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Graphisches und numerisches Rechnen

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Verlag vonB.G.Teubnerm Leipzig

Die Sammlung

„Bus Natur und Geisteswelt"

verdankt ihr Entstehen dem Wunsche, an der Erfüllung einer bedeutsamen sozialen Aufgabe mitzuwirken. Sie soll an ihrem Teil der unserer Kultur aus der Scheidung in Kasten drohenden Gefahr begegnen helfen, soll dem Gelehrten es ermöglichen, sich an weitere Kreise zu wenden, und dem materiell arbeitenden Menschen Gelegenheit bieten, mit den geistigen Errungenschaften in Fühlung zu bleiben. Der Gefahr, der Halbbildung zu dienen, begegnet sie, indem sie nicht in der Vorführung einer Fülle von Lehrstoff und Lehrsätzen oder etwa gar unerwiesenen Hypothesen ihre Aufgabe sucht, sondern darin, dem Leser Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinstem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem selbständigen Urteil über den Grad der Zuverlässigkeit jener Antworten zu befähigen.

(Es ist gewiß durchaus unmöglich und unnötig, daß alle Welt sich mit geschichtlichen, naturwissenschaftlichen und philosophischen Studien befasse. (Es kommt nur darauf an, daß jeder an einem Punkte die Freiheit und Selbständigkeit des geistigen Lebens gewinnt. In diesem Sinne bieten die einzelnen, in sich abgeschlossenen Schriften eine Einführung in die einzelnen Gebiete in voller Anschaulichkeit und lebendiger Frische.

In den Dienst dieser mit der Sammlung verfolgten Aufgaben haben sich denn auch in dankenswertester weise von Anfang an die besten Namen gestellt. Andererseits hat dem der Erfolg entsprochen (Absatz bis 1. I. 1914 ca. 2 Millionen Exemplare), so daß viele (ca. 150) der Bändchen bereits in 2.-6. Auflage vorliegen. Damit sie stets auf die höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern werden — was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht — bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt.

So sind denn die schmucken, gehaltvollen Bände durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine kleine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn wertvollste „Aus Natur und Geisteswelt" vereinigt.

Die meist reich illustrierten Bändchen sind

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lern Band geb.

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

Werke, die r Jedes Bändc

unden Hl. 1.25

Leipzig

100000296033

. Teubner

Jedes Bändchen geheftet M.I.—, in Leinw. gebunden Hl. 1.25

Mathematik. Astronomie.

Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum.

Don Prof. Dr. Joh. £. heiberg. (Bö. 370.)

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Don Prof. Dr. p.Crantz. 2 Böe. Mit zahlr.Zig. (Bö. 120, 205, auch in 1 Bö. geb.)

I.    Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 2. Aufl. Mit 9 Zig. (Bö. 120.)

II.    Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 3. Aufl. Mit 23 Zig. (Bö. 205.)

Planimetrie zum Selbstunterricht. Don Prof. Dr. p. Crantz. Mit 99 Zig. (Bö. 340.)

Ebene Trigonometrie zum Selbstunterricht. Don Prof. Dr.

p. Crantz. Mit 50 Zig. (Bö. 431.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung mit einer historischen Übersicht. Don Prof. Dr. G. Kowalewski. 2. Aufl. Mit 18 Zig. (BÖ. 197.)

Differential- u. Integralrechnung. Don Dr. M. Lindow. (Bö. 387.) Die graphische Darstellung. Don Dr. Z. Auerbach. Mit 100 Zig. (Bö. 437.)

Matze und Messen. Don Dr. W.Block. Mit 34 Abb. (Bö. 385.) praktische Mathematik. Don Dr. R. Neuendorff. I. Teil: Graphisches u. numerisches Rechnen. Mit 62 Zig. u. 1 Tafel. (Bö. 341.) Mathematische Spiele. Don Dr. XD. Ahrens. 2. Aufl. Mit 70 Zig. (Bö. 170.)    .

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Don Dr. ITT. Lange. Mit den Bildnissen C. Lasters uitö p. Morphps, 1 Schachbrettafel u. 43 Barst, von Übungsbeispielen. (Bö. 281.)

Der Bau des Weltalls. Don Prof. Dr. J. Scheiner. 4. Aufl. Mit 26 Zig. (Bö. 24.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Don Prof.

Dr. S. Oppenheim. 2. Aufl. Mit 24 Abb. (Bö. 110.) Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Don Prof. Dr. B. Weinstein. 2. Aufl. (Bö. 223.) Probleme der modernen Astronomie. Don Prof. Dr. §. Oppenheim. (Bö. 355.)

Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben.

Don Prof. Dr. A. Marcuse. Mit 26 Abb. (Bö. 378.)

Die Sonne. Don Dr. A. Krause. Mit zahlr. Abb. (Bö. 357.) Der Mond. Don Prof. Dr. J. Zranz. Mit 31 Abb. (Bö. 90.) Die Planeten. Don Prof. Dr. B. Peter. Mit 18 Zig. (Bö. 240.) Der Kalender. Don prof.Dr.w.Z.w isli cenus. 2.Aufl. (Bö.69.) ctltufc 10: Mathematik. 2.14

Jedes Bändchen geheftet M. 1.—, in Leinw. gebunden ttt.1.25

Sprachkunde. Literaturgeschichte.

vieSprachstämme des Erdkreises, von weil. Prof. Dr. $. N. Sind.

Die haupttypen des menschlichen Sprachbaues, von weil.

Prof. Dr. $. n. Sind. (Bb. 268.) wie wir sprechen, von Dr. L. Richter. (Bö. 354.)

Rhetorik, von Dr. (E. Geißler. 2 Bde.

Bö. I: Richtlinien für öie Kunst des Sprechens. 2. Ruft. (Bö. 455.) Bö. II: Einweisungen zur Kunst der Rede. (Bö. 456.)

Poetik, von Dr. R. Müller-Sreienfels. (Bö. 460.)

Die deutschen Personennamen, von Direkt, kl. B ä h n i sch. (Bö.296.)

Germanische Mythologie, von Prof. Dr.J.v.Negelein. (Bö.95.) Die deutsche volkssage. von Dr. ffl. Bödel. (Bö. 262.)

Das deutsche. Volkslied. Über Wesen und werden des deutschen Volksgesanges. von Dr. J. w. Bruinier. 5. klufl. (Bö. 7.) IRinnesang. Die Liebe im Liede des deutschen ITIittelatters. von Dr. J. w. Bruinier. (Bö. 404.)    [(Bö. 254.)

Geschichte der deutschen Lyrik seit Claudius, von Dr. h. Spiero. Das Drama. vonDr.B.Busse. Mitkibb. 2Bde.(auch in l Bd.geb.) Bö. I: von der klntike zum französischen Klassizismus. (Bö. 287.) Bö. II: von Versailles bis Weimar. (Bö. 288.)

Shakespeare und seine Seit. von Prof. Dr. <E. Sieper. Mit 3 kibb. 2. klufl. (Bö. 185.)

Lessing, von Dr. LH.Schrempf. Mit l Bildnis Lessings. (Bö.403.) Schiller, von Prof. Dr. Th. Siegler. Mit 1 Bildnis Schillers.

2. klufl. (Bö. 74.)

Das deutsche Drama des 19. Jahrhunderts. 3n seiner Entwicklung dargestellt von Prof. Dr. G. Witkowski. 4. klufl. Mit 1 Bildnis Hebbels. (Bö. 51.)

Zriedrich Hebbel, von Prof. Dr. ffl. walzel. Mit 1 Bildnis Hebbels. (Bö. 408.)

Ibsen, Björnson u. ihre Seitgenossen, von weil. Prof. Dr. B.K a h l e.

2. klufl. besorgt von Dr. G.Morgenstern. Mit7 Bildn. (Bö. 193.) Gerhart Hauptmann, von Prof. Dr. <E. Sulger-Gebing. Mit 1 Bildnis Gerhart Hauptmanns. (Bö. 283.)

Deutsche Romantik, von Prof. Dr. ffl. walzel. 2. klufl. (Bö. 232.) Geschichte der deutschen Zrauendichtung seit 1800. von Dr. h. Spiero. (BÖ. 300.)    •

Derfranzösische Roman und die Novelle. vonffl.Slake. (Bö. 377.) Die französische Prosa (ausschl. des K Omans). von Prof. Dr.

fl. Be der. 2 Böe. (Bö. 438, 439, auch in 1 Bö. geb.)

Das Theater. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen Altertum bis auf die Gegenwart, von Dr. Thr. Gaehde. Mit 18 kibb. 2. Ausl. (Bö. 230.)

Rus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich - gemeinverständlicher Darstellungen

_______________________: 341. Söndchen ==========

Praktische Mathematik

II. Vortrag.

Y. Vortrag

z. B. '

— siehe auch Geld.

Ein

Tierbau und Tierleben in ihrem Zusammenhang betrachtet

Praktische Mathematik

I. Teil

Graphisches und numerisches Rechnen

von

Dr. R. Neuendorff

mit 69 Figuren im Text und einer Tafel

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Druck und Verlag van ö. G. Teubner in Leipzig 1911

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Copyright 1911 by B. G. Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich öes Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Vorwort.

Die Anforderungen, die in den verschiedensten Berufen an das mathematische Wissen eines jeden gestellt werden, wachsen von Jahr zu Jahr. Unsere Schulen sind, altüberlieferte Methoden sorgfältig bis zu hoher Vollkommenheit ausbildend und weiterbildend, an diesen neuen Forderungen lange achtlos vorübergegangen. Noch heute stehen viele draußen in das praktische Leben eintretend jenen Aufgaben hilflos gegenüber, weil sie nicht einmal das Rüstzeug zu ihrer Lösung mitbekommen haben. Die Erkenntnis von der weltfremden Richtung unseres mathematischen Unterrichts hat sich Bahn gebrochen; überall regen sich die Kräfte, um den Unterricht dem wirklichen Leben anzupassen.

Im folgenden Büchlein sind Volkshochschullurse, die ich hier in Kiel gehalten habe, abgedruckt. Der Zweck der Vorträge war, die zur Lösung wichtiger praktischer Aufgaben vorhandenen mathematischen Hilfsmittel und ihre Verwendung zu erklären. Dabei habe ich abgesehen von Dingen, die nur in einzelnen Wissenszweigen eine Rolle spielen, zumal wenn zu ihrem Verständnis höhere mathematische Kenntnisse erforderlich sind. Ich bin mir wohl bewußt, daß man über die Auswahl des Vorzutragenden sehr verschiedener Meinung sein kann, und hoffe nur, im ganzen das Richtige getroffen zu haben.

Hervorheben möchte ich, daß mein Buch kein Lehrbuch sein soll, das über jede Einzelheit genaue Auskunft gibt. Die Darstellung ist zumeist nur so beabsichtigt, daß soviel vorgetragen wird, um zu zeigen, was ein Apparat und eine Methode zu leisten vermögen, und wie sie es leisten.

Alle Darstellungen sind durchaus elementar gehalten, erfordern daher keinerlei mathematische Vorkenntnisse.

Von Literaturangaben glaubte ich absehen zu können, da ich nichts Neues vortrage, das nicht schon an den verschiedensten Orten verstreut zu finden wäre. Umso eher konnte ich davon absehen, als eine vollständige Literaturangabe über fast alle Teile meiner Bortrüge zu finden ist in der Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften I. 2. R. Mehmke, Numerisches Rechnen.

Von Büchern, die ein ähnliches Ziel verfolgen, wie das meinige, ist mir eins bekannt geworden: I. Perry, Praktische Mathematik. Deutsch von Lenke. Wien 1903.

Das Buch berücksichtigt einseitig die Bedürfnisse des Technikers. In der Hand des Lehrenden kann es bei der prächtigen Fülle anregender, neuer Gedanken viel Gutes wirken. Aber dem Anfänger, namentlich wenn er keine mathematischen Vorkenntnisse mitbringt, dürste es arg den Kopf verwirren. Zudem ist die Darstellung nicht immer einwandsfrei, so daß das Buch nicht ohne kritische Sichtung gebraucht werden darf.

Möge mein Büchlein zur Benutzung der vorgeführten Methoden und Apparate anregen und damit der Mathematik neue Freunde gewinnen.

Ein zweiter Teil soll hauptsächlich Anwendungen geometrischer Methoden im praktischen Leben bringen.

Kiel, März 1910.

R. Neuendorff

Oberlehrer a. d. Kgl. höh. Schiff, und Maschinenbauschule. Privat! ozent a. d. Universität.

Inhaltsverzeichnis.

Seite

1. Vortrag. Graphische Darstellungen.

1.    Der Begriff der Funktion............

2.    Uber Tabellen von Funktionswerten........

3.    Der Grundgedanke der graphischen Darstellung . . .

4.    Das Achsenkreuz ................

5.    Die graphische Darstellung von Funktionen.....

14

6.    Diagramme stetiger Funktionen, Aufzeichnen solcher

durch Apparate.................

7.    Diagramme der einfachsten Bewegungsformen ...    17

19

8.    Graphische Fahrpläne ....

21

9.    Rechentafeln oder Nomogramme

II. Vortrag. Flächenmessung.

1.    Über Längen- und Flächenmaße

2.    Der Begriff der Flächenmessung

3.    Die geradlinig begrenzten Flächen

4.    Der Kreis..........

5.    Über Projizieren und die Ausmessung der Ellipse . .    34

6.    Die Methoden der Wägung und der Abzählung . .    36

7.    Die Trapezregel.........

8.    Die Simpsonsche Regel ....

9.    Das Polarplanimeter.......

10. Das Stangenplanimeter von Pryh

24

26

27

32

36

38

41

44

III Vortrag. Körpermessung.

1.    Die Körpermaße..........

2.    Der Begriff der Körpermessung....

3.    Quader, Prisma, Umdrehungskörper

4.    Die Simpsonsche Regel......

5.    Pyramide, Kegel, Kugel.......

6.    Das Volumen beliebig geformter Körper

46

46

47

50

51

54

1.    Das Abkürzen von Zahlen . . .

2.    Addition und Subtraktion abgekürzter Zahlen ...    55

3.    Gemessene Größen.........

4.    Multiplikation abgekürzter Zahlen . . .

5.    Division abgekürzter Zahlen.....

6.    Zur Geschichte des verkürzten Rechnens

7.    Verkürztes Wurzelziehen.......

57

59

65

67

V. Vortrag. Das Rechnen mit Tabellen.

1.    Lohntabellen, Multiplikationstabellen u. s. f.

2.    Mathematische Tabellen der technischen Kalender . .    73

3.    Die Verschiebung des Kommas

4.    Das Interpolieren......

5.    Die Logarithmen......

6.    Die Logarithmentafeln ....

71

75

79

81

84

VI. Vortrag. Mechanische Rechenhilfsmittel.

1.    Graphische Logarithmentafeln . . . .

2.    Der Rechenschieber........

3.    Rechenschieber mit verlängerter Skala

4.    Rechenmaschinen .........

92

94

99

100

Sachregister

105

I. Vortrag.

Graphische Darstellungen.

Ein deutlich wahrnehmbarer Zug moderner Entwicklung ist das unaufhaltsame Vordringen der Mathematik ins tägliche Leben hinein. Immer mehr mathematische Theorien werden dem allgemeinen Gebrauch nutzbar gemacht; ich erinnere an Rechenschieber, Rechenmaschinen, das Zeichnen von Diagrammen u. s. f. Während dadurch die Mathematik dauernd neue Freunde gewinnt, wächst bei andern das Mißtrauen gegenüber diesen unverständlichen Apparaten, Worten und Gedankengängen. Ich will daher in den folgenden Vorträgen versuchen, Ihnen die einfachen Grundlagen einer Reihe mathematischer Anwendungen, die Ihnen im täglichen oder beruflichen Leben nützlich werden können, zu vermitteln.

1. Der Begriff der Funktion. Ich beginne mit einem Begriff, der schon in den allgemeinen Sprachgebrauch übergegangen ist: mit dem Funktionsbegriff.

Zeit | Temperatur

13°

CD QO

16°

18°

10 -

19°

11 -

Denken Sie sich einmal, Sie Hütten an einem Sommermorgen um acht Uhr beginnend stündlich die Temperatur an Ihrem Thermometer abgelesen und sorgfältig, wie in nebenstehender Tabelle, aufgeschrieben.

12 -

20°

21”

19°

16°

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Sie bemerken, daß sich die Temperatur zugleich mit der Zeit geändert hat. Es besteht also zwischen der Temperatur und der Tagesstunde ein Zusammenhang. Das drückt man in der Mathematik kurz mit den Worten aus: die Temperatur ist eine Funktion der Zeit oder ganz kurz in der mathematischen Formelsprache T = F (Z),

wo die drei Buchstaben T, F, Z statt der Worte Temperatur, Funktion, Zeit gesetzt sind.

Also nichts anderes will man damit sagen, wenn man eine Größe die Funktion einer andern nennt, als: beide Größen stehen in einer

ANuG 341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

gewissen Abhängigkeit, voneinander. Ändert sich die eine, so ändert sich zugleich auch die andere.

Ein weiteres Beispiel wird Ihnen sogleich die sehr allgemeine Bedeutung des Wortes Funktion zeigen: der Eisenbahnverkehr ist eine Funktion der Jahreszeit. Gewiß! Beachten Sie doch nur, wieviel stärker der Personenverkehr im Sommer ist, als im Winter. Wie einerseits im Sommer die großen Ferien, aber andrerseits auch im Winter die Weihnachtstage hervortreten. Dagegen ist der Güterverkehr im Winter weitaus größer als im Sommer; er erreicht seinen Höhepunkt gegen Weihnachten u. s. f.

In beiden Beispielen sind die Temperatur bezw. der Eisenbahnverkehr abhängig von der Zeit, aber natürlich nicht umgekehrt. Es ist vollständig sinnlos zu erwarten, daß folglich auch die Jahreszeit eine andere werden müßte, sobald nur einmal der Eisenbahnverkehr zu- oder abnimmt.

Man nennt daher nur die Temperatur bezw. den Eisenbahnverkehr die abhängige veränderliche Größe, dahingegen die Zeit in unsern Beispielen die unabhängige veränderliche Größe.

Doch es gibt auch viele Funktionen, bei denen eine wechselseitige Abhängigkeit besteht. Ein Beispiel dafür ist das folgende: der Verbrauch eines Genußmittels ist eine Funktion des Preises, aber auch der Preis eine Funktion des Verbrauches. Je mehr nämlich von einer Ware gekauft wird, umso billiger kann sie geliefert werden; und umgekehrt je billiger eine Ware ist, umso mehr wird sie gekauft.

Bei allen Funktionen ist es zunächst ganz gleichgültig, ob man imstande ist, in jedem Falle wirklich den Wert der abhängigen Veränderlichen auszurechnen, d. h. also zugleich eine mathematische Formel aufzustellen, nach der die Berechnung möglich ist. Alle Ursachen, die z. B. die Tagestemperatur bestimmen, kann man nicht angeben und daher auch keine Formel, die die Tagestemperatur vorher zu berechnen gestattete.

In manchen Fällen kennt man sehr wohl die mathematische Form der Funktion. Ich erinnere Sie an das sogenannte Mari-ottesche Gesetz, das aussagt: hat man in einer Röhre ein Gas, z. B. Luft, eingeschlossen, so ändern sich Druck und Volumen des Gases in umgekehrtem Verhältnis zueinander. D. h. wird der Raum, den das Gas einnimmt, also sein Volumen, vermindert etwa auf die Hälfte, so nimmt der Druck in gleichem Maße zu, wächst folglich ans das Doppelte. Soll umgekehrt der Druck kleiner werden, so muß man das Volumen in gleichem Maße vergrößern.

Der Begriff der Funktion.

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Hier lautet die mathematische Formel P =

wo p den Druck, v das Volumen und a eine gewisse Zahl bedeutet, die bei jedem gewählten Gase und seinem Anfangszustande leicht zu berechnen ist.

Soll das Gesetz erfüllt sein, so muß während des ganzen Vorganges die Temperatur des Gases unverändert gleich bleiben.

Wenn auch unser Streben immer dahin gerichtet sein muß, die mathematische Formel zu gewinnen, die eine Funktion darstellt, so behält doch auch die Erkenntnis, daß überhaupt zwischen zwei Größen eine funktionale Beziehung besteht, ihren Wert. Es fragt sich nur, wie kann man diese Erkenntnis im praktischen Leben verwerten?

Wir haben vorhin eine Tabelle gesehen, in der die Tagestemperaturen von Stunde zu Stunde aufgeschrieben waren. Setzt man die Beobachtungen Monate und Jahre hindurch fort, so ist mm: imstande, tägliche, monatliche und jährliche Durchschnittszahlen für die Temperatur anzugeben. Durch Vergleich während langer Jahre kann man mit einiger Sicherheit auf die zu erwartende Temperatur im Laufe eines Monats u. s. f. schließen. Beachtet man weiter, welche Einflüsse hier und da besondere Temperaturschwankungen hervorgerufen haben, und wie groß diese Abweichungen waren, so kann man durch jahrelange Vergleiche den Wert jener Einflüsse richtig einschätzen lernen, und sobald sie wieder eintreten, im voraus axtf besondere Temperaturschwankungen und ihre Größe Hinweisen.

Für alle Funktionen lehrt so die Erfahrung durch geduldige, oft jahrelange Beobachtung Zahlenwerte gewinnen, die uns gestatten, Ergebnisse vorauszusagen. Der Eisenbahnbeamte wird den Eisenbahnverkehr, der Kaufmann seinen Geschäftsgewinn, der Landwirt die Größe seiner Ernte u.s.f. aus mancherlei Anzeichen im voraus annähernd richtig einschätzen können.

2. Über Tabellen von Funktionswerten. Freilich sind Tabelle!: nach Art der oben angegebenen unübersichtlich. Sie haben ihren unbestrittenen Wert, solange man genaue Zahlenangaben braucht. Sehr häufig interessiert nur der Vergleich der Zahlen untereinander. Man will wissen, ob die Zunahme im einen Monat größer war als im andern, ob dieselben Durchschnittswerte erreicht sind, wie im vorhergehenden Jahre und anderes. Sobald Sie aber m einer Tabelle die Ergebnisse mehrerer Jahre nebeneinander schreiben,

womöglich mehrziffrige Zahlen, so werden Sie sich nicht ohne große Mühe und Übung darin zurechtfinden.

Ich gebe Ihnen hier eine interessante dreijährige Übersicht: die Anzahl der Stellungsuchenden, die auf je hundert offene Stellen kamen.

Aus je 100 offene Stellen kamen Arbeitsuchende:

1907

1908

1909

Januar . . Februar . . März . . . April . . -Mai... . Juni. . . . Juli - - - -August. . . September. Oktober . . November . Dezember .

127,9

120,7

158,9

95,5

92,8

103,7

109,5

119,7

107,1

100,5

122,7

152,5

162,6

151,7

184,9

120,5

198,9

141,8

165,4

161,5

147,2

157,6

153,3

142,6

165,8

210,6

195,2

147,4

151,1

154,4

161,0

146,0

124,1

142,9

169,6

168,9

Sie erkennen wieder, daß die Zahl der Arbeitsuchenden eine Funktion der Jahreszeit ist, aber schwerlich werden Sie aus dieser Tabelle ein klares Mld des Arbeitsmarktes in den drei Jahren gewinnen können. Gewiß lassen sich bequem einzelne Ergebnisse ablesen. Man sieht z. B. sofort, daß der April 1907 der günstigste und der November 1908 der schlimmste Monat waren. Aber eine allgemeine Übersicht erhalten Sie nicht.

Deshalb muß unser Streben darauf gerichtet sein, ein Bild, und zwar ganz wörtlich genommen, ein Bild der Funktion zu zeichnen. Man nennt das, die Funktion graphisch darstellen; das Bild selbst heißt ein Diagramm der Funktion.

3. Der Grundgedanke der graphischen Darstellung. Ich erinnere zunächst an eine allgemein bekannte Art der graphischen Darstellung von Zahlenwerten, die nicht gerade mit Funktionen zusammenzuhängen brauchen. In einer Tabelle sehen Sie die sogenannte Bevölkerungsdichte der preußischen Provinzen angegeben¹), d. h. die Anzahl der Einwohner, die im Durchschnitt in der Provinz ein Quadrat-

1) Entnommen dem statistischen Jahrbuch für den preußischen Staat. Berlin 1908.

füometex bewohnen. Daneben stehen zum Vergleich die Zahlen, die aussagen, wieviel Meter Eisenbahnstrecke im Durchschnitt auf jenen Flächenteil kommen.

Auf 1 qkm kommen in:

Bewohner

Eisenbahnen

1.    Ostpreußen..........

2.    Westpreußen.........

3.    Brandenburg (ohne Berlin) . . .

4.    Pommern...........

5.    Posen.............

6.    Schlesien...........

7.    Sachsen............

8.    Schleswig-Holstein.......

9.    Hannover...........

10. Westfalen...........

| 11. Hessen-Nassau.........

I 12. Rheinland...........

13. Hohenzollern..........

54,9

64,3

88,6

55,9

68,5

122,6

117,9

79,2

71,7

179,0

131,8

238,4

59,8

64.4    m

78.4    -97,0 -

68.3    -76,7 -

103.6    -

111,1 -

76,6 -

75.5    -150,4 -114,1 -

152.7    -

79.4    -

Diese Zahlen sind in Fig. 1 und Fig. 2 aufgezeichnet. Zu dem Zwecke hat man einfach nebeneinander |~~ lauter rechteckige Streifen, sämtlich von gleicher Breite, gezeichnet. Die Höhen dagegen sind in irgendeinem Maßstabe gemessen gleich den in der Tabelle gegebenen Zahlen. Vergleichen wir daher die Größen der Rechtecke, so vergleichen wir auch unmittelbar die Angaben unserer Tabelle. Jeder Streifen enthält die Nummer der ihm entsprechenden Provinz. Wir sehen in Fig. 1, daß zwei Provinzen, Nr. 12 und Nr. 10, Rheinland und Westfalen, alle übrigen weit überragen, dann zeichnen sich noch die l drei nächsten erheblich aus; die noch verbleibenden unterscheiden sich verhältnismäßig wenig.

In derselben Gruppierung finden wir auch die Dichte des Eisenbahnnetzes

Sbrn^j/maußA ofawv

XL

J3

Fig. 1.

11

13

Fig. 2.

angeordnet. Erhebliche Verschiebungen in der Reihenfolge der Provinzen treten nur innerhalb der letzten Gruppe ans. Man kann daraus schließen, daß dieselben Ursachen, die eine größere Bevölkerungsdichte hervorrufen, auch den Verkehr günstig beeinflussen. Beachtenswert ist, daß die Dichte des Eisenbahnnetzes lange nicht so große Unterschiede aufweist, wie die Bevölkerungsdichte.

Umgekehrt könnte man nach dem Bilde auch die Tabelle herstellen. Man brauchte nur den Maßstab der Zeichnung zu fenueu, d. h. zu wissen, welche Längeneinheit immer einen Bewohner bezw. einen Meter Eisenbahn bedeutet. Dann waren einfach die Höhen der Rechtecke abzumessen, um die gewünschte Tabelle zu erhalten. Bei einer praktischen Durchführung der Zeichnung würde man für 1 Einwohner oder 1 m Eisenbahn als Längeneinheit z. B. 1 mm abtragen.

Der wesentliche Grundgedanke dieser Darstellungsform ist der: durch Abtragen bezw. Abmessen von Strecken mit einem Längenmaßstabe bestimmt man Zahlengrößen, die im allgemeinen mit Längen garnichts zu tun haben. Hier legt man ja im einen Beispiele der Längeneinheit die Bedeutung von „1 Bewohner ans je 1 qkm" bei! Dieser Grundgedanke ist auch die Grundlage der graphischen Darstellung von Funktionen.

4. Das Achsenkreuz. Freilich etwas Neues muß uns die graphische Darstellung von Funktionen bringen. Soeben war es nur eine Zahlengröße, die jedesmal'abzutragen war, und noch dazu eine feststehende sich nicht ändernde. Ganz anders bei Funktionen. Da sind es zunächst zwei Zahlengrößen; denn eine Funktion besteht ja in der Abhängigkeit zweier Dinge voneinander. Und weiter hat keine dieser Größen einen beständig festbleibenden Wert, vielmehr beide verändern sich fortwährend, immer die eine zugleich mit der andern. Ja darin müssen wir gerade das Wesen der Funktion erblicken: in der Veränderlichkeit der darin vorkommenden Größen. Darum sind es gerade die Funktionen, die zur Beschreibung des täglichen Lebens so brauchbar sind, wo ja beständiger Wechsel herrscht!

Über die Schwierigkeit kommen wir mit der Benutzung des sogenannten Achsenkreuzes hinweg. Zwei Maßstäbe sind es, die wir brauchen: den einen zeichnen wir horizontal, den anderen vertikal hin, wie in Fig. 3. Im Schnittpunkt der beiden Geraden, auf die wir die Einteilung unserer Maßstäbe übertragen wollen, soll der Nullpunkt liegen, von dem ab zu messen ist.

Da fragt es sich, sollen wir den Maßstab nach oben oder nuten, nach rechts oder links abtragen? Wir wollen keine Richtung be-

Vorzügen, bedecken also alle vier mit einer Teilung; freilich gilt es nun, rechts von links und oben von unten zu unterscheiden.

Der Fall, daß der Nullpunkt mitten auf einer Teilung liegt, ist Ihnen ja nicht fremd. Er ist Ihnen allen beim Thermometer bekannt. Da heißt der Nullpunkt auch Gefrierpunkt; nach oben hin haben wir die Wärmegrade und nach unten, wie man wohl sagt, die Kältegrade oder besser die weniger warmen Temperaturen, d.h. die negativen Grade: —1°, — 2° u.f.f. Denn an sich bezeichnen die Kältegrade nichts anderes als die Wärmegrade auch, nämlich die Temperatur an irgend einem Orte, und nur aus praktische!: Gründen hat man den Nullpunkt gerade auf den Gefrierpunkt des Wassers gelegtP)

3-

%-

1-

-3 -£ -1

In der Tat haben wir in der Einteilung der Zahlen in positive und negative eine sehr geeignete Zweiteilung des ganzen Zahlenvorrats, deren Verwendung hier fast selbstverständlich erscheint.

~t-

~3~

Flg- 3.

Bitte beachten Sie: nicht verschiedenartige Gegenstände sollen durch das positive und negative Vorzeichen voneinander getrennt lverden. Vielmehr stellen alle Zahlen in diesem Falle dieselbe Art Dinge dar. Nur da^man doch irgendwo anfangen muß, so nennt man das Vorhergehende negativ und das Folgende positiv.

Kehren wir zum Achsenkreuz zurück. Wie beim Thermometer nennen wir die Strecken auf dem nach oben liegenden Teile der Achse positiv, nach unten negativ; ganz entsprechend nach rechts positiv und nach links hin negativ. Durch unsere Maßstäbe auf ben Achsen gelingt es, jedem Punkt ein Zahlenpaar und jedem Zahlenpaar einen Punkt eindeutig zuzuordnen. Zu dem Zwecke errichtet man auf den Achsen Lote; dann gehört der Schnittpunkt P der Lote zu den Zahlen 3 und 2,5, in denen die Lote errichtet sind, und umgekehrt. Die beiden Zahlen nennt man die Koordinaten des Punktes P und schreibt abkürzend P (3; 2,5), d.h. P hat die Koordinaten

1) Die Wahl des Nullpunktes ist nicht einmal überall gleich. In der nach Fahrenheit benannten Skala besitzt der Gefrierpunkt die Zahl 32°. Geht man vom sogenannten absoluten Nullpunkt aus, so liegt der Gefrierpunkt gar bei 273°.

3 und 2,5. Man nennt stets zuerst die auf der horizontalen Achse abgelesene Zahl, die Abszisse, dann die auf der vertikalen Achse abgelesene Zahl, die Ordinate.

Jetzt haben wir erreicht, was wir wollten. Gin Punkt auf unserem Zeichenblatt ist das Bild eines Zahlenpaares. Eine Funktion, die ja nichts weiter ist als die Zusammenfassung von lauter Zahlenpaaren, erhält als Bild eine Folge von Punkten.

5. Die graphische Darstellung von Funktionen. Ähnlich wie im ersten Beispiel ist alle zwei Stunden vom einen Mittag bis zum

Zeit

nächsten die Tempera-Temperatur j-ur am Thermometer

21. Dezember, mittags 12 Uhr

0 o    abgelesen und in einer

<M -h <X> 00

-I- 2°    Tabelle aufgeschrieben

_l_ io    worden. Hier aber

0°    zeigt Fig. 4 ein Bild

__0 5° des Vorganges. Punkt 10 -    —0^5°    für Punkt sind die

mitternachts 12

—    1 o zusammengehörigen

22. Dezember

00 05 CO

—    1,50    Zahlenpaare ausge-

_30    zeichnet. Verbindet

__Z0 man noch die ge-

_2°    fundenen Punkte ge-

10 -

_1o radlinig miteinander,

mittags 12 -

Qo    so gibt die gebrochene

Sc

Linie ein Bild vom Temperaturverlauf in der angegebenen Zeit. Deutlich sieht man das schnelle Anwachsen der Temperatur zur Mittagszeit; die höchste Temperatur ist gegen 2 Uhr erreicht, die tiefste in den Morgenstunden

zz

zwischen 4 Uhr und 6 Uhr. Ein

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/ W 1t 4 b $ 10 \z Blick auf    die

-1

Fig. 4.

Zeichnung be-lehrt uns, daß nach dem nächtlichen Frost wieder in den Nachmittagsstunden

wenig erfreuliches Tauwetter eintreten wird. Wollen wir wissen, welche Temperatur wohl um 1 Uhr morgens gewesen sein mag, so brauchen wir nur auf der horizontalen Achse in der Mitte zwischen 12 und 2 das Lot zu errichten bis zur gebrochenen Linie und seine Länge auf die vertikale Achse zu übertragen. Wir werden dann die Temperatur —1,25° ablesen.

Ganz gleichgültig ist dabei, welche Längeneinheit auf den Achsen abgetragen wird. Im Beispiel bedeutet die Längeneinheit der Abszissen stets zwei Stunden, die der Ordinaten immer einen Grad. Ja man könnte auf den Achsen auch ganz verschiedene Maßstäbe abtragen, wenn man nur die Bedeutung der Einheit für jede Achse kennt.

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Um Ihnen einerseits wenigstens annähernd die außerordentlich zahlreichen ...

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Möglichkeiten vorzu- 7" führen, in denen z 0 unsere Methode an-gewendet werden W kann, um andrerseits MO aber auch den großen \\o Nutzen derselben w recht deutlich hervor- ^-.7 treten zu lassen mögen noch einige Beispiele aus den w verschiedensten Ge- MO bieten folgen. \\o

Fig. 5.

Zuerst greife ich w auf die Tabelle der aß „Arbeitsuchenden auf je hundert offene Stellen" zurück. Viel besser als vorher in der Tabelle übersehen Sie jetzt in Fig. 5 den Wechsel der Vorgänge. Vor allem tritt hervor, wie schlecht das Jahr 1908 gewesen ist. Das Jahr 1909 fängt noch wesentlich schlechter an, bietet aber später bessere Aussichten. Beachten Sie, wie gleichartig in den einzelnen Jahren das Steigen und Sinken einander folgen. Doch auch Abweichungen von dieser Gleichartigkeit fallen uns auf: so ist der April 1908 im Gegensatz zu den anderen Jahren ungünstiger als der März. Infolge ungünstiger Witterung und anderer Schwierig-

leiten hat damals z. B. die Bautätigkeit nicht hiirreichend entsetzen tonnen. Auch den Segen der sogenannten Notstaudsarbeiten der großen Städte können Sie aus den Diagrammen herauslesen; denn auf diese ist es wesentlich mit zurückzuführen, weitn in der Regel int Winter eine weitere Verschlechterung nicht mehr eintritt.

Noch auf eins möchte ich Sie besonders hinweisen: die horizontale Achse liegt hier gewissermaßen bei 100. Denn in der Tat ist Angebot gleich Nachfrage, also der Bedarf an Arbeitskräften gerade gedeckt, wenn auf hundert offene Stellen hundert Arbeitsuchende kommen. Geht die Kurve, wie int Jahre 1907, unter diese Nulllinie, so heißt das natürlich, daß in jenem Jahre ein Mangel an Arbeitskräften geherrscht hat.

nommen.

Die nächsten Beispiele sind der medizinischen Praxis ent-Da ist zunächst die Gewichtszunahme eines Kindes in Fig. 6 gezeichnet, was gewissenhafte Eltern immer tun sollten. Oben ist das Diagramm der sogenannten itormaleit Gewichtszunahme angegeben, die nach vieler Erfahrung sorgfältig berechnet ist, darunter die Kurve für einen bestimmten offenbar anfangs sehr ungünstigen Fall. Erst nach 20 Wochen

hat man sich hier entschlossen, den Arzt zu Hilfe zu rufen, dessen erfolgreichem Eingreifen es zu danken ist, daß endlich nach 52 Wochen der normale Stand

erreicht ist.

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* $ k 16 M ft Ti 32 Tb W M 15 A

Fig. 6.

Fig. 7 zeigt eine sogenannte Fieberkurve, wie Sie sie wohl an manchem Krankenbett gesehen haben. Auf ein fertig vorgedrucktes Formular sind die Messungen der Fiebertemperatur täglich viermal eingezeichnet. Man erkennt deutlich die gesamten Schwankungen des Fiebers, für den Arzt zur Beurteilung des Kraitkheitsverlaufes ein unschätzbares Hilfsmittel.

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2.

Fig- 7.

Im April 1907 ist das Geschäft, dessen Umsatz die Kurven Fig. 8 zeigen, gegründet worden. Am Jahresende gab es freilich nur unzufriedene Gesichter. Der Umsatz war herzlich TOoo wenig gestiegen, m nicht einmal zur 6000 Weihnachtszeit 5500 hatte sich ein merkbarer Fortschritt eingestellt. Der Anblick der Kurve

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7s

ließ von der Zu- m kunft nichts Gutes r000 erwarten.

Da 1500 entschloß sich der 1000 Geschäftsinhaber zu einer Verlegung und Vergrößerung; das alte Geschäft blieb daneben als Filiale bestehen. Jetzt bemerkeil Sie ein erfreuliches regelmäßiges Anwachsen vom Umsatz. Freilich, mit einen vollständigen Einblick

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Fig. 8.

zu gewinnen, müßten wir jedesmal darunter eine Kurve der Geschäftsunkosten (Miete, Beleuchtung, Gehalt an das Personal u.s.f.) zeichnen. Dazu würden wir uns zur Unterscheidung roter oder blauer Tusche bedienen. Darnach kann es nicht schwer fallen, den Reingewinn zu beurteilen; denn das weiß jeder Geschäftsmann sehr bald, den wievielten Teil der Einnahmen er als Reingewinn betrachten darf.

Auch hier fällt uns beim Anblick der Diagramme auf, wie ziemlich gleichmäßig Wachsen und Abnehmen in den einzelnen Monaten eintritt. Setzt unser Geschäftsmann das Zeichnen der Kurven fort, so wird er bald vorherbestimmen können, wieviel er in jedem Monat erwarten darf. Treibt ihn sein Wagemut zu immer neuen Erweiterungen seines Geschäftes, so werden ihn die Kurven schnell vor Fortsetzung falscher Spekulationen warnen, ihn aber auch ermutigen, auf einem richtigen Wege, den er einschlägt, fortzuschreiten.

Weiter zeige ich Ihnen noch in Fig. 9 das Bild vom Umsatz desselben Geschäftsmannes im Dezember 1909. Ein wechselvolles

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380

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12 13 1115 16 17 18 19 20 21 22 toJMk ll LS 29 30 31

Bild; tief hinab steigen die Sonntage und hoch hinauf die Tage vor Weihnachten. Im nächsten Jahre wird auch auf dieses Blatt mit roter Farbe der Umsatz eingetragen werden, um einen Vergleich anstellen und wenn möglich feststellen zu können, welche Einflüsse (z. B. das Wetter) den Geschäftsgang günstig beeinflussen.

Hier sei noch eins erwähnt: das Blatt, auf dem wir gezeichnet haben, ist mit kleinen Quadraten bedeckt. Das gibt im allgemeinen eine recht mühselige Arbeit, namentlich wenn es darauf ankommt, so genau zu zeichnen, daß man hinterher der Zeichnung Maße entnehmen kann. Man wird daher vorteilhaft diese Arbeit zu ersparen suchen. In der Tat ist im Handel für wenige Pfennige das sogenannte Millimeterpapier zu haben, Papier, auf dem in feinen roten, blauen oder andersfarbigen Linien eine Einteilung in Quadratmillimeter gegeben ist. Die Quadratzentimeter sind für sich und dann auch noch zu je fünf zur besseren Übersicht durch stärkeren Druck hervorgehoben. Solch ein Papier läßt sich außerordentlich bequem verwenden und gibt recht genaue Resultate. Wir wollen aber nicht vergessen, daß für unsere meisten Zwecke auch das gewöhnliche karierte Schreibpapier genügt. Und wenn wir nichts dergleichen zur Hand haben, so ist auch schließlich eine Quadrateinteilung leidlich schnell hergestellt. Bequeme Hilfsmittel bieten ja immer einen Anreiz zur Verwendung einer neuen Methode; aber, wenn es sein muß, geht es auch ganz gut ohne sie.    ,    „    . a

Als letztes Beispiel zeige ich Ihnen A™« ^

eine Preisliste. Ich habe die Preise J , n..... .....rmVrbfi

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für das Einbinden von Büchern verschiedener Formate gewählt, wobei ^0 die Bogenzahl die unabhängige Ver- 150 ünderliche darstellt. Die Preise be- W ginnen bei 30 Pfennigen, da niedrigere 130 nicht in Betracht kommen. Jedes M einzelne Format liefert als Diagramm eine gerade Linie. Es wird Ihnen nicht schwer fallen, sich sofort in der Zeichnung zurechtzufinden. Als Bei- 7Q spiel nenne ich: es kostet also das ^

Einbinden eines Buches vom Format ^

10IÖ 30 W 50 b0 TO SO gig. 10.

15 x 21 mit der Bogenzahl 45 nach *0 unserer Liste 85 Pfennige.    _

Ich glaube wohl, daß der Wert graphischer Darstellungen vou Ihnen nicht mehr bezweifelt werden wird. Tabellen neben Diagrammen, jedes an seinem Platze. Jene, wenn es gilt, genaue Ausrechnungen herzustellen, wenn der Geschäftsmann z. B. seinen Steuerzettel auszufüllen hat. Diagramme aber, wenn Sie vergleichen und die Geschäftslage o. dgl. überschauen wollen. Daneben noch, wenn einfach und schnell durch Abmessen Zwischenwerte, die in der Tabelle gar nicht enthalten sind, bestimmt werden sollen.

6. Diagramme stetiger Funktionen. Aufzeichnen solcher durch Apparate. Noch einmal kehren wir zu unserem Ausgangspunkte zurück: zur Tabelle der Temperaturen im Laufe eines Tages. Sie werden es selbst als Mangel empfunden haben, daß man immer

u.

-1 -Z

Fig. 11.

erst nach zwei Stunden abgelesen hat. Das Bild, welches wir so in Fig. 4 erhielten, zeigte einen so sprunghaften Verlauf der Temperatur, wie wir ihn schwerlich für richtig halten können. In Wirklichkeit sind doch alle Temperaturschwankungen ganz allmählich vor sich gegangen. Man sagt: die Temperatur ändert sich stetig, besitzt mit anderen Worten als Bild eine gleichmäßig gekrümmte Linie ohne Kanten und Ecken. Man kann sich helfen, indem man durch die gefundenen Punkte, den stetigen Schwankungen entsprechend, eine stetige Kurve legt, wie es in Fig. 11 geschehen ist. Die Kurve kommt der Wirklichkeck umso näher, je mehr Punkte von ihr bekannt sind.

Während irrt täglichen Leben die gebrochenen Linien, wie Sie in zahlreichen Beispielen gesehen haben, die wichtigste Rolle spielen, sind es in der Wissenschaft und Technik hauptsächlich die stetig gekrümmten Kurven, mit denen man es dort zu tun hat. Die Dirr

gramme von Naturgesetzen sind Kurven. Kennt mau das Naturgesetz, so kann man das zugehörige Diagramm zeichnet: und ihn: beliebig viele Einzelwerte entnehmen. Hat man umgekehrt zahlreiche Einzelbeobachtungen, so zeichnet man die gefundenen Werte und versucht sie möglichst genau durch eine stetige Kurve zu verbinden. Einerseits kann man jetzt der Kurve beliebig viele auch nicht beobachtete Werte entnehmen, andrerseits gestattet die Form der Kurve auf die Form des Naturgesetzes zu schließen.

Getreu-

Die oben gezeichnete Temperaturkurve kann uns aber auch so nicht völlig befriedigen. Die Kurve kann noch zu willkürlich gezeichnet werden. Ganz abgesehen davon, daß regelmäßiges Ablesen der Temperatur immer lästig bleibt. Viel sicherer und bequemer verfährt ein Apparat, dessen Bild Ihnen Fig. 12 zeigt. Man nennt ihn Thermograph, d. i. ein Instrument, welches die Temperatur ausschreibt. In der Röhre rechts befindet sich Alkohol, der sich auszudehnen strebt, wenn es wärmer wird. Dann muß sich die Röhre stärker krümmen, so daß der Schreibstift, den Sie links sehen, durch Hebelübertragung gehoben wird. lich schreibt der Stift auf der sich drehenden Trommel in jedem Augenblick die Temperatur auf. Die Trommel wird von einem Uhrwerk getrieben; ein Streifen reicht in der Regel für eine Woche. Darnach muß wieder ein neuer Streifen eingelegt werden. Ähnliche Apparate sehen Sie in Wettersäulen und dergl., um den Barometerstand oder die Luftfeuchtigkeit aufzuzeichnen.

Instrumente, die unmittelbar Bilder von Funktionen aufschreiben, werden noch zu vielen Zwecken verwendet. Erwähnen will ich die Seismographen; das sind gewaltig schwere Pendel, die aber so fein aufgehängt sind, daß sie die leisesten Schwankungen des Erdbodens aufzeichnen. Findet irgendwo ein Erdbeben statt,

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so gelangen zuerst quer durch den Erdkern hindurch zwei Arten von Wellen zum Apparat, die sogenannter: Vorläufer; dann erst nach einiger Zeit treffen die Hauptwellen ein, die sich längs der Erdrinde ausgebreitet haben. In dem Seismogramm der Fig. 13 erkennen Sie sehr schön diese Vorläufer und die Hauptwellen. Aus dem Zeitunterschied beider ist man imstande, auf die Entfernung zu schließen, in welcher der Herd des Erdbebens zu suchen ist.

I1au.pt wellen.

Fig- 13. Beben vom 19. März 1906; Herd unbekannt

Noch ein Beispiel: Der Techniker muß für manche Zwecke wissen, wie groß der Dampfdruck im Zylinder einer Dampfmaschine in jedem Augenblick gewesen ist. Dazu bohrt er den Zylinder an einer höchsten oder tiefsten Stelle an und leitet den Dampf in einem engen Rohre nach einer Art Manometer, Indikator genannt. Dies Manometer (Druckmesser) liefert das sogenannte Dampfdruckdiagramm, indem es den Druck unmittelbar auf einem Streifen aufschreibt, der in verkleinertem Maßstab die Bewegung des Kolbens im Dampfzylinder mitmacht.

Ein sehr hübsches Verfahren hat uns das Bild Fig. 14 geliefert. Da sitzt auf dem Manometer ein kleiner Spiegel auf, der sich bei der Druckänderung im Dampfzylinder ein wenig dreht. Ein Lichtstrahl, den ich auf den Spiegel fallen lasse, wird vom Spiegel zurückgeworfen, und bei der Drehung des Spiegels wird der zurückgeworfene Lichtstrahl mitgedreht. Fällt er auf eine photographische Platte, die ich wieder so bewege, daß sie im verkleinerten Maßstabe genau die Bewegung des Kolbens im Dampfzylinder mitmacht, so zeichnet der Lichtstrahl auf der Platte die Druckänderungen auf. Um mit dem Diagramm rechnen zu können, müssen wir wissen, wie stark der Kolbenweg verkleinert worden ist, und welche Druckzunahme ein

Millimeter Hebung des Lichtpunktes auf der Platte bedeutet. Das photographische Verfahren empfiehlt sich namentlich bei schnetllaufenden Maschinen.

7. Diagramme der einfachsten Bewegungsformen. Etwas eingehender will ich die graphische Darstellung von Bewegungsvorgängen behandeln. Die wichtigsten einfachen Bewegungsarten sind die gleichförmige und die gleichförmig beschleunigte. Wenn ein Schnellzug, wie vorgeschrieben, stündlich stets 80 km zurücklegt, so sagen wir: er bewegt sich gleichförmig. Streng genommen müßte er freilich, was nie der Fall ist, in jedem Augenblick genau gleich schnell gefahren sein. Praktisch genügt es durchaus, wenn die Gleichförmigkeit nur durchschnittlich erreicht wird. Jene 80 km heißen die Geschwindigkeit des Zuges pro Stunde.

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Wir wollen den Vorgang graphisch

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darstellen; die Achsen nennen wir daher Zeit- und Wegachse. Wieder ist die Zeit die unabhängige veränderliche Größe und der Weg die abhängige.

1    2 3 V 5 6 7 5    9 10 11

Fig. 15.

Zeit

meist, so ist auch hier die unabhängige Veränderliche auf der horizontalen Achse abgetragen. Wenn der Eisenbahnzug gleichförmig dahinfährt, so wachsen Zeit und Weg proportional, d. h. in der doppelten Zeit ist auch der doppelte Weg, in der dreifachen Zeit der dreifache Weg zurückgelegt, u.s.f. Allgemein kann man sagen: um den Weg nach irgend einer Zeit zu bekommen, hat man die Zahl der Stunden mit 80 zu multiplizieren. Solch ein proportionales Anwachsen gibt aber als Diagramm eine gerade Linie. In Fig. 15 sind b und c solche Diagramme. Man beachte aber wohl, daß die geraden Linien nicht mit den Wegen, die die Züge gefahren sind, verwechselt werden dürfen. Die Eisenbahnstrecke kann vielmehr beliebig krumm sein. Unser Diagramm sagt einfach aus, daß z. B. der Weg nach 4 Sekunden beim Zuge b 100 m, dagegen beim Zuge c60m beträgt, also gleich den Loten in den Zeitpunkten ist. In beiden Fällen sind

ANuG 341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

die Züge schon vor der Zeit 0 abgefahren, also auch bevor wir zu beobachten anfingen. Wie uns aber die Figur zeigt, ist b später als c abgefahren, trotzdem hat schon zur Zeit 0 Zug b eine größere Strecke zurückgelegt als Zug c (b schneidet auf der vertikalen Achse ein größeres Stück ab als c). Die Gerade b besitzt eine größere Steigung als c, d. h. sie steigt steiler an als c, gleichzeitig ist offenbar die Geschwindigkeit des Zuges b größer als die des Zuges c. Es stellt uns b einen Schnellzug, c dagegen einen Personenzug dar. Also gilt beim Diagramm der gleichförmigen Bewegung: je größer die Steigung, umso größer die Geschwindigkeit.

Wir kommen zur gleichförmig beschleunigten Bewegung. Werfen Sie einen Stein in die Luft, so sucht ihn die Anziehung der Erde fortwährend mit derselben Kraft herunterzuziehen. Der Stein bewegt sich gleichförmig verzögert, solange er aufsteigt, und gleichförmig beschleunigt, wenn er herabfällt. Das Diagramm dieser Bewegung ist die Parabel a in der Fig. 15. Auch hier darf nicht der Weg des Steines, der z. B. senkrecht in die Höhe geschleudert sein kann, mit dem Diagramm verwechselt werden. Tatsächlich beschreibt ein in schräger Richtung geworfener Stein auch als Bahn eine Parabel. Während der bekannten Kieler Woche pflegen gelegentlich einer glänzende!: Illumination der Kriegsschiffe unzählige Leuchtkugeln in die Luft geschleudert zu werden. Auf dem Bilde Fig. 16 sehen Sie die Bahnen dieser Leuchtkugeln photographiert. In der Tat ist die parabolische Form der Kurven zum Teil recht deutlich sichtbar. Abweichungen infolge des Luftwiderstandes lassen sich ebenfalls sofort erkennen.

Gerade Linien sowohl wie Parabeln findet mmt auch unabhängig von Bewegungsvorgüngen sehr häufig als Diagramme.

8. Graphische Fahrpläne. Die Herstellung graphischer Fahrpläne ist eine schöne und recht wichtige Anwendung der Diagramme gleichförmiger Bewegungen. Entstehen doch unsere Fahrpläne tatsächlich zuerst graphisch und erst darnach werden sie in die gebräuchlichere Form des Kursbuches gebracht.

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Aus praktischen Gründen ist hier einmal die Wegachse horizontal gelegt und die Zeitachse zwar vertikal, 1 aber so, daß der positive Teil nach__§ unten zeigt. Jn Fig. 17 ist Ihnen das Schema solch eines Fahrplanes aufgezeichnet. Oben stehen die Wege:

Altona, Neumünster, Kiel, vertikal abwärts die Zeiten, mit 12 Uhr mitter- ^ nachts beginnend. Der erste einge- ^ zeichnete Zug fährt gegen 6 Uhr in ^

Altona ab und ist gegen 7 Uhr 30 Min. X in Neumünster. Hier hat er Auf- 8 enthalt. Das erkennt man sofort, da s ja die gerade Linie unterbrochen ist. ^

Fig. 17.

Es ist also Zeit vergangen, ohne daß ^ der Zug sich bewegt hat. Bald nach 8 Uhr trifft der Zug in Kiel ein. Der nächste bald nach 9 Uhr in Altona abfahrende Zug ist weniger steil eingezeichnet. Daraus folgt hier, daß er schneller fährt. In der Tat vergeht ja weniger Zeit, bis er zum Ziele gelangt. Das stimmt auch mit unseren obigen Betrachtungen durchaus überein; denn es hieß ja dort, daß die Geschwindigkeit umso größer ist, je steiler die Gerade zur Zeitachse liegt, also hier je flacher sie verläuft. Wirklich ist der stärker gezeichnete Zug ein Schnellzug, der schwächer gezeichnete ein Personenzug. Aber auch die in umgekehrter Richtung verkehrenden Züge enthält unser Plan. Ihre Diagramme sind Geraden, die rechts beginnen und nach links hin abwärts geneigt gezeichnet sind. Als Beispiel ist der zwischen 5 und 6 Uhr morgens in Kiel abfahrende und kurz vor 7 Uhr in Altona eintreffende Schnellzug gezeichnet. Beim Entwerfen des Planes ist darauf zu achten, daß überall dort,

wo zwei Geraden sich kreuzen, Doppelgeleise oder Weichen vorhanden sein müssen.

Das Bild eines fertigen Fahrplanes gibt Fig. 18. Der Plan ist dem Buche auf einer besonderen Tafel beigegeben. Ich habe eine Kleinbahn aus dem hohen Norden gewählt; wollte man den Plan einer Hauptstrecke herausgreifen, so wäre dieser schon an sich nicht ganz leicht zu überblicken; sicherlich würde man sich in der Verkleinerung garnicht darin zurechtfinden. Namentlich lehrreich ist der linke Teil des Planes, der in allgemeiner Übersicht die Anschlüsse von und nach Hamburg gibt. Sehr schön tritt die verschiedene Neigung der Geraden hervor, von den flachen Bildern der Schnellzüge bis zum recht steilen Diagramm der Dampfschiffe.

Der Vorteil des Planes ist die große Übersichtlichkeit. Sicher erkennt man hier mit einem Blick, was man im Kursbuch mühselig erst nach vielem Herumblättern feststellt. Nehmen Sie ein Beispiel. Um 1 Uhr 18 Min. fahren Sie in Hamburg mit dem Zuge 24 ab. Da Sie erst um 4 Uhr 39 Min. in Flensburg eintreffen, sind Sie auf den Dampfer 29 angewiesen. (Die Frage, ob Dampfschiff oder Eisenbahn ist mit einem Blick auf den Plan entschieden.) Um 7 Uhr 30 Min. landen Sie in Sonderburg. Mit dem Zuge 22 drüben rechts können Sie um 9 Uhr 15 Min. weiterfahren, um um 10 Uhr 23 Min. am Ziele einzutreffen. Trotz der gewiß nicht einfachen Verbindung genügt ein Blick, um die ganzen Anschlüsse zu übersehen.

Noch möchte ich darauf hinweisen, wie leicht es den Beamten ist, jederzeit festzustellen, wo ein jeder Zug sich gerade befindet. Wie gefahrlos und bequem lassen weiter sich mit Hilfe dieser Pläne Extrazüge einlegen!

Oben enthält unser Fahrplan noch die Entfernungen und einige bahntechnische Einzelheiten, Weichen u. dgl. eingetragen. Unten ist ein Bild von den Steigungen der Strecke gegeben.

Leider ist eine weite Verbreitung graphischer Fahrpläne ausgeschlossen. Ein vollständiges Kursbuch können sie nun einmal nicht ersetzen; denn dazu gehörten einige tausend Blätter. Anders, wenn es sich um ständigen Verkehr auf einer bestimmten Strecke handelt, da sollte man den Kursbüchern die graphischen Pläne vorziehen. Zweifellos sehr praktisch wäre die Verwendung dieser Pläne für Reiseführer durch begrenzte, von Fremden häufig besuchte Gegenden.

In den Durchgangswagen der schwedischen Eisenbahnen hängt schon heute ein graphischer Plan der ganzen Strecke, die der Zug

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Die Züge 14 a und 15 a verkehren nur Sonn-und Festtags, Dienstags und Freitags.

Die Züge 14b und 15b verkehren nur Montags, Mittwochs. Donnerstags und Sonnabends.

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befährt, aus. Sollte sich diese Methode nicht auch bei uns empfehlen?

Zum Schlüsse möchte ich nur jedem von Ihnen, der ein Interesse an der Sache gewonnen hat, empfehlen, sich irgendeinen graphischen Fahrplan aus Ihrem eigenen Wohnort zu verschaffen (namentlich ältere dürften nicht schwierig von der Eisenbahn zu erhalten sein), um sich durch eigenen Augenschein von der Nützlichkeit derselben zu überzeugen. Vielleicht daß Sie dadurch noch mehr zur Verwendung graphischer Methoden ganz allgemein angeregt werden.

9. Rechentafeln oder Nomogramme. In neuester Zeit beginnen graphische Methoden sich ein neues wichtiges Gebiet zu erobern. Namentlich von dem französischen Mathematiker M. d'Ocange ausgehend, verbreitet sich immer mehr ein neuer Zweig der mathematischen Wissenschaft: die Nomographie, die sich damit beschäftigt, möglichst einfache und leicht verwendbare Rechentafeln herzustellen. Ich will versuchen, Ihnen an einfachen Beispielen den Sinn der Nomographie klarzumachen.

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Während in den graphischen Darstellungen von Funktionen, wie wir sie oben kennenlernten, für jeden bestimmten Fall neue Kurven gezeichnet werden mußten, also z. B. für jeden neuen Tag auch eine andere Temperaturkurve, so sollen die Rechentafeln oder Nomogramme alle möglichen Fälle irgendeines funktionalen Zusammenhanges zugleich darstellen. Nehmen Sie sogleich ein ganz einfaches Beispiel: In Fig. 19 ist eine Tabelle der Wurzeln aller Zahlen aufgezeichnet, oder auch, was ja auf dasselbe herauskommt, der Quadrate aller Zahlen. Dabei sind auf der horizontalen Achse gleiche Strecken abgetragen und mit 1, 2, 3 . . . bezeichnet. Auf der vertikalen Achse sind zwar auch gleiche Strecken abgetragen, aber sogleich mit den Quadraten der abgetragenen Strecken bezeichnet, also l²,2²,

3 10

3²..., d.h.1, 4, 9... Dadurch erhalten Sie als Kurve der Funktion eine unter 45° aufsteigende gerade Linie. Zum Ablesen könnten Sie Lote errichten, oder besser benutzen Sie, wie es in der Figur angedeutet ist, eine Platte aus Zello-loid, auf ^welcher zwei senkrechte Geraden und eine durch den Schnittpunkt

gehende unter 45° geneigte Gerade eingeritzt sind. Die von der Platte verdeckten Teile der Tabelle sind, um dies anzudeuten, gestrichelt gezeichnet. Die Platte legen Sie so auf, daß die geneigte Gerade der Platte und der Tabelle zusammenfallen, während die senkrechten Geraden durch die gesuchten Skalenpunkte gehen. In der Figur lesen Sie z. B. ab M-7,8 oder auch 7,8² = 61.

Wichtig an unserem Beispiel ist der Gedanke, der auf der vertikalen Achse verwirklicht ist, wo die Zahlen nicht die abgetragenen Längen bedeuten; sondern statt 8 z. B. steht 64, d. h. die Zahl, aus der die Wurzel den Wert 8 ergibt. Mit anderen Worten: es sind Funktionswerte abgetragen, aber die Werte der Variabeln angeschrieben. Hier ist 8 = j/64, allgemein y = /b; y ist abgetragen, aber b angeschrieben. Zu beachten ist auch die Art des Ablesens.

Ein anderes Beispiel gibt Fig. 20. Das ist eine Multiplikationsund Divisionstabelle. Wieder sind auf zwei zueinander senkrechten Achsen die Zahlen 0 bis 10 abgetragen. Außerdem sehen Sie eine Reihe von Kurven eingezeichnet, an die je eine Zahl, die sogenannte Cote, angeschrieben ist. Dabei liegen z. B. auf der mit der Cote 30 versehenen Kurve sämtliche Punkte, deren Koordinaten das Produkt 30 besitzen, usw. (Da x • y = 30 sein soll, so ist die Kurve, wie sich zeigen läßt, eine gleichseitige Hyperbel.) Wollen Sie etwa 8x6 ablesen, so suchen Sie den Schnittpunkt der in 8 und 6 errichteten Lote und finden durch Schätzung sofort, daß durch den Schnittpunkt

io

SS

eine Kurve mit der Cote 48 gehen würde. Um bessere Ergebnisse, als dies hier möglich ist, zu erhalten, müßte man die Tafel in größerem Maßstabe zeichnen und dementsprechend mehr Kurven.

Nf

Die Konstruktion brauchbarer Tafeln ist zuweilen recht schwierig. Darauf kommt es aber ja gar nicht an, vielmehr ist entscheidend nur die bequeme Verwendbar-o 123456789 io keit der Tafeln. Sie

finden schon jetzt in Tabellenwerken statt der weitläufigen Zahlenangaben solche Nomogramme: in Zukunft wird es zweifellos noch weit mehr der Fall sein. Ebenso wie es dem praktischen Rechner ganz gleichgültig ist, wie etwa seine Logarithmentafel berechnet ist, so interessiert ihn auch nicht die Herstellung einer nomographischen Figur; wenn er nur weiß, wie er damit zu rechnen hat. So will ich Ihnen zum Schluß noch eine Tafel zur Auflösung von quadratischen Gleichungen zeigen. Die Form der Gleichung sei x² + a x + b = 0.

Auf der linken Geraden liest man die Werte von a, auf der rechten die von b ab. In Fig. 21 ist als Beispiel die Lösung der Gleichung

x² — 3,5 x + 1,5 — 0

I- 3

-2

-3

-4

-5

-6

-7

in!11M111111111M11n111nHT111)11111lllI]11MM111111ii111111111111m|m11

9'ßX

Fig. 21.

| t r 111; 11 • | / i 1111 r) 11 u M[1111jIii111111j11u 1111111 iii|i ir i |i ii i|i ii i| ii ii

i- w W ^

gewählt. Sie suchen auf der Geraden links — 3,5, also a, auf der Geraden rechts + 1,5, also b, auf. Beide Punkte verbinden Sie durch eine Gerade (in der Figur gestrichelt gezeichnet). Die Schnittpunkte mit der gezeichneten Kurve 3 und 0,5 sind die gesuchten Werte für x, die der Gleichung genügen.

Das Verfahren der Nornographie hat bereits so wertvolle Ergebnisse gezeitigt, daß man von ihm die besten Erfolge in der Zukunft erwarten darf.

II. Vortrag.

Flächenmessung.

Geometrie heißt Erdmessung, wobei im Sinne der Alten zunächst nur an die Oberfläche der Erde gedacht ist. Wirklich hat der rein praktische Zweck der Erdmessung die erste Veranlassung zur Ausbildung der Geometrie gegeben.

Die jährlich wiederkehrenden Überschwemmungen des Niltales im alten Ägypten vernichteten häufig die Grenzzeichen, durch welche die Besitzungen voneinander geschieden wurden. Um in jedem neuen Jahre eines jeden Eigentum wieder abstecken zu können, mußte man geometrische Methoden der Feldmessung ersinnen. Die Methoden, deren sich heute die Feldmeßkunst bedient, sind andere geworden; aber das Problem der Flächenmessung hat seine alte Bedeutung nicht verloren. Nur ist heute eine gewaltige Fülle von Aufgaben, die alle Methoden zur Flächenmessung verlangen, hinzugekommen, Aufgaben, die gerade im praktischen Leben auftreten.

1. Über Längen- und Flächenmaße. Zum Nachmessen bedürfen wir vor allem eines festen Maßstabes. Zuerst verstand man wohl die Zeit zu bestimmen, so daß Tage, Monate und Jahre die ältesten Maße sein dürften. Die Ausbildung der weiteren Maßsysteme knüpft an die Zahl 60 an. Dabei hat vielleicht die praktische Frage nach der Festlegung einer bestimmten Richtung eine Rolle gespielt. Es scheint, als sei man vom gleichseitigen Dreieck, das sich ja jederzeit aus drei gleich langen Stäben bequem Herstellen läßt, ausgegangen. Die Winkel dieses Dreiecks lassen sich gerade sechsmal um einen Punkt herum zusammenlegen. Die so auftretende Sechsteilung hätte mit der sicher bereits vorhandenen Zehnerteilung (man denke nur an das beim Zählen bequemste Hilfsmittel: an unsere zehn Finger) zusammen zu einer Bevorzugung der Sechzig geführt, sodaß die weitere Unterteilung, um zu kleineren Stücken zu gelangen, in 60 Teile ausgeführt wurde. So hat sich bei eurem entlegener: Völkchen bis heute die Teilung des Tages in 60 Stunden erhalten. Die 60 Minuten einer Stunde und die 60 Sekunden einer Minute sind noch Zeugen jener alten babylonischen Vergangenheit. Man muß gestehen, daß 60 sehr geschickt gewählt war; beachten Sie nur, welche Zahlen alle in 60 teilbar sind!

Auch die ältesten Meßinstrumente dürften zur Zeitbestimmung gedient haben. Man kannte Sonnen-, Wasser- und Sanduhren. Anschließend daran hätte man die bei Gefäßen bestimmter Form verwendete Sandmenge als Gewichts- und die Kante des Gefäßes als Längeneinheit gewählt. Dieses erste grundlegende Längenmaß war wohl die Elle der Babylonier.

Am Ende des 16. Jahrhunderts trat ein wichtiger Wechsel ein: es wurden die Dezimalzahlen erfunden. Mit diesen trat die 10 in ihre uralten Rechte wieder ein an die Stelle der 60. Wenn auch sofort darauf hingewiesen wurde, daß gleichwie im Zahlensystem auch im Maßsystem die Teilung in sechs und drei Unterteile, die sich allmählich eingebürgert hatte, durch die Teilung in Zehntel ersetzt werden müsse, so sollten doch noch zwei Jahrhunderte vergehen, ehe jene immer wiederholte Forderung verwirklicht wurde. Erst die so vieles Alte vernichtende französische Revolution beseitigte am Ende des 18. Jahrhunderts das alte Maßsystem und setzte an seine Stelle als Grundmaß das Meter, damals bestimmt als der zehnmillionste Teil eines Erdquadranten. Nach abermals fast 100 Jahren folgten die meisten übrigen Länder Europas nach, so Deutschland im Jahre 1872. Nur England, die englisch sprechenden Länder und Rußland haben sich bis heute ausgeschlossen; in jenen ist die Verwendung des Metermaßes wenigstens gesetzlich erlaubt.

Doch die alte Messung des Meters hatte sich nicht als genau richtig erwiesen. Ja Neumessungen, die vermutlich immer besser würden, müßten jedesmal zu einer neuen Festlegung des Meters führen. Um dem zu entgehen, hat man sich entschlossen, das in Paris aus dem sehr kostbaren und haltbaren Metall Platin hergestellte ursprüngliche Metermaß ein für allemal als maßgebend anzuerkennen. Nach diesem ist für jedes Land ein Normalmaßstab angefertigt worden, der aus einer noch dauerhafteren Legierung von Platin mit Iridium besteht. So lautet denn heute die Antwort auf die Frage: was ist ein Meter? in Deutschland einfach so:

Ein Meter ist die Länge des von der Normal-Eichungskommission in Berlin aufbewahrten Normal-Meterstabes.

Wie schon erwähnt, haben sich Reste der alten Teilungen noch in unsere Zeit hinübergerettet. Mathematisch am fühlbarsten ist die Teilung des Kreises in 360 Grade und die weitere Unterteilung in Minuten und Sekunden?) Es wäre sehr zu wünschen, daß bald diese und auch einige andere Reste verschwinden. Vor allem ist aber der Ausschluß der oben genannten Länder bedauerlich.

Heute also gilt für uns das Meter, abgekürzt m, mit seinen 10 dm (Dezimetern), 100 cm (Zentimetern) und 1000 mm (Millimetern). Die übrigen Maße werden aus ihm abgeleitet. Zunächst die Flächenmaße. Zu dem Zwecke zeichnet man ein Quadrat, dessen Seiten je ein Meter lang sind. Diese Fläche heißt ein Quadratmeter, wieder abgekürzt 1 qm. Teilt man jede Seite des Quadratmeters in zehn gleiche Abschnitte und zieht, wie in Fig. 22, Parallelen zu den Seiten, so wird das ganze Quadrat, wovon man sich durch Abzählen unmittelbar überzeugen kann, in 100 gleiche Teile zerlegt. Die neuen kleinen Quadrate haben als Seite ein Dezimeter und heißen deshalb Quadratdezimeter (qdm). Wie wir sehen, hat ein Quadratmeter 100 Quadratdezimeter. Ebenso läßt sich ein Quadratdezimeter in 100 Quadratzentimeter (100 qcm) und ein Quadratzentimeter in 100 Quadratmillimeter (100 qmm) zerteilen.

Ganz allgemein kann man sagen: zerlegt man jede Quadratseite in drei Teile und zieht Parallelen zu den Seiten, so erhält man 3x3, also 9 neue Quadrate; zerlegt man in 7 Teile, so erhält man 7x7, also 49 neue Quadrate, u. s. f.

2. Der Begriff der Flächenmessung. Den Inhalt einer beliebigen Fläche ausmessen, heißt angeben, wie viele Quadrate von der gewählten Einheit in die^Fläche hineingelegt werden können.

In Fig. 23 ist irgendeine Fläche —————————— . auf quadratisch geteiltes Papier

3    1) Die Zeichen für Grade °, Mi-

TTTTTTTTTI

Fig. 22.

2, nuten ' nnb Sekunden " sind nichts , anderes als 0,1 und II; sie bedeuten ⁵ das O.te, das I.te und das Il.te Sech-b zigstel. Man schritt eben immer um X den sechzigsten Teil fort, die Zahlen o einfach nebeneinander schreibend, ge-Q nun wie heute bei den Dezimalzahlen y die folgende Zahl die Zehntel der 10 vorhergehenden bedeutet.

Vollständig ließ sich aber unsere Fläche nicht mit Quadraten bedecken; ja das gelingt genau nur in wenigen Fällen. Bei manchen geometrischen Figuren läßt sich wenigstens noch mit Zirkel und Lineal die Verwandlung ausführen in solche, die genau mit Quadraten bedeckt werden können. In allen diesen Fällen sagt man: die Quadratur, d. h. also das Bedecken mit Quadraten der Figur selbst oder einer genau gleich großen, aber wirklich gezeichneten, ist ausführbar. Meist muß man sich mit Annäherungen begnügen. Es sei aber ausdrücklich schon hier bemerkt, daß die ganze Frage praktisch ohne Bedeutung ist. Denn einerseits können wir, solange wir messen, immer nur mit gewisser Annäherung genau messen; andrerseits gibt es für jede irgendwie begrenzte Figur immer Mittel und Wege, um ihre Fläche, so genau es die Praxis verlangt, auch wirklich zu ermitteln.

gezeichnet. Zählen Sie nach, wie viele Quadrate in der Fläche liegen, und nehmen dabei die zum größeren Teile bedeckten Quadrate ganz, die zum kleineren Teile bedeckten dagegen garnicht mit, so werden Sie in guter Annäherung den Inhalt der Fläche erhalten. Die schraffierten Quadrate ergeben als Resultat: 77 qcm, wenn in der nicht verkleinerten Zeichnung die Quadratfeite 1 cm lang war.

3. Die geradlinig begrenzten Flächen. Wenn die Quadratur ausführbar ist, so pflegt die rechnerische Ermittlung des Flächeninhalts verhältnismäßig recht einfach zu sein. Wir beschäftigen uns daher zunächst mit diesen Figuren und beginnen mit dem Rechteck.

In Fig. 24 ist ein Rechteck ge-T~|    zeichnet. Haben Sie auf der

einen Seite 9 cm, auf der

l£

Stg. 24.

Fig. 23.

anderen 12 cm gemessen, so können Sie genau, wie oben beim Quadrat, unser Rechteck in 9 x 12 = 108 Quadratzentimeter zerlegen. Also haben wir den Inhalt des Rechtecks zu 108 qcm ermittelt. Meist wird freilich die Messung der Seiten nicht so einfache Ergebnisse liefern, wie oben. Auf der genauesten Zeichnung kann man mit bloßem Auge noch ^ mm ablesen. Ist das Rechteck der Fig.25 so genau gezeichnet gewesen, so werden Sie ablesen können 9,76 cm und 12,59 cm. Jetzt bedecken wir die Fläche mit Quadraten, indem wir nach jedem ^ mm Parallelen ziehen. Wie oben gezeigt wurde, ist das Flächenmaß jetzt ^ x ^ qmm. Da Sie 976 x 1259 Quadrate gezeichnet dachten, so ist der Flächeninhalt

976 x 1259 x ^ x ^ qmm oder 97,6 x 125,9 qmm oder auch 9,76 x 12,59 qcm.

Schon hier will ich auf eins Hinweisen: rechnet man nach dem gewöhnlichen Multiplikationsverfahren den Flächeninhalt genau aus, so gibt man viel zu genaue Resultate an. Nach unserer Messung können wir doch nur sagen, daß die Grundseite z. B. sicher größer als 9,75 cm und kleiner als 9,77 cm ist. Entsprechend ist die andere Seite sicher größer als 12,58 cm und kleiner als 12,60 cm. Darnach läßt sich über den ganzen Inhalt nur sagen, daß er sicher

9,75 x 12,58 qcm 9,77 x 12,60 qcm

größer als und kleiner als

ist. D.h. es kann ein schmaler Streifen, wie in Fig.25 angedeutet, sowohl hinzukommen als auch zuviel gemessen sein. Im vierten Vortrag werde ich auf die Frage zurückkommen und zeigen, wie sach-— gemäß zu rechnen ist.

12,59

Zusammenfassend können wir sagen: den Inhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Maßzahlen der Seiten miteinander multipliziert. Die Benennung ist gleich der Quadrateinheit, die der gewählten Längeneinheit entspricht.

In allgemeinen algebraischen Formeln hat man zu schreiben

J = a • b,

9,76

Fig.25.

wenn a und b die Maßzahlen der Seiten, beide in derselben Längeneinheit gemessen, bedeuten.

Unmittelbar wie das Rechteck läßt sich das Parallelogramm, ein Viereck mit parallelen Gegenseiten, berechnen. Fig. 26 zeigt Ihnen, wie man aus dem Parallelogramm ein Rechteck macht, indem man das Dreieck 1 links abschneidet und dafür rechts als Dreieck 2 wieder anlegt. Die Grundlinien des Rechtecks und des Parallelogramms sind gleich lang; dagegen führt die zweite Rechtecksseite im Parallelogramm den Namen Höhe. Darnach erhält man den Inhalt des Parallelogramms, wenn man die Maßzahlen von

kV

__J

Fig. 26.

Fig. 27.

Grundlinie und Höhe miteinander multipliziert. Also ist J = g • h, wenn g die Maßzahl der Grundlinie und h die der Höhe bedeutet.

Wir fragen uns hier, welche Seite sollen wir denn Grundlinie nennen? Halten Sie das Buch senkrecht vor sich, so ist nach dem gewöhnlichen Sprachgebrauch in Fig. 27 die Seite gx = 8,6 cm die Grundseite zu nennen, denn sie befindet sich eben unten. Drehen Sie dagegen das Buch seitlich herum, so können Sie erreichen, daß sich jetzt g₂ = 15,2 cm unten befindet, also als Grundlinie zu bezeichnen ist. Mit andern Worten können Sie jede Seite als Grundlinie wählen, müssen dann aber, um den Inhalt zu erhalten, mit der Maßzahl der zugehörigen Höhe multiplizieren. In der Fig. 27 ist deshalb der Inhalt des Parallelogramms

J = 8,6 x 14,0 = 15,2 x 7,9 ----- 120 qcm.

In Formeln ausgedrückt:

J = gl • hl = gä • h2-

Wieder ist angenommen, daß ein Zentimeter die Maßeinheit der ursprünglichen Figur war. In einem andern Falle könnte auch ein Dezimeter oder ein Meter u. s. f. gewählt sein. Nur, und das ist sehr wichtig, alle Sängen müssen mit demselben Einheitsmaße gemessen sein. Sonst würde man ja bei der Zerlegung auch garnicht Quadrate bekommen. Man darf also niemals eine Seite gemessen in Dezimetern und die andere gemessen in Millimetern miteinander multiplizieren. Wie sollte da wohl auch die Benennung lauten?

Die Berechnung von Rechteck, Parallelogramm usw. kann noch in ganz andrer Weise betrachtet werden. Ein Rechteck können Sie so entstanden denken, daß Sie die Grundlinie in Fig. 24 von 9 cm parallel mit sich um 12 cm senkrecht nach oben schieben. Die überstrichene Fläche ist dann offenbar gleich der Länge der erzeugenden Geraden multipliziert mit dem zurückgelegten Weg. Denn bei jeder Verschiebung um 1 cm entsteht eine Schicht von 9 qcm. Beachten Sie aber, daß Sie senkrecht nach oben verschieben müssen, damit wirklich Quadrate entstehen!

Jetzt gehen wir zur Fig. 28 über. Das Parallelogramm entsteht, wenn Sie die Grundlinie g parallel mit sich schräg aufwärts schieben. Damit die Jnhaltsberechnung itcid) der vorigen Betrachtung möglich

/6

Fig. 29.

F'g. 28.

ist, müssen Sie die Verschiebung stufenweise ausgeführt denken, indem. Sie zunächst senkrecht nach oben und dann seitlich schieben. Zur Fläche kommt immer nur etwas hinzu, wenn Sie senkrecht aufwärts schieben. Deshalb ist auch hier der Inhalt gleich dem Produkt aus der erzeugenden Geraden und dem in senkrechter Richtung zurückgelegten Weg. Ja diese Beziehung gilt überhaupt, wenn Sie eine gerade Linie parallel mit sich in irgendwelcher Richtung ver-schieben. In Fig. 29 habe ich Ihnen auch dafür noch ein Beispiel angedeutet. Natürlich braucht die Messung der erzeugenden Geraden nicht ganze Zentimeter zu ergeben, da Sie ebensogut z. B. immer um 1 Millimeter aufwärts schieben können, wenn die Länge in Millimetern gemessen war. Die Schichten bestehen dann eben aus Quadratmillimetern u. s. f.

Ein Dreieck ist immer die Hälfte eines Parallelogramms. Ja die Ergänzung zum Parallelogramm ist sogar in dreifacher Weise möglich, da das Dreieck, nach dem oben Gesagten, drei Grundlinien und drei Höhen hat. In Fig. 30 sind alle drei Ergänzungen mitgezeichnet.

Fig. 30.

Der: Inhalt berechnen wir genau wie beim Parallelogramm, nur müssen wir noch durch 2 dividieren, um die Hälfte zu erhalten. In Formeln heißt dies, es ist J = \ g • h.

Das oben gezeichnete Dreieck besitzt den Inhalt

J = | 7,0 x 8,8 = 31 qcm.

^=n,o

Wie das Parallelogramm hat auch das Trapez ein Paar paralleler Seiten, doch haben die beiden andernSeiten eine beliebige Neigung gegen die Parallelen.

^=17,6

Fig. 31.

17,6 + 14,0

In Fig. 31 ist ein Trapez gezeichnet und auch gleich in zwei Dreiecke zerlegt. Der Inhalt ist einfach gleich der Summe dieser beiden Dreiecke.

x 6,9 = 109 qcm.

j = -L 17,6 x 6,9 + 114,0 x 6,9 =

Hier multipliziert man also die halbe Summe der parallelen Seiten mit ihrem Abstand, in Formeln

j = a+c. h.

Man beachte wohl, daß die parallelen Seiten zu nehmen sind; das andere Seitenpaar würde eine ganz andere Regel ergeben.

Vieleck,

Hat man ein ganz beliebiges nur geradlinig begrenztes

Ut

____

Fig- 32.

wie in Fig. 32, so zerlegt man es in Dreiecke, berechnet den Inhalt eines jeden Dreiecks und addiert die Einzelergebnisse. Diese Summe ist dann der gesuchte Inhalt des ganzen Vielecks. Durch geschickte Zerlegung und Ausmessung läßt sich manche Vereinfachung erzielen. So kann man hier z. B. wie folgt rechnen:

9,5 + 7,2

J = 17,5 x 9,5 + 17,5 x 7,2 + 117,2 x 5,8 + f 17,2 x 4,7 x 7,5 +    x 17,2

= 153 qcm.

Im ganzen haben Sie erkannt, daß die Quadratur, wie wir es oben nannten, bei allen geradlinig begrenzten Flächen möglich ist. Ganz kurz will ich erwähnen, daß krummlinig begrenzte Flächen, deren Quadratur möglich ist, verhältnismäßig nur selten sind. Am bekanntesten unter ihnen ist wohl die Parabel. Da ist jeder von einer Sehne begrenzte Abschnitt % vom umschließenden Parallelogramm oder Rechteck. So liefert unsere Figur 33 das Resultat:

J =    9 x 6 = 36 qcm,

Fig. 33.

oder in Formeln J = a • b.

4. Der Kreis. Jahrhunderte- hindurch ist es ein Lieblingsthema der Mathematiker gewesen, die Quadratur des Kreises zu suchen.

Heute wissen mir, daß alles Mühen vergeblich bleiben mußte, weil eben die Quadratur des Kreises unmöglich ist. Man kann den Kreis nicht, wie die oben genannten Figuren, mit Zirkel und Lineal in ein gleich großes Quadrat verwandeln. Freilich ist der Beweis dieser Unmöglichkeit für den Mathematiker schon schwierig, für den Laien gar nicht verständlich. Deshalb gibt es immer noch Laien, die nicht an ihn glauben wollen, und munter weiter über die Quadratur des Kreises sich den Kopf zerbrechen. Ab und zu findet auch immer wieder einer von ihnen eine — natürlich falsche — Lösung des Problems, die er dann für teures Geld auf eigene Kosten drucken läßt, um zum Schluß ausgelacht zu werden.

Es sind häufig nicht die schlechtesten Köpfe, die sich an diese Arbeit heranmachen. Schade um die Zeit, die sie darauf verwenden.

Fig. 34.

Würde ihre Arbeitskraft auf vernünftige Fragen gelenkt, so könnte manch einer Tüchtiges leisten.

Ist der Radius

in Formeln

eines Kreises z. B. 10 cm lang, so besitzt der Kreis den Inhalt J = n x 10 x 10 = 314 qcm,

J = tt • r².

22

Jener griechische Buchstabe % (sprich pi) bedeutet nämlich eine eigenartige Zahl, die man auf beliebig viele Dezimalstellen genau (dreihundert sind schon berechnet worden) angeben kann, die aber deren unendlich viele besitzt. Es ist

71 = 3,1416 oder kurz annähernd 7t = ₇ •

Um die ganze Fruchtlosigkeit der Bemühungen, die Quadratur des Kreises zu finden, noch besonders hervorzuheben, will ich nur erwähnen, daß es näherungsweise sehr wohl gelingt, den Kreis in ein Rechteck und dann weiter in ein Quadrat zu verwandeln. Fig. 34 zeigt eine solche Lösung, die wohl nach der Figur selbst unmittelbar

ANuG 341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

verständlich ist. Wie die Ausrechnung zeigt, erhalten Sie hier statt 3,1416 die Zahl 3,1415. Darnach ist der Fehler so klein, daß er auch bei der genauesten Zeichnung keine Rolle mehr spielt. Würde also die Quadratur selbst ausführbar sein (was, wie ich ausdrücklich nochmals betone, als unmöglich bewiesen ist), so könnte man doch nicht mehr erreichen, als mit jener Zeichnung schon jetzt erreicht ist. Vielleicht schreckt diese Erkenntnis manchen von weiteren Versuchen ab. Die Praxis hat nicht einmal an solchen Näherungskonstruktionen erhebliches Interesse.

5. Über Projizieren und die Ausmessung der Ellipse. Hier will ich ein Verfahren einschalten, das in manchen Fällen bequem und leicht Inhalte zu berechnen gestattet: das Verfahren der Projektion. Vorweg bemerke ich, daß ich nur von der sogenannten senkrechten Parallelprojektion spreche. Eine im Raume befindliche Figur auf unser Zeichenblatt projizieren, heißt einfach die Figur Punkt für Punkt auf unsere ebene Zeichenfläche herunterloten. Praktisch wird man natürlich nur die Begrenzungslinien zeichnen. Das tut z. B. die Sonne, wenn sie im Sommer mittags senkrecht über uns steht. Halten Sie den Sonnenstrahlen ein Blatt Papier in den Weg, so ist der Schatten, den das Blatt auf den Erdboden wirft, seine Projektion. Darnach können Sie sich sehr leicht die Projektion eines Gegenstandes zeichnen, gerade so wie man vor der Erfindung der Photographie die Schattenrisse von Personen herstellte. Wenn Sie insbesondere den Schatten von einem ebenen Blatt Papier betrachten, so werden Sie ohne Mühe erkennen, daß der Flächeninhalt der Projektion, also des Schattens, meist kleiner und höchstens, bei paralleler Lage, gleich der Größe Ihres Papierblattes ist. Je mehr Sie das Blatt aus der parallelen Lage herausdrehen, um so kleiner wird seine Projektion. Bei senkrechter Lage zur Erde schrumpft der Schatten zu einer geraden Linie zusammen.

Jetzt wollen wir ein rechteckiges Stück Papier nehmen und, wie in Fig. 35 gezeichnet, so halten, daß die eine Seite des Rechtecks ihrer Projektion parallel bleibt. Die andere 5,5 cm lange Seite wird verkürzt und schrumpft zur Länge 5,0 cm zusammen. Die Flächeninhalte F des ursprünglichen Rechteckes und J seines Schattens sind:

F = 6 x 5,5 qcm und J = 6 x 5,0 qcm.

Die geneigten Seiten sind im Verhältnis genau so auch die Inhalte, denn es ist ja

verkürzt, aber

5^0 __ 10

5,5    11

Flächenmessung durch Projektion.

35

J _ 6 x 5,0 _ 5,0 _ 10 F 6 x 5,5    5,5 ~ 11

ÜJtan beachte aber, daß zwei Rechtecksseiten parallel geblieben sind. Jedenfalls ist die Größe der Projektion

COS Ci —

Mit Benutzung des Winkels a, unter dem das Rechteck gegen die Zeichenebene geneigt ist, lautet die Beziehung, da 5,0 ^

J = F • cos a.

i/

Eine Anwendung dieses Verfahrens führt zur Berechnung des Flächeninhalts von der Ellipse.

S,o

Fig. 35.

Diesmal projizieren wir wie in Fig. 36 einen Kreis, den wir uns auf Millimeterpapier gezeichnet denken. Dabei halten wir das Millimeterpapier so, daß die eine Schar der Teilungsgeraden zur Zeichenebene parallel bleibt. Die Projektion eines Kreises ist, wie Ihnen sein Schatten sofort zeigen würde, eine Ellipse. Ein Kreisdurchmesser von der Länge 2 a bleibt auch der Ellipse als große Achse erhalten. Es ist das der Durchmesser, der mit einer Teilungsgeraden jener Parallelenschar zusammenfällt. Der dazu senkrechte Durchmesser, der auch in der Projektion senkrecht bleibt, wird am stärksten verkürzt und wird so zur kleinen Achse 2b der Ellipse.

Fig. 36.

Bei der von uns gewählten Lage, die sich ja immer durch Drehen des Kreises erreichen läßt,

wird jedes Quadrat im gleichen Maße verkleinert. Darnach aber erfährt auch die ganze Kreisfläche, die wir beliebig genau mit kleinen Quadraten bedecken könnten (man könnte die Quadratmillimeter des Papiers natürlich noch weiter teilen), dieselbe Verkleinerung. Also ist hier, ganz entsprechend dem oben gefundenen Ergebnis

E“§i!K'

wo E den Ellipseninhalt und K den Kreisinhalt bedeuten. Dieser ist aber, wie ebenfalls oben gezeigt, K = n a², so daß man schließlich erhält

E = |^«a² = rtab.

v. Die Methode der Wägung und der Abzählung. Wie sollen wir aber eine Fläche ausmessen, die irgendeine unregelmäßige Begrenzung besitzt? In solchem Falle können nur Methoden angegeben werden, die näherungsweise mehr oder minder gute Ergebnisse liefern.

Ein sehr einfaches und nicht schlechtes Verfahren besteht darin, daß man die zu messende Fläche auf starken Pappkarton aufzeichnet, ausschneidet und dann abwägt. Bei der Wägung mögen Sie z. B. das Gewicht 45 g ermittelt haben. Darauf schneiden Sie aus demselben Pappkarton 1 qdm heraus und stellen sein Gewicht z. B. zu 18 g fest. Sie wissen jetzt, daß die gesuchte Fläche. 45 :18= 2,5 mal so schwer ist als ein Quadratdezimeter. Da aber' beide Flächen aus demselben Karton ausgeschnitten wurden, so muß die gesuchte Fläche auch 2,5 mal so groß sein als ein Quadratdezimeter. Also ist der gesuchte Inhalt 2,5 qdm.

Ein brauchbares Ergebnis erhält man freilich nur, wenn die Fläche einigermaßen groß ist. Sonst würden die beim Ausschneiden und Abwägen unvermeidlichen Fehler zu großen Einfluß gewinnen.

Hierher gehört auch die schon oben beschriebene Ausmessung einer Fläche, indem man sie auf Millimeterpapier aufzeichnet und die in der Fläche liegenden Quadrate, sei es die Quadratzentimeter oder die Quadratmillimeter, abzählt. Die Resultate sind ebenfalls durchaus brauchbar, nur ist das Verfahren im allgemeinen recht mühsam.

7. Die Trapezregel. Schon oben hatte ich erwähnt, daß die Flächen, deren Quadratur ausführbar ist, in gewisser Beziehung bevorzugt sind: ihr Inhalt läßt sich rechnerisch einfach ermitteln.

In erster Linie konnten wir die geradlinig begrenzten Flächen hervorheben, in zweiter die Parabel. Das legt uns den Gedanken nahe, die Ausmessung der Flächen zu versuchen, indem wir sie möglichst gut durch geradlinig begrenzte ersetzen oder durch solche, deren Begrenzung von Parabelbögen gebildet wird. Darnach erhalten wir wirklich zwei Regeln zur Inhaltsbestimmung beliebiger Flächenstücke: die Trapezregel und die Simpsonsche Regel.

Zuerst will ich Ihnen die Trapezregel darstellen. Hat die Fläche der Fig. 37 als eine Begrenzungslinie eine Kurve, d. h. irgendeine krumme Linie, so zerlegt man die ganze Fläche in beliebig viele überall lgleich breite Streifen. In jedem Streifen für sich ersetzen wir das Kurvenstückchen durch eine geradlinige Verbindung der Endpunkte, also durch eine Sehne. Dann betrachten wir jeden Streifen als ein geradlinig begrenztes Trapez. Ein Blick auf die Zeichnung belehrt uns, daß der Fehler nicht sehr groß werden kann: nur wenige Sehnen ließen sich getrennt von der Kurve zeichnen.

Um die Ausrechnung durchzuführen, mißt man die sämtlichen Ordinaten, die parallelen Strecken, nach und ebenso die überall gleiche Breite der Streifen. Die Ergebnisse der Messung sind in die Figur eingetragen. Jetzt berechnen wir Streifen für Streifen, wie wir es oben beim Trapez gelernt haben; d.h. wir multiplizieren die halbe Summe der parallelen Seiten mit ihrem Abstand. Dabei brauchen wir mit dem Abstand, da er bei allen Trapezen der gleiche ist, nur einmal zu multiplizieren. Das gibt:

j ₌ i 5 ^8,2+ 9,9 ^ 9,9 + 10,8 ^ 10,8+11,4

11,4 + 11,2 , 11,2 + 11,6'

Jede Ordinate kommt zweimal vor, nur nicht die erste und die letzte. Fassen wir deshalb die ^ beiden halben Ordinaten jedesmal zu einer ganzen zusammen, so bleibt:

TW

±u_

iS iS iS

^ >-II * H*

iS iS iS

h —1.5

gig. 37.

J = 1,5    + 9,9 + 10,8 + 11,4 + ...

+ 11,4 + 11,2)

Das ganze Verfahren ist zusammengefaßt dies:

Man addiert sämtliche Ordinaten außer der ersten und der letzten, zur Summe fügt man die Hälfte der ersten und die Hälfte der letzten Ordinate hinzu und multipliziert zum Schluß mit der Breite der Streifen.

In unserem Beispiel sieht die Berechnung dann so aus:

9,9

+ 10,8 + 11,4 . + 11,7 + 11,9 + 11,8 + 11,6 + 11,4 + 11,2

x 1,

1116

5580

167,40

07 LG

Ergebnis: J = 167 qcm.

, =+ 5,8

111,6

Bezeichnet man die Ordinaten der Reihe nach mit y₀, y1; y₂ u. s. f. und die Streifenbreite mit h, so lautet die allgemeine Formel:

J =h (?0t‘¹⁰ + Yi + y2 + y₃ + • • • + y₈ + y₉)

Man könnte meinen, das Ergebnis würde immer genauer werden, je enger man nur die Streifen wählt. Bis zu einem gewissen Grade ist das auch sicherlich der Fall. Bedenkt man aber, daß die Ordinaten mit dem gewöhnlichen Maßstab abgemessen werden, und daß auch die Zeichnung selbst nicht absolut genau sein kann, so wird man einsehen, daß schon diese Ungenauigkeiten Fehler bedingen, die natürlich nicht beseitigt werden können, auch wenn man noch so viele Streifen zieht. Aus diesen Gründen begnügt man sich in der Regel mit zehn Streifen z. B. bei der Berechnung des Dampfdruckdiagramms. Nur bei großen Flächen geht man über diese Zahl hinaus.

8. Die Simpsonsche Regel. Noch günstiger als soeben werden meist die Ergebnisse, wenn man sich einer Regel bedient, die nach einem englischen Mathematiker Simpson, der sie zuerst angab, benannt worden ist. Die ganze Fläche teilt man geradeso wie vorher

in Streifen ein, aber man faßt je zwei Streifen, wie Sie es in der Fignr 38 dnrch Schraffiernng angedentet sehen, znsammen. Jeder Doppelstreifen enthält drei Ordinatenendpnnkte, durch die man sich je eine Parabel gelegt denkt, deren Achse zu den Ordinaten parallel ist. Wenn Sie jeden Doppelstreifen aus einem Trapez und einem Parabelabschnitt, der wie oben angegeben zu berechnen ist, zusammensetzen, so können Sie leicht mathematisch genau die folgende Rechenregel bestätigen. Es wird nämlich

1,9 (

2,0 + 4x5,2 + 7,4 , 7,4 + 4 x 8,5 + 9,2

12,1 + 4x12,0+11,7

Statt jeden Bruch in der Klammer durch 6 zu dividieren, dividiert man jeden in der Regel nur dnrch 2 und nimmt dafür 3 einmal vor die Klam-mer in den Nenner. //mWk Man sieht, daß die erste unb letzte Or-    MMm

dmate nur je em-

mal, die zweite, ^/|« vierte, sechste u. s.f. Jmd7m//////,

Fig. 38.

Ordinate auch nur je einmal aber mit 4 multipliziert und die dritte, fünfte, siebente u.s. f. Ordinate je zweimal vorkommen. Deshalb kann man so zusammenfassen, wenn man noch den Nenner 2 nicht vergißt:

, _ 2x1,9/2,0 + 11,7 3 V 2

+ 7,4 + 9,2 + 11,5 + 12,1 + 2 [5,2 + 8,5 + 10,7 + 12,0 + 12,0])

Also lautet hier die Regel:

Man addiert die Hälften der ersten und letzten Ordinaten, dazu alle übrigen ungeradzahligen Ordinaten und dazu das Doppelte der geradzahligen Ordinaten. Diese Summe multipliziert man mit der doppelten Streifenbreite und dividiert zum Schluß durch drei.

Darnach sieht in unserem Beispiel die Ausrechnung so aus:

i 2,0 =

1,0

143,85

x 3,8

43155

115080

+ 1 11,7 = + 5,85 + 7,4 + 9,2 + 11,5 + 12,1

546,630 : 3 = 182,21

Ergebnis: J — 182 qcm

+ 2 x 5,2 = + 10,4 + 2 x 8,5 = + 17,0 + 2 x 10,7 = + 21,4 + 2 x 12,0 = + 24,0 + 2 x 12,0 = + 24,0 143Z5

Wählt man hier dieselben Buchstabenbezeichnungen wie oben, so lautet die allgemeine Formel der Simpsonschen Regel:

J =    + y₂ + y₄ + y₆ + y₈ +² (Yi + y₃ + yB

+ y₇ + y₉)}

Das Verfahren liefert im allgemeinen bessere Ergebnisse als die Trapezregel,    weil die Parabeln

Fig. 39.

sich meist der Kurve noch mehr anschmiegen, als die Sehnen. Eine solche Parabel ist, damit sie deutlich sichtbar    wird, an sehr un

günstiger Stelle in der Fig. 38 gezeichnet. Xtber die Anzahl der Streifen gilt genau das bei der Trapezregel Gesagte. Zu beachten ist nur, daß hier immer eine gerade Anzahl von Streifen gewählt werden muß.

Hat man eine Fläche zu berechnen, die allseitig krummlinig begrenzt ist, so kann man auch noch unsere Regeln benutzen. Man zieht zu dem Zwecke irgendeine Hilfsachse und zwei Grenzordinaten, wie Fig. 39 zeigt, und berechnet zuerst die von ihnen und dem oberen Kurventeil eingeschlossene Fläche. Davon zieht man die durch dieselben Ordinaten,    durch    die Achse und durch    den unteren Teil der

Kurve begrenzte    Fläche    ab.    Als Rest erhält    man wirklich den nur

von der Kurve eingeschlossenen Teil. In der Figur sind die zu berechnenden Flächenteile durch verschiedene Schraffierung angedeutet.

9. Das Polarplanimeter. Nach allen bisherigen Verfahren kamen wir auf rechnerischem Wege zum Ziel. Viel einfacher und schneller arbeitet man, wenn man einen Apparat benutzt, der rein mechanisch den Flächeninhalt ermittelt. Für diesen Zweck am gebräuchlichsten ist das sogenannte Polarplanimeter, das im Jahre 1854 von einem Mechaniker A msler konstruiert wurde. Die Theorie dieses Instrumentes will ich Ihnen an der Fig. 40 erklären.

JVy

’i

Fig. 40.

rechts, daß seine Endpunkte ständig auf ihren Kurven bleiben. Zum vollen Verständnis ist es nötig, daß Sie die Bewegung an der Figur wirklich einmal ausführen. Haben Sie den unteren Teil durchlaufen, so kommt nunmehr der obere an die Reihe. Jetzt aber bewegen Sie den Stab nach links hin, bis er zur Anfangslage zurückkehrt. Dieser Stab, Fahrstrahl genannt, ist in der Figur in einer ganzen Reihe aufeinanderfolgender Lagen eingezeichnet.

Jetzt wollen wir die Verabredung treffen: bewegt sich der Fahrstrahl nach rechts, so soll die überstrichene Fläche positiv, bewegt er sich dagegen nach links, so soll die Fläche negativ gerechnet werden?)

Wir haben dort einen Flächenteil, der von einer Kurve / rings umschlossen ist, und einen Kreisbogen. Statt des Kreisbogens könnte irgendein beliebiges Kurvenstück gewählt sein; bei der praktischen Ausführung des Planimeters läßt sich jedoch ein Kreisbogen am einfachsten verwirklichen. Einen Punkt des Kreisbogens verbinden wir mit einem beliebigen Punkt der Kurve durch einen festen Stab, den wir in diesen Punkten abschneiden. Zu Anfang möge etwa der Stab die Lage des stärker gezeichneten Strahles haben, der den Körper R, über den wir später sprechen werden, trägt. Jetzt bewegen Sie diesen Stab so zunächst nach

1) Hier ist rechts und links natürlich nur in bezug auf unsere Figur aufzufassen. Hat die Figur irgendeine beliebige Lage, so muß man sagen: bei der Bewegung in einer Richtung positiv und in der entgegengesetzten negativ.

Dieser Verabredung gemäß sind Pfeilrichtungen in die Figur eingezeichnet. Sie sehen, daß die von der Kurve eingeschlossene Fläche nur positiv, der andere überstrichene Flächenteil dagegen positiv und negativ überfahren wird; er fällt daher ganz fort.

Sehen wir einmal genauer zu, wie sich der Fahrstrahl bewegt, wenn er z. B. aus der stärker gezeichneten Lage 1 in die ebenfalls hervorgehobene benachbarte Lage 2 übergeht. Das können wir so machen, wie es in der Nebenfigur gezeichnet ist. Darnach ersetzen wir die Bewegung durch eine Parallelverschiebung und eine Drehung. Wir schieben nämlich den Fahrstrahl 1 zunächst in der Pfeilrichtung ein wenig nach oben. Dann verschieben wir ihn ebenfalls in der Pfeilrichtung seitlich in die gestrichelte, parallele Lage hinein. Endlich drehen wir ihn noch um einen kleinen Winkel, so daß er in die Lage 2 gelangt.

Sind die Fahrstrahlen 1 und 2 nahe genug beieinander gewählt, so werden wir sagen können, daß der überstrichene Flächenteil ebenso groß ist, wie das Rechteck zusammen mit dem durch die Drehung gebildeten Kreisausschnitt. Bei wirklich benachbarter Lage wird das oben hinzugekommene Flächenstückchen sich so wenig von dem unten weggefallenen unterscheiden, daß wir uns um diesen kleinen Unterschied nicht zu kümmern brauchen.

Die Kreisausschnitte aber müssen im ganzen auch wieder wegfallen. Ihre Größe ist ja außer durch die Länge des Fahrstrahls, die immer gleich bleibt, nur durch die Winkelgrößen bestimmt. Da Sie aber mit dem Fahrstrahl zum Schluß wieder in die Anfangslage zurückkehren, so müssen Sie ihn doch genau so weit wieder nach links zurückdrehen, wie Sie ihn anfangs nach rechts herausdrehen. In Übereinstimmung mit unserer oben festgelegten Verabredung müssen wir aber Rechtsdrehung positiv, Linksdrehung negativ rechnen. Also heben sich die Drehungen tatsächlich gegenseitig auf.

Es bleiben nur die Rechtecke übrig. Ihre Größe ist gleich dem Produkt aus der Länge des Fahrstrahls multipliziert mit all den seitlichen Verschiebungen zusammengenommen. Wieder ist eine Verschiebung nach rechts dabei positiv, eine nach links negativ zu rechnen.

Zusammengefaßt ist also das Ergebnis: wenn wir nur imstande sind, die seitlichen Verschiebungen zu messen, dann können wir auch die gesuchte Flächengröße angeben.

Das leistet aber die am Fahrstrahl befestigte Rolle E. Auf dieser ist einfach eine Teilung angebracht, auf der Sie ablesen, welcher Weg von ihr bei der ganzen Bewegung des Fahrstrahles zurückgelegt ist. Wirklich wird auch bei der Verschiebung und Drehung nach links der Weg negativ gerechnet, denn die Rolle wird ja notwendig im entgegengesetzten Sinne gedreht, wie vorher, läuft also einfach das entsprechende Stück wieder zurück.

In Fig. 41 sehen Sie ein Bild desAmslerschen Polarplanimeters selbst. Links trägt der Fahrstrahl die Rolle, rechts einen Stift, den man auf der Kurve entlang führen muß. Damit das andere Ende des Fahrstrahls einen Kreisbogen beschreibt, ist es drehbar an einer Stange befestigt. Diese Stange trägt am Ende eine Spitze, die durch ein Gewicht beschwert ist, und deshalb während der ganzen Messung festliegt. Der Rollenumfang ist in hundert gleiche Abschnitte geteilt. Zur Berechnung des zurückgelegten Weges müßte man noch den Durchmesser der Rolle kennen. Bei gewöhnlichen Apparaten, die nur eine bestimmte Stangenlänge besitzen, sind aber Rollendurchmesser und Stangenlänge so gewählt, daß die auf der Rolle abgelesene Zahl unmittelbar den Flächeninhalt in Quadratzentimetern angibt. Bei besseren Apparaten, wie z. B. bei dem hier abgebildeten, läßt sich die Stangenlänge verändern. Dann hat man Marken auf der Stange angegeben, bis zu denen einzustellen ist; gleichzeitig steht daneben die Konstante, mit der die abgelesene Zahl zu multiplizieren ist, um den Flächeninhalt zu erhalten. Die ganzen Umdrehungen der Rolle werden an einem besonderen Zählwerk abgelesen.

Unser Apparat findet vielfache Verwendung. In der Geographie bestimmt man mit ihm Ländergrößen, in der Technik die Inhalte von Dampfdruckdiagrammen und vieles andere u.s.f. Leider ist der

/--P

Fig- 41.

Apparat recht teuer. In einfachster Ausführung kostet er ungefähr 30 M., in besserer doch mindestens ungefähr 60 M. Seinen Namen Polarplanimeter erhielt er von jenem Gewichtsteil, um den er sich dreht, und der Pol des Planimeters genannt wird. Wollen Sie seine Theorie und Handhabung recht verstehen, so müssen Sie ihn vor allem einmal selbst in die Hand nehmen und mit ihm arbeiten.

Es sei hier noch folgendes erwähnt. Bei der Berechnung des Dampfdruckdiagramms braucht man hauptsächlich die sogenannte mittlere Höhe desselben, also den mittleren Dampfdruck im Zylinder. Zeichnet man über der Breite des Diagramms ein Rechteck, dessen Höhe gleich der mittleren Höhe ist, so besitzt das Rechteck gleichen Inhalt mit dem Diagramm. Praktisch ermittelt man die mittlere Höhe, indem man die Länge des Fahrstrahls gleich der Breite des Diagramms macht. An dem Planimeter sehen Sie zwei Spitzen auf dem Fahrstrahl angebracht, deren Abstand immer genau gleich der Länge des Fahrstrahls ist. Da ganz allgemein der Flächeninhalt gleich dem Produkt aus Fahrstrahllänge mal Verschiebung ist, so muß bei unserer Wahl die Verschiebung gleich der mittleren Höhe sein. Also braucht man nach dem Umfahren des Diagramms wieder nur auf der Rolle abzulesen und diesmal mit einer nur vom Rollendurchmesser abhängigen Zahl z. B. 0,6 oder dergl., die jedem Apparat beigegeben ist, zu multiplizieren, um unmittelbar den mittleren Dampfdruck zu erhalten.

10. Das Slangenplanimeter von Prhtz. Wesentlich einfacher und billiger — es kostet ungefähr 12 M. — ist ein Planimeter, das von H. Prytz in Kopenhagens erfunden wurde. Fig. 42 zeigt ein Bild des Apparates. Er besteht aus einer Stange, die am einen Ende eine Spitze, am andern eine keilförmige Erweiterung trägt.

1) Zu beziehen von der Firma Cornelius Knud sen, Kopenhagen.

Es sind noch eine Reihe ähnlicher Konstruktionen von anderen Firmen in den Handel gebracht worden.

Fig. 42.

In der Arbeit: Sachs. Ein kalibriertes Stangenplanimeter. Zeitschrift für praktischen Maschinenbau (American Machinist) 1910 S. 1152, findet sich ein hübsches Verfahren angegeben, aus einem gewöhnlichen Radier-^-äS38S Messer ein gut brauchbares j Planimeter herzustellen.

Der Abstaud von Mitte Keil bis zur Spitze ist 25 cm lang. Die auszumessende Figur darf auf keinen Fall einen größeren Durchmesser als die halbe Länge des Planimeters besitzen. Die Messung geschieht in folgender Weise: man schätzt die Lage des Schwerpunktes ab und setzt die Spitze in ihm ein. Durch leichten Druck markiert man die Anfangslage des Keils. Dann umfährt man, wie in der Figur angedeutet ist, die Fläche, bis man wieder zum Ausgangspunkte zurückkommt, und markiert wieder die Stellung des Keils, der beim Umfahren der Fläche sich vollständig selbst überlassen blieb. Das Produkt aus dem Abstand der Marken multipliziert mit der Länge des Planimeters ist der gesuchte Flächeninhalt.

Die Theorie dieses Stangenplanimeters ist wesentlich schwieriger als die des Polarplanimeters und muß hier weggelassen werden. Die gefundenen Werte sind überdies nur Näherungswerte, so daß die Ergebnisse höchstens auf ein Prozent genau werden. Das Ergebnis wird verbessert, indem man die Zeichenebene um 180° dreht und die Fläche in umgekehrter Richtung umfahrend das Verfahren wiederholt. Der Mittelwert aus beiden Messungen liefert ein genaueres Resultat. Der Vorzug dieses Planimeters besteht in seiner großen Billigkeit, dafür kann er aber auch nur gebraucht werden, wenn geringe Genauigkeit verlangt wird.

III. Vortrag.

Körpermessung.

Die Körpermessung findet zwar weniger zahlreiche Verwendung als die Flächenmessung, steht dieser aber an Wichtigkeit kaum nach. In den weitaus meisten Fällen handelt es sich darum, im voraus zu ermitteln, welches Gewicht ein Körper besitzen wird, den man herzustellen hat. Zu diesem Zwecke finden Sie zunächst in Tabellen für jedes Material das sogenannte spezifische Gewicht angegeben, d. i. das Gewicht einer Volumeneinheit des betreffenden Materials. So besitzt z. B. Kupfer das spezifische Gewicht 8,9, das soll heißen 1 Kubikmeter Kupfer wiegt 8,9 Tonnen (t);

1 Kubikdezimeter wiegt 8,9 Kilogramm (kg);

1 Kubikzentimeter wiegt 8,9 Gramm (g).

Ermittelt man durch Rechnung, daß eine kupferne Platte 56 Kubikdezimeter Inhalt haben wird, so weiß man, daß ihr Gewicht

55 mal so groß sein wird, als das Gewicht von einem Kubikdezimeter, also 55 x 8,9 Kilogramm. In Formeln schreibt man

G = V • s,

wo G das Gewicht, V den Körperinhalt öden das Volumen und 8 das spezifische Gewicht bedeuten.

1.    Die Körpermaße. Ich habe vorhin schon vorgegriffen, indem ich Ihnen die Namen der Körpermaße nannte. Auch hier benutzte man ursprünglich Maße, die dem Sexagesimalsystem angepaßt waren. Scheffel, Metze, Lot sind alte Beispiele solcher. Jetzt ist das Grundmaß ein Würfel, dessen Kantenlänge ein Meter ist, dies Maß heißt ein Kubikmeter, 1 cbm. Zerlegt man alle Seitenflächen

Fig. 43.

in Quadratdezimeter und baut darauf Würfel auf mit der neuen Kantenlänge von einem Dezimeter, bis das Kubikmeter ganz erfüllt ist, so erhält man in jeder Schicht hundert und da, wie Ihnen Fig. 43 zeigt, zehn Schichten übereinander liegen, im ganzen tausend der neuen Körpermaße, die man Kubikdezimeter (cdm) oder Liter (1) nennt. (Hundert Liter heißen auch ein Hektoliter (bl), so daß ein Kubikmeter zehn Hektoliter enthält.) Dies Maß läßt sich genau entsprechend in tausend Kubikzentimeter (ccm), und dieses wieder in tausend Kubikmillimeter (cmm) zerlegen. Ein Stecknadelknopf hat etwa die Größe von einem Kubikmillimeter.

2.    Der Begriff der Körpermessung. Den Inhalt oder das Volumen eines beliebigen Körpers ausmessen, heißt angeben, wieviele Würfel von der gewählten Einheit in den Körper hineingelegt werden können.

Das wird praktisch selten genug möglich sein. Es genügt, wenn man nur weiß, wie viele Einheitswürfel zusammen dasselbe Volumen ausmachen, wie es der beliebige Körper besitzt. Dabei können Sie die Würfel aus demselben Material wie den Körper hergestellt denken, um durch Abwägen, so genau es eben die Wage gestattet, festzustellen, wann das gleiche Volumen vorhanden ist.

3. Quader, Prisma, Umdrehungskörper. Wirklich ausmessen durch Hineinpacken von Würfeln können Sie den Quader. Das ist ein auf einem Rechteck aufgebauter Körper, dessen Seiten sämtlich wieder Rechtecke sind. Ein Ziegelstein hat z. B. diese Gestalt. In Fig. 44 ergab die Messung der drei Seiten 4 cm, 3 cm und 7 cm. Daher kann ich jede horizontale Schicht mit 3 x 4 = 12 Würfeln bedecken, und, da sieben Schichten vorhanden sind, so enthält der ganze Körper 3 x 4 x 7 = 84 ccm. Die Messung der Seiten wird nur selten so einfach aufgehen. Im allgemeinen muß man so genau wie möglich etwa bis auf V₁₀ mm nachmessen und dementsprechend kleine Würfel wählen. Haben Sie auf diese Weise in einem andern Beispiel die Seitenlängen 4,282 dm, 5,793 dm und 7,945 dm erhalten, so ist eben der Inhalt

V ---- 4,282 x 5,793 x 7,945 cdm.

Wieder beachten Sie, daß nicht etwa alle berechneten Dezimalstellen wirklich brauchbar sind. Vielmehr kann man auch hier nur sagen, daß der Inhalt sicher ^ größer als

4,281 x 5,792 x 7,944 cdm aber auch sicher kleiner als

4,283 x 5,794 x 7,946 cdm

Fig. 44.

sein wird. Im vierten Vortrage werde ich Ihnen zeigen, wie man deshalb praktisch zu rechnen hat.

Das Ergebnis wäre also dies: man berechnet den Inhalt des Quaders, indem man die Maßzahlen der drei Kanten, Länge, Breite und Höhe, ermittelt und miteinander multipliziert. In Formeln:

V = a • b • c.

Alle drei Kanten müssen mit derselben Längeneinheit gemessen sein, durch welche die Benennung des Volumens gleichzeitig bestimmt ist.

Zu unserm Ergebnis können wir noch auf einem anderen Wege gelangen, der nachher nützlich sein wird. Sie können nämlich den Quader der Fig. 44 auch so entstanden denken, daß Sie die rechteckige Grundfläche um 7 cm senkrecht nach oben schieben. Dann ist aber der Inhalt sofort gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Grundfläche mal dem zurückgelegten Weg. Denn wenn der Weg von 1 cm zurückgelegt ist, dann ist eine Würfelschicht erzeugt,

also nach 7 cm Weg auch 7 Würfelschichten. Beachten Sie aber, daß wir senkrecht nach oben verschieben müssen, damit Würfel auch wirklich entstehen.

Auf Grund dieser Überlegung können Sie die Inhalte aller sogenannten geraden Prismen finden, d. h. von Körpern, die dadurch entstehen, daß man irgendeine Fläche senkrecht zu sich selbst verschiebt. Jedesmal ist der Inhalt gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt multipliziert mit dem zurückgelegten Weg. Dieser zurückgelegte Weg wird auch Höhe des Körpers genannt. In Formeln schreibt man

V==G • h,

wo G die Grundfläche und h die Höhe bedeutet.

In Fig. 45 ist ein gerader Kreiszylinder gezeichnet, der offenbar zu den genannten Körpern gehört. Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Inhalt bekanntlich tct² ist. Deshalb ist das Volumen des geraden Kreiszylinders:

V = 7rr²h.

Hier können Sie leicht den Mantel des Körpers berechnen, das ist die krumme Seitenfläche, die die Kreislinie bei der Bewegung beschreibt. Schneidet man diesen Mantel senkrecht auf und breitet ihn wie in Fig. 46 in der Ebene aus, so bildet er ein Rechteck, dessen Grundlinie gleich dem Kreisumfang also 2 % r und dessen Höhe

Fig. 45.

2nz Fig- 46.

zugleich die Zylinderhöhe ist. Nach der Jnhaltsformel des Rechtecks erhält man so

V = 2 n r h.

Wie aber, wenn die Grundfläche zwar auch noch parallel aber schräg aufwärts verschoben wird? Dann helfen wir uns, indem wir stufenweise zunächst senkrecht aufwärts, dann aber jedesmal wieder seitlich in die richtige Lage hinein schieben, wie es in Fig. 47 gezeigt ist. Zum Körperinhalt kommt immer nur etwas hinzu, wenn wir senkrecht aufwärts bewegen, so daß auch jetzt der Körperinhalt gleich dem

Produkt aus dem Inhalt der Grundfläche mal der Höhe, d.h. also mal denr senkrechten Abstand der Grund- und Deckfläche, wird. Freilich haben wir bei der stufenweisen Bewegung den Körper ja nicht genau erzeugt. Wählen Sie aber die Stufen niedrig genug, indem Sie den Körper z. B. aus Papierblättern aufschichten, dann wird der Fehler so klein, daß er nicht mehr in Betracht kommt.

XV

Fig. 47.

Fig. 48.

Ganz ähnlich wie soeben können wir die Umdrehungskörper behandeln. In Fig. 48 ist ein Schnitt durch einen solchen gezeichnet, der durch Umdrehung des schraffierten Rechtecks um die Mittelachse entstanden ist. Wenn Sie das Rechteck durch die senkrechte Linie a—b in zwei kongruente Teile zerlegen, so erkennen Sie, daß der äußere Teil einen wesentlich größeren Teil des Körpers erzeugt, als der innere. Würden Sie das außen mehr Erzeugte innen zulegen, dann bekämen Sie gerade ein Prisma, d. h. einen Körper, als hätten Sie das Rechteck senkrecht zu sich selbst um das Stück verschoben, das die Linie a—b bei der Umdrehung zurückgelegt hat. Die Linie a—b, oder auch der Mittelpunkt des Rechtecks, hat einen Kreis beschrieben. Daher ist der Inhalt des Umdrehungskörpers gleich dem Produkt aus dem Inhalt des Rechtecks multipliziert mit dem Weg des Mittelpunktes (offenbar braucht man das Rechteck nicht einmal ganz herumzudrehen, unsere Betrachtung gilt auch, wenn nur ein Teil der Kreisbahn zurückgelegt ist). Wählen Sie statt des Rechtecks eine beliebige andere Fläche, die einen Mittelpunkt besitzt, z. B. einen Kreis oder eine Ellipse, so ändert sich nichts an unserer Überlegung.

Ist die erzeugende Fläche von beliebiger Gestalt, so können Sie sie auf Millimeterpapier gezeichnet denken. Dann beschreibt jedes

ANuG 341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

bet bedeckten Quadrate einen Körper, dessen Inhalt, wie oben gezeigt, berechnet werden kann. Aber die Mittelpunkte der außer: liegenden Quadrate beschreiben größere, die der innen liegenden kleinere Wege. Statt einen Teil der Quadrate mit den größeren und einen Teil mit den kleineren Wegen zu multiplizieren, kann man sie alle zusammen, also auch den ganzen Flächeninhalt, mit dem mittleren Wege multiplizieren. Der Punkt, der diesen mittleren Weg beschreibt, wird der Schwerpunkt der Fläche genannt. Es würde uns zu weit führen, wenn wir hier davon sprechen wollten, wie man diesen Schwerpunkt mathematisch ermittelt. Annähernd kann man ihn finden, wenn man die Fläche aus Pappe ausschneidet und versucht, sie auf einer Nadelspitze schwebend ins Gleichgewicht zu bekommen. Da, wo in diesem Falle die Nadelspitze die Fläche trägt, liegt der Schwerpunkt. Besitzt eine Fläche einen Mittelpunkt, so ist dieser gleichzeitig der Schwerpunkt.

Die geschilderte Methode zur Berechnung vom Volumen der Umdrehungskörper heißt die Guldinsche Regel. Sie läßt sich kurz so aussprechen:

Der Inhalt eines Umdrehungskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der erzeugenden Fläche multipliziert mit dem Weg, den der Schwerpunkt der Fläche bei der Umdrehung zurückgelegt hat.

Durch ganz entsprechende Betrachtungen erhält man unmittelbar die zweite Guldinsche Regel für die Berechnung der Oberfläche des Umdrehungskörpers:

Die Oberfläche eines Umdrehungskörpers ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie multipliziert mit dem Weg, den der Schwerpunkt der Linie bei der Umdrehung zurückgelegt hat.*)

Die Umdrehungskörper sind in der Praxis von größter Wichtigkeit, so daß die Guldinschen Regeln außerordentlich oft verwendet werden.

4. Die Simpsonsche Regel. Da es uns mehr darauf ankommt, allgemeine Regeln zur Körperberechnung kennen zu lernen, während uns die Herleitung jeder einzelnen Formel weit weniger interessiert, so will ich an die Spitze der weiteren Betrachtungen eine

1) Die Schwerpunkte der erzeugenden Fläche bezw. Linie fallen im allgemeinen nicht zusammen. Bei den Flächen, die einen Mittelpunkt besitzen, ist es immer der Fall.

solche Regel stellen, die nicht nur zur Berechnung der fünf einfachen Körper: Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel, hinreicht, sondern noch in sehr vielen anderen Fällen herangezogen werden darf. Es ist die Simpsonsche Regel, die uns in ihrer Anwendung auf die Ebene schon im vorigen Vortrag begegnet ist. Im Raume heißt sie so: ein Körper möge parallele Grund- und Deckfläche, G und D, besitzen, seine Höhe sei h, und durch die Mitte dieser Höhe werde ein zur Grund- und Deckfläche paralleler Schnitt, der Mittelschnitt von der Fläche M gelegt, dann ist das Volumen:

± (G + 4 M + D).

Jedoch gilt diese einfache Regel nicht f für alle Körper. Wichtige Beispiele sind zunächst die oben genannten fünf einfachen Körper. Ferner gilt sie immer dann, wenn Grund- und Deckfläche ... irgendwelche Vielecke sind, während die    f\

Seiten des Körpers aus Dreiecken oder Vierecken gebildet sind. Ein solcher Körper wird wohl ein Prismatoid ge- / nannt; in Fig. 49 ist ein einfaches r"

Beispiel gezeichnet. Diese wenigen \

Beispiele mögen genügen?)

Fig. 49.

5. Pyramide, Kegel, Kugel. Wie diese Simpsonsche Regel anzuwenden ist, will ich Ihnen jetzt zeigen. Wählen Sie zuerst einmal ein Prisma. Bei ihm sind Grundfläche, Mittelschnitt und Deckfläche nach der Art, wie es durch Verschiebung der Grundfläche erzeugt wurde, gleich groß. Bezeichnen wir diese gleichen Flächen mit G, so liefert die obige Regel

y (G + 4 G + G) = ~ 6 G = G h. Das ist aber die schon oben gefundene Formel.

V =

1) Ob ein Körper nach der Simpsonschen Regel berechnet werden darf oder nicht, erkennt man so: Man drückt einen beliebigen parallel zur Grundfläche gelegten Querschnitt Q in der Höhe y als Funktion von y aus. Dann muß der Querschnittsinhalt die Form haben

Q = a + by + cy² + dy³,

wo a, b, c, d Konstanten sind und y nur mit positiven ganzen Exponenten bis 3 vorkommt.

Verbindet man die Punkte des Umfangs von irgendeinem ebenen Vieleck mit einem außerhalb der Ebene liegenden Punkte, so entsteht eine Pyramide. In Fig. 50 ist eine solche gezeichnet. Die zur Grundfläche parallelen Querschnitte sind alle untereinander ähnlich. Ihre Inhalte nehmen regelmäßig mit der Höhe ab. In halber Höhe sind die Seiten des Querschnittes nur noch halb so lang wie die entsprechenden der Grundfläche, dann aber ist der Inhalt nur der vierte Teil der Grundfläche. Darauf habe ich schon im vorigen Vortrage hingewiesen. Fig. 51 mag es noch einmal erläutern. Sie sehen dort unmittelbar, daß das Rechteck mit halber ___Seitenlänge viermal in das ganze Rechteck hinein-

!/

\>

!gj..............' gelegt werden

Fig. 50.

Fig. 51.

kann. Nennen wir die Grundfläche der Pyramide wieder G, dann ist also der Mittelschnitt ™ G. Die Deckfläche ist zu einem Punkt zusammengeschrumpft, also 0. Deswegen liefert die Simpsonsche Regel:

V_J(G+4.lG + 0)-iGh_iGh.

Ist die Grundfläche, wie in Fig. 52, ein Kreis, so entsteht der Kreiskegel mit der Grundfläche irr2 und dem Inhalt

jit r² h.

Endlich soll noch die Ihnen allen wohlbekannte Kugel berechnet werden. Da sind, wie Fig. 53 zeigt, sowohl die Grund- als auch die Deckfläche zu einem Punkt zusammengeschrumpft, also 0. Der Mittelschnitt ist ein Kreis, dessen Radius zugleich der Kugelradius ist, und die Höhe ist der Durchmesser der Kugel. Also ist der Inhalt

V=²^(0 + 4ror² + 0) = l«r3.

Fig. 52.

Fig. 55.

Zum Schluß will ich noch erwähnen, daß die Oberfläche der Kugel genau so groß ist, wie der Mantel des umbeschriebenen Zylinders, wie er in Fig. 54 gezeichnet ist; also nach dem schon oben Gesagten

F = 2 7t r • 2 r = 4 7t r²,

da die Höhe des Zylinders 2 r ist. Ferner kann auch noch in einfacher Weise der Mantel des geraden Kreiskegels, also eines solchen, dessen Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt, berechnet werden. Schneidet man diesen Mantel auf und breitet ihn in einer Ebene aus, so erhält man den in Fig. 55 gezeichneten Kreisausschnitt. Dessen Inhalt ist aber

M = * 2 7t r s =-- 7t r s.

Fig. 53.

Fig. 54.

Denn der Inhalt eines Kreisausschnitts wird wie der eines Dreiecks berechnet?) Die Grundlinie ist der Kreisbogen, der hier gleich dem Umfang des Grundkreises von unserem Kegel ist, und die Höhe ist der Radius des Kreisbogens, also in unserem Fall die Seitenlinie s des Kegels.

6. Das Volumen beliebig geformter Körper. Soll das Volumen eines Körpers ganz beliebiger Gestalt bestimmt werden, so kann man annähernd zum Ziele kommen, wenn man ihn möglichst genau aus Körpern der oben besprochenen Art zusammengesetzt denkt. Damit kommt man in vielen Fällen aus, wo es sich nur um überschlägliche Berechnung handelt. Liegt ein fertiger Körper vor, so bleibt uns jene alte Methode, die schon Archimedes verwendete, als er die Krone des Hierv von Syrakus untersuchen sollte. Wir füllen ein Gefäß genau bis zum Rande mit Wasser und tauchen dann den Körper hinein. Der Körper verdrängt eine Wassermenge, die genau gleich seinem eigenen Volumen ist. Die übergeflossene Wassermenge wird deshalb abgemessen oder abgewogen, dann ist uns auch das gesuchte Volumen bekannt. Bestimmen wir nämlich das Gewicht in Kilogramm, dann erhalten wir sofort das Volumen in Kubikdezimetern, denn 1 cdm Wasser wiegt ja 1 kg; haben wir in Gramm gewogen, so ist das Volumen in Kubikzentimetern be-

1) Man kann den Kreisausschnitt in lauter schmale Dreiecke von gleicher Höhe zerlegt denken, die man addiert.

sannt, weil 1 ccm Wasser 1 g wiegt. So besitzen wir auch für die Körperberechnnng eine Methode, die auf jeden noch so komplizierten Körper anwendbar ist. Bei der Herstellung des Körpers muß freilich ein Material verwendet werden, das nicht im Wasser löslich ist. Andernfalls bliebe immer noch die Möglichkeit eine andere geeignete Flüssigkeit statt Wasser zu wählen, von der man dann wissen muß, wieviel mal so schwer oder leicht sie als Wasser ist.

IV. Vortrag.

Verkürztes Rechnen.

Beim Rechnen wird durch unzureichende Kenntnis dieser Kunst in der Regel viel Zeit und Arbeit vergeudet. Ohne Rücksicht auf die Bedeutung der gegebenen Zahlen rechnet man Ergebnisse aus, die über das überhaupt Mögliche weit hinausgehen. Oder gar gewitzigt durch einige Erfahrung streicht man ab und zu im Laufe einer Ausrechnung ein paar Stellen weg, sobald die Rechnung zu umständlich zu werden scheint. Dabei verliert man dann jede Möglichkeit, zum Schluß angeben zu können, was wohl am Ergebnis richtig und was als unsicher zu streichen ist. Solche Willkür ist natürlich erst recht nicht zulässig.

1. Das Abkürzen von Zahlen. Beim praktischen Rechnen kommt man fortwährend in die Lage, Zahlenwerte abzukürzen. Sie werden an einfachen Beispielen diese Notwendigkeit sofort einsehen. Es mag 1 m Band 25 Pfennig kosten; wieviel habe ich für % m vom selben Band zu bezahlen? Natürlich die Hälfte von 25 Pfennigen. Da wir aber halbe Pfennige als Münze nicht besitzen, so werden wir in der Regel statt 12% Pfennige 13 geben müssen, indem 12% auf 13 abgerundet wird.

Wie wollen wir weiterhin wohl messen, wenn von 1 m gerade der dritte Teil gebraucht wird? Rechnen wir aus, so bekommen wir Yg m = 0,3333 . . . . m, d. h. 3 äm 3 cm 3 mm ³/₁₀ mm u.s.f. Sie erkennen auch hier, daß wir abrunden müssen. Wenn wir etwa recht genau verfahren und noch Millimeter abmessen, so haben wir 0,333 m zu nehmen.

Im einen Falle ist nach oben, im anderen nach unten abgerundet worden, d. h. zuerst hat man mehr als berechnet und nachher weniger als berechnet genommen. Man pflegt meist so zu verfahren, daß man beim Abkürzen von Zahlenwerten 0,1, 2, 3, 4 einfach fort-läßt, dagegen die vorletzte Ziffer um 1 erhöht, wenn 5, 6, 7, 8, 9 weggelassen ist. Also hat man zu schreiben:

statt 7,3 abgekürzt 7

10.

Also ist mit Recht dieser allgemeinen Gewohnheit entsprechend 12 y₂ = 12,5 auf 13 zu erhöhen, dagegen 0,3333 .... ans 0,333 zu erniedrigen.

2. Addition und Subtraktion abgekürzter Zahlen. Es gibt eine große Menge von Zahlen, die als Dezimalzahlen geschrieben unzählig viele Stellen hinter dem Komma besitzen. Hierher gehören z. B. die Logarithmen, die Wurzeln, %. So ist

]/2 = 1,414213562 ......

Tr --- 3,14159265 .......

Mit solchen Zahlen läßt sich überhaupt nicht anders rechnen, als daß man sie abkürzt. Wir wollen zunächst annehmen, wir Hütten es nur mit diesen Zahlen zu tun, die also jederzeit auf beliebig viele Dezimalstellen genau berechnet und angegeben werden könnten.

Wir stellen uns die Aufgabe, eine Reihe solcher Zahlen zu addieren, indem wir annehmen, daß weder nach oben noch nach unten mehr als eine halbe Einheit der letzten Stelle falsch ist. Ein Beispiel mag lauten:

7,38 — 5 + 4,39 — 5 + 5,21 — 5 + 7,48 — 5 "24^6" 20.

Der größte mögliche Fehler beträgt, da wie angedeutet im ungünstigsten Falle fünf Einheiten in der nächsten Stelle mehr oder weniger zu rechnen sind, 20 Einheiten der nächsten oder 2 Einheiten der letzten berechneten Stelle. Also ist die Summe:

höchstens 24,46 + 0,02

24,48

aber mindestens 24,46 — 0,02 24,44.

Jetzt aber ist 48 auf 50, dagegen 44 auf 40 abzukürzen. Unsere Aufgabe gibt darüber keine Entscheidung, so daß wir als sicheres

Ergebnis nur 24 angeben können; ob die erste Dezimalstelle 4 oder 5 ist, wissen wir eben nicht.

Wenn man den angedeuteten Gedankengang weiter verfolgt, so erkennt man schließlich, daß bis zu einer Summe von zwanzig Summanden immer zwei Stellen mehr zu nehmen sind, als das Endergebnis besitzen soll. Dann aber ist der Fehler in der Regel nicht größer als eine halbe Einheit der letzten Stelle, nur in wenigen ganz ungünstigen Fällen kann er bis zu 0,6 Einheiten groß werden.

Wollen Sie also vier Dezimalstellen genau erhalten, so müssen Sie von jedem Summanden sechs Dezimalstellen hinschreiben, diese addieren und zum Schluß in der Summe die zwei letzten Stellen weglassen, indem Sie abkürzen, wie es oben gezeigt wurde.

Allerdings ist zu beachten, daß die Wahrscheinlichkeit, den größten möglichen Fehler zu begehen, sehr gering ist. In der Regel wird der Fehler viel geringer sein. Ich will drei Logarithmen, einmal dreistellig, einmal fünfstellig, addieren. Sie sind, wie es der Zufall gerade lieferte, der Tabelle entnommen.

2,76042 + 1,84136 + 0,44560 5,04738.

2,760 + 1,841 + 0,446 "5M7

Da sehen Sie, daß bei der dreistelligen Rechnung der günstigste Fall eingetreten ist: nicht eine Stelle braucht gestrichen zu werden. Dagegen weiß man von dem fünfstelligen Ergebnis nur, daß mit Sicherheit 5,047 richtig ist. Wie weit die Ziffern 38 brauchbar sind, ließe sich nur bei Benutzung von mindestens siebenstelligen Logarithmen ermitteln.

Die soeben hergeleitete Regel gilt in genau gleicher Weise für die Subtraktion, so lange nicht mehr als 19 Subtrahenden vorhanden sind.

Hier sei eine Bemerkung über das Subtrahieren im allgemeinen eingeschaltet. Im geschäftlichen Leben hat sich wohl überall eingebürgert, nicht mehr zu subtrahieren, sondern statt dessen in geeigneter Weise zu addieren. Hat man z. B. einen Gegenstand für 12 Mark 50 Pfennige gekauft, und reicht man dem Verkäufer zur Bezahlung 20 Mark, so rechnet^ man nicht mus:

20 — 12,50 = 7,50 Mark,

vielmehr addiert der Verkäufer die einzelnen Geldstücke auszahlend so lange zu 12,50 Mark, bis die Summe von 20 Mark erreicht

— 3,82 ch52.

ist. Offenbar sind bei diesem Verfahren auch gerade 7,50 Mark zurückgezahlt worden. Diese Art der Abrechnung ist der alten entschieden vorzuziehen, da Irrtümer wirklich seltener auftreten.

Ganz entsprechend, wie mir scheint mit größerer Sicherheit, läßt sich überhaupt subtrahieren. Man rechnet dann z. B. 7 weniger 3, indem man sagt: 3 und 4M 7. Der zweite Summand 4 ist zugleich das Ergebnis der Subtraktion. Eine ausgedehnte Rechnung wäre so auszuführen:

7,34

2 und 2 ist 4, 8 und 5 ist 13. Da die Zehner aufgetreten sind, so nimmt man die 1 mit zur nächsten Stelle und sagt: 3 und 1 ist 4 und^3 ist 7. Jedesmal ist der letzte fettgedruckte Summand hinzuschreiben. Also auch beim Überschreiten der Zehn „borgt" man nicht eine Einheit von der nächsten Stelle und subtrahiert diese Eins, sondern man addiert vielmehr im Subtrahenden zuerst diese Eins und fügt dann erst das Fehlende hinzu.

Besonders treten die Vorzüge der Methode hervor, wenn von einer Zahl mehrere zugleich subtrahiert werden sollen. So hätte man im nachstehenden Beispiel wie folgt zu rechnen:

5,218

0,932.

5 und 9 ist 14, und 2 ist 16, und 2 ist 18;

1    und 1 ist 2, und 7 ist 9, und 9 ist 18, und 3 ist 21;

2    und 8 ist 10, und 2 ist 12, und 1 ist 13, und 9 ist 22;

2 und 3 ist 5, und 0 ist 5.

Auch hier wird der fettgedruckte letzte Summand jedesmal hingeschrieben.

3. Gemessene Größen. Bei der Besprechung des Rechnens mit abgekürzten Zahlen gingen wir von dem Gedanken aus, daß von jeder Dezimalzahl so viele Stellen angegeben werden könnten, wie wir nur gebrauchen wollen. Das ist wirklich der Fall, wenn wir es verstehen, Logarithmen, Wurzeln u. s. f. selbst auszurechnen. In Wirklichkeit liegt doch die Sache so, daß jene Werte Tabellen entnommen werden, die nur eine beschränkte Anzahl von Ziffern

liefern. Mit Rücksicht darauf kann man wohl sagen, daß es bei gewöhnlichen Ausrechnungen genügt, die letzte Stelle, diese aber sicher, zu streichen, da die Wahrscheinlichkeit, daß auch die nächste vorletzte Stelle wesentlich falsch wird, zu gering ist. Doch hüte man sich vor falschen Schlüssen, die etwa darauf aufgebaut sind, daß die vorletzte Stelle nun genau richtig sein müsse.

Noch mehr tritt die Notwendigkeit, Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen heranzuziehen, hervor, wenn man es nicht mit berechneten, sondern mit gemessenen Größen zu tun hat. Bei jeder Messung gibt es ein kleinstes Maß, das sich noch feststellen läßt, und jede Messung bringt außerdem Fehler mit sich, die in der Methode und den Maßstäben begründet sind. Habe ich möglichst sorgfältig auf ein Blatt Papier ein Rechteck aufgezeichnet, so werde ich höchstens bis Zehntel-millimeter genau die Seitenlängen nachmessen können. Will jemand in einem anderen Fall die Länge und Breite eines Zimmers ermitteln, so wird er höchstens noch die Zentimeter bestimmen können. In beiden Fällen denken wir so genau gemessen, daß der Fehler nicht größer als eine halbe Einheit der letzten angegebenen Stelle beträgt; also im ersten Falle nicht mehr als die Hälfte von yi0 mm, im zweiten nicht mehr als y₂ cm oder 5 mm.

Soll das Ergebnis recht zuverlässig sein, so messen wir dieselbe Größe mehrmals hintereinander nach, addieren alle Werte und dividieren durch die Anzahl der Messungen. So mögen vier Messungen der Seitenlänge eines Zimmers ergeben haben:

7.37    m 7,35 m 7,39 m

7.38    m

29,49

Die Summe 29,49 dividiert man durch die Anzahl der Werte 4 und erhält als Mittelwert 7,37 m. Diesen mittleren Wert lassen wir als richtig gelten und rechnen mit ihm allein weiter. Natürlich darf man die Division durch 4 nicht noch fortsetzen, um noch mehr Dezimalstellen zu erhalten, als die ursprünglichen Messungen besaßen. Auch die Zahl 7,37 m kann doch nur als wahrscheinlich richtig bezeichnet werden.

Bequemer verfährt man, wenn man den mittleren Wert abschätzt, hier z. B. 7,38, und nun den Überschuß der letzten Stelle positiv, das daran Fehlende negativ gerechnet dahinterschreibt. Die Summe

Gemessene Größen.

59

dieser Werte durch 4 dividiert, ist zu dem abgeschätzten Wert 7,38 hinzuzufügen. Also ein Beispiel:

7,37

7,35

7,39

7,38

(das Zeichen ~ heißt „abgerundet gleich")

7,38 — 0,01 = 7,37 m.

Sollen verschiedene nachgemessene Größen addiert werden, so genügt es auch hier, die letzte Stelle der Summe als ganz unsicher zu streichen; wohingegen die vorletzte Stelle bestehen bleiben kann, weil die Wahrscheinlichkeit sehr groß ist, daß sich wenigstens ein Teil der Fehler gegenseitig aufheben wird.

4. Multiplikation abgekürzter Zahlen. Damit sollen Addition und Subtraktion erledigt sein, statt dessen wird uns zunächst die Multiplikation beschäftigen. Wir wollen an ein schon oben genanntes Beispiel anknüpfen, indem wir uns die einfache Aufgabe stellen, den Flächenraum eines Zimmers zu berechnen. Zu dem Zwecke messen wir, so wie es soeben gezeigt wurde, Länge und Breite des Zimmers bis auf Zentimeter genau nach. Die Maße mögen sein: Länge 7,34 m und Breite 4,68 m. Beide Zahlen miteinander multipliziert, liefern den Flächenraum des Zimmers:

7,34

x 5,68

3670

4404

5872

41,6912 qm.

Beim Multiplizieren haben wir im Multiplikator mit der ersten links stehenden Ziffer begonnen, dementsprechend mußten wir nach rechts hin je eine Stelle ausrücken. Das bitte ich für das Folgende zu beachten.

Wir nehmen von vornherein an, daß unsere Messungen höchstens mit einem Fehler von 5 mm ausgeführt sein sollen. Darnach könnte die Größe des Zimmers höchstens 7,345 x 5,685 qm betragen, mindestens aber muß sie 7,335 x 5,675 qm sein. Das gibt

x 5,685

x 5,675

7,345

36725

44070

58760

36725

7,335 36 675 4 4010 51345 36675

41,626125 qm

41,756325 qm

Die drei Ergebnisse wollen wir noch einmal zum Vergleich untereinander schreiben. Sie lauten:

41,756 325 qm 41,691 2 41,626125 qm.

Wie groß ist denn nun aber unser Zimmer? Kommt noch, wie es in der untenstehenden Fig. 56 angedeutet ist, der schmale schraffierte Streifen zu der ausgemessenen Fläche hinzu, oder ist um ebenso einen Streifen zuviel gemessen? Offenbar gibt es darüber nach unserem Verfahren keine Entscheidung. Wir können als wahrscheinlich richtigen Flächeninhalt nur 41,7 qm angeben, mehr Dezimalstellen gewiß nicht. Ja sogar die 7 ist nicht sicher.

Darnach ist das überraschende Ergebnis: obwohl die Messung noch Zentimeter genau angab, so können wir im Ergebnis nur noch die Zehner der Quadratdezimeter mit einiger Sicherheit finden.

Blicken wir zuriick auf unsere Rechnung, so müssen wir doch sagen, daß wir zuviel Arbeit geleistet hatten — die letzten Stellen 1 und 2 waren sicherlich ganz überflüssig, die drittletzte Stelle 9 kann man wohl dazu nehmen, um zu erkennen, daß 6 auf 7 zu erhöhen ist.

Wir fragen uns, ob nicht auch die Ausrechnung selbst von vornherein erkennen läßt, daß so große Unzuverlässigkeit auftreten muß. Denken wir dabei an folgendes: die wahre Länge des Zimmers ist doch 7,34 . . . . m und die Breite 5,68 Punkte darauf hindeuten, daß dort noch irgendwelche Ziffern stehen, die

^ r7'/777//7777/fl7?/J77?//777//777//77T//777/777?/77T//777/77'//777/ ^

-XU*

Fig. 56.

qm

m, wo die

mir nur nicht nachzumessen vermögen. Multiplizieren wir jetzt, indem wir wieder durch Punkte andeuten, wo noch alles Zahler: zu setzen mären, wenn an Stelle obiger Punkte Zahlen ständen, so ergibt sich folgendes Bild:

GO CO CD

367 0

44 04.... 5872...

41,7

Da wir die Ziffern, die statt der Punkte zu setzen sind, nicht kennen, so konnten wir an jenen Stellen auch die Addition nicht ausführen. Nur ist sicher, daß die erste geltende Ziffer, da doch mindestens eine 8 fortfällt, auf 7 zu erhöhen ist. Alles, was rechts vom vertikalen Strich steht, ist unbrauchbar. Man wird daher mit Recht fragen: wozu soll es dann überhaupt noch berechnet werden? Die Arbeit und Mühe ist wirklich überflüssig.

Es sind verschiedene Regeln zum verkürzten Multiplizieren ausgearbeitet worden, ohne daß bisher ein Verfahren allgemeine Zustimmung gefunden hätte. Der eine bevorzugt diesen, der andere jenen Weg. Die Sache liegt eben so, daß man von vornherein weiß: die Praxis fordert häufig mit Notwendigkeit Ergebnisse mit mehr Dezimalstellen, als völlig sicher berechnet werden können, d. h. also Dezimalstellen, für deren Richtigkeit nur eine mehr oder minder große Wahrscheinlichkeit spricht. Dann aber ist es wirklich nicht schwierig, für eine jede Methode Beispiele herauszuprobieren, in denen sie ein sehr ungünstiges, und andere, in denen sie ein sehr günstiges Ergebnis liefert. Die Frage nach demjenigen Verfahren, welches die größte Wahrscheinlichkeit auf ein richtiges Resultat besitzt, ist noch nicht entschieden.

Hat man es freilich mit berechneten Größen, Wurzeln, Logarithmen u. s. f. zu tun, bei denen man wieder beliebig viele Dezimalstellen bestimmen kann, dann ist es sehr wohl möglich, bestimmte Forderungen für die Genauigkeit vom Ergebnis aufzustellen und durch

geeignete verkürzte Rechnung zu erfüllen?) Wir wollen uns jedoch sogleich mit gemessenen Größen oder allgemein mit solchen Größen, von denen uns nur eine beschränkte Zahl von Dezimalstellen bekannt ist, beschäftigen, denn diese interessieren uns praktisch fast ausschließlich.

Unser Verfahren geht von dem Gedanken aus, daß überflüssige Stellen auch gar nicht erst berechnet werden sollen. Deswegen verfährt man so:

Sr

sssä

41,68 Ergebnis: 41,7.

Man beginnt die Multiplikation mit der ersten links stehenden Ziffer 5 des Multiplikators und erhält das erste Teilprodukt 3670; dann streicht man diese 5, weil erledigt, durch. In der nächsten Zeile soll nicht nach rechts ausgerückt werden; deswegen streicht man auch die letzte Ziffer 4 des Multiplikandus durch und berücksichtigt sie nur noch zur Bestimmung der übergreifenden Zehner. Also multipliziert man weiter 6 mit 4; das gibt 24, so daß noch eine 2 mit herüberzunehmen ist. Dadurch wird 6 x 3 --- 18 zu 20. Man sagt wohl: 6 mal einer gestrichenen 4 gibt noch 2. So fährt man fort, indem man jedesmal eine Ziffer des Multiplikators und gleichzeitig eine Ziffer des Multiplikandus wegstreicht. Im Schlußergebnis

1) Die Regeln hierfür, die, wenn nicht schon hier, sicherlich nach den folgenden Entwicklungen unmittelbar verständlich sein werden, lauten:

Dem Multiplikandus gibt man drei Stellen mehr, als für das Ergebnis gefordert sind; dem Multiplikator gibt man ebensoviel Ziffern, wie der Multiplikandus von seiner ersten geltenden Ziffer an hat.

Für das erste Teilprodukt wird die letzte Ziffer des Multiplikandus nur durch Überzählen der Zehner berücksichtigt.

Bei jedem weiteren Teilprodukt streicht man eine Stelle des Multiplikandus weg und berücksichtigt sie nur durch überzählen der Zehner. Die sämtlichen Teilprodukte schreibt man untereinander, ohne nach rechts oder links auszurücken.

Die Summe der Teilprodukte ist, um das Endergebnis zu erhalten, um zwei Stellen zu kürzen.

Der Fehler kann in wenigen Fällen höchstens 0,6, meist höchstens 0,5 Einheiten der letzten Stelle betragen.

41,68 läßt man noch die letzte Ziffer fort und erhöht folglich im Beispiel auf 41,7.

Zur Bestimmung der übergreifenden Zehner berücksichtigt man immer nur die zuletzt durchgestrichene Zahl.

Wählen wir ein anderes Beispiel:

27,304 x 2,25...

54 788

5 479

1370

61,6 Ergebnis: 62.

Man sieht sofort, daß, wie die Punkte andeuten, die wieder an Stelle unbekannter Ziffern gesetzt sind, noch zu viel gerechnet worden ist. Wir hätten vielmehr Multiplikator und Multiplikandus vertauschen müssen, um überflüssige Stellen zu vermeiden. Als Multiplikandus ist folglich immer diejenige Zahl zu wählen, welche die geringste Anzahl geltender Ziffern besitzt. (Also nicht mitgezählt werden Nullen am Anfang der Zahl, wie etwa 0,03; wohl aber Nullen am Ende einer Zahl, die als richtig bekannt sind, wenn man z. B. auf Zentimeter genau gemessen gerade 3,40 m erhält.)

Das Fortstreichen von Stellen macht es unmöglich, im Endergebnis das Komma in derselben Weise zu bestimmen, wie Sie es von der gewöhnlichen Multiplikation her gewöhnt sind. Als Ersatz haben Sie hier die folgende Regel: man verschiebt das Komma im Multiplikator so viele Stellen nach links oder rechts, bis nur eine geltende Ziffer vor dem Komma bleibt. Im Multiplikandus ist dann das Komma genau so viele Stellen aber in umgekehrter Richtung, also nach rechts oder links, zu verschieben. Dann bestimmt man die Stellung des Kommas unmittelbar im ersten Teilprodukt und nimmt das Komma ins Endergebnis einfach herunter?)

1) Eine andere Regel lautet so: Man zählt wie gewöhnlich die Anzahl sämtlicher Ziffern hinter jedem Komma. Dann aber zählt man nach, wie oft je zwei Ziffern gestrichen worden sind. Diese beiden Zahlen subtrahiert mein voneinander; dann gibt die Differenz an, wieviele Stellen hinter dem Komma das Endergebnis besitzt. Ist die Differenz negativ, so würde das heißen, daß im Endergebnis ebensoviele Nullen anzuhängen sind.

Doch kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Es war zu multiplizieren: 27,394 x 2,25. Also haben wir erstens umzukehren

2,25 x 27,394; und zweitens das Komma zu verschieben

22,5 x 2,7394. Darnach lautet jetzt die Rechnung:

22,5

x 2,730(4)

15,8

45,0

61,7

Ergebnis: 62.

Man erkennt hier noch, daß die 4 gänzlich überflüssig ist, daß also der Multiplikator nur eine Stelle mehr haben soll, als der Multi-plikandus.

Noch einmal mögen die Multiplikationsregeln zusammengefaßt werden:

1.    Man wähle als Multiplikator die Zahl, welche die größere Anzahl geltender Ziffern besitzt und streiche davon so viele weg, bis nur eine Überstelle bleibt.

2.    Das Komma des Multiplikators verschiebe man so, daß nur eine geltende Ziffer vor dem Komma bleibt. Im Multiplikandus ist es dann um genau so viele Stellen zu verschieben, aber in entgegengesetzter Richtung.

3.    Man beginne die Multiplikation mit der ersten links stehenden Ziffer des Multiplikators und bilde das erste Teilprodukt wie gewöhnlich, indem man zugleich die Stellung des Kommas fest«

legt.

4.    Dann streicht man die erste Ziffer des Multiplikators und zugleich die letzte des Multiplikandus. Weiter multipliziert man mit der zweiten Ziffer des Multiplikators, benutzt aber die gestrichene Ziffer nur noch zur Berechnung der übergreifenden Zehner. Das neue Teilprodukt wird unmittelbar unter das erste geschrieben, ohne nach rechts oder links auszurücken u. s. f.

5.    Im Endergebnis ist das Komma herunterzunehmen und die letzte Stelle zu streichen.

Zur Erläuterung mögen noch zwei Beispiele folgen:

346,85 x 7 369 736 000 x 3,468 5 2 210 700

2 948

442

58

2 555 900    Ergebnis: 2 556 000.

Die zur Bestimmung des Kommas angehängten Nullen dürfen bei der weiteren Rechnung, also insbesondere beim Streichen gegeneinander, nicht benutzt werden.

0,072 538 x 0,008 26 0,000082 6 x 7,254 0,0005782

165

41

0,000 5991 Ergebnis: 0,000 599.

Der Multiplikator ist auf 7,254 zu erhöhen, da er nur eine Überstelle besitzen soll.

5. Division abgekürzter Zahlen. Dem bisher Vorgetragenen schließt sich die Division eng an.¹) Hier verschiebt man das Komma des Divisors, bis eine geltende Ziffer allein vor dem Komma bleibt. Das Komma des Dividendus ist um genau so viele Stellen zu ver-

1) Hat man es wieder mit berechneten Zahlen zu tun, von denen beliebig viele Dezimalstellen bekannt sind, so kann man im Endergebnis dieselbe Genauigkeit fordern, wie bei den übrigen Rechnungsarten. Die Division ist dann so einzurichten:

Dem Dividendus gibt man zwei überstellen. Der Divisor erhält ebensoviele Stellen oder eine mehr, je nachdem seine ersten Ziffern kleiner oder größer als die des Dividendus sind. Bei der Bildung des ersten Teilproduktes wird die letzte Stelle des Divisors nur zur Berechnung der übergreifenden Zehner benutzt. Es werden keine Nullen heruntergenommen, sondern statt dessen wird je eine Stelle des Divisors gestrichen. Es werden zwei Stellen mehr berechnet,, als die Aufgabe erfordert. Der letzte Rest entscheidet, ob zu erhöhen ist oder nicht. Die beiden letzten Stellen vom Schlußergebnis werden gekürzt.

ANuG 341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

schieben, diesmal aber nach derselben Seite wie im Divisor. Dann bestimmt man die Stellung des Kommas im Ergebnis so, als hätte man nur durch die Einer zu dividieren.

Die Anzahl der Stellen ist so zu wählen, daß bei der Bildung des ersten Teilproduktes unter jeder Ziffer des Dividendus eine Ziffer steht. Alle übrigen Stellen sind zu kürzen.

Statt Nullen herunterzunehmen, wird jedesmal eine Stelle des Divisors gestrichen. Die zuletzt gestrichene Stelle benutzt man zur Berechnung der übergreifenden Zehner.

Der letzte Rest zeigt, ob zu erhöhen ist oder nicht.

Am besten werden Ihnen auch hier Beispiele zeigen, was zu tun ist. Diese mögen jetzt folgen:

229,67 : 75,842 =

22,967 :7,884 = 3,028 22,752

215 Ergebnis: 3,028.    25,2 Ergebnis: 74,4.

152    Der Rest 3 ist weniger    23,0 Der Rest 5 ist größer

63    als die Hälfte von 7;    als die Hälfte von 5,

60 deswegen ist 8 nicht 17 so daß die 3 zu erhöhen -ß- zu erhöhen    -g⁻ ist.

428,39 : 5,76 = 428,4 : 5,76 = 74,3

403 2

87,92 : 578,36 =

0,8792:5,784 =0,1520

488,1:3,700 = 129,9

3756

5784

Ergebnis: 130,0. Der Rest zeigt, daß die 9 zu erhöhen ist. Die 116 Die letzte 0 ist als richtig _33,8    0 nach dem Komma ist

116 berechnet mitanzu-~Ö geben.

3008 Ergebnis: 0,1520.

2892

37,4

36 als richtig berechnet mit-33 anzugeben.

Weitere Beispiele mögen Sie sich selbst bilden; wie Sie überhaupt nicht vergessen dürfen, daß Sie Neues nur durch viele Übung zu Ihrem geistigen Besitze machen können.

Immer war oben nur eine Rechenoperation ausgeführt worden. Im allgemeinen werden mehrere Multiplikationen, Additionen u. s. f. in einer Rechnung einander folgen. Dann tut man gut, in den Zwischenergebnissen die letzte Stelle nicht zu kürzen; dies geschieht vielmehr dann nur im endgültigen Resultat. Dadurch wird die Wahrscheinlichkeit, der Wahrheit nahe zu kommen, noch erhöht.

6.    Zur Geschichte des verkürzten Rechnens. Historisch interessant ist, daß zugleich mit der Erfindung der Dezimalbruchrechnung das verkürzte Rechnen mit Dezimalzahlen einsetzt. Bürgi, der eine Erfinder der Logarithmen, der an der Einführung der Dezimalzahlen wesentlich beteiligt ist, hat schon um das Jahr 1592 verkürzt gerechnet. Kurz nach ihm, zu Beginn des 17. Jahrhunderts, benutzte Kepler in ausgedehntestem Maße diese Rechnungsart. Durch die Jahrhunderte hindurch sind die Verfahren weitergebildet und kritisch^) untersucht worden, ohne daß, wie ich bereits bemerkte, völlige Übereinstimmung erzielt wurde.

7.    Verkürztes Wurzelziehen. Für diejenigen von Ihnen, die schon einige Kenntnisse in der Mathematik besitzen, will ich noch ein paar Bemerkungen über Quadrieren und Wurzelziehen hinzufügen. Eine der bekanntesten Formeln der Algebra lautet:

(a “f* b) (st -j*- b) — a² -f- ab -f ab-J~ b2 (a + b)² = a² + 2 a b + b²

oder kürzer

Die Richtigkeit der Formel können Sie unmittelbar der untenstehenden Fig. 57 entnehmen, a und b bedeuten dabei irgendwelche Zahlen, die wir uns als Maßzahlen von Strecken gedacht und aufgezeichnet haben.

Diese Formel läßt sich zunächst beim Quadrieren zweistelliger Zahlen sehr hübsch verwenden. Es soll z. B. 37² berechnet werden. Dazu setzen wir:

37² = (30 + 7)².

Hier ist, verglichen mit der Formel, a = 30 und b = 7 ju setzen. Somit hat man zu addieren

37² -    900

+ 420 + 49

30²

a²

2x 30 x7 2 ab

7²

b²

1369

In der ersten Zeile stehen am Ende ^ immer zwei Nullen, in der zweiten immer eine Null. Läßt man diese Nullen fort, so erhält man ein Bild, das ganz an die gewöhnliche Multipli-

__    XI

1) Vgl. E. Kullrich. Die abgekürzte Dezimalbruchrechnung. Programm. Schöneberg 1898.

XV

XV

Fig. 57.

-t

kation erinnert; vielleicht wird es den meisten von Ihnen noch vertrauter sein, wenn ich die Addition in umgekehrter Reihenfolge ausführe. Es ist also

37² =

CD

oder

49

Sb

+ 42

49

1369

1369

Genau wie mau einfache Multiplikationen sofort im Kopfe ausführt, läßt sich auch in einfachen Fällen quadrieren. So erhält man 58² = 3364 in folgender Weise:

8 x 8 ist 64, 4 hingeschrieben, 6 im Sinn;

2 x 5 ist 10, x 8 ist 80, + 6 ist 86, 6 hingeschrieben links von der 4 und 8 im Sinn;

5x5 ist 25, + 8 ist 33, 33 hingeschrieben links von 64.

Die Umkehrung vom Quadrieren ist das Wurzelziehen oder Radizieren. Die Wurzel aus 9, zur Abkürzung*) geschrieben / 9, ist diejenige Zahl, welche mit sich selbst multipliziert 9 ergibt, also 3²). In Formeln

y 9 = 3

Will man ein Verfahren suchen, um Wurzeln aus mehrstelligen Zahlen auszuziehen, so wird man die genaue Umkehrung der oben gegebenen Methode des Quadrierens zu wählen haben. Als Beispiel nehmen wir ]/5476. Zwei Stellen hat man oben nach rechts ausrücken müssen; diese Stellen sind abzutrennen. Was davor steht, muß a² enthalten. Die Ausrechnung sieht dann so aus:

1)    Das Wurzelzeichen ist nicht, wie man früher annahm, aus dem Buchstaben r, dem Anfangsbuchstaben von radix die Wurzel, entstanden. Vielmehr setzte man anfangs einen Punkt, der zur Unterscheidung einen schräg aufwärtsgehenden Strich erhielt . Daraus entstand später das Zeichen Der horizontale Strich über dem Radikanden soll die hinter dem Wurzelzeichen stehenden Zahlen zusammenfassen, ist also nichts anderes als unser heutiges Klammer-zeichen. Vgl. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik. Leipzig 1902 I S. 218 ff.

2)    Eigentlich müßte es heißen + 3 oder — 3, denn es ist sowohl (+ 3) (+ 3) = 9 als auch (—3) (—3) — 9. Doch soll hier von diesem doppelten Vorzeichen abgesehen werden.

•j/54'76 --- 74 49    - 7²

= a²

"57    : 2x7 (14) : 2a

56    = 2x7x4 = 2ab

16

= b²

16    = 4²

Ist der Wurzelwert eine mehrziffrige Zahl, so wiederholt man das Verfahren immer wieder von neuem. Man stellt sich etwa vor, daß man im Beispiel statt mit 7² sogleich mit dem Quadrat einer zweistelligen Zahl 74² begonnen hätte. Dann müßte man, falls die Aufgabe sich fortsetzen ließe, mit 74 genau so rechnen, wie vorher mit 7. Ein Beispiel wird Ihnen auch hier sogleich zeigen, wie zu verfahren ist.

-j/90'82'09 = 953

81

= 9²

98    : 2x9 (18)

90    =2x9x5

= a2 : 2a = 2ab

(a+b)²

82

25    - 5²

= b²

570    : 2x95 (190) : 2 (a + b)

570    = 2x95x3 = 2 (a + b) c

09

= c²

9 = 3²

Gewöhnlich zieht man das doppelte Produkt und das zweite Quadrat auf einmal ab und schreibt dann etwas einfacher so:

-j/9082'09 --- 953

81

18/98'2

925

5709

190/570'9

In den meisten Fällen werden die Wurzeln nicht, wie oben in den Beispielen, aufgehen. Solche Wurzeln gehören zu den sogenannten irrationalen Zahlen, die sich auf beliebig viele Dezimalstellen ausrechnen lassen, ohne daß sie jemals aufhörten. Sobald freilich etwas mehr Dezimalstellen verlangt werden, so wird die Berechnung nach dem bisherigen Verfahren recht unbequem. Da hilft uns das verkürzte Rechnen. Hat man nämlich auf dem normalen Wege erst einige Ziffern berechnet, so wird das doppelte Produkt soviel größer als das zu subtrahierende zweite Quadrat, daß man dies unbedenklich fortlassen kann. Freilich dürfen dann keine weiteren Stellen heruntergenommen werden. Das Wurzelziehen schrumpft zu einer einfachen verkürzten Division zusammen.

Sobald man mit der verkürzten Division beginnt, nimmt man nur noch eine Null herunter statt zwei und läßt das Quadrat ganz fort. Diese Stelle ist im folgenden Beispiel durch das Zeichen v kenntlich gemacht. Wo man zu beginnen hat, läßt sich nach der einfachen Regel bestimmen: man erhält von der Stelle an, wo man verkürzt zu rechnen anfängt, genau nochmals soviele Ziffern, wie man bis dahin bereits gewonnen hatte.

Als Beispiel gebe ich Ihnen die sehr häufig vorkommende Wurzel aus 2.

/2 = 1,414 v 2135

2/100

96

28/40'0

281

Ergebnis: 1,414 213 6

282/lld0'0

11296

2828/6040

5656 384

283 101

85 16

14

Auch hier kann ich zum Schluß nur darauf hinweisen, daß man selbst Aufgaben durchrechnen muß, wenn man die Methode erlernen will.

Y. Vortrag

Das Rechnen mit Tabellen.

Drei Forderungen erhebt der moderne Rechner in erster Linie: er will Mittel besitzen, um schnell, sicher und mit möglichst geringer geistiger Tätigkeit rechnen zu können. Dazu zwingen die hohen Anforderungen, die von der Gegenwart an die gesamte geistige Arbeitskraft des Menschen gestellt werden. In vollkommenster Weise können diese drei Forderungen sicherlich nur durch Rechenmaschinen erfüllt werden. Da einer allgemeinen Verbreitung und Anwendung derselben in manchen Fällen ihre Unvollkommenheit immer aber der hohe Preis hindernd im Wege stehen, so hat man sich nach andern Hilfsmitteln umzusehen.

Einen solchen Ersatz liefern Ihnen die verschiedenartigsten Tabellen. Man kann zwei vielfach ineinander greifende Gruppen unterscheiden: solche Tabellen, in denen die geforderte Rechnung ganz oder zum Teil ausgerechnet vorliegt und das Ergebnis fertig abgelesen werden kann, und solche Tabellen, die Rechenoperationen auf einfachere zurückzuführen gestatten. Zur ersten Gruppe gehören Zinstabellen, Lohntabellen, Multiplikationstabellen u. s. f., zur zweiten vor allem die Logarithmentafeln.

1. Lohntabellen, Multiplikationstabellen u. s. s. Zuerst soll uns die erste Gruppe beschäftigen. Aus der großen Fülle der für die verschiedensten speziellen Zwecke berechneten Tafeln zeige ich Ihnen hier als Beispiel eine Seite einer Lohntabelle. Jede Doppelseite enthält die Angaben für eine der Lohnstufen zwischen 6 und 60 Pfennigen für die Stunde. Berechnet ist der Lohn für eine Arbeitszeit bis zu 300 Stunden. Auf der Seite, die Sie hier sehen, lesen Sie z. B. ab, daß ein Arbeiter, der pro Stunde 48 Pfennige verdient, für 254 Arbeitsstunden 121,92 Mark erhält.

Um das Aufschlagen der gewünschten Lohnstufe zu erleichtern, ist auf jeder Seite je ein Zettelchen angehängt. Diese Zettelchen enthalten untereinander angeordnet die Lohnstufe der betreffenden Doppelseite aufgedruckt.

Jeder von Ihnen wird leicht in seiner eigenen Tätigkeit Beispiele finden, wo ihm der Gebrauch ähnlicher Tabellen von großem Nutzen ist. Seiner Tabellen bedient sich der Postbeamte, um ohne zu rechnen, die Beträge für größere Mengen von Postwertzeichen oder Versicherungsmarken abzulesen, der Sparkassenbeamte zur Zinsberechnung u. s. f.

Stunden

Stunden

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

8 8 8 S8S.8.888 SS88’3 8 3 S^ [3 g 5i S g g 3 3 g S

OO    03    OO    W    OO    ^    CD    CD►f*■.

©    CO    if¹»-    C0>    OO    O    CO    rfk 03 GO

rHC<tCO^iC^I>(X)asO

QCQCaCQCQlOaCGrDQCQCO

28 191 76 192 24 193 72 194

20 195 68 196 16 197 64 198 12 199 60 200

08

56

04

52

00

48

96

44

92

40

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

Lohnsatz 48 Pfennige.

Stundenlohn.

Stunden

Stunden

Stunden

COCDCOOOOOOOOOOOOOOO ►-•©©CO<X>00    00<]<I©

co -o to ro oc co oo co oo

OCO^O)OOODO>t-C500

>—*•    t—t.    h—k.    m-L    f—^    \    h—I    >—*    >—»>    h-L

OOOOO'OOOOO

OlCJlrf-^COCOCOCOi—

28 241 115 76 242 116 24 243 116

72 244 ¹¹⁷

20 245 '17 68 246 118 i6 247 ns 64 248 119 i2 249 ns 60 250 120

68 271 16 272 64 273 12 274 60 275 08 276 se 277

04 278 52 279

oo 280

130

131

131

132

132

132

133

CO ^ CO CO

91

68

221

106

92

16

222

106

92

64

223

107

93

12

224

107

93

60

225

108

94

08

226

108

94

56

227

108

95

04

228

109

95

52

229

96

00

230

©corf^c§oo©co^a>oo

251    120 48 281 134

252    120 96 282 135

253    121 44 283 135

254    121 92 284 136

255    122 40 285 136

256    122 88 286 137

257    123 36 287 137

258    123 84 288 138

259    124 32 289 138

260    124 80 290 139

96

96

97

97

98

98

99

99

100

100

48

96

44

92

40

88

36

84

32

80

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

88 261 125 28 291 139 36 262 125 76 292 140

32 264 126 72 294 141 80 265 127 20 295 141 28 266 127 68 296 142 76 267 128 16 297 142 24 268 128 64 298 143 72 269 129 12 299 143 20 270 129 60 300 144

Neben diesen Spezialtabellen finden allgemeine Rechentafeln ausgedehnte Verwendung. Zuerst wären da wohl die Multiplikationstabellen zu nennen und unter diesen ganz besonders die große Crellesche „Rechentafel", welcke die Produkte aller Zahlen bis 1000 x 1000 enthält.

Die Anordnung ist geschickt und praktisch. Auf der als Beispiel verkleinert abgedruckten Viertelseite sehen Sie die Produkte von 282 x 0 bis 282 x 943 aufgeschrieben. Dick gedruckt ist der Multi-plikandus. Links in der ersten vertikalen Spalte stehen die Zehner und Einer, oben darüber in der horizontalen Zeile die Hunderter des Multiplikators. Die in jeder Zeile ganz rechts stehenden zwei Ziffern sind die beiden letzten Stellen einer jeden in derselben Zeile stehenden Zahl. Doch mehr als viele Worte wird Ihnen ein Beispiel die Anordnung klar machen. Man würde hier abzulesen haben:

282 x 824 --- 232368

Umgekehrt kann natürlich die Rechentafel zur Division verwendet werden.

2. Mathematische Tabellen der technischen Kalender. Ich will von einer Besprechung der außerordentlich vielen Tafeln absehen, die einzeln Zerlegung in Faktoren ausführen, Quadrate und Kuben, Quadratwurzeln und Kubikwurzeln, die reziproken Werte der Zahlen abzulesen gestatten oder gemeine Brüche in Dezimalbrüche verwandeln u. s. f. Hier will ich sogleich eine Tabellenform besprechen, die Sie regelmäßig in technischen Kalendern zu finden pflegen, und die mindestens bei Technikern ganz allgemein in Gebrauch gekommen ist.

Solche Tabellen sollten weit mehr beachtet werden. Vor allem sollten unsere Schulen nicht mehr so einseitig, wie so häufig bisher, die Logarithmentafeln bevorzugen. Der bildende Wert ist bei Benutzung allgemeiner Tabellen größer und der praktische Nutzen, den die Kenntnis solcher und die Übung in ihrem Gebrauch mit sich bringt, sicher nicht geringer. Selbstverständlich kann die Logarithmentafel heute noch nicht ganz entbehrt werden.

Umseitig sehen Sie eine Seite dieser Art Tabellen abgedruckt. Vertikal untern stehen die Zahlen, von denen Quadrate, Kuben u.s.f. angegeben werden sollen. Die zu einer Zahl n gehörigen Werte stehen horizontal daneben. Sie finden von jeder Zahl, wie Ihnen die Überschriften zeigen, das Quadrat, den Kubus (dritte Potenz), die Quadratwurzel, die Kubikwurzel (dritte Wurzel), den natür-

282 0 100 200 300 400    500 600 700 800 900

o 282    564    846 1128    1410 1692 1974 2256 2538 OO

xOOO^OxOiWWNM

n o nxo 00 — ^ n» 00 00 ox OX Ox OX o O O N N NjN « « co co co

M rj- XJ3 bx « m

xO ox« m00 o <OxO Ox xOxO N N 00 00 00 00 mm mmm mmm

00 -> tJ- O N hslOO -

tJ- in m mxo xß ko O N

000000 20-0000 00 0000

10    28    310    592    874 1156    1438 1720 2002 2284 2566    20

10 N O Ox Ox^O

CO CO^J

14

15

16

48

30

12

NOOOx

i-< rH

175*

178'

i8i*

20    56    338    620    902 1184    1466 1748 2030 2312 2594    40

Ni Ni Ni U N M

coxO 00

— rfx£> rj- rj- rj-CO CO CO

cT'gx *2

i87

190

192*

1469 1751 2033 2315 2597 1472 I754 2036 2318 260O 1474' 1756* 2038* 2320* 2602*

22

04

86

24

25

26

27

1477'. 1759' 2041' 2323- 2605-1480* 1762* 2044* 2326* 2608* 1483 1765 2047 2329 2611

68

50

28

29

32

30    84- 366* 648* 930' 1212'    1494* 1776* 2058* 2340* 2622*    60

H N CO

co co co

XO «O tO

NO CO

00 ox OX

t2 Ul Oj

VO xO

215

218

221

42

24

06

^ xO cO CO cO

Ox ^ Sx

io OO m OXOXO

t» 00 OX IO li-H M ro cO CO CO l^t»    Tf-

xO Ox m ^ N O W OO 00 Ox Ox OxOO

co co CO co co Tf rt-Ox ct io 00 m

OOO — l-l M O

O co mlöb h t}- fs m m m| m|xO <0 xO

00 m rolvb

xO    t— f    1 r^oo 00

xO vO vO IvO |vO vjO \D

xO IvO VO

vO

ON

Cx Ox

lichen Logarithmus (in andern Tafeln zuweilen auch die Mantisse des dekadischen Logarithmus), den reziproken Wert der Zahl aber, um den immer wiederkehrenden Anfang 0,0 .. . zu vermeiden, mit 1000 multipliziert. Es folgen zwei sehr brauchbare Spalten, welche

Kreisumfang nn und Kreisinhalt enthalten für einen Kreis

mit dem Durchmesser n. Endlich ist rechts zur besseren Übersicht die Zahl n noch einmal abgedruckt.

Lassen Sie uns einige Beispiele ablesen. Es ist:

403² = 162409, f/423 -- 7,5067,

1000 : 412 = 2,42718, also 1 : 412 — 0,00242718

da ja durch 1000 zu dividieren, also das Komma drei Stellen nach links zu schieben ist. Weiter hat der Kreis mit dem Durchmesser 407 cm den Umfang 1278,6 cm und den Inhalt 130100 qcm.

Damit ist die Verwendbarkeit der Tabellen noch nicht erschöpft. Zunächst kann man offenbar den Durchmesser jedes Kreises angeben, wenn man seinen Umfang oder Inhalt kennt. Denn wissen Sie z. B., daß der Inhalt eines Kreises 1 357,2 qcm beträgt, so haben

7t n²

Sie diesen Wert in der Kolonne unter zu suchen, und finden

unmittelbar daneben unter n den gesuchten Durchmesser 432 cm.

Man kann der Aufgabe: zu einem gegebenen Kreisumfang den Durchmesser zu suchen, noch eine andere Deutung geben. Ist z. B. der Kreisumfang 1262,9 cm, also

7t n— 1262,9 cm,

so findet man doch n, indem man durch % dividiert. Deshalb kann man auch allgemeiner die Aufgabe so fassen: es soll 1262,9 durch % dividiert werden. Das Ergebnis dieser Division ist eben n, also in unserm Fall 402.

Darnach kann man mit unserer Tabelle jede Zahl durch 7t dividieren, eine gewiß wichtige und sonst recht unbequeme Aufgabe.

3. Die Verschiebung des Kommas. Bei jeder der Zahlen n müssen Sie sich ein Komma hinter der dritten Ziffer, also am Ende der Zahl denken. Wir wollen einmal überlegen, welchen Einfluß die Verschiebung des Kommas z. B. um eine Stelle nach links hervorruft. Das Komma eine Stelle nach links verschieben, heißt doch durch 10 dividieren. Also müssen Sie im Quadrat n² oder n x n jede

10 400—450

Erster Abschnitt. — Mathematik.

ns

)/ n y n

ln n

1000

nn

40016 00 00    64000000    20,0000    7,3681    5,99146    2,50000    1256,6

401    16 08 01    64481201    20,0250    7,3742    5,99396    2,49377    1259,8

402    16 16 04    64 964 808    20,0499    7,3803    5,99645    2,48756    1262,9

403    162409    65450827    20,0749    7,3864    5,99894    2,48139    1266,1

404    16 32 16    65 939 264    20,0998    7,3925    6,00141    2,47525    1269,2

405164025    66430125    20,1246    7,3986    6,00389    2,46914    1272,3

406164836    66923416    20,1494    7,4047    6,00635    2,46305    1275,5

407165649    67419143    20,1742    7,4108    6,00881    2,45700    1278,6

408    166464    67917312    20,1990    7,4169    6,01127    2,45098    1281,8

409    16 72 81    68417929    20,2237    7,4229    6,01372    2,44499    1284,9

4IO16 81 00    68 921 000    20,2485    7,4290    6,01616    2,43902    1288,1

411    168921    69426531    20,2731    7,4350    6,01859    2,43309    1291,2

412    169744    69934528    20,2978    7,4410    6,02102    2,42718    1294,3

413    170569    70444997    20,3224    7,4470    6,02345    2,42131    1297,5

414    17 1396    70957944    20,3470    7,4530    6,02587    2,41546    1300,6

415    172225    71 473 375    20,3715    7,459°    6,02828    2,40964    1303,8

416173056    71991296    20,3961    7,4650    6,03069    2,40385    1306,9

417    173889    72511713    20,4206    7,4710    6,03309    2,39808    1310,0

418    174724    73034632    20,4450    7,4770    6,03548    2,39234    1313,2

419    17 55 61    73560059    20,4695    7,4829    6,03787    2,38663    1316,3

421

422

423

424

425

426

427

428

429

17 6400    74 o88 000    20,4939    7,4889    6,04025    2,38095    1319,5

17    41    74618 461    20,5183    7,4948    6,04263    2,37530    1322,6

17    84    75 151 448    20,5426    7,5007    6,04501    2,36967    1325,8

17    29    75686967    20,5670    7,5067    6,04737    2,36407    1328,9

17    76    76225024    20,5913    7,5126    6,04973    2,35849    1332,0

18    25    76765625    20,6155    7,5185    6,05209    2,35294    1335,2

18    76    77308776    20,6398    7,5244    6,05444    2,34742    1338,3

18    29    77854483    20,6640    7,5302    6,05678    2,34192    1341,5

18    84    78402752    20,6882    7,5361    6,05912    2,33645    1344,6

18    41    78 953 589    20,7123    7,5420    6,06146    2,33100    1347.7

M O ON    "d" ro m O

t'soooo ONO h d m Tj-

430184900    79 507 OOP    20,7364    7,5478    6,06379    2,32558    1350,9

431 185761    80062991    20,7605    7,5537    6,06611    2,32019    1354,0

432186624    80621568    20,7846    7,5595    6,06843    2,31481    1357,2

433    187489    81182737    20,8087    7,5654    6,07074    2,30947    1360,3

434    18 83 56    81 746 504    20,8327    7,5712    6,07304    2,30415    1363,5

435189225    82312875    20,8567    7,5770    6,07535    2,29885    1366,6

436190096    82881856    20,8806    7,5828    6,07764    2,29358    1369,7

437    190969    83453453    20,9045    7,5886    6,07993    2,28833    1372,9

438    191844    84027672    20,9284    7,5944    6,08222    2,28311    1376,0

439    19 27 21    84 604 519    20,9523    7,6001    6,08450    2,27790    1379,2

44019 36 00    85184000    20,9762    7,6059    6,08677    2,27273    1382,3

441 194481    85766121    21,0000    7,6117    6,08904    2,26757    1385,4

442195364    86350888    21,0238    7,6174    6,09131    2,26244    1388,6

443 196249    86938307    21,0476    7,6232    6,09357    2,25734    1391,7

444197136    87528384    21,0713    7,6289    6,09582    2,25225    1394,9

445    19 ⁸⁰ 25    88121125    21,0950    7,6346    6,09807    2,24719    1398,0

446    198916    88716536    21,1187    7,6403    6,10032    2,24215    1401,2

447    19 98 09    89 314623    21,1424    7,6460    6,10256    2,23714    1404,3

448    200704    89915392    21,1660    7,6517    6,10479    2,23214    1407,4

449    2016 01    90518849    21,1896    7,6574    6,10702    2,22717    1410,6

450202500 91 125000 21,2132 7,6631 6,10925 2,22222 1413,7

12 56 64 400 12 62 93 401 12 69 23 402

127556 403

12 81 90 404

12    88 25 405 129462 406

13    01 00 407 13 07 41 408 13 13 82 409 13 20 25 410 13 26 70 411 13 33 17 412 13 39 65 413

134614 414 135265 415 13 59 18 416 136572 417 13 72 28 418 13 78 85 419

13    85 44 4 20 139205 421 139867 422

14    05 31 423 14 ii 96 424 14 18 63 425

1425 31 426 14 32 01 427 14 38 72 428 14 45 45 429 14 52 20 145896 431

146574 432

147254 433

147934 434 148617 435

14    93 01 436 149987 437 1506 74 438 151363 439

15    20 53 44O 15 27 45 441 15 34 39 442 15 41 34 443 15 48 30 444 155528 445 15 62 28 446 156930 447 15 76 33 448 1583 37 449 15 90 43 4 50

430

der Zahlen n durch 10, d. h. im ganzen durch 100 dividieren. Darnach müssen Sie im Quadrat das Komma immer um zwei Stellen nach links verschieben, wenn Sie es in der Zahl selbst um eine Stelle nach links verschieben. Ein Beispiel hierfür ist.:

433² = 187489,

43,3² = 1874,89,

0,433² = 0,187489.

Das ist auch in der Tabelle durch den Druck angedeutet. Wie Sie sehen, sind in der Quadratspalte die Ziffern zu je zweien enger zusammengedruckt und von den andern durch eine kleine Lücke getrennt worden. Das soeben Hergeleitete gilt in genau gleicher Weise

für die Kolonne wo ja ebenfalls allein das Quadrat für die

Kommaverschiebung maßgebend ist.

Durch ganz ähnliche Überlegungen werden Sie hiernach leicht selbst finden, daß in den Kubikzahlen ebenfalls in gleicher Richtung das Komma um je drei Stellen verschoben werden muß, wenn es in der Zahl um je eine Stelle verschoben wird.

Anders lautet die Regel für die reziproken Werte. Verschieben Sie in der Grundzahl wieder das Komma um eine Stelle nach links,

dividieren also durch 10, so müssen Sie ja in ^en Nenner durch

10 dividieren, also den Zähler mit 10 multiplizieren. Das ergibt aber die Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts. Allgemein muß also bei den reziproken Werten das Komma genau so viele Stellen nach rechts verschoben werden, wie es in der Zahl selbst nach links verschoben wurde; und umgekehrt.

In der Spalte unter 7t n ist die Kommaverschiebung genau dieselbe, wie bei n selbst.

Eine Schwierigkeit entsteht bei den Wurzeln. Ist z. B.

]/431 = 20,7605, so wird ja weiter

431    V431 ₌ 20,7605

yiö yiö

Nun ist aber j/lO = 3,1623; man müßte daher 20,7605 durch 3,1623 dividieren. Mit andern Worten: es ist nicht möglich hier an dieser Stelle direkt ]/43,l abzulesen. Soll dagegen "|/4,31 ermittelt werden, so ist ja

vm-y, o

431    V431    20,7605

100

yioo

10

2,07605

Sie sehen, daß die Wurzeln nur abgelesen werden können, wenn das Komma von n um 2, 4, 6, . . . Stellen verschoben wird, dann muß es bei den Wurzeln selbst um 1, 2, 3 ,.. . . d. h. um genau halb so viele Stellen verschoben werden.

Wieder können Sie sich selbst leicht überlegen, daß in den Werten der Kubikwurzeln die Kommaverschiebung nur ein Drittel Stellen von der unter n ist. D, h. bei 3, 6, 9, ... . Stellen Verschiebung unter n ergibt sich für die Kubikwurzeln eine Verschiebung des Kommas um 1,2,3,.... Stellen. Die übrigen Kubikwurzeln können ebenfalls nicht direkt abgelesen werden.

In der untenstehenden Tabelle sind die Regeln für die Kommaverschiebung unmittelbar unter den Überschriften schematisch durch Zahlen und Pfeilrichtung angedeutet und an Beispielen erläutert. Gleiche Pfeilrichtung bedeutet gleiche Richtung der Verschiebung und umgekehrt.

n²

n³

Vn K

1000

Tt n²

^1 -<2

80 062 991 20,7605    7,5537

0,75537

2,3202

23,202

232,02

2320,2

0,23202

1354,0    14 58 96

135,40    14 58,96

13,540    14,58 96

1,3540    0,14 58 96

13540 14 58 96 00

Unsere Betrachtungen haben eine scheinbar wesentliche Lücke der Tabellen aufgedeckt: man findet bisher nur eine beschränkte Anzahl von Wurzelwerten. Da hilft uns eine Umkehrung, wie wir sie schon oben besprachen, als wir durch % dividieren lernten. In der Tat sind doch Quadrieren und Wurzelziehen Umkehrungen voneinander. Stehen deshalb in einer Spalte irgendwelche Zahlen und rechts daneben die Quadrate, so kann ich auch umgekehrt die rechts stehenden Zahlen zuerst gegeben denken, dann stehen aber links daneben ihre Wurzeln. Ist also

431² = 185 761,

so ist doch auch umgekehrt unmittelbar

yi8576i = 431.

Hiernach können Sie das Wurzelziehen auch so ausführen, daß Sie den Radikanden (d. i. die Zahl, aus der die Wurzel gezogen

werden soll) unter n² aufsuchen, dann finden Sie links daneben unter n die gesuchte Wurzel.

Ganz dasselbe gilt für die dritten Wurzeln.

Stellen wir uns einmal die Aufgabe ']/ 70,783 zu bestimmen. Der Radikand 70,783 wird nicht genau so in der Tabelle vorkommen; wir begnügen uns damit, die ihm am nächsten liegende Zahl in der Spalte unter n³ aufzusuchen. Da finden wir eine gleichartige Ziffernfolge an drei verschiedenen Stellen. Nämlich

n³

n³

n³

192    7 077 888

413 70444 997

891 707 347 971

193 7189 057

414 70 957 944

892 709 732288

y 70,783 = 4,14.

Wo haben wir den richtigen Wert? Beachten wir, daß unter n3 das Komma immer um je 3 Stellen zu verschieben ist, so erkennen wir sofort, daß wir nur im zweiten Falle durch Verschiebung um 2x3 Stellen nach links aus 70,... kommen. In den beiden andern Fällen kämen wir ja auf 7, . . . bezw. 707, . . . Darnach erhalten wir als richtigen Wert In den beiden andern Fällen würden wir erhalten:

Yljym = 1,92 und y 707,83 = 8,91 So haben wir ein Mittel, um wirklich jede dritte Wurzel aus der Tafel zu bestimmen. Wie hiernach Quadratwurzeln zu ermitteln sind, und worauf bei der Berechnung des Durchmessers aus dem Kreisinhalt zu achten ist, können Sie wieder allein überlegen.

4. Das Interpolieren. Unsere Tabellen gestatten nur mit drei-ziffrigen Zahlen zu rechnen; auch Wurzeln, Kreisdurchmesser und das Ergebnis der Division durch % werden nur dreiziffrig erhalten. Wenn auch diese Genauigkeit in recht vielen Fällen durchaus hinreichend ist, so braucht man doch gelegentlich genauere Zahlenwerte. Wirklich kann man mit sicherlich nur geringem Fehler eine vierte Ziffer berücksichtigen, indem man in folgender Weise interpoliert. Unsere Aufgabe sei 428,6² zu berechnen. In der Tafel finden wir 428² = 183184 429² = 184041.

Subtrahieren wir die rechten Seiten voneinander, so finden wir, daß das Quadrat um 857 wächst, wenn die Grundzahl um 1 zunimmt. Teilen wir den Unterschied 857 in 10 gleiche Teile 85,7,

so kommt beim Anwachsen von 280 auf 280,1 bezw. 280,2 u. s. f. jedesmal 1 x 85,7 bezw. 2 x 85,7 u. s. f. zum Quadrat hinzu. In unserm Beispiel ist 6 x 85,7 = 514,2 zu addieren.

183184 + 514 428,6^ = 183 698

Es ist auf eine ganze Zahl abgerundet worden; denn über die in der Tabelle gegebene Ziffernzahl soll man beim direkten Ablesen nicht hinausgehen. Das ist notwendig, weil erstens hier die Einteilung in 10 gleiche Abschnitte der Wahrheit nicht entspricht, da die Quadrate nicht proportional den Grundzahlen anwachsen. Man denke nur an die Reihe 1, 4,9,16, 25 u. s. f. der Quadratzahlen von

1,2,3,4,5 u. s. f. Man soll sich dessen bewußt bleiben, indem man vernünftig abrundet. (So hätte man oben 183 698,2 erhalten, während sich genau 183 697,96 ergeben würde. Es hat also gar keinen Sinn, die letzte 2 noch hinzuschreiben). Zweitens treten meist

Zahlen auf, Wurzeln, «n, die selbst schon abgerundet sind,

deren nächste Stelle also garnicht bekannt ist. Bei ihnen über die gegebene Ziffernzahl hinauszugehen, ist entschieden unzulässig. Drittens soll man nicht vergessen, daß man es in der Praxis meist mit gemessenen Größen zu tun hat, deren Quadrate u. s. f. an sich schon stark abgerundet werden müssen.

Beim umgekehrten Aufschlagen soll man nie mehr als höchstens zwei Ziffern in der Regel nur eine Ziffer durch Interpolation ermitteln, da man für die Richtigkeit der weiteren Stellen keinerlei Sicherheit besitzt. Ein Beispiel möge auch das noch zeigen: es sei

— 142357 qcm; wie groß ist n? In der Tabelle finden wir

~ = 141 863 ; n = 425 4

™ = 142 531 ; n = 426 4    ⁷

Wenn also um 668 wächst, so nimmt n um 1 zu. Damit wir 4    yc ns

auf unseren Wert 142 357 kommen, muß - um 494 wachsen.

Also nimmt n im Verhältnis 494 : 668 zu, d. h. um 0,7. Der gesuchte Durchmesser hat die Länge 425,7 cm. k Sie haben wohl gesehen, wie man Tabellenwerte aufschlägt; wie aber hat man mit diesen sachgemäß weiterzurechnen? Da es

sich praktisch fast ausnahmslos um gemessene Größen oder um Zahlen handelt, die nur bis zu einer beschränkten Ziffernzahl angegeben sind, so kann nur das verkürzte Rechnen in Frage kommen, wie Sie es int vorigen Vortrag kennenlernten. Benutzung dieser Tabellen ohne verkürztes Rechnen ist entschieden zu verwerfen.

5. Die Logarithmen. Jetzt hätte ich Ihnen weiterhin die Logarithmentafel zu erläutern. Zuvor will ich Ihnen erklären, was ein Logarithmus ist, und wie man mit ihm zu rechnen hat. Das sind gewiß wichtige Dinge; wer aber nur wissen will, wie man eine Logarithmentafel benutzt, der mag diesen Abschnitt hier ruhig überschlagen, da ihm die Kenntnis weniger Regeln genügt, die ich nachher besonders zusammenstellen will.

Wenn man dieselbe Zahl 10 fortlaufend addieren soll, so bedient man sich einer abkürzenden Schreibweise. Wie genugsam bekannt, ist 10 + 10 + 10 + 10 = 4 x 10.

Man nennt diese Abkürzung ein Produkt. Das Produkt besteht aus zwei Zahlen, den Faktoren; die eine gibt an, wieviel Zahlen addiert sind, die andere, welche Zahl addiert ist.

Jetzt wollen wir fortlaufend mit derselben Zahl multiplizieren. Auch hier soll eine Abkürzung verwendet werden. Freilich muß sie anders aussehen, als die oben benutzte, damit man beide Abkürzungen, die ja ganz etwas anderes bedeuten, sofort voneinander unterscheiden kann. Man schreibt daher

10 x 10 x 10 x 10 = 10⁴.

Diese Abkürzung heißt eine Potenz und wird gesprochen: 10 hoch 4 oder die vierte Potenz von 10. 4 heißt der Exponent und 10 die Basis oder Grundzahl der Potenz. Auch hier gibt die Zahl 4 an, wieviele Zahlen zu multiplizieren sind, und die 10, welche Zahl zu inulti-plizieren ist⁴).

10² x IO³ = IO5 IO⁷ : IO⁴ = IO³.

x 10; x 10 ;

Die Art und Weise, wie Produkt und Potenz entstanden sind, ist so gleichartig, daß auch die Rechengesetze weitgehend übereinstimmen müssen. Nur ist zu beachten, daß Addition mit Multiplikation und ganz entsprechend Subtraktion mit Division zu vertauschen sind. Sie brauchen nur nachzuzählen, so finden Sie sofort die Richtigkeit der folgenden Beispiele: x 10 + 3 x 10 = x 10 — 4 x 10 =

1) Während 10 x 4 und 4 x 10 genau dasselbe bedeuten, nämlich 40, sind IO⁴ und 4¹⁰ voneinander sehr verschieden. Nur 4² ist gleich 2⁴.

ANuG 341: Neuen dorff, prakt. Mathematik.

Was hier für die Exponenten 2 und 3 bezw. 7 und 4 gezeigt wurde, gilt gerade so für alle andern Zahlen auch.

Jetzt etwas anderes. Von unserm Produkt soll nur ein Faktor bekannt sein und das Ergebnis der Multiplikation; also z. B.

10 x a = 50.

Dann sagen wir, es sei

:>u

Der Ausdruck rechts heißt ein Bruch; Brüche erkennen wir stets an dem sogenannten Bruchstrich wieder. Eine leichte Überlegung zeigt uns, daß hier der Bruch den Wert 5 besitzt.

Dasselbe wollen wir mit den Potenzen machen. Es soll etwa sein

10a = 100.

Hier schreiben wir dann kurz

a = log 100,

und nennen die rechts stehende Zahl den Logarithmus von 100¹). Als Zeichen benutzen wir die Abkürzung log. Man sieht sofort, daß der Logarithmus von 100 gleich 2 ist; denn es ist

100 = 10 x 10 = 10².

Statt der Exponenten läßt sich demnach auch ein Logarithmus setzen. Also kann man statt

10² - 100

10 los 100 ₌ 100.

ebensogut schreibet:

Entsprechend

10 lQg ¹⁰⁰⁰ = 1000; 10 ]°g³ = 3 u. s. f.

Der Logarithmus irgendeiner Zahl 7 oder 9 ist nichts anderes als der Exponent derjenigen Potenz von 10, die gerade den Wert 7 oder 9 hat. Hier ist immer 10 als Grundzahl genommen. Man könnte natürlich auch jede andere Zahl wählen; doch sind die Logarithmen zur Grundzahl 10 zum praktischen Rechnen besonders geeignet. Sie werden daher hierbei allein benutzt.

Eine Anzahl von Logarithmen können Sie sofort herleiten:

1) Während die Umkehrung der Multiplikation nur zu den Brüchen führt, kann man von der Potenz aus sowohl zu den Logarithmen als auch zu den Wurzeln kommen. Aus a² — 100 folgt ja a = y 100 = ± 10.

101    ₌ 10 ; log 10

10²    = 100 ; log 100 = 2

10³    = 1000 ; log 1000 = 3

Wir sahen oben, daß man Potenzen gleicher Basis dividiert, indem man nur die Exponenten subtrahiert. Läßt man diese Regel auch noch gelten, wenn die Differenzen negativ werden, so erhält man mit ihrer Hilfe durch Umkehrung noch die folgenden Logarithmen:

10« = io¹-¹ =

10-1 __ 1Q1-2 _

10-² = lQi —³ =

sississls

= 1; log 1 =0

⁼ 10' l0g 1Ö ”

⁼ TÖÖ' log lÖÖ ⁼ ~ ² u‘ f’

Sehen Sie die berechneten Logarithmen noch einmal durch, so erkennen Sie leicht folgendes: Der Logarithmus von 1, 10,

• ■ E loo' looo ' • • 'st immer gleich der Anzahl der

100, 1000, . .

Nullen; jedoch ist das Vorzeichen bei den Brüchen negativ.

Genau so, wie man für Brüche neue Rechenregeln anzuwenden hat, ganz andere als für ganze Zahlen (man denke z. B. an die Addition ungleichnamiger Brüche), so muß man auch für das Rechnen mit Logarithmen neue Regeln herleiten. Das ist nicht schwierig. Oben erkannten wir die Richtigkeit der Gleichungen

10 lQg ³= 3 und 10 lQg ² = 2.

Multipliziert man beide miteinander und beachtet, daß dabei die Exponenten zu addieren sind, so erhält man

10 log 3 +log 2 = 3x2.

Das bedeutet ja aber

log 3 + log 2 = log (3x2) = log 6.

Dies Resultat ist wichtig. Es heißt doch: soll man beliebig viele Zahlen miteinander multiplizieren, so kann man statt dessen mit Logarithmen rechnen, muß dann aber die Logarithmen der Zahlen addieren.

Da die Addition schneller und leichter ausgeführt ist, als die Multiplikation, so bedeutet die Verwendung der Logarithmen eine wesentliche Rechenerleichterung.

Ganz ähnlich wie oben leitet man die weiteren Regeln tjei¹) log 3 —log 2 = log (3 : 2); log 2³ = 3 x log 2; log j/2~ = Vs log 2.

Durch die beiden letzten Formeln ist das Potenzieren und das Wurzelziehen durch die beiden sehr viel einfacheren Rechnungsarten, Multiplizieren und Dividieren, ersetzt. Ja in sehr vielen Fallen werden Sie gar nicht imstande sein, auf andere Weise als mit Hilfe der Logarithmen Potenzen und Wurzeln zu berechnen.

Natürlich hätten wir oben jedes beliebige andere Zahlenbeispiel ebensogut wählen können.

6. Die Logarithmentafeln. Lassen Sie uns wieder zum eigentlichen Thema zurückkehren. Die zweite Art Tabellen gestattet, wie erwähnt, Rechenoperationen auf einfachere zurückzuführen. Da Addition und Subtraktion die einfachsten Rechnungsarten sind, so wäre das Ziel zu verfolgen, möglichst alle andern Rechnungsoperationen auf diese zurückzuführen. Solcher Tabellen gibt es für verschiedene Zwecke mancherlei. Am wertvollsten unter ihnen sind die Logarithmentafeln. Allein in Betracht kommen die gemeinen oder dekadischen Logarithmen, deren Grundzahl 10 ist; denn nur diese werden beim praktischen Rechnen verwendet.

Die erste Tabelle dekadischer Logarithmen, nicht die erste Logarithmentafel überhaupt, ist im Jahre 1624 von dem Engländer Briggs veröffentlicht worden. Die Tafel, die jedoch unvollendet blieb, enthält die Logarithmen auf 14 Dezimalstellen berechnet. Bald danach gab Black in Holland die erste vollständige dekadische Logarithmentafel heraus, in der die Logarithmen noch mit 10 Dezimalstellen angegeben waren. Seitdem ist man im allgemeinen Gebrauch mit der Anzahl der Dezimalstellen erheblich heruntergegangen. Heute begnügt man sich, abgesehen von einigen Spezialgebieten, mit vierstelligen Tafeln.

Die in den Tafeln enthaltenen Logarithmen sind so oft nachgeprüft und nachgerechnet worden, daß sie jetzt als fehlerfrei gelten

1) Die zweite Regel folgt unmittelbar, da ja das Potenzieren eine fortlaufende Multiplikation ist, der eine fortlaufende Addition der

Logarithmen entspricht. Die dritte erhält man so: es sei j/2 = a, dann ist doch 2 — a³, also log 2 = 3 x log a und folglich log a, d. h. also

log p2 — Tg X log 2.

können. Wir besitzen sogar eine siebenstellige Tafel von Wiberg, die mittels einer Rechenmaschine, einer sogenannten Differenzenmaschine, berechnet ist, die deswegen sicher fehlerfrei sein müßte. i Aus die Frage, was eigentlich Logarithmen sind, brauchen wir gar nicht einzugehen. Es genügt darüber Folgendes zu wissen. Jede Zahl besitzt einen ganz bestimmten Logarithmus (geradeso wie sie z. B. ein Quadrat besitzt u.s.f.). Ein Logarithmus ist auch eine Zahl, die man in Tabellen, den Logarithmentafeln, aufgeschrieben findet. Wie sie dort berechnet sind, kann uns ganz gleichgültig sein; sich damit zu beschäftigen, überlassen wir gern den Mathematikern.

Die Benutzung der Logarithmentafeln gewährt den ganz erheblichen Vorteil, daß an die Stelle der Multiplikation und Division die Addition und Subtraktion tritt; dazu hat man noch statt des Potenzierens und Wurzelziehens nur einfache Multiplikation und Division auszuführen. Statt viele Worte zu machen, zeige ich Ihnen das an ein paar Zahlenbeispielen:

log (5,28 x 3,76) = log 5,28 + log 3,76 log (5,28 : 3,76) = log 5,28 —log 3,76 log 27,2⁵ = 5 x log 27,2 log |/I8p = Vs log 182,5.

Man pflegt Logarithmen als Dezimalzahlen zu schreiben. Dann besteht jeder Logarithmus aus zwei Teilen. Die hinter dem Komma stehenden Ziffern sind nämlich nur von der Ziffernfolge des Numerus (so nennt man die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird) abhängig und dadurch allein bestimmt. Dagegen erhält man die vor dem Komma stehenden ganzen Zahlen allein aus der Stellung des Kommas im Numerus. Die Ziffern hinter dem Komma heißen die Mantisse des Logarithmus, diese allein steht in den Tabellen. Vor dem Komma steht die Kennziffer. Man bestimmt sie, indem man beim Numerus die Anzahl der Stellen vor dem Komma abzählt; diese Anzahl um eins verkleinert ist die gesuchte Kennziffer. Einige Beispiele werden es Ihnen sofort verständlich machen: log 6,293 = 0,79886 log 62,93 = 1,79886 log 62930 = 4,79886

Hier sind die Ziffern 79 886 die Mantisse; da wir links immer dieselbe Ziffernfolge 6293 haben, so haben alle drei Logarithmen dieselbe Mantisse. Dagegen haben wir links verschiedene Kommastellungen und deshalb auch rechts verschiedene Kennziffern, nämlich 0, 1 und 4, die nach obiger Regel berechnet sind.

Die Logarithmen echter Brüche sind negative Zahlen. Jedoch zieht man für sie eine Schreibweise als Differenz vor, durch die auch hier Kennziffer und Mantisse getrennt bleiben. Zu dem Zwecke schreibt man die Mantisse wie gewöhnlich hin und setzt 0, . . . davor. Dahinter setzt man mit einem Minuszeichen die Kennziffer, deren Wert einfach gleich der Anzahl der Nullen vor der ersten geltenden Ziffer des Numerus ist. Darnach ist

log 0,6293 = 0,79886 — 1 log 0,06293 = 0,79886 — 2.

Eine andere Schreibweise, die in mancher Hinsicht vorzuziehen ist, erhält man dadurch, daß man statt zu subtrahieren die Ergänzung der Kennziffer zu 10 vor das Komma schreibt, und stillschweigend —10 hinter den Logarithmus geschrieben denkt. Unser letztes Beispiel würde dann so aussehen

log 0,6293 = 9,79886 log 0,06293 = 8,79886.

Doch möchte ich diese Schreibweise trotz mancher Vorzüge nicht unbedingt empfehlen. Jedenfalls merke man sich, daß die Logarithmen echter Brüche wirklich negative Zahlen sind.

Hier mag erwähnt werden, daß man vorgeschlagen hat, beim Logarithmus das Komma durch einen Punkt zu ersetzen, um jeden: Dezimalbruch sofort ansehen zu können, ob er ein Logarithmus ist oder nichU). Die Methode wird vielfach verwendet; doch scheint mir für den gewöhnlichen Gebrauch eine derartige Unterscheidung überflüssig.

Für diejenigen von Ihnen, welche das vorhin von den Logarithmen Mitgeteilte verfolgt haben, will ich hier noch hinzufügen, wie sich die Bestimmung der Kennziffer ergibt. Wir sahen schon, daß

logl =0, log 10 = 1, log 100 = 2 u.f.f.

!og ^    -1,

__ log 100 2 u'

1) In Österreich wird das Dezimalkomma im allgemeinen durch einen Punkt ersetzt; dort ist die Unterscheidung jedenfalls nicht durchführbar.

ist. Liegt eine Zahl zwischen 1 und 10, so muß folglich ihr Logarithmus mit 0, . . . beginnen. Wirklich ist

log 6,293 = 0,79886.

Verschiebt man das Komma, so ergibt sich folgendes Resultat:

log 62,93 = log (10 x 6,293) = log 10 + log 6,293 = 1 + 0,79886 = 1,79886

log 6293 = log (1000 x 6,293) = log 1000 + log 6,293 = 3 + 0,79886 = 3,79886

log 0,6293 = log (6,293 :10) = log 6,293 — log 10 -- 0,79886 — 1

u.s.f-

Sie sehen unsere Regeln zur Bestimmung der Kennziffer durch einfache Nachrechnung bestätigt.

Hierunter ist eine Doppelseite einer Logarithmentafel abgedruckt, auf der Sie die Logarithmen der Zahlen von 6000 bis 7000 finden. Obwohl für die meisten Zwecke vierstellige Logarithmen genügen, habe ich hier doch eine fünfstellige gewählt, da diese nun einmal noch sehr viel im Gebrauch sind. Was ich Ihnen mit Bezug auf diese Tabelle erkläre, gilt natürlich vereinfacht genau so für vierstellige. Die drei ersten Stellen des Numerus stehen in der ersten Vertikalspalte links, die vierte Stelle steht ganz oben in der ersten Horizontalreihe. So finden Sie z. B. den Logarithmus von 6795, indem Sie an der Stelle 679 nach rechts und gleichzeitig unter 5 abwärts gehen. Bei den Logarithmen sehen Sie vorgedruckt 83; das sind die beiden ersten Ziffern der Mantisse, die für alle dahinter gedruckten je drei Ziffern gelten. Der Raumersparnis wegen sind sie nur einmal gedruckt. Das Resultat wäre

log 6795 = 3,83219

An einer andern Stelle würden Sie ablesen können:

log 6768 = 3,83046.

Vor 046 steht eigentlich noch 82; der Stern deutet aber an, daß bereits die nächste Vorzahl 83 zu nehmen ist.

Die Tafeln gestatten durch Interpolation noch eine fünfte Ziffer des Numerus zu berücksichtigen. Dazu berechnet man die Differenz von einem Logarithmus zum nächsten bezogen auf die letzte Ziffer der Mantisse als Einheit. In den Jnterpolationstäfelchen rechts ist diese Differenz als Überschrift gewählt. In der Vertikalspalte steht die fünfte Stelle des Numerus, rechts daneben der Summand,

600 77 815    822

830    837

844    851

601

603

•ä

604

605

606

607

608

609

4k Ca) Ca)    t0    —    —    O    SO 00

Cs sO —    4k    O    Ca»    Cs 00

ts) O sO    *<4    Cs 4k    ts)    O ^4

4k Ca) Ca>    ts)    —    —    o    SO 00

Os SO ts)    Ln    00    —    Ca)    Cs sO

sO 00 Os 4» Ca) f« vO M Ln

902    909

974    9*i

046    053

197

333    340

405    412

476    483

4k 4k Ca> to ts) f O sO sO sO — 4k s4 06) Os 00 — O sO v4 Cs 4k ts) — 00 Cs

-d-sO 00 O f PO mvo d Cs so    -d- — oo in d Cs

cs cs O — d d    po ^ rh

610

611

n    Interpolations-

•' täfelclien:

859    866    873    880

Ln 4k    Ca)    ts)    ts)    —    O    O    SO

O Ca)    Cs    so    —    4k    V4    OL)

4k Ca)    ts)    O    vO    vj    Ln    Ls)    —

Ln 4k    Ca)    ts)    ts)    —    O    O    sO

— 4k    Cs    vO    ts)    Ln    OO    —    CA)

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der noch zu den letzten Ziffern der Mantisse hinzuzufügen ist. So ist

z. B. '

log 63078 = 4,79982

4,79988

Hier betrug die Differenz der Logarithmen 7. Also kommt bei 8, wie wir dem Täfelchen rechts entnehmen, noch 5,6 hinzu. Diese Zahl ist auf 6 abzurunden; denn da wir die sechste Stelle der Mantisse nicht kennen, können wir auch zu ihr nichts addieren. Man hüte sich umgekehrt bei der Bestimmung des Numerus, wenn der Logarithmus bekannt ist, mehr als fünf Ziffern zu bestimmen. Aus fünfstelligen Logarithmentafeln kann man richtig nur fünfstellige Zahlen gewinnen, das läßt sich mathematisch beweisen. Im übrigen findet man aus dem Logarithmus den Numerus, indem man das obige Verfahren, genau umkehrt. Ein Beispiel mag genügen. Es sei

19

log x — 1,82423

x = 6,6716

In der Tafel steht die Mantisse 82419; dort beträgt die Differenz 7, wir haben noch 4. In den Jnterpolationstafeln steht unten 7 am nächsten unserer 4 eine 4,2; dann gehört als fünfte Stelle zum Numerus eine 6.

Beim Rechnen mit Logarithmen, wie überhaupt bei allen ausgedehnteren Rechnungen, achte man sehr auf eine geschickte und übersichtliche Anordnung. Außerdem ist auf sorgfältiges Schreiben zur Vermeidung von Fehlern das größte Gewicht zu legen.

Ich will Ihnen hier ein Beispiel einer längeren Rechnung geben, das Sie selbst nachprüfen mögen. Die durch Interpolation gewonnene Verbesserung fügt man meist im Kopf rechnend sofort hinzu; das ist auch hier geschehen. Im übrigen kann ich auch hier nur wiederholen, daß zum Erlernen des Logarithmenrechnens viele selbständige Übung gehört, alle Erklärungen allein bleiben sonst nutzlos. Es sei zu berechnen:

67,597- x 0,69731 6587,4 x 0,00648

log 67,597 = 1,82993 2 log 67,597 = 3,65986 log 0,69731 = 0,84343 — 1 log Zähler = 3,50329 log Nenner = 0,72094 — 1

log 6587,4 = 3,81871 i/r log 6587,4 = 1,90936 log 0,00648 = 0,81158 — 3 log Nenner = 0,72094 — 1

log X

= 3,78235

Ergebnis: x = 6058,3.

Die Logarithmentafeln sind ein sehr wichtiges Rechenhilfsmittel. Sie besitzen indessen einen großen Mangel: vollständig logarithmisch läßt sich ein Ausdruck nur dann berechnen, wenn in ihm keinerlei Addition oder Subtraktion vorkommt. Diesen Mangel besitzt nicht die Rechenmaschine. Wenn diese erst einmal billiger geworden sein wird, dann wird sie die Logarithmentafel fast überall verdrängen. Schon heute ist aber vor einer einseitigen Bevorzugung der Logarithmentafel dringend zu warnen. Bei Schülern schon deswegen, weil die notwendige Geschicklichkeit im gewöhnlichen Rechnen sonst stark verloren geht. Mit Recht wird über die mangelhafte Fähigkeit, die gerade die Absolventen höherer Lehranstalten im Rechnen besitzen, geklagt. Außerdem sollte sich die Schule den modernen Bestrebungen, die dahin zielen, von der Logarithmentafel loszukommen, noch mehr anschließen. Neben der Rechenmaschine werden es andere Tabellen sein, die mit ihr zusammen Verwendung finden, z. B. die Tabelle der natürlichen Werte der Winkelfunktionen. Solche Tabellen sind im Unterricht heranzuziehen. Vor allem wird der Charakter der für die Ausrechnung geschicktesten Formeln ein anderer werden als bisher. Wenn auch für mechanische Rechenapparate noch mehr das gilt, was oben über die Herabminderung der Rechenfähigkeit gesagt wurde, so darf doch der Unterricht nicht achtlos an ihnen vorübergehen. Rechenschieber sowohl wie Rechenmaschine sollte jeder Schüler kennenlernen. Von diesen Apparaten und ähnlichem wird der nächste Vortrag handeln.

VI. Vortrag.

Mechanische Rechenhilfsmittel.

Im Handwerk hat es begonnen; da ist wohl zuerst gründlich die Arbeit unserer zwei Hände durch Maschinenkraft ersetzt worden. Wer kann sich wohl noch vorstellen, wie man ohne all die tausend Werkzeugmaschinen auskommen sollte! Büro- und Geschäfts-

betrieb haben die Maschinen umgewandelt; Schreibmaschinen oder Zählkassen können wir heute garnicht mehr entbehren. Ist schon in jenen Gebieten das Ausschalten geistiger Tätigkeit keineswegs immer von Nutzen gewesen, so überwiegt der Schaden gar oft, wenn die Maschine geistige, namentlich künstlerische Betätigung ersetzen soll. Mit Recht werden wir uns trotzdem freuen können, wenn es in vernünftiger Weise möglich wird, geistige Arbeit, zumal wenn sie einförmig und immer gleichartig ist, durch mechanische Hilfsmittel zu leisten. Zu dieser Art Tätigkeit gehört z. B. das Rechnen. Hochwillkommen und bald unentbehrlich sind uns heute Rechenmaschinen. Aber schon hier muß vor Übertreibungen gewarnt werden. Die Rechenkunst soll nach wie vor sehr ernst gepflegt werden. Jene Techniker z. B., die ohne ihren Rechenschieber ganz hilflos sind, die mit ernstestem Gesicht auf ihm ablesen 2 x 2 = 3,999 also rund „4" und erstaunt um sich blicken, wenn sie ausgelacht werden, sind doch ein gar trauriger Anblick (übrigens kann man ähnliches nicht nur immer wieder beim Rechenschieber, sondern gerade so gut bei Verwendung der Logarithmentafel beobachten). Auch mit mechanischen Hilfsmitteln soll man nicht gedankenlos arbeiten; man vermeide sie, wo sie überflüssig sind, aber ebenso sicher ziehe man sie da zur berechtigten Erleichterung heran, wo sie von Nutzen sind. Hauptsächlich kommen für uns heute der Rechenschieber und die Rechenmaschinen in Betracht; diese sollen zum Schluß besprochen werden.

1. Graphische Logarithmentafeln. Im ersten Vortrage haben wir vom Nutzen graphischer Darstellungen gesprochen. Trotz mancher Vorteile sind graphische Tabellen als Rechenhilfsmittel wenig im Gebrauchs). Fig. 58 zeigt Ihnen eine vollständige Logarithmentafel, die sämtliche Logarithmen vierstelliger Zahlen auf vier Stellen genau liefert. Die Scheibe (von E. Leder, hergestellt von der Industriellen Handelsgesellschaft in Berlin. Preis 3 Mk.) hat einen Durchmesser von 21 cm, ist also sehr handlich. Man erspart bei ihrem Gebrauch das lästige Umblättern der gewöhnlichen Tabellen; das Ablesen erfordert bei einiger Übung kaum mehr Zeit. Da wo in dem inneren Kreise 00 steht, beginnt die Tafel. Man hat auf einer Geraden nach irgend einem Maßstab als Längen die Werte der Logarithmen abgetragen. Also da log 1 = 0 ist, so heißt der erste Punkt,

1) Eine sehr einfache und hübsche Methode der" Herstellung einer graphischen Logarithmentafel gibt Perry in feinem Buche: Praktische Mathematik. Deutsch von Lenke. Wien 1903. S. 43.

dessen Längenabstand ja 0 ist, 1; weiter ist z. B. log 2 --- 0,3010; deswegen schreibt man im Längenabstand 0,3010 die Zahl 2 hin u.s. f. Aber freilich würde eine gerade Linie, aus der Logarithmen vierstellig abgetragen werden, meterlang sein müssen. Daher hat man hier von innen nach außen Strahlen gezogen, fängt bei irgend einem Strahl mit dem Abtragen an und geht fortlaufend immer wieder

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Fig. 58.

beginnend auf den nächsten über. Die vorher abgetragene Länge ist für jeden Strahl auf dem inneren Kreise aufgeschrieben. Auf dem beweglichen Zeiger in unserer Figur ist der Maßstab, nach dem gearbeitet wurde, aufgezeichnet. Will ich wissen, wie groß der Logarithmus einer Zahl ist, so messe ich nach, welche Länge bis zu dieser Zahl abgetragen wurde. Dazu drehe ich den Zeiger, bis an den Strahl, auf dem die Zahl steht. Auf dem Jnnenkreise stehen die beiden ersten Ziffern, auf der Teilung des Zeigers lese ich die beiden nächsten

Ziffern ab. Natürlich handelt es sich nur, genau wie bei der Logarithmentafel, um die Ablesung der Mantisse. In der Figur werden Sie wohl als Beispiel finden können:

log 1335 = 3,1255

Das Bemerkenswerte ist, da wo die Zahl 700 steht, ist die abgetragene Länge gleich der Mantisse von log 700 u. s. f.

Hier will ich eine Bemerkung einschalten, die ebenso für alles Folgende gilt. Will man einen mathematischen Rechenapparat verstehen, so muß man ihn selbst in die Hand nehmen und wirklich zum Rechnen benutzen. Daher soll Ihnen meine Darstellung nur eine möglichst klare Vorstellung von der Konstruktion und dem Gebrauch eines Apparates und von dem, was er zu leisten vermag, geben; eine jede Einzelheit erläuternde Anleitung wird doch jedem Apparat beigegeben. Besser noch, Sie versuchen durch eigenes Probieren die Handhabung zu finden, dann kommen Sie umso schneller zu einer gesicherten Geschicklichkeit im Gebrauch desselben.

2. Der Rechenschieber. Die Rechenscheibe gestattet, schnell und mit guter Genauigkeit Logarithmen abzulesen; zum wirklichen Rechnen gebraucht man aber immer noch Tinte und Feder. Jeder Logarithmus muß aufgeschrieben werden und dann hat man Summe, Differenz u. s. f. zu bilden, um zum gewünschten Ergebnis zu kommen.

Naheliegend ist da der Wunsch, einen Apparat zu besitzen, an betn jene Ausrechnungen unmittelbar ausgeführt und sogleich Ergebnisse selbst abgelesen werden können. Ein sehr bekanntes und mit Recht weit verbreitetes Instrument dieser Art ist der sogenannte Rechenschieber, den Sie namentlich in der technischen Praxis überall angewendet finden.

Ein Stab von 25 cm Länge enthält eine logarithmische Teilmrg, ganz wie ich Ihnen bei der Rechenscheibe beschrieben habe. Nur verlangt man wenige Dezimalstellen genau, so daß man mit einer Länge von 25 cm auskommt. Fig. 59 enthält unten die gewöhnliche, darüber die logarithmische Teilung. Sie sehen, als Längeneinheit ist die Länge des ganzen Stabes gewählt. Über 0,6 steht z. B. in der logarithmischen Skala 4; in der Tat ist log 4 = 0,6 u.s.f. Jetzt aber befindet sich über der einen Skala auf einem beweglichen Schieber noch eine zweite, genau gleichartige Teilung. Um uns bequem verständigen zu können, wollen wir etwa den unteren festen Teil des Apparates kurz den Stab und den beweglichen den Schieber nennen.

Damit ist das zum Rechnen notwendige Material bereits geliefert, wie ich Ihnen an ganz einfachen Beispielen zeigen will. Ich wähle so einfache Beispiele, obgleich kein vernünftiger Mensch dazu jemals den Rechenschieber verwenden wird, weil an ihnen die Methode, auf die es uns jetzt allein ankommt, deutlich hervortritt. Sie selbst werden, wenn Sie einmal vergessen haben, wie

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Fig. 59.

dies oder jenes zu machen ist, an einfachen selbstverständlichen Beispielen das gesuchte Verfahren schnell wieder herausprobieren können.

Wählen wir zuerst als Multiplikationsbeispiel 2x3 = 6.

Da wir logarithmische Teilung haben, müssen wir die Gleichung umsetzen in

log 2 + log 3 = log 6.

Wir haben darnach die mit 2 und 3 bezeichneten Strecken zu addieren, um das Produkt zu erhalten, denn auf unserer Teilung bedeutet ja die Strecke bis 2 die Größe des Logarithmus von 2 u. s. f. Das machen wir, wie es Fig. 59 zeigt, indem wir zur Länge des Stabes bis 2 die Länge des Schiebers bis 3 addieren, wobei der Anfangspunkt des Schiebers auf 2 des Stabes einzustellen ist. Unter der 3 des Schiebers lesen wir das Ergebnis 6 auf dem Stabe ab. In der Figur sind die zu beachtenden Zahlen durch Pfeile kenntlich gemacht. Also ist das Verfahren einfach dies:

Man berechnet ein Produkt (2,45 x 3,87), indem man die 1 des Schiebers über dem einen Faktor (2,45) einstellt, und unter dem auf dem Schieber aufgesuchten zweiten Faktor (3,87) das Ergebnis (9,48) auf dem Stabe abliest.

Anders sieht die Sache aus, wenn Sie z. B. 3 x 4 berechnen wollen, denn Sie erkennen in Fig. 60 sofort, daß die 4, unter der Sie ablesen wollen, über die Stabteilung hinausragt. Man müßte also diese Teilung fortsetzen, wollte man wie bisher ablesen.

Überlegen Sie einmal, wie wohl diese Fortsetzung aussehen müßte. Wo würde z. B. die Zahl 20 stehen? Nun, es ist ja 20 = 2 x 10 oder logarithmisch log 20 = log 10 + log 2. Der log 10 ist gerade gleich der Länge des Stabes, dazu käme noch log 2 oder 0,301. Wir

müssen über die 10 hinaus genau das Stück vom Anfang des Stabes bis zur 2 abtragen. Mit anderen Worten: es würde genau dieselbe Teilung noch einmal kommen wie bis zur 10, nur stände überall statt 2, 3, 4 ... . eine 20, 30, 40 ... . — jede Zahl mit 10 multipliziert. In unserem Beispiel könnten wir das Stück bis zur 4, das

75

Fig. 60.

über den Stab von 10 ab hinausragt, in den Zirkel nehmen, und vorn auf der Skala nachmessen. Wir würden auf 1,2 kommen, was ja aber auf der verlängerten Skala 12 bedeutet. In der Tat ist 3x4=12.

Direkt mißt man das überragende Stück nach, wenn man einstellt, wie es Fig. 61 zeigt. Man verschiebt den Schieber so, daß seine 10 über der 3 einsteht, und liest unter der 4 zunächst 1,2 ab; dies Ergebnis ist noch mit 10 zu multiplizieren. Eine einfache Überlegung zeigt Ihnen, daß man wirklich so nachgemessen hat, um welches Stück die Länge bis 3 plus der Länge bis 4 größer ist als

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Fig. 61.

die ganze Länge diesmal des Schiebers.

Wie kann man wohl bei zusammengesetzten Zahlen einfach die Stellung des Kommas im Ergebnis ermitteln? Von den vielen Regeln, die es gibt, nenne ich hier folgende:

Man zählt nach, wieviele Ziffern die sämtlichen Faktoren zusammen vor dem Komma besitzen. Von dieser Zahl subtrahiert man jedesmal eins, wenn der Schieber bei der Multiplikation rechts herausragt, läßt sie dagegen ungeändert, wenn der Schieber links herausragt. Die verbleibende Zahl gibt die Anzahl der Stellen vor dem Komma, die das Ergebnis besitzt.

Vergleichen Sie unsere Beispiele, so werden Sie diese Regel bestätigt finden.

Jetzt zur Division. Da ist nicht viel Neues zu sagen, da nur statt wie oben zu addieren hier zu subtrahieren ist. Soll z. B. 6 : 3 berechnet werden, so ist von der Strecke bis 6 die Strecke bis 3 zu

subtrahieren. Man stellt, wie in Fig.62, die 3 des Schiebers über der 6 des Stabes ein und liest unter der 1 des Schiebers das Ergebnis 2 ab. Auf diese Weise ist die vorgeschriebene Subtraktion wirklich ausgeführt. Übrigens erkennen Sie in Fig. 62 die Fig. 59 wohl wieder.

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'5 A

>b ,7 ig ,£ ,10 I

Fig. 62.

Ragt hierbei der Schieber links heraus, wie uns Fig. 63 für das Beispiel 2 : 5 zeigt, so ist nicht einmal eine neue Einstellung nötig. Genau wie oben erkennen wir nämlich, daß eine Fortsetzung der Teilung nach links hin genau so aussehen müßte wie die Stabteilung, nur stände statt 2, 3, 4 ... . jetzt 0,2; 0,3; 0,4 .... — jede Zahl durch 10 dividiert. Offenbar ist bei unserer Einstellung der links überragende Teil des Schiebers genau so lang, wie der rechts herausragende Teil des Stabes, so daß unter der 10 bereits das gesuchte Ergebnis 4 steht, das nur noch durch 10 zu dividieren ist. Es ist ja auch 2:5 =l0,4.

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'3 A '5 b j~T\

Fig. 63.

Die Kommaregel lautet ähnlich wie oben: man zählt die Anzahl der Stellen vor dem Komma der sämtlichen Zahlen des Zählers; davon subtrahiert man die Anzahl sämtlicher Stellen vor dem Komma der Zahlen des Nenners. Zu der Differenz addiert man jedesmal'eins, wenn bei der Division der Schieber rechts herausragt, dagegen bleibt sie unverändert, wenn der Schieber links herausragt. Die übrigbleibende Zahl gibt an, wie viele Stellen das Ergebnis vor dem Komma besitzt. Bleibt eine negative Zahl, so folgen dem Komma zunächst so viele Nullen, wie diese Zahl angibt.

Der ausgeführte Rechenschieber enthält noch eine weitere Doppelteilung genau über der bisher beschriebenen. Auf der gleichen Strecke von 25 cm sind jedoch die Zahlen von 1 bis 100 logarithmisch abgetragen, so daß die gewählte Längeneinheit hier genau halb so lang ist, wie bei der unteren Teilung. Daraus folgt übrigens, daß man mit der unteren Teilung wesentlich genauer rechnet, als mit

ANuG341: Neuendorff, prakt. Mathematik.

der oberen. Möglichst ist nur die untere Skala zu benutzen. Welchen Wert hat wohl diese Einrichtung? Dadurch erreicht man, daß über jeder unteren Zahl oben genau das Quadrat und umgekehrt unter jeder oberen Zahl unten genau die Wurzel steht. Den Grund hierfür werden Sie sofort einsehen. Das Quadrat einer Zahl muß ja doppelt so lange Logarithmenstrecken besitzen, wie die Zahl selbst, nach der oben erwähnten Formel log 3² = 2 x log 3 u. s.f. Da oben die Längeneinheit nur halb so groß ist wie unten, so geht z. B. auf die untere Strecke log 3 die obere Strecke von log 3 zweimal, das ctbet gibt gerade das Quadrat von 3. In unserer Fig. 64 können Sie es an einigen Beispielen verfolgen.

Ähnlich wie hier beschrieben kann man auch die dritten Potenzen und allerdings umständlicher die dritten Wurzeln ermitteln. Endlich findet man auf der Rückseite noch Teilungen, die es ermöglichen, die Werte der Logarithmen und der vier Winkelfunktionen, Sinus,

g 3 •    6 b ,7 & SfSO

TL

TL

%    '5 'b 's 'a;ioT

Fig. 64.

Kosinus, Tangens und Kotangens anzugeben. Doch gebraucht man diese Einrichtungen im allgemeinen nur selten.

Etliche Zahlenwerte, die häufig gebraucht werden, pflegen durch besondere Marken angegeben zu werden. So liegt mir ein Rechenschieber der Firma Dennert & Pape in Altona vor, auf dem

7k 2

7t, 100 -p y~ gekennzeichnet sind. In Fig. 65 sehen Sie das Bild

eines solchen Rechenschiebers, wie er auch von verschiedenen anderen Firmen sehr brauchbar hergestellt wird.

Der Preis eines guten Rechenschiebers normaler Größe beträgt ungefähr 9 Mark. Wer zunächst nur einmal den Apparat probieren will, dem wird ein aus Kartonpapier verfertigter Rechenschieber gute Dienste leisten, der bereits für 75 Pfennige zu haben ist. Sehr hübsch ist der namentlich für Schulzwecke hergestellte kleine hölzerne Rechenschieber (Skalenlänge 12,5 cm) der schon genannten Firma Dennert & Pape in Altona, der nur^3/Mark kostet.

Ich kann Ihnen sehr raten, es einmal mit einem Rechenschieber zu versuchen. Bei einiger Übung werden Sie bald mit Freuden erkennen, welche Erleichterung er zu verschaffen vermag. Namentlich

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wenn Sie fortlaufend Multiplikationen und Divisionen auszuführen haben, wobei der sogenannte Läufer eine wichtige Rolle spielt, wird er Ihnen wertvoll sein. Leider teilt er mit den Logarithmentafeln den Nachteil, nicht bei der Addition und Subtraktion Verwendung finden zu können. Kommen diese Rechenoperationen vor, so muß jeder Teil für sich ausgerechnet und nebenbei addiert bzw. subtrahiert werden.

3. Rechenschieber mit verlängerter Skala. Die Teilung eines normalen Rechenschiebers ist, wie erwähnt, 25 cm lang. Auf so kurzer Strecke läßt sich natürlich nicht gar so große Genauigkeit der Einstellung und Ablesung erzielen. Im ungünstigsten Falle kann man zur ganzen Zahl noch zwei Dezimalstellen ablesen, so daß die Genauigkeit ungefähr 0,1 °/₀ beträgt. In vielen Fällen reicht das nicht aus. Zahlreich sind die Versuche, durch Verlängerung der Skala größere Genauigkeit zu erzielen. Zunächst hat man es durch direkte Verlängerung des Rechenschiebers versucht, wobei ein wenig handliches aber recht teures Instrument entstand. Dann aber hat man, ähnlich wie oben auf der Rechenscheibe, die Teilung in einer anderen Reihe fortgesetzt, sei es horizontal untereinander, sei es auf runden Scheiben in Kreisen, Spiralen oder radial angeordnet. In diesen Fällen braucht man fast immer eine zweite durchsichtige kongruente Tafel, die auf die erste beim Ablesen gelegt werden muß. Das ist alles zwar genauer, als beim gewöhnlichen Rechenschieber, aber weit weniger einfach bei der Handhabung. Die Benutzung der Apparate wird häufig geradezu umständlich durch die Sorgfalt, die man auf Einstellung und Ablesung verwenden muß. Erwähnen möchte ich noch die verhältnismäßig gut brauchbaren Rechenwalzen, bei denen die außerordentlich lange und deshalb genaue Teilung in horizontalen Streifen fortgesetzt und auf eine Walze aufgewickelt ist.

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Fig. 65.

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Was sich auf dem Wege, der durch den Rechenschieber vorgezeichnet ist, erreichen läßt, dürfte erreicht sein. Man kann wohl sagen, daß der Rechenschieber selbst vermöge seiner bequemen Verwendbarkeit für schnelles Rechnen seinen Zweck aufs beste erfüllt, solange keine große Genauigkeit verlangt wird. Daher erfreut er sich mit Recht seiner großen Beliebtheit. Alle weiteren Apparate haben dagegen nicht das geleistet, was man von ihnen verlangen muß. Sie werden daher vollständig verdrängt durch die eigentlichen Rechenmaschinen.

4. Rechenmaschinen. Wohl jeder von uns hat seine ersten Rechenkünste an dem wohlbekannten Rechenbrett mit seinen auf Drähten aufgereihten Kugeln ausgeübt. Dieser in ähnlicher Form bereits im Altertum bekannte Apparat wird noch heute z. B. in Rußland

10/|

beim praktischen Rechnen in ausgedehntestem Maße verwendet. Ein weiter Schritt trennt jenes alte Instrument von unseren heutigen Maschinen.

Fig. 66.

Es kann hier unmöglich als unsere Aufgabe betrachtet werden, alle Konstruktionsarten und alle Einzelteile der modernen Rechenmaschinen zu besprechen. Ich will mich damit begnügen, Ihnen das Prinzip einer allerdings sehr verbreiteten Übertragungsart kurz zu erläutern. Ich wähle das Schaltrad von Odhner, das Sie in Fig. 66 abgebildet sehen. Sie erkennen nebeneinander neun Zähne angeordnet. Durch Drehen mit dem rechts unten sichtbaren Zapfen kann man bewirken, daß eine gewünschte Anzahl von Zähnen hervorragen. Unter diesem Schaltrad befindet sich, wie Fig. 67 zeigt, ein Zahnrad, auf dem die Zahlen 0 bis 9 aufgeschrieben sind. Ragen etwa, wie in Fig. 66, fünf Zähne heraus, und drehen Sie das Schaltrad einmal herum, so greifen diese fünf Zähne nacheinander in das Zahnrad ein und drehen es jedesmal um eine Nummer weiter. An Stelle der 0 erscheint also die 5. Wollen Sie hierzu weiter 3 addieren, so stellen Sie am Schaltrad drei Zähne ein und drehen wieder einmal ganz herum; dadurch wird das Zahnrad um weitere drei Nummern gedreht, so daß die 8 erscheint u. s. f. Gleichzeitig können Sie Zehner, Hunderter u. s. f.

addieren, indem Sie, wie tu Fig. 67 angedeutet, für diese jedesmal ein neues gleichartiges Schalt- und Zahnradpaar anordnen. Also addieren Sie z. B.

35622 + 42375,

indem Sie, von links beginnend, zuerst 3, 5,6, 2 und 2 Zähne herausragen lassen und die Kurbel ganz herumdrehen, und dann zweitens, ebenfalls von links beginnend, 4, 2, 3, 7 und 5 Zähne herausragen lassen und wieder die Kurbel ganz herumdrehen. Wirklich wird dann da, wo jetzt die Nullen stehen, das Ergebnis 77 997 erscheinen. Wie nun aber, wenn 2 zu 9 addiert werden soll? Das Einerrad wird offenbar richtig bis zur 1 gedreht. Jetzt soll aber auch beim Zehnerrad die 1 erscheinen. Das wird aus sehr verschiedene Weise erreicht. Hier dient dazu das Zähnchen 10 in Fig. 66, das sie seitlich verschoben k

2GBBB

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33 GS

EJ

WM

Fig. 67.

zu denken haben, so daß es im allgemeinen in die Zahnräder nicht eingreift. Wird jedoch die Null des Einerrades überschritten, so drückt ein besonderer in Fig. 67 nicht mitgezeichneter Mechanismus dieses Zähnchen beim Zehnerschaltrad nach links, so daß es zum Eingriff kommt und das Zehnerrad um eine Nummer weiter dreht.

Der beschriebene Mechanismus leistet auch die Multiplikation, die ja ursprünglich nichts als eine fortgesetzte Addition ist und hier geradeso behandelt wird. Sollen Sie z. B. 3 x 7 ausrechnen, so stellen Sie beim Schaltrad 7 Zähne ein und drehen die Kurbel dreimal herum. Dann wird in der Mittelstellung der Zahnräder das Ergebnis 21 erscheinen. Damit Sie sicher wissen, wie oft Sie die Kurbel herumgedreht, also mit welcher Zahl Sie multipliziert haben, ist die Kurbel mit einem Zählrad verbunden, das Sie in Fig. 67 links sehen. Der Zeiger S dreht bei jeder Kurbeldrehung das Zählrad, in das er eingreift, um eine Nummer weiter. Praktisch undurchführbar wird die Methode, wenn große Zahlen miteinander zu multiplizieren sind; denn einige hundert- oder gar tausendmal kann man nicht die Kurbel herumdrehen. Aber dann verführt man geradeso, wie beim gewöhnlichen Multiplizieren. Sehen Sie sich die Aufgabe an:

34875 x 6832

69750

104625

279000

209250

238266000

Wie hat man da gerechnet? Man multipliziert den Multiplikandus zunächst mit den Einern, also mit 2, darauf multipliziert man mit den Zehnern, aber so, als wären es auch Einer, nur schreibt man alle Zahlen um eine Stelle nach links verschoben, so daß die erste 5 zu den Zehnern des früheren Ergebnisses addiert wird u.s. f.

Geradeso verfährt man mit der Maschine. Die Schalträder werden von links beginnend auf 3, 4, 8, 7, 5 Zähne gestellt. Man dreht die Kurbel zuerst zweimal. Dann verschiebt man die Zahnräder so weit nach rechts, daß das Einerschaltrad in das Zehnerzahnrad eingreift und dreht die Kurbel dreimal. Da auch der Zeiger S links in das zweite Zählrad links eingreift, so erscheint auch dort richtig als Anzahl der Zehner, mit denen multipliziert wurde, die 3. Weiter müßte man wieder eine Stelle nach rechts verschieben und achtmal drehen, endlich nochmals verschieben und sechsmal drehen. Links unten würde:: wir als Anzahl der Drehungen 6832 und rechts unten bei genügender Anzahl von Zahnrädern das Produkt 238 266 000 ablesen.

Subtraktion uitb Division lassen sich nach der beschriebenen Methode weniger bequem ausführen. Gewöhnlich stellt man den Subtrahen-dus bzw. Dividendus bei den Zahnrädern ein und dreht die Kurbel rückwärts. Statt der Division wird die Multiplikation mit den reziproken Werten der Zahlen empfohlen; zu diesem Zwecke sind besondere Tabellen dieser reziproken Werte herausgegeben worden.

Das Problem, eine Additionsmaschine, die nur diese Rechenoperation leistet, herzustellen, ist aufs vorzüglichste gelöst. Die Einstellung der Schalträder geschieht sehr bequem und schnell durch Herabdrücken von Tasten, wie Sie es wohl alle von den Schreibmaschinen her kennen. Die besten Maschinen schreiben gleichzeitig Summanden und Summen auf einem Papierslreifen auf. Die erste Maschine, die gleichzeitig alle vier Rechenoperationen auszuführen gestattete, ist von Leibniz im Jahre 1671 ausgeführt worden. Noch heute ist uns eine solche Maschine, zwei sind damals sicher hergestellt worden, erhalten geblieben; sie wird im Kästner-Museum in Hannover aufbewahrt. In der langen Entwicklungsreihe, die diese Art Maschinen bis heute durchgemacht haben, sind wir noch nicht am Ende angelangt.

In den Figg. 68 und 69 zeige ich Ihnen als Beispiel eine Maschine,

Fig. 68.

die nach dem oben beschriebenen Prinzip gebaut ist. Dieses weitverbreitete Maschine hat zwar wesentliche Mängel, besitzt aber den Vorzug, nur kleinen Raum zu beanspruchen, so daß sie bequem auf dem Schreibtisch untergebracht werden kann. Auch ist der Preis, verglichen mit anderen Maschinen, nicht hoch (zirka 500 Mark). Fig. 68 zeigt die Einstellung von 1 x 9756. Damit die gewünschte Anzahl Zähne am Schaltrad herausragt, hat man den oben sichtbaren Zapfen bis zu dieser Zahl herunterzudrehen. Offenbar ein recht unvollkommenes Verfahren, dem die Tastatur der Additionsmaschinen weit vorzuziehen ist. Leider ist es bisher mn in ganz seltenen Fällen gelungen, diesen Mangel, den unsere Maschine mit fast allen gemeinsam hat, zu beseitigen. Der Pfeil links

1) Brunsviga-Rechenmaschine der Firma Grimme, Natalis u. Co. in Braunschweig. Zu höherem Preise fertigt die Firma verschiedene verbesserte Typen unter anderm mit Schreibvorrichtung.

deutet an, daß jetzt mit den Einern multipliziert wird. In Fig. 69 ist die Multiplikation 101 x 79 ausgeführt worden. Sie sehen das Ergebnis 7979. Dementsprechend zeigt der Pfeil links auf die Hunderter, denn mit diesen ist zuletzt multipliziert worden.

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Fig- 69.

Auch diese Maschinen können mit einem Schreibwerk versehen werden, das die Ergebnisse unmittelbar gedruckt liefert.

Wenn auch Die heute vorhandenen Maschinen zur Ausführung aller vier elementaren Rechenoperationen den höchsten Anforderungen noch nicht genügen, so ist doch ihre Konstruktion bereits soweit durchgebildet, daß sie zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden sind, dem Sie in vielen Büros schon heute begegnen, und dessen Verbreitung unaufhaltsam fortschreitet.

Sachregister.

Seite

Seite

Flächenmaße......

Funktion.......

Funktionen, graphische Dar stellung von .....

Guldinsche Regeln ....

—    vom Rechteck ....

—    vom Trapez.....

Inhaltsbestimmung durch Abzählen .......

Inhaltsbestimmung durch Projektion .......

Inhaltsbestimmung durch Wägung .......

Körpermaße......

14

65

19

26

50

31

35

32

32

29

28

31

36

34

36

Längenmaße.....

Logarithmen.....

Logarithmentafeln .    .    .

—, graphische    ....

Lohntabellen.....

Multiplikation, verkürzt . Multiplikationstabellen . Nomograrnme .... Polarplanimeter . . . Rechenmaschinen .    .    .

Rechenschieber ....

—    mit verlängerter Skala

Simpsonsche Regel .    38,    50

Stangenplanimeter.... Tabellen, mathematische, technischer Kalender ....

Trapezregel......

Umdrehungskörper .... Volumen der Kugel .    . .

—    des Prismas ....

—    der Pyramide ....

Wurzelziehen, verkürzt .    .

24

81

84

92

71

59

73

21

41

100

94

99

44

73

36

49

52

47

52

Druck von B. G. Teubner in Dresden.

Hub JNatur und Geifteewelt

Jeder Band geheftet JVI* u—t tu Leinwand gebunden ]M[. 1*25

Huf dem Gebiete dev Mathematik und verwandter Wissenschaften erschienen u. a.:

arithmetik und algebra: Prof. p. Crantz. 2 Böe. (Bb. 120, 205.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung: Prof. Dr. G. Koroalerosft. (Bb. 197.)

Mathematische Spiele: Dr. XD. Hörens. (Bb. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien: Dr.

ITT. Lange. (Bb. 281.)

wind und Wetter: Prof. Dr. L. Weber. (Bb. 55.)

Der Vau des Weltalls: Prof. Dr. 3. Zcheiner. (Bb. 24.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit: Prof. Dr. S. Oppenheim. (Bb. 110.)

Der Mond: Prof. Dr. 3. Franz. (Bb. 90.)

Die Planeten: Prof. Dr. E. Peter. (Bb.240.)

Der Kalender: Prof. Dr. XD. $. XDtsIiceitus. (Bb. 69.)

Die Uhr. Grunblagen unb Technik ber Zeitmessung. Ing. h. Bock. (Bb. 216.)

Bild er aus der Ingenieurtechnik: Baurat K. Merck el. (Bb. 60.)

Schöpfungen der Ingenieurtechnik der Neuzeit: Baurat K. XXXerckel. (Bb.28.)

Mechanik: Rais. Geh. Reit 5l. v. Ihering. 3 Bbe. 1. Mechanik ber festen Körper. 2. Mechanik ber flüssigen Körper. 3. Mechanik ber gasförmigen Körper. (Bb. 303—305.)

Hebezeuge: Prof. R. Detter. (Bb. 196.)

Maschinenelemente: Prof. R. Vater. (Bb. 301.)

Theorie und Vau der neueren Wärmekraftmaschinen:

Prof. R. Vater. (Bb. 21.)

Neuere Fortschritte aus dem Gebiete der Wärmekraftmaschinen: Prof. R. Vater. (Bb. 86.)

Wasserkraftmaschinen: Kais. Geh. Rat H. v. Ihering. (Bb. 228.) Luftschiffahrt: Dr. R. XXimführ. (Bb. 300.)

Nautik: Oberlehrer Dr. 3-Möller. (Bb.255.)

Iteuenborff, Mathematik.

Der kleine Geometer

Von G.C. und W. H.Young

Deutsch von S. u. F. Bernstein. Mit 127 Textfiguren u. 3 bunten Tafeln In Leinwand geb. JC. 3.—

(Münchener Neueste Nachrichten.)

. .Wieviel Schulnot könnte den Kindern erspart bleiben, wenn ihnen so halb im Spiel das geometrische Sehen u. Denken beigebracht, der geometrische Instinkt geweckt würde! Wie ganz anders treten sie an die so gefürchtete Schulmathematik heran. Übersetzer wie Verleger verdienen den Dank der Eltern und der Jugend für diese deutsche Ausgabe, die sich nicht nur durch glatte, flüssige Diktion — man merkt nicht, daß man eine Übersetzung liest — sondern auch durch vorzügliche Ausstattung auszeichnet.“

dürfte das

Wird

(Schulwart.)

„Wo auf einen systematischen Unterricht in der Mathematik verzichtet werden muß, dennoch aber der Wunsch berechtigt ist, auch diese Schüler fürs Leben mit praktischen geometrischen Kenntnissen auszurüsten — ich meine in der Volksschule kleine Werk eine willkommene Grabe sein, besonders durch seine klare und den Kindern verständliche, durch zahlreiche, vortreffliche Abbildungen unterstützte Sprache, der erste Unterricht in der Geometrie an der Hand dieses Büchleins erteilt, so wird dadurch sicherlich dem natürlichen Tätigkeits- und Wissenstriebe der Kleinen eine fruchtbare Nahrung gegeben....“

Mathematische Experimentiermappe

für die Hand der Schüler zum Gebrauche beim geometrisch-propädeutischen Unterricht und zur Vorbereitung auf denselben sowie zur Selbst-beschäftigung in Mußestunden zusammengestellt von

Professor Dr. G. Noodt

[In Vorbereitung.]

Enthält eine mit zahlreichen Figuren versehene kurze Anleitung zur selbsttätigen Herstellung von großenteils neuen Modellen und das hierzu erforderliche Material und Werkzeug und will sich, gemäß den modernen Keformbestrebungen auf dem Gebiete des mathematischen Unterrichts, in den Dienst einer intensiven Ausbildung des Anschauungsvermögens stellen. Denn gerade die Selbsttätigkeit der Schüler ist in hohem Grade geeignet, sie in frühester Jugend zum funktionalen Denken allmählich zu erziehen, indem man die Starrheit der geometrischen Gebilde aufgibt und die „Stücke“ durch Bewegung von Punkten, Drehen von Strecken usf. als voneinander abhängig erkennen läßt.

Sämtliche Modelle können als Ganzes oder in beliebigen Gruppen fertig hergestellt durch die Verlagsbuchhandlung bezogen werden.

Das chinesisch-japanische Go-Spiel

Eine systematische Darstellung und Anleitung zum Spielen desselben

von Professor L. Pfaundler

Mit zahlreichen erklärenden Abbildungen. In Leinwand geb. <A 3.—

Das Go-Spiel ist das älteste aller Brettspiele und erscheint dem Schach an Geist völlig ebenbürtig. Nachdem wir in der Einleitung die mindestens 3500 jährige Geschichte des Spieles kennen gelernt haben, entwickelt der Verfasser die einfachen Spielregeln an der Hand zahlreicher Figuren und Beispiele und bringt als Muster japanische Originalpartien und Probleme mit ihren Lösungen bei. In der zweiten Abteilung sucht er auf Grund eigener Studien durch präzisere Fassung der maßgebenden Begriffe tiefer in die Kombinationen des Spieles einzudringen und den Anfänger durch eine gründliche Darstellung der sicheren und der verlorenen Stellungen, der Ausnutzung der Go-Stellung, der Spielfallen und der wichtigsten Vorsichtsmaßregeln in der Durchführung des Spieles zu unterrichten. Das Büchlein ist in der Tat berufen, einen Lehrer zu ersetzen, und trefflich geeignet, zur Ergänzung der mündlichen Anleitung und Vertiefung des Verständnisses beizutragen. Dem Autodidakten sei empfohlen, sich einen Partner zu suchen und mit diesem zunächst die leichtverständlichen Paragraphen 1 bis 10 durchzunehmen, dann einige Spiele zu versuchen und hierauf erst den zweiten Teil des Büchleins, welcher die oben geschilderten schwierigeren Probleme behandelt, durchzustudieren.

Dr. W. Ahrens:

Mathematische Unterhaltungen und Spiele

2., vermehrte u* verbesserte Auflage. In 2 Bänden, gr. 8. In Leinwand geb.

I. Band. Mit 200 Figuren. [IX u. 400 S.]    1910. M 7.50.

II. Band in Vorbereitung.

„...Der Verfasser wollte sowohl den Fachmann, den der theoretische Kern des Spieles interessiert, als den mathematisch gebildeten Laien befriedigen, dem es sich um ein anregendes Gedankenspiel handelt; und er hat den richtigen Weg gefunden, beides zu erreichen. Dem wissenschaftlichen Interesse wird er gerecht, indem er durch die sorgfältig zusammen getragene Literatur und durch Einschaltungen mathematischen Inhalts die Beziehungen zur Wissenschaft herstellt; dem Nichtmathematiker kommt er durch die trefflichen Erläuterungen entgegen, die er der Lösung der verschiedenen Spiele zuteil werden läßt, und die er, wo nur irgend nötig, durch Schemata, Figuren und dergleichen unterstützt.“    (Prof. Czuber in der Zeitschrift für das Realschulwesen.)

„Das Buch bietet, was Reichhaltigkeit des Inhalts sowie Korrektheit und Klarheit der Darstellung betrifft, auch dem anspruchvollsten Rezensenten keine Handhabe zu ernsthaften Ausstellungen.“ (Prof, G. Wertheim in Hoffmanns Zeitschr. f. d. mathemat. Unterr.)

(Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik.)

„Das fließend geschriebene, durch anschauliche Figuren erläuterte und gut ausgestattete Buch wird sich unzweifelhaft viele Freunde erwerben.“

Kleine Ausgabe: Mathematische Spiele. 170. Bändchen der Sammlung „Aus Natur und Geisteswelt“. Mit einem Titelbild u. 69 Figuren im Text. 2. Auflage. 8. 1911. Geh.    1.—, in Leinw. geb. M 1.25.

„Wir machen die Schachfreunde auf das interessante Werk des den Lesern der Schachzeitung wohlbekannten Gelehrten besonders aufmerksam.“ (Deutsche Schachzeitung.)

„Das Studium des hübschen Buches ist ein hoher Genuß. Man liest nicht nur, nein, man versucht auch die einzelnen Spiele und freut sich, von dem Verfasser in die höheren Geheimnisse ihrer Technik und Theorie eingeweiht zu sein. ... Wer in das kleine Bändchen einmal hineingeschaut hat, legt es nicht mehr aus der Hand, ohne von dem gebotenen Stoffe entzückt zu sein.“    (Südwestdeutsche Schulblätter.)

(Berliner Tageblatt.)

„Eine Fülle geistreicher und verblüffender Aufgaben ist hier in einer auch dem Ungeschulten leicht begreiflichen Form zusammengestellt.“

Scherz und Ernst in der Mathematik

Geflügelte und ungeflügelte Worte

[X u. 522 S.] gr. 8.    1904. In Leinwand geb. JC. 8.—

„Ein jBüchmann⁴ für das Spezialgebiet der mathematischen Literatur. . . . Manch ein kurzes treffendes Wort verbreitet Licht über das Streben der in der mathematischen Wissenschaft führenden Geister. Hierdurch aber wird das sorgfältig bearbeitete Ahrenssche Werk eine zuverlässige Quelle nicht allein der Unterhaltung, sondern auch der Belehrung über Wesen, Zweck, Aufgabe und Geschichte der Mathematik.“

(J. Norrenberg in der Monatsschrift für höhere Schulen.) . . Ich kann mir nicht anders denken, als daß dieses Buch jedem Mathematiker eine wahre Freude bereiten wird. Es ist zwar keineswegs bestimmt und auch nicht geeignet, in einem Zuge durchgelesen zu werden, und doch, als ich es zum ersten Male in die Hände bekam, konnte ich mich gar nicht wieder davon losreißen, und seit ich es unter meinen Büchern stehen habe, ziehe ich es gar oft hervor, um darin zu blättern.“

(Friedrich Engel im Literarischen Zentralblatt.)

Elemente der Mathematik.

gr. 8. In Leinwand geb. I. Band: Arithmetik und Algebra. Mit 57 Figuren und 3 Tafeln. M 8.60. II. Band: Geometrie. Mit 403 Figuren. M 6.40.

. . Das Erscheinen dieses Buches ist ein Ereignis für den mathematischen Unterricht unserer höheren Schulen. Die Namen de» französischen Verfasser» und des deutschen Bearbeiters sind bereits von programmatischer Bedeutung. Einer der wichtigsten Programmpunkte in der Bewegung für die Umgestaltung und Erweiterung des Mathematikunterrichts der höheren Schulen lautet: Pflege des auf zahlreichen Gebieten der Wissenschaft so wichtigen funktionalen Denkens schon auf der Schule.“ (Frankfurter Zeitung.)

„ . . . Borei und Stäckel führen uns leicht und sicher zu einem klaren Verständnis der elementaren Arithmetik und Algebra, dabei häufig in vortrefflicher Weise von dem anschaulichen Hilfsmittel der graphischen Darstellung Gebrauch machend.“

(Zeitschr. d. Vereins deutscher Ingenieure.)

nomatvto rlor Maihoma+ilf Von Professor J. Tannery, Mit einem geschicht-C.Ivlllvll lv Uvl IwIClUlvlllClUIX. liehen Anhang von P, Tannery. Autorisierte deutsche Ausgabe von Dr. P. Klaeß. Mit einem Einführungswort von Felix Klein. Geh. ,M. 7. —, in Leinwand geb. Jt. 8. —

„Das Buch bietet schon stofflich sehr viel, da es neben der Elementarmathematik auch die zur Lektüre naturwissenschaftlicher Bücher heute unerläßlichen Grundbegriffe der höheren Mathematik vermittelt; aber sein Hauptreiz liegt in der Darstellungsform. Selten ist wohl ein mathematisches Lehrbuch geschrieben worden, das so frei ist von leerem Formelwesen, das so mutig allen unnötigen Ballast preisgibt wie das vorliegende Werk.“

(Naturwissenschaftliche Rundschau.)

„ . . . Die geistvolle, freie Methode Tannerys wie die eigenartige Auswahl des Stoffes, die er trifft, dürfte auch für neue deutsche Lehrbücher und für den Unterricht viele Anbieten.“

regungen

(Die Lehrerin.)

Die Mechanik.

wand geb. M 4.—

Eine Einführung mit einem metaphysischen Nachwort. Von Professor L. Tesar. Mit 111 Figuren. Geh. M 3.20, in Lein-

„Das Buch ist anregend geschrieben, was bei der sonst recht trocknen Materie der Mechanik doppelt wertvoll ist. Der Verfasser trachtet stets darnach, die mechanischen Sätze so sehr wie möglich an wirklichen Vorgängen zu erläutern, und reizt dadurch den Leser, auch nach Weglegen des Buches andere alltägliche Vorgänge zu betrachten und vom Standpunkt der Mechanik aus zu beurteilen. Das Buch kann infolgedessen allen denen empfohlen werden, die, mit dem Werkzeug der elementaren Mathematik ausgerüstet, in die Tiefen der Mechanik eindringen wollen.“    (Glückauf.)

„Der Leser wird in dem Buche vielerlei interessante Hinweise und Beispiele finden, die in den üblichen Lehrbüchern nicht vorkommen. Beständig wird auf wirkliche, beob-

Bezug genommen Rechnung gestellt.

achtbare Erscheinungen, z. B. beim Fahrrad, der Eisenbahn usw., und deshalb z. B. bei den einfachen Maschinen die Reibung mit in Auch die historische Entwicklung wird durchweg klar beleuchtet. . . .“

(Naturwissenschaftliche Wochenschrift.)

Lehrbuch der Physik.

Zum Gebrauch beimUnterricht, bei akademischen Vorlesungen und zürn Selbststudium. Von Direktor E. Grimsehl. Mit 1091 Figuren, 2 farbigen Tafeln und Tabellen physikalischer Konstanten und Zahlentabellen. Geh. M. 15.

in Leinwand geb. M. 16.—

„Dieses in jeder Beziehung zeitgemäße Werk des bekannten Verfassers, der durch zahlreiche praktische Apparatkonstruktionen und methodische Arbeiten geschätzt ist, vereinigt alle Eigenschaften, die es befähigen, ein unentbehrliches Lehr- und Lernmittel zu werden. Es fesselt durch die unmittelbare Verständlichkeit, durch die zahlreichen zum Teil eigenartigen vorzüglichen Abbildungen, und durch höchst angenehmen, übersichtlichen Druck; und die Meisterschaft, womit überall das richtige Verhältnis zwischen Induktion und Deduktion getroffen ist, wird schwer zu überbieten sein. Daß sehr vieles in dem Buche original ist, ist angesichts des Erfolges, mit dem der Verfasser alle Gebiete der Physik durchgearbeitet und zum Teil persönlich gestaltet hat, nicht verwunderlich. Das Buch hat aber noch andere wertvolle Eigenschaften. Es enthält in richtigem Maße eingestreute geschichtliche Bemerkungen. . . .“

(Neue Jahrbücher für Pädagogik.)

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen aus allen Gebieten des Wissens

Hira JNatur und Gdsteswdt

Jeder Band ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich. — Werke, die mehrere Bände umfassen, sind auch in einem Band gebunden vorrätig.

Zeder Banb geheftet M. 1.— , In Leinwand gebunden M. 1.25

Verzeichnis der bisher erschienenen Bände innerhalb der Wissenschaften alphabetisch geordnet.

Theologie und Philosophie, Pädagogik und Bildungswesen.

Freimaurerei, Die. Anschauungswelt u. Geschichte. Bon Geh. Archivrat Dr. L. Keller.    (Bd. 463.)

Frübel. Friedrich. Leben und Wirken. Bon A. v. Portugal!. Mit5Taf. 085 82.) Grotzstadtpädagogik. Bon I. Tews.

(Bd. 327.)

— siehe auch Erziehung, Moderne, und Schulkämpfe der Gegenwart.

Heidentum siehe Mystik.

Herbarts Lehren und Leben. Bon Pastor Dr O. Flügel. Mit Bildn. (Bd. 164.) Hilfsschulwesen. Bon Rektor Dr. B. M a e n -

(Bd. 73.)

Hochschulen siehe Techn. Hochschulen und Universitäten.

Hypnotismus und Sugge E. Tr ö mner. 2. Aust.

e. Von 256.)

und Suggestion. Von Dr.

(Bd. 199.)

Jesuiten, Die. Eine histor. Skizze Von Prof. 0. H. B o e h m c r. 3. Ausl. (Bd. 49.) Jesus und seine Zeitgenossen. Geschichtliches und ~    ""    ""

Bonhoff.    v^. vv.,

—    Wahrheit und Dichtung im Leben Jesu. Von Pfarrer D. Dr. P. Mehlhorn.

2.    Aufl.    085. 137.)

—    Die Gleichnisse Jesu. Zugl. Anleitung zu quellenmäßigem Verständnis der Evangelien. Von Prof. D. Dr. 2B_e inel.

3.    Aufl.

Amerikanisches Bildungswesen siehe Techn.

Hochschulen. Universitäten. Volksschule. Ästhetik. Bon Prof. Dr. R. Hamann.

(Bd. 345.)

Aufgaben und Ziele des Menschenlebens. Von Dr. I Unold. 3. Stuft. (Bd. 12.)

—    siehe auch Ethik.

Bildungswesen. Das deutsche, in seiner geschichtlichen Entwicklung Von weil. Prof. Dr. F r P a u l s e n. 3. Ausl. Von Prof. Dr. W. Mün ch. Mit Bildn. PaulsenS.

(Bd. 100.)

Buddhas Leben und Lehre. Von weil. Prof. Dr R.Pifchel. 2. Aufl. von Prof.. Dr H. Lüders. Mit 1 Taf. (Vd. 109.) Calvin, Johann. Von Pfarrer Dr. G. So-beur. Mit Bildn.    085.247.)

Christentum. Aus der Werdezeit des Chr. Studien und Charakteristiken. Von Prof. Dr. I Geffcken. 2. Aufl. (Bd. 54.) Christentum und Weltgeschichte. Von Prof.

D. Dr. K. Sell. 2. Bde. (Bd. 297,298.)

—    siehe auch Jesus, Mystik im Christentum.

Deutsches Ringen nach Kraft und Schönheit. Aus den literar. Zeugn, eines Jahrh, gesammelt V'n Turninspekt-ir K Möl-l e r. 2 Bde Bd. II in Vorb. (Bd. 188,189.) Einführung in die Philosophie. Theologie siehe Philosophie, Theologie.

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage u. Wissenschaft. Bon Prof. Dr. B. Weinstein. 2. Aufl. 085.223.) Erziehung zur Arbeit. Von Prof. Dr. Cdv.

Lehmann.    (Bd. 459.)

Erziehung. Moderne, in Haus und Schule. Von I. Tews. 2. Aufl. 085. 159.)

—    siehe auch Großstadtpädagogik und Schulkämpfe der Gegenwart.

Ethik. Prinzipien der E. Bon E. Went-sch er.    (Bd. 397.)

—    siehe auch Aufgaben und Ziele des Menschenlebens, sittliche Lebensanschau-ungen, Willensfreiheit.

Fortbildunasjchulwesen, Das deutsche Dir. Dr. F. Schilling. (Bd.

n e l.

eine Zeitgenossen. Geschicht-Erbauliches. Von Pastor C.

\Sßb. 89.)

3. Aufl.    (Bd. 46.)

Israelit. Religion. Die Grundzüge der Israel. Religionsgeschichte. V. weil. Prof. Dr. F r. G i e s e b r e ch t. 2. Aufl. (Vd. 52.) Jugendfürsorge. Von Waisenhausdirettor Dr. I. Petersen. 2 Bde.

(Bd. 161,162.) Jugendpflege. Von Fortbildungsschulleh-rer W. Wiemann.    (Bd. 434.)

Kant, Immanuel. Darstellung und Würdigung. Von Prof. Dr. O. Külpe.

3. Aufl. Mit Bildn.    (Bd. 146.)

Knabenhandarbeit. Die. in der heutigen Erziehung. Von Sem.-Dir. Dr. A Pap st. Mit 21 Abb. u. Titelbild. (Bd. 140.) Lehrerbildung siehe Volksschule und Lehrerbildung der Ver. Staaten.

Dr.

(Bd. 457.)

Religion. Religion und Naturwissenschaft in Kampf u. Frieden. Ein aeschichrl Rückblick. Bon Dr. A. Pfan » kuche. 2 Aufl.

(Bd. 111.) Moderne, und

ung.

Von

Universität, Die amerikanische. Von PH.

D. E. D. Perry. Mit 22 Abb. (Bd. 206.) — siehe auch Student.

UnterrichtSwesen, DaS deutsche, der Gegenwart. Von Oberrealschuldir. Dr. K. Knabe.    (Bd. 299.)

Volksbildungswefen. Das moderne. Bücher- und Lesehallen. Volkshochschulen und verwandte Vrldungseinrichtungen in den wichtigsten Kulturländern seit der Mitte des 19. Jahrhunderts. Bon Stabt-bibliothekar Dr. G. Fritz. Mit 14Abb.

(Bd. 266.)

Luther im Lichte der neueren Forschung. Ein krit. Bericht. Bon Prof. D. H B o e h -m e r. 3. Aufl. Mit 2 Bildn. (Bd. 113.)

Mädchenschule. Die höhere, in Deutschland. Bon Oberlehrerin M. Martin.

(Bd. 65.)

Mechanik deS Geisteslebens. Bon Prof, vr. M. Berworn. 3. Aufl. Mit 18 Fig,    (Sb. 200.)

—    siehe auch Psychologie.

Mission. Die evangelische. Bon Pastor S.

B ändert.    (Bd 406.)

Mittelschule siehe Volks- u. Mittelschule. Mystik im Heidentum und Christentum. Von Prof. Dr. Edv. Lehmann. (Bd. 217.) Mythologie, Germanische. Bon Prof Dr.

1    von Regelet n. 2. Aufl. (Bd. 95.) Pädagogik. Allgemeine. Bon Pros Dr.

Th. Ziegler. 4. Aufl. (Bd. 33.) Pädagogik, Experimentelle, mit des. Rücks. auf die Erzieh, durch die Tat. Bon Dr. W. A.L ay. 2. Aufl. Mit 2Abb. (Bd. 224.)

—    siehe auch Erziehung, Großstadtpäd-agogir u. Psychologie des Kindes.

Palästina und seine Geschichte. Bon Prof. Dr. H. Frh. v. Soden. 3. Anfl. Mit

2    Karten, 1 Plan u. 6 Ansichten. (Bd. 6.)

Palästina und seine Kultur in fünf Jahrtausenden. Bon Dr. P. T h o m s e n. Mit 36 Abb.    (Bd. 260.)

Paulus, Der Apostel, u. sein Werk. Von Prof. Dr. E. B i s ch e r.    (Bd. 309.)

Pestalozzi. Leben und Ideen. Von Prof. Dr. P Natorp. 2. Aufl. Mit Bildn. u. Srteffaff.    (Sb. 250.)

Philosophie, Die. Einführung in die Wissenschaft, ihr Wesen und ihre Probleme. Von Realschuldir. H. Richert. 2.Aufl.

(Bd. 186.)

- Einführung tn Die Philosophie. Bon Prof. Dr. R. Richter. 3. Aufl. von Dr. M. Brahn.    (Bd. 155.)

e- Führende Denker. Geschichtl. Einleitung in die Philosophie. Von Pros. Dr. I. Cohn. 2. Aufl. Mit 6 Bildn. (Bd. 176.) *— siehe auch Weltanschauung. Philosophie der Gegenwart, Die, in Deutschland. Charakteristik ihrer Haupt-richtungen. Bon Prof. Dr. O. Külpe. 6. Aufl.    (Bd. 41.)

Psychologie siehe Seele des Menschen.

—    siehe auch Mechanik des Geisteslebens. Psychologie deö Kindes. Von Pros.

R. G a upp. 3. Aufl. Mit 18 Abb.

(Bd. 213.)

—    siehe auch Pädagogik.

Religion. Die Stellung der R. im GeisteS-ben. Bon Lic. Dr. P. Kalweit.

(Bd. 225.)

—    Die Religion der Griechen. Bon Prof.

Dr. E. Samter.    i

(Bd. 141.)

—    Die relig. Strömungen der Gegen

wart. Bon Superintend. D. A. H. Braasch. 8. Aufl.    (Bd. 66.)

Rousseau. Bon Prof. Dr. P. H e n se l.

2 Aufl. Mit Bildnis.    (Bd. 180.)

Schopenhauer. Persönlichkeit, Lehre, Bedeutung. Bon Realschuldir. H. Richert.

2. Aufl. Mit Bildn.    (Bd. 81.)

Schule stehe Fortbildungsschulwesen. Hilfsschulwesen. Hochschule, Mädchenschule, Mittelschule, Vorschule und die folgenden Bände.

Schulhygiene. Bon Prof. Dr. L Burgerstein. 3. Aufl. Mit 33 Fig^ ^ ^

Schulkämpfe der Gegenwart. Von I. Lews. 2. Aufl.

—    siebe auch Erzieh Groystadtpädagogik.

Schulwesen. Geschichte des deutschen Sch. Oberrealjchuldir. Dr. K. Knab e.

(Bd. 85.)

Seele des Menschen, Die. Von Prof. Dr.

1.    Rehmke. 4. Aufl.    (Bd. 36.)

—    siehe auch Psychologie.

Sittliche LebcnSanschauungen der Gegenwart. Bon weil. Prof. Dr. O. Kirn.

2.    Aufl.    (Bd. 177.)

—    siehe auch Ethik.

Spencer, Herbert. Bon Dr. R. Schwarz e.

Mit Bildnis.    (Bd.    245.)

Student. Der Leipziger, von 1409 bis 1909. Bon Dr W. Bruchmüller. Mit 25 Abb.    (Bd.273.)

Technische Hochschulen in Nordamerika. Von Prof. 1. Müller. Mir zahlr. Abb.. Karte u. Lageplan.    (Bd. 190.)

Testament. Neues. Der Tert des N. T. nach seiner geschichtt. Entwicklung. Bon Div.-Pfarrer A Pot t. Mit 8 Taf.

—    siehe auch Jesus    l(Bd.    134.)

Theologie. Einführung in die Theologie.

Bon Pastor M. Lornils    (Bo. 347.)

Über Universitäten und Universitätsstudi-um. Bon Prof. Dr. Th. Ziegler.

(Bd. 411.)

Jeder Band geh. je IN. 1.— &US ttatlir Uttfc Geisteswett In Leinw. geb. je M. 1.25 Theologie u. Philosophie, Pädagogik u. Bildungswesen, Sprachkunde, Literaturgeschichte u. Kunjt

Volks- und Mittelschule, Die preußische, Entwicklung und Ziele. Von Geh Neg.-n. Schulrat Dr. Sachse. (Bd. 432.)

Volksschule und Lehrerbildung der Vereinigten Staaten. Von Dir Dr. F. Kuy-pers. Mit 48 Abb. u. Titelbild.

(Bd. 150.)

Weltanschauung. Griechische. Von Privat-doz. Dr. M. Wund t    (Bd. 329.)

Weltanschauungen, Die, der großen Philosophen der Neuzeit. Bon weil. Prof.

Dr. L. Busse. 5. Aufl., herausg. von Prof. Dr. R. Falckenberg. (Bd. 56.)

—    siehe auch Philosophie.

Willensfreiheit. Das Problem der W. Von

Prof. Dr. G. F. Lipps. (Bd. 383.)

—    siehe auch Ethik.

Zeichenkunst. Der Weg zur Z. Von Dr.

E. Weber. Mit Abb. (Bd. 430.)

Weitere Bünde sind in Vorbereitung.

Sprachkunüe, Literaturgeschichte und Kunst.

Architektur siehe Baukunst und Renaissancearchitektur.

Ästhetik. Von Prof.

Dr. R. Hamann.

(Bd. 345.)*) Bau und Leben der bildenden Kunst. Von Dir. Prof. Dr. Th. Bolbehr. 2.Aufl. Mit 44 Abb.    (Bb. 68.)*)

aukunde siehe Abtlg. Technik, aukunst. Deutsche B. im Mittelalter. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. lat' thaei. 3. Aufl. Mit 29 Abb. (Bd. 8.) — Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis z. Ausg. des 18. Jahrh. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Matth aei Mit 62 Abb. und 3 Tafeln.    (Bd. 326.)

— siehe auch Dekorative Kunst.

I Mozart siehe Haydn.

*) Auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.— vorrätig.

(Bd. 283.)

Haydn, Mozart, Beethoven. Von Prof. Dr. C. Krebs. 2. Aufl. Mit 4 Bildn.

(Bd. 92.)

-— Deutsche Baukunst im 19. Jahrh. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A. Matthaei. Mit 35 Abb.    • (Bd. 453.)

Beethoven siehe Haydn.

Björnson siehe Ibsen.

Dekorative Kunst des Altertums. Von Dr.

Fr.Poulsen. Mit 112Abb. (Bd. 454.) Drama. Das. Von Dr. B. Busse. Mit Abb. 2 Bde.

Bd. I: Von der Antike zum französ. Klassizismus.    (Bd. 287.)

Bd. II: Von Versailles bis Weimar

(Bd. 288.1

k— siehe auch Shakespeare, Lessing, Schiller und Theater.

Drama. Das deutsche, des 19. Jahrh. In f. Entwickl. bärgest, von Prof. Dr. G. Witkowski. 4. Aufl. Mit Bildn. Hebbels.    (Bd. 51.)

— siehe auch Hebbel. Hauptmann. Dürer, Albrecht. Bon Dr. R. W ust m a n n.

Mit 33 Abb.    (Bd. 97.)*)

Kranzüsische Roman. Der, und die Novelle. Von O. Flake.    (Bd. 377.)

Frauendichtung. Geschichte der deutschen F.

feit I8O0. B Dr. H. 2 piero. (Bd. 300.) Griechische Kunst. Die Blütezeit Der a. K im Spiegel der Reliessarkophage. Eine Einführung in die griech. Plastik. Don Dr. H. Wachtler. Mit 8 Taf. u. 32 Mhh    m. 272.)*)

Harmonium siehe Tasteninstrumente. Hauptmann, Gerhart. Von Pros. Dr. E. Sulger-Gebing. Mit 1 Bildn.

Hebbel, Friedrich. Von Prof. Dr. O. Wal -z e l. Mit 1 Bildn.    (Bd. 408.)

Ibsen, Biörnson und ihre Zeitgenossen. Bon weck. Prof. Dr. B. Kahle. 2. Aufl. von Dr. Morgenstern. Mit 7 Bildn.

(Bd. 193.)

Impressionismus. Die Maler des I. Von Prof. Dr. B. LLzLr. Mit 32 Abb. u.

1    färb. Tafel.    (Bd. 395.)*)

Klavier siehe Tasteninstrumente.

Kunst, Deutsche, im täglichen Leben bis zum Schlüsse des 18. Jahrh. Von Prof. Dr. B. Haendcke. Mit 63 Abb.

(Bd. 198.)

Kunst siehe auch Dekorative, Griechische, Ostasiatische Kunst.

Kunstpflcge in Haus und Heimat. Von Superint. R. Bürkner. 2.Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 77.)

Lessing. V. Dr. Eh. Sch re mp f. (Bd. 403.) Lyrik. Geschichte der deutschen L. seit Claudius. Von Dr. H. Spiero. (Bd. 254.)

—    siehe auch Minnesang und Volkslied. Maler, Die altdeutschen, in Süddeutsch-

laud. Von H. Nemitz. Mit Bilderanhang. (Bd. 464.) Siehe auch Impressionismus.

Malerei, Die deutsche, im 19. Jahrh. Von Prof. Dr. R. Hamann. 2 Bände Text,

2    Bände Abbildgn., auch in 1 Halbper-gamentbd. zu M. 6.-—. (Bd. 448—451.)

Malerei. Niederländische, im 17. Jahrh. Von Dr. H. Iantzen. Mit zahlr. Abb.

—    siehe auch Rembrandt. (Bd. 373.)*) Michelangelo. Einführung in das Verstäubn. s. Werke. Von Prof. Dr. E. Hildebrandt. Mit 44 Abb. (Bd. 392.)*)

Minnesang. Von Dr. I. W- Bruinier.

(Bd. 404.)

Musik. Geschichte der Musik siehe Haydn, Rhetorik. Siehe auch Sprechen.

Mozart, Beethoven, Wagner.    Roman. Der französische Roman und die

—    Die Grundlagen der Tonkunst. Der- Novelle. Von O. Flake. (Bd 377.)

«safttTO    p-

•»».«RrrsE“-    5S'Sv:.f E'it ”

Bd. I: Die elementaren Tonverbtndun- SKakesvear "und s?ine Zeit Bon Brot gen als Grundlage der Harmmnelehre. %a%⁰'VJ Imit $Zal ® "slnlobb!

Sprachbau. Die Haupttupen Musik-I. Romantik. Die Blütezeit der m. lichtn S. Von weil. Prof.

R. in Deutschland. Von Dr. E. Istel.    . ........ m .,

Mit Silhouette.    (Sb. 239.) Sprachklamme des Erdkreises. Von weil.

Mythologie, Germanische. Von Pros. Dr. Pros. Dr. F. N. Fmck.    (Bd. 267.)

1.    v. Regele in.    (Bd. 95.) Sprechen. Wie wir sprechen. Von Dr. E.

—    siehe auch Volkssage, Deutsche.    Richter.    (Bd. 354.)

Novelle siehe Roman.    — siehe auch Rhetorik.

Orchester. Die Instrumente des Orch. Von Stile. Die Entwicklungsgeschichte der Stile Prof. Dr. F r. V o l b a ch. Mit 60 Abb. in der bildenden Kunst. Von Dr. E.

(Bd. 384.) Cohn-Wiener. 2 Bde.

- Das moderne Orchester in seiner Ent- Bd. I: Vom Altertum bis Wicklung. Von Prof. Dr. F r. V o l b a ch. Mit 57 Abb.

Mit Partiturbeisp. u. 3 Taf. (Bd. 308.)    Bd. II: Von der Renaissance b. z. Gegen-

Orgel siehe Tasteninstrumente.    wart. Mit 31 Abb.    (Bd 318 )*)

Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Tasteninstrumente. Klavier, Orgel. H Europa. Bon Drr. Prof. Dr. R. Gr aul    mottium. Das Wesen der T. Von Prof.

Mrt 49 Abb. .    (Bd. 87.)    Dr. O Bie.    (Bd-325.)

dm^uennamem Die deutschen. Don Dir. Theater. Das. Schauspielhaus und Schau-

⁾    spielkunst vom griech. Altert, bis am die

inn    Gegenwart. Von Dr. Chr. Gaehde.

Poetik. Von Dr. R. Müller-Freren-    g.». Mit 18 Abb.    (Bd. 230.)

^?nrr®!it®50<a!₆r0f' Dr V®t*58)⁶») ÄVtSe. Ober Wesen und

?8‘SW.L»®87 Drer3nsmbSrtinnift 5⁹Mre%b®7n) Textabb.'    (Bd. 381.)*) Volkssage, Die deutsche. Von Dr. D. Södel.

Rhetorik. Von Dr. E. Geißler. I. Richt-    s«imnn⁰ '

linien für die Kunst des Sprechens. ~~ stehe auch Mythologie, German.

2.    Aufl.    (Bd. 455.) Wagner. Das Kunstwerk fötfiarb Bng!ter3.

--II. Anweisungen zur Kunst der Von Dr. E Istel. Mit Bildn. (Bd. 336 )

Rede.    (Bd. 456.) — siehe auch Musrkal. Romantik.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

Bd. II: Kontrapunktik und

(Bd. 232.)

(Bd. 185.) des rncnlch-Dr. F N. (Bd. 268.)

zur Gotik. (Bd. 317.)*)

ttt«

Kultur, Geschichte und Geographie, Recht und Wirtschaft.

Amerikaner, Die. Von N M. Butler. Deutsch von Prof. Dr. W P a s z k o w - k i.

(Bd. §19.)

Alpen, Die. Von H. Reishauer. Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd.    276.)

Altertum. Das, im Lebe der Gegenwart.

Von Prof. Dr. P. Ca er. (Bd. 356.)

Amerika. Geschichte der Vereinigten Staaten von A. Von Prof. Dr. E. Daenel l.

2. Aufl.    (Bd.    147.)

:— Aus dem amerikan. Wirtschaftsleben.

Von Prof. I. L. Laughlin. Mit 9 graph. Darstellungen    (Bd.    127.)

— siehe ferner Lehrerbildung. Volksschule. Techn. Hochschulen, Universitäten Amerikas in Abtlg. Bildungswesen.

*) Auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.— vorrätig.

Angestellte siehe Kaufmännische A.

Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr. O.

Neurath.    (Bd. 258.)

Ardeiterschutz und Arbeiterversicherung. Bon Prof.O. v.Zwiedineck-Süden-h o r ft. 2. Aufl.    (Bd. 78.)

— siehe auch soziale Bewegung. Australien und Neuseeland. Land, Leute und Wirtschaft. Bon Prof. Dr. R. Sch ach n er.    (Bd. 366.)

Jeder Land geh. je m.ctus ttatur und Geisteswelt In Ceinro. geb. je rn. 1.25 Kultur, Geschichte und Geographie, Recht und Wirtschaft

(Bd. 175.)

Das. Von Prof.

(Bd. 402.) e. Von R. Mielke.

(Bd. 192.)

Ehe und Eherecht. Von Prof. Dr. L.

Wahrmund.    (Bd. 115.)

Eisenbahnwesen, Das. Von Eisenbahnbau-u. Betriebsinsp. a. D. Biedermann.

2. Aufl. Mit Abbildgn.    (Bd. 144.)

— siehe auch Verkehrsentwicklung in Deutschland 1800/1900.

Englands Weltmacht in ihrer Entwicklung vom 17. Jahrhundert bis auf unsere Tage. Von Prof Dr. W. Lange n-b e dp. 2. Aufl. Mit 19 Bildn. (Bd. 174.)

Entdeckungen. Das Zeitalter der. Von Pros.

Dr. S.Günther. 3.Aufl. Mit 1 Welt- Internationale Leben. Das, der Gegen-farte    (Bd.26.) wart. Von A. H. Fried. Mit 1 Tafel.

Erbrecht. TestamentSerrichtung und E. Von    (Bd. 226.)

Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Island, das Land und das Vclk. Von Familienforschung. Bon D- E. De- Prof. Dr. P. Herrmann. Mit Abb. Orient    (Bd. 350.)¹ und Karten.    (Bd. 461.)

Abb.

Bauernhaus. Kulturgeschichte des deutschen B. Von Reg.-Baumeister Chr. Ranck. 2. Aufl. Mit 70 Abb.    (Bd. 121.)

Bauernstand. Geschichte des deutschen B. Von Prof. Dr. H. Ger des. Mit 21 Abb.    (Bd. 320.)

Bevölkerungslehre. Von Prof. Dr. M.

Haushofer.    (Bd. 50.)

Buch. Wie ein Buch entsteht. Bon Prof. A. W. Ung er. 3. Aufl. Mit 7 Taf. u. 26 Abb.

—    Das Buchgewerbe und die Kultur. 6 Borträge, gehalten i. A. des Deutschen Buchgewerbevereins.Mitl Abb. (Bd. 182.)

—    siehe auch Schrift- und Buchwesen. Byzantinische Charakterköpfe. Von Prrvat-

doz. Dr. K. Dieterich. Mit 2Bildn.

(Bd. 244.)

barakterbilder au8 deutscher Geschichte siehe Von Luther zu Bismarck.

Deutsch: DeutschesBauernhaus s.Bauernhaus.— Deutscher Bauernstand s.Bauernstand. — Deutsches Dorf s. Dorf. — Deutsche Einheit s. Vom Bund zum Reich.

—    Deutsches Frauenleben s. Frauenleben.

—    Deutsche Geschichte s. Geschichte. — Deutscher Handel |. Handel .— Deutsches Haus f. Haus. — Deutsche Kolonien s. Kolonien. — Deutsche Landwirtschaft t. Landwirtschaft. — Deutsche Reichsversicherung s. Reichsversicherung. — Deutsche Schiffahrt s. Schiffahrt. — Deutsches Schulwesen s. Schulwesen. — Deutsche Städte s. Städte. — Deutsche Verfassung. Verfassungsrecht f. Verfassung, Verfassung srecht. — Deutsche Volksfeste, Volksstämme. Volkstrachten s. Volksfeste usw.

—    Deutsches Weidwerk s. Weidwerk. — Deutsches Wirtschaftsleben s. Wirtschaftsleben. — Deutsches Zivilprozeßrecht f. Zivilprozeßrecht.

Deutschtum im Ausland,

Dr. R Hoeniger.

Dorf. Das deutsch 2. Ausl. Mit 51

Finanzwissenschaft. Von Prof. Dr. S. P.

Alt mann.    (Bd. 306.)

Frauenarbeit. Ein Problem des Kapitalismus. Von Prof. Dr. R. W i l b r a n d t.

(Bd. 106.)

Frauenbewegung, Die moderne. Ein geschichtlicher überblick. Von Dr. K. S ch i r -m ach er. 2. Aufl.    (Bd. 67.)

Friedensbewegung, Die moderne. Von A. H.

Fried.    (Bd.    157.)

Friedrich der Große. Sechs Vorträge. Bon Prof. vr. T h. B i t te r a u f. 2 Aufl. Mit 2 Bildnissen.    (Bd.    246.)

Gartenkunst. Geschichte d. G. Bon Reg.-Baumeifter Chr. Ranck. Mit 41Abb.

(Bd. 274.)

—    siehe auch Abt. Naturwissensch. (Blumen u. Pflanzen.)

Gartenstadtbewegung, Die. Von General-sekr. H. Kampfmeyer. Mit 45 Abb. 2. Aufl.    (Bd.    239.)

Geld. Das, und sein Gebrauch. Von G. Maier.    (Bd.    398.)

—    siehe auch Münze.

Germanische Kultur in der Urzeit. Von Prof. Dr. G. Steinhaufen. 2. Aufl. Mit 13 Abb.    (Bd. 75.)

Geschichte. Deutsche siehe Von Luther zu Bismarck, Friedrich der Große. Restauration u. Revolution. Von Jena bis znm Wiener Kongreß, Revolution (1848), Reaktion u. neue Ära. Vom Bund zum Reich. Moltke.

Gewerblicher Rechtsschutz in Deutschland. Von Patentanw. B. Tolksdorf.

(Bd. 138.)

Griechische Städte. Kulturbilder aus gr. St. Von Oberlehrer Dr. E. Ziebarth. 2. Aufl. Mit 23 Abb. u. 2 Tafeln.

(Bd. 131.)

Handel. Geschichte des Welthandels. Von Prof. Dr. M. G. Schmidt. 2. Aufl.

(Bd. 118.)

—    Geschichte des deutschen Handels. Von Prof. Dr. W. Langen beck. (Vd.237.)

Handwerk. Das deutsche, in seiner kulturgeschichtlichen Entwicklung. Von Dir. Dr. E.O t to. 4. Aufl. Mit 27Abb. (Bd. 14.) Haus, Das deutsche, und sein Hausrat. Von Prof. Dr. R. Meringer. Mit 106 Abb.    (Bd. 116.)

Holland siehe Städtebilder. Historische. Hotelwesen. Von P. Damm-Etienne.

Mit 30 Abb.    (Bd.331.)

Japaner. Die, in der Weltwirtschaft. Von Prof. Dr. Rath gen. 2. Aufl. (Bd. 72.) Jesuiten. Die. Eine histor. Slizze. Von Prof. Dr. H. Boehmer. 3. Aufl. (Bd. 29.)

Jurisprudenz im häuslichen Leben. Für Familie und Haushalt dargestellt. Von Nechtsanw. P. Bienengräber. 2 Bde.

(Bd. 219. 220.)

Kaufmann. Das Recht des K. Von anwalt Dr. M Strauß. (Bd. 409.)

Kaufmännische Angestellte. Das Recht der k. A. Von Rechtsanw. Dr. M. Strauß.

(Bd. 361.)

Kolonien. Die deutschen. (Land und Leute.) Von Dr. A- Heil born. 3. Anst Mit 26 Abb. u. 2 Karten.    (Bd. 98.)

— Unsere Schutzgebiete nach ihren wirtschaft!. Verhältnissen. Im Lichte der Erdkunde dargestellt. Von Dr. Chr. G.

(58b. 290.)

Mit 53 Abb. mb. 91.)

Bon

428.)

. 1 Tafel. (Bd.277.)

Bd. II: Der arabische Orient. Mit 29 Abb. und 7 Diagrammen. (Bd. 278 )

Orient. Der.

Bd. III: Der arische Orient. Mit 34 Abb.. 3 Kartenskizzen und 2 Diagrammen.

ts- Österreich. Geschichte der auswärtigen Politik Österreichs im 19. Jahrhundert. Von

R Charmatz.

(Bd. 374.)

Geschichte von 1848 bis CH arm atz. 2 Bände.

Bon Privatdozent Dr. G.

(Bd. 367.)

Politische Hauptströmungen in 19. Jahrhundert. Von Prof, v. H e i g e l. 2. Aust.

Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien. Bon Prof. Dr. Fr. v. Duhn. 2. Aufl Mit 62 Abb.    (Bd. 114.)

Postwesen. Das. Entwicklung und Bedeutg.

Von Postrat I. Bruns.

Reaktion und neue Ara. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der Gegenwart. Von Prof. Dr. R. Schwemer. 2. Aufl.

(58b 101.)

(58b. 165.)

Recht siehe Eherecht, Erbrecht. Gewerbl. Rechtsschutz. Jurisprudenz. Kaufmann, Kaufmänn Angestellte. Urheberrecht. Verbrechen, Berfassungsrecht. Wahlrecht. Zi--

An

Von Landes-

Barth.

Kolonisation, Innere. Von A. Brennin g.    (Bd.    261.)

Konsumgenossenschaft, Die. Von Prof. Dr.

F. Staudinger.    (Bd. 222 )

Krieg. Der, im Zeitalter des Verkehrs und der Technik. Von Hauptmann A. Meyer. Mit 3 Abb.    (Bd.    271.)

—    Vom Kriegswesen im 19. Jahrhundert.

Von Major O. v. S o t h e n. Mit 9 Übersichtskarten.    (Bd. 59.)

—    siehe auch Seekrieg.

Landwirtschaft. Die deutsche. Bon Dr. W.

Claaßen. Mit 15 Abb. und 1 Karte.

(Bd.215.)

Miete. Die, nach dem BGB. Ein Handbüchlein für Juristen, Mieter und Vermieter. Von Rechtsanw. Dr. M- S t r a u ß (Bd. 194.)

Mittelalterliche Kulturideale. Von Prof. Dr. V Vedel. 2 Bde.

Bd. I: Heldenleben.    (Bd. 292.)

Bd. II: Ritterromantik.    (Bd. 293-)

Mittelstandsbewegung. Die moderne. Von Dr. L Müffelmann.    (Bd. 417.)

Moltke. Von Kaiser!. Ottoman. Major im Generalstab F. C. E n d r e s. Mit Bildn.

(Bd. 415.)

Münze, Die, als historisches Denkmal sowie ihre Bedeutung im Rechts- und Wirtschaftsleben. Von Prof. Dr A Lu-schin v. Ebengreuth.

—    siehe auch Geld.

NapoleonI. Von Prof. Dr. Th. Bitterauf. 2. Aust. Mit Bildn. (Bd. 195.)

Naturvölker. Die geistige Kultur der N. Von Prof. Dr. K. Th. Preuß. Mit 7 Abb.    (Bd. 452.)

Organisationen. Die wirtschaftlichen.

Privatdoz. Dr. E. Lederer. (Bd. Orient, Der. Eine Länderkunde. Bon E. Banse. 3 Bde.

Bd. I: Die Atlasländer. Marokko, Algerien, Tunesien. Mit 15 Abb., 10 Kartenskizzen. 3 Diagrammen u.

(Bd 279.)

Österreichs innere 1907. Von R.

2. aru.fi.

Bd. I: Die Vorherrschaft der Deutschen.

(Bd. 242.)

Bd. D: Der Kampf d Nationen. (Bd 243.) Ostmark. Die. Eine Einführung in die Probleme ihrer Wirtschaftsgeschichte. Von Prof. Dr. W. Mitscherlich. (Bd.351.) Ostseegebiet.

Braun.

Palästina und seine Geschichte. Von Prof. Dr. H. Freiherr von Soden. 3. Aufl. Mit 2 Karten. IPlan und 6 Ansichten.

(Bd. 6.)

Palästina und seine Kultur in fünf Jahrtausenden. Von Gymnasialoberlehrer Dr. P Thomsen. Mit 36 Abb. (Bo. 260.) Polarforschung. Geschichte der Entdeckungsreisen zum Nord- und Südpol von den ältesten Zeiten bis zur Gegenwart. Von Prof. Dr. K. Hasfert. 3. Aufl. Mit 6 Karten.    (Bd. 38.)

Politische Geographie. Von Dr. E. S ch ö n e.

(Bd. 353.) Europa im Dr. K. T h. (Bd. 129.)

vilprozeßrecht.

Rechtsprobleme, Moderne. Von Pros. Dr.

I. Köhler. 3. Aust.    (Bd. 128.)

Reichsversicherung. Die. Die Kranken-, Invaliden-, Hinterbliebenen-, Unfall- und gestelltenversicherung nach der Reichsversicherungsordnung u. dem Versicherungsgesetz für Angestellte, versrcherungsassessor H. Seelmann.

(Bd. 380.)

Restauration und Revolution. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der deutschen Einheit. Bon Prof. Dr. N. Schwemer.

3. Aufl.    (Bd. 37.)

Zeder Banb geh. {e M. 1.— ÜUS tlcttur Ult6 <5elftest»eit 3« Leinw. geb. je TU. 1.25 Kultur, Geschichte und Geographie, Recht und Wirtschaft

Revolution. Geschichte der Französischen R. Bon Prof. Dr. Th. Bitterauf.

(Bd. 346.)

—    1848. Sechs Borträge. Bon Prof. Dr.

O. Weber. 2. Stuft.    (Bd. 53.)

Rom. Das alte Rom. Bon Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O. Richter. Mit Btlderan-hang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

—    Soziale Kämpfe im alten Rom. Von Privatdoz. Dr. L. Bloch. 3. Aufl.

(Bd. 22.)

—    Roms Kampf um die Weltherrschaft. Bon Prof. Dr Kromayrr. (Bd. 368.)

Schiffahrt. Deutsche, und Schiffahrtspolrtik der Gegenwart. Bon Prof. Dr. K. hieß.    (Bd 169.)

rift- und Buchwesen in alter und neuer eit. Bon Prof. Dr. O. Weise. 3. Aufl. itt 37 Abb.    (Bd.4.)

—    siehe auch Buch.

Schulwesen. Geschichte de< deutschen Schulwesens. Bon Oberrealschuldir. Dr. K. Knabe.    (Bd.    85.)

Seekrieg. Eine geschtchtl. Entwicklung vom Zeitalter der Entdeckungen bis zur Gegenwart, Bon K Freiherrn v. Maltzahn, Vizeadmiral a. D.    (Bd.    99.)

—    Das Kriegsschiff. Von Geh. Marinebaurat Krieger. Mit 60 Abb. (Bd. 389.)

—    siehe Krieg.

Soziale Bewegungen und Theorien bis zur modernen Arbeiterbewegung. Von G. Maier. 4. Aufl.    (Bd. 2.)

—    siehe auch Arbeiterschutz und Arbeiterversicherung.

Soziale Kämpfe im alten Rom siehe Rom.

Sozialismus. Geschichte der sozialistischen Ideen im 19. Jahrh. Von Privatdoz. Dr. Fr. Muckle. 2 Bde.

Band I: Der rationale Sozialismus.

lBd. 269.)

Band II: Proudhon und der entwicklungsgeschichtliche Sozialismus. (Bd. 270.)

Städte. Die. Geographisch betrachtet. Von Prof. Dr. K. Hassert. Mit 21 Abb.

<Bd. 163.)

—    Deutsche Städte und Bürger im Mit

telalter. Von Prof. Dr. B. Heil 3. Aufl. Mit zahlr. Abb. u. 1 Dovpel-laset.    (Bd 43.)

—    Historische Städtebilder aus Holland und Niederdeutschland. Bon Reg -Baumeister a. D. A. Erb e. Mit 59 Abb.

(Bd. 117.)

—    siehe auch Griechische Städte, ferner Pompeji, Rom.

Statistik. Von Prof. Dr. S. Schott.

(Bd. 442.)

Strafe und Verbrechen. Bon Dr. P. P ol-litz.    (Bd 323.)

Student. Der Leipziger, von 1409 bis 1909. Von Dr. W. Bruchmüller. Mil 25 Abb. '    ------

Schr

Telegraphie, Die, in ihrer Entwicklung und Bedeutung. Von Postrat I. Bruns. Mit 4 Fig.    (Bd 183.)

Testamentserrichtung und Ervrecht. Bon Pros Dr F. Leonhard. (Bd. 429.)

Theater. Das. Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griech. Altertum bis auf die Gegenw. Bon Dr. Chr. Gaehde. 2. Aufl Mit 18 Abb.    (Bd.    230.)

über Universitäten u. Universitütsstudium. V. Prof. Dr. Th. Ziegler. 085.411.)

— siehe auch Student. Der Leipziger.

Verbrecher. Die Psychologie Dr. P. Pollitz. Mit 5 Diagrammen.

(Bd. 248.)

Verfassung. Grundzüge der V. des Deutschen Reiches. Von Prof. Dr. E. Loe-ning. 4. Aufl.    (Bd. 34.)

Verfassungsrecht. Deutsches, in geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. Hubrich. 2. Ausl.

Verkehrsentwicklung in Deutschland. 1800 bis 1900 (fortgeführt bis zur Gegenwart). Vorträge über Deutschlands Eisenbahnen und Binnenwasserstraßen, ihre Entwicklung und Verwaltung sowie ihre für die heutige Volkswirte

des V. Von

(Bd. 80.)

Bedeutung schuft. Bon Prof. Dr. W. Lotz. 3. Aufl.

(Bd. 15.)

— siehe auch Eisenbahnwesen. Versicherungswesen. Grundzüge des V. Von Prof. Dr. A. Manes. 2.Aufl.

(58b. 105.)

— siehe auch Arbeiterschutz und Arbeiterversicherung und Reichsversicherung. Volksfeste und Volkssitten, Deutsche. Bon H. S. Nehm. Mit 11 Abb. 085.214.) Volksstämme. Die deutschen, und Landschaften. Von Prof. Dr. O- Weise. 4. Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 16.)

Volkstrachten. Deutsche. Von Pfarrer C. S p.i e ß.    (Bd. 342.)

(Bd. 273.)

— siehe auch Deutsche Volksfeste usw. Dom Bund zum Reich. Neue Skizzen zur Entwicklungsgeschichte der deutschen Einheit. Von Prof. Dr. R. Schwemer. 2. Aufl.    (Bd. 102.)

Von Jena bis zum Wiener Kongreß. Von Prof. Dr. G. R o l o f f.    (Bd 465.)

Von Luther zu Bismarck. 12 Charakterbilder aus deutscher Geschichte. Von Prof. Dr. O. Weber. 2 Bde. 2. Aufl.

(Bd. 123,124.) Wahlrecht, Das. Von Reg.-Nat Dr. O. Poensgen.    (Bd. 249.)

Wirtschaftsleben, Deutsches. Deutschlands Stellung in der Weltwirtschaft. Von Prof. Dr. P. Arndt. 2. Aufl

Weidwerk, Das deutsche. Bon G. Frh.

v. Nordenflycht.

Welthandel siehe Handel.

Wirtschaftliche Erdkunde. Bon weil. Prof. Dr. Chr. ©ruber. 2.Aufl. Bearb. von Prof. Dr. K. Dove. (Bd. 122.) Wirtschaftsleben. Deutsches. Auf geographischer Grundlage geschildert. Bon weil. Prof. Dr. Chr. Gruber. 3. Aufl. Neubearb. v. Dr. H. Re i n lein. (Bd.42.) — Die Entwicklung des deutschen Wirtschaftslebens im letzten Jahrhundert. Bon Prof. Dr. L.Pohle. 3.Aufl. (Bd.57.)

(Bd. 436.)

(Bd. 179.) Bon

(Bd. 428.) siehe Antike Wirt-

Wirtschaftlichen Organisationen. Die. Privatdozent Dr. E. Lederer.

Wirtschaftsgeschichte schaftsgeschichte.

Zeitungswesen. Von Dr. H. Diez.

(Vd. 328.)

Zivilprozekrecht. Das deutsche. Von Rechtsanwalt Dr. M- Strauß. (Vd. 315.)

Wichtige Gebiete der Volkswirtschaft sind auch in der Abteilung Naturwissenschaft und Technik behandelt unter den Stichwörtern: Automobil, Bierbrauerei, Bilder aus der chem. Technik. Eisenbahnwesen. Eisenhüttenwesen. Elektr. Kraftübertragung. Gartenstadtbewegung, Jngenieurtechnik. Kaffee. Kakao. Kinematogravhie, Kohlen. Landwirt-schaftl. Maschinen. Metalle, Patente. Salz. Schmucksteine. Spinnerei, Straßenbahneu. Tabak. Tee, Wald. Wasserkraftmaschinen. Weinbau.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

Mathematik, Naturwiffenschaften, Medizin und Technik.

Aberglaube, Der. in der Medizin und seine Gefahr für Gesundheit und Leben. Von Prof. Dr. D. v. Hansemann. 2. Aufl.

(Bd. 83.)

Abstammungs- und Vererbungslehre. Experimentelle. Von Dr. H. Lehmann. Mit 26 Abb.    (Bd. 379.)

Abstammungslehre und Darwinismus. Bon Prof. Dr. R. Hesse. 4. Aufl. Mit 37 Fig.    (Bd. 39.)

Agrikulturchemie. Von Dr. P. Krische.

Mit 21 Abb.    (Bd.314.)

Algebra siehe Arithmetik.

Alkoholismus. Der. Von Dr. G. B. Gru-6er. Mit 7 Abb.    (58b. 103.)

Ameisen, Die. Von Dr. Fr. Knauer.

Mit 61 Fig.    (Bd. 94.)

Anatomie des Menschen, Die. Von Prof Dr. K. v. B ard e le ben. 6Bde. 2. Aufl.

I.    Teil: Zellen- und Gewebelehre. Ent

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Prof. Dr. P. Crantz. 2 Bde.

I.    Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 2. Aufl. Mit 9 Fig.

(Bd. 120.)

II.    Teil: Gleichungen. Arithmetische und

geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 3. Aufl. Mit 23 Fig.    (Bd. 205.)

Arzneimittel und Genußmittel. Von Pros.

Dr. O. Schmiedeberg. (Bd. 363.) Arzt, Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulturleben der Gegenw. Ein Leitfaden der soz. Medizin. Von Dr. med. M. Fürst.    (©b.265.)

Astronomie. Probleme der modernen Astr. Bon Prof. Dr. S. Oppenheim. Mit 11 Fig.    (Bd. 355.)

Abelsdorff. Mit 15Abb. (Bd. 149.; Auge, Das, und die Brille. Bon Dr. M. v. Rohr. Mit 84 Abb. und 1 Lichtdrucktafel.    (Bd. 372.)

(Bd. 307.)

mann.

peltafeln.

(Bd. 333.)

Abb.

und

Chemie und Technologie der Sprengstoffe.

Bon Prof. Dr. R. Biedermann. .Mit 15 Fig.    (Bd. 286.)

hirurgie, 2>fe,

Dr. Feß

e, unserer Zeit. Bon Prof, l e r. Mit 52 Abb. (Bd. 339.) Dampfkessel siehe Dampfmaschine I und Feuerungsanlagen.

Dampfmaschine. Die. 2 Bde. I: Wirkungsweise des Dampfes in Kessel und Maschine. Bon Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 3. Aufl. Mit45Abb. <Bd. 393.) — II: Ihre Gestaltung und ihre Verwendung. Von Geh. Bergrat Prof. R. V a t e r. Mit 95 Abb. u. 1 Taf. (Bd 394.)

Automobil, Das. Eine Einführung in Bau und Betrieb des modernen Kraft-wagens. Bon Ingenieur K Blau. 2. Aml. Mit 86 Abb. u. 1 Titelbild.

(Bd. 166.)

Bakterien. Die, im Kreislauf des Stoffes in der Natur und im Haushalt des Menschen. Bon Prof. Dr. E. Gutzeit. Mit 13 Abb.    (Bd. 233.)

—    Die krankheiterregenden Bakterien. Von Privatdozent Dr. M. Loehlein. Mit 33 Abh.

Bau und Tätigkeit des menschlichen Körpers. Von Prof. Dr. H. Sachs. 3. Aufl. Mit 37 Abb.    (Bd. 32.)

Baukunde. Das Wohnhaus. Von Reg.-Vaumeifter a.D. G. Langen. 2 Bde. Mit Abb.

Bd. I: Sein technischer Aufbau. (Bd. 444.) Bd. II: Seine Anlage und Ausgestaltung.

(Bd. 445.)

—    Eisenbetonbau, Der. Von Dipl.-Jng. E. Haimovici. 81 Abb. (Bd.275.)

Baukunst siehe Abtlg. Kunst. Befruchtungsvorgang. Der. sein Wesen und seine Bedeutung. Von Dr. E. Te i ch-

2. Aufl. Mit 7 Abb. und 4 Dop-(Bd. 70.)

Beleuchtungswesen. Das moderne. Von Dr. H. Lux. Mit 54 Abb. (Bd. 433.) Bierbrauerei. Von Dr. A. Bau. Mit 47 Abb.

Biochemie. Einführung in die B. Von Prof. Dr. W. Löb.    (Bd. 352.)

Biologie. Allgemeine. Von Prof. Dr. H. Miehe. 2. Aufl. Mit 140 Fig. (Bd. 130.)

—    Experimentelle. Von Dr. C. The-ftng. Mit Abb. 2 Bände.

Bd. I: Experim. Zellforschung. (Bd. 336.) Band II: Regeneration. Transplantation und verwandte Gebiete. (Bd. 337.) —, siehe auch Abstammungslehre und Befruchtungsvorgang. Erscheinungen des Lebens, Lebewesen. Organismen, Mensch und Tier. Urtiere.

Blumen. Unsere Bl. und Pflanzen im Garten. Von Prof. Dr. U. Dämmer. Mit 69 Abb.    (Bd. 360.)

—    Unsere Bl. und Pflanzen im Zimmer. Von Prof. Dr. U. Dämmer. Mit 65

(Bd. 359.)

Blut. Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Prof. Dr. H. Rosin. Mit 18 Abb. (Bd. 312.) Botanik siehe Kolonialbotanik, Blumen, Kulturpflanzen.

Brauerei. Die Bierbrauerei. Von Dr. A.

Bau. Mit 47 Abb.    (Bd. 333.)

Brille. Das Auge und die Br. Von Dr. M. v. Rohr. Mit 84 Abb. und 1 Licht-drucktafel.    (Bd.372.)

—    Bilder aus der chemischen Technik. Von Dr. A. Müller. Mit 24 Abb.

(Bd. 191.)

Chemie in Küche und Haus. Von Dr. I. Klein. 3. Aufl. Mit 1 Doppeltafel.

(Bd. 76.)

Darwinismus. Abstammungslehre und D. Von Prof. Dr. R. Hesse. 4. Aufl. Mit 37 0-ig.    (35b. 39.)

Differential- u. Integralrechnung. Von Dr. M. Lindow.    (Bd.    387.)

Drähte und Kabel, ihre Anfertigung und Anwendung in der Elektrotechnik. Von Telegrapheninsvektor H. 93 r i cf. Mit 43 Abb.    (Bd.    285.)

Eisenbahnwesen, Das. Von Eisenbahnbau-und Betriebsinspektor a. D. E. B i e derma n n. 2. Aufl. M zahlr. Abb. 085.144.)

— siehe auch Klein- u. Straßenbahnen Verkehrsentwicklung.

Eisenbetonbau. Von Dipl.-Jng. E- Haimovici. Mit 81 Abb.    (Bd. 275.)

Eisenhüttenwesen. Von weil. Geh. Bergrat Prof. Dr. H. Wedding. 4. Aufl. von Bergreferendar F. W. Wedding. Mit 15 Fig.    (Bd. 20.)

Eiszeit. Die, und der vorgeschichtliche Mensch. Von Prof. Dr. G. Stein-mann. Mit 24 Abb.    (Bd. 302.)

Elektrische Kraftübertragung. Von Ing. P Köhn. Mit Abb.    (Bd.    424.)

Elektrochemie. Bon Prof. Dr. K. Arndt. Mit 38 Abb.    (Bd. 234.)

Elektrotechnik. Grundlagen der E. Von Dr. A. Rotth. Mit 72 Abb. (935.391.) siehe auch Drähte und Kabel, Tele-aphie.

Energie. Die Lehre von A. Stern. Mit 13 2 Ernährung und Volksnahrungsmittel. Von weil. Prof. Dr. I. Frentzel. 2. Aufl. Neu bearbeitet von Geh.-Rat Prof. Dr. N. Zuntz. Mit 7 Abo. und 2 Tafeln.

(Bd. 19.)

der G. Von Dr. Fig. (Bd. 257.)

Farben siehe Licht.

Feuerungsanlagen. Industrielle, u. Dampfkessel. Von Ingenieur I. E. Mayer. Mit 88 Abb.    (Bd. 348.)

Funkentelegraphie. Von Oberpostpraktikant H.TH ur n. Mit 53 Jllustr. 2. Aufl.

(Bd. 167.)

Häuserbau siehe Baukunde, Heizung und Lüftung.

Haustiere. Die Stammesgeschichte unserer H. Von Prof. Dr. C. Keller. Mil 28 Fig.    (Bd. 252.)

Hebezeuge. Das Heben fester, flüssiger und luftförmiger Körper. Von Geh. Bergrat Prof. R. B a t e r. Mit 67 Abb. (Bd. 196.)

Heilwissenschaft. Die moderne. Wesen und Grenzen des ärztlichen Wissens. Von Biernacki. Deutsch von Dr.

‘ (Bd. 25.) enieur 241.)

Dr. E S. Ebel.

Heizung und Lüftung. Von Inge I. E. Mayer. Mit 40 Abb. (Bd.

Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Prof. Dr. H. Ro 1 in. Mit 18 Abb.    (Bd. 312.)

Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwesen.

Garten siehe Blumen, Pflanzen.

Gartenkunst. Geschichte der G. Von Reg.-Baumeister Chr. Ranck. Mit 41 Abb.

(Bd. 274.)

Gartenstadtbewegung. Die. Von General- Ä    ^    ^

sekretär H. Kampffmeher. Mit 43 ! Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr Abb. 2. Aufl.    (Bd. 259.)! E. Tr omn er. 2. Aufl. (Bd. 199.)

Gebiß. Das menschliche, seine Erkrankung Infinitesimalrechnung. Einführung in die und Pflege. Von Zahnarzt Fr, Jä-    I. mit einer historischen Übersicht. Von

it 24 Abb.    (Bd. 229.)    Prof. Dr. G. Kowalewski. 2. Aufl.

Geisteskrankheiten. Bon Anstaltsoberarzt    Mit 18 Fig. (Bd.    197.)

Dr. G. Jlberg.    (Bd. 151.) Zngenieurtechnik. Bilder aus der I. Von

Geuußmittel siehe Kaffee. Tee, Kakao, Baurat K. Merckel. Mit 43 Abb.

Tabak, Arzneimittel u. Genußmittel.    (Bd. 60.)

Geologie. Allgemeine. Von Geh. Bergrat — Schöpfungen der Zngenieurtechnik der Prof. Dr. Fr. Frech. 2. u. 3. Aufl.    Neuzeit.    Bon    Geh. Negierungsrat M.

Bd. 1: Vulkane einst und jetzt. Mit 80    Geitel.    Mit    32 Abb.    (Bd. 28.)

Abb.    (Bd. 207.) Kabel. Drähte und K.. ihre Anfertigung

Bd. II: Gebirgsbau und    Erdbeben. Mit    und Anwendung in der    Elektrotechnik.

57 Abb.    (Bd. 208.)    Von Telegrapheninspektor    H. B r i ck Mit

Bd. III: Die Arbeit des fließenden Was-    43 Abb. (Bd,    285.)

sers Mit 51 Abb.    (Bd.209.)    Kaffee. Tee. Kakao und die übrigen nar-

Bd.IV: Die Arbeit des    Ozeans und die    kotischen Getränke. Von    Prof. Dr. A.

chemische Tätig kett des    Wassers im all-    Wieler. Mit 24 Abb.    und 1 Karte,

gemeinen. Mit 1 Titelbild und 51 Abb.    (Bd. 132.)

^ ^    .    (Bd.210.) Kälte. Die. ihr Wesen, ihre Erzeugung und

^V: .MLen<Prtrrbund S¹*¹⁰ der Verwertung. Von Dr. H. Alt. Mit Vorzeit. 49 Abb. u. 1 Titelbild.    45 Abb.    (Bd. 311.)

cm. ttt rar    Kinematographie. Von Dr. H. Leh -

emst und lett li    mann. Mit 69 Abb,    (Sb.358.)

«rait.n iws»pV Klein- und Stratzenbatinen. Von Ober-eB«üun ,    simlUt “• *• * Siebm⁰(Sb'3ll

fT&Vi L ^„b® ®K-Hlen unser-. Von BergastessorZ K n v urg. Allst. Mil 4 Avo. un^ ^aset. Eu k. Mit 60 Abb.    (Bd. 396.)

Gesundheitslehre. Acht Vorträge aus der Kolonialbotanik. Von Prof, vr F-Tob-G. Von weil. Prof. Dr. H. Büchner. ler. Mit 21 Abb.    (Bd. 184.)

4. Aufl. besorgt von Prof. Dr. M. von Korallen und andere gesteinbildende Tiere. Gr über. Mit 26 Abb.    (Bd. 1.) Von Prof. Dr. W. Matz. Mit 45 Abb.

Gesundheitslehre für Frauen. Bon Prof. Ä    0    (935.321.)

Dr. Opitz. Mit Abb.    (Bd. 171.) Kraftanlagen siehe Feuerungsanlagen und

Getreidegräser siehe Kulturpflanzen.

Graphische Darstellung. Die. Von Prof. Dampfmaschine. Warmekraftmmchiiw.

Dr. F Auerbach.    (Bd. 437.) Kraftmaschinen siehe Wärmekraftmaschine,

Handfeuerwaffen. Die. Ihre Entwicklung Wasserkraftmaschine, und Technik. Von Lauvtmann R. W e i ß.

Mit 69 Ab

6 er.

(Bd. 36

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je. BonJn->. (Bd. 424.)

io

Landwirtschaftliche Maschinenkunde. Prof. Dr. G. Fischer. Mit 62

Abb.

man n.

Abb.

(Bd. 304.)

Meer, Das, seine Erforschung und sein Leben. Von Dr. O. Ianson. 3. Aufl. Mit 41 Fig.    (Bd. 30.)

Mensch. Entwicklungsgeschichte des M.Von Dr. A. Heilborn. Mit 60 Abb.

085. 388.)

Mensch der Urzeit. Der. Vier Vorlesungen

aus der r" ' ' ~    ~    — —

schengeschlechtes. Von

et 5,

kuche. 2. Aufl.

au-

Krankenpflege. Von Chefarzt Dr. B. Leick.

(Bd. 152.)

Kriegsschiff, Das. Von Geh. Marinebaurat Krieger. Mit 60 Abb. (Bd. 389-)

Küche siehe Chemie in Küche und Haus.

Kulturpflanzen. Unsere wichtigsten K. (die Getreidegräser). Von Pros. Dr. K- Giesenhagen. 2. Aufl. Mit 38 Fig.

(Bd. 10.) Von Abb.

085.316.)

Lebewesen. Die Beziehungen der Tiere und Pflanzen zueinander. Von Prof. Dr. K. Kraepelin. Mit 132

--1. Der Tiere zueinander. (Bd. 426.)

--II. Der Pflanzen zueinander und zu

den Tieren.    (Bd. 427.)

-— siehe Organismen. Biologie.

Leibesübungen. Die, und ihre Bedeutung für die Gesundheit. Von Prof. Dr. R. Zander. 3. Aufl. Mit 19 Abb. (Bd. 13.)

Licht. Das, und die Farben. Von Pros. Dr. L. Graetz. 3. Aufl. Mit 117 Abb.

(Sb. 17.)

Luft, Wasser, Licht und Wärme. Neun Vortrüge aus dem Gebiete der Experimentalchemie. Von Prof. Dr. R- B l o ch-

4. Aufl. Mit 115 Abb. (Bd. 5.)

Luftfahrt, Die. ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre technische Entwicklung. Von Dr. R. Nim führ. 3. Aufl. von Dr. F r. H u th. Mit 53 Abb.

(Bd. 300.)

Luftstickstoff, Der, und seine Verwertung. Von Prof. Dr. K. Kaiser. Mit 13 (Bd. 313.)

Lüftung. Heizung und L. Von Ingenieur I. E. Mayer. Mit 40 Abb. (Bd. 241.)

Maschinen siehe Hebezeuge, Dampfmasckü-ne, Wärmekraftmaschine, Wasserkraftmaschine und die folg. Bände.

Maschinenelemente. Von Geh.Bergrat Prof. R. Vater. Mit 184 Abb. 035.301.)

Maschinenkunde siehe Landwirtschaft!. Maschinenkunde.

Matze und Messen. Von Dr. W. Block. Mit 34 Abb.    (Bd. 385.)

Mathematik. Praktische. Von Dr. R. Neu-endorff. I. Teil: Graphisches u. numerisches Rechnen. Mit 62 Fig. u. 1 Tafel.    085.341.)

Mathematik. Naturwissenschaften und M. im klassischen    Altertum. Von Prof. Dr.

Joh. L. Heiberg.    085.370.)

Mathematische Spiele. Von Dr. W. Ähre ns. 2.Aufl. Mit 70 Fig. (Bd. 170.)

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v. I Hering. 2 Bde.

Bd.I: Die Mechanik der festen Körper. Mit 61 Abb.    (Bd. 303.)

»5. II: Die Mechanik der flüssigen Kör-per. Mit 34 Abb.

'    <V< V V*    trV *    Vi.V| WUJJVII

Entwicklungsgeschichte des Men-ilechtes. Von Dr. A. He rl-born. 2. Aufl. Mit zählr. Abb. .(Bd. 62.) Mensch, Der vorgeschichtliche, siehe Eiszeit. Mensch und Erde. Skizzen von den Wechselbeziehungen zwischen beiden. Von weil. Prof. Dr. A. Kirchhofs. 3. Aufl.

085.31.)

Mensch und Tier. Der Kampf zwischen Mensch und Tier. Von Prof. Dr. K. E ck stei n. 2. Aufl. Mit 51 Fig. (Bd. 18 ) Menschlicher Körper. Bau und Tätigkeit des menscht. K. Von Prof. Dr. H. Sachs. 3. Aufl. Mit 37 Abb. (Bd. 32.) — siehe auch Anatomie, Blut. Herz. Nervensystem, Sinne. Verbildungen.

Metalle, Die. Von Prof. Dr. K. Sch

3. Aufl. Mit 16 Abb.    (Bd. 29.)

Mikroskop, Das. seine Optik, Geschichte und Anwendung. Von Dr. S ch e f f e r. 2. Aufl. Mit 99 Abb.    (Bd. 35.)

Milch. Die, und ihre Produkte. Von Dr.

A. Reitz. Mit 16 Abb. (Bd. 362.) Moleküle — Atome — Weltäther. Von Prof. Dr. G. Mie. 3.Aufl. Mit 27Fig.

(Bd. 58.)

Mond, Der. Von Prof. Dr. I. Franz.

Mit 31 Abb.    (Bd. 90.)

Natur und Mensch. Von Direktor Prof. Dr. M. G. Schmidt. Mit 19 Abb.

(Bd. 458.)

Naturlehre. Die Grundbegriffe der modernen N. Von Prof. Dr. F. Auerbach. 3. Aufl. Mit 79 Fig. (Bd. 40.) Naturwissenschaften im Haushalt. VonDr. I. Bongardt. 2 Bde.

I. Teil: Wie sorgt die Hausfrau für die Gesundheit der Familie? Mit 31 Abb.

(Bd. 125.)

II. Teil: Wie sorgt die Hausfrau für gute Nahrung? Mit 17 Abb. (Bd. 126.)

Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Von Prof. Dr. Joh. L. Heiberg.    (Sb. 370.)

Naturwissenschaft und Religion. R. und. N. in Kampf und Frieden. Ein geschichtlicher Rückblick. Von Dr. A. Pfann-(Bd. 141.)

Naturwissenschaften und Technik. Am s senden Webstuhl der Zeit. Übersicht über Wirkungen der Entwicklung der N und T. auf das gesamte Kulturleben. Von Prof. Dr. W. Launhardt. 3. Aufl. Mit 16 Abb.    (Bd. 23.)

Nautik. Von Dir. Dr. I. Möller. Mit 58 Fig.    (Sb. 255.)

Abb.

Abb.

—    siehe Lebewesen.

Patente und Patentrecht siehe Abtlg. Recht.

(Gewerbl. Rechtsschutz).

Photochemie, mell. Mit 23 Abb.

(Bd. 64.)

Nerven. Vom Nervensystem, seinem Bau und seiner Bedeutung für Leib und Seele in gesundem und krankem Zustande. Von Prof. Dr. R. Zander. 2. Ausl. Mit 27 Fig.    (Bd. 48.)

Obstbau. Von Dr. E. Bog es. Mit 13 (Bd. 107.)

Optik siehe Auge, Brille, Licht u. Farbe, Mikroskop. Spektroskopie, Stereoskop, Strahlen.

Optischen Instrumente, Die. Von Dr. M. v.Nohr. 2. Ausl. Mit 84 Abb. (Bd. 88.)

Organismen. Die Welt der O. In Entwicklung und Zusammenhang dargestellt. Von Prof. Dr. K. Lampert. Mit 52 (Bd.236.)

der

den

Von Prof. Dr. G- Küm-(Bd. 227.)

Photographie. Die. ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre Anwendung. Von Dr. O. Prelinger. Mit 65 Abb.

(Bd. 414.)

Photographie, Die künstlerische. Von Dr. W. Warstat. Mit Bilderanhang (12 Tafeln).    (Bd.    410.)

Physik. Werdegang der modernen PH. Von Dr. H. Keller. Mit 13Fig. (Bd. 343.) — Einleitung in die Experimentalphysik. Von Prof. Dr. R. B ö r n st e i n. Mit 90 Abb.    08b.    371.)

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Prof. Dr. P. Crantz. Mit ^3^ ^

Radium und Radioaktivität. Von Dr. M.

Centnerszwer. 33 Abb. (Bd. 405.) Salzlagerstätten, Die deutschen. Bon Dr.

C. Riemann.    (Bd.    407.)

Säugling. Der, seine Ernährung und seine Pflege. Bon Dr. 833. Kaupe. Mit 17 Abb.    (Bd.    154.)

Schachspiel, Das, und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. L a n g e. 2. Äufl. Mit den Bildnissen E. Lasters und P. Morphys, 1 Schachbrettafel u. 43 Darst. von Übungsbeispielen.    (Bd.    281.)

Schiffbau siehe Kriegsschiff.

Schiffahrt siehe Nautik und Abt. Wrrt-schaft.

Schmucksteine, Die. und die Schmuckstein-Jndustrie. Bon Dr. A. Eppler. Mit 64 Abb.    (Bd.    376.)

Schulhygiene. Bon Prof. Dr. L. Burger -stein. 3. Aufl. Mit 43 Fig. (Bd. 96.) Sinne des Menschen. Die fünf. Von Prof. Dr. I. K. Kreidig. 2. Aufl. Mit 39 Abb.    (Bd. 27.)

Sonne. Die. Bon Dr. A. Krause. Mit 64 Abb. im Text u. auf 1 Buntdrucktafel.

(Bd. 357.)

Stimme. Die menschliche St. und ihre Hygiene. Von Prof. Dr. P. H. Gerber. 2. Aufl. Mit 20 Abb. (Bd. 136.) Strahlen. Sichtbare und unsichtbare. Von Prof. Dr. R. Börnstein und Prof. Dr. W. Marckwald. 2. Aufl. Mit 85 Abb.

Straßenbahnen. Die Klein- und Straßenbahnen. Von Oberingenieur a. D. A. Lieb mann. Mit 85 Abb. (Bd. 322.) Suggestion. Hypnotismus und Suggestion.

B. Dr. E. T r ö m n e r. 2. Aufl. (Bd. 199.) Sützwasser- Plankton, Das. Von Prof. Dr. O. Zacharias. 2. Aufl. Mit 49 Abb.

(Bd. 156.)

Tabak, Der, in Landwirtschaft, Handel und Industrie. Mit Abb. Von I a c. W o l f.

(Bd. 416.)

Tee. Kaffee, Tee, Kakao und die übrigen narkotischen Getränke. Von Prof. Dr. A. Winter. Mit 24 Abb. und 1 Karte.

(Bd. 132.)

Telegraphen- und Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. Von Telegraphen-inspektor H. Brrck. Mit 58 Abb.

(Bd. 235.)

Telegraphen- u. Fernsprechtechnik in ihrer Entwicklung. Die Funkentelegraphie. Von Oberpostpraktikant H.

Mit 53 Jllustrat. 2. Aufl.

—    siehe auch Drähte und Kabel.

Tiere der Vorwelt. Von Prof. Dr. O.

Abel. Mit 31 Abb.    (Bd. 399.)

Tierkunde. Eine Ernährung in die Zoologie. Von weil. Privatdozent Dr. Ä. Hennings. Mit 34 Abb. (Bd. 142.)

—    Lebensbedingungen und Verbreitung der Tiere. Von Prof. Dr. O. Maas. Mit 11 Karten und Abb. (Bd. 139.)

Th u r n. (Bd. 167.)

■— Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Von Dr. Fr. Knauer. Mit 37 Fig. (Bd. 148.)

—    siehe auch Lebewesen.

Tierzüchtung. Bon Dr. G. Wilsdorf.

Mit 30 Abb. auf 12 Tafeln. (Bd. 369.)

—    Die Fortpflanzung der Tiere. Von

Prof. Dr. R. Goldschmidt. Mit 77 Abb.    (Bd. 253.)

Trigonometrie, Ebene, zum Selbstunterricht. Bon Prof. Dr. P. Crantz. Mit (Bd. 431.)

Tuberkulose. Die. ihr Wesen, ihre Verbreitung. Ursache. Verhütung und Heilung. Von Generalarzt Präs. Dr. W. Schum-burg. 2. Aufl. Mit 1 Tafel u.^8

50 Fig.

Uhr, Die. Von Reg.-Bauführer a. D. H.

Bock. Mit 47 Abb.    (58b. 216.)

Urtier*. Die. Einführung in die Biologie. Bon Prof. Dr. R Goldschmidt 2. Stuft. Mit 43 Abb.    (Bd. 16«.)

Verbildungen. Körperliche, im Kindesalter und ihre Verhütung. Von Dr. M. D a v i d. Mit 26 Abb.    (93b. 321.)

Vererbung. Experimentelle AbstammungS-und Vererbungslehre. Von Dr. H. Lehma n n. Mit 26 Abb.    (Bd. 379.)

Vogelleben. Deutsches. Von Prof. Dr. A.

8 o t g t.    (8b. 221.)

Vogelzug und Vogelschutz. Von Dr. W. R.

Eckardt. Mit 6 Abb. (Bd. 218.) Volksnahrungsmittel siehe Ernährung u. V.

(93b. 55.)

Wald, Der deutsche. Don Prof. Dr. H. Hausrath. 2. Aufl. Mit 15 Abb. und

2    Karten.    (Bd. 153.)

Wärme. Die Lehre von der W. Von Prof.

Dr. R. Börnstein. Mit 33 Abb.

(Bd. 172.)

—    siehe auch Luft, Wasser, Licht, Wärme. Wärmekraftmaschinen, Die neueren. 2 Bde.

I: Einführung in die Theorie und de« Bau der Maschinen für gasförmige und flüssige Brennstoffe. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 4. Aufl. Mit 42 Abb.

08b. 21.)

— II: Gasmaschinen, Gas- und Dampfturbinen. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 3. Aufl. Mit 46Abb. (Bd. 86.)

—    siehe auch Kraftanlagen.

Wasser, Das. Von Privatdozent Dr. O.

Anselmino. Mit 44 Abb. (93b. 291.)

—    siehe auch Luft. Wasser. Licht. Wärme. Wasserkraftmaschinen und die Ausnützung

der Wasserkräfte. Von Geh. Reg.-Rat A. v. I Hering. 2. Aufl. Mrt 73Fig.

(Bd. 228.)

Weinbau und Weinbereitung. Bon Dr F.

Schmitthenne r. 34 Abb. (Bd. 332.) Weltall. Der Bau des W. V^n Prof. Dr. J.Scheiner. 4. Aufl. Mit 26 Fig.

(Bd. 24.)

WeltSthcr siehe Moleküle.

Weltbild. Das astronomische W. im Wandel der Zeit. Von Prof. Dr. S. Oppen -heim. 2 Aufl. Mit 24 Abb. (Bd. 110.) Weltentstehung. Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Prof. Dr. 93. Weinstei n.^2. Auss.

Wetter, Gut und schlecht. Von Dr. R.

Hennig. Mit 46 Abb. (Bd. 349.) Wind und Wetter. Von Prof. Dr. L. Weber. 2. Aufl. Mit 28 Figuren und

3    Tafeln.

Wirbeltiere. Vergleichende Anatomie der Sinnesorgane der W. Von Prof. Dr. W. Lubofch. Mit 107 Abb. (Bd. 282.) Wohnhaus siehe Baukunde.

Zahnheilkunde siehe Gebiß.

Weitere Bände sind in Vorbereitung.

DIE KULTUR DER GEGENWART

---------- IHRE ENTWICKLUNG UND IHRE ZIELE ---------

HERAUSGEGEBEN VON PROF. PAUL HINNEBERG

Eine systematisch aufgebaute, geschichtlich begründete Gesamtdarstellung unserer heutigen Kultur, welche die Fundamentalergebnisse der einzelnen Kulturgebiete nach ihrer Bedeutung für die gesamte Kultur der Gegenwart und für deren Weiterentwicklung in großen Zügen zur Darstellung bringt. Das Werk vereinigt eine Zahl erster Namen aus Wissenschaft und Praxis und bietet Darstellungen der einzelnen Gebiete jeweils aus der Feder des dazu Berufensten in gemeinverständlicher, künstlerisch gewählter Sprache auf knappstem Raume. Jeder Band ist inhaltlich vollständig in sich abgeschlossen und einzeln erhältlich.

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teil iu. II: Die geisteswissenschaftlichen Kulturgebiete. Die allgemeinen Grundlagen der Kultur der Gegenwart. Geh.*) M. 18.—. [2. Ausl. 1912. Teil I, Abt. 1.]

Inhalt: Das Wesen der Kultur: W.Lexis. — Das moderne Bildungswesen: Fr.Paulsen-j-, — Die wichtigsten Bildungsmittel. A. Schulen und Hochschulen. Das Volksschulwesen:

G.    Schöppa. Das höhere Knabenschulwesen: A. Matthias. Das höhere Mädchenschulwesen : H. G a u d i g. Das Fach- und Fortbildungsschulwesen: G. Kerschensteiner Die geisteswissenschaftliche Hochschulausbildung: Fr. Paulsen f. Die mathematische, naturwissenschaftliche Hochschulausbildung: W. v. Dyck. B. Museen. Kunst-und Kunstgewerbemuseen: L.Pallat. Naturwissenschaftliche Museen: K. Kraepelin. Technische Museen: W. v. D y c k. C. Ausstellungen. Kunst- u. Kunstgewerbeausstellungen: J. L e s s in g f. Naturwissenschaft!.-techn. Ausstellungen: O. N. Witt. D. Die Musik: G. Göhler. E.Das Theater: P.Schlenther. F. Das Zeitungswesen: K.Bücher. G. Das Buch: R. Pietschmann. H. Die Bibliotheken: F. Milk au. — Organisation der Wissenschaft: H. Diels

Die Religionen des Orients und die altgermanische Religion. Geh.*) M. 8.—. [2. Ausl. 1913. Teil I, Abt. III, 1.]

Inhalt: Die Anfänge der Religion und die Religion der primitiven Völker: Edv. Leh« mann. — Die ägyptische Religion: A. Erman. — Die asiatischen Religionen: Die babylonisch-assyrische Religion: C. Bczold. — Die indische Religion: H. Oldenberg. — Die iranische Religion: H. Oldenberg. — Die Religion des Islams: J. Goldziher. — Der Lamaismus: A. Grünwedel. — Die Religionen der Chinesen: J. J. M. de Gr00t. — Die Religionen der Japaner: a) Der Shintoismus: K. Florenz, b) Der Buddhismus:

H.    Haas. — Die orientalischen Religionen in ihrem Einfluß auf den Westen im Altertum: Fr. Cumont — Altgermanische Religion: A. Heusler.

Geschichte der Christi. Religion. M.18.—*). [2.A. 1909. T.I,IV,i.]

Inhalt: Die israelitisch-jüdische Religion: J. Wellhausen. — Die Religion Jesu und die Anfänge des Christentums bis zum Nicaenum (325): A. Jülich er. — Kirche und Staat bis zur Gründung der Staatskirche: A. Ha mack. — Griechisch-orthodoxes Christentum und Kirche in Mittelalter und Neuzeit: N. Bonwetsch. — Christentum und Kirche Westeuropas im Mittelalter: K. Müller. — Katholisches Christentum und Kirche in der Neuzeit: A. Ehrbard. — Protestantisches Christentum und Kirche in der Neuzeit: E. Troeltsch.

Systemat. Christi. Religion. M. 6.60*). [2.A. 1909. Teil I, IV, 2.]

Inhalt: Wesen der Religion u. der Religionswissenschaft: E. Troeltsch. — Christlichkatholische Dogmatik: J. Pohle. — Christlich-katholische Ethik: J. Mausbach. — Christlich-katholische praktische Theologie: C. Krieg. — Christlich-protestantische Dogmatik: W. Herrmann. — Christlich-protestantische Ethik: R. Seeberg. — Christlich-protestantische praktische Theologie: W. Fab er. — Die Zukunftsaufgaben der Religion und der Religionswissenschaft: H. J. Holtz mann.

Allgemeine Geschichte der Philosophie. Geh.*) M. 14.—.

[2. Auflage 1913. Teil I, Abt. V.]

Inhalt. Einleitung. Die Anfänge der Philosophie und die Philosophie der primitiven Völker: W. Wundt. I. Die indische Philosophie: H. Oldenberg. II. Die islamische und jüdische Philosophie: J. Goldziher. III. Die chinesische Philosophie: W. Grube. IV. Die japanische Philosophie: T. Jnouye. V. Die europäische Philosophie des Altertums: H. v. Arnim. VI. Die patristische Philosophie: CI. Baumker. VII. Die europäische Philosophie des Mittelalters: CI. Baumker. VIII. Die neuere Philosophie: W. Windelband.

TEIL I u. II DER KULTUR DER GEGENWART

Systemat. Philosophie. Geh.*) M. io.—. [a.Aufl. 1908. T.I, VL]

Inhalt. Allgemeines. Das Wesen der Philosophie: W. Dilthey. — Die einzelnen Teilgebiete. I. Logik und Erkenntnistheorie: A. Riehl. II. Metaphysik: W. W undt. III. Naturphilosophie: W. Ostwald. IV. Psychologie: H. Ebbinghaus. V. Philosophie der Geschichte: R. Bücken. VI. Ethik: Fr. Paulsen. VII. Pädagogik: W. Münch. VIII. Ästhetik: Th. Lipps. — Die Zukunftsaufgaben der Philosophie: Fr. Paulsen.

Die oriental. Literaturen. Geh*)M. 10.—. [1906. Teil I, Abt. VIL]

Inhalt. Die Anfange der Literatur und die Literatur der primitiven Völker: E. Schmidt.

Die babylonisch - assyrische Literatur: Die israelitische Literatur: H. Gunkel. — Die aramäische Literatur:

—    Die ägyptische Literatur: A. Er man.

C. Bezold.

Th. Nöldeke. — Die äthiop. Literatur: Th. Nöldeke. — Die arab. Literatur: M. J. de Goeje. — Die ind. Literatur: R. Pischel. — Die aitpers. Literatur: K. Geldner. — Die mittelpers. Literatur: P. Horn. — Die neupers. Literatur: P. Horn.— Die türkische Literatur: P. Horn. — Die armenische Literatur: F. N. Finck. — Die georg. Literatur: F. N. Finck. — Die cbines. Literatur: W. Grube. — Die Japan. Literatur: K. Florenz.

Die griechische und lateinische Literatur und Sprache. Geh.*) M. 12.—. [3. Auflage. 1912. Teil I, Abt VIII.]

Inhalt : L Die griechische Literatur und Sprache: Die griech. Literatur des Altertums: U. v. Wilamo witz- Moellendorff. — Die griech. Literatur des Mittelalters: K. Krumbache r. — Die griech. Sprache: J. Wackernagel. — H. Die lateinische Literatur und Sprache: Die römische Literatur des Altertums: Fr. Leo. — Die latein. Literatur im Übergang vom Altertum zum Mittelalter: E. Norden. — Die latein. Sprache: F. Skutsch.

Die osteuropäischen Literaturen u. die slawischen Sprachen. Geh.*) M. 10.-. [1908. Teil I, Abt IX.]

Inhalt: Die slawischen Sprachen: V. v. Jagiö. — Die slawischen Literaturen. I. Die russische Literatur: A. Wesselovsky. — H. Die poln. Literatur: A. Brückner. HI. Die böhm. Literatur: J. Michal. IV. Die südslaw. Literaturen: M. Mur ko. — Die neugriech. Literatur: A. Thumb.— Die finnisch-ugr. Literaturen. I. Die ungar. Literatur: F. Riedl. II. Die finn. Literatur: E. Setälä. HI. Die estn. Literatur: G. Suits.— Die litauisch-lett. Literaturen. L Die lit. Literatur: A. Bezzenberger. U. Die lett. Literatur: E. Wolter.

Die romanischen Literaturen und Sprachen. Mit Einschluß des Keltischen. Geh.*) M. 12.—. [1908. Teil I, Abt. II, 1.]

Inhalt: I. Die kelt. Literaturen, i. Sprache u. Literatur im allgemeinen: EZimmer. 2. Die einzelnen kelt. Literaturen, a) Die ir.-gäl. Literatur: K. Meyer, b) Die schott.-gäl. u. die Manx-Literatur. c) Die kymr. (walis.) Literatur, d) Die kern. u. die breton. Literatur: L. Ch. Stern. II. Die roman.Literaturen: H.Mors. IH. Die roman.Sprachen: W.Mey er-Lübke.

Allgemeine Verfassungs- und Verwaltungsgeschichte. I. Hälfte. Geh.*) M. 10.—. [1911. Teil II, Abt. II, i.]

Inhalt: Einleitung. Die Anfänge der Verfassung und der Verwaltung und die Verfassung und Verwaltung der primitiven Völker: A. Vierkandt. A. Die orientalische Verfassung und Verwaltung: 1. des orientalischen Altertums: L. Weng er, 2. des Islams: M. Hartmann, 3. Chinas: O. Franke, 4. Japans : K. Rath gen. — B. Die europäische Verfassung und Verwaltung (1. Hälfte): 1. des europäischen Altertums: L. Wenger, 2. der Germanen und des Deutschen Reiches bis zum Jahre 1806: A. Luschin ▼. Ebengreuth.

Staat u.Gesellschaft d. Griechen u. Römer. M.8.-*). [1910. II,IV, 1.]

Inhalt: I. Staat und Gesellschaft der Griechen: U. v. Wilamowitx-Moellendorff.

—    II. Staat und Gesellschaft der Römer: B. N i e s e.

Staat u. Gesellschaft d. neueren Zeit. M.9.—*). [ 1908. Teil II, V,i.]

Inhalt: I. Reformationszeitalter, a) Staatensystem end Machtverschletmngen. b) Der moderne Staat und die Reformation, c) Die gesellschaftlichen Wandlungen end die neue Geisteskultur: F. v. Bezold. — H. Zeitalter der Gegenreformation: E. Gothein. — III. Zur Höhezeit des Absolutismus, a) Tendenzen, Erfolge und Niederlagen des Absolutismus, b) Zustände der Gesellschaft, c) Abwandlungen des europäischen Staatensystems: R. K os er.

AUgem. Rechtsgeschichte. [1914. Teil II, Abt.VII, 1. Unt.d.Presse.]

Inhalt: Altertum: Die Anfänge des Rechts: J. Köhler — Orientalisches Recht im Altertum: L. Wenger. — Europäisches Recht im Altertum: L. Wenger.

TEIL n, III u. IV DER KULTUR DER GEGENWART

Systematische Rechtswissenschaft. Geh.*) M. 14.—. [2. Auflage 1913. Teil II, Abt. VIII.]

Inhalt: L Wesen des Rechtes und der Rechtswissenschaft: R. Stammler. H. Die Teilgebiete : A. Privatrecht. Bürgerliches Recht: R. Lehrn. Handels- und Wechselrecht: K. Gareis. Internat.Privatrecht: L.v.Bar. B. Zivilprozeßrecht: L. v. Seuffert. C. Strafrecht u.Strafprozeßrecht: F.v.Liszt. D.Kirchenrecht: W.Kahl. E.Staatsrecht: P.Lab and. F. Verwaltungsrecht. Justiz u. Verwaltung: G. Anschütz. Polizei-u. Kulturpfiege: E.Ber-natzik G. Völkerrecht: F. v. Martitz. III. Zukunftsaufgaben: R. Stammler.

Allgemeine Volkswirtschaftslehre. Von W. Lexis. Geh.*) M. 7.—, [2. Auflage. 1913. Teil II, Abt. X, 1.]

teil III: Mathematik, Naturwissenschaft und Medizin.

Die mathematischenWissenschaften. Bandred.: F.K lein. [Abt.L]

Erschienen ist: Lfrg. I: Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter: H. G. Zeuthen. Geh. M. 3.—. — Lfrg. II: Die Beziehungen der Mathematik zur Kultur der Gegenwart: A. Voß: Die Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischer Auffassung: H. E. Timerding.

Chemie einschl. Kristallographie u. Mineralogie. Bandredakt.: E. v. Meyer u. F. Rinne. Geh.*) M. 18.—. [1913. Abt. III., 2.]

Inhalt: Entwickelung der Chemie von Robert Boyle bis Lavoisier [1660—1793): E. v Meyer. — Die Entwicklung der Chemie im 19. Jahrhundert durch Begründung und Aus bau der Atomtheorie: E. v. Mey er. — Anorganische Chemie: C. Engier und L. Wöhle r — Organische Chemie: O. Wallach. — Physikalische Chemie: R. Luther und W. Nernst. — Photochemie: R. Luther.— Elektrochemie: M. Le Blanc.— Beziehungen der Chemie zur Physiologie: A. Kossel. — Beziehungen der Chemie zum Ackerbau: •j-O. Kellner und R. Immendorf. -- Wechselwirkungen zwischen der chemischen Technik: O. Witt. — Kristallographie und Mineralogie: Fr. Rinne.

Zellen- u. Gewebelehre, Morphologie u. Entwicklungsgesch. i.Botan.Tl.M. i o.-.*) 2.Zoolog.Tl.M. 16.-.*) [1913. Abt.IV.,Bd.2,lu.IL]

Inhalt des botanischen Teils (Bandred. E. Strasburger): Pflanzl. Zellen- und Gewebelehre: E. Strasburger. — Morphologie und Entwicklungsgeschichte der Pflanzen: W. Be necke. Inhalt des zoologischen Teils (Bandred. O. Hertwig): Die einzelligen Organismen: R. H ertwig. — Zellen und Gewebe des Tierkörpers: H. Poll. — Allgemeine und experimentelle Morphologie und Entwicklungslehre der Tiere: O. Hertwig. — Entwicklungsgeschichte und Morphologie der Wirbellosen: K. Heider. — Entwicklungsgeschichte der Wirbeltiere: F. Keibel. — Morphologie der Wirbeltiere: E. Gau pp.

Abstammungslehre, Systematik, Paläontologie, Biogeographie. Bdred.: R.Hertwigu.R.v.Wettstein.M.20.-.*) [1913. Abt.IV,Bd.4.]

Inhalt: Die Abstammungslehre: R. Hertwig. — Prinzipien der Systematik mit besonderer Berücksichtigung des Systems der Tiere: L.Plate. — Das System der Pflanzen: R. v.Wett* stein. — Biographie: A. Brauer. — Pflanzengeographie: A. Engl er. — Tiergeographie: A. Brauer. — Paläontologie und Paläozoologie: O. Abel. — Paläobotanik: W. J. Jong-mans. — Phylogenic der Pflanzen : R. v. Wettstein. — Phylogenie der Wirbellosen: K. H• ider. — Phylogenie der Wirbeltiere: J. E. V. B oas.

teil IV: Die technischen Kulturgebiete. Technik des Kriegswesens. Geh.*) M. 24.—. [1913. Bd. 12.]

Inhalt (Bandredakt. M. Schwarte): Kriegsvorbereitung,Kriegsführung:M.Schwarte.— W affentechnik, a) in ihren Beziehungen zur Chemie :O.Poppenberg; b)in ihren Beziehungen z. Metallurgie: W. Sch winning; c) in ihren Bezieh, z. Konstruktionslehre: W. Schwin-ning: — d) in ihren Beziehungen zur optischen Technik: O. von Eberhard; e) in ihren Beziehungen zur Physik und Mathematik: O. Becker. — Technik des Befestigungswesens: J. Schröter. — Kriegsschiffbau :0. Kretschmer. — V orbereitung für den Seekrieg u. Seekriegsführung :M. Glatze 1. — Einfluß d. Kriegswesens auf die Gesamtkultur: A. Kersting.

Probeheft *nbaltsübersicht Gesamtwerkes, Probeabschnitten, Inhalts-

Ein

Schaffen und Sdjauen

dritte Aufsage] £fsj fü^QVl'slSüeßdl 1 Zweite ^uf[age

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Settungen und Zeitschriften der verschiedensten Richtungen löst „Schaffen und Schauen-tn erfolgreichster Weise die Aufgabe, die deutsche Jugend fn hie Wirklichkeit des Lebens einzuführen und sie doch in idealem Lichte sehen zu lehren.

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Überblick gewinnen läßt über all die Kräfte, die das Leben unseres Volkes und des Einzelnen in Staat, Wirtschaft und Technik, in Wissenschaft, Weltanschauung und Kunst bestimmen.

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unsere gebildete deutsche Jugend werden zu lassen, kann „Schaffen und Schauen" helfen, weil es nicht Kenntnis der Formen, sondern Einblick in das Wesen und Einsicht in die inneren Zusammenhänge unseres nationalen Lebens gibt und zeigt, wie mit ihm das Leben des Einzelnen aufs engste verflochten ist.

werden das deutsche Land als Boden deutscher Kultur, lvv das deutsche Volk in seiner (Eigenart, das Deutsche Reich deutsche Volkswirtschaft nach ihren Grundlagen und in ihren

3m ersten Bande

tn seinem Werden, die wichtigsten Zweigen, der Staat und seine Aufgaben, für Wehr und Recht, für Bildung wie für Förderung und Ordnung des sozialen Lebens zu sorgen, die bedeutsamsten wirtschaftspolitischen Fragen und die wesentlichsten staatsbürgerlichen Bestrebungen, endlich die wichtigsten Berufsarten behandelt.

3m zweiten Bande

werden erörtert die Stellung des ^Menschen in der Natur, die Grundbedingungen und Äußerungen seines leiblichen und seines geistigen Daseins, das werden unserer geistigen Kultur, Wesen und Aufgaben der wissenschaftlichen Forschung im allgemeinen wie der Geistes- und Naturwissenschaften im besonderen, die Bedeutung der Philosophie, Religion und Kunst als Erfüllung tiefwurzelnder menschlicher Lebensbedürfnisse und endlich zusammenfassend die Gestaltung der Lebensführung auf den in dem Werke dargestellten Grundlagen.

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(L. Blute im Archiv f. Aassen- u. Gefellfch.-Biologie.)

„Gin in jeder Kinstcht ausgezeichnetes Werk. (Es vereinigt sachliche, streng wissenschaftliche Behandlung des Gegenstandes mit klarer» jedem, der in rechter Mitarbeit an das werk herantritt, verständlicher Darstellung. Zeder wird das Buch mit großem Gewinn und trotzdem großem Genuß lesen und Einblick in den Ernst der Wissenschaft gewinnen. Das schöne Werk darf als Wüster volkstümlicher Behandlung wissen, schaftkicher Brovkeme bezeichnet werden." (Lit. Jahresbericht des pürervundes.)

„...Ein Buch, welches ganz auf der Köhe steht, und auf welches Rutor und ver-leger in gleichem Maße stolz sein können. Der großen Schar von Freunden der Biologie sei dieses Buch aufs wärmste empfohlen." (Brof.Dr.W.KükenIhatin d. Schlef. Atg.)

Busfuhrl. Prospekt vom Verlag V.G.Teubner in Leipzig.

6-96

künstlerischer Wandschmuck für das deutsche Haus

B.G.Teubners farbige Uünstler-Steinzeichnungen

(Original-Lithographien) entsprechen allein vollwertig Original-Gemälden. Keine Reproduktion kann ihnen gleichkommen an künstlerischem wert. Sie bilden den schönsten Zimmerschmuck und behaupten sich in vornehm ausgestatteten Räumen ebensogut, wie sie das einfachste Wohnzimmer schmücken.

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D. BcmrieM

Frühling im Gebirg

verkleinerte farbige Wiedergabe der Griginal-Lithographie.

Die Sammlung enthält über 200 Blatter der bedeutendsten Künstler, wie: Karl Banker, Karl Bauer, (D. Bauriedl, F. Beckert, Rrtur Bendrat, Karl Biese, Eichrodt, Otto Fikentscher, Walter Georgi, Franz tzein, Franz ^och, F. Jodler, F. Kallmorgen, Gustav Kampmann, Erich Kuithan, Otto Selber, Ernst Liebermann, Emil Grlik, Maria Ortlieb, Sascha Schneider, w. Strich-LHapell, Hans von Volkmann, H. B. Wieland u. a.

„von den Bilderunternehmungen der letzten Jahre, die der neuen .ästhetischen Bewegung' entsprungen sind, begrüßen wir eins mit ganz ungetrübter Freude: den .künstlerischen Wandschmuck für Schule und Haus', den die Firma B.G.Teubner herausgibt.... wir haben hier wirklich einmal ein aus warmer Liebe zur guten Sache mit rechtem Verständnis in ehrlichem Bemühen geschaffenes Unternehmen vor uns — fördern wir es, ihm und uns zu Nutz, nach Kräften!" (Kunstwart.)

Vollständiger Katalog

der Künftler-Steinzcicbnimgcn mit far-bigerwiedergabe von über 200 Blättern gegen Linsend, von 50 Pf. (Ausland 60 Pf.) vom Verlag B. 6. Ceubner, Leipzig, poftftr. s

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

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