ülili

;rjj

s

jasès:

_•>.

■

issrsses«-:

•SKS

•îfrM

pp

S.ÎÎ

B;::

Ä

■

pP:

:;P1

:

:.P

ip

*11

:.: ,

jyK -

:'v

;

■

~~ p pp

y HP

(■§1

pr.

Pl

s^spggg

.

îpppip

:

i:ÏÏ

:

m

m

sss

.

■:

S:P?-§S

pplp^

ggü

5

;jV:

11

WÊ

illlllfl

islB

PB

: :

V

■■:

:

PII

*=£

II

■ .'//

ppW ‘

’B

pB

;il:

mMï

g:

iliiiü

:!.*> - r;r pp:.

Ig:

P

p3Sji

:>'■ i" i

PPP- ......

|;|||

B"’¹*':---

:Vrr

PP

If

M

■■• : ' '

PPPPBpflB

:;:r

::p-

•:Py-P>

p

Jv'P;

;-

.

PP

: -xts

f.»:

:*-:r-!:-jZvrl-rr ■ :

»

Bl

P;

•••••

1

: vP- :

xStvssrgvi'wwgs

1

': P : u

::p

Aïïy

ï.pT

i . -

isPl

il

p'

■

Pi

■ p-p- ppp::p-..

p '

H

iSääSHHSSg

li-i

tf: ’

ÉÉSS

H-

;

psppgg

' PkKÊîKS

B B

r

K3

i

I

PP

■ ;

"■■■•■

'Ą\

m

S5S

-: :

3t;M

-Bip:

. . .

s

v P

23£

■ . ■■■■

Éil:

:--y

::: :• : •: ;

SS

.HP

:

PP

S|

; - •

;

255

H*

i - P ■ -

:

i

-#î

y ;

Pi

Bp

Ü§

pp

Pry

PP

§?§;

jêÉS

WSÊB

; : ; y

mz

il

^;ÿ

;:y

ppp:

W:

wm

m

;::v”-:^}r^Âssr3

PPp : : P;

: :- '

i

K5

i#:;:

'

pS:®

:

i-:.-

■:' ' ;h-

■

M

YM

- :

>y

:y

ïïM

;*:P

:;*ÿ(

Bl

ÄI

Ą; .

:! ::

pś||

m

SZKIC TEORYI

mostów nora

PODAŁ

Maksy xn.il i an T łi n 11 i e, dypl. inżynier i docent szli. politech we Lwowie,

Odbitka z Przeglądu Technicznego z trzema tabicami rysunków.

WARSZAWA.

W DRUKARNI J. SIKORSKIEGO, WARECKA N. 6.

1882.

ry

* 8,*U')TtK4 .

W’tÛ**W y)

ii ium

4o3BOJ!:eHO Ho.HaypOH). Bapiuaßa, 28 I10.M 1882 ro^a.

■chniki Krakowskiej

r

?î

<>S

.

Niniejszy krótki rys teoryi mostów łukowych ułożyłem dla wykładów teoryi mostów w lwowskiej szkole politechnicznej,—głównie więc chodziło mi w nim o treściwe zestawienie twierdzeń i metod, potrzebnych do obliczenia łuku w praktyce, a unikałem dochodzeń czysto teoretycznych, może bardzo zajmujących, lecz nie prowadzących wprost do obliczenia natężeń, a na tej podstawie wymiarów łuku.

I. Wiadomości wstępne.

1. Linie rdzenne. Nazwijmy linią łączącą środki ciężkości wszystkich przekrojów łuku—osią luku (Achse des Bogens) i przypuśćmy, że belkę łukową przecięliśmy prostopadle do osi C\C (Tabl. I, fig. 1) płaszczyzną AB i że li jest wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, działających na lewą część łuku. Wypadkowa R nie będzie tu pionową, jak w belce prostej,— bo, wskutek odpowiednio urządzonych podpór, oddziaływania są ukośne, a belka działa na opory rozpierająco, co jest główną cechą belek łukowych.

Wypadkową A rozkładamy na dwie składowe Bi Q, z których pierwsza P działa w kierunku prostopadłym do przekroju, a więc równolegle do osi i nazywa się silą podłużną (Axialkraft), a druga Q działa w kierunku prostopadłym do osi i nazywa się silą poprzeczną (Transversalkraft). Te siły zewnętrzne muszą być w równowadze z siłami we-wnętrznemi, działającemi w tym przekroju. Wszystkie te siły wewnętrzne możemy rozłożyć na siły prostopadłe do przekroju, t. j. natężenia normalne (Normalspannungen) i siły działające w płaszczyźnie przekroju, t. j. natężenia ścinające (Schubspannungen).

Umieśćmy w punkcie C dwie siły równe sile P i działające wprost przeciwnie, a równolegle do osi. Przez to nie naruszymy równowagi systemu sił i otrzymamy:

1)    siłę podłużną P przyczepioną w środku ciężkości przekroju C,

2)    parę sił czyli moment M=Pc,

3)    siłę poprzeczną Q.

Siła podłużna P, rozkłada się jednostajnie na całym

P

przekroju, więc natężenie w skutek siły podłużnej: N'=j,.. 1),

jeżeli F oznacza przekrój. To natężenie jest tu ściskaniem, które oznaczamy znakiem -f-.

Chcąc oznaczyć natężenie N”, powstałe z działania momentu M, musielibyśmy uwzględnić także promień krzywizny osi = r. Jednak gdy promień krzywizny jest dość wielki, w stosunku do wysokości belki,—wtedy w przybliżeniu można użyć tych samych wzorów co dla belki prostej. Możemy więc napisać, nazwawszy Av" natężenie we włóknie odległem o v od osi obojętnej, powstałe w skutek działania momentu:

Mo

2)

jeżeli / oznacza moment bezwładności.

Natężenie więc ogólne w odległości v od osi obojętnej

będzie

. . 3).

P \Ji>

AV —NJ-Ą-Ny'= -p~\- V

Müller Breslau otrzymał po długim wywodzie na A\ dokładniejszą wartość:

P . Mo . M

rF

4)

Zważywszy jednak, że gdy r jest stosunkowo wielkie, M

to — jest bardzo małem, możemy przeto w praktyce wyraz

ten opuścić, przez co otrzymamy równanie 3).

W przekroju AB natężenie jest największe dla najbardziej oddalonych włókien i otrzymujemy:

dla r=ex

P Me, •    •

adlar=—e₂ i\ ~~p l

Niech będzie I—Fa², to a będzie tak zwanym promieniem bezwładności (Trägheitsradius). Wstawmy tę wartość i wartość M=Pc w równanie (5), a otrzymamy: q

^₂ =

A'«²

• • (6).

Jeżeli w całym przekroju ma istnieć tylko rozciąganie lub tylko ściskanie, to A\ i A₂ muszą mieć jednakowe znaki.

Jeżeli więc ma być tylko ściskanie, wtedy 0, więc

a²

4- c>o i--o o.

(l2    ^2

Nazwijmy — = 4, — = 4»

(7)

wtedy musi być 4 + c > o, 4 — o o, więc 4 > e > — 4

4 i 4 są ilościami pierwszego rzędu, czyli długościami, a mianowicie 4 = CIlt 4 = ó'/₂, więc punkty Ą i /₂ są odległe od osi o 4 i 4-

Z równania (7) widzimy więc, że wypadkowa musi przecinać przekrój między punktami lx i/₂, jeżeli cały przekrój ma być wystawiony na ciśnienie. Linia łącząca punkty 1 poszczególnych przekrojów nazywa się linią rdzenną (Kernlinie).

Powierzchnia zawarta między liniami rdzennemi nazywa się rdzeniem przekroju (Kern, Kernfläche).

Linia łącząca punkty przyczepienia siły wypadkowej nazywa się linią ciśnienia (Stützlinie). Powyższe twierdzenie możemy wyrazić także w następny sposób:

Natężenia normalne w przekroju mają wszystkie ten sam znak, jeżeli linia ciśnienia nie wychodzi z rdzenia. Tu musimy zrobić uwagę, że linia ciśnienia różni się od wieloboku sznurowego tylko tem, że dla linii ciśnienia przekroje są prostopadłe do osi, a dla wieloboku sznurowego pionowe. Jednak jeżeli przekroje są dość bliskie, to w praktyce różnica między linią ciśnienia a wielobokiem sznurowym jest tak małą, - że następnie będziemy uważać te dwie linie jako identyczne.

Jeżeli P^>0, wtedy w całym przekroju byłoby rozciąganie. Przy mostach i sklepieniach, gdy obciążenie jest tylko pionowe z góry na dół. Pjest zawsze >0, a więc gdy linia ciśnienia nie wychodzi z rdzenia, w całym przekroju panuje ściskanie; jeżeli zaś linia ciśnienia wychodzi z rdzenia, to w tym przekroju natężenia są i dodatnie i ujemne.

Nazwijmy I4 moment sił zewnętrznych ze względu na punkt 4 momentem rdzennym dolnym (unteres Kernmoment), on I to #₂ = P {c -(- 4), a odpowiednio będzie bP \ Mx — P (6* — 4) moment rdzenny górny ( oberes Kernmoment).

Wtedy otrzymamy z równania (6)

Ni

Pe\ (4+c) _ 14 gj

Pe 2

• • (9),

4₃=— j (4 c)--

a więc wzory takie same, jak dla belki prostej, jeżeli tylko zamiast momentów zwykłych wstawimy momenty rdzenne.

Dla przekroju prostokątnego (fig. 2), a więc i dla sklepienia, jest I = jÿbhz, F=bh,

F 12

eis=ea=~2> więc o² =

. (10),

stąd 4 =

-ł*

=T*

(U).

4 H⁻ 4 —~?j- ^

Widzimy więc, że w sklepieniu i wogóle w belce łukowej o przekroju prostokątnym, średnia trzecia część przekroju stanowi rdzeń, poza który nie powinna wychodzić linia ciśnienia, jeżeli w całej belce ma panować ściskanie.

Dla belek kratowych, których wysokość jest dość wielka, linie rdzenne popadają prawie w pasy.

2. Siły zewnętrzne. Niech będzie AyOBx linią ciśninia dla danego obciążenia (fig. 3a). Wypadkowa wszystkich

sił zewnętrznych R przecina przekrój Aj Aj, w punkcie a i jest styczną, w punkcie ax, na pionowej przez O, do linii sznurowej, której odległością biegunową jest składowa pozioma II. Wypadkową R otrzymamy, składając oddziaływanie D z obciążeniem na długości A¹ K‘—C, z czego wynika, że siły D, C i R przecinają się w jednym punkcie E. Moment sił zewnętrznych ze względu na punkt O jest równy momentowi wypadkowej R, albo jej składowych; możemy więc napisać: M = //-ą, bo Vprzechodząc przez O nie daje żadnego momentu. Widzimy więc, że odstęp pionowy, między osią a linią ciśnienia jest proporcjonalny do moment a sil zewnętrznych, czyli innemi słowy: oś luku jest zamykającą linii ciśnienia.

Jeżeli w odnośnym wieloboku sił poprowadzimy Oc równoległe do R (fig. 3b), a od równoległe do stycznej osi w punkcie O, wtedy:

Oc — R, Od — P siła podłużna, cd = Q siła poprzeczna.

Jeżeli więc znamy w luku linią ciśnienia, to możemy oznaczyć wszystkie siły zewnętrzne. Zadaniem zatem na-szem teraz będzie, wykreślić dîa każdego danego obciążenia odpowiednią linią ciśnienia.

Na łuk AR (fig. 4) działa obciążenie dowolne i wywołuje oddziaływania AiR, które możemy rozłożyć na siły U, V, IR i V‘. Mamy tu sześć niewiadomych, a mianowicie punkty A i R, na liniach uh i cd i cztery siły V, II, V‘ i //'.

Do oznaczenia tych niewiadomych mamy trzy równania:

1)    Suma składowych pionowych = 0, więc F—(— łr/=£/’.

2)    Suma składowych poziomych = 0, więc //=//'.

3)    Suma momentów wszystkich sił zewnętrznych około jakiegobądź punktu = 0.

Dla oznaczenia sześciu niewiadomych mamy więc tylko trzy równania, brakuje nam jeszcze trzech równań, a do ich oznaczenia są dwa sposoby. Albo uciekamy się do prawideł sprężystości i badamy odkształcenie luku, lub też budujemy łuk w ten sposób, aby trzem danym warunkom zadość uczynił, urządzając przeguby (Gelenke, joints).

Przeguby, wprowadzone w użycie najprzód przez Gerbera, są to połączenia zawiasowe dwóch zupełnie odrębnych części, na które belka została podzieloną, albo właściwiej jeszcze możnaby powiedzieć, są to połączenia zawiasowe dwóch belek.

Jeżeli więc w któremkolwiek miejscu luku urządzimy przegub, obie części mogą być tylko wtedy w równowadze, jeżeli w miejscu przegubu jest moment — 0, gdyż inaczej musiałaby się część jedna około osi przegubu obrócić. Stąd wynika, że linia ciśnienia musi przechodzić przez przegub. Urządziwszy więc n przegubów, otrzymujemy dla równowagi jeszcze n równań. A że, jak to przed tern udowodniliśmy, dla łuku brakują nam trzy równania, więc urządziwszy trzy przeguby w luku, możemy siły zewnętrzne zupełnie dokładnie oznaczyć. W praktyce spotykamy łuki o trzech, o dwóch przegubach—i bez przegubu. Dla dwóch ostatnich konstrukcyj musimy się uciec do prawideł sprężystości, jak to już wyżej wspomnieliśmy.

3. Odkształcenie luku. Niech będzie ACH (fig. 5) osią łuku, którego długość od pewnego punktu C nazwij my s=CD, kąt zaś nachylenia stycznej w punkcie D do poziomu niech będzie cp. W skutek obciążenia, ilości cp i s zmienią się o Acp i \s. Nim je oznaczymy, określmy zależność ilości "s i cp, a otrzymamy:

(12)

dx ■= d dy= —

Przy odkształceniu (Deformation) zmieniają się te wszystkie długości,—gdy więc nazwaliśmy zmianę długości s przez As, to teraz nazwiemy zmianę długości ds przez Ads.

Różniczkując równanie (12) otrzymamy:

A dx — A ds cos cp — ds Acp sin cp A dy = A ds sin cp — ds Acp cos cp, a wstawiwszy za cos cp i sin cp wartość z (12) otrzymamy:

A dx =

diz? —J— Acp dy = d A x

A ds

. .    (13).

ds

A ds

dy — Acp dx =d\y

Całkujmy te równania:

Ax =

. . (14).

A ds jest to zmiana długości nieskończenie małej cząstki łuku

A ds

ds, a iloczyn jest więc względną zmianą długości luku,

• U o

możemy zatem napisać:

A rls

N‘

ds

EE

. . (15).

Dajemy znak —, bo P oznaczając ciśnienie skraca luk.

Dla wynalezienia musimy oznaczyć działanie momentu M. W skutek działania momentu M zmienia się kąt do o A//cp (fig 6). Z tego wynika, że IVU = ds przedłuża się o A ds, a przedłużenie to możemy napisać analogicznie do równania (15):

A ds

Ny”

gdy ATV" oznacza natężenie w skutek

działania momentu M, a wstawiwszy wartość za ,Vv" z równania (2),

(iS

A ds = —

Mo

. . (16)

El <Is ’ /

Z figury widzimy, że \ds = v&dy,

. ■    a /    Ay/.s-

więc    A d cp = ——

. ,    M

A d cp = —

A d cp_ M

~ds

Całkujemy teraz równania (15) i (17) i otrzymamy:

El

ds

Et '    '

• • (17).

§•

00

Gdy kształt luku jest dany, wtedy znana jest zależność między zmiennemi cc, //, s i cp—i za pomocą powyższych równań możemy oznaczyć odkształcenie łuku.

II. Łuk bez przegubu.

4. Oznaczenie trzech warunków. Łuk bez przegubu (Bogenträger ohne Gelenke) jestto łuk, którego oba końce

są tak utwierdzone, że styczne podporowe się nie zmieniają. A że przytem obie opory są stałe, więc możemy napisać trzy następujące równania:

Aa? = 0 Ay = 0 Acp = 0

Te trzy równania wystarczą nam do oznaczenia sif zewnętrznych, jak to udowodniliśmy wyżej.

Mech ACH (fig. 7) przedstawia nam linią ciśnienia, wtedy pierwsze równanie możemy ze względu na równanie (14) napisać:

(19).

A* =

B Ids

ds

dx -f-

Atp dy = 0,

albo całkując częściowo:

ds

// jest dla A i Ii = 0, więc drugi wyraz odpada i możemy napisać :

0 j“B A ds

ds

tlx —

CB dA© .

mamy.

Wstawmy teraz wartości z równań (15) i (17), a otrzy-B p

E, ds . . .    (20).

A'jest liczbą stałą, a dla przekroju stałego / możemy także wyłączyć przed znak i napisać:

YF

dx —

rB    / rB

S*m",— tSa

Pdx = 0 . . . . (21).

• Dla łuków płaskich, gdy cp jest małe a r wielkie, siła podłużna P jest bardzo mała, drugi wyraz daje więc stosunkowo tak małe wartości, że w przybliżeniu napisać możemy.

My ds — 0

W ten sam sposób postępując, otrzymamy z drugiego równania (19) :

/:

(22).

/:

!/ x ds — 0 . .

. .    (23).

Trzecie równanie brzmi: A cp = 0. Według równania (18)

(24)

(25).

rB M

0 = A<p = J -pj lis, .

a d\a przekroju stałego:

Mds = 0

Na tycb trzech zasadniczych równaniach polega cała dalsza teorya belek łukowych. Z powodu wielkiego znaczenia tych równań, podamy tu jeszcze inny dowód ich rzetelności według Burra.

Wiemy, że natężenie włókna fg (fig. 8), w odległości =1 od osi obojętnej, spowodowane momentem sił zewnętrznych, jest: stąd otrzymamy przedłużenie lub skrócenie względne tego włókna:

dl 9

(26),

e Er

więc przedłużenie na długość ds₃:

(27).

A ds₂—-jjds₂ .

Jeżeli A‘B‘ (fig. 9) jest owo włókno w odległości równej jednostce od osi i gdy E‘D‘ — ds₂ przedłuży się o Ads₂=D‘G‘, to przekrój DDl przejdzie w położenie DG‘, "obróciwszy się o A dy około punktu B.

Możemy więc napisać:

A ds₂ = D‘G‘ = 1. A dy — A dy.

W kierunku pionowym zmieni się przez to oddalenie punktu B od stycznej do włókna w punkcie danym o FR—dy. Dalej mamy

dy — FE cos (<p -f- 8 cp -j- A dy) = FK cos y, opuściwszy nieskończenie małe Sep i A dy, będzie:

dy = FK cos cp = D‘F A d y cos cp = x A d cp

Mx

dy — x A ds₃ = — ds₂.

Jeżeli dodamy dy pochodzące ze zmiany nachylenia wszystkich przekrojów, otrzymamy ugięcie belki w punkcie B:

(28)

B Mx ,

—777- ds A M

a dla przekroju stałego:

Mx ds.

Dla łuku bez przegubu styczna na podporze jest stałą, więc A 3/ = 0, a zatem:

(29).

Mx ds = 0

Ściśle rzecz biorąc, równanie (29) nie jest zupełnie rzetelne, gdyż nie uwzględniliśmy siły podłużnej P i

rB

I Mx dx nie bedzie = 0,

J A

lecz bardzo małej liczbie W praktyce jednak, jak wiemy z poprzedniego, możemy uznać równanie (29) za dostatecznie dokładne, gdyż wpływ siły podłużnej w porównaniu z wpływem momentu jest bardzo małym.

Zupełnie w taki sam sposób otrzymamy analogiczne

równanie:

/:

My ds = 0,

(30).

Trzecie równanie otrzymamy, zważywszy że:

rB m

A dsi— I -jj ds,

rB    rB

A cp = 0 = I A dy= I Ja    Ja

a dla przekroju stałego:

(31).

Mds = 0

5. Przybliżone oznaczenie prawdziwej linii ciśnienia• Ta linia ciśnienia jest prawdziwą, która wypełnia wszystkie trzy powyżej podane warunki, a że jak to pierwej udowodniliśmy, brakowały nam tylko trzy równania, więc teraz mamy tyle równań, ile niewiadomych, a zatem niewiadome dadzą się ściśle oznaczyć. Linia ciśnienia jest więc zupełnie oznaczona temi równaniami.

Będziemy teraz szukać tej prawdziwej linii ciśnienia, odpowiadającej trzem warunkom,—a to w ten sposób, że nar przód wyszukamy linią ciśnienia odpowiadającą jednemu warunkowi, potem zmienimy ją tak, aby nie przestając odpowiadać pierwszemu warunkowi odpowiadała i drugiemu, a nareszcie i trzeciemu.

Każdy wielobok uważać możemy jako wielobok sznurowy dla pewnego obciążenia, a więc i oś ACB (fig. 10) niech będzie wielobokiem sznurowym dla pewnego obciążenia i pewnego parcia poziomego. Przypuśćmy dalej że LK jest linią zamykającą dla belki zwykłej, na obu końcach utwierdzonej,—wtedy odstępy pionowe między LK a osią będą dla pewnego parcia poziomego równe momentom Mb, a na mocy równania (31), które tu także jest ważne:

Mb ds = 0.

Niech będzie wielobok oznaczony a‘ a\ a\ .... a\0 prawdziwą linią ciśnienia i przypuśćmy na chwilę, że jest także wielobokiem sznurowym dla tej samej belki zwykłej na obu końcach utwierdzonej, co wielobok b, ale dla danego rzeczywistego obciążenia i że linia LK jest znów linią zamykającą dla tego samego parcia poziomego. Wtedy odstępy między linią zamykającą a wielobokiem a będą równe momentom i/a i tu także będzie:

i/a dS = 0.

. . (32).

Wiemy że dla łuku linią zamykającą jest oś łuku, więc momenty dla łuku będą M =±= i/t — i/b, . . jak to z figury widzimy.

Pomnożywszy to równanie przez x ds otrzymamy: Mx ds — l/a x ds — Mb x ds.

Całkujmy to równanie:

JMb xds=O, według (29), a zatem: i/h x ds

i/a X ds -

J Mx ds = J

(33).

J l/a X ds — J Mb

Analogicznie możemy napisać:

J M&y ds = J Mb y ds i fMads = f

Mb ds

(35).

Te trzy równania posłużą nam do wyznaczenia prawdziwej linii ciśnienia, a mianowicie w równaniu (33) i (35) zrobimy obie strony równania = 0, przez co będą też sobie równe. AV tym celu dzielimy najprzód rozpiętość na równą liczbę części (na figurze 10 części). Ciężar stały takiego paska i ciężar ruchomy działa w praktyce dość dokładnie w pionowej połowiącej ten pasek. Wykreślamy więc te linie połowiące przez e₁, e₂

el0, jako kierunki sił działających i na linii pionowej przez A wykreślamy wielobok sił dla danego obciążenia (na figurze obciążona jest lewa strona łuku).

Przyjąwszy tymczasowo jako odległość biegunową połowę rozpiętości i biegun w punkcie D, ciągniemy promienie i wykreślamy w zwykły sposób wielobok sznurowy EN F. Teraz szukamy linii zamykającej, któraby zadość uczyniła równaniu:

rB

]/** = o-

Przyjąwszy w przybliżeniu ds = dæ, otrzymujemy Ma dæ = 0,

co znaczy, że powierzchnia między linią zamykającą a wie-lobokiem sznurowym a ma być = 0, oczywiście gdy uwzględnimy znaki rzędnych.

Wykreślmy naprzód linią A₂ K₂ równoległą do EF oceniwszy na oko, że powierzchnia między i₂ K₀ a E NF= 0. Dobrze także użyć w tym celu linii prostej wykreślonej na kalce, którą przesuwamy równolegle do linii EF, aż powierzchnie po obu stronach linii będą równe.

j Mi dx = 0,

Teraz sprawdzimy, czy rzeczywiście

najlepiej dodając algebraicznie rzędne w punktach a₂ do tf₉, s/₄ rzędnych w ax i au i */₄ rzędnych EL₂ i Fh\, poczem su-

Mà xds = 0, albo w przyzb

mę pomnożyć jeszcze mamy przez e — Licząc w przybliżeniu, możemy dodać algebraicznie wszystkie rzędne od 1 do 10 i pomnożyć sumę przez e.

Jeżeli powierzchnia nie jest *= 0, lecz np. =“+/■, wte-

f

dy posuniemy linią 4 4 do góry o długość A a —y,w skutek czego powierzchnia będzie dokładnie = 0.

. Chodzi teraz o to,

rB

aby4

bliżeniu { Mxdx — 0, t. j., aby moment statyczny tej po-

J ä

wierzchni ze względu na AE był — 0. Obliczmy moment statyczny tej powierzchni, rozkładając ją na trapezy i przypuszczając, że środek ciężkości trapezu jest w połowie wysokości. Przypuśćmy że suma nie będzie = 0, lecz = —s.

W takim razie musimy moment statyczny powierzchni powiększyć o 4~ ^ przez to, że linią 44 obrócimy około punktu / o pewien kąt, aż przyjdzie w położenie 4 4-

Długość 4 4 oznaczymy w następny sposób: przez obrót linii zamykającej, pomniejszy się z lewej strony powierzchnia dodatnia, z prawej ujemna. Moment statyczny, jaki przez to powstanie, ma być:

+S=-//,₁4-i-/+//l'₁A's|-/=+ y//44 =

=*4-4.4-D«=+~A £„

o Z    Z    o

(36),

a stąd Lx L% — ^

a że IKX K, = ILL₂, więc warunek pierwszy nie został naruszony. Linia zamykająca 4 4 odpowiada więc teraz dwom pierwszym warunkom.

Teraz szukamy linii;-zamykającej dla osi łuku, jako wieloboku sznurowego, w ten sam sposób i znajdziemy L K równoległe do AB, bo z powodu symetryi, drugi warunek będzie już przez to także wypełniony. Środek ciężkości bowiem, tak ujemnej części płaszczyzny jak i dodatniej, leży

w linii CD, a że te płaszczyzny są równe, więc momenty statyczne muszą być równe z przeciwnym znakiem, a zatem:

Mb xdx — 0.

Chodzi nam jeszcze o wypełnienie trzeciego warunku*-

Mb y ds, czyli w przybliżeniu:

/:

M& y ds —

fB

J A

/:

Ma y dx =

rB

I Mb y dx.

Wyszukajmy najprzód wartości j

M& y dx.

Ezędne ac wyobrażają nam jak wiemy momenty M&. Uważajmy Ma jako siły działające poziomo w odpowiednich punktach osi b, oddalonych od linii AB o y, np, ax cx w bx,

rB

a₂ c₂ w b₂ i t. d., wtedy otrzymamy łatwo 4/a y dx, wy-

J A

kreślając na linii BS wielobok sił, a potem wielobok sznurowy. Zacząwszy od C odcinamy Cf\ — axcx, j\f₂ = a₂ c₂, f\ f₃ w przeciwnym kierunku = a₃ c₃ i t. d„ a ponieważ £ ac powinna być=0, albo mało się co różnić od 0, więc ostatni punkt wieloboku £/'l0 zejdzie się mniej lub więcej dokładnie z punktem C.

Weźmy tymczasowo jako odległość biegunową CD, połączmy D z wszystkimi punktami wieloboku sił, z punktów bx, b₂ i t. d. poprowadźmy poziome i wykreślmy wielobok sznurowy DTU (fig. 10).

Niech będzie (fig. 11) mmx równoległe do D n-f-1 (fig. 12) jednym bokiem wieloboku sznurowego, D n niech będzie równoległe do poprzedniego boku, wtedy mamy proporcyą: pr : yn = n n -f 1 : h, czyli: pr : yn — Ma. : h, a stąd:

pr —

więc na fig. 11:

M* ydx . . . (37).

VC=UD=y f

To samo robimy, chcąc oznaczyć JMh y dx. Tu 4/b są

równe rzędnym między osią luku a linią zamykającą LK. Wykreślamy w ten sam sposób wielobok sznurowy, czyli właściwie z powodu symetryi tylko połowę wieloboku i otrzymujemy:

Ct

i:

Mhydx. . . . (38a).

Aby zadość uczynić równaniu (34) musiałoby być :

D

M*ydx =

CB

I Mh y dx czyli 2 h Ct = h. UD, albo:

2 Ct = UD

(38b).

Faktycznie jednak 2 Ct^UD, więc aby uzyskać równanie (38b), musimy, ponieważ 2 Ct jest dla danego kształtu luku stałe, zmienić tak UD, aby UD = 2 Ct.

Przypuśćmy np. że 2Ct>UD, a mianowicie że:

2 Ct = n.UD,

że więc UD trzeba n razy powiększyć, — to ponieważ i r b

UD = — I M& y dx, UD będzie n razy większe, jeżeli 4/a

nJ A

czyli rzędne wieloboku sznurowego a powiększymy n razy. Rzędne zaś wieloboku tego będą n razy większe, jeżeli do wykreślenia go użyjemy odległości biegunowej n razy

... A AD mniejszej, a zatem = —.

Teraz dwojaki jest sposób wykreślenia prawdziwej linii ciśnienia: albo mnożymy wszystkie rzędne wieloboku

i wykreślamy je według znaku, powyżej

261

a przez n

lub poniżej linii LK— albo oznaczywszy prawdziwą odległość biegunową, szukamy takiego bieguna, aby linie zamykające obu wieloboków zeszły się razem i aby można jeden na drugi położyć. Wykreślmy dowolną linią DD‘, zróbmy BP= UD, BP = 2 Ct, wykreślmy potem DD‘ równoległe do PP‘, a be-

BP

dziemy mogli napisać: BD‘ = BD. = AD.

BiV

Prawdziwą odległością biegunową jest więc BD‘.

UD

2 Ct AD.

UD

Według pierwszego sposobu mamy powiększyć wszystkie rzędne AL w stosunku BP : BP\ co zrobić możemy za pomocą kąta proporcyonalnego PBP'. Sposób ten jest łatwy i dokładny,—-jako próbę użyć możemy drugiego sposobu, a to jak następuje:

Ciągniemy DF₁ równoległe do LXKX, przez co otrzymujemy Ol<\—V i Fx 10 = F'. oddziaływania pionowe. Z punktu Fx ciągniemy poziomą Fx Ü" równoległą do zamykającej LK i robimy FXD"—BF)‘. //'jest wtedy prawdziwym biegunem, gdyż odległość biegunowa FXD” — BD‘, a równoległa do nowej zamykającej LK dzieli nam wielobok sił na V i V‘. Teraz ciągniemy promienie i wielobok sznurowy a, punkt początkowy, a może i więcej punktów oznaczamy jako kontrolę, według poprzedniej metody.

W ten sposób otrzymujemy prawdziwą linią ciśnienia, a momenty ze względu na oś M=FxD"z = Hz, jeżeli 2 oznacza pionowy odstęp między osią a linią ciśnienia.

Drugą próbą rzetelności konstrukcyi jest ta okoliczność, że punkty przecięcia się wieloboku a, z linią zamykającą m i n, leżą w pionowych punktów przecięcia się linii ciśnienia z LK—m‘ i n‘. Dalej boki skrajne wieloboku sznurowego muszą się przecinać w pionowej przez środek ciężkości wszystkich ciężarów, GG\ a nakoniec sumy powierzchni powyżej osi i poniżej osi muszą być sobie równe.

6. Położenie powierzchni momentów. Mech będzie ACB (fig. 13) osiąłuku, A₁DBl prawdziwą linią ciśnienia,— rzędne więc między temi dwiema liniami będą, jak wiemy, proporcyonalne dd momentów. Pierwszy warunek:

tu. ta

MDx — 0,

oznacza że suma powierzchni dodatnich jest równa sumie powierzchni ujemnych, t. j. poniżej osi leżących. Drugi i trzeci warunek brzmi:

ca

Mydx = 0,

Mxdx = 0 i

co da się słowami tak wyrazić: moment statyczny powierzchni ujemnych musi być równy momentowi statycznemu powierzchni dodatnich, tak ze względu na oś odciętych jak i rzędnych. Wiemy, że moment statyczny jest iloczynem z powierzchni przez odległość środka ciężkości od danej linii, a więc gdy po-

wierzchnie dodatnie i ujemne i ich momenty statyczne są równe, to i odległość środka ciężkości powierzchni ujemnych i dodatnich od obu osi musi być równa, czyli innemi słowy, środek ciężkości części ujemnych musi schodzić sie ze śród-kiem ciężkości części dodatnich.

Aby ten ostatni warunek wypełnić, musi linia ciśnienia przecinać oś najmniej w trzech punktach (fig. 13), bo jeżeliby przecinała tylko w dwóch punktach, to otrzymalibyśmy dwie części o jednym znaku, a jedną część o przeciwnym, w różnych wysokościach, tak, że środki ciężkości nie mogłyby się schodzić.

Powyższa ulepszona metoda Hurra da się w zupełności zastosować ido sklepień i jest lepszą od metody Foeppla i innych, gdyż jest bardzo przejrzystą i jasną, a nadewszyst-ko ogólną. Dla jakiejkolwiek osi i dla dowolnego obciążenia da się ona zastosować, a nawet, jak to zobaczymy w dalszym ciągu,—z malemi zmianami i dla łuków z przegubami.

III. Łuk przegubowy

(Gelenkbogenträger, arched rib vith joints).

7. Lu/f o dwóch przegubach (Bogen träger mit Kämpfer-gelenken, arched rib vith free ends). Wiemy już, co to są przeguby i że w praktyce używamy łuków o dwóch i o trzech przegubach Najprzód mówić tu będziemy o pierwszych. Jeżeli w luku urządzamy dwa przeguby, to umieszczamy je przy oporach. Właściwie powiedziawszy, nie są to przeguby lecz łożyska kolebkowe ukośne.

Przez urządzenie dwóch przegubów pozyskujemy dwa równania wyrażające, że momenty w obu przegubach są równe zeru. Pozostaje nam więc jeszcze jeden warunek do oznaczenia, a warunkiem tym jest równanie A«=0, bo w punktach A i U (fig. 14) nie dopuszczamy przesunięcia poziomego. Wprawdzie w punktach A i li urządzenie przegubów nie dozwala nam i przesunięcia pionowego, ale do oznaczenia sił potrzebny jest nam tylko jeden warunek, a tym warunkiem jest \x = 0. Z równania tego otrzymamy zupełnie w ten sam sposób, co pierwej:

( My ds — 0, a w przybliżeniu:

J A

ja

J A

My dx = O

(39).

Konstrukcya zaczyna się tak samo jak dla łuku bez przegubu: wykreślamy wielobok sznurowy a, tylko, że tu zamiast linii Łv h\ linią zamykającą będzie EF (fig. 10), bo momenty na podporach są = 0.

Tak samo dla osi łuku będzie linią zamykającą AU, konstrukcya więc się bardzo upraszcza. Z wyjątkiem tych zmian, dalsza konstrukcya pozostaje ta sama co dla łuku

rB

bez przegubu. Dla zadość uczynienia równaniu | My dx=0

J A

wykreślamy wieloboki sznurowe DTu i Dt i w ten sam sposób, co pierwej, kładziemy wielobok a na h, aby linie zamykające schodziły się ze sobą, wyszukawszy wprzód prawdziwą odległość biegunową czyli parcie poziome. W ten sposób otrzymamy prawdziwą linią ciśnienia.

8. Łuk o trzech przegubach (Bogen mit. 3 Gelenken, arched rib free at ends and jointed at the crown). Łuk o trzech przegubach, jest statycznie oznaczony, jak to wiemy już z poprzedniego. W przegubach A, H i (i (fig. 15) momenty są równe zeru, więc linia ciśnienia musi przez te trzy punkty przechodzić. Oznaczenie linii ciśnienia przeprowadzimy w następny sposób.

Wykreślamy naprzód wielobok sił (fig. 16) i przyjmujemy dowolnie biegun 0. Ciągniemy promienie i kreślimy wielobok sznurowy z punktu A. Wielobok ten przetnie nam pionową przez li w punkcie li'. Prowadzimy OD równoległą do Ab' i otrzymujemy pionową składową oddziaływania, w A równą V — D₀, a w li równą I⁷' = Ą. Ponieważ prawdziwa linia zamykająca jest Ali, wię.c prowadzimy DOx równoległą do AU i wiemy, że biegun prawdziwy będzie w linii DOx, a znajdziemy go w następny sposób. Jeżeli poprowadzimy przez O pionową i obierzemy w punkcie przecięcia Ox biegun, wtedy rzędne wieloboku sznurowego pozostaną te same, bo odległość biegunowa się nie zmieniła. A zatem nie zmieni się też i wielkość rzędnej przechodzącej przez C, która więc będzie równa t\ t\. Jeżeli linia ciśnienia ma przechodzić przez biegun, to rzędna wieloboku sznurowego w C musi być równą C₀C = (\t\. Musimy więc tak zmienić odległość biegunową, aby zamiast C₉C\ otrzy-

mać C,Ci — C₀C, a mianowicie clicąc powiększyć rzędną, musimy zmniejszyć odległość biegunową DO[

Wynieśmy (\t\ = C₀C, poprowadźmy C\F równoległą do AU i i\F równoległą do Ali, zróbmy C\F = l)Ol i połączmy F₂ C\, a otrzymamy punkt A¹ i długość (\ F będzie prawdziwą odległością biegunową. Z konstrukcyi bowiem wynika że t\F : L\F — l\ C\ : t\C\, czyli:

1*

DOx : C\F — C₀ C : 6’₂6'

Zróbmy teraz Dü₂ = Ć\A'. to ć>₂ będzie prawdziwym biegunem. Poprowadźmy promienie, a odnośny wieiobok sznurowy przechodzić będzie przez punkty A, Ii i C. Przy konstrukcyi możemy też korzystać ze znanego twierdzenia statyki, wykreślnej, na mocy którego boki odpowiednie obu projektów sznurowych będą się przecinać na linii A G równoległej do 00₂.

9. Oznaczenie analityczne oddziaływań w luku o trzech przegubach. Ponieważ łuk o trzech przegubach jest statycznie oznaczony, więc łatwo otrzymamy analityczne wyrażenia na pionowe i poziome składowe oddziaływania.

Przypuśćmy, że siła skupiona F działa na prawo od przegubu kluczowego (fig. 17) i że wywołuje oddziaływanie w A w kierunku AC, które rozkłada się na A i H. Wtedy możemy napisać ze względu na punkt li :

• • (40),

Pb

Al = Fb, więc A — — .    .

i ze względu na punkt C: )/ = A-=--Hh = 0, a stąd:

U

. . (41).

.. _ Al _ Pb _Pó

2h~ l ' 2h~2h ' ’

Równania te są tylko ważne dla / > a > przyczem

punkt l) leży zawsze na przedłużeniu prostej A I. Gdy siła P porusza się od A do li, punkt D porusza się po linii D‘CD, za pomocą której dadzą się natychmiast oznaczyć oddziaływania. Dlatego nazywamy tę linią linią oddziaływania (Kämpferdrucklinie), a składa się ona dla łuku o trzech przegubach z dwóch prostych CD‘ i CD.

Jeżeli siła P działa na lewo od przegubu kluczowego,

więc dla 0 > a > otrzymamy analogicznie;

U

A ==

Pb

. . (42),

Pa

11= ~

2b

(43).

Równania (40) i (42) są ważne także i dla łuku o dwóch przegubach, bo dla ich udowodnienia nie potrzebujemy przypuszczać, że moment w C jest równy zeru.

Porównawszy (41) i (43) zrozumiemy, że linia wpływowa dla parcia poziomego // da się wykreślić, zrobiwszy PI

PF= — i połączywszy punkty A i R z F.

Niech będą R i R{ wypadkowe sił po lewej i po prawej stronie przegubu C (fig. 18), a u i ux odległości ich od niego, to:

Ru —j— R y U y

• • (44).

IV. Dokładniejsze oznaczenie linii ciśnienia.

10. Przekrój zmienny. Przy oznaczeniu trzech równań zasadniczych w § 5, przyjęliśmy, że FI jest ilością stałą. Jeżeli jednak luk ma przekrój zmienny ciągle lub stopniowo, to moment bezwładności nie jest ilością stałą i tę okoliczność teraz uwzględnić nam wypada.

Również uprościliśmy równania zasadnicze w ten sposób, że zamiast t/s przyjęliśmy dx, przez co także pewna niedokładność wkradła się w naszą konstrukcyą. Przy dokładniejszej konstrukcyi nie będziemy więc robić tego skrócenia, a zatem zasadnicze równania będą teraz brzmiały:

I“ —

Mdx = 0

&,=0

. (45) zamiast

Mxdx = 0

J Mydx = 0

Nazwijmy dowolny moment bezwładności np. w punk-

/'

cie 6’(Tabl. II, fig. 19) przez to możemy napisać 1—j , gdzie

i jest zmiennym spółczynnikiem. Wtedy równania (45) przyjmą kształt:

r\nd

•.= 0,

Mixds

/'

»■/

diyds

= 0, .

■ (46),

czyli, ponieważ /' jest ilością stałą:

• (47).

I Mids = 0, j Mixds = 0, j Miyds — 0

Porównawszy równania (47) z równaniami dawniej-szemi, zobaczymy, że możemy konstrukcyą przeprowadzić tak jak pierwej, jeżeli tylko wszędzie zamiast Mdx weźmiemy Mids = Mdx sec <p i, czyli zamiast M weźmiemy Mi sec cp.

W tym celu dzielimy najprzód rozpiętość AB na taką liczbę równych części (na fig. 19 dziesięć), abyśmy z dostateczną dokładnością mogli przyjąć w jednej takiej części przekrój stały.

Połowimy te części i wykreślamy jak pierwej wielo -bok sil i wielobok sznurowy a. Ciągniemy potem Z₂A₂ równolegle do AY'na oko tak. aby płaszczyzny dodatnie i ujemne były równe i zmieniamy wielobok a odpowiednio do powyższych warunków. Mianowicie mnożymy każdą rzędną między linią zamykającą /.₂A₂ a wielobokiem sznurowym przez /seecp. Przez i mnożymy w dowolny sposób, najlepiej za pomocą kąta proporcyonalnego, a przez sec <p—poprowadziwszy z punktu a (Tabl. I, fig. 20) równoległą do promienia w tym punkcie, przez co otrzymujemy d=*=ab seecp = = Mi sec cp = ae.

W ten sposób pomnożywszy wszystkie rzędne przez i seecp, otrzymujemy nowy wielobok E‘iXF\ Trzy punkty Pi, A i i\ będą wspólne obu wielobokom. Teraz próbujemy, czy powierzchnie dodatnie i ujemne są równe, jak w § 5. Otrzymamy pewną różnicę dodatnią lub ujemną i według

tego posuwamy do góry lub na dół w przybliżeniu o

i teraz zamiast A₂ A₂ mamy linią zamykającą A₃Af₃. Linia ta przecina nam pierwotny wielobok sznurowy w y;₂ i /₂. Rzędne między tym wielobokiem sznurowym a L₃K₃ mnożymy

znów przez i sec <p i otrzymujemy nowy wielobok E₉NF9 (który na fig. 19 schodzi się z E‘NF‘). Próbujemy znów czy powierzchnie dodatnie i ujemne są sobie równe, a gdyby tak nie było, musielibyśmy jeszcze raz linią zamykającą nieco przesunąć.

Linia zamykająca czyni tu zadość dopiero pierwszemu równaniu, teraz musimy ją zmienić o tyle, aby i drugie równanie J Mi sec cp dx = 0 zostało wypełnione.

Postępujemy tu zupełnie jak w § 5, obliczamy moment statyczny Mi sec cp . x, a otrzymawszy pewną różnicę s, obracamy linią zamykającą około punktu / o pewien kąt. Wielkość obrotu nie da się wprawdzie oznaczyć równaniem (36), ale w danym wypadku da się obliczyć z danych i, tp i /. Zresztą równanie (36) da nam także dość przybliżone wyniki. W ten sposób otrzymamy prawdziwą linią zamykającą A, h\.

To samo robimy teraz z osią łuku uważaną jako wielobok sznurowy. Z powodu symetryi równanie drugie wypełnia sie samo przez się, gdy pierwszemu zadośćuczynimy, a zamykająca AA jest tu poziomą. Dalej postępujemy zupełnie jak w § 5 i otrzymujemy w ten sposób dokładniejsze wyniki, z uwzględnieniem zmienności przekroju.

Zwrócić tu muszę uwagę, że mnożenie przez i sec cp służy tylko do oznaczenia prawdziwych linij zamykających, a potem prawdziwego parcia poziomego. Otrzymawszy to, wracamy znów do pierwotnych wieloboków sznurowych, t. j. wieloboku a i osi — a zmieniwszy wielobok a według nowej odległości biegunowej, kładziemy jak pierwej oba wieloboki, tak, aby linie zamykające schodziły się z sobą.

11.

Wpływ zmiany ciepłoty na linią ciśnienia. Zmiana ciepłoty sprowadza zmianę długości łuku, a w skutek tego odkształcenie i zmianę długości rzędnych osi łuku. Dokładne oznaczenie natężeń w skutek tego powstających jest dość zawiłe, w przybliżeniu jednak możemy łatwo w następny sposób oznaczyć wpływ zmiany ciepłoty.

Weźmy naprzód pod uwagę łuk o dwóch przegubach nieobciążony (fig. 21). Przypuśćmy, że ciepłota, podwyższyła się o t stopni, a przez to łuk przedłużył się o A«s— -¥o.ts (48) gdzie 6- oznacza długość łuku, a a spółczynnUs rozszerzalności (Ausdehnungscoefieient). Ponieważ łuk usiłuje zatrzymać dawny kształt, więc gdyby był wolnym, zmieniłyby się wszystkie jego wymiary odpowiednio, a zatem i rozpiętość / o 1/. Z powodu urządzenia przegubów w A i Ii nie dozwalamy się przedłużyć rozpiętości /, a skutek będzie ten sam, jeżeli usunąwszy podpory umieścimy w A i U siły poziome //'

Mamy tu więc przed sobą łuk o dwóch przegubach, na który działają siły, więc warunki zasadnicze, które pierwej określiliśmy, muszą i tu być wypełnione.

W łuku bez przegubu (fig. 22) powstaje w skutek zmiany ciepłoty także oddziaływanie poziome JA, lecz tu nie mo-

rB

że ono działać w linii AB, bo trzeci warunek I cp =

Ja

rB

z którego, jak wiemy, otrzymujemy równanie I

J A

0,

Mds = 0.

wyznacza inne położenie kierunku oddziaływania, a mianowicie linią AA.

Widzimy więc, że wpływ zmiany ciepłoty ogranicza się do tego, że wywołuje oddziaływanie poziome //', które wypełnić musi także i trzy zasadnicze równania:

'B

Mds =

Mijds — 0.

Mxds = 0 i

./ A

Müller Breslau, oznaczając dokładnie wpływ zmiany ciepłoty, otrzymuje podobne równania, których uproszczeniem są nasze równania zasadnicze, po opuszczeniu wyrazów zależnych od siły podłużnej, której dla płaskich łuków nie uwzględniliśmy także w § 5. Opuściwszy więc konsekwentnie te wyrazy, otrzymujemy nasze równania zasadnicze, a możemy to uczynić tern snadniej, że wielka subtelność w oznaczeniu natężeń luków sprężystych jest tylko urojoną, bo inne czynniki i uproszczenia, konieczne dla zmniejszenia zawiłości zadania, nie dozwalają zupełnie dokładnie ozna czyć natężeń.

Sposób obliczenia jest następujący:

Obliczamy naprzód zniżenie lub podwyższenie łuku w kluczu Niech będzie ACB (fig. 23) lukiem parabolicznym, wtedy możemy napisać w przybliżeniu:

(>+!<{)’) ■ ■

• • (49),

<lf = +

• • (50),

co użyć możemy także dla płaskich łuków kołowych.

Spółczynnik rozszerzalności a możemy przyjąć: dla drzewa . . o- = 0 000004 dla żelaza lanego a = 0.000011 dla żelaza kutego a = 0,0000122

dla stali . . . a = 0,0000124 dla pozlziałki Celsius:a.

t jest to różnica ciepłoty w czasie złożenia luku i w czasie danym. Jeżeli przyjmiemy jako średnią ciepłotę w czasie złożenia —10° C., a najwyższą i najniższą ciepłotę -j- 40°C. i — 40°C., to otrzymamy / = -f- 30° lub ł = — 50°. Jeżeli jednak składamy łuk w lecie, wtedy ciepłota może być około -f- 30°, więc t — — 70°. W ten sposób obliczyć możemy zniżenie lub podwyższenie klucza.

Wiemy z drugiej strony, że znając momenty, otrzymać możemy ugięcie belki, jeśli powierzchnię momentów uważać będziemy jako powierzchnię obciążenia, a drugi wie-lobok sznurowy da nam ugięcie łuku, jeżeli drugą odległość biegunową d przyjmiemy = /./.

/:

Aby uzyskać powierzchnię momentów, wynajdujemy linią zamykającą AA' (Tabl. II, fig. 24) za pomocą równań

Mæds = 0. Linia ta będzie ta sama co na

Mds === 0 i

fig. 19, bo i tam oznaczaliśmy ją na mocy tych samych równań.

a stąd f =    ^ s — / ^.

Różniczkujmy to równanie, a otrzymamy:

Ids

to co

(-o

I't

a wstawiwszy wartość na d<s- z (48), otrzymamy:

Powierzchnię zawartą między osią łuku a AA uważamy teraz jako powierzchnię obciążenia, a więc wynosimy di Ai — A 1 (jeżeli chcemy być dokładniejszymi, to zrobimy

Al — dxb -f- -j- (.AL — dxb), jak to w § 5 udowodniliśmy),

d₂ b₂ — 1. 2, .... db et § — 4,5. Punkt 5 zejść się musi z punktem A, bo powierzchnia ujemna musi być równa dodatniej. Przyjąwszy tymczasowo jako biegun punkt I), więc d = AD, prowadzimy promienie i kreślimy wielobok sznurowy D u₅ ax a₂ ax F. Jest to właściwie tylko pół wieloboku sznurowego, który zupełnie będzie symetryczny po drugiej stronie punktu D. Linia zamykająca będzie więc pozioma. FG, bo punkty A i U zostają w miejscu, a odstępy pionowe między wielobokiem sznurowym a FG będą proporcjonalne do ugięcia łuku.

Jeżeli H‘ jest szukane oddziaływanie poziome, to momenty otrzymamy mnożąc rzędne- db przez //', więc /l/j = IF dxbx, M, = //' d₂b₂ i t. d. //' jednak jeszcze nie znamy, przyjmujemy więc dowolnie II", które później oznaczymy, więc:

. Mx == U"dxbx = Al, M, = H"d₂b₂ = 1,2 i t. d.

Odcinki Al, 1 2, i t. d. odczytać musimy według tej samej podziałki co i drugą odległość biegunową d = FI, obieramy więc taką podziałkę, aby Fd = Al) i w tej podziałce odczytujemy Al, 1 2 i t. d.; odcinki db odczytujemy w podziałce długości, a z równania M=U"db otrzymamy wartość na //", które będzie zawsze zawielkiem. Teraz odczytujemy dla //" ugięcie belki w podziałce długości. Przypuśćmy, że otrzymane ugięcie jest n razy większe od rzeczywistego, któreśmy z (50) otrzymali, to wiemy, że H"=nH",

II"

(51).

a stąd IV = ~

Do obliczenia podziałki momentów, a stąd II", potrzebne nam są wartości na F, które możemy przyjąć jak następuje:

dla drzewa . . . F— 100 000 dla żelaza lanego . F = 1 000 000 dla żelaza kutego . F = 2 000 000 dla stali . . . . F — 2 500 000 w kilogramach na centymetr kwadratowy.

Dla łuku o dwóch przegubach konstrukcya jest taka sama, z tym jedynym wyjątkiem, że linią zamykającą nie jest LKJęcz AD, przez co cały tok konstrukcyi się upraszcza.

W łuku o trzech przegubach (Tabl. II, fig. 25) przy zmianie ciepłoty nie powstają żadne oddziaływania, gdyż łuk wydłużając się, podnosi się swobodnie w C.Zmienia się wprawdzie przez to CC¹, a więc według równania (43) i parcie poziome //, ale zmiana ta jest tak mała, że zwykle jej nie uwzględniamy. Jeżeli zaś chcemy być bardzo dokładnymi, to obliczamy // dla h — CC' przy najniższej ciepłocie, przez co otrzymamy największe wartości na //.

W łuku o dwóch przegubach lub bez przegubu otrzymujemy więc parcie poziome //' wywołane zmianą ciepłoty. Parcie to dodajemy algebraicznie do parcia poziomego, wywołanego siłami zewnętrznemi //- i wykreślamy potem ostatecznie linią ciśnienia na podstawie parcia poziomego //+//'.

V. Najniekorzystniejsze obciążenie.

12. Ogólne uwagi o liniach wpływowych. Do obliczenia wymiarów łuku potrzebne są nam przedewszystkiem maxima i minima natężeń każdej części łuku, a te otrzymujemy najłatwiej za pomocą linij wpływowych, z których zarazem bardzo łatwo poznamy najniekorzystniejsze obciążenie ciężarem ruchomym.

Ponieważ przeguby wpływają stanowczo na kształt linij wpływowych, więc mówić będziemy osobno o liniach wpływowych dla łuków o trzech, dwóch przegubach i bez przegubu.

Dla łuków z blachy wykreślamy zwykle linie wpływowe dla momentów i sił poprzecznych., gdyż na podstawie tych danych dadzą się łatwo obliczyć wymiary belki i nity. Dla łuków kratowych możemy jednak wykreślić wprost linie wpływowe dla natężenia każdej części pasa i każdego krzyżulca.

13. Linie wpływowe momentów dla łuków o trzech przegubach. Linią wpływową dla parcia poziomego wykreśliliśmy już na fig. 17 (Tabl. II) w § 9. Tu możemy jeszcze tylko dodać, że w razie, gdy ciężar pomostu i ciężar ruchomy przenoszą się na łuk tylko w pewnych punktach, wtedy spuszczamy pionowe z wszystkich tych punktów i punkty przecięcia się z linią wpływową łączymy liniami prostemi, jak to wynika z ogólnych własności linij

wpływowych. W razie więc, jeżeli w przegubach nie urządzimy słupów, które ciężar na nie przenoszą, linia wpływowa dla II będzie jak na fig. 26 (Tabl. III).

Do wykreślenia linij wpływowych posłuży nam bardzo oznaczenie punktu obojętnego na innej drodze. I tak, weźmy pod uwagę przekrój w punkcie F (fig. 27). Niech gid oznaczają górny i dolny punkt rdzenny. Połączmy A z g aż do przecięcia się w Pz linią oddziaływania A‘C, a zobaczymy, że oddziaływanie w kierunku AD, z powodu siły 1\ działającej w pionowej D, nie daje żadnego momentu ze względu na punkt g, — że wiec moment górny rdzenny Mg = 0.

Gdy siła P posunie się naprawo i przejdzie w położenie P', wtedy oddziaływanie daje moment ujemny,—gdy P posunie się na lewo, otrzymamy moment dodatni. Z tego wypływa, że punkt D jest dla górnego momentu rdzennego punktem obojętnym i że dla max (-j- Mg) musi być obciążony łuk na długości AD, a dla max ( — Mg)—na długości DB.

To samo da się powiedzieć o dolnym momencie rdzennym ze względu na punkt d. .leżeli punkt g leży powyżej linii DC, wtedy każdy ciężar sprawia moment ujemny, gdyż P rozdziela się na D i D‘ (fig. 28). D znosi się z oddziaływaniem, a D‘ daje moment ujemny. Dla takiego więc punktu g otrzymamy max ( — Dlg), gdy cały łuk jest obciążony, a max (-j- Mg) = 0, gdy łuk nie jest obciążony.

Odwrotnie, gdy punkt d leży poniżej AC, każdy ciężar daje moment dodatni, który jest największy dla zupełnego obciążenia.

Teraz łatwo nam będzie wykreślić linią wpływową dla momentu rdzennego górnego lub dolnego. Gdy bowiem siła P działa na prawo od g (fig. 29a), wtedy Mg = Ax‘ - Uy‘, a

M'e =

Mg

Ax‘

(52).

Gdy siła P działa na lewo od g (fig. 29b), wtedy Łg = Ax‘ — Hy‘ — P (x‘ — x), a

M\

AL

Ax¹

x‘ — x

y‘

y‘

. . (53).

Z tych równań widzimy, że M'g jest różnicą dwóch

od punktu

funkcyj x, z których pierwsza ma kształt

Ax' p

g do B, względnie

x‘ — X

y‘

na

Ax‘

y‘

lewo od ponktu g,

a więc da się przedstawić dwiema liniami prostemi,—a druga jest = //.

Wykreślmy więc najprzód funkcyą // (Tabl. V, fig. 30), czyli jak wiemy z poprzedniego linie AC" i BC", wy najdźmy punkt obojętny E\ gdzie M‘e = 0.jak poprzednio, wykreślmy HE¹ aż do A' i AK', a rzędne między liniami AC"B i AK'U dają nam M'g.

Powierzchnię wpływową możemy inaczej jeszcze wykreślić sprowadzając wszystkie rzędne do poziomej a'b', gdy zrobimy c'c" = C"C‘", połączymy c" z e' i przedłużymy prostą aż do A", wtedy a'K"c"b‘ jest linią wpływową dla górnego momentu rdzennego, Zupełnie analogicznie znaj dziemy linią wpływową dla dolnego momentu rdzennego (fig. 31).

Dla przekrojów, w których punkt rdzenny górny leży powyżej BC (fig. 28), lub dolny poniżej AC, nie ma odnośnych punktów obojętnych, lecz konstrukcya pozostaje ta sama (fig. 32), z tą tylko różnicą, że punkt e' służący, jak pierwej, do konstrukcyi, nie jest tu punktem obojętnym, jak to z figury jasno wypływa.

Z kształtu linii wpływowej możemy bardzo łatwo oznaczyć w wiadomy sposób najniekorzystniejsze położenie systemu ciężarów skupionych, a z powierzchni wpływowej możemy oznaczyć maximum i minimum momentów dla ciężaru jednostajnie ciągłego.

I tak z figury 31 otrzymamy dla P= 1:

i: ₂

= E‘ E" : —TT

CC"' : E'E"

a z tych dwóch proporcyj:

i ; ( / — £)= c C“ : ^, więc C C'"=

a C C"‘ — c'c" =

4 h(l—i)

U 1(1- 26) U    4 /*(/—£)•

Teraz otrzymamy max ( — 47 ) = — y p e‘ c" b‘ = = - V P y t< - «    czyli:

. . (54).

max ( — 47) =

ply\l — 2 4)

Dla oznaczenia max ( -\- M) mamy z figury (31): & c" : K‘K" = &e' : t‘K‘

:-(e —*),-

/(/- 25) m - ^

a stąd A'A

„ (£ — «)/(/ — 21)    l£ — x)

~ 2h (l—i) ’

4A(/-î)(7. -5))

a max (+'1/)= ypa‘K‘c‘ = yp-t ?    =

(55)

p l y — &•)

44 (/ — Ê)

Z lig. 31 widzimy też, że: x:y = i: EE"

a z tych proporcyj otrzymujemy:

#(/—£) : y y = ^ : //, więc 24 (/ — £) wiwszy to w równanie (55), otrzymamy:

max (-J- 47)= p x (£ — x). . .

ht

. Wsta-

. (56),

a z równania (54) otrzymamy:

max ( — 47 ) = —

px (/ — ê) (/ — 2£)

. . (57).

Dla przekrojów blisko klucza, dla których niema punktu obojętnego (lig. 32), mamy z figury:

a stąd: ë e" : ë ë' — i (x — £ ) : x

( --e),

30

K‘ K" :c'ë’ = (x—£):(y- *)

e'e” : A' A" =

: «£

więc ë e" = ë c"

è(x— £)

L_ L — 2 £ 2 £ («£ — 4) 4A i — £ a? (/ — 2 £)

/ S (a; — £)

2Aa? (/ — £)’

/ // S

a wstawiwszy 2 A (/ — £) —    , otrzymamy:

tC

e'e" =

x—i

—-— , a stąd: max {—M)= —py(ë c" b' -f a¹ ë K") = — py (ë c" b'-\-cë ë' K%

ze względu zaś narówn. (57): max (—M)

px(l—£)(/—2£)

— py-ÿ-ëë'. x =

px (/ - £) (/ — 2£) px (x — £)

. (58),

(59).

max (-(- M) = 0

Dla punktu rdzennego ë, który leży poniżej linii AC, (fig. 33) nie ma także, jak wiemy, punktu obojętnego i moment jest dla każdego położenia siły dodatnim. I tu kon-strukcya linii wpływowej jest taka sama, a z powierzchni a¹ A" ë' b‘ możemy otrzymać łatwo max (4~ M).

4 A (/—£)’

Z figury otrzymujemy, jak poprzednio, C'C'"=

więc C" C“‘ « ë ë'

l _/ (2 £ — /)

4Ä(/ — £)    4h~ U(/ — £)*

Dalej otrzymamy z figury 33:

& ë' : ë ë' =

— : (/—£), a stąd ë ë' = ë c"

l- £

l {21 —1)    2 (/ — £) _ 2 5 — l

4A (/ — £)    /

Wiemy, że max ( -{- 4/) = y /; («' A" P -J- c" e‘ //), a uwzględniając równanie (56) mamy:

,    | ,n    .    ,,    v 1    1    /    2 £    —    /

« (/ — S)

(2e-/)(/-en

max ( + A/) = yj»«(5 — «) + -jPIJ-j • albo wstawiwszy 2 A —

. (60).

max J/ = -^- p te (ß — æ) -(

Ponieważ obciążenia dla max 4/ i min 4/ uzupełniają się do obciążenia zupełnego, więc otrzymamy moment dla ciężaru własnego, jeżeli dodamy min 4/ do max 4/ algebraicznie.

14. Linie wpływowe sil poprzecznych dla luków o trzech przegubach. Najprzód będziemy szukać tak jak dla momentów punktu obojętnego. Jeżeli mamy oznaczyć linią wpływową dla punktu F (fig. 34), wykreślimy z A równoległą do stycznej w F aż do przecięcia się z linią UC w punkcie F. Punkt A'jest punktem obojętnym, bo gdy w F działa siła P, wywołuje oddziaływanie l)równoległe do osi w F, więc Q=0.

Niech P‘ i V" oznaczają wypadkowe ciężarów na. długości A F i FU, wtedy otrzymamy siłę poprzeczną w F:

Q={A—P) cos cp—// sin <p=sin cp | (A—P) cot <p — //] . (61). Jeżeli więc siła P — 1 (fig. 35) działa na prawo od F,

wtedy:

P — 0, więc Q = sincp (A cot <p*— //) == Q! sin <p . . (62),

/Iz=P(l *)

cot <p — //

. . (63),

gdy Q! — A cot <p —

Kąt <p jest dla danego punktu F stałym, więc linią wpływową" wykreślić możemy na mocy równania (63), z mnożnikiem sin <p w następny sposób.

Wykreślmy najprzód ACB linią wpływową dla // (fig. 36), spuśćmy z F pionową, która przetnie AC w punkcie e‘

i połączmy Be' aż do a', a wtedy rzędne między f‘B a ACB są proporcyonalne do siły poprzecznej Q,, co łatwo poznamy z równania (63).

Vx

Dla długości JPmamy Q,¹— (J—P) cot rp—//=—— cotcp—//,

tu więc poprowadzić musimy Af" równolegle do Ba‘, aby otrzymać linią wpływową dla Q. Jeżeli ciężar przenosi się na luk tylko w pewnych punktach za pomocą słupów, wtedy zmienia się linia wpływowa o tyle tylko, że zamiast stycznej w punkcie F bierzemy linią Fh (fig. 37a) i że zamiast linii pionowej otrzymujemy tu prostą f"K\ którą znajdujemy spuściwszy z F i A pionowe, przez co otrzymujemy drugi punkt obojętny i. Linia ta wpływowa jest ważną dla całego pola F A. Na figurze 37b widzimy konstrukcyą na wypadek, gdy F jest poniżej O. Dla przekrojów blisko klucza konstrukcyą staje się niepraktyczną, gdyż cot cp staje się dla małych cp bardzo wielką ilością, a mnożnik sin <p bardzo małym. Z równania/ (62 ) mamy wtedy Q. — Q! sin <p = = A cos <p — II sin cp, więc dla bardzo małego <p będzie

(64).

Linią wpływową możemy więc wykreślić jak dla belki zwykłej.

O liniach wpływowych dla łuków kratowych o trzech przegubach mówić tu nie będę, gdyż odnośna praca moja ogłoszoną była w „Dźwigni“, w r. 1879.

15. Linie wpływowe momentów dla lu hu o dwóch prze-

AJ    rpl

gubach. Równanie (52) M'e — -A- = A —--// jest i tu

ważne. Linia wpływowa dla A składa się z dwóch prostych wedle równań (40) i (42), ale linia wpływowa dla // nie jest już prostą, ale linią krzywą, której dokładne oznaczenie jest dość żmudne. Nie pozostaje nam bowiem nic innego, jak dla rozmaitych położeń siły P = 1 wykreślać w sposób wyżej podany linie ciśnienia, oznaczać parcie poziome i na tej podstawie wykreślić linią wpływową dla parcia poziomego.

Znając dla pewnego położenia siły P — 1 linią ciśnienia, możemy według § 3 oznaczyć dla dowolnego przekroju wszystkie siły zewnętrzne, możemy więc w ten sposób otrzymać odrazu linie wpływowe dla momentów, sił poprzecznych

i parcia poziomego. Linie te wpływowe nie będą się już składać z prostych, gdyż łuk nie jest statycznie oznaczony.

Jeżelibyśmy znali linią wpływową dla //, to wykreślenie linij wpływowych dla momentów i sił poprzecznych dałoby się bardzo uprościć, jak to zaraz zobaczymy.

Wspomnieć tu musimy, z z Müller Breslau otrzymuje dla

Pab

(64)

3

luku o dwóch przegubach w przybliżeniu    ^

(fig.38). Linia wpływowa dla parcia poziomego byłaby więcpa-

3 PI

rabolą, której rzędna w środku wynosiłaby jgJest to

jednak tylko przybliżenie,—dla dokładnego oznaczenia trzeba postępować w sposób wyżej wskazany.

Aby jednak poznać kształt linii wpływowej, przypuśćmy, że oznaczyliśmy linią wpływową dla H czy to według (64) czy też dokładnie, to wtedy według (52) możemy

Mg Ax‘

napisać M‘

trzymują to samo znaczenie.

Przypuśćmy, że ach (fig. 39) jest linią wpływową dla //, odetnijmy aa‘ = P = 1 i wykreślmy ba', wtedy ff‘ =

= P

pionową, połączmy g‘ i p i zróbmy mu równolegle do pg, wtedy an : x‘ = A : y‘, więc an — ——.

y‘

y‘

— H, gdy wszystkie litery za-

CC

— = A. Spuśćmy z g pionową i poprowadźmy z f‘

y‘

Ax‘

Zróbmy //"' = an = —, to otrzymamy M‘g odciągnąwszy od tego H = ff‘", więc M‘g ==    Ponieważ

jest funkcyą pierwszego stopnia zmiennej x, więc da się

przedstawić prostymi bk i ak, a powierzchnia kreskowana jest powierzchnią wpływową.

Zupełnie tak samo oznaczyliśmy linią wpływową dla 4/d na figurze 40. Dla oznaczenia linii wpływowej dla sił poprzecznych zrobimy aa¹ = P cot <p = 1. cot <p (fig. 41) i połączmy a‘ z Z>, a wtedy rzędne tej linii będą A cot cp, a gdy od tego odciągniemy H, otrzymamy według (63) Q‘.

Dla łuku bez przegubu jest linia wpływowa nietylko dla U, ale także i dla A krzywą, więc najlepiej będzie,

gdy wprost na podstawie linii ciśnienia oznaczymy linie wpływowe dla momentów i sił poprzecznych, jak to na wstępie tego paragrafu wykazaliśmy.

VI. Obliczenie przekroju.

16. Tymczasowe obliczenie przekroju. W konstrukcyi łuków statycznie nieoznaczonych ważną odgrywa rolę zmiana ciepłoty, gdyż w skutek niej powstaje parcie poziome, które uwzględnić musimy. Parcie to poziome zależne jest od przekroju i momentu bezwładności, którego chcąc obliczać luk, jeszcze nie znamy. Zresztą do obliczenia każdego łuku, nawet i łuku o trzech przegubach, potrzebne są momenty rdzenne, a do znalezienia punktów rdzennych musimy znać przekrój. Dlatego musimy najpierw przyjąć tymczasowo pewien przekrój, obliczamy dlań punkty rdzenne i momenty rdzenne, uwzględniwszy dla łuków bez przegubu kluczowego zmianę ciepłoty, nakoniec obliczamy z równania (9) dokładny przekrój.

Ponieważ momenty Mg i MA nie są w ogólności sobie równe, więc właściwie wypadałoby urządzić przekrój niesymetryczny, przez co oś nie byłaby w środku wysokości przekroju. Jednak nie uwzględniamy tego zwykle w obliczeniu i albo pomimo przekroju niesymetrycznego przypuszczamy oś w środku ścianki, albo też przyjmujemy przekrój symetryczny.

Dla tymczasowego przekroju możemy przyjąć Mt równe większemu z momentów i otrzymamy, jak dla belki Mx 2 /,

(65),

zwykłej, F‘=

jeżeli P oznacza przekrój nakładek (fig. 42), hx wysokość ścianki, a Ix moment bezwładności ścianki i kątowników. Wiemy, że Mx = M-j- Pi, więc:

Khx V

. . (66).

M + Pi 2 A

Kfix

Dla łuku o trzech przegubach możemy dokładnie oznaczyć max M i max P. Oznaczywszy te dwie wartości przyjmujemy ściankę i kątowniki, obliczamy /, i T\ powierzchnię (69),

hC

a tę wartość na i wstawiamy znowu w (66) i otrzymujemy dokładniejszą wartość na /⁷, poczem możemy wyrysować linie rdzenne i obliczać po kolei przekroje.

Dla łuków o dwóch przegubach lub bez przegubu obliczamy max J/i max Z⁷w przybliżeniu, albo według przybliżonych wzorów Müllern, które wyżej podałem,—albo przypuszczając trzy przeguby, przyjmujemy jak wyżej kąt >wniki i ściankę i obliczamy z (66) przekrój i nakładki. Mając teraz przybliżony przekrój, możemy dokładnie obliczyć siły zewnętrzne z powodu obciążenia i z powodu zmiany ciepłoty, a z tego obliczyć dokładnie przekrój.

17.    Obliczenie dokładne przekroju. Przy dokładnem obliczeniu przekroju używamy tych samych wzorów, co w poprzednim paragrafie, tylko liczymy osobno przekrój górnej i dolnej nakładki, a potem wykreślnie oznaczamy, jak dla belki zwykłej, długości nakładek.

Takie natężenie dopuszczalne nie będzie już stałe, tylko według Weymucha przyjmiemy dla żelaza kutego:

K = 700 ( 1

. . (70).

ścianki i kątowników. Wartość na i przyjmujemy trochę , wstawiamy w (66) i obliczamy przekrój

2/

większą niż

nakładki P, przyjąwszy tymczasowo K = 650 kgr.

Teraz mamy /= /x —j— 2 Pa².....

-j- 2 P......

à i/'j

(ö7)

(68)

1    Mx min '

2    Mt max'

Nity obliczamy zupełnie jak dla belki zwykłej, oznaczywszy według poprzedniego maximum siły poprzecznej.

18.    Ciężar własny mostów łukowych. Pozostaje nam jeszcze podać przybliżony ciężar własny mostów łukowych, gdyż przy obliczeniu luku musimy go także uwzględnić, MM 1er podaje zawiłe wzory, według których możemy w każdym wypadku ciężar własny obliczać.

Zamiast tego ograniczymy się tu na podaniu następnej tabliczki według Engessera, sądząc, że zbyt subtelne ocenienie ciężaru własnego nie stoi w żadnym stosunku z dokła-

I ?" i

mm i w uf

dnością, którą, osiągnąć możemy przy obliczaniu mostów łukowych.

Według Fngessera możemy przyjąć jako ciężar własny belek głównych, wraz z usztywnieniem poziomem, bez ciężaru pomostu następne wartości.

Dla mostów kolejowych na metr bieżący jednego toru:

1= 10, 20, 30,    40,    50,    60,    70,    80,    90, 100 m.

£—450.750,1050,1350,1650,1950,2250,2560,2890,3280 kgr.

Dla mostów drogowych na metr bieżący mostu:

(71),

g ⁵⁼³ Y b -J- 35 z kgr

gdzie y jest spółczyunikiem, b szerokością mostu w metrach, 2 zaś oznacza ilość belek głównych.

Spółczynnik y możemy oznaczyć z następnej tabliczki:

dla l

= 10,20,30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,100 m. Y dla pomostu żwirowego = 32, 62,94,129,168, 209, 255, 300, 350,410 „ z bali. .    28, 53,80,110,144,180,220,260,305, 355

Dla mostów lukowych o trzech przegubach poleca Fn-gesser przyjęcie ciężaru własnego o 15$ mniejszego.

VII. Literatura.

19. Literatura mostów lukowi/ch. Na zakończenie niniejszej pracy podam tutaj chronologiczne zestawienie tytułów wielu najnowszych praco mostach łukowych, bez względu na to, czy z nich przy układaniu tego szkicu korzystałem czy nie:

1)    Sche/fter. Gitter- und Bogentreger. 1862.

2)    Win/der. Elasticitäts und Festigkeitslehre. 1867.

3)    Fränkel. Artykuł w „Civilingenieur“. 1867.

4)    Winkler. „ „Mittheilungen des Ing. und Arek.

v Ver. f. Böhmen“. 1868.

5)    Winkler. Artykuł w „Zeitschrift des österr. Ing. und Arek. Vereins“. 1872.

6)    Grasshof. Theorie der Elasticität und Festigkeit. 1873.

7)    Mohr. Artykuł w „Zeitschrift des kann. Ing. und Arch. Vereins“. 1874.

ja

* KSI EG ARNI A*

ANTYKWARIAT

mu

8)    Keck. Artykuł tamże.

9)    Steiner. ,,

10)    Leny. La statique graphique et constructions. 1879.

11)    Schaffer. Artykuł w „Erhkam's wesen“. 1875.

12)    Gulmann.. Graphische Statik. ï. ^^B    _

13)    Ritter. Artykuł w .,Erbkam's Z Tcxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

sen“. 1876.    __""

14)    Steiner. Artykuł w „Allgemeine Bauzeitung“. 1878.

15)    Kt äsen. Graphische Statik. 1878.

16)    Rerrodil. Resistance des voûtes et des arcs métalliques. 1879.

17)    Winkler. Artykuł w „Zeitschrift des Ing. und Arek.

Ver. zu Hannover“. 1879.

18)    Thu Hie. Mosty lukowe o trzech zawiasach. „Dźwignia). 1879.

19)    Hulewicz. Obliczenie wytrzymałości łuków sztywnych, artykuł w „Pamiętniku to w. nauk ścisłych w Paryżu“ z r. 1879.

20)    Engesser. Theorie und Berechnung der Bogenfachwerksträger ohne Schertelgelenk. 1880.

21)    Müller-Breslau. Bogenbrücken. 1880.

22)    Eildy. Constructionen aus der graphischen Statik (tłó -maczenie z angielskiego). 1880. .

23)    Rurr. On the stresses in roof aud bridge tinsses 1880.

24)    Am. Rude. The theory of arches — artykuł w „Engineering“. 1881.

w „Allgemeine E

[KSIAIKI

DU B i

44421)

POLITECHNIKA KRAKOWSKA BIBLIOTEKA GŁÓWNA

1.32698

Kdn. Zam. 480/55 20.000

-£

»

vç

\A-'V Va, ’

-V

i;

fy’*

y/fi

,V

*■

ippp

mm

/’if- 6,

fcr-

ES

b«

bî¹

MOSTY ŁUKOWE.

//f. 3 b-

^.4.

K?

H?

ri

Q-\

\d

73

fe.

jsr

vc

!Q

oL

«/4,

’<o

4L,

7-

P'

VP

ZZSl

if

*₃

CAf

T,-.b î

F/f s:

-«s

/

y ^

rVi

-fi-

/Vf. &.

W-J.

n~.

O

<u

⁰⁰

'H

j.

i* -    .

VB

//

i //

"r

<■

«T

ÂvW'f /

,v/

///

■//f. // 7* r

rrn-

/Vf. /Z.

; /J

4-

«■

4N

fi

Jf_

77«/

71

TS

Nï !

>o

<u

<»l

S'*#- s.

hflf

T'

\À

V..

S.

_i_

MA

•-

“ł?

«1

yj?

t-

i.

■'

Jzf. /4

^4;

/zy. 7/

ex

//

#+

//y

*M.

sm

l    ----------'-'•*

Co

P,

■i:

0.3

7p\

A.-'

À f—y

", lmp\\~\yj

i1tr\rm-vx

!fn '. H ■ \ \ \ \

ł/li !i^.\\\

•2

fl

Ni

j /Z

v-.V    ■

il#

WV\\ V'

Ji\ _ct

•F/f //.

/Vf. zo

i'i'.

tu

■/'/f. ZS.

îf

M'

cf

(f Jfi

A’

K-----

j-i-.-«.--,;

■"*' z. **

a..

K?

¹ V

AĆ.______

------z_----A

- JT---

c'

nWfflïl rîr¹"'^"-^ rtH !Wfnr\r- :—■\\--\-4/^4/// f ,ï \ \\ '

/Wfh i';! \ \

\N

\v\

H'

.V.

JV__x^l\ ^

Ü4m4i—i-li

'll\

\\

TT

•» •

•\

K; *

% M

MS

'

Mi

*

■

;

.

\

»

I

*

■

==^=

;

!

i-saau-.^-

........■- .    ....... —^----^ÆS-rr,

. ♦

'

¥

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-32698

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000299771