■■

is.

Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung

von

isenbeton- und Eisenkonstruktionen

mit

Anwendung auf praktische Beispiele.

Von

$r.<$ng. Heinrich Pilgrim

in Stuttgart.

Mit 120 Abbildungen im Texte.

y/\)y y G'

W

Wiesbaden

C. W. Kreidel’s Verlag

1911.

Von demselben Verfasser erschienen im gleichen Verlage:

Theoretische Berechnung’

der i

oo

mit ausführlichen Beispielen

Von

Heinrich Pilgrim

Ingenieur.

46 Seiten mit 78 Abbildungen

1906

Preis M. 2.80

Vollständige

theoretische und praktische Berechnung

der Eisenbeton - Konstruktionen

mit genauer Gewölbe* und Rahmenberechnung und ausführlichen Beispielen

Von

$r.4«8. Heinrich Pilgrim

100 Seiten mit 140 Textabbildungen

1910

Preis M. 8.—

8'b/iofefc

* polit

CD

CD

CD

oc

co

CD

co

CD

CD

von

Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen

M^dx 2 EJ

aus V ==.

II. Berechnung des eingespannten Rahmens für einen Güterschuppen.

Mw _ 33,88 2IFL ~ 2 • 5,8

1,04

Die obigen Zahlen entsprechen den Einfluß der Bela

Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen

mit

Anwendung auf praktische Beispiele.

Von

in Stuttgart.

-vV>

Mit 120 Abbildungen im Texte.

Wiesbaden

G. W. Kreidel’s Verlag

1911.

Äkc. Nr.

^UÖTt^*

KRAKÓW

Ü3*M

Vorwort.

IIiermit erscheint durch das freundliche Entgegenkommen des Verlages von C. W. Kreidei in Wiesbaden eine dritte Fortsetzung meiner Veröffentlichungen über Eisenbetonkonstruktionen.

In der ersten (Theoretische Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen 1906) sind die Hauptformeln für Platten und Plattenbalken bei einfacher Biegung und exzentrischer Beanspruchung entwickelt und auf praktische Beispiele angewendet worden.

In der zweiten (Vollständige theoretische und praktische Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung 1910) ist eine kurze Zusammenfassung und Erweiterung dieser Formeln auf beliebige Eisen- und Beton querschnitte sowie die Theorie der Gewölbe- und Rahmenberechnung nebst Beispielen enthalten.

Die dritte bringt in der Einleitung die Entwicklung der Formeln für die letztere aus der allgemeinen Elastizitätslehre und dem Prinzip der virtuellen Verschiebung nach den Professoren Mörsch, Dr. Weyrauch und Dr. Müller-Breslau.

Hieraus ergibt sich dann die allgemeine Anwendbarkeit der Formeln für die Gewölbe- und Rahmenberechnung, wie sie in dem folgenden Sonderabdruck der (im Heft 3 von 1911 der Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen) von mir veröffentlichten „Gewölbe- und Rahmenberechnung nach der Elastizitätstheorie“ kurz zusammengefaßt werden.

Die verschiedenen Beispiele von Rahmenkonstruktionen und zwar für Eingespanntsein sowie mit unteren und oberen Gelenken und auch bei Anwendung von Mittelstützen zeigen, wie die Berechnung derselben möglichst rasch durchgeführt werden kann und hierbei durch Einsetzung der richtigen Vorzeichen ein sicheres Ergebnis erhalten wird.

Die diskontinuierliche Berechnung für die Mittelstützen entspricht hierbei mehr der genauen Berechnung als die kontinuierliche Berechnung für dieselben, und zwar um so mehr, als gewöhnlich eine teilweise Einspannung vorhanden ist, und wird dadurch die Rahmenberechnung bedeutend vereinfacht.

Ebenso ist die Berechnung für mehrere Stockwerke mit Mittelstützen ausgeführt worden, indem jedes derselben als eingespannter Rahmen für sich berechnet und die erhaltenen Einspannmomente alsdann auch im unteren Stockwerk berücksichtigt sind (dieselben können auch auf Eckversteifungen übertragen werden).

Als Beispiel einer Gewölbeberechnung wurde eine Tunnelprofilberechnung mit Eingespanntsein und mit ringförmigem Querschnitt ausgeführt, und es ergibt sich hierbei dieselbe Stützlinie wie bei der graphischen Berechnung mit Verschiebungsplänen, und als sichere Kontrolle erhält man beim Anschluß in der gemeinsamen Fuge die Werte

H = O, V = 1 und M —--so daß die Berechnung in diesem Falle nicht wiederholt zu werden braucht. In den

Tabellen ist hierbei immer von links nach rechts gerechnet worden, und zwar sowohl für vertikale als für horizontale * Belastung, und für die letztere wird dieselbe Lamelleneinteilung wie bei der ersteren angewendet.

Das Beispiel einer kontinuierlichen Brücke mit drei verschiedenen Oeffnungen enthält sämtliche zur Berechnung von kontinuierlichen Trägern notwendigen Formeln, und zwar für gleichförmige Belastung und mit Einzellasten, wie sie schon von den Professoren Dr. Mohr und Dr. Weyrauch entwickelt worden sind und auch in der Veröffentlichung von 1910 abgeleitet werden. Diese Formeln sind alsdann auch zur Bestimmung von Einflußlinien bei beliebig vielen Oeffnungen verwendet worden, und ist nicht nur deren Berechnung sehr einfach, sondern auch durch die Verwendung der allgemein gebräuchlichen Formeln leicht zu verstehen und bei Einsetzung der richtigen Vorzeichen kann kein Fehler Vorkommen (besonders einfach ist die Berechnung von zwei oder drei kontinuierlichen Oeffnungen mit Einzellasten).

Am Schluß ist noch der Rahmen für die kontinuierliche Brücke mit Mittelpfeilern berechnet worden, wobei sich insbesondere die Einfachheit der obigen Rahmenberechnung beim viereckigen Rahmen mit vertikalen und horizontalen

Kräften zeigt.

Alle diese Entwicklungen und Anwendungen der Elastizitätslehre gelten auch für Eisenkonstruktionen und sind zum Teil hierfür durchgeführt worden, so daß sie auch dem Eisenkonstrukteur als Hilfsmittel beim Entwerfen und der Ausführung von eisernen Rahmen- und Bogenkonstruktionen sowie von kontinuierlichen Trägern dienen können.

Stuttgart, im Mai 1911.

$r.s3ttg. Heinrich Pilgrim.

Inhaltsübersicht.

⁴.

Einleitung: Ableitung der theoretischen Formeln...............

Gewölbe- und Ralimenbereclinung nach der Elastizitätslehre:

Hauptformeln zur Berechnung der Gewölbe- und der Rahmenkonstruktionen Beispiele zu derselben:

I. Vergleichende Berechnung für verschiedene Rahmenkonstruktionen eines Lokomotivschuppens ....

1.    Dimensionierung des eingespannten Rahmens nach verschiedenen Berechnungsweisen. .........

2.    Berechnung des Rahmens nach der Methode von Professor Mörsch für eingespannte Gewölbe ....

3.    Berechnung des Rahmens nach den Formeln von Professor Dr. Müller-Breslan für eingespannte Stabzüge

4.    Vergleichende Berechnung der Momente des eingespannten Rahmens .......... . ......

5.    Berechnung des eingespannten Rahmens mit einer Mittelsäule....................

6.    Berechnung des Zweigelenkrahmens ohne und mit Mittelsäule ....................

7.    Berechnung der Eiseneinlagen nach den von mir entwickelten Formeln...............

2.    Berechnung des eingespannten und des Zweigelenk-Rahmens mit Mittelstützen.............

IV.    Berechnung eines Güterschuppens ohne und mit oberen Gelenken sowie Mittelstützen.........

1.    Berechnung des eingespannten Rahmens mit oberen Gelenken.....................

2.    Berechnung des eingespannten Rahmens ohne obere Gelenke.....................

V. Berechnung eines Güterschuppens mit oberem Boden und oberen Gelenken..............

1.    Berechnung des Rahmens für zwei Stockwerke mit Mittelstützen...................

2.    Bestimmung der Momentenflächen und Auflagerdrücke für dieselben.................

VI. Berechnung eines Tunnelprofils als eingespanntes Gewölbe und ringförmiger Rahmen ........

1.    Berechnung als eingespanntes Gewölbe nach der Elastizitätslehre...................

2.    Berechnung des bei B durchschnittenen ringförmigen Rahmens nach der Elastizitätslehre.......

3.    Vergleichende Berechnung des ringförmigen Rahmens für verschiedene Fundamentstärken.......

4.    Berechnung der Maximalspannungen des Tunnelquerschnitts und seiner Eiseneinlagen.........

VII. Berechnung einer kontinuierlichen Brücke nach der Elastizitätslehre..................

1.    Allgemeine Angaben über die Konstruktion der Brücke .......................

2.    Kontinuierliche Berechnung der Platte durch Koeffizienten......................

3.    Berechnung der durchlaufenden Plattenbalken aus ihren Momentenflächen...............

4.    Berechnung der Schubspannungen und der Abbiegungen für die Eisen aus den Querkräften......

5.    Berechnung der Fahrbahnplatte, der Querrippen und der Konsolen ..................

6.    Kontinuierliche Berechnung der Brücke mit Einflußlinien für mehrere Oeffnungen...........

7.    Berechnung der kontinuierlichen Brücke mit Mittelpfeilern als eingespannter Rahmen.........

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55,

59

63

. 69

72

72

73

73

76

81

83

Einleitung.

T^\ie folgende Abhandlung bildet eine Fortsetzung der

mir veröffentlichten Berechnungsweise für Gewölbe-und Rahmenkonstruktionen (s. theoretische und praktische Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung 1910), in welcher alle wesentlichen Formeln derselben (mit richtiger Einsetzung der Vorzeichen) kurz zusammengefaßt werden und ihre Anwendung auf praktische Beispiele gezeigt wird.

Hierbei hat sich ergeben, daß die verschiedenen Berechnungsweisen nach der Elastizitätslehre von Mörsch, Weyrauch und Müller-Breslau dieselben Resultate ergeben, wie diejenigen nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung von Mohr und Müller-Breslau, und es sollen daher die Grundlagen dieser Berechnungsweisen kurz angeführt werden.

Nach der Methode von Mörsch (s. Berechnung der eingespannten Gewölbe, Zürich 1905) ergibt sich die Drehung für zwei benachbarte Querschnitte mit dem Ab-

(t

stand ds aus dem Drehungswinkel dy = — (mit dem

ß

-^-ds

von

dl — d y • */ (wenn y für e gesetzt wird) — A ds - cos cp (für den Neigungswinkel cp der Stabachse bei x), und hieraus bei Berücksichtigung der Wärmezunahme um t° (für die Temperaturausdehnung a von 1⁰ C) beim eingespannten Gewölbe

3)

4)

5)

Kreisbogen a und dem Halbmesser e, 180

Mx

EJ

ds-y —

" Nx

EF

ds - cos cp -f- a tl.

Ebenso ergibt sich die Verschiebung in der y-Achse aus

ds - sin cp.

Mx

EJ

ds-ic +

EF

Die Gesamtdrehung des Querschnitts wird

‘ Mx

EJ

• ds.

\dy

>■

""dds

Abb. 1.

Statt Nx - cos cp kann angenähert der konstante Horizontalschub H, und Nx • sin cp kann = 0 gesetzt werden, so daß man folgende drei Gleichungen erhält:

+ erd,

Mx

' Hds

ds-y —

EF

EJ

in — weggelassen

wenn p

wird). Für a kann die Verkürzung oder Verlängerung — • ds der äußer-

6)

7T

I» -JÄ

ds-x, 0 =

Mx

EJ

ds.

sten Faser gesetzt werden (da |/    ’

— = — pro l. cm ist), so daß man l    E

7)

Bei Annahme des Koordinatenursprungs 0 für

■xids_ ₌

yds

— 0 und

erhält d^ — -^-—-, und aus dem Biegungsmoment Mx E e

ergibt sich

und Einsetzung von Mx — M₀ -f- M — H-y — V-x erhält man die bei der Berechnung der eingespannten Gewölbe und Rahmenkonstruktionen angewendeten Formeln:

M₀

_ Mx _

~~ ~W ~

Mx-e

somit auch

yds + EvltI

xds

1)

d'i —

Mx

y'ds

E-J

• ds.

⁸)

M= —

4”

' ds

\e

’x'ds '

ds

:r-

+OC

Dieselben Formeln sind auch von Müller - Breslau

+1-

-¹*- -Ł-

V--OC—M

-y

Abb. 2.

Durch die Normalkraft Nx tritt ferner ein Näher-rücken der Querschnitte ein, und zwar ist

N

-ds (da a — -jjr ist).

Aus diesen zwei Grundgleichungen ergibt sich für das obengezeichnete Koordinatensystem, bei Annahme der gleichzeitigen Drehung der Koordinaten y und x um den Winkel dy, eine Verschiebung in der «-Achse um

2)

Ads ==

Nx

EF

(s. neuere Methoden der Festigkeitslehre 1904, S. 122) für den eingespannten Stabzug mit festen Ecken verwendet worden, wie dies aus der Anwendung auf Beispiele hervorgehen wird.

Nach Weyrauch (s. elastische Bogenträger 1911, S. 16) erhält man für zwei benachbarte Querschnitte mit dem Abstand ds im spannungslosen Zustande:

s-d<p

9)

Abb. 3.

ds = r (— dcp),

worin r = Krümmungsradius und — t/ cp die Abnahme

ds

von cp ist, somit r — — -y— und d <p = —

d cp

ds

Im Abstand v von der Stabachse ist

Annahme von

10)

dsu — ds + v (— dcp) = ds ^1 -|---\

U) K=\

rv²

dF und für J dF—F sowie jvdF— 0

wenn wie oben p =    weggelassen wird.

TT

r -F v

(weil v entgegengesetzte Vorzeichen im symmetrischen Querschnitt hat) erhält:

Bei der Einwirkung von äußeren Kräften und Temperaturänderungen sollen sich s, cp und sv um As, A cp und A sv ändern, wenn s der Abstand des Querschnitts von einem angenommenen Ausgangspunkt ist.

Die entsprechende Aenderung von s + ds ergibt sich mit As = f{s) aus dem Lehrsatz von Taylor:

Nx

dAy K

dAs

ds

( ds

dAs

*j(ź + F)

\ K

axl —.

/ r

und

ds

f (s -F ds) — f (s) + f (s) • y + f" 00 *

ds*

2-1

Bei Bogenträgern kann das Krümmungsmoment dF — dem Trägheitsmoment J =jv*dF

d*As ds* ds² 2*1

und bei Vernachlässigung der unendlich kleinen Größe höherer Ordnung ist f (s -f- ds) = As dAs, und statt der anfänglichen Faserlänge ds erhält man zwischen den beiden angenommenen aber jetzt veränderten Querschnitten: (s + ds -f- As + dAs) — (s -j- As) = d (s -f- As) als schließliche Faserlänge.

Ebenso ergibt sich d (sv -F Asv) und d (cp + A cp) aus dsv und d cp als schließliche Aenderung der Faser und des Richtungswinkels.

Da die Querschnitte nach der Biegung Ebenen bleiben sollen, so erhält man (wie oben)

d (sv -F As„) = d (s -F As) — (v + Av) d (cp + Acp) und hiervon geht ab dsv = ds — vdcp, so daß bei Vernachlässigung von Av-dAy bleibt

dAsv = dAs — v-dA cp — A v - c? cp.

Das letzte Glied entspricht der Querausdehnung Av, und dieselbe ist bisher gewöhnlich nicht berücksichtigt worden, weil sie nur bei Temperaturänderungen in steilen Bögen von Einfluß ist, welche mit Av == a-z-v berücksichtigt werden können. Bei Längenausdehnungen parallel

der Stabachse ergibt sich für Druck dAsv =--^ dsv

und bei einer Temperaturänderung dAsv = axdsv, somit

ff

öl t--und bei Einsetzung der

d As

rJ-

v*

r -F v

- As + zisL‘ds +

gesetzt werden, so daß man hieraus als vereinfachte Werte erhält :

17) Y ==

dAs

ds

dAcp Mx

ds ~ EJ

und ebenso ergibt sich bei Einsetzung von 17) und 18) in 11):

19)

N. , Mx o =    +

Das Glied mit

Mx-v

F-r⁺ J

(s. S. 22).

10)

zusammen

dAsv _

dsv

obigen Werte von dAsv und dsv:

o    dAs — vd Acp — oLTvdy

ds

(■ + t)

-Fax oder

Mx

—- wird gewöhnlich vernachlässigt, so

r

daß nur mit der Normalkraft Nx und dem Moment Mx (wie beim geraden Balken mit exzentrischer Beanspruchung) gerechnet wird und auch die Werte von Y und Z hierdurch einfacher werden (s. S. 356).

⁺y

Æfy+Ay) '    ^

y*Jï

jc+Ax

+x

Abb. 4.

11) o

dAs

ds

vdAy

ds ⁺"T

fê + ' + 7)U.

-, so daß

vdy _ ds

Dies ist daher die Normalspannung o beim Abstand v im Querschnitt x, und zwar für die Fläche 1 bei x und v. Für die Faser d F parallel zur Stabachse erhält man eine dFvaa\ so große Kraft und für sämtliche Fasern die Normalkraft:

für

(S. 10) die letzte Klammer = 1 wird.

12) Nx =J odF=E

dAy Ç rv

ds

r -\- v

dF —

dAs

( ds

(ZT

)\vhdF\

Für das in Abb. 4 angenommene Koordinatensystem soll nun dAx und dAy bestimmt werden und man erhält für kleine Formänderungen (s. S. 26)

d (x -F A x) = d (s -F A s) • cos (<p -F A cp) d (y + Ay) — d (s -F As)• sin (cp + Acp) worin für cos (cp F Acp) und sin (cp + Acp) gesetzt werden G)    .    (Acp) .    (1)

kann : cos cp • cos A cp — sin cp • sin A cp und sin cp • cos A cp ~F (Acp)

+ cos cp• sin Acp und bei kleinen Werten von Acp wird cos Acp = 1 und sin Acp — Acp, somit bei Abzug von dx — ds• cos cp und dy = c?s*sin cp und Einsetzung von

dx .    .    dy

cos cp = -jj und sin cp = ~~ :

Jede auf dF wirkende Kraft odF veranlaßt ferner ein Moment o-dF-v in Beziehung auf die Stabachse, somit das Angriffsmoment

13) Mx= ^o-dF-v — E

jdAcp /

rsrJ

rv⁵

dF—

dAs

ds

(ZT

).

rv

dF).

20) dAx = — rfS‘sincp*Acp-j-rfAs (cos cp — sin cp • Acp) =

•rfyAcpj,

dAs

• dx

dAs

= -A?-rfÿH dg 21) dAy = ds‘ cos cp • A cp -F d As (sin cp -F cos cp • Acp) =

dT'dy {+^Kr-dx-At}

= Acp• dx -F

dAs

ds

Statt

rv

kann v —

und statt

kann

r (r 4- v)

r -j- v

gesetzt werden, so daß man bei

worin die eingeklammerten letzten Glieder wegen der Kleinheit von Acp wegfallen können. Durch Einsetzung

dAs

des obigen Wertes für ^

und von Ay-dy — d {yAcp) — — yd A cp und von Aydx = d (a: A cp) — xdAy (aus den

Differenzialen der Produkte d (y A cp) und d {xA cp)) sowie von dA cp = Z-ds ergibt sich (s. S. 305):

c?Aa? = — c? (y A 9) -{-    ^ - c? s -f- Y- dx,

dAy = d (xAy) — x-Z-ds -f- F-rfy und dAy = Z'ds.

Durch Einsetzung der Werte von Y und Z und Summierung derselben von 0 bis x erhält man:

EJ yds ~~ yds\ 1

r ) ef + axx>

22)

23)

Ax = —

y A<p +J

o

X

Mx

anderen X (ausgenommen X') verschwinden, und ebenso verhält es sich mit S", C" und X" usw. (statt X' = — 1 wird auch -f- 1 gesetzt, wenn dasselbe der Spannungsrichtung entspricht, und alsdann ist auch in den Formeln 28) und 29) -j- statt — zu setzen, auch kommen Xa, Xb..., Sa, Sb. . . statt X', X".. ., S\ 8"... vor).

Nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebung ist alsdann (aber nur für X' = — 1, sonst muß es — 2 SAs heißen):

30)

■J(K ₊ ^-)(äx

o

ferner wird

31)

worin

L = 2 P-o + 2CAc = 2 SAs,

2S'Asf L"= 2S"As usw.,

24)

xds —

32)

As =

S-8

-f- a TS

EF

ist (ersteres bedeutet die Verlängerung oder Verkürzung der

-^rp + ny,

j(»,₊i)(,»+îi)

₊ |(,v.+ “•)

u    u

25) A cp =

^bei der Ausrechnung kann d S

ds

EFr

dr

d y gesetzt werden

26)

Die Werte von Mx und Nx ergeben sich aus:

Nx =

MX = M+ V-x-H-y-M₀

= Vx • sin y -j- Hx • cos cp, worin M₀ =

Vx= V — 2 P und Hx— H für vertikale Belastung ist.

{x — a),

Diese Formeln werden alsdann auf verschiedene Bogenträger ohne, mit 2 und mit 3 Gelenken angewendet und zwar für Kreis-, Parabel- und beliebige symmetrische Bögen (auch mit veränderlichem Querschnitt).

Wird in denselben der Einfluß der Krümmung vernachlässigt, und r = <v> eingesetzt, so erhält man dieselben Formeln wie nach Mörsch (s. 3—5 S. 5), und kann dies auch im allgemeinen geschehen (die ersten Glieder in A x, A y und A y fallen beim eingespannten Gewölbe fort).

Auch die Vorzeichen sind dieselben, indem nur

—    j Nx • dy statt + JNx • ds • sin cp und + V • x statt

—    V ■ x einzusetzen sind, und zwar wegen der entgegengesetzten Richtung der -f- x- Achse (die positiven und negativen Verschiebungen sind in Abb. 2 und 4 mit -f-und — bezeichnet).

Dieselben Ergebnisse können auch aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebung abgeleitet werden, nach welchem 2 P-Ô — 2S-As = 0 ist, d. h. die Summe der virtuellen Arbeiten sämtlicher in den Knotenpunkten eines Fachwerks angreifenden äußeren Kräfte F und inneren Spannungen S ist im Fall einer verschwindend kleinen Formänderung desselben = 0. Hierbei ist Sm die Projektion der wirklichen Verschiebung des Knotenpunktes m auf die Richtung der Kraft P,„, und dasselbe ist positiv oder negativ einzusetzen, je nachdem die Verschiebung gleich oder entgegengesetzt der Kraftrichtung ist, und dieselbe kann auch von Ursachen herrühren, die von der Kraft unabhängig sind.

Das Gleichgewicht sämtlicher Spannungen S und Auflagerkräfte C läßt sich nun nach Müller-Breslau (Statik der Baukonstruktionen 1903, II, 1, Einleitung S. 25) für eine Belastung durch die Kräfte P in folgenden Gleichungen ersten Grades ausdrücken:

28)    S = S₀- S'-X'— S"• X" — S"'-X’" —....

29)    C=C₀ - C-X’- C"-X"-C'"'X'"-.... wobei X', X", X'".... die statisch nicht bestimmbaren Größen sind und S₀ sowie C₀ den Spannungen und Auflagerkräften des statisch bestimmt gemachten Fachwerkes entsprechen. S' und C sind dieselben für die Spannung X' = — 1, wenn sämtliche äußere Lasten P und alle

Stablänge s durch die Spannung und letzteres diejenige

r

durch die Temperatur). Wird für S in 32) der Ausdruck in

g

28) eingesetzt, und    ■ mit p bezeichnet, so ergibt sich für31 ) :

2 S'As — 2 S'olxs =

= 2 S'S₀ p — X'2S'⁷- p — X"2S'S” p -....

A S"As - 2 S"axs ==

= 2 S".£₀.p — X'2SnS'p — X"2S"²p —.... woraus die unbekannten Größen X', X”.... berechnet werden können.

Man erhält z. B. bei dem Bogenfachwerk mit zwei Gelenken für den Horizontalschub X' = 0 die Kräfte S0 und C₀ des statisch bestimmten Fachwerkes, und aus der nach außen gerichteten Kraft X' = — 1 die Stabkräfte S' und hieraus

33)

34)

S — S₀ — S' X', l.A l = 2S'As = S'S₀s

35) X' =

27)

EF

— X'2

S'²s

EF

-f- 2 S' axs oder

2 S'S₀s + oltE 2 S's — EFAl

2 S'*-s

worin der erste Ausdruck für die Belastung allein, der zweite für die Temperatur, und der dritte für das Nachgeben der Widerlager um AI gilt (beim Zweigelenkbogen ist Al = 0 zu setzen).

2 S'S₀ s und 2S'²s sind in einer Tabelle auszurechnen, wobei Zugspannungen mit -f- und Druckspannungen mit — -einzuführen sind, und können sie für die Hälfte des Trägers bestimmt und mit 2 multipliziert werden. In dem Ausdruck für die Temperaturspannung ist die Verschiebung As der. einzelnen Stäbe proportional der Verschiebung Al von l, so daß m • l — m2S' s oder 2S' s = l wird.

Für den überzähligen Stab eines Fachwerkes erhält man ebenso (die eingeklammerten Vorzeichen gelten für

X=+l):

(-)

(+)

S'⁷s

EF

_ v S'Sns Z EF

F : (2 ~~ + -Ł-)

und für den Bogen mit einem Zugband gilt ganz dieselbe Formel (s. Ber. der Eisenbetonkonstr. 1910, S. 73).

Beim Vorhandensein von zwei Zugstangen in der Mitte und am Fuß des Bogens kann für ein bewegliches Auflager das Bogenfachwerk durch die Entfernung der ersteren statisch bestimmt gemacht werden, worauf b.aI die Stabkräfte S₀ für die Lasten P zu bestimmen sind sowie die Stabkräfte S' und S" für die Kräfte X' = — 1 und X" — — 1, und man erhält alsdann für das zweifach statisch unbestimmte System

36)    2 S'As =

1 * X • sx

oder X' =

EF

— X'2

S'\s

Abb. 5.

(-)

37) ZS'As

X'V

(+)

(+)

EF'

= lSaS'p — X'2S'⁷ p — X"2S' S" p,

38) IS"As =

= 2S₀8"p — X'2S’ S" p — X" 2 S"² p,

X"l"

EF"

somit dieselben Formeln, wie sie in dem technischen Lexikon von Lueger (s. Dachstuhl) angegeben sind, wenn X' und X" = + 1 eingesetzt werden (hierfür gelten die eingeklammerten Vorzeichen). Bei zwei Gelenken wird das sich auf die Ausdehnung der unteren Zugstange be-X"l"

EF"

schub wie oben zu berechnen.

Handelt es sich um vollwandige Träger, so sind die Formänderungen derselben für den Belastungszustand X' = — 1 und X" = — 1 zu bestimmen, und man erhält nach Müller-Breslau (neuere Methoden der Festigkeitslehre 1904, S. 78—81) als virtuelle Formänderungsarbeit

ziehende Glied

= 0, dagegen ist der Horizontal-

die Stelle von N, J und dx : 47) 9Î, Z und ds, wo

M

yi = N--für r = » auch = N wird, und dem

r

M

Ausdruck Nx + in 17 und 18) entspricht, und

i*

Abb. 6.

eine Aenderung von dsv um Adsv (infolge einer geringen Biegung), somit als Summe J S A d sv und mit S = a-dF sowie dV = dsv’dF wird

f.*-4

J r — v

ist und auch angenähert = J gesetzt werden kann (das — entspricht der entgegengesetzten Richtung von v), während ds das schiefe Stabelement bedeutet.

Bei den Formeln für einfach gekrümmte Stäbe, welche sich aus 45) und 46) ergeben, tritt daher ds an die Stelle von dx, und man erhält hieraus die bei der Rahmenberechnung verwendeten Formeln, welche auch denjenigen für das eingespannte Gewölbe entsprechen (s. n. M. S. 215—218).

Dieselben Formeln werden auch für den Stabzug mit festen Ecken in Verbindung mit Verschiebungsplänen (nach II 1, S. 25 und II 2, S. 490) angewendet, wie dies auch bei der Tunnelberechnung (s. S. 10) geschehen ist, bei welcher die graphische Berechnung genau mit der Berechnung durch Formeln nach Mörsch übereingestimmt hat.

Die obigen Integrale sind auf sämtliche Stäbe des Fachwerks bzw. den ganzen Bogen auszudehnen (II2, S. 97—99) und mit L' in 31) zu verbinden, wobei auch ein auf Biegungsfestigkeit oder auf Zug beanspruchter Stab in Verbindung mit denselben (vgl. 36) berechnet werden kann.

Die Formel

48) L' =

MM'dx

EJ

dF = K

NN'dx

EF

+J~ a xN'dx

39) L = 1 SAs = 1PŁ + lCAc — fo-j—

dV.

kann aber auch mit M' =

dM

dXn

M" =

dM

~ dX"

usw.

Wenn für X' = — 1

X" = — 1

ubw. die

Spannungen a, a" usw. entstehen, so erhält man für die zugehörigen Auflagerkräfte allein

A dsv

sowie N' =

dN

de

N" =

dN

n und ebenso die Formel

da

40)

IC'Ac — Ja

dsv

• dV,

44) mit » = gy, o" = rx,T

usw. angewendet werden

lC"Ac = a"

Adsv

Es ist nun

dsv

• dV usw.

(s. n. M. d. F., S. 119—131), indem nach Castigliano die statisch nicht bestimmbaren Größen X die Formänderungsarbeit A zu einem Minimum machen, so daß

dA

41)

A dsv dsv E

4r + att

somit

dX'

für die

Größe X' = 0 wird (wenn das Zeichen 3 der Ableitung von A nach X' entspricht).

42)

Jt

"=J^L.dV+Ja xa"

L' =

<xxa • dV}

• dF usw.

Für statisch unbestimmte gerade Stäbe mit Biegung ist (s. S. 91—94) :

M • v

Hierin bedeutet A die von den äußeren Kräften verrichtete mechanische Arbeit des anfangs spannungslosen Fachwerks, wobei die äußeren und inneren Kräfte von 0 bis P und bis S an wachsen, so daß (nach II1, S. 12) die Gleichung A = HPX • 8 = 2SX -As übergeht in

43) o =

M' -v N'

+ Ąr (für X = 1)

usw. sowie d V = dx- dF, und man erhält durch Einsetzung dieser Werte in Gleichung 42): aadV

44) L' = f -

a'-M-v

o • N\ dx.dF

7“»

2 jp,.<n = z; s, dbs = 2 ss-d^i-

II    0    0    -Cf X

= S™ = V2Sis = Yi:-p™-⁵»

M-dx-jo-v-dF

'N-dx$ a - dF

(s. a. n. M. d. F., S. 73—74), und weil das —

2

und rechts aufhebt, so ändern sich auch obige Formeln nicht.

sich links

EF

und wenn M' = gesetzt wird:

• dF und W' = Jo' • dF

Die Arbeitsgleichung 49) A = J*

2EF kann bei Ein~

5°)/

o² dV

Setzung von a = - _ und s • F = dV in r

umgewandelt werden, und dieselbe gilt auch für den unendlich kleinen Raumteil dV = dx • dF (s. III, S. 42 und II 2, S. 7), so daß man mit M = j o v d F und

M-v N

N = i a d F sowie o = —^--1—tT erhält :

J    J F

NN’dx

⁺f

MM' dx

und für die Temperatur

46) J* axa'd V = j axdx j a'dF axN'dx.

Beim statisch unbestimmten Bogen tritt nach II 2, S. 509 — 510 (s. auch neuere M. d. F., S. 211, 213) an

45) L' =

EJ

EF

dx

51) A =

o² dF =

‘V • dF +

2 EF*

eingesetzt wird, so daß man

wenn A s =

S'-S₀-s

erhält 1 • S = 2S'As oder B =    2

wenn

rdx ₍ m r J 2 E { J J °

M^dx 2 EJ

Bei Weglassung von zwei im Nenner, und Ersetzung von dx durch ds werden diese Formeln auch bei der Berechnung von vollwandigen Zweigelenkbögen verwendet

(II2, S. 514, 523, 538).

Die Anwendung der oben entwickelten Formeln ist aus den Beispielen in Bd. II1 u. 2 und d. n. M. der Festigkeitslehre ersichtlich, und es ist hierbei darauf zu achten, wieviel statisch unbestimmte Größen anzunehmen sind. Ein Fachwerk ist statisch bestimmt, wenn jeder Knotenpunkt durch zwei Stäbe festgelegt werden kann, und wenn die Bedingung erfüllt ist, daß für n Knotenpunkte 2 n — 3 Stäbe vorhanden sind. Außerdem kann das Fachwerk, wie auch der Bogen, durch horizontale und vertikale Auflagerkräfte statisch unbestimmt werden.

Die Verschiebung der Knotenpunkte oder eines bestimmten Bogenpunkts in der Richtung der angenommenen

Kraft 1 ergibt sich sowohl für die Kräfte P als C aus 30),

S-s

EF

EF

S₀ den Spannungen des statisch bestimmt gemachten Trägers und S' denjenigen für die Kraft 1 entspricht (vgl. auch die Formeln von Weyrauch in dem techn. Lexikon von Lueger bei Biegung und Einsenkung).

Der Zweigelenkrahmen mit zwei Mittelstutzen (s. S. 14) ist als dreifach statisch unbestimmtes System mit den drei unbekannten Größen X't X" und X'" berechnet worden, und zwar für den Horizontalschub X' und die zwei vertikalen Gegendrücke X" und X'" an den Mittelstützen (die Normalkräfte N können hierbei auch vernachlässigt werden). Es hat sich alsdann ergeben, daß die genaue Rahmenberechnung mit Berücksichtigung einer diskontinuierlichen Belastung des Rahmens angenähert dasselbe Resultat ergibt, und die Berechnung dadurch bedeutend vereinfacht wird, und daher allgemein zu empfehlen ist.

Gewölbe- und Rahmenberechnung nach der Elastizitätslehre.

Tn Heft 3 von 1909 der H. Z. sind Ergänzungen J- zu der Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen in

Heft 4 von 1906 erschienen, und in einem Sonderabdruck des Verlags von C. W. Kreidel in Wiesbaden wurden beide Arbeiten zu einer „vollständigen theoretischen und praktischen Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung“ 1910 erweitert, in welcher alle frühem Formeln enthalten und auf Beispiele der Praxis angewendet worden sind.

Bei der Anwendung der theoretischen Gewölbe- und Rahmenberechnung auf praktische Beispiele zeigt sich ihre allgemeine Verwendbarkeit, wie sie auf Grund der Elastizitätstheorie der Professoren Dr. Weyrauch, Mörsch und Dr. Müller-Breslau von mir näher ausgeführt worden ist.

Dies geht auch aus der Berechnung des nebengezeichneten Tunnelprofils hervor, welche für den bei B eingespannten und bei A durchschnittenen Rahmen wie beim eingespannten Gewölbe geschehen kann (s. S. 43 des Sonderdrucks von 1910).

Müller-Breslau geprüft, und zwar vermittels Aufzeichnung der Durchbiegungsseilpolygone für die elastischen Gewichte s

—=r- zur Bestimmung der Einflußlinien für die Einzel-

lasten, und es wurden hierbei dieselben Stützlinien erhalten, welche sich auch denjenigen für die eingespannte Berechnung nähern. Als Belastung wurde das Erdgewicht y = 1,8 mit 6,5 m Ueberschüttungshöhe im Scheitel sowie der seitliche Erd druck für den Böschungswinkel von 15° (bei vollständiger Durchnässung der Erde) und von 33° 40' mit der Böschungsneigung 1 : 1V2 (*n trocknem Zustand derselben) angenommen, und für den erstem Fall gilt die ausgezogene und für den letztem Fall die gestrichelte Stützlinie.

's er

-c£

Statt der schiefen (senkrecht zur innern Leibung stehenden) Fugen wurden bei der Berechnung vertikale bzw. horizontale Fugen durch ihren Schnitt mit der Mittellinie gelegt und der horizontale Erddruck in der Mitte der gerade gedachten Lamellenoberkanten angenommen,

tg!(⁴⁵-ł)

oder bei Einsetzung von y = 1,8 und cp = 15° bzw. 33° 40' für die Höhe h bis zur Erdoberfläche E — 0,530 h2 bzw. = 0,258 h² (für die einzelnen Lamellen ist der Unterschied für das E der beiden äußern Endpunkte zu wählen).

und zwar nach der Formel E —

v\

J/

Bei der obigen ringförmigen Berechnung (wie beim eingespannten Gewölbe) hat es sich nun ergeben, daß die Vorzeichen der Richtungen und Kräfte genau eingehalten werden müssen, um zu einem richtigen Resultat zu gelangen.

fi

Abb. 7.

Dieselbe Berechnungsweise kann aber auch auf den geschlossenen ringförmigen Rahmen angewendet werden wenn das eingespannte und durchschnittene Ende in B vereinigt gedacht wird, und der Rahmen durch Einteilung in Lamellen von B aus ringsherum bis B berechnet wird und zwar genau in derselben Weise wie das eingespannte Gewölbe (s. Berechnung der eingespannten Gewölbe von Mörsch in der Schweizer Bauzeitung, Band XLVII, Nr. 7 und 8, und Sonderdruck derselben).

Für die Berechnung der Einspannung bei A und B ergaben sich die links gezeichneten Stützlinien und für die ringförmige Berechnung von B aus die rechtsseitigen Stutzlinien. Die letztem wurden auch durch eine graphische Berechnung mit Verschiebungsplänen nach Professor Dr.

Dies bezieht sich zunächst auf die Summenausdrücke 'ï.w-y-ia — x)y 2w-x-(a — x) und 2 w • (a — x), welche so zu berechnen sind, daß x, y und a die Vorzeichen des angenommenen Koordinatensystems (aus dem 2 w • y

^—— des Koordinatenursprungs 0 vom

Scheitel der Mittellinie) erhalten (s. Abb. 7), und daher x und y mit ihrem Vorzeichen -f- oder — einzusetzen sind und (a — x) den positiven oder negativen Abständen der Lamellenmitten von der Kraft 1 (bzw. P) entspricht, und hierbei auch die positive Richtung von rechts nach links und die negative Richtung von links nach rechts (und zwar in Beziehung auf die in den Fugenmitten I, II usw. angenommenen Kräfte) anzunehmen ist (s. Abb. 88).

Die Einflußordinaten für die Belastung durch die vertikalen Kräfte ergeben sich dann aus den Formeln:

Abstand z = -

1 2 w • y (a — x)

-, v= -

_±

1 2 w-x (a — x)

1 w (a — x)

2 w-x²

H= —

2 w x*

sowie von x und y zur

Zu'¹

11 =

— P 2 (a — x)-w-y :

+ ae -

of £

der elastischen Gewichte w =

Iw • y

zu ist =

entspricht daher dem

(s. auch Betonkalender oder technisches Lexikon von Lueger: Berechnung der Gewölbe) und für die horizontalen Kräfte aus den Formeln:

1 (2 w y² — b 2 w y)

2wy² + lA

1 (2 w xy — b 2 w x)

1 (2 w y — b 2 w)

(s. S. 87 und 88 des Sonderdrucks von 1910), worin b die mit dem Vorzeichen einzusetzende Ordinate des Angriffspunkts der horizontalen Kraft 1 ist.

Zur Bestimmung der Einflußlinien fiir die vertikalen und horizontalen Kräfte kommen dieselben Werte von Länge der Lamelle

Trägheitsmoment Verwendung, so daß die Berechnung der Formeln für die horizontalen Kräfte sich wesentlich vereinfacht, und die

Größe von H, V und M durch Interpolation (im obigen Fall als Mittel) aus den berechneten Einflußordinaten zu bestimmen ist. Die Kraftrichtungen H und V werden hierbei für das positive H von links nach rechts und für das positive V von unten nach oben angenommen (s. S. 87 und 90 des Sonderdrucks). Wenn außerdem die Richtungen von x und y für die Hebelarme der Kräfte PL und V in Beziehung auf die Momentpunkte unterschieden werden, so ergibt sich für das positive M eine Drehung im Sinne des Uhrenzeigers und für das negative M die entgegengesetzte Drehung (für die Ausrechnung der Summenausdrücke kann die vertikale Belastung P auch positiv und ihre Auflagerdrücke negativ eingesetzt werden, wie dies bei der Berechnung der eingespannten Gewölbe gewöhnlich geschieht, nur müssen alsdann auch die Vorzeichen der Abstände a — x gewechselt werden, damit dasselbe Resultat für II, V und M erhalten wird).

Unter dieser Voraussetzung ergeben sich für jede beliebige Form des Rahmens die in Abb. 7 eingezeichneten Kraftrichtungen H und V (welche bei positivem Vorzeichen von links nach rechts und von unten nach oben und bei negativem Vorzeichen umgekehrt aufzutragen sind) sowie das entsprechende Vorzeichen von M (welches auch für jedes berechnete H und V aus dem Drehungssinn des Kräftepaares der Gegenresultante R mit dem gleichen und entgegengesetzt gerichteten Kämpferdruck R hervorgeht, so daß hierdurch eine sichere Kontrolle vorhanden ist).

Die genaue Lage der Kämpferdrücke ergibt sich aus den Formeln

y- = -§.»• = -f “”d R = VTv + r*

(s. S. 43 des Sonderdrucks von 1910).

Die obern Kräfte H und V (in Abb. 7) beziehen sich auf das Koordinatensystem für das Eingespanntsein des Rahmens bei A und B, und man erhält hierfür im Scheitel eine Maximalzugspannung von 10kg für die vertikale Erdbelastung und den halben horizontalen Erddruck (die Maximaldruckspannung wird = 20 kg).

Die untern Kräfte H und V entsprechen dagegen dem Koordinatensystem für die ringförmige Berechnung, wobei B zugleich das bewegliche Ende des Rahmens bildet, und daher R nach unten gerichtet ist, und es ergibt sich hier eine Maximalzugspannung von 16 kg für die vertikale Erdbelastung und halben horizontalen Erddruck (die Maximaldruckspannung wird = 25 kg).

Diese Zugspannungen können in dem ohne Eiseneinlagen auszuführenden Tunnel mit Rücksicht auf den passiven Widerstand der seitlichen Erde zugelassen werden, wenn die Zwischenräume der Steinhinterfüllung mit Zementmörtel ausgefüllt werden,

Bei der obigen Berechnung wurde der Gegendruck des Bodens in der Mitte der vertikal begrenzten seitlichen Lamellen angenommen, weil die vertikale Belastung durch die Seitenwände nach unten wirkt und daher hauptsächlich auf den Seiten der Bodenfuge übertragen wird (eine kleine Aenderung in der Lage des Auflagerdrucks hat auf die Stützlinie im Scheitel keinen wesentlichen Einfluß). Der mittlere Teil des Fundaments ist auch mehr nachgiebig und wird in seiner Lage durch die vertikale Belastung der Bahnbettung und des Bahnverkehrs bestimmt, welche (wie das Eigengewicht der untern Lamellen) infolge des Gegendrucks im mittlern Teil der Bodenfuge aufgehoben wird, so daß sie bei der Berechnung nicht berücksichtigt zu werden braucht.

Die auf S. 72 des Sonderdrucks von 1910 enthaltene Formel für den Rahmen mit zwei Gelenken heißt vollständig :

V-G~2

'-wf (+ïâ

§

und kann der Einfluß von 2 •==- durch die Normalkräfte

F

gewöhnlich vernachlässigt werden (s. auch techn. Lexikon von Lueger, Dachstuhl).

Dieselbe kann für beliebig gerichtete Kräfte P mit den Abständen p von den Lamellenmitten oder für vertikale Lasten P mit den Abständen (a — x) verwendet werden.

zi

"/t

! a-,yf "1

_ y_____i_______y—-----

^ C PT_ _jL----* -    - .*

-T

Ab b. 8.

Das Koordinatensystem unterscheidet sich hierbei von demjenigen beim eingespannten Rahmen dadurch, daß die horizontale m-Achse desselben durch die zwei Gelenke geht, während die vertikale y-Achse der Symmetrieachse entspricht (bei schiefer Symmetrie bleibt die y-Achse vertikal, und die #-Achse wird auch schief).

Im übrigen ist die Berechnung der Summenausdrücke für H genau dieselbe, und V entspricht dem Auflagerdruck für sämtliche Lasten P, G = Iw ist die Summe

(hierbei ist der Elastizitätsmodul E im Nenner weggelassen, weil er für dasselbe Material als konstant angenommen werden kann),

= dem Schwerpunktsabstand der elastischen Gewichte w von der a:-Achse.

Der Ausdruck V- G • Zu-........

A

_ i_

Summenausdruck P ^ (a — x)-w-y für den Auflager-

a

druck V in Beziehung auf das linke Kämpfergelenk

l — J

indem V für P steht, und zu-1w •-— = v (a — x)-w-y

*    a

ist (weil bei zwei zur y-Achse symmetrischen Punkten mit

gleichem wy — w-y ihre Resultante bei — liegt, und

A

für den Schwerpunktsabstand zu von 'Iw: zu • 'Iw = Hw-y wird).

und es sind ylt y₂ sowie «,, x₂ die Endordinaten und

g

-abscissen der Stäbe mit w — -j-, und dieselben werden

Der Zweigelenkrahmen kann daher auch durch Lamelleneinteilung (wie das eingespannte Gewölbe) berechnet werden, wenn in den Summenausdrücken nicht nur die Kräfte P, sondern auch der Auflagerdruck V berücksichtigt wird, und zwar ist derselbe mit entgegengesetztem Vorzeichen einzusetzen (es genügt hierbei, den

Ausdruck

V-G-Zu-f

durch Rechnung zu bestimmen), und

außerdem gilt Iw-y² und y für die « Achse durch die zwei Gelenke. Für den Fall, daß oben zwei oder ein Gelenk vorhanden sind, gilt eine analoge Berechnung (s. S. 72 und 73 des Sonderdrucks von 1910).

Aus dem berechneten H und V ergibt sich nun der Kämpferdruck R und hieraus durch graphische Zusammensetzung der vertikalen und horizontalen Kräfte mit R die Stützlinie des Rahmens. Durch Benutzung der von Weyrauch aufgestellten Formeln für Mx, Vx, Hx, Nx, Tx, Rx und c (s. S. 41 des Sonderdrucks von 1910) können jedoch auch die einzelnen Fugen mit den Angriffspunkten für

Tx

mit ihren Vorzeichen eingesetzt. Wird Tx für die nächste horizontale Verbindungslinie von zwei Ecken des Rahmens berechnet, so ergibt sich das T'x für den Schwerpunkt o aus T'x = Tx — t/² • 'Lw (wo y die Ordinate der Ecken ist). Der Wert von Tx für den Zweigelenkrahmen ist in Beziehung auf die veränderte x- Achse durch die zwei Gelenke zu berechnen, wobei Tx = Tx -f- z²u 'Iw wird (Tx kann auch direkt aus den Ordinaten y berechnet werden).

Die Ausdrücke

M₀-yds_ F₀-ys

und

aus c

:)

(s. S. 58 des Sonderdrucks von 1910) sind so zu berechnen, daß die Momentenfläche F₀ der Momente M₀ für die linksseitigen Kräfte immer senkrecht zur Stabrichtung s anzunehmen ist, weil ds der schiefen Länge entspricht und dF₀ — M₀- ds das Rechteck für M₀ senkrecht zu ds darstellt. Wird daher die Momentenfläche der Einfachheit halber in vertikaler (oder auch horizontaler) Richtung aufgetragen, so muß die vertikale (oder horizontale) Momentenfläche F₀ mit der schiefen Länge s berechnet werden,

in die Summenausdrücke

oder es ist

bzw.

direkt berechnet werden.

Sind nach der Bestimmung von H und V aus ihren Einflußlinien die Kernpunktsmomente berechnet worden,

so ergibt sich aus der Drehrichtung für ein j

, und für ein Druck

pos. neg.

Druck

Zug,

die Drehrichtung der Momente Mknu in Beziehung auf die Kernpunkte entgegengesetzt derjenigen für die Zug- oder

MK

unten

{ neg*. MK

oben

Mk o

weil

sin a

einzusetzen, wo a dem Neigungswinkel für s entspricht.

Die nach obigem auszuführende Berechnung der in Abb. 9 gezeichneten Rahmen ergibt nun verschiedene Momente und Dimensionen, je nachdem sie an den Enden eingespannt, aber außerdem mit einer mittlern Säule oder mit zwei Gelenken versehen sind. Das Verhältnis des

cos a

Druckspannungen ist, welche aus o“ = rechnen sind.

Die allgemeine Anwendbarkeit der von mir näher ausgeführten Berechnungsweise für den Rahmen ohne und mit Gelenken geht auch aus den nebengezeichneten drei

zu be-

_ ' V77>77,

Abb. 9.

Fällen für den Rahmen eines Lokomotivschuppens hervor, wobei wegen der geraden Stäbe des Rahmens die Berechnung nach den Formeln von Müller-Breslau einfacher ist. Denn man hat außer dem Koordinatenursprung o mit

^ i/7 Xj

dem Abstand z₀ =    nur noch die Ausdrücke :

Trägheitsmoments J in den Ständern und den obern Balken kann angenähert = 1:1 angenommen werden (im obigen Fall ergab sich das Verhältnis 5 :4), indem es beim eingespannten Rahmen günstiger ist, wenn für den Winddruck die Ständer stärker und die Balken schwächer sind, und für die vertikale Belastung das Entgegengesetzte der Fall ist. Da die Eisenbetonplatte des Daches durch Winddruck auch auf Zug beansprucht wird, so kann dieselbe bei der Berechnung von J unberücksichtigt bleiben.

Der Winddruck wurde mit p • sin² (a + 10) = 78 kg/qm senkrecht zur Dachfläche (für p = 150 kg) berechnet und gilt derselbe Wert auch für das qm Grundriß und Aufriß, und als Schneelast ist 75 • cos a = 61 kg/qm senkrecht zur Dachfläche angenommen worden, so daß bei ungünstigster Belastung mit ganzem Winddruck und halber Schneelast 110k&/qm erhalten wurden, wozu noch der untere horizontale Winddruck mit 150 ks/

Die Berechnung des eingespannten Rahmens nach der von mir veröffentlichten Berechnungsweise (durch Lamelleneinteilung nach der Methode von Professor Mörsch, s. Abb. 10) hat aber dasselbe Resultat ergeben wie die Berechnung als

qm

kommt.

S,

X = U = Y= V = Z = M= —

zu bestimmen, wo

F

2 —5

____l/_._

‘Vs*

ist und Tx sowie Ty den Trägheitsmomenten

¹ *und J*’ -

entsprechen. Die letztem ergeben sich (s. S. 57 des Sonderdrucks von 1910) aus

^ =    -y₂ + y\) und

Ty = 1 y w («² +xrx₂+ «²),

Abb. 10.

Stabzug mit festen Ecken (nach der von mir gleichfalls angewendeten Methode von Professor Dr. Müller-Breslau), indem dieselben Werte für H = X, F= Y und M= Z

-- 4*1 -

Mw

zu

mit

ô-

erhalten wurden, und zwar nicht nur für die vertikale, sondern auch für die horizontale Belastung.

4-

-20Z\ /)

+JU

Abb. 11.

Bei geraden Stäben ist jedoch die letztere Berechnungsweise einfacher, und für die vertikale Belastung erhält man eine einfachere Momentenfläche (s. Abb. 11), wenn bei B ein festes und bei A ein bewegliches Auflager angenommen wird, so daß die Momentenfläche in vertikaler Richtung mit Berücksichtigung des Auflagerdrucks A zu bestimmen ist. Die aus obigen Formeln erhaltenen Werte von X, Y und Z gelten dann für die Mitwirkung des vertikalen Auflagerdrucks A, und wenn ihre Größe mit den auch (nach obigen Formeln) berechneten H, V und M verglichen werden soll, so ist zu dem erhaltenen Y

noch A und zu Z noch A>— zu addieren, und es ergeben

A

sich alsdann dieselben Werte wie für die Annahme eines frei beweglichen Endes bei A.

In der Formel Mx = M -f- M₀ — H• y — V- x (zur Berechnung der Biegungsmomente für die einzelnen Fugen) gilt bei Einsetzung der Werte von X — H und Y = V für das bewegliche Auflager das positive Biegungsmoment M₀ mit Auflagerdruck, während bei Einsetzung von X — H und Y — V für das frei bewegliche Ende das negative Biegungsmoment M₀ ohne Auflagerdruck gilt, und es ergeben sich alsdann in beiden Fällen dieselben Werte für Mx, wenn sämtliche Größen mit ihren Vorzeichen eingesetzt werden.

Bei der horizontalen Belastung ist es günstiger, wenn bei rechtswirkendem Winddruck A als frei bewegliches Ende angenommen wird, weil man alsdann eine einfachere

Momentenfläche erhält. Will man den Gegendruck A

M₀ schon die richtigen Werte für Mx erhalten werden, und bei Hinzurechnung der Momentenfläche für A sich nur Yf Z und Ma ändern, und hieraus dieselben Werte für M entstehen.

Die Annahme einer Mittelsäule ergibt bedeutend kleinere Momentenflächen, indem die Momentenfläche des Gegendrucks von derjenigen der Gesamtbelastung für das Eigengewicht, die halbe Schneelast und den vertikalen Winddruck abgeht (vgl. die gestrichelten Linien in Abb. 11).

Bei der vertikalen Aufzeichnung der Momentenflächen sind die den einzelnen Stäben entsprechenden Werte von

Fn für die schiefe Länge s zu bestimmen oder mit-

⁰    /    cos a

multiplizieren I bzw. für die horizontalen Momentenflächen

1 \ V

sin a /

Die mittlere Säule hat den Auflagerdruck des mittlern Teils zu tragen, so daß die Parabeln F₀ Uber den Dachseiten erhalten werden (s. Abb. 13), und hieraus X, Y und Z zu berechnen ist. Zur Vergleichung des eingespannten Rahmens

cf

-0,0

--

Abb. 13.

ohne Säulen und mit Säulen sind die Momente Ma, Mb, Mc, Md und Me in den Ecken eingeschrieben, und zwar für die ganze vertikale und horizontale Belastung, und es geht hieraus die wesentlich günstigere Gestaltung des Rahmens mit einer Mittelsäule hervor.

Der Auflagerdruck derselben ist hierbei diskontinuierlich berechnet worden, indem man dadurch ein richtigeres Resultat als für die kontinuierliche Berechnung erhält (schon wegen der teilweisen Einspannung der verbundenen Teile) und bei der Berechnung der Momente für den horizontalen Winddruck braucht die Mittelsäule nicht berücksichtigt zu werden, weil der vertikale Druck und Zug für beide Hälften gleich groß wird und sich dadurch aufhebt.

/.

'2.Ó- __

Ô-

j9

Abb. 12.

-2i

-ty

-//*-

(*6aJ

-W '

-Æ+J/.S !

~ 3?J± _ (*■*.&

•-O.S

*20,

US

-</

-4L.

Sf

berücksichtigen, so ergibt sich als Momentenfläche des letztem ein rechtwinkliges Dreieck Uber l, dessen Ordinate bei B = Mw ist, und außerdem noch ein Rechteck mit konstanter Ordinate Mw Uber BD.

Die letztere Berechnung für den Gegendruck ist jedoch überflüssig, da mit dem X, Y und Z für die rechtsseitige Momentenfläche (s. Abb. 12) und dem zugehörigen negativen

J.C

+ CHt

Abb. 14.

Dies hat sich bei der Berechnung des nebengezeichneten eisernen Rahmens für einen Güterschuppen gezeigt, welcher für die vier Belastungen des Eigengewichts, der Schnee-

if:

Ty

m ist)

= 5,76

2 iv

su

iv

i..

t&H.V- — L- \

i

I \

• +£/>

FtOT

O- -

.. f

c7i

Hierdurch

Mw

= 2,92¹ hervorgehen und die untengezeichnete Momentenfläche ergeben. Es kann nun die in

2 • 5,8

last, des vertikalen und des horizontalen Winddrucks besonders berechnet wurde, und zwar mit einem konstanten J = 1 in obigen Formeln. Die Berechnung des Rahmens erfolgte sowohl für den an den Enden eingespannten Rahmen als für den Zweigelenkrahmen ohne und mit Säulen, und bei der Berücksichtigung der letztem wurden die Momentenflächen F₀ der Gegendrücke (das Trapez) von denjenigen ohne ihre Mitwirkung (angenähert eine Parabel) abgezogen.

Der Zweigelenkrahmen mit Mittelsäulen wurde auch nach der Methode von Müller-Breslau als dreifach statisch unbestimmtes System berechnet, indem für den Rahmen mit festen Ecken Gelenke bei A, B, E, F, K und L angenommen worden sind. Diese Berechnung wurde nun auch nach obigen Formeln für X, Y und Z mit der diskontinuierlichen und kontinuierlichen Auflagerung des Rahmens bei E und F ausgeführt (letztere, auch mit Berücksichtigung der Außenkräfte des Rahmens bei der Bestimmung der Auflagerdrücke in A, E, F und B, aus den Momenten der Stützpunkte vermittels der Clapeyron-schen Gleichung und der Formeln von Professor Dr. Weyrauch, s. S. 55 und 77 des Sonderdrucks von 1910) und ebenso mit den in der obigen Berechnung für das dreifach statisch unbestimmte System erhaltenen Stützendrücken, so daß die Resultate der drei verschiedenen Berechnungen verglichen werden konnten.

Die Berechnung des an den Enden eingespannten Rahmens wurde für das Eigengewicht und den Schneedruck (s. die parabelförmige Momentenfläche F₀ in Abb. 14) und für den vertikalen Winddruck (s. Abb. 15) besonders durchgefiikrt, und die Summenausdrücke

ZF'-*s

für die einzelnen Trapeze F₀ (welche durch die gestrichelten Linien angedeutet sind) mit den schiefen Stablängen berechnet, und die horizontalen Schwerpunktsabstände e derselben sowie die vertikalen Abstände y des Rahmens (in diesen Schwerlinien) vom Scheitel und hieraus

x, und yg = z₀ y (wo z₀ —-Ł

bestimmt und in die Formeln für X, Y und Z eingesetzt. Bei der Berechnung des Zweigelenkrahmens kommen dieselben Momentenflächen in Betracht sowie dieselben Werte für Fi)f e und y, und es ist nur ys = h — y (h — Gesamthöhe in der Mitte = 13 m) und Tx ist für die «-Achse durch die Gelenke zu berechnen.

Mit dieser Berechnung des eingespannten bzw. des Zweigelenkrahmens (in welcher die vertikalen Lasten nach dem Hebelgesetz auf die Stützpunkte A und B übertragen wurden) ist nun die Berechnung der Gegendrücke an den Mittelstützen zu verbinden. Die Bestimmung der Trapeze (bzw. Trapezoide) für die Momentenflächen der Gegendrücke ergibt sich aus der Differenz der Auflagerdrücke ohne und mit Mittelstützen in A und B, so daß jetzt für diese Differenz Ä -f- B’ — K -j- L wird (bei diskontinuierlicher Berechnung der mittlern Stützendrucke und symmetrischer Belastung ist Ä = K und B! = L, und man erhält ein Trapez als Momentenfläche), und die Momente bei E und F sind dann = 5,8 • Ä und = 5,8 • B'.

Für diese Momentenflächen sind wieder die Werte von X, Y und Z aus den Flächen F₀ (mit ihren gestrichelten Teilen) sowie e, y, xs und ys zu berechnen, und zwar für das Eigengewicht, die Schneebelastung (s. die eingeklammerten Zahlen in Abb. 14) und den vertikalen Winddruck, so daß man hieraus die Differenz beider Berechnungen erhält, und die Werte von H = X, V = Y und M = Z bestimmt sind.

Durch die Vergleichung der drei Berechnungen für den Zweigelenkrahmen mit diskontinuierlichen, kontinuier-liehen und genauen Stützendrücken für das dreifach statisch unbestimmte System hat es sich nun gezeigt, daß die Berechnung des Zweigelenkrahmens nach obigen Formeln mit der veränderten «Achse genau richtig ist, indem bei Abzug der Momentenfläche für die genauen Stützendrücke von derjenigen ohne Mittelstützen für Eigengewicht H = -f- 0,199 ¹ statt + 0,205 ¹ und für Schneebelastung H = — 0,047 ‘ statt — 0,045 * erhalten wurde. Nach Ausrechnung der Momente Mx zeigte es sich ferner, daß die diskontinuierliche Berechnung, für welche die Belastung nach dem Hebelgesetz auf die einzelnen Stützen verteilt wird (bei den Stützen A und B werden hierbei die äußern Kräfte der Vordächer des Rahmens allein berücksichtigt) sehr gut mit der genauen Berechnung Ubereinstimmt, während die kontinuierliche Berechnung ziemlich stark abweicht, so daß (besonders auch mit Rücksicht auf die teilweise Einspannung der einzelnen Teile) die erstere Berechnung richtigere Werte ergibt.

Da bei dem Zweigelenkrahmen dieselben Momenten-flächen gelten wie für den eingespannten Rahmen, und nur die veränderte «-Achse (für Tx und ys) zu berücksichtigen ist, so lassen sich die Resultate beider Berechnungen für die Momente Mx leicht vergleichen, und ist dies auch in den Abb. 14 und 15 durch Einschreiben derselben an den Ecken des Rahmens geschehen. Die innern Zahlen gelten für den eingespannten Rahmen in Abb. 14 und den Zweigelenkrahmen in Abb. 15 ohne Mittelstützen, und die äußern Zahlen gelten für dieselben mit diskontinuierlichen Stützen, und über letztem stehen in

JZ

(+&)

MK

I (-S,S)-S,jX/SJ I (-$+)-ójj+ćłjf

I

(+/Ą ImĄoKąs /

W /

(+ 9.tf4* -fó²;

^/-S'S- --A- -- -**-----i--

-o------\------ô

i

Abb. 15.

Klammern die Maximalwerte der negativen und positiven Mx (auf beiden Seiten) für die genaue Berechnung und neben denselben (auch in Klammern) diejenigen für die kontinuierliche Berechnung.

Die Berechnung des horizontalen Winddrucks wurde zunächst ohne Berücksichtigung der Mittelsäulen durchgeführt, und da sich in dem obern Teil des Rahmens für die Gesamtbelastung starke Abweichungen von der genauen Berechnung ergaben, so wurde das folgende Verfahren angewendet. Die aus dem Moment Jlfw berechnete Kraft H wurde auf die beiden äußern Teile des Rahmens verteilt, indem das gestrichelte Trapez AEFB (in Abb. 15) an die Stelle des ganzen Rahmens gesetzt und in E und F je

— als Horizontalkraft angenommen wurde.

entsteht in den beiden stützenden Dreiecken (bei Annahme von zwei Rechtecken würden sich dieselben vertikalen Kräfte ergeben) nach Abb. 16 rechts Druck in der rechten Säule und links Zug in der linken Säule, welche beide

aus V ==.

= 1,685*

2,92 ‘

Rahmen mit Stützen sind die Gegendrücke

Abb. 15 gezeichnete Momentenfläche des horizontalen Winddrucks und die in Abb. 16 enthaltene Momentenfläche der Gegendrücke für sich berechnet werden, und es sind alsdann beim eingespannten Rahmen beide Resultate für H, V und M zu summieren (die Gegendrücke bewirken ein H = 0, während V und M aus beiden Berechnungen hervorgehen).

Die Momente Mx können jedoch auch für beide Momentenflächen getrennt berechnet werden, und ist M0 für die horizontalen Kräfte gleich den Ordinaten der negativen Momentenfläche in Abb. 15 und für die vertikalen Kräfte gleich den Ordinaten der positiven Momentenfläche in Abb. 16, und im erstem Fall ist der Gegendruck bei A nicht berücksichtigt worden, während er im letztem Fall mitgerechnet wurde, und sind alle erhaltenen Werte von H, V, M sowie M₀, x und y mit ihren Vorzeichen einzusetzen (M erhält immer das entgegengesetzte Vorzeichen von 2Fq)-

Für den Rahmen in Abb. 13 fallen die Mittelstutzen zusammen, so daß die Beanspruchung der Mittelsäule durch den horizontalen Winddruck gleich 0 wird (die Druck- und Zugkraft hebt sich gegenseitig auf), und dieselbe für die Berechnung daher nicht in Betracht kommt.

ohne Mittelstutzen ist alsdann der Gegendruck für die horizontalen Kräfte zu berücksichtigen, und beim

Mw 2-5,8

einzusetzen. Will man die Stützlinie aufzeichnen, so sind beim eingespannten Rahmen die Werte von xrf yr, r und R zur Bestimmung des Kämpferdrucks wie oben zu berechnen (s. die Tunnelberechnung), und beim Zweigelenkrahmen ergibt sich der letztere aus H und V im Kämpfer, und hiermit ist nun die Gesamtbelastung (bzw. auch mit den Gegendrücken bei Mittelstützen) zusammenzusetzen.

Aus der für einen halbkugelförmigen Wasserbehälter durchgeführten Berechnung (s. S. 90 des Sonderdrucks von 1910) geht hervor, daß die positiven Biegungsmomente Mx oben (außen) Druck und unten (innen) Zug und die negativen Biegungsmomente oben (außen) Zug und unten (innen) Druck hervorrufen, so daß die Spannungen im Rahmen genau bestimmt werden können.

Die Größe der Spannungen nebst der Stützlinie ergibt sich aber auch aus den Formeln von Professor Dr. Weyrauch (s. S. 87 des Sonderdrucks von 1910):

2j2é

dt C T ß>

<£

4P

S'

Hx = H-ÏH,

VX = V~ÏP,

NX = VX- sin cp + Hx • cos cp, Tx=Vxi cos cp— Hx - sin cp,__

Rx = VHl+Vl -1/Nl + Tl,

Mx

Nx

und o° =

2ó2ć

Abb. 16.

Zur Berechnung der Momente an den Ecken gilt nun für den eingespannten Rahmen die Formel Mx — M -f- Mn—H • y — V • x, und die ungünstigsten Werte ergeben sich aus der Zusammensetzung von Eigengewicht, halber Schneelast und ganzem Winddruck bzw. ganzer Schneelast und halbem Winddruck (gewöhnlich gibt das erstere die Maximalwerte). Hierbei sind die erhaltenen Werte von H, V und M einzusetzen, und in M₀ ist bei Annahme eines beweglichen Auflagers in A der Auflagerdruck zu berücksichtigen (was schon durch die aufgezeichnete Momentenfläche geschehen ist). Für die Annahme eines frei beweglichen Endes in A ist dagegen M0 ohne Auflagerdruck (bzw. Gegendruck für die Horizontalkräfte) zu berechnen, und dasselbe erhält ein negatives Vorzeichen.

Beim Zweigelenkrahmen ergibt sich Mx aus dem berechneten Horizontalschub und dem Auflagerdruck A (bzw. auch den Gegendrücken der Mittelsäulen) und der vertikalen sowie horizontalen Belastung. Beim Rahmen

Die Abstände c der Stützlinie in der Fugenrichtung sind für dasselbe Vorzeichen von Mx und Nx positiv und sind dann von der Fugenmitte aus nach oben (außen) aufzutragen und im entgegengesetzten Fall negativ und nach unten (innen) aufzutragen (s. S. 41, 90).

Aus den in Abb. 14 und 15 eingeschriebenen Zahlen für Mx ergibt sich nun, daß die Beanspruchung des Zweigelenkrahmens ohne Mittelsttitzen wesentlich ungünstiger ist als diejenige des eingespannten Rahmens ohne Mittelstutzen.

Die Momente des eingespannten Rahmens mit Mittel-stützen sind dagegen im obern Teil größer als diejenigen des Zweigelenkrahmens mit Mittelstützen, während die teuren Gelenke wegfallen, aber die Einspannung ein stärkeres Fundament erfordert.

Die äußern Teile des Rahmens könnten auch als eingespannte Rahmen mit festen Ecken ausgeführt werden (s. das Beispiel des Lokomotivschuppens auf S. 64 des Sonderdrucks von 1910), und in diesem Fall kann der durch die mittlere Verbindung übertragene Winddruck zur Hälfte für beide Teile gerechnet werden. Der mittlere Teil würde dann einen eingespannten Rahmen für sich bilden, und seine vertikalen und horizontalen Kräfte werden bei E und F auf die äußern Teile übertragen (derselbe wird auch mit zwei Gelenken ausgeführt).

Die Berechnung für obige Fälle ist jedoch wesentlich einfacher, wenn die untere Einspannung der Mittelsäulen nicht angenommen wird und diese nur die vertikale Belastung des mittlern Teils zu übertragen haben und für dieselbe auch auf Knickung zu berechnen sind.

I. Vergleichende Berechnung für verschiedene Bahmenkonstruktionen eines

Lokomotivschuppens.

1. Dimensionierung des eingespannten Rahmens nach verschiedenen Berechnungsweisen.

Die Berechnung der unten gezeichneten Rahmenkonstruktionen ergibt verschiedene Dimensionen, je nachdem sie I unten eingespannt, oder II in der Mitte außerdem mit einer Säule, oder III unten mit Gelenken ausgeführt wird.

Eine vergleichende Berechnung für die Verhältnisse der Trägheitsmomente der Ständer und der oberen Balken von 1:1; 3:5; 1:2 hat ergeben, daß es bei großen Horizontalkräften günstiger ist, wenn die Ständer stärker und die

oberen Balken schwächer sind, während für die vertikale Belastung das Umgekehrte gilt. Doch ist der Einfluß • auf die Dimensionierung verhältnismäßig gering, wie die s.    in Abb. 17 eingeschriebenen Zahlen dartun, welche sich

+ąSy25,f in allen drei Fällen auf den unten eingespannten Rahmen (in I) beziehen, und gelten die äußeren Zahlen für die vertikale und die inneren Zahlen für die horizontale Belastung des Rahmens.

Die Berechnung des nebengezeichneten Rahmens eines Lokomotivschuppens (mit einem Anbau für den Wasserbehälter) hat die eingeschriebenen Stärken für die Ständer und die oberen Balken ergeben. Das Trägheitsmoment der

*    • * r 35 • 70³

ersteren ist J x =-——

X **

+n,7

-2,i

-25,6

+ 295*6,6

1:1

+ 6ß>-25,8 -25,06-3,0

*29,J +22g

JC

3:5

+6oy25,2 -29,963,3

-19ß

Abb. 17.

*21,7 +Zffî5,8

+18,5

's;

-7:2

= 1OOO 420 und der letzteren J₂ =

35 • 65³

— 800990, somit verhält sich JX:J₂ = 5:4

(da die Platte des Dachs durch den horizontalen Winddruck auf Zug beansprucht wird, so ist sie bei der Berechnung nicht berücksichtigt worden).

12

Aus der Dachneigung tg a =

4,6

6,3

= 0,730 und oc = 36° 8'

ergibt sich der Winddruck pro qm senkrecht zur Dachfläche = p • sin² (o + 10) = 150 • sin² 46° 8' = 78 kg/

man 75 cos a = 75 • 0,81 = 61 kg/qm senkrecht zur Dachfläche, so daß für die ungünstigste Belastung mit ganzem Winddruck und halber Schneelast rund 110kg/qm zu rechnen sind.

(im*

Für die Schneelast erhält

~X\70

W.

70

Bei Anwendung einer Zwischenrippe wird die Stützweite der

Plattenstärke. Denn das

6,3 -

0,7 — 0_ß__

ms

ffii

- -6,3 -

Platte = 3,3 m und es genügt hierfür 9 Eigengewicht beträgt 0,9 • 2400 = 216 kg/qm und für ein oben befindliches Ziegeldach mit Befestigung auf Latten und einbetonierten Dollen erhält man rund 60kg/

cm

somit zusammen rund 280 kg/qm und senkrecht zur Dachfläche 280-0,81 = rund 230 kg und mit obigen 110 kg zusammen rund 340 kg/

qm>

qm*

iJS

ii

□

Mit Rücksicht auf Kontinuität kann in der Mitte M,

-îl

ÎW1

0,34 • 3,3²

12

i25

l35

:::

O«

35

35

3,3

35_,

l25

l35

6,3

Abb. 18.

(339 500)

6 • 679 000

7 - 260 • 40

= 7,48 (17,1)

cm

(25)

ql² _ 0,34 • 3,3²

= 0,309 mt und am Auflager Mqa

= 0,412mt angenommen werden, und nach den von mir entwickelten Dimensionierungsformeln (s. Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen

12

1906 und 1910) ist für Alb:x —

./ 6M    (41200)

\    = 0,01464 Y30900 =

= 2,56 (2,97), h — — x— 0,039]/^M = 6,8 (7,9)= o    50

= 0,0293 YM = 5,12 (5,94)    so daß für h = 7,5 (10,5) cm,

fe = 8 © 10 = 6,3 qcm genügen.

Die Zwischenrippe 45 • 25 mit 7,8m Stützweite erhält eine gleichförmige Belastung = 0,34-3,3 = 1,12% und vom Eigengewicht der Rippe 0,36 • 0,25 • 2,4 = 0,22 somit zusammen 1,34 t/m. Mit Ruckes

sicht auf teilweise Einspannung an den Enden kann Mq =    —

1,34.7,8²

12

(25)

= 6,79mt gesetzt werden, wofür mit b = 260

-x = 20,0 (45,7) cm, fe = —

(25)    (17,1)

bx __ 260 • 7,48

50

cm.

= 38,9 (8,6) ⁽icm wird (am

- — gerechnet werden).

genügen, wovon zwei gerade durchgehen, und zwei nach oben abzubiegeu sind.

Auflager kann mit

20

Für h = 41 c“ ist /■«=—. 38,9 = 18,9 <icm, so daß 4 © 26

Die Berechnung der Längsrippen 60 • 35 ergibt sieli im Scheitel aus dem Auflagerdruck der Zwischenrippen, und ist auf der einen Seite halbe Schneelast =

7,8

Winddruck = p • sin² (ot + 10) = 78 kg/qm Grundriß und Aufriß zu rechnen, oder

-— • 3,3 = 0,10‘/m und auf der anderen Seite außerdem der ganze

A

• 0,078 • 3,3 = 0,208 t/m vertikal

6,3

und

4,6

7,8

7,8

•0,078*3,3 = 0,152% horizontal. Man erhält daher als vertikalen Auflagerdruck der Zwischenrippe links

0,232)

7,8

7,8

(0,28 • 3,3 + 0,208 + 0,1) •    = 4,81 und rechts (1,232 + 0,208) •

A    A

— 5,62* und zusammen 4,8 + 5,62 = 10,42 t,

7,8

und horizontal *0,152 = rund 0,601. Das Eigengewicht des Balkens ist = 0,6 • 0,35 • 6,6 • 2,4 = 3,33 t. Da der-

A

10,42 • 6,6

selbe die Rahmen verbindet, so soll er ohne Einspannung gerechnet werden, und man erhält alsdann Mq = 3,33 • 6,6

= 19,94 mt, und hierfür ist nach A3b : 16 bdx

= 15,07 cm, h = Ą-x — 40,2 cm, 25 fe = d (b —

3

C)(l

d

6*1994 000    , 10 • 9

oder fe = 57,2 ucm. Für h = 54 cm ist fel =

-(- 10 bd² oder x =

9(220 — 35)^1 —

irfe =    ’ ⁵⁷>² — ⁴¹>7 qcm> 80 daß 8 (D 26 = 42,5 uem

Ct    04:    t)

16 • 40*220*9

16

d \ c:

2x) ⁺ 2

A_)

2 • 15,07/

35 • 15,07

genügen.

Die Längsbalken bei C und 7) erhalten eine wesentlich kleinere Belastung, können aber als Verbindungsträger der Rahmenkonstruktionen ebenso stark gemacht werden.

Die Kräfte, welche auf den Rahmen wirken, bestehen aus dem horizontalen Winddruck auf den Ständer BD = 0,15*6,6 = 0,99 t/m. Auf die Balken CE und DE kommt eine vertikale Belastung von 280 kg/qm, somit 0,28 • 3,3 + 0,56 • 0,35 • 2,4 = 1,394 t/m, von halber Schneelast (s. oben)

0,10 t/m und vom Winddruck im Grundriß 0,208 t/m und im Aufriß 0,152 t/m. Für CE fällt der von rechts her wirkende Winddruck fort, so daß man rund 1,49 t/m erhält, und für DE: 1,394 + 0,1 + 0,208 = rund 1,70% vertikal und 0,152% horizontal. Außerdem erhält man noch die Einzellasten bei 77=4,80 + 5,62 + 3,33

(5,62)

= rund 13,8t vertikal und 0,6ł horizontal, und bei C und D 4,80 +3,33 = 8,13* vertikal und 0,6t horizontal, wozu noch das Gewicht der Ständer = 0,35 *0,7 • 2,4 • 5,8

(8,95)    (12,4)

= 3,41 * kommt, somit zusammen 8,13 + 3,41 = 11,6 t. Die Resultanten der gleichförmigen Belastungen sind für BD = 0,99 • 5,8 = 5,74*, für DE — 1,7 • 7,8 = 13,26* und für CE = 1,49 • 7,8 = ll,62t, und man erhält somit die in Abb. 19 eingeschriebene Belastung des Rahmens.

(8,95)

VH,6

13,8

¹

^7176/ [X+,

(13,26)

■5,8

12,1

--e,s--MB

Es können nun zwei verschiedene Berechnungsarteu zur Anwendung kommen, und zwar mit Annahme eines frei beweglichen Endes bei + und des Eingespanntseins bei B nach Professor Mörsch oder auch eines beweglichen Auflagers bei + und des Eingespanntseins bei B nach Professor Dr. Müller-Breslau.

Abb. 19.

2. Berechnung des Rahmens nach der Methode von Professor Mörsch für ein gespannte Gewölbe.

Es soll also zunächst die erstere Berechnungsweise zur Anwendung kommen, und als Lamellenteilung a ist 3 • 1,6 + 1,5 und 1,8 + 2 • 2 gewählt worden, so daß nach der von mir veröffentlichten Rahmenberechnung (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1910, S. 53) folgende Tabelle aufzustellen ist:

Lamelle

X 1—7

y (Abstand vom Scheitel) .

COS a

0,81

h (Lamellenhöhe)..........

_ 0,00800990 v rfU) — 0,01000420 A

j- ( : 500)...........

Ui

X    ©    ©    ©    **8

©    ©    tH    ©

Lt*    ©    ©

d oc

0,495 0,495

4,0    5,55

2,92    4,05

1,98    1,86

0,65    0,65

0,495 0,465

CO ©    CO

©    t-T    ©

-1

Ol

0,36    0,40    0,40

3,11

w M i i +y r i’ m‘ ir'

r« -

1    1 I a£ !i

! i i Ldè%J, i

+x

,1

Y'

2'

=*#== I I

y'i

5'

6,16

li

J.

ć"

---5,8--

F = 0,35 • 0,65 (0,7)

0,228 0,228

0,228 0,228

0,245 0,245 0,245

A ^---6,3--

7- i i

-+U

--6,3----

8,7    8,7

8,7    8,2

7,4    8,2    8,2

58,1

500

0,12

Abb. 20.

Der Koordinatenurspiung der x und y-achse ergibt sich aus

lwy (0,58 + 1,75 + 2,92) • 0,495 + 4,05 • 0,465 + 5,5 • 0,36 + (7,4 + 9,4) • 0,4 _ 13,182

2/ -

3,11

Hieraus erhält man die folgende Tabelle zur Bestimmung der Einflufäordinaten für H, V und M] und der Einfachheit halber sollen die vertikalen und horizontalen Kräfte nach den auf S. 10 — 11 angegebenen Formeln besonders berechnet werden (die Ausrechnung beginnt bei IV' 7').

Werden hierbei die Vorzeichen — und + berücksichtigt, so ist das nach îechts gerichtete x negativ einzuführen, und es ergeben sich dann bei Beachtung der Vorzeichen in den Summenausdrücken sowie in H, V und M die richtigen Zahlenwerte der Einfiußordinaten, und zwar nicht nur für die Vertikalen 1', II' usw., sondern auch durch Interpolation für die Zwischenpunkte 1', 2' usw. oder auch für beliebig angenommene Einzel lasten.

hv

3,11

Vertikalen

Scheitel (1')

r (2')

II' (3')

Iir (4')    ! IV' (5) ¹ IV' (6')

IV' (7')

i x-r

— 0,8

- 2,4

- 4,0

— 5,55

y = 4,24 — y

3,66

2,49

1,32

0,19

-    6,3

—    1,26

—    6,3

—    3,16

—    6,3

-    5,16

0,495

0,495

0,495

0,465

0,36

0,40

0,40

2 X 3,11 = 6,22

tVx = W • X

iv,j — w • y W • X².....

iv •y'¹.....

— 0,40

— 1,19

— 1,98

1,81

1,23

0,65

0,32

6,63

2,85

7,92

3,07

0,86

— 2,58 0,09 14,32 0,02

—    2,27

—    0,45 14,29

—    2,52

—    1,26 15,88

0,57

4,00

—    2,52

—    2,06 15,88 10,65

2X71,46=142,9 2X25,8 = 51,6

1 2 Wy {a — x)

—    14,82 —

—    1,6-1,8

Einflnfiordinaten für.....    + 0,8 • 1,81

= — 16,25

—    10,96 —

—    1,6 • 3,03

+ 0,8-1,23 = — 14,82

— 5,59

— 1,5 • 3,77 H--0-3,77

— 1,6.3,68    + 0,75 • 0.09

+ 0,8 • 0,65 = — 10,96

= - 5,59

— 0 - 3,32

- 0 • 2,06

ïwy' + îX

(= 51,84)...

0,314

0,286

0,212

0,108

51,6 + 2 • •0,12 = 51,84

11 wx (a — x)

—    50,25 — — 1,6 • 13,06 —

—    0,8-0,4

Einflufiordinaten für......    = — 71,47

l'-IV'    0,500

2 ^2 (=142,9)11 _ iv    0,500

V— -

-    30,31 — —1,6 -11,87 —

—    0,8 • 1,19

= — 50,25 0,352 0,648

—    12,90 — — 1,6 • 9,89 —

—    0,8 -1,98

= - 30,31 0,212 0,788

-    1,5 • 7,31--

—    0,75 • 2,58

= — 12,90 0,090 0,910

sc

— 0 • 2,52 Die Werte I —IV bilden mit 1' -IV' die Summe 1

(1)

1 lu> (a — x)

Einflnfiordinaten für

I' — IV' 1 iv (=6,22) U — IV .

8,88 + 1,6 -• 2,615 + 0,8 • • 0,495

= 13,46 2,164 2,164

5,09 + 1,6 •    2,09 + 1,6 •

• 2,12 + 0,8 • • 1,625 + 0,8 • • 0,495

= 8,88

1,5 • 1,16 +

| 0,75 • 0,465

0-1,16    0-0,8    0-0,4

1,428

3,028

• 0,495

= 5,09 0,818 4,018

©    t'-    1—

-_s so sc w m h © >o

(6,3)    (6,3)    (6,3)

Die Werte I—IV sind um ihre Abstände x größer als 1—IV'

HX — 4' (1 - 4)........

fl' — 4' (interpolierte U — 4 Einfluß-

1' — 4' ordinaten, — 4 s. Abb. 20)

UJ    ©

CTS 00    Ü» ’OS

© ©    -q OS ©

lO GC CM <M <N t-© O ©

rH rH GO

© © cT

© © CTS © © ©

i* P —1

to —1

0,76 X. 2

iH <Ji © © SC

4,00

3,67

16,42

20,09

Man erhält nun für die Einzellast 13,8* in der Mitte:

H = 13,8 • 0,314 = 4,33 S V = 13,8 - 0,5 == 6,9 *, M = 13,8 ■ 2,164 = 29,86 mt.

Für die gleichförmige Belastung rechts ergibt sich (da sie pro 1. m. schiefe Länge gilt, so ist sie mit

= 1,24 zu multiplizieren):

H = 1,7 (0,71 - 1,6 + 0,05 • 1,5) • 1,24 = 2,55 \ V = 1,7 (0,86 • 1,6 + 0,05 - 1,5) • 1,24 = 3,06 *,

M = 1,7 (3,50 • 1,6 + 0,17 - 1,5) - 1,24 = 12,34*.

7,8

6,3

Für die gleichförmige Belastung links ergibt sich :

II= 1,49 (0,71-1,6 +0,05-1,5)-1,24 = 2,24*, V — 1,49 (2,14-1,6 + 0,95-1,5)- 1,24 = 8,96t, M — 1,49 (10,70 • 1,6 + 5,72 - 1,5) • 1,24 = 47,48 »•*.

Für die horizontalen Kräfte sind die Summenausdrücke:

II = —

PH{y — b) • w • y

Hwy² 4- 2

, v=-

PH (y — b)w • x

Hwx²

M =z

PH(y — b)w

y—--zu berechnen, und wenn die Klammern

aufgelöst werden, so kann die obige Tabelle benützt werden, indem die Lamellenteilung dieselbe bleibt, und zwischen den erhaltenen Einflußordinaten interpoliert wird, um H, V und M zu erhalten.

Vertikalen

Scheitel (1')    I'(2') II'(3')

Hl' (4') IV'(5') IV (6') IV (7')

b — 4,24 j- 0,4 — y (in den Vertikalen) .

w y.....................................

w • w²....................................

rH CO ZD 00

hT t4 ©

00 to l> CM ©_

cd t4 cd

« S Ę

so © ©

2,14

0,09

0,02

© lO [-H r}i lO

© cd ©

© © © ^

CM tH

4,16

2,06

10,65

Hwy...........

Hwy²..........

bHwy..........

Hwy² — bHivy

H= —

1 (Hwy² — bHwy)

Hwy² + H — = (51,84)

+ 0,01

25,80

4- 0,05

25,75

— 0,497

2,06 Die Summierung beginnt in

— 0,491 — 0,504 — 0,446 — 0,282 — 0,144 — 0,040

iv • x • y

© © © ©_

cd cd 1-4

© © © t-^ © CM t-T CM

0,19

2,58

1,26

2,27

0,49 4- 2,86

© CM © tH IQ ©

cd CM~ P

5,16

2,52

1 13,00

Hwx

Hwxy.........

bHivx..........

Hwxy — bHwx

5,04

2,52

1 (Hwxy — bHwx)

Hwx² (= 142,9)

—    0,551    — 0,442 — 0,420 — 0,311 - 0,159 — 0,070 — 0,018

0,495

0,495    0,495    0,465

0,36    0,40    0,40

Hw

3,110

2,615

2,120    1,625

1,16

Hw y.................

bHw..................

Hw y — b-Hiv........

1 (Hw y — bHw) Hw (= 6,22)

1,80

3,03

3,68

3,77

+ 9,10

+ 14,43 — 14,43    — 10,90 — 10,05

4- 7,02 4- 3,48

0,19

7,16

3,58

“ ? p

Ol -1 W Cß © OS CO ©

p ^ w p >■©©>. © © © ©

— 2,320    — 1,752 — 1,616 — 1,151

— 0,576 — 0,256 - 0,064

Einnußordinaten der Mitten durch Interpolation, s. Abb. 21

J-¹ p p

© Oi 00 OS ©

3 £ $

<© © t-T

© TU © SO CM GO © ©" CD

r- CM CM CM 1-1 T*

© © cf

© -ä¹ OO

© O T-l

d d d

CM tH CO O O O O O O

Hieraus ergibt sich für die in Abb. 21 eingeschriebenen Einzellasten:

H — (0,3 • 1,48 + 0,35 • 0,36 + 1,93 • 0,21 +

+ 1,98 • 0,11) + 0,6 (0,50 + 0,28) = 1,66 t

V = (0,3 • 1,30 + 0,35 • 0,24 + 1,93 • 0,12 +

4- 1,98 • 0,05) + 0,6 (0,55 4- 0,16) = 1,23 *

M = (0,3 • 5,10 4- 0,35 • 0,86 4- 1,93 • 0,42 4-

4- 1,98 • 0,19) 4- 0,6 (2,32 4- 0,58) = 4,76 mt

(da die Horizontalkräfte mit dem negativen Vorzeichen einzuführen sind, so erhält man ein positives H, V und M, und für die Vertikalkräfte gilt dasselbe Vorzeichen, weil in den Formeln für das eingespannte Gewölbe das nach unten gerichtete P schon ein negatives Moment ergibt, und daher die negative Kraftrichtung in P angenommen ist).

~9'ń---N*---8'9---■»

■te'*——9i&---

rM

Ti

6,3

-si

Abb. 21.

3. Berechnung des Rahmens nach den Formeln von Professor Dr. Müller-Breslau

für eingespannte Stabzüge.

Nach der Berechnungsweise von Müller-Breslau ist die Momentenfiäche Uber den einzelnen Stäben des eingespannten Rahmens zu bestimmen, und es ist auch hierbei am einfachsten, die vertikalen und horizontalen Kräfte getrennt zu berechnen. Man kann nun ein Eingespanntsein des Rahmens bei B und ein bewegliches Auflager oder freie Beweglichkeit bei A annehmen, und im ersteren Fall erhält man die in Abb. 22 gezeichnete Momentenfiäche der vertikalen Kräfte.

f11,6

30,53

— 1,24 ist, oder Mx — x (18,93 — 0,924 x),

Für CE ist Mx = (30,53 — 11,6) a: — 1,49 . z * |,

somit für ii¹ mit x = 6,3m : Mx — 82,6mt (im ersten Viertel ist il+ = 27,5mt, in der Mitte Mx — 50,5mt und im dritten Viertel Mx = 68,8mt).

wo

6,3

Für DE ist Mx = (32,15 — 12,4) x — 1,7 • 2 X ’ = x (19,75 — 1,054 x) oder für E mit x =

u

= 6,3 m : Mx = 82,6 mt (im ersten Viertel Mx = 28,5 mt, in der Mitte Mx == 51,8mt und im dritten Viertel ilf* — 69,8int).

Die Momentenlinien sind für gleichförmige Belastung schiefe Parabeln mit den mittleren Höhen 9,2 und 10,5, so daß man die Schwerpunkte der Momentenflächen für CE aus

x* =

) • V + (⁹>² • ⁶>³ • 1) ■ ³«¹⁵i

: (260,2 + 38,6) =

668,0

298,8

= 2,24m, ys = 2,60m

und für DE aus

!( 2

82,6 • 6,3

685,3

) -2,1 +( 10,5 -6,3.-|) -3,15) : (260,2 + 44,1) =

erhält, und die zugehörigen Momentenflächen sind F₀ — 298,8 und = 304,3.

Zur Vergleichung sind in Abb. 23 auch die Momentenflächen für die vertikalen Kräfte mit A — 0 dargestellt, und man erhält hierfür:

Mx = - 1,49 • ⁹T±

bei E. Von hier an gilt Mx = — 36,61 — (11,62 + 13,8) • x — 1,7 *    ^ = — 36,61 — 25,42 x — 1,054 x² oder

A

für x = 6,3m bei D : Mx = — 36,61 — 160,15 — 41,83 = — 238,59 mt. Das Moment über BD ist konstant == = — 238,59 mt.

304,3

= 2,25™, ys = 2,60m

wo

= 1,24 ist, oder Mx — 0,924a;², somit eine Parabel mit der Endordinate 36,61 mt

i£

__sta

%\£ !

£    0,6t

«ssf

(11,62)

--12,6

1 5,9 i

Abb. 22.

ft.

f

(13,26)

238,69

----

12,*"

---

>ß

32,15

5,8

-6,3---s-K-j----6,3--

ÄP'=o

x.

Abb. 23.

:A⁶⁶.£Lrz.

Fś&ą* Ï

0,2M

TT

tj

6,3    —

Abb. 24.

i)

=0,6

V -X.

t -20,52 \ -1252

6 3

Die Schwerpunkte der Momentenflächen ergeben sich für CE aus xa — —— l,58m, yt — 3,09m, und für

6,3    36,61 + 2*196,76

_36,61 + 196,76

.il .

das gestrichelte Trapez über DE aus ..........    •

6

— 3,87¹¹¹ somit für die ganze Fläche

aus

Xs =

{3,87    6,:■>)+(

41,83 •

t)

* 6,3

TI

: (735,5 + 87,8) = T^¹’²

823,3

= - 3,96“, ys = 1,41“,

und für BD in der Mitte der Momentenfläche aus xs — — 6,30, ys — — 3,26.

6,3

= — 76,9, F₀ = — 823,3 und F₀ = — 238,59 •

Die zugehörigen Momentenflächen sind F₀ = — 36,61    —

O

. 5,8 = — 1383,8.

Die Berechnung ist daher bei vertikalen Kräften im ersten Fall wesentlich einfacher, während sie bei horizontalen Kräften im zweiten Fall einfacher wird.

Man erhält alsdann die in Abb. 24 gezeichnete Momentenfläche für den Winddruck

My — — 0,6 • y — 0,152 z • y, und für z =    y

Mv = — y (0,6 + 0,129 y), und für y — 4,85m My — — 2,91 — 3,03 == — 5,94mt.

Für BD erhält man MtJ — — 5,94

aus

= 1,70 y wird

— (1,2 + 0,152 * 8,25) y - 0,99 oder für y — 5,95 m bei B:My = — 20,52 - 17,52 = — 38,04 mt.

= — 5,94 — 2,45 y — 0,495 if

A Q K

Die Schwerpunkte dieser Momentenflächen ergeben sich für das obere Dreieck aus —~

O

= 2,43¹¹¹ und für die Parabelfiächen aus ^

4

5,95    2 • 5,94 + 20,52

untere Trapez aus ~— • ——--—

¹    3    5,94 + 20,52

so daß man für die Gesamtflächen erhält über

3,03 • 4,85

— 1,62m und für das 5 95

= 1,21 m und —4— = l,49m,

4

DE —

BD —

:{( 2 '⁴’⁸⁵) ¹>⁶² + ( : {(^-5,95 2,43 ₊(

17,52-5,95

^ 1,21| : (7,06 + 4,90) = .-(78,72 +34,75)

17,37

11,96

243,07

= 1,45 m, ys = 1,24 m, == - 4,11 »,

113,47

und die zugehörigen Momentenflächen F{) = — 11,96 und = — 113,47 sind. Man erhält nun nach S. 12 die Gleichungen:

2,14m, y#= — 4,02“, ®s= — 6,30™,

1F\

Ty

mit ©* = 2F\ ■ ys und = 2F'₀• xs

ist =

)•

Der Koordinatenursprung 0 ergibt sich (in Beziehung auf den Scheitel) aus (s. Abb. 19):

²o =

2wy, _ (7,8

_ r_.₂,3+-

5,8

2 iv

Ferner ist Tx =

|S |s

(4,6 + 2,9)| :    ~    m’ som^ 6r = 2w — 2 • 3,11 = 6,22.

7,8    6,3²    5,8

IT ’    3    '

!). 2 = 143,7.

r'⁶’³

Man erhält daher im ersten Fall für die vertikalen Kräfte

• 2,60 +    • 2,60^ 1,24 } : 52,7 = 4,57 + 4,65 = + 9,221 (mit Rechenstab),

. 2,24 — -³⁽^ • 2,25^ 1,24 } : 143,7 = 1,44 - 1,48 = — 0,04*,

| ^²²^-- +    1,24 I : 6,22 = — 30,06 mt (bei Z gilt immer das entgegengesetzte Vorzeichen von 2F'₀)

(~r~: — 1,24 entspricht —-—\ : \6,3    cos ot/

{(T

f/298,8

\1

und ebenso im zweiten Fall:

1383,8

• 1,58 4

Z= -

<(

76,9    823,3\

4 )

1,24 —

•    3,26} : 52,7 = — 1,40 — 6,83 + 17,13 = + 8,90*,

•    6,3} : 143,7 = — 0,26 + 6,87 + 12,14 — + 18,75*,

1383^8-j : 6,22 = + 89,37 “*,

1383,8

!,24 +    ₅

und für die horizontalen Kräfte

7,8

(4,6

= 1,70 entspricht

«-uf.

•4,02} : 52,7 = — 0,12 + 1,73 = + 1,61*, • 6,3} : 143,7 = 0,15 + 1,00 = -f 1,15 *,

¹¹ 5^-] : 6,22 = + 4,46 mt.

4. Vergleichende Berechnung der Momente des eingespannten Rahmens.

Die Vergleichung der drei Berechnungsweisen für die vertikalen Kräfte ergibt nun

1.    nach dem Verfahren von Mörsch (s. S. 18):

H = 4,33 + 2,55 + 2,24 = 9,12*, V — 6,9 + 3,06 + 8,96 = 18,92*, M = 29,86 + 12,34 + 47,48 = 89,68 mt,

2.    nach dem Verfahren von Müller-Breslau mit beweglichem Auflager bei + (s. S. 21):

H = 9,22*, V= 18,93 — 0,04 = 18,89*, M = 18,93 • 6,3 — 30,06 = 89,20m* (18,93 ist = 30,53 — 11,6),

3.    nach demselben mit frei beweglichem Ende bei + (s. S. 21):

H = 8,90*, V — 18,75*, M = 89,37™*.

Die Vergleichung der zwei Berechnungsweisen für die horizontalen Kräfte ergibt 1. nach dem Verfahren von Mörsch (s. S. 19.):

H = 1,66*, V — 1,23*, M == 4,76™*; 2. nach dem Verfahren von Müller-Breslau mit frei beweglichem Ende:

H = 1,61*, V =1,15*, M = 4,46m*.

Für diese im Koordinatenursprung O aufzutragenden Kräfte H und V erhält man aus xr — y, yr —

M    r-__

r ——    (aus -ß — V H¹ + V²) die Kämpferdrücke bei A, und durch ihre Zusammensetzung mit den einzelnen Belastungen

K

die Stützlinien.

Mit den Formeln von Mörsch und Weyrauch können jedoch auch ohne Aufzeichnung derselben sämtliche Fugen

berechnet werden, und zwar aus M = M₀ + M — H • y

V • x (worin y und x positiv oder negativ einzusetzen sind).

Man erhält daher nach der zweiten Berechnungsart für vertikale Lasten mit M — — 30,06 mt, H = 9,22*, V = — 0,04* (wenn für M₀ der aus der positiven Momentenfläche erhaltene Wert genommen wird) an den Eckpunkten des Rahmens :

Ma = — 30,06 + 9,22 • 6,16 -f 0,04 • 6,3 = + 26,99, Mc = — 30,06 + 9,22 • 0,36 + 0,04 • 6,3 = — 26,49,

Me = — 30,06 + 82,6 — 9,22 • 4,24 =-f 13,45, Md = — 30,06 -f 9,22 • 0,36 — 0,04 • 6,3 = -- 26,99,

Mb = — 30,06 + 9,22 • 6,16 — 0,04 • 6,3 = + 26,48 m*.

Die dritte Berechnungsart für vertikale Lasten mit M — 89,37mt, H= 8,9 *, V — 18,75*, ergibt dieselben Momente wie die erste und zweite (wenn der aus der negativen Momentenfläche erhaltene Wert für M₀ eingesetzt wird), und man erhält:

Ma = 89,37 + 8,9 • 6,16 — 18,75 • 6,3 = + 26,07, Mc = 89,37 -f 8,9 • 0,36 — 18,75 • 6,3 — — 25,55,

Me = 89,37 — 36,61 — 8,9 * 4,24 = -f 15,03, Md — 89,37 — 238,09 + 8,9 • 0,36 -f 18,75 • 6,3 = — 27,32,

Mh — 89,37 — 238,09 + 8,9 • 6,16 + 18,75 • 6,3 — + 24,23 m*.

Ebenso erhält    man nach beiden Berechnungsarten für horizontale Kräfte mit H    = 1,61*, V — 1,15*,    M    =    4,46 mt:

2,21,

Ma =    4,46    -f-    1,61 • 6,16 — 1,15 •    6,3 = + 7,13, Mc    = 4,46 + 1,61 ■ 0,36 — 1,15 • 6,3 =

Me =    4,46    —    0,24 — 1,61 • 4,24    = — 2,61, Md =    4,46 — 5,94 + 1,61.0,36 -f 1,15.6,3    =    +    6,35,

Mb —    4,46    —    38,04 + 1,61 • 6,16    + 1,15 • 6,3 = —    16,42 m*.

-28,.

+27,0-6316,1

+ 10,8 + ¹³'⁵ fe % $

<9-27,0. [-20,6

+26,5    +70,1

Abb. 25.

In diesen Momenten sind die Vertikalkräfte für einseitigen vollen Winddruck und für halbe Schneelast berücksichtigt worden, was bei Annahme der vollen Schneebelastung ohne Winddruck ungefähr ebenso große Werte ergeben würde (die halbe Schneelast und der auf die ganze Dachfläche verteilte vertikale

2 ~ 2

ganzen Schneelast = 61 kg/qm), wenn sie ohne die Momente für den horizontalen Winddruck gerechnet werden.

Man erhält alsdann die nebengezeichneten Momentenfläclien für Ma = 26,99 + 7,13 = -f 34,12 mt, bzw. = + 26,99 mt,

Me = — 26,49 — 2,21 = — 28,70mt, bzw. = — 26,49mt,

Me = 13,45 — 2,61 = + 10,84rat, bzw. = + 13,45mt,

Md = — 26,99 -j- 6,35 — — 20,64mt, bzw. = — 26,99 mt,

Mb = 26,48 — 16,42 = + 10,06 mt, bzw. = + 26,48m*.

Winddruck ist =

0,78

70kg/qm Dachfläche, also angenähert = der

5. Berechnung des eingespannten Kähmens mit einer Mittelsäule.

Da die Momente sehr groß sind, so soll eine Mittelsäule angewendet werden, welche die vertikale Belastung des mittleren Teiles aufnimmt, und zwar die Einzellast von 13,8* sowie von den benachbarten Dachflächen links 5 81*

3    ⁷

und rechts 6,63 *. Bei einer Höhe von 9,6m mit — Knicklänge erhält man ohne Berücksichtigung der Eiseneinlagen

als Knickungskoeffizient k — 1 -f 0,0001 •

F-P

5*' T

«Li.

= 1 + 0,0001

40² • 720² • 12

40⁴

AV

73/'

26240    „

4q74q * M⁹ = 22,8kg, so daß 40/40

Ni

(71,62,/    ^ (13,26) X

"11,6

«ci-

72/ '

<----6,3---3» <H---6,3--

--3»

17,11

26,21

Abb. 2ö.

13,031

= 1,39 und als Maximalspannung a = jedenfalls genügen.

Die diskontinuierliche Berechnung ergibt genauere Werte als die kontinuierliche (schon wegen der steifen Ecken), und man erhält als Auflagerdrücke

A = 11,6 -f- 5,81 = 17,41 *, B = 12,4 -f- 6,63 = 19,03 *.

Die nebengezeichneten Momentenfläclien ergeben sich für CE M, = (17,41 - 11,6) * - 1,49 •

oder für C und E:MX =0, für die Mitte Mx = 9,15mt, im ersten und dritten Viertel Mx = 6,86m*.

Ebenso erhält man für DE:

aus

cm

= x (5,81 — 0,924 x) für 0 = 1,24 x

M, = (19,03 - 12,4) • * — 1,7 Mx = 0, für die Mitte Mx = 10,44nit, im ersten und dritten Viertel Mx = 7,83m*.

= x (6,63 — 1,054 x) oder für D und E:

Die Momentenflächen sind daher parabolisch mit F₀ = 7,8 • 9,15 •

= 47,58 und F' = 7,8 • 10,44 • -i-

à

= 54,29 und die Schwerpunkte liegen in der Mitte derselben, so daß man erhält :

+ -⁶-^-1,94): 52,7 = 0,94*,

+⁹ • 3,15) : 143,7 = — 0,02 *, Z = —

47,58 • 1,94

/ 47,58

V 4

47,58 ₊ 54^291    ₌_ 4 09ml

• 3,15 —

Man erhält daher bei Einsetzung von M = — 4,09, H — 0,94,

V — — 0,02 in obige Gleichung:

Ma — — 4,09 + 0,94 • G,16 + 0,02 • 6,3 = + 1,83,

Mc = — 4,09 + 0,94 • 0,36 — 0,02 • 6,3 = — 3,63,

Me = — 4,09 — 0,94 • 4,24 == — 8,08,

Md = — 4,09 + 0,94 • 0,36 — 0,02 • 6,3 = —    3,88,

Mb = — 4,09 + 0,94 • 6,16 — 0,02 • 6,3 = + 1,58 mt.

Durch Vereinigung dieser Momente mit denjenigen vom Winddruck s. S. 22 (die Mittelsäule hat keinen Einfluß auf die letzteren) erhält man die nebengezeichneten Momentenflächen für:

Ma = + 1,83 + 7,13 = + 8,96 + bzw. = + 1,83mt,

Mc    =    —    3,63 — 2,21 = — 5,84 + bzw. == — 3,63mt,    Me =    —    8,08    —    2,61    =    -    10,69    mt,    bzw.    =    —    8,08 +

Md    =    —    3,88 -f 6,35 = + 2,47 + bzw. = — 3,88mt,    Mb =    1,58    —    16,42    =    —    14,84 +    bzw.    =    +    l,58mt.

-107

»,

Sß

-Sß

2ß

+ 7ß+3,0

Abb. 27.

6. Berechnung des Zweigelenkrahniens ohne und mit Mittelsünle.

+1,6 -W.S

Zur Vervollständigung der Vergleichung sollen noch die beiden obigen Rahmen mit Gelenken bei A und B berechnet werden, und ändern sich hierbei die Momentenflächen nicht, aber die æachse geht jetzt durch die Gelenke, so daß man statt Tx = 52,7 nun T'x — 52,7 -j-6,16² • 6,22 = 288,7 erhält, und bei Einsetzung von y s = ys -f 6,16 die Summenausdrücke auf S. 21 und 23 folgendermaßen heißen:

(2,60 + 6,16)^ 1,24 } : 288,7 — 2,26 + 2,31 = 4,57 * (ohne Mittelsäule),

⁵⁴^⁹ (1,94 + 6,16)} : 288,7 = 0,32 + 0,38 = 0,70f (mit Mittelsäule).

= ± 3,021 und (e. S. 21)

{(~™ (2,60 + 6,16)-}

) 47,58

Für den horizontalen Winddruck erhält man als Gegendruck V =

1 _    . 1?70 (+24 + 6,16) — ¹¹³;⁴⁷ (— 4,02 + 6,16)} : 288,7 =. — 0,13 — 0,17 — — 0,30b

Der Summenausdruck für V entspricht der Formel:

(1,94 + 6,16) +

38,04

12,6

V • G • zu- l_ 3,02.6,22 • 6,16 - 12,6

= 2,52*, so daß H = 2,52 — 0,30 = + 2,22 t wird.

Die Momente an den Ecken sind nun im ersten Fall (ohne Mittelsäule):

Ma = 0, Mc — — 4,57.5,8 = — 26,51mt, Me — — 4,57 • 10,4 +82,6 = + 35,07'+ Md — — 26,51 mt, Mb== 0 und im zweiten Fall (mit Mittelsäule):

Ma = 0, Mc = — 0,7 • 5,8 — — 4,06 + Me= — 0,7 • 10,4 = — 7,28 mt, Md = — 4,06 mt, Mb= 0 und für den horizontalen Winddruck (in beiden Fällen):

Ma = 0, Me = - 2,22.5,8 = - 12,88 t,

Me — - 2,22 • 10,4 + 3,02 • 6,3 = — 4,06 +

Md — — 2,22 • 5,8 + 3,02 • 12,6 — 5,94 = + 19,23 +

Mb — 3,02 • 12,6 — 38,04 = 0.

Die Maximalmomente sind daher im ersten Fall:

Mc — — 26,51 — 12,88 = — 39,39+ bzw. — 26,51 +

Me = 35,07 — 4,06 = + 31,01+ bzw. -f 35,07 Md — — 26,51 + 19,23 = — 7,28+ bzw. — 26,51mt (dieselben entsprechen den äußeren Zahlen in Abb. 28).

Ebenso erhält man im zweiten Fall:

Mc = — 4,06 — 12,88 == — 16,94+ bzw. — 4,06+ Me — — 7,28 — 4,06 == — 11,34+ bzw. — 7,28 + Md — — 4,06 + 19,23 = + 15,17 ,nt, bzw. — 4,06mt (und gelten hierfür die inneren Zahlen).

2 Tx

2 • 288,7

- 39,+f-16ß

+35,1

+15,

-26,5

mt

Abb. 28.

7. Berechnung der Eiseneinlagen nach den von mir entwickelten Formeln.

Der eingespannte Rahmen mit Mittelsäule ergibt daher die kleinsten Momente an den Ecken, und hierfür soll der Rahmen dimensioniert werden. Aus den in Abb. 27 gezeichneten Momentenllächen erhält man als Maximalbiegungsmoment bei B — 14,84mt, ferner nach Abb. 26: Nx = 19,03 — 1,15 (v. Winddruck s. S. 21) — 17,88* c =

Mx

— 14,84

= — 0,83m (s. S. 15) und für h = 64cm, hl — 6 cm, gx = — 83 + 35 = — 48cm, g₂ = 48 + 64 =

17,88

3

= 112 cm, h = 35cm, a₆ = 40 ks uach B 2 c für p = 1 : a?² — 2 x (k + hl) =--— (h² + /*'*) + j

3P '(4-0-

~) (9, — ll’>) «der x'‘ —

2x • 70 = —

SQ CM

(64² + 6²)-f

3 • 17 880 1/64 35 • 40 l \ x

°)1

oder x² — 140 a? = —

/7492    \

6198 + 40,46    --166j oder x² — 140a:+ 12914 —

303 126

= 0.

= (32 i8‘ f <*> = _ Ferner ist n ^1 — (h

Für a?

— 490

, somit genaues a? = 32 +

- v) r. =

_ P-9*

hx

2 • 14

476

= rund 32,1

cm

und hierfür ist f (x) = + 7.

32,1/

--— (3 h — x) oder

6

35 • 32,1

17880 • 112

15 (l

vorhanden sind 5 © 28 = 30,8 icm (s. Abb. 18).

Bei G erhält man als Maximalbiegungsmoment Mx = — 5,84mt, ferner ist Nx = V,x sin cp + Hx cos cp, wo = 0,590, cp = 36° 8', cos cp = 0,808. Für vertikale Belastung ist Vx = 5,81 — 0,02 = 5,79*,

(64 - 6) f\ =

40

(3 • 64 — 32,1) oder f'e = 28,4 <icm,

sin

cp =

4,6

7,8

Hx = 0,94* (s. S. 23) und für horizontale Belastung Vx = 1,15*, Ilx~ 1,61* (s. S. 21) somit zusammen Vx— 6,94*,

M

Hx = 2,55* und hierfür Nx = 6,94 • 0,59 + 2,55 • 0,808 = 6,16*, c — ~ —

5,84

Nx    6,16

= — 95 + 32,5 = — 62 cm, g₂ = 62 + 60 = 122cm, h = 60cm, H = 5cm, a:² — 2 a:- 65 =

3-6160 f/60 35-40 \\x

= — 0,95 m (uach innen), b = 35cm

/H K

5438 + 13,2 /—

somit (s. oben) 5) | oder a?² — 130 x — —

- — (60² + 5²) + -

189^ oder a:² — 130 x + 7933 —

+ 303 + 68

1^ 122 + (^1

— 62 —

101046

= 0.

ist fix) =

Ferner ist (s. oben) 15 ^1

Für a? =

, und genaues a? = 17 — 6160

1 • 68

235

und hierfür ist f(x) = — 10. (3 • 60 — 16,7) oder f\ = 5,0*1«“,

= 16,7 35 • 16,7

cm

16,7) ^60 5) ^e

vorhanden sind oben und unten 2 © 28 = 12,3 <*cm.

Im Scheitel ist Mx — — 10,69 mt, sin cp = 0, cos cc = 1, Nx = Hx = 0,94 + 1,61 = 2,55* (s. S. 21 u. 23),

Mx

/. —HL

~N

h — 74cm, U == 6cm, h = 35cm, somit x² — 2 x • 80 =

10,69 _

2,55

40

• 122 —

= — 4,19 m (nach innen), gt = — (419 — 40) = — 379 cm, g₂ = 379 + 74 = 453cm,

I (74² + 6²) +

194039

^1 —    ^ (— 379 — 6) } oder a:² — 160 a: + 12842 —

= 19,2 mit f (a?) = + 23. Ferner ist 15 ^1 (3 - 74 — 19,2) oder f\ = 8,8 icm.

genaues a? = 20 — 35 • 19,2

340-2

834

a?

= 0. Für x =

3-2550 (/74 35-40 A~x~

ist f (x) —

(20

>18

-)

9,2/

(U - 8) f. = 4ü

— 1^ 453 +

/+ 340 l— 494*

2550

und

•453

Der benachbarte Querschnitt mit Vx = 1,15*, Nx = 1,15 • 0,59 + 2,55-0,808 = 2,74*, c = —

10,69

= — 3,90 m,

yl = — (390 — 32,5) = — 358 cm, g₂ = 358 + 60 = 418 cm, h = 60 cm, hl = 5 cin, b = 35 cm hätte a: = 20,2 und f't = 16,9 cicm ergeben, vorhanden sind oben 5 © 28 = 30,8 und unten 4 © 28 = 24,6 *icm.

Für den Abstand 3,0m von D erhält man das positive Mmax = 8,4m*. Ferner ist (vgl. Abb. 26)

Vx = V — fp = 6,63 — 1,15 — 3,0- 1,7 = 0,38*, 11= H—1H= 0,94 + 1,61-0,6 — 4,8-0,152 = 1,22*,

Nx = Vx • sin cp + Hx • cos cp = 0,38 • 0,59 + 1,22 - 0,808 = 1,21 *

gi = — 694 + 32,5 = — 662cm, g₂ = 662 + 60 = 722cm, h = 60cm, hl = 5cm, b = 35cm, somit a:² —2 a: • 65 =

= - I (6O⁵ + 5») 4-

3 - 1210

35 • 40

722 +

*-i)(

— 662 —

2,74

cm

Mx

8,4

C~NX~ 1,21

= + 6,94 m (nach außen),

Für x =

J20 . .    .    (+791

>!8 18t f^X) = 1+ 303’

(*-a

(60 - 5) f't =

und genaues a? = 18 — 1210 •722

303 • 2

35.

5^J oder a?² — 130 x + 9040

120976

= 0.

= I7cm und hierfür ist f(x) = + 3. (3-60 — 17) oder f\ — 9,8tlcm, vorhanden

Ferner ist 15 sind oben und unten 2 © 28 = 12,3qcm.

Die Schubspannungen können aus Tx = Vx • cos cp — Hx • sin cp berechnet werden, und genügt eine Abbiegung zur Aufnahme derselben.

40

II. Berechnung des eingespannten Rahmens für einen Güterschuppen.

1. Getrennte Berechnung für das Eigengewicht, die Schneebelastung und den Winddruck.

Für den nebengezeichneten Rahmen soll eine getrennte Berechnung des Eigengewichts, der Schneebelastung und des Winddrucks stattfinden.

Bei Annahme des Verhältnisses für J — 1 :1 (was sowohl für Eisen als auch für Eisenbeton gelten kann) { 5,8 (3 + 2,9) + 9,96 • 1,5 } : (5,8 + 9,96)

(9,96 . ~ + 5,8 • -

+ 5,8-

erhält man z —

2wy'

49,16

hv

T —

-L x

'y² ds

= 3,12 m, G ist — 2 • 15,76 = 31,5,

T, =

x² ds

(*"•*

15,76

⁵"f~) ’ ² ~ 0,122 * 31,5 = 189>⁴> ‘

9,5²^ • 2 = 1646,2.

22,30 I

*■

SV

^ ¹

-z*⁸—

-s+4-1-

ipf

fi V > Qq II

\ ł > ^ r

-3,0 ~i

'S-

or

fti

"Il

et-

ZM8 i 2ÿ8

c}⁰’^

'G

7t

ml i il s

Cfc

'S)'

0,3

1,0

---1,0

p+1

0,8

-5,68 —

0,8

o,v ^    J I |

*f-----9,5-----1^1---— —9,5

V I *

d>

hh*

A“

hB

Abb. 30.

Abb. 29.

Die Momentenfläche ergibt sich für vertikale Belastung durch das Eigengewicht aus dem Auflagerdruck A = B = 3 • 1,8 + 1,5 + 2,0 -f- 1,6 = 10,5 *, somit ist

— 1,6 • 2,8 = — 4,48, My = (10,5 — 3,5) 2,48 — 1,6 • 5,28 = 8,91, Mh = 8,91 + (7 — 3,4) • 2,48 = 17,84, Mi~ 17,84 + (7 — 5,2) • 2,48 = 22,30, Me — 22,30mt

(auf der anderen Seite erhält man dieselben Momente).

Für die vertikale Schneebelastung erhält man: A = B = 3 • 0,8 + 2*1 = 4,4*, und hierfür ist

0,8 • 5,28 = 4,70,

Mf = — 0,8 • 2,8 =

Mh = 4,7 + (3,6 — 1,6) • 2,48 = 9,66, M; = 9,66 + (3,6 — 2,6) 2,48 = 12,14m*.

2,24, Mg = (4,4 — 0,8) 2,48

Für vertikale Windbelastung von rechts her erhält man

A = (o,38 (2,48 -f- 4,96) -f- 0,16 • 7,44 -j- 0,36 • 11,56) : 19 = 0,43ł, B = 1,47 — 0,43 = 1,04* und die Momente sind: Mm — (1,04 — 0,19) 2,48 = 2,11, M\ = 2,11 + (0,85 — 0,38) 2,48 = 3,28,

Mk = 3,28 + (0,47 — 0,38) 2,48 = 3,50, Me = 3,5 + (0,09 — 0,16) 2,06 = 3,36,

M. = 3,36 — 0,07 • 2,06 = 3,22 m*.

--

5,36

.Tiff

0,36 ’J'lk 0,16

--85—

0,38

-ÿ= — B

°,38    V0,191

--9,5--

—tu

çç 'gaj =- - —g ÿ--

—89'ff--

■R>

-•

W! ! I

\0,89

\l.88

^96

--9,5--

9,5

4*Ul-

i I \l/

9,5

Cv

-9,79

=.

- 20.11mt

Abb. 32.

Abb. 31.

Für den horizontalen Winddruck von rechts erhält man:

Me = 0,36 • 0,65 = + 0,23, M, = 0, Mt = — 1,14 • ^

Mm = - 0,89 - (1,14 + 0,12) ²^- = - 1,88, Jfd = - 1,88 - (1,26 + 0,12)    = - 2,96,

Mn = — 2,96 — (1,38 + 1,06) 2,8 = — 9,79, Mb == — 9,79 — (2,44 + 1) 3 = - 20,11 m*.

2,35

= — 0,89,

Für diese Momentenflächen sind nun die Inhalte der einzelnen Trapeze mit ihren Schwerpunkten zu bestimmen,

einzusetzen.

um sie dann in die Summenausdriicke X =

T

-L u

h u + 2 b

a + b

wenn e' dem Abstand der Trapeze vom Endpunkt des Stabs entspricht, und

erhält vom Eigengewicht für AC:F\ = — 4,48*2,8 = — 12,54 mit xs = + 9,5, ys = — 1+8 UQd für CE : F\ = 145,48 mit = + 3,65, ys = + 1,97, somit ist:

9,96

Die Schwerpunkte der Trapeze ergeben sich aus e = — •

o

einzelnen Stäben aus E = man

und diejenigen der Gesamtflächen über den

2^+ 12,54 * 1,28 + 145,48 * 1,97 •

^ : 189,4 = 2 (0,085 + 1,590) = + 3,35 *, Y = 0,

2 ( — 12,54 + 145,48 •    : 31,5 = — 8,88 mt

(das entgegengesetzte Vorzeichen von Z gilt wegen der verschiedenen Vorzeichen von V und H sowie von M in den Formeln von Mörsch.)

Von der Schneelast erhält man F'₀= — 2,24 • 2,8 = — 6,27 mit xs = + 9,5, ys = — 1,28 und F\ = 78,45 mit #s= + 3,62, yÄ= + 1,98, somit ist:

X = 2 (+ 6,27 • 1,28 + 78,45 • 1,98 • 1,05) : 189,4 = 2(0,042 + 0,86) = + 1,80 *(

Y = 0, Z = — 2 (—6,27 + 78,45 • 1,05) : 31,5 = — 2 (— 0,20 + 2,61) = — 4,82 mt.

Vom vertikalen Winddruck erhält man F'₀= 18,71 mit xs = + 3,27, ys =+2,09 Uber CE und F\ = 24,78 mit xs = — 3,77, ys = + 1,93 über DE, somit ist:

X = 1,05 (18,71 • 2,09 + 24,78 • 1,93) : 189,4 = 1,05 (0,21 + 0,25) = + 0,48 *,

Y = 1,05 (18,71 * 3,27 — 24,78 • 3,77) : 1646,2 = 1,05 (0,037 — 0,057) = — 0,02*,

Z = — 1,05 (18,71 + 24,78) : 31,5 = — 1,05 (0,59 + 0,79) = — 1,45 mt.

Z= —

9,5

für

9,96

9,5

1,05),

Vom horizontalen Winddruck erhält man F'₀ = + 0,07 mit xs —

2,06

-—- = + 0,69, ys = + 2,90 Uber EJ und

O

EK, F\ = — 3,26 mit xs = — 7,22, ys = + 0,84 Uber KD, F\ = — 62,7 mit xs = — 9,5, ys = — 3,55 Uber BD, somit ist:

X = ((+ 2 * 0,07 * 2,90 — 3,26 • 0,84) 1,05 + 62,7 * 3,55) : 189,4 = (0,002 — 0,014) 1,05 + 1,174 = + 1,16%

Y = (3,26 * 7,22 * 1,05 + 62,7 * 9,5) : 1646,2 = 0,0143 • 1,05 + 0,362 = + 0,38*,

Z = — ( (2 * 0,07 - 3,26) 1,05 — 62,7) : 31,5 = + 0,099 • 1,05 + 1,99 = + 2,10 mt.

2. Berechnung der Momente und Spannungen in den Ecken des Rahmens.

Man erhält nun bei Zusammensetzung der Werte von X, Y und Z für die vertikalen Kräfte bei ganzer Schneelast und halbem Winddruck:

X = 3,35 + 1,80 + 0,24 = 5,39 *, Y = — 0,01 *, Z = — (8,88 + 4,82 + 0,73) = — 14,43 mt und bei halber Schneelast und ganzem Winddruck

X = 3,35 + 0,90 + 0,48 = 4,73 ^ Y = — 0,02*, Z = — (8,88 + 2,41 + 1,45) = — 12,74“* und für den horizontalen Winddruck X = +l,16t, F = +0,38t, Z = + 2,10mt,

so daß die ungünstigsten Werte bei ganzer Schneelast und halbem Winddruck entstehen, und man hierfür erhält:

X = 5,39 + 0,58 = + 5,97*,

Y = — 0,01 + 0,19 = + 0,18*,

Z = — 14,43 + 1,05 = — 13,38 mt.

Die Momente an den Ecken (bzw. auch zwischen denselben) ergeben sich aus: Mx = M + M₀ — H y —V-x (für X = H, Y — V, M = Z und M₀ = Ordinate der Momentenflächen), somit ist:

Ma= — 13,38 + 5,97 • 5,68 —0,18*9,5 = + 18,82,

(jf₀)

Mc=- 13,38 — 5,97 *0,12 — 0,18 • 9,5 — 4,48 — 2,24 = — 22,53, 3,36    0,23

+ -v ⁼+⁴’²³’

+ -Ï8.S

Abb. 33.

-20,6

+ -72,2

Me =    — 13,38 — 5,97 • 3,12 + 22,30 + 12,14 + —f

M<t =    — 13,38 — 5,97 * 0,12 + 0,18 • 9,5 —    4,48 —    2,24    —

20,11

=+12,18“*.

Zur Vergleichung sollen noch die Werte für die Einzelbelastungen bestimmt werden, und man erhält für Eigengewicht    H =    3,35 *,    V = 0, M = — 8,88mt, somit ist :

Ma    =    —    ⁸>88 + 3,35 * 5,68 = + 10,15 = Mb, Mc =    — 8,88    —    4,48 - 3,35 • 0,12 = — 13,76 = Mu,

Mt~ — 8,88 — 3,35 * 3,12 + 22,30 = + 2,97.

Mb = — 13,38 + 5,97 • 5,68 + 0,18 * 9,5 —

= - 20,59,

Für Schneebelastung ist H = 1,80*, V — 0, M = — 4,82mt, somit:

Ma = — 4,82 4- 1,8 • 5,68 = 4- 5,40 = Mh, Me = — 4,82 — 1,8 • 0,12 - 2,24 = — 7,28 = Md,

Me = — 4,82 — 1,8 • 3,12 4- 12,14 = 4 1,70.

Für vertikalen Winddruck ist H = 0,48*, V = — 0,02*, M = — 1,45 mt, somit:

Ma — — 1,45 4 0,48 •    5,68 4 0,02 •    9,5 = 4-1,47,    Mc    =    — 1,45    — 0,48 • 0,12*4- 0,02 • 9,5 = — 1,32,

Me = — 1,45 — 0,48    • 3,12 4- 3,36    = 4- 0,41, Md    =    —    1,45 —    0,48 • 0,12 — 0,02 • 9,5 = — 1,70,

Mb = — 1,45 4- 0,48 • 5,68 — 0,02 • 9,5 = 4 1,09.

Für horizontalen Winddruck ist H = 1,16*, V = 0,38*, M =4-2,10mt, somit:

Ma = 2,1 4- 1,16 • 5,68    — 0,38 • 9,5    = 4- 5,08, Mc    =    2,1    — 1,16    • 0,12 — 0,38.9,5 == — 1,65,

Me — 2,1 — 1,16 • 3,12 4- 0,23 = — 1,29, Md =    2,1    —    1,16 • 0,12 4- 0,38 • 9,5 — 2,96 = 4- 2,61,

Mb = 2,1 4- 1,16 • 5,68 4- 0,38 • 9,5 — 20,11 = — 7,81.

Die Zusammenstellung der Momente ergibt daher für ganze Schneelast und halben Winddruck:

1,47 , 5,08

Ma = 10,15 4- 5,40 4 Ut = 2,97 + 1,70 + 941    1,29

Mb = 10,15 + 5,40+*^°

— = + 18,82, Mc=- 13,76 — 7,28 — = 4 4,23, Md = — 13,76 — 7,28

1,32    1,65

1,70    2,61

—2— "■ —o

- 22,53,

= — 20,59,

—— = 12,19m* (s. oben).

A

Die auf S. 15 enthaltenen Formeln für die Aufzeichnung der Stützlinien bzw. die Berechnung der einzelnen Fugen ergeben die genaue Verteilung der Druck- und Zug- (auch Schub-)spannungen. Bei der Berechnung des Abstands

Mx

c = ~ von der Mittellinie des Rahmens liegt die Resultante R (bzw. Nx) für ein negatives Vorzeichen von c immer

^ X

nach außen und für ein positives Vorzeichen immer nach innen. Ebenso rufen die positiven Biegungsmomente Mx = = Ma usw. immer außen Druck und innen Zug und die negativen immer außen Zug und innen Druck hervor. Die

Bestimmung der Dimensionen des Rahmens geschieht bei Eisen in der gewöhnlichen Weise (aus ae =

Nmk Mx

F

und bei Eisenbeton können die von mir aufgestellten Formeln für exzentrische Beanspruchung in B 1 — 4 (s. Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen von 1906 und 1910) verwendet und in der gewöhnlichen Weise kontrolliert werden.

III. Berechnung eines Güterschuppens ohne und mit unteren Gelenken sowie

Mittelstützen.

1. Berechnung des eingespannten und des Zweigelenk-Rahmens ohne Mittelstützen.

Zunächst soll die Berechnung ohne und mit Gelenken und ohne Mittelstutzen ausgeführt werden, und hierbei

kann das Trägheitsmoment konstant = 1 angenommen werden, so daß in dem Ausdruck F\ = -^überall J = 1 ist. Man erhält alsdann den Koordinatenursprung aus :

— {3,9 (13 — 1,95) -f- 2,27 (13 — 5) + 5,78 • (13 — 7,3) +

-f 2,07 • (13 — 9,5) + 4,58 (13 — 11,75)} : (3,9 + 2,27 -f 5,78 + 2,07 +

, ,    107,17

Z/ł

z,v

z.t

+ 4,58) == -

= 5,76m, somit ist G — 2 • 18,6 = 37,2,

L2

ferner Tx =

18,60

y² ds_ (4,58

2²

.5

(2² + 2 • 4,5 4- 4,5²) 4- 2,07 • — +

(4,6² 4- 4,6 ,

tC

rr

3L

2*

3,9

IÎ'

2,4

— (2,4² + 2,4 • 4,6 4- 4,6²) + -L

•8,5    8,5²) — 1,26² • 18,6j 2 = 472,1 (dasselbe wurde in Beziehung

auf EF mit Verschiebung um 5,76 — 4,5 = 1,26 m berechnet), und

(4,58 “ +    (3,7’ + 3,7 • 4,25 + 4,25») + ^

(9,5² -f 9,5 • 10,05 + 10,05²) 4- 3,9 •

4- 5,78 •

x¹ ds_ (

Ty =

(4,25» + 4,25 • 9,5 + 9,5») +

• 10,05 j 2 = 1902,0 (s. die Formeln für Tx und Ty auf S. 12).

A/M,

oĄ

I! j j 11 4h

JA ~ s'zs- 4

--20:1---

53,55

5657

63,23

63,23

53,55

0,55

1,5 t,

i'o' x

»IT

1,57

L_

2,10

Abb. 34.

ST

6.SZ _

•O «O

Die Auflagerdrücke der Belastung des Hauptdachs sind: A = B — 1 4~ 2 4~ 3 -f 2 4~    4“ 2,4 4- 1>2 = 13,4 *

1,5 • 23,2 — 0,5 • 0,3

und der Vordächer A —

0,5 • 20,4 — 1,5 • 3,1

= 1,724* zusammen 2,0*.

= 0,276*, B =

20,1

Aus den ersteren erhält man eine symmetrische Momentenfläche mit: Mc,= 12,4-0,55 = 6,82, Mm — 6,82 4-4-(12,4 — 2)    ₌ 34,12, Me = 34,12 4-(10,4 — 3)    = 53,55, Me, = 53,55 4- (7,4 — 2) 0,55 = 56,57,

Z    •    A

Mm = 56,57 4- (5,4 — 1,8) 1,85 — 63,23, Mg = 63,23 4- (3,6 — 2,4) 1,85 = 65,45 m* (der Index m bezeichnet die Mitte der Stäbe).

Die Momentenfläche der Vordächer ergibt sich aus Ma, — M.c= — 0,5 • 0,3 = — 0,15 m* und Mb'= Mä =

20,1

= — 1,5 • 3,1 = — 4,65 mt, und die Höhen des negativen Trapezes (s. Abb. 34) sind Mc, — — (0,15 4~

0,55

20,1

• 4,5) =

= — 0,27, Me= — 1,45, Me, — - 1,57, M₀ = — 2,40, Mf, = — 3,23, Mf = — 3,35, Md, = — 4,53m* (dieselben Werte würden sich auch mit dem Auflagerdruck A — 0,276* ergeben).

Es sind nun die Momentenflächen F₀ über den einzelnen Stäben mit ihren Schwerpunkten zu bestimmen, wobei

^ in den Dreiecken^

die letzteren für die einzelnen Trapeze aus e = — •

ô

h a 2 b a 4- b

bzw.

und die ersteren aus

F'o = li • —Qi' — schiefe Stablänge) berechnet werden. Ferner ist xs = Abstand der Trapeze von der yachse e

A

ß

und y = Abstand der Stabenden vom Scheitel =F y X Höhe der Stäbe. Man erhält alsdann folgende Tabelle für die positiven Momentenflächen der Trapeze (von G nach links):

Trapez

1-6

d -f- 2 b

191,91

128,68

h {h! schief)

„_ h a 4- 2b

~~ 3 T+T '

F'₀ = h' 1±1

(2,29)

1,85

0,92

147,3

176,37

119,80

(2,29)

163,67

110,12

121,79

1,85

0,91

137,2

(2,07)

0,55

87,67

(2,89)

2,625

47,76

40,94

(2,89)

2,625

6,82

6,82

(2,27)

0,55

0,272

114,0

1,21

1,02

0,55

(mit Rechenstab)

126,7

58,2

7,7

xs (Abstand + e)..........

y ^Abstand -J-    Höhej...

0,92 #

3,7

0,92

2,76

3,97

5,46

7,90

9,68

2,5 = 0,62

1,86

3,49

5,05

6,17

7,63

(13)

ys — 5,76 -- y

Ebenso erhält man die negativen Momentenflächen der Trapeze (von D nach

Trapez

1—8

a 4~ 2 b. . . .

a 4- b......

h {h' schief)

13,71

11,23

9,81

8,03    '    5,54

4,47

1,99

0,57

9,18

(2,27)

0,55

7,88

(5,78)

5,25

6,58

(2,07)

0,55

5,63

(4,58)

3,70

3,97

(4,58)

3,02

(2,07)

1,72

3,70

0,55

(5,78)

5,25

0,42

(2,27)

0,55

h a -f- 2 h 3 a -\- b

0,273

2,49

0,273

1,76

1,72

0,272    2,03

0,249

(mit Rechenstab)

x„ (Abstand T- e) y {Abstand T- -

— 10,4

— 9,78

— 22,8

— 7,01

6,8

— 12,9

9,1

3,1

5,0

0,5

— 3,98

- 1,94    4- 1,72

4- 3,97    4- 6,28

4" 9,75

Höhe^) 9,1

0,273

0,55

•2,2

5,76

3,51

1,31

1,16

3,49    5,43

7,89

(13)

ys — 5,76 — y

= 8,01

Hieraus ergibt sich X=

2F'n-ys f

Tx

= | (147,3 • 5,14 + 137,2 • 3,90 + 114,0 • 2,27 + 126,7 • 0,71 — 58,2 • 0,41 —

— 7,7 • 1,87) 2 — (— 10,4 • 2,25 + 6,8 • 2,25 + 12,9 • 4,45 + 9,1 • 4,60 + 3,1 • 2,27 + 5,0.0,33 — 0,5 • 2,13) — 4,65 •

• 0,6 • 3,64 — 0,15 • 0,6 • 3,64 f : 472,1 = + 6,60 S Y =

= (10,4 • 9,78 -f 22,8 • 7,01 + 6,8 • 3,98 -f 12,9 •

• 1,94 — 9,1 • 1,72 — 3,1 • 3,97 — 5,0 • 6,28 — 0,5 • 9,75 + 4,65 • 0,6 • 104)5 — 0,15 • 0,6 • 10,05) : 1902,0 = -f 0,146*

{(147,3 +137,2 + 114,0 + 126,7 +

die einzelnen

Produkte

können m

it Rechenstab gerechnet werden^

TX {Ty)

+ 58,2 4- 7,7) 2 — (10,4 4- 22,8 4- 6,8 4- 12,9 4- 9,1 4~ 3,1 4- 5,0 4- 0,5) — 0,6 (4,65 4- 0,15) J : 37,2

(die letzte Klammer entspricht den seitlichen Momentenflächen).

— 29.80 mt

Für die Schneebelastung des Hauptdachs (s. Abb. 35) erhält man als Auflagerdrücke:

A = B = 0,5 + 0,9 + 0,5 + 0,4 + 0,7 + 0,35 = 3,35 *

3,1 • 0,8

und von den Vordächern :

A — 0,5 —

20,1

= 0,377% B = 0,5 +

0,8 • 23,2

mit

20,1

Für die erstere erhält man eine symmetrische Momentenfläche

Mc, = 3,35 • 0,55 = 1,84,

= 1,423* zusammen 1,8*.

0.7

0,7

Mm =    1,84 + (3,35    -    0,5)    -%⁵    =    9,32,

Me =    9,32 + (2,85    —    0,9)    =    14,44

A

Me, =    14,44 + (1,95    —    0,5)    0,55    =    15,24,

Mm =    15,24 + (1,45    —    0,4)    1,85    =    17,18,

Mg —    17,18 + (1,05    —    0,7)    1,85    =    17,83 mt.

Die Momentenfläche der Vordächer ergibt sich aus Ma, —

= Mt = — 0,5 • 0,3 = — 0,15, Mh, =Md = — 0,5 • 0,3 — 0,8 • 3,1 =

= — 2,63 mt, und dazwischen Mc, — 0,15 +

Mt = — 0,87, Me, = — 0,93, Mq = — 1,39, Mf, — — 1,85,

Mf = — 1,91, Md, — — 2,56 mt.

Man erhält daher für die positiven Momentenflächen der Trapeze (von G nach links):

0,55

20,1

• 2,48 = — 0,22,

"07

zyk A I*'

rt

Yo,55 '⁵'²^ -%&    ⁵’²⁵    %55    ⁰'8t

IT

— zai

§t

55;

VV.'

Abb. 35.

Trapez

1-6

52,19

35,01

47,6«

32,42

44,12

29,68

h {ii schief)

(2,29)

1,85

(2,29)

1,85

(2,07)

0,55

33,08

23,76

(2,89)

2,625

13,00

11,16

(2,89)

2,625

1,84

1,84

(2,27)

0,55

CO

n -j- 2 b

a -f b

0,92

0,91

0,272

1,22

1,02

0,55

(mit Rechenstab)

a -f b

F' o = h'

xg (Abstand -f- e)........

y' ^ Abstand -f- -jr Höhe')

40,1

37,1

30,7

34,3

16,1

2,1

0,92

2,76

3,97

5,47

7,90

9,68

0,62

1,86

3,49

5,06

6,17

7,63

(13)

y s — 5,76 — y'

Ebenso erhält man

die negativen Momentenflächen der Trapeze (von D nach links):

Trapez

1-8

a -f 2b........

a -J- b.........

h (h' schief) ....

e _ b, . a + 2 b 3 * a + b

F'₀ = h' •

7,75

6,38

5,61

4,63

3,25

2,67

1,31

0,52

5,19

(2,27)

0,55

4,47

(5,78)

5,25

3,76

(2,07)

3,24

(4,58)

2,32

(4,58)

1,80

(2,07)

1,09

0,273

2,50

0,55

3,70

3,70

0,55

(5,78)

5,25

0,37

(2,27)

0,55

0,273

1,76

1,73

0,272

2,10

0,257

(mit Rechenstab)

- 5,9

— 12,9

— 3,9

- 7,4

- 5,3

- 1,9

— 3,2

- 0,4

xs (Abstand T <0

— 9,78

- 7,00

— 3,98

- 1,94

4* 1,73

+ 3,97

+ 6,35

+ 9,76

y ^Abstand ~ Höhe^

8,01

57,6

3,51

1,31

1,17

3,49

5,46

7,93

(13)

ys = 5,76 - y

s K y.

= { (40,1 •    5,14 + 37,1    • 3,90 -f    30,7 •    2,27 + 34,3 • 0,70    — 16,1 • 0,41 — 2,1 •

. i    ₈₇₎ 2 — (— 5,9 • 2,25 -f 3,9 •    2,25 -f 7,4 • 4,45 +    5,3.4,59 +    1,9 • 2,27    + 3,2 • 0,30 - 0,4 • 2,17) + 2,63.0,6 • 3,64 +

v F' • x

+    0,15 * 0,6 • 3,64    } :    472,1 =    +    1,73% Y = "    0 s

. 1,73 — 1,9 • 3,97    —    3,2 • 6,35    —    0,4 • 9,76 -f 2,63 • 0,6 • 10,05 — 0,15    • 0,6 •    10,05) : 1902,0 —    -f 0,080* (fürsymme*

Hieraus ergibt sich X =

= (5,9 • 9,78 + 12,9 • 7,0 + 3,9 • 3,98 + 7,4 • 1,94 — 5,3 •

trische Belastung ist F=0), Z= —    ■ = — { (40,1 + 37,1 + 30,7 + 34,3 + 16,1 + 2,1) 2 — (5,9 + 12,9 + 3,9 +

+ 7,4 + 5,3 + 1,9 + 3,2 + 0,4) — 0,6 (2,63 + 0,15) } : 37,2 = — 7,48™*-

0?

0,57

0.1

0.7

F'

0,55

0,'*

0,6t

0,55

<0,17

8,5~

-3Æ

l)

77

5    I I    •    |    | |

A25-4 J.7- ^ __ 5,25- -Ą- Q'⁵J

822—M-

5,89

vl

Abb. 36.

Die in Abb. 36 eingezeichnete linksseitige Windbelastung ergibt sich aus p sin² (a + 10) pro qm Dachfläche mit p = 150, a = Neigung der Stäbe und 4,5m Belastungsbreite. Die senkrecht zur Dachfläche wirkenden Winddrticke können nun in ihre vertikalen und horizontalen Komponenten zerlegt werden, und für die auf der rechten Seite eingetragenen vertikalen Belastungen erhält man als Auflagerdrücke :

+ = (0,55 • 0,53 + 3,175 • 0,64 + 5,8 • 0,55 + 6,35 • 0,51 +

+ 8,2 • 0,57 + 10,05 - 0,32) : 20,1 = 0,828⁴,

B = 3,29 — 0,828 = 2,462*.

Die Momente sind alsdann Ma — 0,828 • 10,05 = 8,32, Mm = 8,32 + + (0,828 — 0,32) 1,85 = 9,26, Mf, = 9,26 + (0,508 — 0,57) 1,85 = 9,15, Mf = 9,15 + (— 0,062 — 0,51) 0,55 = 8,84, Mm = 8,84 + (— 0,572 —

- 0,55)    = 5,89, Md, = 5,89 + (- 1,122 - 0,64)    = 1,26,

Md = 1,26 + (— 1,762 — 0,53) 0,55 = 0. Die Momente links von G sind für die Ecken = 5,26; 4,80; 0,46mt.

Man erhält nun für die positiven Momentenflächen der Trapeze (von D nach links):

Trapez

10

1 — 10

a + 2 b...........

a + b.............

h (Ä'schief).......

_h a + 2fc

3 (i + b

TP' _ Ł' « + fe

J* o — « • —2—

g

CN tH £i.O

1,4

13,04    23,57

14,73

(2,89)

2,625

7,15

(2,89)

2,625

1,59

10,3

1,40

21,3

0,277    0,92

18,6

21,1

(4,58)

3,70

0,91

1,71

20,1    31,1

0,270    1,90

10,4    15,2

o cs p p

g 8&£ &

so

0,5

(mit

Rechenstab)

xg = Abstand + e .

— 9,68

— 7,91 ¹ — 5,48

— 3,97    — 2,78    — 0,94    + 1,71

+ 3,97    + 6,15

+ 9,68

y'= Abst. + ~Höhe

7,63

6,17

5,06

3,49

1,88

0,64

1,16

3,48    5,37

7,63

(13)

yÄ=5,76—y

= { — 1,4.1,87 - 10,3 • 0,41 + 21,3 • 0,70 + 18,6 • 2,27 + 21,1 • 3,88 + -f 20,1 • 5,12 -f 31,1 • 4,60 + 10,4 • 2,28 + 15,2 • 0,39 — 0,5 • 1,87} : 472,1 = 0,862*, Y =

Hieraus ergibt sich X =

Tx

= {— 1,4-9,68-

0,22__

r\

5*1"

41 r

7%

0,58

■0,90

0,8t

0,29

0,28

\1,03

—    7,91 • 10,3 — 5,48 - 21,3 — 18,6 • 3,97 — 21,1 - 2,78 — 20,1 -

-    0,94 + 31,1 -1,71 +10,4 • 3,97 + 15,2 • 6,15 + 0,5 - 9,68} : 1902,0 =

= — 0,087 t,Z =

G = — {l,4 + 10,3 + 21,3 + 18,6 + 21,1 +

fc

ms

+ 20,1+31,1 + 10,4 + 15,2 + 0,5}: 37,2 = — 4,03 mt.

Als horizontale Winddrücke ergeben sich die in Abb. 37 eingezeichneten Kräfte, wobei der Winddruck auf die Wand B D nachlässigt worden ist, da dieselbe gewöhnlich durch Züge verdeckt wird.

-\t,03

V 6.8t_

MÈ\io,oo

f 0,68t>

ver

si !->

- *ZL —

SJ

87,66

Bei Annahme eines* freischwebenden Endes bei A erhält die folgenden Momentenflächen mit

Mm = - 1,25-0,22 = — 0,28,

Mf, = — 0,28 — 1,25 (0,22 + 0,38) = — 1,03,

Mf = — 1,03, ~ 2 (0,60 + 0,90) = — 4,03,

Mn — — 4,03 — 1,2 (1,50 + 0,84) = — 6,84, Md,= — 6,84 - 1,2 (2,34 + 0,29) = — 10,00,

Ąo.ss^ik-³'⁷-^

man

— 5,25

\0,55

A\

t---

--20,1

Abb. 37.

55,88mt

Hieraus erhält man für die negativen Momentenflächen der Trapeze von B aus:

Trapez

1—7

a + 2b

69,20    37,66    23,68    14,90    6,09

1,59

0,28

h (h' schit f)....

h a + 2b 3 ' a b

,    , a + b

Cn

i» » Ï*

£ “Ä £

27,66

(2,27)

16,84

(2,89)

10,87

(2,89)

5,06

(2,07)

1,31

(2,29)

0,28

(2,29)

2,2

1,2

1,2

2,0

1,25

1,25

1,00

0,56

0,55

0,80

0,51

1,25

(mit Recbenstab)

— 100,5    —31,4    —24,3    —15,7    -5,2

-1,5

-0,3

QC $

Abstand —

Breite .

— 10,05    —9,80    — 8,27    —5,67    —4 03    —2,94    —1,23

Abstand — e . .

11,26

8,1

6,34

5,15

3,70

1,99

0,83

(13)

ys = 5,76 — y

Es ist daher X =

Tx

— 0,3 • 4,93} : 472,1 = + 1,30*, Y

= {100,5 • 5,5 + 31,4 • 2,34 -f 24,3 ■ 0,58 — 15,7 • 0,61 — 5,2 • 2,06 — 1,5 • 3,77 —

+ 1,5 • 2,94 + 0,3 • 1,23} : 1902,0 = + 0,860l, Z = —

= {100,5 • 10,05 + 31,4 • 9,80 + 24,3 • 8,27 + 15,7 • 5,67 + 5,2 • 4,03 + 2F\

= — {— 100,5 — 31,4 — 24,3 — 15,7 — 5,2 —

— 1,5 — 0,3} : 37,2 = -f 4,81 m*.

Für zwei Gelenke bei A und B gelten dieselben Momentenflächen, und dieselbe Formel fiir den Horizontalschub X, nur mit der veränderten wachse durch die Gelenke.

Es ist daher T'x = Tx + 2+ • 2 w = 472,1 + 7,24J • 37,2 — 2422,1 und ys — 13 — y (in den Tabellen), so daß man für das Eigengewicht erhält:

Y _ 1F'n • Vs

— {(147,3 • 12,38 + 137,2 • 11,14 + 114,0 • 9,51 + 126,7 • 7,95 + 58,2-0,83 + 7,7 • 5,37) 2 — (10,4 • 4,99 +

+ 22,8 • 7,24 + 6,8 - 9,49 + 12,9 • 11,69 + 9,1 - 11,84 + 3,1 • 9,51 + 5,0 • 7,57 + 0,5 ■ 5,11) — (0,15 + 4,65) 0,6 • 3,6}. : 2422,1 = + 4,604*.

Ebenso erhält man für die Schneebelastung:

x_^F\-ys

= {(40,1 • 12,38 + 37,1-11,14 + 30,7 - 9,51 + 34,3 • 7,94 + 16,1 • 6,83 + 2,1 - 5,37) 2 — (5,9 • 4,99 +

+ 12,9 - 7,24 + 3,9 - 9,49 + 7,4 - 11,69 + 5,3 • 11,83 + 1,9 - 9,51 + 3,2 - 7,54 + 0,4 - 5,07) — (0,15 + 2,63) 0,6 - 3,6} : : 2422,1 = + 1,171*.

Ferner erhält man vom vertikalen Winddruck:

s*Vy,

= {1,4 - 5,37 + 10,3 • 6,83 + 21,3 - 7,94 + 18,6 • 9,51 + 21,1 - 11,12 + 20,1 • 12,36 + 31,1 - 11,84 + + 1,04 - 9,52 + 15,2 • 7,63 + 0,5 - 5,37} : 2422,1 = + 0,617 *.

Endlich erhält man vom horizontalen Winddruck:

o -y, __ _ {₁₀o,5 -1,74 + 31,4 - 4,9 + 24,3 - 6,66 + 15,7 - 7,85 + 5,2 - 9,30 + 1,5 -11,01 + 0,3 -12,17 } :

: 2422,1 = — 0,282*. Für den vertikalen Gegendruck bei A ist V =

V • G • zu> l_ 1,685 - 37,2 - 7,24 - 20,1

2 • 2422,1

Momentenfläche der Kraft V erhielte man denselben Wert, und bei ihrer Zusammensetzung mit der negativen Momenten-fläche des Winddrucks ergibt sich ein Moment = 0 bei B).

Zur Berechnung der Biegungsmomente an den Ecken (bzw. auch zwischen denselben) gilt bei Eingespanntsein des Rahmens die Formel Mx= M + M₀ — H • y — V- x, und man erhält für das Eigengewicht: H = 6,60*, V = 0,15 *, M =— 29,80mt, und M₀ entspricht der Differenz der positiven und negativen Momente der einzelnen Querschnitte (s. Abb. 34), somit ist:

Ma = — 29,8 + 6,6 • 7,24 — 0,15 - 10,05 = + 16,48, Me = — 29,8 — 0,15 + 6,6 • 3,34 — 0,15 • 10,05 = — 9,41, Mc, = — 29,8 + 6,55 + 6,6 -1,14 — 0,15 • 9,5 = — 17,15, Me= — 29,8 + 52,10 — 6,6 - 1,26 — 0,15 - 4,25 = + 13,35, M„ = — 29,8 + 55,0 — 6,6 • 3,26 — 0,15 - 3,7 = + 3,13, My= — 29,8 + 63,05 — 6,6 • 5,76 = - 4,77,

Mf, = — 29,8 + 53,34 — 6,6 • 3,26 + 0,15 - 3,7 = + 2,58, Mf — — 29,8 + 50,2 — 6,6 • 1,26 + 0,15 • 4,25 = + 12,72, Md, — — 29,8 + 2,29 + 6,6 -1,14 + 0,15-9,5 = — 18,56, Md — — 29,8 — 4,65 + 6,6 - 3,34 + 0,15 • 10,05 = — 10,90 “•*, Mb = - 29,8 + 6,6 - 7,24 + 0,15 • 10,05 == + 19,49 m*.

2 rx

T’

-*■ x

33,88

20,1

= 1,685*, und man erhält nach S. 11

= 1,883*, somit als Differenz X — 1,883 — 0,282 — + 1,601* (aus der

Ebenso erhält man von der Schneebelastung: H = 1,73*, V = 0,08*, M = — 7,48 mt und Ma — — 7,48 + 1,73 • 7,24 — 0,08 • 10,05 = f 4,24, Mc = — 7,48 - 0,15 +1,73 • 3,34 — 0,08 • 10,05 = — 2,66, Mc, = - 7,48 -f 1,62 + 1,73 • 1,14 — 0,08 • 9,5 = — 4,65, Mt~ — 7,48 + 13,57 — 1,73 • 1,26 — 0,08 • 4,25 = + 3,57, Mt, = — 7,48 + 14,31 — 1,73 • 3,26 — 0,08 • 3,7 = + 0,89, Mg = — 7,48 + 16,44 - 1,73 • 5,76 = — 1,00,

Mf, = — 7,48 + 13,39 - 1,73 • 3,26 + 0,08.3,7 = + 0,57, Mf = — 7,48 + 12,53 — 1,73 • 1,26 + 0,08 • 4,25 = + 3,21, Md, = — 7,48 — 0,72 + 1,73 • 1,14 + 0,08 - 9,5 = — 5,47, Md — — 7,48 — 2,63 + 1,73 - 3,34 -f 0,08 • 10,05 = — 3,53, Mb = — 7,48 + 1,73 • 7,24 + 0,08 • 10,05 = + 5,85 mt.

Ferner erhält man von der vertikalen Windbelastung: H = 0,86*, V — — 0,09*, M = — 4,03 mt und Ma = — 4,03 + 0,86 • 7,24 + 0,09 • 10,05 = + 3,10, Mc = — 4,03 + 0,86 • 3,34 F 0,09 • 10,05 = — 0,25,

Mc, = — 4,03 + 0,46 + 0,86 • 1,14 + 0,09 • 9,5 = — 1,74, Me = — 4,03 + 4,80 — 0,86 • 1,26 + 0,09 • 4,25 = + 0,06, Me, — — 4,03 + 5,26 — 0,86 • 3,26 + 0,09.3,7 = — 1,24, Mg= — 4,03 + 8,32 — 0,86 • 5,76 — — 0,66,

Mf, = — 4,03 + 9,15 — 0,86 • 3,26 — 0,09 • 3,7 = + 1,98, Mf = — 4,03 + 8,84 — 0,86 • 1,26 — 0,09 • 4,25 = + 3,35, Md, = — 4,03 -F 1,26 + 0,86 • 1,14 — 0,09.9,5 = — 2,65, Md = — 4,03 + 0,86 • 3,34 — 0,09 • 10,05 = — 2,06, Mb = — 4,03 + 0,86 • 7,24 — 0,09 • 10,05 = + 1,29 mt.

Endlich erhält man für den horizontalen Winddruck ff = 1,30*, V = 0,86*, M — + 4,81mt und

Ma= 4,81    4-    1,3 • 7,24 — 0,86    • 10,05 = + 5,58,

Me = 4,81    4-    1,3 • 3,34 — 0,86    • 10,05 = 4- 0,51,

Mc, =    4,81    4-    1,3 •    1,14    — 0,86 • 9,5 = — 1,88,

Me —    4,81    -    1,3 •    1,26    — 0,86 -4,25 — — 0,48,

Mt, =    4,81    —    1,3 •    3,26    — 0,86 • 3,7 = — 2,61,

Mg =    4,81    —    1,3 •    5,76    = — 2,68,

Mf, — 4,81 — 1,03 - 1,3 • 3,26 4- 0,86.3,7 = 4- 2,72,

Mf = 4,81    —    4,03 — 1,3 • 1,26    4- 0,86 • 4,25 — 4-    2,80,

Md, = 4,81    —    10,0 4- 1,3 • 1,14    4- 0,86 • 9,5 = 4- 4,46,

Md = 4,81 — 17,66 4-1,3 • 3,34 4-0,86 • 10,05 = 4- 0,13, Mb = 4,81 — 33,88 4- 1,3 • 7,24 4- 0,86 • 10,05 = — ll,02mt.

Durch die Summierung dieser Momente und zwar für halben Schnee- und ganzen Winddruck sowie umgekehrt, und auch für Winddruck rechts und links (wobei die Momente rechts und links vertauscht werden) erhält

bei Winddruck rechts

-23,6 <15,3

-13,0

+27,3

+6,8

'S/ 'SS.

El

+8}S-0,7

+21,5 J+12,3

F'

+12,5K

+20,5

D'

-16,8\-25,a -10,ß\-15,7

+ 88

+31,1

///%//.

Abb. 38.

man :

Ma — 16,48 4-    4- 3,10 4- 5,58 =+27,28,

A

M, =-9,41

M„ =

(-+)

— 0,25+0,51 = — 9,15,

Mc —

bei Winddruck links 16,48 -F    4- 1,29 — 11,02 = 4- 6,75,

— 2,06 4- 0,13

9,41 — 2,66

= — 13,04

Mc, = — 17,15 — 4,65

— 1,74 — 1,88

= — 23,61,

Mc,= — 17,15

(-+)

— 2,65 + 4,46 = — 15,34,

Mt = 13,35

Me,= 13,13

(++) + °.°C

— 0,48 =+ 12,93,

— 2,61 = — 0,72,

Me = 13,35 +

Me, = 13,13 +

3,57

1,0

Mg = — 4,77--I-- 0,66 — 2,68 = — 8,61,

Mf.= 2,58 4-^|⁷

Mf = 12,72 +    + ³^³⁵ + ²^⁸⁰ = + ²⁰^⁴⁸^

Mu.= - 18,56

4- 1,98 + 2,72 = 4- 7,57,

(-+)

— 2,65 4- 4,46 = — 16,75,

My = - 4,77

M,,=

Md = — 10,90 — 3,53

— 2,06+0,13

= — 15,40,

2“ + ³>³⁵ + 2,80 = + 21,49, 2~ + 1,98 + 2,72 = 4- 8,28,

2,68) = - 4,77, — 1,24 — 2,61 = — 1,27,

0,89

1,0

2 °’⁶⁰ -

2,58 (++)

12,72 (++-) +0,06

Md, = — 18,56 — 5,47

— 0,48 = 4- 12,30, —^ 1,74 — 1,88

= — 25,84,

Md = - 10,90

— 0,25 +0,51 = — 10,64,

19,49 (++)+ 1,29

5,85

~Y~ + 3,10 4- 5,58 = 4- 31,10mt.

In dieser Zusammenstellung der größten positiven und negativen Biegungsmomente fallen die eingeklammerten Zahlen weg, und die kleinere Zahl für Schnee- oder Winddruck ist mit zwei dividiert, so daß die ungünstigsten positiven und negativen Werte entstehen, welche in Abb. 38 eingeschrieben sind.

Mb =

— 11,02 =4-9,76,

Mb = 19,49 +

Die Momente des Zweigelenkrahmens ergeben sich aus dem Moment des Horizontalschubs H (beim horizontalen Winddruck auch des Gegendrucks V) und den positiven sowie negativen Momentenflächen (wie beim eingespannten Rahmen), und man erhält für das Eigengewicht H = 4,61ł und

Ma = 0,

Me = — 4,61 • 3,9 — 0,15 = —    18,13,    Mc,=    -    4,61*6,1    + 6,55=-    21,57,

Me = —    4,61    • 8,5 + 52,10 = + 12,92,    Me,= - 4,61 • 10,5 + 55,0 = +    6,60,    Mg =    -    4,61 • 13    + 63,05 = + 3,12,

Mf= —    4,61    • 10,5 + 53,34 = + 4,94,    Mf = — 4,61 • 8,5 + 50,20 = +    11,02,    Md,=    —    4,61 • 6,1    + 2,29 = —    25,83,

Ma = —    4,61.3,9 — 4,65 = — 22,63 mt,    Mh = 0.

Ebenso erhält man für die Schneebelastung H = 1,17* und

Me = — 1,17 • 3,9 — 0,15 = - 4,71, Mc,— — 1,17 • 6,1 + 1,62 = --5,52,

Ma = 0,

Me = — 1,17 • 8,5 + 13,57 = + 3,63, Me> = — 1,17 * 10,5 + 14,31 = + 2,03, Mq = — 1,17 • 13 + 16,44 = + 1,23, Mf, = — 1,17 • 10,5 + 13,39 = + 1,11, Mf = — 1,17 • 8,5 + 12,53 = + 2,59, M(l = — 1,17 • 6,1 — 0,72 = — 7,86, Md = — 1,17 - 3,9 — 2,63 = — 7,19mt, Mb = 0.

Ferner erhält man von dem vertikalen Winddruck H = 0,62 * und

Mb = — 0,62 • 3,9 = — 2,42,

Mt = — 0,62 • 8,5 + 4,80 = — 0,47, Mt~- — 0,62 * 10,5 + 5,26 = — 1,25, Mg = — 0,62 • 13 + 8,32 = + 0,26, Mf, = - 0,62 • 10,5 + 9,15 = + 2,64, Mf — — 0,62.8,5 + 8,84 = + 3,57, Ma, = — 0,62 • 6,1 + 1,26 = — 2,52, Md = — 0,62.3,9 = — 2,42mt,

Endlich erhält man von dem horizontalen Winddruck H = 1,60 ^ V— 1,685*, und

K=o,

M,. = — 1,6 • 3,9 = — 6,24,

Mc.= — 1,6 • 6,1 + 1,685 • 0,55 = — 8,83,

Mt = — 1,6 • 8,5 + 1,685 • 5,8 = — 3,83,

Me, = — 1,6 • 10,5 + 1,685 • 6,35 = — 6,10,

Mu =

M.f,= — 1,6 • 10,5 — 1,03 + 1,685 • 13,75 = + 5,37,

Mf = — 1,6 • 8,5 — 4,03 + 1,685 • 14,3 = + 6,47,

Md, = — 1,6 • 6,1 — 10,0 + 1,685 • 19,55 = + 13,18,

Md == — 1,6 • 3,9 — 17,66 + 1,685 • 20,1 = + 9,97 m*, Mb = 0.

Ma= 0,

Mb — 0.

1,6 • 13 + 1,685 • 10,05 = — 3,87,

Mc,= — 0,62 • 6,1 + 0,46 = — 3,32,

+i5,6f-o,a

C\

-36.5 [<10,9

-29,2

'-10.6

-o.

-2,?\+13,5

Abb. 39.

D‘

-39,9

Durch Summierung dieser Momente erhält man für den Zweigelenkrahmen in derselben Weise wie oben:

bei Winddruck links (- ~P) - 2,42 + 9,97 = - 10,58,

M„. = - 21,57 (- ^) - 2,52 + 13,18 =

M, = 12,92 + ³’^ _|_ 3₎₅7 + 6)47 = + 24,78,

A

Mt. = 6,60 -f ^ + 2,64 + 5,37 = + 15,63,

+ 0,26 — 3,87

bei Winddruck rechts 4,71

Ma = Mb = 0, Me = - 18,13 -= — 29,15,

Me,= — 21,57 — ⁵’|² - 3,32 — 8,83 = — 36,49,

A

f- ~ 2,42 - 6,24

Mc = — 18,13

— 10,91,

M.=

M„ =

12,92 ( + ?^) - 0,47 6,60 (+ ^) - 1,25 - 6,10 = - 0,75,

— 3,83 = + 8,62,

3,12    +0,26

— 3,87 = — 0,49,

M, = 3,12

+ 1,23(

) = + 4,35

1,11

+ 2,64 + 5,37 == + 13,51,

Mf= 4,94+-^

Mf = 11,02 +    + 3,57 + 6,47 = + 21,06

M,.=

Mf =

*,94 (+ ~) - »,96 -

6,10 = — 2,41,

— 0,47 — 3,88 = + 6,67,

M„,= - 25,83 - -Ç Md = - 22,63 - =

Die Momente des Zweigeienkrahmens werden daher wesentlich ungünstiger als diejenigen des eingespannten Rahmens, und bei ersterem hat das Fundament den Horizontalschub aufzunehmen, und bei letzterem muß es die Einspannung bewirken.

Md, = — 25,83

Md — — 22,63

(-T)

— 2,52 + 13,18 = — 15,17,

(-    2+2+9,97 =

— 15,08,

7,19

— 3,32 — 8,83 = — 41,91,

— 2,42 — 6,24 = — 34,89 mt.

Ä (ypaprag dh | lippe)' s* (ypafang ± ç).......

^ = y» •

1*63

2*31

3*21

1*30

1*13

3*13

2*31

1*63

(13)

— 3*68

— 6*12

— 3*38

— J*35

+ 1*16

+ 3*31

4-6*12

4-3*G8

« + P 3 o + P ¥ ’« + 5P

1*0

58*0

I8*J

32*3

51*5

J0*5

J2‘5

0*2

1*10

3*32

0*513

1*18

1*16

0*513

1*30

y (y. acPïei)

« + P ’ « + 5P

0*22

(5'5i)

0*8*

1*68

2*52

(2*8)

3*68

0*22

(5*0i)

11**5

18*25

56*00

3*1

3*1

(*'28)

12**0

55*55

(*'28)

0'22

(S*0i)

2*52

(2*8)

Il *88

16*3*

3*86

2*56

0*22

0*22

(S*5i)

0**6

(rojf BGGPGD0f³P)

1**66

2*15

0**6 ’

Stabes

1-8

Aon 'g uacp pupa apjg {ojSeoge:

= j*253?* nnq qev jgonjGDfGD y\* = 0*858 * 2*8 = **80a+    = 1*253 • 2*8 = 8*8* mr (⁸* VPP* *5)*

= 0*858 <* E, = 0*32* + 1*301 — 0*858 =

DÎG /AGl(G A0Ü ^°* nug lflŁ ÇfïG GiuxGjueiJ j,L*J>GSG

50*1

Y PP’ *5’

q'v    4^

2*8 * 1*331 + 1**3 • 0*32f nng giG jgoraGnfGDgacpG GiSipi aicp

sua

NJ

8*2

^    0*35 **" 0*21 • 6*1 4- 0*21 • 1*32

jgjffGjafflfSGu srja (}G8GugLncpG ^ =

+-0*22 4-

2*8

0*23-0*22+0*6*-3*112

= 1*3311*

8*2

to?

,r—

¥- i J+-

_3_ ₊ _

0*35    0*21 ■ 5** 4- 0*21 • 0*22

EflL q®D AGL|ip»I6U MÏIJ^⁽ILrrCP GÏ*P?fIf 103,1 3IJ 6GU giapOUfin/IIGI.JICpGIJ

4- 53*3 4- *2*1 4- 1*6} : 31*5 = — 1*10mt*

= 0*32* s*

• 0*33 — 1*0 • 1*81 } : *15*1 = J*0If* X = 0* 'S = ~

o = — 5 {eo*i +

'ÎLÛ

0,0.

•2%

E⁸ I8f g»pGL Y. =

ir

• 2*18 = *2*1* fc* — 6*12*    = 0*33*    = 5*51 *

— 5 {eG*I * **2I +• 53*3 • 5*56 4- *2*1 * — = J*6*    = 3*68*    = — 1*81’

V⁰ =

Ł J*'** 4” T*31

-V,⁰ = l**f* • **28 == 66*1* ^⁹ = 1*82* *\? = **2I*    = I**** * 5*01 = 53*3*    = 3*38*    — 5*56*

1*31

nacp pupa i8f :

I**** 4- 1*31 2*52 * If*** 4- 5 • 1*31

4- 0*2 4- 0** 4- 0*1 4- 0*32 = 5**301* ⁰⁰g ³J⁸ RoraGUf +8 • 5**3 — I****na (⁸‘ YPP’ 32)’

3

J)IG gGp/AGLblïUpfG GI.SGpGU 8JGJI 5Jfl3 Ç = —

0*22

nug aod gGL yiiffG

2*8

0*2 -0*22 4-0*3-3*112

EflŁ gtG gcpDGGpGjaafimS Gipap: inan aja ynya&GLgLJicp

X = 0* 'S = —

-^nr = — 5 I 5*2*3 + 110*8 4- 103** + 2*8 ] = 31*5 = ~ 58*26 n+ 7 lin

H³⁰ Gi.pajj: gapci ^

s;

YPP' *0’

5 ! 5*2*3 • **2I 4- 110*8 • 5*50 4~ 109** • 0*33

2*8- 1*811 ’• *15*1 — 4- 2*31 t*

YPP' *r

i!

\0

V = 5*51 • -ë

2*08

= +₈* X⁹ = 9*68* ^⁹ = 2*16 — 1*63 = — I*81‘

• 2*18 = 163*** s* = 0*12* ^⁹ = 2*16 —

(**2 4

2*52

23*22 4- 2*08

V = 23*22 • 5*01 = 110*8* ** = 3*38* ^⁹ = 2*10 — 3*2 = 5*56* = 23*22 • **28 == 5*2*3* ^⁹ = 1*82* ^⁹ — 2*16 — 1*52 = **2J*

1*3

• 5**) = 0*33*

nacp jiDpa iaf (a&j- giG acpiG^ou pauSGD \vv m ypp- gj):

D!G gcpMGLbnupiG glSgPgd aicp ana e =    + g . ^

giG J^Guyacpcn rop: ipLcn gcpMGŁbnDpfGD pGBfinjng; iAGLgcu mpaacu-ao gaç giG (^GgGDgLiicpG gci. ganjGD gaa GrapGacpLiGpGUG (&G8{iicpGpG) Xï.abcs aja yjoroGD|;GDgacpG Gi-paj^en^ yii. mgjgpgb

23*22 + 2*08

£

= Xgo wog ^    ^‘ nng aoii gei. yjifjG

0 22

(a- ypp- 3*) =

2*8

4- 5*0 4- 1*8 4- 5** + 1*5 = 3*535 c nng gid yjoraGDf = 9^35 • p'g = 53^5 mf*

/^GLgcu pci Ya nDg Yi '3Vn]GlJ »nSGpi.acp^ ao GipajfGu giGaGjpGii gidg g;8poD(iijniGi.jiGpG BGjaafnuS aoid ei^gdSgmicpj:

S* BGLGcpujinS gGa GiuSGabsiiDiGD nnq gca    roi* jjgi**Gja*n*xGD*

5*0 • 0J22 4- 3*0 • 3*112

+ 10,2 • 2,27 + 15,2 • 0,39 - 0,5 • 1,87} : 472,1 = + 0,76*,

— { — (1,0 • 9,68 + 28,0 • 6,15 + 18,1 • 3,98 + 35,3 • 1,92) + (27,2 • 1,76 -j- 10,2 • 3,97 -f 15,2 • 6,15 +

Hieraus ergibt sich X =

= | — 1,0 • 1,87 -f- 28,0 • 0,39 -f 18,1 • 2,25 + 35,3 • 4,46 -f 27,2 • 4,57 4~

Tv

+ 0,5 • 9,68)} : 1902,0 = — 0,07*,

lFn _

Z= —

{l,0 + 28,0 + 18,1 + 35,3 + 27,2 -f 10,2 + 15,2 + 0,5} : 37,2 = — 3,64mt.

Durch den horizontalen Winddruck entsteht nach Abb. 43 eine vertikale Druck- bzw. Zugkraft in den Mittelstützen, und zwar =

= 2,92*.

Mw _ 33,88 2IFL ~ 2 • 5,8

Es kann nun der Einfluß der vertikalen Kräfte (s. Abb. 43) auf den Rahmen bestimmt werden, und man erhält aus ihnen die nebengezeichnete positive Momentenfläche.

Für das Trapez ergibt sich nach Abb. 40:

16,94

53,55

• 5,98 = 1,892t, 7=0, Z — —

16,94

53,55

• 28,56 = — 9,04“*.

Für das Dreieck und Rechteck erhält man: 33,88 + 30,67

• 2,27 = 73,3, xs = 10,05

= - 9,78, y'= 9,1 30,67

0,27

0,55

0,55 33,88 -f 2 • 30,67 3    33,88 + 30,67~~

• 2,2 = 8,02,

5,25

• 5,78 = 88,6, x = 9,5 --

à

—    - 7,75, ij — 6,9

2,92

2,

92

2,92t

2,4

- T = ⁶’¹⁰’

F, = 33,88 • 3,9 = 132,1, xs = — 10,05, y'— 9,1 + 1,95 = 11,05,

(13)

(y sist = ⁵»⁷⁶ — y')*

Es ist daher

2^0-y.

‘ e--5,8—

(s

_JM?

33,88

33,88 mf

8,5

— 5,8 — -s*

Tx

= {— 73,3 • 2,26 — 88,6 • 0,34 — 132,1 • 5,29} : 472,1 =

2,92

2,92

2,92

2,92t

= — 1,895 *,

Abb. 43.

Ty

= {— 73,3 • 9,78 — 88,6 • 7,75 — 132,1 . 10,05} : 1902,0 = — 1,441,

Z = — A — — {88,6 4- 73,3 -f 132,l} : 37,2 = — 7,90mt, somit zusammen:

6r

X = 0, 7 = — 1,441, Z = — 9,04 — 7,90 = — 16,94

Bei Berücksichtigung der Mittelstutzen sind daher obige Werte von denjenigen für den Rahmen ohne Mittel-stützen abzuziehen, so daß man erhält:

für Eigengewicht: X— 6,60 — 5,98 =4-0,62*, 7 = 0,15 — 0 =4-0,15*, Z = — 29,80 4- 28,56 = — 1,34mt, für Schneebelastung: X = 1,73 - 1,61 = 4- 0,12*, 7 = 0,08 - 0 =4- 0,08*, Z = — 7,48 + 7,70 = 4- 0,22“*, für vertikalen Winddruck: X=0,86 — 0,76 = 4- 0,10*, 7= — 0,09 4-0,07 = - 0,02 *, Z = — 4,03 4-3,64 = — 0,39“*, für horizontalen Winddruck: X — 1,30 — 0 = 1,30*, 7=0,86 — 1,44 = — 0,58*, Z= -f 4,81 — 16,94 =- 12,13“*.

Diese Werte sind nun in die Gleichung Mx = M -f- M₀ — H • y — V - x einzusetzen, wo M₀ der Differenz der Momente ohne Mittelstützen (s. Abb. 34—37) und für die letzteren (s. Abb. 40—43) entspricht.

Man erhält daher für die einzelnen Belastungsfälle (vergl. S. 31- 32):

vom

Eigengewicht H = 0,62*, V = 0,15*, M = — 1,34“*, und

Ma= — 1,34 4- 0,62 • 7,24 — 0,15 • 10,05 = 4- 1,64,

Me =    —    1,34 — 0,15    4-0,62    • 3,34 — 0,15 • 10,05 = — 0,93,

Mc,=    -    1,34 4- 6,55 - 5,08    4- 0,62 • 1,14 — 0,15 • 9,5 = —    0,59,

Me = —    1,34 4- 52,10    —    53,55    —    0,62 •    1,26    — 0,15 • 4,25 = — 4,21,

Mc,= —    1,34 4-55,00    —    53,55    —    0,62 •    3,26    — 0,15 • 3,70 = — 2,47,

Mg = —    1,34 4- 63,05    —    53,55    —    0,62 •    5,76    = 4- 4,59,

Mf,= —    1,34 4- 53,34    —    53,55    —    0,62 •    3,26    4- 0,15 • 3,70 = — 3,02,

Mf = —    1,34 4- 50,20    —    53,55    —    0,62 •    1,26    4- 0,15 • 4,25 = — 4,83,

Md, = — 1,34 4- 2,29 — 5,08 -f 0,62 • 1,14 4- 0,15 • 9,5 = — 2,00,

Md =    —    1,34 — 4,65    4- 0,62    • 3,34 4- 0,15 • 10,05 = — 2,41,

Mh =    —    1,34 4- 0,62 •    7,24 4-    0,15 • 10,05 = + 4,66“*.

+5,56-0,3

-zjl+t,«

-6,8 +5,0

Ftlr die Schneebelastung ist H = 0,12*, V = 0,08⁴, M = 0,22mt, und il/„ = 0,22 + 0,12 • 7,24 — 0,08 • 10,05 = -f 0,29,

Mc = 0,22 — 0,15 + 0,12 • 3,34 — 0,08 • 10,05 = — 0,33,

Mc,~ 0,22 + 1,62 — 1,37 + 0,12 • 1,14 — 0,08 • 9,5 = — 0,15,

Me = 0,22 + 13,57    —    14,44    —    0;12 • 1,26    — 0,08 • 4,25 = — 1,14,

Me,= 0,22 + 14,31    —    14,44    —    0,12 • 3,26    — 0,08 • 3,70 = — 0,61,    i

Mg = 0,22 + 16,44    —    14,44    —    0,12 • 5,76    = -f 1,53,

Mf,— 0,22+ 13,39    —    14,44    —    0,12-3,26+0,08-3,70 = — 0,94,

Mf = 0,22 + 12,53    —    14,44    —    0,12 • 1,26    + 0,08 • 4,25 = — 1,50,

Md,= 0,22 — 0,72 — 1,37 +0,12 • 1,14+0,08 • 9,5 = — 0,97,

Md — 0,22 — 2,63 + 0,12 • 3,34 + 0,08 • 10,05 = —1,21,

Mh = 0,22 + 0,12 • 7,24+0,15 • 10,05 = + 1,89 mt.

Für den vertikalen Winddruck ist H = 0,10⁴, V = — 0,02⁴, M — — 0,39mt, und Ma = — 0,39 + 0,1 • 7,24 + 0,02 • 10,05 = + 0,54,

Mc = — 0,39 + 0,1 • 3,34 + 0,02 • 10,05 = + 0,15,

Me,=    —    0,39    +0,46 — 0,46+0,1    • 1,14 + 0,02 • 9,5 = — 0,09,

Me ==    —    0,39    + 4,8 — 4,8 — 0,1 •    1,26 + 0,02 • 4,25 = — 0,43,

Me,= — 0,39 + 5,26 — 5,06 — 0,1 • 3,26 + 0,02 • 3,70 — — 0,44,

'Mg = — 0,39 + 8,32 — 6,82 — 0,1 • 5,76 = + 0,53,

Mr — —    0,39    +    9,15 — 8,58 — 0,1 • 3,26 — 0,02 • 3,70    =    —    0,37,

Mf~ —    0,39 +    8,84 — 8,84 — 0,1 • 1,26 — 0,02 - 4,25    =    —    0,60,

Md,= — 0,39 + 1,26 — 0,84 + 0,1 • 1,14 — 0,02.9,5 = — 0,05,

Md = —    0,39 +    0,1 ■ 3,34 — 0,02 • 10,05 = — 0,26,

Mb = —    0,39 +    0,1 • 7,24 — 0,02 - 10,05 = + 0,12mt.

Für den horizontalen Winddruck ist H = 1,30t, V = — 0,58⁴, M = — 12,13mt, und Ma = — 12,13 + 1,3 • 7,24 + 0,58 • 10,05 = + 3,11, Mc = — 12,13 + 1,3 • 3,34 + 0,58 • 10,05 = — 1,96,

Mc, = — 12,13 + 1,61 + 1,3 • 1,14 + 0,58 • 9,5 = — 3,53,

Mt — —    12,13 + 16,94    — 1,3 • 1,26 + 0,58 • 4,25 = + 5,64,

Me, = —    12,13 + 16,94    — 1,3 • 3,26 + 0,58 • 3,70 = + 2,72,

Mg = — 12,13 + 16,94 — 1,3 • 5,76 = — 2,68,

Mf, = -    12,13 — 1,03    + 16,94 — 1,3 • 3,26 — 0,58 • 3,70 =    —    2,60,

Mf= —    12,13 — 4,03    + 16,94 — 1,3 • 1,26 — 0,58 • 4,25 =    —    3,32,

Md,= — 12,13 —    10,00 + 32,27 + 1,3 • 1,14 — 0,58 • 9,5 = + 6,11,

Md = — 12,13 —    17,66 + 33,88 + 1,3 • 3,34 — 0,58 • 10,05 = + 2,60,

Mh = - 12,13 -    33,88+ 33,88 + 1,3 • 7,24—0,58 • 10,05 = — 8,55mt.

El

F'

-5,S [-0,2

-8,

'+1,0

-0,Ar 6,5

Abb. 44.

D’

-0,1 -0,8

-3,8

+9,3

///.

Durch Summierung dieser Momente wie auf S. 32 erhält man: bei Winddruck rechtB

bei Winddruck links

Ma = 1,64 + + + 0,54 + 3,11 = + 5,44,

Ma = 1,64

Me = — 0,93 —

0,33

Mc, = — 0,59

— + 0,15 — 1,96 = — 2,91, — 0,09 — 3,53 = — 4,29, 4,21    — 0,43 +5,64 = + 1,00,

Mc = -

0,15

Mc, = — 0,59

(₊°+) ₊ o,i₂

0,33 (- +)

(- +) - °,°⁵ + 6,¹¹

— 8,55 = — 6,79,

— 0,26 + 2,60 = + 1,41,

— + 5,47,

1.14

Mt, — — 2,47

(-+)

— 0,44 + 2,72 = — 0,19,

Mt, = — 2,47 —

Mg =

4,59 + 1,53 (

+ 0,53 — 2,68

= + 6,12,

Mg = 4,59

0,94

Uf. = - 3,02 - -3-

— 0,37 — 2,60 = - 6,46,

--o,60 — 3,32 = — 8,70,

Y~ — °>³⁷ — 2,60 = — 5,75,

--2 ^    — 2,68 = + 2,44,

— 0,44 + 2,72 = — 0,74,

0,61

M, = - 3.02    +)

Mf= — 4,83 —

bei Winddruck rechts

1,50

--o,60 — 3,32 = - 9,50,

Md.= ~

2,00 (-T)

Md=~

bei Winddruck links

Mf = — 4,83 ( —    — 0,43 + 5,64 = + 0,38,

Md,= - 2,00 -

Md = - 2,41 — -^-^+0,15 — 1,96 = — 4,83,

0,97

— 0,05 + 6,11 = + 4,06,

¹’yl) - °>²⁶ + ²>⁶⁰ = - o,07, ⁴+⁶ (+ ^⁹) +0,12 — 8,55 = — 3,77,

2,41 (

— 0,09 — 3,53 = — 6,11,

Mb = 4,66 +    + 0,54 + 3,11 = + 9,26 “*.

Bei dem Rahmen mit zwei Gelenken ist die Wirkung der Gegendrücke in derselben Weise zu berücksichtigen, nur ist die a;-achse durch die Gelenke zu legen, so daß man aus den Zahlenwerten auf S. 34 erhält (bei ys ist 7,24 zu addieren oder 13 — y anzunehmen):

für das Eigengewicht: X = 2 { 245,3 • 11,75 + 110,8 • 9,5 + 169,4 • 7,63 + 5,8 • 5,37 } : 2422,1 = + 4,344 *, für die Schneebelastung X = 2 { 66,1 • 11,75 + 29,9 • 9,5 + 45,7 • 7,63 + 1,6 • 5,37 }: 2422,1 = + 1,176*, für den vertikalen Winddruck : X = { 1,0 • 5,37 + 28,0.7,63 + 1,81 • 9,49 + 35,3 • 11,70 + 27,2 • 11,81 + 10,2 •

16,94 53,55

und vom Dreieck und Rechteck X = { 73,3 • 4,98 + 88,6 • 6,90 + 132,1 • 1,95 } : 2422,1 = 0,509, somit zusammen 1,458 + 0,509 = + 1,967 *. Diese Werte sind wieder von denjenigen für den Rahmen mit zwei Gelenken ohne Mittelstützen abzuziehen, und man erhält für das Eigengewicht H = 4,604 — 4,344 = 0,260*, für die Schneebelastung 1,171 — 1,176 = — 0,005*, für den vertikalen Winddruck H = 0,617 — 0,553 = 0,064*, und für den horizontalen Winddruck H — — 0,282 + 1,967 = 1,685* (s. S. 31).

Die Momente sind nun wie auf S. 33 zu berechnen, und zwar mit der Differenz der Momentenflächen (s. S. 35), so daß man für das Eigengewicht erhält H = 0,260*, und

Ma — 0, Mc = — 0,26 - 3,9 — 0,15 = — 1,16,

Me = — 0,26 • 8,5 + 52,1 — 53,55 = — 3,66,

Mg = — 0,26 • 13 + 63,05 — 53,55 = + 6,12,

Mf= — 0,26 • 8,5 + 50,2 — 53,55 = — 5,56,

Md — — 0,26 • 3,9 — 4,65 = — 5,66, Mb = 0.

Mb =

• 9,51 + 15,2 • 7,63 + 0,5 • 5,37 } : 2422,1 = + 0,553 *, für den horizontalen Winddruck vom Trapez

• 4,61 = 1,458

Me,= — 0,26 • 6,1 + 6,55 - 5,08 == — 0,12,

Me, = — 0,26 - 10,5 + 55,0 — 53,55 = — 1,28, Mj, = — 0,26 • 10,5 + 53,34 — 53,55 = — 2,94, Md, — — 0,26 • 6,1 + 2,29 — 5,08 = — 4,38,

Ebenso für die Schneebelastung H = — 0,005*, und

Ma =0, Mh = 0,005 • 3,9 — 0,15 = — 0,13,    Mc, = 0,005 • 6,1 + 1,62 — 1,37 = + 0,28,

Me = 0,005 • 8,5 + 13,57 — 14,44 = — 0,82,    Me, — 0,005 • 10,5 + 14,31 — 14,44 = — 0,08,

Mf, == 0,005 • 10,5 + 13,39 — 14,44 = — 1,00, Md. — 0,005 • 6,1 — 0,72 — 1,37 = — 2,06, Mb = 0.

Mg = 0,005 • 13 + 16,44 — 14,44 = + 2,07, Mf — 0,005 • 8,5 + 12,53 — 14,44 = — 1,86, Md — 0,005 • 3,9 — 2,63 = — 2,61,

Ferner für den vertikalen Winddruck H = 0,064*, und

Me, = — 0,064 • 6,1+0,46 — 0,46 = — 0,39, Mr, = — 0,064 • 10,5 + 5,26 — 5,06 = — 0,47,

Ma= 0, Mc = — 0,064 • 3,9 = — 0,25,

Mt = — 0,064 • 8,5 + 4,8 — 4,8 = — 0,54,

Mg = — 0,064 • 13 + 8,32 — 6,82 == + 0,67, Mf, = — 0,064 • 10,5 + 9,15 — 8,58 = — 0,10, Mf = — 0,064 • 8,5 + 8,84 — 8,84 = — 0,54, Md, — — 0,064 • 6,1 + 1,26 — 0,84 = + 0,03,

Mb=0.

Md = — 0,064 • 3,9 = — 0,25,

Endlich für den horizontalen Winddruck H = 1,685*, und

Ma= 0,

Me= — 1,685 • 3,9 = — 6,57,

Me, = — 1,685 • 6,1 + 1,61 = — 8,67,

Me = — 1,685 • 8,5 + 16,94 = + 2,62,

Mt, = — 1,685 • 10,5 + 16,94 = — 0,75,

Mg = - 1,685 • 13 +16,94 = - 4,97,

Mf, = — 1,685 • 10,5 — 1,03 + 16,94 = — 1,78,

Mf = — 1,685 • 8,5 — 4,03 + 16,94 = — 1,41, Md, = -Md — — 1,685-3,9 — 17,66 + 33,88 = + 9,65, Mb= 0.

Durch die Summierung dieser Momente wie auf S. 32 erhält man Mn = Mb — 0, bei Winddruck rechts

*1,8

-2,9 3,3

C.

* 12,0f-9,Z

*8jl-8,1

-6a

-1,6

-3a

D'

*7,6\-n,5

*3,7

-13,8

Abb. 45.

1,685 • 6,1 — 10,0 + 32,27 = + 11,99,

bei Winddruck links

M,= — 1,16 - -5+- - 0,25 — 6,57 = - 8,05,

A

— 0,39 — 8,67 = — 9,18,

Mc = — 1,16

(- -!+-) - 0,25 + 9,65 =+8,24,

Me, = —

(+T)

Mc, = — 0,12 +    +0,03 + 11,99 =+ 12,04

bei Winddruck rechts

Me = — 3,66

— 0,54 + 2,62 = — 1,58,

A/e,=

1,28 (

3/s =

6,12 + 2,07

+1 _ 0,47 - 0,75) = - 1,28, + 0,67 — 4,97

= + 8,19,

Mr = — 2,94 -

1,00

— 0,10 — 1,78 = — 5,32,

*f =

1,86

Md,= -

- ⁵’⁵⁶--i

4,38 (

— 0,54 — 1,41 = — 8,44,

bei Winddruck links 0,82

Me = - 3,66--

M„=- 1,28 - -+-M, = 6,12 (+-+-) + 0,67 - 4,97

!+ _ 0,47 - 0,7₅)

— 0,54 + 2,62 = — 3,48,

0,54 — 1,41 = — 6,02

2,94 (

0,08

— 0,10 — 1,78 = — 3,20,

- ^(-T)

= +1,82,

= — 2,94

Md= - 5,66

(-+i)

²2^) + °’⁰³ +11?"

— 0,25 + 9,65 = + 3,74,

= + 7,64,

2,06

+4 =-4,38--

Md = - 5,66 -

— 0,39 — 8,67 = — 14,47,

2,61

— 0,25 — 6,57 = — 13,79 m*.

In Abb. 15 sind die Momente für diskontinuierliche Berechnung der Gegendrücke mit denjenigen für die kontinuierliche Berechnung derselben und mit der genauen Berechnung derselben verglichen, und es soll daher noch auf die beiden letzteren Berechnungen hingewiesen werden.

Die große Abweichung der kontinuierlichen Berechnung von den beiden anderen, welche fast genau übereinstimmen, zeigt, daß ein Rahmen mit Mittelstiitzen nicht kontinuierlich berechnet werden kann, indem die festen Ecken eine Kontinuität verhindern. Deshalb hat sich auch bei der genauen Berechnung der Gegendrücke für das dreifach statisch unbestimmte System des festen Rahmens mit Gelenken bei A, B, E, F, K und L gezeigt, daß die diskontinuierliche Berechnung der Mittelstützen viel genauere Resultate ergibt als die kontinuierliche Berechnung derselben.

Die letztere kann nach der Clapeyronschen Gleichung für die in Abb. 34—36 enthaltene Belastung aus

Mr lr + 2 Mr + , (lr + lr + t) + 2 Mr + 2 lr + , —

— j ÎP-a (/r²—a²) -

1 r+i

2 P b (lr + ² — b²) berechnet werden,

so daß man erhält: Mx • 5,8 + 2 il/₂ (5,8 -j- 8,5) + M₃ • 8,5 =

il/₂ • 8,5 Ą-2 M₃ (8,5 + 5,8) + M₄ • 5,8 = — n, und bei Einsetzung der Lasten P in den Abständen a vom linken und b vom rechten Auflager der Oeffnungen r und r +1 ergibt sich für das Eigengewicht m — 239,05 (— 5,8 • 0,15) = 238,18 und n = 239,05 (— 5,8 • 4,65) = 212,05 (da il/, = — 0,15 und M₄= — 4,65 ist), — 28,6 m -|- 8,5 n

— m.

und hieraus M₂~

28,6²— 8,5²

= - 6,72 m* und M₃ =

— 28,6 n + 8,5 m

= — 5,42 mt.

Mr+X -Mr , 2PAh-«)

28,6²— 8,5²

Die Auflagerdrücke ergeben sich aus den Gleichungen V'. =

V"r —

Mr+X—Mr

ÎP-a

wo a = den Abständen der Lasten P vom linken Auflager und Mr sowie M

mit ihren Vorzeichen ein-

zusetzen sind.

Man erhält alsdann für das Eigengewicht die Werte F" = — 2,96*, V' = + 5,55*, F₂ = — 5,25*, V₃ = = + l^ö⁴ und die Auflagerdrücke aus Qr— V'— F''_, somit Q₂= 8,51 + 2,0 = 10,51*, Q₃= 7,21 + 2,0 = 9,21*.

Bei A und B erhält man (+ = F, = 3,04 +0,5 = 3,54* und Qx = V₃ — — 4,04 + 1,5 = 5,54*.

In derselben Weise erhält man für die Schneebelastung m = 68,04 (— 5,8 • . 0,15) — 67,17 und n — 68,04 (— 5,8 • 2,63) = 52,79 und hieraus wie oben M₂ = — l,97mt, M₃= — 1,26m* und die Auflagerdrücke ergeben sich aus v; = — 0,85 *, F₂ = + 1,53*, F; = — 1,37*, V₃ = + 0,30*, somit ist Q, = 2,38 +0,5 = 2,88*, Q₃= 1,67+0,5 = 2,17* uud bei Ä und B': Qx = = v; = 0,55 + 0,5 = 1,05*, Qą= F₃' = 1,10 + 1,30 = 2,40*.

Mr

Vr

Mrt-1

lr

■&

Abb. 46.

Von dem vertikalen Winddruck erhält man:

m = 21,79, n = 37,21, M₂ = — 0,41m*, M₃ = — l,18m*, F"    = — 0,071*, V'₂ = +0,264*,

F₂ = — 1,13*, F, = + 1,154*, somit Ç₂ = 0,335*, Q₃ — 2,290*    und Q' = V' — — 0,071 *, Q₄ =    F₃'    = +    0,736*.

Wird nun die kontinuierliche Berechnung der Stützen mit der Rahmenberechnung ohne Mittelstützen verbunden, so erhält man als Auflagerdrücke:

beim Eigengewicht: Ä = 13,68 — 3,54 = 10,12*, B' = 15,12 — 5,54 = 9,58*, K ~ 10,51*, L — 9,21*, bei der Schneebelastung: Ä = 3,73 — 1,05 == 2,68*, B = 4,77    — 2,40 = 2,37*, K = 2,88*, L    —    2,17*,

beim vertikalen Winddruck : Ä = 0,828 — (—0,071) = 0,899 *, B'=    2,462 — 0,736 = 1,726*, K= 0,335*,    L —    2,290*.

Hierbei ist Ä + B' — K + L, und mit diesen Auflagerdrücken der vier Stützen erhält man die untengezeichneten Vierecke als Momentenflächen, und es ergibt sich wie oben beim Zweigelenkrahmen für die einzelnen Trapeze mit ihren Schwerpunktsabständen xs und ys = 13 — y :

beim Eigengewicht:    X— +4,618*    und    als    Differenz    4,604    —    4,618    = — 0,014*,

bei der Schneebelastung:    X =+-1,189*    und    als    Differenz    1,171    —    1,189    = — 0,018*,

beim vertikalen Winddruck:    X = + 0,618*    und    als    Differenz    0,620    —    0,618    =+0,02*,

wobei die wirklichen Auflagerdrücke aus der kontinuierlichen Berechnung

A = 13,68 — 10,12 = 3,54¹ für Eigengewicht, A = 3,73 — 2,68 = 1,05¹ für Schneebelastung, A = 0,828 — — 0,899 = — 0,071* für vertikalen Winddruck sind (ebenso ist B = 5,54*, bzw. = 2,40* und = 0,736*).

5AŁ

Für den horizontalen Winddruck gilt die obige Berechnung für den Zweigelenkrahmen mit diskontinuierlichen Mittelstützcn.

Bei der Berechnung des dreifach statisch unbestimmten Zweigelenkrahmens nach Professor Dr. Müller-Breslau haben sich die folgenden Auflagerdriicke ergeben, und zwar

für das Eigengewicht: Qx = 4,07*, Q₃ = 9,94*, Q₃ = 8,77*, QA = 6,02*, zusammen 28,80*,

ebenso diskontinuierlich: Ç, = 13,68 — 9,23 = 4,45*, Q₂= 9,23*, Q₃ = 9,23*,

VrSl

Qa = 15,12 — 9,23 = 5,89*, zusammen 28,80*,

Abb. 47.

und kontinuierlich:    = 3,54*, Q₃ = 10,51*, Q₃ = 9,21*, Q₄ = 5,54*,

zusammen 28,80*,

und man erhält für die eingeklammerten Zahlen in Abb. 47: X = 4,405* und als Differenz (s. S. 31) X = 4,604 —

—    4,405 =+0,199* statt 0,205* der graphischen Berechnung.

Für die Schneebelastung ergibt sich = 1,006*, Q₃ = 2,904*, Q₃ = 2,296*, QA = 2,294*, zusammen 8,50*, ebenso diskontinuierlich = 3,73 — 2,49 = 1,24*, Q₃ = 2,49*, Q₃ = 2,49*, QA = 4,77 — 2,48 = 2,28*, zusammen 8,50*, und kontinuierlich Qx = 1,05*, Q₃ = 2,88*, Q₃ = 2,17*, QA = 2,40*, zusammen 8,50*, und man erhält für die eingeklammerten Zahlen in Abb. 47 : X = 1,224* und als Differenz (s. S. 31) X = 1,171 — 1,224 = — 0,047 statt

—    0,045* der graphischen Berechnung.

Die eingeklammerten Zahlen haben sich hierbei aus den Auflagerdriicken : beim Eigengewicht: Â = 13,68 — 4,07 = 9,61*, B’ = 15,12 — 6,02 = 9,10*, somit Ä + Bl = K-\- L = 18,71*, bei der Schneebelastung: ^4'= 3,73 — 1,006 = 2,724*, B'= 4,77 — 2,294 = 2,476* somit +' + B'= K+ L = 5,20*

ergeben. Der Winddruck konnte nicht verglichen werden, da er in schiefer Richtung (statt der vertikalen und horizontalen Komponenten) graphisch berechnet wurde.

IV. Berechnung eines Güterschuppens ohne und mit oberen Gelenken sowie

Mittelstützen.

1. Berechnung des eingespannten Rahmens mit oberen Gelenken.

cm

stark) 120kg, Doppelklebepappe

Die Belastungsannahmen sind für das Hauptdach : Bimsbeton 1:2:4 (6,5 mit Anstrich 15 kg, Eigengewicht der Binder, Unterzüge und Anschlüsse aus Eisen 20 kg, Wind senkrecht nach unten (für die Neigung 1:10) 10kg, zusammen mit Berücksichtigung des Oberlichts in der Mitte rund 170kg/qm. Hierzu

75

kommt die halbe Schneelast von — kg/qm

(bei ganzem Winddruck von 150kg/qm), oder die ganze Schneelast von 75 kg/qm (bei halbem Winddruck von 75kg/qm), somit zusammen rund 210 kg;

250 kg/

■ ■

\ vA

i.

oder

tim

Hu

Ho

,qm

Der Winddruck mit 10° Neigung gegen die Horizontale ergibt p • sin² (a + 10) pro qm Grundriß und Aufriß, und für die Vordächer ist der nach oben wirkende Winddruck (für die Neigung 1 : 5) von 10 kg und außerdem 10 kg für die Deckenträger sowie die 10kg des vertikalen Winddrucks abzuziehen, so daß hier ohne Schnee rund 140 kg/qm, mit halbem Schnee rund 180 kg/qm und mit ganzem Schnee rund 220 kg/qm gerechnet werden können (die 10kg des vertikalen Winddrucks werden daher nur für das Hauptdach gerechnet und zwar der einfacheren Rechnung wegen für die ganze Dachfläche).

Die Annahme einer gleichförmigen Belastung für das Hauptdach und für die Vordächer vereinfacht die Berechnung, und ergibt angenähert dieselben Resultate. Ebenso kann das Verhältnis des mittleren Trägheitsmoments in den Säulen bei A und B zu den Trägheitsmomenten der drei Dachbinder für 9m Breite (welche noch durch die Bimsbetondecke versteift werden) angenähert =2:1 gesetzt werden, da eine Abweichung von diesem Verhältnis nur

qm-

«,5

5X3,0* 35------

5J5

A i

6,575 |

1 i,

b_

—7,0 —    6,5— >j<—7,0--=4

111 tu

V,5

t.

--5x9,0*35----»)«-----5X9,0*05-

c i - io

A_

JE

5 je

6,1

1-70 0

1-5

C 7:10 S 7:70 D

O-    %    -O

5,85

~ -ZS- -»t«—Zs —    *|

kJ,Z-4&---70,0----9,5 -A

Abb. 48.

wenig ausmacht. Für den Rahmen mit Eingespanntsein bei A und B in einem Betonfundament (und zwar durch einen Eisenbetonfußboden auf Unterzügen oder durch Verankerung der eisernen Säulen in dem Fundament) sowie zwei Gelenken bei C und D kann die x-achse zur Bestimmung des Horizontalschubs durch die letzteren gelegt werden (s. Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen 1910 S. 73), und man erhält alsdann dieselben Formeln wie für den eingespannten Rahmen mit veränderter x-achse.

Bei einer Annäherungsberechnung (zur vorläufigen Dimensionierung) kann statt des flachen Dachs ein gerader Balken CD angenommen, und die unsymmetrische Belastung der Vordächer sowie der Winddruck auf beide Säulen gleichmäßig verteilt werden.

(0,22)    312

Für die ersteren erhält man links Ma = — 9 • 0,18 • ——-

A

(9,51)    (0,22) 4 5 2    (20,04)

7,78 mt und rechts Mb = + 9-0,18--^— =16,40 mt,

A

Abb. 49.

ff

und wenn der Rahmen AB CD im Gleichgewicht ist, und beide Säulen denselben Widerstand leisten (bzw. den durch das mittlere Trägheitsmoment bedingten Teil, weil die Durchbiegung proportional zu demselben ist), so wirkt die Differenz der halben Momente links in derselben und rechts in der entgegengesetzten Richtung des Moments

(20,04)    (9,51)

16,40—7,78

der Vordächer. Diese Differenz ist =

(5,20

= 4,31mt und es wird Ma =

(5,27)    (9,51)

(14,78)

(20,04)

(14,77)

(5,27)

= 4,31 + 7,78 = 12,09 und Mh = 16,40 — 4,31 = 12,09 mt.

Der Einfluß des Winddrucks kann angenähert dadurch bestimmt werden, daß jede Säule den halben Winddruck aufnimmt (bei verschiedenem Trägheitsmoment ist der Widerstand proportional demselben). Die 2,5m hohe, ein Stein starke Wand kann den Winddruck von 150 kg/₍,m mit 5 kg/qcm Beanspruchung aufnehmen, und es ist nur die Torbreite von 3,5m (mit Berücksichtigung der Säulen 3,6m) und der obere Teil der !/₂ Stein starken Wand auf 9m Breite in Rechnung zu ziehen, so daß man nach S. 40 als Moment vom Winddruck Ma = 30,18mt erhält, somit pro Säule 15,09 mt. Dies ergibt zusammen bei ganzem Winddruck und halber Schneelast Ma= 12,09 + 15,09 = 27,18mt und bei halbem Winddruck und ganzer Schneelast Ma = 14,78 + 7,54 = 22,32 mt.

Die genaue Berechnung nach den Formeln von Müller-Breslau, und zwar mit der durch die zwei Gelenke gehenden wachse, ergibt für den Rahmen I als Trägheitsmoment:

■-h

y'ds _ ^3 .    Mil). a = 58,26.

Die Momentenflächen für die vertikale Belastung sind unter Berücksichtigung der Gegendrücke an den Mittel-stützen, und der negativen Momente durch die Vordächer zu bestimmen. Hierbei kann jedoch infolge von Gelenken bei C und D keine Drehung von CE und DF durch die letzteren eintreten, so daß über CE, EF und DF Parabeln ohne negativen Abzug erhalten werden. Die Momentenflächen der Vordächer ergeben sich aus der Annahme X = 0 für die Horizontalschübe bei C und D (beim eingespannten Rahmen wird der Horizontalschub bei A und B = 0 angenommen,

(9.51)    (20,04)

so daß die Momentenflächen oberhalb der Vordächer liegen), und es ist Mc,= — 7,78mt und Md,= + 16,40 "4.    Für

(0,25)

_ 3-0,21 • 7 ²

/' —

(4,60)

= + 3,86 und Mg = durchgehenden Hauptdachbinder nur * der Belastung für 9 m Breite fällt.

O

das Hauptdach erhält man Me, = M

(0,25)

3-0,21 • 6,5²

(3,95)

= 3,33mt, indem auf die

1,95

E-

+10

H 2,92 t )JO\ 2.50t

Jl

k -3,1 —t«--7,0

—    ------7,0

S----7,0----6,5---*k--7,0---+ — 28,99-

Ti

Abb. 50.

Abb. 51.

'    3,86-7,03» -0,35 • 2 + (

(9,51)

erhält man ys = — 3,65 und X = |

2 (³-⁹5)

3-3,33-

3,27 ^ ■ 0,903 - 2 } : 58,26

- 3,4 - 3,65 —

— 0,903 und X=

(0,259)

(0,268)

(0,53)

= 0,217 + 0,226 = 0,44*, und für die ersteren

(bei Einsetzung von F\ =

mit J = 2 und= 1, und Ausrechnung der einzelnen

(20,04)

16,40    \    (1,012)

-— • 3,4 • 3,65 f : 58,26 = 0,828 — 1,750 = — 0,921

Produkte

(2,14)

(MS)

Tx

mit Rechenstab).

Vom Winddruck erhält man aus p sin² (a +10) für 3:10 Neigung des Oberlichtdachs 30 kg/qm und für 1:10 Neigung des Hauptpachs 11 kg/qm, so daß am Fuße des Oberlichts eine Einzellast =0,6-30-9 + + 1,675 • 150 • 9 = 2,42* wirkt, und wenn (der Einfachheit halber) der Gegendruck

(0,082)

genommen wird, so ist bei H ein Moment M

nur in D an-

= 2,42 - 0,825 + (0,825 • 0,011 - 9) •    = — 2,03mt

2

2 85

vorhanden. Bei 2,5m Höhe ist: M = 2,502 • 2,85 + (0,15 • 9 • 2,85)    - = 7,13 + 5,48 = — 12,61mt, und bei B:

(6,35)    (1,35)    2,5

M = 12,61 + (2,502 + 3,848) 2,5 + (3,6-0,15 - 2,5)    = 12,61 + 15,88 + 1,69 = — 30,18mt.

(3,848)

Man erhält daher für die wachse CD |mit Einsetzung von 2,5 2 • 28,49 + 12,61

F'

0

sin a

undF₀

und für den Schwerpunktsab

Btand des unteren Trapezes bei — •

3

28,49 + 12,61

= 1,41 ¹¹¹ von der Oberkante desselben sowie demjenigen der

Parabelflächen mit 4 bh Inhalt bei — h\:

3    4    /

X = 1

' 2,03 • 8,25

l⁻

)•

2 • 0,825

/ 7,13    2,85 \ o 2,85    / 5,48    2,85 \ 3 • 2,85

⁺ V 2    *    2 )‘ ² ’ _3    ⁺ \ 3    2 )    4

₁₂.C1 +28.48    SA)(2>85 + 1,4n+Ä.M)(

5,35 —

¥)}

: 58,26 =

zusammen

= — 0,080 -f 0,166 + 0,096 + 1,880 + 0,057 = -f 2,12 *.

:    :    \    ,    t    (0,53)

Die in Abb. 52 eingeschriebenen Horizontalkräfte bei C und D sind daher für das Hauptdach 0,44*, für die Vordächer

(20,04)

16,40 — 7,78

0,öl)

(1,13)

5,35

zusammen =

30,18

(1,13)    (0,84)

(1,97)

1,61 *, somit bei D — 0,92* und bei C = 1,61 — 0,92 = 0,69¹ und für den Winddruck

■    0,97)

(2,82)

5,64*, somit bei D = 2,12t und bei C== 5,64 — 2,12 .=== 3,52*,

(1,06)

(1,06)

(1,76)

5,35

und dieselben sind zusammen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften.

Werden nun die Momente der Horizontalschube für die einzelnen Belastungen mit den in Abb. 50—51 gezeichneten Momentenflächen verbunden, so erhält man für die Vordächer:

(9,51)    (0,84)    (14,00)    (20,04)    (14,00)

Ma = 7,78 + 5,35    • 0,69    = 11,47 mt,    Mb == 16,40    — 0,92 • 5,35 = 11,47 mt    und für

(1,76)

0.920

3,5Z<

Abb. 52.

(5,67)

linksseitigen Winddruck: Ma = 30,18 — 5,35*3,52 == 11,34, Mh — 2,12-5,35 = 11,34*, so daß die Momente bei

(0,53)

gleichstarken Säulen links und rechts gleich groß sind. Diejenigen für das Hauptdach werden Mu — 5,35 • 0,44 =

(2,84)    ,. ,

= 2,35 mtr= Mb-

Das Vorzeichen dieser Momente geht aus der tatsächlichen Wirkung der einzelnen Horizontalschübe auf die Säulen bei A und B hervor (s. Abb. 53), und dieselben bewirken alle eine Verschiebung von links nach rechts, nur für die Belastung des Ilauptdaćhs ist das Moment links abzuziehen und rechts kommt es hinzu, so daß man als Gesamtmomente erhält:

(2,84)    (5,67)

Ma — — 2,35 + 11,34 + 11,47 == 20,46 m* und

(14,00)

(15,00)

(14,00)

(16,83)

(1,06)

(5,67)

0,99

0,99

(5,67)

(22,60)

(2,84)    .

Mh — 2,35 + 11,34 + 11,47 = 25,16 rat.

2,35

2,35

Werden die Gegendrücke der Mittelsäulen bei E und F von dem horizontalen Winddruck bzw. auch von der horizontal wirkenden Vordachbelastung berücksichtigt, so erhält man eine vertikale Zug- bzw. Druckkraft

(15,09)

₌₌ Msl. ₌ 30,18 • 7,0    14,0

(14,00)

11,47

(1,08) /

= 2,16* (statt

(15,09)

30,18 _ 20,5 “

(0,74) \

1,48 tj

bzw.

11,39

11,39

(14,00)

11,47

i/j M

-MG.IOY-

3,69^^1,10

‘ ah,9fr

(0,68) \

0,56*1.

(1,00) /

0,82 * I statt

Abb. 53.

(2,24)

bzw. = (0,82 - 0,56) 7,0 = 1,82 mt, und zwar kann das erstere für E und F positiv oder negativ werden (s. Abb. 51), während das letztere bei E für den

(2,38)    (2,24)

Gegendruck negativ und bei F für den Gegenzug positiv ist, so daß man bei E : ± 4,76 — 1,82. = +2,94 bzw. == — 6,58

(2,38)    (2,24)    (4,62)    (— 0,14)

und bei F: ± 4,76 + 1,82 = + 6,58 bzw. ±= — 2,94»4 erhält.

Die untengezeichneten Momentenflächen sind aus den in Abb. 53 enthaltenen Momentenflächen zusammengesetzt worden, und die ersteren (in Abb. 54) gelten für ganzen Winddruck und halbe Schneebelastung und die letzteren (in Abb. 55) für halben Winddruck und ganze Schneebelastung.

14,0

20,5

(1,08)    (0,74)

(2,38)

Man erhält dadurch bei Eund A’ein Moment ;= (2,16 — 1,48) • 7,0 = 4,76

mt

0,00)

(0,68)

(0,14)

(- 4,62)

-7.89

3,86

3,33

SZ17-

3.86

9. 6U

5,SS

9,60

C,

-i—-"<T    ⁺    >o-

8t

3-'

039

+■

1Û

1,06/

1,78(8,83]

16,10(19,60]

0,89i

9,S1(10ttU>)

20,09 (20,97)

XI* TTZ

\*m(Z0,«6i M773W

8-—30,18 — »I

.    k-16,¥0-4

f (25,16 mi)

fi* Vr ,,

¹ 13.09 (16,83!

9» 20,09-* ⁶>°A fZZ,60mt)

Abb. 54.

I-

Abb. 55.

Zur Bestimmung der in dem Hauptdach bei E und F wirkenden Momente ist in Betracht zu ziehen, daß die Horizontalschtibe II hei C und 1) einen Druck oder Zug auf den oberen Balken CGI) ausüben, und daß die Werte von

H bei C und D gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein müssen. Dies geht auch aus den in Abb. 56 eingetragenen Horizontalkräften hervor, welche den Zug oder Druck auf den oberen Balken vergegenwärtigen.

Für den Zug durch die verschiedene Belastung der Vordächer und für den Druck durch den Wind ist dies ohne weiteres klar, und bei der vertikalen Belastung des Hauptdachs ist davon auszugehen, daß infolge Nachgiebigkeit

nur ein kleiner

5,6V-

069

0,W

2,12

0,92

Mg

o,w

T¹'⁶¹*

Abb. 56.

der Stützen bei A und B statt des großen Horizontalschubs

(0,53) t

— 0,44 entsteht, welcher auch als Druck auf den oberen Balken wirkt.

(0,53)    (1,06)    (0,84)    (0,75)

Man erhält daher Hc = Hd = 0,44 + 2,12 — 0,69 = 1,87¹ und mit Berücksichtigung der obigen Momente

1,025

(- 4,62)    (0,75)    (- 5,15)    (4,62)    (0,75)    (+ 4,09)

Me = — 6,58 — 0,7 • 1,87 = — 7,89, Mf— 6,58 — 0,7 • 1,87 = + 5,27“* bei Winddruck links,

(0,14)    (0,75)    (- 0,39)    (- 0,14)    ( ,75)

Me = 2,94 — 0,7 • 1,87 = + 1,63, Mf = — 2,94 — 0,7 • 1,87 = — 4,25mt bei Winddruck rechts.

(0,31)

Für halbe Schneebelastung ohne Winddruck erhält man Hc = Hd = 0,44 — 0,69 = — 0,25* und

(2,24)    (0,31)    (- 2,02)    (2,24)    (0,31)

Me = — 1,82 + 0,7 • 0,25 = - 1,65“*, Mf = 1,82 + 0,7 • 0,25 = + 2,00mt.

3 • 0,17 • 6,5²

(- 0,67)

(volle)

(0,53)

(0,84)

(+ 2,46)

Ohne Schneebelastung und ohne Winddruck erhält man ein kleineres Mg =

= 2,69 mt, so daß dieser

Ebenso ist der Einfluß der Einzelkraft 2,42* vom Winddruck auf das Dach nur =

2,42*

Fall nicht in Betracht kommt.

_ 2 • 2,42 • 1,25 “    3,25 • 10

Hiermit erhält man auch die Horizontalschübe H, welche eine Druck- oder Zugspannung in dem Balken CGD bewirken, und sind dieselben bei einer Eisenkonstruktion für die Knickung in vertikaler Richtung zu berücksichtigen (seitlich werden die eisernen Binder durch die Bimsbetondecke festgehalten).

Zur Berechnung der eisernen Säulen (aus Blechträgern) sind noch die Auflagerdrücke zu bestimmen, und man erhält von der vertikalen Belastung:

(0,22)

A = 9 • 0,18 • 3,1 4- 9 • 0,21 • 3,5 + 1,2 == 12,84*, B = 9 • 0,18 • 4,5 + 9 • 0,21 • 3,5 + 1,2 = 15,11* und mit Berücksichtigung der horizontalen Kräfte wird:

(15,21)    (1,08)    (1,00)    (15,92)

A = 12,84 ± 2,16 — 0,82 = 14,18 bzw. = 9,86*, B = 15,11 ± 2,16 + 0,82 = 18,09 bzw. = 13,71*.

7 4. 6,5 (°’²⁵)    05,79)

---0,21 • 9 + 0,6 = 12,86 * und mit Berücksichtigung

(0,01)

= 0,02 mt, wenn die zum Dach senkrechte Komponente

IQ für den Stab FG—d,25 m berücksichtigt wird.

(0,25)

(15,21)

(13,13)

Die Mittelstützen erhalten eine vertikale Belastung =

(0,22)

(0,25)

(17,99)

(17,99)    (1,08)    (1,00)

(20,07)

(17,91)

der horizontalen Kräfte:

(15,79)    (1,08)    (1,00)    (17,97)

E = 12,86 ±    2,16    0,82 =    15,84 bzw. = 11,52*,    F =

(die eingeklammerten    Zahlen    beziehen    sich immer auf ganze    Schneelast    und halben Winddruck).

(15,71)

(15,79)

(1,00)

(15,87)    (13,71)

— 0,82 = 14,20 bzw. = 9,88*

3jj0_

erhält man:

Für den nebengezeichneten Rahmen II mit zwei oberen Gelenken

110

-\o -

H 2*2

__ ₍5,35    5,35²

2,501

g \

i zĄ . ß ⁵>«*

F—ZS----+-----^

TI

3-+ 7,53-

° f4 ■²

= 53.87.

Für das Hauptdach ist Mt = M

(0,25)

_ 3-0,21 - 7,5²

(5,27)

= 4,43m* (bei

Verteilung der Belastung auf drei Dachbinder), und bei Annahme der wachse durch die zwei Gelenke wird

Abb. 57.

'V* -

i / 2    (⁵-²⁷)    \    ,

- 4,43 - 7,53\ • 0,375 - 2} : 53,87

(0,37)

= 0,31*.

(1,13)

(1,22)

. 0,92 = — 1,00*.

58,26 53,87

Für den Winddruck erhält man eine horizontale Einzelkraft 2,42* im Abstand 0,55™, somit bei H ein M =

(0,055)    0,55    .    (3,848) O üp;

= 2,42 • 0,55-}- (0,011 • 9 • 0,55) —= — l,35mt, und bei 2,5“ Höhe ist M = 2,475 • 2,85 -f (1,35 • 2,85) ~    =

2

Der Horizontalschub der Vordächer ist X —

(s. oben)

= 7,05 4- 5,48 = — 12,53“*, und bei B = 12,53 4- 15,80 + 1,69 = — 30,02“*.

Es ist also mit dem Schwerpunktsabstand des unteren Trapezes bei - — .^>33 -}-1^53

r    3    28,33 + 12,53

f 1,35 • 5,5^ 0,55 • 2 , (7,05 2,85^ ,    , /5,48 2,85^    3-2,85 , ^12,53 + 28,33 2,5\

\—2—)⁺ \rr 1>90+    * 4 +1-5T--Ir)

+    (5,35 -    : 53,87 = - 0,025 + 0,177 + 0,103 + 2,02 + 0,062 = + 2,34*.

(1,97)

Die Gesamthorizontalkräfte sind für die Vordächer = 1,61* und für den Winddruck —

(1,97)    (1,22)    (0,75)

= 1,41“ : X =

(2,85 + 1,41) +

30,02

= 5,61 *, so

daß mau von den ersteren bei D : 1,00 und bei C: 1,61 — 1,00 = 0,61* und von dem letzteren bei D 2⁽¹34* und

(2,805)    (1,17)    (1,635)    (0.37)

bei (7= 5,61 — 2,34 = 3,27* und von dem Hauptdach bei C und D: 0,31* erhält (vgl. Abb. 53 u. 60).

Wird die Wirkung der Horizontalschübe für die einzelnen Belastungen mit deren Momentenflächen verbunden

(9|5l)    (0,75)    (13,52)    (20,04)    (1,22)    (13 5L>) mt

Ma = 7,78 + 5,35 - 0,61 = 11,05 “*, Mb = 16,40 - 5,35-1,00 = 11,05 und

(1,22)

5,35

so erhält man bei den Vordächern:

(MT)

(6,26)

(15,01)    (1,635)    (6,26)    (1,17)    (6,26)

bei linksseitigem Winddruck Ma = 30,02 — 5,35-3,27 = 12,52mt, Mb = 5,35-2,34 — 12,52mt, und vom Hauptdach

(0,37)

=? Mb = 5,35 • 0,31 — 1,66mt, somit zusammen:

0,98)

(1,98)

(6,26)

(13,52)

(21,76)

(13,52)

(6,26)

,,    . . .    ...    (1,98)

Ma = — 1,66 + 12,52 + 11,05 = 21,91int, Mb = 1,66 + 12,52 + 11,05 = 25,23 m*.

(17,80)

Bei Berücksichtigung des Gegendrucks der Mittelsäule bei G

30,02

erhält man eine vertikale Zug- bzw. Druckkraft =

(13,52)

11,05

= 2,00* vom Winddruck und =

Mw

2 • 7,5

15

(0,90)

„ „    = 0,74⁴ von den Vordächern.

15

c.

1,93    J

1-0.55 «jj    + ‘*,55    !

Das Moment wird bei G — 0, da sich Zug und Druck in der Mittelsäule aufheben.

1,59,

1,78 (9,3V

JA

15,90 ( 19 6Z)

Als Horizontalschübe der Dachbinder erhält man nach Abb. 60:

Iß

(0,37)    (1,17)    (0,75)    (0,79)

Hc = 0,31 -f 2,34 — 0,61 = 2,04*= Hd und

(0,59)

Mg = — 0,75 - 2,04 = — 1,53 mt.

(volle)

Für halbe Schneebelastung ohne Winddruck erhält man

(0,37)    (0,75)

Hc = 0,31 — 0,61 = — 0,30*= IId,

(0,38)

Mg = + 0,75 • 0,30 =+ 0,23 m*.

Die Auflagerdrücke sind von der vertikalen Belastung:

(0,25)

(0,79)

(0,38)

(0,29)

<-W3-H H---30,02-- A(21,91)

Abb. 58.

5,27

?"

5,27

^tTrrTTÏÏIÜIÏÏÏÏIimiIIiiii^^^iirnTTblIlllirrïïTTTTTrt^

+5,92    S3!    +5,12

1,29

WA

9,51(10,75)

0,63i

Iß

20,0'* (20,67,

|*S, MU

k-15,oG (17,80)

(15,78)

A = 9 - 0,18 • 3,1 + 9 • 0,21 - 3,75 -f 1,2 = 13,31 *,

(0,22)

B = 9 - 0,18 - 4,5 + 9 • 0,21 • 3,75 + 1,2 = 15,58*.

Als Gesamtauflagerdrücke erhält man bei Berücksichtigung der horizontalen Kräfte:

(15,78)    (1,00)    (0,90)    (15,88)    (13,88)    (18,55)    (1,00)    (0,90)    (20,45)    (18,45)

A = 13,31 + 2,00 — 0,74 = 14,57 bzw. 10,57*, B = 15,58 + 2,00 + 0,74 = 18,32 bzw. 14,32*.

(0,22)

(0,25)

(18,55)

Abb. 59.

(21,76)

Die Mittelstütze erhält eine vertikale Belastung G =

75    (0,25)    (8,14)

~ • 0,21 - 9 = 7,09 *.

*u

Da auch hier oben eine teilweise Einspannung zwischen der Mittelsäule und dem Balken G GD angenommen werden kann, so genügt die diskontinuierliche Berechnung des letzteren, und wenn man ungünstig rechnen will, so kann das Stützenmoment und der Auflagerdruck für Kontinuität berücksichtigt werden, so daß man beide Fälle in Betracht zieht, und mit dem ungünstigeren Werte des positiven Me und negativen Mg rechnet.

Für den nebengezeichneten Rahmen III (Abb. 61) mit zwei oberen Gelenken erhält man

.Mit.2

°j61

⁵fil G *₀,3f J'²⁷

2,39

0,31 U

{ 5+ •    + 5,02

(0,25)

3 • 0,21 - IQ²

= 51,88.

Abb. 60.

Für das Hauptdach ist Mg =

3

wird mit dem Schwerpunktsabstand —

O

Der Horizontalschub der Vordächer ist X =

2*Yy. _ f/2

~ H3

58,26 (MO)    0,27)

0,92 =- 1,02*.

(0,05)    n 5

Für den Winddruck erhält' man bei H : M = (0,011 • 9 -0,5) • —-

A

• 5 = 1,875: AT =

(9,38)

= 7,88m* und bei Annahme der x-achse durch die zwei Gelenke

(9,38)

• 7,88 -

\    ,    (0,38)

5,02j 0,3125 - 2 J : 51,88 = 0,32 *.

8:10

(3,848)

2,85

= — 0,01mt, und bei 2,5m Höhe ist M= 0,05-2,85 + (1,35 - 2,85)

(3,90)    (1,35)

= 0,14 + 5,48 = — 5,62 m* und bei B = 5,62 + (0,05 + 3,85) 2,5 + (3,6 • 0,15 - 2,5)-- ²;;⁵ = 5,62 + 9,75 + 1,69 = - 17,06 m*.

A

Es ist also mit dem Schwerpunktsabstand des unteren Trapezes = ~

O

----

2,S ’ 5,6, v B

0,05

0,05

- 9£S— >

k----10,0 —

— ^15,57%

Abb. 61.

2,5 2 • 15,37 + 5,62 15,37 + 5,62 5,62 + 15,37    2,5\

(2,85 + 1,44) +

— = 1,44 m:

: 51,88 = — 0,0001 + 0,0036 + 0,107 + 1,082 + 0,064 = 1,26 *.

(1,97)

Die Gesamthorizontalkräfte sind für die Vordächer = 1,61 * und für den Winddruck =

(1,97)

17,06

5,35

= 3,19 *, so daß

(0,63)

(0,70)

den ersteren bei D: 1,03* und bei G: 1,61 — 1,03 = 0,58* und von dem letzteren bei D : 1,26 * und bei

(0,63)

(1,27)

(1,27)

man von

(1,595)    v-,___/

C: 3,19 _ l"26 = 1,93* und von dem Hauptdach bei C und D: 0,32* erhält (s. Abb. 53 u. 64).

(0,965)

(0,38)

Wird die Wirkung der Horizontalschübe für die Einzelbelastungen mit deren Momentenflächen verbunden, so erhält man bei den Vordächern :

(0,70)    (13,25)

Ma = 7,78 + 5,35 • 0,58 = 10,89 mt,

(8,53)    (0,965)    (3,37)

Ma — 17,06 — 5,35 • 1,93 = 6,74«+

(0,38)

(9,51)

(20,04)

(13,25)

Mb = 16,40 — 5,35* 1,03 = 10,89mt, und bei linksseitigem Winddruck

(0,63)    (3,37)

Mh — 5,35- 1,26 = 6,74mt, und vom Hauptdach

(1,27)

(2,03)

Ma — Mb — 5,35 • 0,32 = 1,71 mt, somit zusammen:

(14,59)

(2,03)    (3,37)

Ma — — 1,71 + 6,74 + 10,89 = 15,92 mt, Mb = 1,71 + 6,74 + 10,89 = 19,34 m*.

Als Gegendrücke erhält man eine vertikale Druck- und Zugkraft bei B

(13,25)

10,89

(13,25)

(2,03)    (3,37)

(13,25)

(18,65)

ST

1 m flUlTW & :

und A = -

17,06

10

= 1,71* vom Winddruck und =

(1,33)

= 1,09 t von

+G

\D

den Vordächern.

7,78(7,13)

1,071

76,90117,¥7)

Iß

Ąs,n k Ą778W-*-17,06-9,(15,98)

Abb. 62.

<5T

16,59' 9,38

^fli liiiw

>B

-Ol

9,51(9.99)

0,51

20.09(19,53)

'b

Als Horizontalsehübe der Dachbinder erhält man nach Abb. 64 :

(0,63)    (0,70)    (0,31)

IIc = Hd — 0,32 + 1,26 — 0,58 = + 1,00* und

(0,31)    (- 0,16)

Mg = — 0,5 - 1,00 = — 0,50nit.

(volle)

Für halbe Schneebelastung ohne Winddruck erhält man:

(0,38)    (0,70)    (—0,32)    (0,32)    (0,16)

Hc = IId = 0,32    — 0,58 = — 0,26*, Mg = + 0,5 • 0,26 = + 0,13 m*.

Denn die Horizontalschübe bei C sind nach rechts positiv und nach links negativ, so daß hieraus auch das Vorzeichen von Mg bestimmt ist. Die Auflagerdrücke von der vertikalen Belastung sind

(0,22)    (0,25)    (18,59)

+ = 9 - 0,18 -3,1+9-0,21-5 + 1,2 = 15,67*,

(0,22)    (0,25)    (21,36)

B — 9 - 0,18 - 4,5 + 9 • 0,21 • 5 + 1,2 = 17,94*.

(0,38)

V f? ^ 9,51 \ir -*8,53^(19,59)

20,09 * \₇₃6-(18,65)

zontalen Kräfte:

Als Gesamtauflagerdrücke erhält man bei Berücksichtigung der hori-

(18,59)

(0,86)

Abb. 63.

7,61t

(1,33)    (18.12)    (16,40)

A — 15,67 ± 1,71 — 1,09 = 16,29* bzw. 12,87*,

(21,36)    (0,86)    (1,33)    (23,55)    (21,83)

B = 17,94 ± 1,71 + 1,09 = 20,74 bzw. 17,32*.

Die Dimensionierung der aus Blechträgern und I Balken bestehenden Säulen und Dachbinder erfolgt aus der Summierung der Spannungen für M und Nx

AI N

(bzw. A oder B) durch oe =    + -ß - k, wenn k = 1 + 0,0001 -

F°‘P

Abb. 64.

Knickungskoeffizient entspricht (die Reduktion der zulässigen Spannung durch den Knickkoeffizient ergibt dasselbe Resultat, und kann mit der ersteren bis zu 1400 kg gegangen werden).

dem

2. Berechnung des eingespannten Kähmens ohne obere Gelenke.

Zur Vergleichung soll derselbe Güterschuppen auch ohne obere Gelenke berechnet werden, und es kann hier bei von denselben Belastungsannahmen ausgegangen werden.

i =    = j f⁵f +1,025)+

Iw 1 2 V 2    /I 2 i v 2

Man erhält alsdann für J, : J₂ = 2 : 1 beim Rahmen I :

10,3

(9,51)

(5,95)

5,5h

7,78

Sr

(£60)

(9,60)

-----ü

(20,09)

16,90

= l,170m mit G — 2tv = 5,35 + 2 • 10,3 = V² ds

y — 58,26 (s. o.) — (1,17 — - 1,025)² • 25,95 = 57,7 und Ty =    ^    ₊

= 25,95. Ebenso ist Tx — j"

io \

rr

A i

K 5,1—"K---7,0----6,5---A*---7,0---s+f -9,5—-Ą

Abb. 65.

§i

ei

Sf!

(9,51)

(»OOZJ

*-9,75 -*)**•— 5,37 —X

Abb. 66.

Doch kommt bei den Dachbindern

— • 10,25² j • 2 = 1283,5.

Die Momentenflächen ergeben sich aus den Auflagerdrücken der vertikalen Belastung, wobei die Wirkung der Vordächer zu berücksichtigen ist, und erhält man ohne Berücksichtigung der Mittelsäulen (der Gegendruck derselben ■= 9 • 0,21 • 6,75 = 12)76⁴ ist daher wieder abzuziehen):

(0,25)

A = 9-0,21 - 10,25 + 1,2 +

(8,91)

7,29 • 22,75 — 5,02 - 1,55 20,5

nui •> Belastungsbreite in Betracht, und die in Abb. 65 gezeichneten

(0,25)

3-0,21 - 20,5²

(6,U)

5,02-22,05 — 7,29-2,25

(8,91)

(23,06)

B — 19,37 + 1,2 +

(6,14)

20,5

(29,89)

= 25,17“,

(33,68)

= 28,28*.

Momentenflächen ergeben sich aus der Differenz der Parabel in Abb. 66 mit

(39,40)    -

= 33,09 mt Höhe, und des in

(0,25)

(5,06)

dieselbe einbescliriebenen Trapezes von den Gegendrücken bei E und F = 3 • 0,21 • 6,75 = 4,25* mit Me = Mf =

(5,06)

= 7 • 4,25 = 29,75 mt.

(35,42)

Die Momente des Hauptdachs werden

daher M, — M

(0,25)

7² • 0,21 • 3

(4,60)

= 3,86 mt,

(0,25)

M₉=,

6,5² • 0,21 • 3

(3,95)

(9,51)

—— = 3^33mt, und von den Vordächern erhält man die beiderseitigen Rechtecke mit Mc ~ — 7,78,

(20,04)

M, — — 16,40mt, und das über CD liegende negative Trapez und seine Schwerpunktsabstände = 4,75 m nach links

CO 00

und = 5,37 m nach rechts (in der oberen Parabel erhält man--- 3,25 = 1,22 m). Es ist daher X —

(4,60) \    )'    / O    (3,95) \

3,86 j (0,145 + 0,35) + 2 I— * 3,27 * 3,331

/1,95    (20,04) \ / 195

0,687) + (-^-.16,40j(-^---0,145

(9,27)    (125,09)    (179,32)    (21,49)    ,    (0,38)

— 7,59*10,25 — 102,33 • 4,75 + 146,72* 5,37 + 15,99 • 10,25 : 1283,5 = + 0,30*,

(9,27)    (43,12)    (17,22)    (125,09)    (179,32)    (21,49) ,    (10,59)

7,59 +36,18 + 14,52 — 102,33— 146,72 — 15,99} : 25,95= + 8,55mt (in Ffallen die symmc-

(9,51)

1,95* 7,78

(9,51)    (14,78)

7,78 + 12,09

(— 2,36)

: 57,7 = — 1,93 S F =

2F\

0,145)+ 2

■ 10,3^(1,17 — 0,475) -

• 7,03 *

(14,78)    (20,04)

12,09 + 16,40

•10,31(1,

17 —

Tx

*(1,17 — 0,122) —

(125,09)

undZ = trischen Flächen fort).

Für den Winddruck erhält man die Momentenfläche aus der Einzelkraft 2,42¹ (s. S. 40) und das Moment bei D — — 2,03mt, bei 2,5m Höhe = 2,03 + 7,13 + 5,48= — 14,64 Int und bei B = 2,03 + 28,49 + 1,69 = — 32,21“*

(2,03 kommt zu den Momenten in Abb. 51). Hierfür ist X — | — ^

2,03 * 8,28

)(

0,825

+ 0,145)+(2,03.-=.).

(“

0,145) + (

12,61 + 28,48

(4,26 —

fj1C

0825

kj2J)3 '

0,145)+(if .^) (5,35

— 0,145 -

: 57,7 =

- -ÇDZ S--S

2,85

5,V8

^(5,43 + 5,08 + 2,60 +

= + 2,31*, Y = {8,4o(lO,25 + 25,68 + 0,70) 10,25} : 1283,5 = + 0,365*, Z= — [— 8,40 —

K--7,0---sfc--6,5---3+5--70----+S- —

Abb. 67.

39,49} : 25,95 = + 1,85 m*.

Druckkraft =

Durch die Mittelstützen entsteht eine vertikale Zug- bzw.

Mw _ 32,21

14

= 2,30* statt

32,21

20,5

= 1,57 *

52,21 mt

2 • 7

oder eine Differenz 2,30 — 1,57 = 0,73 * mit (lern Moment 0,73*7 = 5,11mt. Die genaue Berechnung ergibt sich aus der nebengezeichneten Darstellung der Momentenfläche durch die Gegendrücke, und es ist hierfür:

7,03 *16,10

---7,0--

2,50

2,50

6,5

--7,0---,

250

2,

50 t

-5,35- -»

Abb. 68.

²(

3,25

7,03 * 32,21

)(t4ö+°’U5)

) Uro ⁺ °’¹⁴⁵) + ² ⁽³’²⁷ ■16,10) (x

0,145^ } : 57,7 = 0,

— 86,16 • 10,25| : 1283,5 = — 1,39* (die symmetrischen Flächen fallen fort),

2 = — {113,18+ 105,29 + 113,22 +86,16} :25,95 = — 16,10«+

Für den Rahmen II erhält man in derselben Weise mit Jx : J₂ = 2 : 1 :

_ 2wy' __

{— 113,22 ^3,25 +^)

2 iv

2 * 10,

(5,2V

ni

{^(M5+0,75)+ 7,53*^}:(^+7,53)

J,

= 1,175m mit G = 2w = 20,41. Ebenso ist

‘y²ds

?'

»*

4

ß_

53,87 — 20,41 (1,175 — 0,75)² = 50,2 und

r. = J™ ={!£VZf+ ^.7,^2

Die Auflagerdrücke der vertikalen Belastung sind bei Berücksich-

(0,25)

9 * 0,21 * 7,5

K -3,1-'*+---7,5---•*+(----7,5---*fr-V,5-H

Abb. 69.

= 583,3.

Sl

Csrl

8|

tigung der Vordächer und ohne Mittelsäule ^ihr Gegendruck

8 -3,V8-*W-3,33 - »1

Abb.'70.

(16,88)

_ 14,18*

\    (0,25)

ist abzuziehen J : A = 9 • 0,21 • 7,5 -f- 1,2 +

(8,91)

5,02 • 16,55 — 7,29 • 2,25

(6,14)

15

(23,51)

= 19,82*,

(16,875)

B = U,175 + 1,2 +

(6,14)

7,29 • 17,25 — 5,02 • 1,55

(8,91)

15

(27,69)

= 23,24 t.

Wegen Verteilung der Belastung auf drei Dachbinder mit 3m Abstand ergeben sich die in Abb. 69 gezeichneten

(0,25)

3 • 0,21 • 15²

Momentenflächen aus der Differenz der Parabel in Abb. 70 mit

, • ,    _    .    ,    (0,25)    (5,63)

einbeschriebenen Dreiecks von dem Gegendruck bei G = 3 *0,21 • 7,5 = 4,73⁴ mit Mg =

(0,25)

3 • 0,21 • 7,52 8

(20,04)

(21,09)

— I7,72,nt Höhe, und des in dieselbe

(5,63)

7,5 • 4,73

(21,11)

= 17,74 mt.

(5,27)

= 4,43mt, und von den Vordächern

Die Momente des Hauptdachs werden daher Me — M

(9,51)

erhält man die beiderseitigen Rechtecke mit Mc — — 7,78, Md = — 16,40mt, und das über CD liegende negative Trapez, und seine Schwerpunktsabstände = 3,48m nach links und = 3,93m nach rechts.

Es ist daher X =

0,425^ + 2    • 7,53 -    (0,425 + 0,375) — (

(1,175 — 0,348) —

■ 7,53) (1,175 - 0,393) +    . 16$))

(14,78)    (20,04)

12,09 + 16,40

(9,51)    (14.78)

7,78 +12,09

■ 1,53)

(- 2,36)

: 50,2 = — 1,93 t,

(21,49)    (0,52)

Y = { — 7,59 - 7,5 - 74,81 • 3,48 + 107,26 • 3,93 + 15,99 • 7,5} : 583,3 = +0,39* und

(9,27)    (52,91)    (91,45)    (131,10)    (21,49).    (9,82)

Z = — {— 7,59 +    44,48    — 74,81    — 107,26    — 15,99}    : 20,41 = + 7,90m*.

(9,27)

(91,45)

(131,101

0,425^1

«r

OS

J,

-X---W

^ ' Xvtf 5,

'S'

--V---^-----^ ~2a'6S -    W6

Abb. 71.

31,37mt

Für den Winddruck erhält man die Momentenfläche aus der Einzelkraft 2,421 (₈. S. 40) und das Moment bei D — — 1,35mt, bei 2,5 m Höhe — 1,35 -{- 7,05 -f- 5,48 = — 13,88mt und bei B = 1,35 4-4-28,33 4- 1,69 — 31,37mt (1,35 kommt zu den Momenten in Abb. 57).

1,35 - 5,52

--7,5----7,5---*

J,

*1

trr

2,09

2,09 t

Abb. 72.

{-(■

) ( 3^ + °>⁴²⁵) + (

⁰,*25) + (~ ■    (~ 2,85 - 0,425) +    ■

^    • 2,85 — 0,425^ 4- ^2>53 + 28,33 . M.\

+    • ir) (⁵’³⁵ - °>⁴²⁵ -1r)}

Hierfür ist X—

5,35 \ / 5,3 . _ ₂

2,85

t-

1,35 •

(4,26 — 0,425) 4-

: 50,2 = + 2,37 t,

{3,73 • ^7,5 —    4- (3,61 4- 5,02 4- 2,60 4- 25,54 4-

— 02mV 583,3 = + °>⁵²¹und Z=— {— 3,73—37,47} : 20,41 = 4-

Die Wirkung der Mittelstütze äußert sich in dem Gegendruck

am Auflager =

31,37

2-7,5

— 2,09⁴ und dem halben Moment in der Mitte

7,5-2,09 — 15,685mt, und man erhält für die nebengezeichnete Momentenfläche:

7,53.15,«85^+ 0,₄₂₅),

Y={- 118,11 - 5 — 83,91 - 7,5} : 583,3 = — 2,09*, z= — {118,114- 118,11 4- 83,91}: 20,41 = — 15,685“*.

7,53.31,37)(^ + o,₄₂₅)_(^ .,M7)(jy

0,425^ } : 50,2 = 0,

VS

“f

Für den Rahmen III erhält man ebenso mit J : J — 2:1:

^    — j 5,35/5,35    \    0,51 / 5,35    \

< 2 \ 2    °,5j + ⁵’⁰² * ”2"/ : ^ 2 + ⁵>⁰²) = 1,267 m

Iw

mit

3L.

Ebenso ist T

— 5,0-----sk- — 5,0 —M

Abb. 73.

G = 2w = 15,39.

<m=fy' *

und Ty =j

= 51,88 (s. o.) - (1,267 - 0,5)’. 15,39 = 42,8, x⁷ ds __ ( 5,35 J ~ \ 2 ⁵

(SU

* + 5,02 -    2

= 217,4.

l|

Abb. 74.

(0,25)

Bei dem Rahmen ohne Mittelsäule ist M = ³ • °^²¹ • IO² ⁽^₀

9    g =    und

m dem negativen Trapez mit den Sehwerpunttsabständen 2,32™ nach links und 2,63" nach rechts ist M. = - 7,78Md= - 13)40mt, 80 dafi

man erhält:

X=

o y* _ 1 /1>95 .

Sn

(14,78)    (20,04)

12,09 + 16,40

0,787^ + 2 ^

(9,38)    \

• 7,88 • 5,02 1 (1,267 — 0,188) —

(9,51)    (14,78)

7,78 + 12,09

• 5,02^ •

• 5,02)(1,267 - 0,263) +    • i6⁰;°Ä)(if - 0,767))

• (1,267 — 0,232) —

I 0,27)

=    7,59 • 5 + 49,87 • 2,32 + 71,51 • 2,63 + 15,91 • 5,0j : 217,4 = + 0,53*, und

(    (9,27)    (62,78)    (59,7l)    (87,40)    (21,49) l

G — — j—    7,59 +    52,74    — 49,87    — 71,51    — 15,99|    : 15,39 = + 5,99 mt.

(o,o5)    o,5

= (0,011 • 9 • 0,5) •    =

IF'₀_

(59,71)

(87,40)

(21,49)

(0,70)

(7,48)

Vom Winddruck erkält man die Momente bei D

(3,848)    2 85

= — 0,01mt, bei 2,5 m Höhe = 0,01 + 0,05.2,85 + (1,35 • 2,85) •    = 0,15 + 5,48 =

Ja

— — 5,63 mt und bei B = 5,63 + (0,05 + 3,848) • 2,5 + (3,6 - 0,15 • 2,5)

2

+ 9,75 + 1,69 = — 17,07 m*.

5,63 +

\-lO_

l.

(— 1,77)

: 42,8 = — 1,44*,

[ü

A_

nt

\i/

5,63

I*-5,0 ^—5,0

Ea ist daher X —

•(2,137 —

(°’⁰¹    3 )(°i⁵⁺⁰>⁷⁶⁷)⁺(

5,63 + 15,38.^₍₄₎₂₉_ 0)767) + ^^W₅₃₅

0,767)+ (

(o,017-^ +(0,11 + 2,60+ 13,13 + 0,71)ö}: 217,4 = + 0,38* und

Abb. 75.

0,01+0,15    ^₍₁₉₀_₀₇₆₇₎₊^.^.

— 0,767 — ^ } : 42,8 = + 1,23

1    \    (17,54)    (22,41)

—    0,017 — 16,55} : 15,39 = + 1,08 mt (die Auflagerdrücke sind + = 14,81 und B = 18,80*).

Mit diesen Werten von X = H, Y = V und Z = M können nun die Momente der drei eingespannten Rahmen berechnet werden, und zwar aus der Formel M„ = M — H• y — F-aj + Mn und man erhält für Rahmen I vom Eigen-

’    (- 2,36)    (0,38)    (10,59)    °

gewicht mit Schneelast: H = —1,93*, V = + 0,30*, M = + 8,55mt, und

(2,36)

(0,38)

(5,59)

(10,59)

Ma = 8,55 — 1,93 • 5,205 — 0,3 • 10,25 = — 4,57,

(2,36)

(0,38)

(9,51)

(2,44)

(7,07)

(10,59)

Me. = 8,55 - 1,93 • 1,805 — 0,3 • 10,25 (— 7,78) = + 1,99 bzw. = — 5,79,

(0,61)

M, = 8,55 + 1,93 • 0,145 — 0,3 • 10,25 — 7,78 = + 0,49,

(4,60)

(10,59)    (2,36)

(0,38)

(9,51)

(2,48)

Me, = 8,55 + 1,93 • 0,495 — 0,3 • 6,75 + 3,86 — 9,25 = + 2,09,

(10,59)

Mt = 8,55 + 1,93 • 0,845 — 0,3 • 3,25 — 10,72 = — 1,51,

(2,36)

Mg = 8,55 + 1,93 • 1,17 — 12,09 + 3,33 = + 2,05,

(10,59)    (2,36)

Mf = 8,55 + 1,93 • 0,845 + 0,3 • 3,25 — 13,46 = — 2,30,

(10,59)    (2,36)    (0,38)    (4,60)    (18,24)    (0,68)

Mf, = 8,55 + 1,93 • 0,495    + 0,3 •    6,75 + 3,86 — 14,93    = +    0,46,

(10,59)

Md = 8,55 — 1,93 • 0,145 + 03 • 10,25 — 16,40 = — 1,98,

(10,23)

Md, = 8,55 — 1,93 • 1,805    + 0,3 •    10,25 (— 16,40) = + 8,14    bzw. - 8,26,

(10,59)    (2,36)    (0,38)    (2,20)

Mh = 8,55 — 1,93 • 5,205    + 0,3 •    10,25 = + 1,58 m*.

Vom Winddruck erhält man # = + 2,31*, F = +0,365*, il/ = +l,85m*, und

Mc, = 1,85 + 2,31 • 1,805 — 0,365 • 10,25 = + 2,28, Me, = 1,85 — 2,31 • 0,495 — 0,365 • 6,75 = — 1,76, Mg = 1,85 — 2,31 • 1,17 = - 0,85,

(10,59)    (2,36)

(10,59)

(10,59)

(0,38)

(U,31)

(2,36)

(0,38)

(13,11)

(1,76)

+5,t

(14,78)

(0,38)

(2,36)

(0,38)

(3,95)

(2,52)

E‘

(16,44)

(20,04)

(2,62)

(2,13)

-1,7*

-ff,3

Abb. 76.

(2,36)

(0,88)

(20,04)

(9,81)

Ma = 1,85 + 2,31 • 5,205 — 0,365 • 10,25 = + 10,13,

Mc = 1,85 — 2,31 • 0,145 - 0,365 • 10,25 = - 2,23,

Me = 1,85 — 2,31 • 0,845 — 0,365 • 3,25 = — 1,29,

Mf = 1,85 — 2,31 • 0,845 + 0,365 • 3,25 — 0,30 = + 0,78, Mf, = 1,85 — 2,31 • 0,495 + 0,365-6,75 — 1,16 = + 2,01, Mu= 1,85 — 2,31 - 0,145 + 0,365 • 10,25 — 2,03 = + 3,23, Md,= 1,85 + 2,31 -1,805 + 0,365 • 10,25 — 9,47 = + 0,29, Mb = 1,85 + 2,31 • 5,205 + 0,365 • 10,25 — 32,30 = — 14,69 "»*.

Von dem Gegendruck (-zug) der Mittelstutzen für Winddruck erhält man H= 0, F= — 1,39*, d/= — 16,10mt, und

16,1

= + 1,33, Me = - 16,1 +

Ma = — 16,1 + 1,39 • 10,25 = — 1,85 = Mc, = Mc, Me. = — 16,1 + 1,39 • 6,75 + ~

+ 1,39 - 3,25 + 16,1 = + 4,52, Mg = - 16,1 + 16,1 = 0, Mf = - 16,1 - 1,39 - 3,25 + 16,1 = - 4,52, Mf, = - 16,1 — 1,39 - 6,75 + 16,1 • 1,5 = - 1,33, Md = - 16,1 - 1,39 - 10,25 + 32,2 = + 1,85 = Md, = Mb.

Die Summierung dieser Momente ergibt als Maximalwerte (auch bei entgegengesetztem Winddruck):

(5,59)    (5,07)    (0,93)    (-1,45)    (2,44)    (1,14)    (0,93)    . .    „

Ma = — 4,57 + 10,13 — 1,85 = + 3,71, Mc, = 1,99 + 2,28 — 1,85 = + 2,42, Mc, = — 5,79 + 2,28 — 1,85 = — 5,3b,

(5,99)

3,65,

(0,88)    (0,67)    (2,27)    (1,76)    (0,65)    (2,26)    (—0,15)

Mc = 0,49 — 2,23 — 1,85 = — 3,59, Mt< = 2,09 — 1,76 +    1,33    = + 1,66,    Me .= — 1,51    — 1,29    + 4,52    = + 1,72,

(2,26)

(7,35)    (0,93)

„    —14,69 + 1,85=—17,41,

(0,61)    (1,12)    (0,93)

(12,01)

0,44)

(2,65)

(3,52),

(0,15)    (0,93)

„    + 0,29 + 1,85 = + 4,13,

(2,48)

(7,07)    (1,14)    (0,93)

(6,86)

r>

(0,15)    (0,93)

+ 0,29 + 1,85 =

(1,62)

(0,93)

(3,16)

„    + 3,23 + 1,85 = + 5,57,

(2,82)

(1,01)    (0,67)

+ 2,01 — 1,33 = + 2,77,

(3,63)

(0,39)

+ 0,78 — 4,52 = — 5,25,

(2,52)

(2,09)

(0,43)

Mg = 2,05 — 0,85 =.+ 1,20,

(2,62)    (0,39)

Mf = — 2,3 + 0,78 — 4,52 = — 6,04, Mf, = 0,46 + 2,01 — 1,33 = + 1,14,

(—1,01)

„    — 1,29 + 4,52 = + 0,93,

(2,26)

(4,49)

(0,68)

(1,01)

(0,67)

(1,02)

(0,65)    (2,26)

(0,47)

(2,13)    (1,62)    (0,93)

(0,88)    (0,67)

„    - 1,76 + 1,33 = + 0,03,

(10,23)    (0,15)    (0,93)

6,12, Md, = 8,14 + 0,29 + 1,85 = + 10,28

(8,73)

(0,42)    (9,81)    (0,15)    (0,93)

Md = — 1,98 + 3,23 + 1,85 = + 3,10, Md, = — 8,26 + 0,29 + 1,85=

(0.93)

+ 2,28 — 1,85 = — 7,83,

(11,31)

0,12)

(0,93)

(4,18)

«    — 2,23 —1,85 = —6,06

(1,14)

(9,60)

(1,14)    (0,93)    (10,44)

*    + 2,28 - 1,85 = + 8,57,

(2,20)

(0,93)

(4,22)

(7,35)

Mh = 1,58 — 14,69 + 1,85 = — 11,26,

(0,93)

(5,07)

(6,34)

„    + 10,13—1,85 =+ 9,86mt.

(- 2,36) '

(- 2,36)    (0,52)    (9,82)

Ebenso erhält man für Rahmen II vom Eigengewicht (mit Schneelast) II = —1,93t, V = + 0,39 t,M = + 7,90 mt, und

(2,36)

(0,52)

(5,70)

(9,82)

Ma = 7,90 — 1,93 • 4,925 — 0,39.7,5 = — 4,53,

(9,82)    (2,36)    (0,52)    (9,51)    (2,32)    (7,19)

Mc, = 7,90    — 1,93    • 1,525 — 0,39    • 7,5 (— 7,78)    = + 2,03    bzw. = — 5,75,

(9,82)    (2,36)    (0,52)    (9,51)    (2,59)

Me = 7,90 + 1,93 • 0,425 — 0,39 • 7,5 — 7,78 = 1,98,

(9,82)    (2,36)

(5,27)    '■

Me = 7,90 + 1,93 • 0,80 — 0,39 • 3,75 + 4,43 —

(9,82)    (2,36)    (14,78)    (2,19)

My = 7,90 + 1,93- 1,175 — 12,09 = — 1,92,

(34,82)

(9,82)    (2,36)    (0,52)    (5,27)    2 8 49

Mf = 7,90 + 1,93 • 0,80 + 0,39 • 3,75 + 4,43 --

(0,52)

(0.52)

(24,29)

^=+2,48,

(2,88)

' -!*3

(1,52)

= + 0,94,

(9,82)    (2,36)

(20,04)

(5,32)

Md = 7,90 + 1,93 • 0,425 + 0,39 • 7,5 - 16,40 = — 4,75,

(2,36)

(9,82)

(0,52)

(10,12)

(20,04)

Md, = 7,90 — 1,93 • 1,525 + 0,39 • 7,5 (— 16,40) = +7,88 bzw. =— 8,52,

(9,82)

(9,92)

(0,52)

(2,36)

Mb = 7,90 — 1,93 • 4,925 + 0,39 • 7,5 = + 1,32mt.

(2,10)

Vom Winddruck erhält man : H = + 2,37t, V = + 0,52t, M — -f- 2,02 mt, und

Mc. = 2,02 + 2,37 • 1,525 — 0,52 - 7,5 = + 1,73,

Me = 2,02 — 2,37 • 0,80 — 0,52 • 3,75 = — 1,83,

Mf= 2,02 — 2,37 • 0,80 + 0,52 • 3,75 — 0,67 =+ 1,40,

Ma = 2,02 + 2,37 • 4,925 — 0,52 • 7,5    + 9,79,

Mc— 2,02 — 2,37-0,425 — 0,52-7,5 = — 2,89,

Mg = 2,02 — 2,37 - 1,175 = — 0,76,

Md = 2,02 — 2,37 - 0,425 + 0,52 - 7,5 — 1,35 = + 3,56, l¥fi, = ;2,02 + 2,37 - 1,525 + 0,52 - 7,5 — 8,74 = + 0,79,

Mh = 2,02 + 2,37 • 4,925 + 0,52 - 7,5 — 31,37 = — 13,74mt.

₊ u3    2.3

-16

+5,8

o'rto

Von dem Gegendruck (-zug) der Mittelstiitze für Winddruck erhält

II = 0. F= — 2,09*, M = — 15,69mt, und

man :

-1S.S

-12.»

Ma = — 15,69 + 2,09 • 7,5 = 0 = 4/ 15,69

= .Mc,

Abb. 77.

Me = — 15,69 +

Iw

+ 2,09 • 3,75 = 0,

Mg = — 15,69 + 15,69 = 0,

Mb = — 15,69 + 31,38 — 2,09 • 7,5 = 0 =Md, = Md.

Mf = — 15,69 + 15,69 • 1,5 — 2,09 - 3,75 = 0,

Die Summierung dieser Momente ergibt als Maximalwerte (auch bei entgegengesetztem Winddruck):

(2,32)

Mc, = 2,03 + 1,73 = + 3,76,

(- 0,80)

Ma = - 1,53 + 9,79 =+ 5,26,

(6,87)

„    — 13,74 = — 18,27,

(2,59)

Me = — 1,98 — 2,89 = — 4,87

(- 0,81)

+ 3,56 = + 1,58,

(5,70)

(4,90)

(0,87)

(3,19)

(12,57)

(1,45)

(4,04)

(0,40)    (2,72)

„    +0,79 = + 2,82,

(2,88)    (0,92)

(1,96)

Me = 2,48 — 1,83 = + 0,65,

, ,    (7,19)    (0,87)    (6,32)

Mc, =    5,75 + 1,73 =;.— 4,02,

(0,40)

(6,79)

»    + 0,79 = — 4,96,

,,    (2,19)    (0,38)    (2,57)

Mg = — 1,92 - 0,76 = — 2,68,

(1,78)

(0,70)

(3,58)

n ~f" 1-40 = + 4,28,

(1,52)    (0,70)

Mf = 0,94 + 1,40 = + 2,34,

. (+ 0,00) „    — 1,83 = — 0,89,

(10,12)    (0,40)

Md, = 7,88 + 0,79 = + 8,67,

(10,99)

n + 1,73 = -f- 9,61

(0,92)

(0,87)

(2,22)

(5,32)    (1,78)

(3,54)

(9,92)    (0,40)

(9,52)

Md = — 4,75 + 3,56 = — 1,19, Md,= — 8,52 + 0,79 = — 7,73,

(0,87)

(8,28)

(1,45)

»    - 2,89 = - 7,64,

(6,87)

Mh = 1,32 — 13,74 = — 12,42,

(4,90)

„    +9,79 = + 11,11.

(6,77)

(9,05)

»    + 1,73 = — 6,79,

(2,10)

(4,77)

(7,00)

(- 1,77)    (0,70) t    (7,48)

Endlich erhält man für Rahmen III vom Eigengewicht(mit Schneelast) :#= — 1,44*, F= + 0,53, J/= + 5,99mt, und

(7,48)

Ma = 5,99 — 1,44 • 4,583 — 0,53 • 5 = — 3,26, Mc, = 5,99 — 1,44.1,183 — 0,53 • 5 (— 7,78) = + 1,64 bzw. = — 6,14,

(24,29)

19,87

(1,77)

(0,70)

(4,13)

(7,48)    (1,77)

(0,70)

(9,51)

(1,89)

(7,62)

(7,48)

Mc = 5,99 + 1,44 • 0,767 — 0,53 • 5 — 7,78 = — 3,33, Me = 5,99 + 1,44 • 1,017 — 0,53 • 2,5 + 5,91

0,77)

(0,70)

(9,51)

(4,17)

(7,48)    (1,77)

(0,70)

(7,04)

(2,43)

f 2,11,

(1,77)

(7,48)

M„ = 5,99 + 1,44 • 1,267 + 7,88 — 12,09 = + 3,60, Mf = 5,99 + 1,44 • 1,017 + 0,53 • 2,5 + 5,91

(9,38)

(14,78)

(4,32)

(7,48)    (1,77)

(0,70)

(7,04)

(34,82)

28,49

(0,66) f 0,45,

(7,48)    (1,77)

(0,70)

(20,04)

(7,48)    (1,77)

(0,70)

(20,04)

(8,89)

(11,15)

(7,70)

Md= 5,99 +1,44 • 0,767 + 0,53 • 5 — 16,40= — 6,66, Md, = 5,99 — 1,44• 1,183+0,53 • 5(—16,40)=+6,94bzw. = — 9,46

(7,48)

Mb= 5,99 — 1,44-4,583 +0,53-5 = + 2,04mt.

Vom Winddruck erhält man: # = + 1,23*, V = + 0,38*, M = + l,08mt, und

Me, = 1,08 + 1,23 • 1,183 — 0,38 • 5 = +0,64,

(1,77)

(0,70)

(2,87)

Ma = 1,08 + 1,23 • 4,583 — 0,38 • 5 = + 4,82,

Me = 1,08 — 1,23-0,767 — 0,38-5 = — 1,78,

Mt= 1,08 — 1,23-1,017 — 0,38-2,5 = — 1,12 Mg = 1,08 — 1,23-1,267 = — 0,48,

Mf — 1,08 — 1,23 • 1,017 + 0,38 - 2,5 = + 0,78,

Md = 1,08 — 1,23 • 0,767 + 0,38 • 5 — 0,01 = + 2,03,

Md/= 1,08 + 1,23-1,183 + 0,38-5—2,67 = + 1,77, Mb= 1,08+ 1,23-4,583 +0,38-5 — 17,07 = — 8,45m*.

-1t,7

Abb. 78.

Die Summierung dieser Momente ergibt als Maximalwerte (auch bei entgegengesetztem Winddruck):

(0,32)

(4,13)    (2,41)

Ma = — 3,26 + 4,82 = +    1,56,

(4,23)

„    — 8,45 = — 11,71

(4,17)    (0,89)

Me = — 3,33 — 1,78 = — 5,11,

(3,15)

n 4~ 2,03 = +    1,30,

(0,66)    (0,39)

Mf = 0,45 + 0,78 = +    1,23,

(0,56)

*    - 1,12 = - 0,67,

(8,89)    (0,89)

Md, = + 6,94 + 1,77 = + 8,71,

(0,32)

„    + 0,64 = + 7,58,

(- 1,72)

(8,36)

(5,06)

-8,6

-10.

0'

+9,8

+0.9

0,89)

(2.21)

(1,02)

(1,05)

(+ 0,10)

(9,78)

(9,21)

(0,32)

Mc, = 1,64 + 0,64 = + 2,28,

(0,89)

„    + 1,77 = + 3,41,

(2,43)

(2,78)

(1,87)

(0,56)

Mt = 2,11 — 1,12 = + 0,99,

(0,39)

„    + 0,78 = + 2,89,

(1,02)

(7,62)

Me, = — 6,14 + 0,64 = — 5,50,

(6,73)

»    + 1,77 = - 4,37,

(0,24)

Mg = 3,60 — 0,48 = + 3,12,

(4,32)

(7,30)

(0,89)

(4,08)

(2,82)

(6,68)

(7,70)

Md = — 6,66 + 2,03 = — 4,63

(8,59)

i) - 1,78 = - 8,44,

(4,23)

Mb = 2,04 — 8,45 = — 6,41,

(5,28)

„    + 4,82 = + 6,86 m*.

(0,89)

(11,15)

Md, = — 9,46 + 1,77 = — 7,69,

(0,32)

„    + 0,64 = — 8,82,

(0,89)

(10,26)

(10,83)

(2,87)

(2,41)

(1,36)

V. Berechnung eines Güterschuppens mit oberem Boden und oberen Gelenken.

1. Berechnung des Rahmens für zwei Stockwerke mit Mittelstützen.

Der Güterschuppen in Abb. 79 ist wie derjenige in Abb. 48 mit zwei oberen Gelenken versehen, aber es kommt außerdem noch ein oberer Boden hinzu, und mit Rücksicht auf die größere Höhe des Gebäudes soll hier der obere Teil mit zwei oberen Gelenken und Eingespanntsein bei C und D berechnet werden, während der untere Teil als unten eingespannter rechteckiger Rahmen mit zwei Mittelsttitzen zu berechnen ist (dieselben sind auch im oberen Teil zu berücksichtigen).

Werden dieselben Belastungsannahmen wie bei dem obigen Güterschuppen zugrunde gelegt, so erhält man für den oberen Teil mit Jx: Jj= 1 : 1 : Tx —

Gelenke gelegt wird).

y⁵ ds __

iw.ä+w.m).

= 17,46 (wenn die wachse durch die

Für die vertikale Belastung ist bei 4,5m Abstand der Dachbinder das Moment

(0,25)

4,5- 0,21 • 5²

Mi,= Mp= Mk,=

(3,51)

= 2,95mt, somit wird

{ 2 (5,02

(3,51)    2

•2,95-

^ 0,25 + 2 ^2,51

(3,51)    2

• 2,95.-

(0,037)

-)(o,75

0,75

Vom Winddruck erhält man die Momente für L = (0,011 • 4,5 • 0,75) ——

Ä

±10 +------£

*' r Lf    ta F    r

= — 0,014mt und für D = 0,037 • 2,8 + (0,15 • 4,5 • 2,8) 1,4 = 0,104 + 2,646 = — 2,75 mt

7r

und hieraus

5-

CS"

° *L

D'

0,104- 2,8\ 2-2,8

/    3

0,014.7,53^.0,75+(

: 17,46 = + 0,31*.

--5,0---4> --5,0---»K--5,0---±- — v,5-— M

²’⁶⁴⁶'²’⁸)|.2,₈}

Abb. 79.

Aus dem Gesamtwinddruck ergibt sich eine Horizontalkraft

2,75

2,8

= 0,98*, somit ist dieselbe bei H — 0,31*, und bei L = 0,98 — 0,31 — = 0,67*.

+ -Ł.9-

D_

* ~ ~⁵'⁰ ~    H--W- -

Abb. 80.

Das Moment des Winddrucks ist daher Mc = 0,31 • 2,8 = 0,87mt, Md— 2,75 — 0,67-2,8 = 0,87mt und von der Dachbelastung Mc= Md =

(0,78)    (2,18)

— 0,65-2,8 = 1,82mt, somit zusammen (s. Abb. 81 und 83):

(2,18)

(0,44)

Me = Md = T 1,82 — 0,87 = - 2,69m* bzw. = + 0,95m*.

(2,62)

(1,74)

Als Gegendruck (-zug) erhält man bei K und J vom Winddruck

— Mk= ± 0,10-5 = ± 0,50m*.

2,75

2,75

= 0,28 * statt , r Io

0,18*, somit Mi.=

(0,78)

(0,94)

(0,16)

Der auf den Dachbinder wirkende Horizontalschub ist H = 0,31 + 0,65 = 0,96*, und er ergibt ein Moment

(0,47)

M{= Mk = — 0,96-0,5 = — 0,48mt, somit zusammen = — 0,48 ± 0,50 = + 0,02 bzw. = — 0,98mt und ohne

(0,78)

Winddruck = — 0,65-0,5 = — 0,33m*.

(0,25)    (3,29).    (2,73)    (0,25)

Die Auflagerdrücke sind C = D — 4,5 • 0,21 • 2,5 db 0,28 + 0,2 = 2,84 bzw. = 1,28 * und J— K = 4,5 • 0,21 •

(6,11)    (5,55)

• 5 ± 0,28 + 0,2 = 5,21 bzw. = 4,65*.

Die Berechnung des unteren Teils als eingespannter Rahmen mit zwei Mittelstutzen kann wie in IV 2 geschehen, wenn die Dachneigung = 0 gesetzt wird, und man erhält mit J,: J₂ = 2:1:

-(¥*+•,s4(?+«)

(0,94)

(0,47)

(0,39)

'Iw

Ferner ist Tx =

(0,25)

(-0,22)

(- 0,72)

= 0,42in mit G = Iw = 2-9,5 = 19,0.

-+ o) 2 - 0,42’ • 19,0 = 18,0, l's =

x² ds

(+7,5’+7,5-

= 506,2.

Der obere Boden ist mit 800ks/qm Nutzlast zu berechnen, und genügen für denselben Querschwellen 18/24c im Abstand 0,55m mit einem Dielenbelag von 6cm Stärke, wofür mit den eisernen Blechträgern im Abstand von 4,5 eine Gesamtbelastung von 140 kg/qm gerechnet werden kann.

cflp-

Hw

ro,n}

Ofii

(o,m

'_rTTTrn»

- ^    w    SO

i.’8)

ff

(0,22)    (3,07)

Die Belastung der Vordächer ist mit 3,1-0,18-4,5 = 2,51* und

(4,46)

4,5-0,18-4,5 = 3,65* zu berechnen, so daß hierfür die Momente M —

(3,07)    (4,76)    (4,46)    (10,04)

= 2,51 • 1,55 = 3,89 m* und Md = 3,65 • 2,25 = 8,21m* erhalten werden. Die Gesamtauflagerdrücke sind daher (ohne Berücksichtigung der

(0,22)

K -$1 -»    -5,0 —d*- - -5,0--»k---5,0—9 «• -V,5--M

Mittelstutzen) :

Abb. 81.

f*.T6)

S/.'SÖC~

I¹ 1

+ = 0,94 • 7,5 • 4,5 + 1,0 +

(2,72)    (35,44)

+ 1,0 + 2,22 = 34,94*,

(3,07)

2,51 - 16,55 — 3,65 - 2,25

(4,46)

(4,46)

15

= 31,72 +

581

=râïï,

Abb. 82.

no.o

,s,ti

B = 0,94 • 7,5 - 4,5 + 1,0 +

(37,53)

(3,07)

3,65 • 17,25 — 2,51 ■ 1,55

15

= 31,72 +

(4.81)

+ 1,0 + 3,94 = 36,66*. 0,94 • 4,5 • 15²

— 118,97mt, und die Gegendrücke sind E — F= = 0,94-4,5-5 = 21,15* und ihr Moment ist = 21,15 • 5 = 105,75mt, und dasselbe entspricht den Ordinaten der

Für den Rahmen ohne Mittelsttttzen ist —

Parabel in Abb. 82 bei E und F, so daß die kleinen Parabeln mit der mittleren Höhe Me, = Mg = Mj

0,14 • 4,5 • 5²

0,94 • 4,5 • 5*

== 13,22mt für Vollbelastung und =

= 1,97mt für Eigengewicht als Differenz übrig bleiben.

somit ist X

(2,18)

Von der Dachbelastung des oberen Teils erhält man eine negative Momentenfläche Uber CD mit M~ — 1,82mt,

, (2,18)    (0,76)    (32,7)    (1,72)

= — {(1,82 • 15) -0,42} : 18 = — 0,64*, Y = 0, Z= — (— 27,3) : 19 = + 1,44 mt, und von

der Bodenbelastung erhält man X =

0,97)

13,22 • 5 •

\    ,    (0,46)    (19,7)    (1,04)

\ - 3 • 0,42j : 18 == + 3,09*, Y= 0, Z = — (132,2) : 19 = — 6,96 mt.

: 18.0 =

Von der Belastung der Vordächer erhält man nach Abb. 82:

(4 76)    (7,40)

!(+■ ^)(+-0,4₂)-(^e,05

56)    .    (2,38)    (45,60)    (65,40)    (5,02)    .    (0,235)

— 2,15*, Y — j— 1,945 • 7,5 — 37,275 • 3,48 + 53,475 • 3,94 + 4,105 • 7,öl : 506,2 = +0,192 * und Z =

,    (2,38)    (45,60)    (65,40)    (5,02) ,    (6,23)

j— 1,945 — 37,275 — 53,445 — 4,105} : 19,0 = + 5,09m*.

■ 7,5) 0,42 - (

(7,40)    (10,04)

6,05 + 8,21

\ /1,0 (¹⁰'°‘)

• 7,5) 0,42+^.8.21

) (V - °’⁴²)} ••

(s. oben)

Von dem Winddruck des oberen Teils erhält man bei D (s. Abb. 81 u. 83) eine Einzelkraft = 0,037 +

(1,89)

+ (0,15 • 4,5 • 2,8) = 1,93 * und bei B ein Moment = 1,93 • 4,0 + (0,15.4,5 • 4) • 2 = 7,72 + 5,40 = — 13,12 mt, wozu noch die negative Momentenfläche mit — 0,87mt Uber CD und mit 2-0,87 = — 1,74mt Uber BD kommt,

^{ — (0,87-15) 0,42 +

+(l,74.|)⁽2 - 0,42) + (+.- -)(|— 0,42)+(^--|)(3-0,42)}

= + 1,48 *, Y = { 3,48 • 7,5 + 7,72 - 7,5 + 3,6 • 7,5 } : 506,2 = + 0,220* und Z = — { — 13,05 — 21,74 — 7,72 — 3,60} : 19 =+ 1,47 mt.

somit zusammen — 14,86 mt. Hierfür ist X =

Tx

0.3t-

0,67

0,981

: 18 =

0?1-

-0.87

0,31

1,93t

\\

_Kl

Durch die Mittelstützen entsteht eine vertikale Zug- bzw. Druckkraft =

14,86

----15,0--

14,86

füv' \vè/77t

m,86)

0,991* und eine Differenz = 1,486 —

-2-5-    10    =M86‘statt ₁₆

— 0,991 = 0,495* mit einem Moment = ± 0,495-5 = ± 2,48m*.

Abb. 83.

Die genaue Berechnung (s. unten) ergibt sich aus der Darstellung der Momentenfläche in Abb. 84 und man erhält hierfür

) (2 — 0,42) } :

^ — —iS/0 *

%¥9t

5,0

e--5f0-->

1,79t

Abb. 84.

: 18 = 0,

— 37,15 • 5,83 — 29,72 - 7,5} : 506,2 = — 0,870*, Z = — { 74,3 + 37,15 + 29,72 } : 19 = — 7,43 m*.

2. Bestimmung der Momentenflächen und Auflagerdrücke für dieselben.

Für diese Werte von X = H, Y = V, Z = M ist nun Mx= M — Hy— F- x + M₀ zu berechnen, wobei

(0,46)

immer die richtigen Vorzeichen einzusetzen sind, und man erhält von der Bodenbelastung: .ff = + 3,09*, V = 0, M=

(1.04)

= — 6,96mt, somit

(1,04)

Ma = — 6,96 + 3,09 • 3,58 = + 4,10 = Mb,

(1,04)    (0,46)    (1,23)    .

Me = — 6,96 — 3,09-0,42 = — 8,26 = Mt = Mf= Md, Me,= — 8,26 + 13,22 = + 4,96 = Mf, = Mg.

(- 2,56)

Von der Belastung durch die Vordächer ist ff = — 2,15*, V — + 0,192*, M— + 5,09mt, und

(0,235)

(0,46)

(0,61)

(1,04)

(0,77)

(0,46)

Mc,= — 6,96 + 3,09-0,58 = — 5,17 = Md,,

(1,97)

(- 1,23)

(0,235)

(0,74)

(6,23)

(4,69)

(6,23)    (2,56)

Ma= 5,09 — 2,15-3,58 — 0,192-7,5 = — 4,05,

(6,23)    (2,56)

Me,= 5,09 — 2,15 • 0,58 — 0,192 - 7,5 (- 3,89) = + 2,40 bzw. = — 1,49,

(6,23)    (2,56)

Me= 5,09 + 2,15-0,42 — 0,192-7,5 — 3,89 = + 0,66,

(4,76)    (6,52)

3,89 + 5,33

(0,235)

(0,235)

(0,235)

(4,76)

(4,76)

(2,99)

0,77)

(0,79)

(6,23)    (2,56)

Me, — 5,09 + 2,15 • 0,42 — 0,192 • 5 —

(6,23)    (2,56)

Me    =    5,09    +    2,15    •    0,42    —    0,192    - 2,5    —    5,33    =    + 0,18,

(6,23)    (2,56)

Mg — 5,09 + 2,15-0,42 — 6,05 = — 0,06,

(6,23)    (2,56)

M    =    5,09    +    2,15-0,42    +    0,192-2,5    =    —    0,30,

(0,50)

= + 0,42,

(0,235)

(7,40)

(0,235)

(6,52)

(0,20)

(- 0,09)

(0,38)

,    (6,23)    (2,56)    (0,235)

Mf,= 5,09 + 2,15-0,42 + 0,192-5 —

(0,235)

(2,56)

(8,28)    (10,04)

6,77 + 8,21 ₌ _ ^

(10,04)

(0,97)

(6,23)

Md = 5,09 + 2,15 • 0,42 + 0,192 - 7,5 — 8,21 = — 0,78,

(6,23)

Md,= 5,09 — 2,15 • 0,58+0,192 - 7,5 (— 8,21) = + 5,28 bzw. = — 2,93,

(6,23)    (2,56)    (0,235)    (1,17)

Mb = 5,09 — 2,15-3,58 + 0,192 • 7,5 = — 1,17 mt.

(— 0,76)    . (l»72)

Von der vertikalen Belastung des oberen Teils ist H = — 0,64*, V = 0, M = + 1,44mt, und

(1,72)    (0,76)    (1,28)

Mc,= 1,44 — 0,64-0,58 = + 1,07 = Md,, seitlich

(2,04)

(2,56)

(0,235)

(10,04)

(6,51)

(3,53)

(0,76)

(1,00)

(1,72)

Ma = 1,44 — 0,64-3,58 = — 0,85 = Mb,

(0,76)

(2,18)

Me = 1,44 + 0,64 • 0,42 = + 1,71 = Md, oben Mc — Mt, = Me = Mg = Mf — Mf, = Md = 1,71 — 1,82 = Von der Belastung durch den Winddruck ist: H = + 1,48*, V = + 0,22*, M = +l,47mt, und

(1,72)

(2,04)

(0,14)

— 0,11mt.

Ma = 1,47 + 1,48 - 3,58 — 0,22 - 7,5 = + 5,12,

Me, = 1,47 + 1,48 • 0,58 — 0,22 - 7,5 = + 0,68,

Me = 1,47 — 1,48-0,42 — 0,22-7,5 (— 0,87) = — 0,80 bzw. = — 1,67, ilie,= 1,47 - 1,48-0,42 — 0,22-5 — 0,87 = — 1,12,

Mt = 1,47 — 1,48-0,42 — 0,22-2,5 — 0,87 = — 0,57,

Mg= 1,47 — 1,48-0,42 = — 0,02,

Mf= 1,47 — 1,48-0,42 +0,22-2,5 — 0,87 = + 0,53,

Mf, = 1,47 — 1,48 • 0,42 + 0,22 • 5 — 0,87 = + 1,08,

Md= 1,47 — 1,48-0,42 +0,22-7,5 — 0,87 (- 1,74) = + 1,63 bzw. = +0,76,

Md, = 1,47 + 1,48    • 0,58 + 0,22 • 7,5 — 4,01 = — 0,03,

Mb = 1,47 + 1,48    • 3,58 + 0,22 - 7,5 - 14,86 = — 6,44 m*.

Von dem Gegendruck (-zug) der Mittelstützen erhält man H = O, V — — 0,87*, M = — 7,43mt, und Ma= — 7,43 + 0,87 • 7,5 = — 0,90 = Me, = Mc, Mt, = — 7,43 + 0,87 - 5 + 3,72 = + 0,64,

Me = — 7,43 + 0,87 • 2,5 + 7,43 = + 2,18, Mg= — 7,43 + 7,43 = 0, Mf= — 7,43 — 0,87 - 2,5 + 7,43 = — 2,18, Mf>— — 7,43    —    0,87 - 5 + 7,43 -1,5    = — 0,64, Md= — 7,45 — 0,87 - 7,5 +    14,86    =    +    0,90    =    Md, —    Mb.

Außer    dem Eigengewicht und    der Vollbelastung des oberen Bodens können    noch    vier Belastungsfälle    unterschieden

werden, und zwar für die Belastung von Oeffnung 2, 1 und 3, 1 und 2, 2 und 3, und bei etwaiger Entfernung des Bodens wird dieselbe = 0. Man erhält daher für die Belastung der

2. Oeffnung: X = {(13,22 — 1,95) 5-y-0,42} : 18 = + 0,88*, Y = 0, Z = —

1. und 3. Oeffnung : X = 2 - 0,88 = + 1,76 *, Y = O, Z = — 2 -1,98 = — 3,96 mt,

1.    und 2. Oeffnung: X = + 1,76*, Y = {(13,22 — 1,97) 5-y-ö}: 506,2 = + 0,37'*, Z = — 3,96 mt

2.    und 3. Oeffnung: X = + 1,76*, Y = — 0,37*,    — 3,96m*.

(0,88)

Für diese vier Belastungsfälle ist also H = + 1,76*, V = dt 0,37*, M — — 3,96 mt, und

(1,98)

Ma = — 3,96 + 1,76 - 3,58 + 0,37 - 7,5 = + 2,35 bzw. = + 5,12,

(1,98)

Me, = — 3,96 + 1,76-0,58 + 0,37 - 7,5 = — 2,94 bzw. = — 0,16,

(1,98)

Mc = — 3,96 — 1,76-0,42 T 0,37-7,5 = — 4,70 bzw. = — 1,92,

(0,88)

Me, = — 3,96 — 1,76-0,42 T 0,37-5 (+ 11,25) = + 6,55 bzw. = — 2,85,

(0,88)

Me = — 3,96 — 1,76-0,42 =F 0,37-2,5 = - 4,70 bzw. = — 3,77,

(0,88)

Mg — - 3,96 — 1,76 • 0,42 (+ 11,25) = — 4,70 bzw. = + 6,55,

(0,88)

Mf= — 3,96 — 1,76-0,42 db 0,37-2,5 = — 4,70 bzw. = — 5,62,

(0,88)

Mf, — — 3,96 — 1,76-0,42 ± 0,37 - 5 (+ 11,25) = + 6,55 bzw. = + 4,70j

(1,98)

Md = — 3,96 — 1,76 • 0,42 db 0,37 • 7,5 = — 4,70 bzw. = — 7,47,

(1,98)

Md, — — 3,96 + 1,76 • 0,58 ± 0,37 - 7,5 = — 2,94 bzw. = — 5,71,

0.98)    ....

Mb = — 3,96 + 1,76-3,58 ± 0,37-7,5 = + 2,35 bzw. = — 0,43m*.

: 19 = — 1,98mt,

(0,88)

0,17)

(0,88)

(0,88)

(1,98)

0,98)

(1,98)

(1,98)

(1,98)

(0,88)

(0,88)

(0,88)

(1,47)

(2,35)

(2,35)

(+ 8,90)

(o)

(2,35)

(2,35)

(1,47)

0,17)

(- 2,35)

(- 2,35)

(1,98)

(- 0,43)

(5,71)

(7,47)

(5,62)

(6,55)

(3,77)

(1,92)

(0,16)

(+5,12)

(+ 4,70)

(- 2,85)

Die Reihenfolge dieser Momente (vgl. die vier Zahlen nach dem zweiten =) entspricht Oeffnung 1 und 3 (2) bzw. 2 und 3 (1 und 2), und die Summierung der obigen Momente soll zunächst für die Bodenbelastung = 0 und mit Winddruck von rechts geschehen, so daß man erhält:

(4,69)

(1,00)    (2,56)

(0,45)

(3,58)

Ma = — 4,05 — 0,85 + 5,12 — 0,90 = — 0,68,

(1,77)    (1,28)    (0,34)

(4,16)

(0,45)

(2,99)    (1,28)    (0,31)    (0,45)

Mc, = 2,40 + 1,07 + 0,68 — 0,90 = + 3,25,

(0,79)    (2,04)    (0,40)    (0,45)

Mc = 0,66 + 1,71 — 0,80 — 0,90 = + 0,67,

(0,50)    (0,14)    (0,56)    (0,32)

Me,= 0,42 — 0,11 — 1,12+0,64 = — 0,17,

(0,09)    (0,14)    (0,01)

Mg — — 0,06 — 0,11 — 0,02 = — 0,19,

(0,68)    (0,14)    (0,54)    (0,32)

Mf, = — 0,54 — 0,11 + 1,08 — 0,64 == — 0,21,

(0,97)    (2,04)    (0,38)    (0,45)

Md = — 0,78 + 1,71 + 0,76 + 0,90 = + 2,59,

(6,51)    (1,28)    (0,02)    (0,45)

Md, = 5,28 + 1,07 — 0,03 + 0,90 = + 7,22,

(0,60)

Me, = — 1,49 + 1,07 + 0,68 — 0,90 = — 0,64,

(0,79)    (0,14)    (0,84)    (0,45)    (0,64)

Me =    0,66    -    0,11    —    1,67    — 0,90    =    —    2,02,

(0,20)    (0,11)    (0,29)    (1,09)

Me =    0,18    —    0,11    —    0,57    +    2,18 = +    1,68,

(0,38)    (0,14)    (0,27)    (1,09)

Mf = — 0,30 — 0,11 + 0,53 — 2,18 = — 2,06,

(0,97)    (0,14)    (0,82)    (0,45)

Md = - 0,78 — 0,11 + 1,63 + 0,90 = + 1,64,

(3,53)    (1,28)    (0,02)    (0,45)

Md, = — 2,93 + 1,07 - 0,03 + 0,90 = - 0,99,

(1,17)    (1,00)    (3,22)    (0,45)

Mb = — 1,17 — 0,85 — 6,44 + 0,90 = — 7,56.

Zu diesen Momenten kommen noch diejenigen der verschiedenen Bodenbelastungen, und man erhält alsdann folgende Tabelle (vgl. Abb. 85):

(1,98)

(+0,12)

(0,86)

(1,34)

(0,16)

(1,82)

(4,94)

(0,24)

(0,60)

(1,90)

(8,22)

M + Eigengewicht des Bodens

mit Oeffnung 2

mit Oeffnung 1 u. 3 mit Oeffnung 1 u. 2 mit Oeffnung 2u. 3 mit Vollbelastung

+ 0,61

— 0,77

— 0,77

— 1,23

— 1,23

+ 0,74

— 1,23

+ 0,74

— 1,23

+ 0,74

— 1,23

-1,23

— 0,77

— 0,77

+ 0,61

(2,97)

(2,57)

—    3,29    — 2,35

(0,14)

+ 0,53    — 2,35

(-1,07)

(-2,90)

+1,10    + 2,35

(1.92)

(1,49)

-1,78    + 6,55

(- 2,72)

—    1,90    — 4,70

(9,40)

+ 9,45    — 4,70

(4.92)

—    5,64    —4,70

(2,21)

—1,82    + 6,55

(3,42)

—    1,94    —4,70

(1,68)

—    0,99    — 4,70

(4,06)

—    2,23    — 2,94

(5,98)

+ 4,98    — 2,94

(3,16)

—    5,78    + 2,35

is- si-1 s i s pi m iisi nsi pi im usi isums

w+ ± I I

-0,43

— 5,71

— 5,71

— 7,47

— 7,47

+ 4,70

— 5,62

+ 6,55

— 3,77

— 2,85

— 1,92

— 1,92

— 0,16

— 0,16

+ 5,12

(3,40)

(7,05)

+ 7,10    + 6,55

(6.34)

—    7,06    — 5,62

(2,71)

—    2,32    + 4,70

(2.99)

—    1,51    —7,47

(1,25)

—    0,56    — 7,47

(2,75)

—    1,92    — 5,71

(7,39)

+ 6,29    —5,71

(+0,79)

—1,83    — 0,43

(2,15)

+    + 4,10

(3,23)

+ 2,32    —5,17

(1,53)

—1,57    — 5,17

(1,17)

—    2,48    - 8,26

(3.79)

—    5,17    — 8,26

(1,99)

—    2,28    + 4,96

(4,14)

—    3,32    — 8,26

(7,05)

+ 7,10    + 4,96

(8,19)

—    8,91    —8,26

(4,84)

+ 5,23    + 4,96

(8,51)

—    7,06    — 8,26

(6.80)

—    6,11    - 8,26

(8,30)

—    7,47    — 5,17

(1,74)

-f 0,74    —5,17

(4,76)

—    7,38    +4,10

(0,52)

+ 3,42

(1,01)

—    1,92

(5,77)

—    5,81 (6,28)

—    7,59

(8,90) —10,28 (5,08) + 4,79

(7,40)

—    6,58

(4,72)

+ M7

(9,60)

—10,32

(4.36)

+ 4/75 (8,10)

—    6,62

(6.36)

—    5,67

(6,99)

—    6,16 (3,05)

+ 2,05

(0,84)

— 3,46

Die Summierung der Momente mit der Bodenbelastung

(3,22)

Ma = — 4,05 — 0,85 — 6,44 + 0,90 == — 10,44,

(1,77)    (1,28)

Mc, = — 1,49 + 1,07 — 0,03 + 0,90 = + 0,45,

(0,79)    (0,14)

Mc = 0,66 — 0,11 + 1,63 + 0,90 = + 3,08,

(0,20)    (0,14)    (0,27)

Me = 0,18 — 0,11 +0,53 — 2,18 = —1,58,

(0,38)    (0,14)    (0,29)

Mf = — 0,30 -    0,11 — 0,57 + 2,18 = + 1,20,

(4,69)

(1,00)

(0,45)

(8,46)

(0,02)    (0,45)

(0,82)    (0,45)

(1,09)

(1,09)

(-0,06)

(1,92)

(0,76)

(0,28)

— 0 und mit Winddruck von links ergibt:

(2,99)    (1,28)    (0,02)    (0,45)

Mc, == 2,40 + 1,07 — 0,03 + 0,90 = + 4,34,

(0,79)    (2,04)    (0,38)    (0,45)

Mc = 0,66 + 1,71 + 0,76 + 0,90 = + 4,03,

(0,50)    (0,14)    (0,54)    (0,32)

Me, = 0,42 — 0,11 + 1,08 — 0,64 = + 0,75,

(0,09)    (0,14)    (0,01)

Mg — — 0,06 — 0,11 — 0,02 = — 0,19,

(0,66)    (0,14)    (0,56)    (0,32)

Mf, = — 0,54 — 0,11 — 1,12 + 0,64 = — 1,13,

(4,70)

(3,66)

(0,58)

(0,24)

(1,04)

(0,97)

Md = — 0,78 — 0,11 — 1,67 — 0,90 = — 3,46,

(3,53)

(0,14)

(0,84)

(0,45)

(2,40)

(1,28)

(0,45)

(2,36)

(+0,22)

Md= - 0,78 + 1,71 — 0,80 — 0,90 = — 0,77,

(6,51)    (1,28)    (0,34)    (0,45)

Md, = 5,28 + 1,07 + 0,68 — 0,90 = + 6,13,

(0,97)    (2,04)

(0,40)

(0,45)

(7,68)

(0,34)

Md, = — 2,93 + 1,07 + 0,68 — 0,90 = — 2,08,

(2,56)

Mh = — 1,17 — 0,85 + 5,12 — 0,90 = + 2,20mt.

Zu diesen Momenten (welche für den Winddruck und die Gegendrücke der Mittelstützen durch Vertauschung mit der rechten Seite des Rahmens erhalten werden) kommen noch diejenigen der verschiedenen Bodenbelastungen, und man erhält alsdann folgende Tabelle (vgl. Abb. 86):

0,17)

(1,00)

(0,45)

(~ 0,06)

+ Eigengewicht des Bodens

mit Oeffnung 2 mit Oeffnung 1 u. 3 mit Oeff'nnng 1 u. 2 mit Oeffnung 2u. 3 mit Vollbelastung

+ 0,61

— 0,77

— 0,77

-1,23

— 1,23

+ 074

-1,23

+ 0,74

— 1,23

+ 0,74

-1,23

— 1,23

— 0,77

-0,77

+ 0,61

(7,85)

(2,43)

+ 2,80    — 2,35

(0,69)

+1,85    — 2,35

(1,32)

+1,49    — 2,35

0,99)

—    2,81    — 2,35

(0,50)

+ 0,55    +8,90

(0,95)

—    0,03    —2,35

(0,30)

—    0,39    — 2,35

(3,63)

—    4,69    — 2,35

0,oi)

—    2,00    — 2,35

(3,13)

—    2,85    —1,47

(6,91)

+ 5,36    — 1,47

(0,55)

+ 2:81    +1,17

+ 1111

wp «9 p-p + «    J® +    Pp pp 0 3 pp pp pp

81 gl gl 81    î* 31 cc|S I ü>|S I o|S SI SI SI 31 ol ol

+ 2,35

— 2,94

— 2,94

— 4,70

— 4,70

+ 6,55

— 4,70

— 4,70

— 4,70

+ 6,55

— 4,70

— 4,70

— 2,94

— 2,94

+ 2,35

(5,50)

(7,87)

(6,07)

(8,28)

-10,26    + 5,12

(1.78)

(3,15)

—    024    + 4,70

(5.55)

—    061_    — 7,47

(2,93)

—    3,92    — 7,47

(3,29)

—    3,01    — 5,71

(6,75)

+ 5,20

(5,67)

+ 093    — 0,43

— 5,71

(2,73)

—    4£1_    + 4,10

(3,77)

+ 3,41    —5,17

(0,99)

—    0Ą8    — 5,17

(0,51)

+ 0^8    — 8,26

(1,23)

—    0£7_    — 8,26

(1,53)

—+56    + 4,96

(5,76)

—    6Æ8    — 8,26

(7,05)

(8,84)

—    8^    — 5,17

(+1,20)

—    035    — 5,17

(0,12)

+    + 4,!0

(4,36)

(3,92)

+ 3,83 (10,66) —11,72

(8,04)

—    9,03

(7,53)

—    7,25

(2,51)

+ 0,96

(4,04)

-I- 6,30

Die Auftragung der positiven und negativen Maximalmomente in den einzelnen Punkten A, C, C usw. ergibt die nebengezeichneten Momentenlinien, und die zugehörigen Zahlen der obigen Zusammenstellungen sind unterstrichen. Die obige Berechnung des eingespannten rechteckigen Rahmens mit diskontinuierlichen Stützendrücken ergibt genauere Werte als die kontinuierliche Berechnung derselben.

Die letztere müßte eigentlich durch Aufklappen der Ständer von A bis B mit fünf Oeffnungen geschehen (wie

dies beim rechteckigen Rahmen ohne Mittelstützen, aber auch nur für obere vertikale Belastung, auf S. 55 56 in der

Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen von 1910 durchgeführt worden ist). Wird nun

die Berechnung mit fünf und

[-3,39

!

Cb

-3^9

sst-

-3,53

-7,90 U7.01

iS 8

Ir I ?

vAzbro*\z£U-

-8,591

'SS

-5,78'

5S

lit

-7,98

69

ZWËÏJ⁵

• -WWW ,w

%E

Vs-

■i.

BE

-ï,20

-2,06

-8J

D'

l +0.95 1*2,59

VI

*8,22

*9.0?*

*%70*$mk:

-7,53

-0J5*

-7,581

<n,79>i

-9,20

-3,29

*7,88,

*1,79

] -0,35

-8,89

( Winc/druck rec/iłs)

-3,58,

*5,05

-7:

\ $M*0,79

i-kU

( Wind druck links )

* 7,93

-0,05

Abb. 85.

Abb. 86.

mit drei Oeffnungen für Eingespanntsein bei A und B bzw. bei C und D nach den entwickelten Formeln ausgeführt so ergeben sich bei Vollbelastung der drei mittleren Oeffnungen für die Stützenmomente: im ersteren Fall kleine Werte*bei C und D und ein wesentlich größerer Wert bei E und F, und im letzteren Fall wesentlich größere Werte bei C und D

und ein kleinerer Wert bei E und F, so daß der obige gleichgroße Wert = — 8,26m* (s. bei Bodenbelastung S. 51) für die Vollbelastung von 0,94 */qm ungefähr den Mittelwerten von beiden Berechnungsarten entspricht.

Die kontinuierliche Berechnung der Auflagerdrücke bei dem Rahmen mit zwei oberen Gelenken ist dann gerechtfertigt, wenn bei einem flachen Dach auch bei J und K Gelenke vorhanden sind (s. Abb. 79), indem alsdann ein Balken auf vier Stützen erhalten wird. Beim Vorhandensein von festen Ecken sowie einer teilweisen Einspannung bei J und K ist es jedoch einfacher, mit den gewöhnlichen Auflagerdrücken zu rechnen, indem durch beides die kontinuierliche Wirkung verhindert wird. Da überdies der Einfluß der diskontinuierlichen Berechnung auf den Rahmen ungünstiger ist, indem größere positive Momentenflächen (ohne Abzug der negativen Momentenflächen) erhalten werden, so kann die vereinfachte Berechnungsweise auch bei dem Vorhandensein von zwei oberen Gelenken verwendet werden. Will man im oberen Teil des Rahmens ungünstig rechnen, so ergeben sich die Momente für die Mitte der Oeffnungen ohne Berücksichtigung der Kontinuität M = 2,96 und 2,47 bzw. = 3,40 und 3,04m* und an den Stützen erhält man mit Kontinuität M =

(0,72)

= — 0,98 — 2,36 = — 3,34 bzw. — + 0,02 — 2,36 = — 2,34m*.

(2,81)

(3,53)

(- 0,22) (2,81)

(3,03)

(2,73)

(0,25)

Die Auflagerdrücke des oberen Teils sind alsdann (7=2) = 0,4-0,21-4,5-5+ 0,2 ± 0,28 = 2,37 bzw. =

(6,1 V

— 1,81 * und E = F = 1,1 - 0,21 - 4,5 • 5 + 0,2 ± 0,28 = 5,68 bzw. = 5,12 *.

(35,44)

(2,13)

(0,25)

(6,67)

(37,53)

(16,38)

(14,29)

Die Auflagerdrücke des unteren Teils sind A = 34,94 — 21,15 = 13,79*, B = 36,66 — 21,15 = 15,51*, und E= F= 21,15*. Die durch die Mittelstutzen entstehende Vermehrung des Zugs und Drucks vom Wind ist — = T 1,49*, so daß man erhält bei Winddruck rechts (und zwar ohne Bodenbelastung):

(16,38)

(14,29)

(9,51)

(8,02)

(6,11)

(8,77)

(2,73)

A = 2,37 + 13,79 + 1,49 — 9,0= 8,65, B

(6,67)    (11,31)

F= 5,68 + 21,15 + 1,49 — 18 = 10,32, und bei Winddruck links (gleichfalls ohne Bodenbelastung):

(2,13)    (14,29)    ^5,93)    (2,73)

A = 1,81 + 13,79 — 1,49— 9,0= 5,11, B= 2,37 + 15,51 + 1,49 — 9,0= 10,37, E= 5,68 + 21,15 + 1,49 —18 = 10,32,

(6,11)    (7,77)

F= 5,12 + 21,15 — 1,49 — 18,0 = 6,78*.

Hierzu kommt bei Bodenbelastung mit 800 kg/qm für

(2,13)

1,81 + 15,51 — 1,49 — 9,0=6,83, E = 5,12 + 21,15 — 1,49 —18,0 = 7,78,

(16,38)

(11,60)

(6,67)

(11,31)

Oeffnung 2

Oeffnung 1 u. 3

Oeffnung 1 u. 2

Oeffnung 2 u. 3

+ 9,0 + 9,0

+ 9,0 + 9,0 + 9,0 + 9,0

+ 9,0

+ 18,0 -f 9,0

+ 9,0 + 9,0 + 18,0

Die nicht eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf ganzen Winddruck und halbe Schneelast und die eingeklammerten Zahlen auf halben Winddruck und ganze Schneelast (in Abb. 85 und 86 sind auf den Seiten nur die Momente für ganzen Winddruck rechts und links eingezeichnet, und die ungünstigeren Werte für halben Winddruck von deren Kurven aus aufgetragen worden).

VI. Berechnung: eines Tunnelprofils als eingespanntes Gewölbe und ringförmiger Bahmen.

1. Berechnung als eingespanntes Gewölbe nach der Elastizitätslehre.

Der Tunnel erhält den nebengezeichneten Querschnitt mit 6,5m Erdüberschüttung im Scheitel, und wird für diese sowie den Erddruck rechts und links berechnet, wobei die erstere vertikal und der letztere horizontal angenommen wird (indem eine völlige Durchnässung des Bodens möglich ist).

Für das spezifische Gewicht y — 1,8 der Erde ergeben sich folgende Gewichte für die angenommenen Lamellenbreiten (s. Abb. 88):

U 6,6-1,6 -1,8 = 19,0*,

_3_: 7,85.0,9-1,8 = 12,7*,

(5_: 0,64 • 9,35 • 1,8 = 10,8 *).

Die Lamellen des Tunnelprofils haben für das spezifische Gewicht 1,8 von Klinkern folgende Gewichte:

J_: 1,63-0,8.1,8 = 2,4*,

1,3- 0,8-1,8 = 1,9*,

_5: 1,1-1,16-1,8 = 2,3*,

Tj 1,06-1,02-1,8 == 2,0*,

2: 7,1-1,3-1,8 = 16,8*,

4:8,65-0,76-1,8 = 11,8*,

J2_: 1,5-0,8-1,8 = 2,2*,

4_: 1,3-1,04-1,8 = 2,4*, 6_: 1,06-1,02-1,8 = 2,0*, _8_: 1,5-1,33-1,8 = 3,6*, 10:1,52-0,54-1,8 = 1,5*,

'f'

-6.2

aN---J»

-f    rTąjó

S.8~----

•*—2,3 —#

- ir

i

Abb. 87.

11 : 1,4-0,54-1,8 = 1,4*).

Der Erddruck auf die Lamellen ergibt sich aus E = ~ +²- tg²^ des Bodens = 15° angenommen wird (zur Vergleichung soll auch die Böschungsneigung 1 : 1 — mit cp = 33° 40' berück-

A

sichtigt werden). Es ist daher E =    • 1,8- h² -tg² 37,5° = 0,530 h² ^für die Neigung 1

Als horizontale Erddrücke auf die Oberkanten der vertikal begrenzten Lamellen ergeben sich daher:

J_: 0,53 (6,78² — 6,5²) = 2,0»,

0,53 (9,95² — 8,28²) = 16,2*,

_7_: 0,53 (13,16² — 12,l²) == 14,2*,

Wird nun bei A und B Einspannung angenommen, so kann das Tunnelprofil wie ein bei A und B eingespanntes Gewölbe berechnet werden, wobei die oben eingeklammerten Gewichte vorläufig vernachlässigt werden sollen, und nur die vertikale Erdbelastung (5) = 10,8* in Rechnung gezogen werden kann, indem sie als vertikale exzentrische Belastung der unterhalb liegenden Fugen wirkt.

Es ist nun zunächst der Koordinatenursprung für das eingespannte Gewölbe zu bestimmen, und zwar für die 2X8 Lamellen rechts und links (für die spätere ringförmige Berechnung sollen auch die unteren Lamellen 9' —11' und 9 — 11 berücksichtigt werden), und man erhält daher folgende Tabelle (s. Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen 1910, S. 43):

-—a

wo

cp für völlige Durchnässung

erhält man E =

0,258 Ä²^ .

2_:0,53 (7,44² — 6,78²) = 5,0*,

_5 : 0,53 (11,04² — 9,95²) = 12,1*,

8 : 0,53 (14,65* — 13,16²) = 22,0*,

_3_: 0,53 (8,28² — 7,44²) = 7,0*,

_6 : 0,53 (12,l² — 11,03²) = 13,0*, (9 : 0,53 (15,94² - 14,65²) = 20,9 *).

Lamelle

Tir m e r

z‘ jt' m'irr

0,8

II

y (Abstand vom Scheitel) ....    0,07

\0,76

1,3

1,6-+ -1,6-J* J,3 ifC&f

1,76 il

1,63

Il

II

0,8

II

h³

jl

II

19,0

¹'12

0,043

0,043

II

II

?§i----ll__ I-J -l-    ' -JL,-*. ~3L

" T,f

tr

37,9

34,9

30,2    13,8    8,5    12,0

|l

y (F =1,0-h)

2,04

1,88

1,63    1,25    0,95    1,04

ST~_

i.

'3

1,3

3'

ii

16,2

²ryiï

V*

s*

tu-

si

v- y

>Sl

5!

«?y

kT

î£*

JL

ïfL

ÏL

rn?yt

-12,1

13,0

n,2

-22,0

Lamelle

4,69

4,60

3,79

y (Abstand vom Scheitel) ....

5,73

7,03

8,30

1,06

10

11

2,15

8,24

0,7

8,44

mm*?-

I W I V | V| 1<?

-2,3—*-1,5-*-1,V-><-1,V-y1,5-yf- 2,3t-» j*    ~ -4^ f    — j -1,58 <j

rJ-

■20,9* h

1,50

1,8

1,52

1,4

1,02

1,33

1,78

0,54

0,54

0,088

0,196

0,470

0,013

0,013

Abb. 88.

”= J

12,0

7,7

3,8

116,0

107,0

I (F=1,0-Â)

1,04

1,13 1,01 2,81 2,59

Hieraus ergibt sich (s. S. 10)

hvy'

0,07 • 37,9 + 0,61 • 34,9 + 1,5 • 30,2 + 2,51 • 13,8 + 3,61 • 8,5 + 4,67 -12,0 + 5,73 -12,0 + 7,03 - 7,7 (+8,3 •

157,0 (383,8)    ~    '    ~

= 2,00 (5,74)m.

• 3,8 + 8,24-116 + 8,44-107) _ 313,50 (+ 1890,46)

157,0 (383,8)

157,0 (383,8)

2 w ist nach obiger Tabelle = 2-157,0 (383,8), da wegen der Symmetrie nur das halbe Gewölbe bzw. Tunnel-

profil berechnet worden ist, 2

y ist = 2-10,97 (17,36).

Hiermit sind nun die Summenausdrücke auf S. 10—11 auszurechnen, um die Einflußordinaten für H Fund M zu

erhalten, und es geschieht dies am einfachsten vermittels einer Tabelle, in welcher die Vorzeichen {- oder_für x und

y einzusetzen sind.

In den bisher von mir veröffentlichten Beispielen für Gewölbe- und Rahmenberechnungen wurde x positiv und y mit seinem Vorzeichen eingesetzt, und man erhält auch hiermit richtige Resultate, aber das obige Beispiel hat gezeigt daß insbesondere bei einer ringförmigen Berechnung genau mit den Vorzeichen zu rechnen ist, wie ich sie auf Seite 10—11 bestimmt habe.

V' (8')

V' (7')

2X157 = 314

-    4,6

—    5,03

-    4,69

—    3,73

7,7

12,0

2X1654,1 = 3308,2 2 X 689,1 = 1378,2

—    35,4

—    38,7 162,9

—    56,3

—    44,8 264,0

1378,2 + + 2-10,97 = 1400,1

4,480

2 X 78,6

194,8

167,0

-0,06 (—38,7) = + 2,32

— 0,002

—0,06 (—35,4)

= + 2,12

— 0,001 + 1,001

- 0,06 - 7,7 = — 0,46

— 0,001

4,661

3,6

1,0

4,57

2,32 — 0,04 • •(—38,7)—0,01-

• (- 44,8) = + 4,32

— 0,003

2,12 — 0,04 •

- (—35,4) —0,01 -•(- 56,3) = + 4,10

— 0,001 + 1,001

- 0,46 — 0,04 • • 7,7 - 0,01 •

• 12,0 =

— 0,89

— 0,003

4,703

2,0

1,0

4,68

Fugenmitten (Vertikalen) sind von t (s. S. 11).

Für die vertikalen Kräfte erhält man daher folgende Tabelle zur Berechnung der Summenausdrücke :

V' (6')

IV' (5')

III' (4')

II' (3')

(,S) J

Scheitel (!)

Vertikalen

—    4,69

—    2,67

-    4,63

—    1,61

—    4,18

—    0,51

— 3,35

- 2,25

- 0,8

0,50

1,39

1,93

= 2,00 — y

12,0

8,5

13,8

30,2

34,9

37,9

—    56,3

—    32,0 264,0

—    39,4

—    13,7 182,2

— 57,7 - 7,0 241,1

- 101,2

— 78,5

— 30,3

Wx — W • X

85,5

22,0

3,6

1,18 + 0,11 •    4,32 + 0,03 •

• (- 115,5) + • (—83,5) +0,02 • + 0,38 (—7,0) =|+0,07 (-13,7)= • (— 32,0) = — 12,48

+ 1,18

— 0,001

+ 0,009

15,1

48,5

73,1

H • cn =

338,9

7,6

176,7

24,3

•xJ

67,4

141,2

wy²

1—355,02 + 1,6- -229,12 + 1,3- -113,33 + 0,9- -12,48 + 0,76-J|-(-72,6)+0,8- •(—121,l)+0,65--(-136,2)+0,45- -(-129,2) +

•15,1 =

— 229,12

— 113,33

+ 0,081

+ 0,164

•48,5 = — 355,02

• 73,1 = — 412,70

Einflußordinaten für -12.....

fQ&O +

+ 0,295

H 1 tvy*+l± (=1400,1)

****

ar_

(| - 950,52 4-1,6 • | — 449,30 4-1,3 -1 —183,17 4-0,9 -1 — 18,82 + 0,76 • | 0,22 + 0,11 •    4,10 + 0,03 •

• (- 148,0) +    • (- 91,7) +

• (— 101,2) = 1+0,38 (-57,7) =|+0,07 (-39,4) =+0,02 (-56,3) =

+ 0,22

— 18,82

+ 0,006 + 0,994

•(—424,8)+ 0,8 + (- 346,3) +0,65-1 - (—245,1) +0,45 • j • (- 187,4) + .(_ 30,3) =

— 1654,44

— 183,17

— 449,30

•(- 78,5) = — 950,52

+ 0,055 + 0,945

+ 0,136 + 0,864

4- 0,288 + 0,712

4,02 + 0,76 • — 0,06 + 0,11. — 0,89 + 0,03 • • 40,2 + 0,38 •    • 31,7 + 0,07 •    • 19,7 + 0,02 •

• 13,8 =

+ 39,82

• 12,0 =

— 0,06

•8,5 = + 4,02

0,013

0,127

39,82 + 0,9 •

• 54,0 + 0,45 • • 30,2 =

+ 102,01

4,670

4,573

3,927

0,326

3,226

2,0

1,0

4,69

2,3

13,9

14,6

0,01

1,0

0,01

4,62

und w in Beziehung auf d • daß P positiv einzuführen

0,05

0,12

0,03

0,97

0,07

4,25

0,10

0,90

0,23

3,58

T"

V

(.x — v) xcn £ x ï

rl'-V'    + 0,500

lwx*(= 3308^2) li — V    + 0,500

Einflußordinaten für

-11...

v=

234,16 + 1,6 •    102,01 + 1,3 •

• 119,1 + 0,8 • • 84,2 +- 0,65 • • 34,9 =

+ 234,16

0,746

2,346

•37,9 = + 455,04

1,450

1,450

18,8

21,4

0,21

0,21

0,79

0,54

2,79

0,28

0,39

0,61

1,10

1,90

der Abstände a — a; für die elastischen Gewichte wx) wy und von rechts nach links negativ angenommen worden, s

T"

11w (o — x)

Einflußordinaten für

fl — V'.

1 w (= 314) II —V .

ZI

P (Gesamtbelastung) Hl' — 8' (1 — 8) ....

rÇZÏ

(interpolierte

Einfluß-

ordinaten)

Die Vorzeichen links nach rechts positiv

-8'

ÏS

£?

ff

. _SL

-sa._ssi

~r~-ï

'S!

Abb. 89.

«A 4-

J. -

’lf

■'sirv"⁻

Für die horizontalen Kräfte erhält man gleichfalls die Werte von H, V und M aus folgender Tabelle:

Vertikalen

Scheitel (1')    1' (2')

II (2)

I (1)

II' (3')    Iir (4')    IV' (5')    V' (6')    V' (7')    V' (8')

III (3)    IV (4)    V (5)    V (6)    V (7)    V (8)

b = 2,0 + 0,4 — y (in den Vertikalen) j

2,40

2,12

w • y . wy²

73,1

141,2

05

—1 00 rf*- öl

1,46    0,62    — 1,05    — 2,14    — 3,20    — 4,26

0,62    — 1,05    — 2,14    — 3,20    - 4,26    — 5,75

15,1    — 7,0    — 13,7    — 32,0    — 44,8    — 38,7

7,6    3,6    22,0    85,5    167,0    194,8

lwy

lwy²

blw y

+ 0,5    — 72,6

— 38,7    0,5    statt

+ 0,5    0    weSen

361,8    194,8

1183,4    1378,2

Abrun-

düng der Zahlen

lwy² — blwy

687,9

701,8

1 (lwy² — blwy)

TL wy² 4“ 2

(= 1400,1)

675,3    720,2

—    0,492    — 0,501

—    0,483    — 0,514

1,93

1,39

w • X‘ y

4F 30,3 T 78,5 T 58,5 4F 109,1

0,50    — 0,51    - 1,61    — 2,67    — 3,73    — 5,03

=F 101,2 =F 57,7 T 39,4 =F 56,3 T 56,3 4= 35,4 T 50,6 ± 29,4 ± 63,4 ± 150,3 j ± 210,0 ± 178,1

lwx

Itvxy

blwx

lwxy — blivx

1 (lwxy — bl w aj)

lwx² (= 3308,2)

—    455,1

—    424,8 4- 413,0 4- 471,5

— 1092,2

—    900,6 1505,2 1372,1

—    0,455

—    0,415

— 148,0 — 91,7 4- 538,4 4- 388,1 4- 316,7 4- 293,4

221,7

94,7

—    0,067

—    0,029

—    91,7    — 35,4

-    35,4 4- 388,1 4- 178,1 4- 178,1 4- 293,4 + 150,8 4- 150,8

94,7

27,3

27,3

—    0,029 — 0,008

—    0,008 0

37,9

34,9

30,2    13,8

8,5

12,0

12,0

7,7

Iw

157,0

119,1

194,9

lwy. . .

blw

lwy — blw

1 (lwy — blw)

Iw (== 314)

4- 0,5 4- 73,1 4- 376,8 4- 413,2

229,8 — 72,6 4- 121,6 + 252,5 + 335,5

84,2    54,0    40,2

260,0    273,8    282,3

—    121,1 — 136,2 — 129,2

4- 136,7 4- 129,7 4- 116,0 4- 122,9    4- 33,5    — 42,2

4- 161,2 — 287,5 — 604,1

—    244,0 - 169,7    — 87,0

- 24,5 + 417,2 4- 720,1

—    0,777 — 0,540 — 0,277

—    0,078 4- 1,328 4- 2,293

31,7

19,7

7,7

294,3

-    115,5 4- 84,0

—    67,8

-    941,8

—    47,7 4-1025,8

-    0,152 4- 3,267

306,3    314,0

—    83,5    — 38,7

4~ 39,2    4* 0,5

—    63,0    — 32,8

—    1304,8 —1805,5

—    20,5 . — 5,9 4-1344,0 4-1806,0

—    0,065 — 0,019 4- 4,280 + 5,752

=F 2,0

- 1,14

=F 5,0

4F 7,0    4-16,2    4=12,1

=F 13,0 — 0,11 — 0,88

4- 2,78

4= 14,2 T 22,0

91,5

Durch Ausrechnung der Werte 1'.P-b (b entspricht der Einflußordinate für P) erhält man für vertikale Belastung: H = 2 • 12,41 = + 24,82*, V = + 78,0*, M = -f- 288,32m* und für horizontale Belastung mit ganzem Erddruck: H =

M = 288,32 + 245,81 == 534,13 m*.

Die Annahme der Richtungen von H, V und M folgt aus den Vorzeichen, und dieselbe stimmt damit überein, daß der Horizontalschub H der vertikalen Belastung entgegengesetzt demjenigen durch die horizontale Belastung ist, ebenso wirkt die Vertikalkraft V nach oben, so daß die Resultante R bei A nach außen gerichtet ist. Die Summierung der positiven Momente M ergibt sich auch daraus, daß ein Aufträgen von H und V im Koordinatenursprung ein positives Moment M = R • r für die Gegenresultante B mit dem Kämpferdruck B hervorruft (s. Abb. 90).

Die genaue Lage des letzteren ergibt sich nun (s. S. 11) aus:

57,84*, V = 0, M = + 245,81 mt, somit zusammen : H = 24,82 — 57,84 = — 33,02*, F=78,6*,

r = —jj wo B = 1/2P + V² = 1/33,02²+ 78,6* = 85,25*, somit B

534,13

85,25

= 6,265 m, ferner

_ M _ 534,13 X*—~V ~    78,6

M _ 534,13 Vr ~ IT “ — 33,02

Für den halben Erddruck mit der Böschung 1:1— sind obige Werte mit

so daß man erhält H = — 0,487 • 57,84 = — 28,17*, V = 0, M = 0,487 -245,81 = + 119,71 mt, somit zusammen H = 24,82 — 28,17 = — 3,35*, V = 78,6*, M = 288,32 + 119,71 = 408,03 m*.

Die Lage der Resultante B am Kämpfer ergibt sich aus:

R = y3,35²+ 78,6² = 78,67 *,

= 6,796 m,

= — 16,176 m.

0,258

. 0,530

= 0,487 zu multiplizieren?

408,03

78,67

= 5,187 m,

xr =

408,03

78,6

= 5,191 m,

Vr —

408,03

— 3,35

121,800m,

oc

so daß die Richtung von R aus dem Verhältnis — zu bestimmen ist (s. Abb. 90 links).

Vr

2. Berechnung des bei B durchschnittenen ringförmigen Rahmens nach der Elastizitätslehre.

Wird das Tunnelprofil bei B durchschnitten gedacht, so kann das frei bewegliche Ende bei B statt bei A an genommen werden, und die Berechnung der Summenausdrücke ist wie in den obigen Tabellen bei B (bzw 8') zu beginnen, und ringsherum wieder bis B (bzw. 9') fortzusetzen. Die Rechnung geht daher von Spalte V' (8') wie oben und setzt sich nach links bis zum Scheitel (!') fort, und von hier aus in der zweiten Rubrik wieder bis zur unteren Mitte (11) und in der ersten Rubrik rückwärts bis VI' (9'), so daß man die auf S. 60 und 61 folgende Tabelle für die vertikale Belastung erhält.

Die Ausrechnung der Werte 2P-5 für die vertikalen Lasten ergibt nach derselben H=— 34,50*, V— 78,6 (0,72 — 1,72) = — 78,6*, M = + 117,86 m* (F siehe unten).

Werden die gleichfalls auf den ringförmigen Rahmen wirkenden Auflagerdrücke = 78,6 * in der Mitte der Fundamente von 2,3m Breite angenommen, so erhält man durch Interpellation aus der folgenden Tabelle:

0,43

aus

1,58

. 0,001 = 0 und H = — 0,594

0,43

1,58

. 0,209 = — 0,537, V = 1,72 • (— 78,6)

0,43

0,43

. 1,576 = ~t 4,051 und M = + 1,832 —

0,651 = + 1,655 und zusammen

M = — 4,480 i

H = — 0,537 • (— 78,6) = + 42,21* und M = (— 4,051 + 1,655) • (— 78,6) = + 188,33 mt

(da die vertikale Belastung P positiv eingeführt wurde, so ist der entgegengesetzt wirkende Auflagerdruck negativ eiuzusetzen s. S. 11).

Man erhält daher zusammen H= — 34,50 + 42,21 = + 7,71*, M= 117,86 + 188,33 = + 306,19m*.

1,58

1,58

Vertikalen

Scheitel (1')

I (1)

4-

5,74 - y

05

S» P

co

6Ô

r (2')

Il (2)

II' (3')

III (3)

III' (4') IV (4)

IV' (5') V (5)

T 2,25

T 3,35

T 4,18

T 4,63

5,13

4,24

3,23

2,13

34,9

30,2

13,8

8,5

tVx = w • X Wy — w y

W • X ² . . . .

T 30,3 214,9

24,3

T 78,5 179,0 176,7

T 101,2

=F 57,7

T 39,4

128,1

338,9

44,6

18,1

241,1

182,2

u>-yJ

1218,4

918,5

542,9

144,0

38,6

__L

2

1 Z. IV y (a — x) a

Einflufiordinaten für — 12.....

2 «>2,² 4-2^ (= 8872,3)....

520,59 4- 1,6 • •372,8 4- 0,8-• 214,9 =

= 4- 1288,99

— 0,145

152,30 4- 1,3 •

• 193,8 4- 0,65 • • 179,0 =

= 4- 520,59

— 0,059

35,52 4- 0,9 •

• 65,7 4- 0,45 • •128,1 =

= 4- 152,30

- 0,017

2,54 4- 0,76 •

• 21,1 4- 0,38 • .44,6 = 4“ 35,52

0,95 4- 0,11-•3,0 4- 0,07-•18,1 = 4- 2,54

— 0,004

desgleichen

1288,9 4- 1,6-•587,7 4- 0,8-•214,9 =

= 4- 2401,23

— 0,270

2401,23 4- 1,3-•802,6 4- 0,65-•179,0 =

= 4- 3560,96

— 0,401

3560,96 4- 0,9-•981,6 + 0,45-•128,1 =

= 4- 4502,04

— 0,508

4502,04 + 0,76-.1109,7 4- 0,38.

•44,6 =

= 4- 5362,36

— 0,605

5362,36 4- 0,11-.1154,3 4- 0,04-• 18,1 —

= 4- 5490,06

— 0,619

— 950,52 4-

— 449,30 4-

Einflufiordinaten fur

-11.....

1 w x² (= 4594,6) ...

— 183,17 4-

4-1,6 (-424,8)4- 4" 1,3 (-346,3) 4- 4-0,9(-245,l)4~

4- 0,8 (- 30,3) =    4-0,65 (—78,5)= 4-0,45 (—101,2) = 4-0,38 (—57,7) = 4-0,07 (—39,4) =

= - 18,82

— 18,82 4- 0,76 (— 187,4) 4-

0,22 4- 0,11-

•(- 148,0) -f

= — 1654,44

= — 950,52

= — 449,30

= — 183,17

4- 0,360

4- 0,207

4- 0,098

4- 0,040

4- 0,004

desgleichen

— 1654,44 4-    — 2358,36 4-    — 2859,58 4-    — 3125,79 4-    — 3290,06 4~

4- 1,6 (- 455,1) 4- 4- 1)3 (- 424,8) 4- 4- 0,9 (- 346,3) + 4~0,76 (- 245,1) 4- 4- 0,11 (-187,4) 4~ 4- 0,8-30,3 =    4- 0,65-78,5 = -f 0,45-101,2 =    4- 0,38-57,7 =    4- 0,04-39,4 =

= — 2358,36    = — 2859,58    = — 3125,79    = — 3290,06    = — 3309,10

4- 0,513

4- 0,622

-f 0,680

-f 0,716

4- 0,720

l-i

Einflufiordinaten für

1 w (= 767,6)

233,16 + 1,6-•119,1 + 0,8-•37,9 =

= + 454,04

+ 0,592

101,01 + 1,3-•84,2 + 0,65-•34,9 =

= -f 233,16

+ 0,304

39,82 + 0,9-•54,0 + 0,45-•30,2 =

= + 101,01

+ 0,132

4,02 + 0,76-•40,2 -f 0,38-• 13,8 =

= 4- 39,82

4- 0,052

— 0,06 4- 0,11-•31,7 4- 0,07-•8,5 =

= 4- 4,02

4- 0,005

desgleichen

454,04 4-4- 1,6-157 4-4- 0,8-37,9 = = 4- 735,56

4- 0,958

735,56 4-4- 1,3-194,9 + 4- 0,65-34,9 = = 4- 1011,61

4- 1,318

1011,61 4-

4- 0,9-229,8 4-4- 0,45-30,2 = =î 4- 1232,02

4- 1,605

1232,02 4-4- 0,76-260 4-‘ 4- 0,38-13,8 = = 4- 1434,86

4~ 1,869

1434,86 4-4- 0,11-273,8 4-+ 0,04-8,5 = = 4- 1465,32

4- 1,911

P (Gesamtbelaatung) il' — 11'

H-a

il'— 11' (interpolierte Il — 11    Einflufiordinaten)

21,4

18,8

14,6

13,9

2,3

Ml¹'-¹¹' Il — 11

— 0,10 — 0,21 4- 0,28 4-0,44 4- 0,45 4- 0,78

—    0,04

—    0,34 4- 0,15 4- 0,57 4- 0,22 4- 1,14

— 0,01 - 0,46 4- 0,07 4- 0,65 4- 0,09 4- 1,46

— 0,56 4- 0,02 4- 0,70 4- 0,03 + 1,74

— 0,61

4- 0,72

V' (6')

Y' (7')

V (6)

V (7)

Y' (8') VI (8)

vr (9')

VII (9)

vir (io')

VIII (10)

VIII' (11 ) Mitte (11)

2 1'— 11'

+ 4,69

+ 4,69

1,07

0,01

+ 4,60 — 1,29

+ 3,79 - 2,56

+ 2,15 — 2,50

12,0

12,0

7,7

3,8

116,0

=F 0,07 — 2,70 107,0

2 X 383,8 = = 767,6

T 56,3

T 56,3

12,8

0,1

264,0

264,0

+ 35,4 — 9,9 162,9

T 14,4

9,7

54,6

=F 249,4 — 290,0 536,2

T 74,9 — 288,9

52,4

13,7

12,8

24,9

725,0

780,0

2 X 2297,3 = = 4594,6 2 X 4418,8 = = 8837,6

0,99 + 0,03-

0,59 — 0,04-•(— 9,8) + 0,02-    •(— 9,9) — 0,01-

•12,8 = + 0.95

•0,1 = + 0,99

— 0,06 (— 9,9) = = + 0,59

13,84 — 1,58-•7,9 — 0,69-*(- 9,7) = = + 8,04

— 0,001

243,19 — 1,5-•297,9 — 0,75-.(— 290) = = + 13,84

— 0,002

862,48 — 1,4-•586,8 — 0,7-•(— 288,9) = = + 243,19

— 0,028

8837,6 + 2-•17,36 = = 8872,3

bei VI' (9') ist H = 0

5490,06 + 0,03-•1172,4 + 0,01-•12,8 =

= + 5525,34

— 0,623 5525,34 — -0,04-1185,2 — - 0,03-0,1 = = + 5477,95

— 0,618 5477,95 — 0,18-•1185,3 — 0,12 (- 9,9) =

= + 5265,78

- 0,594 5265,78 — 1,58-•1175,4 — 0,89-(- 9,7) =

= + 3417,28

— 0,385 3417,28 — 1,5-•1165,7 -0,75-(— 290) = = + 1886,23

— 0,213 1886,23 —

— 1,4-875,7 — — 0,7 (— 288,9) = = + 862,48

— 0,097

-0,06- (—35,4) — = + 2,12

4,10 + 0,03-•(— 91,7) + 0,02-(_ 56,3) =

= + 0,22 2,14 — 0,04-•(- 35,4) -— 0,01 (— 56,3) = + 4,10

— 0,001

—    4582,50 —

—    1,58-14,4 — - 0,69 (— 14,4) =

= — 4595,32

+ 1,000

— 4373,85 — 1,5-•263,8 — 0,75-(—249,4) =

= — 4582,50

+ 0,997 — 3952,1 —

— 1,4-338,7 — - 0,7 (- 74,9) = = — 4373,85

+ 0,952

bei VI' (9') ist V = 1

- 3309,10 +

+ 0,03 (- 148) +    — 0,04 (— 91,7) —

+ 0,01-56,3 =

= - 3312,98

+ 0,721

— 3312,98 —

— 0,03-56,3 = = — 3311,00

+ 0,720

—    3311 — 0,18-•(- 35,4) -

—    0,12-35,4 = = — 3308,88

+ 0,720 — 3308,88 — —1,58-0 — 0,89-•14,4 =

= — 3321,70

+ 0,723

—    3321,70 —

-    1,5-14,4 — — 0,75-249,4 =

= — 3530,35

+ 0,768

— 3530,35 —

—    1,4-263,8 —

—    0,7-74,9 = = — 3952,10

+ 0,860

— 0,89 + 0,03-•19,7 + 0,02-•12 =

= — 0,06

— 0,46 - 0,04-•7,7 — 0,01-•12 =

= — 0,89

— 0,001

— 0,06-7,7 = = — 0,46

— 0,001

—    2280,71 — — 1,58-763,9 —

—    0,69-3,8 = = — 3440,29

— 4,482

— 1171,86 —

—    1,5-647,9 —

—    0,75-116 = = — 2230,71

— 2,906

— 339,70 —

—    1,4-540,9 —

—    0,7-107,0 == = — 1171,86

— 1,526

bei VI' (9') ist M = — 4,48

1465,32 +

+ 0,03-282,3 + + 0,01-12 = = + 1473,91

+ 1,920 1473,91 —

— 0,04-294,3 — — 0,03-12 = = + 1461;78

+ 1,904 1461,78 -— 0,18-306,3 — — 0,12-7,7 = = + 1405,72

+ 1,832 1405,72 —

— 1,58-314,0 — — 0,89-3,8 = = + 906,22

+ 1,181 906,22 -

—    1,5-317,8 —

—    0,75-116,0 = = + 342,52

+ 0,447

342,52 —

—    1,4-433,8 —

—    0,7-107,0 = = — 339,70

— 0,442

2,0

2,0

3,6

78,6 t

— 0,62

— 0,62

— 0,61

+ 0,72

+ 0,72

-ł- 0,72

—    0,49 + 1,00 + 0,72

—    3,69 + 1,51

— 0,01

—    0,30 + 0,97 + 0,75

—    2,22

+ 0,82

— 0,06 - 0,16 + 0,91 + 0,81 — 0,98

Die Werte von H, V und M für die horizontalen Kräfte erhält man aus folgender Tabelle:

Vertikalen

Scheitel (1')    I' (2')    II' (3')    III' (4')    IV' (5')    V' (6')    V' (7')    V' (8')

I (1)    II (2)    III (3)    IV (4) V (5)    V (6) V (7)    VI (8)

b = 6 (s. S. 58) + 3,74

6,14

5,86

© © OO £N lOO

5,20

4,36

wy .

w * y²

214,9

1218,4

179,0

918,5

128,1

542,9

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rtł <N    ui

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OO H O O —r

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O O

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Lwy

bLw y

'Lwy'¹ — bLw y

1 (2«jÿ⁵ — bLw y)

w - x *y

5,67

5,13

4,24

3,23

2,13

1,07

Lwx

Lw x y

bLwx..

Lwxy — bLwx

1 (Lwxy — b L w x)

Lw x² (= 4954,6)

37,9

34,9

30,2

13,8

8,5

12,0

12,0

7,7

Lwy

981,6    +1109,7    +1154,3    +1172,4    +1185,2    +1185,3    +1174,4

bLw

Lwy — bLw

1 (Lwy — bLw)

L w (— 767,6)

157,0 194,9

+ 587,7 + 802,6

376,3    — 325,1 — 244,0 — 169,7

0,29

0,25

0,19

0,29

0,46

0,47

Ff 1111 +

O C* t>- O H HH tH G\J rl © © CT© ©©

+ 1111

+ 1111 +

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Ff I

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53

Die Ausrechnung der Werte IP-b für die horizontalen Kräfte ergibt:

H = — 41,86 *, V = O, M = + 100,67 m*,

somit zusammen :

H = 7,71 — 41,86 = - 34,15*,

V = — 78,6*,

M = 306,19 + 100,67 = + 406,86 m*.

Für den halben Erddruck sind obige Werte mit 0,487 zu multiplizieren, so daß man erhält:

H = — 0,487 • 41,86 = — 20,39 *,

V = 0, M = 0,487 • 100,67 =+49,03 m*

und zusammen:

H — 7,71 — 20,39 = — 12,68*, V= — 78,6*,

M = 306,19 + 49,03 = + 355,22 m*.

Die Lage der Resultante R am Kämpfer ergibt sich aus

-g von R = ]/H-\- V~²= Y34,15² + 78,6²= 85,70 *, 4,747 m,

_ 406,86 __

V ~ 85,70 “

M 406,86 Xr~~F~— 78,6 M _ 406,86 yr ~ H ~~ — 3 4 ,14

= — 5,177 m,

= — 11,918 m,

bzw. für halben Erddruck aus:

R—Y12,68² + 78,6² = 79,61 *, = 4,462 m,

355,22

r =--—

79,61

Xr ⁼

355,22 — 78,6

= — 4,520 m,

355,22

— 12,68

= — 28,014 m.

3. Vergleichende Berechnung des ringförmigen Rahmens für verschiedene Fundamentstärken.

In Abb. 90 sind vier verschiedene Fälle berücksichtigt, und zwar bedeuten die ausgezogene und gestrichelte Linie links (wie auch das entsprechend ausgezogene Kräftepolygon links) die Stützlinien für Eingespanntsein bei A und B mit ganzem und halbem Erddruck, und diejenigen rechts die Stützlinien für ringförmige Berechnung des bei B durchschnittenen Rahmens. Hierbei wurde zunächst die horizontale Koordinatenachse mit den Abständen z — 2,00 und 5,74 m vom Scheitel eingezeichnet, und das berechnete xr und yT von dem Koordinatenursprung 0 aus aufgetragen und durch ihre Endpunkte die Resultante R gezogen, welche den Abstand r von 0 haben muß (bei zu großem yr ist das Verhältnis xr zu yr aufzutragen, und durch den Endpunkt von xr eine Parallele zu ihrer Verbindungslinie zu ziehen).

Die im Koordinatenursprung angenommenen Kräfte H und V sind aber bei positivem Vorzeichen von links nach rechts und von unten nach oben aufzutragen (und bei negativem Vorzeichen entgegengesetzt), um die Richtung ihrer Resultante R zu erhalten, welche beim eingespannten Rahmen nach links und oben und beim ringförmigen Rahmen nach links und unten geht, und ist die Stützlinie im letzteren Fall in der Verlängerung von R auf der rechten Seite gezeichnet (dieselbe würde auf der linken Seite symmetrisch verlaufen, da zwischen A und B nur die zwei Auflagerdrücke vorhanden sind).

Der in dieser Weise bestimmte Kämpferdruck R ist nun mit den aus der Zusammensetzung der horizontalen und vertikalen Kräfte im Kräftepolygon entstandenen schiefen Richtungen (dieselben sind für ganzen Erddruck ausgezogen und für halben Erddruck gestrichelt) zusammenzusetzen, um durch Parallelen zu den Strahlen des Kräftepolygons die Stutzlinien für ganzen und halben Erddruck zu erhalten (die Pole der Kräftepolygone ergeben sich durch Parallelen zu R).

Da die Stützlinie der ringförmigen Berechnung mit halbem Erd druck große Spannungen im Scheitel ergibt, so sollen noch zwei Fälle untersucht werden, und zwar für die Fundamentstärke in der Mitte von 0,84 m (bei Verbindung der seitlichen Lamellenunterkanten) und von 1,20 m. Die Stützlinien für den ersteren Fall sind links gezeichnet, und zwar mit einem Strich und Punkt bei ganzem Erddruck und mit zwei Strichen und einem Punkt bei halbem Erddruck, und diejenigen für den letzteren Fall sind in derselben Weise rechts gezeichnet, und die zugehörigen Kräftepolygone sind ebenso angenommen worden.

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I ¹

78,6

It/l    I

H 78,6

Abb. 90.

Für die unteren Lamellen 9 —11 erhält man nun in diesen beiden Fällen:

Lamelle

10

11

2 9-11

10

11    2 9-11

y' (Abstand v. Scheitel)

t5    cO    CO

M    X    H    rt

CO

2,15

8,5

1,5

1,07

P l-¹ a> P

►f».    03

CO

P    NS    CO    03

NO    O    Üi

m    eo

oT    CO    t-T

°°    "T.

o' co 1-7

1,23

h³

¹ * 12

0,470

0,102

0,055

0,887

0,244

0,155

tc =

./

3,8

14,7

25,5

44,0

2,3

6,2

9,0

17,5

1,01

1,40

1,61

4,02

0,91

1,05

1,14

3,10

Der Koordinatenursprung ergibt sich daher im ersten Fall aus (s. S. 56):

lwy' _ 313,50 + 8,3 • 3,8 + 8,5 • 14,7 + 8,6 • 25,5

Zw

157,0 + 44,0

= 3,43 m und im zweiten Fall aus

313,50 + 8,5 • 2,3 + 8,7 • 6,2 + 8,8 • 9,0

157,0 + 17,5

= 2,67 m, und für die ringförmige Berechnung ist

Sw = 2 • 201,0 = 402 bzw. = 2 • 174,5 = 349 und 2 -4r = 2(10,97 + 4,02) = 30,0 bzw. = 2 (10,97 + 3,10) = 28,1.

Die Rechnung ist nun in beiden Fällen wie auf S. 60—62 durchzuführen, und zwar mit Weglassung der Summen-ausdrücke V (da nur bei unsymmetrischer Belastung V nicht = 0 wird). Auch bei der Berechnung von M ergeben sich Vereinfachungen, da die Summenausdrücke 2w{a— x) und Zwy— b-Zw für die Lamellen 1 — 8 sich gleich bleiben (indem auch y und b um das gleiche Maß verschieden sind, und nur der Nenner von M sich ändert).

CD

2 1'- 11'

2 X 201 = = 402

VIF (10')    VIII' (11')

VIII (10)    Mitte (11)

+ 0,7 — 5,17

+ 2,15 — 5,07

25,5

14,7

— 131,8

681,6    2 X 2161,3 =

= 4322,6

— 74,5 377,9

4322,6 +

•93,4 — 0,75- — 1,4-225,2 -    + 30,0 =

•(— 74,5) = -0,7 (-131,8)=    = 4352,6

= + 24,72    = + 98,94

98.94 — 1,5 -    322,56 —

— 0,023

— 0,006

1321,47 —

-1,5-431,5--1,4-357,0 —

-0,75 (-74,5) = -0,7 (- 131,8) = = + 730,10    = + 322,56

730,10 —

- 0,074

— 0,168

— 583,90 —    — 64,85 —

— 1,5-383,5--1,4-358,0 —

-0,75-14,7 = —0,7-25,5 = = — 1170,17    = — 583,90

— 1,453

— 2,911

VI' (9') VII (9)

+ 3,79 — 4,87

3,8

— 18,5

90,1

V' (8') VI (8)

+ 4,60 — 3,60

7,7

— 27,7

99,8

Man erhält daher im ersten Fall folgende Tabelle für die vertikalen Kräfte:

V' (7')

V (7)

V' (6')

(9) A

+ 4,69 — 2,30 12,0

+ 4,69 — 1,24

12,0

— 27,6

— 14,9

63,5

18,5

3,04 + 0,03-    1,66 - 0,04-

• (— 55,3) +    -(— 27,7) — I •(— 27,7) = I —1,58-18,9 -

+0,02(-14,9)= - 0,01 (- 27,6) =| = + 1,66 |-0,69 (-18,5)= = + 3,04

24,72 —

— 0,06-

69 ‘L + =

= + 1,08

— 0,002

— 0,001

2102,58 +    2118,04 — ! 2098,66 —    2016,00 —

+0,03 • 520,2 + — 0,04 • 505,3--0,18 • 477,7--1.58 • 450,0 —

+0,01 (-14,9)= - 0,03 (-27,6) = -0,12 (- 27,7) = - 0,89 (-18,5) = = + 2118,04    = + 2098,66    = + 2016,00    = + 1321,47

— 0,303

— 0,463

— 0,483

— 0.487

- 1170,17 — -1,58-398,2 — -0,69-3,8 = = —1801,95

— 4,482

— 0,46

— 0,89

— 0,06

— 0,001

— 0,002

+ 1461,78    + 1405,72    1405,72 —    906,22 —    418,50 —

-1,58-314,0-- 1,5-317,8-- 1,4-332,5 —

— 0,89-3,8= —0,75-14,7 = -0,7-25,5 = = + 906,22 = + 418,50    = — 64,85

+ 3,637    + 3,496    + 2,254    + 1,041    — 0,161

111 +

— 0,02

-    0,24

—    2,18 + 1,65

—    0,39

—    3,70

+ 2,88

+ 1473,91

+ 3,667

3,6

2,0

2,0

— 0,48

— 0,49

— 0,49

+ 3,57

+ 3,65

+ 3,66

ST

sg

> > HH

III' (4') IV (4)

II' (3 ) HI (3)

Scheitel (1') | I' (2') II (2)

I (1)

Vertikalen

+ 4,63 — 0,18

8,5

- 1,5

0,3

+ 4,18

+ 3,35

+ 2,25

+ 0,8

0,92

13,8

c-^

c-f t-T t-I T-(

1,93

30,2

58,3

112,5

— 56,42 + — 6,75 + 0,76 • 1,08 + 0,11 • +0,9(—59,0)+ - (- 71,7) + •(—70,2)+0,07-+ 0,45 • 58,3 = + 0,38 -12,7 = - (— 1,5) = = — 56,42

= — 6,75

= — 83,28

+ 0,002

+ 0,013

+ 0,019

2045,25 +

+ 0,11-521,7+ +0,04(—1,5)= = + 2102,58

1653,58 +

+ 0,76-509,0+ + 0,38-12,7 = = + 2045,25

1221,72 + + 0,9-450,7 + + 0,45-58,3 = = +1653,58

— 0,483

— 0,470

— 0,380

+ 4,02

+ 0,010

+ 39,82

+ 0,099

+ 1434,86    + 1465,32

+ 3,645

+ 3,569

2,82

3,36

37,9 j 34,9

o

00 t+

05 t-

Ol

127,3

427,9

— 83,28 + 1,3 • •(—0,7 )+0,65-• 98,4 =

= — 20,23

— 20,23 + 1,6 •! • 97,7 + 0,8 •

• 1273 =

= + 237,93

+ 0,005

— 0,055

699,77 +

+ 1,3-352,3 + + 0,65-98,4 = = +1221,72

237,93 +

+ 1,6 • 225,0 + + 0,8-127,3 = = + 699,77

— 0,281

- 0,161

+ 233,16    + 101,01

+ 0,251

+ 0,580

+ 1,130

+ 1011,61    + 1232,02

+ 735,56

+ 3,065

+ 2,516

+ 1,830

CO tH CO ^ O CÛ tN O O O ec

13,9

14,6

18,8

21,4

+ 0,01 — 0,43 + 0,05 + 3,32

+ 0,02 — 0,34 + 0,18 + 2,79

+ 0,01 — 0,23 + 0,42 + 2,17

—    0,03

—    0,11 + 0,86 + 148

3,43 - y

H >5 S

Wy — w • y w • t/².....

Einflufiordinaten für -IS.....

II =

(= 4352,6)

desgleichen

7.__

Hw {a — x)

Einflufiordinaten für

M =    ¹¹.....

Iw (= 402,0)

desgleichen

P (Gesamtbelastung).... 1' — 11'

— 11

(interpolierte Einflufi-— 11 ordinaten)

fi

Die Ausrechnung der Werte HP-b ergibt für die vertikale Belastung:

H = — 22,50*, V (s. oben) = — 78,6*, M = + 224,77-*.

Wird der Auflagerdruck wie oben angenommen, so erhält man durch Interpolation (s. Tabelle):

0,43

1,58

-•0,004 = — 0,001 und H = — 0,473 +

0,43

1,58

• 0,160 = — 0,429, zus.

0,430 •(— 78,6) =+33,80*,

il/= — 4,480 +

0,43

0,43

• 1,242 =+3,158, zus. — 0,894 • (— 78,6) = + 70,27-*,

•1,571 = — 4,052 und M=+ 3,496 somit erhält man: H = — 22,50 + 33,80 = + 11,30* und M = + 224,77 + 70,27 = + 295,04-*.

1,58

1,58

Die Einflußordinaten der Horizontalkräfte ergeben sich aus folgender Tabelle:

Vertikalen

Scheitel (1') I' (2') II' (3') III' (4') IV' (5') V' (6') V' (7') V' (8') II (2) III (3) IV (4) V (5) V (6) V (7) VI (8)

I (1)

b = b (s. S. 58) + 1,43 ..

coeo

wy = w • y

wy².....

127,3

427,9

1,5

0,3

18,5

63,5

99,8

lwy²

bl w y

+ 225,0 + 352,3

1011,7

1439,6

+ 861,8 +1250,7

lwy¹ — bl w y

149,9

188,9

703,6    991,1    1681,1    2139,9

0,7    — 59,0    — 71,7

2,0    —121,0    — 27,2

— 70,2 + 405,3

181,8

1860,1

+ 49,8 — 717,4

132,0

2577,5

—    55,3 —    27,7

+ 377,7 + 350,0

163,3

99,8

1923,6    2023,4

+    97,9 +    78,4

— 1068,9 —1512,0

.    65,4    21,4

2992,5    3535,4

II —

— 1(ÏM' y² — bl w y)

lwy* + l-^ (= 4352,6) ...

—    0,035

—    0,044

—    0,054 — 0,071    —0,072 — 0,048

—    0,162 - 0,228 —0,386 —0,492

—    0,030

—    0,592

—    0,015 — 0,005

—    0,687 — 0,812

H-l I

H-l I

p pw

l-Ł C™

œo

=F 13,0

— 0,02

— 0,55

T 14,2 T

— 0,01

22,0

0,65 —    0,76

Die Ausrechnung der Werte IP-b ergibt für die horizontalen Kräfte (s. S. 63):

•100,67 = + 192,22 mt, somit zusammen:

767,6

H = — 43,09 *, V = 0, M =

H = + 11,30 — 43,09 — — 31,79*, V — — 78,6*, M= f 295,04 + 192,22 = +487,26 mt.

402,0

Für den halben Erddruck sind obige Werte mit 0,487 zu multiplizieren, so daß man erhält:

H = — 0,487 • 43,09 = — 20,98*, V = 0, M = + 0,487 • 192,22 = + 93,61 -*, somit zusammen: II =+ 11,30 — 20,98 = — 9,68*, V = — 78,6*, M = + 295,04 + 93,61 = + 388,65 m*.

= 84,79 *, r —

Die Lage der Resultante R am Kämpfer ergibt sich aus r — -^-wo -ß = y H² +F² = ]/"31,79J + 78,6² =

= — 15,327 m, bzw.

487,26

84,79

für den halben Erddruck aus:

= 5,747 -, xr —

M _ 487,26 T “    78,6

= - 6,199 m, yr = ~ = —87,26 ’ y H — 31,79

R~Y9,68² + 78,6² = 79,19*, r —

388,65

79,19

= 4,908 -, xr —

388,65

— 78,6

= 4,945-, yr ==

388,65

—^ = - 40,150-.

•si

2 1'— 11'

2 X 174,5 = 349

2 X 1402,0 = 2804,0

2804,0 + + 28.1 = = 2832,1

VII' (10')    VIII' (11')

VIII (10)    Mitte (11)

+ 0,7 — 6,13

T 2,15 — 6,03

9,0

6,2

— 55,2 338,2

— 37,4 225,4

VI' (9') VII (9)

T 3,90 — 5,83

2,3

— 13,4

78,2

15,71 — 1,58- 62,66 — 1,5-    171,30 —

-12,6 — 0,58-    -50,0 — 0,75- -1,4-105,2 —

•(— 13,4) =    •(- 37,4) = —0,7(-55,2)=

= — 3,57    = + 15,71    = + 62,66

— 0,022

— 0,001 ' — 0,006

946,17 —    625,87 —    357,22 —

-1,58-211,2--1,5-197,8 -- 1,4-160,4

—1,0(—13,4)= -0,75 (-37,4) = - 0,7(—55,2)= = + 625,87    = + 357,22    = + 171,30

— 0,060 \

— 0,126

— 0,221

—    1015,40 — - 500,00 —    — 29,60 —

-    1,58-346,7-- 1,5-340,5 -- 1,4-331,5-

-0,58-2,3= -0,75-6,2 = — 0,7-9,0 = = — 1564,52 = — 1015,40 = — 500,00

— 1,433

— 2,909

— 4,483

V'-(8') VI (8)

+ 4,60 — 4,36

7,7

— 33,6 146,3

Ebenso erhält man im zweiten Fall folgende Tabelle für die vertikalen Kräfte:

V' (7')

V (7)

V' (6')

(9) A

IV' (5') V (5)

III' (4') IV (4)

ir (3') III (3)

I' (2')

IL 2

Scheitel (1')

I (1)

Vertikalen

+ 4,69 — 3,06

=F 4,69

- 2,00

+ 4,63 - 0,94

T 4,18

0,16

+ 3,35

1,17

T 2,25

+ 0,8

12,0

12,0

8,5

13,8

30,2

— 36,7 112,4

— 24,0

— 8,0

48,0

7,5

03 x*

oT o

CO^ «0

*0 T-1

co

1,14 + 0,11- 3,73 + 0,03- i 2,02 — 0,04-    — 0,06-

-(— 94,3) +    •(- 70,3) + •(- 33,6) — •(— 33,6) =

+0,07(—8,0)= +0,02(-24,0)= - 0,01 (- 36,7)=    = + 2,02

= — 9,79    = + 1,14    = + 3,73

— 9,79 + 0,76-•(- 102,3) + + 0,38-2,2 = = — 86,70

— 0,001

— 0,001

+ 0,004

+ 0,031

987,44 +    996,36 —    986,20 -

+ 0,03-305,5+ -0,04-281,5 -- 0,18-244,8—

+0,01 (-24,0)= -0,03 (-36,7) = - 0,12 (-3,36)= = + 996,36    = + 986,20    = + 946,17

953,28 + 0,11-•313,5 + 0,04-•(- 8,0) = = + 987,44

715,86 + +0,76-311,3+ + 0,38-2,2 = = + 953,28

— 0,334

— 0,348

— 0,352

— 0,348

— 0,337

— 0,46

— 0,89

— 0,06

+ 4,02

+ 39,82

— 0,001

— 0,003

+ 1473,91    + 1461,78    + 1405,72    1405,72 —    907,30 —    428,20 —

—    1,58-314,0-- 1,5-816,3 -- 1,4-322,5 —

—    1,0-2,3 = -0,75-6,2= — 0,7-9,0 =

= + 907,30    = + 428,20    = — 29,60

+ 4,223    + 4,189    + 4,028    + 2,600    + 1,227    — 0,085

o) ® t» O O C- iO

I O O o o

111 +

H I» H O rH tH

I o o oî i-T

111 +

— 0,28 — 3,70 + 3.31

+ 0,012

nVo +

2,06

2,60

y = 2,67 — y .

34,9

37,9

71,9

98,5

148,1

256,2

wy . wy⁷

— 160,90 +    — 86,70 +

+ 1,3 (-64,8) + +0,9 (-100,1)+ + 0,65-71,9 = + 0,45-35,3 = = — 198,41    = — 160,90

— 198,41 + + 1,6 • 7,1 + + 0,8-98,5 = = — 108,25

__i_

2

1 2 wy (a — x)

Einflußordinaten für 12......

+ 0,057

+ 0,070

+ 0,038

Zu>y*+Z J; (= 2832,1)......

— 108,25 + 139,51 + 1,3-451,58 + 0,9-+ 1,6-105,6 +| • 204.1+ 0,65-1-276,0 + 0,45-+ 0,8-98,5 =

= + 139,51 I = + 451,58 I = + 715,86

•35,3 =

•71,9 =

desgleichen

— 0,253

— 0,160

— 0,049

+ 454,04    + 233,16    + 101,01

+ 0,290

+ 0,668

+ 1,301

+ 735,56    + 1011,61    + 1232,02    + 1434,86 I + 1465,32

+ 4,199

+ 4,111

+ 3,530

+ 2,899

+ 2,108

3,6

2,0

2,0

2,3

13,9

14,6

18,8

21,4

— 0,34

— 0,35

— 0,35

+ 4,11

+ 4,21

+ 4,21

— 0,34 + 0,01 + 416

+ 0,018

—    0,295

—    0,06 + 3,82

+ 0,044 — 0,207 + 0,20 + 3,22

' + 0,064 '    — 0,105

+ 0,48 + 2,50

+ 0,054 — 0,006 + 0,99 + 1,71

1 1 w (a — x)

Einflußordinaten für

IS.......

ïu>(= 349)

desgleichen

P (Gesamtbelastung....

„fr- u'

H\i - u 1 — 11'

(interpolierte Einfluß-1 — 11 ordinaten)

Für H wurden drei Dezimalen eingesetzt, um ein genaueres Resultat zu erhalten (noch genauer wäre die Aufzeichnung der Einflußordinaten, wiewohl der Unterschied kein großer ist).

Die Ausrechnung der Werte 2 P-b ergibt alsdann für die vertikale Belastung:

H = — 9,38 *, V = — 78,6 * (s. oben), M= + 258,90m*.

Wird der Auflagerdruck wie oben angenommen, so erhält man durch Interpolation (s. Tabelle) : H = 0 —

0,43

0,43

1,58

. 0,005 = — 0,0014 und H = — 0,334 4-

M = — 4,480 +

0,43

1,58

• 0,113 = — 0,3033, zusammen — 0,3047 • (— 78,6) = 4“ 23,95*,

0,43

• 1,574 = — 4,052 und M= 4- 4,028 —

• 1,428 = 4“ 3,639, zusammen — 0,413-(— 78,6) = = 4- 32,46“*, somit erhält man H = — 9,38 4- 23,95 = + 14,57 * und M=+ 258,90 + 32,46 = 4- 291,36m*.

Bei gleichförmig wirkendem Gegendruck des Bodens verteilt sich 78,6* auf die Breite von 5,2m mit

1,58

1,58

1,4

5>2 -78,6 = 21,1*,

1,5

2,3

-78,6 = 34,8* und man erhält durch Interpolation für die Lamelle 11:

5>2 -78,6 = 22,7* -

H = — 0,093 — 0,041 = — 0,134, 10:

4,48 — 2,9 = 1,58“) und zusammen: H = + 0,134-21,1 4- 0,1875-22,7 4- 0,3047-34,8 = 4- 17,69*.

Ebenso erhält man für 11: M = 4- 0,571 — 0,759 = — 0,188, 10: 4- 1,9135 — 2,171 = — 0,2575, 9: — 0,413 (s. oben) und zusammen: M = 4- 0,188-21,1 4- 0,2575-22,7 4- 0,413-34,8 = 4- 24,18“*, somit im ganzen: H = — 9,38 4- 17,69 = 4- 8,31* und M = 4- 258,90 4- 24,18 = 4- 283,08“*.

Das Moment ändert sich daher nur wenig, und es findet nur eine Verschiebung des Angriffspunktes in der Kämpferfuge statt, während im Scheitel keine wesentliche Aenderung eintritt. Auch wäre alsdann der Einfluß der Lamellengewichte 9 — 11 und 9' — 11' sowie des Gewichtes der Fahrbahn und der Verkehrslasten zu berücksichtigen (welche den Gegendruck entsprechend vergrößern und durch diesen wieder aufgehoben werden), so daß von einer Berechnung abgesehen werden kann.

Die Einflußordinaten der Horizontalkräfte ergeben sich aus folgender Tabelle:

¹ 5,2

0,1735 — 0,014 = — 0,1875, 9: —0,3047 (s. oben für den Abstand

Vertikalen

Scheitel (1) I' (2')    II' (3')    III' (4')    IV' (5')

II (2)    III (3)    IV (4)    V (5)

I (1)

V' (6') V' (7') V' (8') V (6)    V (7)    VI (8)

b = b (a. S. 58) -f 0,67

3,07

2,79

2,79

2,13

tv-y . w • y¹

98,5

71,9

256,2

148,1

CO 05 to CO n ©! 10 rH~ (N 1-1 CO

05 CO <M

oT d

2 xv y¹

bltv y

1u> y⁷ — b'î.wy

1 (1tv y² — bHivy)

11 = —

ïwy²-\-2 — (=2832,1)

j + 105,6    + 7,1    — 64,8

i + 204,1    + 276,0 + 311,3

—    0,158    — 0,203 — 0,284

—    100,1    — 102,3    — 94,3    - 70,3

+    313,5    + 305,5    + 281,5    + 244,8

314.6    314,2    306,7    258,7

1206.2    1213,7    1261,7    1374,1

—    129,1    + 38,9    + 138,6    4- 177,9

—    119,1    — 449,1    — 712,2    — 878,8

443.7    275,3    168,1    80,8

1325.3    1662,8    1973,9    2252,9

—    0,157    - 0,097    - 0,059    — 0,029

—    0,468    — 0,587    - 0,697    — 0,795

— 33,6 4- 211,2 146,3 1520,4 4- 120,6 — 1072,9

25,7

2593,3

—    0,009

-    0,916

T 5,0 T 7,0 — 0,173 — 0,166

T 2,0

—    0,163

—    0,156    — 0,181 — 0,244

4= 16,2 T 12,1 T 13,0 =F 14,2

-    0,127    - 0,078 — 0,044 — 0,019

—    0,376 — 0,528 — 0,642 — 0,746

=F 22,0

—    0,005

—    0,856

Die Ausrechnung der Werte IP-b ergibt für die horizontalen Kräfte:

767,6

H = — 46,87 *, V = o, M =

349

•100,67 = 4~ 221,42 mt, somit zusammen:

H = 4- 14,57 — 46,87 =    — 32,30*, V =    — 78,6*, M = 4- 291,36    4- 221,42    =    4-    512,78    m*.

Für den halben Erddruck sind    obige Werte mit    0,487 zu multiplizieren, so    daß man    erhält:

H = — 0,487 • 46,87 = —    22,83*, V = 0,    M= 0,487 • 221,42 = 4-    107,83

H = + 14,57 — 22,83 =    — 8,26*, V= — 78,6*, M = 4- 291,36 4- 107,83    =    4-    399,19“*.

mt

, somit zusammen:

Die Lage der Resultante R am Kämpfer ergibt sich aus r = —, wo R = J/H² 4- V² = j/32,30* 4- 78 6² —

512,78 V ~ — 78,6

512,78 “84,98

für den halben Erddruck aus:

R = j/8,26* 4- 78,6t = 79,03*, r =

= 84,98 *, r =

= 6,034 m, xr —

== — 15,876 m, bzw.

399,19

79,03

5,051 m, xr

399,19

— 78,6

5,079“, yr =

399,19

=156 = - 48,328“

4. Berechnung der Maximalspannungen des Tunnelquerschnitts und seiner Eiseneinlagen.

Aus der graphischen Ermittelung der Stutzlinien ergibt sich (mit Hilfe des Kräftepolygons) flir jede Fuge die Resultante Rx, die Normalkraft Nx und die Beanspruchung a ==    ^1 +    wenn + c der Abstand für Nx von

der Mitte der Fuge nach    ist. Das positive Moment Mx — cNx ergibt alsdann    ZugUC^

Moment Mx — — c- Nx umgekehrt j

negativ) bestimmt werden können.

Werden die obigen viererlei Berechnungen mit I bis IV bezeichnet und für den ganzen und den halben Erd* druck a und b hinzugefügt, so erhält man folgende Spannungen für dieselben in der Kämpferfuge:

_ — 3,3 “ — 5,5 _ — 9,9 ~ + 3,2

r=z    kg

-4,3 _ — 3,9 “ - 4,8

außen Zug innen Druck’

und das negative

so daß hieraus die Vorzeichen der Spannungen (Zug positiv und Druck

Ia: Nx = 81,9*, c = — 0,08m, o“ = —

b: Nx = 63,3*, c = + 0,61 m, o“ = —

II a : Nx = 82,8*, c — — 0,19“, o“ = —

b : Nx — 69,4 *, c — — 0,33 o“ = —

lila: Nx = 81,0*, c = — 0,01“, o“ = —

b: Nx = 67,5*, c = - 0,06“, o“ = —

IVa: Nx = 81,5*, c = — 0,03“, o“ = —

b: Nx = 66,5*, c = + 0,08“, o“ = —

81900

100-188

63300

100-188

82800

100-188

69400

100-188

81000

100-188

67500

r - 6 • 8 \

(¹⁺ 188)

(i*™*)

\ ~ 188/

(‘

_6-19

188

/ — 6•33\

V + 188)

100-188

81500

100•188

66500

100•188

I a : Nx = 91,50 — 33,02 — 58,48 *, c = + 0,04“, o“ = —

/ _ 6-6\

(¹⁺ 188)

\ X 188/

b : Nx — 44,56 — 8,26 = 36,30*, c = + 0,55“, o® — —

Zur Vergleichung soll Mx, Nx, c und o

A4 = M+ A/„ — Hy— V-x, fl*

"ft'

kg

kg

kg

kg

(l±±±)

100-80 V 80 /

41210

58480

100 • 80

57360

100 • 80

31880

100 • 80

59710

100 • 80

34880

100 • 80

59200

100 • 80

36300

100 • 80

kg

1 db

1 db

6- 10

80

6-86

80

6 • 67

80

■)

6-3

80

_ — 18,7 ~ + 8,4 — 12,6 = - 1,8 * _ — 29,7 ~ + 21,7 — 13,1

_ — 26,3 — + 17,5 — 9,1

= -vk‘

— 23,3

+ 14,2 kg

kg

kg

kg

auch durch Rechnung bestimmt werden, und zwar aus den Formeln

S. 15, und man erhält aus

*    M

= H -1H, Vx= V- 2P, Nx= Vx- cos cp + Hx - sin cp, c = o“ =

der Abb. 90 für die Kämpferfuge coe tp = 0,785, sin tp = 0,620,

“ b-h ,

x = jt. 4,48“, y = — (7,75 — z) wo 2 = 2,00; 5,74; 3,43 ; 2,67 ist, und

78,6*, M= 534,13“*, Mx = 534,13 - 33,02 - 5,75 — 78,6 - 4,48 = — 7,86“*,

7,86 = — 0,096“,

la: II ^ — 33,02*, V —

Nx = 78,6 - 0,785 + 33,02 • 0,620 = 82,2*, c = ^

6•786000

82,2

100 • 188

82200 T

188

\ „ - 3,0 /    — 5,7

kg

Ib : H — — 3,35*, F =' 78,6S M = 408,03mt, Mx — 408,03 — 3,35 • 5,75 — 78,6 • 4,48 = F 36,64“*,

36,64

Nx = 78,6 • 0,785 F 3,35 • 0,620 = 63,8*, c —

°i= —

100 • 188

^63,800 ±

6•3664000

63,8

= F 0,574 “,

188

— 9,6

kg

F 2,8

lia: H = — 34,15*, V = — 78,6*, M = 406,86“*, Mx = 406,86 — 34,15 • 2,01 — 78,6 • 4,48 = — 13,91 mt,

— 13,91

Nx = 78,6 • 0,785 + 34,15 • 0,620 = 82,9*, c =

= — 0,168 m,

°f — —

100 • 188

(82900 T

6•1391000

188

2,0

— 6,8

II b:H = - 12,68*, V — — 78,6*, M = 355,22“*, Mx = 355,22 — 12,68 • 2,01 — 78,6 • 4,48 = — 22,40mt,

22,40

Nx — 78,6 • 0,785 F 12,68 • 0,620 = 69,6*, c = —

ai = —

100 • 188

69600 F

6 • 2240000

188

+ 0,1

~ 7,5

69,6

kg

== — 0,322 m,

III a:H = — 31,79*, V = — 78,6*, M == 487,26“*, Mx = 487,26 — 31,79 • 4,32 — 78,6 • 4,48 = — 2,20“*,

— 2,20

Nx = 78,6 • 0,785 F 31,79 • 0,620 = 81,4*, c =

6•220000

®f = ~

100-188

81400 F

188

-    4,0

-    4,7

81,4

kg

= — 0,027“*,

lllb : H = — 9,68*, V = — 78,6*, M = 388,65mt, Mx = 388,65 — 9,68 • 4,32 — 78,6 • 4,48 =5 — 5,30mt,

— 5,30

Nx — 78,6 • 0,785 F 9,68 • 0,620 = 67,7 *, c =

6•530000

67,7

= — 0,078 m,

of = -

100-188

67700 T

188

—    2,7

kg

—    4,5

IV a : H = — 32,30*, V — — 78,6*, M = 512,78mt, Mx — 512,78 — 32,30 • 5,08 — 78,6 - 4,48 = — 3,43 mt,

— 3,43

Nx = 78,6 • 0,785 + 32,30 • 0,620 = 81,7*, c =

6•343000

81,7

= — 0,042 m,

100 • 188

81700 T

188

—    3,8

kg

-    4,9

IV & : H =z — 8,26*, V = — 78,6*, M= 399,19mt, Mx — 399,19 — 8,26 • 5,08 - 78,6 • 4,48 = + 5,10mt,

Nx = 78,6 • 0,785 + 8,26 • 0,620 = 66,8 *, c —

6•510000

5,10

66,8

= +0,076 m,

— 4,4

-vkE

Zur Berechnung der Spannungen im Scheitel ist das Moment M₀ der linksseitigen Belastung zu bestimmen, und man erhält von den vertikalen Kräften — 3,6-4,6 — 2,0-4,69 — 2,0-4,69 — 2,3-4,63 — 13,9-4,18 — 14,6-3,35 —

—    18,8-2,25 — 21,4-0,08 = — 212,40 mt, und von den horizontalen Kräften (s. Abb. 88) — 22,0-7,005 — 14,2-5,73 —

—    13,0-4,67 — 12,1-3,595 — 16,2-2,215 — 7,0-0,96 — 5,0-0,21 F 2,0-0,26 = — 382,82mt und zusammen M₀ = — 595,22mt bei ganzem Erddruck, bzw. M₀ = — 212,40 — 0,48-382,82 = — 398,83m* bei halbem Erddruck.

100-188

66800 dh

188

Hieraus ergibt sich ftlr x = 0, y = z, wo z— 2,00; 5,74; 3,43; 2,67 m ist, am Scheitel für

la: H— — 33,02*, M = 534,13mt, Mx = 534,13 — 595,22 + 33,02-2,00 = F 4,95mt, Nx (s. oben) =

= + 0,085 m, o» =-

F 4,95

(58480 ±

6 - 495000 \ _ — 12,0 -2,7

Ib: H = — 3,35*, M = 408,03mt, Mx = 408,03 - 398,83 + 3,35-2,00 = + 15,90“*, Nx = 41,21*,

= “²°^⁰kg

+ 9,8

Ha: H= — 34,15*, M= 406,86“*, Mx = 406,86 — 595,22 F_34,14-5,74 = F 7,66“*, Nx = 57,35*,

^57350 F

= 58,48 *, c =

F 15,90

41,21

F 7,66

57,35

58,48

100-80

80

kg

= F 0,386 “, o°u = -

= F 0,134“, a® = —

100-80

100 - 80

(41210 F

6-1590000

80

6•766000

_ — 14,4

80

kg

IIb: H = — 12,68*, M= 355,22“*, Mx = 355,22 — 398,83 F 12,68-5,74 = F 29,12“*, N = 31 88*

(₃₁880±⁶-²⁹¹²⁰⁰⁰

F 29,12

31,88

= F 0,914“, al = —

100•80

80

— 31,3

—-    kg

F 23,3

Ilia: H — — 31,79*, M = 487,26“*, Mx = 487,26 — 595,22 F 31,79-3,43 = F 1,08“*, Nx = 59,71*,

^59710 F

1,08

c = —-—

59,71

= F 0,018“, o£ = —

6•108000

100•80

80

— 6,5

kg

IIIb: H = — 9,68*, M = 388,65 “*, Mx = 388,65 — 398,83 F 9,68-3,43 = F 23,02“*, N = 34 88* 23,02    J    ~ --------- x '    ’

c =

34,88

= F 0,660“, o® = —

100 • 80

^34880 F

6 • 2302000\ __ — 26,0

80

+ 17,2kg

IVa: H = — 32,30S M= + 512,78mt, Mx = 512,78 — 595,22 + 32,30-2,67 = + 3,80mt, Nx= 59,20*, c =

3,80

59,20

= + 0,064    <£ = —

100 - 80

^592004

6•380000

— 11,0

80

— 3,8

kg

IVb: H = — 8,26S M = 399,19mt, Mx = 399,19 — 398,83 + 8,26-2,67 = 22,4lmt, Nx = 36,30*,

+ 22,41

36,30

= + 0,617 “, oî = -

100•80

^36300+

6•2241000

80

■)

— 25,5

+ 16,5

kg

(hierbei sind alle Werte mit ihren Vorzeichen in obige Gleichungen einzusetzen). Man erhält daher folgende Tabelle für die Maximalspannungen am

Art der Berechnung

Kämpfer

Scheitel

Nx t

ccm

°a kg/qcm

a» kg/qcm

Nx t

c cm

°0 kg/qcm

au kg/qcm

I. Eingespannter Rahmen

15 0

82,2

9,6

— 3,0

-5,7

58,5

+ 8,5

— 12,0

2,7

çp

bei A und B für 33° 40'

63,8

+ 57,4

- 9,6

+ 2,8

41,2

+ 38,6

— 20,0

+ 9,8

II. Ringförmiger Rahmen

15»

82,9

- 16,8

— 2,0

— 6,8

57,4

+ 13,4

— 14.4

<p =

bei B durchschnitten für 133 °40'

69,6

— 32,2

+ 0,1

- 7,5

31,9

+ 91,4

— 31,3

+ 23,3

III. Desgleichen mit

15°

81,4

-2,7

- 4,0

- 4,7

59,7

+ 1,8

8,5

6,5

? =

0,84 m Fundamentstärke fiir

330 40'

67,7

- 7,8

- 2,7

-4,5

34,9

+ 66,0

- 26,0

+ 17,2

IV. Desgleichen mit

15°

81,7

- 4,2

— 3,8

4,9

59,2

+ 6,4

- 11,0

3,8

cp =

l,2m Fundamentstärke für

33° 40'

66,8

+ 7,6

- 4,4

- 2,7

36,3

+ 61,7

- 25,5

+ 16,5

Es kommen also in Fall IV noch Spannungen von 25,5 kg Druck und 16,5 kg Zug vor, was mit Rücksicht auf eine Anfüllung der äußeren Hohlräume mit Steinen und Zement zugelassen werden kann.

Bei Anwendung von Beton statt Klinkern erhält man für das spezifische Gewicht 2,2 statt 1,8 angenähert die gleichen Maximalspannungen, da der Unterschied in den Lamellengewichten nicht viel ausmacht, und es kann sich hierbei noch um Eiseneinlagen oder das Einlegen von eisernen Rahmen handeln.

Die ersteren wurden schon in Amerika ausgeführt, und werden jetzt auch bei uns angewendet, indem ihre Ausführung bei genügend großem freien Raum vor der Ausbetonierung möglich ist. Die Berechnung erfolgt bei größeren Zugspannungen nach den Dimensionierungsformeln B 2 c (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1910 S. 48) für, symmetiische

Eiseneinlagen ft = f't aus: x² — 2 x (h + b!) =--— Qi¹ + h ²) +    ^ 92 + ^    (#1    ^ J

und n ^1

mit P = Nx, <7, = Abstand für Nx vom Rand, g₂ — h gv

^    (3 h — x) sowie ae — n • ab --1^ s. S. 24.

Bei kleinen Zugspannungen des Betons (bis ca. 10'kg) kann eine Reduktion des erhaltenen Querschnitts eintreten, wenn die Schubspannung Tx = Vx • cos <p — Hx • sin cp bei der Dimensionierung berücksichtigt wird, indem die zulässige

₌ 1 mit der berechneten Schubspannung für das Eisen =

Gesamtspannung

und mit der Normal-

den reduzierten Querschnitt fm =

1000 )1 e

îi kleinen Zugspannungen auch aus dem = 1000kg um ft zu erhalten.

Spannung oe aus obigen Formeln, mit ^-zu multiplizieren ist,

zu erhalten (s. B. d. E. S. 79). Eine angenäherte Berechnung ergibt sich Zugdreieck des Betons (für die berechnete Zugspannung) durch Division mit

aber auch ein runder eiserner Rahmen mit nebengezeichnetem Querschnitt im Abstand gelegt werden, für welchen eine Berechnung mit oder ohne Berücksichtigung des gleichzeitig wirkenden Betons möglich ist, und zwar durch die Formeln III (7) und (8) oder in folgender Weise: Der Querschnitt ist = 161,2 qcm und mit Nietabzug = 134,3 qcm, der Schwerpunkt des Winkels mit Nietabzug liegt bei 11,6 e“ Abstand, das Trägheitsmoment des Winkels mit N.etabzug ist = 667,8 und das Gesamtträgheitsmoment mit Nietabzug J = 4 (667,8 + 27,6² - 33,58) = 104990 und^ das Widerstandsmoment

104990    ---- pje j^axjmaiSpannungen ergeben sich aus 0 =    ± jÿ

Es kann

31

3387.

gespanntsein (s. I a und b auf S. 69 u. 70).

am Kämpfer: 0“ = —

82 200    786 000

"T -___

134,3 63 800

3387

).1,5

um

von 1,5m ein-

somit für Ein-

_ — 570 kg — 1266kg

bei ganzem Erddruck

liso>n j

Abb. 91.

134,3

, 3 664000\ 1 R _ — 2335kg 3387    /    ’ Hh 910kg

bei halbem Erddruck, und

1335

2335

__ 873kg — 435 kg — 1164kg + 243 kg

Die Spannungen Uber 1000kg sind daher von dem Beton aufzunehmen, so daß dieser bei aa — — 2335 kg noch seiner oben berechneten Spannungen — 20 kg oder — 12 kg erhält. Die Temperaturspannungen können bei der Tunnel-

am Scheitel : o“ = —

°u= —

58500    495000

134,3 ± 3387“ 41200 . 1590000

bei ganzem Erd druck, und

134,3

db

3387

•1,5 =

bei halbem Erddruck.

berechnung sowie bei Rahmen bis zu 25m Länge unberücksichtigt bleiben, und ergeben sich dieselben (s. Ber. d. Eisen-

E‘ a. • t • l

betonkonstr. S. 46) aus Ht =

-r

lwy*+l-rr

-, Mx = Ht- y, Nx = Hr cos <p, Tx = Ht • sin cp, so daß

hieraus die Spannungen in derselben Weise wie oben zu berechnen sind. Bei unsymmetrischen Tunnel- oder Rahmenprofilen gilt dasselbe Verfahren wie beim eingespannten Gewölbe nach 0 Mörsch (s. Betonkalender), und zwar für eine vertikal angenommene y achse und eine Drehung Abb. 92.    der x achse, für welche die Bedingungen Çw-x =0, jw-y = 0, jw • x • y = 0 zu erfüllen

^ /p , 241 • ij

sind. Der Winkel a der wachse mit der Horizontalen ergibt sich alsdann aus tg a =    ---

ÀL tV • OC

und hieraus erhält

man y = y, • cos a — x • sin a und die Trägheitsmomente und Summenausdrücke sind mit x und y zu berechnen (s. B. d. E. S. 65 — 66).

Bei Anwendung eines Doppeltunnels ergibt sich dieselbe angenäherte Berechnung wie beim eingespannten Rahmen

mit einer Mittelstutze, indem die Horizontalkräfte rechts und links gleich groß sind, und daher keinen Horizontalschub in der Mittelsäule veranlassen, so daß diese nur eine vertikale Belastung zu tragen hat. Bei Berechnung des Koordinatenursprungs kann auch die letztere mit berücksichtigt werden, indem das doppelte Profil ähnlich wie zwei einfache Profile wirkt, und bei Zerlegung des ersteren in zwei Teile angenähert die gleichen Werte wie bei den letzteren entstehen. Die ringförmige Berechnung kann hierbei von A und von B aus stattfinden, bis die Einflußordinaten für sämtliche Kräfte ermittelt sind, und im Schnitt C kann der Auflagerdruck der oberen Belastung angenommen werden. Bei einer möglichen Verschiebung des Tunnels durch bewegliche Gebirg88chichten ist auch mit einseitig wirkender Belastung zu rechnen, indem derselbe dann

den Schub einer solchen Schicht aufzunehmen hat (auch beim Doppeltunnel kann derselbe in Betracht kommen, er nicht durch Abstützen des vorgetriebenen Tunnels aufgehoben wird).

1L

Vf

+- - 2,5— >i« —

---lg, V--

1Z.

------\8,ï----

---3

UL

te

-- 5,6-----*----- -

Abb. 93.

-- 5,8-----* - £t3- a

wenn

VII. Berechnung einer kontinuierlichen Brücke nach der Elastizitätslehre.

1. Allgemeine Angaben über die Konstruktion der Brücke.

Die nebengezeichnete Brücke hat drei Oeffnungen mit einer normalen Gesamtlichtweite = 31,7 m, woraus sich für einen Neigungswinkel der Straßen- und Bahnachse von 63° eine schiefe Lichtweite = 35,58m ergibt. Dieselbe

zerfällt in drei Teile von 12,91; 11,22 und 11,45m, so daß bei 0,8 m schiefer / Auflagerbreite die drei Stützweiten 13,3; 11,2 und 11,9m erhalten werden. Z7    Die Breite der Straßenbrücke ist für die Fahrbahn = 6,5 m und für

M._ die Gehwege = 2-l,8m, somit zusammen = 10,1 m, und mit Rücksicht auf die beschränkte Konstruktionshöhe sind hierfür acht Hauptträger mit je 1,2 m Abstand und 20 cm Plattenstärke gewählt worden.

Die Ausnützung der Platte kann nur bei größerem Balkenabstand (ca. 1,6 m) stattfinden, aber die Belastung der Hauptträger wird alsdann größer, und es kann sich daher nur um eine Untersuchung handeln, bis zu welchem Abstand der Balken noch ausgeführt werden kann, und zwar unter Berücksichtigung der mitwirkeuden größeren Plattenbreite, welche auf die Betonbeanspruchung günstig wirkt, aber den Eisenquerschnitt unverändert läßt.

Infolge der geringen Konstruktionshöhe ist für die Balken (bei 1,2m Abstand derselben) eine konstante Höhe von 80 cm angenommen worden, und zwar mit einem Gefall

1,8

*-1,20 •*

OB !

Abb. 94.

6,5

°t

_____HA-..,

->

von 1,5 °/₀ nach beiden Seiten und mit einer Abrundung in der Mitte auf 4m Länge mit

200

B — 150m, durch welche die Höhe von

• 1,5 = 3 cm halbiert

100

wird. Die Chaussierung ist in der Mitte der Fahrbahn einschl. 1 cm Glattstrich und daraufliegenden Asphaltfilzplatten = 30cm anzu-nehmen, und das seitliche Gefall der Betonplatte kann bei 1,5 °/₀ Längsgefäll der Brücke wegfallen (dasselbe ist bei

-*o,3$ hA Abb. 95.

1 /q Gefall der Brücke mit 2 °/₀ Neigung gegen die Mitte auszuführen und die oberen Eiseneinlagen erhalten dann die gleiche Neigung). Als Belastung der Brücke ist eine Dampfwalze von 16* Gewicht sowie 500 ke/qm für Menschengedränge angenommen worden.

2. Kontinuierliche Berechnung der Platte durch Koeffizienten.

Die Platte ist mit 1,2m Stützweite zu berechnen und bei der Annahme von 20 cm Plattenstärke erhält man vom Eigengewicht g = 0,3 • 2,25 -f 0,2 *2,4 = 1,16 */

Bei einer Uber mehrere Träger durchlaufenden Platte ergibt die kontinuierliche Berechnung bei drei Oeffnungen

-łL+iŁ m

12,5 ⁺ '    ’

in der Mitte: M,

Im 1

2m 1

qm*

bei vier Oeffnungen Annahme der Berechnung

— q l1 ( gP\ _L lL

\12,8 )

10,1

, M,

2m l

12

gl'

am Auflager: M,

40    ¹ 13,3

— 9l* i Pl*

, M,

2m 2

12,5

, M,

qm 2

12

qai

10

8,6

qa-l

9,4

fr)+

Ol

PL. M — ql'

00

202

(Die eingeklammerten Zahlen gelten für oo viele Oeffnungen.)

gl'

14

fr)

9,4

, M,

qa-i

qP

Da sich bei Straßenbrücken mit Dampfwalze g:p ungefähr = 1:7 verhalten, so kann man in allen Oeffnungen in der Mitte mit M,

qP

Q

und am Auflager mit Mqa = -±-— rechnen, und es wird dadurch auch die teilweise

12i    9

Einspannung berücksichtigt, welche durch die Querverbindungen in der Mitte und an den Enden der Oeffnungen vorhanden ist (aus diesem Grunde können auch die Auflagerdrücke diskontinuierlich berechnet werden).

Man erhält daher vom Eigengewicht Mgm =

1,16 *1,2²

₁₂ =0,UOmt,Msa =

1,16 • 1,2*

= 0,186 mt. Für die

Walze von 5* erhält man bei Verteilung mit der Neigung 1:1 und bis zur Mitte der Platte (da die benachbarten Teile der Platte auch mittragen) eine Belastungsbreite = 124 (wofür gleichförmige Belastung anzunehmen ist) und eine Belastungslänge = 90cm,

= 0,556 mt und Mpa =

so daß pro Meter Länge M

5* 1,2

5 • 1,2

cm

Vm

9 • 0,9

12*0,9

= 0,741mt wird. Die Maximalbiegungsmomente sind daher in der Mitte Mqm = = 0,140 + 0,556 = 0,696 mt und am Auflager Mqa = 0,186 + 0,741 = 0,927 m*. Die Formeln zur Dimensionierung der Platte sind in der Berechnung der Eisen-

1»----m---„

(120)

—-r-------V*-

1»---90---*

Abb. 96.

(92700)

betonkonstruktionen 1906 und 1910 entwickelt worden und lauten nach A 1 b : x =

Ÿ-

61/

6•69600

h — — x — 10,3 (11,9) fe

_ 7,72 (8,92) <icm, und für h = 18 (23) 50

7 b-ab

ist fe= ₁₈

7*100* 40

3,86 (4,46)cm,

cm

10,3

• 7,72 = 4,41 <icm bzw.

11,9

23

*8,92 = 4,61 icm, so daß 10 © 10 = 7,85 <*cm reichlich genügen (für b = 100cm und ab = 40 ke kann auch

nach den Formeln a; = 0,0146 j/li, h = 0,039 YM und ft = 0,293 YM gerechnet werden, und der Eisenquerschnitt für 7z = 18 und 23 cm ergibt sich auch genau aus ft =

69600

-*18*1000

= 4,41 <icm und fe = -

92700

=4,60 <icm,

-*23*1000

O

so daß die angenäherte Berechnung für h genügt). Bei schiefer Armierung ist der Abstand l()cm in der Richtung der Hauptachse anzunehmen.

3. Berechnung der durchlaufenden Plattenbalken aus ihren Momentenflächen.

Die Berechnung der positiven und negativen Maximalbiegungsmomente ergibt sich Belastungsgleichwerten für die Belastung der einzelnen Oeffnungen.

Man erhält daher vom Eigengewicht der Platte und Chaussierung 1,16*1,2 = 1,392* und von dem Balken

1,9 * 13,3²

am einfachsten aus den

0,6*0,35*2,4 = 0,504*, somit zusammen rund 1,9 */m, und die zugehörigen Momente sind ®1S1 —

— 42,01 mt,

1,9 • 11,2²

= 29,79 m* und 9JÎ₃₃ =

1,9-11,9*

= 33,63 m*.

Bei Annahme des Fahrens der Dampfwalze in der Straßenrichtung (wobei das Gewicht der Walzen auf ihre Breite und nach dem Hebelgesetz auf die Balken

IQerm

0,56

'i-r-4—4jw o# it -*

übertragen wird), erhält man zwei Einzellasten 2*3* 0,825

2*5*0,42

1,2

= rund 3,5* und

« t ,

_.«Pa «« *

stlm

- 1,9 - <0-----3,5-----*0,S*

1,2

rund 4,2 * mit dem Abstand 3,5m sowie eine gleichförmige Belastung

2 • 0,2²

1,2*2

Abb. 97.

— *500 = 17k&/m neben der Dampfwalze können

1,6 — 0,5

von 1,2 • 500 = 600 k«/m vor und hinter der Dampfwalze (die hierbei vernachlässigt werden). Angenähert kann auch bei einer Fläche der Dampfwalze von 10 ^ mit

1,6

in

• 3,5 = 2,4 ⁴ und —4— • 4,2 = 2,9⁴ als Einzellasten und einer gleichförmigen Vollbelastung von 600 ksr/m gerechnet werden,

l,b

und soll dies bei der genauen Berechnung durch Einflußlinien geschehen.

Bei Halbierung des Abstands der Resultante 7,7 * von der größeren Einzellast durch die Mitte der Brücke erhält

= 1,60m, so daß sich

man eine angenäherte Berechnung des Maximalbiegungsmoments, und ihr Abstand ist =

3,5-3,5

7,7

die nebengezeichnete Belastung für 13,3 (11,2; 11,9)m Stützweite ergibt.

1,9-13,3

Aus dem Auflagerdruck: A =

j°,6 (~P+ 5,25 fl 3,3

~Y) + 7,7-5,85) : 13,3 = 18,70'

g= 2,6

I I

■*i

0.6 t/m,    ,    ,

ËZdilliL ï w/////////, W//Æ

*Ö,6f-------5,25---------S,5----1---2,55-+

‘f-

kann auch das genaue Maximalbiegungsmoment (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1910, S. 95) aus der Gesamtbelastung R = 1,9 • 13,3 + 0,6 • 7,8 -f-+ 7,7 = 37,65⁴ und der Verschiebung der Belastung 2 x —

l (A + q • x)

+ -&X-

— - rZ- 5,85

3,51

7,7

Abb. 98.

13,3 (18,70 + 2,5• x)

37,65

(6,58)

(s + x'Ÿ -i2(= 37,65)    1,9-6,52²

— 5,85 oder x = 0,67 m

und Mq j =

— 0,6 • 5,92 (6,52 —

l (= 13,3)

92 \

-—j = 67,31 mt. Ebenso erhält man für 11,2 m : Mq2 = 49,08 mt und für 11,9 m : Mq3 = 54,97 mt.

2,5-13,3*

Für die Belastung der anderen Oeffnungen mit (1,9 + 0,6) ⁴/m ergibt sich Mqi 2,5-11,9²

— = 55,28 mt, Mqi

2,5-11,2²

= 39,20 mt, Mq3 =

= 44,25 mt.

Aus diesen Momenten in den einzelnen Oeffnungen (welche auch durch ihre Belastungsgleichwerte q =

8 Mq

ersetzt werden können) ergeben sich nun die negativen Stützenmomente mit Hilfe der Clapeyronschen Gleichung:

qrl³r

Mr lr-{- 2 Mr+l(lr-f- lr+{) +l/r+î-1

Qr+\ K+\

r+l

= — 2 mqr-ir— 2 m

<Jr+1 ’ K+V

M-r+1

Mr=0

I>s Miy-Z/ N.

(r) tr. = 13,3    br-rt“⁷¹'²(r+2j tr+2 = 11,9 (r+})

Abb. 99.

Mr+3=0

welche für je zwei aufeinanderfolgende Oeffnungen gilt, oder

2 M₂ • 24,5 +M₃ - 11,2 = — 2 9JÎ, - 13,3 — 2    • 11,2 = — 2 m

M₂- 11.2 +2M₃ - 23,1 = — 2 9?V 11,2 — 2^₃-ll,9 = — 2 n

und bei Division mit 2:il/₂ =

— 23,1 m + 5,6 n 23,1 - 24,5 — 5,6

— 24,5 n + 5,6 m

534,6

die negativen

Bei Annahme eines nachgiebigen Seils erhält man die nebengezeichneten acht Belastungsfälle, und zwar sind für ] Sttitzenmomente je zwei benachbarte Oeffnungen zu belasten oder nicht zu belasten und mit ihnen

Max.

Min. I

(55,28)

67,31

die vierte, sechste usw. und für die positiven

Max.

29,79

QU,25

1)

Min

Momente in der Mitte

(39,20)

je eine Oeffnung zu belasten oder nicht zu belasten, und mit ihr die dritte, fünfte usw.

92,07

99,08

33,63

> pos. ^X max

JE

(99,25)

55,28

29,79

59,97

(55,28)

JE

67,37

~zr

39,20

33,63

Durch Einsetzung der neben eingeschriebenen Werte für 9JÎ ,, 9)î2 und in m und n sowie der letzteren in M₂ und M₃ ergibt sich für Fall:

(55,28)

I: m — 13,3 • 67,31 + 11,2 • 29,79 = 1228,9, ebenso n = 860,2,

(1068,9)

— 23,1 • 1228,9 + 5,6 • 860,2

(1068,9)

m₂ =

(37,18)

= - 44,09 mt und M₃ = — 26,55 mt,

(31,32)    (28,01)

M₂ = — 37,94, M₃ = — 31,92,

(28,23)

534,6

neq.

[Mmax

(997,8)

II: m = 1108,4, n = 949,9,

(860,2)

III: m = 1068,9, n = 987,8, Mn = — 35,84, M₃ — — 34,07,

(1174,3)    (41,95)    (26,16)

IV: m = 1334,3, n = 839,2, M₂ = — 48,86, M₃ = — 24,49,

(965,6)

V:    m =    997,8,    n    =    1093,2,    M₂ =    —    31,66,    M₃ =    —    39,65,

VI:    m =    892,4,    n    =    987,8,    =    —    28,21,    M₃ =    —    35,92,

VII:    m =    1228,9,    n    =    733,9,    M₂ =    —    45,41,    M₃=    —    20,76,

VIII:    m. =    892,4,    n    =    733,9,    M₂ =    —    30,87,    M₃ =    —    24,28 mt.

(Die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf die Berechnung mit Einflußlinien für q = 2,57m und die Einzellasten 2,4⁴ und 2,9⁴.)

(99,25)

(839,2)

92,01

39,20

59,97

92,01

67,31

92,01

TT

29,79

59,97

VE

neg.

^min

"ZT

29.79

33,63

(33,00)

(33,80)

VM

29.79

33,63

—| E/'gen-gewicht

Abb. 100.

Nach den F ormeln der Professoren Dr. Weyrauch (s. Berechnung der kontinuierlichen Träger) und Dr. Mohr (s. leclin. Mechanik des Ing.-Vereins Stuttgart) können die Maximalbiegungsmomente in den einzelnen Oeffnungen für die

Belastungsfälle I—III aus ihrem Abstand vom linken Auflager x₀ =

r+l

— _ZI/r -j- Mr+1

a • l

= —-— und dem zugehörigen Moment Mx0

A    A

M und M.

+ 1>

qr lr

₌ Mr + l^<

r I g

= Mr + a² )J)îgr berechnet werden (hierbei sind mit ihrem Vorzeichen einzusetzen und qr sowie 5)tgr entspricht der Belastung für die Oeffnung r).

(0,8632)

— 44,09

max

Man erhält daher für Fall I in Oeffnung 1 : x₀ — ^

4-67,31

max

= a² 9Jlai = 0,8362² • 67,31

(1,0307)

/, _/ 37,94 — 31,92 4 • 49,08

und für Fall III in Oeffnung 3 : x₀ = ^

4 Wf|

= + 47,07mt, und für Fall II in Oeffnung 2 : xQ = ^

= 5,77“, M,

xo max

+ ₁).

= M₂ + a² 9Kî2 = — 37,94 + 1,0307² • 49,08 = + 14,20 mt,

- m₃

4 ÜJÎ₃3

= — 34,07 + 1,1549² • 54,97 = + 39,25nit.

+ 1)y = (

(1,1549)

34,07

4-54,97

= 6,87m, Mx

o max

= M₃+a* Wq3 =

Ebenso erhält man die Minimalbiegungsmomente für Fall II in Oeffnung 1 aus:

(0,7742)

— 37,94

4-42,01

+ l)~A = 5,15», M,

xo

min

— 0,7742² • 42,01 — + 25,18mt, und für Fall I in Oeffnung 2 links:

(1,1472)

44,09 — 26,55

4-29,79

₊ i)-^

— 6,42“, Mxo min = — 44,09 + 1,1472*-29,79 = — 4,88mt, und für Fall III in

(1,0149)

35,84 — 34,07

Oeffnung 2 rechts: x₀ = ^

und für Fall II in Oeffnung 3 : x₀ — ^

Mit diesen Werten der Stützen-, Maximal- und Minimalbiegungsmomeute für die drei Oeffnungen können nun die Momentenlinien aufgezeichnet werden, und hierbei gehören die ausgezogenen Geraden und Parabeln zusammen (für Vollbelastung der betreffenden Oeffnung), ebenso die gestrichelten Geraden und Parabeln (für Eigengewicht in derselben), und die strichpunktierten Geraden und Parabeln (für Eigengewicht mit 0,6*/™ Nutzlast in Oeffnung 2), Die untere Darstellung der Momentenflächen ist eine Projektion der oberen positiven und negativen Momentenflächen, wobei die Maximal- und Minimalbiegungsmomente (mit ihren Abständen vom linken Auflager) auch nach obiger Berechnung derselben eingetragen werden können, und sich hierdurch eine Kontrolle der Zeichnung ergibt.

4-29,79

(1,2373)

31,92

4-33,63

il

— bi= 13,5---

-"T

MX jnifL

= 5,68“, Mxo min = — 35,84 -f 1,0149² • 29,79 =— 5,16 mt,

7,36“, Mxomin = — 31,92 + 1,2373² • 33,63 = + 19,56mt.

\i

//

Maß shah a'en

-------

Längen 1-300 Höhen 1mm** 1,5 mt

-----4=7^--

---*

" ~ OCDU1

f M*min

TT

Abb. lOl.

Aus den Maximalbiegungsmomenten in den drei Oeffnungen ergeben sich die Querschnitte in ihrer Mitte nach .4 3 6    (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1906 und 1910):

16 x =

bdab

+ d ^11

2(A

x )

6•4707000

120 -20-40

- + 20 • 10,

ce — 30,9 om, h = — x = 82tm, 25 fe = b d à

= 120 • 20 (l

20

j, fe =■ 65,0 qcm. Bei genauer

2 • 30,9

Berechnung (mit Berücksichtigung des Drucks im 8teg) wird h etwas kleiner und fe etwas größer, so daß als Gesamthöhe 80cm angenommen werden kann, wenn oben Eiseneinlagen vorhanden sind.

Hierfür erhält man nach A 4 c mit M— 47,07mt, h = 72 cm, K == 4cm, b = 120cm, d — 20 cm, c — 35 cm,

+ = 27 c”

(i ~ 7jr)= 511 k?>    »')

. ja: -|- '7 ( --l) ■ (2--J und bei lEinsetzung der Zahlenwerte 868,7 •/', — 117675 — 21600 —

’ f'e + d(b — c) ( 1

Es können daher unten 10 © 32 und oben 4 0 28 gewählt werden mit fe = 80,4 qcm und / e = 24,6 qcm, und hierfür

It «-• +    ■)! -    + * (± - >)

• 93,6 = 6017,6 oder a? = — 93,6 + ]/ 93,6² + 6017,6 = 28,0 cm. Ferner ist (mit Rechenstab):

1412,1000

= 40 kg: æ =

oder /‘'g = 22,5 qcm, und 25 ft =.

erhält man nach 44a:a;² + 2 x

°5 =

b xd + nfe

(1 - >)

= 15 • 38,5

°'e

3 Jf

(l-¹)

x) + nfe (l = 908 K

- — {3 h — 2 d — x) • (27 + 61,164)

-—) + -— = 287,0 + 1070,0+ 472,5 oder fe = 73,2 qcm.

^ OC) A

(*+2 d

— 3 ti)

Oft

oder x² + 2 x •

6,72 + 28,1 + 1,77

— 38,5 kg,

Für die dritte Oeffnung erhält man in derselben Weise mit M — 39,25 mt nachA3&:a? = 24,5 cm, h = 65,4 cm, ft = 57,5 qcm, so daß unten 10 0 28 = 61,6 qcm und oben 4 0 28 = 24,6 qcm genügen, und man nach A4 a erhält: x == 24,8 cm, o₆

34,3 kg, oe = 979 kg.

In der mittleren Oeffnung ist M — 14,20mt, so daß unten 8 0 28 und oben 3 0 28 genügen, und dadurch auch die negativen Momente aufgenommen werden können, indem man für das negative Moment bei — l (wo gewöhnlich die Abbiegungen aufhören) Mx = — 18 mt mit ft — 7 0 28 = 43,1 qcm, h = 76 cm, h' = 8 cm, b = 35 cm, o₆ = 40 kg

nach A2 b erhält: 7 x² + 8 • 43,1

+ ²-¹⁵    36

{x — h') fg +

16«/". x__

£ £•

6 Af

(i)

16 • 15 • 43,1    _ 6 • 1800000

35    X    35.40

3h\ ,    „    . ,

—loder 1x4 x J

• 10 oder x² +42,2 x == 1144,3, æ = — 21,1 + |/21,1² + 1144^3 = 18,8cm, = x = 50,1 cm,

3

35 - 18,8!

bx²

(18,8 - 8) • 43,1

f.=

2 • 15

50,1

== 28,0 qcm und für h = 76

cm

:/e

₇₆ - 28=18,5qcm.

Für die negativen Maximalmomente an den Mittelstützen kommt gleichfalls nur der rechteckige Querschnitt in

(3965 000)

50,1 — 18,8

6-4886000

Betracht, und man erhält für M₂ — — 48,86mt und M₃ = — 39,65mt nach Alb : x =

(49,3)    o

= 54,8cm, h = -x = 146,1 (131,5)cm, fe =

so erhält man nach A 2d für M = 48,86 (39,65)mt, h = 112cm, h' = 4cm, b = 35cm, o₆= 40kg:a: = — h

O

(3 965000)

4 886 000    35-42

7-35-40

b-x

50

7 b-ab

= 38,4 (34,5)qcm. Wird die ganze Höhe = 120cm angenommen,

= 42 cm,

(>-S

°'e

= 533 kg, • fg Qi — h') = —

M b-xi    \

2~\    )

oder ^ f*⁽¹¹² — ⁴) =

40

•(112 — 14) oder f'e = 34,9 (18,8)qcm und 25 fe =

o. f'e

b -x

Oft

+ “2”~

(18,8)

533-34,9 , 35-42    ,    .

--+ —₂— oder fe = 48,0 (39,4) qc>«.

Durch das Ineinandergreifen der Eisen Uber den Mittelstutzen ergeben sich oben: fe— 5 0 32 + 7 0 28 = = 83,3qcm bzw. 12 0 28 = 73,9qcm, also jedenfalls genügend, und unten: f'e = 3 0 32 -f 2 0 28 = 36,5qcmbzw.

— I Länge und 40

cm

Höhe. Dieselbe wird wegen des besseren Aus-

5 0 28 = 30,8qcm, und die Abschrägung erhält ca. -

sehens und der leichteren Ausführung durch einen Kreisbogen mit 3,3m Halbmesserund 1,6m Länge ersetzt. Die richtige Verteilung der Eisen kann durch Bestimmung der Zwischenmomente an den Abbiegungen derselben geprüft werden, und

dieselben können entweder aus Abb. 101 entnommen oder aus der Formel: Mx =

Mr(lr -+ + M

0 * 00

Qr — x) berechnet werden.

A

4. Berechnung der Schubspannungen und der Abbiegungen für die Eisen aus den Querkräften.

Die Maximalquerkräfte an den Mittelstutzen ergeben sich bei der Vollbelastung von zwei Oeffnungen 1 und 2 bzw. 2 und 3, und an den Endstützen von zwei Oetfnungen 1 und 3. Hierbei ist der Belastungsgleichwert des Maximalbiegungsmoments für die Belastung von zwei benachbarten Oeffnungen zu bestimmen, um einen Annäherungswert für die Stützen-momente zu erhalten, oder es ist mit Einzellasten zu rechnen. Bei der angenäherten Berechnung mit Halbierung des Abstands der Resultante 7,7* von der größeren Einzellast 4,2t durch die Mitte der Brücke erhält man die nebengezeichnete

Belastung der zwei Oeffnungen von 13,3 + 11,2 = 24,5m bzw. 11,2 -f 11,9 = 23,1m Stützweite. Es ist daher M, {    '-y,—" 4" 10,85 • 19,075^ + 7,7 • 11,45 }    — 0,6 • 10,85 • 6,025 = 69,3 bzw. 62,8 mt und p —

8 AL

/jinax -

max

8-69,3

/²

24,5

= 0,92 bzw. 0,94^.

0,92-13,3²

= 20,34mt, WlP2 =

Hieraus ergibt sich für px = p₂ = 0,92*, 9)^,=

ferner m = 13,3-20,34 + 11,2-14,43 = 432,1 und n — 11,2-14,43 = 161,6, somit M₂ =

=— 2,88 mt. Ebenso erhält man für p₂ = p₃ = 0,94 *, 93+₂ = 14,74mt, s))+₃ = = 16,64 mt, m = 165,1, n = 363,1, üf₂ = — 3,33 mt, M₃ = — 14,91 mt (bei Belastung von OefFnung 1 und 3 mit jp, und p₃ wird M₂ = — 9,67 mt und M₃ = — 6,17 mt).

Aus diesen Werten für AL erhält man nun die Querkräfte an den Stützen aus

— 23,1-432,1 + 5,6-161,6

534,6

= — 16,98mt, M₃

— 24,5-161,6 + 5,6-432,1

534,6

0,92 • 11,2²

O.ßt/m, _

= 14,43 mt.

ï--zzÆ.z-.

V!,, sjt’v

• V

17,7

y, -—r+1

r r

- ALr

(bzw- Aq = ap + ⁹-^j, v; ==

Mr+l — Mr

Abb. 102. ^(bzw. Aq=Ap + ⁹-^.

Die nebengezeichneten sechs Belastungsfälle können jedoch auch genau berechnet werden, und hierfür gilt die Clapeyronsche Gleichung:

MfO

Mr lr + 2 Mr+l (lr + lr+l) + Mr+2 lr+l — — 2 9)îr lr — 2 9Rr+1 lr+i

I r    1 r+t

- +-    — a²) —

ip-b - 6+

(2L_(3)

TT *r~W

vp % T + %'

r+t

(a und b sind die Abstände der Einzellasten P vom linken und rechten Auflager).

Für linksseitige gleichförmige Belastung ist

m = -^ 2 P - a (/² — a²) =    [ p’ • dx • x (/² — x¹)

lr Jo

- -8,1- - -*---1t,3---m---11,9---4.

p X¹

(2 l\ — X²).

9>2    3,5

JT

g,--2^

*---8,**--«- ZfS-* *r —

V V    w

--10,6- - -k---11,9- -

-2\

und (bei Einsetzung von b = lr+i — a):

n =

- - 13,7-

-ZN

**---11,9---

-(2 l

— 2P- a (Jr+1 — a) {2 1 p -x²

lr+\

r+l

— a) =

• (/r+l — x)-

r+l

r+t

— x) =

P II

r+l \

— m und n"

4-/

i)

-15,3- -

ist m" —

4

folgende Werte erhält:

und für rechtsseitige gleichförmige Belastung

» 1 ³

-—— n, so daß man für m und n (s. S. 74)

4

V 3,5 ^

--**— Ą3-    *

t3,5 *f,2

u~

-11,3---«

s-

2ŚT

--~1ZjS---* ~

- ~    -7,0- -M

0,2    3,5

ir

1:2 m

3,5

-3,5 (13,3² — 3,5²) +

11 9³

= 415, 2 n = 0,6 • —= 253,

13,3

0,6-13,3³    0,6- 4,9²

- 1X3----*

--V2- -

4 • 13,3

(2-13,3² —4,9²) =

Abb. 103.

dx

3,5 1,2t

II : 2 m

3,5

13,3

• 9,8 (13,3² — 9,8²) +

0,6 -8,4²

4 - 13,3

(2 • 13,3² — 8,4²)+

Æ.

k----

0,6-0,6²

4 • 11,2

^11,2 — ~2~)²= 435 + 210= 645,

X---»

---lr<r---*

Abb. 104.

0,6 - 11,2³

0,6 • 0,6²

4- 11,2

(2 • 11,2² — 0,6²) = 209,

III : 2 m =

0,6 - 12,7²

4 • 13,3

(2 • 13,3² — 12,7²H

3,5

11,2

-7,7 (11,2² — 7,7²) +

0,6 • 11,2³

0,6 • 4,9²

4 • 11,2

(n, - ęf

= 696,

3,5

11,2

0,6-11,2³    0,6 • 4,9²

-3,5 (11,2² - 3,5²) +    ₄    -

4 - 11,2

(2 • 11,2² — 4,9²) = 261,

IV : 2 m =

0,6 • 6,3²

4- 11,2

(n,₂ - 5f)’+

3,5

11,2

-3,5 (11,2² — 3,5²) = 158,

0,6 - 6,3²

4- 11,2

(2 - 11,2² — 6,3²) -+

3,5

11,2

-7,7 (11,2²— 7,7²)A

0,6 • 11,9³

0,6 -0,6²

4 - 11,9

(u,₉ - ff

= 524,

0,6 • 10,6²

4 ■ 11,2

T)

= 53,

2 )i =

0,6 • 10,6²

4 - 11,2

(2 • 11,2² — 10,6²) -j-

3,5

11,9

,    ,    11,9³    0,6-4,9

• 8,4(11,9² — 8,4²) + 0,6—^--

4 - 11,9

208 + 423 = 631,

VI : 2 m =

0,6 • 13,3³

= 353, 2 n =

0,6 - 7,02 4 • 11,9

/    0\² . 3,5

(“>• - -)

tc Lr³

11,9

-3,5 (11,9² — 3,5²) = 177.

Bei Einsetzung der halben Zahlen in die Formeln auf S. 74 erhält man für

— 23,1-415 + 5,6-253

1: M₂ =

III : M₂ — — 13,67 (16,98) mt, M₃ =

2-534,6

= — 7,64 (9,67) mt,

II : M₂ = — 12,84 (16,98) mt;

-24,5-261 + 5,6; 696_ _ _ 2 M (₂,88) mt,

2 • 534,6

V : l/₃ = — 14,18 (14,91) m»,

IV : M₂ = — 0,67 (3,33), M₃ = — 11,18 (14,91) mt,

VI: M₃ — — 2,21 (6,17)Int.

Die Fehler der angenäherten Berechnung (s. S. 77) mit den eingeklammerten Zahlen (vgl. auch die Formeln für V'r und V"r) sind daher in Oeffnung:

1 : links —

9,67 — 7,64

13,3

— 0,15* und rechts

16,98 — 12,84

13,3

= 0,31*,

2 : links =

(16,98 — 13,67) — (2,88 — 2,34)

11,2

= 0,25* und rechts

(14,91 — 11,18) — (3,33 — 0,67)

11,2

= 0,10*,

3: links =

14,91 — 14,18

11,9

= 0,06» und rechts

6,17 — 2,21

= 0,33 »,

11,9

und zwar werden die Querkräfte an den mittleren Stützen etwas zu groß und an den äußeren Stützen etwas zu klein.

Hierzu kommen noch die Momente vom Eigengewicht: M₂ = — 30,87 rat, M₃ = — 24,28 mt, so daß man bei der Addition zu obigen Werten erhält:

I : M₂ = — 38,51 (40,54) m»,

III    : M₂ = — 44,54 (47,85) mt,

IV    : M₂ — — 31,54 (34,20) mt,

V    : M₃ = — 38,46 (39,19) mt,

Die Querkräfte an den Auflagern ergeben sich nun aus obigen Formeln für V, und es ist:

«»

: M₂ — — 43,71 (47,85) mt, ferner Aqi = 12,635 + 8,371 = 21,01»,

-    :M₃ =— 26,62 (27,16) mt,

—    : M₃ — — 35,46 (39,19) m»,

VI : M₃— — 26,49 (30,45) mt,

Aq2 = 10,640 + 7,669 — 18,31»,

•^93

für Eigengewicht und Verkehrslast.

11,305 + 7,906 = 19,21»,

I: v: =

III : f; =

f Aqx =

M₃ - M₂

38,51

13,3

-^<22 -

+ 21,01 = 18,11», II: V'[ = — 26,62 + 44,54

M₂

43,71

13,3

— 21,01 = — 24,30»,

11,2

f 18,31 = 19,91»,

IV : V" =

Aq2 —

— 35,46 + 31,54

11,2

— 18,31 = — 18,66»,

V:V₃=-

m₃

38,46

11,9

+ 19,21 = 22,44», VI : V” = —

M₃

26,49

11,90

— 19,21 = — 16,99».

21,01

18,31

19,21

M6V- +

11,31

■'s

SS

19,91

//

V/s

V'

'/

ifr —

- -13,3-

\ NX $ Vs V^' \\ x.

- 11,2 X+    -<o>t ~

\JS

---77,+\-x-N+- - -

\\ A

10,64

vx X«

12,64

SX

x n*

s\

s\

Maßsfab Her

Längen 1 ; 300 Höhen 2mm= 1£t

'X

18,31

19,.

21,01

Abb. 105.

Bei der graphischen Darstellung der Querkräfte (s. Abb. 105) sind die in Aq enthaltenen Auflagerdrücke für Eigengewicht und Gesamtbelastung an den Stützen aufzutragen. Die Zwischenquerkräfte ergeben sich dann aus der Parabel (für gleichförmige Belastung) bzw. genauer aus der für einseitige Belastung bestimmten Kurve, welche Uber der schiefen Geraden für das Eigengewicht in vertikaler Richtung aufgetragen wird. Zur genauen Bestimmung der Kurve

1131

mit Einzellasten sollen noch die Querkräfte für —,

4

12,635

A< (i) ~

1- 5,435 = 11,75*,    ^,(J_) = —g

—— bestimmt werden, und man erhält: 4

10,64

f 5,009 — 10,33»,

11,305

+ 5,158 = 10,81»,

A (J_) = 0 + 2,998 = 3,0S A₂ (j_} = 0 -f 2,769 = 2,77*, A₃ (JL) = 0 + 2,848 F 1,050 = — 5,27*, A₂ (JL) = -f 1,050 = — 4,60*.

2,85*,

12,635

10,64

1,050 = — 4,27*,

11,305

(4")    2

Werden diese Ordinaten von der horizontalen Linie aus aufgetragen, so erhält man die obigen Kurven (s. Abb. 105). Bei Vollbelastung der Oetfnungen ergibt sich v =

dM

dx

= 0 für M

x roux?

so daß man die Mitte der positiven Momenten-

fläche bis zu den schiefen Geraden der diskontinuierlichen Querkräfte projizieren muß, um die horizontale Begrenzung der kontinuierlichen Querkräfte zu erhalten. Flir teilweise Belastung erhält man dagegen in der ersten und letzten Oeffnung

d M M'

geneigte Linien aus v    = —j— für die Verkehrsbelastung der ersten Oeffnung

W///////A

£ - 3,325- î. --3f- - J ---5,075---*

L______r______> 173----------*

(Fall I), und v" —

dM

M"

für die Verkehrsbelastung der ersten Oeffnung

*-----7'i------------

«,2    3,5

W////////////ÆÏÏ?, y/////ZÆ v//MZi

-    -3,5-->f7,**J,75*

dx l

(Fall II), und ebenso in der letzten Oeffnung (Fall V und VI). Bei den mittleren Oeffnungen sind die Momente für Vollbelastung und Nichtbelastung der Oeffnung

dM _ M₃ — i¥2 dx    l₂

konstant angenommen werden kann,, und ebenso v" (mit andern Stützenmomenten), und daher hier eine horizontale Begrenzung (wie oben) eintritt.

Die oben berechneten Maximalquerkräfte F an den Stützen werden nun von den Enden der diskontinuierlichen Querkräfte aus aufgetragen, und durch ihre Endpunkte in der mittleren Oeffnung Horizontalen gelegt, welche die Zwischenquerkräfte für kontinuierliche Belastung begrenzen.

angenähert um denselben Wert verschieden, so daß v —

als

W----6,65- -

3,5

W//////;///////Am6<y/////y/// r///MĄ^

i*.------9,975------^-3,325 -*

Abb. 106.

M M

In der ersten und dritten Oeffnung sind diese Linien etwas geneigt, und zwar mit der Differenz ~ und -~

für Belastung und Nichtbelastung der ersten und dritten Oeffnung, und man erhält nach S. 77 und 78 aus Fall

(2 m)

— 23,1 • 435

(2 m)

I : M₂ =

— 23,1-415

2-534,6

— 8,97mt, II: il/₂ =

(2 n)

2 - 534,6

= — 9,40mt, V : M₃ =

(2 n)

— 24,5-423

2 • 534,6

= - 9,69mt,

VI : M₃ =

— 24,5-177

2 - 534,6

9,69

11,9

= 0,81*, v" =

= — 4,06mt, und für Oeffnung 1 : v —

4,06

8,97

= 0,67 *, v"

9,40

11,9

13,3

= 0,34*, woraus sich die schiefen Linien ergeben.

13,3

0,71 *, und für Oeffnung

To =

Die Querkräfte sind nun an den Auflagern und bei lm Abstand von den Pfeilern in Oeffnung

U F'₀ = 18,1 *, r(1|4) = 14,3* links und F;o 3) = 23,4*, F'₍'₁₃₎ = 20,6* rechts,

£: F₍'0 3) = 18,9*, r(lt3) = 16,1* links und F'₍'0>3) — 17,9*, V'₍\i3) = 15,0* rechts,

3_: F;o>3) = 21,4*, F'₍₁₃₎ = 18,4* links und V"₀ = 17,0*, FJ'I|4) = 12,8* rechts.

Die zugehörigen Schubspannungen ergeben sich an den Endauflagern und in der Mitte der Oeffnungen aus

und man erhält für h an

c(⁷i-ï)

—— und bei Kontinuität an den Mittelstützen x₀ =

d\

C'~8

2-76 + 116-3

den Enden mitten 72cm, somit in Oeffnung ! :x₀ =

— ioocm und an den Mittelstützen 112cm sowie bei 1,4 bzw. l,3m Abstand von den Auflager-

18100

35 (100 — 10) 23400

= 5,7 t₀ =

14300

35 (72 — 10) 20600

= 6,6kg links und

35--r-* 112

35 (72 — 10)

= 9,5kg rechts,

2 : x₀ =

18900

35 --X- • 112

= 5,5:x₀ =

16100

35-62

= 7,4 ke links und

To =

17900

35-98

21400

= V k«, x₀ =

15000

35-62

= 6,9 ks rechts,

35-98

= 6,2kg, t₀ =

18400

35 • 62

= 8,5kg links und

12800

35-62

17000

35 (TÓ0 —- 10)

(bei frei auf liegenden kontinuierlichen Trägern wären die Querkräfte der Auflagermitten zu nehmen).

= 5,4kg, x₀ =

= 5,9 kg rechts

-•

5t5Z +

~szp-t>

<0%sl

*9C.

u~~

- tro /

v-m-V

10$28

Ji

V Vf

01,20

-    -\\n>

\Y\>

kXi

Abb. 107.

Ys,<w+'-    - -

09

10Ç32

1Z.60

- -V

■&

w \

i»?

I;

A 7%^

«/

"f

Die Abbiegungen ergeben sich nun aus der zulässigen schiefen Schubspannung, welche im max = 4,5kg angenommen werden kann. Mit Rücksicht auf eine größere Verteilung der Eisen soll an den Enden 3kg zugelassen werden, während über den mittleren Stützen 4kg vorzuziehen sind, weil sonst zu viele Abbiegungen nötig werden.

Die Abstände x, für welche die zulässige Schubspannung 3 (4)kg eintritt, ergeben sich nun aus den Querkräften bei 1,4 (1,3)m Abstand und aus der Abb. 105, so daß man erhält für

20,600 • 4

1 : Vx =

3:F.=

14,300-3

6,6

= 6,50*, x — 4,20¹¹¹ links und Vx =

16100-4

18400-4

8,5

9,5

= 8,67*, x — 5,44m rechts

8,70*, x — 4,04 m „

8,66 *, x = 4,74 m „

Aus der Formel Z' =

1 :Z'=

15000-4

6,9

12800-3

5,9

= 8,70*, x- == 3,60 m „

=r 6,51*, a; = 3,76 m

(4)

(xn — 3)-x-c

2 ]/2

erhält man für die schraffierten Flächen in

(312)

2,7 + 3,6    140 , 3,6 • 280

(356)

1/2

21/2

• 35 = 23 380kg links und

(293)

/2,8 + 5,5 100 | 5,5-414 \ 2

1/2

(806)

^ • 35 == 38460kg rechts,

(173)

(329)

o100 , 3,4-274 - \ 2

1/2

21/2

• 35 = 18 570kg links und

(145)

2+2,9    100

\ 2

1/2

(236)

2,9 • 230'

21/ 2

j • 35 = 13 340 kg rechts,

(237)

(547)

₃.r=A2+4,5    100    4,5-344

“ \ 2 ]/¥ 2]/2

(262)    (242)

/2,4 + 2,9    140 , 2,9 • 236

\ 2

• 35 — 27 440kg links und

Z==

V2“

■)

. 35 = 17 640kg rechts.

21/2

Hierfür erhält man als Inanspruchnahmen der (in Abb. 107) abgebogenen Eisen in Oeffnung

38 460

— 5 Ti - 3,2*~+ tt 2,8²

23 380

5 7t - 3,2 ²

18 570

= 582 kg, a =

4 • 7c • 2,8 ²

27 440

6 Tr • 2,8²

— 830 kg,

= 754kg, a =

— 742 kg, o

13 340

“ 4x- 2,8²

— 541kg,

17 640

“ 5 • Ti • 2,8²

= 573kg (für — -22 4

_ 8,04 <icm und    = 6,16 <icm).

Die genaue Lage der Abbiegungen ergibt sich aus dem Inhalt der schraffierten

6GS

Flächen, somit in Oeffnung 1 links für 1,2 und 2 Abbiegungen ® 32 aus—- = 133,6 (s. oben):

“    o

14,20

= 12,8cm, und rechts für 1 ® 32 + 1 ® 28,

x⁷.

198²

133,6

356

2 X 16,08

, a?j = 121cm, x₂ =

3-133,6—356

3,5

2 0 32, 2 0 32 = 46,36qcm aus •

46,36

* — 189 cm — 337 + 381 ¹    ’ 293² ~    806

1099 = 337 und    . 1099 = 381    ,

46,36    293²    806 ’

337

— 277 cin.

502

Ebenso erhält man in Oeffnung 2 links für 1,1 und 2 Abbiegungen ® 28 aus—— =

x₂ = 170 cm, und rechts für xx = 108 cm,

x\ _ 125,5 194² ~~ 329 ’

1,1 und 2 Abbiegungen ® 28 aus

190,5 "236 ’

125,5 (s. oben) :

xt = 120cm,

381

x[

251

194 ²

329 ’

= 95,3 :

95,3

163²    236 ⁷

x[

263²

— 147cm,

- x\

Endlich erhält man in Oeffnung 3 links für 2,2 und 2 Abbiegungen © 28

=168cm,

xl

1

243²

aus

784

130,7 (s. oben) :

x\

243²

100,8

' 167² ~ 24T

Xy = 108 Cm, X, =

522,8    ,    504

■    ■)    = 238cm, und rechts für 1,2 und 2 Abbiegungen © 28 aus —= 100,8 :

3 • 100,8 — 242

= 21,6 cm.

Aus den Schwerpunkten der schraffierten Teile ergeben sich die Schwerpunktslinien unter 45 ⁰ Neigung bis zur Unterkante des Balkens, und die Vertikalen bis zur Nullinie, durch deren Schnitt die Abbiegungen unter 45 ⁰ gelegt werden (durch kleine Verschiebungen erhält man hierbei runde Zahlen für ihre Abstände, s. Abb. 107).

2,8

5. Berechnung der Fahrbahnplatte, der Querrippen und der Konsolen.

Die Anordnung der Eiseneinlagen der Plattenbalken in den drei OefFnungen ergibt sich aus Abb. 107, und die Abstände der unteren sowie der oberen Eisen sind so zu wählen, daß dieselben über den Mittelstützen in-einandergreifen können, und noch mindestens 2 Zwischenraum übrig bleibt. Dies geht aus Abb. 108 hervor, in welcher oben zwei Lagen übereinander vorhanden sind (ev. können auch drei gewählt werden), und überall der erforderliche Zwischenraum zwischen den Eisen vorhanden ist (bei der Mittelstütze rechts gilt dieselbe Anordnung mit © 28 statt 32, und 110 statt 140 cm Abstand).

Daß auch der nötige Eisenquerschnitt überall vorhanden ist, geht aus den negativen Momenten an den Abbiegungsstellen bei 0,9m bzw. 1,8m Abstand hervor. Man erhält für

cm

0028

0028

1032+1028

8,5

I=EI

,6,5

,0.5

I*-90- mc- 00- -*

0028+2032 I

3028+2032

/ 1032

3032

\3028

.............—^

3032-    1032

3028

fff

* —100——

+1028

__

300-----4 - -100- -* --IOO--M

-£■

dJU

Abb. 108.

Stütze Abstand

Mx

fe

h'

fe

6 M Ät=8 7 b • ei

fe

b-x h

5Ö" h

~~ • fe

mt

cm

qcm

cm

qcm

cm

cm

qcm

qcm

0,9 l. — 30    88

3 0 32 + 7 0 28 = 67,2

6    3 0 32 4- 2 0 28 = 36,4

42,9

114,4

30,0    38,8

n r-

— 36

5 0 32 4-5 0 28 = 71,0

= 36,4

46,9

125,1

32,8    46,6

1,8 r. — 25,5    74

3 0 314-4 0 28 = 48,8

6 0 28 = 37,0

39,5

105,3

27,7    39,3

0,9 l. — 27    88

100 28 = 61,6 6

5 0 28 = 30,8

40,6

108,3

28,4    34,9

— 22,5

n =61,6

T» —30,8

37,1

1,8 l. — 19    74

7 0 28 = 43,1

6 0 28 = 37,0

34,1

CO o

26,0    29,2

23,9    29,3

Bei 1,8m rechts von Stütze 2 erhält man fe= 39,3 statt 48,8 fi⁰¹¹¹, und bei Berücksichtigung von f e= 37,0 <icm

und b — 35cm für M — — 25,5mt aus ^42a: x¹ +    . x =

2 • 15 • 85,8    2 • 15

-— x =

sowie von h = 74

cm

cm

• (Ä • fe + h’ • f'e) oder x² 4-

4- ]/36,7 7² 4- 3285,6 = 31,3 cm. Ferner ist

2 M

35

35

(74 • 48,8 + 6 • 37,0) oder Æ² + 73,54 x = 3285,6, x = — 36,77 +

2 • 2550000

oc «

510,0000

- = 39,0kg und ae — n • o₆

(4-)

35 - 31,3 (.74 — 10,4) 4-2-15-37 (74 —

1^ = 798 kg, somit genügend.

⁶⁾ (‘ - m)

= 15-39,0

^74

31,3

6,97 4- 6,03

Die Abstände der untern Eiseneinlagen in Abb. 109 gehen aus den in Abb. 108 eingeschriebenen Maßen hervor, und hierbei müssen auch die Bügel noch Platz finden (Abstand vom Rand im min 2 cm), und ihr Abstand ergibt sich

_e_ w0 T _ 3 t,zw 4 kg una ae= 1000 kg einzusetzen ist (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1910 S. 31). xo • b 7    0

Bei der Bügelanordnung in I und III wechseln zwei schmale Bügel a mit einem breiten Bügel b ab (die erstem werden zusammengelegt) und in II ebenso zwei Bügel c mit einem Bügel d, so daß auf die Entfernung 2e — :2-3 Bügelschnitte fallen (s. Abb. 111). Wählt man für die schmalen Bügel © 8 und für die breiten Bügel © 10, so wird für t₀ = 3 (4) ke

1000 (2 • 0,503 4- 0,785)

aus e =

(4)3-35

— i7?o (12,8)cm, und da die Spannung der abgebogenen Eisen bedeutend unter den

zulässigen 1000kg bleibt (max 830 kg), so kann an den Enden der Brücke hierfür 20 cm und zwischen denselben 15 gesetzt werden.

und x₀

cm

Der letztere Abstand kann in der Mitte der Oeffnungen gleichfalls auf 20 = 2,9 (2,1)kg ist (s. Abb. 105).

cm

erhöht werden, dahier V = 6,3(4,5)t

(c)

Als Adhäsionsspannung erhält man unten: x,

bxn

35 • 6,6

n Ttd

4,6 kg bzw. tj —

35-5,9

5-3,14-2,8

= 4,7 kg

5-3,14-3,2

an den Enden der Brücke, und (weil sie an der gezogenen Seite der Balken zu berechnen ist) für die Abstände 1,3 m

35-9,5

von den Mittelstutzen oben: x

r*- -

-------120---

• 10 -*■    10 <610

3610

,A*1 W

-S-»

35 • 8,4

3,14(3-3,2 + 7-2,8)

3,6kg bzw. t, =

= 3,4 kg (in der mittleren Oeffnung wird sie etwas kleiner).

»10

»»15 *

z 10010 *10+ I

10-3,14-2,8

Für die Berechnung der Abbiegungen in der Platte erhält man die in Abb. 110 gezeichneten Parabeln (auf der rechten Seite ist ihre Konstruktion ange-

qP ' qP ^:12~

>>#11

* __

—120---

---H

io

*10*» 15»

+ p    * 10 ff 10

deutet) mit dem Verhältnis der Momente am Auflager und in der Mitte

4

Gesamthöhe ergeben sich die Höhen — -28 = 16

3

—    •28 = 12 cm, wenn runde Maße gewählt werden). Wird die erste Abbiegung bei

7

zwei Parabeln für die Stützweite und die lichte Weite -—•10 bis

= 4:3 (bei 56

cm

cm

und

cm

angenommen, so erhält man aus den r

12

28

* —35---*

9 5

—10 oder 5,8 bis 7,9 ® 10, so daß bei der geringen Beanspruchung

L A

der Eisen 7 ® 10 genügen. Für die zweite Abbiegung sind bei 15 cm

CO

nr

0    6

Abstand -—-10 bis ——•10=0 bis 5 ® 10 erforderlich, so

JL A    1A

----120- -

10 610

//I GŁ,

7⁼r\

wWm 15 -»

3010 '

' %

20

daß 3 ® 10 ausreichend sind.

Für die obern Abbiegungen erhält man bei 4 11,5

0,5

16

• 10 bis

cm

Abstand

• 10 oder 0 bis 7,2 Q) 10 während 6 vor-

16

8-

IC

28

Lf

___4.

Abb. 109.

handen sind, und bei 14 cm Abstand sind keine obere Eisen mehr nötig, aber sie werden wegen der Stoßwirkungen trotzdem durchgeführt, und zwar wie unten mit 3 ® 10, welche auf die ganze Breite der Brücke durchgehen.

Die Berechnung der Querrippen 65/25 kann bei ungünstiger Annahme mit der Einzellast von 5t geschehen, und hierbei ist wegen

8    5-1,2

Abb. 111.

Kontinuität und teilweiser Einspannung mit M

*11,5 +---

--85---

— — y* 17,5-+

pm

12

.    = 1,0mt in der

?°»

*-15 *»10»

: öl    i

¹ <ri‘\ //

Abb. 110.

Mitte und MPa = —- •

teilung nicht berücksichtigt wird.

(0,66)

= (0,25 • 0,65 • 2,4 + 0,25 • 0,3 • 2,25) •

8    5-12

— = 1,333 mt am Auflager zu rechnen, wenn die Ver-

Ferner erhält man vom Eigengewicht M,

1,2²

Um

somit zusammen 31,

(142300)

= 0,067 mt und Mt

1A

= 1,067 mt und Mqa — 1,423 mt.

0,56-1,2’

— — ■ ⁷    = 0,090 mt,

(11,0)

25-9,6

Hierfür ist x =

6-106700

7bab

7-25-40

50

= 9,6 (11,0) cm, h = — x = 25,6 (29,4) + fe = ^

• 5,5 = 2,7 'icm, so daß

= 4,8 (5,5) ⁽icm ; mit h — 65 — 4 = 61 cm erhält man •    - 4,8 = 2,0 und ^

29,4

4 ® 10 = 3,1 <icm genügen.

Die Endquerrippen 90/30 werden etwas stärker angenommen, und mit 6 ® 10 = 4,7 <icm armiert, weil sie besonders bei schiefen Brücken die Quersteifigkeit der Konstruktion erhalten, und daher Uber den Auflagern notwendig sind.

Das Moment zur Berechnung der Konsole ist bei 0,35 m Abstand ■ 0,26 • 2,4 + 0,5 •    + 0,15 (1,1 + 0,12) +

vom Geländer: M

0,374mt, und zwar für die Mitte des Schnitts

+ 0,39 (0,15 + 0,02)

und eine oben am Geländer wirkende horizontale und vertikale Kraft

--85—

1,8 m,

2%

6,5 TTb

\3$io r /lA afl 0.610 J /r--+?

\---120—

- -1120

15

von je 150 kg/m, somit erhält man x =

6•37400

1610

7•100 • 40

= 2,84 cm, h =

6610

yr—r

s \ 25

⁼ y * = ⁷>6em> f.= 5o

die Hälfte, so daß 8 (J) 10 genügen.

= 5^7 qcm unti f(jr _ lg cm ungefähr

- 55    .

Abb. 112.

M₇

M₂

13,3 ' x- M₂

13,3

Bei 0,7m Abstand vom Geländer ist M =

+ 0,02) — 0,739 mt, somit x = \

6•73900

7 • 100 • 40

= 4,0

10,7

0,9²

cm

O 7²

’f- • 0,30 • 2,4 + 0,5 • -L- + 0,15 (1,1 + 0,22) + 0,74 • (0,15 +

7    ⁸

, h = —

-,= ₁₀,7 -,f.=

= 8,0 qcm, und für h = 35

. 8,0 = 2,5 qcm, so daß 8 ® 10 ausreichend sind.

Wh'd >'= 35

6. Kontinuierliche Berechnung der Brücke mit Einilußlinien für mehrere Oeffnungen.

Aus den oben angeführten Formeln erhält man mit P = 1t für den Abstand x vom linken Auflager die Einflußlinien zur Bestimmung der Stützenmomente, und zwar aus ilf₂ =

(s. S. 74) und aus der rechten Seite der Clapeyronschen Gleichung (s. S. 77) ergibt sich für die Belastung von Oeffnung

1 : 2 m —    2P- a (l\ — a²) =    (l\ — x²), 2 n = 0,

-r SP (G - fl) (2 G - «) = T- (G - *) (2 G - *)•

— 23,1 m + 5,6 n

534,6

und M₃=

— 24,5 w + 5,6 in

534,6

Bei Einsetzung von 2 und 2 n in obige Gleichungen erhält man in Oeffnung

— 23,1 • x (13,3² — x²)

2 : 2 M₂ =

2 M₃ =

3 : 2 M₃ =

534,6 • 13,3 cc (11,2 — .r) 534,6 • 11,2 æ (11,2 — x) 534,6 • 11,2 — 24,5 x

= — 0,00325 x (13,3² — x²),

{— 23,1 (2 • 11,2 — x) + 5,6 (11,2+ x)} = — 0,000167 x (11,2 — x) (454,7 — 28,7

{— 24,5 (11,2 + x) + 5,6 (2 • 11,2 — ®)} = — 0,000167 x (11,2 — x) (149,0 + 30,1 x),

(11,9 — x) (2 • 11,9 — x) = — 0,000385 x (11,9 — x) (2 • 11,9 — x).

534,6 • 11,9

Hieraus lassen sich die Einflußordinaten von Mt und M₃ für jeden Punkt x bestimmen, und aus denselben

jG (G-tA + Mr+X • x gjj (wo gß das diskontinuierliche Moment im Abstand x

erhält man auch diejenigen von Mx =

ist), und zwar für Oeffnung 1 : Mx —

M₂ • x_M₂ • x

13,3

, 2 : Mx= M₂ +

x(M₃ — i¥₂)

l, (= H,2)

3 : M. = AG -

M. • x

G (=11,9)

(wozu noch kommt).

Die Einflußordinaten der Querkräfte ergeben sich endlich aus:

Mr+t — AG

v; =

AG₊₁ - K

1 :f; =

AG

+ Aqr und V"r =

M₂

3 1?

r; = ^-4, 2_:f₂' =

— Aqr (s. S. 77), so daß man erhält in Oeffnung :

U₃ — U₂

+ Aî2, F₂ —

m₃ - ag

AG

und hieraus Fæ = F; — .gr • a: bei rechtsseitiger Belastung und

]+ = F" + gr (G — a?) bei linksseitiger Belastung. Der Auflagerdruck an den Stützen ist Qr — V'r — F"

überall die Vorzeichen von M und F einzusetzen sind.

dieselben Formeln wie in der obigen Berechnung anzuwenden und dieselben werden hier nur für

^33

-1?

wobei

Es sind also

die Last 1 bei x bestimmt.    ,    . -,    , .    ,

Zur Vereinfachung der Berechnung soll das auf S. 74 Gesagte berücksichtigt werden, indem bei 600 gleichförmiger Belastung der einzelnen Oeffnungen die Einzellasten 2,9⁴ und 2,4i (statt 4,2ł und 3,5*) einzuführen sin ,

und alsdann angenähert die gleichen Resultate erhalten werden.    a .

Die obigen Werte der Einflußordinaten sind nun in einer Tabelle auszurechnen, und bei Einteilung der Stützweiten in je fünf Teile erhält man fUr Oeffnung 1: 2,66“, 2: 2,24"', 3: 2,38“, and hierfür können runde Werte symmetrisch Mitte in 1: 2,7; 5,3; 8,0; 10,6, 2: 2,2; 4,5; 0,7; 9,0, 3: 2,4; 4,8; 7,1; 9,5“ angenommen werden, so daß man folgende Tabelle zur Berechnung der Einflußordinaten (mit Rechenstab) erhält:____

zur

Oeffnung 1

Oeffnung 2

Oeffnung 3

2,7    5,3    8,0    10,6

0,743

0,056

1,285

0,097

1,465

0,112

1,112

0,084

2,2

4,5

6,7

9,0

2,4

4,8

7,1

9,5

0,151

0,513

0,885

0,883

^ ^ fe!

W    W    K9

8!

0,646

0,356

0,814

0,716

0,660

0,883

0,325

0,695

M₂

11,9

0,940

0,079

1,246

0,105

1,094

0,092

0,627

0,053

— 0,026

— 0,009

+ 0,020

+ 0,033

x • M₃

11,9

0,190

0,502

0,653

0,501

x(13,3—x)

13,3

2,15

3,19

3,19

2,15

KJ

«1 H | ^ +

— 0,057

— 0,040

+ 0,134

0,297

0,589

0,774

0,794

1,77

2,69

2,69

11,9 ......

x (11,9 — x)

11,9

(M ist nur nummerisch eingesetzt und ist bei der Anwendung mit seinem Vorzeichen einzusetzen).

M₃-

0,750

0,744

0,441

0,126

0,622

1,77

a»* = -

1,92

2,87

2,87

1,92

Die obigen Zahlen entsprechen den Einfluß der Belastung 1 * im Abstand x m auf die Stützenmomente M₂ und M₃, die Querkräfte Vx (durch die veränderlichen Stützenmomente), und die Biegungsmomente Mx (durch dieselben). Mit den letzteren sind noch die Einflußlinien der diskontinuierlichen Werte für Vx in einer schiefen Linie durch die Enden

1 * • x (l — x)

der Oeffnung mit der Endordinate 1*, und Mx in einem Dreieck über der Stützweite mit der Höhe 9D4 =

im Abstand x zu verbinden. Werden nun sämtliche Zahlen der Tabelle in dem Maßstab von 1mt und 1* = 20mm (die Abb. hat ²/₃ Größe) aufgetragen, so erhält man die folgende Darstellung der Einflußlinien für Jf₂, M₃, Vx und Mx, und die Ordinaten der äußeren Parabel entsprechen den Höhen 9J4 bei x, und bei einer bestimmten Belastung sind die zugehörigen Dreieckslinien einzuzeichuen, um das entsprechende Mx (s. oben) zu erhalten.

mx

1'

W,9L

f5i

33,00

33,80

W)T

ly

Miß

I.

Mi

î\t

k---

--1^13,3- - -

Maßsfab

- - lz = n,2 --

*    1

1,5 mt = 20 mm (1,5 mt = 1mm)

1,5 t = 20 mm

----

—IrW--

Vx

Vx

Abb. 113.

Die

Für die Vollbelastung der Oeffnungen durch das Eigengewicht bzw. die Nutzlast von 0,6 Qm sind die Einflußlinien nicht nötig, und hierfür gelten die mittleren Parabeln und die zugehörigen negativen Momentenlinien. Maximalstützenmomente sind    aber aus Fall IV    und V    (s. S. 74)    zu bestimmen,    wobei statt 67,31    —    :    55,28    und    statt

54,97 — : 44,25 mt in den Formeln für m, n,    M₂, und M₃ einzusetzen ist, und    hierfür    die oberen    negativen    Momenten

linien in Abb. 113 erhalten werden. Durch Aufzeichnung der zwei Einzellasten von 2,9 und 2,4¹ im Abstand 3,5m auf Pauspapier, und Verschiebung desselben bis die Maximalwerte der Stutzenmomente M₃ und M₃ (in deren Einflußlinien) eintreten, erhält man M₂ =    41,95 + 1,45 • 2,9    + 1,25    • 2,4 = —    49,15mt (statt    48,86),

M₃ —    33,80 4- 1,15 • 2,9    + 1,11    • 2,4 = —    39,80mt (statt    39,65).

Aus der Verbindung der negativen Momentenlinien mit den mittleren Parabeln ergeben sich die negativen und positiven Biegungsmomente zwischen den Stützen, und ist für die Parabeln 1mt = 1mm angenommen, so daß ihre mittleren Höhen == 55,3; 39,2; 44,3 6,65)

mm

werden, und aus dem Verhältnis zu denjenigen der oberen 3 Parabeln

/    6,65 (13,3 —

\    13,3

•20

= 66,5; 56; 59,5

mm

zugleich die Zwischenpunkte aus 99îæ (s. Tabelle) hervorgehen.

ergibt, auch wenn der Einfluß der gleichförmigen Belastung mit

Aus Fall I bis III (s. S. 74) ergeben sich alsdann auch die positiven Maximalbiegungsmomente für M₂ = 37,18, M₂ = 34,32 und M₃ = 28,01, M₃ = 28,23mt, und hierzu kommt wieder das A4 für die zwei Einzellasten, und zwar ist die größere an die Stelle der größten Einflußordinate zwischen (zwei parallelen Tangenten) der obersten und untersten Einflußlinie zu setzen, weil dies gewöhnlich das Mx max

um

1,9 + 0,6 = 2,5 t/,n berücksichtigt wird (zur Probe kann man noch eine Stellung rechts und links annehmen, die genaue Lage des Maximums für die Gesamtbelastung zu erhalten, wiewohl dies im allgemeinen nicht nötig ist).

Man erhält daher durch Einzeichnen der Dreieckslinien für das Moment der Last 1* an dieser Stelle, und durch Abmessen der Ordinaten zwischen denselben und der untersten Einflußlinie, und deren Multiplikation mit der Größe der Einzellasten in Oeffnung

= 38,3 + 2,70 • 2,9    + 1,15 •    2,4 — 48,9    statt    47,1mt,

8,5 + 1,98 • 2,9    + 0,50 •    2,4 = 15,5    „    14,2 mt,

= 31,3 + 2,45 • 2,9    + 0,93 •    2,4 = 40,7    „    39,3 mt.

x max

1 : M

x max- x max

= 40 kg, oe =

Der Unterschied ist daher nicht groß, und die Maximalspannungen werden in Oeffnung 1 :

40,7

48,9

47,1

• 908 — 943 kK und in Oeffnung 3 : ab =-

39,3

. 34,3 = 35,5kg, 0e

40,7

39,3

• 979

j cc

T-* |4o

38,5

= 1014 ke.

Bei Berechnung der Querkräfte sind die schon berechneten Stiitzenmomente für Fall I, III, IV und V (s. S. 74) mit den eingeklammerten Zahlen zu verwenden, und in die Formeln auf S. 78 einzusetzen, und zwar für die gleichförmige Belastung mit 1,9 +0,6 = 2,5*/m der betreffenden Oeffnung, und hierzu noch die Einflußordinaten der Einzellasten in Abb. 113 zu addieren, so daß man erhält in Oeffnung:

1 : r = - ^ +

¹    13,3 ^

41,95

2,5 • 13,3

+ 2,9 • 1,0 + 2,4 '- 0,66 = 18,31* (statt 18,11 — 21,01 + 21,30 = 18,40*),

v; = -

2,5 • 13,3

13,3

2 : F₂ = -

26,16 + 41,95

— 2,9 • 1,0 — 2,4 • 0,83 = — 24,67* (statt 24,30 + 0,29 = 24,59*), 2,5 • 11,2

+ 2,9 • 1,0 + 2,4 • 0,72 = 20,04* (statt 19,91 — 18,31 + 18,55 = 20,15*),

11,2

33,80 + 33,00    2,5-11,2

11,2

„ -tr , 33,80    2,5-11,9

3: r3=+Tiy ⁺    2

28,23    2,5 • 11,9

~ ⁺ 11,9

Der Unterschied zwischen beiden Berechnungen rührt hauptsächlich von dem verschiedenen diskontinuierlichen Auflagerdruck in den einzelnen Oeffnungen her, und ist ihr Unterschied in den Klammern zu den oben erhaltenen Werten (s. S. 78) addiert worden.

Auch für die in Abb. 103 enthaltene teilweise gleichförmige Belastung können die Stützenmomente und Querkräfte den in Abb. 113 enthaltenen Einflußlinien bestimmt werden, wenn die Flächeninhalte mit der Belastung pro 1. m.

multipliziert werden, und können die letzteren sowie ihre Maximalwerte

/ rx2    '    i    ;

(bei Einzellasten) auch durch Integration und Ableitung! M-dx und    | y\ <

dM \

0) aus den Gleichungen auf S. 83 berechnet werden.

Sind mehr als drei Oeffnungen vorhanden, so ist es einfacher, die Stützenmomente aus den Fixpunkten zu bestimmen, und ergeben sich diese der Konstruktion in Abb. 114 (s. Hütte), aber auch aus den hieraus abgeleiteten Formeln :

+ =

— 2,9 • 1,0 — 2,4 • 0,74 = — 18,75* (statt 18,66 + 0,24 = 18,90*),

+ 2,9 • 1,0 + 2,4 • 0,80 = + 22,54* (statt 22,44 — 19,21 + 19,47 = 22,70*),

— 2,9 • 1,0 — 2,4 • 0,63 = - 16,92* (statt 16,99 + 0,26 == 17,25*).

aus

dx

aus

3 lr +

(2 lr_x — 3 dr _ ,)

rłi\ł-

!«-■

Au

Abb. 114.

a"r =

Mr

Lj, . (2 l

.i

— di

— 3 + + 1)

Mr+1

r + 1

Bei n Oeffnungen ist eil = 0 und an = 0, und hieraus erhält man

/ 2 ln - 1

(r-1)

und dn _

«2=ö

weiteren Werte links und rechts.

3 ln - i + 2 ln

, und aus d₂ und t

die

X/lr-1 (r) Mr-1

Tr(r+1) TTTl^

Mr+z

fr+2)

y-

Abb. 115.

Bei beliebig vielen Oeffnungen ist ferner nach Abb. 115 :M

Mr • d.

r-1

K — «'

und durch Einsetzung dieser Werte in die Clapeyronsche Gleichung erhält man:

und M

Mr+l-“r₊i

r- 1

r- 1

— dl

Mr

^2 l

r-1

+ 2 lr ;

«r-1 ’lr

r- 1

-+-)+i¥ — «r-1 /

■lr = — m

Mr lr + M.

^2 lr + 2 /

dl

— dl

Vereinfachung der Berechnung angenommen).

für die Einflußlinien bleiben daher unverändert, und man erhalt

(das 2 m und 2 n auf S. 47 wurde wegen

Die Werte von m und n in den Gleichungen

andere Koeffizienten für Mr und f +|.    solchen z. B. bei Eisenbahnzügen

Die obige Methode kann auch fürErazellarten alle«^ ⁸⁰"KTd» OeffanBg sowie das Rad, welches ein sehr gut verwendet werden, wenn bei letzteren die größte^ Belastung n    ⁵

Maximum für M ergibt, ans der linksseitigen Belastung IV < f bestimmt wird, und aneh die zwei benachbarten Stellungen der größten Einflußordinate untersucht werden (die Momen.enlinien fUr das Eigengewicht ergeben sieh bierbe. einfacber^nrchs^chnnng «i .^».^“te“ cU» 'sind die zugehörigen Dreieckslinien einznzeichnen, und

/ R’¹ (wo Z' — Abstand desselben vom linken Auflager ist bzw. ß und V das ein Maximum ergebende Rad ist aus B < — (wo l — Aosiauu

,.    MnnpI1^ ₇₁₁ bestimmen, und ev. noch mit zwei weiteren Belastungs

aach vom rechten Auflager her gerechnet werden können) zu bestimmen, ui

nur

annahmen bzw. Stellungen zu vergleichen.    . Rol„atlinp. ;n Betracht so ist es einfacher, das diskontinuierliche

Kommt außer den Einzellasten noch    von ersterem (in dem betreffenden

Biegungsmoment sowie das negative Stützenmoment tur sich '    .

Der Einfluß von Belastungen der anderen Oeffnungen äußert sich in den aus ihnen

Querschnitt mit -j- • M abzuziehen).

abgeleiteten Stützenmomenten, und zwar vermittels der für dieselben gezeichneten Einflußlinien von M. Derselbe ist auch bei den (wie beim diskontinuierlichen Träger anzunehmenden) ungünstigsten Laststellungen zur Bestimmung der Querkräfte und Auflagerdrüeke zu berücksichtigen, und finden bei Eisenbahnzügen gewöhnlich keine Zugstrennungen (nur in der Nähe von Stationen) statt, während bei Straßenbrücken die ungünstigsten Belastungen der einzelnen Oeffnungen anzunehmen sind. (Die teilweise Belastung der Oeffnungen hat für die letzteren nur einen unbedeutenden Einfluß auf die Momente zwischen den Auflagern und den Fixpunkten).

7. Berechnung der kontinuierlichen Brücke mit Mittelpfeilern als eingespannter Rahmen.

Infolge der Armierung in den Säulen der Mittelpfeiler und ihrer festen Verbindung mit den Plattenbalken der mittleren Oeffnung kann angenommen werden, daß sie einen unten eingespannten Ralimeu mit festen Ecken bilden, während die äußeren Oeffnungen an den Enden frei aufliegen.

1.8-

6,5-

1.8 —*

ŁZZ

- -s'z—

Auf diesen rechteckigen Rahmen wirken nur die Momente des kontinuierlichen Trägers bei C und D (s. Ber. d. Eisenbetonkonstr. 1910 S. 58) und zwar gemäß den auf S. 74 angegebenen fünf Fällen I — V, und außerdem die diskontinuierliche Momentenfläche Uber der mittleren Oeffnung, und der seitliche Winddruck auf die Mittelpfeiler von 150 kg/qm.

Das Verhältnis der Trägheitsmomente ergibt sich aus dem Sckwerpunktsabstand des nebengezeichneten Plattenbalkens

85 • 20²\

2 )

von der oberen Kante:

• 20) =

129000

4500

= 28,7

cm

und J =

: (35 • 80 + 85 • 35 • 80³ , 85 • 20³

>-70-> W <- 30->60 <-80-*

— 28,7² • 4500 — 2493400, und dem Trägheitsmoment der

2493400

Säule =

40 • 60³

12

= 720000, so daß man erhält

720000

3 5

=    und mit Rücksicht auf die Mitwirkung der benach

barten Säulen bei der ungünstigsten Belastung des Trägers

Abb. 116.

Die schiefe Stellung der Mittelpfeiler ergibt den untengezeichueten schiefen Schnitt in der Richtung der Brücken-achse, und weil die ersteren sich senkrecht zu ihrer Richtung durchbiegen müssen, so wirkt nur die Komponente der Kräfte und Momente auf den senkrecht durchschnittenen Rahmen von der Breite 60 • sin 63 = 60 •

Breite

cm

• 0,891 = rund 54 cm, und es kann bei Annahme der ganzen Kräfte und Momente mit 60 gerechnet werden.

Dieser Rahmen ist nun mit den nebengezeichneten Momentenflächen zu berechnen, und man

40,96 16,53 5,6³

erhält den Koordinatenursprung aus z

■ y'

¥-)

—no— -

= 2,48 ”, und Tx = C + + • 5,6!j ■ 2

y² ds

= 440,4.

= aźl.₂

— 2,48² • 16,53 = 73,1, Ty =J

i x? ds

Abb. 117.

I---

Für das oben bestimmte Koordinatensystem sind nun die positiven und negativen Momentenflächen der neben gezeichneten Parabeln und Trapeze

mit ihren Schwerpunktsabständen xs und ys zu bestimmen (wobei die letzteren sich in Dreiecke zerlegen lassen) und man erhält alsdann:

• y₈

+OCL-

J‘1

-66,09

/S% 29,79,>*r'

I*-----m----«

-26,55

W₀Xa

Z= —

2F]

(r

’\Z‘2,68

"■*-f

'-y

----1

J-1

-0.8

-X

- 37,9V-

(s. S. 12), oder für

69,08

-57,92

1:X =

44,09 + 26,55

11.2 •

2,48 + (

2 • 29,79

3-3

Abb. 118.

11,2 • 2,48} : 73,1 = — 1,960ł,

-55,86

29,79

-56,07

—44,09 + 26,55^

• 11.2.—’²¹-

6“i

: 440,4 = — 0,139 *,

ir

z = -{

70,64

• 11,2 +

2 • 29,79

• 11,2j : 16,53 = + 3,50mt,

-68,86

59,20

-26,69

II: X =

-37,66

39,20

-39,65

Abb. 119.

{^— 37,94 + 31,92)

: 73,1 = — 0,280f,

36 I

: 440,4 = — 0,048 ‘,

: 16,53 = + 0,50mt,

III: X =

H-T+ł-²⁹’⁷⁹)

11,2 • 2,48 (

IV: X =

= {    35,84 + 34,07) •

73,35

ii,n

36

• 39,20^ •

j : 73,1 = — 1,926*,

} : 440,4 = — 0,014*, Z = — { ( } : 73,1 = — 1,336*,

69,91

ec: fco

• 29,79)    16,53 = + 3,41 m*

11,2 • 2,48

Y=\(— 48,86 + 24,49)

H,2²i.

36 J

: 440,4 =

- 0,193. z=-{(-+L+j.₃₉,₂₀)

11,21.

3 I

: 16,53 = + 2,38 mt

CM ICO

• 39,20^ •

11,2 • 2,48(

j : 73,1 = — 1,208 *,

Y— I (— 31,66 + 39,65) •    : 440,4 = + 0,063'*, Z= -{(

1+2 +

3 I '

Die Berechnung ergibt sich am einfachsten mit dem Rechenstab, und bei Ausrechnung der gemeinsamen Zahlen für X, Y und Z sowie ihrer Multiplikation mit dem Inhalt der kleinen Klammern. Die obigen Momentenflächen haben sich für ein bewegliches Auflager bei A ergeben, wodurch die Gegendrücke bei C und D eine vertikale Richtung erhalten. Die Momenten-fläche des seitlichen Winddrucks ist dagegen einfacher, wenn bei + ein frei bewegliches Ende angenommen wird. Man erhält nun als Winddruck auf eine Säule und die Verbindung in der Mitte: 0,4 • 5,3 • 150 + 0+ •

16,53 = + 2,16 mt.

+y

• 0,8 • 150 = 318 + 72 = 390 ks und als Moment bei B: 0,318 • ^ +

+ 0,318 • 0,6 + 0,072 • 3,1 = 0,843 + 0,191 +0,223 = — 1,257 mt, somit die nebengezeichnete Momentenfläche, wenn die 72 ks als Einzellast berechnet werden.

+XL.

---

+'L

*--3.7—*

S'Si --

₍318kg

72 kg

K---

5 3 m

Da der Schwerpunkt der Parabel bei ⁷    ■ Abstand liegt, so erhält

man für das Koordinatensystem:

----H,2\-----

-y

Abb. 120.

1,489

0,843 • 5,3

■)

(— 1,995) -

0,506

0,843 • 0,6

•) (- 3,62)

0,057

0,191 • 0,6

) (- 3,72) - (

0,346

0,223 • 3,1

)■

(— 2,89) j : 73,1 = 0,0406 + 0,0250 + 0,0029 + 0,0137 = + 0,082 l, Y =

Ty

1    2,398

(1,489 + 0,506 + 0,057 +

— 2,398 16,53

^ = + 0,145 mt (für

Z ergibt sich das entgegen-

+ 0,346) (— 5,6) J : 440,4 = + 0,031 *, Z =

gesetzte Vorzeichen der Momentenflächen).

Die Momente bei A, B, C und D ergeben sich nun aus: Mx = AI + M₀ — H -y V • x (s. S. 13) und man erhält für die vertikale Belastung:

Mc = 2,16 + 1,208 • 2,48 + 0,063 • 5,6 = + 5,51

Für den Winddruck erhält man aus derselben Gleichung (wenn der Winddruck 1¹j₂ fach gerechnet wird) :

Ma = (0,145 + 0,082 • 3,92 — 0,031 • 5,6) • 1,5 = + 0,44, Md = (0,145 - 0,082 • 2,48 + 0,031 • 5,6) • 1,5 = + 0,17, Mc = (0,145 - 0,082 • 2,48 - 0,031 • 5,6) • 1,5 = — 0,35, Mb = (0,145 + 0,082 • 3,92 + 0,031 • 5,6) • 1,5 = + 0,96 mt.

Die Maximalwerte sind daher: Ma=—4,06mt, Mc = + 9,14mt, Md = 8,11 + 0,17 = + 8,28mt, Mh = — 4,96mt, so daß nur Fall I und III in Betracht kommen, und die Berechnung der Säulen oben mit Mc = + 9,14mt und unten mit Mb = — 4,96 mt auszuführen ist.

Für Fall I ist noch der kontinuierliche Auflagerdruck bei C zu berechnen, und man erhält denselben aus

M₂

V" —• —1 A =

V 1 -⁻    7    ■"«! -

44,09

13,3

— (37,65 — 18,70) = — 22,27 * (s. S. 78),

M₃ - M₂

+ Aq 2 — —

26,55 + 44,09

V —

f 2

Q₂ —    - T,' = 12,21 + 22,27 rund 34,5*.

11,2

+ 10,640 = + 12,21*,

Mc _ 9,14 Ç₂ “ 34^5

g₂ = h — gt = 51,5cm, h — 5cm, b — 40cm, ab = 35 kg zur Berechnung der Eiseneinlagen für die Säulen, und es ist nach A 2 c für fe = f 'e und p = 1 :

x² — 2 x (h -j- h') = —

Aus ć =

0,265m erhält man nun die Werte P=34,5t, g{ = 30 — 26,5 = 3,5cm, h — 55cm,

x² — 2 x (55 + 5) = — | (55² + 5²) +

A

2840

f ^l S - 0 + (* -1)<*■ -î

%T.{(“-i)#¹’⁸⁺(¹-i)⁽⁸’⁶-6,}#te

53^ oder ar — 120 a; + 8493 —

4575 + 73,93 I —

a:² — 120 x — —

Hieraus ergibt sich o'e = n • a₆ ^1 —    ^

f'e (55 - 5)

Für a; —

mit ^ = - 2.

— 1206 + 44

oder

459

• (3 h — x) oder ^

209961

a;

= 0.

44 • 1

und für a; = 39 ist f{x) — — 50, somit genaues x = 40 --= 39,5

= 15-35 (l -34500 • 51,5    40 • 39,5

= 459 kg und — f\ (h — h') =

^,0/    ab

P‘<J₂

35

(3 • 55 — 39,5) oder f'e = 27,0(1C1T1 d. h. es sind erforderlich

3 0 34 = 27,2 ⁽icm.

Durch obige Werte erhält man nun nach B 2 a (mit fe — f'e = 27,2⁽icm) :

— 3 • 3,5 x =

x² — 10,5 x + 3244

Ferner ist

r¹ {(I -x) 9, + (i - 4-) (?. - *'>} °der

173808

0. Für x — j^ist fix) —    ⁷⁹

(40

101

6 • 15 • 27,2 / 2840 \ x

40

— 53^ oder

und genaues x = 40 — -

79 • 1

180

===: 39,6 mitl/j.) =4*7.

°b =

2 • 34500 • 51,5

b • x{h — ^ + 2nf'e(h - h')(l — ^ = 34,8 kg, oe = n oh — ¹ )

355,3500 ~ 6,63 + 3,57

40 • 39,6 (55 — 13,2) + 2 - 15 • 27,2 (55 — 5)^1 = 203 kg,

= 15-

34;8 (- ⁵⁵

39,6

0,6 /

o« = n°i>

= 15-

34,8 ^1

^r) = 456kE-

Eine angenäherte Berechnung des Moments bei C ergibt sich aus der Annahme des Halbeingespanntseins für Fall I, und man erhält als Differenz der Einspannmomente ^mit M

11,2² - 1,9

67,31

24

24

= 22,44 — 9,93 = 12,51 mt statt 9,14mt.

Das Moment in der Mitte des oberen Balkens wird für Fall I:

44,09 + 26,55

Mx = 3,50 + 1,96 • 2,48 + 29,79 —

= + 2,83 mt und für Fall III r

Mx = 3,41 + 1,926 • 2,48 + 29,79 —

34,07 -F 35,84

= -f- 3,02 mt und für Fall II:

37,94 + 31,92

Mx — 0,50 + 0,280 • 2,48 -f 49,08 —

so daß nur eine geringe Vermehrung des positiven Moments eintritt.

(Die Beanspruchung des Bodens beträgt für Q₂ = 34,5 * nur s = (s. S. 86) etwas größer.)

= + 15,34mt statt + 14,20mt (s. S. 75),

34500

120-180

= 1,6kg und wird für Fall II

Anmerkung: Aus der Formel

dfr _ Mr

dx 2 lr

&■

— 2 xl

Mr

/l²

(f '+

4 a;³

31

vr

2 a?²^

ergibt sich der Abstand x der größten Durchbiegung vom linken Auflager in der Oeffnung r der kontinuierlichen Brücke, wobei die Ausdrücke Mr und Mr+l der negativen und der positiven Momentenfläche (aus dem Maximalbiegungsmoment der Verkehrsbelastung) entsprechen, und aus der Gleichung dritten Grades x durch Interpolation zwischen zwei angenäherten Werten (mit Rechenstab) erhalten wird. Ist die Oeffnung r nicht belastet, so wird ïRr = 0 und für die erste und letzte Oeffnung ist Mr bzw. Mr+l = 0 zu setzen.

Die allgemeine Formel zur Berechnung der genauen Durchbiegung bei x lautet ferner (J und E s. B. d. Eisenbetonkonstruktionen 1906, S. 28 und 1910, S. 15):

x • Mr

fr-J'E =

6 lr

(2 l² — 3 x lr -f- x²) -f-

r+t

6 lr

x -    / ₂ a;J

r\K+Tr

2 a?²^

wobei auch Mr, Mr+i

oder 9)îr = 0 werden können (M ist immer mit dem Vorzeichen einzusetzen).

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Der Verfasser will mit dem vorliegenden Werkchen erreichen, daß Studierende und praktische Ingenieure an ihre Aufgaben stets mit vollem Verständnis des inneren Zusammenhanges der Kräfte herantreten. Weiter will er erreichen, daß in den genannten Kreisen Klarheit herrsche über die Grenzen der Richtigkeit unserer Berechnungen, über die Genauigkeit der Annahmen und Ergebnisse. Was das Werkchen erstrebt, wird wohl jeder verständige Lehrer der Statik als seine stete Aufgabe betrachten und somit das Erscheinen des Werkes als Unterstützung seiner Arbeit begrüßen. Nach 0 dem Gesagten ist ohne weiteres klar, daß das Buch nicht dazu bestimmt 0 und geeignet ist, Statik zu lehren; es soll als Ergänzung neben ander-0 weitiger Belehrung dienen und als Nachschlagebuch zur Eriuneruug an 0 etwa Vergessenes. Es umfaßt sechs Kapitel: Allgemeine Grundlagen; Q Gesetze des Gleichgewichtes; Statisch bestimmte Konstruktionen; Einfluß-Q linien; Elastische Formänderungen; Statisch unbestimmte Konstruktionen. — Das Buch kann bestens empfohlen werden.

Th. Landsberg (Zentralblatt der Bauverwaltung, 4. Februar 1911).

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