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Berechnung von Rahmenkonstruktionen mit mehreren Mittelstützen

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III

II

sowie vollständige Durchführung der Berechnung eines Rahmens mit Eiseneinlagen und einer quadratischen Platte mit Wasserbehälter aus Eisenbeton.

Vorj.

■II

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V'! ;

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■Dr.Ong. Heinrich Pilgrim

in Stuttgart.

Mit 30 Abbildungen im Texte.

Wiesbaden

C. W. ‘Kreidel’s Verlag 1912.

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■*\:yix

Von demselben Verfasser erschienen in C. W. Kreidel’s Verlag in Wiesbaden:

Theoretische Berechnung

der Eisenbeton-Konstruktionen

mit ausführlichen Beispielen.

Von

Heinrich Pilgrim,

Ingenieur.

46 Seiten mit 77 Abbildungen.

Preis 2 M. 80 Pf.

Vollständige

theoretische und praktische Berechnung

der Eisenbeton-Konstruktionen

Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen

II. Berechnung eines zweistieligen Bahnsteigdaches mit zwei Gelenken.

1,12

IV-35164

der Eisenbeton-Konstruktionen

mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung und ausführlichen Beispielen.

Von ®r.:3ng. Heinrich Pilgrim.

100 Seiten mit 140 Textabbildungen.

Preis 8 M.

Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung

von

Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen

mit

Anwendung auf praktische Beispiele.

Von &r.=3ttg. Heinrich Pilgrim in Stuttgart.

88 Seiten mit 120 Abbildungen im Texte.

Preis 6 M. 65 Pf.

« Po/,/

ß'b/iofpj,

Berechnung von Rahmenkonstruktionen mit mehreren Mittelstützen

sowie vollständige Durchführung der Berechnung eines Rahmens mit Eiseneinlagen und einer quadratischen Platte mit Wasserbehälter aus Eisenbeton.

Von

Dr.Ong. Heinrich Pilgrim

in Stuttgart.

Mit 30 Abbildungen im Texte.

Wiesbaden

C. W. Kreidel’s Verlag 1912.

KRAKÓW

IV 35-164

Akc. Nr.

fsi

Vorwort.

Tn der folgenden Abhandlung über die Berechnung von Rahmenkonstruktionen mit mehreren Mittelstutzen, welche als ^ bedeutend erweiterter Sonderabdruck aus Heft 3 von 1912 der Hannoverschen „Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen“ bei C. W. Kreidel in Wiesbaden erscheint, ist die in meinen früheren Veröffentlichungen von 1910 und 1911 (aus demselben Verlag) enthaltene Rahmenberechnung vervollständigt worden, indem dieselbe nicht nur bei zwei, sondern auch bei mehreren Mittelstützen angewendet werden kann.

Hierbei werden die vertikalen Stützendrücke diskontinuierlich berechnet, und die Horizontalkräfte nach dem Hebelgesetz auf sie übertragen, und die Richtigkeit dieser Berechnungsweise geht aus dem Beispiel eines Güterschuppens mit zwei Gelenken und zwei Mittelstützen deutlich hervor, und zwar durch die Uebereinstimmung der Stützendrücke und der Momente an den Ecken desselben mit deren Berechnung für das dreifach statisch unbestimmte System (bei Annahme von Gelenken an den Mittelstützen). Demnach kann die von mir veröffentlichte Rahmenberechnung ganz allgemein (auch bei beliebig vielen Mittelstützen) angewendet werden, und der große Vorteil dieser Berechnungsweise liegt darin, daß jede beliebige Rahmenkonstruktion mit einfachen Formeln berechnet werden kann (bei bogenförmigen und unsymmetrischen Rahmenkonstruktionen ist hierbei das einfache Verfahren nach Professor Dr. Mörsch anzuwenden), welche für alle Fälle (bei Eingespanntsein oder mit Gelenken) gleichartig lauten, und von jedermann leicht zu gebrauchen sind, und zwar ohne das Vorkommen von Fehlern, wenn nur die Vorzeichen richtig eingesetzt werden.

Dies geht aus dem folgenden Beispiel eines zweistieligen Rahmens mit zwei Gelenken hervor, aus welchem der ganze Gang der Berechnung mit Eiseneinlagen zu ersehen ist, und durch die vollständige Anwendung der obigen Formeln (vgl. Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung von Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen 1911, worin auf Seite 5 und 11: M₀ = — 1 (a — x) für die Lasten 1 einzusetzen ist, s. Abb. 8) der Beweis für ihre praktische Verwendung gegeben ist (die Ableitung der Hauptformeln nach Professor Dr. Müller-Breslau ist gleichfalls angegeben).

Die Aufzeichnung der Stützlinie für die berechneten Kämpferdrucke hat ferner meine Annahme Uber die Art der Spannungen für positive und negative Momente vollständig bestätigt (vgl. Vollständige theoretische und praktische Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen 1910, S. 90), und zeigt auch deutlich die Zusammensetzung der einzelnen Kräfte mit den durch die Gelenke gehenden Kämpferdrucken. Dieselbe ist daher auch bei Verwendung der von mir angeführten Formeln nicht nötig, indem es genügt, wenn die positiven oder negativen Momente Mx, die Normalkräfte Nx

berechnet werden, und dadurch auch die Eiseneinlagen (nach den

sowie die Abstände der Stutzlinie aus c =

Mx

Nx

Formeln in der Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen von 1906 und 1910) bestimmt sind.

Das zweite Beispiel behandelt gleichfalls eine schwierige Aufgabe in der Berechnung einer quadratischen Platte mit kreuzweisen Eiseneinlagen, und als Einleitung hierzu habe ich die nötigen Formeln abgeleitet, wie sie auch von Professor Dr. Barkhausen (s. Theorie der Verbundbauten in Eisenbeton, S. 15) angewendet worden sind, und als

ergeben, indem bei Ableitung des letzteren die vierseitige Auflagerung

Koeffizienten der Momente

a³

statt

al

1 +TT

¹ +-J3-

der Platte nicht berücksichtigt ist. Die Berechnung des auf dieser Platte ruhenden Wasserbehälters aus Eisenbeton zeigt dessen allgemeine Verwendbarkeit, und hat einen um so größeren praktischen Wert, als die Platte mit Wasserbehälter bei dem Wasserwerk in Tübingen zur Ausführung gekommen ist, und daher auch für ähnliche Bauten als Vorgang dienen kann.

Stuttgart, im Mai 1912.

©r.=3ng. Heinrich Pilgrim.

Inhaltsübersicht.

Seite

Einleitung: Zusammenstellung der Berechnungsgrundlagen für die Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung

mit Eiseneinlagen ....................................................................

I. Berechnung von Rahmenkonstruktionen mit mehreren Mittelstützen....................................

1.    Resultate der Rahmenberechnung für zwei Mittelstützen.............. .......................

2.    Anwendung derselben auf die Berechnung für mehrere Mittelstützen............................

II. Berechnung eines zweistieligen Bahnsteigdaches mit zwei Gelenken....................................

1.    Berechnung des Bahnsteigdachs mit Bimsbetondecke........................................

2.    Berechnung des Zweigelenkrahmens mit Eiseneinlagen........................................

3.    Aufträgen der Stützlinien und Ableitung der Hauptformeln..................................

III. Berechnung einer quadratischen Unterlagsplatte für einen Wasserbehälter .............................

1.    Ableitung der Formeln und Berechnung für die quadratische Platte............................

2.    Berechnung des Wasserbehälters mit Eiseneinlagen..........................................

10

14

16

16

20

Einleitung.

Aus Anlaß meiner vierten Veröffentlichung über die Berechnung und Ausführung von Eisenbetonkonstruktionen möchte x ich noch einmal die praktischen Ergebnisse meiner bisherigen Veröffentlichungen kurz zusammenfassen.

In der „Theoretischen Berechnung der Betoneisenkonstruktionen 1906“ sind die Formeln für einfache Biegung und exzentrische Beanspruchung abgeleitet worden, und sind dieselben ganz allgemein anwendbar, indem sie mit den Leitsätzen des Deutschen Architekten- und Ingenieurvereins sowie den preußischen Bestimmungen von 1904 übereinstimmen und auch in die Württembergischen Vorschriften für die Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen von 1909 aufgenommen worden sind.

Dieselben wurden ohne Berücksichtigung der Zugspannungen des Betons aus den allgemeinen Bedingungen des

°b

Gleichgewichtes abgeleitet, und zur Vergleichung sind auch kleine Zugspannungen des Betons bis zu 4 ks/

(wenn ab = 40 kg zulässig ist) hierbei berücksichtigt worden, was bei Mitwirkung von kleinen Zugspannungen des Betons zulässig ist, wenn dies auch im allgemeinen vernachlässigt wird. Denn die konstant mitwirkende Zugspannung des

Betons reduziert besonders die Eisenspannungen, und wenn ^statt    mit gerechnet und z hierbei =

wird (weil 12 ks/qcm der konstanten Mitwirkung des Zugbetons entspricht), so erhält man die bei Versuchen eintretenden Spannungen des Eisens und Betons (wie auch der Wert von 12 kg aus Versuchen abgeleitet worden ist, s. „Eisenbetonbau“

von Mörsch 1906, S. 97 und 98).

Dies wird in der „Vollständigen theoretischen und praktischen Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen mit genauer Gewölbe- und Rahmenberechnung 1910“ näher ausgeführt, und die früher entwickelten Formeln werden hier noch einmal kurz zusammengefaßt (wie sie auch in den Württembergischen Vorschriften der Eisenbahnverwaltung enthalten sind), und dadurch ihre praktische Verwertung bei Berechnung der Spannungen sowie der Dimensionierung von Bauwerken ermöglicht. Die Berechnung für beliebige Eisen- und Betonquerschnitte (auch für einfache Biegung und exzentrische Beanspruchung) geht dann aus den folgenden Formeln hervor, welche ganz analog abgeleitet worden sind, und deren praktische Anwendung auf Gewölbe, Kamine usw. aus Beispielen ersichtlich ist.

Die wissenschaftliche Ableitung der Bügelberechnung, welche auch in Uebereinstimmung mit den Versuchen steht,

Oe-fe ₌    1000 /e

b'X₀ b- 4,5 (3,0)

Balkens ist, und derselbe wird konstant und in der Mitte (bei abnehmenden t₀) etwas größer angenommen (s. „Eisenbetonbau“ von Mörsch 1908, S. 198).

Bei der Gewölbeberechnung können zunächst die allgemeinen Formeln nach Tolkmitt und anderen (wie sie auch in der „Hütte“ und sonstigen Kalendern enthalten sind) zur Bestimmung der Scheitel- und Kämpferstärken verwendet werden. Aus der vorläufig angenommenen Form des Gewölbes ergibt sich alsdann die Aufzeichnung der Stützlinie für das Eigengewicht und die halbe gleichförmig verteilte Verkehrsbelastung (bzw. auch für das Eigengewicht allein), und

(c = Scheitelstärke) angenommen wird,

ergibt die einfache Formel für den Bügelabstand e =

wenn dieselbe als Mittellinie des Gewölbes mit der zunehmenden Stärke

qcm

10

gesetzt

-, wo fe — Bügelquerschnitt, b = Breite des

cos cp

so können zur Prüfung noch die Stützlinien für einseitige Belastung (durch das äußere und innere Drittel der Kämpferfugen und die Mitte der Scheitelfuge) sowie für Eigengewicht und Vollbelastung durch das obere und untere Drittel der Kämpferfugen und durch das untere und obere Drittel der Scheitelfuge (Maximal- und Minimallinie) gezeichnet werden.

Wegen der auftretenden Temperaturspannungen ist wenigstens bei Beton- und Eisenbetongewölben eine genaue Berechnung nach der Elastizitätslehre zu empfehlen, und bei flachen Bögen genügt es, mit der halben Temperaturspannung im Kämpfer und der ganzen im Scheitel zu rechnen (weil bei letzterem die Erwärmung wegen der geringen Ueberschüttungs-höhe größer ist), während das Widerlager ohne dieselbe berechnet werden kann (bei hohen Bögen wird die Temperaturspannung viel kleiner, und kann sie daher auch am Kämpfer voll gerechnet werden).

Die Formeln für die Gewölbeberechnung (welche auch für beliebige Rahmenkonstruktionen gelten) bestimmen zu-

1 w-y'

nächst den Abstand der #-Achse vom Scheitel aus z =

b-h³

wo w — -j, s — Länge des mittleren Bogenteils der — Trägheitsmoment für die mittlere Höhe derselben, x und y Abszissen und Ordinaten für ihre

Lamellen, J

Mittelpunkte und y' Abstand derselben vom Scheitel ist. gespannten Gewölbe (oder Rahmen) die folgenden Formeln :

12

Für das so bestimmte Koordinatensystem gelten beim ein-

'Mo y

-ds -f- Earl

•ds

M₀ds

II =

+J

ds

' x² ds

" ds

worin ds dem obigen s entspricht,

ds

= w ist.

Da hierbei freie Beweglichkeit des linken Auflagers und Eingespanntsein des rechten Auflagers angenommen ist, so gelten für die Einzellasten = 1 ‘ die Momente M₀ = — 1 (a — «) (wo a — x = Abstand der Kraft von den Lamellenmitten rechts ist), und hieraus erhält man die Einflußlinien für H, V und M, mit deren Ordinaten die Einzellasten oder die gleichförmige Belastung zu multiplizieren sind. Die so erhaltenen Werte sind dann in die Formel der Momente für die Fugenmitten Mx = M + M₀ — H-y — V-x (M₀ = statisches Moment der linksseitigen Lasten) einzusetzen, und zwar y und x mit den Vorzeichen des angenommenen Koordinatensystems. Ferner ist die Normalkraft senkrecht zur

Fuge Nx — Vx‘ sin cp + Hx • cos cp, wo Vx — V — 2 P und Hx — H — 2 Fl ist (bei vertikaler Belastung ist Hx — H), die Schubspannung der Fuge ist Tx = Vx • cos cp — Hx • sin cp, und der Abstand der Stützlinie von der Fugenmitte (in

und zwar für dasselbe Vorzeichen von Mx und Nx positiv und nach außen und

Die Temperaturspannung ergibt sich aus

= Ht • cos <p, Tx = Ht • sin cp

der Richtung der Fuge) ist c =

Mx

Nx

für verschiedenes Vorzeichen negativ und nach innen aufzutragen.

Ea-zl

ds

^2 ~ kann im Allgemeinen vernachlässigt werden^, ferner ist Nx

2 wy² + 2 ~y

und Mx ist mit dem in der «-Achse (auch beim Vorhandensein von Gelenken) angenommenen Ht aus Mx — Ht • y zu berechnen (welches bei Ausdehnung nach innen gerichtet ist).

Mit den Dimensionierungsformeln für doppelte Eiseneinlagen oder auch einen beliebigen Eisenquerschnitt erhält man die letzteren, und die Kämpferdrücke für rechts- und linksseitige Belastung aus H, V, R = )/"H² + V² und c

oder ver-

/    ,    M    M    M

I auch aus r = ^, xr = -y und yr = ^

in Beziehung auf das Koordinatensystem und seinen Ursprung^

mittels der Stützlinien durch die Drittel der Kämpferfugen dienen auch zur Berechnung der Widerlager und Pfeiler.

Dieselben Formeln gelten auch für Rahmenberechnungen mit bogenförmigen oder geraden Stäben, wie dies ihre Uebereinstimmung mit den Formeln von Professor Dr. Müller-Breslau für den eingespannten Stabzug mit festen Ecken zeigt, welche (nach den neueren Methoden der Festigkeitslehre 1904, S. 122) lauten :

J M₀ x w jx² w

H= X =

jMnyw

wo iv

ds

jy²w

, M=Z=-

jMn w

jw

dieselbe Bedeutung für die Lamellenlängen ds bzw. die Stablängen s hat.

Ferner ist

ds

ds

und

ds

MoV

worin F₀ der Momentenfläche 2 Mnds entspricht und immer senkrecht zur Stabrichtung anzunehmen ist, und yç sowie xg den Ordinaten und Abszissen für die Schwerpunkte (in ihrer Projektion auf die Stäbe) der Flächen Fn entsprechen.

Die Momentenflächen werden hierbei für ein links angenommenes bewegliches Auflager (während da3 Auflager rechts eingespannt ist) bestimmt und sind in jedem Punkt senkrecht zur Stabrichtung aufzutragen oder mit cos a und sin a (a Neigung des Stabes) zu dividieren, wenn sie vertikal oder horizontal aufgetragen werden. Bei Annahme eines frei beweglichen Auflagers wird dagegen der Auflagerdruck == 0, und es gilt für M₀ derselbe Wert wie nach dem Verfahren von Professor Dr. Mörsch, und bei vertikalen Lasten und geraden Stäben ist die erstere Berechnungsweise einfacher und bei horizontalen Kräften die letztere.

V₀-,

— 2 -S-j

Die Trägheitsmomente des Rahmens sind ferner

y² ds

T =

ergibt sich wie oben, und sind hierbei die Vorzeichen für y und x einzusetzen.

Bei unsymmetrischen Gewölben oder Rahmenkonstruktionen müssen die Bedingungen J

yds

xds

und

xy ds

_______

— 0 erfüllt werden, und ist hierbei eine vertikale y-Achse anzunehmen, und zwar im Abstand x =

2 wy'

2 X'w

von der Mitte, und eine Drehung der aus z —

2 x>wyK 2 wx²

(wie oben) berechneten x-Achse um a aus tg a =

(y{ entspricht hier der vertikalen Ordinate, x der horizontalen Abszisse und y der Ordinate senkrecht zu der um a gedrehten «-Achse, s. Abb. 85 und 92 in den Veröffentlichungen von 1910 und 1911). Der Ausdruck 2wxyx für

den Stab ÂB ergibt sich aus jxyx ds mit Einsetzung von yY = c + m (a — x) sowie ds = dx j/l + m² (m =■

a    a

so daß das Integral J xyr ds — j x (c -f m (a Grenzen (x = a) —(x —

x)) dx j/1 + m² = x² ^C ~^^na

]/"l -f- m² zwischen den b) erhalten wird, und hieraus die Summe für die einzelnen Stäbe zu rechnen ist ^bei Lamellen-

ds

einteilung genügt es für 2wxyl die Summenausdrücke 2 xm-ym>—r- für deren Mitte

auszurechnen^.

Die Trägheitsmomente und Summenausdrücke für H, V und M sind hierbei mit x und y = y ₍ • cos <x — «*sin a zu berechnen.

Bei Zweigelenkrahmen geht die «-Achse durch die Gelenke, während die Rechnung für X und Tx ebenso (nur mit

_

veränderter «-Achse) ausgeführt wird, und der Horizontalschub sich aus H = X = {f-C- — ^

2 wy² 2 ergibt 2 kann auch

Gegendruck V der Horizontalkräfte, wenn in dem zweiten schon der Auflagerdruck der vertikalen Belastung inbegriffen ist und nur die Horizontalkräfte ohne Gegendruck berechnet worden sind (im anderen Fall bedeutet es den Auflagerdruck der Gesamtbelastung).

2    (P)    )

P 2 (a — «) wy \ :

a    t

Wegfällen^

und entspricht der erstere Wert dem Summenausdruck für den

Für einen halbkugelförmigen Wasserbehälter, welcher in einzelne Sektoren von der unteren Breite = 1 m zerlegt wird, lassen sich gleichfalls die Summenausdrücke für H, V und M ausrechnen, und zwar für die schiefen Kräfte P mit den Abständen p von den Lamellenmitten rechts oder auch für ihre Zerlegung in vertikale und horizontale Komponenten (vgl. auch die Tunnelberechnung in meiner Veröffentlichung von 1911), und gelten für letztere die Formeln

1 (Swxy — bSwx)

1 ('Iw y² — bSwy)

V= —

CO

S w x¹

1 (Sw y — bSw)

(während für die ersteren obige Formeln mit if₀ — — 1 (a — x) anzuwenden sind), und ist b die mit dem Vorzeichen einzusetzendc Ordinate des Angriffspunktes der Kraft 1. Bei Anwendung derselben Werte von w, x und y für vertikale und horizontale Kräfte und Ausrechnung der Summenausdrücke in Tabellen, welche sich in ihren Resultaten selbst kontrollieren, ist die Berechnung sehr einfach und leicht anzuwenden.

Dies geht insbesondere aus meiner dritten Veröffentlichung: „Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung von Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen 1911“ hervor, in welcher die obigen theoretischen Formeln auf praktische Beispiele angewendet worden sind. Hierbei kann auch der Rahmen mit geraden Stäben durch Lamelleneinteilung (wie bei der Gewölbeberechnung) mit frei beweglichem linken Auflager gerechnet werden, oder es können hierfür auch die Momentenflächen M₀ der einzelnen Stäbe bestimmt werden (wie es besonders für die Horizontalkräfte am einfachsten ist), oder es kann ein bewegliches Auflager links angenommen werden, und die Momentenfläche M₀ mit Berücksichtigung des so erhaltenen Auflagerdruckes gerechnet werden (was besonders für die vertikalen Kräfte zu empfehlen ist), und diese drei Berechnungsweisen ergeben dieselben Resultate.

Die vergleichende Berechnung eines Rahmens mit unteren oder oberen Gelenken und mit Eingespanntsein kann für dieselben Momentenflächen durchgeführt werden, und nur die Summenausdrücke und Trägheitsmomente sind für eine veränderte a?-Achse zu bestimmen. Beim Vorhandensein von ein oder zwei Mittelstutzen sind auch in beiden Fällen die

Momentenflächen der diskontinuierlich berechneten Gegendrücke von den Summenausdrücken für X, Y und Z abzuziehen, und schiefe Kräfte können hierbei in ihre vertikalen und horizontalen Komponenten zerlegt werden. Bei der Rahmenberechnung mit zwei Stockwerken können oben Gelenke angenommen werden, und aus den hierfür bestimmten Momenten der vertikalen und horizontalen Kräfte erhält man auch die Momente für das untere Stockwerk, und die so erhaltenen Gesamtmomente dienen zur Berechnung von X, Y und Z für den eingespannten Rahmen mit zwei Mittelstützen, und dasselbe Verfahren kann auch bei mehreren Stockwerken angewendet werden.

Die von mir angewendeten Formeln für die kontinuierliche Berechnung der Einzellasten oder ihrer Belastungs-

8 SK

P max

für die größte Belastung der ersten Oeffnung

gleichwerte (die negativen Momente können hierbei aus p —

und für die zugehörige Belastung der zweiten Oeffnung, und für die Querkräfte und Auflagerdrücke aus dem Belastungsgleichwerte von zwei Oeffnungen bestimmt werden) sind durch die Aufzeichnung der berechneten positiven und negativen Momentenlinien und der Verteilungslinien für die Querkräfte einfach anzuwenden, und schließen bei Einhaltung der Vorzeichen jeden Fehler aus, und ist ihre Verwendung zur Bestimmung der Einflußlinien gleichfalls angegeben.

Die obigen Grundlagen für die Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierliche Berechnung sind daher in den zahlreichen Beispielen meiner bisherigen Veröffentlichungen angewendet worden und kommen auch bei der folgenden Rahmenberechnung mit mehreren Mittelstützen zur praktischen Verwendung.

1 Berechnung von Rahmenkonstruktionen mit mehreren Mittelstützen.

1. Resultate der Rahmenberechnung für zwei Mittelstützen.

Tn der von mir veröffentlichten „Gewölbe- und Rahmen-berechnung nach der Elastizitätstheorie“ (Heft 3 von 1911 dieser Zeitschrift) wie auch in dem bedeutend erweiterten Sonderabdruck derselben: „Gewölbe-, Rahmen-und kontinuierliche Berechnung von Eisenbeton- und Eisenkonstruktionen mit Anwendung auf praktische Beispiele“ (Verlag von C. W. Kreidel in Wiesbaden, 1911) sind die Formeln zur Berechnung von Rahmenkonstruktionen von beliebigen Formen mit Eingespanntsein oder mit Gelenken, und zwar ohne und mit 1 oder 2 Mittelstutzen, enthalten und auf verschiedene Beispiele angewendet worden.

In dem letzteren sind drei Beispiele mit je zwei Mittelstützen vorhanden, in welchen die Berücksichtigung des Einflusses der Mittelstützen auf die Berechnung der Horizontalkräfte noch nicht vollständig durchgeführt ist.

In dem ersten Beispiel (s. S. 27) ist der Einfluß der verschiedenen Belastung durch die Vordächer auf die Auflagerdrücke bei A und B berücksichtigt, wie dies bei Weglassung der Mittelsäulen jedenfalls richtig ist, so daß man für das Eigengewicht erhält:

0,5 • 20,4 — 1,5 • 3,1

Für die Schneebelastung der Vordächer ist gleichfalls der Auflagerdruck bei A und B wie oben zu berechnen, und die Momente sind = 2,63 und = 0,15 mt, somit ihre Differenz — 2,63 — 0,15 = 2,48 mt, so daß

man einen Druck bzw. Zug =

2,48

= 0,21 * erhält

2-5,8

und die Momente M₀ =0,21-5,8 = — 1,22 m* bei E und F sowie = — 2,44

rut

bei B und D werden.

Zur Berechnung der Momente des Rahmens können beide Wirkungen addiert werden, so daß man erhält : M₀ = 2,26 -F 1,12 = 3,48 m* sowie X = 0, 3,48

. 1,44 = + 0,30 \ Z = + 3,48 m‘, und bei

16,94

Einsetzung der Werte II = X, V — Y und M — Z in die Gleichung Mx = M -j- M₀ — H • y sich (vgl. S. 36 die Berechnung für den horizontalen Winddruck, wobei entgegengesetzte Vorzeichen anzunehmen sind):

V • x ergibt

20,1

= 0,276 *,

1,5-23,2 — 0,5-0,3

= 1,724*, zus. 2,0*.

20,1

Die Differenz der beiden Momente 1,5-3,1 = 4,65 n,t rechts und 0,5-0,3 = 0,15 ra* links oder 4,65 — 0,15 = = 4,50 m* veranlaßt ferner einen Horizontalschub auf den äußeren Rahmen, welcher auf die beiden Mittelstutzen gleichmäßig verteilt werden kann (s. Abb. 7) und weil er von links nach rechts wirkt bei E einen Druck und

bei F einen Zug =

4,5

= 0,39 * veranlaßt, welcher

2-5,8

sich in A als Zug und in B als Druck äußert.

c-wßy

tym

MtJ'f

+4 w

^:P.    J'

!s

U-----

---

ü' '■v**

Sv

Ma — -F 3,48 — 0,30 • 10,05 = + 0,47 = Mc,

Mc, --= -F 3,48 — 0,30-9,5 — 0,33 = + 0,30,

Md, — -F 3,48 -F 0,30-9,5 - 6,63 = — 0,30,

Md — + 3,48 -F 0,30-10,05 — 6,96 = — 0,47 = Mb.

Werden diese Werte zu den schon (ohne Kontinuität) berechneten Momenten addiert (s. Abb. 9 (15) und 45 der obigen Veröffentlichungen), so erhält man beim Zweigelenkrahmen (für welchen Ma und Mb = 0 werden) die in Abb. 1 eingeschriebenen inneren Zahlen, während die genaue Berechnung (mit Annahme von Gelenken in den Mittelstützen) die äußeren Zahlen ergibt und nur wenig hiervon abweiclit und auch bei teilweisem Eingespanntsein der Mittelstützen nicht genau zutrifft. Für die kontinuierliche Berechnung der Auflagerdrücke in A, E, F und B erhält man die außen eingeklammerten Zahlen, welche von den beiden anderen Berechnungen stark abweichen und daher nicht verwendet werden können.

^Sü//mu.---

Abb. 1.

-H

0,46 m/

'S-

ti.—;

Abb. 2.

Hieraus ergibt sich die in Abb. 2 gezeichnete Momentenfläche mit M₀ = 0,39 • 5,8 = — 2,26 m* bei E und F sowie = — 4,52 bei B und D, und zwar ganz analog derjenigen in Abb. 43 für den horizontalen Winddruck (nur mit entgegengesetztem Vorzeichen), so daß die dort berechneten Werte : X — 0, Y = — 1,44 *,

O OP

Z—— 16,94ra* im Verhältnis . * ■■■ reduziert werden können

16,94

und hierfür X — 0, F= + 0,19*, Z =    2,26 m* ist.

Bei Berücksichtigung des Einflusses der Mittelstützen werden auch die auf S. 39 berechneten Auflagerdrücke verändert, indem beim Eigengewicht für die diskontinuierliche Berechnung erhalten wird :

0, = 4,45 — 0,39    =    4,06 *,    0₂    =    9,23    +    0,39    =    9,62 *,

0₃ = 9,23 — 0,39    =    8,84 *,    0₄    =    5,89    +    0,39    =    6,28 *,

zus. 28,80 *, während die Werte der Berechnung mit Gelenken an den Mittelstützen sind:

Q, = 4,07 *, Q, = 9,94 *, Q, = 8,77 *, Q, = 6,02 *, zus. 28,80 *, und die kontinuierliche Berechnung ergeben würde :

Qt = 3,15 *, 0₂ = 10,90*, 0₃ = 8,82 *, 0₄ = 5,93 *, zus. 28,80 *.

Bei der Schneebelastung ergibt sich für die diskontinuierliche Berechnung :

0, = 1,24 — 0,21    =    1,03 *,    0₂    =    2,49    +    0,21    =    2,70 *,

0₃ = 2,49 — 0,21    =    2,28 *,    0₄    =    2,28    +    0,21    =    2,49 *,

zus. 8,50 *, und mit Gelenken an den Mittelstutzen :

<01 = 1,01 *, 0₂ = 2,90 *, Q₃ = 2,30 *, 0₄ = 2,29 *, zus. 8,50*, und für die kontinuierliche Berechnung:

0, = 0,84*, 0₂ = 3,09*, 03 = 1,96 *. 0₄ = 2,61 *, zus. 8,50*, so daß auch hier die beiden ersten Berechnungen genügend übereinstimmen, während die dritte stark von ihnen abweicht.

ln dem zweiten Beispiel (s. S. 39) wurde die horizontale Wirkung durch die verschiedene Belastung der Vordächer nicht berücksichtigt, und man erhält für die Auflagerdrücke (s. Abb. 3)

5,02-22.05 — 7,29-2,25

A —

B = 12,31 — 4,60 = 7,71⁴ (statt 7,29 ⁴).

20,5

— 4,60 ‘ (statt 5,02 ⁴),

verschiedenen Belastung durch die Vordächer wie oben bestimmt, aber die horizontale Wirkung des Unterschieds ihrer Momente 2,25 • 3,65 = 8,21 und 1,55 • 2,51 = 3,89 nit ist nicht berücksichtigt, so daß man aus 8,21 — 3,89 = 4,32 mt

als Druck bei E bzw. Zug bei F :    = 0,43 ⁴ statt des

A • O

4 32

Zuges bei A bzw. Druckes bei B :    ’ -

J. o

= 0,29 ⁴ erhält

fs

-Ą Źm *

Abb. 3.

AS*-»

Abb. 5.

Vr⁴-M

«f//W

tfjâd/n/

’ors

<■ -

_s.a__ A--4*-- +

Ą 30 m/ jQ.âOm/

J¹

a te

ûtâJl

qô/

Abb. 6.

Abb. 4.

Der Einfluß des Unterschieds der beiderseitigen Momente ergibt sich (bei ganzem Winddruck und halber Schneelast) aus :

7.29 • 2,25 — 5,02 • 1,55 _ 16,40 — 7,78 _ 8,62

14 -°’⁶²‘

(hierbei tritt 8,62 an die Stelle von 11,47, S. 41), so daß jetzt A = 4,60 — 0,62 = 3,98 ⁴ (statt 5,02 — 0,82 = 4,20 ⁴) und B = 7,71 + 0,62 = 8,33 ⁴ (statt 7,29 + 0,82 = 8,11 ⁴) in die auf S. 42 berechneten Auflagerdrücke einzusetzen ist.

Die Momentenfläche in Abb. 4 ergibt sich aus Mq = 0,62 • 7 = — 4,34 mt bei E und F sowie = — 8,68 mt bei B und D, und aus ihrer Vergleichung mit Abb. 68 erhält man:

X=0, Y =

2-7

4,34

14

. 1,39 = + 0,38 *, Z = + 4,34 “⁴.

16,10

Eine angenäherte Berechnung der Momente an den Mittelstutzen bei E und F erhält man durch den veränderten Gegenzug bei A und Gegendruck bei 2? = 0,62 4 8,62

statt

— 0,42 ⁴ aus Me =    = (0,62 — 0,42) •

20,5

.7 = 4= 1,40 mt, und die genaue Berechnung der Momente des Rahmens durch die horizontale Wirkung der verschieden belasteten Vordächer ergibt sich (analog derjenigen für den horizontalen Winddruck, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen S. 47) bei Einsetzung von H=X, V = Y und Z = M sowie M₀ in die Gleichung Mx == — M -f M₀ — H-y — V’X (worin H• y wegfällt) aus :

Mf, = +    4,34    +    0,38 • 6,75 -    1,5 -    4,34 = + 0,40,

Md = + 4,34 + 0,38-10,25 — 8,68 = — 0,45 =

— Md, — Mb,

und diese Momente sind zu den auf S. 48 berechneten Werten zu addieren (dasselbe gilt auch flir den Rahmen mit zwei oberen Gelenken, weil die «/-Achse sich hierfür nicht ändert).

In dem dritten Beispiel (s. S. 49) mit zwei Stockwerken sind die Auflagerdrücke bei A und B infolge der

und das angenäherte Moment an den Mittelstützen E und F — (0,43 — 0,29)-5 = T 0,70 mt wird.

Aus der in Abb. 6 gezeichneten Momentenfläche mit M₀ — 0,43 • 5 = — 2,15 mt bei E und F und = — 4,30 rnt bei B und D können daher (analog derjenigen für den horizontalen Winddruck mit entgegengesetztem Vorzeichen, s. &bb. 84) die Werte von 2,15

• 0,87 = + 0,25 \ M = + 2,15 m<

X = 0, Y =

sowie die Momente des Rahmens wie oben (vgl. S. 52) bestimmt werden, und man erhält:

+ 2,15 — 0,25-7,5 = + 0,28 = Mc, = Mc, Me,= + 2,15 — 0,25-5 — 1,075 = — 0,18,

Me = + 2,15 — 0,25-2,5 — 2,15 == — 0,63,

Mg = + 2,15 — 2,15 = 0,

Mf = + 2,15 + 0,25-2,5 — 2,15 = + 0,63,

Mfl = + 2,15 + 0,25-5 — 2,15-1,5 = Ą- 0,18,

Md = + 2,15 + 0,25 - 7,5 - 4,30 = - 0,28 == Md, = Mh, und kommen diese Momente noch zu den auf S. 53 und 54 berechneten Momenten.

7,43

2. Anwendung derselben auf die Berechnung für mehrere Mittelstützen.

Der Fall mit 2 Mittelstutzen kann nun für beliebig viele Mittelstützen verwendet werden, wenn die im oberen

M

Balken wirkende Horizontalkraft II —    auf die ein

zelnen Teile des Rahmens verteilt wird (h =

Höhe bis

Abb. 7.

Denn im ersten Feld rechts wirkt oben des ganze H, während es vom zweiten bis vierten Feld gleichmäßig abnimmt und im fünften Feld = 0 wird, so daß an den

4 Mittelstützen - als Differenz Ubrigbleibt (s. Abb. 8).

4

2*

Hieraus ergibt sich die Größe der in den Mittelstützen hervorgerufenen Zug- oder Druckkräfte durch die Momente

. Mw

i

4,8

4-2

= 0,6 ¹ und

Breite: il/ =

ql²

4•1,2 ■ 2²

2 a • V₂ =

Mw

4,8

4-4

= 0,3 ‘ (a = 2 m).

= 2,4 mt, und für die

Annahme eines beweglichen Auflagers bei A und diskontinuierlicher Auflagerdrücke an den Mittelstützen E, F, G, H ergeben sich die in Abb. 10 gezeichneten Parabeln mit 2,4 mt Höhe.

und zwar erhält man links Zug- und rechts Druckkräfte, welche zusammen die Gegendrücke an den Auflagern V — 0,6 -f- 0,3 = 0,9 * ergeben (s. Abb. 8).

+<r

Zu der nach den gewöhnlichen Formeln

2 w • u'

z ~-—

zf;^.

ZK-*S

-æ

zf'₀

G (= 2 w)

berechneten Wirkung der negativen Momentenfläche (s. Abb. 8) kommt daher noch die Wirkung der positiven Momentenfläche (s. Abb. 9) aus:

2-0,9 = 1,8; 4-— 2-0,3 = 2,4;

= 3,0; 10-0,9 — 8 • 0,6 — 6 • 0,3 fl- 4 - 0,3 fl- 2 - 0,6 — = 4,8 mt (einfacher aus 2-0,9 = 1,8; 1,8 fl- 2-0,3 = = 2,4; 2,4 fl- 2-0 = 2,4; 2,4 + 2-0,3 = 3,0; 3,0 fl-+ 2-0,9 = 4,8 mt).

Z= —

— 2-0,6 = 2,4; 6-0,9 — 4-0,6 — • 0,9 — 6 - 0,6 — 4 • 0,3 + 2 • 0,3 =

-r

Abb. 10.

Es ist nun zunächst der Abstand der æ-Achse (mit J{ — 2 und J₂ = 1) von dem oberen Balken zu be

(T

stimmen, und man erhält ^für w —    :

_ 'Lwy' _

Y.w

8

— = 0,57

14

W /    .A3 'A3

Vît

Ferner ergeben sich die Trägheitsmomente des äußeren Rahmens aus ' y² ’ds

ï⁷æ-

Ni *

N»

K,

^--2 - _>!<■—2-->}< - -2>n.

Al.b. 8.

j w ty\ + yx -y₂ 4- y\) =

— 0,57²-14^ = 16,8 (von CD aus),

/y»2 u (J    1

(*} -Yx,x,+x\) =

2 • 5³

(Il

\ 3-2

• 5²

1-3

= 183,3,

\f

03    03 û,é

2

so daß man für die vertikale Belastung mit F₀ =----

3

• 2,4-2 = 3,2 und F'₀ =

sowie ys und xs als

i.ü

Abb. 9.

Schwerpunktsabständen der Momentenflächen in den Stäben des Rahmens erhält:

ZK -y* _

^5 •    • 0,57 j : 16,8 = + 0,54

Ist nur eine Mittelstütze vorhanden, so erhält man die gestrichelte gerade Linie, und dieselbe Momentenfläche ergibt sich auch beim Wegfallen der gestrichelten Mittelstutze, so daß in beiden Fällen die Momente aller Querschnitte = 0 werden und eine Berechnung der

Momentenfläche für die Gegendrücke

4,8

= 0,48 ‘ über-

2-5

flüssig ist, weil die Berechnung derjenigen des Winddrucks mit frei beweglichem Auflager bei A und mit Einspannung bei B schon die richtigen Momente ergibt.

Es soll nun das obige Beispiel berechnet werden, und zwar für die in Abb. 10 gezeichneten Momentenflächen, indem die diskontinuierliche Auflagerung des Balkens auf den Mittelstutzen genauere Werte für die positiven und negativen Momente ergibt als die kontinuierliche (vgl. Abb. 9 bzw. 15 in obigen Veröffentlichungen sowie Abb. 1 oben) und bei teilweiser Einspannung des Balkens die gewöhnlichen Auflagerdrücke für die Mittelstützen erhalten werden.

Man erhält daher als Maximalbiegungsmomente der

Belastung und bei 4m

einzelnen Felder mit 1200k®/

qm

Y_ 2 Fa • x s

— 0 (wegen der Symmetrie der Momenten-

flächen zur ^/-Achse),

ZF'n =

G (= 2 w)

Es ist nun II = X = -f- 0,54 *, V = Y — 0, M — Z = — 1,14 mt in die Gleichung Mx = M + 4- M₀ — II-y — V* x (M₀ = Moment der linksseitigen Kräfte) mit ihren Vorzeichen (auch denjenigen der Abstände y und x für die berechneten Querschnitte von den Koordinatenachsen) einzusetzen, so daß man erhält :

Ma = — 1,14 + 0,54-3,43 = + 0,71 = Mh,

Mc = —- 1,14 — 0,54-0,57 = — 1,54 =

= Me = M, = M, = Mh = Md

(in der Mitte der Felder erhält man Mx = — 1,14 — 0,54-0,57 -f- 2,4 = fl- 0,86 mt, also angenähert wie bei

M und in der Mitte ~ M).

O

(-¥)

: 14 — — 1,14 mt.

Eingespanntsein am Auflager

(N CO

Von dem rechts wirkenden Winddruck erhält man bei Annahme eines frei beweglichen Endes für A die in Abb. 10 rechts gezeichnete Parabel, und hierfür ist

K = -    ~y. = -

= ■— 2,43, xs = — 5, somit

CO

-4 + 0,57 =

(-4-2,431:16,8 = + 0,46

: 183,3 = + 0,09 ¹ und

Z = —

Mx= M+ M₀ — H-y - V-x:

: 14 = +- 0,23 mt und bei Einsetzung in

Md = 0,23    —    0,46-0,57    -+    0,09-5    =    +-    0,42    nit,

Mh = 0,23 + 0,46 • 3,43 +- 0,09 • 5 — 4,8 = — 2,54 mt.

Von der gleichfalls durch den Winddruck hervorgerufenen Momentenfläche in Abb. 9 erhält man die Werte von F₀, xs und ys aus folgender Tabelle (von D nach links):

mt

Trapez

1—5

a +- 2 b

a +- b

h Qi)

h a + 2 b 3~ ' a + b _    q_+ b

o — n ₂

cT    Ó'

rH

GO CC

ii

00 rH

05

C> tc y.

+ 'o

CO

T-t (M

cc 00

Cb

c.

h schiefe Länge mit Rechenstab

ß

= Abstand 4= — • Breite

+ 7,8 5    °’⁹²

+ 5,4

+ 4,8

+ 4,2

-+ 1,8

(j = o

•2    3 —

0,96

•2 1---.2 = 0

rH

= — 4,08

= — 2,04

ii +

]a>

= + 3,67

ys konstant = + 0,57

Das Rechteck rechts ergibt F₀ = 4,8-4 = + 19,2 (mit J = 2), xs — — 5, ys = — 2 + 0,57 = — 1,43. Man erhält daher

ihjl.

((7,8 + 5,4 + 4,8 + 4,2 + 1,8) .0,57 —    1,«): 16,8 ₌ 0,

(— 7,8 • 4,08 — 5,4 ■ 2,04 + 4,8 • 0 + 4,2 • 1,95 + 1,8 • 3,67--

- (7,8 + 5,4 + 4,8 + 4,2 + 1,8 +

Hieraus ergibt sich für II — X, V = Y und M = Z das Moment Mx = M + M₀    — II• y —    V-x oder

Me =    —    2,40    + 0,42 - 3    -+ 1,8    =    + 0,66,

Mg —    —    2,40    — 0,42 • 1    + 2,4    =    — 0,42,

Md —■    —    2,40    — 0,42 -5    + 4,8    =    + 0,30 ==    Mb.

19,2

^— 5 1: 183,3 = - 0,42 *,

6r

: 14 = — 2,40 mt.

Ma = —    2,40    +    0,42 • 5    = —    0,30 = Mc,

Mf = —    2,40    +    0,42 • 1    + 2,4    = + 0,42,

Mh = —    2,40    —    0,42 - 3    + 3,0    = — 0,66,

Durch Summierung der Momente für vertikale und horizontale Belastung erhält man :

(die Zwischenpunkte werden in derselben Weise wie oben berechnet).

mt

Mit dieser einfachen Berechnung sind daher sämtliche Momente und Spannungen (bei positivem Mx außen Druck und innen Zug und bei negativem Mx umgekehrt) aus

Nx = Vx- sin cp + IIx • cos cp, Tx = Vx • cos cp - Hx • sin cp

und Hx — H — 2 II sowie ^ bestimmt (der Ab-

werden) ergibt daher auch nach dem obigen Beispiel eines Güterschuppens (s. Abb. 9 und 15 meiner Veröffentlichung von 1911 sowie Abb. 1 oben) angenähert richtige Werte, und es wird dadurch die umständliche Rechnung eines

mit Vx= V -

0 = Ä

i-¹ 83

\N“

und o® =

stand c der Normalkraft Nx von der Fugenmitte ist nach außen oder innen aufzutragen, je nachdem er positiv oder negativ ist, und ergibt hierdurch auch den Schnitt der StUtzlinie mit der Fugenrichtung).

Die obige angenäherte Berechnung des Einflusses der Mittelstützen auf die Berechnung des eingespannten Rahmens AB CD (für welchen ja auch der diskontinuierliche Auflagerdruck der Gesamtbelastung des oberen Balkens bei Annahme eines beweglichen Auflagers in A anzunehmen ist, so daß bei Abzug der durch die teilweise eingespannten Mittelstutzen hervorgerufenen Gegendrücke der Auflagerdruck des ersten Feldes übrigbleibt und damit auch die Parabeln in den einzelnen Feldern erhalten

Nx

b-h

\ ^ .

<r---

-J

Abb. 11.

siebenfach statisch unbestimmten Systems vermieden, für welches aus den Elastizitätsgleichungen sieben unbekannte Größen zu berechnen sind.

Bei verschieden hohen Mittelstützen (s. Abb. 11) kann das Moment der horizontalen Kräfte bzw. des Winddrucks

Mw

gleichfalls bei fünf Mittelstützen mit ——- auf die einzelnen

o

Teile verteilt werden, indem die Gegendrücke in dem äußeren Rahmen ähnlich wie beim geraden Balken wirken,

, V₂ =

und aus V, —

Mw

Mw

um die Zug- oder Druckkräfte Vx in den einzelnen Stützen zu erhalten (bei Annahme von H — 1,6 ⁴ und den eingeschriebenen Maßen erhält man dieselben Werte wie in Abb. 8). Wird bei einer Bogenstellung mit Endwiderlagern (als den Endständern des Rahmens) noch der Winddruck Mw oder die Bremskraft B in der Höhe K mit Mb — B K oder die Temperaturspannung in der Höhe der cc-Achse berücksichtigt, so kann für deren Momente gleichfalls eine Verteilung auf die Mittelstützen erfolgen, während sie auf die Endwiderlager keinen wesentlichen Einfluß ausüben, außer wenn dieselben vollständig frei liegen oder die Bremskraft auf das feste Auflager wirkt.

Nachdem nun der Wert der Gegendrücke bzw. -züge Vx bestimmt ist, so ergibt sich hieraus (in derselben Weise wie beim Zweigelenkbogen)

ergibt sich die durch

5 • a₂

das Moment der Horizontalkräfte bewirkte Verminderung bzw. Vermehrung des vertikalen Druckes in den Mittelstützen, wie ja auch die äußeren Ständer des Rahmens dadurch einen Zug bzw. Druck erhalten, welcher sich in den benachbarten Mittelstützen als Druck bzw. Zug geltend macht (in der Mittelsäule hebt sich die Druck- und Zugwirkung auf, und sie hat keinen wesentlichen Einfluß auf den horizontalen Winddruck, während dessen vertikale

5 a,

Komponente auch diskontinuierlich berechnet wird).

Auch der in Abb. 12 gezeichnete Fall eines Rahmens mit bogenförmigem statt geradem Balken und teilweise eingespannten Mittelstützen kann in ähnlicher Weise be-

Vx-G-zu-

'Sn

'S

'S

'S ,SS

J2 Abb. 12.

rechnet werden, wenn der Widerstand gegen die Verschiebung in den einzelnen Bögen gleich groß angenommen wird und der durch die gestrichelten Linien angedeutete und bei A und B eingespannte Rahmen zu berechnen ist.

Bei sehr steifen Mittelstützen sind die einzelnen Bögen als eingespannte Gewölbe zu berechnen (auch bei nachgiebigen Stützen wird zunächst dieselbe Berechnung mit Stützlinien bzw. nach der Elastizitätslehre ausgeführt), und wenn ein Nachgeben der Mittelstützen angenommen wird, so ist ein Bogen vollbelastet und alle anderen sind unbelastet anzunehmen (bei Vollbelastung aller Bögen heben sich die Horizontalschübe gegenseitig auf, und es kommt dies für die Berechnung des äußeren Rahmens in Betracht).

Die Differenz des Horizontalschubs in beiden Fällen (welche ja auch bei Berechnung der Mittelstützen verwendet wird) kann nach Abb. 12 als Horizontalkraft H eingeführt werden, welche bei Belastung des ersten Feldes rechts nach links wirkt und sich auf die vier Mittelstutzen verteilt (bei Belastung eines mittleren Feldes würde die Wirkung nach rechts und nach links eine analoge sein, indem sich dieselbe auf die Stützen rechts und links gleichmäßig verteilt).

Die Wirkung dieses Horizontalschubes ist nun für dieselbe Steifigkeit der Bögen in dem Moment M= ausgedrückt, und dieses ist wdeder = ax • Vx zu setzen,

und es ist dieses Hx von dem berechneten H abzuziehen oder (für die Zugkraft) zu addieren, wie auch Vx zu dem V des berechneten Gewölbes hinzukommt oder von ihm abzuziehen ist. Die Zusammensetzung von Vx und Hx ergibt eine Resultante Bx, welche mit dem Kämpferdruck R zusammenzusetzen ist, um hieraus die Abweichung der Stützlinie des eiugespannten Gewölbes zu erhalten*).

Diese Berechnungsweise gilt jedoch nur für solche Rahmenkonstruktionen mit eingespannten (oder mit Gelenken versehenen) Endständern, deren Mittelstützen nicht oder nur teilweise eingespannt sind und daher nur zur Aufnahme der Gegendrücke des oberen (geraden oder bogenförmigen) Balkens dienen. Werden die Mittelstützen ebenso ausgebildet wie die Endstützen, so kann mit der Kontinuität des oberen Balkens gerechnet werden (auch wenn derselbe an den Endstützen frei aufliegt), und es kann hierbei auch die elastische Durchbiegung der eingespannten Mittelstützen berücksichtigt werden (vgl. das Beispiel einer kontinuierlichen Brücke in meiner letzten Veröffentlichung von 1911).

Die Berechnung des Tunnelprofils (in derselben) als ringförmiger Rahmen zeigt endlich, wie dasselbe Verfahren auch bei jedem geschlossenen Querschnitt mit inneren oder äußeren Kräften angewendet werden kann, wenn die #-Achse (auch bei unsymmetrischem Querschnitt) bestimmt wird und die Summenausdrücke bzw. die Momentenflächen bei geraden Stäben hierfür gerechnet werden.

H I

T.h

*) Auch für Scheddäeher mit Dreiecken statt der Bögen ergibt sich eine ähnliche Berechnung des Einflusses der Horizontalschübe, und bei unsymmetrischer Anordnung der Dreiecke gegenüber der t/-Achse ist die Verschiebung der

vertikalen f/-Achse ^aus - ^ j und die Drehung der æ-Achse

aus den Formeln in meinen letzten Veröffentlichungen von 1910 und 1911 zu bestimmen und die Momentenfläche der Zug- und Druckkräfte in den Mittelstützen wie in Abb. 9 zu berücksichtigen (s. auch S. 2).

II. Berechnung eines zweistieligen Bahnsteigdaches mit zwei Gelenken.

1. Berechnung des Bahnsteigdaches mit Bimsbetondecke.

T~\as Dach für den in Abb. 16 gezeichneten

steig soll aus Bimsbeton von 6,5 cm Stärke hergestellt werden, auf welchem die Dachpappe mit Christolanstrich befestigt wird. Als Eigengewicht erhält man vom Bimsbeton 0,065-1700 = 110 kg/qm (sein spezifisches Gewicht ist mit Eiseneinlagen = 1,7) und für die Dachpappe 10 kg sowie Christol 5 kg oder zusammen 125 kg/ druck kann bei der Form des Daches vernachlässigt werden, und für ganze Schneebelastung sind 75 kg/qm zu rechnen, so

Güterbahn-

qm*

Der Wind-

daß man bei einer Belastungsbreite von 0,9 -j- 0,7 = 1,6 ra

(37,5)    (260)

erhält: (125 + 75) -1,6 = 320 kg und vom Eigengewicht des Balkens (bei Abzug der Decke) 0,43 • 0,2 • 2400 -f--f- (0,035 — 0,065) • 0,2 • 1700 = 196 kg, somit zusammen

(260)

320 + 196 = rd. 520 k^/m.

Die Berechnung der durch die Balken von 9 m Länge getragenen Bimsbetondecke ergibt sich für Bimsbeton 1:2:4 (1 Teil Zement, 2 Teile scharfen Sand und 4 Teile Bimskies) aus den zulässigen Spannungen des Bimsbetons

(460)

oh = 25 kg, des Eisens oe = 1000 kg und dem Verhältnis

Nach Alb (s. Ber. der

= 30 (statt 15). Eisenbetonkonstr. 1906) ist alsdann:

n~ Eb

* (-— + 0

\n<3h J

— m • x oder m

1000

ferner a? —

sowie h

Belastung von mehreren Oeffnungen), so daß man erhält 0,52-9’ mt’> —    ₁₂

Für das letztere ergibt sich (beim Eingreifen des Balkens um 3 em in die Bimsbetondecke) bei doppelter Armierung mit 6 = 20 crn, h = 40 cm, h' = 4cm, ab = 40 kg nach A2d (s. Ber. der Eisenbetonkonstr. 1906 und 1910): 3 ₇    3-40

8~ ‘ ⁼ 8

3,51 m/t und Mqa

0,52 -9²

10

4,21 “/t.

30-25

y~M

= 0,02 YMcm/kg

= 0,0467 ]/ ifcm/kg, endlich ist fe =    =

² °C

0,025 ]/il/cm/kg.

6 il/

cm

cm

• a₆ (3 w — 1 ) und o₆ = 25 kg wird #

100-25-x

2•1000

!,

und für

— 15

(-v)

cm

= 440 kg,

il/

•x    a;\

i“ (* - T)

20-15

oder

440

°6

n (/* - *') =

421000

₄₀ r.w-*)=

40

und hieraus (mit Rechenstab)

fe = 26,5 - 13,3 = 13,2 qcra, 25 fe = 440-13,2

20-15

fe

a6

16

Me

3fm

40

und fe = 5,8 + 6,0 — 11,8 qc,n, so

7ß

Buge!

76-

qcm

daß unten und oben 3 0 24 = 13,6

Für das erstere ist mit h = 39, K =3, ab = 40 kg: 3-39

genügen.

= 14.6 cm, o'e = 15 -40 ^1 —    476 kg,

476

40    (S9    3)

351000    20-14,6 /.    14,6\

2    \⁹    3 /

40

oder

Abb. 13.

fe = 20,5 — 11,6 = 8,9 qcm, 25 fe

476

40 -⁸’9 +

20-14,6

Das Moment des vorstehenden Daches ist 0,200-0,9²

bei

oder fe = 4,24 + 5,84 3 0 24 und oben 2 0 24 = 9 qcra.

10,1 qcra, somit genügen unten

0,9 m Länge: M x = 0,02 |/8ioo = 1,8 cm, h — ~

= 0,081 m/t, somit

— x = 4,2

= 0,025 Y8100 = 2,25 qcra, so daß bei 1 der Eisen vom Rand und 6

mm

hx — 5,2 erhalten wird: fe =

cm

cm

fe =

Abstand Durchmesser derselben für

4,2

5,2

• 2,25 = 1,82 qcra und

hierfür 7,5 0 6 = 7,5 • 0,283 = 2,12 qc,n genügen, während die Verteilungseisen mit ca. 30 cra Abstand 5 mra stark sein

^derselbe Wert für fe ergibt sich auch

-— • -ÿ— = 0,00117 40 hx

können

aus

-■f =

h. ,e

0,0467 M

kg

Für die Stützweite von 1,4m zwischen den Balken 0,2-1,4²

erhält man M =

Die inneren Balken haben (mit Einrechnung der Dachrinne) nur 0,7 -j- 0,275 = 0,975 m Belastungsbreite somit

(162,5)

0,975-200 = 195 kg/ąin zu tragen, und mit dem Eigen-

0,4 -9²

05«)

(158)

(360)

gewicht 195 -f- 196 = rd. 400 kg, so daß Mm = 0,4-9²

12

= 3,24 m/t wird, und die

= 2,70 m/t und Ma =

Armierung wie für die äußeren Balken reichlich stark ist.

Für beide ergibt sich die in Abb. 14 gezeichnete Anordnung der Eiseneinlagen, wenn die Abbiegungen bei

10

IO

und bei

= rd. 180

= rd. 90

cm

cm

angenommen

werden. Die Stöße der Eisen sind an die Stelle zu legen, wo die Momente am kleinsten sind, und ist dies bei dem

10

Abstand — der Fall (wobei oben die Lichtweite und unten 0,049 m/t, wenn der Abzug dje Stützweite gilt), so daß unten bei 1,5 m Abstand M = 0

durch das negative Moment des äußeren Daches nicht berück-

0,0117-4900

sichtigt wird. Hierfür ist fe =

so daß schon 5 0 6 = 5 • 0,283 = = 1,42

5,2

= 1,10 qcm,

t/1

Y 3

•(4,5 — 1,5) = 1,74 m Abstand von

tvird, und bei

der Mitte 2 0 24 genügen, während der Stoß bei 2,05 m

qcm

3 $18

genügen, und mit Rücksicht auf das negative Moment können von den 7,5 oberen Eisen 5 ganz durchgehen und 2,5 nach unten abgebogen werden sowie 2,5 unten durchgehen, und die Stelle der Abbiegungen ergibt

Z/jiM

H6,5 cm (mittlere HöheJ

-9,0 m-

Abb. 14.

hz—90

'30

cm

cm

(5 Eisen

sich aus = rd. 16

pro Meter Breite ergibt 20 Abstand derselben).

Die Abstände der Konsolen, welche die Balken tragen, sind = 9 m, und es kann wegen der gleichmäßigen Be-

q ^

lastung des ganzen Daches mit Mm =    ¹    - in der Mitte

100

cm

und — = rd. 32 5

, 1,5 und 1 ergibt 60 und

Abstand liegt (oben hört hier das mittlere Eisen auf, und die zwei äußeren reichen bis zu den Abbiegungen).

cm

Der Auflagerdruck ist bei Kontinuität der Balken — 1,1 • 0,52 • 9,0 = 5,15 *, und als Querkraft ist die Hälfte

5150

zu nehmen, somit wird x₀

2-20

(-39)

I- iCO

12

qP

= 3,8 kg ^da für x — -jj- h, ~

wird

und es ge-

der Oeffnungen und mit Ma = ^ werden (vgl. Hütte : Die Koeffizienten für gleichförmige

am Auflager gerechnet

nügen jedenfalls zwei Abbiegungen. Die Adhäsionsspan-

20 • 3,8

nung ist x, = -— —

nvici

3 • 7t • 2,4

— 3,4kg und gilt am

Auflager oben. 1000-2-0,5

Der Bügelabstand ist e = = 16,6 cra außen.

b- t₀

20-3

Zur Berechnung der Konsolen erhält man eine Einzellast 0,52 • 9 = 4,68 *, und das Gewicht derselben ergibt sich bei Verwandlung der Fläche in ein Trapez aus 0,6 + 0,1

-1,575-0,3-2,4 = 0,40* und ihr Schwerpunkt

1,575    0,6 + 2-0,1

0,6 + 0,1

ment = 4,68 • 0,675 + 0,4 • 0,6 = 3,40 mlt.

aus

= 0,60 ™, somit wird das Mo-

1*-.20-»

■0,6m-

IL

26⁴

2+ ₌ 38081

12

und bei den zwei anderen Stäben kann die

Mittellinie über den Stäben als Höhe angenommen werden (weil das angenäherte Verhältnis der Trägheitsmomente für die Rahmenberechnung genügt), so daß man für CE

und DE:

55³

12

. 30 = 415 938 erhält (bei letzterem wird der

Ui

— 2,0

7,5ro,Wr-~t

—1.12—i

20

«r

2,91m

C8‘Z

2,0

JL

-1“ 2,75

JL

Abb. 15.

Hierfür ergibt sich nach Alb:« =

i-

g Ständer

lb-ob

6-340000

7-30-40

30-15,6

50

50

= 15,6 Cm, k = y « = ⁴¹>⁶ fe. = — 9,36 qcm, und für h. = 56

fi Tse gu»

Abb. 16.

cm

wird

_ 41,6

. 9,36 — 7 qcm, so daß schon 3 0 18 genügen und 56

wegen der Abbiegungen 5 0 18 angenommen werden sollen. Die Querkraft ist

Q = 4,68 -f- 0,4 = 5,08* mit x₀ =

obere Einschnitt durch das untere Eck des Vierecks ausgeglichen) und das Verhältnis der Trägheitsmomente «/, : J₂ : J₃ = 1 : 10 : 10 wird.

Für den bei A und B eingespannten Rahmen erhält man den Abstand der «-Achse aus (s. Abb. 17):

5080

30

/

3,5 kff, und beim Balken ist Q — 5,08 — (

4860

0,6+0,445

)•

fr=------    -

!f*-j-7.V0-j

!|    ~*j 0,55 h— I

rkO±

<+o.n

<—7,23 *k I 1,77

1,23

• 0,575 • 0,3 - 2,4 = 4,86 * mit t₀ =

30

(f")

-1,U

so daß bei Annahme von 3 k* zulässiger Schubspannung 1,6 + 0,5

2-1/2’

aufzunehmen sind und hierfür oc

des Betons —

-57,5-30 = 1280 kg durch 2 0 18

1280

250 kg wird.

2,55 • 2

Die Abscherungsfläche des in der Konsole hängenden

breit, so daß man als

Balkens ist 43

cm

hoch und 20

cm

3,00-

*Ąi

9-h‘Z

Scherspannung erhält: x =

5150

= 3 kg und daher

2-20-43

die sechs durchgehenden Eisen 0 24, und zwar hauptsächlich die oberen drei (an welchen die unteren drei aufgehängt sind) vollständig ausreichend sind, und die unteren noch mit den 2 0 18 der Konsole durch Draht verbunden werden.

1,512,

-3.56

2. Berechnung des Zweigelenkrahmens mit Eisenemlagen.

Zur Berechnung des Rahmens in Abb. 16 und 17 sind die Trägheitsmomente der in der Mittellinie enthaltenen Stäbe zu bestimmen, und kann oben eine Gerade EF angenommen werden, während auf der Seite die Geraden AG und CE beizubehalten sind, wenn auch nachher das Eck derselben abgerundet wird (wie dies gewöhnlich bei Rahmenkonstruktionen geschieht). Das mittlere Trägheit s-

/23

moment von A C ergibt sich aus J, = ł—

- —7,23 -4*' §..    7,77—

Abb. 17.

29

12

41130 uür den mittleren Querschnitt erhielte man

0,57 0,55    2,45

10 2 1 ”

4,365 2,577

halben Rahmen), und zu = 3,0 — 1,70 = 1,30 ™ sowie G — 2 • 2,577 = 5,15 sind auch zur Berechnung des Winddrucks beim Zweigelenkrahmen erforderlich (vgl. meine Veröffentlichungen von 1910 und 1911).

. / 0,7

lw-ij 2, w (— G)

0,57 , 2,45

• 1,775):

10

= 1,70™ (für den

Bei letzterem ist die cr-Achse durch die zwei Gelenke bei A und B zu legen, und hierfür erhält man das Trägheitsmoment Tx = ) y"¹ • — =

0,57

(0,36)

wirken die Momente der inneren Balken M = 0,4 •

(1,98)

• 9 (0,885 — 0,275) = + 2,20 m/t, und für die angenäherte

(0,36)

gleichmäßige Belastung desselben ist M — (0,5 • 0,3 • 2,4) -1,7 7²

w(y\ +yry7+y\)~

2,45 2,45²\ 3“/*

—1-^-3²4

— t 10 ^

-2 = 11,92.

Die Momentenfläclien für die Summenausdrücke

10-3

(3²+ 3-2,45 + 2,45²) + —~

= + 0,14 ™/t.

S-FÓ-y,

sind nun so zu bestimmen, daß der gesuchte

Horizontalschub bei A = 0 gesetzt wird, während die vertikalen Auflagerdrücke durch die Gelenke bei + und B gehen und daher für die vertikale und horizontale Belastung mit der Stützweite 1,77 zu rechnen ist.

Die Momente für die Stäbe AG und CE sind daher = 0, und der letztere Stab erhält erst von C an das

(0,46)

Moment der Konsole: il/=0,52 - 9 (1,4 + 0,275 — 0,885) +

(3,56)

= — 3,99 m/t, und zwar wirkt das-

Man erhält daher als Momentenfläclien die in Abb. 17 gezeichneten negativen Rechtecke und positiven Trapeze und Parabeln für ganze und halbe Schneebelastung. Hierbei ist es am einfachsten, die vertikale Projektion derselben aufzuzeichnen und deren Flächeninhalte mit den

schiefen Stablängen zu multiplizieren, weil sie eigentlich senkrecht zu den Stäben gezeichnet werden sollten, wie

M₀ d

+ 0,4 (o,6 + 7+)

selbe senkrecht zum Stab, so daß es mit der schiefen Länge C E zu multiplizieren ist. Auf den Stab E F

dies aus dem Summenausdruck X —

hervorgeht. Man erhält daher folgende Tabelle für die Momentenflächen von G (s. Abb. 19) nach links, wobei die Höhen der Parabeln zu denen der Trapeze addiert sind und beide nur für den Stab EF gelten, auf welchen die Kräfte wirken (die auch für CE und D'F geltenden Rechtecke können direkt in den Summenausdruck für X eingesetzt werden).

Ganze Schneebelastung

Trapez

Halbe Schneebelastung

Bemerkungen

a F 2b........

a + b.........

h (H schief)

h a Ą- 2b ⁶    3 a + b

, a + b F0 — h--2

vP + lo o 'ö

—1    -4 ©

O » 03

V o

to 04 -J

6,34

4,23

0,275

0,137

0,642

0,175

0,648

0,137

0,581

3,41

2,76

0,425

0,175

0,586

(mit Rechenstab)

J₃ = 10

xs (Abstand + é)......

y ^Abstand +    • Hëhe^

Mit F'₀ = ■

-y s

0,137

0,450

0,137

0,450

y» =³ — y

Tx

sowie J, = 1 und J₂ = J₃ = 10 wird daher für den Zweigelenkrahmen :

(0,581)

(0,642

~ > 10

-3 +

(3,56)

(0,586)

0,648 ₀ • 3,99-0,7

——— • o — —:--o

(3,56)

3,99 • 0,21

10

10

10

-2,9

l.

2 : 11,92 = — 0,116 (0,103) *.

0 725²

Vom Winddruck erhält man bei F : M =    --9 • 0,150 — 0,98 - ——

(0,27)

Abstand von F (Unterkante des Balkens FF) :M — 0,36 + 0,98-0,2 F (0,2 • 9 • 0,150) • 0,1 = — 0,58 m/t, bei 1,6 m

0,265 + 0,30

0,725

= — 0,355 m/t, ferner bei 0,2 m

Abstand : M =

B:M =

0,58 + 1,4 (0,98 + 0,27) + ^ 0,58 + (0,98 + 0,27)-2,8 +

0,30 + 0,23

-2,8-

•1,4-

0,150^-0,7

== 2,33 + 0,04 = — 2,37 mjt und bei

Die Momentenfläclien sind von oben an (wobei das Rechteck mit 0,36 m/t Höhe bis F" anzunehmen ist, weil der Winddruck von hier an einwirkt)

Fn = 0,36-0,525 = — 0,19 m/t mit ys == 3,0,

0,36 + 0,58

0,150^-1,4 = 4,08 -j- 0,16 = — 4,24 m/t.

an

i\

rf

Idj36

(o,21 •

^ = — 0,10 m/t mit

*A

ih

_1£Z_

ys = 3,0--3

^0,36 •

0,2    0,36 + 2-0,58

0,58 + 1,02

0,36 + 0,58

= 2,89 m,

\ = — 0,29 m/t mit

_2,33 tPÆL

y* = 2,8 —    ₃

0,35    0,58 + 2 -1,02

’    0,58+1,02

au-

^2,45 - 1,02 F 4y- ) = — 6,24 m/t mit

2,45    4,08 + 2 • 1,02

3    4,08 + 1,02

^ 0,16-2,8

F» = —r~

y» =

— 0,98 m, = - 0,15 “/t mit ys =

2,8

= 0,7 ra (für die Parabel).

-y

_7,08+0,16

1,77m -—-3+7--------ą,2H~mt

Abb. 18.

Es ist daher der Horizontalschub

0,19-3    0,10-2,89    0,29-2,61    6,24

S^o'-y,

Tx

={

10

10

10

Als vertikalen Gegendruck bei A erhält man V =

4,24

V-G-zu-l _ 2,4 - 5,15-1,30-1,77

1,77

2TX

2-11,92

0,15

— • 0,71 : 11,92 — — 0,536 *.

= 2,40 *, und der zugehörige Horizontalschub ist

--0,98 -

= 1,193 *, somit bleibt als Differenz X — 1,193 — 0,536 = 0,657 *, und

aus dem ganzen Winddruck = 0,98 + 0,27 + 0,11 = 1,36 * ergibt sich der Horizontalschub bei B — 1,36 — 0,6517 = 0,703 *.

Aus dem kleinen Horizontalschub = — 0,116 (0,103)* für vertikale Belastung und dem beinah geich großen Horizontalschub bei A und B für den horizontalen Winddruck geht hervor, daß die Berechnung des Rahmens angenähert mit dem halben Winddruck als Horizontalschub ausgeführt werden kann.

Doch ist auch die genaue Berechnung leicht durchzuführen, und die Momente in jedem Schnitt des Rahmens ergeben sich aus der Gleichung Mx — V• x — H-y + M₀, un(* man erhält für die ganze Schneebelastung X = H = — — 0,116* (V'X -f- Mn ist bei vertikaler Belastung schon in dem oben berechneten M enthalten) und für das nach auswärts gerichtete H:

Ma = 0, Ma, = 1,4-0,116 = + 0,16, Mc = 2,45-0,116 = + 0,28, Me, = — 3,99 + 2,8-0,116 = — 3,67, Me = — 3,99 + 3-0,116 + 0,72 = — 2,92, Me, = — 3,99 +

Mt„ = — 3,99 + 2,20 + 0,13 + 0,35 = — 1,31 und Mg = - 3,99 + 2,20 + 0,14 + 0,35 = — 1,30 m/t

rechts sind dieselben Momente vorhanden).

0,51

0,61

•2,20 + 0,12 4- 3-0,116 = — 1,68,

Ebenso erhält man bei halber Schneebelastung mit X = H = — 0,103*:

Ma = 0, Ma, = 1,4-0,103 = + 0,14, Mc = 2,45-0,103 = + 0,25, Mc, = — 3,56 -f 2,8-0,103 = — 3,27 0,185

0,51

-1,98 + 0,05 + 3 • 0,103 = — 2,60, Me> == — 3,56 +

• 1,98 + 0,12 + 3 - 0,103 = — 1,48,

Me = — 3,56 +

Mt„ — — 3,56 + 1,98 + 0,13 + 0,31 = — 1,14, Mg — — 3,56 4- 1,98 + 0,14 + 0,31 = — 1,13 m/t.

Für den horizontalen Winddruck ist mit H — 0,657*, V — 2,4*:

Ma — 0, Ma, = — 0,657 -1,4 + 2,4 - 0,018 = — 0,89, Me =

Mc, — — 0,657 - 2,8 + 2,4 • 0,129 = — 1,53, Me = — 0,657 -3 + 2,4 (0,885 — 0,7) = — 1,53,

Me, = — 0,657 -3 + 2,4 (0,885 — 0,375) = — 0,75, Me„ — — 1,97 + 2,4 (0,885 — 0,175) = — 0,27,

Mg = — 1,97 + 2,4-0,885 == + 0,15, Mf„ = — 1,97 + 2,4 (0,885 + 0,175) — 0,355 = + 0,22,

M f, — — 1,97 + 2,4 (0,885 + 0,375) — 0,355 = + 0,70,    Mf = — 1,97 + 2,4 (0,885    + 0,7)    — 0,355 =    +    1,48,

Md, = — 0,657 - 2,8 + 2,4 (1,77 — 0,129) — 0,58 = + 1,52,    Md = — 0,657 • 2,45 + 2,4 (1,77 — 0,03) — 1,02 =    +    1,55,

Mh, = — 0,657 -1,4 + 2,4 (1,77 - 0,018) — 2,37 = + 0,92, Mb = 2,4 -1,77 — 4,24 = 0.

Die Summierung dieser Momente ergibt für ganze Schneebelastung und halben Winddruck:

Ma = 0, Ma, = + 0,16 — 0,45 = — 0,29, Mc = + 0,28 — 0,77 = — 0,49,

Mc, ==    —    3,67    — 0,77 = — 4,44,    Me    = —    2,92 — 0,77 = — 3,69,    Me, = — 1,68 — 0,38 = — 2,06,

Me„ =    —    1,31    — 0,14 = — 1,45,    Mg    = —    1,30 + 0,07 = — 1,23,    Mf„ = — 1,31 + 0,11 = — 1,20,

Mf, == — 1,68 + 0,35 = — 1,33, Mf == — 2,92 + 0,74    = — 2,18, Md, = — 3,67    + 0,76    = — 2,91,

Md = + 0,28 + 0,78 = + 1,06, Mb, — + 0,16 + 0,46    = + 0,62 m/t.

Ebenso erhält man für halbe Schneebelastung und ganzen Winddruck:

Ma = 0, Ma, = + 0,14 — 0,89 = — 0,75, Mc = + 0,25 — 1,54 = - 1,29,

__    3^27    — 1,53 = — 4,80,    Me    = —    2,60 — 1,53 ~ — 4,13,    Me, = — 1,48 — 0,75 = — 2,23,

Me„ =    —    1,14    — 0,27 = — 1,41,    Mg    = —    1,13 + 0,15 = — 0,98,    Mt„ = — 1,14 — 0,27 = — 1,41,

Mg =    —    1,13    + 0,15 = — 0,98,    Mf„    = —    1,14 + 0,22 = — 0,92,    Mf, = — 1,48 + 0,70 = — 0,78,

Mf =    —    2,60    + 1,48 = — 1,12,    Md,    = -    3,27 + 1,52 = - 1,75,    Md = + 0,25 + 1,55 = + 1,80,

Mb, = + 0,14 + 0,92 = + 1,06 m/t.

Die Formeln für die Berechnung der Temperaturspannungen sind auf S. 2 angegeben (Ht ist hierbei in der ir-Achse durch die Gelenke anzunehmen), und können dieselben bei der geringen Breite des Bahnsteigs vernachlässigt werden.

0,61

0,61

0,657-2,45 + 2,4-0,03 = — 1,54,

Mc,

89 t -

2s\

C'Ę-%80 C%~^⁵--1,71

-W' + 1,80\r

In Abb. 19 sind die Maxiraalbiegungsmomente für die Berechnung des Rahmens eingeschrieben, und das größte Moment bei C kann mit dem schiefen Querschnitt von rd. 49 cm Länge bei doppelter Armierung berechnet werden (s. Abb. 20). Die Normalkraft Nx ergibt

(4,14)

sich alsdann /aus dem Auflagerdruck A = 0,46-9 + 0,36-9 + 0,40 + 0,92 • 0,29 • 0,3 • 2,4 +

(0,17)

(3,24)

(0,19)

0,9 + 0,48

(0,11)

3-

• 0,335 • 0,3 • 2,4 + 0,4 • 0,3 • 0,375 • 2,4 = 8,25 * (die Abrundung bei C ist beim Gewicht

A'

^ 7°,S9

nicht berücksichtigt und wird durch die volle Rechnung des inneren Balkens ausgeglichen).

Hierzu kommt noch vom Winddruck V — 2,40 * somit zusammen 10,65 *, und wegen

1,77

der Schiefe von CE wird Nx — Vx sin cp + Hx cos cp = 10,65 • 0,155

0,55

0,57

- + (0,657 — 0,103)-

0,57

Abb. 19.

Mx = — 4,80 m/t, Nx = + 10,43 *, c =

= 10,43 *(s.S. 14—15).

Man erhält nun für doppelte Armierung nach B 2 c mit fe = f'e für

__ —_4,80_ _ _ 0 460 m h = 30 cm h _ 44 cm // _ 4

Nx 10,43    ?    ’

, V = 1,

cm

= — 0,460 + 0,245 = — 22 cra, g₇ = 22 + 44 = 66 x² — 2 x (A + /O =----- (A² + A'²) +

x* — 2 x (44 + 4) = — ~ (44² + 4²) -f

Z

— — 2928 + 29,80    — 92j, oder x² — 96 x + 5670 —

ist f{x) =

•°6

1(4 - 1)‘s'’ + (l

ob = 35 kg (bei Stützen):

oder

3*10430 f/44

30^35 il a;

O'⁶⁶ +(!--■)(- ²² -⁴⁾)

oder a;² — 96 x =

89 638

== 0.

f — 332 1 -f 309

und hierfür f (x) = + 94 und genaues x = 23 — fix) = + 3.

Für a? =

Ins IS

, somit x = 25 —

5*309

641

= 23

3*94

426

= 22,3 mit 5

Ferner ist n

(492)

(* - 4) « ^ v =

10 430

b • a;

Wir

Sä

-4)

f*/*# ^3$18

i

PM*

--g— (3 A — a),

• 22,3

!0*+5’'

•66

(3*44 — 22,3),

oder f'c = 41,6 — 24,8 = 16,8 qcm, so daß 4 0 24 = 18,1 qcm genügen.

35

Bei D erhält man Mx = -}- 1,80 in/t, B = 8,25 — 2,4 = + 6,85 ‘ und als kleinste Breite ca. 36cm, somit nach B2a mit fe — f'e = 18,1

= 0,262 m, 6 = 29 cm, h = 32 cm, ,h! = 4

+ 1,80

6,85

cm

<N)

+ 0,18 = — 8

g₂ = 8 + 32 = 40 •92 + (l — 4) ' {g' ~h )

cm

cm

: x² — 3 <7, • x

9t = - 0,26 +

6 n f* \(L _ A.

6    \\x    )

<f8

Wem

• x + 2921

1 __ 6* 15* 18,1 1 ~~    “ 29

oder x² + 3*8 x = 56,172 (1328 — 52), oder x² + 24* 74 596

i(ll

\ \ x

1^ • 4° + ( ¹

Zf8m

= 0.

Für x = und hierfür /'(x) = — 5. Ferner ist

12°    (+71

119 18t /»={_

188

, somit x = 20 —

1*71

259

= 19,7

*P-9>

(A — -    + ² W /e (A

CC «

2*6850*40

>4-4)

~ÏÔ(p10_

25 st

29*19,7 (32 — 6,6) + 2*15*18,1 (32 —

4) (l

548,000

⁴ 4 V/

3$18

14,5 + 12,1

- = 20,6 kg.

0,60

Abb. 20.

Bei B' ist Mx

= + 1,06 m/t mit B = 8,25 + ^

0,29 + 0,265

)-l,05

• 2,4 = 8,45 *, wovon 2,4 * für den

Winddruck abgehen, somit = 6,05 *,

g \ — — 17,5 + 13,3 =

M,

1,06

Nx 6,05

4,2 cra, g₂ = 22,5 + 4,2 = 26,7

Gleichung (nach B 2 c) lautet daher: x² — 2 x* 26,5 =--^-(26,5² + 4²) +

Z

633,6

•(—

4,2 — 4)J, oder x²

Für x = I ^ ist fix) = {

— 53 x = —

783 + 19,569    ^

+ 35

und x = 13 +

Ferner ist 15 ^1 —

30 + 23

₂    = 26,5 cm,

ob = 35 k«. Obige

= 0,175 m, und für die Breite 6 =

A = 22,5 cm, h! = 4 3*6050 |/22,5 26,5*35 K x

- 34,9^, oder x² — 53 x + 1466 —

₄₃ = 13,2 mit fix) = + 2. 6050*26,7    26,5*13,2

8*1

cm

cm

)-²⁶-⁷⁺(i-4)-

12 399

= 0.

f

13,2 / /e

16,4 = 7,5 qcm, so daß 2 0 24 = 9,0 Seiten genügen. Dieselben werden bei den als Gelenken auszubildenden Punkten A und B gelenkartig abgebogen und in das Betonfundament vertikal hiuabgeführt. An die Stelle der Gelenke werden von der Seite her Asphaltfilzplatten eingeschoben, damit die Beweglichkeit der Ständer vorhanden ist, welche als Grundlage für die Berechnung gedient hat. Die abgebogenen Eisen werden auch auf Schub beansprucht, und zwar mit 0,703 + 0,103 = 0,806* bei B, was bei 4 0 24 = 18,1 qctn nicht in Betracht kommt.

I • (22,5 - 4) =

qcm

35

(3*22,5 - 13,2), /; = 23,9 -

genügen, und die vier Eisen 0 24 bis hierher gehen und nun 2 0 24 auf beiden

3*

Die obige Berechnung könnte mit denselben Momentenflächen für den bei A und B eingespannten Rahmen durchgeführt werden, und es ist alsdann nur noch das Trägheitsmoment in Beziehung auf die y-Achse:

Y — ?F'a-x.

SF₀

-i- w (x\ -j- xx • x₂ + xl) sowie V =

ó

zu berechnen, und hierfür ergeben sich die Momente in jedem Schnitt aus Mx~ M-f- M₀ — H-y — V-x, wobei auch die Vorzeichen zu berücksichtigen sind und alsdann kein Fehler Vorkommen kann (s. meine Veröffentlichung von 1911).

Bei den Momenten des oberen Balkens EF sind nur kleine Normalkräfte zu berücksichtigen, und die Angriffspunkte der Stützlinien erhalten sehr große Abstände (bei einfacher Biegung ist ihr Abstand unendlich groß).

Bei Anwendung der Formeln B 2 c (s. oben) für doppelte Armierung mit fe — f'e und p = 1 werden für das

zulässige ob = 40 kg die Eisenspannungen ae bedeutend größer als 1000 kg, weshalb

und M — Z — —

n- (± -1) ae \a;    /

mit ae = 1000 kg

einzusetzen ist. Man erhält alsdann bei G (s. Abb. 19) für ganze Schneebelastung ohne Winddruck Mx = — 1,30 m/t,

== + 1,121 ra, und (weil bei negativem M immer außen Zug und

(für die Berechnung gilt als , ae — 1000 kg, und hierfür ist :

Mx _ —1,30 Nx ~ — 0,116 , h! = 6

Nx = II = — 0,116 * und c —

innen Druck vorhanden ist) h = 30 Höhe h + h' = 30 + 6 = 36 cm), g₂ = h — gx = 30 + 1103 = 1133

cm

gx — — 1121 + 18 = — 1103 , b — 30

cm

x² — 2 x (30 + 6) = —

Y (30¹ + 6²) +

x² — 72 x = — 1404 + 0,174

3-116 15 /30    \ j/30 _ \

30    1000 \ x    / \\ x )

^30_^ 40 644

Für x =

ist f{x) = {

+ 150

86

und x = 9 -f-

— 2242^ oder x² — 72 a: + 1014 + 86-1

1133 + (l —(— 11°3 — 6)J oder 18775

212 162

= 0.

236

= 9,'3 mit f(x) = — 4.

Ferner ist mit o₆ —

°e

1000

30 9,3

n©-¹) ¹⁵ (S-¹)

= 30 kg: 15

i¹ - 9j) f- ⁽³° -

6) =

116-1133

30

(3.30 — 9,3) oder f'e = 34,2 — 29,3 = 4,9 icm, so daß oben 3 0 18 = 7,6 <icm und unten 4 0 18 = 10,2

qcm

reichlich genügen.

Das Moment bei E" ist für ganze Schneebelastung und halben Winddruck Mx = — 1,45 m/t mit Nx — H — — 0,116 +    = 0,2125 *, c =

— 1,45

= — 682 cm, h — 40ctn, h' = 6 cm, gx = — 682 + 23 = — 659 cm,

und ae = 1000 kg : x — 10,3 ctn,

0,2125

, und man erhält nach obigen Formeln für b — 30 so daß obiger Querschnitt vollständig genügt.

Das Moment bei E' ist für halbe Schneebelastung und ganzen Winddruck Mx = — 2,23 m/t mit Nx = 0,657 — — 2,23 _

0,554

, und für fe = 3018 = 7,6

g₂ = 659 + 40 = 699 ab = 23,1 kg, f: = 3,7

qcm

— 0,103 = 0,554 *, c —

= — 403 cm, h = 44

cm

+ 44 == 422

,6 = 30

qcm

cm

x² — 3 gx-x =

(1-0

x² -f 3-378x =

6-15-422-7,6

30

a:² -F 1134a; = 9621,6

Il8 i8t fiX)

Für x =

Ferner ist ob=

_ (+ 3896 ~ l— 996 2 P-9t

467,576

20,9 + 4,55

= 15-

18,4 (l

, g₂ = 378 +

, gx= — 403 + 25 = — 378 und f'e — 2 0 18 = 5,1 qcm erhält man nach B2a: oder

cm

cm

6 n(gt — h ) • ft

— 5875,2

6-15 (— 378 — 6) 5,1

(-1)

und x — 18 -f

30

oder

oder x² + 1134 a: + 3746 —

458 602

= 0.

2-996

4892

= 18,4

cm

mit fix) = + 26. 2-554-422

= 15-18.4

30 • 18,4 (44 — 6,1) + 2 • 15 • 5,1 (44 — 6) ^1

3,4/

= 18,4 kg, und ae = nab

(t-0

8,4/

18,4

1^ = 384 kg, sowie ae

= nab

0-t)

= 186 kg.

Mx

3. Aufträgen der Stützlinien und Ableiten der Hanptformeln.

Aus der Berechnung eines halbkugelförmigen Wasserbehälters (s. Ber. der Eisenbetonkonstr. von 1910) hat sich auf S. 89—90 ergeben, daß aus den positiven oder negativen Momenten Mx und den als Druck in positivem Sinn (mit Vx nach oben und Hx nach rechts) und als Zug in negativem Sinn (mit Vx nach unten und Hx nach links) wirkenden Normalkräften Nx= Vx • sin cp -j- Hx • cos <p die

zu bestimmenden Schnittes der

Lage des aus c =

StUtzlinie mit der senkrecht zur Mittellinie stehenden Fuge hervorgeht und der Abstand c derselben von der Fugenmitte aus für positive c nach außen und für negative c nach innen aufzutragen ist. Ebenso rufen die positiven Biegungsmomente Mx immer außen Druck und innen Zug und die negativen Mx immer außen Zug und innen Druck (vgl. die Momente eines kontinuierlichen Trägers) hervor, und es sollen diese Annahmen auch aus den Stützlinien für obigen Rahmen nachgewiesen werden.

Nx

= 3,112 m

liegenden Resultante des Winddrucks.

-1,53

i ¹ \

j---\--\+i,55mt

I 0

-v

'1

rrw

2,A

Für die eingeschriebenen Momente sind nun die Normalkräfte zu bestimmen, und man erhält für A G und BI): ±2,4 ⁴ und für CE und DF nach obiger Formel:

0,55

+ 0,657-

0,57

= ± 2,49 ⁴, und für EF bis F" : + 0,657 ⁴ und

Mx

welche

Nm

daß (s. oben)

-2,45-2,4 = 0,40⁴,

A = 8,25 + 0,40 + 2,40 = 11,05 ⁴ und B = 8,25 + + 0,40 — 2,40 = 6,25 ⁴ wird.

so

von

0,26

•0,675 — 0,4 -0,6 — 11,05-0,19-0,29

— 4,2257

oder e =

+ 5,92

0,26

— 0,19-

— °,4 * 2

0,23

0,29

= 3,280 m, und weil die Re-

oder e =

= + 2,15 m auf ihrer Resultante liegt und

iS.......

----

ta| ja ___

—~ ~-+~ ---1**⁹---r

U‘-h-

9-,19*

b|

r¹“

ä

s.'ä

'rv

l!

11,05*

1,12 ^

cf

In Abb. 21 ist die Stiitzlinie für den Winddruck gezeichnet, und zwar durch die Bestimmung der Kämpferdrücke bei A und B aus V= + 2,4 ⁴ und H= -f- 0,657 sowie V — — 2,4 ⁴ und H — + 0,703 ¹ und schneiden sich dieselben auf der im Abstande

g = |o, 11-1,4 + 0,27-2,9 + 0,98 ^3,0 + °^-^}: 1,36 l,36l(Res)

-”’s

-vĄ\-+0,92

a'o.n*

Ij

0,703* s,2,9l

Abb. 21.

Nx = Vx- sin cp + Hx- cos cp = 2,4•

0,155 ' 0,57~

von hier an — 0,98 + 0,657 = — 0,323 ⁴ (weil in F" der Winddruck zu wirken beginnt). Hieraus ergeben sich die positiven und negativen Abstände c =

(wie oben angegeben ist) nach außen und innen aufzutragen sind und dann genau der gezeichneten Stützlinie entsprechen, und die von F", F' und F nach unten eingetragenen Abstände liegen auf der Resultante der linksseitigen Kräfte mit 0,98 ⁴, und weil Nx für sie eine Zugspannung ist, so rufen die positiven Momente außen Druck und innen Zug hervor (bei E", E' und E ist für die negativen Momente in Verbindung mit einer Druckspannung das Umgekehrte der Fall, und die Abstände sind gleichfalls nach unten abzutragen).

Wie nun die durch Ringe bezeichneten positiven und negativen Abstände c in die Stützlinie fallen und ihre richtige Aufzeichnung dartun, so gilt dasselbe auch von der in Abb. 22 gezeichneten Stützlinie für halbe Schneebelastung und ganzen Winddruck, und zwar tritt hierbei insbesondere hervor, daß dieselbe erst an der Stelle mit den vertikalen und horizontalen Kräften zu verbinden ist, wo diese zu wirken anfangen. Zur Bestimmung des Auflagerdruckes soll die gleichförmige Belastung des Balkens EF zu einer Resultante in der Mitte = 2 (0,17 +0,11) = 0,56 ⁴ vereinigt werden, und Uber den Ständern wirken dann noch die Lasten 0,19 ⁴ und in deren Mitte

0,29 + 0,23 V

Bis C und D (bzw. bis zur Konsole bei C und D ) erhält man die Kämpferdrücke bei + und B aus der Zusammensetzung von 11,05⁴, 0,554⁴ und 0,40⁴ bei A sowie 6,25 ⁴, 0,806 ⁴ und 0,40 ⁴ bei B, und die Abstände c ergeben sich wie oben und fallen mit der Stützlinie zusammen. Von der Stelle an, wo der obere Balken mit den Konsolen beginnt, sind auch die Lasten 4,14 ⁴, 0,4 4 und 0,19 ⁴ hiermit zu verbinden, und es ist am einfachsten, diese drei Lasten mit den obigen zwei zu einer vertikalen Resultante zusammenzusetzen und sie dann mit den Horizontalschüben bei A und B zu verbinden.

Für 1 ¹¹¹ Abstand von der Mitte des Rahmens nach links erhält man alsdann:

e-(— 4,14 — 0,4 — 0,19 —■ 0,4 + 11,05) — — 4,14-

= + 0,714 m, und ebenso nach rechts: e-(— 4,14 — 0,4 — 0,19 — 0,4 + 6,25) = + 4,14-• 0,675 + 0,4 - 0,6 + 6,25 • -+■

A

3,6737

1,12

sultanten in beiden Fällen nach oben gerichtet sind, so ist der erstere Abstand e nach rechts aufzutragen (um ein negatives Moment zu erhalten) und der letztere Abstand e nach links (für ein positives Moment).

Die Resultante der linksseitigen Kräfte geht daher durch K und ist mit der Last des inneren Balkens = 3,24 4 zusammenzusetzen und von F" an auch mit dem Winddruck — 0,98 ⁴ zu verbinden, so daß der Abstand — 0,92 — 0,426

Abb. 22.

nach außen aufzutragen ist. Für E, E', E" und G wird mit Nx —Ą- 0,554 ⁴ c negativ, so daß es nach innen aufzutragen ist und genau mit der Stützliniejzusammen-

trifft (wie die Ringe dartun), und nur bei G kann eine kleine Abweichung eintreten, weil hier die Einzellast 0,56 1 statt der gleichförmigen Belastung 0,36 tjm angebracht ist, welches letztere bei der Berechnung von Mx angenommen wurde. Bei F' und F wirkt noch die zweite Last von 3,24 1 mit, und ihre Resultante fällt mit der durch L gehenden Stütz linie der rechtsseitigen Kräfte zusammen, welche mit den Winddrücken = 0,11⁴ und0,27 ‘zusammengesetzt worden ist, so daß hierdurch eine geschlossene Stiitzlinie erhalten wird.

Die Durchbiegung der äußeren Balken für die ganze Schneebelastung darf nicht zu groß werden und ihre Berechnung ergibt sich (nach der Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierlichen Berechnung

S. 88) aus fr-J-E =

x • M

f(x) = -f- 0,01 sowie f JE — 23,100 und f —

= 8,7

23,100-1000

mm

x • Mr

ü lr

(2 l²r — 3 xlr + x²) +

10 inn'

0,001325-2 000 000

somit weniger als

Wird das Trägheitsmoment mit Weglassung des Zugbetonquerschnittes und n fâcher Berücksichtigung des Eisenbetonquerschnittes berechnet, so erhält man aus Alb:

x¹ +

2» (f. + O T ~b *

2-15

20

= — (ll • fe + h'-f) oder x² +

(22,6)

(13,6 + 9,0) —

2-

20

(39 • 13,6 + 3-9) oder a;² |

4 33,9 a; — 836 und x = — 16,95 + ]/l6,95² + 836 = 20-16,6³

-+■

'•+i

X³

= 16,6 cm, somit J —

+ 15 - 13,6 • 22,4² +

6/

+ i--

r.

2 x²^

für

die negative und positive Momentenfläche mit ihrem Seilpolygon und dem Horizontalschub JE. Wird diese Gleichung nach x abgeleitet, so erhält man den Ort der größten

Durchbiegung aus

15 • 9,0 • 13,6² = 157 900, so daß f — wird.

1325

1579

• 8,7 = 7,3

mm

j-+1

(!

dfr _ Mr dx 2lr v

4-

4. x³    \

—--2 x²1 = 0 oder

3 lr

0,52- 9²

= 5,265 m/t, und Ji, = M₂ —

qP _

0,52-9²

(0,234)

4,212

10

/2-9²

\3

= — 4,212 m/t, l = 9 m : f — —

(0,234)

4,212 /9²    5,265

(t -x ) +    9

2-9

(0,585)

i‘s ⁺

«s

4a;3 3- 9

2 a;²^

2-9

= 0 oder bei Division mit x :

_ 0,26 a:²

- 1,17 x+ 4,21 - ^

Jj

so daß die größte Durchbiegung (bei symmetrischer Belastung) in die Mitte fällt. Bei Einsetzung von x — 4,5

4,5-4,212

= 0. Für x = 4,5 ist f(x) = 0,

Anmerkung: Die vorliegende Berechnung eines Zweigelenkrahmens entspricht den Formeln und Beispielen in der von mir veröffentlichten Gewölbe-, Rahmen- und kontinuierlichen Berechnung von 1911, und in dem Bei spiel auf S. 14 und 39 wurde dasselbe Ergebnis erhalten wie bei einer Berechnung mit Verschiebungsplänen und nach den Formeln für virtuelle Verschiebung von Professor Dr. Müller-Breslau (s. S. 7 (33) und (34), statt AS"As muß es dort heißen 2S"As). Die oben angewendeten Formeln ergeben sich aber auch aus der Formel auf S. 8 (34) mit N' = 0 und ds statt dx

(s. auch S. 8 (39), wo L =J

sollte), wenn M = M₀ — X-y und M' = ^

~ MM' ds

'o A dsv

dsv

- d V statt Asv stehen

dM

dx ~

in L' —

EJ

erhält : L = 1 - Al

eingesetzt wird, und man alsdann

EJ

X-y)

- (—y) ds = 0 (weil

in obige Gleichung erhält man fr-JE = —

6-9

(2 • 9²

4,5-5,265

3-9

3-4,5-9 + 4,5²) -

(•’ + Y

4,5-4,212

6-9

(9² - 4,5²) +

2-4,5²^ — 1,777 und mit

beim Zweigelenkrahmen Al — 0 wird), und hieraus • ds oder X —

1F' u

was dem Summenausdruck X= — oi/*

M₀

■j

EJ

-y-ds =

x-y'

EJ

[M₀yds Cy²ds J EJ j EJ ’

in obigem Bei-

E — 2 000 000‘/qm, J angenähert == 132 512 m4

b-h³

20-43³

1,777 • 1000

CM a

12

spiel entspricht ^

V- G-zu-l

2 Tx

ist der Summenaus-

100 000 000

0,001325-2 000 000

0,7

mm

druck der Vertikalkraft für den

Winddruck j.

Dies gilt für die mittlere von drei Oeffuungen (bzw. beliebig vielen Oeffnungen), und für die erste erhält man

mit = 5,265 m/t, Mx = 0, M₂ = — 4,212 m/t: 0,26 a:²

9,48

In der Einleitung zu obiger Veröffentlichung sind noch zwei Druckfehler zu berichtigen, indem es nach Formel (25)

heißt

ds

f{x) =

— 1,404 a; -Ą---

I 0,27 »+0,14

somit x = 2,8 4“

— 0, und für x = 0,14-2

f³

1 v S'-S°-s E ² F

0,41

(2,8 i8t

= 2,87 mit

= — d <p und auf S. 9 : S =

und die auf S. 12 angegebenen Formeln für den eingespannten Rahmen sind in den neueren Methoden der Festigkeitslehre 1904, S. 122, wie oben abgeleitet worden (S. 75, Zeile 6, sollte 0.8362 statt 0,8632 stehen).

IIL Berechnung

einer quadratischen Unterlagsplatte für einen Wasserbehälter.

2 <a + b₎:T + {a-b-r⁾

1. Ableitung der Formeln und Berechnung für die quadratische Platte.

Tn meinen Veröffentlichungen über die Berechnung Eisenbetonkonstruktionen von 1906 und 1910 habe ich auch auf die Berechnung einer rechteckigen Platte hingewiesen, und zwar wenn sie auf vier Seiten aufliegt, und man erhält alsdann für Schnitt A B (bei Verteilung des Gegendruckes auf die vier Seiten) mit p kg/qm Belastung:

von

M— (a-b-p) -a-b-p a

2 (a + b) 4

a² b² p

8 (a 4- b)

und pro Meter Länge

a² b p

8 (a 4- b)

tauschen).

(für Schnitt CD ist a mit b zu

ver-

Für eine Einzellast P in der Mitte ergibt sich ebenso :

Pb

2 {a + b) 2    2 (a -j- b) 4    4 (a + b)

und weil der Gegendruck des Randes hauptsächlich in der Mitte der Seiten wirkt, während die Ecken sich nach

P-a-b

ÜJpb)

Für Eingespanntsein der

2

— M in der Mitte gerechnet werden

0

P-a

K)

4 (a + b)

und y•M₂ =

ybP

4 (a + b)

zu rechnen, und

oben abheben, so kann M —

^pro Meter Länge

P- a

4 (a + b)

gesetzt werden

aus der Durchbiegungsformel f = ^für M

P-P

MP

48 EJ

12 EJ

Platte kann mit (s. Elastizität und Festigkeitslehre von Bach 1894), so daß am Rand ~ M übrig bleibt.

O

x ilf, a² _ y i¥j b²

12 EJt 12 EJ₂’ und bei Einsetzung von x Af, und y Af₂ ergibt sich

Richtungen j —

/ V

hieraus mit x + y — 1 dasselbe x und y wie für gleichförmige Belastung.

Wird der Auflagerdruck auf alle 4 Seiten verteilt, so erhält man die Auflagerdrücke in den Richtungen CD

und A B aus :

erhält man f —

(für J

1 -cP

12

in beiden

b³

und

X-

I ••

!

——wo A — Auf-a p b

lagerdruck in der betreffenden Richtung ist.

—r-'A und

ft

C-

_____j

Die als Unterlagsplatte für einen Wasserbehälter aus Eisenbeton dienende quadratische Platte mit 10,96 m Lichtweite soll nun mit obigen Formeln berechnet werden, und

x-p-a²

aus M =

mit x =

a³

und M —

yp b\

¹ +T⁵"

mit y —

b³

erhält man für b — a in beiden

Abb. 23.

a³

Richtungen M —

Die Verteilung der Belastung in beiden Richtungen ergibt sich aus der gleichgroßen Durchbiegung in denselben, und diese setzt sich zusammen aus den zwei Durchbiegungen in den Richtungen CD und AB, und hierbei ist die Auflagerung auf vier Seiten durch Anwendung der obigen Formeln für M zu berücksichtigen, und wenn x -j- y = 1 der Gesamtbelastung entspricht, so erhält man als teil weises Moment der Platte x-M —

und = TS}

hierfür in beiden Fällen dieselbe Durchbiegung.

5 MP

x a² b p

8 (a + b)

pro 1 m Breite, und

16 *

Bei Annahme einer vollständigen

2,95^

2.93

V 0,9-

0,7

ST

-10,96

Aus der Formel f —

für Durchbiegung bei

5 x 71/, a² _ ~WEJ~~

, und weil J in beiden Richtungen für die

48 EJ

.sh.

gleichförmiger Belastung ergibt sich daher f

5 y M. b2 ~ 48 EJt

Breite 1 = -

1 -d³

wird, so erhält man bei Einsetzung von

CC

xMx und y M₂ das Verhältnis — = und für x -f- y = 1

und y —

12

die Koeffizienten x —

1 +-

b³

bei

iixn fëth r~x|

X- 2,85 -E: Z,85-P-2,63 -P,

---10,96--^

Abb. 24.

2

Einspannung in den Randträgern wäre in der Mitte —- M

3

1    V P

und am Auflager — M anzunehmen, somit Mm — ~— 3    24

. Ist jedoch die Einspannung nur teil-

pp2,63

pP

Nichtberücksichtigung der Auflagerung auf vier Seiten erhält

und Af, = —— die Koeffizienten ² 8

man für M

p cP

und M. = 48 weise vorhanden, so können die Rippen mit einem Mittel-

U

2 \ 16

wert Mn =

pP

-+    24-' = rd-

7) P

werden, während Mn — J—

2    a 48

20

berechnet

beizubehalten ist.

a⁴

und y =

1 + -TT-

V)

Für eine Einzel-

b⁴

last P in der Mitte der Platte ist ebenso mit x • M

Fiir die Berechnung der Platte von 20 cm Stärke gilt nicht nur die quadratische Auflagerung, sondern auch die Kontinuität derselben, und für q kg/qm Gesamtbelastung erhält man als Mittelwerte:

sowie

s!

1    (sL

2    \ 16

LllL 2 V 24

q P \ q P 12 7 ~ 13,7

und Ma = ₂

i7) = ~if und = i

(« + -£)

qP

bei freier Auflagerung

1 O

qP

( 48

15,3

bei ganzer Einspannung.

Für teilweises Eingespanntsein kann daher in der Mitte und am Auflager der Kassetten mit Mm — Ma =

15

gerechnet werden.

Bei einer Plattenstärke von 20 gewicht g = 0,2 • 2400 = 480 ks/qm, und die Nutzlast ist (bei 3,2 ¹¹¹ Höhe des Wasserbehälters) p = 3500 k®/qm, oder zusammen q — 3,98 */ qP __ 3,98-2,85²

qm- .

M.

cm

ist das Eigen-

und weil als Biegungslinie in beiden Richtungen eine Parabel angenommen werden kann, so erhält man als Moment der seitlichen Balken M

20

Hierfür ist Al,

[-(!)]

(L ~ Y)

_ Hll

wenn x. = Abstand der

Balken von der Mitte und l

15

15

x=y

6 Al

= 2,154 m/t, und nach Alb:

⁸

/ 6•215400

2 bz'v- =

te a

und =

1

der halben Stützweite entspricht. Nach einer vorläufigen

7 b ob

7•100•40

= rd. 18,2

bei 20

cm

genügen.

Berechnung aus oe fe =

ist als Gesamthöhe

— 6,80cm, h — -

O

100 x

— 13,6 qcm, so daß Plattenstärke 9 0 14 = 9 • 1,54 — 13,86 qcm

cm

; fe =

50

50

120

cm

Hiervon sind sieben Eisen nach oben abzubiegen und zwei gehen oben und unten ganz durch. Die Abbiegung

2,45

anzunehmen. Hierfür erhält man vom Eigengewicht 2,85 • 0,2 • 2400 + 0,4 • 1,0 • 2400 = 2330 ks/m und von der Nutzlast p = 2,85 • 3,5

sammen q = 12 300kg, und M

3 -12,3-11,4²

!/

9970 k&/ 12,3 ■ 11,4²

rn»

somit zü

20

= 80 “/t

von vier und drei Eisen kann bei ca.

- = 30

cm

und

bzw. =

²’« = 60

cm

Abstand vom Balken angenommen werden.

Die Maximalbeanspruchungen der kreuzweise armierten Platte ergeben sich nach A2a mit M — 2,154 in/t, fe — 13,86 qcra, f'e = 3,08 qcm, h = 17,6 em (für die Berechnung der sich kreuzweise berührenden Eisen), K— 2,4cm, b — 100

cm

n — 15 aus *² +

(fe + fe) b *

■2 - 15 (13,86 + 3,08)

- — --- OQ

(hfe + h' fe) oder ar +

(17,6-13,86 + 2,4-3,08) oder x² + 5,08 æ = = 75,40 oder z = — 2,54 + j/2,54² + 75,40—-6,51™.

tc er-

100

= 60 m/t.

Bei Vernachlässigung des Druckes im Steg erhält

80

man angenähert aus A 3 b : 16 x =

(6 000 000)

6 • 8 000 000

oder 16a?

285 - 20•40

6 AI

b dob

11 —

-15

100

h = — x = 68,6 (59,7)

O

— 285 • 20 ^1 — -Für h

'•M)

20

2-25,7 (22,4)

120

O)

2 d\

x )

cm

+ 20 • 10 oder x = 25,7 (22,4)

, 25f. = bd (l

) oder f, = 139,3 (126,2)«“".

wird angenähert

d \ 2 x)

112

cm

139,3 (68,6 — 10)

112 — 10

— 80,1

qcm

Ferner ist ob

(h — y) + 2nf' (h — 2-215400

100-65,1 (17,6

— 2,17) + 2 ■ 15 • 3,08 (17,6 — 2,4) ^

2,4

6,51

430,800

10,05 + 0,89

= 39,4 kg und ae = iiab C---1^

= 15-

39,4 (■

17,6

6,51

= 981 kg. Die Platte genügt

mehr, als die Kontinuität (wegen der Querrippen)

gerechnet

um so

wenig Einfluß hat und daher auch mit werden kann.

qP

9$n

3020'

2én

120-

Buge!

(10)

UM} ZU =11

106 32

10 6 32

MO

Abb. 25.

Die Berechnung der Rippen geschieht mit —

o

Plattenbreite bzw. dem kleineren Abstand derselben — 2.85 m. Das Moment des mittleren Plattenbalkens ist

126,2 (59,7 — 10)

= 61,5

Es genügen

daher im ersten Fall 10 0 32 = 80,4 qcm und im zweiten Fall wären acht ausreichend. Zur Erhöhung der Einspannung in den Randträgern sollen jedoch gleichfalls 10 0 32 angenommen werden. Das Einspannmoment ist

bzw. =

112 — 10

mit Alqa ~ 12,3-11,4²

qP

qcm

zu berechnen, somit ist AIqa = 48

= — 33,3 m/t und man erhält oben Zug und

unten Druck, so daß nur der rechteckige Querschnitt mit 120

48

cm

Höhe und 40

Alb: x =

V-

cm

6 AI

7 b-ob

h = — x= 112,6 3

cm

Breite mitwirkt und hierfür nach

6-3 330 000

7-40-40 b-x__ 40-42,24

- 42,24

cm

50

33,8 qc,n

ist und beim Aufbiegen von 5 0 32 eine Gesamthöhe von

120

cm

ausreicht.

Der Auflagerdruck ist =

12,3-11,4

= 70,11 ‘ und

bei vierseitiger Auflagerung (mit a = b) — —:—T -70,11 —

a -J- b

70,11

= 35,06 *. Die Schubspannung ist x₀ = 35 060

•M)

(112— 10) 40

= 8,60 kg und die zu-

lässige Schubspannung von 4,5 kg wird erreicht bei . 35,06 = 22,53 *, so daß man bei Voll“

Qx =

4,5

8,6

belastung durch beide Wasserbehälter Qx — 22,53 =

5,7) y (für

*1))

rH (M

= 12,3 (xt

vierseitige Auflagerung) erhält, und hieraus xx = 9,36 m und x = 11,4 — 9,36 — 2,04 “.

Spannung für die fünf abgebogenen Eisen wird alsdann

zur Unterkante des Trägers, und von hier aus die Vertikalen bis zur Nullinie, durch deren Schnitt die abgebogenen Eisen zu legen sind.

Die schiefe Zug-

(b)

(t₀ — 4,5) x-c

(8,6 —4,5) 204-40

= 11 830 kg

und ot —

11 830

5 • 8,04

—- = 294 kg.

Um das Zusammentreffen der Eisen in den Querträgern mit ihnen zu vermeiden, ist das letzte gegen die Mitte des Trägers verschoben worden, und auch die zwei mittleren sind etwas hereingerückt worden. Bei Berücksichtigung der Einspannung genügt trotzdem der Querschnitt fe an den Abbiegungsstellen, indem das Verhältnis

der Momente in der Mitte und an den Enden ==

20 '

{><j>32+2420

3020 I

2620 +5432

\bstand deKA/get 3 l

X+XL

r.—Mul/imc    /

Abstand der ßiiaet /

20 cm

16

3,16

\ OC-3,71

10032

-11,0 TTL

-1,1——* - -o,!-, ■

2—-    302

\\ \

% x ^Vollbelasfujg

Abb. 26.

Es ist daher vorzuziehen, mit einer zulässigen Schubspannung von 3 kg zu rechnen und hierfür erhält man

— • 35,06 =

. 2*²

*

Höhe (s. Ber. der Eisenbetonkonstr. 1910, S. 32) eine Grundlinie = l •

ist, und die positive Parabel mit

48

68

der ganzen

oder

12,23 = 12,3 (*t - 5,7) —

xx — 7,69 1U und x = 11,4 — 7,69 = 3,71 “, und hieraus (8,6 — 3)-371-40

2 y 2

— 731 kg, zulässig 1000kg.

8,6

29 390 kg und ae —

29 390

5 - 8,04

0,84-11,4 = 9,56 “ hat. Die zulässige Abbiegungsstelle ergibt sich daher bei

dem ersten Eisen aus

56 1/ 1

r y Io = ¹*B1

m (vorhanden

Zur Vergleichung soll noch der linksseitige Wasserbehälter als gefüllt angenommen werden, und man erhält als

(42,62)

9,97-5,7-3

1,58“) und bei den zwei nächsten Eisen aus 4,78

Auflagerdruck ^2,33 • 5,7 -f-27950

= 27,95 »,

— 2,62 “ (vorhanden 2,68 “). Die Adhäsionsspannung der

— tq-c _ n tc d

und sind die-

fünf geraden Eisen ergibt sich aus 8,6 • 40

= 6,9 kg, zulässig 7,5 k®/

Ti =

qcm,

ferner ist t₀ =

(112 — 10) 40

= 6,85kg und Qx =

6,85

- 27,95 = 12,24 =

9,97 (11,4 - *,)}    *

oder xx — 8,85 m und x = 11,4 — 8,85 = 2,55 m sowie (6,85 —3)-255-40

2 y~2

— 576 kg für drei Eisen 0 32.

Durch Teilung der unter 45° bei x = 3,71 m (bzw.

2,55 “) gezogenen Verteilungslinien im Verhältnis 1:2:2 (bzw. 1:2) und Errichtung von Loten bis zum Halbkreis Uber ihnen, und Beschreibung von Bögen um ihre Endpunkte erhält man die schraffierten Teile des Dreiecks mit 8,6kg Höhe links (bzw. 6,85kg Höhe rechts), und liegen diese Höhen in den Loten durch die Auflagerpunkte, während die schraffierten Teile nur bis zu denjenigen durch den Rand des Endquerträgers reichen. Aus den Schwerpunkten der schraffierten Dreiecke und Trapeze (bei letzteren annähernd in der Mitte liegend) ergeben sich nun die Schwerpunktlinien unter 45° Neigung bis

x² + 2# I

x² -j- 2 x

x² + 2 • 156,18 a? == 9239 oder x = — 156,18 + ]/~156,18² + 9239 — 27,2 c“.

-- {2,33 (aîj — 5,7) + 42,62

Z' =

n (fe + ft)

= 13900kg und oe —

f 15 (80,4 + 9,4)

40

-f- 20

( 40

285

13900

3-8,04

(hfe + k' fe)

>)}

=2-15-

5-u-3,2

selben oben und unten vorhanden, und die oben durchgehenden 2 0 20 (in der Mitte des Trägers sind 3 0 20 vorhanden) dienen zur Aufhängung der Bügel, welche abwechselnd vierfach (08 = 0,50 fi⁰“) und zweifach (0 10 = 0,785 qcm) angenommen werden können. Ihr Abstand ergibt sich aus ae fe — e • c • x₀ (s. Ber. der Eisen-

1000

betonkonstr. 1910, S. 31) oder e —

(4-0,5 + 2-0,785)

= 14,9

cm

f.

40-3

C-T₀

wenn mit der zulässigen

Schubspannung t₀ = 3 kg gerechnet wird, und kann daher außen der Abstand e = 15 in der Mitte 20

cm

cm

gewählt werden, während

genügen (da t₀ abnimmt).

Die in beiden Richtungen sich kreuzenden fünf Eisen liegen in derselben Höhe, was dadurch erreicht wird, daß sie an der Kreuzungsstelle zweimal abgebogen werden, und mit ihrer Abbiegung über die fünf gerade durchgehenden Eisen Weggehen. Die Plattenbalken können dann in allen Fällen mit denselben Werten berechnet werden, und man erhält nach A 3 a für M == 80,0 (60,0) m/t \ ft = 10 0 32 = 80,4 qc“, fe = 3 0 20 = 9,4 qc“, h = — 112cin, h' — 5cm (an der Berührungsstelle der drei Eisen 0 20), b = 285 um, c = 40 cra, d = 20

+ d²

(--0

oder

(112-80,4 + 5-9,4)

285

cm .

40

+ 20² (

\ 40

—ńr- — 1J oder

Ferner ist

hxd 4- n

f. (-x ~ l) (3h - 2 d - x) -f nf. (l

3-8000 000 (6 000000)

1^) (3 • 112 — 2 • 20 — 27,2) + 15 • 9,4 (l

— 20,5 (15,4) kg und oe = n oh - — 1^

285-27,2-20 4- 15-80,4

2400,0000 (1800,0000)

15,50 4- 101,2 4- 0,60

112

27,2

-)

7,2/

(27,2 4- 2-20 — 35)

= 15-20

(IM) / 112

27,2

‘)

= 959 (720) kg.

2. Berechnung des Wasserbehälters mit Eiseneinlagen.

Auf dieser quadratischen Platte ist ein aus zwei Teilen bestehender Wasserbehälter mit 10 m lichter Weite

b = 100

cm .

10m,—a.

11,3 m

10 in

-11,3 m-

Abb. 27 und 28.

und 3,2 m lichter Höhe aufzustellen, und soll derselbe auf einer Asphaltunterlage ruhen und auch aus Eisenbeton hergestellt werden.

Am Fuße des obengezeichneten Behälters erhält man einen Druck von 32 cdm Wasser = 32 kg/qd für die ganze Höhe ein gleichschenkelig rechtwinkeliges

Prisma von

und

32 - 32

——— = 512 kg Druck, dessen Resultante

A

durch den Schwerpunkt des Dreiecks geht und ein Moment

5,1-3,2

= 5,461 m/t pro Meter Breite veranlaßt.

0,15

K—

2013

6013

2018

5,12t

li

10013

i-'

5,15

•P

2-15

(fe 4- Q b ,x 2-15 (25,45 4- 5,09)

x² 4-

oder x² 4~

(28 - 25,45 4- 2 • 5,09) oder x² -f 9,16 a; — 216,8 oder x = — 4,58 4- V4,58² 4- 216^8 =

100

100

= 10,84cm, und o₆=

bx

{h-fj + 2nf’Ah-K)(l-\) 2 - 546 100

100 • 10,84 (28 — 3,61) 4- 2 • 15 - 5,09 (28 -

109,2200

2,64 4- 0,32

= 15-36,9

I.

2)(l

² 4

10,84/

= 36,9 kg sowie oe — nob

= 876 kg.

10,84

Die Mittelwand wird bei einseitiger Füllung des Wasserbehälters auf beiden Seiten in derselben Weise beansprucht, so daß man bei doppelter Armierung aus A 2 c mit fe— fe, p = 1, h' — 2

ob ~ 40 kg erhält: r = 37,5-—--1 =

— 1 = 1,5, ferner ist x²

cm

b = 100

cm

und

37,5-1

)/

15

(’ + ł)

Sh' x _ 6 M

r ~ b nb

oder x² —

6-1,5-546100 100•40

0,324 a; = 66,5 oder a: = 0,162 4- ]/o,162² 4- 66,5 =

oder 18,5 x²

M

?<

( , r

0,6 t4*

■5,15

Z<ß1Q

3,2 nv

'$10

?■

2018

2018

l1,0—«

Abb. 29.

Die untere Stärke der Wand mit Eiseneinlagen ergibt sich nach Alb aus : x —

6 • 546 100

= 8.32

, und h = — x — 22,2cm sowie n à

T“ (^ — t) oder 15 (

M.

,32/

7•100■40 100- x

bx

■Qi — K) = —

= 10,82 cm, h = — x = 28,8 3

= 21,64 qcm, so daß 10 0 18 = 25,45 qcm bei 30 genügen.

}    50

50

cm

Stärke

•(22 — 2)

546100    100-8,32

Werden außen noch 2 018 pro Meter Breite eingelegt, so erhält 'man nach A 2a für M = 5,461 m/t, h = 28 cm, h! — 2 cm, fe — 25,45 qcra, f’e = 5,09 qcra,

^22,2

.32 \

3 /

oder

f’e = 59,4 — 35,2 = 24,2 qcm. Die Mittelwand kann daher bei 30 cm unterer Stärke mit 10 0 18 auf beiden Seiten ausgeführt werden, und man erhält hierfür nach obigen Formeln mit M — 5,461 m/t, h — 28 cm, h! = 2 cm,

40

cm

2-15-2-25,45

---------- X

100

2-15

(28 4- 2) • 25,45 oder x² + 15,27 x = 229,05

oder x = — 7,635 + ]/ 7,635² + 229,05 = 9,32 cra, und ebenso ist

100

2 - 546100

21

Außenwand durch den Wasserdruck (wobei die Einspannung in den Seitenwänden und im Boden nicht berücksichtigt ist) kein größerer Druck als 10kg/

Asphalt ausgeübt wird. Aus der in Abb. 29 gezeichneten

Druckverteilung erhält man daher

100-x-10

qm

auf den

. x ■ P = 546 100

und

100-9,32 (28

109,2200

2,32 + 1,56

—    4- 2 • 15 • 25,45 (28 — 2) (l

/ 28

28,2 kg und ae = 15-28,2 (

Die Schubspannung ist x₀ =

9,32

,32/

x = 40,5

cm

D , 2 . 1000

= P oder — xl---

3    2

vorhanden sind 50 cm.

= 546 100 und

== 848 kg.

5120

»t*

= 2,1 kg, so daß zwar keine Abbiegungen notwendig sind, aber zur Versteifung der Wand 2 • 2 Abbiegungen angenommen werden sollen, welche (wegen der Abnahme des

Wasserdruckes mit dem Quadrat der Höhe) bei

x²    6

_ ₌ _ „der » =

gebogen werden können, und zur größeren Sicherheit erst bei x — 2,3 m und 1,7 m (von oben her) abgebogen werden

oder x — 2,86 m und

100 •-

-•28

^-—•3,2-2400 =

A

= 1730 kg, und der Gegendruck des Fußes liegt in dessen Mitte, so daß nur das Moment des Wasserdrucks == 5,461 u,/t auf den Boden wirkt, und zwar nur als Druck auf die äußere Hälfte, während der Zug der inneren Hälfte nicht wirken kann, und eine Verschiebung in horizontaler Richtung durch die 10 Eisen 0 10 verhindert wird.

Das Gewicht der Wand ist Q =

x²

3,2²    10

2,48 m ab-

{•*-35

2618

■410

30

-—ZV—-

10 418

35

54>10

^da der Querschnitt nach oben kleiner wird, so erhält

541a

IHo

5410

g CO

man genauer

0,15

3,2 ²~    10

(l 4——)

V 3,2 / 0,30

oder x —

Abb. 30.

= 2,76 und =

2,30 mj.

Die untere Platte kann 12

stark gemacht werden, und liegt auf einer 3 cm starken Asphaltplatte, und weil ■ sie die horizontale Gegenkraft des Wasserdruckes von 5,12 * aufzunehmen hat, so erhält man pro Meter Breite 5120

cm

Dagegen werden die Spannungen in dem 1 m breiten Fuß durch die äußeren Kräfte bestimmt, und man erhält

hierfür <3 = —

sultante von der Mitte e =

mit dem Abstand der Re-

5,461

1,73

= 3,16 ra, und hieraus

— 5,12 qcm Eisenquerschnitt, und es genügen daher

1730

1000

10 0 10 = 7,85 qcra, von welchen fünf unten und fünf oben einzulegen sind, und zwar in beiden Richtungen kreuzweise.

100-100

1 4=

6-316

_ — 3,45 kg, ~ 4- 3,11 kg,

und hier-

Der in Abb. 29 angenommene Fuß für die Wände ergibt sich aus der Annahme, daß bei einer Drehung der

100

für genügen die vorhandenen 5 0 18, welche entsprechend der Abb. 30 nach rechts oben und nach links unten abgebogen werden (auch die zwei äußeren werden in derselben Weise abgebogen).

Anmerkung: Mit Rücksicht auf die Wasserdichtigkeit des Betons wird bei Wasserbehältern gewöhnlich nur mit oe = 750 kg/qCm Eisenbeanspruchung gerechnet, um das Auftreten von Rissen im Beton zu verhindern. Wird gleichzeitig mit einer zulässigen Betonbeanspruchung oi = 30kg/qcm gerechnet, so gelten dieselben Formeln wie auf S. 20—21, und man erhält für denselben Eisenquerschnitt eine untere Stärke der Wände von 35 cm (statt 30 cm). Bei der Ausführung wurde aus diesem Grunde ihr Anschluß an die untere Platte mehr abgerundet, sodaß die obigen zulässigen Beanspruchungen nicht überschritten werden, auch wurde die innere Seite des Wasserbehälters mit einem Glattstrich versehen.

I kraköw

Pruck von Gebrüder Jänecke, Hannover.

i

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p. 2z>Cn

C. W. Kreidel’s Verlag in Wiesbaden.

Praktische Winke

zum

Studium der Statik

und zur Anwendung ihrer Gesetze.

Eio Hann für Studierende und praktisch tätige Ingenieure.

Von

Robert Otzen,

Professor an der Königl. Technischen Hochschule zu Hannover.

Mit 95 Abbildungen im Texte. 1911.

Preis gebunden 4 Mark 40 Pf.

xxxxxxxxxx:

Der Verfasser will mit dem vorliegenden Werkchen erreichen, daß Studierende und praktische Ingenieure an ihre Aufgaben stets mit vollem Verständnis des inneren Zusammenhanges der Kräfte herantreten. • Weiter will er erreichen, daß in den genannten Kreisen Klarheit herrsche Uber die Grenzen der Richtigkeit unserer Berechnungen, über die Genauigkeit der Annahmen undg Ergebnisse. Was das Werkchen erstrebt, wird wohl jeder verständige Lehrer der Statik als seine stete Aufgabe betrachten und somit das Erscheinen des Werkes als Unterstützung seiner Arbeit begrüßen. Nach dem Gesagten ist ohne weiteres klar, daß das Buch nicht dazu bestimmt und geeignet ist, Statik zu lehren; es soll als Ergänzung neben anderweitiger Belehrung dienen und als Nachschlagebuch zur Erinnerung an etwa Vergessenes. Es umfaßt sechs Kapitel: Allgemeine Grundlagen? Gesetze des Gleichgewichtes ; Statisch bestimmte Konstruktionen ; Einfluß-"* linien ; Elastische Formänderungen ; Statisch unbestimmte Konstruk onen. --Das Buch kann bestens empfohlen werden.

Th. Landsberg (Zentralblatt der Bauverwaltung, 4. Februar 1911).

er.

XXXXXXXXXXX

OOOOOÛOOOOÛOOOOÛÛC

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WYDZIAŁY POLITECHNICZNE Ki

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

fmm

i*

IV-35164

mms

C. W. Kreidel’s Verlag in Wiesbaden.

Druk. U. J. Zam. S56. 10.000.

1111

Theorie der Verbundbauten in Eisenbeton

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Von Gr. Barkhausen, Professor, Geheimer Regierungsrat.

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mm

......' •

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Bearb. nach den Grundzügen des Herrn Geh. Reg.-Rates G. Bark haus en, Prof, an der Kgl. Techn. Hochschule zu Hannover. Mit 29 Abbild, auf 4 lith. Taf. * (32 S.) gr. 8.    1904. M. 2.40.

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