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VON

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Katechismus der Algebra.

Katechismus der

Algebra.

Gierte Uuftage.

Vollständig neu bearbeitet von

Richard Schurig.

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Verlagsbuchhandlung von I. I. Weber. 1895.

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Alle Rechte vorbehalten.

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Worrvort.

Tflctä bisher unter dem Titel „Katechismus der Algebra" ^ erschienene Buch ist in seinen vorangegangenen drei Auflagen von den verdienstvollen Mathematikern Herrmann und Heym bearbeitet worden. Nach dem Tode der genannten Verfasser wurde dann seitens der Verlagshandlung mit Neubearbeitung und Herausgabe einer vierten Auflage der Unterzeichnete betraut. Letzterer hat bei Übernahme dieses Auftrags aus guten Gründen von der rein katechetischen Form, welche er überhaupt für die Darstellung mathemattscher Wahrheiten nicht geeignet erachtet, absehen zu müssen geglaubt. Jedenfalls dürfte das Buch in vorliegender Gestalt sowohl hinsichtlich seiner theoretischen Gliederung als seiner praktischen Durchführung nur gewonnen haben.

Noch mag bemerkt sein, daß der Verfasser bei gegenwärtiger Arbeit sich nicht nur von besonderer Rücksichtnahme auf das Selbststudium leiten ließ, sondern daß er auch anderseits eine nutzreiche Grundlage für den mathematischen Unterricht an Gymnasien und verwandten Lehranstalten hat schaffen wollen.

Richard Zchurig.

§ i.

§ 2.

§ 3.

§ 4.

§ 5.

§ 6.

§ 7.

§ 8.

§ 9.

§ 10. § 11. § 12.

§ 13. § 14. § 15. § 16. § 17. § 18. § 19.

Inhaltsveyeichms.

Seite

Einleitende Begriffe...........

Die sieben Grundrechnungsarten (Spezies) ....

Die Hauptsätze der Spezies.........

Null und die unendlich große Zahl......

Von den entgegengesetzten Zahlen. (Positive und

negative Zahlen.)...........

Einleitung in die Buchstabenrechnung.....

Glied. Koesfizient............

Addition mit Buchstaben.........

Subtraktion mit Buchstaben........

Multiplikation, Division und Potenzieren mit

Monomien (§§ 10 — 12).......

Multiplikation eines Monoms mit einem Monom . . 34 Division eines Monoms durch ein Monom .... 34 Potenzrechnung mit Monomien Gleiche und pofitive Basen Gleiche und negative Basen Verschiedene Basen . .

Multiplikation eines Polynoms mit einem Monom . 42 Ausheben (des gemeinsamen Faktors)

Vereinfachen der Brüche durch Erweitern .... 45 Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom 46 (a-|-b) (a — b) = a² — b² .    .    .

Das Quadrat eines Binoms . . .

. Das Quadrat eines Polynoms    . .

CO CO

11

18

20

26

27

30

32

34

35

36

39

40

43

47

48

Der Kubus eines Binoms.........

Die höheren Potenzen eines Binoms.....

Die Zeichen der Basis einer Potenz......

Division eines Polynoms durch ein Monom . . . Veränderung (und Zeichenänderung) des Produktes nach

dem Satze a. b = an • -jj-.......

Zeichenänderung des Zählers und Nenners . . .

Das Kürzen zusammengesetzter Brüche.....

Vereinigung von Quotienten........

Partialdivision. Division durch ein Polynom . .

Gliederumfang ...........

Das größte gemeinsame Maß zweier Polynomien .

Wurzellehre.............

Einleitende Sätze..........

Einerlei Wurzelbasen.........

Verschiedene Basen . .........

Imaginäre Größen..........

Rationalmachen des Wurzeln enthaltenden Nenners Quadratwurzelausziehen. Aus speziellen Zahlen . . Quadratwurzel aus vielgliedrigen Buchstabenausdrücken ............

Kubikwurzel aus speziellen Zahlen......

Die Logarithmen............

Die vulgären Logarithmen.........

Gebrauch der logarithmischen Tafeln.....

Berechnung des Produkts (mittels der Logarithmen) Berechnung eines Quotient (mittels der Logarithmen) Dekadische Ergänzung (der Logarithmen) . .    .    .

Berechnung einer Potenz (mittels der Logarithmen) . Berechnung einer Wurzel (mittels der Logarithmen) . Einige besondere Fälle beim logarithmischen Rechnen .

Algebra (Auflösung der Gleichungen).....

Auflösungssätze der binomischen Gleichung . . . . Proportionslehre............

Seite

GOO GCO GCO GGO GGo

to to to to to ^ « to M O

50

51

52

52

53

gco gOo gGo gGo gGo gGo

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54

55

56

58

60

62

65

65

66

70

74

80

§ 31.

QC

00

GGO GGO CCD C//- GGO GGO CC//D GGO GQO GGO GGO GOO

O O CO CD CO CO H CO 03

113

115

116

118

119

l-L f—L

to to

CO l-L

127

§ 45.

160

164

167

168

169

170

§ 46.

.    175

177

177

184

185

§ 47.

194

CO 05    O    T-I    OM

^ ^    ist    ist    ist

c/Z) c/Z    zsfi    ®    CW

198

.    .    203

204

207

§ 53.

208

210

215

219

220

§ 54.

§ 55. § 56.

Rente

Seite

Angewandte binomische Gleichung und Proportion . 155 Mischungsrechnung .

Gesellschaftsrechnung .

Anwendung der Verhältnisse und Proportionen .    164

Einfache Zinsen...........

Diskonto.............

Terminrechnung .    .    . v........

Zinseszinsen............

Einfache und binomische Gleichungen mit mehreren Unbekannten Eliminieren

Substitutionsmethode Koeffizienten- (Additions- u. Subtraktions-) Methode 181

Komparationsmethode.........

Kunstgriffe beim Auflösen der Gleichungen mit

mehreren Unbekannten........

Angewandte einfache und binomische Gleichungen mit

mehreren Unbekannten.........

Methode der unbestimmten Koeffizienten ....    196

Gemischte quadratische Gleichung . . .

Angewandte quadratische Gleichung .    .

Maximum und Minimum ....

Quadratische Gleichung mit mehreren Unbekannten . 206 Angewandte quadratische Gleichung mit mehreren Unbekannten

Von den Progressionen..........

Niedere arithmetische Reihe........

Geometrische Reihe..........

Arithmetisch-geometrische Reihe......

Regelmäßige Vermehrung oder Verminderung eines verzinsten Kapitals ..........

226

Die Gleichung dritten Grades

230

Berichtigungen.

I Seite 16, 5. Zeile von unten: (b. i ²⁰/i), statt (b. i. ¹/₂₀). Seite 32, 9. Zeile von oben: — -j- V®, statt = -j~ Vs >

, statt: folglich

Q a2 O

> Seite48, Zeile bor §18: folglich—

3 a² 2

2 b⁸' b

Seite 56, 7.Zeile v. ob.:

statt

4 (4 x -j- 5)'

Seite 65, 2. Zeile von unten: ^2, statt fs. Seite 66, 2. Zeile von oben: iz2 — 1 fs = l

4 (4x—5)

•41421 •

. ., statt

•73205 - • •

X Seite 71, genau in der Mitte der Seite:

... (innerhalb der Wurzel!)], statt (innerhalb der Wurzel!].

Seite 137, 2. Zeile von oben: In letzterem...., statt In ersterem...

Seite 137, 3. Zeile von oben: in ersterem. . .., statt in letzterem....

Katechismus der Slgiiu

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§ 1. Einleitende Begriffe.

I.    Größe heißt alles, was größer oder kleiner gedacht werden kann.

Mathematik ist die Lehre von den Größen. Der Einteilung der Größen in Zahlgrößen (diskrete Größen) und Raumgrößen (stetigeGrößen — Körper, Flächen, Linien) gemäß teilt man die Mathematik ein in Arithmetik, Lehre von den Zahlgrößen, und in Geometrie, Lehre von den Raumgrößen.

II.    Addieren (im allgemein mathematischen Sinne) heißt eine Größe suchen, die so groß ist als mehrere andere gegebene Größen zusammengenommen. Diese zu addierenden Größen werden Summanden (Addenden, Posten) genannt. Das Resultat der Addition (der Inbegriff der Summanden) heißt Summe. Das Zeichen für die Addition ist-ff, gelesen „plus⁶⁶. Das Zeichen für die Gleichheit zweier Größen ist — (Gleichheitszeichen).

III.    Die Einheit als Zahl wird mit 1 (eins) bezeichnet. Zahl ist eine Summe von (gleichartigen) Einheiten. Aus 1 -ff 1 -ff 1 entsteht die Zahl 3.

IV.    Die Form, durch welche die Gleichheit zweier Größen veranschaulicht wird, heißt Gleichung. Eine solche ist z. B. 7 -ff 2 = 9, gelesen: „7 plus 2 ist gleich 9". Die Zeichen für die Ungleichheit sind > (größer als) und <C (kleiner als).

Z. B. 7 > 3 (7 ist größer als 3). Die Formen 7 > 3, 4 <C 10 werden Ungleichungen genannt.

V.    Denkt man sich eine Größe als Summe mehrerer anderen Größen, so nennt man jene Ganzes, letztere Teile (des Ganzen). 12 ist daher Ganzes, wenn man sich diese Zahl z. B. als 9 -f- 3 denkt; 9 und 3 sind alsdann die Teile der 12.

VI.    Durch Addition der abstrakten Einheiten entsteht die natürliche (reine) Zahl. Die Reihe, welche durch sueeessives Addieren von Einheiten entsteht, also die Reihe 1, 2, 3, 4, 5 ... wird natürliche Zahlenreihe genannt. Die Zahlen sind speziell (bestimmt), wenn sie unveränderlich dieselbe Größe beibehalten. Man schreibt dieselben gewöhnlich mit den „arabischen Ziffern"; z. B. 5⁶/₇. Allgemeine

. Zahlen, oder „Buchstaben", sind dagegen Zeichen (gewöhnlich Buchstaben), unter welchen man sich jede spezielle Zahl vorstellen kann. So kann a -f- a -f- a = 3 mal a S- 33- 7 + 7 + 7 = 3 mal 7 oder ⁵/₆ + ⁵/₆ + ⁵/e — 3 mal ⁵/₆ bedeuten. So lange noch nicht ein spezieller Fall vorliegt, bleibt es noch unbestimmt, welche spezielle Zahl der Buchstabe vorstellt. Multipliziert man z. B. die Länge eines Rechtecks mit der Breite, so erhält man den Flächeninhalt des Rechtecks. Bezeichnet man daher die Länge mit a,. die Breite mit b, so ist „a mal b“ der Ausdruck für den Flächeninhalt eines jeden Rechtecks. Ist nun der Inhalt eines Rechtecks zu bestimmen, dessen Länge 18 m und dessen Breite 10 m beträgt, so geht der Ausdruck „a mal b“ in „18 mal 10", also 180 (Quadratmeter) über.

VII.    Es giebt zweierlei Arten von Gleichungen: ^unbedingte (analytische, identische), bei welchen die linke Seite (links vom Gleichheitszeichen) der rechten gleich ist, ohne besondere Bedingungen in Bezug auf den Wert der Größen; z.B. 4 -f- 9 — 13; x -j- x -(- x = 3mal x; a = a. Mit Ausnahme der zuletzt aufgeführten einfachsten unbedin gten Gleichung ist die rechte Seite nur eine andere Form der

linken, daher ist auch x-s-x-j-x — 3 mal x für jeden nur möglichen Wert von x richtig. 2) Bedingte (synthetische, algebraische Gleichungen, Bestimmungsgleichungen) sind solche, bei welchen die linke Seite der rechten nur für gewisse Werte der vorläufig durch einen Buchstaben (z. B. x) ausgedrückten unbekannten Zahl gleich ist. So ist x -j- 3 — 7 eine bedingte Gleichung, bei welcher die linke Seite der rechten nur für x — 4 gleich ist (nur x — 4 „genügt der Gleichung"). Eine (bedingte) Gleichung auflösen heißt einen Wert für die darin enthaltene Unbekannte (x) finden, der die linke Seite der rechten gleich macht; z.B.istx-j-3 —7 aufgelöst, wenn x — 4 gefunden ist.

VIII. Dieser Einteilung der Gleichungen gemäß wird die Arithmetik eingeteilt in

A.    Zahlenlehre, die Lehre von den unbedingten Gleichungen. Dieselbe zerfällt in:

1)    SpezielleZahlenlehre(Zifferrechnen,Elementarrechnen) : das Rechnen mit' speziellen Zahlen (z. B. 5 + 3 = 8).

2)    Allgemeine Zahlenlehre (oder „Buchstabenrechnung"): das Rechnen mit allgemeinen Zahlen (z. B. x -s- x — 2 mal x).

B.    Algebra (lies: älgebrä, das g wie im Worte Gold) ist die Lehre von den bedingten Gleichungen (z. B. x -j- 3 — 7). Da die „Auflösung der Gleichungen" unmittelbar mit dem Begriff „bedingte Gleichung" zusammenhängt, so kann Algebra auch als Lehre von der Auflösung der Gleichungen erklärt werden.

Algebra und Buchstabenrechnung sind mithin verschiedene Begriffe, dennoch ist es gebräuchlich, Algebra als den Inbegriff von Buchstabenrechnung und Auflösung der Gleichungen zu verstehen. Dies läßt sich nur insofern rechtfertigen, als die Buchstabenrechnung doch nur Vorbereitung zur Algebra ist.

§ 2. Die sieben Grundrechnungsarten (Spesies).

I.    Addition. Addieren heißt (im arithmetischen Sinne)

eine Zahl suchen, die eben so groß ist, als mehrere gegebene Zahlen zusammengenommen. „Summand, Summe, -si" haben dieselbe Bedeutung wie in § 1, II. Da der Ausdruck 7 -ff- 3 die Einheiten schon enthält, welche addiert werden sollen, so unterscheidet man 7    3 als formelle (oder

theoretische) Summe, 10 als materielle (oder praktische) Summe.

II.    Subtraktion. Aus der Addition (z. B. 7 -ff- 2 = 9) kann durch Umkehrung eine neue Spezies, die Subtraktion, abgeleitet werden, wenn man das Resultat (die Summe 9) und einen beliebigen Summand (z. B. 2) als gegeben betrachtet und den anderen Summand (7) sucht. Geschrieben: 9 — 2 = 7. Die in der Addition als Summe auftretende Zahl (9) heißtin der Subtraktion: Minuend, der gegebene Summand (2): Subtrahend, das Resultat der Subtraktion (7): Rest (oder Differenz, Unterschied). Das Zeichen für die Subtraktion ist—(gelesen: minus). 9 — 2 der formelle Rest. Subtrahieren heißt (der Entwickelung zufolge) eine Zahl (7) suchen, die zum Subtrahend (2) addiert, den Minuend giebt.

III.    Multiplikation. 1) Bei der Addition sind die Summanden gewöhnlich verschieden. Sind sie gleich, z. B. 7 -ff- 7 -ff- 7 = 21, so kürzt dies die Multiplikation durch 7.3 = 21 (oder 7X3 = 21) ab; gelesen: „7 mal 3 = 21". Multiplikation ist mithin die abgekürzte Addition gleicher Summanden. Der Summand (7) geht alsdann über in den Multiplikand, die Anzahl der Summanden (3) wird zum Multiplikator, die Summe (21)zum Produkt (Resultat der Multiplikation); 7.3 das formelle Produkt. Das Nebeneinanderstellen der Zahlen zeigt ihre Multiplikation an; der Punkt dient nur ausnahmsweise als Zeichen für die Multiplikation, um etwaige Verwechselungen zu vermeiden. Um z. B. 3 mit a zu multiplizieren, schreibt man 3 a („3 mal a"); 3.8 schreibt man nur, um dieses Produkt von der Zahl 38 zu unterscheiden. Multiplikand und Multiplikator werden gewöhnlich nicht unterschieden, sondern mit dem Ausdruck Faktoren bezeichnet. In 2.3.5 — 30 ist 2 der erste, 3 der zweite,

5 der dritte Faktor.

2)    Die Multiplikation ist znweilen auf eine Addition zurückzuführen; z. B. kann 3.4 als 3 + 3 + 3 + 3 oder auch als 4 + 4 + 4 aufgefaßt werden; 2.a (oder 2 a) als a —j— a.

3)    Um einen zusammengesetzten Ausdruck, z. B. 8 — 3, als Ganzes (als etwas Zusammengehöriges, als eine Zahl) . aufzufassen, setzt man denselben in Klammer: (), [ ], { }. Soll z. B. 3 mit 8 —j— 5 mnltipliziert werden, so schreibt man 3 (8 + 5) mit der Bedeutung 3.13 — 39; 3.8 + 5 würde 24 + 5 — 29 bedeuten. Soll 7 — 4 mit 5 multipliziert, das Produkt von 21 subtrahiert und der Rest mit 10 multipliziert werden, so ist zusetzen 10 . [21 — 5 (7 — 4)], d. t. 10 (21 — 5.3) = 10 (21 — 15) = 10.6.

IV. Division. 1) Kehrt man die Multiplikation in gleicher Weise um, wie die Addition behnfs der Bildung der Subtraktion, so würde aus dem Produkt und einem beliebigen Faktor der andere Faktor zn suchen sein. Aus 7.3 = 21 bildet daher diese neue Spezies, die Division genannt wird,

entweder 21:7 = 3, oder 21:3 = 7.

Das Produkt (21 in der 1. Gleichung) geht hierbei über in den Dividend, der gegebene Faktor (7) in den Divisor, der gesuchte Faktor (3) in den Quotient (das Resultat der Division). 21:7 ist der formelle Quotient. Das Zeichen der Division ist :, gelesen „dividiert durch". Als Divisionszeichen dient auch der Bruchstrich, jedoch hat dieser eine speziellere Bedeutung, indem er die zn dividierenden Zahlen als einen Wert hinstellt, also die Klammer vertritt. ⁵/₈ (gelesen: „5 Achtel") bedeutet daher (5:8). Ein mit dem Bruchstrich geschriebener Quotient wird „Bruch" (z. B. ⁵/₈),

der Dividend alsdann Zähler (5), derDivisor: Nenner (8) genannt. ^ liest man kurzhin „a durch b“.

2) Aus der Additionsgleichung 7<^-|-7^-j-7^ = 21 S) bildet die Multiplikation 7 c) . 3 = 21 fy. Diese führt zu zwei verschiedenen Divisionen, jenachdem man 21^ und 3 oder 21 $ und 7 als gegeben betrachtet und den anderen Faktor sucht. Daher:

a)    21    : 3 = 7 Ist der Divisor (3) unbenannt,

so ist der Quotient (7 $) gleichartig mit dem Dividend (21 und drückt alsdann einen Teil aus (der 3. Teil von 21 $ ist 7 $).

b)    21 $ : 7 S) = 3. Ist mithin der Divisor gleichartig mit dem Dividend, so ist der Quotient (3) eine unbenannte Zahl und drückt ein Enthaltensein oder Messen aus (7 $ ist in 21 $ 3 mal enthalten, oder das Maß 7 liegt 3 mal in 21 «Z).

c)    Einen solchen „Quotient aus 2 gleichartigen

A B

Größen" (z. B. 21 $ : 7 oder wenn AB

und CD beliebige Linien vorstellen) nennt man Verhältnis. Da 3 — 21 $ : 7 9) und auch 3 — 12 «/^: 4 Ji, so geht in diesem Falle die Gleichung 3 —

= 12 Jt> : 4 Jt .

über in: „21 $ : 7 <5) Eine solche „Gleichung zwischen zwei Verhältnissen wird Proportion" genannt.

V. Das Potenzieren. 1) Wie die Multiplikation die abgekürzte Addition gleicher Summanden, so ist das Potenzieren die abgekürzte Multiplikation gleicher Faktoren. Statt 7.7.7 — 343 schreibt das Potenzieren:

7³ = 343, gelesen „7 zur dritten — 343" (statt 7 zur 3. Potenz), oder auch „7 mit 3 potenziert — 343".

Der Faktor (7) wird zur Basis (Grundzahl, Dignand), die Anzahl der Faktoren (3) zum Exponent, das Produkt (3 43) zur Potenz. (7³ die formelle Potenz.) Den Exponent schreibt man gewöhnlich mit kleinerer Schrift rechts oben an die Basis. Statt 9.9.9.9 (berechnet 81.9.9 — 729.9 — 6561), a. a. a (ot)er aaa), (b -j- c) (b -f- c) schreibt man also 9⁴, a³, (b + c)²; gelesen: „9 zur vierten", „a zur dritten". Die 2. Potenz wird auch Quadrat, die dritte Kubus, die 4. Biquadrat genannt, (a -f- b)² liest man gewöhnlich „a + b Quadrat" und nur ausnahmsweise „a -f- b zur zweiten", a³ gelesen: „a zur dritten" oder „Kubus von a". Quadrieren oder „auf die 2. Potenz erheben" heißt die 2. Potenz einer Zahl berechnen (11 quadriert giebt 11.11 = 121); kubieren heißt die 3. Potenz berechnen (10 kubiert giebt 10.10.10 — 1000). Um unbequemes Lesen zu vermeiden, benutzt man das Wort „hoch" ; z. B. a1-z, gelesen: „a hoch 1 minus z“.

2) Das Potenzieren ist zuweilen auf eine Multiplikation zurückzuführen. Z. B. (a — b)² = (a — b) (a — b).

VI. DasRadizieren. ®a7 + 3 = 3 + 7, 7.3 = 3.7, so läßt das Addieren nur eine Umkehrung: die Subtraktion, die Multiplikation nur eine Umkehrung: die Division zu. Weil aber 3² nicht — 2³ (denn jenes ist 9, dieses 8), so muß das Potenzieren (z. B. der Ausdruck 10³ — 1000) zu zwei verschiedenen Umkehrungen führen. Sucht man aus der Potenz (1000) und dem Exponent (3) die Basis (10), so heißt die Rechnungsart: Radizieren oder Wurzelausziehen; wird dagegen aus der Potenz (1000) und der Basis (10) der Exponent (3) gesucht, so heißt die Rechnungsart: Logarithmieren (siehe VII).

Das Radizieren bildet aus der Potenz 10³ — 1000

3_

den Ausdruck j/l000 — 10, gelesen: „dritte Wurzel aus 1000 — 10", oder „1000 mit 3 radiziert — 10". Die Potenz(1000) wird hierbei zur Wurzelbasis (Radikand), der Potenzexponent (3) zum Wurzelexponent (oder Radikator), die Basis (10) der Potenz zur Wurzel.

( l/1000 die formelle Wurzel.) Radizieren heißt also eine

Zahl suchen, die, mit dem Wurzelexponent potenziert, die

5 ___

Wurzelbasis giebt. [/l00 000 ift=10, toeitl0⁵=100000;

{/% = Vs, weil (Vä)⁴= V. • V,. V, • V2 = Vi6' Das Wurzelzeichen [/ ist aus dem r des Wortes rnäix (Wurzel) ent-

2

standen. Statt j/ schreibt man stets nur |/ und liest dieses Zeichen „Quadratwurzel". Aus 8² — 64 z. B. entsteht s/64 — 8 (d. i. s/64), gelesen: „Quadratwurzel aus 64". auch wohl nur „Wurzel aus 64", wenn andere Wurzeln nicht in Betracht kommen. [/l25 = 5 wird „dritte Wurzel aus 125" oder „Kubikwurzel aus 125" gelesen.

VII. Das Logarithmieren (oder Exponentiieren) sucht aus der Potenz (in Bezug auf 10³ — 1000, also aus 1000) und der Basis (10) den Exponent (3). Geschrieben: ¹⁰lg 1000 — 3; gelesen: „Der Zehn-Logarithmus von 1000 — 3" oder „1000 mit 10 logarithmiert — 3". Die Potenz (1000) wird zum Numerus (oder absoluten Zahl, Logarithmand), die Basis (10) zur Basis (oder Grundzahl) des Logarithmus, der Exponent (3) zum Logarithmus. Die Basis schreibt man links oben an die Buchstaben lg (Abkürzung für Logarithmus). Logarithmieren heißt also eine Zahl (3) suchen, welche als Exponent die Basis (10) auf eine Potenz (die 3. Potenz) erhebt, welche dem Numerus (1000) gleich ist. Daher

,;lg36 = 2, toeil 6² = 36; 'hgVsi = 4, weil (Vs)4 = Vs • Vs • Vs • Vs ⁼ V81*

einander gleich (z. B. abkürzen, jedoch könnte man nicht mit dieser Abkürzung rechnen, da3²nicht—2³ist. Mithin giebt es nur drei sogen, „direkte Spezies": Addition, Multiplikation und Potenzieren, und vier „indirekte": Subtraktion, Division, Radizieren, Logarithmieren.

Anmerkung. Setzt man wieder die Elemente der Potenz ), so ließe sich wohl der Ausdruck

§ 3. Die Hauptsähe der Spezies.

Die Lehrsätze der ersten Spezies sind zwar schon in dem als bekannt vorausgesetzten elementaren Rechnen in Anwendung gekommen, jedoch im allgemeinen mit so wenig mathematischer Begründung, daß sie hier, wo es erforderlich, mit strengerer Beweisführung als notwendige Grundlage für die Lehren der Buchstabenrechnung und Algebra wiederholt werden müssen. — „Bew." bedeute stets Beweis.

I.    Addition. 1) Die mehrere Summanden einschließende Klammer kann beliebig weggelassen und mehrere Summanden beliebig in Klammer gestellt werden. 5-j- (4 -j-3)—5-s- 4 -f-3

—    (5 -\- 4)    3. Um eine Summe zu berechnen, hat man

daher immer je 2 Summanden in eine Zahl zu vereinigen ; z. B. 3 -j— 5 -f- 9    8 —\~ 9 ⁼ 17.

2)    Die Summanden einer Summe können beliebig angeordnet werden; z. B. 6 —f- 7 —]— 4 = 6 —f- 4 —f- 7.

3)    Nur gleichartige Größen können addiert werden; z. B. 8 jfio 3 —f- 12 jf(o —f- 4 H ^ 2 0 jffo -j- 7 .

II.    Subtraktion. Vorbemerkung. Die Beweise für die Sätze der indirekten Spezies sind ohne Ausnahme dadurch zu führen, daß man auf die zugehörige direkte Spezies zurückgeht. Die Subtraktion ist daher richtig, wenn „Rest -s- Subtrahend — Minuend".

1)    Ein Summand hebt sich mit dem ihm nachfolgenden gleichen Subtrahend. Z. B. (8 —f- 3) — 3 — 8, oder 8 —3 — 3 = 8. Bew. Rest (8) —j— Shd. (3) •= 8 —(- 3

—    Minuend.

2)    Ein Summand hebt sich mit dem ihm vorausgehenden gleichen Subtrahend. (9 — 4) —(— 4 = 9, oder 9 — 4 -j- 4 — 9. Bew. Da die Subtraktion 9 — 4 — (9 — 4) unbedingt richtig ist, so muß auch „Rest-j-Shd. — Min." sein, d. i. (mit dem Rest 9 — 4 der rechten Seite, dem Min. 9 und Shd. 4 links): (9 —4) -j- 4 — 9.

3)    Die Anordnung der Summanden und Subtrahenden ist beliebig. 13 + 11 — 3 = 13 — 3 +11; 17 — 8 — 7

—    17 — 7 — 8. Denn Rest 13 — 3 +11 + Shd. 3

—    Minuend 13 -f- 11.

4)    Bildet man nach einem Additionszeichen eine Klammer, so bleiben die in die Klammer zu setzenden Zahlen unverändert. 7 + 14 — 4 = 7 + (14 — 4). Bew. Rest 7 + (14 — 4) + Shd. 4 = 7 + [(14 — 4) + 4] = 7 + 14 (nach Satz 2) = Min.

5)    Daher ist auch umgekehrt 7 + (14 — 4) unverändert = 7 +14 — 4 = (7 + 14) — 4.

6)    Löst man nach einem Subtraktionszeichen eine Klammer auf, so verwandeln sich die in der Klammer befindlichen Summanden (additiven Zahlen) in Subtrahenden (subtraktive Zahlen), die Subtrahenden in Summanden. Z. B. 29 — (9 — 4 + 1) = 29 — 9 + 4 — 1. Bew. Rest 29 —9 + 4 —1 + Shd. (9 — 4 + 1) = 29 (nach Satz 1 und 2) = Min.

7)    Umgekehrt: Bildet man nach einem Subtraktionszeichen eine Klammer, so verwandeln sich die Summanden in der Klammer zu Subtrahenden, die Subtrahenden zu Summanden. 23 — 9 + 4 — 1 = 23 — (9 — 4 + 1).

III. Multiplikation. 1) Nur ein Faktor eines Produkts kann benannt sein; denn 8H + 8$ = 8+2.

2) 3.10 =10 + 10 +10, 8 + 8 + 8 = 3.8,

2.10    =10 + 10, daher

1.10    =10;

8+ 8 = 2.8, daher 8 = 1.8.

Oder: Der Faktor 1 kann beliebig weggelassen oder hinzugefügt werden.

3) Eine Summe oder Differenz wird mit einer Zahl multipliziert, indem man jeden Summand und Subtrahend mit dieser Zahl multipliziert. Bew.: Es ist 15.3 = 15 + 15 + 15. Setzt man für 15 den Ausdruck 20+ 4—9, so entsteht (20 + 4 — 9) . 3 = 20 + 4 — 9 + 20 + 4 — 9 + 20 + 4— 9 = 20 + 20 + 20 + 4 + 4 + 4 —9 —9 —9 = 20.3 + 4.3 —(9 + 9 + 9). Folglich ist (20 + 4 — 9). 3 = 20.3 + 4.3 — 9.3.

4)    Umgekehrt: 20.3+4.3 —9.3 = (20+ 4 —9). 3. Oder: Sind mehrere Produkte addiert oder subtrahiert und haben dieselben einen gemeinsamen Faktor (hier 3), so kann man diesen Faktor aus den Produkten entfernen, den zurückbleibenden Ausdruck (hier 20 + 4 — 9) in Klammer setzen und diese dann mit jenem weggelassenen Faktor multiplizieren. Um in 89+ 49.8 9 — 47.89 die Zahl 89 „auszuheben", setzt man (nach Satz 2) 1.89 + 49.89 — 47.89. Wird 89 weggelassen, so bleibt 1 + 49 — 47 zurück, folglich ist der gegebene Ausdruck = (1 + 49 — 47). 89 = 3.89 = 267.

5)    Um ein Produkt zu multiplizieren, darf nur einer der Faktoren multipliziert werden. Soll z. B. 5.4 mit 3 multipliziert, d. h. (5.4). 3 berechnet werden, so hat man entweder nur 5, oder nur 4 mit 3 zu multiplizieren. Das Resultat ist also entweder 15.4 oder 5.12, d. i. (5.3). 4 oder 5 . (4.3).

2. Beispiel: (3+ . 4+) giebt mit 2 multipliziert entweder 7.4+ oder 3+ . 9; (nicht aber 7.9).

Bew. (5.4). 3 = (5 + 5 + 5 + 5). 3 [itad) § 2, III, 2] = (5.3) + (5.3) + (5.3) + (5.3) nach dem 3. Satz = (5.3). 4. Oder (5.4). 3 = (4 + 4 —|— 4 +■ 4 -j— 4). 3 = (4.3) + (4.3) + (4.3) + (4.3) + (4.3) = 5.(4.3).

Falsch wäre es daher, um 5.4 mit 3 zu multiplizieren, 15.12 als Resultat zu setzen, die Aufgabe also mit (5+ 4) . 3 = 5.3 + 4.3 zu verwechseln. Man würde ein 3 mal zu großes Resultat erhalten.

6)    Die mehrere Faktoren eines Produkts einschließende Klammer kann beliebig weggelassen oder hinzugefügt werden. Bew. Wie auch 3.4.5 berechnet wird, ob als (3.4). 5 oder (4.5). 3 re., immer muß man dasselbe Resultat erhalten.

7)    Aus dem 5. und 6. Satze folgt:

a)    Die Anordnung der Faktoren ist beliebig, z. B. 4.3.5 = 4.5.3.

b)    Ein Produkt berechnet man, indem man immer je 2 Faktoren in eine Zahl vereinigt. Denn 5. 4. 3. 2 = (5. 4). 3. 2 = 20.3. 2

= ( 0.3). 2 = 60 . 2 oder kürzer 5.4.3.2 = ( . 4). (3. 2) = 20.6 = 120; 11³= 11 .11.11 = 121.11 = 1331.

CM iO

IV. Division. 1) Die Division ist richtig, wenn „Quotient mal Divisor — Dividend" (siehe die Vorbemerkung in § 3, II). Z. B. ist 1001:13 = 77 richtig, weil 77 . 13 = 1001. In den Beweisen der folgenden Sätze mag Q: Quotient, Ds: Divisor, Dd: Dividend bedeuten.

2)    Der Divisor 1 kann beliebig weggelassen oder hinzugefügt werden. 5:1 = 5, ¹ 2 3 4/i = 8; 3 = s/₁. Bew. tz.5 mal Ds. 1 = Dd. 5.

3)    Eine Zahl durch sich selbst dividiert, giebt 1.

3-B 43⁵/₇:43⁵/₇ =l,    Bew. Q.lXDs.43⁵/₇

= Dd.43⁵/₇.

4)    Durch die Umkehrung des vorstehenden Satzes kann 1 in einen Bruch mit beliebigem Nenner verwandelt werden. Z.B. 1 = %

5)    Ein Produkt durch einen seiner Faktoren dividiert,

giebt den andern Faktor,    = 9 oder = 8.

Bew. Q. 9 X Ds. 5 = Dd. 5.9.

dieselbe dividiert wird. 15.32 = 15.2.³²/₂ = (15.2). ³²/2 (= 30.16).

10) Um ein Produkt zu dividieren, darf man nur einen -¹—^-³-⁵ ? Entweder ⁵/₅ . 35 = 3.35,

Faktor dividieren, oder 15.³⁵/ö =15.7. (Nicht aber ⁵/₅.³⁵/s = 3.7.) $8ero.    = ⁵/s . 35, denn Q. ⁵/₅.35 X 1)8.5 (links

unten) = ⁵/₅.5.35 = 15.35 = Dd. (links oben). Es ist also auch 15.35:5 = 15:5.35. Oder: Die Anordnung der Faktoren und Divisoren ist beliebig.

11) Um einen Bruch mit irgend einer Zahl zu multiplizieren, multipliziert man den Zähler mit dieser Zahl. Dieser Satz ist die Umkehrung des vorhergehenden, denn ⁵/₅.35 ci5.35

12)    Gleiche Faktoren des Zählers und Nenners heben sich. = ⁵/₉. Bew. Q. X Ds. === Yd . 9.7 = 5.7 = Dd.

13)    Erweitert man einen Bruch, d. h. multipliziert man Zahler und Nenner mit derselben Zahl, so ist der neue Bruch

dem ursprünglichen gleich. ⁵/9 des 12. Satzes).

14)    Gleiche Divisoren im Zähler und Nenner heben sich. = % Bew. Q. x Ds. = ⁵/₇.7 : 3 = 5:3 = Dd.

5.7

9.7

= ³⁵/63 (Umkehrung

5:3

7:3

17)    Zwei Brüche multipliziert man, wenn man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multipliziert (Umkehrung

7.5

- 35/ -    / 54*

des 16. Satzes). %.% —

18)    Einen Bruch dividiert man durch eine ganze Zahl, indem man

entweder den Nenner mit der ganzen Zahl multipliziert;

z. 93. ⁷/₉:5 = ~ (— ⁷/₄₅), denn Q. X Ds.

= 7» =Dd.;

oder den Zähler durch die ganze Zahl dividiert;

IO./!

z.B. ¹²/it :4 = -i^(= ³/₁₇), dennQ.XDs.

12:4 ,

⁼ ~vT ⁴

9.5

= —-₅ = '

9.5 ⁵

12:4.4

17

¹²/17 (siehe 7. Satz)

= Dd.

19)    Man kann aus dem Nenner eines Bruches einen Faktor entfernen und denselben als Divisor für den übrigbleibenden Bruch setzen; denn — ⁷/₉ : 5 (s. 18. Satz).

20)    Multipliziert man 1 mit einer beliebigen Zahl und dividiert man 1 zugleich durch dieselbe Zahl (z. B. 1.8 — 8 und 1:8 — Vs), so entstehen zwei mit Rücksicht auf Multiplikation und Division einander entgegengesetzte Zahlen (Vi und Vs), die man reziproke oder umgekehrte Zahlen nennt. Aus ⁸/i und Vs folgt: Den reziproken Wert einer Zahl erhält man, wenn man sich diese in der Form eines einfachen Bruches denkt und den Zähler mit dem Nenner vertauscht. Die Reziproke von ²/₁₅ ist daher ¹⁵/₂ = 7 Vs; von 20 (d.i. V20) ist'sie V^; bort 3⁷/s (d.i. ³¹/₈) ist sie ⁸/₃₁.

21)    Eine beliebige Zahl dividiert man durch einen Bruch, indem man jene Zahl mit dem reziproken Bruch multipliziert.

= ⁸Vs = i6 Vs;

25.1

Z. B. 12 : Vt = 12. Vs = ^

- 25/    .

-    /36 7

4.9

3Vs : 4V. = % : ⁹A - ²⁵/s - V- =

Satzes). ⁵/₂₇ = 7.5

= 79-

16)

9.6

man jeden Summand und Subtrahend dividiert.

Vso - Vio Vso • /i /30 • 10 — /so A-

22) Eine Summe oder Differenz dividiert man, indem

9 ~h 7 — 5

= 7s + Vs -⁵/s. asm. q.x ds.=(7s + % - «/„). 8 = ⁹/s. 8 -j- ⁷/₈.8 — ⁵/s • 8 — 9 -f~ 7 — 5 — Dd.

23)    Brüche mit gleichen Nennern (gleichnamige Brüche) addiert oder subtrahiert man, indem man einen neuen Bruch herstellt, dessen Zähler durch Addition, bezw. Subtraktion der gegebenen Zähler entsteht und dessen Nenner der gegebene Nenner ist; denn nach dem 22. Satze ist ⁹/₈ -}- ⁷/₈ — ⁵/₈

-• Ungleichnamige Brüche sind zuvor gleichnamig zu machen; z. B. 7« + 7* — 7s —¹⁰/i* + 7is — Via =7ia-

24)    Es ist ³⁷/₇ =5 + 37/₇ _₅ _ 5 _j_ 37/₇ _ TV⁷

Q7 _ F) 7

(siehe den 6. Satz) — 5 -j--(siehe den 23. Satz).

Um also eine Zahl (37 im vorstehenden Beispiel) durch eine andere (7) zu dividieren, kann man einen beliebigen Quotient

(5) wählen, wenn man diesen um einen Bruch

vermehrt, bei welchem der Zähler dadurch entsteht, daß man den ursprünglichen Dividend (37) um das Produkt aus dem Quotient (5) und dem ursprünglichen Divisor (7) vermindert, als zugehörigen Nenner aber den ursprünglichen Divisor (7) setzt. 2. Beispiel. ¹⁰⁰/₁₃ — 7

+ ¹⁰⁰ ~⁷— - 7 + 7is (= 7*/„). Da durch diese

Division immer nur ein Teil des Quotient berechnet wird (erst 7, dann ⁹/₁₃), so nennt man dieselbe Partialdivision.

V. Potenzieren. 1)    =    = 1; 1³=1.1.1

— 1 re. 1 giebt also in jeder Potenz wieder 1.

2) 7.7.7 =    7³,    10³    =    10.10.10,

7.7 =    7²,    10²    =    10.10, folglich

folglich 7 =    7¹;    IO¹    =    10.

Man kann also jeder Zahl l als Exponent beliebig hinzufügen oder den Exponent 1 wegnehmen.

Schurig. Algebra.    2

§ 4. Null und die unendlich große Zahl.

I. In der niederen Mathematik bedeutet 0 so viel als „nichts". Es ist daher 8 + 0 = 8. Daraus folgt: 1) 8 — 0 — 8 und 2) 8 — 8 = 0; allgemein a — a = 0. Die natürliche Zahlenreihe erweitert sich damit zu: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... .

II Aus 0 + 0 = 0, 0 + 0 + 0 = 0 folgt 2.0 = 0, 3.0 = 0. Allgemein: 0 mit jeder beliebigen Zahl multipliziert, giebt wieder 0. Daher muß das Produkt = 0 sein, wenn einer der Faktoren = 0 ist; z. B. 8.73.0.⁵/₆, denn (8.73.⁵/₆). 0 = 0.

III.    0 durch jede Zahl dividiert, giebt 0; denn ⁰/ig = 0, weil Q. 0 X Ds. 13 = Dd. 0 (s. II).

IV.    Endliche Zahlen find solche, die aus einer bestimmt abgegrenzten Menge von Einheiten bestehen, z. B. 13 oder 100 Trillionen. ²/₅₆₇ ist eine endliche Zahl, denn 2 und 567 sind bestimmt abgegrenzt, also auch ²/₅₆’₇.

V.    Denkt man sich dagegen inl + 1 + 1 + 1 + 1.... die Einheiten nach rechts hin (oder auch nach beiden Seiten hin) ohne Grenze, also bis ins Unendliche fortgesetzt, so erhält man als Summe sämtlicher Einheiten die „unendlich große Zahl", die man mit oo bezeichnet. Geht man nach rechts hin bis 1 Trillion, so ist man der Zahl °o noch keineswegs um ein bemerkenswertes Stück näher gekommen. Denn setzt man an die Stelle von 1 sogleich 1 Trillion, also

1 Tr. —p 1 Tr. -j— 1 Tr. -j- 1 Tr. + 1 Tr.....

so bleibt die unendlich große Zahl noch immer in unendlicher Entfernung rechts. Es verschwindet daher jede auch noch so große Zahl vollkommen gegen die Zahl o°.

VI.    oo um irgend eine endliche Zahl vermehrt, giebt immer nur oo als Summe. Obgleich der Satz schon aus V folgt, sei hier doch ein 2. Beweis gegeben.

b 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+::::

Denkt man sich in der Reihe A unendlich viele Einheiten, so stellt sie die Zahl 20 vor. Setzt man nun vor A noch 7 Einheiten, so entsteht die Reihe B, die für sich betrachtet (wenn A nicht vorhanden wäre), wieder die Zahl 00 vorstellt. Folglich tft 00 -j- 7 = 00. Der Satz bleibt aber für jede endliche Zahl richtig, auch wenn statt 7 die Zahl Trillion gesetzt worden wäre.

VII.    Aus der Gleichung: „⁰⁰ -)- endliche Zahl — 20 " folgt (nach § 2, II): 00 — endliche Zahl = 00.

VIII.    Setzt man zu den Einheiten in A noch einmal so viel Einheiten, so ist die Summe sämtlicher Einheiten wieder 00. Es ist also 2 • 00 = 00, 3 • 00 = 00 zc. Allgemein: Das Produkt aus irgend einer endlichen Zahl und 00 ist wieder — 00, daher auch yi000 . 00 = 00,

00

1000000    ⁰⁰ •

IX.    Eine endliche Zahl durch 0 dividiert, giebt die Zahl °°; z-B. ¹²/o =

Bew. 12:1 — 12,

12: V

12 : Vioooooo ⁼⁼ 12000000.

Wird der Ds. immer kleiner, so nimmt der Q. immer mehr zu. Hat der Vs. 0 erreicht, so muß der Q. = oo sein, denn wäre der Vs. noch nicht ganz O, sondern eine sehr kleine

endliche Zahl (z. B

— oo (sondern erst — Trillion). Daher 12:0 — oo oder ¹²/₀ — oo.

X.    Aus 10:10 = 1,

10:1000 = V;

10:1000000 = 7

gleicher Weise als Grenze 10:oo — 0 oder ^ = 0.

Jede endliche Zahl durch oo dividiert, giebt mithin den Quotient 0. Man setzt daher 0 (namentlich in der höheren

Mathematik) gleichbedeutend mit ^ (unendlich klein).

00 .

1000

— 12.

* Trillion

1000

A = 12000,

j' so wäre auch bet Q. noch nicht

100'

1000000

re. ergiebt sich in

§ 5. Von den entgegengesetzten Zahlen. (Positive und negative Zahlen.)

I. Einleitung.

— er

— Pu

f N    c e

-B

1) A

1) — 1 — 0 — 2. So erhielte man

In vorstehender Linie mögen die einzelnen Abschnitte Einheiten vorstellen, so daß rechts von N die Strecke Na — 1 Einheit, Nd = 4 Einheiten vorstellt. Von N aus gemessen würde daher der Punkt a die Zahl 1, der Punkt d die Zahl 4 bedeuten. Geht man mithin von 4 (Punkt d) aus, so ergiebt sich mit 4 -s- 1 der Punkt e, rechts von d, mit 4 — 1 der Punkt c, links von d. Durch Hinzufügen von -s-1 würde man also immer den nächsten Punkt rechts, durch Hinzufügen von — 1 den nächsten Punkt links erhalten. Wird BN über N hinaus nach links verlängert, so daß die Strecke NA der Strecke NB genau entgegengesetzt liegt, so würde nun auch von 0 (Punkt N) aus der Punkt a (rechts von N):0-s-1, und der Punkt k (links von N):0 — 1 bezeichnen. Von a (d. i. 0 -f~ 1) aus erhielt man ferner den nächsten Punkt rechts, also b, durch Hinzufügen von +1 und mithin wäre b = (0 4” 1) -f- 1 = 0 -j- 2. Von f (d. i. 0 — 1) aus würde sich der nächste Punkt links, also g, durch Hinzufügen von — 1 ergeben und mithin wäre g = (0 folgendes Bild:

0—3 0—2 0—1    0

1    ! i 1

0+1 0+2 0+3 0+4 0+5

Diese Summen 0-j-1, 0 -s- 2,.... kürzt man mit 1, -{-2, 4"3...., die Differenzen 0—1, 0 — 2, 0 — 3 mit — 1, —2, —3.... ab. Somit ergiebt sich die folgende Darstellung:

— 4 —3 —2 —1    0    —j—1 +2 +3 —|— 4.4— 5

2)    Fügt man diese Zahlen -j-1, -j-2..., — 1, — 2.. v anderen Zahlen hinzu, z.B. der Zahl 10, so würde 10-j-2 eine Vermehrung der 10 um 2, 10 — 2 eine Verminderung der Zahl 10 um 2 bezeichnen. Man hat deshalb die in der Linie PQ befindlichen Zahlen *edf)t§ von N additive, links von N subtraktive Zahlen genannt. Allgemein gebräuchlich sind jedoch dafür die Namen: positive Zahlen (rechts von N) und negative Zahlen (links von N). Da diese Zahlen von 0 aus entgegengesetzt liegen, so hat man ihnen den gemeinsamen Namen „entgegengesetzte Zahlen" gegeben.

3)    Bisher (im elementaren Rechnen) rechnete man nur mit den Zahlen, wie man sie in jener Linie NB von N aus nach B hin abzählte; bildlich also:

0    1    2    3    4    5    6

1111_

wobei es keine entgegengesetzte Richtung NA gab (Satz 1), vielmehr konnte die eine bestimmte Zahl vorstellende Länge in jeder nur möglichen Richtung liegen, wie z. B. die Radien eines Kreises, die Seiten eines Dreiecks. Solche „richtungslosen" Zahlen werden absolute genannt. Mißt man in jener Linie PQ vom Nullpunkt N aus mit der absoluten Länge von 3 Einheiten nach rechts, so gelangt man zur positiven Zahl -j-3, von N aus entgegengesetzt nach links: zur negativen Zahl — 3. Man unterscheidet daher in -j-3 und —3 die absolute Zahl 3 und das Vorzeichen-j-oder —, durch welches eine der beiden einander unbedingt entgegengesetzten Richtungen bezeichnet wird.

4)    Da die absolute Zahl 5 um 1 größer ist, als die absolute Zahl 4, die positive Zahl -}- 5 aber auch um 1 größer als die positive Zahl -j-4, so find die absoluten Zahlen gleich den positiven; daher 7 so viel als -f-7.

5)    Aus Vorstehendem folgt, daß jede in der Linie PQ enthaltene Zahl größer ist, als eine links liegende. Daher ist -j-8 um 8 größer als 0, —12 um 12 kleiner als 0, + 3 um 2 größer als -j-1, -j-3 um 10 größer als —7, —11 um 30 größer als — 41, -f-1 um 2 größer als —1, — Yi um y₄ größer als — Y₂, Zuweilen sieht man vom Vorzeichen ab und sagt: —13 ist „absolut genommen" größer als — 4.

6) Die Beweise für das Rechnen mit entgegengesetzten Zahlen werden leicht dadurch geführt, daß man (siehe Satz 1) z. B. für die positive Zahl -s-8 als Vorzeichens die

-j- 8 ^-j- als Additionszeichen^ und für die negative Zahl —5 als Vorzeichens die Differenz 0 als Subtraktionszeichen j setzt.

Summe 0

7) Mit den positiven und negativen Zahlen ist nun der Zahlenbegriff wesentlich erweitert. Da in der Algebra der Buchstabe jede nur mögliche positive oder negative Zahl vorstellen kann, so werden diese Zahlen auch algebraische genannt.

II. Addition mit entgegengesetzten Zahlen.

A. Formelle Addition. Fügt man der Zahl 8 die Positive Zahl -f-2 oder die negative Zahl —2 hinzu, so bedeutet 8-f-2 das Fortschreiten in der Linie PQ von -f-8 um 2 Einheiten nach rechts (bis zu -s- 10) und 8 — 2 das Fortschreiten von -f* 8 aus um 2 Einheiten nach links (— -j- 6). —10 —j— 3 würde also das Fortschreiten von — 10 aus um 3 Einheiten nach rechts (— — 7) und —10 —3 das Fortschreiten von —10 aus um 3 Einheiten nach links (— —13) vorstellen. Ist daher 8 und —2 zu addieren, so schreibt man nicht 8 -j- j'— 2j,

sondern nur 8 — 2; —10 um — 3 vermehrt, schreibt man nicht ^— 10j -f- I— 3j, sondern nur — 10 — 3. Man

läßt mithin das Additionszeichen weg und stellt nur die zu addierenden entgegengesetzten Zahlen neben einander. Eine solche Summe entgegengesetzter Zahlen wird auch

„algebraische Summe" genannt. Die algebraische Summe — 5 +11 —19 bedeutet demnach ^—5j + |+Hj

t(v⁹) t(°7⁹)

oder

noch vollständiger ^0 —    + ^0 + 11^

B.    Aus Vorstehendem folgt zugleich, daß + (+••) in -f-, + (—•••) in — übergeht. Statt 10+ (—17) + (+ 5) schreibt man daher 10 — 17+5.

C.    Materielle Addition. 1) Haben die Summanden gleiche Vorzeichen, so addiert man die absoluten Zahlen und giebt der Summe das Vorzeichen der gegebenen Summanden. Daher 8 + 4 (b.t. + 8 + 4) = + 12; — 9 — 7=— 16;— 1 — 2 — 3 = — 6;

—    41

— 11 — 23

—    28

— 39

— 75

-⁹-7 = (7⁹)t(T⁷) ⁼ M

= 0 — 9—7

+ (₀-,)=.0- 9 + 0-7

—    0 — (9 + 7) = 0 — 16 — der negativen Zahl

—    16 (siehe I, 1 und 6). s

2) Zwei Summanden mit entgegengesetzten Vorzeichen. Sind die absoluten Zahlen gleich, z. B. —8 + 8 oder 13 — 13, so heben sich die Summanden und das Resultat ist—0; denn(—8) —[— (—J⁻8)⁼^0 — 8j+- ^0 +- 8j

= 0 — 8 + 0 + 8 = 0 (f. § 3, II, 1 u. 2). Sind die

absoluten Zahlen verschieden, z.B.—13 + 7 oder — 4 + 9, so vermindert man (ohne Rücksicht auf die Vorzeichen) die größere absolute Zahl um die kleinere und giebt dieser absoluten Differenz das Vorzeichen des mit der größeren absoluten Zahl behafteten Summanden. Daher — 13 —7 = — 6, — 4 + 9= + 5 = 5;

00 CM

+ O.73

126

—    4.

396

—    3.

Beweis. Nach dem 1. Satz ist —13 — — 6 — 7; daher —13 + 7 = — 6 — 7+7 = — 6. Oder einfacher: Die größere absolute Zahl vorangesetzt und nach dem ersten Zeichen eine Klammer gebildet; daher 8 —13 = —13 + 8 = — (13 — 8) = — 5.

3) Bei mehr als zwei verschiedenen Summanden kann man die positiven für sich, eben so die negativen für sich addieren und dann beide Summen vereinigen. Z. B. — 12 + 31 — 23 — 18 + 5 = + 31 + 5 — 12 — 23 — 18 = + 36 — 53 = — 17.

III. Subtraktion mit entgegengesetzten Zahlen.

A.    Die Subtraktion wird durch den Satz § 3, II, 6 stets auf eine Addition zurückgeführt.

1.    Beispiel. Von — 11 + 3 soll —19—8 + 2 subtrahiert werden. Man schreibt zunächst

—    11 + 3 — (—19 — 8 + 2), nach jenem Satz in § 3

s :    :    j ergiebt sich alsdann

—    11 + 3    +19 + 8 — 2. Jetzt ist die Aufgabe zur

Additionsaufgabe geworden; daher = — 13 +30 = 17.

2.    Beispiel. 28 um 12 — 23 + 46 vermindert, d. i. + 28 um + 12 — 23 + 46 vermindert, folglich

+ 28 — (+ 12 — 23 + 46)

8 i    i

= + 28    — 12 + 23 — 46 = 51 — 58 = —7.

B.    Da 7 — (+ 3) = 7 — 3, unb 7 — (— 3) = 7 + 3,

so geht also stets — H----) in —, — (— • • •) in + über.

(Vergl. II, B.) Z. B. 11 — (— 5) + (-(- 3) — (-f-19) + (—1) = 11 + 5 + 3 — 19 — 1 = — 1.

C. Die Subtraktionsaufgaben — 7 oder -f- 8

— 2

—(—19 haben

den Sinn (—7) —(—2) = —7+ 2 und + 8 —(+19)

—+ 8 —19. Anstatt also —7    + 8 zu subtrahieren.

— 2    +19

kann man —7 und +8 addieren. Folglich: Man nimmt — 19

den Subtrahend (die untere Zahl) entgegengesetzt und addiert.

IV. Multiplikation mit entgegengesetzten Zahlen.

A.    Zwei Faktoren.

Gleiche Zeichen geben +, verschiedene Zeichen —; z.B. (+ 8) (+ 3) oder auch geschrieben + 8.+ 3 = + 24, — 7.— 2 = +14; —9.+ 3 = —27; +1.-1=—!.

Bew. + 8 . + 3 = 8.3 (f.I, 4) = 24 = + 24; (-9) (+3) = (-9).3 = (-9) + (-9) + (-9) = —27; (—7) (— 2) = (0 —7).(— 2). Da nun (—2)

nach § 3, III, 3 mit (0) und auch mit (7) multipliziert werden muß, so ergiebt sich (0) (— 2) — (7) (— 2) = 0 — (—14) = 0 + 14 = +14.    8    8

a    v

B.    Mehr als zwei Faktoren.

Die Anzahl der negativen Faktoren allein bestimmt das Vorzeichen. Ist die Anzahl derselben gerade, so ist das Resultat positiv, bei ungerader Anzahl: negativ. Z. B. (— 3) (+2) (—-1) (—5) = ? Drei negative Faktoren geben —, daher — 3.2 . 1 . 5 = — 30; oder 2 . (— 6). (+10) . (— 4). (— 5). (— 1) = ? Vier neg. Faktoren geben +, daher = +2.6.10.4.5.1 = 2400.

Bew. Je zwei neg. Faktoren geben +, daher bleibt im 1. Beispiel ein Minus, im 2. kein Minus übrig.

V. Division mit entgegengesetzten Zahlen.

A. Werden nur 2 Zahlen durch einander dividiert, so gilt dieselbe Regel wie in IV, A. Z. B.

+ 12

— + 4,

+f=-4, + (b.i+)=-3;

Bew. Q. X Ds. — ²/s • (— 6) — — 4 — Dd.

(-5) (+4)

f⁴/o = ²/s.

B. Es ist daher

— 20

+ ²¹

= +²%i- Daher kürzer: Enthält der Ausdruck nur multiplizierende und dividierende Zahlen, so zählt man die Minuszeichen allein ab, und zwar auch das Zeichen vor dem Bruche, wenn es ein Minuszeichen ist. Ergiebt sich hierbei die Anzahl der Minuszeichen gerade oder ungerade, so ist das Resultat positiv, bezw. negativ.

Die letzte Aufgabe hatte 4 Minuszeichen, daher — -j-. 4 (-5)

2. Beisp. -+

4.5

(-7) (-3)

(-2) (-10)

1. 3.Beisp.

?    3 Minus geben —, daher

20

2 Minus geben-s-,

2.10

daher = + ²%o — + Vs-

C. Befinden sich Summen oder Differenzen in den Quotienten, so sind diese vorher in eine Zahl zu verwandeln. (-6 + 1). 10

(- 5) . 10

Z- B. (- 4) -

Da jetzt 4 Minuszeichen vorhanden sind, das Resultat

5 .10

(-3) (8-16)

= (- 4) •

(-3) (-8)

also (nach B) positiv ist, so hat man + 4 . 4.5.10

3.8

§ 6„ Einleitung in die Buchstabenrechnung.

Hinsichtlich der Bedeutung des Buchstaben als Zahl sei hier auf § 1, VI zurückverwiesen. Ein Buchstabenausdruck umfaßt also alle speziellen Fälle, die in gleicher Weise entstanden sind, wie diese letzteren. Als allgemeine Zahlen benutzt man am häufigsten die kleinen lateinischen Buchstaben

(a, x z. B.), zuweilen aber auch die großen lateinischen, die kleinen griechischen Buchstaben (a — alpha, ß — beta, y — gamma re.). Als bekannte Zahlen führt man die ersten Buchstaben des Alphabets ein (a, b, c...), als unbekannte Zahlen die letzten (x, y, z, u, v, w). Daß ein Buchstabe, z. B. a, eine bekannte Zahl vorstellen kann, auch wenn wir den speziellen Wert desselben gegenwärtig noch nicht kennen, mag folgende Aufgabe zeigen. Welche Zahl giebt mit 3 multipliziert, die Zahl 21? Um diese Aufgabe zu lösen, setzt man die unbekannte (zu suchende) Zahl — x; folglich ist 3.x = 21, woraus sich durch Rechnung x = ²¹/3 — 7 ergiebt. Die Aufgabe würde allgemein in folgender Weise gestellt werden können. Welche Zahl giebt mit a multipliziert, die Zahl b? Setzt man auch hier die Unbekannte — x, so ist ax = b und die Rechnung würde

x = ergeben. Folglich sind hier a und b nicht unbekannte, sondern bekannte (gegebene) Zahlen.

Große Übersicht gewähren oft gestrichene und bezifferte Buchstaben; z. B. a', a", av oder a1? a₂, a₃, gelesen: „a Strich, „a 2 Strich, a 5 Strich, a eins, a zwei, a drei. Dabei hat man sich z. B. a₂ und a₃ als eben so einfache Zeichen wie b und c vorzustellen, auch sind sie dem Werte nach eben so verschieden wie a und b. 'Bei A² b'³ sind die großen und kleinen Buchstaben zu unterscheiden. Man liest daher „Groß A Quadrat mal klein b Strich zur dritten".

§ 7. Glied. Koeffizient.

§ 20. Der Mubu& eines Binoms.

Vb

§ 38. Dekadische Ergänzung.

§ 45. Angewandte binomische Gleichung und Proportion.

Ip y _ _

1-^ (B).

Versicherungswesen. Von Oskar Lemcke. Zweite, verm

¹

   Umgekehrt 9 = '>₎!>- Um z. B. 6 in Achtel zu verwandeln =    = ⁴⁸/₈.

²

   Ein Bruch mit seinem Nenner multipliziert, giebt den Zähler. Z. B. ³⁷/₅₉ . 59 = 37, oder 37 : 59 . 59 = 37 ; 43.³⁶/43 = 36. Bew. 37 : 59 = ³⁷/₅₉ ist unbedingt richtig, da links derselbe Ausdruck wie rechts steht. Ist aber die Division richtig, so muß auch Q. X Ds. = Dd. sein, d. i. ³⁷/₅₉.59 = 37.

³

   Umgekehrt 37 = 59 . ³⁷/₅₉. Um z. B. 18 in ein Produkt zu verwandeln, von welchem 24 der erste Faktor ist, setzt man 18 = 24.¹⁸/₂₄ = 24. s/₄.

⁴

   Ein Produkt bleibt unverändert, wenn ein Faktor mit einer beliebigen Zahl multipliziert, der andere durch

⁵

Kürzt man einen Bruch, d. h. dividiert man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, so ist der neue Bruch dem ursprünglichen gleich (Umkehrung des vorhergehenden 15:3

27:3

= 7» . % Bew. Q. 7, . 7s X Ds. 9 . 6 = Vs • 9 X 7e . 6 = 7.5 = Dd.

§ 7. Glied. Koeffizient.

I. Glieder (Termen) sind Zahlenausdrücke, die unter sich durch -j- und — getrennt sind. Ein Glied ist entweder eine einfache Zahl oder ein durch höhere Rechnungsarten <ils Addition und Subtraktion entstandener Ausdruck.

x — iy₂ + -^r — -—=. ist daher ein aus 4 Gliedern

bestehender (ein viergliedriger oder vierteiliger) Ausdruck.

n oder — Sab² oder —7=

find Monomien. Ein mehr-

21/3

gliedriger Ausdruck heißt Polynom, ein zweigliedriger: Binom, ein dreigliedriger: Trinom.

Die Elemente eines Gliedes ordnet man so an, daß das Spezielle dem Allgemeinen, das Bekannte dem Unbekannten, das Einfache dem Zusammengesetzten vorausgeht. Die Buchstaben werden alphabetisch angeordnet. Also nicht xa2, sondern 2 ax, nicht 3x(d-s-a), sondern 3(a-f-d)x.

II. In dem Gliede 4x (welches aus x -s- x -j- x -f- x entstanden ist), hat man die spezielle Zahl (4) zu unterscheiden, welche mit der allgemeinen (x) multipliziert ist. Jene nennt man Koeffizient, diese Hauptgröße. Von großer Wichtigkeit ist es, in jedem Gliede den Koeffizient von der Hauptgröße trennen zu können. Beide hat man richtig unterschieden, wenn sie multipliziert das Glied wiedergeben.

In 6 a² ist 6 der Koeff., a² (b.t. aa) die Hauptgr.; denn 6 . a. a — 6 a² das gegebene Glied.

— 7x2? —7 der Koeff., xz die Hauptgr.; denn - 7 .X.2 — - 7x2.

3.x

— n? 1 der K., n die H.; denn —I n — — n (f. §% III, 2).

³/₄ der K., x die H.; denn ³/₄. x =    ₄ (s. § 3, IV, 11). Statt — findet man häufig

die Form ³/₄x vor, offenbar ist aber erstere praktischer.

—    — nA (oder — 2³/₄) der K., a die H.; denn

11. a

~nu

schreiben —2³/₄a, doch ist vorzuziehen.

— Manche —    entschieden

— Vs der K., a b die H.; denn — ¹/₃ .ab

ab

l.a.b

jl V. der K. a2 die H. In ^ ist u/₉ (oder 1⁵A) der K.. ^ die H.

ist V*

2 mn

In — ^ ist — 8 der K., ^ die H. In der    die H.

In H ist ¹⁴/₃ (oder 4²/s) derK., i die H.; unpraktisch wäre 4 Vs • — • Hierzu ist zu bemerken, daß 4 ^ nicht 4 -f- oder 4 ²/s •—, sondern 4 • ™ bedeutet, da eine spezielle Zahl neben einer allgemeinen steht; auch 4 — bedeutet nicht 4 -f- ^ oder 4²/₃• a, sondern 4

III. Anordnung der Glieder eines Polynoms.

1)    Während der Rechnung ist es oft von Vorteil, zuweilen aber sogar unerläßlich, die Glieder streng lexiko-graphisch und die Hauptgrößen nach regelmäßig ab- oder aufsteigenden Potenzen anzuordnen. •

Nicht a-s-e— b oder y-f-z — x, sondern a —b-f-c oder — x -s- y -j- 2;

nicht 8a? -s- 7 a — 6 a², sondern entweder 8 a³ — 6 a3 -f- 7 a, oder 7a — 6a² -j- 8a³;

nicht 3ab — 2b² —5a², sondern — 5a²-(-3ab — 2b², denn aa, ab, bb.

2)    Das Resultat einer Rechnung hat man stets so zu schreiben, daß man es bequem berechnen kann, wenn die Buchstaben spezielle Zahlen werden. Daher nicht x — — 2 a —f- 3 b, sondern gewöhnlich das Positive vor, also x — 3b — 2a.

Negative Klammern, Zähler und Nenner vermeidet man stets, insbesondere läßt man diese nicht mit einem negativen

, sondern    Auch

Gliede beginnen; daher nicht —

muß das Resultat vollständig berechnet sein, mithin nicht

sondern x — — ³/₄.

x — —T—r oder x —

4

§ 8. Addition mit Buchstaben.

I. Sind die zu addierenden Glieder gleichartig, die Hauptgröße also in allen Gliedern dieselbe, so addiert man ihre Koeffizienten und multipliziert die erhaltene Summe mit der einmaligen Hauptgröße. 3a -j- 4a = ? Die Summe + 3 + 4 = +' 7 mit der Hauptgröße a multipliziert, giebt das gesuchte Resultat 7a. Bew. 3a -s- 4a ⁼⁼⁼ (a —{— a —j— a) —f— (a —j— a —(— a —j- a) ⁼⁼⁼ a —|— a —j— a a -j— a —f— a —|— a = 7a.

2x — 5x = ? -j-2 — 5 — — 3 mult. mit x— — 3.x = — 3 x. beweis. x —j— x — (x —}— x —j— x —|— x —j— x)

—    — (x -j- x -s- x) — — 3 x (s. §3, II, 7).

5 ab — 19 ab — ab — 5 . ab — 19 . ab — 1. ab =? + 5 —19 — 1 = —15 mit ab mult. = — 15 ab.

r= ⁷A*t-³4 = ? 7A -3 = %

—    ¹²A — — ⁵A mult. mit der Hauptgr. -A — —

a² -    1 . a* - V₅ • a² =

II. Sind die Glieder ungleichartig, so können sie nicht in ein Glied zusammengezogen werden. Die Summe von a und b ist — a -j- b; die Summe von a und — b = a + (— b) = a — b (f. § 5, II, B). Die Glieder werden also auch hier, wie bei den entgegengesetzten Zahlen (]. § 5, II, A) einfach neben einander geschrieben. — 2 a -+ 7 b um — c — d vermehrt — — 2a + 7 — c — d. Auch 3a² -j- 2a kann nicht in ein Glied zusammengezogen werden, denn a² -j- a² a² -f- a -f- a = aa -j- aa -f- aa -f- a -j- a ist weder 5 a² noch 5a re.

III. Die Summe vereinfacht sich jedoch, wenn einige der Glieder gleichartig sind. 5a — 11b — 8a -f- 19b = 5a — 8a — 11b + 19b = — 3 a + 8b

—    8b — 3 a.

Aufgabe. A besitzt ^bekommt von B

—    2x +To — V bon 0 T — Ä' Wieviel hat NUN A? Auflösung. Zunächst schreibt man nach II als formelles Resultat:

3y

2x y    ,7z    _    , 3 y z , 9 x

_ 4    ‘ "6--2x -+ ^ — - -+ —--₂

—    Tz' können nur das 1., 4. und 7. Glied (mit der

Hauptgröße x), dann das 2., 5. und 8. Glied (mit y) und das 3. und 6. Glied (mit z) addiert werden. Das letzte

8 — 24+27

11/

/I2r

12

Glied hat die Hauptgr. dasselbe muß daher einfach der Summe der übrigen Glieder hinzugefügt werden. Für x sind die Koeff. ²/₃ — 2 -f- ⁹/₄

folglich +;

für y: — V₄ + ³/₁₀ — Vs — — %₀ + ⁶/20 _ —5 + 6 — 30 — 29

_s<y

20

20

2b/₂», folglich

für z: y₆ — y₉ — ²¹₁g-~ — ¹⁹/i8, daher + + •

29 y

Die gesuchte Summe ist mithin ^4 — 2Q

_J_

‘ 18

IV. Zuweilen stehen die zu addierenden Glieder unter einander:

4 b , 10 c

5a — T+3T

— 8 a —j— 2 b--g—

21

10 n

+ -L

15n

to er

13 c

11 c

61

12 d

denn für a war zu addieren: 5 — 8 — ¹U — — 31/4

— 8+12 — 3

- ¹³A; für b= - Vs + 2 - V. =

l.b

= + Vs! daher V₆.b = -g

40 — 12 — 39

ob er

für -3-: + ¹⁰/s

— 1 — ¹⁸A =

12

= -uA₂; für —: —²¹Ao

— 63 + 2 _

— ⁶¹/30; das letzte Glied hat die

+ Vl5 —    30

Hauptgröße n, die von den übrigen verschieden ist.

§ 9. Subtraktion mit Buchstaben.

I. Die Subtraktion muß stets durch das Subtraktionszeichen angezeigt sein. Soll 5 a — 9b um 11 a — 13b vermindert werden, so ist daher 5a — 9b — (11a—13b) zu schreiben, wo das Minuszeichen vor der Klammer das Subtraktionszeichen ist und nicht etwa Vorzeichen zu 11a; denn die Aufgabe ist vollständig: „Von 5 a — 9 b soll -f- 11a — 13 b subtrahiert werden" und folglich hat man sich -f- 5 a — 9 b —- (-f- 11a — 13 b) zu denken. Die Subtraktion verwandelt man stets in eine Addition, indem man die Klammer nach § 3, II, 6 auflöst. Vorstehende Aufgabe ist daher zu rechnen:

—5a — 9b — (—j— 11a -— 13 b)

= -f-5a—9b    —lla+ 13 b und nach K8 — 4b — 6a.

2.    Beispiel. ^    — o sei um — 2a + 3^

9 c

--zu vermindern.

Auflösung. ^ — ^E —c—(—2a + 3b

2b C

+ 2a~^Ä

11a

f-^ + ^r; denn für a ist ⁵/₃+2,

+iy₃-(^+₂y₄)

l+i Vs-(¥+2%)}

fiitj:- Vr — ⁸/s und für c: — 1 + ⁹/r zu addieren.

3.    Beispiel. Bona—1 soll — subtrahiert werden.

Auflösung, a — 1 —

ay*

Am besten löst man gewöhnlich zuerst die innere Klammer auf. Daher — a—1 — — ^ -j- l¹/₃ —

= a — 1 +"1 — iy₃ +    + 2^/4 — 2.₇ a — y₁₂.

II. Stehen Minuend und Subtrahend unter einander, so denkt man sich die Glieder des Subtrahend (des unteren Ausdrucks) entgegengesetzt und addiert. Z. B.

subt.

3 a — 14b—    c-|-8d\

— 4 a — 23 b —|— 7 c —j— d² /

Dafür gedacht:

3a — 14b — c —8 d\

-f- 4 a -{- 23 b — 7c — d² j = 7 a -j- 9 b — 8 c -tz- 8 d — d².

Denn der Sinn der Aufgabe ist: 3a — 14b — c —(— 8d um —4a — 23b-f-7c4~cl² zu vermindern —3a—14b

—    c + 8d — (—4a — 23b +7c +d²) = 3a — 14b

—    c-s-8d-s-4a-j-23b — 7c — d², welche Glieder zu addieren sind.

Sch urig, Algebra.    3

Multiplikation, Division und potenzieren mit Monomen.

§ 10. Multiplikation eines Monoms mit einem Monom.

I. 3ac • — 5 ab = ? Zuerst berechnet man stets das Zeichen, hier-j-- — = — (s. §5). Daher — — 3ac.5ab. Dies ist nun — 3 . a . c . 5 . a . b — — 3.5 .a.a.b.c — — 15 a²bc.

II. ' c = ^ unb a • ^    ^ (siehe § 3, IV, 11).

|j-=? Zunächst---= +- daher

7ab.2    2.7.a.b    14 a    r r

9b- — -FF" = T; Ster hebt stch

— 7 ab —

+ 7ab,ib = b nach §3, IV, 12 und 5.

15x . 21a

14 a

45 x

— HF21a==? —• + = —, daher — 15.x.21.a

14. a

a¹/, . 6a = w/₉.6a =

a. c bTd

19.6.a

19.2.a

38 a

III.

cr*| p

(siehe § 3, IV, 17). Z. B. - ^

9 , 5a. 9 15

4ab    "T" 6bc.4ab    8b²c

§11. Division eines Monoms durch ein Monom.

I. a:b = y- Das Resultat schreibt man mit dem Bruchstrich da dieser den Quotient als einen Wert hinstellt 2, IV, 1). Z. B. 12ab : 3b =

15 a i 3 0 a c —

(s-

090

15 a

15.a

30 a c

30. a. c

12ab

TF = 4a; = ? Wird

hier (nach § 3, IV, 12 und 15) gekürzt, so erhält man - 2^ daher

10x . 3x 10 x²

; 3³/₅:27a = ¹⁸/₅:27a

IL TT : c = b^ (siehe § 3, IV, 18). A B. - ^ : — 3 x = -f-

18

15 a

5.27 . a

III. i : c = ^ (f. § 3, IV, 18). Z. B. ~ : 5 20x: 5

57

57 : 19

: ¹⁹    2x

IV. a : y = a~ (s. § 3, IV, 21). Z. B. ^ :

— _ O . 91/ . J±_ —16/ .!!?_ 24 a --d/₈.15a — /# ₁₄ — — *

10a. 4

—5- = 8a;

2x ‘

X Ico

10 a : IV4 = 10a : ⁵/₄ — 10a. ⁴/s —

! . J_ ₌ ! .

¹ * ab ¹    1

= ab.

V. Da man den reziproken Wert einer Zahl erhält, wenn man 1 durch den ursprünglichen dividiert (s. § 3, IV, 20),

—: von

a ⁷

₃ ; der rez. Wert von a — b = 1

so ist die Reziproke von — a = 1:

-7- =1

4a 4a

, v    1    3 4-n    2 — n

: (a — b) —-von ^,--

v J a — b’ 2 — n 3-f-n

§ 12. Polenzrechnung mit Monomien.

nr — ni. in . m;

I. 1) Hinsichtlich der Entstehung, des Lesens und Schreibens der Potenz sei hier auf § 2, V und §3,V zurückverwiesen. Es ist also a a a a ■■■

(x—1) (x—lj (x—1) = (x—l)⁸; (a—b)² = (a —b) (a —b); n . n == n²;    x¹ — x.

n == n¹;

Während der Rechnung denkt man sich mithin jede Zahl als 1. Potenz derselben, als Resultat jedoch wird man nicht die 1. Potenz schreiben, sondern nur die Zahl selbst. Z. B. x — (a — b)¹= a — b; 3 — (5 — 4a)¹ -f- 9 -J-= 3 — (5 — 4 a) —f- 9 —(— a = 3 — 5 -j~ 4 a -j— 9 -j—

—    7    5a; x.x² = x.x.x =x³; (—5¹/₂)¹ = — S¹/^.

2)    5um3²vermehrt —5+3² —5 + 9—14; dagegen 5 + 3 quadriert = (5 + 3)² = 8² = 8.8 = 64.

3)    2 mit 10² multipliziert — 2 . 10² — 2 . 10 . 10

—    200; dagegen: (2.10)² = (2.10).(2.10) = 2.10.2.10

—    400. Ebenso bedeutet ab² — abb. Soll dagegen ab auf die 2. Potenz (auf das Quadrat) erhoben werden, so ist (ab)² — ab. ab — a²b² zu schreiben. Der Exponent bezieht sich also nur auf die Basis, mit welcher er unmittelbar verbunden ist, ja sogar nicht auf das Vorzeichen. Soll — 92 berechnet werden, so erhält man — 9.9 — — 81; soll dagegen —9 auf das Quadrat erhoben werden, so hat man (—9)² zu schreiben — (—9).(—9) — + 81.

4)    5² durch 4 dividiert — ---- mit dem Sinn ²⁵/₄;

dagegen ⁵/₄ quadriert = (⁵/₄)² = ⁵/₄. ⁵/₄ = ²⁵/i₆ = l⁹/i6-

5)    10⁷ ift = l mit 7 9Mm = 10 000 000; 10¹³ = 1 mit 13 Nullen.

A. Gleiche und positive Basen.

II. a³. a⁴ = a. a. a. a. a. a. a = a⁷; allgemein a¹¹ . ar — an + ³. Um Potenzen mit gleicher Basis zu multiplizieren, addiert man ihre Exponenten. Beispiele. 8⁴.8².8 = 8⁴.8².8¹ (s. I, 1) — 8⁴ + ²+i — 8⁷; a³ . a“⁶ . a⁹

—    a3—6+⁹ — a⁶; (x — n) (x — n)⁴ = (x — n)¹ (x — n)⁴

—    (x — n)¹+⁴ — (x — n)⁵; x3n—2 . x .    7n+⁵

- x3n— 2+1— 7n+ 5 —— x4 — 4n

— an . ar. Die einzelnen

III. Umgekehrt ist Glieder des Exponent der gegebenen Potenz werden also Exponenten der einzelnen Faktoren. Z. B. 103+x= 10³.10x — 1000.10X (bedeutet nicht etwa 10 000x — siehe I, 3); 2n + i = 2n . 2¹ = 2.2n; 5n + ⁴ = 5n . 5⁴ = 625.5n.

IV. an : ar = an-r, oder — — an-r. Um Potenzen

an

mit gleicher Basis durch einander zu dividieren, vermindert man den Exponent des Dividend um den Exponent des Divisor. B e w. Q. an~r X Ds. ar = an~r+r (nach II)

IO⁶

£L £L SL £L £L

a2); 10⁵

aa

= an = Dd.! Beispiele. ^ = a⁵“³ = a² (der Ungeübte denkt sich dies auch

/8a\4    Z8a\9 _ Z8a\4-9_Z8a\-5

\5bj ' \5bj 1,5bj ~~ \5bj *

= 10⁶—⁵=10¹=10;

7—³

¹ 7— 3 —(—4) 7—3+4 71 7_

an—3 . a8—4n

(f- H)

an —3 + 8 —4n

a6n—1 , a2—5n    a^n —1 + 2 — 5n

_an—3 + 8—4n— (6n—1 + 2—5n) _ an—3 + 8—4n—6n + l—2 + ön^

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem gegebenen, so ergiebt sich folgende praktische Regel: Sind Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren und zu dividieren, so setzt man eine einzige Potenz, deren Exponent aus den unveränderten Exponenten desZählers und den entgegengesetzten Exponenten des Nenners besteht. Z. B.

- x2n—5 + 3—n—l—n+ 4—5 + 6n — x6n—4.

X2n—5 . X3-n

X . Xn — 4 . x5 —6n

V. Anwendung des vorigen Satzes. Da man im Resultat in der Regel negative Exponenten vermeidet, so kürzt man , Potenzen enthaltende Brüche stets mit der Potenz, welche

durch a² gekürzt

den niedrigsten Exponent hat. Z. B.

5a²b³

5a²b3 7a⁴b

5 b²

a²

5 b³

7 a²

7 a⁴ b

—    , dann noch durch b gekürzt —

a²

75 n⁶x 5n⁴

90 n² x²    6x

(Mechanisch: ^aaa'a^' oben und unten aa, ferner b gestrichen =

VI. an_r = ^ oder an : ar (Umkehrung des SatzesIV).

Der positive Exponent wird Exponent im Zähler, der negative Exponent dagegen positiver Exponent im Nenner. Z. B. 5²"x

i^₌^;₂x-y-z ₌

IO¹ 10

5²

25

x - —; 10n—1 = 5X b ’

2X

2y • 2Z

VII. a° = 1. Bew. a° = a¹“¹ = ^ (s. IV) = ^

_ (-8)¹ a — (—8)¹

1—1

= +l.

— 1; oder (— 8)° — (— 8)

Jede beliebige (positive oder negative) Zahl giebt also in der 0^ Potenz-Pi. Z.B. 8 — 3 (a—b—c)°=8 — 3.1

= 8 — 3 = 5;

x2 3n

- x2 —3n —4n+5—7+7n

x4n — 5 . x7 — 7n

= x° — 1; das Resultat konnte hier nicht X geschrieben werden, denn dies bedeutet bekanntlich nicht x°, sondern x¹.

adr

—- • Jede Potenz kann mit entgegen-b c

gesetztem Exponent aus dem Zähler in den Nenner und umgekehrt aus dem Nenner in den Zähler gesetzt werden.

a. c-n. cn. dr

VIII.

bd“r

Beweis.

b .d

acn-ndr

— mit cn dr erweitert —

ac°dr

a . 1 . dr

bdr“rcn

bd°cn

b.dr. d~r.cn a dr

P- • Mittels b c

b . 1. c¹¹

dieses Satzes beseitigt man negative Exponenten, die man vorzüglich im Resultat vermeidet. Z. B. ^    ^    4,4,4

gedacht —    = 125;

Insbesondere

= 4 Z.B. 7-² = 4

— ¹⁶A — gzrs

6“¹ a"⁴ =

3

1.6—¹. a—⁴

1.5—³

1.6¹ a⁴

1 a—n

ist a-» — 1^.--— V4⁹; 2 ⁴ x ¹ =    lix

1 . a“

a¹¹

6.6

3

Um 2 a — — -f- 4 streng nach absteigenden Potenzen von a anzuordnen, denke man sich 2 a¹ — 3a—1 -s- 4a?; geordnet(1,0,—1): 2a¹~j-4a°—3a~\ daher2a-j-4—

IX. (a⁴)³ — a⁴. a⁴. a⁴ = a⁴+⁴+⁴ = a⁴ •³; allgemein: (an)r= anr. Eine Potenz potenziert man, indem man die Exponenten multipliziert. Z. B. (a⁵)² = a⁵ •² = a10 (nicht zu verwechseln mit a⁵ . a² = a⁷). ((x~⁶) —1) “²

= 5(-DC-2) = x-¹² ----- ™ ; (IO“²)³ — 10⁽~²⁾'

—    1 0—⁶ a— __==z-,

1U    IO⁶ lOOOOOO

Zusatz. 1000⁴ = (10³)⁴ — 10¹², d.i. 1 mit 12 Nullen; daher auch 10 000² — 1 mit (4 Nullen X 2) — 1 mit 8 Nullen.

Anmerkung. Die Rechnung mit Potenzen erniedrigt sich hinsichtlich der Exponenten um eine Spezies.

Man beachte:

Multiplikation a³. a⁴ = a³+⁴ Addition.

Division a⁵: a² = a5 2 Subtraktion. Potenzieren (a⁴)³ = a⁴ • ³ Multiplikation.

12

(später) Radizieren l/ä⁴² — a³ Division.

X. Umgekehrt: anr ff (au)r = (ar)n. Z. B. 104n

(7²)n _ 49n 73    ~ 343 *

-3 _

= (10⁴)“ == 10.0004n; 72n ₁₂ax+i ₌ 123x . 12¹ = 12. (12s)x = 12.1728x.

B. Gleiche und negative Basen.

XL (— a)° = +!;(— a)¹ = — a; (— a) = (-a) (-a) =.+ a²; (-a)³ = (—a) (-a) (-a)

; (— a)⁴⁴ — +

(— l)¹⁴ = + 1; (— l)²⁷ — — 1; denn eine gerade Anzahl negativer Faktoren giebt-s-, eine ungerade Anzahl — (siehe 8 5, IV, B).

= •— a³; (— a)¹⁷ =

17.

73

44 .

Beispiele. 5 (— 2)⁴ (— 6)³ = + 5 (+ 2⁴) (—6⁸) = — 5.2⁴ . 6⁸ = — 5 . 16.216 = — 17280; — 7 + (- 2) (- 3)² + (- 5)³. (— 4) • (— l)⁶ = — 7

—    (—2) (+3²) + (—5³) (—4) (+1)= — 7 —2.3*

—    5⁸.4= —7 — 2.9 + 125.4 = —7 —18 + 500

K>-⁴; (-10)

(— 9)⁴    +9⁴

—    475; (—9)“⁴ -

JÖ3 = — (IO⁻³). Daher ist

(—10)3    — io³

(— a)~n für ein gerades n = + (a-n), für ein ungerades n — — (a“n). In (— a⁴)⁵imt> (— a⁷)² bezieht sich 4, bezw. 7, nicht auf das Vorzeichen (s. 1,3), daher — — a²⁰, bezw. -f- a¹⁴.

C. Verschiedene Basen.

XII. a³ b³ — aaabbb — ab.ab.ab — (ab)³; allgemein: an bn — (a b)n. Um Potenzen mit gleichen Exponenten zu multiplizieren, potenziert man das Produkt ihrer Basen mit dem für jede Potenz gegebenen Exponent. Z.B. 5².4² — (5 . 4)² = 20² = 20 . 20 = 400; a⁵.n³.x³ = (anx)⁵; («/*)». (l¹/,)⁸.(2²/,)³ = (³A• 7«•¹⁶/,)³

/    5 a\5 /    9 \5 /    4a⁴\5 _ [7    5a\

\—T) [— Tö^J l— ~J —    6"/

Anmerkung. Ganze Zahlen bezeichnet man gewöhnlich mit n, m, k, h, r (mit einem der mittleren Buchstaben des Alphabets). Ist daher

n eine der Zahlen

so ist 2n —

2n -f 1 =

Folglich bedeutet 2n eine gerade Zahl, 2n -)- 1 (oder 2n — 1) eine ungerade Zahl. Nun läßt sich auch das Zeichen der Potenz einer negativen Zahl allgemein wiedergeben. Es ist (— a)2n = + a2n, (—a)2n+x = —a2n+x.

O O tH

00 05

5,

10,

11.

CO 00

= 2⁸ = 8;

XIII. Umgekehrt: (ab)n = an bn. Um ein Produkt zu potenzieren, potenziert man jeden einzelnen Faktor mit dem gegebenen Exponent. Z. B. (3 x)² — 3². x² — 9x²; (— 2 ab⁴ c~⁵)³ — — (2ab⁴c“~⁵)³ — — 2³.a³. (b⁴)³

. (c-⁵)³ = —

8 a³b⁴

; 29000⁴= (29.10³)⁴= 29⁴.10³*⁴,

folglich berechnet man 29⁴ — 707 281 und Hängt3.4 —12 Nullen an.

c¹⁵

XIV.    p — ff; allgemein: p

—    (a : b)n. Um 2 Potenzen mit gleichen Exponenten zu dividieren, dividiert man die Basen und potenziert den Quotient mit dem für jede Potenz gegebenen Exponent.

Q. (|)⁴ X Ds. b⁴ = (|)⁴.b* = (|-b)⁴

= Dd. 3. SB. ^ = (y)³= 2⁸ = 8; (48a²b⁸)⁴

: (— 16b²)⁴ — (48 a² b⁸ : — 16b²)⁴ — (—3 a² b)⁴

—    -(-(3a² b)⁴ — 81 a⁸ b⁴.

XV.    Umgekehrt K-j — j— - Einen Bruch potenziert

Bew.

— a⁴

an

= U. *■: b"

man, indem man den Zähler und Nenner, überhaupt jede multiplizierende und dividierende Zahl potenziert; denn 3⁴.a⁴

/ 3a \4 _ \5bc²/

81a⁴

(3 a)⁴    .____ ______

(5 b c²)⁴    5⁴. b⁴. (c²)⁴    625 b⁴ c⁸ ⁷

; (⁵A)²=^

= ²⁵/₄9; (- Vii)³ = - (Vn)³ = - tt*= - Vi33i;

4 a-⁶ \3 _    Z4a-⁵\3

/ —    l b² J ~

4⁵. a-¹⁵

64

b²

b⁶

a¹⁵b⁶

Gemischte Zahlen richtet man ein; z. B. (3⁴/₅)² — (¹⁹/⁵)2 /₂₅ = 14.44 ; also nicht (3 + ⁴/₅)² = 3²

19²

363

5²

+ (⁴/s)² = 9 + ⁴⁶/₂₅ = 9¹⁶/₂₅.

1. Zusatz. Nimmt man die Basis reziprok, so wird der

; denn

Exponent entgegengesetzt. (^)    = (j)

(J)n Z.B. (3/₇)-² = (Vs)2 = 4%

ftr

bn

= SV»; CA)-³ = (V₁)³=4³= 64; (2V₂)-⁴ = (V2)-4 ⁼ (Vs)⁴ — ¹⁶/625-

2.    Zusatz. = (ls/₂₄)⁷ = (SA)⁷ =? |7- Man kann die Basen also nur bei gleichen Exponenten kürzen; falsch

Ware daher ^2 = ^ oder — = —•

3.    Zusatz. 0-oi4⁵    — (¹⁴/iooo)⁵ —

14⁵

folglich

(10³)⁵ '

berechnet man 14⁵ — 537 824 und setzt diese Zahl (wegen der gegebenen 3 Dezimalen) in die 3 . 5ä, d. i. 15. Dezimalstelle.

XVI. Aufsteigende Potenzen. 89^ berechnet man

4

2

von oben nach unten, daher 89² — 89²

—    5028832... (Zahl von 7985 Stellen). Also nicht zu verwechseln mit (((89²)²)²)

—    1549673.... (Zahl von 32 Stellen).

16

= 89⁴⁰⁹⁶

89² .2.2.2

89¹⁶

§13. MulkixliKakion eines Polynoms mit einem Monom.

Nach § 3, III, 3 ist jedes einzelne Glied des Polynom mit dem Monom zu multiplizieren.

Beispiele. 2 a (5 a — 7 b — bc) = 2 a . 5 a — 2 a . 7b-2a.be — 10a² — 14ab — 12ac; 3x — 4 (5 — 6x) — ? Zu 3x soll das — 4fache von 5 — 6 x addiert werden (oder: von 3x ist das 4fache von 5 — 6x zu subtrahieren), folglich ist —4 mit 5 und —4 mit —6x

zu multiplizieren — 3x — 20 + 24x — 27x — 20;

(*7:

2_ 10

(%-Ü+Ä)

5 a g / j 5 a 3 a

6~    "* ~6~*TÖ

15 a

a²

4 h 4" Vs

= -T-'AiT + 'A-Ttn + lV.)

+ Ä (¥-*)= ¥ + -f 'H-T'!'/.

Ll/ _5/    _ 4a , 5a

6 r /4 /12    3^4

_5_ 3a?

~f~ 6 a' 2

- 7« = x - v’ ¹⁶ (x - V4)² = 4* (x - 7J²

= [4 (x - y₄)P (s. § 12, XII) = (4x -1)2.

(a — b — c —j— d) . (— 1) = — a —j— b —}— 6 — d. Multipliziert man also ein Polynom mit — 1, so verwandeln sich alle Zeichen in die entgegengesetzten.

5a

§ 14. IKusheben (des gemeinsamen FaKkors).

Diese Operation, die auch „Herausstellen, Absondern, Zerlegen in Faktoren, Ausklammern" genannt wird, lernten wir schon in § 3, III, 4 kennen. Um in dx — ex -j- fx den gemeinsamen Faktor x auszuheben, läßt man ihn zunächst weg, setzt dann den zurückbleibenden Ausdruck d — e-s-k in Klammer und multipliziert diese alsdann mit jenem Faktor x; daher = (d — e f) x.

a — 3ab = ? In solchen Fällen hat man sich 1 als Faktor zu denken — 1. a — 3ab = a (1 — 3b).

— 6ax — 9bx — 15 ex —? Ist nach einem Minuszeichen der gemeinsame Faktor auszuheben, so bilde man zuvor nach diesem Zeichen eine Klammer (s. § 3, II, 7); daher — — (6ax -s- 9bx -j- 15 ex) — — 3x(2a-f~3b 5 c) = — 3 (2 a -j— 3 b ~j— 5 c) x.

Das Ausheben vereinfacht die Rechnung; denn 49.58

—    49.48 = 49 (58 — 48) = 49.10.

Noch einige Beispiele: (a — b) x — (5 a — 9 b) x = ? Läßt man x weg, so bleibt a — b — (5 a — 9 b) zurück, folglich = [a — b — (5a—9b)]x=(a—b — 5 a -s- 9 d) x

—    (8b — 4 a) x — 4 (2 b — a) x;

756    ³Ao ⁼ Vi4 - ⁵A — 714 • ³/sf daher —

Vi4 (⁵A - ³A) = Vi4. ¹⁸Ao = “Aso;

7 ab 9 b c

b 9 c

T*T

12

16

b_ 7a 4 ' 3

/7a , 9 c\

):b

2x 5x

CO

— 5b)⁶ — (3a — 5*b)⁵ (2 a + 3b

—    (3 — 5 b)⁵. 7 (3 a — 5 b) — (3 a — 5 b) (2 a -f- 3 b) = ? Läßt man den gemeinsamen Faktor (3a — 5b)⁵ weg, so bleibt 7 (3a — 5b) — (2a + 3b) zurück, folglich

[7 (3 a—5 b) — (2a-j- 3 b)] (3 a—5 b)³ = (21a—35 b

—    2a —3b) (3a— 5b)⁵ = (19a —38b) (3a — 5b)5 = 19 (a — 2 b) (3 a — 5 b)⁵.

6(5a — 4n)--15a² + 12an — 6 (5a — 4n)

—    3a (5a —4n) = (6 —3a) (5a —4n) — 3 (2 —a) (5 a — 4 n); (7 a — 4 b) (5 a -j- 8 b) — 4 (3 a -J- b) (7a — 4b) — [5a-j-8b — 4 (3 a + b)] (7a — 4b) = (—7a + 4b) (7a—4b), auf den 1.Faktor §3, II, 7 angewandt = •—(7a — 4b) (7a — 4b) -— — (7 a—4b)².

35a² — 63ab — 30ab + 54b² — ? Man hebe in den ersten Gliedern 7 a, in den beiden letzten 6 b aus, folglich = 7a (5a — 9b) — 6b (5a — 9b) = (7 a — 6 b) 5 a — 9 b).

§ 15. Vereinfachen der Brüche durch Erweitern.

I.

= ? Um derartige „Doppelbrüche"

^ + ¥

zu vereinfachen, multipliziert man den Hauptzähler und Hauptnenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der in denselben enthaltenen Spezialnenner. Hier ist daher mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 6, 4 und 15, d.i. mit 60 zu

erweitern. Man erhält

t) ' ⁶⁰

• 60

300 — 70 a 75 + 44a

8b

10 (30 — 7 a)

75 + 44 a ’    3

mit 24 a b erweitert

12 a

120ab

5 . 24 ab

(-\8 b

U.

2 ij

24ab

9a — 2b

II. Durch Erweitern mit — 1 verwandelt man die

a_

Glieder des Bruches in die entgegengesetzten. c _ d mit

—    a-f-b_b — a

—    c-J-d    d—_

— 1 erweitert —

=    - 4b) - ^

— 7a

— 3b

(8a— 4b)-= 4 (2a—b) -

7a —5

3b — 6a

5 — 7a

(siehe § 3, IV, 11) =

3 (2a — b) 4 (5 — 7 a)

§ 16. Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom.

Setzt man in m (c d) — m c m d an die Stelle von m das Binom a -j- b, so entsteht: (a -j- b) (c -f- d) = (a —j— b) c -j— (a —j— b) d = a c —j— b c —|— a d —|— b d. Um also einen mehrgliedrigen Ausdruck mit einem mehrgliedrigen zu multiplizieren, hat man jedes Glied des einen Faktor mit jedem Gliede des andern zu multiplizieren, hier c mit a und b, d mit a und b.

Beispiele: 41 a — (5a — 6b) (3a -j- 5) — 4 (b 4™ 4) (a — 7 b) = ? Da das ganze erste Produkt (die beiden ersten Klammern) von 41 a subtrahiert werden soll, so hat man dasselbe auch noch nach der ausgeführten Multiplikation in Klammer zu setzen; ferner enthält die Aufgabe noch ein Produkt von 3 Faktoren, bei dem man am besten die zusammengesetzten zuerst multipliziert und einschließt, um das Produkt alsdann noch mit — 4 zu multiplizieren. Daher

= 41a—(15a¹—18ab + 25a—30b)—4(ab-f-4a—7 b¹—28 b) = 41a—15a¹+18ab —25a+30b —4ab—16a+28b¹—112b — — 15a¹ -f- 14ab -f- 28b¹ — 82b.

5a -f- 6b

— ? Man denke sich hier die Multiplikation

= +₄ (5a-4b) - (5 a—4b)-°»j+”-j;

(5 a—4b)

=    13b —(5a+6b) —(11a—19b);

11a — 19b 5a — 4b

hier kam § 3, IV, 7 in Anwendung, wobei zu berücksichtigen ist, daß der Bruchstrich den Zähler als Klammer einschließt.

Das Resultat ist nun —    — 13b — 5a— 6b — 11a

+ !9b = -r

3. Beispiel. Der Übersicht wegen stellt man zuweilen die Partialprodukte unter einander; z. B.

(5 a — 7 b + 3 c) (6 a + 9 b — 2 c)

30a² — 42ab + 18ac

+ 45ab —63b² + 27bc

— 10ac — 14bc — 6c²

— 30a² + 3ab + 8ac — 63b² -J- 41 bc — 6 c².

§ 17. (a+b) (a—b) = a² —b².

I.    Das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und ihrer Differenz ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. Bew. (a + b) (a — b) — a² + ab— ab — b² — a² — b².

Beispiele: (sa. + ~) (sa — "j — (3 a)²

—    = 9a² — —^r-; 83.77 =(80 + 3) (80—3)

—    80² — 3² = 6400 — 9 = 6391; +z — 2x) (Vs + 2x) = (Vs)' - (2x)² = Vs - 4x²

II.    Umgekehrt ist a² — b² = (a-j-d) (a — b). Um also eine Differenz in das Produkt zweier binomen Faktoren zu verwandeln, stellt man zunächst die beiden Zahlen als Quadrate dar. Addiert man alsdann die Basen dieser Quadrate, so erhält man den einen Faktor, subtrahiert man

°<

sie: den andern. Z.B. x⁴ —1 — (x²)² — l²; die Basen sind x² und 1, folglich — (x² -f- 1) (x² — 1);

-v. - 5

III. Ähnliche Produkte.

(a² -f- ab -f- b²) (a — b) = a³ — b³;

(a² — a b -j- b²) (a b) = a³ -f- b³;

(a³ 4™ a²b -f- ab² 4™ b³) (a — b) = a⁴ — b⁴;

(a³ — a²b 4~ ab² — b³) (a + b) = a⁴ — b⁴.

Der Beweis durch die ausgeführte Multiplikation.

Allgemein: Das Produkt aus einem Polynom und einem Binom giebt ein zweigliedriges Produkt, wenn jedes Glied des Polynoms, durch das folgende dividiert, immer denselben Quotient giebt, das 1. Glied des binomen Faktors aber durch das 2. dividiert den entgegengesetzten Quotient. Das 1. der beiden Glieder des Produkts ist alsdann das Produkt aus dem 1. Gliede des Polynoms und dem 1. Gliede des Binoms, das 2. Glied des Produkts aber das Produkt aus dem letzten Gliede des Polynoms und dem letzten Gliede des Binoms. Z. B 3 Ci e

L» - a

JL i

2 b '    3

2 b³

(i+$

Quotienten:

3a

2b²’    2b²’    2b²

2 b²

4 b _ 3 a²    8 b⁴

3 a    2 b⁴    27 a²

§ 18. Das Ouadrat eines Binoms.

-J- b² oder

I. (a b)² = (a -f- b) (a -(- b) = a² -f- ab -|- ab (a -f- b)² = a² -{- 2ab -f- b².

Das Quadrat eines zweiteiligen Ausdrucks besteht also aus 3 Teilen: 1) Das Quadrat des 1. Teils; 2) das doppelte Produkt aus beiden Teilen; 3) das Quadrat des

2. Teils. Setzt man d — — c, so geht die letzte Gleichung über in: [a -f- (— c)]² = a² -j-*2a (— c) -j- (— c)² d.i.

(a — c)² = a² — 2 a c -f- c².

Das 1. und das 3. Glied ist also in beiden Ausdrücken positiv, das 2. positiv oder negativ, jenachdem die Zeichen der beiden Glieder gleich oder verschieden sind.

Beispiele. (7a+6b)² = (7a)²+2.7a.6b + (6b)2 = 49 a²+ 84 ab + 36b²;

I VoxV

r-m

6    10x²

A I ⁸¹

2x ‘    100 x⁴

(11a —3b + 4c) (11a-}-3b — 4c) = [11a — (3b — 4c)] [11a + (3b — 4c)] = (11a)² — (3b —4c)² (f.§17, I) = 121a² — (9b² — 24 bc + 16 c²) = 121a² — 9b2 -j- 24bc

997² = (1000 — 3)² =1000000 — 6000 + 9.

II. Um zu bestimmen, ob ein dreigliedriger Ausdruck ein vollständiges Quadrat eines zweigliedrigen ist, ordne man denselben und stelle dann das 1. und 3. Glied als Quadrate dar. Ist das doppelte Produkt der beiden Basen dieser Quadrate = dem Mittelgliede des Trinoms, so ist das Trinom das Quadrat der Summe oder Differenz der Basen, jenachdem das 2. Glied des Trinoms positiv oder negativ

ist. (Folgt aus I.) Z. B. 25 a⁶ + ^ — 15 a²

10x²

25 x²

36

16 c².

Geordnet (a⁶, a², a ²!): 25 a⁶ — 15 a² -f- -~r₂- Nun ist

25a⁶ = (5a³)², ^ = (^j und da 2.5a³~=15a², das 2. Glied des Trinoms (— 15 a²) aber negativ ist, so ist der gegebene Ausdruck =*= (5 a³

Schurig, Algebra.

3 \2

2a

§ 19. Vas Ouadrak des Polynoms.

(a + b + c + d)² = [(a + b) + (c+ d)]² folglich nach § 18 = (a -f- b)² -(- 2 . (a -j- b) (c —(— d) —(— (c —)— d)2 == a² b² —c² —(— d² -j- 2ab -j- 2ac -f- 2ad -f- 2be -j- 2bd -(- 2cd. Das Quadrat eines viel-gliedrigen Ausdrucks besteht also aus den Quadraten sämtlicher Glieder (die stets positiv sein müssen) und aus den doppelten Produkten von je 2 Gliedern. Z. B. (3 a — 4 a²

—    5 a³)² = ? Man denke sich:

[3 a + (— 4a²) + (— 5a³)]² = (3a)²+ (— 4a²)2 -j- (— 5 a³)² -f- 2.3 a . (— 4 a²) -j- 2 . 3 a . (— 5 a³) -f- 2 (— 4a²) (— 5a³) = 9a² -f 16a⁴ + 25a⁶

—    48 a⁸ — 30 a⁴ — 40 a⁵ = 9 a² — 48 a³ — 14 a⁴

—    40a⁵+ 25 a⁶.

¹

Beispiel. (5 a — 4 b) S¹/^ — 19b — 11 a 4 b — 5a

eines Monoms (die 1. Klammer) mit einem Trinom (in der 2. Klammer), so daß also (5 a — 4b) zuerst mit S¹/^, dann mit dem 1. zusammengesetzten Bruch und schließlich mit dem letzten Bruch multipliziert wird. Damit dieser letzte gleichfalls den Nenner 5 a — 4 b erhält, erweitert man denselben mit — 1. Daher

11 a — 19 bl

§ 20. Der Mubu& eines Binoms.

(a -j- b)³ — (a-f-b)² (a-j-b)¹ = (a² -f" 2 ab -f- b²) . (a -j- b). Die Multiplikation giebt

(a-j-b)³ — a³-j-3a²b-(-3ab²-|-b³; und mit b = — c: (a — c)³ = a³—3a²c-j-3ac²— c³.

Die Potenzen des 1. Teils a nehmen also regelmäßig ab: a³, a², a¹, a°, die von b regelmäßig zu und die Koeffizienten, die man bei jeder Potenz Binomialkoeffizienten nennt, sind die symmetrischen 1, 3, 3, 1.

3'(¥H+-⁵*’

3.5a². 16

ZB. (

5 a²

ij=m

.2

4\3

125a⁶    3.25a⁴.4

216

36. a

6 a²

64_ 125 a⁶

as 216

25 a³ ,    64

f TT + ⁴⁰ “ ?•

§ 21. Die höheren Potenzen eines Binoms.

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a + b)

= (a³ 4- 3a²b -f-    3 ab² -(-    b³) (a 4- b)

i-H

p^

++

Xi X '<a 'es CO tH

++

CO CO p^ p

er er

++

CO t-4 p p

er er

er

=l.a⁴+(l+3).a³b + (3+3)a²b²+(3+l)ab³+l.b⁴. = a⁴ -j-    4a³b -j-    6a²b² -j~    4ab³ -j- b⁴

Aus den Binomialkoeffizienten einer Potenz entstehen also diejenigen der nächsthöheren Potenz durch Addition von je 2 neben einander stehenden Koeffizienten, wenn man sich 0 vor- und nachgesetzt denkt. Z. B.

3.    Potenz: 0    1    3    3    1    0

4.    Potenz:    1    4    6    4    1.

So erhält man folgende Tafel (das Dreieck von Pascal):

1 . . . . (a-f-b)° — 1.

1 1 .... (a —|— b)4 := 1. a —|— 1. b.

13 3 1

1 2 1 . . . . (a+b)² = l.a²+2.ab+t.b². u. s. w.

1 4 6 4 1 1 5 10 10 1 6 15 20

1 7 21 35 35 21 7 1 u. s. w.

Da die Potenzen von a regelmäßig ab-, die von b regelmäßig zunehmen, die Glieder bei einer Summe alle positiv sein müssen, bei einer Differenz aber regelmäßig abwechseln, so kann man z.B. (a — b)⁷ leicht in folgender Weise Herstellen:

21    35    35    21    7    1

a⁷

a⁵

a⁴

a³

b² b³ b⁴

b⁶ b⁷

(a—b)⁷=a⁷—7 a⁶b+21 a⁵b²—3 5 a⁴b³+3 5 a³b⁴—21 a²b⁵+7 ab⁶—b⁷.

1. Zusatz. Aus (a -f- b)⁵ = a⁵ -\- 5a⁴b -f-..

(a -j- b)⁶ = a⁶ -f- 6a⁵b -f-.. (a —j— b)⁷ = a⁷ —7 a⁶ b —j— ..

(a -f- b)n = an + na°^b —...

2C. ergiebt sich und für a = 1: (1 b)n = 1 -s- n b

2. Zusatz. Der echte Bruch (der kleiner als 1 und größer als 0) mit dem Exponent oo potenziert, muß — 0

werden. Denn z. B. ist (⁹⁸/₉₉)n durch 98 gekürzt —

' (i+VJ*⁻ 1 + V₉₈ •

Ist nun n = GO, so ist (⁹⁸/₉₉)cc =

= ^ = 0 (siehe § 4, VIII und X).

— (siehe vorstehenden 1. Zusatz).

¹ + Vo8 ’ ⁰⁰

14“⁰⁰

§ 22. Die Zeichen der Basis einer Polen;.

I.    Eine Potenz mit geradzahligem Exponent bleibt unverändert, wenn man die Basis mit — 1 multipliziert. Bew. (+a)² = (—a)² = (a—l)²; (+a)⁴ = (—a)4 = (a • — l)⁴; z. B. (1 — 5x)² = (5x — l)².

II.    Eine Potenz mit ungeradzahligem Exponent bleibt unverändert, wenn man die Basis mit — 1 multipliziert und zugleich das Vorzeichen derPotenz ändert. Bew. -f-a:i

— _ (_ a3) — _ (■_ a)⁸ = _ (a • _ l)³.

Z. B. 8 (3 — 14x)³ — 2(14x — 3)³ = 8 (3 — 14x)8 + 2(3 — 14x)³ = 10 (3 — 14x)s.

§ 23. Division eines Polynoms durch ein Monom.

I. Jedes Glied des Polynoms ist durch das Monom zu dividieren (s. § 3, IV, 22).

Beispiele.    _ a

3x

6x² öx²

4i! |    _J_

"T" 6x²    2x

a    b , c _ 3x — 4x²-|-9x:1

m    m "T" m ’    6 x²

JL I 3x.

3    >    2 ’

§ 24. Veränderung des Produktes nach dem Sahe

n    b

a. b = an---

+ (2 — x³)

§ 24. Veränderung des Produktes nach dem Satze a.b — an

P | er

Ist

CO

15 a — 8b 12 ab

10 ab

Klammer aufzufassen, daher — —

— ? Der Bruchstrich ist stets als 15a — 8b -f- 12ab\

15 a

8b

10 ab 10 ab

■ 12 ab\ *    10 ab/

10 ab    /

jL i ⁴__-ji/ .

2 b^5 a    '⁵¹

(2%

ab 9 a²\

T7 * Tö/ :

Ist ICO

P I CT¹ 2

5b

(f* § 3, IV, 21 u. § 11, V) = -

/12/ 3ab , 9a²\

r/«-T+Tö)

2 b , 5b²    3 ab

II. Um -y

4 a a²

9

—|in ein Produkt aus einem

Monom und einem mit 1 als erstes Glied beginnenden Polynom zu verwandeln, setzt man nach § 3, IV, 6 jenen

_ 5! , 2a⁸

6 I* 9

Ausdruck = —

4a 3

4a/ a , a²\

T \1_ "8    6'J*

III. Man kann mithin auch einen der Faktoren mit —1 multiplizieren, wenn man das Vorzeichen des Produkts ändert. Denn z. B. n — (5 + 6 a) (— 3 — 2 a) = n — 1. (5 -j~ 6 a) (— 3 — 2 a); multipliziert man nun den 1. Faktor — 1 mit — 1 und dividiert den 3. durch — 1, so entsteht n + 1 . (5 + 6a) (3 + 2a) = n + (5 -j— 6 a) (3 -j— 2 a).

§25. Zeichenänderung des Zählers oder Nenners.

Man kann den Zähler oder den Nenner eines Bruches mit — 1 multiplizieren, wenn man das Vorzeichen des

Bruches ändert; denn -j- ~    ^—yj; dies aber ist

entweder —

<+ st

V'

b- —

Y Beim Erweitern des Bruches multipliziert

man den Zähler und Nenner mit — 1, dann aber muß das Vorzeichen des Bruches unverändert bleiben (f. §15, II).

5 (2 a — 1)

5 (2 a — 1)

= — 5.

23 + 4 a2 72 — 32 a²

— 2V₈ — ? Bei solchen Multiplikationen

1.    Beispiel. —

2.    Beispiel. (4a² — 9) [

3 a —j— 1 9 — 6a

ordnet man zuerst die mehrgliedrigen Ausdrücke (gewöhnlich mit Ausnahme der Zähler) in gleicher Weise an.

2a — 1

5 a -j— 7

2a + 3

Hier z. B. wird man die Hauptgröße a absteigend anordnen, die Glieder mit a also voranstellen. Daher:

-%■

(4 a² — 9)

"5a + 7 |    23 + 4 a² 3a+l

_2;[+3    32a³ —72 6a —9

Im 3. Bruch hätte man 6a — 9 auch durch Erweitern mit

— 1 bekommen; jedoch wäre -f-

für das Rechnen

sehr unpraktisch gewesen (s. § 7, III, 2 !). Nun zerlegt man dieselben mehrgliedrigen Ausdrücke in Faktoren, zunächst durch Ausheben des gemeinsamen Faktors. Daher:

_ 17/    .

/ 8

(4 a²— 9)

"5a + 7 |    23 + 4a²    3a+ 1

2 a+3    8 (4a² —9)    3 (2a— 3)

Alsdann versucht man eine Zerlegung in mehrgliedrige Faktoren, da sich dann oft Kürzungen erkennen lassen. Hier findet man 4a² — 9 = (2a)² — 3² = (2a-)-3) (2a—3). Jetzt erst wird die Multiplikation ausgeführt, also 4a²—9 mit jedem der vier Hauptglieder der eckigen Klammer multipliziert, wobei man jenen Faktor nötigenfalls als(2a-s-3) .(2 a — 3) sich denkt. Daher:

(2a+ 3) (2a —3) (5a+ 7)

2a+ 3

(23 +4 a²) (4 a² —9)

8 (4 a² — 9)

(3 a -j— 1) (2 a —j— 3) (2 a — 3)

3 (2a —3)

- ¹⁷/s (4a² — 9) 23-f4a²_(3a + l) (2a+3)

— (2 a — 3) (5 a -J- 7) -(-

-++19+

-21+2 % + Y -++19+

= 10a² — a — 21 + 2 + +    --2 a² — —g—

= 10a² — a

6a² + 11a+ 3

— 1—++!9Vs-- ₃

14 a

§ 26. Das Kürzen zusammengesetzter Brüche.

— ? Da 3a iu ollen Gliedern enthalten ist,

15a² — 12 a 9a² + 21a

so läßt sich der Bruch durch 3a kürzen. Noch § 3, IV, 15:

5a—4

(15a² —12a) :3a _

(9a² + 21a) :3a    3a + 7*

^ läßt sich nicht durch 2 (oder a) kürzen; denn

5]2 ⁼    5y ' Man erhielte mithin einen Doppel

bruch, den man stets vermeidet (s. § 15).

jEi (i 8 25) = — 1 (s. 8 3. IV, 3).

(s. § 24, III, 2. Beisp.)

(f. §17, II)

12x — 15

12x — 15

100 — 64 x²

64 x² — 100

3 (4 x — 5)

4 (16x²—25) —

3 (4x — 5)

4 (4x -f- 5) (4x — 5)

4 (4x -j- 5)

2x — 4 10 (6 x — 12)²

(s. § 3, IV, 10) =

— ? Zunächst durch 2 gekürzt

5 [6 (x — 2)]²

5 (6x—12)2 x —2 5 . 36 . (x — 2)²

180 (x — 2)

21a²—14ab-f45ac—10bc 7a (3ä—2b)-f-5c(3a — 2b)

15a²—10ab —27 ac-(-18bc    5a (3a— 2b) — 9c (3a — 2b)

7 a + 5c

durch 3 a — 2 b gekürzt —

5 a — 9c

§ 27. Vereinigung von Vuotienten.

I. Gleichnamige Brüche. Nach §3, IV, 23 ist

a — b -\- c

Bl«

9 b²

6a

9 a²

6b

9 b²—6 a — 9 a²—6 b

a*—b²    a² —b² a² —b² a² —b²

a² - b²

__ 9 (b² — a²) — 6 (a + b)

a² —b²

9 (a² — b²) + 6 (a + b)

a² — b²

durch a -f- b gekürzt = —

9 (a — b) -j- 6

und nach § 23

= - 9+-^ ¹ a —

4+4*)

— b, —

8b —    + TZ =? Nach dem 1. Minus

ist zunächst eine Klammer zu bilden (§ 3, II, 7) = —

-J_    _L 4___M

~ 7a • 7a    7a/

2-f 8b + 5 — b

7 + 7b

7a

7a

1+b

II. Ungleichnamige Brüche.

. ¹¹

‘ 6b

1. Beisp. A

ist der Generalnenner zu suchen. Hier ist

die höchste Potenz der Primzahl 2 = 4 (m

3 = 3 (int 2. u. 3. Bruch), 7 = 7 (im 2. u. 4. Bruch), a = a1 b = b²

Daher 4.3.7.    . b² = 84 ab² der Generalnenner.

^ ist nun mit 84ab² : 4a = 21b²,    84ab²

: 21 ab = 4bzu erweitern, re. Daher

_    63b²    32b    ,    70 ab _

84 ab² 84 ab² '    84 ab² 84 ab²

__ 63b²— 32b+70ab — 66a    7 b (10a + 9b) — 66a —32b

21 ab

14b²

= ? Zunächst -

66 a

84 ab²

84 ab²

ll + 20x

19 + 25 x 45 — 60 x

13 -f - 24 x2 32 x² — _ _

— lVe —? Zunächst sind dieselben Veränderungen vorzunehmen, wie in § 25, 2. Beispiel

2. Beispiel.

48x4-36

- 4-

18 i

-iVe

_ 11 + 40x . 13 + 24x²    19 + 25x

48 x + 36 4" 32 x²— 18    60 x — 45

-%=?

11 + 40x i 13 + 24 x²    19 + 25x

12 (4x + 3) "T" 2 (16x² — 9)    15 (4x — 3)

Da der 2. Nenner — 2 (4 x -(- 3) (4 x — 3), so ist der Generalnenner — 60 (16x² — 9) == 60 (4x -f- 3) . (4x — 3). Daher

30 (13 + 24 x²) 60 (16 x² — 9)

_ 5 (4x — 3) (11 +40x)

60 (16 x² —9)

4 (4x -f 3) (19 + 25 x)

10 . 7 (16 x² — 9)

60 (16x² — 9)

60 (16 x² — 9)

800x²—380x—165+390+720x²—400x²—604x—228—1120x² + 630

60 (16 x² - 9)

— 984x + 627 _    209 — 328x

60 (16 x² — 9) — 20 (16 x² — 9)'

§ 28. Parkialdivision.

Division durch ein Polynom.

I. Nach § 3, IV, 24 könnte zwar für jedes Glied des Quotient eine beliebige Zahl genommen werden, um aber die allein passende Zahl zu bestimmen, mag hier ein beliebiges Produkt angenommen werden. Aus (5 x -j- 4) (7 x -j- 9)

= 7x+9.

= 35x² + 37x + 36 folgt

35x² + 37x + 36

5x 4

— dem 1. Gliede des Dividend dividiert durch das 1. Glied des Divisors. Aus dieser Bestimmung und jenem Satze

§ 3, IV, 24, der allgemein ^ = q-f- P d lautet, ergeben sich die folgenden Regeln für die Partialdivision:

1)    Dividend und Divisor sind zunächst streng nach einerlei Prinzip (z. B. beide nach absteigenden Potenzen der Hauptgröße) anzuordnen.

2)    Das 1. Glied des Quotient (und daher auch später jedes neue Glied) ist — dem 1. Gliede des Dividend (und später des in gleicher Weise geordneten Restes) dividiert durch das 1. Glied des Divisors.

3)    Das für den Quotient gefundene Glied ist hierauf mit dem ganzen Divisor zu multiplizieren und das Produkt vom Dividend abzuziehen. Der Rest ist in gleicher Weise wie der 1. Dividend zu dividieren.

I.Beisp.

18ac — 27b² — 14c²+20a² + 39bc — 21ab__0 3b + 4a — 2c Lexikographisch (aa, ab, ac, bb, bc, cc) angeordnet: (20a²—21ab+18ac —27b²+39bc—14c²):(4a+3b—2c)

= 5 a—9b -j-7 c.

A)    20a²+15ab —10ac

B)    — 36 a b+28 a c — 27b²+39 b c

-)-21bc—14 c2 + 21bc—14c²

C)    —36ab_— 27b²-j-18bc

28ac 28 ac

Erklärung hierzu.

Das 1. Glied des Quotient ist 20a²:4a — 5a. Dieses Glied mit den 3 Gliedern des Divisors multipliziert, giebt das Produkt A, welches vom Dividend (nach § 9, II) subtrahiert den Rest B giebt. (Man zieht immer nur so viel Glieder vom Dividend herunter, als für das nächste Glied des Quotient gebraucht werden.) Das 1. Glied von B, also — 36ab, durch das 1.Glied des Divisors (durch 4a) dividiert, giebt —9 b als 2. Glied des Quotient. -—9 b mit dem Divisor multipliziert, giebt C re.

15 32 a

75

15

32 a 128 a²

+ ⁷⁵

10

=(■

25

.. in ins.

3a _3

TÖ~ 8

CO loO CO

4    16a    64 a²*

rrs o a sät* i t rs , 3a 6a 3a 5    1

Das 1. Güed d. Quot.—

Das2.Gliedd.Quot.— ~

5    10 6a 4'

6a

15

8    32 a

8    5    16 a⁷

15 ₄ 6a    25

32Ü    5~~_64 a²

2. Beispiel. ~ : (l¹/,

= ? Geordnet:

128 a2 U. s. W.

Die Division geht nicht auf; der Quotient erhält daher unendlich viele Glieder, die man nur so weit fortsetzt, als es der Zweck der Aufgabe erfordert. Eine solche unendliche Reihe deutet man durch Punkte, oder auch durch .... in ins. (b. i. in infinitum — bis ins Unendliche) an.

II. Da die unendliche Reihe meist sehr unpraktisch ist (man denke sich die Glieder des vorstehenden Quotient z. B. mit a — 1 berechnet!) und man das Resultat der Division doch auch vollständig haben möchte, so setzt man am besten die Division nur so weit fort, bis der Rest von kleinerem Gliederumfange (s. nachstehende Erklärung) ist, als der Divisor, um dann den bisherigen Gliedern des Quotient einen Bruch hinzuzufügen, bei welchem der Zähler dieser Rest, der Nenner aber der ursprüngliche Divisor der Aufgabe ist. Diese Ergänzung ist jener Bruch

D- d dq (siehe oben I).

des 1. und letzten Gliedes. 7x³ -{- ax² — bx — 2 ist von größerem Gliederumfange als 100 x³ -|-abx² -j~ 24x, denn ersteres geht von x³ bt§ x° (f. § 12, VIII, letztes Beisp.), letzteres von x³ bis x¹, 3 — 0 aber ist > 3 — 1. Daher ist auch x⁴ — 1 von größerem Gliederumfange als x³ -{- ax² -|“ bx -j- c, da man sich jenes Polynom: x⁴ 0.x³ -j- 0.x² -f- 0.x — 1 denken muß.

Hätte man als Auflösung einer Aufgabe

10 a⁴ — 23 a³ — 41a² + 55a —29

5a² + 6a — 7

so ist die Partialdivision unbedingt anzuwenden, auch wenn dieselbe nicht aufgeht, weil dann die 4. und 3. Potenz von a verschwinden:

10a⁴—23a³—41a²+55a-29:5a²+6a-7 = 2a²-7a+3

10a⁴+12a³—14a²

—35a³—27a²+55a —35a²-42a²+49a

+15a²+ 6a—29 —j—15 a² —|— 18a—21

— 12a— 8.

Da die Division nicht aufgeht, und die Reihe 2 a² — 7a

+³ — jk

dem Rest — 12 a — 8 die Division zu schließen, weil derselbe von kleinerem Gliederumfange ist als der Divisor 5 a²-}- 6 a — 7. Folglich ist nun x durch folgenden „geschlossenen Ausdruck" bestimmt:

= 2a² —7a + 3 +

32

2* • • • sehr unpraktisch wäre, so ist mit

— 12a —8

5a- + 6a — 7

= 2 a³ — 7a + 3 —

4 (3a + 2)

5a- + 6a —7

III. Aus § 17, III folgt, daß die Division —

xn - an

— a

stets aufgeht, wenn n ganz und positiv ist (z. B. - x _ ^ = x² a x -j- a²); daß ferner

xn + an

x-j- a

aufgeht, wenn n

ganz, positiv und ungerade ist; daß auch wenn n ganz, positiv und gerade ist.

xn-an

aufgeht,

§ 29. Das gröhke gemeinsame Mäh zweier Polynomien.

I. Zur Bestimmung eines solchen Maßes wendet man dasselbe Verfahren (die sogenannte Kettendivision) an, wie beim Aufsuchen desselben bei speziellen Zahlen, indem man die größere Zahl durch die kleinere, jeden Divisor durch den Rest dividiert. Ist z. B. von 481 und 1079 (behufs des

481

Kürzens von so ist die Rechnung folgende:

1079

j das größte gemeinsame Maß zu suchen,

1079 : 481 = 2

962

00 CD

-rH GO

: 117 = 4

117 : 13 = 9 117

Der letzte Divisor 13 ist das gr. gern. Maß jener Zahlen.

Um daher das größte gemeinsame Maß zweier Polynomien zu finden, dividiert man das größere Polynom durch das kleinere nach Art der Partialdivision, bis der Rest von kleinerem Umfange ist, als der Divisor. Zu berücksichtigen is^ hierbei, um unbequeme Zahlen zu

Vermeiden, daß 2 Polynomien, die, durch einander dividiert, aufgehen, auch dann noch aufgehen müssen, wenn sie mit beliebigen Monomien multipliziert oder dividiert werden, und daß z. B. in a² — b² und a² -j- 2ab -j- b² das gemeinsame Maß (a + b) auch dann noch unverändert bleibt, wenn jeder der beiden Ausdrücke mit einem beliebigen Monom multipliziert oder dividiert wird.

II. Das Bestimmen des größten gemeinsamen Maßes zweier Polynomien erfordert daher, wenn die Rechnung nicht zu mühsam werden soll, folgende Operationen:

a)    Die beiden Polynomien sind, wie bei der Partialdivision, nach einerlei Prinzip anzuordnen.

b)    Das Polynom mit dem größeren Gliederumfange ist als Dividend, das andere als Divisor zu nehmen. Bei gleichem Umfange ist es gleichgültig, welches als Dividend genommen wird.

c)    Enthält ein solches Polynom Brüche, so multipliziert man es noch vor der Division mit dem Generalnenner.

d)    Ein mit einem negativen Gliede beginnendes Polynom multipliziert man mit —1.

e)    Jedes der beiden Polynomien (vor allen Dingen der Divisor) ist durch den in allen Gliedern enthaltenen gemeinsamen Faktor zu dividieren.

f)    Sind somit die Glieder des Dividend und Divisor auf die kleinsten ganzen Zahlen gebracht, so dividiert man die Polynomien ganz so, wie bei der Partialdivision, indem man zunächst ein Glied des Quotient bestimmt, mit diesem den ganzen Divisor multipliziert re.

g)    Giebt das 1. Glied des Dividend (bezw. des Restes, wenn derselbe noch nicht kleiner als der Divisor), durch das

1. Glied des Divisors dividiert, keine ganze Zahl, sondern einen Bruch, so multipliziert man den Dividend noch vor der Division mit dem Nenner dieses Bruches.

h)    Bei der Subtraktion des Produktes aus dem Divisor und dem gefundenen Gliede des Quotienten zieht man stets sämtliche Glieder des Dividend (bezw. Restes) herunter.

i) Die Partialdivision ist stets so weit fortzusetzen, bis der Rest von kleinerem Umfange ist, als der Divisor, um alsdann diesen durch jenen Rest zu dividieren.

21a²

k) Diese Kettendivision ist so lange fortzusetzen, bis die Division aufgeht. Der letzte Divisor ist das größte gemeinsame Maß der beiden Polynomien.

Z. 93. 5% -^ + ^--|unblla+8

Das 1.Polynom mit 6a, das 2. mit 4 mult.: 34a — 46a2 + 15a³ — 48 und 44a -j- 32 — 21a². Beide geordnet:

15a³—46a²+34a —48 und —21a²-j-44a-j-32: das 2. Pol. mit — 1 multipliziert und als Divisor benutzt, da es von kleinerem Umfange:

15a³

(15 a³— 46a²-f~34a — 48): (21a² — 44 a — 32) — ?

— den Nenner 7 erscheinen, folglich ist

21a²

Hier läßt

der Dividend mit 7 zu multiplizieren:

(105 a³—322a²+238a —336): (21a²—44a—32)=5a 105a³—220a²—160a

—102a²+398a —336 :21a²—44a—32 =?

Der Divid. mit—1 mult. 102a² —398a+336 :21a²—44a—32 =?

34

y ist der Dividend mit 7 zu multiplizieren.

102 a²

Wegen

714a²—2786a-f2352 : 21a²—44a—32 = 34 714a²—1496a—1088

21a²

— 1290a+3440. Da jetzt der Rest kleiner als

der Divisor:

21a²—44a—32:—1290a+3440. Der Divisor mit

21a²—44a—32:3 a —8 = 7a+ 4 21a²—56a

—1 mult. u. durch 430 div.

—    12a —32

—    12a—32

0. Die Divis, geht auf, folglich ist 3 a — 8 das größte gemeinsame Maß der gegebenen Polynomien.

§ 30. Wur;ellrhre.

A. Einleitende Sätze.

I. Aus der Entstehung der Wurzel (s. § 2, VI) folgt:

J a = b ist richtig, wenn die Wurzel b mit dem Wurzelexponent n potenziert, die Wurzelbasis a giebt. Es ist

3 _ __

1/1000 = 10, weil 10³ = 1000; j/V» = Vs

(b. i. I/ Vs

Vs, s- § 2, VI), weil (Vs)² = Vs!

|/a²— 2ab-j-b² = a—b (wofürauch |/(a²—2ab-j-b²) geschrieben wird), weil (a — b)² = a² — 2ab b²

Anmerkung. Bei den Beweisen mag Wurzel mit W., Wurzelexponent mit Wt., Wurzelbasis mit Wb. abgekürzt werden.

1.    Zusatz.    [/ a =    a, denn W^-    = a¹ =    a    = Wb.!

2.    Zusatz.    l/T =    1, denn W^t-    = l" =    l    = 35»,!

3.    Zusatz.    |/~Ö =    0, denn 28 m    = 0n =    0    = 8386.1

4. Zusatz. Die Wurzel aus einer ganzen Zahl oder aus einem gemeinen Bruch ist entweder rational (durch ganze

Zahlen vollkommen genau abgrenzbar, z. B. /25 — 5,

t/7

3 __

343

sein. Wäre z.B.)/^8 — i Vis, so müßte (¹⁷/i2)²—

— ²/₇) oder irrational (durch ganze Zahlen nicht abgrenzbar, also nur durch einen unendlichen unperiodischen Dezimalbruch darstellbar). Ist die Wurzel aus einer ganzen Zahl nicht wieder eine ganze Zahl, so muß sie irrational

17.17 12.12

sein. Dies aber ist unmöglich, denn wenn sich ¹⁷/₁₂ nicht

Schurig, Algebra.    5

17.17

nicht (bis zur ganzen

kürzen läßt, so kann sich auch

y Zahl 2) kürzen lassen. Ferner kann s/3 — I.73205 - • * kein periodischer Dezimalbruch sein, da jeder periodische Dezimalbruch in einen gemeinen verwandelt werden kann.

12.12

II. [/> =

Z. B. l/a⁸ =

B. Einerlei Wurzelbasen.

Bew. NM- = an = Wb. a, l/(— 5)² = 1/(— 5)² =

/ n__\n    n_ n

III. (]/ a j — a. Bew. Unterscheidet man in \J a = \J a links: Wurzelexponent n und Wurzelbasis a, rechts als Wurzel

\J a, so muß auch, da diese Gleichung unbedingt richtig ist,

a.

— 5.

W^t- = Wb. sein, d. i.

Die beiden letzten Sätze lassen sich in folgender Weise aussprechen: Der Potenzexponent hebt sich mit dem ihm gleichen Wurzelexponent, gleichviel ob er sich außerhalb oder

—\»

ab) = ab;

\5    5 _____

) — l/(—x)⁵ —

Zusatz. ( l/a)³ = ( l/a)² ( /a)' —

n_    / n_\r

IV. l/ar = [{/&)■ Der Potenzexponent kann beliebig innerhalb oder außerhalb der Wurzel stehen.

innerhalb der Wurzel befindet. Z. B.

(1/

b)² = a-b; (

— x.

l/a.

Bew. WM- = (( ^a)r)n= (( \/afj = ar

= 8936.

Z. B. ]/625³ = (l/62s)

= \J 2⁷ = 1/128.

= 5⁸ = 125;

( T)

V.

?¥ ⁼ Ft (vergleiche § 12, XV, 1. Zusatz).

Bew. WM- —

—2 .

= Wb. Z. B. 1/Vt = /⁷A = I/I.75.

r    ,    .    _r_

VI. \/tf=a.D, also auch ( (/ä) = an (n.SatzIII).

Statt der Wurzel kann ein gebrochener Potenzexponent gesetzt werden, der dadurch entsteht, daß man den ursprünglich unter der Wurzel befindlichen Potenzexponent durch den

T n

Wurzelexponent dividiert. Bew. W^ — VaD = Wb. 3. B. l/x⁵ = x%; j/V⁵

— ar

-1V2_

y x⁶ = x6:_8/2 — x

= a²⁵Ao = a⁵/s;

— l/a = l/a¹ =

a1/a;

= XBA = X8; /M» --- (%)•/.

—4

3 __

l/ a — a1/s

= (²/₅)³ = 7:

VII. Umgekehrt ist a¹¹ = |/ar. Der Nenner des gebrochenen Potenzexponent wird zum Wurzelexponent.

Z.B. 100^2— |/IÖÖI= l/IÖÖ=10; aV*= |/a/= l/a;

125*

(a

— b)1/4 = l/(a — b)¹ — l/a — b.

Resultate schreibt man gewöhnlich mit dem Wurzelzeichen und nicht mit gebrochenem Potenzexponent. Z.B. x = 7-s/4

—    (den negativen Exponent beseitigt man immer zuerst

—    f. §12, VIII)=T

t/7³    t/343

3 _ 4 .

l/*² • 1/

x2/3. x¹/*

X⁵/e

= X²/3 + V4-⁶/6 = XVl2

12

12

l/ X¹    l/ X.

8 /8 . l/ÜF²" — S^SVs.S⁻²/» = 8¹+1/ä_% — 8S/«

6___

— 1/ 8⁵ = 1/32768.

—4

-3_ 6 _    -I⁴/”

l/a⁴ (/a⁵ . [/ a—3

5_

l/a-¹

—4

⁸A.a⁵/e. \J a-

—Vs

10

2Va

|/ a 1/3 . l/a-71/3

a¹ . a 1/30 . a

-7Vs: 2V2

—4

a-⁸/i'

. a% l/a""³Vs

-4

-⁸/4 + ⁶/6-⁴/5-l+V30 +⁴⁴/lB

a¹ . a 1//so . a 44y/l5

= 1/ a⁵A =

⁵A:-4

-⁵/l6= —

a'¹⁶

16

l/ a⁵

VIII. Die Potenz- und Wurzelexponenten können gegenseitig gekürzt und erweitert werden.

Bew. l/ ar = a¹¹ = a¹¹

12

= l/ar:k. 3.93. l/a⁸

3 4 _ 2 _ _ / 9 \ 6    9 3

= l/a²; l/l0²= l/lO¹ = l/lO; (l/nj = /n⁶ = l/n²;

»/.    3_ .

I/7—1V2 (mit 4 erweitert) — l/ 7 ⁶ = 7_2 = ^-= y₄₉;

IX. ”l/a = y a und umgekehrt

fc)'

a — Wb. Z. B. l/IÖÖ = *’|/TÖÖ =    /

1/ l/IÖÖ" = l/IÖ; i/l25 = Vy

|/144 = y j/l44 = y |/H4 = /l2;

l/—5 _    20 _

K 1/2 = 1/2.

= l/a;

100

125 — ]/ 5;

X. Ist der Wurzelexponent ungerade, so kann man die Wurzelbasis mit — 1 multiplizieren, wenn man das

3 .

Vorzeichen der Wurzel ändert. \J

3 __

— l/a.

Bew. SB«*- = (— J/a)³ = — ( /a)'

5 _

— l/a-f- b. Jedoch gilt dies

Beispiel. /—a

4 _

nicht für geradzahlige Exponenten. Es ist \J — a nicht

— — a, denn W^- =•

= -f~ a und dies ist der Wb. nicht gleich.

XI. Die Quadratwurzel hat stets zwei einander entgegengesetzte Werte. Z. B. [/49 = -j- 7 oder = — 7; denn (-j-7)²= 49 —Wb., aber auch (—7)² = -s-49 — Wb.

Man schreibt daher l/49 = + 7; — /121 — —(± 11)

= qp 11. Daher ist auch 2 >/9 — 3 |/100 + 6 \J 36 + 13 vollständig 2 (± 8) — 3 (± 10) + 6 (± 6) +13 = ±6 + 30 ±36 + 13 und bedeutet entweder (mit dem oberen Zeichen) + 6 — 30 + 36 + 13 = 25, oder (mit dem unteren Zeichen) — 6 + 30 — 36+13= + !.

XII. ]/—49 ist weder + 7, noch — 7, da beide im Quadrat + 49 geben; auch kann es keine andere positive oder negative Zahl geben, welche im Quadrat — 49 giebt.

4 _ 6 ___

Eben so giebt es keine Zahl, welche [/—³/?, ]/—1000, 8 __

\J—1 Vorstellt, da jede positive oder negative Zahl in geradzahliger Potenz kein negatives Resultat (— ³/₇ re.) geben kann. Diese unmöglichen Zahlen nennt man imaginäre (das g wie im Worte Gold). Der Gegensatz von diesen Zahlen sind die reellen (möglichen) Zahlen, d. i. die positiven und negativen Zahlen, mit denen wir bisher rechneten.

C. Verschiedene Basen.

XIII. ]/ ab = \J a . [/ b. Aus einem Produkt kann man die Wurzel ziehen, wenn man sie aus jedem Faktor

/ n_ n _\n / n_\u / n__\ n

zieht. 93eto. SB⁹⁵¹- = (|/a . l/bj = (l/a) . (l/b) = a. b = 386.

3 _ 3 _    3 __

2.5 = 10;

l/b;

isp. 1/8 . 125 = \J8 . 1/125 = 16a⁴b - l/l6 . l/~ä* . l/V =

CO

^co

= 2y³ x.

Anmerkung, /a^-l-b^ ist nicht — \/a² —j— l/b² = a-j— b; denn (a -)- b)² ist nicht — a² -|- b² (s. § 18); eben so ist s/a²—b² nicht — a — b.

XIV. Verkleinern der Wurzelbasis nach dem Satze

[/an b = /an . [/b = a /b.

Beispiele. [/n¹³ = [/n¹⁰ . n³ = n² l/n³. (Oder: (/n¹³ — nls/5 — n² + 3//ß = n².n3/ß = n² |/ n³ j Bei J 8.97356¹³ hätte man die vielstellige Zahl 13mal mit

5_

nur

97356

sich selbst zu multiplizieren, bei 8.97356² / 8. höchstens 3mal. Es ist daher gewöhnlich von Vorteil, den Potenzexponent unter der Wurzel kleiner als den Wurzel-

4_ 4_

exponent zu haben. [/2a⁵ b¹⁰ = [/a⁴ . b⁸ . 2 a b²

= l/ a⁴ . [/ b⁸ . j/2ab² — ab² [/2ab².

[Za²⁹ = a⁴ l/a⁵ [29 : 6 = 4 (außerhalb der Wurzel), Rest 5 (innerhalb der Wurzel!)!.

l/75= 1/25.3= 1/25 . l/3 = 5 l/3. Um keine planlosen Versuche zu machen, zerlegt man die Basis in Primfaktoren, z. B. l/1080 = l/l08 .10 ----- l/9 . 12 . 2 . 5 — l/2.2.2.3.3.3.5, und bildet alsdann bei der ntett Wurzel nte Potenzen, hier also Quadrate — [/2².3².2.3.5 = \J~¥ . \s& . 1/27375 = 2.3 1/30 = 6 1/3ÖL

l/51840 = |/6.864.10 = ^2.3.8.108.2.5 = [/2⁷.3⁴.5

3 _ 3 _ 3 _

= l/2⁶.3³.2.3.5 = 2².3 1/2.3.5 = 12 j/30.

5 1/45" + 6 l/2Cs — 2 1/245 = 5 I/9/5 + 6. 1/4/5 — 2 l/49.5 = 5.31/5 + 6.2/5 — 2.7/5 = (15 + 12 — 14) /5 = 13 /5.

3 ___ 3 _ 3 _ 3 _

3___

2 |/a⁴b⁵—3 /a⁷ b²-|- 4 /ab⁸ — 2 ab |/ab2 3 a² l/ab²-(-4b² \Jab² — (2ab— 3a²-]-4b²) |/a b².

XV. Sätze in Bezug auf imaginäre Zahlen.

1)    Die imaginäre Einheit [/—1 bezeichnet man mit i.

2)    Die Potenzen von 1. i° = 1 (siehe § 12, XI);

i¹ = i; i² == ( l/— l)² — — 1; i³ = i² . i¹ = — 1. i — — i. Die höheren Potenzen sind auf die vorstehenden leicht zurückgeführt, indem man den Exponent durch 4 dividiert und den Rest allein behält. Z. B. i²⁵ — ? 25 : 4 = 6, Rest 1; tmljer i²⁵^¹^; i⁴³ = ? 43:4=10, Rest3, daher i⁴³ = i³= — i; i²⁰ == i° = —f— 1. Denn i43 = i⁴⁰.i³ = (i⁴)¹⁰.i³= l¹⁰.(— i).

Anwendung. (3 — 5 i) (7 —2 i) = 21 — 35 i -f- 6i — I0i²= 21 — 29i — 10 (— 1) = 31 — 29i; (7 — 4i)³ = 7³ — 3 . 7².4i + 3 . 7 . (4i)² — (4i)3 = 343 - 3. 49.4. 1 + 21.16. (— 1) — 64. (— i) = 343 — 5881 — 336 + 641 = 7 ~ 5241.

3) ]/— a = j/a (—1) = l/a . /—1 = j/a . L

Jede imaginäre Quadratwurzel kann also als ein Produkt aus einer reellen Zahl und 1 dargestellt werden.

Z. B. (5 — 4 l/—6)² =(5 — 4l/6.i)² = 5² — 2 . 5.4. l/6 . 1 + (4 1/6". i)² = 25 — 40 |/(T. 1 + 16 . 6 . (— 1) = — 71 — 40 1/6.1.

4) Die 3. Wurzel aus einer beliebigen reellen Zahl hat stets 3 verschiedene Werte. Z. B. s/8 — 2, außerdem noch — 1+ l/3.i und — 1 — l/3~.i. Denn 1) 2³ = 8=286.

V 8 ist nicht — — 2, denn (— 2)³ —

CO

1 + S.(+l). /8

2) (— 1 + /3.i)³ = (— l)s+ 3.(—l)²./3.i + 3 .(— 1) . (/I.i)² + (/s.i)⁸

.1 —3. (/3)².i² + (/3)⁸.i⁸ = — 1 -f- 3/3.i—3.3 (— 1) + 3 VS.(— i) (s- III, Zusatz) = - 1 + 3/3.1 + 9 — 3 Ys.i = +8 = Wb.

Eben so (— 1 — /3. i)³ = + 8.

3_ _

V — 8 hat die drei Werte: —2,    1 —^3.1.

4_

- l, i, —i; z. B. (-0*

y 1 hat vier Werte: -f- 1,

= + (i⁴) = + 1 = Wb.

—l—ys.i

/l hat sechs Werte: +1,-1,

1+/3.1 l —/ä.i

Allgemein: Die nte Wurzel aus einer einfachen Zahl (s. den nachfolgenden Satz) hat n verschiedene Werte.

5) y a¹¹ hat jedoch nicht nWerte, sondern nur den einen u

(die Basis); denn y (— a)² kann nur den einen Wert —a haben, da durch die y nur die 2. Potenz beseitigt und der ursprüngliche Wert —a wieder hergestellt ist. Auch muß

y(— a)² — (—a)²/² — (—a)¹ — — a sein. Man darf

also nicht rechnen y (— 9)² = y —f- 81 — + 9. Folglich

12

hat auch Va? nicht 12 Werte, vielmehr müssen die Exponenten erst gegenseitig gekürzt werden. Bew. also nur drei Werte.

V y(a²)⁴

3_

= ya²,

3_

6) y8 kann nur den einen reellen Wert 2 haben (siehe vorstehenden 4. Satz), folglich müssen die beiden anderen

Werte — 1 ± fs . i imaginär sein, was sich schon aus dem i erklären läßt.

Daraus folgt nun, daß die imaginären Werte nicht bloß als Quadratwurzeln aus negativen Zahlen allein auftreten, sondern auch als Summen von reellen Zahlen und imaginären Quadratwurzeln in der Form a bi (oder a — bi). Man nennt daher diese imaginären Zahlen komplexe.

7) Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen.

Ist KL eine beliebige Senkrechte auf dem Durchmesser des Halbkreises AHB, so gilt nach einem bekannten Lehrsätze

der Geometrie folgende Relation: KL² = KA.KB oder

\H

E_(L

K\A

KL= IkTTlCR Ist nun CD = + l, also CE = — 1, so ist nach diesem geom. Satze:

J3L

CF = ICD . CE = y+l. —1

jr

= V^1 = + i, folglich die entgegengesetzte Strecke C G

= — i- Ist

so ist CH

= fCA . CB = y+ 2 . — 2 = y— 4 = + 2i, entgegengesetzt: CJ — — 2i rc.

So ergießt sich folgendes Bild:

-1

■21 4

21

-I-

444 31

Linie der reellen Zahlen:

-1-®—±

4 -f

3-1

21

45-21

Die imaginären Zahlen liegen also in der Ebene oberhalb und unterhalb der Linie der reellen Zahlen.

XVI. Va . y b — yab. (Umkehrung von XIII.) Um Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten zu multiplizieren, zieht man dieselbe Wurzel aus dem Produkt der Wurzelbasen.

3    3    3

3- V3 . V? = yäT? = f21; /TÖ“. yääb.yibc

3_ 3__

= yi0.2ab.5bc = yi00ab²c;

(2 yi + 3/6) (8 y5 — 3 y7) = 16 (/ö)² + 24/30“ — 6/35 — 9/42 = 80 + 24/3Ö—6y35~—9y42; (9/7-n/ä)* — (91/7)2 — 2.9 y/. 11 yg + (i 11/3)2 = 81.7 — 198/21 + 121.3 = 930 — 198 /~21; 2 16.3 /TÖ = ? Man denke sich 2 . /§ . /2 . 3 /> . ZT = 6 /l5.(/2)² = 12yli; 4/T5 .3/35“

= 4.3.5 . /I. y7 = 60/21;

3    4    12_ 12 _ 12_

ya².1+b⁵ = yas. ya" b⁹ = yanb⁹.

Zusatz. Das Produkt aus zwei imaginären Quadratwurzeln ist negativ reell; denn V—a . V—b — Va(—1)

. Vb (—l) = n. y^i. Vb. i^i = 0^1)2. vib = — i. yib = — y^b. Z. B. y^. y^ö=- yäö*

(4 y=s—Vs) (5 y=^2+3 vT) = 2o. y=^3. y=^2

—    5 y—io +12 y—2i — 3 yäi = 20 (—yö)

—    5y—10 +12 y — 2i — 3 y~35~ = — 20 yyr — 3 y~3"5 — 5 yiö . i + 12 y~2l. i = — 20 Vl>

— 3 /35 -f- (12 f2l — 5 yiö) i.

Berechnet man die Wurzeln (siehe § 31), so erhält man:

+ 39-17952 i. Die imaginären Auflösungen

73803

—    66.

sind stets in dieser Form (a + bi) zu geben.

XVII. Vereinigung von rationalen Faktoren der Wurzel mit der Wurzelbasis.

a I b = Van . V b — Va¹¹ b.

Z. B. 5 y? = Y5^. ff = f2h . 7 = »175 ;

2a » 7 ab — y (2a)³ . 1^7ab — y56a⁴b ;

i¹/5 yäiA = n«/₅)⁴. ⁵a = i5.₁₈₁;

(3 ys-4y2)|/5 y5+7/2 = |/ (3 ys — 4 y¥)²

4 y2)2 (5 V5 + 7 V2)

. j/sTs+7 y*2 = |/ (3 y 5

241 To +16.2) (5 >'5 + 7 VT) = ]/ (77 — 24 VlO) (5 VT + 7 VT) j/ 385 Vs — 600 VT + 539 VT — 336 VT = j/TeVs — 6i VT.

XVIII.

a y a

—---- Aus einem Bruche kann man die

¹

   Ein Produkt bleibt unverändert, wenn der eine Faktor mit einer beliebigen Zahl multipliziert, der andere durch diese dividiert wird (s. § 3, IV, 9). Beispiel. (8 a — 4)

■ ([S¹/₂ — ^ — ? Der 1. Faktor durch 4 dividiert, der

zweite mit 4 multipliziert — (2 a — 1) (14 — 5 a).

²

   (a — b) (c — d) = ? Der 1. Faktor mit — 1 multipliziert, der 2. durch — 1 dividiert — (— a -J- b) (— c -f- d) = (b — a) (d — c). Man könnte also auch sagen: Multipliziert man jeden von 2 Faktoren mit — 1, so bleibt das Produkt unverändert.

. (— 3 — 4x) = a -J- (x³ — 2) (4x -f- 3).

Vb

Wurzel ziehen, indem man sie aus dem Zähler und dem

Nenner zieht. Bew. 28 Bt- —

Vb.

TT = Wb.

Z. B. V»/„ =

VTs

= Vb; Vi2y₄ =V⁴⁹/₄ =

VT"

V^

81 b⁶

V 7 a⁴ a²W

9 b³

3

VsTT

1. Zusatz. Die Wurzel aus einem Bruch verwandelt man gern in einen Bruch mit rationalem Nenner, bei welchem nur der Zähler jene Wurzel aus einer ganzen Zahl enthält.

V81b«

v~=v

n—1

n—l

abn

Vab“-¹

b¹ .b

Z. B. —? Der Bruch mit 7 erweitert, um im Nenner die dem Wt. entsprechende Potenz herzustellen

4

yir

2. Zusatz. Ist der Wurzelexponent größer als 1,

2_    3

. und

5.7

y 35

b/7 . 28 2 . 2⁸

7.4

y-28    i⁶/ "4 a

4 a

3^71^

27 b²

Um 3⁶.b⁵ zu erhalten, ist der Bruch mit 3².b³ zu erweitern

5 __

/36 a b:l

2³    2 ;

% a . 9 b³

3⁵. b⁶

■M=\

a:{ . a

z. B. /ä. .

a)    die Wurzelbasis größer als 1, so muß die Wurzel

3_

kleiner als die Wb. werden; z. B. y1000000 — 100, also 100 <Z 1000000; denn das Produkt aus 3 Zahlen, die 1 sind, muß offenbar > jeder Faktor werden.

b)    Ist jedoch die Wb. kleiner als 1, so muß die Wurzel

größer als die Wb. werden; z. B V⁹/ioo — ³/₁₀, also ³/₁₀ > ⁹/ioo; denn kürzt man den Bruch so, daß sich der

Zähler in 1 verwandelt, so hat man }/9/₁₀₀ —

y-

yiiv₉

11V₉

• Da nun Vnyl <7 llV« (siehe Satz a), so

sein, denn je kleiner der

y 11V₉

Nenner, desto größer der Wert des Bruches, d. i. aber:

größer als

oder V⁹/

größer als ⁹/₁₀₀.

U V« '

Die Wurzel nähert sich mithin stets (in beiden Fällen a und b) der Einheit.

100

ya

XIX. Umgekehrt ist — =

yb

l'y* Wurzeln mit gleichen

Wurzelexponenten dividiert man, indem man ihre Basen dividiert und aus dem Quotient dieselbe Wurzel zieht.

Z. B.

]/93

= y% = J/31;

y?

— ^⁷/s — ^ 0.875 ;

|³/ 26 a² b 4 a b

— y6.₅a.

V'26a*b

3

y 4 a b

1. Zusatz. Oft ist es von Vorteil, einen Bruch, der nur im Zähler oder nur im Nenner eine Wurzel enthält, in die Wurzel aus einem Bruch zu verwandeln.

yn

f5 y~5    _    ,_- t

3    1 - ~7FF₂ - ^⁵/l6 - ^0-3125 1 ~2

_yii/ — y i .

- '    18 - 1 -1-375 7 ₃

ya²b

yäTb³

3

ya²b

3

— Ia b²;

= V³⁶/l5    = V2.4.

fß²

yi5" yiö

2. Zusatz. Soll daher eine Quadratwurzel durch n dividiert werden, so hat man die Wb. durch n² zu dividieren,

^*41421356

XX. Rationalmachen des Wurzeln enthaltenden Nenners.

1) Eingliedrige Nenner. würde als

f2

denn

y 20 b + (6 e):

y 20b + (6e)² _ |/ 20 b + (6 e)²

fW

= yöb + (3e)²; nichtda — ⁽⁶-®^

2²

(¥>•

wegen der Division durch eine vielstellige Zahl eine sehr mühsame Rechnung erfordern. Erweitert man dagegen

mit y2 =

1./2 f2 st 2 ⁼ "2"

1'41421356

so wird zwar das Wurzelausziehen nicht

= 0.

erspart, aber die mühsame Division. Das Verfahren ist also ähnlich dem im 1. Zusatz von XVIII. Allgemein:

70710678t

a    n_

n mit y bn-i erweitert

yr

yb»-i

aybn_i

yb“-¹

yb. Vb"-¹

/bi+n-¹

Beispiele.

mit i~k erweitert =

3 /5 . /6

3 y§Ö ]/30 2.6

9 i/15²

3

yiö

yiö.yiö*

91/225    31/225

3

yiF

35

35}/-10    351/ — 10

7 y—io

i io (y—io)²

7 flÖA

— 10

35

35

(ober auch gerechnet: -^=_- — y—

7 yw.n

35    10 . i 35/W. i

10. i2 = 10 (— 1)    = _

6 a cy3bc

y3bc

ab²

ab² y ab³

b    >

ab² yab³

4_ 4 4__

ya³b    yäTb . yab³

ab

4__

— b yab³*

2) Mehrgliedrige Nenner mit Quadratwurzeln. Hier wendet man den Satz (a -f- b) (a — b) = a² — b2 an, denn enthält der Nenner a -j- b oder a — b Quadratwurzeln, so müssen diese in a² — b² verschwinden.

mit VTi —j— 2 y3 erweitert

Z. B

10

yrr- 2yy

io (]/TT+ 2/3)

io(]Zir+ 2/3)

(l/U-2/3) (1/11+2/3)    (ylT)²- (2/3)s

10 (/Ü + 2/3)    10 (/n + 2/3)

11—4.3    ~

= —10 (yn + 2 yä);

in (10—3/7) in (10—3/7) 10 + 3/7 ~~ 10² — (3/7/

= 3 (lO — 3 /t);

lll

100 — 9.1

Schurig, Algebra.

3/ö 4-/2

9/Ü + 6/2

(den gemeinsamen Faktor stets ausgehoben)

3/5 + }/2

3 (3/54-2/2)

(daher nur mit 3 fb — 2 /2 erweitert)

(3/54-/2) (3/5 —2/2)

3 [(3/5)³-(2/2)³]

41 — 3 y 10

111

45 4-3 /IÖ"-— 6 /W— 4

3 (9.5 — 4.2)

mit 3 a -j- 5 y b. i erweitert

a-/ 2/—b 3a — 5/^b

a-/2/d.i 3 a — 5/b. i

(a 4" 2 V b. i) (3 a 4" 5 /b . i)

(3 a)² — ( 5 y b . i)²

3a² 4" 6a y b • i -/ 5a /b. i 4" 10 b i² 9 a²—25bi²

3a²—10b-/H ayb . i

9 a²-/ 25b

3a²4- 10 b (—1) -/ llayb.i

9 a² —25b (—1)

Zusatz. Ist der Nenner von der Form /A + B, wo A oder B Quadratwurzeln enthalten, so beseitigt man nicht

zuerst die nte Wurzel, sondern erweitert mit / A + B;

Z- B.

y5 —2/6

y 8 -/ 3 y 6

erweitert mit /8 — 3/6

y₅-2y₆-n~ 3/6

y 5 — 2/0. y s — 3 ye

y8 4- 3/ e - y 8 - 3/6    y(s4-3/e) (8 — 3 y~6)

/(/3-l)(4 + /3)

/ 3/3 — 1

(5 + 2/i) /(4 + /3) (4-/3)    (5+2/3+16-3

mit 5 — 2 /3 erweitert

/ (5 — 2 / 6) (8 — 3 ]/6)

/ 76 —31/6

/ 8² — (3 ]/~6)²

]/10

] / 76 — 31/6

lö

= ^.e-3.^6;

//3—1

(5 + 2/3) /l— / 3

mit / 4 + /"§ erweitert

/ 3/3 — 1

/l3 . (5 + 2/3)

(5-2/3) /3/3-I

/ (5 — 2 /3)² (3 /3 — 1)

/13". 13

/13 . [5² — (2/3)²]

/ (37 — 20 /3) (3 / 3 — 1)    /    131/3"— 217

I3/I3

13/13

— 217

2 ^10 — 3 fb + f2

zwei Glieder, z. B.

— ? Man denke sich im Nenner

(2 y 10 — 3 y&) + f2'

erweitert mit

(2/1Ö— 3/5) —/ 2

(2 yio — 3 /5)² — (y~2)²

(85 - 60 y 2) — 2

1 . (2 ]/lÖ — 3 ]/ 5 — yij

2 yiö"— 3 V 5 — y 2

₂yio-3y5-/2'

83 — 6O/2"

und nun ertot. mit 83 -(- 60 iH

3) Zwei Kubikwurzeln. Man benutze die Sätze: (a² — ab-f-b²) (a-|-b) — a³-|- b³ und (a²-|-ab-(-b²) (a — b) = as — b⁸.

[/ 8_\²    3_ 8    l 3_\²"

10.[\yrj +y7.y^+^y2j__

/ 3    \²    3    3_ / 3_\²1 / 3_ 3 V

[ fi)+fi • y 2 -1- [ v'2 J J {y 7 - y 2 J

y? — y2

/ ß    ß    ß    \    / ß    ß    ß    \

10 (yio + yii + /ij lo^yiö + yii + yrj

7—2

= 21/49 + Yii + VT).

4) Zwei vierte Wurzeln. Hier ist nur (a -f- b) (a — b) = a² — b² mit denselben Wurzeln anzuwenden.

Z- B. -

7---— mit VTÖ — y 8 erweitert

4    4

yio + y3

/ 4    4    \    / 4    4_\ / 4    4    \

(y~5 — y2) (yiö-yä) __ (^25 — y4J (yio-yr)

(yiö)²-(y3)_>

yTö — y 3

4_ 4    4    4_

y25ö—yiö"—yw+ynr

y 10 —yir

mit y 10 -)- y 3 erweitert

/ 4__ 4    4__4 _\ / 4    4    \

^ 1/25Ö — |/ 40 — /75~ + f 12 j ^yioo+y 9 J

10 — 3

4_ 4    _ 4_ 4_ 4_ 4_ 4_ 4__

j/25000 — ]/4000    — j/7500 +    ^1200 + ^2250    — ]/360    — ]/675    + j/l08

4    4_ 4_ 4_ 4_ 4    4    4

5 yiö — 2 /250 — 5j/12 + 2/75 + /2250 — Mo — /675 + /108

XXL 1Za+ fb"+ -dem Satze c = V c², daher)

y b (vereinfacht man nach

₌ j/(/a + yb + 1/a-fb)2 = |/( y^M+)' + 2 vt+tf -

= j/a-f-^b + 2^/(a-)-l/b)(a — fb) + a — / b = j/ 2 a + 2 b a² — (/b)² = j/2 [a + V a² —Hb].

Es ist nun nicht nötig, für ein gegebenes spezielles

Beispiel >Z 11 + 2 /To — ^11 — 2 /lö, welches in gleicher Weise vereinfacht werden soll, die ganze Rechnung zu wiederholen, denn mit der vorstehenden „Formel" (so nennt man einen allgemeinen Ausdruck, der alle speziellen Fälle gleicher Art einschließt) erhält man unmittelbar die Lösung. Da jedoch dieser spezielle Fall noch nicht die Form

jenes gegebenen allgemeinen Ausdrucks hat, da dort / b ohne Faktor ist, so ist erst noch in dieser speziellen

Aufgabe der Faktor von VlO in die Wurzel zu bringen.

^ 11 -j- ^4^ — * 11 — 140 hat nun die gewünschte Form. Vergleicht man jetzt damit jenen zuerst gegebenen Ausdruck, so erkennt man sofort, daß an die Stelle von a: 11 und an die Stelle von b: 40 treten muß. Die

Lösung ist mithin ^ 2 [a — Va²—b] = ^2 [11— Vll²—40]

= ^2 (11 — /81) = V 2 (11 — 9) = 2.

XXII. Nach dem vorstehenden Satze ist ^2a    = V' a + fb ± ^ a —/b,

oder ^ 2a ± V(2a)² — 4b = ^ a -f- Vb + ^ a — Vb.

Setzt man hier a —

f so entsteht:

to

Hb

iHy

— 4b =

/t + inr

± l/-f- - fb; b. i.

y»±    - *b=|/i+)/s+]/-!— j/is

Hier noch m² — 4b — u gesetzt, also 4 b — m² — n (denn der Minuend um den Rest vermindert, muß den Subtrahend geben):

=^ +

d.i.

n l/m- ftn’-n — ' 2

Ist nun I m² — n eine rationale Zahl (m² — n also ein vollständiges Quadrat), so wird ein Ausdruck von der

Form 1 m + Vn durch vorstehende Formel wesentlich vereinfacht. Z. B. ^19 — 41/15 — ? Zuerst stellt man vorstehende Form her, indem man den Faktor 4 in die Wurzel

bringt — ^ 19 — V 240. Mit ^ m — Vn verglichen, ist m —19, n = 240. Dies in die Formel ^ eingesetzt und das untere der Zeichen dz genommen, giebt:

v 19 -/240 = /^+^:

l/Iö + yMT

' __

—- 240

1 / 19 — fl¥ 2~

— 240

— 240

j/i9-fl2T ₌ j/i9±n

XXIII. Wird in vorstehender Formel n — — r² gesetzt, so entsteht:

- (- r²)

±r

— }/ m² — (— r²)

d.i.

I m dz fr²

l/m + ym² + r2 ~~2

m ²-(- r² — m

• (— 1) oder

]/m

dt ri

m² + r²+m

yz

Diese Formel wendet man stets an, auch wenn Vm²+r2 nicht rational ist, um i aus der Wurzel herauszuschaffen.

Z. B. V — 5 + 21 — ? Hier ist m — — 5, r = 2 und von den Doppelzeichen das obere zu nehmen. Daher

LC

|/1/29 — 5

29 + 5

•i

^‘38516    ^    |

• i ==

5-38516    5

1/ 0'38516

V 2

|-1/1+15. i = VöT

19258

+ V5.

19258

- i- O.439 + 2-279 i-

§31. Ouadratwur;elaus;iehen.

A. Aus speziellen Zahlen.

I. Die Quadratwurzel (b. i. die 2. Wurzel — s. § 2, VI) ist diejenige Zahl, welche, auf das Quadrat erhoben, die

Wurzelbasis giebt. Es ist Vo^ög = 0-i₆, weil 0.₁₆² = 0.₀₂56

ist. Aus VT = 1, VTÖO = 10, VlOOOO = 100 2C. folgt, daß die Quadratwurzel aus einer ein- oder zweistelligen ganzen Zahl eine einstellige Zahl, die Quadratwurzel aus einer drei- oder vierstelligen Zahl eine zweistellige Zahl

ist re. V5776 muß daher eine zweistellige Zahl geben, die

aus z Zehnern und e Einern bestehen mag. Aus V5776

—    10 z + e aber folgt:    5776 — (10 z + e)²

—    (10 z)² -j- 2.10 z. e -j- e² — 10O z² -+ 20 z. e-j- e². Setzen wir zunächst 100z² — 5776, so muß der 100. Teil, d. i. z² — 57 und daher die Zahl der Zehner z = 7 sein. V5776 kann in der That noch nicht 80 sein, bet 80²= 6400.

Noch sind die Einer e unbekannt. Da die Zehner 7 bekannt

sind, so ist si5776 = 10.7+e=70 + e oder 5776 = 4900 + 2.70. e-fe². Mithin ist 5776 — 4900 = 2.70 e + e² oder 876 = 2.70 e + e². Da nun e² gegen 2.706 sehr klein ist, so mag dieses Glied einstweilen vernachlässigt werden, und man findet annähernd aus 2. 70 e

876

= 876 die Einer e =

2 . 70

70² (= 4900), dann imt 2.70.6 + 6² = (140 + 6). 6 = 146.6 = 876 vermindert, den Rest 0 läßt, so ist 70 + 6 = 76 die ]/ aus 5776.

= 6. Da 5776 zuerst um

II. Aus diesen Betrachtungen ergeben sich für das Quadratwurzelausziehen folgende Regeln:

1) Die Zahl, ans welcher die si gezogen werden soll, ist vom Komma an nach links und rechts in Klassen von je zwei Ziffern abzuteilen. Die erste, einer ganzen Zahl angehörende Klasse kann mithin aus einer oder zwei Ziffern bestehen, jede folgende jedoch muß aus zwei Ziffern bestehen.

Z. B. V269 = V2|69,|0Öj; V93/746 = V93,|74|60|;

1+00008 = V0,|00|00|80|.

Enthält die Basis gemeine Brüche, so verwandelt man dieselben entweder in Dezimalbrüche,

z. B- ++0 = 1/0,|02|68|29|26|82|92| • • • oder man wendet §30, XVIII, 1. Zusatz an,

|/65

s. m = y%=]/+=

berechnet, so dividiert man

06226

hat man dann i 65 = 8. diese Zahl noch durch 5.

2)    Aus der ersten, Einheiten enthaltenden Klasse zieht man hierauf die V nach folgender Tabelle:

n == 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 Vn = 1, 2, 3, 4,    5, 6, 7,    8, 9

In der Folge giebt jede Klasse eine Stelle für die Wurzel. Daher

1, 3

1490000 = i 49]00|ÖÖ =    7 0 0

Vo,00005 — y 0, [00|00|ö0|

=    0, 0 0 7

3)    Das Quadrat der aus vorstehender Tabelle für die Wurzel erhaltenen ersten Stelle ist von der betreffenden Klasse abzuziehen und dem Rest die folgende Klaffe anzuhängen. Die folgende (zunächst also zweite) Stelle der Wurzel erhält man nun annähernd, wenn man den so vergrößerten Rest nach Streichung der letzten Stelle durch das Doppelte der bisher erhaltenen (als ganze Zahl gedachten) Wurzel dividiert. Z. B.

f¹*/^ = V0,|41|93|54|83|.... = 0,6 6² = 36

593

Der um die letzte Stelle 3 verkürzte Rest (593) durch das Doppelte der bisherigen Wurzel (durch 2.6 — 12) dividiert, giebt annähernd die neue Stelle der Wurzel. Daher 59:(2.6) = 59:12 = 4. Bis jetzt ist = 0,64.

4) Hierauf ist das Produkt der folgenden zwei Faktoren von dem unverkürzten Rest (593) abzuziehen:

1.    Faktor: Die Zehner desselben — dem Doppelten der frühern Wurzel (also = dem soeben benutzten Divisor);

die Einer — der neuen Stelle.

2.    Faktor: Die neue Stelle selbst.

In Vorstehendem Beispiele sind mithin die Zehner des 1 Faktors ----- 2 . 6 ----- 12, die Einer desselben — der neuen Stelle 4; der 1. Faktor ist also 124. Der 2. Faktor ist = der neuen Stelle 4. Folglich ist von 593 das Produkt 124.4 = 496 zu subtrahieren und dem Rest die folgende Klasse anzuhängen. Bisher:

r0,4l|93|54|83|... = 0,64

36

593;

496 ----- 124.4

69: (2.6) = 59:12    4 (die 2. Stelle der si).

9754.

Die 3. und 4. Regel hat man so lange zu wiederholen, bis entweder die si aufgeht, oder eine genügende Anzahl von Stellen berechnet sind.

Das letzte Beispiel noch einige Stellen fortgesetzt: V0,|41|93|54|83|87[09|... = 0,647576

36

593; 59:12 = 4 (2. Stelle der Wurzel) 496 = 124.4

9754; 975:(2.64) = 975:128=7(3.©teileb.SB.)

9009 ----- 1287.7

(4. Stelle d.W.)

74588; 7458: (2.647) ----- 7458:1294 = 5 64725 ----- 12945.5 985887; 98588:12950 = 7 (5.StellederW.) 906549 ----- 129507.7

7933809; 793380 :129514 = 6 (6. Stelle

der Wurzel).

5) Ist das durch die vierte Regel berechnete Produkt größer als jener Rest, die Subtraktion also unmöglich, so ist der durch die dritte Regel mittels Division gefundene Quotient für die neue Stelle zu groß und diese daher kleiner anzunehmen.

Z. B. l'Tyä = 1^7,1501001 ----- 2 2² = 4

CU

350; 35 : (2.2) = 35 : 4 =

Da das mit diesem Quotient 8 nach der dritten Regel gebildete Produkt 48 . 8 — 384 von jenem Rest 350 nicht abgezogen werden kann, so ist 8 zu groß und folglich versucht man nun die nächst kleinere Zahl 7, die sich auch als die richtige erweist, da das Produkt 47.7 — 329 von 350 abgezogen werden kann. Die Rechnung ist nun folgende:

V7,|50 [00| = 2,73861

2²= 4

350; 35:4 = 7 (2. Stelle der SB.)

329 = 47.7

2100; 210:54 = 3 (3. Stelle der SB.)

1629 = 543.3

47100; 4710:546 = 8 (4. Stelle der SB.) 43744 = 5468.8

335600; 33560:5476 = 6 (5. Stelle der W.) 328596 = 54766.6

700400; 70040:54772 = 1 rc.

6) Zur Vermeidung von Fehlern ist dem Ungeübten anzuraten, mit 0 in der Wurzel so zu verfahren, wie mit

jeder andern Stelle. Z. B l291³/4 —

V2|91,|75|00| = 17,080 ...

1²=1

191; 19: (2.1) = 19:2 = 7 (2. Stelle der SB.) 189    = 27.7 (8 und 9 als 2.Stelle der W. ist zu

groß, da schon 28.8 >> 191!)

275; 27:34 = 0 0 = 270.0

27500; 2750:340 = 8 (3. Stelle der SB.) 27264 = 3408.8

23600; 2360 :3416 = 0 (4. Stelle der SB.) 0 = 34160.0

23600 rc.

7) Hat man schon etliche Stellen der Wurzel berechnet, so findet man noch eine weniger als bisher berechnet waren, wenn man den um die erste Stelle der folgenden Klasse vergrößerten Rest durch das Doppelte der bisherigen Wurzel dividiert. Im letzten Beispiel blieb nach der Berechnung der fünf Stellen 17,080 der Rest 23600. Man wird also durch 236000 : (2.17080) = 236000 : 34160 noch weitere vier Stellen erhalten.

Da nun 23600:3416 = 6909

20496

31040

30744

29600

so ist ^291,75 — 17,0806909.

III. Ist Va annähernd — n, so findet man die Wurzel durch den folgenden (vom Verfasser R. Sch. gefundenen) Ausdruck mit großer Genauigkeit (auf mindestens 3mal so viel Stellen richtig, als n).

a + 3n²

vi = !(t+ 8a

1. Beispiel. 144 = 6,63. 3Rit a = 44, n = 6,63

8 . 44

44 + 3 . 6,63^

= 2,21 1 +

erhält man /44 — pp fl -s-

•[*+

352

= 2,21

352

44 + 3 . 43,9569

= 2,21.3,001470398 = 6,633249580. (Sämtliche 9 Dezimalen sind richtig.)

175,8707

2. Beispiel. 1 42 — 6,48. Nimmt man nur den weniger genauen Wert 6^, so erhält man V 42 —

8.42

42 + 3. TO

^[i+

— ²Ve 1 +

= 6,4807407. (Sämtliche 7 Dezimalen sind richtig.)

8.14.4

14.4+ 169

Aus Va² -j- 2 ab -f- b² = a-f-b ergießt sich folgendes Verfahren:

Zunächst ist die Wurzelbasis streng anzuordnen (z. B. streng nach absteigenden Potenzen der Hauptgröße). Die Quadratwurzel aus dem ersten Gliede dieser Wurzelbasis ist alsdann das erste Glied der gesuchten Wurzel. Das Quadrat dieses ersten Gliedes ist vom ersten Gliede der Wurzelbasis zu subtrahieren. Es bleiben die folgenden Glieder der Wurzelbasis als Rest. Das erste Glied dieses Restes durch das Doppelte der Wurzel dividiert, giebt das zweite Glied der Wurzel. Von jenem Rest ist hierauf das Produkt aus dem neuen Gliede und dem soeben als Divisor benutzten Doppelten der Wurzel, außerdem aber noch das Quadrat des neuen Gliedes zu subtrahieren. Aus dem jedesmaligen Rest und der ganzen bisher erhaltenen Wurzel findet man nun stets ein neues Glied der Wurzel, wenn man das Doppelte der bisherigen Wurzel als Divisor benutzt und das erste Glied des Restes durch das erste Glied dieses Divisors dividiert. Ist hierauf vom Rest das Produkt aus dem neuen Gliede und dem ganzen Divisor und außerdem noch das Quadrat des neuen Gliedes subtrahiert worden, so verfährt man mit dem neuen Rest auf gleiche Weise. Z. B.

]/?Oan -)- 9x² — 42nx — 30ax -j- 49n² -f- 25 a² = ?

Geordnet:

]/9 3²—30ax-|-25a²—42nx-j-70an-j-49n² = 3x— 5a—7n. (3x)² = 9x²____

—30ax+25a² :6x (das Doppelte b.38.) = — 5a

(das 2. Glied der W.) — 30ax-f-25a² — Divis. 6xXn. Gld. -s- (n. Gld.)²

—42nx-f-70an-f-49n² : 6x—10a

(dasDopp. d. W.)—— 7 n (3. Glied der W.)

—42nx-j-70an-f-49n²

Die vorletzteZeile nämlich = Ds. (6 x—10 a) x ti. Gl. (-7 n) + (n. Gl.)².

^ — ? Geht die Wurzel aus

2. Beispiel, j/^

dem ersten Gliede des Polynoms nicht auf, so trennt man dasselbe nach § 23, II, um es in 1 zu verwandeln.

S) = ]/¥ • F"¹ - S’ Nu» zieht man

aus dem Binom allein die die schließlich mit j zu multiplizieren ist.

225

3375

15 _    15

8 a2 1    16 a² 512 a⁴ 8192 a⁶

- in ins.

I2 ₌ i

15

gjjä : 2 (das Dopp. der W.)

15

225

8 a2 1 256 a⁴

225

256 a⁴

~ (2. Glied ber SB.) (Divisor 2) X (n. Gld. —    (n-®I.)²

1 P)

^2 (das Dopp. der W.) —

225

512 a⁴

(3. Gld. der W.)

225

3375

50625

256 a⁴ * 4096 a⁶ ' 262144 a⁸

(3-a

225

+(■

512 a4 225 \2

512 a⁴

3375

50625

15

225

8 a² 256 a⁴

4096 a⁶ 262144 a⁸

3375

8192 a⁶

(4. Gld. d.W.).

Das Resultat der Aufgabe ist nun

15

225

3375

16 a² 512 a⁴ 8192 a⁶

§ 32. Kubikwurzel aus speziellen Zahlen.

I.    Nach § 2, VI ist die Kubikwurzel (3. Wurzel) diejenige Zahl, welche, auf die 3. Potenz erhoben, die Wurzelbasis

3

giebt. Es ist vTÖÖÖ = 10, weil 10⁸ — 1000 ist;

— Vs ist. Nach § 20 ist ferner:

fW = Vs, weil (Vs)

(10z + e)³ = 1000z⁸+3.100z².e + 3.10z.e² + e⁸, folglich ist auch umgekehrt:

3__

VlOOOz³ —(3.100z³ -]- 3.10z . e -j- e²) e= lOz-j- e.

Sind z die Zehner, e die Einer der 3. Wurzel aus einer Zahl, so ist durch die Glieder der linken Seite dieser Gleichung die Regel für das Ausziehen der Kubikwurzel aus speziellen Zahlen angedeutet.

II.    Das Verfahren ist mithin folgendes:

1) Die Wurzelbasis ist vom Komma an nach links und rechts in Klassen von je 3 Ziffern abzuteilen. Aus der 1. Klasse, welche Einheiten enthält, ist sodann die 3. Wurzel nach folgender Tafel zu ziehen:

n = l, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729

7,    8    9.

n — 1, 2, 3,    4,    5,    6,

Jede Klasse giebt eine Stelle in der Wurzel.

3__ 3____

Z. B. l/97386¹/₂ =}/97|386,|500|

= 5).

3

s 0,00000006 =

3

. , . (bemtl/64=

= 0, 0    0    3

2)    Der Kubus der aus jener Tafel für die Wurzel gefundenen Stelle ist von der betreffenden Klasse abzuziehen und dem Reste die folgende Klasse anzuhängen.

3)    Annähernd erhält man nun die folgende (2.) Stelle der Wurzel, wenn man den so vergrößerten Rest nach Streichung der beiden letzten Stellen durch das dreifache

Quadrat der bisher erhaltenen (als ganze Zahl gedachten) Wurzel dividiert. Z. B.

V 7 7 V? = V77,|142|857|142| = 4,2 4³ = 64

13142;    131 : (3.4¹) = 131 : 48 = 2

(die 2. Stelle der W.).

4) Hierauf sind folgende 3 Zahlen zu bilden:

Die 1. ist der soeben benutzte Divisor (das dreifache Quadrat der früheren 28.); die 2. ist das dreifache Produkt aus der früheren Wurzel und der neuen Stelle; die 3. ist das Quadrat der neuen Stelle.

Diese 3 Zahlen sind, nachdem jede nachfolgende um eine Stelle nach rechts ausgerückt ist, zu addieren, die Summe mit der neuen Zahl selbst zu multiplizieren, das Produkt von jenem (unverkürzten) Rest zu subtrahieren und dem neuen Rest die folgende Klasse anzuhängen.

3__

Z. B. V77,|142|857|142| = 4,2 4³ = 64

13142;

131:48=2

CO CO

fcO 00

Dies läßt sich nun durch das folgende (born Verfasser R. Sch. gefundene) Verfahren vermeiden, durch welches der jedesmalige Divisor in sehr einfacher Weise berechnet wird. Man benutztnämlichhierzudiedreiZahlen,welchebeiderBerechnung der vorhergehenden Stelle nach der vierten Regel gefunden wurden, indem man die dort erhaltene Summe der drei Zahlen noch um die mittelste Zahl und das Doppelte der dritten Zahl vermehrt. Daher in Bezug auf das vorstehende Beispiel: 5044

24. die 2. Zahl A

_8_ das Doppelte der 3. Zahl B

5292 der neue Divisor.

Zu bemerken ist noch, daß der durch die dritte Regel gefundene Quotient (namentlich bei der Berechnung der zweiten und zuweilen noch der dritten Stelle der W.) nicht immer die neue Stelle giebt, daß dieselbe vielmehr oft eine weit kleinere ist, als jener Quotient.

Beispiel:

3__

77,|142|857|1421857| ----- 4,2569 ....

4³ ---- 64

13142 ;    131: (3.4²) = 131: 48 = 2 (2. Stelle der W.)

5044

3.4² = 48 . . (der letzte Divisor) 3.4.2— 24 .

24.

2² =    4

10088...........

3054857; 30548

5044.2

5292 der folg. Ds. : 5292 = 5 (3. Stelle der W.)

3.42²= 5292 . . (der letzte Ds.)

3.42.5 -----    630 .

5² —    .25

535525

630.

50

541875 der folg.Ds.

535525.5

377232142; 3772321: 541875 ----- 6 (4. Stelle der W.)

54264036 7650 .

2677625

541875. . 3.425.6----    7650 .

6² —

36

72

54264036.6    54340608 der folg. Ds.

51647926857; 516479268:54340608 --- 9 (5. St. d. W.) re.

325584216

II. Ist?a annähernd — n, so erhält man die dritte Wurzel durch folgende (vom Verfasser R. Sch. gefundene) Formel auf mindestens 3mal so viel Stellen richtig, als durch n bestimmt sind.

a + 2ns

Beispiel. ?37 — 3,332.... Nimmt man nur n—3¹J₃, 8.-37, so ergiebt sich

3.37

⁶/s[l +

3.37.27 1

37+2. rm

5.37.27 37.27 + 2000

= 3,33222185173 (statt 3,33222185165!).

37.27 + 2000

III. Mittels der Quadrat- und Kubikwurzel lassen sich nun

auch folgende Wurzeln berechnen: 1 = JV V = ]/]/

Z-B. ^

|/y; y=j/]/y7 y=y+ k.

3    -

\ ?0,181818...

= l'0,56651633 = 0,827442.

§ 33. Die Logarithmen. Einleitung.

I. Aus an = b entstand, wie in § 2, VI und VII gezeigt wurde, der Ausdruck algb = n, gelesen: „a-Logarithmus von b = n". Aus 10⁵ = 100000 z. B. folgt ¹⁰lg 100000

= 5; aus (²/s)⁴ — ¹⁶/si' % ¹⁶/si — 4. Sn ⁵lg 125 = 3 unterscheidet man 5 als Basis (Grundzahl) des Logarithmus, 125 als Numerus (Logarithmand, absolute Zahl, natürliche Zahl), 3 als Logarithmus.

5044.2

Da die Logarithmen mit der Basis 10 (die dekadischen oder Briggsschen Logarithmen) wesentliche Vorteile vor allen anderen Logarithmen bieten, so sind diese auch beim praktischen Rechnen allein im Gebrauch. Sie werden daher gemeine oder vulgäre genannt. Die Basis 10 wird stets weggelassen, mithin bedeutet lg 100000 = 5 (gelesen: „der Logarithmus von 100000 ist—5") so viel ctt§ ¹⁰lglOOOOO = 5. Der Erfinder der Logarithmen ist John Rapier („Neper"). Von diesem schottländischen Mathematiker wurden zuerst (um 1610) die natürlichen (neperschen, hyperbolischen) Logarithmen aufgestellt, deren Basis 2,718281828459 ... ist, die aber nur in der höheren Mathematik gebraucht werden. Aus diesen leitete Henry Briggs (1618) die schon erwähnten gemeinen Logarithmen ab. Letztere bezeichnet man mit lg (oder log. oder lg. vulg. d. i. logarithmus vulgaris, gemeiner Logarithmus), die natürlichen Logarithmen mit 1. (oder lg. nat. d. i. logarithmus naturalis, natürlicher Logarithmus). Obgleich der große Nutzen der Logarithmen in den folgenden §§ ersichtlich wird, mag doch hier schon darauf aufmerksam gemacht werden, daß dieselben in allen höheren Teilen der Mathematik nicht bloß wesentliche Vorteile bieten, sondern geradezu unentbehrlich werden. Viele Aufgaben, die jeden Augenblick in der Praxis vorkommen können, werden durch dieselben oft in wenig Sekunden gelöst, während sie ohne Logarithmen nicht bloß ungeheure Zeit erfordern, sondern außerdem noch besondere Schwierigkeiten bereiten können.

II. Die logarithmische Gleichung (bezw. der Logarithmus) ist richtig, wenn „Basis Logarithmus — ^umem§" ist, denn algb — n ist aus an — b entstanden. Z. B. ist ¹⁰lg 100—2, weil Bas. ^.=102=100 = Num. ist; ¹⁰lg Vioooo = —4,

also lg 0,0001= —4, weil 10^ = ^=0,0001 ist;

, ⁶igV2i6 = -3; mett 6-⁸= Vw.

§ 34. Die vulgären Logarithmen.

Da die Zehn-Logarithmen allein im Gebrauch sind, so mögen auch nur diese von jetzt an berücksichtigt werden.

lg 10    =1

lg 100 =2 lg 1000 = 3;

„ lg 10¹ = 1 oder „ lg 10² = 2    „

„ lg 10³ = 3    „

I.    Es ist lg 10n = n (also vollständig: ¹⁰lglOn=n); denn Bas. Soa- = lon — Num. n — O giebt lg 10° = 0, d. i. (s. §12, VII) lg 1 n = 1 n — 2 n—3

lg 10000 = 4; lg 100000 = 5 rc.

n = oo giebt lg 10°° = oo, d. i. Ig oo = oo.

Schon hieraus folgt, daß lg 31,623 zwischen 1 und 2 liegt. In der That ist ¹⁰lg 31,623 = 1,5, denn IO¹-⁶

= 1011/2 = IO¹ . 10% — lotlö = 10 . 3,1623 — 31,623 —Rum.

II.    In lg!O° —n:

n = — 1 gesetzt, giebt lg 10_1 = - 1, oder lg 1Q1 = — 1, oder lg 0,1 =—1; n = — 2: lglO“² = — 2, ober lg= — 2, oder lg0,01 — — 2;

Ebenso lg 0,001 = — 3, lg 0,0001 = — 4 rc.

00,

— 00 giebt lg IO⁻“ ==—- 00, b. t. lg

•— 00.

oder lg — — ■— 00, oder lg 0 —

III.    Betrachtet man die in I und II gefundenen Werte:

lg 00 = 00    |

lg 1 = 0    | (Z)

lg 0 = — 00 *

so ergiebt sich: Die Logarithmen der Zahlen, welche größer als 1 sind (zwischen 1 und oo), liegen zwischen 0 und oo, sind also positiv; die Logarithmen der Zahlen, welche kleiner als 1 und größer als 0 sind, liegen zwischen 0 und

—    oo, sind also negativ.

IV.    Aus Z (siehe III) ersieht man ferner: Wollte man links unterhalb 0 gehen, also negative Numeri annehmen, so müßte der Logarithmus (auf der rechten Seite) unterhalb

—    oo liegen. Da dies unmöglich ist, so wissen wir:

Die Logarithmen der negativen Zahlen sind

imaginär.

V.    10lgb = b (oder vollständig: 1010lgb = b; gelesen: „10 hoch 10-Logarithmus von b ist — b").

B ew. Da ¹⁰lgb = ¹⁰lgb unbedingt richtig ist, und man links Basis 10, Numerus b, rechts Logarithmus ¹⁰lgb unterscheiden kann, so muß auch „Bas. s°ö* — Num." sein, d. i. 10¹⁰¹gb = b.

Beispiel. I0lgl00° = 1000. In der That ist (s. I) lg 1000 — 3 und daher jene Gleichung: 10³ = 1000.

VI.    lg (a.b) = lga + lgb. (Vollständig: ¹⁰lg (a. b)

—    ¹⁰lga + ¹⁰lgb.)

Der Logarithmus eines Produkts ist — der Summe der Logarithmen der Faktoren.

Bew. Unterscheidet man links: Basis 10, Num. a.b, rechts ¹⁰lga + ¹⁰lgb als Logarithmus, so ist Bas. ß00* ₁₀i°iga + ioigb _ ₁₀loiga . io¹⁰¹sb (s. § 12, 3) = a . b

(s. V) — Num.

Beispiel, lg (100 . 1000) = lg 100 + lg 1000 = 2 + 3=5. In der That ist lg 100000 = 5 (s. I). Zusatz. Umgekehrt ist lga + lgb = lg (ab).

VII.    lg-=lga- lgb. (Vollst.: ¹⁰lgl = »>lga — ¹⁰lgb.)

Der Logarithmus eines Quotient ist = dem Logarithmus des Dividend vermindert um den Log. des Divisor.

Bew. Bas. s°n- = ig_ t0“iga . ₁₀ “igb (s. § 12, VI) = a: b (s. V) = Num.

Beispiel, lg ¹⁰/₂ = lg 10 — lg2 = 1 — 0,30103 (f. bie Wittsteinschen Logarithmen Seite 1, 1. Spalte) — 0,69897. In der That ist lg5 = 0,69897 (s. Wittstein S. 1).

1.    Zusatz. lgi= —Igb; benn lg^ = lg 1 — lgb — 0 — lg b (s. I) = — lg b.

Beispiel, lg0,25 = lg ¹/i — — lg4.

— lg— Bew. Setzt man im I.Zus.

i c , , - ä _ . c

!g-, b.t.lg- = -ig-.

2.    Zusatz. lg^

b— , so erhält man lg

Beisp. lg⁴/₇=—lg⁷/₄ = -lgl,75.

3. Zusatz. Umgekehrt ist lga — Igb — lg^-

VIII.    lga” = nlga. (Vollst. ¹⁰lgan — n . ¹⁰lga.)

Der Logarithmus einer Potenz ist — dem Exponent

multipliziert mit dem Log. der Basis.

Bew. Bas. Log- = ionl§a = (IO¹**)“ (f. V) = an

—    Num.

Beisp. lg2⁶ = 6lg2 = 6.0,30103 (s. Wittst. S. 1)

—    1,80618 (s. Wittst. S. 1). In der That findet man lg 64 (denn das ist lg 2⁶) — 1,80618 (auf derselben S. 1,

3. Spalte).

Zus. Umgekehrt: nlga — lg(an).

n ,

IX.    lg} a — Der Logarithmus einer Wurzel ist

der Log. der Wurzelbasis dividiert durch den Wurzelexponent.

= Vl0lga =yä== Num.

lg a

Bew. Bas.L°°- ^ 10 °

8. SB. Igl'2s/, = lgl'>»/, 1,27875 — 0,84510

0,43365

(s.Wittst.S.1)

Wie aus den nächsten §§ folgt, findet man sehr leicht, daß

0,14455.

0,14455 der Log. von 1,8949. Folglich ist lgV2⁵/₇

3_

= 0,14455 = lg 1,3949 und mithin V2⁵/₇ — 1,3949 sehr schnell berechnet.

Zus. ™==lgVai

X. Nur die Logarithmen der ganzzahligen Potenzen von 10 sind rationale Zahlen; z. B. lg 1 = 0, lg 10 — 1, lg 10000 — 4. Die Logarithmen aller übrigen ganzen Zahlen sind irrational, also unendliche, unperiodische Dezimalbrüche. Z. B. ist

lg 2 — 0,30102999566...; lg700= 2,84509804001....

Jeder Logarithmus (d. i. in vorstehenden Gleichungen die Zahl rechts; denn die Zahl, vor welcher lg steht, ist stets der Numerus) besteht also aus einer ganzen Zahl und einem Dezimalbruch. Die ganze Zahl nennt man Kennziffer (oder Charakteristik), den Dezimalbruch: Mantisse (d. i. wörtlich: Zugabe). In lg700 = 2,8450980 ist 700 der Numerus, 2,8450980 der Logarithmus, 2 die Kennziffer, 8450980 die Mantisse.

Da die logarithmischen Tafeln die Mantissen doch nur bis auf eine gewisse Anzahl von Dezimalstellen enthalten können, so sind die Mantissen ohne Ausnahme abgebrochene Dezimalbrüche. Die 7stelligen Logarithmen von Bruhns (die besten 7stelligen Logarithmen! 4. Auflage. 1894) enthalten z. B. lg2 = 0,3010300; lg 700 = 2,8450980. Für die Zwecke dieses Buches genügen 5 stellige Logarithmen, und zwar sind hier die von Wittstein (Hannover, Hahnsche Buchhandlung) gewählt worden. Diese wird also der

Leser zur Hand nehmen müssen, wenn er die nächsten §§ verstehen und mit Logarithmen rechnen lernen will.

XI. Die Logarithmen der Zahlen, welche größer als 1 sind.

Da lg 1 = 0, lg 10 = 1, so muß lg 2,603 zwischen 0 und 1 liegen. Es ist in der That lg 2,603 = 0,41547. Daraus lassen sich nun die lg 26,03, lg 260,3 u. s. w. ableiten, denn: lg26,03 = lg (10.2,603) == lg 10 —f- lg 2,6 0 3 (siehe VI) = 1-s-0,41547 (siehe I) = 1,41547; lg 260,3 = lg (100.2,603) = lg 100 + lg 2,603 = 2 + 0,41547 = 2,41547; lg 2603 = lg (1000 . 2,603) = lg 1000 + lg 2,603 = 3 + 0,41547 = 3,41547.

lg 26030 = lg (10000.2,603) = 4,41547.

lg 26030000 = 7,41547 re.

Die hier angegebenen Numeri bestehen alle aus denselben Ziffern, wenn man vom Komma absieht (2,6030 und 26030 z. B.), die Mantisse ist überall dieselbe: 41547, die Kennziffer ist bei lg 26,03 = 1, bei lg 26030000 = 7, bestehen also die Ganzen des Numerus aus zwei oder acht Stellen, so ist die Kennziffer 1, bezw. 7, also immer 1 kleiner als die Anzahl der Stellen der ganzen Zahl des Numerus. Es ergeben sich mithin die folgenden wichtigen Sätze:

A)    Bestehen 2 Numeri ohne Rücksicht auf die Stellung des Komma aus gleichen Ziffern, so haben ihre Logarithmen gleiche Mantissen;

B)    Bestehen die Ganzen des Numerus aus z Ziffern, so ist die Kennziffer z — 1;

C)    Umgekehrt: Ist die Kennziffer eines Logarithmus = k, so bestehen die Ganzen des zugehörigen Numerus aus k-j- 1 Ziffern.

1.    Beisp. lg 38,1? Nach A ist die Mantisse des lg38,1 = der des lg 381, nämlich 58092 (s. Wittstein S. 9, links ob.). Ferner sind die Ganzen (38) zweistellig, folglich ist (nach B) die Kennziffer 2 — 1 = 1. Mithin lg 38,1 = 1,58092.

2.    Beispiel, lg 660000? Die Mantisse ist nach A dieselbe wie von lg 66, lg 660, lg 6,6 re., folglich ist sie 81954 (s. Wittstein S. 16, links oben). Ferner bestehen die Ganzen des Num. (660000) aus 6 Ziffern, folglich ist nach B die Kennziffer 6 —1=5.

Daher lg 660000 = 5,81954.

3. Beispiel. Es sei der lg einer unbekannten Zahl x bekannt, z. B. lg x — 0,87040. Wie groß ist x? Zur Mantisse 87040 findet man in Wittst. S. 18 links oben den Num. 742. Der gesuchte Numerus x besteht also aus den Ziffern 742. Da nun die Kennziffer 0 ist, so muß der Numerus nach C aus 0 -f -1 Ziffern, d. i. aus einer Ziffer in den Ganzen bestehen. Daher x = 7,42.

Zusatz. Die logarithmischen Tafeln enthalten stets nur die Mantisse (s. Wittst. S. 2 bis 24), da die Kennziffern, wie soeben gezeigt worden ist, sich von selbst verstehen. Auch wäre die Kennziffer nur störend, denn da lg 82, lg 8,2, lg82000 dieselbe Mantisse 91381 (s. Wittst. S. 20, links oben) haben müssen, so sucht man an derselben Stelle sowohl lg82= 1,91381, wie lg 8,2 = 0,91381 oder lg 82000 = 4,91381 auf.

XII. Die Logarithmen echter Brüche (der Numeri, die kleiner als 1 und größer als 0 sind).

a) Die Logarithmen echter Brüche sind negative Zahlen (s. II); z. B. ist lg0,2603 = —0,58453. Da man nun in den Tafeln zu dem Numerus 2603 die Mantisse 41547 findet (s. XI), so würde das in XI, aufgestellte Gesetz keine allgemeine Geltung haben. Man stellt daher die Logarithmen der echten Brüche als Differenzen dar, bei welchen der Minuend dieselbe (positive) Mantisse enthält, die wir für die aus denselben Ziffern bestehenden Numeri schon in XI kennen lernten. Außerdem bekommt diese Mantisse noch als Ganze eine [sogenannte „Positive Kennziffer". Der negative Teil dieser Differenz ist stets eine ganze Zahl, die negative Kennziffergenanntwird. Beispiel, lg0,2603 = 9,41547:— 10. Hier ist die Mantisse 41547 (also die des lg 2,603 oder lg 26,03 — s. XI) die'positive Kennziffer 9,

die negative Kennziffer—10. Die übliche Darstellung dieser Log. ist aus den folgenden Abschnitten b und c ersichtlich.

b) Aus lg 2,603 = 0,41547 (s. XI) folgt: lg 0,2603 = lg (2,603 :10) = lg 2,603 — lg 10 (s. VII) = 0,41547 — 1;

lg 0,02603 = lg (2,603 : 100) = lg 2,603 — lg 100 = 0,41547 — 2; lg 0,002603 = 0,41547 — 3; lg 0,0002603 = 0,41547 — 4 rc.

Hieraus folgt:

A)    Die Logarithmen echter Brüche (Dezimalbrüche) haben dieselbe Mantisse, wie die Zahlen, welche größer als 1 sind und aus denselben Ziffern bestehen (s. XI) ;

B)    Die Positive Kennziffer (die ganze Zahl vor der Mantisse) ist stets 0.

C)    Die negative Kennziffer ist — n (z. B. — 1, —2, — 3,...), wenn der Numerus in der nten Stelle des Dezimalbruches beginnt (also bezw. die 1., 2., 3. ... Stelle zuerst Einheiten enthält).

D)    Umgekehrt: Hat ein negat. Log. die Form 0,.... — n, so beginnt der Numerus in der ntm Dezimalstelle.

1.    Beispiel, lg 0,07? lg 7, lg 70, lg 700 haben die Mantisse 84510 (s. Wittst. S. 17, links oben, oder Seitei, 1. Spalte), folglich hat auch lg 0,07 diese Mantisse. Nach B ist die positive Kennziffer 0 und die negative — 2, weil der Num. in der 2. Dezimalstelle beginnt (7 in der 2. Dezimalstelle steht). Folglich lg 0,07 = 0,84510 — 2. .

2.    Beispiel, lg 0,00000302? lg 302 hat die Mantisse 48001 (s. Wittst. S. 7, links oben).

Die positive Kennziffer ist stets 0, die negat. Kennz. —6, weil zuerst in der 6. Dezimalstelle Einheiten (3 E.) enthalten sind. Folglich lg 0,00000302 = 0,48001 — 6.

c) Die im vorstehenden Abschnitt b abgeleitete Form der Logarithmen echter Brüche mit der unveränderlichen

positiven Kennziffer 0 und der veränderlichen negativen Kennziffer (— 1, — 2, — 3,...) zeigt sich in der Praxis äußerst unbequem. Dennoch ist diese Form in den meisten Lehranstalten eingeführt, da sich ihre Ableitung unmittelbar aufdrängt. Die Rechner (z. B. Astronomen), welche vorzugsweise mit Logarithmen zu rechnen haben, benutzen dieselbe jedoch nicht, sondern die Form, welche nachstehend entwickelt werden soll und die auch, wir allein benutzen werden.

Man vermehre die in Abschnitt b erhaltenen Logarithmen in der positiven und negativen Kennziffer um so viel Einheiten, daß jedesmal die negat. Kennziffer—10 entsteht.

Daher:

lg 0,2603 = 0,41547 — 1 = 9 + 0,41547 — 1 —9 = 9,41547 — 10;

lg 0,02603 = 0,41547 — 2 = 8 + 0,41547 —2 — 8 = 8,41547 — 10;

lg 0,002603 = 0,41547 — 3 = 7 + 0,41547 — 3 — 7 = 7,41547 — 10; lg 0,0002603 = 6,41547 — 10 re.

Mithin gelten folgende Regeln:

A) Die positive Mantisse ist auch hier dieselbe wie in XI. ß) Die negative Kennziffer ist unveränderlich —10.

C) Beginnt der Rum. in der

1., 2., 3.,4.,......istenDezimalstelle, so ist bezw.

diepos.Kennz. 9, 8, 7, 6, ...(10—n).

Die positive Kennziffer läßt sich auch leicht so bestimmen: Man zählt von der 1. Dezimalstelle an mit 9 beginnend rückwärts, also 9, 8, 7 ....; diejenige dieser Zahlen, die auf die Dezimalstelle trifft, mit der der Rum. beginnt, ist die gesuchte positive Kennziffer.

l.Beisp. lg 0,0000078? lg 78 hat die Mantisse 89209 (s. Wittst. S. 19, links oben).

Die neg. Kennz. ist — 10 (s. B). Die positive Kenn-

987654

ziffer ist durch 0,0000078 bestimmt, denn 4 trifft auf die Stelle (7 Einheiten), mit der der Num. beginnt. Daher lg 0,0000078 = 4,89209 —10.

2. Beisp. lg 0,3? lg 3 hat die Mantisse 47712, außerdem

9

0,3; daher lg 0,3 = 9,47712 —10.

§ 35. Gebrauch der logarithmischen Tafeln.

Das Bestimmen eines lg aus dem gegebenen Num., oder eines Num. aus dem gegebenen lg ist stets mittels der in dem Wittsteinschen Buche S. 2 bis 24 enthaltenen Tafel auszuführen.

A. Das Aussuchen des Logarithmus eines ein- bis vierstelligen Numerus.

Man denke sich den Numerus stets vierstellig, z. B. lg 73 — lg 73,00. Die drei ersten Stellen desselben sucht man in der mit N (Num.) bezeichneten Spalte, die vierte Stelle rechts von L (Log.) in der ersten und letzten Zeile der Seite. Die zwei ersten Stellen des gesuchten Log. befinden sich senkrecht unterhalb „L“, die drei letzten Stellen in der Spalte, welche jene 4. Stelle des Numerus enthält.

Beispiele, lg 94,07 — ? Seite 23, 1. Zeile: lg 94,07 = 1,97345.

lg 0,0365 —? Man suche den vierstelligen Num. 36.50 auf. S. 8 findet man als Mantisse zum Numerus 3650:56229, denn die 56 unterhalb L gilt vom Num.364bis371. Daher:0,0365 = 8,56229—10.

lg 8795000 = 6,94424 (s. S. 21, in der Mitte).

Befindet sich vor den drei letzten Stellen des lg (in den mit 1, 2 bis 9 überschriebenen Spalten) ein *, so sind

diejenigen zwei ersten Stellen der Mantisse vorzusetzen, welche sich auf der folgenden Zeile befinden. Daher lg 1,867 = 0,27114 (s. Seite 4, 7. Zeile).

B. Das Aufsuchen des Numerus zu einem unmittelbar in den Tafeln enthaltenen Logarithmus.

Die ersten zwei Ziffern der Mantisse sind unterhalb L aufzusuchen, die drei letzten Ziffern in den dreistelligen Zahlen, welche sich in der mit 0, 1, 2 ... 9 bezeichneten Kolonnen befinden. In derselben Zeile, in welcher sich diese drei letzten Stellen der Mantisse befinden, findet man in der Spalte N die drei ersten Stellen des Numerus, die vierte Stelle des Num. aber am Kopfe oder Fuße der senkrechten Kolonne, welche dieselben drei Stellen der Mantisse enthält. Z. B.

lgx = 2,66408; x = 461,4 (siehe Seite 11, 2. Zeile), lgy = 8,54020 —10; aus Seite 8, 7. Zeile ergiebt sich y— 0,03469 (s. die letzten Zeilen von A). lgz - 7,41296; z = 25880000 (siehe Seite 5, 3. Zeile von unten).

C. Der Log. eines Num. von mehr als vier Ziffern gesucht.

Es sei der Numerus 14,0763 gegeben, also lg 14,0763 gesucht. Da nur die Mantisse dieses lg zu suchen ist, so denke man sich stets die vier ersten Stellen des Numerus als Ganze; daher lg 1407,63? In den Tafeln sind zunächst die beiden Numeri aufzusuchen, zwischen welche der gegebene Numerus fällt. Seite 3 oben findet man:

lg 1407 = 14829 lg 1408 = 14860.

Bestimme nun die Differenz der diesen beiden Numeri zugehörenden, gleichfalls als ganze Zahl zu betrachtenden Mantissen (14860 — 14829 — 31), multipliziere diese (31) mit dem auf die vierstellige ganze Zahl des gegebenen Numerus folgenden Dezimalbruche (also 0,63 . 31) und addiere dieses Produkt (0,63.31 — 19,53 — 20, da stets nur die ganze Zahl zu berücksichtigen ist) zu dem nächstkleinern Logarithmus der Tafeln, womit die gesuchte Mantisse sich ergiebt:

lg 1407    = 14829

0,63.31=    20

14849 als Mantisse des lg 1407,63.

Da jedoch der ursprünglich gegebene Numerus 14,0763 ist, so ist der zweistelligen ganzen Zahl wegen (s. XI, B) noch 1 als Kennziffer vorzusetzen.

lg 14,0763 = 1,14849.

Die vorstehende Rechnung wird durch die mit P. P. (Partes proportionales = Proportionalteile) bezeichnete Spalte (auf Seite 3) wesentlich abgekürzt. Denn erstens braucht man nicht jene beiden Mantissen vollständig zu subtrahieren, um ihre Differenz zu finden, sondern zieht nur die letzte Stelle (9) der kleinern Mantisse von der letzten (0) der nächstgrößern ab, hier also (da geborgt werden muß) 9 von 10 = 1. Die Differenz muß sich mithin auf 1 endigen, folglich muß sie 31 sein, da unter P.P. 31 sich jenen Numeri und Mantissen zunächst befindet. Zweitens enthält die daselbst mit 31 überschriebene Tafel die Zahlen

1    (Zehntel) 3,1

2    (    „    )    6,2 re. Die Zahlen links (1, 2, 3,..)

14829

beziehen sich auf die Zehntel (5. Stelle) des Numerus, die rechts geben für diese Zehntel die Zunahme der Mantisse. Für 6 Zehntel (5. Stelle von 1407,63) beträgt also diese Zunahme 18,6; für 3 Zehntel würde sie 9,3, für 3 Hundertstel (6. Stelle der Zahl 1407,63) daher 0,93 betragen. Doch ist diese Veränderung für die 6. Stelle des Numerus nicht nötig, da man ja nur 9,3 eine Stelle nach rechts zu rückeu braucht. Um lg 1407,63 zu bestimmen, ist daher die einfache Rechnung folgende:

lg 1407,

CD

(5. Stelle) 6 ,

CD

(6. Stelle)_3__

lg 14,0763 = 1,14849 (nach XI, B).

0,0 (Unter?.?.stetsweggelassen) 1 2,8 . 1 1, 2

2. Beispiel, lg 0,002759087 = ? lg 2759,

44075

IgO,002759087 =7,44076 — 10

D. Der gegebene Log. nicht unmittelbar in den Tafeln enthalten. Der Numerus gesucht.

Vermindere die Mantisse des gegebenen Logarithmus um die nächstkleinere in den Tafeln enthaltene Mantisse und behalte vorläufig den zu letzterer gehörenden vierstelligen Numerus. Zugleich bestimme (nach C) die Differenz der beiden Mantissen, zwischen welche die gegebene fällt, um in dem zu dieser Differenz gehörenden Täfelchen unter ?. ?. jenen Rest (zwischen der gegebenen und nächstkleineren Mantisse) auf der rechten Seite aufzusuchen. Die zugehörige Zahl links ist die 5. Stelle des Numerus. Ist der Rest nicht unmittelbar in dieser Tafel enthalten, so benutze nur die nächstkleinere Zahl, ziehe diese von jenem Rest ab, setze im neuen Rest das Komma eine Stelle weiter rechts und suche den so veränderten Rest wieder in dem Täfelchen rechts auf, um links die 6. Stelle des Num. zu finden. Z. B. lgx = 2,19850

19838 = lg 1579

12,0

11,2 giebt 4 als 5. Stelle des Numerus 8,0 ,, 3 „ 6.    ,,    „    „

Aus der Tafel zur Diff. 28.

Daher x — 157,943.

2. Beispiel, lg z = 6,28083 — 10;

28081 = lg 1909

Aus der r 2,0

Daher z== 0,000190909.

Tafel zur 0,0 giebt 0 als 5. Stelle des Numerus Diff. 22. t 20,0 „ 9 „ 6.......

Offenbar kann man den Numerus nur auf 5, höchstens 6 Stellen bestimmen, da die bei der Benutzung der Differenztafel fortwährend angehängten Nullen, nicht die richtigen Ziffern der gegebenen Mantisse sind, denn schon die 5. Stelle derselben ist durch Abbrechen des Dezimalbruches entstanden.

§ 36. Berechnung des Produkts.

A. x = 23,76.5,89 zu berechnen.

Es ist lgx = lg (23,76 . 5,89) = lg 23,76 + lg 5,89 (siehe § 34, VI), folglich

lg 23,76 = 1,37585 lg 5,89 = 0,77012

lgx = 2,14597

582 = lg 1399

Aus der Diff. 31

15,0

12,4 giebt 4

26,0 giebt 8

x= 139,948.

2. Beispiel, y = 386,92.0,00089745.1,3579;

= 2,58762

lg 386,92 lg 0,00089745 = 6,95301 — 10 lg 1,3579

= 0,13287

lg y = 9,67350— 10 y = 0,471522.

B. Der praktische Rechner läßt, wie es auch hier geschehen soll, bei allen Operationen mit Logarithmen die negative Kennziffer — 10 stets weg. Damit hängt jedoch eine gewisse, wenn auch sehr einfache Veränderung zusammen, die (wenn negative Logarithmen beteiligt find) noch außerdem beim Addieren, Subtrahieren der Logarithmen re. vorzunehmen ist. Beim Addieren der Logarithmen (behufs der Berechnung eines Produkts) besteht dieselbe darin, daß die etwa entstehenden Zehner der positiven Kennziffer weg-

Schurig, Algebra.

zulassen sind. Ist alsdann die positive Kennziffer der Summe der Logarithmen eine nur kleine (0,... oder 1,... re.), so ist im allgemeinen der Logarithmus ein positiver, also ohne —10. Ist dagegen die positive Kennziffer sehr groß (9,... oder 8,... re., wie im letzten Beispiel), so wird in der Regel — 10 zu ergänzen sein; denn in der Praxis kommen im allgemeinen so kleine Zahlen, wie sie zu den Logarithmen 0,...—10 oder 1,....—10 re. gehören, aber auch so große Zahlen, wie sie zu den Logarithmen 9,..., 8,... (ohne —10) gehören, nicht vor. Sollte dennoch eine Ausnahme stattfinden und ein Zweifel herrschen, ob der Logarithmus des Resultats ohne oder mit — 10 zu denken ist, so sieht man dies immer sehr leicht an der Aufgabe, im schlimmsten Falle aber würde die vollständige Rechnung darüber entscheiden.

Z. B. z= 0,76943.28,865.0,0096154; lg 0,76943    = 9,88617

lg 28,865    =1,46038

lg 0,0096154=7,98297 lgz = 9,32952.

Offenbar fehlt hier — 10, da 1.) die Kennziffer eine sehr große ist, 2.) die Aufgabe sogleich erkennen läßt, daß das Produkt keine l Ostellige ganze Zahl sein kann (s. § 34, XI, C);

3.) die vollständige Rechnung dies erweist:

9,88617 — 10 1,46038 7,98297 — 10 lgz = 19,22952 —20.

Da nun dem negativen Logarithmus stets die Kennziffer —10 zu geben ist, so sind hier beide Kennziffern um 10 zu vermindern: daher lgz = 9,22952 —10; und folglich z = 0,173588.

Das 2. Beispiel unter A würde mithin auch nicht so, wie es dort ausgeführt ist, zu berechnen sein, sondern mit Weglassung von —10.

A. x = (s. § 34, VI).

§ 37. Berechnung eines Nuokienk.

; lg x = lg 376,98 — lg 4,5672

376,98

4,5672

lg 376,98 = 2,57632 lg 4,5672 = 0,65965

lgx= 1,91667; x= 82,542.

0,091678. lg 0,091678 = 8,96226 — 10; | > ,, y 0,287554' lg 0,28754 =9,45870 — 10 j 'UDt

Da der Minuend größer als der Subtrahend, so vermehrt man, um subtrahieren zu können, beide Kennziffern des Minuend um 10, daher:

18,96226 — 20 9,45870 — 10

lgy = 9,50356 —10; y= 0,31883.

B. Nach § 36 B ist die Berechnung, wie sie für das letzte Beispiel ausgeführt wurde, nicht die übliche; vielmehr rechnet man ohne —10. Dann aber hat man sich bei der Subtraktion der Logarithmen (behufs der Berechnung eines Quotient) folgende Regel zu merken: Ist die positive Kennziffer des Minuend kleiner als die des Subtrahend, so hat man, um subtrahieren zu können, jene stets um 1 Zehner zu vermehren. Außerdem gelten die in 8 36 B gegebenen Regeln hinsichtlich des Resultates. Z. B.

722,95

3,6149 ,

lg 3,6.. =0,55810 lg 722,95 = 2,85911 lgm = 7,69899 m = 0,00500022.

4,6038 0,098297' lg 4,6.. = 0,66312 lg 0,098.. = 8,99254 lgn= 1,67058 n = 46,836.

8*

0,006948 . 0,1998

Es ist lg p = lg Zähler

81,71 . 0,0004256

— lg Nenner = lg (0,006948.0,1998)

—    lg (81,71 . 0,0004256) = lg 0,006948 + lg 0,1998

lg 81,71 = 1,91228 lg 0,1998 = 9,30060 lg 0,0004256 = 6,62900

—    [lg 81,71+lg0,0004256], daher: lg 0,006948 = 7,84186

7,14246

8,54128

fußt

Alsdann: lg Zähler =7,14246 \ lg Nenner = 8,54128 j

lgp = 8,60118. Offenbar fehlt — 10,

wie auch aus der Aufgabe ersichtlich ist.

p = 0,039919.

¹

¹ =

10088 =

3054857

5) Nun könnte man, wie es auch bisher gelehrt wurde, die 3. und 4. Regel wiederholt anwenden, um die folgenden Stellen der Wurzel zu erhalten. Man würde also zunächst die 3. Stelle der Wurzel bekommen, wenn man von dem um die folgende Klasse vergrößerten Rest die beiden letzten Stellen streicht und die übrigbleibendeZahl durch das dreifache Quadrat der bisherigen Wurzel dividiert. Da aber die Wurzel immer mehr Stellen erhält, so wird das Berechnen des Quadrats einer solchen vielstelligen Zahl sehr mühsam.

Schurig, Algebra.    7

§ 38. Dekadische Ergänzung.

Ein Quotient, der nicht die einfache Form ^ hat, sondern

zusammengesetzter ist, wie z. B. p in § 37, wird einfacher durch die dekadische Ergänzung berechnet.

Die dekadische Ergänzung (abgekürzt mit d. E.) eines Logarithmus erhält man, indem man 10,00000 —10 um jenen Logarithmus vermindert. Z. B.

lg 81,71 = 1,91228; folglich

10,00000 —10

1,91228

d. E. lg 28,865 = 8,08772 — 10

lg 0,04256 = 8,62900 — 10; folglich 10,00000 — 10 8,62900 — 10 d.E. lg 0,04256 = 1,37100 Wie aus diesen Beispielen folgt, kann die dekadische Ergänzung in sehr einfacher Weise dadurch gebildet werden, daß man alle Ziffern des Logarithmus (auch die positive

Kennziffer) von 9, die letzte Ziffer (welche Einheiten hat, s. das 2. Beispiel) von 10 abzieht. Außerdem erhält die d.E. die Kennziffer — 10, wenn der gegebene Log. positiv ist (s. 1. Beispiel). Ist dagegen der gegebene Logarithmus negativ mit der Kennziffer — 10 (der Num. also << 1), so fällt — 10 weg und die d. E. ist ein positiver Logarithmus (s. d. 2. Beisp.).

Anwendung der dekadischen Ergänzung.

Anstatt den Log. einer im Nenner (Divisor) befindlichen Zahl abzuziehen, addiert man seine dekad. Ergänzung.

B e w. lg ^ = lg a —lgb = Iga -|- 10 — 10 —lgb

= lga-j- [(10,00000 — 10) — lgb]. Dies aber ist (s. die vorausgehende Erklärung)

lg^ = lga + d. E. lgb.

(s. d. letzte Beisp. in § 37!).

Beisp. p =

0,006948.0,1998 81,71.0,0004256 lg 0,006948 = 7,84186 lg 0,1998 = 9,30060 d. E. lg 81,71 = 8,08772 d. E. lg 0,0004256 = 3,37100

lgp = 8,60118; p = 0,039919.

1. Bus afc. lg = lg 1 + d. E. lg b = 0 + d. E. lg b = d. E. lgb.

897,3.02571 ' d. E. lg 897,3 = 7,047061 .. d. E. lg 0,02571 = 0,58990 J

Z- B. y

lgy= 7,63696; y = 0,0043347.

2. Zus. lg -T- — lg 7“T = d. E. lg ~ (nach d. 2.34).

( )

Z. B. lg ⁴/r = d. E. lg ⁷/₄ = d. E. lg 1,75 — 9,75696; aPo weit einfacher, als durch lg 4 — lg 7.

§ 39. Berechnung einer Potenz.

A.    x = 2,0987⁶. Nach § 34, VIII:

x= 85,448

lgx = 6 . lg 2,0987. Daher: lg 2,0987 = 0,32195 (.6 Igx — 1,93170 ; y = 0,076948⁴; lg0,076948 = (8,88620—10).4

lgy = 35,54480—40

Da der negative Log. stets die negative Kennziffer —10 haben muß, so find hier beide Kennziffern um 30 zu vermindern. Daher lgy = 5,54480 —10; folglich y= 0,000035059.

B.    Wird der einfacheren Rechnung wegen die Kennziffer —10 nicht geschrieben (f. § 36, B), so läßt man bei der Multiplikation eines negativen Log. die Zehner der positiven Kennziffer weg (also ganz wie bei der Addition der Logarithmen — f. § 36, B). \

In Bezug auf das letzte Beispiel: 8,88620 (. 4_ lgy = 5,54480

Da hier eine negative Zahl mit 4 multipliziert ist, so muß auch 5,54480 negativ sein; folglich fehlt —10.

3,915

• Da sich 0,04938 und

0,04938.7,654²

7,654 im Nenner befinden, so ist der kürzern Rechnung wegen die dekadische Ergänzung dieser Logarithmen zu benutzen. Zugleich rechnet man in folgender Ordnung:

2. Beisp. z

d.E. lg7,654 = 9,11611 (.2 8,23222

d. E. lg 0,04936 = 1,30662 lg 3,915 = 0,59273

0,13157 (.3

lgz = 0,39471 ;    z= 2,4815.

§ 40. Berechnung einer Wurzel.

lg 7,8912 #

3

A. x = y7,8912. Nach Z 34, IX: lgx = lg7,8912 = 0,89714 (:3

lgx = 0,29905 (dieMantisse stets fünfstellig!). x— 1,9909.

y — V 12⁵/₇ —    ; folglich

lg 89 = 1,94939 lg 7 = 0,84510

1,10429 (: 2

lgy = 0,55215; y = 3,56575. lg 37 = 1,56820 4469 ; lg 4469 = 3,65021

7,91799 : 7 =?

B. Bei einer derartigen Division eines lg hat man stets zunächst zu untersuchen, ob der lg ein positiver oder negativer ist. Wäre 7,91799 ein positiver Log. (also der einer 8stelligen ganzen Zahl), so ist unmittelbar zu dividieren: 7,91799 :7 = 1,13114. Ist jedoch der zu dividierende lg ein negativer, fehlt also —10, wie es offenbar hier der Fall ist (da 3,65021 größer als 1,5 6 8 2 0), so kann man nicht unmittelbar dividieren,

denn man erhielte: u;;n,. .. M:*f- •

Da nun die negative Kennziffer nie gebrochen, dieselbe auch nie eine andere Zahl als —10 sein darf, so hätte man darauf zu sehen, daß nach der Division —10 als negative Kennziffer erscheint. Folglich ist (7,91799 — 10) : 7 in (67,91799 — 70): 7 umzuändern.

lgz =

9,70257 — 10; z = 0,50416.

Daraus folgt die Regel: Rechnet man, ohne die negative Kennziffer zu schreiben, und ist ein negat. Logarithmus, bei welchem — 10 fehlt, durch die ganze Zahl n (Wurzelexponent) zu dividieren, so hat man zunächst vor die positive Kennziffer n — 1 als Zehner zu setzen und dann erst die Division auszuführen.

Zusammengesetztere Beispiele zur Übung.

8,4166

0,09247.316,9³ ' d. E. lg 816,9 = 7,49908 (.3 2,49724

d. E. lg 0,09247 = 1,03400 lg 8,4166 = 0,92514

1. Beispiel. u = j/-

4,45638 (:2 = ?

Wäre 4,45638 ein positiver Logarithmus, so würde unmittelbar durch 2 zu dividieren sein und man erhielte lg u = 2,22819. Da aber diese Zahl 4,45638 der Log. jenes Bruches unter der Wurzel der Aufgabe ist und dieser Bruch wegen der großen Zahl 316,9³ ein sehr kleiner echter Bruch sein muß, so fehlt offenbar —10. Daher ist (s. die letzte Regel) zu dividieren:

14,45638 (: 2

lgu= 7,22819 ; u = 0,0016912.

4_

2. Beispiel, v =

0,9683 /o,066778

3,978²    '

lg 0,066778 = 8,82464 (: 4 Dafür z8,82464(:4 9,70616 lg 0,9683 = 9,98601 d.E. lg 3,978 = 9,40034 (.2 = 8,80068

₂8,49285 (: 3

lg v = 9,497 62; v = 0,3145.

d.E. nicht an, denn man kann einfacher rechnen:

| subt.

lg 23,5 = 1,37107: 6 (s. die 2. folgende Zeile!) lg 0,9876 = 9,99458 0,22851 (9,76607 —10): 0,65.

In so zusammengesetzten Fällen verwandelt man den negat. Log. in eine rein negative Zahl;

daher: (— 0,23393): 0,65 lg c= —0,35989.

Da nun negative Mantissen nicht benutzt werden können, sind die rein negativen Log. dadurch wieder in solche mit positiver Mantisse umzuwandeln, daß man 10 —10 hinzufügt. Folglich:

9,64011 — 10; c = 0,43663.

lgc •= (10 — 0,35989) — 10, d. i. lgc =

(*

—0,738451 = —10,73845⁵.

0,9876

0,65

3. Beispiel, w =

• Hier wendet man die

4. Beispiel, t —

3_

Man berechnet Vo,73845⁵= 0,6033 und setzt alsdann t = —0,6033.

§ 41. Einige besondere Falle beim logarikhmischen Rechnen.

A. Ein dem lg rechts unten angehängtes n bedeutet, daß der zugehörige Num. negativ ist. Da nun zwei negative Zahlen multipliziert oder dividiert, sowie eine negative Zahl in geradzahliger Potenz ein positives, eine ungeradzahlige Wurzel aus einer negativen Zahl ein negatives Resultat giebt, so muß bei der Addition oder Subtraktion von einer geraden Anzahl n, ferner bei der Multiplikation mit gerader Zahl (Potenzexponent) das n verschwinden.

für a = — 8,9134, b = — 0,6589,

p-fi

— 23,76, d — —0,07288 zu berechnen.

Ig6 — 9,81882n (.3

9,45646n lg a — 0,95004n d. E. lg c = 8,62415° (.2= 7,24830 d. E. lg d= 1,13739°

68,79219° (: 7

lgx = 9,82746°; x=—0,42409.

B. Um für den Radius r den Inhalt k einer Kugel, 4.3,141593

r³ zu berechnen,

d. i. den Ausdruck r³ = müßte man lg 4, lg 3, lg 3,141593, lgr benutzen. Da nun lg™ = 0,62209 ist, so kürzt man die Rechnung durch

k = (0,62209) r³ ab, wofür auch 0,62209 r³ geschrieben wird, wo der Faktor von r³ schon der Log. der Zahl ist, die an dieser Stelle stehen müßte.

C. Unlogarithmische (nichtlogarithmische) Ausdrücke. Da lg (ab) = lga-j-lgb, lg y = lga — lgbist,

so kann nicht auch lg (a + b) = lg a + lgb sein. Mithin sind in solchen Fällen die einzelnen Glieder eines Ausdrucks besonders zu berechnen. Z. B.

\ V 0,4682 — ll,8892.

X —

lg0,4682 = 9,67043 (: 2

Lies: numerus

n lg 9,83522 = 0,68426. logarithmi 9,83522 gleich 0,68426.

Dieser Ausdruck bedeutet: der Numerus, für welchen der Log. — 9,83522 ist, ist = 0,68426.

Für das 2. Glied: lg 1,8892 = 0,27628 (: 4

nlg 0,06907 = 1,17238.

Die Aufgabe geht nun über in

V 0,68426 — 1,17238 =V — 0,48812 = — V 0,48812 = —0,78737.

§ 42. Mgebra.

I.    Algebra ist die Lehre von der Auflösung der (bedingten) Gleichungen (siehe § 1, VII und VIII). Die Algebra findet also für die Unbekannte (gewöhnlich mit x bezeichnet) aus den mit ihr verknüpften bekannten (konstanten) Zahlen einen Wert, der der Gleichung genügt, d. h. der, an die Stelle der Unbekannten gesetzt, die linke Seite der rechten gleich macht. Die Gleichung ist dann aufgelöst. So ist z. B. 5 x— 13 = 15 — 2 x aufgelöst, wenn x—4 gefunden ist; denn in 5.4 — 13 = 15 — 2.4, das ist 20 — 13 = 15 — 8 ist die linke Seite gleich der rechten. Eine Gleichung kann auch mehrere Auflösungen haben, z. B. hat x? -s- 55 = 16 x die beiden Auflösungen x = 5 und x= 11, da5^55 = 16.5undauch ll^-j-55 = 16.11 ist. Die Auflösung einer Gleichung nennt man auch „Wurzel". Die letztere Gleichung hat die beiden Wurzeln 5 und 11. Hier ist x = 5 die eine Auflösungsgleichung oder Wurzelgleichung.

II.    Die Auflösung einer Gleichung ist gewöhnlich ein „bestimmter" Wert, der nur eine Deutung zuläßt, z. B. x = 20, x = —3a, x=0. Zuweilen, wenn auch seltener, ist er jedoch ein sogenannter „unbestimmter Wert", der, unabhängig von den Gesetzen für endliche Zahlen, eine beliebige endliche Zahl vorstellen kann und nicht unmittelbar an dem Ausdruck selbst erkennbar ist. So ist z. B. für a als

endliche Zahl stets a — a = 0, ~ — Ir la=l- Dies gilt

aber nicht unbedingt für Werte, die in gleicher Weise durch 0 (unendlich klein) oder oo (unendlich groß) ausgedrückt sind. Solche unbestimmte Werte sind z. B.

1)    oo — Go. Bew. Nach § 4, VI und VII ist z. B. oo | 1000—— OO, folglich ist in diesem Fall OO— OO —1000.

(-7).0

entstanden

2.0

2)    y • 1. Beispiel, y kann aus sein, dann ist y = —3¹/₂.

2. Beispiel (!.). Es sei y __ y gegeben und für irgend

einen Wert von x zu bestimmen. Ist x— 7, so ist der Wert 7² —25

des Bruches — y —12. Nun soll aber in jenem

0

Bruch x —5 sein. Er wird damit ■’ ₅ _ I - oder y • Welche Zahl bedeutet jetzt y? Um sie zu finden, verwandelt man

x + 5. Ist also x^5, so ist der Wert des Bruches, d. i. der hier zum Vorschein gekommene Ausdruck y, — 5 —f- 5 = 10. Auch für

ist x-f-5 der Wert des Bruches, nämlich 7 —{— 5 = 12.

1

3) denn

den Bruch in

(x + 5) (x — 5)

Ö"

o |o

; 4) 0 . oo; denn 0 .

l—l I o

5) 0°; denn O¹“¹ —

o |o

; 6)

oo°;

denn oo1—1

oo¹

00

d. i. (1 + 99)*

7) 1 °° ist unbestimmt. Bew.

100* — 100

10² = 100 ₃4,i9₌₁₀₀

1,0594,38 = 100 1,0 0 2³⁴⁶'⁹² = 100

= 100

(1-|-9)²=100 (1 + 2)⁴’¹⁹ = 100 (1 + 0,5)⁹⁴'³⁸ = 100 (1 +0,002)³⁴⁶'⁹² = 100

= 64

Setzt man dies fort, so nähert man sich immer mehr der Grenze: (1 +0)” = 100, d. i. 1°° = 100. Wäre man von 64*= 64 ausgegangen, also (1 + 63)*

(1 + 1)6=64

(1 + 0,01)⁴¹⁸ = 64, so würde 1” = 64 entstehen.

III. Um die gegebene Gleichung aufzulösen, hat man sie zunächst zu entwickeln, d. h. alle Klammern, Faktoren, Nenner, Wurzeln rc. zu entfernen, in welchen die Unbekannte enthalten ist, bis sie auf eine algebraische Summe von Gliedern der Form mxr gebracht ist, wo r eine ganze und positive Zahl, m eine beliebige bekannte Zahl ist. Z. B. ist

7,56 + (2 a + y)x3 = ^

— 3x⁴ eine entwickelte (explieite) Gleichung; (7x—3) (5x-j-a) —2d,

^ — 5a —^ sind unentwickelte (implicite) Gleichungen.

IV. Ist die Gleichung entwickelt, so läßt sich der „Grad" derselben erkennen, der sich nachdem „Exponent der höchsten Potenz der Unbekannten", nach dem sogen. „Exponent der Ordnung", richtet.

2x — 3a = bx-f-l ist daher eine Gleichung vom 1. Grade, oder einfache oder lineare Gleichung;

13 — x² = ax eine Gleich. 2. Grades oder „quadratische Gleichung";

x³= 125 eine Gleich. 3. Grades oder „kubischeGleichung";

die 1. Gleichung in III ist eine Gleichung 4. Grades oder „biquadratische Gleichung".

nur in x²

V.    Die Gleichungen 1. und 2.Grades nennt manniedere, diejenigen vom 3.und höheren Grade: höhere Gleichungen.

VI.    Die Gleichungen sind entweder algebraisch (im engern Sinne — f. § 1, VII, 2) oder transscendent. Algebraisch sind solche, die eine endliche Anzahl von Gliedern der Form mxr haben, wie die in IV aufgeführten Gleichungen. Transscendent ist eine Gleichung, welche aus unendlich vielen

Gliedern dieser Form bestehen, z. B. x -j-    -f-...

in ins. — ⁶/₇. Daher ist auch eine Gleichung, die als „geschlossener Ausdruck", d. h. als ein Ausdruck von einer endlichen Anzahl Glieder auftritt, eine transscendente, wenn sie bei der Umwandlung in eine Summe von Gliedern der Form mxr unendlich viele Glieder erhalten würde; z. B. xx = 10; 3x-}-41gx = 5; xsinx — 2. Denn die letzte Gleichung z. B. kann (mittels der Sätze des höhern Rechnens)

\- • • in ins.

x⁸

X⁴

-I__^

'    2.3.4.5

2.3

2.3....7

—    2 verwandelt werden.

Gleichungen mit unbekannten Exponenten werden Exponentialgleichungen genannt, z. B. ax + bx =c. Können dieselben mittels der logarithmischen Sätze auf algebraische Form gebracht werden, so nennt man sie auch „logarithmische Gleichungen", z. B. 2X — 300, denn nach § 34, VIII geht lg(2X) — lg300 über in x. 0,30103

—    2,47712, welche Gleichung eine algebraische ist.

VII.    Gleichungen, welche, außer bekannten Gliedern, x nur in einer Potenz enthalten, werden binomische oder reine Gleichungen genannt; z. B. ist ax² — b eine reine quadratische Gleichung. Enthalten die Gleichungen außer bekannten Gliedern x in verschiedenen Potenzen, so heißen sie polynomische, gemischte oder unreine Gleichungen. x²-J- ax — b ist z. B. eine gemischte quadratische Gleichung.

VIII.    Alle Gleichungen vom 1., 2., 3. Grade rc. können auf die allgemeine Form: x — a, x² = a, x³-(-ax-|-b

—    0, x⁴-|-ax²-f-bx-|-c = 0, x⁵-f-ax³-|-bx²-}-cx

-f- d = 0 k. gebracht werden, wo also die Potenz von x fehlen kann, deren Exponent um 1 kleiner als der Exponent der Ordnung ist, außerdem aber alle Koeffizienten der unbekannten Potenzen (a, b, 7. .) von einander verschieden und von einander unabhängig sind. Jedoch können nur die Gleichungen vom 1. bis 5. Grade allgemein aufgelöst werden, alle höheren Gleichungen nur durch Versuche (durch Näherung) und auch nur dann, wenn sie bloß spezielle Zahlen enthalten.

IX.    Enthält die Gleichung außer der Unbekannten nur spezielle Zahlen, so ist sie eine numerische, z. B.x³—5,7 x

—    7 ax² = b oder (3 a — 2 x) (5 b -f* x) — ab x

dagegen ist eine literale oder Buchstabengleichung.

X.    Es giebt Gleichungen mit einer oder mit mehreren Unbekannten. ax-f-bx³ = c ist eine Gleichung mit einer Unbekannten. Die Aufgabe dagegen: „Ich kenne zwei Zahlen, deren Produkt um 5 größer als ihre Summe und deren Quotient um l¹^ kleiner als ihre Differenz ist. Welche Zahlen sind es?" führt auf Gleichungen mit zwei Unbekannten. Denn setzt man die eine Zahl— x, die andere = y, so erhält man die beiden Gleichungen:

I. xy —x-s-y-s-5; II. ^ —x—y—l¹^.

§ 43. Auflösungssähe der binomischen Gleichung.

I. Eine Gleichung kann zwar nach der allgemeinen Regel aufgelöst werden: „Jede der beiden Seiten ist auf dieselbe Weise zu verändern, wenn die Gleichheit nicht gestört werden soll", jedoch bedarf der Ungeübte einer speziellen Anleitung zur Auflösung, die sich auf die den 7 Spezies entsprechenden Sätze stützt:

1)    Gleiches zu Gleichem cito., giebt Gleiches;

2)    Gleiches von Gleichem subt., giebt Gleich.;

3)    Gleiches mit Gleichem mult., giebt Gleiches; (Satz III.)

u. s. w.

II. Man kann jedes Glied von einer Seite den Gleichung auf die andere mit entgegengesetzten Vorzeichen setzen. (Transposition — Transponieren der Glieder.)

Bew. x — b — a

j Gleiches zu + b = + b \ Gleichem addiert: x = a + b

subt.

x + b = a \

b = b I

x = a — b.

A. Mittels dieses Satzes setzt man alle unbekannten Glieder links und alle bekannten rechts.

1.    Bsp. 11—25x —3 = 20x + 23 —46x; folglich: (Z) — 25x —20x + 46x=23—11 + 3; d.i.

x —15 (Auflösung).

Die Gleichung Z schreibt man nicht, summiert die Glieder vielmehr im Kopfe.

2.    Beisp. 5 (7 — 17x) — 3 (2x — 3)²

= 2 (x + 5) (5 —6x) —52.

Da die Gleichung zuerst entwickelt werden muß, so sind selbstverständlich alle Klammern re. zu entfernen. Daher: 35 — 85x — 12x² + 36x — 27

= — 12x²—50X + 50 —52; x = — 10.

B.    In vorstehender Gleichung sind zunächst die Glieder mit x² auf die linke Seite zu setzen (das Ordnen beginnt man stets mit der höchsten Potenz von x). Man hätte daselbst +12x²—12x² = 0 erhalten. Allgemein:

Stehen auf beiden Seiten gleiche Glieder (mit gleichen Vorzeichen), so heben sich dieselben (verschwinden aus der Gleichung).

C.    Setzt man alle Glieder der Gleichung auf eine (z. B. die linke) Seite, so ist die Gleichung annulliert

(oder nullifiziert, auf Null gebracht). Ist z. B. x³— ax = x² — b gegeben, so ist diese Gleichung mit x³ — x² — ax -j- b = 0

annulliert. Ist x — 7 die Auflösung irgend einer Gleichung, so ist x— 7 — 0 die annullierte Auflösungsgleichung oder annullierte Wurzelgleichung.

D. Hebt sich die höchste Potenz von x ganz, so hat die Gleichung eine Auflösung: x — oo.

1.    Beispiel. 5(x-j-l)— 2x — 3x;

5 x-j“ 5 — 2x — 3x.

Hier hebt sich x (d. i. x¹, die höchste Potenz der Unbekannten), folglich ist x — oo.

Bew. In jene Gleichung 3x -f- 5 = 3x bett Wert oo an die Stelle von x gesetzt, giebt 3 - oo -f- 5 = 3 • oo d. i. oo-s- 5 — oo. Da nun die linke Seite der rechten gleich ist (§ 4, VI), so ist die Auflösung x — oo richtig (§ 42, I).

2.    Beispiel. 3x² + 7 = (x—4) (3x+ll);

3x²-f-7 = 3x² — x — 44.

Da sich x² hebt, so ist zunächst x — oo. Es bleibt dann noch: 7 — — x — 44;

x — — 51 als 2. Auflösung der Gleichung.

Auch in A hat das 2. Beisp. eine 2. Auflösung: x —oo.

E. Von Vorteil ist es, zusammengesetzte Ausdrücke (vielstellige Zahlen re.), die sich (ganz oder teilweise) wiederholen, einstweilen durch einfache Zeichen zu ersetzen.

Z.B. (x + 5a—6b + 7)2 == (x — 5 a —j— 6 b — 7) (x —15a — 18b —j— 2 2);

Da die Gleichung auch:

(x -f- 5 a — 6 b —(- 7)²

= [x — (5a —6b + 7)] [x + 3 (5a — 6b+7) + 1] geschrieben werden kann, so setze man 5a—6b-s- 7 — e.

Schurig, Algebra.

Folglich:

(x-]-c)² = (x —c) (x + 3c + l);

x²-f-2cx-)-c²=x²-j-3cx-)-x — cx — 3 c²—c; Zunächst hebt sich x², daher x = oo. Alsdann: x — — 4c² — c; oder

— c (4c -{- 1), wo c = 5a — 6b —7.

In vorstehender Form ist die Auflösung einfacher gegeben, als wenn man den Wert für c wieder eingesetzt hätte: x = (6b —5a — 7) (20a — 24b + 29).

III. Man kann beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren.

Bew.

Gleiches mit Gleichem multipliziert giebt Gleiches.

A. Mittels dieses Satzes beseitigt man die Nenner der Gleichung, indem man dieselbe mit dem Generalnenner multipliziert.

1. Beispiel. ^-2a = 3⁵/₉ + ^.

Jede der beiden Seiten mit dem Generalnenner 36 mult.: 15 x — 72a = 128 + 14x;

x = 72 a —f⁻ 128;

= 8 (9 a —f— 16).

21 +6 x

2. Beispiel. 2Vs

i+lVe.

20 — 30x

Hier ist zunächst 2^ mit l⁶/e zu vereinigen, um nicht zwei Zahlen mit dem zusammengesetzten Generalnenner zu multiplizieren. Ferner sind die in § 25 und § 27 erwähnten Operationen in Anwendung zu bringen, um den kleinsten Generalnenner bestimmen zu können; daher in den Nennern: x voran, Ausheben des gemeinsamen Faktors re.

21 + 6x

Vs 4-

2x-j-2

10 (3 x — 2)

5 (3 x—2) —j— 21—j— 6 x:=: 10 (2 x—j— 2); x = 9.

mit 10 (3x — 2) mult.

B. Die mehrgliedrigen und zusammengesetzten Faktoren sind stets vor der Multiplikation mit dem Generalnenner auszumultiplizieren. Z. B.

160V,-('A

?<)(¥+4

2x²

21

2x²

21

3 —15073 — ^ + ^—147 + 3x; x = oo;

₃ -37s + 3 x;

10x = 10-f-9x; x = 10.

4x

10x

157 x

C. Bevor man mit dem Generalnenner multipliziert, vereinigt man die Glieder, bei welchen dies ohne zusammengesetzteres Rechnen geschehen kann, z. B. die gleichartigen ganzzahligen Glieder und die Brüche mit gleichen Nennern; Brüche mit verschiedenen Nennern jedoch nur dann, wenn hierdurch die Multiplikation mit dem mehrgliedrigen Generalnenner einfacher wird.

49 a — 61 x ;

79

1. Beisp. 39 a — 59 x

157 x

79

10 a;

8 x — 12 a

158x — 157x = 790a;

x — 790 a.

2. Beisp.

272-f

21 x -j- 22 a

36 a — 24 x

11 x -j- 4 a

8 x — 12 a

21 x -f- 22 a

3    '36 a — 24 x 8 x—12 a’

21 x + 22 a

3    12 (2 x —3 a) 4 (2 x — 3 a)

; mit!2(2x—3a)mult.

20 (2 x—• 3a) — 21 x — 22 a— 18 x— 9a;

40 x— 60 a— 21 x— 22a— 18x— 9a;

x— 73 a.

D. Ist die Unbekannte auf der linken Seite negativ, so multipliziert man die Gleichung mit — 1. Z. B.

7x-f-11 — 8x—17;

— x — — 28; mit — 1 mutt. x= 28.

(Oder: Man denkt sich die unbekannten Glieder auf die rechte Seite, die bekannten Glieder auf die linke; daher 28 — x

und vertauscht die Seiten:

x — 28.)

E. Sind die Glieder der Gleichung ohne Ausnahme Brüche und befindet sich in jedem Nenner die Unbekannte x in höheren Potenzen als im zugehörigen Nenner, so hat die Gleichung eine Auflösung: x— oo. Z. B.

10

13x—19

x² —4

x + 2

Hier ist in den Nennern x², x¹, x¹, in den Zählern nur x¹, x°, x°, folglich ist x — w.

Bew. Der 1. Bruch durch x gekürzt:

10

18 — —

x+2

x= Qo gesetzt:

19

13--

00

00

00

¹iZL°₌₀+^»

00 —0 ' 00 >

0 — 0 -s- 0. Da die linke Seite der rechten gleich ist, so ist auch x= qo eine Auflösung.

Die gegebene Gleichung ist noch aufzulösen, um die für die Praxis wichtigeren Auflösungen zu erhalten. Mit x (x -f- 2) . (x — 2) oder also x (x² — 4) multipliziert:

x (13x — 19) = 3 (x² —4) + 10x (x —2);

13 x² — 19x=3x² — 12 + lOx² —20x; da sich x² hebt, so ist

x — QO (2. Auflösung); alsdann:

— 19 x — — 12 — 20 x;

x — — 12. (3. Auflösung.)

IV. Man kann beide Seiten durch dieselbe Zahl dividieren.

bx

Bew. bx = a l Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt b = b I    Gleiches.

Y~ b x_b'

A. Mittels dieses Satzes beseitigt man die Koeffizienten der Unbekannten (bringt dieselben aus -s- 1).

— 1⁴/ö —3x — l¹^—-y-; mit 30 mult.

CO O

1. Beisp. —

— 54 = 90x —33 — 105x; 65x = 21; durch 65 btt).:

Y - 21/

X / 65*

2. Beisp.

4 = 0; mit 5a — b mult.

3bx — a 5a — b

3bx — a — 20a-f- 4b = 0;

3bx = 21 a— 4b; durch 3b div.

* = T—l¹/.-

B. In jeder Gleichung (von beliebigem Grade) müssen die mit einerlei Potenz von x multiplizierten Glieder in ein Glied zusammengezogen werden, da jede Potenz nur einmal in der entwickelten Gleichung vorkommen darf.

1. Beisp. ax— b — ex— d;

ax — ex — d — d; d. i.

(a — c)x = b — d; durch d. Faktor von x div. b —d a — c

2. Beisp.

l⁵/₆; dafür:

- li/ .

- /6)

3a — 4bx 5b — 7ax _

4a — 6bx 12b-j-6ax

3a — 4bx

5b — 7ax 2 (2 a — 3bx)    6 (2b -f- ax)

mit 6 (2a — 3bx) (2b-)-ax) mult.

3 (2b -j- ax) (3a — 4bx) — (2a — 3bx) (5b — 7ax) — 11 (2a — 3 b x) (2b -j- ax);

18ab-j- 9a²x — 24b²x — 12abx² — 10ab-j- 15b²x -f- 14a²x — 21 abx² — 44ab — 66b²x -j- 22a²x — 33abx²; x — cd, da sich x² hebt. Nun vereinigt man zunächst die Glieder mit a²x, dann die mit b²x. Daher a²x -s- 57b²x = 36ab;

(a²-(- 57b²) x ⁼ 36 ab

36 ab

X_ a² + 57 b²

C. Bevor man die Gleichung mit dem Generalnenner multipliziert, sieht man nach, ob sie sich durch eine bekannte Zahl dividieren läßt, um kleinere Zahlen zu erhalten. Z. B.

253

92

115

3x—2a 2x — 3b ¹ 3x -j- 2c

; durch23div.(s.tz3,IV,18)

11

3x — 2a 2x — 3b ' 3x 2c⁷

mit (3 x — 2 a) (2 x— 3 b) (3 x -f- 2 c) mult.

11 (2x — 3b) (3x + 2c) = 4 (3x—2a) (3x + 2c) + 5(3x —2a) (2x —3b);

66x²—99bx-)- 44cx— 66bc = 36x²— 24ax+24cx — 16ac-f~30x² — 20ax — 45bx-(-30ab; x — c°.

44ax — 44bx~j-20cx = 30ab — 16ac-[“66bc; durch2div. 22ax — 22bx-j- lOcx = 15ab — 8ac -\- 33bc; (22a — 22b+ 10c)x= 15ab — 8ac+33bc 3b (5a+llc) —8ac 2 [11 (a — b) + 5c]

D. Befindet sich x nur in einem Zähler oder in einem Faktor, so entfernt man von demselben alle Glieder, Nenner, Faktoren, bis dieser Zähler oder Faktor allein bleibt. Z. B.

(3 a— 2 b) (5 a-f- 4 b x)

a — 2b

16 b = 3a;

(3a — 2b) (5a-j- 4bx)

a — 2b

(3a — 2b) (5 a -f- 4bx) — (a 5a -f- 4bx

3 a-f- 16 b;

2b) (3a+16b); (a — 2 b) (3 a —{— 16 b)

3a— 2b

4bx

(a — 2b) (3a-f- 16b)

3a— 2b

5a;

X 4b

1 [(a —2b) (3a + 16b)

— 5a .

Anmerkung. Die Auflösung ist stets so zu geben, daß sie sich. bequem berechnen läßt, wenn die Buchstaben spezielle Zahlen werden. Hiernach ist zunächst auf den Bruch in der Klammer die Partialdivision anzuwenden.

3a² -f- 10ab — 32b²: 3a — 2b — a-s- 4b -

(siehe § 28, II).

3a² — 2ab

24 b²

3a — 2b

+ 12ab — 32b2 12ab— 8 b²

— 24b²

Daher x —^ a-f~4b — 4a —

24 b²

3a—2b

5a

(4b

24 b²

3a — 2b

a*\ U

6b

3a — 2b

- E. Befindet sich X nur in einem Nenner, so wendet man den Satz an: „Die reziproken Seiten einer Gleichung sind

einander gleich". (Bew. Ist ^

c . d , d. t. ——

' c

c    - ...    r a bd

= d' 1° *

__ c bd_ d ac reziprok genommen:

x — a

•) 3.a^a

—V—, die Seiten

a — 4

x — a = a² — 4 a;

x = a² — 3 a = a (a — 3).

F. Kann eine Gleichung durch einen unbekannten Ausdruck (z. B. durch x selbst) dividiert werden, ohne daß ein unbekannter Nenner entsteht, so erhält man aus diesem — 0 gesetzten unbekannten Divisor eine Auflösung der Gleichung.

1. Beispiel. a(5x — 4)² = b(5x — 4); die Gleichung läßt sich durch 5x — 4 dividieren, ohne einen unbekannten Nenner entstehen zu lassen, folglich muß der unbekannte Divisor

5x — 4 — 0 gesetzt, eine Auflösung der Gleichung geben: 5x — 4 x= Vs-

Ist nach der Division durch den unbekannten Ausdruck die Unbekannte noch immer vorhanden, so hat die Gleichung auch noch andere Auflösungen. Die gegebene Gleichung daher durch jenen Divisor 5x— 4 dividiert: a(5x—4) —b;

5ax — 4a =b;

5a

°-⁸+jr

Beweis. Man annulliere die gegebene Gleichung und hebe diesen Divisor aus.

a (5 x — 4)² — b (5 x — 4) = 0; (5 x — 4) [a (5 x — 4) — b] = 0.

Diese Gleichung kann nun sowohl durch 5x— 4 als auch durch a (5x — 4) — b div. werden. In ersterem Falle erhält man: 5x — 4 — 0 oder x = ⁴/₅; in letzterem Falles • / a (5 x ■— 4) — b = 0 d. i. jene Gleichung a (5 x — 4) = b

mit der Auflösung x — 0,8 -f- -y- •

2.    Beispiel, ax -f- bx = cx; die Gleichung kann durch x dividiert werden, folglich ist x— 0.

Probe: ax-f-bx— ex — 0 ; d. i. (a-j-b—c) x = 0. Durch (a-j-b — c) divid.: x — 0.

3.    Beisp. (2x — a) (3ax -(- 4b) (5x—6a -f- 3b) — 0. Die Gleichung kann sowohl durch 2x— a, als auch durch

3ax -|- 4b und endlich durch 5x — 6a-|- 3b dividiert werden. Folglich:

= 0 d.i. X = y •

2) 3 ax-j- 4b — 0 oder x — —

1) 2x — a

3 (2a — b)

3) 5x — 6a-j- 3b — 0 oder x —

V. Beide Seiten können auf dieselbe Potenz erhoben werden.

Bew.

Vx =

Gleiches mit Gleichem potenziert a    giebt Gleiches.

— a¹¹ d. i.

x — an.

A. Mittels dieses Satzes beseitigt man Wurzeln, welche die Unbekannte enthalten.

Z. B. y a — 3x — b; quadriert:

(Va — 3x)² — b²; d.i. a — 3x = b²,

— 3 x — b² — a; durch — 3 dividiert: a² -b

B. Enthält die Gleichung nur eine unbekannte Wurzel, so ist diese zunächst auf einer Seite allein zu behalten und dann erst zu potenzieren. Z. B.

2V2+1V5 f 25 + 12.]/:

5X + 7

4x — 7

4; mit 10 mult.

5x4-7

4x —7

40;

12]/

|⁸/5x+7

4x —

^ — 15; durch 3 div.

den ganzzahligen Faktor entfernt man nicht, daher sogleich

5x4-7 4x — 7

64(5x-f 7) = 125(4x—7);

320x + 448 = 500x — 875;

180x — 1323; durch 9 div.

20 x — 147; x= 7,35.

125;

64*

kubiert:

Anmerkung. Enthält die Gleichung Wurzeln, so können nicht immer alle Wurzelwerte der Gleichung genügen. Ist

z. B. )/x = — 5 gegeben, so giebt das Quadrat x—+ 25. Setzt man als Probe den Wert 25 in die gegebene Gleichung,

so erhält man: Y25 = — 5, b. i. vollständig ± 5 = — 5. Offenbar kann nur der eine Wurzelwert richtig sein.

C. Die Gleichung enthalte zwei unbekannte Quadratwurzeln.

1. Beispiel.

5 V2x + 4 — /x— 10; Die zusammengesetztere Wurzel

(5 V2x + 4)¹=(}/x+10)¹;

behalte auf einer Seite und quadriere alsdann.

25 (2x+4)=x + 20l/x+100;

50 x = x + 20 Vx;

49 x — 20 Vx; quadriert (f. B)

2401 x¹ 2 3 —400 x; durch x div., folglich x— 0 (s. IV,k'). 2401 x — 400;

400

— 0,166597. (Statt der unbe-

2401

quemen gemeinen Brüche besser Dezimalbrüche.)

V₂; hier läßt sich der Bruch V₂ beseitigen:

3. Beispiel.

11 — 4x = 3 — 2 Yx

V11 — 4X — 3 — y4x — 2. Hat das unbekannte Glied unter den beiden Wurzeln verschiedene Vorzeichen (hier— 4x und -j- 4x), so setzt man beide Wurzeln auf eine Seite:

y 11 — 4x-)~y4x — 2 — 3; quadriert:

(yn—4x)² —2. y 11—4x.y4x—2-y- (y4x—2)²=9;

d. i. 11 — 4 X + 2 y(l 1 — 4 x) (4 X — 2) + 4 X — 2 = 9;

2 y (11 — 4x) (4x — 2) —0; durch 2 div., dann quadriert: (11 — 4 x) (4 x — 2) = 0. Nach dem 3. Beisp. in IV, F:

1)    11 — 4x= 0 ober x= 2³/₄.

2)    4x—2 — 0 oder x — y₂.

D. Enthält die Gleichung zwei unbekannte Kubikwurzeln, so sind diese allein auf einer Seite zu behalten und die Gleichung zu kubieren. Nach § 20 geben die beiden Wurzeln 4 Glieder. Hat man dann aus den beiden Mittelgliedern den gemeinsamen Faktor ausgehoben, so sind die mit diesem Faktor multiplizierten Wurzeln denen in der Aufgabe gleich und man kann daher auch für dieselben den durch die Aufgabe gegebenen Wert einsetzen. Z. B.

2 yx-y-9 =y8x— 53 -f- 5; die Wurzeln auf eine Seite:

3_ 3_

2 y^+9—ysx

— 53 — 5; kubiert:

f'JVx~|-9) ~³-(2Vx + 9) .V8x —53 + 3.2^+9

.(y

8x — 53/ = 125; _ 3

8 (x + 9) — 3.2 Vx + 9 . V8x —53 .(2Vx^9—V8x — 53)

8x —53

— (8x — 53) — 125.

Da nun die beiden Wurzeln in der 2. Klammer den Wert 5 haben (siehe Seite 140, 5. Zeile von unten), so geht vorstehende Gleichung über in:

8x+ 72 — 6i(x + 9) (8x — 53). 5 — 8x + 53 = 125;

3__

d. i.

durch — 30 div. und dann kubiert:

30V(x+9)(8x— 53)=0; (x -j- 9) (8x — 53) — 0,

folglich (s. IV, F):

1)    x —|— 9    0; x 9.

2)    8x —53 = 0; x=6⁵/₈.

VI. Aus beiden Seiten kann man dieselbe Wurzel ziehen.

Gleiches mit Gleichem radiziert giebt Gleiches.

B e w. xn = a ) n = n j

Vx¹¹ = Va d. i. x = l a.

A. Durch diesen Satz wird die n. Potenz der Unbekannten auf die 1. zurückgeführt.

1. Beispiel. x⁵ = 32; die 5. Wurzel ausgezogen:

5    5

Vx⁵ = V32;

x = 2.

2. Beispiel.

5x³ —4    9x³ — 2_ . 1; #

6 — 7x³    x³ —j— 1 — 1

mit 3 (6 — 7 x³) (x³ -f- 1) nrnlt.

3 (5x³ — 4) (x³+l) —3(9x³ —2) (6 —7x³)

= 4(6 — 7x³) (x³+l);

15x⁶+ 3x³ — 12 + 189x⁶ —204x³+ 36 = — 28x⁶ — 4x³-f- 24;

232x⁶— 197x³= 0; durch x³ div., folglich x³=O;

und x = O.

Nach der Division: 232x³— 197 = 0;

x³

197

232 ⁷

V 232

lg 197 = 2,29447 lg 232 = 2,36549 subt.

x= 0,94696;

29,92898 :3 lgx= 9,97633

B. Um die Gleichung vollständig zu lösen, ist zu berücksichtigen, daß die n. Wurzel n verschiedene Werte hat.

3x⁴ —5

Beispiel.

7 — 5x2

8x⁴— 18 3x⁴ — 5

9 + 6x²~ 7 — 5x²

2 (4 x⁴ — 9)

V*; es ist

3(2x²+3)

(2x²-j-3) (2x²—3) = 4x⁴—9, daher mit 6(4 x⁴— 9) mutt. 3 (3x⁴ — 5) = 2 (7 — 5x²) (2x² —3) — 3 (4x⁴—9);

9 x⁴— 15 — — 20x⁴-f-58x² — 42 — 12 x⁴ + 27; 41 x⁴ — 58x²=0; durch x² div. (x — 0)

41 x²— 58 = 0;

41x² = 58;

±]S

X —

x= ± 1,1894.

C. Ist x nur in der Basis einer Potenz enthalten, so ist diese Potenz allein auf einer Seite zu behalten und auch von allen äußeren Faktoren und Divisoren zu befreien. Dann erst sind die Seiten zu radizieren. Z. B.

84 — 75

; mit 30 mutt.

/4 x² 9 \2

\3x²+ )

= 58;

Z4 x² — \2

\3* + l)

= 26;

/4 x² —9\2

\3x²+rj

4 x² — 9

3 x² -f 7

+ 0,588784.

Folglich:

4 x² — 9 3x²-f-7 4x² — 9= 1,766352 x²

+ 4,121488; 2,233648 x²= 13,121488;

13,121488 2,233648

1)

x²

0,588784;

4 x² — 9

²) 3x²-f-7

0,588784;

u. s. w.

x=±0,91980.

X= + ]/

13,121488 2,233648 '

x==± 2,4238.

lg 13f12.. = 1,11798 lg 2,23..==0,34901

0,76897:2 lg x=0,38449.

D. Übungsbeispiele:

1. Beisp.

7    4__

8 +X² = 3 V11 x³;

7    7    4    4_

8 Yb . Yx² = 3 VlT. Ix³;

7 4

8 15    Vx³

4_ 7_'

3 VTT Vx²

7_

sVT

4

3+1

= xsA-V,;

28

X¹³

7

8+T

4

3 yn

28

3+1.

_iW

x—" r Uj ' li⁷-•

lgx = lgx= 9,80256 x— 0,63469.

28 (lg 8 — lg 3) -f 4 lg 5 + 7 d. E. lg 11

13

2. Bsp >/> (—qrrj+s (-,,⁺ \ f= 2; mit 3 mutt.

Es sei l ^-JJ = y, folglich ist der reziproke Wert ~ - Diese Werte eingesetzt:

y+y ===6;

y²—6y + 9 = 0; d. i. (s. § 18, II)

(y — 3)² = 0; V: y — 3 = 0

y = 3; d. i. (s. ob.)

y:

x -(- 4

5 x— 1 = 1,44225 x + 5,769; 3,55775 x= 6,769;

x — 1,9026.

1,44225;

3. Beisp. 123 (11 x— 3)⁷= 17 (14x-f- 5)⁷; stets durch den kleineren Koeff. div.

In ■ (11

123

— 3)⁷ = (14x+15)⁷; }:

Ym/₁₇ .(llx—3) = 14x+15; 1,3267 (llx — 3)=14x-)-15;

x= 31,97.

§ 43. Auflösungssätze der binomischen Gleichung. ax⁶ =b (c — x³)²;

4. Beisp.

^X⁶=(c — X⁸)²;

Vr

- x³ = e — x³;

X³ — 6

'+fi

VII. Man kann von beiden Seiten denselben (vulgären) Logarithmus nehmen.

b 1

10/

Gleiches mit Gleichem logarithmiert giebt Gleiches.

¹⁰lga⁴ = ¹⁰lgb ober lga⁴ = lgb, daherxlga=lgb,

(s. § 33, VIII).

Bew. a⁴ —

10 =

Igb.

Iga

X — ;—

Mittels dieses Satzes berechnet man unbekannte Exponenten.

A. Sind die Basen der Potenzen oder Wurzeln gleich, so müssen auch die Exponenten gleich sein.

Bew. a¹¹ = ar, folglich lg(an) — lg(ar), d. i. nlga = r lg a, folglich n — r.

In diesem Falle bedarf es also keinerlogarithmischen Tafeln.

4_

; b. i.

1. Beisp. a²Va5x—

7 x 2 x

a². a ⁴    = a ⁶ . a²⁷;

da die Basen (a)

gleich sind: 2 +    3 7x

2 x

; mit 108 mult. re.

3___5__

2. Beisp. l243 - ^27^³ ^ 81 l729⁴^"x' hier lassen sich die Basen gleich machen:

is⁵. y'(3³)x

5__

= 3⁴.l/(3+~-nx;

5 3x — 9

24 — 66 x

3³ .3 ²    = 3⁴.3    ⁵

3*2    2

3³

24    66 x

4 + -_

⁶ ; folglich

66 x

5,3x_9    24

3 ‘ 2    2    5

50+ 45x — 135 = 120 + 144 —396x;

349

X 441

B. Verschiedene Basen. Hier ist die Lösung nur mittels der logarithmischen Tafeln möglich.

X — 1

1. Beisp. 7.5²    = V35X+¹; von beiden Seiten

den lg genommen:

ig (7.5²    0 = ig Vis¹

f-i_lg(35X + 1).

+ >; d. i.

lg 7 + lg 5 2 Ig7+(|-l)lg5

lg7+^-.g5

6 lg 7 + 3xlg 5 — 6 lg 5 = 2xlg 35 + 2 lg 35;

(2 lg 35 — 3 lg 5) x = 6 lg 7 — 6 lg 5 — 2 lg 35;

6 lg 7 — 6 lg 5 — 2 lg 35 2 lg 35 — 3 lg 5

schon die Logarithmen ein, um x unmittelbar zu berechnen,

__ (x + l) lg35>

xlg35-s-lg35

• Entweder setzt man jetzt

oder man verfährt in folgender Weise. Da lg 35 = lg (5.7) = lg 5-f-lg 7, so ist

6 lg 7 — 6 lg 5 — 2 lg 5 — 2 lg 7_4lg7 — 8 lg5

2 lg 5 + 2 lg 7 — 3 lg 5

2 lg 7 — lg 5

Die Partialdivision giebt nun:

4 lg 7 — 8 lg 5 : 2 lg 7— lg 5 = 2 4 lg 7 — 2 lg 5

— 6 lg 5. Daher:

I=2-ifSi» 9-988,™, 34) = 2--|~;

_o lg 15625 ^ lg 9,8"

4,19382

0,99123

6 lg 5

2 lg 7 — lg 5

2,23094.

2. Beisp.

xlgx = 123; den Log. genommen:

lgx. lgx = lg 123;

(lgx)² = 2,08991; (Man schreibt auch

lg²x; Igx² würde 2 lgx bedeuten!)

lgx = ± V2,08991 = ± 1,44565; daher 1) lgx — 1,44565; folglich x — 27,903.

2) lgx = — 1,44565 = (10 — 1,44565) — 10 (s. § 40, B, 3. Beisp.) --- 8,55435 — 10; daher x = 0,035839.

§ 44. Proporkionslehre.

I. Verhältnis. Über die Entstehung des Verhältnisses und der Proportion ist § 2, IV, 2, c nachzulesen.

A. Bei einem Verhältnis a: b unterscheidet man: a als Vorperglied, b Hinterglied. Die unbenannte Zahl, welche dem Verhältnis gleich ist (s. § 2, IV), nennt man Exponent des Verhältnisses; in 12 Jfa.: 8 Jio. ist ¹²/₈ = iy₂ der Exponent; in 60 cm: 2m ist er, da die beiden Verhältnis-

glieder gleichbenannt sein müssen, also 60 cm: 200 cm gedacht werden muß, — ⁶%oo = ³/io-    5: 8 (der Exponent 1)

ist ein steigendes, 3:2 (der Exp. > 1) ein fallendes Verhältnis. 60k: 20k und 21 Jk: 7 JL sind gleiche Verhältnisse, da sie gleiche Exponenten (3) haben.

B.    Es ist 18:12    ¹⁸/i2 — % = 3 :2. Verhältnisse

können also gekürzt und erweitert werden. Beispiel. Der Besitz des N verhalte sich zu dem des P wie 3³/₄ : 5⁵/e Aies 3³/₄ zu 5⁵/₆), folglich auch (mit 12 erweitert) wie 45:70, also auch (durch 5 gekürzt) wie 9:14. In dieser Form, ausgedrückt durch kleinste ganze Zahlen, ist das Verhältnis offenbar weit übersichtlicher. Zuweilen ist es noch praktischer, die kleinere Verhältniszahl auf 1 zu bringen. Hier also noch durch 9 gekürzt: 1: l⁵/₉. Man weiß jetzt, daß P l⁵/₉mal so viel hat als N.

C.    Wird N ntttctl so groß, während das 1)011 N abhängige P gleichfalls mnal so groß wird, so stehen N und P in direktem (oder geradem) Verhältnis, z. B. Gewicht und Preis einer Ware. Wird dagegen^nmal so groß, während das von N abhängige P nmal so klein wird, so stehen N und P in indirektem (oder umgekehrtem, reziprokem) Verhältnis. Verhält sich z. B. die Zahl der Arbeiter wie 3:5, so verhält sich die Zeit, welche sie zu einer Arbeit brauchen, umgekehrt wie 3 : 5, also direkt wie 5 : 3.

Allgemein: Verhält sich X zu P „umgekehrt toteaib“, so verhalten sie sich direkt wie b:a, daher auch (durch ab

Ver-

gekürzt) direkt wie ^^, d. i. direkt wie ~: ~

halten sich also 2 Größen umgekehrt wiea:b, so verhalten sie sich direkt wie die reziproken

Verhältniszahlen ^me~: ~j•

II. Die Proportion (s. § 2, IV, c) ist nur eine besondere Form einer algebraischen Gleichung, denn es muß doch gleichgültig sein, ob eine Gleichung die Form a: b = c: x, oder z. B. a: b — c-j-x hat.

1)    Die Proportion a: b = c:d, die selbstverständlich

auch ^ = ^ geschrieben werden kann, wird gewöhnlich

gelesen: „a verhält sich zu b wie c zu d“. Sie besteht aus 2 Verhältnissen a : b und c: d, die offenbar gleich sein, d. h. gleiche Exponenten haben müssen, da sonst das Gleichheitszeichen keinen Sinn hätte. Die 4 Glieder der Proportion werden auch Proportionalen (Proportionalzahlen, Proportionallinien re.) genannt. Da a das erste Glied (des

1. Verhältnisses), c gleichfalls das erste Glied (des 2. V.) ist, so nennt man a und c, daher auch b und d gleichnamige Glieder, a und d, oderb und e ungleichnamige. Letztere teilt man ein in äußere Glieder (a und d) und in innere oder mittlere (b und c).

2)    Ist b nicht —6, so ist die Prop. eine diskrete. Ist b — c (z. B. 4 :6 — 6:9), so nennt man die Prop. eine stetige (oder kontinuierliche) und das Mittelglied (6 in der letzten Prop., oder m in a: m = m: d) die „mittlere Proportionale" oder das „geometrische Mittel" zwischen a und d.

3)    Verhält sich A:B:C:D = a:b:c: d, so nennt man diese Form „fortlaufende Proportion" und versteht dieselbe so, daß A : B = a : b, B : C = b : c, C : D = et d, folglich auch z. B. I) : B — drb.

Aufgabe. Es verhalte sich A:B wie 8:9, B:0 wie 24:25, 0:1) wie 10:7. Wie verhalten sich A:B:C:D?

Auflösung. A : B : C : D

8:9

24:25

Man bringe zunächst 9 und 24 auf das kleinste gemeinsame Vielfache 72, erweitere daher das 1. Verhältnis mit 8, das

2. mit 3:

64: 72:75

10:7.

Hierauf ist 75 und 10 auf das kleinste gem. Vielfache 150 zu bringen, daher die drei ersten Verhältniszahlen mit 2, das letzte Verhältnis mit 15 zu erweitern:

128 :144:150:105 = A: B: C: D.

Z.B. ist B:D = 144:105 = 48:35.

III. Lehrsätze.

1) Das Produkt der inneren Glieder ist = dem Produkt der äußeren.

Bew. Ist a: b — e: ä gegeben, d. i. auch ^    , so

ad = de.

ergießt sich durch Multiplikation mit bd:

Mittels dieses Satzes berechnet man in der Prop. enthaltene Unbekannte.

uVi.

1. Beispiel. 8:9 — 10:x; folglich 8.x— 9.10; 9.10

Das 4. Glied (welches man bei der Lösung von Aufgaben gewöhnlich unbekannt setzt) ist also — dem Produkt der Mittelglieder dividiert durch das 1. Glied.

2.    Beispiel.

x —j— 5: 3 x — 7 = 2 x —j— 1: 6 x — 11 ;

(x+5) (6x— 11) = (3x— 7) (2x+l);

6x²-j- 19x—55 = 6x²—11 x—7; (x = oo)

30x = 48;

x=1³/₅.

3.    Beisp. a : x = x: b;

x² = ab

lab. Das geometrische Mittel zwischen zwei Zahlen ist also die Quadratwurzel aus ihrem

das geometrische Mittel

Produkt. Umgekehrt ist i zwischen m und n und es muß daher:

m : y mn = Vmn : n sein.

2) Die Proportion ist eine richtige, wenn entweder die Exponenten j beider Verhältnisse einander gleich sind (f. II, 1), oder wenn das Produkt der äußeren Glieder gleich dem Produkt der inneren^ist.

3) Aus zwei gleichen Produkten kann man eine Proportion bilden, wenn man die Faktoren des einen Produkts auf die äußeren, die des andern auf die inneren Glieder verteilt. Z.B. kann man aus 2ax = 3bc dieProp. 2a: 3b = c:x bilden.

4)    Eine Proportion bleibt eine richtige, wenn man die inneren oder auch die äußeren Glieder gegenseitig vertauscht. Aus a:b = c: d folgt z. B. a:c = b:d oder d:b = c: a; denn immer bleibt a d = b c. Daher folgt auch aus II, 3 z. B. A: a = D: d.

5)    Jedes äußere Glied einer Proportion kann mit einem innern erweitert oder gekürzt werden. Denn ist die Proportion a : i — i': a', so ist auch aa= ii'. Wird nun links eins von den äußeren Gliedern dividiert, so muß auch rechts eins von den inneren Gliedern dividiert werden. Z. B.

40 : 35 — 36 : x; das 1. und 2 Glied durch 5, dann das 1. und 3. Glied durch 4 gekürzt:

2: 7= 9 :x.

| folgt

: c: d = e: f.

6)    Aus a: b = c : d und a : b = e : f

7)    Die beiden ersten Glieder einer Proportion können durch Addition und Subtraktion beliebig verändert werden, wenn dasselbe in gleicher Weise mit den beiden letzten Gliedern geschieht (die sogen, korrespondierende Addition). Ist z. B. a: b = c: d gegeben und ändert man jedes Verhältnis in folgender Weise um: „1. -f- 1. — 2. Glied : 2. Glied — 1. Glied", so entsteht:

a-s-a— b:b — a = c-j™c — d:d — C, d.i.

2a — b:b — a — 2c — d : d — c.

Bew. ae:a = be:b ist eine stets richtige Proportion, da der Exponent in beiden Verhältnissen e ist. Jene Veränderung auf diese Proportion angewandt, giebt: ae-f-ae— a:a — ae = be-f-be—b:b — be, d. i. a (c-s- e — 1): a (1 — e) = b (e -j- e — 1) : b (1 — e).

In beiden Verhältnissen ist der Exponent    —-

'folglich

ist die veränderte Proportion richtig.

Zusatz. Statt a: b = c : d hätte man auch a: c — b: d setzen können (s. 4. Satz); folglich kann jene Veränderung auch mit a und c einerseits und b und d anderseits, d. i. mit dem 1. und 3. Gliede und in gleicher Weise mit dem 2. und 4. Gliede vorgenommen werden.

8) Bisher teilte man die Verhältnisse und Proportionen in arithmetische und geometrische ein. Bei ersteren war die Differenz charakteristisch (z. B. 7— 4 — 20 —17), bei letzteren der Quotient (z. B. 12: 4 — 21: 7). Der Zweck der Einführung der arithmetischen Proportion war einzig und allein der, das arithmetische Mittel (die Durchschnittszahl) von zwei verschiedenen Zahlen zu finden. Dies kann aber viel einfacher und allgemeiner in folgender Weise geschehen.

Aufgabe. Es seien die Größen a, b, c, d gegeben und es soll das arithmetische Mittel derselben gesucht werden, d. h. eine Zahl, die, 4mal als Summand gesetzt, dieselbe Summe giebt, wie die der vier gegebenen Größen. Auflösung. Ist das gesuchte arithmetische Mittel m, so soll also in —|— m -j— m —J— m = a —{— b —j— c —j— d

d. i. 4m — a-j-b-f-v-f-d sein. Folglich ist — b —)— c —j— d

Allgemein: Das arithmetische Mittel von n Zahlen ist — der Summe der Zahlen dividiert durch ihre Anzahl.

. m. m = a. b . c, daher

Beim geometrischen Mittel tritt an Stelle der Summe das Produkt. Ist z. B. m das geometrische Mittel zwischen den Zahlen a, b und c, so ist m

3_

die geometrischen geben, die auch allein der Gegenstand des vorliegenden § sind.

IV. 1) Die zusammengesetzte Proportion entsteht durch Vereinigung mehrerer Proportionen in eine. Hier nennt man, abweichend von II, 1, diejenigen Glieder, welche in sämtlichen Proportionen in Bezug auf ein bestimmtes Glied dieselbe Stellnüg haben, gleichnamig, daher ist z. B. das 3. Glied einer Proportion nur gleichnamig mit jedem 3. Gliede einer andern Proportion.

c8

2) Mehrere Proportionen können stets durch Multiplikation und Division der gleichnamigen Glieder vereinigt werden. Denn ist a: b = c: d

e:f=g:h gegeben, so ist ^

e _ g T~ ¥’

folglich durch Multipl.:    'fb-iae:bf==cg:dh-

1. Zusatz. Aus

HO tjj

:    folgt daher:

ab : be = cf : dg,

d. i. (s. I, B) a:e = cf:dg, wofür man auch schreibt:

f: g und sagt:

Das Verhältnis a: e ist zusammengesetzt aus den Verhältnissen c : d und f: g.

2. Zus. a : b = c : u d : e = u : v

d: e

c : x.

f:g = v:x

geht in gleicher Weise über in

3) Durch Addition und Subtraktion der gleichnamigen Glieder können mehrere Proportionen nur dann vereinigt werden, wenn alle Verhältnisse denselben Exponent haben. B e w. Aus den gegebenen Proportionen a e: a = b e: b

c f: c = df : d

entstände durch Addition ac-s-cf-a-j-c — bc-s-df: b-f- d und wenn in dieser Prop. die äußeren und inneren Glieder multipliziert werden (f. III, 2), ergiebt sich: (bc — ad) f = (bc — ad) e. Diese Gleichung kann aber nur richtig sein, wenn f = e ist, b. i. wenn alle Verhältnisse der beiden gegebenen Proportionen denselben Exponent haben. Beispiel:

20:10 = 26:13

12: 6 = 14: 7. Da der Exponent aller Verhältnisse 2

ist, so können die Proportionen durch Addition oder Subtraktion vereinigt werden, z. B. 32 :16 = 40 : 20.

Zusatz. Ista: b = m : n

c:d = m:n gegeben, so können diese

Proportionen subtrahiert werden, da beide den Exponent ™ haben. Um aber den unbestimmten Ausdruck ~ zu vermeiden,

a: b = 2m : 2n c : d = m : n

hat man zuvor das 2. Verhältnis der 1. Proportion mit 2 zu erweitern.

a — c : b — d = m : n.

4) Sind etliche Verhältnisse einander gleich, z. B. ax: b± = a₂ : b₂ = a₃ : b₃, so verhalten sich die beliebig durch Addition oder Subtraktion vereinigten ersten Glieder zu den in gleicher Weise vereinigten zweiten Glieder wie das 1. Glied irgend eines Verhältnisses zu dem 2. desselben. Z. B. ai a2 — % : bi — b₃ = a₂ : b₂.

Bew. ai:bi a2: b₂

add. sl± —|— a₂: b^ —{— b₂

a3 *^3

J⁵

: b2 : b₂

— 2 a₂ -f - 2 b₂;

s. b. vorherig fußt.: sgehend.Satz.

ai + a2 — a3:bi+b₂—b₃— a₂ :    b₂.

so Verhalten sich die beiden Resultate wie jedes Glied links zum entsprechenden rechts. Ist z. B.

A : B : C : D : E = a : b : c : d : e gegeben, so ist auch

--- D :

-- D ; = D :

A — B —|-C-j— D — E : a— b —J— c~-|— d — e = D: d. Bew. A:a

C:c

B:b

E: 6

D:d

A + C+D;a+c+d = 3D:3d    B+E:b+e = 2D:2d.

B+E:b + e    --2V: 2d subt.

A-B4-C+D —E:a-b+c+d — e = D:d.

¹

Beispiel. 3 = 2^2x + 13— Vöx-f-7. Hat das unbekannte Glied unter den beiden Wurzeln gleiche Vorzeichen (wie es hier der Fall ist: 2x und 8x positiv), so behalte eine Wurzel allein auf einer Seite.

²

3+ V8x+7 — 2 l+x + 13; quadriert: 9 + 6 /8T+7 + (8x+7) = 4.(2x+13); d. i.

³

16 + 6V8x + 7 =52;

⁴

= —135.

⁵

Werden die Glieder einer fortlaufenden Proportion auf der linken Seite beliebig durch Addition und Subtraktion verbunden, alsdann auf der rechten Seite in gleicher Weise,

§ 45. Angewandte binomische Gleichung und Proportion.

Um eine Aufgabe (z. B. eine in Worte gekleidete Aufgabe, Textaufgabe) durch eine Gleichung lösen zu können, jetzt man die gesuchte Größe — einem der letzten Buchstaben des Alphabetes (— x). Alsdann bildet man aus den Beziehungen der in der Aufgabe gegebenen (bekannten) Größen zu der Unbekannten zwei mathematische Ausdrücke, die dem Werte nach gleich, in analytischer Beziehung (also hinsichtlich des Rechnens) jedoch verschieden sind. Diese Werte, einander gleich gesetzt, geben die Fundamentalgleichung (angesetzte Gleichung), aus welcher nach den Regeln der letzten §§ die Unbekannte berechnet wird.

1. Aufgabe. Ein Vater sagt zu seinem Sohn: Vor 4 Jahren war ich 9mal so alt als du, nach 8 Jahren werde ich nur noch 3mal so alt sein. Wie alt ist jetzt der Vater und der Sohn?

Auflösung. Der Sohn sei jetzt x Jahre alt, folglich war er vor 4 Jahren x — 4 Jahre, der Vater 9 (x — 4) — 9x — 36 Jahre alt, mithin ist jetzt der Vater 9x— 36 -f- 4 = 9x — 32 Jahre alt. Nach 8 Jahren ist der Sohn x4- 8, der Vater 3(x-j-8) = 3x-j-24 Jahre, der Vater jetzt 3x-J-24 — 8 = 3x-f*16 Jahre. Da der Vater jetzt sowohl 9x — 32, als auch 3x-s- 16 Jahre alt ist, so hat man die Gleichung:

9x — 32 = 3x-f-16;

6x = 48

x— 8 (Jahre das Alter des Sohnes, wie angenommen). Das jetzige Alter des Vaters z. B.

3 x —|— 16 = 3.8    16 = 40 Jahre.

-    2. Aufgabe. Ich kenne einen Bruch, dessen Zähler um

8 kleiner ist als der Nenner. Vermehre ich sowohl den Zähler als auch den Nenner um 9, so erhält der Bruch den Wert ²/₃. Welcher Bruch ist es?

Auflösung. Der Nenner des Bruches sei x, folglich ist der Zähler x — 8, der Bruch daher , der veränderte

Bruch (s. Aufgabe)

Wert ²/₃ haben soll, so ist

X -f- 9

X — 8 + ⁹ — ^+2. Da dieser den

= ²/₃; aufgelöst:

x+1

x-j- 9

3 (x-s-1) = 2 (x-f- 9);

x= 15 (der Nenner).

Der Zähler —x — 8—15 —8 — 7, der Bruch also ⁷/₁₅.

3. Aufgabe. Ein Gefäß kann durch zwei Röhren aund d gefüllt werden. Läßt man die Röhre a allein laufen, so braucht sie zur Füllung des Gefäßes 7V₅ Minuten mehr, als wenn man d allein laufen läßt. Öffnet man beide Röhren zugleich, so füllen sie das Gefäß in 3^ Minuten. In welcher Zeit wird jede Röhre allein das Gefäß füllen?

Auflösung. Die Röhre b brauche allein zur Füllung x Minuten, daher a allein x-\-7¹/₆ Min. Folglich füllt b

allein in 1 Min. ~ des Gefäßes, a allein in 1 Minute

5

x + 7Y₅

5 x _j- 36' mithin beide zusammen in 1 Minute

x"⁻!⁻5x^36" ^ach der Aufgabe füllen aber auch beide in 1 Min. ;^r — ⁵/i8 des Gefäßes. Folglich ist

Vis =7+^'4.-36; mit18x(5x-s-36)mult.

5x(5x+ 36)= 18 (5x + 36) + 90x; 25x²+180x=90x+648 + 90x;

25x3=648; x²= 25,92;

x = V 26,92 = ±6,09117,

Das Gefäß wird also von b in 5,09117 Min. gefüllt. Der andere Wert — 5,09 Min. ist hier unmöglich.

4. Aufgabe. Eine Bauersfrau ging mit Eiern zu Markte. An A verkaufte sie die Hälfte derselben und ¹/₂ Ei, jedes Stück für 8 <$.; an B ¹/₃ des Restes und ¹/₃ Ei, das Stück für 7 4; an C ¹/i des jetzigen Restes und y₄ Ei, jedes Stück für 6 <$. Sie löst 22 weniger, als wenn sie für jedes Ei, welches sie anfänglich besaß, 6$. erhalten hätte. Wie viel Eier hatte sie zu Markte gebracht, wie viel behalten und wie viel hatte sie gelöst?

Auflösung. Sie hatte x Eier. An A verkaufte sie y-f-¹/2 Eier. Sie behält, da sie x Eier gehabt und

y + Vr verkaufte, noch x—1|+ Vs) = f — Vs Eier. An B verkaufte sie ¹/₃ dieses Restes und ¹/₃ Ei, d. i. Vs (f — Vs)-|- Vs = 6 + Ve Eier. Sie behielt, da sie

Eier.

vorher f — Vs gehabt, f — V* — (f rf Ve) = f — Vs An C verkaufte sie Vi (f — Va)+ ¹U = ^Jr¹/i2 Eier. Sie löste 8.    Vs) + ⁷ • (l"""!⁻ Ve)+⁶.    Vis)

—    ₃    Hätte sie jedes der x Eier zu 6 H.

17 x

verkauft, so hätte, sie 6x$. gelöst. Nach der Aufgabe ist nun

^+¹Vs=6x-22;

17x-jrl7 = 18x— 66;

x — 83 (Eier hatte sie anfänglich).

Sie behielt, da sie an C ^ -f- V12 Eier verkaufte und vorher^ — ²/₃ gehabt, noch | — ²/₃ —    + V12) =

= — ^ = 20 Eier. Sie löste 6 x — 22$ = 6.83 — 22

—    47 6    (Die Probe zeigt, daß sie nicht ¹/2t ¹/3f ¹/± Ei,

sondern nur ganze Eier verkauft hatte.)

5. Aufgabe. Ich kenne eine dreiziffrige Zahl, bei welcher die 1. Stelle (links) um 1 größer als die letzte, die mittlere halb so groß als die erste. Setze ich die 1. Stelle hinter die letzte und multipliziere die so entstandene Zahl mit 3, so erhalte ich 587 mehr als die ursprüngliche Zahl. Welche Zahl ist es?

Auflösung. Angenommen, es sei die gesuchte Zahl 423, so würde ihr Wert 4.100-}-2.10-J-3 sein. Ist daher die letzte Stelle x, so ist (nach der Aufgabe) die erste x-j-1, die

mittlere ¹ - Der Wert der Zahl ist daher (x-s- 1). 100 -f- x-~^~ - • 10 -f-x = 106 x-f-105. Setzt man die 1. Stelle hinter die letzte, so sind die 3Ziffern, x, x -j- 1 und

folglich der Wert dieser neuen Zahl • 100 -f-x. 10

-f- (x —{— 1) = 61 x —51. Der Aufgabe gemäß ist nun:

3 . (61 x-f-51) = (106x-f 105) + 587;

183 x-f 155 = 106 x-f 105 + 587; x — 7 (die letzte Stelle).

Die erste Stelle 7 -f- 1 = 8, die mittlere — ⁸/₂ — 4. Die gesuchte Zahl daher 847.

6. Aufgabe. Der Uhrenhändler A in Luxemburg verkaufte eine Anzahl Uhren; die Hälfte derselben und 9 Stück an den Deutschen v zu 9 Ji das Stück, ys der ursprünglichen Anzahl und 11 Stück an den Franzosen F zu 11 Francs das Stück, den Rest an den Niederländers zu 5 holländischen Gulden das Stück. Er löste 1159 Jt). 50 H. Wie viel Uhren hatte er verkauft?

Auflösung. Er verkaufte x Uhren; an v ^ -s- 9 St., wofür er 9    löste. AnF verkaufte er |--{-ll St.

und bekam dafür 11 llj Francs. Da aber jedes Glied

der Gleichung durch dasselbe Maß ausgedrückt sein muß (s. § 3, I) 3) und 1 Franc — ⁴/ö Ji>. ist, so löste er von F:

⁴/₅.11 ^ -j- 11 j = ⁴⁴/₅ (js + 11) ^ An C verkaufte er

den Rest, b.i.x—(j + 9)—(|+ll) = -^ —20@tücf,

bekam und da 1 Gulden

wofür er 5    — 20 j Gulden

— 1⁷/₁₀ Jkt so bekam er

Der Aufgabe gemäß ist nun:

⁹ (~4 + ⁹)+⁴⁴/s    +¹1)+¹⁷/2 (7^    2oj=1159¹/ä;

⁹^+81+^ + ⁴⁸⁴/5 + ^-170 = H59V₂;b.i.

15

24

139 x , 44 x ₁₂48V₂ —⁴⁸⁴/₅; mit 120 mutt.

695 x + 352x = 149820 —11616;

1047x= 138204;

X— 132 (Stück besaß A anfangs).

7. Aufgabe. A besitzt drei Sorten Kaffee, das Kilogramm zu 1,4 Jkf 1,75 Jk. und 1,95 Jk. Er will 8 Kilogr. einer Mischung haben, die 1,65 Kilvgr. kosten soll, und dazu von der ersten Sorte ¹/₂ Kilogr. weniger als das Doppelte der dritten nehmen. Wie viel hat er von jeder Sorte zunehmen?

Auflösung, x Kilogr. von der dritten Sorte, daher von der ersten 2x — ¹/₂ Kilogr., von der zweiten 8 — (2x—y₂) — x = S¹/₂ — 3x Kilogr. Die drei zur Mischung verwandten Sorten kosten daher 1,4 (2 x—x/₂) + 1,75 (8V2 —3x) + 1,95 x Jk, die Mischung soll aber auch 8.1,65 Jk. kosten. Daher ist

1,4 (2x —0,5)+1,75 (8,5 — 3x) + l,95x = 8.1,65; 2,8x— 0,7 +14,875 — 5,25x + l,95x= 13,2;

— 0,5x= —0,975; durch — 0,5 div.

x— 1,95 (Kilogr. von der dritten Sorte).

Von der ersten 2.1,95 — 0,5 — 3,4 Kilogr., von der zweiten 8 — 1,95 — 3,4= 2,65 Kilogr.

8.    Aufgabe. A hat zwei Metalllegierungen a und b. In a kommen auf 5 Kilogr. Kupfer 3 Kilogr. Zink, in b auf 7 Kilogr. Kupfer 5 Kilogr. Zink. Er will 100 Kilogr. einer Mischung haben, in welcher auf je 3 Kilogr. Kupfer 2 Kilogr. Zink kommen sollen. Wie viel nimmt er von jeder Sorte?

Auflösung. Von a nimmt er x, folglich von b: 100 — x Kilogr. In a kommen auf 5 + 3 Kilogramm Legierung 5 Kilogr. Kupfer, folglich auf 1 Kilogr. Legierung 6/3 Kilogr. Kupfer, auf x Kilogr. der beabsichtigten Mischung 5 X

-g- Kupfer. In b kommen auf 7 + 5 Kilogr. Legierung

7 Kilogr. Kupfer, folglich auf 1 Kilogr. Leg. ⁷/₁₂ Kilogr. Kupfer, auf 100 — x Kilogr. Mischung ⁷/₁₂ (100 — x) Kilogr.

Kupfer. Folglich sind in der Mischung    (100—x)

Kilogr. Kupfer. Es sollen aber auch in 3 + 2 Kilogr. der

Mischung 3 Kilogr. Kupfer enthalten sein, d. i. in 1 Kilogr. der Mischung ⁸/ß Kilogr. Kupfer und in den 100 Kilogr. der Mischung 100.³/₅ — 60 Kilogr. Kupfer. Folglich ist:

5X + Vi2 (100—x) = 60;

15x + 1400 — 14 x= 1440;

X — 40 Kilogr. (von a; daher von b: 60 Kilogramm).

9. Aufgabe. Ein Hund verfolgt ein Reh, welches 24 Schritte voraus hat. Wenn der Hund 4 Schritte macht, macht das Reh 5, der Hund kommt aber mit 5 Schritten so weit, wie das Reh mit?. Wie viel Schritte muß der Hund noch thun, um das Reh einzuholen?

Auflösung.

5x

24 R.

Y«-

-o

T*

Jetzt sei der Hund in H, das Reh in R; in C mögen sie sich treffen. Der Hund mache von 8 bis 0 x Schritte. Während der Hund 4 Schritte macht, macht das Reh 5, während daher der Hund 1 Schritt macht, macht das Reh ^Schr., während der Hund x Schritte macht von (H £n§ C),

F) x

macht das Reh Schritte (von R bis C).

Der Länge nach sind 5 Hundeschritte = 7 Rehschritte. 1 Hundeschritt — ⁷/₅ Rehschritt, x Hundeschritte (HC)

— ^ Rehschr. (HC). Folglich ist HC durch Rehschritte in zweierlei Weise ausgedrückt:

ll

Schurlg, Algebra.

24+^;

28x = 480 + 25x;

x— 160 (Schritte muß der Hund noch thun).

10. Aufgabe. Ein Faß enthält 80 Liter Weingeist. N nimmt daraus 1^ Liter und ersetzt dies durch 1^ Liter Wasser. Hierauf nimmt er aus der jetzt im Fasse befindlichen Mischung von Weingeist und Wasser wieder iy₂ Liter heraus und ersetzt dies durch IV2 Liter Wasser. Er setzt dieses Herausnehmen und Ersetzen durch Wasser so lange fort, bis nur noch 13 Liter Weingeist in dem Fasse sind. Wie oft hat er l¹/₂ Liter Wasser hineingegossen?

Auflös. Gewisse Aufgaben löst man oft lieber allgemein, stellt also eine Formel her, mit der alle speziellen Aufgaben derselben Art gelöst sind, da man sonst für einen speziellen Fall mit anderen Zahlen die ganze Rechnung wiederholen müßte und dies oft mit unbequemen vielstelligen Zahlen, wahrend die einfachen Zeichen a, b, . . . viel übersichtlicher sind. Es sei also allgemein die Aufgabe zu lösen: Das Faß enthalte a Liter Weingeist, b Liter werden stets herausgenommen und durch b Liter Wasser ersetzt; nach dem xten Male seien nur noch c Liter Weingeist im Fasse.

Nach dem 1. Male ist

in a Liter Mischung: a—b Weingeist und b Wasser,

a — b

b ,

-.b    „

Da diese b Liter (mit —^■. b Weingeist) beim 2. Male

herausgenommen werden und vorher a — b Weingeist darin

war, so ist nach dem 2. Male nur noch a — b —

a — b _

--. b

a

Weingeist

darin. Da der Inhalt des Fasses stets a Liter bleibt, so ist also nach dem 2. Male

in a Liter Mischung:

. (a-b)²

Weingeist,

(a — b)²

a²

(a^b)! a2 ⁰    "

„ b „

Dies wird nun herausgenommen und folglich ist nach dem 3. Male in a Liter Mischung nur noch

(a-b)²

(a — b);

a²

(a-b)³

a²

Weingeist.

In gleicher Weise findet man nach dem 4. Male allgemein

nach dem x. Male hat man die Gleichung:

(a-b)⁴

a³

' nach dem 5. Male

(a-b)⁵

a⁵

(a    b)x

ax-

— und da dies — c sein soll, so

(a b)x

ax-¹

c; mit a erweitert:

a (a — b)x

— c;

i a —b ,

xlg—= lg

lgc —Iga

i a

lg-

— b lg (a — b) — lg a*

; mit

— 1 erweitert: x

lga — lgc

lga —lg(a —b)

li*

lg 80 — lg 13

Jene spezielle Aufgabe ist nun sofort mit a == 80, b = iy₂, c = 13 gelöst:

lg 80 — lg 13

X — lg 80 — lg (80 — 1,5) — lg 80 — lg 78,5 _ 1,90309 — 1,11394 _ 0,78915 ~ 1,90309 — 1,89487 — 0,00822

96 (mal zu wiederholen).

11. Aufgabe. A, B, C nehmen ein Lotterielos. A giebt hierzu 6³/4, B 4^, C 3³/₅ Jk. Sie gewinnen 1650 ^ Wie viel erhält jeder?

Auflös. Ihre Anteile Verhalten sich wie 6³/₄ : 4^/z: 3³/z. Diese unbequemen Zahlen können nach § 44, I, B auf die kleinsten ganzen Zahlen gebracht werden. Mit 20 erweitert: 135:90:72, noch durch 9 gekürzt Verhalten sich ihre Anteile wie 15 : 10 : 8. Ist ferner das Verhältnis unbekannter Größen gegeben, so setzt man am einfachsten diese Größen — den mit x multiplizierten Verhältniszahlen; denn 15x:10x:8x verhält sich auch wie: 15:10:8. Es erhalte mithin A 15 x, B 10 x, C 8x «A Folglich ist:

15x+10x+8x^l650;

(15 + 10 + 8)x=1650

1650

1650

15+10 + 8

.15, B erhält

A erhält nun x. 15 1650

15 + 10 + 8

Allgemein: Um eine Zahl nach gegebenen Verhältniszahlen zu teilen, dividiert man sie durch die Summe der Verhältniszahlen und multipliziert den Quotient der Reihe nach mit den einzelnen Verhältniszahlen. (Die sogenannte Gesellschaftsrechnung.)

12. Aufgabe. A hinterläßt seinen 3 Söhnen, die 21, 17y₂ und 15 Jahre alt sind, 9000 Jo., die sie nach dem umgekehrten Verhältnis ihres Alters teilen sollen. Wie viel erhält jeder?

x. 10

15 + 10 + 8 • 10, C erhält

1650

15 -j- 10 + 8

-8.

- 7 Jk

dritte

9000

5 + 6 + 7

13. Aufgabe. 111/4Liter kosten 2Jk10<$. Was kosten 40 Liter?

¹¹²/₁₅ = 7T/₁₅ Jk = 7 Jk 47$.

Auflösung, x Jk Soll diese Aufgabe durch die einfache Proportion gelöst werden, so setze man x Jk in das vierte Glied. Das dritte Glied ist mithin 2,1 Jk, da ein Verhältnis nur gleichartige Glieder enthalten darf. Eine Frage entscheidet nun sehr einfach, ob das erste Verhältnis ein steigendes (111/4 Liter: 40 Liter) oder ein fallendes (40:111/4) sein muß. Folglich: 11 x/₄ Liter kosten 2,1 Jk, wie viel 40 Liter? Antwort: Mehr, d. h. x ist größer als 2,1 daher dieses zweite Verhältnis steigend und folglich auch das erste, da beide denselben Exponent haben müssen. Es ist also: liy₄:40 = 2,l 'jk: x Jk 40.2,1    40.21.4

11V₄

Auflösung. Da sich die Anteile umgekehrt wie 21:171/2:15 Verhalten sollen, so Verhalten sie sich direkt

wie V21:

oder (mit 105 erweitert) wie 5:6:7. Folglich erhält nach der in der vorigen Aufgabe entwickelten Regel: der älteste

• 5, der zweite Sohn

: Viß (f-§44,1, C), d.i. wie 1/21^/35: V15

Sohn

9000

9000

•6, der

10.45

Zusatz. Die Proportion führt hier zu dem einfachen

40

Ansatz: x— 2,1^    Man multipliziert also die mit

der gesuchten Zahl (hier x Jk) gleichartige Zahl (2,1 Jk) mit einem Quotient, der das bekannte Verhältnis der Aufgabe (hier das Verhältnis der Liter) ausdrückt und dessen Zähler mithin größer oder kleiner als der Nenner ist, jenachdem x größer oder kleiner als jene mit ihr gleichartige Zahl (2,1 Jk) sein muß.

14. Aufgabe. Ein Kanal von 12500 m Länge, 7⁴/₂ m Breite, 2^/5 m Tiefe wird von 4000 Arbeitern in 50 Wochen gegraben. Wie tief kann ein Kanal von 15000 m Länge werden, der bei einer Breite von 8^/3 m von 5400 Arbeitern in 42 Wochen gegraben werden soll?

Auflösung. Nach dem Zusatz der vorhergehenden Aufgabe hat man zunächst:

xrn Tiefe —2^/5 rn Tiefe    , wo der Quotient zur

zunächst x = 2⁴/₅ '

-- Bei 8^/3 Breite weniger tief

Aufnahme der Verhältnisse von Länge re. bestimmt ist. Um die Länge anzusetzen: Bei 15000 Länge kann der Kanal nicht so tief werden, als bei 12500 Länge (wenn in beiden Fällen die Breite, die Zahl der Arbeiter re. gleichgroß); daher der Zähler kleiner als der Nenner und folglich ist 12500 ..

15000... als bei 7*/₂ Breite; daher:

12500.77,...

x= 2⁴/₅ • als von 4000 Arb. re. Daher: x — 2⁴/g -

15000.8V₈...

• Von 5400 Arbeitern tiefer

12500.7 7₂.5400.50

14.12500.15.5400.50.3

15000.87g. 4000.42

5.15000.2.25.4000.42

8³/s m (Tiefe).

15. Aufgabe. (Prozente.) A kauft iy₄ Zentner Kaffee für 175 Jk. Wie teuer muß er 6 Pfund verkaufen, wenn er 17V2 °/o gewinnen will?

Anmerkung. 5% (5 Prozent) bedeutet: 100 giebt 5.

Auflösung, ßux J.! iy₄ Zentner d.i. 125 Pfund kosten ihm im Einkaufe 175 Jk., daher 1 Pfund — 1,40 Jk., 6 Pfund = 8,4 Jk.) folglich 8,4 Jk. im Einkaufe, x im Verkaufe. Ferner will er sich für 100 Jk (im Einkauf) 100 + 17y₂ = 117,5>.t. für 1 Jk: 1,175 Jk., für8,4^.: 8,4.1,175 Jk geben lassen. Folglich x = 8,4.1,175 = 9,87 Jk.

16. Aufgabe. (Zinsrechnung.) Wie viel Zinsen (z) giebt ein Kapital c zu p% (? Prozent) in a Jahren?

Anmerkung. Die Zinsen werden auch Interessen genannt. Die Jahre sind hier mit a (anni!) abgekürzt. Die Prozente beziehen sich bei Zinsrechnungen stets auf 1 Jahr. Die Zahl der Prozente wird auch Zinsfuß genannt. Der gerichtliche Zinsfuß ist gewöhnlich 5%,

Auflösung.

Das Kapital 100 giebt in einem Jahre p Zinsen;

P_

100

cp

100

aber auch z Zinsen. Daher ist

w. z =

^ 100

a Jahren

cap

100

Mit dieser Formel (der Zähler erinnert an das Wort Kapital) lassen sich alle Zinsrechnungen in einfachster Weise lösen. Z. B.

Wie viel Zinsen (x) geben 540 J6. zu 8³/₄°/o in 8 Monaten?

Auflösung. In der Formel ist z durch x, c durch 540, a durch ²/₃ (Jahre), p durch 8³/₄ zu ersetzen.

540.2.15

Folglich: x

540.²/₃.3³/₄

100

3.4.100

= I3V2 ^

Zusatz. Schreibt man die Formel tK in der Form: ,cap= 100z, so ergiebt sich sofort eins der Elemente c, a oder p, wenn man das 100 fache der Zinsen durch das Produkt der beiden anderen Elemente dividiert, z. B.

cp m Jahren.

17. Aufgabe. Wie groß ist ein Kapital c, welches zu P% in a Jahren auf k angewachsen ist? Auflösung: Kap. -j- Zinsen — angewachsenes Kap.; d. i.

die Zeit a —

100z

k; oder

cap

100

c(1_1~Toö) Formel für das angewachs.'Kap.! Daraus folgt unmittelbar: K c

1 + ±E

Tioo

18. Aufgabe. N lieh am 1. April 1894 dem A ein Kapital zu 5%, am 1. Juni 1894 dem B ein Kapital, welches um 200 Jk. größer war als das des A, zu 4¹/₂°/o und erhielt von beiden am 1. Jan. 1895 an Kapital und Zinsen 350774 zurück. Wie viel hatte er Jedem geliehen?

Auflösung. Er lieh dem A das Kapital x, dem B daher x-f- 2OO. Die Zinsen des 1. Kapitals betrugen in

S:-⁴-'-⁵- — des2.Kapitals

100

³/₄ Jahren ff. 16. Aufg.) =

(x+ 200) . 4% .    _ 21 (x+ 200)

100

800

in Vi2 Jahren —

Da nun Kap. des A -j~ Zinsen des A -f- Kap. des B -s- Zinsen des B = 35077₄; so ist

x+|^+x+200+(^+57₄)=3507V₄;

51 x

2x4

800

8802;

1600 x4~ 51 x = 800.8302;

1651 x = 800.3302;

x=800.2= 1600 Jk (Kap. des A).

19. Aufgabe. Zahlt der Geschäftsmann ein Kapital früher als zu der festgesetzten Zeit, so wird ihm als Entschädigung ein Abzug gestattet, der Dis conto (Rabatt, Jnterusurium) genannt wird. Eigentlich müßte an dem frühern Termin ein Kapital gezahlt werden, welches mit seinen Zinsen bis zu dem ursprünglich festgesetzten Zahlungstermin auf das zu zahlende Kapital anwächst. Üblich ist es jedoch, den Diskont nicht auf diese rationelle Weise zu berechnen, sondern einfach die Zinsen des zu zahlenden Kapitals zu berechnen und von diesem abzuziehen.

Beisp. ^hataml. März 1895 8500^. zu zahlen. Wie viel zahlt er iy₂ Monate (V₈ Jahr) früher, wenn ihm 3^/2 % Diskont bewilligt wird?

Auflösung. Er zahlt x —Kap. 8500 —Zinsen des Kap. 8500; folglich

8500 . y₈.3V₂

8500.7

8500

8.2.100

100

= 8500

4= 8462,81 Jk

20. Aufgabe. Die Terminrechnung bestimmt für gegebene Zahlungstermine andere Termine, jedoch so, daß weder der Gläubiger noch der Schuldner dabei gewinnen oder verlieren. Die Zinsen von 500 Jio. in 3 Monaten Verhalten sich zu den Zinsen von 700 Jk in 4 Mon. (bei gleichem Zinsfuß) wie 500 . 3 : 700.4. Soll daher A in 3 Mon. 500 Jk zahlen, wünscht aber dafür 350 Jio. schon in 2 Mon. zu zahlen, so würde es sich fragen, nach wie viel Monaten (x Mon.) der Rest 150 Jk zu zahlen ist. Offenbar müssen nun die Zinsen von 500 Jio. in 3 Monaten eben so viel betragen, wie die von 350 Jio. in 2¹/₂ Monaten vermehrt um die Zinsen von 150 in x Monaten. Daher ist 350.2V₂ + 150x = 500.3;

lx — 4y₆ Monat.

Allgemein: Die Summe der Produkte aus Kapitalien und Zeiten (bei verschiedenem Zinsfuß: die Summe der Produkte aus Kapitalien, Zeiten und Prozenten) ist sowohl für die gegebenen Zeiten, als auch für die gesuchten (x enthaltenden) Zeiten zu berechnen und beide Summen einander gleich, zu setzen (s. nachstehende Aufgabe). Daraus folgt zugleich, daß der sogenannte mittlere Zinsfuß — ist der Summe der Produkte der Kapitalien, Zeiten und (verschiedenen) Prozente dividiert ^durch die Summe der Produkte der Kapitalien und Zeiten.

21.    Aufgabe. A hat in 6 Monaten 1000 Jk, in 11 Mon. 1500 Jk zu zahlen. Er will dafür die 2500 Ji. in vier Terminen abtragen, deren Zwischenzeiten 4 Monate betragen sollen und zwar will er am 1. Termin 400, am 2. 500, am 3. 700, am 4. den Rest von 900 Jio. zahlen. Nach wie viel Monaten fällt der 1.Termin? Auflösung. Nach x Mon., der 2. daher nach x + 4, der 3. nach x + 8, der 4. nach x-f-12 Monaten. Folglich: 400x+500(x+4)+700(x+8) + 900(x+12)

= 1000.6 + 1500.11; durch 100 div. 4x+5x+ 20 + 7x+56 + 9x + 108 = 60 + 165;

x = ⁴¹/₂₅ Mon. = 1 Mon. 19 Tage.

Anmerkung. Auch diese „übliche" Berechnungsweise ist unrichtig, da jenes erste Kapital erst in 6 Mon. 1000 Jio. groß ist, jetzt z. B. mit 5% nur 975,6 Jk Folglich müßte es heißen: 975,6 Jk geben in 6 Monaten eben so viel Zinsen..".., nicht aber: 1000 Jio. geben in 6 Monaten.....

22.    Aufgabe. A leiht dem B ein Kapital e zu p % unter der Bedingung, daß B die Zinsen nach je n Jahren abtrage. Wenn nun B die Zinsen nicht abträgt, wird offenbar das Kapital nach je n Jahren um die aufgelaufenen Zinsen größer und es fragt sich, wie groß (k) wird auf diese Weise das Kapital nach a Jahren? (Dieses Anwachsen eines Kapitals nennt man Zinseszinsen, oder Zins auf Zins oder zusammengesetzte Zinsen.)

Auflösung. Das Kapital c wächst nach n Jahren auf e (l + an (s. 17.Aufg.). Setzt man dieses angewachsene Kapital = c' und wird dasselbe (c) wieder auf n Jahre ausgeliehen, so wächst es (nach der 17. Aufg.) auf c'^l + an. Folgl. wächst das ursprüngl. Kapitale nach 2 n Jahren auf

4+»H«(¹+S)'(I+ra)Mi+®)’

wieder auf n Jahre ausgeliehen, so wächst es auf c" (l -f-an, d. i. c wächst nach 3n Jahren auf c" |l -j-

tn 4n Jahren auf 6^1 -f-    , in 6N Jahren daher auf

c(1 + m)e' Setzt

Jahren auf v (l +^)n bezeichnet werden soll. Es ist also:

an,

in a

man en

= a, also e = so wächst c

an, welches Kapital mit k

(A).

* k='(>+w)“

Beispiel. Auf welche Summe (x) wachsen 2345 J. mit 4³/₄% in 30 Jahren an, wenn die Zinsen, welche vierteljährlich abgetragen werden sollten (also n= V₄), nie abgetragen worden waren?

30

(‘+W“

Auflösung. Nach vorstehender Formel ist x = 2345 .

x = 2345

(‘

19 >120

) ;

1600

x = 2345

Z1619\120^

\i6oo; >

lg 1619 = 3,2092468 lg 1600 = 3,2041200

0,0051268 (.120 0,6152160 lg 2345 = 3,3701428 lgx = 3,9853588

x = 9668,49 J.

23. Aufgabe. Werden die Zinsen nicht abgetragen, obgleich'dies am Ende jedes Jahres geschehen sollte, so ist

in der Formel A einfach n — 1 zu setzen. Dieselbe geht alsdann in die folgende (am häufigsten benutzte) über:

Beisp. N leiht dem P am 1. Januar 1880 7000^. zu 4y₂ %. Die Zinsen sollte P nach Ablauf eines jeden Jahres zahlen. Da P bis 1891 den 1. Juli keine Zinsen zahlte, so forderte N das mit Zinseszinsen angewachsene Kapital zurück. Wie viel (x) hat N zu bekommen?

Auflösung. Da man für einen Zeitraum von weniger als einem Jahre stets nur einfache Zinsen, aber keine Zinseszinsen berechnet, so ist zunächst das bis 1. Januar 1891 angewachsene Kapital (z) nach B zu berechnen. Daher

z = 7000 (l H-Too)¹¹ = 7000 . 1,045";

lg 1,045 = 0,0191163.11 0,2102793 lg 7000 = 3,8450980 lg z = 4,05537 73    •

z = 11359,97 Ji.

Dieses Kapital wächst noch bis zum 1. Juli mit einfachen Zinsen auf

x= 11359,97.(l +^r) an (s. 17-Aufg.) x= 11359,97.1,0225 = 11615,57 Jk

24. Aufgabe. Aus der Formel B das ausgeliehene Kapital c, die Prozente p und die Jahre a zu berechnen.

Auflösung. Dividiert man durch die Potenz, so erhält man unmittelbar:

(C).

° (i+ifeT

Dividiert man B durch c und zieht dann die atc Wurzel aus, so ergiebt sich

25. Aufgabe. Die Stadt N hatte am 1. Jan. 1870: 56000, am 1. Jan. 1890: 90000 Einwohner. Wann wird sie, gleiches Wachstum vorausgesetzt, 200000 Einwohner haben?

Auflösung. Da sich Bevölkerungen, der Bestand eines Waldes re. nach Art der Zinseszinsen vermehren, so hat man hier gleichfalls die Formeln A und B zu benutzen.

Die Stadt wachse von 1870 bis 1890 mit p% an. Folglich:

(₁₊JL)²⁰₌^ ■L ' 100- 28

90000 — 56000 (1 + ”)²°; durch 56000 Hb.: | 1

Wie sich sogleich zeigen wird, ist

es nicht nötig, p selbst zu suchen. Von 1890 an wachse sie in x Jahren auf 200000 Ew. an. Folglich, da die % dieselben bleiben sollen:

HÜ

; d. i.

200000 — 90000

(FF

100 + p= 100|/-|; p = 100

— 100

(D).

Ferner ergießt sich aus (l -s-^f

^ (siehe B):

alg(l + ioo) = lgk—Igc; oder lg k — lg c

lg(¹⁺iö)

---CE).

200000 = 90000

- 20/ . - /dt

20/—

Xlgl/ 28==lg 2%’

₌ lg²%_ lg20 — lg9    _ 20(lg20-lg9)

20.—

*Kb

lg 45 — lg 28

lg 45 — lg 28

20

20.0,3467875

38,660 Jahre (29. Aug. 1923).

26. Aufgabe. N legt am 1. Aug. 1884 480 Jk. in die Sparkasse, die mit 3Y₂% berechnet, am 23. März 1888 noch 340 Jk Am 17. April 1895 läßt er sich die Kapitalien nebst den aufgelaufenen Zinsen auszahlen. Wie viel (x) erhält er?

Auflösung. Bei den Sparkassen werden Zinseszinsen berechnet, jedoch nur vom 1. Januar an und auch nur für volle Jahre. Geschieht die Einzahlung der Gelder nach dem 31. Dezember eines Jahres, also im Laufe des folgenden Jahres, so werden bis zum 31. Dezember dieses laufenden Jahres nur einfache Zinsen berechnet, diese auch nur vom 1. des nächsten Monats an und nur für volle Monate. Bei der Kündigung von Geldern werden daher vom 1. Januar desselben Jahres an bis zu dem letzten Tage des vorhergehenden Monats gleichfalls einfache Zinsen berechnet.

Hiernach wächst das 1. Kapital 480 an vom 1. Sept. bis 31. Dez. 1884 auf 480 |l -}

— 480 (1+ Veoo) = 485,6 Jk (f. 17. Aufg.); vom 1. Jan. 1885 bis 31. Dez. 1894 auf 485,6.1,03510 f= 684,99 Jk (s. 23.Aufg.);

1. Jan. bis 31. März 1895 auf 684,99 (l +

= 684,99 (1+ Vsoo) = 690,98 Ji. (f. 17. Aufg.).

0,2060545

Vs-3 V,

100

vom

Das 2. Kapital 340 Jk wächst an vom 1. April bis 31. Dez. 1888 auf 340 (l +

= 340 (1+ ²¹/soo) = 348,93 Jk; vom 1. Jan. 1889 bis 31. Dez. 1894 auf

348,93.1,035⁶ = 428,92 Jk;

vom 1. Jan. bis 31. März 1895 auf 428,92 (l +

= 428,92 (1+ Vsoo) = 432,67 Jk Mithin erhält N am 17. April 1895:

690,98 + 432,67 = 1123,65 Jk

§ 46. Einfache und binomische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

I. Einleitung.

1)    Die Anzahl der aus der Aufgabe abgeleiteten, von einander unabhängigen Gleichungen muß eben so groß sein, wie die der Unbekannten, wenn die Aufgabe bestimmt sein soll. Beispiel: Die Summe zweier Zahlen ist 23, ihre Differenz 7. Welche Zahlen sind es? Setzt man die Zahlen x und y, so ist I. x -s- y — 23, II. x— y — 7. Da Gleichung II nicht aus Gleichung I abgeleitet werden kann, die Gleichungen also unabhängig von einander sind, ferner eben so viel Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte, so ist diese Aufgabe bestimmt. Zugleich ergiebt sich hieraus, daß der Wert jeder Unbekannten in allen aus derselben Aufgabe abgeleiteten Gleichungen derselbe sein muß.

2)    Ist die Anzahl der Gleichungen geringer als die der Unbekannten, so ist die Gleichung unbestimmt.

Ist z.B. 5x-J-7y — 64, so könnte x jeden beliebigen Wert, z. B. —7yn, haben, denn immer würde sich dann aus dieser Gleichung für y ein Wert finden, der die linke Seite der rechten gleich macht. Die Auflösung einer solchen Gleichung wäre mithin unmöglich, wenn nicht — wie es in der Theorie der unbestimmten (oder diophantischen)

Gleichungen geschieht — die Zahl der Lösungen durch irgend eine Bestimmung eingeschränkt würde und zwar gewöhnlich durch die, daß die Auflösungen ganz und positiv sein müssen.

3)    Sind 3 (allgemein n) einander gleiche Größen gegeben, z. B. A = B = C, so lassen sich daraus nur 2 (bezw. n—1) von einander unabhängige Gleichungen bilden, z. B. A = B und A = C, denn die 3. Gleichung B — 0 ist schon in jenen beiden enthalten. Daraus folgt, daß in 3 einander gleichen Größen auch nur 2 Unbekannte enthalten sein dürfen.

4)    Hätte man aus einer Aufgabe z. B- 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten abgeleitet und käme man bei der Auflösung auf 0 — 0, so ist dies ein Zeichen, daß jene Gleichungen nicht unabhängig von einander waren. Denn hätte man z. B. aus einer Aufgabe 6x — 4y = 20 und 9x—6y = 30 abgeleitet, so würde sowohl aus der 1. Gleich. 3x—2y — 10, als auch aus der zweiten 3x — 2y — 10 folgen; aus diesen letzteren Gleichungen aber ergiebt sich 10 — 10, d. i. 0 — 0, ein Zeichen, daß jene beiden zuerst abgeleiteten Gleichungen nicht unabhängig von einander waren.

5)    Giebt man in einer entwickelten Gleichung mit mehreren Unbekannten jeder Unbekannten den Faktor t, so bestimmt die Potenz von t die Dimension (den Grad) des Gliedes. 3. 93. x³y² + xy³ = a; x —xt, y — yt gesetzt, giebt (xt)³(yt)²-|-xt. (y t)³= a d. i. x³y²t⁵-}~xyt⁴ = a; folglich ist das 1. Glied von der 5., das 2. von der 4. Dimension, die Gleichung selbst aber ist vom 5. Grade, da die höchste Potenz den Grad bestimmt. Die Gleich, axy -s-dx-j-ey — ä z. B. ist vom 2. Grade, denn das 1. Glied würde t² erhalten.

6)    Hat man 2 Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die eine vom n. Grade, die andere vom r. Grade, so kann die Auflösung nicht auf eine Gleichung mit einer Unbekannten führen, die den n r. Grad übersteigt. Z. B. ist jede dev beiden Gleichungen I. x² — xy —10 und II. xy-j-y²=30 vom 2. Grade, daher kann die Auflösung höchstens auf eine Gleichung vom 2.2ten, d. i. 4. Grade mit einer Unbekannten führen.

7) Die Form ax -f- by = c wird Normalform der Gleichungen vom 1. Grade mit 2 Unbekannten, ax-j-by -f- cz = d Normalform der Gleichungen vom 1. Grade mit 3 Unbekannten genannt.

II. Die Auflösungsmethoden der Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

A. Eliminieren.

Eliminieren heißt eine Unbekannte aus einer Gleichung entfernen. Hätte man z. B. die Gleichung x -s- y — 7 und wüßte man, daß y = 2x— 5 wäre, so könnte man den Ausdruck 2x — 5 an die Stelle von y in der 1. Gleichung setzen und man erhielte x-j-2 x— 5 — 7. Somit wäre y aus der 1. Gleichung eliminiert worden. Die Gleichungen mit mehreren Unbekannten löst man dadurch, daß man eine Gleichung mit einer Unbekannten herstellt, indem man die übrigen Unbekannten eliminiert. Das vorstehende Beispiel zeigt, in welcher Weise die Elimination erfolgen kann.

Hier mögen die drei am häufigsten in Anwendung kommenden Eliminationsmethoden gelehrt werden:

1)    Die Substitutionsmethode.

2)    Die Koeffizientenmethode (Additions- und Sub

traktionsmethode).

3)    Die Komparationsmethode.

Es giebt zwar noch einige andere Eliminationsmethoden, durch welche die niederen Gleichungen mit mehreren Unbekannten gelöst werden können, z. B. die Bezoutsche Methode, doch erfolgt die Auflösung durch jene drei Methoden stets weit einfacher und sicherer.

B. Substitulionsmekhodr.

Die gegebenen (bezw. aus einer Aufgabe abgeleiteten) Gleichungen sind stets zunächst zu entwickeln und auf die geordnete Form ax-J-by-{-cz...=m mit ganzzahligen Gliedern zu bringen. Hierauf berechnet man eine Unbekannte aus irgend einer Gleichung, die daher nicht bloß durch die

12

Sch urig. Algebra.

bekannten, sondern auch durch die übrigen unbekannten Größen derselben Gleichung ausgedrückt ist. Gewöhnlich ist die Unbekannte zu berechnen, welche den kleinsten Koeffizient hat, weil dann der entstehende Nenner am kleinsten ist. Den für die berechnete Unbekannte erhaltenen Ausdruck setzt man in alle übrigen Gleichungen an Stelle dieser Unbekannten ein, wodurch die Anzahl der Gleichungen und zugleich die der Unbekannten um eine geringer wird. Mit diesen Gleichungen verfährt man auf gleiche Weise (Entwickelung re.), bis man nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten hat.

1. Beispiel.

x+y

9Vs; ii.

31.

5x — 3 y

A- 4

Die Gleichungen zunächst vereinfacht und geordnet:

15x— 9y=2x + 2y—116; I*. 13x—lly=—116.

2y —2x—15x + 35y = 310; II*. —17 x + 37 y — 310.

Die Vereinfachten Gleichungen, die der Übersicht wegen mit I* und II* bezeichnet sind, sind nun erst aufzulösen. Der kleinste der 4 Koeffizienten ist —11. Man berechnet daher das zugehörige y;

— lly = — 116 — 13x; lly =    116 —f- 13x;

(A).

116 -j- 13x

ii

Da y aus I* berechnet ist, so ist der dafür erhaltene Wert in alle übrigen Gleichungen, d. i. in II*, einzusetzen.

310; mit 11 mult.

-17x+37.-^±^

— 187x + 37(116+ 13x) = 3410; (s. § 3, III, 5)

— 187 x+4292 +481 x = 3410;

294x = —882; x — — 3.

Diese Auflösung setzt man in den Ausdruck ein, welchen man für die vorhergehende Unbekannte erhalten hatte, also 116 +13. (—3)

in A. Es ergiebt sich y 2. Beispiel.

i.

x -f- z -f- 2

5y —3z —1

f 21%-

II. 1

2y — z-f 2t3y — z — 2 x

5XP+2V₄.

= 2:1; (Proportion!)

ui.

Die Gleichungen sind zunächst zu ganzzahligen Gliedern zu entwickeln.

Aus I (mit 30 mult.)

18x —24y    10x+10z-f20 + 645—75y+45z+15;

I*. 8x+51y —55z=680.

Aus II (s. § 44, III)

₁ , X —y — 1 , 2 y — z —|— 2 3y —z —2x

¹ “T ₂

6-)-3x—3y—3-|-4y—2z-^4— 9y—3z — 6x; II*. 9x — 8 y 4- z = — 7.

Aus III (mit 4 mult.)

x__|_7y — 5 z—. 1 = io x — 2 z —j— 9;

IIP. 9x— 7y-f-3z —— 10.

P, IP und IIP sind nun erst aufzulösen. Von den Unbekannten hat z in IP den kleinsten Koeffizient, daher ist diese Unbekannte aus IP zu berechnen. Man findet:

— 9x-}-8y —7; ... (A).

Da z aus IP berechnet ist, so ist der für diese Unbekannte gefundene Wert in P und IIP (also in die übrigen Gleichungen) einzusetzen, zunächst in P:

12*

8x+51 y — 55(—9x+8y—7) —680; vereinfacht: 8 x -J- 51 y -J- 495 x — 440 y-|- 385 = 680;

1°. 503 x— 389 y= 295.

Nun auch A in III* substituiert:

9 x— 7y + 3 (—9x-j-8y— 7) — —10;

9x— 7y — 27x+24y — 21 = —10;

II⁰. 18x— 17y = — 11.

Die vereinfachten Gleichungen 1° und 11° mit nur noch 2 Unbekannten x und y löst man nun auf gleiche Weise auf.

(B).

y aus 11° berechnet: y— 18    11

Dieser Wert in 1° eingesetzt:

18 x + 11

₁₇    — 295; mit 17 mult.

503x — 389 •

8551 x— 389 (18 x+11) = 5015; 8551 x— 7002 x— 4279 = 5015;

1549x = 9294; x= 6.

Aus B und A (stets zurückschreitend!) finden sich nun die übrigen Unbekannten. Aus B:

18.6 + 11

y =---

3. Beispiel. I. 5x + 4y=27 II. 7 y ■— 3z—13

III.    llz+5u=6

IV.    8u—9x— 105.

Die Gleichungen sind schon in einfachster Form vorhanden, folglich kann die Auflösung sogleich beginnen. Um diese abzukürzen, berechne man, besonders wenn viele Gleichungen, jede mit nur wenig Unbekannten, gegeben sind, mehrere Unbekannte zugleich und zwar so, daß sie durch ein und dieselbe dritte ausgedrückt werden. Hier drücke man z. B. y aus I und auch u aus IV durch x aus. Folglich

27 —5 x

•••• (A) und u —

105+ 9x

Diese Werte an Stelle von y und u in die übrigen Gleichungen (II und III) eingesetzt:

Aus II:

3z= 13;

— 5 x

Aus III:

189 —35x—12z = 52; 1°. 35x+12z=137.

105+ 9x

llz + 5-

88z + 525 + 45x = 48;

II⁰. 45x+88z=: —477.

6; vereinfacht:

Jetzt hat man nur noch die beiden Gleichungen 1° und 11° mit 2 Unbekannten (x, z). Aus 1°:

137 — 35 x

12

45 x+ 88 •    ₁₂

137 — 35 x

.... (0); in 11° substituiert: 137 —35 x

477; dafür:

477;

45 x-f- 22 •

135x-{-3014 — 770 x = —1431;

635 x = 4445;

x= 7.

137 — 35.7

In C eingesetzt: z — 105 + 9.7

aus B : u

12

9;

^    0 A 27 — 5.7

21; öu3A:y= j

2.

C. Koeffirientrnmethode.

Diese wird auch Additions- und Subtraktionsmethode, oder englische Methode, algorithmische und unpassend: Eliminations-Methode genannt.

1) Die Koeffizienten derselben Unbekannten seien gleich. Dann verschwindet bei verschiedenen Vorzeichen diese Unbekannte durch Addition, bei gleichem Vorzeichen durch Subtraktion. Z. B.

I.    x+y=23

II.    x —y=7.

Durch Addition: 2x= 30 oder x— 15; durch Subtraktion (f. § 8, IV): 2 y = 16 oder y — 8.

2) Sind die Koeffizienten derselben Unbekannten verschieden, so suche von beiden das kleinste gemeinsame Vielfache und multipliziere die Gleichungen so, daß sich die beiden Koeffizienten in jenes gemeinsame Vielfache verwandeln, um den vorausgehenden ersten Satz anwenden zu können.

1. Beispiel. I. 7x+15y = 412.

II. 9x

10y = 149.

Um x zu eliminieren, sind die Koeffizienten dieser Unbekannten gleichzumachen, also auf das kleinste gemeinsame Vielfache 63 zu bringen.

I mit 9 multipl. 63x -f 135y = 3708

63x — 70y = 1043 durch Subtr.: 205y = 2665 y = 13.

I    mit 2 multipl. 14x-f-30y= 824;

II    „ 3

II „ 7

27 x — 3Qy = 447;

durch Add.: 41x= 1271 x = 31.

Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ist es gewöhnlich einfacher, nur die eine Unbekannte mittels dieser Methode zu suchen und dann den für sie gefundenen Wert in eine der gegebenen Gleichungen einzusetzen. Ist also hier zunächst y = 13 gefunden, so setzt man diesen Wert in I ein:

7x-f- 195 = 412, also x= 31.

Anmerkung. Da hier die Gleichungen multipliziert werden, wird diese Methode auch sehr unpassend Multiplikationsmethode genannt.

2. Beisp. I. 4a(x — 7a)-f-3by = bx— 2ay;

II. 3 a (x -f- 5 b) — 2 ay = 4b (y—x) — 8b².

Die Glieder, welche dieselben Unbekannten enthalten, sind stets zu vereinigen, da der Gleichung die Form Ax-j-By-f-... =M gegeben werden muß.

Daher I*. (4a — b)x-f- (2a -|- 3b)y = 28 a²;

II*. (3a-f-4b)x— 2(a-f-2b)y = — (15ab-f-8b²). Soll z. B. y zunächst eliminiert werden, so sind die beiden Glieder mit y auf das kleinste gemeinsame Vielfache 2 (a-f 2 b) . (2 a-f- 3b)y zu bringen. Daher

I*. mit 2 (a-f-2b) mult. 2 (a-f- 2b) (4a—b)x-j-2 (a-j-2b) . (2 a —j— 3 b)y = 5 6 a² (a —f- 2 b); II*. mit 2a -f- 3b mult. (2a-f-3b)(3a-f-4b)x—2(a-f-2b) . (2a-f-3b)y = — (15ab-j-8b²) (2a-f- 3b); beide Gleichungen addiert und x links ausgehoben:

(14a² 4- 31 ab -f- 8b²)x — 56a³ -f- 82a²b — 61 ab2 — 24b³. Daher

, durch Partialdivision:

_ 56a³-f-82a²b — 61 ab² — 24b3 X— 14a² + 31ab + 8b²

X — 4a — 3b.

Dies für x in I* eingesetzt:

(4a — b) (4a — 3b) -f- (2a-J- 3b)y — 28a²; folglich

__12a²+16ab —3b²

2a -f- 3b

durch Partialdivision: y — 6a — b.

3) In der angewandten Mathematik kommen häufig Gleichungen von folgender Form vor:

I. 4,285714x — 9,718543y+ 6,219374z ....

I. x —2,267660y+ 1,451187z....

II. x —0,380664y-j- 1,681015z.... rc.

Nun zieht man Gleichung I von II, II von III, III von IV rc. ab, womit die Unbekannte x verschwindet. In den neuen Gleichungen:

II. — 2,307692x+ 0,879456y + 3,879266z .... re. Diese löst man am einfachsten dadurch auf, daß man jede Gleichung zunächst durch den Koeff. von x dividiert, womit man erhält:

II —I: l,886996y+0,229828z.... 2C. bringt man tviebex (wie vorher bei x) alle Koeff. von y auf -f-1:

I*. y+0,12185z....

Ip y    _ _

und entfernt wieder y durch II* — I*, IIP — II* .... re.

4) Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten.

I.    5x—-7y + 6z = 78

II.    4x-j- 8y— 92 — 22

III. 3x — 2y — 12z = 67.

8x-j- 16y — 18z = 44

Um z zu eliminieren, verbinde z. B. I mit II u. I mit III. Daher I mit 3 ntult. 15x — 21y-f 18z = 234 II „ 2    „

= 278. I*.

durch Add. 23 x— 5y

III:

Ferner I mit 2 ntult. 10x — 14y-f- 12z = 156 3x— 2y—12z = 67

= 223. II*.

durch Add. 13x—16y

Nun sind nur noch die Gleichungen I* und II* aufzulösen.

D. Komparativ nsmrlhodr.

Diese Methode wird auch Kombinations-, Gleichsetzungs-, Äquations-, Reduktionsmethode genannt. Man berechnet aus allen Gleichungen dieselbe Unbekannte und setzt die für dieselben erhaltenen Ausdrücke einander gleich.

1. Beisp. I. 7x+15y = 412

II 9x— 10y = 149 (s. C, 2, 1. Beisp.) 412 —7x

=-^-' aus II: y

412 —7x 9x—149

9x—149

....(Y).

Aus I: y Folglich -

x = 31. Dies in I substituiert, giebt y = 13.

2. Beisp. Bei mehr als zwei Unbekannten ist § 46, 3 zu berücksichtigen. Z. B.

I. 5x—7y+6z = 78; II. 4x + 8y—9z = 22; III. 3x — 2y — 12z=67.

10

15

₁₀    ; mit 30 mult. 2c.

Berechnet man aus jeder Gleichung x, so erhält man:

^ __ 78 + 7y —6z _ 22 —8y + 9z _ 67 + 12z + 2y

II*.

Daher z. B. I*. 22 —8y + 9z

und

Diese beiden Gleichungen sind zu entwickeln, also auf die Form ay -]- bz — c zu bringen und nach beliebiger Methode aufzulösen.

Schlußbemerkung. Der Ungeübte ist gewöhnlich in Zweifel, welche Methode er in einem vorliegenden Falle anzuwenden hat. Die nachstehenden Regeln werden die gewünschte Auskunft geben.

Sind die Koeffizienten kleinere spezielle Zahlen und in Bezug auf dieselbe Unbekannte verschieden, so ist die Substitutionsmethode anzuwenden, bei gleichen Koeffizienten jedoch die Koeffizientenmethode. Sind die Koeffizienten allgemein (Buchstaben) oder vielstellige spezielle Zahlen, so ist gleichfalls die Koeffizientenmethode anzuwenden, gegen den Schluß der Rechnung oft mit Vorteil die Substitutionsmethode. Die Komparationsmethode wendet man nur an, wenn die Gleichungen schon die Form der in vorstehendem 1. Beispiel vorkommenden Gleichungen Y haben.

E. Einige Kunstgriffe beim Auflösen der Gleichungen mit mehreren Unbekannten in Beispielen.

1. Aufgabe. I. x²-f-y² = 3; II. 6x = 2 y² — 9. Enthält eine der entwickelten Gleichungen eine Unbekannte nur in der 1. Potenz, so ist dieselbe aus dieser Gleichung zu berechnen und der gefundene Wert in die übrigen

2y²-9

, in I

16

Gleichungen einzusetzen. Hier aus II: eingesetzt:

fJF--)!+y-3,i.i.4y⁴-36y²+81 + 36y²=:tÖ8,

daher y⁴ = 6,75; y

4_ 4

= V6,75 u. s. w.

2. ^lufgcifre. I. (2a — 3 b—j— 5)x—|—(3a—|— 5b-j-1) — 6; II. (2a—3b + 4)x + (3a + 5b4-2)y = 5.

Setze 2a — 3b-s-5 — ä, folglich 2a — 3b— ä — 5 mtb2a —3b + 4 = d —5 + 4 = d ebenso 3a-st-5 d-j- 1—6, folglich3a-j-5b —e — 1 und 3a-f~bb-j-2 = e — 1 -f- 2==eJr 1. Damit gehen die gegebenen Gleichungen über in: I*. dx-(-ey = 6 und II*. (d — 1) x -j- (e -)- 1) y = 5. II*. von I* subtrahiert giebt: x — y = 1,folgt y — x—1 und dies in 1* substituiert:

d x -J- e (x — 1) — 6, woraus sich x

e+ 6

i;

3a + 5b+l + 6

2 a — 3 b —J— 5 -j- 3 a —j— 5 b —|— 1

d + e _3a+5b-l-7

ergiebt.

Aus y —x— 1 (s. ob.) ergiebt sich nun

_3 a —|— 5 b —{— 7

y = 5 a + 2 b -j-~6

— 2a + 3b + l

3. Aufgabe.

I. 5 x y -f- 7 x—2y = 10; II. 4xy — 6x-j-lly = 21. Enthält jede der gegebenen Gleichungen denselben zusammengesetzten Ausdruck (xy in den hier gegebenen Gleichungen), außer diesem aber die Unbekannten nur in einfacher Gestalt, so eliminiere man zunächst nur diesen Ausdruck aus einer der Gleichungen (s. auch die nächste Aufgabe).

I mit 4 mult. 20xy-f-28x— 8 y = 40 II mit 5 mult. 20xy — 30x-f-55 y = 105 subt.

58x—63y = —65; 63 y₅₈ Dies in II substituiert:

. 63 y - 65

⁶--58-

63 y - 65 d* 29

mult. ic., ergiebt sich y = + j/y — ± —;

also x

63 y — 65

58

63 y — 65

2y'    29

|-lly = 21, oder f-lly = 21. Mit 29

daher x ± 9 y löT— 65

63 y — 65 zr t v 58 06.)

63.

(±^)

— 65

58

58

Folglich entweder y

y~i6l

und x

y 161

—    ₇ undx

—    9 yiel — 65

9 Viel — 65

58

oder

58

4. Aufgabe.

'■ 3 + 2(M-^-‘)e=4y; II 6,-₆(|i=f+ 3.

^2—-• Dies in II substituiert: 6 y = 5.+ 3; folglich y = %• Dies in I fub= mtuterh3+2.(f^|-)² = 4¹/₂, d. ij^5)²=³A;

40 x — 48    yi

Aus I:

'5 x — 6\2

2x + y,

daraus die st gezogen:

= 16 y3 .x + 9/3; x

16 x -j- 9

80 x — 96

96 -)- 9    3 (32 + 3ys)

80 — 16 yi

mit 5 -j- f3 erweitert (f. § 30, XX, 2) re.

10(5-ys)

5. Aufgabe. I.

II.

3x -j- 4 y — 9

21 x -r- 15 y -f- 69¹/₂.

+ 14 x + 34= 10y;

Man gebe den Gleichungen folgende Gestalt:

I- 3x-f-^ y⁷—9~t~2 (7x —{— 17    5y) = 0;

3(7x — 6y + 17) + 18Vj.

H 3x + 4y-9+l

Nun fetze man 3x-|-4 y—9=u und 7 x — 5 y -f-17=v. Damit verwandeln sich die Gleichungen in folgende:

II.

I. ~ -f” 2 v = 0 ober I*. 2.u v — —7.

= 8v+18¹/₂ ober II*. 6uv + 6v+37u= —21.

u+ I

Von II* das 3fache der Gleichung I* subtrahiert, bleibt

6 v-s-37u —0, daraus v

gesetzt: 2 u (—    '‘j

= + 0,75337.

Folglich v— —

37 u

und dies in I* eilt-n .    37 u²

— 7 oder = 7, u =

>4

37 . (+ 0,75337)

+ 4,64579. Diese

Werte oben für u und v eingesetzt, erhält man die einfachen Gleichungen:

3x+4y—9 = ±0,75337,7x—5y+17 = +4,64579.

Es ergeben sich nun zwei verschiedene Auflösungen; die eine aus 3x+4y —9 = 0,75337 und 7x—5y+17 = —4,64579, die andere aus 3x-s-4y — 9 = —0,75337 und 7x—5y+17 = 4,64579.

6. Aufgabe. I. 5 x y—6 x z -p 9 y z = 240; II. 4xy-)-3xz — 2yz= — 219; III. — xy -s- 2xz -)-yz = — 34.

Setze xy = u, xz = v, yz = w. Daher I. 5 u — 6 v -|-9w=240 rc.

Hat man u = — 21, v = — 35, w=15 gefunden, so ist also I*. xy = —21; II*. xz = — 35; III*. yz= 15.

Diese drei Gleichungen multipliziert: x²y²z²= 11025, folglich xyz = V11025 = ±105

Z durch I* div.: z

+ 105

— 21

(Z).

+ 5;

Z durch II* div.: y=

±105

— 35

+ 3;

Z durch III* div.: x

+ 105

15

±7.

7. Aufgabe. I. 3xy -j- 4xz— 5yz = —"^7Z 145 xyz

II. 7 xy — 2xz-j-4yz

13 xyz

III. 6 x y —j—

12

— 3yz

Die Gleichungen durch xyz btt)., erhält man:

I*    = ¹⁹/₁₂; II*. - — 4- - = "ö/ ;

Z I y    X    ¹¹¹¹    Z    ¹ X    /1/7

III*.    ¹³/₃.

z ¹ y x lo

Man denke sich |

— u, — — V)

' y

3.-- ;c. und setze

w; dann erhält man die Gleichungen:

I°.3w4-4v—5u = ¹⁹/₁₂; II°.7w—2v + 4u=¹⁴⁵/₁₂;

III⁰. 6w+v —3u = ¹³/s.

Aus diesen Gleichungen findet man leicht:

u = ³A- v = Vs- w= Ui d. i.

|=³/2-y=⁴/sr 7 = ⁵A; folgt- X=²/3,y=⁸/4,Z:=4/5-8. Aufgabe.

I. 16y — 9Vx²= 50; II. 4Vy —3Vx=20.

Man setze i^x—uu.

= u²;

y = (j/y)" — v². Die gegebenen Gleichungen werden damit: I*. 16v² —9u²=50; II*. 4v— 3u = 20.

(4 v + 3 u) (4 v — 3u)

Vy=v, folgt, ist Ix² = ( ^x)

I* durch II* dividiert, giebt

50/

/ 20

oder 4 v -f- 3 u = 2¹/₂- Aus dieser Gleichung in Verbindung mit 4 v — 3 u = 20 ergießt sich sehr leicht u — — ³⁵/i2 und v = 2¹³/₁₆, d. i.

Vx =—³⁵/i2 oberx=(—³⁵/₁₂)³=—(³⁵/i₂)3;=—24,8119 und Vy —2¹³/₁₆ oder y= (⁴⁵/i₆)²= 7,9102.

9. Aufgabe. I.

(S).

V4

S um I vermindert, giebt ^ — — 4; oder u —

S um II

7 = 3; z =Vs rc.

IO. Aufgabe. I. 6x= 5/3x -|- 2y-|- 4 — 17;

II. 4y — l'3x -f- 2y + 4 — 5.

Durch Addition beider Gleichungen:

2(3x-f-2y) — 6^3x-j-2y4—12; oder

3x + 2y + 6 = 3V3x+2y + 4;

3x-f-2y-f-4 —u gesetzt: u-s- 2 — 3 ^ u; quadriert: u²-f-4u-J- 4 = 9u oder u² — 5u-j-4 — 0.

Denkt man sich dies u² — 4u — u -f- 4 = 0 d. i. u(u — 4) — (u — 4) —0 oder (u — 1) (u — 4) — 0, so ist also 1) n—1 — 0 oder u—1, d.i. 3x -s- 2y -{- 4 = 1 und 2) u — 4—0 oder u— 4, d. i. 3x -j- 2y -j- 4 = 4.

und ans II: 4 y = y 1 -{" 5 oder

oder x

Mit dem ersten Wert erhält man aus I: 6x = 5 i 1—17 ±5 — 17

11.    Aufgabe. I. 5x — y — a-st-b-s-e— d;

II. 4x — 3 y = a — b-f-c — d.

Oft werden die Gleichungen einfacher, wenn man sie addiert oder subtrahiert.

Subtrahiert man hier II von I, so ergiebt sich x -f- 2y — 2b, daher x — 2b — 2y in I substituiert re.

12.    Aufgabe. I. 2(8x — 3y)²y¹ = (x — 2y)x¹;

II. 5 (8x — 3y)x¹ — (x — 2y)²y¹. Man multipliziere die Gleichungen (die linke Seite mit der linken, die rechte mit der rechten).

10 (8x — 3y)¹x¹y¹ = (x—2y)¹x¹y¹; durch x¹y¹ div.:

3

10 (8x •—3y)¹ = (x — 2y)¹; die st ausgezogen:

sVio — i

• X.

giebt x

Wert in die Auflösung von x.

• Man berechne nun a und setze den

y — ~~ ¹    ; mit dem 2. Wert aus I: 6x — 5 st4—17

0 -¹⁷ und aus II: 4y = st4-s-5, oder y — ~    Die Aufgabe hat also folgende 4 Auflös.:

1) * —

oder x —

± 10

+ 5 — 17

1 + 5.

— 5 — 17

-1+5.

+ 2 + 5.

4) x =

10 — 17

~6 y= 4 — 24-5

6    ' y =—4—

— 10 — 17

13.    Aufgabe. I. 25x²—4y² = 704;

II 5 x + 2 y = 44.

Entweder denke man sich I als (5x-(-2y) (5x — 2y) — 704 und setze II hier ein. Man erhält alsdann 44(5x — 2y) = 704 oder 5x — 2y = 16. Diese Gleich, löse man in Verbindung mit II auf. Oder dividiere I durch II und es ergiebt sich sofort 5x—2y = 16 re.

14.    Aufgabe. I. 3(4x-|-7y)²= 2(5x — 6y)²;

II. 2x-j-y = 139.

Hier sind die Quadrate nicht in die bekannten drei Glieder aufzulösen, vielmehr wird Gleichung I durch Wurzelausziehen eine einfache, nämlich: Vl,5 . (4x + 7 y) = 5x — 6y, daraus ergiebt sich

Vl,5.4x-f- 7 Kl,5 . y = 5 x — 6 y oder (5 — 2 y 6) x = (6-j-7 yi,5)y.

Man setze daher x =

y in II ein.

6 + 7VX5

5 — 2 y~6~

15. Aufgabe. I.

a— b

2 (3 a — b) y

15

II.

(2 a + b) y

22a—26b; 8 a —[— 19 b.

a+b

Haben alle Gleichungen die Form    = K,

io

so wird die Auflösung gewöhnlich einfacher, wenn man jede Unbekannte = einem Produkt aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller zugehörigen Nenner und einer neuen Unbekannten setzt. Essei hier x=(a-j-b) (a—b)u=(a²—b²)u; y = 30v. Damit gehen die Gleichungen über in:

I* 7 (a-f- b) u — 4 (3a — b) v = 22 a — b;

II*. 5 (a — b)u — 3(2a-j-b)v = 8a-j-10b.

Die Lösung ist wie beim 2. Beispiel in C, 2 auszuführen. Man erhält u = — 2, v = — 3. Folglich ist

x = (a² — b²)u = — 2 (a² — b²) = 2 (b² — a²); y = 30v = 30 (— 3) = —90.

folglich x = 3; y = -g

16. Aufgabe. I. 4x²-|~ 9xy = 12Vx"y;

II. 5 x — 6 y = 7.

Sind alle Glieder einer Gleichung unbekannt, so wird die Lösung oft dadurch einfacher, daß man die eine Unbekannte — einem Produkt aus der andern Unbekannten und einer neuen Hilfsunbekannten setzt. Dies ist besonders dann von wesentlichem Vorteil, wenn alle Glieder von gleicher Dimension sind (s. § 46, I, 5). Hier setze y = xz, folglich

wird aus I: 4x²-j- 9x.xz— 12xVx.xz; d. i. 4x²-f-9x²z = 12x²Vz; durch x² div. und l^z = u, also z —u² gesetzt, giebt 4 -f- 9 u² — 12 u oder 4 — 12 u -j- 9 u² = 0, d. i. (s. § 18, II) (2 — 3 u)² = 0. Die Wurzel giebt 2 — 3u = 0 oder u = ²/₃; d.i. Vz — ²/₃, folglich z = ⁴/₉. Nun ist y = xz = ^- DiesinIIsubstit.: 5x—6-^ = 7,

= iVs-

4 x 4.3

17.    Aufgabe. I. (x—3y-f-4)(5x—2y — 6) = 0;

II. (7x + y— l)(2x-f-5y— 3)= 0.

Nach § 43, IV, F ist z. B. x— 3y —f- 4 = 0 re. Da nun bei 2 Unbekannten 2 Gleichungen gegeben sein müssen, so ist z. B. mit x—3 y -f- 4 = 0 noch eine zweite zu verbinden; doch kann dies nicht 5x—2y—6 — 0 sein, weil dann die Lösungen nur der Gleichung I genügen würden. Folglich ist aus jeder der beiden Gleichungen immer nur ein Faktor zu benutzen. Die Aufgabe hat mithin 4 Auflösungen. Die eine folgt aus x— 3y -s- 4 — 0 und 7x -f~ y —1 — 0, die zweite ausx—3y-s-4—0 und 2x-f-5y—3—0, die dritte aus 5x—2y—6 — 0 und 7x-f-y—1 — 0, die vierte aus 5x—2y—6 — 0 und 2x-s-5y — 3 — 0.

18.    Aufgabe. I. x²-f-y² — 34; II. x — y — 2.

Aus x + y, x —y, xy, x²-j-y², x²±nxy + y² läßt

sich durch passende Verbindung stets (x + y)², also auch x + y herstellen. Z. B. (x² -j- y²) — 2 . xy = (x — y)2 oder (x²— 5xy-J-y²) -(- 7xy= (x-f-y)² re.

13

Schurig, Algebra.

Obige Aufgabe wird daher in folgender Weise gelöst: II quadriert: x² — 2xy-f-y²= 4;

I: x²

+ y²=34

2xy

= 30,

durch Subtr.

oder xy — 15. Aus jx ~ ^ j ergiebt sich nun durch

Addition: (x-|-y)²= 64, folglich ist auch x-j-y = + 8 bekannt. Diese Gleichung ist mit II. x — y=2 zur Auflösung zu benutzen.

19. Aufgabe. I. x³-{-y³ = 133; II. x-j-y — 7. Entweder: II kubiert: x³-f-3xy (x-f-y)-|-y³= 343; die gegebenen Werte eingesetzt, ergiebt sich

133 + 3xy. 7 = 343, oder xy — 10. Diese Gleichung mit II: x-|-y = 7 führt zur Lösung (s. Aufgabe 18).

Oder: I in folgender Weise geschrieben:

(x + y)(x²-xy + y²) = 133 (f. §17, III); d. i. 7 (x² — xy-j-y²) — 133, oder x² — xy-}-y² = 19. Aus II folgt aber x²-(-2xy-f-y² = 49. Diese Gleichung um die vorhergehende vermindert: 3xy = 30, folglich xy— 10 re. (wie im 1. Falle).

§ 47. Angewandte einfache und binomische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.

1. Aufgabe. N leiht dem A ein Kapital zu 5% auf 9 Monate, dem C ein Kapital zu 4¹/₂% auf 8 Monate und erhält von beiden 243³/₄ J&. Zinsen. Hätte jeder das Kapital 1 Monat länger behalten und wäre bei beiden der Zinsfuß 1% geringer gewesen, so hätte N nur 215 Jfo. Zinsen erhalten. Wie groß waren die Kapitalien?

Auflösung. Er lieh dem A x, dem B y. Die Zinsen = b«B

des A betragen

47, Sv

100

100

100'

Folglich I. I™ — 243³/₄, oder (durch 3 Mb. und mit 400 mult.) I*. 5x-j-4y = 32500.

Im zweiten Falle betragen die Zinsen des A: y-'A-s'A _ 2iy.

x.Ve.4

100

21 y

3Ö' ^ ®

und mit 2400 mult.: II*. 80x-f- 63y = 516000. Wird I* mit 16 multipliziert und um II* vermindert, so ergiebt sich y — 4000 und dann aus I*: x — 3300.

100

800

folgt. II. Ay

800

215

2. Aufgabe. Eine Hausfrau nahm zwei Mägde in Dienst, jede für 180 JL jährlichen Lohn; außerdem sollte jede ein neues Kleid und ein Stück Leinwand erhalten. Die erste verließ nach 9 Monaten den Dienst, und weil sie schon das Kleid erhalten hatte, so bekam sie noch 138³/₄ JL Die zweite verließ nach 10 Monaten den Dienst und, da sie schon die Leinwand erhalten, noch 158^ JL. Lohn. Wie hoch waren Kleid und Leinwand gerechnet?

Auflösung. Das Kleid x JL., die Leinwand y JL sdte erste sollte also für 1 Jahr 180-f-x-f-y, für ³/₄ Jahr also ³/₄ (180 —)—x—)— y) erhalten, sie bekam aber 138³/₄-j-x. Folglich ist: 135 —|—j—|—~ — 138³/₄ —|— x; oder I. 15 —|- x — 3 y.

Die zweite sollte für ⁵/₆ Jahr: ⁵/₆ (180-f-x-f-y) erhalten, erhielt aber 158y₂ +y; folglich ist:

150    ~q~⁼ 158 V₂ -f~y; oder II. 5x = 51 -f-y.

Aus II: y— 5x — 51, in I eingesetzt:

15-j-x—3(5x — 51), folglich x=12; daher y = 5x— 51 = 60 — 51 = y.

3. Aufgabe. Ich kenne 3 Zahlen von folgender Beschaffenheit. Die 3. ist gleich der Summe der beiden ersten. Die Summe der Quadrate aller 3 Zahlen ist — 2094. Das Quadrat der 1. durch die 2. dividiert giebt die 3. als Quotient mit dem Rest 11. Welche Zahlen sind es?

Auflösung. Die 1. — x, die 2. — y, die 3. — z. Folglich I. z — x -f- y; II. x²-j-y² 4" z2 = 2094; (III)

y = z + j (f. § 3, IV, 24), dafür also III. x² = yz -f11.

Aus I folgt x — z — y, dies quadriert:

x² =■ z² — 2yz-]-y².

— y²; dies subtr.

Aus II folgt: 2094 —x² = z²

2x²—2094=    —2yz u. da yz=x²—11

(s. III), so ist 2x²— 2094=    — 2(x² —11); d. i.

4x² = 2116, x² = 529; x=23. Hier ist — 23 jedenfalls nicht beabsichtigt. Nun ist also z — y = 23 (s. I), daher z²—2yz-f-y² = 529. Wird hierzu 4yz = 2072 (aus yz = x²— 11 = 23²— 11) addiert, so folgt (z-j-y)2 = 2601, d. i. z-j-y = 51. Aus dieser Gleichung und z — y = 23 ergiebt sich nun y = 14, z = 37.

§ 48. Methode der unbestimmten Koeffizienten.

I. Soll für alle Werte von x die Gleichung A-j- Bx-|-Cx²-[-Dx³ -j-.. . = a-j-bx-J-cx²-|-dx³-j-... gelten, so muß A = a, B = b, C = c :c. sein, die Koeffizienten derselben Potenz von x müssen also einander gleich sein.

Beweis. Da jene Gleichung für alle Werte von x gelten soll, so muß dies auch für x = 0 der Fall sein, dann geht aber die Gleichung über in A = a. Damit wird aber auch die Gleichung:

a-(-Bx -(- Cx²-f- ... =a-j-bx-f- cx²~j- • -folglich Bx-j-Ox²-j-... =bx-j-ox²-j-...; durch x div.

B -j- Cx —j—... = b —|— cx —|—... und da dies auch für x=0 gelten soll: B = b; re.

II. Anwendung. 1. Aufgabe.

in Partialbrüche zu

29 — llx (5x — 2) (3x + 7) zerlegen, von welchen der eine den Nenner 5x—2, der andere den Nenner 3x-s- 7 hat.

29 —llx

in , n 5x— 2 ' 3x -\- 7'

Auflös. Essei

(5x — 2) (3x-(- 7) wo m und n noch zu bestimmende Koeffizienten sind. Die Gleichung mit (5x— 2) (3x-s- 7) multipliziert:

29 — llx = m(3x-f-7)-j-n(5x — 2), d. i.

29 — llx = 7m — 2n -J- (8m-j- 5n) x. Nach I muß nun I. 7m—2n=29, II. 3m-}-5n = ^—11 sein. Die Auflösung dieser Gleichungen giebt m = 3 und n = — 4. Damit geht die obige Annahme über in:

29 —llx

(5x —2)(3x + 7)    5x — 2 ¹ 3x+7 5x —2 3x + 7

2. Aufgabe.

in Partial-

6x⁴ — 29x³-]-x² — 18x — 141

(2x + 3)(x-5)

brüche zu zerlegen.

Auflösung. Da der Zähler von kleinerem Umfange als der Nenner sein muß (s. vorhergehendes Beispiel), so ist hier der Nenner in die einzelnen Glieder aufzulösen und durch Partialdivision jene Form zu erreichen. Man findet (s. § 28,11) 6x⁴ — 29x³-|- x² — 18x — 141

2x² — 7x — 15

15x -j- 6

2x² — 7x — 15

= 3x² — 4x-j- 9

Nun setzt man den letzten Bruch, dessen Nenner (2x-s- 3) .(x —5) ist, wie in der 1. Aufgabe 2^3 1" ^117^ Man findet m — ⁸³/₁₅, n — ⁸¹/lg. Folglich ist der

13

_2x-|-3

= 3x2_4x+9_3/i3[_Jl_

gegebene Ausdruck — 3 x² — 4x -s- 9 —

27

x — 5

3. Aufgabe. 71x — 63x²— 20 in das Produkt zweier binomen Faktoren zu zerlegen.

Auflös. Geordnet und den Koeff. von x² auf -s-1 gebracht

§ 49. Gemischte quadratische Gleichung.

I. Die reine quadratische Gleichung von der Form ax² = b ist schon durch § 48, VI aufgelöst. Um die gemischte quadratische Gleichung von der Form Ax²-j~Bx = C aufzulösen, hat man zunächst den Koeffizient von x² auf -s-1 zu bringen, also die „Normalform" x² ax = b

herzustellen, wo a und b bekannte, aber beliebige positive oder negative Zahlen sind.

Man denke sich diese Gleichung in der Form

x² + 2.|.x = b....(Y).

.6.X

-j-e²=(x + e)² (s. § 18),

⁷^ + ²%8=(x+m)(x+n), folglich 20/₆₈^x^+(m + n)x +

Nach betn 1. Satz ist I. m-J-n — — ⁷¹/₆₃; II. mn = ²⁰/₆₃.

I quadriert: m²-f- 2mn-fn² = (71 4mn

n)²    = (⁷¹/es)² — ⁸%s;

V₆₃. Aus diejerGleich.

und I folgt nun m — —⁵/₉ und n — — ⁴/₇. Diese Werte in

den angenommenen Ausdruck eingesetzt: x²

= (x — ⁵/a) (x — ⁴A), folglich (s. S- 197, letzte Zeile) 71 x — 63 x² — 20 — — 63 (x — ⁵/₉) (x — ⁴/₇) = 9 . (x — ⁵/₉) . (— 7) (x — ⁴/₇) = (9x — 5) (4 — 7 x).

x²

Es sei nun x²

71 x

63

mn.

63

)²;

Aus II:

--80

63

Durch Subtr. folglich m — n = |/

71² —80 .63

63²

I 20/ 63 “    !'

63

Vergleicht man die linke Seite dieser Gleichung mit x²-f2

so würde die linke Seite der Gleichung Y offenbar zu einem

dreigliedrigen Quadrat eines Binoms, wenn man no hinzufügte, denn es ist

to| P

x2+²-f-x + (t) — (x + $)-

to| P

, so

Vermehrt man aber die linke Seite von Y um

muß auch nach § 43, I die rechte Seite um dieses Glied vermehrt werden, wenn die Gleichheit nicht gestört werden soll. Dann entsteht (aus Y)

x²-f 2

wofür also, wie beabsichtigt war,

•2-

x+(f) — (f) +b>

(X + f) —(l) +b

geschrieben werden kann. Zieht man nun auf jeder Seite die y aus, so erhält man die einfache Gleichung:

+ f= ± ]/(|)² + b mit der Auflösung:

i±yFn>-

Die quadratische Gleichung hat also stets zwei Auflösungen: und x —

In gleicher Weise würde man x² — ax = b in

f+yr+b

—2 y® +b-

X² —2-|-x + (|) —+b, d. i.

(x — |-j² — ^-|j² -s- b verwandeln. Diey giebt:

x-r-^M +b

±vfi)~+b-

oder

toi P

II. Aus dieser Betrachtung folgt das nachstehende Verfahren für die Auflösung der quadratischen Gleichung:

Man setzt auf jeder Seite der quadratischen Gleichung, die die Normalform haben muß, das Quadrat des halben Koeffizienten bottx¹ hinzu, um auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat von 3 Gliedern zu erhalten. Hierauf zieht man aus jeder Seite die Quadratwurzel. Dieselbe ist aus dem dreigliedrigen Ausdruck der linken Seite zweigliedrig und zwar erhält man die beiden Glieder, wenn man aus dem 1. und 3. Gliede (die stets als Quadrate vorhanden find) die Quadratwurzel zieht und dem ' 2. Gliede derselben das Zeichen des 2. Gliedes jenes dreigliedrigen Ausdrucks giebt. Schließlich löst man die erhaltene Gleichung noch in gewöhnlicher Weise auf. Z. B. x² -j-x=5 6. Der Koeff. von x¹ ist 1; das Quadrat der Hälfte desselben auf jeder Seite hinzugefügt:

x²-j-2.y₂.x+(y₂)² = (V₂)²+ 56 = 56,25; die V von

beiden Seiten:

+ V2

= + V56,25 = ± 71/2; daher x=—y₂ + 7 y₂ und folgt, die 1. Auflös.x₁=—y₂+7¹/₂ = 7, die 2. Auflösung x₂ = — ¹/₂ — 7y₂ — — 8.

2. Beispiel.

x² — 10 x = — 21; der halbeKoeff. von xHft 5, daher: x²— 10x — 5²— 5² — 21, d. i. x² —10x — 5² = 4; t). t. i:

— — + 2

x= 5-±2; x₁==5-(-2=7; x₂ = 5—2 = 3

III. Das Verfahren kürzt man, um die Unbekannte unmittelbar zu erhalten, noch weiter in folgender Weise ab:

Die Unbekannte x ist = dem mit entgegengesetztem Zeichen genommenen halben Koeffizient von x¹ + die Quadratwurzel aus dem Quadrat dieses halben Koeff. vermehrt um die bekannten Glieder der rechten Seite.

• 4k

1. Beispiel.

16423 — 7 x²; auf die Normalform gebracht: 7x²—16x = 423;

16 x

⁴²³/₇. Nach vorstehender Regel erhält

x³

man nun sofort:

x— ⁸/₇ + V(⁸/₇)²—f- ⁴²³/7- Den unter der Wurzel befindlichen quadratischen Nenner berechnet man nicht, wenn man sämtlichen Gliedern unter der Wurzel diesen quadratischen Nenner geben kann. Daher:

*=•/,*!/f+f²

/7 — ]/

64 + 2961

7⁴

Folglich xx 2. Beispiel.

= ⁸/t ±—7 8 + 55

V3025    8 + 55

9, x₂

8 — 55

6⁵A-

a(lV₂

10 a

zunächst bis zur Normalform entwickelt:

3 a , 10 a² 4 ab , , x    r

——|-b—g-; mit 6 x mult.

9 ax-f-20 a²= 24ab-)- 6bx — x²; x²-j-3 (3 a — 2b)x= 24 ab — 20 a²;

+ 24ab —20a²;

3 (3 a —2b)

3 (3 a — 2 b)]²

3 (3 a—2b)

±y

81a² - 108 a b + 36 b²+ 96 ab - 80 a²

daher:

6 b — 9a-f (a — 6 b)

4a;

6b — 9a — (a — 6 b)

x2 —

3. Beispiel. 3x — 5x²= 11;

5x² — 3x = — 11;

n/s>

X = + Vio ± H³/io)^-^ITo

3 ± y 3² — 10.22

= 6b —5 a.

x²

10

3+ y— 211 3±|/211 .i

10

10

3 ± 14,526 i

10

x= 0,3 + 1,4526 i.

IV. Gleichungen, in welchen nach der Entwickelung ein unbekannter Ausdruck mit dem Quadrat desselben vorkommt, löst man wie die quadratischen auf, indem man für jenen unbekannten Ausdruck ein einfaches Zeichen setzt.

Beispiel.

7x³

4 x³ —

5    ¹ Vs

x³

3x³ + 2 3x⁶-f~85x³— — 40;

s‘+T-'

; mit 3 (4 x³—5) (3 x³+2) mutt.

⁴%; x³=y, folglich x⁶ = y² gesetzt:

85 y

40/

/ 8-

85² — 6.80

6²

— 85±V6745    — 85 +82,128 #

1) x³ — daher x — — 0,78230;

— 85 + 82,128 _ — 2,872

; ba mm y=x³ ist, so ist = — 0,47867,

27,85467,daherx—3,03133.

— 167,128

2) x³

E. Gleichungen, in welchen der 1. Koeff. (-f-1) dem letzten, der 2. dem vorletzten, der 3. dem drittletzten gleich ist re. (sogenannte reciproke Gleichungen), können vom

3. Grade ans den 1., vom 4. und 5. Grade auf den 2., vom ß. und 7. Grade auf den 3. gebracht werden re.

Beispiel.

x⁴ — 7x³ — 34x² — 7x-j-1=0; durch x² div.

X²—7x —34    —^ + 4=0; x + ^=ygefeit,folgt

(quadriert:)

x²

+ ^=y²; durch Subtraktion:

7 x +36 x +³⁶/₇

+ ^ =J²; durch 7 div. i i y²

+ -=y; hiervon -j-1 = y subtrahiert:

³⁶A

= y—y; b.i.

y²

—7y=36;

y=⁷/₂± V(⁷/₂)²+36 = 3,5 + 6,946; daher:

1) x-|-^:=y₁= 10,446, folgl.x²—[—1 = 10,446 x, re.

2)    x-j-^ = y₂ =—3,446, folgtx²-j-l=—3,446 x,zc.

Anmerkung. Ist die reciproke Gleichung von ungeradem Grade, so kann sie stets durch x+1 dividiert, mithin auf eine Gleichung vom geraden Grade gebracht und wie im vorstehenden Beispiel aufgelöst werden.

§ 50. Angewandte quadratische Gleichung.

1. Aufgabe. A geht von M nach N, B 3+ Stunden später von N nach M. 4 Stunden nach Abgang des B treffen sie (in C) zusammen. B kommt 1 Stunde eher

in M an, als A in N. dem Wege gebrancht?

(Sl

er

t-S

Auflösung. A brauche x Stunden, folglich geht er in 1 Stunde ^ des Weges (den Weg — 1 gesetzt), daher in

7V2 Stunden (die er von N bis C braucht) ^ * B geht

S¹/₂ St. später fort und kommt auch noch eine 1 Stunde eher in M an, folglich braucht er zu dem ganzen Wege

— 41/2 St., geht also in 1 Stunde x , in 4 St-

(die er von N bis C braucht):

MC+CN=1 geht somit über in:

NM: x

• Der Weg

15

i;

2x ' 2x—9

80 x — 235 -f- 16 x =4x²—18 x; folgt. x=8 + 5¹/₂.

Hier ist nur die Lösung x = 8-j-5¹/₂ = 13^/₂ Stunden (für A) möglich, denn x = 8 — 5^/₂ — 2¹/₂ St. ist unmöglich, baBx — 4¹j₂ St.braucht,d.i. 2¹/₂ — 4x/₂ ——2St.

2. Aufgabe (als Anwendung, derselben quadratischen Form).

Die Körpern und b bewegen sich in den geradlinigen Bahnen AC und BC, die sich rechtwinklig in C schneiden. Jetzt ist a in A, von C noch 15 m entfernt, b in B, noch 20 m von C entfernt, a bewegt sich in jeder Sekunde 9, b: 7 m. Nach wie viel Sekunden ist ihre Entfernung am kleinsten? Auflösung. Nach x Sekunden. Alsdann hat A 9xm> zurückgelegt und möge in A' angelangt fein; B hat 7xw.

B B'

A'

zurückgelegt und- sei alsdann in B'. Folglich ist CA'— AA' — AC = 9x—15, B' C = B C — B B' = 20 — 7 x. Nach dem pythagoräischen Lehrsätze ist nun das Quadrat der Entfernung:

A'B'² = CA'² + B'C² = (9x — 15)² + (20 — 7x)². (Wäre A' nicht jenseits, sondern diesseits C, so würde die Gleich, doch dieselbe bleiben, weil (15 — 9x)² — (9x—15)2 ist.) Die weitere Entwickelung giebt A'B'²— 81 x²—270x + 225 + 400 —280x + 49x² = 130x²—550x+625. Kommt man bei der Bestimmung eines Minimums (kleinsten Wertes) oder Maximums (größten Wertes) auf die Form + ax² + bx + c, wie sie das vorstehende spezielle Trinom zeigt, so kann stets ein Minimum bestimmt werden, wenn der Koeff. von x² positiv ist, ein Maximum jedoch, wenn derselbe negativ ist. Da hier der Koeff. positiv ist (+ 130), so ist also ein Minimum bestimmbar. In beiden Fällen verwandelt man alsdann das zunächst gefundene Trinom in die Form zba (x + d)² +e, wo ä positiv oder negativ sein kann. In Bezug auf unsere Aufgabe ist die Entwickelung folgende:

A'B'² = 130 (x² — + + ⁶²⁵ oder (ähnlich wie bei

der Auflösung der quadratischen Gleichung):

= 130 [x²-2-^+(⁵⁵/2₆)M⁵726)+25

26,

=130[(x-%₆)²-(65/₂₆)²] = 180(x-%₆)²+43V₂₆. Da ein Quadrat stets positiv ist, so muß der gefundene Ausdruck am kleinsten sein, wenn (x — ⁵⁵/₂6)² = 0 ist. Also tritt für x— ⁵⁵/₂₆ — 0, d. i. x — ⁵⁵/₂₆ Sekunden das Minimum ein. Zugleich ist dann A'B'² = 0 + 43⁷/

d.i. die Entfernung A'B,=l/43+ = 6,577935 Meter.

§ 51. Guadratische Gleichung mit mehreren Unbekannten.

I. Aufgabe. I. (1 —x)²—55 = y²;

II. (9 —y)²+13=x².

Die Gleichungen entwickelt:

1-j- 2x-|-x² — 55 =y²;

(A).... 81 —18y-|~y²H~13 —x², add. und durch 2 div.

20-j-x — 9y — 0; folglichx — 9y — 20.

Dies in A eingesetzt:

171 + 69

94 —18y + y²=81y² —360y + 400; d.i. 80y² —342y = —306;

80

y²-mAoy=-¹⁵³Ao; y= yi = 3, y₂ = inAo-

Damit folgt aus x = 9 y — 20: x₄ = 9.3 — 20 = 7 und x₂ = 9.1¹¹/₄₀ — 20 = — 8²¹/₄₀.

II. Bleiben die Gleichungen unverändert, wenn man die Unbekannten gegenseitig vertauscht, so nennt man die Gleichungen symmetrisch. Z.B.ist5x²—7xy-|-5y²=ll eine symmetrische Gleichung, denn nach Vertauschung von x mit y erhält man 5y²4~7yx-|-5x²=ll, also jene erste Gleichung wieder.

Sind nun die beiden Gleichungen mit zwei Unbekannten symmetrisch, so braucht man nur die eine Unbekannte zu berechnen, denn ist z. B. x — a ± ’Zb, so muß y=a+ Vb sein.

Beispiel. I. 3xy + 2 (x — y)² = 237;

II. x-f-y = 16.

Aus I ergiebt sich 2x² — xy -s- 2y² = 237. Hier y— 16 — x (s. II) eingesetzt, giebt:

x² — 16x — — 55, folglich x = 8 ± 3. Da nun die gegebenen Gleichungen symmetrisch sind, so muß y— 8 + 3, d.i. x₁ = 8~t~3=ll, y₄ = 8 — 3 = 5 undx₂ = 8—3 = 5, y₂ = 8 —f- 3 = 11.

§ 52. Angewandte quadratische Gleichung mit mehreren Unbekannten.

Aufgabe. A kaufte dreierlei Uhren, von der zweiten Sorte vier mehr als von der ersten, von der dritten Sorte sieben mehr als von der zweiten, zusammen für 389 «ä>. Für die Uhren der zweiten Sorte gab er 50 Jfo. mehr, als für die der dritten, und 47 JL mehr, als für die der ersten. Zwei Uhren der ersten Sorte kosteten so viel als eine Uhr der zweiten und vier Uhren der dritten Sorte zusammen. Wie viel Uhren hatte er gekauft und zu welchem Preise?

Auflösung. Von der ersten Sorte x, daher von der zweiten x-ch-4 und von der dritten (x-s-4)-f- 7 — x-f-11. Eine Uhr der dritten Sorte kostete u, eine von der zweiten Sorte V) daher zwei Uhren von der ersten Sorte — v -st 4u,

oder eine Uhr der ersten Sorte ~ -)- 2u JL Mithin kosteten die Uhren zusammen:

I. x

^■4-2u)+v(x+4)+u(x+n)=³⁸⁹; Außerdem: II. v(x-s-4) — u(x-s-ll)-f-50;

III. v(x+4) = x^+2u)+-47.

50 —

Setzt man für u (x-f-11) den aus II gefundenen Wert v (x-f-u), für x    -f 2u) den aus III gefundenen Wert

v(x-j-u) —47 in Gleichung I ein, so ergiebt sich I*. v(x-f 4) —162. H)ies in II und III eingesetzt, giebt: II*. u(x-f-11) = 112;

IIP. vx-f 4ux = 230.

vereinfacht:

162 —4 v

Aus I*: vx— 162 — 4v, aus II* ux— 112 — llu. Beide in IIP eingesetzt und die erhaltene Gleichung 1°. v-f-llu = 95.

112 — llu’

Gleichung I* durch II* dividiert: ^ —

mit dem Produkt der Nenner multipliziert:

II⁰. 7uv -f 162u == 112v.

§58. Von bett Progressionen.

I. Reihe oder Progression nennt man eine Folge von Zahlenansdrücken, die nach einem gewissen gemeinsamen Gesetze fortschreiten. Z. B.

110;

15, 20, 25, 30, 35, 40,

oder I + V2 + Vs + V* + Vs + Ve +.....;

oder 1 — 2 + 4 — 8 + 16 — 32 + 64 .....;

oder 1.2.3 + 2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7-s-----

bis +24.25.26.

Die einzelnen Zahlenansdrücke heißen Glieder der Reihe. In der letzten Reihe ist z. B. das 24. Glied: 24.25.26. Die Zahl, welche anzeigt, die wievielte Stelle irgend ein Glied in der Reihe einnimmt, heißt Index oder Zeiger. Die Reihe kann daher allgemein mit:

Aus 1°: v—95 — 11 u in II⁰ eingesetzt:

10640    , ,    ,

-ff-' folglich u

u — 20j9₇'^"-— — lg⁵⁷/?? ist unbrauchbar, weil damit v

(f. 1°) negativ würde. Folglich bleibt nur u Nun ist (s. I») v = 95 —11.7 = 18 und aus

P. x + 4 = ^ = 9, ober x = 5.

U²-

2059

77 U

2059 ±981

154

2059—981

154

7.

tn (gelesen: t eins, t zwei re.) bezeichnet werden, wo die Indices rechts unten angeschrieben sind. In jener ersten Reihe z. B. ist t₂ — 20, t₅ = 35.

Der Zahlenansdrnck, welcher unmittelbar das nte Glied bestimmt, heißt „allgemeines Glied".

In jener ersten Reihe z. B. ist das allgemeine Glied: tn = (n+2)5; denn das 3. Glied t₃ ist = (3 + 2). 5 = 25, das 6. Glied ^ t§ :rz= (6 -j- 2). 5 := 40.

Der Zahlenausdruck, welcher die Summe der sämtlichen Glieder einer Reihe bis zu einem bestimmten Gliede, oder, wenn die Reihe n Glieder hat, die Summe aller n Glieder bestimmt, heißt Summenformel oder summatorisches Glied.

Die Reihe ist steigend oder fallend, wenn jedesGlied größer, bezw. kleiner, als das vorhergehende ist. Z. B. ist

eine fallende,

10000

eine steigende Reihe.

Yio + Vloo + Vlooo + V:

1 + 3 + 5+7

Eine Reihe ist eine endliche, wenn sie eine endliche (bestimmt abgegrenzte) Zahl von Gliedern hat (siehe § 4). Unendlich ist die Reihe bei unendlich vielen Gliedern.

Z. B. stellt der Dezimalbruch 0,33333.....d. i. ³/io~t~“^2

-|~    “ *n in** eine unendliche Reihe vor. Die

unendliche Reihe ist entweder konvergent (konvergierend) oder divergent. Ist die Summe aller Glieder der unendlichen Reihe eine endliche Zahl, so ist die Reihe konvergent; ist dagegen die Summe aller Glieder —    oder —oo,

so ist sie divergent.

Ist für eine Reihe die Differenz zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern charakteristisch, so nennt man die Reihe eine arithmetische. Dabei muß die Differenz stets so gebildet werden, daß man jedes Glied um das vorhergehende vermindert. In der gegebenen Reihe

(B)

11, 21, 28, 32, 33, ...,(C)

3,    3,    3,

die zweite Differenzreihe :

Zeigt die 1. Differenzreihe gleiche Glieder (wie in den Reihen A und B), so nennt man die gegebene Reihe eine

14

Sch urig, Algebra.

arithmetische Reihe 1. Ordnung, oder niedere arithmetische Reihe, oder gemeine arithmetische Reihe, auch schlechthin „arithmetischeReihe", wenn höhere Reihen überhaupt nicht in Betracht kommen. Die Reihe C ist eine arithmetische Reihe 2. Ordnung, weil erst die Glieder der 2. Differenzreihe einander gleich sind.

Ist der Quotient von je zwei benachbarten Gliedern (d. h. jedes Glied dividiert durch das vorhergehende) stets derselbe, so heißt die Reihe eine geometrische; z. B. 2, 6, 18, 54, 162, 486, denn ⁶/₂ = ¹⁸/₆ = ⁵⁴/is re.

Ein Glied durch Interpolation finden, heißt zwischen zwei Gliedern einer gegebenen Reihe aus dem für diese aufgestellten Gesetz ein einzuschaltendes Glied berechnen. Ist z. B. die Reihe 40, 50, 60, 70, 80, 90 gegeben, wo also tt = 40, t₂ —50, t₃ = 60 re. ist, und soll das Glied t2f7 gefunden werden, so ist dasselbe offenbar — 57. Die Interpolation ist schon bei der Bestimmung eines nicht in den Tafeln enthaltenen Numerus oder Logarithmus angewendet worden. Sollen in jener Reihe zwischen 60 und 70 z. B. drei Glieder eingeschaltet (die Reihe „interpoliert") werden, so würde man

60, 62^2, 65, 671/2, 70 erhalten.

II. Niedere arithmetische Reihe.

1) Das l.Gld. der Reihe bezeichneten mit a (oder auch ti), die „Differenz" mit d, die Anzahl der sämtlichen Glieder der Reihe mit n, das nte (letzte) Glied mit t (bestimmter mit tn, Manche auch mit u), die Summe aller (n) Glieder mit 8. Da das 2. Glied vermindert um das 1., das 3. Glied vermindert um das 2. re. immer dieselbe Differenz d giebt (siehe I), so ist also

das 2.    Glied    —    1.    Glied -f- d = a -f- d,

das 3.    „    —    2.    „ —[— d = (a—|— d) —[— d = a—|— 2 d,

das 4.    „    —    3.    „ —|— d = (a—[—2 d) —[— d = a—|— 3 d,

das 5. ©lieb = a + 4d = a + (5 — l).d,

(A).

„ 6. „ = a + 5d = a + (6 —l).d, so ist allgemein „ n. „ =a-j- (n — 1). d. Daher t = a -j— (n — 1) d

Die Formel A benutzt man zugleich, wenn eins von den drei Elementen a, d, n durch die übrigen beiden und t bestimmt werden soll. Um z. B. n aus a, d, t zu berechnen, ist die Rechnung folgende:

n—1

(n — 1) d = t — a; t — a

¹

l0.(8x —3y) = x — 2y; folglich y

3]/l0 —2

²

(3 a —2b) , Va² — 12 ab+ 36 b²

³

b — 9a + (a — 6 b)

⁴

~ 2

⁵

Nun nach § 31, B die st aus dem Polynom gezogen (unerläßlich, wenn die st aufgeht):

ii — 1

1-^.....(B).

(C).

In gleicher Weise ergiebt sich aus A: a = t — (n — 1) d

1.    Beispiel. Es sei die Reihe 23, 30, 37, 44, 51,.... gegeben. Wie groß ist das 36. Glied?

Auflösung. Hier ist a (das 1. Glied) — 23, d (die Differenz 30 — 23 — 37 — 30 re.) = 7, n = 36.

Folglich (s. A) t₃₆ = 23 —}— (36 — 1). 7 = 23 + 35.7 = 23 + 245 — 268.

2.    Beispiel. 5+ 4%f 3+ 2+₁₂, 2% V/₁₂,.... Wie groß ist das 99. Glied?

Mit a = 6V«r d = 4⁵/₁₂ — 6V₆ = 3²/s — 4⁵/₁₂......

—    — ³/₄, n — 99 erhält man (s. A)

tgs = 5 Ve + (99 - 1) • (— %) = 5 Vs - 98.³/4 = 5Vs - 73V2 = — 68Vs-2) Da das 1. Glied a, das 2te a + d, das 3tc a + 2d, das letzte 1, das vorletzte um d kleiner als das letzte, also

—    t — d, das drittletzte t — 2 d; da man ferner mit den über die Glieder einer Reihe gesetzten Zahlen: ^, + 3,,.... andeutet, daß das mit ^ bezeichnete Glied das 1. der Reihe, mit 2, das 2. Glied der Reihe re. ist, s aber die Summe aller Glieder, so ist

14*

8 — a -j—    (a —|— d)    —{—    (a —j— 2 d)    —j—    (a    —j—    3 d)    —j—    -    -

(M).

-f- (t — 2 d) —)— (t — d) -f-1

Schreibt man die Glieder der Reihe in umgekehrter Ordnung, so ist offenbar die Summe dieselbe; daher:

(N).

— t —j— (t — d) —j— (t — 2 d) —j— (t — 3 d) —|— + (a+2d) + (a + d) + t

Durch Addition der beiden Reihen M und N erhält man:

+ (a + t) + (a + t) + t.

Da a-s-t nmal vorhanden ist, so ist 28 — n. (a-f-t)? folglich

(D).

die Summe der Reihe: s = n. ¹

Beispiel. N verteilte eine Summe Geldes an die 30 Schüler einer Armenschule und gab dem ersten 2 Jlo. 44 A, jedem folgenden immer dieselbe Anzahl Pfennige weniger, dem letzten 12^. Wie groß war die Summe, die er verteilt hatte?

Auflösung. Hier ist n — 30, a = 244, t (letztes Glied) — 12 Folglich die Summe nach Formel D:

= 30 . 128 = 3840 $). = 38,40 Jk

8 — 30.

244 + 12

Führt man in D an Stelle von t den für das letzte Glied gefundenen Ausdruck A ein, so ergiebt sich:

= -|[a + a+(n—l)d]=-| [2a + (n — l)d] oder

(E).

Beispiel. A sparte sich am 1. Januar 20 an jedem folgenden Tage 3 mehr als am vorhergehenden; wie viel (s) im ganzen Januar?

Auflösung. Hier ist a —20, n —31, ä —3; folglich s = 31

K-r¹

• 3 =31.(20 + 15.3) = 31.65 = 20,15 Jk

Aufgabe. Die Summe s soll aus dem 1. Gliede a, der Differenz d und dem letzten Gliede t berechnet werden.

Auflösung. Das aus A berechnete n (siehe B) setze in D an die Stelle von n. Es ergiebt sich:

( . I t — a\ t -4— a    d —1— t — a t -4— a ,

[¹+—)‘-:2=±a----1Vober

(t -f- a) (d +1 — a)

2d

(F).

Aufgabe. Die Summe s aus d, n, t zu bestimmen. Auflösung. Das aus A berechnete a (s. C) setze in D an die Stelle von a:

s = -^ [t— (n — l)d + t]=-^ [2 t — (n — 1) d] oder -2—d

(G).

3) Soll aus 8 und zweien der Elemente a, d, n, t eins der übrigen dieser letzteren gesucht werden, so hat man diejenige der Formeln D, E, F, G zu benutzen, welche die durch die Aufgabe berührten vier Elemente enthält.

Aufgabe, n (die Anzahl der Glieder) aus d, t und s zu berechnen.

Auflösung. Die vier Elemente n, d, t, s sind in G enthalten, folglich ist G nach n aufzulösen. n² — n -

——nt =

9    21 —J— d

iv--'— n =

d

21 —f- d

s;

2s

2s

2d

(H).

Beispiel. N gab seinem Schreibers für jeden folgenden Monat 2 Jk mehr als für den vorhergehenden. Da er ihm nun für den letzten Monat 53 Jk. und für alle Monate 720 Jk gegeben hatte, so fragt es sich, wie lange war S MN?

Auflösung, x Monate. Folglich ist in 8 für d: 2, für t: 53, für 8:720 und für n: x zu setzen.

² — = 27 + 1729 — 720

= 27+3.

S war also entweder 30 oder 24 Monate bei N. Sind aber auch beide Auflösungen möglich? Um dies zu bestimmen, suchen wir den Lohn a für den 1. Monat aus n —30 (die 1. Lösung 27-f-3), d= 2 und 8 — 720. Dies ergiebtsich aus E, denn diese Gleichung enthält die vier Elemente a, n, d, s.

(J).

li

n —1 ~*d

720    30 — 1

30

.2 = 24 —29 = —5.

Da S für den 1. Monat nicht — 5 Jk bekommen haben kann, so ist nur die andere Lösung 27 :— 3 = 24 Monate möglich. Eine Probe ist hier besonders am Platze. Für das 1. Glied —5 wäre die Reihe, da jedes folgende Glied um 2 größer ist, die folgende:'

30

—j— 53

— 5 — 3 — 1 —(- 1 -j— 3 -j- 5 —(— 7 -\- 9

Da sich die ersten 6 Glieder der Reihe heben, so bleibt die Summe der Reihe, wenn diese Glieder entfernt werden und die Reihe daher mit -j- 7 beginnt, immer dieselbe (nämlich 720). Folglich hat er für den 1. Monat -f- 7 Jk bekommen und die Zahl der Monate ist 6 weniger als 30.

4) Aufgabe. Zwischen den Zahlen 113,1 und 131,7 sollen 14 Zahlen so eingeschaltet (interpoliert) werden, daß eine aus 16 Gliedern bestehende arithmetische Reihe entsteht, deren 1. Glied 113,1 und letztes Glied 131,7 ist. Wie groß ist die Differenz (d) dieser Reihe?

bn — bm — b (n — 1) -f- c (n — 1)

c (n — 1) — b (m — 1)

• Setzt man diese beiden für d und

cn — bm-f-(b — c)r

a gefundenen Werte nebst „r für n“ und „t fürx" in A ein, so ergiebt sich:

III. Geometrische Reihe.

1) Das 1. Glied sei a, die Anzahl der Glieder n, das letzte Glied t. Der „Quotient" aus jedem Gliede und dem vorhergehenden, der auch in der geometrischen Reihe Exponent genannt wird, sei e. Da nun das 2. Glied dividiert durch das 1., das 3. Glied dividiert durch das 2te re. immer d geben muß, so ist

= 2.    „ Xe—ae . e = ae² = ae3—1;

— 3.    „ Xe—ae². e = ae³ = ae⁴¹;

= aen—1, d. i. t — ae¹¹⁻¹.... (A):

Auflösung. Mit u—113,1,t—131,7,u—16 findet matt aus A:

131,7 =113f 1—)— (16—1) d; daherd

131,7 — 113,1

15

1,24.

Die Reihe ist daher:

113,1, 114,34, 115,58,....130,46, 131,7.

Aufgabe. Das nte Glied einer arithmetischen Reihe ist b, das Glied —e; wie groß (x) ist das rte Glied?

Auflösung. Nach A ist I. b = a -f- (n—1) ä,nach II. c = a -f- (m — 1) d. Aus diesen beiden Gleichungen läßt sich a und d berechnen und zwar durch b, c, m, n ausdrücken. I—II giebt b — c = (n — m) d, folglich

d ⁼ n~^m*    ™ I eingesetzt: b =

(n — 1) (b — c)

(n — 1) (b — c)

folglich a = b

6—1

Aus dieser Formel ergiebt sich unmittelbar:

n—VjT

]/-; [lg t = lga -f- (n — 1) lg e oder

lg t — lg a

en—1

lgt = lga + nlge — lge, folglich n=l-f

2) Da jedes Glied emal so klein als das folgende, so ist das vorletzte Glied ⁼~^~, das 3. letzte — ^ re. Folglich ist:

-j- ^ ~i—~—st t- SWitemutt.: .... + — + t + te.

s = a-{-ae-}- ae²-f-ae³-|-

68 —

ae + ae² + ae³-j-

lge

Diese Gleichung von der vorhergehenden subtrahiert: 8 — 68 — a — te. Folglich:

^ _2~ und wenn 6 >> 1 (mit — 1 te — a 6—1 '

Um 8 aus a, 6) n zu berechnen, setzt man den Ausdruck für t (s. A) in B ein. Man erhält:

ae¹¹⁻¹.6 — a

erweitert):

(B)

6—1

d. i.

en — 1

-t oder wenn e<0 sein sollte (mit — 1 erweitert) s = a • ^ e Aufgabe. 8 aus 6, n, t zu berechnen.

(C).

Auflösung. Aus A ergab sich in B eingesetzt:

~ (s- ob.). Dies

en-

; mit en—1 erweitert:

en-l

e¹¹⁻¹ (e — 1)f

ober wenn e<0 (mit — 1

erweitert):

1 — en

CD)

e¹¹⁻¹ (1 — e) Aufgabe, s aus a, n, t zu berechnen.

Auflösung. 6 —

n-i/—-

(s. ob.) in B substituiert:

TI-

(E).

3) Soll aus s und zweien der Elemente a, e, n, t eins der übrigen dieser letzteren gesucht werden, so hat man diejenige der Formeln B, C, D, E zu benutzen, welche die durch die Aufgabe berührten vier Elemente enthält.

Aufgabe, t aus e, n, s zu berechnen.

Auflösung. Die vier Elemente t, e, n, s sind in v enthalten. Daher:

8 e¹¹⁻¹ (1 — e)

1_en

obert

s en 1 (e — 1)

en-l

(F).

Aufgabe, u aus 6, t, 8 zu berechnen. Aus v ergiebt sich:

86* (6—1)

sen—1 (e — l) = ten—t; d. i.

s (e— 1) en = eten — et;

— ten — t oder

b°her =

nlge=lg(et)—lg[et—s(e-l)];

nlge = lge-(-lgt — lg [et — s(e — 1)], folglich: lgt —lg set — s(e — 1)]

n = l-f

lg e

(G).

4) Aufgabe. Zwischen den Zahlen 3 und 100 sollen 11 Zahlen so eingeschaltet (interpoliert) werden, daß eine aus 13 Gliedern bestehende geometrische Reihe entsteht, deren 1. Glied 3 und deren letztes Glied 100 ist. Wie groß ist der Exponent (e)?

Auflösung. Hier ist a —3, n= 13, t — 100. Folgl. (s. oben nach A):

7!=1?=F¥—

d. E. lg0,03 = 1,52288 (: 12 lge = 0,12691 e = 1,3394.

Aufg. Das n. Glied einer geometrischen Reihe seid, das mte Glied: c; wie groß (x) ist das rte Glied?

m—1

Auflösung. Nach A ist: I b = aen_1, II c = ae Man bestimme zunächst a und e aus b, c, n, m. I durch

n-m/h

Dies in

folglich

II dividiert, giebt ^ = en-m, folglich e =

n—1

n—1 n—m

I eingesetzt: b = a

dW

n—1

• Diese beiden für a und e gefundenen Werte nebst r für n und x für t in A eingesetzt:

n—m f——--

d sr-

5) Aufgabe. Das 1. Glied sei a, der Exponent e kleiner als 1, die Reihe eine unendliche; wie groß ist die Summe der geometrischen Reihe?

Auflösung. Da die Reihe aus unendlich vielen Gliedern besteht, so ist n= °o und man erhält aus C:

1—6°°

Da 6 ein echter Bruch sein soll, so ist e⁰⁰ = 0 (s. § 21, 2. 34), folglich s = a-b. i.

8-

(H).

1 — 6

(Dasselbe giebt auch die Partialdivision a : (1 —e)!) Beispiel.

1 + ¹⁹7201+(¹⁹720i)² +(¹⁹⁹/20i)³ +

Hier ist a — 1,6— ¹⁹⁹/₂ov daher

in ins. = ?

201

1 - ¹⁹7₂oi

201 — 199

2°y₂ = ioo,5.

IV. Arithmetisch-geometrische Reihe.

Es ist a, a-f~d, a-f-2d, a-f-3d, .... (s. II, 2) eine arithm., b, be, be², be³, .... (s. III, 2) eine geometrische Reihe.

Werden beide Reihen in folgender Weise vereinigt:

ab, (a -j- d) be, (a -j- 2d) be², (a -f- 3d) be³,.......,

(R),

[a -j- (n — 1) d] . b en ~1 so heißt eine solche Reihe eine „arithmetisch-geometrische".

Beispiel. 15 + 20.2 + 25.2² +30.2³ +35 . 24 -f-40.2⁵ ist die Summe (s) einer arithmetischen Reihe, bei welcher a = 15, d = 5, b = 1, e = 2 ist.

Aufgabe. Wie groß ist die Summe der Reihe R von n Gliedern?

Auflösung. Rach R ist

s ⁼⁼' a b --j— (a —[— d) b e —(a —f— 2 d) b e² —j- (a —j— 3 d) b e³ “j⁻.....

—[a —J— (n — 2) d] be¹¹“²-}- [a-|-(n — 1) d] be¹¹⁻¹. Diese Gleichung mit e multipliziert:

es

— abe —f- (a —j— d) be² -\- (a -f- 2d) be³ —(— ...... •

-j- [a-f- (n — 2) d] ben ~¹ -f- [a -)- (n — 1) d] ben Vermindert man die 2. Gleichung um die 1., so ergiebt sich:

es — 8 — — ab — bde — bde² — bde³ —.......

— bde¹¹⁻¹4~ [a-j-(n — l)d]ben, oder

(e— 1) 8 — — ab — bde [1 —f- e —J— e² —f—.....+ en 2]

-j- [a — (n — l)d]ben;

+ (a + nd)ben —bde¹¹;

— — ab — bde (1 -f-e-|-e² —

= (a -f- nd) ben — ab

— bde (1 —(—e—[—e²—{—

= (a -j- nd) be¹¹ — ab — bde.

k "(a + n d) e¹¹ — a e — 1

— de-

en-l

en-l

(8)-

(e-l)².

Beispiel. Wie groß ist die Summe der ersten 15 Glieder der Reihe

9.12+13.36+17.108 + 21.324 + 25.972-1-----?

Auflösung. Die Reihe ist eine arithm.-geometrische.

ist ein arithmetische Reihe mit ist eine

denn 9, 13, 17, 21

a = 9, d = 4; die Reihe 12, 36, 108, 324 geometrische mit b — 12, e = 3; ferner ist n — 15. Diese Werte in S eingesetzt:

s=12

(9 + 15.4). 3¹⁵ — 9

3¹⁵ —

(3 - l)²]

3-1    -4.3.

= 6.69.3¹⁵—54—36.3¹⁵-)-36 =5423886828.

= 12-

§54. Regelmäßige Vermehrung oder Verminderung eines verzinsten Kapitals.

I. Aufgabe. Ein Kapital c wird zu p% angelegt und der Zinsbetrag jährlich zum Kapital geschlagen. Zugleich wird aber auch zu Ende jedes Jahres eine bestimmte Summe b weggenommen. Wie groß ist der Rest R nach a Jahren? Auflösung. Das Kapital c wächst zunächst nach einem

Jahre auf c |l +^_j = cq an (s.§45, 17. Aufg.), wenn E stets mit q abgekürzt wird. Da

der Kürze wegen 1

aber am Ende des Jahres b hinweggenommen wird, so bleibt dann nur noch cq — b übrig. Dieser Rest wird nun wieder 1 Jahr lang verzinst und wächst daher nach Ablauf desselben auf (cq — d)q an, da jedes Kapital mit q multipliziert das in 1 Jahr angewachsene giebt. Nachdem nun wieder b weggenommen ist, bleibt nur noch (cq — b) q — b = cq²

—    b q — b übrig, re. Folgl. ist vom ursprünglichen Kapital c nach 1 Jahre noch cq —b,

„ 2 Jahren cq² — bq — b,

cq³ — b q² — b q — b, cqa — bqa —1 — bqa —2 —-----bq²

—    bq — b übrig; da dieser Rest — R sein soll, so ist

+ qa“¹).

R — cqa—b (1 q-f- q²-f- q³ ~\~.......

Die Reihe nach R in § 53 III berechnet, giebt:

qa — 1

100

R = c qa — b • -    --j-; da ferner q —1 — 1

= -2- ist:

100 ¹

R = cqa

100 b

100b , a    ,

(qa — i); oder

/100 b

/100 V P

c)qa;

diese Gleichung nach c, b und a aufgelöst: 100b

100b

q‘

(A).

f oder mittels Partialdivis.)

(h= p qca —R

y 100 qa — 1

, _ P / I C — R\.

b 100 \ — 1/ ’

lg (pR — 100 b) — lg (cp— 100b)

igq

Jahre

Aufgabe. Die Holzmasse eines Waldes beträgt gegenwärtig 8900 Kubikmeter, der jährliche Zuwachs iy₃%-Wenn nun zu Ende jedes Jahres 570 Kubikmeter abgeschlagen werden, wie groß wird der Rest (R) zu Ende des 11. Jahres sein?

Auflösung. c = 8900, p = 1%, 9 = 1 + ioo = l + y₇₅ = ⁷⁶/₇₅,b = 570, a = ll. Folglich:

100.570

100.570

17b

17b

8 9 0 0)-(⁷⁶/₇₅)u

= 42750 — 38850 . (⁷⁶/₇₅)n= 3590,8 Kubikmeter.

II. Wird zu Ende jedes Jahres b nicht weggenommen, sondern hinzugelegt, so ist offenbar b in den Formeln A entgegengesetzt zu nehmen. Mit —b statt -j-b ergießt sich dann für das nach a Jahren angewachsene Kapital (statt R)

100b

S = (c

rk

(B).

Hierbei ist also vorausgesetzt, daß b auch noch am Schlüsse des aten Jahres hinzugelegt worden ist.

III. Wird jedoch, die übrigen Bedingungen wie in II beibehalten, am Ende des vorletzten (a—lten) Jahres das letzte Mal b hinzugelegt, so ist offenbar von B noch b hinwegzunehmen und es ist

J q —    --f— bj; da nun die letzte

Klammer —so ist:

100b\ a_ lOObq

P /q    P

Hieraus ergießt sich:

'g , 100 H

_ P

qa

,_ p r S —cq

100 Lq (qa — ¹

lg(pS + 100b) — lg (cp + 100b)

S = (c

S = (c

-i)

igq

Jahre

(C).

Aufgabe. N legte am 31. Dez. 1870 550 Ji. in die Sparkasse, die mit 3 Y» % berechnet, und legt zu Ende jedes Jahres noch 130 Ji hinzu. Auf welche Summe (8) sind seine Gelder ant 31. Dez. 1888 angewachsen, wenn er die 130 Ji am 31. Dez. 1887 das letzte Mal einzahlte?

Auflösung. Hier ist c — 550, b= 130, p — 3Y₂,

q=H

3V.

100

1,035; a = 18. Folglich nach 6:

100.130.1,035 ,

8 = (550

8 = 4264,286 . 1,035¹⁸ — 3844,286;

S = 4076,56 Ji.

IV. Wird das Grundkapital c auf a Jahre mit p % angelegt und wird am Ende jedes Jahres, zum letzten Male am Ende des a— lten Jahres, stets wieder gleich großes Kapital c noch hinzugelegt, so ergießt sich offenbar das hierdurch angewachsene Kapital 8', wenn man in 8 (Formel C in III) b = c setzt.

100.130

37.

) • 1,035¹⁸

37.

-e-IWlk

100 cq

100 c q

100 cq

¹⁰⁰ cq . qa

Daraus folgt auch:

c =_RS_

100 q (qa — 1)

lg (p S' -j- 100 cq) — lgc — 2

S' =

oder

(D).

— 1 Jahre

V. Wird auch noch am Ende des aten Jahres das Grundkapital c hinzugelegt, so ergießt sich das in a Jahren

igq

angewachsene Kapital 8" am einfachsten, wenn man in B: b = c setzt. Man erhält:

100 c

8" —

100 c

^ (q. qa — 1) oder S" = —(qa+₁-i)

(E).

— 1 Jahre

__ P pS"_

C _ 100(qa + 1 —1)

lg (p S" + 100 c) — lgc—2

igq

Aufgabe. Dem N sollen laut eines Vermächtnisses nach 16 Jahren gerade 12345 Jk. ausgezahlt werden, ohne daß er je vor- oder nachher Anspruch auf Zinsen hätte, die Zinsen bis dahin sollen vielmehr zu wohlthätigen Zwecken verwendet werden. Er möchte dafür lieber zu Anfang eines jeden Jahres und auch noch zu Ende des 16. Jahres eine an Größe sich immer gleichbleibende Summe beziehen, so daß nach Ablauf des 16. Jahres jene Summe abgetragen ist. Wie viel (c) kann er jetzt und dann am Ende jedes Jahres erhalten, wenn die Zinsen zu 4³/₄% berechnet werden?

Auflösung. Hier ist aus Formel E das Kapital c mit

8" =12345, a= 16, p = 4,75,q= 1 +    = 1,0475

zu berechnen.

_    4³/₄.12345

C_ 100 (1,047516 + 1 — 1)

586,3875

1,0475¹⁷—1

586,3875

586,3875

2,20099 — 1

1,20099

488,25 JL

dann mit Anfang jedes Jahres und auch noch am Schlüsse des letzten Jahres 700 JL zahlt, und, damit die Schuld eher getilgt wird, auch die jährlich ersparten Zinsen mit zur Tilgung verwenden. Nach wie viel Jahren (a) wird die Schuld abgetragen sein?

Auflösung. Mit 8" —15900,p = 4Y₂,also q ={1,045, 6— 700 findet man aus E:

lg (4V₂ .15900 + 100.700) — lg 700 — 2 lg 1,045

lg 141550 — 2,8450980 — 2

i;

0,0191163

a— 14,9974 Jahre, also fast genau 15 Jahre.

VI. Ein Kapital steht zu p % mit Zinseszinsen und wird nach je n Jahren um b vermehrt. Wie groß (80) ist es nach a Jahren mit allem Zuwachs und Zinsen?

Auflösung. Die Entwickelung ist dieselbe wie bei der 1. Aufgabe in Abschnitt I, nur daß nach je n Jahren, statt jedesmal nach einem Jahre, b hinzugelegt wird. Zugleich ist also b negativ zu nehmen. Die in I entwickelte Formel

qa — r

R =cqa — b •    {' daher

S⁹ = cqa + b.\

q — 1

Aufgabe. ^ hat wöchentlich für sein Zimmer 2l/₄ «Ä Miete zu zahlen, bleibt dieselbe jedoch 3 Jahre (—3.52 Wochen) lang schuldig. Wie groß (8°), mit 5% berechnet, ist nach diesen 3 Jahren seine Schuld?

Auflösung. Hier ist die vorstehende Formel F in Anwendung zu bringen. Es ist aber c = 0, weil er die Miete erst Ende jeder Woche zu zahlen hatte; b — 2x/₄ Jto., p — 5, q = 1,05, a = 3, u — ^ (Jahr ^ 1 Woche).

1,05³ — 1 ⁴ 1,051/52 — 1

S⁰ = 0.q³+2V₄.

(F).

²'²⁵-s

1,05³ — 1

yi,05 — i

2,25.0,1576250_0,35465625

1,0009387—1    0,0009387

377,82 Ji.

Schurig, Algebra.

15

§ 55. Rente.

N übergießt betn A (Person ober Gesellschaft) ein Kapital unter ber Bebingung, baß ihm A 17 Jahre lang am Enbe jebes Jahres 1500 Jto. zurückzahle unb baß mit ber letzten Zahlung von 1500 J6. am Enbe bes 17. Jahres bas Kapital aufgezehrt sei (ber Rest R in § 56, I, Gleichung A also — 0 sei). Welches Kapital hat N betn A zu zahlen?

Diese Aufgabe veranschaulicht ben Begriff Rente. N ist ber Rentier (Rentner, Rentenierer), A ber Entrepreneur ober Unternehmer, 1500 J6. bte Rente. Das Kapital, für welches ber Rentier bte Rente bezieht, ist ber Einsatz (bte Einlage), bte Mise, ber Barwert, ber bare Wert ber Rente. Der Vertrag, welcher in betreff ber Rente ausgefertigt wirb, heißt Annuitätsvertrag. Die Rente ist eine Zeitrente (ober Jahrrente, Annuität), wenn bte Rente eine bestimmte Anzahl von Jahren ohne Rücksicht auf bas Alter bes Rentiers bis zur Tilgung ber Mise bezogen wirb. Stirbt ber eine Zeitrente beziehenbe Rentier vor ber festgesetzten Zahl ber Jahre, so hat ber Entrepreneur bte Rente bis zur Verfallzeit an bte Erben besselben auszuzahlen. Die Rente ist eine Leibrente ober Lebensrente, wenn sie ber Rentier bis zu seinem Tobe bezieht. Vom Tobestag an verliert ber Vertrag seine Gültigkeit unb bte Erben haben keine weiteren Ansprüche an bie Rente unb Mise. Die Zahl ber Jahre, welche bei ber Berechnung einer Leibrente angenommen wirb, kann sich offenbar nur nach ber burchschnittlichen Zahl ber Jahre richten, welche Personen vom Alter bes Rentiers noch zu leben haben. Diese „wahrscheinliche Lebensbauer" ist von Statistikern aus ber Lebensbauer einer großen Anzahl von Personen abgeleitet unb inbensogenannten „Mortalitätstafeln" niebergelegt worben. Die nachstehenbe Tabelle z. B. enthält unter A bas Alter bes Rentiers, unter W bte Zahl ber Jahre, welche er ber Wahrscheinlichkeit nach noch lebt unb bte zur Berechnung ber Rente verwanbt wirb.

12

00 ^ C5 O 1^ 03 O 00 03 ^ xH CO

to to to K 00 ^ O 05

DO C0 CO C0 <1 o p ^ 00 M- DO <1

tH C5 !> io 00 O 00 03 03 03 H

00 03 CO O io io CO

CD_ lO CD_ CO ^ 03 O

G5 lO G5 00

od i>^ io ^

^ 00 (M CD CD CD l> I>

O ^ 00 03 00 00 00 Ob

3,9

3,3

2,8

2,4

Bei den Rentenberechnungen werden stets Zinseszinsen in Anschlag gebracht. Da nach Ablauf der für die Rente (b) bestimmten Jahre (a) die Mise (c) aufgezehrt sein muß, so ist die Rentenformel direkt aus der Gleichung Am §54,1 abgeleitet, wenn dort der Rest R = 0 gesetzt wird. Es ist 100 b

also 0

/100 b VP

c)qa;

(A).

d. i. 0

c qa

^-™(qa — 1); durch qa btt). 100 b

Setztnianl-^r.

so ergiebt sich:

(B).

cq = 100 br

Hieraus lassen sich nun leicht c, b, a berechnen.

.    100 br

Die Mise c — —-—

(C).

die Rente b =

aus Formel A die Zahl der Jahre

2 + lgb — lg (100 b — cp)

igq

Die Berechnung der Prozente (p) würde die Auflösung einer Gleichung von a-f-ltem Grade erfordern. Da nun solche Gleichungen nicht allgemein aufgelöst werden können, so läßt sich p nur durch ziemlich umständliche Versuche bestimmen. Dem Verfasser dieses Buches (R. Sch.) ist es jedoch geglückt, folgende sehr bequeme Formel zu finden, durch welche die Prozente selbst bei sehr großer Zahl der Jahre noch immer sehr genau berechnet werden, wie die unten folgende vierte Aufgabe zeigt:

(D).

200 (ab — c)

(a +1) c

1. Aufg. L. will eine Rente von 1100    20 Jahrelang

5V4

beziehen. Welche Mise hat er dem Entrepreneur zu zahlen? Auflösung. Wird 5Y₄ % angenommen, so ist also in

JL = i + 100 '

100

Formel O q==ß¹/₄ = ß,25; q=l

— 1,0525; d — 1100; a — 20 zu setzen. Zunächst ist stets r — 1--hier also r = 1

1,0525

Dies geschieht am besten in folgender Weise: lg 1,0525 = 0,0222221 (.20 lg l,05252O= 0,4444420,

⁽i

^20 zu berechnen.

folglich lg

1,052520 bst^er 1,0525²⁰

d. E. lg 1,0525¹ 2<> = 9,5555580 (f. §38, I.Zus.)

0,3593834 und

r = 1 — 0,3593834 = 0,6406166.

100 . 1100 . 0,6406166

Nun ist (nach Formel C) c =

_ 44.6406,166

5V₄

21

13422,44 Jk

Man findet lgl,055²⁶-⁴ = 0,5906135, daher lg ~ = 9,4093865 (s. Aufgabe);

25,4

1,055 = 0,2566767 ;

1,055²⁵'⁴

0,7433233. Nun ist die gesuchte 115500

r = 1 —0,2566767 Rente b =

= 1553,83 Jt.

21000.57,

74,33233

100 . 0,7433233

3. Aufgabe. N will sich für eine Mise von 23400 J6. eine Rente von 2200 Jk kaufen. Wie lange kann er dieselbe beziehen, wenn die Rechnung mit 3 % ausgeführt wird? Auflösung. Hier ist b = 2200, c = 23400, p = 3;

q —1 + Vioo = 1,03. Daher (s. C)

24-lg2200 — lg (100.2200 —23400.3) lg 1,03

_ 2 + lg 2200 — lg 149800 ~    lg 1,03

= 13 Jahre.

0,0128372

4. Aufgabe. Wie groß ist der Zinsfuß, mit welchem für die Zeit von 14 Jahren aus der Mise 6133 Jk. 70 ^ die Rente 600 Jk. berechnet wurde?

Auflösung. Mit c = 6133,70, b = 600, a = 14 ergiebt sich aus der Formel D:

200 . (14.600 — 6133,7) / 6133,7 VnT+Ti \14 . 600/

_2 + 3,3424227 — 5,1755118 __ 0,1669110 a    0,0128372    '    --------

15.6133,7

-0,7302024^°;

_ 30217,33 P 6133,7 p = 4,498667.

Also sehr wenig abweichend von dem genauen Wert 4y₂ °/₀.

Die Berechnung des vorstehenden Ausdrucks ist folgende: lg 0,7302024    = 9,8634432 — 10; dafür (s. 8 40 L,

3. Bsp.)

lg (0,7302024¹³/*9 =— 0,1365568.¹³/45 = —0,0394497 = 10 — 0,0394497 — 10 oder lg (0,7302024¹³/⁴⁵) = 9,9605503 — 10 lg 30217,33= 4,4802561 d. E. lg 6133,7 = 6,2122775 lgp= 0,6530839.

5. Aufgabe. Eine Gemeinde hat von ihrer Herrschaft eine Summe von 18000 JL erborgt und als Bürgschaft ihren Gemeindewald, welcher jährlich 1300 Ji. Reinertrag giebt, zur Nutzung überlassen. (Ein derartiger Vertrag heißt antichretisch, d.i. Pfandnutzungsvertrag.) Wenn nun 5 % Zins auf Zins gerechnet werden, wie viel Jahre kann die Herrschaft den Wald benutzen, bis ihre Forderung samt Zinsen abgetragen ist?

100

Auflösung. Hier ist c= 18000, d — 1300, p = 5, — 1,05 ; nach C findet man:

2 4-lg 1300 — lg (100.1300 — 18000.5) lg 1,05

---24,15763 Jahre.

_ 2 + 3,1139434 — 4,6020600 0,0211893

100 — 1300

— 1800o) - 1,05²⁴

K = 26000 —8000.1,05²⁴= 26000—25800,8 = 199,2^.

So viel also hätte die Gemeinde noch herauszuzahlen. Angenommen aber, die Herrschaft hätte den Wald noch weitere vier Jahre benutzt, so würde in vorstehender Rechnung an die Stelle von 24 die Zahl 28 treten und man fände R =— 5362,04 Ji In diesem Falle hätte die Herrschaft 5362,04^. über ihre Forderung gezogen und müßte mithin diesen Betrag an die Gemeinde zurückzahlen.

Wenn nun die Herrschaft den Wald statt 24,158 genau 24 Jahre benutzt, wie viel hat die Gemeinde auf ihre Schuld noch herauszuzahlen? Um dies zu berechnen, setze man in die Formel A (§54,1): c = 18000, d— 1300, p —5, q—1,05, a — 24 (Jahre) und man findet ZlOO . 1300 V 5

§ 56. Die Gleichung dritten Grades.

I. Die Auflösung der reinen kubischen Gleichung von der Form ax³ = b ist schon in § 43 (VI, A) gelehrt worden, daher ist nur noch die Lösung der gemischten kubischen Gleichung nachzutragen. Dieselbe kann die folgenden drei Formen haben:

l) x³-f-ax²-f-bx-)-c = 0,

2J x³-f~ax²-|-c = 0,

3) x³-)-bx -j-c = 0.

Die beiden ersten Gleichungen löst man nicht direkt auf, sondern bringt sie (wie in IV und V gezeigt werden soll) stets auf die 3. Form, deren Lösung in VI und VII gegeben wird.

II.    Die Gleichung 3. Grades hat stets 3 Auflösungen (Wurzeln).

Bew. Wäre sin: x³-j-ax²-|-bx-j-c = 0 zunächst nur eine Auflösung x = d gefunden worden, so ist d³ -\- ad2 -f- bd -j- c = 0 (f. § 42, 1). Subtrahiert man die letztere Gleichung von der gegebenen, so erhält man:

x³ — d³-j- a (x² — d²) -j- b (x — d) — 0.

Da die linke Seite den gemeinsamen Faktor x — d hat (s. §17, III), so kann man diesen ausheben:

(x — d) [x² —[— d x —(— d² —|— a (x —d) —)— b] = 0.

Aus dieser Gleichung folgt nun nach § 43, IV, F:

1)    x — d — 0, d. i. x — d, wie schon zuerst gefunden worden war;

2)    x² —|— d x -f- d² -f- a (x -f- d) -f- b = 0. Diese quadratische Gleichung enthält mithin noch zwei Wurzeln der gegebenen Gleichung.

III.    Zugleich geht hieraus hervor, daß man die Gleichung

3. Grades stets durch die annullierte Wurzelgleichung (x — d — 0) ohne Rest dividieren kann. Hat man daher eine Wurzel gefunden, so gelangt man durch diese Division zu einer quadratischen Gleichung, die die beiden noch fehlenden Wurzeln enthält.

IV.    Ist die Gleichung x³-s-ax²-s-dx-s-e — 0 gegeben, so mag x = y -j- n gesetzt werden. Man erhält alsdann: (y -f- n)³ 4- a (y -j- n)² -f- b (y n) -f~ c = 0; entwickelt: y³ -j- (3n -s- a)y² -\- (3n² -j- 2an -f- b)y -(- n³ -f- an²

-f- bn -f~ c = 0. Setzt man hier 3a-J-a — 0, also — |-r so verschwindet y² und jene Annahme x = y-}~n. geht über in x=y--

Setzt man mithin in der vollständigen Gleich. 3. Grades-x — y vermehrt um den 3. Teil des entgegengesetzt genommenen Koeffizient von x², so verschwindet das Quadrat der Unbekannten und die Gleichung erhält die gewünschte Form x³ + bx + c = 0 (f. VI und VII).

Beispiel, x³ — 12x²+17x-f 90 = 0; y—Vs (—12) = y+⁴ gesetzt, giebt

(y+4)³-12(y+4)²+17(y+4)+90 = 0; entwickelt:

y³ — 31y-j- 30 = 0.

Ist aus dieser Gleichung eine Lösung y — 5 gefunden, so ist alsdann x — y-s-4 — 5-s-4 — 9.

V. Ist die Gleichung x³ -f- ax² —f— c = 0 gegeben, so beseitigt man das Quadrat der Unbekannten nicht auf die

soeben angegebene Weise, sondern setzt einfach x — — erhält alsdann:

-- Mau

[yf + a (y)² + c = 0, mit y³ mutt.:

1 —)— ay —)— cy³ = 0 und durch c dividiert:

y³ + “y + ir = 0, also die Form, wie sie sich zur Auflösung eignet.

VI. Auflösung der Gleichung:

x³-s-dx-s-e — 0.

Man setze x = m-f-n> folglich ist alsdann:

(m “f- n)³ -(- b (m -f- n) -)-■ c = 0; entwickelt: m³-)- 3m²n-f-3mn²-|-n³-f-I>m-|“bn —(— c = 0; d. ü m³-|-n³-}-c-]-(3mn-f-b) (m-}-n) = 0. Dieser Gleichung wird nur genügt, wenn

I*. m³-s-n³-s-6 — 0 und II*. 3mn-j-b = 0 gesetzt wird, denn dann ist die linke Seite — der rechten.

Nun ist auch n³ =— e — ru³ (siehe I*)

Um nun diese noch unbekannten Zahlen m und n aus

-- und

b und c zu bestimmen, sucht man aus II*: n = setzt dies in I* ein:

m³

b³

b⁸

e — 0 oder mG-)-cm³ = —

Setzt man m³ = r, also m⁶ = r², so geht diese Gleichung über in: r²-j-or — folglich

27 m³

m³= —

T±S)‘+(ir

b. i.

=-H±y(ir+(4)‘]

Zieht man noch die Kubikwurzel aus, so erhält man:

Diese Werte in x —m-s-n eingesetzt, giebt die Auflösung der Gleichung 3. Grades:

Anmerk. Diese Formel ist von Cardano zu Mailand 1545 zuerst bekannt gemacht worden; sie heißt daher „Cardanische Formel". Sie war aber schon 1515 von Ferrari zu Bologna und 1534 von Tartaglia gefunden.

Beispiel, x³— 14x-^-55 = 0. Hier ist b — — 14, e — 55, folglich:

*=]/ - ⁵⁵a+i/S)²+(^)³

; b. i.

+ y ■— ⁵⁵A — } (⁵⁵A)²+~^r)

= — i 27,5—V756,25 — 101,62963

3_"

+ V27,5 + l756,25 —101,62963.

= — .127,5 —25,58555+ ^ 27,5 + 25,58555 = — [1,2416943 + 3,7583057] oder x= 5.

VII. Ist x³ — bx + c = 0 gegeben, wo — b eine negative Zahl und 4b³    27c² sein soll, so wird die

Cardanische Formel unbrauchbar, da alsdann die Quadratwurzel in derselben imaginär ist. Für diesen Fall, den man Casus irreducibilis nennt, hat alsdann die Gleichung dritten Grades drei reelle Wurzeln, während sie nur eine reelle Wurzel und zwei imaginäre hat, wenn in der Cardanischen Formel die Quadratwurzel reell ist.

A. Der casus irreducibilis konnte bisher nicht algebraisch, sondern nur trigonometrisch in folgender Weise aufgelöst werden:

Bestimme den Winkel e aus

3c

sin e

wo b und c stets absolut (positiv) zu

nehmen sind.

Alsdann ist ⁼

mit dem Vorzeichen von 6.

]/?'Cos(³o⁰+y)

x₂ = x₃ = —(x₁+x₂).

B. Dennoch kann die Auflösung der Gleichung dritten Grades für den casus irreducibilis auch algebraisch durch die nachstehende, vom Verfasser (R. Sch.) neuerdings gefundene Formel aufgelöst werden.

+ mc

b[n + p]/l

27 c²

4b³    b³.

molgrn=0,7968036; n=ll,639016; lgp=l,0542793; r = 0,5853828; lgr = 9,7674400—10.

Die Berechnung von x ist am besten in folgender Weise auszuführen:

Man bestimme den Logarithmus von

n+p]A

27 c²

4 b³

-1-

bs J

Suche von demselben (als Numerus gedacht) den Logarithmus und vermehre diesen um 9,7674400 —10. Der zur Summe dieser beiden Logarithmen gehörige Numerus ist der Log. von [.. Jr. Alsdann ist

lgx = lgm + lgc + d. E. lgb + d. E. lg [... ]r; x mit dem Vorzeichen von c.

Beispiel, x³— 21 x — 35 — 0.

Da 4 . 21³ = 37044, 27 . 35² = 33075, also 4b³^>27c², so tritt hier der casus irreducibilis ein. Die Berechnung ist nun folgende:

lg(n + p]/l

) = lg(n + p]/J-ä)

27.35²    35²

4.21³    21³

= lg (11,639016 + 3,709036 — 0,132275)

= lg 15,215777 = 1,1822941.

1,055²⁵'³

lg 1,1822.941 = 0,0727255 + 9,7674400 9,8401655

Der Numerus dieses Log. ist 0,6920947 =Ig[...]r. lgm = 0,7968036 lg 35 = 1,5440680t, d.E. lg 21 = 8,67 77807 d. E. lg [...]r= 9,3079053 Igx = 0,326557 6n x = —2,121083.

Druck von I. I. Weber in Leipzig.

Wertcrg von Z. I. Webev in Leipzig.

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Philosophie. Von I. H. v. Kirchmann. Vierte, durchgesehene Auflage.

1897.

3 Mark.

Philosophie, Geschichte der, von Thales bis zur Gegenwart. Von Lic. Dr.

Fr. Kirchner. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. 1896. 4 Mark. Photographie. Anleitung zur Erzeugung photographischer Bilder von Dr. I. Schnauß. Fünfte. verbesserte Auflage. Mit 40 Abbildungen. 1895.

2 Mark 50 Pf.

Phrenologie. Von Dr. G. Scheve. Achte Auflage. Mit Titelbild und 18 Abbildungen. 1896.    2 Mark.

Physik. Von Dr. I. Kollert. Fünfte. verbesserte und vermehrte Auflage.

Mit 273 Abbildungen. 1895.    4 Mark 50 Pf.

Poetik, deutsche. Von Dr. I. Minckwitz. Zweite, vermehrte und verbesserte

Auflage. 1877.

1 Mark 80 Pf.

Porzellan-- und Glasmalerei. Von Robert Ulke. Mit 77 Abbildungen.

1894.

3 Mark.

2 Mark.

Projektionslehre. Mit einem Anhange, enthaltend die Elemente der Perspektive. Von Julius Hoch. Mit 100 Abbildungen. 1891.

Psychologie. Von Fr. Kirchner. Zweite, vermehrte und verbesserte Auf-

läge. 1896.

Punzieren s. Liebhaberkünste.

Pyrotechnik s. Lustfeuerwerkerei.

Radfahrsport. Von Dr. Karl Biesendahl. Mit l Titelbild und 104 Abbildungen. 1897.    3 Mark.

Raumberechnung. Anleitung zur Größenbestimmung von Flächen und Körpern jeder Art von Dr. C. Pietsch. Dritte, vennehrte und verbefferte Auflage. Mit 55 Abbildungen. 1888.    1 Mark 80 Pf.

Rebenkultur s. Weinbau.

Rechenkunst s. Arithmetik.

Rechtschreibung, neue deutsche. Von Dr. G. A. Saalfeld. 1895. 3 Mark 50 Pf.

Redekunst. Anleitung zum mündlichen Vortrage von Roderich Benedix. Fünfte Auflage. 1896.    1 Mark 50 Pf.

Registratur- und Archivkunde. Handbuch für das Registratur- und Archivwesen bei den Reichs-. Staats-, Hof-. Kirchen-. Schul- und Gemeindebehörden, den Rechtsanwälten re., sowie bei den Staatsarchiven von GeorgHoltzinger. Mit Beiträgen von Dr. Friedr. Leist. 1883.    3 Mark.

Reich, das Deutsche. Ein Unterrichtsbuch in den Grundsätzen des deutschen

. Staatsrechts. der Verfassung und Gesetzgebung des Deutschen Reiches von Dr. Wilh. Zeller. Zweite. vielfach umgearbeitete und erweiterte Auflage. 1880.

Reinigung s. Wäscherei.

Ritter- und Verdienstorden aller Kulturstaaten der Welt innerhalb des 19. Jahrhunderts. Auf Grund amtlicher und anderer zuverlässiger Quellen zusammengestellt von Maximilian Gritzner. Mit 760 Abbildungen. 1893.

9 Mark, in Pergament-Einband 12 Mark.

Rosenzucht. Vollständige Anleitung über Zucht. Behandlung und Verwendung der Rosen im Lande und in Töpfen von Hermann Jäger. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von P. Lambert. Mit 70 Abbildungen. 1893.    2 Mark 60 Pf.

3 Mark.

3 Mark.

Schachspielkunst. Von K. I. S. Portius. Elfte Auflage. 1895. 2 Mark. Schlitten-, Schlittschuh- und Schneeschuhsport s. Wintersport.

Schnitzerei s. Liebhaberkünste.

l Mark 50 Pf.

Schreibunterricht. Dritte Auflage, neu bearbeitet von Georg Funk. Mit 82 Figuren. 1893.

bildungen. 1897.

Sittenlehre. Von Lic. Dr. Friedrich Kirchner. 1881.

Sozialismus, moderner. Von Max Haushofer. 1896.

Sphragistik s. Urkundenlehre.

Spinnerei, Weberei und Appretur. Lehre von der mechanischen Verarbeitung der Gespinstfasern. Dritte, bedeutend vermehrte Auflage, bearbeitet von Dr. A. Ganswindt. Mit 196 Abbildungen. 1890.

Sprachlehre, deutsche. Von Dr. Konrad Michelsen. Dritte Auflage, herausgegeben von Eduard Michelsen. 1878.    2 Mark 50 Pf.

Staatsrecht s. Reich, das Deutsche.

Steinätzen, -mosaik s. Liebhaberkünste.

Stenographie. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende der Stenographie im allgemeinen und des Systems von Gabelsberger im besonderen von Prof. H. Krieg. Zweite, vermehrte Auflage. 1888.    2 Mark 50 Pf.

Stilarten s. Baustile.

Stilistik. Eine Anweisung zur Ausarbeitung schriftlicher Aufsätze von Dr. Konrad Michelsen. Zweite, durchgesehene Auflage, herausgegeben von Ed. Michelsen. 1889.    2 Mark.

Tanzkunst. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende nebst einem Anhang über Choreographie von Bernhard Klemm. Sechste, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit 82 Abbildungen. 1894.    2 Mark 50 Pf.

Technologie, mechanische. Von A. v. IHering. Mit 163 Abbildungen. 1888.

4 Mark.

Schwimmkunst. Von Martin Schwägerl. Zweite Auflage. Mit in Ab-

2    Mark. 2 Mark 50 Pf.

3    Mark.

4 Mark.

Teichwirtschaft s. Fischzucht.

Telegraphie, elektrische. Von Prof. Dr. K. Ed. Zetzsche. Sechste, völlig umgearbeitete Auflage. Mit 315 Abbildungen. 1883.    4 Mark.

1880.

2 Mark 50 Pf.

Tierzucht, landwirtschaftliche. Von Dr. Eugen Werner. Mit 20 Abbildungen.

Ton, der gute, und feine Sitte. Von Eufemia v. Adlersfeld geb. Gräfin Ballestrem. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1895. 2 Mark.

Trichinenschau. Von F. W. Rüffert. Dritte, verbesserte und vermehrte Auslage. Mit 52 Abbildungen. 1895.    l Mark 80 Pf.

Trigonometrie. Von Franz Bendt. Zweite, erweiterte Auflage. Mit 42 Figuren. 1894.    i Mark 80 Pf.

Turnkunst. Von Dr. M. Kloss. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 100 Abbildungen. 1887.    3 Mark.

Uhrmacherkunst. Von F. W. Rüffert. Dritte, vollständig neu bearbeitete Auflage. Mit 229 Abbildungen und 7 Tabellen. 1885.    4 Mark.

Uniformkunde. Von Richard Knötel. Mit über iooo Einzelfiguren auf 100 Tafeln, gezeichnet vom Verfasser. 1896.    6 Mark.

Urkundenlehre. — Katechismus der Diplomatik, Paläographie, Chronologie und Sphragistik von Dr. Fr. Leist. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 6 Tafeln Abbildungen. 1893.    4 Mark.

Ventilation s. Heizung.

Berfaffung des Deutschen Reiches s. Reich, das Deutsche.

¹

Aufgabe. N übergiebt der Rentenanstalt 21000 JLr für welche er eine Rente beziehen will. Da er 32 Jahre alt ist, so wird seine wahrscheinliche Lebensdauer noch 25,4 Jahre betragen (siehe oben die Tabelle im Eingänge dieses K). Die Rente wird mit 5^2 % berechnet. Wie groß ist die Rente?

²

Auflösung. 6 = 21000, p = 5x/2 = 5,5; q=l,055,

³

a = 25,4; r = 1--~ = 1 —

Versicherungswesen. Von Oskar Lemcke. Zweite, vermehrte und ver-besierte Auflage. 1888.    2 Mark 40 Pf.

Verskunst, deutsche. Von Dr. Roderi ch Benedix. Dritte, durchgesehene und verbesserte Auflage. 1894.    l Mark 50 Pf.

Versteinerungskunde (Petrefaktenkunde, Paläontologie). Von Hippolyt Haas. Mit 178 Abbildungen. 1887.    3 Mark.

Billen Md kleine Familienhäuser. Von GeorgAster. Mit 112 Abbildungen von Wohngebäuden nebst dazugehörigen Grundrissen und 23 in den Text gedruckten Figuren. Fünfte Auflage. 1897.    5 Mark.

Völkerkunde. Von Dr. Heinrich Schurtz. Mit 67 Abbildungen. 1893.

4 Mark.

Völkerrecht. Mit Rücksicht auf die Zeit- und Streitfragen des internationalen Rechtes. Von A. Bischof. 1877.    1 Mark 50 Pf.

Volkswirtschaftslehre. Von Hugo Schober. Fünfte, durchgesehene und vermehrte Auflage von Dr. Ed. O. Schulze. 1896.    4 Mark.

Bortrag, mündlicher, s. Redekunst.

Wappenkunde s. Heraldik.

3 Mark.

Warenkunde. Von E. Schick. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage, neu bearbeitet von Dr. G. Heppe. 1886.

Warenzeichenschutz s. Patentwesen.

2 Mark.

Wäscherei, Reinigung und Bleicherei. Von Dr. Herm. Grothe. Zweite, vollständig umgearbeitete Auflage. Mit 41 Abbildungen. 1884.

Weberei s. Spinnerei.

Wechselrecht, allgemeines deutsches. Mit besonderer Berücksichtigung der Abweichungen und Zusätze der Oesterreichischen und Ungarischen Wechselordnung und des Eidgenössischen Wechsel- und Check-Gesetzes. Von Karl Arenz. Dritte, ganz umgearbeitete und vermehrte Auflage. 1884. 2 Mark. Weinbau, Rebenkultur und Weinbereitung. Von Fr. Jak. Dochnahl. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit einem Anhange: Die Kellerwirtschaft. Von A. v. Babo. Mit 55 Abbildungen. 1896.

2 Mark 50 Pf.

Weltgeschichte, allgemeine. Von Dr. Theodor Flathe. Zweite Auflage.

Mit 5 Stammtafeln und einer tabellarischen Uebersicht. 1884.    3 Mark.

Wintersport. Von Max Schneider. Mit 140 Abbildungen. 1894. 3 Mark. Zeugdruck s. Färberei.

2 Mark.

Ziergärtnerei. Belehrung über Anlage, Ausschmückung und Unterhaltung der Gärten, so wie über Blumenzucht von Herm. Jäger. Fünfte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 76 Abbildungen. 1889. 2 Mark 50 Pf. Zimmergärtnerei. Nebst einem Anhang über Anlegung und Ausschmückung kleiner Gärtchen an den Wohngebäuden. Von M. L e b l. Mit 56 Abbildungen.

1890.    _______ '

2 Mark 50 Pf.

Zoologie. Von Dr. C. G. Giebel. Mit 124 Aobildungen. 1879.

Verzeichnisse mit ausführlicher Inhaltsangabe jedes einzelnen Bandes stehen auf Wunsch kostenfrei zur Verfügung.

Verlagsbuchhandlung von S.X Weber in Leipzig

Keudnitzrrstratze 1—7.

(Juli (8₉7.)

Druck von I. I. Weber in Leipzig.

S-96

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