WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

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N. Schmitt

Aufgaben aus der techmfchenMechamk

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II. Dynamik und Hydraulik •

Zweite Auflage

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Die Sammlung

Aus Natur und Geisteswelt"

nunmehr über 800 Bände umfassend, bietet wirkliche „Einführungen" in abgeschlossene Wissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht des Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen und erfüllen so ein Bedürfnis, dem weder umfangreiche Enzyklopädien noch skizzenhafte Abrisse entsprechen können. Die Bände wollen jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schaffen, sich ohne besondere Vorkenntnisse an sicherster Tuelle, wie sie die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Wissenschaft, Kunst und Technik yu unterrichten. Sie wollen ihn dabei zugleich unmittelbar imBeruf fördern, den Gesichtskreis erweiternd, die Einsicht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend.

Die Sammlung bietet aber auch dem Fachmann eine rasche zuverlässige Übersicht über die sich heute von Tag }\i Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers }\i dienen, sich auf den Vachbargebieten auf dem laufenden ?n erhalten. 9n den Dienst dieser Ausgaben haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Ansang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise ja wenden.

Seit Herbst 1925 ist eine Neuerung insofern eingetreten, als neben den Bänden im bisherigen Umfange solche in erweitertem, etwa anderthalbfachem zu 1 ^fachem Preise ausgegeben werden, weil abgeschlossene Darstellungen grösserer Gebiete aus beschränkterem Naume heute schwer möglich sind. Diese Bände, die die Nummern von 1001 ab tragen, erscheinen, um die Einheitlichkeit der Sammlung ?u wahren, in der gleichen Ausstattung wie die übrigen Bände. Sie sind nur auf dem Äückentitel durch je ein Sternchen über und unter der Nummer besonders gekennzeichnet.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran }u gewöhnen, einen Betrag» den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden.

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Leipzig, fi

\ Teubner

100000295971

Ci» Vollständiges «ach Wissenschaftsgebieten geordnetes Verzeichnis versendet auf Wunsch der Verlag» Leipzig, poststrajje 3/5

Bisher sind erschienen

?ut Technik und mechanischen Industrie:

Geschichte und Grundlagen der Technik.

u. Geh. Aeg.-Aat

Schöpfungen der Ingenleurtechntk der Neuzeit. 'von Ober-M Geltet. 2. Aufl. Mit 32 Abbildungen. (Bd. 26.)

Einführung in die Technik. Von Geh. Aeg.-Vat vrof. Dr. 9»Loren). Mlt 77 Abb. im Text. (Bd. 72-.)

Mechanik.

Mechanik. Von vrof. Dr. © ßamtl. I. Grundbegriffe der Mechanik. Mlt 36 Ziguren. *ll.Mechanik der festen Körper. *ltt.Mechanik der flüssigen u. luftförmigen Körper. (8t>.664 86.) Aufgaben au» der technischen Mechanik. Zur den Schul- und Selbstunterricht. Von Vrof. V. Schmitt. I. Bewegungslehre» Statik und Zestigkeitslehre. 2. Aufl. 240 Aufgaben und Lösungen. Mit zahlreichen Ziguren im Text. II. vönamit und Hüdraullk. 2. Ausi. besorgt von Studiendirektor Vrof. vr. G. Wieg ne r. 198 Aufgaben und Lösungen mit zahlreichen Ziguren im Text. (0b. 556/550.)

Statik. Von Gewerbeschulrat Oberstudlendirektor A. S cha u. 2. Ausl. Mi1112Zlg. (Bd.628.) Zestigkeitslehre. Von Gewerbefchulrat Oberstudtendirektor A. Schau. 2. Aufl. Mit 119 SlQ. (0b. 620 )

Einführung in die technische Wärmelehre (Thermodynamik). Von Geh. Bergrat Prof. Ä.Vater. 3. Auflage bearbeitet von Prof. Dr. Z.Schmidt. Mit 46 Abbildungen im Text. (0b. 516.)

praktische Thermodynamik. Aufgaben und Belfpiele zur technischen Wärmelehre. Von Geh. Bergrat Prof. A. V a ter. 2. Aufl. herausg. v. Prof. Vr. Z r. S ch m t d 1. Mit 40 Abb. !m Text und auf 3 Tafeln. (Bd. 506.)

Rergbau, Hüttenwesen und mechanische Technologie.

Unsere Kohlen. Von Bergasiesior Privatdozent vr. p.Kukuk. 3. Ausi. Mit 55 Abb. im Text und auf 3 Tafeln. (Bd. 306.)

Da« Ltsenhüttenwefen. Von Geh. Bergrai Prof. Dr. H. Wedding. 7. Aufl. von Bergasiesior Z.w. Wedding. Mit 22 Abb. (Bd. 20.)

Maschtnenelemente. Von Geh. Bergrat Prof. V. Vater. 5.» erw. Aufl. bearbeltel von Prof, vr. Z. Schmidt. Mit 167 Abb. und 1 Vormentafel. (0b.301.)

Hebezeug«. Hilfsmittel zum Heden fester, siüfsiger und gasförmiger Körper. Von Geb. Bergrat Prof. A. Vater. 3.» erw. Aufl. bearb. von Prof. Dr. Zr. Schmidt. Mit 75 Abb. lm Text. (Bd. 106.)

Die Fördermittel. Einrichtungen zum Zördern von Masiengütem und Einzellasten ln industriellen Bettleben. Von Oberlngenieur O. Bech steln. Mit 74 Abb. im Text. (Bd. 726.) Die Spinnerei. Von Direktor Prof. M. Lehmann. Mit 35 Abbildungen. (0b.338.)

Maschinenlehre.

Die Dampfmaschine. Von Geh. Bergrat Prof. A. Vater. 2 Bde. I. Bd.: Wirkungsweise des Dampfes im Kesiel und in der Maschine. 6. Aufl. Von Prof. vr. Z. S ch m l d t. Mit 38 Abb. II. Bd.: Ihre Gestaltung und ihre Verwendung. 4. Aufl. Von Prof. Dr. Z. Schmidt. Mit 04 Abb. (Bd. 393/04.)

Die neueren Wärmekraftmaschinen. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bande. I. Bd.: Einführung in die Theorie und den Bau der Gasmaschinen. 6. Aufl. Von Prof* Dr. Z. Schmid«. Mit 45 Abb. (Bd. 21.) II. Bd.: Gaserzeuger, Grosigasmaschinen, Dampf- u. Gasturbinen. 5. Aufl. bearb. von Prof. vr. Z. S ch m i d t. Mit 46 Abb. (Bd. 80.) Wafferkraftausmchung uub Wasserkraftmaschine«. Von Dr.-Sng. Z. Lawaezek. Mit 57 Abb. (Bd. 732.)

Landmirtschaftliche Maschinenkunde. Von Geh. OtegXRot Prof. Dr. G. Zischer.

Mit 64 Abbildungen. 3. Auflage. (Bd. 3)6.)

Elektrotechnik.

®nmb!»g## der Erektrotechntt. Von Obering. A.Rotth. 2. Aufl. Mit 70 Äbb. (vd.3-1.) Dk« elektrische Kraftübertragung. Von 9ng.p.KSHn. 2.ÄufL 7Rüi33!Rbb. (Bd.424.) Drähte und Kabel, ihre Anfertigung und Anwendung in der Elektrotechnik. Von Teleyraphendirektor tz. Brtck. 2. Aufl. Mit 43 Abb. (Bd. 265.)

Die Telegraphen. und Zerafprechtechnik in ihrer Entwicklung. Von Telegraphen-direttor y. Brick. 2. Aufl. Mit 65 Abb. (Bd. 235.)

Da» Telegraphen- und Zernfprechwefe«. 2. Aust. Von Abteilung-direktor O. Sieblist. (Bd. 183.)

Die drahtlose Telegraphie und Telephonie. 9b« Grundlagen und Entwicklung. Von Studienrat Dr. p. Fischer. Mit 48 Abb. im Te)kt. (öd. 622.)

Hausbau und Wohnungswesen.

Der Eifenbetonbau. Von Dipl.-9ng. E. Haimooict. 2. Aufl. Mit 62 Abbildungen im Text sowie 8 Rechnung-beispielen. (Bd. 275.)

Wohnungswesen. Von Pros. Dr. R. Eber stadt« Mit 11 Abb. im Text. (Bd. 700.)

Verkehrstechnit.

Das Eisenbahnwesen. Von Eifenbahnbau- und Betrieb-inspektor a. D. Dr.-3n» E. Biedermann. 3., oerb. Aufl. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 144.)

Die Klein- und Straffenbahnen. Von Oberingenieur a. D. Oberlehrer A. Liebn, ann. Mit es Abb. (Bd. 322.)

Nautik. Von Direktor Dr.Z. Möller. 2.Aufl. Mlt64Fig.lm £tjrf tul Seekarte. (Bd.255.)

Graphische und Zein-Industrie.

Wie «in Buch entsteht. Von Reg.-Rat Prof. A. W. Unger. 6. Aufl. Mit 10 Tafeln und 26 Abbildungen im Terr. (Bd. iOC2t.)

Die Schmurkstetne und die Schmuckstetn-Iudustrie. Von Dr. A. Eppler. Mit 64 Abbildungen. (Bd. 376.)

Die Uhr. Grundlagen und Technik der Ieitmeflung. Von Prof.Dr.-9ng. tz. Bock. 2n umgearbeitete Auslage. Mit 55 Abbildungen im Tert. (Bd. 216.)

Die Schreibmaschine und da» Maschinenschreiben. Von Bemfsschulleiter ß.Schol). Mit 30 TeNfig. (Bd. 6-4.)

Zeichnen.

Der Weg >ur gelchentunst. Ein Buchlein für theoretische und praktische Selbstbildung. Von Oberstudtendir. l)r. E. weder. 4. Aust. Mil 84 Abb. (Bd. 430.)

Grundrüg« der Perspektiv« nebst Anwendungen. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Doehlem a nr^ 9., durchges. Aust. Mit -1 Fig. u. 11 Abb. (Bd. 510.) Geometrische» Zeichnen. Von OberschullehrerA. Schndei-kh. Mlt 172 Abb. im Teil und auf 12 Tafeln. (Bd. 56».)

Projektion»! ehr«. Die rechtwinkl. Parallelprotektion und ihre Anwendung auf die Darstellung techn. Gebilde nebst Anhang über die fchiefwtnkl. Parallelprojektion in kuyer leichtsastlicher Darstell, für Selbstuntenicht und Schulgebrauch. Von Oberschullehrer A.Schudei-th. 2. Aufl. Mit 165 Ftg. im Tept. (Bd. 564.)

Ma-e und Messen. Von Dr. w. Block. Mit 34 Abb. (Bd. 365.)

t Bände ab 1000 erscheinen in erweitertem Umfang.

Die mit * be-etchneten und wettere Bände befinden sich in Vorbereitung.

Nus Natur und Getsteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

559. Band

Aufgaben

aus der technischen Mechanik

für den Schul- und Selbstunterricht

Von

Prof. N. Schmitt

Studienrat in Dortmund +

II. Dynamik und Hydraulik

198 Aufgaben und Lösungen Mit zahlreichen Figuren im Text

Zweite Auflage, besorgt von

Prof. Dr. G. Wiegner

Oberstudienrat an der höh. Maschinenbauschule in Leipzig

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Verlag und Druck von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin 1925

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Alle Rechte, einschließlich des vlbersehungsrechts, vorbehalten

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Vorwort.

Die vorliegende zweite Auflage des zweiten Teiles der „Aufgaben aus der technischen Mechanik" hatte der Verfasser im Manuskript an den Verlag eingesandt, als er leider nach längerer Krankheit durch den Tod abgerufen und dadurch verhindert wurde, den Neudruck bis zur Fertigstellung zu besorgen.

Die neue Auflage enthält außer Aufgaben über Hydrostatik und Dynamik fester und flüssiger Körper aus den früheren Auflagen der beiden Bände auch eine Reihe völlig neuer Aufgaben aus diesen Gebieten. Dementsprechend ist der vorliegenden Auflage nun die Bezeichnung „Dynamik und Hydraulik" gegeben worden. Die Anzahl der Aufgaben ist von 140 der ersten Auflage auf 198 gestiegen.

Auf Wunsch des Verlags habe ich das Manuskript durchgesehen, dabei außer einigen unwesentlichen Veränderungen eine gleichmäßige Bezeichnung der technischen Abkürzungen durchgeführt und die gesamte Herstellung einschließlich der neuen Figuren überwacht.

Möge auch dieser Band die von seinem Verfasser in dem Vorwort zur zweiten Auflage des ersten Bandes gekennzeichneten Zwecke erfüllen und in den Kreisen angehender Techniker immer mehr Freunde finden.

Dr. wiegirer

Leipzig, im September 1924.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

I.    Dynamik..............

1.    Die beschleunigte geradlinige Bewegung

2.    Die beschleunigte Kreisbewegung . . .

3.    Zusammengesetzte Bewegung.....

4.    Bewegung des Schwerpunktes ....

5.    Die gleichförmige Kreisbewegung . . .

6.    Die Zentrifugalkräfte der Körper . . .

7.    Mechanische (Energie........

8.    Absolute und relative Bewegung . . .

II.    Hydraulik..............

9.    Statik der Flüssigkeiten.......

10.    Auftrieb.............

11.    Dynamik der Flüssigkeiten......

Lösung der Ausgaben. .    ......

11

12

13

15

18

24

28

28

30

31

I. Dynamik.

L Die Bewegung eines Körpers ist durch die Richtung und Größe feiner Geschwindigkeit gegeben; Richtung und Größe der Geschwindigkeit bestimmen den Bewegungszustand des Körpers.

Bewegt sich ein Körper gleichförmig und geradlinig, so bleibt er in demselben Bewegungszustand; er ist im Beharrungszuftand. Ruch der ruhende Körper ist im Beharrungszustand.

Jeder Körper zeigt das Bestreben in dem Beharrungszustand zu bleiben, in dem er sich befindet. (Er setzt jeder Änderung dieses Zustandes einen Widerstand entgegen, hierdurch zeigt er seine Trägheit.

Der Widerstand bzw. die Trägheitskrast eines Körpers ist die Resultante der Trägheitskräfte feiner Teilchen.

Die Trägheitskräfte sind innere Kräfte, die durch die Bewegungsänderung hervorgerufen werden.

Zur Bewegungsänderung find äußere Kräfte nötig.

I. vie beschleunigte geradlinige Bewegung.

II.    Die Bewegungsänderung eines geradlinig geführten Körpers kann nur eine Beschleunigung oder Verzögerung in der Führungsrichtung sein.

Die Trägheitskräfte der Teilchen eines geradlinig geführten Körpers find parallel gerichtet, ihre Resultante geht durch den Schwerpunkt des Körpers; deshalb muß auch die Resultante der äußeren Kräfte durch den Schwerpunkt des Körpers gehen.

III.    Bei einem frei fallenden Körper wirkt die äußere Kraft, die Schwerkraft bzw. das Körpergewicht in der Bewegungsrichtung. Die Resultante der Trägheitskräfte ist gleich dem Körpergewicht.

Beim freien Fall bewegt sich der Körper gleichförmig beschleunigt. Die Beschleunigung ist g ----- 9,819 —10 m/sec². Ist G das Gewicht

des Körpers bzw. die Kraft, so wird das Verhältnis — = M die Masse des Körpers genannt.

p

«IO

Allgemein ist: — =    — M, wenn P die Kraft, p die Beschleunigung

ist- hieraus folgt: p = 5 =

P «=* Mp.

1.    Eine horizontal wirkende Kraft P = 20 kg wirkt auf einen geradlinig geführten Körper von 50 kg Gewicht, p t,

////// zzz z/ z z

Zu 1.

Welche Beschleunigung erhält der Körper, wenn .-'tz keine Reibung vorhanden ist?

2.    wie groß wird die Beschleunigung des Körpers der Aufgabe 1, wenn zwischen Führung und Körper Reibung wirkt und p --- 0,2 ist?

zz/zz/*

Op

II

3.    Der in den Ausgaben 1 und 2 gegebene Körper soll die Form eines Prismas von 0,2 m höhe haben, lvo muß die Kraft P wirken?

3u 3.

4.    Einem prismatischen Körper von 50 kg Gewicht wird aus einer wagerechten Bahn eine Anfangsgeschwindigkeit v = 5 m/sec durch Stoß gegeben.

Wie lange und wie weit bewegt sich der Körper, wenn zwischen Führung und Körper Reibung wirkt und p = 0,2 ist? ,_

Zu 7.

8. wie hoch darf der in Ausgabe 4 gegebene Körper höch- ® stens sein, damit er nicht umkippt?

6.    welche Beschleunigung p erteilt eine Zugkraft P — 60 kg einem Gewicht von 50 kg an einer festen Rolle?

7.    An dem rechten Seilende soll eine Kraft P so wirken, daß das Gewicht mit einer Beschleunigung p — 2,5 m/sec* abwärts geht. Wie groß ist P?

CD.

8.    Ein in einem Fahrstuhl liegendes Gewicht von 100 kg j wird mit einer Beschleunigung p — 2 m/sec* bewegt. Wie groß ist der Druck des Gewichtes auf den Fahrstuhl?

rm

9.    Der Fahrstuhl (Aufgabe 8) und das daraufliegende Gewicht von 100 kg soll mit einer Beschleunigung p = Su 8. 12 m/sec* abwärts bewegt werden. Wie

'.>z/zz S S/ s////

Zu 10.

groß ist der Druck des Gewichtes auf den Fahrstuhl?

10.    Körper I wiegt 50 kg, Platte II100 kg,

der Reibungskoeffizient zwischen I und II ist p — 0,2. Zwischen II

ZZ^Z/^

3u 14.

3u 13.

W*9

■^-200-^

30 h

und Führung wirkt keine Reibung. / wird auf der Platte mit der Geschwindigkeit v == 1 m/sec bewegt, wie bewegt sich //?

11.    Ruf einer schiefen Ebene, die auf 1 m Bahn 0,4 m fällt, bewegt sich ein Gewicht G durch sein eigenes Gewicht, wie groß wird seine Beschleunigung, wenn keine Reibung wirkt?

12.    Ruf einer schiefen Ebene, die auf 1 m Vahnlänge 0,6 m steigt, bewegt sich ein Gewicht von 20 kg abwärts. Der Reibungskoeffizient zwischen Gewicht und Bahn ist |u --- 0,25. wie groß wird die Beschleunigung des Ge- p wichtes?

13.    Das in Rufgabe 12 gegebene Gewicht soll mit einer Beschleunigung p -----2 m/sec² aufwärts bewegt werden, wie groß mutz die Kmft P sein?

14.    welche Beschleunigung erhalten die beiden Gewichte, wenn keine Reibung wirkt?

15.    welche Beschleunigung erhalten die beiden Gewichte?

16.    welche Beschleunigungen erhalten die beiden Gewichte?

17.    Platte II soll mit der Beschleunigung p verschoben werden, wie bewegt sich/aus//?

18.    Zwischen Gewicht G und der schiefen Ebene soll z* keine Reibung wirken. Mit welcher Beschleunigung p \ß> mutz die schiefe Ebene von rechts nach links bewegt werden, zfc damit das Gewicht auf der schiefen Ebene stehen bleibt?

19.    Um eine Rolle, die auf einem Brett drehbar ge- p

lagert ist, liegt ein Seil, an dem zwei    z

Gewichte 10 kg und 20 kg befestigt , Q ——£-1 ' P x sind. Die Gewichte ruhen auf dem Brett, das mit einer Beschleunigung p ----- 0,5 m/sec² von links nach rechts

bewegt wird, wie bewegen sich die _

Gewichte?

20.    Die Rolle wird mit einer Beschleunigung p ----- 2 m/sec² auswärts bewegt, wie bewegen sich die daranhängenden Gewichte?

110 kg

3u 15.

3u 16.

ii rin

\/ / / V / / / s/ / / /*';/ / > / /

3u 17.

Ü20 kg

P_

3u 18.

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MD

Q 20 kg

3U 20.

Ps_

3u 19.

IV. Nach Gleichung III ist P — Mp. werden beide Seiten mit der Zeit t multipliziert, so wird P • t = M • p • t.

P • t = M • v-Kraft - Seit — Masse - Geschwindigkeit.

Dies ist der Satz vom Antrieb. Das Produkt M - v wird das Bewegungsmoment genannt.

werden beide Seiten der letzten Gleichung mit ^ multipliziert, so

wird

p.l.t-lM*

oder

- M • v\

P • s ist die von der Kraft P geleistete Arbeit. \ Mv² wird das Arbeitsvermögen der Masse M, die eine Geschwindigkeit v hat, genannt.

wenn ein Gewicht G durch eine Höhe h frei fällt, leistet es eine Arbeit: A = G ■ h und erreicht eine Geschwindigkeit v, die sich aus der Gleichung G ■ h = \ Mv² ergibt.

G ■ h = ^v²-, v²=2gh; v=V2gh.

21.    (Ein Gewicht von 20 kg fällt frei durch eine Höhe von 5 m. Mit welcher Geschwindigkeit kommt es an? _^20k **—

22.    (Ein Gewicht von 50 kg wird mit einer j,- E==Fr Geschwindigkeit v = 10 m/sek lotrecht hoch g geworfen, wie hoch steigt es?

ZU 21.

23.    wie groß ist die Geschwindigkeit des in Aufgabe 22 gegebenen Gewichtes, wenn dasselbe 3,2 m hoch gestiegen ist?

24.    Einem Gewicht von 60 kg wird auf einer wagerechten Bahn eine Geschwindigkeit v — 20 m/sec durch Stoß erteilt. Zwischen Gewicht und Bahn wirkt Reibung (n — 0,25). wie weit bewegt sich das Gewicht?

25.    wie groß ist die Geschwindigkeit des in Aufgabe 24 gegebenen Gewichtes, wenn es einen weg von 60 m zurückgelegt hat?

26.    welche Arbeit muß die am Körper / (Aufgabe 10) wirkende Kraft P leisten?

2. Die beschleunigte Kreisbewegung.

V. Bilden die äußeren, an einem Körper wirkenden Kräfte ein Kräftepaar, so dreht sich der Körper gleichförmig beschleunigt um seinen Schwerpunkt.

'/

Tine an einem drehbar gelagerten Körper wir- .    ..    -

Tff

kende Kraft dreht den Körper um den Drehpunkt -*j gleichst beschleunigt. (Ein Teilchen d einer Stange, die um ihren Endpunkt rotiert, hat eine Trägheitskraft ' I T

q — f-^-x-p₀, wenn Po die Winkelbeschleunigung ist. Die '' Trägheitskrast der ganzen Stange ist

•Po-

27.    Die Rolle des Aufzuges dreht sich mit einer Umfangsgeschwindigkeit v — 1 m. Zwischen Seil und Rolle wirkt eine Reibung P = 96kg. wann haben die Gewichte die Geschwindigkeit der Rolle erreicht?

28.    Der Treibriemen hat eine Geschwindigkeit v = 6 m/sec. Die größte Riemenkraft ist Sx — 160 kg; wenn Sj = 2 S₂ ist. wie wird die Last bewegt?

29.    EinZriktionshammervon250 kg Gewicht wird durch zwei Reibungsrollen bewegt, die dem Hammer bei einer Hubhöhe von *C|p> 0,3 m eine Geschwindigkeit v — 2 m/sec geben. Wenn der Hammer diese Geschwindigkeit erreicht hat, werden die Rollen ausgerückt, wie hoch steigt der Hammer noch, und wie groß ist sein Arbeitsvermögen beim Aufschlagen?

30.    Der in Ausgabe 29 gegebene Hammer drückt das 3u 29. Schmiedestück um 5 mm zusammen. Wie groß wird der vom Hammer auf das Schmiedestück ausgeübte größte Druck?

Si

120 kg

160t*-,

009

3u 28.

jj200 kg 3u 27.

□sw*,

Da die einzelnen Kräfte q mit x wachsen, lassen sie sich durch ein

Dreieck darstellen, dessen Inhalt Q = ^ = ^-p₀ ist. Die Kraft Q

*    9

geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks, ihr Arm ist gleich y l, ihr 12 /*

Drehmoment Md = M - ^p₀ • -^l — ”

Das Arbeitsvermögen des Stücks d ist gleich \    wenn

w die Winkelgeschwindigkeit der Stange ist. Dann ist das Arbeitsvermögen der ganzen Stange

M-

3 Po-

wenn v die Umfangsgeschwindigkeit der Stange ist. Dreht ein Kräfte-paar Pa eine Stange um ihren Schwerpunkt, so bilden die Gräg-heitskräfte zwei Dreiecke. Das Drehmoment der Kräfte ist

tO| i->

’g

• Mv²,

w| to

MP

Md — P ■ a — Q ■

Das Drehmoment der Trägheitskräfte einer zqlindrischenScheibe, die um ihre Achse rotiert, ist

¹ = ~n~' Po-

= y d² • Po unb A=-^v\

Für eine Kugel, die um einen Durchmesser rotiert, ist

Ma —    ' p°unb A = yy2-

wenn v die Umfangsgeschwindigkeit des größten Kugelkreises ist.

31.    (Eine auf einer welle befestigte Platte von 45 kg Gewicht erreicht beim Unlaufen in 5 Sekunden eine Umfangsgeschwindigkeit von 10 m/sec. wie groß ist das an der welle wirkende Drehmoment, und wie groß wird das Urbeits- — vermögen der Platte?

32.    Um einen drehbar gelagerten Zylinder von 120 kg Gewicht ist ein Seil gewickelt, an dem ein Gewicht von 30 kg hängt, wie bewegen sich die Körper? ^

33.    Im Mittelpunkt eines auf einer rau

hen Bahn ruhenden Zylinders von 50 kg ^ w irkt eine Kraft    3 0 k g p arallel zur Vah n. g

Zwischen Zylinder und Bahn wirkt Reibung § jit = 0,2. wie bewegt sich der Zylinder? L

34.    Uuf einen Zylinder, der aus einer

—200—*

500—i

3 il 33.

H³-

250

3u 31.

^//// / ///.//

fi,

W kg [J 30 kg 5u 32.

vollkommen glatten Bahn liegt, einen Durchmesser von 0,8 m und ein Gewicht von 120 kg hat, wirkt parallel zur Bahn eine Kraft von 60 kg 0,2 m vom Mittelpunkt, wie bewegt sich der Zylinder?

Pi

55. (Eine durch den Mittelpunkt wirkende Kraft P gibt der Kugel eine Rollbewegung mit der Beschleunigung p ----- 2,5 m/sec². (Es sind P und p zu bestimmen.

3u 35.

fr

i

//////////////

3u 36.

36.    Hrt der Achse des Zylinders von 1,2 m Durchmesser und 300 kg Gewicht wirkt ein Kräftepaar Pa, das dem Zylinder und dem anhängenden Gewicht von 100 kg eine Beschleunigung von p == 1 m/sec² gibt, wie groß muß P a sein, wenn |u=0,2 ist ?

37.    Line Stange von der Länge l dreht sich um ihren Endpunkt A aus der horizontalen Lage in ihrer vertikalen Ebene durch ihr Eigengewicht. Es ist das Biegungsmoment der Stange zu bestimmen.

5. Zusammengesetzte Bewegung.

VI. Die Erägheitskraft der geradlinigen und das Kräftepaar der Drehbewegung haben eine Resultante, die gleich der Trägheitskraft der geradlinigen Bewegung ist.

38.    Eine Kraft P soll einer Kugel von 1 m Durchmesser und 600 kg Gewicht aus einer glatten wagerechten Bahn eine Rollbewegung mit der Beschleunigung p = 1 m/sec² geben. Es ist die Größe und Lage der Kraft zu bestimmen.

39.    Line Stange von 1,2 m Länge ist am Ende der Kurbel III, die 1 m lang ist, drehbar gelagert.

wo muß die Drehkraft P wirken, damit die Stange eine volle Kreisbewegung macht?

40.    Eine zylindrische Scheibe von *

0,8 m Durchmesser ist am Ende *-0,8\n-^ einer 0,8 m langen Kurbel III drehbar gelagert, wo muß die Dreh-kraft P wirken, damit die Scheibe eine Kreisbewegung um / macht?

41.    Es ist nachzuweisen, wie groß der Neigungswinkel a einer

^0,8 m—^

>Äpi

3u 40.

Jl/p/

Zu 39.

schiefen Ebene fein mutz, damit eine zylindrische Scheibe auf ihr rollt.

42.    Dieselbe Aufgabe wie Nr. 41 ist für eine Kugel zu lösen.

4. Bewegung des Schwerpunktes.

VII. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt mehrerer miteinander verbundener Körper bewegt sich so, als wenn sämtliche Körper in diesem Punkte vereinigt wären und auf denselben die Resultante der äußeren Kräfte wirke.

60kg

43.    Ruf die lose Rolle wirkt eine aufwärts gerichtete Kraft von 60 kg. Wie bewegen sich die Gewichte?

44.    wie bewegen sich die Gewichte?

45.    Ruf dem 300 kg schweren Wagen M liegt ein Gewicht von 100 kg. Zwischen der Wagenplatte und dem Gewicht wirkt Reibung, ju — 0,2. wie groß darf die Kraft P nur fein, damit sich das Gewicht nicht auf der Platte verschiebt?

20 *pLl

3» 43.

47.    stuf einem 150 kg schweren wagen liegt eine Last von 100 kg. Reibung wirkt nicht, wie bewegen sich die Klaffen auf der schiefen (Ebene?

48.    ftn der Trommelwelle der winde/ wirkt ein Drehmoment von 15 mkg. Die Winde / wiegt 200 kg, das Gewicht II150 kg. Zwischen Winde und Bahn wirkt Reibung u = 0,15. Wie bewegen sich die Teile?

46.    Wie groß werden die Beschleunigungen der Massen M₁ und M₂ in der vorigen Rufgabe, wenn P = 120 kg

ist?

3u 44.

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3u 45.

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Su 48.

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5. Die gleichförmige Kreisbewegung.

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OC £

VIII. (Ein Punkt, der sich mit einer Geschwindigkeit v₀ gleichförmig um einen festen Punkt dreht, von dem er den Abstand r hat, bewegt sich jeden Augenblick m der Richtung der Tangente der Kreisbahn, er ändert fortwährend feine Richtung. Werden die Geschwindigkeiten v₀ des Punktes von einem festen Punkte A aus nach Richtung und Größe aufgetragen, so liegen ihre Endpunkte auf einem Kreis mit dem Radius v₀, der das Geschwindigkeitsdiagramm des Punktes darstellt.

Die Geschwindigkeit v₂ ist die Resultante von z>! und v. Bei sehr kleinem Winkel et kann statt der geraden Strecke 1—2, die die Geschwindigkeit v darstellt, die Bogenlänge 1—2 des Diagramms gesetzt werden. (Es wird dann v = v₀a. wird dieser Winkel a in einer

kurzen Zeit t durchlaufen, so ist

v2

OL = lVt, V = V₀Wt= t-y-t

Für-----1 ergibt sich die Geschwindigkeit v, die in der Zeiteinheit zugesetzt werdenmuß, oderdie Beschleunigung:

vl

— TW.

Pn r

pn ist die Normal- oder Zentripetalbeschleunigung. Sie steht als Bogenlinie des Diagramms immer senkrecht aus der Geschwindigkeit v₀, sie fällt immer in die Richtung des vrehradius.

pn

Zi

-■-kr

Die Geschwindigkeit v₀ für einen Drehwinkel a hat die Komponenten: x = v₀ sin ct, y = v₀ cos a, die Beschleunigungen die Komponentenp*=pn cos a, py — pn sin a. Die Diagramme dieser Komponenten sind Dreiecke, Hat der bewegte Punkt die Masse M, so ist die Kraft, die erforderlich ist, um dieser Masse die Beschleunigung p„ zu geben,

z«

Z — Mpn — M —p = Mrw².

Diese stets in der Richtung des Dreh- ZxtslTn^ radius wirkende Kraft wird Zentripe-teils rast genannt. Sie hat die Komponenten

Zx = Mpn COS a; Zy = Mpn sin a.

49.    stuf einer glatten horizontalen Ebene bewegt sich eine 20 kg schwere Kugel mit einer Geschwindigkeit v₀ = 5 m/sec gleichförmig und geradlinig, von einem Punkte A ab soll sie sich mit derselben Geschwindigkeit im Kreise um einen Punkt B bewegen, der von A 4 m entfernt ist. wie groß muß die vom Punkte A ab aus die Kugel wirkende Zentripetalkraft sein?

50.    Kolben, Kolbenstange und Koulissenführung der Schubkurbel wiegen zusammen 40 kg. (Es ist das Arbeitsdiagramm der zur Bewegung dieser Teile erforderlichen Kraft für 120 Touren der Kurbel darzustellen.

51.    Eine liegende Dampfmaschine von 50Ö mm hub hat ein Gestänge- und Kolbengewicht von 220 kg. Sie macht 240 Touren, wie groß muß die Keibung zwischen Rlaschinenrahmen und Fundament, welche durch das Rlaschinengewicht und den Ankerdruck bewirkt wird, mindestens sein?

52.    Das Gewicht Q = 100 kg stoßt mit der Geschwindigkeit v = 10 m/sec gegen den elastischen Stab I in der Richtung der Stabachfe und drückt ihn 5 cm zusammen, wie bewegt sich Ql

53.    Ein elastischer Stab von der Länge l cm und dem Querschnitt f cm² ist am oberen Ende befestigt, am unteren Ende mit I einer Schale versehen, auf welche ein Gewicht Q gelegt wird. Dieses Gewicht soll den Stab um ein Stück X dehnen. Die Dehnung soll innerhalb der Proportionalitätsgrenze liegen, wie bewegt

•I

sich 9?

777/777777/

3u 52.

Zu 53.

54.    Die Stablänge sei l ----- 2000 cm, Querschnitt/' =10 cm³, das Gewicht Q ----- 100 kg, E = 2000000 kg/cm². Es sollen v, r und kz bestimmt werden.

55.    Eine Kraft von 500 kg drückt -

p_

ein Gewicht von 1250 kg gegen    -.........-......-

3u 56.

einen elastischen Stab in der Rich- J-------------

Zu 55.

tung der Stabachse. Der Stab wird um 8 cm zusammengedrückt, wie wird das Gewicht bewegt?

56.    Gegen ein Gewicht von 1200 kg drückt eine wagerecht ge-

richtete Kraft von 120 kg. Das Gewicht ist wagerecht geführt und lehnt sich seitlich gegen eine Blattfeber von 150/12 mm Huerschnitt und 600 mm Länge. Wie wird das Gewicht bewegt?

<£>

57.    An einer um eine Achse drehbaren 0,5 m langen Stange ist eine Kugel von 50 kg Gewicht f! befestigt, die sich mit der Geschwindigkeit v = 2 m/sec horizontal dreht. Wie groß ist die in der Stange wirkende Zugkraft?

<-0,5

3u 57.

58.    (Eine Kugel von 60 kg Gewicht, die sich auf einer horizontalen, glatten Ebene mit einer Geschwindigkeit v ----- 3 m/sec gleichförmig und geradlinig bewegt, tritt im Punkte A in eine aus der Ebene liegende kreisförmige Führung, von hier bewegt sich der Kugelmittelpunkt in einem Kreis von 0,8 m KaMus. Wie groß wird der Druck gegen die Führung?

59.    wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des bei- ~®'tT ^ stehenden Zentrifugalpendels, wenn die Kugeln die angegebene Stellung einnehmen?

3u 58.

60.    wie groß ist die im Huerschnitt eines Ringes von 2 m mittlerem Durchmesser und 1200 kg Gewicht wirkende Zugkraft, wenn sich der Ring nach

einer Umfangsgeschwindigkeit v=10 m/sec    ^-----

dreht?    ^

\G

U—360

360 —h

3u 59.

80

61.    Eine Lokomotivkuppelstange ist 1500 mm lang, hat einen Huerschnitt von _(i 40/80 mm und wiegt 36 kg. Der Kolbenhub beträgt 700 mm, der Ereibraddurch-messer 1200 mm. wie groß wird die Biegungsspannung der Stange, wenn die Maschine 54 km läuft?

(Aus Föppl, Techn. Mechanik.)

7<r

b.Die3en1rifugattrSstederUSrper. ||( » H ff;

IX.Vie Zentrifugalkraft eines Körpers ist *—

—-1509 —»i

gleich der Zentrifugalkraft seiner im Schwerpunkt vereinigt gedachten Masse.

62.    Wie groß ist die auf die Hälfte des in Aufgabe 60 gegebenen Ringes wirkende Zentrifugalkraft?

63.    Der Ring eines Schwungrades von 2,4 m Durchmesser wiegt 1500 kg. Das Rad hat 6 Arme. Wie groß wird die in jedem Arm durch die Zentrifugalkraft des Ringes hervorgerufene Zugkraft, wenn die Umfangsgeschwindigkeit des Ringes v — 12 m/sec beträgt?

64.    Die Stange AB wiegt 25 kg und wird mit der winkel-

20

3£;:h _mbL

i B

:

gefchwindigkeit w = — um ^

fl

[Ej L__^

K—l    >j< 1

3ll 64.

-*200 V-

den Punkt 0 gedreht. Wie groß A wird die Spannung im mitt- ' E leren Querschnitt D?

3u 65.

. 65. Der Schwungradkranz einer Dampfmaschine wiegt 1500 kg. Der Kranzquerschnitt ist ungleichmäßig, daher liegt sein Schwerpunkt 4 cm vom Mittelpunkt des Rades, wie groß wird die Biegungsspannung der welle im Huerschnitt A B von dem Gewicht und der Zentrifugalkraft des Kranzes, wenn die welle 120 Touren macht und im Huerschnitt AB 100 mm stark ist?

■0,8 m

Qs (jf

3u 66.

66.    Der 10 kg schweren Kugel, die auf 1s der an der Spindel befestigten Stange AB verschiebbar ist, wird durch Stoß eine Ge- zrv „ schwindigkeit v = 2 m/sec in der Stangen- * richtung gegeben, wenn die Kugel in der

Spindel steht, die mit w — ^ gedreht wird.

wie groß mutz die auf die Kugel wirkende Kraft P sein, die so wirkt, daß die Kugel die gegebene Geschwindigkeit behält?

67.    wie groß ist die in der 60 kg schweren und 1,5 m langen Schubstange einer Dampfmaschine wirkende Zentrifugalkraft (Zugkraft), wenn die Kurbel durch den toten Punkt geht und eine Geschwindigkeit v — 4 m/sec hat? .

tieiiST-v

¹ k-1,3

68.    Die in Aufgabe 31 gegebene Platte Njß? c von 45 kg Gewicht soll eine Umsangsgeschwin- > > digkeit von 10m haben, wie wird die Welle beansprucht?

1,4 m

3u 69.

69.    Eine rechteckige Platte von 200 kg Gewicht dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit

20

w = — lim eine mit der Diagonale zusammen fallenden Achse, wie

groß werden die Lagerdrucke?

70.    Eine Stange von 2 m Länge und 30 kg Gewicht ist auf einer Achse befestigt, mit der sie den    /\

Winkel (90° — a) bildet. Die Achse dreht sich mit der

Winkelgeschwindigkeit w =    IDte wirkt die

Stange auf die Achse?

- Im-h

3u 70.

71.    (Ein halbkreisring von 800 mm Durchmesser und 50 kg Gewicht rotiert um die Achse II (Durchmesser) mit der Winkelgeschwindigkeit w = ^ • wie zk

groß ist das Viegungsmoment im Scheitel A des Ringes ?

*300*

*-500-^300*^

72.    Die beiden Platten von je 30 kg Gewicht drehen sich um die Achse 11 mit der

20

Winkelgeschwindigkeit    (Es ist die

*300*

stehende Spindel 0 in Beanspruchung der Achse und    /

der Arme, an    [.

denen die ' ^

900

800

3u. 71.

3u 72.

Platten befestigt sind, zu bestimmen.

II

■T.

lm ->j 2

73.    Die Stange///soll \M um die lotrecht stehende Spindel 0 in wagerechter i |

+0,4

Ebene mit der winkelge- «

schwindigkeit w gedreht t. A.__

3u 74.

3u 73.

werden. Der Kugelt/wird o ' eine Geschwindigkeit v in der Stangenrichtung gegeben. Eine auf die Kugel wirkende Drehkraft P soll so wirken, daß die Kugel die gegebenen Geschwindigkeiten behält, wie groß muß P sein?

stUu© 559: Schmitt, Aufgaben aus der Mechanik II. 2. AufL

74. Der Masse Mu die ein Gewicht Mg ----- 20 kg hat, wird im Abstande 1 m von der Spinbei eine Geschwindigkeit v = 4 m/sec auf der Stange nach der Spindel hin gegeben. Gleichzeitig erhält Stange

und Masse eine Winkelgeschwindigkeit w ^ um die Spindel. Die

Zentripetalkraft Z wirkt so auf die Masse, daß diese die Geschwindigkeit v behält, welche Arbeit gibt die Masse an die Spindel auf dem Wege von 1 m bis 0,4 m Abstand von der Spindel an diese ab?

7. Mechanische Energie.

Lösungen

= y(y — vi) --- 4.

P = 0,8 • (1 - 0,6) (o,6 + y); P---- 0,256 t.

Hl

7. Mechanische Energie.

X. Die Energie eines Körpers ist sein Arbeitsvermögen. Man unterscheidet zwei Formen der mechanischen Energie: die Ruheoder potentielle Energie und die Bewegungs- oder kinetische Energie.

Beim heben eines Gewichtes von G kg um h m wird eine Arbeit Gh mkg in dem Gewicht aufgespeichert. Diese Arbeit, die potentielle Energie des Gewichtes, kann von dem Gewicht zurückgegeben werden. Fällt das Gewicht wieder um h m, so erreicht es eine gewisse Geschwindigkeit v, seine potentielle Energie wird in kinetische umgewandelt. Dieselbe ist y Mv² oder Gh. In Satz IV wurde „y Mv²" das Arbeitsvermögen genannt.

wird einem Gewicht G eine aufwärts gerichtete Geschwindigkeit v, also eine kinetische Energie y Mv² gegeben, so steigt das Gewicht, bis seine Geschwindigkeit gleich Rull geworden, d. h. bis seine kinetische Energie in potentielle umgewandelt ist. Die Steighöhe h kann wieder aus der letzten Gleichung bestimmt werden.

dOkg

Sowohl bei der Fallbewegung wie beim Steigen besitzt das Gewicht potentielle und kinetische Energie, beim Ende der Bewegung nur die eine oder die andere. Die Summe der beiden Energiegrotzen ist konstant und zwar gleich der ursprünglichen Energie.

Mechanische Arbeit kann auch in elastischen Körpern durch Formänderung derselben aufgespeichert werden.

Diese Form- oder Spannungsenergie ist potentielle Energie.    A

75. wie groß ist die potentielle Energie der beiden Gewichte bezogen auf die Basis AB?

///////////////zP/////

76.    wie groß ist die potentielle und kinetische Energie der Gewichte, wenn das obere Gewicht um 1 m gefallen, das andere um ebensoviel gestiegen ist?

77. EinemGewichte6wirdeinelotrechteaufwärtsgerichteteGefchwin-digkeit v= 10m/sec gegeben. (Es ist das Energiediagramm zu zeichnen.

78.    Die beiden Gewichte, die durch ihr Eigengewicht bewegt werden, haben in der angegebenen Stellung eine Geschwindigkeit v—2,5 m/sec. (Es ist die Anfangsstellung der Gewichte anzugeben.

79.    Ein Pendel wird in die in der Figur angegebene Lage gebracht und dann losgelassen, wie groß wird feine Geschwindigkeit im tiefsten Punkte A?

SO.Ittit welcher Geschwindigkeit kommt das Gewicht c im Punkte A an?

81. Linern Gewichte von 10 kg wird auf wagerechter

ISkgQ.;-

iJLJs#

3U 78.

3u 79.

cv

~r-—-p'

Bahn eine Geschwindigkeit v — 10 m/sec erteilt. Der Reibungskoeffizient zwischen Bahn und Gewicht ist ft — w*)

0,2. wie weit läuft das Gewicht?

3u 80.

7~

3,2 m

3u 82.

82.    Um eine drehbar gelagerte zylindrische Scheibe von 50 kg Gewicht ist ein Seil ge- Ji wickelt, an dem ein Gewicht von '"w 20 kg befestigt ist. Der Scheibe wird eine Umfangsgeschwindigkeit v= 4 m/sec gegeben, wenn das Seil noch nicht angespannt ist. wie hoch steigt das Gewicht?

83.    Einer zylindrischen Scheibe von 40 kg Gewicht wird auf einer wagerechten Bahn eine geradlinige Geschwindigkeit von 6 m/sec durch Stotz gegeben. Der Reibungskoeffizient ist ,u --- 0,2. wie bewegt sich die Scheibe?

1200**

84.    (Einer Scheibe von 20 kg Gewicht wird eine Drehbewegung um ihre Achse mit einer Umfangsgeschwindigkeit v = 6 m/sec erteilt und in diesem Bewe-

/7V7/////////

Zu 85.

wie bewegt sich die Scheibe, wenn ft — 0,2 ist?

85. Eine Lokomotivkuppelftange wiegt 25 kg,

die Geschwindigkeit der Lokomotive bzw. die Anfangsgeschwindigkeit der Treibräder ist = 12 m/sec. welche Arbeit wird zur Bewegung der Stange aus der tiefsten Lage I in die höchste Lage II verbraucht?

86.    Welche Arbeit ist erforderlich, um einem Schleifstein von 1 m Durchmesser und 250 kg Gewicht 120 Touren zu geben?

87.    (Eine volle Scheibe von 400 mm Durchmesser wiegt 50 kg, die Zapfen der Achse sind 40 mm stark, wird der Scheibe eine Umfangsgeschwindigkeit von 6 m/sec erteilt, so wird sie durch die Zapfenreibung nach 15 sec zum Stillstehen gebracht, wie grotz ist H?

88.    Die Spindel und der Stempelträger einer r^v_ Schraubenpresse wiegen zusammen 120 kg. An der Spindel sind 4 Kugeln von je 20 kg Gewicht befestigt. Der hub der Presse beträgt 200 mm.

Befindet sich die Spindel in ihrer höchsten Stellung, so dreht der Arbeiter die Kugeln, bis sie eine Geschwindigkeit v = 3 m/sec erreicht haben.

Zu 88.

In dieser Zeit geht die Spindel 50 mm herunter. f=^-wie grotz wird das Arbeitsvermögen der Presse, wenn ju — 0,6 ist?

89.    (Eine vampfwinde hebt eine Last von 600 kg mit einer Geschwindigkeit v = 1,5 m/sec. Diese Geschwindigkeit erreichte die Last beim Anlauf in 3 Sekunden, wieviel PS sind zum Antriebe der winde erforderlich?

90.    welche Arbeit ist erforderlich, um das Zentrifugalpendel aus der Ruhestellung in die / gezeichnete Stellung und in den Beharrungs- ,/ zustand zu bringen? (Es sei l ----- 400, r ----- 300, f7) a ----- 120 mm.

Zu 90.

91.    (Es ist dieselbe Aufgabe für das ange- r gebene Pendel zu lösen. (Es sei l ----- 350, r -----300, a ----- 180 mm.

92.    Das Schwungrad einer Dampfmaschine hat einen Durchmesser von 2,8 m und ein Kranzgewicht von 1200 kg. Die Maschine macht 120 Touren und ihr Gleichförmigkeilsgrad ist gleich 50. Um wieviel ändert sich die kinetische Energie des Kranzes?

93.    Zur gleichförmigen Bewegung eines Eisenbahnzuges auf wagerechter Bahn mit einer Geschwindigkeit r------- 10 m/sec ist pro

Tonne eine Zugkraft Z = 3 kg/t erforderlich, wieviel PS muß eine Maschine leisten können, die einem Zug von 360 t Gewicht in 50 sec die Geschwindigkeit von 10 m/sec erteilt?

11

Je

94.    Die Winde mit Reibungsrädern wird durch j einen Riemen angetrieben, dessen Geschwindigkeit i / t_ v = 16 m/sec beträgt. Die Reibung an den Trieb- § ( F 7^\ rädern beträgt 65 kg. Wie wird die Last von ^

St

250 kg bewegt?

3u 94.

95.    Rn der Seilreibungsrolle, die mit einer Riemscheibe auf einer Welle sitzt, wirkt eine Reibung i von 85 kg. Die an der losen Rolle hängende Last l_}250fc9 beträgt 300 kg, das Gegengewicht 100 kg. Wie bewegen sich die Gewichte bis zum Eintritt des Veharrungszuftandes?

96.    Huf einem Dampfhammer von 2000 kg Füllgewicht und 1 m Hubhöhe wirkt beim Hbwärtsgehen ein mittlerer Dampfüberdruck des Gberdampfes von 1800 kg. Die Reibung beträgt 200 kg. Mit welcher Geschwindigkeit schlägt der Hammer aus?

97.    Eine Damfmaschine leistet bei 120 Touren 30 PS. Der Schwungkranz hat einen mittleren Durchmesser von 2 m und ein Gewicht von 800 kg. wre groß wird die Verzögerung des Kranzes, wenn die Kurbel durch den toten Punkt geht?

98.    Der Kolben, die Kolbenstange und der Kreuzkops einer liegenden Dampfmaschine wiegen zusammen 60 kg, die Kurbel wiegt 40 kg, die Pleuelstange 30 kg. Der hub beträgt 400 mm und die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens v ---- 2,5 m/sec. welche Hrbeit wird zur Bewegung dieser Teile verbraucht, wenn die Kurbel von der untersten Stellung bis zur Mittelstellung geht?

99.    wie groß ist der Dampfüberdruck auf den oberen Zylinder-deckel der in voriger Hufgabe gegebenen Maschine, wenn die Kurbel durch den oberen toten Punkt geht?

100.    Kolben, Kolbenstange und Kreuzkopf einer Lokomotive wiegen G kg. Um wieviel ändert sich die kinetische Energie dieser Teile von der tiefsten bis zur höchsten Lage des Kurbelzapfens, wenn v die Fahrgeschwindigkeit, r>i die Geschwindigkeit des Kurbelzapfens ist?

101.    Bei nasser Schiene soll der Reibungskoeffizient zwischen dem Rad eines Eisenbahnwagens und der Schiene ^ ----- 0,01, der Koeffizient der Zapfenreibung |u₃ ----- 0,05 fein; der 100 mm starke Zapfen soll nur im obersten Punkte des Lagers anliegen und der Raddurchmesser 1000 mm betragen, wie bewegen sich wagen nnd Rad, wenn dem wagen durch Stotz eine Geschwindigkeit v = 10 m/sec gegeben wird?

102.    Eine an einer winde hängende Last von 600kg wird 12m heruntergelassen. Die Bremse wirkt erst, nachdem die Last 2 m herunter gegangen ist und zwar so, daß sich die Last durch die nächsten 8 m gleichförmig bewegt. 3n den letzten 2 m soll die Last gleichförmig verzögert werden und am Ende eine Geschwindigkeit Null haben, wie groß mutz die Reibung an der Vremsscheibe sein?

103.    Zwei wagen von je 1500 kg Gewicht haben auf der schiefen Ebene eine Geschwindigkeit v = 12 m/sec erreicht. Nun wird die Bremse am Hinteren wagen so stark angezogen, datz beide wagen nach 10 Sekunden still stehen, wie groß wird hierbei die Zugkraft Z in der Rette?

104.    Über das Schwungrad eines Gasmotors ist ein Vremsband gelegt, das an dem einen Ende mit einer Federwage, an dem andern Ende mit einem einarmigen Hebel verbunden ist. wage und Hebel sind am Boden befestigt. Der Hebel wiegt 5 kg. Der Motor kommt bei 150 Touren in den Beharrungszustand, wenn dar auf dem Hebel verschiebbare Gewicht von 10 kg 21,5 cm vom Hebeldrehpunkt entfernt ist und die Federwage eine Zugkraft von 70 kg anzeigt, wieviel PS leistet der Motor?

105.    (Es sei in der vorigen Aufgabe der Raddurchmesser gleich 1,5 m, die Tourenzahl 160, das Hebelgewicht 4,8 kg, die Entfernung des Gewichts vom Hebeldrehpunkt 36 cm, die hebellänge wie oben und S, ----- 120 kg. wieviel ? 8 leistet der Motor?

106.    Ruf einen lotrecht stehenden, seitlich geführten Stab wird ein Gewicht von 5000 kg gelegt, hierdurch wird der Stab um 5 cm verkürzt, wobei die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird. (Es ist das Energiediagramm zu zeichnen.

107.    Das Gewicht Q = 100 kg stößt mit Geschwindigkeit v—10 m/sec gegen den elastischen Stab I in der Richtung der Stabachse und drückt ihn 5 cm zusammen. (Es ist das Energiediagramm zu zeichnen.

108.    Die Kraft P ruft in der Blattfeder eine größte Viegungs-fpannung von 4000 kg/cm² hervor, wobei die Proportionalitätsgrenze nicht überschritten wird. Die Feder ist 400 mm lang, 150 mm breit und 11 mm stark. Es ist die Verteilung der Formenergie in der Feder darzustellen.

3u 110.

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Zu 106.

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3u 103.

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3u 102.

USOOkg

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Zu 109.

/fl77777777777777777777777*v777777777777777777Zfr

3u 107.

Zu 108.

109.    Die Dreiecksfeder ist 12 mm stark und hat eine Länge von 400 mm. Der Querschnitt an der wand hat eine Breite von 150 mm. Hit der Spitze wirkt eine Last von 360 kg. (Es ist die Hormenergie der Heder zu bestimmen und ihre Verteilung über der Heder darzustellen.

110.    Hn einer rechteckigen Blattfeder von 400 mm Länge, 150 mm Breite und 12 mm Stärke wirkt ein Urästepaar, dessen Moment Qc = 14400cmkg ist. (Es ist die Hormenergie der Heder zu bestimmen und darzustellen.

111.    (Eine 400 mm lange, 150 mm breite und 12 mm starke rechteckige Blattfeder trägt eine gleichmäßig verteilte Last von 720 kg. (Es ist die Formenergie der Feder zu bestimmen.

112.    (Eine Welle von 60 mm Stärfe und 20 m Länge soll bei 180 Touren 40 PS übertragen, wie groß wird die Formenergie der Welle?

113.    (Eine Schraubenfeder hat eine Drehstärke von 5 mm, einen Radius von 30 mm und 5 Windungen, wie groß wird die Formenergie der Feder, wenn eine Druckkraft P = 25 kg auf sie wirkt?

114.    (Ein Stab vom Volumen V soll bei einer Geschwindigkeit v N PS übertragen, wie groß muß die Formenergie des Stabes fein?

115.    (Ein Riemen von der Gesamtlänge l und dem Querschnitt f wird mit der Spannung s kg/cm² auf die Scheiben gelegt. Um wieviel ändert sich die Formenergie des Riemens beim Betrieb?

8. Absolute und relative Bewegung.

XL Die absolute Bewegung eines Punktes ist die Bewegung des Punktes gegen einen feststehenden Punkt.

Die relative Bewegung eines Punktes ist feine Bewegung gegen einen Punkt, der sich ebenfalls bewegt.

116.    Der Keil, dessen Rnzug 1:10 ist, wird mit einer Geschwindigkeit v ----- 0,1 m/sec verschoben, wie bewegt sich die Stange gegen den Keil?

117.    Zahnstange und Rad bewegen sich mit der Geschwindigkeit v ----- 0,4 m/sec. (Es ist die relative Bewegung des Rades gegen die Stange zu bestimmen.

118.    Das über die Rolle laufende Seil ist am linken Ende befestigt und trägt am anderen (En&e ein Gewicht Q. Die Rolle wird mit der Geschwindigkeit v aufwärts bewegt, welche Geschwindigkeit v₀ erhält Q ?

119.    Der Zapfen einer Kurbelschleife dreht sich mit der Geschwindigkeit v, die Stange bewegt sich mit der Geschwindigkeit v₀. wie bewegt sich der Zapfen gegen die Schleife?

120.    (Es ist die relative Bewegung des Kurbelzapfens gegen den Pleuelkopf zu bestimmen.

121.    (Es ist die relative Bewegung des Kreuzkopfes gegen den Kurbelzapfen zu bestimmen.

122.    Die Punkte / und II drehen sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit w um denselben Punkt. Ihre Drehradien rx und r₂ bilden

Zu 116.

3u 118.

Zu 113.

Zu 119.

V_

Zu 123.

Zu 120.

Zu 124.

den Winkel a miteinander. (Es ist die relative Geschwindigkeit des Punktes II gegen / zu bestimmen.

123.    Zwei Punkte / und II bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit v aus einem Kreise. Ihre Drehradien bilden einen Winkel von 60o miteinander. (Es soll die relative Bewegung von //gegen / bestimmt werden.

124.    Der Endpunkt A des Seils, an dem die Masse M hängt, soll mit der Beschleunigung p abwärts bewegt werden, wie bewegt sich Ml

125.    Der Punkt A in der letzten Aufgabe wird mit der Geschwindigkeit v abwärts bewegt, wie bewegt sich Ml

126.    Der Punkt A in der letzten Aufgabe wird mit der Beschleunigung p wagerecht bewegt, wie bewegt sich Ml

127.    Der Punkt A in der letzten Aufgabe wird mit der Geschwindigkeit v wagerecht bewegt, wie bewegt sich Ml

Zu 130.

"Ti

_\

Zu 134.

Zu 128.

M₂

Mi

Zu 132.

JZU

Zu 135.

128.    Die Kugel ist an einer wagerechten Stange und die Stange an einer lotrecht stehenden drehbar gelagerten Spindel befestigt. Das geführte Lagergehäuse wird mit einer Geschwindigkeit v bewegt. Bei Beginn der Bewegung steht die Stange senkrecht zur Bewegungsrichtung. wie bewegt sich die Kugel?

129.    wie bewegt sich die Kugel der letzten Ausgabe wenn das Lagergehäuse mit der Beschleunigung p bewegt wird?

130.    Die Kurve wird mit der Geschwindigkeit v₁ ----- 2 m/sec bewegt und der Masse M eine Geschwindigkeit v₂ = 3,8 m/sec gegeben, wie bewegt sich M?

131.    Die Geschwindigkeit der Masse M in voriger Aufgabe sei v2 ----- 4 m/sec. wie groß muß die Geschwindigkeit vx der Kurve sein, damit die Masse ihre ganze (Energie an die Kurve abgibt?

132.    Die Masse Mt mit der kreisförmigen Führungsfläche wiegt 20 kg, die Masse M₂10 kg. kann sich auf wagerechter Bahn bewegen. Die Masse M₂ wird im höchsten Punkt der Führungsfläche aufgesetzt und losgelassen, wie bewegen sich die Massen?

133.    welche Bahn beschreibt M₂ in der vorigen Aufgabe?

134.    (Einer 30 kg schweren Platte, auf der eine Kugel von 45 kg Gewicht liegt, wird durch Stoß eine Geschwindigkeit v ------ 1,5 m/sec

gegeben. DerKeibungskoeffizientzwischen Kugel und Platte ist ju ------ 0,2.

wie bewegen sich die Körper?

135.    (Einer 24 kg schweren Platte, aus der ein Gewicht von 30 kg liegt, wird durch Stoß eine Geschwindigkeit u ----- 2 m/sec gegeben. (Es ist p ---- 0,2. wie bewegen sich die Körper?

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//////////////////////

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3u 140.

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5 TW

Zu 139.

Zu 141.

136.    Einer 20 kg schweren Platte, aus welcher eine zylindrische Scheibe von 40 kg liegt, wird durch Stotz eine Geschwindigkeit v -----2,4 m/sec gegeben. Wie bewegen sich die Körper, wenn ju ----- 0,2 ist?

137.    Einer Kugel von 20 kg Gewicht wird eine Umfangsgeschwindigkeit v ----- 2,5 m/sec um einen horizontalen Durchmesser erteilt und in diesem Bewegungszustande aus eine horizontale Platte von 30 kg Gewicht gelegt. Es sei p ----- 0,2. wie bewegen sich die Körper?

138.    Eine zylindrische Scheibe von 30 kg Gewicht wird mit einer Umfangsgeschwindigkeit v — 2 m/sec auf eine 15 kg schwere Platte gelegt. Wie bewegen sich die Körper, wenn ju = 0,2 ist?

139.    Die beiden Massen I und II, die je 30 kg wiegen, laufen aus wagerecht liegenden Trägern und sind durch eine Stange verbunden, um welche eine andere Stange drehbar ist. Rn dieser 0,75 m langen Stange hängt die Masse III von 40 kg Gewicht. Stange und Masse III werden in die wagerechte Lage gebracht und dann losgelassen, wie bewegen sich die Körper?

140.    Rn einem elastischen Stab von 2,5 m Länge und 5 cm² Querschnitt ist ein Gewicht von 1000 kg befestigt, das sich auf wagerechter Ebene bewegen kann. Das freie Stabende wird plötzlich mit einer Geschwindigkeit v = 1 m/sec bewegt, wie bewegt sich das Gewicht?

141.    Das freie Ende des elastischen, 5 m langen Stabes soll mit einer Beschleunigung p = 5 m/sec² wagerecht bewegt werden. Das Gewicht soll 1000 kg, der Stabquerschnitt 2,5 cm² betragen, wie bewegt sich das Gewicht auf wagerechter Bahn?

142.    Zwei auf wagerechter (Ebene liegende Gewichte von 100 kg und 50 kg sind durch einen elastischen, 1,5 m langen Stab verbunden. Dem Gewicht von 50 kg wird durch Stoß eine Geschwindigkeit v — 3 m/sec gegeben, wie bewegen sich die Gewichte?

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143.    Zwei Gewichte von 50 kg und 30 kg, die auf einer wagerechten (Ebene liegen und durch einen elastischen Stab von 1,6 m Länge verbunden sind, werden durch eine Kraft P = 20 kg bewegt, die im gemeinschaftlichen Schwerpunkt S der Gewichte senkrecht zur Stabachse wirkt. Wie bewegen sich die Gewichte?

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3u 142.

II. Hydraulik.

9. Statik der Flüssigkeiten.

XII. Flüssigkeiten pflanzen jeden auf sie ausgeübten Druck nach allen Richtungen ungeschwächt fort. Eine wagerechte Schicht einer in . einem Behälter eingeschlossenen Flüssigkeit erleidet den Druck des Gewichtes der über der Schicht stehenden Flüssigkeit und pflanzt den Druck nach den Seitenwänden und dem Boden des Behälters fort.

Der Druck auf ein Flächenteilchen einer Seitenwand eines Behälters ist gleich dem Gewichte des Flüssigkeitskörpers, dessen Grundfläche gleich dem Inhalt des Flächenteilchens und dessen yöhe gleich dem Rbstand des Flächenteilchens vom Flüssigkeitsspiegel ist.

Der Druck einer Flüssigkeit auf ein Flächenteilchen einer Seitenwand ist gleich dem Produkt aus dem statischen Moment des Flächenteilchens bezogen auf den Flüssigkeitsspiegel und dem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit.

Der Flüfsigkeitsdruck auf den Boden eines Behälters ist gleich dem Produkt aus der Bodenfläche, dem Abstand der Bodenfläche vom Flüssigkeitsspiegel und dem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit.

144. wie groß sind die Drucke auf die Seitenwände des Wasserbehälters, und wo greifen sie an?

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145.    wie groß sind die Drucke auf die Seitenwände einer Wasserbehälters, dessen Grundriß ein regelmäßiges Sechseck ist?

146.    wie groß ist der Druck aus den halben Mantel eines zylindrischen Wasserbehälters von 1,8 m Durchmesser und 1,5 m höhe?

147.    wie groß ist der Druck auf das in der Figur schraffierte Stück des Mantels?

148.    Es sind die Drucke aus die Seitenwände und den Boden des Wasserbehälters zu bestimmen.

149.    Es sind die Boden- und Seitendrucke des Behälters zu bestimmen.

150.    Der Mantel des zylindrischen Wasserbehälters besteht aus zwei Ringen von je 0,9 m höhe und 1,5 m Durchmesser, wie groß sind die Drucke aus die halben Ringe, und wo greifen sie an?

151.    Huf den Kolben wirkt ein Druck P = 50 kg. welche Last Q kann P heben?

3u 153.

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152.    Wie groß ist der Druck des ruhenden Wassers auf den Krümmer einer wagerecht liegenden Wasserleitung, wenn die lichte Rohrweite 0,3 fn und die Druckhöhe 15 m Wassersäule beträgt?

153.    Das Ventil soll sich heben, wenn das Wasser im Behälter 2 m über der Sitzfläche des Ventils steht. Wie schwer muß das Ventil sein?

154.    Wie groß muß der Kolbendruck P sein, welcher der Wassersäule von 15 m das Gleichgewicht hält, wenn die Rohrweite 10 cm beträgt?

155.    Wie groß muß die Kolbenkraft P sein, die eine Wassersäule von 6 m im Saugrohr hält?

156.    Wie groß ist das Gewicht der Glocke?

10. Auftrieb.

XIII. Lin in einer Flüssigkeit schwimmender Körper erleidet in jedem Flächenteilchen seiner benetzten Oberfläche einen senkrecht zu dem Flächenteilchen gerichteten Druck.

Die Resultante der wagerechten Komponenten der Flüssigkeitsdrucke ist gleich Null.

Die Resultante der lotrechten Komponenten ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeitsmenge, die der Körper verdrängt.

Diese lotrecht auswärts gerichtete Resultante, Ruftrieb genannt, hält dem Gewicht des schwimmenden Körpers das Gleichgewicht, ihre Richtung geht durch den Schwerpunkt der von dem Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge.

157.    Welche Rrbeit ist erforderlich, um einen würfelförmigen Körper von 0,8 m Kantenlänge und dem spezifischen Gewicht

3u 157.

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Au 159.

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158.    Das Prisma taucht im Wasser 0,5 m ein. wie schwer ist das Prisma, und wie groß ist sein spezifisches Gewicht?

159.    Ein Prisma, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck ist, schwimmt so, wie in der Figur angegeben.

wie groß ist das spezifische Gewicht des Körpers, und wie groß find die aus die Seitenflächen wirkenden Wasserdrücke N?

160.    Ein dreiseitiges Prisma, dessen spez. Gewicht Y = 0,64 ist, soll im Wasser so schwimmen wie die Figur zeigt, welche äußere Kräfte müssen noch an dem Körper wirken, damit er die angebene Lage im Wasser behält?

161.    Eine Kugel, die 10 kg wiegt und ein spezifisches Gewicht Y — 0,8 hat, wird durch eine Kraft P 2 m unter den Wasserspiegel gedrückt. Dann soll die Kraft P nicht mehr wirken, wie groß muß P und ihre Arbeit sein und wie bewegt sich die Kugel nachher?

Dynamik der Flüssigkeiten.

XIV. Die potentielle (Energie der Flüssigkeiten wird auch Druckenergie genannt. Der hydrostatische Druck ist der Druck der ruhenden, der hydraulische Druck der Druck der fließenden Flüssigkeit.

162.    wie groß ist die Druckenergie des Wassers in beistehendem Behälter?

163.    Die Pumpe P soll den Behälter mit Wasser füllen, das von dem unteren Wasser entnommen wird. Welche Nutzarbeit hat die Pumpe zu leisten?

164.    Die an den Seiten geführte wand I soll durch eine Kmft P um 1 m verschoben und der Wasserspiegel um 1 m gehoben werden, welche Arbeit hat P zu leisten?

165.    Mit welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser aus?

166.    Mit welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser über?

167.    wie groß ist der hydraulische Druck im 6 cm weiten Bohre?

168.    (Es ist die Ausflußgeschwindigkeit und der Druck im Ausflußrohr zu bestimmen.

169.    Der obere Behälter ist luftdicht verschlossen. Das Wasser fließt aus dem unteren in den oberen Behälter mit der Geschwindigkeit!- — 10 m/sec. wie groß ist der Luftdruck im oberen Behälter?

170.    Das Bohr sitzt luftdicht auf dem Behälter, das Wasser fließt mit der Geschwindigkeit v — 5 m/sec oben aus. wie groß ist der Luftdruck im Behälter?

171.    wie groß ist die Ausflußgeschwindigkeit v?

172.    wie groß ist die Ausflußgeschwindigkeit und der Druck im wagerechten Bohr?

173.    wie groß wird die Ausflußgeschwindigkeit und der Druck im wagerechten Kohr bei Aufgabe 172, wenn die Mittellinie des wagerechten Bohres 10 m über dem unteren und 1,25 m unter dem oberen Wasserspiegel liegt?

174.    Mit welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser durch den Heber, und wie groß wird der Druck p im wagerechten Bohr?

175.    Für beistehenden Heber ist das Diagramm zu zeichnen, dann ist die Durchflußgeschwindigkeit und der Drucks im wagerechten Bohr zu bestimmen.

176.    Behälter und Bohr sind mit Wasser gefüllt, das Bohr ist geschlossen, wie bewegt sich das Wasser im Rohr, wenn das Bohr geöffnet wird?

177.    Die Saugleitung einer Pumpe ist 12,5 m lang, die Saughöhe beträgt 5 m, die Rohrweite 5 cm, der Kolbendurchmesser 10 cm. welche Beschleunigung darf der Kolben bei Beginn des Hubes haben, damit das Wasser nicht vom Kolben abreißt?

Zu 163.

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3u 181.

Zu 179.

178.    Der untere Behälter ist luftdicht verschlossen, die Rohrleitung 25 m lang und gefüllt. Beim Offnen des Schiebers soll das Wasser eine Beschleunigung p₀ = 0,5 m/sec² erhalten, wie groß ist der Luftdruck im unteren Behälter?

179.    Der mit Wasser gefüllte Behälter wird mit einer Geschwindigkeit v₀ = 4 m/sec bewegt. Der Querschnitt des Ausflußrohres ist f = 5 cm². Welche Energie gibt das Wasser an den Behälter ab?

180.    Der Behälter der vorigen Ausgabe soll mit einer Geschwindigkeit v₀ = 4 m/sec in der Ausflußrichtung bewegt werden.

181.    Der Behälter wird mit einer Geschwindigkeit v₀ = 4 m/sec bewegt, welche Arbeit leistet das ausfließende Wasser, wenn der Rohrquerschnitt f= 20 cm² ist?

182.    Das Rohr wird mit einer Winkelgeschwindigkeit w =

gedreht. Bitt welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser aus?

183.    Bei der vorigen Ausgabe soll das Rohr durch eine in der Mitte des Rohres angreifende Kraft P gedreht werden, wie groß muß P sein, wenn der Rohrquerschnitt f = 30 cm² ist?

184.    Durch einen Rohrkrümmer von 0,2 m lichter weite und 1 m mittlerem Radius fließt Wasser mit einer Geschwindigkeit v = 3 m/sec. wie groß ist der Zentrisugaldruck auf den Krümmer?

185.    In den Boden des feststehenden Behälters mündet ein um die Spindel AC drehbares Rohr, wie hoch steigt das Wasser im Rohr über den Wasserspiegel im Behälter, wenn das Rohr mit der

20

Winkelgeschwindigkeit w — —- gedreht wird?

gedreht wird?

186. wie hoch steigt das Wasser in beistehendem Kohr über den unteren Wasserspiegel, wenn das Rohr mit der Winkelgeschwindigkeit

151/5 iv — —-—

sec

187.    Durch die Schaufeln einer Rktionsturbine fließt in der Sekunde 1 m³ Wasser mit einer Geschwindigkeit (relative Geschwindigkeit) i>i= 3,6 m/sec. Die Schaufeln sollen kreisförmig gekrümmt sein, wie groß wird der Druck des Wassers auf die Schaufeln und wieviel PS liefert die Turbine, wenn ihre mittlere Umfangsgeschwindigkeit v = 2,75 m/sec beträgt?

188.    Über die Schaufeln einer Pelton-Rades fließen in der Sekunde 10 1 Wasser mit einer Geschwindigkeit (relative Geschwindigkeit) vx = 10 m/sec. wie groß wird der Druck des Wassers auf die Schaufeln und wieviel PS liefert das Rad, wenn seine Umfangsgeschwindigkeit v = 8 m/sec beträgt?

189.    Bei einer Rktionsturbine tritt das Wasser ohne Druck mit

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3u 197.

einer Geschwindigkeit ve = 6 m/sec ein und mit va --- 2,3 m/sec aus. Die Wafsermenge beträgt 1,2 m³ pro Sekunde, was leistet die Turbine, wenn keine Verluste eintreten?

190.    Bet einem Pelton-Rad, dem in der Sekunde 15 1 Wasser zufließen, tritt das Wasser in das Rad mit der Geschwindigkeit ve = 10 m/sec. Das Rad hat eine Umfangsgeschwindigkeit v = 8 m/sec. was leistet das Rad?

191.    In eine Turbine tritt das Wasser mit einer Geschwindigkeit ve= 5 m/sec und einem Druck h = 1,05 m ein. (Es verläßt die Turbine ohne Druck mit einer Geschwindigkeit va = 2 m/sec. Wieviel PS leistet die Turbine, wenn Q ----- 1200 1/sec ist?

192.    Bet Rufgabe 186 sei wieder die hohe vom unteren Wasserspiegel bis zum wagerechten Teil des Rohres gleich 4 m, die andere hohe h = 7 m. Das Rohr soll mit der Winkelgeschwindigkeit w =

40

gedreht werden. Bitt welcher Geschwindigkeit fließt das Wasser

aus, und welche Arbeit mutz die Drehkraft P leisten?

193.    Das gekrümmte Rohr soll mit einer Winkelgeschwindigkeit -g—- gedreht werden, welche Rrbeit gibt dar Wasser an die Spindel ab?

w -----

194.    Dieselbe Rufgabe ist für h = 2,4 m, r = 1 mr w = zu lösen.

195.    In das mit der Geschwindigkeit i>₀ = 5 m/sec fließende Wasser wird das gebogene Rohr gestellt. Mit welcher Geschwindigkeit v fließt das Wasser oben aus?

196.    Das Wasser steigt in dem gebogenen Rohr 1,25 m über die äußere Oberfläche. wie groß ist die Geschwindigkeit v₀ des Wassers?

197.    In ruhendem Wasser wird das Rohr mit einer Geschwindigkeit v = 2 m/sec bewegt, wie hoch steigt das Wasser im Rohr?

198.    Das konische Rusflußrohr soll sich von f cm² (Querschnitt auf F cm² erweitern, ein Energieverlust soll nicht eintreten.

Es sind die Geschwindigkeiten v± und v₂ zu berechnen und das Druckdiagramm zu zeichnen.

Lösung der Aufgaben.

5 kg sec*

1. vie Masse des Körpers ist: M =    = —- jq m    ⁼

und die Beschleunigung: p = | =    = 4 m/sec².

2.    Zur Überwindung der Reibung ist eine Kraft Pt = 50 • 0,2 = 10 kg erforderlich, mithin bleibt noch für die Beschleunigung:

P₂ = P-P₁ = 20— 10 = 10 kg.

Die Beschleunigung wird daher: p =    = 2 m/sec².

3.    Die Trägheitskraft P₂ — Mp geht durch den Schwerpunkt des Körpers und wirkt wagerecht. Die Kraft P₁— G • ju wirkt an der Gleitfläche. Die beiden Kräfte sind gleich groß und gleich gerichtet. Ihre Resultante wirkt daher in einer höhe von 0,05 m über der Führung. In derselben höhe muß dis Kraft P wirken in der Mittel-ebene III.

4.    Die Reibung ist hier P = 50 • 0,2 = 10 kg. Die Reibung ist die äußere Kraft, welche dem Körper die Verzögerung

38

Lösungen

P ~ Ä "g- Ä 2 m/sec

gibt. Da die Anfangsgeschwindigkeit v = 5 m/sec ist, bewegt sich der Körper:

5 m/sec

= 2,5 sec

lang und legt einen weg zurück: § ----- \ m/sec • 2,5 sec ----- 6,25 m.

5. 3m Schwerpunkt wirkt die Trägheitskraft P = M • p = 10 kg wagerecht. Lotrecht wirkt 6---- 59 kg. Damit sich der Kor-per nicht um den Punkt A dreht, mutz fein Sji, b','/,    /.

D h n l h    -    -    -

p "2 “ G 'T' T

2 m/sec²

Mp >-

^__50 P '    /    10

= 5.

Zu 5.

Die höhe darf höchstens die fünffache Länge betragen.

6. Um das Gewicht im Gleichgewicht zu halten, ist eine Zugkraft von 50 kg erforderlich. (Es bleibt also noch eine überschüssige Kraft

_50 kg sec⁸

eine Beschleunigung

von 10 kg, die der Masse M

p — f — ² m/secä gibt. In jedem Seilende wirkt eine Zugkraft von 60 kg. Der Druck auf die Rollenachse beträgt 120 kg.

7.    Rn dem Gewicht wirkt abwärts die Kraft 6 — 50 kg, ^ aufwärts die Trägheitskraft Mp ----- A - 2,5 --- 12,5 kg; mithin wirkt im Seil die Zugkraft G — Mp — 50 — 12,5 — 37,5 kg. Dieser Kraft muh P das Gleichgewicht halten.

Daher ist: P — 37,5 kg. Der Druck auf die Rollenachse 2 P --- 75 kg.

8.    a) Bei der Rufwärtsbewegung ist: P — 100 + ^ • 2 = 120 kg.

b) Bei der Rbwärtsbewegung ist: P = 100 —    • 2 == 80 kg.

Die Zugkraft im Seil ist: Za — 120 kg, Zb= 80 kg.

9.    Zur Rbwärtsbewegung mit der Beschleunigung p = 12 m/sec8 wird das ganze Gewicht verbraucht. Demnach mutz auf das Gewicht noch eine abwärts gerichtete Kraft

10 m

m

\50 kg

3U 7.

p — WO •sec ♦

• 2 m/sec², P = 20 kg

wirken. Liegt das Gewicht lose auf dem Fahrstuhl, so hebt es sich ab, bleibt zurück. (Es muß deshalb an dem Fahrstuhl befestigt werden.

10 m

In der Befestigung wirkt dann eine aufwärts gerichtete Zugkraft von 20 kg.

10. Die Reibung ist W = 50 • 0,2 = 10 kg. Diese Reibung gibt der Platte die Beschleunigung

W 10    „    ,    *

p * ir ^ iö= ¹ m/secr-

3n einer Setunbe erreicht die Platte die Geschwindigkeit v= 1 m/sec. 3n der ersten Sekunde verschiebt sich II um

s -----

y • t = 0,5 • 1 = 0,5m.

Nach der ersten Sekunde bewegen sich beide Körper mit der Geschwindigkeit von 1 m/sec. Körper II legt in der ersten Sekunde einen weg von 1 m, II einen weg von 0,5 m zurück, also verschiebt sich I aus II um 0,5 m.

11.    Das Gewicht G wird in die Komponenten P und N zerlegt, P parallel zur Bahn, N senkrecht dazu. Die bewegende Kraft ist

P ----- 0,4 G, daher p = ^ =    ----- 4 m/sec². Zu demselben

Resultat kommt man, wenn man die Trägheitskraft M • p mit G zusammensetzt. Diese Kräfte sind im Gleichgewicht, ihre Resultante muß senkrecht zur schiefen (Ebene stehen. Die Kräfte sind: G = M-g,

P = M • p. Rlso ist = —* • Statt der Kräfte können daher auch die Beschleunigungen g und p gezeichnet werden.

12.    wird das Gewicht wieder wie in Rufgabe 11 in P und N zerlegt, so wird P: G = 0,6 :1; P = 0,6 G = 12 kg. Ferner N: G — a : 1, N == G • a.

(Es ist aber a =V 1- 0^6 = 0.8 m,

N = 0,8 • 20 = 16 kg.

Daher ist die Reibung Ng = 16 • 0,25 ----- 4 kg.

Daher ist die beschleunigte Kraft P₁ = P — N\x = 8 kg und die P 8

Beschleunigung p =    = -j = 4 m/sec⁸.

Bei der graphischen Bestimmung ist die Resultante von G und P, bzw. g und p nicht senkrecht, sondern unter dem Reibungswinkel p zu zeichnen, (tg p — 0,25).

P = P₁ + Np + Mp P = 12 + 4 + f§p P= 16 + 4 = 20 kg.

13. Die Kraft P hat der Komponente P, und der Reibung Np dar Gleichgewicht zu halten und muß außerdem den Körper aufroärts beschleunigen,- also ist:

3p

14. Die Klaffe M — —i— — 4 kg/m/sec⁸ wird von dem Gewicht oder der Kraft P = 10 kg bewegt.

Die Beschleunigung ist:

2,5 m/sec⁸.

ip

P 10 kgm

4 kg sec²

Die Trägheitskräfte der beiden Gewichte sind P, = 1 p, P₂ = 3 p. Daher 4 p = 10, p = ^ = 2.5 m/sec⁸.

3m Seil wirkt die Zugkraft Z = 3 • 2,5 = 7,5 kg.

15. Zum Gleichgewicht müssen auf jeder Seite 20 kg hängen. Das linksseitige Übergewicht P — 10 kg hat die Klaffe 30 + 20 _ 5 kg sec²

10

zu beschleunigen; also wird

Ter

30

2 m/sec².

_ P _10 kg • m _

"20

P M 5 kg sec²

Ruf der linken Seite wirken abwärts 30 kg, aufwärts 3p, auf der rechten Seite 20 kg und 2p abwärts, also ist:

20 + 2p = 30 - 3p 5p = 10 p = 2 m/sec².

16.    Die Scheiben drehen sich rechts herum, wobei das Gewicht von 15 kg eine Rufwärtsbefchleunigung p, das andere Gewicht eine Rb-wärtsbeschleunigung 2p erhält.

(10 - 2p) • 100 = (15 + 1,5p) • 50. p = j? m/sec².

17.    wirkt keine Reibung zwischen I und II, so bleibt / stehen. Die relative Bewegung von I gegen II ist eine Verschiebung aus II von rechts nach links mit der Beschleunigung p. wirkt Reibung zwischen / und II, so wirkt diese Reibung Q\i beschleunigend auf I in der

Lösungen

Richtung von links nach rechts. Diese Beschleunigung ist:

_ — Qv __ Qv 9 _    _

Pl M ~~ Q ^ ’ ⁹'

Daher ist die Beschleunigung der relativen Bewegung von / gegen II: p — Pl= p — \ig.

Mp — Mgp

M ~P

-gv-

Die relative Bewegung mit der Beschleunigung p bringt die Trägheitskraft M • p hervor. Es wirken also an I zwei Kräfte: M • p und Q • p, die die Beschleunigung: Mp — Qp

hervorrufen.

-mC

18. Ruf das Gewicht wirken die von links nach rechts gerichtete Trägheitskrast M • p und das Gewicht G gleich M • g. Die beiden Kräfte müssen im Gleichgewicht sein, ihre Resultante muß senkrecht zur schiefen Ebene stehen. Ist der Neigungswinkel a, so ist:

t--.:

Mp = M • g • tg a, P = g‘ tga.

19. ctn den Gewichten wirken die Trägheitskräste:

P, = r0,5 = 0,5 kg, P₂ = ü-0,5 = 1 kg.

Daher dreht an der Nolle eine Kraft von 0,5 kg, die den beiden Klaffen M₁ + M₂ = 1,0 + 2 = 3 die Beschleunigung

Po = yr = g m/sec² gibt.

Diese Bewegung ist die relative Bewegung der Gewichte auf dem Brett. Das Gewicht von 10 kg erhält eine absolute Beschleunigung Pi ⁼ i + T ⁼⁼ y m/sec², das andere p₂ = y — 4- = y m/sec². Die Seilspannung ist S = .f§ • i = y kg oder S = fj} • y = y kg.

Die Seilspannungen müssen gleich sein. Der Druck auf die Nöllen-achse ist P = 2S = {kg; so groß muß die äußere, auf das Brett wirkende Kraft fein, wenn die Masse des Brettes nicht berücksichtigt wird.

20. Beide Gewichte bekommen die Beschleunigung p, werden also um Mp oder um 2p und 3p schwerer. Rußerdem erhalten sie noch

eine relative Beschleunigung Pi gegen die Rollenachse, die Rolle dreht sich rechts herum. Das linksseitige Gewicht wird um 2pt schwerer, das andere um 3pt leichter. Demnach ist:

z~\

30 Ärp+3p

20 + 2 p + 2Pi = 30 + 3p — 3p1 5 pA = 10 + p

20ko+2p+2pj

¹⁰    ² = 2,4 m/sec².

20 kg werden mit p + px = 4,4 m/sec² aufwärts, 30 kg mit p — P! = 0,4 m/sec² abwärts beschleunigt. Der Druck auf die Rchse wird:

P = 2 (20 + 2- 2 + 2- 2,4) = 2 (30 + 3 • 2 - 3 • 2,4)

= 2 • 28.8

= 2 • 28,8 = 57,6 kg.

21.    hier ist die arbeit: A_= G • h=_20^5 = 100 kgm. also ist y M-v² = 100; v = Y2gh — ]/ 2 * 10 • 5; v = 10 m.

22.    Das arbeitsvermögen des Gewichtes ist:

\ M • v² = y * iö ' 100 = 250 mkg.

Damit kann es sein eigenes Gewicht von 50 kg auf die höhe h heben. Die arbeitsgleichung lautet: G • h = \Mv²,

50 h = 250 mkg; h = 5 m.

23. von dem arbeitsvermögen von 250 mkg sind in der höhe von 3,2 m, Ax = 50 • 3,2 = 160 mkg zum heben des Gewichtes verbraucht, der Rest steckt noch als arbeitsvermögen im Gewicht. Ist r-i die Geschwindigkeit dieser höhe, so ist:

50 - 3,2 + \ • fg • v\ = 250 mkg, v\

_ 90 mkg - m 2,5 kgsec²

2,5 v\ = 250 — 160 2,5 v\ = 90 mkg;

yl =³⁶ ü? vi — 6 m/sec.

In jeder höhe ist die Summe aus hubarbeit und Arbeitsvermögen gleich 250 mkg. hieraus ergibt sich das Diagramm.

24. Vas Arbeisvermögen ist: A — y ^ • 20³= 1200 mkg. Diese Arbeit wird zur Überwindung der Reibung verbraucht auf dem Wege s:

60 - 0,25 s — 1200 mkg, s = Jf> = so m.

25.    von 1200 mkgfinb verbraucht Hi ----- 60 • 0,25 • 60 = 900 mkg; mithin bleibt \ • fjj * v* == 300 mkg; r? ----- 100; v = 10 m/sec.

26.    Hm Körper / muß eine Kraft wirken, die gleich der Reibung ist, außerdem muß Körper I bei Beginn der Bewegung noch eine Geschwindigkeit v = I m/sec bzw. ein Hrbeitsvermögen \ Mv* -----

• so • 1 = 2,5 mkg gegeben werden. Nach einer Sekunde besitzt die Platte ein Hrbeitsvermögen: \ Mv² = y • yr • 1 = 5 mkg. Der Körper I und die Kraft P durchlaufen in der ersten Sekunde den weg s = v • t = 1 • I = 1 m. Die Kraft P leistet: P • s = 10 • 1 ----- 10 mkg. HIfo ist 10 — 5 + Ar wenn Ar der Reibungsverlust: Ar = 5 mkg.

Körper / legt 1 m, Platte II y m zurück. Die Verschiebung von I auf II beträgt 0,5 m und die Reibungsarbeit: Ar — 10 0,5 -----5 mkg.

wenn die Platte die Geschwindigkeit von I m erreicht hat, gehen beide Körper mit dieser Geschwindigkeit geradlinig weiter, sie sind im Beharrungszustand. Die Kraft P ist dann gleich Null.

X_AJ2

120 kg

27.    P = 96 + 120 — 200 --- 16 kg; p = i = 0,5 m/sec³; t = 2 sec. Die Reibungsarbeit an der Rolle ist A = W v - t = 96 • 1 • 2 = 192 mkg, die Nutz-arbeit At ----- (200 - 120) • \ ■ 1 • 2 + \ • 32 * l2 = 96 mkg.

Die halbe Hrbeit -y geht beim Schleifen des Seiles

'20 p

auf der Rolle verloren, haben die Gewichte die Geschwindigkeit v erreicht, so bleiben sie im Beharrungs- j ]zookg zustand und die Reibung braucht nur noch Wl == 200

—    120 = 80 kg zu betragen.

28.    Bewegt sich die Last gleichförmig beschleunigt, so lautet die Hrbeitsgleichung für das Ende der Beschleunigung

80 -    • t = 300 ~ t + -y ■ 30 • 1,5*.

15 < = 33,75.

15    2

t ----- 2,25 Sekunden; p ---- —5 = y m/sec².

Die Last erreicht die Geschwindigkeit von 1,5 m/sec nach f = —-15*3    ”

—    —₂— = 2,25 Sekunden. Dann kommt sie in den Beharrungszu-

Lösungen

stand mb die Riemenkräfte werden

$! + S₂ = 160 + 80 = 240 kg

300-150

600

= 75 kg

2SX =

315 kg.

Sj -- 157,5 kg; S₂ = 157 - 75 = 82,5 kg.

29. trat der Geschwindigkeit von 2 m besitzt der Hammer ein Arbeitsvermögen \ Mv² = \ ™ • 2² = 50 mkg. Cr kann sich dann selbst noch auf die hohe h heben: 250/r = 50, h==j^ = 0,2 m. Seine Fallhöhe beträgt dann 0,3 + 0,2 = 0,5 m und sein Arbeitsvermögen beim Aufschlagen

A = 250 • 0,5 = 125 mkg.

30. Der widerstand des Schmiedestückes nimmt gleichmäßig mit der Zusammenpressung zu. Die an demselben geleistete Arbeit kann durch ein Dreieck dar- Zugestellt werden. Der Inhalt des Dreiecks ist gleich ^ dem Arbeitsvermögen des Hammers.

P."f5_,₂₅; P-

2-125

0,005 = 50 000 kS-

31.

,₉    . kg- sec² ,

= —l²-p₀; M= 4,5    —; / = 0,5 m.

10

5 • 0,5 sec² '

_ kg - sec² ^ 9 = 1,5-——-O^-m    seci

Md = 1,5 mkg.

A = ~ Mv²= -^-*4,5 • 100 = 75 mkg = Md • / 75-2

w ----

20

1,5-5

sec

P = 30 kg =    • p + Y * P-

(P - 3p) -y = ^ • rf • p

Lösungen

^ _ 12 30 — Zp = ~2 • p = 6p

p ⁼⁼y — 3ym/sec²; P = 30— 3 • 3y=20 kg.

33.    == 50 • 0,2 = 10 kg. werden im Mittelpunkte zwei ent

gegengesetzt wirkende Kräfte von je 10 kg angebracht, so wirkt an dem Zylinder eine Kraft Px = 20 kg tokg/^~^\

und ein Drehmoment P₂ ■ y = 10 - y Die ^ V V Kraft Pi gibt dem Zylinder die geradlinige Ve-

10kg

schleunigung Pi — ^ = y — 5 m/sec². Das Drehmoment gibt ihm

-°4

bie Umfangsbeschleunigung p₂ =

-4

----- 4 m/sec². Da die Be-

schleunigungen gleich find, rollt der Zylinder. Für die erste Sekunde gilt die Krbeitsgleichung:

P-\- = \Mpi + \ Mp*; P = (M + *) -p;

— 4 m/sec².

30

5 + 2,5

34. Statt der gegebenen Kraft kann ein Drehmoment Pa = 60 • 0,2 = 12 mkg und eine Uchfenkraft P = 60 kg gesetzt

werden. (Es ist dann: Pa ----- M-y pt; 12 = 12- 0,2plf ¹² = 5 m/sec²; p₂ = ^- = — = 5 m/sec².

Pl 2,4

Der Zylinder bewegt sich geradlinig und dreht sich mit der Be» schleunigung p = 5 m/sec². Der Zylinder rollt. Die Krbeitsgleichung

für die erste Sekunde lautet: 60 • ~ =-|-M • pV 60 = 12p, p = 5 m/sec². Der weg von P ist: s = -f-p.

35. Nach V ist ein Drehmoment Pa =    • d • p erforderlich.

3n diesem Falle ist: Pa = M • g • n fllio wird:

d    1    j    2    ^

=    d-p; g-\x = -j-p-, V=f§:

SWz,

Lösungen

Ferner ist:

P — M • p; Pj — M ■ g • M = M ■ p,

Pt = M(p + gp); P, = 5 (2,5 + l) = 17,5 kg, wenn As = 5 ist-

Die Arbeitsleistung für die erste Sekunde lautet:

P, • \ = (t + t) M'p* Pl== 2 ’TÖ ‘ ⁵ ’ ²'⁵ = ¹⁷-⁵ kS-

36. Die Reibungen sind = 300 - 0,2 ----- 60 kg, W₂= 100 ■ 0.2 ---- 20 kg.

Pa - 60 • 0,6 = i ■ 30 • 1,2 1; Pa ----- 45 mkg.

Die Schubkraft am Zylinder ist gleich Wx — 60 kg. Diese Kraft gibt dem Zylinder und dem andern Körper die geradlinige' Beschleunigung und überwindet die Reibung W₂.

60 = 30 • 1 + 10 • 1 + 20.

Po_.

~2~'

Ist Po die kvinkelbeschleunigung des Zylinders, so ist Pa - ~ = \ ■ 30 • (0,6p₀)² + \ • 10 • (0,6p₀)² + 20 • 0,6 •

10

P° 6 sec²

37. Ist Po die Winkelbeschleunigung der Stange bei Beginn der Bewegung, so ist die Trägheitskraft der Stange

sd -r

₌ ff Po Irb -    * Po

•r Po

Diese Kraft greift im Kbstand -§•/ vom Drehpunkt an und ist mit dem Gewicht G im Gleichgewicht.

w| tu

G ‘ 2 = P ' l

r 3    ff-Pol¹

27'

ff P 3 ,    ,    3 G

g Po' 2    4    ’ l Po

Das gleichmäßig verteilte Eigengewicht G stellt sich durch ein Rechteck mit der höbe ff dar. Die nach dem freien Ende hin wachsenden

höhe

Trägheitskräfte, deren SummeP = \G ist, bilden ein Dreieck, dessen .    2P 66    3 ,

A=T= 47=2^

ist. Aus dem Rechteck und dem Dreieck ergibt sich eine aus zwei Dreiecken bestehende Zigur, die die Belastung der Stange darstellt. Die Dreiecke haben

fr l    2

die Seiten y und j bzw. f r und jl. Ihr Inhalt ist

/•"

fr

L\ ₌ fid <l

* 3/    4

3m Rbftanb \l vom freien Ende ist die Schwerkraft gleich Null, bort wirkt bas größte Viegungs-moment .

2^'

\f-r-P

12-9

r?

0-/

27

M-g-Z

27

irr

Bet einem Rundeisen von d = 50 mm, / — 3m, G = 45 kg wird 45 - 300 Mb =    27

; k₆ =

45 - 300•10

27-5³

----- 40 kg/cm².

38. Diese Kraft ist die Resultante aus P₁ — Mp und dem Kräfte« paar P₂a = \M ■ d • p. Die Resultante ist gleich Pt — Mp — 60-1 — 60 kg. Sie bildet mit der durch den Mittelpunkt gehenden Kraft Pj ein Kräftepaar, dessen Moment

P₂a — 60x = y 60 • 1 • 1 = 12 mkg ist; x — 0,2 m.

Die Kraft von 60 kg wirkt im Abstand 0,2 m vom Kugelmittelpunkt.

ro,i

39. Im Schwerpunkt mutz eine Kraft P₁ = Mr ■ p₀ wirken, die dem Schwerpunkt die Beschleunigung rp₀ gibt. Außerdem

■Po

M /ZV

mutz an der Stange ein Drehmoment P₂ a — y fy I

Ml²

Z² 1,44    „„„

yy — 0,12 m.

wirken, das sie mit derselben Mnkelbeschleunigung um den Schwerpunkt dreht. Die Resultante von P, und P₂a ist gleich Plf gegeben in der Gleichung:

Pl-x = Ps-a-, Mrp₀x = -^-p₀; x = y

Die klrbeitsgleichung lautet:

Pi{r + m)^2⁼iMr3p° +\-M'(I) -Po; p, =m-tPo.

Wäre p₀ ----- und As = 3, so wäre

P₂ • a = y [-J-J * 1 = -g -4- = 0,36 mkg.

Ist die Stange in einer hülfe festgelagert, so führt sie diese Bewegung auch aus, und es ist: P • 0,1 ----- 0,36 mkg, P ----- 3,6 kg.

40.    Die Kraft Plf die dem Schwerpunkt die Beschleunigung p = 0,8p0 gibt, ist Pt = M • 0,8 • p₀. Kußerdein muß sich der Zylinder noch mit derselben Winkelbeschleunigung um seinen Schwerpunkt drehen; hierzu ist ein Drehmoment erforderlich: P₂ • a = -g-d²p₀. (Es mutz nun

Pi - x = P₂ • a; x

__ PrJi _ M- d* -pQ . v _ 0,8* _ - . m P₁ 8 • M - 0,8po r *    8 0,8 U,i m

fein. Die Drehkraft P wirkt an der Scheibe in einem aus der Richtung / II gelegenen Punkte, der 0,1 m vom Mittelpunkt liegt, wenn die Scheibe eine volle Kreisbewegung macht, bleibt der Angriffspunkt der Kraft P immer auf der Richtung III liegen.

Mp ;

"n ( R

41.    Wenn die Scheibe rollt, wirkt an ihr das Eigengewicht G und die Erägheitskraft M-p im Abstand — vom A

Mittelpunkt. Diese Kraft wirkt parallel zur Ebene. Die Resultante dieser beiden Kräfte d muß durch den Berührungspunkt A der Scheibe I und Ebene gehen und mit der Normalen den }

Winkel p, gleich dem Reibungswinkel bilden.

rfy*¹

^=ftga; |tgp==|tga; tg <x = 3 tg p.

Die beiden Kräfte M • p und G = M ■ g müssen für den Punkt A im Gleichgewicht sein.

3    3    d

G • y = M • p ■ d; M-g ■ y — Mp-^d; y = ^sin a,

d .    3 .    2

gysma = p ^ d; p=j-g- sina.

Bus der Figur ergibt sich dann:

3    . .

x = j-d- tgp;

42.    hier ist die Trägheitskrast M • p int Abstande ^ vom Mittelpunkt anzubringen. 3m übrigen bleibt die Figur dieselbe wie in Nr. 41, und es wird: tga = \ tgp. hier ergibt sich:

M ■ g ■ y = M • p • yy = p^d; y = § sin a,

d .    7    .    5

g • ~2 sma = p —• d-, p = yysina.

43.    Die Resultante der äußeren Kräfte iftP=60—(20+30)=! Okg. Daher wird die Beschleunigung des 5chwerpunktes:p = y = 2 m/sec*. Die Seilspannungen sind aus beiden Seiten gleich

20 + 2p, = 30 + 3p₂; 20 + 2p, + 30 + 3p₈ = 60,

40 +4p, = 60; p, = f = 5 m/sec¹; 60 + 6p₃ = 60; p₃ = 0.

Gewicht / erhält eine Aufwärtsbeschleunigung von 5 m/sec²; Gewicht II steht still. Die Rolle wird mit einer Beschleunigung von 2,5 m/sec* bewegt.

Die Arbeitsgleichung lautet:

A = 60 • y = 20 ■ y + y • 2 ■ 5²; 75 = 50 + 25.

Die Seilspannungen sind: S, = 20 + 2 • 5 = 30 kg; S₂ = 30 kg.

44. Die Gewichte von 20 kg und 60 kg werden von den Reaktionen der Führungen im Gleichgewicht gehalten. Kls äußere Kräfte wirken demnach 30 kg und die Reaktionen K, und R₃ der Rollenlager. Die Horizontalkomponenten dieser Reaktionen sind gleich, weil die Seilspannungen gleich: 2p₃ = 6 • p₃; p₃ = 3ps. Diese Kräfte heben sich.

Die Vertikalkomponenten sind auch gleich; ihre Resultante ist:

R — 2p₃ + 6p₃ --- 4p₂.

(Es ist aber auch:

30 - 3p, = 4p₂; p₂ = 7,5 - fPi? Pi = 2,5 - tPv

Da die Horizontalkomponente der Resultante der äußeren Rräfte gleich Null ist, kann sich der gemeinschaftliche Schwerpunkt nur vertikal beschleunigen. Die vertikalkraft ist:

p = 30 - 4p₃ = 30 - 4 (7,5 - fp,) = 3p,.

LlNuG 559: Schmitt, Aufgaben aus der Mechanik H. 2. Bufl.

Lösungen

Daher die Beschleunigung des Schwerpunktes:

Es ist aber auch: p,

P Ml +M, + M, ~3+2+6 llPl-_P₈+Ps

2Pi = P₂ + P₃ = 7,5 — -f-Pi + 2,5 — tPi = 10 — p, 3pi = 10; Pi = f m/sec²; p = n • f = u m/sec². p₂ = 5 m/sec², p₃ = -§- m/sec².

Arbeitsgleichung:

"2 •

₃„a_4.₃.g),₊i₂.₅.₊

A = 50 mkg.

45.    Die Reibung ist: W= 100 • 0,2 = 20 kg.

Die Beschleunigung beider Teile: p =    = 2 m/sec².

P = (Mx +    ■ p = 40 • 2 = 80 kg.

46.    Die Beschleunigung des Schwerpunktes wird p = ^ = 3 m/sec², M₂ kann aber, da es durch die Reibung beschleunigt wird, nur eine Beschleunigung p₂ = 2 m/sec² erhalten, mithin ergibt sich die Beschleunigung Pi des Wagens aus der Gleichung:

M₁-p₁ = {M₁ + M₂)p — M₂p₃. 40-3-10-2

10

= y m/sec².

Das Gewicht M₂ verschiebt sich auf M₁ mit der Beschleunigung

y m/sec ; Pi = —20— ⁼ T m/sec²; p₂ = y m/sec².

47. wenn die Last lose auf dem wagen liegt, erhält sie nur eine vertikale Beschleunigung p₂, die gleichzeitig die vertikale Beschleunigung des Wagens, also auch die vertikale Beschleunigung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes ist. Ist die horizontale Beschleunigung des Wagens p₃, so ist die horizontale Beschleunigung des gemeinschaftlichen Schwerpunktes px =

Schwerpunkt unter einem Neigungswinkel ß, der durch die Gleichung

Pi~Pi =

30

15 p₃

15 + 10

|-p₃. Demnach bewegt sich der

bestimmt ist: tg ß =    = -|?r- <£s ist aber auch tga = ^-. Daher

tg ß = | tg a. Allgemein ist tgß — (—L^—?) tg a. hiernach kann der Winkel ß durch Rechnung und Zeichnung leicht bestimmt werden: tg ß = -| • j • In der Richtung des Winkels ß bewegt sich der

Ps

Pl

[N

P,

gemeinschaftliche Schwerpunkt abwärts, in dieser Richtung wirkt also auch die Resultante P der äußeren Kräfte. Die Komponenten dieser Resultante sind die lotrecht wirkenden Gewichte <3 — 150 + 100 = 250 kg und die senkrecht zur Bahn wirkende Reaktion der Bahn.

Das Kräfteparallelogramm kann gezeichnet und die Kraft R bestimmt werden; auch die Reaktion N. Ebenso kann die Beschleunigung p des Schwerpunktes gezeichnet werden. Es ist <£ T =    (90 + ß).

= sin t : sin a; p =    = 2,06 m/sec².

Pi = p sin ß = g tg ß • sin a = y sin a = 0,65 m/sec².

Pi. ~    = 10 sin a = 1,95 m/sec².

15

48. Das Drehmoment liefert eine Seilspannung S = ^ = 150 kg. wird die Beschleunigung der winde mit p₁ bezeichnet, so ist S — M₁p₁ + Mx • g • p; 150 — 20px + 30; Pi = 6 m/sec². Ist Pi die Beschleunigung des Gewichtes, so ist

S = Mi-(Pi+ fl-); 150 = 15 (p₂ + 10); p₂ = 0-Das Gewicht bleibt stehen. Die Arbeitsgleichung lautet:

S • —-ly- — — Mtp\ + -Mifl-Py + 2 Mip\ +M₃fl-y.

¹⁵⁰ •    ^ ²⁰ • ö² -f- 3° - 3; 450 = 360 + 90.

3ft P-a= 12 mkg, so wird ^ — 120 kg.

120 = 20p₁ + 30; px — 4,5 m/sec²; p₂ = — 2 m/sec².

Lösungen

Das Gewicht geht mit einer Beschleunigung von 2 m/sec² abwärts. A = 120    -- j (Mtp\ + MiPl) + Mtg •    —Ms-g--f

= 120    \ (20 • 4,5² + 15 • 2S) + 30 • y - 150 |

= 150 mkg ---- 232,5 + 67,5 — 150.

Mi»2    O R2

49.    Es mutz fein: Z — —— —    — 12,5 kg. Die Richtung die

ser Kraft mutz immer durch den Punkt B gehen. Sobald die Kraft nicht mehr wirkt, bewegt sich die Kugel in der augenblicklichen Richtung (Tangentenrichtung) geradlinig weiter.

IHTik

50.    Die Geschwindigkeit des Kurbelzapsens ist

v —-gg--2,5 m/sec. Das gesuchte Hr=

wo

beitsdiagramm besteht aus zwei gleichen Dreiecken.

Das Dreieck für den ersten halben hub ist positiv, das andere negativ. Ihre Inhalte sind

1)2 1 2 5*

— o,2 = 2'⁴ ' o^' °’² = ¹²-⁵ mke-

~2

₇    0j2

C ' 2

51. Geht die Kurbel durch den toten Punkt, so wirkt auf den Zq-linderdeckel der Dampfdruck Q und auf das Kurbellager der Druck Q — Z. Die Kraft, welche die Maschine auf dem Fundament zu verschieben sucht, ist Q — (Q — Z) — Z. Ebenso grotz mutz die Reibung W sein.

v* 22.6.28-

0,25

--- 3470 kg.

52. Wird vorausgesetzt, datz die Formänderung des States innerhalb der Proportionalitätsgrenze bleibt, so wird im Stab ein Widerstand hervorgerufen, der gleichmäßig mit dem Wege von Q wächst, sich also durch ein Dreieck darstellen läßt. Das Gewicht Q erleidet eine gleichmäßig mit dem Wege wachsende Verzögerung, seine Geschwindigkeit stimmt mit der Horizontalgeschwindigkeit eines Punktes überein, der sich

S OU * y

mit v — 10 m/sec im Kreis von 0,05 m Radius dreht -

und einen viertelkreis durchläuft. Ist der Stab vollkommen f elastisch, so drückt er das Gewicht wieder um 5 cm zurück und erteilt ihm wieder die Anfangsgeschwindigkeit v in 1

entgegengesetzter Richtung. (Es ist p„ = ~ = ^ — 2000 m/sec*. Die größte Stabhaft ist P = Mpn=W- 2000 --- 20000 kg.

53. Die Rnfangsbeschleunigung des Gewichtes ist gleich g, die Anfangsgeschwindigkeit gleich Hüll. Die Beschleunigung nimmt gleichmäßig mit dem Wege ab, so wie die innere Stabhaft mit dem Wege wächst. Ist die Stabhaft gleich Q geworden, so ist die Beschleunigung des Gewichts gleich Rull, von hier ab wird die Beschleunigung negativ, bis sie gleich — g geworden. Die Geschwindigkeit wächst von Null bis auf v in dem Punkte, in dem die Beschleunigung gleich Null ist, dann nimmt die Geschwindigkeit wieder ab bis auf Null. Dieses tritt ein, wenn die Beschleunigung gleich —g ist. Bis zu diesem Punkte sinkt Q. Ist das Stabmaterial _ vollkommen elastisch, so macht nun das Gewicht die umgekehrte Bewegung. (Es steigt wieder, bis der Stab feine ursprüngliche Länge erreicht hat, dann geht es wieder abwärts uff. Die Bewegung des Gewichtes ist eine Rreisfchwingung, feine Geschwindigkeit ist in jeder Lage gleich der lotrechten Geschwindigkeitskomponente eines Punktes, der sich gleichförmig in einem Kreise mit der Geschwindigkeit v dreht. Der Mittelpunkt des Kreises bzw. der Schwingungsmittelpunkt fällt mit dem Punkte zusammen, in dem die Beschleunigung gleich Null ist, bzw. in welchem die Geschwindigkeit des Gewichts den größten Wert v

erreicht hat. Der Radius ist r — j, die Rnfangsbefchleunigung

r: l.

n=9 =

* 5IS.

y; Q:fE =

r -----

. v* = ar==Qlä.

I V Hr fß I

—vyt-v

100 - 200 -1000

10-2000000

= 1 cm/sec.

Ql 100-200

r ~~fE ~ 10 2000000 ~ 0,001 cm; 2t — 0,002 cm.

----- 20 kg/cm².

kz : E — 2r : l; kz —

2000000-0,002

200

55.    Das Gewicht macht eine Ureisschwingung.

500

P

(Es ist r ---- 0,04 m, die klnfangsbeschleunigung p„ = ]jf ⁼ 125

= 4 m/sec⁸; v³ = r-p„ = 0,04-4; v = 0,4 m/sec. hat das Gewicht den Weg von 8 cm zurückgelegt, so ist seine Geschwindigkeit gleich Null, die Stabkraft beträgt jetzt 1000 kg. Die Kraft von 1000 — 500 — 500 kg schiebt nun das Gewicht wieder zurück in seine Rnfangsstellung uff.

56.    Nach Seite 44 Bb. 1 ist die Durchbiegung der Zeder am freien

(Ettbe P — ₅g/    130-2000000 ■ 15 • l,2⁸' p 2 cm. Das Gewicht

macht eine Kreisschwingung, der Radius des Kreises ist r — 2 cm.

p 2°0

Die Rnfangsbefchleunigung des Gewichtes iftp„= ^ = 1 m/sec². Die Drehgeschwindigkeit i>² = r ■ pn = 0,02 • 1 = 0,02; v=0,14 m/sec.

57.    Soll sich die Kugel gleichförmig im Kreise drehen, so muß auf

Mv* 5 • 2*

dieselbe eine Zentrifugalkraft Z = — =    = 40 kg wirken. In

diesem Falle ist die Kraft Z die Ztangenkraft. Dieselbe wird von einer entgegengesetzt wirkenden äußeren Kraft, der Trägheitskraft der Kugel, hervorgerufen. Diese Trägheitskraft wird Zentrifugalkraft oder Fliehkraft genannt.

= 67,5 kg auf sie wirkt. Diese Kraft ist die

0.8

58.    Die Kugel bewegt sich im Kreis, wenn eine Zentripetalkraft MjJ² 6 • 3²

r

Reaktion der Führung, die von der radial nach außen wirkenden Zentrifugalkraft der Kugel hervorgerufen wird. Der Druck auf die Führung ist also gleich 67,5 kg.

59.    Die Zentrifugalkraft einer Kugel muß dem Kugelgewicht das Gleichgewicht halten. Die statischen Momente dieser beiden Kräfte für den Drehpunkt A müssen gleich sein:

G    *

- = 0,36 w\ 0,25 = 0,342 G.

ll? =

0,324 • 10    ₂    ^    6

0,36 • 0,25 ; W 36' W ~~ sec

60. Die Zentrifugalkraft des ganzen Ringes ist:

_ Mv> 120 -100 r

Die Zentrifugalkräfte der einzelnen Ringteilchen bilden, nach Richtung und Größe aneinander aufgetragen, einen Krafttreis, dessen Umfang gleich 12000 kg ist. Die in jedem Ringquerschnitt wirkende Zugkraft ist gleich dem Halbmesser dieses Kreises, also „ 12000

Z=^--=1910kg.

= 12000 kg.

61.    Die Geschwindigkeit der Maschine bzw. die Umfangsgeschwindigkeit der Treibräder ist

54000 3600

Die an der Treibstange wirkende Zentrifugalkraft ist

Z = M r ■ m² =    • 0,35 - 25* — 790 kg.

Diese Kraft ist gleichmäßig über die Stange verteilt und beansprucht die Stange auf Biegung. In der Mitte der Stange wirkt das

...L „.    , „„ ZI 790-150

größte Biegungsmoment Mb = -g- =

die Spannung kb == —pp.-

62.    Die Zentrifugalkraft ist gleich dem Durchmesser des Kraftkreises

—— = 3820 kg.

(Es ist auch Z = Afr, • u?, wenn rt der Abstand des Schwerpunktes des halben Ringes von der Achse ist, rs V2 r'~ b ir-1

15    25

= 15 m/sec; u-= ^ sec-

= 14800 kgcm und

14800 - 6

4 - 64

= 350 kg/cm².

= -; Z =

63. Der Kraftkreis hat einen Umfang

Z = Mrw² = 150 - 1,2 - 100 = 18000 kg.

(Ein Sechstel des Ringes hat eine Zentrifugalkraft gleich dem Halbmesser des Kraftkreises Z =    - Diese Kraft ist die in einem

60 -

§ 100 = 3820 kg.

stritte wirkende Zugkraft. (Es ist auch Z=^ • wenn rt der Abstand des Schwerpunktes dieses Ringstückes von der Achse ist.

r‘ = -F

₌ 1,2 -1.2-6    3,6

ir

TT -2,4

Z= 25 ~ • 100 = 2900 kg.

64.    Die Zentrifugalkraft in einem Punkte E hat die Richtung OE-Sie kann in zwei Komponenten zerlegt werden, eine Komponente fällt in die Stangenrichtung, die andre steht senkrecht zur Stange. Die Bewegung des Punktes E fetzt sich aus zwei Kreisbewegungen zusammen. Punkt E dreht sich um £, und um den Mittelpunkt D der Stange. Beide Drehbewegungen haben dieselbe Winkelgeschwindig-teit. Durch die Drehung der halben Stange um den Punkt D entsteht im Querschnitt D eine Zugkraft Zt —1,25 - 0,5 - 400 — 250 kg. Durch die andere Drehung entsteht in der halben Stange eine senkrecht zur Stange wirkende Kraft Z₂ — 1,25 - 0,8 - 400 — 400 kg. Diese Kraft ist gleichmäßig über die halbe Stange verteilt, daher ist ihr Biegungsmoment im Punkte D

Mb — 400 -0,5 — 200 mkg — 20 000 emkg.

250

• 6 — 1875 kg/cm²; kz — -yg- ~ 15 kg.

hat die Stange einen quadratischen Querschnitt von 4/4 cm, so wird: . _ 20000 kb ~ ~T2~

Daher wird die Zugspannung s — 1875 + 15 = 1890 kg.

65.    Die Zentrifugalkraft des Kranzes ist:

Z = M - t ■ tu² = 150 • 0,04 - 12,56² ~ 948 kg.

Daher ist die ganze Belastung der Welle

Z + G = 948 + 1500 = 2448 kg und das Biegungsmoment im Querschnitt AB:

Mb == 2448 - 20 = 48960 emkg;

— 489,6 kg/cm².

_ 48960 • 10 ß6 10«

66.    P mutz gleich der Zentrifugalkraft der Kugel sein. Befindet sich die Kugel im Abstande x von der Spindel, so ist

P — Mxvo¹ =1 • 100 • x — 100 x kg.

■0,8 nt-

P wächst also mit x, stellt sich durch ein Dreieck dar und ist am Ende der Stange Pmax — 100 - 0,8 — 80 kg.

Der Inhalt des Dreiecks ist gleich der Arbeit H" der Kraft P bzw. der Zentrifugalkraft

80 - 0,8 „„ ,

—2— — 32 mkg.

Diese Arbeit wird als innere Arbeit (Formänderungsarbeit) in der Kugel aufgespeichert. (Corriolis, zusammengesetzte Zentrifugalkraft.)

67.    Im toten Punkt dreht sich die Stange um den Kreuzkopfzapsen. wird angenommen, daß die Stange eine durchgehende Stärke hat, so ist

Z — M- r-w² =

6 • 0,75 • (fg)²= 32 kg.

68.    Hier wird Z — Mrw²= 4,5 - 0,25 - 400 — 450 kg. Die ganze Last wird 450 + 45 = 495 kg. Diese Last ist gleichmäßig über die Welle auf 200 mm Länge verteilt. Das in der Wellenmitte wirkende Biegungsmoment ist

Mb = ^(12,5-5) = 1856 cmkg.

69.    Die Zentrifugalkraft des halben Rechteckes ist nach dem Schwerpunktsatz: Z = M ■ r ■ w² = 10 • r • 400, wenn r der Abstand des

Dreieckschwerpunstes von der Drehachse, also r = y ist.

(Es ist: V 1,3 = 0,5 • 1,2; Zz, = 0,46 m; Z= 614 kg.

1.2'—0.5'

2-1,3'

Daher ist das Moment des Kräftepaares

Mc= 614 • 0,46 ~ 280 mkg.

— 0,46 m ist.

Diese Zentrifugalkraft geht durch den Schwerpunkt der Pyramide, welche das statische Moment des Dreieckes darstellt. Die Zentrifugalkräfte der beiden Dreiecke bilden ein Kräftepaar (vgl.ARuG Bb. 558: Statik, Schwerpunkt), dessen Arm h'—bs

Lösungen

58

Die Auflagerdrucke müssen also auch ein Kräftepaar bilden:

N- 1,4 = 280 mkg; N --- 200 kg.

70. Nach dem Schwerpunktsatz ist die Zentrifugalkraft der halben

Stange

„Ml    ₃

Z = y • y cos a • w ,

Z = ^ • 0,5 cos a-^ = 75 cos a kg.

Die Zentrifugalkräfte der Stangenteile lassen sich durch ein Dreieck

2 1 2

darstellen, dessen Schwerpunkt x = y y sin a = — sin a • m vom

Punkte A liegt. Vas Moment des von den beiden Zentrifugalkrästen gebildeten Kräftepaares ist mithin:

Mb = Z • 2x — 75 cosa-f- sin a = 50 sin 2a mkg. stuf die stchfe wirkt dann ein Biegungsmoment Mb. Die Zapfendrücke sind: N= ⁵°-y-~ • Ist z.B. a -- 5°, so wird

Mb = 50 • 0,174 — 8,7 mkg.

M

Das Arbeitsvermögen der Stange wäre L == yp² = ¹⁰⁰    ®f°

ist Mb= y sin 2 a.

71. wird die Zentrifugalkraft, die an einem kleinen Stückchen b des Ringes wirkt, mit z bezeichnet, so ist das statische RIoment dieser

Kraft bezogen auf die r/-Rchse zx ?

yw²xf

wenn f der Kingquerschnitt und y das fpez. Gewicht ist. Run ist z/b — rbt (vgl. Bb. I, Schwerpunkt). Demnach wird

fr

ZX ----- ~rT • b₁XlV².

x k-j:- jf

Das statische Moment der Zentrifugalkraft des Viertelringes

9 *

r    G ₂

2> Z==^rW>

• 0,4 • 100 = 63 kg.

Za —

fr _G.

Tr g'

a -----

3,14 -10

Das Biegungsmoment im Scheitel

Mb — Z(r — a) = 63 • 0,2 — 12,6 mkg — 1260 cmkg.

72.    Die Zentrifugalkraft einer Platte ist

Z = Mtw²= 3 - 0,55 - 400 = 660 kg.

Die Zentrifugalkräfte bilden ein Kräftepaar, dessen Htm gleich 30 cm ist. Die Huflagerdrucke der Hchfe bilden ebenfalls ein Kräftepaar

N-90 = 660 • 30; JV= 220 kg,

Mb ----- JV(45 — 15) = 220 • 30 = 660 cmkg.

Die Hrme werden auf Biegung und Zug beansprucht. DasViegungs-Moment ist in allen Hrmquerfchnitten 660 15 — 9900 cmkg, die Zugkraft gleich 660 kg.

73.    hier ergibt sich wie bei Hufgabe 66

P — 2Mvw.

74. (Es wird P — 2Mvtv = 2 • ^ 4 • 6 = 96 kg.

6 + 2,4    „ „    ,

— —~2— — 4,2 m/sec;

20

0.6

vm

t = -T- = 0,15 sec. P • vmt = 96 • 4,2 • 0,15 == 60,48 mkg.

75.    A = 10(2+ a) + 5a = (15a+ 20) mkg.

76.    A = 10(l + sl) + 5(sl + l) + y • 1,5 • w*

= (I5a + 15 + y⁻ 1,5u³) mkg.

77.    Die Gewichtseinheit erhält eine kinetische (Energie

_ = _ = ⁵ mkg.

Das Gewicht kann 5 m steigen. Dann hat die Gewichtseinheit eine potentielle Energie von 5 mkg.

5 kgm

3n jeder höhe ist die Summe aus der potentiellen und kinetischen Energie gleich 5 mkg.

Lösungen

60

78. In der angegebenen Stellung ist

A = 25 • 5,5 + 15 • 4 + i- 4 • 2,5«--- 210 mkg.

/////////////////ZS

25hg

In der Anfangsstellung ist die kinetische Energie der beiden Gewichte gleich Null, die Summe der potentiellen Energien gleich 210 mkg. Steht im Anfang das kleine Gewicht um x m tiefer, das andere um x m höher, so ist:

15 • (4 — x) + 25(5,5 + jc) --- 210.

6,75m

10x = 210 — 197,5 = 12,5 m.

12,5

lshffQ-r

x — i — 1,25 m.

2,75 m V777777ZV777S77?

Die Abstände der Gewichte von der Basis sind

di=4 - 1,25 — 2,75 m; as — 5,5 + 1,25 — 6,75 m.

79. Die potentielle Energie Ax = 10 • 0,2 = 2 mkg wird in kinetische umgewandelt.

Az — -f-Mv² — 2 mkg; v* —    — 4 m²; v = 2 m/sec.

Bei der weiteren Bewegung nach C hin nimmt die Geschwindigkeit wieder ab, die kinetische Energie wird wieder in potentielle umgewandelt. 3m Punkt C besitzt das Pendel die potentielle Energie A — 2 mkg.

80. Das Gewicht besitzt die potentielle Energie A = G • 3,2 mkg, die in kinetische Energie umgesetzt wird. Die Geschwindigkeit im Punkte A ist:

v ---- V2gh = V2 • 10 • 3,2 = 8 m/sec.

81.    Die kinetische Energie des Gewichts wird in Reibungsarbeit umgesetzt:

A = -5- • 1 • 10*= 50 mkg; 10 - 0,2 - § — 50; s — 25 m. Die ganze Energie wird in Wärme umgesetzt, die verloren geht.

82.    Die kinetische Energie der Scheibe A = 7 Mv² = 7 • f§ • 16 — 20 mkg, wird in potentielle Energie des Gewichts umgewandelt: 20h — 20 mkg, h— Im.

83. Die int Berührungspunkt zwischen Scheibe und Bahn wirkende Reibung hemmt die Scheibe in ihrer geradlinigen Bewegung und erteilt ihr eine Drehbewegung.

Die (Energie der Scheibe A — \Mvi = -5- • 4 • 36 = 72 mkg wird zum Teil durch gleitende Reibung, die zwischen Scheibe und Bahn wirkt, aufgezehrt: der andere Teil wird in (Energie der Rollbewegung umgewandelt: 72 mkg = A, + \M. - v\, wenn Ax die Reibungsarbeit, vt die Rollgeschwindigkeit ist. Die Gleitgeschwindigkeit fällt von

v bis auf Null, die mittlere Gleitgeschwindigkeit ist vm = y = 3 m/sec

und Ax = 40 • 0,2 • 3 • t = 241 mkg. Die Reibung verzögert auch die Scheibe, bringt die geradlinige Geschwindigkeit von v aus v,.

40 - 0.2 (Mp) t =

40-0,2k--H(v-vx),

t--

8t--4(v-vx). v — y,

Die Energiegleichung lautet demnach:

72mkg = 24( + i--4-v*,

72 = 24(V~V>) + 3yf,

72 = 12v - 12vl+3v*ll 72 --- 12 > 6 - 12v₁+3vl v{ — 4vx — 0, vi — 4 m/sec.

5_4

Allgemein wird vx —-Z-v. hiernach wird t — —— 1 sec.

In einer Sekunde wird die geradlinige Bewegung der Scheibe in eine Rollbewegung mit der Geschwindigkeit vx — 4 m/sec umgewandelt, wobei eine Reibungsarbeit A, = 24f = 24 ■ 1 — 24 mkg verloren geht. Die Energiegleichung lautet dann:

72 = 24 + -f- • 4 • 4²;    72 = 24 + 48.

84. Die Energie der Scheibe A = -|-As • t>² = ^- • 2 • 6² = 18 mkg wird zum Teil in Energie der Rollbewegung umgewandelt, zum Teil durch die Reibung aufgezehrt.

Die Reibung gibt ferner der Scheibe eine beschleunigte Bewegung in der Bahnrichtung, bis die Scheibe die Geschwindigkeit vt erreicht hat.

et) W ■ y* = \Mv\ — 12.

A — \Mv] + A,, wenn A: die Reibungsarbeit ist. Die Reibung W = 20 • 0,2 = 4 kg zehrt, so lange die Scheibe auf der Bahn gleitet, Energie. Die Gleitgeschwindigkeit fällt von 6 m bis auf Null. Die mittlere Geschwindigkeit ist also gleich 3 m/sec und die Reibungsarbeit:

•t = 4-3*= 12k.

Endlich gibt die Reibung der Scheibe eine verzögerte Drehbewegung. Die mittlere Umfangsgeschwindigkeit ist

Vm

'L±0i. w-v+t>1

2 ’ 2

= f(v²-vD.

ß) w-t

= y(y — vi) --- 4.

Aus den Gleichungen « und ß ergibt sich: vt = 2 m/sec, t= 1 sec. Allgemein wird = y Die Energie der Drehbewegung wird also

teilweise in Energie der Rüllbewegung umgewandelt, teilweise durch die Reibung aufgezehrt.

±Mv²= 18 mkg = f H 2² + 4 3 - 1.

85. Die Umfangsgeschwindigkeit der Rurbel ist v₂ = 6 m/sec. Dann hat die Stange in Lage I die Geschwindigkeit

Hi= v₁ — v₂= 6 m/sec; in Lage II pz— v₂= 18 m/sec.

Außerdem wird die Stange um 0,6 m gehoben, ihre Energie ist

also um

A = yM(l8² — 6²) + G ■ 0,6 ----- 375 mkg

gewachsen, soviel Arbeit wird verbraucht.

86. Die Umfangsgeschwindigkeit des Schleifsteins wird 5,14-1 -120

— 6,28 m/sec

60

und feine kinetische (Energie bzw. die erforderliche Arbeit A = i-Mv² = i • ^ • 6,28² = 246 mkg.

87. Die Energie der Scheibe A =    • 6² = 45 mkg wird

vm= 0,3 m/sec, s = vw- t = 0,3 - 15 — 4,5 m, W • 4,5 = 45 mkg,

W = 10 kg,

W= 50 • n= 10 kg,

von der Zapsenreibung aufgezehrt. Ist W die Reibung, so ist auch: A = W • s, wenn s der Weg des Zapfenumfanges in 15 Sekunden ist. Die Umfangsgeschwindigkeit der Zapfen fällt von 0,6 m/sec aus Null,- es ist also:

M — 6ü ⁼ 0,2.

88. Wird die Geschwindigkeit, welche Spindel und Stempelträger beim Andrehen erreichen, nicht berücksichtigt, so wird:

₁₀ 3²+ 4 • 20 • 0,15 + 120 - 0,2,

A=2 A = 72 mkg,

Ai — 72 - 0,6 — 43,2 mkg.

1    4-20

89. wird angenommen, daß die Last in den ersten drei Sekunden gleichförmig beschleunigt bewegt wird, so ist ihre mittlere Geschwindigkeit in dieser Zeit vm = ^ = 0,75 m/sec.

Die Energie der Last wächst also in dieser Zeit um A = 600 • 0,75 - 3 +t'^-1.5²=1350 + 67,5 = 1417,5'mkg.

Da die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null ist, die Leistung mit der Geschwindigkeit bzw. mit der Zeit wächst, ist das Arbeitsdiagramm auf der Zeitachse als Basis für die drei ersten Sekunden ein Dreieck, dessen Inhalt gleich A sein muß.

6    Lösungen

= 1417,5 mkg; L ---- —17,5'= 945 mkg/sec

ist die größte erforderliche Nutzarbeit der winde. Nach der dritten Sekunde tritt der Beharrungszustand ein; dann ist

Lt — 600 - 1,5 — 900 mkg/sec.

Ist der Wirkungsgrad der winde n = 0,8, so wird

= 15,75 PS;

(-1

7V =

945

900

= 15 PS.

JVi =

0,8 - 75

90. Die gegebene Stellung hat das Pendel bei einer Winkelgeschwindigkeit a>, die sich aus der Gleichung ergibt:

10 • 0,24 0,5-0,32'

Dem Pendel muß eine Energie zugeführt werden:

A = 2[10(0,4 - 0,32) + t • iS • 0,3* • S²]; A = 3,85 mkg.

0,8 - 75

10

jQ • 0,3 • iv²- 0,32 = 10 • 0,24; iv² =

iv — —

sec

91.

w = s^-

A = 2,5 mkg.

92. Die Umfangsgeschwindigkeit des Kranzes ist v —17,6 m/sec,

ä = 0,35 m‘

Die größte Geschwindigkeit ist v* — 17,6 -s- " ~ 17,8 m/sec. Die kleinste Geschwindigkeit ist v₂ = 17,4 m/sec.

Die Energieänderung beträgt

A = i- ^(17,8²- 17.4²) = 840 mkg.

93. Unmittelbar vor Eintritt des Beharrungszustandes hat die Maschine den Zug mit der angegebenen Geschwindigkeit zu bewegen

Lt— 360 -3 - 10 — 10800 mkg/sec.

Ferner hat die Maschine dem Zug in den 50 Sekunden die kinetische Energie A —    - 10²= 1800000 mkg zu geben wird

der Zug in dieser Zeit gleichförmig beschleunigt bewegt, so wächst

Lösungen

die Leistung der Maschine gleichmäßig mit der Zeit, sie kann also durch ein Dreieck dargestellt werden

1800000 25 sec

Die höchste Leistung der Maschine ist also: L₃ + L₂ = 82 800 mkg/sec;    N —

== 72000 mkg/sec.

L₂ • f = 1 800 000 mkg; l₂ -----

82800

₇₅ = 1140 PS.

= 144 PS zu leisten.

Im Beharrungszustande hat die Maschine nur 10800 Nl 75

94. Die Last wird gleichförmig beschleunigt, bis sie den Ve-harrungszustand erreicht. Nach den gegebenen Maßen erreicht die Last eine Geschwindigkeit

16 - 100 150    „    ,

400 ' 600    ¹ ni/sec.

= 4 m/sec.

Die Umfangsgeschwindigkeit der Treibräder ist 16 . 100

400

y₂ =

Mit dieser Geschwindigkeit dreht sich das kleine Reibungsrad von Beginn der Bewegung, während das große Reibungsrad von Rull bis auf v₂ beschleunigt und dann mit dieser Geschwindigkeit gleichförmig gedreht wird. Die mittlere Geschwindigkeit des großen Rades während der Beschleunigung ist also gleich 2 m/sec, die mittlere Geschwindigkeit der Last gleich 0,5 m/sec. Dauert die Beschleunigung t Sekunden, so ist:

65-2/ = 250 • 0,51 + ± • 25,l²; t ----- 2,5 sec.

Die Reibungskraft leistet also in dieser Zeit

= 65 • 2 • 2,5 = 325 mkg.

Das kleine Rad dreht sich immer mit der Umfangsgeschwindigkeit von 4 m und am Umfang wirken 65 kg Reibung. Mährend der Beschleunigung werden also verbraucht

Ä₂ = 65 • 4 • 2,5 = 650 mkg.

Die Hälfte der Arbeit, die in dieser Zeit auf die Winde übertragen wird, geht also verloren.

LlNuG 559: Schmitt, Aufgaben aus der Mechanik II. 2. flufl.

95. Die Gewichte werden gleichförmig beschleunigt bewegt. Ist p die Kufwärtsbeschleunigung der Last von 300 kg, so ist die flb» wärtsbeschleunigung des Gegengewichts gleich 2p. Die Last wird in

der ersten Sekunde um ^ gehoben, das Gegengewicht um p gesenkt. Die Arbeitsgleichung für die erste Sekunde lautet:

l00 - p + 85p - 300 • -§• = y • 4p² + y ■ P²-100 + 85 — 150 = 35 = (20 + 15) p.

p — 1 m/sec³.

96.    Der Hammer hat beim Ausschlagen die (Energie:

A = (2000 + 1800 - 200) ■ 1 = | Mv² = 100 v\ v — 6 m/sec.

97.    wenn die Kurbel durch den toten Punkt geht, ist die Kolbengeschwindigkeit gleich Null, mithin kann der Dampfdruck in diesem Augenblick keine Arbeit leisten. Der Schwungkranz muß die zu leistende Arbeit liefern. Dabei erleidet der Kranz, weil er Bewegungsenergie abgibt, eine Verzögerung, die Geschwindigkeit fällt von v aus vt. Es ist: 30-75 • t = \ M (v* — v \), wenn t die sehr kurze Zeit ist.

Vi = v — pt,

30 • 75 • t = | M [v² - (v — p<)³]

30 • 75 • t = M • v ■ p ■ t,

(Das Glied pV kann vernachlässigt werden.)

=    P = 2,25nVsec³.

Zweite Lösung: Die Maschine hat ein Drehmoment

30-75

«,

Das Drehmoment des Kranzes bei einer Verzögerung p ist: M G D

wenn die Kurbel durch den toten Punkt geht, mutz der Kranz das erforderliche Drehmoment liefern:

⁵y-W ⁼ ²'²⁵ m/sec2-

D 30-75    30-75 g

rp'i⁼“ —ö-

2

Das Drehmoment — Mp • y = 180 mkg verteilt sich als Bie* gungsmoment auf die Radarme.

98. Geht die Kurbel durch den toten Punkt, so haben nur Kurbel und Pleuelstange Geschwindigkeiten. Daher ist die (Energie der Teile

At = y (^^"~) = 2,5² = 7,28 mkg. Geht die Kurbel durch die

Mittelstellung, so haben alle Teile die Geschwindigkeit v, außerdem liegen die Schwerpunkte von Pleuelstange und Kurbel 0,1 m hoher wie vorher. Daher ist

A₂ = i • ff • 2,5³ + i •    • 2,5³ + 70.0,1 = 37 mkg.

Die Hrbeit ist:

Ä₂ —    = 37 — 7,28 ~ 30 mkg.

99.    Kolben und Kreuzkops wiegen zusammen 60 kg. Dieselben

6,25

y²

erhalten im toten Punkt eine Beschleunigung pn = — = ₀₂

31,25 m/sec², wozu eine Dampfkraft Mpn = 6 • 31,25 ~ 188 kg verbraucht wird. Wenn nun auf den Kolben bzw. Zylinderdeckel ein Dampfdruck P wirkt, so überträgt die Kolbenstange nur P— 188 kg auf die Kurbel bzw. das Lager. Der Überdruck auf den Zylinder-deckel ist also 188 kg.

100.    Die Energieänderung ist:

A = ~ [(y + Vi)²—(v — Vi)²] = 5"f¹    [v'² + 2vv₁ +vt — v³

• vvx.

+ 2r>r>i — yj = ||-4yy₁ = 2^

101. Ist Q der Zapfen- bzw. Raddruck, so ist W = 0,01 Q die Reibung zwischen Rad und Schiene, W₂ = 0,05 Q die Zapfenreibung. Das Moment der Reibungen ist

W₂ - 0,5 - W₁ - 0,05 --- Mp - 0,5,

5*

68

Lösungen

wenn M die Masse des Radkranzes, p seine Beschleunigung ist. M-p • 0,5 = Q = 0,0025; p =

—;^=j, forotrbp

d. h. das Rad schleift im ersten Rugenblick vollständig, wird mit p beschleunigt bis es rollt, also eine Umfangsgeschwindigkeit erreicht hat, die gleich der Fahrgeschwindigkeit des Wagens ist. Der wagen

erleidet eine Verzögerung p₂

Zeit der Beschleunigung, so ist 10 -0.5 t--- 1,875 t; 2,375 t = 10; t ----- 4,2 sec. Dann ist die Fahrgeschwindigkeit

10 — 0,5 • 4,2 = 1,875 • 4,2 = 7,9 m/sec.

Die Rechnung würde sich etwas ändern, wenn der Luftwiderstand berücksichtigt würde.

102. Die Last verliert beim heruntergehen eine Ruheenergie A — 600 • 12 — 7200 mkg. Diese von der Last geleistete Arbeit mutz, da die Endgeschwindigkeit der Last gleich Rull sein soll, von der Bremse verzehrt werden. Zuerst bewegt sich die Last gleichförmig beschleunigt und erreicht eine Geschwindigkeit v — V2gh = V40; v — 6,32 m/sec. Mit dieser Geschwindigkeit geht nun die Last 8 m gleichförmig weiter, dann wird sie bis auf Rull verzögert.

Die Zugkraft im Lastseil ist anfangs gleich Rull, nachher Zi —600 kg; dann wird z₂ • 2 = 4 • 600; z₂ — 1200 kg. Die Bremswiderstände

sind Wt

Ist nun Q

Q ■ 0,0025 M -0,5 ' 30000

80

p • 0,005. •0,005 = 1,875 m/sec²

°,05g—g; p₃= 0,5 m/sec². Ist t die

600-150

—50— = 180 kg; W.J =

1200-150

500

'2

----- 360 kg.

150 • 12²

103. Jeder wagen hat die Energie Ä — —^—⁼⁼ 10800 mkg.

wenn die wagen nach 10 Sekunden stillstehen sollen, durchlaufen

12

sie in dieser Zeit einen weg s = y ■ 10 = 60 m, ihre Schwerpunkte fallen dabei um 15 m. Deshalb ist

2- 60 = 10800 + 1500 • 15 = 33300mkg.

z=5^00 = ₅₅₅kg.

Lösungen

104. Die Umfangsgeschwindigkeit des Schwungrades ist -^¹⁵° = 9,42 m/sec;

die Spannungen des Bremsbandes sind:

10-21,5-1-5.25

= 34 kg.

10

St = 70 kg. S₂ =

Daher ist die Reibung am Rad S, —    = 36 kg. Der Motor ist

im Beharrungszustand, wenn die von ihm geleistete Arbeit gleich der von der Bremse aufgezehrten ist. Die Leistung ist demnach:

1 = 36- 9,42 = 339,12mkg/sec; N =    = 4,52PS.

105.    JV~ 12PS.

106.    Die erste Figur, bas Rechteck, stellt das Rrbeitsbiagramm bzw. die potentielle (Energie des Gewichtes bar; sein Inhalt ist 5000 • 5 = 25000 cmkg. Die zweite Figur, das Dreieck, ist die Formenergie

«-tSQOßfo

SOOOkg^

2.

-f

«r

-4

/r

*~5000kg*

— P= 10000kg

des Stabes. Rechteck und Dreieck müssen

p. 5

gleichenInhalt haben. = 25 000 cmkg. hieraus ergibt sich die größte Stabkraft P — —-g—= 10000 kg. Werden Rechteck

und Dreieck aufeinander gelegt, so ergibt sich die dritte, aus zwei Dreiecken bestehende Figur. Das obere Dreieck ist positiv, es stellt die Beschleunigungskraft des Gewichtes dar. Das untere Dreieck ist negativ, es gibt die verzögerungskraft des Gewichtes für jede

70

Lösungen

höhe an. hiernach macht das Gewicht eine Kreisschwingung, der Radius ist gleich 2,5 cm. Hus der Gleichung \ Mv² — ergibt sich die Drehgeschwindigkeit

5000 - 0,025

-y

5000 - 0,025

500

— 0,5 m/sec.

Die fünfte Figur ist das Energiediagramm.

In jeder höhe besteht die Energie aus der potentiellen Energie / des Gewichtes, der Formenergie II des Stabes und der kinetischen Energie ///des Gewichts. In jeder höhe ist/ + // + /// = A = 5000-5=25 000 cmkg; A= 250 mkg.

107. Beim Rufstoßen des Gewichts Q besitzt es die kinetische Energie A = t W * 10²= 500 mkg = 50 000 cmkg. ~j Diese Energie gibt Q an den Stab auf dem I Wege von 5 cm ab, sie wird in Formenergie ^ des Stabes umgewandelt. In jeder Stellung J_ des Gewichts ist A = / + //= 50000 cmkg, wenn / die kinetische Energie von Q, II die Formenergie des Stabes ist; Q macht eine Kreisschwingung.

IM

108. Zur Bestimmung der Kmft Q dient die Momentengleichung 15 -1.2*

• 4000;

Q . 40 = W • kz =

Q --- 360 kg.

Diese Kraft ruft Normal- und Scherspannungen in der Feder hervor (vgl. Bd. I,

Seite 43), welche die Formänderung be- f wirken, von der Wirkung der Scherspannungen soll einstweilen abgesehen werden. Qi Die Formenergie in einem kleinen Balken-

stück X ist gleich ~f4=£(/

Die Energie ist also vom Quadrat des "y Abstandes z des Federstückes vom freien Ende abhängig. Die Verteilung der Energie über der Feder läßt sich durch eine Parabelfläche darstellen. Die ganze (Eitet⁵ __LJ

gV

?EJ

wo

ppr

e-

'JO

l -4

pppp®-

gie in der Zeder ist gleich dem Inhalt der Parabelfläche

L J_ 9U1

5'EJ' 2

o² r-

-jTgj _ 320 cmkg.

109. hier läßt sich die Verteilung der Energie über der Zeder durch eine vreiecksfläche darstellen, deren Inhalt ist:

n-QUl .91 !!

n 2EJ '    4EJ

to |

----- 480 cmkg.

?5Ö_

150

MommLenslädie

iramjTL

JP"

3u 110.

Lll

3u 109.

110. Die Verteilung der Energie über der Zeder stellt sich hier durch ein Rechteck dar, dessen Inhalt

f)2 r2 I

A -----    = 960 cmkg ist.

111.    hier ist <7    ^ l 8 kg/cm. A ==

112.    (Es ist W ---- i------

Die Leistung ist L = Mt • w = 40 * 75 mkg/sec. 40-75 18,84

20 EJ

— 384 cmkg.

Mt =

30

sec *

~ 160 mkg ----- 16000 cmkg.

Die Formarbeit ist

M² • Z

— 400 cmkg.

A — 2(jjr i wenn G der Gleitmodul ist: 16000MC00-5

2 - 800000 • 64

113. P • 3 = i • 0,125 - 3000; P = 25 kg.

0 5 ⁵

M, = 25-3 = 75 cmkg; Jp = ^- =0,03125 cm⁵; 3,14 6 5 — 94,2 cm;

M,²Z

2GJp

= 9,72 cmkg.

114. Ist P die Stabkraft, so ist P • i> = ZV • 75;

P==

ZV.75    P²Z _ ZV² 75² Z

u ' Ä~2fE — 2vfE '

₌ /ZV-75 V V “I f ) ' 2vE'

115.    Beim Huflegen erhält der Riemen die Formenergie

f-l-s²

A _Zif!__

2E 2£

Wird der Riemen bewegt, so tritt oben eine größere Spannung su unten eine kleinere Spannung s₂ auf und es ist:

Sj = 2s₃; st +    = 2s;

Si = y s; s₂ = -§• s;

, £**!

Al - 4L 4£ — 9 ' £ ¹

Demnach ist die Formenergie um At — A₀ — gewachsen.

116.    Stange und Keil wird eine Geschwindigkeit — v gegeben. Der Keil steht dann still, die Stange verschiebt sich aus dem Keilrücken von links nach rechts mit der Geschwindigkeit

vr — ^/vi+    ; vT = 0,1005 m/sec.

3u 122.

117.    Die relative Bewegung des Rades gegen die Stange ist eine Rollbewegung des Rades auf der Stange mit der Geschwindigkeit v.

118.    wird der Rolle eine Geschwindigkeit — v gegeben, so müssen auch die beiden Seilenden diese Geschwindigkeit erhalten. Die Rolle steht fest, das linke Seilende hat eine abwärts gerichtete Geschwindigkeit v, die Last hat die Geschwindigkeit v₀ — v. Bei einer festen Rolle haben aber beide Seilenden gleiche Geschwindigkeiten, daher ist

v₀ — v = v; v₀ = 2 v.

119.    Die relative Geschwindigkeit des Zapfens gegen die Stange ist die Resultante von — v₀ und v, vr= v sin a. Der Zapfen dreht sich außerdem um seinen Mittelpunkt.

fi)

3u 118.

SS

3u 119.

3u 121.

^ ^ LU

120.    Bei jeder Umdrehung der Rurbel macht der Zapfen eine Umdrehung im Stangenkopf.

121.    Die relative Geschwindigkeit des Rreuzkopfes gegen denRurbel-zapfen ist die Resultante vr von v₁ und — v2t wenn und v₂ die Geschwindigkeiten der beiden Teile sind. vr steht senkrecht zur Stange, die relative Bewegung des Rreuzkopfes ist also eine Drehung um den Rurbelzapfen.

122.    Die relative Geschwindigkeit von II gegen / ist die Resultante von v₂ und vt. vr steht auf der Stange senkrecht. Die relative Bewegung von II gegen / ist eine Drehung um I.

123.    / wird stillgestellt, indem ihm noch eine Geschwindigkeit — v gegefcett wird, dann muß auch II diese Geschwindigkeit erhalten: die resultierende Geschwindigkeit von//; v₀ — vist die relativeGeschwin-

'fit

\v

i>i<;

3u 123.

////

digkeit von II gegen /. Sie steht senkrecht auf dein Radius, der einen Winkel von 60° mit dem Drehradius von II bildet. Die Geschwindigkeit v₀ = v des Punktes III ist die gesuchte relative Geschwindigkeit von II gegen L

124^_3ft p <g, so bewegt sich M wie A mit der Beschleunigung p. Ist p>g, so bewegt sich M mit der Beschleunigung g. Ist nun p>g, so erhält M eine relative Bewegung gegen A. Diese Bewegung ist eine beschleunigte Aufwärtsbewegung. Die Beschleu- | Mg ntgung ist gleich p — g. Diese relative Beschleunigung ergibt ,—i sich, wenn A still steht und auf M eine aufwärts gerichtete LJ Kraft M-p wirkt. An M wirken dann die beiden Kräfte M-p MP und M • g, die der Blaffe die Aufwärtsbeschleunigung: pr = p geben. Die absolute Bewegung von M ist die freie Fallbewegung mit der Beschleunigung g.

125, M bewegt sich gleichförmig beschleunigt abwärts, bis die Wege von A und M gleich sind.

Ygt² = v • t\ gt = 2v; v₀ = 2v.

wenn also die Wege gleich sind, das Seil angespannt ist, ist die Geschwindigkeit von M gleich 2v. M übt einen Stoß auf das Seil aus. von nun ab bewegt sich M mit der Geschwindigkeit v.

Zur Bestimmung der relativen Bewegung von M gegen A wird A festgestellt und M wird eine aufwärtsgerichtete Geschwindigkeit v bzw. ein Arbeitsvermögen • r? gegeben. M steigt bann um h, das sich aus der Gleichung ergibt:

^ L 1 G ₂ , v2 U n 2s'    2 g

hat M die höhe h erreicht, so fällt es wieder um h und bewegt sich dann wie A gleichförmig mit der Geschwindigkeit v.

ÄSf

126.    Zur Bestimmung der relativen Bewegung von M gegen A stellt man A fest und läßt auf M eine wagerechte Kraft P ----- Mp wirken. Die Kraft P dreht M um A um den Winkel a. $üx den Drehwinkel a lautet die Arbeitsgleichung:

P • l • sin a = M • g • Z(I — cos a)

Mp • sin a = Mg( 1 — cos a) p sin a ----- g( 1 — cos et)

a p

tgT ”7'

Die relative Bewegung von M gegen A ist eine Schwingung um die Mittellage AB. Außerdem bewegt sich M wie A gleichförmig beschleunigt mit der Beschleunigung p. In der Mittellage halten sich die beiden Kräfte Mg und Mp das Gleichgewicht, ihre Resultante Z fällt in die Seilrichtung, darum ist die Seilkraft

Z = MYp²+g\

127.    lvird A festgestellt und M eine rückwärts gerichtete (Be«

JUyl

,u

schwindigkeit v bzw. eine kinetische Energie -y gegeben, so dreht sich M um A und steigt auf die

y²    z

-4 -

höhe h = 2^, dann fällt es wieder zurück in 6/,

die Anfangsstellung. Die relative Bewegung von M gegen A ist eine Schwingung um den Winkel a

bzw. 2 a; Z(1 — cos a) = — nach rechts und links. 3m Punkte B

hat M die absolute Geschwindigkeit v, auf dem Rückwege erlangt M im Anfangspunkt D die absolute Geschwindigkeit 2v, im Endpunkte Bt ist sie wieder gleich v, aus dem Rückwege wird sie in D wieder gleich Null uff.

128.    wird das Lagergehäuse stillgestellt und der Kugel eine entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeit v bzw. eine kinetische Energie

~2~ gegeben, so dreht sich die Kugel mit der Geschwindigkeit v. Dies ist die relative Bewegung der Kugel gegen das Gehäuse. Die ab-folute Geschwindigkeit der Kugel ist die Resultante vr aus der Drehgeschwindigkeit v und der geradlinigen Geschwindigkeit v.

Bei Beginn der Bewegung ist vr    pp

gleich Null, mithin auch die (Energie L^/^TTz^/T ber Kugel, hat sich die Stange um den    “ ¹    '    '    '

Winkel a gedreht, so ist:    !

vr— 2v"(l — cos a);

\Mvl = Mv²( 1 — cos a).

Mv²

Mv²

p-sina, N= — cosa hat.

3n der Richtung der Stange wirkt die Zentrifugalkraft Mv*

Z ----- r~, die die Komponenten P

Ruf das Gehäuse mutz eine Kraft, die gleich P ist, in der Bewegungsrichtung wirken. Die Rtbeit dieser Kraft ist gleich der Energie der Kugel. Der Kraft N wird durch die Reaktion der Führung das Gleichgewicht gehalten.

Bei <x -----180° wird die Energie am größten.

E = \M{2vY=2M-v\

von da ab wirkt die Komponente P in der Bewegungsrichtung, darum muß die äußere Kraft P entgegenaesetzt wirken. Wenn dann die Kugel in ihrem Rusgangspunkt zurückkommt, ist E = 0. Nun wiederholt sich die Bewegung.

*o)

<y

129.    Bildet der Drehradius der Kugel bei Beginn der Bewegung mit der Bewegungsrichtung des Gehäuses einen Winkel a₀, so ist die relative Bewegung / der Kugel gegen das Gehäuse eine Dre- j hung um die Spindel. Diese Bewegung \ wird durch eine der Bewegungsrichtung \ des Gehäuses entgegen wirkende Kraft P ----- Mp bewirkt. Die Kugel dreht sich um den Winkel 360°— 2a₀, steht dann still und geht wieder zurück.

130.    Die relative Geschwindigkeit der Klaffe M gegen die Kurve

ist vr= v₂ —    = 1,8 m/sec. Deshalb steigt die Kugel auf der

0,162 m. wenn die Masse diese höhe erreicht

Kurve um h

= =

hat, ist ihre relative Geschwindigkeit gleich Null und ihre absolute Geschwindigkeit v = 2 m/sec. Nun geht die Masse M wieder abwärts, kommt in ihrem Nusgangspunkt wieder mit der relativen Geschwindigkeit ur= 1,8 m/sec und mit der absoluten, nach der Bewegung der Kurve gerichteten Geschwindigkeit vx— vr= 0,2 m/sec an.

Bet Beginn der Bewegung ist die (Energie der Masse:

Im höchsten Punkt ist sie

E₁ = \M • 3,8²= 7,22 M.

E₂ = M • g • h = M • g • 0,162 = 1,62 As.

Die Masse hat also an die Kurve beim Rufsteigen die Energie E₁ — E₂= 5,60 M abgegeben. Ruf dem Rückwege gibt die Masse die (Energie £₂— JSs= 1,62 As—■4-Af *0,2²= (1,62 — 0,02)M= 1,6 As ab und behält noch 0,02M.

131.    Die absolute Endgeschwindigkeit mutz gleich Null sein.

v₁= 2 m/sec.

132.    Die einzige äutzere Kraft ist hier das Gewicht von 10 kg.

Die innere Kraft ist der Druck von M₂ gegen Mt bzw. die ebenso große Reaktion von Mt; diese Kräfte stehen senkrecht zur Mhrungs-fläche. Nach dem Schwerpunktssatze ist:    = M₂ • v₂,

2 • vt = 1 • v₂.

Die potentielle Energie von M₂ ist: E = 10 • 0,3 = 3 mkg.

Ist M₂ im tiefsten Punkt angelangt, so ist:

3 mkg ----- j-M₁ • v] + js • M₂ • v\ = \[2v\ + 1 (2vx)*\ =    ,

r?i — I m/sec;

v₂= 2 m/sec.

Nun steigt M₂ auf der anderen Seite wieder auf die hohe von 0,3 rti. Dort angelangt ist ihre potentielle Energie wieder gleich 3 mkg, die Geschwindigkeiten beider Massen sind gleich Null. Jetzt beginnt die Bewegung wieder von neuem.

133.    Da nur eine lotrechte äußere Kraft wirkt, mutz der gemeinschaftliche Schwerpunkt wagerecht stehen bleiben.

134.    Die Geschwindigkeit des gemeinschaftlichen Schwerpunktes ist

v — »yjr- ----- 0,6 m/sec.

Diese Geschwindigkeit behält der Schwerpunkt, weil keine äußere Kraft vorhanden.

Die Reibung, eine innere Kraft W = 45 • 0,2 = 9 kg verzögert die Platte und gibt der Kugel eine beschleunigte Dreh- und geradlinige Geschwindigkeit, bis die Kugel auf der Platte rollt. Dann tritt der Beharrungszustand ein. Ist vt die Dreh- und v₂ die geradlinige Geschwindigkeit der Kugel, v₃ die Geschwindigkeit der Platte im Beharrungszustande, so ist: v₁ + v₂ = v₃,

0,6 m.

4,5 v₂ +3vs

7,5

Die Beschleunigungen sind:

= 5 m/sec²;

59

Pl 2.4,5

P₂ = /g = 2 m/sec²; p₃ — — — — 3 m/sec².

hiernach sind: vx = 5t;    v₂=2t; v₃ = v — 5t = 1,5 — 5t.

Nach der ersten Gleichung wird dann:

5t + 2t = 1,5 — 5t, t ----- 0,15 sec.

Der Beharrungszustand tritt nach 0,15 sec ein. Dann wird vx ----- 0,75 m/sec; v₂ — 0,3 m/sec; v₃ — 1,05 m/sec. Eingeführt wird die Energie:

---- 3,375 mkg.

f _ Mi • i>*

Deshalb muß fein:

3,375 mkg = -|--3- l,05² + i--4,5-0,75² + -|--4,5-0,3²+ W-s. hier ist W = 9 kg und s der Gleitweg der Kugel auf der Platte, |/ = y- 0,15 = 0,1125 m.

135.    vgl. Rufgabe 134. hier wird v₁= v₂ = y m/sec.

136.    vgl. Rufgabe 134. hier wird: vx ----- 0,96 m/sec; v₂ ----- 0,48 m/sec; vB ----- 1,44 m/sec.

137. Die Geschwindigkeit des gemeinschaftlichen Schwerpunktes ist und bleibt gleich Null, da eine innere Kraft, die Reibung

W= 20 • 0,2 = 4 kg

zwischen den Körpern wirkt. Diese Kraft verzögert die Drehgeschwin-digkeit der Kugel von v auf vlt erteilt ihr eine geradlinige Geschwindigkeit v₂ von links nach rechts und gibt der Platte eine Geschwindigkeit v₃ von rechts nach links, wenn diese Geschwindigkeiten erreicht find, die Kugel auf der Platte rollt, bleiben die Körper im Veharrungszustande. Beim Rollen ist:

vt = v₂ + v₃.

Da die Geschwindigkeit des Schwerpunktes gleich Null ist, so muß fein 2 v₂ ⁼⁼⁼ 3 v₃. Bus den beiden Gleichungen ergibt sich:

v₂ = '¹

ßtfi;

v₃ = ivu

t 0,3 Vi.

Die Beschleunigung der Platte ist y m/sec⁸; t —    = ³

Ferner ist:

3    2

4" ⁻ "5"z,i⁼ 0.3Vi-

Ps =

Ty3 =

Der lVeg der Kugel auf der Platte ist: v    2 5

- 0,3^= 0,375^.

Die eingeführte Energie ist: y • 2 • 2,5² = 2,5 mkg. Die Energiegleichung lautet:

2,5 — y • 2 • (yVi)² + y * 2 • u² + y • 3 • (-f-l^)² + 4 • 0,375 • vv hieraus ergibt sich:

Vi = 1 m/sec; v₂ — 0,6 m/sec; y₃ ----- 0,4 m/sec.

138.    hier wird vx = 1,2 m/sec; y₂= 0,4 m/sec; u₃= 0,8 m/sec.

139.    Bus die Körper wirkt nur die äußere Kraft von 40 kg, die innere Kraft ist die Stangenkraft, welche auf die Bewegung des ge-

meinschaftlichen Schwerpunktes keinen Einfluß hat. Nach dem Schwerpunktsatze ist: 6vi ----- 4r)z. v₂ = \vu wenn i\ und v₂ die wagerechten Geschwindigkeiten sind. Steht die Stange lotrecht, so ist:

£ = 40'0,75 = i • 6 • v\ + -1-4. (fyj², C vx = 2 m/sec; y₂ = 3 m/sec

sind die größten Geschwindigkeiten.

Der gemeinschaftliche Schwerpunkt bewegt sich auf der lotrechten Geraden, die durch den Schwer- ^-Q4ö^<Q3^\ Punkt S der Anfangslage geht. Rus der tiefsten Stellung steigt III, bis die Stange wieder wagerecht r~^— ' steht, dann bewegen sich die Massen wieder zurück.

140. Das Gewicht bewegt sich wie das freie Stabende mit der Geschwindigkeit v ----- f m/sec und hat außerdem noch eine relative Be= wegung gegen das Stabende. Zur Bestimmung dieser relativen Bewegung wird das freie Stabende fest gehalten und dem Gewicht eine der gegebenen Bewegung entgegen gerichtete Geschwindig- / feit v == 1 m/sec bzw. eine kinetische Energie (

A = \Mv*=^y- 1 ==50mkg=5000cmkg jrlx gegeben. Das Gewicht macht dann eine A Kreisschwingung. Ist P die größte Zugkraft *\ im Stabe, die bei der Schwingung auftritt, und r der Schwingungsradius, so ist:

.1

Jl/f

1-11

TV

v_

Pr

~~ == 5000 cmkg; r :Z = 10000 fE

P² =

PI

PH

:E\ r = Pr = 77g = 10000,

; P = 20 000 kg; kz= 4000 kg/cm²; r = 0,5 cm.

Die absolute Anfangsgeschwindigkeit des Gewichts ist v₁ ----- 0. Bei Kreisschwingung istu₂ ----- l m sec. bei^ Kreisschwingung v₃= 2 m/sec, bei | Kreisschwingung y₄ = 1 m/sec, bei Kreisschwingung v₆ = 0 usw.

141. Die relative Bewegung des Gewichts gegen das freie Stabende ergibt sich, wenn das Stabende still gestellt wird und auf das Gewicht eine Kraft P — Mp ----- 100 - 5 — 500 kg wirkt. Die Kraft

erteilt dem Gewicht eine Ureisschwingung, deren Radius PI 500-500 Ef~ 2000000-2,5 ~ 0,05 Cm'

die ganze Dehnung des Stabes 2r — 0,1 cm, die größte Zugkraft

1000

2 P = 1000 kg, kz —    — 400 kg/cm⁸.

Vas Gewicht erhält die beschleunigte Bewegung mit p — 5 m/sec8 und außerdem die Schwingungsbewegung.

142. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt S beider Massen erhält eine Geschwindigkeit

v» =

M,v

= Wss = ¹ m/sec-

Diese Geschwindigkeit erhalten auch die beiden Massen. Außerdem schwingen die Massen gegen den Schwerpunkt so, daß hierdurch der Schwerpunkt keine Bewegung erhält. Die relativen Anfangsgeschwindigkeiten der Massen gegen den Schwerpunkt sind vx = 1 m/sec; vt — 3 — 1—2 m/sec. Die bei den Schwingungen in Betracht kommenden Stablängen sind lx — 0,3 in, l₃ — 1 m. Die Schwingungsradien werden nach der Formel r — u j/j- berechnet.

143. Der Schwerpunkt erhält eine gleichförmig beschleunigte Be-

P    20

wegung. Die Beschleunigung iftp — M    ⁼ 2,5 m/sec⁸.

Dieselbe Bewegung erhalten auch die Gewichte, welche außerdem noch gegen den Schwerpunkt senkrecht zur Stabachse schwingen. Diese Schwingungen werden durch die Rräfte Px — /f, p = 5 • 2,5 = 12,5 kg, Ps = 3 • 2,5 == 7,5 kg bewirkt, bei den Schwingungen in Betracht kommenden Stablängen sind — 0,6 m, l₂ = 1 m.

144. Die Drucke auf die Seitenwände sind gleich den statischen Momenten der wandflächen bezogen auf den Wasserspiegel. Die Drucke lassen sich also durch Körper darstellen.

2,4

2,4

= 1,2 • 2,4 “== 3,456 t; P₂ = 1,0 • 2,4 • -y = 2,88 t.

Die Kräfte wirken wagerecht in f der Höhe (Schwerpunkte der Druckprismen), von Wasserspiegel also x = f • 2,4 = 1,6 m. Die

anu© 559: Schmitt, aufgaben aus der Mechanik II. 2. aufl.

147. Der Druck auf ein beliebiges Stück eines zylindrischen Mantels ist gleich dem Druck auf eine ebene Fläche, deren Breite gleich der Sehne und deren höhe gleich der höhe des Stückes ist. hier ist demnach:

vier Kräfte sind im Gleichgewicht, sie bilden ein Viereck, bcts dem Grundriß des Behälters ähnlich ist.

145.    Die Drucke sind gleich groß: P = 0,8 • 1,2 • 0,6 ----- 0,576 t. Werden zwei Wände durch eine Wand ersetzt, so ist der Druck auf diese wand gleich der Resultante der beiden früheren Drucke, aus dem Kraftsechseck wird ein Fünfeck.

Die Resultante der auf drei wände wirkenden Drucke ist gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises des Kraftsechsecks.

146.    Beim zylindrischen Behälter bilden die Drucke auf den ganzen Mantel einen Kraftkreis. Die Resultante der auf den halben Mantel wirkenden Drucke ist gleich dem Durchmesser des Kraftkreises, also gleich dem Druck auf eine ebene Wand, deren Breite 8dm Durchmesser und deren höhe gleich der höhe des Behälters ist. hier ist also:

P= 1,2- 1,5 —= 1,35 t.

CS#

V p-

w,

M_/

0,8**

'fi

3u 145.

P = 0,8 • (1 - 0,6) (o,6 + y); P---- 0,256 t.

148. Der Inhalt des Behälters ist

/ = 1,8-y °'⁶ • 0,9 - 0,5 ---- 0,54 m³.

Das wassergewicht ist also G == 0,541. Der Bodendruck ist unabhängig von der Form des Behälters und gleich dem Gewicht des Wasserkörpers, dessen Grundfläche gleich der Bodenfläche und dessen höhe gleich dem Rbstand der Bodenfläche vom Wasserspiegel ist. hier ist also der Bodendruck R ----- 0,6 - 0,5 • 0,9 — 0,271. Demnach kommt aus jede schräge Seitenwand noch vertikaldruck

G^_*54-*27.    y=0|135t.

Lösungen

Außerdem kommt auf jede schräge wand ein horizontaldruck Pt --- 0,5 • 0,9 • 0,45 -- 0,2025 1.

Ruf die andere Seitenwand kommen Drücke

P₃ = 0,6 • 0,9 • 0,45 + 1,2₂0,9 • 0,3 --- 0,405 t.

Die Resultante von V und Pi ist der wirkliche Druck auf eine schräge Wand; derselbe wirkt senkrecht zur Wand.

149.

• 1,5 = 2,65t,

ß₂ = ^ (1,5* - 0,5S) • 0,5 --- 0,785 t.

Das Wassergewicht G =    — Bs= 1,8651. Die Seitendrücke

auf den unteren Mantel bilden einen Kraftkreis, dessen Umfang

1 • Tr • 1,5 • 1 = Tr • 1,5 t; dessen Durchmesser P, —    — 1,5 t

der Druck auf den halben unteren Mantel ist. Der Druck auf den halben oberen Mantel ist P₂ — 0,0625 t.

150.

Pi = 1,5 - 09 - 0,45 --- 0,6075 t,

P₂ --- 1,5 • 0,9 • 1,35 = 1,8225 t, x, — 0,6 m,

P₂-x₂ = (P, + P₂) • 1,2 - ^ • 0,6, x₂ — 1,39 m.

151. Cs ist

P_ __ KP _ J_

Q 20²    4 '

9 = 4P= 100 kg.

152. Die Drucke im Krümmer bilden einen viertelkraftkreis, dessen Radius P = -P'⁵- -15 — 1,06 t beträgt. Der Druck auf den Krümmer ist gleich der Sehne des Viertelkreises R = P -]/2 — 1,5 t.

153.    (Es mutz sein G

154.    (Es mutz sein P =-j • 0,1³• 15; P — 118kg.

-2=0,005652t; G= 5,652kg.

6*

Lösungen

84

155. Der Luftdruck im Windkessel muß gleich 2,5 fttm. abs. fein.

p ₌ ülM!.6; P = 47 kg.

156.    Dos Gewicht der Glocke ist G ---    . ₀,8 --- 2,512 t. Der

Luftdruck in der Glocke ist p — 0,8 + 10 = 10,8 m Wassersäule.

157.    Das Körpergewicht ist G = 0,8³ • 2,2 — 1,1264 t. Der Auftrieb ist A — 0,8³ — 0,512 t, mithin die erforderliche Hubkraft

P = 1,1264 — 0,512 =0,6144 t und die Arbeit P • 4 = 2,4576 mt.

0,1

158.    Das Gewicht des Prismas ist G = 0,5 • 0,4 • 0,5 = 0,1

und sein spezifisches Gewicht Y --- 0,8. 0,5.0,4

159. (Es ist x ----- °,5₀ o~ ⁼ 0,45 m. Der Körperinhalt ist

----- 0,625.

Vi

0,5 • 0,6

• 0,8 = 0,12 m³.

Das verdrängte Wasservolumen V₂ =    . g g = o,0972 m*.

0,0972

= 0,81. Ist s die Seitenlänge

Das spezifische Gewicht y =

des Dreiecks, so ist As: V—s: 0,25, roemt V die Vertikalkomponente von N. (Es ist aber V gleich dem halben Gewicht des Körpers, also

0,12

V= 48,6 kg;

V s _ 48,6 • 0,65

0,25

0,25

N= 126,4 kg.

s = y0,25³ + 0,6² = 0,64 m;

160. Der Körper taucht um xem, das sich aus der Gleichung ergibt

x = 0,96 m.

y • A = ^-A-0,65;

p 4 1,2 m—4p

A Vod'i

Die Richtung der Austriebkraft geht durch den Schwerpunkt des verdrängten Wasserprismas und ist gleich dem Gewicht G des Körpers. Die Richtung des Körpergewichts g" geht durch den Schwerpunkt des Körpers. Ge- y T7/7 wicht und Auftrieb bilden ein Kräftepaar, ", 3;;/ G n| Z-dessen Arm a = 0,4 — 0,32 = 0,08 m und * ? indessen Moment M = G • 0,08 mkg ist. Das

Krästepaar sucht den Körper rechts herum zu drehen, daher mutz an dem Körper ein zweites, linksdrehendes paar Pb — Ga wirken. In der Figur ist angenommen, datz die Kräfte P an den Kanten des Prismas wirken.

161. Der an der Kugel wirkende Auftrieb ist Pt = ^ — 12,5 kg.

Daher mutz sein P — 12,5 — 10 = 2,5 kg und ihre Arbeit A — 2,5 2 — 5 mkg. Wenn P nicht mehr wirkt, wirkt an der Kugel die aufwärts gerichtete Kraft P, und das Eigengewicht. Die Kraft Px bewegt die Kugel aufwärts und leistet die Arbeit

Ax = Pj • 2 = 10 (2 + ft); 12,5 • 2 = 10 (2 + ft); ft = 0,5 m;

d. h. die Arbeit von 12,5-2 — 25 mkg wird verbraucht, um die Kugel 2,5 m hoch zu heben. Die Kugel steigt 0,5 m über den Wasserspiegel, dann fällt sie wieder.

162. Auf eine wasserschicht in einer hohe x unter dem Wasserspiegel wirkt ein Druck P — fx.

Demnach lassen sich die in den einzelnen Schichten wirkenden Drucke durch ein Dreieck darstellen, dessen Inhalt gleich der ganzen Druck-

ft* 1-0,5-1,2*

0,36 m*,

energie ist:

A ---- 0,36 tm; A — 360 mkg.

163. Die Arbeit ist gleich dem Energiezuwachs des 1]=^ Wassers.    ^

hier ist f= 0,5 • 0,8 = 0,4 ma,

A = 3/"(5 +f)= 1,2 • 6,5 --- 7,8m⁴,

K-S/-W

A ---- 7800 mkg.

164. Die Arbeit ist gleich dem Lnergiezuwachs des Wassers.

1-1-2* 1-2-1* . , . mnnn .

2— — 1 m⁴; A = 1000 mkg.

Bei Beginn der Arbeit ist der Druck P gleich ♦ dem Seitendrucke Pt — 1 • 1 • -§- = 500 kg. Am ^

€nöe ist: ps = j . ₂ . | = 2 000 kg.

werden die Kräfte P für verschiedene Wegpunkte bestimmt und dieselben in diesen Punkten senkrecht zum Wege ausgetragen, so ergibt sich da5 Arbeitsdiagramm, welches von einer Parabel begrenzt wird. Der Inhalt der Fläche ist gleich der Arbeit.

A = 1    + i ■ 1 * (P₂ - Pj) = 500 +    • 1 500 = 1000 mkg.

v³ — 2 ■ g ■ 0,8 = 16 m²/secs; v = Y16 = 4 m/sec Allgemein ist — — h\ v = YYg -h.

165. Die Gewichtseinheit des aussetzenden Wassers hat eine Druckenergie A — 0,8 m • 1 kg = 0,8 mkg. Beim Ausfließen wird die vruckenergie in kinetische Energie umgewandelt. v⁸

2g “ 0,8;

166. hier ist die kinetische Enexgie gleich der Differenz der Druckenergien.

j-g = 0,65 - 0,2;

i> =1/2-10-0,45;

0,2

A¹! Air

A=|    ^

"XIS>

\0fi5

v = 3 m/sec.

3n dem Verbindungsrohr wirkt also ein Druck von 0,2 m. Dieser Druck des fließenden Wassers ist der hydraulische Druck.

167. hier ist die Geschwindigkeit gleich -j der Ausflußgeschwindigkeit, mithin der verbrauchte Druck:

P-ä-

2g

(i)'

~2g~'' p = i6‘ l.6 -- 0,1 rn.

(Es bleibt /zt = 1,5. m.

168. hier wird v = 1/2-10- 0,8 = Vl6 = 4 m/sec.

Da sich die Rohrweiten wie 1:2, die Rohrquerschnitte wie 1:4

verhalten, ist die Geschwindigkeit im erweiterten Rohre Vj = 4 • ^ = { = 0,25 m/sec. hierzu

wird eine Druckhöhe = ^7 “ 16 -20 verbraucht.

3m wagerechten Rohr wirkt demnach noch ein Druck von 2,997 m.

3m —>1

= 0,003 m

I CV

I

1 1

169. Huf den unteren Wasserspiegel wirkt der äußere Luftdruck b = 10 m Wassersäule, der im Rohr um 2 m abnimmt, also am oberen Wasserspiegel noch 8 m beträgt. Diesem entgegen wirkt der Druck bx der eingeschlossenen j K Lust, mithin bleibt

— 8m

önj-x bi

⁸~z,i⁼S=5m'

b »10m

di — 3 m Wassersäule, bx — 0,3 Htm.

5²

170.    3um Husfluß ist eine Druckhöhe ht = ^j = 1,25 m erforderlich. Hußerdern muß das Wasser noch um 2,75 m gehoben und der auf dem Husflußquerschnitt wirkende Luftdruck b überwunden werden. Die Druckhohe im Behälter ist demnach:

h ----- 1,25 + 2,75 + 10, h= 14 m Wassersäule, h = 1,4 Htm.

171.    Der auf den unteren Wasserspiegel wirkende Luftdruck 6=10m Wassersäule wirkt im Rohr aufwärts und nimmt bis zum Wasserspiegel um 5 m ab. Huf K den oberen Wasserspiegel wirkt ebenfalls der *

Luftdruck b abwärts. Es bleibt dann noch ein ^ abwärts gerichteter Druck h = b — 5 = 5 m. i

u²    ¹

Demnach ist ^ = 5 m; v — 10 m/sec.

172. Huf den unteren Wasserspiegel wirkt der Luftdruck ö=10m, der im unteren Rohre aufwärts wirkt und bis zum wagerechten Rohre um 2 m fällt, also noch 8 m ----- 0,8 Htm. beträgt.

-f

Im Vehälterboden wirkt also aufwärts der Druck von 8 m, der bis zum oberen Wasserspiegel auf 8 — 1,2 ----- 6,8 m fällt. Diesem Druck wirkt der Luftdruck von 10 m entgegen. Es bleibt also ein abwärts "V gerichteter Druck von 10 —6,8=3,2 m, roeb    *

cher in kinetische Energie verwandelt wird. ^

v = 8 m/sec.    *

173. Der Druck im wagerechten Rohre wird gleich Null und die Kusflußgeschwindigkeit v= 15 m/sec.

f"7

174.

v = 10 m/sec; p = 2 m = 0,2 Atm.

175.

v = 6 m/sec; p = 7,6 m = 0,76 Atm.

176. Das Wasser im Rohre wird beschleunigt, seine Geschwindigkeit ist vorläufig eine wachsende. Das aus dem Behälter in das Rohr pro Sekunde fließende Wasser hat die (Energie A = f-vh, welche

verwendet wird, um 1. Die Masse ^ um p zu beschleunigen,

f. d

2. sich selbst, also der Masse — die Geschwindigkeit v zu geben.

Also ist

hieraus ergibt sich p ----- ²⁹~

Da die Geschwindigkeit v wächst, nimmt die Beschleunigung ab und wird gleich Null, wenn v² = 2 g h ist.

Dann tritt der Veharrungszustand ein, vorausgesetzt, daß die Druckhohe h dieselbe bleibt.

<-x y

Diagramm I ist das Druckdiagramm bei geschlossenem Kohr. In II ist die Trägheit der f Wassermassen im Kohr pro Flächeneinheit des Huerschnittes bei Beginn der Bewegung dargestellt. In der Entfernung x von der Klün-

dun, ifi / -    «n    ^

hieraus ergibt sich die Anfangsbeschleunigung

p₀= ^-p, III und IV stellen die Geschwindig- * Tvj^yy

keitshöhe während der Beschleunigung und im tlimi-

Beharrungszustande bar.

177. hier wird vorausgesetzt, daß die Rohrleitung bei Beginn der Bewegung gefüllt ist. Der Luftdruck b auf den unteren Wasserspiegel

hat dem Druck im Rohr das Gleichgewicht zu halten und dem Wasser die Beschleunigung p₀ zu geben,

12,5 f

b-f=5f +

Po.

(10 —5)-10 Po ~    12,5

10 = 5 +    • Po.

— 4 m/sec³.

Die Beschleunigung des Wassers im Rohr beträgt 4 m, dann beträgt die Rolbenbefchleunigung p =    • 4 = 1 m/sec⁸.

178. Der Luftdruck im unteren Behälter hat dem Wasserdruck im Rohre und dem Luftdruck b aus dem oberen Wasserspiegel das Gleichgewicht zu halten; außerdem hat er noch das Wasser im Rohre zu beschleunigen.

25- f

b₁f=20f+bf +

Z>! = 20 + io + 1,25, bi = 31,25 m Wassersäule, bi = 3,125 Htm.

Das Wasser wird beschleunigt, bis es die Geschwindigkeit v erreicht hat.

•Po.

2^ = bi — (20 + b) = 1,25 m; v = 5 m/sec. 179. Die Energie der Gewichtseinheit am Rusfluß ist

4²

A= 1,8 + jo = 2,6 mkg.

Das ausfließende Wasser hat die absolute Geschwindigkeit v — v₀, also die Energie pro Gewichtseinheit

, _(f —v„)! ₌ £l . £? _ 2v v,

¹ 2g 2g 'r 2g    2g '

At =2,6 —    ;

si.

^*-lt8 m->i

mithin gibt bas Kilogramm Wasser an den Behälter die (Energie:

A-A

= V'V° ==

64

^ = 2,4 mkg ab.

90

Lösungen

Da pro Sekunde die Menge f- v ausfliest, so ist die ganze abgegebene Energie pro Sekunde

A = 2,4 • f • v = 2,4 • 0,05 • 60 — 7,2 mkg/sec.

Das kvasser übt auf die Vehälterwand einen Druck P aus

Pvo = 7,2 mkg;

7,2

P = Y~⁼ !'8kg*

f-v*

Allgemein ist: P • v₀ = f - v P =

180. hier ist wieder A = ^    = 2,6 mkg.

Das Wasser hat die absolute Ausflußgeschwindigkeit v₀ + v, mithin ist die Energie pro Gewichtseinheit:

A = foo+P/ ^ ül , »1 ,

¹ 2g 2g ' 2g *

--- 2/* - Zz.

2y₀y

Ai- =

■; mithin wächst die Energie um v₀-v

Die Leistung pro Sekunde ist:

V²

f-v • {Ax — A) ----- /*• —-r-0,

= 0,05 - 3,6 • 40,

= 7,2 mkg.

3n diesem Falle muß eine äußere Kraft F = 1,8 kg auf den Behälter wirken.

Bei Aufgabe 179 gibt das Wasser Energie an den Behälter ab (Kraftmaschine),- bei Aufgabe 180 wird dem Wasser Energie gegeben (Pumpe).

181.    a) Die Aufgabe ist wie 180 zu lösen. (Es wird L = 40 mkg/sec. b) (Es ist der Zentrifugaldruck des Wassers gegen die Bohre und

hiernach die Arbeit zu bestimmen.

Im

182.    Art der Drehachse wirkt im Kohr ein Druck px = b + 2,2 m, der bis zum Kohrende x auf p₂ = b + 2,2 + Zzc wächst, hier wirkt ihm b entgegen, also bleibt

v*

p₂ — b = 2,2 + hc = 2~•

riwi hc~^2fs

1-100

2Ö = ⁵ m»

(Es ist

u²

Yg =7,2; v = 12 m/sec*

183. Vas Wasser hat eine Ausflußgeschwindigkeit von 12 m, eine

12² 4- 10²

vrehgeschwindigkeit von 10 m, also eine Energie —^——12,2 mkg pro Gewichtseinheit. Beim Eintritt in das Rohr hat die Gewichtseinheit eine Energie von 2,2 mkg, dem Wasser muß demnach noch eine Energie von 10 mkg gegeben werden.

A — 36 • 10 = 360 mkg/sec, L = Pv = 360.

In der Sekunde fließen q = 120 - 0,3 — 36 kg Wasser aus, mithin wird

360    360

-5-= 72 kg.

Nach Aufgabe 66: P = 2M-v ■ u> = 2-^—^ -12,10; P=72kg.

184. Das Wassergewicht im Krümmer kann zu 50 kg angenommen werden. Dann ist die ganze Zentrifugalkraft des Wassers:

5-9

■'⁼“\

—= 45 kg.

_M₁v*

¹ r

Die Zentrifugalkräfte der einzelnen zwischen zwei Querschnitten liegenden Wasserteilchen bilden, nach Richtung und Größe aneinander getragen, einen viertelkreis, dessen Umfang gleich Zt ist. Die Resultante Z dieser Kräfte ist gleich der Sehne dieses Viertelkreises

Z = ^V 2; Z = % ]/2 = 40 kg.

5-2^2 /3V TT XV '

2 \2

T'⁼~F Z = ™v2=40 kg.

Rach dem Schwerpunktsatze ist Z = M ■    • a>ä;

Diese Kraft wirkt in der Winkelhalbierungslinie des Krümmers auf die Zlanschenfchrauben.

185. stuf das Wasser im wagerechten Rohr wirkt die Zentrifugalkraft

Z == M • r • w² = f- • 0f5 • 400 = f- h,

wenn fber Rohrquerschnitt und h die Steighöhe ist.

A = ^0I5‘ 400 ----- 20 m.

Die Zentrifugalkraft der Wassermasse im wagerechten Rohre pflanzt sich als Druck auf das stehende Rohr fort und hält der Wassersäule h das Gleichgewicht.

186. hier mutz vorausgesetzt werden, datz im unteren Rohrende ein Ventil sitzt, das ein Hbwärtsflietzen des Wassers verhindert, vor der Drehung mutz das Rohr bis zur höhe DE gefüllt werden. Bei der Drehung entsteht im wagerechten Rohr ein Zentrifugaldruck: ,    r²n>²    0,16-15²-5

h°    2 g

3m unteren Rohr steht das Wasser 4 m hoch, mithin steigt es im anderen Rohr über die höhe DE noch h = 9 — 4 = 5 m.

Die Zentrifugalkraft wirkt als Druckkraft auf das obere Rohr. Der auf den unteren Wasser- r spiegel wirkende Luftdruck b hält der Wassersäule 1 von 4 m das Gleichgewicht. Hm linken Cnde des wagerechten Rohres wirkt dann noch ein Druck von b — 4 m. hinzu kommt die Druckhöhe hc der Zentrifugalkraft. Diese Drucke müssen zusammen der Druckhöhe h und dem auf das obere Ende wirkenden Luftdruck b das Gleichgewicht halten:

20

9 m.

«r-b —

\<r0,4

U--

b — 4 + hc= h + b; hc — h + 4 == 9 m.

io yw

Wird das Rohr mit der Winkelgeschwindigkeit w = 0,16-10a-5

sec

gedreht,

= 4 m. Dann wird h — 0.

fO ist Ac =

Das Wasser steigt nicht über die höhe DE.

187. wenn in der Sekunde Q m³ Wasser über die Schaufel flieht, so ist der Strahlquerschnitt f —

V1

20

Das auf die Schaufel wirkende Wassergewicht: G = 2raf= 2ra^~

Q    Vi

und die Masse: M = 2ra —• Daher ist die Summe der radial-

vi 9

wirkenden Zentrifugalkräfte aller Wasserteilchen:

2 a f- ■

M ■ — =

i'.USfc '

in.

Diese Zentrifugalkräfte bilden einen Kreisbogen, dessen Radius 2 ■aQ_vl

2a

Die Sehne des Bogens ist der wagerechte Druck L P — 2rt sin a = 2 ^ vt sin a und feine Leistung:

j • v ■ sin a; L = 2 ^ v².

L = P ■ v = 2 •

3n diesem Falle ist also:

I = 2 • *222.2,75ä; L = 1512 mkg/sec; N= 20 PS.

188. Der Strahlquerschnitt ist: f = ^ — 0,001 ml haben die

Schaufeln die Form eines Halbkreises, so ist die aus die Schaufeln

n-r-f

= iT • r • 0,0001 und die Summe

drückende Wassermasse: M — der Zentrifugalkräfte

^ = n ■ 0,0001 • 10²t = Tr • 0,011 = TT • 10 kg.

Diese Kräfte bilden einen Halbkreis, dessen Durchmesser

= 20 kg,

ir • 10

der Druck aus die Schaufel ist. Daher ist die Leistung:

L = P ■ v = 20 ■ 8 = 160 mkg/sec; N — 2,1 PS.

189. Zur Cintrittsgeschwindigkeit ve ist eine Druckhöhe

tzs    2 3*

/ij = 2^ = 1,8 m, zur Austrittsgeschwindigkeit h₂ —    — 0,265 m

erforderlich.

Bettn Eintritt hat die Gewichtseinheit die Energie:

Ax == 1,8 mkg, beim Austritt A₂ = 0,265 mkg. Die Gewichtseinheit gibt also ab: Ax — A₂ — 1,535 mkg.

Die Leistung der Turbine ist:

L --- 1200 • 1,535 --- 1842 mkg/sec, jV=HE~24 PS.

V2

Tg

75

In der Figur ist I der Leitapparat und II das Laufrad.

190. Die absolute Kustrittsgeschwindigkeit ist: # va =10 — 8 = 2 m/sec.

Va

2g

■»—2>3m-+-

Daher ist die Leistung:

1()2 _ 2²

1=15--20—> L = 72 mkg/sec.

191. Die Eintrittsenergie der Gewichtseinheit ist:

5«

Ax =    + 1,05 = 2,3 mkg.

*9

2*

Die Kustrittsenergie Aä = ^ — 0,2 mkg, also bleibt in der Turbine

2,3 — 0,2 = 2,1 mkg.

L = 1200 - 2,1 — 2520 mkg/sec.

2520    __ . no

N = ~Yjr- — 33,6 PS.

192. hier wird:

Äc— 2g

Da die Förderhöhe gleich 11 m ist, wird

— = 12,8 - 11 = 1,8 m.

v — 6 m/sec.

0,16-1600

-20-- - I2'8 m'

Neben dieser Nusflußgeschwindigkeit hat das Wasser noch eine Drehgeschwindigkeit:

v₁ = r • w == 0,4 • 40 = 16 m/sec.

Die kinetische (Energie der Gewichtseinheit des ausfließenden Wassers ist also:

—2q    = 14,6 mkg.

K-

Die potentielle Energie oder Hebearbeit ist: A₂ = 1-11 = 11 mkg.

K-J —>

Die Kraft P mutz also leisten:

L = /•(!! +14,6) = 25,6 • f mkg, wenn f der Kohrquerschnitt ist.

193. Das Wasser fließt durch das Nohr mit der Geschwindigkeit v, die sich aus der Gleichung ergibt: r²tu² u²

v²

29

2». 2i-²'²⁵ +

1-36

20 '

; v — 9 m/sec.

Nus dem Nohr fließt das Wasser mit dieser Geschwindigkeit und der Drehgeschwindigkeit r • tu = 6 m/sec. Die Gewichtseinheit hat

also noch die Energie:

0,45 mkg.

Demnach gibt die Gewichtseinheit an die Spindel ab: A ----- 2,25 - 0,45 ----- 1,8 mkg.

₌ (9_6)* ₌

1,8

hiernach wäre der Wirkungsgrad: n -----    — 0,8.

hier ist zu beachten, daß die durch Stoß und Reibung entstehenden Verluste nicht berücksichtigt sind.

194. hier wird u ----- 8 m/sec; A — 1,6 mkg.

195. Die Energie des fließenden Wassers wird zum Teil in Ruheenergie umgewandelt, es wird um 0,45 m gehoben, der Rest bleibt als Bewegungsenergie.

vs

⁼ 0.45 + 2^,

2g 2g-0,45 = 0,8 m, v = 4 m/sec.

196. hier ist = 1,25 m; v₀ — 5 m/sec.

Nachdem das Wasser auf diese höhe gestiegen ist, bleibt es stehen. Der Druck P des fließenden Wassers auf die Rohrmündung hält -er höhe von 1,25 m das Gleichgewicht.

P — f' 1,25 — f Yjj-

197.    Die relative Geschwindigkeit des Wassers gegen das Rohr

beträgt auch 2 m. Deshalb steigt das Wasser um ^    ^ — 0,2 m.

Die Kraft P, welche das Rohr bewegt, hat die Wassermasse f - 0,2 um 0,1 m zu heben und der ganzen Klaffe im Rohr die Geschwindigkeit von 2 rn zu geben. Ist das Wasser um 0,2 m gestiegen, so

hat die Kraft P nur den Gegendruck f • ^ — f • 0,2 kg zu überwinden.

198.    Cs ist ^ = ht — h₂;    =    j ■ vt. Nun darf höchstens sein

L.5

= b + ht. Ist *! = 2m, ft₂ = 1 m,

Ur8w->1

P — 2f, so wird

2g 1 m; 2g

r- = 4m.

Demnach behält das Wasser im engen Rohr noch einen absoluten Druck p = 12 — 4 = 8 m.

Als I. Band der

Aufgaben aus der techn. Mechanik, von Prof. N. Schmitt, erschien: Bewegungslehre, Statik u. Festigkeitslehre. 2. Ausl. Mit 240 Aufg., Lösungen u. zahlreichen Fig. im Text. [1248.] 8. 1921. (ANuG Bd. 558.) Geb.M. 160

„Vorausgesetzt werden nur ganz elementare mathematische Kenntnisse sowie eine gewisse Vertrautheit mit den ersten Grundlagen der Mechanik, deren wichtigste Lehrsätze allemal ohne Beweise kurz vorangestellt sind. Die Auswahl der Aufgaben ist offenbar sehr sorgfältig getroffen und recht vielseitig. Die Lösungen sind zum Teil durchaus originell und geeignet, die Leser ihrerseits zu weiterem Nachdenken anzuregen.“    (Physikalische Zeitschrift.)

Grundzüge der Festigkeitslehre. Von Geh. Hofrat Dr. phil. et Ing. A. Föppl, weil. Prof, an der Techn. Hochschule in München und Dr.-Ing. O. Föppl, Prof. u. Vorstand des Festigkeitslaboratoriums der Techn. Hochschule in Braunschweig. Mit 141 Abb. i. T. und auf 1 Tafel. [IV u. 290 S.] 8. 1923. (Teubn. techn. Leitfäden Bd. 17.) Geb. M. 7.60

(Der Eckehard.)

„Was das Buch besonders auszeichnet, ist die Fähigkeit, die Aufgaben auf ihren Kern zurückzuführen und sie trotz aller Schwierigkeiten gedanklich und sprachlich so klar herauszuschälen, daß jeder Techniker, der die Kenntnisse der Differentialrechnung besitzt, d« n Entwicklungen zu folgen vermag. Die Untersuchungen über den krummen Stab, die Verdrehungslehre über umlaufende Räder und Scheiben, Aufgaben, über die man sonst nur mangelhaft unterrichtet wird, werden hier besonders liebevoll behandelt.“

Dynamik. — Techn. Statik. Von Dr.-Ing. A. Pröll, Prof, an der Techn. Hochsch. in Hannover. (Teubn. Techn Leitfäden.) [In Vorbereit. 1924.]

Mechanik. Bd I. Grundbegriffe der Mechanik. Von Dr. G. Hamei, Prof, a. d. Techn. Hochschule Berlin. Mit 38 Fig. im Text. [132 S.] gr. 8.    1921.

(ANuG Bd. 684.) Geb. M. 1.60. Bd. II. Mechanik der festen Körper. (ANuG Bd. 685.) Bd. III. Mechanik der flüssigen und luftförmigen Körper. (ANuG Bd. 686.) [II u. III in Vorb. 1924.]

Der erste bisher vorliegende Band soll auf elementar-mathematischer Grundlage einen zahlreiche Anwendungen bietenden Überblick über das ganze Gebiet der Mechanik geben.

Statik. Von Gewerbeschulrat Reg.-Baumeister A. Schau.

Teil I: Grundgesetze. Anwendungen der statischen Gesetze auf Trägeranordnungen, einfache Stabkonstruktionen und ebene Fachwerkträger. 3. Ausl. Mit 185 Abb. im Text. [VIII u. 105 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 2.20

Teil II: Festigkeitslehre. Zug- und Druckfestigkeit, Schubfestigkeit, Biegungsfestigkeit und Knickfestigkeit. 3. Ausl. Mit 209 Abb. im Text. [VI u. 154 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 3.— Teil lila: Für die Hochbauabteilungen. M. 238 Abb. i.T. [VIu.ioSS.] gr.8.1921. Kart. M. 2.20 Teil IIIb: Für die Tiefbauabteilungen. Genietete Träger, Krag- und durchlaufende Gelenkträger, Eingespannte Träger, Zusammengesetzte Festigkeit, Exzentrischer Druck und Zug, Druckverteilung im Mauerwerk, Treppen, Dachbinder, Erddruck, Wasserdruck, Stützmauern, Gewölbe, Widerlager und Pfeiler. Die statisch unbestimmten durchlaufenden Balken-träger. Mit 379 Abb. im Text. [VI u. 215 S.] gr. 8.    1922. Kart. M 4.—

Teil IVa: Die Statik derEisenbetonbauten. M.113 Abb.i.T.[lVu.135 S.j gr.8.!92i.Kart.M.2.6o

Graphische Hydraulik. Von Zivilingenieur Dr. A. Schoklitsch, Graz. Mit 45 Fig. im Text. [IV u. 71 S.] gr. 8.    1923. (Samml. math.-phys. Lehrb.

Bd. 21.) Kart. M 2 60.

Der Verfasser zeigt, wie die Anwendung der graphischen Verfahren in der Hydraulik die gleiche Vereinfachung und Übersichtlichkeit mit sich bringt wie in der Statik beim Brückenbau u. a., wobei die Genauigkeit der Ergebnisse nicht hinter der mit dem Rechenschieber ermittelten zurücksteht. Das Buch wird auch in der Praxis besonderes Interesse finden, weil vor allem das behandelt worden ist, was für den Ingenieur von Bedeutung ist.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

ANuG 559: Schmitt II

Grundriß der Hydraulik. Von Hofrat Prof. Dr. Ph. Forchheimer. Wien. Mit 114 Fig. im Text [V u. 181 S.]    8.    1920. (Teubn. techn. Leitfäden

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Wasserkraftausnutzung und Wasserkraftmaschinen. Von Dr. Ing. F.Lawaczeck,München. Mit57Abb.fi 16S.] 8. i92i.(ANuGBd.732.)Geb.M.i.6o

Fachkunde für Machinenbauer und verwandte Berufe. Von K. Uhrmann, Gewerbeschulrat in Köln, Ing. F. Schuth, Direktor der Fach- und Gewerbeschule, Düsseldorf, und Ing. 0. Stolzenberg, Direktor der Gewerbeschule und der gewerbl. Fach- und Fortbildungsschulen zu Charlottenburg. Mit 561 Abb. [VI u. 63, 110, 80 S.] Gr. 8.    1923. Geb. M. 2.40.

usw. ge-

Das Werk bringt erstmalig eine für Werkmeister, Monteure, Schlosser, Dreher eignete elementar gehaltene Fachkunde. Sie zerfällt in 3 Teile: Rohstoffkunde, Arbeitskunde, Kraftmaschinen, und bringt unter Ausschaltung alles Nebensächlichen das für den Maschinenbauer sachlich Notwendige.

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Gibt eine vom Begriffe des Feldes ausgehende Einführung in diese moderne Rechnungsweise , deren Anwendung durch zahlreiche Beispiele aus der Mechanik und Elektrizität veranschaulicht wird.

Funktionen, Schaubilder und Funktionstafeln. Eine elementare Einführung in die graphische Darstellung und in die Interpolation. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat a. Gymnasium z. Heil. Kreuz in Dresden. Mit 26 Fig. im Text, 3 Tafeln u. zahlr. Aufgaben. [IV u. 41 S.] 8.    1922.

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Abgekürzte Rechnung. Nebst einer Einführung in die Rechnung mit Logarithmen. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat am Gymnasium zum Heil. Kreuz in Dresden. Mit 4 Figuren im Text und zahlreichen Aufgaben. [IV u. 51 S.] 8. 1922. (Math.-phys. Bibi. Bd. 47.) Kart. M. —.80

Der Verfasser will den Anfänger mit Methoden der „abgekürzten Rechnung“ vertraut machen, die er langjährig ausprobiert und unter besonderer Berücksichtigung des praktischen Gebrauches dargestellt hat.

Theorie u. Praxis des Rechenschiebers. Von Oberstud.-Rat A. Rohrberg in Berlin. Mit2 Abb. [IVu. 50S.] 8. 1916. (Math.-phys.Bibi. 23.) Kart M.—.80

„Unter den mannigfachen Anleitungen zum Gebrauch des Rechenschiebers erscheint mir das vorliegende kleine Buch eine hervorragende Stelle einzunehmen: mit wohltuender Kürze verbindet es große Klarheit, so daß es bei dem geringen Preise sicherlich dazu beitragen wird, die Kenntnisse im Gebrauch des Rechenschiebers immer weiteren Kreisen zu vermitteln.“

(Zeitschr. f. d. Berg-, Hütten- u. Salinen-Wesen im Preuß. Staate.)

Graphisches Rechnen. Von Prof. O. Prölß, Studienrat an der Hansa-Schule in Hamburg. Mit 164 Figuren im Text. [104 S.] 8. 1919. (ANuG Bd. 708.) Geb. M. 1.60

„Das Ganze zeichnet sich durch große Klarheit der Darstellung und viele Hinweise auf praktische Anwendungen aus.“    (Zeitschrift für technische Physik.)

Natur und Werkstoff. Grundlehren der Physik, Chemie, Werk- und Betriebsstoffkunde. Für Fachschulen, insbesondere Eisenbahnschulen und für den Selbstunterricht. Von Prof. F. Titz, Direktor der höheren Maschinenbauschule in Breslau. Mit 57 Abb. u. 2 Skizzentafeln. [IV u. 119 S.] Gr. 8. Kart. M. 1.75

„Der Wert des Buches für den Unterricht an Fachschulen liegt vorwiegend in seinem engen Zusammenhang mit der Technik und Praxis. Es ist einfach und klar geschrieben, regt Lehrer und Schüler zu selbständigem Arbeiten an und wird durch einfache gute Abbildungen unterstützt."    (Zeitschr. f. d. Berg-, Hütten- u. Salinenwesen im Preuß. Staate.)

Einführung in die technische Wärmelehre (Thermodynamik). Von Geh. Bergrat R. Vater, weil. Prof, an d. Techn. Hochschule Berlin. 3., erw. Ausl, bearbeitet von Dr. F. Schmidt, Privatdozent an der Techn. Hochschule Berlin. Mit 46 Abb. i. T. [122 S.] 8. 1923. (ANuG Bd. 516.) Geb. M. 1.60

Praktische Thermodynamik. Aufgaben und Beispiele zur technischen Wärmelehre. Von Geh. Bergrat R. Vater, weil. Prof, an der Technischen Hochschule Berlin. 2. Aufl. Hrsg, von Dr. F. Schmidt, Privatdozent an der Technischen Hochschule Berlin. Mit 40 Abb. im Text und 3 Tafeln. [IV u. 96 S.] 8. 1923. (ANuG Bd. 596.) Geb. M. 1.60

Energiewirtschaft. Von Dr.-Ing. W. Pauer, Prof. a. d. Techn. Hochschule Dresden. [45 S.] gr. 8. 1924. (Teubn. Handbuch der Staats- und Wirtschaftskunde Abt. II., Bd. II, 3. Heft.) Kart. M. 1.80

Infolge des Kriegsausganges für Deutschland hat sich aus der Frage der Energiewirtschaft in kurzer Zeit ein wissenschaftliches Sondergebiet entwickelt, das für viele Zweige der Technik und Wirtschaft von Bedeutung ist. Hier soll besonders dem Volkswirt die Kenntnis der hauptsächlichsten technischen Grundlagen vermittelt werden, die für die Beurteilung der mit der Gewinnung und Verwertung von Brennstoffen und deren Ersatzstoffen verknüpften wirtschaftlichen Fragen maßgebend sind.

Unsere Kohlen. Eine Einführung in die Geologie der Kohlen unter Berücksichtigung ihrer Gewinnung, Verwendung und wirtschaftl. Bedeutung. Von Bergassessor Dr. P. Kukuk, Privatdozent a. d. Univ. Münster. 3. Aufl. Mit 56 Abb. im Text und 3 Tafeln. [VIII u. 118 S.] 8.    1924. (ANuG

Bd. 396.) Geb. M. 1.60

„Dies ist eine vortreffliche Darstellung alles Wissenswerten über die Kohlen mit Einschluß des Torfes. Auch Abbau und technische Verwertung sind dabei berücksichtigt. Das Büchlein kann jedem zur Lektüre empfohlen werden; selbst der Fachmann wird manches darin finden, was in den besten Lehrbüchern der Geologie nicht enthalten ist." (Geologische Rundschau.)

Maschinenbau. Von Ing. O. Stolzenberg, Direktor der Gewerbeschule u. der gewerbl. Fach- u. Berufsschulen zu Charlottenburg. 3 Bde. Bd. I: Werkstoffe u. ihre Bearbeitung auf warmem Wege. Mit 225 Abb. i.Text. [IV u. 177 S.] gr. 8. 1920. Geb. M. 4.—. Bd. II: Arbeitsverfahren. Mit 750 Abb. im Text. [IV u. 315 S.] gr. 8. 1921. Geb. M. 7.—. Bd. III: Methodik der Fachkunde u. Fachrechnen. Mit 30 Abb. im Text. [IV u. 99 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 2.40

„Das Bestreben, die ursächlichen Zusammenhänge in anschaulicher Art bei allen behandelten Hauptstücken klar hervorzukehren, bildet ein wesentliches Merkmal der Schrift. Zahlreiche Abbildungen unterstützen diese Absicht in bemerkenswerter Weise. Dem Buch ist eine weite Verbreitung zu wünschen, um die darin enthaltenen Früchte erfolgreicher Arbeit gleichsam als „Norm" dem Unterricht in den Fachgewerbe- und Werkschulen zugrunde zu legen."

(Stahl und Eisen.)

Teubners technische Leitfäden. Für Studierende an höh. technischen Lehranstalten. (Prospekt vom Verlag erhältlich.)

Lehr- und Ausgabenbuch der Physik für Maschinenbau und Gewerbeschulen sowie für verw. techn. Lehranstalten und zum Selbstunterricht von Prof. Dr. G. Wiegner, Oberstudienrat a. d. städt. Gewerbe- u. Maschinenbauschule in Leipzig und Regierungsbaumeister Dipl.-Ing. Prof. P. Stephan, Oberlehrer a. d. staatl. vereinigt. Maschinenbauschulen in Altona. In 3 Teilen. Mit zahlr. Fig. i. T. u. ausgeführten Musterbeispielen. (Teubners Unterrichtsbücher für maschinen technische Lehranstalten. Bd. i, 2, 3.)

I. Teil. Allgemeine Eigenschaften der Körper, Mechanik. 3., verb. Ausl. Mit 175 Fig. [IV u. 299 S.] gr. 8.    1923. Kart. M. 4.20 II. Teil: Lehre von der Wärme. Lehre vom Licht

(Optik). Wellenlehre. 2., verb. Ausl. Mit 132 Fig. [IV u. 180 S.] gr. 8. 1921. Kart. M. 3.40 III. Teil. Elektrizität (einschl. Magnetismus). Einführung in die Elektrotechnik. 2., verb. u. verm. Aufl. Mit 233 Fig. [IV u. 210 S.] gr. 8.    1921. Kart. M. 4.—

Grundriß der Physik. Von Dr. K. Hahn, Direktor der Oberrealschule a. d. Uhlenhorst, Hamburg. I. Teil: Für Realschulen, Lyzeen, Mittelschulen und die Mittelstufe der Vollanstalten. 2. Aufl. Mit 231 Fig. [VI u. 184 S.] gr. 8. 1924. Kart. M. 3.—. II. Teil: Für die Oberstufe höherer Lehranstalten und für Fachschulen. 2. Aufl. Mit 336 Fig. [VIII u. 300S ] gr. 8. 1924. Geb.M. 5.—

Der Grundriß der Physik entwickelt in „knappster Form" und in „streng logischem Aufbau“ die physikalischen Gesetze und Theorien und führt bis zu den „neuesten Ergebnissen der Forschung“, um so „Verständnis für Wissen und Arbeitsmethode der exakten Wissenschaft“ zu wecken

Mathematische Physik. Ausgewählte Abschnitte und Aufgaben aus der theoretischen Physik. Für höh. Lehranstalten u. Fachschulen u. zum Selbstunterricht für Studierende. Von Dr. K. Hahn, Direktor d. Oberrealschule auf der Uhlenhorst, Hamburg. Mit 46 Fig. [IV u. 163 S.] gr. 8. 1924. Kart. M. 5.40

Das Buch will der verbindenden Behandlung der beiden Disziplinen dienen, durch die einerseits die Anwendung der Mathematik in ihrer Bedeutung so herausgestellt und veranschaulicht werden kann, wie es auf keinem andern Gebiet möglich ist, durch die andererseits die neuen, die Gebiete der Physik umfassenden und deren innere Zusammenhänge aufzeigenden Theorien nun dem Verständnis zugänglich gemacht werden können.

Physikalisches Wörterbuch. Von Dr. G. Berndt, Prof, an der Techn. Hochschule Berlin. Mit 81 Fig. im Text. (IV u. 200 S.) 8. 1920. (Teubners kleine Fachwörterb., Bd. 5.) Geb. M. 3.60

Will schnell und treffend, ohne größere Vorkenntnisse vorauszusetzen, über alle wicht!-geren physikalischen Erscheinungen und Begriffe unterrichten. Besonders berücksichtigt k sind die Anwendungen der Physik im täglichen Leben und in der Technik.

Chemisches Wörterbuch. Von Dr. H. Remy, Prof, an der Universität Hamburg. Mit igAbb. i.T. und 5 Tabellen im Anhang. [VIII u. 416 S.] 8. 1924. (Teubners kleine Fachwörterbücher. Bd. 10/11.) Geb. M. 8.60, auf holzfreiem Papier in Halbleinen M. 10.60

Unterrichtet in knapper, aber klarer Weise über alle wichtigen Begriffe und Stoffe der Chemie, die gebräuchlichsten Arbeitsverfahren und Apparate der chemischen Wissenschaft und Praxis sowie die hauptsächlichsten chemischen Produkte.

Normschrift. 1924. Kart.M.— .40. Rundschrift. 3.Aufl. 1924.Kart.M.-—.60. Steilschrift. 2. Aufl. 1924. Kart. M. —.40. Lehr- und Übungshefte für Schul- und Selbstunterricht hrsg von Gewerbeschulrat Dr. R. Schubert, Leipzig.

Hl

... Line glückliche Ergänzung der Sammlung .Aus Natur und Geisteswelt"... sind:

Teubners

kleine Fachwörterbücher

Sie geben rasch und zuverlässig Auskunft auf jedem Spezialgebiete und lasten sich je nach den Interessen und den Mitteln des einzelnen nach und nach zu einer Enzyklopädie aller Wissenszweige erweitern.

»Mit diesen kleinen Fachwörterbüchern hat der Verlag Teubner wieder einen sehr glücklichen Griff getan. Sie ersehen tatsächlich für ihre Sondergebiete ein Konversationslexikon und werden gewiss grossen Anklang finden."    (Deutsche Warte.)

Bisher erschienen:

Philosophisches Wörterbuch von Studienrat Dr. p. Lhormeher. 3. Auf!. (Bd. 4.) ©eb. JUl 4.—

psychologisches Wörterbuch von Privatdozent Dr. Z. Giese. Mil 60 Zig. (Bd. 7.) Geb. JUl 4.80

Wörterbuch zur deutschen Literatur von Oberstudienrat Dr.tz.Aöhl. (Bd. 14.) Geb. JUt 3.60

Musikalisches Wörterbuch von Pros. Dr. y. Z. Moser. (Bd. 12.) Geb. JUl 3.20

Kunstgeschichtliches Wörterbuch von Dr. tz. Vollmer. (Bd. 13.) Geb. JUl 7.50. Ausführliche Anzeige f. nächste Seite.

physikalisches Wörterbuch von Prof. Dr. G. Berndt. Mit 81 Zig. (Bd. 5.) Geb. JUl 3.60

Chemisches Wörterbuch von Prof. Dr. tz. Aemh. Mit 15Abb. u. 5 Tabellen. (Bd. 10/11.) In Halbleinen JUl 10.60

Geographisches Wörterbuch von Prof. Dr. O. Ken de. Allgemeine Erdkunde. 2., vielfach verb.Aufl. Mit Sl Abb. (Bd.S.) ©eb.J£#6.—

Zoologisches Wörterbuch von Dr. Th. Knottn erus-MeHer.

(Bd. 2.) ©cb. JUl 4.-

Botanisches Wörterbuch von Prof. Dr. O. Gerte. Mit 103 Abb. (Bd. 1.) Geb. JUt 4.—

Wörterbuch der Warenkunde von Prof. Dr. M. pietsch. (Bd. 9.) Geb. JUt 4.60

yandelswörterbuch von yandelsschuldirektor Dr. V. Sittel und IustizratDr.M. S tr auß. Zugleich sünssprachigesWötterbuch,zusammengestellt v. V. Armhaus, verpfl.Dolmetscher. (Bd.-.) ©eb. JUl4.60

Weiterhin befinden sich in Vorbereitung 1Y26:

Volkskundliches Wörterbuch von Prof. Dr. E. Zehrle. Astronomisches Wörterbuch von Dr. Z. Weber.

Geopolitik

Grundzüge der Länderkunde

Von Prof. Dr. (R.Hettner. I.: Europa. 4. (Ruft. Mit 4 Taf.» 269 Kärtchen u. Zig. i. T. ©eb. JUL 14.—. II.: Die außereurop. Erdteile. 3.,verb. (Rufi. Mit 197 Kärtchen u. Diagrammen i. T. ©eb. JIJL 14.—, gth.JUL 16.—

»Hier haben wir das, was uns gefehlt hat, ein Buch von Meisterhand geschrieben, für die weiten Kreise der Gebildeten. Das Werk ist reich an neuen Gedanken. Ein Pracht-stück ist z. B. der großartige Überblick über die politische Geschichte Europas vom geographischen Standpunkt gesehen."    (München-Augsburger 5RbcnO?eitung.)

Von Prof. Dr. R. tzennig. (U. d. Pr. 1928)

Die junge Wissenschaft der Geopolitik unternimmt es bekanntlich, Elemente der verschiedensten Wissensgebiete, insbesondere der Geographie, Geschichte, Politik Staatswissenschaft, Nationalökonomie, Strategie. Handels- und Verkehrswissenschaft, des Völkerrechts, derKolonial-polltik und der Raffenforschung ?u einer neuen Einheit zusammenzuschließen. Mit dem vorliegenden Werke macht der Düsseldorfer Verkehrswiffenschaftler und Forscher auf dem Gebiete der historischen Geographie, Prof. Dr. R. Hennig, zum erstenmal den Versuch, die überaus reizvolle neue Wissenschaft, die bisher noch keine systematische Darstellung gefunden hat, in ein System ?u bringen.

Allgemeine Wirtschafts- u. Verkehrsgeographie

Von ©eh.Reg.-Rat Prof. Dr. K. Savper. 2. (Rufi. Mitzahlr.karrogr.Durft, ©eb. ca. JUL 12.—

,5in erstaunliches Werk! — Erstaunlich durch die Fülle des darin gebotenen wiffen-fchaftlichen Inhaltes, in dem ein seltener Reichtum eigener Erfahrungen des weitgereisten Verfassers verwebt ist und der noch durch eine ungewöhnlich umfangreiche und wertvolle Literaturangabe ergänzt wird . . . Sappers .Allgemeine Wirtschafts- und Verkehrsgeographie* muß schlechthin als erschöpfend bezeichnet werden."    (Neues Land.)

Anthropologie

Unter Mitarbeit hervorragender Fachgelehrter herausgeg. von ©eh. Med.-Rat Prof. Dr. ©. Schwalbe u. Prof. Dr. E. Fischer. M. 29(Rbb.-Taf. u.96!Rbb.i.T. (DieKultur d.Gegenw-, brsg. v. Prof. Dr.p.Hinneberg. Teil III» (Rbt. V.) JUL 26.-» geb. JUL 29 -, in halb!. JUL 34.-

Eine Gesamtdarstellung der Urgeschichte, Menschen- und Völkerkunde.

Grundriß der Astrophysik

Eine allgemeinverständliche Einführung in den Stand unserer Kenntnisse Über die physische Beschaffenheit der Himmelskörper Von Prof. Dr. K. ©raff. Mit 467 Äbb. und 6 Lichtdrucktaf. ©eh. JUL 42.60, geb. JUL 45.—

Teil!: Die Wissenschaft. Grundlag. d. astro-physik. Forsch. Geh.    15.-. Teil II: Die Weltkörp.

d. Sonnensyst.    13.-. Teil 111: Die Fixsterne, Nebelfleck, u. Sternhaufen. Gel).JUC 14.60

Teubners Naturwissenschaftliche Bibliothek

»Die Bände dieser vorzüglich geleiteten Sammlung stehen wiffenschaftlich so hoch und sind in der Form so gepflegt und so ansprechend, daß sie mit zum Besten gerechnet werden dürfen, was in volkstümlicher Naturkunde veröffentlicht worden ist."    (Natur.)

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Herausgeg. von W. Lietzmann u. !R. Witting. Jeder TbantoJUL 1.20, Dopvelband JUL 2.40

»Jede d. einzelnen Darstellungen ist mustergültig i. ihrer Art u. vermag den Zweck voll zu erfüllen, in leichtverständlicher u. angenehmer Weise zur Vertiefung d. mathematischen Bildung beizutragen. Die Sammlung wird auf das allernachdrücklichste empfohlen."    (Die Quelle.)

Verzeichniffe v. Teubn. Nat. Bibl. u. d. Math.-Phyf. Bibl. v. Verlag» Leipzig» poststr. 3 erhältlich.

Künstlerischer Wandschmuck

für Haus und Schule TeubnersKünftlerfteinzeichnungen

Wohlfeile farbige Originalwerke erster deutscher Künstler fürs deutsche Haus

Die Sammt, enthält jeht über 200 Bilder in den Größen 100X70 cm (JUC 10.-), 75X55 cm (JUC 9.-), 103X4) cm bzw. 93x41 cm (JUC 6.-), 60x50 cm (JUC s.-), 55x42 cm (JUC 6.-), 41X30 cm (JUC 4.-). Geschmackvolle Rahmung aus eigener Werkstatte. Kleine Kunstblätter. 24X1 Sern je JUC 1.—. Liebermann, gm park. prenhel. Am Wehr. Hecker, Unter der alten Kastanie und Weihnachtsabend. Treuter, Bei Monden» schein. Weber, Apfelblüte. Herrmann, Blumenmarkt in Holland.

Schattenbilder

K. W. Diesenbach „Per aspera ad astra“. Album, die 34 Teilb. de» vollst. Wandsrieses fortlaufend wiederg. (25X20 cm) JUC 15.-. Teilbilder als Wandfriese (80X42 cm je JUC 5.-» (35X18 cm) je JUC 1.25» auch gerahmt i. versch. Ausfuhr, erhältlich. „Göttliche Jugend." 2 Mappen mit je 20 Blatt (34X25 V» cm) je JUC 7.50. Einzelbilder je JUC -.60, auch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Kindermusik. 12 Blätter (34X25 V* cm) in Mappe JUC 6.-» Einzelblatt JUC -.60 Gerda Luise Schmidts Schatten?eichnurrgen. (20x15 cm) je juc -.50.

Auch gerahmt in verschiedenen Ausführungen erhältlich. Blumenorakel. Reifenspiel. Der Besuch. Der Liebesbrief. Ein Frühlingsstrausi. Die Freunde. Der Brief an .Ihn". Annäherungsversuch. Am Spinett. Beim Wein. Ein Märchen. Der Geburtstag.

Friese zur Ausschmückung von Kinderzimmern

JUC 3.-

„Die Wanderfahrt der drei Wichtelmännchen." Zwei farbige Wandfriese von M. Ritter. 1. Abschied - Kurze Rast. 2. Hochzeit - Tanz. Zeder Fries mit 2 Bildern (103X41 cm) JUC 6.-, jedes Bild einzeln Femer sind erschienen Herrmann: .Aschenbrödel" u. .Rotkäppchen", Baurnfeind: .Die sieben Schwaben", Rehm-Vietor: .Schlaraffenleben", .Schlaraffenland" .Englein zur Wacht" und .Englein z. Hut" (103X41 cm, je JUC 6.-)

Zwei Weihnachtsbilder und?roei Osterbilder von N. Kämmerer.

1. Morgen, Kinder, wird's was geben. 2. Vom Himmel hoch da komm ich her. / 1. Ostern, Ostern ist es heut'I 2. Osterhase schleicht ums Haus (41X30 cm). Preis je JUC 3.—. Posttartenausgabe je JUC —.15. Bilder einzeln gerahmt in weisiem Rahmen unter Glas je JUC 9.—, die zusammengehörigen Bilder, als Wandfries gerahmt je JUC 17.—. Postkarten unter Glas mit schwarzer Einfassung, mit Aufhängeschnur je JUC —.65, in schwarz poliertem Rahmen mit Glas je JUC —.65

Der barmherzige Samariter, Zesus der Kinderfreund, Das Abendmahl, Hochzeit zu Kana, Weihnachten, Die Bergpredigt (75X55 bzw. 6oxso cm). JUC 9.— bzw. JUC 8.—. Diese 6 Blätter in Format 36X28 unter dem Titel

Rudolf Schäfers Bilder nach der Heiligen Schrift

Biblische Bilder SÄ W-S Karl Bauers Federzeichnungen

Lharakterköpfe zur deutschen Geschichte. Mappe, 32 Bl. (30X28 cm) JUC 5.—

12 Bl............... .......... JUC 2.—

Aus Deutschlands großer Zeit 1813. 3tt Mappe, 16 Bl. (36X28 cm) JUC 2.50 Führer und Helden im Weltkrieg. Einzelne Blätter (36X28 cm) JUC —.50 2 Mappen, enthaltend je 12 Blätter, je..............JUC 1.—

Teubners Kün ft lerpo ft karten

Zede Karte JUC—.10, Reihe von 12 Karren in Umschlag JUC ).-Zede Karte unter Glas mit schwarzer Einfassung und Schnur eckig oder oval, teilweise auch in feinen Holzrähmchen eckig oder oval. Ausführliches Verzeichnis vom Verlag in Leipzig. Ausführt. illustr. Wandschrnuckkatalog f. JUC 1.- vom Verlag,Leipzig,poststr.3, erhältlich.

1-301498

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

100000295971