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Die Sammlung

Aus Natur und Geisteswelt'

nunmehr über 800 Bändchen umfassend, bietet wirtliche.Einführung en' in die hauptwiffensgebtete für den U n terr icht o d er S e l b st un terr i cht d es Laien nach den heutigen methodischen Anforderungen, seit ihrem Entstehen 0898) den Gedanken dienend, aus denen die heute so mächtig entwickelte Volkshochschulbewegung beruht. Sie will jedem geistig Mündigen die Möglichkeit schassen, stch ohne besondereVorkenntniffean sicherster Tuelle, wie fle die Darstellung durch berufene Vertreter der Wissenschaft bietet, über jedes Gebiet der Wissenschaft, Kunst und Technik zu unterrichten. Sie will ihn dabei zugleich unmittelbar imBeruf fördern,denGestchtskreiserweiternd, dieEtnstcht in die Bedingungen der Berufsarbeit vertiefend. Diesem Bedürfnis können Skizzen im Charakter von .Auszügen" aus großen Lehrbüchern nie entsprechen, denn solche sehen eineVerttautheir mit dem Stoffe schon voraus.

Die Sammlung bietet aber auch dem Zachmann eine rasche zuverlässige über sicht über die stch heute von Tag zu Tag weitenden Gebiete des geistigen Lebens in weitestem Umfang und vermag so vor allem auch dem immer stärker werdenden Bedürfnis des Forschers zu dienen, sich auf den Vachbargebielen auf dem laufenden zu erhalten.

9n den Dienst dieser Ausgabe haben sich dämm auch in dankenswerter Weife von Anfang an die besten Vamen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden.

So tonnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Mehr al» die Hälfte der Bändchen liegen, bet jeder Auslage durchaus neu bearbeitet, bereits in 2. bis 8. Auslage vor, insgesamt hat die Sammlung bis jetzt eine Verbreitung von fast 5 Millionen Exemplaren gefunden.

Alles in allem sind die schmucken, gehaltvollen Bände besonders geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen Bettag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfniffe nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden.

rauchsgegenständen.

Wenn eine Verteuerung der Sammlung infolge der außerordentlichen Steigerung der Herstellungskosten - sind doch die Löhne auf dasAchtzehnfache, die Materialien auf das Fünfundzwanzig- bis Fünfunddreißigfache (teilweise noch weit darüber) gestiegen - auch unvermeidbar gewesen ist, wie bei anderen .billigen" Büchern, z.B. den Aeclamhesten, so ist der preis doch entfernt nicht in dem gleichen Verhällnis gestiegen, und midi w $t> ^ändchen .Aus Vatur

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Zur Mathematik und Astronomie

sind bisher erschienen:

Einführung in die Mathematik.

Einführung in die Mathematik. Von Studienrat W. Mendels söhn. Mit 42 Figuren im Text. (Bd. 503.)

^Mathematische Formelsammlung. Ein Wiederholungsbrrch der Elementarmathematik. Von Prof. Dr. S. Za ko bi. I. Arithmetik und Algebra. H. Geometrie, (8b. 040/47.)

Arithmetik, Algebra und Analysis.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 2 Bande. I. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen-weilen Grades. 7. Aufl. Mit 9 Figuren im Text. (Bd. 120.) 11. Teil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 5. Aufl. Mit 21 Textfiguren. (Bd.205.) Lehrbuch -er Rechenvorteile. Schnellrechnen und Rechenkunst. Mit zahlreichen lldungr-beijpielen. Von Jng. Dr. phil. Z. Bojko. (Bd. 739.)

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Prof.Dr. G.Kowalewsti. 3., verbesserte Aufl. Mit IS Figuren. (Bd. 197.)

Differentialrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung ln der Technik mit zahlreichen Beispielen und Ausgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. 3. Aufl. Mit 45 Figuren und 101 Aufgaben. (Bd. 367.)

Integralrechnung unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung ist der Technik mit zahlreichen Beispielen und Ausgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindaw. 2.Aufl. Mit 43 Figuren im Text und 200 Aufgaben. (Bd. 073.)

Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Von Studienrat Dr. M. Lindow. Mit 36 Figuren im Text und 1 SO Aufgaben. (Bd. 569.)

"Einführung in die Vektorrechnung. Von Prof. Dr. F.Zung. (Bd.OOS.) Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht. VvnSrudienrat K. D roll. (8b.724.)

Geometrie.

Planimetrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 3. Aufl. Mit 94 Figuren im Text. (Bd. 340.)

Ebene Trigonometrie -um Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 3. Aufl. Mit 50 Figuren im Text. (Bd. 431.)

Sphärische Trigonometrie zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. Mit 27 Figuren im Text. (Bd. 005.)

Analytische Geometrie der Ebene zum Selbstunterricht. Von Geh. Studienrat p. Crantz. 2. Aufl. Mit 55 Figuren im Text. (Bd. 504.)

Einführung in die darstellende Geometrie. Von Prof. p. B. Fischer. Mit59F»g. im Text. (Bd. 541.)

Angewandte Mathematik.

praktische Mathematik. Von Prof. Dr. R. Reuendorss. 2 Bde. 1. Teil: Graphische Darstellungen. Verkürztes Rechnen. Das Rechnen mit Tabellen. Mechanische Rechenhilfsmitte!. Kaufm. Rechnen im tägl. Leben. Wahrscheinlichkeitsrechnung. 2., verbesserte Auslage. Mit 29 Figuren und 1 Tafel. (Bd. 341.) II. Teil: Geometrisches Zeichnen, projektionr-lehre, Flächenmessung, Körpermessung. Mit 133 Figuren. (Bd. 520.)

Die Rechenmaschinen und bas Mafchtnenrechnen. Von Regierungsrat Dipl.-9ng. K. Lenz. Mit 43 Abbildungen. (Bd. 490.)

Geometrisches Zeichnen. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudelskh. Mit 172 Abb. im Text und auf 12 Tafeln. (Bd. 506.)

projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprosektion und ihre Anwendung aus die Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang über die schiefwinklige Parallelprojektton ln kurzer leichtfasilicher Darstellung für Selbstunterricht und Schulgcbrauch. Von akad. Zeichenlehrer A. Schudeisky. Mit 206 Abbildungen im Text. (Bd. 504.)

Die Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen. Von Prof. Dr. K. Doehle-mann. 2. Aufl. Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen. (Bd. 510.)

Angewandte Mathematik.

Graphisches Rechnen. Von Prof. O. prSlst. Mit 164 Zig. im Text. (Bd. 708.)

Die graphische Darstellung. Line allgemeinverständliche, durch zahlreiche Beispiele aus allen Gebieten der Wissenschaft und Praxis erläuterte Einführung in den Sinn und Gebrauch der Methode. Von Hofrat Prof. vr. §. Auerbach. 2. Äufl. Mit 1 39 Fig. im Text. (Bd. 437.) Masse und Messen. Von vr. W. B l o ck. Mit 34 Abbildungen. (Bd. 365.) Nautik. Von Direktor vr. I.Möller. 2.Ausl. Mit 64 Figuren im Text und I Seekarte. (Bd. 255.)

Vermessungs- und Kartenkunde. 6 Bände. Jeder Band mit Abbildungen.

*1. Bd. Geographische Ortsbestimmung. Von Prof. Schnauder. (Bd. 606.) *11. Bd. Erdmessung. Von Prof. vr. Osw. Eggert. (Vd.607.) Hl. Bd. Die Landmessung. Von Geh. Finanzrat F. Suckow. Mit 69 Zeichnungen im Text. (Bd. 608.) IV. Bd. Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Von Geh. Neg.-NatProf. E. Hegemann. Mit 11 Figuren im Text. (Bd. 609.) V. Bd. phokogrammetrie (Einfache Stereo- und Luftphotogrammetrie). Von Divl.-3ng. HermannLüscher. Mit 78 Figuren im Text und auf 2 Tafeln. (Bd. 612.) VI. Bd. Kartenkunde. Von Finanzrat Dr. 9ng. A. Egerer. I. Einführung in das Kartenverstandnis. Mit 49 Abbildungen im Text. *11. Karten-herstellung. (Landesaufnahme.) (Bd. 610/611.)

Mathematische Spiele.

Mathematische Spiele. Von vr. W. Ah re ns. 4., verbesserte Ausl. Mit 1 Titelbild und 78 Figuren. (Bd. 170.)

Das Schachspiel und seine strategischen Prinzipien. Von Dr. M. Lange. Mit den Bildn. E. Lasters u.p.Morphhs, 1 Schachbrettasel u. 43 Diagrammen. 3. Ausl. (Bd. 281.)

Geschichte.

Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin im klassische« Altertum. Von Prof. vr. Zoh. L. Heiderg. 2. Aufl. Mit 2 Figuren. (Bd. 370.)

*Die Naturwissenschaften im Mittelalter und im Zeitalter des Wiedererwachens der Wissenschaften. Von Direktor vr. F. Dannemann. (Bd. 695.)

*Die Naturwissenschasten in der Neuzeit. Von Direktor vr. F. D a n n e m a n n. (Bd. 696.)

Astronomie und Astrologie.

Der Vau des Weltalls. Von Prof. vr. Z.Sckeiner. s. Aufl. Bearbeitet von Prof, vr. p. Gu thnick. Mit 28 Figuren im Text. (Bd. 24.)

Entstehung der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. Von Geb. Negierungsrat Prof. vr. M. B. W e i n ft e i n. 3. Aufl. (Bd. 223.)

Weltuntergang in Sage und Wissenschaft. Von Pros. vr. K. Ziegler, und Prof. Dr. S. Oppenheim (Bd. 720.)

Das astronomische Weltbild im Wandel der Zeit. Von Prof. vr. S. Oppenheim.

I.    Teil: Vom Altertum bis zur Neuzeit. 3. Auslage. Mit 19 Abbildungen. (Bd. 444.)

II.    Teil. Moderne Astronomie. 2. Auflage. Mit 9 Figuren im Text und 1 Tafel. (Bd. 445.) Astronomie in ihrer Bedeutung für das praktische Leben. Von proseflor vr. A. Marcuse. 2. Ausl. Mit 26 Abbildungen. (Bd. 378.)

Die Sonne. Von vr. A. Krause. Mit 64 Abbildungen. (Bd. 357.)

Der Mond. Von Prof. vr. Z. Franz. Mit 34 Abbildungen. 2. Aufl. (Bd. 90.) Die Planeten. Von Prof. vr. B. Peter. Mit 16 Figuren. 2. Aufl. von Observ. vr. H. Naumann. (Bd. 240.)

Der Kalender. Von Prof. vr. W. F. W i s l i c e n u s. 2. Aufl. (Bd. 69.) Sternglaube und Sterndeutung. Die Geschichte und das Wesen der Astrologie. Unter Mitwirkung von Geh. Nat Prof. vr. C. vezold dargestellt von Geh. Hosrat Prof, vr. Franz Bol l. 2. Aufl. Mit l Sternkarte und 20 Abbildungen. (Bd. 638.)

Meteorologie.

Einführung in die Wetterkunde. Von Prof. Dr. L. Weber. 3. Aufl. Mit 26 Abbildungen im Text und 3 Tafeln. (Bd. 55.)

Unser Wetter. Einführung in die Klimatologie Deutschlands an der Hand von Wetterkarten. Von vr. N. Herrnig. 2. Aufl. Mit 48 Abb. im Text. (Bd. 349.)

Die mit * bezeichneten u. weitere Bände befinden sich in Vorb.

Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

387. Band

Differentialrechnung

unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen von

Dr. Martin Lindow

Studienrat, Münster i.M.

Vierte Auflage

16.—20. Tausend

Mit 50 Figuren im Text und 161 Aufgaben

Verlag und Druck von B. G. Teubner Zn Leipzig und Berlin 1922

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Schuhsormel für die Vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1922 by B. G. Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich des llberfehungsrechts, vorbehalten.

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Vorwort.

Wenn die zweite Auflage innerhalb eines Jahres vergriffen war, trotzdem auch während dieser Zeit die politischen Ereignisse alle andern Interessen zu absorbieren drohten, so beweist das wohl am besten, daß das vorliegende Buch seinen Freundeskreis gefunden hat.

Im Vorwort zur ersten Auflage sagte ich unter anderem: „Die Differential- und Integralrechnung hat in der Mathematik und in den exakten Naturwissenschaften dieselbe Bedeutung wie das Mikroskop in den beschreibenden. Der Aufbau eines Ganzen wird nur durch das Studium der kleinsten Teile begreiflich. Der Vorteil, den die Technik aus diesen Rechnungsarten zieht, veranlaßte meine int Winter 1910/11 und 1911/12 in Dortmund gehaltenen Vorträge über „Grundzüge der höheren Mathematik für Ingenieure", jene gaben den Anstoß zum Erscheinen dieses Bändchens. — Bei der Fülle des vorliegenden Stoffes war Beschränkung in materieller Hinsicht geboten. Ich suchte aber wenigstens nach Möglichkeit auf Anwendungen in Mechanik, Elektrotechnik, Wärmelehre, Luftfahrt u. dgl. hinzuweisen. Auch die Form der Darstellung bemühte ich mich möglichst faßlich zu gestalten, oft führte ich Beweise geometrisch, wenn das algebraische Verfahren zu umständlich schien..

Als die zweite Auflage nötig wurde, schlug mir die Verlagsbuchhandlung in dankenswertem Interesse für das Werk vor, es durch ein zweites Bändchen zu ergänzen, welches Übungsaufgaben zu den im ersten entwickelten Sätzen enthalten sollte. Im Gedankenaustausch über diesen Plan gelangten wir jedoch zu der Ansicht, daß es zweckmäßiger sei, die Aufgaben wie bisher der Theorie unmittelbar anzugliedern, ihre Zahl aber zu vermehren und den gesamten Stoff auf zwei in sich abgeschlossene Bändchen zu verteilen. Das erste behandelt die Differentialrechnung, das zweite wird der Integralrechnung gewidmet sein. So wurde es möglich, die charakteristischen Züge zu vertiefen und gleichzeitig den Wünschen der Kritik, deren wohlwollender Beurteilung das Buch seinen Erfolg mit verdankt, nach Möglichkeit Rechnung zu tragen. Noch mehr als bisher konnte ich anstreben, den Leser nie in der Theorie stecken zu lassen, sondern ihn zur eigenen Mitarbeit, zur praktischen Auffassung anzuregen und ihm die Freude am Können zu geben, andrerseits vermochte ich auch einige Gebiete zu vertiefen oder zu erweitern, ohne die Behaglichkeit der Darstellung zu gefährden. Wo es möglich war, wurde gezeigt, wie man die Ergebnisse der Rechnung auf verschiedene Weise prüfen kann.

Wenn schon in der ersten Auslage nur die elementarsten mathematischen Kenntnisse vorausgesetzt wurden, so mußte jetzt besonders darauf Rücksicht genommen werden, daß die letzten Jahre eine regelmäßige Vorbildung erschwerten. Nichts pflegt aber das Studium einer mathematischen Schrift unerfreulicher zu gestalten, als Lücken in den Grundlagen. Damit dem Leser Gelegenheit geboten werde, diese auszufüllen, gelegentlich auch gleiche Gegenstände in verschiedener Beleuchtung zu sehen, wurden in Fußnoten Hinweise auf die Bändchen der Sammlung gegeben, welche die betreffenden Gebiete der Elementarmathematik behandeln. Natürlich ist für jemand, der jene Sätze schon beherrscht, eine Durcharbeitung jener Bücher zum Verständnis des vorliegenden nicht notwendig. Wohl aber kann jedem angeraten werden, später Kowalewskis „Einführung in die Infinitesimalrechnung"(ANuG Bd. 197) zu studieren; dort findet sich eine mehr theoretisch gehaltene strenge Formulierung der Grundlagen.

Eine angenehme Pflicht ist es mir, Herrn Prof.vr. I. Plaßmann für die gütige Beteiligung am Korrekturlesen meinen verbindlichsten Dank auszusprechen, ebenso allen, die mich auf Druckfehler in den früheren Auflagen hinwiesen, besonders Herrn Gütiges in Opladen.

In der dritten Auflage wurden einige Ungenauigkeiten berichtigt, die Kegelschnitte etwas ausführlicher behandelt, das Restglied der Mac-Laurinschen Reihe konnte noch elementarer entwickelt werden, und der natürliche Logarithmus erhielt das Zeichen ln statt l.

Die vierte Auflage bringt eine Darstellung der Hyperbelfunktionen und ihrer Umkehrungen.

Auch in der Geisteswelt gibt es eine Art Energiegesetz; möge das Werk die Freude wieder ausstrahlen, mit der es verfaßt ist.

M. Lindow.

Münster i. W., September 1921.

Inhalt.

Seite

1—9

10—22

22—40

40—61

I. Der Funktionsbegriff und seine technische Bedeutung. Graphische Darstellung der Funktionen. . . .

Funktionen, Veränderliche und Konstanten. Festlegung der Funktionen durch Tabellen und Gleichungen. Beispiele für Funktionen aus der Geometrie und den Naturwissenschaften. Das Bild der Funktion im Achsenkreuz. Die Vorteile der graphischen Darstellung. Einwertigkeit, Endlichkeit, Stetigkeit, Difserentiierbarkeit.

II. Der Differenzenquotient und der Differentialquotient. Differentiation einfacher Funktionen

Die Tendenz einer Funktion. Das Steigungsmaß. Der Übergang von der Kurvensekante zur Tangente, der Differentialquotient. Die lineare Funktion und die Gerade. Die reine quadratische Funktion und die Parabel. Die reine kubische Funktion. Die Funktion n ten Grades. Ter binomische Satz für ganze positive Exponenten. Höhere Differentialquotienten. Ableitungskurven.

III. Allgemeine DifferentiationSregeln. Differentiation schwierigerer Funktionen. . .

Der Differentialquotient einer Summe, einer Differenz, eines Produktes mit einem konstanten Faktor, eines beliebigen Produktes, eines Quotienten. Funktionen von Funktionen und implizite Funktionen. Partielle Differentialquotienten. Differentiation einer beliebigen Potenz von x. Inverse Funktionen. Trigonometrische und zyklometrische, logarithmtsche und Exponentialfunktionen. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.

IY. Anwendung der Differentialrechnung aus die Untersuchung technisch wichtiger Kurven. .

Steigen und Fallen, konkaver und konvexer Verlauf einer Kurve. Wendepunkte. Der Krümmungsradius. Gerade Linie, Parabel, elastische Linie, Isotherme, Adiabate, Potenzkurven und Polytropen, Kegelschnitte, Kreisevolvente, Zykloide, gedämpfte Schwingungen. Weitere Beispiele.

V. Reihen.......

Seite

62—80

Bedeutung der Reihen Die geometrische Reihe. Konvergenz. Konvergenzbedingungen für beliebige Reihen Das Kon-vergenzintervall der Potenzreihen. Differentialquotient einer Polenzreihe. Die Mac-Laurinsche Reihe und ihre Anwendung zur Berechnung der Funktionen. Das Lagrangesche Restglied. Anwendungen zur Fehlerabschätzung. Der Mittelwertsatz. Die Taylorsche Reihe und ihr Restglied.

VI. Anwendungen der Mac-Laurinschen und Taylorschen Reihe. . .

Näherungsformeln. Auflösung von Gleichungen. Maxima und Minima.

. . 80—00

VII. Prüsungsmethoden. . .

Lösungen.....

Anhang .....

Die wichtigsten Differentialquotienteu

91—05

.    . 05—99

100—102

103

Erstes Kapitel.

Der Filnktionsbegriff und seine technische Bedeutung. GraphischeDarstellung derFnnktionen.

Eine moderne Maschine besteht meist aus vielen Teilen, von denen jeder seine bestimmte Aufgabe hat. Diese erfüllen sie nicht unabhängig voneinander, sondern in gegenseitigem Zusammenhang, wie auch ihre Form (z. B. bei Zahnrädern) aus das Zusammenarbeiten konstruiert ist. Ist eine Maschine an eine Welle angeschlossen, so hängt die Schnelligkeit der Bewegung jedes einzelnen Elementes von der Tourenzahl n (Umdrehungen in der Minute) der Welle ab, sie ist eine Funktion von n.

Unter einer funktionalen Beziehung versteht man ganz allgemein ein Abhängigkeitsvcrhältnis zweier Zahlen .rund-/, derart, daß zu jedem Wert der „unabhängigen Veränderlichen" x ein einziger bestimmter Wert der „abhängigen Variabeln" y gehört Jede Vergrößerung oder Verkleinerung von x wird im allgemeinen auch eine Veränderung von y mit sich bringen, die aber nicht gleicher Art zu sein braucht. In unserem Beispiel ist die Tourenzahl n die unabhängige Variable, denn man kann sie innerhalb der praktisch zulässigen Grenzen beliebig annehmen. Ist dies aber einmal geschehen, so ist die Geschwindigkeit jedes Maschinenteiles dadurch bestimmt. Läuft z. B. von der Welle, deren Durchmesser dmm sei, ein Riemen über eine Scheibe vom Durchmesser mm, so macht diese

«, -- -jn Umdrehungen in der Minute.

An diesen Veränderungen nehmen die Durchmesser nicht teil, sie behalten ihre ursprüngliche Größe. Derartige Zahlen nennt man Konstanten.

Erhitzt man einen Kessel, der Wasser und gesättigten Dampf enthält, immer weiter, so zeigt das Manometer starke Drucksteigerung an. Der Druck des gesättigten Wasserdampfes ist also eine Funktion seiner Temperatur; sie ist in technischen Tabellen (z. B. von Fliegner, Hol-born, Henning, Baumann) niedergelegt. Die Technik, wie jede andere Naturwissenschaft, darf sich nämlich nicht mit dem gesicherten Bewußtsein begnügen, daß zwischen zwei Größen ein Abhängigkeitsverhältnis besteht, sondern sie muß es zahlenmäßig festlegen, etwa in Form einer Tabelle.

Noch lieber aber ist es dem, der auch theoretisch die Wissenschaft erfassen und vielleicht fördern will, wenn diese Abhängigkeit, wie in dem vorigen Beispiel (Welle und Riemenscheibe) durch eine Gleichung gegeben ist. Auf diese ist der ganze Apparat der mathematischen Analysis zugeschnitten; um ihre reichen Hilfsmittel zur Beherrschung der Naturerscheinungen benutzen zu können, muß man also erst aus der experimentell ermittelten Tabelle das Abhängigkeitsgesetz in Form einer Gleichung zwischen den Variabeln herausfinden, die man in den meisten Fällen y --- f(x)

schreibt. Die Funktion f(x) bezeichnet darin einen Ausdruck, der durch eine in bestimmter Weise vorgenommene Anwendung der mathematischen Rechenoperationen auf die Größe x (und eventuelle Konstanten) entstanden ist. Zur Unterscheidung der verschiedenen Funktionen kann man statt f auch andere Buchstaben wählen, also g>(x), F(x), $>(x), fl {x) u. dgl. schreiben. Diese analytische Darstellung der in der Natur vorkommenden Funktionen aufzusuchen, ist eine Aufgabe der theoretischen Naturwiffenschastcn; in vielen Fällen, z.B. bei dem Problem des gesättigten Wasserdampfes, ist sie noch nicht gelöst. Hat man y aber einmal in dieser Weise dargestellt, so kann man für jeden zulässigen Wert von x den entsprechenden Wert von y finden. Eine Tabelle kann selbstverständlich nur eine bestimmte endliche, wenn auch sehr große Zahl von Wertepaaren enthalten. Andererseits zwingt uns die mathematische Formulierung zu bisweilen recht umständlichen Rechnungen, während die Tabelle sofort Ergebnisse liefert und daher in der Praxis, wenn die Genauigkeit ausreicht, sehr beliebt ist.

U = red.

Beispiele für Funktionen existieren in unzähliger Menge. In der Geometrie ist z. B. der Umfang eines Kreises eine Funktion des Durchmessers d, der in diesem Falle die unabhängige Veränderliche ist, nämlich

n ist die bekannte Konstante 3,142.

Eine andere Funktion des Durchmessers ist der Inhalt I, nämlich

J nd2 Ä ~4

Technische Hilfsbücher, wie die Hütte, enthalten Tabellen für diese Ausdrücke, z. B.

nd 3,142 6,283 9,425 12,566 15,708 18,850 21,991 25,133 28,274 31,416 ?rd2 0,7854 3,1416 7,0686 12,5664 19,6350 28,2743 38,4845 50,2655 63,6173 78,5398

In der Mechanik ist der von einem frei fallenden Körper zurückgelegte Weg s eine Funktion der Fallzeit t (s in m, t in sec), s =    g = 9,81 m/sec².

p = t V

wobei c eine für jeden Fall fest gegebene Größe, eine Konstante, vorstellt, während v die unabhängige, p die abhängige Veränderliche ist.

In der Wärmelehre erweitert sich das eben erwähnte Mariotte-sche Gesetz zu dem Mariotte-Gay-Lussacschen

Die theoretische Ausflußgeschwindigkeit einer Flüssigkeit v ----- ]/2 gh, hängt von der Höhe h der Flüssigkeitssäule ab; der Druck, p Atm, den eine eingeschlossene Gasmenge von v cbm ausübt, ist (bei gleichbleibender Temperatur)

BT

P v

Darin ist B eine Konstante, während die absolute Temperatur T und das Volumen v unabhängig voneinander geändert werden können; p ist hier also eine Funktion von zwei unabhängigen Veränderlichen, dem Raum und der Temperatur.

Die Elektrotechnik benutzt sehr häufig das Ohmsche Gesetz

w'

i — e

in dem i die Stromstärke in Ampere, e die Spannung in Volt und w den Widerstand in Ohm angibt. Ist die Spannung, wie z. B. beim Leitungsnetz einer großen Zentrale, konstant, so ist die Stromstärke nur eine Funktion des (regulierbaren) Widerstandes. Schaltet man vor eine Glühlampe einen Rheostaten, dann zeigt sich, daß auch die Lichtstärke, die Wärmeabgabe in der Zeiteinheit u. a. nt. Funktionen des unabhängig variabeln Widerstandes sind.

Ein Laie pflegt beim Blick in ein technisches Lehrbuch kein Hehl daraus zu machen, daß ihn Formeln und Zahlen nicht interessieren. Dokumentiert er hierdurch seine Verständnislosigkeit gegenüber den

behandelten Problemen, so muß es andererseits auffallen, daß er an den Abbildungen der Maschinen haltmacht und sie sich wenigstens ansieht, wenn ihm auch die Art ihrer Wirkungsweise unklar ist. Während dort der mathematisch-technisch gebildete Verstand in Tätigkeit treten mußte, wirkt hier die unmittelbare Anschauung. Sollte es nicht möglich sein, auch eine Darstellung der Funktionen zu finden, die sich zur Tabelle und Gleichung verhält, wie das Bild zur Beschreibung? Nicht nur der Laie würde davon profitieren.

Dies gelingt in der Tat. Fast alle zu Messungen dienenden Instrumente stellen Zahlen unter Benutzung einer Skala als Längen dar. Die Angaben einer Briefwage, eines Amperemeters, Voltmeters, eines Manometers, Thermometers usw lesen wir ab, indem wir die Länge des Weges (in Skalenteilen ausgedrückt) bestimmen, die der Zeiger vom jeweiligen Nullpunkt ausgehend zurückgelegt hat. Als einfachster Repräsentant der Zahlen erscheint ein gerader Maßstab. Wir legen auf ihm einen Punkt als Nullpunkt fest und tragen von diesem aus eine passend gewählte Strecke als Einheit wiederholt ab. Es ist gebräuchlich, wenn die betreffende Gerade wagerecht liegt, die Zahlen 0, + 1, + 2, + 3 usw. von links nach rechts folgen zu lassen, also wie die Buchstaben und Worte einer Zeile. Geht man nun von einer dieser Zahlen, z. B. 6, aus nach links, so kommt man, wenn man eine Einheit zurückgelegt hat, auf + 5, dann auf + 4 usf. bis auf 0. Bei der Fortsetzung dieses Verfahrens erhält man links vom Nullpunkt die Zahlen — 1, — 2, — 3 usw. Die (positiven oder negativen) gebrochenen Zahlen entstehen leicht durch eine feinere Einteilung der Skala, z. B. 3,4, indem man das „Intervall" 3 ...4 in 10 gleiche Teile zerlegt und dann vier Teile, von 4- 3 an gerechnet, nach rechts abträgt. Noch feinere Teile lassen sich schätzen.

Die so erhaltene Gerade soll uns die Werte der unabhängigen Veränderlichen x repräsentieren, diese bezeichnen wir als Abszissen, die Gerade als Abszissenachse.

Gehört, wie es bei der Funktion y ----- f(x) der Fall ist, zu einem Wert von x ein Wert von y, so kann man diesen nicht ebenfalls auf der a-Achse darstellen, weil dadurch Verwirrung entstehen würde, sondern man nimmt die zweite Dimension der Ebene zu Hilfe, indem man in jedem Punkte x der Abszissenachse die Senkrechte (Ordinate) errichtet und sie gleich --- y macht; diese Zahl wird nach oben aufgetragen, wenn sie positlv, nach unten, wenn sie negativ ist. Bei Negi-

^l!(JJJlfiit!T!itlli!!!itfUlffliiitifiid fffilfi//yijjsss/ f/fs/Sm

Fig. 1.

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Fig. 2.

Graphische Darstellung einer Ballonfahrt.

strierthermometern j. B. besorgt dies selbständig ein Schreibstift. Auf der Abszissenachse ist, als unabhängige Veränderliche, die Zeit angegeben, die zugehörige Ordinate gibt die zurzeit gemessene Temperatur an. Man beachte den Unterschied zwischen Wärme- und Kältegraden (Fig. 1.) Die Krümmung der Ordinalen ist mit Rücksicht auf die kreisförmige Bewegung des Zeigers angeordnet.

Abszissen und Ordinalen nennt man zusammenfassend Koordinaten. Will man Celsiusgrade etwa in die des Fahrenheit-Thermometers umwandeln, so gilt die Beziehung

V = 32 + %x,

wenn x die Temperatur in Celsius-, y in Fahrcnheitgraden mißt. Zur graphischen Darstellung dieser Funktion legt man x passende Werte bei und berechnet jedesmal y. So entsteht die folgende Tabelle.

tt|ol 2 1 4 | 6

8 1 10 | 12 | 14 [ 16 1 18 | 20 | 22 1 24 1 26 | 28 1 30

y!32|35,6|39,2|42,8|46,4|50,0,63,6|57,2|60,8|64,4|68,0|71,6|75,2|78,8^82,4186,0

y|28,4|24,8|21,2|l7,6| 14,0 ] 10,4 | 6,8 | 3,2 aeI — 18 | — SO | — »8 | -24 > -26 | -28 j — 30 y I- 0,41 - 4,01 - 7,61- 11,21 - 14,81 - 18,41 — 22

Jedes dieser Wertepaare stellt einen Punkt im Achsenkreuz (Koordinatensystem) dar; man sieht sofort, daß sie alle in einer Ge-'    raden liegen. Um auch alle möglichen Zwischen

werte zu berücksichtigen, braucht man nur das Lineal anzulegen. Für x = 13 findet man z. B. y --- 55,4 (Fig. 3).

Die auf Seite 3 für I = —— berechnete Ta-

belle liefert bei der Zeichnung eine Anzahl von Punkten, die sicherlich nicht in gerader Linie liegen. Natürlich kann man I auch für eine be-Täfrzörk** liebig große Anzahl von Zwischenwerten berechnen, dann schließen sich diese Punkte immer enger zusammen und kommen endlich einer Kurve beliebig nahe. Man erhält diese praktisch dadurch, daß man die (in genügender Anzahl) gezeichneten Punkte durch das Kurvenlineal verbindet (Fig. 4).

Man beachte den verschiedenen Maßstab auf den Achsen. Ta die eine cm, die andere qcm darstellt und diese Maße wegen ihrer verschiedenen Dimensionen gar nicht miteinander verglichen werden können, so liegt keine Notwendigkeit vor, 1 cm durch dieselbe Länge wie 1 qcm wiederzugeben. Die Verschiedenheit des Maßstabes gestattet uns, ein größeres Wertegebiet der Funktion anschaulich zu machen, als sonst mög- so lich wäre; ein Versuch beweist es.

Trotzdem wollten wir für die Zukunft voraussetzen, daß das Einheitsmaß auf50 der Abszissenachse dieselbe Länge besitze 40 wie das auf der Ordinatenachse, daß das 30 bei Fig. 4 angewendete Verfahren also ²°0 nur eine Ausnahme sei.

+80

+70

+ 60

+ 60

+ 40

86,0

66,4

10

"-3\0-2ö-10 ■22 /    -10

/    20

80-

Fig- 3.

•- r(9cm)

70

123456789    10

Fig- 4

Maßstab. Vorteile der graphischen Darstellung. Grundeigenschasten 7

Die Vorteile der graphischen Darstellung gegenüber Tabellen und Formeln liegen auf der Hand. 1. Die angestrebte Anschaulichkeit ist erreicht, deshalb wird z. B. ein Elektrizitätswerk seinen Aufschwung den Aktionären vor Augen führen, indem es die Monate als Abszissen, die in ihnen an die Konsumenten abgegebene Kilowattstundenzahl (elektrische Energie) als Ordinalen aufträgt. 2. Die Aufsuchung des Funktionswertes geschieht ebenso schnell wie bei den Tabellen und das bei diesen notwendige lästige Interpolieren fällt fort; das hat das Kurvenlineal selbsttätig besorgt, als die einzelnen Punkte verbunden wurden. 3. Fig. 4 gestattet nicht nur, zu einem gegebenen Kreisdurchmesser den Inhalt zu finden, sondern auch den Durchmesser zu ermitteln, wenn der Inhalt bekannt ist. Ist dieser z. B. 60 qcm, so braucht man nur auf der Ordinatcnachse den Punkt 2 = 60 aufzusuchen und, wagerecht weitergehend (parallel zur Abszissenachse), die zugehörige Abszisse d = 8,74 abzulesen. Fig. 3 ist ebensogut zu gebrauchen, wenn man Celsius- in Fahrenheitgrade umwandeln will, als wenn umgekehrt die Temperatur nach der Fahrenheitskala vorliegt und in die Celsiuseinteilung übergeführt werden soll. Allgemein muß, sobald y = f\x) ist, auch x eine Funktion von y sein, • x = <p{y), die man als inverse Funktion zu bezeichnen pflegt; um diese darzustellen, ist also keine neue Kurve nötig, sobald man die ursprüngliche Funktion einmal gezeichnet hat.

Als wesentliches Merkmal einer Funktion haben wir die E in w e r t i g -feit hervorgehoben. Ist aber z. B. y = 2x + Yx, so ist für * = + 1 entweder— 2 -f l = 3 oder 2 — 1 = 1, und dasselbe gilt für alle anderen Werte von x. In solchen Fällen stellt die Gleichung zwei verschiedene Funktionen dar. Man spricht bisweilen von einer zweiwertigen Funktion, doch widerspricht diese Ausdrucksweise unserer Definition.

Wir hatten es ferner mit endlichen Funktionen zu tun, wenigstens in dem gezeichneten Intervall, denn nie wurde eine Abszisse oder Ordinate über alle Grenzen groß. y = besitzt dagegen für x = 2

keinen endlichen Wert, sondern wird (abgesehen vom Vorzeichen) beliebig groß, wenn man x genügend nahe an 2 herankommen läßt.

Außerdem waren alle Funktionen stetig, d. h. die Kurven zeigten keine Unterbrechungen, man konnte sie durch einen zusammenhängenden, nirgends durchschnittenen Faden bedecken. Die erwähnte Funktion

Laufkran

Leußkalte Jj

13

12

11

■10

₂+; springt dagegen, wenn man in der Richtung der positiven L-Achse den Punkt x = 2 passiert, von + oo auf — oo.

Endlich nähert sich die Kurve I --- +- in ihren kleinsten Teilen

immer mehr einer Geraden. Man erkennt dies, wenn man den Maßstab passend vergrößert (und dabei überflüssige Teile der Zeichnung fortläßt). Es gilt z. B. für den zwischen d = 3 und d = 4 liegenden Teil folgende Tabelle, die in Fig. 5 wiedergegeben ist.

d 3    3,1    3,2    3,3    3,4    3,5    3,6    3,7    3,8    3,9    4

ndi

-j- 7,069 7,548 8,042 8,553 9,079 9,621 10,179 10,752 11,341 11,946 12,566

Man zeichne die Funktion zwischen # ----- 3,4 und 3,5, indem man jedesmal d um 0,01 wachsen läßt.

Diese Eigenschaft einer Kurve, in ihren kleinsten Teilchen geradlinig zu sein, bezeichnet man als Differentiierbar-keit. Eine differentiierbareFunktion muß 7,o also immer stetig sein, während die Umkehrung dieses Satzes nicht immer zutrifft. Die eben geschilderten vier Grundeigenschasten einer Funktion können wir, von vereinzelten Ausnahmen abgesehen, die man mit leichter Mühe erkennen kann, bei allen Funktionen voraussetzen, die in der Technik Verwendung finden.

3    3,2    3,4    3,6    3,8

Fig. 5.

Aufgaben.')

1. über einem rechtwinkligen Fabrikgrundstück bewegt sich ein Laufkran auf der Kranfahrbahn und eine Lauskatze auf dem Laufkran. Warum kann diese Anlage zur,Erläuterung des Koordinatenbegriffs dienen? (Fig. 6.)

Die folgenden Funktionen sollen graphisch dargestellt werden: 2.#=2+0,5#. 3.#=2—0,5#.

4.#=-2+0,5#. 5.#=-2-0,5#. 6.#=£> + £#, j wenn für p und q beliebige bekannte Zahlen ge-1

-    I

1) Weitere Aufgaben findet man in Auerbach,

Die graphische Darstellung (ANuG Bd. 437), Crantz,

Analytische Geometrie der Ebene (ANuG Bd. 504) und Neuendorff, Praktische Mathematik (ANuG Bd. 341).

Fig. 6.

nommen werden. Man ändere die Vorzeichen. 7.y=3x*. 8 9. y=x* f 2. 10. y — x²— 2. ll.y—:£«*—6. 12.3/== 13 — l,öar².

3a;⁹-3"

14. 2/ = 34^- l⁵- 2/= ii+Y- 16.2/= _

17. 2/ = y*T 18.2/ = /2a;+l. 19. y - ^ 20.

21.    Man wähle bei den gezeichneten Kurven Punkte aus, die van besonderem Interesse zu sein scheinen und zeichne deren Umgebung in zehn- oder hundertfach vergrößertem Maßstabe. Wozu?

22.    Wie wählt man den Maßstab, wenn man von der Kurve eine allgemeine Übersicht haben will?

23.    Kann man mit Recht der graphischen Darstellung den Vorwurf der Ungenauigkeit machen?

24.    Man ermittle den Funktionswert 2/ aus der Zeichnung für Werte von x, die zwischen den bei der Konstruktion benutzten liegen (graphische Interpolation). Nachher stelle man durch direkte Rechnung den Genauigkeitsgrad fest.

25.    Welche der obigen Funktionen kann man (ungenau) als mehrwertig bezeichnen?

26.    Welche Funktionen werden für endliche Werte von x unendlich groß? Man lasse in y = die Größe x stufenweise dem Werte

y5 = ± 2,236... nahekommen, einmal von unten her (2; 2,2; 2,23; 2,236...) dann von oben her (3; 2,3; 2,24; 2,237...) y = 00 ist nur eine symbolische Abkürzung für grenzenloses Größerwerden.

27.    Findet sich bei einer Kurve eine Unterbrechung der Stetigkeit?

28.    Legt eine Zeichnung die Vermutung nahe, daß eine unserer Funktionen nicht differentiierbar ist?

Zweites Kapitel.

Der Differenzenquotient und der Differential-quotient. Differentiation einfacher Funktionen.

Die graphische Darstellung des Thermometer- und Barometerstandes interessiert vor allem deswegen, weil man sofort erkennen kann, ob in einem gewissen Zeitpunkt diese Größen steigende oder fallende Tendenz besitzen. Dasselbe gilt von der Produktionskurve einer Fabrik. Konnte man dort meteorologische Schlüsse ziehen, so kommt hier die Rentabilität des Unternehmens zum Ausdruck. Bei der Untersuchung der Funktion y = f(x) tritt dieselbe Frage an uns heran. Zu ihrer Entscheidung für einen gegebenen Punkt, dessen Abszisse x und dessen Ordinate y ---- f(x) ist, lassen wir x um die Größe A# auf xx wachsen, so daß /\x = xl — x ist. A ist die Abkürzung für das Wort Differenz, also ein Symbol ähnlich wie sin, cos u. dgl., nicht aber ein Faktor, mit dem x multipliziert werden soll. Gleiches gilt ja von dem bereits benutzten Zeichen f, dem Funktionssymbol. Für xx = x + /\x kann man den zugehörigen Wert Vi = /Oi) = /O + Aas)

leicht berechnen. Ist yx größer als y, also v, — y größer als 0, so steigt die Kurve, yx — y sei der Analogie wegen durch Ay bezeichnet. Ist Ay kleiner als 0, so fällt die Kurve, ist Ay — 0, so bleibt sie auf gleicher Höhe.

Es sei etwa y = ~ as$ in der Umgebung des Punktes Pzu untersuchen, dessen Abszisse x = i ist. Man berechnet zunächst y = -” • 4² = 12,57. Dann erteilt manz einen beliebigen Zuwachs, $.95. A a=l, sodaßn,--5 wird. yx = y-5²wird---19,64also Ay= 19,64-12,57 = +7,n?.

Die Kurve steigt in dem betrachteten Punkte, mit wachsendem Durch-meffer wird der Kreisinhalt selbstverständlich größer.

Ein Gas erfülle bei einem Druck von 1 Atm. und der Temperatur 15⁰ bett Raum 2001. Wird es ohne Temperaturänderung zusammengepreßt oder ausgedehnt, so gilt für Druck p und Volumen v die Beziehung: pv = 200 • 1 = 200 oder p = Hat man das Gas auf v = 2501 ausgedehnt und vergrößertden Raum noch um A ® = 1,71,

ft?

Hl

Fig. 8.

Fig. S.

Fig- 7.

so ist p = — = 0,8 Atm.;

t>₁=250+l,7 = 251,7;p₁ = der Druck nimmt ab.

Es interessiert aber nicht nur, zu erfahren, ob eine Größe zu- oder abnimmt, sondern auch, ob diese Änderung relativ stark oder schwach ist. Tritt der erste Fall bei y = f(x) ein, so wird für einen kleinen Zuwachs /\x die Ordinate y erheblich größer werden. Die Verbindungsgerade der betreffenden Kurvenpunkte PPX wird steil gegen

die Abszissenachse geneigt fein, das „Steigungsmaß" tg¹)« = wird groß sein (Fig. 7). Bei schwacher Steigung ist klein (Fig. 8)

und bei fallender Tendenz negativ (Fig. 9), da der Zähler negativ, der Nenner positiv ist. Auch « wird im letzten Fall negativ. Zeichnet

man z. B. die Kurve, welche der Gleichung y=——x entspricht (Fig. 10) und verbindet die Punkte, deren Abszissen x = 5, xx = x + x = 7 sind, so Wird y = 1,25, yx = 5,25, tg « =    - y = 2, «- 63° 26¹'.

Für«---!, xx = Z erhält man A«/ = 0, tga = 0, «—0; für a; = — 4, %x ——2 wird A* = —2 —(—4) = + 2,«/=8,2/₁ = 3, A«/= —5, also tg a == — 2, 5, et — — 68° 12'.

l) Näheres über die Funktion Tangens findet man in Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 431 § 5).

ANuG 887: Lindow, Differentialrechnung. 4 Aufl.

200

251,7

= 0,7946 Atm., Ap = -0,0054,

Fig. 10 zeigt aber auch gleichzeitig die Mängel unseres Verfahrens, es wurde bisher nicht eigentlich das Steigen und Fallen der Kurve

\a

ta

¹ •ALl

7

Fig. 10.

qualitativ dasselbe Verhalten zeigen, wie für x = 5, so gilt doch das oben gefundene Steigungsmaß für die Sekante, nicht für die Kurve. Nimmt man für die willkürliche Größe A % einen anderen Wert, z. B. 1 an, so wird dort

Ax

-4    -2

selbst untersucht, sondern man betrachtete die Verbindungslinie zweier Kurvenpunkte, eine Kurvensekante, und deren Verlauf gibt den der Kurve doch nur in roher Annäherung wieder. Für 3 = 1, An ----- 2 fanden wir Ay = 0, die Sekante steigt dort weder noch fällt sie, sondern sie läuft der Abszissenachse parallel. Für die Kurve selbst trifft dies in dem genannten Intervall durchaus nicht zu, sie fällt zunächst, dann steigt sie wieder. Aber wenn auch Kurve und Sekante

A|₌3-^25 = 1 75(C==60°15'.

1,525; « = 56°45'.

Az = 0,1 liefert

Ay _ 1,4025- 1,25

0,1

Ay 1,266025 -1,250000

1,5025,« = 56° 21'.

0,01

A-r-O,Ol gibt Ax

Das Steigungsmaß der Sekante ist demnach sicherlich von der Wahl der Zusatzgröße A% abhängig. Wenn man diese sehr klein annimmt, so ist die Abweichung der Kurve von der Sekante schon sehr gering, so daß der zugehörige Differenzenquotient mit immer zunehmender

Genauigkeit als Steigungsmaß der Kurve betrachtet werden kann, je kleiner man A# wählt. Zur Klärung des Problems unterbrechen wir einen Augenblick die Untersuchung unserer Kurve, um uns der bekanntesten krummen Linie, dem Kreise, zuzuwenden.

AB in Fig. 11 sei eine Sehne, die Verlängerung BS ergänzt sie zu einer Sekante. Zieht man von A aus eine kürzere Sehne ABV so wird der Zentriwinkel kleiner (Ml < M), Winkel A größer (At > A),

ba A = 90° — y, Ax = 90°—-y¹*    nähert sich unbegrenzt einem rechten Winkel, wenn B nahe genug an A heranrückt. Soll die Sehne z. S8. so gezogen werden, daß die Abweichung höchstens 5° beträgt, so braucht man nur den Zentriwinkel AMB₂ = 10° zu machen; für alle Sehnen, die noch kleiner sind als ABit ist der Unterschied 90° — A geringer als 5®.

Fig. 11.

Ist A = 90®, so tritt statt des Dreiecks AMB₂ die Linie AM auf. Unsere Gerade hat die Lage AT, sie ist keine Sekante mehr, da sie den Kreis nicht mehr in zwei Punkten von endlicher Entfernung schneidet, sondern nur noch A mit ihm gemeinsam hat. Wir nennen sie jetzt Tangente.

Kann man allgemein durch einen gegebenen Punkt A einer Kurve (die nicht gerade ein Kreis zu sein braucht) eine Gerade ziehen, der sich die verschiedenen von A ausgehenden Sekanten unbegrenzt nähern, und zwar um so mehr, je kleiner die entsprechende Sehne wird, so wollen wir diese Grenzlage als Tangente bezeichnen; aus dieser Definition ergibt sich, daß sie besser als jede Sehne das Verhalten der Kurve in jenem Punkte kennzeichnet; ihn nennen wir Berührungspunkt.

Die obigen Überlegungen, welche uns die geometrische Konstruktion der Tangente an einen beliebigen Punkt eines gegebenen Kreises lieferten —man hat nur nötig, im Berührungspunkt auf dem zugehörigen Radius die Senkrechte zu errichten —, gelten nur für diese Kurve, bei jeder anderen müßte man von vorn anfangen. Deswegen suchen wir ein

allgemeines Verfahren und greifen auf unser Beispiel (y =    — xj

Wir wissen, daß wir für jede Sekante, mögen die Endpunkte der zugehörigen Sehne nahe oder weit sein, das Steigungsmaß finden können. Es läge nahe, das der Grenzlage dadurch zu erzwingen, daß man x1 einfach gleich x setzt. Dann wird von selbst yt=y und der Differenzenquotient =^- Im ersten Augenblick könnte man vielleicht annehmen,

daß dieser Wert gleich 1 sei. Die Prüfung ist leicht. Daß ^ 3 ist, beweist man durch Ausführung der Multiplikation 3 • 4, die den Zähler des ersten Bruches, 12, ergeben muß und auch ergibt; f=5 ist falsch, denn 5 - 6 ist 30 und nicht 23. So scheint zu sein,

2*

denn 1*0 = 0. Aber der Wert tg a = 1 entspricht dem Winkel « = 45°, der offenbar für unsere Figur nicht paßt. Auch rechnerisch scheint der Differenzenquotient nicht der Zahl 1, sondern 1,5 zuzustreben, da wir oben für ihn die Werte 1,75; 1,525; 1,5025 erhielten. In

•s

’B,

der Tat kann man auch -§- = 1,5 setzen, •4 denn 1,5-0 = 0, aber ebensogut auch gleich jeder andern endlichen Zahl a;

•B,

•B,

•B,

•B,

•B*

Bs

Fig. 12.

ist an sich völlig unbestimmt. Dies entspricht genau geometrischen Tatsachen. Nimmt man x = xv y = yv so hat man überhaupt nicht z w e i Punkte (die eine bestimmte Sekante liefern würden), sondern nur einen, und durch einen Punkt kann man, wenn man sich um seineUmgebung nicht kümmert, eine Gerade in ganz beliebiger Richtung legen, so daß ihr Steigungsmaß, tg «, völlig unbestimmt wird (Fig. 12).

Unser Verfahren versagt also gerade da, wo wir es brauchen, es gleicht einem Weg, der in der Nähe des Zieles durch einen Fluß unterbrochen wird. In diesem Fall wird der Wanderer sich freuen, einen parallel laufenden Pfad zu entdecken, der an der kritischen Stelle eine

Brücke hat. Die Aufgabe ist daher, den Ausdruck ^ so umzuformen,

daß er nach wie vor für jede Sekante richtig bleibt, daß er aber gleichzeitig erkennen läßt, ob ein Grenzwert da ist, von dem er beliebig wenig abweicht, wenn A x hinreichend klein gemacht wird. Ist dies der Fall, so gibt der Grenzwert des Differenzenquotienten den Tangens des Winkels, welchen die Kurventangente mit der positiven Abszissenachse bildet, denn diese war ja als Grenzlage der Sekante definiert. Um das in der Benennung zum Ausdruck zu bringen, spricht man nach dem Übergang zur Grenzenicht mehr vonDifferenzen-, sondern vomDifferential-

quotienten und schreibt ihn^ (Aussprache: dy ttsl($ dx). Da er aus

«/---/^hervorgegangen ist, heißt er auch die Ableitung dieser Funktion und wird, wenn keine Verwechslung möglich ist, durch y' oder f'(x) bezeichnet. Die Aufgabe der Differentialrechnung ist es, zu jeder gegebenen Funktion y ---- f(x) den Differentialquotienten zu bilden oder (in selten vorkommenden Fällen) die Unmöglichkeit dieses Prozesses nachzuweisen.

In der Technik bewirkt die endliche Strichstärke der Zeichnung, daß sich Sekante und Tangente,Differenzen- undDifferentialquotient, sobald die Differenzen einigermaßen gering sind, nicht merklich unterscheiden.

i?

Eine Veranschaulichung des Überganges vom Differenzen- zum Differen-tialquotienten liefert für unser Beispiel L,

Fig. 13. Hier sind die Werte von

für x = 5 und verschiedene Werte von t* A% berechnet und dann graphisch dargestellt worden.

A y us

dz

n>~~

<12 örf gs Oß

Fig. 13.

Ax

So ist in unserem Fall

»i —

Ay_(~4Xj¹ — M,) — (-4 a;* — a:)_yr, * — a;, — yc* + a;

Aa; i xx— x A y _    -«) _

M

Ay _ (a;, - .t) [7-fr, -f x)-l] = a?! — a;

a?t — x

f(xl-x)(xl +x)-(xl-x)

JL

Aa?

xt—x

"4 (^1 + *) “ ¹-

Nehmen wir z.B.a:--- 5,    6, so erhalten ttnr^ = |-(6 + 5) — l

Atv

-----1,75; für # = 5, xt ----- 5,1 wird = 1,525, für cp = 5, xx = 5,01

resultiert 1,5025. Man bekommt dieselben Werte wie oben; es muß ja auch so fein, da nur erlaubte algebraischeUmformungenvorgenommen wurden.

Lassen wir jetzt xt immer näher an x heranrücken, so strebt xx + x dem Werte x+x= 2 x zu, und der Grenzwert des Differenzenquotienten, der Differentialquotient, wird

= y' = ?{*) = i • 2a: - 1 =f-Für x = 5 ergibt sich i/'=.l,5, wie wir es früher vermuteten, a wird 56° 19'.

Ax

1.

0,2    0,4    0,6    0,8    1,0

Ay 0,31    0,64    0,99    1,36    1,75    _

1,55    1,6    1,65    1,7    1,75

oc

Bei anderen Funktionen strebt das zeichnerische Bild der Differenzenquotienten auch immer für Ax = 0 dem Differentialquotienten zu, aber im allgemeinen krummlinig.

Wir untersuchen jetzt die einzelnen Funktionen planmäßig.

die Gleichung

1. Eine Funktion heißt linear oder ersten Grades, wenn sie durch y = ax + b

Es ist dann

gegeben ist, in der a und b bekannte konstant bleibende Zahlen sind. yx ----- ax₁ + 6,

also A y = y\ — y = ax₁ — ax = a(xi — x) == a/\x

= a. Jede Verbindungsgerade

Jx

dy

r~- = a.

zweier Punkte der Linie hat genau dasselbe Steigungsmaß, daher ist auch im GrenzfallderDifferentialquotientkon-stant, nämlich

dx

Fig. u.

der Gleichung

Die Linie, welche die lineare Funktion repräsentiert, hat stets dieselbe Richtung, muß daher eine Gerade sein. Ihr Winkel gegen die X-Achse genügt tgcc = a.

Für § ----- 0 wird y = b\ b bedeutet somit das Stück, welches die Gerade auf der Ordinatenachse abschneidet.

Man wende diese Betrachtungen auf die graphische Darstellung der Funktionen

# = 2# + 1; y = l,5x — 3; y = — 0,4# + 6; t/ = — 1,2# — 3 und ähnliche an, sowie auf Fig. 3 und Aufgabe 2 bis 6.

Ist 6 = 0, so geht die Gerade durch den Anfangspunkt. JhreOrdi-naten sind den Abszissen proportional, denn aus y = ax folgt für zwei Wertepaare xlt yt und x2f y₂

y₂=cix₂, y^ax^

also durch Division y₂: yx ----- ax₂: axt = x₂: xv Ein Beispiel ist y ----:tx, denn die Umfänge der Kreise sind ihren Durchmessern proportional, tga ist l)ier = 3,142, « = 72°21,e Entsprechende Verhältnisse treten auf, wenn man Räaumur- in Celsiusgrade, Meter in Fuß und sonstige Maße ineinander umrechnet. Bei dem Hookeschen Dehnungsgesetz ist die Dehnung der Spannung proportional usf.

2. Die reine quadratische Funktion ist definiert durch y --- cx².

Hier und weiterhin sind die Konstanten durch die Anfangsbuchstaben,

die Variabeln durch die Endbuchstaben des Alphabets bezeichnet, wenn nicht ausdrücklich das Gegenteil ausgemacht ist.

A y _ yL-y ₌ c(as,xr) ₌ c(x,-x)(s, -f x)

xv — x

Ax xt — x

|| -e (*, + *).

Aufgaben.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung technisch wichtiger Kurven.

Aufgaben.

fcS-r-o.

0"<0)

+ •••4

Teubners

|| -e (*, + *).

Läßt man jetzt immer näher an ar herantreten, so kann man im Grenzfall xx — x setzen und hat dann

^ ■= 2 ci ax

Die Kurve, deren Gleichung y --- ca;¹ ist, definieren wir als Parabel. Durch

!P

PC

Division erhält man ^ ---- cx, also

dy

iy.

= tg a = 2 cx —

FA

Fig. 15 zeigt, wie dies Ergebnis zur Konstruktion der Parabeltangente PQE in P benutzt wird.

Sollen alle in der Parabelgleichung vorkommenden Größen Strecken bedeuten,

so muß man die Konstante c durch -ersetzen, hat also

Fig. 15.

a heißt der Parameter.

QS sei senkrecht auf PR. Dann ist nach dem Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck

x⁹

SA-AR = AQ², SA

AQy 4 ay

&y 4

Der Punkt -§ heißt der Brennpunkt der Parabel. Bewegt man ein Zeichendreieck so, daß der Scheitelpunkt des rechten Winkels auf der Abszissenachse fortschreitet und der eine Schenkel stets durch den Brennpunkt geht, dann bildet der andere eine Parabeltangente. Eine genügende Anzahl derselben läßt die Gestalt der Kurve sehr deutlich hervortreten (Umhüllungskonstruktion)?)

AR

3. Die einfachste kubische Funktion ist y = ax³

A y ax*—ax⁸ _ a (x^—x⁹) __ a (xx — x) xtx-j- x*)

xl — x    xy — x

— a (#j³4 xx x + #³).

xx — x

^=3a*’.

Im Grenzfall (z, ---- ®) wird

dx

4. Zur Differentiation der Funktion -rten Grades

y ----- axn + bxn~⁴ + cxn~³ 4-----b kx 4 l

braucht man die Formel

xn — xn = (iCj — X) (x₁n~¹ + X₁n~³ X + X₁n~ZX³ + Xln~⁴ XZ

4-----h V xtl~z 4- xt xn 2 + xn~³),

deren Richtigkeit sich leicht durch Ausmultiplizieren ergibt, da sich dann die mittleren Glieder paarweise aufheben.

Ay a(x\— xn)4b(x%— * —i)4c(x%•— 2—2)-|-.. .-b&(#!—a:)-H—Z

Ax

xt — x

A y_(xt—x) [a(x]f—1+    M -)—b^^)-bb(#i——b#n—2)+c(a H—b^⁻³)-- 4-fcj

Ax

= a (zj-⁴ H-----h af“¹) + d (xj-s -----1- xB~s)

+ c (#J”S 4----4* xn~~z)----b

In der ersten Klammer stehen, wie sich durch Abzählen der Exponenten (#°, xl... xn—⁴) ergibt, n Glieder, in der zweiten n — 1 usf.

Im Grenzfall nehmen in einer Klammer alle Summanden denselben Wert an, nämlich #”_1, xn~³ usw. Es ist

= naxn~⁴4- (n — 1) bxn~~³ 4 (n — 2) cxn~³

Eine Anwendung unserer Formel ist die Ableitung des binomischen Satzes für ganze positive Exponenten?) Bekanntlich ist (a 4- x)³ = a² 4- 2 ax 4- #³ (a 4- #)⁸= a³ 4- 3a³# 4- 3a#³ 4- #³.

Bei jeder weiteren Multiplikation wächst der höchste Exponent von x, der „Grad" der erhaltenen Funktion, um 1; man hat schließlich a) (a 4- x)n = A 4- Bx 4 Cx³ + Dx³ 4 • • •Lxn~⁴ + Mxnr und es ist unsere Aufgabe, die konstanten Koeffizienten zu bestimmen.

Soll die Gleichung nicht nur für einen speziellen, sondern sürjeden

_Funktionen 3. und n. Grades. Binomischer Satz .

19

Wert von x richtig sein, so gilt sie auch für zwei Nachbarwerte x und xv Diese Gleichungen darf man subtrahieren und durch /\x = xx — x dividieren. Die linke Seite wird

(a + xx)n-(a + x)n

_ [(q + xx)-(cr-i-x)] [(a + xt)n    (g + ^)w~~²(ct + #) + ••• + (<* +

xx — x

[(a + Ai) — (a + #)] = [a + xx — a — x] = [xt — x\

Die erste Klammer des Zählers hebt sich gegen den Nenner, und der Differenzenquotient wird der zweiten Klammer gleich. Der Differentialquotient wird links --- n{a + a;)””¹. Die ledEjte Seite der Gleichung kann nach der obigen Regel differentiiert werden. So ergibt sich

b) n(a + x)⁷¹^¹ = B 4- 2Cx + 3Da;² i • • • + (n — 1) Lxn~ 2 + nMxn~x.

Die vorigen Betrachtungen lassen sich wörtlich auf diese neue Gleichung anwenden, und man erhält durch wiederholtes Differentiieren

c)    n(n — 1) (a + a;)n~² = 2G + 2 • 3JDx

+ ...+ 0-1) (n-2)Lxn-*+n (n - l)Mxn~²

d)    n(n - 1) (n - 2) (a + x)n~³ = 2 • 3 • D

+ •••-}- 0 —1)0 — 2) 0 — 3)Da;” ⁴+ n{yi —1) 0 — 2)211 a;”⁻³ n 0 — 1) 0 “ 2) • •. 3• 2 • (a -f x) = (n — 1) (n — 2) ... 2 • 1 • L

Für den speziellen Wert i = 0 i[t a) an = A-

+ n(n — 1) . .. 3 • 2Mx

A = an

ja-¹

c)    Yi0 — l)an~²= 2 - (7;

d)    % 0 — 1) 0 — 2) a”—⁸ = 2 • 3 • D;

j) ₌ n(n-l)(n-2)

I 8 VS

to >—e ^tO

CO

to •

| CO

• to •

fcO

•    * CO

rH

<M

t-t

an~² x²

(st + x)n — an + y an~¹ x +

, n(n-l)(n-2)

^    1-2-3

Es läßt sich leicht zeigen, daß die vorher für (a + x)* und (a + x)* angegebenen Ausdrücke Spezialfälle dieser allgemeinen Formel sind. Bei der Ableitung dieses Satzes war eine Funktion y=*f(x) gegeben. Es wurde zunächst ihr Differentialquotient yf = s(x) gebildet und dieser dann nochmals differentiiert. Das Ergebnis heißt der zweite

an~z xz H-----h y axn~~¹ + xn.

d ⁹f

Differentialquotient von y und wird y" oder f"(x) oder

geschrieben. Durch nochmalige Differentiation erhält man den dritten Differentialquotienten

xi    xt

Fig. 16.

Will man den Wert des Differentialquotienten für alle Punkte einer gegebenen Kurve y = fix) darstellen, so zeichnet man zu der ursprünglichen die „Ableitungskurve". Man wählt auf der Absziffenachse eine Reihe von Punkten {x₁, x₂, xs,... x„) aus (am besten in gleichen Abständen), errichtet in ihnen auf der Achse Senkrechte, trägt auf diesen die berechneten Werte von f'(x) ab und verbindet die Endpunkte durch eine Kurve. In Fig. 16 ist QP ■Z—1 unter Benutzung der Tangente AG graphisch

' konstruiert [f(x) = tg « = jl = ^ = PQl

Aufgaben.

29.    Wie lautet die Gleichung einer Geraden, die der X-Achse parallel läuft und von ihr den Abstand b hat?

30.    Hat y den konstanten Wert d, so ist y' = 0. sBeweisl) Man differenziere 31. y = a:²; 32. y — 3a;²; 33. y = j^#² + 3;

34. y =    3a;; 35. y = xs + x + 1.

36. Man stelle bei der Funktion y — nx² den Übergang des Differenzen- in den Differentialquotienten für einen beliebigen Wert von x, etwa x = 2, graphisch dar, indem man A# die Werte 1,0; 0,9;

Aus der ersten Ableitungskurve (y --- f'(x)) kann man die zweite (y --- f"(xj) finden usf.

Höhere Differentialquotienten. Ableitungskurve. Aufgaben 21

0,8; ... 0,1 beilegt. Ebenso berechne man für jedes Ax den zugehörigen Sekantenwinkel und lege auch deren Werte in einer Kurve nieder.

37.    Ein Würfel habe die Kantenlänge x cm, dann ist sein Inhalt x³ ccm. Man denke sich eine Ecke festgehalten und lasse jede der

drei Kanten, die von ihr ausgehen, um Ax cm wachsen (z. B. durch Erwärmung). Der Körper vergrößert sich dann um drei quadratische Platten, drei rechteckige Balken und einen kleinen, der festgehaltenen Ecke gegenüberliegenden Würfel. Man gebe die anschauliche Bedeutung von Ay an und beweise, daß der Differenzenquotient mit abnehmendem Ax immer mehr dem Werte 3 z² nahekommt.

38.    Soll an die Kurve y = z³ die Tangente in einem gegebenen Punkte gelegt werden, so trägt man, wenn y positiv ist, entweder diese Ordinate zweimal auf der negativen Achse ab und verbindet den Endpunkt mit dem Kurvenpunkt, oder man zerlegt die Abszisse x in drei gleiche Teile und verbindet den passenden Teilpunkt mit dem Kurvenpunkt. (Beweis!)

39.    Wie hat man bei dem eben beschriebenen Problem zu verfahren, wenn y negativ ist?

40.    Gelten die Konstruktionen 38 und 39 auch für y ----- ax*, wenn a eine positive oder negative Konstante ist?

41.    Gelten sie auch für die allgemeine kubische Funktion y = ax* + bx* + cx ~b e?

Welches sind die Differentialquotienten der Funktionen

42.    y = ^z³ — 1; 43. y =\x*+ x — 5; 44. y = --§;z³ + z²;

45. y = — z³ + x²— 1?

46.    Welchen Wert haben sie für x = 0, 1, 2, 3, 4, welchen für Z ----- 1, — 2, — 3, - 4?

47.    Man prüfe die Nichtigkeit der eben erhaltenen Lösungen durch die Zeichnung und bilde selbständig ähnliche Aufgaben. Zu beachten ist auch das auf S. 15 geschilderte Annäherungsverfahren.

Die Funktionen 48. y = 0,01 z⁴; 49. y = 0,1z⁴ — 0,2 z³;

50. y — x⁴* — 100z usw. sind entsprechend zu behandeln.

Man beweise die Richtigkeit der Formeln

51.    (a 4* z)⁴ = a⁴ + 4a³z + 6a²z² + 4az³ + z⁴;

52.    (a + z)⁵= a⁵ + 5a⁴z + 10a³z² + 10a²z³+ 5az⁴ + x5 einmal durch Ausmultiplizieren, dann durch wiederholte Differentiation

53.    Wie lautet der erste, zweite... sechste Differentialquotient von y = z⁴?

54.    Man löse dieselbe Aufgabe für die Funktionen der Aufgaben 2-12, 31 — 35, 42—45, 48—50, für y = 2x⁸- -J-*# + ±x* unb ähnliche.

55.    Man zeichne für verschiedene der in 53 und 54 erwähnten Funktionen die Ableitungskurven. Wenn notwendig, sind die Ordinaten dabei zweckmäßig zu verkleinern.

Drittes Kapitel.

Allgemeine Differentiationsregeln. Differentiation schwierigerer Funktionen.

Allgemeine Satze.

Satz 1. Der Differentialquotient einer Summe wird gebildet, indem man die Differentialquotienten der Summanden addiert. Entsprechendes gilt von der Differentiation einer Differenz.

Beweis: Es sei u — f(x), v = q>(x), y = u + v. Dann ist, wenn man den Wert, den die Funktion f für xi einnimmt, mit uv <p(xx) mit bezeichnet:

A y_ m, + v, — (u + v) _ m, — u v, — v _

also im Grenzsall

Äx~ xt-x — xt-x^ xt-x~~ dy ₌ du    dv_'

dx    dx    dx

Für y = u — v ist der Beweis ganz analog, y' ist ur — vf. Geometrisch erhält man y=>u + v, indem man die Kurven y = u = f(x) und y = v = (p(x) zeichnet und die zu einem bestimmten Wert x gehörenden Ordinaten addiert. Dann wird auch der Zuwachs der Ordinate beim Übergang von x zu xv Ay =Aw +

Beispiel 1. y = 3xb+ 4x² soll nach Satz 1 differentiiert werden. Lösung: w=3a;⁵; u'=15x⁴; v=4x²; v'=8x* y'=    v'= 15x⁴-\-8x.

Beispiel 2. y =» 10x — 0,4 a;⁵; u ----- 10#; ur= 10; v ----- 0,4a:⁵; vf ----- 2a;⁴; y! = u} — vr = 10 — 2a:⁴.

Satz 2. 2h~t y=cf(x), so ist y=cf\x). (e sei ein konstanter Faktor.)

Beweis:

cAfM

Ay ^ cfjXj) - cfix) ₌ c[s(xx) — f(x)~\ ₌

xx — x

x

somit

dy _ Jf(x) dx dx

Der geometrische Nachweis ist auch hier einfach.

A y ₌ /sx,) ■ qpfoi -fx)- qp(x)|

Sah 3. Ist y = /(x). <p(x), so ist y' = f • cp + cp' • f. Beweis:

Ax

X, —X

Man kann die Differenz — f( x) - (p{xy) + f(x) - ^(xj ohne Fehler einschalten, da sie gleich Null ist

A y ₌ f(xt) • <p(Xj) -/(x) • v(x.) -s- /~(x) - <p(x,) -f(x) - gp(a-)

Ä x    xt — x

Ajf ₌ «pfo) [/■(*,)-/(*)] ,    (x,)-P(x)^

x, —x

al - Ai ■ ■*><*•) + rl • /■'»; f” * - *i 'fl

Beispiel 3. t/ = (x⁸ + 5 x) (3 — 2a;⁸); w = x⁸+ 5x; t«'=-2x4- 5, v = 3 — 2a:³; t/ = —6x⁸; y' — u'v + v'u = (2x + 5)(3 — 2x³) + (— 6 x²) (xs + 5 x) oder ausmultipliziert und zusammengefaßt y' = — 10x⁴ — 40x³ + 6x -f 15. Dasselbe Ergebnis erhält man natürlich, wenn man zuerst vereinfacht und dann differcntiiert.

.    ...    , f'<p — <p'f

so ist y' — y_,-    -

Satz 4. Ist y =

Beweis:

/■(x)

<JP(X)'

/•(xi) M

P'

₌ y(x,)    <p(x) _ Ax₁) -9(x)-y(x₁) /‘(x)|

Ä X    X, — X    <P (x) • (f (x, ) ■ (x, — x)

Wir schatten hier — fix) cp(x) + f(x)<p(x) ein

A y ₌ /~(x₁)gp(x) —/~(x)y(x) + /(x)gp(x) - cp(x,)f(x) Ax    W(x) • <P(x,)(x,-x)

Ay    P(x)[flx,) -/i[x)] ~/~(x)[qp«X,)-P(x)]

qp(x) • 9>(x^(Xj-X)

Man kann Zähler und Nenner durch xt —x =Ax dividieren

As

Ai/

^A-'x-^Ax

Im Grenzfall hat man

dy: = «' =

c?x ^

q)(x) • P(x,)

s.y-y'.f

ur v — v'u

Beispiel 4.

qp*

X*+ 2x + 1 W 1 CX l CX 1 H

y⁼ ~ x — 5    “ =2x + 2; i/=l;

u'v — v'u_ (2x + 2)(x —5) — t (x²-f2x-f *)    X²— 10x — 11

(x — 5)*    (x •*— 6)²

y = (2x— l)s= z³

Beispiel 5.

= 6(2*- l)².

dx 2;

|| = 3*²=3(2a;-l)²;

y = f(x)

Satz 5 über Funktionen von Funktionen. Es kann vorkommen, daß y nicht direkt als Funktion von x gegeben ist, sondern von einer Größe z = <p(x) abhängt, die ihrerseits eine Funktion von x ist. Man hat dann, wenn die Werte x, y, e; xv yv z₁ zusammengehören,

y = f(/)=f(<p&)Y, y, =    = flv(xi))

A y ₌ f(zt)-fiz) zx—z

2,-2 ₌ cp(x,)-(p(x) '

f(zt) - f(z) cp (x^-rp'x) xk—x

also

aT

Ax xk—x

Ay_ ₌ Ay d Al ₌

Ax Az Ax

d!⁼⁼liA = /'^⁻ v'^)- (Kettenregel!)

zl — z

Sap 6 über implizite Funktionen. Ist der Zusammenhang zwischen x und y durch die Beziehung cp{x,y) = 0 festgelegt (z. B. x% + y — 4 = 0), so kann man aus dieser Gleichung in vielen Fällen y durch x ausdrücken, also den Zusammenhang in der bisher gebräuchlichen Weise angeben. (In unserem Fall ist y = 4 — *².)

Während y ursprünglich „implizite" als Funktion von x gegeben war, hat man es jetzt „explizite" als Funktion von x dargestellt. Aber zur Bildung des Differentialquotienten ist diese Umrechnung nicht notwendig. Aus <p (x, y) — 0 folgt, wenn *, und yx zusammen-geljöcett, y    = 0 und y> (xv yt) — cp (x, y) ---- 0,

xl — x

Hier schaltet man die Größe <p (x, yt) — cp (x, yt) ein, die selbstverständlich = 0 ist, also nichts ändert

X\~X

xx — x    ~t’    xx—x

y(^i^i)-y(^/2/i) |    . Vi-y Ä 0

xl — x    ”r    Vi—y    xk-x

Geht man jetzt zur Grenze über, so wird wie bisher ^

Ay

Ax

Funktionen von Funktionen. Implizite Funktionen. Part.Differentialquot. 2 5

zu Während im allgemeinen x und y variieren, ist der Ausdruck 9i.xx,yl) — tp(x,y])

so gebildet, daß der Wert tiony, nämlich yv konstant

bleibt und nur x sich ändert. So ist die Bezeichnung „partieller Differenzenquotient" und im Grenzfall „partiellerDifserentialquotient" einleuchtend. Zum Unterschiede von den bisher abgeleiteten „totalen"

x₁- X

Differentialquotienten || verwendet man für die partielle Differentiation das runde ö. So wird

§* + |^ = o und cx cydx

Beispiel 6. fei 9> = f + f - 1

dcp 1    Cp __

dx~ a'    y ~

Aus der Gleichung folgt

bx -f ay = ab,

y = b — ^ (Explizite Darstellung) dy

dy

dx

ns

dcp

dx

dcp

dy

e i cj-

und hieraus

was das frühere Resultat bestätigt.

Da die gegebene Gleichung linear ist, so stellt sie eine Gerade dar. Für x = 0 wird y = b, für x — a wird y = 0, also sind die Abschnitte auf den Achsen a und b, und wenn a der Neigungswinkel gegen die X-Achse ist, so hat man    h

tg (180°- a)--tg a = tg « = - - •

Beispiel 7.    “

,p==fi + fi~¹⁼⁼⁰>

Beispiel 8. SDZcmbiffemitiierey=ax~n. Lösung:Jnz,--aL^"ist der negative Exponent^) an und für sich sinnlos, da x nicht — n mal als Faktor gesetzt werden kann; will man auch diesem Ausdruck eine Bedeutung beilegen, so wird man zweckmäßig handeln, wenn man sie mit den Gesetzen der Potenzen mit ganzzahligen Exponenten in Einklang bringt.

(Permanenzprinzip!) Da bekanntlich ap-a?=ap+» ist²), so folgt, daß man a"* = ^ setzen muß, denn durch Multiplikation mit a”⁺¹ ergibt sich

1) Crantz, Algebra 1 (ANuG Bd. 120, § 31).    2) Crantz, a. a. O , § 13.

dx

_2x dcp _2y dy_ b*x

a²' dy ö² > dx

a~n-an+¹ ----- a-n+n+¹ = al = a == — • an+¹ ---

st"*¹

an

an

----- a.

Soll y --- ax~n (n positiv ganzzahlig) differentiiert werden, so beachte man y ä

t/£n ----- a, cp = yxn — a = 0.

dcp

—1.

ny

ß-^ = nyxn

Die auf S. 18 für positive ganzzahlige Exponenten abgeleitete Regel gilt also auch, wenn der Exponent negativ ganzzahlig ist.

' dy

xn

----- — nax

p_

Beispiel 9. Die vorigen Betrachtungen sollen auf y = axq an-

3L _

gewandt werben.¹) Lösung: Es ist x* — ]/xp, denn mit Benutzung des Satzes (xm)n=xmn folgt, wenn man beide Seiten mit q potenziert,

= xp = (y¹#*)⁷ — xp.

(-Y

\Xl) --- Xi

Somit ist

= 2/!

— xp

-°> |f—

*S- +

. djf gy7 1

' i>y

a⁹

2/?_1

s--

a?

ci r/_p xp 1 • y • aq_p xv

dx q

axq • aß

= —ax q

aqxp

Die oben erwähnte Regel darf man daher auch bei gebrochenen positiven Exponenten anwenden. Man weise die Gültigkeit nach,

- f ist-

Satz 7 über inverse Funktionen. Ist y == f(x), so gehört im allgemeinen zu jedem Wert von x ein Wert von y und auch umgekehrt t zu einem Wert y ein passender Wert x, d. h. x ist die inverse Funktion von y] es ist x ----- cp(y) (vgl S. 7). x, y und xv yx seien zusammengehörige Wertepaare.

wenn n -----

yq

Vi-y

xx — x

(G

SM*

l) Crantz, Algebra I (ANuG Bd. 120, § 35)

Beliebige Potenzexponenten. Inverse Funktionen. Aufgaben 27

A f_ i

Betrachtet man links y als Funktion f von x, rechts x als Funktion <P von y, so folgt

<!<

Ax

Beispiel 10.

y — |/a:;

x = y\= <p(y))

dy^df dx dx

dx

“(ID ,y?-

(Vgl. Beispiel 9.)

¹

Genaueres über die Parabel findet man in Crantz, Analytische Geometrie

²

(ANuG Bd. 504, V Abschnitt).

³

der bei der Entwicklung auftretenden „Binomialkoeffizienten".

⁴

Eine Ableitung dieses Satzes ohne Differentialrechnung steht in Crantz, Algebra (ANuG Bd. 205), V. Abschnitt. Dort finden sich auch Eigenschaften

Aufgaben.

A. Differentiation von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten.

56.    Es soll der Differentialquotient von y = u — v abgeleitet werden.

57.    y --- af(x) + bcpix) soll differentiiert werden, wenn a und b konstante Zahlen sind.

58.    w, v und w feien Funktionen von -r; es sei y ---- uvw. Wie groß ist «/'?

Man bilde die Ableitungen von 59. 2(a:¹+1); 60.5(:e—l)(a;+l); 61. -§-(z¹ + x + 1) (x — 1); 62. (xa— Ix) (x — 1) (z — 5) und ähnlichen Ausdrücken einmal nach den Regeln des Kap. III, dann, indem man zunächst die Klammern auflöst und vereinfacht.

63. Man weise nach, daß Satz 2 in Kap. III ein Spezialfall des folgenden Satzes ist.

#* + 9xJsh

Die vorhergehenden Lösungen können aus Aufgabe 67 durch geeignete Spezialisierung leicht gefunden werden. Man bilde selbständig Beispiele mit Funktionen höheren Grades.

^Mandifferentillre64.y = ^ 65.y -    66.

B. Funktionen von Funktionen, implizite Funktionen, Potenzen mit beliebigen Exponenten.

68.2/ = (z+ l)⁶. 69.2/ = 0² + 2a; + l)s. ?Q. y = (x³+3x² + -f 3 a; + l)². 71 .y = (a+bx + cx*)n. 72. fei xy — a²= 0, hne

groß ist y't Es mögen die Funktionen 73. y — J*, 74. y = bx~³,

75. y -- ca:⁻⁷ und ähnliche differentiiert werden. 76. y = Y x.

77.y=Vx. 78.y=V*. 79.y—J=- 80.y—~ 81.«/ =

Va:    ya;⁸    -j/V

82. y — )/a5² — 1. 83. «/ -"j/jjjif 84.    = b-r -s-

Man löse jede Aufgabe möglichst nach verschiedenen Methoden

Die trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen.

Der Winkel wird in der höheren Mathematik stets im Bogenmaß angegeben. Man konstruiert um den Scheitelpunkt einen Kreis mit

*<r

Fig 17.

dem Radius 1 (beim Gradmaß ist er beliebig). Die Länge des zwischen den Schenkeln liegenden Bogens, in derselben Einheit gemessen, gibt die Größe des gegebenen Winkels im Bogenmaß an (Fig. 17). Die Winkelgeschwindigkeit einer rotierenden Scheibe ist bekanntlich der Weg, den einer ihrer Punkte, der vom Mittelpunkt 1 m entfernt ist, in einer Sekunde zurücklegt Sie gibt also den in einer Sekunde von einem Radius überstrichenen Winkel im Bogenmaß an. Der Winkel, der im Gradmaß 360° beträgt, wird im Bogenmaß durch den Umsang des Einheitskreises gemessen, mithin gelten die Beziehungen

Gradmaß

360°

Bogenmaß

ifö - 0.01745

1°

57,296°--57°18'

Z B. ist der Winkel 43°16' im Bogenmaß 43^-0,01745 =

= 43,27-0,01745 = 0,7551. Ferner ist 30° — -J, 45°-- -J, 60°= y, 90°=    180°=«.

Der im Bogenmaß gegebene Winkel u --- 0,42 ist im Gradmaß 0,42-57,296 = 24,064°; 0,064°-- 60-0,064'= 3,84'. Man hat also, aus Minuten genau, u = 2404'

Wählt man den Radius eines Kreises = a (statt 1), dann wird auch der Kreisbogen, welcher von den Schenkeln des Winkels cp (Bogenmaß) eingeschlossen wird, a mal so groß, also

B = acp.

Der zugehörige Kreisausschnitt ist (Bogen - Radius: 2)

A _ a*9>.

E,

B,

Bl

£i

M,

Bj Dt

Hi Jj

'3

Hz

Fig. 18.

1. Es soll jetzt die Funktion y=sin* differentiiert werden. Dazu stellt man sie zunächst graphisch dar, indem man den Radius MA des Einheitskreises verlängert und ihn als X-Achse betrachtet. Da auf dieser die Werte der Winkel, die im Bogenmaß gegeben sind, abgelesen werden sollen, so wickelt man den Umfang des Kreises aus ihr ab, indem man ÄB₁ = Sogen AB, ABt --- AB macht usf. Sodann fällt man von B, B usw. Lote auf die Abszissenachse und überträgt sie unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens auf die vorher gefundenen entsprechenden Punkte. So entstehen die Geraden BtBg, D,D₂ usw. Die Linie ÄBgBi... ist die in der Elektrotechnik wichtige Sinuslinie (Fig. 18).

Ihre Gleichung ist y ---- sin*. Z, B. ist in dem rechtwinkligen Dreieck

r xr

BMNber Winkel ilf = *;    = sin*; BM=\, also BN—sin*.

Ersetzt man x => AB durch ABi und BN durch B]B₂, was nach Konstruktion gestattet ist, so folgt    BiB2 = sin A2?v

was zu beweisen war.

Es sei jetzt in Fig. 19, die einen Teil von Fig. 18 vergrößert darstellt,

AC₁ = xv also B\ C^ — x^ x *=» A x. Ferner ist C₂L = C₂ Ct

J/

3Jh

Ay₌₌₌ClLa Ax B^L

Stu$ ABx = AB und ACX = ÄC folgt AQ-AB^Ax^BC, Ay ist nach Konstruktion = CK,

— B2Bi=yi—y — A v

mithin

Fig. 19.

Ay

also

j)

CK

CB

Begnügt man sich mit einem Anschaulichkeitsbeweis, so kann man sagen, daß, wenn A% kleiner wird, der Bogen CB mit immer größerer Genauigkeit durch die Sehne CB ersetzt werden kann.

^ ss¹) = cos KOB.

Fig. 20.

A x CB

Die Mitte von CB sei 0 (Fig. 20), sie werde mit M verbunden, dann ist KCB ----- OMA, weil die Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen und durch eine Drehung um 90° in parallele und gleichgerichtete Lagen kommen.

^ ~ cos OMA --- cos (AMB + BMO) --- cos {x + {A^)‘

Im Grenzfall wird A^ unendlich klein,

OMA — x und — cos x. dx

.c

Zu einer strengeren Ableitung braucht man den Hilfssatz:Je kleiner der im Bogenmaß angegebene Winkel cc ist, um so mehr nähert

sich der Wert der Einheit. (Fig. 21.)

1) ^ ist das Abkürzungszeichen für „nahezu". ^

Beweis: MA sei der Radius des Einheitskreises, CMA*=a, BA die in A an den Kreis gelegte Tangente. Dann ist das Dreieck OMA kleiner als der Kreisausschnitt CMA und dieser kleiner als das Dreieck BMA. Dreieck*) CMA^\GM*MA^mcc^\^mcc. MA - MA - «

Kreisausschnitt CMA =

(@.29)—J, %xütiBMA= — • 1 • sin « = a —. Daher ist²)

COS«    2 008«    )    \ J

=\BM • MA • sin « = -1- •

y sin « < -§- a < y Dividiert man alle drei Größen durch die

gleiche Positive Zahl    sin «, so wird ihr relatives Größenverhältnis

nicht geändert.

-

sin a cosa

Je kleiner « wird, um so größer wird cos«, um für a = 0 schließlich den Wert 1 anzunehmen. Die obere Grenze für nämlich wird in diesem Falle gleich 1, und da die untere dauernd 1 bleibt, so besteht für den zwischen beiden liegenden Grenzwert von keine andere Möglichkeit, als auch 1 zu werden. Ebenso strebt natürlich sein reziproker Wert, jetzt der Einheit zu.

Setzen wir nun y = sin x, so ist

A y_yx — y__sin xx — sin x __

xx—x

Ax

xx — x

2 sin

(^»(W

Ay

sin

Ax

cos

m-

Im Greuzsalle wird xt — x, also erst recht —-r—. sehr klein, und

der erste Faktor nimmt den eben ermittelten Grenzwert 1 an. wird schließlich gleich x,

~r~ = cos x. ax

2. Die Ableitung von y = cos x läßt sich ganz entsprechend durchführen, was zur Einprägung des obigen Gedankenganges sehr emp-

also

1)    Crantz, Trigonometrie (ANuG 99b. 431 § 156).

2)    Man vergleiche in technischen Kalendern die Werte des Sinus, Bogens und Tangens, die zu einem Zentriwinkel im Einheitskreise gehören.

3)    Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 431 § 26).

fehlenswert ist. Schneller kommt man zum Ziel, wenn man sich an die trigonometrische Formel*)

cos # ----- sin (90°— #) oder bei Benutzung des Bogenmaßes

— sin ^    — #^

*®| a

cos x

erinnert. fei ~ — x = z, daher y ----- sin z, dann hat man nach Satz 5 auf S. 24 dy

dx

i = — sin x d

3. i/ = tg# differentiiert man am bequemsten mit Benutzung der Formel*) tg# = (vgl. Satz 4 auf S. 23)

^    <p(#)’

f(x) ---- sin #;    <p(#) « cos #;

r,'--

/'(#) = cos #; <pf(#) ----- — sin # cos# • cos# — (— sin#) • sin# cos²#

Aus der Trigonometrie ist bekannt, daß der im Zähler auftretende Ausdruck cos²# + sin²# stets den Wert 1 hat, daher ist

^ cos*# cos#

,_(— sin#) • sin#—cos# • cos# __

^    sin²#

sin*#

5. y — arc sin x [arcus sinus] ist die inverse Funktion zu # — sin y. Die zugehörige Kurve findet man, wenn man bei der Sinuslinie y = sin# die Koordinaten vertauscht, d.h. die Figur um die Symme-trielinie der positiven #- und ^/-Achse dreht. Die Zeichnung lehrt, daß dann x in y, y in x übergeführt wird.

f) 0* 6.7, 8«6 26f)

~ = cos y — yi - siu^y - Yl^x*.

dy

also

dx    V i-#²

1) Crantz, Trigonometrie (ANuG Bd. 431 § 7).

d    1 -j- a;

Die zyklometrischen Funktionen (Nr. 5 bis 8) sind vor allem bei der Integralrechnung wichtig.

Aufgaben.

85.    Welcher Bruchteil vom Radius muß auf der Peripherie eines Kreises abgetragen werden, damit der zugehörige Zentriwinkel den Wert a) 1°; b) l'; c) l" hat?

86.    In der Funktion y = sin x sei x der spezielle Wert 0,3 beigelegt. Es soll der Übergang des Differenzen- in den Differentialquotienten nach dem früher entwickelten Verfahren (vgl. S. 15) graphisch dargestellt werden, wenn A* = 1,0; 0,8; 0,6; 0,4; 0,3 ist.

87.    Man löse dieselbe Aufgabe, indem man A£ = 0,10; 0,09; 0,08 ... 0,01 nimmt.

88.    Es soll eine entsprechende Darstellung für die Ableitungen der

andern Funktionen gegeben werden, etwa für cos 0,52; tg j; ctg 4,6. Man differentiiere:

90. y = cos (nx).

93. y = a sin (m x) -f b cos (nx).

96. y ----- cos²L. 9 9.»/---arc cos >

91.r/ — tg (nx).

89. y ----- sin (nx).

92.2/ = ctg (nx).

94.2/ = «sin (ct+5). 95. y = sin²®

97.2/ = sin⁸a: + cos²a:. 98. y — arc sin

arc c

6. y = arc cos x ist die inverse Funktion zu x = cos y

^ = — sin y = — )/1 — cos²«/ ----- — j/l — 32 dj/ ₌

da;

da.

7. y = arc tg a, a; = tg«/,

cos²«/ -f- sin²«/

QU a.

COS²«/

d«/ cos⁸«/ sin² y cos⁸ y

= l + tg²2/=l + x²

x 1 + a’¹    dx    1

8. »/ = arc ctgx, * = ctgy, ^

= — (1 + ctg² 2/) = — (1 + L²)

sin²«/ -f cos²«/

sin²«/

100.2/ = arc tg 101. y =

102. Man zeichne die Kurve y = arc sin x und versuche, den Winkel cc, den eine beliebige Tangente mit der L-Achse bildet, geometrisch zu konstruieren.

Der Logarithmus und die Exponentialfunktion.

Es darf als bekannt vorausgesetzt werden*), daßderLogarithmus einer Zahl a zur Basis b derjenige Exponent ist, mit dem b potenziert werden muß, damit man die gegebene Zahl erhält. Ist y = blga, so folgt nach dieser Definition by = a. Die wichtigsten Sätze über Logarithmen sind

(1)    ⁶lg (uv)    = blgu + blgv,

(2)    ⁶lg(-^)    = ⁶lg«-⁶lgy,

(3)    ⁶lg (wn)    = n ⁶lg u,

(4)    ²^iyü)=~³ 4\gu.

Ist b größer als 1, und dies ist bei den gebräuchlichen Logarithmensystemen der Fall, so gilt    t

7 2 b 3 4 5 6 7 b³

-(5) ⁶lg 0=- oo, bettn b-*

bedeutet einen Bruch, dessen Nenner beliebig groß, dessen Wert also beliebig klein und im Grenzfall 0 wird;

•<1 05

( ) ⁶lg ----0, denn r-o--- 1,

Fig. 22.

( ) b]g --- 1, beim b² = b,

(8)    ⁶lg b³ = 2, denn b³ ---- b²,

(9)    ⁶lg bn ----- n, denn bn ----- bn.

Die Kurve y = blgx verläuft also so, wie Fig. 22 zeigt.

Zur Bildung des Differentialguotienten von y = ⁶lg x nehmen wir b zunächst beliebig an und behalten uns vor, int Verlaufe der Rechnung für die Größe den Wert zu wählen, der uns am passendsten erscheint. Den Zuwachs /\x machen wir aus Zweckmäßigkeitsgründen gleich dem nten Teile von x, wobei n eine beliebige ganzes Zahl bedeuten soll (in der Figur ist z = 5, n - 10 gewählt), die im Grenzfall unendlich groß wird.

Wir untersuchen, ob für (l + ein endlicher bestimmter Wert

resultiert, wenn n immer größer wird. Wenn er existiert, nennen wir ihn e. Nach dem binomischen Satze (S. 18f.) ist

n (n — 1) in — 2)    1

12 3

s = /l + JL)"_ i | » . ¹ .... »(»-*)¹

V ⁺ »/    1 h 1 n ⁺    1-2 ns

n (n — 1) (n — 2)... (n — [n — 1])    1

12 3...»

’n*‘

H)H)

Ax

Ay hlg(x + Ax)-blgx

*“=(■+¥) M‘⁺i)

Man dividiere jetzt jeden Faktor n, n — 1, n — 2, ... durch je einen Faktor des Produktes n*n*n ...

⁵⁼(¹+i) “¹ +¹ + Ä'¹' (¹ ~ i)⁺ri 3'¹

' 1-234 + ••• +

Setzt man dann « = oo, so wird * , — die Reihe 6=1 + 1+ — +

^ usw. = 0, also beginnt + •••.

1+1+|= 2,5000

172 3 = 0.1667 ----- 0,0417 = 0,0083

---b

12 3 ^ 12 3 4

Nur die Schlußglieder erfordern eine besondere Untersuchung; sie zeigt, daß die genannte Reihe für e tat* sächlich völlig richtig ist. Verwandelt man die Brüche in Dezimalbrüche und rundet die vierte Stelle nach dem Komma ab, so erhält man einen Näherungswert.

<N -H

12-34-56-7.8

= 0,0014 ----- 0,0002 ----- 0,0000

= 2,7183.

Allerdings ist jetzt noch fraglich, ob die fehlenden Glieder und die Abrundungen das Ergebnis nicht wesentlich fälschen. Diese Frage wird später im verneinenden Sinne entschieden werden.

Im Grenzfall (n — <x>) resultiert, wenn y ----- l\gx ist

dy

⁶lge

dx

Besonders einfach wird das Ergebnis, sobald man e selbst zur Basis des Logarithmensystems nimmt (natürliche Logarithmen). Statt des Symbols e\g schreibt man einfach ln) Ine ist nach (7) -----1, also folgt

(10)

(y ----- Inx

Wi

Die gebräuchlichste Basis ist 10 (Briggische, gemeine oder künstliche Logarithmen).

(ii)

y = ,0lga: liefert (unter Benutzung der Logarithmentafel)

0,43429

Z = ¹⁰lg X

und 10*== x.

Es sei y der natürliche und z der Briggische Logarithmus von x.

Aus

ergibt sich

also

y ----- Inx und ey = x 10\

Man logarithmiert beide Seiten nach Vorschrift der Gleichung (s>) auf S. 34, indem man einmal 10, einmal e als Basis nimmt. y • ¹⁰lg e — z • ¹⁰lg 10 = # y • e]g e — y — z • ln 10.

Hieraus ergibt sich durch Einsetzen der Werte für y und z

(12)

Inx =

t0]g X

¹⁰lge

(13)

i>,    Inx

'"lg e'

Der Wert x = 10 liefert in (12) ln 10 — ln 10 • ¹⁰lg e = 1.

(14)

Da ¹⁰lge nach der Logarithmentafel = 0,43429 ist, so ist elg 10 ----- 2,30259. Man kann daher (12) und (13) auch schreiben Inx = ¹⁰lga: • -lg 10 = 2,30259 lnlgx (15)    ,0lgx = Inx • ¹⁰lg e = 0,43429 Inx.

So kann man bequem die Logarithmen des einen in die des anderen

Systems umwandeln. Die Richtigkeit der angegebenen, den Tafeln entnommenen Zahlenwerte wird später (Lehre von den Reihen) bewiesen werden.

Wie aus der Definiti'onsgleichung für die Logarithmen hervorgeht, sind die Exponentialfunktionen zu ihnen invers. Aus 7/ ----- ex folgt

₇ dx 1 dy

x=lny' iä=y~e-

(16)    Die Ableitung von ex ist also wieder e*.

y = ax gibt, nach e logarithmiert

<=ylna — axlna.

7    7    Iny dx 1

Iny = xlna, x = 7—/    3— = 7— • ;

⁴⁷    '    Ina    dy Ina    ¹

(17)    Die Ableitung von ax ist axlna.

Aufgaben.

103.    Es soll die Funktion    graphisch dargestellt werden.

'    n '    /    l \n

104.    Man zeichne die Kurven a) y = (1 -f -j ; b) yl = 1;

c) Vi = ¹ + T • y» d) 2/s = ¹ +    • y +

•)*-! + T*Ä +

n(n— 1)    1

1-2

n² >

n{n — 1)    1

1 2 n¹

12 3

dasselbe Achsenkreuz ein und beachte die immer genauer werdende Annäherung.

105.    Man berechne dienatürlichen Logarithmen der ganzen Zahlen von 1 bis 10 nach Formel 14 auf S. 36, indem man die künstlichen Logarithmen einer Tafel entnimmt und vergleiche die Ergebnisse mit einer Tabelle (z. B. in der „Hütte"). Benutzt man den Rechenschieber'), so ist die Berechnung besonders bequem, da die Zahl 2,303 dauernd eingestellt bleiben kann?)

106.    Man zeichne die Kurven y = lnx\ y =» ¹⁰lg x\ y = ⁸⁰lg x, bestimme für einen beliebigen Wert von x, etwa 5, den Differentialquotienten und Prüfe, ob die Kurventangcnte die berechnete Neigung gegen die Abszissenachse hat.

1)    Vgl. Neuendorff, Praktische Mathematik (ANuG 93b. 341 VI. Vortrag).

2)    Für die Berechnung von Potenzen oder Wurzeln mit beliebigen Exponenten, sowie für Logarithmen beliebiger Basen ist der von Nestler in Lahr in den Handel gebrachte Rechenschieber „System Peter⁷' hervorragend geeignet. Die elementaren Operationen lassen sich durch ihn wie mit jedem andern Instrument ausführen.

107.    Man wende das auf S. 15 geschilderte Verfahren an.

108.    Es soll dieselbe Aufgabe für ex und 10* gelöst werden (# = o, 1, 2, 3).

Die HyperLelfunktionen und ihre Umkehrungen.

Eng verwandt mit der Exponentialfunktion einerseits und den tri-

gonometrischenFunktionenandererseitssinddieHyperbelfunktionen.

(2) Cos (*) = 4(c* + «“*)

Man definiert

(1) Sin x = \{e* — e~x)

Cosa? " e* + e*

Da e°= 1 ist, so ist Sin 0 ----- 0; Cos 0 ----- 1; Tg 0; Ctg 0 = oo. Man erhält also dieselben Werte wie für die trigonometrischen

/ty\ ~ ©in# ec—erx (3) Tg#--

Funktionen. Ebenso ist Sin (— x) =j(e~x— e*) = — |(e*— e~*) ----- — Sin x) Cos (— x) = + Cos (#); Tg (— a?) ----- — Tg (a?); Ctg (—#) = — Ctg x. Man braucht hier wie dort nur Tafeln für P o-sitive Werte von x anzulegen, da sich die Funktionen, wenn x negativ ist, sofort hinschreiben lassen. Solche Tabellen findet man in der „Hütte", ausführlichere Werke sind Ligowski, Tafeln der Hyperbelfunktionen und der Kreisfunktionen und Burrau, Tafeln der Funktionen Cosinus und Sinus.

Stellt man unter Benutzung dieser Tafeln oder nach direkter Berechnung die Hyperbelfunktionen graphisch dar, so sieht man, daß sie, von denselben Anfangswerten ausgehend, ganz anders verlaufen als die trigonometrischen. Sin x und Cos x wächst dauernd bis ins Unendliche, Tgn und Ctgn nähern sich unbegrenzt dem Werte 1, Tg 2 steigend, Ctg x fallend. Für große Werte von x kann erx unberücksichtigt bleiben; es ist dann Sin x ^ Cosa?~-^-e* Tg n-^Ctg #~1. Es fehlt für reelle Werte von x den Hyperbelfunktionen die Eigenschaft der Periodizität, welche die trigonometrischen charakterisiert. Bei diesen treten nämlich, wenn man x um die Größe 2% wachsen läßt, dieselben Funktionswerte auf, z. B. ist sin (x+2 k)=sin (x+360°) ----- sin x.

d Cos x

(6)

------ Sin x

Die Ableitungen der Hyperbelfunktionen sind leicht zu finden d&inx ~ .

dx

(ö)    1 = C°s *

d Ctg x

Sin² x

/~\    d%QX 1

' '    dx Cos²n

Aufgaben.

109.    Man stelle die hyperbolischen Funktionen graphisch dar und prüfe die Richtigkeit der für die Ableitungen gefundenen Werte nach den bisherigen Methoden an speziellen Werten von x.

113. Sin

Man leite die Formeln

— 2 Sin x Cos x.

----- Cos² x + ©in² x.

<M cq

110.    Cos x + Sin x = e?.

111.    (Zo\x-®mx = e~x. 114. Cos

112.    Cos²a--Sin²a--1. ab und untersuche, ob noch andere, den trigonometrischen ähnliche aufgestellt werden können.

115. y = ln (x + ]/*² + st²) soll differenziert werden.

Es sei y = 9lr Sin x die inverse Funktion zu -r---Sin y. Aus x =    - e~y) folgt 2xe»= (f f - 1, also (e^)² - 2xey = 1;

(9)

ey = x ± yäs+l. Da ey positiv sein muß, so ist das negative Vorzeichen zu unterdrücken, also y = ln (x + f/xs + l) oder Ar Sin x = ln (x + Yx² + l).

Vgl. Aufg. 115.

}/x* -f 1.

Aus A---Ar Sins oder x—©in«/ ergibt sich^^Cos»/---'f/l-i- Sin²», (9tuf9.ll2)-y^F+I;§| =

(10)

d Ar Sin lv

dx

yx¹-f i

Es sei z, --- Ar Cos x die inverse Funktion zu x = Cos y. Dann ist entsprechend    2xey=(eyf + \-₎

= ln{x-Y^l) = ln\ix--YFE^M±y^Ei)l Die

x-j-y*²—i J

ey = x i Yx²— 1; y=1n(x±Yx*— l)>    = ln(x + ‘|/a;²— l);

2/2

Ausführung der Multiplikation im Zähler ergibt 1, also ist

^    — ln (x — ]/#² — l) = — yv Da Cos y

X -f- yX² — 1

(11)

für y = + r/i und y = — y± denselben Wert hat, so liefert naturgemäß die vorliegende Gleichung &v\y = x zwei nur durch das Vorzeichen verschiedene Lösungen. Man bevorzugt die positive und setzt Ar Cos x = ln (x + Y%² — l).

Ist y = ArCos-r,-r-- Cos^, so ist ^ =    = f/Cos²«,-1 -]/^T

Viertes Kapitel.

¹

m u@ 887: Lindow, Differentialrechnung, 4. Aufl.

²

   Vgl. Crantz, Algebra I (ANuG Bd.120 § 48f.).

³

   Es läßt sich zeigen, daß diese Beschränkung des Wertes n nicht not

⁴

wendig ist.

Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung technisch wichtiger Kurven.

Die Gleichung einer Kurve sei y = f(x). (Fig. 23.)

chung

(12)

dVLx Cosa)

dx

Vx* — 1

ey

y == 2lr x gibt die Gleichung x = %$y man leicht

— e-y

; hieraus findet

(13)

Ferner ist

dx

ati9*-|ta(l±|).

Cos^z/ — ©in *y

(14)

dxj do\²y    ®o\*y

d Ar Tg x

(A ufg. 112)--1—Tg^-- 1—x²

i — x*

x muß stets zwischen — 1 und + 1 liegen (x² < 1), da Tg r/ für jeden reellen Wert von y zwischen diesen Grenzen eingeschlossen ist.

ey+e~y cy — e-y'

y = Ar Ctg x\ x =

(15)

SU

©in* y

dx

(16)

man findet

Wretgz— d Ar Ctg x

dcö

1 _ A.S

x ist stets größer als + 1 oder kleiner als — 1 (x? > 1), weil Ctg y ---- £*--- ist und Tg y zwischen + 1 und — 1 liegt.

Die inversen Funktionen können direkt oder (bequemer) mit Hilfe der Tafeln für die Hyperbelfunktionen berechnet werden.

Schreibt man y einen bestimmten Wert a vor, so liefert die Gleist) = «

die Abszissen der Punkte, die von der xMi)\t den Abstand a haben. Diese Punkte müssen, wenn a positiv ist, über, wenn a negativ ist, unter der Abszissenachse liegen. In Fig. 23 hat z. B. y den vorgeschriebenen Wert a, wenn x ----- OM=xa ist. Die negative Größe b wird erreicht, wenn x ----- ON=xb oder auch, wenn x = OQ = xbi wird. Für den

speziellen Wert a—0 erhält man die Schnittpunkte mit der L-Achse, die Gleichung f(x) = 0 würde also in unserer Figur durch die Abszissen OB, OP unb OH befriedigt sein.

Cßl

a a VT

M    \    2L

M    P\

B,

°°b

Sch on auf S. 14 wurde erwähnt, daß derD i f -serentialquotient y< s(x) --- tga ist, wenn ct den Tangentenwinkel bedeutet Ist y', also auch «, positiv, so steigt die Kurve (Punkt A, G)\ ist j/' negativ, so -fällt sie (Punkt L,^); ist y' — 0, so läuft sie -1 momentan derAbszissen-achse parallel (Punkt B,

Flg. 23.    &

G). Dies ist stets bei den höchsten und tiefsten Punkten der Kurve der Fall.

ß->0°der-^>0

und im Grenzfall >0,    y"> 0.

Die Kurve ist dann in unserem Achsensystem nach „oben" konkav (Punkt K, <7, G in gig. 23).

Ist y"< 0, so ist sie konvex (Punkt L, B, 1B); ist y" = 0, so ist sie momentan ganz geradlinig, man spricht von einem Wendepunkte (Fig. 23, C und F).

Die Verbindungslinie zweier naher Kurvenpunkte liefert im Grenzsall die Tangente. Um eine noch größere Annäherung mit einfachen

Ebenso wie das Vorzeichen von y und y' ist auch das der zweiten Ableitung y" für die Untersuchung von Bedeutung. Es sei x eine beliebige Abszisse, x, = x + /\x eine größere. Steigt die Kurve in dem Punkt, der zux₁ gehört, stärker als in dem vorigen y (Fig. 24), so werden ihre Tangentenwinkel größer, also auch deren trigonometrische Tangenten ' Vi - */ > o

y/-y

/a__ Pi

oo aqc Fig- 24.

xt.

Fig. 25.

dy

Mitteln zu erhalten, sucht man einen Kreis, der sich der Kurve möglichst gut anpaßt, den Krümmungskreis. Soll ein Kurvenstück AB als ein Kreis gelten, so muß der Mittelpunkt auf dem Schnittpunkt zweier „Normalen" (Senkrechten auf der Tangente im Berührungspunkt) liegen; wir wählen die Endpunkte ^4 und B als Berührungspunkte. Der Winkel zwischen den beiden benachbarten Normalen sei y). Aus Fig. 25 geht hervor, _^ daß cp = Afj — <x = A« ist.

Der Kreisbogen AB hat (vgl. S. 29) die Länge qcp = q • A«. Die Sehne AB ist

Rücken A und B näher und näher, so werden diese Größen immer mehr gleich, es ist nahezu

und im Grenzfall genau q ---

y-+(Ä)'

(=)

(3

Nun besteht aber die Beziehung:

also

tg« =    ,

ß=arotg (£)

(vgl. S. 33). Man kann hier die Hilfsgröße « einführen und

(<£y\

\dx'J

hat dann

da

d* ,+”’ - + @)

a ---- arctg u

1 du d*y . , da

=    ä~x ⁼

1 + (Ä)

Diese Größe kann man in die Gleichung für q einsetzen

[‘+(g)TK'+S)' [■+(£)']'

<Py

dx*

d±y

dx*

achse momentan parallel läuft, dann ist nämlich 4^ ----- 0, der Zähler wird 1, und    *

Besonders einfach wird die Formel, wenn die Kurve der Abszissen

?0— d*y ~ y"' dx*

Fig. 26.

Will man an eine Kurve parallel zu einer gegebenen Geraden AB die Tangente legen, so zieht man zwei parallele Sehnen CD und EP, halbiert sie und bringt die Verbindungslinie der Mitten zum Schnitt T mit der Kurve. (Fig. 26.) So erhält man, wenn das Kurvenstück nicht zu groß ist, den Berührungspunkt der Tangente. Der Beweis Hst leicht, wenn man den Kurvenbogen durch den Krümmungskreis ersetzt,denn fürdenKreis ist das geschilderte Verfahren streng richtig.

Es läßt sich zeigen, daß es auch für die andern Kegelschnitte (Ellipse, Parabel, Hyperbel) exakt ist, und da sich ein Kurvenbogen durch eine dieser Linien mit großer Genauigkeit annähernd ersetzen läßt, so liefert es fast stets sehr gute Ergebnisse.

Nach diesen allgemeinen Untersuchungen besprechen wir einzelne technisch wichtige Kurven speziell.

1. Die gerade Linie.

Die Theorie der geraden Linie wurde, soweit sie uns angeht, schon aus

S. 16 behandelt. Einige Beispiele sollen ihre große Bedeutung für die Praxis zeigen. Jede Lösung möge graphisch (g.) ausgeführt werden.

Aufgaben.

116.    Welche Geschwindigkeit v (in m/sec gemessen) nimmt ein Körper, der frei fällt, nach t Sekunden an? Wie groß ist sie, wenn er in einer Fallrinne herabrollt, die unter dem Winkel a gegen die

. Horizontale geneigt ist? (g.)

117.    Ein Thermoelement liefert, wenn die Lötstelle um 100° erwärmt wird, folgende Spannung: Eisen-Konstantan 0,0053 Volt; Kupfer-Konstantan 0,004 Volt; Eisen-Nickel 0,0032 Volt; Kupfer-Nickel 0,0022 Volt; Eisen-Platin 0,0017 Volt. Man stelle die Be-

ANttG 387: Lindow. Differentialrechnung. 4. Aust.

ziehung zwischen Temperatur und Spannung graphisch dar und vergleiche die Diagramme. (Elektrische Pyrometer.)

118. Die Größe des Widerstandes in Ohm, welchen ein Leiter von 1 m Länge und 1 qmm Querschnitt besitzt, heißt sein spezifischer Widerstand c. Dieser ändert sich mit der Temperatur. Bei 15 ⁰ sei er gleich c₁₅, bei t° ist er dann c = c₁₅ [l + cc(t —15)]. (g.)

Nach der „Hütte" sind die Konstanten_

Stoff

Alu

minium

Blei

Eisen

Kon

stantan

Kupfer

Queck-

silber

C15

0,03 ß

0,21

0,10-0,14

0,5

0,017-0,0175

0,95

cc

+ 0,0037

-1-0,0037

+ 0,0045

-0,00003

+ 0,ö04

+ 0,00087

119.    Der Raum, den ein Gas bei 0° einnimmt, sei v₀. Dann erfüllt es bei gleichbleibendem Druck, wenn die Temperatur 1° ist, das Volumen v — y₀(l + jfsO- (g)

Beispiel: v₀= 11.

2. Die Parabel.

Schon auf S. 16 ist die Gleichung der einfachsten quadratischen Funktion

120.    Aus einer Tabelle findet man sin 20°30' = 0,3502; sin 20-40'---0,3529. Wie groß ist sin 20° 37'? Welcher Winkel gehört zu sin «==0,3510? (g.)

2 ** y = car = —

gegeben. Ihre technische Bedeutung liegt darin, daß in den Naturwissenschaften sehr oft eine Größe dem Quadrat einer anderen proportional ist. c ist die Proportionalitätskonstante. Aus y—~ folgt y' = — und y" = Wir nehmen a zunächst als positiv an. Tann

ist y für alle positiven und negativen Werte von x positiv, die Kurve fällt nie unter die Abszissenachse.

y' ist für positive Werte von x stets positiv, für negative stets negativ. Die Kurve hat rechts von der Ordinatenachse stets steigende, links stets fallende Tendenz. Die weitere Diskussion der ersten Ableitung ist bereits auf S. 17 erledigt.

y" ist stets positiv, die Parabel also nach oben konkav.

nimmt für 2 ----- 0 den besonders einfachen Wert ^ an. Der Krümmungsradius im Scheitelpunkt der Parabel ist gleich dem halben Parameter oder dem doppelten Brennpunktsabstand. Da sich der Krümmungskreis hier der Kurve gut anschmiegt, so ist er eine wertvolle Ergänzung der Umhüllungskonstruktion, die gerade an dieser Stelle zeichnerische Schwierigkeiten bietet.

Ist a negativ, so liegt die Kurve ganz unterhalb der L-Achse, sie ist symmetrisch zu der eben beschriebenen Gestalt.

Aufgabe».

121.    Welchen Weg durchfällt eine ohne Anfangsgeschwindigkeit abgeworfene Bombe in t Sekunden? (g.)

122.    Ein Wasserstrahl fließt mit gleichbleibender Geschwindigkeit (c m/sec) aus einer wagerechten Röhre. Welche Bahn beschreibt er unter dem Einfluß der Schwere?

123.    Welche Geschwindigkeit vm/sec muß ein Geschoß üonJ°=50kg Gewicht haben, damit seine Wucht a) 300000 mkg, b) 600000mkg, c) 900000 mkg ist? (g.)

124.    Ein elektrischer Strom durchfließt einen Leiter, dessen Widerstand 120 Ohm ist. Wie hängt die in der Sekunde erzeugte Stromwärme von der Spannung ab? (g.)

3. Die elastische Linie.

Ein Stab, dessen Eigengewicht verhältnismäßig klein ist, sei an einem Ende in horizontaler Richtung fest eingespannt. Seine Länge sei l cm, sein Elastizitätsmodul E kg/qcm, das Trägheitsmoment seines Querschnitts Jcm⁴. Wird sein freies Ende mit Pkg belastet, so deformiert er sich infolge dieser Beanspruchung auf Biegung. Die oberen Fasern werden gedehnt, die unteren verkürzt, und ein Teil der mittleren, die sogenannte neutrale Schicht, behält ihre Länge, aber nicht ihre ursprüngliche Lage. Die Gleichung ihrer neuen Gestalt ist vielmehr nach den Sätzen der Mechanik    Pl, ,x ,

y =* TM \T~ 3 7*)'

-oTXy

Fig. 27.

dabei sind x und y auch in cm gegeben // (Elastische Linie; Fig. 27.)

Für x = 0 wird 2/ ----- 0; für x == l wird y =

l^PZ8 3 Es

4*

Diese Größe stellt die maximale Durchbiegung dar.

folgt

Für ein Doppels-Eisen, Normalprofil 12, ist «7= 328 cm⁴. Nimmt man E -- 2150000 kg/qcm an, und ist l = 1,5 m, P=> 100 kg, so

2/max

cm

100 -150'

3.2150000.328 2/max = 0,16 cm = 1,6 mm.

, PP /1    x*\ PP /.    a?*\

» “äTO VT ⁻ P/    ~ w

pp

2 EJ'

Es wird für L ----- 0 also in unserem Beispiel

y!> =

Ci = 5yf-

----- 0,001 6,

100.22500

»6

3 • 2150000-328

Zwischen L ----- 0 und x -----1 bleibt ~ stets kleiner als 1, also

¹ - ff/

stets positiv und ebenso y'. Die Kurve steigt.

/    2x\ Px

r tv ” ~

x --- l ergibt « — 0.

PP

EJ

2 EJ

Die zweite Ableitung ist y" =

Sie verschwindet für x = 0, das freie Ende des Stabes wird zum Schluß gerade. Zwischen L----0 und x = l ist y" negativ, die Kurve konvex. An der Einspannstelle wird, da y' = 0 ist,

1 EJ

?° = p= - -Py

— 47000 cm ----- - 470 m.

?o =

Das Vorzeichen gibt die Richtung an, in der der Krümmungsmittelpunkt liegt.

Bei Berücksichtigung des Eigengewichtes G gilt, wenn sonst keine Kraft (etwa P) wirkt, eine andere Formel, nämlich

GP (x 1 x\ y ~ 6EJ VT — 1 T*)'

1 m des eben beschriebenen Doppel-1'-Eisens wiegt 11,15 kg, daher ist G --- 16,7 kg, die anderen Konstanten sind schon bekannt.

Die Diskussion der Kurvengleichung wird wie vorher geführt. Die maximale Durchbiegung ist

• — — 0,01 cm = 0,1 mm.

('-Ä

2/max —

16,7 • 150*

6 ■ 2160000^328 4

GP

6 EJ

Die Größen y' =    ( j - £) --

ziehung auf. Ihr entspricht die Gleichung y ------ —, d.h. die Ordinalen

sind den zugehörigen Abszissen umgekehrt proportional.

Die Kurve, deren Gleichung diese Form hat, nennen wir eine gleichseitige Hyperbel; sie entsteht z. B. bei der graphischen Darstellung des Mariolteschen Gesetzes (S. 10). Weil bei dieser Zustandsänderung die Temperatur konstant bleibt, heißt sie Isotherme.

In der Kurvengleichung ist a² stets positiv. Zeichnung und Rechnung lehren, daß die Kurve aus zwei kongruenten Zweigen besteht, von denen der eine in dem Raum zwischen der -I- X uttb + X-Achse, der

(l%

andere zwischen der —X und — X-Achse liegt. (Die Gleichung y= — ~x

stellt eine gleichseitige Hyperbel dar, die in den beiden anderen Quadranten verläuft.)

metrisch. Da

Sie ist zu den beiden Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes sym-

— = a²x~¹

ist, so hat man

tg a - y' = - a?x~²    - f-

Fig. 28 zeigt die auf diese Formel sich gründende Tangentenkonstruktion. Die Tangente bildet mit den Achsen ein rechtwinkliges Dreieck, deffen Katheten = 2x und 2y sind. Der Inhalt ist

= 2xy = 2a².

und

Gx*

y" =

lassen ähnliche Schlüsse wie vorher zu.

Wirkt außer dem Eigengewicht noch die Kräfte, so summieren sich natürlich die durch die beiden Kräfte hervorgerufenen Abweichungen y von der Anfangslage; es ist

ZEJI

.5»Wt-Ä)+ (?-£)]•

<w| cs

Eine sehr reichhaltige Zusammenstellung der Gleichungen für die verschiedenen Formen der elastischen Linie findet sich int 1. Bande der „Hütte".

4. Die gleichseitige Hyperbel.

Neben der direkten Proportionalität, die durch eine Gerade, und dem quadratischen Abhängigkeitsverhältnis, das durch eine Parabel dargestellt wird, tritt in der Technik am häufigsten die reziproke Be-

2xZy

;7Z33sx

r\ q

Fig. 29.

Fig, 28.

Ist von einer gleichseitigen Hyperbel außer dem Achsenkreuz eine Tangente gegeben, so kann man beliebig viele andere zeichnen, indem man den Abschnitt auf der Ordinatenachse n mal, den aus der Abszissen

2a*

U'

achse -i- mal so groß macht wie zu Ansang. (In Fig 29 ist z. B. » ” 2,3, 4

t/'= + 2 a⁸a-⁹ =

Für x = + « ist y' -- — 1, y" = y, = 1/(1 +T)⁸

Besonders wichtig ist der Krümmungsradius im Scheitelpunkt, für den aus Symmetriegründen x — y ist. Aus der Kurvengleichung folgt zunächst    x • x — a⁸, x == + a.

(!)

y • 2 >/2 = al/2 --- OA

(Fig. 28). Dadurch ist die Lage des Krümmungsmittelpunktes bestimmt. 5. Die Adiabate.

Befindet sich ein Gas in einem abgeschlossenen Raum und wird es zusammengepreßt, ohne daß Wärme entweichen kann (Kompressoren), so wird sein Druck einmal nach dem Mariotteschen Gesetz größer,

außerdem aber auch noch dadurch, daß sich die mechanische Arbeit in Wärme umsetzt und diese unter normalen Verhältnissen das Gas zwingen würde, einen größeren Raum einzunehmen. Dies wird verhindert, und so äußert sich die eben erwähnte Wärmeenergie durch vermehrten Druck auf die Gefäßwände. Die Beziehung zwischen Druck und Volumen wird hier durch das Poissonsche Gesetz

P-Po=vok:v*

p₀ und v₀ geben den Anfangszustand des Gases nach Druck und Volumen an, L ist für Luft = 1,41. Es ist

j    vk

----- — kcv~k~¹ — — k— dv    v

geregelt.

■^ = + Kfc+1)™-*-⁸

Po, v₀, p und v sind ihrer Natur nach positive Größen, ebenso ist k, wie angegeben, positiv, auch vk und v₀k.

Ist v sehr klein, so auch i>*; p ist dann sehr groß.

v¹

Ta stets negativ ist, so fällt der Druck mit wachsendem Volumen. —^ ist überall positiv, die Kurve also (für positive^ und v) immer konkav.

P₀, vu bezeichne den Ansangszustand. Es ist interessant, von ihm ausgehend einmal die isotherme (j> = und in demselben Achsenkreuz die adiabatische (p = Zustandsänderung darzustellen. Das

Steigungsmaß ^ wird im ersten Fall = — yS den Ausgangspunkt = ——• Im zweiten Fall ist ^

Adiabate verläuft steiler als die Isotherme.

<5 |h3

<5

, also für - die

C. Die Polenzkurve.

Die Gleichung der Potenzkurve ist y = cxn. Für n => 1 erhält man die Proporlionalitätsgerade. n = 2 liefert die Parabel {n = \ die Parabel in anderer Lage), n = — 1 die gleichseitige Hyperbel, n = — lc die Adiabate. Die Potenzkurve umfaßt also fast alle bisher behandelten Linien als Spezialfälle. Bei der Diskussion muß man unterscheiden, ob n ganzzahlig oder gebrochen ist, im ersten Fall kann wieder n gerade oder ungerade, positiv oder negativ sein. Im zweiten

Fall ist neben dem Vorzeichen zu beachten, ob der Zähler oder der Nenner gerade oder ungerade ist. Jedesmal hat man

yf — ncx”—¹ — —f x

eine Formel, die eine leichte Tangentenkonstruktion liefert.

n(n—l)y

*/" = n (n — 1) ca;”⁻² =

gestattet uns, über die konvexe oder konkave Gestalt der Kurve zu entscheiden und den Krümmungsradius zu bestimmen. Ist n größer als 2 und ungerade, so ist x = 0, y = 0 ein Wendepunkt.

Aufgaben.')

125.    In dasselbe Koordinatensystem sollen die Kurven y = x) y = ;c³; y = xh usw. gezeichnet werden. In welchen Punkten schneiden sich alle? Was ist an ihrer Gestalt gemeinsam, was verschieden? Man vergleiche den Teil, welcher positiven Werten von x entspricht, mit dem, welcher negative Abszissen hat.

126.    Dieselben Aufgaben sind für y = a;²; y = a;⁴; y = a:⁶ usw.

zu lösen.    i_ !

127.    Warum ist die Untersuchung tiony =• x* ;y — x* ',y— x* uff. nach Lösung der vorigen Aufgaben besonders einfach?

_2.

131.    Man zeichne die Neilsche oder semikubische Parabel y = ax * und berechne für einige Punkte das Steigungsmaß der Tangente und den Krümmungsradius. Bei Trägern von gleichem Widerstand gegen Biegung kann die Begrenzung des Längsschnittes eine semikubische Parabel sein.

132.    Ein Gas nimmt bei 1 Atmosphäre Druck den Raum »„= 6 Liter ein. Der Zusammenhang zwischen Druck und Volumen soll graphisch verfolgt werden a) bei isothermem, b) bei adiabatischem, c) bei polytropischem Verlauf der Kompression und Expansion. Die Polytrope unterscheidet sich nur dadurch von der Adiabate, daß der Exponent

128.    Es soll y — ar⁻¹; y = ar*³; y = ar~⁵; ...; y = x~³-, y ---- a:⁻⁴; y = ar⁻⁶;... behandelt werden.

a;“ usw.

nicht k, sondern n ist, wobei n im allgemeinen zwischen 1 und k liegt (z B n = 1,1; 1.2; 1,3). Wie stark muß in jedem Fall der Druck sein, damit das Volumen nur noch 1 1 beträgt?

133. Ist v₀ das Anfangsvolumen eines Gases, T₀ die (absolute) Anfangstemperatur und entsprechen v und T dem Endzustand, so gilt bei der polytropischen Zustandsgleichung die Beziehung

Man nehme v{> =6 1, T₀ = 290° (= 17° 0) an und zeichne die 2-v-Kurve.

134.    Der Druck des gesättigten Kohlendioxyddampfes ist

P = 2,967    — l) kg/qcm, wobei t die absolute Temperatur

(Celsiusgrade + 273) bedeutet, (g.)

135.    Für adiabatische Zustandsänderungen des überhitzten Wasser-dampfes ist nach der „Hütte"

-4s="^hn    - 0,001)⁰'³ = T₀(v₀- 0,00l)°'³; §0-0,001)' -

TT m '

==§oOn— 0,001)¹’³. Weitere Beispiele finden sich in der Theorie des Wärmeüberganges, bei Ausflußformcln für Luft und gesättigten Wasser -dampf usf.

7. Die Kegelschnitte.

Wird ein Kegel durch eine Ebene geschnitten, so entsteht, je nach der Lage der schneidenden Ebene, ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel, eine Hyperbel oder eine Gerade. Der Leser, welcher sich für diese technisch wichtigen Kurven interessiert, wird auf Crantz, Analytische Geometrie (ANuG 504) verwiesen, da eine eingehende Besprechung hier zu weit führen würde.

Der Kreis. Legt man durch den Mittelpunkt 0 (Fig. 30a) ein Koordinatensystem so gilt die Beziehung x¹ + y² = st².

Man kann diese Gleichung auch zerlegen in

x — a cos cp\ y = ü sin cp.

Es ist zweckmäßig, diese Darstellung, bei der -r und y durch den vermittelnden Parameter <p ausgedrückt werden, der Rechnung zugrunde

^D?/selbstverständlicheGleichung = (||):(|f) gehtim Grenz-= ©:(£)•

In unserm Fall ist ~ ----- acosg>; ^ = — «sing?; — = — ctgg>.

Konstruiert man aus OP in Ptue Senkrechte, welche die X-Achse in T

o p

unter dem Winkel « trifft, so ist tg a=*-tg(l80⁰-a)«-pY=~ctgg>.

Die Senkrechte auf dem Radius int Berührungsradius ist also gerade die gesuchte Tangente.

<7\

In dem rechtwinkligen Dreieck 4 OPT \\\OT-OQ ----- OP²; OT-x

= a⁸; OT= —•

-    »'4

—    ~ ctg g> ist, so wird

= % “ (d J): (^) “ aig,:(-«sin <p)

dy'

asin’qp

d g> eirPqp

Für den Krümmungsradius bekommt man

'--y<

sin²g) + cos²qp\3 . <>    l//    ¹    \³    -3

J • tisiirg) = — J/ ^sjn8yj • o sirrg? — cr.

asin⁸g»

sin²g>

Der Krümmungsradius ist also konstant, wie es beim Kreise sein muß.

Die Ellipse. Die Ellipse entsteht aus dem Kreise, wenn man die zu irgend einer Abszisse x gehörige Ordinate jedesmal in einem bestimm-

sten festen Verhältnis ^ verkleinert.

x — CL cos (p\y—~ • a sin g) ' dy^ ¹    “

X²

= 1.

--ctg cp. Die Ellipsentangente in P schneide die X-Achse in T. Es wird OT => OQ + QT. Nun ist aber OQ = x = a cos cp und

<9T = —-Pö

b sin cp

tg (180° — a)

-^ctgv

a sin² cp CO8 qp

OT — a cos cp +

asin²qp a cos² cp -f- a sin²<p

a²

COS qp

Die Ellipsentangente trifft also die X-Achse in demselben Punkte wie die Tangente des Hauptkreises (mit a um 0), deren Berührungspunkt P' dieselbe Abszisse hat wie der Berührungspunkt der Ellipsentangente; man konstruiert sie leicht, wenn man zuerst die entsprechende Kreistangente hinzeichnet. (Fig. 30 b.)

9 d V ⁹ dx

ft ! O-

COS qp

COS Cp

ky

r,

Fi» 30b

? = M=l/[

-i /(a² sin² cp -f- 6* cos r    attsin⁶qp

dy' b t dx

ctg V. Jtf> = „ • ein^; rf- - - « sin v;

V' = ^ == — —__—

” dx    a⁵ sin'qp

(~ysinsV)

(> — y,(a°sin²<p -f b²cos²cp)* •

= — ^ ]/ (a² sin² cp    b² cos² qp)³ •

<>

Für den Scheitelpunkt A hat man

g>=0,P = --,fürßiftv=90°,

a! “

-©■

Fig 30 c.

P    9 = “ b'

Umschreibt man der Ellipse ein Rechteck PQBS, dessen Seiten die fr    Kurve in den Scheitelpunkten be-

A    p    rühren, zieht in ihm eine Diago-

*    nale QS und fällt auf sie von der

b    gegenüberliegenden Ecke P aus

das Lot, so schneidet es die Achsen S AC und B D in den Krümmungs-Mittelpunkten M (zu ^4 gehörig) und N (zu B gehörig). Der Beweis wird durch Vergleichung der

ähnlichen Dreiecke PMAt NBP und QSP geliefert.

Die Hyperbel. Die Gleichung der Hyperbel lautet '

Während bei der Ellipse die tri g o n ome tri sch en Funktionen eine gute Parameterdarstellung geben, kann man hiermit Vorteil die Hyperbel-funktionen anwenden; man setzt

x = a Cos cp, y — b Sin 90 (vgl. Aufg. 112 aus S 39)

Die Hyperbeltangente in P schneide die ^-Achse in T unter dem Winkel «. (Fig 306.)

OH-t?r'-----A--aCos<p

OT -

5 Ctg qp

= a Cos (p

ct Sin ^ cp_a Cos*qp — a Sin ^ cp

a¹

Cos qp X

Man beschreibe um 0 den Kreis mitOA = a, sodann konstruiere man den Kreis, welcher OQ = x als Durchmesser hat. Die Gerade, welche die Schnittpunkte der beiden Kreise verbindet, schneidet die Achse in dem Tangentenpunkt T. Beweis: Dreieck ORQ ist rechtwinklig; es hat die

n 7-2 n2

Höhe ET, folglich ist OT-OQ = Oß⁸; OT = ~

Cos qp

Cos qp

o⁸

Wächst <p ins Unendliche, so auch x (S- 38). Dann wird — unendlich klein; die an einem unendlich fernen Punkt der Hyperbel gelegte Tangente muß durch den Hyperbelmittelpunkt 0 gehen.

a e<P __ e-<P

'(X

fA

⁷S

Siä.SOd.

Dividiert man Zähler und Nenner durch so erhält man

b i + e-2v a l - e *

Für <p = oo wird gleich 0, also tg

gungsmaßder Hyperbeltangenten in der Unendlichkeit, der A sy m p t o 1 e n. Für den Radius des Krümmungskreises findet man

q =    j/(a² Sin² 9? + t²(£op9)³.

In dem Rechteck PQBS, dessen Seiten 2 a und 2 b sind, läßt sich der Krümmungsradius des Hyperbelscheitels wie bei der Ellipse konstru-

a = —• Dies ist das Stei-

-e-

CL

Fig. 30 e.

P,

iereit, nur muß er nach der entgegengesetzten Seite abgetragenwerden;gleich-zeitig sind PB und QS Asymptoten. (Fig. 30 e.)

Setzt man a = 1, so geht die Ellipse in den Kreis, die gewöhnliche in diegleichseitigeHyper-bel über. In dem jetzt gewählten Achsensystem hat diese aber eme andere Lage als früher

(S. 47f)

8. Die Kreisevolvente.

Um einen Kreis sei ein undehnbarer Faden gelegt. Er sei an einem Ende fest, das andere werde abgewickelt. Die Kurve, die es dabei beschreibt, nennt man Kreisevolvente. Es wird vorausgesetzt, daß der Faden straff gespannt wird, so daß der abgewickelte Teil in jeder einzelnen Lage eine Gerade bildet.

Die X-Achse werde durch den Kreisradius gebildet, der das freie Ende des Fadens in seiner Anfangslage mit dem Mittelpunkt verbindet.

Nach Fig. 30 f ist § ----- MB = MS + TP,

MS = a cos cp,

TP ----- QP sin cp.

aV>

Das abgewickelte Stück QP ist aber gleich dem Kreisbogen    Ql7=ag>,

denn der Faden hat, weil undehnbar, bei der Abwicklung seine ursprüngliche Länge behalten.

Fig. 80 k.

L ----- cr cos cp + a cp sin cp y = PB = QS — QT y = a sin cp — acp cos cp.

Hier ist = a cos cp — a[l - cos <p + cp (— sin y)] =» a cp sin cp

—- — a sin cp + «[1 • sin cp + cp cos cp\ = a cp cos cp dy ein qp

dx

= tg cp.

cos cp    j

Das Steigungsmaß der Tangente, tg a, ist — ^ — tg <p, es muß

also a = qp sein. Die Tangente PV muß dem Kreisradius MQ parallel sein und daher aus der Kreistangente PQ senkrecht stehen.

Wickelt man den Faden nur ganz wenig weiter ab, so beschreibt P nahezu einen Kreisbogen mit PQ als Radius und Q als Mittelpunkt, und da die Kreistangente auf dem Berührungsradius senkrecht steht, so ist die Rechnung geometrisch bestätigt. Zugleich finden wir so den Krümmungsradius = PQ = a<p. Die Rechnung ergibt

1 -+ y'² = 1 + tgs<p --- 1 +

sin² qp sin⁸qp + cos⁸qp

008 ⁸ qp

COS⁸ qp

COS² qp

^ = «9 cos <p,

°ls° durch Division    =    = f =

(i + ä,'V 9— y> —

Die Benutzung der Krümmungskreise erleichtert hier die Konstruktion sehr.

Anwendung findet die Kreisevolvente bei Verzahnungen.

d(y') ^_

d(p COS⁸qp'

aqp C0S³qp

= a qp.

9. Die gewöhnliche Zykloide.

Die Profile der Zähne bei Verzahnungen können auch Zykloiden sein. Rollt ein Kreis auf einer Geraden ohne zu gleiten, so beschreibt ein Punkt seiner Peripherie eine gewöhnliche Zykloide.

In Jig. 31 rolle der Kreis mit dem Radius a auf der X-Achse, der betrachtete Punkt befinde sich zuerst in 0, nachdem sich der Kreis um den Wälzungswinkel <p gedreht hat, in P. Dann ist

x = OQ — OP — PS — PP — PS — a<p — a sin <p y == PQ — MP — MS = a — a cos <p

J~, = asiD qp = 2asin|cos |

cos

Fig. 31.    X

~ a “ a cos (p = a(l — cos cp) 2a sin³ 4 ^

= tg(tiO°- g,

dy dy dx __

dx    dcp* dcp

= ctg

sin ~

also

« = 90»-f

Demnach ist PT die Tangente und PP die Normale. T und P sind die Endpunkte des zur Abszissenachse senkrechten Durchmessers. Ist nur P, nicht die momentane Lage des Mittelpunktes M gegeben, so wird dieser leicht gefunden, indem man zu OX die Parallele im Abstande a zieht (denn auf dieser bewegt sich der Mittelpunkt beim Abrollen des Kreises) und um P den Kreis mit a beschreibt.

Aus A TPB findet man die Länge der Normale PB = 2 a sin —•

dcp

2    . ,<jp'

Sm 2

dtp

d{y>)    1    1    d*-2asin’J,

d{y). dx ^ dcp *dcp

somit

4 a sin⁴

Da der Nenner stets positiv ist, ist die Kurve stets nach „oben" konvex.

4 a sin ⁴

Ähnlich Wie auf S. 57 findet man für den Zähler

T/(* +*'!)’-TT»

daher, vom Vorzeichen abgesehen,

?==

--— 4 «sin-? — 2 PR.

sin⁸^ ia sin⁴ —

2 2

Der Krümmungsmittelpunkt N wird erhalten, wenn man die Normale um sich selbst verlängert.

Beispiel 11. Ein fester Kreis habe den Radius R, auf ihm rolle ein beweglicher mit dem Radius r. Ein Punkt der Peripherie des zweiten beschreibt eine Epizykloide, wenn die Berührung äußerlich, eine Hypozykloide, wenn sie innerlich ist. Legt man die X-Achse durch den Mittelpunkt des festen Kreises und durch den erzeugenden Punkt, wenn dieser gerade auf dem festen Kreise liegt, und bezeichnet man den Wälzungswinkel des Rollkreises (vgl. Fig. 31) mit g>, so ist für die Epizykloide

x=(R + r) cos ^ y=(R + r) sin (^- <pj

— r cos

— r sin

und für die Hypozykloide

(R + r \ \-R-V (R + r \

\~R~V

x = (R — r) cos (-g- ipj .+ r cos    <pj

(t*)-

Man beweise, daß die Kurvennormale stets durch den momentanen Berührungspunkt beider Kreise geht. Die Epi- und Hypozykloide lassen sich besonders einfach studieren, wenn man ein kleines Stück des festen Kreises als eben ansieht.

— r sin

10. Gedämpfte Schwingungen.

Bringt man einen elastischen Körper aus seiner Ruhelage, so entstehen in ihm Spannungskräfte, die der gewaltsam herbeigeführten Deformation proportional sind. Hört die äußere Kraft auf zu wirken,

ANuG 387: Btnboto, Differentialrechnung, 4. Aufl.

so versetzen sie ihn in schwingende Bewegung (angestrichene Stimmgabel). Man kann diese Bewegung sichtbar machen, indem man sie durch einen an dem Körper angebrachten Schreibstift auf eine Platte überträgt, die mit gleichbleibender Geschwindigkeit fortgezogen wird. Wirkte nur die elastische Kraft, so würde die Schwingung sich dauernd in gleicher Weise vollziehen. Die Mechanik lehrt, daß dann

_auf der Schreibfläche eine

'    Sinuslinie entstehen würde.

Fig. 82.

In Wirklichkeit treten Reibungswiderstände auf, z. B. an der Luft und an der Berührungsfläche von Schreibstift und Papier, die die Schwingungen dämpfen. Man erhält dann, wenn die Dämpfungs-krast ein gewisses Maß nicht überschreitet, eine Kurve von der Gleichung y ----- ae~6a;sin(ca;); a, b und c sind Konstanten, die durch die Versuchsanordnung gegeben sind. Wir können sie sämtlich als positiv annehmen.

Läßt man x von 0 bis ins Unendliche wachsen, so ist c~~bx stets endlich und für endliche Werte von x auch von 0 verschieden; y verschwindet stets, wenn der Faktor sin (cx) gleich 0 wird, also für

x — 0, x = yf ~ usw., aber auch nur dann. Die Zeit, welche

zwischen zwei Durchgängen durch die Ruhelage verfließt, ist die halbe Schwingungsdauer. Da die Schreibplatte gleichmäßig fortbewegt werden soll, sind die Wege x den Zeiten t proportional; und weil diese Wege

von einer Ruhelage zur anderen den gleichen Wert ~ besitzen, so sind die halben, also auch die ganzen Schwingungszeiten gleich groß.

wird nach der Produktenregel gefunden, y = a • uv\ u = c~bx9 r? ----- — be~bx\ v ----- sin (cx), v¹ ----- c cos icx)

a (u'v + v'u) = ct[— be~bx-sin (cx)

, d(av)

y =a-hr

+ c • cos (cx) e~“⁶*] y' ----- ae~bx [c • cos (cx) — b sin (cx)].

steigt schwächer. Für c - cos (cx) — 6 sin (’cx) = 0, also tg (ex) — ^ > x — ~ arctg verschwindet y', die Kurve hat ihren höchsten Punkt erreicht. Von da an wird y' negativ, für x = — erhält man

Für i = 0 wird y' = ae, also positiv, die Kurve steigt. Wächst x so nimmt sowohl e~bx wie auch der Klammerausdruck ab, die Kurve

Ö7l    C

y' = —ace. ⁰

Die weitere Untersuchung ist analog.

Ist y der zu der Abszisse x gehörige Ausschlag (Ordinate), so gehört zu

27t

x₁ = x + — ber Wert yx = ae

e sin (ex + 2%)

2 nb

⁰ - ae

— bx    --

• sin (ex) — e c y.

Vi — «

Während bei der Sinuslinie y = asin(cx), die der ungedämpften Schwingung entspricht, die Ordinaten nach Verlauf der Schwingungsdauer wieder genau denselben Wert besitzen, sind sie hier im Maß-

Sä»

stab l:e ⁰ verkleinert. Auch für xt = x + ~läßt sich yx leicht ermitteln. Die Ausschläge werden immer kleiner, die Kurve nähert sich für größere Werte von x immer mehr der Abszissenachse.

¹

Bei der Lösung wird der aus S. 37 erwähnte Potenzrechenschieber

²

die besten Dienste leisten.

³

%') = =

⁴

dx

Aufgaben.

136.    Man zeichne in dasselbe Achsenkreuz die Kurven y=a&m(cx)\ y = ae-bx-, y =• ae—bxsm (cx), vergleiche ihre Gestalt und bestimme ihre Schnittpunkte.

137.    Der Verlauf der allgemeinen Sinuslinie y ----- asin (cx) soll untersucht werden (Schnittpunkte mit der X-Achse, Steigungsmaß der Tangenten, Wendepunkte, Krümmungsradien).

138.    Ebenso soll die Kurve y = ae~bx behandelt werden.

-h

139.    y ---- ae+bx soll diskutiert werden.    / *_

140.    Die Gleichung der Kettenlinie ist y —    + e wenn m eine gegebene Strecke ist. Welches sind ihre wichtigsten Eigenschaften?

141. Man untersuche die durch die Gleichung y=ae~bx(ecx—e~cx) charakterisierte aperiodische Bewegung.

142.    Ebenso ist y --- axe~bx zu behandeln.

6*

Fünftes Kapitel.

Reihen.

Konnte das vorige Kapitel uns die ungemein fruchtbare Anregung vor Augen führen, welche die Geometrie von der Differentialrechnung erhielt, so wenden wir uns jetzt ihrer Einwirkung auf die Analysis, den rechnenden Teil der Mathematik, zu. Und dies ist notwendig, denn wir haben Gebilde der Geometrie, z. B. die Zykloide, analytisch durch Gleichungen dargestellt, kamen dabei aber aus nicht mehr elementare Funktionen. Können diese (in unserem Beispiel die trigonometrischen) auch näherungsweise leicht bestimmt werden und sind sie selbst mit größerer Genauigkeit in Tabellen niedergelegt, so darf man sich dabei natürlich nicht beruhigen, sondern muß suchen, sie aus eigener Kraft zu entwickeln, d. h. einen Weg zu finden, der gestattet, sie mit beliebiger Genauigkeit für jeden Wert der unabhängigen Veränderlichen zu berechnen. Wäre dies nicht möglich, hätte man keine ganz genaue Kenntnis der auftretenden Funktionen, so wäre das in Angriff genommene Problem (z. B. die Diskussion der Rollbewegung) durch die analytische Einkleidung unklarer geworden, und man hätte besser getan, es rein geometrisch zu behandeln.

a, aq, aqä, aqs.. . aq” (n + 1 Glieder).

Wir untersuchen den einfachen Fall, daß a = 1 ist, also die Reihe 1/ 1, Q*, 2®,•••2".

Sft q — + 1, so sind sämtliche Glieder --- +1; ist q = - 1, so wechselt fortwährend + 1 und — 1 ab. Reihen, in denen die Vorzeichen von Glied zu Glied wechseln, heißen alternierend. Ist q eine positive Zahl, die größer als 1 ist, so wächst qn über jede vor-

Die als notwendig erkannte Aufgabe der möglichst einfachen Funktionsdarstellung löst die Differentialrechnung durch Reihenentwicklung, ein Hilfsmittel, das wir schon bei der Ableitung des binomischen Satzes und der Berechnung der Zahl e kennen gelernt haben. Eine Reihe ist eine Folge von Größen, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Man spricht z.B.von einer geometrischen Reihe*), wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor q gebildet ist. Ist das Anfangsglied a, so heißt die Reihe

1) Die geometrische Reihe ist ausführlich behandelt in Crantz, Algebra II. (ANuG Bd. 205 § 17—24). Dort findet man auch zahlreiche Übungsaufgaben gelegte Größe hinaus, wenn nur n genügend groß (und natürlich positiv ganzzahlig) gewählt wird. Ist q ein positiver echter Bruch, so nähert sich qn mit wachsendem n unbegrenzt dem Werte 0. Man kann

nämlich q = — setzen; qx muß eine positive Zahl sein, die größer als 1 Qi

Qin

ist. In qn = — wird der Nenner beliebig groß, also der Wert be-

liebig klein, wenn man n genügend groß annimmt. Man sagt in diesem Falle, <f konvergiere mit wachsendem n gegen O.

Gibt man der Größe q ein negatives Vorzeichen, so bleiben die Betrachtungen dieselben, nur ändern sich bei jeder Multiplikation die Vorzeichen. Wenn q ein negativer echter Bruch ist, so konvergiert auch hier g" gegen O. So nehmen bei den gedämpften Schwingungen (S. 59 f.) die größten Ausschläge in Form einer geometrischen Reihe

— n b

— e c ) ab und werden allmählich unendlich klein.

Es liege jetzt q unter — 1,dann überschreitet qn, abgesehen vom Vorzeichen, mit wachsendem n jede Grenze.

An dieser Stelle werde die Definition des „absoluten Betrages" eingeführt. Darunter verstehen wir den Wert einer Zahl, losgelöst vom Vorzeichen. So ist der absolute Betrog von + 3 und auch von — 3 gleich 3. Damit qn mit wachsendem n gegen Null konvergiere, muß der absolute Betrag von q kleiner als 1 sein.

Die Summe der endlichen geometrischen Reihe s = a + aq-f #g²+ • • • + aqn

findet man leicht, wenn man diese Gleichung mit q multipliziert und das erhaltene Resultat von s subtrahiert.

sq = aq-\- aq²-\-----1- aqn -f aqn+x

s — sq~ a — aqn + l.

Die mittleren Glieder vernichten sich nämlich gegenseitig.

s(l -9) = a(l -S"⁺¹); s = r^.(l—₂" + !).

Diese Formel ist stets richtig, wenn n, a und q endliche Zahlen sind und n außerdem positiv und ganzzahlig ist. Ist z. B.

so hat man

5 = 2 + 2- 3 4- 2 - 3⁸+ 2- 3³+ 2 • 3⁴ + 2 • 3⁵=

a = 2, 2 = 3, » = 5,

1-3

(1 — 3⁶).

Links und rechts erhält man als Summe 728.

Für einen unendlich großen Wert von a oder q verliert die Summe ihre Bedeutung. Wächst n über alle Grenzen, so muß man unterscheiden, ob der absolute Betrag von q größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Nur der letzte Fall interessiert uns hier; denn dann konvergiert qn, also auch g" ⁺¹ gegen 0. Man schreibt dafür auch lim[2’t]„=ao=0,

wobei lim das Abkürzungszeichen für limes, Grenzwert, ist.

Wir haben also das Ergebnis:

Ist q ein positiver oder negativer echter Bruch, so hat die Summe s — a-\-aq+ <zg²+ «2S+ •••,

wenn n ins Unendliche wächst, einen Grenzwert, und dieser ist

s = -—. 1-2

Aufgabe.

143. Wie groß ist die Summe der unendlichen Reihe

Es sei jetzt eine beliebige Reihe mit lauter positiven Gliedern

av a^f Kg, * • •

gegeben, deren Gliederzahl unbegrenzt sei. Damit ihre Summe überhaupt konvergieren kann, ist notwendig, daß sich ihre Glieder immer mehr der Null nähern. Wäre dies nämlich nicht der Fall, existierte . eine (wenn auch sehr kleine) Zahl g, die von keinem Glied der Reihe unterschritten würde, so wäre

s„= ax + st₂ +    — «« größer als g + g + g-' + g = ng,

und mit wachsendem n würde die letzte Summe, also ganz sicher die gegebene Reihe, bis ins Unendliche wachsen. Konvergiert aber das Endglied der Reihe gegen Null, so ist damit durchaus noch nicht gesagt, daß ihre Summe einem bestimmten endlichen Wert zustrebt. Es läßt sich z. B. leicht nachweisen, daß die Summe

unendlich groß wird. Es ist nämlich s = 1 + -§- + (t + x) +

+ (t + T + t + t) + (t + * * ‘ + n) + (rH mH Die erste Klammer ist größer als 2 - -J— -J-, die zweite größer als 4    uff. Aus der Reihe lassen sich beliebig viele Summanden

abspalten, von denen jeder größer als -§- ist.

Es gibt viele Kriterien für die Konvergenz der Summe einer vor-

S = stj -f- tt₂ -f- stj -|- • • *,

gelegten Reihe, von denen das wichtigste der Cauchysche Satz ist. Er lautet:

Die Summe

in der au a₂ usw. lauter positive Zahlen sind, ist sicher konvergent, wenndieQuotienten usw. sämtlich kleiner sind als ein bestimmter echter Bruch g.

Ist - kleiner als g, so folgt daraus, daß a₂<a₁q ist; — <g

ai    ai

liefert a₃ < o₂g; as ist um so mehr kleiner als («,q) ■ g = a₁qi usw. Es folgt durch Addition

Sn =    + <*3 +    -f* • ' ' 's an    ßj + stj Q + stj gS 4" • • • + stj g”—¹

also

s» < i + g 4- g³ + • • • + g”—1).    ₁

Die Klammer ist aber sicher kleiner als der Grenzwert —

Andererseits ist s„ größer als «L.

Diese Behauptung gilt auch noch dann, wenn die Gliederzahl (bisher n) ins Unendliche steigt, die Summe s der Reihe muß unbedingt

zwischen a, und -¹- liegen. Man kaun ihren Wert aber auch mit gesteigerter Genauigkeit ermitteln. Aus

5 = «! + ög +

folgt auch

s <    -f- ctg + stg g 4" <Jg g² + • • •

s<«i + TZ^ s liegt also zwischen at und er, +    •

a,g

i-g'

Der Unterschied der Grenzen für s war vorher ai „ «i — (t — g) i-g⁻“¹" i-g

a.

jetzt aber

i-g

(«i +A)-

Da «2 nach Voraussetzung kleiner als a^g ist, so sind die Grenzen näher zusammengerückt.

",

l-g'

Ferner ist die Differenz der Grenzen ist jetzt

(«i+«ä+l^)-(a₁₊a₂) = r^'

demnach kleiner als ~~ usf. Die Grenzen kommen sich beliebig

nahe; es existiert nur ein ganz bestimmter endlicher Grenzwert der Summe.

Trifft dies Konvergenz-Kriterium zwar nicht für die ersten, Wohl aber für alle einem bestimmten Gliede folgenden Summanden einer Reihe zu, so kann man auch von ihr die Konvergenz behaupten, indem man einfach die ersten Glieder für sich nimmt und als endliche Summe abspaltet und auf den Rest den Cauchyschen Satz anwendet.

Sind die Glieder einer Reihe sämtlich negativ, so setzt man nur das Minuszeichen vor die Klammer und hat in derselben einen Ausdruck, auf den die eben angestellten Betrachtungen sofort angewandt werden können.

Bei einer alternierenden Reihe findet schon dann Konvergenz statt, wenn die absoluten Beträge der einzelnen Glieder fortwährend abnehmen und gegen Null konvergieren. Bei Reihen, deren Glieder lauter gleiche Vorzeichen haben, ist, wie wir sahen, diese Bedingung notwendig, aber zum Beweis der Konvergenz nicht ausreichend. Es sei

f ^2, Kg, * * *

eine Reihe von absoluten Beträgen, die der genannten Forderung genügen. Wir behaupten die Konvergenz von

s — ßj — a₂ + % — ^4 ■+    -f-    '

1.

Es ist nur eine formale Änderung, wenn man schreibt S - «1 - («2 - O - K - «s)-( )•••

2.

S = («J — Og) + (ttz — «4) + ( ) 4

Nach Voraussetzung ist jeder Klammerinhalt positiv, es folgt aus 1., daß s kleiner als ax und aus 2, daß s größer als a₁~ a₂ ist. s liegt also zwischen zwei Grenzen, die sich um aL — (ax — a₂) ----- a2 unterscheiden. Ebenso ist

§ --- ax — a₂ + (a₃ — a₄) + ( ) • • •

s = «1- «2+«3- K- «5)- () ••• s liegt daher zwischen ax — a₂ und a₁— a₂+ a₃. Die Differenz der Grenzen ist

3.

4.

(ttj    -f- Kg) (ctj $₂) ~ a3r

also enger als vorhin. Fährt man so fort, so kommen sich die obere und untere Grenze für s beliebig nahe, da an beliebig klein wird, wenn die Gliederzahl n hinreichend groß gewählt wird.

Ist jeder Quotient einer alternierenden Reihe ein (negativer) echter Bruch, so nehmen die absoluten Beträge der Glieder stets ab, die Reihe konvergiert. Das Cauchysche Konvergenz-Kriterium gilt auch hier.

Die analytisch wichtigste Form einer Reihe ist die Potenzreihe st -j- bx 4* CX² -\- 6X^    ••*.

Es ist klar, daß sie möglicherweise nur für Bestimmte Werte von x konvergiert, dagegen für andere Werte der Variabeln ihre Summe sich keinem endlichen Grenzwerte nähert, daß die Reihe dann „divergiert".

Es seien zunächst die Größen a, b, c uss. sämtlich positiv, ebenso x. Konvergiert die vorgelegte Reihe für x --- x0t so besagt das, daß s = a + bxQ + cx₀² +•••-)-kx₀n-{- lx₀n+l 4 mxQn+²4 px₀n+³ 4 ••• = st 4 "f cXq² 4* * * * 4- &Xqu 4 B sich mit wachsendem n einem bestimmten Grenzwert mit beliebiger Genauigkeit nähert. Es muß B der Null beliebig nahe kommen. Ist

B ----- £₀W+1 (z + mxo + PV+ "') kleiner als eine Zahl a, so gilt dasselbe von

Bx ----- xn+¹ (l 4- MX 4- px² + • • •), wenn L zwischen 0 und z₀ liegt, da jedes Glied jetzt kleiner als vorher ist. Ersetzt man x durch — x, so bleibt der absolute Betrag des Faktors vor der Klammer derselbe (nur das Vorzeichen kann sich ändern), der absolute Betrag der Klammer wird kleiner, da sich infolge der wechselnden Vorzeichen die Glieder teilweise aufheben, B ist somit auch hier, absolut genommen, kleiner als a.

Konvergiert B für x ----- x₀ gegen 0, so gilt daher dasselbe auch, wenn x irgendeinen Wert zwischen — x₀ und + .r₀ annimmt, d.h. die vorgelegte Reihe konvergiert in diesem Intervall für jedes x.

Haben die Koeffizienten a, b, c usw. der Reihe a 4 bx 4 ex* 4- • • • verschiedene Vorzeichen, und konvergiert

lal + i⁶K+ M V'”-

wobei | a | bett absoluten Betrag von a bedeutet, 161 bett von b uff., so ist die ursprüngliche Reihe selbstverständlich konvergent, da das Restglied B = x₀n +¹ (l + mx₀ + px₀² -f • • •) sicher kleiner ist als das Restglied der aus den absoluten Beträgen gebildeten Reihe. Man bezeichnet in diesem Falle die Konvergenz der vorgelegten Reihe als absolut. Auch hier findet Konvergenz statt für alle Werte von x, deren absoluter Betrag kleiner als x₀ ist.

Es seien x und x + h Zahlen innerhalb des Intervalles der absoluten Konvergenz der Reihe

f(x) = a -f bx -|- cx* ex* + •••, dann konvergiert auch

fix 4- h) = a -f- b (x f h) |c(i + 7j)s 4c(* + Jif + ••• absolut.

f(x -f A) = « + bx + b7r + cx³ 2cz7t + c7i² + ea;³ + 3ex³h -f- 3 6xh³ -f⁻ cTi³ -{-•••,

Es ist gestattet (was sich, wenn auch nicht ganz elementar, nachweisen läßt), die Glieder dieser unendlichen Reihe umzustellen, man hat dann, wenn man nach steigenden Potenzen von h ordnet, f(x + Ti) ---- a + bx -f ca:²+ ea:³-|-•••+&(& 4- 2cx-f- 3 ex3 + ti² (c + 3e* + ---) + h³ (e+ •••).

Die absolute Konvergenz von f (x + h) wäre aber nicht möglich, wenn einer der Bestandteile der Reihe sich anders verhielte, es muß also auch

absolut konvergieren.

Die Bedeutung dieser Funktion ist leicht ersichtlich; es ist

f{x + li)=f(x) + h(b + 2cx + 3ex³-]----) + 7t²(- • ■) + h³(-- -)->---- -

=-b + 2cx + 3öL²-l-...-l-7r (...) + 7i²(-••) + •• •. . Ersetzt man h durch l\x, so sieht man, daß der links stehende Ausdruck nichts anderes als der Differenzenquotient ™ ist. Um ihn in

den Differentialquotienten zu verwandeln, braucht man nur h dem Wert 0 unbegrenzt zu nähern, dann ist

2ca + 3ex³ + •••.

s(x+h)-f(x)

Der Differentialquotient einer absolut konvergenten Potenzreihe wird also genau so wie der einer ganzen rationalen Funktion mit endlicher Gliederzahl gebildet. Er tritt selbst in Form einer Potenzreihe auf, die in demselben Intervall absolut konvergiert, wie die ursprüngliche.

Führt man diese Betrachtungen weiter, indem man von f' ausgeht, so folgen genau entsprechende Sätze über die höheren Ableitungen, z 83. ist

f"(x) ~ 2c + 2-3-es +•••,/•"' (4= 2-3-e + ••

03 Ci

Für den speziellen Wert i = 0 ergibt sich m - a ' f'(0) = l-b f"( 0) =l-2-f"' (0) = 1 • 2 • - e usw., so daß man die Reihe schreiben kann

1-2-3

fix) = f(0) + jf'(0) + ~f"(0) +

Dies ist die Mac-Laurinsche Reihe. Die Formel zeigt die Bedeutung der Koeffizienten a, b, c usw. Sie kann aber auch dazu dienen, eine Funktion in Form einer Potenzreihe zu entwickeln, wenn man die speziellen Werte der Funktion und aller ihrer Ableitungen für x = 0 kennt.

Beispiel 12?) (1 -I- x)n soll unter der Voraussetzung entwickelt werden. daß n keine positive ganze Zahl ist.

Lösung, y = (1 + z)M= zn. (Vgl. S. 24, Satz 5.)

Es ist auf S. 25 f. nachgewiesen, daß für jedes n die Ableitung

2 = ”*"⁻¹ ist; ddl = 2 “    = « (l +

Ebenso findet man f"(x) = n(n— 1) (l + a;)’¹⁻⁸ usw.; /(0) = 1; f'(P) = w; Z"(0) -- n(n - 1) uff.;

n (w — 1)

x² + —

n(n — l)(n — 2)

_____

/*0) = (1 + x)" = l + "x +

Man erhält den binomischen Satz scheinbar in derselben Form wie für den Fall der ganzen positiven Exponenten. Der große Unterschied liegt aber darin, daß hier keine der Größen n, n — 1, n — 2, n — 3 ... verschwinden kann, wir erhalten eine unendliche Reihe. Ihre Konvergenz wird unter Benutzung des Kriteriums von Cauchy (S. 65) untersucht.

a------ nx: —

ai    «2

at + 1

a₈__(n — 1) x a₄ (n - 2) x

~~ 2 '> ^

n — Jc-fl    (n-fl    \

ak

k    ¹J

n ist eine fest gegebene Größe, die Ordnungszahl 1 steigt, weil die Reihe unendlich ist, über alle Grenzen, daher wird (n + l):ß beliebig klein, der Klammerinhalt nähert sich unbegrenzt dem Werte — 1. Ist x also ein echter Bruch, so muß der absolute Betrag des Quotienten at + v.tiyfc von irgend einem Gliede an kleiner als 1 werden, womit die Konvergenz der Reihe für die genannten Werte von x bewiesen ist.

1) Hier und weiterhin ist angenommen, daß sich die zu entwickelnden Funktionen wirklich durch Potenzreihen darstellen lassen, aljo in ihrer Entwicklung nicht etwa Glieder von der Form a]/x, — oder dgl. enthalten.

x

Es ist sehr instruktiv, einen bestimmten Wert für n anzunehmen und die Kurve y — (1 + x)n mit den Nähcrungskurven y » 1 + nx\

n (n — 1)

x²

y = 1 + nx +

usf. in demselben Koordinatensystem zu zeichnen.

Eine Anwendung findet der Satz bisweilen zum bequemen Ausziehen der Wurzeln. g _

]/Jd = y27 + 2 =]/27(l + 1)- 3 Vl + 0,07407 = 3 (1 + 0,07407)i;

1₄ n (n — 1) _ 12

(DH)

1 n(n— 1) (w — 2)

12 3

_    ⁺ Ä

1/29 = 3 (1 4 0,02469 - 0,00061 + 0,00002,)    3,07231,.

Schon diese vier Glieder der Reihe liefern eine Genauigkeit, welche die Anforderungen der Praxis weit übertrifft, die weiteren sind für sie völlig bedeutungslos.

Bei dieser Reihe und mancher folgenden läßt sich ein Glied leicht berechnen, wenn man das vorhergehende kennt. Setzt man abkürzend (1 + x)n = 1 + A + B + C 4 D-l----, so ist

A — nx\ B ----- —x- C =

Beispiel 13. f(x) ---- sin x. Es ist t\x) ==• cosa;, fn{x) ----- — sina:, fnt(x) --- — cos#, fw(x) = + sinz

usf.

AO) -o, /'(o) ---1, f'Xo) ---o, A"(0)----- 1, A'"(o)

f(x) = sin a; = a;

12 3

n-2

• a: • usf.

xh

x¹

1-234 5

12-34567

12 3

⁼ ~ 2 3'    4 5

usf. Mag der fest gegebene Wert a; auch noch so groß sein, von einem bestimmten Gliede ab werden die Quotienten ihrem absoluten Betrage nach dauernd kleiner als 1 und nähern sich sogar dem Werte 0. Die Reihe konvergiert für jeden Wert von x. Man zeichne hier und später Näherungskurven, um den Grad der Genauigkeit graphisch darzustellen. Soll ein bestimmter Sinus, z. B. sin 25°, berechnet werden, so muß

man das Gradmaß zunächst in Bogenmaß verwandeln, denn diese Einheit war bei der Entwicklung des Differentialquotienten vorausgesetzt.

25° ist im Bogenmaß = ^ --- 0,4363 .

sin 25°= 0,4363 - 0,0138 --- 0,4225.

Beispiel 14. fix) --- oos-r.

fix) — — sin®, f"(x) = — cosz, f'"ix)“ + sinx, f"\x) =* -f eosx

f(0) = 1, f\0) - 0, f"i0) - - 1, s"(0) = 0, /""(O) - + 1.

± ••••

Uff.

x*

X*

1-234

Auch diese Reihe konvergiert für jedes x.

cos 25°-- 1 - 0,0952 + 0,0015 --> 0,9063.

Mau beachte hier wie weiterhin die Schlußbemerkung zu Beispiel 12.

Die Funktion tgx läßt sich wohl in Form einer Potenzreihe entwickeln, doch befolgen deren Koeffizienten kein einfaches Bildungsgesetz; bei ctgx tritt noch die Schwierigkeit hinzu, daß diese Funktion für x=- 0 unendlich groß wird. Will man diese Funktionen berechnen, so benutzt man besser die Formeln lg x *= und ctg x —

Aufgaben.

144.    Die Gleichungen der Kreisevolvente sollen in Potenzreihen entwickelt werden.

145.    Die Gleichungen der Zykloide sollen ebenso behandelt werden. Beispiel 15. fix) — arctgz. .

= r+x

Statt weitere Ableitungen zu bilden, kann man die gesuchte Reihe für arctgz f(x) — a + bx + cx² + -f ...

differentiieren:    f\x) = b + 2cx + ?>ex²-\----

und die Koeffizienten mit denen der Reihe

1+x*

¹    = 1 — #²+ x* — x*± ••• (vgl. S.64)

vergleichen.

Es ist d -----1, c = 0,    — usw. Da für a:---- 0 auch f(x) ver

schwindet (wenigstens bei der gebräuchlichen Definition der Funktion), so ist a--O, also arotga.    +    ....

Die Reihe konvergiert, wenn x ein echter Bruch ist.

Ähnlich lassen sich die anderen zyklometrischen Funktionen entwickeln.

Vs

Für x «— -^= wird

+ —- T---V

T 9 ■ 81 ^    )

--L + -L-

3 3^59    7-27

Faßt man die ersten vier Glieder zusammen, so erkennt man, daß der Klammerausdruck größer als 0,905 ist, die Hinzusügung des

i ften lehrt, daß er kleiner als 0,908 ist, arctg liegt zwischen , 22 und 0,525.

Andererseits muß arctg = y sein, denn

tg(₆) *g ³⁰°⁼ yä'

* liegt also zwischen den genannten Zahlen, n zwischen 3,132 und 3,150.

Daß die Zahl n mit Hilfe dieser (oder einer ähnlichen) Reihe beliebig genau berechnet werden kann, liegt auf der Hand.

Beispiel 16.

y = e*; y' --- e* y" - e- uff.; f{0) = f'(0) = f"(0)----1.

a:⁴

zy»    /y> 2    zy»8

12 3 4

12 3

Das Kriterium von Cauchy lehrt, daß diese Reihe für jeden Wert von x konvergiert (vgl. Beispiel 13).

Für x =» 1 nimmt sie die schon auf S. 35 untersuchte Form an.

e*=l+f + ^2 + ^r +

Aufgaben.

146.    Bei der Theorie der Seilreibung tritt die Größe e-¹¹“ auf. Ihr Wert werde für y = 0,2; a = 108° festgestellt.

147.    Die Funktionen Sin x und Cos x (vgl. S. 38) sollen entwickelt werden.

148.    Man stelle die Gleichung der Kettenlinie') durch eine unendliche Reihe dar.

149.    Für ax soll eine Reihe angegeben werden, a sei positiv.

1) Vgl. Ausgabe 140, S. 61s.

150. Man bilde die Ableitungen der bisher behandelten Potenzreihen und vergleiche sie mit den früher erhaltenen Ausdrücken.

Beispiel 17. Es sollen die natürlichen Logarithmen durch Reihenentwicklungen gefunden werden.

Man könnte versuchen, y = Inx in der bisherigen Weise durch die Reihe

darzustellen. Dann müßte aber, da ZwO =— oo wird, auch a diesen Wert annehmen. Deswegen berechnet man besser f(x) = Zw (1 + x), denn hier wird f(0) = Inl = 0, also a = 0.

f{x) — fe»(l + *); fix) -- —•

also

b -----

Man kann entweder die weiteren Ableitungen bilden, oder, wie in Beispiel 15, —~ durch eine Reihe darstellen. In diesem Falle hat man Z> + 2 c# + 3ex² +•••=! — x x¹ — x³± •••, h c ---T- e = + T Usf-

A)

/y»    /¥> 2    /m8

ln (1 + x) = y — y + y T • • ••

Die Reihe konvergiert, wenn x ein echter Bruch ist. Ebenso ist

ln (1 — x) = —

B)

X² X⁸

und durch Subtraktion

C)

ln{\~i)⁼⁼²(j + Y

Setzt man in C) x = so folgt

!”²-²(7+CT7 + eHjS + -)“⁰'⁶⁹³¹⁶'

+ •••) --- 1,09861.

Zugleich ist jetzt Zw 4 = 2 Zw 2; Zw 8 == 3 ln 2 usw. bekannt. x =• y ergibt in C eingesetzt

Zw 3

---- 2 (— -f — --¹

VI • 2 ~ 3 • 8 ~ 5 • 32

usw.

—-___|__¹

2 • 6S “ 3 • 6³

Der für die Umwandlung der Logarithmensysteme bedeutsame natürliche Logarithmus von 10 ist

Dadurch ist ln 9 = 2 ln 3; In 2 7 usf. bestimmt, ferner auch Zw 6 = Zw 3 + Zw 2 = 1,79176, Zw 12, Zw 18 Zw 5 = Zw (6 — l) — Zw [6 (1 —I")] ----- Zw 6 -j- Zw (1 — (Formel L)

bi 5

= 1,79176    +

In 10 = Inh + ln2 = 2,30259.

Von den ganzen Zahlen zwischen 1 und 10 fehlt jetzt nur noch 7.

ln 7

----- ln(ß    1) = ln^8 ^1    =*ln8 -f* In^X — —J----- 2,07944 —

-Z-L + -3 • ¹ ■    '

\1«8 " 2-8* ¹ 3•8S

ln7-=1,94591.

Nun läßt sich auch jeder andere natürliche Logarithmus leicht er» Mitteln, wir greifen ganz willkürlich die Zahl 6137 heraus.

Zw6137 -- Zw(1000 • 6,137) = Zw 1000 + Zw6,137

— 3 Zw 10 + Zw[e(l +

Zw6137 ---- 3Zw 10 + Zw6 + £

Zw6137 = 8,69952 + 0,02258 = 8,72210. Selbstverständlich läßt sich die Genauigkeit beliebig steigern.

Sind alle natürlichen Logarithmen bekannt, so kann man aus ihnen die künstlichen einfach ermitteln, indem man sie mit 0,43429 multipliziert (vgl. S. 36, Formel 15).

Das Restglied der Mae-Laurinschen Reihe.

Die bisher behandelten Reihen lieferten uns sicherlich den Wert der jeweils gesuchten Funktion um so genauer, je mehr Glieder wir berücksichtigten. Absolute Genauigkeit können wir auf diesem Wege nie erhalten, da uns tatsächlich die Vereinigung unendlich vieler Summanden unmöglich ist. Wohl aber gibt es ein Mittel, das uns gestattet, den Fehler abzuschätzen und in bestimmte Grenzen einzuschließen, den wir begehen, wenn wir eine unendliche Reihe nach dem roten Gliede abbrechen, ro ist dabei eine bestimmte, endliche Ordnungszahl, z. B. 5.

Wir brauchen dazu folgenden Satz: Wenn eine im Intervall 0... a stets endliche, stetige und differen-tiierbare Funktion f(x) für T-----0 und verschwindet, so muß mindestens für ei n eZahl zwischen diesen o Werten, xt « 6 • a, die Ableitung f{xi) gleich Null sein. 6 bedeutet / hier einen echten positiven Bruch, mit dem «multipliziert werden soll. 0 Der Beweis folgt aus Fig. 33 sofort durch geometrische Anschauung,

0,137    0,1372 . 0,137»

1-6

2 »6*

3 • G⁸

•T

Fig. 85.

£ Fig. 84.

wenn man sich an die Definitionen y der Endlichkeit und Stetigkeit auf S. 7 erinnert. Verschiebt man ein Lineal so, daß es immer der Abszissenachse parallel bleibt, so muß es schließlich mindestens einmal die Kurve berühren; tga --- f ist für diesen Wert von x, den wir mit xl y bezeichnet haben, --- 0. Fig. 34 zeigt, daß diese Überlegung nicht mehr zwingend ist, wenn / (Fig.a) oder f (Fig. 6) in dem Intervall unstetig oder wenn eine dieser Größen unendlich wird (Fig. c, d).

Die zu untersuchende Mac-Lau-rinsche Reihe sei    ,

f{x) -- f( 0) + xf'(0) + ~ f"(0) +

a»n-l

(n — 1)!

f<—*)(o) + b

(w — 1)!, gelesen n — 1 Fakultät, bedeutet dabei das Produkt 1 ■ 2 • 3 • • • (n - 1).

Für » werde zunächst ein beliebigerZahlenwert, etwa 3, angenommen,

also fix) - fi0) + xf (0) + ~f" (0) + B gesetzt.

Wir betrachten zunächst eine andere Funktion einer Veränderlichen t,

f (o = fix) - nt)-^=-V (o -(o

x ist hier als Konstante, aufgefaßt, t soll alle Werte zwischen 0 und x, einschließlich dieser Grenzwerte selbst, annehmen können. K bestimme ich so, daß f (() für t = 0 verschwindet.

Setzt man t = x, \o wird

K.

(x-t)⁶

31

*(t)=fix)=f(x)-fix)-^f'ix)-^f"ix)

fcS-r-o.

fit) verschwindet für t --- 0, weil K so bestimmt wurde, und für t = x, wie eben nachgewiesen; also muß nach unserem Hilfssatze f' (/) für einen zwischen 0 und x liegenden Wert Ox gleich Null werden. Die Differentiation (a: konstant I) liefert

V (0—f (0 - [fr)    f (OJ -

12

Löst man die Klammern auf, so zerstören sich alle Glieder bis auf die beiden letzten gegenseitig; es ist

Jetzt setzen wir den vorher' erwähnten Zwischenwert t --- 6x ein.

o ---    (ßz)+&=£&&

Hieraus folgt    K = f” (0 x), also

*(0 = f(A - f(.t) - ttV (0 - (£ir ?' (0 - ~är- ?” (0*)

Wir beachten nochmals, daß K so gewählt war, daß f für t — 0 verschwindet; es ergibt sich

0 - fix) - s(0) - f f (0) -~f"(0) -£fn(ßx), oder

=sw+* f (o) + ~/" (o) + £ r (0*).

fix) - f(0) + ~f (0) + f->' (0) + • • • +

+ ^s<n)(dx).    ^

Das so gefundene Restglied Ti ^ fM (Ox) wird nach Sagrange

benannt. Unsere Betrachtungen sind zwingend, wenn f mit sämtlichen Ableitungen bis zur nten in dem Intervall x = 0 £>tä x — x einschließlich der Grenzen endlich und stetig ist, denn dann gilt der oben angeführte Hilfssatz, der den Kern des Beweises bildet

Man stelle dieselbe Überlegung für « = 4, 5, 6 an und dehne sie dann auf ein beliebiges ganzzahliges n aus; man findet

(o)

a”-¹

(n —1)!

Anwendungen deS Lagrangeschen RestgliedeS.

Beispiel 18. Mit welcher Genauigkeit wird e durch die ersten fünf Glieder der Reihe dargestellt?

Ai    zy« 2 zy« 3 zy»4    zy«6

eZ”¹+r! + 2i+i!+ii + ^⁶⁾(N

f, s usw. ist hier --- ex, f^(ßx) — e6x. Die Größe x ist gleich 1. „ i , i , i , i , i „

c= 1 +n ⁺ 2T ⁺ 3!⁺4! + 6re •

0 liegt zwischen 0 und 1. fix) --- ex ist stets positiv, die Ableitung f (x) ---- ex auch, ex wächst fortwährend, e¹ ist daher der größte Wert, den e* in dem Intervall 0 bis 1 haben kann. Das Restglied ist kleiner

243

= - 0,00000124 .. , |/29 ist 3 (l +    ⁸ •

Der mögliche Fehler B wird natürlich auch mit 3 multipliziert; man weiß, daß i?! = 3 B zwischen 0 und — 0,000004 liegt.

Beispiel 20. Man prüfe die Genauigkeit von sin 25° (Beispiel 13). Bei der Ableitung sind die vier ersten Glieder der Mac-Laurinschen

Reihe benutzt worden; es ist B = |y f⁽⁵⁾ (ßx). Die fünfte Ableitung von f(x) ----- sin x ist    ----- cos x, mithin

B = COS (9^).

als    e ist kleiner als 3, wie sich durch gliedweise Vergleichung

mit der Reihe

¹ + C¹ + \ + 2^2 +

leicht feststellen läßt. Das Restglied B ist also kleiner als

L°de-^o° 0.025.

Das Restglied liegt zwischen 0

2 22

und

0,041

0,166

0,025

0,042

0,167

2,5

2,5

liegt zwischen

und

2,734

2,707

Beispiel 19. Mit welcher Genauigkeit ist |/29 auf S. 70 berech-ret worden? x    2

f(x) = (¹ + *)³; f(x)= |(1 + *) ³; f (x)--- - |(1 + x)

i + x) !;rw=-i(i + *) ³

(i + 0*)

Dieser Ausdruck nimmt mit wachsendem x ab, ist also am größten, wenn 0 = 0 ist. B liegt zwischen 0 und

— A,

3)

80

_n

Da -r --- 25° ist, muß 6x zwischen 0° und 25° liegen, der größte Wert für cos(0$) ist in diesem Intervall cos0°= l.

26*.    j

E<

82 -120

Die weiteren Beispiele können entsprechend behandelt werden.³) Beispiel 21. Berücksichtigt man in der Mac-Laurinschen Reihe nur die erste Potenz von x, so ist

18Ö ^ kleiner als 0,5 --- die fünfte Potenz kleiner als " '    ¹    <0,0003.

f(x) *= s(P) + xf (ßx)

[«ittctocrtW.]

KL

Die geometrische Deutung gibt Fig. 35, in ihr ist tg a = f (ßx). Für die als endlich vorausgesetzten Werte, welche f (2) in dem Intervall 0 ... Ox... x annehmen kann, muß eine obere und untere feste Grenze existieren, die von keinem derselben erreicht wird. Man hat nun die Wahl von x völlig in der Hand und kann diese Größe so klein annehmen wie man will.

f(x)

f(o)

9a?

Fig. 35.

Dann nähern sich die beiden Grenzwerte von xf (Ox) mit beliebiger Genauigkeit der Null, also auch alle Zwischenwerte. Wenn _ daher x klein genug gewählt wird und f(0) ^ eine endliche von Null verschiedene Größe ist, so hängt das Vorzeichen der Potenzreihe

m=f(0) + n m + S f" (0) + -“/-(0) + n f (0 *)

nur von ihrem ersten Gliede f(0) ab.

Die Taylorsche Reihe.

Die Aufgabe, f(x) in eine Potenzreihe zu entwickeln, läßt sich leicht noch verallgemeinern. War bisher x = 0 kr Ausgangswert, so kann man statt dessen auch eine beliebige andere Zahl, z. B. x = a nehmen, also f(a + x) untersuchen. Dieses Problem läßt sich aber leicht auf das schon gelöste zurückführen.

1) Es läßt sich nachweisen, daß bei allen Funktionen, welche wir in Potenz reihen entwickelten, innerhalb der angegebenen zulässigen Werte von M das Rest-glied R beliebig klein wird, wenn man genügend viele Glieder beruastchngt.

Es treten also keine weiteren Glieder, etwa von der Form a/x oder^ oder dgl. aus.

Ersetzt man in der Funktion f(x) die unabhängige Veränderliche durch a + x, so entsteht eine neue Funktion F(x) =■ / (a + x). Dann ist nach dem Mac-Laurinschen Satz

(»- 1)1

+5F(”W

F(x) geht für x — 0 in f(a + 0) = f(a) über.

dx

dF _ dßa + x)

dx

df(z)

Es werde für den Augenblick a + x = z gesetzt.

*

dF ₌ df(z) ₌ df(z)' dz_ ₌ , . . das dx dz dx

d*F dx⁸

Wird x — 0, so wird z = a, wird x --- Qx, so wird z = a + 6x So erhalten wir die Tahlorsche Reihe

(n- 1)1

f(a + x) = f(a) + ±f(a) + f+ •• +

+ f(n> (a + 6-r).

Sie gilt, wenn f mit sämtlichen Ableitungen bis zur roten in dem Intervall a bis a x (einschließlich der Grenzen) endlich und stetig ist. Beispiel 22. f(a + x) = cos (a + x) f (st + x) = — sin (a + x),    f" (« + *) = — cos (a + x),

f" (« + *) = + sin (a + x) f"" (a -+- x) — + cos (a + x) uff.

cos (a + ß) = cos a — sin a — — cos a + sin a + cos a • • •

/    /jjl    /£*    \

cos -f*    == cos (x fl —    -f-    * * •) — sin a

Die Klammerausdrücke stellen nach 6.70, Beispiel 13 und 71, Beispiel 14 die Funktionen cosrc und sina; dar, man erhält cos (a + x) =» cos a cos x — sin a sin x.

Ganz analog findet man

sin (a + x) ----- sin a cos x + cos a sin x.

Da die gefundenen Formeln schon bei der Herleitung des Differentialquotienten von sin x und cos x benutzt wurden, so ist die eben gegebene Ableitung nur als Nachprüfung zu betrachten.

Gr-S±-)-

Bricht man die Taylorsche Reihe nach dem zweiten Gliede ab, so resultiert eine allgemeinere Form des MittrlwertsatzeS, nämlich f{a + x) = f(a) + zf (a + dz) oder, wenn man a + z = b setzt

f(b) -- f(a) + (6-«)/*[«+ 6(6- «)]. Vgl. Fig. 35.

Sechstes Kapitel.

Anwendungen der Mne-Laurinschen und Taylorschen Reihe.

1. Näherungsformeln.

Die Anwendung der Potenzreihen zur exakten Berechnung der Funktionen wurde schon verschiedentlich erläutert; jetzt soll gezeigt werden, daß Formeln durch sie wesentlich vereinfacht werden können, wenn nur kleine Werte von z auftreten und daher die Reihen schon nach einem der ersten Glieder abgebrochen werden können, ohne daß der Fehler, den man dabei begeht, praktisch merkbar ist. (Vgl. die entsprechende Bemerkung über die Mac-Laurinsche Reihe auf S. 74.)

Beispiel 23. Der lineare Ausdehnungskoeffizient a eines Materials gibt an, um wieviel m sich 1 m des betreffenden Stoffes bei der Temperaturerhöhung von 0° auf 1° ausdehnt, der kubische bezieht sich auf 1 cbm; wie groß ist er? Das Kubikmeter wird durch die Erwärmung zu einem Würfel von der Kantcnlänge 1 + « Meter, der Inhalt, ursprünglich 1 cbm, wird jetzt (1 + a)³ cbm. Da a sehr klein ist (z. B. für Eisen 0,000012), so kann man ihn ohne merklichen Fehler = 1 + 3« setzen. Der Volumenzuwachs beträgt 3« Kubikmeter, der kubische Ausdehnungskoeffizient ist dreimal so groß wie der lineare. Vgl. Aufgabe 37 auf S. 21.

T = b + Ja^b) = Ja - 6X “ t¹ + (V)] '•

a-b ' b >

Dies ist nahezu ----1--• Eine neue Atmosphäre ist---1 kg/qcm,

eine alte (=760 mm Quecksilbersäule) -----1,033 kg/qcm. 1 neue Atmosphäre ist daher ----- 1 — 0,033 alte. Die Länge eines Sta-

Beispiel 24. a sei nur wenig größer als 6, wie groß ist näherungsweise -^-?

bes sei l₀ bei 0°, steigt die Temperatur um 1°, so wächst sie um l₀u, bei #₀ um l₀at, wird also l = Z₀+ l₀cd = l₀(t + at). Ist diese gemessen, wie es Praktisch fast immer geschieht, und soll die Länge auf

und

1+ cd

die Temperatur 0° reduziert werden, so hat man l₀

kann dafür in den meisten Fällen l₀= l (1 — cd) setzen.

Liest man z. B. den Stand eines Quecksilberbarometers an einer Glasskala ab (--- Zmm), so muß man beachten, daß diese Skala nur für eine bestimmte Normaltemperatur richtig ist. Diese sei 0°. Unter Berücksichtigung des linearen Ausdehnungskoeffizienten für Glas /?, --- 0,000008

findet man die Ausdehnung A = l₀ßxt = ßttl( 1 — ßlt), also unter Vernachlässigung des zweiten Gliedes A = lß₁t. Da sich der Maßstab um diesen Betrag ausgedehnt hat, so ist die abgelesene Quecksilbersäule um ihn zu kurz gemesien, ihre wahre Höhe ist ^ = Z + lßtt.

DasVolumen eines Körpers fei v₀ bei 0°, sein spezifisches Gewicht y₀, während bei /° die entsprechenden Größen v und y seien. Sein Gewicht sei p, sein kubischer Ausdehnungskoeffizient ß₂, Dann

V v(i+M    Nur bei

Gasen ist diese Abrundung im allgemeinen nicht mehr gestattet.

Bei der vorher erwähnten Barometerablesung muß man auch bedenken, daß Quecksilber von 0° verlangt wird; hat es die Temperatur f, so ist sein Druck entsprechend dem spezifischen Gewicht kleiner. Ersetzt man es durch eine kleinere Quecksilbersäule von 0°, so müssen die Höhen den spezifischen Gewichten umgekehrt proportional sein, also wenn l₂ die gesuchte ist

ist ro=&' 7

(3, ist die Ausdehnungszahl des Quecksilbers = 0,000181

h = l (1 + ßj) (1 ~ßj) = K¹ -    - ft])-

ßt ■ ß₂ kann vernachlässigt werden

0,000173() -- l - 0,000173lt.

Liest man etwa bei 25° die Höhe l = 765,4 mm ab, so beträgt die Korrektion _ 0,000173 • 765,4 • 25 = - 3,3 mm und der reduzierte Barometerstand 762,1 mm.

Bei einer Messingskala ist ßt = 0,000019 und das Korrektionsglied — 0,000162 lt.

Aufgaben.

Man weise die Richtigkeit der folgenden Näherungsformeln nach

151. yi+tx Kd i + y5 ¹ 1

152. i/l-a?a 1 — 2 >

¹⁵⁴-yT^^1 + T

153.

allgemein

Bei adiabatischer Kompression (S. 46 f.) nehme das Volumen v um den kleinen Betrag « ab, dann folgt aus pvh*~px(v — as,

155. (1 + cc)n £d 1 + wot,

also pt Rd p (l + wird; die (kleine) Druckzunahme ist

156.    Wie groß ist näherungsweise sin«, wenn a in Graden, Minuten oder Sekunden gegeben ist?

157.    Wie groß ist nähsrungsweise tg«?

158.    sin 40° ist 0,64279; cos 40°= 0,76604. Wie groß ist sin 41°, cos 41°, sin 39°, cos 39"?

Beispiel 25. Der Inhalt F eines» Kreisabschnittes (Fig. 36) wird erhalten, wenn man den Inhalt des Kreisausschnittes, ~i (vgl. S. 29) um den

des Dreiecks, - ^ “

F "⁼ T (“ _ sin “)>

CCS

sin ct

pka

jv

vermindert.

12 3

*.2    3

(angenähert), also F Rd -Die Bogenhöhe li i]'t = r — r cos ~ = r ^1 — cos

Fig. 36.

o£*r

~~ ~8~'

. (C

31 J

die Sehne s =*» 2 r sin ~ Ri 2 r ~ —

r a⁸    (

-r«- —

at

Die Vernachlässigung von -- liefert die Näherungsformel

FPäj sh.

7,2 r*

h^-6t;

Ferner ist ssf« r⁵«²(l —

6* ----- r* Kl,

also

b²tt s² + y^².

Hieraus kann man b angenähert berechnen, wenn s und h gegeben ist. Bei allen diesen Formeln ist vorausgesetzt, daß cct im Bogenmaß ausgedrückt, klein ist, sie gelten daher noch für beträchtliche Werte int

Gradmaß, das ja durch Division mit —    57,3 in Bogenmaß ver

wandelt wird.

Der Schwerpunkt des Kreisbogens d hat vom Kreismittelpunkt

2 r sin ~

den Abstand ™ -----2r sin^

—seine Entfernung von der Sehne ist

cc ru* 2 ,

Aufgaben.

159.    Die Gleichung der Kettenlinie soll für kleine Werte von x angenähert aufgestellt werden.

160.    Wann verdoppelt sich ein Kapital von a Mark, das zu p°/o steht, bei Berechnung der Zinseszinsen?

161.    Wann ist es Lmal so groß wie zu Anfang?

2. Auslösung von Gleichungen.

Jede Gleichung mit einer Unbekannten läßt sich auf die Form f{x) --- 0

bringen. Schon auf S. 41 wurde eine Lösungsmethode angedeutet. Man braucht nur die Kurve y ----- f{x) recht genau zu zeichnen, dann sind die Abszissen der Schnittpunkte mit der X-Achse die Lösungen, die man auch als „Wurzeln" der Gleichung bezeichnet. Die Quadrat-, Kubik- und weiteren Wurzeln sind Spezialfälle dieses allgemeineren Begriffes; / a ist z. B. die Lösung der Gleichung xn — a = 0.

an-

Wenn auch diese graphische Lösung von Gleichungen äußerst schaulich ist und bei Vergrößerung des Maßstabes zu beliebiger Ge-

nauigkeit gesteigert werden kann, so erfordert sie doch viele umständliche Rechnungen, sobald die Funktion f etwas komplizierter ist. Hat man einen Wert x = a gefunden, der nahezu der Gleichung genügt, so sucht man natürlich nicht nur einen besseren, sondern einen viel besseren Näherungswert, die Zwischenwerte interessieren nicht. Hier führt leicht die Taylorsche Reihe zum Ziel, in ihr bedeute 7t das Zusatzglied, welches, zu a addiert, den genauen Wert der Wurzel liefert, es sei also f(a + 7t) = 0. Da a selbst schon nahezu richtig ist, können wir 7t sehr klein annehmen und die Reihe nach dem zweiten Gliede abbrechen.

f(a + 7t) --- f(a) + M' 0) — 0,

demnach    h = —

Beispiel 26. >/29 ist zu bestimmen. f(x) = x³ — 29 = 0; f(x) = 3x⁸; Ein Näherungswert ist a --- 3; L wird 27-29

7t = -

29

3 a³

= + - = 0,074.

Der nächste Näherungswert ist al = 3,07 4

0,0477

7t, = -

3,074’-29

28,35

--0,00168

' 3.3,074’ a₃ ----- 3,07400 - 0,00168 --- 3,07232.

Diese Genauigkeit kommt der auf S. 70 erreichten gleich; in der Praxis hätte schon die erste Verbesserung von a genügt.

Beispiel 27. Ein Kugelballon wird mit Leuchtgas gefüllt. 1 qm Ballonhülle wiegt mit dem Netzwerk 0,4 kg. Gondel, Ballast, Bemannung und Schleppseil besitzen zusammen das Gewicht 500 kg. 1 cbm des benutzten Leuchtgases wiegt 0,6 kg; 1 cbm Luft 1,293 kg. Beide Angaben sind auf 0° bezogen und sollen, da die Aufstiege im Sommer stattfinden, auf 25° umgerechnet werden. Wie groß muß der Durchmesser x sein, damit der Ballon noch eine Steigkrast von 200 kg hat?

Die spezifischen Gewichte sind bei dieser Temperatur nach Beispiel 21 (S. 80)

0,6

und

1,293

gleich 0,550 und 1,185.

1 + 25- 0,00366

Der Inhalt ist ^cbm, das Gasgewicht ^ ■ 0,550kg. Die Hülle wiegt na:⁸ • 0,4 kg, Gondel usw. 600 kg. Diese Kräfte ziehen den Ballon

1+25-0,00366

nach unten, nach oben wirkt der Auftrieb der Luft mit • 1,185 kg. Somit gilt die Gleichung

^ -1,185 - ^ • 0,550 — nx* • 0,4 - 500 = 200

0,332a;⁵ - 1,26-?— 700 = 0 3,78a;²— 2106 — 0.

Zur Konstruktion der Kurve y = x³ — 3,78a;²— 2106 können die Wertepaare der folgenden Tabelle dienen

8    | io

y — 21061 — 21131 — 21021 — 20261— 18361 — 1484 -922 — 1031 + 1836 a = 14 ist ein Näherungswert.

12

14 |    16

daher wird

7t =

f (x) = 3a:²- 7,56a:, a³-3,78 a²-2106

103

3a³- 7,66a.

a — 14 liefert ä, wird schon praktisch bedeutungslos.

Beispiel 28. Ein Kreis soll durch eine Sehne in zwei Kreisabschnitte geteilt werden, deren Flächen sich wie 2:3 verhalten. Der Radius sei r, der zu dem kleineren Abschnitt gehörige Zentriwinkel «. Dann sind die Flächen (vgl. Mg. 36)

F₁ = r-^{a — sin a); Fi — rin — F₁\

Es gilt die Proportion

F₂ = r~ (2n — cc + sin a).

(a — sin a): (^2 n — a + sin a) = 2 : 3 3a — 3 sin a = 4tc — 2 a + 2 sin cc

5 cc — 5 sin cc — 4 % = 0

ff=l — COS cc\

f = cc — sin cc — 2,513 — 0

a₀ — sin a₀ — 2,513 1 — cos ccQ

wenn a₀ der Näherungswert ist. Wir wählen

(zwei Halbkreise)

0,629

2,827 = 162°.

- 0,315.

Die nächste Korrektion liefert h = — 0,0028; a₃ = 161° 50' Beispiel 29. Für welche Punkte der Kurve y = e~x sin x (vgl. S. 59 f.) bildet die Tangente mit der aAchse den Winkel 30°?

y'= e~x (cos x — sin x) --- tg 30°= 0,5774 cos x — sin x = 0,5774s*;    f= cos x — sin x — 0,5774s* — 0

— sin x — cos x — 0,5774 ex;

^_ 608.x—81Vn— 0,5774 e*

8ivx-^-eo8x-s-0,5774^- * Für x = 0 wird </'=!, « = 45°. Sür x = j = 45° wird a = 0.

Zwischen diesen Werten von x muß der gesuchte liegen, als ersten Näherungswert nehmen wir

« = 22'30'=* --0,3927.

— — 0,1452;

a,= 0,2475 = 14° 11

a₂= 0,2398 = 13°44'.

-0,3139

2,1617

= -0,0077;

3. Maxima und Minima.

Es sei wieder h eine kleine Größe, während x irgend einen endlichen Wert bedeute, /'sei eine Funktion, die nach steigenden Potenzen entwickelt werden kann.

-0,0150

1,9541 f{x + h) = fix) + hf ix) + !/' (*)+•••

fix + h) = fix) + h (f' ix) + Y\f" (*) -f----) •

fix + h) = fix) +~(f"ix) + \f"ix) + - •)

fix—h) = fix) + h~(f" ix)-\n*) + ••)•

Wie in Beispiel 21 auf ©.78 gezeigt wurde, kann h so klein angenommen werden, daß das Vorzeichen der Potenzreihe nur von dem ersten Gliede abhängt. Diese Bemerkung wenden wir jetzt auf den Klammerausdruck an. Ist fix) positiv, so ist es auch die Klammer, /r sei ebenfalls positiv, dann gilt dasselbe von h-if'ix)+ •••); fix + h) ist größer als f(x); f(x — h) = f{x) — h(fix) + •••) ist, da das zweite Glied negativ ist, kleiner als fix), die Kurve y = fix) hat im Punkte x, y steigende Tendenz, was schon aus S. 41 geometrisch abgeleitet wurde. Genau ebenso zeigt man, daß, wenn f'ix) negativ ist, s{x + h) kleiner und fix — h) größer als fix) ist. (7i ist stets positiv angenommen.) Es kann aber f\x) auch einmal gleich Null sein, dann wird das Verhalten der Funktion erst durch das folgende Glied derPotenzreihe gekennzeichnet.

Auch hier ist bei genügend kleinem h nur das erste Glied der Klammer für ihr Vorzeichen von Bedeutung. Wenn f{x) positiv ist, so

ist sowohl f{x + h) wie f(x — h) größer als f{x), da 7t² unbedingt positiv sein muß. Die Funktion hat für diesen speziellen Wert x ein Minimum, denn sie ist kleiner als ihre Nachbarwerte. Ist dagegen f"(x) negativ, so tritt ein Maximum ein, weil sowohl f(x + h) wie f(x — h) kleiner als f(x) sind. Geometrisch sagt die Forderung f'= 0, f" > 0 aus, daß für den betreffenden Kurvenpunkt die Tangente der Abszisienachse parallel laufe und die Krümmung konkav sei (Punkt G in Fig. 23, S. 41). Man sieht unmittelbar, daß dann ein Minimum eintritt. Ebenso leicht erkennt man für /"' = 0, f"<0 ein Maximum (Punkt D). Nun kann aber außer f auch f" — 0 sein.

f{x + h) ----- f(x) +-|] (f"'(x)

In diesem Fall verläuft die Untersuchung wie vorher, man hat nur zu beachten, daß sich hinsichtlich des Vorzeichens hs wie h, 7t⁴ wie 7? verhält usw. Verschwindet also f und f", aber nicht f'", so tritt weder ein Maximum noch ein Minimum ein. Für

f = 0, f" = 0,    f"'=0, f"">0

hat man ein Minimum, für

^=0, /'" = 0, f"'=-=0, f""< 0 ein Maximum uff. Man kann zur Untersuchung die früher behandelten Ableitungsknrven (S. 20) heranziehen.

.-=■

-_F

Beispiel 30. Ein Wassergraben hat einen rechteckigen Querschnitt 6 = 0,5 qm. Die Breite x und die Tiefe y sind so zu wählen, daß die vom strömenden Wasser benetzte Fläche möglichst klein wird, damit der Reibungswiderstand minimal | ist- (Fig- 37.)    |

Aus xy ----- 0,5 folgt r/ ----- —- Es soll die Funktion    x

II

f(x) =*x+2y = x + —

entern Minimum gentucht tuerbett.

f(x) = 1 -    = 0    81g. 87.

y = — wird hier = 0,5; die Breite ist daher gleich der doppelten Tiefe.

*    n +2

y

nimmt für x = + 1 den positiven Wert 2 an. Wir haben es also

liefert x — +1; die Lösung -r = — 1 hat keine praktische Bedeutung.

wirklich mit einem Minimum zu tun, nicht mit einem Maximum

oder einein Wendepunkt.

Beispiel 31. Ein Stab sei an einem Ende fest eingespannt und lagere mit dem anderen auf einer Stütze.

Nach den Lehren der Mechanik lautet die Gleichung der Linie, die seine neutrale Faser infolge seines Eigengewichtes G kg bildet,

JL11 (- _ _l 2x'\ 15/48 u r« ⁺ z⁴ /"

l, x und y (Fig. 38) sind in cm, der Elastizitätsmodul E in kg/qcm und das Trägheitsmoment J in cm⁴ ge-geben. Für welchen Wert von x weicht die Linie am meisten von der Horizontalen ab? Zur Abkürzung sei die = c gesetzt, also

Sx* 2s⁴\

⁺ Z⁸)

9#*    8x*\ f.    ( 18lv 24#*\

+ Tr)l s"=-c{- tt H- tt)¹

0"<0)

y-

Fig 38.

Gl*

EJ • 48

y=*

positive Konstante

clx —

-(>

y =

Zum Eintritt eines Maximums oder Minimums ist erforderlich l-^- + ^- = 0;8a:s-9x⁸Z + Z³ = 0; 8r>-8x*Z- xH + Z³ = 0

setzt.

8a;s(a; — Z) — l(x³ — Zs) = 0; (x — 0 [8 a:² — l(x + Z)] = 0. Für x ---1 tritt ein Maximum ein, da y' = 0, y" negativ wird. Die zweite Möglichkeit dafür, daß y' verschwindet, erhält man, wenn man 8 a;*— l(x + l) = 0

33ZS

256

(-a)-

331\ 256 >

S.'-U-P-O; .’-'i-’i-, *’-T + (h)’-£ + ä- _

x — Yg = i jg7/335 x = — + —

5(i+y5s).

Das negative Vorzeichen der Wurzel kann unberücksichtigt bleiben, da negative Werte von x praktisch unmöglich sind. Es ergibt sich also x = 0,4215Z.

y" liefert für dieses x den positiven Wert y" + 3,323 y wird

ein Minimum, dessen Größe resultiert, wenn man den errechneten Wert von x in die allgemeine Formel für y einsetzt.

2/min ---0,00542

Gl*

'Jiäkt

Die Kurve hat Wendepunkte für x = 0 ^

0,2    0,4

(bedeutungslos) und für x — -|z. Hier

Hs)

Vf

wird y" --- 0, und zugleich mit dem Vorzeichen dieser Größe ändert die Kurve die -<w Art ihrer Krümmung.

Fig 39 erläutert die Aufgabe graphisch.

Fig. 39.

Die Ordinate« der Ableitungskurven sind aus leicht ersichtlichen Gründen im Maßstab 1:10 verkleinert worden. Es wurde c = ! = l gesetzt.

Beispiel 32. Ein Kreis hat den Durchmesser d. Es soll ein Rechteck mit den Seiten x und y gezeichnet werden, dessen Ecken auf der Peripherie liegen und dessen Seiten den Ausdruck x\s zu einem Maximum oder Minimum machen (Fig. 40.)

Zur Lösung führt man am besten den zwischen , x und d liegenden Hilfswinkel <p ein.    j

ac

x = dcostp, y — (Zsin<p; xyn = d"+¹ cos cp sin" cp — Min.

Fig. 40.

Es ist

f = — sin cp • sinncp    cos g? sinw—1g> • cos cp = sin”“¹^) (wcos²g>—sin²g>)

fn ----- (-r — 1) cos cp sinn~²cp (n cos² cp — sin² cp)

+ sin"““¹ cp (— 2 n sin cp cos cp — 2 sin cp cos g>) /*"== (>z — 1) cos cp sinw—2 cp (n cos² cp — sin² cp) — 2 (n -f 1) sin"g> cos cp f verschwindet, wenn sin P ----- 0, also x = d und y = 0 ist, was wir als praktisch bedeutungslos außer Betracht lassen wollen, oder wenn

?in²qp

cos²g> n’

ist. Die Aufgabe ist daher nur für positive n lösbar, auch hat nur das positive Wurzelvorzeichen Bedeutung, da cp nie negativ oder stumpf werden kann. Für den genannten Wert von g> verschwindet der erste Bestandteil von f\ der zweite besitzt das negative Vorzeichen, wir haben also ein Maximum.

a) » —1; xyx ist der Flächeninhalt des Rechteckes, der ein Maximum wird, wenn

dn+i konstant bleibt, untersuchen wir die Funktion f = cos cp sin" cp.

n cos²<p — sin²g> ----- 0,

tg g> — 1,

<p — 45°,

wird. Soll aus einem zylindrischen Baumstamm ein Balken von möglichst großem rechteckigen Querschnitt geschnitten werden (der Abfall also möglichst gering sein), so muß das Rechteck ein Quadrat sein.

b)    n = 2; xy³ ist dem Widerstandsmoment proportional. Dies erreicht ein Maximum, wenn tg<p = ]/2, die Höhe sich also zur Breite wie )/2: ]/l verhält. Man findet leicht

*-*yi

Das Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand, den der Balken der Durchbiegung entgegensetzt, wenn die Biegungskrast parallel zu y wirkt.

c)    ra = 3; xy³ ist dem Trägheitsmoment proportional. Je größer dieses ist, um so weniger weicht der Stab bei Biegungsbeanspru-chung von der horizontalen Lage ab. Man erhält ein Maximum, wenn tgcp = y:x — yüist.

Zur Konstruktion der allgemeinen Lösung teile man den Durchmesser in n + 1 gleiche Teile und errichte im ersten Teilpunkt das Lot bis zur Peripherie. Die Verbindungslinien seines Endpunktes mit den Endpunkten des Durchmessers sind die Seiten des Rechtecks.

Beispiel 33. Es ist der größte Ausschlag der durch die Gleichung y = acrhx (e“ — e~'cx)

gekennzeichneten aperiodischen Schwingung zu ermitteln.

y'--abe~bx (e" - e~cx) + ae~hx{cerx + ce-cx)

y' == ae-to[— le?x + be~cx 4 cecx + ce~cx] y' --- ae~bx [(& + c) e~cx — (6 — c) e“].

Da der erste Faktor für endliche Werte von x nicht verschwindet, so muß der zweite Null werden.

y *=

(b - c) e“= (b 4- c) er**,

fc + c

e2cx ■==

b>c.

daher

Durch Untersuchung von y” findet man, daß ein Maximum eintritt

Siebentes Kapitel.

Prüfungsmethode«.

Hatman zu irgendeinem Zweckvon einer gegebenen %vmttiony=f(x) die Ableitung f (z) gebildet, so wird man gern die Richtigkeit der Rechnung kontrollieren wollen, ehe man auf ein möglicherweise falsches Ergebnis weitere Untersuchungen gründet. Mancher wird nie ein gewisses Gefühl der Unsicherheit int Differentiieren los, weil ihm solche Prüfungsverfahren unbekannt sind.

Die meisten Fehler werden schon vermieden, wenn die Rechnung mit einer gewiffen Behaglichkeit und großer Sorgfalt ausgeführt wird. Man gewöhne sich an eine übersichtliche Anordnung (keine verstreuten Zettel-notizen!). schreibe deutlich und notiere auch Zwischenergebnisse auf. Die größere Schreibarbeit wird weitaus durch das Gefühl der Sicherheit ausgewogen; ein beim „Kopfrechnen" gemachter Fehler entzieht sich besonders gern der Nachprüfung, vor allem, wenn es sich nicht nur um Zahlen, sondern um Formeln handelt.

Bei der Aufzählung der wichtigsten Prüfungsmethoden unterscheiden wir Verfahren, die zumZiele führen, wenn die gegebenegnnttiony=*f(x) außer x nur bekannte Zahlen, keine Buchstabengrößen a, b, c u. dgl. enthält, von den Mitteln, welche anzuwenden sind, wenn die Funktion dieser Beschränkung nicht unterliegt.

Im ersten Falle beachte man folgende Winke, die an dem einfachen Beispiel y = yi — 4 z² erläutert werden; nicht, als ob es nötig wäre, gerade dies zu prüfen, sondern um die wichtigsten Verfahren darzulegen.

1. Verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Man schlage bei derselben Aufgabe verschiedene Wege ein. Die Regeln über Differentiation impliziter Funktionen, über Funktionen von Funktionen usw. kommen hier in Betracht. Für unser Beispiel sind etwa folgende Methoden zweckmäßig:

a) y = /l — 4 z²; 1 — 4z² = 6; r/ ----- *T*    -----

............. — __ 8z* *?Ä*Ü.** L-

2/1-4M'' dx    ' dx dz dx

__L

dz

4a?

y 1-4«*

(Satz 5 auf S. 24).

b) Es kann eine Hilfsgröße t eingeführt werden, in unserem Fall empfiehlt es sich, 2 z = sin t zu setzen.

ANuG 387: Stnboto, Differentialrechnung. 4. Aufl.

y~y 1 — 4 a² = |/l — sin⁸ / = cos

— — i cos / =- i l/T^Iä²- — ^~2C0S* 2K 1    4~

----- — sin t — — 2 x\ dt

dy dy dt _ 4a >da ckt dx

j/l —4x²

c) ?/=j/(l + 2a)(l — 2a) = }/l+2a*)/l —2a = w*fl. (Vgl. S. 23f Satz 3.)

Vl-±x*

«'

yi+2*

(l-2*)-(l + 2a!)

— yf = ufv-\-vf yi-tx' *

yi~2x yi+2X'

yr+Yx yf-ää’

4a

|/l-4x²    l/l-4a:a

d) ?/s=l-4a:²; y* + 4**- 1 = 0; «/'==- (l|): (|{). (Vgl. S. 24, Satz 6.)    Va,/

8a

4a

²!Z

l/l-4a²

2.    Tangentenkonstruktion. Man zeichnet die Kurve, bereit Gleichung y = f{x) ist, auf, rechnet für eine Anzahl von Werten xv xv a₃ • • • an die zugehörigen Ordinalen yv y₂, yz-'-yn und die zugehörigen Werte des Steigungsmaßes y' aus und bestimmt (trigonometrisch oder rein zeichnerisch) die Tangentenwinkel av a₂, as • • • an. Hierauf zieht man Gerade, die diese Winkel mit der positiven L-Achse bilden, konstruiert parallel zu ihnen die Tangenten (vgl. Fig. 26 auf @.43) und sieht zu, ob sie die Kurve in den berechneten Punkten berühren.

3.    Vergleich mit dem Differenzenquotienten. Man nimmt Ax ziemlich klein an und berechnet für einen beliebigen Wert xx den Ausdruck Ayt = f(xt 4- Aa) — f{xx), ebenso für einen andern Wert xt die Größe Ay₂ = /*(a₂ + Ax) — f(x₂) usw. Die Differenzenquotienten müssen den Differentialquotienten für dieselben Werte von x um so näher kommen, je kleiner Ax wird. Nimmt man z. B. in y = ]/l — 4 a² die Abszissen ai -- 0; a^ --- 0,1; a₃ ----- 0,2; a^ ---- 0,3; a^ -- 0,4 und macht Aa stets gleich 0,001, so ist

0,1

0,2

0,3

0,4

0,9798 0,9165 0,8000 0,6000

A?/

-0,02

-0,43 -0,90 - 1,54 - 2,76

y'

- 0,41

-0,87

— 1,50

-2,67

4. Entwicklung in Potenzreihen. Man entwickelt die gegebene Funktion y = f(x) in eine konvergente Potenzreihe Rlt ebenso die berechnete Ableitung y* = f'(x) in eine zweite Potenzreihe R₂. Dann muß Ä, auch die Ableitung von Rt sein. So ist

JL

z/l — 4 x² = (1 — 4 x¹) = 1 — 2 a;³ — 2 xK — 4 x* — 10 x* —

¹    (1 - 4x²)⁻ 2 = 1 + 2ic*+ 6z⁴+ 20a;® + ••• (©.69,

|/l —

Beispiel 12 für n = ± y).

Die Reihen konvergieren, wenn 4 z³ kleiner als 1 ist, a; also zwischen

—    y und + y liegt. Der Differentialquotient der ersten Reihe ist

—    4a; — 8a;³— 24a;⁵— 80a:⁷— • ••, und dieser Ausdruck ist genau

gleich — 4a: -

j/l -4s$

In vielen Fällen genügt eine Näherungsformel, die nur die erste oder zweite Potenz berücksichtigt, zumal dann, wenn der Verdacht vorliegt, daß in dem errechneten Differentialquotienten ein fehlerhafter konstanter Faktor auftritt.

Wir fassen jetzt den Fall ins Auge, daß. im Gegensatz zu unserer bisherigen Annahme, in f(x) auch Konstanten vorkommen, deren Zahlenwert man nicht angeben kann.

1. Verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Auch hier wird es von größtem Vorteil sein, wenn man auf recht verschiedenen Wegen zum Ziel zu gelangen versucht. So kann z. B. die Funktion y = }/a³— b*x* ganz ebenso behandelt werden wie der früher besprochene Spezialfall.

Die graphischen Methoden werden im allgemeinen versagen, ebenso

wird die Berechnung von ^ | oft Schwierigkeiten bieten.

2.    Entwicklung in Potenzreihen. Die Entwicklung in Potenzreihen läßt sich auch hier oft mit Vorteil anwenden, nur macht die Untersuchung der Konvergenz bisweilen Schwierigkeiten; als Spezialfall der Potenzreihen kann man die Näherungsformeln gebrauchen. Soll z. B. untersucht werden, ob der Differentialquotient von xn eax gleich nxn~x eax + xne?z ist, so kann man die Exponentialreihe unbedenklich anwenden, da sie steös konvergiert.

y=*xn-eax=>xn(l-+ aa: + a x as*n + 3

asz⁸

1*2

1-2-3

\    OL ^3!^ ^

f •••J=“Xw+aa;w+¹H---

7*

Der Differentialquotient dieser Potenzreihe ist

a²3*⁺¹ +

t/f ----- nxn~l + (n + 1) axn 4 Anderseits ist

nxn~leax+ ic*ea**= nxn~mi + natin+    ~a#a,,+Ä4- •••

ai -f- 2

4-3*4- azn + ¹ +^--

ctV+,+ --*

+■•••

nxn~~x + a?neaz = nxn~x + (na 4- 1) xn + ^ (na + 2) xn +1 +

+ y («st + 3) £w+* + • • •, ein Ausdruck, der sicherlich nicht mit

dem für yf gefundenen übereinstimmt. Wäre jedes Glied des zweiten Summanden a mal so groß, so wäre die Übereinstimmung hergestellt, und in der Tat ist die Ableitung unseres Ausdrucks gleich nxn-¹eax -f 4- axneaxt denn wenn man e*x differenziert, so erhält man aef*x.

Man hätte den Fehler auch schon bei Anwendung einer Näherungsformel gefunden. exPtfl + x',eax£zil + ax'yy£üxn-\-axn+¹',y'£ünxH—1 + (n + 1) aas¹, während nxn~x &zx + xn eax^nxn~¹ 4- naxn f xn 4- axn+1 ist.

3. Spezialisierung. Man kann den Konstanten in f(x) einfache Zahlenwerte beilegen, z. B. 0,1, — 1, \ usw., oder man kann sie unendlich groß werden laffen. Man pflegt dann auf wenig komplizierte Ausdrücke zu kommen, die oft auch numerisch ganz bestimmt sind. Sie lasten sich meistens sehr leicht differentiieren. Ist die Ableitung des allgemeinen Ausdrucks richtig gebildet, so müssen aus dem allgemeinen Differentialquotienten die speziellen durch Einsetzen jener vereinfachenden Zahlenwerte folgen. Ist ein Widerspruch da, so hat man an irgendeiner Stelle einen Fehler begangen, die Übereinstimmung läßt aber noch nicht exakt auf die Richtigkeit des zu prüfenden allgemeinen Ergebnisses schließen, doch mit um so größerer Wahrscheinlichkeit, je mehr Stichproben man macht. Es verhält sich mit diesem Prüfungsverfahren etwa so wie mit der im elementaren Rechnen gebrauchten Neuner- und Elferprobe.

Nehmen wir beispielsweise an, jemand habe y ----- eaxsin (bx 4- c) zu differentiieren. Er setzt die Ableitung dieses Ausdrucks gleich «e^sin (bx 4- e) und will das Resultat durch Spezialisierung prüfen.

Für 5«0 wird y — es¹⁹sinc und yf ----- ae**sine. Dieser Spezialwert von y' geht aus dem gefundenen allgemeinen Werte von y¹ hervor, wenn man 5 = 0 setzt.

Wird aber a = 0 gesetzt, so wird y = sin (hx + c); y¹ = 5 cos (bx + c) und nicht, wie man aus aef*x$m(bx + e) schließen müßte, gleich Null. Der angegebene Differentialquotient ist also trotz des Gelingens der ersten Probe fehlerhaft gebildet. Wie man leicht erkennt, ist der zweite Summand, der bei der Produktenregel auftrat, vergessen worden. Der richtige Wert ist y'-= aea*sin(5a:+ c) + 5earcos(5a? + c). Dieser Ausdruck besteht jede Prüfung.

Lösungen.

1. GL ist die Abszisse, CA die Ordinate in dem Koordinatensystem mit den Achsen AB und AE. Durch paffende Wahl der Koordinaten kann jeder Punkt der Ebene (jeder Ort des Grundstücks) erreicht werden. 2.-6. Man erhält Gerade. 7. —12. Parabeln. ^Bgl. Kapitel IV.) 18. — 20. Verschiedene Kurven. 21. Solche Punkte sind die Schnittpunkte mit den Achsen, sowie die höchsten und tiefsten Punkte. Die Vergrößerung des Maßstabes erhöht die Genauigkeit. 22. Klein. 23. Nein. (Vgl. 21.) 25. Aufgabe 17, 18, 20 wegen des doppelten Vorzeichens einer Quadratwurzel. 26. Aufgabe 13 für k = 0; 14 für K---- — 3; 16 für k = 1; 20 für x = 2,6. 27. An den eben genannten Stellen. 28. Nein, wenn man von den eben genannten Stellen absieht. 29. y — b. 30. Ay = 0. 31. y'= 2a;. 32. 6#. 33. ^-k. 34. |k + 3. 35. 2a;-fl. 36. gür Ak~ 1 ist Ay = « • 3*- * • 2** 15,71. Der Differenzenquotient ist 15,71:1 -----15,71, der Sekantenwinkel 86*21',6; für Ak = 0,9 erhält man 15,39; 86*17' uff. Der Differentialquotient ist 12,57, der Tangentenwinkel 85*27'. 37.DieZunahmedesBolumensist A^---3L'Aar->-+ 3k(Ak)⁸ + (Ak)⁸. Der Differenzenquotient ist 3k⁸ + ³# Ak-|-(Ak)⁸. 38. tga = y'« 3k*= 3y :x~y:\x. 39. Symmetrisch. 40. Ja. 41. Nein 42. y' = ^x\ 43. f*s+l. 44. --|-k⁸ + 2k. 45. -3k*+2k. 46. Die verlangten speziellen Werte sind z. B. im Falle der 42. Aufgabe: 0; 0,3; 1,2; 2,7; 4,8. 48. y'=0,04 x⁹. 49. 0,4k⁸- 0,6 x\ 50. 4k⁸- 100. 51. und 52. Vgl. S. 18f. 53. y' -= 4ks; y" = 12k⁸; y"' == 24»; y/K=» 24; yr=-yK/ = ... =0. 54. Ist y=*Kn, so ist y'«WKw~¹; y"== n (n —1) k”~s uff. Der nte Differentialquotient ist konstant, alle folgenden verschwinden. 56. Vgl. Satz 1 auf S. 22. 57. Satz 1 und Satz 2 liefert y'= as(x) + 5<p'(z). 58. Man setze nv-tund differenziere nach Satz 3. Ergebnis: y'v\jd-\-uv'w-\-uvw!.

59. y'=4a:. 60. y' = 10a:. 61. y' = x*. 62. 5a;⁴— 24a:⁸-f 9a:²-|- 24a; — 10. 63. g>(x) = c;<p'(x) = 0. 6t.

xt(g — «) + %x(h-b)~\- ah — bg

67.

(a?²+5r.r+/0²

68. x -f 1 — z, y = z*; ~~ = 6 z⁶=

dz

dy

Ts ns

t* ns

dz

. — == 6 (a; + 1)⁵= 6a:⁶ + 30x⁴+ 60a;⁸+

-«<*+»■ r,~v’ ji-

+ 60a;²+ 30a; + 6-    69. und 70. liefern dasselbe Ergebnis; warum?

71. t/' = w (5 + 2cä?) (a + &# + c#²)"“¹. 72.1.Lösung: <p(x,y)*=xy-at;

----- a:; y' = ™ "•    ² Lösung: y =    a*aT’¹; y'= — a*x~l

dtp

CV>! <JV>

--³- Lösung: y=“; u=a»; u'=0; »=x; e'-l; y'=—^

74. y'--86a:-⁴. 76. y'--7ex“⁸. 76. y'--L -

*    2]/x

• 80.--1=. 81. - ²

2|/xs

2a

73. y'==--^s =

77. y'-°-^—- 78. y' = —— 79.-4 V&    5^

X

a:

2'j/x’

b + 2 ca:

:chx°

(x — 1) ya:²— 1

. Die Nenner sind aus manchen Rechenschiebern durch

Striche bezeichnet. Sekunden kommen wegen ihrer Kleinheit bei technischen Rechnungen nur ausnahmsweise in Betracht. 86.

Vxf- 1

3438; O) 206300

3|/(a-f bx-\-cx*)*

' 57,30^

im Bogenmaß im Gradmaß

sin x

Ay

= sin a;—sin 0,3

1,3

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

74°29'

63°2f

51° 34'

40°6'

28°39'

17°11'

0,9635

0,8913

0/.833

0,6441

0,4794

0,2955

O 00 CO CO lO b-C© OS CO <© »st

cT cT cT o“ cT

00 CO ’d« CO o 05 iH

o >9 o r-

ts» tf*. o> 00 o

,© ,p _p _p .p

M    lO    CO    H    05 ,

<X>    't#    V*    b-    T-l O O

«O    b-    00    00    05

Der Differentialquotient t/' = cosa; nimmt für a:-- 0,3 den Wert cos 17° 11' = 0,9554 an. Fig. 41 zeigt den Übergang deutlich; auf der Abszissenachse

find die Werte von Ax, auf der Ordinatenachse die von ^ abgetragen und

für L----0 der Differentialquotient ^ 87. Die Kurve stellt das Ansangsstück

bet Fig. 41 vergrößert dar und verläuft fast geradlinig.

iß

89. n cos (nx). 96. — n sin (nx).

91.

ein⁸ (nx)

eos²(wa:)

93. ma cos (mx) — nb sin (nx).

. 92. -

<¥’

94.aceos(c/-fö). 95. 2 einr cosa; = sin 2 x.

96. — sin 2 x.

9 7.0. (ein⁸ z+coa fx b ot den ton stauL en Wertl).

98.

¹    99.-    ¹    **

Va'-x*

|/a⁸— x%

V 2p TS? 78 V

Fig. 41.

¹⁰¹-s4s

102. y' — —-— liefert bei Anwendung des Pythagoras eine leichte Tan-j/1 — £B⁸

gentenkonstruktion. 103. Man sieht (Fig. 42) wie die Kurve mit wachsendem n einer Grenzlage zu- e&-

strebt, nämlich der Geraden, die ²    .

im Abstand e ----- 2,718 ... zur ’\    * J| y-W p

Achse parallel gezogen ist. ^ * **. J * /ö 7 * 34 Um den Grenzwert im end-    ^    x

liche nZahlengebiet zu erhalten, setze man n --- —, also 2/--- (1 + p)* ----- fyl+P (Fig. 43). 105. Zur Prüfung der Ergebnisse vgl. Beispiel 17 auf S. 73. 110. Cos« + Sinn == y (e* + e~x) + \ (e* - e~*) = e*. 111—114 folgen auch auS den Formeln 18 und 19 auf S. 37. 115. x +    - «**= v;

x+ ^⁸-s-a⁸. dy^dy dv^ ¹ dx d v dx

dx

^ ......• 116a. v~qt.

b. v = gt ein a. 120. In diesem kleinen Intervall wächst der Sinus fast gleichförmig. Nimmt d um 10' zu, so vergrößert sich der Sinus um 27 Einheiten der letzten Dezimale, wird d um x Minuten größer, so muß der Sinns um y «= 2,7 x vermehrt werden. (Gerade Linie!) ein 20° 37'= 0,3502 + 0,0019 ----- 0,3521; « = 20°33'. Die graphische Interpolation ist für alle Funktionen von einigermaßen regelmäßigem Verlaus dann am Platze, wenn mehrere Einschaltungen auszuführen sind. 121.    4,9051* Meter.

122. In t Sekunden bewegt sich ein Wasserteilchen wagerecht um die Strecke 37----ct Meter, in derselben Zeit fällt es um y---l-§t⁸Meter. Zwischenrunde

Q X^

besteht daher die Beziehung y = ~-t • Die Bahn ist eine Parabel, die positive

Richtung der Ordinate weist nach unten. Weitere Beispiele über Wurf-

Pv*

bewegung gibt jedes ausführlichere physikalische Lehrbuch. 123. 1^---——.

(Parabel.) a) v => 343 m/sec, b) 485, c) 594. 124. Ist der Strom i Ampere stark, so beträgt die Wärmemenge H--0,24r*w Grammkalorien; in unserem Fall ist Q = 28,8 t². 125. Schnittpunkte:    0, y = 0; x= 1,

y = 1; L---— 1, y = — 1. Die Kurven steigen verschieden stark an, der den positiven Werten von x entsprechende Teil ist dem andern symmetrisch. 126. Die Kurven ähneln der Parabel. Schnittpunkte: «0, y = 0;x = ±l, y*=l.    127. Inverse Funktionen. 132. Für n = 1 (Isotherme) wird

p*= 6 Atm., für n = l,41 (Adiabate), p---12,51; n=*l,l, p = 7,18; n = l,2, p = 8,59; -r -----1,3, p = 10,27. 136. Die erste Kurve gibt die Periodizität, die zweite das Abklingen der dritten wieder. 137. Schnittpunkte mit der

X-Achse: L--0, —, — • • Sie sind zugleich Wendepunkte. Die Tangente

in ihnen bildet den Winkel ^^<--45°) mit der X-Achse. Für die Scheitel der Kurve ist g»^-    140. Da y ---

m Cos ist, so erinnere man sich an Ausgabe 109; y'~ ^ Vy*— gibt eine einfache Tangentenkonstruktion, der Krümmungsradius ist g = —,

da 1 +    y"- A ”ft.

Seine Länge ist gleich der Normalen, gerechnet vom Kurvenpunkt bis zur X-Achse. (Fig.44.) 143. Lösung s = —L-¹ 8

metrische Veranschaulichung gibt Fig. 45, in der das Rechteck ABCD=*2 in zwei gleiche Flächen zerlegt wurde, die eine von ihnen (EFBC) wieder usf.

jn

ÖL

771

Fig. 44.

qp®

--- 2. Die geo-

<P⁴

<P⁶

4 5 6 7 + • • • V 146. ot ist im Bogen-

108

maß = — »=0,6?r = l,885;^ö:=0,337; e/,ä = l + 0,377 + 0,071 -f 0,009 + 0,001 147. Sin « = x + X

= 1,458.

ars

12 3 4

X*

to -r

12 3

+ • ■ •; <So|.r = l + —+

• • - . Die Reihen unter-

ftig 45.

H K MOB

12 34

scheiden sich von denen für sin x und cos x nur dadurch, daß alle Glieder positiv sind. Dies erklärt die Analogie der früher abgeleiteten Formeln.

148.    y = w6of (-) = w + —|--1-

\mj    1-2 ni

149.    Daa--e^"ist(vgl <5. 34f.), \o wirb («toa)r=exiwa; a*=l +

«⁴

123.4m«

1.2-3-4 5.6m⁴

■f ■ *

xina

(xlna)* (xlna)s

12

x⁶

12 3

-|----. 150. Differenziert man z. 93. sin« = « —

^12345

X*

+ • so erhält man 1 -™ +

«⁴

1-2 3 4

12 3 + also die Reihe

für cos« D es stimmt genau mit dem auf S. 29 f. erhaltenen Ergebnis überein; ebenso ist es bei allen anderen Funktionen. 151 — 155. Man benutzt den

a°

binomischen Satz. 156 und 157. sin aRdtgaRd

</

a”

57,30 ~ 3438 “ 206300' 158. Es ist (nach Beispiel 22) sin (a + «) Rd sin a -f x cos a; cos (a + «) Rd cos a — x sin a; a = 40°, x = + 1® = jh 0,01745. Man kann geometrisch und rechnerisch nachweisen, daß diese Näherungswerte

zu groß ausfallen müssen. 159. Nach Aufgabe 148 ist t/ Rd m + —•

Die Kurve wird also angenähert durch eine Parabel ersetzt, deren Scheitel aus der 1^-Achse um m verschoben ist. Der Parameter (<S. 17) ist hier 2 m, der Krümmungsradius ----- m (6. 44 f.x, was mit der Aufgabe 140 völlig

übereinstimmt. 160. In n Jahren wächst es auf a +

(Crantz, Algebra II 8 21,); a (l + ~^)” = 2a; nln (l + ^) =M;

also bei 3 % in 23 Jahren.

Mark an

n -----

ln 2

ln 2

Rd

69,3

ln

(i+^) m

\ ' 100/ \100/

161. n Rd

100 Ink

Anhang.

Die Reihe für e.

Es fei (vgl. S. 35)

v.4t, •»(t - i) (>-!)+

+ •••4

Ist n ---1, so erhält man (l 4- ^~)”= 2. Wird n größer (2, 3,

4 • • •), so wächst auch die Summe, da die Faktoren, aus denen die Summanden der Reihe gebildet find, größer werden. Für jedes endliche ganzzahlige n ist die Summe s sicher wieder kleiner als

s₁ = 14-14-|4-273 + denn hier sind die Faktoren 1 —1 —- usw. durch den größeren Wert 1 ersetzt, s, ist wieder kleiner als

Ss = 1 + 1 + ! + 2~2

5S = 1 + 1 + y + "2* + * “

-4- ... 4-

2 3 4^

2 • 3 • • • n/

₂«~ri und s₈ kleiner

4-... +

-4--

2«—1    ₂n

Die hierin auftretende (unendliche geometrisches Reihe hat nach S. 64, Aufg 143 den Wert

222

—l— - 2, also ist s, --- 1 4- 2 -- 3.

¹~~2

Für jedes endliche n, welches größer als 1 ist, hat s einen Wert, der zwischen 2 und 3 liegt.

Zur engeren Eingrenzung kann man s = 1 + 1 + JR₂ setzen,

n)

2?, ist größer als 0, da jeder Summand positiv ist, und kleiner als

l7ä[¹⁺    +3T4 + ---

»I -

3 ■ 4 • • • n]

und um so mehr ist

Die geometrische Reihe in der Klammer hat die Summe

-z

daher liegt L, zwischen 0 und s zwischen 2 und 2,75. Man könnte jetzt entsprechend

s-, + ¹ + ri(¹-T) + s»

setzen und JR₃ in Grenzen einschließen, wir führen aber die betreffende Überlegung gleich allgemein durch, indem wir s nach p Gliedern abbrechen und den Rest Bp nennen.

+ •••4

Up =

•[1 + iTr(¹-i)

H-----b

p--l\ n )

P+J\

n )

(p4i)0>42)

(-Ä(-

nt¹"«)!¹

<j’4i)(p4²)---

Da nur positive Faktoren und Reihenglieder auftreten, ist Bp größer als 0. Anderseits hat man

Bp<

123 .

und um so mehr

■p[1 + p4i ⁺ Ö>41)(p42)

₊ ...

_¹_1

(P + 1)(P + ²) * * • »J

Bp<

2_r₁₄

1 -2.3.. pl T

P4i"r(p4i)'"r(p4i)*⁺ "■]'

Der Klammerinhalt ist daher liegt Bp zwischen 0 und

1 • 2•3 • • -p p

Das Bemerkenswerte dieser oberen Grenze für das Restglied ist, daß sie von n unabhängig ist, also für jede der Zahlen n = 2, 3, 4 .. . gilt, mag sie auch noch so hoch sein, sie ist also auch im Grenzfall f« = oc) richtig. Dann geht über in

+ BP.

12 3.. • (p-1)

^i + i + i^ + rrL

Für p = 4 liegt z. B. Bp zwischen 0 und A, e zwischen

l + l + T + "e⁼²i"

und

o 2 1 5 <>23

“ 3 "i Afi    ^ 32'

also zwischen 2,666 und 2,719.

Es läßt sich leicht beweisen, daß, je größer p gewählt wird, um so kleiner das Restglied Rp wird, um so enger also die Grenzen sind, in die e eingeschlossen wird.

1 - 2 3 ..x

Wird p immer größer, so nähert sich der kleiner werdende Zähler immer mehr der Einheit, während der Nenner beliebig groß wird. Der Wert des Bruches wird also mit wachsendem p beliebig klein, um so mehr RPf die Reihe für e nähert sich mit steigender Gliederzahl unbegrenzt dem Werte e =» 2,7182818284 ...

Die wichtigsten Differentialquotienten.

xlnb

17)    y — «®, y' — arlna

18)    y = Sin x, y' — Cos x

19)    y — Cos x, y' — Sin x

20)    y =    a?, y' =

21)    y = <Stgaff,y' = -

22)    //--ArcSinn; yf= ( 8+1 23 )y=%ttWx;y'=v=\= 21) y-Art Tg aff; y- ¹

25)    y---ArkCigaff;y'--,^,

26)    y = u -J- v, y¹ = u' + vf

27)    y = u — v,y' = u' — v

28)    y — cf(x), y' = cs (x)

29)    y = uv, f/ = u'v -j-v'n

30)    y = £, y

31)    y = Z'(y (x))=f(z),

y'—fi») <p' (»0

32)    Ist (p (aff, y) = 0, so ist

d cv * ITy

1)    ?/ — y' = 0

2)    y = «aff, y' ---«

3)    y — axn, y'e= nax“~'

4)    2/ = ^r,

y' = -

flß

16) y --- "lgaff, y

5) y =

V.    £

1/ P    Q

aVx — ax -

Cos⁸ oc

£_

6)    y = sin x, y' — cos aff

7)    y = cos aff, y —— sin x

8)    y — tg aff, y —

?/

COS⁸«

9) y = ctgaff,y' = 10) y = arcsin aff,y'

11) y = arc cos ar, y' =

Sin⁸«

1— «⁸

yi-«⁸

Vl—ac*

12) y = arctga?,y' = T-L.

13)    i/ = arc ctg a?, l

1 + X*

14)    y — Inx, y' ---

15)    y --- e®, y' = «®

y' =

8|h*

tj't? — V «L

V⁸

(Techn. Mitteil. u. Nachr.)

Von Studienrat Dr. M. Lindow erschien ferner: Integralrechnung. Unter Berücksichtigung der prakt. Anwendungen in d. Technik. Mit zahlr. Beispielen u. Aufgaben verseh. 3. Ausl. Mit43Fig.imText u. 200 Aufgaben. [102 S,] 8. 1921. (ANuG 673.) Kart. M. 20.—, geb. M. 24.—

„... Der Verfasser hat es verstanden, in kurz gedrängtem Raume uns ein überaus klares Bild von dem Wesen der Differential- und Integralrechnung zu geben und bringt vor allem auch eine große Menge Beispiele aus den verschiedensten Gebieten der Technik, wodurch das Buch besonders für den Praktiker wertvoll wird.“

Differentialgleichungen. Unter Berücksichtigung der praktischen Anwendung in der Technik mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben versehen. Mit 38 Fig. im Text und 160 Aufgaben. [106 S.] 9. 1921. (ANuG Bd. 589.) Kart. M. 20.—, geb. M. 24.—

Als Ergänzung zu den beiden bereits in 3. und 4. Auflage erschienenen Bänden Differential-und Integralrechnung des gleichen Verfassers will der vorliegende gleichfalls an der Hand von praktischen Beispielen und Aufgaben in die Rechnungsart einführen, die der mathematischen Untersuchung der Bewegungsvorgänge dient.

Einführung in die Infinitesimalrechnung. Von Prof. Dr. A. Witting, Oberstudienrat am Gymnas. zum Heil. Kreuz in Dresden. Bd.I: Die Differentialrechnung. 2. Ausl. Mit i Porträttaf., vielenBeisp.u. Aufgab.u. 33 Fig.i.T. [IVu. 52 S.] 8. 1920. Bd. II: Die Integralrechnung. 2. Aufl. Mit 1 Porträttaf., 35 Beisp.u. Aufgaben u. mit 9 Fig. im Text. [50 S.] 8. 1921. (Math. Phys. Bibi. 9 u. 41.) Kart. je M. 12.—

„Eine methodisch ganz vorzügliche, ausführliche und klare Einführung, die in ihrer Ei ge n art den erfahrenen Schulmann verrät.“    (Natur und Unterricht.)

Differential- und Integralrechnung. Von Dr. L. Bieberbach, Prof, an der Univ. Berlin. I. Differentialrechnung. 2., verm. u. verb. Aufl. Mit 34 Fig. [VI u. 132 S.J 8. Kart. M. 34.— II. Integralrechnung. Mit 25 Fig. [VI u. 142 S.] (Teubners technische Leitfaden, 4 u. 5.) Kart. M. 38.—

Der Gegenstand der einführenden Universitätsvorlesung über Differential- und Integralrechnung wird hier in knapper, aber leichtfaßlicher Form dargestellt. Die geometrischen Anwendungen sind überall in gehöriger Weise berücksichtigt.

Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer Anwendungen. Von Geh. Hofrat Dr. R. Fricke, Prof, an der Techn. Hochsch. Braunschweig, gr.8. I.Bd.: Differentialrechnung. 2.u.3. Aufl. Mit 129 in d.Text gedr. Fig., 1 Samml. v.253 Aufg. u. 1Formeltab. [XII u.388 S.] 1921 .Geh. M. 120.—, geb.M. 144.-. II. Bd.: Integralrechnung. 2.u. 3. Aufl. Mit 100 in d.Text gedr.Fig., i Samml. v. 242Aufg. u. 1 Formeltab. [IVu.406S.j1921. Geh. M. 120.—, geb.M. 144.—

Das Problem des Unterrichts in den Grundlagen der höheren Mathematik an den Technischen Hochschulen ist seit mehr als zwei Jahrzehnten nicht nur wiederholt besprochen und in Monographien behandelt, sondern hat auch die Gestaltung der neueren Lehrbuchliteratur wesentlich beeinflußt. Auch das Vorliegende Lehrbuch ist aus dieser Bewegung hervorgewachsen.

Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential- und Integralrechnung. Von Geh. Hofrat Dr. F. Dingeidey, Prof, an der Technischen Hochschule Darmstadt. I. Teil: Aufgaben zur Anwendung der Differentialrechnung. 2. Aufl. Mit99Fig. [V U.202S.] gr.8. 1921. Geb.M. 112.— II. Teil: Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung. 2. Aufl. Mit 96 Fig. [IVu. 382 S.] gr.8. 1920. (TmL 32.) Geh. M. 120.—, geb. M. 144.—

Das Buch berücksichtigt außer Anwendungen in der Geometrie auch solche in der Physik und Technik. Dabei sind zur Lösung der den Zweigen der Technik entnommenen Aufgaben besondere technische Vorkenntnisse entweder nicht erforderlich oder, wo sie wünschenswert erscheinen, sind die nötigen Erläuterungen gegeben.

Verlag von B. G.Teubner in Leipzig und Berlin

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Teubners Technische Leitfäden

Die Leitfaden wollen zunächst dem Studierenden, dann aber auch dem Praktiker in knapper, wissenschaftlich einwandfreier und zugleich übersichtlicher Form das Wesentliche des Tatsachenmaterials an die Hand geben, das die Grundlage seiner theoretischen Ausbildung und praktischen Tätigkeit bildet. Sie wollen ihm diese erleichtern und ihm die Anschaffung umfänglicher und kostspieliger Handbücher ersparen. Auf klare Gliederung des Stoffes auch ln der äußeren Form der Anordnung wie auf seine Veranschaulichung durch einwandfrei ausgeführte Zeichnungen wird besonderer Wert gelegt. — Die einzelnen Bände, für die vom Verlag die ersten Vertreter der verschiedenen Fachgebiete gewonnen werden konnten, erscheinen in rascher Folge. Bisher sind erschienen bzw. unter der Presse: Analytische Geometrie. Von Geh. Hofrat Dr. R. Frlcke, Professor an der Techn. Hochschule zu Braunschw. 2. Ausl. M. 96 Fig. VI u. 125 8. M. 34.—. (Bd. 1.) Darstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prof, an der Eidgen Techn. Hochschule zu Zürich. Bd. I. Mit 134Fig. u. 100Übungsangaben. 1922. (Bd.2.) [Unter der Presse 1922.]

erstellende Geometrie. Von Dr. M. Großmann, Prof. a.d. Eidgen. Techn. Hochsdi.z.Zürich. Bd.II.2.,umg.Ausl.Mit 144 Fig. [VIu.l54S.] 1921.(Bd.3.)Kart.M.38.-ifferential- und Integralrechnung. Von Dr. L. Bieberbach, Prof. a. d. Universität Berlin. I. Differentialrechnung. 2., vermehrte und verbesserte Auflage. Mit 34 Fig. [VI u. 132 S ] 1922. (Bd.4.) Kart. M. 34.-. H. Integralrechnung. Mit 25 Fig. [VIu. 142S.1 1918. (Bd. 5.) Kart. M. 38.-Funktionentheorie. Von Dr. L. Bieberbach, Prof, an der Universität Berlin.

Mit 80 Fig. [IV u. 118 S.] 1922. (Bd. 14.) Kart. M. 32 —

Einführung in die Vektoranalysis. Mit Anwendungen auf die mathemat. Physik. Von Prof. Dr. R. Gans, Dir. des physikalischen Instituts der Univers. LaPIata. 4. Ausl. Mit 39 Fig. [VIu. 118 S.] gr. 8. 1921. Geh. M. 55.—, geb. M. 70.— Praktische Astronomie. Geograph.Orts- u.Zeitbest. VonV.Theimer, Adjunkt a.d.Montan. Hochsch.zu Leoben. Mit62Fig. [IVu. 1278.] 1921. (Bd. 13.) Kart. M.34.— Feldbuch für geodätische Praktika. Nebst Zusammenstellung d. wichtigsten Metb. u. Regeln sowie ausgef. Musterbeispielen. V. Dr.-Ing O. Israel, Prof. a. d. Techn. Hochsch. in. Dresden. Mit 46 Fig. [IV u. 160 S.] 1920. (Bd. 11.) M. 40.— Erdbau, Stollen- und Tunnelbau. Von Dipi.-Ing. A. Birk. Prof. a. d.Techn.

Hochschule zu Prag. Mit 110 Abb. [V u. 117 S.] 1920. (Bd. 7.) Kart. M. 32.— Landstraßenbau elnschl.T rassle re n. V. Oberbaurat W. Eutin g, Stuttgart. Mit 54 Abb. i. Text u. a. 2 Taf. |1V u. 100 S.] 1920. (Bd. 9.) Kart. M. 28-Grundriß derHydraulik. Von Hofrat Dr. Ph. Forchheimer, Prof. a. d. Techn.

Hochschule in Wien. Mit 114 Fig, im Text. |V u. 118 S.] 1920. (Bd. 8.) M. 32 — Hochbau ln Stein. Von Geh. Baurat H. Walbe, Prof. a. d. Techn. Hochschule zu Darmstadt. Mit 302 Fig. im Text. |VI u. 110 S.] 1920. (Bd. 10.) Kart. M. 32.— Leitfaden der Baustoffkunde. Von Geheimrat Dr.-Ing. M. Foerster, Prof, an der Techn. Hochschule in Dresden. Mit 57 Abb. i. T. |U. d. Pr. 22.] (Bd. 15.) Veranschlagen, Bauleitung, Baupolizei, Heimatschutzgesetze. Von Stadtbaur. Fr. S c h u 11 z, Bielefeld. Mit 3Taf. [IVu. 150S.] 1921. (Bd. 12.) Kart. M.36-Mechanische Technologie. Von Dr. R. Esch er, weil. Professor an der Eidgenössischen Technischen Hochschule zu Zürich. Mit 418 Abb. im Text. 2. Ausl. [VI u.164 S.| 1921. (Bei. 6.) Kart. M. 42 -

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Bd. II: Arbeitsverfahren Mit 750 Abbildungen im Text. Geb.M.66 —

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Dir. K. Uhrmann, Gewerbeschulrat der Stadt Köln, Ing. F. Schuth, Gewerbelehrer in Köln und Ing. O. Stolzenberg, Direktor der Gewerbeschule und der gewerblichen Fach- und Fortbildungschulen zu Charlottenburg. Mit 498 Abbildungen. Geb. M. 40.—

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Mathematik u. Physik. Unter Mitwirkung von Fachgenossen hrsg. von

Mathematisch-Physikalische Bibliothek

Dr.A.Witting

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Dr. W. Lietzmann

Oberstudienrat, Gymnasialpr. i. Dresden

Oberstud.-Dir.d.OberrealschulezuGöttingen Fast alle Bändchen enthalten zahlreiche Figuren, kl. 8. Kart. je M. 12.— DieSammlung, die in einzeln käuflichen Bändchen in zwangloserFolge herausgegeben wird, bezweckt, allen denen, die Interesse an den mathematisch-physikalischen Wissenschaften haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere kulturelle Bedeutung oder besonderes wissenschaft-lichesGewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser, ohne zu großeAnforde-rungen an seine Kenntnisse zu stellen, in neue Gebiete derMathematik und Physik einführen.

Bisher sind erschienen (1912/22):

Der Begriff der Zahl ln seiner logischen und Die Grundlagen unserer Zeitrechnung. Von historischen Entwicklung. Von H. Wie- A. Baruch. (Bd. 29.)

Jeitner. 2., durchgeseh. Ausl. (Bd. 2.) Die mathemat. Grundlagen d. Varlations- u. Ziffern und Ziffernsysteme. Von E.Löffler. Vererbungslehre. Von P-Riebesctl. (24.)

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Die^Rcchnungiarfen'mU aHgemelnen Zah^ ^°°°0 Wol» "Än"⁶' Bande-len. Von H.Wielei tner. 2. Ausl. (Bd.7.)    G. Wölfl.

Einführung ln die Infinitesimalrechnung. Der Goldene Schnitt Von H.E.Timerding. Von A. Willing. 2. Ausl. 1: Die Dille- (Bd. 32.)

rentlal-, Il.Die lntegralrechnung.(Bd.9 u.41.) Beispiele zur Geschichte der Mathematik. Von Wahrscheinlichkeitsrechnung. V.O. Me iß- A. Willing und M. Gebhard. (Bd. 15.) ner. 2.Auflage. 1: Grundlehren. (Bd.4.) Mathematiker-Anekdoten. Von W. Ährens. II: Anwendungen. (Bd. 33.)    2. Ausl. (Bd. 18.)

Vom periodischen Dezimalbruch zur Zahlen- Die Quadratur d. Kreises. Von E. Beutel, theorie. Von A. Leman. (Bd. 19.)    2. AnfL (Bd. 12.)

Der pythagoreische Lehrsatz mit einem Aus- Wo steckt der Fehler? VonW.Lietzmana blick auf das Fermatsche Problem. Von und V. Trier. 2. Ausl. (Bd. 10.)

W. Lietzmann. 2. Ausl. (Bd. 3.)    Geheimnisse der Rechenkünstler. Von Ph.

Darstellende Geometrie d. Geländes u. verw. Macnnchen. 2. Ausl. (Bd. 13.) Anwend. d. Methode d. kotiert. Projektionen. Abgekürzte Rechnung. Von A. Witting. Von R. Rothe 2., verb. Ausl. (Bd. 35/36.) (Bd. 47.)

Methoden zur Lösung geometrischer Auf- Riesen und Zwerge im Zahlenreiche. Von gaben. Von B. Kerst. (Bd. 26.)    W. Lietzmann. 2 Aull (Bd 25.)

Einführung ln die projektive Geometrie. Von Die mathematischen Grundlagen derLebens-M. Zacharias. 2. Ausl. (Bd. 6.)    Versicherung. Von H. Schütze. (Bd. 46.i

Konstruktionen in begrenzter Ebene. Von Die Fallgesetze. Von H. E. Tim er ding. P. Zühlke. (Bd. 11.)    2. Ausl. (Bd. 5.)

Nichteuklidische Geometrie ln der Kugel- Atom-und Quantentheorie. Von P. Kirchebene. Von W. Dieck. (Bd. 31.)    berger. (Bd. 44/45.)

Einführung in die Trigonometrie. Von A. lonemheorie. Von P. Bräuer. (Bd.38.) Witting (Bd. 43)    Das Relativitätsprinzip. Leichtfaßlich ent-

Einführungi.d.Nomographle. V.P.Luckey. wickelt von A. Anger sbach. (Bd.39.) I.Die Funktionsleiter (28.) Il.Die Zeichnung Dreht sich die Erde? VonW.Brunner. (17.) als Rechenmaschine. (37.)    Theorie der Planetenbewegung. Von P.

Theorie und Praxis des logarlthm. Rechen-    Meth. 2., umg. Ausl. (Bd. 8.)

Schiebers. V.A.Rohrberg. 2. Aufl.(Bd.23.) Beobachtung d. Himmels mit einfach. Instru-Die Anfertigung mathemat. Modelle. (Für menten. Von Fr. Rusch. 2 Ausl. (Bd. 14.) Schüler mittl. KL) VonK.GiebeL (Bd.16.) Mathem. Streifzüge durch die Geschichte der Karte und Kroki. Von H. Wolfs. (Bd.27.) Astronomie.VonP.Kirchberger.(Bd.40.)

In Vorbereitung bzw. unter der Presse*: Doehlemann, Mathematik und Architektur. *Kerst, Einführung in die Planimetrie. Winkelmann, Der Kreisel. Wolfs, Feldmessen und Höhenmessen. Witting, Graphische Darstellung.

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Bisher erschienen:

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psychologisches Wörterbuch von Privatdozent Dr. Zrih Giese. (Bd. 7.) geb. M. 32-

Wörterbuch zur deutschen Literatur von Studienrat Dr. y. Röhl. 05b. 14.) geb. M. 36—

^MusikalischesWörterbuch vonprlvatdoz. Dr.Z.tz.Moser. (Bd. 12.) ^Wörterbuch zur Kunstgeschichte von Dr. tz.VoUmer. phyfLkalischesWörterbucho.prof.Dr.G.Berndt.(Bd.5.)geb.M.36.-*Chemisches Wörterbuch von privatdozent Dr.tz.Aemh. (Bd.)0.) ^AstronomifchesWörterbuch v. Observator Dr.tz.A a u m ann. (Bd.) I.) Geologisch-mineralogisches Wörterbuch von Dr. C. W. Schmidt. 05b. 6.) geb. M. 36.-

GeographischesWörterbuch v.prof.Dr.O.K ende. l.Allgem. Erdkunde. (Bd.s.) geb.M. 36.—. *II.Wörterbuch d.Länder-u.Wirtschastskunde. () 3.) Zoologisches Wörterbuch von Dir. Dr. Th. Knottnerus-Meher. (2.) geb. M. 32.-

Botauisches Wörterbuch von Dr. O. Gerte. (Bd. |.) geb. M. 32.-Wörterbuch der Warenkunde von Pros. Dr. M. pietsch. Md. 3.) geb.M. 36.—

Handelswörterbuch von handelsschuldir. Dr. 33. Sittel u.Zustizrat Dr.TU. Strauh. Zugleich fünssprachiges Wörterbuch, zusammengestellt von D. Arm haus, verpfl. Dolmetscher. (Bd. 9.) geb. M. 36.—

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