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BIBLIOTEKA GLÖWNA

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Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

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BibliotiiekzurNathematiKundflstronomie

aus

der Sammlung Göschen

Geschichte der Mathematik von Prof. Dr. H. Wieleitner.

2 Bande

Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarith-misches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von Prof. Dr. Hermann Schubert. Neue Ausgabe von Prof. Dr. Robert Hau&ner. Nr. 81 Fünfstellige Logarithmen von Direktor Prof. Aug. Adler. Nr. 423 Mathematische Formelsammlung und Repetitorium der MathematiK mit 18 Figuren v. Prof. O. Th. Bflrklen. Nr. 51 Arithmetik v. Prof. Dr. H. Schubert u. Prof. P. B. Fischer. Nr. 47 Elementare Algebra von Prof. P. B. Fischer. Mit 20 Fig. Nr. 930 Beispielsammlung zur Arithmetik und Algebra von Prof. Dr. Hermann Schubert u. Prof. P. B. Fischer .... Nr. 48 Höhere Algebra von Prof. Dr. H. Hasse. 2 BSnde .

Praktisches Zahlenrechnen v. Prof. Dr.-Ing. P. Werkmeister. Mit 58 Figuren...............

Elementare Reihenlehre von Prof Dr. H. Falckenberg.

Mit 4 Fig. im Text..................

Determinanten von Prof. P. B. Fischer.........

Gruppentheorie von Dr. Ludw. Baumgartner. Mit 6 Fig. Nr. 837 Niedere Analysis mit 6 Figuren von Prof. Dr. B. Sporer. Nr. 53 Höhere Analysis I: Differentialrechnung mit 68 Fig.

von Rektor Dr. Friedrich Junker ............

Repetitorium u. Aufgabensammlung z. Differentialrechnung mit 46 Figuren von Rektor Dr. Friedr. Junker. Nr. 146 Höhere Analysis II: Integralrechnung m. 89 Figuren

von Rektor Dr. Friedrich Junker............

Repetitorium u. Aufgabensammlung zur Integralrechnung mit 50 Figuren von Rektor Dr. Fried. Junker. Nr. 147 Gewöhnliche Differentialgleichungen von H. Hoheisel Nr. 920 Einleitung in die Funktionentheorie (.Theorie der komplexen Zahlenreihen) v. Oberl. M. Rose. Mit 10 Fig. Nr. 581 FunKtionentheorie von Prof. Dr. Konrad Knopp.

I.    Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen

Funktionen. Mit 9 Figuren...........

II.    Anwendungen d. Theorie zur Untersuchung spezieller

analytischer Funktionen. Mit 10 Figuren.....

Aufgabensammlung zur FunKtionentheorie von Prof.

Dr. K. KnoppT....................

Einführung in die konforme Abbildung von Prof.

Dr. Ludwig Bieberbach................

Nr. 226,875

Nr. 931,932

Nr. 405

Nr. 943 Nr. 402

Nr. 87

Nr. 88

Nr. 668 Nr. 703 Nr. 877 Nr. 768

Potentialtheorie v. Dr. W. Sternberg. 2 Bände. . . . Nr. 901,944 Vektoranalysis mit 16 Fig. von Prof. Dr. Siegfr. Valentiner. Nr. 354 Graphische Integration v. Dr. F. A.Willers. Mit 53 Fig. Nr. 801 Numerische Integration von Dr. F.A.Willers. Mit 2 Fig. Nr. 864 Ebene Geometrie m. 110 zweifarb. Fig. v. Prof. G. Mahler. Nr. 41 Ebene und sphärische Trigonometrie mit 59 Figuren

von Prof. Dr. Gerhard Hessenberg...........

Sammlung v. Aufgaben aus d. ebenen u. sphärischen Trigonometrie mit 26 Fig. v. Studienrat Dr. Fritz Heiland. Nr. 848

Nr. 99

Stereometrie mit 81 Figuren von Prof. Dr. Robert Glaser. Nr. 97 Sammlung von Aufgaben aus der Stereometrie von

Nr. 779

Prof. Dr. Robert Glaser. Mit 54 Figuren........

Pro jeKtive Geometrie in synthetischer Behandlung mit 91 Figuren von Prof. Dr. K. Doehlemann. 2 Bände . Nr. 72,876 Darstellende Geometrie von Prof. Dr. Robert Haubner.

2    Bände mit 150 Figuren.............Nr. 142,143

Geometrisches Zeichnen mit 290 Figuren und 23 Tafeln

Nr. 532

von H. Becker, neubearbeitet von Prof. J. Vonderlinn. Nr. 58 Einführung in die geometrische Optik von Dr.

W. Hinrichs.....................

von

Graphische Darstellung in Wissenschaft u. Technik von Obering. Privatdoz. Dr. Marcello Pirani. Mit 58 Fig. Nr. 728 Analytische Geometrie der Ebene mit 57 Figuren

Nr. 65

Prof. Dr. M. Simon................

Nr. 89

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie der Ebene mit 32 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 256 Analytische Geometrie des Raumes mit 28 Figuren

von Prof. Dr. M. Simon................

. . Nr. 507

Aufgabensammlung zur analytischen Geometrie des Raumes mit 7 Figuren von Prof. O. Th. Bürklen. Nr. 309 Koordinatensysteme von Prof. P. B. Fischer . .

Algebraische Kurven. Neue Bearbeitung von Prof. Dr.

H. Wieleitner.

I. Gestaitl. Verhältnisse. Mit 97 Figuren.......Nr. 435

II. Theorie u.Kurven dritter u. vierter Ordnung. Mit 52 Fig. Nr. 436 Wahrscheinlichkeitsrechnung von Prof. Dr. O. Knopf.

Mit 10 Figuren. 2 Bände..............Nr. 508, 871

Politische Arithmetik von Prof. Dr. E. Foerster .... Nr. 879 , Ausgleichungsrechnung n. d. Methode d. kleinsten

Quadrate von Prof. Wilhelm Weitbrecht. 2 Bände. Nr. 302, 641 Vermessungskunde von Prof. Dipl.-Ing. P. Werkmeister.

3    Bände mit 300 Figuren...........Nr. 468, 469, 862

Nr. 92

Geodäsie von Prof. Dr. G. Förster. Mil 32 Figuren . . Nr. 102 Mathematische Instrumente von Fr.A.Willers. Mit 68 Fig. Nr. 922 Astronomische Geographie mit 52 Figuren v. Prof. Dr.

Siegmund Günther..................

Astronomie. Gröbe. Bewegung u. Entfernung d. Himmelskörper von A. F. Möbius, neubearbeitet von Prof. Dr. Hermann Kobold.

Nr. 11

I.    Das Planetensystem. Mit 33 Figuren.......

Nr. 529

II.    Kometen, Meteore und das Sternsystem. Mit 15 Fig.

und 2 Sternkarten................

Nr. 91

Astrophysik von Prof. Dr. Walter F.Wislicenus. Mit 15 Fig.

Neubearbeitet von Dr. H. Ludendorff.........

Kartenkunde von Dr. M. Groll, neubearb.v.Dr. Otto Graf.

. . Nr. 30

uren

I.    Die Projektionen. Mit 56 Fig

II.    Der Karteninhalt u. d. Messen auf Karten. Mit 39 Fig. Nr. 599 Kartographische Aufnahmen u. geogr. Ortsbestimmung

Nr. 699

auf Reisen von Prof. Dr.-Ing. R. Hugershoff u. Prof. Dr.-Ing. O. Israel. 1. Topograph. Aufnahmen. Mit 66 Figuren. Nr. 607 Photogrammetrie und Stereophotogrammetrie von

Prof. Dr. Hans Dock. Mit 59 Figuren.........

Versicherungsmathematik von Prof. Dr. Friedr. Boehm.

Nr. 180,917

2 Bände

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Sammlung Göschen

Darstellende Geometrie

Diese beiden Punkte E0 und E1 müssen mit 0 in ge

j=Jk

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c;

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Darstellende Geometrie

Erster Teil

Elemente; Ebenflächige Gebilde

Von

Dr. Robert Haußner o. ö. Professor der Mathematik an der Universität Jena

Dritte, vermehrte und verbesserte Auflage Mit 110 Figuren im Text Neudruck

Berlin und Lei

Vereinigung- wissenschaftlicher Verleger

Walter de Gruyter & Co.

vormals G. J. Göschen’sche Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trilbner • Veit & Comp.

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Alle Rechte, insbesondere das Übersetzungsrecht, von der Verlagshandlung Vorbehalten.

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Druck

der Spamerschen Buchdruckerei in Leipzig

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Literatur

I. Encyklopädle

der mathematischen Wissenschaften, ßd. III, Teil 1, S. 517—595:

E. Papperitz, Darstellende Geometrie. Leipzig, 1910.

II. Grundlegendes Werk.

G. Monge, Geometrie descriptive (Legons donnees aux ecoles normales). Paris 1799. 2.—7. Auflage 1800 bis 1847. In deutscher Übersetzung:

G. Monge, Darstellende Geometrie. Herausgegeben und mit Anmerkungen versehen von Robert Haußner, Leipzig 1900 (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band 117).

III. Lehrbücher.

K. Pohllee, Darstellende Geometrie. Berlin, I. Abteilung 4. Auflage 1876; II. Abteilung 1876.

W. Fiedler, Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage. Leipzig, I. Teil 4. Auflage 1904; II. u. III. Teil 8. Auflage 1885 und 1888.

Chr. Wiener, LehrbuchderdarstellendenGeometrie Leipzig. I. Band 1884; II. Band 1887.

K. RohnnndE. Papperitz, L e h rb u ch d er d ar stell e n d e n Geometrie. Berlin, I./II. Band 4. Auflage 1913/16; III. Band 3. Auflage Neudruck 1920.

R. Müller, Leitfaden für die Vorlesungen über darstellende Geometrie an der Herzoglichen Technischen Hochschule zu Braunschweig. Braunschweig, 3. Auflage 1917.

E. Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, für technische Hochschulen. Leipzig, I. Band 3. Auflage 1920; II. Band, 2 Teile 2. Auflage 1919|20.

E. v. Dalwigk, Vorlesungen über darstellende Geometrie. Leipzig, I. Band 1911; II. Band 1914.

Th. Schmid, Darstellende Geometrie. Berlin, I. Band 2. Auflage 1919; II. Band 1921.

G. Loria, Vorlesungen über darstellende Geometrie. Leipzig, I. Teil 1907; II. Teil 1913.

Inhalt.

Tafel der angewandten Bezeichnungen .

Einleitung.

1.    Aufgabe der darstellenden Geometrie .

2.    Das Projektionsverfahren

3-7. Projektionen bestimmter Gebilde .

8. Die verschiedenen Arten der Projektion

Seit«

11

11

16

I. Abschnitt.

Parallelprojektion ebener Gebilde und Affinität.

9—10. Parallelprojektionen von Strecken 11—12. Parallelprojektion einer ebenen Figur; Affinität 13—14. Perspektiv-affine Figuren in derselben Ebene .

15—17. Konstruktion der Ellipse als affiner'Figur eines Kreises .

18—21. Zwei konjugierte Durchmesser bestimmen eine Ellipse;

ihre Konstruktion aus denselben .... 22—23. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen; Papierstreifenkonstruktionen ........

24.    Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus zwei kon

jugierten Durchmessern; Normale ....

25.    Scheitelkrümmungskreise der Ellipse.....

26.    Die Ellipse als Parallelprojektion des Kreises .

27.    Brennpunktseigenschaften der Ellipse .    .    .    -    '

28.    Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve 50

19

21

25

28

32

39

42

45

47

48

II. Abschnitt.

Schiefe Parallelprojektion räumlicher Gebilde.

29-30. Bestimmung der Richtung der Projektionsstrahlen .

31—32. Schiefe Projektion eines Würfels. Bemerkung über das Ausziehen der Linien .......

33—34. Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion .

Seit.

58

35—37. Schiefe Projektion ebenflächiger Gebilde. Wahrer und

60

scheinbarer Umriß...... .    .

64

38—41. Schiefe Projektion von Kegel, Zylinder und Kugel .

HI. Abschnitt.

Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen.

i"H CO O r-H

OO CO

r—i H rH H

CO O 03 ^ 03 CO CO CO

r-H r-H r—i r—H

42. Einführung zweier Projektionsebenen.....

43—44. Darstellung des Punktes.......

45—47. Einführung einer dritten Projektionsebene .    .    ,

48—50. Darstellung der Geraden; Spurpunkte einer Geraden 51 Besondere Lagen der Geraden gegen die Projektionsebenen 52—53. Eine Gerade ist durch Grund- und Aufriß im allgemeinen

bestimmt; Ausnabmefall......

54—55. Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke .

56.    Gegenseitige Lage zweier Geraden.....

57.    Darstellung der Ebene; Spuren einer Ebene

58.    Besondere Lagen einer Ebene gegen die Tafeln .

59.    Die beiden Halbierungsebenen......

60—65. Gerade in einer Ebene; Haupt-und Falllinien einer Ebene

66. Tafelneigungen einer Ebene.......

67-68. Gegenseitige Lage zweier Ebenen.....

69—71. Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene . 72—74. Gerade Linien und Ebenen in rechtwinkliger Stellung . 75—79. Umlegung ebener Gebilde in eine Tafel (Winkel zweier Geraden und zweier Ebenen; wahre Gestalt eines

Dreiecks).........

80. Drehung ebener Gebilde um eine Hauptlinie 81—82. Drehung um eine zu einer Tafel senkrechte A^bse .    .

83—85. Einführung neuer Projektionsebenen.....

IY. Abschnitt.

Ebenflächige Gebilde.

.    140

86—87. Das n-Kant und das Polar-w-Kant 88—97. Das Dreikant; die sechs Grundaufgaben über dasselbe .    141

98. Allgemeines über Vielflache. Sichtbarer und unsichtbarer Teil. Wahrer und scheinbarer Umriß

H"!v

99—100. Beispiele der Darstellung von Prisma und Pyramide .    160

.    164

101—109. Darstellung der regelmäßigen Vielfiache .

. 181 . 182 .    189

110. Allgemeines über ebene Schnitte von Yielflachen; Kanten- und Flächenverfahren 111—113. Beispiele für das Kantenverfahren; Netze 114—115. Beispiele für das Flächenverfahren; Netze

.    193

116. Allgemeines über die Durchdringung zweier Vielflache 192 117—121. Beispiele für das Kantenverfahren .

. 200 ,    205

122—124. Das für die Durchdringung von Prismen und Pyramiden abgeänderte Kantenverfahren •

125. Beispiel für das Flächenverfahren ,

Die Figuren

mußten dem Format der Sammlung Göschen entsprechend in kleinem Maßstahe gezeichnet werden. Dieser Nachteil vermag aber deshalb nicht schwer in das Gewicht zu fallen, weil der Leser, welcher sich mit der darstellenden Geometrie erst vertraut machen will, alle Figuren am besten unter Annahme anders gelagerter Ausgangselemente in größerem Maßstabe selbst neu zeichnen muß. Nur dadurch kann er sich die Methoden und Konstruktionen der darstellenden Geometrie wirklich zu eigen machen und sich zugleich die nötige zeichnerische Geschicklichkeit, welche für die darstellende Geometrie von kaum geringerer Bedeutung als ihr theoretisches Verständnis ist, erwerben. Deshalb entwerfe sich der Leser auch für alle Aufgaben und Konstruktionen, bei welchen Figuren als nicht unbedingt nötig in Rücksicht auf den verfügbaren Raum nicht gegeben sind, entsprechende Figuren. Ferner ist warm zu empfehlen, sich bei schwierigeren Aufgaben, um eine klare Vorstellung der räumlichen Verhältnisse zu erhalten, zunächst eine Skizze in schiefer Parallelprojektion zu entwerfen, wie dies auch im Text verschiedentlich geschehen ist.

Tafel der angewandten Bezeichnungen.

Es sind stets bezeichnet:

Punkte mit großen lateinischen, in einigen Fällen auch mit großen deutschen Buchstaben: A, . .

P,    21, ..., U,

u;

Linien (gerade oder krumme) mit kleinen lateinischen, in einigen Fällen auch mit kleinen deutschen Buchstaben: a, . . ., (7, . . a Ebenen mit großen griechischen Buchstaben: A, . .

E,

•T

Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben: ä, ..

'Xr

Spur einer Geraden g

Spur einer Ebene e

Zentral-Proj. . . Schiefe Proj. . . Senkrechte Proj. auf zwei Ebenen

TT

TT

TTr

n₂

Cb Cb Cb*CT

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Elemente, welche um eine Gerade in eine neue Lage gedreht sind, werden durch die ihrer alten Bezeichnung angefügten oberen oder unteren Indices 0, A und Schatten von Elementen durch oben oder unten angefügte Sterne * bezeichnet.

Tafel der angewandten Bezeichnungen.

g — AB bedeutet die Yerbindungsgerade der Punkte A und B\ E — ABC die Verbindungsebene der drei Punkte A, B, O.

Das Schneiden zweier Gebilde wird durch das Symbol X bezeichnet, und es bedeutet also

P — g X ä den Schnittpunkt von g und h,

« 9 und E ,

G=gXE „ s = A X B die Schnittgerade von A und B .

Abst. (P, g), bzw. Abst. (P, E) bezeichnet den senkrechten Abstand eines Punktes P von einer Geraden g, bzw. Ebene E.

Die Zeichen = , <, >, ||,    <£, A haben die ge

wöhnliche Bedeutung gleich, kleiner, größer, parallel, senkrecht, Winkel, Dreieck.

Die vorstehende Bezeichnungsweise stimmt im wesentlichen mit der von Wiener und Rohn-Papperits (siehe Literaturverzeichnis) benutzten überein.

Einleitung.

Aufgabe der darstellenden Geometrie.

1. Ebene Gebilde können in ihrer wahren Gestalt unmittelbar durch Zeichnung in einer Ebene dargestellt und auf jene bezüglichen Konstruktionen dann an diesen Zeichnungen direkt ausgeführt werden. Für räumliche Gebilde ist dies nicht mehr möglich, da sie sich im allgemeinen nach drei Dimensionen erstrecken, während die Ebene nur zwei Dimensionen besitzt.

Die Aufgabe der darstellenden Geometrie ist es nun, zu lehren, wie man räumliche Gebilde ihrer Gestalt, Größe und Lage nach durch genaue ebene Abbildungen, aus denen sich wiederum jene selbst bestimmen lassen, darstellen kann, und wie man Aufgaben über räumliche Gebilde mit Hilfe ihrer ebenen Abbildungen durch Zeichnung lösen kann.

Der erste Teil dieser Aufgabe hat eine Verallgemeinerung nach zwei Richtungen dahin erfahren, daß die räumlichen Gebilde nicht auf eine Ebene, sondern auf irgend eine andere Fläche, z. B. auf die Oberfläche eines Kreiszylinders, einer Kugel u. a., abgebildet (Rundpanoramen, Kartenprojektionen), oder daß von den räumlichen Gebilden Abbildungen, welche selbst wieder drei

Dimensionen haben, hergestellt werden sollen (Modelle, Reliefperspektive). Beide Verallgemeinerungen sind in diesem Werke nicht berücksichtigt, da sie an allgemeiner Bedeutung hinter der Abbildung der räumlichen Gebilde auf die Ebene weit zurückstehen und jenseits der Grenzen liegen, welche diesen vorliegenden Grundzügen gesteckt werden mußten.

Die darstellende Geometrie ist die unentbehrliche Grundlage für viele Zweige der Technik und der Kunst. Denn einerseits ermöglicht sie, "von vorhandenen Bauwerken, Maschinen und anderen räumlichen Objekten anschauliche und genaue Bilder herzustellen, andererseits aber für projektierte Bauwerke, Maschinen usw. Pläne anzufertigen, auf Grund deren ihre wirkliche Herstellung erst möglich ist. Über diese praktische Bedeutung hinaus hat die darstellende Geometrie noch hervorragenden allgemein bildenden Wert, indem sie in ausgezeichneter Weise das räumliche Vorstellungsvermögen auszubilden geeignet ist.

Die wissenschaftliche Ausbildung der darstellenden Geometrie verdankt man dem französischen Mathematiker Monge¹).

Das Projektionsverfahren. Projektionen bestimmter Gebilde. 11 Das Projektions verfahren.

2. Das Verfahren, dessen sich die darstellende Geometrie bedient, um von räumlichen Gegenständen Bilder zu erhaltfen, welche einen ähnlichen Eindruck wie die Originale hervorbringen, ist das der Projektion.

Zieht man von einem gegebenen Punkte 0 Strahlen nach den sämtlichen Punkten der Oberfläche eines gegebenen räumlichen Gebildes G und bestimmt dann die Schnittpunkte dieser Strahlen (bzw. ihrer Verlängerungen) mit einer gleichfalls gegebenen Ebene TT, so nennt man die Gesamtheit aller dieser Schnittpunkte die Projektion Gc des räumlichen Gebildes G auf die Ebene TT für den Punkt 0 als Projektionszentrum. Die von 0 ausgehenden Strahlen heißen Projektionsstrahlen und die Ebene TT die Projektionsebene.

Die folgenden Betrachtungen über die Projektionen bestimmter Gebilde geben zugleich erläuternde Beispiele für die soeben gegebene Beschreibung des Projektionsverfahrens.

Projektionen bestimmter Gebilde.

3. Ist (Fig. 1) ein Punkt P gegeben, so ist seine Projektion wieder ein Punkt, nämlich der Schnittpunkt Pc des Strahles OP mit der Ebene TT. Liegt P speziell in der Ebene TT, so fällt er mit seiner Projektion zusammen.

"Wählt man auf dem Strahle OP beliebige andere Punkte 0, R, S, .. ., so erkennt man sofort, daß sie (nach § 2) denselben Punkt Pc zur Projektion haben. Während also, wenn das Projektionszentrum 0 und die Projektionsebene TT gegeben sind, für jeden Baumpunkt sich nur ein bestimmter Punkt in TT als Projektion ergibt, gehören zu jedem Punkte in TT unendlich viele Punkte des Kaumes, deren Projektionen in jenen Punkt fallen, nämlich alle Punkte des durch ihn hindurchgehenden Projektionsstrahles. Nur wenn der abzubildende Punkt in das Zentrum 0 fällt, wird das Projektionsverfahren unbestimmt

TT

Fig. 1.

Aber der Punkt Pc ist auch die Projektion der ganzen unendlichen Geraden, welche durch 0 und Pc hindurchgelegt werden kann, sowie die Projektion einer beliebigen Strecke P Q, Q R, ... derselben. Denn verbindet man jeden Punkt der unendlichen Geraden oder einer in ihr gelegenen Strecke mit dem Projektionszentrum 0, so fallen alle Projektionsstrahlen in diese Gerade und schneiden folglich die Projektionsebene TT sämtlich in dem Punkte Pc.

4. Soll (Fig. 2) eine Gerade <7, welche nicht durch das Projektionszentrum geht, projiziert werden, so liegen

die Projektionsstrahlen aller Punkte von g in der durch die Gerade g und den Punkt 0 bestimmten Ebene, welche die projizierende Ebene T" der Geraden g genannt wird. Folglich liegen die Projektionen aller Punkte von g auf der Schnittgeraden gc dieser projizierenden Ebene T mit der Projektionsebene TT, und mithin ist die Projektion einer nicht durch das Projektionszentrum gehenden Geraden g wieder «ine Gerade ge.

=f

NM

|u-\\

Fig. 2.

In der gleichen Weise wie in § 3 erkennt man aber, daß auch jede andere Gerade, welche in der projizierenden Ebene T der Geraden g liegt, dieselbe Gerade gc in TT zur Projektion hat, ja daß sogar jedes in der Ebene T gelegene ebene Gebilde (ebene Kurve k oder begrenztes Ebenenstück) die Gerade gc bzw. ein Stück von gc zur Projektion besitzt. Während also eine gegebene Gerade ihre Projektion eindeutig bestimmt, gehören zu einer in der Projektionsebene gegebenen Geraden unendlich viele ebene Gebilde, deren Projektion sie ist.

Der Schnittpunkt G der Geraden g und der Projektionsebene TT fällt nach dem Früheren mit seiner Projektion zusammen, liegt also auch auf g- und heißt der in TT gelegene Spurpunkt der Geraden g.

IT

k.

Gr,

Br'

~Ä.

Fig. 3.

5. Die Projektion einer ebenen Kurve, deren Ebene nicht durch das Projektionszentrum geht, oder einer Raumkurve (auch doppelt gekrümmte Kurve genannt, d. i. eine Kurve, deren Punkte nicht sämtlich in derselben Ebene liegen) ist eine ebene Kurve. Ist k (Fig. 3) eine solche Kurve, so liegen ihre sämtlichen Projektionsstrahlen OA, OB, ... nicht mehr in einer Ebene, sondern bilden die Oberfläche eines Kegels, des projizierenden Kegels oder Strahlenkegels, dessen Spitze das Projektionszentrum 0 ist. Die von der Projektionsebene TT ausgeschnittene ebene Kurve ke ist die Projektion der Kurve k.

6. Die Projektion eines beliebigen räumlichen Gebildes endlich setzt sich zusammen aus den Projektionen aller Punkte, ebenen und krummen Linien, welche das gegebene Gebilde enthält. Die von dem Projektionszentrum 0 nach allen Punkten des Gebildes gezogenen Strahlen bilden ein Strahlenbündel, dessen Mittelpunkt das Projektionszentrum 0 ist. Als Beispiel diene die Projektion einer dreiseitigen Pyramide ABCD

v\

Fig. 4.

in der Figur 4, welche zugleich den Fall veranschaulicht, daß das Projektionszentrum zwischen dem Gebilde und der Projektionsebene liegt. Die vier Seitenflächen der Pyramide projizieren sich auf TT in die vier Dreiecke ACBC Cc, ACBCDC, Ac GCDC, Bc CcDc.

Die Projektion eines räumlichen Gebildes ist also eindeutig bestimmt, sobald das Projektionszentrum und die Projektionsebene gegeben sind. Da aber, wie in § 3 ausführlich gezeigt ist, jeder Punkt Ac der Projektionsebene die Projektion von den unendlich vielen Punkten des durch ihn hindurchgehenden Projektionsstrahles, sogar die Projektion jedes Stückes des nach beiden Seiten in das Unendliche verlängerten Strahles ist, so erkennt man, daß durch jeden Punkt der Projektionsebene nur der durch ihn gehende Projektionsstrahl bestimmt wird. Hieraus folgt unmittelbar weiter, daß eine beliebige Figur in der Projektionsebene nicht die Projektion eines einzigen, sondern unendlich vieler räumlichen Gebilde ist. (Ygl. § 4 und Figur 2, wo dieser Umstand für die Gerade gc ausführlich dargelegt ist.)

7. Für ein in dem Projektionszentrum 0 befindliches Auge, welches ein räumliches Gebilde, z. B. die dreiseitige Pyramide der Figur 4, betrachtet, fallen die von ihm nach den Punkten der Pyramide gehenden Sehstrahlen mit den oben erwähnten Projektionsstrahlen zusammen. Denkt man sich noch die Projektionsebene durchsichtig, so fällt für das in 0 befindliche Auge die Projektion AcBcCcDc scheinbar mit der dreiseitigen Pyramide ABGD zusammen und macht auf dasselbe den gleichen Eindruck wie die Pyramide selbst. Infolgedessen ist die Projektion eines räumlichen Gebildes auf eine Ebene eine Abbildung desselben, und man nennt daher die Projektionsebene auch Bildebene.

Die verschiedenen Arten der Projektion.

8. Das Projektionszentrum kann in jedem beliebigen Punkte des Baumes außerhalb der Projektionsebene angenommen werden. Je nachdem nun das Projektionszentrum in endlicher oder unendlich großer Entfernung

von der Projektionsebene liegt, nennt inan die Projektion Zentralprojektion (Perspektive) oder Parallelprojektion. Liegt nämlich das Projektionszentrum unendlich weit, d. h. ist sfdn Abstand von der Projektionsebene größer als jede noch so große endliche Strecke, so schneiden sich je zwei beliebige Projektionsstrahlen ebenfalls erst in unendlich großer Entfernung von der Projektionsebene, sind also und folglich alle Projektionsstrahlen einander parallel.

Die Parallelprojektion wird speziell als senkrechte (orthogonale) Projektion bezeichnet, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Projektionsebene stehen. Treffen die Projektionsstrahlen unter irgend einem anderen, als einem rechten Winkel auf die Projektionsebene auf, so nennt man die Projektion schiefe Projektion.

Die Zentralprojektion ist von besonderer Wichtigkeit für die Malerei, und ihre Ausbildung ist nicht zum wenigsten verschiedenen der größten Meister der Renaissance (z. B. Al brecht Dürer) zu danken. Die Parallelprojektion und vornehmlich die orthogonale Projektion ist für die Technik und Baukunst das unentbehrlichste Hilfsmittel. Dem Bedürfnisse der letzteren verdankt sie ihren Ursprung und zum Teil ihre Fortentwickelung.

Die Parallel projektion ist eigentlich nur ein spezieller Fall der Zentralprojektion. Durch den Umstand aber, daß bei der ersteren alle Projektionsstrahlen einander parallel sind, gestalten sich ilire Konstruktionen weit einfacher als die der Zentral projektion. Deshalb ist es üblich geworden, die darstellende Geometrie mit der Parallel projektion zu beginnen.

Diesem Brauche folgend, ist das vorliegende Bändchen ausschließlich der Parallelprojektion ge-

H s. ii 6 ti e r. Darstellende Geometrie I.

widmet, und zwar mit Ausnahme der beiden ersten Abschnitte der orthogonalen Parallelprojektion. In dem ersten Abschnitte wird die Perspektive Affinität besprochen, welche für die Parallelprojektion von grundlegender Bedeutung ist; der zweite Abschnitt behandelt die schiefe Projektion. Da dieselbe anschauliche Skizzen von verwickelteren räumlichen Verhältnissen leicht her-zustellen gestattet, so ist es za .'eckmäßig, sie vor der orthogonalen Projektion zu besprechen, um sie dann für kompliziertere Aufgaben der letzteren verwerten zu können. Die beiden letzten Abschnitte sind der orthogonalen Projektion auf zwei zueinander senkrechte Projektionsebenen gewidmet. Und zwar enthält der dritte Abschnitt die grundlegenden Betrachtungen und Konstruktionen, deren man sich bei allen Aufgaben und Anwendungen der darstellenden Geometrie fortwährend zu bedienen hat; in dem letzten Abschnitte sind die ebenflächigen Gebilde ausführlich behandelt.

% In den folgenden Bändchen werden zunächst aus der Definition der Kegelschnitte als Zentralprojektionen des Kreises ihre wesentlichsten Eigenschaften abgeleitet, damit dieselben bei der Behandlung der einfacheren krummen Flächen bekannt sind. Im Anschlüsse hieran werden diese FJächen selbst in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen dargestellt und die Schattenkonstruktionen behandelt. Eine kurze Darstellung der übrigen Zweige der darstellenden Geometrie, vornehmlich der Perspektive, beschließt das Werk.

I. Abschnitt.

Parallelprojektionen ebener Gebilde und Affinität.

ParallelpInjektionen von Strecken.

9. Die Projektionsebene sei wieder mit TT bezeichnet, und p sei eine beliebige Gerade, welche die Richtung der ProjektionsstraMen angibt. Dann ist die Projektion einer Geraden g im allgemeinen wieder eine Gerade gs ²); nur wenn g parallel der Richtung der projizierenden Strahlen ist, reduziert sich ihre Projektion auf einen Punkt (§§ 3 und 4). Bezeichnet G (Fig. 5) den Spurpunkt (§ 4) der Geraden g, und sind A, B zwei Punkte auf <7, so liegen ihre Projektionen At, Bs auf gs, und es sind die Dreiecke A OAs und BGB,} einander ähnlich. Folglich verhält sich GA:AB = GAS:ASBS,

d. h. zwei Strecken einer Geraden verhalten sich wüe ihre Projektionen.

Ist g der Projektionsebene parallel, so fällt der Spurpunkt G in das Unendliche und es ist AB parallel und gleich ASBS; folglich: die Projektion einer Strecke ist ihr parallel und gleich, wenn die Strecke der Projektionsebene parallel ist.

10. Sind zwei Gerade g und h parallel, so sind auch ihre Projektionen gs und hs parallel, da die projizierenden Ebenen beider Geraden der Richtung p und also einander parallel sind.

Dj

Cj

Bj

/s

TT,

Fig. 5.

Ist noch (Fig. 5) H der Spurpunkt von h in TT, und faßt man zwei in g und h gelegene Strecken von beliebigen Längen, AB und CD ins Auge, so bestehen nach dem vorstehenden die Proportionen

G A: AB = OAs:AaBs,

HC: CD = IICa:CsDs

und da auch die Dreiecke AGAs und OHCt einander ähnlich sind, so verhält sich

G A : HC = GA,- HC,

A B: CD = As B₃Cs Ds,

und folglich

d. h. parallele Strecken verhalten sich wie ihre Projektionen.

Parallelprojektion einer ebenen Figur; Affinität.

11. Projiziert man eine in einer Ebene E gelegene Figur, z. B. das Dreieck ABC (Fig. 6) durch parallele

TT

'e

Fig. 6.

Strahlen auf die Ebene TT, so erhält man nach dem Obigen wieder ein Dreieck ASBSCS, wenn die Projektionsstrahlen — wie vorausgesetzt werden soll — nicht der Ebene E parallel sind. Jede Seite und ihre Projektion müssen sich in der Spur der Ebene E. d. i. in ihrer Schnittgeraden e mit TT schneiden; z. B.

AB und ASBS schneiden sich in dem Punkte Q auf e. Umgekehrt aber kann man offenbar auch das Dreieck ABG als Projektion des Dreiecks ASBSGS ansehen; jedes der beiden Dreiecke ist also die Parallelprojektion des anderen. Man erkennt hieraus: jedem Punkte und jeder Geraden der einen Ebene ist bzw. ein Punkt und eine Gerade der anderen Ebene so zugeordnet, daß sie Parallelprojektionen voneinander sind. Derartige einander zugeordnete Punkte oder Geraden sollen kurz entsprechende genannt werden. Jeder Figur der einen Ebene entspricht dann also eine bestimmte Figur der anderen Ebene; jeder Punkt der Schnittgeraden entspricht sich selbst.

Zwei ebene Figuren, von denen jede die Parallelprojektion der anderen ist, nennt man perspektiv-affin; die zwischen ihnen bestehende geometrische Abhängigkeit oder, wie man sagt, geometrische Verwandtschaft heißt Perspektive Affinität oder Affinität bei perspektiver Lage. Die charakteristischen Eigenschaften zweier perspektivaffinen Figuren sind:

1)    Alle Verbindungslinien entsprechender Punkte sind (als Projektionsstrahlen) einander parallel; sie heißen auch Affinitätsstrahlen.

2)    Die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Geraden liegen in einer Geraden, der Schnittlinie der Ebenen beider Figuren, welche Affinitätsachse genannt wird.

Ist im besonderen eine Gerade der Affinitätsachse parallel, so ist es auch die ihr entsprechende Gerade. Sind zwei Strecken einander parallel, so sind auch die ihnen entsprechenden einander parallel und haben dasselbe Streckenverhältnis (§ 10).

Zwei entsprechende Winkel, d. h. zwei Winkel, deren Schenkel entsprechende Geraden sind, haben aber im allgemeinen nicht gleiche Größe.

Wenn zwei Ebenen parallel sind, so ist jede Figur der einen Ebene kongruent ihrer Parallelprojektion auf die andere. Die Kongruenz ist demnach ein spezieller Fall der Affinität. Figur 7a veranschaulicht diesen speziellen Fall.

'V

>3

\ ri

TL

Fig. 7 a

Fig. 7^-

Ebenso sind die entsprechenden Figuren zweier Ebenen E und TT kongruent, wenn die Projektionsstrahlen gegen beide gleich geneigt sind. In diesem Falle (Fig. 7b) stehen nämlich die Projektionsstrahlen auf der Halbierungsebene TT des Neigungswinkels der Ebenen E und TT (und mithin auch auf ihrer Schnittgeraden) senkrecht; folglich sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke AAr Q und As A' Q kongruent, und mithin ist QA= QAS. In analoger Weise folgt RA = RAS. Mithin ist auch A QAR ^ A QASR und folglich < QAR = < QASR, < RQ A < RQAt. Bringt man nun die eine Ebene durch Drehung um die

Schnittlinie zur Deckung mit der, anderen, so fallen entsprechende Punkte und Geraden zusammen, womit die'Behauptung bewiesen ist.

Für entsprechende Figuren der Ebenen E und TT ist in diesem Falle die Ebene TT' Symmetrieebene.

12. Zwei perspektiv-affine Figuren bleiben zueinander perspektiv-affin, wenn die Ebene der einen um die Affinitätsachse in eine beliebige neue Lage gedreht wird.

<T>....

ls

Tr

e.

Gy

Fig. 8.

Beweis. (Fig. 8.) Die Ebene E ist um e in die neue Lage Et gedreht, wodurch die Figur AB . . . in die Lage Ax Bl ... gekommen ist³). Wenn nun der Yoraussetzung entsprechend AB . . . perspektiv-affin zu AaBs ... in TT ist, so verhält sich (§ 9)

GA : AB — OAs: ASBS

und da infolge der Drehung GA = GA ist, so folgt

AB^A₁Bl

GA^: A^B{ = GAg: As Bs .

Mithin sind die Dreiecke Ax GAS und B₁ GBS ähnlich und ähnlich gelegen, und es ist Ax As || IJ, Bs, d. h. die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind parallel. Es sind also auch die Figuren AtBx, . . ., As Bs, Parallelprojektionen voneinander, was zu beweisen war.

Der Satz gilt augenscheinlich noch, wenn die Ebene E in der einen oder anderen Richtung so weit gedreht wird, daß sie mit der Ebene TT zusammenfällt. Man sagt dann, die eine Ebene ist in die andere umgelegt. Folglich erhält man den wichtigen Satz:

Die Parallelprojektion einer ebenen Figur ist zu der in die Projektionsebene umgelegten Figur perspektiv-affin; die Schnittlinie beider Ebenen ist die Affinitätsachse.

Perspektiv-affine Figuren in derselben Ebene.

13. Man nennt umgekehrt zwei in derselben Ebene gelegene Figuren perspektiv-affin, wenn

ljjedemPunkt der einen Figur einPunkt der andern, jeder Geraden eine Gerade entspricht,

2)    alle Verbindungslinien entsprechender Punkte einander parallel sind und

3)    die Schnittpunkte je zweier entsprechenden Geraden in einer Geraden liegen.

Die

Diese Eigenschaften sind mit den in § 11 angeführten Kennzeichen der räumlichen Affinität übereinstimmend, und in der Tat ist die jetzige Definition der Perspektiven Affinität mit der früheren übereinstimmend, wie noch gezeigt werden wird, frühere Definition wird für Figuren derselben Ebene

unbestimmt, da dann die Affinitätsstrahlen selbst in ihr liegen und mithin die Definition der Projektion eines Punktes (§ 2) versagt.

Will man auf Grund der jetzigen Definition zu einer Figur die ihr affine⁴) konstruieren, so kann man die Affinitätsachse und zwei einander affin entsprechende Punkte willkürlich wählen. Dann aber ist zu jedem anderen Punkte der Ebene der affine Punkt eindeutig bestimmt.

'e

Pig. 9.

Sind (Fig. 9) e als Affinitätsachse und A, A₀ als affine Punkte gegeben, so bestimmt die Verbindungslinie dieser beiden Punkte die Richtung der Affinitätsstrahlen. Man findet dann zu einem beliebigen Punkte B den affinen B₀ , indem man die Gerade A B bis zum Schnittpunkte O mit e verlängert, darauf G mit A₀ verbindet und durch B eine Parallele zu AA₀ zieht; der Schnitt^ punkt dieser Parallelen mit G A₀ ist der gesuchte Punkt B₀ . Die Geraden AG, A₀ G sind ebenfalls affin.

so

Dreht man eine der beiden affinen Figuren, z. B. A₀ Bq um e in eine beliebige räumliche Lage Ax Bl, ist wieder AAX || BB₁ (denn GA: GB = GA₀ : GB0 und, da GA₀ = GA₁, GB₀ = GBi ist, auch GA: GB — GA₁ : GBt usw.), d. h. A₁B₁ und AB sind Parallelprojektionen voneinander und die Affinitätsachse ist die Schnittgerade der Ebenen beider Figuren. Damit ist aber gezeigt, daß die beiden Definitionen der Affinität gleichbedeutend sind.

14. Zwei Gerade g und h (Fig. 9) schließen im allgemeinen einen Winkel ein, welcher nicht gleich dem Winkel zwischen ihren affinen Geraden g₀ und h0 ist (§ 11). Dreht man die Geraden g und h um ihren Schnittpunkt A so, daß sie immer denselben Winkel <p einschließen, so gibt es eine Lage, in welcher ihre affinen Geraden denselben Winkel op einschließen.

Aufgabe. Es sollen für zwei affine Punkte A, A₀ die einander entsprechenden rechten Winkel konstruiert werden⁵).

Man zieht durch den Halbierungspunkt der Geraden AA₀ (Fig. 10) zu ihr eine Senkrechte, welche die Affinitätsachse e in dem Punkte M schneidet. Mit MA als Radius beschreibt man um M als Mittelpunkt einen Kreis, welcher auch durch A₀ gehen muß, da

MA — MAq ist. Verbindet man die Schnittpunkte 7?, S des Kreises und der Affinitätsachse mit den Punkten A und A

so sind die Winkel RAS und RA₀S die

gesuchten rechten Winkel.

Fig. 10

Es gibt also nur eine Lösung, ausgenommen den Fall, daß jede der beiden affinen Figuren das Spiegelbild der andern in bezug auf die Affinitätsachse ist, also e die Strecke AA₀ halbiert und senkrecht zu ihr ist; in diesem Falle gibt es unendlich viele Lösungen.

Die Ellipse.

15.    Definition. Ellipse nennt man die zu dem Kreise affine Kurve. Auf Grund dieser Definition sollen jetzt einige Konstruktionen der Ellipse abgeleitet werden.

16.    Die Affinitätsachse e, der Kreis k mit dem Mittelpunkt 0 und der zu 0 affine Punkt O0 sind gegeben (Fig. 11). Es soll die zu k affine Ellipse konstruiert werden.

Man zieht durch 0 einen beliebigen Durchmesser AB, welcher c in P schneidet, und durch P die zu ihm affine Gerade P O₀ . Die Schnittpunkte von P O0 mit den durch A und B parallel zu 0 O₀ gezogenen Affinitätsstrahlen geben die zu A und B affinen Punkte A₀ und B₀ . Da 0A — OB ist, so folgt (§ 9), daß auch O₀A₀ = O₀B₀ ist, d. h. O₀ ist für die Ellipse Mittelpunkt, da in ihm alle Durchmesser A₀B₀, ... halbiert werden. Diese Konstruktion wiederholt man für beliebig

ÄS

H/

7(f

ß)

'E___v*

CL

"W

\\

Fig. 11.

viele Kreisdurchmesser und erhält dadurch ebenso viele Ellipsen punkte, so daß man die Ellipse mit jeder wünschenswerten Genauigkeit zeichnen kann.

Führt man diese Konstruktion für den zu AB senkrechten Kreisdurchmesser CD durch, so erhält man den entsprechenden Durchmesser C₀ D₀ der Ellipse. Zwei Ellipsendurchmesser, welche zwei zueinander senkrechten Kreisdurchmessern entsprechen, nennt man konjugierte Durchmesser.

Sie stehen — im Gegensätze zu den entsprechenden Kreisdurchmessern — im allgemeinen nicht aufeinander senkrecht; wohl aber ist eine andere Eigenschaft der Kreisdurchmesser erhalten geblieben. Zieht man irgend eine parallele Sehne zu einem Kreisdurchmesser, z. B. KL\\ CD, so wird diese von dem zu ihm senkrechten Durchmesser AB im Schnittpunkte J halbiert. Nach § 10 ist die zu KL affine Gerade

und

«oioiKA,

A J. J L —¹ Kq Jq . Jq Lq

folglich

Ko Jo — Jo JJo

da KJ = JL ist. D. h.

Die zu einem Ellipsendurchmesser parallelen Sehnen werden von dem konjugierten Durchmesser halbiert.

Konstruiert man (nach § 14) die beiden affinen rechten Winkel in 0 und O₀ , so erhält man die beiden aufeinander senkrechten Kreisdurchmesser EF und GH, welchen ebenfalls aufeinander senkrechte Ellipsendurchmesser E₀ F₀ und G₀II₀ entsprechen. Diese beiden konjugierten Durchmesser nennt man die Achsen der Ellipse; ihre Endpunkte E₀, F₀ , G₀, //₀ die Scheitel derselben. Da nun die zu einer Achse parallelen Sehnen nach dem Obigen von der anderen Achse halbiert werden, so ist von den beiden Hälften, in welche jede Achse die Ellipse zerschneidet, jede das Spiegelbild der anderen in bezug auf diese Achse. Die Ellipse ist also in bezug auf die beiden Achsen symmetrisch, und es genügt daher, einen Ellipsen quadranten genau zu zeichnen; die übrigen kann man dann durch bloßes Umklappen desselben um die Achsen erhalten.

17. Tangente an den Kreis nennt man jede in seiner Ebene liegende Gerade, welche mit ihm nur einen Punkt seines Umfanges, keinen seines Inneren gemeinsam hat oder — wie man sich ausdrückt — den Kreis in diesem Punkte berührt. Man kann die Tangente auch als Grenzlage einer Sekante auffassen, wenn man nämlich eine Sekante so dreht, daß ihre Schnittpunkte immer näher aneinander rücken, bis sie schließlich zusammenfallen. Deshalb sagt man auch, die Tangente hat mit der Kurve zwei unendlich benachbarte Punkte gemeinsam. Die zu einer Kreistangente affine Gerade kann folglich mit der zu dem Kreise affinen Ellipse auch nur einen Punkt ihres Umfanges, keinen ihres Inneren gemeinsam haben, und man nennt sie daher entsprechend Tangente der Ellipse.

Aus der obigen Definition folgt leicht, daß jede Kreistangente senkrecht zu dem nach ihrem Berührungspunkte gehenden Durchmesser und parallel zu dem auf dem letzteren senkrechten Durchmesser, z. B. die Tangente in A parallel zu CD ist. Mithin ist (§10) die Ellipsentangente, welche den zu A affinen Punkt A₀ zum Berührungspunkte hat, parallel zu C₀D₀. Folglich:

Die Ellipsentangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel dem zu ihm konjugierten Durchmesser.

Die Tangenten in den Scheiteln einer Achse stehen auf ihr senkrecht.

Um eine Tangente an die Ellipse zu ziehen, ohne auf die Eigenschaften konjugierter Durchmesser Bezug zu uehmen und ohne die Ellipse selbst zeichnen zu müssen, verfährt man folgendermaßen. Zu dem Punkte A wird der affine Ellipsenpunkt A₀ bestimmt; man zieht dann die Kreis taugen te in A, verlängert sie bis zum Schnitte T mit der Affinitätsachse e und zieht TA₀ , welche Gerade die gesuchte Ellipsentangente sein muß.

Sollen von einem Punkt U₀ die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so ermittelt man zuerst den zu U₀ affinen Punkt U (nach § 13). Von U aus konstruiert man die beiden Kreistangenten in bekannter Weise (Kreis über 0 U als Durchmesser schneidet den Kreis k in den Berührungspunkten der beiden Tangenten). In der Figur ist nur der eine Berührungspunkt A gezeichnet und nur für die Tangente UA die Konstmktion durchgeführt, um die Figur nicht unübersichtlich zu machen. Die Tangente UA schneidet e in 7¹, und es ist U₀ T dann die affine Ellipsen tan gente, welche man also ziehen kann, ohne den zu A affinen Berührungspunkt A₀ vorher konstruiert zu haben.

An einen Kreis können von einem Punkte zwei

Tangenten, eine oder keine gezogen werden, je nachdem der Punkt außerhalb, auf oder innerhalb der Kreisperipherie liegt. Folglich gilt das gleiche für die Ellipse.

18. Eine Ellipse ist völlig bestimmt durch die Längen zweier beliebigen konjugierten Durchmesser und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

Um diesen Satz zu beweisen, benutzt man die folgenden beiden Sätze über den Kreis.

Satz I: Verbindet man (Fig. 12) die Endpunkte A, B eines Durchmessers mit einem beliebigen Punkte P der Peripherie und halbiert die Strecken, welche von AP und BP (bzw. ihren Verlängerungen über F hinaus) auf beliebigen Parallelen zu den Tangenten in A und B ausgeschnitten w'erden, so ist die Verbindungslinie dieser Ualbierungspunkte die Tangente in P.

Beweis: Ist FG\BEy BJ = JE, FK —KG und verbindet man J und K mit P, so folgt, da die Dreiecke BPE und FPG rechtwinklige sind, daß JP= BJ= JE und KP = FK = KG ist. Die Dreiecke BJP und GKP sind also gleichschenklige und — da ihre Winkel bei B und G gleich sind — ähnliche Dreiecke. Folglich ist JPK eine gerade Linie und zugleich Tangente in P, da JB Tangente in B und JP = JB ist.

Fig. 12.

Satz II: Verbindet man die Punkte F und G in denen eine beliebige Parallele zu den Tangenten in A und B von AP und BP geschnitten wird, mit B und A, so ist ihr Schnittpunkt Q = BF X AG ein Punkt der Peripherie. Beweis: Da AP_L BG und QHA.AB ist, so folgt, daß der Schnittpunkt F von AP und GH der Schnittpunkt der drei Höhen des

Uaußner, Paratf.llonde Geometrie 1

Dreiecks ABO ist. Mithin schneidet BF die Gerade

AO in Q rechtwinklig und muß Q auf dem Kreise über dem Durchmesser AB liegen. QK ist (nach I) die Tangente in Q.

Unterwirft man nun die ganze Figur 12 einer affinen Verwandlung, indem man die Affinitätsachse und zwei einander affin entsprechende Punkte willkürlich annimmt, so geht (nach §§ 16 und 17) der Kreis in eine Ellipse über; jeder einem Punkte

Po

tangenten Ellipsen - Tangenten. Folglich gelten die Sätze I und II un-

der Kreisperipherie entsprechende Punkt muß auf der Ellipse liegen und die Kreiswerden

verändert    für jede

beliebige    Ellipse,

und man    erkennt,

Fig. 18.

daß eine    Ellipse

(Fig. 13)    durch

einen beliebigen Durchmesser A₀B₀, die Richtung der Tangenten    in    seinen    Endpunkten und    einen

Denn um

Punkt    P₀    völlig    bestimmt ist.

zu er-

O₀ und verbindet den ersteren mit B₀, den letzteren mit Aq , dann ist ()o = 5ofoXÄG0' Halbiert man noch F₀ O₀ in K₀,

Ellipsentangente in Q₉. Auf diese Weise kann

irgend einen weiteren Pimkt Q₀ der Ellipse halten, schneidet man A₀ P₀, B₀ P₀ durch eine beliebige Parallele zu der gegebenen Tangentenrichtung in F,

so ist K₀ Q₀ die man

beliebig viele Ellipsenpnnkte bestimmen, was in der Figur noch für den Punkt R₀ durchgeführt ist.

Da der zu A₀ B₀ konjugierte Durchmesser (nach §17) der Dichtung der Tangenten in A₀, B₀ parallel ist, so ist die vorstehende Konstruktion noch anwendbar, wenn A₀B₀ und der zu ihm konjugierte Ellipsendurchmesser der Länge und Lage nach gegeben sind; als Punkt P₀ ist dann einer der Endpunkte dieses konjugierten Durchmessers zu benutzen. Hiermit ist aber der eingangs dieses Paragraphen aufgestellte Satz bewiesen.

19. Zur wirklichen Konstruktion einer Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern ist jedoch das in dem vorigen Paragraphen gegebene Verfahren nicht das bequemste. Dieses erhält man vielmehr, wenn man die Ellipse als affine Figur eines Kreises konstruiert.

Ist die affine Verwandtschaft zwischen einem Kreise k und einer Ellipse in der gleichen Weise wie in § 16 festgelegt, und konstruiert man (Fig. 14) zu dem der Affinitätsachse e parallelen Kreisdurchmesser MN den entsprechenden Ellipsendurchmesser M₀ N₀ , so ist der letztere ebenfalls der Achse e und also auch MN parallel und folglich ist M₀ N₀ = MN. Dem zu der Achse e senkrechten Kleisdurchmesser VW entspricht der zu M₀ N₀ konjugierte Ellipsendurchmesser V₀ W₀.

Die Länge des Durchmessers V₀ W₀ und seine Lage gegen den konjugierten Durchmesser M₀N₀ hängen wesentlich von der Wahl der Affinitätsachse e und des dem Punkte 0 entsprechenden Punktes O₀ ab, welche willkürlich war. Von der getroffenen Wahl hängt somit die Gestalt der zu dem Kreise k affin konstruierten Ellipse ab.

Umgekehrt gibt es zu einer gegebenen Ellipse, nachdem die Affinitätsachse willkürlich angenommen ist, nur einen einzigen Kreis, welcher zu ihr affin ist, und die vorstehenden Bemerkungen lassen leicht seine Konstruktion finden.

Ist die Ellipse (Fig. 14) durch die beiden ihrer Größe und Lage nach gegebenen konjugierten Durchmesser M₀N₀ , VQ W₀ bestimmt, so ziehe man zu dem einen derselben, z. B. M₀ N₀ , eine beliebige Parallele e

AI

ix-'

Fig. 14

als Affinitätsachse. Diese werde von dem anderen Durchmesser V₀ W₀ in dem Punkte X getroffen, durch welchen man 'eine Senkrechte zu e ziehe. Auf dieser muß der zu V₀ W₀ affine Kreisdurchmesser liegen, während der zu ill₀ JV₀ affine Kreisdurchmesser parallel zu e ist; die Länge der Kreisdurchmesser wird durch V₀ W₀ bedingt. Um die Lage des Kreises zu finden, ziehe man durch O₀ eine Senkrechte zu M₀ N₀ und trage auf ihr den halben Ellipsendurchmesser M₀ N₀ , d. i. O₀ M₀ nach oben oder unten ab, bis Vx , bzw. WL Dann geben die Parallelen V₀ Vx und JV₀ Wt die Richtung der Affinitätsstrahlen und schneiden die durch

X gezogene Senkreclite zu c in den Endpunkten P, 1F des zu F₀ W₀ affinen Kreisdurchmessers; der durch O0 gehende Affinitätsstrahl schneidet also VW in dem Kreismittelpunkte 0.

Da die Affinitätsachse e eine beliebige Parallele zu M₀ N₀ Avar, so läßt sich die Konstruktion durch passende Verfügung über die Lage von e noch erheblich vereinfachen. Z. B. kann man e durch W₀ legen; dann ist die Affinitätsachse gemeinsame Tangente von Kreis und Ellipse und TF₀ der Berührungspunkt beider. Am vorteilhaftesten aber läßt man die Achse e mit M₀ N0 zusammenfallen. Hierdurch fallen auch M und M₀ , N und N₀ , 0 und O₀ zusammen, und der Kreis über M₀N₀ als Durchmesser ist der zu der Ellipse affine Kreis. Der zu M₀N₀ senkrechte Kreisdurchmesser VW ist affin zu V₀ W₀, -wodurch die Richtung der Affinitätsstrahlen bestimmt ist.

Natürlich kann mau auch die Affinitätsachse mit V₀ W₀ zusammenfailen lassen und die Ellipse als affine Kurve zu dem Kreise über dem Durchmesser V₀ W0 konstruieren.

So ergibt sich die folgende Konstruktion.

20. Aufgabe. Es soll die Ellipse aus zwei konjugierten Durchmessern AB, CD konstruiert werden (Fig. 15).

Über AB als Durchmesser konstruiert man den Kreis k0⁶) und zieht den zu AB senkrechten Durchmesser C₀ D₀ , welcher dem konjugierten Ellipsendurchmesser CD affin entspricht. CC₀ oder DD₀ gibt die Richtung der Affinitätsstrahlen. Zieht man nun zu

dem Durchmesser C₀ D₀ eine beliebige parallele Sehne, z. B. E₀ F₀ , so muß die entsprechende Ellipsensehne parallel zu CD sein und durch den Schnittpunkt P von E₀ F₀ und der Affinitätsachse A B gehen. Schneidet man diese Ellipsensehne noch mit den durch E₀ und F0 gezogenen Affinitätsstralden, so sind die Schnittpunkte E und F zwei Punkte der gesuchten Ellipse k.

Ea

Co

VC

Fig. 15.

Bezeichnet man die Länge des größeren Halbmessers 0 A mita, die des zu ihm konjugierten kleineren Halbmessers 0 C mit b und beachtet, daß die Dreiecke PEE₀ und OCC₀ einander ähnlich sind, so folgt

PE₀ : PE = 0 C₀: 0 C — a:b) PE=--PE₀,

CL

d. h. jede zu dem Durchmesser CD parallele Ellipsen

sehne ist gleich der im Verhältnis — verkürzten affinen Kreissehne.

Zur Übung konstruiere man dieselbe Ellipse k als affine Kurve zu dem Kreise über dem Durchmesser CD,

indem man die Affinitätsachse jetzt mit CD zusammenfallen läßt.

Um in einem Punkte der Ellipse die Tangente oder von einem außerhalb gelegenen Punkte die beiden Tangenten an sie zu ziehen, benutzt man am bequemsten die affinen Kreistangenten (vgl. §§ 16 und 17) und vornehmlich den Umstand, daß die Kreistangente in E0 und die Ellipsentangente in dem affinen Punkte E die Affinitätsachse AB in demselben Punkte treffen müssen.

21.    Nachdem die Ellipse gezeichnet ist, kann man ihre Achsen mit Hilfe eines konzentrischen, die Ellipse schneidenden Kreises, z. B. des Kreises k₀, bestimmen. Ein solcher Kreis schneidet die Ellipse stets in vier Punkten, welche zu den Achsen symmetrisch liegen. Zieht man nämlich durch den Halbierungspunkt des Kreisbogens A G den Durchmesser KL, so halbiert dieser die dem Kreise und der Ellipse gemeinsame Sehne A G und steht auf ihr senkrecht. Folglich ist KL eine Achse der Ellipse. Die andere Achse MN liegt in dem Kreisdurchmesser, welcher den Kreisbogen BC₀ G halbiert. Die beiden gefundenen Achsen müssen aufeinander senkrecht stehen, wenn die Ellipse genau gezeichnet ist. Man hat daher in diesem Umstande zugleich eine Kontrolle für die Genauigkeit der Zeichnung.

Dies Verfahren hat den Nachteil, daß die Ellipse bereits genau gezeichnet sein muß. In § 24 wird ein sehr einfaches Verfahren gegeben, welches von diesem Nachteil frei ist und die Ellipsenachsen direkt aus zwei konjugierten Durchmessern zu bestimmen gestattet.

22.    Die in § 20 gegebene Eilipsenkonstruktion versagt, wenn die beiden Achsen der Ellipse gegeben sind, denn dann fallen die beiden Richtungen

GC₀ und 0 G (Fig. 15) in eine einzige Eichtung OC₀, damit aber auch E₀E und PE in PE₀ zusammen. In diesem Falle führt jedoch eine Bemerkung des vorigen Paragraphen zu der bequemsten Konstruktion der Ellipse aus ihren Achsen.

(Fig. 16.) Sind AB —2 a, CD = 2b (a> b) die beiden Ellipsenachsen, so konstruiert man um ihren Schnittpunkt 0 mit dem Radius OA = a den Kreis k₀; dann ist die gesuchte Ellipse k affine Kurve zu

ft'.

•' .Okc-

Bll

\fy

D„

Fig. IG.

diesem Kreise und AB die Affinitätsachse. Eine auf AB senkrechte Kreissehne, z. B. E₀F₀, fällt dann mit der Ellipsensehne zusammen, und es müssen die E₀, F0 entsprechenden Ellipsenpunkte E, F auf ihr liegen.

Um E z. B. zu finden, zieht man durch den Punkt Ev in welchem die Gerade OE₀ von dem mit dem Radius OC — b um 0 beschriebenen Kreise /q geschnitten wird, zu AB eine Parallele, welche PE₀ in E schneidet.

Da nämlich A E₀ EEt oo A K₀ P 0 ist, so folgt PE : PE₀ = 0E₁ : OE₀ = b:a

oder

PE = — • PPp

a

wie es nach § 20 der Fall sein muß.

Die Ellipse k ist andererseits auch affin zu dein Kreise k± mit der Affinitätsachse CD. Hierbei entspricht dem Punkte E auf k der Punkt Ex auf kt, woraus in Verbindung mit der Affinität von k und k₀ ebenfalls die vorstehende Ellipsenkonstruktion folgt.

Zur Konstruktion der Tangente in einem Ellipsenpunkte führt hier ebenfalls die Bemerkung am Ende des § 20.

Nach dem pythagoreischen Lehrsatz ist OP² = a²- P El

und folglich

OE² = Ol’² + PE² = a² —

a² - b²

a²

■ PE\.

Wächst PP₀, so nimmt OE ab, d. h. die Halbmesser der Ellipse nehmen von der großen nach der kleinen Halbachse zu stetig ab.

23. Zieht man (Fig. 16) durch einen beliebigen Punkt E der Ellipse SE || OE{), so ist stets SE — OE₀ = a, RE — OEx — b.

Olleitet also die Strecke SE = a mit dem Endpunkte S auf der Achse CD und zugleich mit dem um a — b von S entfernten Punkte R auf der anderen Achse AB entlang, so beschreibt ihr anderer Endpunkt E die Ellipse k.

Macht man andererseits PQ — PR und zieht die Gerade QE, deren Verlängerung die Achse CD in T schneidet, so ist QE — RE — b, ET — OE₀ — a (denn

TE und OE₀ liegen zwischen Parallelen, gegen welche sie, nach entgegengesetzten Seiten, gleich geneigt sind). Läßt man daher die Strecke Q T — a -f b mit ihren Endpunkten auf den Achsen entlang gleiten, so beschreibt der Punkt Ü7, welcher die Strecke QT im Verhältnis a : b teilt, ebenfalls die Ellipse k.

Derartige Konstruktionen, bei welchen die Ellipse durch einen bestimmten Punkt einer Strecke, die mit ihren Endpunkten auf den beiden Achsen entlang gleitet, erzeugt wird, werden Papierstreifenkonstruktionen d$r Ellipse genannt, da man zu ihrer praktischen Ausführung die Kante eines Papierstreifens, auf welchen die drei Punkte in den gegebenen Abständen markiert sind, verwenden kann.

Diese Papierstreifenkonstruktionen der Ellipse gestatten Apparate zu bauen, mit denen man Ellipsen mechanisch zeichnen kann und welche daher als Ellipsenzirkel bezeichnet werden.

24. Die zweite Papierstreifenkonstruktion führt zu einer sehr einfachen Konstruktion zweier konjugierten Durchmesser aus den Ellipsenachsen.

Sind 04 = a, OG —b (Fig. 17) die beiden Halbachsen der Ellipse k und zieht man zwischen ihnen bzw. ihren Verlängerungen die Strecke QT — a b, so ist nach der zweiten Papierstreifenkonstruktion der Punkt E ein Punkt der Ellipse k, wenn QE —b ist. Zu E konstruiert man die entsprechenden Punkte E₀ und Ex der um 0 mit den Kadien a, b konstruierten Kreise k₀, kx; man findet (§ 22) den Punkt E₀ als Schnitte punkt der durch den Punkt E zu der Achse OG parallel gezogenen Geraden mit dem Kreise k₀ und Ex als Schnittpunkt der durch denselben Punkt zu der Achse OA gezogenen Parallelen mit dem Kreise \ .

¹

Gaspard Monge, geh. 10. Mai 1746 in Beaune in dem Departement Cöte d’or, gest. 28. Juli 1818 in Paris. M. wirkte von 1765—1788 als Lehrer an der Militärschule in Mezieres, während welcher Zeit er die wissenschaftliche Grundlage der darstellenden Geometrie schuf. Öffentlich gelehrt aber hat M. die darstellende Geometrie erst an der Ecole normale und dann an der Ecole polytechnique vom Jahre 1794 ab. Betr. der geschichtlichen Entwickelung vgh G. Monge, Darstellende Geometrie (Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Bd. 117) Anmerkungen, S. 177—198.

²

Die frühere Bezeichnung gc für die Projektion einer Geraden g, Pc für die eines Punktes P wird von jetzt an nur noch für Zentralprojektionen verwendet.

³

Es sind mir die Geraden A B, ASBS, Ax Bx gezeichnet, um die Figur nicht unübersichtlich zu machen.

⁴

Statt „perspektiv-affin“ wird im folgenden kurz nur „affin“ gesagt, da die allgemeine Affinität in diesem Buche nicht betrachtet wird.

⁵

Die Konstruktion für den allgemeinen Fall, daß die affinen Winkel gleich einem beliebig gegebenen Winkel q> sind, findet sich z. B. in Rohn-Papperitz, Lehrbuch der darstellenden Geometrie Bd. 1, S. 15.

⁶

Da im folgenden stets Elemente der Ellipse gegeben sind, so ist fortan der Index 0 an die Krciselemente angehängt.

Diese beiden Punkte E₀ und E₁ müssen mit 0 in gerader Linie liegen. Zieht man ferner durch. E₀ eine Parallele zu OA und durch Ex eine Parallele zu OG, so entsteht das Rechteck EE₀GEX, dessen Diagonalen sich in II halbieren; folglich ist G T= Q E=b, 0 E₀ = Q G = ET — a. Errichtet man noch in dem Punkte 0 Lote auf den Geraden OE₀ und OG, von denen das erstere die Kreise k₀, kt in den Punkten F₀, Fx schneidet, und zieht durch den Punkt F₀ die Parallele

fr/

Fig. 17.

zu der Achse OG bis zu ihrem Schnittpunkte F mit dem zweiten Lote, so ist AE₀GO^kAF₀FO (denn es ist OE₀ = OF₀ = a, <£; GOE₀ = < FOF₀ ,^GE₀O = <£ FF₀ 0), und folglich GE₀ = FF₀ .

Verbindet man jetzt noch die Punkte F uncl Fx miteinander, so folgt weiter AE₀ GE₁^AF₀FF₁ (denn es ist GE₀ = FF₀ , Ex E₀ = Fx F₀ = a — b, <$: GE₀ 0 = < FFq 0); mithin ist < F₀ FFX = <i?₀ GEt = 9U°. Da nun F₀F\\OC gezogen war, so ist Fx i^H OA und mithin der Punkt F der dem Punkte F₀ des Kreises k0 entsprechende Punkt der Ellipse k (§ 22). Die beiden Ellipsenhalbmesser OE und OF sind also konjugiert, da sie den aufeinander senkrecht stehenden Durchmessern OE₀ und OF₀ des Kreises k₀, zu welchem die Ellipse k affin ist, entsprechen.

Hieraus ergibt sich umgekehrt die folgende Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus zwei

konjugierten Durchmessern OE und OF (Fig. 18). Man errichtet in 0 ein Lot auf OF /trägt auf ihm dio Länge OG = OF ah und verbindet G mit E. Dann be-

F<

AK

0\

Fig. 18,

schreibt man über E G als Durchmesser einen Kreis, der auf der Verbindungslinie seines Mittelpunktes II mit 0 die Längen der gesuchten Achsen OE₀ — a^OEx = b abschneidet. Ein zweiter Kreis um TI durch den Punkt 0 schneidet die Verlängerungen von E G .in den Punkten Q und T⁷, deren Verbindungslinien mit 0 die Richtungen der Achsen ergeben. Die Kreise um 0 mit den Halbmessern OE₀ und OE₁ bestimmen dann die Scheitel A und G der Ellipsenachsen. — Da auch QG = a, GT = b und E₁ E || 0 Q, EE₀ \\OT ist, so braucht man zur Lösung der gestellten Aufgabe nur einen der beiden konzentrischen Kreise um II] die Benutzung beider erscheint aber im Interesse der konstruktiven Genauigkeit empfehlenswerter.

Verlängert man (Fig. 17) die Strecke OE₀ um die Strecke E₀ E₂ = b und verbindet den Endpunkt E₂ mit ‘ dem Punkte E, so folgt aus der Kongruenz der Dreiecke OExG und E₂ E₀ E, daß EzE\\OG und mithin senkrecht zu OF ist. Die Gerade E₂ E steht also senkrecht auf der Ellipsentangente im Punkte E, da diese letztere der Geraden OF parallel ist (§ 17).

Eine Gerade, welche auf einer Tangente einer Kurve senkrecht steht und durch ihren Berührungspunkt geht, heißt Normale der Kurve. Auf Grund der obigen Bemerkung erhält man, wenn die Achsen der Ellipse bekannt sind, die Normale in einem Punkte E derselben, wenn man den dem Ellipsenhalbmesser OE entsprechenden Kreishalbmesser OE₀ verlängert bis zum Schnitte E₂ mit dem Kreise k₂ , welcher mit dem Radius a-\- b um 0 beschrieben ist. Die Gerade E₉ E ist dann die gesuchte Normale.

25. Will man eine Ellipse möglichst genau zeichnen, so empfiehlt es sich, nicht nur Punkte der Ellipse in genügender Zahl nach einem der angegebenen Verfahren zu bestimmen, sondern auch in ihnen die Tangenten an die Ellipse (nach § 17, 18 oder 20) zu konstruieren Ist die Ellipse durch Angabe der Länge und Lage zweier konjugierten Durchmesser bestimmt, so konstruiere man auch (nach § 24) die beiden Hauptachsen und beachte, daß man, je mehr man sich den Scheiteln der großen Achse nähert, um so mehr Punkte der Ellipse — in immer kleineren Abständen voneinander — bestimmen muß, da in diesen beiden Scheiteln die Ellipse am stärksten gekrümmt ist.

Mit Vorteil benutzt man zum genauen Zeichnen einer Ellipse noch die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten. Unter allen Kreisen, welche in einem Punkte einer Kurve mit ihr die Tangente gemeinsam haben, und deren Mittelpunkte also auf der Normale dieses Kurvenpunktes liegen, gibt es einen, welcher sich der Kurve enger anschmiegt als jeder andere, Dieser Kreis heißt der Krümmungskreis, sein Mittelpunkt der Krümmungsmittelpunkt des zugehörigen Kurvenpunktes

Die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel der Ellipse erhält man durch folgende einfache Konstruktion (Fig. 19). Man zieht in dem einen Scheitel jeder Achse die Tangente, z. B. in B und G. In dem so entstandenen Rechteck OBEG fällt man von dem Schnittpunkte E der Tangenten das Lot auf die beide Scheitel verbindende Diagonale BC. Dieses Lot schneidet die große Achse AB in dem Krümmungsmittelpunkte Mn des Scheitels B und die kleine Achse CD in dem

Fig. 19.

Krümmungsmittelpunkte Np des Scheitels C\ MbB und NCG sind die Radien der zugehörigen Krümmungskreise kB und kc. Die Figur 19 läßt deutlich das enge Anschmiegen der Krümmungskreise an die Ellipse erkennen. Es ist zu beachten, daß die Krümmungskreise kA, kB in den Scheiteln A, B der großen Achse ganz im Innern der Ellipse k liegen, daß aber umgekehrt die Krümmungskreise kc, kD in den Scheiteln (7, D der kleinen Achse die Ellipse k einschließen.

Die Begründung dieser Konstruktion, welche — wie ausdrücklich hervorgehoben sei — nur für die Scheitelpunkte der Ellipse gilt, ist in dem Y. Abschnitte des zweiten Bändchens zu finden.

Die Projektionsstrahlen des Kreises

26. Dreht man in Figur 11 eine der beiden Kurven, die Ellipse oder den Kreis, um die Affinitätsachse e aus der Ebene der anderen heraus in eine beliebige räumliche Lage, so ist dann jede der beiden Kurven die Parallelprojektion der anderen (nach § 13). Mit dem Winkel, welchen die Ebenen beider Kurven einschließen, ändert sich die Richtung der Projektionsstrahlen. Folglich ist die Parallelprojektion eines Kreises auf eine beliebige andere Ebene eine Ellipse; die Schnitt gerade beider Ebenen ist die Affinitätsachse, bilden den Mantel eines Kreiszylinders, der ein gerader oder schiefer ist, je nachdem die Projektionsstrahlen auf der Kreisebene senkrecht stehen oder nicht. Man kann daher den vorstehenden Satz auch in der Fassung aussprechen: Jeder Kreiszylinder wird von einer beliebigen Ebene im allgemeinen in einer Ellipse geschnitten. Zwei parallele Ebenen schneiden (nach § 11, S. 23) einen Kreiszylinder in kongruenten Ellipsen.

Schneidet man einen Kreiszylinder durch zwei beliebige Ebenen, welche ihn in Ellipsen schneiden, so kann man auch jede Ellipse als Parallel projektion der andern ansehn. Legt man die Ebene der einen Ellipse dann in die der anderen um, so folgt, daß bei jeder affinen Verwandlung aus einer Ellipse stets wieder eine Ellipse entsteht; hierbei ist der Kreis als ein spezieller Fall der Ellipse (a = 6) anzusehen.

Dreht man in Figur 16 den Kreis kb um AB, bis er mit der Ellipse einen spitzen Winkel e einschließt, welcher

— bestimmt ist, so erscheint die Ellipse k

durch cos e —

als senkrechte Projektion des Kreises k₀ . — Dreht man dagegen den Kreis kL um CD, bis er mit der Ellipse den gleichen Winkel e einschließt, so erscheint der

Kreis als senkrechte Projektion der Ellipse. Die Projektionsstrahlen bilden die Mantellinien eines geraden Kreiskegels und sind gegen die Ellipsenebene unter dem Winkel o = 90° — e geneigt.

27. Sclmeidet man einen geraden Kreiszylinder (Figur 20) vom Radius b durch eine unter dem Winkel o gegen die Zylinderachse (Schnittpunkt 0) und die Mantellinien geneigte Ebene E, so ist also die Schnittkurve

R‘

i,-

/■

—+•

7t,

X\

___Y    eine Ellipse k, deren Mittel-

$    ¹ punkt 0 ist, da eine durch 0

~~ i    J senkrecht zur Zylinderachse

Ssf \

gelegte Ebene <1> Symmetrieebene für die ganze Figur ist. Die Schnittgerade dieser Symmetrieebene mit E gibt die kleine Achse von der Länge 2b, während eine durch die Zylinderachse senkrecht zu E gelegte Kbene lF die Ebene E in der großen Ellipsenachse

Fig. 20.

A B — 2 a schneidet Man erhält OA — OB — a —

sino

Man konstruiert nun die beiden dem Zylinder einbeschriebenen Kugeln vom Radius b, welche die Schnittebene E in zwei Punkten Fx und F₂ berühren. Da die Ebene T' durch die große Achse AB der Ellipse und die Zylinderachse Symmetrieebene¹) für den Zylinder, die Schnittellipse und die beiden Berührungskugeln ist, so müssen die Punkte F₁ und F2 auf der großen Achse AB liegen und zwar, wie aus der Symmetrie der ganzen Figur in bezug auf die Ebene <D folgt, muß OFx = OF₂, also auch AFX = BF2 sein. Der Zylindermantel berührt die Kugeln längs der größten Kreise kx und k₂ (vgl. § 40, 1. Absatz); jede Mantellinie ist Tangente an beide Kugeln. Man verbindet nun einen beliebigen Punkt P der Schnittellipse k mit den Punkten Fx, F₂ und zieht die durch ihn gehende Mantellinie Px P₂ von dem Berührungskreise kx der einen Kugel bis zu dem der anderen, k₂. Da aber, wie in der Stereometrie gezeigt wird, alle von einem Punkt an eine Kugel gezogenen Tangenten gleiche Länge haben, so ist PFX = PPX und PF₂ = PP₂ , folglich

PFX + PF₂ = PtP+ PP₂ = PXP₂.

Und da alle Mantellinien zwischen kx und k₂ die gleiche Länge haben, so ist PXP₂ konstant. Läßt man P mit A zusammenfallen, so ist demnach, da AF₂ = AFX + Fx F₂ = FXF₂ + F₂B = FXB

ist,

Px P₂ = AXA₂ = AFX + AF₂ = AFX + FXB = AB = 2a und folglich

PFX + PF₂ = 2a.

Die Ellipse ist daher auch der geometrische Ort aller Punkte, für welche die Summe ihrer Abstände von zwei festen Punkten — den Brennpunkten — konstant ist. Durch diese Eigenschaft wird gewöhnlich die Ellipse definiert.

Verbindet man (Fig. 21) einen Scheitel der kleinen Achse, z. B. C mit den beiden Brennpunkten Fx, F₂, so folgt, da CFX + CF — 2a ist, aus der Kongruenz der

Fig. 21.

Dreiecke COFx und COF₂, daß CFX — Ci₂ = a ist. Daher ist der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkte OFx = OF₂ — y«² — b².

Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve.

28. Soll zu einer beliebigen Kurve k die affine k0 konstruiert werden, so ermittelt man zu jedem Punkte P der gegebenen Kurve k den ihm entsprechenden, wobei ein Paar entsprechender Punkte A, A# und die Affinitätsachse e willkürlich gewählt werden können.

Konstruktion der zu einer beliebigen Kurve affinen Kurve. 51

Das in § 13 angegebene Verfahren modifiziert man zweckmäßig dahin, daß man ARA_e zieht und R mit A0 verbindet (Fig. 22). Um dann den einem beliebigen Punkte P entsprechenden Punkt P₀ zu finden, zieht man

Fig. 22.

PSA.e, durch S eine Parallele zu A₀R und schneidet diese mit der durch P gezogenen Parallelen zu AA^; der Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt P₀. Berührt ein Lot QT die Kurve k in Q, so muß die ihm entsprechende Gerade Q₀T die Kurve k₀ in Q₀ berühren.

II. Abschnitt.

Schiefe Projektion räumlicher Gebilde.

Bestimmung der Richtung der Projektionsstralilen.

29. Die Strecke CD (Fig. 23), deren Endpunkt D in der Projektionsebenen liegt, werde durch Projektionsstrahlen, parallel der durch den Pfeil p gegebenen Richtung, in die Strecke GeD projiziert Die Länge

-•=Tt

t¹

//

//i\\

\\

/.

■/—/

TT

Fig. 2a

und Richtung dieser Projektion hängen von der Richtung der projizierenden Strahlen ab und ändern sich mit dieser. Ändert man zunächst die Richtung der pro-

Bestimmung der Richtung der Projektionsstrahlen. 53

jizierenden Strah’en so, daß sie stets in der projizierenden Ebene CDC» liegen, so fällt die Projektion zwar immer in die Schnittgerade CSD dieser projizierenden Ebene und der Projektionsebene, aber die Länge der Projektion ändert sich; für die Richtung p¹ z. B. ergibt sich die Strecke Cg D als Projektion von CD. Wenn man aber die Richtung der Projektionsstrahlen sich so ändern läßt, daß auch die projizierende Ebene der Geraden CD ihre Lage ändert, sich also um CD dreht, so dreht sich auch die Projektion yon CD auf die Ebene TT um D; für die Projektionsstrahlenrichtung pu erhält man z. B. D als Projektion von CD, für die Richtungen pHI, pIV die Projektionen C¹/¹ D, C¹/ D, welche mit den Richtungen Cs D bzw. C¹/0 Winkel von 180° einschließen. Durch geeignete Wahl der Richtung der Projektionsstrahlen kann man jede von dem Punkte D ausgehende Strecke von beliebiger Länge und Richtung als Projektion von CD erhalten.

Umgekehrt kann man die Richtung der Projektionsstrahlen dadurch festlegen, daß man eine von D ausgehende Strecke von willkürlich gewählter Richtung und Länge als Projektion von CD angibt. Setzt man z. B. fest, daß CSD die Projektion von CD sei, so gibt die Verbindungslinie der nicht zusammenfallenden Endpunkte C und Ct die Richtung der Projektionsstrahlen.

30. Will man auf diese Weise die Richtung der Projektionsstrahlen angeben, so würde es im allgemeinen nicht zweckmäßig sein, die Projektion einer Strecke mit beliebigem Neigungswinkel gegen die Projektionsebene als Bestimmungsstück zu benutzen. Es empfiehlt sich vielmehr, hierzu eine senkrecht auf der Projektionsebene TT stehende Strecke, z. B. OB nebst ihrer Projektion OB,

zu wählen (Eig. 23). In dem rechtwinkligen Dreiecke BOBs gibt dann BBS 0 den (stets spitzen) Neigungswinkel o der Projektionsstralilen gegen die Ebene TT, und es ist

coto = v (0 < o < 90°).

OBs

OB

v wird gewöhnlich als das Yerkürzungsverhältnis bezeichnet, da v fast immer nur kleiner als 1 oder höchstens gleich 1 gewählt wird. Um noch die Richtung leicht angeben zu können, zieht man durch 0 eine beliebige Gerade OA in TT als Grundrichtung und mißt den Winkel <5, welchen OBs mit ihr einscliließt. Damit die Angaben über die Richtung der Projektionsstrahlen eindeutig sind, sollen folgende Bestimmungen gelten:

Fig. 24.

Die Projektionsebene TT ist die vertikal gestellte Zeichenebene. Durch einen beliebigen Punkt 0 derselben (Fig. 24)²) zieht man nach rechts (für den vor TT stehenden Beschauer) eine horizontale Gerade OA. Die gegen OA unter dem Winkel <3 gezogene beliebig lange Strecke OB, soll die Projektion des im Punkte 0 senkrecht zu TT nach vorn errichteten Lotes OB sein; dabei soll der Winkel <5 von OA aus nach OB, hin im Sinne des Uhrzeigers (Pfeilrichtung in der Figur) gemessen werden.

Durch Angabe des Winkels <5 und des Verkürzungsverhältnisses v ist die Richtung der Projektionsstrahlen völlig bestimmt. Man hat nur unter dem Winkel d gegen OA eine beliebig lange Strecke OB, zu ziehen und auf TT nach vorn das Lot OB = v • OB, zu errichten; die Gerade BB, gibt dann die Richtung der Projektionsstrahlen.

In der Figur 24 ist noch 0 C _L 0 A gezogen und OB, — OA — OG gemacht, während ö = 135° gewählt ist. Nimmt man noch v = 1 an, so ist OB = OBs, d. h. die Projektionsstrahlen sind unter 45° gegen TT geneigt. OA, OBs, OG können demnach betrachtet werden als die Projektionen dreier aufeinander senkrechten, gleich langen Strecken, von denen zwei der Ebene TT parallel sind und die dritte zu ihr senkrecht steht (vgl. die Anmerkung auf S. 59).

Schiefe Projektion eines Würfels; Bemerkung über das Ausziehen der Linien.

31. Der Würfel liege mit einer Seitenfläche OADG so in der Projektionsebene TT, daß die eine Kante OA horizontal, die andere OG vertikal gerichtet ist. Die Richtung der Projektionsstrahlen ist durch die Größen <5 und v gegeben.

Bei dieser Lage projiziert sich (Fig. 25) die gegenüberliegende Seitenfläche BEGF ebenfalls in un-

veränderter Gestalt und Größe, da dieselbe zu TT parallel ist. Es kommt demnach nur darauf an, einen nicht in TT liegenden Eckpunkt, z. B. den Eckpunkt B projizieren. Da alle Würfelkanten gleiche Länge haben, und die Kante OB J_ TT ist, so erhält man die Projektion B, von B, indem man von 0 aus die

zu

c.

a.

■y

JA

..........7

0-

PA

Jh.......b*

e.

Fig. 25 a ~ f •

man

Strecke OBs — v • OB — v • 0A unter dem gegebener Winkel <5 gegen OA zieht. Durch Bs zieht man dann Parallelen zu OA, OC und verbindet, nachdem das Quadrat BSES GSFS gezeichnet hat, noch Es, Os, Fs bzw. mit A, D, G. Diese drei Geraden sind parallel der Strecke OBs; alle vier Geraden sind die Projektionen der auf TT senkrechten Würfelkanten.

Die Figuren 25 a — f sind die Parallelprojektionen desselben Würfels für verschiedene Annahmen über d und v, und zwar ist

Figur

135°    135° 45° 150° 150° 330°

u = cota

V. 7

7t V;

also a

45°    63° 26'    45°    63° 26'

Verfolgt man die Projektionsstrahlen stets von vom nach hinten, so gehen dieselben unter dem betreffenden Winkel o gegen TT geneigt, in den Fällen a, b, d, e von rechts oben nach links unten, in dem Falle c von links oben nach rechts unten und in dem Falle f von links unten nach rechts oben.

32. Betrachtet man den Würfel in der Richtung der Projektionsstrahlen, so werden gewisse seiner Kanten durch vor ihnen liegende Seitenflächen, welche sämtlich als undurchsichtig gedacht werden, verdeckt. Die Projektionen dieser nicht sichtbaren Linien sind in den Figuren punktiert, während die der sichtbaren Linien voll ausgezogen sind. Durch diese Unterscheidungen zwischen sichtbaren und unsichtbaren Linien gewinnt das Bild bedeutend an Anschaulichkeit. Alle Hilfslinien, welche nur zu konstruktiven Zwecken dienen, werden dünn gestrichelt oder strichpunktiert.

Diese Festsetzungen sind in allen bisherigen Figuren bereits beachtet und werden auch in der Folge für alle Linien streng innegehalten werden.

Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion.

33. Die Vorteile der schiefen Projektion liegen darin, daß alle der Projektionsebene parallelen Figuren in ihrer wahren Gestalt (§§ 9 —11) und alle zur Projektionsebene senkrechten Geraden parallel einer beliebig gewählten Geraden abgebildet werden. Gegenüber der Perspektive hat sie dadurch den Vorteil, daß sich die von ihr gelieferten Abbildungen leicht konstruieren lassen und daß einander parallele Linien auch im Bilde parallel erscheinen. Damit diese Vorteile zur Geltung kommen, stellt man den Gegenstand am besten so auf, daß eine seiner Hauptebenen parallel zu TT ist.

OO

wenn man ein

Diesen Vorzügen steht aber der Nachteil gegenüber, daß die schiefe Projektion eines Gegenstandes nur dann einen annähernd richtigen Eindruck macht, wenn dieselbe in der Richtung der Projektionsstrahlen, also schief zur Bildebene, betrachtet wird. Selbst in dieser Richtung gesehen, würde wegen der parallelen Strahlen der Eindruck nur dann ganz der Wirklichkeit entsprechen, wenn die Projektion aus unendlicher Ferne betrachtet werden könnte. Der Eindruck, den das Bild erzeugt, ist ferner um so fehlerhafter, je größer v gewählt wird, weshalb man v nie größer als 1 nimmt. Man wählt v — 1, wenn man unmittelbar aus der Zeichnung nicht nur die richtigen Längen der zur Projektionsebene parallelen, sondern auch der zu ihr senkrechten Strecken entnehmen will (z. B. im Baufache bei Steinschnitten); dagegen wählt man v erheblich kleiner als 1, z. B. v — möglichst wahrheitsgeti-eues Bild zu erhalten wünscht

Vorteile und Nachteile der schiefen Projektion.

59

also

Es weicht das Bild eines Gegenstandes erheblich von seiner natürlichen Erscheinung ab, wenn v >

U

o ungefähr kleiner als 60⁰ ist. v = 0 gibt die senkrechte Projektion.

Die spezielle Wahl von d ist ziemlich gleichgültig. Nur die Werte 0°, 90°, 180°, 270° sind meistens zu vermeiden, da dann zwei der drei Hauptrichtungen sich in die nämliche Gerade projizieren; z. B. fiele für <5 = 90° die Richtung OBs in die Vertikale OG (Fig. 24, 25). Bei dem Würfel in Figur 25 projizierten sich dann die Seitenfläche OBaG und die ihr parallele in die Seitenkanten OG und AD, wodurch das Bild des Würfels wenig anschaulich wirken würde. Besondere Umstände nur können die Wahl eines dieser vier Werte von <3 wünschenswert machen. Es empfiehlt sich für 6 einen Winkel zu nehmen, welcher sich leicht konstruieren läßt, z. B. 45°, 60°, 135°, 150°. Die Werte ö< 180° entsprechen einem Beschauer, welcher sich in bedeutender Entfernung oberhalb, die seltener und meist nur für spezielle Zwecke (z. B. für Einzelheiten von Gesimsen und dgl.) gebrauchten Werte ö> 180° einem solchen, welcher sich unterhalb des dargestellten Gegenstandes befindet³).

Man vergleiche bezüglich der Ausführungen dieses Paragraphen die sechs Würfelproiektionen Figur 25a—f.

34. Die schiefe Projektion ist demnach besonders geeignet, um von komplizierten stereometrischen Figuren schnell und leicht ein anschauliches Bild zu entwerfen. Aus diesem Grunde benutzt man sie sehr häufig in der Kristallographie zum Zeichnen der Kristalle, wobei

\ genommen zu werden pflegt. 3

v =

Es sollen dabei stets die Werte

In den folgenden Abschnitten wird die schiefe Projektion ausschließlich benutzt, um durch anschauliche Skizzen die gegenseitige Lage räumlicher Gebilde deutlich zu machen. Zunächst sollen für diese Werte die schiefen Projektionen einiger einfachen Körper konstruiert werden.

150° genommen werden, welche

eine bequeme Ausführung aller Konstruktionen gestatten. Auch bei den späteren Skizzen in schiefer Parallelprojektion sind diese Werte stets beibehalten, wenn nicht besondere Gründe für andere Annahmen sprachen⁴).

Schiefe Projektion ebenflächiger Gebilde.

35. Projektion einer Pyramide mit horizontaler Grundfläche.

Die Pyramide, welche vor der Bildebene TT liegen soll, sei gegeben durch ihre Grundfläche ABC DE, den Fußpunkt F und die Länge h ihrer Höhe FS. Damit auch die (willkürlich gewählte) Lage der Pyramide gegen TT bestimmt gegeben ist, denke man sich die Ebene der Grundfläche um ihre ebenfalls gegebene Schnittlinie x mit TT nach unten in diese Ebene umgelegt und die Grundfläche in der Lage A₀B₀ C₀D₀F₀, in welche sie dadurch gekommen ist, gegeben (Fig. 26).

JC

/ - kr'

AJ / V ■

\ !/'

i\/

\!/

■<*

\\

\\ I \\ I

V'

Fig. 26.

Die schiefe Projektion A, von A findet man dann, indem man von A₀ das Lot A₀AX auf die Gerade x fällt, durch den Fußpunkt eine Gerade unter dem Winkel <5 = 150 ⁰ gegen x zieht und auf ihr

xAt — 2' -^0

ab trägt. Beachtet man, daß <£ A₀AXAS = 60°, also

/\ 1 cos -Aq Ax As — —

AxAt

ist, so erkennt man, daß A₀ASA. ASAX ist; man kann daher, was zeichnerisch bequemer ist, As auch als Fußpunkt des von A₀ auf ASAX gefällten Lotes bestimmen*). Auf gleiche Weise findet man die Projektionen der übrigen Eckpunkte der Grundfläche, sowie des Fußpunktes der Pyramidenhöhe.

Die Projektion As Bs Cs Ds Es ist nach den Darlegungen des § 13 affin zu A₀ B₀ G₀ _D₀ E₀ für x als Affinitätsachse. Als Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daher, daß sich entsprechende Geraden auf x schneiden müssen, was in der Figur für zwei Seitenpaare gezeigt ist. Umgekehrt kann man aber auch diesen Umstand benutzen, um die Projektion der Grundfläche zu konstruieren, nachdem man auf die obige Weise die Projektion As eines ihrer Endpunkte A gefunden hat; man verbindet dann As mit dem Schnittpunkte P = A₀ B₀ X x und zieht durch B₀ eine Parallele zu AqA₈, welche die erstere Gerade in Bs schneidet.

Da die Höhe der Pyramide parallel TT ist, so projiziert sie sich unverkürzt. Es ist mitbin nur durch Ft zu x eine Senkrechte FsSs von der Länge h zu ziehen. Durch Verbindung von Ss mit As, . . ., Ea erhält man die gewünschte Projektion der Pyramide.

Man konstruiere zur Übung die schiefe Projektion eines geraden Prismas, dessen Grundfläche horizontal

*) Diese bequemere Konstruktion ist stets anwendbar, wenn <5 = 150°, v =

“ und der Körper vor TT liegt. Deshalb sind auch in § 34 für 9 und v diese Werte gewählt.

hegt. Es ist dabei zu beachten, daß die obere Begrenzungsfläche kongruent der Grundfläche ist.

36. Projektion des regelmäßigen Vierflachs und Achtflachs mit der Kantenlänge a. (Vgl. über Vierflach und Achtflach §§ 101 und 102.)

a) Das Vierflach habe eine horizontal gelegene Seitenfläche, deren Höhe HA in der horizontalen Geraden x der Bildebene TT liege (Fig. 27).

Durch einen beliebigen Punkt II von x zieht man

a.

unter 150° gegen x die Strecken BSH — HC. =

iv

x.

34

i/

Fig. 2a

Fig. 27.

Nachdem noch die Höhe =

— aj einer Seitenfläche mit

Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks BSCSL (BSL — a) konstruiert ist, macht man HA gleich dieser Höhe CSL und

teilt HA durch den Punkt 0, so daß HO — — OA ist.

u

Senkrecht über 0, als dem Mittelpunkte der Grundfläche, liegt der vierte Eckpunkt D, welchen man leicht erhält, da AD — a ist und in TT liegt. Auch ist HD = IIA.

b) Das Achtflach (Fig. 28) liege mit zwei seiner Diagonalen in TT, und zwar möge die eine in der

Horizontalen x liegen. Die halbe Diagonalenlänge erhält man als Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse a. Auf diese Weise erhält man die vier in TT gelegenen Eckpunkte A, B, E, F. Die dritte Diagonale steht auf den beiden vorigen senkrecht, projiziert sich daher in die unter 150° gegen x durch 0 gezogene Strecke GSDS,

OA ist.

u

wo CsO = ODs =

37. Den auf einer Fläche gelegenen Linienzug, längs dessen die projizierenden Strahlen die Fläche nur berühren, ohne sie zu schneiden, nennt man ihren wahren Umriß und die Projektion desselben ihren scheinbaren Umriß. Die wahre Umrißlinie trennt den (für einen in der Richtung der Projektionsstrahlen blickenden Beschauer) sichtbaren Teil der Oberfläche von dem unsichtbaren. (Siehe Weiteres in § 98.)

Bei den drei bisher dargestellten Körpern sind hiernach die scheinbaren Umrisse: SsEsAsBs bei der Pyramide in Figur 26; ABSCSD bei dem Vierflach in Figur 27 und AE BF bei dem Achtflach in Figur 28.

Schiefe Projektion des geraden Kreiskegels, Kreiszylinders und der Kugel.

38. Projektion des geraden Kreiskegels und Kreiszylinders mit horizontaler Grundfläche.

Der Grundkreis k vom Radius r projiziert sich (§26) in eine Ellipse ks (Fig. 29a-b), von welcher zwei konjugierte Durchmesser sich leicht angeben lassen. Der TT parallele Kreisdurchmesser projiziert sich unverkürzt gleich 2r und liegt horizontal, während der zu ihm senkrechte Kreisdurchmesser sich in den konjugierten Ellipsendurchrnesser projiziert, welcher unter 150° gegen den ersteren geneigt ist und die Länge r besitzt; beide halbieren sich in dem Ellipsenmittelpunkte Ms. Die Ellipsen selbst lassen sich dann nach §20 leicht konstruieren⁵).

Es

Fig. 29 a-

Fig. 29 b-

Da die Hohe parallel zu TT ist, so zieht man durch Ms eine Vertikale und macht MSNS = h. "Will man die Projektion des Kegels (Fig. 29a) erhalten, so hat man von Ns die beiden Tangenten as, bs an die Ellipse ks zu ziehen (§ 17). Um die Projektion des Zylinders (Fig. 29b) zu erhalten, muh man noch die Projektion des oberen Kreises k¹ konstruieren. Diese ist die der Ellipse ks kongruente und parallel gelegene Ellipse kl mit dem Mittelpunkte Ns auf h. Zieht man noch die beiden äußeren gemeinsamen Tangenten beider Ellipsen as, bs, so hat man die gewünschte Projektion⁶). Bei beiden Flächen müssen offenbar die Projektionen aller anderen Mantellinien (welche man aber nicht zeichnet) innerhalb der gezogenen Tangenten liegen.

Zieht man den durch die Kegelspitze N gehenden Projektionsstrahl und legt durch ihn die beiden Tangentialebenen an den Kegel, so enthalten sie alle Projektionsstrahlen, welche den Kegelmantel nur berühren. Diese beiden Ebenen berühren die Kegelfläche längs der Mantellinien a, &, deren Projektionen as und ba den scheinbaren Umriß des Kegelmantels bilden. Der wahre Umriß des Kegels wird also gebildet von den Mantellinien a, b und dem nach vorn zwischen ihnen gelegenen Teile der Peripherie des Grundkreises. Der scheinbare Umriß ist demnach identisch mit dem in Figur 29 a voll ausgezogenen Linienzuge.

Legt man an den Zylinder in Figur 29b die beiden Tangentialebenen, welche der Richtung der Projektionsstrahlen und also einander parallel sind, so gehören die Mantellinien a und ö, längs deren beide Ebenen die Zylinderfläche berühren, dem wahren Umrisse des Zylinders an. Diese Mantellinien liegen in derselben durch die Zylinderachse gehenden Ebene. Ferner wird

ASGSFSDSBSES.

der wahre Umriß des Zylinders von der zwischen a und b nach vorn gelegenen Hälfte AEB des unteren und der nach hinten gelegenen Hälfte CFD des oberen Kreises gebildet. Der scheinbare Umriß ist also der Linienzug

Während auf beiden Flächen die Kreise k, bzw. k¹ die Mantellinien a, & in den Punkten A, B, bzw. G, D schneiden, berühren die Projektionen der Kreise die Projektionen dieser Mantellinien in den entsprechenden Punkten As, Bs, bzw. C7S, Ds. (Ygl. bei der senkrechten Projektion die Paragraphen über die Tangentialebenen an Kegel und Zylinder.)

39. Wenn die Grundkreise beider Flächen der Bildebene TT parallel sind, so projizieren sie sich in ihrer wahren Gestalt; die Höhe h projiziert sich in eine durch die Kreismittelpunkte gehende und unter 150° gegen die Horizontale geneigte Strecke von der

Hiernach Kann man die Projektionen leicht

konstruieren.

0\----- C

Fig. 80.

40. Projektion einer Kugel vom Radius r. Läßt man einen Halbkreis (Fig. 30) und die zu seinem Durchmesser AB parallele Tangente t um AB als Rotationsachse sich drehen, so erzeugt der Halbkreis eine Kugel und die Tangente t einen Zylinder, welcher die Kugel längs des von dem Berührungspunkte G beschriebenen größten Kreises der Kugel berührt und aul der Ebene dieses Kreises senkrecht steht.

Hieraus folgt, daß der wahre Umriß der Kugel derjenige größte Kreis k ist, dessen Ebene auf der Richtung der Projektionsstrahlen senkrecht steht; seine den scheinbaren Umriß liefernde Projektion ist mithin eine Ellipse k₃, deren Achsen sich leicht angeben lassen. Nimmt man den Kugelmittelpunkt 0 in TT gelegen an, so schneidet TT den Kreis k in dem Durchmesser CID, welcher senkrecht auf der, der Richtung der projizierenden Strahlen parallelen, Durchmesserebene der Kugel, also (Fig. 31b) senkrecht auf der unter 150° gegen die Horizontale x gezogenen Geraden As OBs steht. Nach § 27 (erster Absatz) ist CD = 2 r die kleine Achse der Ellipse und der zu CD senkrechte Durchmesser AB projiziert sich in die Strecke

ASBS —    = /ö • r *).

sm o

Die Ellipse ks läßt sich dann nach § 22 leicht konstruieren.

41. Um das Bild plastischer zu machen, kann man noch die Projektionen einer Anzahl von Kreisen, in welchen Parallelebenen zu TT die Kugel schneiden und welche sicli als kongruente Kreise projizieren, einzeichnen. Die Radien dieser Kreise bestimmt man durch Umlegen desjenigen auf TT senkrechten größten Kugel-

*) Demi, da ctgo — , , .    ¹    5

und 1 -|- ctg-*

O Tr~

sin*o

ist.

kreises EJF (Fig. 31a), welcher von TT in dem vertikalen Durchmesser EF geschnitten wird, in die Bildebene TT. Die im Abstande OG¹ zu TT parallele Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise Z, dessen Radius durch die im Abstande 0 0₀ = 0 0 parallel zu EF gezogene halbe Sehne O₀II₀ gegeben wird. Auf OBs (Fig. 31b)

■— 0 Oq imd beschreibt um Os

u

macht man dann 0 Os —

mit dem Radius O₀IT₀ den Kreis la, welcher die Pro-

\Jo

Fig. 31a

Fig. 31b-

jektion des Kreises l ist. Dies Verfahren führt man für eine größere Anzahl von Kreisen durch, wobei es vorteilhaft ist, mit einem vor TT gelegenen Parallelkreise zugleich den gleich großen und gleich weit hinter TT gelegenen Parallelkreis zu projizieren. In Figur 31b ist dies Verfahren für zehn Parallelkreise durchgeführt; es sind der besseren Übersicht wegen aber die Kreise nur so weit gezeichnet, als sie sichtbar sind. Man wählt den Abstand der Kreise, welche mau projiziert, um so kleiner, je näher dieselben dem Punkte J liegen, da mit wachsender Annäherung an J die Radien um so schneller abnehmen.

Es sei noch bemerkt, daß die Projektionen l, aller der Parallelkreise /, welche den wahren Umriß k schneiden, die Ellipse ks des scheinbaren Umrisses berühren müssen; der Beweis dieser Behauptung wird bei der Betrachtung der Tangentialebenen krummer Flächen erbracht. Zeichnet man genügend viele solcher berührenden Kreise ls, so erhält man die Ellipse ks als umhüllende Kurve derselben.

Die Ellipse ks des scheinbaren Umrisses einer Kugel hat stets die Projektionen Js, Ka der Endpunkte J, K des zu TT senkrechten Kugeldurchmessers zu Brennpunkten⁷). Denn es ist

OA, = OBs = —7—— und OJs = OKs = r • coto, folgsin o

lieh ist

CJ² = CK,² = 0 C² + 0 J⁷ = r² + r² cot²o d. h. Js und Ka sind (nach § 27, letzter Absatz) die Brennpunkte der Ellipse ks.

in. Abschnitt

Darstellung yon Punkt, Gerade und Ebene in senkrechter Projektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen.

Einführung zweier Projektionsebenen.

42. Die durch senkrechte Projektion gewonnenen Bilder sind zwar oft weniger anschaulich, als die durch schiefe Projektion erhaltenen, da zur Projektionsebene senkrechte Gerade und Ebenen sich als Punkte und Gerade projizieren, trotzdem aber ist die senkrechte Projektion für die meisten Anwendungen die weitaus wichtigste Projektionsart. Es hat dies seinen Grund in der wesentlichen Vereinfachung sehr vieler Konstruktionen bei Anwendung der senkrechten Projektion und in der bequemen Art, in welcher sich Gebilde durch Angabe ihrer senkrechten Projektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen bestimmen lassen. Es ist früher (§§ 3—6) gezeigt worden, daß ein im Raume liegendes Gebilde durch Angabe seiner (Zentral- oder Parallel-)Projektion auf eine Ebene nicht bestimmt ist, sondern es müssen außer dieser Projektion noch weitere Bestimmungsstücke gegeben sein, und als solches genügt im allgemeinen seine Projektion auf eine zweite (der ersten nicht parallele) Ebene.

Der Winkel, welchen die beiden Projektionsebenen miteinander bilden, kann beliebig gewählt werden; es empfiehlt sich aber, vornehmlich für senkrechte Projektion, zwei zueinander senkrechte Ebenen zu nehmen. Gewöhnlich wird die eine dieser Ebenen TT, horizontal, die andere Tl₂ vertikal gestellt angenommen. (Vgl. die Figur 32.) Man nennt dann

TT,: Horizontalebene, Grundrißebene, erste Projektionsebene oder erste Tafel;

TT₂ r Vertikalebene, Aufrißebene, zweite Projektionsebene oder zweite Tafel; und die Schnittlinie x beider Projektionsebenen die Projektionsachse oder kurz Achse, wenn jeder Irrtum ausgeschlossen ist.

Die Achse teilt jede der Projektionsebenen in zwei Halbebenen. Die beiden Teile von TT₁ werden, je nachdem sie für den Beschauer vor oder hinter TT., hegen (Fig. 32), unterschieden als vorderer (+ TT,) und hinterer Teil (— TT,), die beiden Teile von TT₂ nach ihrer Lage in bezug auf TT, als oberer (-f- TT₂) und unterer Teil (—TT₂)⁸).

Der ganze Raum wird durch die beiden Projektionsebenen in vier Quadranten zerlegt, deren jeder von zwei der angegebenen Halbebenen begrenzt ist. Sie sollen in der folgenden Weise mit I — IV bezeichnet werden:

I. Quadrant begrenzt von + TT,,    -f- TT

H. Quadrant ITL. Quadrant IV. Quadrant

» -TT » -TT r> “1" TT,, TT-.

+ TT

- TT

Darstellung des Punktes.

43. Die senkrechte Projektion eines Punktes auf eine gegebene Ebene ist der Fußpunkt des von ihm auf diese Ebene gefällten Lotes.

Demnach sind (Fig. 32) die Fußpunkte 7V, F' der von einem Punkte P auf die beiden Projektionsebenen TTi, TT₂ gefällten Lote seine beiden Projektionen,

+TTg \ cfi"

>1 $

\ rf~

Pf' ..-r

a- ,

¹

Die Figur 20 ist in schiefer Parallelprojektion gezeichnet, wobei die Symmetrieebene V = A, B₁B₂ A₂ als Projektionsebene benutzt ist. Von den beiden Berührungskugeln sind nur die in der Projektionsebene liegenden größten Kreise und die beiden Berührungskreise kx und k₂ gezeichnet. Die (im Interesse der Übersichtlichkeit nicht gezeichneten) scheinbaren Umrisse der Kugeln sind Ellipsen (vgl. § 40).

Haufkner, Darstellende Geometrie L

²

In Figur 24 ist die Projektionsebene nicht mehr abgegrenzt, da eben die ganze Zeichenebene als Projektionsebene za betrachten ist

³

In dem ersteren Falle wird die schiefe Projektion wohl auch Vogelperspektive, in dem letzteren Froschperspektive genannt. Die Projektion mit den Werten r = l, <5 = 45° oder 135° heißt auch Kavalierperspektive (bzw. Militärperspektive, wenn TT horizontal liegend angenommen wird). Diese Benennungen sind aber schwankend und auch nicht gut, da man jetzt unter Perspektive nur die eigentliche Zentralprojektion versteht.

⁴

Auch die Figuren 1—8, 20 und 23 sind schiefe Pa-rallelprojektionen. In Figur 20 ist <5 = 90° gewählt, damit der scheinbare Umriß des Zylinders mit den Tangenten an die in der Projektionsebene liegenden Kugelbreise Zusammenfalle.

⁵

In den Figuren 29 a> b sind nur die diesen beiden konjugierten Durchmessern parallelen Tangenten angegeben. In beiden Figuren ist die Schnittgerade x der Ebene des Grundkreises und der Bildebene TT nicht angegeben. Infolgedessen ist durch die Projektion nur die Gestalt des Gebildes, nicht aber seine Lage im Baume völlig bestimmt; man kann vielmehr den Abstand des Gebildes von der Bildebene noch beliebig wählen. Soll aber auch dieser bestimmt sein, so muß die Gerade x (parallel zu den horizontalen Tangenten) angegeben sein.

Hau 6 a er, Darstellende Gwometrie 1

⁶

Es ist zu beachten, daß bei dem Kegel die Berührungspunkte As, Bs von as, bg und ks nicht auf demselben Durchmesser hegen, während dies bei dem Zylinder 'ior Fall und ferner AtMsBg\\ CgNfDt ist.

⁷

Der Satz gilt für beliebige Werte von d und 0, wie ausdrücklich hervorgehoben sei.

⁸

Die Projektionsebenen sind stets als unbegrenzt zu denken, wenn auch wie in Figur 32, nur endlich begrenzte Teile („Tafeln“) gezeichnet sind.

j=Jk

Pig. 32.

und mngekehrt ist P der Schnittpunkt der in F auf TT1 und in P" auf TT₂ errichteten Lote. Man nennt in bezug auf den Punkt P, entsprechend der obigen Bezeichnung der Projektionsebenen,

F: Horizontalprojektion, erste Projektion, Grundriß;

F'\ Vertikalprojektion, zweite Projektion, Aufriß;

F P: ersten Tafelabstand;

F'P: zweiten Tafelabstand.

Der erste Tafelabstand wird mit positivem oder negativem Zeichen genommen, je nachdem der Punkt P über oder unter Dj liegt, und der zweite, je nachdem P vor oder hinter TT₂ liegt. Demnach gelten in dem ersten bis vierten Quadranten die folgenden Yorzeichen-kombinationen für die beiden Tafelabstände:

--1“ •

Der in der Figur 32 im zweiten Quadranten gezeichnete Punkt Q hat also einen positiven ersten und einen negativen zweiten Tafelabstand.

Liegt ein Punkt in , so ist sein erster Tafelabstand gleich Null, und liegt er in TT₂, so ist es sein zweiter Tafelabstand. Für einen Punkt der Achse sind beide Tafelabstände gleich Null.

Da

PP'.LTT

PP" J_TT₂

ist, so steht die durch diese beiden projizierenden Strahlen gelegte Ebene P' PP" auf und TT₂, mithin auf der Achse x senkrecht. Ist Px der Schnittpunkt der letzteren mit der Ebene F PP", so steht x auch senkrecht auf den in dieser Ebene durch Px gezogenen Geraden PXF, PXP", PXP und es ist PXP'PF' ein Rechteck. Der Punkt Px heißt die Achsenprojektion des Punktes P, da er seine senkrechte Projektion auf die Achse x ist.

Folglich gelten die Sätze:

Die von den beiden Projektionen F und F' eines Punktes P auf die Achse gefällten Lote treffen die Achse in demselben Punkte, der Achsenprojektion Px. Umgekehrt: Zwei Punkte

der beiden Projektionsebenen können nur dann die beiden Projektionen eines Raumpunktes sein, wenn ihre Lote auf die Achse denselben Fußpunkt besitzen.

Der erste (bzw. zweite) Tafelabstand eines Punktes ist, auch dem Vorzeichen nach, gleich dem Abstande seiner zweiten (bzw. ersten) Projektion von der Achse:

P'P=PXP", P',P=PXP'.

44. Um nun beide Projektionen eines räumlichen Gebildes in einer einzigen Zeichenebene darstellen zu können, denkt man sich die eine Projektionsebene um die Achse in die andere umgelegt.

Die zweite Projektionsebene falle, wie stets angenommen werden soll, mit der vertikal gestellten Zeichenebene zusammen, und es werde die erste Projektionsebene (im Sinne der Pfeile in Figur 32) so gedreht, daß TT! mit — TT₂, — TT! mit + TT₂ zur Deckung kommt.

d. h. in die auf x senkrechte Gerade Px P", bzw. deren Verlängerung¹).

Bei dieser Drehung beschreibt jeder Punkt der Ebene TT! e^en Viertelkreis, durch dessen Mittelpunkt die Achse x senkrecht zu seiner Ebene hindurchgeht und dessen Radius gleich dem Abstande des Punktes von der Achse ist. Der von der ersten Projektion Pr eines Punktes bei dieser Umlegung beschriebene Viertelkreis liegt also in der auf der Achse senkrechten Ebene P' PP', und folglich fällt der Punkt P' nach ausgeführter Drehung in die Schnittgerade dieser Ebene mit TT

Nach erfolgter Umlegung der ersten Projektionsebene in die zweite, können zwei Punkte P', P" dann und nur dann die Projektionen eines Raumpunktes P vorstellen, wenn ihre Verbindungslinie auf der Achse x senkrecht steht.

Um den Raumpunkt P zu erhalten, braucht man nur in dem Punkte P" der Zeichenebene ein Lot aui TT₂ zu errichten und auf ihm P" P — PXP' abzutragen.

Die folgende Figur 33 veranschaulicht die verschiedenen möglichen Lagen der Projektionen eines

t" ! i rr

¥—*.■ *—y—*-1.1?

i v"y \ x

kS'^T

kW"

Fig. 33.

Die

Punktes nach ansgeführter Umlegung von TT!. bei der Figur 32 gezeichneten Begrenzungen der Projektionstafeln sind fortgelassen, wie dies in Zukunft meistens geschieht, da die Projektionsebenen als unbegrenzt zu denken sind. Es ist aber festzuhalten, daß die über der Achse x gelegene Hälfte der Zeichenebene mit + TT₂ und — TTi und ihre untere Hälfte mit + TT! und — TT₂ identisch ist. Die vier Punkte P, Q, P, S liegen in dem ersten bis vierten Quadranten:

ihre Tafelabstände haben gleiche Längen, aber verschiedene Vorzeichen; T, U sind Punkte der ersten Projektionsebene (-+- TT!, bzw. —T^), V, W Punkte der zweiten Projektionsebene (+ TT₂ , bzw. — TT₂) und X ist ein Punkt der Achse.

also

45. Oft ist die Einführung einer dritten Projektionstafel TT₃ , welche auf TTj und TT auch auf x senkrecht steht, sehr nützlich und erweist sich für manche Aufgaben als geschicktes Hilfsmittel, um ihre Lösung zu erleichtern. Man nennt

TT₈: Seitenriß-, Kreuzriß-, dritte Projektionsebene oder dritte Tafel und entsprechend die Projektion eines Punktes auf dieselbe

1v": seinen Seitenriß, Kreuz riß oder seine dritte Projektion;

P"'P: seinen dritten Tafelabstand.

Durch Einführung von TT₃ treten die Schnittgeraden von TT₃ mit TTj und TT₂ als weitere Projektionsachsen auf, welche sich in dem Punkte 0 auf x schneiden; sie sollen mit y, bzw. % bezeichnet werden (s. Fig. 34). Jede der drei Projektionsebenen wird durch je zwei der drei Achsen in vier Felder, und der ganze Raum durch die drei Ebenen in acht Oktanten zerlegt.

Fällt

dessen

46. Da ein Punkt durch Angabe seiner ersten und zweiten Projektion schon völlig bestimmt ist, so muß sich seine dritte Projektion aus ihnen allein, ohne Benutzung von P selbst, konstruieren lassen, man nämlich noch das Lot von P auf TT₃, Fußpunkt die dritte Projektion P"' von P ist, und legt durch je zwei der drei projizierenden Lote Ebenen, so sind diese den Projektionsebenen parallel und schneiden

die Achsen in den Achsenprojektionen Px, Py, P„ (Fig. 34). Diese drei Punkte bilden zusammen mit P, seinen drei Projektionen P⁷, P", P" und dem Punkte 0 die Ecken eines rechtwinkligen Parallelepipeds, von dessen zwölf Kanten je vier einander parallel und gleich sind und auf einer Projektionsebene senkrecht stehen. Folglich läßt sich, entsprechend der obigen Behauptung, P'" aus den beiden Projektionen P', P" konstruieren,

-TD

F'''-

jH-v

m

Ir

-Tb

+JC

+y

-n₂

+TD

-x

Fig. 34.

indem man von P' ein Lot auf die y-Achse, von P" ein Lot auf die %-Achse fällt und durch die Fußpunkte zu den betreffenden Achsen Senkrechte PyP"', P„ P'", welche in TT₃ liegen, zieht; ihr Schnittpunkt ist die gesuchte dritte Projektion.

Bezeichnet man die Längen der drei Kanten OPx, OPy, OPt des Parallelepipeds mit j, ty, $, so ist der dritte Tafelabstand P,/,P=y, der zweite P"P =>= t), und der erste P'P = $. Über das Vorzeichen des ersten und zweiten Tafelabstandes sind bereits Fest-

Setzungen getroffen. Für den dritten Tafelabstand soll weiter angenommen werden, daß er positiv ist, wenn der Punkt P für einen auf TTi stehenden und TT₂ anschauenden Beobachter nach rechts von TT₃ gelegen ist. Da die drei Achsenabschnitte gleich den parallelen Tafelabständen sind, so ist durch diese Festsetzungen zugleich den drei Achsen ein bestimmter Sinn beigelegt, wie in Figur 34 durch -f- x, —x usw. angegeben ist. Zu jedem Punkte P des Raumes gehören dann drei, auch ihrem Vorzeichen nach bestimmte Achsenabschnitte £, t), 5, welche in der analytischen Geometrie als die rechtwinkligen Koordinaten des Punktes P bezeichnet werden. Umgekehrt ist die Lage eines Punktes P durch Angabe seiner drei Koordinaten völlig bestimmt, sobald die drei Projektionsebenen gegeben sind; man hat nur die Strecken j, t), j in dem durch ihre Vorzeichen bestimmten Sinne auf den Achsen von 0 aus abzutragen und das durch diese drei Achsenabschnitte bestimmte rechtwinklige Parallelepiped zu vervollständigen, dessen 0 diagonal gegenüberliegende Ecke P dann der gesuchte Punkt ist.

Anmerkung. Bei bestimmten Beispielen pflegt man die Tafelabstände (Koordinaten), durch (positive oder negative) Zahlen anzugeben, durch welche ihre Längen in einer beliebig gewählten Längeneinheit gemessen sind (vgl. die Beispiele am Ende von § 47).

2» die

47. Um nun auch die dritte Projektion in derselben Zeichenebene darstellen zu können, denkt man sich die Ebene TTi wie vorhin (§ 44) und die Ebene TTS um * ebenfalls in TT₂ umgelegt, so daß die vordere Hälfte von TTS mit der linken Hälfte von TT hintere Hälfte von TTa also mit der rechten Hälfte von

TT.₂ zusammenfällt, wie dies die Pfeile in Figur 34 andeuten. Da die «/-Achse nun sowohl TT angehört,, so muß sie nach ausgeführter Umlegung doppelt auftreten, und zwar fällt die -f- «/-Achse mit der — x- und — «-Achse, die — «/-Achse mit der 4- x- und + «-Achse zusammen (Fig. 35).

als TT

P"

I---

⁹......q % k-t>

'Tp-'-'rP i

Fig. 36.

Stellt man nun die gleichen Überlegungen wie in § 44 hier auch noch für die umgelegte TT₃ an, so kann man leicht die folgende Aufgabe lösen:

Die dritte Projektion P" eines Punktes P aus seiner ersten und zweiten Projektion P und P" bei gegebenem Achsenkreuze zu konstruieren.

Man zieht durch P und P" horizontale Geraden, welche die vertikale Achse²) in P{2] und Pt schneiden,

trägt 0-P‘jf auf der horizontalen Achse von 0 aus in richtigem Sinne bis P⁽³' ab und zieht durch P^ eine vertikale Gerade, welche die Gerade P" P„ in F" schneidet. — Hierbei ist zu beachten, daß die Punkte Py] und P[y\ welche vor dem Umlegen von TTj^ und TT3 in demselben Punkte Py der «/-Achse gelegen sind³), entweder beide auf den negativen Hälften oder beide auf den positiven Hälften der doppelt auftretenden «/-Achse liegen müssen. In der Figur 35 veranschaulicht die Konstruktion von F" den ersten Fall und von Q" den zweiten Fall; der erste oder zweite Fall liegt vor, je nachdem der zweite Tafelabstand des betreffenden Punktes positiv oder negativ ist. In Figur 35 sind die Koordinaten werte in Millimetern für P: j = 10,5, t) = 12, j=9; für Q: j = 8, t) = —17, 5= —16.

Darstellung der Geraden.

48. In Rücksicht auf §§ 4 und 9 erhält man sofort

den Satz:

Die beiden senkrechten Projektionen einer Geraden g sind im allgemeinen zwei Geraden g[ und g", welche die Schnittlinien der durch g senkrecht zu TT^ und TT₂ gelegten Ebenen — der sogenannten ersten und zweiten projizierenden Ebene — mit 11^ und TT₂ sind.

Die in §§ 43 und 45 für die Projektionen eines Punktes gegebenen Benennungen werden in gleicher Weise für die Projektionen einer Geraden benutzt.

82 III. Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene usw.

Ist P ein Punkt auf g, so muß seine erste Projektion P' auf g/, seine zweite Projektion P" auf gf' liegen, und nach ausgeführter Umlegung von TT! in TT2 muß P'P'- A_x sein. Umgekehrt sind zwei in derselben Senkrechten zu x gelegenen Punkte von g/ und g" die Projektionen eines bestimmten Punktes der Geraden g. Hieraus folgt, daß eine Gerade g statt durch ihre beiden Projektionen g/, g", auch durch die Projektionen zweier auf ihr liegenden Punkte gegeben werden kann.

Aus dem Vorstehenden ergibt sich ohne weiteres die Lösung der

Aufgabe. Die beiden Projektionen einer Geraden und die eine Projektion eines auf ihr liegenden Punktes sind gegeben; es ist die andere Projektion des Punktes zu finden. (Siehe Fig. 36 u. 37a.)

49. Besonders ausgezeichnete Punkte einer Geraden g sind ihre Schnittpunkte Gx, G₂ mit den beiden Projektionsebenen, welche Punkte erster und zweiter Spurpunkt der Geraden g heißen.

Der erste Spurpunkt Gx von g (Fig. 36) liegt in dem Schnittpunkte von g mit g' \ folglich fällt er mit seiner ersten Projektion zusammen. Seine zweite Projektion G'{ muß also nicht nur auf y", sondern auch auf x liegen und fällt daher in den Schnittpunkt von g" und x. Der zweite Spurpunkt fällt mit seiner zweiten Projektion zusammen in den Schnittpunkt von g mit g", während seine erste Projektion G\ der Schnittpunkt von (f und x ist. Schneidet die Gerade die Achse, so fallen beide Spurpunkte in den Achsenschnittpunkt <ler Geraden.

50. Aufgabe. Es sind die beiden Spurpunkte einer durch ihre Projektionen gf, g" gegebenen Geraden g zu konstruieren.

Die Schnittpunkte von g' und g" mit der Achse x bestimmen die Punkte G₂ und G'{ (Fig. 36); die durch sie senkrecht zu x gezogenen Geraden schneiden g"\ bzw. / in den gesuchten Spurpunkten G₂ , bzw. Gx.

TT,

'vi

Fig. 36.

Ist die Gerade g gegen die beiden Projektionsebenen geneigt, so kann die zwischen ihren beiden Spurpunkten Gx, G₂ gelegene Strecke in jedem der vier Quadranten liegen; die Figuren 37a—d zeigen die vier möglichen Fälle, je nachdem die Strecke G₁ G₂ im ersten bis vierten Quadranten gelegen ist. Betreffs des Ausziehens der Linien sei bemerkt, daß die Projektionsebenen als undurchsichtig angenommen sind und daß infolgedessen für einen über TQ und vor TT₂ stehenden Beschauer die vordere Hälfte von TT! die untere Hälfte von TT₂, dagegen die obere Hälfte von TT₂ die hintere Hälfte von TT! verdeckt. In den Figuren sind daher g', g" nur so weit ausgezogen, als sie die Projektionen eines im ersten Quadranten hegenden Teiles von g sind.

(Man zeichne für die Figuren 37b-d Skizzen in schiefer Projektion; der Figur 37a entspricht in schiefer Projektion Figur 36.)

aj

\9'

X.

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97 \

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jj"

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■X

!9'

>9'

b.

c.

d.

Fig. 37.

Sind umgekehrt die Spurpunkte G₁, G₂ gegeben, so bestimmen die Fußpunkte der von ihnen auf die Achse gefällten Lote ihre ungleichnamigen Projektionen G'{, G2, und die Geraden Gx G%, G'{ G? sind die beiden Projektionen der durch G{ und G₂ bestimmten Geraden.

51. Besondere Lagen der Geraden g gegen die Projektionsebenen.

I. Ist Ö' 11 TTj, so ist die zweite projizierende Ebene parallel zu TT!, folgüch g" \\x und Gt unendlich fern gelegen;

ist g || TT

Besondere Lagen einer Geraden.

ist g'\\x und G₂ unendlich fern

also ||x ist, so

2, so

gelegen.

II.    Wenn ^11^ und ||TT ist g'\\g"\\g-

Steht g senkrecht auf , so reduziert sich die erste Projektion cf auf einen Punkt, welcher zugleich der erste Spurpunkt Gx von g ist, die zweite Projektion g" steht auf x senkrecht und muß durch Gx hindurchgehen. Daher

III.    Wenn gA.J\₁ ist, so ist cf — G₁, g"_La

und G₂ unendlich fern; wenn ^ JLTT₂ ist, so ist g" = G₂ , g'A.x und Gx unendlich fern.

TV. Wenn g in einer zur Achse senkrechten Ebene liegt, so sind / und g" in derselben Senkrechten zu der Achse gelegen, da die beiden projizierenden Ebenen mit der senkrechten Ebene, ir welcher g hegt, zusammenfallen⁴).

52. Eine Gerade bestimmt also stets ihre Projektionen; umgekehrt bestimmen zwei beliebige Gerade / in TTj^ und g" in TT₂ immer eine einzige Gerade g im Raume, deren Projektionen sie sind, wenn nicht / und g"_Lx sind. Denkt man sich nämlich TT₁ in seine ursprüngliche, zu TT₂ senkrechte Lage zurückgedreht, so schneiden sich die durch g' und g" senkrecht zu

bzw. TT₂ gelegten Ebenen in der Geraden g.

tt₄,

Steht dagegen eine der Geraden, z. B. gf, auf der Achse senkrecht, so steht die durch sie gelegte projizierende Ebene auch auf TT₂ senkrecht und g" muß also in derselben Senkrechten liegen wie g'. Im Falle, daß g" sich auf einen Punkt 0₂ dieser Senkrechten reduziert, ergibt sich g als die durch 0₂ senkrecht zu TT2 gezogene Gerade. Im anderen Falle aber ist die durch g' gelegte projizierende Ebene identisch mit der durch g" gehenden, und folglich sind g' und cf' die Projektionen aller in dieser Ebene gelegenen Geraden.

Damit eine zu der Achse senkrechte Gerade nach der Projektionsmethode bestimmt ist, muß man entweder die Projektionen zweier ihrer Punkte oder (außer cf, g" noch) ihren Seitenriß cf" kennen.

53. Bezüglich des Seitenrisses cf" ist zu bemerken, daß die dritten Projektionen G'{' und G'f der

/•. i "

s7

<i7

Fig. 38 a-

Spurpunkte auf der y-, bzw. x-Achse liegen müssen (Fig. 38a) und ihre Verbindungslinie also cf" liefert.

Der Punkt G

in welchem g die Ebene TT3 durchdringt, ist der dritte Spurpunkt von g. Seine erste und zweite Projektion liegen in den Schnittpunkten von cf mit der y-Achse und von cf' mit der «-Achse.

Dritte Projektion einer Geraden.

87

Um also Gg nach Umlegung von TT₁ und TT₃ in TT₂ zu konstruieren, bestimmt man (Fig. 38b) diese Schnittpunkte Gj und G's, und zwar den ersteren doppelt, da er

c,

ff"

'ik

0 ff

■bX

G,

ff?

Fig. 38 b-auf der doppelt auf tretenden y-Achse liegt. Die Vertikale durch G3 schneidet die Horizontale durch G" in Gs, Aufgabe. Die zu x senkrechte Gerade g ist durch die Projektionen zweier ihrer Punkte P und Q gegeben; es sind ihr Seitenriß und ihre Spurpunkte zu konstruieren.

Nach § 47 konstruiert man von P, Q die dritten Projektionen P'", CJ" (Fig. 39); ihre Verbindungslinie ist g"r und die Punkte, in welchen diese die horizontale und vertikale Achse schneidet, sind G'{', G'%. Aus diesen erhält man leicht G₁ und G₂.

54. Unter dem Neigungswinkel einer Geraden gegen eine Ebene verstellt man bekanntlich den spitzen Winkel, welchen die Gerade mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene einschließt; er ist,

wie in der Stereometrie gezeigt wird, der kleinste aller Winkel, welche die Gerade mit den durch ihren Spurpunkt gehenden Geraden der Ebene einschließt.

+x

C-

Gz

Q7

Q"

S7

py

+y -y«/

\

-Kr

l____P

Pig. 39.

Bezeichnet man die Neigungswinkel von g gegen TT1 und TTj mit yt, y₂ (erste und zweite Tafelneigung von g), so ist (vgl. die Figur 36 auf S. 83)

Yi = < G* G'u -y₂ = <GxG₂ G'{.

Nach dem vorstehend in Erinnerung gebrachten Satze ist sicher yx kleiner, höchstens gleich (<) < G₂ Gx G’{ und mithin, da < G₂ Gx G" -\-<GxG₂ G'{ =90° ist, folgt 7i + 72 < 90°,

d.h. die Summe der beiden Tafelneigungen einer Geraden ist höchstens gleich einem Rechten.

Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke. 89

Der Grenzfall yx -f- y₂ — 90° kann nur dann eintreten, wenn g in einer zur Achse senkrechten Ebene liegt (Fall III und IY in § 51).

Ist g | j , so ist yt — 0, y₂ =    (/ | x), und ist

ff II TT

so ist yx = < (g" \ x), y₂ = 0.

Aus den rechtwinkligen Dreiecken G₁ G₂ G₂ und Gi Gi G₂ folgt ferner

Gi G'2 = Gi G₂ • cos yi, Gi G₂ = G₁ G₂ • cos y₂ , d. h. das Verhältnis der senkrechten Projektion einer Strecke zu der Strecke selbst ist gleich dem Kosinus des Neigungswinkels (vgl. § 9).

Aufgabe. Die Tafelneigungen yx, y₂ und die wahre Länge der zwischen den beiden Spurpunkten gelegenen Strecke einer Geraden g (g\ g") zu konstruieren⁵).

Da die rechtwinkligen Dreiecke Gx G₂ G₂ und Gi G'{ G₂ (vgl. Fig. 36) die gesuchten Stücke enthalten und die Katheten dieser Dreiecke sich leicht aus g', g" bestimmen lassen, so erhält man die folgende Konstruktion. Nachdem man die Spurpunkte Gx und G₂ bestimmt hat, macht man auf x die Strecke G'{ G\ = G'{ G₂ und verbindet G₂ mit Gx. Das Dreieck Gx G” G₂ ist dann das um Gx Gx in TTi umgelegte Dreieck Gx G'{ G₂ und folglich < Gi G°₂ G'[ = y₂, Gx G\ = Gx G₂. — Legt man A GXG₂ G₂ um 6’2 G₂ in TT2 um, so erhält man in gleicher Weise den Winkel yx und G\ G₂ = Gx G₂ (Fig. 40a).

Die Aufgabe läßt sich auch so lösen, daß man A Gx Gi G₂ um Gi G₂ in TTs und A Gx G% G% um Gx G2 in TTi umlegt (Fig. 40b).

Kontrolle: Gx G\ = G\ G₂, bzw. Gx G\ = G₂ G^ .

Liegen die Spurpunkte der durch ihre Projektionen gegebenen Geraden außerhalb der Zeichenebene, so bestimmt man die Tafelneigungen für irgend eine der gegebenen parallele Gerade, deren Spurpunkte zugänglich sind; dabei hat man zu beachten, daß (nach § 10) die gleichnamigen Projektionen paralleler Geraden selbst parallel sind. Sind z. B. //, h" in Figur 40 die ursprünglich gegebenen Projektionen, so zieht man (f\\h\ g"\\h") die

Cf

<9"

ff \

vr.

Fig. 40 a und b-

beiden Parallelen können ganz willkürlich gezogen werden, nur müssen ihre Spurpunkte zugänglich sein. In der gleichen Weise kann man sich helfen, wenn die Tafelneigungen einer die Achse schneidenden Geraden zu bestimmen sind.

55. Aufgabe. Die Tafelneigungen und die wahre Länge einer durch die Projektionen ihrer Endpunkte gegebenen Strecke AB zu bestimmen.

Zieht man (Fig. 41a) in der ersten projizierenden Ebene durch den einen Endpunkt A die Gerade AG parallel zu TTi, so fällt ihre erste Projektion mit der ersten Projektion A' B' von AB zusammen, während ihre zweite Projektion A"G" die Parallele zu x durch

Tafelneigungen und wahre Länge einer Strecke. 91

A" ist. Das rechtwinklige Dreieck A CB, dessen Hypotenuse die Strecke AB und dessen Winkel BAC gleich der ersten Tafelneigung yx der Strecke ist, hat die Katheten AC=A'B', BG=B"G". Zieht man in der zweiten projizierenden Ebene AD j| TT₂ , so enthält das rechtwinklige Dreieck ADB, dessen Winkel BAD gleich der zweiten Tafelneigung y₂ ist, dieKatheten AD — A" B", BD = B'Ü'. Daraus folgt die Konstruktion:

Durch A' und A" (Fig. 41b) zieht man Senkrechte zu A'A", welche die Vertikale B'B" in D' und G"

*j4~~

Fig. 41a-

Zieht man noch die

schneiden; dann zieht man B'Bq= G"B" und _L A'B', B"B"& = D'B' und JL A"B".

Hypotenusen A'B'₀, A" 73'A, so liefern sie die wahre Länge der Strecke AB (Kontrolle: A' B'₀ = A" BA) und < BU’BT - yt, <£ B”a A"B" = y₂.

A' B' Bo kann als die horizontale Projektion des Dreiecks A CB, nachdem dieses um A G in die zu TTi parallele Lage ACB₀ gedreht ist, betrachtet werden; A"B"B'J ist die vertikale Projektion des Dreiecks ADB, nachdem dieses umiP in die zu TT2 parallele La ge ADBA gedreht ist. — Die obige Konstruktion bleibt unvei ändert, wenn die Achse x parallel beliebig verschoben wird, da nicht ihre Lage, sondern nur ihre Richtung verwertet ist. Bei allen Aufgaben, für deren Lösung dies gilt, kann man daher die Angabe der Achse unterlassen; man muß dann nur einen Ordnungsstrahl angeben, zu dem die Verbindungslinien von Grund- und Aufriß eines jeden Punktes,

B"f~

C"i-------

cc

l/t

\W.

'U"-'¥ig. 41b-

z. B. A04" .parallel sind. Dann sind die beiden Projektionsebenen nur bis auf eine beliebige Parallelverschiebnng bestimmt. Von dieser Bemerkung ist im Folgenden Gebrauch gemacht, und es fehlt deshalb in einer Anzahl von Figuren die Achse, z. B. in Fig. 61, 62 u. a.

Gegenseitige Lage zweier Geraden.

56. Zwei gerade Linien liegen entweder in einer Ebene oder nicht. Im ersten Falle können sie sich in einem Punkte schneiden oder einander parallel sein. Im zweiten Falle schneiden sich weder die Geraden

noch sind sie einander parallel; sie werden dann windschiefe oder sich kreuzende Geraden genannt.

Schneiden sich die beiden Geraden g und h, so müssen die Projektionen des Schnittpunktes P auf den gleichnamigen Projektionen der beiden Geraden liegen; es muß also P' der Schnittpunkt von g' und h', P" derjenige von g" und h" sein. Als Projektionen eines Kaumpunktes müssen aber P' und P" in einer Senkrechten zur Achse liegen. Umgekehrt schneiden sich (im allgemeinen) die Geraden, wenn die Schnittpunkte ihrer gleichnamigen Projektionen (</ X g" X Ä") in einer Senkrechten zu der Achse liegen.

Sind die beiden Geraden g und h parallel, so ist auch g' || ln!, g" || h" (§ 10), und umgekehrt sind (im allgemeinen) die Geraden parallel, wenn es ihre gleichnamigen Projektionen sind. Daher:

Zwei Gerade liegen (im allgemeinen) in einer Ebene, wenn entweder die Schnittpunkte ihrer gleichnamigen Projektionen in einer Senkrechten zu der Achse liegen oder ihre gleichnamigen Projektionen einander parallel sind; anderenfalls sind die beiden Geraden windschief.

Dieser Satz gilt nicht unbedingt, wenn eine der beiden Geraden, z. B. g JL x ist, oder wenn g und h _L x sind. Im ersten Falle liegen die Schnittpunkte P', P", in denen sich g' und h!, bzw. g" und h" schneiden, zwar senkrecht übereinander, aber g und h brauchen sich deshalb nicht zu schneiden, also auch nicht in einer Ebene zu liegen. Um in diesem Falle die Entscheidung treffen zu können, ob g und h sich schneiden oder nicht, nimmt man ihre dritten Projektionen zu Hilfe, g'" kann als gegeben

angenommen werden, h'" konstruiert man mit Hilfe der dritten Projektionen H'\ ,    der Spurpunkte

von h. Fällt nun der Schnittpunkt von gf" und h'" mit der ebenfalls konstruierten dritten Projektion P'" von P zusammen, so schneiden sich die Geraden (vgl. Fig. 42a); anderenfalls sind sie windschief zueinander

<v>

Mi

INS.

__I

ft

ft

Fig. 42 a uud b-(Fig. 42b). (Man bemerke, daJ3 P"' stets auf h'" liegen muß; P', P", P'" sind in jedem Falle die Projektionen des Punktes P, in welchem die Gerade h die durch g gehende und zu x senkrechte Ebene schneidet [vgl. § 58,1].)

Sind dagegen g und h 1.x, ohne aber in derselben zu x senkrechten Ebene zu liegen, so ist zwar g' \\ h', bzw. g" || h", aber die Geraden sind nur dann einander parallel, wenn auch ihre dritten Projektionen g"f und hf” parallel sind; anderenfalls sind g und h windschief.

Zwei gerade Linien g und h, welche in derselben zu x senkrechten Ebene liegen, schneiden sich oder sind parallel, je nachdem ihre dritten Projektionen g"' und bl" sich schneiden oder parallel sind.

Man zeichne sich für die beiden letzten Fälle die Figuren, indem man g und h durch die Projektionen je zweier Punkte A, B bzw. (7, D als gegeben annimmt und die dritten Projektionen nach § 54 konstruiert.

Darstellung der Ebene.

57. Eine Ebene E ist bestimmt, wenn entweder drei in ihr gelegene Punkte oder zwei in ihr gelegene Geraden gegeben sind. In dem letzteren Falle kann man zu der Bestimmung einer Ebene E ihre beiden Schnittgeraden e₁, e₂ mit den Projektionsebenen TT!, TT₂ benutzen; diese Geraden nennt man die erste (oder horizontale) und zweite (oder vertikale) Spurlinie oder Spur von E. Da sich im allgemeinen drei Ebenen in einem Punkte schneiden, so folgt, daß sich die Spurlinien einer Ebene in einem Punkte E% der Achse x schneiden müssen. Umgekehrt können zwei in TT₁, bzw. TT₂ gelegene Gerade, welche sich in einem Punkte der Achse schneiden, stets als Spurlinien einer Ebene angesehen werden.

Nimmt man noch die Seitenrißebene TT₃ hinzu, so erhält man in der Schnittgeraden von E und TT₃ eine dritte (oder Seiten-) Spurlinie e₃ der Ebene E. Es müssen sich dann im allgemeinen ex und e₃ in einem Punkte Ey der y - Achse, e₂ und e₉ in einem Punkte Et der «-Achse schneiden (Fig. 43a).

•y

l\

i\.....s.:

i f--___

■ ^ /

i\

=< W

Fig. 43 a-

+Ä

|A

•J*

6* +«*

cc

+3

Fig. 43 b-

Aus «i und ^ erhält man demnach e₃, wenn man (Fig. 43b) ihre Schnittpunkte Ey, Et mit der vertikalen Achse bestimmt, 0Ey auf der horizontalen Achs* in richtigem Sinne von 0 aus abträgt und den so gefundenen Punkt mit Eg verbindet; diese letztere Gerade ist eH.

58. Besondere Lagen der Ebene E gegen die Projektionsebenen.

I. Ist E _L TT,, so ist e₂ _L x. Die ersten Projektionen aller Gebilde in E liegen in ex. e₃ ist || e2 (Fig. 44).

+z

+x

e4 4.

-Eulr 'J i

¹

In der Figur 32 ist der umgelegte Punkt P' mit P' bezeichnet, in Zukunft bleibt aber der Akzent (~) weg.

²

Nach ausgeführter Umlegung sollen die Achsen der Kürze wegen als horizontale und vertikale Achse unterschieden werden.

³

Künftighin werden die doppelt auftretenden Punkte der «/-Achse nicht mehr durch obere Marken (x), (z) unterschieden, sondern beide einfach mit demselben Buchstaben bezeichnet werden.

Hau&ner, Darstellend« Geometrie I.

⁴

Aus Rücksicht auf den verfügbaren Raum sind diese Fälle nicht durch Figuren veranschaulicht. Der Leser kanr sich dieselben leicht anfertigen.

⁵

g (g', g") bedeutet: Die Gerade g ist durch ihre Projektionen gf, g" gegeben. Analog P (P', P") u. a.

w

Fig. 44.

Fig. 45.

Fig. 46.

so ist <?₂ ]| x, während et un-

II. Ist E |[ TT endlich fern liegt.

Die zweiten Projektionen aller Gebilde in E liegen auf e₂; ihre ersten Projektionen sind den Gebilden kongruent.

Vertauscht man in beiden Sätzen die Indices 1 und 2 miteinander, so erhält man die analogen Sätze für TT„.

III. Ist E || x, so ist et || e₂ || x (Fig. 45). Die Ebene E steht auf der Seitenrißebene senkrecht, und

Haufiner, Darstellende Geometrie I.

die Seitenrisse aller Gebilde in E liegen auf e₃ . Die Winkel, welche e₃ mit den Achsen einschließt, sind gleich den Neigungswinkeln , e₂ der Ebene E gegen

CD MW

TT,, TT₂ (s.    66).

IV.

E durch x, so fallen e₁ und e₂ mit x

zusammen.

Die Ebene ist dann bestimmt, wenn z. B. noch einer ihrer Punkte, P durch P', P" gegeben ist. Da E _L TT₃ ist, so füllt die dritte Projektion jedes ihrer Punkte auf e₃, und folglich ist e₃ = OP"' (Fig. 46).

59.    Die beiden Ebenen Ht und H₂, welche durch die Achse gehen und den ersten und dritten, bzw. zweiten und vierten Quadranten halbieren, werden die erste und zweite Halbierungsebene genannt. Für jeden Punkt dieser beiden Ebenen sind die beiden Tafelabstände einander gleich. Folglich liegen nach erfolgter Umlegung von TT! in TT₂ die beiden Projektionen eines Punktes von Hx symmetrisch zu x, während die beiden Projektionen eines Punktes von H2 in einen Punkt zusammen fallen. In dem Punkte, in welchem sich die beiden Projektionen g' und g" einer beliebigen Geraden schneiden, liegen daher die beiden Projektionen des Schnittpunktes von g mit H₂ vereinigt.

60.    Da alle Punkte, welche die Ebene E mit TTi, bzw. TT₂ gemeinsam hat, auf ex, bzw. e₂ liegen, so folgt unmittelbar:

Die Spurpunkte aller Geraden einer Ebene sind auf den gleichnamigen Spuren derselben gelegen.

Dieser Satz gestattet sofort zu entscheiden, ob eine Gerade g{gg") in einer Ebene E (el, e₂) liegt.

Aufgabe I. Man soll die zweite Projektion ff* der in der Ebene E^, e₂) liegenden Geraden g,

von welcher die erste Projektion g' gegeben ist, konstruieren.

Man zieht durch die Punkte Gx und G'₂ (Fig. 47), in denen ex und x von gf geschnitten werden, Senkrechte zu x, welche die Punkte G" auf x, bzw. auf es bestimmen. G" G₂ ist dann g".

//!

JC-

ü'

-a¹

Fig. 47.

Die Figur löst auch die umgekehrte Aufgabe II. Es ist die zweite Spur e₂ der Ebene, welche durch g(g', g") hindurchgeht und e± als erste Spur hat, zu bestimmen.

Aufgabe III. Zwei sich schneidende oder parallele Gerade g(g', g") und h(h', h") sind gegeben; man soll die Spuren e₁, e₂ ihrer Verbindungsebene konstruieren.

Die Verbindungslinie der gleichnamigen Spurpunkte G₁H₁ und G₂II₂ sind die gesuchten Spuren.

Liegen einige oder sämtliche Spurpunkte von g, h außerhalb der Zeichenebene, so nimmt man zwei Geraden (k, l) zu Hilfe, welche sowohl g als h schneiden und erreichbare Spurpunkte Kx, K₂, bzw. Lx, L2 haben. Diese Hilfsgeraden liegen ebenfalls in der Verbindungsebene g und h, und ihre Spurpunkte lieg«}

7*

daher auch auf et und e₂ (Fig. 48). Man wählt kf} V willkürlich und bestimmt zu den Punkten

M⁷ = vxg', N' = rx<f,

Qf = K X Ä', R' =/'X h'

1.,

fX

QRX

;    ‘Np¹'' ~

A"

K.

's

L,

K,

Fig. 48.

die zweiten Projektionen, so daß M und N auf g, Q und R auf h liegen (§ 48). Dann ist k" = M" Q", l" = N" R"

und feiner

^ l ^1 >    -^2

Kontrolle:    und e₂ müssen sich auf der Achse

x schneiden oder derselben parallel sein. —

Die vorstehende Konstruktion gibt aber auch ein Hilfsmittel, um zu entscheiden, ob durch zwei Gerade g und h eine Ebene gelegt werden kann, wenn die Punkte g' X hf, /' X Ä" nicht zugänglich sind und also das Kennzeichen des Satzes in § 56 versagt. Man be*

nutzt dann am bequemsten zur Entscheidung, daß P — k' X V und P" — k" X V' in derselben Senkrechten zu x liegen oder nicht, je nachdem g und. h sich schneiden oder windschief sind. —

Wenn g und h durch denselben Punkt O der Achse x gehen (Fig. 49), so muß ihre Verbindungsebene

ß,

Me!

Ti

Fig. 49.

ebenfalls durch O gehen und es reicht die Benutzung einer Hilfslinie Ic, welche sowohl g als h schneidet, aus; diese Gerade k konstruiert man genau wie oben in Figur 48. Die Verbindungslinien ihrer Spurpunkte Kx , K₂ mit Cr = Ex gibt die gesuchten Spuren e, , e₂ der Verbindungsebene von g und h. —

Bemerkung. Soll die Ebene, welche durch eine Gerade g und einen nicht auf g gelegenen Punkt P geht, oder welche durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte A, B, G geht, bestimmt werden, so führt man die Aufgabe auf die soeben gelöste zurück, indem man durch P eine Gerade, welche O schneidet, zieht, bzw. indem man zwei der drei Geraden AB, BG, GA zieht.

Aufgabe IV. Durch einen Punkt P(P', P") soll eine Ebene parallel zu den beiden nicht parallelen Geraden g(g', g") und h (&', h") gelegt werden.

Zieht man durch P' die Geraden P || g', X || h! und durch P" die Geraden P' || g", l" || h", so sind P, P' und V, 1” die Projektionen zweier durch P gezogenen Parallelen zu g und h. Ihre Verbindungsebene, welche man nach Aufgabe HE bestimmt, ist die verlangte Ebene.

Zieht man durch einen beliebigen auf g gelegenen Punkt die Gerade l || h, so erhält man in der Verbindungsebene von g und l diejenige Ebene, welche durch g geht und parallel h ist.

61. Aufgabe. Die zweite Projektion eines Dreiecks ABG zu konstruieren, welches durch seine erste Projektion A!B'G' und die Spuren e₁, e₂ seiner Ebene E gegeben ist.

Durch wiederholte Anwendung der für die Aufgabe I des vorigen Paragraphen mitgeteilten Lösung erhält man leicht zu den gegebenen ersten Projektionen a' = B'C', b' = G'A', </= A'B' die zugehörigen zweiten Projektionen a" = B" G", b" — C"A", c" = A"B" (Kg. 50).

Kontrolle: A'A", B'B", CG" müssen_La; sein.

Der Punkt At, in welchem sich a! und a" schneiden, ist (§ 59) ein Punkt der zweiten Halbierungsebene und liegt folglich auf der Schnittgeraden e von E und H

Dasselbe gilt für die beiden Projektionen jeder anderen Geraden der Ebene E; es liegen also die Punkte Be = b' X b'\ Ce — d X c" ebenfalls auf e. Auf der Geraden e muß auch Ex liegen, da H₂ durch x

c,.

y%

>le

Fig. 50.

geht. Beachtet man noch, daß -ÄA" || B'B" || C'C" ist, da sie sämtlich _L x sind, so erkennt man, daß A'B'C' und A"B"C" perspektiv-affine Figuren sind (§ 13) für e als Affinitätsachse; die Affinitätsstralilen sind _L x. Was hier speziell für die beiden Projektionen des Dreiecks ABC nachgewiesen ist, gilt für die Projektionen jeder Figur in E, da Grundriß und Aufriß jedes Punktes, bzw. jeder Geraden die Affinitätsbedingungen des § 13 erfüllen. Folglich gilt allgemein der Satz:

Nach Umlegung der ersten Projektionsebene in die zweite sind Grundriß und Aufriß jeder ebenen Figur perspektiv-affin; die Affinitätsachse ist die Schnittgerade der Ebene der Figur und der zweiten Halbierungsebene.

Ist A"B" C", wie vorhin, aus A'B' C', et, e2 konstruiert, so bietet die affine Verwandtschaft von Grundriß und Aufriß eine weitere Kontrolle. Andererseits kann man diese Affinität aber auch benutzen, um den Aufriß erst zu konstruieren, nachdem man Grundriß und Aufriß einer beliebigen Geraden oder eines beliebigen Punktes der Ebene E bestimmt hat.

Die zweiten Projektionen der

Zwei beliebige Dreiecke A'B’C' und A"B"C", deren entsprechende Ecken in Senkrechten zu der «-Achse liegen, können stets als die Projektionen eines im Raume gelegenen Dreiecks ABC betrachtet werden. Dagegen sind für w> 3 zwei n - Ecke A'B'C'D' . . . ■und A" B" C” D". . . , auch wenn ihre entsprechenden Ecken lotrecht zu x übereinander liegen, nicht mehr stets die Projektionen eines ebenen w-Ecks; vielmehr ist ein ebenes «-Eck AB CD . .. bereits bestimmt, wenn man seine erste Projektion A' B'G'D' . . . tmd die zweiten Projektionen dreier seiner Eckpunkte z. B. A", BM, Cn kennt, anderen Eckpunkte sind dann durch die Forderung, daß das Polygon ein ebenes sein soll, bestimmt; zu ihrer Konstruktion verwendet man bequem die Affinität von Grundriß und Aufriß.

62. Von den in einer Ebene gelegenen Geraden sind zwei Arten von besonderer Wichtigkeit: die Haupt- und Falllinien einer Ebene.

Die zu der ersten oder zweiten Spur einer Ebene parallelen Geraden werden erste oder zweite Hauptlinien (auch Tafel- oder Streichlinien) derselben genannt.

Die ersten Hauptlinien einer Ebenen E sind demnach 11 TTj, die zweiten 11 TT₂, und folglich ist für eine erste Hauptlinie u der Ebene E:

v! || et, u" || x ;    "

für eine zweite Hauptlinie v der Ebene E: v’\\x, «"Heg.

Aufgabe I. Die zweite Projektion P" des in E (ßi, e₂) gelegenen Punktes P, dessen erste Projektion P' gegeben ist, zu bestimmen.

X-

-x

JU_[__

Fig. 51.

Man benutzt eine durch P gehende Gerade von E (Fig. 51), am einfachsten eine der beiden Hauptlinien. Entweder zieht man also || durch P' und durch deren zweiten Spurpunkt U₂ die Parallele u" zu x, oder t/ || x durch P' und durch die zweite Projektion V'{ ihres ersten Spurpunktes «/' || es. Dann schneidet die

106 ni. Darstellung von Punkt, Gerade und Ebene usw.

Vertikale durch P' sowohl u" als xf' in der gesuchten zweiten Projektion P".

Die Figur 51 gibt ohne weiteres auch die Lösung der umgekehrten

Aufgabe II. Die zweite Spur der durch den Punkt P(P', P") gehenden Ebene E, deren erste Spur e₁ gegeben ist, zu bestimmen.

63.    Die in einer Ebene zu ihren ersten oder zweiten Hauptlinien senkrecht gezogenen Geraden heißen erste oder zweite Falllinien, weil sie von allen Geraden der Ebene die größte Neigung (oder den stärksten Fall) gegen die betreffende Projektionsebene haben.

Es werde eine erste Falllinie der Ebene E mit u, eine zweite Falllinie mit ti und entsprechend ihre Spurpunkte mit Uj, U₂, bzw. 3S₁, 93₂ bezeichnet.

Da u senkrecht zu den ersten Hauptlinien, also auch _L e₁ ist, so folgt, daß die erste projizierende Ebene von u senkrecht auf e₁ steht. Es steht ex daher auf allen Geraden dieser Ebene, mithin auch auf u' senkrecht. Folglich ist, indem man für b analog schließt, u_Lel5 u'_L^; b_Le₂, b"_Le₂.

Beachtet man, daß u' || e± für eine erste Hauptlinie u war, so folgt, daß die von den ersten Hauptlinien mit den ersten Falllinien gebildeten rechten Winkel sich als rechte Winkel auf projizieren. Legt man daher E um ei in TT₁ um, so decken sich die ersten Falllinien mit ihren ersten Projektionen. Das gleiche Verhalten zeigen die zweiten Falllinien in bezug auf TT₂.

64.    Ist nun ein rechter Winkel gegeben, dessen einer Schenkel parallel einer Projektionsebene, z. B. || TTj liegt, so ist dieser Schenkel eine erste Hauptlinie, der

andere Schenkel eine erste FaUlinie der Ebene des rechten Winkels. Ist diese Ebene nicht senkrecht zu Tl^ , so projiziert sich daher der rechte Winkel wieder als rechter Winkel. Da parallele Gerade parallele Projektionen haben (§ 10), so folgt weiter, daß auch die ersten Projektionen zweier windschiefen Geraden g und h, welche senkrecht zueinander gerichtet sind, einen rechten Winkel bilden, wenn die eine Gerade j| TTj ist. Demnach gilt der folgende, für spätere Anwendungen wichtige Satz:

Wenn von zwei senkrecht zueinander gerichteten (sich schneidenden oder windschiefen) Geraden die eine parallel einer Projektionsebene ist, schließen auch ihre 'senkrechten Projektionen auf dieselbe einen rechten Winkel ein. Umgekehrt: Schneiden sich die senkrechten Projektionen zweier Geraden auf eine Ebene rechtwinklig und ist eine der Geraden dieser Ebene parallel, so sind auch die Geraden senkrecht zueinander gerichtet.

65. Liegt ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit einer Kathete einer Projektionsebene, z. B. TT! parallel (Fig. 52), so ist diese Kathete AG eine erste Hauptlinie und die andere CB eine erste Falllinie der Ebene des Dreiecks. Folglich ist nach dem vorigen Paragraphen die Projektion des Dreiecks, A'G'B' wieder ein rechtwinkliges Dreieck, und es ist AC = A'C', BOB'G'.

Hieraus folgt aber für die Winkel des Dreiecks und seiner Projektion

und mithin:

oc > <%' und ß < ß',

Die senkrechte Projektion eines spitzen Winkels ist kleiner als derselbe, wenn einer seiner Schenkel eine Hauptlinie seiner Ebene, dagegen größer, wenn einer seiner Schenkel eine Falllinie seiner Ebene ist.

fl)

'B'

Fig. 52.

Ein beliebig gelegener spitzer Winkel wird demnach durch senkrechte Projektion verkleinert, wenn die durch seinen Scheitel gehende Hauptlinie ihn in zwei spitze AVinkel zerlegt, dagegen vergrößert, wenn dies die durch seinen Scheitel gehende Falllinie tut. Findet aber weder der erste noch der zweite Fall statt, so läßt sich über die Größe des Winkels zu seiner Projektion allgemein nichts aus-sagen.

66. Unter dem Neigungswinkel zweier Ebenen versteht man den spitzen Winkel zwischen den Geraden, welche aus den beiden Ebenen durch eine dritte, zu ihrer Schnittlinie senkrechte Ebene ausgeschnitten werden.

Der Neigungswinkel einer Ebene E gegen eine der Projektionsebenen wird demnach gemessen durch den Neigungswinkel einer gleichnamigen Falllinie von E. Bezeichnet man die Neigungswinkel von E gegen TTt, TT₂ mit £lt e₂ (erste und zweite Tafelneigung von E), so ist

ei = •£(«') m))< h ~ <0>", ö).

Aufgabe. Man soll die beiden Tafelneigungen einer Ebene E(e₁₅ e₂) konstruieren.

Die durch einen beliebigen Punkt A der Achse x (Fig. 53a) senkrecht zu ex gelegte Ebene schneidet E

TT,

e.

MT)

■u    y k 11

.....

JL

li \

l!

-v-'/r

Fig. 53 »•

Fig. B3 b-

in einer ersten Falllinie u, TT₁ in deren erster Projektion u', TT₂ in MU₂ _Lx, und es ist also <AVLXU₂ *=

Man erhält mithin et, wenn man (Fig. 53b) das rechtwinklige Dreieck Ux AUj entweder um UXA in TTj oder um AVL₂ in TT₂ umlegt, wodurch das Dreieck in die Lage Uj -413-2, bzw. U A U₂ kommt.

In gleicher Weise erhält man e₂, wenn man durch A eine Ebene senkrecht zu e₂ legt; diese Ebene schneidet E in einer zweiten Falllinie b, TT₂ in v". TTi in _L cc, und es ist

<£^133₂33i — £₂.

man

Da die Ebenen der beiden Dreiecke A^ U₂ und A^8X33₂ senkrecht auf E stehen, so steht auch ihre Schnittgerade AB A. E; AB ist also in beiden Dreiecken die Höhe. Fällt man daher in den umgelegten Dreiecken U^U^, 33i^33₂, bzw. Uf^U₂, 33^33^ von A die Höhen auf die Hypotenusen (in Fig. 53b ist nur die Höhe AB⁰ in U₁J.11$ gezeichnet), so müssen sie gleiche Länge haben. Diesen Umstand kann benutzen, um die Spuren einer Ebene, deren Tafelneigungen gegeben sind und welche durch einen gegebenen Punkt geht, zu konstruieren.

Die erste Projektion von AB fällt in die Gerade u', die zweite in ü"; es ist also die erste, bzw. zweite Tafelneigung der Geraden AB:

Yi -<BAVi₁ = 90° - ei, y₂ = <BA%₂ = 90° - <-₂ .

wenn E

Da nun yt -j- y₂ < 90° war (§ 54), so folgt £i + e2 90°, d. h. die Summe der Tafelneigungen einer Ebene ist mindestens gleich einem Rechten. Der Grenzfall sx + e₂ = 90° tritt nur ein, einer Projektionsebene oder der Achse parallel ist.

Gegenseitige Lage zweier Ebenen.

67. Da zwei parallele Ebenen von jeder dritten Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, so folgt;

Parallele Eben en haben in jeder Projektionsebene parallele Spuren. Umgekehrt sind zwei Ebenen parallel, wenn ihre gleichnamigen Spuren parallel sind. Für die Anwendung des umgekehrten Satzes reicht es aus, die ersten und zweiten Spuren zu betrachten, vorausgesetzt, daß sie nicht sämtlich || x sind; sind jedoch alle Spuren \\x, so geben erst die dritten Spuren die Entscheidung, ob die beiden Ebenen einander parallel sind oder nicht.

Aufgabe. Man soll die Spuren der Ebene bestimmen, welche durch den Punkt P(F, P") geht und der Ebene E (ex, e₂) parallel ist.

u    .

—• -Ny

JL

.4P

e,

Fig. 54.

Zu einer beliebigen Geraden g in E (Fig. 54) zieht man die Parallele h durch P(h'\\g', h"||g") und bestimmt ihre Spurpunkte Hx, II₂. Die durch Hx, H₂ zu et bzw. e2 gezogenen Parallelen fx, f₂ sind die Spuren der gesuchten Ebene 4*. /j und f₂ müssen sich auf x schneiden.

von

Die Konstruktion vereinfacht sich, wenn man als Gerade g eine der Spuren von E, z. B. ex wählt; dann ist die Parallele zu g durch P eine erste Hauptlinie w 4> (also: u' || Cj durch F, u" \\x durch F\ f% ||e,

durch U₂, ft\\ßi durch Fx= f₂\x). Diese spezielle Wahl von g ist aber unbrauchbar, wenn E | j x ist.

68. Zwei einander nicht parallele Ebenen schneiden sich immer in einer Geraden. Da dieselbe beiden Ebenen angehört, so müssen ihre Spurpunkte auf den gleichnamigen Spuren beider Ebenen, folglich in den Schnittpunkten dieser Spuren liegen.

/f\ ²

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Fig. 65.

Fig. 66.

Fig. 67.

Aufgabe: Die Schnittgerade s der beiden Ebenen A (ax, a₂) und B(&t, b₂) zu konstruieren.

Yon den Punkten Sx = (ax X 4), S₂ = (a₂ X 4) fällt man die Lote Sx S[', Sgfia auf die Achse; dann ist .9' = Sx S'₂, s" = Si'S₂ (Fig. 55).

Ist speziell % || 4 , so ist auch s'U^ || b{ und s" \\x.

Diese Konstruktion versagt, 1) wenn beide Ebenen der Achse parallel sind, 2) beide Ebenen die Achse in demselben Punkte schneiden und 3) einer der beiden Spurpunkte Sx, S₂ oder beide außerhalb der Zeichenfläche liegen.

In den Fällen 1) und 2) benutzt man am einfachsten eine Hilfsebene N, welche auf einer Projektionsebene, z. B. auf TT₁ senkrecht steht, deren erste Spur nx beliebig gewählt werden kann und deren zweite Spur n₂ _Lx durch Nx = n₁ X x geht. Die Projektionen der Geraden k, l, in denen N die Ebenen A und B schneidet, bestimmt man leicht nach der eben auseinandergesetzten Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen A, N, bzw. B, N; die ersten Projektionen F, l' fallen mit nx zusammen (§ 58, I), da N _L TTj ist. Der Punkt P" — k!r X V' ist dann die zweite Projektion des den drei Ebenen A, E^, N gemeinsamen Punktes P, durch den die gesuchte Schnittgerade s gehen muß. P' muß in dem Schnittpunkte des von P" auf x gefällten Lotes mit nx liegen. In dem Falle 1) (Fig. 56) sind beide Ebenen zu x parallel, folglich sind auch s, s' (durch P'), s" (durch P") parallel x. In dem Falle 2) (Fig. 57) schneiden beide Ebenen die Achse in dem Punkte A, folglich muß ihre Schnittgerade s ebenfalls durch A gehen, daher ist «'-Fi, «" = P"A.

In dem Falle 3) legt man durch einen beliebigen Pimkt Cx der Achse eine Parallelebene T zu B (cx || blx c₂ || fe₂), so daß die Schnittlinie t von A und T zugängliche Spurpunkte Tx, T₂ besitzt. Da parallele Ebenen von einer dritten Ebene in parallelen Geraden geschnitten werden, so ist s || t. (Vgl. die in schiefer Parallelprojektion gegebene Skizze 58.)

Ist nun einer der Spurpunkte von s, z. B. S2 innerhalb der Zeichenebene gelegen, so zieht man durch S₂ und &2 die Geraden s" 11 f und F 11 if. — Liegen aber beide Spurpunkte außerhalb der Zeichenebene, so

Hauftner, Darstellende Geometrie I.

ziehe man in TT! (Fig. 58) eine beliebige Gerade durch AX1 welche f (= T₁K) in K und s' in L schneidet, und verbinde K mit Cx, L mit Bx. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke Ax Tx Gx imd Ax Sx Bx einer- ■ seits, und AXTXK und AXS₁L andererseits folgt Ax K: Ax L = Ax Cx : Ax Bx ;

es ist also auch

folglich

A AXKCx™ A AXLBX, KGX\\LBX.

'V&

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W l-fs

*4

'f \l I

’nI

r#5

Hh

Fig. 59.

Fig. 58.

Daher findet man einen Punkt L von s', indem man (Fig. 59) einen beliebigen Punkt K auf f mit und Cr verbindet und die Verlängerung von    mit der

durch Bx gehenden Parallelen zu CXK schneidet; die durch den Schnittpunkt L zu f gezogene Parallele s' ist dann die erste Projektion von s. In gleicher Weise erhält man mit Benutzung eines beliebigen Punktes M auf t" den Punkt N auf s". — Diese Konstruktion ist selbst dann noch anwendbar, wenn von jedem Punkte der Geraden s nur die eine Projektion auf der Zeichenfläche liegt (wie es in Figur 59 z. B. der Fall ist. Vgl. auch § 83).

Den Schnittpunkt dreier Ebenen A, B, T erhält man als Schnittpunkt der beiden Schnittgeraden zweier Ebenenpaare z. B. A, B; A, T.

Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene.

69. Eine Gerade g kann in einer Ebene E liegen, sie schneiden oder ihr parallel sein.

Der erste Fall ist durch den Satz des § 60 bereits erledigt. Hier bleibt vornehmlich der zweite Fall zu betrachten, welcher Veranlassung gibt zu der folgenden

•fr

JC

b" V

Fig. eob-

Fig. COa-

Aufgabe. Es soll der Schnittpunkt P einer Ebene E(ex, e₂) und einer Geraden g(gf, g") konstruiert werden.

Man benutzt eine der projizierenden Ebenen von g, z. B. die erste (N) als Hilfsebene (Fig. 60a, 60b). Die erste Spur nx derselben fällt mit g' zusammen, die zweite n₂ ist J_ x. Die Ebene N enthält die Geraden

8*

g und s=NXE, welche letztere nach § 68 zu konstruieren ist. Folglich ist P" — s" X g" die zweite Projektion des Schnittpunktes P von g und E, dessen erste Projektion auf gf senkrecht unter P" liegt.

un-

Ist der Punkt ££ — g' X ¹ und damit S2 erreichbar, so nimmt man eine beliebige Gerade von E, z. B. eine erste Hauptlinie u{v! 11 e₁, u"\\x). Der Punkt Q' — u' X s' ist dann die erste Projektion des Schnittpunktes Q von s mit m, und es ist s" = S" Q" (wo Q" auf der Vertikalen durch Q' und auf u" liegt).

Um sich aus der Zeichnung leicht eine klare Vorstellung der räumlichen Verhältnisse bilden zu können, zieht man (nach § 32) diejenigen Linien, welche in der Sehrichtung durch Ebenen oder Flächen verdeckt werden, nicht aus, sondern punktiert sie nur. Da die Sehstrahlen mit den Projektionsstrahlen zusammen- j fallen, so ist ein Beschauer des Grundrisses in unendlicher Entfernung über TT! und ein Beschauer des Aufrisses in imendlicher Entfernung vor TT₂ befindlich zu denken. Für den ersteren Beschauer ist derjenige von zwei Punkten unsichtbar, welcher senkrecht unter dem anderen liegt, also derjenige, dessen zweite Projektion senkrecht unter der des andern liegt; für den zweiten Beschauer ist aus gleichem Grunde derjenige von zwei Punkten unsichtbar, welcher senkrecht zu TT₂ hinter dem anderen liegt, also derjenige, dessen erste Projektion (in der umgelegten Figur) senkrecht über der des anderen liegt.

In bezug auf eine Ebene E merke man sich die folgende Regel, von deren Richtigkeit man sich leicht überzeugt¹):

aus

ln jeder der beiden Sehrichtungen erblickt man dieselbe oder verschiedene Seiten von E, je nachdem die in + TT!, bzw. -f- TT₂ gelegenen Teile von et und e₂ spitze Winkel mit derselben Richtung oder mit verschiedenen Richtungen der r-Achse einschließen.

Figur 60a entspricht dem ersten und Figur 60b dem zweiten Falle.

Nach dem Obigen ist im Grundrisse der Teil von g sichtbar, dessen Aufriß über s" gelegen ist; der entsprechende Teil von g' bis Pf ist ausgezogen. Im Aufrisse ist augenscheinlich derselbe (Fig. 60a) oder der andere (Fig. 60b) Teil von g sichtbar; je nachdem man im Grundriß und Aufriß dieselbe Seite von E oder entgegengesetzte Seiten erblickt.

70. Aufgabe I. Es ist der Schnittpunkt P einer Ebene, welche durch die Projektionen dreier ihrer Punkte A, B, C gegeben ist, und einer Geraden g(g'₁ g") zu konstruieren.

Das Verfahren bleibt dasselbe, ohne daß man jedoch erst die Spuren der Ebene ABC zu bestimmen braucht. Die erste projizierende Ebene von g schneidet die Ebene des Dreiecks ABC in einer Geraden s, deren erste Projektion «'mit g' zusammenfällt (Fig. 61). Die Punkte Z7, jE", in welchen s'— g' die Geraden A' G', B'C' schneidet, sind also die ersten Projektionen der Punkte D, E, in denen s die Geraden A 0, BC trifft. Daher ist s" = I/'E" und P" = X P' Hegt lotrecht unter P" auf g'.

Betreffs des Ausziehens ist das oben Gesagte zu beachten. Gewöhnlich nimmt man dabei nur die Fläche des Dreiecks ABC (nicht die ganze Ebene) als vorhanden an. Die Regel, 'welche Seite der Dreieckfläche sichtbar ist, kann man so aussprechen:

In jeder der beiden Sehrichtungen erblickt man dieselbe oder verschiedene Seiten eines Dreiecks, je nachdem der durch die alphabetische Reihenfolge der Ecken bestimmte Umlaufssinn für beide Projektionen der gleiche oder entgegengesetzte ist.

fr

C"

9/B" 41

,1

i-

gLs’

A'

Fig. 61 a

und b.

Fig. 62.

an-

In den Figuren 61 ist dieser Umlaufssinn für A! B' C' mit dem des Uhrzeigers übereinstimmend genommen und mit diesem stimmt in Figur 61b auch der Umlaufssinn von A''B"G" überein, während derselbe in Figur 61 a entgegengesetzt ist; in Figur 61 a kehrt daher das Dreieck ABC einem Beschauer in den beiden Sehrichtungen verschiedene Seiten, in Figur 61b dagegen dieselbe Seite zu.

Aufgabe II. Die Schnittlinie zweier Dreiecke ABC und KLM zu konstruieren.

Die Lösung erhält man durch eine zweimalige Anwendung der unter I gegebenen Konstruktion, indem man (Fig. 62) die Schnittpunkte P, Q zweier Dreiecksseiten, z. B. KM, LM, mit der durch die drei Punkte A, B, C bestimmten Ebene ermittelt. Als Schnittlinie der beiden Dreiecke kommt dabei nur das innerhalb beider Dreiecke gelegene Stück der durch die Gerade PQ bestimmten Schnittgeraden der Dreiecksebenen in Betracht; in Figur 62 z. B. das Stück BQ.

71. Die für die Aufgaben I und II gegebenen Lösungen lassen zugleich erkennen, daß eine Gerade g der Ebene E parallel ist, wenn die Schnittgerade s der letzteren mit der ersten projizierenden Ebene von g parallel g, d. h. also, wenn s" \\g" ist.

Gerade Linien und Ebenen in rechtwinkliger Stellung.

72. Aus dem in § 64 auf gestellten Satze folgt sofort der für die folgenden Betrachtungen grundlegende Satz:

Damit eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, ist notwendig und hinreichend, daß die beiden Projektionen der Geraden auf den gleichnamigen Spuren der Ebene senkrecht stehen.

wenn

Ist nämlich g _LE, also g _L e₁ und _L e₂ , so folgt aus dem Satze in § 64, daß auch g' _L el, g" _L e₂ ist. Wenn aber umgekehrt g' _L ex, g" _L e2 ist, so folgt aus der Umkehrung jenes Satzes, daß im allgemeinen auch g I \ und _L e₂ •> also _L E ist. Nur ex || ^II* ist und g', g" in derselben Senkrechten zu x liegen, ist das Kriterium nicht ausreichend, sondern es ist noch zu untersuchen, ob auch rf” _Le₃ ist

73. Aufgabe I. Es ist von dem Punkte R(R', R") das Lot l auf die Ebene E (et, e₂) fällen und seine wahre Länge zu bestimmen.

zu

Die Lote l" von i?', R” auf el, bzw. e₂ (Fig. 63) sind die Projektionen des gesuchten Lotes, dessen Schnittpunkt P mit E nach § 69 zu bestimmen ist (die Schnittgerade der ersten projizierenden Ebene von l mit E ist eine erste Falllinie). Dann hat man noch die wahre Länge von RP (= RtfP") zu konstruieren

(§ 55).

R"

e, 17

! i\

Fig. 64.

Fig. 63.

Aufgabe II. Durch den Punkt Q(QQff) soll die zu g senkrechte Ebene N (Normalebene zu g) konstruiert werden.

Da die Spuren nx, n₂ (Fig. 64) der gesuchten Ebene auf bzw. g" senkrecht stehen, so hat man nur nötig, einen Punkt von ny oder n₂ zu bestimmen, was z. B. mit Hilfe der durch Q gehenden ersten Hauptlinie u von N (u’ J_ </, u" || x) geschehen kann. Durch ihren zweiten Spurpunkt U₂ zieht man w₃ _L g" und dann durch Nx — nt X x noch nx _L g’.

Gerade Linien und Ebenen in rechtwinkliger Steilung. 121

Aufgabe III. Der Abstand l eines Punktes Q(Qf, Q") von der Geraden g(g', g") soll bestimmt werden.

Man legt durch Q eine Ebene N _L g und bestimmt dann (nach § 69 oder 70,1) den Schnittpunkt P = ^XN,

~r~Y<-----

Jp'

.y

gLs’

q:<

/<?

---------

Fig. 65.

welcher der Fußpunkt des von Q auf g gefällten Lotes l ist. Zur Bestimmung der Ebene N braucht man aber nicht erst (nach Aufgabe II) ihre Spuren zu bestimmen, sondern es genügen ihre beiden durch Q gehenden Hauptlinien u und v (Fig. 65). Durch Q' zieht man also u' J_ g', vf ± Qf (/' und durch Q" u" ±Q'Q", v" _L g". Hierauf bestimmt man den Schnittpunkt P von g mit N (nach § 70,1: 1/ = u' X /, #' = V X *" = D"E",

P" = g"X s") und erhält in P'<7, P" Q" die beiden Projektionen des gesuchten Abstandes l: dessen wahre Länge l₀ sich (nach § 55) leicht ergibt (vgl. § 85, vorletzter Absatz).

Aufgabe IV. Den Abstand zweier durch ihre Spuren gegebenen parallelen Ebenen zu bestimmen.

Man zieht durch einen beliebigen Punkt eine Senkrechte zu beiden Ebenen imd bestimmt die wahre Länge des Abstandes ihrer Fußpunkte.

74. Der kürzeste Abstand zweier windschiefen Geraden ist diejenige zwischen ihnen ge-

Pf

¹ '.ftN

jri' | \3<

fAf'

*. i

' UJ

A'.

[V

Ä/%>

Fig. ca

Fig. 07.

welche auf beiden zugleich senk-

legene Strecke recht steht.

Projiziert man (Fig. 66) die eine Gerade ft senkrecht auf eine zu ihr parallele, durch die andere Gerade g gelegte Ebene E, so erhält man in E die Gerade i parallel ft, und das in dem Schnittpunkte M von g und i errichtete Lot MN ist der gesuchte kürzeste Abstand.

Hiernach gestaltet sich die Konstruktion des kürzesten Abstandes zweier windschiefen Geraden g und Ji folgendermaßen. Man legt (Fig. 67) durch g die Ebene E parallel h (§ 60, IV: Durch einen beliebigen Punkt L von g zieht man Je [ j h, wobei in der Figur Je' — h' gewählt ist, und bestimmt die Spuren e₁, e₂ der durch g und Je gehenden Ebene E als die Verbindungslinien der gleichnamigen Spurpunkte dieser Geraden). Darauf fällt man von einem beliebigen Punkte der Geraden Ji, als welcher in der Figur der Einfachheit wegen der Spurpunkt //₂ genommen ist, das Lot l auf E (V _L e₁, l" _L e₂) und bestimmt seinen Fußpunkt P in E (§ 73, I). Durch P zieht man parallel zu h die Gerade i, welche die senkrechte Projektion von h auf E vors teilt, und errichtet in M = g X * ein Lot auf E {Mf N' _L \ , M"N" _L e₂), welches h in N schneidet und dessen wahre Länge nach § 55 ermittelt werden kann (2. Lösung in § 85).

Umlegung ebener Gebilde in eine Tafel.

75. Eine ebene Figur erscheint bei dem Verfahren der senkrechten Projektion nur dann in ihrer wahren Gestalt, wenn die Ebene der Figur entweder mit einer Projektionsebene zusammenfällt oder zu ihr parallel ist, wie aus den Betrachtungen am Ende des § 11 folgt. Liegt die Ebene E der Figur aber beliebig gegen beide Projektionsebenen, so muß man E entweder um eine Spur in die gleichnamige Projektionsebene umlegen oder um eine Hauptlinie zu der gleichnamigen Projektionsebene parallel drehen. Beide Verfahren sind bereits bei einfachen Aufgaben verwendet, das erste in den §§ 54 und 66 und das zweite in § 54²). Jetzt sollen mit Hilfe des Umlegungsverfahrens einige kompliziertere wichtige Aufgaben gelöst werden.

76. Aufgabe. Man soll den von zwei Geraden g(g', g") und h(ti, h") gebildeten Winkel cp bestimmen.

T"

9?

-r

\H/

¹

Am leichtesten indem man sich ein Modell Karton herstellt.

²

Das Beispiel ist insofern speziell, als die umzulegende Figur senkrecht auf der einen Projektionstafel steht; in § 80 wird deshalb noch ein Beispiel für den allgemeineren Fall gegeben.

G^ F

Fig. 68.

Jede zu h parallele Gerade schließt mit g den gleichen Winkel ein wie h selbst; folglich ist es keine Beschränkung, wenn man voraussetzt, daß sich g und h in einem Punkte P schneiden. Das von dem Punkte P und den ersten Spurpunkten Gx, Hx gebildete Dreieck (Fig. 68) enthält bei P den gesuchten Winkel, welchen man daher durch Umlegen dieses Dreiecks um GXHX

in TT! findet. Bei diesem Umlegen beschreibt P einen Kreisbogen, dessen Ebene auf GlHl senkrecht steht und dessen Mittelpunkt der Fußpunkt F des von P auf diese Gerade gefällten Lotes ist. Die erste Projektion dieses Lotes fällt in das von P' auf G₁H1 gefällte Lot (§ 72), auf welchem auch der umgelegte Punkt P₀ liegen muß, da sich die ganze Kreisebene in dasselbe projiziert. Um noch die Länge P₀F zu erhalten, beachte man, daß P₀F Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks BP'P mit den Katheten FP' und P'P—PXP" ist. Daher trägt man FP' von Px bis Fj auf x ab¹) und macht schließlich FP₀ = F%P". Die von P₀ nach Gx und Hx gezogenen Geraden schließen den gesuchten Winkel cp ein. — Liegt P zu weit entfernt von einer Projektionsebene, so benutzt man zwei geeignete Parallelen zu g und h.

Soll durch P eine Gerade gezogen werden, welche den von den Geraden g und h gebildeten Winkel in einem bestimmten Verhältnisse teilt, so muß man zuerst den umgelegten Winkel GlP₀H₁ in diesem Verhältnisse teilen; verbindet man den Punkt, in welchem diese Teilgerade G₁HX schneidet, mit P', so erhält man die erste Projektion der gesuchten Geraden, deren zweite Projektion man dann in gewohnter Weise ermittelt

77. Aufgabe. Es ist der Neigungswinkel xp der beiden Ebenen A (% , a₂) und B (bx, b₂) zu konstruieren.

Jede Ebene N, welche auf der Schuittgeraden s der Ebenen A und B senkrecht steht, schneidet dieselben in Geraden, welche den gesuchten Neigungswinkel yj einschließen. Statt aber N durch einen beliebigen Punkt von s zu legen, kann man ihre erste Spurlinie nl, welche _L s' ist (§ 72) durch einen beliebigen Punkt G von s' ziehen (Fig. 69); ny schneide dann Oj und in den Punkten D und E. Bezeichnet

JC

ßJT

Fig. 69.

man mit F den noch zu bestimmenden Schnittpunkt von N und s, so enthält A DFE bei F den Winkel y> oder das Supplement desselben. CF steht senkrecht einerseits auf %, da nx auf der ersten projizierenden Ebene von s senkrecht steht, und andererseits auf s, da CF in N liegt. Legt man also das Dreieck DFE um DE in IT! um, so bleibt der Punkt F bei dieser Bewegung stets in der ersten projizierenden Ebene von * und fällt schließlich in einen Punkt F₀ von s'. Da CF₀ =■= CF ist, so hat man nur noch die Höhe des

Dreiecks DEF zu konstruieren. ÖF gehört aber auch dem rechtwinkligen Dreiecke S1S2S2 an und ist das von dem Punkte G der Kathete <Si S'% auf die Hypotenuse St S₂ gefällte Lot. Um seine wahre Länge zu erhalten, legt man AS±S'%S₂ um /S\S'₂ in TTi (S₂ SA — S₂S₂ und _L S₁S₂) und fällt von C das Lot CFA auf StSA. Dann macht man CF₀ = CFA und verbindet F₀ mit I) und E. Je nachdem der Winkel DFqE ein spitzer oder stumpfer Winkel ist, gibt er selbst oder sein Supplement den gesuchten Neigungswinkel ip beider Ebenen.

um

Statt der gegebenen Ebenen benutzt man Parallel-ebenen, wenn die Spurpunkte der Schnittlinie beider Ebenen zu weit entfernt liegen.

78. Aufgabe. Es ist der Neigungswinkel % einer Geraden y(y',    g") gegen eine Ebene

E [el, e₂) zu bestimmen.

Yon einem beliebigen Punkte P der Geraden g fällt man das Lot l auf die Ebene E. Der Winkel cp, welchen g und l einschließen, ist das Komplement des gesuchten Neigungswinkels y\ man konstruiert daher zunächst cp (§ 76) und erhält dann y durch die Beziehung: % = 90° — cp.

Auch die Aufgabe des § 77 läßt sich auf § 76 zurückführen, wenn man von einem beliebigen Punkte Lote auf die beiden gegebenen Ebenen fällt und beachtet, daß der von ihnen gebildete spitze Winkel gleich dem Neigungswinkel der beiden Ebenen ist.

(Man zeichne sich für beide Fälle die zugehörigen

Figuren!)

Sollen die Spuren derjenigen Ebene, welche durch s geht und den Neigungswinkel in einem bestimmten

Verhältnisse teilt, gefunden werden, so hat man A^DF₀E zu teilen und den Punkt, in welchem die teilende Gerade DE schneidet, mit Sx zu verbinden; diese Verbindungslinie ist die erste Spur der gesuchten Ebene.

79. Aufgabe. Die wahre Gestalt eines Dreiecks ABG(A'B'C,₁ A"B"C") zu bestimmen.

C“

cc.

•x

\-1—

A\

C’

Fig. 70.

Zmiächst bestimmt man die Spuren öj , e₂ der Ebene E des Dreiecks (§ 60, III).

also

I. Die Dreiecksebene E steht senkrecht auf einer Projektionsebene, z. B. _L TT _L a: (Fig. 70). Dann ist die zweite Projektion des Dreiecks eine in ea liegende Strecke. Um die wahre Gestalt des Dreiecks zu erhalten, legt man E um ex .in TTi um. Hierbei beschreiben die Eckpunkte des Dreiecks Kreisbogen, deren auf eL senkrecht stellende Ebenen sich in die von A', B', C' auf ex gefällten Lote projizieren und deren Mittelpunkte in den Fußpunkten dieser Lote liegen. Die Radien dieser Kreisbogen sind in der zweiten Projektion durch die Ab-

stände der Punkte A", B", G von Ex direkt gegeben. Die weitere Ausführung der Konstruktion zeigt die Figur, wo A₀ B₀ C₀ die wahre Gestalt des Dreiecks gibt.

II. Die Ebene E des Dreiecks liegt beliebig gegen beide Projektionsebenen (Fig. 71). Man legt E entweder um ex in TT₁ oder um e₂ in TT₂ um. Wähl man die erstere Umlegung, so empfiehlt es sich zu-

e.

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¹    \u'

C"

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j' x

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a:

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A*'^

•41;

Fig. 71.

nächst e₂ umzulegen. Zu dem Zwecke benutzt man eine erste Falllinie u, z. B. die durch die Ecke A gehende (u' _L ex durch A') und legt deren zweiten Spurpunkt U₂ um. Die Länge dieser ersten Falllinie zwischen’ diesen beiden Spurpunkten erhält man als Hypotenuse    des um ÜXU' in TTX umgelegten

rechtwinkligen Dreiecks Ui Us llj. Dann trägt man

Haulmr. Darstellende Geometrie L

auf U'Uj oder ihrer Verlängerung von Uj aus ab bis Ut und erhält in EXA\ die um ex umgelegte zweite Spur e§. Auf e\ hat man nur die Abstände der zweiten Spurpunkte der Dreieckseiten von Ex abzutragen , also z. B. Ex C₂ = ExC$i und die so

umgelegten zweiten Spuren mit den ersten Spurpunkten der Dreieckseiten zu verbinden, z. B. C\ mit C\ die umgelegten Dreieckseiten und damit in A°B°C° die wahre Gestalt des Dreiecks ABC zu erhalten. — Man

um

kann A° auch dadurch erhalten, daß man A'AA _L u' zieht und U₁A° = U₁Md auf u° abträgt. Darauf verbindet man A° mit Bx und C\ und bestimmt B₀ C0 als Schnittpunkte dieser Geraden mit den von f?', C' auf ex gefällten Loten.

Kontrolle: A°B°G° und A'B' C' sind affine Dreiecke und ex die Affinitätsachse (§ 12); folglich müssen sich entsprechende Seiten z. B. A'B' und A°B° auf ex schneiden. Umgekehrt kann man auch die affine Verwandtschaft zwischen A!B' C' und A°B°C° benutzen zur Konstruktion des letzteren Dreiecks, da man die Affinitätsachse ex und die beiden entsprechenden Punkte U2, U2 kennt. A'A°, B'B°, G'C° müssen senkrecht zu ex sein.

Drehung ebener Gebilde um eine Hauptlinie.

80. Um für das in § 75 erwähnte zweite Verfahren noch ein Beispiel zu geben, soll die Aufgabe des vorigen Paragraphen nochmals gelöst werden, indem das Dreieck ABG um die durch den Eckpunkt A gehende erste Hauptlinie u parallel zu TTi gedreht wird; u ist die Schnittgerade der Dreiecksebene mit der durch A gelegten horizontalen Ebene E.

Die Ecke C beschreibt hierbei einen Kreisbogen (Fig. 72), dessen Ebene _L u und dessen Grundriß daher das von C' auf u' gefällte von C das Lot GE auf sammen und C"E" (A_u") gibt seine wahre Länge; fällt man ferner von E das Lot auf u, welches u in F

ist (§ 64). Fällt man , so fällt E' mit C' zu-

u"

JE"

El

\'

SN,

Fig. 72.

trifft (C'F' _L u') und dessen wahre Länge C'F' ist, so erhält man (len Radius des von G beschriebenen Kreisbogens als Hypotenuse GqF' des reclitwinkligen Dreiecks GEF = Co C'F', dessen Katheten CE = G"E" = C'C’o, FE = F'C' bekannt sind. Nachdem man auf diese Weise C'A gefunden hat, erliält man B'ä als Schnittpunkt des

9*

von B' auf u' gefällten Lotes mit der Geraden C'aU{D' = C'B' X «0-    und CA sind

nämlich, affin mit u' als Affinitätsachse (§ 12), und folglich müssen sich B'C und BACA auf u' schneiden.

Diese Konstruktion beansprucht weniger Raum als die vorhergehende und erfordert nicht die Bestimmung der Spuren der Dreiecksebene.

Anmerkung. Den Abstand CAF' des Punktes C von der Hauptlinie u, um welche das Dreieck parallel zu gedreht wird, kann man durch einfaches Abstechen finden, indem man mit dem Zirkel die Strecke C'E" auf F’A' von F' aus bis O und dann OG' von F' aus auf F'C' bis CA absticht.

Dieses Abstechen wird man besonders bei komplizierteren Figuren anwenden, wo die Übersichtlichkeit der Konstruktion wesentlich erhöht wird, wenn nur die unumgänglich nötigen Hilfslinien gezogen werden.

Drehung um eine Achse, welche auf einer Projektionsebene senkrecht steht.

81. Wird ein Punkt P um eine Gerade a als Achse gedreht, so beschreibt P einen Kreisbogen, dessen Radius das von P auf a gefällte Lot und dessen Mittelpunkt der Fußpunkt desselben ist; die Ebene des Kreises steht senkrecht auf a. Da hier vorausgesetzt werden soll, daß die Achse a senkrecht zu einer Tafel, z. B. J-Tü ist, so ist der Kreis dieser Tafel parallel, projiziert sich also auf TT₁ als Kreis und auf TT₂ als Parallele zu x.

Sind a', a" die Projektionen der Drehungsachse und soll P um den Winkel oc gedreht werden, so dreht man (Fig. 73) zunächst a'P' um a in die neue Lage a'P'o] P'd liegt dann in dem Schnittpunkte der Vertikalen durch P'₀ mit der Horizontalen durch P". Soll die Strecke PQ um die gleiche Achse und den gleichen Winkel gedreht werden, so dreht man den anderen Endpunkt Q ebenfalls um den Winkel öt und erhält in P'oQo, Po Q" die Projektionen der gedrehten Strecke.

Man kann dieses Verfahren benutzen, um die wahre Länge einer Strecke PR(P'R', P"R") zu

-v*r

'K

r-1

""VI

kt

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\t>C'

Fig. 7a

Fig. 74.

konstruieren, indem man PR parallel TT₂ dreht. Zu dem Zwecke wählt man als Drehungsachse am besten die Vertikale durch einen ihrer Endpunkte (Fig. 73), z. B. durch P, welcher dann bei der Drehung unverändert seine Lage beibehält. Die Lage des Punktes P nach ausgeführter Drehung erhält man, indem man a'P' || x dreht nach a'Pj und dann wie oben Pj bestimmt. P'jP" ist dann die zweite Projektion der TT₂ parallel gedrehten Strecke und gibt mithin die wahre Länge von PR an.

82. Wenn eine Ebene E(e1? e₂) um die Achse a gedreht wird, bleibt ihr Schnittpunkt A unverändert (Fig. 74); die durch a gehende erste Hauptlinie m dreht sich in einer zu TT^ parallelen Ebene um A, u' dreht sich um A\ u" bleibt unverändert. Die erste Spurlinie e₁ dreht sich stets || u mit, bleibt aber erste Spur und behält denselben senkrechten Abstand Ea! von ar. Daher erhält man e$, indem man < Ea'E⁰ = oc macht und durch E° die Senkrechte zu a'E° zieht. Den zweiten Spurpunkt U\ der gedrehten Hauptlinie u° verbindet man mit E®, um e\ zu erhalten. — In der Figur 74 sind noch die Spuren ef, der zu TT3 senkrecht gedrehten Ebene angegeben.

a! E° = a'E

Dreht man die Gebilde nacheinander um verschiedene zu den Tafeln senkrechte Achsen, so kann man sie in jede beliebige räumliche Lage überführen und daher dieses Verfahren benutzen, um ein Gebilde in eine günstige Lage zu den Tafeln oder umgekehrt aus einer besonderen Lage in eine beliebige allgemeine Lage überzuführen (vgl. § 102).

Einführung neuer Projektionsebenen.

83. Die neue Projektionsebene TT₃ ist einer der alten Projektionsebenen, z. B. TI) parallel.

Die neue Projektionsachse x₂ = TT₂ X TT₃ ist dann der alten Achse xx = Tl^ X IT2 parallel und die zweite Projektion eines Punktes bleibt unverändert, während der erste Tafelabstand sich ändert; derselbe verkürzt oder verlängert sich, je nachdem TT₃ und x₂ über oder unter T\l und x₁ liegen. Die neue Projektion (auf TT₃) eines Punktes hat von x₂ denselben Abstand wie seine erste Projektion von . Die ganze erste Projektion eines Gebildes erfährt daher in der Zeichenebene eine ParaUelverschiebung, bei welcher sich jeder Punkt in einer Senkrechten zu xx bewegt.

Um diese unbequeme Verschiebung nicht ausführen zu müssen, behält man für die neue Projektion die alte Achse x₁ bei und ordnet jedem ihrer Punkte den senkrecht über (oder unter) ilrm liegenden Punkt der neuen Achse x₂ und umgekehrt zu, wie dies das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel. Der Schnittpunkt der ersten Spuren der Ebenen A (%, a₂) und B^, b₂) ist

Fig. 75.

unzugänglich; man soll ihre Schnittlinie s bestimmen (vgl. § 68, (3)). Die Ebenen A und B (Fig. 75) schneiden die neue Achse x₂ in den Punkten AXi — a₂ X x2 j    \ X x₂ ; durch die senkrecht

unter ihnen hegenden Punkte der alten Achse zieht man a₃ || und b₃ || bt als neue erste Spuren.

S₃ = a₃ X h ist dann der Spurpunkt der Schnittgeraden 5 in TT₃; seine senkrechte Projektion auf TT! fällt in der Zeichnung mit S₃ zusammen; seine zweite Projektion S% hegt auf x₂. Folghch sind S₂ Ss und S₂Ss die beiden Projektionen s" von s.

84. Die neue Projektionsebene TTS steht auf einer der alten Projektionsebenen, z. B. auf TT₂ senkrecht, während sie gegen die andere, TT! beliebig geneigt ist.

Als spezieller Fall hiervon kann die Einführung einer Seitenrißebene _L TT! und TT₂ in §§ 45 — 47 angesehen werden.

IT?

JC

'"4

ijfp*

IMr

TT,

Fig. 76.

Fig. 77

Yon den Schnittgeraden der drei Ebenen *i ~ X n₂, x% — TT₂ X TT₃ , y = ^! X Dg , steht die letztere auf den beiden ersteren senkrecht, während <£    , x₂) gleich dem Neigimgswinkel von TT₃

gegen TT! ist- Projiziert man (Fig. 76) einen Punkt P senkrecht auf die drei Tafeln und seine Projektionen auf die drei Achsen, so ist

P"P = PXlP' = PXiP"' — OPy .

Legt man wieder die Tafel TT! um die Achse x₁, wie in § 44, und die Tafel TT₃ um die Achse x₂ in

die mit der Zeichenebene zusammenfallende Tafel TT2 um, wie die Pfeile in Figur 76 andeuten, so kommt die y-Achse wieder doppelt vor und die .Punkte P', P"' liegen nach erfolgter Umlegung mit P" in den zu den Achsen xx, x₂ Senkrechten P" PXl und P" PXi (Fig. 77)*). Man findet mithin P" aus P', P" in ganz gleicher Weise wie in § 47. Figur 77 läßt die Konstruktion klar erkennen. P ist ein Punkt mit positivem, Q ein solcher mit negativem zweiten Tafelabstande; infolge dessen liegen P", P'" auf verschiedenen Seiten von x₂, aber (/', Q"' auf derselben Seite von x₂. Bezeichnet man TTj^ als die wegfallende Ebene, so kann man sagen: Der Abstand der neuen Projektion eines Punktes von der neuen Achse ist gleich dem Abstande seiner wegfallenden Projektion von der alten Achse.

P"PX2 = P'PXl- Q"Q^Q’QXl.

Bei Benutzung dieser Regel ist das Zeichnen der «/-Achse meistens unnötig und deshalb bei dem folgenden Beispiele unterlassen.

Soll die neue Projektion einer Geraden gefunden werden, so bestimmt man die dritten Projektionen zweier Punkte der Geraden; die dritte Spur einer Ebene ist die Verbindung der Schnittpunkte von e, mit y und e₂ mit x₂ (§ 57).

*) In den Figuren 76 und 77 sind im Interesse der Deutlichkeit nur die positiven (im Sinne des § 47) Teile der drei Achsen und die von ihnen begrenzten Felder der Projektionsebenen gezeichnet. — Die früher mit x, z be-zeichneten Achsen sind hier mit xt, x₉ bezeichnet, um besonders bei Einführung weiterer Projektionsebenen leicht erkennen zu lassen, zu welchen beiden Ebenen jede Achse gehört: xt = TU X TT*, x₂ = TTS X TT*, x% = TTS X TT₄.

Oft ist die Einführung einer vierten Projektionsebene, welche auf TT₃ senkrecht steht und gegen TT2 beliebig geneigt ist, vorteilhaft. Dann hat man nur für TT₂, TT₃, TT₄ und x₂, x?j = TT₃ X TT₄ dieselben Be-trachtungen wie oben für TT₁, TT₂, TT₃ und xl, x2 durchzuführen. Man erhält Piy, indem man von P"' ein Lot {P'" PXl) auf x₃ fällt und auf demselben von PXi in richtigem Sinne P" PXi (= Piy PXi) ab trägt.

Der gleiche Erfolg wie durch die aufeinander folgende Einführung zweier neuer Projektionsebenen hätte auch durch eine Einführung einer einzigen, aber beliebig gegen Tl^ und TT₂ gelegenen Projektionsebene erzielt werden können, doch würden die Konstruktionen sich weit mühsamer gestalten. Der obige Weg gestattet, in bequemer Weise zu beliebigen neuen Tafeln überzugehen.

85. Zweite Bestimmung des kürzesten Abstandes MN der windschiefen Geraden g(g', g") und h(h', ln!r). (Erste Konstruktion in § 74.)

zu

Man führt zunächst eine dritte Projektionsebene TT₃_LTT₂ und || .9 ein; man wählt also (Fig. 78) eine beliebige Parallele zu g" als Achse x₂ — TT₂ X TT₃ und bestimmt gh'", indem man die dritten Projektionen je zweier Punkte der beiden Geraden (nach § 84) bestimmt. Da g 11 TT₃ und der kürzeste Abstand MN_Lg ist, so muß M"N"'A-g"' sein (§ 64). Hierauf führt man noch eine vierte Projektionsebene TT₄_LTT₃ und _Lg ein, d. h. man wählt eine beliebige Senkrechte (/" als Achse x₃ = TT₃ X G₄ und bestimmt gIV, hlv. Die vierten Projektionen aller Punkte von g fallen in den Punkt An zusammen, in welchem daher auch M1V hegt. Da TT₄ JL g, also parallel dem kürzesten Abstande MN, und MN auch jL h ist, so muß MIV N¹⁷ Mh1Y sein

(§ 64). Es ist daher M1VN1V das von Ar =■= Mn auf h¹⁷ gefällte Lot, welches zugleich die wahre Länge des gesuchten kürzesten Abstandes angibt. Hierauf projiziert man den Punkt NIY rückwärts nach N"'

1)

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C'

Ti

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Fig. 78.

auf h'" und erhält in dem von N"' auf g'" gefällten Lote die dritte Projektion von MN. Durch weiteres Rückwärtsprojizieren von M"'N" findet man schließlich M"N" und M'N.

In ganz gleicher Weise kann man die Aufgabe lösen, von einem Punkte ein Lot auf eine Gerade zu fällen (Erste Lösung der Aufgabe in § 73, III).

Ein weiteres Beispiel für die Einführung neuer Projektionsebenen bietet § 103.

IV. Abschnitt

Ebenflächige Gebilde.

Das ro-Kant.

86. Bei der w-kantigen körperlichen Ecke oder dem w-Kant stoßen in einem Punkte S, dem Scheitel, n Strahlen (Kanten) und w durch je zwei Strahlen bestimmte Ebenen (Seitenflächen) zusammen. Die Winkel, welche von den beiden Kanten jeder Seitenfläche gebildet werden, heißen die Kantenwinkel oder Seiten, und die Winkel, welche von je zwei in einer Kante zusammenstoßenden Seitenflächen eingeschlossen werden, die Flächenwinkel oder Winkel des w-Kants.

Die Flächenwinkel müssen, so gemessen werden, daß je zwei benachbarte auf derselben Seite der gemeinsamen Seitenfläche liegen. Hat man also einen Flächenwinkel willkürlich unter den beiden Winkeln, welche die zugehörigen Seitenflächen bilden und welche sich zu 860° ergänzen, ausgewählt, so sind die übrigen eindeutig bestimmt. Sind alle Flächenwinkel eines w-Kants kleiner als 180°, so heißt dasselbe ein konkaves w-Kant. Wenn sich die Seitenflächen eines solchen nicht durchkreuzen, so ist die Summe seiner Seiten stets kleiner als 360°; denn denkt man sich alle Seitenflächen des konkaven w-Kants in eine Ebene ausgebreitet, so muß der an dem Scheitel S entstehende Winkel kleiner als 360° sein.

87. Errichtet man im Scheitel S des w-Kants Lote auf seinen Seitenflächen und legt durch sie Ebenen hindurch, so erhält man ein neues konkaves n-Kant, welches als das Polar-n-Kant des ursprünglichen bezeichnet wird. Da aber auch die Kanten des ursprünglichen w-Kants auf den Seitenflächen des Polar-w-Kants senkrecht stehen, so kann auch das erstere w-Kant als Polar-n-Kant des letzteren angesehen werden. Die Beziehungen zwischen den beiden n- Kanten sind also völlig gegenseitige. Ordnet man jeder Kante des einen w-Kants die auf ihr senkrechte Seitenfläche des anderen zu, so sind dadurch auch die Kanten- und Flächenwinkel der beiden n-Kante einander eindeutig zugeordnet. Aus dem Obigen erkennt man aber sofort, daß jede Seite eines der beiden w-Kante den entsprechenden Winkel des anderen zu 180° ergänzt.

Hieraus folgt in Verbindung mit dem obigen Satze über die Summe der Seiten eines w-Kants, daß die Summe seiner Flächenwinkel größer als (n —2) • 180° ist

Das Dreikant.

88. Die einfachste körperliche Ecke, welche überhaupt möglich ist, erhält man für n = 3 in dem Dreikante. Es hat für die Konstruktion der körperlichen Ecken von höherer Kantenzahl die gleiche fundamentale Bedeutung wie das Dreieck für die Konstruktion der Vielecke. Die sämtlichen Seiten und Winkel eines Dreikants setzt man stets kleiner als 180° voraus, was keine Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet, da man

Dreikante, für welche diese Voraussetzung nicht zutrifft, in einfacher Weise leicht in mehrere der vorgedachten Art zerlegen kann.

Der Scheitel des Dreikants werde wieder mit S bezeichnet, die Kanten mit a, b, c, die ihnen anliegenden Winkel (Flächenwinkel) bzw. mit <%, ß, y und die ihnen gegenüber liegenden Seiten (Kantenwinkel) mit A, B, T (also A = *£(&, c) usw.). Nach den obigen Sätzen über die Summe der Seiten und Winkel eines w-Kants gelten für das Dreikant die Ungleichungen 0 <A + B + r <360°

180° <<x + ß + y <540°(= 3* 180°).

(1)

(2)

Nimmt man noch ein sogenanntes Nebendreikant zu Hilfe, z. B. dasjenige, welches die Verlängerung der Kante a über S hinaus mit den Kanten b und c bildet und welches also die Seiten A, 180° — B, 180° — T (und die Winkel a, 180° — /?, 180° — y) besitzt, so ist nach der Ungleichung (1) auch

A + 180° - B + 180° - T <360°,

d. h.

(3)

b + r> a

und analog findet man

r + A>B, A+B>T.

Stellt man diese Ungleichungen auch für das Polar-

A A A    A A ^    A    A    A

dreikant (A, B , I ; oc, ß, y) auf, so folgt aus B + T > A sofort

(3)

oder

180° - ß + 180° - y> 180° - a

(4)

ß + y< 180° + *

und analog

(4) y + « <180° + ^, cc + ß< 180° + y.

Aus drei gegebenen der sechs Bestimmungsstücke (A, B, T; <x, ß, y) eines Dreikants können die übrigen drei bestimmt werden. Es ergeben sich also sechs fundamentale Aufgaben, je nachdem folgende Stücke gegeben sind:

(II) A, B, y; (Y) <x, ß, A;

(III) A, B , /?; (VI) <x,ß,y.

(i) a, b, r;

(IV) A, ß, y;

Hierbei müssen die gegebenen Stücke den Ungleichungen (1) bis (4) entsprechend gewählt sein, damit die Aufgaben lösbar sind.

Die drei letzten Aufgaben können unter Benutzung des Polardreikants auf die ersten drei zur ückgeführt werden. Im folgenden sind aber alle sechs Aufgaben direkt gelöst.    a

s-

yS /' I \

cJß.Jr\........." ,

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Fig. 79.

89. Zur Lösung der beiden ersten Aufgaben beachte man folgendes. Fällt man (Fig. 79) von einem beliebigen Punkte A der Kante a die Lote AB, AC, AA' auf die beiden anderen Kanten und auf die gegenüber liegende Seite A und verbindet die Punkte B und C mit A', so ist auch A'B _L b, A'C _L c, da b und c bzw. senkrecht auf den Ebenen ABA' und A CA' stehen. Dann ist *£ABA' = ß, AiACÄ = y und

SA' die senkrechte Projektion a! von a auf die Ebene der Seite A. Wenn man nun die Seite T um die Kante & in die Ebene der Seite A umlegt, so beschreibt der Punkt A bei dieser Umlegung einen Kreisbogen, dessen Ebene senkrecht auf b steht und dessen Radius BA ist, und kommt also schließlich in die Verlängerung von A'B zu liegen. Legt man darauf noch die Ebene des rechtwinkligen Dreiecks AA'B um A'B in die Seite A um, so erscheint der Kreisbogen, welchen der Punkt A bei der früheren Umlegung um b beschrieb, in seiner wahren Gestalt als Kreis mit dem Mittelpunkte B und dem Radius BA. Das Analoge gilt für die Umlegung der Seite B um c und der Ebene des Dreiecks AA’G um A'C in die Seite A.

Legt man durch den Punkt A noch eine Ebene _L a, so schneidet sie die anliegenden Seiten B und T in den auf a ebenfalls senkrechten Geraden AP und AQ, welche den Winkel oc einschließen. Nun ist augenscheinlich die Kante a A. PQ, und folglich ist auch a' als senkrechte Projektion von a auf A (nach dem Satze des § 64) J_ PQ. Folglich liegt nach erfolgter Niederlegung des Dreiecks PAQ um PQ in die Seitenfläche A der Punkt A auf der Geraden SA'. Auf Grund dieser Überlegungen sind die folgenden konstruktiven Lösungen der beiden ersten Aufgaben ohne weiteres verständlich.

90. Aufgabe I. Ein Dreikant aus seinen drei Seiten A, B, T zu konstruieren.

Das Dreikant liege hier und bei den übrigen Aufgaben mit seiner Seite A in der ersten Projektionsebene TTi. Dann trägt man (Fig. 80) in Tü an b den Winkel (b | aA) = T und an c den Winkel (6 ] a₀) — B an. Auf den Kanten aj, a₀ wählt man in willkürhohem Abstande von S die Punkte Aj , A₀ so, daß SAj = SA₀ ist, und fällt von ihnen auf die Kanten b und c die Lote Aa B und A₀ (7, welche sich in dem Punkte A' schneiden. SÄ = a! ist dann die erste Projektion der Kante a. Hierauf errichtet man in Ä ein Lot auf A^Ä und beschreibt um B mit dem Radius BAj einen Kreisbogen, dessen Schnittpunkt AA

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Fig. 80.

mit dem in .4' errichteten Lote man mit 5 verbindet; dann ist ÄA'BAA der gesuchte Winkel ß. In gleicher Weise findet man den Winkel y — ÄA'CA⁰, indem man um G mit CA₀ einen Kreis konstruiert und seinen Schnittpunkt A° mit dem Lote, welches in Ä auf A₀ Ä errichtet ist, mit C verbindet. Kontrolle: ÄAA — A'A°; diese Länge gibt den Abstand des Punktes A von TT!.

Um noch <x zu erhalten, errichtet man in A& ein Lot auf aj, welches die Kante b in P schneidet, und in A₀ ein Lot auf a₀, welches c in Q schneidet. Die

10

H au ft n er, Darstellende Geometrie I.

um P mit PAa und um Q mit QAq beschriebenen Kreise schneiden sich in A⁰⁰, und es ist *£.PA⁰⁰Q = <x. Kontrolle: PQ_La', A⁰⁰ muß auf a! liegen.

Das Dreikant selbst erhält man, wenn man die Seiten B und T um c und b zurückdreht, bis die Kanten a₀ und aA zusammenfallend die Kante a bilden. Da dieses Zurückdrehen in zweifacher Weise geschehen kann, wodurch die Kante a entweder oberhalb oder unterhalb TT₁ zu liegen kommt, so erhält man zwei symmetrische Dreikante, welche dieselben Seiten und Winkel besitzen. Da die beiden Dreikante aber nicht wesentlich voneinander verschieden sind, so faßt man sie nur als eine Lösung der Aufgabe auf.

Auch aus der vorstehenden Konstruktion erkennt man, daß dieselbe mir möglich ist, wenn B + f~ > A, ... ist (§ 88, (3)). Sind diese Ungleichungen erfüllt, so gibt es stets eine Lösung. — Ferner folgt aus der obigen Konstruktion leicht der Satz, daß in einem Drei--kante der größeren Seite der größere Winkel gegenüber liegt und umgekehrt.

91. Aufgabe II. Ein Dreikant aus zwei Seiten A, B und dem eingeschlossenen Winkel y zu konstruieren.

Man legt (Fig. 81) A und B nebeneinander in TT fällt von dem willkürlich auf a₀ gewählten Punkte A0 das Lot A₀ C auf die Kante c und trägt an seine Verlängerung in C den Winkel y an, dessen anderem Schenkel man die Länge CA° — CA₀ zuerteilt. Der Fußpunkt A! des von A° auf A₀C gefällten Lotes bestimmt wieder a'. Von A' zieht man hierauf die Gerade A'B senkrecht zu 6, errichtet auf letzterer in A' das Lot A'AA = A'A° und beschreibt mit BAA um B einen Kreis, welcher die Gerade A'B in Aj schneidet. Dann ist A'BAA der gesuchte Winkel ß und < BSA^ die gesuchte Seite f. Kontrolle: SAj — SA₀.

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Fig. 81.

Den Winkel <x erhält man jetzt in genau derselben Weise wie bei der Aufgabe I.

Die Aufgabe besitzt stets eine Lösung.

92. Aufgabe III. Ein Dreikant aus zwei Seiten A, B und dem der letzteren gegenüber liegenden Winkel ß zu konstruieren.

Man läßt bei dieser Aufgabe stets diejenige Seite, welcher der gegebene Winkel anliegt, also hier wieder A, mit TT-t zusammenfallen. Denkt man sich jetzt von einem beliebigen Punkte G der Kante c die Lote GA, GB, GF auf die Kanten a, b und die Seite T gefällt (vgl. Fig. 84 auf Seite 151), so ist CAF = oc und < GBF =* ß. Ein in der Ebene der Seite T um F mit dem Radius FA beschriebener Kreis berührt die Kante a in dem Punkte A. Hieraus resultiert die folgende Konstruktion.

10*

¹

F'^PXP" kann als zweite Projektion des Dreiecks FP'P, nachdem es um PP in die zu TT₂ parallele Lage Fj P'P gedreht ist, betrachtet werden; in der Figur ist dies angedeutet.

(< («o I c)

(Fig. 82.) Man logt B um c in TT₁ um -= B) und fällt von dem -willkürlich auf c gewälilten Punkte C die Lote CA

CB auf die Kanten a₀, b. An die Verlängerung des letzteren Lotes trägt man den gegebenen Winkel ß an, dessen anderer Schenkel von dem Kreise mit dem Radius BC um B in CA geschnitten wird, und fällt von CA das Lot GAFA auf CB. Der Punkt FA ist der mit der Seite T um-gclegte Fußpunkt F des von C auf sie gefällten Lotes.

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SN '

A ,._V_

F\

Fig. 82.

Konstruiert man nun das rechtwinklige Dreieck CAFA Aa, dessen Hypotenuse = CA₀ ist, so ist dasselbe dem Dreieck CFA kongruent, und seine Kathete FA AA bestimmt den senkrechten Abstand FA des Punktes F von der Kante a. Man beschreibt also um FA mit FaAa einen Kreis; dann muß aA, d. i. die mit T umgelegte Kante a, diesen Kreis berühren. Folglich ist {aA | b) ~ F und CA AA FA = a . Kontrolle: SAa =~SA₀.

Verlängert man AaFa bis zum Schnitt P mit 6, Bo erhält man in der zu CP senkrechten Geraden a' die erste Projektion der Kante a. schließlich findet man wie in § 90.

Den Winkel y

Da in dem in Figur 82 dargest eilten Falle der Kreis um Fa die Kante b nicht schneidet, so liefert die zweite von S aus an ihn gezogene Tangente alA eine weitere Lösung; die gesuchte dritte Seite ist dann T⁷ = (aA | b) und der an der Kante a liegende Winkel gleich dem Supplement des zur ersten Lösung gehörigen oc. Der Kreis schneidet hier b nicht, weil A > B angenommen, infolgedessen AA Fa < BFL\, und /? < 90° ist.

Untersucht man die verschiedenen möglichen Fälle¹), so findet man: Die vorliegende Aufgabe besitzt zwei Lösungen, wenn CaFa < CA₀ < CB und gleichzeitig entweder B und /?<90°

oder B und /J> 90° sind;

ein e Lösung, wenn entweder Ca Fa < CA₀ und GA₀> CB oder CAFa = CA₀ ist²).

In allen anderen Fällen läßt sich kein Dreikant, welches die gegebenen Bestimmungsstücke enthält, konstruieren.

93. Aufgabe IV. Ein Dreikant aus einer Seite A und den beiden anliegenden Winkeln ß, y zu konstruieren.

(Fig. 83.) Denkt man sich durch einen beliebigen Punkt A der Kante a eine Ebene |j A gelegt, so schneidet sie die Seite f in der durch A gehenden

Hauptlinie u\\b und die Seite B in der Hauptlinie v\\e. Fällt man von den beliebigen Punkten H und K dieser Hauptlinien Lote auf A, welche diese Seite in den Punkten H' und IC treffen, so ist IIII' = K IC. Legt man ferner noch durch IIII' und KIC Ebenen, welche bzw. _L b, c sind und diese Kanten in den Punkten G, ,7 schneiden, so ist *£.11 GH' — ß und £ KJ IC — y , wenn ß und y < 90° gegeben sind; anderenfalls ist < HG II' = 180° - ß, bzw. < KJ IC = 180° - y . Mithin gestaltet sich die Konstruktion folgendermaßen.

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Fig. 8&

Durch den beliebigen Punkt G von b zieht man eine Senkrechte zu 5, trägt in G den Winkel ß (bzw. 180° — ß) an den in das Innere von A gehenden Teil dieser Senkrechten an und zieht durch den auf seinen anderen Schenkel willkürlich angenommenen Punkt IIA eine Parallele zu b. HAH'G ist das Dreieck HII'Q nach erfolgter Niederlegung in TTj. Die Gerade HA H' ist die erste Projektion u' der in T gelegenen Haupt-

linie u. In gleicher Weise erhält man die erste Projektion v' der Hauptlinie v von B, wobei nur zu beachten ist, daß KA K' — HA IV sein muß. A' = u' X zf ist dann die erste Projektion des auf a liegenden Punktes A. Die durch IIj (0_Lb und = OHA) gezogene Parallele uA zu b stellt die mit T niedergelegte Hauptlinie u dar; ihr Schnittpunkt AA mit dem von A! auf die Kante b gefällten Lote bestimmt aj und damit T *=    (a^ | b). In gleicher Weise erhält man B.

Wz

•V

,A

Fig. 84.

Kontrolle: SA^ SAj. Die Aufgabe hat stets ein« Lösung.

94. Zur Lösung der beiden letzten Aufgaben fälle man (Fig. 84) von einem beliebigen Punkte C der Kante c die Lote GA, CB, CF auf a, £, T und lege durch C die zu c senkrechte Ebene, welche von a und b in den Punkten P und Q geschnitten wird. Verbindet man noch die Schnittpunkte D — PQ X AF und E — PQ X BF mit C, so haben die beiden Dreiecke A CD und BCE die Höhe CF gemeinsam und besitzen bei C rechte Winkel; denn die Ebene SGP steht senkrecht sowohl auf der Ebene A CD als auch auf der Ebene PCD, folglich ist die Schnittgerade CD beider Ebenen _L SCP und also CD± auf GA, CP, CS. In gleicher Weise findet man, daß GE_L auf CB, GQ, CS ist. Legt man also AACD um CD in die Ebene PCQ so fällt AC in die Gerade PC, und legt man A S CP um CP in dieselbe Ebene mn, so fällt SC in die Gerade CD. Bei dem Umlegen von AB CE um CE und A SCQ um CQ in die Ebene PCQ fällt BC in die Gerade CQ und SC in die Gerade CE.

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95. Aufgabe V. Ein Dreikant aus einer Seite A, dem ihr gegenüber liegenden Winkel a und dem ihr anliegenden Winkel ß zu konstruieren.

Man läßt mit der Seite A und TT₂ , welche bei den beiden letzten Aufgaben mitbenutzt werden soll, mit der Ebene PCQ zusammenfallen; man sieht also eine beliebige Senkrechte CQ zu c als die Achse x an (Fig. 85). Dann konstruiert man A CBE° (CB _L b, CE°\\b, CBE° = ß), trägt auf der zu x senkrechten Geraden die Strecke CE° von C bis E nach oben ab und zieht EQ, welche Gerade die zweite Spim der Seite T darstellt. Über der Höhe CF° des Dreiecks BCE° (welche gleich dem senkrechten Abstande der Seite von C ist) als Kathete konstruiert man das rechtwinklige Dreieck CF°A° mit dem Winkel CA°F° — <x und zieht von S aus an den um G mit dem Radius CA° beschriebenen Kreis die Tangente a₀ {CA₀ _La₀); dann ist <(a₀|c) = B. Dreht man nun die Seite B zurück, so beschreibt der Punkt P₀ = a₀ X x einen Kreis um C, dessen Schnittpunkt

mit EQ den zweiten Spurpunkt P der Kante a liefert. Die Verbindungslinie von P mit G ist die zweite Projektion a" dieser Kante und SP'(PP'_Lx) ihre erste Projektion a'\ ferner ist <PGQ = y. — Um schließlich noch die Seite T zu erhalten, legt man die Kante a um b in TT

indem man den Punkt P umlegt

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Fig. 85.

(P'Pj _L6, QPa = QP); dann ist <(oy | 6) = T. Kontrolle: $Pj = £P₀ .

In dem in der Figur 85 dargestellten Falle schneidet der mit dem Kadius CP₀ um G beschriebene Kreis die Gerade EQ noch in einem zweiten Punkte Pl; verfährt man für diesen Punkt in gleicher Weise wie oben für P, so erhält man als zugehörige dritte Seite < (cij | b) = Tr. Liegt P¹ über der x-Achse, so ergeben aber die drei Seiten A, B, V¹, wie man leicht erkennt, ein Dreikant mit den Winkeln 180⁰ — <x, ß; dasselbe ist daher keine Lösung der vorliegenden Aufgabe.

Liegt der Punkt P¹ unter der x-Achse, so bestimmen die drei zugehöi'igen Seiten A, B, V¹ ein Dreikant mit den Winkeln a, 180° — ß\ verlängert man hier jedoch die A gegenüber liegende Kante a1 über den Scheitel hinaus, so bestimmt diese mit b und c ein Dreikant mit den gegebenen Stücken A, a, ß.

Schneidet der um C mit CP₀ beschriebene Kreis die Gerade EQ nicht, so besitzt die Aufgabe keine Lösung. Der Grenz fall, daß der Kreis die Gerade EQ nur berührt, tritt für a = 90° ein und liefert nur eine Lösung.

Die vorstehende Konstruktion ist brauchbar, gleichgültig ob A> oder <90° ist; sie versagt aber, wenn x oder ß> 90° sind. Dann führt man die Konstruktion für die Winkel 180 ⁰ — a , bzw. 180° — ß durch und hat nur die eben gemachten Bemerkungen über die Natur der zweiten Lösungen zu beachten, um das gesuchte Dreikant zu erhalten.

Die Aufgabe hat

zwei Lösungen, wenn CS> CA°> CB und gleichzeitig entweder <x und A<90°

oder <x und A>90° sind;

eine Lösung, wenn entweder CS> CA° und CA°< CB oder CS=CA° ist³).

In allen anderen Fällen kann kein Dreikant konstruiert werden, welches die gegebenen Bestimmungsstücke enthält.

96. Aufgabe VI. Ein Dreikant aus seinen drei Winkeln a, ß, y zu konstruieren.

Denkt man sich das Dreikant wieder in derselben Lage zu den beiden Projektionsebenen wie bei der vorigen Aufgabe, so gestaltet sich die Konstruktion folgendermaßen. In einem beliebigen Punkte C der Achse x trägt man den Winkel y (= ^PCQ) an und

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Fig. 8«.

zieht durch G eine Senkrechte zu x, welche die Kante o vorstellt und auf welcher der Scheitel S liegen muß. Statt aber (Fig. 86) einen beliebigen Punkt auf c als Scheitel S zu wählen, nimmt man einfacher auf der Verlängerung von c über C hinaus den Punkt E willkürlich an, woraus sich dann die zugehörige Lage von S ergibt. Über CE konstruiert man das rechtwinklige Dreieck EGBA (^CEBAC — ß), welches dann das um GE in TT₂ umgelegte Dreieck ECB ist. Die Hölie GFA dieses Dreiecks gibt also den senkrechten Abstand des Punktes C von der Seite T und zugleich die Höhe des Dreiecks ACD. Letzteres, um CD in TT2 umgelegt, erhält man, indem man oc an CP so anträgt, daß der freie Schenkel von oc den mit CFA um C beschriebenen Kreis berührt und CD _L CP (vgl. § 94) zieht. Durch die beiden Punkte D und E ist jetzt die Gerade bestimmt, in welcher TT₂ von der Seite T geschnitten wird; die Punkte P, Q, in denen die Schenkel von y diese Gerade schneiden, sind die zweiten Spurpunkte der Kanten a, b. Um nun S und A zu finden, hat man nur über CQ als Kathete das rechtwinklige Dreieck SCQ, dessen Höhe CB = CBA ist, zu konstruieren. Projiziert man noch P auf x, so ist P'S=a'. In gleicher Weise liefert A S₀CP (-F C = 90 °, Höhe CA₀ = CA°) die in TT₂ umgelegte Seite B. Die Hypotenuse des letztgenannten Dreiecks bestimmt zugleich die Länge der Kante a zwischen den beiden Projektionsebenen. Kontrolle: CS = CS₀ .

Die Seite T erhält man durch Umlegen des Dreiecks PSQ in TT₂ : PS₀₀ = PS₀ , QS₀₀ =■ QS und folglich <PS₀₀Q = T.

Für die Konstruktion ist es gleichgültig, ob y < oder >90° ist; wenn also nur einer der drei Winkel stumpf ist, so empfiehlt es sich, diesen als    zu

Sind alle drei

nehmen. Sind zwei Winkel stumpf, so ist es am einfachsten, den spitzen Winkel als zu nehmen und das durch "Verlängerung der Kante o des gesuchten entstehende Nebendreikant mit den Winkeln y, 180° — oc, 180° — ß zu konstruieren, dessen y gegenüber liegende Seite gleich dem gesuchten f~, dessen andere Seiten gleich 180° - A, 180°- B sind.

Winkel stumpf, so kann man einen beliebigen als y wählen und konstruiert dann ebenfalls das Nebendreikant

Die soeben gegebene Konstruktion löst zugleich die Aufgabe: Es soll die Ebene bestimmt werden welche mit zwei ihrer Lage nach gegebenen Ebenen A und B die Winkel oc und ß einschließt. Durch die Methoden der §§ 83 und 84 kann man es stets erreichen, daß eine dieser Ebenen, z. ß. A, Projektionsebene wird.

97. Die in den vorstehenden Paragraphen konstruktiv gelösten Aufgaben lehrt die sphärische Trigonometrie auf dem Wege der Rechnung zu lösen.

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Fig. 87

Schneidet man nämlich ein Dreikant durch eine um seinen Scheitel beschriebene Kugel, so entsteht auf ihrer Oberfläche ein sphärisches Dreieck, dessen Seiten und Winkel durch diejenigen des Dreikants gemessen werden. In der Tat lassen sich aus der Figur 87 die

Grundformeln der sphärischen Trigonometrie leicht ablesen, wenn man noch in derselben die Linien BD _L c, GEA- h imd A°A', AA A! bis zu ihren Schnittpunkten F} G mit BD, CE verlängert. Dann ist AAA'BF= A^A'CG = A. Die Kugel besitze den Radius SA⁰ = SAj , welcher der Einfachheit halber als Längeneinheit gewählt werde. Aus den Relationen A'A° = A'AJ, SB = SE GA¹, BD = BF + A'C, CE — CG + A'B ergeben sich, wenn man die einzelnen Strecken durch sin und cos von A, B, T, ß, y ausdrückt, die Grundfonnein:

(1)    sin    B :    sin T —    sin ß: sin y ,

(2)

cos T =    cos A cos B +    sin A sin B cos y ,

(3)    cos    T    sin A .=    sin B cos y -f    cos A sin T cos ß ,

(4)    cos    B    sin A =    sin F cos ß +    cos A sin B cos y .

Diese Andeutungen mögen hier genügen, da dieser Weg noch in den meisten Lehrbüchern der sphärischen Trigonometrie eingeschlagen ist, trotzdem er nicht der beste ist. Denn da für die Konstruktionen des Dreikants alle Seiten und Winkel <180° vorausgesetzt waren, so ergibt sich auf diesem Wege die Gültigkeit der Formeln nur für sphärische Dreiecke, deren Seiten und Winkel ebenfalls < 180° sind, während sie auch für Dreiecke, welche diese Bedingung nicht erfüllen, gültig sind.

Darstellung von Vielfiachen.

98. Unter einem Vielflach oder Polyeder versteht man bekanntlich einen Körper, dessen Oberfläche von lauter ebenen Vielecken, den Seitenflächen, gebildet wird. Je zwei dieser Vielecke stoßen mit zwei Seiten in einer Kante zusammen.

von denen wieder drei oder mehr (und also ebensoviele Seitenflächen) in einer Ecke Zusammenstößen. Die Darstellung eines Vielflachs kommt also auf die Darstellung der Ecken und Seitenflächen und also in letzter Linie wieder auf die Konstruktion von Dreikanten und Dreiecken hinaus.

Projiziert man ein Vielflach auf eine Ebene, so liegen auf jedem projizierenden Strahle, welcher das Vielflach durchschneidet, ein sichtbarer und ein (oder mehrere, falls das Vielflach nicht nur konkave Ecken besitzt) unsichtbare Punkte seiner Oberfläche. Von allen diesen Punkten besitzt der sichtbare Schnittpunkt den größten Abstand von der Projektionsebene. Derjenige auf dem Vielflache gelegene Linienzug, längs dessen die projizierenden Strahlen dasselbe nur streifen, nicht auch in das Innere eindringen⁴), heißt der wahre Umriß und seine Projektion der scheinbare Umriß des Vielflachs. (Vgl. § 37.) Dieser von Kanten des Vielflachs gebildete Linienzug kann aus einem oder mehreren⁵) Teilen bestehen. Für einen in der Richtung der Projektionsstrahlen blickenden Beschauer bildet der wahre Umriß zugleich die Grenze des sichtbaren Teiles der Oberfläche des Vielflachs.

Sind mehrere Projektionsebenen, 7^ , T7₂, . . . vorhanden, so spricht man von einem ersten, zweiten,... wahren bzw. scheinbaren Umrisse. Die im Grundrisse bzw. Aufrisse nicht sichtbaren Kanten sind in den folgenden Figuren punktiert (entsprechend den Festsetzungen in § 32).

99. Aufgabe. Ein senkrechtes dreiseitiges Prisma ist nach folgenden Angaben zu zeichnen: Das Prisma ruht mit einer Ecke auf TTj; von seiner oberen Endfläche ist der Eckpunkt A{Af A") und die erste Projektion Af Bf C' gegeben, während ihre zweite Projektion einem

A    A    A

gegebenen Dreiecke M, B, C ähnlich sein soll.

Um zunächst A"B"C" zu konstruieren, ziehe man die Linie A'A'f welche die Seite B'C' in M' und die entsprechende Seite B"C" in M" schneidet, und beachte, daß B'M': M'C' = B"M": M"G" sein muß. Da nun A A"B"C"ro ABC sein soll, so muß dem Punkte M" ein Punkt M auf BÖ entsprechen, für welchen sich verhält: BM: MC — B"M" : M"C" und folglich auch BM: MC — B'M' : M'C'. — Man teilt also (Fig. 88) die Seite BG durch den Punkt M in dem angegebenen Verhältnisse und zeichnet dann A Ä'BG 02 A ABC, so daß A"M(= AM) auf die Linie A'A" fällt und Bf B auf der gleichen Seite von A'A" liegen. B’f G" sind dann die Sclmittpunkte der Vertikalen durch Bf C' mit A''B₎ bzw. A''G. — Eine zweite (in der Figur nicht gezeichnete) Lösung würde man erhalten, wenn man das zu A A''BC in bezug auf eine Horizontale durch Asymmetrische Dreieck zeichnet und dann wie vorhin die Punkte B'f G" bestimmt.

Da die Seitenkanten auf den Grundflächen senkrecht stehen sollen, so müssen ihre Projektionen auf den gleichnamigen Spuren der Ebene ABG (§ 72) senkrecht stehen. Statt der Spuren benutzt man bequemer eine erste und eine zweite Hauptlinie u, v(u" || x,

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Fig. 88.

am nächsten, da B" der Achse näher liegt als A" und G"\ folglich ist der Punkt E, in welchem die durch B gehende Kante TTj schneidet, der in TT₁ liegende Eckpunkt der imteren Grundfläche. E" ist also der Schnittpunkt von x mit der durch B" gezogenen Senkrechten zu v". Da die untere Grundfläche DEF der oberen kon-

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v' j] x) und zieht dann durch A', B\ C’ Senkrechte w', durch A", B", G" Senkrechte zu xF. Von den drei Eckpunkten der oberen Endfläche liegt B der Tafel TT*

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gruent ist, so kann man jetzt die Projektionen von DEF ohne weiteres zeichnen. B'G'F'UE ist der erste und A"B"E"F"C” der zweite scheinbare Umriß.

100. Aufgabe. Es soll eine regelmäßige Pyramide, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sternfünfeck ist, gezeichnet werden. Die Grundfläche soll in der Ebene E (et, e₂) und die Spitze in TT₂ liegen; ferner sind noch die ersten Projektionen des Mittelpunktes M und eines Eckpunktes A der Grundfläche gegeben.

(Fig. 89.) Mit Hilfe von ersten Falllinien u (u' _L durch M und A bestimmt man zunächst ihre zweiten

Hierauf konstruiert man

Projektionen M", A". Darauf legt man E in TT₁ um (§ 79, II), indem man M umlegt (J/'l/j = MXM" und _L M' U,, Ma = ilX₀U₁) und bestimmt A₀ als affinen Punkt zu A' (mit et als Affinitätsachse imd senkrecht zu e₁ gerichteten Affinitätsstrahlen). In der umgelegten Ebene konstruiert man nun das regelmäßige Sternfünfeck, dessen Mittelpunkt M₀ ist und dessen einer Eckpunkt in A₀ liegt (k = Kreis um lf₀ durch A₀; Aq , B₀, C₀, D₀, E₀ sind die Ecken des dem Kreise k einbeschriebenen regelmäßigen Fünfecks), die erste Projektion des Sternfünfecks, A'B'C’iyE', als affine Figur zu A₀B₀C₀D₀E₀ (z. B. E₀M₀ und E'M! schneiden sich auf ex, E{) Ef _L e,) und bestimmt dann, wie oben, B", C", D", E". Die Höhe h der Pyramide steht in M auf E senkrecht, folglich ist h' _L , h" _L e₂; da die Spitze S in TT₂ liegen soll, so ist <S" = b! X x • In der Figur sind der größeren Übersichtlichkeit wegen die Kanten nur so weit gezeichnet, als sie sichtbar sind. Hier liegt der Fall vor, daß nur ein Stück einer Kante dem wahren Umrisse angehört, indem das

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Fig. 89.

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übrige Stück durch davor liegende Flächen verdeckt wird; so gehört z. B. die Kante AS sowohl dem ersten als dem zweiten wahren Umrisse nur teilweise an.

101. Aufgabe. Ein regelmäßiges Yierflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

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Fig. 91.

Fig. 90.

Dasselbe wird von vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebildet und besitzt vier dreiseitige Ecken. Jede Ecke liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Seitenfläche.

I. Die Seitenfläche ABC liege in TT, . (Fig. 90.) Ihr Mittelpunkt ist dann die Projektion U der vierten Ecke D. Die Höhe h von D über ABC und damit DXD" ergibt sich als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich s und dessen andere

Darstellung von Vielflachen 2

Kathete gleich Aiy = — der Hölie einer Seitenfläche,

also gleich ist. Da AD' ABC ist, so folgt, daß auch o

ADA.BG ist; zwei gegenüber liegende Kanten des regelmäßigen Vierflachs sind mithin senkrecht zueinander gerichtet.

II. Das Vierflach der Figur 90 sei um die Kante BG gedreht, bis die Kante AD \\T\₁ ist. Dann ist, da AD ABC ist, auch ADA ABG (Fig. 91); ferner halbieren sich BG und A'D' gegenseitig. Hierdurch ist der Grundriß bestimmt. A"D" ist 11 x, und man kann leicht den Aufriß zeichnen, wenn man noch den senkrechten Abstand d der Kanten AD und BG voneinander kennt. Da die Mittelpunkte beider Kanten senkrecht übereinander liegen, so ist ihr Abstand d gleich der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse gleich der Höhe

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—yB einer Seitenfläche und dessen andere Kathete

J s gleich — ist.

u

102. Aufgabe. Ein regelmäßiges Achtflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Dasselbe wird von acht kongruenten gleichseitigen Dreiecken gebildet, von welchen je vier in einer Ecke zusammenstoßen; es hat also sechs Ecken und zwölf Kanten. Die Endpunkte der von einer Ecke ausgehenden Kanten bilden, da sie gleich weit von der Ecke entfernt liegen und gleiche Winkel miteinander einschließen, die Ecken eines Quadrates, dessen Seiten wieder vier Kanten des Achtflachs sind. Folglich liegen je vier der sechs Ecken des Achtflachs in den Eckpunkten dreier Quadrate, deren Ebenen aufeinander senkrecht stehen.

Sind zwei dieser Ebenen parallel zu 1"^ und TT₂, so erhält man als Projektionen des Achtflachs zwei Quadrate mit der Seite s, deren Diagonalen _L bzw. || a sind; die Eckpunkte derselben sind die Projektionen von vier Ecken des Achtflachs, während die beiden übrigen Ecken sich in die Mittelpunkte der Quadrate projizieren (Fig. 92a). Dreht man nun das Achtflacb um die zu TT₂ senkrechte Diagonale DF um den

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Fig. 92 a> b> c und d-

Winkel <x, so erscheint C"E" (Fig. 92b) um den Winkel tx gegen seine frühere horizontale Lage geneigt; nach § 81 kann man dann leicht die neue Lage des Achtflachs erhalten, wie sie Figur 92b zeigt. Dreht man dann nochmals das Achtflach um eine durch seinen Mittelpunkt 0 und -LTT^ gelegte Achse b(b"J_x) um den Winkel ß, so erhält man das Achtflach in beliebiger Lage zu TT₂, während es zu noch die spezielle Lage hat, daß seine Diagonalebene A CBE _L TT^ ist (Fig. 92°). Deshalb nimmt man noch eine Drehung um eine durch 0 gehende und zu TT₂ senkrechte Achse c (cf J_x) um den Winkel y vor und erhält dann das Achtflach in allgemeiner Lage zu beiden Projektionsebenen (Fig. 92 d).

Wählt man <x und ß so, daß tang oc = 1, tang ß = ist, so bilden in der Figur 92c die zweiten Projektionen der Kanten ein regelmäßiges Sechseck und die beiden ihm einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecke.

103. Aufgabe. Es ist ein Würfel von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Die sechs kongruenten Quadrate, welche die Oberfläche des Würfels bilden, stoßen zu je dreien in den acht Ecken desselben zusammen; die sämtlichen Flächenwinkel des Würfels sind also gleich 90°.

Ist der Würfel mit zwei seiner Flächen parallel zu TT! und TT₂ gestellt, so sind seine beiden Projektionen Quadrate mit der Seite s. In der Figur 93 ist außerdem noch angenommen, daß die Würfelfläche AB CD in TT! liegt; jede Seite dieses Quadrates ist die Projektion einer Seitenfläche (z. B. AB die Projektion von AB FE) und das ganze Quadrat zugleich die Projektion der oberen Endfläche EFQH. Das Analoge gilt für die zweite Projektion.

Um die Projektionen des Würfels in allgemeiner Lage zu erhalten, werde hier das Verfahren der Einführung neuer Projektionsebenen angewendet. Zuerst werde eine unter dem Winkel a gegen TT₂ geneigte und auf TT! senkrecht stehende dritte Projektionsebene (xt = TT! X TT₃, < (x | xx) = <x) eingeführt und nach § 84 die dritte Projektion des Würfels konstruiert. Eine vierte Projektionsebene sei unter dem Winkel ß gegen

T]₁ geneigt und _L TT₃ (x₂ = TT₄ X TT;{, < {xx \ x₂) = ß); eine fünfte Projektionsebene sei unter dem Winkel y gegen TT₃ geneigt und _LTT₄ (xs = TT₅ X TT₄ , <A(x₂ \ x₃) = y). Während der Würfel gegen TT₃ noch in der besonderen Lage sich befindet, daß zwei seiner Flächen

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¹

Hierbei sind die durch die Ungleichungen (1) bis (4) in § 88 ausgesprochenen Sätze, sowie der Satz am Ende von § 90 zu Hilfe zu nehmen.

²

In diesem letzten Falle ergibt sich <¹ — 90 °; das Dreikant ist also ein rechtwinkliges.

³

In diesem letzten Falle ergibt sich B ⁶ 90°; das

⁴

Die Projektionsstrahlen streifen also auch das Vielflach, wenn Seitenflächen desselben ihnen parallel sind.

⁵

Z. B. bei einem vierseitigen Prisma, aus welchem ein dreiseitiger prismatischer Kern herausgeschnitten ist.

⁶

• Dreikant ist also ein rechtseitiges

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Fig. 93.

_LTT₃ sind, liegt er zu TT₄ bereits in allgemeiner Lage und ebenso zu TT₅ .

Durch passende Wahl der Winkel &, /?, y kann man jede beliebige Stellung des Würfels zu TT₄ und TT5 erzielen. Wählt man z. B. TT₃ [] AC GE, TT₄ _L A"' G"\ also xt\\AC, x₂ _LÄnrG"r, was tangöc = 1, tang/5 = ]/2 entspricht, so bilden die vierten Projektionen der Würfelkanten die Seiten und die Eadien eines regelmäßigen

Sechsecks, in dessen Mittelpunkt die vierten Projektionen von A und 0 zusammenfallen (s. die erste Projektion des Würfels in Fig. 99 auf S. 183).

Bei dem Achtflach und dem Würfel würde es keine Schwierigkeiten geboten haben, ihre Projektionen sofort für eine beliebige Stellung der Körper zu den Projektionsebenen zu entwerfen. Bei komplizierter gebauten Körpern dagegen empfiehlt es sich, dieselben zunächst in die möglich günstigste Lage zu den beiden Projektionsebenen zu bringen und dann eines der beiden vorstehend benutzten Verfahren anzuwenden, um ihre Projektionen in allgemeiner Lage zu erhalten. Beide Verfahren sind, wie die vorstehenden Beispiele zeigen, einander gleichwertig; welchem man im gegebenen Falle den Vorzug gibt, hängt von dem darzustellenden Körper ab.

104. Aufgabe. Es ist das regelmäßige Zwanzigflach von gegebener Kantenlänge s zu zeichnen.

Von den zwanzig kongruenten gleichseitigen Dreiecken, welche das Zwanzigflach bilden, stoßen je fünf in einer der zwölf Ecken desselben zusammen. Die Endpunkte der von einer Ecke ausgehenden Kanten Hegen augenscheinhch in den Eckpunkten eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Seiten wieder Kanten des Zwanzigflachs sind, und zwar gehören je zwei verschiedenen Seitenflächen an. Dieses Fünfeck werde kurz das zu der Ecke gehörige Fünfeck genannt. Die zwölf Ecken des Zwanzigflachs liegen, wie in der Stereometrie gezeigt wird, zu je zweien auf sechs Achsen, welche sich im Mittelpunkte M des Körpers gegenseitig halbieren; die Kanten, welche von den beiden auf einer Achse gelegenen Ecken ausgehen, sind paarweise einander parallel, und die von ihren anderen Eckpunkten gebildeten Fünfecke liegen in parallelen Ebenen, sind aber um 180° gegeneinander gedreht.

Das Zwanzigflaeh (Fig. 94) stehe mit der Achse A1J

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Fig. 94.

senkrecht auf T"^. Die Endpunkte der von A, bzw. L ausgehenden Kanten seien mit Bx, . . . , B₅, bzw.

, . .., C₅ in der Weise bezeichnet, daß zwei Punkte mit gleichem Index auf derselben Achse hegen. Nach dem Obigen sind dann die Ebenen der beiden zu A und D gehörigen Fünfecke Blt . . ., Bh und C\ , . . ., C₅ || TTj ; ihre ersten Projektionen sind daher regelmäßige Fünfecke mit der Seitenlange s, deren Eckpunkte sich diametral gegenüber liegen. Der Mittelpunkt des Fünfecks liegt in dem Punkte A, in welchen sich auch D projiziert. Die Seiten des von den Ecken beider Fünfecke gebildeten regelmäßigen Zehnecks sind ebenfalls die Projektionen von Kanten des Zwanzigflachs. B[ G[ ist _L x gezeichnet; d. h. die beiden Achsen AD und Bx Cx liegen in einer Ebene _Lx. Durch diese Annahme gestaltet sich die Konstruktion am einfachsten.

Um nun den Aufriß zeichnen zu können, ist es nur nötig, die Lage eines Punktes B" und eines Punktes G" zu bestimmen. Nun ist AB[ _L B₃ Bi und B₃Bx\\T\₁, folglich ist auch ABX _L J3₄ , d. h. jede von einer beliebigen Ecke ausgehende Kante steht senkrecht auf der gegenüber- Hegenden Seite des zu der Ecke gehörigen Fünfecks. Zu der Ecke B₂ gehört nun das Fünfeck Bx (7₄ <7₅ Bn A; mithin ist auch B₂ C₆ _L BXA. Ferner Hegen beide Kanten in zu x senkrechten Ebenen, und folglich ist BXA unter demselben Winkel gegen TT1 geneigt, wie die zu ihr senkrechte Kante B₂ Ch gegen die zu senkrechte Ebene TT₂. Hieraus folgt aber, da beide Linien gleiche Länge haben, daß Bi'Ci' = B[ A und Bi'A" = Bi Ci ist.

Auf der Vertikalen durch B[ trägt man also von ihrem Schnittpunkte A" mit x aus die Länge Bi C5 ab und erhält so den Punkt B". Auf der Horizontalen durch B" Hegen die Punkte Bi', . . ., Bi'. Senkrecht über B{' im Abstande B[A Hegt der Punkt C” und auf der durch ihn gehenden Horizontalen Hegen Ci’, . . ., Ci’. D" Hegt ebenso hoch über der C"- Horizontalen als A unter der B"- Horizontalen, da alle Ecken gleich weit von den Ebenen der zu ihnen gehörigen Fünfecke entfernt liegen.

Kontrolle: M" halbiert die Projektionen der sechs Achsen A"D": B"C{', ..., B" C£’. Diametral gegenüber liegende Kanten müssen einander parallel sein.

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Fig. »5.

105. Um komplizierter gebaute Körper in schiefer Parallelprojektion darzustellen, benutzt man mit Yorteil ihren Grundriß und Aufriß.

Figur 95 zeigt das Zwanzigflach in schiefer Parallelprojektion. Damit die Konstruktion möglichst einfach

wird, sind beide Projektionsebenen parallel zu sich verschoben gedacht, so daß Grundriß Und Aufriß in genau derselben Lage wie in Figur 94 zueinander bleiben, die Projektionsachse jetzt aber mit Bl'Bl' zusammenfällt.

In Figur 95 sind die ersten Projektionen der zwölf Ecken des Zwanzigflachs in ihrer Lage zu der neuen »-Achse gezeichnet; bei den B fehlt der obere Akzent, da das B-Fünfeck jetzt in TTi liegt, A hat ihn dagegen bekommen, da die zugehörige Ecke jetzt unterhalb TT^ liegt. Hierauf sind dann die schiefen Projektionen Z?*,...,Z?5, C^, . . ., (7Ö; A = D dieser Punkte konstruiert (§ 35;

z.

B. B±BXJ_», 4i(BlBx\x) = 150°, <B±B(BX = 90°). Die Punkte B(, . . B% geben bereits die schiefe Projektion des 5-Fünfecks; diejenige des G-Fiinfecks erhält man, wenn man auf den Vertikalen durch Ct, . . C5 den Abstand der Ebenen beider Fünfecke, welchen man aus dem Aufrisse = B'{ CI' entnimmt, abträgt. Die Eckpunkte As und Ds müssen auf der durch A gehenden Vertikalen liegen, und zwar ist AAS— B'{ A" und AD¹ — B'{ D".

Kontrollen: Die Mittelpunkte der Fünfecke B{,..., Bl, C[₎ . . ., Cg und der Mittelpunkt Ms des Zwanzigflachs müssen auf ASDS liegen; Ms muß jede der sechs Achsen halbieren; diametrale Gegenkanten sind parallel.

zu

106. Aufgabe. Es ist das regelmäßige Zwölfflach von gegebener Kantenlänge zeichnen.

Das Zwölfflach wird von zwölf kongruenten regelmäßigen Fünfecken gebildet, welche zu je dreien in zwanzig Ecken zusammenstoßen.

Das Zwölfflach stehe mit der Seitenfläche A} A auf TTi. Die Endpunkte Bx, . . ., Bh der von den Punkten A ausgehenden Kanten liegen ebenfalls in den Eckpunkten eines regelmäßigen Fünfecks, dessen Ebene || TT1 ist, da die Kanten AXBX, . . ., AhBb gegen das Fünfeck Ax ... A₅ gleich geneigt sind. Die zu Ax . . . A5 parallele Seitenfläche Dx ... D₅ ist um 180° gegen Ax ... A₅ gedreht, und die Endpunkte Cx, . . ., C5 der von den Punkten D ausgehenden Kanten bilden ein dem J5-Fünfeck kongruentes regelmäßiges Fünfeck, welches auch 11 TT! liegt. Die Mittelpunkte dieser vier Fünfecke liegen in derselben Vertikalen zu TT!. Die zwanzig Ecken des Zwölfflachs sind also in TTj und drei parallelen Ebenen gelegen. Die mit gleichem Index versehenen Ecken A und D einerseits und B und C andererseits liegen auf den zehn Achsen des Zwölfflachs, welche sich in seinem Mittelpunkte M halbieren.

Die eine Seite des M-Fünfecks sei noch || x. (Fig. 96.) Man zeichnet dann zunächst das A- Fünfeck mit der Seite s, so daß z. B. AsAx\\x ist. Der Mittelpunkt M' desselben ist zugleich die erste Projektion des Körpermittelpunktes M. Das D-Fünfeck besitzt dann denselben Mittelpunkt M', ist aber um 180° gedreht gegen das M-Fünfeck, also AXD[ _L A₃A₄ usw. Die zehn Ecken A, D bilden mithin die Ecken eines regelmäßigen Zehnecks. Da die Kante AXBX mit den beiden anstoßenden Seiten AXA₂ und AXA₅ gleiche Winkel bildet, so muß es auch ihre Projektion tun. AXB[ fällt also mit der Halbierungslinie des überstumpfen Winkels Aa Ax A5 zusammen und geht folglich in ihrer Verlängerung durch den Mittelpunkt M' hindurch. Das gleiche gilt für die Projektionen der übrigen Kanten AB, sowie der Kanten DC. Da nun die Punkte G in der gleichen Weise su der oberen Seitenfläche Dx . . . I)₆ liegen, wie die

Punkte B zu der unteren At ... A₆, so haben die ersten Projektionen aller Kanten AB und DG gleiche Länge. Wird das Fünfeck D₃ Di Ci B₁ C₃ um DsDi gedreht, bis es mit D„DiD₆DlDi zusammenfällt, so

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Fig. 96

Folglich ist C| der Schnittpunkt von D£Ai

beschreibt Cg einen Kreis, dessen Ebene senkrecht auf D₃D₄ steht. Da U₈ D₄ 11 TT₁ ist, so projiziert sich dieser Kreis in eine zu D£Di senkrechte Gerade; diese muß auch durch D% gehen und fallt folglich mit D%Ah zusammen.

mit M'D$. Hiermit sind auch für die übrigen C- und D-Ecken die ersten Projektionen bestimmt; sie bilden die Ecken eines zweiten Zehnecks, dessen Seiten zugleich Projektionen von Kanten des Zwölfflachs sind. Zur Kontrolle dient hier, daß DiAx _L Di Di sein und ebenfalls durch C3 gehen muß.

Da

Der Aufriß ist bestimmt, sobald die Abstände des B-, G- und D-Fünfecks von TTj bekannt sind.

Aö 63 _L C3 Ci und CSC₄ || TT 1 ist, so steht auch A ₅ 63 _L C3 C4. Hieraus folgt, daß von den sechs von C3 ausgehenden Flächendiagonalen je zwei, durch eine dritte Diagonale getrennte aufeinander senkrecht stehen. Das gleiche gilt für alle Ecken, undfolglich istauch C'₃A₅_LA₅ß₄. Da ferner diese beiden Diagonalen in einer zu x senkrechten Ebene liegen und gleiche Länge haben, so folgt (genau wie auf S. 171) A'l C’{ = A₆ B{ und A'iBi' = A₆ Ci. Da das D-Fünfeck ebenso hoch über dem (7-Fünfeck liegt als das L-Fimfeck über dem A-Fünfeck, so muß Ci'Di' = A'i Bi' sein. Hiermit sind die drei Parallelen zu in welchen die 5-, G- und D-Ecken liegen, bestimmt.

Kontrolle: Die zweiten Projektionen der zehn Achsen müssen sich in M" schneiden. Von zwei Gegenecken gehen parallele Kanten aus, also z. B. A'iBf || Dg Ci' usw.

107. Zum Schlüsse möge noch die Lösung einer komplizierteren Aufgabe folgen.

Aufgabe. Es ist ein regelmäßiges Vierflach zu zeichnen, von welchem die erste Projektion A'B'C' einer Seitenfläche und eine Ecke C(C\C") gegeben sind.

Es handelt sich hierbei zunächst darum, die zweite Projektion eines gleichseitigen Dreiecks zu bestimmen, dessen erste Projektion gegeben ist. Diese Aufgabe ist aber nur ein spezieller Fall der folgenden

Aufgabe. Die zweite Projektion eines Dreiecks ABC, dessen erste Projektion A'B'C' und dessen Ecke C (C", C") gegeben sind, soll so bestimmt werden, daß das Dreieck ABC einem gegebenen Dreiecke A₁B₁C₁ ähnlich ist.

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Fig. 97.

Diese Aufgabe, welche zunächst gelöst werden soll, kann auch so gefaßt werden: Ein gerades dreiseitiges Prisma soll durch eine Ebene, welche durch einen gegebenen Punkt einer Seitenkante hindurchgeht, so geschnitten werden, daß die Schnittfigur einem gegebenen Dreiecke ähnlich ist.

108. Man denke sich in der Ebene des Dreiecks ABC (Fig. 97) durch seine Ecke C die erste Ilaupt-linie u und erste Falllinie u gezogen, welche AB in den Punkten R und S schneiden mögen; der von u und u gebildete rechte Winkel projiziert sich auf TTl wieder als rechter Winkel und die ersten Projektionen R', S' der Punkte R, S teilen A'B' in demselben Verhältnisse

Hau ft n er, Darstellende Geometrie L

wie R, S die Seite AB selbst: R'A': A'B': B\S" = RA : AB : BS. Eine in der Dreiecksebene gezogene Parallele zu AB möge von den Seiten CA, CB und den Schenkeln CR, CS des rechten Winkels in den vier Punkten A₀, B₀, R₀, S₀ getroffen werden; dann verhält sich R₀ A₀ :A₀B₀ : B₀ S₀ — RA : AB : BS und folglich auch R₀ A₀ : A₀B₀ : B₀ S₀ = R’Ä :A'B': B'S'. Zieht man die Parallele speziell so, daß A₀B₀ = A'B' wird, so ist R₀ A₀ = R'Ä, B₀ S₀ — B' S'. sich ferner die Figur CR₀A₀B₀S₀ in die erste Projektionsebene gelegt, so daß A₀, B₀ mit A!, B' und also R₀, S₀ mit R', S' zusammenfallen, und C dabei in einen Punkt C° fallt, so kann man C und G° als affine Punkte und A'B'As zugehörige Affinitätsachse betrachten. Dann sind R'C'S'und R'C°S' die entsprechenden rechten Winkel in den affinen Punkten C’ und C°. Beachtet man noch, daß A A'C° B' ähnlich dem gegebenen Dreiecke Al Bl Cx sein muß, so ergibt sich aus den vorstehenden Betrachtungen die folgende Konstruktion der Punkte R’ and S'.

Denkt man

Man zeichnet (Fig. 98) das dem gegebenen Dreiecke AlBlC₁ ähnliche Dreieck A'B'C⁰, welches mit A'B'C die Seite A'B' gemeinsam hat, und konstruiert darauf (nach § 14) die entsprechenden rechten Winkel in den affinen Punkten C' und C°, wodurch man die gesuchten Punkte R', S' erhält.

Es ist nun noch zu entscheiden, welcher von den Schenkeln des rechten Winkels in C' die Projektion der durch C gehenden ersten Hauptlinie u ist. Nach § 65 muß sich der von einer Hauptlinie u mit AB gebildete spitze Winkel in einen kleineren Winkel auf TTi projizieren. Da nun A R' C° S' ~ A RCS ist und in unserer Figur < C° R' S' > < C'R' S' ist, so folgt also, daß C'R' die Projektion u' der ersten Hauptlinie und C" R" A_ G' G" ihre zweite Projektion u" ist.

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Fig. 98.

C' S' ist dann die Projektion der ersten Falllinie u durch G. Da noch C'R'\\CR und also gleich der wahren Länge von CR ist, so wird A72° C° S° ^ A RCS, man C°R° = CR' macht und R° <S° || R'S' zieht; folglich gibt C°S° die wahre Länge von CS. Aus dieser und der ersten Projektion C' S' ergibt sich der vertikale Höhenunterschied der Punkte C und S (S'TA-S'C, CT — C°S⁰)] folglich liegt die zweite Projektion von S auf der Vertikalen durch S' in dem Abstande C'T senkrecht über oder unter u" (US" = US" = S'T). Die zweite Projektion von RS ist also entweder R" S" oder R'S"] auf diesen Geraden müssen die zweiten Projektionen von A und B liegen. Man erhält also zwei Lösungen, je nachdem man A"B''C" oder A"B"C'' als zweite Projektion des Dreiecks ABC ansieht

wenn

In der Figur 98 ist dem speziellen Falle der vorliegenden Aufgabe entsprechend A A'B'C⁰ als gleichseitiges Dreieck gezeichnet.

109. Nachdem jetzt die beiden Projektionen einer Fläche des Vierflachs bekannt sind, kann man die vierte Ecke D leicht konstruieren. Dieselbe liegt senkrecht über dem Mittelpunkte Mvon ABC, dessen Projektionen die Schnittpunkte der Mitteltransversalen von A'B'C und A"B" C" sind. Dann ist M'D'±u', wenn v {v' |] u") eine zweite Hauptlinie der Ebene des Dreiecks ABC ist Aus den beiden Projektionen einer Seite von ABC bestimmt man die wahre Länge s einer Kante des Vierflachs und findet dann die wahre Länge h von MD als Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse s und dessen andere Kathete 2

gleich — der Höhe einer Seitenfläche, also gleich ^-1/3 ist.

Um schließlich noch die Punkte U, D" zu bestimmen, wählt man einen beliebigen Punkt E auf der _L ABC durch M gezogenen Geraden und bestimmt die wahre Länge von ME, welche gleich M'Ej ist (M"F"\\u",E'E'a = E"F" und _L M'E'). Trägt man nun die Höhe des Tetraeders auf M'Ej bis Dj ab (üf'Dj = h) und fällt von ein Lot auf M' E\ so ist sein Fußpunkt der Punkt Z/; U' liegt vertikal über D’ auf M"E".

Da der Punkt D auch auf der anderen Seite von ABC liegen kann, so erhält man zwei regelmäßige Vierflache mit der Seitenfläche (A'B'CA"Bn C,r) und weitere zwei mit der Seitenfläche (A' B' C', A"B”C"); die Aufgabe besitzt also im allgemeinen vier Lösungen.

Ebener Schnitt eines Vielflachs und Netz desselben.

110. Um die Schnittfigur eines Vielflachs mit einer Ebene E zu konstruieren, kann man entweder die Eckpunkte der Schnittfigur als Durchschnittspunkte der Kanten des Vielflachs mit E oder die Seiten der Schnittfigur als Schnittgerade der Seitenflächen des Vielflachs mit E bestimmen; das erstere heißt das Kantenverfahren, das letztere das Flächenverfahren. Bei dem Kantenverfahren kommen nur die innerhalb der begrenzten Kanten gelegenen Schnittpunkte und bei dem Flächenverfahren nur die innerhalb der begrenzten Seitenflächen gelegenen Teile der Schnittlinien in Betracht. Die Anwendung des Flächenverfahrens empfiehlt sich nur bei gewissen Klassen von Vielflachen, vornehmlich bei Prismen und Pyramiden. Bei dem Kantenverfahren nimmt man entweder eine dritte Projektionsebene TTg, welche auf TT₁ (oder TT₂) und E senkrecht steht, zu Hilfe oder benutzt die projizierenden Ebenen der Kanten (§ 69). Bei Benutzung einer TT3 fällt die dritte Projektion der Schnittfigur mit der dritten Spur von E zusammen; man sieht folglich unmittelbar, welche Kanten E treffen. Besonders bei komplizierten Vielflachen wendet man am vorteilhaftesten dieses Verfahren an.

111. Aufgabe. Ein mit einer Achse senkrecht auf TTj stehender Würfel wird von einer Ebene E («x, ef) geschnitten; es soll die Schnittfigur und das Netz des Würfels konstruiert werden.

(Erste Art des Kanten Verfahrens.) (Fig. 99.) Es empfiehlt sich, hier eine dritte Projektionsebene TT₃ -LTT^ und IE zu benutzen (?/ = TT₁ X ^T₃ , y A_ef) und (nach § 84) die dritte Projektion des Würfels, event. nur so weit als nötig, zu zeichnen. Die dritte Spur «g von E erhält man leicht mit Hilfe einer ersten Hauptlinie u, z. B. derjenigen, deren erste Projektion u! durch G" geht; dann ist TJi U₃ = G" U₂ und e₃ die Verbindungslinie von U₃ mit Ey — e, X V • Die Schnittpunkte von es mit den dritten Projektionen der Würfelkanten geben sofort die dritten Projektionen Z/", . . ., 0" der Ecken der gesuchten Schnittfigur. Diese hat man nur noch rückwärts in die anderen Projektionen (L"'L'A_ y, U L" A. x) zu übertragen. Hierbei ist zu beachten, daß zwei benachbarte Ecken der Schnittfigur auf zwei derselben Seitenfläche angehörenden Kanten liegen müssen. In der Figur sind auch die sonst sichtbaren Kanten so weit punktiert, als sie durch E verdeckt werden.

Für das Ausziehen der Linien der Schnittfigur ist zu beachten, daß nur diejenigen Linien sichtbar sind, welche auf sichtbaren Flächen liegen, und daß von einer auf dem wahren Umrisse gelegenen Ecke der Schnittfigur stets eine sichtbare und eine unsichtbare Seite derselben ausgehen.

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Fig. 99.

Kontrolle: Man konstruiert den Aufriß besonders, indem man das Verfahren unter Benutzung einer zu TT2 und E senkrechten neuen Projektionsebene wiederholt;

die entsprechenden Punkte von Grundriß und Aufriß müssen dann vertikal übereinander liegen.

Die wahre Gestalt J₀ . . . O₀ der Schnittfigur erhält man durch Umlegen von E in (§79,1). J₀ ... O₀

11

11

Fig. 100.

und J*... Cf sind affin in bezug auf et als Affinitätsachse.

Legt man alle Seitenflächen des Würfels in einer Ebene so aneinander, daß jede mit der benachbarten längs einer Kante zusammenhängt, so erhält man das Netz des Würfels (Fig. 100). Die Kantenlänge s desselben erhält man aus der Diagonale einer Seitenfläche; da

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BD\\T\i1 so ist BD = BU — sj/jf, also s — —. B'D'.

2

Um die Seiten der Schnittfigur einzutragen, trägt man ihre Eckpunkte ein; z. B. findet man J auf AD leicht aus AD : AJ — A'D' : A' J' usw.

Kontrolle:

JK = J₀ K₀ usw.

112. Man benutzt oft die Schnittfigur eines Vielflachs mit einer passend gewählten Ebene, um sein Netz leichter konstruieren zu können, wie das folgende Beispiel lehren mag.

Aufgabe. Ein schiefes Prisma AB CD ist durch seine beiden Projektionen gegeben; es soll sein Netz entwickelt werden.

(Fig. 101). Man schneidet das Prisma durch eine Ebene E, welche senkrecht zu den Xanten AB desselben istp man zieht also durch einen beliebigen Punkt Ex von x die Spuren elA.A'B' und e₂ _L A" B". Darauf konstruiert man- nach dem Verfahren des vorigen Paragraphen die Schnittfigur Cx C₂ C₃ Cx mit Hilfe einer zu TTt und E senkrechten Ebene TT₃, d. h. also V = TTi X TT₃ ist _L ex. Da die Hilfsebene E sowohl auf den Kanten AB als auf TT₃ senkrecht steht, so ist esA.A'"B'" Aus der dritten Projektion erhält man zugleich die wahren Längen der Kanten zwischen den beiden Endflächen des Prisma, sowie ihrer Teile zwischen jeder Endfläche und E. Ferner konstruiert man die wahre Gestalt der Schnittfigur durch Umlegen von E in TTi 5 ⁽^e Kreise, welche die Punkte C beschreiben, projizieren sich auf TTj^ in die Kanten AB'. Zur Kontrolle dient, daß et Affinitätsachse für Ax A₂ A₃ Ai, C[ C₂ 63 C\ und G\ C§ C₃ 64 ist, also entsprechende Seiten der drei Figuren sich auf e₁ schneiden.

Breitet man nun die prismatische Fläche, welche längs der Kante A₃ B₃ aufgetrennt sei, in eine Ebene aus,

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Fig 101.

so fallen (Fig. 102) die Seiten des Normal Schnittes G\ C₂ C₃ C4 in eine Gerade, auf welcher die Kanten senkrecht stehen. Aus der wahren Gestalt der Schnittfigur entnimmt man die Längen Gx C₂ — C® C%, . . . und aus der dritten Projektion die Längen Ax Gx = Ä"C'", ..., Aa CA = A4'CA\ AxBi=*. . . — A4B4 = Ä2B2 . Hierdurch ist das Netz der Seitenflächen bestimmt, an welche man noch die beiden Endflächen, die aus dem Grundrisse unmittelbar

zu entnehmen sind, in passender Weise anfügt. Faltet man die Netzfigur wieder zur Prismenfläche zusammen, so erhält man entweder das Prisma AB oder das ihm in bezug auf TTi symmetrische, je nachdem die eine oder

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A,

A,

Fig. 102.

die andere Seite der Netzebene nach außen zu liegen kommt.

113. Aufgabe. Es ist der Schnitt eines schiefen Prisma AB {AB', A"B") mit der Ebene E(«!, e₂) zu konstruieren (Fig. 103).

(Zweite Art des Kantenverfahrens.) Man bestimmt für jede Seitenkante des Prisma die Schnittlinie s ihrer ersten projizierenden Ebene N mit E und dann den Schnitt-

punkt G von s mit der betreffenden Kante (§ 69), wie dies in der Figur 103 für die Kante A\ Bx (ni = s' = A\ B[, s" = S" S₂, Ci = s"'XA"B") durchgefülirt ist. Auf diese Weise erhält man den Aufriß der Schnittfigur,

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Fig. ioa

aus welchem man rückwärts die erste Projektion erhält. Ist C\ gefunden, so kann man die übrigen Punkte auch auf Grund der affinen Beziehung von A₁A₂A₃A₄ und G'i C% C3C4 (Affinitätsachse ex) finden. Zur Kontrolle dient im ersteren Falle, daß entsprechende Seiten der Grundfläche und der ersten Projektion der Schnittfigur.

z. B. A₃A± und C3C4 sich auf schneiden müssen, und im letzteren Falle, daß CiC't, C3C2, . . . A. x sein müssen.

114. (Flächenverfahren.) Man bringt jede Seitenfläche des Prisma zum Schnitt mit E, wozu man eine Hilfsebene d> || TT^ benutzt. Die Spur von E in dieser Hilfsebene ist eine erste Hauptlinie u von E und also e.x parallel. Das Prisma wird von Tl^ und O in zwei kongruenten Vielecken AlA₂... und B₁B₂... geschnitten. Verbindet man die Schnittpunkte Elt2 = ex X A A und F1i2 = uXBxB₂ miteinander, so ist diese Gerade der Schnitt der Ebene E und der Seitenfläche At A₂ B₂ Bt und das innerhalb dieser Seitenfläche gelegene Stück Cx C2 zugleich eine Seite der Schnittfigur. In dem vorliegenden Falle legt man d> durch die obere Endfläche des Prisma (u" — Bi B^, 14 — ß2 X u" , U₂Ü2-Lx, u' || ei durch U'₂). In der Figur ist die Konstruktion nur für die Seitenfläche H3H4H4H3 durchgeführt    X ei, ^3,4

— B'zB'i'Xu', Ez^F'i^ ist die Projektion des Schnittes, welche A₃B₃ in C3, A±Bi in Ci schneidet), und C3C4 ist ihre Schnittgerade mit E. Auch hier läßt sich die affine Verwandtschaft von C[ C₂ C₃ Ci mit A₁A₂A₃A4 (Achse ei) und mit B[B'₂B₃Bi (Achse u') für die weitere Konstruktion verwerten, nachdem C3C4 bestimmt ist. Kontrolle: Je zwei benachbarte Seiten der Schnittfigur müssen sich auf der dazwischen liegenden Kante schneiden.

115. Aufgabe. Es ist die Schnittfigur einer Pyramide mit einer Ebene E (<%, e₂) und das Netz der Pyramide zu konstruieren.

Wenn die Pyramide mit ihrer Grundfläche nicht auf TTj oder TT₂ aufsteht und auch ihre Schnittfiguren mit denselben außerhalb der Zeichenfläche liegen, so

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wendet man das Kantenverfahren an; anderenfalls ist aber das Flächenverfahren vorteilhafter.

In Figur 104 steht die Pyramide mit ihrer Grundfläche auf TTi auf. Man legt dann durch ihre Spitze S

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Fig. 104.

eine Hilfsebene 01| TTj^, welche E in der ersten Hauptlinie u (u" durch S” und ||x), die Seitenfläche SA₂Ai in der durch S gehenden Geraden t sclineidet, welche \\A₂AS (^ll^^g) ist. Die Punkte #2,3 = >4₂ X «i und Fjj = i'X«' bestimmen dann die erste Projektion

der gesuchten Schnittgeraden, deren innerhalb S'J₂ A3 gelegener Teil Cg Cg die erste Projektion einer Seite der gesuchten Schnittfigur ist.

Nun gehen die Verbindungslinien entsprechender Ecken der Grundfläche und der Schnittfigur (als Kanten der Pyramide) durch einen Punkt, S, und schneiden sich entsprechende Seiten auf einer Geraden, nämlich der Schnittlinie et der Ebenen beider Figuren. Man nennt solche Figuren perspektiv-kollineare, S ihr Kollineationszentrum, e ihre Kollineations-achse und die Verbindungslinien entsprechender Punkte Kollineationsstrahlen. Diese geometrische Verwandtschaft, von welcher später noch ausführücher die Rede sein wird, umschließt die Perspektive Affinität als speziellen Fall; rückt S in das Unendliche, so werden die Kollineationsstrahlen einander parallel, und die Figuren sind dann zueinander perspektiv-affin.

Dieselbe Verwandtschaft besteht augenscheinlich auch noch zwischen der Grundfläche und der ersten Projektion der Schnittfigur; e₁ ist die Kollineationsachse und S' das Kollineationszentrum. Nachdem also Cg bestimmt ist, verbindet man Eg}4 = A ₃A ₄ X ei mit Cg; diese Gerade schneidet A4S' in C4, und mithin ist Cg C[ die erste Projektion der Schnittlinie von SA₃J4 mit E. In dieser Weise fortfahrend, erhält man die übrigen Punkte C'. Als Kontrolle dient, daß die so entstehende Figur sich schließen muß.

Um die wahre Gestalt C\C\CgC\ der Schnittfigur zu erhalten, legt man die Ebene E in TT₂ um (§ 79, II:

C\C₂Xe₁, CjR² = C₂ K² + C₂X²) Affinität zwischen C\ . . . G\ und C\ ... C\ mit als Affinitätsachse).

Das Netz der Pyramide entsteht durch Umlegen ihrer Seitenflächen in TTj. Hat man die Seitenfläche SA₂A₃ am A₂A₃ in TT^ umgelegt (§76: S'SA J_A₂A

SA P² = S'P² + h², wo h die Höhe der Pyramide bezeichnet), so ist CA der Schnittpunkt von A₂ SA mit dem von C₂ auf A₂A₃ gefällten Lote. In gleicher Weise findet man CA.

Kontrolle: CA CA = C\C\ und CACA muß C\C'3 und A₂Aa auf ex schneiden, also ebenfalls durch den Punkt P₂,3 gehen. Die Umlegung von SA₃AX findet man jetzt einfach in der Weise, daß man das von S' auf A₃A^ gefällte Lot mit dem Kreise, dessen Radius gleich A₃SA und dessen Mittelpunkt A₃ ist, schneidet.

Durchdringung zweier Vielflache.

116. Die Konstruktion der Schnittfigur zweier Vielflache kommt im allgemeinen auf eine wiederholte Anwendung der Verfahren hinaus, welche in den §§ 110 bis 115 für die Bestimmung der ebenen Schnitte von Vielflachen gegeben sind. Dementsprechend unterscheidet man auch hier Kanten- und Flächenverfahren.

Bei dem Kantenverfahren hat man den Schnittpunkt jeder Kante des einen Vielflachs mit jeder Fläche des anderen zu konstruieren und erhält dadurch die Ecken der Schnittfigur. Hierbei kommen nur solche Schnittpunkte in Betracht, welche innerhalb der begrenzten Kante und der begrenzten Fläche liegen. Es sind dann je zwei Eckpunkte, welche auf beiden Vielflachen ein und derselben Seitenfläche angehören, miteinander zu verbinden.

Bei dem Flächenverfahren bestimmt man die Seiten der Schnittfigur als Schnittlinien der Flächen des einen mit den Flächen des anderen Vielflachs. Nur so weit, als jede solche Schnittlinie innerhalb beider begrenzten Seitenflächen liegt, ist sie Seite der Schnittfigur, deren Ecken auf den Kanten der Vielflache liegen müssen.

Die Durchschnittsfigur besteht aus einem oder mehreren geschlossenen Vielecken. In dem ersteren Falle dringt das eine Vielflach entweder in das andere ein oder schneidet ein Stück aus ihm aus; in dem letzteren Falle durchdringt das eine Vielflach das andere. Jedes Vieleck der Schnittfigur ist eben oder wundschief, je nachdem es auf einer einzigen Fläche eines der beiden Vielflache liegt oder nicht. Ob eine Seite der Schnittfigur sichtbar ist oder nicht, hängt davon ab, ob von beiden Vielflachen die Flächen, dessen Schnittlinie sie ist, sichtbar sind oder nicht. In den folgenden Figuren sind bei jedem Vielflach die Teile der Kanten, welche innerhalb des anderen liegen, gar nicht gezeichnet.

117. Aiifgabe. Die Durchdringung einer dreiseitigen Pyramide und eines regelmäßigen Achtflachs zu konstruieren.

(Kantenverfahren.) Die beiden Vielflache seien durch ihre beiden Projektionen gegeben; eine Achse DJ des Achtflachs sei _L TTj. Man benutzt, um die Ecken der Schnittfigur zu konstruieren, erste projizierende Ebenen durch die Kanten der Vielflache (§ 70). Bei der besonderen Lage des Achtflachs zu TT₁ gewährt diese Wahl der Hilfsebenen den Vorteil, daß die Kanten der beiden Quadrate DFJII und DE JO die gleichen projizierenden Ebenen besitzen (Fig. 105). Um auch für die Kanten des Quadrates EFGII den gleichen Vorteil zu haben, verwendet man für dieselben zweite projizierende Ebenen.

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Die Konstruktion gestaltet sich für die Kanten des Quadrates DFJH folgendermaßen. F'H' schneidet S'A', S'B', S'C' in L', M', N'. Die zweiten Projektionen L", M", N" bestimmen die zweiten Projektionen der Geraden, in welchen die erste projizierende Ebene des Quadrates DFJII die Seitenflächen der Pyramide schneidet Die Schnittpunkte von L"M", M"N\ N"L" mit D"F", F"J'\ J"H", II"D" sind die zweiten Projektionen von Eckpunkten der Schnittfigur. Da nach dem Obigen nur Schnittpunkte zu nehmen sind, welche innerhalb der begrenzten Kanten und Flächen Hegen, so sieht man aus der zweiten Projektion, daß keine der obigen vier Kanten des Achtflachs die Seitenfläche SAG der Pyramide schneidet, da L"N" keine Seite des Quadrates D"F"J"H" trifft und daß die beiden anderen Seitenflächen der Pyramide nur von der Kante JI1 in den Punkten 3, 8 getroffen werden, da allein J”H'' die Linien L"M" und M"N" in den Punkten 3", 8" schneidet — Analog gestaltet sich die Aufsuchung der Schnittpunkte einer Pyramidenkante mit den Flächen des Achtflachs: P' S'A' X B'F' Q'= S'A' XF'G', R'= S'A' X F’J\ S’A' X F’D'-1" - S''A'' X P"R", 5" — S”A'' X Q"P"; von P”T" und T"Q" wird S"A" nicht getroffen. Die Kante SA schneidet also nur die Flächen EFJ und FGJ des Achtflachs in 1 und 5.

118. Hat man in dieser Weise alle Schnittpunkte der Kanten und Flächen der beiden Vielflache konstruiert, so sind dieselben in richtiger Weise zu verbinden. In den meisten Fällen wird man — um Irr-tümer zu vermeiden — guttun, sich bei der Konstruktion eine Tafel anzulegen, welche neben jedem Schnittpunkte die Flächen beider Vielflache, in denen er

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liegt, angibt. Aus dieser Tafel erkennt man dann, welche zwei Punkte denselben Flächen auf beiden Vielflachen angehören und also zu verbinden sind. In unserem Falle gestaltet sich die Tafel folgendermaßen:

Flächen des Achtflachs

Pyramidenflächen

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Die Verbindungslinie je zweier durch aufeinander folgende Zahlen bezeichneter Eckpunkte ist eine Seite der Schnittfigur; da z. B. 1 und 2 den Flächen EFJ und SAB angehören. Der Linienzug 1 2 3 4 5 gehört SAB und den vier um J gelegenen Flächen des Achtflachs an. Blickt man in der Richtung _L7T SAB im Grundriß sichtbar, und das gleiche gilt für die vier Flächen des Achtflachs; daher ist der Linienzug l'2'3/4'5' auszuziehen. Eine Ecke der Schnittfigur, in welcher eine sichtbare und eine unsichtbare Seite derselben Zusammenstößen, liegt stets auf dem

sichtbaren Teile des wahren Umrisses des einen Vielflachs.

119. Das Verfahren ist für ganz beliebige Vielflache anwendbar; es erfordert aber unter Umständen erfolglose Versuche, wenn nicht aus der bloßen Anschauung zu erkennen ist, daß eine Kante des einen Vielflachs das andere überhaupt nicht schneidet; die Kante SB z. B. erforderte einen derartigen erfolglosen Versuch. Besonders bei der Aufsuchung des ersten Eckpunktes der Schnittfigur (oder jedes Teiles derselben, wenn dieselbe aus mehreren getrennten Teilen besteht) sind oft solche erfolglose Versuche nicht zu vermeiden.

Ist aber z. B. 1 = EFJ X SA gefunden, so können die von 1 ausgehenden Seiten der Schnittfigur nur den Flächen SAB und SAG angehören. Auf der Schnittgeraden von EFJ und SAB z. B. muß also ein weiterer Eckpunkt der Schnittfigur liegen. Man bringt also noch eine beliebige Kante der einen Fläche mit der anderen Fläche (z. B. SB mit EFJ) zum Schnitte und erhält dadurch die Richtung der Schnittlinie s beider Flächen bestimmt. Soweit diese Schnittlinie s innerhalb beider Flächen liegt, ist sie Seite der Schnittfigur und bestimmt in dem Punkte, in welchem sie die Begrenzung der einen Fläche überschreitet, einen weiteren Eckpunkt (s X EJ = 2). Von diesem geht man dann in gleicher Weise weiter. Auf diese Art lassen sich, wenn ein Eckpunkt eines Schnittpolygons gefunden ist, erfolglose Versuche vermeiden.

Kontrolle: Nachdem der letzte Eckpunkt der Schnittfigur gefunden ist, bestimme man die letzte Seite noch als Schnittlinie der betreffenden Seitenflächen, welche dann durch den letzten und ersten Eckpunkt gehen muß.

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120.    Die nebenstehende Figur 106 gibt das Netz des Achtflachs mit eingezeichneter Schnittfigur. Die Kantenlänge s des Achtflachs ist gleich E' F'. Die Lage des auf der Kante EF gelegenen Punktes 12 kann man direkt dem Grundriß entnehmen, da E'i?1||TT₁ ist; die Lage des auf EJ gelegenen Punktes 2 findet man aus der Proportion: EJ: E2 = E' J': E' 2'. Um einen nicht auf einer Kante liegenden Punkt, z. B. 1 in der Abwicklung zu bestimmen, kann man die Gerade J’ 1', welche E’ F' in Z' schneidet, ziehen und erhält dann in der Abwicklung Z auf EF und 1 auf JZ aus den Beziehungen EZ=E'Z', Jt:JZ=J’ V-.J'Z'.

121.    Aufgabe. Es ist die Durchdringung eines geraden und auf TT, senkrecht stehenden Prisma mit einem beliebigen anderen Prisma, dessen Kanten TT! parallel sind, zu konstruieren.

Das Kantenverfahren vereinfacht sich in diesem besonderem Falle bedeutend. In der zweiten Projektion (Fig. 107) liefern die Punkte Df, Bf, Bf und die Schnittpunkte der Kanten A”C" mit den Seiten des Dreiecks Bf Bf Bf unmittelbar die zweiten Projektionen der Eckpunkte der Schnittfigur. Die ersten Projektionen der Punkte 2, 5; 7, 9 erhält man durch Loten aus 2", 5"; 7" 9". Um ferner z. B. die auf B₂D₂ gelegenen Eckpunkte zu bestimmen, zieht man durch Bf eine Parallele zu A" C" || TT, X TT₂, welche Af A'f AfAf in den Punkten K", II" schneidet. Die durch IC, //' gezogenen Parallelen zu A3C3 schneiden B2D2 in den gesuchten Punkten 1' und 6'.

Während in der Figur 105 jedes Vielflach aus dem anderen ein Stück ausscknitt, findet hier der Fall der Durchdringung statt: Das Prisma BD durchdringt das Prisma AG.

Man konstruiere die Netze beider Prismen mit den Seiten der Durchdringungsfigur.

122. Aufgabe. Die Durchdringung zweier Pyramiden, deren Grundflächen in verschiedenen Ebenen liegen, zu konstruieren.

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Fig. 107.

Auch bei dieser Aufgabe benutzt man das Kantenverfahren, aber in abgeänderter Weise. Statt der projizierenden Ebenen verwendet man Hilfsebenen, welche durch die Verbindungsgerade g der beiden Pyramiden-spitzen S und T gehen. Vorausgesetzt, daß eine solche Ebene beide Pyramiden trifft, schneidet sie ihre Mäntel in Geraden, welche durch die Pyramidenspitzen gehen. Legt man insbesondere eine solche Ebene durch eine Kante der einen Pyramide, so sind die Punkte, in welchen diese Kante die von der Ebene auf dem Mantel der anderen Pyramide ausgeschnittenen Geraden trifft, Ecken der Schnittfigur beider Pyramiden.

Die Ebenen der Pyramidengrundflächen A₁A₂A3) B₁B₂B₃ seien bzw. mit A, B bezeichnet. Die Gerade g=ST treffe die Ebene A in dem Punkte A} die Ebene B in dem Punkte B. Jede durch g gelegte Ebene schneidet A und B in durch A und B gehenden Geraden a, b, welche sich ihrerseits auf der Schnittgeraden s der Ebenen A und B schneiden müssen. Verbindet man andererseits A z. B. mit dem Punkte Ax und den Schnittpunkt N— AA± X s mit B, so bestimmen die Geraden NA, NB eine durch die Pyramidenkante SA und die beiden Pyramidenspitzen gehende Ebene.

(Fig. 108.) Zunächst bestimmt man ri und B nach § 70,1 (C" = A[A'₂ X g\ D' = A'₂A'₃ X 9', C" D" X 9 E> = Bim X g', F' = B^B^ X g', B" = E"F" X g"). Hierauf sind die Projektionen von s=AXB zu ermitteln, was am besten dadurch geschieht, daß man die Durchschnittspunkte von Geraden der einen Ebene mit der anderen Ebene aufsucht In der Figur ist dies in der Weise ausgeführt, daß (§ 70, I) die Schnittpunkte J von BBt mit A und M von AA₃ mit B konstruiert sind (O’ » A[A'₂ X B'Bl, IB = A'₂A'₃ X B'B{, J" = 0"II" X B"Bl'] L’ = B'iB₃ X A’ A₃, K’ = B₃B[ XA'A₃, M" = L"K" X A"A'₃'; s' = J'M', s" =    Um nun

die Schnittpunkte der Kante SAt mit der anderen Pyramide zu finden, zieht man die Gerade A'A[, welche s' in N' schneidet; NB' schneidet die Grundfläche

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der anderen Pyramide in R', Q\ folglich sind Q'T\ R'T die ersten Projektionen der Mantellinien, in denen die Ebene A^ST die Pyramide TB₁B₂B₃ schneidet. Die Punkte 1'= S'A[X R’T\ 3' = S’A{ X Q'T sind mithin Eckpunkte des Grundrisses der Schnittfigur. Die durch g und A₂, bzw. As gelegten Ebenen schneiden die andere Pyramide überhaupt nicht, da bereits M'B'(M'= A'A'₃ X «') das Dreieck Bi Bi Bi gar nicht trifft. In gleicher Weise verfährt man für die Kanten der Pyramide TB₁B₂B₃ (in der Figur für die Kante Bx T durchgeführt; die anderen Kanten liefern keine Schnittpunkte).

Bestimmt man auch die zweiten Projektionen der Eckpunkte in dieser Weise (und nicht durch bloßes Loten aus den ersten Projektionen), so hat man die Kontrolle: V 1", 2'2", ...||S'S".

123. Das Verfahren bleibt auch dann noch anwendbar, wenn die Durchdringung von Pyramide und Prisma oder von zwei Prismen zu konstruieren ist. Da man ein Prisma als Pyramide, deren Spitze im Unendlichen liegt, ansehen kann, so benutzt man im ersteren Falle als Gerade g die durch die Spitze der Pyramide zu den Prismenkanten gezogene Parallele. Die von den Ebenen durch g auf dem Prisma ausgeschnittenen Mantellinien sind den Kanten desselben parallel.

Handelt es sich um die Durchdringung zweier Prismen, so nimmt man Ebenen zu Hilfe, welche durch die Kanten des einen Prismas parallel zu denen des anderen gelegt sind. Alle diese Hilfsebenen sind einander parallel, schneiden also die Ebenen A und B der Prismengrundflächen in parallelen Geraden a, 6, von denen sich je zwei zusammengehörige auf s = A X B schneiden. Als Beispiel für diesen Fall diene die

folgende Aufgabe, in welcher noch die Prismengrundfläche A mit TT! zusammenfällt.

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Fig. 109.

125. Aufgabe. Es soll die Durchdringung eines auf TTj stehenden Prisma mit einem be-

liebig gelegenen anderen Prisma konstruiert werden.

Zunächst bestimmt man die Schnittgerade s der Grundflächen, welche hier mit der ersten Spur der Ebene B identisch ist; s' ist als die Verbindungslinie der ersten Spurpunkte der Seiten Bx B₂, B₂ Bs konstruiert, s"= x. Hierauf ermittelt man die Richtungen von a und b. In der Figur 109 ist a konstruiert als Schnittgerade einer durch Aa C₂ parallel zu den Kanten BD gelegten Ebene (nach § 60, IV: g/— B2D2, E'= Br₂ D'2 X A₂ C2, g" || Bi'DU durch E" \ a! = Oy A₂) und b als Schnittgerade einer durch B₂ D₂ parallel zu den Kanten AG gelegten Ebene (Parallele h zu AC durch den beliebigen PunktIIder Kante B₂D₂, J=h\ B, b'= B₂J'). Hierauf verfährt man weiter wie in § 122 (z. B. B£N\\ NQ\ \ a¹; die Parallelen zu Ax C[ durch P und Q liefern auf BqDs die Eckpunkte 2', 5' der Durchdringungsfigur).

125. Aufgabe. Es soll die Durchdringung einer Pyramide und eines Prisma, welche beide auf TT! stehen, konstruiert werden.

(Flächenverfahren.) Hier verwendet man vorteilhaft das Flächenverfahren, indem man die zu TT! parallele Ebene E (e₂ || x) durch die Spitze S der Pyramide zu Hilfe nimmt. E schneidet das Prisma in einer der Grundfläche kongruenten Figur Dx D₂ Ds (Fig. 110); die Schnittgeraden der Pyramidenflächen mit E gehen durch S und sind den Kanten der Pyramidengrundfläche parallel. Die Schnittlinie der Flächen Ax A₂ C₂ Cx und SB₂ B₃ z. B. erhält man dann als Verbindungslinie von E =* Ax A^ X B₂ P₃ und F = DXD2 X SF, wo SF|! P₂P₃ (P'~ UM X S'F') ist. Da EF die Kanten SB₉, SB₉ der Pyramide innerhalb der

Prismenfläche Ax A₂ C₂ Ct schneidet, so sind 3 — Sßa y^EF und 4—SB₃yEF Ecken und 3 4 ist eine

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a; a: b;

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Flg. 110.

Seite der Durchdringungsfigur. In 3 und 4 beginnen die Seiten der Durchdringungsfigur, welche den Schnittlinien derselben Prismenfläche Ax A₂ C₂ Cx mit den beiden anderen Pyramidenflächen angehören; diese beiden Seiten «nden auf der Kante A? C%. Fährt man in gleicher Weise

fort, so erhält man den Grundriß der ganzen Durch-dringungsfigur.

Kontrolle: Die Durchdringungsfigur muß eine (aus einem oder mehreren Teilen bestehende) geschlossene Figur sein.

Das Flächenverfahren eignet sich auch für die Durchdringung von zwei Prismen oder zwei Pyramiden, wie man sofort erkennt. Es wird aber bei allgemeiner Lage der Vielflache nur dann vorteilhaft angewendet, wenn die Schnitte der Seitenkanten beider Vielflache mit zwei passend gewählten, entweder zu TT! oder zu TT₂ parallelen Ebenen zugänglich sind. Zwei Prismen werden von solchen Parallelebenen in kongruenten, zwei Pyramiden in ähnlichen Vielecken geschnitten.

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