicke, wo die Kräfte an der Maschine im Gleichgewicht sein würden. In diesen beiden Zeitpunkten ändern nämlich die Elemente des Integrals, welches den zweiten Theil bil- • det, ihr Zeichen; der erste Theil wird dann so gross als möglich, und die Geschwindigkeiten erhalten die grösste Differenz, deren sie fähig sind. Je grösser nun jtt ist, um so weniger dürfen co und co' verschieden sein, damit das erste Glied dem zweiten gleich werde, und man kann in jedem Falle das Schwungrad so bestimmen, dass die Geschwindigkeitsänderungen in hinreichend kleinen Grenzen eingeschlossen sind.

J

Viertes Buch.

Statik flüssiger Körper.

*

¹

mv¹

Erstes Capitel.

Die Grundsätze und Fundamentalformeln der Hydrostatik.

Erklärungen und Grundsätze.

1.    Unter einer flüssigen Masse versteht man ein Aggregat von zahlreichen materiellen Punkten, welche in so geringen Abständen von einander liegen, dass man die ganze Substanz ohne merklichen Fehler als stetig betrachten kann, ausgenommen in den Fällen, wo Wirkungen Vorkommen, die sich von einem Molecüle zum andern bedeutend ändern. Man setzt ferner voraus, dass alle diese Punkte durch den geringsten Kraftaufwand verschoben und in beliebige Entfernungen von einander fortgerissen werden können. Diese Annahme einer vollkommenen Beweglichkeit ist nicht ganz genau, und dürfte bei manchen Untersuchungen über die Bewegung der Flüssigkeiten Resultate liefern, welche keineswegs mit der Erfahrung übereinstimmen würden, bei Gleichgewichtsbetrachtungen aber hat dieselbe zu keinem merklichen Fehler geführt.

Dem Aggregatzustande gemäss unterscheidet man die tropfbaren Flüssigkeiten von den luftförmigen (den Gasen). Die ersten werden auch unzusammendrückbare genannt, weil man lange glaubte, dass es unmöglich sei, ihr Volumen durch Druck zu verringern, bis man später einsah, dass sie wirklich, wenn auch nur in sehr geringem Grade, zusammendrückbar sind; die gasförmigen Flüssigkeiten bezeichnet man häufig und mit vollkommenem Rechte als elastische Flüssigkeiten. Derjenige Theil der Statik, wel- _ eher sich mit dem Gleichgewicht von Flüssigkeiten (jeder Art) beschäftigt, heisst die Hydrostatik.

2.    Eine Flüssigkeit, welche in einem offenen oder von allen Seiten geschlossenen Gefässe unter der Einwirkung beliebiger Kräfte im Gleichgewicht ist, übt immer einen Druck auf die einschliessen-

12*

den Gefässwände aus, und es kann dieser Druck von einem Punkte zum andern verschieden sein. Um ihn genau zu definiren, betrachtet man einen unendlich kleinen Theil der Wand, und nimmt an, dass die darauf wirkende Kraft sich mit derselben Intensität und in derselben Richtung auf alle Elemente einer der Einheit gleichen ebenen Fläche wiederhole; die Resultante dieser Kräfte giebtnun das Maass für den Druck der Flüssigkeit in jenem Punkte der Wand. Man sieht, dass derselbe nichts Anderes ist, als die Grenze des Verhältnisses der Kraft, welche auf das unendlich kleine Element wirkt, zu dem Flächeninhalte dieses Elements.

Man kann es als ein Ergebniss der Erfahrung, oder als Folge der gleichförmigen Vertheilung der Flüssigkeitstlieilchen um einander ansehen, dass die Richtung des Druckes immer senkrecht auf dem unter dem Drucke stehenden Elemente der Oberfläche ist, und da Wirkung und Gegenwirkung immer gleich sind, so existirt in entgegengesetztem Sinne ein gleicher Druck in der Ausdehnung desselben Elementes. Diese Thatsache kann auch als'Specialfall des allgemeinen Gesetzes betrachtet werden, dass Körper, die mit einander in Berührung stehen, nur normale Wirkungen auf einander ausiiben, wenn ihre Oberflächen keine Adhäsion oder Reibung zulassen. Denn selbst wenn eine Flüssigkeit fähig sein sollte, sich an eine Wand anzuhängen, könnte man doch die äusserst dünne adhä-rirende Schicht als einen Theil der Wand und den übrigen Theil der Flüssigkeit als frei auf derselben gleitend betrachten.

Eine zweite Fundamentaleigenschaft des Flüssigen, die wir gleichfalls als Erfahrungsresultat ansehen, ist folgende. Wenn eine auf irgend welche Art ins Gleichgewicht gebrachte Flüssigkeit ein allseitig geschlossenes Gefäss genau ausfüllt und durch eine nach Innen gerichtete Verschiebung der einen Gefässwand (also z. B. durch Herabdrücken eines dicht schliessenden Stempels) ein Druck auf einen Theil der Flüssigkeitsoberfläche ausgeübt wird, so pflanzt sich dieser Druck mit derselben Intensität auf jeden gleich grossen Theil der Oberfläche der Wände fort, so dass der Druck auf zwTei ungleiche Theile in geradem Verhältnisse ihrer Flächen steht, wenn diese Oberflächen eben sind. Bei krummen Oberflächen würde der Satz nur für unendlich kleine Theile gelten.

Diese Theoreme erstrecken sich sowohl auf die innern Drucke, als auf diejenigen, wrelche auf die Wände ausgeübt werden. Denn das Gleichgewicht würde nicht gestört werden und die Erfolge würden dieselben bleiben, wenn man annähme, dass in irgend einem

Theile der Flüssigkeit alle Punkte auf unveränderliche Weise zu einem festen Körper verbunden wären; man könnte daher in einem beliebigen Punkte des Innern und in beliebiger Richtung eine feste Wand anbringen, und der auf ein ebenes Element dieser Wand ausgeübte Druck würde normal zu demselben gerichtet sein. Wenn ferner dieser Druck von einem andern Drucke herrührt, welcher auf die Oberfläche der in einem vollen Gefässe enthaltenen Flüssigkeit ausgeübt wird, so ist er für eine gleiche Ausdehnung an Oberfläche dem ersten gleich , und daraus schliesst man, dass jene Sätze , welche wir für den Druck der Flüssigkeiten auf die Wände der sie ein-schliessenden Gefässe kennen gelernt haben, auch für die Drucke gelten, welche in ihrem Innern auf jeden beliebigen Theil der Oberfläche ausgeübt werden.

Endlich wird man daraus leicht ableiten, dass in irgend einem Punkte der Flüssigkeit der Druck derselbe bleibt, welches auch die Richtung des Oberflächenelements sein möge, auf das er ausgeübt wird; denn wenn man um irgend einen ihrer Punkte ein unendlich kleines Polyeder beschreibt und dasselbe erst als fest betrachtet, so ist es unter dem Einflüsse der auf seine Oberfläche ausgeübten Pressungen und der Kräfte, welche seine innern Punkte ihren Massen proportional angreifen, im Gleichgewichte. Diese letzteren Kräfte können aber als parallel betrachtet werden und haben mithin eine Resultante proportional der Masse des Polyeders, die eine unendlich kleine Grösse dritter Ordnung ist; da nun seine Seitenflächen unendlich kleine Grössen zweiter Ordnung sind, und es sich folglich mit den Pressungen, welche sie erleiden, ebenso verhält, so darf das Gleichgewicht so betrachtet werden, als bestände es zwischen diesen Pressungen allein. Giebt man jetzt dem Polyeder seine anfängliche Flüssigkeit zurück, und befestigt den übrigen Theil der Flüssigkeit, welche dann ein polyedrisches, von allen Seiten geschlossenes und mit Flüssigkeit angefülltes Gefäss bildet, so ändert sich nichts an den gegenseitigen Wirkungen der Molecüle und ebensowenig an den von ihnen hervorgebrachten Pressungen. Nun folgt aus der allgemeinen Eigenschaft der Flüssigkeiten, dass die Pressungen auf die Wände für gleiche Oberflächenelemente gleich sind, welche auch deren Richtungen sein mögen, und da alle diese Oberflächenelemente in der Grenze durch den betrachteten Punkt der Flüssigkeit gehen, so muss man daraus schliessen, dass bei jeder beliebigen Richtung, womit ein ebenes Element durch irgend einen Punkt einer im Gleich-gewiclit befindlichen Flüssigkeit geht, der auf dasselbe ausgeübte Druck, auf die Einheit bezogen, immer derselbe bleibt.

3. Ist eine unzusammendrückbare Flüssigkeit in einem unbeweglichen Gefässe eingeschlossen und Pressungen unterworfen, welche durch eine beliebige Anzahl von Kolben hervorgebracht werden, so gilt das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten in dem Falle des Gleichgewichts dieser Kräfte , wenn man als Bedingungen des Systems ansieht, dass die Flüssigkeit stetig und von constantem Volumen bleibt, während sie fortwährend mit den Grundflächen der Kolben in Berührung ist. Bezeichnen a, d, d', etc. die Inhalte dieser Grundflächen, so sind die durch diese Kolben erzeugten Pressungen, auf die Flächeneinheit bezogen, gleich, und wenn man ihren Werth mitp bezeichnet, so werden die auf die Oberfläche der Flüssigkeit wirkenden Kräfte durch ap, dp, a'p, etc. ausgedrückt. Sind ferner 8p, dp, 8p", ... die virtuellen Geschwindigkeiten der Angriffspunkte dieser Kräfte, nach ihren Richtungen geschätzt, so gelten für sie die Bedingungen, dass das Volumen der Flüssigkeit durch diese Verrückung nicht geändert werden und dass kein leerer Raum entstehen darf; man hat daher

a8p -j- a8p -f- d'8p" + ...t=3 0,

mithin

apSp + dp8p -f- d'pSp" + . .. = 0,

was

beweist, dass die Summe der virtuellen Momente der Kräfte verschwindet.

Die Fundamentalgleichungen der Hydrostatik.

men

don construirt, dessen Seiten den Achsen parallel und den Differentialen dx, dy, dz gleich sind; die Masse desselben ist dm^=Q dxdy dz und wird von den Kräften

4. Bezeichnen X, Y, Z die Componenten der auf die Masseneinheit .bezogenen Kraft, welche in dem Punkte xyz wirkt, p die Dichtigkeit des Fluidums und p den auf die Einheit der Fläche bezogenen Druck in diesem Punkte, so sind p und p Functionen von x, y, z, welche wir für die Herstellung des Gleichgewichts zu bestim-haben. In dem Punkte xyz denken wir uns ein Parallelepipe

p X dx dy dz, pF dx dy dz, p Z dx dy dz

01)

getrieben; seine sechs Seitenflächen werden vonKräften angegriff welche den Achsen parallel und gegen das Innere seines Volumens

gerichtet sind. Betrachtet man zuerst die beiden der Ebene der xy parallelen Seiten, von denen die eine durch den Punkt geht, dessen Coordinaten x, y, z sind, und die andere durch den Punkt, dessen Coordinaten x, y, z -f- clz heissen, so ist der auf die erste Seitenfläche ausgeübte Druck = pdx dy, und der auf die zweite Fläche fallende

/ dp \ - — dx dy + 7j— dz)

dp

wo

dz

den partiellen Differentialquotienten von p nach z bedeutet.

Jeder Druck kann in der ganzen Ausdehnung der entsprechenden Seitenfläche als constant betrachtet werden, ohne dass daraus beim Uebergange zur Grenze ein Fehler in den Gleichungen entspringt. Die beiden Kräfte, auf welche sich die auf beide Seiten ausgeübten Wirkungen reduciren, sind also entgegengesetzte Kräfte, und ziehen sich zu einer einzigen, der Achse der z parallelen, zusammen, welche gleich ist

dp

•—• dx dy dz — *

dz

Ebenso reduciren sich die der Achse der y und der Achse der x parallelen Pressungen auf die Kräfte

— dx dy dz

dp

dp

dy’

— dx dy dz — •

Diese drei Kräfte können als in dem Mittelpunkte des Parallelepi. pedes angreifend gedacht werden, ebenso wie die Resultante der an alle Punkte seiner Masse angebrachten Kräfte, weil diese Kräfte nach Grösse und Richtung als constant angesehen werden müssen, und weil die Dichtigkeit in allen Punkten des Parallelepipedes dieselbe bleibt. Es ist also zum Gleichgewichte nothwendig und genügend, dass die jeder einzelnen Achse parallelen Kräfte unter sich im Gleichgewicht sind, was zu folgenden Gleichungen führt:

i)

dp

dp

dp

dx

Multiplicirt man diese Gleichungen mit dx, dy, dz, so giebt die nach-herige Addition

2)

dp — q [Xdx + Ydy + Zdz) ; ist also das Fluidum im Gleichgewichte, so bildet der Ausdruck q ( Xdx + Ydy + Zdz )

das totale Differential einer Function von x, y, 2, und diese Function giebt bis auf eine willkürliche Constante die Intensität des im Punkte xyz stattfindenden Druckes.

Bezeichnen wir diese Function mit F (ar, y, z), so folgt aus der Gleichung'2)

3)

P = F (ar, y, z,) + C,

wo C eine willkürliche Constante bezeichnet, welche sich bestimmen lässt, wenn man den Druck in einem gegebenen Punkte kennt. Ist die Flüssigkeit nicht in einem von allen Seiten geschlossenen und ganz gefüllten Gefässe enthalten, so muss nothwendig ein äusserer Druck existiren, dessen Werth durch die Gleichung 3) gegeben und der in jedem Punkte nach dem Innern der Flüssigkeit gerichtet ist.

5. Niveauflächen. Bei einer im Gleichgewichte befindlichen Flüssigkeit nennt man Niveaufläche jede Oberfläche von der Eigenschaft, dass die Resultante der auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte in jedem ihrer Punkte normal gerichtet ist. Bezeichnen dx, dy, dz die unendlich kleinen Incremente, welche die Coordinaten x, y, z irgend eines Punktes dieser Oberflächen annehmen, wenn man zu einem andern Punkte derselben Oberfläche übergeht, so hat man als Bedingung

4)

Xdx -f- Tdy -f- Zdz “ 0, und dies ist die Differentialgleichung aller Niveauflächen.

Vermöge der Gleichung 2) folgt hieraus, dass für alle Punkte einer und derselben Niveaufläche dp — 0 und mithin der Druck auf dieselbe constant ist. Diese merkwürdige Eigenschaft könnte als Definition jener Flächen dienen, und die Gleichung 4) würde dann eine unmittelbare Folge davon sein.

Die endliche Gleichung der Niveauflächen ist also, wenn c eine willkürliche Constante bedeutet

F (ar, y, z) = c,

wo F (x, y, z) immer diejenige Function bezeichnet, deren Differential

= Q (Xdx + Tdy + Zdz)

ist. Durch stetige Aenderung der Constante c erhält man nach einander alle möglichen Niveauflächen ; diese können sich nicht schneiden, wenn endliche Werthe von x, y, z der Function F (x, y, z) immer endliche und bestimmte Werthe ertheilen; denn es könnte dann nicht gleichzeitig

F (x, y,z)=. c und F (x, y, z) — c

sein, wenn c und c verschieden sind. Verhält es sich anders, so gelten die aufgestellten Folgerungen nicht mehr. In den Punkten, wo zwei Niveaufiächen sich begegne'n, würde der Druck unbestimmt sein, und folglich dürfte man nicht mehr behaupten, dass der Druck in der ganzen Ausdehnung einer und derselben Niveaufläche constant wäre. Wir wollen diese Ausnahmsfälle nicht weiter betrachten.

Unterliegt die freie Oberfläche der Flüssigkeit in allen ihren Punkten einem constanten Drucke, so ist sie selbst eine Niveaufläche.

6. Ist Xdx + Ydy -j- Zdz das totale Differential einer Function cp von x, y, z, wie dies zum Beispiel stattfindet, wenn die gegebenen Kräfte nach festen Punkten gerichtet und nur von der Entfernung von diesen Punkten abhängig sind, so kann die Gleichung 2) folgende Form annehmen

5)

dp = Qdcp.

Der erste Theil dieser Gleichung ist das Differential einer Fuhction der unabhängigen Variabein x, y, z, ebenso verhält es sich mit dcp-, zur Identität beider Theile ist demnach erforderlich, dass p eine Function von cp sei; doch kann diese Function eine beliebige Forn> haben. Die Dichtigkeit ist daher gleichzeitig mit cp constant d. h-für alle Punkte einer und derselben Niveaufläche; diese Oberflächen theilen die Flüssigkeit in Schichten, innerhalb welcher der Druck und die Dichtigkeit sich nicht ändern.

7. Bei zusammendrückbaren Flüssigkeiten hängt die Dichtigkeit von dem Drucke ab. Sei dann p — f (p), so wird die Gleichung 5)

dcp ■=

dp

fiP)

woraus <p r=:

₃ r dp

J f(p) '

Die Constante bestimmt sich durch den gegebenen Werth desDruckes in einem bekannten Punkte; daraus leitet man p und p als Functionen von cp ab und lernt die Dichtigkeit und den Druck kennen, welche sich auf eine beliebige Niveaufläche beziehen.

Handelt es sich z. B. um eine beliebige Gasart, so ist nach dem Mariotte’schen Gesetze

P *= *P,

wo k von der Temperatur abhängt, die wir vorläufig als constant betrachten. Die Gleichung 5) giebt dann

H >8

Sa

wo 6'eine Constante bezeichnet, welche man durch denjenigen Werth von p bestimmt, welcher einem bekannten Werthe von cp entspricht. Die letzte Gleichung kann auf folgende Form gebracht werden

P—Ce ,

und man zieht aus ihr

Bei veränderlicher Temperatur wird k variabel, und wenn das Gleichgewicht hergestellt ist, so zeigt die Gleichung 6), dass k nur eine Function von cp sein kann und dass folglich die Temperatur für alle Punkte einer und derselben Niveaufläche constant sein muss. Der Druck und die Dichtigkeit werden jetzt durch die folgenden Formeln bestimmt :

('dop

J *

p = Ce

ff

e/ K

Betrachtet man die Erde als kugelförmig und sieht von ihrer Kota-tionsbewegung ab, so ist die auf die Lufttheilclien wirkende Kraft nach dem Erd-Mittelpunkte gerichtet und folglich bilden die Niveauflächen Kugeloberflächen, die mit der Erde concentriscli sind. Das Gleichgewicht der Atmosphäre würde nun erfordern, dass die Temperatur in gleicher Entfernung von der Erdoberfläche überall dieselbe sei, was wegen der Anwesenheit der Sonne nicht stattfindet; daraus folgt, dass auch das Gleichgewicht nicht vorhanden ist.

Zweites Capitel.

Die Niveaufiächen rotirender Flüssigkeiten.

Allgemeine Gleichung der Niveauflächen rotirender Flüssigkeiten.

8. Im Vorigen wurde die Flüssigkeit als ruhend gedacht oder wenigstens vorausgesetzt, dass alle Punkte derselben eine gemeinsame Geschwindigkeit besitzen ; dagegen wollen wir jetzt annehmen, dass die Flüssigkeit sich gleichförmig um eine feste Achse drehe, und die Bedingungen aufsuchen, unter welchen alle Fliissigkeits-theilchen ihre gegenseitigen Lagen behalten. Nach dein cVAlembert’-schen Principe genügt hierzu, dass in jedem Punkte Gleichgewicht stattfindet zwischen den gegebenen Kräften und den Kräften, welche jenen gleich und entgegengesetzt sind, die jedem freien Punkte die wirklich vorhandene Bewegung mittheilen würden. Das Gleichgewicht findet also statt zwischen den gegebenen Kräften und den Cen-trifugalkräften, welche als an denMolecülen selbst wirkend betrachtet werden. Heisst co die Winkelgeschwindigkeit, so werden die nach den Achsen der x und y gerichteten Componenten der Centri-fugalkraft durch oYx und ory dargestellt, und die dritte Componente ist Null, wenn man die Drehungsachse zur Achse der z nimmt. Zur Bestimmung des Druckes hat man also

7)

dp = q [Xdx -j- Ydy -f- Zdz + co²xdx -(- ccrydy) ;

die durch die Centrifugalkraft eingeführten Glieder müssen in Verbindung mit

o [Xdx + Ydy + Zdz)

ein exactes Differential bilden ; die gemeinsame Gleichung der Niveauflächen ist daher

Xdx -f- Ydy + Zdz -f- co²(xdx + ydy) s= o oder <p = c, wo cp die Function von xy y, « bezeichnet, deren erstes Glied mit q multiplicirt das Differential ist, und c eine willkürliche Constante bedeutet.

Wenn die freie Oberfläche der Flüssigkeit, sei letztere homogen oder heterogen, einem constanten Drucke unterliegt, so ist sie selbst eine Niveaufläche und ihre Gleichung in der allgemeinen Gleichung cp — c enthalten. Aus dem gesammten Volumen der Flüssigkeit und der Gestalt des Gefässes, in welches sie eingeschlossen ist, kann jetzt der Werth von c bestimmt werden, wie wir an einigen Beispielen zeigen wollen.

9. Wir setzen eine homogene schwere Flüssigkeit voraus, deren freie Oberfläche einem constanten Drucke P unterworfen ist und welche sich in einem verticalen Cylinder befindet, dessen Grundfläche den Radius a besitzt, und in welchem sie sich im Zustande der Ruhe bis zu der Höhe h erhebt. Zur Achse der z nehmen wir die Achse des Cylinders in entgegengesetztem Sinne mit der Schwere. Unter diesen Voraussetzungen ist

A = 0, F — 0, Z r= — g,

und die Gleichung 7) wird

dp = — gqdz + q co² (xdx -f- ydy).

Die allgemeine Gleichung der Niveauflächen ist daher — g dz -f- tu² (x dx -f- y dy) — 0,

und durch Integration

{z — c),

2.2    *9

* + r = -2

wo c eine willkürliche Constante bezeichnet. Diese Gleichung gehört zu einem Rotationsparaboloide um die Achse der z, und c ist die Höhe ihres Scheitels über der Ebene der Grundfläche.

Da die freie Oberfläche einem constanten Drucke unteiliegt, so ist sie eine Niveaufläche ixnd man erhält ihre Gleichung, wenn man dem c in der letzten Gleichung den nöthigen speciellen Werth er-theilt. Dieser bestimmt sich aus dem Volumen der Flüssigkeit, das jetzt von der Oberfläche begrenzt wird, aber noch dasselbe wie früher, nämlich = %a²h sein muss. Man findet für dieses Volumen

7ta²z — iz' — c)²’

wo

z dem Punkte entspricht, in welchem die erzeugende Parabel den Cylinder schneidet; dieser Werth ist

z = c -f-

ÖTft}²

Zur Bestimmung von c erhält man die Gleichung

7ra⁴co²

na²h = 7ra²c +

woraus

a²co² 4g

Die Gleichung der Oberfläche der rotirenden Flüssigkeit ist demnach

a?² -j- y²

a²«²

4</

-Ä)'

Um den Druck in einem beliebigen Punkte zu ermitteln integrirt man den Werth von dp und findet, wenn c eine willkürliche Constante bezeichnet,

co²

— 9Qz + g y (#² + y¹) + c i

c bestimmt sich aus der Bedingung, dass an der Oberfläche p~P sein muss; man findet woraus

c = P — —---h 9Qh, ,

womit die vollständige Lösung des Problems gegeben ist.

Wenn die Flüssigkeit von der Ruhelage ausgeht und zu der Gleichgewichtslage in der Rotationsbewegung gelangt, so hat sich der auf der Achse liegende Punkt der freien Oberfläche um ebensoviel gesenkt, als die in Berührung mit dem Cylinder stehenden Punkte gestiegen sind. In der That ist die Höhe c des Scheitels des Para-

cficü²

boloids, welches die Flüssigkeit begrenzt, = h — und die Höhe

der Punkte des Paraboloids, welche auf der Cylinderoberfläche liegen,

ö²G)²

= c -j--= h -j-

a²co²

Beide Höhen unterscheiden sich von der anfänglichen Höhe h um

eine und dieselbe Grösse

a²bj²

10.

Wir wollen jetzt den Fall untersuchen, wo die Molecüle der in einem Gefässe eingeschlossenen Flüssigkeit von einer Kraft getrieben werden, welche gegen einen festen Punkt gerichtet und der Entfernung von diesem Punkte proportional ist.

Bezeichnen wir mit y den Werth dieser Kraft in der Einheit der Entfernung und nehmen zum Anfang den festen Punkt, nach welchem sie gerichtet ist, so sind —■ yx, — yy, —•yz ihre Compo-nenten; dagegen werden die Componenten der Centrifugalkraft, wenn co die Winkelgeschwindigkeit bezeichnet, dprch co²x und co²y ausgedrückt, und es ist daher die Differentialgleichung der Niveauflächen

(co² — y) (x dx -f- y dy) —• yz dz = 0,

woraus

— c,

yz²

y — co²

wo c eine willkürliche Constante bedeutet. Die Niveauflächen sind daher Umdrehungsflächen zweiten Grades um die Rotationsachse, und zwar Ellipsoide für co² <C y, dagegen Ebenen, die senkrecht auf der Achse stehen, wenn co² = y, was man unmittelbar nachwei-sen kann; für co² > y werden sie zu Hyperboloiden mit einer oder zwei Mantelflächen, je nachdem c positiv oder negativ ist. In allen Fällen ergiebt sich der Werth der Constanten aus dem Volumen der Flüssigkeit, welches zwischen der Oberfläche des Gefässes und einer der Niveauflächen enthalten ist, und welches dem Volumen der gegebenen Flüssigkeit immer gleich sein muss.

In dem Falle co² > y bestimmt die Grösse dieses Volumens nicht allein den absoluten Werth, sondern auch das Vorzeichen der Constanten c, d. h. der Ausdruck derselben lässt erkennen, ob das Hyperboloid eine oder zwei Mantelflächen besitzt; es hält nicht schwer, sich davon allgemein zu überzeugen. Zu diesem Zwecke wollen wir irgend einen Werth von co betrachten und für c einen negativen Werth nehmen; das Hyperboloid besitzt dann zwei Mantelflächen, und die freie Oberfläche der Flüssigkeit ist concav, ohne welche Bedingung der Druck nicht gegen das Innere gerichtet sein könnte. Lassen wir den Werth von c bis Null wachsen, so bleibt der

— 191

Asymptotenkegel derselbe, und während die Oberfläche des Hyperboloids sich ihm unaufhörlich nähert, nimmt das durch letzteres begrenzte Volumen ab und reducirt sich im Grenzfalle auf das Kegel-•volumen. Gehen wir dagegen von einem positiven Wertlie des c aus, so besitzt das Hyperboloid nur eine Mantelfläche und die freie Oberfläche der Flüssigkeit ist convex; bei abnehmendem c wächst das Volumen der in dem Gefässe eingeschlossenen Flüssigkeit, weil die sie begrenzende Oberfläche sich mehr und mehr eben demselben Kegel nähert, ausserhalb dessen sie liegt; für c = 0 erreicht das Volumen seinen grössten Werth, welcher mit dem kleinsten Werthe für die Hyperboloide mit zwei Mantelflächen zusammenfällt. Daraus folgt, dass es unter allen Hyperboloiden beider Gattungen nur eirf einziges giebt und dass immer eines existirt, welches, wenn das Gefäss unendlich ist, einer gegebenen Masse von Flüssigkeit und einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit > ]/ fi entspricht.

Gleichgewichtsform einer rotirenden Flüssigkeit, deren Molecüle sich gegenseitig anziehen.

11. Bei den vorigen Aufgaben war die auf jedes Molecül wirkende Kraft bekannt und unabhängig von der Lage der andern Molecüle; anders verhält sich die Sache in der Natur, wo jedes Molecül von jedem andern angezogen wird und die Resultante dieser Wirkungen nothwendig von der Gestalt der Flüssigkeit abliängen muss; da aber diese Gestalt unbekannt ist, so sind es die mit X, F, Z bezeichneten Kräfte gleichfalls, und das Problem wird ungleich schwieriger.

Ist nämlich

Bei einer homogenen Flüssigkeit, innerhalb deren die Anziehung im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung steht, kann man das Problem nur lösen, wenn man eine sehr kleine Winkelgeschwindigkeit voraussetzt, welche der Flüssigkeit eine wenig von der Kugel abweichende Gestalt ertlieilt. Doch lässt sich immer nach-weisen, dass die Figur eines Rotationsellipsoids der Bedingung des Gleichgewichts genügt, sobald die Winkelgeschwindigkeit eine gewisse Grenze nicht überschreitet.

z²

x² -f- y~

c² (1 +l²) die Gleichung eines abgeplatteten Rotationsellipsoids um die Achse der z, so werden die drei Componenten X₎ F, Z der Anziehung der

Masse dieses Ellipsoids auf einen Punkt ar, y, z seiner Oberfläche durch folgende Formeln bestimmt

— - [A — (1 + A²) arctang A],

y _ 27rQfy

A3

[A — (l -f- A²) arctang A],

Ąngfz

— (l -f- A²) (arc tang A — A),

in denen g die Dichtigkeit der Flüssigkeit bezeichnet. Damit Gleichgewicht stattfinde, muss die Resultante dieser drei Kräfte und der Centrifugalkraft, deren Componenten ro²ar, ra²y sind, in jedem Punkte senkrecht auf der Oberfläche des Ellipsoids stehen; dies liefert zwischen den Coordinaten dieser Oberfläche und ihren Diffé

ra²

rentialen folgende Gleichung, in welcher- — y gesetzt ist,

JiTtQf

[A — (l -f- A²) arc tätig A -J- y A³] (ar dx -f- y dy)

+ 2 (arc tang A —■ A) (l fl- A²) zdz = 0.

Vermöge der Gleichung des Ellipsoids gilt zwischen denselben Coordinaten die Gleichung

xdx + ydy -f- (1 + A²) zdz = 0.

Da der Werth von zdz in beiden Gleichungen übereinstimmen muss, was auch x, y, dx, dy sein mögen, so erhält man zur Bestimmung von A folgende Bedingung:

A ■—■ (l -J- A²) arctang A -f* ju-A³ = 2 (arctang A — A),

oder

(3 + ^²) arc ian9 ^ —■ 3A_ 3 + A²

A³

A³

(arctang A

3A

3+AV

Für den Augenblick sei zur Abkürzung

arctang A

3A

3+ A²

— <p W;

es ergiebt sich dann durch Differentiation

cp (A) =

4A⁴

(I + A²) (3 + A²)²

Ans dem positiven Vorzeichen von qc/(A) erkennt man, dass cp(A) beständig wächst, und da dieses Wachsthum mit 95(0) = 0 anfängt, so ist gp(A), mithin auch g-, positiv für alle positiven Werthe von A. Jeder beliebigen Abplattung A entspricht daher eine reelle AV i n k e 1 g e s c h w i n d i g k e i t nach der F ormel

2)

co = ]/ 'iTCQuf.

Ob umgekehrt jeder gegebenen Winkelgeschwindigkeit co oder jedem gegebenen g

eine reelle Abplattung entspricht, be-

co²

2tt Qf

darf einer genaueren Untersuchung, die sich am anschaulichsten gestaltet, wenn man Ä als Abscisse, p. als Ordinate und die Gleichung l) als Gleichung einer ebenen Curve betrachtet; die Gestalt dieser Linie ergiebt sich aus folgender Discussion.

Die Differentiation der Gleichung l) liefert

arc

lang aJ

1 [9A + 7A3 A⁴ [_ 1 + A²

— (9 + A²)

oder auch

3)

^ A⁴ (9 + A²)

wobei zur Abkürzung

4)

F(l) =

9A + 7A³

(1 + V) (9 + ia)

arc tang A.

gesetzt wurde. Man bemerkt sogleich, dass g sein Vorzeichen ebenso oft als F (A) wechselt, und es ist daher zunächst F (A) zu untersuchen.

Man findet durch Differentiation

F (A) -

8A⁴ (3 — A²)

(I + A²)² (9 + A²)

Dieser Ausdruck bleibt positiv von A == 0 bis X-— ]/3, verschwindet für A = y 3, und wird negativ für A > Y 3. Die Function F{X) wächst demnach von A = 0 bis A = j/ 3, erreicht an dieser Stelle ihren Maximalwerth und nimmt dann continuirlich ab. Das Wachsthum beginnt mit dem Werthe F (o) = 0 und geht daher auf der positiven Seite vor sich; die Abnahme fängt an mit dem positiven Maximalwerthe

57/3 7t

- = 0,0353

und geht bis zu dem asymptotischen Werthe

Hieraus ist ersichtlich, dass es ausser A = 0 nur noch einen einzigen positiven Werth von A geben kann, für welchen F(A) verschwindet; dieser Werth liegt zwischen A = ]/ 3 und A == oe, genauer ist er

A == 2,5293

und zwar geht F(A) an dieser Stelle, aus dem Positiven ins Negative über.

Kehren wir nun zur Gleichung 3) zurück, so wissen wir aus dem Vorigen, dass g für A = 0 verschwindet, für 0 < A < 2,5293 positiv bleibt, für A ;= 2,5293 zu Null wird und darüber hinaus negativ ist. Die erwähnte, durch die Gleichung l) bestimmte Curve geht demnach vom Coordinatenanfange aus, wobei sie die Abscissenachse berührt, steigt nachher bis sie für A = 2,5293 ihr Maximum erreicht, und fällt dann continuirlich. Da der Ausdruck

arc lang X

für unendlich wachsende A gegen die Grenze Null convergirt, so ist die Abscissenachse die Asymptote die Curve. Man kennt jetzt die Gestalt der betrachteten Linie, wovon die Figur ein Bild giebt; OA ist darin = 2,5293, OB t= AC die zugehörende Maximalordinate = 0,2246.

Jt

Pz

L/ À

Lz

Wenn nun zu einem gegebenen g das entsprechende X gefunden, d. h. die Gleichung l) nach À aufgelöst werden soll, so lässt sich diess graphisch machen, indem man die Ordinate OM =z g nimmt,

durch M eine-Parallele zur Abscissenachse zieht und den Durchschnitt P der Parallelen mit der Curve aufsucht; die Abscisse von P ist das gesuchte A. Man bemerkt aber sofort, dass die Parallele und die Curve sich keinmal, einmal oder zweimal schneiden, je nachdem ft grösser, gleich oder kleiner als die Maximalordinate AC ist; einer g eg eb en en W'i nk e Ige s ch w i n d igke i t co entspricht daher kein Rotationsellipsoid, ein Ellipsoid, oder

co²

'lixof

zwei verschiedene Ellipsoïde, je nachdem

ebensoviel oder weniger als 0,2246 beträgt.

Für ft — 0 erhält man die beiden Auflösungen Aj ™ 0, A₂ = <x>, von denen die erste eine Kugel, die zweite eine unendliche Ebene giebt ; da eine begrenzte Masse die letztere Form nicht annehmen kann, so bleibt nur die erste Auflösung zulässig. Ertheilt man dieser Kugel eine Achsendrehung, deren Geschwindigkeit stetig zu-nimmt, so plattet sich die Kugel mehr und mehr ab, wobei immer nur die ersten Wurzeln Aj in Frage kommen; über die Grenze co j/0,2246 •    hinaus bestehen aber keinP Ellipsoïde mehr,

folglich tritt jetzt eine andere Gleichgewichtsfigur ein.

Man ersieht hieraus, dass das abgeplattete Rotationsellipsoid nicht die einzig mögliche Gleichgewichtsfigur ist ; in der That hat auch Jacobi bereits gezeigt, dass sogar ein dreiachsiges Ellipsoid als Gleichgewichtsfigur dienen kann (s. Cr elle' s Journal Bd.24, S.44), doch würde uns diese Untersuchung hier zu weit führen.

Drittes Capitel.

Das Gleichgewicht schwerer Flüssigkeiten und schwimmender Körper.

Der Druck schwerer Flüssigkeiten.

12. Wirkt nur die Schwere auf die Moleciile einer homogenen Flüssigkeit, so hat man

dp — i— qgdz, woraus p = —• qgz + c,

und wenn P den d# Höhe z = h entsprechenden Druck bezeichnet, so ist definitiv

p = qg (h — z) -f- P.

Die Niveauflächen sind also horinzontale Ebenen und der Druck in jedem Punkte hängt nur von der Höhe ab.

Die Dichtigkeit q kann sich hierbei in irgend einer Weise ändern und ist dann eine Function von z\ sie bestimmt sich durch die Formel

g J qdz.

13. Als wir die Zunahme des Drucks berechneten, der bei dem Uebergang von einem Punkte einer Flüssigkeit zu einem andern stattfindet, zerlegten wir diese Flüssigkeit in stetig zusammenhängende Parallelepipede und untersuchten nun wfie viel der Druck von der einen Seitenfläche bis zur parallelen Seitenfläche zunahm. Diese Anschauungsweise gilt nicht mehr, wenn in der Flüssigkeit Wände existiren, welche die Verbindung der Flüssigkeitstheile auf-heben; wären die Wände so beschaffen, dass sie die Verbindung nicht völlig, sondern nur theilweise aufhöben, so würde gleichfalls eine Modification der obigen Theorie eintreten müssen.

Unter der Voraussetzung, dass nur die Schwere auf die Flüssigkeit wirkt, sahen wir, dass der Zuwachs des Druckes Null ist, wenn

— 197

man von der verticalen Seitenfläche eines Parallelepipedes zu der gegenüberstehenden Fläche übergeht, voraussgesetzt, dass dieses Parallelepiped aus der Flüssigkeit ohne Unterbrechung gebildet ist. Demnach kann der Druck in zwei Punkten derselben Horizontalebene nur dann für gleich gelten, wenn man von dem einen Punkte zum andern mittelst der Flüssigkeit ohne Unterbrechung übergehen kann, während man in derselben Horizontalebene bleibt.

14. Nach dieser Bemerkung untersuchen wir das Gleichgewicht von zwei in verschiedenen Gefässen befindlichen Flüssigkeiten, welche durch einen horizontalen Canal mit einander com-municiren. Durch den tiefsten Punkt dieses Canals legen wir eine horizontale Ebene; die Flüssigkeiten, welche sich unterhalb dieser Ebene befinden, können dann sehr verschiedenen Drucken in Punkten auf einer und derselben Horizontalebene unterworfen sein. Legen wir ferner eine Horizontalebene durch den höchsten Punkt des Canals, so muss der Druck in allen Punkten irgend einer zwischen beiden Ebenen liegenden Horizontalebene derselbe sein; für die höher gelegenen Ebenen kann er in beiden Gefässen wieder verschieden sein. Aber in jedem von ihnen stehen die oberhalb des Canals befindlichen Flüssigkeitstheile unter den eben bewiesenen Gesetzen, und sie unterliegen in Bezug auf einander nur der Bedingung, dass sie auf die durch den höchsten Punkt des Canals gelegte Horizontalebene einen und denselben Druck hervorbringen. Ebenso wirkt auf die unterhalb des Canals liegenden Tlieile ein an der Oberfläche gleicher Druck und sie müssen unabhängig von einander den allgemeinen Bedingungen des Gleichgewichts genügen.

Auf diese Betrachtungen gründet sich die Theorie der Heber, des Barometers, der Wasserwaagen, der hydraulischen Presse etc.

15. Druck auf die Wände. Wir denken uns eine ebene Wand in unendlich kleine Elemente dl getheilt und bezeichnen mit z den Abstand irgend eines Elementes von der äusseren Oberfläche der Flüssigkeit, die wir als homogen annehmen. Der durch die Flüssigkeit auf das Element dl ausgeübte Druck, abgesehen von einem etwaigen äusseren auf die Oberfläche der Flüssigkeit ausgeübten Drucke, ist = gq z dl und die Summe aller dieser Kräfte

= gq Hz dl = gq AzL,

wo A den Flächeninhalt der Wand und zx den Abstand ihres Schwerpunkts von der Oberfläche der Flüssigkeit bezeichnet. Daraus folgt,

dass der Druck derselbe bleibt, welche Lage die Wand auch anneh-men möge, wenn nur der Schwerpunkt derselben seine Lage nicht ändert.

Dieser Druck ist durchaus unabhängig von der Form des Ge-fässes, und man kann auf den Boden eines Gefässes einen beträchtlichen Druck mit einem sehr geringen Gewicht Flüssigkeit hervorbringen, vorausgesetzt, dass der Abstand des Bodens von der freien Oberfläche sehr gross ist.

von

aus

Der Angriffspunkt der Resultante aller Pressungen, der sogenannte Mittelpunkt des Drucks, lässt sich mittelst der gewöhnlichen Theorie des Mittelpunkts paralleler Kräfte berechnen; bei einer horizontalen Wand fällt er mit deren Schwerpunkte zusammen, in jedem anderen Falle liegt er tiefer als dieser. Ziehen wir nämlich durch letzteren in der Ebene der Wand eine Horizontale, so zerfällt die Fläche derselben in zwei Theilo, deren Momente in Bezug auf jene horizontale Gerade gleich sind. Der Gesannnt-druck, welcher auf den unterhalb dieser Horizontalen gelegenen Theil der Wand ausgeübt wird, giebt in Beziehung auf diese Horizontale ein grösseres Moment, als der auf den oberhalb derselben gelegenen Theil ausgeübte Druck; denn wenn man sich die ganze Fläche in gleiche Elemente gethcilt denkt, so ist der auf jedes Element des unteren Theiles ausgeübte Druck grösser als der grösste denen, welche auf die Elemente des oberen Theils ausgeübt werden. Nähme man alle diese Drucke dem grössten von ihnen, welcher sich auf die Punkte der durch den Schwerpunkt gelegten Horizontalen bezieht, gleich, und alle übrigen dem kleinsten von ihnen gleich, welcher sich ebenfalls auf die Punkte derselben Horizontalen bezieht, so würden die Summen der Momente gleich sein; nimmt man sie dagegen wie sie wirklich sind, so ist die Summe für diejenigen grösser, Avelche sich auf den unteren Theil beziehen; also liegt der Mittelpunkt der Druckkräfte, welche auf die Wand geübt werden, unterhalb der Horizontalen, welche durch den Schwerpunkt gelegt ist.

Um.die Coordinaten dieses Punktes kennen zu lernen, hat man drei Coordinatenebenen zu wählen, in Bezug auf diese die Summe der Momente der auf jedes Element der Wand ausgeübten Druckkräfte zu berechnen, und das Resultat durch die Summe der Druckkräfte zu dividiren.

Wir betrachten zunächst die Momente in Beziehung auf die Ebene der x und y. Bezeichnet dX ein unendlich kleines Element der Wand, so ist der auf dasselbe ausgeübte Druck = gq z dl, und sein Moment = gq z~ dl; nennen wir ferner x, y\ z die Coordinaten des Mittelpunkts des Drucks, x₁, yn zl die des Schwerpunkts der Wand und A ihren Flächeninhalt, so erhalten wir die Gleichung

2z-dl = z'Ézdl ••= Azzl,

wo die beiden Integrale 2 sich auf alle Elemente der Wand erstrecken. Als Momentengleichungen in Bezug auf die beiden andern Projectronsebenen finden wir in ähnlicher Weise

2 yz dl = Ay zv, 2 xz dl = Ax'z

Die Coordinaten des Mittelpunkts des Drucks sind also:

j xz dl

Azl ’

J yz dl

f;

z!dl

Azl

Azl

16- Beispielweis betrachten wir eine trapezförmige Wand mit horizontaler Grundlinie. Hier sieht man leicht, dass der Mittelpunkt des Druckes auf der Geraden liegt, welche die Mittelpunkte der parallelen Seiten verbindet, und es genügt daher, eine der drei Coordinaten dieses Punktes, z. B. z, zu kennen. Zerlegen wir das Trapez in unendlich kleine Streifen, welche den beiden Parallelseiten parallel laufen, so ergiebt sich die SummeJ*z²dl dadurch, dass man

die Fläche eines jeden dieser Streifen mit dem entsprechenden Werthe von z² multiplicirt und die Summe dieser Producte in der ganzen Ausdehnung des Trapezes bildet. Sei a die obere, b die unter Parallelseite des Trapezes, h seine Höhe, u die Entfernung eines beliebigen Schnittes von der oberen Grundlinie, c die Entfernung dieser Grundlinie von dem Niveau der Flüssigkeit, und y der Winkel zwischen der Ebene des Trapezes und der Horizontalebene, so wird der Flächeninhalt eines beliebigen Schnittes durch folgenden Ausdruck dargestellt

du •

(a + nr")

andererseits ist

z r=z c -f- u sin y,

man hat also den Ausdruck

J*{c Ą- u siti y)² ^ a +    ^ uj du

zu berechnen und das Resultat durch

AZ y =

h (a -j- b)

(c + Uy siu y)

zu dividiren um zur Kenntniss von z — c -j~ u' sin y zu gelangen. Der Werth von u bestimmt die Lage des Mittelpunkts des Druckes bequemer als ź\ durch Ausführung der angedeuteten Rechnungen findet man

, h² (a -f- 3b) sin y -j- 2hc (a -f- 2b)

2h (a + 2b) sin y -ff 6c (« + b)

Für c = 0, d. h. wenn die obere Grundlinie im Niveau der Flüssigkeit liegt, wird einfacher

, h (a -}- 3b)

u =i —;---—.

2 (« + 2b)

In diesem Falle ist der Mittelpunkt des Druckes unabhängig von der Neigung der Wand.

Sowohl für a = 0 als für b = 0 reducirt sich das Trapez auf ein Dreieck; im erstell Falle liegt die Spitze desselben im Wassèr-spiegel und u' ist dann = im zweiten Falle liegt die Grundlinie des Dreiecks im Niveau und u erhält den Werth t h.

17. Die auf eine krumme Wand ausgeübten Druckkräfte lassen sich nicht immer auf eine Einzelkraft zurückführen, weil ihre

men.

auf eine Einzelkraft und auf ein Paar oder, Avas dasselbe ist

Richtungen nicht parallel laufen; da sie aber auf einen festen Körper wirken, so können sie immer auf zwei Kräfte reducirt werden. Sobald man nämlich die Intensität jedes elementaren Druckes und die Coordinaten seines Angriffspunktes kennt, führt man jene Elementarkräfte durch die gewöhnlichen Methoden auf drei nach den Coordi-natenachsen gerichtete Kräfte und auf drei Paare zurück, welche dieselben Richtungen zu Achsen haben. Dann zeigt sich von selbst, ob die zur Existenz einer Resultante notliwendige Bedingung erfüllt ist oder nicht, und man wird dieselbe im erstenFalle leicht bestim* Im entgegengesetzten Falle reducirt man das Kräftesystem

auf

zwei Kräfte.

Der Druck auf eingetauchte Körper.

18. Wir wollen insbesondere den Druck betrachten, welcher auf die Oberfläche eines ganz oder theilweise in eine schwere Flüssigkeit eingetauchten Körpers ausgeübt wird, wenn letztere sich im Gleichgewichte befindet. Vorerst ist hier leicht einzusehen, dass die horizontalen Componenten der Druckkräfte sich aufhehen und dass nur die verticalen Componenten übrig bleiben, welche immer eine Resultante haben.

Wir denken uns einen Theil der Oberfläche zwischen zwei horizontalen unendlich nahen Ebenen und betrachten zunächst die parallel zur Achse der x wirkenden Componenten der Druckkräfte. Die Zerlegung der Oberfläche können wir in beliebiger Weise ausführen, sie möge zunächst durch Ebenen geschehen, welche einander unendlich nahe und der a^-Ebene parallel sind, so dass die Oberfläche in Elemente zerfällt, von denen je zwei, auf die ?/2-Ebene projicirt, das Rechteck dy dz zur gemeinsamen Projection haben. Bezeichnet man nun mit p den Druck, welcher dem Abstande des Streifens von der freien Oberfläche der Flüssigkeit entspricht, und mit a, ß, y die Winkel, welche die Normale in einem beliebigen Punkte des Streifens mit den Achsen der «r, der y und der z bildet, so sind die Componenten des Druckes pco, welcher auf ein Element co dieses Streifens ausgeübt wird,

p co cos or, p co cos ß, p co cos y,

oder

p dy dz, p dx dz, p dx dy

cl. h. sie sind gleich den Druckkräften, welche die Projectionen des Elementes co auf drei den Coordinatenebenen parallele Ebenen in einem und demselben Punkte erleiden würden. Was aber die beiden Elemente betrifft, welche dieselbe Projection dy dz auf die Ebene der y und z besitzen, so heben sich die zur Achse der x parallelen Componenten auf, weil ihre Werthe gleich p dy dz und von entgegengesetztem Zeichen sind, und da alle Elemente des Streifens paarweise so betrachtet werden können, so folgt daraus, dass alle der Achse der x parallelen Componenten der Druckkräfte, welche dieser Streifen erleidet, sich gegenseitig aufheben. Ebenso verhält es sich mit den zur Achse der y parallelen Componenten ; hier würde man Elemente bilden, welche paarweise eines und dasselbe Rechteck dx dz zur gemeinschaftlichen Projection haben. Es folgt daraus, dass allein die verticalen Cornponenten der Druckkräfte, welche der Streifen erleidet, übrig bleiben, und es sind nur noch diese in der ganzen Ausdehnung des eingetauchten Körpers zusammenzusetzen.

Denkt man sich jene Ebenen , welche einerseits der .rz-Ebene, andererseits der yz-Ebene parallel gestellt waren, gleichzeitig con-strivirt, so zerfällt die Oberfläche des Körpers in Elemente, von denen je zwei, auf die horizontale xy-Ebene projicirt, das Rechteck dx dy zur gemeinschaftlichen Projection haben. Zwei derartige Elemente liefern Cornponenten in entgegengesetztem Sinne, welche sich auf eine Kraft reduciren, die von unten nach oben gerichtet und gleich dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeitssäule ist, welche die nämliche Projection dx dy besitzt. Dieses Resultat gilt, wie leicht zu sehen, auch dann noch, wenn der Körper nicht völlig untergetaucht, sondern nur theihveis eingetaucht ist. In jedem Falle wird der Körper in entgegengesetzter Richtung mit der Schwere ebenso getrieben, wie der von ihm verdrängte Flüssigkeitstheil in der Richtung der Schwere getrieben werden würde. Die gesammten auf ihn wirkenden Druckkräfte haben demnach eine Resultante,

welche dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit gleich ist und an dem Schwerpunkte dieses Fliissigkeitstheiles der Richtung der Schwere entgegen wirkt. Ausserdem wird der Körper durch sein eigenes Gewicht in seinem Schwerpunkte angegriffen, so dass er dann im Gleichgewichte sein kann, wenn sein Gewicht gleich

nur

Archimedes eut-

ist dem Gewichte der von ihm verdrängten Flüssigkeit und der Schwerpunkt der letzteren auf der durch den Schwerpunkt des Körpers gelegten Verticalen liegt. Dieses schon von deckte hydrostatische Princip, das gleiehrnässig für tropfbare und gasförmige Flüssigkeiten gilt, fasst man gewöhnlich in die Worte

zusammen :

Beim Eintauchen in eine im Gleichgewicht befindliche Flüssigkeit, verliert jeder Körper so viel an seinem Gewichte, als die von ihm verdrängte Flüssigkeit wiegt.

19. In dem so eben gegebenen Beweise haben wir alle Druck

kräfte, welche der eingetauchte Körper erfährt, in ihre Elemente kann sich aber auch dieser Zerlegung überheben

aufgelöst, man

und die gesammte Wirkung direct bestimmen. Der Körper erfährt nämlich denselben Druck, welchen die von ihm verdrängte Flüssigkeit erleiden würde und die inan als fest gemacht annehmen könnte ohne das Gleichgewicht zu stören. Da nun dieser Theil der Flüssigkeit keine Bewegung annimmt, so muss der Druck, welchen sie erfährt, die Wirkung der Schwere gerade aufheben und folglich zur Resultante eine verticale Kraft haben, welche gleich ist ihrem Gewichte und durch ihren Schwerpunkt geht. Jeder in eine Flüssigkeit eingetauchte Körper unterliegt also der Wirkung zweier entgegengerichteter verticaler Kräfte, von denen die eine seinem Gewichte gleich und in seinem Schwerpunkte angebracht ist, und deren andere dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit gleichkomrnt und durch den Schwerpunkt dieser Flüssigkeit geht.

Dem Vorigen zufolge erhält man das Gleichgewicht eines Körpers nur dadurch richtig, dass man die Abwägung desselben im leeren Räume vornimmt. Wüsste man, wie viel er in der Luft oder in irgend einer andern Flüssigkeit wiegt, so hätte man dieses Gewicht um das eines gleichen Volumens der Flüssigkeit zu vergrössern, um das wahre Gewicht des Körpers zu erhalten. Auf diesem Principe beruht die Theorie der Aräometer und der hydrostatischen Waage.

Gleichgewicht schwimmender Körper.

20. Soll ein fester Körper, welcher zum Theil in eine Flüssigkeit eingetaucht ist, im Gleichgewichte sein, so ist es dem Obigen gemäss nothwendig, dass sein Gewicht dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit gleichkomme und dass sein Schwerpunkt auf derselben Verticalen liege, auf welcher sich der Schwerpunkt dieses Theils der Flüssigkeit befindet. Bei einem in homogener Flüssigkeit schwimmenden Körper fällt der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit von selbst mit dem Schwerpunkte des von dem andern Körper eingetauchten Theils zusammen. Um also die Lagen zu bestimmen, bei welchen der Körper im Gleichgewichte beharren kann, muss man ihn so durch eine Ebene schneiden, dass das Volumen des einen Theils sich zum ganzen Volumen verhält, wie die Dichtigkeit des Körpers zu jener der Flüssigkeit und dass die Schwerpunkte dieses Theils und des ganzen Körpers in einer und derselben Geraden liegen, welche auf der schneidenden Ebene senkrecht steht. Das Gleichgewicht tritt daun ein, sobald diese Ebene mit der Oberfläche der Flüssigkeit zusammenfällt.

Beispielsweis betrachten wir ein dreiseitiges gerades Prisma, dessen Kanten horizontal liegen. In der Gleichgewichtslage hat es

entweder zwei seiner Kanten oder nur eine über dem Niveau der Flüssigkeit; wir wollen zuerst den letzten Fall untersuchen. Man sieht leicht, dass die Länge des Prisma keinen Einfluss auf die gesuchte Lage übt, und ferner, dass jede zu den Kanten parallele Ebene das Volumen in demselben Verhältnisse wie die Grundfläche theilt. Wir können uns also auf die Betrachtung der letzteren beschränken.

(Fig. 10.)

Sei ABC diese Grundfläche mit den Seiten a, b, c, C die eingetauchte Spitze, BE die Wasserlinie oder der Schnitt mit der Ober-A fläche der Flüssigkeit, F die Mitte von AB, I die von BE, r das Verkältniss der Dichtigkeit des Körpers zu jener der Flüssigkeit, endlich

CF = f, CB t=: x, CE =. y, L ACF = «,

L bcf = ß,

handelt es sich darum, die Gerade BE (Fig. 10) so zu ziehen, dass das Verhältniss der Dreiecke CBE, ABC gleich r ist, und dass die Linie FI, welche der Verbindungslinie der Schwerpunkte beider Dreiecke parallel läuft, senkrecht auf BE steht, welche Bedingung darauf hinauskommt, dass die Linien BF und FE gleich werden. Die beiden Gleichungen, welche x und y bestimmen, sind demgemäss:

xy ■■= rab, x² — 2fx cos a ~ y² — ‘Ify cos ß, woraus durch Elimination von y hervorgeht

x⁴ —- 2/a:³ cos a -f- 2rab fx cos ß — r²a²b² = 0.

1)

2)

/E

SO

Diese Gleichung hat nothwendig zwei reelle Wurzeln, eine positive und eine negative, welche letztere auf unsere Aufgabe keinen Be-g hat. Sind die beiden andern Wurzeln reell, so beweist die Car-tesianische Zeichenregel, dass sie positiv sein müssen; es kann also höchstens drei. Gleichgewichtslagen geben, wenn die Spitze C eingetaucht sein soll; dieser Fall tritt ein, sobald die reellen Werthe kleiner als a sind und für y kleinere Werthe als b liefern.

zu

von x

Sollen die beiden Ecken A und B in die Flüssigkeit tauchen, das Verhältniss der Flächen BBEA und ABC gleich r sein,

so muss

mithin das Verhältniss der Dreiecke CBE und ABC gleich 1 — r; da

überdies die Schwerpunkte dieser letzteren und der von BBEA auf einer Geraden liegen, so ist klar, dass die Aenderung von r in 1 r

in den Gleichungen l) genügt, um die auf den neuen Fall bezügliche Gleichung zu erhalten, nämlich:

x⁴ — 2/h³ cos a -f 2 (l — r) abfx cos ß — (l— r)² a²b² ;= 0.

21. Für ein gleichschenkliges Dreieck ABC ist

c²

b = a, cos ß — cos a = —, f² = a² — — die Gleichungen l) werden

2/-*

xy ra², a:² — y²---— (.t — y) ~ 0.

Die erste Wurzel derselben ist

x = y — a \/ r,

und wenn man den Factor x — y in der zweiten Gleichung weglässt, so bleibt

2 f²

xy = ra², x -j- y =--

Die Werthe von x und y sind also, wie man voraussehen konnte, durch eine und dieselbe Gleichung zweiten Grades gegeben, nämlich

2f²

x²--x -j- ra² — 0.

ro

oder

x²

(4a² — c²)

2a

x + ra² = 0;

ihre Wurzeln sind imaginär für

{    c²\²

a⁴

v~-&)⁵

0-è)’

zugleich ist x = y, so dass

sie sind gleich für r = diese Lösung mit der ersten zusammenfällf. In der That findet man

f²

x — •—, und da

f⁴ = «⁴r,

so folgt

f²= a² }Zr und x = u j/r,

wie im ersten Falle.

/ c² \ ² .

Fiirr < Il ——j J sind beide Wurzeln reell und positiv; sie

liefern also Gleichgewichtslagen, wenn sie weniger als a ausmachen.

Die Gleichung, welche sich auf den Fall bezieht, wenn die beiden Ecken A und B eingetaucht wären, erhält man wie vorhin durch Vertauschung von r gegen 1 —r; sie ist

4a² — c²

4)

x² —

x -f- (l — r) a² = 0,

und giebt zu einer analogen Discussion Gelegenheit.

Bei einem gleichseitigen Dreieck ist cc=ö, mithin naçli 3)

und 4)

x² —

— x “f" ra² = 0,

2

3«

x² ■—■ — x -f- ( 1 — r) a² ~ o.

Die Wurzeln der ersten Gleichung sind

— 16r,

9

reell für r < —, und beide kleiner als a für

16

]/ 9 — 16 r < 1 oder r > — •

Demnach giebt es drei Gleichgewichtslagen, für welche die Ecke C

und

— -j--liegt. Die Glei-

2 16 ⁶

eingetaucht ist, wenn r zwischen —

chung für den Fall, dass beide Ecken 'eingetaucht sind, hat die Wurzeln

16?--7 ;

7

sie sind reell für r > —, und beide kleiner als a für 16

7/ 16 r — 7 <1 oder r <    ;

es giebt also für diesen Fall drei Gleichgewichtslagen, wenn r zwischen ---— und

2 16

mit der auf den vorigen Fall bezüglichen stattfinden kann.

-i liegt, welche Bedingung nicht gleichzeitig

22. Die homogenen Prismen oder Cylinder können auch hei verticaler Stellung ihrer Kanten im Gleichgewichte sein; dasselbe findet noch statt, wenn sie nicht homogen, sondern aus homogenen senkrecht zu den Kanten liegenden Schichten von verschiedener Dichtigkeit zusammengesetzt sind. In diesem Falle befinden sich die Schwerpunkte der verdrängten Flüssigkeit und des festen Körpers nothwendig auf derselben Verticalen,, und es reicht für das Gleichgewicht hin, dass das Gewicht der ersteren gleich dem Ge-wichte des letzteren ist. Nimmt ma§ statt des Cylinders einen Rotationskörper, so bietet die Bestimmung seiner Gleichgewichtslagen bei verticaler Achse ebensowenig Schwierigkeiten; man hat nur das Volumen durch eine senkrecht auf der Achse stehende Ebene so zu theilen, dass das Verhältniss des einen der beiden Theile zum Ganzen dem Verhältnisse der mittleren Dichtigkeit des Körpers zu der des Wassers gleichkommt.

Stabilität des Gleichgewichts schwimmender Körper.

23. Das Gleichgewicht eines schwimmenden Körpers ist sicher oder unsicher, je nachdem der Körper in seine anfängliche Gleichgewichtslage zurückzukehren oder sich von ihr zu entfernen strebt, sobald man ihn unendlich wenig aus derselben entfernt hat. Bei einem Prisma mit horizontalen Kanten sieht man leicht, dass im Allgemeinen die sicheren und unsicheren Gleichgewichtslagen abwechselnd auf einander folgen. Bringt man nämlich den Körper aus einer sicheren Gleichgewichtslage um ihn in eine andere sichere Gleichgewichtslage überzuführen, so wird er bis zu einem gewissen Punkte in die erste Stellung zurückzugehen streben; bat er aber diesen Punkt überschritten, so wird er sich dagegen von ihr zu entfernen und der zweiten Lage zu nähern suchen. Es existirt also eine solche Zwuschenlage, dass, wenn man ihn von hier aus nach der einen oder andern Seite hin entfernt, er das Bestreben hat, dieselbe gänzlich zu verlassen ; diess ist mithin eine Lage des unsicheren Gleichgewichts. Demnach giebt es zwischen zwei sicheren Gleichgewichtslagen immer eine unsichere, und umgekehrt.

ihn durch eine beliebige andere

wenn man

24. Bevor wir weiter gehen, ist noch folgende Bemerkung nothwendig. Wenn ein Körper von einer Ebene geschnitten wird, so ist. das Volumen auf der einen Seite dieser Ebene demjenigen gleich, welches man erhält,

208 —

Ebene schneidet, welche mit der ersten einen unendlich kleinen Winkel bildet und durch den Schwerpunkt der Fläche des ersten Schnittes geht, oder mit anderen Worten, der Unterschied beider Volumina ist unendlich klein in Bezug auf den zwischen beiden Ebenen enthaltenen Baum. Vernachlässigt man nämlich die in Beziehung auf dieses Volumen unendlich kleinen Grössen, so kann man die Oberfläche des Körpers in der Nähe des Schnittes durch eine cylindrische Oberfläche ersetzt denken, welche senkrecht auf dem Schnitte steht. Nun weiss man, dass ein Cylinder zum Maasse das Product aus einer seiner Begrenzungsebenen in das Perpendikel hat, Avelches von dem Schwerpunkte der zweiten Ebene auf die erste gefällt ist; daraus folgt, dass alle durch den Schwerpunkt gehenden Schnitte Cylinder von gleichem Inhalt liefern, und dass folglich die zwischen irgend zwei Schnitten enthaltenen Volumina, von denen das eine sich zu einem der abgeschnittenen Cylinder addirt, das andere sich von ihm subtrahirt, um den andern zu bilden, gleich sind. Der oben ausgesprochene Satz und seine Umkehrung sind einfache Folgen dieses Theorems.

25. Bei einem in der Gleichgewichtslage schwimmenden Körper liegen, wie wir wissen, die Schwerpunkte des Körpers und der verdrängten Flüssigkeit auf einer und derselben Verticalen, und die Gewichte dieser Flüssigkeit und des Körpers sind gleich; verrücken wir denselben unendlich wenig, indem wir allen seinen Punkten endlich kleine Geschwindigkeiten mittheilen, so ist das Gleichgewicht sicher, wenn diese Verrückung immer unendlich klein bleibt, und unsicher im entgegengesetzten Falle; die Aufgabe besteht also darin, diese beiden Fälle von einander zu unterscheiden, was miU telst des Princips der lebendigen Kräfte geschehen kann.

Sei LQM (Fig. 11) der Schnitt der Oberfläche des Körpers mit der Horizontalebene, welche die Flüssigkeit begrenzt, oder die Wasserlinie, ANBI die Lago, welche die ursprüngliche für das Gleich-M gewicht geltende Wasserlinie nach der . Verrückung angenommen hat, LNM'I der Schnitt des Körpers mit der Horizontal-ebene durch den Schwerpunkt C der Fläche ANBI == b, G der Schwerpunkt des Körpers, 0 der Schwerpunkt desjenigen Theils der Flüssigkeit, die durch das Stück ADB

(Fig. 11.)

Jo

/a

!G

un-

\M

1)

— 209

von

wenn

des Körpers verdrängt wird, V das Volumen von ADB oder das einer Flüssigkeitsmenge, deren Gewicht gleich jenem des Körpers ist, A-der Winkel von GO mit der Verticalen, £ der Abstand des Punktes C vom Niveau der Flüssigkeit, die wir zur Ebene der x und y nehmen wollen, GO — a, q die Dichtigkeit der Flüssigkeit und M die Masse des Körpers. Die Kräfte, welche den Körper angreifen, sind die Schwere und der Druck, welcher von der Flüssigkeit auf den eingetauchten Theil der Oberfläche ausgeübt wird. Die erste Kraft wirkt vertical von oben nach unten und ist gleich dem Gewichte Mg oder gg V des Körpers. Die zweite Kraft bringt dieselbe Wirkung hervor, als wenn alle Elemente des eingetauchten Körpertheiles verticalen Kräften getrieben würden', die von unten nach oben gerichtet und gleich den Gewichten dieser Elemente sind, wenn man sie als von der Flüssigkeit selbst gebildet betrachtet. Die Compo-nenten X und Y verschwinden demnach für alle Punkte, und man die Achse der z in dem Sinne der Schwere nimmt, so ist Zt=rzg für alle Elemente des Körpers und ferner Z = — g für die Elemente des eingetauchten Theile, letztere als von der Flüssigkeit gebildet, angesehen. Indem man Z in dieser Weise auffasst, giebt das Princip der lebendigen Kräfte nachstehende Gleichung

j Zdz + C.

1)

Sv² dm = 2 Sdm

Da die Geschwindigkeiten sehr klein angenommen wurden, so ist der erste Theil dieser Gleichung eine unendlich kleine Grösse zweiter Ordnung, und in dem zweiten Theile darf man nur diejenigen Glieder vernachlässigen, welche keinen Einfluss auf das Resultat, haben, d.h. die Grössen von einer höheren als der zweiten Ordnung.

Betrachten wir zunächst die Glieder des zweiten Theils, welche von den Gewichten der Elemente des Körpers herrühren, so erhalten wir

J*Zdz — gz und 2SdmJ Zdz = 2gSzdm — 2gMz₁,

wo zy das z des Schwerpunkts des Körpers bezeichnet. Den eingetauchten Theil können wir als zusammengesetzt betrachten aus dem Theile, der zwischen den horizontalen Schnitten LQM, L'NM' enthalten ist, und dem Volumen, welches unterhalb des letzten Schnittes liegt. Letzteres ist gleich dem Volumen ADB oder V, vermehrt um das Volumen INBM' und vermindert um IND A. Da der Werth von Z hier gleich — g ist, so wird

14

II.

J Zdz =: •— g z.

Bezeichnet ferner da das Element des Volumens, so hat man dm == çda,

und

12dm

zda.

2 gęJ

Es handelt sich also nur noch um die Berechnung des Integrals J zda für die vier Volumina, welche wir in die Betrachtung eingeführt haben.

Da die Verrückung als unendlich klein angenommen wurde, so können die verschiedenen von uns betrachteten Schnitte des Körpers sämmtlich gleich b angesehen werden, und der zwischen den beiden parallelen Schnitten des Körpers enthaltene Tlieil darf als cylin-drisch gelten. Für diesen Theil des Volumens erhält man

J zda =    ;

für das Volumen ADB ist

zda = V (z₁ — a cos fl)

oder für cos & = 1 — | tt²,

zda = Vz

wenn der Punkt 0 über G liegt; im entgegengesetzten Falle würde man das Zeichen von a ändern müssen. Das Volumen INBM' lässt sich in prismatische Elemente zerlegen, deren Kanten vertical und deren Grundflächen die Elemente der Fläche ANSI sind. Sei dl eines dieser letzteren, das in R liegt, RS = u bezeichne das auf IN gefällte Perpendikel und RT die Höhe des Prismas; sein Volumen ist dann — RT dl cos 0, welcher Ausdruck durch n&dl ersetzt werden kann; multiplicirt man denselben mit dem z der Mitte von RT, welches gleich f -j- \u sin & oder bloss £ -f- ist, so erhält man

den Werth von

J*zda in Bezug auf dies Element

nämlich :

u& dl (f +

wobei die Integration dieses Ausdrucks auf die ganze Ausdehnung der Fläche INB zu beziehen ist.

Einen ähnlichen Ausdruck würde- man für die Elemente des Volumens INL A erhalten, mit Ausnahme des z der Mitte des Prismas, weches gleich f — \u% sein würde; und da die Ausdrücke, welche von diesem Volumen herrühren, das Zeichen ändern müssen, so müssen sie von der Form

— u&dl (g •— ^uQ')

sein und man ersieht daraus., dass es genügt, die Summe der Ausdrücke von der Form

a&dl (£ -f- \u&)

in der ganzen Ausdehnung der Fläche ANBI zu bilden, während man u als positiv in dem Theile INB und als negativ in dem andern

betrachtet. Es ist aber I udl =0, weil IN den Schwerpunkt der

^ &² ('

bh²&²

Fläche ANBI enthält, und so bleibt nur — / u²dl übrig. Bezeichnen wir mit bh~ das Integral Ju~d\, das man das Trägheitsmoment der Fläche ANBI in Bezug auf NI nennen kann, so wird der vorige Ausdruck

zdco erhält man

Durch Vereinigung der verschiedenen Theile von

zd co

= \H² + \bh²®² + Vz, — Va + — ,

und die Gleichung l) wird, wegen M = Vq, und indem man den Ausdruck 2ggVa in die Constante einrechnet

2)

Zv²dtn = — gQbÇ² — gg (bh² + a V) &² -f- c ;

zu

liegt der Punkt 0 unterhalb G, so ist, wie schon bemerkt, a in — a verwandeln. Die Constante c wird durch den Anfangszustand bestimmt, und wenn die anfänglichen Geschwindigkeiten Null oder unendlich klein sind, so ist c selbst unendlich klein.

Da also der erste Theil der Gleichung 2) wesentlich positiv bleibt, so ist es der zweite ebenfalls, und folglich müssen die negativen Glieder beständig eine unendlich kleine Summe geben, weil diese weniger als c betragen muss ; diese Bedingung erfordert, dass of und £ unendlich klein bleiben. Man folgert daraus den Satz :

Wennim Zustande des Gleichgewichts der Schwerpunkt des Körpers unterh alb des Schwerpunkts der

14*

ver drängten Flüssigkeit liegt, so bleibt die Orts Veränderung immer unendlich klein und folglich das Gleichgewicht ein sicheres.

Liegt dagegen der Schwerpunkt des Körpers oberhalb des Schwerpunktes der verdrängten Flüssigkeit, so ändert sich die Gleichung 2) in folgende um

2v²dm c=3 >— gçbÇ² — gç ([bh² — a V) &² -f- c.

Obwohl nun c unendlich klein ist, so könnten & und f dennocli aufhören es zu sein, wenn nicht alle Glieder, welche ihre Quadrate enthalten, negativ wären. Es ist also zur Sicherheit des Gleichgewichts die Bedingung

bh²

bh² —

a V > 0 oder a < —

erforderlich , und da bh² sich gleichzeitig mit IN ändert, so muss die vorige Ungleichheit stattfinden, wenn man den kleinsten Werth nimmt, dessen bh² fähig ist, während IN alle Eichtungen um den Schwerpunkt C der Fläche ANBI durchläuft.

DasGleich gewicht kann alsonoch sic her sein, wenn der Schwerpunkt des Körpers über dem der verdrängten Flüssigkeit liegt, nur muss dann die Entfernung dieser beiden Punkte weniger betragen als das kleinste der Trägheitsmomente der Schnittfläche des Körpers mit der Wasseroberfläche in Bezug auf die durch seinen S c h w e rp u n k t gezogenen Geraden, div i d i rt durch das eingeta.uchte Volumen.

Oscillationen eines schwimmenden Körpers.

26. Wir denken uns einen schwimmenden Körper, dessen Gestalt und Dichtigkeit in Bezug auf eine Verticalebene symmetrisch sind, unendlich wenig aus einer seiner sicheren Gleichgewichtslagen entfernt und zwar so, dass seine Ebene der Symmetrie vertical geblieben ist; wir setzen ausserdem voraus, dass die anfänglichen Geschwindigkeiten Null seien. Da Alles, sowohl was die Kräfte als was die Verrückung betrifft, in Bezug auf eine und dieselbe Verticalebene symmetrisch liegt, so erhellt zunächst, dass diese Ebene beständig vertical bleiben muss ; die Stellung des Körpers ist daher in jedem Augenblick bestimmt, wenn man die Lage eines seiner Punkte, z. B. seines Schwerpunkts kennt und ausserdem die Richtung einer

*1 = 1 + Ç —p&.

Das Problem ist also ganz und gar auf die Bestimmung von -9 und f zurückgeführt.

Da der Schwerpunkt G sich so bewegt, als wenn die ganze Masse M in ihm vereinigt wäre und alle Kräfte auf ihn wirkten, so kann man hieraus leicht eine erste Gleichung zwischen 9 und £ ableiten. In der That genügt es, in G zwei verticale Kräfte anzunehmen, die eine gleich Mg und im Sinne der Schwere gerichtet, die andere, in entgegensetztem Sinne wirkend und gleich dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit. Nun sind die Volumina BCM', ACL' gleich, das Volumen LFM ist — V + b£, und sein Gewicht = gg V -f- ggb£, da M qV, so wird die Resultante aller Kräfte durch — ggbt, dargestellt. Man erhält demnach

d~z

M = — ggbt oder

d\ gb .

dt² d. i.

gb

festen Geraden in diesem Körper, etwa derjenigen, welche in dem Zustande des Gleichgewichts die Schwerpunkte des Körpers und der verdrängten Flüssigkeit verband. Behalten wir die Bezeichnungen der vorigen Aufgabe bei, so handelt es sich jetzt um die Bestimmung von 9 und £ (Fig. J2), durch welche Grössen die Lage des Schwerpunkts angegeben wird.

Da nämlich alle Kräfte vertical gerichtet sind, so bewegt sich dieser Punkt auf der Vertical en, welche durch seine Anfangslage geht; man kann ihn daher construiren, sobald der Winkel -9’ und die Entfernung f des Punktes C von dem Niveau der Flüssigkeit bekannt sind. Seine Ordinate FG — z₁ ist leicht zu finden; für GH—l, CH = p, wird nämlich

p sin 9 -f- f,

(Fig. 12.)

Z.I

ii

6/O

'G

JIT/

Ae'

z₁ — l cos 9

oder wenn man die unendlich kleinen Grössen von höherer als erster Ordnung vernachlässigt,

d²9

df~P~dG

Eine zweite Gleichung erhalten wir durch Betrachtung der Rotation

um den als unbeweglich gedachten Schwerpunkt. Da nämlich das Gewicht des Körpers durch die Fixirung des Schwerpunktes aufgehoben ist, so bleibt nur noch die Summe der Momente derjenigen Kräfte zu betrachten, welche von der Flüssigkeit herrühren, und die, wie wir schon bemerkt haben, an allen Punkten des eingetauchten Körpertlieiles wirkt. Das resultirende Moment aller auf den Theil LML'M' sich beziehenden Kräfte, das als positiv betrachtet wird, wenn es den Winkel & zu vermindern strebt, ist

gçbÇ (l sin ff -f- p cos ff),

und kann auf gçbpÇ reducirt werden. Hierzu muss man die Momente, welche von ADB, M’CB herrühren, hinzufügen und davon dasjenige abziehen, was von ACL' herkommt. Nun ist die Resultante der verticalen Kräfte, welche an alle Punkte des Volumens ABB in 0 angebracht sind, gleich gq V, das resultirende Moment mithin s= gqVa sin ff oder ggFaB. Zerlegen wir jetzt das Volumen M CB wie in der vorigen Aufgabe, so wird das Moment des Prismas, dessen Grundfläche dl ist, durch den folgenden Ausdruck gegeben, in welchem u den Abstand des Elements dl von dem auf die Ebene der Symmetrie durch C gefällten Perpendikel bezeichnet,

gg&ti dl (l sin ff -f- p cos ff + u cos ff),

oder bloss

gç&u (p + u) dl,

und man hat die Summe der analogen Ausdrücke, auf die ganze Ausdehnung der nach CB projicirten Fläche bezogen, zu bilden.

Was das Volumen ACL betrifft, so muss man in allen seinen Punkten Kräfte voraussetzen, welche in dem Sinne der Schwere gerichtet sind ; das Moment eines Elementes dl ist

gę&u-(p—u) dl,

wo u diejenigen Abstände bezeichnet, welche in entgegengesetztem Sinne mit u genommen werden müssen. Wenn man also die Inte-.gration von

gg&u (p -f- u) dl

über die ganze Fläche b ausdehnt, während man u als positiv auf der einen und als negativ auf der anderen Seite von C betrachtet, so erhält man die algebraische Summe der den beiden Theilen M'CB, ACL' entsprechenden Momente, nämlich:

go&p j udl -f- gęd-J i

u-dl.

Nun ist

J udl = O, weil der Schwerpunkt der Fläche b auf der in

C proj^cirten Geraden liegt; setzt man noch

u²dl e=3 bh²,

so reducirt sich der letzte Ausdruck auf

gb Q&h².

Durch Vereinigung aller Momente ergiebt sich gçbpÇ + gę (bh² + aV) ff;

wobei a in —a zu verwandeln ist, wenn der Punkt 0 unterhalb

G liegt.

Zufolge der Theorie der Bewegung um eine feste Achse ist die obige Summe

d²&

— — Mk² —

.di²

Mk² das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die Gerade bezeichnet, welche senkrecht auf der Ebene der Symmetrie durch den Schwerpunkt gelegt ist; ersetzt man daher M durch qV, so ergiebt sich

wenn

2)

d²ff

dt²

+ #? + wdbh2 + «n» = o-

Die Gleichungen l) und 2) enthalten die vollständige Lösung der Aufgabe; sie beziehen sich auf den Fall, wo in der Gleichgewichtslage der Schwerpunkt des Körpers unter dem der verdrängten Flüssigkeit liegt; bei der umgekehrten Lagerist nur das Vorzeichen von a zu ändern.

27. Wir wollen die betreffende Gleichung zunächst unter der Voraussetzung integriren, dass der Körper ausserdem noch symmetrisch zu der Ebene liegt, welche senkrecht auf die erste durch GO geht, was bei Seefahrzeugen näherungsweis vorkommt. Es ist dann p — 0, und die Gleichungen werden:

crv>

dt²

Diese Gleichungen können unabhängig von einander integrirt werden, man findet

Ç t=. a cos

/? COS

i~l/:g(bh2+ JcV v

a V)

+ ß' •

Nimmt man der Einfachheit wegen die anfänglichen Geschwindigkeiten der Null gleich, so ist für l = 0,

dt

d&

— = 0 und — = 0, dt    dt ’

woraus </ = 0 und ß' = 0 folgt; demnach sind die Werthe von und t

3)

gv

g (bh² + a V)

F,

wo a und ß die Änfangswerthe von f und & bedeuten; man sieht, dass af und £ beständig sehr klein bleiben, weil sie höchstens gleich den sehr kleinen a und ß werden können.

Wegen zx = l -f* £ ist die Bewegung des Schwerpunktes G dieselbe wie die verticale Bewegung des Punktes C. Diese Bewegungen , so wie jene der Geraden GO um den Punkt G sind die nämlichen # wie die Bewegungen einfacher Pendel. Liegt der Punkt G über 0, so wird

9 = ß cos .

\rC

t -j/g (bh²~avy

und wenn dabei bh² —    0 ist, so bleibt -fr immer kleiner als ß,

also überhaupt sehr klein.

Für bh²— aV<C 0 ist & durch Exponentialgrössen auszudrücken und erhält ansehnliche Werthe, wenn t unendlich wächst. Die Bedingung der Sicherheit des Gleichgewichts ist also bh² •— a F j> 0, wenn G über 0 liegt; dieselbe Bedingung haben wir schon allgemeiner als nothwendig gefunden.

28. Um die Gleichungen 1) und 2) zu integriren, hat man zuerst

d²&

—J- aus der ersten zu eliminiren, wodurch sich ergiebt

dH , bg (p² + k²)    , gp {bh² + « F) n

_ ₊ -^--+-=--^ =

Vk²

Vk²

Setzt man zur Abkürzung

so nehmen die zu integrirenden Gleichungen folgende Formen an :

dH

d²&

w+K + ß»^o.

Wir wollen die zweite mit einem unbestimmten Factor A multiplici-ren und sie zur ersten addiren, ferner

t+ W =    = i

ß + Ad

setzen, woraus dA² + (ß — ß) A — ßp = 0 folgt; wir erhalten so

-f- (ß + Ad) x — 0,

drx

dt²

woraus

c cos (J Y ß + Ad) , wenn die Anfangsgeschwindigkeiten Null sind.

Wir bezeichnen mit A₁, A₂ die beiden Wurzeln der Gleichung für A, setzen dieselben als reell voraus und zwar so, dass a + Ad positiv ist, ohne welche Bedingung x nicht immer sehr klein bleiben würde, und erhalten

4)

5 + Ai & = c cos (t j/a    Atd),

1 £ + A₂ — c cos (t ]/a    A₂d),

woraus die Werthe von und f als Functionen von t und von den Constänten c, c, welche sich durch die Anfangswerthe von und f bestimmen, leicht abzuleiten sind.

29.

bg (p² + k²)

Vk²

— 217 —

„ gibV + aV) 0 Vk² ~P’

gbp

Vk²

Trägt man von C aus auf die Gerade AB zwei den Grössen Aj, A₂ gleiche Strecken auf, und zwar nach der einen oder andern Seite je nach den Vorzeichen von Aj und A₂, so erhält man zwei Punkte, deren Abstand vom Niveau der*Fltissigkeit durch

f -j- A^ und f -f- Aj-ü¹

ausgedrückt werden; zufolge der Werthe dieser Ausdrücke als Functionen von t ist die verticale Bewegung jedes dieser Punkte dieselbe wie die eines einfachen Pendels, was zuerst von Cauchy bemerkt wurde.

30. Die Gleichung dl² -j- (u •—■ ß) A •—• ßp = o liefert reelle und mit entgegengesetztem Zeichen versehene Wurzeln, wenn G unter 0 liegt, weil ß und d positiv sein müssen. Um das Zeichen von a -f- Ad zu erkennen, kann man a -J- Id = v setzen und erhält

CQ_

7]² — (a -f ß) 7] -f

eine Gleichung, deren Wurzeln positiv sind; der Werth von x besitzt daher in derThat die angenommene Form und die Verrückung bleibt unendlich klein.

Wenn G über 0 liegt und zugleich bh² •—■ aV > 0 ist, so bleibt ß positiv und die beiden Wurzeln sind reell von entgegengesetztem Zeichen; man findet ferner « -j- Ad >> 0, und die Verrückung bleibt immer unendlich klein, wie es sein musste, weil die Bedingung der Sicherheit des Gleichgewichts erfüllt ist. Wenn dagegen G über 0 liegt und bh² — «F< 0 ist, so wird ß negativ, und der eine der Werthe a -f- Ad ist gleichfalls negativ; die Werthe für & und £ enthalten dann Exponentialgrössen und bleiben nicht mehr sehr klein, so dass die vorigen Rechnungen zu gelten aufhören. In der That entspricht dieser Fall der unsicheren Gleichgewichtslage, wie schon auf anderem Wege gezeigt wurde.

31. Die Gleichungen 3), welche sich auf den Fall beziehen, dass der Körper gegen zwei Ebenen symmetrisch liegt, zeigen, dass dem Anfangswerthe £ = 0 der Werth «=0 zugehört und dass folglich £ beständig Null ist. Dann bleibt der Schwerpunkt unbeweglich, und es findet nur eine Rotation um eine durch diesen Punkt gehende Achse statt; ferner bleibt das Volumen des verdrängten Wassers constant, weil der Punkt C sich immer in der Oberfläche des Wassers befindet.

Die Gleichungen 4), welche sich auf eine einzige Ebene der Symmetrie beziehen, beweisen, dass, selbst wenn der Anfangswerth von £ Null wäre, wie in dem Falle wo das Volumen des verdrängten Wassers nach der Verrückung gleich V würde, nicht beständig £=0 sein muss, und dass folglich das eingetauchte Volumen nicht gleich V bleibt.

32. Bei den früheren Untersuchungen über die Sicherheit des Gleichgewichts schwimmender Körper betrachtete man gewöhnlich einen besonderen Punkt, welchen man das Metacentrum nannte, und dessen Definition wir hier geben wollen, weil man noch heutzu-tage^Gebrauch'von ihm macht.

Wenn ein in Beziehung auf eine Vertical ebene symmetrischer Körper unendlich wenig aus seiner Gleichgewichtslage verrückt wird, so steht er unter dem Einflüsse seines Gewichtes und des Druckes.der Flüssigkeit, welcher letztere sich auf eine verticale Kraft durch den Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit» reducirt. Die Richtung dieser Kraft kann die Gerade GH ebensoAvohl oberhalb als unterhalb G schneiden; liegt der Durchschnitt über (?, so wird der Körper seine erste Lage wieder einzunehmen suchen, fällt er unter G, so wird der Körper sich von der Gleichgewichtslage zu entfernen streben. Daraus schloss man, dass das Gleichgewicht in dem ersten Falle stabil und in dem zweiten labil sein würde. Jenen Durchschnitt, das sogen. Metacentrum, bestimmte man unter der Voraussetzung, dass das Volumen der verdrängten Flüssigkeit demjenigen gleich wäre, welches sich auf die Gleichgewichtslage bezog, oder dass man wenigstens seinen unendlich kleinen Zuwachs vernachlässigen dürfe, ohne dass daraus ein Fehler auf die Bestimmung des Durchschnittes beider Geraden hervorginge.

Diese Theorie ist mangelhaft, weil das unendlich kleine Volumen, welches man vernachlässigt, trotz dem, dass es den Schwerpunkt der Flüssigkeit nur unendlich wenig verrückt, dennoch um eine endliche Grösse die Lage des Durchschnittes der beiden Geraden ändert, welche einen unendlich kleinen Winkel mit einander bilden¹). Man müsste also die verschiedenen Lagen dièses Punktes während der Bewegung des Körpers verfolgen, was erst nach der Lösung des Problems geschehen kann. Aber selbst bei sicherem Gleichgewichte liegt der fragliche Durchschnitt bald über bald unter dem Schwerpunkte des Körpers, ausgenommen in dem besonderen Falle, wo die Gerade GO durch den Schwerpunkt des Niveauschnittes geht. Hätte man diess gewusst, so würde man einen Beweis aufgegeben haben, welcher zugleich die Sicherheit und die Unsicherheit des Gleichgewichts nachwies. Nichtsdestoweniger ist es merkwürdig, dass jener Durchschnitt, welchen man bei der ungenauen Voraussetzung bestimmte, die wirkliche Bedingung der Stabilität liefert. Die Wirkungen der Verrückung dieses Punktes auf der Geraden GH nach beiden Seiten von G hin können den Körper nur dann umwerfen, wenn das Metacentrum unterhalb G liegt. Diess lässt sich aber nur durch eine der unsrigen ähnliche Betrachtung nachweisen.

33. Anwendung auf das Ellipsoid. Wir wollen zuerst die Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichts eines homogenen Ellipsoids suchen, welches in einer Flüssigkeit schwimmt und unendlich wenig aus seiner Gleichgewichtslage verrückt wird; dabei mögen A, B, C (Fig. 13) die drei Halbachsen des Ellipsoids sein, D

(Fig. 13.)

A'

bezeichne, seine Dichtigkeit, G den Mittelpunkt, 0 den Schwerpunkt des eingetauchten Theils LMA, welcher nothwendig unterhalb G liegen muss ; die verticale Achse sei 2A und B^> C, im Uebrigen wollen wir -alle früheren Bezeichnungen beibehalten. Die Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichts ist bh² > «F, wo bh² das Trägheitsmoment der Schnittfläche LM in Bezug auf die durch ihren Mittelpunkt gelegte Gerade bezeichnet, welche das Minimum des Moments giebt. Diese Gerade ist die grösste der beiden Hauptachsen der Ellipse und liegt der Achse 2i? parallel. Bezeichnen wir AB mit x, so dient zur Bestimmung dieser Unbekannten die Gleichung

1)

i^-³— (3A — x) x²j

Q

sie drückt aus, dass das GeAvicht des Ellipsoids dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit gleichkommt, deren Volumen ist

T_ tcBC ,    .    ,    ₉

v = J2² (3^ — ») *²-

Der Satz über die Momente lässt unmittelbar den Werth von ciV erkennen, nämlich

aV

ttBÜ

4 A²

(2 Ax — x²)².

Die Halbachsen des Schnittes LM sind

ßq

2Ax — x~ und —

%4x—.r²;

die erste liegt der Achse ‘IB parallel, die zweite und kleinere der Achse 2C. Nun ist das Trägheitsmoment einer aus den Halbachsen a und ß construirten Ellipse, in Beziehung auf die Achse ß, = i7tct³ß, mithin besitzt das kleinste Trägheitsmoment der Fläche LM den Werth

nBC³

(2Jx — a?²)²,

4 A⁴

und die Bedingung für die Stabilität des Gleichgewichts besteht 0 darin, dass dieser Ausdruck grösser als a F sein muss; nach Weglassung der gemeinsamen Factoren folgt daraus

C² > A² oder C > A ;

und da schon B > Gwar, so reducirt sich die Bedingung der Stabilität darauf, dass die kleinste Achse des Ellipsoids vertical stehen muss.

34. Hiernach können wir die Schwingungen des Ellipsoids unter der Voraussetzung bestimmen, dass die Ebene der Achsen 2A und 2C' vertical bleibe , und dass zugleich A •< C sei.

Zunächst hat man die Gleichung l) aufzulösen ; sie besitzt, wie man leicht erkennt, nur eine positive Wurzel zwischen 0 und 2A, welche sich gerade auf unsere Aufgabe bezieht. Durch diese Wurzel wird zugleich a bekannt, ebenso die Fläche b des Schnittes LM und sein Trägheitsmoment bh², dessen Werth

7tBC‘d 4^⁴

ist. Die Gleichungen der Bewegung des Ellipsoids sind demnach

£ = 0,

d²& . 5.3Qg (C²—A²) (k2Ax — x²)²    __

16 DAh(C² + A²)

In dem besondern Falle q == 2B wird x = A, und die Gleichungen der Bewegung nehmen folgende Form

dt² ^ 8A (C² + A²)

Wäre noch C — 3A, so würden beide Bewegungen, die fortschreitende und rotirende, in derselben Periode vor sich gehen.

(2 Ax — x²)²

d²t    3gg (2Ax — x²)

dt²

4 ÂdB

TW +

dt²

an :

¹

Journal de l’Ecole Polytechnique XXIV. Heft,

Viertes Capitel.

Das Gleichgewicht elastischer Flüssigkeiten.

Gleichgewicht eines Gemisches von schweren Gasen.

35. In einem verticalen unendlichen Cylinder, der an seiner auf der Erdoberfläche stehenden Basis geschlossen ist, denken wir uns mehrere schwere Gase enthalten; die Temperatur in der ganzen Ausdehnung des Cylinders betrachten wir als constant und die Schwere als veränderlich nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung vom Mittelpunkte der Erde aus. Nun hat die Erfahrung gezeigt, dass mehrere Gase, welche in einem und demselben Gelasse eingeschlossen sind und keine chemische Wirkung auf einander ausüben, sich nicht, wie Flüssigkeiten, nach der Reihenfolge ihrer Dichtigkeiten über einander lagern, sondern dass jedes von ihnen sich ebenso vertheilt, als wenn es allein in dem Gefässe wäre, und dass endlich an jeder Stelle der Mischung der Druck und die Dichtigkeit die Summe von den Spannungen und Dichtigkeiten ausmacht, welche jedes dieser Gase für sich besitzen würde.

Sind p und q' der Druck und die Dichtigkeit eines jener Gase für irgend einen Werth von z, p₀' und ihre Werthe für z = O, g die Schwere an der Oberfläche der Erde, so gilt wegen der überall gleichen Temperatur das Mariotte’sche Gesetz p — k'g , wobei k' eine Constante bezeichnet; ferner hat man, unter r den Erdhalbmesser verstanden,

0, Fi=0, Z —

gr-

(r +z)

2’

mithin

dz

dp' = — Q gr~

gr2

dp'

dz

P

woraus durch Substitution von —>

k'

für q folgt

P

durch Integration von z != 0 an und hei gehöriger Réduction erhält

man

Po

₌__9Ji Z

k' r -j- z¹

P — Po e

_ fjr < z k' r z

endlich

_ gr

9 — 9o e

k'

Ebenso ist für ein anderes Gas

_gr ' z k" r -j- z

= 9o" c

_9J\, .    ;

k" r -j- z

p" — Po" e

u. s. w. Der Druck p und die Dichtigkeit q, welche in irgend einer Höhe nach Mischung der verschiedenen Gase stattfinden, sind nun dem Vorigen zufolge

P = Po e

+ Po" e

_!F t _£_

k' r -f- z

_gr_ _ X

k" r -f- z

_gr z k" r Ą- z

i    "

+ 9o e

_ gr < z k' r -(- z

9 — 9 o e

Die verschiedenen Gase sind übrigens in verschiedenen Höhen nicht genau in denselben Verhältnissen gemischt, denn die Grössen ç> 7 q , . . . verhalten sich zu einander nicht wie p₀,    . . ., wofern

nicht die Coëfficienten k', k", . . . gleich sind, was im Allgemeinen nicht stattfindet; da aber diese Coëfficienten meistens grosse Zahlen-werthe besitzen, so wird die Aenderung des Verhältnisses der Gase erst in beträchtlichen Höhen merklich.

Die barometrische Höhenmessung.

von

36. Wir denken uns die Atmosphäre im Gleichgewicht befindlich und als fest, mit Ausnahme eines verticalen Cylinders, der sich der Oberfläche der Erde bis zu einer unbegrenzten Höhe er-

hebt; die Beschaffenheit der Luft iij seinem Innern ist dann dieselbe wie in der übrigen Atmosphäre, von der wir nun absehen können. Berechnen wir den Druck der Glase in diesem Cylinder als Function der Höhe , so führt die Kenntniss des Druckes in einem beliebigen Punkte zur Kenntniss der Höhe dieses Punktes; jener Druck aber kann mittelst des Barometers bestimmt werden, wenn man einigen begleitenden Umständen Rechnung trägt.

Wir setzen zunächst voraus, dass die Schwere nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung vom Mittelpunkte der Erde variire, ohne die geringe von der Centrifugalkraft herrührende Aenderung zu beachten, und nennen g die Intensität der Schwere am Fusspunkte des Cylinders, r den Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkte der Erde, und g die Schwere in der Entfernung r -f- z, nämlich

gr'l

(r -j- z)

ist ferner ff die Temperatur eines Gases, a der Ausdehnungscoëf-ficient für die Temperaturerhöhung von 1 Centesimalgrad, und k ein für ein und dasselbe Gas constant bleibender Coefficient, so gilt die Gleichung:

p — kg (l -f- aff).

/

Dieselbe Formel ist offenbar auf ein Gemisch von mehreren Gasen oder Dämpfen von unveränderlichen Verhältnissen anwendbar, wenn der Coefficient k einen gewissen Mittelwerth ZAvischen denjenigen Werthen erhält, welche sich auf die einzelnen Gase beziehen; einen solchen wollen wir für die Luft nehmen, weil die Erfahrung gezeigt hat, dass das Verhältniss der -in ihr gemischten Gase an der Erdoberfläche und in den grössten bekannten Höhen dasselbe ist. Hinsichtlich des Wasserdampfes, dessen Menge in einigermaassen beträchtlichen Höhen sehr gering wird, muss man annehmen, dass er ein constantes Verhältniss zulässt, welches ein Mittelwerth zwischen denjenigen Werthen ist, welche man an den beiden Grenzpunkten beobachtet hat, deren Höhenunterschied gemessen werden soll.

Der Coefficient a ist fast für alle Gase und Dämpfe derselbe = 0,00366; da aber die in der Luft enthaltene Dampfmenge mit der Temperatur wächst, und unter demselben Drucke der Dampf eine geringere Dichtigkeit als die Luft besitzt, so muss bei einer Temperaturerhöhung die Dichtigkeit der Luft etwas rascher abnehmen, als es die vorige Formel angiebt. Diesen Umstand berücksichtigt man durch eine Vergrösserung des Coefficienten or, man nimmt ihn desshalb gewöhnlich = 0,004.

In der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts der Flüssigkeiten ist nun

X — 0, F=0, Z = — g

zu nehmen, dadurch wird

dp —

q gr² dz

(r + z)

oder wenn man p durch seinen Werth als Function von p ersetzt,

dp

gr ²

dz

k (L -f- a#) (r -j- z)²

Die Temperatur # ändert nach einem unbekannten Gesetze mit der Höhe, man giebt ihr desshalb einen constanten Werth, welcher gleich ist dem Mittel aus den Temperaturen der beiden Endpunkte. Somit liefert die vorige Gleichung durch Integration ihrer beiden Theile

Ip

gr²

k (l -j- er#) (r + z) wo C eine willkürliche Constante bezeichnet; man bestimmt sie mittelst der an der unteren Station beobachteten Grössen. Sind nämlich z₀ und p₀ die Werthe von z und p an diesem Punkte, so ist

lp₀ =

gr²

k (l + ce&) (r + z₀) und durch Subtraction beider Gleichungen

gr² .

k (l -f- ad) (r + z₀) r + z

Die verticale Höhe der zweiten Station über der ersten sei Z = z — z₀, und r -j- z₍₎ ~ R, es ist dann

1)

gr²

kR (l -j- a#) R -j- Z

Sind t₀ und l die Temperaturen der Luft an den beiden Stationen so ist"# = \ (;t₀ + t) zu setzen ; der Einfachheit wegen möge aber die Bezeichnung # beibehalten werden.

Das Verhältniss — kann mittélst der barometrischen Höhen P

ausgedrückt werden, welche den Drucken p und p₀ entsprechen, vorausgesetzt, dass man das Quecksilber auf eine und dieselbe Temperatur zurückgeführt hat, und dass man auf die Aenderung der Schwere von einer Station zur andern Rücksicht nimmt. Bezeichnet man nämlich mit D die Dichtigkeit des Quecksilbers bei 0°, mit A0 und h die barometrischen Höhen, welche an den beiden Stationen gemessen und auf eine und dieselbe Temperatur, etwa 0°, zurückgeführt sind, endlich mit g₀ und g die Werthe der Schwere an diesen Stationen, so hat man die Beziehungen

Po=9oDho, P = 9 Eh und folgert daraus

(E + Z)

Pr

Nach Substitution dieses Werth es in die Gleichung l) kann man die natürlichen Logarithmen durch die gewöhnlichen ersetzen, Avobei der Modulus 0,4242945 mit M bezeichnet werden möge; es ist dann

2)

z=*⁽¹    -[,os (t) +² ,og (‘ + )](¹ + i)'

37. Die Correction für die Ablesungen des Barometers ist sein-leicht und erfordert die gleichzeitige Beobachtung des Barometers und eines mit demselben verbundenen Thermometers; die abgelese-Barometerstände mögen Hü und H, die entsprechenden Ther-

nen

mometerliöhen d. h. Quecksilbertemperaturen TQ und T heissen. Da sich das Quecksilber bei einer Temperaturerhöhung von 1 °C. um

- seines Volumens ausdehnt, so stehen seine Dichtigkeiten bei

5550

T

den Temperaturen 0 und T₀ in dem Verhältnisse von 1 -j-

Einheit. Der Luftdruck wird durch das Gewicht einer Quecksilbersäule gemessen, Avelche die Flächeneinheit zur Basis und den Barometerstand zur Höhe hat, so dass diese Höhe bei demselben Drucke der Dichtigkeit des Quecksilbers umgekehrt proportional ist. Demnach hat man zAvischen 7T₀ und Ä₀, H und h folgende Beziehungen

zur

7/₀ Ä₀ ( 1 +

5550

n)

und H = hy 1 -J-

5550

woraus folgt:

1 -\--T

5550

5550

*o,

oder wenn man bloss die erste Potenz von

5550

berücksichtigt,

K __

T,~_

5550

Demgemäss kann man A₀ — H₍₎ nehmen und h durch den Ausdruck

b( 1 +

-r)

To-

5550 ersetzen. Der Einfachheit wegen wollen wir die Grössen h₀ und A, welche jetzt aus den Beobachtungen an beiden Stationen bestimmt sind, beibehalten.

Für die Formel 2) bleibt noch eine zweite Correction übrig, welche sich auf die geographische Breite des Beobachtungsortes bezieht. Da wir nämlich mit g die Schwere an der Pariser Sternwarte (g = 9,80896) bezeichnet haben, so würde die obige Formel nur für Beobachtungen an diesem Orte gelten; für andere Orte ist g durch 1 — 0,002588 cos 2t/>

⁹ 1 — 0,002588 cos 2%

zu ersetzen, wo die Breite des Beobachtungsortes und die von Paris bezeichnet.

Nach diesen Substitutionen enthält die Gleichung 2) auf der rechten Seite noch einen Zahlencoöfficienten, den man ebensowohl direct berechnen als aus der Gleichung selbst ableiten kann, wenn man in dieselbe für z einen aus trigonometrischen Messungen bekannten Werth substituirt. Beide Methoden liefern fast dasselbe Resultat; wenn man ferner annimmt, dass die erste Station dem Niveau des Meeres sehr nahe liegt, also z₀ — 0, R = r, Z=z ist, so erhält man nach Bestimmung jenes Coefficienten die Formel

3)    2 =

18336“ (1 -F

1 — 0,002588 cos 2^ L

log

38. Um den Werth von z zu berechnen, setzt man zuerst für und f ihre durch die Beobachtungen gegebenen Werthe ein, und indem man die abkürzende Bezeichnung

18336m (1 -f a&) 1 — 0,002588 cos

einführt, ergiebt sich

¹ = [%(t) + 2 l°o (> + 7)] (' + 7)

Durch Vernachlässigung von Näherungswerth

'S I *

gegen 1 erhält man einen ersten

zi = A log

ein zweiter z₂ ergiebt sich dadurch, dass man zx in den zweiten Theil von z substituirt, nämlich

*2 = A [l°9 ( /f) + ² % (' + 7)] (i + 7)*

Diese auf einander folgenden Annäherungen könnte man beliebig weit fortsetzen, für gewöhnlich aber giebt schon z₂ eine hinreichende

%

Genauigkeit. Man kann auch den sehr kleinen Bruch — in Formel 3) ganz vernachlässigen, wenn man gleichzeitig den Coefficienten 18336 etwas vergrössert. Kamond hat zu diesem Zweck eine grosse Zahl Beobachtungen im südlichen Frankreich angestellt und gefunden, dass dann die Zahl 18336 durch 18393 zu ersetzen ist; da in den dortigen Breiten cos beinahe Null war, so gebrauchte er die einfache Formel

&)■

18393 (1 + log

die in der Nähe der Breite von 45° gewöhnlich angewendet wird.

Es hat sich übrigens bei neueren Untersuchungen gezeigt, dass die Uebereinstimmung zwischen den barometrischen und den trigonometrischen Höhenmessungen nicht so gross ist, als man bisher glaubte (vergl. A. J. Pick, Ueber die Sicherheit barometrischer Höhenmessungen. Sitzungsberichte der Wiener Akademie v. J. 1855), was vorzugsweise seinen Grund in der Unkenntniss des Gesetzes haben mag, wonach die Temperatur mit der Höhe abnimmt. Man wird daher wohl tlmn, den barometrischen Messungen bedeutenderer Höhen kein zu grosses Vertrauen zu schenken.

Fünftes Buch.

Dynamik flüssiger Körper.

Erstes Capitel.

Der AusÜuss von Flüssigkeiten aus Gefässen.

Die Grundgleichungen der Hydrodynamik.

1. Um sich eine genaue Vorstellung von dem allgemeinen Probleme der Hydrodynamik zu bilden, muss man voraussetzen, dass für einen bestimmten Augenblick, den man zum Anfangspunkte der Zeitzählung nehmen kann, die Lage aller Molecüle, aus denen die Flüssigkeit besteht, und ihre Geschwindigkeiten bekannt sind, ebenso die äusseren, auf alle Punkte der Flüssigkeit wirkenden Kräfte und die sonstigen Bedingungen, welche sich auf ihre Grenzen nach allen Seiten hin beziehen. Die Aufgabe der Hydrodynamik ist dann, die Bewegung eines jeden Molecüls insbesondere zu bestimmen, also seine drei Coordinaten als Functionen derZeit darzustellen , sowie den Druck und die Dichtigkeit in einem beliebigen Punkte und für jeden Augenblick anzugeben. Die Coordinaten x, y, 2 eines bestimmten Molecüls sind zwar Functionen der Variabein t allein, aber diese Functionen ändern sich von einem Molecül zum andern und hängen folglich von den Coordinaten a, b, c des Punktes ab, in welchem sich das betrachtete Molecül im Anfänge der Bewegung befand. Man kann also x, y, z als Functionen der vier unabhängigen Variabein a, b, c, t ansehen, und wenn man die allgemeine Form dieser drei Functionen finden kann, so ist die Bewegung eines beliebigen Molecüls von seiner Anfangslage an genau bestimmt.

2. Wenn das Problem gelöst wäre und jene drei Functionen von a, b, c, t bekannt wären, so könnte man daraus a, b, c als Functionen von x, y, z, t ableiten; demnach darf jede Function der unabhängigen Variabein «, ö, c, t als Function der vier unabhängigen Variabein x, y, z, t betrachtet werden. So kann man z. B. die Com-zu setzen, nach Substitution der Werthe von u, v, rv würde man drei Differentialgleichungen zwischen x, y, z, t und durch Integration derselben x, y, z als Functionen von tausdrücken, wobei schliesslich die drei Integrationsconstanten aus den Anfangswertlien von x, y, z herzuleiten wären.

bezeichnen, weil sie sonst mit den partiellen Differen-

dx

dz

der Geschwindigkeit eines

Punktes der Flüssigkeit, als abhängig von x, y, z, 1 ansehen, weil sie zuletzt von a, b, c, t abhängig sind; dies begreift man übrigens a priori, denn für irgend einen Punkt der Flüssigkeit, dessen Coor-dinaten x, y, z constant bleiben, ändern sich die auf diesen Punkt bezüglichen Grössen u, v, rv mit der Zeit und sind folglich Functionen von t. Lässt man ferner y, z, t constant und variirt x, betrachtet man also für einen und denselben Zeitpunkt die verschiedenen Punkte einer zur Achse der x parallelen Geraden, so ändern sich die Grössen u, v, rv und sie sind desshalb Functionen der unabhängigen Variabein x u. s. w. Daraus folgt, dass u, v, rv Functionen der vier unabhängigen Variabein x, y, z, t sind; dasselbe gilt für jede Function von a, b, c, t.

Die Auflösung des vorliegenden Problèmes besteht offenbar darin, dass man u, v, rv als Functionen von x, y, z, t bestimmt; denn um die Bewegung eines Molecüls insbesondre kennen zu lernen, hätte man nur x, y, z als Functionen von t zu betrachten und

ponenten u =

dt'

rv =

dt

dx

dz

dt

— v, ~ rv ' dt

3. Die Gleichungen der Bewegung der Flüssigkeiten. Im Folgenden bezeichnen Xdm, Ydm, Zdrn die Componen-ten der an das Moleciil mit der Masse dm angebrachten Kraft, u, v, rv die Componenten seiner Geschwindigkeit und udt, v dt, rv dt die Zunahmen, welche u, v, rv erleiden, wenn sich t um dl, mithin jede der Coordinaten um ihr Differential und in Folge dessen auch jede der Grössen u, v, rv ändert; dabei darf man u, v, rv nicht durch du dv drv dt ' dt ’ dt

tialquotienten von u, v, rv nach t verwechselt werden könnten, endlich sei p der Druck und q die Dichtigkeit, welche mit x, y, z, t va-riiren können. Zunächst lassen sich drei Gleichungen der Bewegung der Flüssigkeit mit Hülfe des d'Alembertschen Princips bilden, indem man beachtet, dass die Flüssigkeit im Gleichgewicht sein muss, wenn ein beliebiges Molecül dm durch eine Kraft angegriffen wird, deren Componenten sind

(X —- u)dm, ( Y — v')dm, (Z — ?v)dm,

woraus folgende drei Gleichungen hervorgehen

's

!i

's

Um die Ausdrücke für u, v, m zu erhalten, muss man beachten, dass ?<, v, m so differentiirt werden müssen, dass man x, y, z als die Functionen von t betrachtet, welche sich auf die Bewegung des Molecüls dm beziehen, und dass folglich die Wertlic der Incremente von x, y, z, welche dem Incremente dl der Zeit entsprechen, folgende sind:

dx = u dt, dy = v dt, dz — wdt.

Hiernach erhält man

dt

dv

dv

Ft

-j- u -e— -j- v

dx

dv

dy

-f- w

dv

Fz’

'S

§ | SO

ci !oi

5 ! Si

Ci ICi

§ ! U

Ci ICi

und die drei vorigen Gleichungen werden

1)

1 dp q dx

1 dp

Qdy

1 dp

o dz

du

di

du

du

du

du

u dx V dy W dz ’

du

du

dv

* dm

~~'Udx~~'V dy ~ W dz'

dm

dz

dm

dm

Diese drei Gleichungen genügen nicht zur Bestimmung der fünf Functionen p, q , u, v, m\ es sind noch zwei andre Gleichungen nöthig, wofern q nicht constant bleibt, in welchem Falle nur noch eine aufzustellen wäre. Wir wollen jetzt sehen, wie man diese Gleichungen aus der Bedingung, dass die Flüssigkeit ihre Continui-tät behält, ableiten kann.

— 234

4. Denken wir uns den von der Flüssigkeit eingenommenen Raum in unendlich kleine Parallelepipede dx dy dz getlieilt, so müssen dieselben nach der Zeit dt noch von der Flüssigkeit erfüllt sein, und nur bei denen, welche sich an der freien Oberfläche befinden, brauchte diess nicht gerade stattzulinden ; dennoch muss die Zunahme der Dichtigkeit in jedem Theilchen dem Zuwachse der darin eingeschlossenen Masse, dividirt durch das Volumen, gleicli-kommen. Um diese Bedingung auszudrücken, bestimmt man den Ueberschuss der Masse von Flüssigkeit, welche zu irgend einem Theilchen hinzugetreten ist, über diejenige Masse, welche während der Zeit dt herausgetreten ist.

Wir bezeichnen mit x, y, z (Fig. 14) die Coordinaten der Ecke M

(Fig. 14.)

t/m—y*

R

dieses Parallelepipedes, mit x-{-dx, y dy, z + dz die Coordinaten der gegenüberstehenden Ecke S, mit n, v, w dieComponenten der Geschwindigkeit des in M gelegenen Punktes nach derZeit t, und mit q die Dichtigkeit in ___ diesem Punkte in demselben Augen-X blicke. Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich stetig; wenn also Flüssigkeit durch eine Seitenfläche eintritt, so geht andererseits Flüssigkeit durch die gegenüberstehende Seitenfläche heraus, und wenn man den Ueberschuss der ersten Quantität über die zweite in Bezug auf die drei Paare paralleler Seitenflächen berechnet, so giebt ihre Summe den Zuwachs an Masse, welchen das Parallelepiped empfangen hat. Wir wollen zunächst die Seitenfläche MPQR und die zu ihr parallele betrachten. Wenn q und u in der ganzen Ausdehnung einer jeden constant wären, so würde die durch die erste eingetretene Masse sein

qu dy dz dt,

und die durch die zweite herausgetretene

d (qu)

dx

dx

J dy dz dl ;

dx dy dz dt.

der Ueberschuss wäre demnach d (qu)

dx

Nun darf man aber annehmen, dass g und u in der ganzen Ausdehnung einer Seitenfläche constant sind; denn wenn man zwei Punkte T, V betrachtet, welche in den beiden Seitenflächen auf derselben Achse der x parallel gehenden Geraden liegen, so übertrifft der Unterschied der Werthe von gu in diesen beiden Punkten den Unterschied der Werthe von gu in den Punkten M und N nur um eine in Bezug auf ihn selbst unendlich kleine Grösse, weil es genügen würde, . in diesem letzten die Coordinaten von M durch die von T zu ersetzen, um die Ausdrücke des ersten zu erhalten.

zur

Ebenso ist der Uebersclmss der durch die beiden Flächen dxdz, dxdy eingetretenen über die durch die Gegenflächen ausgetretenen Massen

3(qv)

dy

dx dy dz dt, —*

d (QW)

dx dy dz dt.

Dividirt man die Summe dieser drei Ueberscliüsse durch das Volumen dx dy dz, so erhält man den Zuwachs der Dichtigkeit der in dem Parallelepiped enthaltenen Flüssigkeit, oder, was dasselbe ist, der Dichtigkeit in dem Punkte, dessen Coordinaten x, y, z sind. Diess ist nichts Anderes als das partiell in Beziehung auf die Zeit genommene Differential der Dichtigkeit, und man hat somit folgende Gleichung :

2)

dg

- dt

d(gii) , d (gv) d (qw)

T o“ - A"

dx

dy

dz

Wir wollen jetzt untersuchen, wie dieselbe in den verschiedenen Fällen, welche bei Flüssigkeiten eintreten können, gedeutet werden muss.

5. Handelt es sich um eine tropfbare Flüssigkeit, deren Dichtigkeit in allen Punkten dieselbe und unabhängig von der Zeit ist, so reducirt sich die Gleichung 2) auf

3)

du

dv

dm

dx dy dz

In diesem Falle giebt es nur vier unbekannte Functionen, p, u, v, w, weil g bekannt ist. Die Gleichungen ]) und 3) genügen also zu deren Bestimmung.

Bei einer heterogenen Flüssigkeit ist die Dichtigkeit eines jeden Moleciils unveränderlich, aber trotzdem g eine Function von x, y, z, t. Um kenntlich zu machen, dass diese Function für ein und

dasselbe Molecül constant bleibt, muss man ihr totales Differential suchen, indem man ausdrückt, dass dx, dy, dz Werthe haben, welche der Bewegung dieses Molecüls entsprechen, und es gleich Null setzen. So erhält man

4)

dg

dg

dg

dg

dt

dx

dy

dz

wodurch die Gleichung 2) zurückkommt auf

5)

du

-r: +

dx

£!§•

dw

+ — = 0.

dz

In diesem Falle giebt es fünf unbekannte Functionen p, g, u, v, n> und eine ebenso grosse Anzahl von Gleichungen l), 4), 5).

Bei einer zusammendrückbaren Flüssigkeit von constanter Temperatur hat man zwischen p und g die Relation

• p = kg,

welche in Verbindung mit den Gleichungen l) und 2) die fünf unbekannten Functionen bestimmt.

6. Bedingungen, welche sich auf die Oberfläche beziehen. Die Gleichungen, welche wir bis hierher erhalten haben, gelten für alle Punkte im Innern der Flüssigkeit, und ist dieselbe unendlich, so hat man mit ihnen nur noch die Bedingungen zu verbinden, welche sich auf den Anfangszustand beziehen. Bei einer begrenzten Flüssigkeit dagegen gelten noch besondere Gleichungen für die an ihrer Oberfläche befindlichen Punkte. Gewöhnlich nimmt man an, dass Punkte, welche anfangs mit einer beweglichen Wand in Berührung waren, es beständig bleiben, und dass diejenigen Punkte, welche anfänglich auf der Oberfläche waren, ihr ebenfalls beständig angehören. Diese Annahmen beschränken die Aufgabe sehr, und dennoch giebt es nur wenige Fälle, in welchen die Rechnungen vollständig ausgeführt werden können.

Wir bezeichnen mit F (x, y, z, t) = 0 die Gleichung der Oberfläche, auf welcher ein Punkt der Flüssigkeit bleiben soll und nehmen an, dass seine Coordinaten ihr für einen gewissen Werth von t genügen; wenn jetzt t um dt wächst, so sind die Incremente der * Coordinaten

u dt, v dt, rv dt ;

man

diese müssen der Differentialgleichung der Oberfläche genügen, wenn sie für dx, dy, dz substituirt, und diess giebt folgende Bedingung:

Cd

cdi cd

s I ^

CDI CD

CDI CD

* I ^

?

c-t-

P-

CD

r-g

C/2

.3

Q-*

CD

c-t-

©

TS

i-i

Cd] Cd

Die obige Gleichung gilt während der ganzen Dauer der Bewe-gung für cfie Punkte, welche sich anfänglich in Berührung mit der in Rede stehenden Wand fanden; ähnliche Gleichungen existiren für alle nicht freien Tlieile der Oberfläche.

Die Punkte der freien Oberfläche sind der Wirkung eines bekannten Drucks unterworfen, welcher gewöhnlich in allen Punkten derselbe ist, aber mit der Zeit variiren kann. Bezeichnet man denselben mit P, so ist die Gleichung jener Oberfläche

P — P = 0,

woraus man für die auf ihr befindlichen Punkte nachstehende Bedingung ableitet

dp

dp

dp

dt

dx

dy

dp dP

+ mBi ⁼ gp

Diese verschiedenen Bedingungen, welche sich auf die Grenzen der Flüssigkeit beziehen, helfen in Verbindung mit dem Anfangszustande die willkürlichen Functionen bestimmen., welche durch die Integration der partiellen Differentialgleichungen auftreten.

7. Sind u, v, w die partiell in Beziehung auf «r, y und z genommenen Differentialquotienten einer Function cp(pcr, y, z, t), so kann man die Gleichungen l) auf eine einzige ręduciren, und die Lösung der Aufgabe ist auf die Bestimmung von cp zurückgeführt, weil man aus ihr u, v, w durch Differentiationen ableiten kann.

Betrachtet man nur die Variablen x, y, z in qo, so hat man der Voraussetzung zufolge

udx -f- vdy -j- wdz = dcp.

Sind ferner A, F, Z die partiellen Differentialquotienten einer Function V., also

Xtix + Yd y + Zclz — dVf

so lassen sich die Gleichungen l). auf folgende Form bringen :

Die Multiplication dieser Gleiclmngen mit dx, dy, dz und nachherige Addition giebt

6)

= dV—■ d

' 1 "dp

d²cp    dcp d²cp    ccp d'cp    dcp d²cp

dx dt    dx dx²    dy 8x dy    dz dx dz

d²cp dcp d²cp dcp d²cp dcp d²cp dy dy²    dz dy dz’

1 dp d V d²cp dcp d²cp dcp d²cp dcp d²cp q dz dz dz dt dx dx dz dy dy dz dz* dz²

1[Jj>_ _^dV__

j Q dy ^ dy dy dt

dx dx dy

21

dz J J’

wo alle Differentiale nach x, y, z genommen sind, während man t als constant betrachtet, Beide Seiten dieser Gleichung können immer in Bezug auf x,y,z intogrirt werden, Avenu p eine bekannte Function von p oder eine Constante ist.

8. Im letzteren Falle, welcher bei einer homogenen Flüssigkeit stattfindet, erhält man

dcp

V — ~ dt

yw

\dx)

'dcp\²

'dcp'

21

dy

.dz ) J

eigentlich wäre eine willkürliche Function der Zeit zu dem zweiten Theile hinzuzufügen, man kann sie aber in cp einrechnen und braucht sie desslialb nicht hinzuschreiben. Die/Bedingung der Continuität wird im vorliegenden Falle    /

du dv , dw

7T- + TT“ "T

dx

dy

dz

= 0,

oder

d²cp

d²cp

d²cp

dx² dy² dz²

Diese Gleichung liefert cp als Function von x, y, z, und nachdem die willkürlichen Funetionen bestimmt sind, kann man u, v, w durch Differentiation von cp ableiten.

9. Bei einer gasförmigen Flüssigkeit von constanter Tempera-

dp

tur ist p—kp, und dann wird der erste Theil der Gleichung6) =k —. Durch Integration erhalt man

kip —

woraus man p als Function von cp ableiten kann. Die Gleichung 2) lässt sich auf folgende Form bringen :

dp

■KT +

dt

4B). 44:) , 44:)

dx    dy    dz

= 0,

und wenn man in diese den Wertli von p aus der vorigen einsetzt, so ergiebt sich eine Gleichung zur Bestimmung von <p und u, v, w: Sind die Bewegungen der Flüssigkeitstheile so rasch, dass die Temperatur in den einzelnen Punkten steigt und fällt, so ist die elastische Kraft nicht mehr der Grösse q allein proportional, sondern abhängig von der Zunahme der Temperatur, die als proportional dem Zuwachse der Dichtigkeit angesehen werden kann; p würde also noch von q abhängen und umgekehrt. Der erste Theil der Gleichung 6) kann auch in diesem Falle integrirt werden, das übrige Verfahren bleibt wie vorhin.

10. Wenn die Functionen w, v, m partielle Differentialquotienten einer Function von x, y, z für einen beliebigen Werth von t sind, so müssen sie es auch für t = Q sein ; diess ist leicht einzusehen, da ihre Anfangswerthe als Functionen von x, y, z gegeben sind. An-dererseits lässt sich auch zeigen, dass, wenn die genannte Bedingung zu irgend einer Zeit stattfindet, sie auch zu jeder anderen Zeit gültig bleibt. Der Beweis dieses wichtigen Satzes ist folgender.

Wir zerlegen die Zeit in unendlich kleine Intervalle und berechnen, um wieviel der Ausdruck n dx -f- v dy -j- w dz in einem dieser Intervalle zunimmt, indem wir die Incremente bestimmen, welche u, v, w in derselben Zeit zufolge der allgemeinen Gleichungen der Bewegung der Flüssigkeiten erhalten. Nun ist klar, dass, wenn u dx -f v dy -j- w dz in jedem Augenblicke das Differential einer Function von x, y, z ist, die Grösse, tim welche dies Differential wächst, nothwendig selbst immer ein exactes Differential sein muss, und dass umgekehrt, wenn dieser Ausdruck in irgend einem Zeitpunkte ein exactes Differential ausmacht und alle seine successiven unendlich kleinen Incremente selbst exacte Differentiale sind, dasselbe für deren Summe und folglich für den Ausdruck u dx -}- v dy -J- m dz in einem beliebigen Zeitpunkte gelten muss. Wir bezeichnen nun mit u{, zq, w{ die Werthe von u, v, w für t — /l5 und nehmen an, dass

uy dx -J- v₁ dy + wi dz — dcpx

sei, wo gq eine Function der drei unabhängigen Variabein x, y, z bezeichnen möge. Da u, v, w als Functionen von x, y, z, t betrachtet werden, so lassen sich die Werthe, welche sie für t =ti -p s erhalten, nach Potenzen von s entwickeln, und wenn man diesen Zuwachs s unendlich klein nimmt, so darf man sich auf die beiden ersten Glieder beschränken und erhält

U Uy -j- US, V = Vy + VS, W =: Wy + WS,

wo

u, v, m Functionen von x, y, z sind, und zwar die partiellen Differentialquotienten von u, v, w nach t für t=.lv Aus dem Obigen folgt

u dx -f- v dy ff- w dz — ui dx + tq dy + wl dz

-)- e (11 dx -)- v dy + w clz),

d. h. wenn u dx + v dy -f- w dz ein exactes Differential ausmacht, so ist es u dx -f- v dy + w dz gleichfalls zu der Zeit i — tt -\- s. Die Gleichungen l), für den Zeitpunkt t = tl betrachtet, werden nun

&Pi    ___

dy dx dy dz dx dz'

dcpL d²cpx dz dy dz'

1 dp

1 dp

q dy

d(pi d'²cpl

dx dx²

dcpx d²gq    d<py d²q>₁

dx dx dy    dy dy²

d<Px d²cpy__

dx dx dz    dy dy dz

d(py d²cpy dqpy d²tpy _ dz dz² ’

1 dp q dz

wir wollen sie mit dx, dy, dz multipliciren und addiren. Der erste

Theil — wird dann zu einem exacten Differential, sowohl bei homo-

Q

genen Flüssigkeiten, weil p dann constant bleibt, als bei gasförmigen, weil p dann eine Function

veränderlich angenommen wird. Man kann also dP für — setzen,

Q

P eine gewisse Function x, y, z bezeichnet; sind ferner die äusseren Kräfte so beschaffen, dass Xdx -f- Ydy -f- Zdz das Differential einer gewissen Function V von nach diesen Bemerkungen

dP=dV — (u dx -f- v dy + w dz)

wo

von p ist, wenn die Temperatur als un-

dp

x, y, z bildet, so ergiebt sich

[©)’+©)+•

u dcc -f- v dy + w dz

woraus folgt

“{

Demnach ist u' dx + v dy + w dz das Differential einer gewissen Function der drei unabhängigen Variabein x, ?/, z; wenn also der Ausdruck «da? -f- vdy + rv dz zu irgend einer Zeit ein exactes Differential war, so ist er es auch, nachdem die Bewegung der Flüssigkeit sich in Folge aller Einwirkungen und aller Umstände während einer unendlich kleinen Zeit fortgesetzt hat. Geht man von dem Zustande der Flüssigkeit in diesem neuen Zeitpunkte in derselben Weise wie von dem vorigen aus, so kann man ebenso beweisen, dass udx + v dy -f- w dz wieder ein exactes Differential nach einem unendlich kleinen Zeitintervalle sein muss u. s. f. War also jene Bedingung im Anfangszustande erfüllt, was man immer unmittelbar wird nachweisen können, so gilt sie auch für jede fernere Zeit; wäre sie dagegen anfangs nicht erfüllt , so würde sie es später ebensowenig sein.

Die fragliche Bedingung ist übrigens stets erfüllt, wenn die Anfangsgeschwindigkeiten in allen Punkten der Flüssigkeit Null sind; denn man hat in diesem Falle

udx + vdy + w dz — 0,

was ein exactes Differential ist.

11. Wenn eine Flüssigkeit sich gleichförmig um eine feste Achse dreht, ohne dass die Punkte ihre relative Lage ändern, so bildet u dx + v dy -j- w dz kein exactes Differential; denn bezeichnet man mit co die constante Winkelgeschwindigkeit und nimmt die Eotationsachse zur Achse der' z, so wird

« — — coy, v = cox, w = 0,

und folglich

u dx + v dy -f- m dz = co (acdy — y dx),

in der That kein exactes Differential ist. Der vorliegende Fall

was

kann also nicht nach dem obigen besonderen Verfahren behandelt werden, vielmehr muss man auf die allgemeinen Gleichungen zu

rückgehen. Dabei ist

du

dv

drv

— = 0, — = 0) 77 = 0, w = 0,

dt    dt    dt

II.

16

— ■ 242

und die Gleichungen l) werden

1 dp

Q dx

— X + afx, -1-=r+ «V, i^ = z,

Q dy    Q OZ

woraus folgt

dp

— = Xdx -f- Yüy -j- Zdz + co~ (xdx Ą- y dy) ;

9

diese Gleichung stimmt mit jener überein, welche wir in der Hydrostatik gefunden haben.    '

Bewegung einer Flüssigkeit unter einer speciellen Voraussetzung.

12.

Wenn eine homogene in einem Gefässe eingeschlossene Flüssigkeit durch eine Oeffnung ausfliesst, welche in der horizontalen Grundfläche angebracht und in Vergleich zum Querschnitte des Ge-fässes sehr klein ist, so zeigt die Erfahrung, dass die Molecüle, welche sich zu irgend einer Zeit in einer und derselben horizontalen Schicht befanden, stets in derselben bleiben, so lange sie der Oeffnung nicht sehr nahe kommen. Die horizontalen Geschwindigkeiten kann man vernachlässigen, wenn die Schnitte in der ganzen Höhe des Gefässes wenig variiren und kleine Dimensionen in Bezug auf diese Höhe haben; es sind dann nur zwei Unbekannte zu bestimmen, die verticale Geschwindigkeit und der Druck. Unter Zulassung dieser Hypothese d e s P a r a 11 e 1 i s m u s d e r S c h i c h t e n legen wir die Achse der x in die Richtung der Schwere und nehmen

F=0, 2=0, X = g;

von den Gleichungen l) reduciren sich die beiden letzten auf

dp

dp

^7=0, = 0,

dy

dz

welche anzeigen, dass der Druck für alle Punkte eines und desselben horizontalen Schnittes derselbe bleibt; und die erste der Gleichungen 3) wird

a)

dp

du

du

g-w-uTxy

Die Bedingung der Continuität 3) kann im vorliegenden Falle nicht unmittelbar angewendet werden, weil sie die Differentialquotienten von u, v, >v enthält, und obgleich v und w sehr klein im Vergleich zu u sind, so kann man doch nicht sagen, dass ihre Differentialquotienten

243 —

gegen den von u vernachlässigt werden können. Dagegen lässt sich die Bedingung der Continuität sehr einfach dadurch ausdrücken, dass man die Menge Flüssigkeit, welche durch irgend einen Querschnitt geht, derjenigen gleich setzt, welche während einer nnend-lich kleinen Zeit durch die Oeffnung ausfliesst. Bezeichnen wir nämlich mit co den Flächeninhalt des durch das Gefäss gelegten Schnittes, dessen Entfernung vom Anfangspunkte der Coordinaten x * heissen möge, mit 54 den Flächeninhalt der Oeffnung, und mit U die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit durch dieselbe hindurchströmt, so sind coudt und 54 Udt die Quantitäten Flüssigkeit, welche durch die Schnitte co und 54 während desselben Zeitintervalles dt hindurchgehen 5 es ist nun

b)

cou =3 54 Z7 oder u =

54 U

co

wo sich die Werthe von u und U auf einen und denselben Werth von t beziehen. U ist eine Function von t allein, co eine durch die Gestalt des Gefässes gegebene Function von x, endlich u eine Function von x und t. Lässt man t allein in u sich ändern, so erhält man die successiven Werthe der Geschwindigkeit verschiedener Schichten in dem Augenblicke, avo sie durch einen und denselben Schnitt gehen; ändert man dagegen x allein in u, so findet man die Geschwindigkeiten verschiedener Schichten in einem und demselben Augenblicke, eine gleichzeitige Aenderung von x und t ohne Abhängigkeit zwischen beiden giebt die Geschwindigkeit der Schicht, welche in diesem zweiten Zeitpunkte durch einen andern Schnitt geht. Will man endlich die Geschwindigkeit erfahren, welche nach der Zeit dt derjenige Schnitt hat, der für gegebene Werthe von t und x die Geschwindigkeit u besitzt, so hat man t um dt und x um dx zu ändern, indem man dx udt setzt.

Mittelst der Gleichung b) kann man u aus der Gleichung a) eliminiren und U einführen, welche Variabele den Vortheil gewährt, dass sie nur von t abhängt; man erhält

54²Z7² c/co\ o³ dx)'

dp (    54 dU

Tx = « \⁹ ~ » * ⁺

Multiplicirt man beide Seiten dieser Gleichung mit dx, und integrirt in Bezug auf x von der oberen Fläche an, so ergiebt sich

p54²F²

p == gqx

dZ7 [ 'dx

® “ dt J 10

2oo²

Cdx

das Integral I — kann in jedem Falle als bekannt angesehen wer-J co

den, weil co eine gegebene Function von x ist; die Integrationscon-stante C enthält kein x, kann aber von t abhängen.

Weiterhin sind zwei sehr verschiedene Fälle zu unterscheiden, ob nämlich das Niveau der Flüssigkeit immer in derselben Höhe erhalten wird, oder ob dasselbe durch den Ausfluss der Flüssigkeit, die nicht wieder ersetzt wird, herabsinkt; wir wollen beide Fälle nach einander untersuchen.

13. Bezeichnet P den constanten auf die Oberfläche der Flüssigkeit ausgeübten Druck, P den Druck auf die Flüssigkeit, welche aus dem Gefässe heraustritt, so ist nahezu P' = JP, wenn sich der ganze Apparat in einem und demselben gasförmigen Mittel befindet; ferner sei h der Abstand des Niveau’s vom Anfänge der .r, und l sein Abstand von der Oeffnung. Die Constante der vorigen Gleichung bestimmen wir so, dass p — P wird für x c= h ; es findet sich hiernach

Sl²U²

W’

wo 0 den Werth von co am Niveau der Flüssigkeit bezeichnet. Weiter folgt daraus

N    ^ ,    , 7N    dU fclx £l²U² (

co² O²

c) p=J-+w(.r-A)-?a-J-+ ₉_ I

und für x — h -f* / giebt diese Gleichung p — P\ co t= Sl.

Führen wir die Bezeichnungen h + l

ein, so erhalten wir statt der obigen Gleichung

dU

g (l -f- d) = m Sl — -f-

dt

( &²\ U2 \J OV 2 ⁵

nehmen wir ferner

so ist a eine sehr wenig von der Einheit verschiedene Grösse, und die vorige Gleichung giebt, wenn man sie nach dt auflöst,

•Im SldU

k²— a² U² ’

durch beiderseitige Integration wird daraus

Ol “

m Sl

wo C eine willkürliche Constante bezeichnet, welche man mit Hülfe des Anfangswertlies von U bestimmen kann. Setzt man die Geschwindigkeiten = 0 für t 0, so erhält C den Werth 1, und die nach V aufgelöste Gleichung giebt

hat tnSl

cc

Sl¹

Ö²

— a² und "lg (Z -j- d)’ = k²,

kat ’ mH

da U bestimmt ist, so findet man u aus der Gleichung u = und

CO

p mittelst der Gleichung c). Der Werth von U zeigt, dass nach einer gewissen Zeit, die um so kürzer sein wird, je kleiner Sl ist, die Exponentialgrössen gegen die Null convergiren, und dass folglich der Werth von U sich der Grenze

Sl²

ö²

und u und p sich entsprechenden Grenzen nähern. Bei Vernachlässigung des Quadrates

in der Oeffnung = l/vg (Z + d) ; ist endlich d = 0, also der äussere Druck an der Oeffnung derselbe wie wird die Geschwindigkeit in der Oeffnung = f/lgl, d. h.

Die Ausflussgeschwindigkeit ist dieselbe, welche ein schwerer Körper dadurch erhält, dass er im leeren

von

Sl

— wird die Grenze der Geschwindigkeit

am

Niveau der Flüssigkeit, so

— 246

Raume von einer Höhe herabfällt, die gleich ist der Höhe der Flüssigkeit in dem (refasse.

dü

Ist die Geschwindigkeit U constant, also — = 0 geworden, .so reducirt sich die Gleichung c) auf

p — P •f qg (x — h) --Q

a²_u_²_

2 \o>² 0²J

Nun würde im Zustande des Gleichgewichts der Druck gleich P + çg O — h)

sein; er ist also für den Zustand der Bewegung geringer in allen den Schnitten, für welche co <C 0 bleibt, d. h. für diejenigen, welche geringeren Flächeninhalt haben als die freie Oberfläche der Flüssigkeit ; dagegen ist er grösser als im Zustande des Gleichgewichts für diejenigen Schnitte, deren Flächen grösser als 0 sind.

Um das Volumen Flüssigkeit kennen zu lernen, welches nach Verlauf der Zeit t aus dem Gefässe herausgetreten ist SlUdt zwischen 0 und t integriren; für dieses Volumen, welches V heissen möge, findet man leicht:

muss man

kal 2 m Sl

kat 2m kl

V==

Sl² 0²

Bei grossen t kann man die zweite Exponentialgrösse vernachlässigen, und wenn man für k seinen Werth y 2g (l -f- ö) zurücksetzt, so ergiebt sich angenähert :

r_ ?/2# (! + d)

2 m 12

ß² o²

ß² O²

Der erste Ausdruck ist das Volumen, welches herausgetreten sein würde, wenn die Geschwindigkeit von Anfang an gleich der Grenze

V (l + ö)

ß² o²

gewesen wäre.

14. Wir wollen jetzt zu dem Falle übergelien, wo die Flüssigkeit nicht wieder ersetzt wird, sondern das Niveau sich senkt und h also eine unbekannte Function von t ist. Die Gleichung a), &), c), d) finden immer statt, aber m und 0 sind jetzt bekannte Functionen von /«, und l hängt von h ab vermittelst der Gleichung

h -f- l = ü ,

wo a den unveränderlichen Abstand derOeffnung vom Anfangspunkte der x bezeichnet. Diesen Gleichungen muss man noch eine hinzufügen, welche ausdrückt, dass die während eines beliebigen Zeitintervalles dt ausgeflossene Flüssigkeit dem Volumen gleichkommt, das zwischen den beiden Niveau’s enthalten ist, welche dem Anfänge und dem Ende dieses Intervalles entsprechen; die Gleichung ist

dh

SlU

dt

Die Gleichung d) Avird, wenn man a — h für l einsetzt

f)

,    , .    „ dV WTP (

g{a + S-h)--=mSl — + — (■

ß² o²

Man hat also das System der beiden simultanen Gleichungen e) und f) zu integriren.

Durch Elimination von dt aus beiden Gleichungen erhält man:

mSÏ¹ ^

g O 4- à — h) =

dü Sl²l7² / 1

“ ⁺ " 2 Vß² “ ÖV ’

dh

zen Ausflusses findet sich, indem man in dem Werthe für t die Höhe h = a setzt.

15. Ist Si sehr klein im Vergleich zu den horizontalen Schnitten des Gefässes, so vereinfacht sich die Gleichung d). In der That Sl

kann man — und mSi vernachlässigen (bei der Annahme eines

dU

variabeln sowohl als constanten Niveau’s), wofern — keinen beträchtlichen Werth hat, was im Anfänge der Bewegung der Fall ist; man erhält somit

V² — 2g (l + Ô),

welche Gleichung zeigt, dass die Geschwindigkeit U die Grenze ist, welche wir für t = oo gefunden hatten. Bei derselben Annahme einer sehr kleinen Ausflussöffnung sind die Resultate beinahe dieselben, welches auch die Richtung ihrer Ebene sein mag.

Die wirklich beobachteten Geschwindigkeiten, womit z. B. Wasser aus sehr kleinen horizontalen Bodenöffnungen ausströmt, sind übrigens, hauptsächlich in Folge der Reibung des Wassers an den Gefässwänden, etwas geringer, als sie die theoretische Formel TJ = ÿ 2gl giebt, obschon ziemlich genau proportional den Quadratwurzeln der Druckhöhen. Mail erhält daher die wirkliche Geschwindigkeit , indem man die theoretisch bestimmte Geschwindigkeit mit einem durch Versuche ermittelten Coëfficienten, dem sogen. Geschwindigkeitscoefficienten, multiplicirt, also

U=ßl/ty

setzt; für Druckhöhen bis zu 2 Meter ist dieser Coefficient ß durchschnittlich =s 0,96.

vor

Ein zweiter Umstand, der bei Anwendungen der hydraulischen Grundformel berücksichtigt werden muss, ist die sogen. Contraction des Wasserstrahles. Innerhalb des Gefässes hört nämlich nahe der Mündung der Parallelismus der Schichten auf und die Was-serth eil dien strömen seitwärts nach der Mündung; hierdurch und wohl auch noch durch andere Umstände entsteht eine Zusammenziehung des Strahles, welche an einer nicht weit hinter der Oeff-nung (ausserhalb des Gefässes) befindlichen Stelle ihr Maximum erreicht. Dieser kleinste Querschnitt des Strahles wäre eigentlich an die Stelle des Mündungsquerschnittes zu setzen, man hat daher den letzteren mit einem gewissen ächten Bruche a zu multipliciren, wel-

cher das Verhältniss beider Querschnitte angiebt und der Con-tractionscoëfficient heisst. Bezeichnet 5Ï den Querschnitt der Mündung und V die theoretische Ausflussgeschwindigkeit, von welcher vorausgesetzt werden möge, dass sie während der Zeiteinheit constant bleibe, so ist die innerhalb dieser Zeit ausgeflossene Wassermenge theoretisch s= SlU, effectiv aber — aSl. ßU. Die beiden Coëfficienten a und ß lassen sich hier zu einem einzigen Factor, dem sogen. Ausflusscoëfficienten p zusammenziehen und daher ist die effectiv ausgeflossene Wassermenge ;= pSIU —    }/2gl.

Der Coefficient p hängt von vielerlei Umständen ab, die wir hier nicht erörtern können; als Mittelwerth desselben für horizontale Oeff-nungen in einem Gefässboden von geringer Dicke hat man 0,62 gefunden ²).

Permanente Bewegung einer Flüssigkeit.

16. Erhält man das Niveau einer Flüssigkeit auf einer constan-ten Höhe, so tritt nach Verlauf einer gewissen Zeit ein permanenter Zustand ein, bei welchem alle Umstände in einem und demselben Punkte dieselben bleiben und sich nur von einem Punkte zum andern ändern; dann ist die Geschwindigkeit in einem beliebigen Punkte der Flüssigkeit der Richtung und Grösse nach constant, und folglich werden zwei Moleciile, welche in verschiedenen Zeitpunkten eine und dieselbe Lage eingenommen haben, dieselbe Curve und in identischer Weise beschreiben.

Nimmt man die Achse der x in dem Sinne der Schwere, so gelten dem d’Alembert’schen Princip zufolge die Gleichungen

dp ,    dp    , dp

— =ç(g-u),^ = ~ÇV,^=-QW,

und zwar sind hier u, v, m die, in Beziehung auf die Zeit genom-Differentialquotienten der Seitengeschwindigkeiten eines be-

menen

liebigen Punktes xyz. Bezeichnen wir mit dx, dy, dz die Incremente, welche die Coordinaten des in diesem Punkte liegenden Molecüls nach der Zeit cä angenommen haben, multipliciren die. vorigen Gleichungen mit dx, dy, dz und addiren sie, so erhalten wir die neue Beziehung

dp — gç>dx — q. (u'dx v dy -j- rv dz),

oder wenn man mit V die Geschwindigkeit dieses Molecüls in irgend einem Punkte seiner Trajectorie bezeichnet,

dp =! gçdx — d ( V²) ;

durch Integration zwischen zwei beliebigen Punkten dieser Traj^G- ' torie, welche den Abscissen xQ, x entsprechen, folgt weiter

a)

P — Po

wo p₀, V₀ die Werthe von p und V in dem ersten dieser beiden Punkte bezeichnen. Diese Gleichung führt zu einem merkwürdigen Resultate, welches wir schon bei der Discussion der vorigen Aufgabe unter specielleren Voraussetzungen erhielten. Nehmen wir an, dass die freie Oberfläche der Flüssigkeit eben und in allen ihren Punkten einem gleichen und constanten Drucke P unterworfen sei, zählen wir ferner die x von dieser Ebene an, und nehmen in der Gleichung a)

■— 0, Pq -— P,

so dass der erste der beiden Punkte auf der Trajectorie in der oberen Fläche der Flüssigkeit liegt, so erhalten wir    •

P — p = 9QV — | (F² — F₀²).

Bei einer sehr kleinen Bodenöffnung, welche um die Entfernung h von dem oberen Niveau absteht, kann man annehmen, dass in der ganzen Ausdehnung dieser Oeffnung die Geschwindigkeit aller Punkte dieselbe ist, so dass es für x—h nur einen einzigen Werth für V giebt. Nimmt man ferner den äusseren Druck um die Grösse ggä geringer als an dem oberen Theile, so geht die vorige Gleichung für x — h in folgende über

— 9Qä = gçh — | ( V² — F₀²)

oder

V² — V² = 2g (Ä + 8).

Bezeichnet k das Verhältniss des Flächeninhalts der Ausflussöffnung zu dem Flächeninhalte des Wasserspiegels, so erhält man

V₀ = kV folglich V² (l — k²) ^2 g (h + 8),

oder wenn man U² = 2gz setzt, * ₊ 2

JL    g) = o

dh

woraus

.*»

bei sehr kleinem k darf man k² vernachlässigen und es wird dann V — Y 2g (h + d);

fst ferner der Druck an dem oberen Theile der Flüssigkeit fast derselbe. .wie' an $er Ausflussöffnung, so kann man ö vernachlässigen und erhält

* V^Y'Igh.

Man ko.mmt somitaiif die schon oben erhaltenen Resultate zurück.

Anwendungen der vorigen Formeln.

17. Will man die Flüssigkeitsmenge bestimmen, welche bei constantem Niveau und im Beharrungszustande während der Zeiteinheit aus einer verticalen Wandöffnung ausströmt, so hat man zu berücksichtigen, dass die oberen Theile des Strahles unter einer geringeren Druckhöhe stehen als die tiefer liegenden und daher eine kleinere Geschwindigkeit besitzen. Um diess genauer zu erörtern betrachten wir AB in Fig. 15. als das Niveau der Flüssigkeit, ABDC als eine verticale Gefässwand, in welcher sich die beliebig gestaltete Oeffnung PN^QNX befindet. Die Curve PN₀QNX beziehen wir auf ein ebenes rechtwinkliges Coordi-

natensystem, dessen «/-Achse in das M__\-Mf

Niveau fällt und dessen z-Achse vertical abwärts gerichtet ist; die jy[

Abscisse OM sei.—z, die ihr ent- ^ sprechenden Ordinaten mögen MN₀

y₀ und MNX — y± heissen, endlich bezeichne OM₀ — h₀ das kleinste, OM± = hx das grösste der vorkommenden z. Alle Punkte der horizontalen Geraden N₀NX stehen unter der gleichen Druckhöhe z, welcher die theoretische Geschwindigkeit Y^gz entspricht; denken wir uns daher ein Rechteck construirt, dessen obere horizontale Seite    t= yx— y₀ und dessen Höhe unendlich klein — dz ist,

(Fig. 15.)

OU

M₀

____P_

Gl

B]____&

er

i)

so strömt durch dieses Flächenelement in jeder Zeiteinheit die Flüssigkeitsmenge

f* Ol —- y₀) dz V²9z‘

Die Summe aller analogen, von z = A₀ bis zz= h₁ genommenen Flüssigkeitsmengen giebt das gesamtste ausgeströmte Quantum, nämlich das Volumen

i)

M == fx /'2g j(y

— yèVz dz-

Hiernach ist z. B. für eine rechteckförmige Oeffnung von der Breite yx — y{) ~ b

2)

f l* ÿïg.bih] — h₀),

oder wenn die Oeifnungshöhe ht— A₀ mit c, und die mittlere Druckhöhe | (Ä₁ -f- A₀) mit h bezeichnet wird,

Durch Reihenentwickelung erhält man leicht

2048

ein kleiner Bruch ist

£

itnd näherungsweis, wenn —

3)

M = g, bc f/ÿgh.

£

Man sieht hieraus, dass bei kleinen — die ausgeströmte Wassermenge fast ebenso berechnet werden kann, als wenn sich die Oeffnung im Boden befände, und der Wasserstand gleich der mittleren Druckhöhe wäre. In der Praxis macht, man von diesem Satze häufig Gebrauch.

Wir betrachten als zweites Beispiel eine elliptische Seitenöffnung. Die Halbachsen der Ellipse mögen b [| O Y und c [| OZ sein; die Druckhöhe über dem Mittelpunkte der Ellipse bezeichnen wir mit h und legen die Achse der z durch das Ellipsencentrum. Wir erhalten jetzt

z clz

h — c

und durch Einführung der neuen Variabein cp mittelst der Substitution z = h — c cos cp,

7t

2g Y2g bc J'sin² cp yh o

•— c cos cp dp.

Das vorstehende elliptische Integral ist leicht in eine unendliche Reihe zu verwandeln, sobald h mehr als c beträgt; man hat zunächst

y k -C COS p = y h ^1 -y COS p^

1    c cos p le² cos²p

2    h

<und wenn man bemerkt, dass

= ]/h>

8 h²

1 c³ cos[ip

16

Ä³

C    2 n

I sin² p cos

p dp =s 0,

r    2 n

I sin² p cos p dp =

o

y

2 1(1 —

o

cos² p) cos p dp

1.3.5    ... (2n — l) _ 1.3.5... (2 n + l) _ 1.3.5... (2n — 1)

2.4.6    ...    (2 n) % ~ 2.4. 6... (2«+ 2)    2.4.6... (2« + 2)

so gelangt man sofort zu der Formel

4) M — g 7t

._ (

bc y 2gh

1 /c V 5 /cV ¹    32 \h)    1024 \hj

£

Bei kleinen- gilt hier derselbe Satz wie vorhin, wenn man auf die

geometrische Bedeutung von Ttbc Rücksicht nimmt.

Ueberhaupt lässt sich die Formel l) auf folgende Weise durch eine Näherungsformel ersetzen. Es ist identisch

y z = j/ ht) (

und hierbei liegt der Bruch —

zwischen den Grenzen

= 0;

beträgt nun lix — 7«₀, d. h. die Höhe der Mündung, bedeutend weniger als die kleinste Druckhöhe h₀, wie es beim Abflüsse durch Röh-

immer nur

g -

ren

etc. meistens der Fall ist, so hat der Bruch—-—-

einen sehr kleinen Werth und es darf daher näherungsweis

4) = ^:₊iï=4

5)

Vz = Yh(i + l*—K-

gesetzt werden; diess giebt

dz.

f* V i'jj <!/i — i/o) (V K +

Bei der Integration der einzelnen Theile kommt man auf die zwei Integrale

- y₀) z dz-

J —Vo) dz und/{yx

das erste bedeutet geometrisch die Fläche der Ausströmungsöffnung ; das zweite ist die Summe der statischen Momente aller Flächenelemente (yx —y₀) dz, bezogen auf die Achse der y, mithin gleich dem Producte Slh, wenn h das z des Schwerpunktes der ganzen Fläche Sl bezeichnet. Hach diesen Bemerkungen ergiebt sich

j/2g SI (ÿ h₀ +

² Yh

d. i. nach Formel 5), wenn man darin h für z schreibt,

M = fiSl Y^gh-

Diese Gleichung zeigt, dass bei kleinen Seitenöffnungen und nicht zu geringen Druckhöhen die ausgeströmte Flüssigkeitsmenge nahezu dieselbe ist, als wenn sich die Oeffnung im Boden befände und die Druckhöhe darüber gleich wäre der Entfernung des Niveau’s vom Schwerpunkte der seitlichen Oeffnung.

18. Wir betrachten noch den Ausfluss aus einem Gefässe, welches von oben her einen constanten Zufluss erhält. (Fig. 16.)

(Fig. 16.)

Zu Anfänge der Zeitzählung sei der Wasserstand OC — h, am Ende der Zeit ^ t sei er ON = z und zwar grösser oder kleiner als h, je nach dem der Zufluss ]V mehr beträgt als der Abfluss oder weniger; ferner bedeute £1 die Fläche des, @ in der Höhe z genommenen Gefässquer Schnittes, co die Fläche der Bodenöff- q nung, endlich Q das Flüssigkeitsvolumen, welches dem Gefässe in jeder Zeiteinheit zugeführt wird. Während der Zeit dt gewinnt das Gefäss durch Zufluss das Flüssigkeitsquantum dt und verliert durch Abfluss das Quantum

(A, CO

2 gz

Öl 8

wobei die Druckhöhe z während der Zeit dt als constant betrachtet werden darf; der wirkliche Zuwachs beträgt daher nur

Q - fACO

2gz

dt.

t'

uni das gleiche Volumen muss der Wasserspiegel im Gefässe gestiegen, tdM der vorstehende Ausdruck —Sl dz sein; man hat daher die Differentialgleichung

1)

2 gz

dt = yidz.

Sl

man zu derselben Glei-

Diese Betrachtung setzt voraus, dass der Wasserspiegel steigt, aber auch im entgegengesetzten Falle gelangt chung. Die Abnahme durch Ausfluss wird dann vermindert durch den Zufluss, so dass der wirkliche Verlust beträgt

2 gz

— Q dt;

um das gleiche Volumen muss sich der Wasserspiegel gesenkt haben, also der vorstehende Ausdruck = il d{h—• z) = — il dz sein, was auf eine beiderseitige Aenderung der Vorzeichen in No. l) hinauskommt.

Sondert man die Variabein und integrirt mit der Bemerkung, dass dem Wertlie t = 0 der Werth z = h entspricht, so erhält man aus No. l)

2)

i.

- fZ03

il dz

2 gz

‘-(ff

wofür man bei sinkendem Wasserspiegel schreiben würde

3)

il dz

fICO

Q.

£o| s

Im Allgemeinen ist il von z abhängig und daher die Integration meistens nicht ohne Hülfe unendlicher Reihen ausführbar; nur bei einem prismatischen Gefässe wird die Sache einfach. Setzt man zur Abkürzung

y- *

l

— »,

(*)'

so ergiebt sich aus No. 2)

xil r dz

i==Tj«

h

und nach Ausführung der Integration

~Y*

4)

< =    /z-ffh) ;

Q L Vjt •—'Y z*

bei sinkendem Wasserspiegel dagegen ist

5)

;)]■

Die erste Formel setzt % >> ]/h voraus, was in der That die Bedingung dafür ist, dass gleich zu Anfang der Zufluss den Abfluss übersteigt; lässt man z von h an wachsen, so wird die Differenz %•—}/ z immer kleiner und t immer grösser, bis endlich für z — %² das zugehörige t=Qo wird. Das Niveau nähert sich also durch fortwährendes Steigen der Grenze

Q²

p²C0²

'2g

CO²

Sl²

Für den zweiten Fall gilt eine ähnliche Bemerkung; hier ist ]/ h^> ic, folglich auch anfangs j/ z it, nachher wird z immer kleiner, bis z := K² und damit t = oo geworden ist. Der Grenzwerth voll z wird jetzt durch den nämlichen Ausdruck dargestellt, nur mit dem Unterschiede, dass er weniger als h beträgt.

Soll zu einem gegebenen t das entsprechende z bestimmt werden, so setzt man in No. 4) x — y z x und hat dann eine tran-scendente Gleichung von der Form

x — kIx = s

aufzulösen, wo s eine bekannte Grösse ist; nachher ergiebt sich z — {% — x)².

Für die Gleichung 5) verhält sich die Sache ganz ähnlich.

Weitere Beispiele der Art muss man in speciellen Werken über Hydraulik suchen, namentlich in den obengenannten Schriften von W e i s b a c h und Rühlmann.

Ausfluss einer elastischen Flüssigkeit.

19. Unter Zulassung der Hypothese des Parallelismus der Schichten wird die vorliegende Aufgabe der früheren sehr ähnlich, dabei sehen wir von der Schwere ab, weil sie keinen merklichen Einfluss auf den Druck hat.

Die Gleichung a), No. 12, reducirt sich auf nachstehende

dp

du

+ QU

du

dx

= 0.

II.

17

Um die Bedingung der Continuität zu erhalten, betrachtet man zwei horizontale Schnitte, welche den Werthen x und x + dx entsprechen, und bestimmt die Masse der Flüssigkeit, welche wahrend der Zeit dt durch die obere Fläche eintritt, ebenso diejenige, welche während derselben Zeit durch die untere Fläche austritt; der Ueber-schuss der ersten über die zweite, dividirt durch das Volumen codx, giebt den, partiell in Beziehung auf die Zeit genommenen Zuwachs der Dichtigkeit; man findet so

do d (ocou) co ~ -f —^0.

dt

dx

Bei constanter Temperatur ist endlich

P = kQi

wo k eine gegebene Constante bezeichnet. Diese drei Gleichungen bestimmen p, p und u als Functionen von t und x.

Durch Elimination von q erhält man

kd_P

p dx dt

Diese partiellen Differentialgleichungen sind nicht in endlicher Form integrirbar; gleichwohl ist es von Werth, die Ausflussgeschwindigkeit für die Zeit keimen zu lernen, wo der Druck und die Geschwindigkeit in jedem Punkte constant geworden sind; dieser Zustand tritt sehr schnell ein, wenn man voraussetzt, dass das Gefäss mit einem Behälter communicirt, welcher das Gas ersetzt und an. dem oberen

‘Ö'll

Theile einen constanten Druck erhält. Für diesen Fall ist — = 0,

du

dp

dt

d (pcou)

dx

= 0.

dt

dp

— ï=3 0, und die vorigen Gleichungen werden k dp . du    d (pcou)

^fc ⁺ “^ = °- -sr-=°-

Die Integrale dieser beiden Gleichungen sind

n~

pcou =

c, klp + — ==s c,

wo c und c willkürliche Constanten bezeichnen. Sind ferner P, U, 0 der Druck, die Geschwindigkeit und die Fläche des Schnittes, welche sich auf den oberen Theil des Gefässes beziehen, P\ TJ\ 0' die Werthe derselben Grössen an der Oeffnung, so hat man die Beziehungen

259 —

PUO — c, 2k IP + TJ²~ 2c P'U'O' — c, 2klP'+ XJ'² — 2c\

Diese vier Gleichungen bestimmen die Constanten c, c, so wie die Geschwindigkeiten der Flüssigkeiten an der Oeffnung und an der oberen Fläche, Durch Elimination von c und c erhält man

U' =

PO

P' 0'

U, V'² = t/² -j- 2kl

und durch Elimination von U'

„ Y*'(§r)

p2 Q 2

p'²0'²

Wenn die Oeffnung 0' kleiner als 0, und der Druck P' kleiner als P ist, ohne welche Bedingungen kein Ausfluss stattfindet, so sind die beiden Theile des Bruches unter dem Wurzelzeichen positiv, und TJ wird nothwendig reell. Der Werth von U' ergieht sich leicht aus dem von Z7, nämlich

v’=

p'2 Q'2

P²0²

Daraus lassen sich die Wertlie von c und c leicht ableiten, und damit sind die Werthe von p und u als Functionen von co und folglich von x bestimmt.

0'

Für sehr kleine — wird auch TJ sehr klein und

u' =

Diess ist die Ausflussgeschwindigkeit des Gases, wenn die Druckkräfte P, P' an dem oberen Theile und an der Oeffnung constant sind.

Bemerkungen über den Widerstand der Flüssigkeiten.

20. Wenn ein fester Körper sich in einer Flüssigkeit bewegt, so erfährt er einen Widerstand, der von seiner Gestalt, seiner Ge-

17*

schwindigkeit und der Natur der Flüssigkeit abhängt. Der Druck, welcher auf die verschiedenen Punkte seiner Oberfläche ausgeübt wird, ist sehr verschieden von demjenigen, welcher im Zustande des Gleichgewichts stattfinden würde , und die Analysis hat noch nicht mit Erfolg auf die Bestimmung desselben angewendet werden können. Selbst die Versuche haben noch keine allgemeinen empirischen Gesetze geliefert, die auf Körper von beliebiger Gestalt angewendet werden könnten. Indessen hat man in Bezug auf den Widerstand bewegter Flüssigkeiten gegen Ebenen, die sich parallel mit sich selbst bewegen, hinlänglich allgemeine Resultate erhalten. Diese Ergebnisse und die Versuche, aus denen man dieselben abgeleitet hat, gehören in die Maschinenlehre und wir wollen uns hier nicht damit beschäftigen, sondern uns auf einen Fall beschränken, der analytisch behandelt werden kann, und welcher den Druck trifft, der von einem Flüssigkeitsstrome auf eine Ebene ausgeübt wird.

21. Druck eines fliessenden Stromes auf eine Ebene. Wir denken uns eine Flüssigkeit, deren Dichtigkeit p ist, durch eine Oefifnung von der Fläche co fliessend; die Geschwindigkeiten aller durch die Oeffnung gehenden Molecüle mögen gleich, parallel und unabhängig von der Zeit sein, auch wollen wir von der Schwere absehen, um nur die Wirkung zu betrachten, welche die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ausübt. Die Bewegung dieses Wasserstrahls wird durch eine Ebene modificirt, welche entweder fest ist oder sich parallel mit sich selbst bewegt; auch wollen wir voraussetzen, dass die Flüssigkeit längs der Ebene abfliesse, und dass diese gross genug *    ^ sei, damit alle Molecüle, bevor sie dieselbe verlassen, Geschwindig

keiten angenommen haben, welche dieser Ebene parallel sind. Man verlangt die Kraft zu wissen, die nothwendig ist, um die Ebene in der Ruhelage oder in einem gegebenen Zustande gleichförmiger-Bewegung zu erhalten.

Zuerst betrachten wir den Fall, wenn die Ebene in Ruhe ist und senkrecht auf der Richtung des Wasserstrahls steht, und, um uns das System bewegter Punkte bequemer vorzustellen, nehmen wir an, dass der Wasserstrahl unendlich lang sei und eine constante Geschwindigkeit v besitze. Die Molecüle der Flüssigkeit bilden sowohl vor als nach dem Zusammenstosse mit der Ebene ein System von freien Punkten, welche ihren gegenseitigen Wirkungen und normalen KFflften unterworfen sind, die auf einen Tlieil von ihnen durch die Ebene ausgeübt werden. Vermöge der allgemeinen Prin-

261

cipę der Bewegung ist nun, wenn man die Achse der positiven x im Sinne der Bewegung der Flüssigkeit nimmt,

d²x .

EX dl — Em

d²y

d²z

dt²

wo man mit X die Kraft bezeichnet, welche durch das Flächenelement dl der Ebene hervorgebracht wird, und welche dem Drucke, den die Flüssigkeit auf sie ausübt, gleich und entgegengesetzt ist. Bezeichnet man mit R die Summe aller dieser elementaren Druckkräfte, oder den Gesammtwiderstand der Ebene, so ist ferner

dt²

_ d²x R = Em —s-*

Unter der Voraussetzung, dass sich Alles im Beharrungszustande befindet, integriren wir beide Seiten dieser Gleichung nach der Zeit und zwar zwischen zwei Epochen, welche um die Einheit der Zeit von einander entfernt sind. Wir erhalten auf diese Weise

dx

R = Em--Em

dx

dt

.dt / o

Die rechte Seite dieser Gleichung giebt den Unterschied zwischen den senkrecht auf der Ebene stehenden Oomponenten der Bewegungsquantitäten der Flüssigkeit in diesen beiden Zeitpunkten; da nun alle Punkte, deren senkrecht gegen die Ebene gerichteten Geschwindigkeiten veränderlich sind , in jedem Augenblicke ein identisches System bilden, so folgt, dass der Werth des zweiten Theils nichts Anderes ist, als der Unterschied zwischen den Oomponenten der Bewegungsquantitäten desjenigen Theils der Flüssigkeit, welcher die Ebene verlassen hat, und desjenigen, um welchen der unbegrenzte Strahl vermindert ist. Nun verschwindet die erste Grösse, weil die Flüssigkeit die Ebene mit einer Geschwindigkeit verlässt, deren normal gegen die Ebene gerichtete Componente der Null gleich ist, es bleibt also nur die zweite Grösse übrig, deren Werth' das Product aus der in der Zeiteinheit abgeflossenen Flüssigkeitsmenge, oder aus gcav in die Geschwindigkeit v, also ~ qcov² ist. Demnach wird die vorige Gleichung

R = - QOJV².

Der gleiche und entgegengesetzte Druck, welchen die Ebene erfährt, ist daher = qoov².

22.    Wir nehmen jetzt an, dass die Ebene parallel mit sich selbst fortbewegt werde, und dass sie in jedem Punkte nur normale Kräfte erzeuge; wir brauchen dann die Componente ihrer Geschwindigkeit in der Richtung der Ebene selbst nicht zu beachten, und können uns auf die Betrachtung der normalen Geschwindigkeit u beschränken, welche als positiv oder negativ gilt, jenachdem sie mit v dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung hat. Man ändert aber nichts an den Druckkräften, wenn man allen Punkten des Systems eine gemeinschaftliche Bewegung mittheilt, und folglich kann man die Ebene als ruhend betrachten, was auf den vorigen Fall führt. Zu diesem Zwecke braucht man nur — u zur Geschwindigkeit eines jeden Punktes hinzuzufügen, und man hat denselben Fall, als wenn die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Oeffnung v —■ u wäre, während die Ebene in Ruhe bliebe; der Widerstand gegen die Ebene ist daher z= qco {v — u)².

23.    Wir setzen endlich voraus, dass die Ebene mit der Richtung des Strahls einen beliebigen Winkel & bilde und parallel mit sich selbst fortrücke. Ihre Geschwindigkeit zerlegen wir in zAvei Seitengeschwindigkeiten, deren eine in die Richtung der Ebene fällt und nicht zu berücksichtigen ist, und deren andere parallel zur Richtung des Strahls liegt. Letztere wollen wir mit u bezeichnen und dem ganzen Systeme eine gleiche und entgegengesetzte Geschwindigkeit ertheilen ; die Ebene gilt dann als unbeweglich und die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ist auf v — u zurückgeführt.

Nehmen wir jetzt die Achse der x senkrecht zu der festen Ebene, so haben wir immer die Gleichung

dx

SX dl = Sm — —■ Sm

dt    dt

und sobald der Zustand der Flüssigkeit permanent geworden ist, re-ducirt sich die rechte Seite wieder auf die während der Zeiteinheit abgeflossene Masse oder po> (v — u), multiplient in die normale Componente der Geschwindigkeit v — u, d. h. in (v—■ u) sin Der gegen die bewegte Ebene ausgeübte Druck ist also qco(v — u)² sm-fl. Man kann diesem Ausdrucke eine andre Form ertheilen, wenn man mit a die Geschwindigkeit der Ebene in der Richtung der Normalen

bezeichnet; es ist dann u ;=

—, und der Druck sm fr

{y sin -ft —a)²

= QCO

sin &

Befindet sich die Ebene in Ruhe, so wird a = 0, und der Druck re-ducirt sich auf qaiv² sin &.

Durch Betrachtungen andrer Art ist Coriolis zu denselben Formeln gelangt in seiner Abhandlung: sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines (Journal de l’Ecole Polytechnique XXI. Heft).

¹

^    '    0 ‘ )

eine Gleichung vom ersten Grade und erster Ordnung in Bezug auf z, die man in jedem Falle integriren kann, weil 0 und m bekannte Functionen von h sind.

Wenn z als Function von h bekannt ist, so kann man U und folglich aus Gleichung e) auch t erhalten, umgekehrt werden k und U bekannte Functionen von t sein. Der Werth von u wird durch die Gleichung b), und derjenige von p durch die Gleichung c) gegeben; die ausgeflossene Flüssigkeitsmenge bestimmt sich dadurch, dass man das Volumen berechnet, welches zwischen dem anfänglichen und variabeln Niveau enthalten ist, und die Dauer des gan-

²

Vergl. Weisbach, Ingenieur- und 'Mas ch inen - Mech an ik , Bd. 1, sowie dessen Hydraulische Versuche; ferner: Kühlmann, Hydromechanik, 3. Abtli.

Zweites Capitel.

Die Schwingungen elastischer Körper.

Die Grundgleichungen der Luftschwingungen.

24. Wenn alle Punkte einer Flüsssigkeit nur sehr kleine Bewegungen haben, so reduciren sich die allgemeinen Gleichungen bedeutend und führen zu einigen einfachen Gesetzen, welche wir entwickeln wollen. Wir setzen dabei voraus, dass der Ausdruck udx -j- vcly -f- wdz in jedem Augenblick das Differential einer Function qo von x, y, z, t, nach den Variabein x, y, z allein genommen, bilde, wozu nur erfordert wird, dass die bekannten Componenten u, v, m der Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes anfänglich die partiell nach x, y, z genommenen Differentialquotienten einer und derselben Function dieser drei, als unabhängig betrachteten Variabein bilden, wie es z. B. der Fall ist, wenn die anfänglichen Geschwindigkeiten Null sind. Wir werden also in den folgenden Untersuchungen von der Gleichung 6) in Nr. 7 Gebrauch machen, und erwähnen zunächst die Vereinfachungen, welche aus der Annahme folgen, dass die Bewegungen sehr klein bleiben.

Die Dichtigkeit des Gasös in seinem natürlichen Zustande des Gleichgewichts, wenn die Dichtigkeit des Quecksilbers zur Einheit genommen wird, heisse D, p₀ die elastische Kraft des Gases, h die Höhe des Quecksilbers, welche sie misst, und g die Schwerkraft; es ist dann

Po “ 9h-

Zwischen der variabelen Dichtigkeit q des Gases, zwischen seiner positiven oder negativen Verdichtung y und seiner elastischen Kraft p findet die Beziehung

₉ = 2?(i + y)

statt, und wenn wir die Temperatur gleich der des Anfangszustandes nehmen, so ist noch

P = gh{\ + y).

265

Aber die Verdichtung entwickelt eine gewisse Wärmemenge, welche ihr solange proportional bleibt als sie nur sehr gering ist, wie wir hier voraussetzen wollen. Diese Wärme hat keine Zeit sich zfl vertheilen, sobald die Abwechselungen der Ausdehnung und Verdichtung schnell auf einander folgen, wie es bei den hier zu behandelnden Fragen der Fall sein wird; die Wirkung der Wärme besteht also darin, dass sie die Temperatur der Punkte, in denen sie entwickelt wird, um eine Grösse erhöhet, welche dasselbe Vorzeichen mit der Verdichtung hat und der Grösse dieser letzteren proportional ist. Hätte dagegen die Wärme Zeit, sich in dem Mittel zu vertheilen, so würde man sie nicht in Rechnung bringen. Wir bezeichnen nun mit & die positive oder negative Anzahl von Centesimalgraden, um welche die anfängliche Temperatur v des Gases in Folge der Verdichtung y steigt, mit c und c die specifischen Wärmen des Gases bei constantem Drucke und constantem Volumen, mit cc den Ausdeh-nungscoöfficienten dieses Gases, und erinnern an das physikalische Gesetz, dass diese Grössen in folgender Beziehung zu einander stehen :

Ci

Man hat ferner die Proportion

p : Pq = D (1 + y) [l + a (v -j- #)] : D (l + uv) ;

setzt man jetzt gh für p₀, berücksichtigt nur die erste Potenz von a und vernachlässigt das Product der sehr kleinen Grössen y, af, so erhält man

p = gh (1 + y + a#),

oder, wenn man für a& seinen Werth als Function von y substituirt,

p =gh

(l +1 ?)

woraus

dp

ghc

dy

Die erwähnte Gleichung 6) giebt jetzt

ghc

(m + (??)

dt ² WdxJ \oy) \dzj _

2*1

266

Unter der Voraussetzung, dass die Verdichtungen und anfänglichen Geschwindigkeiten sehr kleine Grössen erster Ordnung sind und es zu jeder Zeit bleiben, kann man die Quadrate der Componenten

im Vergleich zu /( 1 -f- y) vernachlässigen, und dann reducirt sich die letzte Gleichung auf

ghc

dcp

De ⁷    dt

oder, wenn man jr-, = a² setzt, auf

1)

y ==:

1 dcp a² dt

Die Gleichung der Continuität

dA -j-    +    + d (qw) __ ₀

dt

dx

dy

dz

giebt zunächst

dy

d (l + y)

dcp

dx_

+'+'>ï]

d (l + y)

dcp

dz_

dx

' ’ày

' dz

oder bei Vernachlässigung der sehr kleinen Grössen in Bezug auf die übrigen

2)

Die Gleichungen l) und 2) bestimmen y und cp. Durch Elimination von y erhält man

3)

dt²

fd²cp    d²cp    d²cp\

Vda;²    dy²    dz² ) ’

und damit reducirt sich das Problem auf die Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit constanten Coëfficienten. Die willkürlichen Functionen bestimmen sich durch

g

die Anfangswerthe von cp und —, und man erhält keine sonstigen

Bedingungen weiter, wenn die Flüssigkeit nach allen Seiten hin unendlich ist. Im entgegengesetzten Falle giebt es, wie wir wissen, besondere Grenzbedingungen, Avelche die Schwierigkeiten der Rechnung bedeutend vergrössern.

267

dcp

Der Anfangswerth von ist bekannt durch den von y, welcher

dt

nothwendig gegeben sein muss; der Anfangswerth von cp folgt aus den Anfangswertlien • der Seitengesclrwindigkeiten

dcp dcp dcp

, „ , —, welche dx oy dz

ebenfalls gegeben sein müssen. Diese drei Functionen von x, y, z bestimmen die Function cp bis auf eine Constante, und da letztere keinen Einfluss auf die gesuchten Grössen haben kann, weil sie alle durch Differentiation der Function cp erhalten werden, so braucht man derselben keine Rechnung zu tragen. Das mechanische Problem ist hiermit auf eine Frage der Integralrechnung zurückgeführt, zu deren Feststellung alle Bedingungen vorhanden sind. Wir werden uns darauf beschränken, sie für einige specielle Fälle zu behandeln.

25. Uebereinanderlagerung der Wirkungen. Wenn man sich in einer Flüssigkeit, die nach allen Seiten hin als unbegrenzt angenommen werden soll, verschiedene Anfangszustände denkt und die partiellen Bewegungen betrachtet, welche ihnen entsprechen und der Gleichung 3) genügen würden, so erkennt man leicht, dass für einen neuen Anfangszustand, der aus der Zusammensetzung der ersten hervorgeht, die entsprechende Bewegung in einem beliebigen Zeitpunkte durch die Zusammensetzung der partiellen Bewegungen erhalten Averden kann, Avelche sich auf eben denselben Zeitpunkt beziehen, wobei diese Zusammensetzung in dem gewöhnlichen Sinne wie bei den Geschwindigkeiten gemeint ist, und in einer algebraischen Addition in Beziehung auf die Verdichtungen besteht.

Sind nämlich cpx, q>₂, <p₃, ... die Werthe von cp, welche den partiellen Bewegungen entsprechen und einzeln der Gleichung 3) genügen, und ist ferner

cp ^    + 9>2 + 9>3 + • • • -,

so genügt die Function cp selbst der Gleichung 3) und stellt folglich eine besondere Bewegung der Flüssigkeit dar; ihr nach t genommener Differentialquotient ist die Summe der Differentialquotienten von den Functionen qq, cp₂, qq etc. Betrachtet man letztere für den Werth t = 0, so folgt zunächst, dass die anfängliche Verdichtung der Fliis-. sigkeit bei der Bewegung, welche durch cp dargestellt Avird, die Summe der anfänglichen Verdichtungen ist, welche sich auf die verschiedenen partiellen Bewegungen beziehen, und ferner, dass die Differentialquotienten von cp nach x, y, z die Summen der Differen-

tialquotienten der Functionen çq, cp₂,    sind ; für t — 0 schliesst

man daraus, dass in der durch cp dargestellten Bewegung die anfäng

Wenn man jetzt, statt t = 0 in den Functionen

lichen Bewegungen dadurch erhalten Averden, dass man diejenigen zusammensetzt, Avelche sich auf ein.und dasselbe Molecül in den partiellen Anfangszuständen beziehen. Also ist der Anfangszustand der Flüssigkeit in der durch cp dargestellten Bewegung in Bezug auf die Verdichtungen und die Geschwindigkeiten identisch mit demjenigen, dessen Bestimmung wir uns zur Aufgabe gestellt haben, beide Bewegungen sind daher auch für einen beliebigen Zeitpunkt identisch.

~ zu nehmen, dieser Variabein einen beliebigen Werth

ertheilt, so bleiben diese Functionen immer die Summen von den Differentialquotienten, welche den Functionen çq, cp₂, cp₃, . • • entsprechen. Endlich sind die Verdichtungen und'die Componenten der Geschwindigkeit in der gesuchten Bewegung in jedem Augenblicke die algebraischen Summen von denjenigen, welche man zu eben derselben Zeit und in denselben Punkten an jenen Bewegungen beobachten würde, Avelche durch die partiellen Anfangszustände bestimmt sind.

Luftschwingung in einer unendlichen cylindrischen Röhre.

26.

S SS

QO

CO

Einen hohlen unendlichen Cylinder, dessen senkrechter Schnitt eine beliebige Curve bilden möge, denken wir uns mit einem homogenen Gase gefüllt und in einer beliebigen Ausdehnung dieses Rohrs die Molecüle so verschoben, dass diejenigen Moleciüe, AA’elche in einem und demselben orthogonalen Schnitte lagen, darin geblieben sind und sich parallel mit den Kanten des Cylinders fortbewegt haben; darauf mögen alle diese Molecüle Geschwindigkeiten erhalten haben, welche den Kanten parallel und für die in demselben Schnitte befindlichen Molecüle gleich sind, endlich denken wir uns das Fluidum sich selbst überlassen, ohne irgend eine äussere Kraft hinzuzubringen; es handelt sich darum, alle Umstände der Bewegung zu bestimfnen, welche aus diesen Bedingungen hervorgeht.

Zunächst bemerken Avir, dass die BeAvegung aller in einem und demselben Schnitte liegenden Molecüle dieselbe und zAvar parallel den Kanten des Cylinders sein Avird; nehmen wir also diese Richtung zur Aclise der x, so hängen die Verdichtung y und die Ge-

269

dcp

schwindigkeit u = cliungen der Bewegung

dx

nur won

x und t ab. Dabei sind die Glei-

i)

1 dcp d²cp

⁷'~~^di: W

d²cp

und wenn man voraussetzt, dass die anfänglichen Geschwindigkeiten durch die Function i//(af), und die anfänglichen Verdichtungen durch %(x) ausgedrückt sind, so wird

2)

dcp

dcp

— = ę{x\ — = — a\{x) für t = 0.

Das Integral der Gleichung l) ist

3)

cp = Fx(x ff- at) ff-    [x —• at,)

wo Fl und fx willkürliche Functionen bezeichnen, deren Differentialquotienten F und f heissen mögen. Die Gleichungen 2) geben zur Bestimmung dieser Functionen die beiden folgenden Gleichungen :

fix) ff- F(x) =: ip(x) und f(x) — F{x) === a%(x),

woraus folgt

fix) =

ip(x) ff- a%(x)

, F{x)

ip(x) — av(x)

Differentiirt man jetzt die Gleichung 3) nach x und t, so findet sich vermöge der für die Functionen f und F angegebenen Werthe

tjj(x ff- at) — a%ix ff" at)

ipix — at) ff- axix — at)

ay =

ap(x — at) ff- a%(sc — at)

ip(x -f- at) —• a%[x -f- at)

wobei wir der Einfachheit wegen die Functionen F und f beibehalten und nur schreiben

4)

5)

u = F{x -f- at) -j- fix — at). ay ~ —■ F(x ff- at) ff- fix ■—• at).

Sind die Functionen und % für alle Werthe der Variabein zwischen — oc und ff- oo gegeben, so kennt man jetzt auch u und y für beliebige Werthe von x und t.

— 270

Um die Bewegung der Molecüle in einem besonderen Schnitte, welcher im Anfangszustande der Abscisse u entspricht, kennen zu

lernen, hat man in der Gleichung 4) die Grösse u durch — zu ersetzen und diejenige Gleichung zu integriren, welche dadurch zwischen x und t entsteht; man erhält so die Abscisse der fraglichen Molecüle als Function der Zeit. Die durch die Integration eingeführte Constante bestimmt sich durch die Bedingung, dass x~a wird für t = 0. Es ist nicht nöthig, sich mit der Anfangsgeschwindigkeit zu beschäftigen, weil der allgemeine Werth von u der Bedingung der Anfangsgeschwindigkeiten für alle Punkte des Fluidums genügt.

27- Wir wollen den besonderen Fall untersuchen, wenn die anfängliche Erschütterung begrenzt ist, und sich von x = 0 bis x == / erstreckt, oder von dem Anfänge A bis B (Fig. 15). Die gegebenen Functionen tp und y sind dann Null für jeden Werth der Variabeln, der X~ kleiner als 0 oder grösser als I ist; ebenso verhält es sich mit den Functionen F und f. Wir wollen unsre Discussion in drei Theile theilen, welche den drei Abschnitten entsprechen, in welche die Achse der x durch die Strecke AB zerlegt wird.

a. Zunächst betrachten wir irgend einen Punkt M ausserhalb AB auf der Seite der positiven x, für welchen also x > l ist, und nehmen t^> 0, d. h. wir fassen solche Epochen ins Auge, welche auf den Anfangspunkt der Zeitzählung folgen. Es ist in diesem Falle

x -f- at > l

(Fig. 19.)

~A

M"

dx

M—X

und folglich

F(x + «/) — 0, f(x -f- at) 0.

Die Formeln 4) und 5) reduciren sich nunmehr auf die Glieder, in welchen x—■ at vorkommt, und man erhält

u =z f(x — at), ay — f(cc — at),

6)

woraus zwischen der Geschwindigkeit und der Verdichtung die merkwürdige Beziehung

folgt.

u = ay

Damit aber die Werthe von u und y nicht verschwinden,

muss

271

x — at <f_ l und x — at > 0,

oder

t <-

sein. Der Punkt M bleibt also in Rulie bis zu dem Augenblicke, wo

BM

x—l

wird, er ist nachher in Bewegung bis zur Zeit

AM

kehrt darauf in die Ruhelage zurück und bleibt fortwährend darin. Die Bewegung pflanzt sich also in der Richtung BX mit einer Geschwindigkeit a fort und besteht für jeden Punkt während einer Zeit

—, so dass der erschütterte Theil die Länge l besitzt und mit sich der

Geschwindigkeit a zu bewegen scheint, während er beständig denselben Anblick darbietet, weil die Variable x — at in ihm alle Werthe von 0 bis l besitzt. Aber diese Bewegung ist nur scheinbar, denn diese Welle besteht aus Molecülen, welche sich in jedem Augenblicke ersetzen, und man kann sagen, dass nur die geometrische Figur sich mit der Geschwindigkeit a bewegt, nicht aber die Mole-etile der Flüssigkeit, welche in ihr enthalten sind.

b. Für einen Punkt M\ bei welchem x < 0, also sicher auch x — at < 0 ist, erhält man

Fix — at) 0, f{x—at) = 0.

und die Formeln 4) und 5) reduciren sich auf die Glieder, in welchen x Ą- at voxkommt; es wird daher

7)

u = Fix -J- at), ay — — F{x -f at).

Bis auf das Vorzeichen findet hier dasselbe constante Verhältniss zwischen der Geschwindigkeit und der Verdichtung statt, nämlich die Gleichung

u = — ay.

Man erkennt leicht, dass u und y von der Null nicht verschieden sind, wofern

x + at > 0, x + at < J,

AM'    BM'

t> —, t <—;

a    a

wie man erwarten konnte, folgt daraus, dass die Bewegung sich in dem Theile AX' ebenso wie in dem Theile BX mit einer Geschwindigkeit a fortpflanzt, dass jeder Punkt sich während der Zeit — bewegt, dass der erschütterte Theil oder die Welle die Länge l besitzt und in immer gleicher Weise mit der Geschwindigkeit a im Sinne der negativen x fortrückt.

c.

woraus

oder auch

272

t<

Betrachten wir zuletzt einen Punkt M" zwischen A und B, so haben wir gleichzeitig x > 0 und æ < I, sodass x — at und x fl- at während einer gewissen Zeit immer zwischen 0 und l liegen ; es bestehen dann alle Glieder der Gleichungen 4) und 5). Dabei wird x fl- at > /, sobald

al = BM"

geworden ist, und von diesem Moment an verschwinden die Functionen von x fl- at. Ebenso wird x — at negativ nach einer Zeit, für welche

at — AM"

ist; demnach hat man die von x fl- at abhängigen Glieder, welche sich auf die gegen die negativen x fortschreitende Welle beziehen, nur so weit zu beachten, bis der Punkt B in M" angekommen ist, während er sich mit der Geschwindigkeit a bewegt ; ebenso sind die von x — at abhängigen Glieder, welche sich auf die gegen die positiven x fortschreitende Welle beziehen, nur so weit zu berücksichtigen, bis der Punkt A, welcher sich mit der Geschwindigkeit a bewegt, in M" angekommen ist. Wenn man also die beiden Theile, welche die Formeln 4) und 5) bilden, so ansieht, als ob sie die Geschwindigkeiten und Verdichtungen in zwei verschiedenen Wellen ausdrückten, und voraussetzt, dass jede dieser Wellen sich mit einer Geschwindigkeit «, die eine in der einen Richtung, die andere in der entgegengesetzten, fortpflanzt, während sie immer dieselbe Beschaffenheit behalten, so kann man für einen beliebigen Augenblick

273

den Zustand des Fluidums dadurch erhalten, dass man diese beiden Wellen in die Lage bringt, in welche ihre Bewegung sie in diesem Zeitpunkte übergeführt hat, und die Verdichtungen und Geschwindigkeiten an den Stellen addirt, wo sie sich durchdringen, wenn sie noch nicht gänzlich getrennt sind.

Diejenigen Zustände, welche dem Anfänge der Zeitzählung vorausgehen, würde man dadurch erhalten, dass man dieselben Wellen in entgegengesetztem Sinne mit der Geschwindigkeit a während eines Zeitraums fortschreiten liesse, welcher gleich demjenigen ist, der die fragliche Epoche vom Anfänge der Zeiten trennt.

28. Wir haben so eben gesehen, dass eine anfängliche Erschütterung von endlicher Länge zwei Wellen, von derselben Länge erzeugt, die gleiche Geschwindigkeiten besitzen und in entgegengesetzter Richtung fortschreiten; doch ist es möglich, dass die eine dieser Wellen nicht existirt. Die erste z. B., welche den Gleichungen 6) entspricht, verschwindet, wenn für alle Werthe von z zwischen 0 und l die Gleichung

'ip (z) + a % (z) = 0

stattfindet; es bleibt dann nur die den Formeln 7) entsprechende Welle. Umgekehrt verschwindet die letztere und existirt nur die erste, wenn

y(z) — a % (z) = 0.

Zum Vorhandensein von nur einer Welle ist also die Gleichung — -f- a erforderlich und ausreichend, d. h. es muss im Anfangs-

i 0)

zustande das Verhaltniss der Geschwindigkeit zu der Dichtigkeit in einem beliebigen Punkte des erschütterten Tlieils entweder = + a oder = — a sein.

Luftschwingung in einem einseitig begrenzten Cylinder.

29. Nachdem wir das Gesetz der Bewegung in einem nach beiden Seiten hin unendlichen Cylinder kennen gelernt haben, wollen wir die Aenderung untersuchen, welche für den Fall eintritt, dass das Rohr in der einen Richtung begrenzt und durch eine feste Ebene geschlossen ist, oder dass es mit einem unendlich grossen Gasbehälter communient, der einem constanten Drucke unterliegt, wie z. B. die Atmosphäre. Wir werden beide Fälle einzeln untersuchen.

18

II.

274

a. Wir denken uns das Rohr durch eine feste Ebene geschlossen und zählen die positiven x von dieser Ebene an in der Richtung der Röhre; ferner setzen wir immer voraus, dass die Molecüle, die anfangs in Berührung mit der Wand sind, es beständig bleiben. In dem vorliegenden Falle besitzt der zur Abscisse x s= 0 gehörende Schnitt in jedem Augenblicke die Geschwindigkeit Null und es ist daher für jedes t

1)

dcp

Tr- = 0 für x ~ (). .

dx

Diese neue Bedingung muss mit den Gleichungen verbunden werden, welche für den Anfangszustand des Gases gelten, der andererseits für die ganze Ausdehnung des Rohrs d. h. für alle positiven x gegeben ist. Wir bezeichnen ferner die anfängliche Geschwindigkeit und Verdichtung immer mit ip (x) und %(x) und denken uns diese Functionen nur für die positiven Werthe der Variabein als gegeben, dagegen für negative Werthe der letzteren als ganz willkürlich. Diese Unbestimmtheit gestattet die Erfüllung der auf das Ende des Rohrs bezüglichen Bedingung; denn wir haben gesehen, dass, wenn diese Functionen für alle Werthe der Variabein gegeben sind, der Werth von cp vollkommen bestimmt ist, und dass man ihn also keiner besonderen Bedingung unterwerfen kann.

Der allgemeine Werth von <p, welcher der Differentialgleichung genügt, ist immer

2)

cp = Fi (x -J- ai) -f- /j {x ■—• af).

Die Bedingung 1) führt zu folgender Gleichung:

F (ai) + f (— ai) = 0,

und da sie für jeden Werth von t gelten muss, so hat man durch Substitution von z statt at für jeden Werth von z die Gleichung:

3)

F(z) + f(— z) 0.

Mittelst dieser Gleichung werden die Functionen F und f, welche für die positiven Werthe der Variabein gegeben sind, auch für deren negative Werthe bestimmt, in sofern

275

wird; vertauscht man in der Gleichung 3) z gegen —z, so wird ferner

welche Gleichung F für alle negativen Werthe der Variabcln giebt.

Diese Bedingungen können geometrisch auf eine sehr einfache Weise dargestellt werden. Denkt man sich nämlich in der ganzen Ausdehnung der Achse der x die Curven construirt, deren Gleichungen

y = F (x) und y = f (x)

sind, so hat der geometrische Ort, welcher aus dem auf der Seite der positiven x liegenden Theile irgend einer von beiden Curven und aus demjenigen Theile der andern, welcher auf der Seite der negativen x liegt, zusammengesetzt ist, den Coordinatenanfang zum Mittelpunkt; ausserdem werden diejenigen Zweige beider Curven, welche auf der Seite der positiven x liegen, wie wir schon gesehen haben, durch die Functionen ijj und % bestimmt, die in jedem besonderen Falle gegeben sind. Diese Construction, welche nur die Darstellung der analytischen Bedingungen ist, kann letztere immer vertreten und bisweilen die Discussionen erleichtern.

Man sieht also, wie die Bedingung l), welche die Unbeweglichkeit eines Querschnittes des Gases ausdrückt, zur vollständigen Kenntniss der Functionen F und f und folglich zur Lösung der gestellten Aufgabe dient.

dx

Der Werth von ^ oder der Geschwindigkeit u, und der Ver-

diehtung y — — Ą ”, werden nach Gleichung 2) auf folgende Weise ausgedrückt:

4)

u — F (pc + at) + f (x — at),

5)

ay — — F (x + at) -{- f (x — al).

Diese Formeln führen zunächst zu der merkwürdigen Folgerung, dass zu irgend einer Zeit in zwei Punkten, welche in gleicher Entfernung von der festen Ebene und auf verschiedenen Seiten von derselben liegen, die Geschwindigkeit bis auf das Zeichen und die Verdichtung dieselbe ist. Aendert man nämlich in u die Variable x in —• x und bezeichnet mit uj ihren neuen Werth, so hat man

18*

276 u± — F-(— x -f- al) + f (— x — at)

— — f {x — at) — F (x at) == — ?/, und ebenso, wenn man in ay die Variable x in —x verwandelt, a7i — —F (— « + at) + f (— x — at)

= f (x — at) — F (x -f- at) = ay.

Diese Eigenschaft, welche für jeden Werth von t existirt, findet auch für t s= 0 im Anfangszustande statt, und wir wollen liier, insbesondere bei dem Verfahren verweilen, mittelst dessen man die Bedingungen, welche sich auf die Grenzen der Systeme beziehen, durch .die Rechnung ausdrückt.

Die partielle Differentialgleichung der Bewegung würde dieselbe bleiben, wenn man die feste Wand wegnähme und den

Ueber den

Cylinder rückwärts in’s Unendliche verlängerte. Anfangszustand in dem hinzugekommenen Raume kann man willkürlich verfügen, und die ganze Schwierigkeit besteht darin, eine solche Wahl für jdin zu treffen, dass, wenn man das gesammte System sich selbst überlässt, diese Bedingungen in jedem Augenblicke von selbst erfüllt werden, ohne dass man Rücksicht auf die physischen Bedingungen zu nehmen hätte, welche an den Grenzen existiren. Kann man hierzu gelangen, so geht die Aufgabe über das begrenzte System in die immer leichtere Aufgabe des unendlichen Systems über, in welchem der Anfangszustand bekannt ist. Im vorliegenden Falle war leicht vorauszusehen, was die Rechnung rücksichtlich des Anfangszustandes zeigte,'welchen man der Flüssigkeit in der Verlängerung des Rohrs auf der Seite der negativen x geben musste. Ertheilt man nämlich den Moleciilen, welche in gleich weit vom Anfang entfernten Querschnitten liegen, gleiche und mit entgegengesetztem Zeichen versehene Geschwindigkeiten, so ist, unter der Annahme identischer Verdichtungen, Alles in Beziehung auf den Anfang symmetrisch, und wenn man die feste Ebene ausser Acht lässt, so werden die Molecüle, welche sie ersetzen, in jedem Augenblicke von gleichen und entgegengesetzten Kräften getrieben und bleiben desshalb immer in Ruhe.

30. Wir wollen insbesondere den Fall untersuchen, wenn die anfängliche Erschütterung sich nur von x = d bis x = d -}- l erstreckt. Die Functionen F und f verschwinden dann für alle positiven Werthe der Variabein, welche nicht zwischen d und d ff- l lie-

277

(Fig. 18.)

gen, und nach Gleichung 3) für alle negativen Werthe, die nicht zwischen — d und —(d -f Z) enthalten sind. Dies stellt Fig. 18 dar, in welcher AB — AB' — d und BC = BC' <= Z.

b’

C'

Der Theil BC der Erschütterung erzeugt zAvei W eilen, die eine mit der Geschwin-

digkeit -f- a, die andere mit der Geschwindigkeit a ; der Theil B C’ bringt zwei Wellen hervor, welche in Bezug auf den Punkt A beständig mit den beiden andern symme

trisch liegen. Wenn beide in A angekommen sind, so setzen sie ihren Gang fort, lagern sich über einander und durchdringen sich nach dem allgemein bewiesenen Principe. Hieraus ersieht man, dass die Wirkung in dem geschlossenen Rohre AX dieselbe ist, als wenn die von BC nach der festen Ebene A fortschreitende Welle, sobald sie in A angekommen ist, sich so umwendete, dass ihre verschiedenen Punkte mit Beibehaltung derselben Verdichtung und derselben, aber entgegengesetzten, Geschwindigkeit sich immer mit denjenigen Thei-len auf einander lagerten, welche derselben Abscisse entsprechen und nach der festen Ebene fortrücken ; und wenn das zweite Ende

der von BC ausgegangenen Welle in A angelangt ist, so findet sich die ganze Welle in umgekehrter Ordnung umgewendet und rückt bis ins Unendliche auf der Seite der positiven x fort. Hierin besteht die Reflexion einer Welle von einer ihr parallelen Ebene. Diese Wirkung wird bei jeder beliebigen Länge des erschütterten Theils BC hervorgebracht; sie kann sich von der Ebene A bis x — co erstrecken, sie kann auch eine unendlich kleine Länge a haben. Findet man es in gewissen Fällen vortheilhaft,, die Erschüt

terung in unendlich kleine Theile zu zerlegen , so hat man immer die Wirkungen zusammenzusetzen, welche den einzelnen Ele-

nur

menten nach einer beliebigen Zeit entsprechen, um die Totalwirkung zu erhalten, welche der gegebenen Erschütterung nach eben

derselben Zeit entspricht.

b. Wir wollen jetzt annehmen, dass die Röhre in A offen sei und in Verbindung mit einem Gasbehälter stehe, der nach allen Seiten hin unendlich ist, wie z. B. die Atmosphäre ; zugleich sei der an der Oberfläche der Verbindung stattfindende Druck immer derselbe

278

wie der im Behälter stattfindende, welchen wir als constant voraussetzen. Denselben Druck würde man in dem Gase des Rohrs beobachten , wenn Gleichgewicht vorhanden ist; y möge die Vermehrung der Dichtigkeit bezeichnen, wenn man von der dem Gleichgewicht entsprechenden Dichtigkeit ausgeht. Hiernach ist für alle Punkte des Gases in dem Rohre

1)

d~<p_    ₉ d²cp

dt~    dxv

und bei jedem t

2)

dcp

—- = 0 für x = 0.

dt

Ferner wollen wir die anfängliche Geschwindigkeit und Verdichtung mit ip(x) und %(x) bezeichnen, welche Functionen zwischen x == 0 und x + oo gegeben und zwischen x — 0 und x = — oo vollkommen willkürlich sind. Mittelst dieser Unbestimmtheit genügt man der Bedingung, welche sich auf das Ende des Rohrs bezieht. Das allgemeine Integral der Gleichung 1) ist noch

cp = Fx (x + ai) + {x — ai),

und die Bedingung 2) führt zu folgender Gleichung, in welcher 2 nach Grösse und Zeichen durchaus unbestimmt ist, und F, f die Differentialquotienten der Functionen F₁, /j sind :

3)

F{z) = n-z).

Denkt man sich zwei Curven durch die Gleichungen y = F(x) und y — f(x)

nur

ihre negativen Werthe bestimmt. Ferner gilt hier- wie im vorigen Falle die Bemerkung, dass die Aufgabe dieselbe ist, als wenn man das Rohr auf der Seite der negativen x unendlich verlängerte und dem Gase in dieser Verlängerung einen Anfangszustand beilegte,

bestimmt, so ist der geometrische Ort, Avelcher aus dem auf der Seite der positiven x liegenden Theile irgend einer von beiden Curven und aus demjenigen Theile der andern, welcher auf der Seite der negativen x liegt, zusammengesetzt werden kann, symmetrisch in Beziehung auf die Achse der y. Mit Hülfe der Gleichung 3) sind also die Functionen F und ft welche den Functionen ip und % gemäss für die positiven Werthe der Variabein gegeben sind, auch für

279

der durch die Functionen F und f dargestellt wird , wie wir sie oben für die negativen Werthe der Variabein bestimmt haben.

Die Werthe von u und y werden durch folgende Formeln dar

gestellt:

4)

u = F (sc + ai) -j- f(x— ai)

5)

ay = —■ Fix + ai) + f(x—ai).

Vertauscht man in den Gleichungen 4) und 5) x gegen —x, so findet man mit Rücksichtnahme auf die Gleichung 3), wenn man die neuen Werthe von und y mit ul und y₁ bezeichnet,

ui = F(—- x -f- ai) -f- f(—x —at) = f(x — ai) -f- F(x -f- ai) = u, ayx = — F{—- x + ai) -f- /*(— x — at)

— — f(x — ai) + F (x + ai) = •— ay.

Also sind in zwei beliebigen Punkten, welche zu beiden Seiten und in gleichem Abstande vom Anfang liegen, die Geschwindigkeiten gleich und von gleicher Richtung, und die Verdichtungen gleich aber von entgegengesetztem Zeichen.

Diese Anordnung, welche für jeden Augenblick gilt, findet auch im Anfangszustande statt. Unter der Voraussetzung eines' offenen Rohrs besteht also das Mittel zur Réduction des vorliegenden Falles auf den eines unendlichen Rohrs darin, dass man sich die Röhre verlängert und mit einem dem ersten identischen Gase erfüllt denkt und über den Anfang der Bewegung so verfügt, dass zAvei gleich weit vom Anfang abstehende und zu verschiedenen Seiten desselben liegende Punkte gleiche und gleichgerichtete Geschwindigkeiten und gleiche aber mit entgegengesetztem Zeichen versehene Verdichtungen erhalten.

31.

Wir untersuchen" noch den besondern Fall, wenn die an-

fängliche Erschütterung in einer begrenzten Ausdehnung BC (Fig. 19) zwischen den Abscissen d

i und d -f-1 gegeben ist. Die Functionen F und f ver-s schwinden dann für alle s Werthe der Variabein, die nicht zwischen d und d + l 3 liegen, und nach Gleichung 3) für alle negativen Werthe,

(Fig. 19.)

/•_

c'

B’

EEsÜ

FS

— 280

die nicht zwischen —• d und —■ d — Z fallen ; sie sind durch die krummen

===1

B'

C'

Linien der Figur bezeichnet. Die Wellen, welche einer jeden der beiden Erschütterungen BC, C B' entsprechen, gehen mit einer constanten Geschwindigkeit a fort ; die beiden, welche sich von A entfernen, geben zu keiner besonderen Bemerkung Veranlassung: die beiden andern kommen zusammen iu dem Punkte A an und setzen ihren Gang fort, indem sie sich in dem gemeinschaftlichen Punkte auf einander lagern. Wenn das zweite Ende einer jeden in A angekoiümen ist, so sind beide Wellen völlig getrennt, und diejenige, welche von C B hergekommen ist, setzt ihre Bewegung in der Richtung der positiven x bis ins Unendliche fort. In der bei A offenen Röhre erzeugt also die in diesem Punkte eintretende Reflexion genau die letztere Welle.

Die Beziehung zwischen der zurückgeworfenen und einfallenden Welle folgt aus der oben gemachten Bemerkung, welche sich auf die Punkte bezieht, welche gleiche und mit verschiedenen Zeichen versehene Abscissen haben. Wenn nämlich die einfallende Welle ohne Störung ihre Bewegung auf der Seite der negativen Abscissen fortsetzt, so ergiebt sich zufolge der in Erinnerung gebrachten Bemerkung, dass man, um die reflectirte Welle zu erhalten, den Vorgang so auffassen muss, als wenn jedes in A ankom-mende Element der Welle sich mit der Geschwindigkeit a umwendete, und zwar so, dass die absolute Geschwindigkeit desselben nach Grösse und Zeichen dieselbe bleibt, während die Verdichtung ihr Zeichen mit Beibehaltung ihrer Grösse ändert.

Stiesse die zurückgeworfene Welle von Neuem auf eine Oeff-nung, welche mit dem unendlichen Behälter communicirt, so würde sie eine neue Reflexion nach denselben Gesetzen erleiden und identisch mit der ersten einfallenden Welle werden; diese Erscheinung könnte sich bis ins Unendliche wiederholen.

Luftschwingung in einem beiderseits begrenzten Cylinder.

32. Wenn ein Rohr nach beiden Richtungen begrenzt ist, so erscheinen an seinen Enden , mögen sie nun geschlossen oder geöff-

281

net sein, ähnliche Wirkungen wie die eben betrachteten. Jedes Element der Erschütterung erzeugt zwei Wellen, welche in verschiedener Richtung fortschreiten und an den Enden nach den vorhin aufgestellten Gesetzen reflectirt werden. Man kann somit die Perio-dicität dieser Bewegung und die Dauer der Periode kennen lernen.

Wir betrachten zunächst ein an beiden Enden geschlossenes Rohr, worin ein unendlich kleines Element der anfänglichen Erschütterung zwei elementare Wellen erzeugt. Ist eine derselben am Ende angekommen, so wird sie in der Weise zurückgeworfen, dass die Verdichtung dieselbe bleibt und auch die Geschwindigkeit nur das Zeichen ändert; am zweiten Ende angekommen wird sie von Neuem zurückgeworfen, wobei sie dieselbe Dichtigkeit und dieselbe Geschwindigkeit mit verändertem Zeichen behält: sie ist also in denselben Zustand wie im Momente ihres Ausgangs zurückgekommen. Sie nimmt jetzt ihre anfängliche Lage wieder ein, nachdem sie mit der Geschwindigkeit a einen Raum durchlaufen hat, welcher das Doppelte von der Länge des Rohrs ist; ebenso verhält es sich mit allen Elementen der anfänglichen Erschütterung, und folglich ist der Zustand des Gases in diesem Augenblicke in der ganzen Ausdehnung des Rohrs derselbe wie im Anfänge der Bewegung. Die folgenden Zustände sind daher nur Wiederholungen der früheren, und diese Bewegung kehrt immer periodisch wieder. Bezerchnet man

21

mit l die Länge des Rohrs, so ist die Dauer der Periode — —. Eine

analoge Betrachtung zeigt, dass in einer an beiden Enden offenen Röhre der Zustand des Gases wieder derselbe wird, wenn die elementare Welle den Raum 2? durchlaufen hat.

Ist aber das Rohr an dem einen Ende geschlossen und am andern offen, so sind die Umstände nicht ganz dieselben; denn damit der nämliche Zustand des Gases wiederkehre, ist es nöthig, dass die elementare Welle zweimal dieselbe Art der Reflexion erfahre, und da die beiden Enden verschiedene Zurückwerfungen erzeugen, so muss diese Welle die Länge des Rohrs vier Mal durchlaufen ha-

41

ben, und folglich wird die Dauer der Periode — sein.

Bekanntlich versteht man unter Schwingung eine periodisch sich wiederholende Bewegung, und man weiss aus der Physik, dass der von ihr erzeugte Ton um so höher wird, je grösser die Anzahl der Schwingungen in einer und derselben Zeit ist. Der obigen Erörterung zufolge muss der Ton, welcher durch eine an dem einen

282

Ende geschlossene und am andern offene Röhre erzeugt wird, die untere Octave von demjenigen sein, welchen ein Rohr von derselben Länge hervorbringen würde, das an beiden Enden geschlossen oder offen ist.

Die Dauer, welche wir für die Periode gefunden haben, ist übrigens eine obere Grenze. Wir haben nämlich bewiesen, dass nach diesem Zeiträume derselbe Zustand des Gases wieder eintritt, und im Allgemeinen wird er.nicht früher zurückkehren; möglicherweise könnte aber der anfängliche Zustand so beschaffen sein, dass er sich identisch wiedererzeugt, bevor jener Zeitraum vollendet ist, und dann wird diese Periode nur ein Bruchtheil der ersten sein können. Wir deuten dies Resultat hier nur an; wir werden es aber demnächst bei der directen und vollständigen Discussion der drei Fälle wiederfinden.

(Fig. 20.)

a. Bezeichnen wir £ mit l die Länge des ~ an beiden Enden geschlossenen Rohrs AB (Fig. 20), so haben wir unter Beibehaltung.der früheren Zeichen folgenden Gleichungen zu genügen:

d²cp_ ₂ d~cp

dl²    dx²

A\

1)

»-i

' Si

Pj

's?

ec

dcp

dcp

— a~ %{x) für l — 0.

Das allgemeine Integral der Gleichung l) ist

cp = Fy (x -f- at) -f- /j (x—at).

folgen-

zu

Die Bedingung 2), welche sich auf x == 0 bezieht, führt der Gleichung, in welcher z eine willkürliche Grösse bezeichnet:

4)

F(z) +/■(- *) = 0.

Dieselbe Bedingung 2), für x = l betrachtet, giebt:

5)

F(J + z) -\- f (l — z) = 0.

Die Functionen F und f, welche sich wie früher aus den gegebenen Functionen if>, % ableiten lassen, sind wie letztere nur für diejenigen.

283

Werthe der Variabein bestimmt, welche zwischen 0 und l liegen. Die Gleichungen 4) und 5) bestimmen sie vollständig, und dann erkennt man, welches der Anfangszustand des Gases in einer nach beiden Seiten hin unendlichen Röhre sein müsste, um zwischen 0 und l alle dieselben Wirkungen darzustellen, welche in dem vorliegenden Rohre entstehen.

Die Gleichung 4) drückt wie früher aus, dass, wenn man die

Curven betrachtet, deren Gleichungen

y = F{x), y i= f\x)

von x = — oo bis x

-f- oo sind, der geometrische Ort, der von dem auf der einen Seite von A liegenden Theile der einen und von dem auf der andern Seite von A liegenden Theile der anderen gebildet wird, zum Mittelpunkte den Punkt A hat. In ähnlicher Weise sagt die Gleichung 5), dass dasselbe für den Punkt B gilt. Da dieser Ort zwei Mittelpunkte A und B hat, so besitzt er noch unendlich viele andere, welche um eine und dieselbe Grösse l von einander abstehen und rechts und links von dem Anfänge A liegen, wie die Figur zeigt. Jede der Functionen F und f ist daher periodisch in Bezug auf die Variable und behält denselben Werth, wenn diese Variable um 21 wächst’oder abnimmt.

Diese wichtige Eigenschaft kann übrigens auch leicht aus den Gleichungen 4) und 5) hergeleitet werden. Wenn man nämlich in der letzten z in z -}- l ändert, so wird sie

F (2Z + z) + f (— z) = 0,

ein Resultat, welches, mit Gleichung 4) combinirt, folgende Gleichung für einen beliebigen Werth von z giebt:

F (z) — F (2/ + z) ;

zum

Periodicität der Function f beweisen. Man verwandelt nämlich in

daraus folgt, dass die Function F periodisch ist, und dass die Periode Index den Werth 2J hat. Auf ähnliche Weise kann man die

Gleichung 5) die Variable 2 in z —• l, was

F (z) + f (21 — z)

giebt, und erhält vermöge der Gleichung 4)

Da diese für jeden Werth von 2 gilt, er mag positiv oder negativ sein, so beweist sie die Periodicität der Function f, und dass der Index der Periode, ebenso wie für die Function F, den Werth 21 besitzt.

284

Aus dem Werthe von (p erhält man wie früher die Grössen u und ay. nämlich:

u = F(x -f- at) + fix —• at) ay = — F(x -j- ai) -f- fix -— at).

Nun folgt aus der Periodicität der Functionen F und f dass die Geschwindigkeit und die Verdichtung eines beliebigen Punktes in solchen Augenblicken, die um eine Grösse T von einander entfernt sind, immer wieder dieselben Werthe annehmen, wenn T durch die Gleichung

aT ;= 21

bestimmt wird. Der Zustand des Rohrs ist also ein periodischer

wie wir schon gefun-

und wiederholt sich in den Zeiträumen den hatten.

b. Wenn die Röhre an beiden Enden offen ist, so muss die Verdichtung in jedem Augenblicke an beiden Enden = o sein, mithin für jedes t

dcp

— = 0 für x ~ 0 und für x — l,

dt

woraus für jedes z folgt

1)

2)

F(t + z) —    —

ändert man in Gleichung 2) z in z -f- l, so wird

F(2l+ z) =f(— z),

und nach Gleichung l)

F (21 + z) = F (z) ;

demnach ist auch die Function F periodisch und ihre Periode entspricht der Ausdehnung 21 der Variabein.

Man gelangt zu derselben Folgerung für die Function f indem man in Gleichung 2) die Grösse z in z —l verwandelt; diess giebt

- F (z) — f(2l z),

und nach Gleichung l)

f‘(2l — z) = fi—z).

285

Der Zustand des Rohrs ist also periodisch derselbe nach je zwei um 2/

das Intervall — von einander entfernten Zeiten.

c. Ist die Röhre an dem einen Ende geschlossen und am andern offen, so legen wir den Coordinatenanfang an das geschlossene Ende und erhalten für jeden Werth von t

ü(p

— = 0 für x 0,

dx

dt

2)

Diese beiden Bedingungen führen zu folgenden:

3)

4)

F(z) + f(—z) = 0, F(l + z) == f(l— z).

Aendert man in Gleichung 4) z in z -j- Ï, so wird

F (21 + z) = f{—z),

und nach Gleichung 3),

F (2/ + z) — ■— F (z).

Die Function F nimmt also nicht wieder denselben Werth an, wenn die Variable um 21 wächst. Jedoch unterscheiden sich diese beiden Wertlie nur durch das Zeichen. Vermehrt man die Variable von Neuem um 21, so erhält die Function ihren ersten Werth wieder, ist also periodisch mit dem Intervalle 41 der Variabein.

Dieselbe'Eigenschaft ergiebt sich für die Function f, wenn in Gleichung 4) z in z—l verwandelt. Daraus folgt, dass in

man

dem vorliegenden Falle der Zustand des Rohrs auch periodisch

41

wiederkehrt und zwar im Allgemeinen erst nach dem Intervalle —, wie wir schon anfangs gezeigt hatten.

Auflösung der vorigen Aufgaben mittelst trigonometrischer

Reihen.

33.

Wir wollen jetzt die Frage über die Bewegung der Luft oder eines beliebigen Gases in einer endlichen Röhre mittelst einei sehr fruchtbaren und in den meisten Fällen viel bequemeren Me-

286

tliode behandeln. Sie besteht darin, nicht sogleich das allgemeine Integral der partiellen Differentialgleichungen, sondern eine unendliche Anzahl particulärer Integrale aufzusuchen, welche man so bestimmt, dass jedes einzelne den Grenzbedingungen der Aufgabe genügt. Eichtet man die Gleichungen so ein, dass sie keine von der Function oder deren Differentialquotienten unabhängigen Glieder enthalten, so ist eine Summe von particulären Integralen, deren jedes mit einer willkürlichen Constanten multiplicirt wird, gleichfalls ein Integral der Differentialgleichung, und es genügt auch den Grenzbedingungen, wenn jedes der particulären Integrale ihnen genügt. Es handelt sich also nur noch darum, die unendliche-Anzahl der Constanten, welche diess Integral einschliesst, so zu bestimmen, dass man für t = 0 den gegebenen Anfangszustand erhält. Indem wir diesen Gang befolgen, wollen wir die Losung der letzten Probleme wieder aufnehmen.

Bewegung eines Gases in einem an beiden Enden geschlossenen Cylinder. Bei denselben Bezeichnungen wie vorher hat man folgenden Gleichungen zu genügen :

d²tp , d²tp '

di¹

^ = -

2)

dtp

—- — 0 für x = o und für x — L dx

3)

dcp

dx ⁼ ^ für ¹ = °’

4)

dtp

dt

— — a~ i(x) für 10.

Man sieht unmittelbar, dass die Gleichung j) durch folgenden Werth von tp erfüllt wird

cp := (M cos mx -f- N sin mx) (A sin amt -f- B cos amt),

wo M, N, A, B willkürliche Constanten bezeichnen. Um der Gleichung 2) zu genügen, muss man für jeden Werth von t die Bedingung haben, dass der Differentialquotient des ersten Factors, nämlich

— m [M sin mx — N cos mx)

sowohl für x = o als für x = l verschwindet; hieraus folgen die Gleichungen :

287

nn

N = O, sin ml 0, mithin ni = —

wo n eine beliebige ganze positive oder negative Zahl bezeichnet. Man kann sich jedoch auf die positiven Werthe beschränken, weil die Werthe von cp, welche den negativen Werthen von n entsprechen, sich nicht von den ersteren unterscheiden würden, wofern man die Unbestimmtheit der Coefficienten berücksichtigt.

Bezeichnen wir mit 2 eine Summe, welche sich auf alle ganzen und positiven Werthe von n erstreckt, lassen wir ferner A und B sich willkürlich mit n ändern und werfen wir endlich den unnützen Factor M weg, so erhalten wir ein allgemeineres Integral der Gleichung l), welches den Grenzbedingungen des Rohrs genügt; dieses Integral ist

(p = JE cos

nnx

A sin

annt

-f- B cos

annt

Indem wir diesen Ausdruck nach x und t differentiiren, um daraus u und y abzuleiten, welche die Lösung der Frage geben, und für

7ZTC    ?lTt

A und B die willkürlichen Constanten A — -f- B — substituiren, erhalten wir

5)

. nnx (    . annt

u — —■ 2 sin —-— I A sin —7— -J- B cos

annt

nnx

annt

6) ay ~ —• 2? cos

. annt    .

A cos —---- B sm

Für t x= 0 geben die Gleichungen 3) und 4) folgende Bedingungen zur Bestimmung von A und B:

7)

2 B sin

nnx

8)

2 A cos

nnx

— a % (x).

Um die Coefficienten B zu bestimmen, wollen wir die Function f(x), welche bloss von x = 0 bis x = l gegeben ist, in eine Reihe nach den Sinus der Vielfachen von x entwickeln; wir setzen dabei die Eigenschaft ,

vfj(—x) ~ —• ip(x)

288

voraus, die aber desswegen zulässig ist, weil ty(x) ausserhalb der Grenzen 0 und l ganz willkürlich bleibt. Mittelst der bekannten Formel

oo

- n 2    . - mtx f*

9>O0 ^ y ,> sin — j cp (fr)

1 0

. nn& sin —— ad-

erkennt man, dass die Bedingung 7) erfüllt wird, wenn man für B folgenden Ausdruck nimmt:

jJ

0

• n7t& sin ——— a&.

Um der Gleichung 8) zu genügen, muss man von einer Entwickelung Gebrauch machen, in welcher nur die Cosinus der Vielfachen von x Vorkommen; die hierzu nötliige Eigenschaft

%(—*) = %(x)

darf man voraussetzen, weil die Function % ausserhalb der Grenzen 0 und l beliebig ist. Benutzt man die Formel

cp (x)    y J y (^) dfr ~ł“

o

oo

n%x cos ——

Jcp(fr)

0

cos

nn&

d&,

so ist im vorliegenden Falle

(19 = 0,

denn die mittlere Verdichtung des Gases in dem Rohre ist Null, weil die äussersten Querschnitte unbeweglich geblieben sind. Man genügt also der Gleichung 8) bei ganzen n > 0 durch die Annahme

nrc9 n cos —— (19.

jo

Die Formeln 5) und 6) werden jetzt'

289 —

a sin

arnit

mtd'

cos- d&

2

9) u = — S sin

nnx

~~r<\

, annt -j- cos ——-

sin

nn&

annt cos ——

2

— S cos

nnx

f*

J z(&)

0

nn&

cos-(UT

>•

--sin

annt /*

—J *<■*>

, 0

sin

d&

Nimmt man bei einem und demselben t solche Wertlie für ,r, welche sich von einander um 21 unterscheiden, so sind die ihnen entsprechenden Werthe von u und y dieselben; letztere Functionen sind also periodisch in Bezug auf x, und die Periode entspricht der Strecke 21 auf der Achse der x. Wenn man ebenso x constant und t 21

um

— variiren lässt, so behalten u und y noch dieselben Werthe;

die Bewegung eines jeden Punktes ist also periodisch, und die Dauer 21

der Periode s= —.

Die Formeln 9) und 10) würde man für eine unendliche Röhre erhalten, wenn man von dem für t = 0 vorhandenen Anfangszustande ausginge. Dies-er unbestimmte Anfangszustand konntę die Grenzbedingungen vertreten.

34. Wenn man insbesondere denjenigen Anfangszustand betrachtet, für welchen die Reihe sich auf ein einziges, einem beliebigen Werthe von n entsprechendes, Glied reducirt, so erhält man eine sogenannte einfache Bewegung des Systems, sie wird durch Gleichungen von folgender Form dargestellt:

nnx

u ~ Sin ——

annt ,    . annt

P sin —— + Q cos ——

)'

290

ay c=. cos

nnx

P cos

annt

— Q sin

annt

Die

Die Dauer der Schwingung ist in diesem Falle — statt

na

Werthe von u sind Null für alle Werthe von x, welche der Gleichung

nnx

sin —— = 0

kl

genügen und in der Formel x = — enthalten sind, wo k eine beliebige ganze Zahl bezeichnet.

Die Stellen, an welchen das Gas in dem Rohre unbeweglich

wenn man

bleibt, nennt man Knoten; sie sind die Theilpunkte das Rohr in ngleiche Theile zerlegt. Die Punkte, in denen die Verdichtung Null ist, und welche man Bäuche nennt, werden durch folgende Gleichung bestimmt

nnx

cos —— :== 0, woraus x =

(2k + 1) l

2ti

sie liegen also in den Mitten der auf einander folgenden Intervalle zwischen den Knoten.

35. Bei einer an beiden Seiten offenen Röhre sind die auf die Enden bezüglichen Gleichungen

dcp

— = 0 für x = 0 und für x I.

dt

Die übrigen Gleichungen bleiben dieselben wie im vorigen Falle, und man erhält einen Werth für cp, welcher allen Bedingungen, mit Ausnahme des Anfangszustandes, genügt, durch die Formel

annt

. nnx (    . annt

9> = A sin —— I A sin —— + B cos

■ worin sich die Summe Z auf alle ganzen und positiven Werthe von n bezieht, und A, B willkürliche Constanten sind, die mit n varii-ren können. Aus diesem Werthe von cp leitet man folgende Ausdrücke für u und y ab, welche die einzigen sind, deren man bedarf und in welchen die unbestimmten Grössen A und B sich durch den

nn    .    •

Factor —— von denjenigen unterscheiden, welche in cp Vorkommen:

291

u = A cos —

nnx

A sin

annt

+ B cos

annt

ay = — 2 sin

nnx

A cos

annt

^ annt —• B sin--

Damit diese Wertlie auch dem anfänglichen Zustande genügen, muss man zwischen den Grenzen x = 0 und x = l folgende beiden Gleichungen haben:

2 B cos

nnx

f(x),

2 A sin

nnx

—«zOO;

hieraus erkennt man erstens, dass die Functionen if; und % in Bezug auf x periodisch sein müssen und dass der Index dieser Periode gleich 2/ ist, ferner dass die Function ip denselben Werth behält, wenn man x in — x verwandelt, während die Function % durch eben diese Aenderung einen gleichen Werth mit entgegengesetztem Zeichen erhält. Alle diese Bedingungen darf man zulassen, weil jene Functionen ausserhalb der Grenzen x — 0 und x = / willkürlich §ind. Die beiden vorigen Gleichungen geben für einen beliebigen Werth von n

2a

J %(&)

0

J\(&)

0

cos

nn&

d&.

Der Werth von B, welcher sich auf n = 0 bezieht, würde in u das constante Glied

JipÇ'd') d&

0

liefern, was nichts Anderes ist als der mittlere Werth von ty(x)^ u, oder die Anfangsgeschwindigkeit des Schwerpunktes des in dem Rohre eingeschlossenen Gases. Setzt man voraus, das weder das Gas noch die endliche Röhre, welches dasselbe immer einschliessen

19*

292

% muss, eine gleichförmige fortschreitende Bewegung im Räume habe, so ist das obige Integral = 0, und man hat n nur von 1 bis co gehen zu lassen; die Auflösung des Problems wird also durch folgende Gleichungen gegeben:

annt

— a sin ——

sin

nn&

annt -j- cos -

n%&

cos- d&

J zO)

,    annt

-t- cos -

nn&

sin —- d&

2    . nnx

— Z sin —

j t(&)

o

] annt -)— sm —-—

nnd'

cos -—- d&

Man erkennt sofort, dass der Zustand des Gases zu einer beliebigen Zeit in solchen Punkten derselbe ist, welche um 2/ von einander abstehen. Man sieht ferner, dass in einem und demselben, sonst aber beliebigen, Punkte ein und derselbe Zustand nach Verlauf der Zeit 21 m

— wiederkehrt, dass folglich die Schwingungen in jedem Punkte periodisch sind, und dass die Dauer der Periode — ist, wie in dem Falle, wo die beiden Enden geschlossen sind.

36. Irgend eine der möglichen einfachen Bewegungen wird durch folgende Gleichungen, in denen n eine beliebige ganze Zahl und A, B willkürliche Constanten bezeichnen, dargestellt

nnx f . annt , ^ annt\ u =; cos —|— yA sm — --f- B cos ■—— I

ay = sin

nnx

r. • aH7lt

B sin —— — A cos

annt

293

annt

vorhanden ist, so kehren die

Da in diesem Falle nur ein Bogen

k2l

Wertlie von u und y nach einer Zeit — wieder. Die Beäuche bestimmen sich durch die Gleichung nnx

sin

kl

0, woraus x = —

wo k eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Diese Punkte theilen die Röhre in n gleiche Theile. Die Knoten ergeben sich mittelst der Gleichung

cos

nnx

= 0, woraus x

_ (2k + 1) l

Diese Punkte. liegen in den Mitten zwischen den auf einander folgenden Bäuchen.

37.

Ist die Röhre an dem einen Ende geschlossen und am andern offen, so verlegen wir den Anfangspunkt der Coordinaten an das offene Ende ; dann muss sein

dcp

dcp

—- — 0 Für x ;= 0, und — = 0 für x = l:

ox

dt

man genügt allen Bedingungen, mit Ausnahme der des Anfangszustandes, durch den Werth

(2n -f ]) nx

cp ■= 2 sin

A sin

(2n    l) 7tat

-f B cos

(2n -fl) nat.

worin A und B willkürliche Constanten bezeichnen, welche mit n variiren, und die Summe 2 sich auf alle ganzen und positiven Wertlie von n erstreckt. Daraus leitet man für u und y folgende Werthe ab, in welchen A und B neue unbestimmte Grössen bezeich

nen, welche sich von den vorhergehenden durch den Factor (2n -J- l) 7t

21

unterscheiden :

u = 2 cos

(2n -J- l) 7tx

A sin

(2n -f- ] ) nat

+ B cos

(2n + l) nat

ay — •—2 sin

(2n + l) nx

A cos

(2 n -fl) nat

— B sin

(2n + l) nat

294

Damit diese Ausdrücke dem Anfangszustande genügen, zwischen den Grenzen x = 0 und x = l die beiden Bedingungen stattfinden

müssen

Z B cos

(2 n + 1)

7tX

21

1p(x)

Z A sin

(2u + l) tcx

21

Vermöge dieser Gleichungen besitzen die Functionen ty(x^ und %(x), in der unendlichen Ausdehnung der Achse der x betrachtet, folgende Eigenschaften:

M— p) = V(v)> %(— x) = — %(x),

V(l + I) = —    £), z(/ + £) =

Mß + I) = fQ), %(ß +1) = z(£) ;

die letzte Gleichung sagt, dass diese Functionen in Bezug auf a; periodisch um den Index 4/ sind. Diese Bedingungen dürfen angenommen werden, weil jene Functionen nur zwischen x = 0 und x = l gegeben sind, und der Anfangszustand die Grenzbedingungen fest bestimmen würde, wenn man die Röhre in beiden Richtungen unendlich und das Gas als vollkommen frtsi betrachtete.

Die allgemeinen Werthe von A und B, welche den vorigen Bedingungen genügen, sind

2a

cos

(2u. + l) Tt&

21

d&,

) %(#)

0

sin

(2n -f- l) 7t&

■ 21

d&.

Die Auflösung der Aufgabe ist also .in folgenden Formeln enthalten :

— a sin

:21

'2

M=y2 COS

('ln -f- \ )nx

21

(2n-f- i)tv&

— 295

+ cos

- 0

l

s—J ^

0

d&

1 . (2?? + 1)jTô/

H—sin

cos

(2w+ ]) 7C&

21

cl&

die Summen Z sich auf alle positiven und ganzen Werthe für n von 0 bis oo erstrecken.

wo

Die vorliegenden Ausdrücke sind periodisch in Bezug auf x und t, und zwar hinsichtlich des x um den Index 4Z, und rücksichtlich

-    41

des t um den Index —.

Die Dauer der Periode ist in diesem Falle

das Doppelte von dem, was sie in den beiden vorigen Fällen war, und der von der Röhre hervorgebrachte Grundton ist um eine Octave tiefer als derjenige, welchen eine gleich lange an beiden Enden offene oder geschlossene Röhre angiebt.

38. Die einfache Bewegung, welche einem einzelnen Werthe von n entspricht, hat die Periode men sich durch die Gleichung (2n + l) nx

(2 n + l)a

Die Knoten bestim-

n    (2Ä + 1) l

— 0, woraus x =    ,

2n + 1    ’

wenn k eine ganze Zahl bezeichnet. Die Abstände der Knoten Anfang sind der Reihe nach

cos

21

vom

bl

2n + 1 ’ 2n -f- 1 ’ 2n -f- 1 ’

21

-— entfernt, und folglich hat

ersten Knoten an gerechnet, göwissermaassen eine Reihenfolge ge-

also von einander um

man, vom

21

schlossen er Röhren von der gemeinschaftlichen Länge -—qjy-

Die

Bäuche ergeben sich aus (1er Gleichung

(2n + l) 7tx

sin

21

= 0 oder x =

2 kl

2 n -f~ 1

worin k eine unbestimmte ganze Zahl bezeichnet; die Abstände der Bäuche vom Anfänge sind :

296

°’ 2n+ 1»

4Z

2nl

also die Mitten zwischen den anf einander folgenden Knoten; sie

2/

——— ab, und das zwischen zwei auf ein-

2n + 1

anderfolgenden Bäuchen enthaltene Gas befindet sich in demselben Falle, als wenn es in einer an beiden Enden offenen Köhre von der

-r    2/

Länse ir+i

stehen von einander um

enthalten wäre.

Bewegung in einer nach allen Seiten hin unendlichen Gasmasse.

39. Für die kleinen Bewegungen der Molecüle eines homogenen nach allen Eichtungen unendlichen Gases haben wir die früher bewiesene Gleichung d²cp

1)

dt²

/d²cp d²cp d²cp\ Veto² dy² dz² )

' Grenzbedingungen sind in diesem Falle nicht vorhanden, doch muss man immer dem Anfangszustande genügen, wozu erfordert wird, dass dcp dcp dcp dcp

—,    —, — für t = 0 in willkürlich gegebene Functionen der

Yariabeln x, y, z übergehen. Kennt man nun die drei partiellen Differentialquotienten einer Function von x, ?/, z, so ist die Function selbst bis auf eine Constante bestimmt, die in der vorliegenden Frage keine Rücksicht verdient; daraus folgt., dass mit dem Anfangszustande die Werthe von cp und ~ für t = 0 zugleich bekannt sind.

Bezeichnet man mit Fund f willkürliche Functionen von x, y, z, so werden jetzt die Bedingungen des Anfangszustandes durch die Gleichungen

2)

dcp

cp = f(x, y, z), — =s F(x, y, z) für t = 0

ausgedrückt, und es kommt nur darauf aji, den Gleichungen l) und 2) zu genügen. Diess geschieht mittelst der vonPoisson gegebenen Formel *)

*) S. den Anhang.

297

TC 27t

at cos &, y + at sin & cos tp, z + cit sin & sin vp)

cp— J J't sin d'd&difj F(x -f-

3)

4% dt

7t 2tc

s^n ftd&dty f(x-\- at cos &, y + at sin & cos ip,

z + at sin d sin ty).

Die Integrationen in Bezug auf & sind zwischen den Grenzen 0 und 7t, und die nach ïp zwischen 0 und 27t auszuführen. Dieser Ausdruck für q> kann auch noch unter folgender Form geschrieben werden :

cp —— \tdco Fix + at cos a, y + at cos ß, z + at cos y)

4)

¹ 4tz * J

47t dt

Qtdco f(x -j- at cos a,y -f- at cos ß, z -f- at cos y),

wo dco das unendliche kleine Element der Kugeloberfläche bedeutet, welche um den Anfang als Mittelpunkt mit dem Radius 1 beschrieben ist, a, ß, y die Winkel bezeichnen, welche der Radius vector dieses Elementes mit den Achsen bildet, und die Summe S sich auf alle Elemente der Kugeloberfläche bezieht.

Diese wichtige Formel gestattet eine sehr bequeme Anwendung, wenn die Functionen F und f, wie im vorliegenden Falle, für alle reellen Werthe der Yariabeln x, y, z gegeben sind; wäre aber die Flüssigkeit begrenzt, so würden die besonderen hieraus hervorgehenden Bedingungen schwierig auszudrücken sein, und man würde sich genöthigt sehen, andre Formen für das Integral der Gleichung l) aufzusuchen. Wir wollen uns mit diesem letzten Falle nicht beschäftigen. Die Formel 3) liefert die vollständige Lösung der Aufgabe, weil sie die Function (p giebt, mithin auch die Verdichtungen und die Componenten der Geschwindigkeit in einem beliebigen Punkte und zu einer beliebigen Zeit. Wir wollen uns darauf beschränken, die Geschwindigkeit abzuleiten, mit welcher eine beliebige Erschütterung sich in dem Fluidum fortpflanzt; damit die Resultate eine leichtere und klarere Deutung zulassen, setzen wir voraus, dass die Erschütterung nur in einem nach allen Richtungen hin unendlich kleinen Theile stattfinde, in dessen Inneres wir zugleich den Coordina-tenanfang verlegen.

298

Unter der gemachten Voraussetzung verschwinden die Functionen fix, y, z) und F(x, y, z) für alle Werthe von x,y, z, welche nicht Coordinaten eines Punktes des erschütterten Theils sind; nehmen wir

&)

x + at cos a = x, y -j- at cos ß = y\ z -j- ect cos y ~ z',

so kann der Werth von cp für den Punkt M, dessen Coordinaten x, y, z sind, nur von Null verschieden sein, wenn der Werth von t so beschaffen ist, dass x, y, z für passende Werthe von a, ß, y die Coordinaten von Punkten darstellen, welche in dem anfänglich erschütterten Theile liegen; diese Werthe von a, ß, y sind die einzigen, welche in den für <p angegebenen bestimmten Integralen zu betrachten sind.

Es ist leicht, sich geometrisch die Richtungen zu veranschau-ichen, welche denjenigen Werthen von a, ß, y <^der von & und ip entsprechen, die keine in den Integralen verschwindenden Elemente liefern. Der Punkt nämlich, dessen Coordinaten die durch die Gleichung 5) gegebenen Werthe von x’, y, z sind, wird dadurch construit, dass man eine der Grösse at gleiche Länge auf die den Winkeln a, ß, y entsprechende Richtung abträgt. Wenn man also mit dem Radius at um M als Mittelpunkt eine Kugel beschreibt, so sind die Punkte ihrer Oberfläche, welche sich in der anfänglichen Erschütterung befinden, die einzigen, für welche die Functionen f und F nicht verschwinden; und die Richtungen der Vectoren, welche von dem Punkte M an diese verschiedenen Punkte gezogen werden können, sind die einzigen, auf welche man Rücksicht zu nehmen hat. Daraus ersieht man, dass die Function cp bis zu der Stelle Null bleibt, wo die Oberfläche der Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem variabeln Radius at in die anfängliche Erschütterung einzudringen beginnt, und dass sie wieder verschwindet, wenn diese Oberfläche, deren Radius gleichförmig wächst, die Erschütterung passirt hat; in jedem zwischenliegenden Augenblicke bestimmt allein derjenige Theil der Erschütterung den Werth von cp, welcher sich auf der Kugel mit dem Radius at befindet. Die unmittelbare Folgerung aus diesem Satze ist, dass eine nach allen Richtungen unendlich kleine Erschütterung sich nach allen Richtungen hin mit einer und derselben Geschwindigkeit a fortpflanzt, weil die Punkte, welche in der Entfernung at liegen, sich nach Verlauf der Zeit t in Bewegung setzen. Die Däuer der Erschütterung in einem beliebigen Punkte M wird durch die beiden Kugeln bestimmt, welche um diesen Punkt

— 299

als Mittelpunkt beschrieben werden, und welche die Eigenschaft besitzen, dass der erschütterte Theil ganz ausserhalb der ersten und ganz innerhalb der zweiten liegt, während er mit jeder der beiden Oberflächen einen Punkt gemein hat.

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Bewegung in einem homogenen Gase, das nach allen Seiten hin unbegrenzt ist, hat also mit derjenigen in einer cylindrischen Röhre denselben Werth.

Von dem Gleichgewichte und den unendlich kleinen Bewegungen eines elastischen Fadens.

40. Die Aehnliehkeit zwischen dieser und der vorigen Aufgabe hat uns bestimmt, dieselbe hier folgen zu lassen, obgleich sie nicht in die Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten gehört.

Bisher haben wir die Fäden als unausdehnbar betrachtet, was

eine reine Abstraction ist; wir wollen jetzt annehmen, dass sie unter dem Einflüsse von Kräften, welche in ihnen eine beliebige Spannung einer Verlängerung fähig sind, und ferner, dass der Fa-

erzeugen

den nicht reisst und seine ursprüngliche Länge wieder annimmt, wenn die spannende Kraft zu wirken aufhört; mit anderen Worten, wir betrachten den Faden nur innerhalb der Grenze seiner Elastici-

tät. Erfahrungsmässig ist dann die Verlängerung des Fadens direct proportional seiner Spannung. Als den natürlichen Zustand des Fadens bezeichnen wir denjenigen, in welchem er von keiner Kraft angegriffen wird.- Bringen wir dann eines homogenen Fadens eine der Krafteinheit gleiche Spannung so verlängert er sich um eine gewisse Grösse d, welche in allen Fällen gegeben sein muss. Läge eine der Einheit gleiche Spannung ausserhalb der oben bezeichneten Grenze, so würde man dieselbe in dem Faden nicht wirklich hervorbringen können, aber der Gleich-

an

an

die Längeneinheit

förmigkeit der Bezeichnungen wegen wollen wir immer voraussetzen, dass die Verlängerung ô sich auf die Einheit des Fadens beziehe, der Einheit der Spannung unterworfen ist, während er den-

wenn er

selben Gesetzen wie innerhalb der Grenze seiner Elasticität unter-

Nur w-ird man bei jeder besonderen Anwendung un-

liegen möge.

tersuchen müssen, ob diese Grenze nicht überschritten wird, da ausserdem die Resultate der Erfahrung mit den durch die Rechnung er

haltenen nicht übereinstimmen können.

300

41. Sei AB (Fig. 21.) ein homogener elastischer Faden, dessen

Fig. 21.

Enden A und B fest sind und der eine Spannung r erfährt, während __ er keiner äusseren Wirkung unter-worfen ist, mithin alle seine Punkte auf der Geraden AB liegen.; sei ferner e die Masse der Längeneinheit, A der Anfang eines rechtwinkligen Coordinatensystems, dessen ar-Achse in der Richtung AB liegt, endlich Z, F, Z das System der Componenten der an alle Punkte des Fadens angebrachten und auf die Masseneinheit bezogenen Kraft, so ist es unsre Aufgabe, für jeden Punkt des Fadens die Werthe seiner drei Coordinaten zu bestimmen, welche im Falle des Gleichgewichts constant sind, bei der Bewegung aber von der Zeit abhängen..

WO

Der Einfluss der Kräfte Z, F, Z, welche auf alle Punkte des Fadens wirken, wird eine allgemeine Verrückung zur Folge haben; ist z.B. M in einem beliebigen Augenblicke die Lage des materiellen Punktes, welcher anfänglich in P war, so wollen wir zuerst den allgemeinen Ausdruck für die Spannung des Fadens in diesem Punkte M aufsuchen. Zu diesem Behufe betrachten wir. einen zweiten Punkt Q, welcher im anfänglichen Zustande in einer unendlich kleinen Entfernung a von Pliegt, und sich in dem Augenblicke in A befindet, P nach M gekommen ist; der Ußbersclmss der Länge MN über PQ, dividirt durch PQ oder a, giebt jetzt die Dehnung, welche die Längeneinheit des Fadens in der Nachbarschaft des Punktes P erfährt, woraus man leicht den Zuwachs der Spannung ableiten kann. Bezeichnen wir mit x die Abscisse AP des Punktes P im Anfangszustande, und mit x -j- u, y, z die Coordinaten des Punktes il/, so bilden die drei unendlich kleinen Grössen n, y, z die Unbekannten der Aufgabe; im Falle des Gleichgewichts sind sie Functionen von x, bei der Bewegung dagegen Functionen von x und t\ x bleibt während der Bewegung des materiellen Punktes constant und ändert sieb, nur wenn man von einem Molecül zum andern übergeht.

man

Da die Differenz MN—PQ sehr klein im Vergleich zu PQ ist, so darf man in ihrem Werthe nur die unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung in Bezug auf PQ vernachlässigen; beschränkt sich ferner auf dieFälle, wo die Winkel der verschiedenen Elemente des Fadens mit der Achse der x sehr klein bleiben, so kann man den Unterschied zwischen MN und ihrer Projection auf die Achse der x vernachlässigen, und es ist dann, wenn u den Werth von u im Punkte Q bezeichnet,

301

MN — PQ = u — u.

Nun geht aber u aus u dadurch hervor, dass man in diesem Ausdrucke x + a für x setzt, es ist daher

du

dx

indem man die Glieder vernachlässigt, welche unendlich klein im Vergleich zum ersten sind. Nach dem oben Gesagten giebt jetzt der Quotient

du

cc

dx

die auf die Längeneinheit bezogene Dehnung, welche der Faden in demjenigen Punkte erfährt, dessen Abscisse in dem anfänglichen Zustande x war. Da ferner die Zunahme der Länge dem Zuwachs

der Spannung proportional ist, so wird letztere durch

gedrückt; für die Spannung T, die zu stattfinde, ergiebt sich hiernach

aus-

1 du ô dx

einer beliebigen Zeit in M

du dx

Nachdem man den allgemeinen Werth der Spannung kennen gelernt hat, lässt sich derselbe Gang wie bei der Betrachtung unelastischer Fäden befolgen. Man bestimmt zunächst alle äusseren Kräfte, welche auf ein Element MN wirken; diese Kräfte sind erstens die Spannungen in M und A, zweitens die Kräfte A, F, Z, deren Werth durch die unendlich kleine Verrückung der Punkte nicht merklich geändert wird ; letztere geben für das Element PQ und folglich für MN die drei Componenten

asX, aeY, usZ.

Nennen wir A, [x, v die Winkel, welche die Richtung MS der Tangente mit den Achsen bildet, so sind die Componenten der in M auf das Element MN wirkenden Spannung

— T cos X, •—' T cos fx, — T cos v, und die Componenten der in N wirkenden - T cos X -f- d(T cos A), T cos fi -f- d(T cos /x), T cos v -f- d(T cos v).

Mag man nun das Element MN als starr oder veränderlich anseh en, so ist doch die Bewegung seines Schwerpunktes immer dieselbe, als

302

wenn die ganze Masse in ihm vereinigt und sämmtliche Kräfte, die auf dasselbe wirken, an ihn angebracht wären. Ferner unterscheidet sich die Bewegung dieses Schwerpunktes so wenig als man will, von derjenigen des Punktes M\ die Gleichungen der Bewegung dieses letzteren können daher als identisch mit folgenden angesehen werden :

d²u

d(T cos A) -f- asX — as —tt , dP

d²y as —

d(T cos ft) -j- asY ~

dt² ’

d(T cos v) -f- asŹ — as 7-^- •

Dividirt man alle Ausdrücke dieser Gleichungen durch a und geht zur Grenze über, so werden die ersten Glieder die nach x genommenen partiellen Differentialquotienteu der drei Grössen

T cos X, T cos p, T cos v.

Statt cos X darf man die Einheit setzen, wenn man die Grössen zweiter Ordnung vernachlässigt; diess giebt

d{Tcos X)

dx

_ 1 d²u ô dx²

Was cos ft und cos v anbetrifft, so sind ihre Werthe unendlich kleine

()ll

Grössen erster Ordnung, und da dasselbe von u und — gilt, so kann

man T cos ft, T cos v auf r cos ft, t cos v zurückführen. Bezeichnet man nämlich mit dy, dz die Differenzen der Coordinaten y, z der beiden unendlich nahen Punkte df, N, und mit dx die Differenz PQ ihrer x, so wird

dy

cos v

dz

cos ft — —-,

und da MN sich von PQ oder dx nur um eine im Vergleich zu dx unendlich kleine Grösse unterscheidet, so kann man setzen

MN

cos ft =

dy

dz

dx

cos V — — , dx

woraus folgt

d (T cos ft)

d²y d (T cos v)

d²z

dx

dx

303

die Gleichungen der Bewegung des Fadens sind demnach

(dhl— X !

1 d²u

öe dx² ’

d²y

dt²

d²z

x d²z

dt²

Die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichts des Fadens unter dem Einflüsse der Kräfte Jf, Y, Z sind ferner

( v .    1 d²u

x+

2)

Tr r d²y

1 r+is? ⁼⁰’

v drz

Z + 1 dx* ⁼⁰-

Wenn die Kräfte F, Y, Z entweder gleich Null oder nur Functionen von t und x sind, so zeigen die Gleichungen l), dass die Functionen u, y, z unabhängig von einander berechnet werden können; die durch u bestimmte Longitudinalbewegung ist daher unabhängig der durch y und z bestimmten Transversalbewegung.

Für X — Y — Z = 0 reduciren sich die Gleichungen l) auf

Alle drei haben dieselbe Form wie jene, welche die Bewegung eines Gases in einer cylindrischen Röhre bestimmen, und sie würden auf ähnliche Fragen führen, wie wir sie bei der Theorie der Bewegung des Gases ins Einzelne verfolgt haben. Man wird ebenfalls finden, dass die Fortpflanzungsgeschwindigkeit in longitudinaler Richtung =

und in transversaler — tudinalen Schwingungen des Fadens von der Länge l ergiebt sich

vi

d²y

von

J/ — ist- Für die Dauer der longi-

304

der Werth 2lj/ôs und man sieht, dass sie unabhängig von der Spannung des Fadens ist; die Dauer der transversalen Schwingungen erhält man ==

Die longitudinalen Schwingungen der Stäbe.

42. Die zur Bestimmung von u dienende Gleichung kann man auch ohne die Voraussetzung erhalten, dass der Faden biegsam und von geringer Dicke .sei ; sie gilt daher auch für einen elastischen Stab, bei welchem man nur longitudinale Bewegungen betrachtet, die für alle Punkte eines und desselben Querschnitts dieselben sind. Die Verlängerung d, welche die Einheit der Länge unter der Einwirkung der Krafteinheit erfährt, ändert sich in umgekehrtem Verhältnisse mit dem Flächeninhalte des Querschnitts, sodass das Product öe unabhängig von der Dicke des Stabes bleibt.

Sind beide Enden des Slabes fest, so ist die Dauer der longitudinalen Schwingungen immer = 2/ j/ds, wie wir sie bei elastischen Fäden gefunden haben. Man kann sich aber noch die Aufgabe stellen, die Bewegungen seiner verschiedenen Punkte zu bestimmen, wenn entweder beide Enden frei sind, oder wenn das eine Ende frei und das andre fest ist.

. Die Spannung des Stabes ist an dem freien Ende veränderlich, und folglich hat man an diesem Punkte beständig

du

dx

— ^0.

Die beiden neuen Aufgaben sind übrigens nicht schwieriger als die erste, bei welcher man beide Enden fest annahm. Sind beide Enden frei, so findet man, dass die Dauer der longitudinalen Schwingungen dieselbe ist, als wenn beide Enden fest wären; für den Fall aber, dass* das eine fest und das andre frei ist, wird die Schwingungsdauer doppelt so gross.- Es besteht also eine vollständige Aelmlicli-keit der Longitudinalscluvingungen der Stäbe mit denen von Gasen, welche in cylindrisclien Röhren eingeschlossen sind; indem ein festes Ende des Stabes einem geschlossenen Ende bei dem Rohr entspricht und ebenso ein freies Ende einem offenen.

von

Ausführlichere, sowohl theoretische als experimentale Untersuchungen über diesen Gegenstand enthält die Abhandlung

305

S eebeck: U eber die Querschwingungen gespannter und nie litge span n ter elastisch er Stäbe; Abhandl. d. math.-phys. Classe der K. S. Ges. d. Wissensch. in Leipzig. Bd. I. S. 131.

Von den kleinen Bewegungen eines beliebigen Punktesystems.

43. Wir setzen ein beliebiges System unter einander verbundener Punkte voraus, dessen Tlieile sich im Zustande des sicheren Gleichgewichts unter dem Einflüsse von Kräften befinden, welche auf beliebige Art von den Coordinaten abhängen. Entfernt man diese Punkte sehr wenig aus ihrer Gleichgewichtslage, indem man ihnen sehr kleine Geschwindigkeiten mittheilt, und überlässt sie dann der Wirkung der gegebenen Kräfte, so bleiben die Aenderungen der Coordinaten immer sehr klein, weil das Gleichgewicht stabil war. Wir wollen uns jetzt die Aufgabe stellen, diese Aenderungen als Functionen der Zeit zu bestimmen, und ihre allgemeinen Eigenschaften zu entwickeln.

Mit x, y, z mögen die Coordinaten eines beliebigen Punktes des Systems in irgend einem Augenblicke, durch a, b, c ihre Werthe in der Gleichgewichtslage, und mit (.i die Masse dieses Punktes bezeichnet werden ; setzen wir ferner

x = a + ay = b + ß, z = c + 7»

so sind «, ß, y sehr kleine Grössen, welche sich mit der Zeit ändern, und die in jedem Augenblicke die Lage des Punktes y bestimmen. Für einen zweiten Punkt (i erhalten wir auf gleiche Weise

x — a + a, y' = b' + ß', z — c' + /,

für alle übrigen Punkte. Wir nennen ferner X, Y, Z die den Punkt y angebrachten Kraft, X, F', Z'

u. s. w.

Componenten der an jene der an den Punkt y' thätigen Kraft u. s. w., und bezeichnen mit

1)

L =0, M=0, N~ 0, . . .

die zwischen den Coordinaten a-, y, z, x\ y\ .... gegebenen Bedingungsgleichungen. Ersetzt man in ihnen x, y, .... durch u + a, b ß, .... so kann man in den Entwickelungen bei den Gliedern stehen bleiben, welche die ersten Potenzen von a, ß, y, . , , enthalten ; ausserdem genügen die Coordinaten a, b, c, .... denselben

. . die Werthe be-

Gleichungen, und wenn man jetzt mit

CC) ICC,

dL

II.

20

306

zeichnet, welche die Differentialquotienten

di d_L dx* dy’

y = b . . . annehmen, so erhält man folgende Gleichungen:

dL

dL

dL

dL

ob

de

da

a -j- . . . — 0,

2)

dM , dm ₀ , dM , dM , ,

>-^c, + w? ⁺ dï? ⁺ ïïa +--- = °

! dN , dN ₀ , dN , dN , ,

—a + db ß + d^r + d7a +---=o,

da

Wir verstehen ferner unter A, i?, C, A', .... die Werthè der Functionen X, F, Z, X’, .... in den Gleichgewichtslagen aller Punkte; für eine beliebige Nachbarlage ist dann

3)

W A A_dX ^dX R^dX -L. dX '    -

x=A + ^a + -ß + _y+-,a +..

„ , »F , er a , er - , er , , ï^B+^a+W^ ⁺ Wy + ëra +•'

2Z

az

da

»i, ?+• •

dX

3)

da

Beachtet man endlich die Beziehungen

drx d~a dry_drß

•dß⁼dJ' dt?~(Ü*,"‘

so ist die allgemeine Gleichung, welche die Bewegung des Systems bestimmt,

d~a

X — -TT

di¹

) J-r + (r_ lf) iÿ + iz - w) fe{

= 0;

.. müssen dabei folgenden Bedingungen

die Grössen ôx, ôy, dr, dx', genügen ;

307

Oi

; .1/

dM

dM

5)

__&+ ds, ₊ _&+...

dN

dN

— âx + — 8y +

dN

diy

. dz

<5z -j- . . .

0.

von

Grössen, welche in Bezug auf a, ß, y,

In diesen Gleichungen 5) unterscheiden sich die Coefticienten denen der Gleichungen 2) um . . . linear sind ; so hat man z. B,

<501 <50

a I bi

<5a| <50

a I bi

55

■Cü

und ebenso bei den übrigen. Die Gleichungen 5) bestimmen eine gewisse Anzahl der Grössen 8 als lineare Functionen der übrigen, welche ganz willkürlich bleiben. Die Coëfficienten, mit welchen letztere in diesen Functionen behaftet sind, kann man daher in zwei Theile zerlegen, in einen endlichen, welcher sich für a := 0, ß == 0 etc. ergiebt, und in einen andern, welcher die sehr kleinen Grössen a, ß, y, . . . in linearer Form enthält. Indem man sich auf den ersten Theil beschränkt, erhält man die verschiedenen 8, welche der Gleichgewichtslage des Systems entsprechen. Substituirt man also die aus den Gleichungen 5) gezogenen 8 in die Gleichungen 4), so muss man die Coefticienten aller 8 gleich Null setzen, welche ganz willkürlich bleiben. Diese Coefticienten kann man jedoch, wie man leicht sieht, auf zwei Gruppen zurückführen, eine endliche, welche dieselbe ist, als wenn die Kräfte X, F, Z, . . . und die Func-

. . die auf die Gleichgewichtslage bezüglichen Werthe

cL

tionen

dx ’

hätten, und auf eine zweite Gruppe, welche «, ß„y, .. .

cl²a:

linear enthält, wenn die Producte von je zwei der letzteren Grössen

überall vernachlässigt werden. Die erste Gruppe ist wegen des Gleichgewichts in jeder dieser Gleichungen Null, es bleibt also nur

dra d'²ß

die zweite, welche die Grössen a, ß, yf . .

linearer Form enthält. Die so entstehenden Gleichungen müssen mit den Gleichungen 2) verbunden werden ; letztere bestimmen eine gewisse Anzahl von Unbekannten a, ß, y, a', ... . als lineare Func-

20*

dl² ’ dl² ’ '

. . . nur in

.308

tionen der übrigen; eliminirt man diejenigen Grössen, deren Indices am höchsten sind, und löst die übrig bleibenden Gleichungen nach den Diffçrentialquotienten zweiter Ordnung auf, so gelangt man schliesslich zu einem Systeme von Gleichungen folgender Form und voir derselben Anzahl wie die Unbekannten «, ß, y, a, . . . .

(ftu    ,

= ma ff- »q/3 + m₂y -f- m₃a' -f- . .

'6)

d²ß

di²

dry

na

+ nAß + n₂y + n₃a' + . .

-= P* + Piß + Pi7 + Ps* + • •

dra'

dt²

= ma -f- »ij ß -f- m ₂y -f- m'₃a' + . .

44. Es ist bisweilen von Nutzen, die Grössen a, ß, y,a',.... mittelst anderer unabhängiger Variabein u, v, w, , welche ebenso wie die ersten sehr klein sind, auszudrücken, und man erkennt leicht, dass die Gleichungen zwischen u, v,-n>, . . .. , von derselben Form wie die Gleichungen 6) sein müssen; die Ausdrücke für die Grössen or, ß, . . . . mittelst u, v, w, . . . . enthalten nämlich nur solche Glieder, in welchen die ersten Potenzen der letzteren Vorkommen, und wenn man diese Ausdrücke nebst ihren zweiten Differentialquotienten in die,Gleichungen 6) substituirt, so kann man nur lineare Gleichungen erhalten.

45. Zusammensetzung der Bewegungen. Die Form der Gleichungen 6) führt zu einer sehr wichtigen Folgerung. Genügen nämlich mehrere Werthsysteme von a, ß, y, .... , einzeln genommen, jenen Gleichungen, so kann man durch Addition der verschiedenen or, der verschiedenen ß u. s. w. ein neues System bilden, welches denselben Gleichungen genügt. Der Anfangszustand der durch das letzte System dargestellten Bewegung resultirt aus den Anfangszuständen der partiellen Systeme, d. h. die Componenten der Verrückungen und der Geschwindigkeiten, nach den Richtungen der Achsen genommen, setzen sich algebraisch zusammen, um die auf das neue System bezüglichen Componenten zu bilden. Diese Addition der Componenten kommt auf die Zusammensetzung der Verrückungen und der Geschwindigkeiten nach den für die Kräfte

309

gegebenen Regeln zurück, was niemals eine Schwierigkeit veranlassen kann, welche Art von Coordinatensystem man auch gewählt haben mag. Demnach bestimmt die Zusammenwirknng mehrerer Anfangszustände eine solche Bewegung, dass die Verrückung der Punkte jederzeit aus der Zusammenwirkung der Verschiebungen erfolgt , welche in demselben Augenblicke den partiellen Anfangszuständen entsprechen. Wenn also ein System von Punkten, zwischen welchen beliebige Verbindungen herrschen und welche der Wirkung beliebiger Kräfte unterworfen sind, unendlich wenig aus seiner stabilen Gleichgewichtslage entfernt und dann sich selbst überlassen Avird, so können die Verrückungen dieser verschiedenen Punkte zu jeder Zeit als aus der Zusammensetzung derjenigen hervorgehend betrachtet werden, welche man in demselben Augenblicke bei beliebig vielen andern Bewegungen desselben Systems beobachten würde, welche der einzigen Bedingung untenvorfen sind, dass die Zusammensetzung ihrer anfänglichen Zustände, rücksichtlich der Verrückungen und Geschwindigkeiten , als Resultat den gegebenen Anfangszustand liefert.

46. Anwendung auf das conische Pend e 1. Um den Gebrauch dieses Princips zu zeigen, wollen wir es auf ein früheres Beispiel anwenden. Wir denken uns nämlich einen schweren materiellen Punkt, der in einer constanten Entfernung von einem festen Punkte zu bleiben gezAVungen ist, unendlich wenig aus der durch diesen festen Punkt gelegten Verticalen entfernt, wobei er eine sehr kleine horizontale GeschAvindigkeit erhalten möge. Wie früher in Th. I. nehmen wir den festen Punkt A (Fig- 22.) zum Coordinaten-

anfang, die Richtung der Schwere zur Achse der z und legen die Ebene der x und z durch die Anfangslage AB des Pendels; ferner sei M die Lage des materiellen Punktes zu einer beliebigen Zeit, P seine Projection auf y XY, C die Projection von B,

(Fig. 22.)

Ç-X

BAZ ~ a, MAZ = #, PAX = f,

AM = AP^ r und die Anfangsgeschwindigkeit = k. Um die Aufgabe auf zAvei andere und einfachere Probleme zurückzuführen, zerlegen wir den Anfangszustand in zwei Anfangszustände. Wir denken uns nämlich erstens den Punkt nach B ohne Geschwindigkeit verlegt, und nehmen ihn ZAveitens in der Verticalen AZ, indem wir ihm die gegebene

310

Anfangsgeschwindigkeit ertheiłen. Die Zusammensetzung der Verrückungen zu einer beliebigen Zeit bei diesen beiden von einander unabhängigen Bewegungen giebt die gesuchte Verrückung des Punktes M zu eben jener Zeit.

Bezeichnen wir in der ersten Bewegung mit cp den variabeln Winkel, welchen das Pendel mit AZ bildet, so erhalten wir (S. 370) als ersten Grad der Annäherung, bei welchem wir stehen bleiben wollen,

a)

Cp = Ci cos I t

Bei der zweiten Bewegung sei ca der Winkel, welchen das Pendel mit AZ bildet, und die Richtung der Achse der y sei so gewählt, dass die Anfangsgeschwindigkeit k das Pendel in dem Winkel ZAY bewegt, welcher den positiven Werthen von co entspricht; es ist dann

b)

ca =2 "T—" s*n

Vst

{*y î)=<isin{‘

lJ'

k²

wobei —- ==• ß² gesetzt wurde. Die Gleichungen a) und 6), welche 9L

die Lage des Punktes in jedem Augenblicke anzeigen, bestimmen alle Umstände seiner Bewegung.

47. Will man die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes M kennen lernen, so muss man sein x mittelst der Gleichung a) und sein y mittelst der Gleichung b) berechnen. Die dritte Coordinate unterscheidet sich von L nur um eine Grösse zweiter Ordnung. Die beiden ersten würde man mittelst der Gleichung der Kugel ableiten können, doch hat es wenig -Interesse, dies auszuführen. Mittelst der Gleichungen

x — L sin <p, y — L sin co,

ergiebt sich, indem man die unendlich kleinen Grössen zweiter Ordnung vernachlässigt,

X s= Lrp, y =r Leo,

mithin

o)

x — La cos ( t

jJ , 9 = Lß sin [t

LJ'

y

und da tang ip = —, so folgt noch

311

-€■

II

II

S3 |-Cö

Oi

3

Der Werth von r — AP bestimmt sich aus den Gleichungen c), wenn man bemerkt, dass r² = x² -f- y²\ man erhält

j-J + ß² sin² yt

v

Hieraus ergiebt sich der Winkel -9¹, dessen Sinus gleich —ist; man

t    J-J

erhält nämlich

r² — L²

Ci² COS²

“CO

SS

Will man endlich noch die Projection der Trajectorie auf die Ebene der x, y bestimmen, so muss man t aus den Gleichungen c) elimini-ren, und findet

a²y² -f- ß²x² = L²a²ß²,

eine Ellipse, deren Halbachsen Za, Lß sind. Diese Resultate stim* mit den früheren überein. Uebrigens liesse sich die Aufgabe in mehreren Beziehungen verallgemeinern ; so könnte man z. B. die Anfangsgeschwindigkeit in einer beliebigen Richtung auf der Kugeloberfläche nehmen, und sie in zwei Componcnten zerlegen, in eine horizontale und in eine andere in der verticalen Ebene, welche durch die anfängliche Lage geht. Somit hätte man nur zwei einfache Bewegungen zu betrachten, welche sich von den vorigen nur darin unterscheiden würden, dass in dem Anfangszustande der einen von beiden zugleich eine Verrückung und eine Geschwindigkeit stattfände.

Liegt der schwere Punkt auf einem Ellipsoid, dessen eine Hauptachse vertical gerichtet ist, so hat man die anfängliche Verrückung in zwei andere parallel mit den horizontalen Hauptachsen zerlegen, und die anfängliche Geschwindigkeit in zwei mit den Hauptebenen parallele Seitengeschwindigkeiten, stimmt man die Bewegung, welche ponente der Geschwindigkeit nach einer der Ebenen hervorgeht, was auf eine Bewegung in dem Krümmungskreise dieser Hauptellipse zurückkommt; nachher ist die Bewegung auf dem Krümmungskreise der verticalen Ellipse aus der anfänglichen Verrückung und der Geschwindigkeit in ihrer Ebene herzuleiten; diese beiden einfachen Bewegungen setzt man wie im vorhergehenden lalle

men

zu

aus

Demnächst be-

der Verrückung und der Corn

zusammen.

312

Wenn endlich der schwere Punkt auf einer beliebigen Oberfläche liegt und sehr wenig von dem Punkte entfernt wird, dessen Berührungsebene horizontal ist, so kann man diese Oberfläche durch ein Ellipsoid ersetzen, welches durch diesen Punkt geht, und dessen Hauptschnitte dieselbe Krümmung und Richtung wie die Oberfläche in jenem Punkte besitzen; hiermit ist das Problem auf das vorige reducirt.

48- Einführung neuer Kräfte. Die Gleichungen 6) bestehen unter der Voraussetzung, dass die Punkte des Systems aus ihrer Gleichgewichtslage gerückt worden sind und gewisse Anfangsgeschwindigkeiten erhalten haben; durch Einführung von neuen Kräften, welche nur unendlich kleine Veränderungen hervorzubringen vermöchten, würde man die Frage verallgemeinern. Solche Kräfte wollen wir jetzt unter der Voraussetzung einführen, dass sie, wie die Grössen a, ß, y, .... unabhängig von der Zeit seien. Man gelangt in diesem Falle zu bemerkenswerthen allgemeinen Resultaten.

den Gleichungen 6) nur durch Hinzu-

Zunächst sieht man leicht, dass die Differentialgleichungen dieser neuen Bewegung sich von fügung constanter Ausdrücke unterscheiden werden. Man hat nämlich in der Gleichung 4) die Kräfte 2l, F, Z, ... . um dieComponen-ten der neuen Kräfte zu vermehren, und befolgt man denselben Gang der Rechnung wie oben, so erhält man die zweiten Theile der Gleichungen 6) um Ausdrücke vermehrt, von denen jeder eine dieser Componenten vom ersten Grade enthält. Die Differentialgleichungen für die vorliegende Aufgabe sind demnach von der Form

r(1~CC    r

— = H + ma + mßß ff- m₂y + m₃a + . .

7) d²y

= L + pa + pxß -f . . .

C~ =: H' + ma + m\ß + . . .

Diese Gleichungen liefern a, ß, y, ... als Functionen von t, und die willkürlichen Constanten werden durch den Anfangszustand bestimmt; nach Einführung clef neuen Kräfte zeigen sie den neuen Zu-

313

stand des Gleichgewichts des Systems. In der That hat man nur u, ß, y, ... . in den Gleichungen 7) als constant zu betrachten ; ihre zweiten Theile verschwinden dann und geben die gesuchten Werthe der Verrückungen aller Punkte, welche der neuen Gleichgewichtslage entsprechen.

49. Die Gleichungen 7) können auf ebendieselbe Form wie die Gleichungen 6) zurückgeführt werden, indem man setzt

8) a ==ct₁ + £, ß == ßx + tj, y — y^+t, a ==Vt + g,...

wo die Grössen ctl, ßlt ylf .... Constanten sind, welche durch folgende Gleichungen bestimmt werden :

H + mai -f- mlß₁ + m₂y₁ + .... = 0

9)

K + nccl + *hßi + niY\ + •••• =0

von a

Substituirt man jetzt die durch die Gleichungen 8) gegebenen Werthe ß, ...., so gehen die Gleichungen 7) in folgende über:

" d² 'S,

mxr] -j- -f m₃g -f ..

10)

d²rj

dt²

= n% + nxv\ 4-    + ..

d²t

nau

Diese unterscheiden sich von den Gleichungen 6) nur durch die Umänderung von a, ß, y, . . . . in §, q, f, .... Ausserdem sind die Werthe von aL, ßx, yv, . . .., welche die Gleichungen 9)'liefern, ge-die nämlichen, welche sich auf das Gleichgewicht des Systems nach Einführung der neuen Kräfte beziehen, und folglich £, r], f, .... die Verrückungen der Punkte in Beziehung auf diese neue Gleichgewichtslage. Endlich zeigen die Gleichungen 8), dass die Anfangs-

d% drj d% werthe von -, -, -, dt dt dt

. . mit denen von —-

.. zusammen-

da dß dy

dt' dt ’ dt fallen, während die Anfangswerthe von jj, q, f, ... gleich denen von a, ß, y, . . . sind, wenn man diese um , ßt , yx, . . . vermindert. Daraus folgt das merkwürdige und einfache Theorem:

314 —

Wenn irgend ein System von Punkten sehr wenig aus einer stabilen Gleich ge w i c h t s 1 a g e verrückt wird und ausserdem neue, constante und sehr kleine Kräfte hinzutreten, so ist die Bewegung jedes Punktes in Beziehung auf seine neue Gleichgewichtslage, unter dem Einflüsse der Vereinigung der ersten und zweiten Kräfte, die nämliche wie jene, welche für die erste Gleichgewichtslage gelten würde, wenn man dem Systeme einen Anfangszustand ertheilte, welcher in Bezug auf diese Lage derselbe ist wie der gegebene Anfangszustand in Bezug auf die zweite Gleichgewichtslage.

Da dieses Theorem unabhängig von der Anzahl und den gegenseitigen Abständen der Punkte ist, so besteht es noch, wenn ihr System als stetig angesehen Averden kann ; demnach gilt es für alle kleinen Verrückungen von Flüssigkeiten oder elastischen Körpern, und ist folglich auf alle eben behandelten Aufgaben amvendbar.

50.    Um den obigen Satz auf andere Weise zu begründen, bemerken wir zunächst, dass die nach Einführung der neuen Kräfte eintretende neue GleichgeAvichtslage der ersten sehr nahe liegt, und dass die Gleichungen der BeAvegung, Avelche aus der Störung dieser neuen Lage hervorgehen, sich von den Gleichungen 6) nicht unterscheiden; denn die Coefficienten Avürden sich nur um Grössen von der Ordnung a, ß, . . . ändern, und diese Aenderungen Avürden in den Gleichungen nur Ausdrücke von der Ordnung derjenigen erzeugen, Avelche vernachlässigt worden sind. Demnach erzeugt eine und dieselbe Verrückung der Punkte rücksichtlich der einen oder andern jener Gleichgewichtslagen in Bezug auf diese letzteren solche Be-Avegungen, die für jeden Punkt identisch sind; diess ist aber das vorige Theorem.

51.    Uebereinanderlagerung der Wirkungen. Da die Frage somit auf die erste zurückgeführt ist, in welcher von einer blossen Verrückung des Systems ohne Einführung neuer Kräfte die Rede war, so gilt Aviederum das Princip der Uebereinanderlage-rung. Nun kann der Anfangszustand als aus der Zusammemvirkung ZAveier andern Zustände hervorgegangen angesehen Averden, von denen der eine der gegebene ist und der andere bloss in den Verrückungen mit verändertem Zeichen besteht, Avelche von der ersten GleichgeAvichtslage zur zweiten überführen Avürden, und Avelche bis

315 —

auf das Zeichen die aus den Gleichungen 9) gezogenen Werthe von ) ßi> Pi, ■ • • sind; d. h.

Die gesuchte Bewegung entsteht aus der Ueberein-anderlagerung zweier Bewegungen, deren eine dem gegebenen Anfangszustande o h n e Einführung neuer Kräfte entspricht, und deren andere aus der Einführung dieser Kräfte, ohne Verrückung und ohne Geschwindigkeit im Anfangs zustande, hervor g e g a n g e n ist.

Die erste dieser Bewegungen kann, wie wir schon bewiesen, auf unendlich viele Arten zerlegt werden, ebenso verhält es sich mit der zweiten ; wenn man nämlich in den Gleichungen 9) die Grössen H, K, L, . . . in eine und dieselbe Anzahl beliebiger Tlieile, die auch Null sein können, zerlegt, dann zunächst nur die ersten Theile nimmt, darauf allein die zweiten, so bilden die Summen der Werthe von ßt, • . ., welche diesen partiellen Systemen genügen, die Lösungen der Gleichungen 9). Zerlegt man nun die eingeführten Kräfte in eine beliebige Anzahl Gruppen, so geben die vollständig bekannten Ausdrücke, welche sie in den Gleichungen des Gleichgewichts liefern, zusammengenommen die Grössen H, K, L, . . ., mithin bestimmen die. Werthe von ßn . . ., die einer jeden von diesen Gruppen entsprechen, in gehöriger Weise addirt, die Verrückungen, welche durch die eingeführten Kräfte erzeugt werden. Die Wirkungen der Verrückungen addiren sich aber, d. h. Die von den verschiedenen Kr ä ft e grupp en hervorgebrachten Wirkungen lagern sich ebenfalls übereinander.

52. Integration der Gleichungen. Eine Auflösung der Gleichungen 6), deren Anzahl (n) mit der Anzahl der unabhängigen Coordinaten übereinstimmt, erhält man durch die Annahme:

ct = sin (rt -j- s), ß = Rx sin (rt + s), y = i?₂ sin (rt + s), ct'= i?₃ sin (yrt + s).

. . nur in linearer Form; nach ihrer Elimination bleibt

Bei Substitution dieser Ausdrücke in die Gleichungen 6) erscheinen > ^2 > •

316

eine Endgleichung, die in Bezug auf die Unbekannte r² vom Grade n ist; man erhält daher n Werthe für r, indem man die negativen Werthe unberücksichtigt lässt, weil die durch sie gegebenen Lösungen in den übrigen enthalten sind. Diese n Werthe müssen reell und ungleich ausfallen, denn-ausserdem würden die Unbekannten sich durch Exponentialgrössen oder algebraische Ausdrücke darstellen lassen, welche nTit derZeit wachsen, was gegen die Voraussetzung des stabilen Gleichgewichts streitet; doch muss man die besonderen Fälle ausnehmen, in welchen die Coöfficienten dieser Ausdrücke verschwinden.

Jeder Werth von r bestimmt ein einziges System von Werthen wofern es nicht eine unendliche Anzahl derselben

für Rx, R₂i

giebt; multiplient man diese Werthe von a, ß, y, ... mit einer willkürlichen Constante R, so hat man wieder eine Lösung der Gleichungen 6), und dabei kommen in jeder Unbekannten die beiden willkürlichen Constanten R und s vor. Indem man die so erhaltenen

Lösungen für jeden der nWerthe von r addirt, gelangt man zu dem allgemeinen Integrale der Gleichungen 6), welches 2n willkürliche Constanten R, R\    s\ .. . enthält; es besteht in den Glei

= R sin (rt + s) -f- R' sin (rt -j- s ) + . . .

RR^ sin (rt -f-    -f- R R j sin (r l -f- s ) -f- ...

= RR₂sin (rt + s) + R R ₂ sin (r t + /) + . . .

chungen

t*

ß

a, ß, y, a, . .

. . bestimmen lassen.

wobei sich die 211 Constanten durch die Anfangswerthe von da dß dl ’ dl

53. Zerlegung der Bewegung in einfache Schwingungen. Die particulären Bewegungen des Systems, welche jedem der nWerthe r,r . . . entsprechen, besitzen einige bemerkenswerthe Eigenschaften. Nehmen wir z. B.

a R sin (rt -f- s), ß = RRX sin (rt -f- 5), y .= RR2 sin (rt -j- 5), a=RRo. sin (rt -j- s),

317

so stellen die Verrückungen a, ß, y, . . ., bei jedem t, in constanten Verhältnissen, d. h. die Beivegung des Punktes m ist geradlinig; dasselbe gilt für alle übrigen Punkte. Ferner sieht man, dass die

Bewegung periodisch und die Dauer der Periode •— ist. Demnach machen alle Punkte geradlinige Schwingungen von gleicher Dauer, sie beginnen und beendigen diese Schwingungen zu gleicher Zeit, und die von ihnen durchlaufenen Räume stehen in constanten Verhältnissen. Der blosse Anblick der Gleichungen 1]) beweist nun folgenden Satz :

Jede Bewegung eines Systems von einer endlichen Anzahl von Punkten, die unendlich wenig au seiner stabilen Gleichgewichtslage gerückt sind, kann so betrachtet werden, als wenn sie aus der Zusammensetzung der verschiedenen einfachen Schwingungen, deren das System fähig ist, hervorgegangen wäre.

Die Anzahl dieser Schwingungen ist gleich der Anzahl der unabhängigen Coordinateur, wofern sie nicht unendlich ist, wie wir schon oben bemerkt haben; die Schwingungen eines und desselben Systems sind synchronisch oder von gleicher Periode, ihre verschiedenen Richtungen und die Dauer der Periode hängen einzig und allein von der Natur des Systems ab, dagegen sind ihre Amplituden und die Coefficienten, mit welchen sie in der allgemeinen Lösung versehen sind, von dem Anfangszustande abhängig.

54. Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Punktes, welcher nur der Wirkung der Schwere unterworfen und auf einer beliebigen Oberfläche zu bleiben gezwungen ist. Entfernt man denselben aus seiner Gleichgewichtslage im tiefsten Punkte der Oberfläche und ertheilt ihm eine sehr kleine Geschwindigkeit, so kann er eine unendliche Anzahl verschiedener Curven beschreiben, welche von dem Anfangszustande ahhängen ; da aber nur zwei unabhängige Coordinaten vorhanden sind, so existiren nur zwei Systeme von einfachen Schwingungen, und man kann leicht beweisen, dass sie in den beiden Krümmungscurven der Oberfläche im tiefsten Punkte stattfinden. Jede andere Bewegung geht aus der Verbindung dieser beiden Schwingungen hervor. Nur in dem Falle, wo alle Krümmungshalbmesser in diesem Punkte gleich wären, könnte jeder normale Schnitt der Ort der einfachen Schwingungen sein, und dann Avürde es deren eine unendliche Anzahl geben.

318

55. Wenn die verschiedenen Wurzeln r, /, . . . unter einander commensurabel sind, so durchläuft das System periodisch dieselben Zustände; es ist nämlich, wenn [i das grösste gemeinschaftliche Maass bezeichnet,

r =: h[t, r = h'[i,

wo 7«,//, . . . ganze Zahlen bedeuten, die keinen gemeinschaftlichen Factor haben. Damit nun die Werthe von or, ß, ... sich periodisch nach einem Zeitintervalle af wiederholen können, müssen die Pro-ducte    . . . Vielfache von 2tc sein, also für ganze k, k', . . .

= 27r/<:, h'fid' = ‘Ink’, . . .

Da die Zahlen k, k, ... unter sich in denselben Verhältnissen wie die relativen Primzahlen h, h\ . .. stehen, so sieht man leicht, dass . die kleinsten Werthe von Ä*, //,. .. die Zahlen h, h\ . . . sein müssen, woraus für die Dauer der Periode

li .

folgt. Für n = 0, d. h. wenn die Zahlen r, /, r", . .. kein gemeinschaftliches Maass besitzen, wird & = oo, die Bewegung also nicht mehr periodisch. Ueberhaupt kann in diesem Falle das System, weder in Beziehung auf die Lagen noch auf die Geschwindigkeiten, jemals durch zwei identische Zustände gehen; geschähe diess nämlich auch nur einmal, so würden sich diese Zustände wiederholen und im Widerspruche zum Vorigen eine Periode bilden.

Anhang.

Ueber das Integral der partiellen Differentialgleichung

dhi ,t /d²u d'ii d²«A

dt~ U \Ae²    dy²    dz¹)

Betraclitet man £, rj, £ als beliebige von x, y, z abhängige Grössen, so besitzt der Ausdruck

r — j/(x— Ś)² + (y — v)² + (ß— O²

die folgenden beiden Eigenschaften

dr\~ . /dr\² . (dr\~

2)

,dx.

oy.

,dz,

a)

(ßr

Ol,r

d~r

— + — + g3= ...

dy¹

dx~

von deren Richtigkeit man sich leicht durch Ausführung der angedeuteten Differentiationen überzeugen kann. Aus den Gleichungen 2) und 3) folgt weiter eine Eigenschaft des Ausdruckes

4)

Lr __ £r(r—(U)

man

findet nämlich durch zweimalige partielle Differentiation in Beziehung auf x

d²U [ 1$(r—at)

dxß 1

r3

2 $'(r—-at)

r~

r—at) | d²r dxv

320

d²U d²U

und wenn man sich die entsprechenden Werthe von y-77 und ^ ₂-

hingeschrieben denkt, so giebt die Addition aller drei Gleichungen unter Berücksichtigung der in No. 2) und 3) verzeichneten Relationen

U d²U_

² + dz² ~

d²u

dx²

$" (j—at)

Da andererseits

— — a²

fXr — at)

dt²

so folgt nunmehr, dass zwischen den nach x, y, z und t genommenen partiellen Differentialquotienten von U die Beziehung

— = a²

'd²U d²U    d²U'

dy²    dz²

jdx²

stattfindet, oder dass U ein particuläres Integral der Differentialgleichung

dt²

„ „_ ₂ (d²u d²u d²u

dt²    \dx² dy² dz²

darstellt. Bei der linearen Form derselben kann man jetzt ein allgemeineres Integral auf die Weise hilden, dass man U mit einem beliebigen Factor multiplicirt, welcher von x, y, z und t frei ist, wohl aber |, 77, f enthalten kann, diesem Factor beliebig viele verschiedene Werthe ertheilt, und alle so entstehenden particulären Integrale addirt. Wählt man zu diesem Factor den Ausdruck F(g y, g) dS, drj dg so geht die genannte Summe in ein zwischen willkürlichen Grenzen genommenes bestimmtes Integral über, und man hat daher als allgemeineres Integral

5) .

d²u

6)

30 OO OO

• ~s / /*=*

-F(Ś, V, g) dl dy dg

— oo —00 —00

Unter den verschiedenen möglichen Specialisirungen der Function $ giebt es einige, bei welchen die Ausführung der einen von den obigen drei Integrationen allgemein, d. h. ohne Beeinträchtigung der Willkürliclikeit von F, ausführbar ist. Wir wollen diese Fälle näher betrachten.

Es sei erstens bei beliebigen positiven 1

321

${r— at)

2’

X~ -f- (r — at)

wir schreiben dabei F₁ für F, u₁ für u und haben so

oo oo oo

X² -}- [r— at)

u\ —

—-oo -—oo—oo

2 F\(źi Vt f) d* dv (l'X

Um diesem dreifachen Integrale eine andere Form zu ertheilen, denken wir uns x, y, z als rechtwinklige Coordinaten eines für die Integrationen als fest geltenden Punktes, ebenso y, £ als rechtwinklige Coordinaten eines veränderlichen Punktes, welcher vermöge der angegebenen Integrationsgrenzen jede beliebige Stelle des unendlichen Raumes einnehmen kann ; wir führen ferner statt der rechtwinkligen Coordinaten polare Coordinaten ein, nehmen dabei den Punkt x y z zum Anfangspunkte derselben, betrachten r als Radius-vector von | y £, und nennen & den Winkel zwischen r und sowie endlich co den Neigungswinkel der Ebene von & gegen die Ebene 'gr\ || xy. Nach bekannten Formeln ist dann

§ r= x -f- r cos 7] = y -J- r sin & cos co, £ = z -f- r sin & sin co, an die Stelle des Volumenelementes dt, dy d£ tritt r² sin ft d& dm dr

und damit der Punkt £ y £ den ganzen unendlichen Raum betreten könne, muss r von 0 bis oo, tt von 0 bis 7t, und m von 0 bis 2tc ausgedehnt werden, indem man sich den unendlichen Raum als Kugel von unendlich grossem Halbmesser zu denken hat. Nach diesen Bemerkungen ist

uy —

7t 271 OO

SSS

X² + (r — at)²

Fj(|, y, £) r sin b d& dm dr,

0 0 0

wobei §, 7], £ durch die oben angegebenen Werthe zu ersetzen sind und nur der Kürze wegen die Bezeichnung §, % £ beibehalten wurde. ' Lassen wir l in Null übergehen, so verschwinden alle diejenigen Elemente des vorstehenden Integrales, für welche

X² + (r—at)

II.

21

322

wird; da nun aber dieser Ausdruck in dem Falle r — at nicht verschwindet, sondern im Gegentheil unendlich gross wird, so bleiben noch alle Elemente übrig, für welche r unendlich wenig von cd verschieden ist. Um sie von den übrigen zu sondern, zerlegen wir das in Beziehung auf r genommene Integral in drei Integrale von r =■ 0 bis r — at — d, von r — at — d bis at -j- e und von r = at -f- s bis r = oo, wo d und e beliebig kleine Grössen bezeichnen. Von den drei genannten Integralen verschwunden dann das erste und letzte, im zweiten setzen wir

r at -f- Xg,    v

wo g eine neue Variable bezeichnet, und erhalten

n 2 7t

, ux = Lim

fJJ

cIq

- Fx (£, rj, £) (cd + Xg) sin & d& dco dg

“O I <2,

£ p= x + (at + Xg) cos &

7] = y -j- (at -f- Ap) sin & cos co £ s= z -f- (at -f- Xg) sin & sin co und durch Ausführung des angedeuteten Grenzüberganges

7E 2tT OO

■fff,

dg

r> Fx(£, di 0 ⁽d s*n & d& dco dg

O 0 —oo

£ = x -f- at cos 7] = y -j- at sin cos co, £^=z -j- at sin & sin co.

Da hier £,    £ nicht mehr von g abhängen, so kann die auf g bezüg

liche Integration ausgeführt werden und giebt

n 2tv

7)

ux — nat

tj JFx(£, rj, £) sin & d& dco.

Nimmt man zweitens in der Formel 6)

$(r — at) =

2 a A (r—at)

[A² -f (r — a/)²]

= Bi

A ² + (r — at)

*}

323

wo Dt den partiell nach i genommenen Differentialquotienten bezeichnet, so erhält man ein zweites Integral

u₂ —

oo oo oo

/1JH

X² -\- (r — at)

,2

j FS, V, t) di dn 4,

— co —oo —oo

oder weil t für die Integration als Constante gilt und weder in r noch in £, rjj Ç vorkommt,

CO CO oo

«2 =

°ß J ß

r X¹ ff- (r — at)

2 FS, V, t) d'é dn dt.

— oo —oo —oo

Mit’dem dreifachen Integrale lassen sich dieselben Transformationen wie vorhin ausführen ; es bleibt dann

n ‘‘ln

8)

sin ff rfff dco

0 0

und dabei haben £, r], t wie in No. 7) die Werthe N

t ~ x -f- at cos ff, rj = y + at sin ff cos w,    £ == z T at sin ff sin co.

Aus den Integralen 7) und 8) kann man ein neues Integral dadurch zusammensetzen, dass man jene mit zwei willkürlichen Constanten C    C

— und — multiplicirt und addirt; in der nunmehrigen Formel an    an

n 2 n

9)

■ u = C\tj J FS, V, t) sin ® d& dxo

sin ff d& dco

C₂ Dl{ J JF‘²^ % ®

0 0

sind nur noch die Functionen Fi und F₂ nebst den Constanten Cl und C₂ so zu bestimmen, dass für t — 0

S I So

u — f(x, y, z) und

324

wird. Nun giebt die vorige Formel bei Ausführung der auf t bezüglichen Differentiation

n 2tc

u ~C\tJ jF{[ij, oj, Ç) sin ff d& dco

7t 27t

c₂tj Jv,FS,n,i)

sin ff d& dco

7t 271

i & dQ dco

C2 J J'F2& V, f) sh

und für t = 0 d. h. § = x, rj = y, g ~z

tc 2n

u — C₂ J JF,,(x, y, z) sin ff d& dco — 471 C₂F₂(x, y, z) ;

dieser Ausdruck fällt mit f(x, y, z) zusammen, wenn

C2 = TZ( F2(x> 'Ji z) = Ax> Vi z)

genommen wird. 'Nach wiederholter Differentiation ergiebt sich

7i; 27t

du

dt

Cxtf J>DlF₁(^ rj, £) sin & d& dco 0 0 7t 271

+ cj jF,(i, n, t) si,

0 0 Tt 27t

+ C₂tf*J Fi'F₂(}, rj, g) sin ff d& dco

i Q d& dco

7t    2.71

+ 2C₂J*J AF₂(£, rj, g) sin -ff dff dco,

7t 27t

sin~S} sin a d-à da

ff

0 0

verschwinden, dass mitbin die obige Gleichung auf ^ — 47t ClFl (x, y, z)

wenn

zurückkommt; sie stimmt mit der zweiten Bedingung überein,

C, = — und Fl (x, y, z) = F(x, y, z)

' 4 Tt

genommen wird. An die Stelle der Gleichung 9) tritt nunmehr die folgende

7t 27t

~-tJ J F(ij, rj, f) sin 9¹ d& da

7t 2 7t

% £) sin & d& da

325

wobei im letzten Integrale

\dF₂ ^ , dF2 n    oF₂

ci{ ^ cos fr -j- sm & cos 00 -j- ■—-=

\ai

dri

sin (i sin a

gesetzt werden kann. Für f=0 bleibt

%

% 27t

du

dt

C\f

y, z) sin -9 d& da

n    2 xc

ff\

0 0 v

»h-cos & + 7—sin & cos co +    sind sin a\sinQ' d9 da.

dx

dy

dz

Bei einzelner Integration findet man aber, dass die drei Doppelintegrale

7t 27t

7t 27t

J ^cos ® s^n ® d'à da, J‘J sin-&

cos a d& da,

{fM

¹0 0

326

worin

'S,~ x -f- at cos fr

7] — y-\-at sin fr cos co, £ = z -f- at sin fr sin co.

Die hier mitgetheilte Entwickelung des von Poisson angegebenen Integrales ist übrigens nichts weiter als ein von anderen Theorien unabhängiger Beweis jener merkwürdigen Formel, mehr sollte sie überhaupt nicht sein; hinsichtlich der Methoden zur Entdeckung derartiger Integrale verweisen wir auf die Quellen: Fourier, Théorie de la chaleur pag. 523 — 541 ; Cauchy, Mémoire sur l’intégration des équations aux différences partielles etc. ( Journal de l’école polytechnique, cahier XIX, page 510 — 589), sowie auf eine zweite Abhandlung von Cauchy über denselben Gegenstand im ersten Bande seiner Exercices d’analyse (1840) pag. 76.

MBU5TEKA POllTEGHUlGZIÄ

KRAKÓW

co

\f

\

/

r “

.

*

-

-

»

N

: V

\

'JJ?'? àO

'

■

»

\

■/,

*4'

f

J

I

l

.......... wWM f ■* 1"'%^ - ■;

li

r:

i..

I:

■i

li?

II

li

liii

lii!

Ili 1 |i III »

i®

tl

;S

s

li : il

wÊ

sim

. U

MBOM

,|;J ••fil

II

■Bfi

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

;hniki Krakowskie]

11-349560    11-3444

Biblioteka Politechniki Krakowskie!

Biblioteka Politec hniki Krakowskiej