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SB4cts Illustrierte Aandbücher

Band 157

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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üerlag von 3.3-UJeber in teipzig.

Debets Illustrierte Katechismen»

Jeder Band ist in seinwand gebunden

Wgebkä. üon Richard Scburig. fünfte Auflage. 3 Mark.

Wgebkaische Jlnaly$i$. von Jranz Bendt. Mit 6 Abbildungen. 2 Mark 50 Pf.

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Trigonometrie. Uon franz Bendt. Dritte, erweiterte Auflage, mit 42 Figuren. 2 mark.

Differential- und Integralrechnung.

Grundzüge der

Differential- uni> Integralrechnung

von

Franz Vendt

Dritte, verbesserte Auflage

Mit 39 in den TeXt gedruckten Abbildungen

Leipzig

Verlagsbuchhandlung von I. I. Weber

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Alle Rechte vorbehalten.

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KRAKOW

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Vorwort.

In wenigen Jahren wurden die beiden ersten Auflagen der Elemente der Differential- und Integralrechnung vollständig vergriffen. Das und die vielen zustimmenden Besprechungen, die mein kleines Buch erfahren hat, beweisen, daß ich das Richtige getroffen habe. Ich schrieb in der ersten Auflage:

„Es sind kaum fünf Jahrzehnte verflossen, da war die Differential- und Integralrechnung noch ein Wissensgebiet, mit dem sich ausschließlich der Mathematiker und der Astronom beschäftigten. Die Vertreter der anderen naturwissenschaftlichen Fächer standen Untersuchungen, die ihre Kenntnis voraussetzten, ganz fern, und selbst die Mehrzahl der Physiker, vorzüglich die deutschen Physiker, glaubten sich solchen Untersuchungen verschließen zu können.

Das hat sich seitdem durchaus geändert.

Es giebt jetzt fast kein Gebiet im Reiche der Naturwissenschaften und der Technik mehr, in dem nicht häusig Untersuchungen angestellt werden müssen, die die höhere

Analysis voraussetzen. Wer genötigt ist, Abhandlungen technischen oder chemischen, physiologischen oder stattstischen Inhalts und dergleichen zu lesen oder Lehrbücher über diese Wissenschaften zu studieren, bedarf der höheren Mathematik. Allüberall stößt man in ihnen auf Differentialformeln und schlanke Integralzeichen. Der Arzt, der Chemiker, der nicht akademisch gebildete Techniker und überhaupt jeder Freund der Naturwissenschaft kommt daher häusig beim Studium bedeutungsvoller Arbeiten in Verlegenheit und ist nicht fähig, sie ganz zu erfassen. Er wird gezwungen, sich mit der Jnfinitesimalmethode vertraut zu machen, wenn er sich nicht in seinen Zielen beschränken will.

In Deutschland giebt es jetzt eine große Zahl ganz vortrefflicher Lehrschttften über die Differential- und Integralrechnung. Aber fast alle diese Werke sind zum Studium für den künftigen Mathematiker verfaßt oder sie wenden sich gar an den vollendeten Fachmann. Es sind daher zumeist umfangreiche Werke, die häufig mehrere Bände umfassen und eine nicht geringe algebraische Gewandtheit und bedeutende Kenntnisse voraussetzen. Männer mit mathematischen Kenntnissen kann man aber, selbst unter solchen von akademischer Bildung, mit der Laterne suchen. Der Durchschnittsleser wird daher nicht im stände sein, diese Lehrbücher zu bewältigen, ganz abgesehen davon, daß ein Mann. der seinen Beruf zu erfüllen bat nur selten Zeit dazu findet, umfangreiche Werke zu studieren.

Das ist auch seit lange erkannt worden. Die deutsche mathematische Litteratur besitzt Lehrschriften, die auf wenigen Bogen die ersten Elemente der höheren Mathematik entwickeln. Sie verfallen nur wiederum in den entgegengesetzten Fehler, sie geben zu wenig!

Der Verfasser hat den Versuch gemacht, zu vermitteln. Der Katechismus der Differential- und Integralrechnung enthält die wichtigsten Methoden und Verwendungen, die auch die größeren Lehrschriften bringen; ein Blick in das Inhaltsverzeichnis giebt dafür den Beweis. Er hat sich ferner: bemüht, die Entwickelung ganz elementar zu gestalten, und die Rechnungen fast überall vollständig durchgeführt. Um das auf kleinem Raume zu ermöglichen, mußte er die Darstellung nach anderer Richtung beschränken.

Der Katechismus soll der Praxis dienen. Er wendet sich an Leser, die die Mathematik nur als Mittel für ihren besonderen Zweck betreiben. Der Verfasser durfte daher auf strenge Beweisführung der Lehrsätze verzichten und sich begnügen, sie verständlich zu machen. Das geschah u. a. dadurch, daß an Stelle allgemeiner Ableitungen charakteristische Beispiele gesetzt und durchgeführt wurden.

Der Verfasser rechnet und hofft nicht auf die Gunst der Mathematiker; er ist befriedigt, wenn es ihm gelingt, seinen Lesern in kurzer Zeit das Studium der Schriften zu ermöglichen, in denen die höhere Mathematik verwendet wird. Vielleicht stellt sich bei solchen später, nachdem die ersten Schwierigkeiten überwunden sind, der Wunsch ein, auch noch aus tieferen Quellen mathematische Weisheit zu schöpfen.

Ueber das Maß von Kenntnissen, die der Katechismus voraussetzt, sowie über die besten Werke, die sich zum Weiterstudium eignen, giebt der kleine Anhang unter dem Titel »Mathematische Litteratur« Auskunft."

Franz Bendt.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung

Erster Teil.

Die algebraische Analysis.

Erstes Kapitel. Vom binomischen Lehrsatz . . .

1.    Der binomische Satz.........

2.    Die Binomialkoeffizienten.......

Zweites Kapitel. Die unendlichen Reihen . . .

3.    Definition............

4.    Untersuchungen über Konvergenz.....

5.    Alternierende Reihen.........

6.    Die Methode der unbestimmten Koeffizienten

7.    Die Entwickelung von ax.......

8.    Die Entwickelung von ex.......

9.    Logarithmensysteme.........

CO 00 OD 02 ot Ot

H (2J ^ CO I> rH t—I r-t T—I t—I

Zweiter Teil.

Die Disserentialrechnung.

Drittes Kapitel. Die allgemeine Lehre von den Funktionen .................

10.    Definitionen.............

11.    Die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen. . 22

12.    Die Funktionsarten

20

20

13.    Darstellung der Funktionen

14.    Die Grenzen der Funktionen

15.    Die Stetigkeit der Funktionen

25

25

28

Viertes Kapitel. Die Entwickelung der Differentialformeln ................

16.    Der Differentialbegriff..........

17.    Die allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten 32

18.    Bestimmung des Differentialquotienten für eine Potenz 33

19.    Beispiele

20.    Bestimmung des Differentialquotienten für y = sinx 37

21.    Bestimmung des Differentialquotienten für y= cosx 39

22.    Bestimmung    des    Differentialquotienten    für    y=    logx    40

23.    Bestimmung    des    Differentialquotienten    für    y =    lx    .    42

24.    Bestimmung des Differentialquotienten eines Produktes 42

25.    Beispiele

26.    Der Differentialquotient von einem Bruch (Quotient)

soll gefunden werden..........

27.    Beispiele..............

28.    Bestimmung    des    Differentialquotienten    für    y =    ax    .    50

29.    Bestimmung    des    Differentialquotienten    für    y =    ex    .    51

30.    Bestimmung des Differentialquotienten von y = tangx 51

31.    Bestimmung desDifferentialquotientenvony---- cotangx 51

32.    Angabe der Differentialquotienten für y = secx und y — cosecx

33.    Bestimmung des Differentialquotienten für y ----- arc sin x 53

34.    Bestimmung des Differentialquotienten füry = arc cos x 53

35.    Bestimmung des Differentialquotienten fiiry---arc tangx 53

36.    Bestimmung d.Differeutialquotient. von y--arc cotangx 55

37.    Angabe der Differentialquotienten für die Funktionen y — arc secx und y = arc cosecx

Tafel der Differentialquotienten .

29

29

35

. 45

46

48

52

55

56

Fünftes Kapitel. DieBildung der Differentialquotienten der Funktionen von Funktionen. Aufgaben . . 57

38.    Erläuterungen.............

39.    Allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten einer

Funktion von einer Funktion........

40.    Aufgaben..............

57

57

Sechstes Kapitel. Die höheren Disserentialquotienten. 64

41.    Ableitung der höheren Differentialquotienten ... 64

68

42.    Gleichheit der Differentialquotienten......

69

Siebentes Kapitel. Die Reihen von Taylor und Mac-Laurin.................

69

43.    Vorbereitungen............

79

44.    Die Taylorsche Reihe..........

71

45.    Herleitung des binomischen Satzes......

46.    Allgemeine Ableitung der Taylorschen Reihe ... 72

47.    Die Reihe von Mac-Laurin oder die Stirlingsche Reihe 73

48.    Es soll eine Reihe für sinx entwickelt werden . . 74

49.    Es soll die Reihe für cos x entwickelt werden . . 75

76

50.    Es soll die Reihe für die Exponentialfunktion ex entwickelt werden.............

77

51.    Es soll die Reihe für die Exponentialfunktion ax entwickelt werden.............

52.    Für die Funktion 1 (1-f x) soll eine Reihe entwickelt werden 78

53.    Die Funktion arc sin x soll in eine Reihe entwickelt werden 79

80

81

54.    Die Reihe für arctangx Tafel der wichtigsten Reihen

Achtes Kapitel. Die Bestimmung unbestimmter Formen 82

82

55.    Erklärung............

56.    Bestimmung des unbestimmten Wertes ^ .... 82

57.    Bestimmung des unbestimmten Wertes §§ .... 84

58.    Die anderen unbestimmten Ausdrücke lassen sich auf die

86

behandelten stets zurückführen........

86

59.    Beispiele..............

87

Neuntes Kapitel. Vom Maximum und Minimum der Funktionen...............

87

60.    Erläuterungen.............

61.    Kennzeichen für das Maximum und Minimum einer Kurve 87

89

62.    Schema für die Untersuchung einer Funktion nach dem Maximum oder Minimum.

. 90

62 a) Ein Beispiel zum Schema

91

63.    Aufgaben......

64.    Die Untersuchung des Maximums und Minimums

von Brüchen.............

= oo wird.........

65. Dad Maximum und Minimum solcher Funktionen, für die

dy

97

Tx

98

98

Zehntes Kapitel. Von den Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen der Kurven . . .

66.    Erklärungen.............

99

100

67.    Formeln für die Tangente rc........

68.    Umformung dieser Formeln........

69.    Die T, N, Sn und St an der Parabel .... 101

70.    Die analytischen Ausdrücke für Tangente und Normale 102

103

71.    Anwendung auf die Parabel........

72.    Die Bezeichnungen für die Tangente und Normale rc.

104

in Polarkoordinaten..........

106

73.    Ableitung der Formeln für T, N, St und Sn in Polarkoordinaten

.    107

74.    Ein Beispiel . .

109

75.    Von der Asymptote

76.    Ein Beispiel zur Erläuterung der Asymptoten . .    110

Elftes Kapitel. Von der Konvexität, der Konkavität

CM CM

und den Wendepunkten einer Kurve.....

77.    Erklärungen.............

78.    Ableitung, um die Bedingungen für die Konkavität

und Konvexität einer Kurve festzustellen . . . . 112 78 a. Bedingungen für die Konkavität einer Kurve . . 114

115

79.    Der Wendepunkt...........

116

80.    Beispiele..............

Zwölftes Kapitel. Die Krümmung der Kurven und der

Krümmungskreis. Evoluten und Evolventen. . 117

117

119

81.    Die Berührung von Kurven........

122

82.    Der Krümmungskreis..........

83.    Die Krümmung der Kurven........

123

84.    Evoluten und Evolventen.........

124

85.    Zusammenstellung der Regeln, um die Formen der

Kurven zu ermitteln..........

Schlüssel für die Untersuchung der Kurven ... 127 Dreizehntes Kapitel. Die Bildung der Differentialquotienten von mehreren unab häng igenVeränd erlichen 127

127

86.    Erklärungen

87.    Ableitung der partiellen Differentialquotienten . .    128

Seite

88. Beispiel

. 131

89.    Funktionen von mehr als zwei unabhängigen Variablen 132

90.    Die höheren partiellen Differentialquotienten... 132

Vierzehntes Kapitel. Entwickelung der Differentialquotienten für die nicht entwickelbaren Funktionen 134

91.    Allgemeines.............

92.    Bildung der Differentialquotienten der impliziten

Funktionen.............

93.    Beispiele..............

94.    Bildung der höheren Differentialquotienten der impliziten Funktionen............

95.    Beispiele..............

Fünfzehntes Kapitel. Vertauschung der unabhängig veränderlichen Größen .......

96.    Erklärungen........

97.    Bestimmung der Differentialquotienten

98.    Andere Formen der Differentialquotienten . . . 143

99.    Beispiele

134

134

136

138

139

. 140

140

141

144

Dritter Teil.

Die Integralrechnung.

Sechzehntes Kapitel. Die Jntegralformeln .

100.    Erklärungen.........

101.    Formeln für die Integration . . .

102.    Einige allgemeine Jntegrationssätze .

103.    Uebungen.........

104.    Erleichterung der Integration durch Substitution . 152

105.    Beispiele

106.    Die Integrale einiger trigonometrischen Funktionen 157

107.    Die Integration rationaler gebrochener Funktionen 159

108.    Untersuchung einer echt gebrochenen rationalen Funktion, in der derNenner ein Ausdruck zweitenGrades ist 161

109.    Beispiele

Siebzehntes Kapitel. Die teilweiseJntegration. Formeln 164

110.    Erklärung .

111.    Entwickelung

112.    Beispiele. .

146

146

148

149

150

152

163

164

165

167

113.    Erweiterte Beispiele . . .

114.    Reduktionsformeln....

115.    Erste Reduktionsformel . .

116.    Die zweite Reduktionsformel

117.    Die dritte Reduktionsformel.

118.    Die vierte Reduktionsformel

119.    Wert der abgeleiteten Formeln

Jntegraltafel.......

Achtzehntes Kapitel. Die bestimmten Integrale ... 178

120.    Definitionen

121.    Allgemeine Sätze über bestimmte Integrale. . . 181

169

170

. . 171

172

.    173

173

174

178

Neunzehntes Kapitel. Die Quadratur der Kurven . . 183

122.    Erklärungen....

123.    Quadratur der Parabel

124.    Quadratur der Ellipse

125.    Quadratur der Hyperbel

126.    Quadratur der Cykloide

127.    Quadratur der gleichseitigen Hyperbel .... 190

128.    Quadratur der Kreislinie........

129.    Quadraturen solcher Kurven, die durch Polarkoordinaten ausgedrückt sind

183

185

186

187

188

191

. 191

130. Quadratur der archimedischen Spirale .... 192

Zwanzigstes Kapitel. Die Rektifikation der Kurven . 193

131.    Erklärung und Ableitung der Formeln .... 193

132.    Die Rektifikation der Parabel

133.    Die Rektifikation der Cykloide

134.    Die Rektifikation von Kurven in Polarkoordinaten 198

Einundzwanzigstes Kapitel. Die Inhaltsbestimmung der Rotationsflächen........

135.    Definition, Herleitung der Formeln

136.    Bestimmung der Oberfläche einer Kugel.... 201

137.    Bestimmung der Oberfläche des Rotationspara-boloides

138.    Die Oberfläche soll ermittelt werden, die entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre x-Achse dreht . 205

139.    Die Oberfläche des Rotationsellipsoides .... 206

140.    Die Oberfläche für das Sphäroid

194

196

200

200

. 203

Seite

ZweiundzwanzigsteS Kapitel. Die Kubatur derRotationS-körper .................

141.    Erklärung und Ableitung der Grundformeln . . 211

142.    Der Inhalt eines geraden Kegels......

143.    Der Inhalt des Paraboloids.......

144.    Der Inhalt des Sphäroids........

145.    Formeln für die geometrischen Anwendungen der

Integralrechnung...........

211

212

213

214

216

Dreiundzwanzigstes Kapitel. Die vielfachen Integrale . 216

146.    Neue Erklärung des Integrals.......

147.    Die vielfachen Integrale........ .

148.    Inhalt eines Dreiecks durch Doppelintegrale zu bestimmen ..............

149.    Das dreifache Integral.........

Vierundzwanzigstes Kapitel. Die Differentialgleichungen 222

150.    Erklärung und Einteilung der Differentialgleichungen 222

151.    Homogene Differentialgleichungen

152.    Die unmittelbare Integration vollständ. Differentiale 224

153.    Beweis für bat Grundsatz........

154.    Beispiele..............

155.    Ein zweites Beispiel..........

156.    Allgemeine Form der Differentialgleichung vom erstm

Grade und der ersten Ordnung......

157.    Integration und Trennung der Variablen ... 230

158.    Ein zweites Beispiel ....

159.    Ein drittes Beispiel ....

160.    Ein viertes Beispiel ....

161.    Nutzen der Differentialgleichungen

162.    Jntegrationsmethode durch Substitution.... 233

163.    Ein Beispiel . .

164.    Ein zweites Beispiel

165.    Das Homogenmachen der Differentialgleichungen . 236

166.    Die linearen Differenttalgleichungen

167.    Beispiel.........

168.    Der integrierende Faktor....

169.    Der integrierende Faktor u ist allein eine Funktion von x 239

170.    DerintegrierendeFaktoru ist allein eine Funktion von j 239

171.    Beispiel durch Probe

216

218

220

221

223

225

226

228

229

231

231

. . 232

232

233

234

236

237

238

Fünfundzwanzigstes Kapitel. Die Differentialgleichungen (Fortsetzung)...............

172.    Differentialgleichungen erster Ordnung und höheren

Grades.....

173.    Andere Lösungen . .

174.    Ein Beispiel . . .

175.    Andere Lösungsmethode

176.    Lösungsmethoden . .

177.    Ein Beispiel

241

241

242

242

243

243

. 245

178.    Die Differentialgleichungen höherer Ordnung . . 246

179.    Ein Beispiel............

180.    Differentialgleichungen, in denen sich der eine Diffe

rentialquotient als eine Funktion des nächstniedrigeren Differentialquotienten darstellen läßt.....

181.    Eine Ausgabe............

182.    Der zweite Differentialquotient sei eine Funktion

der Abscisse.............

183.    Der zweite Differentialquotient sei eine Funktion von y 250

184.    Gleichungen von höherer Ordnung als der zweiten 250

246

247

248

249

Sechsundzwanzigstes Kapitel. Die komplexen Zahlen . 251

251

185.    Allgemeine Erklärung

186.    Die Rechnung mit den komplexen Zahlen . . . 252

187.    Die konjugierten komplexen Zahlen. Norm, Modulus 252

253

188.    Die Division

189.    Imaginäre Ausdrücke in der Exponentialreihe . . 252

254

190.    Die Moivresche Formel

191.    Ableitungen aus der Moivreschen Formel . . . 255

258

192.    Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen . 256 Allgemeine Formeltafel .

Mathematische Litteratur

Differential- und Integralrechnung.

Einleitung.

Die Differential- und Integral- oder die Infinitesimalrechnung, die in ihrer gesamten Ausdehnung auch wohl als höhere Analysis bezeichnet wird, bildet den Schlußstein am Palaste der Mathematik. Wenn auch in vereinzelten Fällen schon die alten Mathematiker Aufgaben lösten, aus denen die Grundidee der höheren Analysis hervorleuchtet (wir erinnern nur an die Kugelbeweise des Archimedes), so muß sie dennoch in ihrer methodischen Entwickelung als eine durchaus moderne Wissenschaft bezeichnet werden, die den Stempel der neuen Zeit an ihrer Stirn trägt. Jsaac Newton (1642 —1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646—1716) sind unabhängig voneinander die Erfinder der Differential- und Integralrechnung.

Ermöglicht wurde die merkwürdige Lehre durch die Analytische Geometrie, deren Erfinder der große Franzose Rens Deseartes (1596—1650) ist. Er zeigte, daß geometrische Gebilde durch Formeln dargestellt werden können, mit denen man fähig ist, wie mit algebraischen Gleichungen zu operieren.

Aber erst die Differentialrechnung giebt die Methoden, durch die man im stände ist, aus den Gleichungen einer Kurve oder Fläche ihre Eigenschaften zu ermitteln. Sie schildert gleichsam auf das genaueste ihren Verlauf, ihre Krümmungen und Knickungen, ihre höchsten und tiefsten Punkte rc.

Die Integralrechnung kann als das Umgekehrte der Differentialrechnung bezeichnet werden. Sie lehrt beispielsweise aus den Eigenschaften eines geometrischen Gebildes dessen Gleichung finden. Aber auch der Astronom, der durch die Beobachtung eines Gestirns, der Physiker, welcher aus dem Studium einer Erscheinung gewisse Regelmäßigkeiten ermittelt hat, erhält aus der Integration den Weg, auf dem sich das Gehirn bewegt, resp. das Gesetz, dem die Erscheinung folgt. Die höhere Analysis ist daher von größter Bedeutung für die astronomische, physikalische und technische Wissenschaft-ja diese sind jetzt ohne die erste nicht mehr denkbar.

Unser Buch zerfällt in drei Abschnitte. Im ersten werden Sätze entwickelt, die der algebraischen Analysis zugehören, einer Disziplin, welche man als Fortsetzung der elementaren Algebra und Arithmetik betrachten kann. Sie sind unerläßlich zum Verständnis des zweiten und dritten Abschnittes, in denen die Differential- bezüglich die Integralrechnung zum Vortrag kommt.

Erster Teil.

Die algebraische Analysis.

Erstes Kapitel.

Vom binomischen Lehrsatz.

1. Der binomische Satz.

In den Elementen der Algebra wird gelehrt, daß man für ein Binom, das auf einen Exponenten erhoben, also zu einer Potenz gemacht worden ist, einen Ausdruck erhält, der gesetzmäßig verläuft, z. B.

(a -|- b)² — a²-j- 2 ab-{-b²,

(a-j-b)⁴ = a⁴ + 4 a^b + 6 a²b² + 4 ab³ + b⁴

2C. 2C.

Durch den großen Mathematiker Newton wurde gezeigt, daß man in dieser Weise auch zu dem ganz allgemeinen Ausdruck von der Form kommt:

n(n—1)

a¹¹“² • b²-|-

1-2

an—³ . b³ -j-... -J~ nabn—1 -(- bn,

1) (a-f b)n = an4-yan-¹.b-f n(n—1) (n—2)

1-2-3

in demder ExPonentn jedenreellen, ganzen oder gebrochenen, positiven oder negativen Wert annehmen kann. Dieser Satz wird als der binomische Lehrsatz bezeichnet.

Die Ausdrücke

n n(n — 1)

7' i - 2 2C'

nennt man die Binomialkoeffizienten und schreibt in ihnen die Nenner 1 • 2, 1 • 2 • 3 k. gewöhnlich kürzer, und zwar

= 2!

1-    -3-4...

und liest für n! „u-Fakultät", für 3! „3-Fakultät".

tJ

-2-3 = 3! = n!

Das beachtet, erscheint der binomische Lehrsatz in der Form

2) (a-f-b)n — an -f- nan~¹b -j- n an~²b² -f-n (n—1) (n—2)

3!

an—3b³-j-bn. n(n-l)

die gorm Q,

die Form Qj und liest „n über 2,

u über 3 " re. Dann ergießt sich für den binomischen Lehrsatz die ganz kurze Form

2a) (a b)n — an -[-    an-1b -|- Qj an-2b² -|-

Qj an~³b³ —|—... —j— bn.

für

Oder man schreibt auch wohl für n(n —l)(n—2)

2!

3!

2. Die Binomialkoeffizienten.

Es sollen nun zunächst einige Sätze aus dem binomischen Lehrsätze entwickelt werden.

Setzen wir in die Gleichung 2) a = b = l, dann geht sie über in

n(n—1) , n(n—l)(n—2)

3) 2“ = 1 —f-n —f-    2I

Aus 3) folgt der bedeutungsvolle Satz, daß die Summe aller Binomialkoeffizienten gleich 2n ist.

3!

■+ —+ ¹*

Entwickeln wir ferner die Binomialformel für irgend einm bestimmten Exponenten, z. B.

(a-|-b)⁷ — a⁷~(- 7a⁶b-{- 21a⁵b²-j- 35a⁴b³-^- 35a³b⁴-}-

21a²b⁵-|- 7ab⁶-j-b⁷, so wird sich stets zeigen, daß die Koeffizienten, die gleichweit vom Ende und Anfang entfernt stehen, gleichgroß sind.

Das Gesetz der Binomialkoeffizienten, das im binomischen Lehrsätze klar hervortritt, hat Pascal bereits in einer sehr übersichtlichen Form angegeben, die man als das Pascalsche Dreieck bezeichnet.

Entwickeln wir, um diese Form zu erhalten, den Ausdruck (a -j- b)n, indem wir für n nacheinander 0, 1, 2, 3 rc. setzen und bte Koeffizienten untereinander schreiben. Dann ergiebt sich

rc. rc.

Das Pascalsche Dreieck.

Aus dem Ausdruck ersieht man unmittelbar, daß die Summe des rten und (r-j-l)ten Koeffizienten immer gleich ist dem (r-j-l)ten Koeffizienten der nächsthöheren Potenz. Also wenn man die Binomialkoeffizienten mit b bezeichnet, so folgt

Hierin bedeuten n und n-j-1 die Potenzen, r und r+1 die Stellung der Koeffizienten. Erläutern wir den Satz 4) noch an einem praktischen Beispiele. Aus dem Pascalschen Dreieck ergiebt sich, daß der dritte Koeffizient von (a + b)5 gleich ist dem zweiten und dritten Koeffizienten von (a -|- b)⁴. Daher

10 ----- 4 + 6 oder in der Sprache der Formel 4)

(₅)b³ = (4)b² + (4)b³.

Zweites Kapitel.

Die unendlichen Reihen.

3. Definition.

i)

Schon die Elemente der Arithmetik machen mit unendlichen Reihen bekannt. Wir haben nur nötig, uns an die unendlichen Dezimalbrüche und an die arithmetischen und geometrischen Reihen zu erinnern. Sollen solche Reihen nutzbringend sein, dann müssen ihnen bestimmte Eigenschaften zukommen, welche wirzunächst besprechenwollen. Wirverfahrenda ambesten, wenn wir an die bekannten Vorgänge, die die geometrischen Reihen zeigen, anknüpfen. Nehmen wir die geometrische Reihe an: Va + V4 + Vs + Vi6 + V32 + ... re.

Sie soll sich beliebig weit erstrecken. Die Summe der Reihe kann dann, wie bekannt, durch die Formel

8 ₌ a(qD—1)

q—1

bestimmt werden, in der a das Anfangsglied, q den Quotienten und n die Anzahl der Glieder bedeutet. Die Summe entspricht einer unendlichen Reihe, wenn n = oo wird.

Bestimmen wir zunächst die Summe für die Reihe 1) für unendlich viele Glieder. Dann ist

a _ V» KV,)⁰⁰—13 -Vs _ 1 “ -Vs ⁻

Das besagt also, daß je mehr Glieder der Reihe 1) man addiert, um so mehr sich ihre Summe der Eins nähert.

2)

Eine Reihe, deren Summe für eine sehr große Anzahl von Gliedern sich einer bestimmten endlichen Zahl oder, wie man zu sagen Pflegt, einer bestimmten Grenze (limes, abgekürzt lim.) nähert, nennt man konvergent. Bezeichnet s die Summe, dann deutet man das an durch den Ausdruck lim. (Summe) — s

n s= oo

d. h. der Grenzwert derReihensumme für n gleich unendlich ist s.

Kann ein solcher Grenzwert nicht nachgewiesen werden, dann nennt man die Reihe divergent. Für uns sind nur die konvergenten Reihen von Bedeutung.

4. Untersuchungen über die Konvergenz.

Die allgemeine geometrische Reihe 3)    a -[- a x -f- a x² -)- a x³-f-ax⁴    ax¹¹⁻¹

a —axn

axn—a

hat die Summe

x—1

1—X

Nehmen wir an, es sei in der Reihe 3) n = oo und a ein endlicher Wert. Ist nun x —1, dann ergießt sich, daß die Reihe divergent ist; daraus folgt, daß sie für x>l erst recht divergent sein muß.

Wir wollen nun untersuchen, wie sich die Angelegenheit für x<0 gestaltet. Schreiben wir hierzu die Summenformel a    axn

1— x'

axn

dann zeigt sich sofort, daß xn = x⁰⁰ = 0 ist. Somit muß auch das Glied

sein.

Die Summenformel der geometrischen Reihe für x<< 1 geht also über in

1— X'

und das ist ein endlicher Wert.

Das ergiebt:

Satz I. Eine unendliche geometrische Reihe mit endlichen Koeffizienten ist immer konvergent, wenn ihr Quotient kleiner als eins, also ein echter Bruch ist.

Kann man somit von irgend einer Reihe nachweisen, daß der Quotient zwischen zwei sich folgenden Gliedern immer derselbe und kleiner als eins ist, dann ist auch der Nachweis für ihre Konvergenz gelungen.

Daran schließt sich ein allgemeiner Satz.

Satz II. Jede unendliche Reihe von der Form

a “f- stiX-j- a₂x²-(- a₃x³-[- a₄x⁴-]-......,

die nach ganzen Potenzen von x fortschreitet und in der a, alr a₂ rc. endliche Zahlen sind und x<^ 1 ist, ist konvergent.

Der Beweis ist leicht zu führen. Man denke sich von den Koeffizienten a, a± rc. den größten genommen und ihn überall gesetzt. Dann bekommt man eine geometrische Reihe, die nach Satz I konvergent ist. Die Summe dieser konvergenten Reihe muß aber größer als die der Reihe a-s-x-s-«₂ x²... sein. Die Reihe a-J-^x-j-... ist also erst recht konvergent.

Die Untersuchungen über die unendlichen Reihen und ihre Konvergenz sind besonders in den Fällen von Wichtigkeit, wo es darauf ankommt, einen geschlossenen Ausdruck in eine Reihe zu entwickeln, die nach ganzen und positiven Potenzen von x fortschreitet. Der binomische Lehrsatz ist ein Beispiel dafür, daß ein geschlossener Ausdruck durch eine Reihe dargestellt werden kann. Ist in ihm der Exponent ein echter Bruch, dann geht die Entwickelung in eine unendliche Reihe über, die für x<^ 1 immer konvergent ist. Z.B. (1 -s-x)^mti>x<0.

Auch durch einfache Division können unendliche Reihen erzeugt werden.

mit dem Nenner in

Dividieren wir in dem Bruch - * ^ den Zähler, dann ergiebt sich nach der Reihe

1 —x    ~1— X

y2

= 1 + x + m

Allgemein:

= 1+x+X2₊_i!_.

4) Y^i⁼ l+x + x*+x³ + ... + x“-¹+^—•

Die Division kann selbstverständlich beliebig weit ausgeführt werden. Es ist hier wohl unzweifelhaft, daß die Summe auf der rechten Seite der Gleichung dem geschlossenen Ausdruck auf der linken Seite gleich sein muß.

Satzlll. DasEndglied einer konvergenten Reihe muß immer gleich null sein.

In unserer Reihe ist für n = oo und x<<1 der Ausdruck

x⁰⁰

= 0.

5. Alternierende Reihen.

Häufig erscheinen in der Rechnung Reihen, deren Vorzeichen fortwährend wechseln; man nennt sie alternierende Reihen. So ist z. B.

1 — Vs + Vs — iU + Vs — Ve + Vr rc. —...

eine alternierende Reihe

SatzIV.AlternierendeReihen, in denen dieGlieder bis zu null abnehmen, sind immer konvergent.

Man kann sich vom schnellen Abnehmen solcher Reihen auch leicht überzeugen, wenn man immer zwei Glieder zusammennimmt, z. B.

(1 - Vs) + (Vs - V*) + (Vs - Ve) + • • •

Merken wir uns noch den Satz V:

Eine Reihe von der Form

5)

— + — + — + — + ••• lr 1 2r 3r 4r

ist immer konvergent, wenn r größer als eins ist,

z. B.

Allgemeines. Wenn zwei endliche ober zwei unendliche konvergente Reihen, die nach ganzen Potenzen von x fortschreiten, für jeden Wert von x einander gleich sind, dann müssen auch die Koeffizienten, die zu gleichhohen Potenzen von x gehören, einander gleich sein. Also

6)

a -}-bx-|-cx²-j-dx³-j-...

und 7)

Ist dann

a-(- bx-|- cx²-|-dx³— a-\-ßx-\-yx²-\- dxz...t

a-\- ßx-\-yx²-\- dx³-|-...

so muß auch sein

a— a; b = ß; c = y; d= d re.

6. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten.

Die Reihenentwickelung geschlossener Ausdrücke ist bedeutungsvoll für die trigonometrischen und Exponentialfunktionen, also für sinx, a* re. Diese Reihen sind fast immer unendlich. Im zweiten Teile unserer Ausführungen werden wir sie mit Hilfe der Differentialrechnung entwickeln. Zunächst sollen hier schon einige Reihen Erledigung finden, um den großen Vorteil der Disferentialmethode recht deutlich zu erkennen. Man bedient sich zur Entwickelung sehr häufig der Methode der unbestimmten Koeffizienten, und diese soll zuerst an einigen praktischen Beispielen vorgeführt werden.

Wählen wir einen Bruch, dessen Zähler und Nenner nach steigenden ganzen Potenzen von x fortschreiten, und bilden wir, wie auf Seite 11 angedeutet, durch Division eine Reihe. Der Bruch sei

2 -f- 4x

1 — 2x -f- 3x²'

dann wird

— 2-f- 8x-f- 10x² — 4x³ 2C.

8)

2-j-4x

1 — 2x-[- 3x²

Durch dieMethodeder unbestimmten Koeffizienten kann das Verfahren sehr vereinfacht werden.

Die Reihe, die nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreiten muß, soll zunächst nur angedeutet werden.

= a₀-|-a₁x-}-a₂x²-|-a₃x³-|-a₄x⁴-|-...

9)

Wir schreiben daher 2-f4x 1 —2x-f-3x²

Es sollen nunmehr die Koeffizienten a₀, ax re. bestimmt werden. Das geschieht in folgender Weise. Man schafft den Nenner fort; also

10)    2 -j- 4x = (1 — 2x-|- 3x²) (a₀-[-a₁x-)-a₂x²-|-

a3x3+a4x4+-.-)

und führt die Multiplikation wirklich aus. Dann stellt man das Resultat in der folgenden übersichtlichen Weise zusammen:

11)    2-f-4x = &Q — 2a₀)x-f-3a₀|x²-f-3a₁|x³

— 2a A    —2^} rc.

-j-ai) -f- ^2)    + ^

Die Ausdrücke linker und rechter Hand müssen sich gleich sein. Steht nun rechts vom Gleichheitszeichen eine konvergente Reihe, dann werden auch die Koeffizienten für gleichhohe Potenzen von x auf beiden Seiten miteinander übereinstimmen. (SieheAllgemeines aufS. 12.) Man denke sich nunmehr, um zum Ziele zu gelangen, den linken Ausdruck folgendermaßen geschrieben:

2-s-4x-j-0 • x²-|- 0x³-j- Ox⁴-(~... 2C.

Dann ist, wenn wir die Ausdrücke gleichhoher Potenzen von x einander gleich setzen:

% — 2a₀ — 4 und somit

9-1 = 4 —[- 2 a₀ = 4 —{— 4 = 8

3a₀ — 2a₁-f-a₂ — 0, daher

a₂ — 2ax — 3a₀ == 16 — 6 — 10

3&i — 2ag a₃ — 0 und

9g — 2 &2 — 3 ax — 20 — 24 — — 4.

— 2 -f- 8x-f- 10x² — 4x³ 2C.

Wir erhalten also den Wert 2-j-4x 1 — 2x-J- 3x2 Es ist derselbe, den uns die Division gab.

7. Die Entwickelung von az.

24. Bestimmung des Differentialquottenten eines Produktes.

46. Mgemeine Ableitung der Taylorschen Reihe.

71. Anwendung auf die Parabel.

92. Bildung der Differentialquotienten der impliziten Funktionen.

— 4x3+ 8x2

128. Quadratur der Kreislinie.

154. Beispiele.

•IMS (Polarkoordinaten)

Verlagsbuchhandlung von 3.3. Weher in Leipzig

7. Die Entwickelung von az.

Es soll mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten die Exponentialfunktion ax in eine Reihe entwickelt werden.

Da für x — 0 der Ausdruck ax = 1 wird, so muß, wie unmittelbar ersichtlich, die Reihe mit 1 beginnen. Man kann nunmehr setzen

12) ax = l-f-m₁x+m₂x²-f-m₃x³-f-m₄x⁴4-... )c.

ms(x+«)*+•••

Um die Rechnung in Fluß zu bringen, setzen wir für x den Ausdruck x-j-a; dann geht die Reihe 12) über in 13) ax+« — 1 -|- m₁ (x-|-a) + m₂ (x-J-a)² -(-

Entwickeln wir nun die einzelnen Werte m₁ x -J- m₁ a,

m₁(x + a)

m₂ (x — a)² = m₂x² -j- 2 m₂xa -|- m2 m₃ (x — a)³ — m₃ x³ -f- 3 m₃ x² a -(- 3

a²,

m₃xa² + m₃a

re. rc.

Setzen wir sie in 13) ein und ordnen nach Potenzen von a, so folgt

14)    ax+a — (1 -|-m₁x — m₂ x² -|- m₃ x³ -|-...) -j-

(m₁ — 2m₂x-|-8m₃x²-|-...)a-|-

(m₂ -f- 3 m₃ x «² + • • •

Vergleichen wir diese Ausführung mit der Gleichung 12), dann sieht man, daß die erste Klammer von 14) gleich ax ist. Das berücksichtigt ergiebt

15)    ax+a — ax (ml 2 m₂x-{- 3 m₃x² -{- ...) a

+ (m2 + 3m₃x-[-...)a²-j-...

Erinnern wir uns nun der Beziehung ax+« = ax • aa

und daß entsprechend 12) der Ausdruck

aa = 1-|-m₁a-f-mg a²-f-m₃a3 sein muß, so geht 15) über in

16) ax+a = ax• aa = ax(l-j-m₁a-j-m₂a²-(-m₃a³-(-...)

— ax -f- m₁ axa -f- m₂ axa² -s-

m₃axa³-f-...

Da die Beziehungen 15) und 16) gleich sind, so müssen nach dem bereits verwendeten Grundsätze auf Seite 12 auch die Koeffizienten der übereinstimmenden Potenzen von a einander gleich sein. Also

oder

m₁axa — (mt -f- 2 x    3 m₃ x² -|- ...) a

17)

ni! ax — Mi -s- 2 m₂ x -s- 3 ni₃ x² -s-...

Setzen wir weiter in ax für ax den Wert der Gleichung 12) ein, dann ergiebt sich die Beziehung 18) m₁(l4-ai₁x + m₂x²-f-m₃x³-f-...) = m₁-|-

oder auch

19)    ~j-m₁²x-|-m₁in₂x²-)-m₁in₃x³-f“... — m₁ -\-

2ni₂x-s- 3 ni₃x²-s-...

2 m₂ x -|- 3 m₃ x² -j-...

Da die Koeffizienten der gleichen Potenzen von x gleich sind, so folgt unmittelbar

mi — nii

2m₂ — m₁²,

ober

m₂ — —T-

3mg = m₂,

Nil m2 _ m₁ m₁²_ m₁

2-3 ⁼ 1T3 Setzen wir nunmehr zum Schluß die Werte in 12) ein, so erhalten wir die gewünschte Reihe

daher

m₃ =

20) ax = 1 -s-niiX

mi² 9 I

——x² -4 2 '

n\s

x³ + ---.

in der der Koeffizient noch einen nicht näher besttmmten Wert besitzt.

2-3

8. Die Entwickelung von ex.

Wir wollen die Reihe20) spezialisieren. Setzen wir x — 1, dann geht 20) über in

21)

m₁³

1-2-3

kürzer in

m₁

a = 1+1%-f-^-

Wie man sofort sieht, ist der Wert von a durch m₁ gegeben. Sei m₁ = l. Wir wollen, wie es gebräuchlich ist, diesen Wert von a mit e bezeichnen. Also

3!

Addiert man die rechte Seite, dann erhalten wir den bemerkenswerten Wert

22)

e = 2,7182818...

In Gleichung 20) eingefügt, ergießt die Reihe

23)

e« = t + i+E+i+..

Das ist ein sehr bedeutungsvoller und wichtiger Satz.

Der Koeffizient m₁ in der Reihe 20) soll jetzt noch genauer bestimmt werden.

Da x für jeden beliebigen Wert gilt, so dürfen wir auch

1

x — —

fetzen. Thun wir das, dann geht 20) über in die Reihe m₁ •1 , m₁²• 1

ami = 1 -[■

oder in

_______

² • 2!    ³ 3!

mi

24)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit 22), dann folgt

ami = 6 a — emi.

und daraus

Nunmehr nehmen wir die Logarithmen, also m± loge — loga,

dann erhalten wir einen neuen speziellen Wert für m₁: m _ kg»

loge

den wir in 20) einsetzen: 25) a* = H

loga\³ x³

. —+ loge) 3! ¹

Das ist die Reihe für ax, die wir erhalten wollten.

loga _ /log a\² x-loge ' \loge) 2! '

9. Logartthmensysteme.

Unsere Auseinandersetzungen führen zu einer Erweiterung des Logarithmensystems, die für die höhere Mathematik von großer Bedeutung ist; wir wollen daher dieser Angelegenheit nähertreten.

Die Basis der sogenannten gemeinen oder Briggsschen Logarithmen, die man in den Tafeln berechnet vorfindet, ist bekanntlich 10. In der höheren Mathematik verwendet

Bendt, Differential- und Integralrechnung.    2 man fast ausschließlich ein System, dessen Basis die von uns soeben bestimmte Zahl e= 2,7182818... ist. Diese Logarithmen nennt man natürliche Logarithmen und man bezeichnet sie durch ein einfaches 1. Also la heißt der natürliche Logarithmus von a.

Auch die natürlichen Logarithmen findet man in den meisten Tafeln bereits berechnet vor, beispielsweise im „Katechismus der Logarithmen". Wir wollen nunmehr die Reihe für ax auch durch die natürlichen Logarithmen ausdrücken.

In der Algebra wird gezeigt, daß der Logarithmus von der Basis eines jeden Logarithmensystems immer den Wert 1 hat und daß der Logarithmus von 0 gleich — oo ist. Denn bei Grundlegung der Gleichung n — ax, die das Verhältnis zwischen Zahl, Basis und Logarithmus darlegt, findet sich 10* = 10; e¹ = e,

sowie Also ist

IQ-⁰⁰ es -J— ----- 0

IO⁰⁰

log 10 — 1, logO — — OO, le — 1,    10 = — oo.

Bedenken wir das, dann können wir schreiben log a_1 • a_1 • a_ ,

bjfs ~    ⁼ ~r ~La*

Die Reihe 25) geht nun wiederum über in die von uns gewünschte Form

(x • la)² . (x • la)³

3!

26) ax = l+xla-| ^

und

Wir wollen nun noch zeigen, wie die verschiedenen Logarithmensysteme ineinander übergeführt werden können. Bezeichnen wir zu dem Zweck den natürlichen Logarithmus einer Zahl N" mit n und den gemeinen Logarithmus derselben Zahl mit g. Also log IST = g 1 • IST = n.

Dafür kann man wiederum schreiben IO* = N, en — N.

10s = en.

Logarithmieren wir 2 7) nach dem natürlichen System, also g -110 — nie,

und bedenken, daß le= 1 ist, dann ergiebt sich unmittelbar

g = riö’n-

In den Tafeln für die natürlichen Logarithmen findet man 1 • 10 = 2,30259. Wir erhalten daher für g

g —

Also folgt

27)

28)

• n.

2,30259

Führen wir die Division vonaus, so erhalten wir

2,oU2ö9

eine Zahl, die man den Modulus nennt und mit N bezeichnet. M = 0,43429.

Der Modulus in 28) eingeführt giebt endlich die Beziehung g = M • n.

29)

Wir gelangen somit zu der Regel:

Der gemeine Logarithmus g von einer Zahl N ist gleich dem natürlichen Logarithmus von derselben Zahl multipliziert mit dem Modulus.

Formen wir 29) nach n um, dann ergiebt sich

30) und die Regel lautet:

Der natürliche Logarithmus von einer Zahl N ist dem gemeinen Logarithmus der gleichen Zahl gleich, wenn man ihn durch den Modulus dividiert.

Wie die Logarithmen wirklich berechnet wurden, zu erklären, ist in diesem der Praxis gewidmeten Buche nicht notwendig, da wir sie in den Tafeln vorfinden.

Zweiter Teil.

Die Differentialrechnung.

Drittes Kapitel.

Die allgemeine Lehre von den Funktionen.

10. Definitionen.

Verbindet man zwei Größen durch ein Gleichheitszeichen miteinander und legt der einen Größe nacheinander verschiedene Werte bei, so erhält dadurch in jedem Falle auch die andere Größe bestimmte Werte. Die eine Größe ist von der anderen abhängig. Eine solche Gleichung nennt man eine Funktionsgleichung. So ist z. B.

i)

y = 2x

eine Funktionsgleichung. Setzt man nach der Reihe in dieselbe für x

dann erhält man für y

x = 1, 2, 3 ...

y = 2, 4, 6 ...

Die Größe x, deren Wert man beliebig wählte, nennt man die unabhängige Veränderliche oder das Argument. Die Größe y, die durch x bestimmt wurde, bezeichnet man als die abhängige Veränderliche oder als die Funktion von x.

Die Gleichung 1) wird daher gelesen: „y ist eine Funktion von 2x\

Solche Funktionsgleichungen oder kurz Funktionen lehrt die Trigonometrie, die analytische Geometrie und auch schon die Elementargeometrie kennen. Funktionen sind z. B.

a)    y — sinx,

b)    y = y2px,

C) y = |r®«.

Setzt man in sinx fmcx nach und nach verschiedene Werte, dann erhält man für y die verschiedenen Funktionswerte.

Also y = sin 30° etgiefit y = ; y = sin 9 0° ergießt y = 1.

Werden in dem Ausdruck b) für x eine Folge von Werten eingefügt, die entsprechenden Werte von y bestimmt und diese in ein Koordinatensystem gezeichnet, dann entsteht, wie die analytische Geometrie zeigt, eine Parabel. Aus Gleichung c) erkennt man endlich, daß der Inhalt einer Kugel von der Größe des Radius bestimmt wird.

Auch die Physik und die Technik geben Beispiele für den Funktionsbegriff. So ist die Spannkraft des Dampfes eine Funktion der Temperatur, die Schwingungsdauer eines Pendels eine Funktion seiner Länge, die Kraft eines Elektromagneten eine Funktion der Stromstärke und der Windungszahl.

Soll ganz allgemein angedeutet werden, daß y von x abhängt und x in irgend einer Form erscheint, dann pflegt man zu schreiben

2) y = f(x); y = F(x); y = <p(x); y = y(x) ₂C., und man lieft: „y ist eine Funktion von x".

Es ist nun leicht einzusehen, daß auch wiederum in jedem solchen Falle x als eine Funktion von y betrachtet werden kann. Es sei z. B. 17 — 2 rn, d. h. der Umfang eines Kreises

ist eine Funktion des Radius; dann ist auch der Radius eine Funktion des Umfanges. Oder allgemein: Ist U = f(r),

r = F(U).

dann ist auch

Geben wir noch ein Beispiel aus der Algebra und zwar aus der Logarithmenlehre. Man schreibt bekanntlich

y = 10*;

hieraus ergiebt sich sofort die Umkehrung x — log¹⁰ y.

11. Die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen.

Von Wichtigkeit für die späteren Untersuchungen ist die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen, also die Umkehrung von sinx, 608 x 2C. In der höheren Mathematik versteht man in diesen Funktionen unter x nicht den Winkel, sondern das zugehörige Bogenstück eines Kreises für den Radius, der der Einheit gleich ist. Die Formel für den Umfang des Kreises ist bekanntlich 2m, und der Zentriwinkel, welcher diesem größten Bogenstück gegenüberliegt, beträgt 360°. Setzt man nun, wie angegeben, r — 1, dann findet sich, daß einem Winkel von 360° das Bogenstück 2 n gegenüberliegt. Somit liegt dem Winkel von einem Grad der 360. Teil des Bogenstückes gegenüber. Also 1°

2 7t

entspricht dem Bogenstück von —- •

ooO

2 71

71

3,14159...

= 0,017453.

360°    180°

Dem Winkel von einem Grad entspricht das Bogenstück 0,017453. Es folgt somit unmittelbar, daß einem

180°

Winkel von «Grad ein Bogenstück von gegenüberliegt.

jca

180°

0,017453-a

Uebertragen wir nun diese Auseinandersetzungen anschaulich in das Geometrische. (Siehe Abb. 1.)

Setzen wir das Bogenstück AB gleich x, dem der Winkel a gegenüberliegt, dann können wir nach unseren Untersuchungen schreiben

AB = x =

a • 7i

180°

s=2

CV

IG

"O

Mb. 1.

Für r— 1 ist, wie die Trigonometrie lehrt und unter Berücksichtigung des eben Erörterten, y — sin x. Es ist also x dasjenige Bogenstück, dessen Sinus gleich y ist. Um das anzudeuten, schreibt man x — arc sin y

und liest: „x ist gleich arcus sinus y".

Merken wir noch in entsprechender Uebertragung:

3)    Wenn    y =    cos x, dann    ist    x    =    arc    cos y.

„    y =    tangx, „    „    x    =    arc    tang y.

„    y —    cotx, „    „    x    —    arc    coty.

Diese Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen nennt man chklometrische Funktionen.

12. Die Funktionsarten.

Die Funktionen, die wir bisher betrachteten, waren nach der einen Veränderlichen, und zwar zumeist nach y ausgelöst, z. B. y — sinx. Man nennt solche Funktionen entwickelte oder explizite Funktionen von x.

Es kommt aber auch vor, daß eine Funktion nicht nach einer Veränderlichen aufgelöst ist, z. B.

oder

y² — axy-j-b = 0 x^-f-8inx-f-3x — 0 re.

Man bezeichnet hier y als eine unentwickelte oder implizite Funktion von x. Allgemein schreibt man

4) f(x,y) = 0; F(x,y) ----- 0;    <p(x,y) = 0;

W (x, y) = 0 ic.

Die Funktionen teilt man auch in algebraische und in transscendente Funktionen ein.

Man bezeichnet y als eine algebraische Funktion, wenn der Ausdruck, der y gleichgesetzt wird, gebildet ist durch die Operationen der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation, der Division, der Potenzierung oder der Radizierung, z. B. y ----- 3x²-j-4x — 2,

Diese Ausdrucke sind algebraische Funktionen.

y = tangx, y = ax, y — log x.

Diese Ausdrücke stellen transscendente Funktionen dar.

Sämtliche anderen Funktionen, die unter der Form von Logarithmen, als Potenzen mit veränderlichen Exponenten oder als trigonometrische Ausdrücke erscheinen, heißen transscendente Funktionen, z.'B.

Auch die algebraischen Funktionen zerfallen nochmals. Man teilt sie in rationale und irrationale Funktionen ein. Es ist y = bx-{-c eine rationale, y — V2bx -\-c eine irrationale Funktion.

Häufig spricht man in der Analysis auch von

Alternierenden Funktionen. Darunter versteht man Funktionen aus mehreren Veränderlichen, die, wenn man zwei Veränderliche miteinander vertauscht, wohl ihren absoluten Wert behalten, aber ihr Vorzeichen verändern, z. B.

*-y; iog(|)

; (x —y)(y —z)(x —z) rc.

13. Darstellung der Funktionen.

Man kann, wie die analytische Geometrie lehrt, mittels eines Koordinatensystems eine Funktion bildlich darstellen. Hierfür gaben wir schon unter 10. die entsprechenden Beispiele. Arithmetisch werden die Funktionen ebenfalls ausgewertet und häufig in Zahlentabellen die Ergebnisse zusammengestellt. Beispiele hierfür sind die logarith-mischen und die trigonometrischen Tafeln.

14. Die Grenzen der Funktionen.

Nähert sich eine veränderliche Größe x immer mehr einer bestimmten konstanten Größe c, bis endlich der Unterschied zwischen beiden verschwindet, d. h. nicht mehr angebbar ist, so bezeichnet man die konstante Größe c als die Grenze der Veränderlichen. Wir wiesen schon in 3. darauf hin, daß die geometrische Reihe

2 ' 4 ¹ 8 ' 16 ' 32 ~    *2“

für n = oo den Wert „1" ergießt. Man bezeichnet

dann 1 als die Grenze (limes) der Summe der geometrischen Reihe und schreibt

n=oo l2 ~ 4 ' 8 ' 16 ' 32 '    ' 2nJ

= oo.

und liest: Eins ist gleich limes •    ^ j für n

Auch auf die unendlichen Dezimalbrüche haben wir in 3. aufmerksam gemacht. Der Dezimalbruch 0,33338...

nähert sich z. B., wie bekannt, für eine sehr große Zahl von Stellen immer mehr dem Bruche ¹/3r wie man sich durch direkte Division unmittelbar überzeugen kann. Man kann daher schreiben

V₃ — lim - 0,33333 ...

Es ist V₃ die Grenze des unendlichen Dezimalbruches. Das wird noch klarer, wenn man den Dezimalbruch in eine Reihe auflöst und schreibt

-+ +—]■

104 1 "-n10n j

In ihr ist ³/io das Anfangsglied und Vio der Quotient.

Ein anderes instruktives Beispiel giebt die Trigonometrie. Es ist

= 1,

lim

x—0

d. h. die Grsnze für sinx, durch den Bogen x, ergiebt für x — 0 den Wert 1. (Siehe Abb. 1.)

Aus Abschnitt 11 und Abb. 1 sahen wir, daß man setzen kann: y = sinx. Das besagt, daß x der Bogen ist, dessen Sinus gleich y ist. Dann kann man für den vorstehenden

Ausdruck 5) auch schreiben ^ •

sin x

Also

Die Figur läßt unmittelbar erkennen, daß für x — 0 auch y = 0 werden muß. Im Augenblick des Verschwindens ist also — 1. Man möge sich hierbei recht

klar machen, daß nicht der Zeitpunkt gemeint ist, wo x schon null geworden ist, sondern der Augenblick kurz vorher.

Auch in der Geometrie erscheint bereits der Begriff der Grenze und in Verbindung damit die Begriffe unendlich groß und unendlich klein. So denkt man sich bekanntlich bei der Bestimmung des Kreisumfanges um und in den Kreis ein reguläres Vieleck konstruiert. Beide fallen zusammen, wenn ihre Seitenzahl „unendlich groß" wird. Die Kreislinie selbst stellt die Grenze der Vielecke dar. Aehnliche Ueberlegungen werden angestellt bei der Ableitung der Kugeloberfläche, sowie bei der Bestimmung der Jnhaltsformeln für den Kreis und die Kugel.

OO | H-

1 ₂ ^ 1 — wird —

Unabweisbar drängt sich uns hier auch der Begriff des unendlich Kleinen auf. Nähert sich eine Größe der Grenze Null, dann bezeichnet man sie als unendlich klein. In der geometrischen Reihe 1 JL

2n

2n

2' 4'    ' 16'"

für n —oo sofort

oo

2⁰⁰

oder unendlich klein.

Auch bei der Bestimmung des Kreisumfanges wird in dem Augenblick, wo das eingeschriebene und das umschriebene Vieleck in der Kreislinie zusammenfallen, jede ihrer Seiten unendlich klein.

Mit dem Begriff der Grenze sind somit die Begriffe des unendlich Großen und unendlich Kleinen durchaus verbunden.

15. Die Stetigkeit der Funktionen.

Man denke sich eine Funktion

6)

y = k(x)

geometrisch durch eine Kurve dargestellt; dann wird in den meisten Fällen jede kleine Aenderung von x auch eine kleine Aenderung von y Hervorrufen. Die Kurve erscheint, wenn man sie mit Hilfe der ermittelten Werte konstruiert, als eine Folge sehr eng aneinanderliegender Punkte. Eine solche Funktion und ihre bildliche Darstellung, die sich in der geschilderten Weise gleichmäßig entwickelt, nennt man eine stetige oder kontinuierliche Funktion resp. Kurve.

Ss

an ra. 2.

Auf der vorstehenden Linie haben die sehr nahe aneinander liegenden Punkte P und P, die Koordinaten xy bezw. x,y,. Aendert sich x itm QQ,, dann muß sich auch y um P, R ändern. Wenn bei sehr kleinem QQ, auch P, R sehr klein ist, dann ist die Funktion und ihre Kurve stetig.

Auch y = xn ist eine stetige Funktion, wenn n eine ganze positive Zahl bedeutet. Das gleiche gilt für y = logx für das Intervall von x — 0 bis x = oo.

Setzt man in die Funktion y — — den Ausdruck x — 0, a    x

dann wird y = — = oo. Der Wert der Funktion wird also für x — 0 unendlich groß, und der Weg der entsprechenden Kurve wird hier plötzlich und unvermittelt unterbrochen. Funktionen dieser Art heißen diskontinuierliche oder unstetige Funktionen. Diskontinuierliche Funktionen sind z. B. auch

y==__fiirx==b/

y — cotx für x— 0; 180° re.

Bei der Rechnung mit Funktionen hat man vor allen Dingen zu untersuchen, ob sie stetig sind, und gegebenenfalls die Werte zu ermitteln, für welche sie unstetig werden.

Viertes Kapitel.

Die Entwickelung der Differentialformeln.

16. Der Difserentialbegriff.

Man zeichne eine Linie, die durch die stetige Funktion

7)

y = f(x)

gegeben ist. (Siehe Abb. 3 S. 30.)

P,E

Es seien zwei Punkte der Kurve mit P und P, bezeichnet. Ihre Koordinaten seien x, y bezw. x,, y,. Man verbinde die Punkte durch die Sekante P, P,, die mit der Abscisse X den Winkel ß bildet. Sodann ziehe man durch den Punkt P parallel zur X-Achse eine Linie, die P, Q, (= y,) in E schneidet. Es ist dann

8)

tang/? = pR

Aus der Figur ergiebt sich unmittelbar, daß man schreiben kann

= J, — 7 PR — x, — x.

und

-h⁼y-y

*Pi-

/j ÄJC - xroc

'aC

Aas

Mb. 3.

Es ist nun gebräuchlich,

und

y, —y = Aiy

x, — X — Ax

zu setzen.

Dann geht 8) über in

tang ß = —

xt

9)

Ax

—7 ₌ 4i

— x

Läßt man nun den Punkt P, sich auf den Punkt P zu bewegen, bann werden Ay nnbAx immer kleiner. Während dieses Vorganges wird sich die Sekante PP, in der dem Uhrzeiger entgegengesetzten Richtung (ß wird größer) um P drehen. In dem Augenblick, wo das Kurvenstück PP, verschwindend klein geworden ist, sind auch Ay und Ax verschwindend klein geworden. Gleichzeitig

,    v Ay dy

fällt die Sekante mit der Tangente im Punkte? zusammen, die mit der Abscisse den Winkel a macht. Der Winkel ß ist in den Winkel a übergegangen.

Es ist gebräuchlich, die Differenzen Ax und Ayf wenn sie verschwindend klein geworden sind und sich daher der Grenze null nähern, mit tix und dy zu bezeichnen. Man nennt dann die neuen Ausdrücke Differentiale.

Wir setzen nun

10)

tanga — lim —^ — —-•

Ax dx

d y

Den Quotienten nennt man den Differentialquotienten.    ax

Der Differentialquotient einer Funktion y=f(x) ist somit gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die geometrische Tangente an einem Punkte der durch die Funktion bestimmten Kurve mit der Absciffenachse macht.

Da die geometrische Tangente die Richtung einer Linie in dem betreffenden Punkte angiebt, so wird man durch die Differentialquotienten die Richtungsänderungen an den einzelnen Stellen einer Kurve feststellen können. Man ist daher in dieser Weise fähig zu ermitteln, wie die Kurve verläuft; ob sie konvex oder konkav gegen eine Koordinatenachse ist, wo ihre höchsten und tiefsten Punkte liegen und dergl. mehr. Schon allein diese Ueberlegung giebt eine Vorstellung von der Wichtigkeit der Differentialrechnung, deren Aufgabe es ja an erster Stelle ist, die Differentialquotienten der Funktionen zu bestimmen. Wir wollen zunächst zeigen, wie sich aus dem Differentialquotienten einer gegebenen Funktion erkennen läßt, ob die ihr entsprechende Kurve steigt oder fällt in Beziehung zur Absciffenachse.

In dem einfachsten Falle, den wir im vorstehenden behandelten (siehe die Abbildung 3), war der Winkel a spitz; die trigonometrische Tangente desselben ist somit positiv. Wir ziehen daraus sofort den Schluß, daß die Kurve dann über der Abscissenachse mit wachsendem x sich erhebt und steigt, wenn der Differentialquotient positiv ist.

Weiter wissen wir aus der Trigonometrie, daß die Tangente eines stumpfen Winkels negativ ist. Das giebt uns den

(x

*-x

m. 4.

Satz: Die Kurve fällt bei wachsendem x gegen die Abscissenachse, wenn der Differentialquotient negativ erscheint.

Abb. 4 giebt für die beiden Sätze eine gute Anschauung.

17. Die allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten.

Denken wir uns die Funktion

11)

7 = t(x)

wiederum als Kurve dargestellt. (Siehe Wb. 3 S. 30.)

Nimmt die Abscisse x des Punktes P um die kleine Größe Ax zu, dann wird auch y um die kleine Größe Aj zunehmen. Man erhält dann aus 11)

12)

y-f Jy = f(x + Jx).

Will man nunmehr Ay erhalten, dann hat man nur Gleichung 11) Don Gleichung 12) zu subtrahieren. Das ergiebt A y — f(x-|-Jx)-—f (x).

Wir dividieren jetzt die Gleichung 13) durch Ax; es folgt Ay _ f(x+Jx) —f(x)

13)

14)

Ax

Ax

Nähert sich A x der Grenze null, so geschieht das Gleiche mit

Ay

dy

Ay, und es geht — in den Differentialquotienten über. Wir schreiben daher

15)

dy

f (x-|-Jx) — f(x)

i    ~ — lim

dx

Für den Differentialquotienten einer Funktion k(x) schreibt d-f(x)

Ax

man wohl auch f'(x) oder ^

Dann ergießt sich

dy

s (x —I“ A x) — f (x)

d-f(x)

= f«= d*

15 a) — = lim dx ^jX_o

Es sollen nun der Reihe nach die Differentialquotienten für die einzelnen Funktionen entwickelt werden.

Ax

Häufig wünscht man statt der Differentialquotienten das Differential der Funktion zu verwenden. Man hat dann nur nötig, den Differentialquotienten entsprechend zu multiplizieren.

y — f(x)

Also

dy

dy = f'(x)dx.

18. Bestimmung des Differentialquotienten für einePotenz.

Satz I. Wenn eine Funktion y= xm gegeben ist, in der m eine beliebige reelle Zahl ist, dann wird der Differentialquotient d(xm)

dy

dx

dx

— inxm-1.

Bendt. Differential- und Integralrechnung.

Beweis. Wir schreiben

16)

y = xm.

Es wächst x um Ax und somit auch y um Ay, daher geht 16) über in

y-j-Ay — (x+Jx)m.

Entwickeln wir die rechte Seite der Gleichung 17) nach dem binomischen Lehrsätze in Abschnitt 1. Also 18) y-\-Ay = xm-|-mxm—1Jx

17)

Wir subtrahieren nun, umAy gu erhalten, 16) von 18); daraus folgt

19) Ay — mxm~~¹zlx -j- ——— xm~²zfx²-|- ...

Dividieren wir nun, wie in Abschnitt 17, Gleichung 13) durch Ax, um den Quotienten zu erhalten, dann wird

20)    ^ = mx

Nähert sich jetzt Ax der Grenze null, dann werden alle Ausdrücke auf der rechten Seite der Gleichung 20), die mit

Ax behaftet sind, auch gleich null; ~ geht über in ~

und man erhält, wie behauptet wurde,

m—1

m(zn—1)    ,    ,

21)

dy

dx

Zusatz. Sei in der Funktion

y = xm, m = 0,

dann ist

y = x° = 1,

und bildet man hieraus den Differentialquotienten, dann erhält man null. Also

22)

23)

dy

dx

d • (x°) ₌d(l)₌₌₍₎

dx

dx

Der Differentialquotient aus einer konstanten Zahl ist immer gleich null, wie man sich leicht überzeugen kann, wenn man dieselbe Operation ausführt. Ist y = a, dann ist auch

24)

dy d(a)

dx dx

Das ist aber auch ohne weiteres einzusehen, denn nur Variable erfahren einen Zuwachs, wie wir bei der allgemeinen Entwickelung des Differentialquotienten gesehen haben.

Hieraus folgt, daß zwei Funktionen, die sich nur durch eine mit -s- oder — hinzugefügte Konstante unterscheiden, denselben Differentialquotienten haben müssen. Werden endlich in einer Funktion mehrere Ausdrücke durch -j-- oder —-Zeichen miteinander verbunden, dann nimmt man die Differentialquotienten für jeden einzelnen Ausdruck.

19. Beispiele.

a) Es ist y = x²; dann ergiebtsich nach dem Vorstehenden

dx

b) Es sei y — x⁹; dann ist

dx

S=9x».

c)    Es sei y = 4x³-[- 2x²-f- 5; dann ist

^ = 8 • 4 -x²-f- 2 • 2x — 12x²-(-4x.

d)    Essei y = 5x* + 3x8 —5x² + 6; dann ist

^ — 4 • 5 • xs-f- 3 • 3x² — 2 • 5x — 20x³-}- 9x²—10x.

8*

e) Es sei y — 4xV= — 3x²/s -[- 6; dann ist ~ = -i 4 xVa—i —    . 3 x²/»—¹

= 2 x—V» — 2 x—V»

xVa xVs

Vx ]/x

f) Es sei y —

dy

dx

6/x³    6x²

— -^x⁻⁸/* -)- -^x"² -|- 9; dann wird

2 o

-²'ä*

15

--x—V* —

24

tH I CO

x—3

dy

15

dx

3x³

24 - x⁷/i

g) Es fei y = ~ /x⁵ =    also

2 3,,    1

—X /» — — X /» —

dy

dx 3 4

2xVs

3_

2Vx

h) Es sei y= (3x —5) (x²-|-10x—1). In diesem Falle multipliziert man die Klammer aus. Also

y — 3x³ — 5x²

+ 30x² — 60x

— 3x-f 5

oder

y — 8x³-j-25x¹ — 5ßx-j- 5.

Also

dy

^ = 9x¹+50x—53.

i) Nehmen wir endlich noch ein Beispiel zu Gleichung 24) und zu dem Folgenden. Gegeben seien

y = 5x¹—7x und Ji — 5x¹—7x-s- 4.

Dann ist

^=10x- 7 und djl

dx

dx

lOx—7.

20. Besttmmung des Differentialquotienten für y=sin x.

= COS X.

Satz II Ist eine Funktion y — sin x gegeben, dann ist der Differentialquotient dy d (sin x)

dx

dx

Beweis. Wir schreiben

25)

y — ffx) — sinx.

26)

Mmmt x um Ax und y um ^y zu, dann ergiebt sich y -|- A y = f (x -|- A x) = sin (x -f- A x).

Wir subtrahieren Gleichung 25) von 26). Also

27) Ay — f (x —|— A x) — f(x) — sin(x-]-zlx)— sinx.

Schreiben wir der Kürze halber für

f (x-|-Jx) — f(x) = Jf(x),

dann geht 27) über in

27a) A y — Jf(x) — sin(x-f- Ax) — sinx.

Zur weiteren Umformung erinnern wir uns der bekannten trigonometrischen Beziehung

-ß a + ß

• COS

und Wenden sie auf 27a) an. Es wird

28) Jy =Jf(x)= 2sin^

= 2 sin

\ 2 /    \ ' 2 /

Setzen wir zur Vereinfachung sodann 2u = Ax,

so wird jetzt

29) Ay — Af(x) = 2 sin u • cos(x-j-u).

Dividieren wir durch Ax und entwickeln

30)

Ay Af(x)    2 sinu • cos(x-(-u)

Ax

Ax Ax

2 sin u • cos(x-|-u)

2u

sinn

—--cos (x 4- u).

u    ¹

dj

³¹⁾ dx — dx

Es möge sich nun wiederum Ax = 2u der Grenze null nähern; dann ergiebt sich d • f (x)

sinu

— cos x • lim ---

u = 0 u

In Abschnitt 14 Gleichung 5) wurde nachgewiesen, daß

ii„^=i

u = 0 U

dy

32)

= COS X.

zu setzen ist. Wird das beachtet, so erhalten wir

d - f(x)

dx

dx

21. ^Bestimmung des Differentialquotienten für y=cosx.

Satz III. Ist eine Funktion y = cosx gegeben, dann ergtebt der Differentialquotient d(cos x)

dx

dx

— —sinx.

Beweis. Der Beweis schließt sich der vorigen Ableitung eng an. In

33)

y = f (x) = COS X

lassen wir wiederum x um Ax wachsen; dann folgt zunächst y~\~Ay — f (x -]- J x) == cos (x-(-zlx)

Ay = f (x —j— A x) — f (x) — Jf (x)

— cos (x-|-Jx) — cos X.

34)

und

35)

Diesmal verwenden wir natürlich die Formel

— cos ß = — 2 sin -    . sin--- •

Dann ergtebt sich    / a \

36) Ay — A f (x) — —2sin(x-|——J

Wiederum 2u = Jx gesetzt:

Ay = zlf(x) — — 2 sin(x-|-u) • sinn.

cosa

Ax

• sin--

37)

38)

Dividieren wir durch Ax, so ergiebt sich

Ay Jf (x)    2 sin(x-j-u) • sinu

Ax Ax

Ax

2 sin(x-)-u)« sinu

sinu

— .sin(x-fu).

Es möge sich jetzt Ax — 2u der Grenze null nähern; dann erhalten wir ₃₉₎ dy_i^(x) d9) dx“ dx

.    ,. sinu

— —' sinx • lim-

u = 0 U

40)

— — sin x

sinu

lim--= 1.

u = o u

22. Bestimmung des Differentialquotienten für y = logx.

loge

Satz IV. Ist eine Funktion y = logx gegeben, dann ist ihr Differentialquotient dy _ d (log x)

dx

dx

41)

Beweis. Wir schreiben

y — f(x) — log x und lassen in der gebräuchlichen Weise x um Ax zunehmen. Also

42)

y-f Ay = f(x-f-Jx) = log (x —j— A x).

Nunmehr erhalten wir aus der Differenz der Gleichungen 41) und 42)

— log (x-J-zlx) — log X.

43) Ay — f(x-|-zjx) — f(x) — Af(x)

Aus der Lehre von den Logarithmen ergiebt sich die Formel

log — — log a — log b.

44) Ay — Af(s) = log |-    = log 11 -f-

•'»*{>+tI

Demgemäß wird

Wir dividieren durch Ax:

. k\ 4l —    — _L

Ax Ax Ax

Durch eine leichte Substitution kann das Ziel schneller erreicht werden, daher schreiben wir

Ax =

Ax 1

n;

In Gleichung 45) eingefügt

I ti

= |.log

46)    =

Ax Ax

Mit Hilfe der Beziehung n • log a = log an geht 46) über in

Af(x)

47)    __

° A x Ax

Nähert sich jetzt Ax der Grenze null, dann wird Ax = -:

n — -r-

= — = oo; Ax 0    ’

n = oo.

Und es folgt

TT! ⁼ h^,08{(¹⁺?)T

Durch eine einfache Herleitung kann endlich gezeigt werden, daß

48)

dy

dx

„ü»(¹⁺)"

= e = 2,71828*) ist.

Also

49)

dy

d • (log x) log 6

dx

dx

Bei dieser Ableitung ist über die Basis des Logarithmensystems nichts vorausgesetzt. Sie ist also ganz beliebig.

*) Nach dem binomischen Lehrsätze ist n(n-l)

■er

(1 + r)"- ¹+°(«)"t

_₁ + ₁ + (i_JL)₊(i_₂i)(l-.J.)₊.,.

oder

2!

n(n—1) (n—2)^1 j³

3!

Da n, wie wir im Text sahen, unendlich wird, so werden alle Glieder, die n im Nenner haben, null. Es bleibt also für die Grenze n = oo

nlmoo(¹⁺i)n= 2 + i + 2T

--- e. (Siehe Abschnitt 8, Gleichung 22.)

23. ^Bestimmung des Differentialquotienten für y = lx.

Satz V. Ist eine Funktion y = lx gegeben, dann ist ihr Differentialquotient

dy

ä-(1x) _

dx

dx

50)

Beweis. Den Differentialquotienten des natürlichen Logarithmus kann man unmittelbar aus dem Differentialquotienten des vorstehenden Logarithmus mit allgemeiner Basis herleiten. Hierzu ist nur nötig, daß man zur Basis die Zahl e selbst wählt. Wie wir in Abschnitt 9 sahen, wird dann le = 1. Somit ergiebt sich dy _ d . (lx) _ 1

dx

dx

Vergleiche übrigens auch die anderen Auseinandersetzungen in Abschnitt 9.

Zusatz. Hat man, was aber in der höheren Mathematik nur sehr selten vorkommt, den Differentialquotienten vom gemeinen Logarithmus zu nehmen, den man gewöhnlich auch mit log x bezeichnet, so hat man den Differentialquotienten des natürlichen Logarithmus mit dem Modulus zu multiplizieren. Also

d - (log x)

51)

dx

dx

S = M.l.

¹

in a — sin/? — 2 • sin

24. Bestimmung des Differentialquottenten eines Produktes.

Wenn mehrere Funktionen von x gegeben sind, die die einzelnen Faktoren eines Produktes bilden, dann bedarf es besonderer Methoden, um den Differentialquottenten des Produktes zu finden.

Satz VI. Ist u eine Funktion von x und v eine andere Funktion von x und y— u*v,

dann ist der Differenlialquotient dieses Produktes

dy    du , dv

dx

=T-di+udi' Beweis. Schreiben wir wiederum

52)

y = U • v.

53)

In diesem Produkt ist

u — y(x) und v — y(x).

54)

Dann muß auch y selbst eine Funktion von x sein. Also

y = f(x)

und somit

55)

y = f(x) = U • V = 99 (x) . 7/-(x).

Wie gebräuchlich, lassen wir nun x um Ax wachsen und verändern dementsprechend den Ausdruck 55) in 56) y —{—Zly — f(x-(-zlx) = 99(x-|-Jx) • t/;(x-j-Jx).

Hiervon Gleichung 55) subtrahiert ergiebt 57) Jy = f(x +Jx) —f(x)

— <p(x-|-zlx). ^(x-|-zlx) — 99 (x). yj(x).

Um leicht zur Aufftellung des Differentialquotienten zu gelangen, macht man einen Kunstgriff, den man sofort aus der folgenden Gleichung ersehen kann. Setzen wir hierbei, der Kürze halber, wieder

f (x-j-zlx) — f(x) — A • f(x).

58)    Ay — Af(x) = 9p(x-|-Jx) yj(x-\-Ax)

— <p(x)yj(x-j-Ax)-s- <p(x)y(x-fzlx) — <p(x) - y(x).

Die rechte Seite der Gleichung 58) vereinfachen wir nun in der Weise, daß wir y(x-|-zlx) und <p(x) ausklammern. Dann geht 58) über in

59)    Ay — zff(x) — y){x-\-Ax){<p(x-\-Ax) — <p(x)}

+ <p(x) (v(x+zlx) — ip(x)}.

Der Differentialquotient von einem Produkte aus zwei veränderlichen Faktoren wird gebildet, indem man den Differentialquotienten von jedem Faktor mit dem anderen Faktor multipliziert und die Produkte addiert.

Zusatz I. Durch die gleichen Untersuchungen kann man auch den Differentialquotienten ermitteln für ein Produkt, das aus drei oder mehr variabeln Faktoren besteht. Es sei

62)

y = F(x)

u = f(x); v = <p(x); w = y(x);

Wir dividieren durch Ax

ß0) iz _

60)    jx

= V(x+/lx)

y(x-f-zlx) —ip(x)

zlx

+ y(x)

t/;(x-|-Jx — y(x)

Jx

Nähert sich jetzt As. der Null, dann werden die Ausdrücke nach der Reihe

" lim y(x-|-zlx) = y>(x) — v,

Jx= 0

lim

du

Jx== 0

Ax

dx

dx'

lim

xp(x-\-Ax) — -^(x) _ d • xp{x)

dv

Ax

dx

dx

Jx= 0

und endlich lim

JA*₌₀Ax

Setzen wir die so umgeformten Ausdrücke in 60) ein, dann ergießt sich

Ay

dy

dx

61)

dy    du ,    dv

—z~ ==: y .--1— u ---

dx    dx '    dx

und

also

Dann ergiebt sich

dy _ d(u-vw)

00)

ZusatzII. Besteht ein Produkt aus zwei Faktoren und ist der eine Faktor eine Funktion von x, der andere eine Konstante, dann ist der Differentialquotient gleich dem Differentialquotienten der Funktion, multipliziert mit der Konstanten. Ist y = av,

du

dw

dv

di+u'T'dl+u'w-d7

64)

dann folgt aus Gleichung 61)

dy da . dv dx Vdx~^adx

Da nun der Differentialquotient einer Konstanten a immer null ist, so wird auch

65)

dy

dv

- = adV

dx

25. Beispiele.

Es ist gegeben

t/ a)

also

y= (1 + x²) (1—x²).

Hier sei u = 1 -)- x² und v = 1 — x²,

y = u • v dy du , dv di = vdi+ud^

Es ist

du

T- = 2x und

dx

— — 2x.

Setzen wir ein

— (1—x²). 2x-|-(l+x²)--2x

= — 4x³.

dy

Von der Richtigkeit der Lösung kann man sich hier leicht überzeugen, wenn man die Klammer auflöst, zusammenfaßt und die Differentialquotienten bildet. Es giebt

y = (1 +x²) (1 — x²) = 1 — x⁴,

also

= — 4x³.

b) Es sei

also

dy

y = sin X • 608 X, u = sin x; d(sinx)

v = cos X.

d(cosx)

sinx •

D°her dx

Nach Abschnitt 20 und 21 wird dann

— = cos x

dx

dx

dy

— = cos x • cos x -J- sin x • (— sin x)

—    cos²x — sin²x

—    cos 2x.

26. Der Differentialquotient von einem Bruch (Quotient) soll gefunden werden.

Satz VI. Der Zähler und der Nenner soll je eine Funktion von x sein. Ist y = wo u und v

dy

Funktionen von x sind, dann wird du dv Vd^_Udi

v²

dx

Beweis. Wir schreiben

66)

und

u = y(x); v = y(x).

Es folgt zunächst

Jf(x)

72) v(x+^lx)v(x).

zfx

Um nun leicht zu dem gewünschten Ergebnis zu kommen, addieren und subtrahieren wir zu dem vorstehenden Ausdruck das Produkt <p(x) • yj(x). Das ergiebt

73) y{x+Ax)y>(x)-—z

Ax

Nun lassen wir in der gewohnten Weise x um Ax re. wachsen. Dann ergiebt sich

y-fJy = f(x-(-Jx) =

68)

ff(x-Mx) yj (x - j- A x)

Wir bilden die Differenz und erhalten Ay

69) Ay — f(x-j-Ax)— f(x) — zjf(x)

oder

_ yfe-H*) _ y(x)

^(x-j-Zlx) 7/-(x)

70) ^f(x) —

9?(x-(-zlx) • t/;(x)— 99(x) ip(x-\-Ax)

Jetzt dividieren wir Gleichung 70) durch Ax. Dies giebt, wenn wir geschickt ordnen,

Ai{x)

^ Ax y(x-|-zlx)'i/;(x)

q)(x-\-Ax) yj(x) — <p(x) ip(xAx)

und

Ax

₌ <p(x+Ax)ip(x)— (p{x)yj(x)— y(x)> y(x+/lx)+ <p(x)-yj(x)

= V(x)

y(x+Jx) —y(x)

Ax

v(x)

Ax

Nähert sich endlich Ax der Null, dann werden die einzelnen Ausdrücke in Gleichung 73)

lim yj (x -f-A x) = y) (x) — v,

Jx = 0

lim

zff(x) df (x)

lim

jx = o Ax <p(x--j-Ax) — <p(x)

dx '

dx = 0

Ax

d - <p(x) du ~d^'

lim

yj (x-j-zfx) — yj(x)

d . t/;(x)

Ax

P-

dx = 0

Diese Werte setzen wir jetzt in Gleichung 73) ein. Dann wird unter Beobachtung, daß u = <p(x) und v = yj(x) ist,

und endlich

az.f

dx dx

Der Differentialquotient eines Bruches ist somit gleich dem Nenner mal dem Differentialquotienten des Zählers, vermindert um den Zähler mal dem Differentialquotienten des Nenners; die Differenz dividiert durch das Quadrat des Nenners.

74)

v²

27. Beispiele.

V a)

Setzen wir

a-f-x

u = a — x und v — a-f-x und setzen in Formel 74) ein, nachdem bestimmt wurde

du

dv

_ —i und — = 1, dx    dx

dann folgt

dy _ (a-|-x)--1 — (a—x) • 1

dx

(a+x)

dy

x — a-j-x

dx

(a-j-x)²

— 2a

~ (a-j-x)²'

b) Es sei gegeben

Also

sin x

y = — -

608 X

u — sin x; v — cos x.

In Formel 74) eingesetzt, nach Bestimmung von

du    , dv

— = cos x und *=— = — sin x, dx    dx

_ cos x • cos x — sin X (— sin x)

. cos²x

cos²x-j- sin²x 1

cos²x

ergiebt

dy

dx

cos²x

c) Es sei

Also

dy

x¹¹ • 0 — a • nx¹¹⁻¹

dx

(xn)

anxn—1

x2n

— —anx¹¹⁻¹ • x—2n

— anx-^d"¹)

an

xn+¹

d) Es sei

i +yr

1 —/x

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Also

0,1 n,

(i—fx) y₂x-‘A 4- (l-f-Vx) y₂x-v«

Vx(i-yi)²"

28. Bestimmung des Differentialquotienten für y=az.

Satz VII. Der Differentialquotient der Exponentialfunktion y = ax, in der a eine Konstante bedeutet, ist

— ax • 1 a.

dy d - (ax)

dx

dx

Beweis. Schreiben wir

y = ax

und nehmen auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus, wodurch oft eine Ableitung vereinfacht wird, so folgt ly — l(ax) = x • 1 • a.

75)

76)

Substituieren wir nun auf beiden Seiten z = ly und z — xla

und bilden die Differentialquotienten, dann ergiebt sich

dz 1 c dz

— — und — — 1 • la.

dy

dx

Noch dz aufgelöst

dy

dz — — und dz = dx • la

und gleichgestellt, führt zur Gleichung ^ = dxl-a.

77)

Um den Differentialquotienten zu erhalten, dividieren wir Gleichung 77) durch dx und setzen für y aus Gleichung 75) den Wert ein. Dann ist

78)

SW.la.

dx

31. Bestimmung des Differentialquotienten oony=cotangx.

Satz X. Der Differentialquotient der Funktion y = cotang x ist

d • (cotang x)

29. Bestimmung des Differentialquotienten für y=ex.

SatzVIII. Der Differentialquotient der bestimmten Exponentialfunktion y = ex ist gleichfalls dy __ d(ex)

dx dx

= ex.

Beweis. Der Beweis ergiebt sich sehr einfach aus 28. Wir müssen nur in y = ax für a den Wert e als speziellen Fall einsetzen. Also

79)

y = ex.

Der Differentialquotient für y = ax war

dy    _

= ax • la.

dx

80)

Setzen wir nun a = e, dann wird

— ex • le. dx

Aus Abschnitt 9 wissen wir aber, daß 1s — 1 ist. Daher

^ ₌

dx

30. Bestimmung des Differentialquotienten von y=tangx.

Satz IX. Der Difserentialquotient der Funktion y — tang x ist

dy d (tangx)

dx

dx

COS²X

Beweis. Siehe Abschnitt 27, Aufgabe b. Wir erhalten dltrch Anwendung der Quotientenregel dort unmittelbar d - (tang x)

81)

dy

dx

dx

cos²x

dy

dx

dx

sin²x

4*

Beweis. Wie in 30. mit Hilfe der Quotientenregel zu 608 x

ist.

ermitteln, da cotangx

sin x

Also

CM O.

sinx • (—sinx) — cosx • cosx

sin²x ♦

sin²x 608 ² x sin²x

(sin²x-(- eos² x) sin²x

Da sin²x-f-eos²x = 1 ist, so folgt sofort

82)

d7

dx

sin²x

32. Angabe der Differentialquotienten für y = secx und y = cosec x.

Satz XL Die Differentialquotienten für die selten vorkommenden Funktionen y = secx und y = cosec x wollen wir nicht weiter ableiten, sondern die Arbeit dem Leser überlassen und das Resultat hier nur hinschreiben. Also

sinx

83)

dy

d. (sec x)

dx

dx

cos²x

dy

d.(cosec x)

cos x

dx

dx

sin²x

Man hat sich bei der Ableitung nur daran zu erinnern,

— und cosecx=—ist, und die Quo-smx

cosx

daß secx tientenregel anzuwenden.

Wir wenden uns nun zur Ableitung der cyklometrischen Funktionen und verweisen nochmals auf ihre Bedeutung, die in Abschnitt 11 dargelegt wurde.

33. Bestimmung des Differentialquotienten für y= arc sinx.

Satz XII. Der Differentialquotient für y = arc sinx ist

d. (arc sinx)

dx

dx

]/l— x¹ 2

Beweis. Wie wir in Abschnitt 11 zeigten, ist die Umkehrung von y— arc sinx der Ausdruck x= siny. Bilden wir von dem Ausdruck x— siny den Differentialquotienten

dx

85)

^ = c°sy.

Kehren wir den Bruch um, so kommt

dy

dx cosy'

wofür wir auch schreiben können

34. Bestimmung des Differentialquotienten für y= arc cosx.

Satz XIII. Der Differentialquotient derFunktion y = arc cosx ist

dy d • (arc cosx)

dx

dx

fl—x²

x — cosy,

Beweis. Er ist der gleiche wie in 33. Da y = arc cosx, die Umkehr x = cosy ergießt, so differentiieren wir diesen Ausdruck. Also

86)

87)

dy

dx

Vl —x²

daher

dx

und

dy

= — siny

88)

dy

dx

siny

Mit Hilfe einer bekannten trigonometrischen Formel

dy

dx

Da nun cos y — x, ist

l/l — 608 2 y

89)

Vl —X²

35. Bestimmung des Differentialquotienten für y = arc tangx.

SatzXIV. Der Differentialquotient der Funktion y = arc tangx ist

dy

d • (arc tang x)

1 —j~ x²

Beweis. Wiederum setzen wir, da y— arc tangx ist, den Ausdruck x — tangy und differentiieren. Daher

dx

dx

dx

dy

cos²y

L = cos2y-

In der Trigonometrie wird die leicht zu erweisende Relation abgeleitet

Somit

90)

dy

cos²y — Wir erhalten demgemäß

1 -j- tang²y

dy

dx    1 -}- tang ² y

Setzen wir endlich für tang²y den Wert x², dann ist dy_ d • (arc tangx)

36. Bestimmung des Differentialquotienten von y — aro cotang x.

SatzXV. Der Differentialquotient der Funktion y — arc cotang x ist

dy

d • (arc cotang x)

dx

dx

l+x

Beweis. Wenn y = arccotangx ist, wird die Umkehrung x — cotang y. Wir differenzieren

dx

und daraus

dy

sin²y

92)

dy

dx

= — sin²y.

Es ist, wie die Trigonometrie lehrt, sin²y —    ^

dy

Daher

und da x — cotang y, ist

dx

1 -j- cotang²y

__1_

1    cotang² y

93)

dy

dx

1 -s-x²

37. Angabe der Differentialquotienten für die Funktionen y — arc secx und y — arc cosecx.

Satz XVI. Die Differentialquotienten für y — arc secx und y — arc cosecx sind dy d • (arc secx)

94)

dx

dx

x/x²—1

d • (arc cosecx)

dx

dx

x"|/x²-1

Wir wollen die Ableitung dem Leser zur Uebung überlassen.

1)    y = f(x)

2)    7 = f(a)

3)    y = xm

4)    y = sinx

5)    y = cosx

6)    y — tangx

7)    y = cotangx

8)    y = secx

9)    y = cosecx

10)    y = log x

11)    y = lx

Die Funktion

p, & Pi! Pi pil & p p- pil Pi pil pi Pi, Pi MM MN MM M Im MM MM MM

dx

dx

dy

di

dy

EP

XgUlS

sinx

XgUlS

— sinx

608 X

mxm—1

C*)iJ

•P

O.Ä

mIm,

Der Differentialquotienl

Die Funktion

12)    y = ax

13)    y = ex

14)    y — arc sinx

15)    y = arc cos x

16)    y = arc tangx

17)    y — arc cotangx

18)    y — arc secx

19)    y = arc cosecx

20)    y

21)    y = u • v • w

22)    y = Hl

v

fl-? BW BW BW BW 8*15* BW 8*15* BW B⁴W SW

-tafel der Disserentialquotienten.

V²

H.n_EE.A

du

•M-n + ^.A-n

Ap    Mp

x yx² — 1

du dv

T'fi+Uäi

IzüEA

1 + X2

S*+I

I

*=lA

fl-x²

x⁹

ax - la

^E.m.a + IP

du

Der Differentialquotient

Fünftes Kapitel.

Die Bildung der Disserentialquotienten der Funktionen von Funktionen. Ausgaben.

38. (Erläuterungen.

Es kommt sehr häufig vor, daß mehrere Funktionen miteinander verknüpt sind, von denen der Differentialquotient gebildet werden soll. Wir wollen das zunächst an einem Beispiele darlegen. Sei z. B. y = 1. sinx.

Um zum Ziel zu gelangen, setzt man für sinx einen anderen einfachen Wert ein, z. B.

sinx — iL

Dann geht die Gleichung über in y = lu.

Hiervon können wir sofort den Differentialquotienten bilden.

dy

Es ist

A — - und dy = — • du u    u

war, ist

Somit ergiebt sich

dy = — u

Es kommt nun darauf an, du wirklich zu bestimmen. Da u = sinx du — cosxdx.

du 1

— —— • cosxdx. sinx

Also

P-l

cosx

sinx

— cotx.

39. Allgemeine Bestimmung des Differentialquotienten einer Funktion von einer Funktion.

Wir wollen nun zeigen, wie das ganz allgemein möglich ist. Essei

aber zugleich auch

z = f(x).

2)

Dann erhalten wir den Ausdruck

3)

y = F{f(x)}.

Um von dem Ausdruck 3) den DifferentialquoLienten bilden zu können, lassen wir, wie bereits vielfach ausgeführt, in 1) und 2) x um Ax und z um Az wachsen. So ergießt sich j-j-Ay — F(z-J-Az)

und

-j-Az — f (x-j-zlx).

In gewohnter Weise bilden wir nun die Ausdrücke Ay und Az.

4)

5)

6)

A y = F (z —[— A z) — F (z) Az = f (x-f-Jx) — f (x).

9hm dividieren wir 4) durch Ax. Daher Ay _ F(z -j-A z) — F(z)

und

Ax

Ax

Wir wollen nun die Gleichung 6) irn Zähler und Nenner mit dem Ausdruck

f (x —|— A x) — f(x) — Az

in entsprechender Weise multiplizieren, so daß der Ausdruck

Ay_ F(z-|~Jz) — F(z) f(x-f-zJx) — f(x)

Ax

7)

Az

Ax

sich ergießt. Nähert sich jetzt Ax der Grenze null, dann geht 7) unter Berücksichtigung der Gleichungen 4) und 5) über in

8)

dy dy dz

dx    dz dx

Wir erhalten also den Satz: Der Differentialquotient einer Funktion von einer Funktion ist dem Produkte der Differentialquotienten der Funktionen gleich.

Lösung. Wir schreiben u —sinx. Also

y = u²

dy

und daher

TZ = 2u;

dy — 2udu.

40. Ausgaben.

dy

1/ a) Es sei

y — sin²x;

^ soll bestimmt werden.

Da u = sinx ist, so ergießt sich du = cosxdx. Setzt man jetzt ein, so wird

dy = 2udu = 2 • (sinx) - cosxdx

und

~ = 2 sinx cosx — sin 2x.

dx

b) Es sei

y — (a-f-bx)²;    ^ zu bilden.

Lösung. Man setzt

u — (a-j-bx).

y — u².

Also ergießt sich

und

Das Differential dy = 2udu du = b • dx.

Eingefügt

Also

dy — 2(a-]-bx) • b • dx. t = 2b (a-f-bx).

V/c) Es sei y = y3ax + x²;    ^ == ?

Setzen wir u = 3ax-f-x², so ergießt sich

y = yü= u¹/.

Disferentiiert, d. h. bilden wir das Differential:

dy — — U—Vadu — ——pr •

J 2    ₂yu

Bilden wir nun das Differential bon u = 3ax-|-x2 du = (3a-[- 2x) dx.

Also

dy 3a-f-2x

dx

2y3ax-j- x²

d) Es sei

dx

Wir setzen u = sinx, also

7 = eu

dy — eu du.

und differentiieren

Bilden wir das Differential von u = sinx, du — cosxdx,

so folgt

dy

— (esinx) • 608X. dx

e) Es sei

x²-[- 3x — 4 y = X² — 3x-)-4:

dx

Setzen wir

u = x²-]- 3x — 4 und du = (2x-j- 3) dx v — x² — 3x -j- 4 und dv = (2x — 3) dx,

Nach der Formel

du

dv

dy

vdx Udx

dx

v²

dy_(x² — 3x-j-4) (2x-[-3)--(x²~(-3x —4) (2x—3)

dx

2x(8 — 3x)

(x² — 3x-[- 4)²

f) Es sei y — cos (a-j-bx); ^ =?

Wir setzen Dann wird

Bilden wir nun die Differentiale

dy — —sinudu und du — bdx, dy — — sin (a-[-bx) • bdx.

^ = — b • sin (a-s-bx).

dann folgt

Also

dx

u — a-s-bx. y — cos u.

g) Es sei

y = yi+x.yr^x²

= (l-j-x)¹/« • (1-X²)¹/«.

Hier können wir mit Hilfe der Formeln y = u • v und _ du , dv dx Vdx ‘ Udx unmittelbar differentiieren. Also

dy

dy

dx

= (1 — X²)¹/«. 1(1 +x)-‘A 4- (1 +x)*A

3 — 4x — 7x²

⁼ 6(l+x)V».(l —x²)sA

3 — 4x— 7x²

• 1(1— x²)-s/«-(—2x)

₆yi+x.³y(i-x²)²

h) Es sei

y = xX; dx

Zuweilen, wie in diesem Falle, kann es praktisch sein, vor der Differentiierung rechts und links den natürlichen Logarithmus der Gleichung zu nehmen und erst dann zu differentiieren. Also ly = x • lx

Differentiieren wir nun

dy

dx

— — lx • dx -j-x—t y    ¹ x

dy = dx.y(lx-f-l)

5^ = xX- (lx+!)-x/ i) Auf die gleiche Weise ist zu behandeln.

Der Leser möge die Lösung selbst suchen, sie führt auf den Ausdruck

oder

y = xsinx

= Xsinx .

dx

Jsinx . I x '

608X • lx> -

arcsin

x k) Es sei y — Lösung. Wir setzen

also

y — arcsinu.

Das Differential

du

dy =

yi —u²

adx dx und du — —— — —

a²

Also

dy

dx ]/^2 _ X2

1) Es sei y = xn • ex; ^

dy

Lösung. u = xn; v = ex. Also _ dv du dx dx ' dx

= x¹¹ • ex -}- ex • nxn—1 = ex (xn-|-nxn~¹)

— ex - xn-1(x-4-n).

Nachfolgende Aufgaben möge der Leser selbständig zu lösen versuchen.

dy

dx

1) y = x³ - Vx

2) y =

C3 | *

dy

4a

dx

X⁵

3) y = -—

608 X

dy

sinx

dx

cos²x

4) y = 1 • (x+Va²+x²) . . ^

6) y = (a-j-x²)³

dy

Va²—(— x2 g = 6x(a-|-x²)².

6) y

ya-(-bx

dy

2a-|- bx

dx

2x²/a-|-bx

1/ 7) y = earcsinx

dy

arc sin x

dx yi—x²

li 8) y = 1 • (Ix)

dy

dx x • lx

10) y =

dy

9) y = sin (a-j-bx)

a — bcosx

a -j- b • cos x

— == b.cos(a-j-bx).

dy_    2 ab sinx

dx (a-(-bcosx)²

— — (cosx)⁻¹+sinx {cos²xl • (cosx) — sin²x}.

dy

\/ 11) y = arc cos

dy

dx

x J/2ax — a²

^>12) y = 1 • (arctgmx) . . 13) y = (cosx)

dy

' dx

(1 -J-m²x²) arctgmx

14) y =

a\x

dy

dx

tH I CQ

05 | M

-1

Sechstes Kapitel.

Die höheren Differenttalquotienten.

41. Ableitung der höheren Differenttalquotienten.

Im vierten Kapitel wurde auseinandergesetzt, wie man aus einer Funktion y = f (x) den Differentialquotienten erhalten kann. Wir bezeichneten ihn mit

i)

Wie man sieht, ist der Differentialquotient wiederum eine Funktion von x. Man nennt ihn deshalb die abgeleitete Funktion von x und bezeichnet ihn zumeist mit f (x). Es leuchtet nun sofort ein, daß man auch mit der abgeleiteten Funktion die gleichen Ueberlegungen anstellen kann, wie mit der direkten, und daß man hierdurch zum zweiten Differentialquotienten gelangt. Esset

2)

y = f(X)

und

dy _ d • f(x)

dx

Dann kann man auch schreiben

3)

d - f'(x)

dx

schreibt man gewöhnlich und

nennt ihn den zweiten Differentialquotienten.

Daß der zweite Differentialquotient die vorstehende Form annehmen muß, tritt noch deutlicher hervor, wenn man vom Differential ausgeht. Es sei

y = f(x)

d7 = f'(x) - dx. (Siehe Gleich. 1.) Differentiiert man nun noch einmal, so ergiebt sich d.[dy] = d[f(x)]dx.

d.[f'(x)] = f"(x)dx d . [dy] = f"(x) dx . dx = f"(x) dx*.

Den Ausdruck

2 a)

und

3)

Da

so folgt Daher

dx

ist,

Z-Nx).

In Gleichung 4) haben wir also den zweiten Differentialquotienten der Funktion x.

In der gleichen Weise kann man nun auch den dritten, vierten rc. Differentialquotienten bilden. Es ist dann

4)

5)

dx

^-1 = f"'M dx³    'X''

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

dx

Wiederholt man die Ableitungen nmal, dann erhält man endlich den n ten Differentialquotienten

7)

|^ = fn(x). dxn v

Wir wollen nun die Bildung der höheren Differentialquotienten an einigen Aufgaben üben.

Aufgaben.

a) Es sei

y — x⁴.

Dann erhalten wir nach der Reihe

_4xs dx — 4X '

= 3 • 4 • x², = 2 • 3 • 4 • x, ----- 2 3 - 4 ----- 24,

----- 0.

b) Es sei Wir erhalten

y ----- xm.

dy

m—1

dx d³y

— = m(m-l)(m-2)x—»

Endlich

dny

v — sinx.

^ = m(m-l)(m-2)(m-3)...(m-n + l)xm-n.

c) Es sei

Dann werden

dy

— = c°sz,

— — sinx,

= -603 X,

= sinx.

— sinx.

Es ist also

Wie man sieht, wiederholen sich die Werte. Der gleiche Vorgang findet sich auch bei y ----- cos x.

d) Es sei y = ax³ -j- bx² -j- cx d.

Dann wird nach der Reihe

3ax2-(-2bx + c,

d² y

m—------ 2*3* ax —2 b ----- 6 ax —j— 2 b,

d³y

_₌₂.₃.a=6a,

d⁴y —- — 0 dx4 U*

e) Wir wollen nun noch die höheren Differentialquotienten für einProdukt aus zweiFunktionen von x bilden. Essei

8)

9)

und

u = f! (x) v = F(x) dv du dx U dx ‘ dx Man differentiiere nun jeden Teil der Summe für sich. Also , ~. , d²v , dv du dlU(hd — U dx²* dx * dx

I ,_ d²u , du dv

Vdx/ Vdx² ' dx dx

dy

dv

du

Addiert ergiebt das den zweiten Differentialquotienten d²y

dx2 U dx²

dv du , d²u

2—.--U v--

dx dx ' dx²

Um den dritten Differentialquotienten zu erhalten muß man wiederum in der gleichen Weise Verfahren; dann ergiebt sich die Gleichung

d³v du d²v , d²u dv . d³u dx3 U dx³ ' ^dx dx² ' ^dx² dx ' Vdx³

10)

11)

d³y

d²v

Der Leser bemerkt wohl, daß hier das Gesetz der Binomialkoeffizienten hervortritt.

42. Wenn Funktionen einander gleich sind, aber in ihren Formen sich voneinander unterscheiden, dann sind auch ihre Difserentialquotienten einander gleich.

Wir wollen den Satz hier zunächst an einem Beispiel erläutern. Es sei

y — f(x) — (x-[-h)⁴ = x⁴-|-4x³h-|-6x²h²-|-4xh³-|-h⁴.

Nunmehr nehmen wir von diesen gleichen Ausdrücken die Differentialquotienten nach der Reihe dy

^ = f(x) = 4(x+h)³ = 4x³+12x²h-4-12xh²+4h3 ^ = f"(x) = 12(x + h)² = 12x²--f- 24xh-|- 12h², ^ = f'"(x) = 24(x + h) = 24x-j-24h,

g = f""(x) = 24 = 24.

Führen wir die Berechnung einer jeden Klammer aus, 4° werden wir finden, daß die entsprechenden Differentialquotienten einander gleich sind.

Siebentes Kapitel.

Die Reihen von Taylor und Mac-Laurin.

43. Vorbereitungen.

Gesetzt, es sei eine Funktion

1)

y = f(x) — ax³ -j-- bx² -|- cx d gegeben. In derselben soll die Veränderliche x um die Größe h wachsen. Man erhält dann mittels der einfachen bekannten algebraischen Operationen einen Ausdruck, der nach wachsenden Potenzen von h fortschreitet. Es wird

2) f(x-j-h) — a(x-(-h)³-j-b(x-j-h)²-[-c(x-|-h)-(-d.

Führen wir die Rechnung wirklich aus:

2a) f(x-j-h) = ax³-]- 3ax²h-|- 3axh²-[-ah3 -(-bx²    -(- 2bxh -|-bh²

-(-cx

-(-ob

+ d-

Ordnen wir und fassen immer die Glieder mit gleichen Potenzen von h zusammen, so ergiebt sich 2b) f(x-(-b) — (ax³-(-bx²-(-cx-(-d)

-(- (3ax²-[-2bx-(-c)b-)- (3ax-f-b) h² 4 - ah³.

44. Die Taylorsche Reihe.

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man leichter zum gleichen Ziele gelangen. Man erhält Methoden, durch die jede rationale ganze Funktion in eine Reihe entwickelt werden kann, die nach steigenden Potenzen des Zuwachses fortschreitet, wie in 2 b). Vergleiche die Abschnitte 3 und 6.

Man kann sich die Funktion f (x-j-h) in einen Ausdruck entwickelt denken, der nach Potenzen von h³) fortschreitet. Deuten wir das zunächst an:

f(x-j-h) = A + Bh-j-Ch²-(-Dh³

Wir wollen nun nach der Reihe die DifferenLialquotienten

bilden

f'(x-j-h) = B + 2Ch + 3Dh2 f"(x-j-h) = 2C + 2-3D-h f'"(x-f h) = 2 • 3D.

Nähert sich nun h der Grenze null, dann gehen nacheinander die Ausdrücke 3) und 4) über in f(x) = A f (x) = B f"(x) = 2C f'"(x) = 6 • D.

4)

4 a)

Und hieraus folgt

5)

A = f(x) B = f'(x)

2!

3!

Es ergiebt sich also, daß die Koeffizienten A, B, C, D selbst Funktionen von x sind.

Werden diese Ausdrücke in 3) eingesetzt, so folgt

f(x)h , f"(x)    Hx)m

2!    ‘    3!

6) f (x+h) = f(x)

1!

Ist die Funktion nicht nur vom dritten, sondern vom nten Grade, so erhält man durch dieselben Operationen den Ausdruck

7) f(x+h) = f(x)-|- i;

f'(x)h .f"(x)

2!

• h²

f"'(x)h3

f“(x)

3!

n!

h=.

Das ist die Taylorsche Reihe. Sie ist in folgender Weise in Worte zu fassen: Eine jede ganze rationale Funktion laßt sich in eine Reihe entwickeln, von der

das erste Glied die Funktion selbst ist, jedes weitere Glied aber, durch den ersten, zweiten re. Differentialquotienten dargestellt, wird multipliziert mtth oder den folgenden Potenzen boti h und dividiert durch die erste, zweite rc. Fakultät.

Wir wollen den Satz 7) zunächst auf das Beispiel 1) anwenden. Es war dort

f(x) = ax³-(- bx²-|-cx-|-d.

Somit ist nach der Reihe

f'(x) = 3ax²-j- 2bx-(-c

f"(x) — 6ax-(- 2b;

f"'(x)

2j = 3ax + b

— a.

3!

f'"(x) = 6a;

Setzen wir in 7) ein f(x-)-h) — (ax³-|-bx²-|-cx-(-d)

(3ax²-)-2bx-|-c)h -)- (3ax-|-b)h²-|- ah⁸

Wie man sieht, entspricht dieser Ausdruck ganz der Gleichung 2b)..

Von der Taylorschen Reihe lassen sich nun schöne Anwendungen machen. Wir wollen u. a. mit ihrer Hilfe den binomischen Lehrsatz herleiten.

8)

45. Herleitung des binomischen Satzes.

Es sei die Funktion

j = xm gegeben.

Wir setzen unseren Ausführungen in Abschnitt 44 entsprechend

f(x-|-h) — (x-}--h)m

9)

und bilden nach der Reihe die Differentialquotienten

10)    f'(x+h) = m(x-|-h)

m—1

m—3

f"(x+h) = m(m—1) (x+h)m-2 f"(x+h) : m(m— 1) (m—2) (x+h)

fm(x-(-h) — m(m—1) (m—2) (m — 3)... 2. 1.

Wird nun wiederum h gleich null, dann erhalten wir die Reihe der abgeleiteten Funktionen

mx

m—1

f (x) — xm f(x) =

f"(x) = m(m—l)xm—2 f'"(x) = m(m-—1) (m—2)xm—3

fm(x) = m!

Setzen wir diese Werte in Formel 7) ein, dann ist

m(m—l)xm-²

(x+h)m = xm + m. x“-¹ - h -f . m(m—l)(m—2)x

m—3

2!

• h²

m!

3!

. h³+ . —-hm 1 m!

Setzt man x = a und h = b, dann ergießt sich der binomische Lehrsatz

(a-[-b)m ----- am -j-ma¹¹¹-¹. b

m(m—l)am~²

2!

• b²

• b⁸-(-... bm.

m(m—l)(m—2)am~³

3!

¹

y

²

dx yi — sin²y

Nun erhält man aus x= siny sofort x² = sin²y, und fügt man den neuen Wert ein, dann ist

³

h denke man sich als kleinen Zuwachs von x.

46. Mgemeine Ableitung der Taylorschen Reihe.

Es läßt sich leicht zeigen, daß die Ausführungen in Abschnitt 44 sich auch auf eine jede nicht rationale

Der beschränkte Raum unseres Buches macht uns die Besprechung des Restgliedes unmöglich. Unsere weiteren Ausführungen, in denen wir uns zumeist mit den ersten Gliedern begnügen, sowie die unmittelbar vorstehende Bemerkung lassen diese Einschränkung zu.

47. Die Reihe von Mac-Laurin oder die Stirlingsche Reihe.

Die Mac-Laurinsche Reihe ist ein spezieller Fall der Taylorschen Reihe und sie kann unmittelbar aus dieser entwickelt werden. Setzt man in die Taylorsche Reihe

2!

12a) f(x-|-h) = f(x)-J-f'(x)h

fn(x)

h--LR

n!

Funktion erweitern lassen, wenn sich diese nur in eine nach steigenden Potenzen botth fortlaufende Reihe entwickeln läßt.

In Gleichung 7) erhielten wir den Ausdruck f (x-j-h) = f(x)+ f'(x) . h -f    + ...

f“(x)

2!

n!

h=,

der für eine ganze rationale Funktion gültig ist.

Wenn f(x) keine rationale Funktion ist, so wird die obige Reihe (7) nicht dieser Funktion entsprechen können, sondern sich von ihr um eine Größe unterscheiden. Wir wollen diesen Unterschied mit R bezeichnen. Dann ist ganz allgemein

12)f(x+h) = f(x)+^.h-|

f"(x)

fn(x)

2!h$ + - ¹ n!

• hn

+ R.

Die Gleichung 12)bezeichnet man ganz allgemein als die Taylorsche Reihe, und den Ausdruck R nennt man den Rest der Taylorschen Reihe.

Wird in Gleichung 12) n sehr groß, dann muß R selbst zur Null werden, wenn die Reihe einen Sinn haben soll. Das besagt, daß die Reihe konvergent sein muß.

+Qrt’+-^

x gleich null und für h den Ausdruck X, dann geht sie über in

2!

+ --+i!rxn+R

no)x8

¹    3!

Der Ausdruck 13) stellt die Mac-Laurinsche Reihe dar. Sie ist sehr brauchbar zur Entwickelung von Funktionen in Reihen. Wir wollen einige wichtige Reihen durch sie herleiten.

48. Es soll eine Reihe für sinx entwickelt werden.

Es sei

14)

15)

y — f (x) = sinx.

Wir bilden die Differentialquotienten f'(x) =

f"(x) — — sinx

-608 X

f""(x) = sinx re.

Hx) =

603 X

Wie wir schon oben darauf aufmerksam machten, ist sinx eine periodische Funktion, die bei der weiteren Bildung der Differentialquotienten wieder auf die gleichen Ausdrücke führt. Wir setzen nun x — 0. Dann gehen die Ausdrücke in 14) und 15) über in

f (0) — sinO0 f (0) — eosO0 f"(0) = — sinO⁰ = 0 f'"(0) = — cosO⁰ = — 1 f""(0) = sinO⁰

Man bemerkt leicht, daß in dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist,

fn(x) = ± cosx wird;

also

fn(0) — ± cosO⁰ = ± 1.

Führen wir diese Ausdrücke nun in Gleichung 13) ein, dann ist

sinx — 0 + 1 • x — 0

Und somit

17) sinx = x —

5!

X³ X⁵    xn

3!    5! “ n!

Die Funktion sinx entspricht also einer Reihe, die nach ungeraden Potenzen von x mit abwechselnden Vorzeichen fortschreitet.

49. Es soll die Reihe für cos x entwickelt werden.

Es sei

18)

y — f(x) — cos x.

19)

Wir entwickeln die Differentialquotienten f'(x) = —sinx

f"(x) — — cosx f'" (x) — sinx f""(x) = cos x.

Die Differentialquotienten wiederholen sich dann wiederum. Der Ausdruck fn(x) wird gleich ± cosx, wenn n eine gerade Zahl ist. Wie in 48 setzen wir x gleich null. Dann ergiebt sich

f(0) =

cosO⁰ — 1 f'(0) = — sin 0° = 0 f"(0) — — cosO⁰ = — 1

sin 0° = 0 cosO⁰ — 1

wenn n eine gerade Zahl ist.

Setzen wir diese Werte in Gleichung 13) ein und ziehen zusammen, dann ist

21) cosx — 1 —

fn(0) — zfccosO⁰ —

X² , x⁴_x⁶    , xn

2! '4!    6! ‘ n!

Die Funktion cos x entspricht einer Reihe, die nach geraden Potenzen von x mit abwechselnden Vorzeichen fortschreitet.

50. Es soll die Reihe für die Exponentialfunktion ex entwickelt werden.

(Siehe Abschnitt 8, Gleichung 23.)

Essei

22)

23)

7 — f(x) = ex. Wir bilden die Differentialquotienten f (x) — ex f'(x) — ex f"(x) = ex rc. 2C.

fn(x) — ex

Setzen wir hier auch x — null, dann folgt für alle Differentialquotienten

24)

fn(0) — eO ----- 1.

Setzen wir die Werte in Gleichung 13) ein, so folgt

25)

ex

xn

= ¹+X+2! + 3! + ---+n!-

Wird in 25) x= 1, so erhält man den uns bekannten Ausdruck

= 2,71828...

2*3* 4~”~1 • 2...n

51. Es soll die Reihe für die Exponentialfunktion ax entwickelt werden.

(Siehe Abschnitt 9, Gleichung 26.)

26)

Es sei

7 = f(=0 = ax.

Die Differentialquotienten

27)

f'(x) = a*.la f"(x) = ax(la)2 f"(x) — ax(la)³

28)

rc. rc.

f“ (x) — ax(la)n.

Auch hier setzen wir für x null; dann ergiebt sich

f(0) = 1

f'(0) = la f» = (la)2 f'"(0) = (la) rc. rc.

f“(0) = (la)n.

Setzen wir in Gleichung 13) ein, dann ist x²(la)²

29) ax= 1+x.la-j ^

x³(la)

+    3!

xn(la)n

n!

52. Für die Funktion 1 (1 + x) soll eine Reihe entwickelt

werden.

(Siehe Abschnitt 23.)

Essei .

30)

Die Differentialquotienten

= 1+ = (1+I)“

f"(x) =

= — (1+X)-³

U+X)

f"'(x) — 1.2 (1+x)-3 f""(x) = — 1 • 2 • 3 (1+x)-4 rc. !C.

f“(x) — — 1 - (n—1)! (1+x)-".

Setzen wir für x, wie in den vorigen Fällen, nuH, dann wird

f (0) = 0 f'(0) = 1 f"(0) = — 1 Ho) =1-2

f""(0) = — 1 • 2 • 3 rc. rc.

f”(0) — (— 1) • (n—1)!

In Gleichung 13) eingefügt ergießt die Gleichung

•jr 2    vB

32) l(l+x) = x—- + —

31)

y4

— 4- — 4 '

xn

...±—•

Wird z. B.x —1, dann geht die Reihe in den Ausdruck über

i+_...±i.

4    n

1+1-

2 ''3

Vergleiche hierzu Abschnitt 9.

Anmerkung. Nicht immer sind die Reihenentwickelungen mit Hilfe der Mac-Laurinschen Reihe

33)

1-2 = 1 —

zweckmäßig, weil die Bildung der höheren Differentialquotienten oft sehr umständlich wird. Man bedient sich dann anderer Methoden. Der folgende Abschnitt giebt hierfür ein Beispiel.

53. Die Funktion arc sin x soll in eine Reihe entwickelt werden.

Daß die Ausführung mit der Mac-Laurtnschen Reihe sehr umständlich werden muß, ersieht man leicht, denn schon der erste Differentialquotient unserer Funktion ergiebt

fl — X*

Weise mit Hilfe der Methode der unbestimmten Koeffizienten. Essei

• Die Entwickelung erfolgt daher besser in folgender

34)

y = arc sin x.

Man deutet, wie in Abschnitt 6 und 44, die Entwickelung zunächst an:

35)    arc sin x = A-|-Bx-|-Cx²-}-Dx³-|-Ex⁴

+ Fx5-j-Gx⁶ + Hx7+... Nehmen wir nun rechts und links den Differentialquotienten von 35)

36)    ^=== (1—x²)-¹/« = B + 2Cx + 3Dx²

+ 4Ex3+5Fx*+6GxS+7Hx6+... Entwickelt man die linke Seite von 36) nach dem binomischen Lehrsätze, dann ergiebt sich die Form

37) (1—x2)-V,= i + i/₂xM-

1-3

2-4

xH

1-3-5

2-4-6

x⁶+...

Aus den Gleichungen 36) und 37) folgt nun wiederum 38) B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³+5Fx⁴+6Gx⁵

1-3-5

2-4-6

+ 7Hx«+... = l + V,**+£|**-f

Und hieraus, da die Koeffizienten gleicher Potenzen von x übereinstimmen,

A = 0 B = 1 C = 0

D = —

CM O

Cd o

1-3

-4-5

39)

2C. 2C.

Diese Werte eingesetzt in die Gleichung 35) ergiebt

1 ₃

-x³

2-3

arcsinx = x-j-

1-3

2-4-5

54. Die Reihe für arctangx.

In derselben Weise wie in Abschnitt 53 kann die Reihe erhalten werden. Der Leser möge seine Kräfte an dieser Aufgabe prüfen. Die Lösung führt dann zu dem Ausdruck

X» xS

3^5

x¹ 2 3 4

40) arc tangx — x —

Diese Gleichung kann verwendet werden, um den Wert von n zu ermitteln. Man bedenke, daß

n

tang- — tang 45 = 1 ist. Setzt man nun x — 1, so ergiebt sich arc tang 1 = ~ • Dann erhält man den Ausdruck

41)

tu

sC"

■g'

P5

Tafel der wichtigsten Reihen.

S-

«H Ö

x11 ~r R: Mac - Laurinsche Reihe.

'h I“⁵

h⁸+...H

5-i

fl

CO

2i i,

(M

°M

CO

<H

SH

5?

SH

x^ x^ X? x^    xn

3! ⁺ 5!_ 7! + 9!--1“••• T^ ist eine ungerade Zahl.

VO>

CQ

ÖD

xn (1 a)

fl

"hI«

£-

fl

% l*fl

-H

+ a*ifl

xe + ...

10) arc tangx =

C3U

1-3-5

2-4-6

I : ^ I

*MI® + s²'” + °?

+ 1415 *

wl® 4-    +

« L.hi-|

+«

~f~ ’m Icq —

lei -j-

x⁵+...

2-4

1-3

2-4-5

Ml« +

23

s-

SH

T—I

M,

SH

tH

(M

3) sinx —

IO

6) ax = 1 -|-xla

7) 1(1+x) =

tH

Jr

00

9) arc sin x = x-|

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Achtes Kapitel.

Die Bestimmung unbestimmter Formen.

55. Erklärung.

Es kommt häufig vor, daß eine Fmrktion für einen bestimmten Wert der Veränderlichen zu einem unbestimmten Ausdruck fuhrt. Der Grund hierfür liegt, wie leicht einzusehen ist, nur in der Form des betreffenden Ausdruckes. Formen solcher Art sind 0_. oo. co¹

0 • oo; oo — oo; O⁰⁰;    0° 2C.

Wir wollen das zunächst an einem Beispiel auseinandersetzen. Gegeben sei die Funktion

1)

x²—4

4(x — 2)

Setzen wir in diesen Ausdruck x — 2, dann wird 4 — 4

o Io

4(2 — 2)

Daß die Funktion 1) thatsächlich auch für x — 2 einen bestimmten Wert hat, kann man sehr leicht zeigen, indem man sie umformt, wodurch ihr Wert, wie in den Elementen schon gelehrt, nicht verändert wird. Es ist nämlich

x²—4 (x-s-2)(x—2) x-s- 2

4(x — 2)

Setzt man nun x = 2, so ist

y = _3_ = ~=t.

Durch die Differentialrechnung kann man in solchen Fällen leichter zum Ziel gelangen.

56. Bestimmung des unbestimmten Wertes^-

f (x)

—— ergebe für x = x₀ den

o <p(X>

unbestimmten Ausdruck — • Um den wahren Wert durch die

2) y =

4(x—2)

3)

Die gebrochene Funktion

Differentialrechnung zu ermitteln, setze man in Zähler und Nenner des Bruches fürx den Ausdruck x₀-{-h und entwickle Zähler und Nenner je für sich nach dem Taylorschen Satze. Also

4)    _ l(Xg) -j- f'(xo)h -s- Vzl"(Xg)Ü^ -j-...

VCxo+h)    9>(x₀)-j-99,(x₀)h-f V₂ 99" (Xo)h² + ...

Das erste Glied der rechten Seite

f(xo)

ist der Null

<pM

gleich, kann also fortgelassen werden. Es geht dann 4) über in f(Xo-fh) f(Xo)h+ V,

9?(xo+li)    <p,(x₀)li-p/₂ 99"(xo)h²-f-...

5)

Dividieren wir Zähler und Nenner durch h, so ist f(xp-fh) _ f'(xp)+ V₂ f"(x₀)h-)-■■. <P(xo+h) <p'(x°) + V2<P"(xo)h + •••

Nähert sich jetzt h der Grenze null, wird also h = 0, so erhalten wir den Ausdruck

5a)

6)

f(xo)

f'(xo)

9»(Xo)    <p'(Xq)

Der Funktionsbruch ist also dem Bruch der ersten Differentialquotienten gleich. Das ergiebt die Regel:

Wenn eine gebrochene Funktion für einen bestimmten Wert von x auf den unbestimmten Aus-

führt, so differentiiert man je für sich den

Zähler und den Nenner.

Wenden wir die Regel auf unser erstes Beispiel an.

4

— • Man setze für die Nebenrechnung:

druck

Es war y =

x²—

4(x—2)

du

u=x²—4 und v=4(x — 2). Dann ergiebt sich: ^=2x

du

unb^=4. Somit:    ^und fürx^2. ^=1.

dx

Beispiel 2. Gegeben sei der Ausdruck sinx

Dieser wird fürx — 0

sind

o Io

cosx

dann erhalten wir

Differentiieren wir Zähler und Nenner je für sich d«(sin x) d - (4x) cos 0

57. Bestimmung des unbestimmten Wertes §§ -

Es ist leicht, den Ausdruck auf die Form ^-zurückzuführen.

Wird f(x₁) = oo und <p(x₁) = oo, dann ist nach den Gesetzen der Algebra auch

f(xi) "

Der Ausdruck geht dann über in

— =0 und

oo

f(Xl)

9>(xi)

oo

y(xl)

oo

— = 0.

oo

f(xl) <p(xl)

Der Ausdruck kann aljo wie in 56 behandelt werden.

Nehmen wir hierfür ein Beispiel. Der Ausdruck tang 3 x

wird für x = 90°

tangx

tang • 3(90°) oo ^ tang 90° oo

Differentiieren wir Zähler und Nenner, dann ergiebt sich

d (lang 3x) d tangx

cos² 3 x 3 cos² x

cos² 3x

COS²X

Setzen wir auch hier x = 90°, dann wird 3 cos² • 90° _ cos² 3 - 90Ö — q *

Wir erhalten von neuem eine unbestimmte Form. Wir werden daher noch einmal den Ausdruck differentiieren

d(3 cos²x) d (cos² - 3x)    — 6 • cos 3x sin 3x

sin 2x

— 6 • cos x • sin x

sin 6x

Auch hier x = 90° gesetzt

sin 2 - 90° _ sin 180° _ 0 sin 6 • 90° sin 540°    0

ergiebt den unbestimmten Wert. Endlich durch erneutes Differentiieren

d • (sin 2x)

d • (sin 6x)

2 • cos 2x

6 • cos 6 x

giebt fürx — 90°

tH I CO

— 2-1

Das Beispiel lehrt also zugleich, daß man in einem solchen Falle, wo das Differentiieren wiederum auf den unbestimmten Wert führt, mit der Differentiierung fortfahren muß.

58. Die anderen unbestimmten Ausdrücke lassen sich aus die behandelten stets zurückführen.

Es sei z. B.

Dieser Ausdruck wird für x — 0 1 1

x³ sinx

y==ö

sinO

— OO-OO .

Die Umformung auf eine bekannte Form gelingt, indem man die rechte Seite auf einen Nenner bringt. Also sin x — x³

x³ • sinx

Setzen wir nun x — 0, so ergießt sich sin 0 — 0

y =

Den wirklichen Wert mag der Leser nach der ersten Methode ermitteln.

59 Beispiele.

sin 2x

1. Für x = 0 wird

Wie heißt der wahre Wert? Er ist — 2.

2.    Für x = 0 wird

ex — e x 0

sinx

y =

Wie heißt der wirkliche Wert? Er ist — 2.

3.    Für x — 1 wird

y==x

= OO-CO .

— 1 lx

Wie heißt der wirkliche Wert? Er ist — ¹/₂-

4. Für X — oo wird

y = xx = oc°.

Wie heißt der wirkliche Wert? Man nimmt hier den Logarithmus und schreibt ^ • lx = ly.

Er ist

Ix

oo

i?=i

Diesen Ausdruck differenziert man

oo

M I th

- = 0. x

Man erhält endlich den Wert — 1.

Neuntes Kapitel.

Vom Marimum und Minimum der Funktionen.

60. Erläuterungen.

Im Abschnitt 16 haben wir bereits auseinandergesetzt, daß man aus dem ersten Differentialquotienten einer Funktion erkennen kann, ob ihr Bild, also z. B. die Kurve, die sie darstellt, steigt oder fällt gegen dieAbscissenachse. Wirerkannten, daß die Kurve wächst, wenn der erste Differentialquotient positiv ist, daß sie fällt, wenn der erste Differentialquotient negativ ist. Wir wollen hieran weitere geometrische Untersuchungen über die Funktionen und ihre Bilder anknüpfen.

61. Kennzeichen für das Mannmin und Minimum einer Kurve.

Es sei eine Funktion

y = f(x)

gegeben und wir denken sie uns gezeichnet in Abb.5 (S. 88).

1)

Hier hat das Bild der Funktion, die Linie MN, tn A ihren höchsten Punkt, also ihr Maximum, und in B ihren niedrigsten Punkt oder ihr Minimum. Eine andere Art des Maximums zeigt der Punkt E. Der Punkt A der Kurve ist dadurch ausgezeichnet, daß alle unmittelbar vorhergehenden und alle unmittelbar folgenden Ordinaten (y) der Kurve kleiner sind als die Ordinate AC des Punktes A. Die Ordinaten wachsen also bis zu A und fallen dann. Im Gegensatz hierzu sind alle vorhergehenden und alle folgenden Ordinaten der Kurve größer als

Ist

Abb. 6.

die Ordinate des Punktes B, die in der Abbildung mit BD(y,) bezeichnet ist. Die Kurve wird also bei B zuerst fallen und dann wachsen. Für einen Punkt, in dem ein Maximum oder Minimum eintritt, spielen nun die ersten Differentialquotienten der Funktion eine bedeutungsvolle Rolle. Ist der Differentialquotient positiv, dann steigt das Bild der Funktion, ist er negativ, dann fällt es. Da nun beim Maximum erst ein Steigen, dann ein Fallen, beim Minimum erst ein Fallen und dann ein Steigen der Kurve eintritt, so muß in den betreffenden Punkten ein Uebergang vom Positiven zum Negativen oder umgekehrt, kurz ein Zeichenwechsel eintreten. Das Positive und das Negative sind durch die Null oder durch das Unendliche voneinander geschieden. Findet daher in einer Funktion oder in ihrem Bilde an einer Stelle ein Maximum oder Minimum statt, so muß der erste Differentialquotient der Funktion an dieser Stelle null oder unendlich sein.

Für diese Auseinandersetzungen giebt uns Abb. 5 eine gute Anschauung. Wie wir zeigten, ist der erste Differentialquotient gleich der trigonometrischen Tangente des Winkels, den die Tangente in dem bestimmten Punkte mit der Abscissen-achse macht. In unserer Abbildung läuft die Tangente in A und B mit der Abscissenachse parallel, der Winkel ist also gleich null und die trigonometrische Tangente daher auch gleich null. In E steht die Tangente senkrecht auf der Abscisse, der Winkel ist gleich 90° und die trigonometrische Tangente somit gleich unendlich.

Um nun festzustellen, ob in einem Punkte einer Kurve (Funktion), für den der erste Differentialquotient null ist (wir wollen uns zuerst mit diesem Fall beschäftigen), ein Maximum oder ein Minimum eintritt, muß untersucht werden, ob die Kurve im weiteren Fortschreiten fällt oder steigt. Bei einem Maximum muß die Funktion in der Folge fallen, für ein Minimum wachsen. Daher wird der zweite Differentialquotient hier entscheiden! Ist er negativ, dann hat dieKurve in dem betreffendenPunkte einMaxi-mum, ist er positiv, ein Minimum. Der Beweis ist leicht mit der Taylorschen Reihe zu führen. Das mag der Leser versuchen.

62. Schema für die Untersuchung einer Funktion nach dem Mammum oder Minimum.

Es sei eine Funktion f(x) gegeben. Für den Wert x = x, wird der erste Differentialquotient f'(x,) = 0.

Ist dann

f"(x), negativ, so ist an dieser Stelle ein Maximum, f"(x), pofitit), so ist an dieser, Stelle ein Minimum.

62 a. Ein Beispiel zum Schema.

Um ein Maximum oder Minimum von einer Funktion wirklich zu bestimmen, setzt man daher den ersten Differentialquotienten gleichnull undbestimmt den Wert von x. Diesen Wert setzt man in den zweiten Differentialquotienten; wirddasResultat negativ, dann hat die Funktion für diesen Wert ein Maximum, wird das Resultat positiv, ein Minimum.

Das soll zunächst an einem Beispiel ausführlich illustriert werden. Es sei eine Funktion

y = X³-j- 6x² 15x

gegeben.

Wir wollen untersuchen, ob sie ein Maximum oder Minimum besitzt, und ermitteln, wo es sich befindet. Nehmen wir den ersten Differentialquotienten

dy

~ = 3x²+12x—15.

Wir setzen ihn gleich null und bestimmen aus der quadratischen Gleichung die Werte von x. Also 3x² + 12x — 15 = 0 x²+4x— 5 — 0.

— 2 ± /4 + 5 = — 2±V9 -2±3 = K-

Bilden wir den zweiten Differentialquotienten

g—'+»■

Setzen wir nacheinander die beiden Wurzelwerte ein 6-1 + 12 — +18 6-—5 + 12 = —18.

Für X = -f-1 erhält man also das Minimum und für — 5 das Maximum der Funktion resp. des Bildes, das sie darstellt.

Zunächst wollen wir nun an einer größeren Anzahl von Beispielen dem Leser Gelegenheit geben, diese Methode einzuüben.

63. Aufgaben.

1. Von einem Dreieck seien zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben. Wie groß muß der Winkel sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks ein Maximum wird? (Siehe Abb. 6.)

Z»y

ct

Lösung. In der Trigonometrie wird gezeigt, daß man den Inhalt eines Dreiecks durch die Formel ^

Abb. 6.

F — 1/2 ab • sinx ausdrücken kann.

Schreiben wir der Bequemlichkeit halber y — 2F = ab • sinx.

Es ist nun

dy

—t. = ab • cosx.

dx

u?i a

Also wird ab cosx — 0;

Der zweite Differentialquotient ergiebt — — ab • sinx.

d²y

dx²

Das Dreieck wird also ein solches mit maximalem Inhalt, wenn der eingeschlossene Winkel ein rechter ist.

2. Von einem Rechteck mit dem Bestimmten Inhalt I soll die Grundlinie und die Höhe ermittelt werden, die veranlassen, daß der Umfang U ein Minimum werde.

Lösung. Bezeichnen wir die Grundlinie mit x, dann muß die Höhe durch — ausgedrückt werden, denn es ist

I = x.¹

der Inhalt des Rechtecks.

. I = 2x + 2---

Wir erhalten nun die Formel für den Umfang durch die Formel

Es wird dann

21

dü

dx

Aus 1 — ^ — 0 ergiebt sich

x² = i und x == yr

Wie man leicht sieht, ist der zweite Differentialquotient für x² = I positiv.

Hieraus folgt, daß von allen Rechtecken von demselben Inhalte das Quadrat den kleinsten Umfang hat.

3. Wie heißt das Maximum oder Minimum der Funktion y — x²-|-ax-|-b²?

Lösung. Wir nehmen den ersten Differentialquotienten S⁼2x + a.

Also

2x —|— a = 0)

Der zweite Differentialquotient ist

B=+²-

Die Funktion hat also ein Minimum.

4. In ein Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h soll ein Rechteck, das auf der Grundlinie a ruht, so ge-zeichnet werden, daß sein Flächeninhalt ein Maximum werde. (Siehe Abb. 7.)

Lösung. Die Höhe des fraglichen Rechtecks sei gleich x. Dann kann man die Höhe des kleinen Dreiecks ADE mit

,E

£ a ~~T« T~^C

Abb. 7.

h — x bezeichnen. Mit Hilfe eines bekannten Satzes aus der Proportionslehre ergiebt sich dann

DE =

also

h: (h — x) — a: DE; a(h—x)

Der Inhalt des Rechtecks kann also bezeichnet werden durch ^x(h—-x) = ^(hx —X²).

Da die Konstante keinen Einfluß beim Differentiieren hat, kann ^ fortgelassen werden. Der Leser mag sich davon

überzeugen. Daher ^ j

dx

— = h— 2x

bol er

h— 2x — 0;

Bilden wir den zweiten Differentialquotienten = — 2.

und

d²I dx²

Es giebt also ein solches Maximum, wie der zweite Differentialquotient erweist.

5. In eine Kugel soll ein solcher Kegel eingeschrieben werden, daß sein Mantelinhalt ein Maximum werde.

Lösung. Nennen wir (siehe Abb. 8) den Kugelradius r, den Radius an der Basis des Kegels y, die Höhe des

Sl xl

Abb. 8.

M = y . s • 71.

Kegels x und seine Seitenlinie s, dann wird die Mantelstäche des Kegels

und

Aus der Geometrie erhalten wir dann die Bedingungen y² — x(2r—x) s² — 2rx.

Es wird daher M² = 2rx²(2r—x)n².

Der Einfachheit wegen können wir schreiben:

Y — x²(2r — x) — 2rx² — x³

M²

2tjt²

und es wird

dY

— 4rx — 3x²,

dx

d²Y

dii=4r-⁶¹-

oder

3x² — 4 rx = 0 ₉, 4

x²--rx = 0

3

]/

2 . 3s±

3 3

(0

-r'

Setzen wir den Wert in den zweiten Differential-

4

quotienten ein, dann erhalten wir für x — - r ein Mäximum.

6. Es sei ein rechter Winkel gegeben. Zwischen seinen Schenkeln soll durch einen Punkts, die kürzeste Linie gezogen werden.

(Siehe Abb. 9.)

Lösung. Bezeichnen wir sie mit BC. Die Koordinaten des fraglichen D Punktes seien DE — a und AE — b. Setzen wir außerdem DO —x und BD = y. Wir erhalten nunmehr die Proportion

und hieraus ergiebt sich y —

Dann ist aber BC² = x²-f-

ct

9166. 9.

y:x = b:(x—a),

bx

x — a b²x²

(x — a)²

Nehmen wir den ersten Differentialquotienten

(x — a)² • 2 b² x — b²x² • 2 (x — a)

d (BC²)

(x —a)⁴

Setzt man 2x-|

(x—a)² - 2b²x— b²x² - 2 (x—a)

(x—a)⁴

= 0,

-j-ydbi = DC.

dann ergießt sich x

Damit ist die Lage der Linie BC bestimmt.

Der zweite Differentialquotient ist für dieses x positiv: also ist BC ein Minimum.

64. Die Untersuchung des Mammums und Minimums von Brüchen.

Die Maximum- und Minimumuntersuchungen lassen sich zuweilen wesentlich vereinfachen. Unbequem wird zum Beispiel die Rechnung, wenn der erste Differentialquotient ein Bruch ist. Es sei also

dy

dx

dann wird

d²y

dx²

vdu — udv

v²

Wie wir uns erinnern, muß der erste Differentialquotient gleich null sein. Der Bruch ^ ist aber null, wenn u = 0 wird. Daher muß auch in

d²y

vdu — udv

v²

dx²

der zweite Teil des Zählers null sein, also udv — 0, und vdu du dx² v²

Nehmen wir hierzu ein Beispiel. Es sei

dy (x²-}-l) — x. 2x 1—x2 ~    (x²—|— l)2    = (^²+lj²

= 0 und x = ± 1 — 2x

dx² v (x²-[-l)²

es wird

also

dx

d²y

(l+x) (1—x)

(x²—|— l)2 d²y du

— Maximum.

d²y

dx²

d²_y dx²

Endlich

- —    Minimum.

4    2

65. Das Minimum und Minimum solcher Funktionen,

für die ~ = oo wird.

dx

Wir haben bisher diejenigen Fälle betrachtet, in denen der erste Disferentialquotient null wurde und bei denen in dem betreffenden Punkte die Tangente der Abscissenachse parallel lief. Seltener kommt es vor, daß der erste Differentialquotient unendlich wird. Wie in Abschnitt 61 auseinandergesetzt wurde, steht in dem Falle die Tangente senkrecht auf der Abscissenachse. Diese Untersuchungen sind viel weitläufiger. Die allgemeine Regel, die dann eingeschlagen werden muß und die für jeden Fall gilt, ist die nachfolgende.

Die Funktion wirddifferentiiert und der Wert ermittelt, für den f (x) — 0 oder f' (x) — oo wird. Er sei gleich a. Nehme man nun den nächstvorhergehenden und den nächstfolgendenWertdieserDifferentialquotienten, also f (a—h) und f' (a-(-h). Diese Ausdrücke müssen entgegengesetzte Vorzeichen haben, daß ein Maximum oder Minimum eintreten kann. Ist nun

dann findet ein Maximum statt.

1.    f (a — ü) positiv und f (a-|-h) negativ,

Ist aber

dann findet ein Minimum statt.

2.    f (a — h) negativ und f (a-f-h) positiv,

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Zehntes Kapitel.

Von den Tangenten, Normalen, Subtangenten und Subnormalen der Kurven.

66. Erklärungen.

Es sei eine Kurve gegeben (Abb. 10), die der Gleichung

1)

y = f(x)

entspricht.

Auf der Kurve nehmen wir einen Punkt P an, der die Koordinaten x und y hat. In P ziehe man die Tangente, welche die Abscissenachse in R schneidet und mit ihr den Winkel a bildet. Wir bezeichnen nun die Strecke P R als

Py

's“

JC

'ex

.    ________________J

P Subtanqrente ^Suhnor- $

male

Abb. 10.

die Tangente = T, die im Punkte P auf der Tangente senkrechte Linie PS als die Normale — N der Kurve. Sodann nennt man die Projektion der Tangente auf die x-Achse, also die Strecke RQ, die Subtangente — St und die Projektion der Normale auf die x-Achse, also die Strecke QS, die Subnormale — Sn der Kurve.

67. Formeln für die Tangente rc.

Nunmehr sollen die entsprechenden Differentialausdrücke für T, N, St und Sn gefunden werden. Unmittelbar aus der Ab-

PQ

bildung (siehe Abb. 10) ersieht man, daß — tanga ist.

2)

Da nun der erste Differentialquotient einer Funktion der trigonometrischen Tangente entspricht, so kann man auch schreiben dy PQ . di⁼EQ = tonga'

s)

Aus der Abbildung ergiebt sich außerdem QS    dy

Pä = ‘"sa = E'

4)

Wir erhalten aus 3)

QS — PQtenga

und, da PQ — y ist,

d v

QS = Subnormale = y • ^ = Sn.

In ähnlicher Weise aus Gleichung 2)

P<^ Subtangente = y-x = St.

5)

6) RQ —

PQ

tanga

dy

dy

dx

-2 -2 --2

PR = PQ + QR .

Mit Leichtigkeit sind aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken PQR und PQS auch die Formeln für die Tangente und die Normale zu ermitteln. Nach dem pythagoräischen Lehrsätze ist

PR²= y3 + y

Fügen wir nun die ermittelten Werte in die rechte Seite ein, dann wird

dy,

-4+ED-

68. Umformung dieser Formeln.

Die Differentialausdrücke für die Tangente und die Normale können noch in anderer Form geschrieben werden, in der sie zuweilen bequemer sind. Es sei wiederum eine Kurve gezeichnet, die der Funktion 1)

y = f(x)

entspricht.

P habe die Koordinaten x und y und P, die

Wir denken uns auf der Kurve (siehe Abb. 8 Seite 30) zwei sehr nahe Punkte gezeichnet, die wir mit? und?, bezeichnen wollen.

9)

Koordinaten (x-s-/lx) und (y-j-Jy). Bezeichnen wir die Sehne PP, mit Ab, dann ist nach dem Pythagoras A s² = Ax² -(- Ay².

Kommt der Punkt P, dem Punkt P unendlich nahe, dann geht die Sehne zfs üt ds über und fällt mit dem Kurvenstück PP, zusammen, und Ax und Ay werden zu dx und dy. Daher

10)

Hieraus

7) PR = Tangente = y]/i + | - j In der gleichen Weise erhält man

ps²= pq²+qs²

==y2+(^)3==y2(¹ +

PS = Normale = y]/i +

oder

8)

P-l &

= T.

PL*

M 1^

. Also

= N.

ds² — dx²-|~dy².

Wenn wir den Ausdruck 10) durch dx² und sodann durch dy² dividieren, dann erhalten wir zwei neue Beziehungen, die für die Neuableitung bedeutungsvoll sind. Also

ii)

'ä²=ö+(di)²⁼¹+

'dy'

dx,

12)

dx\²

-i+ E •

dy

Setzen wir diese Bezeichnungen in die Gleichungen 7) und 8) ein, dann erhalten wir die neuen Tangenten- und Normalenformeln

13)

ds

14)

T = Tangente =

N = Normale = ds

und

ydT

69. Die T, N, Sn und St an der Parabel.

Zur Erläuterung des vorhergehenden Abschnittes wollen wir zunächst die Größen T, N, Sn, St für die Parabel ableiten. In der analytischen Geometrie wird gezeigt, daß die Gleichung der Parabel die Form hat y² — 2px.

15)

Differenzieren wir

2y dy = 2pdx

und bilden den Differentialquotienten

16)

dy _ 2p _ p . dx 2y y

Diesen Wert setzen wir in Formel 11) und 12) ein. Also

y²+p²

Daher

Pu O,

Daher

ds

18)

dy

p²+y²

Werden die Ausdrücke 17) und 18) endlich in die Formeln für T, N, Sn und St eingefügt, dann ergeben sich die gewünschten Formeln für die Parabel

N =    = Vp² + y².

6t--- dx

19)

20)

21)

ydy

^ = 2x.

22)

Sn =

dy j p

yr- =    — P-

dx y

Aus 21) und 22) ergeben sich die interessanten geometrischen Sätze:

1.    Die Subnormale einer Parabel ist immer konstant und zwar gleich dem Parameter.

2.    Die Subtangente einer Parabel ist gleich dem doppelten Abscissenstücke.

70. Die analytischen Ausdrücke für Tangente und Normale.

Wir wollen nunmehr noch die analytischen Ausdrücke mittels der Methode der analytischen Geometrie herleiten. Betrachten wir zu dem Zwecke die Abb. 10 (S. 98). Die allgemeine Gleichung einer Tangente ist 7, = ax,-fm wenn y, und x, die laufenden Koordinaten sind. Für die Tangente im Berührungspunkte P sind die Koordinaten x und y. Also wird hier

23)

Differentiieren wir den Ausdruck 24)

dy

25)

dy = a • dx und ■— = a, dx

Wir erkennen aus 25), daß der Koeffizient a von x, die trigonometrische Tangente des Winkels ist, den die Tangente mit der Abscisse macht.

Subtrahieren wir 24) von 23) und setzen den Wert von a ein, dann erhalten wir die Gleichung der Tangente

26)

y,—

’r = 3ik-z)'

Die analytische Formel für die Normale erhalten wir leicht aus derselben Gleichung, es ist gleichfalls nur a zu bestimmen. Also wiederum ist

y,—y = a(x,—x).

Die Normale bildet mir der positiven Richtung der x-Achse den SßhtMPSX,, der gleich 90°+a ist. Also

•)

27) tang PSX =—cot a =

dx

tang a

Somit ergiebt sich als Formel für die Normale

dy

28)

dx

y,—y = — r(x- x)-

dy

¹

   3 ‘ 5    7 ‘

²

Diese Reihe nennt man die Leibnizsche Reihe; man

³

kann mit ihrer Hilfe den Wert von n ermitteln.

⁴

Uns genügt es, gezeigt zu haben, wie Reihenentwickelungen mittels der Differentialrechnung auszuführen sind. Es ergiebt sich, wie sehr viel einfacher diese neuen Methoden sind als diejenigen, die wir im 2. Kapitel vorführten. Wir wollen nun in einer Tabelle die wichtigsten Reihen zusammenstellen.

71. Anwendung auf die Parabel.

Entwickeln wir auch die analytischen Ausdrücke der Tangente und Normale für die Parabel.

Wir erhielten als allgemeine Formel für die Tangente dy,    ,

y'-y = S(x'-x)-

Aus Gleichung 16) ergab sich die Beziehung dy _ p dx

*) Es liegen hier die Formeln

sin (90° -f- «) = cos a) cos (90° -j- a) ------ sin a etc.

zu Grunde, die der Leser beweisen mag.

Somit wird die Gleichung für die Tangente Olt der Parabel

29)

y,—y =

In der gleichen Weise erhalten wir die Gleichung für die Normale der Parabel. Die allgemeine Gleichung lautet

dx

dy

y,—y = — t-(x,—x).

Also wird die Gleichung der Normale an der Parabel

30)

J—J = —

Anmerkung. Zur Uebung möge der Leser die gleichen Aufgaben für die Sinuslinie lösen, deren Gleichung ist y — sin x.

Durch Anwendung der Formeln 5, 6, 7 und 8 gelangt man zu den Ausdrücken

X — sinx ]/l-|-cos²x.

T — tangx . Vl -|-cos²"x!

Sn

sin x • cos x.

St = tangx.

72. Die Bezeichnungen für die Tangente und Normale rc. in Polarkoordinaten.

Häufig ist es vorteilhaft, statt des rechtwinkligen Koordinatensystems sich der Polarkoordinaten zu bedienen. Wir wollen hier zunächst die Formeln für die Tang enten und Normalen in Polarkoordinaten herleiten. Betrachten wir die Abb. 11. In der analytischen Geometrie bezeichnet ntcmo als den Pol des Koordinatensystems und oX als die Polarachse. Ferner nennt man r (oP) den Radius vector und den Winkel« das Argument des Punktes P.

Die Gleichungen, die das rechtwinklige Koordinatensystem mit dem Polarkoordinatensystem verbinden, ergeben sich unmittelbar aus der y Abb.11. Es ist

31) x — r. cos a, y = r • sin a,

r² = X² _]_ y2

Um nun eine Anschauung —^ von der geometrischen Lage der Tangente und Subtangente, der Normale und Subnormale im System der Polarkoordinaten zu gewinnen, betrachten wir die Abb. 12. Es ist uns hier

JP

"OL

Ty

Abb. 11.

Mi

Abb. 12.

ein Bogenstück IK einer Kurve gegeben und auf dieser ein Punkt P. Sind r und a die Polarkoordinaten, dann ergiebt sich als Gleichung der Kurve

Errichten wir nun auf dem Radius vector r im Punkte 0 eine Senkrechte und ziehen durch P die Tangente, welche die Senkrechte in T schneidet. Endlich errichten wir in P die Normale PQ.

Wir erhalten nunmehr folgende Stücke und ihre Bezeichnungen.

Man nennt

PT die Polartangeute = T,

PQ die Polarnormale = N,

TO die Polarsudtangente = St,

QO die Polarsubnormale = Sn.

Diese Strecken sollen nun formuliert werden.

73. Ableitung der Formeln für T, N, St und Sn in Polarkoordinaten.

Der Punkt P (siehe Abb. 12) verschiebe sich um die kleine Strecke PP,. Dann sind die Koordinaten für P,:r-)-dr und a-f-äa. Man beschreibe nun mit r um o einen Kreisbogen, der die Linie P,0 in Q, trifft; es ist dann P,Q, gleich dr. Da wir uns die Strecke PP, unendlich klein vorstellen können, so darf man das Dreieck PP,Q, als ein geradliniges Dreieck betrachten. Dann steht PQ, senkrecht zu P,0 und es ist

PQ, — rda.*)

33)

Dann ist auch

<Q,PP, = <PTO = -£OPQ

die entsprechenden Dreiecke sind ähnlich

P,PQ,^OPT^OPQ.

oder

Daher läßt sich die Proportion bilden TO:PO = Q,P:Q,P, TO: r = rda:dr.

*) Da da sehr klein ist, darf man da = sinda setzen.

Daher

= St.

r^dct

35) TO == Subtangente =

Aus den ähnlichen Dreiecken läßt sich auch die folgende Proportton bilden

36)

OQ:OP = Q,P,:Q,P OQ: r — dr :rda.

oder

Und hieraus folgt

37) OQ, = SubnvMale =

r-dr dr

r • da    da

^ =Sn.

Wenden wir den Pythagoras an, so folgt

pq² = pö²+qö²

oder

/drV

(Normale) ^ — r²-{- (—I -Es ergiebt sich somit für die Normale die Formel

38)

N == Normale =

Verwenden wir wiederum den Pythagoras, so ergiebt sich PT² = PÖ² + OT²

/r²da\ ²

(Tangente? = r²+

oder

Somit erhalten wir für die Tangente die Formel

39)

t = Tangente = rj/i + r²^)²

74. Ein Beispiel.

Wir wollen die T, N, St und Sn in Polarkoordi--naten an der archimedischen Spirale ableiten. Eine

archimedische Spirale entsteht, wenn sich eine gerade Linie um einen festen Punkt 0 dreht, während ein anderer Punkt? auf der geraden Linie sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit bewegt.

Die Gleichung der archimedischen Spirale (siehe Abb. 13) lautet

40)

r — aa.

vos;

Abb. 13.

Die Formel besagt, daß der Radius bector dem Argument proportional ist.

41)

Bilden wir von Gleichung 40) den Differentialquotienten dr

— = a = Sn. da

Wie wir aus Gleichung 37) wissen, ist das der Ausdruck für die Subnormale. Die Subnormale ist also für alle Punkte der archimedischen Spirale konstant. Wir erhalten sehr leicht die Formel für die Subtangente, wenn wir den Wert von 41) in die Form 35) einfügen. Also

dr

Subtangente —

43)

Mit Verwendung von 40) endlich a². a²

— aa².

Setzen wir unsere Werte in die Formeln 38) und 39) ein, so ergeben sich die Ausdrücke für

und

4)    die Tangente T — rVl —(— ot³

5)    die Normale N = aVl-4-a².

75. Von der Asymptote.

Eine Asymptote ist eine Tangente, die eine Kurve in einem unendlich fernen Punkte berührt.

In der analytischen Geometrie machen wir die Bekanntschaft der Asymptoten bei der Untersuchung über die Hyperbel.

Py

fr

Abb. 14.

Wir wollen nun die Methode ermitteln, um bestimmen zu können, ob eine Kurve eine Asymptote hat. (Siehe Abb. 14.)

In unserer Abbildung sei MN ein Kurvenstück einer krummen Linie, die durch die Gleichung gegeben ist

46)

y = f(x).

Ferner sei UV die im folgenden näher zu bestimmende Asymptote. Sie kann ermittelt werden durch Bestimmung

der Punkte R und U, die sie gemeinschaftlich mit der p und der x-Achse hat. Nehmen wir nun an, es sei P ein Punkt der Kurve, der durch die Koordinaten x und y bestimmt ist. Ferner sei PT die Tangente im Punkte P. Je mehr P nachN zu gleitet und darüber fortgeht, um so mehr nähert sich S dem Punkte R. Wird x = oo, dann werden auch die Stücke UT und SR unendlich klein. Um zu einem analytischen Ausdruck zu gelangen, wollen wir To und So durch x ausdrücken. Bleiben To und So für den Wert x = oo selbst endlich, dann ist eine Asymptote für die gegebene Kurve vorhanden. Bleibt eine der beiden Strecken endlich, während die andere unendlich wird, dann ist die Asymptote einer Koordinatenachse parallel. Werden endlich die genannten Strecken gemeinschaftlich zu null, dann geht die Asymptote durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems hindurch.

Stellen wir nun folgende Ueberlegungen an: In unserer Abbildung ist oT negativ und öS positiv.

.    dy

oT = x — der Subtangente — x — St

₀g __ol.    .

dx

Fügen wir den Wert der Subtangente ein, dann ist oT — x

Es wird

und

47)

dx

?r,

und

Wird in diesen Ausdrücken x=oo, dann ergeben sich die Grenzwerte von oT und öS.

48)

76. Ein Beispiel zur Erläuterung der Asymptoten.

Die analytische Geometrie entwickelt für die Hyperbel die Formel

Wir wollen die Asymptote für die Hyperbel bestimmen. Es ist zunächst

50)

dy

dx

Vx²— a²

Diesen Wert wollen wir in die Ausdrücke 47) und 48) einfügen; dann ergiebt sich

51) oT = x — ^/x

² —a²-r-.

Vx² —a²

und

x² — a²    x² — x²-f-a² a²

h-1*n=

a    a

52) OS =

]/x² — a²

b(x²—a²) — bx2 a/x²— a²

ab

Vx² — a²

Setzen wir nun in die Ausdrücke 51) und 52) x = oo, dann werden sie beide gleich null. Nach unseren Ausführungen in Abschnitt 75 geht somit die Asymptote an der Hyperbel durch den Anfangspunkt des Koordinatensystems. Nunmehr muß noch der Berührungswinkel a bestimmt werden. Es ist

dy

58) lang a = ^

p | er

Vx² — a²

p I er

Setzen wir x = oo, dann ist

54)

lang a = dz —•

Elftes Kapitel.

Von der Konvexität, der Konkavität und von den Wendepunkten einer Kurve.

77. Erklärungen.

Legt man an einen Punkt einer Kurve eine Tangente, dann nennt man die Kurve nach unten konkav (also nach der Abscissenachse zu), wenn alle benachbarten Punkte, wie bei?,, unterhalb der Tangente liegen (sieheAbb. 15).

P Z

v"

4,

Q///

Abb. 15.

Man nennt eineKurve nach unten konvex, wie bei?,,, wenn die benachbarten Punkte über der Tangente liegen. Ein Punkt endlich, wie bei ?,,„ bei dem die Konkavität in die Konvexität oder umgekehrt übergeht, nennt man einen Wendepunkt.

78. Ableitung, um die Bedingungen für die Konkavität und Konvexität einer Kurve festzustellen.

Es sei eine Kurve gegeben, deren Gleichung ist

1)

y = f(x).

Wir wollen die Bedingungen für ihre Konkavität oder Konvexität ermitteln. Betrachten wir hierzu die Abb. 16.

In dem hier gezeichneten Kurvenstück hat der Punkt P die Koordinaten x, y. Wir denken uns durch P die Tangente gezogen. Dann sieht man, daß die Kurve nach unten konvex ist, weil alle dem Punkte P benachbarten Punkte, wie z. B. P, und P„, über der Tangente liegen.

at ■* a

Mbb. 16.

Qr,

Die Ordinalen der Punkte P, bezw. P„ haben mit der Tangente die Durchschnittspunkte t, bezw. 1„. Da, wie bekannt, die Ordinaten nach oben hin wachsen, so müssen die Strecken P,t, und P„t„ positiv also größer als null sein. Wir schreiben somit

2)

und

Hat, wie wir oben angaben, P die Koordinaten x und y, so hat P, die Abseisse (x—h) und P„ die Abscisse (x+h). Entwickeln wir nun nach dem Taylorschen Satze

3) P„Q„=f(x+h)=f(x) + f'(x).h

f,z(x)h2

21

3!

Ziehen wir durch P eine parallele Linie zur Abscisse und * bezeichnen die Durchschnittspunkte mit den Ordinaten mit U, U,„, dann ergeben sich folgende Beziehungen:

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Im rechtwinkligen Dreiecke t„U„P ist

4)    t„U„ = PU„ • tanga = h • tanga — h • f'(x).

Daraus folgt, daß

5)    = t„U„ + U„Q„= y + ^U„ — y -f- h fXx)

oder

5 a)

QA = f(x) + hf'(x) ist.

6)

Subtrahieren wir nun 5 a von 3), dann folgt f"(x) h²

2!

In derselben Weise wollen wir den Wert von P,t, ermitteln. Wiederum gilt uns der Taylorsche Satz

7) P,Q,= f(x-h) = f(x)-f(x).h+    2|

f"(x)h*

Es wird

8)

t,U, — — h - tanga — — hf'(x).

9)

10)

In gleicher Weise wie in 5)

Q,t, — y — t,U, = y — hf'(x) = f(x)—h-f'(x).

f"(x)h²

Also endlich

PfQ/ — t/Qf —    2|

Man erhält hieraus den Satz: Ist der zweite Differential-quotient einer Funktion y=f(x) positiv, dann ist die Kurve, die ihr entspricht, nach unten konvex.

78 a). Bedingungen für die Konkavität einer Kurve.

(Stehe Mb. 17.)

Durch dieselben Schlüsse wird festgestellt daß eine Kurve nach unten konkav ist, wenn der zweite Differentialquotient der Funktion, dm sie darstellt, negativ ist.

79. Der Wendepunkt.

Aus dem Vorstehenden ist leicht zu ersehen, daß, wenn der zweite Differentialquotient null oder unendlich wird, die Äurbe für diesen Punkt vom Konkaven zum Konvexen oder umgekehrt übergehen kann. An dieser Stelle wird sich also in gewissen Fällen ein Wendepunkt

Abb. 17.

befinden. (Siehe P,„ in Abb. 15.) Wir wollen die Kennzeichen näher untersuchen. Hat sich herausgestellt, daß für einen bestimmten Wert von x der zweite Differentialquotient null oder unendlich geworden ist, so muß man die unmittelbar vorangehenden und folgenden Punkte untersuchen.

Ist f"(x—h)>o und f(x-fh)<o, dann geht die Kurve von der Konvexität zur Konkavität über, und in P befindet sich ein Wendepunkt.

Ist dagegen dann geht die Kurve von der Konkavität zur Konvexität über, und in P ist gleichfalls ein Wendepunkt.

80. Beispiele.

1. Die Parabel soll auf ihre Konkavität und Konvexität untersucht werden.

Die Gleichung der Parabel lautet y² = 2px.

Wir nehmen die Differentialquotienten 2ydy = 2pdx. dy _ 2p _

Daher

dx

2y

Sodann

d²y

dx²

Pdy

- 2p

p²

y²

2yy

d²y

Wie man nun sofort erkennt, wird für positive

Werte von y negativ. Die obere Hälfte der Parabel ist also nach unten konkav. Setzt man für y negative Werte, d²y

dann ist positiv und wir sehen, daß der untere Teil

der Parabel nach unten konvex ist. Da für keinen end-d²y

lichen Wert von y ^^verschwindet, so ist kein Wendepunkt vorhanden.

2. WirwollendieSinuslinieuntersuchen. DieGleichung der Sinuslinie ist

Wir nehmen die Differentialquotienten. Also

y = sin x.

dy

—- = cosx

dx

und

d²y

dx²

— — sin x.

d²y

Wie man sofort sieht, wird für die Werte negativ, die zwischen o und n liegen. Die Kurve wird somit dort

nach unten konkav sein. Die Werte zwischen n und d²y

eingesetzt in ergeben ein positives Resultat; und es zeigt sich, daß die Sinuslinie nach unten konvex ist. Zu

J?

23?

MV. 18.

null wird der Differentialquotient für die Werte o, n, 2jz 2c. Hier befinden sich Wendepunkte; sie liegen alle, wie Abb. 18 zeigt, auf der Abscissenachse.

Zwölftes Kapitel.

Die Krümmung der Kurven und der Krümmungskreis. Evoluten und Evolventen.

81. Ueber die Berührung von Kurven.

1)

Wenn zwei krumme Linien, die durch die Gleichungen y — f(x) und jt, = y(x) dargestellt und die auf dasselbe Koordinatensystem mit dem gleichen Anfangspunkte bezogen sind, für einen bestimmten Wert von x ein übereinstimmendes Resultat ergeben, dann müssen sie beide durch denselben Punkt P gehen. Das ist unmittelbar einleuchtend und folgt aus dem Begriff der Funktion. Lassen wir nun x in den beiden Funktionen um

die kleine Größe h zunehmen und entwickeln wir nach dem Taylorschen Satze. Also

h²

2) f (x+h) = f (x) + f (x) -h-f f" (x)—+ ...

2!

h²

9»(x+h) = 9?(x) + (p'(x) . h-f <p"(x) — -f-...

2!

Sind nun in den Funktionen außer f (x) — <p(x) auch noch f'(x) — (p'(x), resp. f"(x) — (p"(x) ic. einander gleich, dann findet im Punkte P zwischen den beiden Kurven eine Berührung erster, zweiter u. s. f. Ordnung statt.

Wird sogar fn(x) — <pn(x), dann ergießt sich eine Berührung riter Ordnung; die Kurven schmiegen sich also am innigsten aneinander. Wir wollen diese Auseinandersetzung an einem Beispiel noch klarer machen.

Es sei eine Parabel von der Form y² = 4x

gegeben. Es soll die parabolische Linie ermittelt werden, die im Punkte P mit den Koordinaten ^ mit der gebenen Parabel die innigste Berührung hat. Die Gleichung für die parabolische Linie sei

7i = a + ßx-\-yx*.

Bilden wir nun die Differentialquotienten aus 7i = a-\-ßx-\-yx3 y² — 4x y = 2fx

dx = ß+Syx'; d²y₁

d5=⁶^

UNd

oder

d²y

d^²

ge-

P-l

Vx

2l/x⁸

Nach unseren obigen Bemerkungen müssen also, wenn in P eine innige Berührung stattfinden soll, für x — 4 auch die Differentialquotienten gleich sein. Zur Ermittelung der Koeffizienten in der parabolischen Gleichung können dann die folgenden drei Gleichungen aufgestellt werden:

a + 4l+64y = 4,

/J+48J' = 7„

24y = -Vie-

Wir erhalten die Werte — ⁵/s < ß — ®/s > 7 — — Vs84-Somit hat die gewünschte parabolische Linie die Form

y, = Vs + Vsx —Vss4X³.

Es findet also hier eine Berührung zweiter Ordnung statt.

82. Der Krümmungskreis.

In der Theorie über die Krümmung der Kurven spielt die Aufgabe eine wichtige Rolle, den Kreis zu ermitteln, der mit einer Kurve in einem bestimmten Punkt P die innigste Berührung hat. Man nennt diesen Kreis den Krümmungs- oder Oskulationskreis und seinen Radius den Krümmungsradius.

Im folgenden sollen die Formeln für den Krümmungsradius und die Koordinaten für den Mittelpunkt des Oskulationskreises bestimmt werden. Dazu wird es gut sein, sich zunächst eine geometrische Vorstellung vom Krümmnngskreise zu schaffen. Betrachten wir zu dem Zwecke Abb. 19 (S. 120).

Die Kurve HI sei gegeben durch die Gleichung

3)

y — f(x)-

Wir legen an diese Kurve im Punkte P eine Tangente TF und eine Normale PU. Man ist nunmehr im stände, von jedem Punkte der Normalen aus Kreise zu schlagen, die die Kurve HI im Punkte P berühren und deren gemeinschaftliche Tangente TF ist.

Derjenige von allen diesen Kreisen, der mit der Kurve HI die innigste Berührung eingeht, ist der Osku-lationskreis. Um nun die gewünschten Bestimmungsstücke zu finden, können wir ähnlich Verfahren wie in der vorbereitenden Aufgabe in Abschnitt 81. Wir bezeichnen die Koordinaten des Punktes P mit x und y und die Koordinaten vom Mittelpunkte M des Krümmungskreises mit a und ß; sein Radius werde mit q bezeichnet.

Pj

nM

Abb. 19.

Wir werden daher, wie in 81, die Differentialquotienten für die Gleichung der Kurve y — f(x) und für die Gleichung des Kreises (y±—ß)² -J- (x—a)² — q2 bilden. Es ist hierzu gut, die Kreisgleichung ein wenig mnzuschreiben. Also

4)    yx — ß-]-{Q² — (x—a)²}1/a und y — f(x). Daher

5) lZi_

⁵⁾ dx

dy

(ß² — (x—a)²}1/l’

_ = r(X) = p*)

d²yi

dx²

Q²

{^²— (x — a)²}8/a*

*) Man bezeichnet sehr häufig nach dem Vorgang Differentialquotienten mit p, den zweiten mit q, den d

g = H«» = ,

e von Euler den ersten ritten mit r rc.

Zur Bestimmung des Oskulationskreises müssen jetzt a, ß und q ermittelt werden. Das geschieht durch die drei Gleichungen

6)

ß {q²—(x a)²}¹/" — y

{g²— (x—a)²}1/a

= q-

{p²— (x—a)²}3/s Führen wir die Rechnung nach den Gesetzen der Algebra aus, dann ergiebt sich

p u+p²)

Q = ±

q

Wir wollen diese Ausdrücke mit Hilfe der Bestimmungen in Abschnitt 68 noch etwas umformen. Dort wurde gezeigt, daß man für dx²-|-dy² — ds² setzen kann. Schreibt man nun dy

p===d^

7)

8)

dann wird

8 a)

1+P² =

(i+p²)%

dy

u"d P² = ldi

dx²-(- dy:

'ds\²

dx²

Die Formeln 7) gehen somit über in /ds\²

,dx,

dx

rp

ß = y+—

¹ q

(L)

83. Die Krümmung der Kurven.

Von allen krummen Linien hat bekanntlich nur der Kreis stets dieselbe Krümmung, und zwar ist diese um so größer, je kleiner der Radius ist. Man pflegt daher die Krümmung eines Kreises dem reciproken Werte des Radius gleich zu setzen. Also

Krümmung — ^ •

Parabel sei

Alle anderen Kurven haben in den verschiedenen Punkten verschiedene Krümmungen. Man mißt die Krümmungen, indem man an den einzelnen Punkten ihren Osku-lationskreis ermittelt. Bestimmen wir jetzt den Oskulationskreis für die Parabel. Die Gleichung der y² — 2ax.

Wir bilden die Differentialquotienten.

d7

d²y

dl²

dx y P* (Siehe Anmerkung zu Abschnitt 82.)

_ _ «_dy

y² dx

a²

-«= q-

yd

Entwickeln wir nun die Werte, die in den Formeln 7) hervortreten, und setzen sie in diese ein.

Daher

Es ist l+p2=l-f--

«²+y²

a²_ a²-f-y²

«i = X —

y²    a²-f-y² a

y² ' y'

E= X

«²+y

y²

= y _ («²+y²)y ₌ y3 «²+y

ßi = 7

a²

a²

2\⁸/₂

Q =±

(«²+y²)%

a²

y³

■(-

y³

(a²-j-y²)8/a

a²

(a²-)-2stx)^

a²

Ist hier x — 0, dann wird in diesem Punkte

Q    (X.

Der Krümmungsradius im Scheitel der Parabel ist somit gleich dem Parameter. Die Koordinaten und ßx des Krümmungskreises werden

a₁ = a und A — 0.

Der Krümmungsradius § muß natürlich immer positiv sein; man wählt daher dasjenige Vorzeichen, das ihn positiv macht. Für die Parabel ist also der Parameter entscheidend.

84. Evoluten und Evolventen.

Denken wir uns in Abb. 19 (S. 120) statt eines Punktes P eine ganze Zahl auseinanderfolgender Punkte Plf P₂2C. gezeichnet und für einen jeden den entsprechenden Krümmungsmittelpunkt konstruiert. Dann giebt die Verbindungslinie aller dieser Krümmungsmittelpunkte eine neue Kurve. Man nennt sie die Evolute der gegebenen Kurve. Die Ursprungskurve bezeichnet man als die Evolvente. Man kann sich die Beziehung der Evolvente und der Evolute durch die folgende Konstruktion leicht vergegenwärtigen. Man zeichne sich eine nach oben konvexe Linie AB und befestige in A einen Faden, der zunächst über die Kurve gespannt sei. Wird nun, indem man den Faden stets stramm zieht, der Faden abgewickelt, dann beschreibt der Punkt B eine neue Kurve. Diese ist die Evolvente, die Abwickelnde; die ursprünglich konvexe Kurve wird die Evolute oder abgewickelte Linie genannt.

85. Zusammenstellung der Regeln, um die Formen der Kurven zu ermitteln.

Ist von einer Funktion y — f(x)

a)    der erste Differeirtialguotient in einem Punkte (x, yt) gleich null, dann läuft die Tangente der X-Achse parallel;

b)    der erste Differentialquotient für einen Punkt (xt yt) unendlich, dann steht die Tangente in dem betreffenden Punkte auf der X-Achse senkrecht;

c)    der erste Differentialifnotient, wie in a), gleich null und der zweite Disferentialquotient positiv, dann hat die Kurve in diesem Punkte ein Minimum;

d)    der erste Disferentialquotient, wie in a), gleich null und der zweite Differentialquotient negativ, dann hat die Kurve in diesem Punkte ein Maximum;

e)    der erste Disferentialquotient für einen bestimmten Wert a, wie in b), unendlich und für

J, dann findet ein Maximum statt;

f'(a—h)>0

f(a+h)<0

f)    der erste Differentialquotient für einen bestimmten Wert», wie in b), unendlich und für

ff[^<⁰}, dann findet ein Minimum statt;

(In e) und f) bedeutet h eine sehr kleine Größe.)

g)    der zweite Differentialquotient für einen Punkt (xy) positiv, dann ist die Kurve nach unten konvex;

h)    der zweite Differentialquotient für einen Punkt (xy) negativ, dann ist die Kurve nach unten konkav;

i) der zweite Differentialquotient für einen Punkt (xy) null oder unendlich, dann findet in ihm ein Wendepunkt statt, wenn

oder

f"(x—h) > 0 und f"(x-)-h) <T 0 f"(x—h)<0 und f"(x+h)>0 ist; (Auch hier bedeutet h eine sehr kleine Größe.)

k) In einer Funktion y —k(x) ist der Mittelpunkt des Krümmungskreises bestimmt durch die Koordinaten

l+P2 P—— —

q

na rd

q

und der Radius durch die Formel (i+p²)s/a

'ds\³

dx,

•P

P^l PL

H ^

PLI PL M IM

MNUNUM

M»

eH Oi

Maximum

mnmrrvW

l"tt

SS

AV

mnmruM

SS

VA

Konvex

SIS

Ms

PLI pu

*tk

SS

Wendepunkt

AV

Schlüssel für die Untersuchung der Kurven.

Sn

8*P

ss

VA

Dreizehntes Kapitel.

Die Bildung der Differentialquotienten von mehreren unabhängigen Veränderlichen.

86. Erklärungen.

Es sei eine Funktion von der Form

1)

z = f(x, y)

gegeben. In ihr bedeuten im allgemeinen x und y die unabhängigen Variabeln und z die abhängige Variable. Wir können in der Funktion 1) drei Fälle unterscheiden:

a)    Ist x konstant und nur y veränderlich, dann stellt 1) eine Linie dar, die in einer Ebene liegt, welche der zy-Ebene des Koordinatensystems parallel ist.

b)    Ist dagegen y konstant und x veränderlich, dann liegt die Linie, die die Funktion giebt, in der Ebene, die der xz-Ebene parallel ist.

c)    Sind endlich x und y veränderlich, dann erhält man durch 1) eine Fläche, wie in der analytischen Geometrie gezeigt wird.

Um das klar zu legen, sei z. B.

z — 3x²-|-xy²-|-y⁴.

Wir wollen zuerst annehmen, daß, wie in dem Fall b), nur x eine Veränderliche sei und y konstant; dann muß sich selbstverständlich auch z verändern. Will man den Differentialquotienten bilden, dann muß man sich bewußt bleiben, daß z sich nur in Beziehung auf x verändern soll. Man deutet das dadurch an, das man die Ableitung mit einem runden d schreibt. Also

dz * u dz öx s (l dx'

dz

Man nennt ^ die partielle Ableitung von z nach x oder den partiellen Differentialquotienten.

Differentiieren wir in diesem Sinne unser Beispiel dz    ,

5 = 6x+r'

In gleicher Weise können wir die Funktion z auch nach y differentiieren; dann betrachtet man x als konstant. Also

dz    .

dy

— = 2xy-j-4y³.

87. Ableitung der partiellen Differentialquotienten.

Bei der allgemeinen Ableitung der partiellen Differentialquotienten wollen wir uns der Ueberlegungen erinnern, die wir im vierten Kapitel anstellten. Es sei also

i)

z = f(x, y).

Nehmen wir zuerst an, es sei nur x variabel und es wachse um die kleine Größe Ax. Dann ergießt sich

f(x-f-Jx,y) —f(x,y)

2)

dz

j— — lim • ox Jx=0

Ninimt sodann in derselben Weise y um Ay zu, bet konstantem x, so ist

Ax

3)

dz

f(x,y-Hy) — f(x,y)

— lim -A 7=0

Die Gleichungen 2) und 3) stellen also ganz allgemein die partiellen Ableitungen von z nach x und nach y dar.

Man pflegt die Gleichungen zuweilen noch in anderer Weise zu schreiben. Man bezeichnet nämlich die Größe, um die sich z ändert, wenn x um Ax zunimmt, häufig mit 4s z und die Größe, um die sich z ändert, wenn sich y um Ay erweitert, mit A₇z. Man nennt dann Axz bezw. Ayz Me partielle Zunahme von z in Beziehung auf x resp. y. Verwenden wir diese Schreibart, so erhalten wir

dy

Ay

)    z-|-Zlxz = f(x-j-Jx,y)

und

)    z-j-JyZ = f(x,y+Jy).

Subtrahieren wir nun von 4) und 5) die Gleichung 1), dann ergeben sich die Ausdrücke

6)

Zfxz = f(x-{-zfx,y)— f(x,y)

und

Ayz = f(x,y+Jy) —f(x,y).

Wir machen nun einen kleinen Kunstgriff und schreiben die Gleichungen 6) in der Form

f(x-f-Zlx,y)— f(x,y)

7)

Axz —

Ax

• Axt

• zJy.

f(x,y+Jy)-f(x,y)

Nähern sich Ax und Ay der Grenze null, dann müssen auch Axz und Ayz unendlich klein werden. Schreibt man

Ax = dx und Ay = dy,

dann sind auch

Axz — dxz und Ayz = dyZ.

Man bezeichnet solche Ausdrücke als partielle Differentiale.

Die Gleichungen 7) können nach diesen Auseinandersetzungen mit Berücksichtigung der Gleichungen 2) und 3) nun auch geschrieben werden

8) dxz — lim .

Jx = 0

Ax

⁼ äx'dx,

f(x.y+^y) — f(x<y)

dyZ — lim •

Jy = o

Im vorstehenden haben wir die Fälle a) und b) aus Abschnitt 86 allgemein behandelt und in 8) die partielle Zunahme von z nach x resp. y erhalten. Wir wollen nun den Fall c) allgemein betrachten, in dem in der Funktion

• /ly = dy.

dJ

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

■Ay.

z — f (x, y) sich X und y zusammen um die kleinen Werte Ax imb Aj verändern. Dann bezeichnet man die Aenderung von z als die totale Zunahme und schreibt sie Az.

Es sei

1)

z = f(x, y).

Es soll mm, wie bemerkt, xum Ax und y um/ly wachsen; dann ergiebt sich

9)

10)

z-j-Az = k(x-j-/lx,y-s-/ly).

Subtrahieren wir 1) von 9), dann ist

Az = f(x-f-/lx,y-j-zfy) — f(x,y).

Verfahren wir nun mit diesem Ausdruck in derselben Weise, wie wir es in Abschnitt 24 bei Gleichung 58) (S. 43) thaten, so gelangen wir sofort zu der Form

11) Az — f(x—{-Jx,y-J-/fy) — f(x,y—|—Jy)

+f(x,y+z,y) —f(x-y)-

Um die Ausführungen besser überschauen zu können, wollen wir schreiben

y + zly = u.

Dann geht 11) über in

12) Az — f(x-f-/lx,u) — f(x,u)-f-f(x,y-f-/ly) — f(xy).

Ordnen wir nun 12) und dividieren und multiplizieren die entsprechenden Teile mit Ax und Ay, dann erhalten wir

ksx-s-zlx, u) — f(x, u)

13) Az =

Ax

■ Ax

f(x>y+^y) —f(x>y)

Ay

Nähern sich Ax und Ay der Grenze null, dann geht Az in äz über. Also dz==_dx + _dy.

oder kürzer 16a)

14) dz — lim •

Jx=0

Ax

• Ax

•Ay.

+ lim.

Jy=o

Wir setzen nun wieder u = y-j-Ay. Der Grenzwert lim - u tvxxb gleich y, daß für ihn somit u = y ist. Wir schreiben ferner für Ax = 0, dx und für Ay = 0, dy.

Aus den Gleichungen 2) und 3) und dem Vorstehenden

folgt

15) lim«

Jx = 0

f(x—|—A,u)— f(x,u) _ d(x,u) _ df(x,y)

Ax

dx

dx

dx

und

lim .

Ay = o

f(x,y+^y)—f(x-y) _ d(x,y)

dy dy

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung 14) ein, dann haben wir die Formel für die gewünschte totale Zunahme der Funktion

16)

dz —

öf(x,y)<ix¹

dx

dJ

dy

Das totale Differential ist also der Summe der partiellen Differentiale gleich.

88. Beispiel.

Führen wir die vorstehenden Auseinandersetzungen an unserm Beispiel in Abschnitt 86 weiter aus. Wir hatten dort

z — 3x²-L|-xy²-|-y⁴

dz

und    ^-=6x + y

2.

dz

— = 2xy-J- 4y³.

In die Gleichung 16a) eingefügt, ergiebt das dz = (6x-f-y²)dx -f- (2xy-j-4y³)dy.

89. Funktionen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen.

Es kommen in der Rechnung zuweilen auch Funktionen vor, in denen mehr als zwei unabhängige Variablen sich befinden, z. B.

17)

z = f(r, s,t).

Um die Differentialquotienten für sie zu ermitteln, müssen die gleichen Ueberlegungen wie im Abschnitt 87 angestellt werden. Für Gleichung 17) erhält man dann

18)

dz

dz

dz = _dr+_ds+_dt.

Der Satz zu 16a) ist also ein ganz allgemeiner Grundsatz: Das totale Differential ist immer (die Zahl der unabhängigen Variablen kann beliebig groß sein) gleich der Summe der partiellen Differentialquotienten.

90. Die höheren partiellen Differentialquotienten.

Wir wollen nochmals zu unserem Beispiel in Abschnitt 86 zurückkehren und an diesem speziellen Fall die Bildung der höheren partiellen Differentialquotienten zeigen. Es war z — 3x²-j-xy²-|-y4 dz    ,    ₀ dz    io

— = 6x + y2; — =2xy-f4ys.

Differentiieren wir nun nochmals und zwar den Ausdruck, den wir nach x differentiiert haben, nunmehr nach y und den anderen jetzt nach x. Dann ergiebt sich

»a

und

<9y

= 2y;

i)

75T “

Aus diesem Beispiel erkennen wir, daß wir dasselbe Resultat erhalten, gleichgültig, ob wir eine Funktion erst nach x und dann nach y oder erst nach y und dann nach x differenzieren. Der Satz ist von allgemeiner Bedeutung: „Die Reihenfolge der partiellen Differentiation ist gleichgültig". Es ergießt sich

19)

mjM.

dy dx

Oder zusammengezogen 19 a)

d²z

d²z

dx> dy dy•dx

Nach dieser Vorbereitung ist die Ableitung für die zweite Differentiation nicht mehr schwer. Wir erhielten für

z = f(x,y):

dz . dz

äz = 5dx + äA

Setzen wir jetzt in 16) überall für z den Ausdruck dz, dann geht 16 a) über in

20)    d (dz) —    dx

1)

16a)

d (dz)

dy

dy.

Entwickeln wir nun jeden der beiden Ausdrücke auf der rechten Seite, indem wir einmal nach x und dann nach y differentiieren:

21)

d (dz) d²z

dx dxüdx

d² z

d (dz)    d²z

dy ~ dy•dx

Multiplizieren wir endlich, der Gleichung 20) entsprechend, von den vorstehenden Gleichungen die erste mit dx und die zweite mit dy und addieren, dann erhalten wir den Ausdruck

dx

d²z

dy²

dy

d²z

22)

d²z

dy²

dy²-f~ 2 •

d²z

dx • dy

dx • dy

und unter Verwendung von 20) 23) d²z

d²z

dx² -J-

S²Z

dy²

dy² -j- 2 -

d²z

dx • dy

dx. dy.

dx²

Wie man sieht, erscheint hier das Gesetz der Binomialkoeffizienten.

Vierzehntes Kapitel.

Entwickelung der Differenttalquotienten für die nicht entwickelbaren Funktionen.

91. Allgemeines.

In Abschnitt 12 wurden wir mit Funktionen bekannt, die nicht nach der einen Variablen aufzulösen sind. Wir nannten sie unentwickelte oder implizite Funktionen. Man bezeichnet sie gewöhnlich mit 1) F(x,y) = 0; f(x,y) = 0; y(x,y) = 0 rc.

x³y -j- x? — sin (x-f-y) — 0.

Wir wollen sie auch noch in dem folgenden speziellen Beispiel vorführen:

Es soll nun gezeigt werden, wie man von ihnen die Differentialquotienten bilden kann, ohne sie auflösen zu müssen.

92. Bildung der Differentialquotienten der impliziten Funktionen.

Die Ableitung ist verhältnismäßig einfach mit Anlehnung an die Ausführungen des vorigen Kapitels durchzuführen. Wir setzen

1)

F(x,y) = 0.

Es ist also auch hier y eine Funktion von x, nur ist die Form, in der das Verhältnis zum Ausdruck

kommen sott, nicht unmittelbar bekannt oder doch nur unter Schwierigkeiten zu entwickeln. Wir wollen daher den nachfolgenden Weg einschlagen, um dahinter zu kommen. Gehen wir von dem entsprechenden Ausdruck des vorigen Kapitels

z = F(u,v)

2)

aus und nehmen an, daß auch u und v Funktionen von x seien, also z. B.

u = <p(x) und v — ^(x). Differentiieren wir 2), dann folgt

3)

dz

dz

dz — — du-4- — dv. du ¹ dv

4)

Dividieren wir 3) durch dx, dann geht es über in dz    d z du . dz dv

dx    dudx 'dvdx

Mit Verwendung von Gleichung 2) und indem wir für F(u,v) kurz F setzen, können wir nun wiederum diesen Ausdruck schreiben

dFdu , dFdv dudx ‘ dvdx

5)

Nehmen wir für einen speziellen Fall an, es fei u = x, v = y und z = 0 geworden, so vereinfachen sich die Ausdrücke, aus denen sich 5) aufbaut, in der folgenden Weise. Es geht über

z = F(u,v) in F (x, y) — 0

6)

öF

öF

-r— in -s—

du

dx

ÖF , ÖF — in e v 0 y

dy

dx

dx

dv _ dy

dx dx

sowie

dz

dx 0-

8)

Fügen wir die Beziehungen von 6) und 7) in Gleichung 5) ein, dann geht sie nunmehr über in dF , dF. dx ' dy

Daraus ergiebt sich der gesuchte erste Differentialquotient

dF

Und endlich wird

7)

du dx

dx dx

-r-=l

3F(x,y)

9)

dy

dx

dx

dx dF

<?F(x,y)

dy

dy

Häufig bedient man sich zur Aufstellung der Formel 9) einfacherer Ausdrücke für die partiellen Ableitungen. Man schreibt für

d F (x, y)

dx

= F₁(x,y)

und

8F(x,j)

öy

= F₂(x,y).

Die Ableitung nach der ersten Variablen x wird also mit Fi und die Ableitung nach der zweiten Variablen y mit F₂ bezeichnet. Dann geht 9) über in

Fi (x,y)

9 a)

dy

dx

F₂ (x,y)

93. Beispiele.

1. Die Gleichung eines Kreises

x²-|-y²—r²= 0

sei gegeben. Wie heißt der erste Differentialauotient?

Lösung. Die Gleichung des Kreises wird zuerst nach x und dann nach y disferentiiert, wie es in Kapitel 13 auseinandergesetzt wurde: dF(x²-j-y²— r²)

— Ft(x²-j-y²— r²) — 2x

dx

und

dF(x²-)-y²— r²)

dy

— F₂(x²-f-y² — r²) — 2y.

Setzen wir diese Werte in 9) bezw. 9 a) ein, dann ist dy _    Fl (x²4~y²—r²)

2x

dx

F₂(x²-|-y² — r²)

2. Es sei gegeben

608 x— acosy = 0.

Bilden wir die partiellen Differentiale

Fl (cos x — a cos y) = — sin x F₂ (cos x — a cos y) — a siny.

dy

Fl (cos x — a cos y)    sin x

F₂ (cos x — a cos y)    a sin y

3. Es sei gegeben

x3-j~y³ — 3 axy — 0.

und

Bilden wir die partiellen Differentiale

Fi(x³-(-y³—3 axy) — 3x² — 3ay F₂ (x³ -(- y³ — 3 axy) — 3y² — 3ax.

3(x²— ay) 3(y² — ax)

Somit

dy

dx

3x² — 3ax

3y² — 3ax ay — x2 y²—-ax

4. Es sei gegeben

ex —    -s- xy — 0.

Die partiellen Differentialquotienten sind Fi(e* — ey -(- xy) = ex -(- y F₂ (ex — ey -|- xy) — — sy -s- s. dy ₌ ex -Ly — x

Daher

dx

5. Es sei gegeben

Endlich

ax-y— xy = 0.

Fl (ax-y — xy) = ax-y . 1a — y xy-1 f₂ (ax~y — xy) — — ax—y • la — xy- Ix. x • la — y x-l(ax) ‘

dy

dx

94. Bildung der höheren Differentialquotienten der impliziten Funktionen.

d³y d²p dq

dx³ dx² dx

Bedienen wir uns, um die Ausdrücke übersichtlich zu erhalten, der schon oben verwendeten Ausdrücke für die Differentialquotienten. Also dy . d2y _ dp_ dx    dx² dx

Für den ersten Differentialquotienten erhielten wir die Formel

dy

*\(x,y)

dx

F₂(x,y)

= P-

Bedienen wir uns jetzt der Formel 16) aus dem Kap. 13, indem wir für z=if(x,y) setzen und durch dx dividieren. Dieselbe erhält dadurch die Form

10)

df(x, y) _ df(x,y) df(x,y)dy

dx

dx

oder kurz 10a)

dy dx

df _ di di dy dx ' dxdx

dx

Setzen wir für f den Ausdruck p, dann wird dp _ Sp öp day dx dx'dx p dx¹

11)

Das ist aber der zweite Differentialquotient.

95. Beispiele.

1. Es sei gegeben

y¹ — 3ax = 0.

Bilden wir zuerst die ersten Differentiale Fi(y¹— Bax) — —3a F2 (y¹ — 3 ax) — 2y.

— 3a

Daher

Fi (y¹ — 3 ax) F₂ (y¹ — 3 ax)

2y

3a

2y P"

dp

Es muß nun gesucht werden. Es ist

Ptl N

i dP

+ £-P

öy

dp

öx

dx

8a

dl —

2y

6a

8a

öy

öy

2y¹

Also

öp

—-P = Wir erhalten also

d7

3a 3a 2y¹ 2y

9a¹

4y²

d2y    dP _ _ _

dx¹    dx ⁴

9 a²

4y²

Im Abschnitt 93 erhielten wir bereits F₁(x²-|-y² — r²) — 2x F₂(x²-fy² —r²) — 2y. Fi dy

Also

F₂ dx P

d²y

Wir haben also nur noch nötig, i—₂ nach der geschilderten Methode zu ermitteln.    x

d2y dP , dp i dp

dx² dx    dx ' dy ^'

Es ist

dp

dx —

dp_

dy

9-*

dx

e-x~

dx

Endlich das Produkt

dp    x

d²y    dp

dx²

Der Leser möge für die Beispiele, die im Abschnitt 93 gegeben sind, nunmehr auch den zweiten Differenttalquotienten bilden.

y² y

dx

x²

y³

1 _X2

y y³'

Fünfzehntes Kapitel.

Vertauschung der unabhängig veränderlichen Größen.

96. Erklärungen.

Zuweilen ist es für die Rechnung vorteilhaft, in einer Funktion y — f(x) oder f(x,y) — 0 die eine Veränderliche, z. B. x, durch eine andere Veränderliche t auszudrücken.

x2-s-y2 — r¹ — 0.

Besonders die technische und die wissenschaftliche Mechanik ist reich an Beispielen hierfür. Wir wollen untersuchen, wie in einem solchen Falle die Differentialquotienten zu bilden find. In der Funktion

1)

7 — f(x) resp. f(x,y) = 0 y — <p(t) und x — y(t).

Es ist leicht einzusehen, daß, wenn x eine Funktion von t ist, auch y eine Funktion von t sein muß. Eliminiert man aus den Gleichungen 2) die Variable t, dann erhält man wiederum eine Gleichung zwischen y und x, nämlich

7 = f(4

sei

2)

97. Bestimmung der Differentialquotienten.

In den Gleichungen 2) soll sich t um den kleinen Wert At vermehren; dann werden, wie bekannt, auch x um Ax und j um Aj wachsen. Also

3)

und

j-\-Aj = <p{t-\-At) x -)- A x = yj (t-)-zlt).

Entwickeln wir diese Ausdrücke nach dem Taylorschen Satze 5) y + ^y = ^(t+^t)

4)

AH

= v(t)+

Subtrahieren wir von 5) und 6) die Gleichungen 2), dann folgt

7)

AH

8)

Ay = <p'(t)At-J-<p”(t) 2!

Ax = yj'(t)At-j-y>"(t) 2! , ...

In derselben Weise erhalten wir aus Gleichung 1)

/l²X

Ay = f'(x)^x + f"(x)——f-...

AH

und

Setzen wir nun in Gleichung 9), wie üblich,

dann geht sie über in

jr=d,

In Gleichung 10) fügen wir, um auf die neue Veränderliche t zu kommen, jetzt die Werte aus Gleichung 8) ein; dann erhalten wir den ein wenig umständlichen Ausdruck

10)

dy

Ax-j-

d²y A²x

dx² 2!

11) AJ = ^ \y'(t)At + v"(t) ^7 + • ■ ■} \xp'{t)At^-xp"(t) 2J

d²y

AH

2 • dx²

Multiplizieren wir 11) aus und ordnen entsprechend, so wird 12) Ay = ^y/(t)Jt

+{v"(t)dx

dy . d²y

dx²

bpW)

AH

2! ¹

In den Gleichungen 7) und 12) müssen für jedes At, A²1 re. die entsprechenden Koeffizienten gleich sein. Diese Bemerkung führt zu den neuen Gleichungen

^Zy/(t) = <p'(i)

13)

und

14)

P-! pu

dy

. Lösen wir 13) nach auf, so haben wir den ersten Differentialquotienten

q/(t) dx y'(t)

d² y

Lösen wir 14) nach auf und setzen den Wert von 15)

ein, dann ergiebt sich der zweite Differentialquotient

day yW(t)-yW'(t) dxa    [y/( t)]³

98. Andere Formen der Difserenttalquotienten.

Gehen wir wiederum von den beiden Gleichungen 2) aus y — 9? st) und x —

Bilden wir die Differentialquotienten

5t    und ~ = V'(t)

S⁼⁹⁵"(t)    ^ = V"(t).

Setzen wir sie in die Gleichungen 15) und 16) ein. Wir gelangen dann zu den neuen Formeln

15 a)

dy dt dx dx

und

dt

16a)

dx\³

d²y dx dy d²x d²y dt² dt dt dt2 dx²

dt

Verwenden wir endlich die Bezeichnungsweise dy    dy²

d^ = p: d^ = q

und ziehen die Gleichungen 15a) und 16a) je für sich zusammen; dann können wir diesen Formeln noch die nachstehenden Formen geben

d²y • dx — dy dx2 dx³

16b)

99. Beispiele.

1. Es sei eine Funktion gegeben y == x tang a.

Im Laufe der Rechnung ergießt sich, daß es vorteilhaft sei, eine neue Veränderliche einzuführen. Man setzt daher x = t cos a und y = tsina.

Bilden wir nun nach 15 a) und 16 a) die Differential-quotienten

dx

15 b)

dy

und

dy

= sm a: — — cos a. dt    ⁷ dt

Also

dy

dy _ dt dx dx

sin a

cos a

— tanga.

dt

2. Für die Koordinaten x und y sollen gesetzt werden

1—t 1+t'

2t

und y —

x — —:—

1+t

Bilden wir die Differentialquotienten dx __ (1+t) »2 — 2t __ 2 +2t —2t    2

dt

(1+t)²    (1+t)²*

dy

dt

— (1 —t) — (1 — t) _ — 2

(1+t)²    (1+t)

Daher

dy

dt

dx

dt

3. Es sei

y — a(l—cos t); x — a(t—sin t).

Die Differentialquotienten

dy    dx .    x

— = a • sin t;    — — a(l—cos t).

Somit

Q-* Pu

a • sin t

sin t

dx a(l—cost) 1 — cos t dt

Beachten wir, daß

ist.

und

1 — cos a = 2 sin² ~

darm wird

Pj| Pu

sin t

1 — cos t

₀ . t t 2 sin — cos —

2 sin² —

2

cos —

— cot — -

sin —

Der zweite Differentialquotient nach Formel 16 b). Dazu bilden wir uns noch

Daher

d²y    d²x    .

——— acost und -7—7 — asint.

dt²

dt²

d²y    a²(cost — l)dt³

dx²    a³(l — cost)³ dt³

a(l — cost)²

10

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Dritter Teil.

Die Integralrechnung.

Sechzehntes Kapitel.

Die Äntegralsormeln.

100. Erklärungen.

Die Integralrechnung ist das Umgekehrte der Differentialrechnung. Ist z. B. das Differential von x³, wie wir wissen, gleich 3 x²dx, so ist das Integral von 3x²dx wiederum x³. Die beiden Operationen des Differentiierens und Jntegrierens heben sich somit gegenseitig auf. Um anzudeuten, daß zu einem Differential das Integral gesucht werden soll, stellt man vor den Differentialausdruck das Zeichen J*, welches von Leibniz eingeführt worden ist und ein langgezogenes S darstellen soll. Später werden wir in der That sehen, daß man ein Integral als eine Summe betrachten kann. In mathematischen Zeichen stellt sich nun unser Beispiel so dar:

d • (x³) — 3x²dx J 3x²dx — x

oder ganz allgemein

Ist

dann ergießt

d • f(x) — f(x)dx, sf'(x) d x ----- f(x).

Die Aufgabe der Integralrechnung besteht also darin, zu einem Differential die ursprüngliche Funktion zu finden.

Das geschieht dadurch, daß man sich der in der Tafel der Differeutialquotienten auf Seite 56 zusammengestellten Formeln bedient. Ein Beispiel mag das erläutern. Es soll das Differential von

1)

m-j-l

ermittelt werden.

Es ist

Das ergiebt

dy_ (m-f- l)xm

dx m-j-l

= xm-

2)

dy = xm • dx.

Diese Lösung giebt uns die Tafel der Differentialquotienten, Formel 3. Also ist umgekehrt

xm+i

m-j-l

Sei, um es noch zu erleichtern, m = 3; dann wird

x³+i

3 + 1 ⁼ T

3)

/xmdx =

Jx³dx —

= !x*. 4

Wir können die vorstehende Aufgabe auch in eine leichte Regel kleiden. Das Integral aus einer Potenz ist gleich einer Potenz von der gleichen Basis und dem um eins vermehrten Exponenten, dividiert durch diesen neuen Exponenten. Wir wollen diesen Fall noch näher untersuchen. Es sei eine Funktion y = x²+4

4)

gegeben. Differentiieren wir

5)

dy — 2 xdx.

Das Differential der 4 ist null; denn, wie wir wissen, ist das Differential einer jeden konstanten Zahl gleich null.

io*

Wir wollen nun durch Integration aus 5) den ursprünglichen Ausdruck zu erhalten suchen.

6)

r i 2x2 / 2xdx — i = x².

6 a)

Wie wir sehen, fehlt die Konstante 4. Man erhält also durch die Integration mit Hilfe der Formeln die Konstanten nicht unmittelbar. Man muß daher zu jeder Integration ein allgemeines konstantes Glied hinzufügen. Wir werden später sehen, wie man die bestimmte Konstante zu ermitteln vermag. Somit müssen wir jetzt für 6) schreiben / 2 xdx — x² -s- 0.

C bedeutet die Konstante.

3a)

Auch die allgemeine Formel in 3) muß übergehen in xm+¹

/xmdx—

fC.

m-j-1

Stellen wir uns nun zunächst zur Uebung die wichtigsten Jntegralformeln zusammen. (Vergleiche Seite 56.)

101. Formeln für die Integration.

/xmdx—

1)

i^ + c.

m + lT

2)

3)

4)

/ex • dx — ex -(- C.

/a* • dx = ^+C-

5)

6)

/sin xdx — —cosx-f-C. /cos xdx — sinx-j- C.

/    — — cotx 4- C.

J sm²x    ¹

/Ä = tangx+G

8)

9)

f dx

J

10)

n — x²

/fc

= arcsinx-j-C.

— arc tangx -f- C.

11)

sinx

cos²x

dx — secx-f-C.

12)

xyx²—

= — arc secx-f-C.

1

102. Einige allgemeine Jntegrationssätze.

Die Ausführung der Integration wird wesentlich erleichtert durch die Kenntnis einiger Sätze von allgemeiner Bedeutung, die wir vorausschicken wollen.

a) Wenn das Differential unter dem Integralzeichen mit einem konstanten Faktor behaftet ist, dann kann man ihn immer Vor das Integralzeichen stellen. Also

/af'(x)dx — a Jf'(x)dx.

7)

Oder ein praktischer Fall:

J 4x²dx — 4/x²dx.

b) Soll eine Anzahl von Differentialen integriert werden, die durch-f-- oder—-Zeichen miteinander verbunden sind, dann bestimmt man die Integrale der einzelnen Differentiale. Also

8) /(F'(x)dx -f- f'(x) dx — <p'(x)dx}

=/F (x) dx+/f' (x) dx —J<p'(x) dx.

Ein spezielles Beispiel:

y{4x²dx-j-sinxdx) = 4 f x²dx -(-^sinx dx

609X —J— C.

4x³

><

103. Uebungen.

Wir wollen das bisher Vorgetragene an Beispielen einüben. Wir werden jedoch bei dieser Gelegenheit zur Erkenntnis einiger Sätze gelangen, denen eine allgemeine Bedeutung zukommt.

1) f 6x⁴dx —

6x⁴+!

Hc=~+a

xVa+l

V3+I3

= 8/₄xV.+ C= s/₄fe+c.

x3 + l

3) y5x³dx — ö/x³dx — 5 . pH = ⁵/₄x⁴+ C.

/ss~5dx = 7s/x™5dx

4 + 1

2) /}+• dx = /xVsdx —

X⁴/s

l_c= +c.

4)

—dx == 2

ßx⁵

-6+1

= V8^r+c--y₆x-⁴+c =

5) /x—1 • dx =

Die Aufgabe 5) führt auf einen solchen allgemein wichtigen Fall. Zunächst sieht man, daß die Jntegralformel (siehe 101 Seite 148) 1) in 2) übergeht, wenn der Exponent m = —1 wird. Das giebt die Regel:

c) Ist der Zähler eines Bruches das Differential des Nenners, dann ist sein Integral dem natürlichen Logarithmus des Nenners gleich, z. B. s dx

J1

6)

/r = -+c-

1+x

= l(l+x) + C.

6x⁴

Denn differentiieren wir 1 so erhalten wir dx; also ist hier der Zähler das Differential des Nenners. In gleicher Weise wird

-7^-b-

7)

8)

/{

= l.(x—a) + C.

= sxsdx—7 //xdx— 11

m+'ß

= /x³ dx — 7/xVadx — 11 /x~B/a dx -j-- 5/x~⁶ dx.

Integrieren wir einzeln nach der Reihe

/x³dx = —-t-C.

4

r    XV2+¹

7/z/.dz_7.;s-R =

11 /x_6/sdx = ll.

X-⁵/» + l

-⁵/s+l

7x’/a

= “/,^5+a

11 - X-'/s

Vs

33

-V.

fC.

5/x~⁶ dx = 5 •

X 6+1

5 -x—6

2-yX2

-5+C.

x-b=

-6+1

Ziehen wir die Ausdrücke zusammen, dann ergiebt das Gesamtintegral

— 7 Vx ¹¹

-5

/I¹'

3,—

Vx⁵

=V4X⁴—u/sy^-f ³³

2 • l/x²

5+°-

In C sind natürlich alle einzelnen Konstanten enthalten.

9)/{3x* +

— ex} dx

— / 3x⁵dx-f-/cosxdx—/exdx

3/x«dx =    = Y, x⁶ + C

/608 x dx — sinx -j- C /ex dx —    -f- C.

— exj dx — y₂ x⁶ -f- sin x — ex -{- C.

104. Erleichterung der Integration durch Substitution.

Nicht immer erscheinen die Differentiale in so übersichtlicher Form wie bisher, daß man sofort das Integral finden kann. Man muß sich dann dadurch helfen, daß man durch eine geschickte Substitution das Differential so umformt, daß es einer Jntegralformel entspricht. Auch hier wollen wir an Beispielen das Gesagte klarzumachen suchen.

Daher

/{ 3x⁵ +

608 X

cosx

105. Beispiele.

1)

J a + bx

Um eine bekannte Form hervortreten zu lassen, schreiben wir u — a-f- bx.

Dann ist

du = bdx und dx = ^-

b

Setzen wir die neuen Werte ein, dann geht unser Integral über in

[ dx ₌ /\dtt₌ isdu

J a-f-bx J b u bj u

— • l(a-j-bx) -f- C.

2) Der Leser erweise nach gleicher Methode, daß nxdx n _ ,    , , m „

i+bii⁼⁼2b1(e+Mlft

3) /eaxdx =?

Man setzt

u = ax; x

SO I £

du

dx = —

Differenziert Eingesetzt /eax dx =

4) /cos axdx = ?

Man setzt ax — u; x —

Also /cosaxdx ----- -i/cosudu =    • sinu-j-C

— sin ax C.

bdu du

eu • du

|/eu du = ie“-f-C=^ea x-fC.

u _ du

—: dx — —

5) /sin(a-|-bx) dx — ? Gesetzt a-J-bx = u; x--->

dx

Daher /sin(a-f-bx)dx =-i/sin u* du

— — ^cosu-s- 6 -----b

^ cos (a-f-bx) -)-C.

6)

J a²-fx²

In diesem Falle ist es praktisch, für x den Wert au einzuführen. Also

x = au; dx — adu.

Eingesetzt

a²-j-x²    f&²~)-a²u²

adu

dx

adu

/:

a²(l-j-u²)

du

Daher

aJ 1 -j- u²

Nach Formel 10) unserer Jntegraltafel S. 149 ist aber s du

1 sdu

a J i    u2

Setzen wir jetzt die alten Werte wieder ein

f dx

Jz

1 -f- u²

— arc lang u -(- C.

-i • arc taug u-j-O.

s+ii=l"ctan4i)+c-

fx.² — a2 Bedenken wir, daß man schreiben kann

7)

dx

2a

Daher

x -j- a    x² — a²

2a _    1/1

-dx = —

2a(x²—a²)

Setzen wir die Werte ein

J x² — a² 2 aj (x — a x -)- a

dx

x² — a²

2a \x—a    x-j-a

dx.

dx.

Nun ist

s üx

Jx —a

= l(x-a)

und

dx

-s- a

= l(x+a).

Das eingefügt ergiebt

— — (l(x—a) l(x-f-a)} + C, und mit Anwendung der logarithmischen Regeln,

= M^)+C'

x² — a²

2a

8)

adx

Setzen wir wiederum

x — au; u —

Somit adx

a²du

a²du

r du

ii-—

Ji i-u²

Nach der Formel 9) der Jntegraltafel Seite 149 ist

Za²—x²

]/a²—a²u²

a]/l—u²

s_du

M

Also

—u2 adx

arc sinu-j- C.

yä²—-x²

= a • arc sin

9)

/:

xdx

a²-f-x

Wir setzen

a²-f-x² = u; 2xdx = du; xdx = —

du

In 9) eingefügt ergiebt xdx a²_|_x²

v/t

-Vslu + C

= V,l(a* + x*)+a

xdx

10)

ya² — X²

Setzen wir in diesem Falle ya² — x² — u;

a² — x² == u²

Daher

2udu = — 2xdx;

xdx = —

2udu

— —udu.

Fügen wir ein xdx

ya²—X²

iudu

J u

— — /du

—u-f-c = —ya²—x²+c.

Möge in der gleichen Weise der Leser zur Uebung beweisen, daß axdx

11)

12)

ya² — x xdx

----- — aya² — x²-f C

UNd

sä² -j- x²

= yaS-j-xS + C

sei.

13)

J X    dx

Man setzt Ix —u; dann ist — — du.

Gerade ans diesem Beispiel kann man gut ersehen, wie reifliche Ueberlegung zu einer geschickten Substitution führt!

/^ix=/udu = | + C

Eingefügt

- y₂(ix)²+c.

14) Der Leser beweise noch, daß

106. Die Integrale einiger trigonometrischen Funktionen.

Von den nachfolgenden zusammengesetzten trigonometrischen Ausdrücken wollen wir die Integrale bestimmen.

1) Jsinx • cosxdx = ?

u²

Setzen wir sin x = u, dann ist cos xdx = du. Eingesetzt

ssinx • cosxdx ----- Judu = —-j- C

— ¹/₂ sin²x C.

2) jtangxdx = ?

sin x _

-dx.

cosx

Wir setzen zunächst r Jtangxdx — / '

Nun ist, wenn wir cosx = u setzen, du — — sinxdx.

Daher

sin xdx

cosx

lu + C

— —1 cos x -j- C.

3) Jcotxdx — ? Wir schreiben

. [ Jcot xdx —

cosxdx

sinx

Setzen wir hier sinx =u, dann wird cosxdx ----- du.

Also

cos xdx

sinx

----- 1 sin x -|- C.

s_dx

’ J sinx« cosx

Bekanntlich lehrt die Trigonometrie, daß sin²x-j-cos²x — 1

ist. Wir dürfen daher unsern Ausdruck auch so schreiben:

s_dx

sin x • cos x

j (sin²x-|- cos²x)dx / sin x • cos x

Trennen wir den Ausdruck, so wird

d*+h

dx

dx

sin x • cos x

sin²x

sin x • cos x

cos²x

sin x • cos x

/sinx _    , /cosx.,

—    /-dx-f-l-—dx

J cosx ¹ J smx

—    J tang xdx -|- J cot xdx

—    —1 (cos x)-f-l (sinx)

/ sin x\ \cosx/

— l(tangx) -j~ C.

v / dx

⁶⁾ Jsbi=?

Um den vorstehenden Ausdruck bequem integrieren zu können, setzt man am besten

x = 2u; daher dx == 2du

und

sin x — sin 2 u.

Es ist

Also

sin 2a = 2 sina • cosa, sinx — sin 2u — 2 sinn • cosu.

Setzen wir ein

J sinx Jl

2 du

2 sinu • cosu

s du

sin u . cos u

1 tang u -j- C.

Also

/£ = ‘Ki))+C

, (■= -l{~t(|)j+c.

oder auch

x s dx

6) /-

J 608 X

Wir können mit Hilfe der trigonometrischen Beziehung . (n

cos a ==( sm I — — a I

dieses Integral auf das vorige zurückführen. Also

sdx ^ r dx

/ 608 X / . (n    \

JSm[2~X)

Setzen wir nun

— — x — u und du — —dx,

dann wird

fdx

du

608 X

sinn

fC

= —1 tang^j +C

⁼⁼¹[COt(l⁻|)] + C-

107. Die Jntegratton rationaler gebrochener Funktionen.

Die gebrochenen rationalen Funktionen zerfallen in echt und unecht gebrochene Funktionen. In den ersteren ist derGrad desZählerausdrnckesniedriger als der Grad des Nenners. Die unecht gebrochenen rationalen Funktionen zeigen das umgekehrte Verhältnis. Es ist z. B.

eine echt gebrochene rationale Funktion,

3x-|- 4 x²-|- 4x — 2

x²-j-x — 2

x³-s- 8x²-s- I2x— 6 eine unecht gebrochene rationale Funktion.

Die Algebra lehrt, daß sich eine jede unecht gebrochene rationale Funktion stets in eine echt gebrochene rationale Funktion, vermehrt um eine ganze Funktion, verwandeln läßt.

Es ist, um das auszuführen, nur nötig, mit dem Nenner der Funktion in den Zähler zu dividieren. Wir wollen das an unserem Beispiele zeigen:

x³-f-8x²-j- 12x x³ —|— x²— 2x

— 6:x²-f-x — 2 = x-(- 7

7x²-f- 14x — 6 7x²-f- 7x—14

Wir haben also

7x+ 8.

x³-}-8x²-j-12x— 6

7x-s-8

X² + X — 2

= x-f 7-+

x²-(-x — 2

Es ist also nur notwendig, noch Methoden zu suchen, mit deren Hilfe es möglich wird, echt gebrochene rationale Funktionen zu integrieren.

Wir wollen die Integration einer gebrochenen rationalen Funktion zunächst an einem ganz einfachen Beispiel vorführen. Es soll bestimmt werden

s(x⁴— 6x³-f- 13X²— 10x-|-3)dx _₀

1 ^2 _

Trennen wir durch Division die ganze Funktion von der echt gebrochenen

Q

x⁴—6x³+18x²—lOx+3 :x—2 == x³—4x²+5x-|--

x⁴-2x⁸    X_J

—    4x³+13x²

¹

Bilden wir auch den zweiten Differentialquotienten

²

für die Gleichung des Kreises

—    4x³+ 8x²

5x²—10x 5x²—10x

+ 3.

Das gegebene Integral zerfällt somit in eine Reihe von Integralen

(x⁴— 6x³-f-13 x²— 1Q x -j- 3) d x

/x³dx—/4x²dx-f-/5xdx-|-J-^ —X-

Mit Hilfe der vorgetragenen Methoden ergiebt sich

= y₄ x⁴ - y₃ x³+% x²+3 • i (x - 2)+c.

Die Integration des Bruches ergab sich hier unmittelbar aus der schon früher ermittelten Form. Der Bruch ist aber in den meisten Fällen nicht so einfach und muß dann in Partialbrüche zerlegt werden. Diese Operationen verlangen oft umfangreiche algebraische Untersuchungen. Die Integration rationaler gebrochener Funktionen nimmt daher in größeren mathematischen Werken einen recht bedeutenden Raum ein. Wir können uns hier nur mit den einfachsten Fällen beschäftigen.

108. Untersuchung einer echt gebrochenen rationalen Funktion, in der der Nenner ein Ausdruck zweiten Grades ist.

Schon im vorigen Abschnitt traten uns solche Ausdrücke in der Form, z. B.    entgegen. Allgemein erscheint

der Ausdruck in der Form

mx-f-n

x²-s- 2ax-}-b

11

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Der Ausdruck 1) soll in Partialbrüche zerlegt werden. Zu dem Zwecke bestimmen wir die Wurzeln der Gleichung x²-j-2ax-[-b. Sie seien x₁=a; x₂— ß. Wir können daher nach den Regeln der Algebra schreiben

2)

x² —|— 2 ax —|— b = (x — a)(x — ß).

3)

Sind die Wurzeln unserer Gleichung reell, dann ist mx-J-n    A

x²-f-2ax-[-b x — a^~x—ß

Die beiden Brüche rechts sind die Partialbrüche, die wir zu bestimmen haben. Das geschieht bekanntlich leicht durch Multiplikation. Multiplizieren wir Gleichung 3) zuerst mit x — a :

A>i (mx-j-n)(x— a) A(x — a) , B(x — a)

’ (x ct) (x-ß)

Fassen wir 4) zusammen:

5)

mx-J-n

= ÄiB(x —a)

X

-ß

Setzen wir nun (zur Ermittelung von A) x = a, dann ergießt sich

6)

ma-f-n

a-ß

Znr Feststellung von B verfahren wir in der entsprechenden Weise. Also

7)

wx-s-Q ₌ A(x—ß) B x — a *

Wird nun x = yS, dann ergießt sich

8)

oder

Werden die Ausdrücke für A und B in die Gleichung 3) eingesetzt, so ist endlich

ma-|-n

mx -j- n _ a—ß

x²—)— 2 ax —|— b

mß-\- n

a—ß

x—a

Die beiden Brüche rechts setzen jetzt der Integration keine Schwierigkeiten mehr entgegen.

Wir wollen das ausführen:

. I (mx-4-n)dx 10) /;' 1-

x²—|— 2 ax —|— b

_ ma -j- n

a-ß

i f dx

Jx —a

m^-fn

a—ß

__ rna-j-n

a—ß

l(x—a)

a—ß

r

1 (x ß\

~ß

109. Beispiele.

Wir wollen diese allgemeinen Betrachtungen an speziellen Beispielen noch klarer zu machen suchen. Das Integral

von

Abstimmt werden.

f(7x —8)dx J x² -(- x — 2 Nach der allgemeinen Anleitung müssen zuerst die Wurzeln der Gleichung

x²-)-x—2 = 0

ermittelt werden. Wir finden

Xi = a = 1 und Xg = ß = — 2. Das ergießt weiter

und

7x-(-8    __A

(x — 1)(x-s-2)    x—1 ¹ x-J-2

B(x-l)

7x48

x-s-2

x-f 2

Setzen wir jetzt x = 1, dann ergiebt sich 7 + 8_15 1 + 2 _ 3~ ⁵*

Führen wir die gleiche Rechnung für B durch:

B.

7x + 8 _A(x + 2)

x—1

x —1

Dax — —2 wird, so folgt -14 + 8

Setzen wir ein:

(7x+8)dx _ s 5dx . s

~2 -J^=T~rJx

2dx

X²-(- X-

s dx ,    / dx

-+=-r+ä+M

— 5 • l(x—1) + 2 • l(x+2) + C.

Mag der Leser beweisen, daß

(2x+ 6)dx

2x²+3x-j-l

— öl(x+V₂) — 4l*(x+l)+Cift.

Siebzehntes Kapitel.

Die teilweise Integration. Formeln.

110. Erklärung.

Die partielle oder teilweise Integration ermöglicht es, in vielen Fällen eine schwierige Integration auf eine einfache zurückzuführen. Man kann deshalb mit ihrer Hilfe nicht nur komplizierte Aufgaben verhältnismäßig leicht lösen, sondern durch sie auch Formeln erhalten, die zusammengesetzte Formen vereinfachen.

1)

Es seien

111. Entwickelung.

u = f(x); v = <p(x) zwei beliebige Funktionen von x. Wir wissen dann aus der Differentialrechnung, daß die Beziehung gilt d(u . v) = udv -(- vdu.

2)

Integrieren wir, dann ist

3)

uv

= /udv-f-- /vdu.

Daher auch

/udv — uv — /vdu.

Wie wir aus dieser Umformung ersehen, stellt sich uns die partielle Integration als ein sehr geschickter Kunstgriff dar. Die folgenden Beispiele mögen das klar machen.

4)

112. Beispiele.

1. /xexdx =? Setzen wir

x = u und ex dx — dv, so wird nach Formel 4) in 111

/x • ex dx — x • ex — /ex • dx = x • ex — ex

2. fix • dx =? Es sei

Also ist

= ex (x—1) ~J— C.

u — Ix und dx — dv.

/lxdx — (lx). x—/x . ^

= x(lx) — /dx — xl(x)-X

= x(l[x]-1).

3. /x²lxdx =?

Setzen wir u = l(x); dv = x²dx.

sx³ dx

J T Y

Also

Jlx - x²dx — lx -

= lx .

X³

₃ — V3/x2dx

1/ *

x³

Also

= ir(lx—Vs)-

4. /x • emx dx =?

Wir schreiben u = x; emxdx = dv.

— — - /emxdx. m m

femxdx — 1 J    m

so wird /x • emxdx =

Da

. emx

emx

_. pinx

m2 6

ist,

H)-

fx • 608x dx — x sinx — /xsinx dx.

/sinxdx — —608 x.

/x • 608X dx = x • sinx 4- 608X.

6. /x • cosxdx =2 Es sei u = x und cos • xdx = dv. Dann ist

Somit

113. Erweiterte Beispiele.

Mcht selten kommt es vor, daß man die Methode der teilweisen Integration mehrmals wiederholen muß, bis die Integrale auf so einfache Formen gebracht sind, daß man das Schlußintegral unmittelbar hinschreiben kann. In einem solchen Falle wird natürlich das Resultat durch eine Anzahl von Ausdrücken dargestellt werden. Auch das mag durch Beispiele seine Erläuterung finden.

1. /x³ • exdx =?

Setzen wir u = x³ und ex dx = dv. Es ist dann

/x³ • ex dx = x³ • ex — /ex • 3 x² dx = x⁸ • ex — 3 /x² • ex • dx.

Wir behandeln nun das vereinfachte Integral — 3 /x² • ex dx = — 3x² • ex -j- 2 • 3/x • ex dx und wiederum

-J-2*3/x«exdx = -(-2'8*x*ex — 2 • 3 /ex dx. — 2 • 3/ex dx = — 2 • 3 • ex.

Endlich

Durch Addition ergiebt sich nun /x³ • ex dx = x³ • ex — 3x² • ex -f- 2 • 3x • ex — 2 • 3ex = ex{x³ — 3x²-|-2 • 3x—2 - 3).

2. /x² cosxdx =?

Wir schreiben x² = u; cosxdx = dv.

Daher

/x²cosxdx = x² • sinx — 2/x • sinx • dx — 2/x • sinxdx — 2xcosx — 2/cosxdx — 2 /cosxdx — — 2 sinx.

Addiert

/x² 608x dx — x²sinx -(- 2x • cosx — 2 • sinx — sinx (x² -(- 2x cotx — 2).

3. /cos² xdx = Z

Es wird

Wir wollen in diesem Falle unser Integral schreiben /cos²xdx — /cosx • cosx • dx. cosx = u und cosxdx = dv.

Also

/cosx • cosx . dx — cosx

. sinx -|-/sinx • sinx dx cosx . sinx -j-/sin²x • dx.

Man kann nun setzen

sin²x =1 — cos²x.

Dann wird

/cos²x dx — cosx • sinx —j— /(1—eos²x)dx . sinx -[-/dx — /cos² dx.

Bringen wir nun den negativen Ausdruck auf die linke Seite, so haben wir

2 / cos²x dx — cosx /cos² xdx — y₂ cosx

und

— cosx

. sinx-|-/dx

• sinx-J- y₂/dx

— y₂ cosx • sinx -f- ~ — y₂ (cosx . sinx -j- x).

4.    In der gleichen Weise möge der Leser zeigen, daß

/sin² xdx — — y₂(sinx - cosx—x)

5.    /sin² xdx-j-/cos² xdx —?

Der Wert des Integrals läßt sich sofort durch Addition der Beispiele 3) und 4) feststellen. Aber auch durch eine sehr leichte Betrachtung. Denn

ist.

/ sin²xdx    / cos²xdx = / (sin²x    cos²x)dx

= / dx

— X.

6. /arc sinxdx = ?

Wir setzen

u — arc sinx und dv = dx. sarc sinxdx — x • arc sinx — fx -

dx

Vl-x*

Denn nach Formel 14 der Tafel der Differentialquotienten auf Seite 56 ist

d (arc sinx) =

dx

Das Integrals— fanden in Abschnitt 105, Aufgabe 10

xdx

Vl —x2 haben wir bereits ermittelt. Wir

x. dx

= —ya²—x²-j-c.

ya2—x2 Setzen wir hier a= 1, dann wird

Alles eingefügt giebt

/arc sinxdx = x • arc sinx -f- ]/l—x².

7.    In gleicher Weise läßt sich erweisen_

/arc COS xdx — x • arc cosx — V1—x² -j- C.

8.    /arctangxdx — arctangx — V₂l(l+x2)4-C.

114. Reduüionsformeln.

Mit Hilfe der Methode der teilweisen Integration wollen wir nun noch eine Anzahl von Formeln entwickeln, die für die späteren Rechnungen von Vorteil sein werden.

Unsere sämtlichen Jntegralentwickelungen, die wir bisher ausführten, sind nicht nur willkürliche Aufgaben zur Uebung, sondern sie geben uns zugleich einen Formelschatz, der zu jeder etwas komplizierten Aufgabe herangezogen werden muß. Wir wollen ihn am Schluß dieses Kapitels übersichtlich in Tabellenform zusammenstellen.

1)

115. Erste Reduktionsformel.

Es soll bewiesen werden xn+¹* dx

xn

n-f-1

ya²—x²

Ableitung. Wir setzen jxn+¹. dx

|a² — x²

= /x°.

Sei nun in diesem Ausdruck u — xn; dv =

xdx

Va²—x²

na² Zxn—1« dx

n+l J ya²—x²

x • dx

]/a« — x²

und v — — l/a² — x²;

dann ist 2) /xn-

xdx

|a²-x²

xn • ]/a²—x² -f-y*nxn~¹ * l/a²—x² dx.

na²xn_1 • dx . nxn+!dx

Den letzten Ausdruck müssen wir noch umformen. Wir wollen zu dem Zwecke den Wert unter dem Integralzeichen und zwar Zähler und Nenner mit Va²—x² multiplizieren. Dann ergiebt sich

3) — nxn—1 • ya²—x²dx —

]/a² — x²

ya²-x²

Fügen wir den neuen Wert wieder in 2) ein xn+xdx

ya ²—x²

-xn.y^Z

x²-4-na ²f:

xn_1dx

xn+¹dx

ya²—x

]/a²—x²

und bringen das negative Integral auf die linke Seite.

Also

6)

xn+¹dx

xn+¹dx

Va² — x²

Va² — x2 — x¹¹ ]4i²—

Daher

x²-4-na²/-

J

xn"¹dx

6) (n

11—1 dx

— xn]/a²

— x²-J-na²/-

J i

]/a² — x2 xn+¹dx

ya²—X²

Dividieren wir endlich durch n-(~l, so erhalten wir unsere Formel

s xn+xdx

J /a²—x²

na² sxn-1dx n+l/ /a²—x²

Dieser allgemeine Ausdruck führt zu speziellen Formen. Setzen wir z. B. in ihn n= 1, dann wird

's dx

J fa²—x²

Nun ist nach Formel 9) der Jntegraltafel und Aufgabe 8 in Abschnitt 105

1)

x²dx

Va²—

rH

dx

's_

2 j ya²—x²

a²

f'arCsin(^) + C-

Setzen wir wiederum zurück, dann erhalten wir die Formel

x²dx

|a²—x²

+ |-aresin^j + C.

116. Die zweite ReduMonssormel.

In der gleichen Weise wie in Abschnitt 115 läßt sich die II. Reduktionsformel herleiten. Es ist

s xn-l~xdx

II) /    = —7—

J Va²-f-x² o+l

xn

]/a²-|-x:

na²

xn_1dx

n + l/ya²+x²

Setzen wir auch hier n = 1 und verwenden die Beziehung

s dx

J

dann erhalten wir die Formel x²dx

ya²+x²

= l(x-fya2—x²)-f c,

ya²-|-*x

|ya²+x² — “•l(x-)-}/a²-)-x²)-[-C.

117. Die dritte Reduktionssormel. Es soll bewiesen werden III) Jxn—1. dx |/a²—x²

X¹¹

“n + l

• ya²—x²-f

a²

xn—1dx

n + l/Va²—x²

Lösung. Wir wollen das Differential unter dem Integralzeichen auf der linken Seite der Gleichung mit dem Ausdruck yä²—"x² multiplizieren und dividieren, dann wird es

1)

ya²—X²

a²xn—xdx xn+¹ dx

ya²—X²

Wir können dann das Integral in zwei Teile zerlegen:

2)    / xn“¹ dx ya²—x'

xn—1dx

xn+¹ dx

ya²—x²

|a²—x²

setzen wir den Wert ein, den uns die

Für

xn+i d x

ya²—x²

Reduktionsformel I) liefert. Wir erhalten dann

3) /xn—1dx Va²—x2 xn-1dx

= a²

na²

n"¹dx

ya²—x²

xn

n+l

yäu

x² + a²/-

J I

xn

-n+l

ya²—x²

a²

ß___

n-j-lj ya2—x2 xn~¹dx na² s xn—1dx ya²—x2 n "f' ij ya²— x2 na² \ Cxn_1dx

)Jw>

xn

]/a²—x²-(- ^

a²n + a²—na²

n+l

)/,

-X²

xn—1dx

Das ist aber, wie man sofort sieht, gleich Formel III): / xn_"¹dxya²—x² —

xn

ya²—x²

a²

s xn-1dx

JW²

n+l

Setzen wir auch in III) n = 1, dann ergiebt sich die vereinfachte Formel

lila) /dx > sä²—x² ----- ^+i²—x² + ~ arc sin^j + C.

n+l

— x²

118. Die vierte Reduktionsformel.

Durch ähnliche Rechnungen wie in 117 läßt sich die vierte Reduktionsformel erweisen:

IV) /xn—1 d x yä^+x² =

xn

.y+y+-4-f:

ll+U

xn_1dx

n+l

Setzen wir hier n — 1, so ergiebt sich IVa) /dx .ya²+x² = |ya²+x² ++(x +yä²+x²) + C.

ya²+x²

119. Wert der abgeleiteten Formeln.

Die in den vorstehenden Abschnitten der Integralrechnung entwickelten Formeln sind nun hinreichend, um die wichtigsten

Aufgaben der Integralrechnung lösen zu können. Wir werden daher im weiteren immer wieder auf diese Formeln zurückweisen, und der Leser wird sie stets bei der Lektüre von Schriften, in denen die Integralrechnung Verwendung findet, wiederfinden. Zur größeren Bequemlichkeit stellen wir sie in einer „Jntegraltafel" zusammen.

Integraltafel.

1)

/xm dx =

xm + l

m+1

fC

2)

/t “

3)

4)

5)

6)

7)

/ exdx = ex-j-C / axdx — a

/ sinxdx — —cosx-j- 0 / cosxdx — sinx-)-C

sin²x

— —ootx-s-0

8)

dx

COS²X

= tangx-j- C

9)

10)

s dx

J Vl - X²

su

— arc sinx-[- C

11)

1 + x sinx

— arc tangx -)- C

COS²X

dx = secx-|-C

12)

x fx² — 1

= arc sec x-4-C

13)    / af'(x)dx — a/f(x)dx-|-C

14)    /{P(x) + f(x) — <p\x)} dx == /F'(x)dx -[-/fz(x)dx—f cp'(x)dx-\- C

15)

dX =I(l+x) + C 16)    |-i£- = 1(,_., + C

17)

/rpr ⁼ T,l(a+bl)+c

nxdx

j+b?-fbi<»+bs!'+o

s dx 19)    /

18)

^arctangf j -j-- C

M I cd

20)

dx

² — a²

21)

s adx

J Va²—x;

22)

I* dx

Jwt^'

23)

xdx

2a \x-|-a/

= a • arc sin

M cd

+c

= l(x+ya²4-x²)-f-C

24)

a²_|_x2 xdx

= V* * l(a²-(-x²)-j-C

Jia²

25)

-X²

s axdx

Jw

-X²

= — Va² — x² + C

= — aya²—x²-f-c.

26)

27)    /sinxcosxdx = x/₂ sin²x-j- C

28)    /tangxdx — —lcosx -|- C

29)    /cotx • dx — 1 • sinx -s- C

— 1 • tangx -[- C

30)

dx

sinx cos x

, s dx

sinx

= — lcot

(D+°

= 1 • tang

(i)+c

32)

dx

1 tang ^

608 X

lcot

(H)+c

33)

(mx + n)dx _ma+n / dx m/?+n s x²+2ax+b a—ß Jx—a a — ß J x ma+n

dx

~ß

• l(x—a)

mp+n

a-ß

34)    /udv = uv—/vdu

35)    /x • exdx = ex(x—1)-J-C

36)    /l • xdx = x(lx — 1) —C

37)    /xnx.dx = |ax-V₈)+o

emx

38)    /x • emxdx — -

J    m

39)    /x . cosxdx — x • sinx -j- cosx -j- C

40)    /x²cosxdx — sinx(x²-|-2x • cotx—2)-f-C

—) ~C/

ml ¹

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47) (I)

/cos²x • dx — ¹/₂ (sinxcosx-j-x) -|- C / sin²xdx — — ¹/₂ (sin x cos x—x) -j- 0 /sin²xdx-(-/cos²xdx = x-(-C /arcsinxdx — x • arcsinx-|- Yl —x² -}-C /arccosxdx = x • arccosx /arctangxdx — arctangx—y₂l(l-j-x²)-|-C xn+¹dx

_yr=T^+c

/i

Va²—x²

—Va⁸-x²4 n+l'    “

na² Zxn 1dx

n+lJ fa²—x²

48) (n)

/* x²dx J Ya²—x²

|y^-² ₊ |_arcsin^) + C

49) (II)

xn+¹dx

xn

60) Ha)

ya²+x² n+l x²dx

]/a²+x:

na²

xn—1dx

s

n+lJ Ya²+x²

|a²+x²

=|y^+r²-^₁.(x+y^=i^+c

51) (III) /xn_1(lx Va² — x²

xn

xn—1dx

n + l

52) (lila) /dx+a² — x²

₌ fy^=T.₊£ 2 ¹ 2

• arc sin

53)    (IV) /xn—1dxya²-|-x²

xn

⁼ n+T

54)    (IVa) /dx.ya² + x²

x”-¹dx

+1 fl/a²-}-x²

a²

ya2_|_X2₊_

= |ya²-|-x²+ y • l(x -f- ya²    x²).

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

12

Achtzehntes Kapitel.

Die bestimmten Integrale.

120. Definitionen.

Man pflegt die Integrale, mit welchen wir uns bisher beschäftigt haben, unbestimmte Integrale zu nennen. So ist z. B.

y = /f'(x)dx -s- c

ein unbestimmtes Integral und die Konstante C ganz beliebig. Soll nun die Konstante C bestimmt werden, so setzt man den Wert bort x in die Funktion ein, für welchen das Integral null wird. Diesen Wert nennt man die untere Grenze des Integrals. Wird z. B. unser Integral für den Wert x — a zu null, dann schreibt man

1)

2)

3)

/f'(x)dx — f (x) -j- C.

a

Da für x — a das Integral null wird, ergiebt sich 0 = f(a) + G

Daraus folgt, daß die Konstante C = — f (a)

ist-

4)

Setzen wir diesen Wert in 2) ein, so folgt / f'(x)dx — f (x) — f (a).

Nehmen wir hierfür ein Beispiel. Es sei das Integral gegeben

/ x³dx — ?

Es ist an sich /x³dx — ^--s- 0.

Ist NUN X — 3, wenn der Jntegralwert zu null werden soll, dann setzen wir an

0 -----

3⁴

81

T+c-T + °-

Nunmehr ist

81

= j ⁸¹

So ist man also stets im stände, den Wert der Konstanten zu bestimmen.

Zuweilen wünscht man den Wert des Integrals für irgend einen gegebenen bestimmten Wert von x zu kennen. Man pflegt einen solchen Wert die obere Grenze des Integrals zu nennen.

In diesem Falle schreibt man

Eingesetzt

— 0; für x — Z.

5)

b

/f'(x)dx = f(b) + G

In den meisten Fällen sind aber die beiden Grenzen, die untere und die obere, vereinigt; dann nennt man das Integral ein bestimmtes.

Sofft

6)

b

/ f'(x)dx

a

ein bestimmtes Integral.

Wir merken uns die folgenden Bestimmungen:

ä) Hat in einem unbestimmten Integral die Konstante einen beliebigen Wert, dann heißt das Integral ein allgemeines.

b) Hat die Konstante in einem unbestimmten Integral einen bestimmten Wert, so nennt man es ein partikuläres Integral.

c) Ist der Wert des unbestimmten Integrals für zwei gegebene Werte zu ermitteln, dann heißt es ein bestimmtes Integral.

Wir wollen nun mit Rücksicht auf Gleichung 6) bestimmte Integrale berechnen. Die Gleichung 6) giebt uns selbst hierzu die Regel an die Hand:

Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, ermittelt man zunächst das allgemeine Integral, setzt sodann die obere Grenze ein, dann die untere und subtrahiert den letzten Wert vom ersten.

Mögen das einige Beispiele zeigen:

1. Jx²dx = ?

fx*dx = j-f C

Es ist

das unbestimmte Integral. Bilden wir nun den Wert für die Grenzen

x²dx = —

4³    2³

64

00 I CO

56

2.

clx

— =?

Also

/t--+c

1

Bekanntlich ist 11 = 0.

Daher

/t-‘

71

~2

3.    / cosxdx — ?

/cosxdx — sinx-j- C

/ cosxdx — sin— — sinO v    2

sin|⁼¹

sinO — 0.

71

~2

71

Daher

/ cosxdx — 1.

121. Allgemeine Sätze über bestimmte Integrale.

a)    In bestimmten Integralen kann immer die obere und die untere Grenze miteinander vertauscht werden.

b)    Werden die Grenzen in einem bestimmten Integral miteinander vertauscht, dann müssen auch die Vorzeichen verändert werden.

Die Sätze a) und b) lassen sich, wie man unmittelbar erkennt, durch die Formel ausdrücken

7)

b

/f'(x)dx =

Und hieraus folgt

8)

■/f'(x)dx.

/f(x)dx+/f'(x)dx

a    b

= 0.

Mag das wiederum ein Beispiel erläutern. Es sei gegeben

x²dx.

⁴ *    A3

x²dx — —

64

00 I CO

56

y = 0*

Ein jedes bestimmte Integral kann in mehrere bestimmte Integrale zerlegt werden, indem man zwischen die Grenzen a und b neue Grenzen einführt. In Formel

9)

beb /f'(x)dx — /f'(x)dx -j-/f'(x)dx.

Für einen bestimmten Fall

3    2    3

sx²dx — /x²dx-(- /x²dx. 112

Führen wir die Rechnung aus:

2

/ x²dx —

1

LG

T—I

co I

| co

00 CO

rH I CO

I CO

3³

x²dx = —

eq |w

27

00 CO

19

2    3

/x²dx-f-/x²dx —

3

j x²dx — i

7 ,19 _ 26 3 ‘ 3    2

Direkt

27

| co

yH I CO

26

d) Es leuchtet ein, daß jedes so gewonnene bestimmte Integral wiederum zerlegt werden

kann; und so fort in beliebiger Wiederholung. In Formel

b    c    d

10) /f'(x)dx — /f'(x)dx -j- /f(x)dx a    a    c

+/f'(x)dx...-|-/f'(x)dx.

Neunzehntes Kapitel.

Die Quadratur der fiuroen.

122. Erklämngen.

Es sei eine krumme Linie (siehe Abb. 20) PQ, durch die Funktion

1)

J = f(x)

gegeben. Wir wollen die Fläche bestimmen, die von dem Surbenftüd PQ, den beiden Ordinate» PM und QN und

O,

py

JC

Ajo

Ar M

W. 20.

dem entsprechenden Stück der Abscissenachse begrenzt wird. Die Koordinaten des Punktes Q seien x und y bezogen auf den Anfangspunkt A.

Wie man sofort einsieht, wächst das Mchenstück, wenn die Abscissenachse zunimmt. Es ist also die

sowie

AF

Werden die Differenzen Ax, Ay, AF unendlich klein, dann gehen sie in die Differentiale und die Ungleichungen in eine Gleichung über. Also

dF

Fläche (F) eine Funktion der Abscisse. Ganz allgemein

F = <p(x).

Wächst x um llx in Gleichung 1), so nimmt auch y um Ay und die Fläche F um das Flächenelement AF zu. Betrachten wir unsere Abbildung (Abb. 20). In derselben ist NN' == Ax

2)

N,Q,=y + Jy NN,Q,Q = zIF. zlF ist größer als das RechteckQNN,N„, das wir gleich y-Ax setzen können, und kleiner als das Rechteckzlx (y-j-Ay). Also Jx(y-)- Ay) >• AF >> y • Ax.

Lösen wir die Ungleichung 3) in die Elemente auf, so ergiebt sich

und

3)

und

Jx(y-f zly)>/JF yAx<^AF

und hieraus

4)

AF

Äi<y+/,y

5)

und hieraus

6)

d • F = ydx.

Diesen Ausdruck nennt man dasDifferential der Fläche. Integrieren wir die Gleichung 6), so erhalten wir die Fläche selbst:

7)

F=/ydx.

Die Quadratur einer Kurve wird durch das vorstehende Integral erhalten.

Anmerkung. Um ein Flächenstück, das von einem Teil der Kurve, der Abscissenachse und zwei Ordinaten begrenzt ist, zu bestimmen, wird man stets auf ein bestimmtes Integral geführt werden. Soll z. B. /f(x)dx für die Fläche von x — a bis x

— b berechnet werden, dann hat man

b

F — /f(x)dx.

Wir wollen nun die Quadratur bekannter Kurven durchführen.

123. Quadratur der Parabel.

Wir kennen aus der analytischen Geometrie die Fornrel für die Parabel. Sie lautet:

y = V2px.

8)

Setzen wir den Wert in die Gleichung 7) ein, dann haben wir den Wert ihrer Quadratur.

9)

F = //2px . dx.

Wir wollen das Integral bestimmen und setzen daher zunächst die Konstante vor das Integralzeichen:

F = /2 p/ xVadx.

Wie bekannt, ist

J xVadx —

xVa + l

= ²/₃x8/2 + C.

F = ²/g • /2 p • x⁸/* C Um eine geschicktere Form zu erhalten, setzen wir

x% — X . xVa — x • /x.

F = ²/₃x./2Px.

Mit Verwendung von 8) folgt dann F = ²/₃xy + C.

Zur Bestimmung der Konstanten wollen wir noch folgendes überlegen. Beginnt das Stück der Parallelfläche, das bestimmt werden soll, im Scheitelpunkte, dann ist für

Also

Somit

10)

³A

x — 0 auch die Fläche der Parabel, also F = 0. Somil auch 0—0. Die Gleichung 10) geht dann über in

F — ²/sxy.

ii)

124. Quadratur der Ellipse.

Wie bekannt, ist die Gleichung der Ellipse

—/a²— x², a

in der a und b die beiden Halbachsen darstellen (siehe

12)

Abb. 21.

Abb. 21).

Somit lautet das Differential ihrer Fläche — ]/a² — x²dx

und die Fläche selbst

F = —

13)

-J|/a² — x²dx-|- C.

Das Integral ist uns bereits bekannt, wir finden es in unserer Jntegraltafel unter Nr. 52. Somit er-giebt sich

14) F =

p I er

rx _ a2

|—]/a² — x² —J— — arc sin

)l+c-

Wir wollen nun durch Formel 14) den Quadranten rechts oben der Ellipse berechnen. In dem Falle ist x=a. Setzen wir den Ausdruck in die Formel 14) ein. Das ergiebt

— * ( 0 ~f" — arc sin a l ' 2

15)

b a²

— . — arc sm 1 a 2

ab

— . arc sinl.

Wie wir wissen, ist arc sin 1 = ^. Daher

F ab • n

Die Konstante für diesen Quadranten ist leicht zu bestimmen; dann für x ----- 0, ist auch F — 0 und somit C= 0.

Die Fläche der ganzen Ellipse wird nunmehr

F — a hn.

16)

125. Quadratur der Hyperbel.

17)

Die Gleichung der Hyperbel ist

— }x² — a².

Es ergiebt sich sofort das Differential ihrer Fläche

—]/x² — a² • dx a

und das Flächenintegral F — —

Das ergiebt endlich

18)

-/]/x²— a² • dx. a*⁷

126. Quadratur der Cykloide.

Konstruktion und Gleichung der Cykloide.

Wenn ein Kreis auf einer geraden Linie dahinrollt, dann beschreibt ein jeder Punkt der Peripherie eine gesetzmäßige Linie. Man nennt sie die Radlinie oder die Cykloide. (Siehe Abb.22.)

Abb. 22.

Wir wollen zunächst die Gleichung der Cykloide herleiten.

Der Punkt C der Cykloide habe die Koordinaten x — AD und y — CD.

Der Radius des Kreises CM sei gleich r und der Winkel, den er mit dem Lot ME bildet, g>; das Bogenstück CE des Kreises, das der Länge AE entspricht, wird durch das Produkt r - cp gemessen. Man kann also setzen

und

CE — AE = r • <p CF — DE — r - sin99,

denn CF ist DE parallel. Weiter ist

x — AD = AE — DE

= r • op — r • sin cp.

In ähnlicher Weise giebt die Abbildung den Wert für y. y ----- ME —MF = r — r • cos 99 — r(l —cos 99).

Denn

19)

und

Nachdem wir so die Gleichungen für die Cykloide x ----- r(cp — sin 99) y — r(l —cos 99) gefunden haben, gehen wir zur Quadratur über.

Das Flächenstück ist in unserer Aufgabe zu bestimmen, das von der Kurve und von der Linie AB begrenzt wird. Um, der Formel F = jydx gemäß, das auszuführen, bilden wir dx.

dx — r(l—cos 99) d 99.

Also

F = /r²(l — cos 99) (1—COS99) (I99 -f- 6

20)

—    r²/(l—cos 99)2 d.99

—    r²/ (1 — 2 cos 99-j-cos² 99) d 99.

Um den Ausdruck für die Integration geschickter zu machen, bedienen wir uns der Beziehung cos 299 = 2 cos² 99 — 1.

cos² 99 = y₂ cos 2 99 —f— x/₂ und setzen ein

Daraus

21) F — r²/(l — 2cos99-f-¹/₂cos299-f-¹/₂)d99

—    r²/ (³/₂ — 2 cos 99-st- y₂ cos 2(p)d(p

—    r²{³/₂Jd(p — 2/00399(199 -s- %/cos 299 d 99}

—    r²{³/₂<P—2 sin99-|- x/₄ sin 2 99} C.

Die Cykloidenfläche beginnt im Anfangspunkt (A) des Koordinatensystems, daher ist für x — 0 auch F = 0 und auch 0 — 0. Für die ganze Fläche hat sich der Kreis

einmal aufgerollt, und es ist <p — 2n geworden. Setzen wir diesen Wert von 9? ein, so ist

F — r² (³/₂ • 2 Ti—2 sin 2 -(- V₄ sin 4 n)

—    r² (3ji — 0 —J— 0)

—    3r²jr.

Wir erhalten das Resultat, daß die Cykloiden-fläche dreimal so groß ist als der Inhalt des erzeugenden Kreises.

127. Quadratur der gleichseitigen Hyperbel.

In der Geometrie wird gezeigt, daß die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel miteinander rechte Winkel

22)

Abb. 23.

bilden. (Siehe 9166.23.) Bei der Ableitung der Gleichung dieser Hyperbel nimmt man die Asymptoten als Koordinaten. Ihre Gleichung lautet

23)

xy = 1; also y------ -

Somit erhalten wir für die Fläche den Ausdruck

24)

(ix

— 4-C

x '

= lx-4-C.

¹

⁻¹dx ya²—x² =

128. Quadratur der Kreislinie.

Es soll das Flächenstück mittels unserer Methode ermittelt werden, das von der Peripherie und dem Durchmesser

Abb. 24.

begrenzt wird. (Siehe Abb. 24.) Das mag der Leser ausführen. Setzt man in die Ellipsenformel (S. 187 Nr. 16)

25)

a = b = r.

so ergiebt sich:

26)

F — r ²tz.

129. Quadratur solcher Kurven, die durch Polarkoordinaten ausgedrückt sind.

Auf unserer krummen Linie (siehe Abb. 25) hat der Punkt P als Bestimmungsstücke r und a. Der Punkt P,,

:a

Pi

oC

Abb. 25.

r r-s-ckr und a-s-cka. Da die Strecke PP, sehr klein gedacht werden muß, so kann man sich den Sektor POP,

geradlinig denken. Dann stellt sich der Inhalt dieser Fläche durch eine bekannte trigonometrische Formel dar:

27)

dF= Y₂ r(r—(— dr) sin (da)

1/    / i i xsin(da) • da

= V₂r(r+dr)—^—

Indem sich das Flächenelement dem Werte null nähert, wird, wie bekannt,

und

lim(r-j-dr) — r lim sin (da)

da

= 1.

Es geht also 27) über in

28)

dF = x/₂r²da.

Integrieren wir, so empfangen wir das Flächenstück

29)

F = y₂/r²da.

130. Quadratur der archimedischen Spirale.

30)

Die archimedische Spirale giebt ein gutes Beispiel für die Ausführung einer Quadratur, wo Polarkoordinaten zu Grunde liegen. Wir haben uns mit dieser Kurve schon im Abschnitt 74 Seite 108 beschäftigt. (Siehe Abb. 13.) Die Gleichung der archimedischen Spirale lautet r = a • a.

Führen wir diesen Wert in die allgemeine Formel 29) ein, dann erhalten wir

31)

F — ~ a²-a²da + C

~ja*da + C

a² a³ |    a² _ , „

⁼ "2 ¹ 3" + C= 6"'“ +C-Beginnt die Spirale für a = 0, dann ist auch F = 0 und daher auch 0—0.

Zwanzigstes Kapitel.

Die Rektifikation der Kurven.

131. Erklärung und Ableitung der Formeln.

Die Rektifikation der Kurven lehrt, aus dem Differential einer krummen Linie, mittels der Integration, ein beliebig langes Stück der Linie zu bestimmen.

Betrachten wir das Stück AP einer Kurve, die durch die Gleichung

y = f(x)

ausgedrückt wird. (Siehe Wb. 26.) Bezeichnen wir das Bogenstück AP mit s. Es ist nun klar, daß mit der Ver-

1)

tj

a <z

Avb. 26.

2)

änderung von s sich auch die Abscisse ändert, daß somit s eine Funktion vonx ist. Nehmen wir nun an, daß sich das Bogenstück AP — s unt PP, =As vergrößere, dann wächst auch x um A x und y um A j, wie aus der Abbildung klar hervortritt. Nehmen wir das Bogenstück PP, sehr klein an, dann fällt es mit der Sehne zusammen, und wir erhalten die Beziehung Js² = Ax²-\-Ay²

und

13

As = yzlx² -j-zly².

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

Nähert sich endlich die Größe A s dem Werte null, resp. sie also m ds über, dann geht auch Ax unbAy in dx, geht in dy über, und 2) wird zu

3)

ds — ydx²-j-dy²

= dx

r+(äi)

Die Gleichung 3) giebt den Wert für das Bogenelement der Kurve an. Wollen wir die Kurve selbst oder ein Stück derselben erhalten, dann müssen wir 3) integrieren. Somit

4)

X

— /dx ]/l -)- f'(x)².

Xo

Manchmal ist es vorteilhaft, y zur Veränderlichen zu machen; dann erhält man in der gleichen Weise

4 a)

■hMW

Jo

Ein bestimmtes Integral ist hier notwendig, weil die Länge der Kurve in der Aufgabe zu bestimmen ist.

132. Die Rektifikation der Parabel.

Die Gleichung der Parabel lautet y² — 2px.

Bilden wir die Ausdrücke, die in den Formeln 4) oder 4a) zur Rektifikation sich vorfinden. Die Differentiierung ergiebt 2ydy = 2pdx ydy = pdx

dx

UNd

dy p

In diesem Falle ist es vorteilhaft, 4a) zu verwenden.

Daher

dy/i +

AlMi) = ^/dy Vp²+y².

Nun kann man schreiben ds² = dx²-|-dy².

dx² ==

-!dyl

P2 ³

Also

ds² —

dy² - p²

P²

dy² =

dy²y² + dy²p

P²

d Y²

= ^(y²+p²).

^-fy²+p²-

s = dy Ty²+P²+ C.

Mit Hilfe der Formel 54) der Jntegraltafel giebt das

Daher ds =

Also

dy

i/dyVpä+y

= 4;{yYp²+y²+p²-¹(y+Vp²+y²)}+c-

2p

Es ist klar, daß der Parallelbogen gleich null wird, wenn y gleich null wird. Setzen wir in die Formel für s, daher s — 0 und y — 0, so wird

13*

° = ^{p²-¹0/?)}+°

= ^.lp + 0

= f-ip+c.

Somit

rlp-

Setzen wir diesen Wert von C in die obige Gleichung für s ein, dann geht sie über in

^ypi+yi+|-i(y+)^+?)-|-ip

^yw+l-{E±S2j.

133. Die Rektifikation der Cykloide.

x = r (cp — sin 99)

y = r (1 — cos 99). (Siehe Abbildung 22 Seite 188.)

Im Abschnitt 126 fanden wir als Formeln für die Cykloide

dx = r (1 — cos 99) 699 dy = r • sin 99 d 99.

Um diese Kurven zu rektifizieren, bilden wir die Differentiale; also

und

Da ds² = dx²-|-dy² ist, erhalten wir ds² — dx²-f- dy² — r²(l—cos 99)² d 99²-s-r² sin² 99 d 99'

—    r²(l — 2 cos99-f- cos²99)d99² -\- r² sin² ^d^²

—    {r² — 2 r² cos 99 -f- r²(sin²99 -j- cos² 99)^99^

Da nun sin²99-(-cos²99 — 1 ist, wird wiederum ds² = (2 r²— 2r² cos(p)d(p2 — 2r²(l—cos 99) d 99².

Wir setzen nach den Lehren der Trigonometrie

1 — cos cp — 2 sin² ^ •

ds² — 4r² sin² — da?²

2 r

ds — 2r sin —da).

2 r

Also kommen wir leicht zum Integral

Dann ergiebt sich

2r/sin|d₉, + C = 4r/sin|.d(|)

= — 4r cos ^ —f- C.

Die Cykloide beginnt mit cp — 0; in diesem Falle ist somit auch s—0. Setzen wir ein

0 — — 4r cos 0 -|-C = — 4r + a

C = 4r.

Es wird daher die Cykloidenkurve

Daher

4r cos ^ —j— 4r

— 4r

(>—!)•

Zur besseren Ausnutzung dieser Formel ist noch eine kleine Umformung vorteilhaft. Setzen wir

<P = l-2sin^

2    4

= 2 • sin² —

4

cos

oder 1 — cos

in die Formel.

Also

s = 4r 1—cos

— 8r • sin² —•

4

Um die ganze Cykloide zu erhalten, setzt man (p = 2nt dann wird:

S = 8r • sin² — — 8r • sin² — — 8r.

4    2

Die Cykloide ist achtmal so groß als der Radius des erzeugenden Kreises.

134. Die Rektifikation von Kurven in Polarkoordinaten.

Es sei die Gleichung einer krummen Linie in Polarkoordinaten gegeben:

5)

r = f(a).

Nennen wir ein Stück der Kurve s (siehe Abb. 27). Wenn der Winkel a wächst, nimmt auch die Kurve zu, somit ist auch s eine Funktion von a. Nehmen Me Kurven um das kleine Stück PP' — ds zu, dann wächst« um da. Schlagen wir mit r = OP einen Kreis um O; er trifft die Linie OP, in Q. Wir können nun, der sehr kleinen Seiten halber, wie in Abschnitt 129, das Dreieck PQP, als ein geradliniges betrachten, das bei Q, einen rechten Winkel enthält. Dann ist

pp;² = p^²+pq².

P,

\P

-Sc

Abb. 27.

Da nun P;Q — dr, PP; — ds und PQ — rda ist, folgt ans 6)

7)

ds² — dr²-}-r²da²

ds — ydr²-)-r²da²

= da

8)

Nehmen wir jetzt das Integral, dann ergiebt sich

M(ä)

+ r² + C.

Da die Länge des Kurvenstücks von a bestimmt wird, so können wir endlich auch schreiben 8 a)

Der Leser mag zur Uebung die archimedische Spirale rektifizieren.

Einundzwanzigstes Kapitel.

Die Inhaltsbestimmung der Rotationsflächen.

135. Definition, Herleitung der Formeln.

Wenn sich eine Linie um eine feste Achse bewegt, so daß sie stets von dieser in gleicher Entfernung bleibt, dann beschreibt die Linie eine Fläche. Die Bestimmung einer solchen Rotationsfläche nennt man die Komplanation der Flächen.

Wir wollen die Formeln zu ihrer Berechnung herleiten. (Siehe hierzu Abb. 28.)

Die Rotationsachse bezeichnen wir mit AX, sie sei zugleich die X-Achse des Koordinatensystems, und ihr Anfangspunkt liege m A. Die Kurve, die um die Achse rotiert,

cjsJ!*

B,

Ja-

Abb. 28.

1)

sei BC. Es ist nun sofort klar, daß, wenn die Absciffe (X-Achse) wächst, die Oberfläche F, die wir uns vollendet denken können, auch zunimmt, daß also die Rotationsfläche eine Funktion der Abscisse ist. Daher F = f(x).

Nimmt x um Ax zu, dann wächst auch F um AF. Wie man aus der Abbildung leicht steht, kann man das Element der Rotationsfläche AF als den Mantel eines Kegelstumpfes betrachten, der durch Rotation der Sehne As — CD um die Achse entstanden ist. Die Stereometrie lehrt den Mantel eines Kegelstumpfes berechnen. Mit ihrer Hilfe erhalten wir daher M = n{JC + KD)CD.

2)

Bezeichnen wir die Ordinaten der Punkte C resp. D mit y, beziehungsweise mit y' und CD mit As, als kleinen Zuwachs der Kurve BC — s, dann geht 2) über in M — n(y-s-/)/l8.

Rückt nun C sehr nahe an D heran, wird also As ds, darin wird auch y = y', und der Mantel M entspricht dem Elemente der Rotationsfläche dF. Wir können daher schreiben

4)

dF — 2nyds.

Nehmen wir das Integral, dann erhalten wir natürlich die Rotationsstäche selbst:

F = 2tc /yds-{-C.

5)

Rotiert die Kurve um die y-Achse des Koordinatensystems, dann verändert sich die Formel, wie sofort einzusehen ist, in

5a)

F = 2nfx • ds -f- C.

136. Bestimmung der Oberfläche einer Kugel.

Dreht sich ein Kreis um seinen Durchmesser, so entsteht eine Kugeloberfläche. Wir wollen sie nach den im vorstehenden Abschnitt entwickelten Formeln bestimmen. Die Gleichung des Kreises ist

x²-}-y² = r². y² = r² — x².

Somit

Ziehen wir die Wurzel und gedenken wir der Beziehung r² = x²-f-y² dann erhalten wir

rdx

ds —

und

Differentiieren wir, dann folgt

2ydy — — 2xdx xdx

dy =

Um unseren Formelausdruck zu erhalten, bedienen wir uns der Bezeichnung

ds² — dx²-f- dy².

Eingesetzt, ergiebt das

ds²

x²

— dx²-|—- dx²

— dx²

(¹⁺^)

= dx²

'x²-(-y2>

dxs/x²-s-y'

Fügen wir unser Resultat in Formel 5) ein, so wird

s⁷~ + C

= 2nr/dx-)-C.

Für eine bestimmte Aufgabe werden wir auch ein bestimmtes Integral erhalten.

Soll z. B.im vorliegenden Fall die ganze Kugelfläche berechnet werden, dann muß das Integral von x = —r bis x — -s- r ausgedehnt werden. Also +r

F = 2jtf /dx = 2nv{r-\-r)

— 4Jtr².

Wie dem Leser aus der analytischen Geometrie bekannt ist, wird bei der gebrauchten Kreisgleichung der Anfangspunkt des Koordinatensystems in den Mittelpunkt des Kreises gelegt.

137. Bestimmung der Oberfläche des Rotations-paraboloides.

Rotiert eine Parabel um ihre Achse, dann entsteht ein Rotationsparaboloid. Wir gehen zu seiner Ableitung von der Gleichung der Parabel aus

y² — 2px.

Differenzieren wir und dividieren durch 2: ydy = pdx.

Wir erhalten also für den ersten Differentialquotienten dy _ p dx

Bedenken wir wiederum, daß ds² — dx²-j-dy² ist,

dann wird

'ds\²_/dx\² | /dy\²

,dx) ⁼ \di) ‘ \dx)

= 1+-₂

y²

_y²+p²

y²

'ds\²

Setzen wir wiederum den Wert für y² = 2px ein: p²-j-2px

dx

und

ds

dx

— “Vp²+2px

yds = dx ]/p² -j- 2px.

und hieraus

Im das Integral leichter zu finden, machen wir mit der rechten Seite des vorstehenden Ausdrucks eine kleine Umformung.

Zur Bestimmung der Konstanten C bedenken wir, daß für y — 0 auch F — 0 sein muß.

Wir setzen daher

2 Tip²

3P

o = l~‘P⁸4~c =

Also

Wir setzen

Daher

u — yP²+2px^ u² — p²-j- 2px.

und

Differentiiert, ergießt das

2udu — 2pdx

udu — pdx

, udu dx =--

Nunmehr wird

u²du

Daher

n udu ydS = —

F — 2?r/yds — — / u²du 2ttu ³

3P

fC.

Setzen wir wiederum den Wert von u ein:

2n

3p

{/p²+2Pxj⁸-t-C

2px — y²,

somit

3P

|l/p²+y²|³+c.

— P²ti.

3 r

Somit erhalten wir endlich als Oberfläche des Para-boloides mit der üblichen Umformung

3p

138. Die Oberfläche soll ermittelt werden, die entsteht, wenn sich eine Cykloide um ihre x-Achse dreht.

Siehe Abb. 22 Seite 188. Die Gleichungen, die die Cykloide bestimmen, lauten, wie wir zeigten, x = r (<p — sin 99) y = r (1 — cos 99).

Formen wir sie in solcher Weise um, wie es unsere Formeln verlangen. Durch Differentiierung ergiebt sich dx — r(l — cos <p) dtp — rd(p— rcos^d^ dy = r • suupdcp.

Um den Ausdruck ds² = dx²-}-dy² zu bilden, müssen wir quadrieren:

dx² = r²d<p²— 2r²cos9?dtp²-|-r²cos²<pd9?²

dy² — r² sin ²cpd(p².

Durch Addition folgt nnnmehr ds² — dx²-|-dy²

— r²dtp² -j- r² d 9² (sin² 99-|-cos² 99) — 2 r²cos 9^992.

Da sin² 99 -s-cos²99 = 1, so wird

ds² — 2 r²dcp²— 2r² coscpdcp2 — 2r²dcp²(l — cos 99).

Zur weiteren Umformung setzen wir COS99 = 2 sin²^-

Also

<P

ds² = 4 r² sin²^d

und

ds — 2 r • sin ^ dtp.

F = 2n/r(l — cos99) • 2r • sin ^99.

Setzen wir den Ausdruck jetzt in die Formel 5) Seite 201 ein, dann ist

Dieser Ausdruck muß nun zur Integration geschickt gemacht werden. Wir erhalten nacheinander

F — 2n [2r²(l — cos99) sin99

—    4r²;zt J(1 — cos 99) sin ^99

cp

—    4r²n f 2 sin• sin ^ d = 4zV²jzj2sins^d(p

= 8 v²n J sin³^d99 -|- C

Um die ganze Oberfläche zu erhalten, muß 99 von null bis 2 n wachsen. Wir erhalten also ein bestimmtes Integral zwischen den Grenzen 2n und null. Daher

F — 16r²7Tj'sin³|.(l^|j

Bedient man sich der in Abschnitt 191 bewiesenen Beziehung sin³« = —y₄ sin3a-{- ³/₄ sin« nnd zieht entsprechend zusammen, dann wird

64

139. Die Oberfläche des Rotationsellipsoides.

Rotiert eine Ellipse um ihre große Achse, dann beschreibt sie ein Rotationsellipsoid. Wir wollen diese Fläche ermitteln. Die Gleichung der Ellipse ist bekanntlich

-/a²—x².

In ihr bedeutet 2a — AB die große Achse, CD — 2b die kleine Achse (siehe Abb. 29). Ferner bezeichnet man die

Entfernung eines Brennpunktes F (ober E) vom Mittelpunkt der Ellipse mit e und nennt diese Größe die Excentrizität. In der analytischen Geometrie wird gezeigt, daß immer

aU-

Abb. 29.

e² = a²—b² ist. Um mit Hilfe unserer Formel 5) Seite 201 die Fläche des Rotationsellipsoid es zu finden, müssen wir den Ausdruck ds = ]/dx²-f-dy² bilden. Hierzu ist es nötig, die Gleichung der Ellipse zu differentiieren. Das ergießt

dy = —

x • dx

Va² -— x²

Wir müssen nun folgende Umbildungen ausführen:

b² x²dx²

= dx²

(H

b²x²

a²(a² — x²)

= dx²

f a⁴— a²x²-(-b²x²| l a² (a² — x²) J

— dx²

a⁴ — x² (a² — b²)

a² (a² — x²)

Da wir e² = a² — b² setzen können, so folgt weiter a⁴ — x²e²

ds² — dx²

a²(a² — x²)

Dividieren wir durch dx², so folgt /ds\²

a⁴ — x²e²

dx

a²(a²—x²)

ZEüZdx.

a²(a²—x²)

Es ist nunmehr der Formelausdruck zu bilden

b r—-- l/a⁴—x²^²

—Va² — x² • -—    dx

a    a ya²—-x²

— -^Va⁴ — x²e² dx.

Das Integral der Rotationsfläche der Ellipse ist somit / ]/a⁴ — x²e²dx.

und somit

ds =

yds —

2^rb

a²

Wir wollen das vorstehende Integral berechnen und es zu dem Zwecke umformen:

2 nh • e

a²

/y

a⁴

— — x² dx.

e²

a⁴

Setzen wir — — n², dann ist 2 nh • e

/ yn² — x²dx.

Mit Hilfe der Formel 52) der Jntegraltafel können wir integrieren

F =

a²

²"b'e{|y«²-^ + yarcSm( jj

|x]/n²—^ + n² arc sin j|-|- C.

a²

jrbe

a²

a⁴

+c

Setzen wir nun wiederum für n² — — und für e² = a²—b², also die ursprünglichen Werte, dann wird

F=

^b^'a²—b²

a²

■r

a² —b²

X²

a⁴

a²—b²

arc sin

x • j/a² — b²

a²

Lösen wir die Klammer: Trbx

a²

ya⁴—(a²—b²)x²4

a²b jr

arcsin

x.ya2_b2

a²

FC.

Va²—b²

Die Bestimmung der Konstanten ist sofort erledigt, denn für F — 0 muß auch C= 0 werden. Setzen wir x = a, also gleich der halben großen Achse der Ellipse, dann erhalten

wir die Fläche des halben Rotationsellipsoides -• = —fa⁴—(a²—b²)a²-(

Somit

tOl M

a²bjr

ya²—b²

• arc sin

a²

a²bjr

ya²—b²

arc sin

Va²—b²

= b²jr

a²byr

arc sin

ya² —b²

Dann wird die ganze Fläche 2 a²bjt

F — 2h²ji-\

oder auch — 2b²n-\

ya²—b²

2 a²bjr

arc sin

• arc sin — •

Bekanntlich geht eine Ellipse in einen Kreis über, wenn a— b wird. Nehmen wir das im vorliegenden Falle an, dann wird das Rotationsellipsoid sich in eine Kugel verwandeln. Der Ausdruck e = ya²—b² erhält hier den Wert null.

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

14

Aber au trachtung.

ch das zweite Glied Ist nämlich a =

arc sin [ —

arc sin

verlangt eine genauere Be-b, dann wird der Ausdruck

ya²—b²

also unbestimmt.

Mit Hilfe der Methoden über die Ausmittelung unbestimmter Ausdrücke in der Differentialrechnung ergießt sich

arcsin

ya²—b²

Va*— b²

Setzen wir diesen Wert in den zweiten Ausdruck ein und bedenken wir, daß man a = b setzen soll, dann geht

2a²bjr

ya²—b²

• arc sin

ya²—b²

über in 2 b²7t.

Also F — (Kugeloberfläche) — 2b²7i-\-2b²n — 4b²jz = 4a²jr.

Wie wir aus der Stereometrie wissen, ist das die Formel für die Kugeloberfläche.

140. Die Oberfläche für das Sphäroid.

Dreht sich eine Ellipse um ihre kleine Achse, dann entsteht ein Sphäroid. Diese Fläche ist bedeutungsvoll in vielen Aufgaben der mathematischen Physik und der Astronomie. Die Erde hat die Gestalt eines Sphäroids. Plastische Körper nehmen auf der Zentrifugalmaschine Sphäroidform an re. Um die Aufgabe, die Oberfläche eines Sphäroids aus der Ellipse zu lösen, müssen wir die Gleichung der Ellipse nach x auflösen. Also

Führt man nun die Rechnungen in der gleichen Weise durch wie im Abschnitt 139, dann erhält man die gewünschte Gleichung des Sphäroids

F — 2a²7z-r

ab²jr

-1

Zweiundzwanzigstes Kapitel.

Die Kubatur der Rotationskörper.

141. Erklärung und Ableitung der Emndformeln.

Wenn eine Kurve sich um eine feste Achse dreht, so beschreibt sie eine Fläche, wie wir es im vorigen Kapitel genau beschrieben haben. Diese Fläche umschließt einen bestimmten Raumteil. Wir wollen die Methoden er-

B\

i;

a;

1/

^7?

Abb. 30.

Mitteln, um ihn zu bestimmen. Man bezeichnet die Operation als Kubatur der Körper (Abb. 30). Die Kurvesoll sich um die X-Achse, indem sie stets in derselben Entfernung bleibt, herumbewegen. Wir wollen den Inhalt V des Körpers ermitteln, den die Oberfläche umschließt.

14*

Die Koordinaten des Punktes B seien x und y. Wächst nun die X-Achse DE um das Stück Jx = EF, dann muß auch V um zf V= BOO,B, zunehmen. Das Volumen des Körpers ist eine Funktion von x. Wenn Ax klein gedacht wird und die Bogenstücke BC und B,C, als geradlinig betrachtet werden dürfen, dann können wir das Körperelement BCB,C, als einen abgestumpften Kegel auffassen. Aus den Lehren der Stereometrie folgt

1)    -----    (y²+y(y+^y)+(yy)²}-

Nähert sich Ax der Grenze null, d. h. wird es gleich dx, dann wird auch Ay — dy und A V = dV.

Aus der Gleichung 1) ergiebt sich

2)    dV = ^{y3 + y(y+dy) + (y+dy)2}

= "^-{3y²+3ydy + dy²}.

Es ist nun unmittelbar einleuchtend, daß die Ausdrücke 3ydy intb dy², da sie mit Differerrtialen behaftet sind, gegen 3y² verschwindend klein werden und vernachlässigt werden können, d. h. null werden. Dann geht 2) über in

3)

dV =

— y²dx • n.

dx • 71

--gyi

3 J

Aus dem Körperelement ergiebt sich durch Integration der Körper

4)

V — Ti Jy²dx.

4 a)

Dreht sich die Kurve um die X-Achse, dann führen dieselben Ueberlegungen zu der entsprechenden Formel Y = Ti J x²dy.

142. Der Inhalt eines geraden Kegels.

Man kann sich einen geraden Kegel dadurch entstanden denken, daß sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete dreht.

In Abb. 31 mag sich das rechtwinklige Dreieck ACB um die X-Achse drehen. Dann ist AC = h die Höhe, BC der Radius und AB die Seitenlinie des Kegels. Unmittelbar aus der Figur erhalten wir die Proportion x: y — h : r

y = ir

und

rx

als Gleichung der Linie.

4—x

9166. 31.

Also nach Formel 4)

Integrieren wir, so wird

jrr 2 v3

v = ^-l+c-

Das Integral muß genommen werden von x — 0 bis x = h. Das ergiebt

tu*² • h³

h • nr²

3 h²

= ¹/₃h.Y²7C.

143. Der Inhalt des Paraboloids.

Das Paraboloid bildet sich, indem sich die Parabel um ihre Achse dreht. Die Gleichung der Parabel ist y² — 2px.

Die Aufgabe ist hier sehr leicht zu lösen, weil wir sofort das wichtigste Glied in die Formel 4) einfügen können. Also

V — n /2pxdx — 2pyr /xdx.

Integrieren wir, dann ergiebt sich

V= 2P^|+C

fC.

JZ'X

= ²pxT

Schreiben wir wieder für 2px = y², dann wird

0.

y ₌

2

Da für x = 0 auch V= 0 wird, so ist auch 0=0.

144. Der Inhalt des Sphäroids.

Da, wie wir bereits ausführten, ein Sphäroid entsteht, wenn sich eine Ellipse um ihre kleine Achse dreht, so wird in diesem Falle 2b =CD zur Rotationsachse. (Siehe Abb.32,)

C(+b)

AI

B(-b)

Abb. 32.

X* y2

a² ' b²

Die Gleichung der Ellipse ist, wie aus der analytischen Geometrie bekannt,

Lösen wir sie, auf Grund der vorstehenden Ueberlegung, nach x auf, so wird sie

a²

X² = p(b²—y²).

"/

b²

Setzen wir diesen Ausdruck in Formel 4 a) ein —(b²—y²)dy

^r/(b²—y²)dy.

Integrieren wir

/(b²—y²)dy — /b²dy—-/y²dy

Eingesetzt ergießt

= b²y-L + C.

Wie man gut aus der Abbildung ersehen kann, muß von — b bis -j- b integriert werden, um den ganzen Sphäroid-körper zu erhalten. Setzen wir diese Werte ein

5ra²b³

V„ = 2?

b²

b²

— jra²b

jta²b³

Bb2 n a²b

V.b = 21

jra²b³ jra²b³

b²

3b²

jra²b

b²

^ra²b.

jra²b

jt a²b —

Vb-V_b =

jia²b

— 2 jra²b — ²/₃:zra²b.

V=Vb —y_b= 2jra²b — ²/₃jra²b V=    a²b jt.

145. Formeln für die geometrischen Anwendungen der Integralrechnung.

I. Quadratur der Kurven: F = /ydx.

F — y₂/r²da in Polarkoordinaten.

II. Rektifikation der Kurven.

s — /dx Vl+f'(x)2 Xo

yo

+ r²

■M®

«0

in Polarkoordinaten.

HI. Komplanation der Rotationsflächen.

¥ = 2n /yds-j-C — 2 7t J xds-f- C.

IY. Kubatur der Rotationskörper.

V — nf y²dx = 7t f x²dy.

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Die vielfachen Integrale.

146. Neue Erklämng des Integrals.

Bisher haben wir das Integral als eine Umkehrung des Differentials betrachtet. Wir wollen den Integralbegriff nun tiefer zu erfassen suchen. Gehen wir, um daS zu ermög-lichen, noch einmal auf das bestimmte Integral zurück. Erinnern wir uns zunächst, daß in der Lehre von der Quadratur der Kurven die Aufgabe zu lösen war, den

Inhalt der Ebene zu bestimmen, die begrenzt wurde von einem Stück der Kurve y = f(x), den beiden Endordinaten und einem Stück der Abseissenachse. Denken wir uns das Abseissenacksenstuck QS der Kurve PR in n kleine gleiche Teile = Ax geteilt (siehe Abb. 33) und durch die Teilpunkte parallele Linien zur X-Achse gelegt. Durch diese Konstruktion wird die Ebene in n Streifen zerlegt. Legen wir endlich noch

R/

M/

fs.

Ar

QT 0^Tt S

Abb. 33.

parallel zur X-Achse durch die Punkte P und P, re. Linien. Ein jeder der genannten Streifen PMQT, P,M,Q,T, 2c. zerfällt dann in ein Rechteck PXQT2C. und in ein Dreieck PNMAc. Der Inhalt des Rechtecks ist — yAx. Ist die Abscisse des Punktes P = a, also x==a, und die Abseifse des Punktes R = bf dann kann die Summe aller Rechtecke, die dazwischenliegen, ausgedrückt werden durch

x = b — Ax

1) Summe aller Rechtecke — ^y/lx.

x = a

In 1) bedeutet 2 das Zeichen für eine endliche Summe. Setzen wir y — f(x), dann geht 1) über in

x = b — Ax

2) Summe aller Rechtecke = !>" f(x)Ax.

x — a

Wird nun n sehr groß und bafyevAx sehr klein, so daß es zu dx übergeht, dann werden auch die Dreiecke PMN re. verschwindend klein werden, so daß man sie vernachlässigen kann. Damit ist nun aber die Zahl der Rechtecke unendlich groß geworden. Wollen wir sie nunmehr summieren, dann müssen wir für Z das Integralzeichen / setzen. Daher läßt sich jetzt die Ebene darstellen durch das bestimmte Integral

b    b

S)

F = fydx = / f(x)dx = f(b)-f(a).

Wir erkennen somit, daß ein Integral zu betrachten ist als eine Summe, die sich aus einer unendlich großen Anzahl von Elementen zusammensetzt. Eine Integration ist also eine Summation, und das Integralzeichen /ist ein Summationszeichen.

147. Die vielfachen Integrale.

Die Ausführungen des vorstehenden Abschnittes führen zu den mehrfachen Integralen. Man denke sich die Strecke AB (siehe Abb. 34) in eine große Zahl kleiner Teile geteilt und ebenso die Strecke AD. Zieht man nun durch die Teilpunkte zur X- und zur X-Achse parallele Linien, dann zerfällt das Rechteck AC in eine große Anzahl kleiner Rechtecke, von denen jedes den Inhalt dx • dy hat. Der Inhalt des Rechteckes AC ist dann als das Integral über das Produkt dx . dy zu betrachten, und zwar zwischen

den Grenzen von x — 0 bis x = a*) und y = 0 bis y = h. In Zeichen

4)

F = //dx - dy.

Integriert man zuerst in Beziehung auf dx, also

a

/dx = a,

0

und dann in Beziehung auf dy, also

5)

6)

h

/ dy = ah = F, 0

so erhält man den Flächeninhalt des Rechtecks. Man be-* zeichnet 4) als ein Doppelintegral. Da x und y ganz unabhängig in ihm sind, so ist es auch gleichgiltig, nach

(X

JS

Abv. 34.

welcher Variablen man zuerst integriert. Hiervon tritt eine Ausnahme ein, wenn x und y zu einander in einer bestimmten Beziehung stehen. Um das darzulegen, wollen wir eine Aufgabe durchführen.

*) Denke man sich A im Anfangspunkt des Koordinatensystems.

148. Inhalt eines Dreiecks durch Doppelintegrale zu bestimmen.

Es soll der Inhalt des Dreiecks ABC (siehe Abb. 35) mit der Grundlinie a und der Höhe h bestimmt werden. Auch hier können wir uns, wie im vorigen Abschnitt, das Dreieck in Elemente zerlegt denken. In unserem vorliegenden

JL

Abb. 35.

Fall ist aber y nicht immer gleich, sondern mit wachsenden X veränderlich. Die kleinen Rechtecke dx • dy sind daher nicht immer dieselben. Es ist y selbst eine Funktion von x. Wir wollen nun die Aufgabe formulieren. Die Linie AC wird durch die Gleichung 7) dargestellt. Integrieren wir nun das Doppelintegral

8)

F = jjidx - dy

zunächst nach y, dann ergiebt sich F = / ydx.

12)

10)

Fügen wir den Wert von y ein, dann wird

F = / —xdx — — sxdx.

J a    ad

0

Da

x²

/xdx = 2

ist, so wird

11)

F = 1 /,d, = ^ ad

2a

Da das Integral unserer Abbildung entsprechend¹) von x= 0 bis x = a zu bestimmen ist, so setzen wir in 11) x —a. Somit wird

2a -V,ah.

149. Das dreifache Integral.

Durch ein dreifaches Integral kann man sich leicht und anschaulich den Inhalt eines Körpers dargestellt denken. Stelle man sich vor, daß durch einen Körper drei sich unter

■§

dx

Abb. 36.

rechten Winkeln schneidende Ebenen gelegt sind und zu diesen sehr viele parallele Ebenen, dann ist der Körper in eine große Zahl kleiner Prismen geteilt. Ist die Zahl der Ebenen unendlich groß, dann ist die Grundfläche von jedem Elementar-

Prisma ein Rechteck vom Inhalt dx • dy. Die Höhe eines jeden Prismas ist dz. Somit ist der Inhalt eines Elementarprismas (siehe 3166.36) auszudrücken durch dx - dy - dz. Also dV = dx • dy • dz.

13)

Das Gesamtvolumen entspricht dem dreifachen Integral ausgedehnt ü6er dV. Also

Y = ///dx • dy • dz.

14)

Vierundzwanzigstes Kapitel.

Die Differentialgleichungen.

150. Erklärung und Einteilung der Differentialgleichungen.

dx

Die Gleichungen, in denen sich veränderliche Größen ne6st ihren Differentialen und Differentialquotienten 6efinden, nennt man Differentialgleichungen. Sie werden in gewöhnliche und in partielle Differentialgleichungen eingeteilt, je nachdem sie totale oder partielle Differentialquotienten enthalten. Es ist z. B.

y— = mx dy

eine gewöhnliche Differentialgleichung und

ST

dT

= 2T

P»i + q»q

eine partielle Differentialgleichung.

Wir stellen nun die Aufgabe, die ursprüngliche Gleichung zu finden, ans der die Differentialgleichung entstanden ist. Diese nennt man die Integralgleichung.

Man teiltdieDifferentialgleichungen nachderHöhe des Differentials oder des Differentialqnotienteu in Differentialgleichungen von der Iten, 2ten ... nteit Ordnung ein. So ist beispielsweise

xdy— ydx = 0 oder y

eine Differentialgleichung erster Ordnung,

d2y    f/^y\

dx² ydx/

eine Differentialgleichung zweiter Ordnung,

dny f/dy\

dxn \dx/

eine Differentialgleichung nter Ordnung.

Zudem zerfallen die Differentialgleichungen noch in Grade, wie die algebraischen Gleichungen. Den Grad bezeichnet die höchste Potenz, in der sich der Differentialquotient befindet.

In der von uns schon angeführten Gleichung xdy — ydx — 0

stehen die Differentiale in der ersten Potenz; sie ist daher eine Differentialgleichung ersten Grades und, wie wir wissen, auch erster Ordnung. Die Gleichung

(S),+ax+by = 0

ist nach der Definition vom zweiten Grade.

151. Homogene Differentialgleichungen.

Man bezeichnet eine Differentialgleichung als homogen, wenn die Summe der Exponenten der Variablen in jedem Gliede dieselbe ist. So ist z. B.

xydy-|-x²dx-j-y²dy — 0 eine homogene Differentialgleichung, denn die Summe der Exponenten ist in jedem Gliede gleich zwei.

und

152.

Die unmittelbare Integration vollständiger Differentiale.

Im dreizehnten Kapitel sind die Merkmale besprochen worden, aus denen man ein vollständiges Differential erkennen kann. Ist danach

1)

z = f(x,y),

so ergießt sich

2)

dz = ^dx + ^dy

als das totale Differential der Funktion 1). Differen-

tiierten wir sodann den Ausdruck ^ nach y und ^ nach x,

so erhielten wir die gleichen Differentialquotienten

3)

d²z

d²z

dy • dx dx • dy

Es ist also ein Kennzeichen für ein vollständig^ Differential, daß es als gleichgiltig erscheint, oo man die Funktion erst nach x und dann nach y oder umgekehrt differentiiert hat.

Wir wollen, wie es gebräuchlich ist, 2) und 3) ein wenig andersschreiben. SetzenwirdiepartiellenDifferentialquotienten der Funktion

4)

dx

dann geht Gleichung 2) über in

dz — Pdx-(- Qdy.

5)

Differentiieren wir nun P nach y ltttb Q nach x, so ergießt sich

dp

d²z

dy dy•dx _ d²z dx»dy

Es ist also

6)

dP _ dQ

Öy

7)

Gmndsatz: Hat ein Differential die Form Pdx-j-Qdy,

oder läßt es sich auf diese Form bringen und ist x dP dQ

zudem, gemäß 6) ^    dann ist das Differen

tial ein vollständiges.

Auf die Form 7) lassen sich die Differentialgleichungen der ersten Ordnung und des ersten Grades stets zurückführen. Gilt dann auch 6), so ist die Integration immer möglich!

153. Beweis für den Grundsatz.

8)

Nehmen wir an, daß eine Gleichung von der Form dz — Pdx-j-Qdy

gegeben sei, und daß zudem

9)

öP öQ

dJ

dx

dz

ist. Wir erinnern uns, daß hierin P = gesetzt worden war.

Wir wollen nun integrieren, indem wir y als konstant betrachten. Also

z=/Pdx+Y.

Y ist die Fntegrationskonstante und als eine Funktion von y zu betrachten. Setzen wir nunmehr /Pdx = U, so ergiebt sich, wenn wir diesen Wert in 10) einfügen, z = U + Y.

Die Teile von z sollen im einzelnen bestimmt werden. Dtsferentiieren wir daher diese Gleichung nach y

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

io)

ii)

12)

15

dz

und setzen, wie bekannt, -u- — Q, dann erhalten wir

dy

14)

-uil.

5y ' dy Nach — ausgelöst, ergießt

dy

15)

dY

5U

17 — Q — 1

dy

s7

ober

SU

dY-Qdy-^dy. Wird die Integration nach y ausgeführt

13)

5z 5U,dY 5y dy ' dy

16)

und dieser Wert von Y in 12) eingesetzt, dann haben wir

17)

, = u+/(⁹⁻5i)dy+C'

¹

Wie Seite 219.

154. Beispiele.

Die vorstehenden allgemeinen Betrachtungen sollen nun an einigen speziellen Beispielen erläutert werden. Wir haben die Gleichung

dz = (3y²—4x²) dy-}-(3x²—8xy)dx.

Die Gleichung soll integriert werden.

und

Zunächst haben wir zu untersuchen, ob unsere Gleichung ein vollständiges Differential ist. Setzen wir dazu P — 3x²— 8xy Q = 3y² — 4x².

Die Gleichung hat also die gewünschte Form Pdx-}-Qdy = dz.

Nun ist noch nach den Regeln in Abschnitt 153 zu zeigen, daß auch

<9P dQ

dJ

dx

ist-

Differentiieren wir P und Q, um das zu ermitteln: dP d(3x²—8xy)

= — 8x,

dQ_ d(3y²—4x²)

— — 8x.

Unsere Gleichung stellt ein vollständiges Differential dar, wir können also nach den Methoden des vorigen Abschnittes direkt integrieren.

Nach Gleichung 11) wurde / Pdx = U gesetzt. Also U = / Pdx — J (8x²—8xy) dx.

Man erhält aus Gleichung 12) z — U -(-Y z — /(3x²—8xy)dx-]~ Y, z = x³ — 4x²y -s- Y.

Nun muß Y bestimmt werden. Differentiieren wir nach y i ₌ -4x* ₊ ?

dx

dx

OjI Cu

dy

dY

oder

Q = —4x2 + — .

Lösen wir in entsprechender Weise auf, dann ist

!f = Q+4x2

und

dY = Qdy + 4x²dy. Setzen wir nun den Wert von Q ein, dann wird dY — (3y²—4x²)dy-(-4x²dy — 3y²dy — 4x²dy-(- 4x²dy = 3y²dy.

Endlich

Y = /₃y²dy+C = y⁸ + C.

15*

Fügen wir in die Gleichung z = U-(-Y auch noch den Wert für Y ein, dann erhalten wir die gewünschte Integralgleichung

z = x³ — 4x²y-[-y³-j- C.

155. Ein zweites Beispiel.

Gegeben sei die Gleichung

P — 2mx-j-ny-(-r Q — 2py-f-nx-f-s. Unsere Gleichung entspricht also der Form Pdx-f-Qdy — dz.

dz — (2mx-|-ny-f-r) dx -j- (2py -)~ nx -j- s) dy. Wir setzen

und

Untersuchen wir, ob sie ein vollständiges Differential darstellt. Es ist

dP d(2mx-[-ny-j-r)

= äy =n'

dQ, _ d(2py-|-nx-)-s) _ ^

Sy

dx

dx

Also wir haben auch hier ^    ^ und können inte

grieren. Nach Regel 11) ist

U — /P dx = / (2mx-)-ny-)-r) dx — nix²-si-nxy-s-rx.

In z — U-f-Y eingesetzt, wird

z — mx²-|-nxy-|-rx-(-Y.

Nach y differentiiert

dz

dY

— = nx-j- -—

dy

dy

und daraus, wenn tz. —

dz

dy

clY

-j— = Q — nx,

dy

d Y = Qdy— nxdy.

Setzen wir mm den Wert von Q ein Q> = 2py nx-j- s,

dann wird dY — (2py-(-nx-(-s) dy—nxdy.

Integriert

Y = / (2py-f-nx-|-s) dy — nxdy-f-C = py²+nxy+sy —nxy+c

= py²+sy+C-

Fügen wir die Werte endlich m die Gleichung z = U-f- Y ein, dann erhalten wir die Integralgleichung

z — mx²-|-nxy-|-rx-|-py²-|- sy-{-C.

156. Allgemeine Form der Differentialgleichung vom ersten Grade und der ersten Ordnung.

Will man ganz allgemein eine Differentialgleichung der ersten Ordnung und des ersten Grades darstellen, dann bezeichnet man sie durch 18)

Man kann sie immer, wie wir sahen, auf die Form

Pdx^-Qdy = o

zurückführen. Löst man den Ausdruck 18) auf, dann erhält man auch die Form

dy

19)

Ist nun P eine Funktion von x und Q eine Funktion von y, also

20)

P = X und Q = Y,

so erhält man das Integral

/Xdx + /Ydy = C.

21)

Das Integral kann man aber immer mit Hilfe unserer Jntegrationsformeln integrieren. Ist es nun nicht der Fall, daß die Integrale in dieser Form sich unmittelbar darbieten, dann kann man es in vielen Fällen durch Trennung (Separation) der Veränderlichen erreichen.

157. Integration durch Trennung der Variablen.

An einigen Beispielen wollen wir auseinandersetzen, wie man sich in solchen Fällen verhält.

Die Differentialgleichung

xdy = ydx

soll integriert werden.

Dividiert man sie durch das Produkt xy, so erhält man dy dx

oder

dJ

Pu

— = 0.

Die Gleichung entspricht der Form 21) und kann sofort integriert werden. Es ist

ly —ly = 10.

Ausgeführt

Es ist vorteilhaft, in einem solchen Falle die Jntegrations-konstante auch unter das Logartthmenzeichen zu setzen.

— = c y — Cx.

oder

Nehmen wir den Numerus, dann erhalten wir, nachdem wir gesetzt haben

■(9

= Io,

158. Ein zweites Beispiel.

Die Differentialgleichung sei

XYdx + X,Y,dy = 0.

In ihr sind X und X, Funktionen von x und Y und Y, Funktionen von y.

Dividieren wir die Gleichung durch X,Y, so erhalten wir

X „    . Y

^dx-(- — dy — 0.

Wie man sieht, ist das ein Ausdruck, den man direkt integrieren kann. Es wird

jiiz+Jr

Y,

^dy = C.

159. Ein drittes Beispiel.

Wir wollen nun einige Beispiele vorführen, indenengeo-metrische Aufgaben durch Differentialgleichungen ihre Lösung finden. Es soll die Gleichung der krummen Linie ermittelt werden, bei der die Subnormale der Abseisse gleich ist.

Wie wir in Kapitel 10 zeigten, ist die Formel für die dy

Subnormale = y • Also wird unsere Gleichung

dy

ydi = x-

Hieraus folgt unmittelbar

ydy — xdx.

Die Variablen sind somit separiert.

Integrieren wir

Daher

/ ydy + c—/xdx + c = 0.

y²-(- 2 c — x².

Setzen wir 2c — r², dann haben wir y — ]/x² — r².

Das ist die gesuchte Gleichung.

160. Ein viertes Beispiel.

Wie heißt die Gleichung der Linie, deren Subtangente der doppelten Abseisse gleich ist? Die

dx

Formel für die Subtangente ist nach Kapitel 10 — y^* Wir erhalten somit den Ansatz

dx

ydy 2X‘

dx

Sofort ergiebt sich hieraus die Trennung der Variablen dy

2— =

Integriert

2ly — lx-f-lc — lex.

Gemäß den Gesetzen der Logarithmen y² = cx.

Das ist aber die Formel für die Parabel.

161. Nutzen der Differentialgleichungen.

Aus den vorstehenden Beispielen tritt recht klar der Mtzen der Differentialgleichungen hervor. Wir ersehen aus ihnen, daß man aus gewissen Beziehungen, die man z. B. an einer Linie ermittelte, fähig ist, die ganze Kurve festzustellen. So kann man in den Naturwissenschaften aus einzelnen Beobachtungen den Weg, d. h. die Kurve finden, auf der sich ein Körper, z. B. ein Planet, bewegen muß.

162. Jntegrationsmethode durch Substitution.

Schon in den Elementen der Algebra wird gezeigt, daß man durch Einführung entsprechender Ausdrücke einer Gleichung eine für die Berechnung geschicktere Form geben kann. Auch die Integration komplizierter Funktionen erleichterten resp. ermöglichten wir durch geschickte Substitutionen. Dasselbe gilt auch für die Differentialgleichungen, wenn man die Integralgleichungen zu finden wünscht.

Wir wollen uns dabei merken, daß eine Differentialgleichung immer durch Substitution integrierbar gemacht werden kann, wenn sie homogen ist. Auch das soll an Beispielen gezeigt werden.

163. Ein Beispiel.

Die homogene Differentialgleichung

(x-j-y)dx -f- (y—x)dy = 0 soll integriert werden. Setzen wir in unserem Falle y = rx,

dann ist auch

dy — rdx-f-xdr.

Setzen wir diese Werte in die Gleichung ein (x-[~rx)dx-j-(rx—x) (rdx-|-xdr) — 0.

Dividieren wir durch x, dann ist

x(l-(-r)dx , x(r—1) (rdx-f-xdr) _

x '    x

und

(l-j-r)dx-(-(r—1) (rdx-f-xdr) = 0.

Lösen wir die Klammern

dx -|~ rdx -j- r²dx -f- rxdr — rdx — xdr — 0 dx -(- r²dx -|- rxdx — xdr — 0. Fassen wir die entsprechenden Glieder zusammen (l-f-r²)dx-[-x(r—l)dr — 0.

Durch die Trennung der Variablen erhalten wir

dx , (r — l)dr

1 4_r²

oder

dx

rdr

dr

x ¹ 1-j-r²    1 —|— r²

Nun ist die Integration unmittelbar möglich

und

/dx /\rdr_ [_dr_

J 1 + r² J 1 + r²

Ix + % 1(1 + r²) + lc — arctangr.

Setzen wir die ursprünglichen Werte wieder zurück. Es toar y = rx; daher

l. r2 = z!

x;

X²

Somit

lx + V2    y = arc tang•

Endlich mit Berücksichtigung der logarithmischen Regeln

lc(x²-[-y²)¹/a —

arc tang^-j -

164. Ein zweites Beispiel.

Es soll die Gleichung für eine Kurve ermittelt werden, deren Subtangente der Differenz zwischen der Ordinate und der Abscisse gleich ist.

Mit Berücksichtigung der Ableitungen im Kapitel 10 erhalten wir die Gleichung

dx

ydF = y-x

oder

ydx = (y —x)dy.

Als Substitutionsgröße setzen wir x — ry. Dadurch wird dx — rdy-j-ydr. Setzen wir die Werte ein und entwickeln nach der Reihe

7(r-dy+ydr) = (y—ry)dy rydy-f-y²dr — ydy —rydy y²dr-|- 2rydy — ydy y²dr-|-(2 ry—y)dy = 0

y²dr-j-y(2r—l)dy — g

ydr-j-(2r—l)dy — 0.

= 0.

Dividiert durch (2r—l)y ergießt endlich dr , dy 2 r — 1 ¹ y Durch Integration folgt unmittelbar

Vs !(2 r— 1) -f- ly = lc.

X

Setzen wir nun wiederum r — —, so wird

= lc.

Oder

= lc2 l(2xy—y²) — lc².

Fallen die Logarithmenzeichen fort und fassen wir zusammen, dann ergiebt sich endlich

und

2 xy — y² — c2 y(2x—y) — c².

165. Das Homogenmachen der Differentialgleichungen.

Sind Differentialgleichungen nicht homogen, so gelingt es doch häufig, sie homogen zu machen. Das geschieht zumeist durch entsprechende Substitutionen. Auch ist oft eine Verschiebung des Koordinatensystems erfolgreich, indem man z. B. x — x,-f-u und y — y,+v setzt und u und v ermittelt.

166. Die linearen Differentialgleichungen.

22)

Man bezeichnet hiermit eine Art Differentialgleichungen der ersten Ordnung und des ersten Grades von der Form dy-|-yf(x)dx = F(x)dx.

In dieser Gleichung bedeuten f(x) und F(x) stetige Funktionen von x. Es giebt zur Lösung dieser Differentialgleichung viele Wege; wir bedienen uns im Anschluß an die vorhergehenden Ausführungen der Methode der Substitution. Es sei hierzu wiederum y = rz und dy = rdz-j-zdr.

23)

Fügen wir diese Ausdrücke in Gleichung 22) ein: rdz -|- zdr -(- rzf (x)dx — F(x)dx.

Fassen wir entsprechend zusammen und reduzieren auf null, dann ist

24) [rdz-f-rzf(x)dx] -(-(zdr—F(x)dx) = 0.

Wir dürfen annehmen, daß eine jede der beiden Klammern für sich null ist, und wir haben somit auch zwei Gleichungen, aus denen die Unbekannten r und z ermittelt werden können. Das wollen wir nun durchführen.

Die beiden Gleichungen lauten

25)

und

a) rdz-J-rzf(x)dx = 0 ß) zdr — F(x)dx = 0.

Reduzieren wir zunächst a) in folgender Weise rdz-|-rzf(x)dx = 0:

dz -[- zf(x)dx = 0 dz

dafür

und

T-'= -f(x)dx-

Integrieren wir

= —/f(x)dx-

dann ist

und

lz = —/ f(x)d —/f(x)d

Z — 6.

Behandeln wir nun die Gleichung ß):

dr =

zdr — F(x)dx — 0 F(x)dx

dr =

In diesen Ausdruck setzen wir den Wert von z ein. Also F(x)dx e-/f(x)dx

Integriert

,=I

F(x)dx

e—Jf(x)ax

so

r = /F(x).eJ'f(x)dxdx + C.

Setzen wir die Werte für z und r endlich in den Substitutionsausdruck j = rz ein, dann ergiebt sich

26) y = e-J’f(x)dx|/F(x).e^f(x)dx. dx-fc}*

167. Ein Beispiel.

Die lineare Differentialgleichung

|g + ay = be2x

soll integriert werden.

Möge der Leser die Aufgabe zur Uebung durchführen. Die Lösung giebt

168. Der integrierende Faktor.

Wir sahen, daß jede Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades sich auf die Form

Pdx-f-Qdy — 0 zurückführen läßt. Es kann nun der Fall eintreten, daß das Differential zwischen den Variablen x und y kein vollständiges ist, daß die Integration also nicht unmittelbar durchgeführt werden kann. Man ist in solchen Fällen immer im stände, einen Faktor u anzugeben, der selbst eine Funktion von x und y ist und der das Differential zu einem vollständigen macht. Die Zahl u nennt man hext integrierenden Faktor.

Führen wir den integrierenden Faktor in 27) ein, dann geht die Form über in

27)

28)

P • u • dx-j- Q • udy — 0.

Unseren Ausführungen im dreizehnten Kapitel entsprechend muß dann als Kennzeichen für ein vollständiges Differential die Beziehung gelten

d(u-P) d(u.Q)

29)

Sy

dx

Führen wir den Ausdruck 29) aus. Das giebt du dP du dQ

päi+n^=Qäi+uäi

und daraus

30)

s<3Q dPl du du

Ist es möglich, u aus der Gleichung 30) zu ermitteln, dann ist nur nötig, das Differential mit u zu multiplizieren und die Integration zu vollenden.

Wir wollen einige einfachen Fälle hier mitteilen.

169. Der integrierende Faktor u ist allein eine Funktion von x.

Ist das der Fall, dann wird in Gleichung 30) du

Tr- = 0 und

du du

31)

dx dx

Fügen Wir diese Werte in 30) ein, so wird

sdtz    dP)     n du

U( dx    dy) =    Qdx

dQ dP

dy

und hieraus

du dx

dy

• dx

dP dQ

dy

dx

dx.

32)

Wird integriert, so ergiebt sich

dP dQ dx dx

lu =

dx.

170. Der integrierende Faktor u sei allein eine Funktion von y.

In der Gleichung 30) wird dann

du    c du u

dy

-7— = 0 und dx

dQ dP

Führen wir dieselben Rechnungen wie in 169 aus, dann ergiebt sich

dy

• dy

du dx

und

/•dQ dP

33)

lu =

dx

dy

dy-

171. Ein Beispiel durch Probe.

In sehr vielen Fällen kann man unmittelbar erkennen, wie der integrierende Faktor lauten muß. Es sei z. B. die Differentialgleichung

gegeben.

xdy — ydx — 0

Untersuchen wir, ob hier ein vollständiges Differential vorliegt. Sei zu dem Zweck

P = x und Q = — y,

dann ist

d?

--- = 1

dx

und

d7    L

Das Differential ist also nicht vollständig. Man erkennt aber leicht, daß, wenn die Gleichung durch x • y dividiert wird, ein Ausdruck erscheint, der integrierbar ist. Nämlich

dy dx

— = 0.

Also

Ix — Ix = lc

= lc

und endlich

y = cx.

Der integrierende Faktor war in diesem Falle —

*y

Fünfundzwanzigstes Kapitel.

Die Disserentialgleichungen (Fortsetzung).

172. Differentialgleichungen erster Ordnung und höheren Grades.

Wir müssen uns an dieser Stelle mit einigen einfachen Fällen begnügen, die einen Einblick in den Gang der Lösungen geben. Die Gleichungen höheren Grades führen zumeist auf Schwierigkeiten, die den Rahmen des vorliegenden kleinen Merkchens weit übersteigen. Um zum schnellen Verständnis zu gelangen, sei eine Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades gegeben:

'dy

i)

dx

— a² = 0

oder

la)

= a².

Ziehen wir die Wurzel, so erhalten wir sofort die beiden Gleichungen

2)

— a und

dy

dx

und daraus

3)

4)

dy = adx und dy — —adx.

Durch Integration ergießt sich

y = ax + c; y ■= —ax-j-c,.

Dann erhält man das vollständige Integral durch Multiplikation. Also

(y—ax—c) (y-j-ax — c,) = 0.

5)

Je höher der Grad einer Gleichung ist, um so mehr Wurzeln und Integralgleichungen wird man erhalten. Eine Gleichung nten Grades ergießt somit n Wurzeln

16

Berrdt, Differential- und Integralrechnung.

und n Integralgleichungen. Die Ermittelung der Wurzeln führt aber im allgemeinen auf große algebraische Schwierigkeiten.

173. Andere Lösungen.

Für bestimmte Fälle kann man den Differentialgleichungen höheren Grades auch noch auf andere Weise nahetreten; das soll an einigen Fällen klargelegt werden.

Es sei eine Differentialgleichung gegeben, die die Variable y nicht enthält und nach x auflösbar ist. Wir setzen, wie schon häufig an anderen Stellen, dy

^ = P, also dy = pdx.

6)

7)

Die genannte Gleichung wird die Form haben x = <P (P)-

Differenzieren wir 6), dann ist

dx — 9?'(p)dp.

Hieraus ergießt sich sofort

8)

dy — pdx — <p'(p)pdp.

Durch die Integration folgt sodann

9)

y = Mp)-PdP+c-

Die Gleichungen 6) und 9) gestatten die Elimination von p; dann hat man die Gleichung zwischen x und y. Das wollen wir durch ein Beispiel erläutern.

174. Ein Beispiel.

Es sei

x — 3p⁴— 5p² —f- 6p — 5.

Verfahren wir nun ganz wie in 173. Zunächst differen-liieren wir

dx — (12p³— 10p + 6) dp.

Wir können nun schreiben

Integriert

dy — pdx — (12p³—10p—(—6) • pdp — (12 p⁴—10p²-f-6p) dp.

7 = /(12p⁴—10p²+6p)dp

= ¹²/s P⁵ — l0/s Ps 4“ 3 p² -|- C.

Aus der ersten und der letzten Gleichung dieses Beispieles ist endlich p zu eliminieren.

175. Andere Lösungsmethode.

Es kann eine Gleichung wie in 173 behandelt werden, wenn sie die Variable x nicht enthält und nach y auflösbar ist. Die Gleichung lautet

10)

y = 9>(p)-

dy

Da toir p = ^ setzen, ist wiederum dy — pdx.

Aus Gleichung 10) erhalten wir dy — g/(p)dp, also ergiebt sich

11)

dy — pdx = 9?'(p)dp.

Hieraus

12)

dx —

y'(p)dp

Integriert

13)

a Jv'to) dp

fC.

176. Lösungsmethoden.

Eine Lösung läßt sich auch finden, wenn die Differentialgleichung in der Form erscheint

y = px + y(p) = ^.x + ^.

14)

16*

Differentiieren wir die Gleichung 14), dann ist dy — pdx-J-xdp-J-^'fpJdp.

15)

16)

Wir erinnern uns, daß wir schreiben konnten dy — pdx.

Subtrahieren wir den Ausdruck 16) vom Ausdruck 15), dann bleibt

1)    xdp-f-9?'(p)dp = 0

1 a)    (x+<p'(p)}dp = 0.

Diese Gleichung muß nun, wie wir aus der Algebra wissen, den Beziehungen genügen

dp — 0

x+y'(p) = o.

Die Integration von Gleichung 18) ergiebt sofort

p — 6.

Setzen wir diesen Wert in die Ursprungsgleichung 14) ein, dann erhalten wir die Lösung

y — cx-j-y(c).

Auch die Gleichung 19) führt uns zu einer Bestimmung von 14). Wir ersehen sofort aus 19), daß man sie auf p zurückführen kann; man empfängt dann die Lösung

p = f(4

oder

18)

19)

20)

21)

und

Setzen wir diesen Ausdruck in 14) ein, dann erhalten wir eine zweite Lösung

22)

y = f(x)-x + 9>{f(x)}-

Die beiden Gleichungen 21) und 22) haben keine Konstanten, sie können daher auch nicht einem vollkommenen Integral der Ursprungsgleichung entsprechen. Man bezeichnet solche Integrationen der Differentialgleichungen, die ohne wirkliche Integration durchgeführt wurden, als singuläre Integrale oder besondere Auflösungen.

177. Ein Beispiel.

Die Differentialgleichung soll heißen

ydx — xdy = a*|/dx¹-|- dy¹.

Wir wollen zunächst zeigen, daß sie der Form 14) im vorigen Abschnitt entspricht. Um das zu erreichen, dividieren wir sie durch dx; dann wird sie

Vi+(s)

dx

x^ =

dy

Setzen wir nun, wie gebräuchlich ist, p = ^, dann ist y — px — a]/l-j-p¹

oder

7 = px-j-a]/l-f-p¹.

Der Ausdruck stimmt mit 14) überein.

Verfahren wir nun ganz wie im vorstehenden Abschnitt. Wir differentiieren

dy — pdx-j-xdp

ap

-dp.

2

Subtrahieren wir hiervon dy — pdx, dann bleibt

Vi+p

ap

yi+p

-dp = 0

2

oder

(■+*)

dp = 0.

und

Wiederum giebt das die beiden Gleichungen dp — 0

= 0.

ap

Vi+P¹

Aus der ersten dieser beiden Gleichungen erhalten wir p = c. Setzen wir in die Gleichung für y ein, dann haben wir das singuläre Integral y — ox-j-a^l-s-o¹.

Setzen wir auch diesen Wert in die Gleichung für y ein, so erhalten wir

X²

Wir wollen nun das andere singuläre Integral ermitteln.

— 0 giebt nach p ausgelöst

Die Gleichung x-|

ap

n+p

p = ±

ya²— x²

dz x²

a² — x² -j- x

]/a² — x2 dz x²

ya² — x2 dzx²

a² — x²

a² — x²

a²

a² — x²

a²

dz x²

ya²—x² ya²— x2 Endlich als zweite singuläre Auflösung y — ya² — x².

178. Die Differentialgleichungen höherer Ordnung.

Die Differentialgleichungen der höheren Ordnung gehören mit zu den schwierigsten Gebieten der höheren Mathematik. Sie sind nur in einigen besonderen Fällen vollkommen zu integrieren. Dennoch spielen gerade sie in der Physik und den verwandten Disziplinen eine sehr bedeutende Rolle. Von solchen praktischen Aufgaben wollen wir hier einige vorführen.

179. Ein Beispiel.

Es sei die Differentialgleichung zweiter Ordnung gegeben

^!l_a

äx- ~~

dy

Setzen wir wieder p —

dann wird

dx'

dp d²y dx ⁼ dx2 == a‘

Daher

dp

— = a; dp = adx. dx ⁷

Integrieren wir diesen Ausdruck

Jdp = a s dx,

p — ax-(-c.

Wir setzen nun wieder den Wert für p ein: dy    ,

31 = ai + o

dy = axdx-f-cdx

so wird

24)

oder

und integrieren

25)

y — a/xdx-|-c/dx ax²

= -y + cx + d.

Eine Gleichung von dieser Form tritt z. B. in der Mechanik bei der Behandlung des freien Falles auf. Bezeichnet man mit t die Zeit, mit g= 9,8... die Schwerkonstante und mit y die Fallrichtung, dann heißt die Gleichung

d²y

dt2 g

und daraus durch Integration

^ = gt + b; 7 — VsS^+kt-f-c. b und c sind Jntegrationskonstanten.

180. Differentialgleichungen, in denen sich der eine Differentialquotient als eine Funktion des nächstniedrigeren Differentialquotienten darstellen läßt.

Es sei daher

dx² \dx/

Setzen wir die Bezeichnung p ein, dann geht 26) über in

27)

j; = F»

Also

dx=A

F(P)

und

28)

x=/i

dp

F(P)

Cv

Da nun dy = pdx ist und dx

dp

y F(p)

F(p)'

so ist auch

29)

Integrieren wir endlich, so wird

Pdp

F(P)

C₂.

Nehmen wir hierzu eine Aufgabe als Beispiel.

181. Eine Aufgabe.

Es sei die Differentialgleichung

d²y

ZU

lM)

gegeben.

Mit Hilfe der bekannten Beziehungen wird sie

lfm

und hieraus, nach den Ausführungen des vorstehenden Abschnittes, wird weiter

dx —

dp

yi+p:

und

dy =

Pdp

yi+p

Integrieren wir nun, dann entstehen die Gleichungen

dP

yi+p

₌ i{p₊yi+^} + Cl

sfi + p²

Berechnen wir hieraus zunächst p. Also

(y—P2)² = i + p²-

pdp

= yr+F+<v

p = V(y—-Qä)²—i-

Setzen wir diesen Wert in den Ausdruck für x ein, dann ergiebt sich endlich

x — 1    — Oz -j- /(y—C₂)² — 1} -f- Ct.

Daher

182. Der zweite Differentialquotient sei eine Funktion der Abscisse.

Also

30)

d²y

d^ = F^

dy

Setzen wir wieder p — dann wird

= F(x)

und

31)

32)

dp = F(x)dx. p=/F(x)dx + C₁.

Setzen wir für das Integral

/F(x)dx = f(x),

dann geht 82) über in

dy = f(x)dx-)-Cxdx.

Integrieren wir

183. Der zweite Differentialquotient sei eine Funktion von y.

Die Gleichung lautet somit

34)

d²y

dx²

= F(y).

Wiederum bedienen wir uns der Ausdrücke

n_dy P dx

und

d²y

Daher wird

34 a)

— = F(y) und dp = F(y)dx.

d7

Da nun, wie man sofort erkennt, dx — — wird, er--halten wir    P

dp = F(y)dx = yM.

Hieraus folgt wiederum, wenn man mit zwei multipliziert, 2pdp = 2F(y)dy.

p2 = 2/F(y)dy + C₁.

lZ^|/₂/F(y)dy + C₁

dx —

35)

Integriert

36)

Somit

dJ

Endlich

]/₂/F(jr)dy + Ct

fC₃.

184. Gleichungen von höherer Ordnung als der zweiten

finden in der Mechanik und Physik nur sehr selten Verwendung; wir wollen es also für unsere engen Verhältnisse mit den vorstehenden Beispieleil bewenden lassen.

Sechsundzwanzigstes Kapitel.

Die komplexen Zahlen.

185. Allgemeine Erklärung.

Schon in der Arithmetik werden wir mit einer eigentümlichen Zahlengruppe, den imaginären Zahlen, bekannt. Eine imaginäre Zahl entsteht bekanntlich, wenn man eine gerade Wurzel aus einer negativen Zahl zu ermitteln versucht. So ist z. B. der Ausdruck /—4 eine imaginäre Zahl. Alle imaginären Zahlen kann man auf eine bestimmte Größe zurückführen; so ist/—4 — 2 • /—1.

i = (V=i) = i. l) (>? = (y=i)²=(v^i) (f^i) = -i (i)3 = (y=Ds=(y^D²(/=T)=—y=r—i

(i)4 = (y=^i)³ (y=i)² = -i • -i = i (i)⁵ = (y=T)⁴ (y=i) = i=i = i.

Der Ausdruck /—1 wird bekanntlich seit Gauß mit dem Buchstaben i bezeichnet. Der Wert von /— 1 — i ist, wenn man ihn potentiiert, einer bestimmten Periode unterworfen, in der dieselben Werte immer wiederkehren. Denn es wird, wie man sieht,

Der Wert von i⁵ = i.

Verbindet man eine imaginäre Zahl mit einer reellen Zahl durch Addition oder Subtraktion, z. B.

2)

a±bi = a±b • /—1, so erhält man eine Zahlenverbindung, die man als komplexe Zahl oder komplexe Größe bezeichnet. Die komplexen Zahlen spielen in der höheren Mathematik eine hervorragende Rolle. Auch bei technischen Rechnungen werden sie jetzt vielfach herangezogen; deshalb wollen wir ihre bedeutungsvollen Gesetze und Beziehungen hier folgen lassen.

186. Die Rechnung mit den komplexen Zahlen.

Wir wollen zeigen, daß man mit den komplexen Zahlen wie mit den reellen rechnen kann und daß man dabei im Resultat wiederum auf komplexe Formen stößt.

Addition. Zwei komplexe Zahlen (a —f— bi) und (a-j-/8i) sollen addiert werden.

3)

Man addiert in diesem Falle die reellen mit den reellen und die imaginären mit den imaginären Zahlen. Also (a —f- bi) —|— (« —/5i) = (a —|— a) —[— (b —(— i.

Setzen wir (a-)-a) = A und (b-(-/?) = B, so erhält man als Summe wiederum die komplexe Form A-f-Bi.

Subtraktion. Die komplexen Zahlen (a-|-bi) und sollen subtrahiert werden. Inder entsprechenden Weise wie bei der Addition erhält man

4)

(a+bi) —(a+ySi) = (a—a)-j-(b—ß)i.

Multiplikation. Die komplexen Zahlen (a-f-bi) und (a-J-ySi) sollen miteinander multipliziert werden. Wir wollen die Rechnung wirklich ausführen nach den Regeln der Algebra:

5) (a-j-bi) (a-j-jSi) — aa-J- abi -j- aßi -{- b • ßi • = aa-|-abi-|-a/k — b • ß — (aa — hß) -f- (ab-}-a/?)i.

187. Die konjugierten komplexen Zahlen.

Norm, Modulus.

6)

Eine bemerkenswerte Ausnahme tritt bei der Multiplikation zweier komplexen Zahlen ein, die sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Multiplizieren wir aus (a —[— bi) (a — bi) = a²-f-b².

Wir erhalten also hier als Resultat eine reelle Größe. Zwei komplexe Zahlen, wie die in 6), die sich nur durch das Vorzeichen der imaginären Größen voneinander unterscheiden, heißen konjugierte komplexe Zahlen. Das Produkt zweier komplexen konjugierten Zahlen (a²-j-b²) nennt man die Norm.

Die positive Quadratwurzel (]/a²-j- b²) aus der Norm wird als der Modulus bezeichnet. Um anzudeuten, daß die Norm zu einer koniplexen Zahl ermittelt werden soll, ist es gebräuchlich, ein N davor zu setzen. Also N(a+bi) = N(a—bi) = a² + b².

7)

Zur Bezeichnung des Modulus einer komplexen Zahl setzt man ein M vor dieselbe. Also

8)

M(a+bi) = M(a —bi) = /a²-s-b².

188. Die Division.

Zwei komplexeZahlen sollen durcheinander dividiert werden:

a+ßi

Wir wollen Zähler und Nenner dieses Bruches mit der konjugierten Zahl des Nenners multiplizieren. Also

a-j-bi (a—bi) (q—ßi)    aq + abi — a/?i-|- b/3

a² -\-ß²

(aq-[-bft)-f (ab—afli

a²-\-ß²

189. Imaginäre Ausdrücke in der Erponentialreihe.

Im Abschnitt 8 finden wir die Beziehung

,    , a² . a³ . a⁴ .    . an

Setzen wir in diese Reihe für a den Wert ia, dann erhalten wir unter Berücksichtigung von 1)

.    .    . . a² ia³ , a⁴ , ia⁵ a⁶ ,

10)61 =1+ia“2!~¥r+4!+6r“6!_ + -

“> H-£+5-£+-I

Trennen wir in 10) die reellen Glieder von den imaginären, dann folgt

üti a

Ü+4

Werden die Werte in der Gleichung 11) verwendet, dann erhalten wir die wertvolle Beziehung

12)

eia — cos a —J— i • sin a

e—ia — 608 a — i • sin a.

und dementsprechend 12a)

13)

cos a —

und

In der „Tafel der Reihen" finden wir, daß

X² X⁴    X⁶ .

1 — 2! ‘ 4! — 6l‘

?!+---+

3! *5!    7! ‘ ”

— 603 X

— sinx

sind.

Durch Addition und Subtraktion von 12) und 12a) gelangt man endlich zu Gleichungen, die merkwürdige Beziehungen zwischen den goniometrischen und den Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten darstellen. Es ergiebt sich eia —[_ e— ia

14)

sin a =

ia — e-ia

190. Die Mowresche Formel.

Vereinigt man die Gleichungen 12) und 12a), dann erhält man den allgemeinen Ausdruck

15)

e±ia — cos a dz i sin a.

16)

Setzen wir in ihn füra den Wertn«, dann geht er über in e±in« — cos na dz i sin na.

(e±i«)n — (608 a dz isina)n

e±in« — (e±ia^n

Bedenken wir nun, daß man mit Rücksicht auf 15) auch setzen kann

und daß

ist, dann ergiebt sich die sehr wichttge Moivresche Formel

17) (cosa ztz isina)n — cosna dz isinna.

Mit Hilfe der Moivreschen Formel gelangt man zu Ausdrücken, durch die man im stände ist, die trigonometrischen

Funktionen sin (na) und cos (na) durch sina und cosa darzustellen.

191. Ableitungen aus der Moivreschen Formel.

Trennen wir die Moivresche Formel nach dem Vorzeichen und stellen die Formeln untereinander:

oosna -|- isinna — (cosa -|-i sin a)n cos na — isinna — (cosa — isina)n.

Durch Addition und Subtraktion ergeben sich dann die Beziehungen

2 cos na — (cosa -f- isina)n -f- (cosa — isina)”

2 isinna = (cosa -j-isina)n — (cosa — isina)n.

Unter der Annahme, daß n eine ganze Zahl sei, entwickeln wir die rechten Seiten der Gleichungen, ziehen zusammen und berücksichtigen die Werte der Potenzen von i. Es ergeben sich dann die gewünschten Beziehungen n (n 1)

18) cos (na) = cosna

n(n—1) (n—2) (n—3)

2!

cos¹¹⁻² x sin²a

4!

cos¹¹™”⁴ a • sin⁴a--1-...

19) sin (na) = n • cos¹¹⁻¹ a sina n(n —1) (n — 2)

3!

cosn—3 a sin³a-(- —

Ist z. B. n — 3, dann erhält man

cos 3a — cos³a — 3 cosa • sin²a sin3a = 3cos²a • sina — sin³a.

Die letzte Formel giebt auch die im Abschnitt 138 verwendete Beziehung. Setzen wir, um das zu zeigen, für cos²a den Wert 1 — sin²a, dann wird

sin 3a = 3 • (1 — sin²a) sina — sin⁸a

—    3 sina — 3 sin³a — sin³a

—    3 sina — 4 sin³a,

4 sin³a — 3 sina — sin 3 a.

und

also

192. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen.

Man kann sich, wie in der Arithmetik auseinandergesetzt wird, dienatürlichenZahlen auf einer geraden Linie dargestellt denken. Zeichnet man sich eilte gerade Linie und nimmt auf derselben einen Punkt als Anfangspunkt (Null--

+1 -ft +3

•3    -2 -/

Mb. 37.

Punkt) an, dann kann man auf derselben nach rechts und links eine Zahl gleicher Teile abtragen. Die Teile nach rechts stellen die positiven Werte 1, 2, 3,.. .n dar, die linken die negativen Werte — 1, — 2, — 3,... —n. (Siehe Abb.37.)

Zi

-L

-Li

Mb. 38.

Auch die Reihe der imaginären Zahlen pstegt man in entsprechender Weise zu veranschaulichen. Wie in der Abb. 38 errichtet man im Punkte 0 auf der Linie der reellen Zahlen eine Senkrechte nach beiden Seiten und trägt auch auf dieser nach oben und unten eine Anzahl gleicher

Teile auf. Die oberen entsprechen den positiven imaginären Werten i, 21, 31, ... ni, die unteren den negativen imaginären Werten —1, —21, —31, ... —ni.

Man erkennt nun sofort, daß die aus reellen und imaginären Zahlen zusammengesetzten komplexen Größen ihre Darstellung in der Ebene dieser Koordinaten selbst erfahren. Betrachten wir dazu den Punkt A in der Abb. 39.

Er sei gegeben durch die Koordinaten OB = a und AB = b. Die Linie OA wird durch die komplexe Größe a-f-bi erklärt, welche durch ihre Länge und Richtung die Lage von A bestimmt. Sehr häufig pflegt man diesen Ausdruck auch durch Polarkoordinaten wiederzugeben. Man nennt dann die Linie OA = r den Modulus und den Winkel a das Argument. Es ist

AB — r sina OB — rcosa. a bi = r (cosa -j-1 sina).

20)

und

21)

Bendt, Differential- und Integralrechnung.

T/

Mb. 39.

Also

17

Allgemeine Formeltasel.

1) (a + b)n = an-]-nan-¹b

n(n-l)

an—2Jj2_J_    _j_

2)    ₂.-₁₊,+!ti+-<?=y<?=3

3)    (n+l)br+i = (n)br+(n)br+¹

a t\D

3!

*>

dy

5) j^ = lim

dx jx=0

f (x-|-Jx) — f(x)

d.f(x)

Jx

dx

6) tiS-0

dx

d(xm)

7)

dx

— mx

m—1

d (sinx)

= 608 X

9)

d(cosx)

—-- — 810 X

dx

10)

d (tangx)

dx

cos²x

li)

d(cotx) _

dx

sin² 3 x

12)

d (secx)

sinx

dx

608 ³ X

dx

₁₃) d (cosecx)

608 X sin³x

₁₄) d(logx) _ loge

dx

e= 2,7182818

15)

d(lx)

dx

M | h.

16)

d(ax)

dx

= ax • la

17)

d(ex)

dx

= ex

18)

d'(are sinx)

dx

yi — x

19)

d (are 608 x)

dx

yi —x³

20)

d (are tangx)

dx

1 + x³

21)

d (areeotangx)

dx

1 + x³

22)

x]/x ³ — 1

2b) d’(arc cosec x)

dx

x]/x³-1

N d(u-v) du , dv ²⁴> dx ” Vdx"^Udx

<1 I £

du

dv

²⁵⁾ L

Vdx Udx

V²

_ . dy dy dz ²⁶'⁾ dx ^ dz " dx

d“y

28)    f (x+h) = f(x) + f'(x) - h + f"(x) - -

h³    hn

+ f'"(x).|I+...f”(x).l + E

(Taylorsche Reihe)

29)    f(x) = f(0) + f(0) - x + f"(0) - ^

+ f>)-|+... + fn(0).^ + K (Mac-Laurinsche Reihe)

(n eine ungerade Zahl)

N I CD

X² x^

33) cosx= 1 —- + - —

(n eine gerade Zahl)

x⁷

37) arctangx — x —

v2 v3

34)    l(l+x) = x-| + |

35)    (1—s²)-V₂=l-f-ix²-|-

36)    arc sinx = x-|

x⁴

4+-

xn

...±-

11

X³

2-3

1-3

2-4

1-3

2-4-5

1-3-5

2-4 6

x⁶+...

X5+...

x³    x^

3*5

38) Tangente (T) = y]A+(^) ds

¹

dp-f

²

(are 866 x)

³

dx

•IMS (Polarkoordinaten)

39) Formate (N) = yj/i + ^j

yr,+(^)

(Polarkoordinaten)

dx

40) Subtangente (St) = y — r²da

dr

(Polarkoordinaten)

dy

41) Subnormale (Sn) = y • —

dr

42) Formeln für den Krümmungskreis:

p.l+L* =

q

()■

x—-——. p

q

'ds\²

= y-f

kdx.

dy

'ds

05 hO

p==d5

6 = ±

q

43) z = f (x, y)

(i+p²)%__±

dx,

d²y

q-dx*

dz

dz

dz=^dx+^djr

44) F(x,y) = 0

CM P-i

45) /xmdx =

F¹ (x,y) F²(x,y)    ,

xm-fl

m-^1

46)

dx

— — Ix

X

47)    /exdx = ex

48)    /axdx =

49)    /sinxdx = —cosx

50)    /cosxdx = sinx

/* dx

61) j;

sin²x

sr

—--60t X

) Die Jntegrationskonftante ist hier fortgelaffen.

“> /: -

⁶³¹ /vf

— tangx

— x²

= arcsinx

64)

dx

l-j-x²

— arc tangx

65)

sinx

cos²x

dx — 866X

x s dx

⁵⁶¹ k

areseex

]/x² — 1

57)    /af'(x)dx — a/f'(x)dx

58)    /(F'(x) -f - f'(x) — g/(x)} dx — /F'(x) dx

4” / f(x) dx — / <p'(x) dx

69)

dx

1+x

°°' /idI

l(l + x)

1 (x — a)

62)

a-|-bx nxdx

a-}-bx OS) / dl

f—

a²-(-x²

— l(a-f-bx)

^i-K.+bx).

= -i arc tang ( j

M I o3

64)

x² — a²

~{l(x—a)—l(x+a)}

2 a \x-{-a/

65)

adx

ya²—x²

= a arc sin (-

\a

66)

dx

67)

ya²—j—x²

xda

a²-(-x²

= l(x-|- ]/a²—f-x²)

= V₂l(a²+x²)

68)

xdx

69)

]/a²—x2 axdx

— — ]/a² — x²

70)

ya²—x xdx

ya²—x'

— ]/a²-|-x²

]/a²-|-x²

71)    /sinx - cos xdx — Y₂ sin2x

72)    /tangx • dx = —lcosx

73)    /cotx . dx — 1 - sinx

74)

dx

sinx • cosx

— 1 tangx

W-

sinx

— —lcot

1tang ^

CO, M

76)

dx

cosx

_    /TT

— — 1 • tang ---

= 1 • cot--_

\4    2

77)

(mx+n)dx ma+n x²+2ax+b    a—ß

ma + n

f dx J x-a

mß+n

dx

a-ß

• l(x—a)

a—ßJx—ß mß-\-n

a—ß

•l{x-ß

78)    /udv = uv—/vdu

79)    /x • exdx = ex(x—1)

80)    /lx*dx = x(lx—1)

81)    /x²lxdx = +lx — Vs)

s    emx

82) jxemxdx = — J    m

88) /x • eosxdx = x • sinx-j-cosx

84)    /x²cosxdx — sinx²(x²-)-2x • cotx — 2)

85)    /cos²xdx — ¹/₂ (sinx • cosx-j-x)

86)    /sin²xdx — — ¹/₂ (sinxcosx—x)

87)    /sin²xdx -|- /cos²xdx =

88)    /arc • sinx dx = x • arc sin V* — x<2

89)    /arc • eosxdx = x • arc cosx — ]/l—x²

90)    /arctangxdx — arctangx—V2 ^“f-x2)

xn+¹dx

91)

92)

]/a²—x2 x²dx

—— l/a²—x² + n+1 r T

na²

xn—1dx

n+1 J |/a2—x2

/v§

—x²

* fa²—x² arc sin

93)

xn+¹dx

xn

yää+x2 n+l

]/a²-[-x²

na²

xn—1dx

94)

x²dx

]/a²-j-x

n+1 J ]/a²+x

= | ]/a²+x² — ^1 (x+/a²+x²)

95) /xn—1dx]/a²—x²

xn“¹dx

/ysi=r»

96)    /dx|/a²—x² — |/a²—x²-(- — arcsinj

97)    /xn—1 dx ]/a²-j-x²

xn

n+1

xn

ya²-f-x²-|-

xn-1dx

n + l

98)    /dx/a²—^x² — ^•]/a²-(-x²-f- — • l(x—j—j/ä^²—}— x²)

b

99)    /f'(x)dx = f(b) — f(a)

a

102)    F = Jydx (Formel für die Quadratur der Kurven)

103)    F=¹/₂/r2da (Quadraturformel in Polarkoordin.)

104) 8 =

105) s =

(Formel für die Rektifikation der Kurven)

(Formel für die Rektifikation

in Polarkoordinaten)

106) F = 2ti jjds = 2ti Jxds

(Formeln

für die Inhaltsbestimmung der Rotationsflächen)

(Formeln für die Kubatur der Rotationskörper)

108)    (a + bi) + (a+/?i) = (a + a) + (b+/?)i

109)    (a-f-bi) — (a-\-ßi) = (a — a)-)-(b ß)i

110)    (a-f bi) (a-f/Si) — (aa— bß) -f (ab-f aß)i

111)    (a-fbi)(a — bi) — a²-fb²

112)    N (a-f bi) = N(a —bi) = a²-fb²

113)    M(a-fbi) = M(a — bi) = ya²+b²

a-f bi _ (act-f b/?)-f (ab— aß) i

a-f/?¹

115) eia = cosa-f isina

— 71

114)

*²+ß

e—ia Cosa — i sina eia -(- e—ia

116) cosa —

117) sina —

eia — e~ia

21

118) (cosa ± i sin a)n — cos na ± isinna (Formel von Moivre) n(n—1)

119) cos (na) — cosna

, n (n—1) (n — 2) (n—3)

2!

cosn—2a • sin²a

4!

cosn—4a • sin⁴a — -j-...

cosn-3a • sin³a-j--...

120) sin (na) — n • cosn—1a • sina n(n—1) (n — 2)

3!

121) a-f-bi — r(cosa-f-isina).

Mathematische Litteratur.

Für die Leser, die unser Büchlein studieren wollen, und die früher eine höhere Bildungsanstalt durchgemacht haben, empfehlen wir zur gründlichen Wiederholung der Elementarmathematik

1)    Fischer, Systematischer Grundriß der Elemmtarmathematik. 2 Teile. Berlin.

2)    Baltzer, Elemente der Mathematik. 2 Bde. Leipzig.

Das lchte Werk setzt einen gewandten Mathematiker voraus.

Diejenigen Leser, welche keine systematische Ausbildung in der Elementarmathematik genossen haben, deren mathematische Kenntnisse nur gering sind, werden auf die mathematischen Katechismen im gleichen Verlage hingewiesen. Die folgenden sind zum Verständnis der Differential-und Integralrechnung unerläßlich:

Riedel, Katechismus der Planimetrie.

Schurig-Riedel, Katechismus der Stereometrie.

Sch urig, Katechismus der Algebra.

Bendt, Katechismus der Trigonometrie.

Friedrich, Katechismus der analytischen Geometrie.

Zur Einübung der Differential- und Integralrechnung eignen sich die Aufgabensammlungen von

Dölp, Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung.

Schlö milch, Uebungsbuch zum Studium der höheren Analysis. 2 Bde.

Sohncke, Sammlung von Aufgaben aus der Differential- und Integralrechnung. 2 Bde.

Für das weitere Studium fei empfohlen

Schlömilch, Kompendium der höheren Analysis. 2 Bde.

Kiepert, Grundriß der Differential- und Integralrechnung. 2 Bde. Weber, Lehrbuch der Algebra. 2 Bde.

Bendt, Katechismus der algebraischen Analysis.

Schlömilch, Handbuch der algebraischen Analysis.

Hesse, Vorlesungen über die analytische Geometrie: a) der geraden Linie, b) der Kegelschnitte, c) des Raumes.

I Ä in

Druck von J. J. Weber in Leipzig.

mcbmlllustmrfefiandbikber.

Belehrungen aus den Gebieten der Äissenschaften, Kün|te und Gewerbe usw.

[Jeder Band ist in seinwand gebunden.

Abbreviaturenlexikon. CUSrterbud) lateinitcber und italienischer Abkürzungen. wie sie in Urkunden und Handschriften besonders des Mittelalters gebräuchlich sind» dargestellt in über 10000 Zeichen, nebst einer Abhandlung über die mittelalterliche Kurzschrift, einer Zusammenstellung epigraphischer Sigel, der alten römischen und arabischen Zählung und der Zeichen für Münzen, Matze und Gewichte von Adriano

7 Mark 50 Pf.

Ackerbau, praktischer, von CUilheim Hamm. Dritte Auflage, gänzlich um» gearbeitet von A. G. 5 chmitter. Mit 13$ Abbildungen. 1$90.

Agrikulturchemie. von Dr. Max Passon. Siebente, neubearbeiiete Auflage. Mit

3 Mark 50 Pf.

Gappelli. 1901.

3 Mark.

41 Abbildungen. 1901.

Akustik s. Physik.

Alabastersägerei s. siebbaberkünltc.

Algebra, von Richard Sdjurig. Tünfte Auflage. 1903.

3 Mark.

Algebraische Analysis. UonSranzBendt. mit 6 Abbildungen. 1901. 2 Mark 50 Pf.

Alpenreisen s. Bergsteigen.

Anstandslehre s. Ästhetische Bildung und Con, der gute.

Appretur s. Ghemische Technologie und Spinnerei.

Archäologie. Übersicht über die Entwickelung der Kunst bei den Völkern des Altertums von Dr. Ernst Kroker. Zweite, durchgesehene Auflage. Mit 133 Cext» und 3 Cafein Abbildungen. 1900.

Archivkunde s. Registratur usw.

Arithmetik, praktische. Handbuch des Rechnens für sehrende und Cernende. vierte Auflage, vollständig neu bearbeitet von Professor Ernst Riedel. 1901. 3 Mark 50 Pf.

Ästhetik. Belehrungen über die CUissenschaft vom Schönen und der Kunst von Robert PröItz. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. 1904.

Ästhetische Bildung des menschlichen Körpers, sehrbuch zum Selbstunterricht für alle gebildeten Stände, insbesondere für Bühnenkünstler von Oskar Guttm ann. Dritte, verbesserte Auflage. Mit 9$ Abbildungen. 1902.    4 Mark.

Astronomie* Belehrungen über den gestirnten Himmel, die Erde und den Kalender von Dr. Hermann 3. Klein. Neunte, vielfach verbessere Auflage. Mit 143 Cext» und 3 Cafein Abbildungen. 1900.

Ätherische Oie s. Ghemische Cecbnologie.

Abarbeiten s. Ciebhaberkünlte.

Aufsah, schriftlicher s. Stilistik.

Auge, das, und seine Pflege im gesunden und kranken Zustande, nebst einer Anweisung über Brillen. Dritte Auflage, bearbeitet von Dr. med. Paul Schröter, mit 24 Abbildungen. 1$$7.

Auswanderung. Kompatz für Auswanderer nach europäischen sändern, Asien, Afrika, den deutschen Kolonien, Australien, Süd» und Zentralamerika, Mexiko, den Vereinigten Staaten von Amerika und Kanada Siebente Auflage. Vollständig neu bearbeitet von Gustav Mein ecke. Mit 4 Karten. 1897.    2 Mark 50 Pf.

Bakterien. Von Prof. Dr. CU. Migula. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage, mit 35 Abbildungen. 1903,    2 Mark 50 Pf.

3 Mark.

3 Mark 50 Pf.

3 Mark 50 Pf.

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Ballspiele \. Bewegungsspiele sowie englische Kugel- und Ballspiele.

Bank- und Börsenwesen. Zweite Auflage, nach den neuesten Bestimmungen der

3 mark 50 Pf.

Gesetzgebung umgearbeitet von Beorg Schweitzer. 1902. Baseball s. englische Kugel- und Ballspiele.

Baukonstrukti onslehre. mit besonderer Berücksichtigung von Reparaturen und Umbauten. üon Ulalter fange, vierte» vermehrte und verbesserte Auflage, mit

4 mark 50 Pf.

479 Cext» und 3 Casein Abbildungen. 1898.

Bauschlosserei s. Schlosserei II.

Baustile. Lehre der architektonischen Stilarten von den ältesten Zeiten bis auf die Gegenwart von Dr. G. von Sacken. Sechzehnte Auflage, neu bearbeitet und vervollständigt von 0. Grüner, mit 143 Abbildungen. 1906.

2 mark 50 Pf.

Baustof fl ehre. Uon Walter fange, mit 162 Abbildungen. 1893. 3 mark 50 Pf. Beleuchtung s. Chemische Cechnologie und Heizung usw.

Bergbaukunde, üon Professor G. Köhler. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage.

mit 225 Abbildungen. 1903.

Bergsteigen. Katechismus für Bergsteiger, Gebirg$touri{ten und Alpenreisende von

3 mark.

Bewegungsspiele fir die deutsche Jugend, üon J. C. tion und J. h. (Dort.

mann. mit 29 Abbildungen. 1891.

Bienenkunde und Bienenzucht, üon Ü. Kirsten. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage, herausgegeben von J. Kirsten, mit 51 Abbildungen. 1887.    2 mark.

Julius meurer. mit 22 Abbildungen. 1892.

4 mark.

2 mark.

Bierbrauerei« hilfsbüchlein für Praktiker und Studierende von Professor m. Krandauer. mit 42 Abbildungen. 1898.

-s. auch Chemische Cechnologie.

Bilanz, die kaufmännische. Ihr ordnungsmäßiger Aufbau sowie deren wissentlich unwahre Darstellung unter Vorführung und €,läuterung zahlreicher Bilanzfälschungsund üerldjleierungsdelikte von Robert Stern, Dozent der Handelshochschule zu Leipzig. 1907.

Bildhauerei für den kunstliebenden Laien, üon Professor Rudolf maison. mit 63 Abbildungen. 1894.

Bleicherei s. Chemische Cechnologie und Wäscherei usw.

Bleichsucht s. Blutarmut usw.

Blumenbinderei. Anleitung zur künstlerischen Zusammenstellung von Blumen und Pflanzen und zur Einrichtung und Führung einer Blumenhandlung von Willy

3 mark.

4 mark.

3 mark.

3 mark.

Lange, mit 3 Cext- und 25 Casein Abbildungen. 1903.

Blumenzucht s. Ziergärtnerei.

Blutarmut und Bleichsucht, üon Dr. med. Hermann Peters. Zweite Auflage.

I mark 50 Pf.

mit zwei Casein kolorierter Abbildungen.

Blutvergiftung s. Infektionskrankheiten.

Börsen wesen s. Bank» und Börsenwesen.

Bossteren s. Liebhaberkünste.

Botanik. Zweite Auflage. Vollständig neu bearbeitet von Dr. €. Dennert. mit 260 Abbildungen. 1807.

Botanik, landwirtschaftliche, üon Karl Ttlüller. Zweite Auflage, vollständig umgearbeitet von R. Hermann, mit 43 Cext- und 4 Casein Abbildungen. 1876. 2 mark. BOWls s. Englische Kugel- und Ballspiele.

Brandmalerei s. Liebhaberkünste.

4 mark.

mit 1 Porträt und 7 Cextabbildungen. 1$95.

Brennerei |. Chemische Technologie.

Briefmarkenkunde undBriefmarkensammelwesen. UonUiktor$uppantId)ittd>.

3 mark.

Bronzemalerei auf Samt Ciebhaberküntte.

9 mark. 4 mark.

Brückenbau* Für den Unterricht an technischen Lehranstalten und zum praktischen Gebrauch für Bauingenieure, Bahnmeister» Tiefbautechniker usw. sowie zum Selbst-studium bearbeitet von Professor Richard Krüger, mit 612 Text- und 20 Casein Abbildungen. 1905.

Buchbinderei, von Bans Bauer. Mit 97 Abbildungen. 1899. Buchdruckerkunst. Siebente Auflage, neu bearbeitet von Johann Jakob Weber.

mit 139 Abbildungen und mehreren farbigen Beilagen. 1901.    4 mark 50 Pt.

Buchführung (einfache und doppelte), kaufmännische. Uon Oskar Rlemid). Semite, durchgesehene Auflage. Mit 7 Abbildungen und 3 Wechselformularen. 1902.    3 mark.

Buchführung, landwirtschaftliche. Uon Prof. Dr. Karl Birnbaum. 1$79. 2 mark.

Buntschnitzerei s. Liebhaberkünste.

Bürgerliches Besehbuch s. Gesetzbuch.

Butterbereitung s. Chemische Technologie und Milchwirtschaft.

5 mark.

Chemie. Uon Prot. Dr. Beinrid) Birzel. Achte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 32 Abbildungen. 1901.

3 mark.

Chemikalienkunde. €ine kurze Beschreibung der wichtigsten Chemikalien des Bandeis. Zweite Auflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. M. Pietsch. 1903.

Chemische Technologie s. Technologie.

Cholera s. Infektionskrankheiten.

Choreographie s. Tanzkunst.

Chronologie. Mit Beschreibung von 33 Kalendern verschiedener ULlker und Zeiten von Dr. Adolf Drechsler. Dritte, verbesserte und sehr vermehrte Auflage. 1S$1.

1 mark 50 Pf.

Correspondance commerciale par J. borest. Deuxieme e'dition revue et augmentee. ü’apres l’ouvrage de memenom en langue allemande par C. S. Sind eisen. 1906.

3 mark 50 Pf.

Dampfkessel» Dampfmaschinen und andere Wärmemotoren. €in Lehr- und Nachschlage-bud) für Praktiker, Techniker und Industrielle von Cb. Schwarte. Siebente, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 2$5 Text- und 12 Tafeln Abbildungen. 1901.

5 mark.

Dampfmaschinen s. Dampfkessel und Maschinenenlehre.

Darmerkrankungen s. Magen usw.

Delftermalerei s. Liebhaberkünste.

Destillation, trockene s. Chemische Technologie.

Dichtkunst s. Poetik.

3 Mark.

Differential- und Integralrechnung. Uon f ranz Bendt. Dritte, verbesserte Auflage. Mit 39 Abbildu.it en. 1906.

Diphtherie s. Infektionskrankheiten.

4 Mark.

Dogmatik. Uon Prof. D. Dr. Georg Runze. 1898.

Drainierung und Gntwä icrung des Bodens. Uon Dr. William Löbe. Dritte, gänzlich umgearbeitete    Auflage.    Mit    92    Abbildungen.    1881.    2 Mark.

Dramaturgie. Uon Robert Pr51b. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1890.    4 Mark.

Drechslerei.    Uon Chr.    Bermann    Walde    und    Bugo    Knoppe. Mit 392 Abbildungen.    1903.    6 mark.

Drogenkunde. Zweite Huflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. HL Pietjd) und fl. 5u cbs. 1900.

3 Mark.

Düngemittel, Künstliche 1. Chemische Cechnologie.

Dünger!ehre f. Agrikulturchemie.

Dysenterie [. Infektionskrankheiten.

2 Mark 50 Pf.

Ciniährig-TreiWilÜge. Der Aeg zum Einjäbrig-Yreiwilligcn und zum Offizier des Beurlaubtenftandes in Armee und Marine, üon Oberstleutnant Moritz Exn er. Dritte, vermehrte und verbesserte Huflage. 1906.

€i$enbahnbau. Yür den Unterricht und die Übungen an technischen Lehranstalten sowie zum gebrauch bei der Vorbereitung für den mittleren technischen Eisenbahn» dienst, üon Professor IO. hartmann. 10it 285 Cext- und 20 Casein Hbbüdungen nebst einer Cabelle. 1906.    6 Mark.

Eissegeln und Eisspiele s. Aintersport.

3 Mark.

Elektrizität s. Physik.

Elektrochemie, üon Dr. CU alter £8b. Mit 43 Hbbüdungen. 1897.

5 Mark.

Elektrotechnik. Ein sehrbuch für Praktiker, Chemiker und Industrielle von Ch eodor Schwarte. Siebente, vollständig umgearbeitete Huflage. Mit 286 Abbildungen.

1901.

Entwässerung f. Drainierung.

5 Mark 50 Pf.

Erd- und Straßenbau Für den Unterricht an technischen Lehranstalten und zum praktischen gebrauche für Bauingenieure. Stratzenmeister und Ciefbautechniker sowie zum Selbststudium bearbeitet von Professor Richard Krüger. Mit 260 Abbildungen. 1904.

Cssigfabrikation s. Chemische Cechnologie.

Ethik, üon Friedrich Kirchner, Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage.

1898.

3 Mark.

fahrkunst. gründliche Unterweisung für Equipagenbesitzer und Kutscher für rationelle Behandlung und Dressur des tüagenpferdes, Anspannung und Fahren von Friedrich fjamelmann. Dritte Auflage. Mit 21 Abbildungen. 1885.    4 Mark 50 Pf.

5 Mark.

Familienhäuser für Stadt und Land als Fortsetzung von „Villen und kleine Familienhäuser". üon 0eorg Aster. Zweite Auflage. Mit 110 Abbildungen von Wohngebäuden nebst dazugehörigen grundrissen und 6 in den Cext gedruckten Figuren. 1905.

Farbenlehre. Von Ernst Berger. Mit 40 Abbildungen und 8 Farbentafeln. 1898.

4 Mark 50 Pf.

Färberei. Dritte Auflage. Neubearbeitung von Dr. ßrothes „Färberei und Zeugdruck" von Dr. A. ßanswindt. mit 120 Abbildungen. 1904.    6 Mark.

-s. auch Chemische Cechnologie.

2 Mark.

Farbstoffabrikation s. Chemische Cechnologie.

Farbwarenkunde. üon Dr. 0. fieppe. 1881.

Fechtkunst s. Riebfecbtlchule, Säbelfechtschule und Stotzfechtschule.

Feldball s. Englische Kugel- und Ballspiele.

Feldmesskunst. Von Prof. Dr. C. Pietsch. Siebente Auflage. Mit 76 Abbildungen.

1903.

Festigkeitslehre s. Statik.

Fette s. Chemische Cechnologie.

Feuerbestattung. Von M. Pauly. Mit 31 Abbildungen. 1904.

Feuerlosch- und Feuerwehrwesen« üon Rudolf Fried. Mit 217 Abbildungen. 1899.

Feuerwerkerei s. Chemische Cechnologie und Lustfeuerwerkerei.

Fieber s. Infektionskrankheiten.

Finanzwissenschaft. VonAloisBischof. Sechste, verbesserte Auflage. 1898. 2 Mark. Fischzucht, künstliche, und Ceichwirtschaft. (üirtschaftslehre der zahmen Fischerei von Eduard August Schröder. Mit 52 Abbildungen. 1889.    2 Mark 50 Pf.

Mark 80 Pf.

2 Mark.

4 Mark 50 Pf.

Flachsbau und Flachsbereitung. Uon K. Sonntag, mit 12 Abbildungen. 1872.

1 mark 50 Pf.

Flachschniberei siebbaberkünftc.

Flecktyphus f. Infektionskrankheiten.

2 mark 50 Pf.

Flöte und Flötenspiel. €in Lehrbuch für Flötenbläfer von maxirni 1ian Scbwedler, mit 22 Abbildungen und vielen ßotenbeilpielen. 1897.

Forstbotanik. Uon 1). Fischbach. Sechste, umgearbeitete und vermehrte Auflage, herausgegeben von Professor R. Beck, mit 77 Abbildungen. 1905 3 mark 50 PI,

Fossilien f. Geologie und Uerfteinerungskunde.

Frau, das Buch der iungen. Ratschläge für Schwangerschaft, Geburt und Wochenbett von Dr. med. t). Burckbardt. Fünfte, verbesserte Auflage. 1S99.

2 mark 50 Pf., in Gefcbenkeinband 3 mark.

Frauenkrankheiten, ihre Entstehung und Verhütung. Eine populärwissenschaftliche Studie von Ur.med. Wilhelm t)über. Gierte Auflage, mit 40 Abbildungen. 1895.

4 mark.

Freimaurerei. Uon Dr. Willem Smitt. Zweite, verbesserte Auflage. 1899. 2mark.

Fremdwörter f. Wörterbuch, Deutsches.

FnH j. Gand und Fust.

Fnhball f. Bewegungsspiele sowie englische Kugel» und Ballspiele.

3 mark 50 Pf.

Galvanoplastik und Galvanostegie. Kurzgefaßter Leitfaden für das Selbststudium und den Gebrauch in der Werkstatt von Dr. Georg Langbein und Dr. ing. Alfred Fr i ebner. Gierte, vollständig umgearbeitete und vermehrte Auflage, mit 78 Abbildungen. 1904.

Gartenbau f. Nutz-, Zier-, Zimmergärtnerei. Obftverwertung und Rosenzucht.

Gasfabriktion f. Chemische Technologie.

Gebärdensprache 1. Äftheti'Iche Bildung und mirnik.

Geburt f. Frau, das Buch der jungen.

Gedächtniskunst. Uon Hermann Rothe. Neunte, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von Dr. Georg Pietsch. 1905.    1 mark 50 Pf.

Geflügelzucht. €in merkbüchlein für Liebhaber. Züchter und Aussteller schönen Raljegeflügels von Bruno Dürigen. mit 40 Abbildungen und 7 Casein. 1890.

4 mark.

2 mark 50 Pf.

Geisteskrankheiten. Geschildert für gebildete Laien von Dr. med. CbeobaldGünß.

1890.

Geldschrankbau f. Schlosserei I.

4 mark.

Gemäldekunde. Uon Dr. Cheodor v. Frimmel. Zweite, umgearbeitete und stark vermehrte Auflage, mit 38 Abbildungen. 1904.

Gemüsebau s. Nutzgärtnerei.

Genickstarre s. Infektionskrankheiten.

Geographie. Uon Karl Arenz. Fünfte Auflage, gänzlich umgearbeitet von Prof. Dr. Fr. Cr au müll er und Dr. 0. Bahn, mit 69 Abbildungen. 1899. 3 mark 50 Pf.

2 mark 50 Pf.

Geographie, mathematische. Zweite Auflage, umgearbeitet und verbessert von Dr. Hermann J. Klein. Mit 114 Abbildungen. 1894.

Geographische Verbreitung der Tiere s. Ciere usw.

Geologie. Uon Dr. Hippolyt Haas, 0. Honorarprofessor der Geologie und Paläontologie an der Universität Kiel. Achte, gänzlich umgearbeitete und vermehrte Auflage, mit 244 in den Cext gedruckten Abbildungen und einer Cafel. 19C6. 4 mark.

Geometrie, analytische. Uon Dr. max Friedrich. Zweite Auflage, durchgesehen und verbessert von Crnst Riedel, mit 56 Abbildungen. 1900.    3 mark.

Geometrie, darstellende s. Projektionslehre.

Geometrie, ebene und räumliche. Uon Prof. Dr. K. Cd. Zetzsche. Gierte vermehrte und verbesserte Aullage, bearbeitet von Franz Zetzsche. mit 242 Abbildungen.

1905.

Gerberei s. Chemische Cecbnologie.

4 mark.

Gesangskunst. von Professor Ferdinand Sieber. Sechste Auflage. Mit vielen notcnbeitpielen. 1903.    2 ltlark 50 Pf.

Gesangsorgane s. Gymnastik der Stimme.

2 Mark 50 Pf.

Beschichte, allgemeine j. Weltgeschichte.

Geschichte, deutsche, von OMI beim Kentjler. i$79.

Gesellschaft, menschliche s. Soziologie.

2 mark 50 Pf.

Gesetzbuch. Bürgerliches nebst €mfübrung$gefeb. Cextausgabe mit Sachregister. 1S96.

Gesetzgebung des Deutschen Reiches s. Reich, das Deutsche.

Gesteinskunde s. Geologie und Petrographie.

Gesundheitslehre, naturgemäße, auf physiologischer Grundlage. Siebzehn Vortrage von Dr. med. Fr. Scholz. Mit 7 Abbildungen. 1$$4.    3 Mark 50 Pf.

Gewerbeordnung für das Deutsche Reich. Cextausgabe mit Sachregister. 1901.

I Mark 20 Pf.

Gicht und Rheumatismus, von Dr. med. Arnold Pagenstecher. Vierte, um.

2 Mark. 2 Mark

gearbeitete Auflage. Mit 9 Abbildungen. 1903.

Girowesen. Von Karl Berger. Mit 21 Formularen. 1$$1.

Glasbronzemalerei s. siebhaberkünlte.

Glasfabriktion s. Chemische Cecbnologie.

Glasmalerei s. Porzellan- und Glasmalerei sowie siebhaberkünlte.

Glasradierarbeit s. siebhaberkünlte.

Gobelinmalerei s. Liebhaberkünste.

Golf s. englische Kugel- und Ballspiele.

Goniometrie s. Trigonometrie.

Gravierarbeit auf Bolz und Einoleum s. siebhaberkünlte.

Gymnastik, ästhetische und pädagogische s. Ästhetische Bildung usw.

Baare s. Baut, Baare, Hagel.

Band und fuß. Ihre Pflege, ihre Krankheiten und deren Verhütung nebst Beilung von Dr. med. 3. Albu. Mit 30 Abbildungen. 1895.    2 Mark 50 Pf.

Handelsgesetzbuch für das Deutsche Reich nebst Einführungsgesetz. Cextausgabe mit Sachregister. 1897.    2 Mark.

Bandeismarine, deutsche. Von Kapitän zur See a. D. Richard Dittmer. Mit 1 Karte und 66 Abbildungen. 1892.    3 Mark 50 Pf.

Bandeisrecht, deutsches, nach dem Bandeisgesetzbuch für das Deutsche Reich von Robert Fischer. Vierte, vollständig umgearbeite Auflage. 1901.    2 Mark.

Bandeiswissenschaft auf volkswirtschaftlicher Grundlage. Siebente Auflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. Otto Goldberg. 1903.    3 Mark.

Harmonielehre s. Kompositionslehre.

Baut, Baare, Nägel, ihre Pflege, ihre Krankheiten und deren Beilung nebst einem Anhang über Kosmetik von Dr. med. B. Schultz. Vierte Auflage, neu bearbeitet von Dr. med. €. Vollmer. Mit 42 Abbildungen. 1898.    2 Mark 50 Pf.

Beilgymnastik. Von Dr. med. B. A. Ramdobr. Mit 115 Abbildungen. 1893.

3 Mark 50 Pf.

Beizung, Beleuchtung und Ventilation. Von Cb. Schw artje. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 209 Abbildungen. 1897.    4 Mark.

Beizung s. auch Chemische Technologie.

1906.

Heraldik. Grundriß der Olappenkunde. Von Dr. Eduard v. Sacken. Siebente Auflage, neu bearbeitet von Moriz v. 01 eittenhiller. Mit 261 Abbildungen.

2 Mark.

Berz, Blut- und Eyrnphgefätze. Nieren und Rropfdrfise. ihre Pflege und, Be-handlung im gefunden und kranken Zustande von Dr. med. Paul Diemeyer. Zweite, völlig umgearbeitete Auflage. Mit 49 Abbildungen. 1890.    3 Mark.

Hiebs echtschule, deutsche» ffir Korb- und Glockenrapier. Eine kurze Anweisung zur Erlernung des an unseren deutschen Hochschulen gebräuchlichen Riebfecbtens. herausgegeben vom verein deutscher Universitätsfechtmeister. Zweite Auflage. Mit 64 Abbildungen. 1901.    1 Mark 50 PL

Hockey s. Englische Kugel» und Ballspiele.

Holzindustrie, technischer Ratgeber auf dem Gebiete der. Calcbenbuch für Merk-meister. Betriebsleiter. Fabrikanten und Handwerker von Rudolf Stübling. Mit 112 Abbildungen. 1901.    6 Mark,

Holzmalerei, -sägerei s. siebbaberkünlte.

Rorusägerei s. siebbaberkünlte.

neu

Hufbeschlag. Mit einem Anbang: Der Klauenbeschlag. Uferte Auflage, vollständig bearbeitet von Hermann Ublid). Mit 140 Abbildungen. 1905. 2 Mark 50Pf.

Hühnerzucht s. Geflügelzucht.

Hunderassen. Beschreibung der einzelnen Hunderassen. Behandlung, Zucht und Auf» zucht, Dressur und Krankbeiten des Hundes von Franz KricbIer. Zweite Auflage, vollständig neu bearbeitet von 0. Knapp. Mit 70 Abbildungen. 1905. 3 Mark.

4 Mark 50 Pf. 3 Mark.

Hüttenkunde» allgemeine. Uon Prof. Dr. E. F. Dürre. Mit 209 Abbildungen. 1877.

Infektionskrankheiten. Uon Dr. med. H. Hippe. 1896.

Influenza s. Infektionskrankheiten.

Intarsiaschnitzerei f. siebbaberkünlte.

Integralrechnung s. Differential» und Integralrechnung

2 Mark.

Invalidenversicherung. Uon Alfred CU engl er. 1900.

Säger und Jagdfreunde von Franz Krichler. Zweite Auflage, durchgesehen von 0. Knapp, lilii 57 Abbildungen. 1902.    3 Mark.

Kalenderkunde» Belehrungen über Zeitrechnung. Kalenderwesen und Feste. Zweite Auflage, vollständig neu bearbeitet von Prof. Dr. Bruno Peter. 1901. 2 Mark.

- s. auch Chronologie.

Kaliindustrie s. Chemische Cedinologie.

Kältetechnik, moderne. Ihr Anwendungsgebiet, ihre Maschinen und ihre Apparate. Uon CLI. m. sebnert. Mit 140 Cext» und 12 Casein Abbildungen. 1905.

4 Mark.

Käsebereitung s. Chemische Technologie und Milchwirtschaft.

Kehlkopf, der, im gesunden und erkrankten Zustande. Uon Dr. med. C. s. Merkel. Zweite Auflage, bearbeitet von Sanitätsrat Dr. med. 0. Heinze. mit 33 Abbildungen. 1896.    3 Mark 50 Pf.

Kell erwirtschaft f. Weinbau.

Keramik f. Chemische Technologie.

Keramik, Geschichte der. Uon Friedrid) Jännicke. Mit 417 Ahndungen.

1900.    10 Mark.

Kerbschnittarbeit s. siebbaberkünlte.

Kerzen s. Chemische Technologie.

Keuchhusten s. Infektionskrankheiten.

Rind, das, und seine Pflege. Uon Dr. med. sivius Fürst. Fünfte, umgearbeitete und bereicherte Auflage. Mit 129 Abbildungen. 1897.

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-s. auch Sprache und Sprachfehler des Kindes.

2 Mark 50 Pf.

Kindergarten. Einführung in die Cheorie und Praxis des. Uon Eleonore Heerwart. Mit 37 Abb.ldungen. 1901.

2 mark 50 Pf.

Kirchengerichte. Uon Friedrich Kirchner. 1880.

Klavierspiel, die Elemente des. Uon Franklin Taylor. Deutsche Ausgabe von Mathilde Stegmayer. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Mit vielen Dotenbeilpielen. 1893.    2 Mark.

Klavierunterricht- Studien, €rtabmngen und Ratschläge für Klavierpädagogen von souis Köhler. Sechste, neu durchgearbeitete Auflage von Richard Ros mann, 1905.

4 Mark.

Klempnerei. Von Sranz Dreh er. erster CeiK Die THaterialien, die Jfrbcitstechniken und die dabei zur Verwendung kommenden Werkzeuge, Maschinen und €inrid)iungen. Mit 339 Abbildungen. 1902.    4 Mark 50 Pf

----Zweiter Ceil. Die heutigen Arbeitsgebiete der Klempnerei. Mit 622 Abbildungen.

1902.    4 Mark 50 Pf.

Knabenhandarbeit. €in Randbuch des erziehlichen Unterrichts von Dr. Wol demar

6öhe. mit 69 Abbildungen. 1892.

3 Mark.

3 Mark 50 Pf.

Kompositionslehre. Von 3oh. Christ, sobe. Siebente, vermehrte und verbesserte Auflage von Richard Rofmann. 1902.

Korkarbeiten I. siebhaberkünlte.

Korrespondenz, kaufmännische. Von £. S. 'S i n d e i I e n, Siebente, vermehrte Auflage, bearbeitet von Richard Spalteholz. 1906.    2 Mark 50 Pf.

Kosmetik f. Raut, Raare, Nägel sowie die Zähne usw.

4 Mark. 2 Mark.

Krankenpflege im Bause. Von Dr. med. Paul Wagner. Mit 71 Abbildungen. 1896.

Krankenversicherung. Von Alfred Wen gl er. 1898.

Krankheiten, ansteckende \. Infektionskrankheiten.

Kricket englische Kugel und Ballspiele.

Kristallographie f. Mineralogie.

Krocket 1. Bewegungsspiele sowie €nglifd)e Kugel» und Ballspiele.

Krupp |. Infektionskrankheiten.

3 Mark 50 Pf.

Kugel- und Ballspiele, englische, ein seidfaden für die deutschen Spieler von Franz Presinsky. Mit 105 Abbildungen. 1903.

Kulturgeschichte, allgemeine. Dritte Auflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. Rudolf €isler. 1905.    3 Mark 50 Pf.

Kulturgeschichte, deutsche. Von Dr. Rudolf €isler. 1905.    3 Mark.

Kunstgeschichte. Sechste Auflage, vollständig neu bearbeitet von Rermann €hren» berg. Mit 314 Abbildungen. 1906. 6 Mark, in Beschenkeinband 6 Mark 50 Pf.

--s. auch Archäologie.

Kunstwollfabrikation s. Wollwäscherei.

Kurzschritt, mittelalterliche s. Abbreviaturenlexikon.

Eaubsägerci s. siebhaberkünfte.

Kawn-Cennis s. Bewegungsspiele sowie englische Kugel- und Ballspiele.

Lederätz. und -beizarbeiten s. Liebhaberkünste.

Lederschnittarbeiten s. siebhaberkünlte.

Leimfabrikation l. Chemische Technologie.

Eiebhaberkünste. €in Leitfaden der weiblichen Rand- und Kunstfertigkeiten von Wanda Friedrich. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 210 Abbildungen. 1905.    2 Mark 50 Pf.

Literaturgeschichte, allgemeine. Von Prof. Dr. Adolf Stern. Vierte, vermehrte

und verbejene Auflage. 1906.

Literaturgeschichte, deutsche. Von Dr. Paul Möbius. Siebente, verbesserte Auflage von Prof. Dr. Botthold Klee. 1896.

Logarithmen. Von Prof. Max Meyer. Zweite, verbesserte Auflage. Mit 3 Casein und 7 Textabbildungen. 1898.

Logik. Von Friedrich Kirchner. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit

3 Mark.

Lunge. Ihre Pflege und Behandlung im gesunden und kranken Zustande von Dr med. Paul liierneyer. Neunte, umgearbeitete Auflage von Dr. med. Karl

3 Mark.

4 Mark.

2 Mark.

2 Mark 50 Pf.

36 Abbildungen. 1900.

6 erst er. Mit 41 Abbildungen. 1900.

Lungenentzündung und Lungenschwindsucht s. Infektionskrankheiten. Lustfeuerwerkerei. Kurzer Lehrgang für die gründliche Ausbildung in allen Teilen der Pyrotechnik von 0. A. v. Ni da. Mit 124 Abbildungen. 1883.    2 Mark.

Magen Mild Darm, die Erkrankung*« des. ¥ür den Laien gemeinverständlich dargestellt von Dr. med. €dgar v. Soblern. Mit 2 Abbildungen und 1 Catel. 1895.

3 mark 50 Pf.

Magnetismus f. Pbvlik.

Malaria {. Infektionskrankheiten.

Malerei. €in Ratgeber und Führer für angehende Künstler und Dilettanten von Professor Karl Raupp. Vierte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 54 Cext« und 9 Casein Abbildungen. 1904.    3 Mark.

--s. auch Liebhaberkünste sowie Porzellan» und Glasmalerei.

Mandelentzündung s. Infektionskrankheiten.

3 Mark.

Markscheidekunst. Von 0. Brathuhn. Zweite, umgearbeitete Auflage. Mit 190 Abbildungen. 1906.

Maschinen s. Dampfkessel usw.

Msrchinenelemente. Von L Of terdinger. ltlit 595 Abbildungen. 1902. 6Mark.

Maschinenlehre, allgemeine. Beschreibung der gebräuchlichsten Kraft» und Arbeitsmaschinen der verschiedenen Industriezweige. Von Ch. 5chw artze. Mit 327 Abbildungen. 1903.    6 Mark.

Masern s. Infektionskrankheiten.

Massage. Von Dr. med. €. Preller. Zweite, völlig neu bearbeitete Auflage von Dr. med. Ralf Klichmann. Mit 89 Abbildungen. 1903    3 Mark 50 Pf.

Mechanik. Von Pb. Ruber. Siebente Auflage, den Fortschritten der Cechnik entsprechend bearbeitet von Professor UJ alt er Lange. Mit 215 Abbildungen. 1902.

3 Mark 50 Pf.

Mechanische Technologie s. Technologie.

Meereskunde, allgemeine. Von Johannes Olalthcr. Mit 72 Abbildungen und

einer »ane. 1893.

5 Mark.

ilMalläbarbeit, -sügerei und -treiben s. Ciebbaberkünlte.

Metallurgie. Von Dr. Ch. Tischer. Mit 29 Abbildungen. 1904.

Metaphysik. Von Prof. D. Dr. Georg Runze. 1905.

Meteorologie. Von Prot. Dr. Kl. J. van B ebb er. Dritte, gänzlich umgearbeitete Auflage Mil 63 Abbildungen. 1893.    3 Mark.

Mikroskopie. Zweite Auflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. Siegfried Garten. Mil 152 Abbildungen und einer farbigen Cafel. 1904.    4 Mark.

5 Mark. 5 Mark.

Milch, künstliche s. Chemische Technologie.

Milchwirtschaft. Von Dr. Eugen tUerner. mit 23 Abbildungen. 1884. 3 Mark. Milzbrand s. Infektionskrankheiten.

Mimik und Gebärdensprache. Von Karl Skraup. Mit 60 Abbildungen. 1892.

3 Mark 50 Pf.

Mineralogie. Von Dr. Eugen Russak. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage. mit 223 Abbildungen. 1901.    3 Mark.

Motoren s. Darnkfkeffel usw.

Mumps s. Infektionskrankheiten.

Münzkunde. Von Rermann Dannenberg. Zweite, vermehrte und verbesserte Mit 11 Catein Abbildungen. 1899.

Musik. Von J. G Lobe. Achtundzwanzigste, durchgesehene Auflage von Richard

1 Mark 50 Pf.

Musikgeschichte. Von Robert IHuliol. Dritte, stark erweiterte Auflage, vollständig neu bearbeitet von Richard Rof mann. Mit 11 Cext- und 22 Tafeln Abbildungen. 1905.

Musikinstrumente, ihre Beschreibung und Verwendung von Richard Rof mann. Sechste, vollständig neu bearbeitete Auflage. Mit 205 Abbildungen und zahlreichen

4 Mark.

Auflage.

4 Mark.

Rof mann. 1904.

4 Mark 50 Pf.

Notenbeispielen. 1903.

Musterschutz s. Patentwesen usw.

4 Mark.

Mythologie. Uon Dr. € mit Kroker. Mit 73 Abbildungen. 1$91.

Nägel f. haut, haare, Nagel.

Katurlenre. Erklärung der wichtigsten physikalischen, meteorologischen und chemischen Erscheinungen des täglichen Gebens von Dr. 0. E. Brewer. Vierte, umgearbeitete Auflage. Mit 53 Abbildungen. 1893.    3 Mark.

Nautik. Uon Dr. Rudolf Zelts, mit 6$ Abbildungen. 1906.    4 Mark.

2 Mark 50 Pf.

Nervosität. Von Dr med. Paul Julius Möbius. Dritte, vermehrte und verheuerte Auflage. 1906.

Nivellierkunst. Von Prof. Dr. 0. Pietsch, fünfte, umgearbeitete Auflage. Mit 61 Abbildungen. 1900.    2 Mark.

Numismatik s. münzkunde.

Nutzgärtnerei. Grundzüge des Eemüse. und Obstbaues von hermann Jager. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage, nach den neuesten Erfahrungen und fortschritten umgearbeitet vonJ. Aesse 1 h 811. mit 75 Abbildungen. 1905. 3 Mark.

Odstda« s. Nutzgärtnerei.

MesselhSII. Mit 45 Abbildungen. 1897.

Ohr. das. und seine Pflege im gefunden und kranken Zustande. Von Prof. Dr. med. Ernst Richard ha gen. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage, mit 45 Abbildungen. 1883.

Oie s. 0bemifcbe Technologie.

Optik s. Physik.

Orden s. Ritter- und Verdienstorden.

Obstverwertunfi. Anleitung zur Behandlung und Aufbewahrung des frischen Obstes, zum Dörren, Einkochen, Einmachen sowie zur (Dein-, Cikör», Branntwein» und Essigbereitung aus den verschiedensten Obst- und Beerenarten von Johannes

3 Mark.

2 Mark 50 Pf.

Orgel. Erklärung ihrer Struktur, besonders in Beziehung auf technische Behandlung beim Spiel von E. f. Richter. Vierte, verbesserte und vermehrte Auflage, bearbeitet von hans Menzel. Mit 25 Abbildungen. 1896.    3 Mark.

Ornamentik. Leitfaden über die Beschichte, Entwickelung und charakteristischen formen der Verzierungsstile aller Zeiten von f. Kanitz. Sechste, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 137 Abbildungen. 1902.    2 Mark 50 Pf.

2    Mark.

3    Mark.

Pädagogik. Von Dr. friedrich Kirchner. 1890.

Pädagogik. Beschichte der. Von friedrich Kirchner. 1899.

Paläontologie s. Versteinerungskunde.

Patentwesen, Muster- und Marenzeichenschutz. Von Otto Sack. Mit 3 Abbildungen.

1897

2 Mark 50 Pf.

angewandte. Nebst Erläuterung über Schattenkonstruktionen und von Professor Max Kleiber. Vierte, durchgesehene Auflage. Mit

3 Mark.

Perspektive,

Spiegelbilder

145 Text- und 7 Tafeln Abbildungen. 1904.

Petrefaktenkunde s. Versteinerungskunde.

Petrographie. Gehre von der Beschaffenheit. Lagerung und Bildungsweise der Gesteine von Prof. Dr. J. Bl aas. Zweite, vermehrte Auflage. Mit 86 Abbildungen. 1898.    3 Mark.

Pferdedressur s. fahrkunst und Reitkunst.

Pflanzen, die leuchtenden Tiere und Pflanzen usw.

Planzenmorphologie, vergleichende. Von Dr. £. Dennert. Mit über 660 Einzelbildern in 506 figuren. 1894.    5 Mark.

4 Mark.

Philosophie. Von J. R. v Risch mann. Vierte, durchgesehene Ausl. 1897. 3 Mark. Philosophie, Beschichte der, von Thales bis zur Gegenwart. Von Cic. Dr. frie-drich Kirchner. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. 1896.

Photographie, praktische, sechste Auflage, völlig neu bearbeitet von Professor B. Hehler. Mit 141 Cext- und 8 Casein Abbildungen. 1906.    4 Mark 50 Pf.

Phrenologie, Uon Gustav Scheve. Achte Auflage. Mit 19 Abbildungen. 1896.

2 Mark.

PbV$ik, Uon Prot. Dr. Julius Kollert, sechste, verbesserte und vermehrte Auf.

läge. Mit 364 Abbildungen. 1903.

Physik, Beschichte der, Uon Prof. Dr. €. Gerland. mit 72 Abbildungen. 1892.

4 Mark.

Physiologie des menschen, als Grundlage einer naturgemäßen Gesundheitslehre.

Uon Dr. med. Sr. Scholz. Mit 58 Abbildungen. 1883.    3 Mark.

Ping-POttg s. englische Kugel- und Ballspiele.

Planetrographie« eine Beschreibung der im Bereiche der Sonne zu beobachtenden Körper von 0. fohle» Mit 15 Abbildungen. 1894.    3 Mark 50 Pf.

animetrie mit einem Anhange über harmonische Teilung, Potenzlinien und das Berührungslyltem des Apollonius. Uon ernst Riedel. Mit 190 Abbildungen.

4 Mark.

7 Mark.

1900.

Pocken s. Infektionskrankheiten.

Poetik, deutsche. Uon Prot. Dr. Johannes Minckwitz. Dritte Auflage. 1899.

2 Mark 50 Pt.

Porzellan- und Glasmalerei. Uon Robert Ulke, mit 77 Abbildungen. 1894. 3 Mark.

Proiektionslehre. Mit einem Anhange, enthaltend die €lemente der Perspektive. Uon Julius hoch. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 121 Abbildungen. 1898.    2 Mark.

Psychologie. Uon Friedrich Kirchner. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1896.    3 Mark.

Pulverfabrikation s. Ghernische Technologie.

Punzierarbeit s. Liebhaberkünste.

Pyrotechnik s. Lustfeuerwerkerei.

Rachenbräune s. Infektionskrankheiten.

Radfahrsport. Uon Dr. Karl Biesendahl, mit 105 Abbildungen. 1897. 3 Mark.

Raum Berechnung. Anleitung zur Grötzenbestimmung von Flächen und Körpern jeder Art von Prof. Dr. 0. Pietsch. Uierte, verbesserte Auflage. Mit 55 Abbildungen. 1898.    1 Mark 80 Pf,

Rebenkultur s. Meinbau usw.

Rechnen s. Arithmetik.

5 Mark.

Rechnen, kaufmännisches. Uon Robert Stern. 1904.

Redekunst, Anleitung zum mündlichen Uortrage von Roderid) Benedix. Sechste Auflage. 1903.    1 Mark 50 Pf.

- s. auch Uortrag, der mündliche.

Registratur- und Hrchiukunde. Bandbuch für das Registratur- und Archivwesen bei den Reichs-, Staats-, f)of-, Kirchen-, Schul- und Gemeindebehörden, den Rechtsanwälten usw. sowie bei den Staatsarchiven von Georg Bolhinger. Mit Beiträgen von Dr. Friedrich Teilt. 1883.    3 Mark.

Reich* das Deutsche, ein Unterrichtsbuch in den Grundsätzen des deutschen Staats-rechts, der Uerfassung und Gesetzgebung des Deutschen Reiches von Dr. Wilhelm Zeller. Zweite, vielfach umgearbeitete und erweiterte Auflage. 1880. 3 Mark.

Reinigung s. Wäscherei usw.

6 Mark. 4 mark.

Reitkunst in ihrer Anwendung auf Campagne-, Militär- und Schuireiteret. Uon Adolf Kästner. Uierte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 71 Text- und 2 Tafeln Abbildungen. 1892.

Religionsphilosophie. Uon Prof. D. Dr. Georg Runze. 1901.

Rheumatismus s. Gicht usw. und Infektionskrankheiten.

Kitter- «nd Uerdienstorden aller Kulturftaaten der Hielt innerhalb des 19. Jahrhunderts. Bus Grund amtlicher und anderer zuverlässiger Quellen zusammengestellt von Maximilian Gritzner. mit 760 Bbbildungen. 1S93.

9 mark, in Pergamenteinband 12 Mark.

Kose t- Infektionskrankheiten.

Rosenzucbt. Uollftändige Bnleitung über Lucht, Behandlung und Verwendung der Rosen im fände und in topfen von Hermann Jäger. Zweite, verbesserte und vermehrte Buflage, bearbeitet von P. sampert. Mit 70 Bbbildungen. 1893.

2 Mark 50 Pt.

Rotel« l. Infektionskrankheiten.

Rotlauf f. Infektionskrankheiten.

Rotz t. Infektionskrankheiten.

Rückfallfieber f. Infektionskrankheiten.

Ruder- und Segelsport, von Otto Gulti. Mit 66 Bbbildungen und einer Karte. 1898.    4 Mark.

Ruhr f. Infektionskrankheiten.

Rundball f. englische Kugel- und Ballspiele.

Säbelfecbtscbule, deutsche, eine kurze Bnweifung zur Erlernung des an unseren deutschen Hochschulen gebräuchlichen Säbelfechtens, herausgegeben vom verein

deuticber Fechtmeister. Mit 27 Bbbildungen. 1907.

1 Hark 50 Pf.

Säugetiere, vorfahre« der. in Europa. Hon Blbert Gaudry. Bus dem französischen überseht von William Iß ar|b all. mit 40 Abbildungen. 1891. 3 Mark.

2 Mark 50 Pf.

Schauspielkunst, von K. J. S. Portius. Zwölfte, vermehrte und verbesserte Auflage. 1901.

Scharlach f. Infektionskrankheiten.

Schattenkonstruktio« I. Perspektive.

Schauspielkunst f. Dramaturgie.

Schlitten- und Schlittschuhsport I. Wintersport.

Schlosserei, von Julius Hoch. Erster teil (Beschläge, Schlotzkonstruktionen und Geldlcbrankbau). Mit 256 Abbildungen. 1899.    6 Mark.

-Zweiter teil (Bautd)lOsterei). Mit 288 Abbildungen. 1899.    6 Mark.

- Dritter teil (Kunftfchlotterei und Uertd)önerungsarbeiten des Eisens). Mit

201 Abbildungen. 1901.

Schneeschuhsport f. Wintertport.

Schnupfen I. Infektionskrankheiten.

Schreibunterricht. Mit einem Anhang: Die Rundschrift. Dritte Auflage, neu be-

1 Mark 50 Pf.

4 Mark 50 Pf.

arbeitet von Georg 5unk. Mit 82 frguren. 1893. Schwangerschaft I. frau, das Buch der jungen.

Schwittimkunst. von Martin Schwäger 1. Zweite Auflage. Mit 111 Abbil»

2 Mark.

düngen. 1897.

Schwindsucht f. Infektionskrankheiten.

Segelsport f. Ruder- und Segelsport.

Seifenfabrikation I. Ghemifche Cechnologie.

Selbsterziehung. Ein Wegweiser für die reifere Jugend von John Stuart Blackie. Deutsche autorisierte Ausgabe von Dr. Friedrich Kirchner. Dritte Auflage.

1903.    2 Mark.

Silizineglastnaierei I. Oebhaberkünfte.

Sinne und Sinnesorgane der niederen Tiere, von E. Jourdan. Aus dem französischen übersetzt von William Marshall. Mit 4$ Abbildungen. 1891. 4 Mark.

Sitte. di« feine t. Con, der gute.

Sitteniehrc I. Ethik.

Skrofulöse (. Infektionskrankheiten.

3 mark.

Sozialismus, der moderne, Uon Max Haushofer. 1896,

4 mark.

Soziologie. Die Lehre von der Entstehung und Entwickelung der menschlichen Ge» (elllcbaft. Uon Dr. Rudolf Eisler. 1903.

Spiegelbilder 1. Perspektive.

6 mark.

Spiele I. Bewegungsspiele, Englische Kugel- und Ballspiele sowie Kindergarten. Spinnerei, Weberei und Appretur, liierte Auflage, vollständig neu bearbeitet von Niklas Reiser, mit 34$ Abbildungen. 1901.

Spiritusbrennerei s. Chemische Cecbnologie.

Spitzpocken s. Infektionskrankheiten.

Sprache und Sprachfehler des Kindes. Getundheitslehre der Sprache für Eltern. Erzieher und flute von Dr. med. 1)ermattn Lutzmann. mit 22 Abbildungen. 1894.    3 mark 50 Pf.

Sprache, deutsche s. Wörterbuch, deutsches.

vermehrte Auflage von Friedrich Nedderich. 189$.

Sprachorgane s. Gymnastik der Stimme.

Sprengstoffe s. Chemische Cecbnologie.

Sprichwörter s. Zitatenlexikon.

Staatsrecht s. Reich, das Deutsche.

Städtebau s. Erd- und Straßenbau.

Stalldienst und Stallpflege s. fahrkunß.

Starrkrampf s. Infektionskrankheiten.

Statik mit gesonderter Berücksichtigung der zeichnerischen und rechnerischen Methoden.

Uon Walter Lange. Mit 284 Abbildungen. 1897.    4 mark.

Steinätzarbeit und Steinmosaiktechnik s. Ciebhaberkünße.

Sprachlehre, deutsche. Uon Dr. Konrad michelsen. Uierte, verbesserte und

2 mark 50 Pf.

Stenographie. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende der Stenographie im allgemeinen und des Systems von Babelsberger im besonderen von Professor Heinrich Krieg. Dritte, vermehrte Auflage. Mit Citeibild. 1900.    3 mark.

3 mark 50 Pf.

Stereometrie, mit einem Anhange über Kegelschnitte sowie über Maxima und Minima, begonnen von Richard Scburig, vollendet und einheitlich bearbeitet von Ernst Riedel. Mit 159 Abbildungen. 1898.

Stile s. Baustile und Ornamentik.

2 mark 50 Pf.

Stimme, Gymnastik der, gestützt auf physiologische Gesetze. Eine Anweisung zum Selbstunterricht in der Übung und dem richtigen Gebrauche der Sprach- und Be» langsorgane von Oskar Guttmann. Sechste» vermehrte und verbesserte Auflage, mit 24 Abbildungen. 1902.    3 Mark 50 Pf.

Stohfechtschule, deutsche, nach Kreußiersehen Grundsätzen. Zusammengestellt und herausgegeben vom Uerein deutscher Fechtmeister. Mit 42 Abbildungen. 1892.

1 mark 50 Pf.

Stilistik. Eine Anweisung zur Ausarbeitung schriftlicher Aufsätze von Dr. Konrad mich eilen. Dritte, verbesserte und vermehrte Auflage, herausgegeben von Sriedrid) Nedderich. 1898.

Stottern s. Sprache und Sprachfehler.

Strahlenpilzkrankheit s. Infektionskrankheiten.

Straßenbau s. Erd- und Straßenbau.

Tanzkunst. Ein Leitfaden für Lehrer und Lernende nebst einem Anhang über Choreographie von Bernhard Klemm. Siebente Auflage. Mit 83 Abbildungen und vielen musikalisch-rhythmischen Beispielen. 1901.    3 Mark.

-s. auch Ästhetische Bildung usw.

Taudenzucht l Geflügelzucht.

Ctcfottoiogic, chemische. Unter Mitwirkung von P. Kersting »M. Horn, Cb. Sifch er, A.Jungbahn und J. Pinnow herausgegeben von Paul Kersting und Max Horn. Erster Ceil. Anorganische Verbindungen. Mit 70 Abbildungen. 1902. 5 Mark.

--Zweiter Ceil. Organilcbe Verbindungen. Mit 72 Abbildungen. 1902. 5 Mark.

--Dritter Ceil siehe Hüttenkunde.

--Vierter Ceil liehe Metallurgie.

Technologie, mechanische. Uon Albrecht von Tbering. Zweite, völlig umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 349 Abbildungen. 1904.    4 Mark.

Teichwittschatt I. Fischzucht ulw.

Telegraphie, elektrische. Uon Georg Schmidt. Siebente, völlig umgearbeitete Auflage. Mit 4$4 Abbildungen. 1900.    6 Mark.

Textilindustrie f. Spinnerei ulw.

CiefDrand f. siebbaberkünfte.

Tiere, geographische Verbreitung der. Uon €. s. Croueffarf. Aus dem Sran-zöfileben übersetzt von Ul. Marl hall. Mit 2 Karten. 1592.    4 Mark.

Tiere und Pflanzen, die leuchtenden. Uon Henri Gadeau de Kerville. Aus dem französischen überseht von Ul. Marsh all. Mit 2$ Abbildungen. 1593. 3 Mark.

Tierzucht. landwirtschaftlicher Uon Dr. Eugen Ul erner. Mit20 Abbildungen. 1580.    2 Mark SO Pf.

Tintenfabrikation f. Chemische Cechnologie.

Tollwut f. Infektionskrankheiten.

Ton. der gute, und die feine Sitte. Uon Eu'f emia v. Adlersfeld geb. Gräfin Balleltrem. Vierte, verbesserte Auflage. 1906.    2 Mark.

-I. auch Ästhetische Bildung ulw.

Tsnwarenindustrie I. Chemische Cechnologie.

Trichinenkrankheit 1. Infektionskrankheiten.

Trichinenschau. Uon 5. Ul. Rüstert. Dritte, verheuerte und vermehrte Auflage.

Mit 52 Abbildungen,,, 1595.    1 Mark 50 Pf.

Dritte, erweiterte Auflage. Mit 42 Figuren.

2 Mark.

Sranz Ben dt.

Trigonometrie. Hon

1901.    *

Tuderkulore f. Infektionskrankheiten.

Turnkunst. Uon Prof. Dr. Moritz Klotz. Siebente, vermehrte und verbesserte Auflage, bearbeitet von Otto $d) lenk es. Mit 105 Abbildungen. 1905.    4 Mark.

Lvphus 1. Infektionskrankheiten.

4 Mark. 2 Mark.

Uhrmacherkunst. Uon f. Ul. Rüstert. Vierte, vollständig neu bearbeitete und vermehrte Auflage. Mit 252 Abbildungen und 5 Cabellen. 1901.

Unfallversicherung. Uon Alfred Ulengier. 1595.

Uniformkunde. Uon Richard Knötel. Mit über 1000 Einzclfiguren auf 100 Casein, gezeichnet vom Verfasser. 1596.    6 Mark.

Unterleidsbruche. Ihre Ursachen, Erkenntnis und Behandlung von Dr. med. Sr. Ra-voth. Zweite, von Dr. med. G. Ul olzendorff bearbeitete Auflage. Mit 25 Abbildungen. 1556.    2 Mark SO Pf.

Ventilation f. Heizung usw.

Verfassung der Deutschen Reichs f. Reich, das Deutsche.

2 Mark 40 Pf.

Versicherungswesen. Uon Oskar ferncke. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1555.

-f. auch Invaliden», Kranken» und Unfallversicherung.

Verrkunst. deutsche. Uon Dr. Roderich Benedix. Dritte, durchgesehene und

verbesserte Auflage. 1594.

1 Mark SO Pf.

VersteinerungsKunde (Petrefaktenkunde, Paläontologie). Eine Übersicht über die wichtigeren formen des Ci er» und des Planrenreiches der Uorwelt von Prof. Dr. f) i p p o 1 y t Baas. Zweite, gänzlid) umgearbeitete und vermehrte Auflage.

Mit 234 Abbildungen und 1 Cafel. 1902.

Villen und Kleine familienhEuser« Uon Georg After, mit 112 Abbildungen von Wohngebäuden nebst dazugehörigen Grundrissen und 23 in den Cext gedruckten

5 mark.

3 Mark 50 Pf.

Figuren. Gifte Auflage. 1906.

(Fortsetzung dazu f. TamiTienhäufer für Stadt und fand).

2 mark 50 Pf.

Violine und Violinspiel. Uon Reinhold Jodtif*. mit 19 Abbildungen und zahlreichen Dotenbeifpielen. 1900.

Vogel. der Bau der. Uon William marlhall. Mit 229 Abbildungen. 1895.

7 mark 50 Pf.

Völkerkunde. Uon Dr. Heinrich Schury. mit 67 Abbildungen. 1$93. 4 mark. Völkerrecht. Uon Dr. Albert Zorn, Zweite, vollständig neu bearbeitete Auflage.

1903.

4 mark.

Volkswirtschaftslehre. Nach Hugo Schober neu bearbeitet von Pros. Dr. €d.

6 mark.

0. Schulze. Sechste Auflage. 1905.

Vortrag, der mündliche. €in Lehrbuch für Schulen und zum Selbstunterricht von Roden'ch Benedix. €r|ter Ceil. Die reine und deutliche Aussprache des stoch»

deutschen. Zehnte Auflage. 1905.

I mark 50 Pf.

--Zweiter Ceil. Die richtige Betonung und die Rhythmik der deutschen Sprache.

3 mark.

Fünfte Auflage. 1904.

--Dritter Ceil. Schönheit des Uortrages. Fünfte Auflage. 1901. 3 Mark 50 Pf.

-s. auch Redekunst und Gymnastik der Stimme.

Wappenkunde s. Heraldik.

Warenkunde. Sechste Auflage, vollständig neu bearbeitet von Dr. M. Pietsch

1899.

Warenreichenschutz s. Patentwesen usw.

Wäscherei. Reinigung und Bleicherei. Uon Dr. her mann Grothe. Zweite, vollständig umgearbeitete Auflage. Mit 41 Abbildungen. 1$$4;

- s. auch Ghernische Cecbnologie und Wollwäscherei.

Wasserbau. Zum Selbstunterricht, für den Gebrauch in der Praxis und als Lehrbuch für Fachschulen von R. $d)iffmann. Mit 605 Cext» und $ Casein Abbildungen. 1905.

3 mark 50 Pf.

2 mark.

7 mark 50 Pf.

Wasserkur und ihre Anwendungsweise. Uon Dr. med. €. Preller, mit 38 Ab»

3 mark 50 Pf.

bildungen. 1891.

3 mark 50 Pf.

Wasserversorgung der Behände. Uon Professor 01 alter fange, mit 282 Ab» bildungen. 1902.

Weberei s. Spinnerei usw.

Wechselfieber s. Infektionskrankheiten.

Wechselrecht, allgemeines deutsches, mit besonderer Berücksichtigung der Abweichungen und Zusätze der östreichischen und ungarischen Wechselordnung und des eidgenössischen Wechsel- und Scheckgesetzes. Uon Karl Arenz. Dritte, ganz umgearbeitete und vermehrte Auflage. 1884.    2 mark.

2 mark 50 Pf.

Weinbau. Rebenkultur und Kleinbereitung. Uon Friedrich Jakob Doch nah!. Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage. Mit einem Anhange: Die Kellerwirtschaft. Uon A. v. Babo. Mit 55 Abbildungen. 1896.

fl

Weinbereitung s. auch Ghernische Cecbnologie.

Weltgeschichte, allgemeine. Uon Prof. Dr. Cheodor FlLtch-e.r DrittesAyflage. mit 6 Stammtafeln und einer tabellarischen Übersicht. 1809. ~ £ 3 Mark 50 Pf.

WindpocRen s. infektionskrankbeiten.

3 Mark. 6 Mark

Wintersport, üon TDax Schneider. TDit 140 Abbildungen. 1$94.

Wissenschaften, Geschichte der. Uon Dr. Rudolf €i$ler. 1906.

tUltternngsKuttde {. TDeteorologie.

Wochenbett f. Frau, das Buch der jungen.

Wollwäscherei und Karhoisisatioit. mit einem Anhang: Die Kunjtwollfabrikation von Dr. A. Banswindt. TDit $6 Abbildungen. 1905.    4 Mark.

Wörterbuch. deutsches. Wörterbuch der deutschen Schrift- und Umgangssprache sowie der wichtigen Fremdwörter. Uon Dr. J. I). Kaltfcbmidt, neu bearbeitet und vielfach ergänzt von Dr. Beorg Cebnert. 1900.    7 Mark 50 Pf.

Riegel fahrt Ration f. Cbemitcbe Cechnologie.

Ziegenpeter (. Infektionskrankheiten.

Bildungen. 1901.

Ziergärtnerei. Belehrung über Anlage, Ausschmückung und Unterhaltung der Bärten sowie über Blumenzucht von Ij. Jäger. Sechste Auflage, nach den neuesten €r-fahrungen und Fortschritten umgearbeitet von J. Well eil) Öft. Mit 104 Ab*

3 Mark 50 Pf.

Zimmergärtnerei. Uon ID. fehl. Zweite, umgearbeitete und vermehrte Auflage. Mit $9 Abbildungen. 1901.    3 Mark.

Zitatenlexikon. Sammlung von Zitaten, Sprichwörtern, sprichwörtlichen Redensarten und Sentenzen von Daniel Sanders. Zweite, vermehrte und verbesserte Auflage. 1905.    6 Mark, in Beschenkeinband 7 Mark.

Zoologie. Zweite Auflage, vollständig neu bearbeitet von Prof. Dr. William Marshall, mit 297 Abbildungen. 1901.    7 Mark 50 Pf.

ZucRerfabriRatio» s. Chemische Cechnologie.

ZittdholzerfahriRation s. Chemische Technologie.

Zündmittel s. Chemische Technologie.

Uerzeid)tiil(e mit Inhaltsangabe jedes Bandes stehen unentgeltlich zur Uerfügung.

Verlagsbuchhandlung von 3.3. Weher in Leipzig

Aeudnitzer Strafe 1—7.

Marz 1907.

Druck von J. J. Weber in Leipzig.

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