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Nus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

431. Bändchen

Ebene Trigonometrie

Mm Selbstunterricht

Von

Paul Crantz

Professor am Askanischen Gymnasium ?u Berlin

Zweite Auflage

Mit 50 Aguren im Text

Verlag und Druck von B.G.Teubner in Leipzig und Berlin 1918

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Schutzformel für die vereinigten Staaten von Amerika: Copyright 1918 by B. 0. Teubner in Leipzig.

Alle Rechte, einschließlich der Übersetzungrrechts, vorbehalten.

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Vorwort zur ersten und zweiten Huftage.

Die freundliche Aufnahme, welche meine für den Selbstunterricht bestimmten Bändchen über einzelne Gebiete der Elementarmathematik gefunden haben, hat mich veranlaßt, auch die Trigonometrie für denselben Zweck zu bearbeiten. Ich habe wieder versucht, den Stoff möglichst einfach und leicht verständlich zu behandeln und durch zahlreiche Beispiele, die vielfach den Anwendungen der Trigonometrie angehören, zu erläutern.

Berlin-Friedenau, Januar 1918.

P. Crantz.

Inhalt.

Seite

ui cn

26

35

37

42

50

53

Seite

58

60

62

63

72

84

(Erster Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen und die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.

§ 1. (Einleitung.......

§ 2. Das Messen. Maßzahl und

Verhältnis......

§ 3. Beziehungen zwischen den Seiten und winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks § 4. Der Sinus eines Winkels § 5. Der Tangens eines Winkels § 6. Der Kosinus und der Kotangens eines Winkels . 21 § 7. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ........

§ 8. DieBestimmung eineswin-kels aus einer Gleichung zwischen seinen Funktionen 28 § 9. Verwandlung der Funktionen eines Winkels in Funktionen des halben Winkels 30 § 10. Berechnung geradliniger Figuren, die sich in kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen ... 33

Zweiter Abschnitt.

Die Funktionen stumpfer Winkel und die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

§ 11. Vorbemerkungen.... 35 §12. Die Funktionen stumpfer

Winkel.......

§13. Der Sinussatz.....

§ 14. Die Mollweideschen Gleichungen und der Tangentialsatz ........

§15. Inkreis. Ankreise und Inhalt des Dreiecks. ... 45 § 16. Die Berechnung der Winkel des Dreiecks durch die

Seiten.........

§17. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz und der Kosinussatz......

§18. Berechnung eines Dreiecks mit Benutzung von

Hilfsdreiecken.....

§ 19. Aufgaben, die durch die Beziehungen zwischen den Dreiecksstücken auf einfachere zurückgeführt werden können......

Dritter Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel und die graphische Darstellung der Funktionen.

§ 20. Winkel von beliebiger

Größe ........

§ 21. Das rechtwinklige Koordinatensystem .....

§ 22. Erklärung der trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel .... 65 § 23. Die werte der Funktionen beliebiger Winkel 67 § 24. Die Bestimmung der Winkel durch Bogenmaß. Graphische Darstellung der Funktionen.....

vierter Abschnitt.

Die Additionstheoreme und ihre Anwendung.

§ 25. Formeln f. d. Funktionen einer Summe oder Differenz von winkeln ... 75 § 26. Formeln für die Summe

zweier Funktionen ... 78 § 27. Anwendungen der Additionstheoreme .....80

§ 28. Die trigonometrische Landesaufnahme .....

§ 29. Die Bestimmung der Dreiecksstücke durch die Winkel und den Radius des Umkreises. .

§ 30. Die Lösung trigonometrischer Aufgaben durch r und die Winkel ... 92

Erster Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen und die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke.

§ l. (Einleitung.

Line wichtige praktische Anwendung findet die Mathematik bei der Bestimmung nicht unmittelbar meßbarer Entfernungen und höhen. Die erste berühmte Anwendung dieser Art machte Thales (um 560v. Ehr.), als er mit Hilfe der Tatsache, daß im gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel einander gleich find, und ihrer Umkehrung die höhe einer ägyptischen Pyramide aus ihrem Schatten bestimmte (vgl. Planimetrie *) § 16,4). Auch dieRongruenzsätze gestatten die Ermittlung unzugänglicher Entfernungen auf der Erde, hierbei sind aber stets von den Dreiecken, in denen die zu bestimmende Entfernung eine Seite ist. einige Stücfe zu messen, und dann ist ein Dreieck, das dem, in welchem die zu ermittelnde Strecke sich befindet, kongruent ist, abzustecken (vgl.pla-nimetrie §17,11). Aus diesem Dreieck wird dann die gewünschte Länge durchMessung bestimmt. Diese Art der Entfernungsbestimmung setzt aber voraus, daß ein ebenes Gelände zur Absteckung des zweiten Dreiecks vorhanden ist.

Der pythagoreische Lehrsatz gab zuerst die Möglichkeit, ohne Zeichnung nur nach der Bestimmung der Länge zweier Strecken durch Messung eine gesuchte Entfernung durch Rechnung zu ermitteln (vgl. Planimetrie § 32,7). Die Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes war nicht mehr möglich, wenn es sich um die Bestimmung einer höhe handelte, da in diesem Falle stets nur eine Rathete des rechtwinkligen Dreiecks, in dem die höhe die zweite Rathete war, gemessen werden konnte.

Es bedeutete daher einen großen Fortschritt, als man die Abhängigkeit der Seiten eines Dreiecks von den Winkeln, wie sie in der Ahn -lichkeitslehr e behandelt wird, gefunden hatte. Run war es möglich, höhen von Türmen, Felswänden usw., selbst solcher, an deren Fuß man nicht gelangen konnte, zu bestimmen, auch Entfernungen zu ermitteln,

1) vgl. Erantz, Planimetrie zum Selbstunterricht (ARuG Bö. 340).

ohne große und umständliche Konstruktionen auszuführen, wie sie die Kongruenzsätze verlangt hatten (vgl. Planimetrie § 41). Rber immer noch war ein dem gegebenen Dreieck ähnliches Dreieck in verkleinertem Maßstabe herzustellen und in diesem waren Längenmessungen vorzunehmen. hierin liegt ein großer Nachteil dieser Methode. Kleine Fehler der Messung und Zeichnung, die nicht zu vermeiden sind, wachsen bei dem Grade der Verkleinerung, der angewendet werden muß, zu bedeutenden Fehlern an.

3n der Astronomie stellte sich vor allem die Notwendigkeit heraus, nach anderen Methoden zu suchen, wir verdanken daher neue Mittel und Wege, die bei der Berechnung der Dreiecke angewendet werden können, dem großen Astronomen des Altertums Claudius ptolemaeus (etwa 150 n. Chr.). Cr entwickelt in der zweiten Hälfte des ersten Buches seines Al mag eft die zur Astronomie nötigen Elemente der Dreiecksberechnung. Bemerkt sei nur noch, daß man die Lehre von der Berechnung der Dreiecke nach einem der griechischen Sprache entlehnten Worte Trigouometrie.nennt. Dieses Wort ist zusammengesetzt aus dem Substantiv TQLycovov (trigonon), das Dreieck, und dem Verbum vlexquv (metrein), welches „messen" bedeutet. Die zur Berechnung der Dreiecke eingeführten Größen nennt man die trigonometrischen Funktionen.

§ 2. Das Messen. Matzzahl und Verhältnis.

L Das Messen. Line gegebene Strecke messen heißt eine zw eite Strecke von festgesetzter Länge (die Maßeinheit) auf ihr von dem einen Endpunkte bis zu dem anderen so oft abtragen, wie es geht, und dann angeben, wie oft das Abtragen möglich war.

Die Zahl, welche angibt, wie oft das Abtragen möglich war, heißt die Matzzahl derStrecke für die gewählteLängen-einheit.

Ist AB = a (Fig. 1) die zu messende Strecke und CD = e die Maßeinheit, so ist, wie man aus der Figur erkennen kann, die Maßzahl gleich 4. Cs ist also a = 4 - e.

Allgemein ist, wenn a die zu messende Strecke, e die Maßeinheit B und n die Maßzahl ist, a = n e.

5ig. 1.

Aus dieser Gleichung folgt: a

n = -

Man kann also die Maßzahl durch einen Bruch darstellen, dessen Zähler die 5trecke ist, die gemessen werden soll, und dessen Nenner die Maßeinheit ist, mit der man die Messung ausführt.

2. Kbhängigkeit der Matzzahl einer Strecke von der Matzeinheit.

wenn man dieselbe Strecke mit verschiedenen Maßeinheiten mißt, so findet man auch verschiedene Maßzahlen. Ist z. B. eine Maßeinheit doppelt so groß wie eine zweite, so findet man für die erste Maßeinheit eine Maßzahl, die nur halb so groß ist wie die Maßzahl für die zweite Maßeinheit.

Die Maßzahl einer Strecke ist abhängig von der gewählten Maßeinheit, und zwar ist sie um so kleiner, je großer die Maßeinheit ist.

will man durch die Maßzahlen von Strecken ein Mittel haben, die Längen der Strecken miteinander zu vergleichen, so muß man entweder überall dieselbe Maßeinheit beim Messen benutzen, oder man muß die Beziehungen kennen, welche zwischen den zur Ausmessung benutzten Maßeinheiten bestehen.

5. Das Verhältnis, wenn man zwei beliebige Strecken a und b mit irgendeiner Maßeinheit, die durch e bezeichnet werden möge, mißt und die gefundenen Maßzahlen mit n bzw. m bezeichnet, so bestehen die Gleichungen a -- n-e und b = m-e. Durch Division findet man hieraus die Gleichung

b m

Den auf der rechten Seite dieser Gleichung stehenden Bruch der eine

unbenannte Zahl ist, nennt man das Verhältnis der beiden Strecken a und b. Man hat also die

Erklärung: Unter dem Verhältnis zweier Strecken versteht man den (Quotienten ihrer Maßzahlen.

hätte man die Strecken a und b mit einer anderen Maßeinheit, etwa elt gemessen, die mit der zuerst genommenen Maßeinheit durch die Gleichung e = q • e₁ verknüpft ist, so hätte man a = n • q • e1 und b = m-q-e₁ gefunden, hieraus hätte man durch Division wieder

die Gleichung ^ erhalten. Man erkennt hieraus:

Das Verhältnis zweier Strecken ist unabhängig von der zur Ermittlung ihrer Matzzahlen gewählten Maßeinheit, also eine unveränderliche Größe.

selbstverständlich ist, daß zur Bestimmung des Verhältnisses zweie Strecken durch Division ihrer Maßzahlen beideStrecken stets mit derselbe Maßeinheit gemessen sein müssen.

§ 3. Beziehungen zwischen den Seiten und winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks.

wie aus der Ahnlichkeitslehre bekannt ist, nennt man zwei Dreieck einander ähnlich, wenn

erstens: die Winkel beider Dreiecke einander gleich find,

zweitens: die Verhältnisse entsprechender Zeiten d. h. solcher Setter die gleichen Winkeln gegenüberliegen, einander gleich sind.

In den vier Ahnlichkeitssätzen sind die Eigenschaften zweier Drei ecke angegeben, aus denen man den Schluß ziehen kann, daß die beide Dreiecke einander ähnlich sind.

Besonders einfach sind die Bedingungen, aus denen man die Ahn lichkeit zweier rechtwinkligen Dreiecke folgern kann, da dies Dreiecke stets in dem einen rechten Winkel übereinstimmen müssen. Mi Benutzung des zweiten Ahnlichkeitsfatzes findet man den

Lehrsatz: Alle rechtwinkligenDreiecke, die in einem spitzei Winkel übereinstimmen, sind einander ähnlich.

Da in ähnlichen Dreiecken die Verhältnisse entsprechender Seitei einander gleich sind, so folgt hieraus:

Durch die Größe einer spitzen Winkels in einem rechtwinkliger Dreieck sind die Verhältnisse der Seiten der Dreiecks eindeutig be stimmt.

Auf Grund des ersten und des vierten Ahnlichkeitsfatzes findet mar ferner den

Lehrsatz: Alle rechtwinkligen Dreiecke, die im Verhältnis zweier Seiten übereinstimmen, sind einander ähnlich.

Die Ähnlichkeit der Dreiecke folgt nach dem ersten Ahnlichkeitssatz wenn das Verhältnis der Ratheten in beiden Dreiecken dasselbe ist sie folgt nach dem vierten Ahnlichkeitssatz, wenn das Verhältnis bei Hypotenuse und einer Rathete in beiden Dreiecken denselbenwert besitzt

Da in ähnlichen Dreiecken die entsprechenden Winkel einander gleich sind, so ergibt sich hieraus:

Durch die Größe der Verhältnisses zweier Seiten einer rechtwinkligen Dreiecks sind die Winkel der Dreiecks eindeutig bestimmt.

Der soeben ausgesprochene Satz gibt die Möglichkeit, die Große eines jeden spitzen Winkels, aber nur eines solchen, dadurch zu

stimmen, daß man ihn als den einen spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet und nun angibt

5ig. 2.

CL

erstens: die Größe des Verhältnisses zweier Seiten dieses rechtwinkligen Dreiecks,

oc

zweitens: die Lage des Winkels zu den beiden gewählten Seiten.

Bezeichnet man in einem rechtwinkligenDrei- ^ id ABC ($ig. 2) die Seiten mb Winkel, wie es in der Figur an-zegeben ist, so kann man zur Bestimmung des Winkels a jedes der echs Verhältnisse lenutzen. In welcher weise dies geschehen ist, soll nun im folgenden auseinandergesetzt werden.

§ 4. Der Sinus eines Winkels.

\. Erklärung der Sinus. Zunächst benutzen wir zur Bestimmung >es spitzen Winkels cc von den sechs Verhältnissen, die am Ende des wrigenparagraphengenanntfind,nur dasverhältnis a:c, d.h.das lerhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse. Kirnt nennt dieses Verhältnis aus Gründen, die später (§22,1) ausgeben werden, den Sinus des Winkels a und hat daher die folgende Erklärung: Unter dem Sinus eines spitzen Winkels in einem echtwinkligen Drei eck versteht man das Verhältnis der dem Vinkel gegenüberliegenden Kathete zur Hypotenuse.

Klan schreibt:

.    a

8in «    .

c

Gesprochen wird dies: „Sinus a gleich a urch c".

2. Eigenschaften des Sinus. Da in jedem echtwinkligen Dreieck die Hypotenuse stets roßer ist als die Kathete, so folgt als erste igenschaft der Sinus:

Der Sinus eines Winkels ist stets A einer als eins.

Beschreibt man mit der Hypotenuse c des rechtwinkligen Dreiecks B C (Fig. 3) um A den Kreis, läßt nun den Winkel a sich ändern rtb konstruiert für jeden neuen Winkel ccx das rechtwinklige Dreieck,

5ig. 3.

CL₁

CL

cf c

indem man vom Schnittpunkt B₁ seines Schenkels mit dem Kreise die Senkrechte auf AC fällt, so erkennt man, daß der Sinus eines Winkels sich ändert, wenn der Winkel sich ändert. EsbleibtnämlichindemBruche, der den Wert des Sinus angibt, der Nenner ungeändert, während der

Zähler stets andere werte annimmt. In Fig. 3 ist sin a = ~ und sin = y • XKIan nennt nun eine Große, die mit einer zweiten Größe so verknüpft ist, daß sie sich ändert, wenn die zweite Große anderewerte annimmt, eine Funktion dieser zweiten Größe, hiernach erkennt man:

Der Sinus eines Winkels a ist eine Funktion von cc.

Da man den Sinus zur Berechnung von Dreiecken benutzt, hat man die Sinusfunktion eine trigonometrische Funktion genannt.

Man erkennt aus der oben angestellten Betrachtung auch leicht die Hrt, wie der Sinus eines Winkels sich ändert, wenn der Winkel andere werte annimmt. (Es gilt für diese Änderung der folgende Satz:

Der Sinus eines Winkels wächst, wenn derwinkel wächst, und nimmt ab, wenn der Winkel abnimmt.

\/c

5. Konstruktion einer Winkels mit Hilfe der Sinus. Es ist leicht, wenn das Verhältnis a: c oder sin a in Zahlen gegeben ist, mit Hilfe des c gegebenen Zahlenwertes den Winkel a geome-

— irisch zu konstruieren. Ist z. B. sin a -----~, so zeichnet man eine Gerade (Fig. 4) und errichtet aus

5ig. 4.

-----D ihr in einem beliebigen Punkte C die Senkrechte.

Huf dieser Senkrechten trägt man dann eine beliebige Strecke n von C aus nach oben dreimal hintereinander ab bis B und nach unten zweimal (5 — 3 = 2) hintereinander ab bis D. hierauf beschreibt man mit BD um B den Kreis, der die Gerade in A treffen möge. verbindet man nun A mit B, dann ist Winkel ABC der Winkel cc. Es ist nämlich

sin cc =

BC BC AB " BD

Nach der soeben ausgeführten Konstruktion ist auch die Konstruktion für jeden anderen Zahlenwert des Sinus klar. Ist der Sinus als Dezimalbruch gegeben, so hat man vor der Konstruktion den Dezimalbruch in einen gewöhnlichen Bruch zu verwandeln.

4. Bestimmung der Matzzahl einer Winkels mit Hilfe der Sinus.

Man könnte, nachdem die Konstruktion eines Winkels mit Hilfe des Sinus ausgeführt ist, nun die Größe des Winkels durch Messung in der konstruierten Figur ermitteln. Diese Bestimmung würde aber umständlich sein und durch Ungenauigkeiten bei der Konstruktion und bei der Messung fehlerhaft werden. (Es muß daher nach einem Mittel gesucht werden, wie man aus dem gegebenen wert für den Sinus von cc die Große von cc in anderer weise finden kann. Man ist hierzu den folgenden weg gegangen. Zuerst hat man für Winkel von bekannter Maß-zahl o? den wert ihres Sinus ermittelt, dann hat man diese Sinuswerte in einer Tabelle, wie etwa die folgende, zusammengestellt:

37° | Sinus [| 57°

Sinus

0'    0,6018    20'    0,6065

10'    0,6041 || 30'    0,6088

(Eine solche Tabelle, die sich in jeder Logarithmentafel findet, benutzt man dann nicht nur, um die Sinus gegebener Winkel daraus abzulesen, sondern auch umgekehrt zu der Aufgabe, aus dem gegebenen wert eines Sinus den zugehörigen Winkel zu ermitteln. Ist z. B. sin a ----- 0,6065 gegeben, so findet man aus obiger Tabelle a ----- 37°20'.

(Es kommt also zunächst darauf an, für die einzelnen Winkel die werte ihrer Sinus zu bestimmen.

aVS

Die ebengenannte Aufgabe ist nur einfach ausführbar für Winkel von 45°, 30° und 60°. Zur Bestimmung von sin 45° benutzt man ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck (Fig. 5). Bezeichnet man in diesem Dreieck die Ratheten durch a, dann ist die Hypotenuse d\2, und man findet nach der Erklärung des Sinus:

60°

/45°

sin 45° ----- ~ a a}/2

*o! 8

5ig. 6.

5ig. 5.

Um sin30° und sin 60° zu bestimmen, benutzt man ein gleichseitiges Dreieck (Zig. 6), in welchem man die höhe fällt. Ist die Seite des Dreiecks gleich a, dann sind die Abschnitte, in welche die höhe die Seite,

auf die sie gefällt ist, teilt, gleich |, und die höhe selbst ist jY's. Man findet daher:

t©3 Hk

sin 30° =

2^3'

und sin 60° = —=    T/3.

Cs lassen sich in dieser weise mithilfe des Bestimmungsdreiecks des regelmäßigen Zehnecks, dessen Schenkel gleich r, und dessen Basis gleich

2 (T/5 — l) ist, auch noch die werte von sin 18° und sin 72°

geben. Damit ist dann aber die Reihe der Winkel erschöpft, deren Sinus man auf so einfache Rrt bestimmen kann. Die höhere Mathematik besitzt in unendlichen Reihen Hilfsmittel, durch die man in verhältnismäßig kurzer Zeit die werte der Sinus aller Winkel auf eine größere Rnzahl von Dezimalstellen ermitteln kann. In dieser weise sind die in den Logarithmentafeln stehenden Tabellen berechnet worden, hier kann auf diese Berechnung nicht eingegangen werden.

5. Graphische Bestimmung der werte der Sinus. Durch eine Zeichnung ist man imstande, die werte der Sinus annähernd zu bestimmen. Man beschreibt um den Scheitel 0 eines rechten Winkels

(5*9- 7), den man am besten auf Millimeterpapier zeichnet, mit dem Radius r = 10 cm = 100 mm den Kreis.*) Die Schnittpunkte dieses Kreises mit den Schenkeln des Winkels seien A und B. hierauf teilt man den Kreisquadranten AB nach Rrt eines Transporteurs in 90 gleiche Teile. Numeriert man diese Teile von A an, so bezeichnet die Num-merjedesTeilpunk-tes die Rnzahl der Grade des Winkels, den die Linie von 0 nach betn betreffenden Punkt mit OA bildet, wie es vom Transporteur

an-

Qr

SSß

!!

------

5ig. 7.

i:

*) 3n Fig. 7 und Fig. 14 sind wegen des Formats des Buches 2 mm durch 1 mm dargestellt.

bekannt ist. Fällt man nun von den Teilpunkten die Senkrechten auf OA, so erhält man den Sinus des durch die Gerade nach dem Teilpunkt bestimmten Winkels, wenn man die Länge der Senkrechten in Millimetern bestimmt und die gefundene Maßzahl durch 100 dividiert. Der Grund hierfür ist an dem folgenden Beispiel leicht einzusehen. Das von dem Punkte C, bei dem 70° steht, auf die Gerade OA gefällte Lot CCj ist, wie man durch Messung findet oder auf dem Millimeterpapier ablesen kann, 94 mm lang. Nach der Erklärung des Sinus ist nun in dem rechtwinkligen Dreieck OCCv in welchem nach der Figur Winkel COC^ 70° ist,

sin70°= OC=WO = 0'94-

6. Die Logarithmen der Sinus. Gewöhnlich werden die Dreiecksberechnungen mit Hilfe der Logarithmen ausgeführt. Man findet daher in allen Logarithmentafeln ausführlich nicht die werte des Sinus, wie sie in der obigen Tabelle stehen, angegeben, sondern die Logarithmen dieser werte. Ein Bruchstück einer solchen Tafel findet sich Seite 10.

Zu der Einrichtung dieser Tafel sei das Folgende bemerkt. Über der Tafel stehen die Grade des Winkels, in der ersten mit Min. über-fchriebenen vertikalreihe die zu dem Winkel gehörenden Minuten. Man findet dann in der neben den Minuten stehenden, mit Sinus über-schriebenen Spalte in gleicher höhe mit der Minutenzahl den Logarithmus des Sinus des Winkels. Für das richtige Ablesen dieses Logarithmus ist aber noch eine Erklärung zu geben. Da die werte aller Sinus stets kleiner als eins sind (vgl. 1), so erscheinen sie, wenn- sie durch einen Dezimalbruch angegeben werden, stets in der Form 0,.... Die Logarithmen solcher Dezimalbrüche besitzen nun aber stets die Kennziffer 0,.... — n. Man hat daher, um nicht stets den negativen Teil des Logarithmus mit angeben zu müssen, die Tafeln so eingerichtet, daß man stets 10 von der in den Tafeln stehenden Zahl subtrahieren muß, um den richtigen Logarithmus zu erhalten. Findet man z. V. in der Tabelle bei 37°2' die Zahl 9,77980, so ist

log sin37°2'= 9,77980 - 10.

3n dieser Form läßt man dann auch den Logarithmus bei den Berechnungen stehen.

Die Logarithmentafeln sind weiter so eingerichtet, daß die Anzahl der Grade nur vvn 0° bis 44° oberhalb der Tabelle steht, von 45° an steht die Grundzahl unter der Tabelle. Die zu diesen winkeln ge-

hörenden Minuten stehen dann in der Tabelle auf der rechten Seite und werden von unten nach oben gezählt, während die Logarithmen der Sinus sich in der Spalte befinden, unter der Sinus steht. (Es ist also log sin 52° 11' = 9,89761 - 10.

37 Grad

Min.

sin

Diff.

tng C. D.

cot

| Diff. |

cos

o oo ;cn>£*wt>jN-»o

8SSS2 S68S8:1 I l-SSSSje

9,77946

9.77963

9,77980

9,77997

9,78013

9,78030

9,78047

9.78063

9,78080

9,78097

9,78113

9,78130

9,78147

9,78163

9,78180

9,78707

9.78723

9.78739

9,78756

9,78772

9,78788

9,78805

9,78821

9,78837

9,78853

56    9,78869

57    9.78886

58    9,78902

59    9,78918

60    9,78934

cos

17

17

17

16

17

17

16

17

17

16

17

17

16

17

16

16

17

16

16

17

16

16

16

9,87711

9,87738

9,87764

9,87790

9,87817

9.87843

9,87869

9,87895

9,87922

9,87948

9,87974

9,88000

9,88027

9,88053

9,88079

9,88916

9,88942

9,88968

9,88994

9,89020

9,89046

9,89073

9.89099

9,89125

9,89151

17    9,89177

16    9,89203

16    9.89229

16    9,89255

9,89281

| Diff.

cot

27    10,12289

26 10,12262 26    10,12236

10,12210

26    10,12183

26    10,12157

26    10,12131

₂₇    10,12105

26    10,12078 10,12052

₂₆ 10,12026

27    10,12000

10,11973 26    10,11947

10,11921

27

26 ;

10    9,90235

9    9,90225

10    9,90216

₉    9,90206

10    9,90197

₉    9,90187

10    9,90178 9,90168

io 9,90159 io 9,90149

₉    9,90159

10    9,90130

₉    9,90120

10    9,90111 0,90101

26    10,11084

26    10,11058

10,11032

o₆ 10,11006

26    10,10980

07    10,10954

26    10,10927

26    10,10901

26    10,10875

26    10,10849

26

io 9,89791 io 9,89781 io 9,89771

₉    9.89761 io 9,89752

10    9,89742 io 9,89732 io 9,89722 io 9,89712

9    9,89702

10,10719

26

9,89693

9,89683

9,89673

9,89663

9,89653

mmmmm I I I    cncncncjiui cncncnmcno

00 h- vo iß

| C.D. | tng

Diff.

sin

Min.

52 Grad

Man schlage in der Logarithmentafel auf log sin 24°15' = 9,61354

-    10, logsin 58°43'= 9,93177 - 10, logsin 3°54' = 8,83261

-    10 usw.

Bemerkung. Sind Bruchteile der Minute gegeben, so interpoliert man ähnlich wie bei dem Aufschlagen der Logarithmen gewöhnlicher Zahlen. Soll 3. B. log sin 37° 9,4' aufgeschlagen werden, so macht man folgende Überlegung: (Es ist logsin37°9'= 9,78097 — 10, ferner ist log sin 37° 10'= 9,78113 — 10. wächst also der Winkel um eine Minute, so wachsen die letzten Ziffern des Logarithmus des Sinus um 16 (diese Differenz der aufeinanderfolgenden Logarithmen steht in der Tafel in der Spalte hinter Sinus, die mit Diff. überschrieben ist). Nun schließt man weiter: wächst der Winkel, wie in unserem Falle, um 0,4', so wachsen die letzten Ziffern des Logarithmus um 0,4 16 = 6,4 oder 6. Der genauere wert für logsin 3709,4 ist also 9,78103

-    10.

Beispiele: log sin 42°37,5'= 9,83072 — 10; log sin 71°58,6' = 9,97815 — 10; log sin 22°24,7'= 9,58122 - 10.

Mit Hilfe der Tabelle für die Logarithmen des Sinus kann man nun auch zu jedem gegebenen wert für den Logarithmus eines Sinus den zugehörigen Winkel finden. Man sucht den gegebenen Logarithmus in der Tafel in der Spalte auf, über der oder unter der Sinus steht. Steht die Zahl in der Tafel in der Spalte, über der Sinus steht, so stehen die Grade des Winkels oben und die Minuten links in derselben Reihe mit der gegebenen Zahl. Ist logsin cc = 9,78063 — 10, so findet man cc = 37° 7'. Steht die Zahl in der Tafel in der Spalte, unter der Sinus steht, so stehen die Grade des Winkels unten und die Minuten rechts. Rus log sin cc = 9,89712 — 10 findet man « = 52°6'.

Man bestimme mit Hilfe der Tafel cc aus den folgenden Gleichungen log sin « = 9,40490 - 10 (cc = 14°43'), log sin = 9,86116—10 (cc = 46°35'), log sin <* = 8,88654 - 10 (cc = 4°25').

Bemerkung. Steht die gegebene Zahl nicht in der Tafel, wiez.B., wenn gegeben ist log sin cc = 9,78088 —10, so sucht man in der Tafel die nächst kleinere Zahl aus, in unserem Falle also 9,78080 — 10. Für diese Zahl findet man a=37° 8'. Nun interpoliert man in folgender weise: wachsen die letzten Ziffern des in der Tafel stehenden Logarithmus (9,78080 — 10) um 17 (Differenz mit der nächst höheren Zahl), so wächst der Winkel um eine Minute; wachsen die letzten Ziffern

um eins, so wächst der Winkel um ~ Minute, wachsen die letzten

Ziffern um 8 (Differenz mit der gegebenen Zahl), so wächst also der Winkel um ^ = 0,47 oder 0,5 Minuten. Der genauere wert für a ist demnach a ----- 37°8,5'.

Beispiele: log sin « = 9,68270 - 10 (a = 28°47,4'); log sin = 9,90352 - 10 (<* = 53° 12,3'); log sin « = 9,54084 - 10 (« = 20° 19,7').

7. Berechnung rechtwinkliger Dreiecke. Smö von einem rechtwinkligen Dreieck zwei voneinander unabhängige Stüde gegeben, so kann man mit Hilfe des Sinus alle übrigen Stücke berechnen. Man hat nur die beiden gegebenen Stücke mit einem der gesuchten Stücke durch eine Gleichung zu verknüpfen, die man auf Grund der Erklärung des Sinus aufstellen kann. Nur in zwei Fällen gelingt dies nicht unmittelbar, nämlich erstens, wenn ein Winkel und die dem Winkel anliegende Rathete gegeben sind, und zweitens, wenn die beiden Ratheten bekannt sind. 3m ersten Falle hilft man sich dadurch, daß man zunächst den zweiten spitzen Winkel des Dreiecks bestimmt, im zweiten Falle berechnet man zuerst mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes die Hypotenuse, wie man, um diese Rechnungen zu vermeiden, neue trigonometrische Funktionen eingeführt hat, wird an späterer Stelle (§ 6,1 und § 5,9) auseinandergesetzt werden. Zunächst sei die Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks an zwei Aufgaben klargemacht.

Aufgabe 1: 3n einem rechtwinkligen Dreieck ist der eine spitze Winkel a ----- 36°24' und die Hypotenuse c ----- 68,54 cm. wie groß sind ßf a und b?

II.

a

sin a = c ; a = c sin a

log a = log c + log sin a log c — 1,83594 log sin K ----- 9,77336 - 10 log a = 11,60930 — 10 a = 40,673 cm.

Lösung: I. ß = 90° — a

90° = 89°60' a ----- 36°24'

~ ß ----- 53° 36'

III. Zur Berechnung von b bietet sich ein doppelter weg dar:

a) Berechnung von b durch Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes.

&² = c² — a“ == (c + a) • (c — a).

2 log b ----- log (c + a) + log (c — a).

log (c + a) = 2,03 827 log (e - a) ----- 1,44 509 " 2 logfr = 3,48336 log b==xs 1,74168 b = 55,168 cm.

b) Berechnung von b durch Benutzung des Sinus des Winkels ß. smß = y; 6 — c • sin ß.

c = 68,54 a = 40,673

c + a - 109,213 c — a = 27,867

log & = log c + log sin ß. log c = 9,83594 log sin ß = 9,90574 - 10

log fr = 11,74168 - 10; fr - 55,168 cm.

Aufgabe 2: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete ^ a = 587,6 cm und die Hypotenuse c = 988,4 cm. wie groß sind die Winkel und die andere Kathete?

I. sin cc = log sin cc = log a — log c.

10

loga = 12,76908

log c = 2,99 493 __

log sin cc = 9,77415 - 10,' a - 36°28,9'.

II.    ß = 90°—«; ß = 53°31,l'.

III.    sin ß “ ~r;

fr = c • sin 0.

log fr = log c + log sin jS. loge = 2,99 493 log sin ß= 9,90 528 - 10

log fr = 12,90 021 - 10; fr = 794,72 cm.

Hufgabe3: Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist a = 36,74 cm und der ihr gegenüberliegende Winkel a = 25°50'. wie groß sind die - Hypotenuse und die zweite Kathete? (c = 84,314 cm, fr = 75,888 cm).

8. Praktische Anwendungen. Aufgabe 1: Auf den Gipfel eines Berges führt in gerader Linie eine Drahtseilbahn von 856 m Länge, die unter dem Winkel a = 23° 15' ansteigt. Wie hoch ist der Berg? (337,90 m).

Aufgabe 2: Zwei Grte A und B, die in Luftlinie a = 12,5 km voneinander entfernt sind, sollen durch eine Elsenbahn miteinander verbunden werden. Man ist durch Vodenschwierigkeiten gezwungen,

NNuG 431: Crantz, Trigonometrie. 2. flufl.

dem Schienenstrang die Gestalt eines Kreisbogens zu geben, dessen Radius r = 8 km beträgt, wie lang wird die ^ Eisenbahn, welche beide Orte miteinander verbindet?

1)

/r

''V

5tg. 8.

Lösung ($tg. 8): Man berechnet zunächst aus dem rechtwinkligen Dreieck AMC den Winkel AMC - a mit Hilfe des Sinus. Durch diesen Zentriwinkel cc kann man nun den Vogen AD bestimmen. Er besteht nämlich, wenn b die Länge des Vogens bezeichnet, die Gleichung

b : 2nr = cc : 360,

aus der b berechnet werden kann. Zu merken ist hierbei nur, daß a nur in Graden angegeben sein darf, wäre z.V. cc = 37°25,8', so müßte man a = 37,43° setzen. — Man findet die Länge der Vahn gleich 14,347 km.

Aufgabe 3: Um ein Rad von 2r = 1,8 m Durchmesser ist ein Treibriemen gelegt, der um eine e = 2,4 m vom Mittelpunkt des Rades entfernte Achse läuft, wie lang ist der Treibriemen?

Dreieck

Losung ($ig. 9): Die Teile des Treibriemens, die nicht auf dem Rade liegen, sind Tangenten an den r Radkreis.

Man

5tg. 9.

AMB ist also bei B rechtwinklig, kann daher Winkel BAM = cc durch die

Bi

Gleichung sin a =

berechnen. Durch cc ist auch Winkel AMB bestimmt, und die Gleichung für den Sinus dieses Winkels AMB dient zur Berechnung von AB. Mit Hilfe des Winkels AMB findet man dann den Zentriwinkel BMC und kann nun, wie bei Aufgabe 2 angegeben, den Vogen BC berechnen. — Die Länge des ganzen Treibriemens ist 7,9692 m.

§ 5. Der Tangens eines Winkels.

Stg- io.

\. Höhenmessung. Bet Höhenmessungen benutzt man ein um eine horizontale Achse (A, Zig. 10) drehbares Fernrohr. Das Fernrohr wird zunächst horizontal in die Richtung AB eingestellt, will man nun einen hoher gelegenen Punkt C betrachten, so muß man das Fernrohr nach oben um einen Winkel CAB = £ drehen, den man den Llevationz-winkel oder Lrhebungrwinkel nennt. Soll dagegen ein tiefer gelegener Punkt D beobachtet werden, so mutz man das Fernrohr nach unten um den Winkel DAR = ö drehen. E Diefenwinkel nennt man den vepressiomwmkel oder Senkungrwmkel.

y'ß

hat man von einem Punkt der Ebene aus, der von dem Fußpunkt eines Turmes (einer senkrecht aufsteigenden Felswand) um die durch Messung bestimmte Strecke e entfernt ist, den Elevationswinkel £ für die Spitze des Turmes (den höchsten Punkt der Felswand) bestimmt, so ist es leicht, mit Hilfe von e und e die höhe des Turmes (der Felswand) zu berechnen. (Es ist dies eine häufig vorkommende Aufgabe, wie sie mit Benutzung der Sinusfunktion gelöst werden kann, soll im folgenden an einem Beispiel gezeigt werden.

Fig. 11.

2. Aufgabe: Die Spitze B eines Turmes CB erscheint von einem Punkt A ber (Ebene, aus welcher derTurm steht, unter dem Erhebungswinkel CAB -----

k ----- 18°45'. Der Punkt A ist um die___y'*

Strecke AC = e = 230m vom Fußpunkt A des Turmes entfernt, wie hoch ist der Turm?

Lösung (Fig. II): Da die gegebenen Größen e und e nicht durch eine Gleichung nach der Erklärung des Sinus miteinander verknüpft werden können, bestimmt man zunächst den Winkel ABC = ß. Es ist ß = 90° — £ = 71° 15'.

Run kann man mit Hilfe von ß und e zunächst die Hypotenuse AB ----- e berechnen. Es ist

sinß = c = s~ß

10

loge = 2,36173 logsin ß = 9,97652 log c = 2,38541.

2*

Nach der Bestimmung von log c findet man die gesuchte höhe des Turmes BC — h durch die Gleichung

sins «= h = C' sins.

loge = 2,38541

log sin s = 9,50710 — 10

\ogh= 11,89251 - 10; h = 78,075.

Der Turm ist also 78,075 m hoch.

Bemerkung: Man erkennt leicht, daß man bei der Lösung der eben behandelten Aufgabe die Ermittlung des Winkels ß und des loge nicht nötig gehabt hätte, wenn man unter den sechs Verhältnissen, die nach § 3 zur Bestimmung eines spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck benutzt werden können, das Verhältnis der beiden Katheten gewählt hätte. (Es ist daher — gerade wegen des häufigen Vorkommens ähnlicher Aufgaben — auch das Verhältnis der Katheten zur Bestimmung des Winkels eingeführt worden.

5. Der Tangens eines Winkels.

3tt jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die $imi$ der ihnen gegenüberliegenden Winkel.

7. Ableitung der betontsten $ortnel durch die gefundenen Formeln. Ersetzt man in der Gleichung

A. Anwendungen bei Gleichungen.

Verlag von 8. 6. üeubner m Leipzig und Berlin

ihre Technik und ihr Arbeitsfeld. Von Telegraphie.

W

5. Der Tangens eines Winkels.

Erklärung: Unter dem Tangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck versteht man das Verhältnis der dem Winkel gegenüberliegenden Kathete zur anliegenden Kathete.

tng« -----

Man schreibt:

Gesprochen wird dies: Tangens cc gleich a durch b,

Eigenschaften des Tangens. Da in einem rechtwinkligen Dreieck jede der beiden Katheten jeden beliebigen wert annehmen kann, so braucht der Tangens eines Winkels nicht wie der Sinus stets kleiner als eins zu sein. Man erkennt vielmehr:

Der Tangens eines Winkels kann jeden beliebigen wert annehmen.

5ig. 12.

cc

ot

verlängert man die Kathete CB = a eines rechtwinkligen Dreiecks ABC ($iq. 12) über B hinaus, und läßt nun den Winkel cc sich ändern, , a indem man seinen Schenkel AB um A dreht, ¹ so wird der Schenkel AB die Linie CB in einem Punkte Bx schneiden. Man erkennt aus dem neu entstehenden Dreieck ACBlt daß der Tangens eines Winkels sich ändert, wenn der

Winkel sich ändert. (Es bleibt nämlich in dem Bruche, der den Wert des Tangens angibt, der Nenner ungeändert, während der Zähler stets

andere werte annimmt, denn es ist tng a = ~ und tng at ----- y. (Es folgt hieraus:

Der Tangens eines Winkels a ist eine Funktion von a. Der Tangens ist nach dem Sinus die zweite trigonometrische Funktion.

Weiter erkennt man über die Rrt der Änderung: DerTangenseineswinkelswächst,wennderWinkelwächst. Diese letzte Eigenschaft hat also der Tangens mit dem Sinus gemein.

5.    Konstruktion eines Winkels mit Hilfe des Tangens. Ist für einen Winkel u der Zahlenwert seines Tangens gegeben, so kann man

7

ben Winkel durch einfache Konstruktion finden. Ist z. B. taget f

so zeichnet man eine Gerade (Fig. 13) und errichtet auf ihr in einem beliebigen Punkte C die Senkrechte.

Big. 13.

fQC

Ruf dieser Senkrechten trägt man dann von C aus eine beliebige Strecke p siebenmal hintereinander ab bis B und hierauf auf der Geraden von C aus viermal hintereinander dieselbe Strecke bis A. verbindet man nun A mit B, so ist L BAC = a. (Es ist nämlich

BC

7p ₌ 7    -A

4 p 4 '

6.    Ermittlung der werte des Tangens für gegebene Winkel. Für

diejenigen Winkel, für welche die Bestimmung des Sinus leicht möglich war (vgl. § 4, 4), läßt sich auch der wert des Tangens leicht angeben. So ist für das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck (Fig. 5)

-1.

tng 45° — ~

Da der Tangens mit wachsendem Winkel wächst, so erkennt man hieraus, daß der Tangens aller Winkel, die kleiner als 45° sind, kleiner als eins ist, und daß der Tangens aller Winkel, die großer als 45° find, größer als eins sein muß.

Rus dem gleichseitigen Dreieck (Fig. 6) findet man:

tng 30°

2a

2aV3

tng 60° —

al/3

-V*.

2a

5ür die Bestimmung des Tangens der übrigen Winkel ist eine umständlichere Rechnung nötig. Sie ist aber nicht so schwierig wie die Rechnung, die zur Bestimmung des Sinus vorgenommen werden mußte, Man kann nämlich die Werte von tng a mit Benutzung der für sin a ermittelten werte berechnen, wie später (§ 7, 2) gezeigt werden wird.

7. Graphische Bestimmung des Tangens. Ruch für den Tangens eines Winkels kann man ähnlich wie für den Sinus (§ 4, 5) den Zahlenwert angenähert durch eine Zeichnung bestimmen. Man stellt sich wieder einen nach Rrt eines Transporteurs geteilten Tuadrantenin einem Rreife mit dem Radius r = 10 cm = 100 mm her ($tg. 14). Dann errichtet man in R auf OR die Senkrechte und verlängert den Schenkel des Winkels, dessen Tangens man ermitteln will, bis zu dem Schnittpunkt

mit dieser Senkrechten. Bestimmt man nun die Länge der Strecke von diesem Schnittpunkt bis zu dem Punkte A in Millimetern, so erhält man den Tangens des Winkels, wenn man die gefundene Matzzahl durch 100 dividiert. Dies läßt sich in folgender Weise an einem Beispiel erklären: Es soll z. B. tng 50° bestimmt werden. Rus dem Dreieck COA, in dem, wie aus der Figur ersicht-

mm

\:9:i

II

Fia. 14.

■e

§§

lich ist, UMnfel CO A gleid) 50° ist, folgt nad) der Erklärung des Tangens:

tng 50°

1,19.

AC 119 OA 100

Vemerkung: Die Senkrechte, welche man auf dem Radius eines Kreises in feinem Endpunkte errichtet, ist Tangente des Kreises. Es ist daher die Geradeso, auf der man die werte des Tangens abliest, Tangente des Kreises um 0. Man erkennt hieraus schon den Grund, weshalb man dieser Funktion den Namen „Tangens" gegeben hat.

8.    DU Logarithmen des Tangens. In jeder Logarithmentafel findet sich neben der Spalte, in welcher die Logarithmen der Sinus der Winkel stehen, auch eine Spalte, die die Logarithmen für den Tangens der Winkel enthält. Sie ist mit Tangens überschrieben oder unterschrieben. Man vergleiche die Tabelle Seite 10. Auch bei den Logarithmen der Tangensfunktion ist, wie bei dem Sinus, von der in den Tafeln stehenden Zahl stets 10 zu subtrahieren. Da der Tangens auch werte annehmen kann, die großer als eins find, die also positive Logarithmen haben, so findet man in den Tafeln vor dem Komma bei den Logarithmen auch die Zahlen 10, 11, 12,.... Diese Logarithmen sind nach Subtraktion der 10 noch positiv.

Über das Aufschlagen der Logarithmen des Tangens und über das dabei etwa nötig werdende Interpolieren gilt genau dasselbe, was über das Aufschlagen und Interpolieren beim Sinus § 4,6 gesagt worden ist. Man schlage in der Tafel auf: tng 36°40' (9,87185 — 10), tng 72°25' (10,49908 — 10), tng 42° 17,4' (9,95885 — 10), tng54°50,7'(10,15228 — 10). Ferner bestimme man mit Hilfe der Tafeln ci aus den folgenden Gleichungen: logtng<x= 9,73 023 —10 (<x --- 28° 15'), log tng (x = 10,58 839 - 10 (<x = 75°32'), log tng <x --- 9,58730 - 10(cx = 21°8,3')r logtngcx = 10,13576 - 10 (<x = 53°48,8').

9.    vereinfachte Lösung trigonometrischer Ausgaben mithilfe des Tangens. Nach Einführung unserer zweiten trigonometrischen Funktion kann man nun die im Anfange dieses Paragraphen behandelte Aufgabe (2) weit einfacher lösen. Man setzt

h = e • tng e.

loge = 2,36173 log tng k = 9,53078 - 10

log/t =~ 11,89251 — 10; h - 78,075.

.    h

tng e = -

Auch bei der Aufgabe, aus den Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks die Winkel des Dreiecks zu bestimmen, von der § 4,7 gesprochen wurde, gestaltet sich die Lösung mit Benutzung des Tangens weit einfacher als mit Benutzung des Sinus. Dies soll an der folgenden Aufgabe, die auf beide Arten gelöst werden soll, klargemacht werden.

Ausgabe: von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die beiden Rathetena--47,56cm und b----38,72 cm. Die Winkel des Dreiecks sind zu berechnen.

Lösung mit Benutzung des Sinus:

I. c² = a² + Z>³

log b = 1,58794

2 log b = 3,17588 i>³= 1499,3

loga = 1,67724 2 log a = 3,35448 2261,9

hieraus folgt: c²=a³ + Z>³ = 3761,2 2 log c ==s 3,57 532.

H.    sine; = y; log sin a = log a — log c.

loga -- 11,67724 — 10 log c = 1,78 766

log sin a= 9,88958 - 107 « = 50°51,0'. III. 0-90°-«; ß = 39°9,0'.

Lösung mit Benutzung des Tangens:

I.    tng« =• y; logtng a = log a — logb.

loga - 11,67724 -10

logb — 1,58794__

log tng cc - 10,08930 — 10; a - 50°51,0

II. j3 — 90°— ei; ß - 39°9,0'.

10. praktische Anwendungen.

Aufgabe 1: wie weit ist man vom Fuße einer h = 947 m hohen, steil aufsteigenden Felswand entfernt, wenn man ihren höchsten Punkt unter dem Erhebungswinkel s = 30°37' erblickt? (1600,2 m).

Aufgabe 2: An zwei einander gegenüberliegenden Punkten an den beiden Ufern eines Flusses sind die pfähle A und B eingerammt. Ulan hat an dem einen Ufer von A aus eine Standlinie AC = a = 87,5 m senkrecht zur Verbindungslinie der beiden pfähle abgesteckt und durch

visieren gefunden, daß LACB = a = 72°35' ist. Cs soll die Breite des Flusses berechnet werden. (278,93 m).

Hufgabe 3: von der Plattform eines h = 82,5 m hohen Turmes erblickt man einen Punkt der Ebene, auf der der Turm steht, unter dem Senkungswinkel ö = 4° 12'. wie weit ist der Punkt vom Fuße des Turmes entfernt? (1123,4 m).

Hufgabe 4: Man erblickt einen Luftballon, der gerade senkrecht über einem h ----- 79,5 m hohen Turme schwebt, unter dem Erhebungswinkel £ = 63°17'. Nachher bestimmt man von dem Beobachtungs-orte aus den Crhebungswinkel für die Spitze des Turmes und findet £₁ = 20°45'. 3n welcher hohe befand sich der Ballon? (416,91 m).

Klan benutze Fig 12, bestimme zunächst logAC aus dem Dreieck ACB, dann aus Dreieck ACBX die höhe.

Hufgabe 5: von einem /z = 30,75 m hohen Turm erblickt man den höchsten Punkt einer senkrecht aus der (Ebene aufsteigenden Felswand unter dem Crhebungswinkel s --- 10°20' und ihren tiefsten Punkt unter dem Senkungswinkel d = 2°30'. wie hoch ist die Felswand, und wie weit ist der Turm von ihr entfernt? (hohe 159,17 m, Entfernung 704,30 m).

Klan benutze Zig. 10, bestimme aus Dreieck AED, in dem AE = h und i EDA = ö ist, die (Entfernung ED, dann aus Dreieck ABC mit Hilfe von s und AB = ED die Strecke BC. (Es ist dann die höhe gleich h-{-BC.

Hufgabe 6: wie hoch steht die Sonne Über dem Horizont, wenn ein l ----- 2,50 m langer Stab, der lotrecht aufgestellt ist, einen Schatten von /i = 3,14 m Länge wirft? (38°31,6').

Erklärung: Unter höhederSonne versteht man den Crhebungswinkel, unter dem der Mittelpunkt der Sonnenscheibe erscheint. Die Richtung des Fernrohrs nach dem Mittelpunkt der Sonnenscheibe gibt die Richtung der Sonnenstrahlen an. Die Richtung der Sonnenstrahlen wird auch bestimmt durch die Gerade, welche einen schattenwerfenden Punkt mit seinem Schatten auf der Erdoberfläche verbindet.

Hufgabe 7: Zu einer Zeit, wo die höhe ber Sonne h = 42° 19' ist, wirft ein Turm einen Schatten von Z= 73,5 m Länge, wie hoch ist der Turm? (66,919 m).

§ 6. Der Kosinus und der Kotangens eines Winkels.

L Der Kosinus eines Winkels. 3n § 4,7 ist gesagt, daß man zur Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, von dem ein spitzer Winkel und die dem Winkel anliegende Kathete gegeben sind, zunächst den zweiten spitzen Winkel des Dreiecks bestimmen müsse. Diese

Rechnung ist nicht nötig, wenn man zur Bestimung eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck auch das Verhältnis der dem Winkel anliegenden Rathete zur Hypotenuse benutzt.

Erklärung: Unter demKosiNUS eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck versteht man das Verhältnis der dem Winkel anliegenden Rathete zur Hypotenuse.

Man schreibt:

COS a ---

Gesprochen wird dies: „Kosinus « gleich b durch c."

Der Kosinus des Winkels « ist nach der gegebenen Erklärung, wenn

man bedenkt, daß sin/3= c ist, und daß ß der Komplementwinkel zu «,

also gleich 90° — cc ist, nichts weiter als der Sinus des Komplementwinkels zu of. Nun heißt „Sinus des Komplements" lateinisch complementi sinus oder, abgekürzt geschrieben, co. sin. hieraus ist der Name für das obengenannte Verhältnis entstanden.

2. Eigenschaften des Kosinus. Der Kosinus eines Winkels muß nach den zuletzt angestellten Betrachtungen die Eigenschaften eines Sinus besitzen. Man hat also die Sätze:

Der Kosinus eines Winkels ist stets kleiner als eins.

Der Kosinus eines Winkels « ist eine Funktion von «.

In einer Eigenschaft nur muß sich der Kosinus vom Sinus unterscheiden. Beachtet man, daß der Kosinus von <* gleich dem Sinus von 90° — ist, und bedenkt, daß mit wachsendem wert von « der Komplementwinkel 90° — a immer kleiner werden muß, so erkennt man sofort:

Der Kosinus eines Winkels nimmt ab, wenn der Winkelwächst, und wächst, wenn der Winkel abnimmt.

(Es läßt sich diese Eigenschaft des Kosinus auch leicht mit Hilfe der Fig. 3 erkennen, wächst der Winkel« und geht in den Winkel ort über, so bleibt in dem Bruche, der den wert des Kosinus darstellt, der Renner (AB = AB₁ = c) ungeändert, während der Zähler kleiner roirb; aus AC wird die kleinere Strecke ACX.

5. Der Kotangens eines Winkels. Rach Einführung des Kosinus liegt es nahe, zur Bestimmung eines spitzenwinkels im rechtwinkligen Dreieck auch das Verhältnis der anliegenden Kathete zur gegenüberliegenden zu benutzen, und dadurch eine dem Tangens verwandte Funktion zu schaffen.

Erklärung: Unter dem Kotangens eines spitzen winlels in einem rechtwinkligen Dreieck versteht man das verhält-

cot a — -

nts der dem Winkel anliegenden Kathete zur gegenüberliegenden Kathete.

Klan schreibt:

Gesprochen wird dies: „Kotangens « gleich b durch a".

Der Kotangens eines Winkels « ist der Tangens des Komplementwinkels von cc, also der Tangens von 90° — c. (Er hat daher seinen Namen erhalten, denn „Tangens des Komplements" heißt lateinisch „complementi tangens" oder in abgekürzter Schreibweise co. tng.

4.    Eigenschaften des Kotangens. Da cot« = tng (90° — «) ist, so besitzt der Kotangens folgende Eigenschaften mit dem Tangens gemeinsam:

Der Ko tangens eines Winkels kann jeden beliebigen Wert annehmen.

Der Kotangens eines Winkels a ist eine Funktion von ähnlich wie der Kosinus vom Sinus unterscheidet sich aber der Kotangens vom Tangens durch die strt, wie er bei Änderung des Winkels seinen Wert ändert. Ls gilt nämlich für den Kotangens der Satz:

Der Kotangens eines Winkels nimmt ab, wenn der Mnkel wächst, und wächst, wenn der Winkel abnimmt.

5ig. 15.

Af

VC}

Es erklärt sich dies wieder dadurch, daß 90° — cc abnimmt, wenn cc wächst. Auch an der Fig. 15 läßt sich dies leicht erkennen. Bewegt man, während die Kathete B C ungeän-dert bleibt, die Ecke A nach C hin bis zu dem Punkte At, so wird die dem Winkel bei A an-

liegende Kathete dadurch kleiner, der Winkel 4.__

bei BAlC aber ist größer als der Winkel BAC als Außenwinkel des Dreiecks AAXB.

5.    Die werte des Kosinus und des Kotangens für 45°, 30°, 60°.

Aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck (Fig. 5) findet man:

cos 45° — i]/2 cot 45° — 1. mit Benutzung des gleichseitigen Dreiecks (Fig. 6) erhält man: cos 30° = |]/3 cot 30° --- j/3

cot 60° = il/3.

cos 60° - 4

6. Die Logarithmen der Kosinus und des Kotangens. In den

Logarithmentafeln finden sich neben den Logarithmen des Sinus und Tangens auch noch Spalten, in denen die Logarithmen des Kosinus und des Kotangens angegeben sind. Über die Einrichtung und Benutzung, der Tafeln ist keine Erklärung mehr notig. Klan schlage auf cos33° 17' (9,92219-10), cos54°48'(9,76075-10), cot40°36' (10,06697- 10), cot73°18'(9,47714- 10). Ferner bestimme man den winkele aus den folgenden Gleichungen: log cos a = 9,96493 — 10 (22°43/), log cos « - 9,42599 - 10 (74°32'), log cot« -10,46180 — 10 (19°3 ), log coU = 9,82352 - 10 (56°20').

Nur das Interpolieren gestaltet sich beidenbeiden neuen Funktionen anders als bisher. Es ist hierbei zu beachten, daß bei wachsendem Winkel sowohl der Kosinus wie der Kotangens abnehmen und deshalb auch die Logarithmen dieser werte mit wachsendem Winkel kleiner werden. Ein Blick aus die beigedruckte Tafel (S. 10) zeigt dies. Ist z. B. log cos 37° 1,8' aufzuschlagen, so stellt man folgende Überlegung an: Nach der Tafel ist log cos 37° 1' gleich 9,90225 — 10. wächst der Winkel um 1 Minute, so nehmen die letzten Ziffern des Logarithmus des Kosinus um 9 ab, wächst der Winkel um 0,8 Minuten, so müssen demnach die letzten Ziffern um 0,8 • 9 = 7,2 abnehmen. Subtrahiert man nun von den letzten Ziffern des log cos 37° 1' die Zahl 7, so erhält man als genaueren wert logcos37°l,8' = 9,90218 — 10. In ähnlicher weise verfährt man bei dem Kotangens.

Man bestimme logcos 27° 13,6 '(9,94900 - 10), logcos 67°47,4' (9,57750-10), log cot 36° 49,7' (l 0,12560 -10), logcot55°ll,3' (9,84219 — 10).

Soll zu dem gegebenen Logarithmus eines Kosinus der Winkel bestimmt werden, so sucht man nicht, wie bei den Log-aritbmen gewöhnlicher Zahlen und bei den Logarithmen des Sinus und Tangens die nächst niedrige Zahl, sondern die nächst höhere Zahl in den Tafeln auf und schreibt zunächst den bei dieser Zahl stehenden Winkel auf. Ist 3. B. gegeben log cos k ™ 9,78023 — 10, so nimmt man aus der Tabelle (S. 10) die Zahl 9,78030 — 10. Bei dieser Zahl steht 52°55'. Nun macht man folgende Schlüsse: Nimmt der Logarithmus in den letzten Ziffern um 17 (Tafeldifferenz) ab, so wächst der Winkel um 1 Minute, daher mutz, wenn die letzten Ziffern um 1 kleiner werden, der Winkel um 1 : 17 Minuten wachsen. Nimmt nun der Logarithmus in den letzten Ziffern um 7 (Differenz mit der gegebenen Zahl) ab, so wächst der Winkel um 7:17 = 0,41 Mi-

nuten. Der genauere wert für cc ist also a = 52°55,4'. Die Logarithmen dea Kotangens werden in derselben weise behandelt.

KT cm bestimme cc aus den folgenden Gleichungen: log cos « -----9,87615 — 10 (a - 41°14,8'), log cos a ----- 9,23366 - 10 (cc -80°8,3'), log cot cc =» 10,13567-10 (cc - 36°11,6'), log cot <x = 9,45423 - 10 (cc = 74°6,8').

7.    Anwendungen. Aufgabe I: Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist a ----- 52,63 cm und die Halbierungslinie des ihr anliegenden Winkels = 5,489 cm. Die Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Aus dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a und vup findet man cos H = a : ws und hieraus ~ = 27°46,1'.

Aufgabe 2: Aus einem Schiffe wird ein Gewicht in das Wasser gelassen, das an einer Z == 50 m langen Schnur befestigt ist. Das Gewicht schleift bei der Fahrt auf dem Boden des Sees, und die Schnur bildet mit der vertikalen durch ihren Befestigungspunkt den Winkel cc == 23° 14'. wie tief ist der See an der Stelle, wo sich das Schiff befindet? (45,945 m.)

Aufgabe 3: Der Erdradius ist r = 6370 km lang, wie groß ist der Radius des Parallelkreises durch Berlin, wenn die geographische Breite von Berlin cp ----- 52°30' beträgt?

$ig. 16.

Losung: Der Kreis Fig. 16 stelle den Meridian von Berlin dar, WO den Durchmesser des Äquators, CB = q den gesuchten Halbmesser des Parallelkreises. Die geogra- wi phifche Breite eines Grtes ist der i Winkel, den der Erdradius nach diesem (Drt mit der Ebene des Äquators bildet. Es ist also L BMO die geographische Breite von Berlin, ihm ist als Wechselwinkel an parallelen L CBM gleich. Klan hat also zur Bestimmung von q die Gleichung q = r cos 9 und findet q -----3877,8 km.

8.    Die Funktionen der Winkel von 0° und 90° wenn man in dem Dreieck ABC (Fig. 2) die Ecke B auf der Kathete BC immer näher an C heranrückt, bis schließlich B mit C zusammenfällt, so wird Winkel cc gleich 0°, a = 0 und die Hypotenuse fällt mit der Kathete b zusammen. Es wird also b = c. Bestimmt man für diesen Fall nach den gegebenen Erklärungen die werte der vier trigonometrischen Funktionen, so erhält man:

sin 0° ---- 0, cos 0° -----1, tng 0° --- 0, cot 0° ----- oo.

verschiebt man die Rathete BC parallel zu ihrer ursprünglichen Lage so, daß C näher an A heranrückt, so wird u immer größer und schließlich, wenn C mit A zusammenfallt, gleich 90°. Gleichzeitig ist dann auch a = c. Nach ben Erklärungen findet man dann für die Funktionen des Winkels von 90° die folgenden werte:

sin 90° ----- 1, cos 90° ----- 0, tng 90° ----- oo, cot 90° --- 0.

9. Bemerkung: Nach Einführung der vier trigonometrischen Funktionen Linus, Tangens, Kosinus und Kotangens bleiben von den sechs Verhältnissen, von denen am (Enbe des § 3 gesagt wurde, daß sie zur Bestimmung der Winkel im rechtwinkligen Dreieck benutzt werden konnten, noch zwei Verhältnisse übrig. Es sind dies die Verhältnisse c: a und c: b. Klan nennt c: b den Set ans des Winkels a und c: a den Kosekans dieses Winkels. Beide Funktionen werden nur selten gebraucht. Buch in den folgenden trigonometrischen Berechnungen werden sie nicht angewendet und sollen daher nur an dieser Stelle erwähnt werden.

§ 7. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen.

\. Die Funktionen von Komplementwinkeln. Bus der Art, wie in dem vorhergehenden Paragraphen der Kosinus und der Kotangens eingeführt wurden, ist sofort klar, daß der Sinns eines Winkels gleich dem Kosinus seines Komplementwinkels ist, und umgekehrt. Ebenso ist klar, daß der Tangens eines Winkels gleich dem Kotangens seines Komplementwinkels ist, und umgekehrt. Man erkennt dies auch aus der Fig. 2, wenn man die Gleichungen, welche die Funktionen des Winkels a erklären, und die Gleichungen für die Funktionen des Winkel ß der gleich 90° — cc ist, nebeneinander schreibt. Die soeben genannten Beziehungen kann man zusammenfassen in den

Lehrsatz: Ersetzt man in den tri gono metrischen Funktionen den Winkel durch seinen Komplementwinkel, so muß man die Funktionsnamen ändern, und zwar Sinus mit Kosinus und Tangens mit Kotangens vertauschen.

sin a — cos (90° — «), tng a — cot (90° — «), cos a ----- sin (90° — «), cot a ---- tng (90° — «).

Ruf der in dem obigen Lehrsatz ausgesprochenen Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen beruht die Einrichtung der Tafeln für die ogarithmen dieser Funktionen. Die Tafeln brauchten nur bis zu 45° usgestellt zu werden, dann konnte man dieselben auch für Winkel ort 45° bis 90° benutzen, indem man die Zahl der Grade unter die abellen schrieb und unter die mit Sums, Tangens, Kotangens und ofinus bezeichneten Spalten bzw. Kosinus, Kotangens, Tangens und ums setzte.

b²

2. Beziehung zwischen dem Sinus und Kosinus. Erhebt man die »leichungen, durch welche Sinus und Kosinus erklärt werden, in das iuadrat, so findet man:

und cos² a =

c²*

sin² a¹) = a

a² + b*

c²......

Addiert man die erhaltenen Gleichungen, so erhält man: sin²« + cos²« =

Nun ist aber nach dem pythagoreischen Lehrsatz a²+b²=c$, also ist sin²« + cos²« ----- 1.

Aus dieser Formel folgt:

sin« =]/l — cos² « und cos « ==]/l — sin²«.

5. Beziehung zwischen dem Tangens und Kotangens, Nlultipli-ert man die beiden Gleichungen, welche den Tangens und den Ko-rngens erklären, so findet man:

tng« - cot« -----1.

hieraus ergibt sich:

und cot a ---

tng <x

4. Beziehungen zwischen den vier Funktionen, flus den beiden leichungen sin« — ^ und cos « = — erhält man durch Division:

)S cc

tng « = —.

s cot cc

n cc

= ah • Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber das Verhältnis, elches der Tangens des Winkels « genannt wurde, es ist also

sin a

™ = tng «.

Dividiert man cos « durch sin «, so findet man:

cos a

-7— — COt «.

_ sin a

1) Statt (sin a)², (cos «)², (tng cc)² und (cot cc)² schreibt man sin² cc, >s²«, tng² cc und cot² cc und spricht dies „Sinus (yuadrat«", „Kosinus uabrat cc“ usw.

5. Berechnung der drei übrigen Funktionen eines Winkels, wenn eine Funktion gegeben ist. Itlit Hilfe der soeben gefundenen Formeln kann man, wenn der Sinus eines Winkels gegeben ist, die drei anderen

Funktionen berechnen. Ist z. B. sin <* = -, so ist cos « =-")/1 — sin²a —

V¹ “1=1- ferner ist tng« = ^ = funb cota-^-f Ebenso kann man, wenn der Kosinus eines Winkels bekannt ist, die

35

werte der übrigen Funktionen bestimmen. Bus cos « =» — folgt

12    12    35

S.n « = 37, tng « = 35, cot « =r2 •

Soll man aus dem gegebenen wert eines Tangens oder Kotangens die werte der übrigen Funktionen berechnen, so erkennt man. daß man wohl den Kotangens bzw. Tangens berechnen kann, daß aber die werte des Sinus und Kosinus mit Hilfe der oben gefundenen Formeln nicht bestimmbar sind. (Es müssen daher für diesen Zweck geeignete Formeln aufgestellt werden. Diese erhält man in folgender weise: Dividiert man die Formel sin² cc + cos²« = i durch cos²«, so findet man:

a ---

cos² cc

Dividiert man durch sin²«, so ergibt sich:

1 + tng

1 + COt² a =

Itlit Hilfe dieser Formel löst man nun die

11

Bus gäbe: Es ist tng cc =~ wie groß find die übrigen Funktionen des Winkels «?

sin² a

Lösung: cot cc = cos²« =

3600

60

OOS «    ,

1 + tng² cc

11

sin « ----- tng cc • cos « = ^ • — Die zuletzt benutzte Gleichung folgt unmittelbar aus der ersten der in 4. gegebenen Formeln.

3721

§ 8. Die Bestimmung eines Winkels aus einer Gleichung zwischen feinen Funktionen.

Die Gleichung enthält nur eine Funktion. Ist zur Bestimmung eines Winkels eine Gleichung gegeben, in der nur eine Funktion des unbekannten Winkels vorkommt, so löst man die Gleichung genau so wie die Gleichungen mit einer Unbekannten x. Dann bestimmt man aus betn für die Funktion gefundenen wert mit Hilfe der Logarithmentafel den wert des gesuchten Winkels.

Rufgabe 1: Den spitzen Winkel « aus der Gleichung 8 sin²« — 10 sin « + 3 = 0 3U bestimmen.

Lösung: Rus der gegebenen Gleichung erhält man sin «x = j und 1

sin «2 ==    • Die spitzen Winkel, die der gegebenen Gleichung genügen,

sind «i = 48°35,4' und «₂ -- 30°.

2. Oie Gleichung enthält verschiedene Funktionen. Die Bestimmung des Winkels aus einer Gleichung wird schwerer, wenn verschiedene Funktionen des Winkels in der Gleichung vorkommen. Man hat dann stets zunächst die verschiedenen Funktionen durch nur eine Funktion auszudrücken, hierzu benutzt man die in dem vorhergehenden Paragraphen gefundenen Formeln. Die folgenden Ruf gaben, in denen stets der spitze Winkel bestimmt werden soll, der der Gleichung genügt, sollen einige Beispiele für diese Bestimmung liefern.

7 sin a = 3 cos «.

Rufgabe 1:

Dividiert man die Gleichung durch 7 cos«, so erhält man: tngo: = y • (a = 23° 11,9').

Aufgabe 2:

Ulan setzt cos³« = 1 — sin²« und sinket:

sin « = 0,6.    («■= 36°52,2').

39 sin²« + 10 cos « = 15.

5 cos²« + 30 sin²« =14.

Aufgabe 3:

12

Ersetzt man sin²« durch I — cos²«, so findet man für cos « eine quadratische Gleichung. Die einzige für den spitzen Winkel brauchbare

lvurzel dieser Gleichung ist cos« ™    (« = 22°37,2').

3 tng « ----- 2 cos «.

Aufgabe 4:

Multipliziert man die Gleichung mit cos «, so erhält man:

3 sin a = 2 cos²«.

IXun ist cos²« = 1 — sin²« zu setzen, und man findet eine quadratische Gleichung für sin «. Die brauchbare Wurzel dieser Gleichung

ist sin « = j • (a = 30°).

Aufgabe 5:

HITu© 431: Lrantz: Trigonometrie. 2. Rufi.

Ulan setzt C0S2™ = 1 + tng²a und erhält eine quadratische Glei

chung für tng a. Bus dieser Gleichung findet man als einzig brauchbaren wert ingcc = 0,5. (a = 26°33,9').

2 sin a + cos cc = 2.

Aufgabe 6:

Ersetzt man den Kosinus durch den Sinus, so findet man 2 sin cc + ]/l — sin²«    2.

wird diese Gleichung, nachdem man die Wurzel isoliert hat, in das Tuadrat erhoben, so entsteht eine quadratische Gleichung. Die wur-

3

zeln dieser Gleichung find sin = l und sin ot₂ = — r sie liefern die

werte 90° und ^ = 36°52,2'.

Bemerkung: Die eben auseinandergesetzte Lösung der Aufgabe 6 kann zu recht unbequemen Kechnungen führen, wenn große Zahlen als Koeffizienten von sin a und cos a auftreten. (Es gibt für die Losung dieser Aufgabe noch einen anderen, stets bequemen weg, der aber erst an späterer Stelle (§ 27, A Aufgabe 7) gezeigt werden kann.

§ 9. Verwandlung der Funktionen eines Winkels in Funktionen des halben Winkels.

Kommt in einer Gleichung, aus der der wert eines Winkels berechnet werden soll, außer der Funktion des Winkels auch noch eine Funktion des halben Winkels vor, so ist die Gleichung nur mit Hilfe

«j

der bisher gefundenen Formeln nicht lösbar Auf jeden Fall ist es zur Lösung der Ausgabe erforderlich, die gegebene Gleichung so umzuformen, daß in ihr entweder nur Funktionen des ganzen Winkels oder nur Funktionen des halben Winkels vorhanden find. Man hat daher Formeln aufzustellen, die diese Umformungen ermög-p lichen, und dies soll im folgenden ge-v    schehen.

\    2. Der Sinus eines Winkels ersetzt

\ durch Munitionen des halben Winkels.

_X Manzeichne ein gleichschenkliges Dreieck

5ig. 17.

C ABC (Fig. 17), das an der Spitze A einen spitzen Winkel cc besitzt, und be-

zeichne die Basis B C dieses Dreiecks durch 2 a, den Schenkel durch b. Fällt matt in diesem Dreieck die höhe AD = h aas die Basis und von der Ecke B der Grundlinie die höhe BE^h^ auf den Schenkel, so kann man

den Inhalt des Dreiecks doppelt ausdrücken, erstens durch • 2 a • h und zweitens durch ₂ b'h^ Durch Gleichsetzung beider Ausdrücke erhält man die Gleichung:

b • hx = 2 a • h.

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck BEA hx b sin cc. Ferner findet man aus dem rechtwinkligen Dreieck ^ BD, in welchem BD = a

und L BAD ----- ~ ist, da die Basishöhe im gleichschenkligen Dreieck die Basis und den Winkel an der Spitze halbiert, a = b sin ~ und

h = b cos ₂ • Setzt man diese werte in die obige Gleichung ein, so erhält man nach Division durch b²:

sin a ss 2 sin ~ cos •

Mit Hilfe dieser Formel ist es möglich, den Sinus eines Winkels durch Funktionen des halben Winkels auszudrücken.

5. Der Kofmus eines Winkels ersetzt durch Funktionendes halben Winkels. Nach dem allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz ist in jedem Dreieck das Tuadrat der Seite, die einem spitzen Winkel gegenüberliegt, gleich der Summe der (Quadrate der beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus der einen dieser beiden Seiten und der Projektion der anderen auf sie. Diesen Satz wendet man auf das Dreieck ABC ($tg. 17) an, in welchem nach der Festsetzung in 2. L A = ct ein spitzer Winkel ist. Man findet dann, wenn man die Projektion von AB auf AC mit p bezeichnet (p ----- EA), die Gleichung 4 a² = B² + b² — 2 bp oder 2 a² = b² - bp.

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck ADB u)ie vorher a=*b sin™,

und in dem rechtwinkligen Dreieck AEB i\t p = b cos «. Setzt man diese werte in die vorher gefundene Gleichung ein, so erhält man nach Division durch b²:

2 sin²

— 1 COS CC

3*

COS« -----1 — 2 sin²y*

oder

Diese Gleichung ermöglicht e§, den Kosinus eines Winkels durch eine Funktion des halben Winkels zu ersetzen. (Es lassen sich aber aus ihr noch zwei andere Formeln herleiten, die denselben Zweck erfüllen. Ersetzt man in der gefundenen Formel sin²^ durch 1 — cos² “ (§ 7,2), so findet man:

cos« = 2 cos²y — 1.

Addiert man die beiden für cos cc gefundenen Formeln, so erhält man, wenn man das Ergebnis durch zwei dividiert:

COSa ----- cos² -— sin²"

Man hat also für den Kosinus drei Formeln, die den Übergang zum halben Winkel gestatten.

4. Der Tangens eines Winkels ersetzt durch Funktionen des halben Vinkels. Rus der in 2. gefundenen Formel für sin a und der dritten in 3. für cos a ermittelten Formel findet man durch Division:

cos —

sin«

---= tng cc ”

cos cc ⁶

2sinf

Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Leite dieser Gleichung durch cos ²^, so erhält man die Formel

tnge ---

-lüüiL

l-tng’l

Die in diesem Paragraphen gefundenen Formeln werden noch an späterer Stelle (§ 26,2) in anderer weise abgeleitet werden.

5. Anwendungen. Die Formeln für den Übergang zum halben Winkel gebraucht man, wie schon in 1. erwähnt, zur Auflösung von Gleichungen, in denen trigonometrische Funktionen eines unbekannten Winkels mit Funktionen des halben Winkels gemeinsam vorkommen.

Beispiel 1:

§ 10. Berechnung geradliniger Ziguren

33

Ersetzt man sin« durch die Funktionen des halben Winkels, so erhält man:

4 sin — cos 2 — 3 sin - = 0 oder sin (4 cos

hieraus folgt: sin — = 0, also “ =" 0° und ccx — 0°. weiter folgt

cos| = f, also ^ = 41°24,6' und «₂= 82°49,2'.

4 sin ~ + 6 cos cc = 5.

Letzt man cos « = I — 2 sin² so erhält man eine quadratische Gleichung. Die einzige brauchbare Wurzel dieser Gleichung ist

. C£

sm 2 -    -

aus ihr findet man 30° und a = 60°.

Die gefundenen Formeln spielen auch eine wichtige Rolle bei der Vereinfachung von Ausdrücken, in denen trigonometrische Funktionen vorkommen. Besonders häufig gebraucht man hierbei die beiden folgenden Formeln, die sich aus den beiden ersten für cos cc in 3. gefundenen Formeln ohne weiteres ergeben:

1 + cos« = 2 cos²”7"t 1 — COStt ---- 2 sin²

^    . CC    cc

2 sin — cos —

2    2    ^ . a

— = 2 Sin y *

Beispiel 2:

Beispiel 1:

sin cc

COS--

cos —

co| >->

tO| $2

to| £

- 3) - o.

Beispiel 2:

1 — COS cc

2 sin²

2 |(N

sin cc

2 sin cos —

§ 10. Berechnung geradliniger Figuren^ die sich in Kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegen lassen.

\o Bemerkung: Ebenso wie sich die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ausführen läßt, können auch alle diejenigen geradlinig begrenzten Figuren berechnet werden, die in kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können. Die

34 I. Die trigon. Funktionen u. die Berechnung rechtwinkliger Dreiecke

Berechnung eines der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke genügt für die Bestimmung aller Stücke der ganzen Figur. Figuren dieser Hüt sind das Rechteck, das durch die Diagonale in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird, und das gleichschenklige Dreieck, in dem durch die höhe auf der Basis die Teilung ausgeführt wird. Ferner gelingt auch die Berechnung regelmäßiger Vielecke. Diese Vielecke sind durch ihr gleichschenkliges Bestimmungsdreieck vollständig bestimmt. Man hat nur zu beachten, daß bei einem regelmäßigen n-Cck der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks gefunden wird, wenn man 360° durch n dividiert. Auch der Rhombus kann berechnet werden, denn feine Diagonalen, die aufeinander senkrecht stehen, teilen denselben in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke.

2. Beispiele. Aufgabe 1: Die eine Seite eines Rechtecks ist a = 52,7 cm und der ihr gegenüberliegende Winkel, unter dem die Diagonalen sich schneiden, ö ----- 64° 28'. wie groß sind die Diagonale und die zweite Seite? (d = 98,805 cm, b ----- 83,578 cm.)

Der Winkel d ist als Außenwinkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks doppelt so groß wie der Winkel, der im rechtwinkligen Dreieck der Seite a gegenüberliegt.

Aufgabe2:DieBasiseine§gleichschenkligenDreiecksistb=48,76crn und der Schenkel s = 32,84 cm. wie groß sind die Winkel des Dreiecks? (Winkel an der Spitze gleich 95°52,2', Basiswinkel gleich 42°3,9'.)

Aufgabe 3: 3n einem gleichschenkligen Dreieck ist die hohe auf der Basis h = 15,87 cm und der Winkel an der Spitze y = 78°42'. wie groß find die Seiten desDreiecks? (Basis 26,026 cm, Schenkel 20,523 cm.)

Aufgabe 4: (EinemKreise, dessen Radius r = 3,47 cm lang ist, ist ein regelmäßiges 15-Eck eingeschrieben. Der Umfang und der Inhalt des 15-Ecks sollen berechnet werden. (u=21,644 cm, /*= 36,731 qcm.)

Aufgabe 5: Der eine Winkel eines Rhombus ist cc ----- 128°34' und die durch ihn hindurchgehende Diagonale d = 22,76 cm. wie groß sind die Seilen und die zweite Diagonale? (s ----- 26,226 cm, dt = 47,257 cm.)

Zweiter Abschnitt.

Die Funktionen stumpfer Winkel und die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

§ 11. Vorbemerkungen.

Die sechs Beftimmungsftücfe eines Dreiecks sind die drei Zeiten und die drei Winkel. In der Planimetrie ist durch die vier Kongruenzsätze gezeigt, daß in vier Fällen ein Dreieck durch drei Stücke, die aus seinen sechs Stücken ausgewählt sind, eindeutig bestimmt ist. (Es war daher möglich, mit Hilfe der in jedem Kongruenzsatze genannten drei Stücke die Größe der übrigen Stücke durch Konstruktion zu ermitteln. Eine Berechnung der Stücke aus den Maßzahlen der gegebenen Stücke war aber unmöglich, solange man zwischen den Maßzahlen der Winkel und denen der Strecken keine Beziehungen kannte. Der pythagoreische Lehrsatz allein gestattete aus zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu bestimmen. Ferner konnte man für den Fall, daß die drei Seiten des Dreiecks gegeben waren, einzelne Berechnungen ausführen, von den hierbei in Betracht kommenden Formeln verdienen besonders genannt zu werden die Formeln für die Radien der vier berührenden Kreise und für den Inhalt des Dreiecks. Die Trigonometrie erst lehrt, wie man mit Hilfe der in jedem Kongruenzsatze genannten drei Stücke die Größe der übrigen Stücke durch Rechnung bestimmen kann. Den vier Kongruenzsätzen entsprechend gibt es also vier trigonometrische Grundaufgaben für die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke.

Da in den schiefwinkligen Dreiecken auch stumpfe Winkel auftreten können, wird es nötig, um allgemeingültige Formeln aufstellen zu können, die nur für spitze Winkel erklärten trigonometrischen Funktionen auch auf stumpfe Winkel anzuwenden.

§ 12. Die Funktionen stumpfer Winkel.

Der Sinus eines stumpfen Winkels. Die in § 9,2 abgeleitete Formel sin« = 2sin“ cos^ führt uns, wenn “ den wert von 45°

überschreitet, auf Öen Sinus eines stumpfen Winkels. Da die rechte Seite der Gleichung dann noch eine stets berechenbare Größe ist, so find damit die Werte der Sinus stumpfer Winkel bestimmt. (Es handelt sich nur darum, zu ermitteln, in welcher Beziehung diese werte zu den werten der Funktionen spitzer Winkel stehen. Man findet diese Beziehung durch folgende Überlegung. Ist a ein stumpfer Winkel und sein Sinus erklärt durch die Gleichung

toj £

sin u = 2 sin — cos ,

so besteht für den spitzen Supplementwinkel des Winkels cc die Gleichung

sin (l80° — cc) — 2 sin (9O⁰ — --) • cos^90⁶—

toi £

----- 2 cos

⁷>¹)*

sin« = sin (180°— «)

hieraus erkennt man, da die rechten Seiten beider Gleichungen übereinstimmen, daß

sein muß.

Der Sinus eines stumpfen Winkels ist gleich dem Sinus seines spitzen Supplementwinkels.

Diese Eigenschaft des Sinus muß bei der Berechnung schiefwinkliger Dreiecke wohl beachtet werden, hat man nämlich den Logarithmus für den Sinus eines unbekannten Winkels gefunden, so kann der Winkel sowohl gleich dem spitzen Winkel sein, den man in den Tafeln findet, als auch der stumpfe Supplementwinkel dieses Winkels. Ob beide Winkel oder nur einer von ihnen brauchbar sind, das ergibt sich aus der Natur der Aufgabe.

2. Der Kosinus eines stumpfen Winkels. Für cos« uw § 9,3 die Formel gefunden cos « = 1 — 2 sin² “ * Auch diese Formel führt,

wenn cc großer als 45° wird, auf den Kosinus eines stumpfen Winkels und kann, da die rechte Seite der Formel stets berechenbar ist, zur Erklärung der Kosinus stumpfer Winkel benutzt werden. Die Beziehung dieser Kosinus zu den Funktionen spitzer Winkel findet man durch eine ähnliche Überlegung wie oben. Ist cc ein stumpfer Winkel und sein Kosinus erklärt durch die Gleichung

cos «    1 — 2 sin²^,

so besieht für den spitzen Supplementwinkel des Winkels u die Gleichung

to| s

cos (180° - «) = 1 — 2 sin² (9O⁰ - )

-2cos²5 '- (§ 7,1).

Durch Addition beider Gleichungen findet man:

cos cc -f cos (180° — cc) = 2 — 2 (sin² y + cos²

Nun ist aber der in der Ulammer stehende Ausdruck nach § 7,2 gleich eins. Ulan erhält also die Gleichung

cos cc + cos (l 80° — cc) = 0 oder cos «    — cos (180° — «).

DerKosinus eines stumpfenwinkelsift gleich dem Kosinus seines spitzen Supplementwinkels mit negativem Vorzeichen.

Der Kosinus eines stumpfen Winkels ist also stets negativ.

Z. Erklärt man den Tangens und den Kotangens nach 7,4 als den Quotienten von Sinus und Kosinus, so findet man aus den beiden obigen Formeln:

tng« — — tng(180°— a), cot«    — cot (180° — a).

Die gefundenen Ergebnisse lassen sich zusammenfassen in den Satz: Die werte der Funktionen stumpfer Winkel sind gleich den absoluten werten der entsprechenden Funktionen ihrer spitzen Supplementwinkel, aber negativ mit Ausnahme des Sinus, der auch für stumpfe Winkel positiv bleibt.

§ 13. Oer Sinussatz.

Der Zinussatz. Fällt man in einem Dreieck ABC (Fig. 18 I und II) die höhe CD = hc, so ist nach der Erklärung des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck ADC Me höhe hc = b sin cc. In dem rechtwinkligen Dreieck BDC ist, wenn ß ein spitzer Winkel ist (Fig. I), hc= a sin ß, wenn aber ß ein stumpfer Winkel ist (Fig. II), hc -----a sin (180° — ß). Nun ist aber mtd) § 12 sin (180°— ß) = sin ß. Titan findet also auf jeden Fall, mag ß ein spitzer oder ein stumpfer Winkel sein, hc= a sin ß. Setzt man die beiden für hc gefundenen Ausdrücke einander gleich, so erhält man die Gleichung:

a sin ß — b sin cc.

Dividiert man    diese

Fig. 18.

ßt

B BA

II

Gleichung durch b sin ß, Ä so nimmt sie c die Form an: a _ sin a b sin ß' D Diese Formel heißt    der

Sinussatz. Der Inhalt dieses Satzes läßt sich in Worten folgendermaßen aussprechen:

3tt jedem Dreieck verhalten sich die Seiten wie die $imi$ der ihnen gegenüberliegenden Winkel.

Bemerkung. DerZinussatz gibt zuerst die Beziehung, welchezwischen den Seiten eines Dreiecks und den ihnen gegenüberliegenden winkeln besteht, durch eine Gleichung an. Seitdem Thales die Gleichheit der Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck ausgesprochen, hatte man in der Planimetrie nur so viel ermittelt, daß in jedem Dreieck der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüberliegen müsse, ohne jedoch über die gegenseitige Beziehung etwas Näheres angeben zu können.

2. Anwendung de§ Sinmsatzer bei der Berechnung schiefwinkliger Dreiecke. Der Sinussatz wird angewendet zur Berechnung von Dreiecken, von denen eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und der der einen von diesen beiden Seiten gegenüberliegende Winkel gegeben sind. Mithilfe des Sinussatzes löst man also diejenigen trigonometrischen Grundausgaben, welche dem zweiten und vierten Rongruenzsatz entsprechen.

Bei der Lösung der Aufgabe, die dem vierten Nongruenzsatz entspricht, findet man zunächst eine Formel, durch die der der zweiten Seite gegenüberliegende Winkel berechnet werden kann, hier ist nun zu beachten, was § 12,1 gesagt wurde, daß in diesem Falle sowohl der in der Tafel stehende spitze Winkel wie auch sein stumpfer Supplementwinkel genommen werden kann. Ist der in der Aufgabe ge-gegebene Winkel stumpf, so kommt selbstverständlich nur der spitze Winkel in Betracht. Ist der gegebene Winkel spitz und die ihm gegenüberliegenden Seite größer als die andere, so kann man auch nur den spitzen Winkel gebrauchen, da der kleineren von zwei Dreieckseiten kein stumpfer Winkel gegenüberliegen kann. ITtan erhält also nur ein Drei»

Aufgabe 2: von einem Dreieck ABC lernt man a = 25,76 cm, c= 18,45 cm und « = 36° 15'. €s sollen die beiden anderen Winkel und die dritte Seite berechnet werden.

sin 7_ c

sin« a'

Lösung:    I.

sin y =

c • sin cc

eck, wie es auch sein muß, da in diesem Falle die Bedingungen des vierten Uongrenzsatzes erfüllt sind. Nur für den Fall, daß die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite kleiner ist als die andere, muß man sowohl den spitzen wie den stumpfen Winkel nehmen und erhält zwei Dreiecke, deren Stücke zu berechnen sind.

Aufgabe 1: In einem 'DxmäABC ist c=537,4 cm, a=37°15,7' und ß = 79° 42,4'. wie groß sind die beiden anderen Seiten?

Lösung: I. y = 180°- (a + ß); y = 63° 1,9'. a sin a    ...    b sin ß

c ~ sin y ¹

u c • sin ß v sin y

II.

a -----

sin y ' c • sin cc

III.

sin y

log c = 2,73030 log sin cc = 9,78208 — 10

log z¹) = 12,51238 — 10 log sin 9,95000 — 10

loge---- 2,73030 logsinß= 9,99295 - 10 logZ = 12,72325 - 10 log sin y= 9,95000 — 10

loga = 2,56238 a = 365,08 cm.

log b — 2,77325 b = 593,27 cm.

log c = 1,26600 log sin a = 9,77181 - 10

logZ = 11,03781 — 10

loga = 1,41095_____

log sin y = 9,62686 - 10; y = 25°3,4'.

hier darf der stumpfe Winkel für y nicht genommen werden, da a größer als c ist.

II. ß = 180°— (a + y); ß = 118°41,6'.

1) Z ist Abkürzung für Zähler.

b sin ß U1* ä ~ sin*'

a sin ß

b ^ sin« '

log a =-= 1,41095 log sin ß ----- 9,94510 — 10 log Z = 11,35405 -1Ö log sin cc = 9,77181 - 10

logb =- 1,58224; b = 38,215 cm.

Ausgabe3: InememDretetf A ß Gifta = 27,66cm, b = 36,79cm und j3 = 43°57'. wie groß sind die beiden anderen Winkel und die dritte Seite? (cc ----- 31°27,2', y = 104°35,8'r c ----- 51,298 cm.)

5. praktische Anwendungen. Aufgabe 1: Zwei Punkte P und Px sind durch unzugängliches Gelände voneinander getrennt. Um ihre Entfernung voneinander zu bestimmen, hat man von P aus eine Standlinie PQ = a = 136 m abgesteckt und durch visieren gefunden, daß L P\PQ = cc = 42° 15' urxb / PQPt = ß = 73°30" ist Die gesuchte Entfernung soll hieraus berechnet werden. (144,78 m.)

Aufgabe 2: Die Spitze eines Berges erscheint von einem Punkt der Ebene unter dem Erhebungswinkel a = 36°17'. Nähert man sich dem Berge um c = 236 m, so erblickt man die Spitze unter dem Crhebugswinkel ß = 38°23'. wie hoch ist der Berg? (2366,5 m.)

Losung: Der erste Beobachtungspunkt fei A, der zweite ß, die Spitze des Berges G und der Fuß Punkt des von G auf die Ebene gefällten Lotes D. Dann \\tLACB = ß — cc nach dem Satz vom Außenwinkel, und nach dem Sinussatz findet man aus dem Dreieck ABC

die Gleichung AC =    * Aus dem rechtwinkligen Dreieck ADC

c • sin cc sin ß sin (ß — a)

Aufgabe3: von einem Luftballon aus erblickt man den Fußpunkt eines h = 31,5 m hohen Turmes unter dem Senkungswinkek ö -----82°45' und die Spitze des Turmes unter dem Senkungswinkel d₁ =» 82° 10'. wie hoch schwebt der Ballon über der Ebene, auf welcher der Turm steht? (418,31 m.)

Lösung: In Fig. 19 ist AB der Turm, C der Ballon. Aus dem Dreieck ABC findet man ßC: h = sin (90° + <?i): sin (ä — öt). Da nun sin (90° + 8t) = sin (90° — weil 90° — der Supplementwinkel zu 90° + K ist, und sin (90° — öt) = cos S₁ nach § 7,1, so ist

r h cos sin (d — dt)'

CD = AC • sin cc

ergibt sich dann:

BC =

Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck BDC die Seite CD = x = BC sin ö, man kann also nach Einsetzung der für BC gefundenen werter x berechnen.

Fig. 19.

JD

Rufgabe 4: Ruf einem Schiffe, dar in der Richtung N 15°20' 0 fährt, peilt man dar Feuer einer Leuchtturms in N22°17' 0. Nach einer Fahrt von 8,4 Seemeilen peilt man dar Feuer in S 30° 15' 0. wie weit war man zu der Zeit der Peilungen von dem Leuchtturm entfernt?

(7,5593/frm und 1,2806 Hm.)

Erklärungen: N 15°20' 0 bedeutet 15°20' von der Nordrichtung nach Osten abweichend. — peilen heißt in der Seemannrsprache, die Richtung, in der man einen Gegenstand erblickt, durch den Rompatz bestimmen. — Eine Seemeile ist 1852 m.

Losung: Ist A (Fig. 20) der Ort der ersten Peilung, AB die Richtung, in der dar Schiff fährt, und AN die Richtung nach Norden, dann ist nach der Rufgabe LN AB = 15° 20' und, wenn L der Leuchtturm ist, LN AL = 22° 17'. Durch die zweite Peilung, die in B vorgenommen wird, wird LSBL = 30°I5' bestimmt. Dadurch ist in dem Dreieck ABL ber Winkel ABL bekannt, weil LABS = LBANa\s Wechselwinkel an parallelen. Man kann nun mithilfe der Sinursatzer die gesuchten Strecken berechnen.

BÄ

Rufgabe 5: Ruf einen Punkt wirkt eine Kraft von 97,56 kg. Diese Kraft wird in zwei Komponenten zerlegt, N i die mit ihr die Winkel « = 75°15' und ß — I 38°29' bilden. Die Große der beiden Kompo- 1 nenten soll berechnet werden. (103,06 kg und !

66,32 kg.)

Erklärung: Kräfte werden ihrer Große , und Richtung nach durch Strecken dargestellt. ,

Zwei einen Punkt angreifende Kräfte können , > stets durch eine dritte Kraft, die man ihre^i/

Resultierende oder Resultante nennt, ersetzt j werden. Über diese Resultierende gibt Ruf- , schluß der Satz oom Parallelogramm der ,

Fig. 20.

Kräfte: die Resultierende zweier auf einen

Punkt wirkenden Kräfte ist in Größe und Richtung bestimmt durch die Diagonale des Parallelogramms, dessen Seiten die beiden Kräfte darstellen. Nach diesem Satz kann man auch eine Kraft in zwei andere (die Komponenten) zerlegen, die mit der ersten Kraft gegebene Winkel bilden sollen. Man trägt an die Strecke, die die gegebene Kraft darstellt, in dem einen Endpunkt die gegebenen Winkel nach beiden Seiten an. hierauf zieht man durch den anderen Endpunkt die parallelen zu den freien Schenkeln der angetragenen Winkel. Die durch diese parallelen auf den Schenkeln abgeschnittenen Strecken stellen die gesuchten Komponenten dar.

§ 14. Die Mollweideschen Gleichungen und der Tangentialsatz.

V Die Mollweideschen Gleichungen. Beschreibt man um die Ecke C eines Dreiecks ABC (Fig. 21) mit a den Kreis, so schneidet dieser die Verlängerungen von AC in zwei Punkten, D und E. Diese Punkte verbinde man mit der Ecke B. Es ist dann in dem Dreieck ABD Seite

AB = c, Seite AD = a + b und

LADB = 2 , da der Basiswinkel eines

gleichschenkligen Dreiecks (ACBD) halb so groß ist wie der Rußenwinkel an der Spitze.

Ferner ist LABD = J + ß

— 90°—f—'s + ?

OL

....... V-

wendet man auf das Dreieck ABDbzn Sinussatz an, so findet man:

sin

a-bi

Sin 2

Ersetzt man in dieser Gleichung nach § 7,1 sin (90° — “ ₂ -'j durch cos so erhält man die erste Mollweidesche Gleichung:

^    a — ß

5ig. 21.

ci -j- b

cos

In betn Dreieck AEB ist Seite AB ---- c, Seite AE = a — b, ferner, da ber Winkel EBD als Peripheriewinkel im Halbkreis gleich

einem Rechten ist, LAEB = 90°--~| als KomplementromM    LAD B,

"US

unb LABE = a ₂ als Komplementwinkel 311 LABD. Man erhält daher, wenn man ben Sinussatz auf ba§ Dreieck AEB emmenbet:

. a — ß

sin 2

sin ^90°— 'Q

und hieraus mit Benutzung von § 7,1 die Zweite Nsllweidesche

Gleichung:

sin —

C0SY

. ß — Ci

Sln 2

Bemerkung: (Es fei hier bemerkt, baß bie gefunbenenFormeln, ebenso wie alle übrigen für bie Dreiecksberechnung aufgestellten Formeln, burch bie in ihnen vorkommenben für bas allgemeine Dreieck stereotypen Bezeichnungen uns nur über bie gegenseitige Lage ber Stücke, bie sie zueinanber in Beziehung setzen, Auskunft geben. Man muß nach ihnen auch für jebe anbere Bezeichnung ber Dreiecksstücke bie entsprechenben Formeln aufstellen können, vielfach bietet es beut Anfänger Schwierigkeit, nach biesen Formeln zu rechnen, wenn einmal bei berselben Bezeichnung ber Stücke b größer als a gegeben ist. Er kommt auf negative Differenzen, mit benen er nichts anzufangen weiß. Es muß bann bebacht werben, baß in ber zur Ableitung der Formeln benutzten Figur a großer als b war. Ist einmal b größer als a, so muß bei berselben Bezeichnung ben beiben Formeln bie Form gegeben werben:

cos

b— a

und c

b + a

sin y

- - 2

2. Anwendungen. Ausgabe 1: Die unbekannten Seiten und Winkel des Dreiecks zu berechnen, in dem a + b = 7,52 cm, c ----- 4,46 cm mb a - ß = 11 ^⁰16' ist. (a = 59°27,6', ß = 48° 11,6', y=72° 20,8', a ----- 4,0311 cm, b = 3,4888 cm.)

Man bestimmt zuerst die Winkel mit Hilfe ber ersten Mollweibeschen Gleichung, bann mit betn Sinussatz bie Seiten.

Ausgabe 2: Der Umfang eines Dreiecks ist 2s = 2034 cm, die eine Seite ist a ----- 904 cm, und der dieser Seite gegenüberliegende Winkel a=105°46Die unbekannten Winkel und Seiten zu berechnen. (ß - 41°44,0', y = 32°30,0', b - 625,30 cm, c = 504,72 cm.)

Aufgabe 3: Die Richtungen zweier Kräfte, von denen die eine 26,57 kg größer ist als die andere, bilden miteinander den Winkel cc = 125°22'. Die Resultierende der beiden Kräfte ist r= 63,15 kg. wie groß sind die beiden Kräfte, und welchen Winkel bilden ihre Richtungen mit der Richtung der Resultierenden? (a = 77,100 kg, b --- 50,531 kg, a ----- 84u38,l', ß = 40°43,9'.)

Man vergleiche die Bemerkung zu § 13,3 Aufgabe 5.

5. Der Tangentialsatz. Aus den beiden Mollweideschen Gleichungen erhält man durch Division:

• tng

a—b . a—ß

5+5-tng —

vertauscht man die beiden Zeiten dieser Gleichung und schasst dann tng ^ auf die rechte Seite, so erhält man mit Benutzung von § 7,3:

tng^ = ~4cotT*

Diese Gleichung heißt der Tangentialsatz.

4. Anwendungen. Der Tangentialsatz wird angewendet zur Berechnung von Dreiecken, von denen zwei Seiten und der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel gegeben sind. Man löst also mit Hilfe des Tangentialsatzes die trigonometrische Grundaufgabe, welche dem ersten Kongruenzsatze entspricht.

Sind von einem Dreieck die Seiten a und b und der Winkel y ge-

CC-Lß    n y    *

geben, so bestimmt man zunächst = 90u — ^, bann berechnet

■ Aus “ "2 - und “ ₂ ~ findet man

-ß

man mit dem Tangentialsatz ^ ₂

durch Addition a mb durch Subtraktion ß. Sind die Winkel bekannt, so kann c durch den Sinussatz berechnet werden.

Bei der Anwendung des Tangentialsatzes beachte man auch das, was bei den Mollweideschen Gleichungen in 1. Bemerkung gesagt ist.

Aus g ab e 1: 2n einem Dreieck AB C ist a = 517,6 cm, b 302,8 cm und y ™ 38°40'. wie groß sind die beiden anderen Winkel und die dritte Seite?

a - 517,6 b = 502,8 a — b = 214,8 a + b - 820,4.

Lösung: I. 90°“ 89°60' II.

2 = 19°20'

^ - 70° 40 .

III.

a—ß

tng—2~

a — b

“ a + b ■ c°t

IV.

b sin y

log (a- b)= 2,33203 log cot ™ —

10,45588 - 10

sin ß

log b — 2,48116 log sin y = 9,79573 — 10

logZ = 12,78691 — 10 log (a + ft) = 2,91405    ______

logtng^=^= 9,87288 - 10 = 70°40,0'

= 36° 43,9'

logZ = 12,27689 - 10 log sin ß = 9,74683 — 10

log c = 2,53006 c = 338,89 cm.

« »■ 107°23,9' ß = 33°56,V.

Hufgabe 2: 3n einem Dretecf A B C ist a = 72,79 cm, b = 93,56cm und y=42° 42'. Die beiden anderen Winkel und die dritte Seite sollen berechnet werden. (« = 50°56,1', ß = 86°21,9', c = 63,577 cm.)

Hufgabe 3: 3n einem Dreien ABC ist b = 841 cm, c= 725 cm und a ----- 9°31,6'. wie groß find die beiden anderen Winkel und die dritte Seite? (ß ----- 126°52,4', y ----- 43°36,0', a --- 174,00 cm.)

Hufgabe 4: 3n einem Dreieck ist a ----- 47,56 cm, b = 25,38 cm und y = 58°36'. wie lang ist die Linie, welche den Winkel a halbiert? (22,252 cm.)

Zuerst berechne man aus dem gegebenen Dreieck a, dann aus dem Teildreieck mit dem Sinussatz die gesuchte Linie.

Hufgabe 5: Huf einen Punkt wirken zwei Kräfte Kt = 53,84 kg und K₂ = 48,26 kg, deren Richtungen den Winkel a ---11^45'miteinander bilden. Die Resultierende der beiden Kräfte soll berechnet werden. (56,730 kg.)

§ 15. Inkreis, Ankreise und Inhalt des Dreiecks.

Der Umfang des Dreiecks. Unter dem Umfang eines Dreiecks versteht man die Summe feiner drei Seiten. Den Umfang pflegt man durch 2§ zu bezeichnen, so daß man die Gleichung hat:

a + b-j-c = 2s.

Subtrahiert man von beiden Seiten dieser Gleichung 2 a, so erhält man: — a + 6 + c=:2s — 2a = 2(s—-a).

anu(B 431: Crantz, Trigonometrie. 2. ctufl.

Ähnlich findet man: a — b + c = 2 (s — b), a + b — c = 2 (s — c).

zy

5ig. 22.

!0

CCy

2. Der Inkreis. Unter dem 7 Inkreis eines Dreiecks ABC (Fig. 22) versteht man den inner-¥ halb des Dreiecks liegenden Ureis, \ der die drei Seiten des Dreiecks be-rührt. Der Mittelpunkt des In-B kreises ist der Schnittpunkt 0 der drei Linien, welche die Winkel des Dreiecks halbieren. Der Radius des Inkreises wird durch q bezeichnet. Man findet ihn, wenn man von 0 die Senkrechten auf die Seiten fällt. Es ist 0A₁ = 0^ ----- 0Cl = q.

Die Abschnitte, in welche die Seiten durch die Berührungspunkte des Inkreises geteilt werden, lassen sich in einfacher weise durch die Seiten des Dreiecks ausdrücken. Bezeichnet man die Strecken von den Ecken bis zu den Berührungspunkten des Inkreises, die als Tangenten von einem Punkt an einen Kreis einander gleich sein müssen, wie es in der Figur geschehen, bzw. mit x, y und z, dann ist

2x + 2y +- 2z = 2s oder x + y + z ------ s.

Ersetzt man in dieser Gleichung y + z durch a, dann findet man:

x = s — a.

Ersetzt man in derselben Gleichung x + z durch b und dann x + y durch c, so erhält man:

y = s —b und z = s — c.

5. Der Halbwinkelsatz. Nach dem soeben gefundenen Ergebnis ist in dem rechtwinkligen Dreieck AOCx die Seite AC₁ gleich s — a, ferner

ist 0C₁ = q und nach der Konstruktion LOACl= Es besteht

also die Gleichung

Diese Gleichung heißt der halbwmkelsatz.

$\xx die übrigen Winkel des Dreiecks hat man entsprechend

IO Tü

tng ----- s _^ b und tng 2 =s c •

X = s.

5. Die trigonometrische Formel für den Radius eines Ankreises.

Nach dem soeben gefundenen Ergebnis ist in dem rechtwinkligen Dreieck A 0₁ Ct die Seite A Cx gleich s, ferner ist Ot Ct = Qa und

L 0₁AC₁ = ^ ■ (Es besteht daher die Gleichung

tng^- --- ^ oder Qa = s tng£-Die Formeln für die Radien der beiden anderen Ankreise sind

to hi

Qb = s tng und Qc = 5 tng

6. Formeln für den Inhalt des Dreiecks, a) In der Planimetrie ist der Satz gefunden: Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus feiner Grundlinie und höhe. Da man jede Seite des Dreiecks als die Grundlinie ansehen kann, so hat man hiernach drei Formeln

4*

H. Die Ankreise. Unter einem Ankreise eines Dreiecks ABC (Zig. 23) versteht man einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks zwischen den Ecken und die beiden anderen

$ig. 23.    / Z

re/*

fix

Seiten in ihren verlänge- ( rungen b erührt Inder Figur A ist der Ankreis an die Seite a gezeichnet. Der Mittelpunkt Oj dieses Ankreises ist der Punkt, in welchem sich die Halbierungslinie des Winkels bei A und die Halbierungslinien der Außenwinkel bei B und C schneiden. Man nennt den Radius dieses Ankreises Qa- (Es ist 0₁A₁ = 0₁B₁ = 0₁C₁ = Qa. Die Radien der Ankreise, welche die Seiten b und c zwischen den Ecken berühren, heißen Qb und qc.

Bezeichnet man die Strecken von den Ecken bis zu den Berührungspunkten des Ankreises, wie es in der Figur geschehen ist, mit x, y und z, dann ist

BJsC,

cc

AB₁= x = b + z AC₁= x = c + y.

Durch Addition dieser beiden Gleichungen folgt 2 x = b + c + z + y. Nun ist aber, wie ans der Figur ersichtlich ist, y + z = a, also ist 2x = a + b + c = 2s und

II. Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke für ben Inhalt des Dreiecks:

f=±a-h„, f=\b-hb, f=\c-hc.

b) 3n der Formel f= 2 a-ha kann man ha = b siny setzen, es

mag y ein spitzer oder stumpfer Winkel sein (vgl. § 13,1). hierdurch erhält man für den Inhalt des Dreiecks die Formel

/ -- Y CL b siny.

Der Inhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus zwei Seiten und dem Sinus des von den beiden Seiten eingeschlossenen Winkels.

sin ß sin cc*

diesen wert für b in die soeben für den Inhalt gefundene Formel ein, so findet man:

. Setzt man

c) Nach dem Sinussatz ist ~ ---

f __ a² sin ß sin y '    2 sfn a

Die dieser Formel entsprechenden Formeln für die Seiten b und c lassen sich leicht bilden.

YT "•

d) verbindet man den Mittelpunkt 0 des Inkreises des Dreiecks ABC (Fig. 22) mit den Ecken des Dreiecks, so teilen diese Verbindungslinien das Dreieck in drei Teildreiecke mit der hohe q und den Grundlinien a, b und e. Ls ist daher

/•=AA£C = AO£C +A OCA+ A OAB

= 2 a'Q + ~2b'Q + 2 C'Q

1 1 — "2 Q (« + b + c) — -2 Q ■ 2s — qs.

Der Inhalt eines Dreiecks ist also auch bestimmt durch die Formel

f = QS.

e) verbindet man den Mittelpunkt 0, des Knkreifes"des Dreiecks ABC (Fig. 23) mit den Ecken des Dreiecks, so entstehen drei Dreiecke mit der höhe Qa, deren Grundlinien a, b und c sind. Der Inhalt des Dreiecks ABC läßt sich als algebraische Summe der Inhalte dieser Dreiecke darstellen, lvie man aus der Figur leicht erkennt, ist

§ 15 Der Inhalt dos Dreieck?

49

f=AABC = A0₁AB + A0₁AC-A0₁BC

“ ~2 C ' Qa "f" ' b • Qa 2 & ' Qa = \ Qa(c +b — ä)= 2    * 2 (S — a) = Qa(s — ß).

Ittan kann daher den Inhalt eines Dreiecks auch berechnen nach der Formel

fm>Qa(S-a).

Dieser Formel entsprechen die beiden anderen f = Qb (s — b) und f=Qc(s — c).

7. Die heronische Formel, hero von Alexandrien, der um l l 0 v. Chr. lebte und ein Lehrbuch sür Feldmesser verfoßt hat, hat eine Formel aufgestellt, durch welche es möglich ist, den Inhalt eines Dreiecks unmittelbar aus den Maßzahlen der Zeiten zu berechnen. Man kann diese Formel in folgender Weise herleiten.

Multipliziert man die in 6. d) und e) gefundenen Formeln f=QS und f — Qa (s — a), so erhält man:

f= Q • QaS(s — ß).

Nun ist in Fig. 24, in welcher für das Dreieck Ä B C der Inkreis und der Rnkreis an die Sette a gleichzeitig gezeichnet sind, in den Dreiecken ODB und 0₁D₁B

LODB = LOxD{B als Rechte,

LOBD — LBOxDu

Fig. 24.

weil beide Winkel Komplementwinkel des Winkels 0]BDt sind. Der Winkel OBD ist der Komplement-^4 Winkel zu Winkel 0₁BDlt da die Halbierungslinien zweier Nebenwinkel (BO und B0±) aufeinander senkrecht stehen. Die beiden Dreiecke ODB und OiDj# sind daher einander ähnlich. Rus der Ähnlichkeit folgt:

q : (s — c) = (s — b) : Qa

JE

Y.U"'

E, /

JS D,

oder, da in jeder Proportion das Produkt der äußeren Glieder gleich dem Produkt der inneren ist,

PPa = (S — b) (S - C).

Setzt man diesenwert für QQa in die Formel für f² ein, so findet man:

f — Vs (s — a) (s — b) (s — c).

Die letzte Gleichung heißt die heronische Formel.

Bemerkung: (Es gibt Dreiecke, deren Inhalt sich mit Hilfe der Maßzahlen der Seiten durch eine ganze Zahl ausdrücken läßt. (Ein solches Dreieck war schon dem hero bekannt. (Es ist das Dreieck, dessen Seiten a = 13 cm, b = 14 cm, c= 15 cm sind. Der Inhalt dieses Dreiecks beträgt 84 qcm. weitere DreieckeHmd: a = 4 cm, b = 13 cm, c= 15cm, f= 24qcm; a = 5cm, b = 29cm, c = 30cm,/*=72qcm; a = 13 cm, b = 30 cm, c = 37 cm, f = 180 qcm.

8. Die Berechnung der Radien der Inkreises und der Rnkreife durch die Zeiten. Die vier in 6. gefundenen Formeln f=QS, f = Qa{s — a),f= Qb (s — b),f= QC (s — c) machen es mit Hilfe der hero-nifchen Formel möglich, auch, die Radien der die Seiten des Dreiecks berührenden Kreise durch die Maßzahlen der Seiten zu berechnen. Bus der Formel f=Qs findet man:

ä) (s — b) (s — c)

-v

s (s

V s und hieraus:

f ]/s (s — a) (s — b) (s — c)

S"

___1 /(s — a) (s — b) (s — c)

Q_y    -

3rt ähnlicher Weise findet man aus den drei anderen Formeln:

Qa

Qb

_l/s (s — a) (S—C)

~v s- b

c?

s(s — ä) (s — b)

§ 16. Die Berechnung der Winkel des Dreiecks durch die Seiten.

Der Gang der Lösung. Die Berechnung der Winkel des Dreiecks durch die Seiten kann mit Hilfe von zwei Formeln ausgeführt werden, die in dem vorhergehenden Paragraphen gefunden sind. Durch die gegebenen Maßzahlen der Seiten bestimmt man zunächst 2s und hieraus s, dann berechnet man s — a, s — b und s — c und nun loge mit Benutzung der Formel § 15,8.

Ist log e gefunden, dann kann man die Winkel des Dreiecks durch den Halbwinkelsatz berechnen.

CJ1

Bemerkung: (Es empfiehlt sich, stets alle drei Winkel durch den kjalb-winkelsatz zu berechnen und nicht nach Ermittlung von zwei Winkeln, etwa cc und ß, den dritten Winkel durch die Gleichung y = 180° — (a + ß) zu bestimmen. Man hat dann, wenn jeder Winkel für sich berechnet ist, die Möglichkeit, die Rechnung durch Addition der drei für die Winkel gefundenen werte zu prüfen. Sollte hierbei die Summe der Winkel nicht genau 180° betragen, sondern ein wenig mehr oder weniger, so braucht die Rechnung nicht falsch zu sein. Derartige kleine Abweichungen sind bei der Rechung mit Logarithmen möglich.

2. Anwendungen. Aufgabe 1: Die Seiten eines Dreiecks find a = 26,78 cm, b ----- 28,54 cm und c ----- 30,26 cm. wie groß find die Winkel des Dreiecks?

III.

II. Q

log ^ = 0,91241 IV. tng » - -

Lösung: I. a = 26,78 b --- 28,54 c ----- 30,26

2 s = 85,58 8 ----- 42,79 s — a = 16,01 5 — fr = 14,25 s — c = 12,53

tng =

⁶ s — a

log? = 10,91241 — 10

log (5 - a) = 1,20459

log tng 2= 9,70802 — 10

^ = 27° 2,7'

« = 54°5,4'

— (s — b) (s — c)

log (s - a) = 1,20439 log (5 ~b)= 1,15381 log (s — c)= 1,09795 log Z - 3,45615 log s = 1,63134 2 logso = 1,82481

log? --- 10,91241 — 10 log (s b) — 1,15381

log tng 2' ~ 9,75860 — 10

2 = 29°50,3' ß = 59°49,6'

V.

tng 2 =

log? = 10,91241 — 10 log (5 - c) = 1,09795

log tng 2 = 9,81446 - 10

2 = 35°7,0'

y = 66° 14,0'.

Hufgabe 2: Die Seiten eines Dreiecks sind a = 37,56 cm, b ----- 34,68 cm und c = 31,42 cm. Die Winkel des Dreiecks sollen berechnet werden. (« --- 69°3,0', ß ---- 59°34,4', y -- 51°22,4'.)

Hufgabe 3: (Eine Schnur von 34,5 m Länge ist an den Enden zusammengeknüpft. Sie wird durch drei Pfahle straff gespannt, die so aufgestellt sind, daß die zwischen ihnen liegenden Teile der Schnur sich wie 3:5:7 verhalten, wie groß sind die Winkel, welche von der Schnur an den einzelnen pfählen gebildet werden? (a = 21°47,2', ß --- 38° 12,8', y = 120°.)

Um die Länge der Teile der Zchnur zu bestimmen, dividiert man 34,5 durch 3 + 5 + 7 = 15 und multipliziert dann den Quotienten der Reihe nach mit 3, 5 und 7.

5. Zusammenfassung der Ergebnisse für die Vreieckrberechnung.

Mit der eben behandelten Hufgabe sind die vier Grundaufgaben der Trigonometrie (vgl. § 11) gelöst. Die Wege der Losung sind, um sie noch einmal kurz zusammenzustellen, folgende:

Sind von einem Dreieck eine Seite UNd Zwei Vinkel gegeben (zweiter Rongruenzsatz) oder Zwei Seiten und der der einen Seite gegenüberliegende Vinkel (vierter Rongruenzsatz), so rechnet man mit dem Sinussatz.

Sind von einem Dreieck zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Vinkel gegeben (erster Rongruenzsatz), so bestimmt man zunächst die unbekannten Winkel mit Hilfe des Tangentialsatzes und dann die dritte Seite durch den Sinussatz.

Sind von einem Dreieck die drei Seiten gegeben (dritter Rongruenzsatz), so bestimmt man zuerst s, s — a, s — b, s — c, dann log q und hierauf die Seiten mit dem halb-winkelsatz.

4. Bemerkung. Huch ohne die in 3. genannten Wege einzuschlagen, sann man lediglich mit Benutzung der Gleichungen, welche die trigonometrischen Funktionen erklären, und mit Hilfe der Berechnung rechtwinkliger Dreiecke, wie sie im ersten Hbschnitt gelehrt wurde, die vier trigonometrischen Grundaufgaben lösen. Ulan hat hierzu nur ' nötig, die schiefwinkligen Dreiecke durch eine geeignete hohe in zwei rechtwinklige Dreiecke zu zerlegen und dann zunächst durch die gegebenen Stücke die hohe zu berechnen. Ist die höhe gefunden, so erkennt man aus der Figur leicht, wie die Berechnung der einzelnen Dreiecksstücke nun ausgeführt werden kann, wenn von einem Dreieck a, cc, ß gegeben ist, so zieht man die hohe hc. Kennt man a, b, y, so ist entweder ha oder h zu ziehen, ist a, b, a gegeben, so wird die

§ 17. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz

53

höhe hc gezogen. Sinb die drei Setten des Dreiecks a, b und c gegeben, so zieht man am besten die hohe, welche auf der größten Seite senkrecht steht. Nun aber stößt man zunächst auf Schwierigkeiten, da keins der entstehenden rechtwinkligen Dreiecke die Berechnung der höhe gestattet. In diesem Falle gelingt die Berechnung der höhe mit Hilfe der heronischen Formel. Nach dieser Formel ist

f=Vs(s - a){s — b)s — c).

Nun ist aber, wenn a die größte Seite ist, also ha berechnet werden soll, auch f = ₂ aha- Setzt man diese beiden werte für f einander

gleich, so erhält man eine Gleichung, aus der ha berechnet werden kann.

§ 17. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz und der Rosinussatz.

Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz. In der Planimetrie besitzt der allgemeine pythagoreische Lehrsatz zwei verschiedene Formen. Wan muß unterscheiden, ob die Seite, die man berechnen soll, einem spitzen oder einem stumpfen Winkel gegenüberliegt. Für den ersten Fall (Fig. 25) lautet der Satz:

In jedem Dreieck ist das Quadrat der Seite, die einem spitzen Vinkel gegenüberliegt, gleich der Summe der Quadrate der beiden aJ anderen Seiten, vermindert um das dop- yr pelte Rechteck aus der einen dieser f beiden Seiten und der Projektion f der anderen auf sie.

Die Formel hierfür ist

Fig. 25.

a²= b²+ c² — 2 bp.

Ist der der gesuchten Seite gegenüberliegende Winkel stumpf (Fig. 26), so nimmt der Satz die Form an:

In jedem Dreieck ist das (Quadrat der Seite, die einem stumpfen Vinkel gegenüberliegt, gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten vermehrt um das doppelte Rechteck aus der einen dieser beiden Seiten und der Projektion der anderen auf sie.

Die Formel hierfür ist

a²=°b²+c²+ 2bp.

Mt Benutzung der trigonometrischen Funktionen kann man die Projektion p in den beiden genannten Formeln durch die Seite c und den Winkel u ausdrücken, wie man leicht aus derFig. 25 erkennt, ist im ersten Falle p = c cos a. 3m zweiten Falle (Fig. 26) ist

Fig. 26.

p = c cos (180° — a)

oder, da cos (180° — a) = — cos a ist (§ 12, 2), p = — c cos cc. Letzt man diese werte für p in die obigen Gleichung ein, so erhält man in beiden Fällen:

er ----- b² + c² — 2 bc cos a.

Dies ist der pythagoreische Lehrsatz in trigonometrischer Form. Er ist für den spitzen und stumpfen Winkel gleichlautend. 3st a ein stumpfer Winkel, so wird wegen des negativen wertes des Kosinus das Minuszeichen in ein Pluszeichen verwandelt.

2. Anwendung der pythagoreischen Lehrsatzes, handelt es sich darum, aus zwei Leiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite des Dreiecks zu berechnen, so muß man nach § 14,4 zunächst mit dem Eangentialsatz die unbekannten Winkel berechnen und dann durch den Linussatz die gesuchte Leite. Durch den allgemeinen pythagoreischen Lehrsatz ist es möglich, die dritteLeite zu berechnen, ohne zunächst die unbekannten Winkel zu bestimmen. 3m allgemeinen wird sich dies aber nur empfehlen, wenn einfache Zahlen gegeben sind, die eine Berechnung der (Quadrate der bekannten Leiten ohne Logarithmen gestatten. Müssen die (Quadrate mit Logarithmen berechnet werden, so wird man, auch wenn es sich nur um die Berechnung der dritten Leite handelt, besser tun, wenn man zunächst mit dem Tangentialsatz die Winkel bestimmt und dann den Linussatz zur Berechnung der Leite benutzt.

5. Vereinfachung der logarithmischen Rechnung durch Einführung einer Hilfswinkels. Die Logarithmen, welche bei der Berechnung eines Produkts, eines (Quotienten, einer Potenz und einer Wurzel große Rechenvorteile gewähren, werden unbequem, sobald es sich um die Berechnung einer Lumme oder einer Differenz handelt. Man hat, wie bekannt, dann jedes Glied einzeln mit Logarithmen zu berechnen und hierauf die gefundenen Numeri zu addieren. Ruf Grund der beiden Formeln

§ 17. Einführung von Hilfswinkeln

55

(§ 7,5)

cos²«

1 — sin²« = cos²« (§ 7,2) und 1 + tng²« -----

kann man aber die Rechnung einfacher gestalten.

I. Hat man eine Differenz cr — b, in der Q > b ist, so setzt man den Minuendus a vor die Klammer und erhält dann:

a —b

Nun setzt man

ba = sin>.

Dies ist stets möglich, d. h. es läßt sich stets ein Winkel cp finden, der die aufgestellte Gleichung erfüllt, da sin cp alle werte von 0 bis 1

annehmen kann, und der Bruch ^ , weil nach der Voraussetzung a>b

ist, stets einen wert besitzen muß, der kleiner als eins ist. Durch die Einführung von sin² cp erhält man nun die Gleichung a — b == a (l — sin² cp) oder a — b = a cos² cp.

Das auf der rechten Seite stehende Produkt, welches den wert der Differenz q — b darstellt, läßt sich nun leicht mit Logarithmen berechnen.

II. Hat man eine Summe a + 6, so setzt man a vor die Klammer und erhält:

a + b = a (l +    )•

Nun bestimmt man einen Winkel cp durch die Gleichung

= tng² cp.

Dies ist immer möglich, da tng cp {eben wert von Null bis Unendlich annehmen samt. Man erhält hierdurch:

a + b = a (l + tng² cp) ober nach § 7,5:

a + b = COS* Cp

Die Berechnung der Summe ist damit auf die Berechnung eines (Quotienten zurückgeführt.

Die eben auseinandergesetzte Hrt der Berechnung einer Differenz und einer Summe nennt man die Berechnung durch Einführung eines Hilfswinkels.

mit Benutzung eines Hilfswinkels kann man die unmittelbare Berechnung der Seite c eines Dreiecks, von dem a, b und y gegeben find,

einfach gestalten. In die rechte Seite der Gleichung c² = a² + b² — 2ab cos y

fügt man die Differenz 2ab — 2ab ein. hierdurch wird der Wert der rechten Seite nicht geändert, da die eingefügte Größe gleich Null ist, und man erhält:

c² = a²+ b² + 2ab — 2ab — 2 ab cos 7 = (a + b)² — 2ab(l + cos 7)

* (a + b)² — \ab cos²1 (§ 9,5)

= (a + b)² 1 -

4ab cos⁸^-(a + by\:

Setzt man nun den in der eckigen Klammer stehenden Subtrahendus gleich sin² cp, so erhält man c² = (a + b)² cos² cp oder c = (a + b) cos q>.

4. Der Uosinursatz. Der allgemeine pythagoreische Sehrsatz kann auch benutzt werden, um die Winkel eines Dreiecks zu berechnen, dessen Seiten bekannt sind. Bus der Gleichung a² = b² + c² — 2bc cosa folgt durch einfache Rechnung:

£2 + c2 „ ^2

2b C

COS a —

Diese Gleichung, der für die Winkel ß und 7 ähnliche Gleichungen entsprechen. heißt der Noflnursatz.

5. Verleitung neuer Formeln durch den Uofinursatz. Der Ro-sinussatz wird wegen der unbequemen Berechnung der rechten Seite selten zur Bestimmung der Winkel eines Dreiecks gebraucht. Es lassen sich aber mit Hilfe des Rosinussatzes recht brauchbare Formeln für die Berechnung der Winkel herleiten.

Addiert man die Gleichung, welche den Rosinussatz darstellt, zu der identischen Gleichung 1 = 1, so erhält man:

1 +"cos u 1 +

&M- C⁵ -a*

2 bc

(b + cy-a'

2bc + b* + c* — ar

2b c

2b c

oder, da die Differenz zweier Duadrate gleich dem Produkt aus Summe und Differenz der Grundzahlen ist,

_ (b + c + a)(b + C-C)

2 bc

1 + cosa

Die Unke Seite dieser Gleichung ist gleich 2 cos² ^ (§ 9, 5), die in den

Klammern stehenden Ausdrücke auf der rechten Seite kann man ersetzen durch 2s und 2 (s — a) (§ 15, 1). Dadurch erhält man:

cos««yü|=3.

Subtrahiert man die Gleichung, welche den Kosinussatz darstellt, von der identischen Gleichung 1 = 1, so findet man:

1 — cos cc

6² + c² —a2 — I —    2bc

a² — (b — c)²

2 bc — b* — c² + a²

2 bc

2bc

(a —b + c) (a + b — c)

2i?c

Nun ist 1 — cos a = 2 sin² * (§ 9, 5), und die in den Klammern

auf der rechten Seite stehenden Ausdrücke kann man durch 2 (s — b) und 2 (s — c) ersetzen, hierdurch findet man aus der zuletzt erhal-• tenen Gleichung:

t"g4 - yE

— t>) (s — C)

Durch Division der beiden für sin ~ und cos j gefundenen Werte erhält man schließlich:    _

s (s — a)

Die Formel für den Kotangens erhält man, wenn man bedenkt, daß der Kotangens der reziproke wert des Tangens ist.

6. Anwendungen. Jede der drei soeben gefundenen Formeln ist dazu geeignet, die Winkel des Dreiecks aus den Seiten zu berechnen. Die Berechnung ist aber, wenn alle drei Winkel bestimmt werden sollen, nicht ganz so einfach, wie die nach der in 8 16, 1 angegebenen Methode. 3ft es aber nur nötig, einen wmkel des Dreiecks zu berechnen, so wendet man am besten eine dieser Formeln an.

Ausgabe: Drei Punkte A, B und C liegen in einer Ebene so, daß die Entfernung von A bis B 7,5 km, von A bis C 9,4 km und von B bis C 5,8 km beträgt. Auf der geradlinigen Verlängerung von AB über B hinaus liegt der Punkt/) so, datz von ihm aus die Entfernung von B bis C unter dem Gesichtswinkel d -----12^45 ' er>cheint. Es sollen die Entfernungen des Punktes D von A, B und C berechnet werden.

Lösung: (Zig. 27). (Es handelt sich darum, aus dem Dreieck BDC die Leiten BD = x und CD = 2/311 berechnen. Ist x bestimmt, so ist damit auch AD = c + x gefunden. In dem Dreieck BDC sind nun aber nur a und 6 bekannt, man kann aber LCBD berechnen, so

5ig. 27

wie man aus dem Dreieck ABC, dessen Seiten gegeben sind, den Winkel ß berechnet hat. Da es sich in dem Dreieck ABC also nur um die Bestimmung eines Winkels handelt, rechnet man nach der Formel

cos

ß _ys(s-b)

ö''

2 V ac

B x i)3ft ß gefunden, so kann man die gesuchten Strecken x und y aus dem Dreieck BDC nach dem Sinussatz berechnen. Man findet Z)C= 26,276 km, DB = 25,527 km und DA = 33,027 km.

7. Ableitung der betontsten $ortnel durch die gefundenen Formeln. Ersetzt man in der Gleichung

f = 2 bc sin 0; (§ 15, 6 b)

den Sinus des Winkels a nach §9,2 durch die Funktionen des halben Winkels, so erhält man:

f = bc cos 2 sin “ *

wenn man in dieser Gleichung für sin und cos ^ bk in 5. gefundenen werte einsetzt, so erhält man, da b e sich heben läßt, die heronische Formel (§ 15, 7).

§ 18. Berechnung eines Dreiecks mit Benutzung von Hilfsdreiecken.

\. Zur Berechnung eines Dreiecks sind häufig nicht nur Seiten und Winkel gegeben, sondern auch höhen, Mittellinien, Winkelhalbierende usw. Man verfährt dann ähnlich wie bei der Konstruktion von Dreiecken aus solchen Stücken. Man zeichnet ein Dreieck und in diesem Dreieck die Stücke, welche zur Berechnung des Dreiecks gegeben sind. Nun sucht man unter den dadurch entstehenden Teil- oder hilfsdrei-ecken dasjenige aus, welches man durch die gegebenen Stücke nach den in den vorhergehenden Paragraphen gegebenen Regeln berechnen kann. Durch dieses Hilfsdreieck gelingt es dann, Stücke des zu berechnenden

Dreiecks zu ermitteln, so daß schließlich die Berechnung desselben mit Hilfe bekannter Zeiten und Winkel ausgeführt werden kann. Das soeben Gesagte wird am besten durch die folgenden Aufgaben klar werden.

2. Ausgaben. Bei den folgenden Aufgaben zeichne man sich stets nach den Angaben der Aufgabe die Kgur und verfolge dann an dieser Figur die für die Lösung der Aufgabe gemachten Andeutungen.

Aufgabe 1: von einem Dreieck ABC kennt man die Seite a = 86,44 cm, den ihr gegenüberliegenden Winkel u ----- 57° 23' und die von C auf AB gefällte höhe CD = hc = 65,78 cm. Die unbekannten Seiten und Winkel zu berechnen.

Lösung: Aus dem rechtwinkligen Dreieck ADC findet man durch die Gleichung, welche sin cc erklärt, b. Nun wendet man auf das Dreieck ABC den Sinussatz an. (b ----- 78,096 cm, c = 98,175 cm, ß= 49°33,1', y = 73° 3,9'.)

Aufgabe 2: In einem DreieckABCifta = 42°15' unb ß=63°25\ Die Halbierungslinie des dritten Winkels ist CF = ivy = 25,67 cm. wie lang sind die Seiten des Dreiecks?

Lösung: Man bestimmt zunächst ₂ , bann berechnet man aus dem

Dreieck AFC durch ben Sinussatz die Seite b. Nun wendet man auf das Dreieck ABC wieder ben Sinussatz an. (a ----- 28,216 cm, b -----37,529 cm, c ----- 40,406 cm.)

Aufgabe 3: Die eine Seite eines Dreiecks ABC ist b = 68,56 cm, höhe und Mittellinie von der Ecke C [mb CD = hc = 45,23 cm und CE = mc = 57,88 cm. Die beiden unbekannten Seiten und die Winkel des Dreiecks zu berechnen.

Lösung: Aus dem rechtwinkligen Dreieck ADC findet man durch b mb hc den Winkel Nun kann man aus dem Dreieck AEC durch

ben Sinussatz zunächst LAEC und bann AE = ₂ berechnen. Die noch

fehlenden Stücke des Dreiecks findet man jetzt, wenn man auf das Dreieck ABOdenEangentialsatz anwendet. (a = 49,745 cm, c = 30,818 cm, « = 41⁰16,7', ß --- 114°36,0', y -- 24°7,3'.)

Aufgabe 4: Man kennt von einem Dreieck ABC die Seite AC = b = 841 cm, die Mittellinie CE = mc = 586,5 cm und L CEB = S = 81° 28'. wie groß sind fixe Winkel des Dreiecks?

Lösung: Aus dem DreiecE AEC, in welchem LAEC= 180°—^

ist, bestimmt man durch den Sinussatz a und A£= °₂ • hierauf findet

man aus dem Dreieck ABC mit Hilfe des Tangentialsatzes die beiden anderen Winkel, (a = 43°36,2', ß = 53°8,0', y = 83⁰15,8>- ' Hufgabe 5: von einem Dreieck ABC kennt man b = 16,9 cm, a ----- 67°22' und CE = mc = 17,2 cm. wie groß sind die beiden anderen Seiten und die Winkel?

Losung: Durch den Sinussatz findet man aus dem Dreiecf AEC den Winkel AEC und AE ----- -, nun wendet man auf das Dreieck

ABC den Tangentialsatz an. (a ----- 26,158 cm, c ----- 27,502 cm, ß = 36°36,4', 7 = 76° 1,6'.)

§ 19. Aufgaben, die durch die Beziehungen zwischen den vreiecksstücken auf einfachere zurückgeführt werden Können.

Bemerkung. 3n den Hufgabensammlungen werden vielfach Hufgaben gegeben, in denen die Berechnung der Seiten und Winkel des Dreiecks gefordert wird durch Stücke, die wohl in den praktischen Hn-wendungen der Trigonometrie niemals zur Ermittlung der Dreiecksstücke gegeben sind. Solche Hufgaben sind aber ein wertvolles Hilfsmittel, die trigonometrischen Formeln einzuüben und zu befestigen und die Erfindungsgabe des Lernenden zu bilden. (Es sollen daher im folgenden auch einige Hufgaben dieser Hrt besprochen werden. Wan versuche zunächst, die Husgabe zu lösen, ohne die angegebene Losung, die nicht immer die einzige zu sein braucht, zu benutzen.

2. Beispiele. Hufgabe 1: Die eine Seite eines Dreiecks ist c ----- 34,88cm, die Summe der beiden anderen Seiten a + b = 87,96 cm, und derHadius des dererstenSeiteangeschriebenenKreisesge^ 25,42 cm. Es sollen die beiden unbekannten Seiten und die Winkel berechnet werden, (a ----- 48.974 cm, b ----- 38,987 cm, a ----- 82° 51,5', ß = 52° 10,5', 7 = 44°58,0').

Losung: Hus a + b und c bestimmt man 2 s, dann y nach der Formel qc = s tng~- Nun tarn eine der Wollweideschen Formeln angewendet werden.

Hufgabe 2: 3n einem Dreieck ist der Winkel a = 48°30', der Radius des Hnkreises der dem gegebenen Winkel gegenüberliegenden Seite Qa = 112,5 cm, und der Hbstand des Scheitels des gegebenen Winkels von den Punkten, wo der Inkreis seine Schenkel berührt, 5 —. a = 95,6 cm. Die beiden anderen Winkel und die Seiten des

Lösung: Mit Hilfe der Formel Qa = s tngy findet man s, dann

Dreiecks zu berechnen, (ß = 88°47,8', y = 42°42jla = 154,14 cm, b = 205,75 cm, c = 139,59 cm.)

durch s und § — a die Seite a und b + c. Nun kann die Mollweidesche Formel angewendet werden.

Aufgabe 3: Der Umfang eines Dreiecks ist 2s = 129,8 cm, und sein Inhalt beträgt f= 782,7 qcm. Wie groß sind die Seiten und die unbekannten Winkel des Dreiecks, wenn Winkel y = 72°44' ist?

(a ----- 44,138 cm, b ----- 37,142 cm, c ----- 48,522 cm, a = 60°18,0', ß = 46°58,0'.)

Losung: Man bestimmt q durch die Formel f=QS, dann s — c aus der Gleichung q = (s — c) tng | • Nun lernn durch s und s — c

die Seite c und a + b ermittelt werden. Die übrigen Stücke werden dann durch die Mollweidesche Formel gefunden.

Aufgabe 4: Ein Dreieck besitzt den Winkel y = 41°30', und die Nadien der beiden Kreise, welche die diesem Winkel gegenüberliegende Seite berühren, sind q ----- 20,44 cm und qc == 43,86 cm. wie groß sind die beiden unbekannten Winkel und die Seiten? (a = 82°40,7', ß ---- 55049,3', a ---- 92,536 cm, b ---- 77,185 cm, c --- 61,82 cm).

Lösung: Durcfy die Formeln — c) tng ^ nnb ^c=stng ^

berechnet man s — c und s, dann kann man c und.a + b bestimmen und nun die Mollweidesche Formel anwenden.

Ausgabe 5: von einem Dreieck kennt man dnenIDmMy == 73°30', < die Summe der ihn einschließenden Zeiten a + b = 153,4 cm und den Kabuls des Inkreises q = 20,6 cm. wie groß find die beiden unbekannten Winkel und die Seiten? (u = 74° 14,0', ß = 32°26,0', a = 98,505 cm, b ----- 54,896 cm, c ---- 98,058 cm.)

Lösung: Man berechnet zunächst s — c durch die Formel s — c

= q cot 2, dann bestimmt man c und wendet darauf die Mollweidesche Formel an.

Aufgabe 6: Es sollen die unbekannten Seiten und die Winkel des Dreiecks berechnet werden, von dem der Inhalt f = 1657 qcm, die eine Seite a ----- 52,74 cm mb der Kadius des Ankreises dieser Seite Qa = 37,85 cm gegeben sind. (b = 76,895 cm, c ----- 63,400 cm,

" = 42°49,6', ß ----- 82°22,2', y = 54°48,2'.)

Lösung: Durch die Formel f= Qa (s — a) (§ 15, 6) findet man s — a, dann mit Hilfe von a den wert von s mb b + c. Nun kann

5MuG 431: Crantz, Trigonometrie. 2. Rufi.

man cc berechnest durch die Formel Qa= s tng * und hierauf die Mollweidesche Formel benutzen.

Aufgabe7:DieLummezweierLeiteneinesDreieck§ \\ia+b=64 cm, der von diesen Leiten eingeschlossene Winkel y ----- 30°, und der Inhalt beträgt f = 247 qcm. Es sollen die unbekannten Winkel und die Leiten berechnet werden. (cc = 109°59,0', ß = 40°1,0', a = 38 cm, b = 26 cm, c ----- 20,223 cm.)

Lösung: Aus der Formel f= ₂ ab sin y berechnet man ab. hierauf kann man mit Hilfe einer quadratischen Gleichung a und b bestimmen und dann den Tangentialsatz anwenden.

Bemerkung. Bei der Aufgabe 7 können die werte für a und b und entsprechend auch die werte für cc und ß miteinander vertauscht werden. Dasselbe gilt auch für die Aufgaben, in denen bei Anwendung der Mollweideschen Formel die halbe Differenz zweier Winkel durch den Kosinus bestimmt wurde. Da nämlich cos (—«) = + cos cc ist (§ 23, 5), so muß auch cos (cc — ß) = cos (ß — cc) sein.

Dritter Abschnitt.

Die trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel und die graphische Darstellung der Funktionen.

§ 20. Winkel von beliebiger Grötze.

Man kann sich einen w infei BAC (Fig. 2 8) dadurch entstanden denken, daß von zwei Geraden AB mtbAC, die ursprünglich aufeinander lagen, sich die eine, etwaAC, um den beiden Geraden gemeinsamen Punkt A in der Richtung des Pfeiles in der Figur gedreht hat, während die

andere festlag. Der Winkel ist dann anzusehen als das Maß der Drehung der Geraden AC gegen die Gerade AB.

Fig. 28.

tu

Bet dieser Auffassung des Winkels kann turnt auch von winkeln sprechen, die größer als ein gestreckter (180°) sind. Der Winkel kann jede beliebige Größe

§20. Winkel v.belieb. Große. § 2l. D. rechlwinkl. Koordinatensystem 63

annehmen. Sagt man z. B. von einer (Beraben AC, sie habe sich gegen eine andere, festliegende Gerade AB um einen Winkel von 750° gedreht, so heißt dies, daß die Gerade AC sich von ihrer Anfangslage, wo sie sich mit AB deckte, zweimal ganz um den Punkt A gedreht hat und dann noch weiter um einen Winkel von 30°.

will man auch für solche Winkel trigonometrische Funktionen einführen, d. h. will man auch solche Winkel durch Verhältnisse von Strecken bestimmen, so muß man für die trigonometrischen Funktionen andere Erklärungen geben, und diese neuen Erklärungen müssen die bisherigen Erklärungen als besondere Fälle in sich einschließen. Es geschieht dies mit Benutzung eines rechtwinkligen Koordinatensystems.

§ 21. Das rechtwinklige Koordinatensystem.

V Nimmt man auf einer beliebigen Geraden XXx (Fig. 29) einen festen Punkt 0 an, so kann man die Lage eines jeden Punktes A der Geraden bestimmen, wenn man erstens die Strecke OA angibt, um welche der Punkt A von dem festen Punkt 0 entfernt ist, und zweitens hinzufügt, ob der Punkt A rechts oder links von dem festen Punkt 0 sich befindet. Um diese letzte Angabe einfach machen zu können, ist man übereingekommen, die Entfernung 0 A mit einem positiven Vorzeichen zu versehen, wenn der Punkt A xed\ts von 0 liegt, mit einem negativen, wenn er sich links von 0 befindet. Nach dieser Vereinbarung ist also jeder Punkt der Geraden durch seine mit einem Vorzeichen versehene Entfernung von 0 eindeutig bestimmt.

Die mit dem zugehörigen Vorzeichen versehene Entfernung eines Punktes der Geraden von dem festen punkt O heißt die Abszisse des Punktes.

Man bezeichnet die Abszissen gewöhnlich durch x (xlt x₂, ...) und nennt die Gerade XtX Ahszissenachse oder X-Achse.

Errichtet man auf der Abszissenachse im Punkte 0 die Senkrechte YYlr so ist die Lage eines jeden Punktes B dieser Senkrechten durch seine Entfernung von dem festen Punkt 0 eindeutig bestimmt, wenn man festsetzt, daß die Entfernung positiv genannt werden soll, wenn der Punkt

21

ITI

IY

$tg. 29.

r/

oberhalb der Abszissenachse liegt, negativ dagegen, wenn er sich unterhalb dieser Achse befindet.

Die mit dem zugehörigen Vorzeichen versehene Entfernung eines Punktes der Senkrechten von dem festen Punkt 0 heißt die Ordinate des Punktes.

Man bezeichnet die Grdinaten gewöhnlich durch y (z/v z/₂,...) und nennt die Senkrechte YY₁ die Grdinatenachfe oder ^-Achfe.

Die beiden aufeinander senkrechten Geraden XX₁ (die Abszissenachse) und YYt (die Grdinatenachfe) bilden ein rechtwinkliger Koordinatensystem. Der Punkt 0 heißt der Nullpunkt oder der Anfangspunkt des Systems.

2. hat man auf der Abszissenachse einen Punkt A durch seine Abszisse x bestimmt und auf der Grdinatenachfe einen Punkt B durch seine Ordinate y und legt dann durch A und B die parallelen zu den Achsen, so schneiden sich diese in einem und nur einempunkLP (Fig.29). Die beiden parallelen bestimmen also eindeutig einen Punkt der Ebene, in welcher das Koordinatensystem liegt. Die Abszisse und die Ordinate, durch welche die parallelen bestimmt werden, nennt man auch die Abszisse und die Ordinate des Punktes P oder mit gemeinsamem Namen die Koordinaten des Punktes P.

Ebenso wie durch die beiden Koordinaten ein Punkt der Ebene eindeutig bestimmt ist, bestimmt auch jeder Punkt der Ebene eindeutig zwei Koordinaten. Man findet sie, indem man durch den Punkt die parallelen zu den Achsen des Koordinatensystems legt.

5. Die vier Teile der Ebene, welche durch die Achsen des Koordinatensystems gebildet werden, nennt man den ersten, zweiten, dritten und vierten Quadranten. Der erste Ouadrant ist derjenige, welcher von den beiden positiven Richtungen der Achsen begrenzt wird, von ihm aus zählt man dann die übrigen (Quadranten im positiven Drehungssinn, d.h. in der Richtung, die der Richtung, in der der Zeiger einer Uhr sich bewegt, entgegengesetzt ist. In der Figur 29 sind die einzelnen (Quadranten durch I, II, III und IV bezeichnet.

§. Im ersten Ouadrantenliegen allepunkte, derenKoordinatenpositiv sind. Für Punkte im zweiten Quadranten ist die Abszisse negativ und die Ordinate positiv. Die Punkte im dritten (Quadranten besitzen negative Koordinaten. Im vierten Quadranten ist für jeden Punkt die Abszisse positiv und die Ordinate negativ.

§ 22. Erklärung der trigonometrischen Funktionen beliebiger Winkel.

\. Sinus und Kosinus. Um eine für alle Winkel gültige Erklärung der trigonometrischen Funktionen geben zu können, denkt man sich den Scheitel des Winkels a (Kg. 30) auf den Unfangspunkt 0 eines rechtwinkligen Koordinatensystems gelegt und seinen einen Schenkel mit der positiven Richtung der Abszissenachse zusammenfallend. Den zweiten Schenkel des Winkels cc zeichnet man dort, wohin

eine Gerade gelangt, die auf der Ab- __(

szissenachse lag und sich dann um den xt \

Anfangspunkt des Koordinatensystems im positiven Drehungssinn um den Winkel cc gedreht hat.

$ig. 30.

Beschreibt man nun um den Anfangspunkt 0 des Koordinatensystems mit

einem beliebigen Radius r den Kreis, so muß dieser Kreis den Schenkel des Winkels, der nicht mit der positiven Richtung der Abszissenachse zusammenfällt, in einem Punktes schneiden. Es wird also durch den Schenkel des Winkels auf dem Kreise ein Punkt eindeutig bestimmt. Umgekehrt bestimmt aber auch jeder Punkt des Kreises, wenn man von ihm aus den Radius nach 0 zieht, eindeutig einen Winkel. Da nun nach § 21,2 die Lage eines jeden Punktes durch seine Koordinaten bestimmt ist, so kann man die Koordinaten auch benutzen, um durch sie den Winkel zu bestimmen. Auf dieser Überlegung beruht die Erklärung der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel.

Erklärung: Ulan nennt die Matzzahl (vgl. 8 2.1) der mit dem Radius 7* gern essenen Gr dinate des Punktes den Sinus des Vinkels « und die Maßzahl der Abszisse den Kosinus des Winkels cc.

sin a ----

COS u = -r. (fyig. 31.)

Diese Erklärung schließt die früher gegebenen Erklärungen in sich ein. gestattet aber von dem Sinus und Kosinus eines jeden Winkels zu sprechen.

Bemerkung: An dieser Stelle kann jetzt eine Erklärung der Entstehung der Bezeichnung Sinus gegeben werden. Der Name Sinus ist wahrscheinlich in folgender weise entstanden: Die Strecke P Q ($xq. 31), deren Maßzahl der Sinus ist, ist die Hälfte der zu dem Peripheriewinkel ec gehörenden Sehne. Die indischen Mathematiker haben zuerst diese halbe Sehne zur Bestimmung des Winkels benutzt, während ptole-mäus noch die ganze Sehne gebrauchte. 3m Indischen heißt die halbsehne jiva. Dieses Wort kam als technisches Fremdwort zu den Krädern, wurde von ihnen durch dschiba wiedergegeben und, da die Araber die vokale nicht schreiben, dschb geschrieben. Nun gibt es im Arabischen ein häufig gebrauchtes Wort dschaib, welches auf Deutsch Busen oder Tasche bedeutet, und das wegen des Fortlassens der vokale beim Schreiben ebenfalls dschb geschrieben wurde. Den Übersetzern der arabischen mathematischen Werke in die lateinische Sprache war nun nur das zuletzt genannte Wort bekannt, sie übersetzten daher dschb durch das lateinische Wort sinus, welches Busen bedeutet.

2. Tangens und Rontangens. Nach Aufstellung der Definitionsgleichungen für Sinus und Kosinus liegt es nahe, den Tangens durch die Gleichung

tng ec -----

zu erklären. Line solche Erklärung ist aber nicht brauchbar, da jetzt die Funktionen als Maßzahlen von Strecken für den Nadius als Maßeinheit erklärt werden. (Es ist daher nötig, um auch den Tangens als Maßzahl einer Strecke erklären zu können, die man mit dem Nadius

r mißt, den Bruch ~ durch einen gleichwertigen Bruch zu ersetzen,

dessen Nenner r ift.|Dies gelingt in folgender weise. Legt man in A (Fig. 31) cm den Kreis die Tangente, welche den zweiten Schenkel des Winkels in T schneidet, und bezeichnet die Strecke AT mit t, dann

besteht nach dem Strahlensatz die Proportion

77

cc.

P/

Fig. 31.

hierdurch ist der für die Erklärung des Tangens brauchbare Ausdruck

tng ec =

gefunden. 3n Worten heißt diese Erklärung: Legtman andenKreis in seinem Zchnittpunkt mit der positiven Nichtung der Abszissenachse die Tangente, so ist die Maßzahl

der Strecke vom Berührungspunkt der Tangente bis zu ihrem Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels « der Tangens des Winkels «.

Bemerkung: Die soeben für tng« gegebene Erklärung erklärt zugleich den für diese Funktion gewählten Namen (vgl. § 5,7 Bern.).

Für beit Kotangens kann man in ähnlicher Meise eine geeignete Erklärung finden. Nach der in § 6, 3 gegebenen Erklärung ist in dem rechtwinkligen Dreieck OPQ (Fig. 32)

cot « — ~ •

T_y

Zieht man in B an den Kreis die Tangente, welche den zweiten Schenkel des Winkels in 7\ schneidet, dann ist AOQP ~ AOBTu denn es ist LQ = LB als Rechte und LPOQ =

LOTtB als Wechselwinkel an parallelen. Bus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke folgt x:y = t±:r.

(Es ist daher

cot«

r

SiQ. 32.

Erklärung: Legt man an den Kreis in seinemSchnittpunktmit der pofitioenRichtung derGrdi-natenachse die Tangente, so ist die Rkatzzahl der Strecke vom Berührungspunkt der Tangente bis zu ihrem Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels oc der Kotangens des Winkels «.

§ 23. Die werte der Funktionen beliebiger Winkel.

Die Munitionen der Vinkel über 360°. (Es ist leicht einzusehen, daß man nur die Funktionen der Winkel von 0° bis 360° zu untersuchen hat. Übersteigt nämlich die Größe des Winkels den wert von 360°, so rückt der Schenkel des Winkels, durch dessen Drehung die Winkel entstehen, wieder in den ersten Quadranten. Die Funktionen müssen daher wieder dieselbenwerte annehmen, die sie vorher hatten, als der Winkel von 0° bis 360° wuchs. Man kann das aussprechen in dem Lehrsatz: Die Funktionen der Winkel ändern sich nicht, wenn man den Winkel um ein beliebiges ganzes vielfaches von 360° vermehrt oder vermindert.

Bedeutet k eine beliebige ganze Zahl, so hat man die Formeln

sin    a    = sin (« +    k •    560°),    tng a = tng (a    + k •    360°),

COS    a    = COS (a +    k •    360°),    COt a = cot («+/?•    360°).

Huf Grund dieser Formeln kann man jede Funktion eines Winkels, der 360° übersteigt, auf dieselbe Funktion eines Winkels zwischen 0° und 360° zurückführen. So ist z. B.

sin 410° =    sin    (410° -    1 • 360°) = sin    50°,

sin 850° =    sin    (850° -    2 • 360°) = sin    130°.

tng 1896° --- tng 96°.

Man hat nur die Hnzahl der Grade durch 360 zu dividieren und den bei der Division bleibenden Rest zu bestimmen. Der Rest gibt dann die Gradzahl der der gegebenen Funktion gleichen Funktion an. cos 5977° = cos 217°,

2. Die Funktionen der Winkel zwischen 0° und 360°. Die vier Quadranten, welche in dem Rreise, der mit dem Radius r um den Hnfangspunkt beschrieben ist, gebildet werden, sind einander kongruent. C§ müssen daher auch die Roordinaten der Rreispunkte, deren Matzzahlen die Winkel bestimmen, in allen (Quadranten dieselben absoluten werte durchlaufen. Rur wird man ihnen wegen der Lage im Koordinatensystem das eine Mal einen positiven wert, das andere Mal einen negativen wert geben müssen. Die Tafeln der Funktionen spitzer Winkel, die sich in den Logarithmentafeln finden und die bisher benutzt wurden, genügen also für die Funktionen aller möglichen Winkel.

wichtig ist nur, datz man sich darüber klar wird, wie man die absoluten werte der Funktionen der Winkel in den einzelnen (Quadranten

B / (Pt

P.

p.

rv

Fig. 33.

auf die absoluten Werte der Funktionen von Winkeln im ersten (Quadranten zurückführt. (Es lätzt sich dies leicht aus Fig. 33 erkennen, in der LPiOA einen Winkel im ersten (Quadranten (einen spitzen Winkel), _Z.P₂OA einen Winkel im zweiten x (Quadranten (einen stumpfen Winkel) darstellt. LPsOA ist, üottA aus im positiven Drehungssinn gerechnet, ein Winkel im dritten Guadran-ten, und, ebenso gerechnet, LP±OA ein Winkel irrt vierten Duadranten. Da die Dreiecke PxOQ, P₂OQ1#

P₃ 0 9i und P₄OQ, deren Katheten die Linus und Kosinus und damit auch die (Quotienten dieser Funktionen, den Tangens und Kotangens, bestimmen, einander kongruent sind, so findet man mit Berücksichtigung der durch die Lage der Strecken bedingten Vorzeichen:

I.    Die Sunftionen der Winkel im zweiten Quadranten haben dieselben absoluten werte wie dieFunktionen ihrerspitzen Supplementwinkel. Der Sinus ist ebenfalls positiv, aber der Kosinus ist negativ, und daher besitzen auch die (Quotienten dieser beiden Funktionen, der Tangens und der Kotangens, negative werte.

Es stimmt dies mit dem überein, was in § 12 über die Funktionen stumpfer Winkel ermittelt wurde.

II.    Die Funktionen der Winkel im dritten Guadranten haben dieselben absoluten werte, wie die Funktionen der spitzen Winkel, die man erhält, wenn man 1800 von dem gegebenen Winkel ab zieht. Der Sinus und der Kosinus sind negativ und daher Tangens und Kotangens positiv.

Beispiele: sin 112°20'= sin67°40', sin 228⁰I5=-sin48°I5', cos 157°42' = - cos 22°18', cos 189°48' = - cos 9°48', tng 166° 26'= - tng 13°34', tng 250°28' = tng 70°28'.

Bemerkung: Findet man, wenn man einen Winkel berechnen soll, für eine Funktion dieses Winkels einen negativen wert, ist z. B. tng « = — 0,728, so kann man aus dieser Gleichung den wert von a nicht bestimmen, da man eine negative Zahl nicht logarithmieren kann. Bedenkt man aber, daß für stumpfe Winkel der Tangens negativ ist, so erkennt man zunächst, daß a ein stumpfer Winkel sein muß. Da nun die absoluten werte der Funktionen stumpfer Winkel gleich den werten der Funktionen ihrer spitzen Supplementwinkel sind, so muß tng (180°— a) = 0,728 sein, hieraus findet man log tng (l 80° — cc) = 9,86213 - 11 und 180°-= 36°3,3'. Cs ist also <* = 143°56,7'.

III.    Die Funktionen der Winkel im vierten (Quadranten haben dieselben absoluten werte wie die Funktionen der spitzen Winkel, die man erhält, wenn man den gegebenen Winkel von 360° abzieht. Der Sinus ist negativ, der Kosinus aber positiv, und daher sind Tangens und Kotangens negativ.

Faßt man das über die Vorzeichen Gesagte zusammen, so findet man:

Der Sinus ist positiv im ersten und zweiten (Quadranten, negativ im dritten und vierten.

Der Kosinus ist positiv im ersten und vierten (Quadranten, negativ im zweiten und dritten.

Tangens und Kotangens sind positiv im ersten und dritten Quadranten, negativ im zweiten und vierten.

Nach diesen Überlegungen kann man die Funktion eines jeden beliebigen Winkels auf Funktionen von Winkeln im ersten Onadranten zurückführen.

z. Die werte von Funktionen für ganze vielfache von 90°. Für

90°    180°

270°

0°

sin

einen Winkel von 0° ist die Ordinate 0 und die Abszisse + r. Daher sind die Rkaßzahlen, wenn man mit dem Radius mißt, 0 und + 1, d. h. sin 0°= 0 und cos 0°= 1. Für den Winkel von 90° ist es gerade umgekehrt, also sin 90°= 1 und cos 90° = 0. Ist der Winkel gleich 180°, so ist die Ordinate 0 und die Rbszisse — r. Daher sind die Meßzahlen, wenn man mit dem Radius mißt, 0 und — 1, d. h. sin 180° = 0 und cos 180° = — 1. Für Winkel von 27(j0 ist es wieder umgekehrt, also sin 270° ----- I und cos 270° — 0. Für Winkel von 360° erhält man wieder dieselben werte wie für 0°. Die werte für Tangens und Kotangens ermittelt man durch Division aus den werten -- für Sirius und Kosinus. Die einzelnen werte sind noch einmal in der nebenstehenden Tabelle zusammengestellt.

cos

+ oo 0

tng

— oo

cot + OO

0    — oo 0

Bemerkung: Daß für bestimmte Winkel Tangens und Kotangens unendlich groß werden, erkennt man auch recht gut an Fig. 31 und an Fig. 32. Wird z.B. der Winkel cc gleich 90°, so muß (Fig. 31) OT parallel zu ÄT werden und daher die Strecke AT, deren Maßzahl den wert des Tangens gibt, einen unendlich großen wert annehmen. Ähnlich ist es beim Kotangens, da für Winkel von 0° die Linie 0T₁ (Fig. 32) der Tangente BTX parallel wird.

Linderung der werte der Funktionen in den einzelnen Quadranten. was über die Änderung der Funktionen spitzer Winkel, also solcher Vinkel, die im ersten Quadranten liegen, bei der Besprechung der einzelnen Funktionen im ersten Abschnitt gesagt ist, giltnicht gleichzeitig auch für die übrigen Quadranten. Denkt man sich in Fig. 31 den Schenkel OP im positiven vrehungssinne bewegt, wobei der Winkel größer wird, und verfolgt dabei die Änderungen, welche die Abszisse und die Ordinate des Schnittpunktes erleiden, so bekommt man einen klaren Einblick in die Art der Änderung der Funktionen. Berücksichtigt man hierbei auch noch die durch die Lage bedingten Vorzeichen der Funktionen, so kann man die Ergebnisse der Beobachtung in die folgenden Sätze zusammenfassen:

Der Sinus wächst mit wachsendem Winkel im ersten (Quadranten von 0 bis 1, im zweiten und dritten nimmt er ab ion 1 bis 0 und dann von 0 bis — 1, im vierten (Quadranten wächst er wieder von — 1 bis 0.

Der Kosinus nimmt mit wachsendem Winkel im ersten und zweiten (Quadranten ab von 1 bis 0 und von 0 bis — 1, in dem dritten und vierten (Quadranten wächst er von — 1 bis 0 und von 0 bis 1.

DerTangens wächst in allen (Quadranten mit wachsendem Winkel, während der Kotangens stets mit wachsendem Winkel kleiner wird.

5. Die Funktionen negativer Winkel. Bisher ist der Winkel stets dadurch entstanden gedacht, daß sich der eine Schenkel von der positiven Richtung der Abszissenachse ausgehend im positiven Drehungssinn um den Anfangspunkt des Koordinatensystems drehte. Die Drehung kann aber auch im anderen Sinne erfolgen. Der Schenkel kann, ebenfalls von der positiven Richtung der Abszissenachse ausgehend, auch im negativen Drehungssinn d. h. in der Richtung, in welcher der Seiger einer Uhr sich bewegt, sich um 0 drehen. In diesem Falle pflegt man der Maßzahl des entstehenden Winkels ein negatives Vorzeichen zu geben.

\A

Ist Winkel POÄ (Fig. 34) gleich <*, so versteht man unter dem Winkel — a den ihm absolut gleichen Winkel PxOA, den man erhält, wenn man von P auf i die Abszissenachse das Lot fällt, dieses ^ bis zum Schnittpunkt mit dem Kreise in Pi verlängert und nun Pt mit 0 verbindet.

ri

Aus der Kongruenz der Dreiecke OQP und OQPx erkennt man sofort, daß die 5tg. 34. absoluten werte der Funktionen beider Winkel einander gleich sein müssen. Aus der Lage der homologen Stücke aber wird es klar, daß der Sinus des negativen Winkels negativ ist, der Kosinus aber auch für den negativen Winkel positiv fein muß. Dies hat zur Folge, daß sowohl Tangens wie Kotangens negative werte besitzen müssen. Man erhält also die Formeln:

tng(- a) = -tng«, cot (— «)---- — cot«:

Bemerfung:Die trigonometrischenZunktionen negativerlvinkel und solcher Winkel, die größer als 180° sind, finden unter andern» An*

sin    — sin a₉

cos (— d) = + cos «,

Wendung bei der Lösung binomischer Gleichungen, (vgl. Arithmetik und Algebra, zweiter Teil. ARuG Bb. 205.)

6.    Mehrdeutigkeit der trigonometrischen Funktionen. Jeder Winkel bestimmt eindeutig den wert eines Sinus, eines Kosinus, eines Tangens oder eines Kotangens. Die in diesem Abschnitt angestellten Betrachtungen zeigen aber, daß das Umgekehrte nicht der Fall ist. (Es wird also durch eine der genannten Funktionen der wert eines Winkels nicht eindeutig bestimmt. Betrachtet man nur Winkel zwischen 0° unb 360°, so entsprechen jedem werte einer Funktion zwei voneinander verschiedene Winkel. Ist z. B. für den Sinus eines Winkels ein positiver wert gegeben, so gehört dazu ein Winkel im ersten (Quadranten und ein Winkel im zweiten (Quadranten (vgl. § 12/1). Kennt man für den Tangens eines Winkels einen negativen wert, so gehört dazu ein Winkel im zweiten (Quadranten und ein Winkel im vierten (Quadranten usw. Läßt man beliebig große Winkel zu, so gehören zu einem Funktionswert alle die unzählig vielen Winkel, die man erhält, wenn man zu den beiden zwischen 0° und 360° liegenden Winkeln, die dem Funktionswert angehören, noch ± k • 360° addiert (vgl. § 23,1), wenn k irgendeine beliebige positive Zahl bedeutet.

7.    Bemerkung zu den Gleichungen. Bei den in § 8 und § 9,5 gelösten Gleichungen, welche trigonometrische Funktionen eines unbekannten Winkels enthielten, sind nur die spitzen Winkel gesucht worden, die den Gleichungen genügten. (Es konnten daher auch nur positive werte der Funktionen gebraucht werden, und jedem positiven wert entsprach nur ein Winkel. Man erkennt jetzt, daß zu den positiven werten der Funktionen auch noch ein zweiter Winkel zwischen 90° und 360° gehört, und daß auch die negativen werte Winkel bestimmen, die aber nicht im ersten (Quadranten liegen, weiter ist nach dem oben Gesagten klar, daß man zu allen diesen winkeln auch noch ± k • 360° hinzufügen muß. Jede Gleichung, in der trigonometrische Funktionen unbekannter Winkel vorkommen, hat unendlich viel Lösungen.

§ 24. Die Bestimmung der Winkel durch Bogenmatz. Graphische Darstellung der Funktionen.

\. Beschreibt man um den Scheitel A eines Winkels «(Fig.35) mit einem beliebigem Rabius r den Kreis, so wird durch die Schenkel des Winkels auf der Peripherie des Kreises ein Bogen b abgeschnitten, zu dem a als Zentriwinkel gehört. Da sich Bogen desselben Kreises

wie die zu ihnen gehörenden Zentriwinkel verhalten, und da matt auch den ganzen Kreisumfattg (2 nr) als einen Bogen auffassen kann, zu dem als Zentriwinkel ein Winkel von 360° gehört, so besteht die Gleichung

b : 27tr = cc : 360.

Rus dieser Gleichung findet man:

na

r “ 180*

Die linke Seite dieser Gleichung stellt Ulaßzahl bes Bogens dar, wenn man r als Maßeinheit nimmt (§ 2,1). Diese Ulaßzahl ist also für denselben Winkel a eine unveränderliche Größe und unabhängig von der Größe des gewählten Radius. Die Ulaßzahl ändert sich aber, wenn der Vinkel ein anderer wird, ist also eine Funktion des Winkels. Man hat daher diese Maßzahl auch zur Bezeichnung des Winkels benutzt.

Da die Sänge des Halbkreises, wenn der Radius des Kreises gleich r ist, den wert nr besitzt, so bezeichnet man den Winkel von 180°, der zu dem Halbkreis als Zentriwinkel gehört, auch durch

"=«= 3,1415926 ....

hiernach läßt sich für jeden Winkel, der in Grad und Minuten ge-gegeben ist, die ihn darstellende Zahl im Bogenmaß leicht berechnen. Für einen Winkel von 1° findet man:

$ig. 35.

7C

= 0,0174533 ....

Die folgende Tabelle, in welcher für Winkel von 1° bis 9° und von l' bis 9' die sie darstellenden Zahlen im Dogenmaß angegeben sind, ermöglicht eine leichte Umrechnung der in Grad und Minuten ge« denen Matzzahl eines Winkels im Bogenmaß:

1°~ 0,0174533 2° ~ 0,0349066 3° ~ 0,0523599 4° ~ 0,0698132 5° ~ 0,0872665 6° ~ 0,1047198 7° ~ 0,1221730 8° ~ 0,1396263 9° ~ 0,1570796

180

1' ~ 0,0002909 2' ~ 0,0005818 3' ~ 0,0008727 4'~ 0,0011636 5' ~ 0,0014544 6'~ 0,0017453 7'~ 0,0020362 8'~ 0,0023271 9'~ 0,0026180.

Ist ein Winkel von 37°25,8' durch Bogenmaß auszudrücken, so findet man nach der Tabelle:

30° ~ 0,523599 7° ~ 0,122173 20'~ 0,005818 5'~ 0,001454 0,8'~ 0,000233 37° 25,80,653277

-1

-1

-z

2. Graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionen. Mit Benutzung der Bezeichnung der Winkel durch das Bogenmaß ist es möglich, eine graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionen zu geben. Man trägt hierbei die Maßzahlen der Winkel als Abszissen und die zugehörigen Funktionswerte als Grdinaten in ein rechtwink-Y liges Koordinatensystem ein. In dieser weise sind die Figuren 36

und 37 ent-x standen. Fig.

36istdiegra-~3Jt phische Darstellung für 8iNtt(dieSi-nuslinie), und Fig. 37 stellt die Funktion tngof graphisch dar. Man erkennt auch aus den beiden Kurven leicht, was in § 23,6 gesagt wurde, daß jedem Winkel nur ein 6    / 7 j f y    Funktionswert, jedem

/ZJl 5^\    "    Funktionswert aber

i    unzählig viele werte

des Winkels entspre-:    chen. Zieht man näm-

:    lich durch den Punkt

,    der Grdinatenachse,

;    welcher dem gegebe

nen Funktionswert

Je

3TC

5ig. 36.

1 \ Z jy ' ji i ¹    Yit

4-

3sL

s_

Lig. 37.

entspricht, die parallele zu der Abszissenachse, so schneidet diese parallele die Rurve unzählig oft, und die Abszisse einer jeden dieser Schnittpunkte stellt den wert einer Winkels dar, der dem gegebenen Funk-tionrwert genügt.

vierter Abschnitt.

Die addilionstheoreine und ihre Bnroenöung.

§ 25. Sormeln für die ZunKtionen einer Summe oder einer Differenz von winkeln.

t. Vorbemerkungen. Unter den Additionstheoremen versteht man trigonometrische Formeln, durch welche die Funktionen einer Summe oder Differenz zweier Winkel, z. B. sin (cc + ß), cos (cc — ß), durch Funktionen der einzelnen Winkel, cc und ß, ausgedrückt werden. Eine solche Formel kann zur Berechnung der werte der Funktionen von großem Nutzen sein. Rennt man nämlich den wert von sin 1°, womit auch cos 1°, tng 1°, cot 1° gegeben sind (vgl. § 7, 5), so kann man mit Hilfe eines Additionstheorems sin 2° = sin (1° + 1°) berechnen, dann sin 3° ----- sin (2° + 1°) usw.

ptolemäus hat eine besondere Eigenschaft des Sehnenvier^cks entdeckt, die in dem folgenden Satze, der seinen Namen trägt, ausgesprochen ist.

Der ptoleinäische Lehrsatz: 3n jedem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte j,e zweier Gegenseiten.

Ci

Btit Hilfe dieses Satzes gelang es ptolemäus, eine Beziehung zwischen dem Sinus der Summe zweier Winkel und den Funktionen der einzelnen Winkel herzuleiten. Er berechnete darauf mit vieler Mühe den wert von sin 1°. Nun konnte er mit Hilfe dieser Formel die werte der Sinus der übrigen Winkel in der weise, wie es oben angedeutet worden ist, berechnen.

hier soll die Formel, die ptolemäus fand, in ganz einfacher weise hergeleitet werden.    ™    ^

5tg. 38.

2. Die Mditionstheoreme für den Sinus. Man trage an eine Gerade in einem Punkte P (Fig. 38) auf der einen Seite den spitzen Winkel cc und auf

der anderen Seite den spitzen Winkel ß an. Hierauf errichte man auf der Geraden in einem beliebigen Punkte C, welcher auf dem den beiden winkeln gemeinsamen Schenkel liegt, die Senkrechte und bezeichne ihren Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels u durch A, ihren Schnittpunkt mit dem zweiten Schenkel des Winkels ß durch B. Cs ist dann

A PAB = A PAC + APBC

und daher, wenn man PA = a, PB = b und PC ----- c setzt nach § 15,6b:

2 ab sin (a + ß) = j ac sin a + — bc sin ß. Dividiert man diese Gleichung durch * ab, so findet man: sin (a + ß) = °b sin a + °a sin ß.

Nun ist" aber, wie man aus der Figur erkennt,

= COS CC,

5tg. 39.

£ = cosß und CQ

also erhält man die Gleichung:

I. sin (a + ß) = sin a cos ß + cos a sin ß.

CLy

jÖO

Trägt man an die Gerade im Punkte P die Winkel a und ß (a>yS) aus derselben Seite an, -T so ist (Fig. 39)

A PAB = APAC-APBC

1 11 oder 2 ab sin (a — ß) = ₂ ac sin u — ₂ bc sin ß.

hieraus folgt nach Division der Gleichung durch ₂ ab:

II. sin («—ß) — sin a cos ß — cos a sin ß.

5. Die Kdditisnsthesreme für den Kosinus, wendet man die für die spitzen Winkel a und ß gefundene Formel für sin (« —ß) auf die ebenfalls spitzen Winkel (90° — «) und ß an, so erhält man: sin (90° — u — ß) = sin (90° — r<) cos ß — cos (90° — «) sin ß. Nun ist sin (90° — a — ß) = sin (90° — [<* + ß]), die soeben gefundene Formel geht daher unter Venutzung von § 7,1 über in die andere:

I. cos (a + ß) = cos « cos ß — sin « sin ß.

Ersetzt man in der für sin (« + ß) gefundenen Formel« durch (90°—«), so findet man: sin (90° — a + ß) = sin (90° — «) cos ß + cos (90° — ß) sin ß. hieraus folgt, da sin (90° — « + ß) = sin (90° — [« — (3]) ist, wie oben:

II. cos (« — (?) =s cos ß cos ß + sin a sin ß.

4. Bemerkung. Die soeben abgeleiteten Additionstheoreme gelten nach ihrer Herleitung nur für spitze Winkel. (Es läßt sich aber zeigen, daß sie für jeden Winkel gültig sind. Ist z. B.ß ein Winkel im dritten Guadranten und ß ein stumpfer Winkel, dann sind (« — 180°) und (180° — ß) spitze Vinkel. $ür diese spitzen Winkel gilt nach 2,1 die Formel

sin (ß — 180° + 180° - ß)

= sin - 180°) cos (l 80° — ß) + cos (« - 180°) sin (180° - ß).

Die linke Seite dieser Gleichung ist gleich sin (« — ß). Auf der rechten Seite ist

sin (ß — 180°) = sin [— (180° — «)] = — sin (180® - <*) (§ 23,5) cos (ß - 180°) = cos [- (180° -«)] = + cos (l 80° - «) (§ 23,5)

Dadurch erhält man aus der gefundenen Gleichung die andere:

sin (« — ß)

=—sin (180® — ß) cos (180° — ß) + cos(l80° —ß) sin (180® — ß). Aus dieser Gleichung folgt nach §12,1 und 2:

sin (ß — ß) = sin ß cos ß — cos ß sin ß.

Man findet also für die Vinkel ß und ß, von denen keiner ein spitzer Vinkel ist, genau dieselbe Formel, die oben für spitze Winkel hergeleitet wurde. 3n ähnlicher weise kann man den Beweis auch für andere Winkel und für die anderen Formeln führen. Die Additionstheoreme gelten also ganz allgemein.

5. Die Additionstheoreme für den Tangens. Nach § 7,4 besteht die Gleichung

tng (ß + ß) =

sin (a + ß) _ sin a cos ß + cos a sin ß cos (cc + ßj cos a cos ß — sin a sin ß

Dividiert man Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Seite durch cos cc cos j3, so erhält man:

I. tng (a + ß) = ^±^L.

⁶ '    1 — tng a tng ß

Ähnlich findet man:

II. tng (a — ß) =

tng a — tng ß '

1 +tng« tngj$ '

anu© 431: Crantz, Trigonometrie. 2. Hufl.

§ 26. Formeln für die Summe zweier Funktionen.

vre Sormeln für die Summe zweier Funktionen. aus den additionstheoremen samt man Formeln herleiten, durch die man imstande ist, die Summe zweier Funktionen in ein Produkt zu verwandeln. Für zwei beliebige Winkel x und y gelten nach den additionstheoremen die Gleichungen:

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin (x — y) = sin x cos y — cos x sin z/, cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin yf cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y.

aus diesen Formeln folgt durch addition bzw. Subtraktion: sin (x + y) + sin (x — y) = 2 sin x cos r/, sin (x + y) — sin (x — y) = 2 cos x sin z/, cos (x +    z/) + cos (x — y)    =    2    cos x cos z/,

cos (x +    z/) — cos (x —- z/)    = —    2 sin x sin y.

Setzt man in diesen Formeln x + y = u und x — y = ß, dann ist, wie man durch addition bzw. Subtraktion findet, x = a ~ und

a 2~~- zu setzen, und man erhält:

I.    sin a + sin ß = 2 sin "    • cos

II.    sin a —    sin ß =    2 sin    • cos

III. COS ct +    cos ß =    2 cos    • cos —^—

IV. cos a — cos ß — — 2 sin

• sin —5— •

2. Heue Herleitung früher erhaltener Formeln, mit Hilfe der soeben gefundenen Formeln kann man denTangentialsatz(Z 14,3) einfach in folgender weise herleiten. Es ist nach dem Sinussatz

a __ sin cc b ~ sin ß

Sind zwei Brüche gleich, so ist die Differenz aus Zähler nnb Nenner, dividiert durch die Summe aus Zähler und Nenner bei beiden Brüchen

§ 26. Die Summe zweier Funktionen

IC

gleich, hiernach folgt aus der obigen Gleichung:

a — b a -f- b ~ sin a -f sin/3

sin cc — sin/3

2 sin -

to

cc + ß ' •COS ' '

2 sin

<*±ß

cc —

‘"ff ₂

-Cö to

cc-ß

• cos

CC -f ß '

tng 2

y    cc -j- ß

Beachtet man nun noch, daß ₂ im Dreieck das Komplement zu ₂

cc 4-/3    y

Y~ durch cot ₂ ersetzen und erhält

ist, so kann man nach §7,1 tng

bann den Tangentialsatz in der früher gefundenen Form.

5luch die Formeln für den Übergang zum halben Winkel lassen sich jetzt ganz einfach herleiten. Setzt man in den beiden Formeln 1, I und II ß = 0°, so findet man, da sin 0° = 0 ist, aus jeder der beiden Formeln:

^    . CC    cc

sin cc = 2 sin ₂ cos •

Setzt man in den beiden Formel 1, III und IV ß = 0°, so findet man, da cos 0° = 1 ist:

cos cc -f- 1 •-= 2 cos²

to £

und cos a — 1 = — 2 sin²

oder:

cos cc = 2 cos² ₂ — 1 und cos cc = 1—2 sin² ™ •

Dies sind dieselben Formeln, welche § 9, 2 und 3 in anderer weise abgeleitet worden sind. Rus ihnen folgt durch Rddition und Division

durch 2 die dritte Formel cos« = cos²^ — sin²™*

Bemerkung. Man könnte auch die Formeln für den Übergang zum halben Winkel aus dem in § 25 gefundenen Rdditionstheorem herleiten. Setzt man in der Formel § 25, 2 I ß = a, so erhält man: sin 2 cc = 2 sin a cos cc.

Diese Formel sagt ebenso wie die oben gefundene Formel, daß der Sinus eines Winkels gleich dem doppelten Produkt aus Sinus und Kosinus des halb so großen Winkels ist.

3n ähnlicher weise erhält man, wenn man ß = cc setzt, aus der Formel § 25,31:

cos 2« = cos²a — sin²a und aus § 25, 5 die Formel für tng 2

§ 27. Anwendungen der Additionstheoreme.

A. Anwendungen bei Gleichungen.

Aufgabe 1: Den Winkel a zu berechnen aus der Gleichung COS (a + 36°) + cos (cc + 12° = 0,74.

Losung: Mit Benutzung der Formel § 26,1 III erhält man aus der gegebenen Gleichung: 2 cos (a + 24°) cos 12° — 0,74. hierdurch findet man a + 24° = 67° 46,4' und a ---- 43° 46,4'.

Aufgabe 2: Die Winkel a und ß zu berechnen, wenn gegeben ist, sin cc + sin ß = 0,976 und cc + ß = 58° 50'.

QCL

CM

Lösung: Aus der ersten Gleichung findet man: 2 sin-y--• cos -= 0,976 und hieraus • (a --- 35° 55', ß = 22° 55'.)

^ . r „ sin a Aufgabe 3: sjn().

Lösung: Nach dem Latz: Sind zwei Brüche gleich, so ist die Summe aus Zähler und Nenner, dividiert durch die Differenz aus Zähler und Nenner, bei beiden Brüchen gleich, erhält man:

sin a -f- sin ß _ 13 _

— sin /5 ~~ T~~ 2/6

= {; a + ß=87°40'.

sin cc

und hieraus nach Anwendung von § 26,1 I und II:

.CC — ß

cot 2

cc -4- ß

= 2,6 • cot ^ p tng a_14

trig~ß ~ "i

Lösung: Ersetzt man den Tangens durch den Ciuotienten aus Sinus und Kosinus und wendet auf die dadurch erhaltene Gleichung den bei Aufgabe 3 genannten Satz an, so erhält man:

sin cc cos ß + cos cc sin ß sin cc cos ß — cos cc sin ß hiernach findet man nach § 25,2:

•(a = 64° 6,1', ß = 23°33,9'.)

Aufgabe 4:

₅-; a-fJ = 27⁰50'.

19

sin (a + ß) = y sin (« — ß) • - (a = 54°3,7', ß = 26° 13,7'.) Aufgabe 5: sin « sin ß = 0,274; a + ß = 69°20'.

Lösung: Nach §26,1 ist sinasinß=-2 [cos(a—ß) — cos(o:4-/3)].¹)

Man findet demnach aus der ersten Gleichung cos (cc — ß) — cos (a + ß) = 0,548 und hieraus cos (cc — ß). (cc = 47°31,6', ß = 2I°48,4'.) Aufgabe 6: tng cc — tng ß ----- 2,3; cc — ß = 54°20'.

Lösung: Wenn man Tangens durch Sinus und Kosinus ausdrückt und dann die erhaltenen Brüche auf denselben Nenner bringt, so erhält man einen Bruch, dessen Zähler sin (cc — ß) ist. Für den Nenner cos cc

cos ß findet man nach § 26,1: * [cos (cc — ß) + cos (cc + ß)]. (Es ergibt sich eine Gleichung zurVestimmung von cos(o? + ß). (a = 68°37,4', ß = 14° 17,4'.)

Ausgabe 7: Den Winkel cc zu berechnen aus der Gleichung 43,47 sin k — 52,85 cos a = 25,89. — (cc = 72°47,5'.)

Bemerkung. Man könnte die obige Gleichung ähnlich lösen wie die Aufgabe 6 in § 8, 2. hierdurch würde man aber auf eine recht unbequem zu lösende quadratische Gleichung kommen. Die Additionstheoreme geben in diesem Falle die Möglichkeibzu einer weit einfacheren Lösung, deren Gang hier allgemein auseinandergesetzt werden soll. Ist zur Bestimmung von cc eine Gleichung gegeben von der Form a Sin a + b cos a = c,

so dividiert man die Gleichung zunächst durch den Koeffizienten von sin cc. hierdurch erhält man:

cos cc= • a

Nun führt man einen Hilfswinkel cp ein (vgl. §17,3) durch die Gleichung

tn§ cp = ba •

sin cc + -a

Die Gleichung lautet dann:

sin cc + tng cp cos cc -----

und, wenn man mit cos cp multipliziert,

sin cc cos cp + cos cc sin cp = cos cp.

Durch Anwendung des Additionstheorems (§ 25, 2) erhält man hieraus: sin (cc + cp) = ^ cos cp. Aus dieser legten Gleichung berechnet man cc + cp und hat damit auch den gesuchten Winkel cc gefunden.

1) Die Formel ist aus der Gleichung cos (x -f y) — cos (x — y) = — 2 sin x sin y herzuleiten.

Aufgabe 8: Inga + tngjS = 3,66; cc — ß = 31°I0'. Lösung: Die Aufgabe ist ähnlich zu behandeln wie Aufgabe 6. Sie führt aber auf eine Gleichung wie Aufgabe 7. (« = 70°35,4', ß -- 39°25,4'.)

B. planimetrische und praktische Anwendungen.

Aufgabe 1: von einem Dreietf ABC finb ber tDinfel y = 43°24' und die höhe CD = hc=236,4 cm bekannt, wie groß finb die Seiten, wenn sin a = 3 sin ß ist? (a — 817,12 cm, b — 272,38 cm, c = 646,89 cm.)

Aufgabe 2: In einem Dreieck ABC ist durch die Ecke C eine Gerade gezogen, die AB in D so schneidet, daß AD = m = 83,56 cm und BD = n = 54,85 cm ist. Ferner ist L ACD = <5 = 36° 16' und L BCD = e = 28°20'. töie groß sind die Seiten AC und BC und die ihnen gegenüberliegenden Winkel? (AC = 140,71 cm,

£C= 115,12 cm, ß = 66°41,5', « = 48°42,5'.)

Lösung (5ig.40): 3m Dreieck ADCist nach dem Sinussatz    ~, im Drev-

C eck DBC ist = ~ • Durch Division

\ findet man aus beiden Gleichungen sin a n sind

' sin ß ⁼ m sin t fluS btefet ®IeldlUn9 kann man wie in A, Hufgabe 3 die Winkel a und ß berechnen. Die gesuchten Leiten findet man dann aus dem Dreieck ABC nach dem Linussatz.

Hufgabe 3: Das Verhältnis der drei Seiten eines Dreiecks ist a \ b \ c — 18 :26:35. wie groß sind die Teile, in welche die Mittellinie /na den Winkel cc teilt?

Losung (Kg. 41): Da zwei Dreiecke, die im Verhältnis der Leiten übereinstimmen, einander ähnlich sind, und in ähnlichen Dreiecken die c    Winkel gleich sind, so kann man

zunächst die Winkel des Dreiecks berechnen aus dem Dreieck, dessen Seiten 18 cm, 26 cm und 35 cm fongfmb.tttanfinbeta==29°56,8', ß = 46°8,6'unb y = 103°54,6'. Nun ist nach dem Linussatz im

5ig. 40.

de

cc

Jl

5ig. 4L

Dreieck ADC "'s = ^ a sin $

und in dem Dreieck ADB

ma

Da die linken Seiten beider Gleichungen einander gleich sind, so kann man auch die rechten Seiten einander gleichsetzen und erhält nach Vertauschung der inneren Glieder der Proportion: ^ |    ■

Rus der letzten Gleichung findet man ähnlich wie in A, Rufgabe 3:

i    £    ^

tilg 2

cot 2

- tng⁷^.

co,^e.

Da nun £ +

- 90° —

ist, so kann man diese werte in die obige Gleichung einsetzen und bekommt die Gleichung:

= cot² 2 cot y j

s — d

aus der bann ? berechnet werden kann. Man findet für e und d

die werte £ -- 17° 14,0' und ö = 12°42,8'.

Aufgabe 4: Ruf dem Gipfel eines Berges steht ein h = 50 m hoher Turm. Man erblickt von der Ebene aus die Zpitze des Turmes unter dem Erhebungswinkel £ = 58°23' und den Zuß des Turmes / unter dem Winkel ----- 55°45'. wie hoch ist der Berg?

Lösung (Zig. 42): Bezeichnet man die hohe des Berges durch x und die Entfernung des Beobachtungspunktes <-dem Punkt, in welchem die verti- ,'f y kallinie durch den Turm die Ebene 1 trifft, mit z/, dann findet man die Gleichungen

. £ — d' cot 2

■m

von

2)

y Fig.'42.

h + x

tng £ = —-

und tng ex = * '

Rus diesen Gleichungen folgt durch Division eine Gleichung, aus der man x bestimmen kann.

h • tng

x -----

V(lan findet

tng £ — tng st

Der Ausdruck für x läßt sich noch umformen (vgl. A, Aufgabe 6) und

_ h sin ki • cos s X sin (e — £j)

man erhält schließlich:

Die höhe des Berges ist 471,58 m.

Aufgabe 5: Don der Spitze eines h ----- 200 m hohen Berges erblickt man einen Punkt einer Wolke unter dem Lrhebungswinkel e ----- 67° 15 ', während man das Spiegelbild dieses Wolkenpunktes in einem in der Nähe des Berges befindlichen See unter dem Senkungs-winkel ö----- 70°30' beobachtet, wie hoch schwebt die Wolke über der Erde?

x\

mL

Losung (Fig. 43): 3n der Figur stellt B die Spitze des Berges, A den Wolkenpunkt dar, CE ist die Richtung des Wasserspiegels und Ax das Bild des Wolkenpunktes im See. Aus der Optik ist bekannt, daß das Bild des Wolkenpunktes ebenso tief unter dem Spiegel des Sees liegen muß, wie der Punkt über dem See liegt. Es ist daher A£ = AtE = x.

Aus dem Dreieck BDA findet man

x — h    v

tngf ----- ßD und aus dem Dreieck BDAl ergibt sich \

x -4- h

5tg. 43.    \

tng<$ = —gß— Durch Division findet man aus diesen beiden Gleichungen:

tng ö tng-s

Wendet man auf diese Gleichung den in A, Aufgabe 3 erwähnten Satz an und beachtet die Lösung von A, Aufgabe 4, so findet man:

h sin (5 + *)

* = sin (ä — s) •

Die Wolke schwebt 2372 m über der Erde.

§ 28. Die trigonometrische Landesaufnahme.

Erklärung. Zum Zwecke der Landesaufnahme wird das ganze zu vermessende Land in Dreiecke zerlegt (Fig. 44). Diese Dreiecke schafft man sich dadurch, daß man einzelne weithin sichtbare Punkte als Ecken der Dreiecke festlegt. Man benutzt dazu unter anderem Turmspitzen oder hohe Schornsteine. Sind solche Punkte nicht vorhanden, so stellt man sogenannte trigonometrische Zeichen auf. Diese bestehen aus drei

großen Pfählen, die in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in Form einer dreiseitigen Pyramide aufgestellt werden, an deren Spitze man eine Fahne oder dergleichen befestigt.

Ti\

TiK

u    5ig. 44.

Die Ausmessung aller dieser Dreiecke des das ganze Land überdeckenden Dreiecksnetzes geschieht dadurch, daß man an einer Stelle eine Strecke, die Grundlinie ober Basis der Vermessung, mit größter Genauigkeit ausmißt. Diese Grundlinie wird zur Seite eines Dreiecks gewählt, das zu der Kette der das Land überdeckenden Dreiecke gehört. Nun werden nur noch Mnkelmessungen durch visieren von einem trigonometrischen Punkt nach den benachbarten Punkten ausgeführt. Die Seiten allerDreiecke werden dann, indem man von der gemessenen Basis ausgeht, durch Rechnung ermittelt. Da sich bei dieser Berechnung wegen der unvermeidlichen Fehler bei der Messung kleine Fehler einschleichen können, die immer mehr anwachsen, je weiter man sich von der Basis der Vermessung entfernt, so werden für die Ausnahme eines großen Landes mehrere Grundlinien genau bestimmt. So befindet sich z. B. für die preußischeLandesausnahmeeineGrundliniebeiBerlin, bei Strehlen, einer Kreisstadt imRegierungsbezirkBreslau, beiBonn, bei Königsberg in Ostpreußen. Die Länge der Grundlinie bei Berlin, welche sich zwischen den Dörfern Mariendorf undLichtenrade befindet, beträgtnach den genauesten Messungen 2,3363885 Kilometer.

2. Anwendung. Die Fig. 44 soll einen Teil des Dreiecksnetzes eines zu vermessenden Landes darstellen. AB ist die Basis der Vermessung, Tlf r₃, .... sind die trigonometrischen Punkte. Nur die Länge der Basis AB ist gemessen, und alle Winkel der Dreiecke sind durch Messung ermittelt. Die Längen der Seiten der einzelnen Dreiecke sind dann von dem einen der Dreiecke aus, dessen eine Seite die gemessene Grundlinie AB ist, nacheinander berechnet. Auf Grund dieser Messungen und Berechnungen ist man nun imstande, die Entfernung zweier weit voneinander entfernt liegenden trigonometrischen Punkte ebenfalls durch Rechnung zu bestimmen. So kann z. B. die Entfernung der Punkte T₄ und T₁₀ voneinander in der weise gefunden werden, daß man zuerst aus dem Dreieck B T₅ 7₄ die Strecke B 7\ berechnet (BT₄ ist in der Figur nicht gezeichnet). Dann berechnet man aus dem Dreieck B T₉ T₁₀ die Strecke B T10t die ebenfalls nicht gezeichnet ist. Das Dreieck BT±T1Q gestattet nun die Entfernung T₄T₁₀3U berechnen.

Um die Entfernung eines nicht als trigonometrischer Punk t angenommenenpunktesPvon irgendeinem anderen zu bestimmen, mutz man diesen Punkt in die Dreieckskette hineinbringen. So könnte man bet der in der Figur angenommenen Lage des Punktes P etwa die Winkel des (nicht gezeichneten) Dreiecks P jT₉ T₇ messen und dann die SeitenPT₉ und P7'₇ berechnen. hiernach gestaltet sich dieBerecknung der Entfernung wieder so, wie oben angegeben.

Bemerkung. Größere Entfernungen auf der Erdoberfläche sind wegen der Kugelgestalt der Erde keine geraden Linien, sondern Kreisbogen. Aus diesem Grunde sind auch größere Dreiecke auf der Erdoberfläche keine ebenen, von geraden Linien begrenzte Figuren, sondern Kugeldreiecke ober sphärische*) Dreiecke. Die sphärischen Dreiecke unterscheiden sich von den Dreiecken, die in der ebenen Trigonometrie

1) „Sphaira", griech. die Kugel.

behandelt werden, unter anderm dadurch, daß die Summe ihrer Winkel keinen unveränderlichen wert besitzt, sondern stets um einen veränderlichen Betrag größer als zwei Rechte ist. Für diese Dreiecke gelten andere Formeln als für die ebenen Dreiecke, mit ihrer Berechnung beschäftigt sich die sphärische Trigonometrie.

Z. Bestimmung 6e$ Erdradius. hat man in der eben angegebenen weise die Entfernung zweier Punkte P₁ und P₂ (Fig. 45) bestimmt, die auf demselben Meridian liegen, M so kann man daraus den Radius der Erde berechnen, wenn man die geographischen Breiten cp₁ und <p₂ der Punkte Px und P₂ kennt (vgl.

5ig. 45.

§ 6, 7 Ausgabe 3).

(Es ist nämlich der zu dem gemessenenBogen P\P% = b gehörende Zentriwinkel gleich der Differenz der Breiten. Daher besteht die Gleichung

b = r(q>₁ — cpt),

wenn r den Radius der Erde bedeutet. Aus dieser Gleichung kann man r berechnen.

Die beiden Winkel sind hierbei vor der Rechnung durch Bogenmaß auszudrücken (vgl. § 24, 1).

4.    vorwSrtseinschneiden und Rückwärtseinschneiden. Man kann die unbekannte Entfernung zweier Punkte voneinander dadurch bestimmen, daß man von den Endpunkten einer bekannten Standlinie nach den beiden Punkten visiert. Dies nennt man Vorwärtseinschneiden. Es ist aber auch möglich, die unbekannte Entfernung zweier Punkte voneinander dadurch zu bestimmen, daß man von diesen Punkten selbst nach den Endpunkten einer bekannten Standlinie visiert. Dies nennt man Rückwärtseinschneiden. Die folgenden Aufgaben sind Beispiele hierfür.

5.    Aufgabe (vorwärtseinschneiden). Um die unbekannte Entfernung zweier Punkte P mb Pt voneinander zu bestimmen, hat man von den Endpunkten einer bekannten Standlinie AB = a nach ihnen visiert und gefunden: LPAP^==a, LP^B^ß, LABP=y und LPBP₁ = ö. Es soll hieraus die Länge der StreckePPi berechnet werden.

Lösung (Fig. 46): Man findet nach dem Sinussatz aus dem Dreieck ABP:

a sin y

AP =

sin (a + ß + y) ¹

cc

PA

denn der der Seite a gegenüberliegende Winkel APB ist 180° - (« + ß + y). Bus dem Dreieck ABP₁ erhält man:

a sin (y + d) sin (ß "+ y + d)'

AP i =

V hierdurch kennt man von dem Dreieck x APXP zwei Seiten und den eingeschlossenen %    $\ Winkel und sann die gesuchte Entfernung

s x\ nach dem Tangentialsatz berechnen. -%    6. Vre hansensche Aufgabe (Rückwärtseinschneiden). Um die unbekannte Entfernung zweier Punkte P und P₁ voneinander zu bestimmen, hat man von ihnen ans nach den Endpunkten einer bekannten Standlinie AB = a visiert und gefunden: LAPB = cc, LBPPl = ß, LAPVP = y, LAP{B = ö. Es soll hieraus die Sänge der Strecke berechnet werden.

Losung (§ig. 47): Ulan setze L PXAB = £ und LPBA = £. Nun findet man nach dem Sinussatz aus dem Dreieck APB:

_ sin cc A P sin £

5ig. 46.

\ crr

/«/

■y_

und aus dem Dreieck APP<:

sin (a + ß + y) d sin y

\    Bus den beiden Gleichungen findet

^    man durch Division:

sin cc sin y

AP

$ig. 47.

¥ v vi x sin £ sin (a + ß + 7)

p‘ Ähnlich läßt sich mit Hilfe des Sinus-

satzes noch ein zweiter Busdruck für finden. Ulan bestimmt in dem Dreieck B L P'i das Verhältnis a:BP₁

und in dem Dreieck PPXB das Verhältnis x.BPx. Durch Division findet man aus den erhaltenen Gleichungen:

sin d sin ß

sin 8 ■ sin Jß -f- y + d)

Setzt man die beiden für ** gefundenen werte einander gleich, so erhält man nach einigen Umformungen:

sin k sin d sin ß sin (cc -f- ß y) sin £ ” sin a sin y sin (ß + y + d)

Dct£ + ? = ß + y sein mutz, weil beide Summen den Winkel, unter dem sich die £mien AP₁ und BP schneiden, zu zwei Rechten ergänzen, so kann man jetzt nach § 27 A, Aufgabe 3 die Winkel £ und ? berechnen. Sind diese Winkel gefunden, so kann man x aus einer der im Anfang erhaltenen Gleichungen berechnen.

7. Die pothenotfche Aufgabe (Rückwärtseinschneiden). In einem Punkte C treffen zwei Standlinien von bekannter Länge AC = b und BC ----- a unter dem Winkel ACB ----- y zusammen, von einem Punkte P aus hat man durch visieren die Winkel APC ----- ß und BPC = cc bestimmt. (Es sollen die Entfernungen des Punktes P von A,

B und C berechnet werden.

Losung ($tg. 48): Die Winkel bei ^

A und bei B bezeichne man mit <5 bzw.

£. Nun kann man die Strecke PC so- \ wohl aus dem Dreieck APC wie aus dem DreiedBPC mit Hilfe desSinus-satzes bestimmen und findet:

PC =

5tg. 48.

b sin d _ a sin s

sin ß ~ sin a

Hieraus erhält man eine Gleichung für sin d:sin £. Da mm<? + £ = 3600 — (a + ß + y) ist, so kann man jetzt ö und s berechnen (vgl. § 27A, Aufgabe 3) und findet dann die gesuchten Strecken durch den Sinussatz.

§ 29. Die Bestimmung der Dreiecksstücke durch die Winkel und den Radius des Umkreises.

l. Vorbemerkung. Sind von einem Dreieck die Winkel bekannt, so ist dadurch die Gestalt des Dreiecks vollständig bestimmt, weil Dreiecke, die in den winkeln übereinstimmen, einander ähnlich sind. Kennt man nun von einem Dreieck autzer den winkeln noch irgendein Stück so ist durch dieses eine Stück die Große aller übrigen Stücke des Dreiecks bestimmt. Ulan kann also alle Stücke berechnen, wenn man Formeln kennt, durch welche die Stücke durch das eine gegebene Stück ausgedrückt sind. Es lassen sich nun einfache Formeln herleiten, durch die man die einzelnen Stücke des Dreiecks aus dem Radius des Umkreises r unb den Winkeln berechnen kann. Die Herleitung dieser Formeln gelingt auf Grund des folgenden Lehrsatzes, der sich mit Hilfe der Eigenschaft des Kreises, daß sämtliche Peripheriewinkel über demselben Bogen einander gleich sind, leicht beweisen läßt.

2. Lehrsatz. JedeSehne eines Kreises ist gleich dem Produkt aus dem Durchmesser und bem Sinns des zu der Sehne gehörenden Peripheriewinkels.

a = 2 r sin a.

'<x>

Beweis (Zig. 49): BC = a sei eine beliebige Sehne des Kreises um M und LBAC ----- a der zu ihr gehörende Peripheriewinkel. Zieht man von B aus den Durchmesser BD und verbindet D mit C, dann ist das entstehende Dreieck BCD bei C rechtwinklig, da der Winkel BCD als Peripherie-x B Winkel im Halbkreis gleich einem Rechten ist. A Ferner tft LBDC = LBAC = a als Periphe-⁰⁶ \ riewinkel über demselben Bogen. Nun findet man aus dem rechtwinkligen Dreieck BCD mit \ J Hilfe der Gleichung, durch welche der Sinus er-klärt wurde, die Behauptung.

5ig. 49.

/L Bemerkung. Die soeben bewiesene Formel gilt auch für den im anderen Kreisbogen über der Sehne a befindlichen Peripheriewinkel, da dieser der Supplementwinkel zu ist, und sin (180° — cc) = sin « ist. 5. Bestimmung der vreiecksstiicke durch r und die Winkel.

I. Die Seiten. Da jede Seite des Dreiecks Sehne des Umkreises des Dreiecks ist, so folgt unmittelbar aus dem in 2. bewiesenen Lehrsatz: a = 2 r sin a, b = 2r sin ß, c ----- 2 r sin y.

II. Die höhen. Nach § 13,1 ist ha = b sin y, es mag y ein spitzer oder ein stumpfer Winkel sein. Setzt man in dieser Formel b = 2r sin ß, so findet man: ha= 2rsinß sin y.

Ahnlich findet man:

hb = 2r sin« siny, hc= 2 r sin a sin ß.

Jede Dreieckshöhe ist also gleich dem Produkt aus dem Durchmesser des Umkreises und den Sinus der beiden Winkel, die der Seite anliegen, auf welche die höhe gefällt ist.

lll. Oer Inhalt. 5lusder§ t 5,6 d bewiesenen Zormel/'— ₀ ab sin y folgt sofort durch Benutzung von I:

/ = 2 r² sin a sin ß sin 7.

IV. Der halbe Umfang. Ersetzt man in der Gleichung 2 s = a + b + c die Seiten durch den Radius des Umkreises und den Sinus des ihnen gegenüberliegenden Winkels, so erhält man, wenn man noch y durch sein Supplement a + ß ersetzt:

2 s = 2r (sin a + sin ß + sin (a + ß)).

hieraus folgt, wenn man sin a + sin ß nach § 26,1 I in ein Produkt verwandelt und sin (<* + ß) nach §9,2 durch die Funktionen des halben Winkels ausdrückt und dann die gemeinschaftlichen Faktoren vor die Ulammer setzt:

i    cc — ß\

+ COS 2    )'

a “f" ß

COS y~

2 s = 4 r sin (

Der in Klammer stehende Ausdruck kann nach der Formel § 26,1 III in ein Produkt verwandelt werden. Die Formel sagt, daß die Summe der Kosinus zweier beliebigen Winkel gleich dem doppelten Produkt der Kosinus der halben Summe und der halben Differenz dieser beiden Winkel ist. In unserem Falle sind die Winkel, für die die Summe der

Kosinus gegeben ist, ---y - und “ ₂ ^ • Die halbe Summe dieser Winkel

(X    ß

ist 2, ihre halbe Differenz ₂ • Der Ausdruck in der Klammer kann

cc ß

man:

daher ersetzt werden durch 2 cos ₂ cos -• Ersetzt man außerdem sin " 2^durch cos j (§ 7,1), so findet

s = 4 r cos ^ cos ^ cos ^ -

V. Der Radius des Inkreises. Durch die Formel f= qs (§ 15,6 d) findet man:

f 2 r² sin a sin ß sin y

/i    aß

4 r cos -- cos w cos 2 2

und, wenn man im Zähler des Bruches auf der rechten Seite der Gleichung die Funktionen der halben Winkel einführt und die gleichen Faktoren im Zähler und Nenner hebt,

4 r sin j sin ~ sin ~ •

VI. Die Radien der Ankreise. 3n § 15,5 war gesunden Qa = s tng •

Wenn man in dieser Formel § nach IV ersetzt und tng “ durch den (Quotienten aus Sinus und Kosinus ausdrückt, so erhält man, nachdem durch cos “ gehoben ist,

pa = 4 r sin j cos § cos -

Ähnlich findet man:

Ml*

?# = 4rcos| sin ^ cos , qc = 4 r cos “ cos 2 sin r, -

Vli. Die Abschnitte, in welche die Seiten durch die Berührungspunkte des Inkreises geteilt werden, aus der Formel tng | = S _1 ö (§ 15,3) folgt:

s — sl = 9 cot

Of

= 4 r sin — sin

cos ₉

sin -

s — a =

Ebenso findet man:

Ol '

sin 2

4 r cos ^ sin ^ sin ^ -

s — b = 4 r sin ₂

ce ß

s — c = 4 r sin ₂ sin ^ cos

hjh'i to Ns

§ 30. Die Lösung trigonometrischer Ausgaben durch r und die Winkel.

Mt Benutzung der in § 29,3 gefundenen Formeln können viele trigonometrische Ausgaben ohne jede Figur, lediglich auf algebraischem Wege, gelöst werden, vielfach kann man aber auch neben der in dieser weise ausgeführten Lösung eine andere, mit Benutzung der Figur mögliche Lösung angeben. (Es ist hier ähnlich wie bei den planime-irischen Rufgaben, von denen viele sowohl durch algebraische Rna-lqsis wie durch rein geometrische Rnalysis gelöst werden können. 3m folgenden soll eine Rnzahl von Rufgaben, die die Verwendung obiger Formeln klar machen, behandelt werden. Für die meisten dieser Ruf» gaben gilt dasselbe, was im Rnfange von § 19 gesagt wurde.

Besonders einfach wird die Lösung trigonometrischer Rufgaben mit Hilfe der gefundenen Formeln, wenn die Winkel des Dreiecks unmittel« bar oder mittelbar gegeben sind.

I. Die Winkel des Dreiecks sind unmittelbar gegeben. Befinden sich unter den drei zur Berechnung eines Dreiecks gegebenen Stücfen zwei Winkel, so drückt man das dritte gegebene Stück durch r und die Winkel aus. Rus der hierdurch erhaltenen Gleichung berechnet man r und ist nun imstande, jedes gewünschte Dreiecksstück nach den in § 29,3 ausgestellten Formeln zu bestimmen.

Rufgabe 1. 3n einem Dreieck ABC ist «----- 64°36\ ß ----- 42°50,# und der Radius des Inkreises q — 12,73 cm. Die Seiten des Dreiecks sollen berechnet werden.

Lösung 1. Man bestimmt zunächst / -----180° — (<* + ß) = 72°34’. Run findet man aus der Formel für q (§ 29,3 V) eine Gleichung für 7. Die Rechnung ergibt log r ----- 1,44031. Durch die Formeln § 29,3 I, werden dann die Seiten berechnet. Man findet

a ----- 49,796 cm, b ---- 37,477 cm, c ----- 52,592 cm. Lösung 2. Mit Hilfe der Formeln s-a = ? cot “, s — b ----- q cot | usw. berechnet man § — a ----- 20,137, s —6 = 32,456,

s — c — 17,340. Die Rddition dieser letzten drei Gleichungen liefert den wert für s, denn es ist s — a + s — b + s — c = 3s—(a+b-f c) ----- 3§ — 2§ Man findet s ----- 69,933. Subtrahiert man von diesem werte für s der Reihe nach s — a, s — b, s — c, so findet man die drei Seiten.

Rufgabe 2. Man kennt von einem Dreieck die Summe zweier höhenhb+ha—243,5 cm nnbdie Winkel«=53st20' unt> 41 °18'. wie groß sind die Seiten des Dreiecks?

hb -f /ia= 2r sin y (sin « + sin ß).

Da die in der Klammer stehende Summe sich für die logarithmische Rechnung schlecht eignet, so verwandelt man sie nach § 26,1 in ein

NNuG 431: Crantz, Trigonometrie.

Losung 1. Der Winkel y ist durch a und ß bestimmt (y ----- 85°22'). Drückt man ha und hb durch r und die Winkel aus (§ 29,3 II), so erhält man

Produkt und findet, wenn man sin -/Z6 + Z?a = 4r sin y cos 2 cos “ ₂ - •

Bus dieser Gleichung berechnet man 2r (log2r == 2,22294) und bestimmt dann die Seiten nach den Formeln a = 2r sin a usw. (a — 134,02 cm, b -----110,28 cm, c -----166,54 cm).

Fi

— cos £ setzt (§ 7,1),

Lösung 2. (5ig. 50.) Man fälle von B die höhe BD ----- hb aus AC und trage auf der Verlängerung DF*=ha ab. Nun ziehe man durch F die parallele zu AC, die die Verlängerung von BC in G schneidet. Dann ist L G — y (Gegenwinkel an parellelen), und v L F — 1/?, ferner ist nach dem Strahlensatz \    hb'.ha*** a: CG.

5tg. 50. d

V⁷ Da sich in jedem Dreieck die höhen umgekehrt XX verhalten wie die Seiten, auf die sie gefällt sind, besteht aber auch die Proportion hb iha~ ci: b.

Bus den beiden Proportionen folgt, daß CG = b sein muß. In dem rechtwinkligen Dreieck BGF ist also die hrp potenuse SC gleich a + b, die Rathete BF==hb+ha und der dieser Rathete gegenüberliegende Winkel gleich y. (Es besteht daher die Gleichung

K + K

S)ny =

Mit Hilfe dieser Gleichung kann man a + b berechnen, findet dann durch die Mollweidesche Gleichung die Seite c und hieraus die beiden anderen Seiten durch den Sinussatz.

Aufgabe 3. Die Differenz der Radien der beiden Kreise, welche die Seite a berühren, ist in einem Dreieck pa — p = 27.36 cm, ferner ist a --- 48°34' und ß --- 55°42'. wie groß ist der Inhalt des Dreiecks?

Lösung. Rach § 29,3 VI und V ist

is>

9a-9

OL f ß

=■ 4r sin y (cos ^ cos — 4r sin ~ cos (§ 25,31),

9a — 9

--- 4r sin⁵ *

Nun kann man log r berechnen und findet dann den Inhalt durch die Formel § 29, 3 HL (/*- 1963,5 qcm.)

II. Die Winkel des Dreiecks find mittelbar gegeben, man kann die Vinkel eines Dreiecks leicht berechnen, wenn unter den drei zur Berechnung des Dreiecks gegebenen Stücken sich zwei Stücke befinden, die die Ähnlichkeit zweier Dreiecke bedingen, falls beide Dreiecke in ihnen übereinstimmen. Solche Stücke sind außer den Winkeln

1.    das Verhältnis zweier Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (a : b m : nf y).

2.    das Verhältnis der drei Seiten (a : b : c = m : n : p).

3.    das Verhältnis zweier Zeiten und der der größeren von ihnen gegenüberliegende Winkel (a : b *= m : n [m > n], «).

Im ersten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, in welchem zwei Seiten gleich m und n sind, und in dem der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel gleich y ist. Im zweiten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, dessen Seiten m, n und p sind. Im dritten Falle berechnet man die Winkel des Dreiecks, in dem zwei Seiten gleich m und n sind und in dem der Seite m der Winkel « gegenüberliegt.

In allen drei Fällen sind die vreieckswinkel, welche man findet, zugleich die Winkel des zu berechnenden Dreiecks, denn in ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel einander gleich.

Aufgabe 4. In einem Dreieck, dessen Inhalt f ----- 237,6 qcm groß ist, ist das Verhältnis zweier Seiten a: b — 11:7 und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y = 106° 24'. Wie groß sind die beiden anderen Winkel und bie Seiten?

Lösung 1. Aus dem Dreieck, dessen Seiten at *=> 11 cm und bx = 7 cm den Winkel 7------106° 24' einschließen, findet man durch Benutzung des Tangentialsatzes <x = 46⁰14,3' und <3 — 27°21,7'. Nun berechnet man logr durch die Formel für f (log r -----1,28590) und kann dann die Seiten bestimmen, fa* 27,901 cm, b---17,756 cm, c --- 37,508 cm.)

Lösung 2. Aus der Formel f    sin / berechnet man ab,

dann findet man mit Hilfe von a • b und ^ durch Multiplikation a³

und durch Division b³. Dadurch kennt man von dem Dreieck zwei Seilen und den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

Ausgabe 5. Das Verhältnis der Seiten eines Dreiecks ist a:b:c*=* 17 : 23 : 29, und die Summe der Radien zweier Ankreise Qa -+* Qb ----- 44,54 cm. Die Winkel und die Seiten des Dreiecks zu berechnen.

7*

Lösung. Man berechnet die Winkel des Dreiecks, dessen Seiten 17 cm, 23 cm und 29 cm lang sind, und findet « — 35°52,2', /3 = 52°26,6' und y = 91°41,2'. Ihm stellt man die Gleichung auf

Sa + Qb = 4 r cos I* (sin cos 5 + cos “ sin ~j -

Der in der Klammer stehende Ausdruck ist nach §25,21 gleich sin    >

hierfür kann man cos setzen und erhält dann

Sa + Qb — 4 r cos⁸ 2 -

Aus dieser Gleichung berechnet man den wert von logr und kann wieder leicht die Seiten bestimmen, (a — 26,889cm, b — 36,380cm, c — 45,870 cm.)

III. Nur ein Winkel ist gegeben. Man ersetzt jedes der beiden anderen gegebenen Stücke durch r und die Winkel.. Die dadurch erhaltenen Formeln formt man dann so um, daß in ihnen nur noch die Summe und die Differenz der beiden unbekannten Winkel vorkommt. 3n dieser weise erhält man zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Unbekannten sind r und die Differenz der Winkel. Nun schasst man aus den beiden Gleichungen r fort, gewöhnlich durch Division, und erhält dann eine Gleichung, aus der man die Differenz der unbekannten Winkel bestimmen kann, hierdurch sind dann sämtliche Winkel des Dreiecks bekannt, und man kann aus einer der beiden zuerst entwickelten Formeln den Wert von r berechnen.

Rufgabe 6. Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist a + b == 126,8 cm, die Differenz der zu den Seiten gehörenden höhen hb—ha = 87,5 cm und der von den Seiten eingeschlossene Winkel y=62°38⁻. Wie groß sind die beiden anderen Winkel und die Seiten des Dreiecks?

Tsin'S “'

Durch Division findet man aus den beiden erhaltenen Formeln eine Gleichung für den Tangens der halben Differenz der Winkel « und ß. Zur Berechnung von r benutzt man am besten die für a + b erhaltene Gleichung. (« — 110°37,3',    6°44,7', a = 112,67cm,

b = 14,158 cm, c — 106,90 cm.)

Aufgabe 7. Die Differenz zweier Seiten eines Dreiecks ist a — b = 18 cm, der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel y = 78°11,8'

Lösung. (Es ist a + b = 2 r (sin a + sin <$)=4r cos £ cos —y- 1 Ferner ist

hb — ha = 2 r sin y (sin « — sin ß) — 8 r sin⁸1 cos und die Differenz aus dem Radius des Hnkreises an die dritte Seite und dem Radius des Inkreises gc — q ä 58,51 cm. wie groß sind die unbekannten Winkel und die Seiten?

Lösung. Man findet

= 4 r sin² ^ *

(«=62°5,3', /3=39°42,9', a-65,00cm,b-47,00cm,c-72,00cm.)

Hufgabe 8. Die unbekannten Winkel und die Seiten eines Dreiecks zu berechnen, von dem gegeben ist Qa-~Qb— 17,56 cm, a + b ----- 59,48 cm und y ----- 67° 20'.

Lösung. Man findet

Qc C

----- 4 r sin ~ sin ~,

Ca — c b

----- 4r cos |sin , a + b = 4r cos cos —2 — •

(a -- 80° 18,7", ß 32°21,3', a ----- 25,588 cm, b ----- 13,892 cm, c == 23,953 cm.)

IV. <Z$ ist fein Winkel gegeben. Die gegebenen Stücke werden durch r und die Winkel ersetzt, dann werden die erhaltenen Formeln so umgewandelt, wie es in den vorhergehenden Hufgaben geschehen ist, indem man einen der Winkel von den beiden andern absondert. Man erhält dann drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Hufgabe 9. In einem Dreieck ist Seite c --- 169 cm, die Differenz der beiden anderen Seiten a — b = 15 cm und die Differenz der Radien der Hnkreise an den beiden zuletzt genannten Seiten Qa—Qb ----- 26 cm. Wie groß sind die Winkel und die beiden unbekannten Seiten? Lösung. Aus den Gleichungen

c*=4r sin | cos

a — b «•

Cb

4 r sin sin

cc — ß

= 4r sin—=-^-

cos

findet man

cc — ß

und sin ——

CM

ins 2

(a =- 67-22,8'. <? --- 59° 29,4', y -- 53° 7,8', a --- 195,00 cm b — 182,00 cm.)

cos

Register.

58.

54.

Abszissenachse 65. Additlonstheoreme 75.

Änderungen in den (Quadranten 7V. Allgemeiner pythagoreischer Lehrsatz 53.

Ankreis 47.

Basis -er Vermessung 85. Bogenmaß 72.

Depressionswinkel 15.

Einrichtung der Logarithmentafel 26. Elevationswinkel 15.

Erdradius 87.

Erhebungswinkel 15.

Funktion 6.

Funktionen beliebiger Winkel 67. Funktionen negativer Winkel 71. Funktionen stumpfer Winkel 35. Geographische Breite 25.

Graphische Bestimmung des Sinus 8. Graphische Bestimmung des Tangens 18.

Graphische Darstellung 74. Grundlinie der Vermessung 85. halbe Winkel 30.

Halbwinkelsatz 46.

Hansens Aufgabe 88. heronische Formel 49, 58. Hilfsdreiecke Hilfswinkel Höhe der Sonne 21.

Höhenmessung 15.

Inhalt des Dreiecks 47.

Inkreis 46.

Komponenten 42.

Koordinatensystem 64.

Kosekans 26.

Kosinus 21.

Kosinus, Erklärung des Namens 22. Kosinussatz 56.

Kotangens 22.

Landesaufnahme 84.

Maßeinheit 2.

Maßzahl 2.

Mehrdeutigkeit der Funktionen 72. Messen 2.

Mollweides Gleichungen 42. Negative Winkel 71.

Grdinatenachse 64.

Parallelogramm der Kräfte 41. peilen 41.

positiver Drehungssinn 64. pothenots Aufgabe 89. ptolemäischer Lehrsatz 75.

Quadranten 64.

Radius des Ankreises 47, 50. Radius des Inkreises 50. Resultierende 41. Rückwärtseinschneiden 87.

Seemeile 41.

Sekans 26.

Senkungswinkel 15.

Sinus 5.

Sinus, Erklärung des Namens 65. Sinus, graphische Bestimmung 8. Sinuslinie 74.

Sinussatz 37.

Summe zweier Funktionen 78. Tangens 16.

Tanaens, Erklärung des Namens 19, 67.

Tangens, graphische Bestimmung 18. Tangentialsatz 44.

Trigonometrie 2.

Trigonometrische Funktionen 2. Trigonometrische Seichen 84. Umfang des Dreiecks 45.

Verhältnis 3.

Vorwärtseinschneiden 87.

Vorzeichen in den Quadranten 69. winke! als Maß der Drehung 62. Winkel in Bogenmaß 73.

Verlag von 8. 6. üeubner m Leipzig und Berlin

Hus jNatur und Geistee weit

Jeder Band geheftet M. t.—, in Leinwand gebunden M. l.2S

Aus dem Gebiete der Mathematik erschienen u. a.:

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht, von Dr. Paul Crantz, Prof, am Rskanischen Gymnasium in Berlin. In2Vanben. Mt Fig. Bb. 120,205.

1. Hell: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer und mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. 3. Auflage. Mit y Figuren. (Bö. 120). II. Heil: Gleichungen. Arithmetische und geometrische Reihen. Zinseszins- und Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. 2. Auflage. Mit 21 Figuren. (Bö. 205).

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Enthält die Planimetrie bis zur Ahnlichkeitslehre und der Berechnung des Kreises. Das Buch verfolgt dieselben Stele wie die in der gleichen Sammlung erschienene „Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht." In möglichst einfacher und verständlicher Art macht es mit den Grunülehren der Planimetrie vertraut, ohne dabei der wissenschaftlichen Strenge zu entbehren, wert ist darauf gelegt, den Zusammenhang der einzelnen Sätze und den Nutzen derselben her* vorzuheben. Diesem Zweck dienen die überall gegebenen praktischen Anwendungen. Auch rein geometrische Ausgaben sind in größerer Zahl vorhanden, deren Lösung teils ausführlich de-sprachen, teils kurz angedeutet ist. historische Bemerkungen sind, wo es anging, eingefügt. Ein ausführliches Register ist dem Buche zur leichteren (Orientierung beigegeben.;

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Mathematische Bibliothek

Gemeinverständliche Darstellungen aus der Elementarmathematik für Schule und Leben

Unter Mitwirkung von Fachgenoasen herausgegeben von und

Oberlehrer an der Oberrealschule zu Barmen

In Kleinoktav-Bändchen kartoniert je Jt —.80.

Die Sammlung, die in einzeln käuflichen Heften in zwangloser Folge herausgegeben ? ^ wird. bezweckt, allen denen, die Interesse an der Mathematik im weitesten Sinne des . Wortes haben, es in angenehmer Form zu ermöglichen, sich über das gemeinhin in den Schulen Gebotene hinaus zu belehren und zu unterrichten. Die Bändchen geben also teils eine Vertiefung und eingehendere Bearbeitung solcher elementarer Probleme, die allgemeinere und kulturelle Bedeutung oder besonderes mathematisches Gewicht haben, teils sollen sie Dinge behandeln, die den Leser — ohne zu große Anforderungen an seine mathema-i tischen Kenntnisse zu stellen — in neue Gebiete der Mathematik einführen.

Bisher sind erschienen:

14.

Dr. W. Lietzmann

1.    E. Löffier, Ziffern und Ziffernsysteme bei den Kulturvölkern in alter und neuer Zeit. 1912.

2.    H. Wieleltner, der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Entwicklung. Mit 10 Figuren. 1911.

3.    W. Lietzmann, der pythagoreische Lehrsatz mit einem Ausblick auf das Fermatscbe Problem. Mit 44 Figuren. 1912.

4    0. Meißner, Wahrscheinlichkeitsrechnung nebst Anwendungen Mit 6 Figuren. 1912.

5    H. E. Timerding, die Fallgesetze Mit 20 Figuren. 1912.

6    N. Zacharias, Einführung in die projektive Geometrie. Mit 18 Figuren. 1912.

7. H. Wieleltner, die sieben Rechnungsarten mit allgemeinen Zahlen. 1918.

Prof. Dr. A. Witting

Professor am Gymnasium zum Heiligen Kreuz zu Dresden

8. P. Meth, Theorie der Planetenbewegung Mit 17 Figuren. 1912.

S. A. Witting, Einführung in die Infinitesimalrechnung. Mit 40 Figuren. 1912.

10.    W. Lietzmann und V. Trier, wo steckt der Fehler? Mit 65 Figuren. 1918.

11.    P.ZÜhlke, Konstruktionen in begrenzter Ebene. Mit 25 Figuren. 1913.

12.    E. Beutel, die Quadratur des Kreises Mit 15 Figuren. 1918.

13.    Ph. föaennchen, Geheimnisse der Bechen 1 künstlet. 1913.

R. Rothe, darstellende Geometrie des Ge- • . landes. Mit Figuren. 1913.

15. A. Witting und Ifl. Gebhardt, Beispiele zu W Geschichte der Mathematik. Ein math ’ hist. Lesebuch. Mit 38 Figuren. 191? I

1 Aus Natur und Geifteswelt

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Verlag B.G.Teubnrr

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II

(Bd. 66.)

Psychologie, Einführ. i. d. Ps. B. Prof. Dr. E. von Aster. Mit 4 Abb. (Sb. 4V2.)

—    Psychologie d. Kindes. B. Pros. Dr. R. ©aupo. 3 Aufl. Mit 18Abb- (Bd.213.)

—    Psychologie d. Verbrechers. (Kriminal-vsychol.) V. Strafanstaltsdir. Dr. med. P. Pollitz. 2. Aufl. M. 5Diagr. (93b.248.)

—    Einführung in die erperiment. Psychologie. Von Dr. N. Braunsbausen. Mit 17 Abbildungen im Text. (Bd. 484.)

—    s. auch Handschriftenbeurteilg., Hypnotismus u. Sugg Mechanik d. Geistesleb., Seele b. Mensch, Veranlagung u Vererb., Willensfreiheit: Pädagog. Abt. II.

Reformation siehe Calvin. Luther. Religion. Die Stellung der R. im GeisteS--leb. 23. Lic. Dr. P. Kalme it. (93b. 225.)

—    Relig. u. Philosophie im alten Orient. Von Prof. Dr. E. v o n A st e r. (93b. 521.)

—    Die Religion der Griechen. Von Prof. Dr.E.S o m t e r. M.Büderanh. f93b.4 57.

-— Hellenistisch-röm. Religionsgesch. Bon Hofpredig Lic. A. Iacoby. (Bd. 584.)

—    Die Grundzüge der israel. Religions-

gefchichte. Von weil. Prof. Dr. F r. Giesebrecht. 2. Aufl.    (Bd. 52.)

—    Religion und Naturwissenschaft in Kamps und Frieden. Bon Pfarrer Dr. A. Pfannkuche 2. Ausl. (Bd. 141.)

—    Die relig. Strömungen der Gegenwart. Von Superintend. D. A. H. Braasch. 2. Aufl.

—    f. a. Bergfon, Buddha, Calvin,Christentum, Luther.

Rousseau. Von Prof. Dr. P. Hensel.

2. Ausl. Mit 1 Bildnis. (93b. 180.) Schopenhauer. Von Realschuldir. H. Richert. 3. Aufl. Mit 1 Bildnis. (Bd. 81.) Seele des Menschen, Die. Von Geh. Rat Prof. Dr. I. Nehm ke. 4. Aufl. (93b. 30.)

—    siehe auch Psychologie.

Serualethik. Von Prof. Dr. H. E. Ti merding.    (93b. 592.

Sinne d. Menschen. D. Sinnesorgane uni Sinnesempsindungen. Von Pros. Dr. I K. Kreidig. 3. verb. Aml. Mit 3( Abbildungen.    (Bd. 27.

Sittl. Lcbcnsanschauungen d. Gegenw. D weil. Prof. Dr. O. Kirn. 3. Aufl durchges. von Prof. D. E. Stephan

—    f. a. Ethik. Sexualethik. [(93b. 177.

pencer, Herbert. Bon Dr. K. Schwarze Mit 1 Bildnis.    (93b 245.

Staat und Kirche in ihrem gegenseitiger Verhältnis seit der Reformation. Vor Pastor Dr. A. Pfannkuche. (93b. 435.

Sternglauben und Sterndeutung. Bor Geh. Hosrat Prof. Dr. F r. 93 o i l. Mi 20 Abb.    (Bd.    638.

Suggestion f. Hypnotismus.

Testament, Neues. Der Tert d. N. T. nad seiner geschichtl. Entwickl V Div.-Pfarir A Pott. Mrt 8 Taf.    (93b. 134.

Theologie. Einführung in die Theologie Von Pastor M. C ornils. Bd. 347.

Veranlagung u. Vererbung. Geistige. D Dr.phil et med. G. S o nt m e r. (93b. 512.

Weltanschauung, Griechische. Von Prof Dr. M. Wundt. 2. Au l (Bd. 329.

Weltanfchauungen.D.. d. grotz. Philosophen d. Neuzeit. B-weil Pros. Dr. L. Busse. 6. Aufl., Hrsg. v. Geh. Hosrat Pros. Dr. R. Falckenberg.    (Bd 56.

—    siehe auch Philosophie.

Weltentstehung. Entsteh, d. W. u. d. Erd,

nach Sage ».Wissenschaft Von Prof Dr M. B Weinstein 2. Aufl. (93b 223 Weltuntergang. Untergang der Welt uni der Erde nach Sage und Wissenschaft. B Prof Dr MB- Wein st ei n Bd. 470.;

Willensfreiheit. Das Problem der W Von Prof. Dr. G F. Lipvs. (93b. 383.:

—    f.a. Etbik,Mechan. d-Geistesleb .Psychob

II. Pädagogik und Bildungswesen.

Amerikanisches BildungSwesen siehe Techn.

Hochschulen, Universitäten, Volksschule. Berufswahl, Begabung n. Arbeitsleistung in ihren gegenseitigen Beziehungen. Von W I Ruttmann M.7Abb. (Bd.522.) BildungSwesen, D. deutsche, in s. geschichtl. Entwicklung. B weil Prof. Dr F r «Bauiftn » Aufl Bon Prof Dr. W. Münch M Bildn. Pauliens. (Sb. 100.)

—    s. auch Volksbildungswesen.

Deutsches Ringen n. Kraft u. Schönheit.

Bon Turninsp. K. Möller. (93b. 188.) rziehnng. E zur Arbeit. Von Prof. Dr. Ed. Lehmann.    (93b 459.)

—    Moderne E. in Hans und Schule. Bon I. Tews. 2. Aufl. (Bd. 159.)

—    siehe auch GroßstadtvLdagogit. Fortbildungsschulwesen. Das deutsche. Bon

Dir. Dr F Schilling. (Sb. 256.) Fröbel. Friedrich. Von tir. I o h Prüfer. Mit 1 Tafel.    (93b. 82.)

Grotzstadtpädagog. B I- Te w s. (93b.327.) — s ehe Erz eh., Schulkämpse b Gegenw. Handschriftenbeurteilung, Die. Eine Ern-führ, in bk Psychol. bet Handschrift. B. Prof. Dr. G schneidemm h l. Mit 51 Handschriitennachbildungen. 485.514.) Herbarts Lehren und Leben. Von weil. Paüor Dr O. Flügel. 2.91 [fl. Mit 1 Bildnis Herbarts.    i93b 164 )

Hilfsschulwese». Vom. Von Rektor Dr S.

Maennel.    (Bd 73.)

Er

Hochschulen f Techn. Hochschulen u llnio. Jugendfürsorge, D.öffentl. V Waisenhaus-dir. Dr. I. Peter len (Bd. 161, 162.) Jugendpflege Von Fortbildungsschulleh-rer W W i e m a n n.    (93b. 434.)

Knabenhandarbeit. Die. in der heutigen Erziehung B. Sem.-Dir. Dr. A. Pabft. Mit 21 Abb u Titelbild (93b. ! 10.) Lehrerbildung siehe Volksschule und Lehrerbildung der Verein. Staaten.

3eber Band geheftet TH. 1.20 ctUS tlatUT Uttb Geisteswett 3eöer Band gebunden RI. 1.50 Religion u. Philosophie, Pädagogik u. Bildungswesen. Sprache, Literatur, Bildende Kunst u. Musik

Leibesübungen siehe Abt. V. Mädchenschule. D. höhere, in Deutschland.

B. Oberlehrerin M. Martin. (Bd. 65.) Mittelschule s. Volks- u Mittelsch.

Pädagogik. Allgemeine. Von Pros. Dr. Th. Ziegler. 4. Aufl. (Bo. 33 ) Experimentelle P. mit bes. Rücksicht aus die Erzieh, durch die Tat. Bon Dr. W. A. Lay. 2. Aufl. Mit 2 Abb. (Bd 224.)

—    s Erzieh., Großstadtpäd., Haudschrif-tenbeurteilung. Psychol., exp., Psych. b. Kindes. Veranlag, u. Vererb. Abt. I.

Pestalozzi. Leben und Ideen. Von Geh Reg.-Rat Prof. Dr.P.Natorp. 2. Aufl. Mrt Bildn. u. 1 Brieffaksimile. (Bd. 250.) Rousseau. Von Prof. Dr. P. öerdet.

2. Aufl. Mit 1 Bildnis (Bd. 180.) Schule siehe Fortbildungs-. Hilfsschulwes., Techn/Hoch-. Mädch., Volksschule. Univ. Schulhygiene. Von Pros. Dr. L. Bürge r st ei n. 3 Aufl M. 33 Fig. Bd 96.) Schulkämpfe der Gegenwart. Bon I. Tews. 2. Aufl.    (Bd. 111.)

—    siehe Erziehung, Großstadtpäd. Student. Der Leipziger, von 1409 bis

i909. Von Dr. W. Bruchm üller. Mit 25 Abb.    (Bd. 273.)

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D. E. D.Perry. Mit 22 Abb. (Bd. 206.)

llnterrichtswesen, Das deutsche, der Gegenwart. Bon Geh. Studienrat Oberreal-schuldir. Dr. K. Knabe. (Bd. 299.)

Volksbildungswesen. Das moderne. Bücher- und Leie ballen, Volkshochschulen und verwandte Bildungseinrichtungen in den wicht. Kulturländern. V Stadtbibl. Dr. G Fritz. Mit 14 Abb. (Bd. 266.)

Volks- und Mittelschule, Die preußische, Entwicklung und Ziele. Von G h Neg.-u. Schulrat Dr. A Sachs e. (Bd. 432.)

Volksschule und Lehrerbildung der Vereinigten Staaten Von Dir. Dr. F. Kny -pero. M 48 Abb U. Titelb. (Bd. 150.)

Zcichenkunst. Der Weg zur Z. Von Dr E. Weber. Mit82Abb. u. 1 Taf. (Bd.430.)

III. Sprache, Literatur, Bildende Kunst und Musik.

Architektur siehe Bailkunst und Renaissaucearchitektur.

Ästhetik. Von Pros Dr. R. Hamann.

—    siehe auch Poetik.    l(Bd.    345.)

Baukunst. Deutsche B. im Mittelalter. Von

Geh. Reg.- cu Pros. Dr. A Matthae i. 3. Aufl. Mit zahlr. Abb. t. T. u. auf 2 Doppeltafeln.    (Bd 8.)

³ — Deutsche B. seit dem Mittelalter bis z. Ausg des 18. Jahrh. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. A Matthaei. Mit 62 Aeb und 3 Tafeln    (Bd.    326.)

— Deutsche B. im 19. Jahrh. Bon Geh. Rea Rat Prof Dr A. Matthaei. Mit 35 Abb.    (Bd.    453.)

—    siehe auch Renaissancearchitektur. Beethoven siehe Haydn.

Bildenden Kunst. Bau und Leben der. Von Dir. Prof Dr. T h. Volbehr. 2. Aufl. Mit 44 Abb.    (Bd. 68.)

—    siehe auch Baukunst, griech. Kunst. Impressionismus, Kunst, Maler. Malere:. Stile.

Björnson siehe Ibsen.

Buch. Wie ein Buch entsteht siehe Abt. VI.

—    s. auch Schrift- u. Buchwesen Abt. IV. Dekorative Kunst des Altertums. Von Dr.

Fr. Po ulsen Mit 112 Abb. (Bd. 454.) Zeutsch siehe Baukunst, Drama, Frauendichtung. Heldensage. Kunst.Literatur,Lyrik, Maler. Malerei, Personennamen, Romantik, Sprache, Volkslied, Volkssage.

bivc

(Bd. 287/289.)

Drama. Das. Von weiland Dr. B. Busse. M. 3 Abb. 3 Bde. I: Von d. Antike z. frans, Klassizismus. 2. Aufl. neubearb. von Oberlehrer Dr. Niedlich u. Prof. Dr. Glaser. II: Von Versailles bis Weimar. III: Von der Romantik Gegenwart.

Drama. D. dtsche. D. d. 19. Jahrh I. s. Entwickl.dgelt.v.Prof. Dr.G. Witkows -k i. 4 Aufl. M. BÜdu. Hebbels. (Sb:51.)

—    siehe auch Grillparzer. Hauptmann, Hebbel, Ibsen. Lessing, Lrteratur, Schiller. Shakespeare. Theater.

Französische Roman. Der. und die Novelle. Von O. Flake. -    (Bd.377.)

Frauendichtung. Geschichte der deutschen F. seit 1800. Von Dr. H. Spiero. Mit 3 Bildnissen auf 1 Taiel. (Bd. 390.) Fremdmortkunde. Von Dr. Elise Richter.    mb. 570.)

Gartenkunst siehe Abt VI.

Griechische Komödie. Die. Von Prof. Dr.

A Küste M Titelb. u. 2 Taf mb.400.) Griechische Kunst. Die Blütezeit der g. K. im Spiegel der Relieffarkophage. Eine Einfuhr i. d griech. Plastik. V Dr. H. Wach tler. M 8Taf.u.32 Abb. mb.272.)

—    siehe auch Dekorative Kubst. Griechische Tragödie, Die. Von Prof Dr.

I. Geffcken. Mit 1 Plan u. Abb.

(Bd. 566.)

Grillparzer. Franz. Der Mann u d Werk.

V Prof. Dr.A. Klein berg. M. Bildn. Harmonium s. Tasteninstrum. l(Bd. 513?

—    s. auch Sturm und Drang.

Lyrik. Geschichte d. deutsch. L. f. Claudius.

V. Dr H. Sviero. 2. Aufl. (Bd. 254.) :— siehe auch Frauendichtung, Literatur, Minnesang, Volkslied.

Maler. Die altdeutschen, in Süddeutschland. Von H. Nemitz. Mit 1 Abb. i. Text und Bilderanhang. (Bd. 464.)

—    s. a. Michelangelo, Impression. Malerei. Die deutsche, im 19. Jahrh. Von

Prof. Dr. 9t. Hamann. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen Abb., auch in 1 Halbperga-mentbd zu M. 7.—. (Bd. 448—451.)

—    Niederländische M. im 17. Jahrh. Von Prof Dr H Jantzen. Mit 37 Abb.

■— siehe auch Rembrandt. [(93b. 373.) Märchen s Volksmärchen.

Michelangelo. Von Prof. Dr. E. Hilde-bronbt. Mit 44 Abb. (Bd. 392.) Minnesang. Von Dr. I. W. Bruinier.

[(93b. 404.)

Musik. Die Grundlagen d. Tonkunst. Versuch einer genet. Darstell, d. allg. Musiklehre. V.Prof. Dr.H. R i e t s ch. (Bd 178.)

Mozart siehe Haydn.

Hauptmann, Gerhart. V Vrof.Dr. E.Sul-ger-Gebing. 2. verb. u. vermehrte Anfl. Mit 1 Bildn.    (Bd 283.)

Haydn, Mozart, Beethoven. Ben Prof. Dr. C. Krebs. 2.Ausl. Mit 4 Bildn.

(Bd. 92.)

Hebbel. Friedrich. Von Geh. Hofrat Prof.

Dr.O.W alzel. M. 1 Bildn. (Bd. 408.) Heldensage, Die germanische. Von Dr. I. W. 93 r uinier.    (Bd. 486.)

—    siehe auch Volkssage.

Homerische Dichtung. Die. Von weil. Rektor Dr. G. Finster.    (Bd. 496.)

Ibsen. Björnson u. i. Zeitgenossen. B.weil. Prof. Dr. B Kahle. 2. Ausl. v. Dr. G. Morgenstern. M.7 Bildn. (93b. 193.) Impressionismus. Die Maler des I. Von Prof. Dr. 93. LLzär. mit 32 Abb u. 1 iarb Tafel    (Bd 395.)

Instrumente s. Tasteninstrum., Orchester. Klavier liehe Tasteninstrumente.

Komödie siehe Griech. Komödie.

Kunst. Das Wesen der deutschen bildenden K. Von Geh. Rat Prof. Dr. H. Xhobe. Mit Abb.    (Bd. 585.)

—    Deutsche K. im tägl. Leben bis zum Schlüsse d. 18. Jahrh. B. Prof. Dr. 93. Haendcke. Mit 63 Abb (93t). 198.)

■—s.a.Baukunst,Bild.,Dekorat.,Griech.,Ost-asiat. K., Pompeji,Stile; Gartenk.Abt.VI. Kunstpflege in Haus und Heimat. Von Super int. R. Bür kn er. 2. Aufl. Mit 29 Abb.    (Bd. 77.)

Lessing. Von Dr. Ch. Schrempf. Mit einem Bildnis. -    (Bd. 403.)

Literatur. Entwicklung der deutschen L. seit Goethes Tod. Von Dr. W. Brecht.

(93b. 595.)

Musik. Musikalische Kompositionsformen. Von S. G. Kallenberg. Bd. I: Die elementar. Tonoerbindungen als Grundlage d. Harmonielehre. Bd. II: Kontrapunktik u. Formenlehre. (Bd. 412, 413.)

—    Geschichte der Musik. Bon Dr. A

Einstein.    (Bd. 438.)

—    Beispielsammlung zur Musikgeschichte. Von Dr A Einstein. (Bd. 439.)

—    Musikal. Romantik. Die-'

81. in Deutschland. Von D Mit 1 Silhouette.

—    f a Haydn. Mozart, Beet.

Orchester, Tasteninstrument« -

Mythologie, Germanische. Bo I. b Negelein. 2. Ausl.

—    siehe auch Volkssage. Deutsche. Niederländische Malerei s. Malerei. Novelle siehe Roman.

Oper, Die moderne. Vom Tode Wagners bis zum Weltkrieg (1883—1914). Von Dr. E.Jste l. Mit 3 Bildn. (Bd. 495.)

—    siehe auch Haydn. Wagner.

Orchester. D. Instrumente d. O. V. Prof.

Dr.Fr.Volbach M.60Abb. (Bd.384.)

—    Das moderne Orchester in seiner Entwicklung. Von Prof Dr. F r. Volba ch. Mit Pactiturbeisp. u. 3 Taf. (Bd. 308.)

Orgel siehe Tasteninstrumente.

Ostasiat.Kunst ».ihre Eimvirk.a. Europa. A.

Dir.Prof.Dr.R.G r a u l. 49Abb. (Bd.87-) Personennamen. D. deutsch. V. Geh. Studienrat A.Bäb n i ich. 2.A. (Bd. 296.) Perspektive, Grundzüge der P. nebst Anwendungen. Bon Prof. Dr. K. D o e h l e -mann. M. 91 Fig. u. HAbb. (Bd.516.) Phonetik. Einfuhr, in d. PH. Wie wir sprechen. Von Dr. E. Richter. Mit 20 Abb.    (Bd.    354.)

Photographie. Die künstlerische. Von Dr. W. Warstat. Mit 12 Taf. (Bd. 410.)

—    s. auch Photographie Abt. VI.

Plastik s. Griech Kunst, Michelangelo. Poetik. Von Dr. R. Müller-Freien-

Renaissancearchitektur in Italien. Von Dr.P. Frankl. 2 Bde. I. M. 12 Taf. u. 27 Tertabb. II. M.Abb. (Bd. 381/382Z Rhetorik. Von Lektor Prof. Dr. E. Geißler. 2 Bde I. Richilinien für die Kunst des Sprechens. 2. Äufl II. Anweisungen zur Kunst der Rede (Bd. 455/456.)

—    siehe auch Sprache: Stimme Abt. V. Roman. Der französische Roman und bis

Novelle. Von O. Flake. (Bd.377.) Romantik, Deutsche. B. Sieh. Hofrat Prof.

Dr. O. Walzel. 4. A. (Bd. 232/233.) Tage siehe Heldensage, Volkssage, Mythol.

Zeder Band geheftet m. 1.20 RUS tlatUY Unb Geisteswelt Zeder Band gebunden m. 1.59 Sprache, Literatur, Bildende Kunst und Musik — Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie

Schiller. Von Prof. Dr. Th. Ziegler. Sturm unb Drang. Von Prof. Dr. N.

Mit 1 Bildn. 3. AM.    (Bd. 74.) Unser.    08b. 589.)

LHillcrs Dramen. Bon Progtimnastaldi- Saiteninstrumente. Klavier, Orgel, Har-reklor E. ibeufermann. lBd 493.) ntenium. B Prof. vr.O.Bie. Otib.325.) Lhakeireare unb feine Zeit. Bon weil. Theater. Das. Schauspielhaus u..tunst u. Dro! Dr. E. Sie per. M. 3 Abb. griech.Slltert. bis au! d. Gegenw. V.Peof. 2- Ausl. ₍    08b. 185.) vr.C br.Gaehbe. 2.A.18 Abb. (Bb 239.)

dvraÄe. Dte tzaupttpven des menschlich. Tonkunst siehe Musik.

Sprachbaus. Bon weil. Prof. Dr. o-.9t. Tragödie s. Gciech. Tragöbie.

—    Die deutsche Sprache von beute.' Bon Urheberrecht siehe Abt. VI

Dr. W. Fischer.    (Bd. 475.) Volkslied. Das deutsche, über Wesen und

—    Fremdwortkunde. Von Dr. Elise Werden d. deutschen Volksgesange^ Von

Richter.    (93b. 570.) Dr. I. W. Brurnrer. 5. Ausl. (Bd. 7)

—    siehe auch Phonetik, Rhetorik: ebenso Volksmärchen, Das deutsche V. Von Pfar-

Svrach u. Stimme Abt. V.    rer K. Spieß.    (Bd.587.)

Pprachstarnme des Erdkreises. Von weil. Volkssage. Die deutsche. Übersicht!, bärgest.

Bros Dr F N. Finck. 2Anfl. (Bd.267.) U. Dr. O. Böckel. 2. Ausl. (Bd. 262.) Sprachwissenschaft. Von Prof. Dr. Kr. — siehe auch Heldensage. Mythologie.

Sandfeld-Jensen. (Vd. 472.) Wagner. Das Kunstwerk Richard Wagners. Stile. Die Entwicklnngsgesch. d.St. in der Von Dr. E. I st e l. Mit Bildn. (Bo. 330.) bild. Kunst. Von Dozent Dr. E. Cohn- '— siehe auch Musik. Romantik n. Over. Wiener. 2 Bde. 2. Anfl. I.: V. Al- Zeichenkunst. Der Weg zur Z. Von Dr. tertum bis zur Gotik. M. 66 Abb. II.: E.W e b e r. M 82 Abb.u.1 Taf. (Bd.430.) Bou der Renaissance bis zur Gegenwart. — s. auch Perspektive. Projektionsleyre. Mrt 39 Abb.    (Bd. 317/318.) Zeitungswesen. V. Dr. H.Diez. (Vd.328)

IV. Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie.

Dorf. Das 2 Aufl.

Alpen, Die. Von H. Reis Hauer. Mit 26 Abb. und 2 Karten. (Bd. 276.) Altertum, Das. im Leben der Gegenwart. B. Prov.-Schul- u. Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. P. C a u e r. 2. Ausl. (Bd. 356.) Amerika. Gesch. d. Verein. Staaten v. A. V.

Prof. Dr. E. D ae n e l l. 2. A (Bd. 147.) Amerikaner, Die. V. N. M. B u t l e r. Dtsch.

v. Prof. Dr. Taszowski. (93b. 319.) — s- Volksschule tt. Lehrerbild.: Technische Hochschulen, Univers. Amerikas Abt. II. Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr. O.

Neurath. 2. Anfl.    (Bd. 258.)

Antikes Leben nach den ägyptischen Papyri. Von Geh. Postrat Pros. Dr. Fr. Prei -Ng ke. Mit 1 Tafel.    (Vd. 565.)

Arbeiterbewegung s. Soziale Bewegungen. Australien und Neuseeland. Land, Leute und Wirtschaft. Von weil. Pros, Dr. N. Sch ach ner. Mit 23 Abb. (Bd. 366.) Babylonische Kultur, Die, i. Verbreit, u. i.

Nachwirkungen auf d. Gegenw. V. Prof. . Dr.F C. L e h m ann - Hanpt. (Bd.579.) Baltnw. Provinzen. V. Dr. B. Tornius. _ 2-Aufl. M.8 Abb.n.2 Kartensk. (Bd. 542.) Bauernhaus. Kulturgeschichte des deutschen B. Von Vaurat Dr.-Jng. Chr. Ran ck.

2. Anfl. Mit 70 Abb.    (Bd. 121.)

Bauernstand. Gesch. d. dtsch. B. V. Prof.

Dr. H. Ger des. M. 21 Abb. (Bd. 320.) Belgien. Von Dr. P. Oßwald. 2. derbes,. Ausl. M. 5 Kart. (93b. 501.) eidmord und seine Zeit. Von Professor Dr. V. Valentin. Mit einem Bildn. Bismarcks.    (Bd. 500.)

Brandenburg.-prerch. Gesch. Von Archivassistent Dr. F r. Israel. 2 Bde. I. V. d. ersten Anfängen b. z. Tode König Fr. Wilhelms 4. 1740. II. B. der Regier. Frdr. d. Gr.    b. zum    Ausbruch    des Weltkrieges.    (Bd.    440/441.)

Bulgarien. Von Otto Müller-Neu -d o rf.    (Bd. 597.)

Bürger im Mittelalter s. Städte.

Byzant. Charakterköpfe. V Privatdoz. Dr. KDieterich. Mit 2 Bildn (93b. 244.)

Calvin, Johann. Von Pfarrer Dr G. S o -beitr. Mit 1 Bildnis. (Vd. 247.)

Christentum u. Weltgeschichte seit der Reformation.    Von    Prof.    D. Dr.    K. ©eit

2 5Bbe.    ($b.    297/298.)

Deutsch siehe Bauernhaus, Bauernstand, Dorf, Feste, Frauenleben, Geschichte, Handel, Handwerk, Jahresfeste, Reich, Staat, Städte, Verfassung, Verfassnngsr., Volksstämme, -trachten, Wirtschaftsl.usw.

Deutschtum im Ausland, Das. Von Prof. -Dr.    R.    Hoe Niger.    '93b.    402.)

$ deutsche. Von R. Mielke. Mit 51 Abb.    (Bd.    192.)

Eiszeit,    Die, und der vorgeschichtliche

Mensch. Von Geh. Bergrat Prof. Dr.

G. Steinmann. 2. Ausl. M. 24 Abbildungen.    (Bd. 302.)

England u. Deutschland i. ihr. Beziehungen v. Mittelalter b. z. Gegenw. V. Prof. Dr.    W. Langende    ck.    (Bd. 543.)

— Englands Weltmacht in ihrer Entwicklung vom 17. Jahrhundert bis auf unsere Tage. V. Prof. Dr. W. Langen-beck. 2,Ausl, Mit 8 Bildn. (Sb. 174.)

Mit

26.)

Geogr.

Von Prof. Dr. (Bd. 571/572.)

Luthers. 2. Aufl.

—    s. auch Von L. zu Bismarck.

Marr. Von Dr. M. Adler. (Bd. 621.) Mensch u. Erde. Skizren v. den Wechselbeziehungen zw. beioen. V. weck. Geh.

Prf Dr. A Kirchhofs. 4. Ausl.

—    s.a. Eiszeit: Menfch Abt.V. [(95b. 31.)

Meriko. Bon Ferd. Frhr. v. Reitzenstein. Mit Abb.    (Bd. 588.)

Mittelalter. Mittelalterl. Kulturideale. B. Prof. Dr. B. Bedel. I.: Heldenleben. 11:^ Rikterroman ik. ^ ^ (Bd. 292, 293.)

a. D. 415.)

Münze, Die. als histor. Denkmal sowie i. Bedeut, im Rechts ^ u Wirtschaft leben. Von Hofrat Prof. Dr. A ßufdjin v. Ebengreuth. Mit 53 Abb. (Bd. 91.) •— s q. Finanzwiss.; Geldwesen Abt. VL

Entdeckungen, Das Zeitalter der E. Von Prof. Dr. S. Günther. 3. Aufl.

1 Weltkarte.    (Bd.

Erde siehe Mensch u. E.

Erdkunde s. Wirtsch. Erdk.,

Europa. Vorgeschichte E.'s.

H. Schmidt.

Familienforschung. Von Dr. E De-vrient. M. 7 Abb. u. 2 Taf. (Bd.350.) Feste, Deutsche, u. Volksbräuche. V. Priv.-Doz.Dr.E. F e b r l e. M.3O Abb. (Bd.518.) Französische Geschichte. I.: Das französische Königstum. Von Prof. Dr. R. Schwemer.    (Bd. 574.)

—    siehe auch Napoleon, Revolution.

Frauenbewegung, Die moderne. Ein geschichtlicher üb rblick Von Dr. K. Sch irrn ach er. 2. A.rfl.    (Bd. 67.)

Franenleben, Deutsch., i. Wandel d. Jahrhunderte. Von Geh. Schulrat Dr. Ed. Otto. 2. Auslage.    (Bd. 45.)

Friedrich d. Gr. V. Prof. Dr. Tb. Bitterau f. 2.A. M. 2 Bild. (Bd. 246.) Gartenkunst. Geschichte d. G. V. Baurat Dr.-Ing. Chr. Ranck. Mit 41 Abb.

(Bd. 274.)

Geographie der Vorwelt (Paläogeogra-phie). Von Priv.-Doz. Dr. E. Dacqu ^ Mit 21 Abb.    (Bd. 619.)

Geologie siehe Abt. V.

German. Heldensage s. Heldens. Germanische Kultur in der Urzeit. Von Geh.-Rat, Bibliotheksdir. Prof. Dr. G. Steinhaufen. 3.Aufl. Mit 13 Abb.

(Bd. 75.)

Geschichte, Deutsche. Skizzen zur Entwicklungsgeschichte d. deutschen Einheit. Von Prof. Dr. R. Schweme r. 3 Bde. I.: Von 1800—1848. Restauration u. Revolution. 3. Aufl. (Bd. 37.) II.: Von 1848—1862. Die Reaktion u. die neue 8ra. 2.Ausl.kBd,1ü1.)III. :$.1862-1871. V. Buna z. Reich. 2. Ausl. (Bd. 102.)

■— d?r Römer s. Römer.

Griechentum. Das G. in seiner ge chicht-lichen Entwicklung. Von Pros. Dr. R. v. Scala. Mit 46 Abb. (Bd. 471.) Griechische Städte. Kulturbilder aus gr. St. Von Professor Dr. E. Ziebarth.

2.A M. 23 Abb. u. 2 Ta-eln. ^Bd. 131.) Handel. Geschichte d. Welthandels. Von Realghmnasial-Dir. Prof. Dr. M. G. Schmidt. 3. Aull.    (Bd. 118.)

—Geschichte des deutschen Handels. Von Prof Dr W Langende ck. Bd. 237.) Handwerk, Das deutsche, in seiner kultur-geschichtl. Entwickl. V. Geh. Schulrat Dr. E. Otto. 4. A. M. 27 Abb. (Bd. 14.)

—    siebe auch Dekorative Kunst Abt. Iil. Hans. Kunstpflege in Haus u. Heimat. V.

Superintendent R Bürkner 2 Aul. Mit 29 Abb.    (Bd. 77.)

— s. a. Bauernhaus. Dorf; Wohnhaus Abt. VI.

S^Cf^'i?lee?emani!lSe-

Hellenist.-röm. Religionsgeschichte s. Abt. I. Holland siehe Städtebilder, Historische. Japaner, Die, i. d. Weltwirtschaft. V. Prof.

Dr. K. Rathgen. 2. Aufl. (Bd. 72.) Jesuiten, Die. Eine hist. Skizze. Bon Prof.

Dr. H. Äoehmer. 4. Aufl. (Bd. 49.) Indien. V. Prof. S. Konow. (Bd. 614.) Jndogermanenfrage. Von Dir. Dr. R.

Agahd.    (Bd. 594.)

Internationale Leben, Das. der Gegenw.

Von A H Fried. M. 1 Tai. (Bd. 226.) Island, d. Land u d.V- lk. V.Prof ^    ;

Herrmann. M. 9 Abb.

Kaisertum und Papsttum. Vr A. Hofmeister.

Kalender siehe Abt. V.

Kirche s. Staat u. K.

Kolonialgeschichte, Allgemeine, k n Prof.

Dr. F. Keutgen 2Bde. (Bd.. k,/o46.) Kolonien, Die deutschen. (Land u. Leute.) Von. Dr. A. Heil born. 3. Aufl. Mit 28. Abb. u. 8 Karten.    (Bd. 98.)

—    Unsere Schutzgebiete n. i. wirtschaft!. Verhaltn. Im Lichte d. Erdkunde barg, von Dr. Chr. G. Barth. (Bd. 290.)

Königstum, Französisches. Von Pros Dr.

R. Schwemer    (Bd 574.)

Krieg, Der, im Zeitalter des Verkehrs und der Technik. Von weil. Major A. Meyer. M 8916b. u 2Taf (Bd. 271.)

—    Kulturgeschichte d. Krieges. Von Prof.

Dr. K. Weule . Geh. Hofrat Prof. Dr,

E. Bethe, Prof. Dr. B. Schmeid -ler, Prof. Dr. A. Doren, Prof. Dr. P. Herre.    (Bd. 561.)

—    Der Dreißigjährige Krieg. Von Dr.

Fritz Endres.    (Bd. 577 )

Kriegsschiff. Das. Seine Entstehung nnd Verwendg. V. Geh. Marine-Baurat a. D. E. K r i e g e r. Mrt 60 Abb. (Bd. 389.) Kulturgeschichte d. Krieges s. Krieg. Luther. Martin L. u. d.dtsche. Reformation. Von Prof. Dr. W. K ö h l e r. M. 1 Bildn. Luthers. 2. Aufl.    (Bd. 515.)

Rat

— s. auch Städte u. Bürger i M. Moltke. V Kaiserl. Otwman. Major FC. End res. Mit l B ldn. (Bd.

2eder Band geheftet M. 1.20 BUS tlatUT Utlb Geistes weit Jeder Banö gebunöenTrt. 1.50 Geschichte, Kulturgeschichte und Geographie

l(Bd. 452.)

(Bd. 53.)

Rußland. 2 Bde. I.: Land, Volk u. Wirtschaft. Von Syndikus Dr. Wa lr h. II.: Geschichte, Staat und Kultur. Bon

Dr. A. Luther.

. Berhält-arrer Dr. (Bd. 485.)

Mykenische Kultur. Die. Von Prof. Dr. F.

C Lehmann-Haupt. (Bd. 581.) Mythologie s Abt I.

Kapoleoni. Von Prof. Dr. T h. B i tter-aus 3 Aufl. Mit 1 Bildn. (Bd. 195.) Narionalbewutztsein siehe Volk. Naturvölker. Die geistige Kultur der N. V Prof Dr K. Tb.Preuß. M. 9Abb.

—    f a Völkerkunde, allg.

Neuseeland s. Australien.

Orient s. Palästina, dürfet.

Österreich. Geichichte der auswärtigen Politik £>. im 19. Jahrh. Von dl Char-matz. 2 Bde. 2. Ausl. Bo. I: 1800 bis 1848. Bd. II: 1848—1895. Bis zum Sturze Kalnokys. (Bd. 651/652.)

•— Österreichs innere Geschichte von 1848 bis 1895. Bon R. Charmatz. 2 Bde.

3. Aufl. Bd. I: 1848—1895. Bon der Revolution bls zum Sturze Hohenwarts. Bd. II: 1871—1895. Vom Ministerium Auersperg bis zum Sturze d. Koalitionsministeriums.    (Bd.    653/651.)

'— Österreichs innere und äuszere Politik von 1895—1914. Von R. Charmatz.

(Bd. 655.)

Ostmark s. Abt. VI.

Ostseegebiet, Das. V. Prof. Dr. G. B r a u n.

M. 21 Abb. u. Imelm. Karte. (Bd. 367.) Palästina und seine Geschichte. Von weil. Pros Dr. H. Frh. von Soden. 3. Aufl. Mit 2 Karten, 1 Plan u. 6 Ans. iBd. 6.)

—    V. u. f. Kultur in 5 Jahrtausenden.

Nach d. neuesten Ausgrabungen u. Forschungen dargestellt von Ghmn.-Oberl. Dr. P. T h o m s e n. 2. neubearb. Ausl. Mil 37 Abb.    (Bd. 260.)

apsttum s Kaisertum.

apyri s. Antikes Leben, olarforschung. Geschickte der Entdeckungsreisen zum Nord- u. Südpol v. d. ältest. Zeiten bis zur Gegenw. V. Pros. Dr. K. Hassert. 3. Ausl. M. 6 Kart. (Bd. 38.) Polen. Mit einem geschicktl. überblick über b. polnisch-ruihen.sche Frage. V.Pros.Dr. R. F. Kain dl. 2. Auilage. Mit 6 Karten.    (Bd. 547.)

Politik. V.Dr.A. Grabow Ny. ^Bd.53ii )

—    Umrisse der Weltpolitik. V. Pros. Dr.

I. Has Hagen. 3 Bde. I: 1871 bis 1907. II: 1908—1914. III: D volit. Ereign, währ. d. Krieges. (Bd. 553/555.)

—    Politische Geographie. Von Pro. Dr. E. Schöne. Mit 7 Kart. (Bd. 353.)

Politische .Hauptströmungen in Europa im 19. Jahrhundert. Von weil. Pros. Dr. K Th. v. Hei gel. 3 Aufl. (Bd. 129.) Pompejl. eine hellenistische Stadt in Italien. Von Pros. Dr. Fr. v. Dubp.

3. Ausl. Mit zahlr. Abb. (Bv. 114.) Prrutzische Geschichte s. Brandend.-vr. G. Reaktion und neue Ära s. Gesch., deutsche. Reformation s Calvin. Luther.

Reich. Das deutsche R. von 1871 bis zum Weltkrieg. Von Archivassistent Dr F r. Israel.    (Bd.575.)

Religion s. Abt. I.

Restauration und Revolution siehe Geschichte. deutsche.

Revolution. Die Französ. V. Prof. Dr. Th. Bitte rauf. 2. A M.8Bild. (Bd. 346.)

—    R. 1848, 6 Vorträge. Von Prof. Dr. O. Weber. 2. Aufl.

Rom. Das alte Rom. Von Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. O. Richter. Mit Bilderanhang u. 4 Plänen.    (Bd. 386.)

—    Soziale Kämpfe t. alt. Rom. V. Privat-dozent Dr L Bloch. 3. Aufl (Bd. 22.)

—    Roms Kamp! um die Weltherrschaft. B. Prof. Dr. I. Kr o map er. (Bd. 368.)

Römer. Geschichte der R. Von Prof. Dr. R. v, Scala.    -Bd.578.)

—    siehe ach Hellenist.-röm. Religionsgeschichte Abt. I; Pompeii Ab 11.

(Bd. 562/563.) Schrift- und Buchwesen in ütter uuö neuer Zeit. Von Pros. Dr. O. Weise. 3.Aufl. Mit 37 Abb.    (Bd. 4.)

—    s. a. Wie ein Buch entsteht. Abt. VI. Schutzgebiete s. Kolonien.

Schweiz. Die. Land. Volk. Staat u. Wirtschaft. Von Reg - u. Ständerat Dr. O. Wettstein Mit 1 Karte. (Bd. 482.) Seekrieg s. Kriegsschiff.

Soziale Bewegungen und Theorien bis zur modernen Arbeiterbewegung. Von G. Maier. 4. Aufl.    Bd. 2.)

—    s. a. Marx. Rom; Sozialism. Abt. VI. Staat. St. u. Kirche in ihr. gegen*

nis seit d Reformation. V. Pf phil. A. Pfannkuche.

—    Der deutsche St. Von Geh. Justizrat Prof. Dr. F. v Liszt. (Bd. 600.)

Städte, Die. Geogr. betrachtet. B. Prof. Dr.K.H asser t. M. 21 Abb. (Bd. 163.)

—    Dtsche. Städte n. Bürger i. Mittel-alter. B. Prof. Dr.B. Heil. 3.Aufl. Mit zahlr. Abb. u. 1 Dovrelta>el. (Bd 43.

—    Historische Stödtebilder aus Holland und Niedrrdeutschland. B Reg.-Baum. a.D. A. Erbe. M 59 Abb. (Bd. 117.)

—    s. a. Griech. Städte, Pomveii. Rom. Student. Der Leipziger, von 1409 bis

1909. Bon Dr. W. Bruchmüller. Mit 25 Abb.    "Bd 273.)

Studententum. Geschichte d. deutschen St.

Bon Dr W. Bruch Müller. (Bd. 477.) Türkei. Die. B. Reg.-Rat P.R. Krause.

Mit 2 Karten. 2. Auslage. (Bd. 469.) Ungarn siehe Österreich.

Urzeit s. german. Kultur in der 11. Verfassung. Grundzüge der V. des Deutschen Reiches. Von Geheimrat Prof. Dr. E. Löning 4. Aufl.    lBd. 34.)

Verfassungsrecht, Deutsches, in geschichtlicher Entwicklung. Von Prof. Dr. Ed. Hu brich. 2. Ausl.    (Bd. 800

lands.

Weber. 2

Bd.

Bott. Vom deutschen V. zum dt. Staat. Eine Gesch d dt. Nationalbewußtseins. B- Bros. Dr.P.Joachimsen. (Bd-51t.) Völkerkunde. Allgemeine. I: DaS Feuer, der Nahrungserwerb, Wohnung. Schmuck und Kle bung Won Dr. A. Heil-6etn W 54 Abb. ©6.487.) llrWak-Sen und Werkzeuge, die Industrie, Handel und Geld, die Verkehrsmittel. Von Dr. A Heil born. Mit 51 Abbild. (Bd. 488 ) IU: Die geistige Kultur der Naturvölker. Bon Prof. Dr. K- T h. Pceuß Mit 9 Abbildungen. (Bd. 452.) Tatksbräuchc. deutsche, siehe Feste. Äölksstämme, Die deutschen, und Landschaften. Bon Prof. Dr. O. Weise. 5. völlig umgearb. Aufl. Mit Abb.

i. Text u. einer Dialektkarte Deutsch-(Bd. 16.)

Volkstrachten, Deutsche. Bon Pfarrer K.

Spieß. Mit l l Abb. (Bd. 342./ Born Bund zum Reich siehe Geschichte.

Bon Zena bis zum Wiener Kongretz. Vor Prof. Dr. G. Roloff. (Bd. 465 Don Luther zu Bismarck. 12 Charakterbild. a. deutscher Gesch. V. Prof Dr. O Bde. 2. Aufl. (Bd. 123/124. Vorgeschichte Europas. Von Pros. Dr. H Schmidt.    (S8b. 571/572.

Weltgeschichte s. Christentum.

Welthandel (. Handel.

Weltpolitik s. Politik.

Wirtschaftliche Erdkunde. Von wer*

Dr. Chr. ©ruber. 2. Aus von Prof. Dr. K. Dove. Wirtschaftsgeschichte, Ant Neurath. 2. Auslage.

—    s a Antikes Leben n. d.. Wirtschaftsleben. Deutsches. ?u« uv.

Grundlage geschildert. Bon i Prof. Dr. Chr. ©ruber. 3. Aufl. . ^ubearb. von Dr. H. Reinlein. (Bd. 42.)

—    s. auch Abt. VI.

V. Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin.

Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht. Bon Prof. P. Crantz 2 Bände. L: Die Rechnungsarten. Gleichungen

1.    Grades mit einer u. mehreren Unbekannten. Gleichungen 2. Grades 4 Aufl. M. 9 Fig. II.: Gleichungen. Arithmet. u. geometr. Reih. Zinseszins- u. RenLen-rechn. Komvl. Zahlen. Binom. Lehrsatz. 3 Aufl. M. 21 Fig. (Bd. 126. 265.)

Arzneimittel und Genutzmittel. Bon Prof.

Dr. O. Schmiedeberg.    (Bo. 363.)

Arzt. Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulturleben der Gegenw. Von Dr. med. M Fürst.    (Bd. 265.)

Astronomie. Probleme d. mod. A. VPror. Dr.S. Oppenheim. II Fig. (Bo.355.)

—    Die A. in ihrer Bedeutung für das Prof Dr. A.

!Bd. 378.)

—    siehe auch Weltall. Weltbild. Sonne, Mond, Planeren: Slernglauben Abt. I.

Atome. Moleküle — Ä. — Weltäther. B.

Prof. Dr G M ie. 4. A. Fia. (B 58/59.) Auge des Menschen, Das. und feine Gesundheitspflege. Bon Prof. Dr. G. AbelSdorff. Mit 15 Abb (Bd. 149.) Auge. Das. und die Brille. Von Prof. Dr. M. v. Rohr. Mit 84 Abb. und 1 Sicht-drucktafel.    lBd 372.)

Bakterien, Die. im Kreislauf des Stoffe in der Natur und im Haushalt des Menschen. Bon Prof. Dr. E. Gutzeit.

2.    Aufl. Mit Abb.    (Bd. 242.)

—    Die krankheiterregenden Bakterien.

Bon Privatdozent Dr. M. Loehlein. Mit 33 Abb.    (Bd. 307.)

—    s. a. Abwehrkrafte. Desinfektion, Pilze, Schädlinge.

Aberglaube, Der. in der Medizin u. f. Gefahr f. Gesundh. u. Leben. B Prof. Dr.

D v. Hansemann. 2. Aufl. (Bd. 83.)

Abstammungslehre u.Darwinismus. B. Pr.

Dr K Hesse. 4. A M. 37Fig. (Bd. 39.)

Bon Prof. Dr. E. Leh -(Bd.37S.)

TdstL3tMUngs° und Vererbungslehre, Er» perlmentelle mann Mit 26 Abb.

AdWehrkräfte d. Körpers, Die. Einführ. i. b. JmmunitätZlehre V. Vrof. Dr. med.

H Kämmerer M.52 Abb. (Bd. 479.)

Algebra siebe Arithmetik.

AlkatzolisWUs, Der. Bon Dr. G. B. Gru -ber. Mit 7 Abb.    (Bd. 163.)

Bon 26 Abb.

praktische Leben. Marcuse. Mit

-— Seine Wirkungen u. s. Bekämpf. Hrsg, v. Zentralverb. z. Bekämpf, d Alkoholismus in Berlin III Teil. (Bd. 145.)

I.    u. ll. Teil s. Alkoholis-mus v. Gruber.

Knatomie d. Menschen. Die. V. Prof. Dr. K-

v Bardeleben. 6 Bde. Jeder Bd. mit zahlr. Abb Bd. 418 423.) I. Zellen- und Gewebelehre. Entwicklungsgeschichte. Der Körper als Ganzes. 2. Aufl.

II.    Das Skelett. 2. Aufl. UI. Das Mus-kel- u Gefäßsystem 2. Aufl. IV. Me Eingeweide (Darm-, Atmungs-, Harn- und Geschlechtsorgane). 2. Aufl. V. Nervensystem und Sinnesorgane VI. Statik u.

Mechanik d. menschl. Körpers.

—    siehe auch Wirbeltiere.

Aaua*i«m, Das. Von E. W. Schmidt.

Mit 15 Fig.    m. 335.)

Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Ein-fübr. in d. Arbeitsphysiologie. B Prof.

DrH Bornttau. M. 14 Fig. (Bd.539.)

—    Berufswahl. Begabung u. Arbeitsleistung in i. gegens. Beziehungen. Von W.

I. Ruttmann. Mit 7Abb. (Bd. 522.)

3eöerBan& geheftetTIX.1.20 ctllS ItotUr ttttfc Geisteswett JederVand gebunden M. 1 .S9 Itlat^emattt, Naturwissenschaften unö Medizin

Uhb.

Bau u, Tütigkeit d. menschl. Körpers. Eins, in bie Physiologie b. Menschen. B Prof. Dr. H. Sachs. 4. A M. 34 Abb. (Bd-32.) Vrgsbung f Berufswahl. Betruchtungsvorgang. Der. sein Wesen und s. Bedeutung B Dr. E. Teichmann. 2Ausl M9 Abb.u.4 Doppeltaf. (Bd. 70.) BersegungSlehre s.Mechan.Ausg. a. d. M I. ötochemie. Einführung in die B. Bon Prof. Dr 83.8 ö b. Mi! 12 Fig. (Bd.352.) Biologie, AUsemeine. Einführ. i. b.Hauptprobleme d. organ. Natur. V Prof. Dr. L>. Miehe. 2. Ausl 52 Fig (Bd. 130.)

—    Erprriurentelle. Bon Dr. T. T b e s i n g. Mit Abb. 2 Bde. I: Erverim. Zellforschung. II: Regeneration. Transplantat, und verwandte Gebiete Bo 336. 3.7.)

■— siehe a Abstammungslehre. Befruchtung-vorgang .Fortpflanzung, Lebewesen, Organismen. Mensch und Tier. Urtiere. Blumen. Unsere Bl. u. Pflanzen im Garten Bon Prof. Dr. U. Dämmer. Mit 69 Abb.    (Bd. 360.)

—    Uns Bl u.Pflanzen i.Zimmer. V. Prof. Dr. U Dämmer. 65 Abb. (Bd. 859.)

—    siehe auch Garten.

blut. Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Bon Prof Dr. £>. Nosin Mit 18 Abb.    (Bd. 312.)

Svtsrnk. B. d.praktischen Lebens. B-Prof. DrPGNevius. M.24 Abb. ^Bd. 173.)

—    sretze Blumen. Lebewesen, Pflanzen, Pilze. Scharrlinge. Wald; Kolonialbota-

mt Tabak Abt. VI.

Stillt. Das Auge und die Br. Bon Prof. Dr. M. ö. diotjv. Mit 84 Abb. und 1 Lichtdrucktcnel.    <Bd. 372.)

lhemie. Einführung in die allg. Eh. B. Dr B Bavink. M. 24 Fig. (Bb. 582.)

—    Einführung in die organ. Ehemie: Ra-tücl. u. künftl.Pslanzen- u.Tierstsffe. Bon Dr. B Bavink. Mit 7 Fig. (Bd. 187 '

—    Einführung in die anorganische Chemie. Bon Dr. B B a v i n I. (Bb. 598.)

—    Einführung i. d aualut. Chemie. SS.Dr.

F. Rüsberg. 2 Bde. (Bd. 524, 525.)

—    in Küche und Stand. Von Dr. I.

Klein. 3. Aufl.    (Bd. 76.)

—    siehe a. Biochemie, Elektrochemie. Luft. Phstoch.: Technik, Ehern., Agrikulturch., Sprengstoffe Abt. VI.

hirurgie. Die. unserer Zeit. Von Prof. Dr. I. Feßler. Mit 52 Abb. (Bd. 339.) Darwinismus. Abstammungslehre und D. Bon Prof. Dr. R. Hesse. 4. Aufl. Mit 27 Fig.    (Bd. 39.)

Desinfektion, Sterilisation und Konservierung. Von Reg.- u. Med.-Rat Dr. O. Solbrig. M. 20 Abb. i. T. (Bd. 401.) )isferential- u. Integralrechnung mit Be> rückflchtigung der prall. Anwendung in der Technik. Von Dr. M. Lindow. M. 42 Fig.    (58b. 387.)

Dynamik s. Mechanik, Aufg. a. d. lochn. M. 2. Bd., ebenso Thermodynamik.

Eiszeit, Dir. «uS der vorgeschichtliche Mensch. Bon Geh. Bergrat Bros. Dr.

G. Steinmann. 2. Aujl. Mit 24

(Bd. 302.)

Elektrochemie. Von Prof. Dr. K. Arndt.

Mtt 36 Abb.    (Bd. 234.)

Elektrotechnik. Grundlagen der E. Von Uberinaemeur A. Rotth. 2. Aufl. Mit 74 Abb.    (Bd.391.)

Energie. D.Lehre v. d. E. V. weil. Oberlehr.

A Stein. 2. A. M. 13 Fig. (Bd. 257.) Enlrvickluugsgejchichte des Menschen. Von Dr. A. Heilborn. Mit 60 Abbild.

(Bd. 388.)

Erde s. Weltentstehung u. -Untergang. Ernährung und Volksnahrungsmittel.

з.    Auil. von Geh.-Rat Prof. Dr. N. Sunt?. Mu Abb. u, Taf. (Bd. 19.)

—    s. auch Nahrungsmittel. Erperimeutalchemie s. Lust usw. Erperimentslphynk s. Physik.

Farben s. Licht u. F.: s. a. Farben Abt. VI. Festigkeitslehre f. Statik.

Fortpflanzung. F. und Geschlechtsunter-schitde d. Menschen. Eine Einführung in die ©eiuaibiotogie. B Pro;. Dr. H. Boruttan. M. 39 Abb. (Vd.540.) Garten. Der Kleing. Von Redakteur Joh. Schneider. Mtt 80 Abb. (Bd. 498.)

—    Der Haus garten. Bon Garienarchi-tektW Schubert. MitAbw (Bd.502)

—■ siede auch Blume», Pflanzen; Gar-teulunft, Gartenstadtbewegung Abt. VI. Gcditz. Das menschl., s. Erkrank, u. Pflege.

B Zahnarzt F r. I ä g e r. 24A. (Bd.229.) Grifteskrankheiten. Bon Geh. Medizinalrat Oberstabsarzt Dr. G. I l be r g. 2. A.

(Bd. 151.)

Genutzmittel siehe ArzneimitEl u. Genußmittel. Kaffee. Kakao, Tabak, Tee. Geographie s. Abt. IV.

—    Mathernktti-che G. s. Astronomie. Geologie. Allgemeine. Von Geh. Bergrat

Prof. Dr. F r. Frech. 2. u 3 Ausl. 6 Bände (Bd. 207/211 u. Bd. 61.) I.: Vulkane einst und jetzt. Mit Titelbild u. 80 Abb. II.: Gebirgsbau u Erdbeben. Mtt Titelbild u. 57 Abbildgn.

III.: D. Arbeit d. fließ. Wassers. 56 Abb. IV : Die Arbeit des Ozeans. Boden bil-dung und Mittelgebirgsformen. Mit 1 Titelbild und Abb. V.: Steinkohle. Wüsten und Klima der Vorzeit. Mit Titelbild u. 49 Abb. VI.: Gletscher einst

и.    jetzt. M. Titelb. u. 65 Abb.

—    s. a. Kohlen. Salzlagerstätt. Abt. VI.

Geometrie. Analyt. G. d. Ebene z. Selbstunterricht. Bon Prof. P. Crantz. Mit 55 Fig.    (Bd. 504.)

—    s. a. Planim., Projektionslehre, Stereometrie. Trigonometrie.

Geschlechtskrankheiten, ihr Wesen, ihre Ver-breitg.. Bekämpsg. u.Verhütg. V Generalarzt Pros. Dr. W. Sch um bürg. 3. Aufl. M. 4 Abb. u. 1 Tafel. 08b. 25 U

Geschlechtsunterschiedr s. Fortpflanzung. Gesundheitslehre. Acht Vorträge aus der

G.    Von weil. Prof. Dr. H. Büchner. 4. Aull. v. Obermedizinalrat Prof Dr M. v. Gruber. Mit 26 Abb. (93b. 1.)

—    G. röt Frauen. Bon Prof. Dr. K. Bai sch. Mit 11 Abb. (Bd. 538.)

—    s. a. Abwehrkräfte. Bakterien. Leibesüb. Graphische Darstellung. Die. V- Hs rat

Prof. Dr. F. Auerbach. M. 100 Abb.

(93b. 437.)

Haushalt siehe Bakterien, Cbemie, Desinfettion, Naturwissenschaften, Physik. Haustiere. Stammesgeschichte unserer

H.    Von Pros. Dr. C. Kelle r. Mit 28

0ri₃.    (Sb. 252.)

—    siehe auch Kleintierzucht, Tierzüchtung

et»

Dr. I. M. Verwehen.

Abt. VI.

Herz. Blutgefäße und Blut und ihre Erkrankungen. Von Prof. Dr. H. Rosin. Mit 18 Abb.    (Bd. 312.)

Hygiene s. Schulhygiene, Stimme. Hypnotismus und Suggestion. Bon Dr.

E.    Trömner. 2. Aufl. (Bo. 199.) Jmmunitätslehre s. Abwehrkräfte d. Körp. Infinitesimalrechnung. Einführung in die

1.    Bon Prof. Dr. G. Kowalewski.

2.    Slufl. Mit 18 Fig.    (Sb. 197.)

Integralrechnung s. Differentialrechnung. Kaffee. Tee, Kakao u. die übrig, narkotisch.

Getränke. Von Prof. Dr. A. Wieler. Mit 24 Abb. it. 1 Karte. (93b. 132.) Kalender, Der. Von weil. Prof. Dr. W.

F.    Wislicenus. 2. Aufl. (Bd 69.) Kälte. Die. Wesen, Erzeug, u. Verwert.

Von Dr. H. Alt. 45 Abb. (93b. 311.) Kinematographie s. Abt. VI.

Konservierung siehe Desinfektion.

Korallen u. and.gesteinbild. Tiere. 93. Prof.

Dr. W. May. Mit 45 Abb. (Bd.231.) Kosmetik. Ein kurzer Abriß der ärztlichen Verschönerungskunde. Von Dr. I. Sou» b e k. Mit 10 Abb. int Text. (93b. 489.) Krankenpflege in Haus u. Beruf. 93. Chefarzt Dr. M. 93er Q. M. Abb. (Bd. 533.) Lebewesen. Die Beziehungen der Tiere und Pflanzen zueinander. Von weil. Prof. Dr.K. K r a e p e l i n. 2. Aufl. M. 132 Abb. I. Der Tiere zueinander. II. Der Pflanzen zueinander u.zu d.Tier. (Bd.426/427.) ■— s.a. Biologie, Organismen, Schädlinge. Leibesübungen, Die, und ihre Bedeutung für die Gesundheit. Bon Prof. Dr. R. Zander. 3. Ausl. Mit 19 Abb. (93b. 13) •— s. auch Turnen.

Licht. Das, u. d. Farben. (Einführung in die Optik.) 93. Prof. Dr. L. Grae tz.

4. Ausl. Mit 100 Abb. (Bd. 17.) Luft. Wasser, Licht und Wärme. Neun Vorträge aus dem Gebiete der Experimentalchemie V n Prof. Dr. N. 93 so d) -mann. 4. Aufl. Mit 115 Abb. (93b. 5.) Luftftickstoff, D., u. s. Verwertg. 93. Prof. Dr. K. Kaiser. M. 13 Abb. (93b. 313.)

Mathematik. Naturwissensch. u. M. i. klass. Altertum. Von Pros. Dr. I o h. L H ' be-rg. Mit 2 Fig.    (93b. 370.)

—    Praktische Mathem. V. Prof. Dr. R. Neuenborff. I. Graph, und minier. Rechnen, kaufm. Rechnen i. tägl. Le en, Wahrscheinlichkeitsrechnung. M. 62 Fig.

u.    1 Tafel. II. Geometr. Konstruktionen, Perspektive. Ort-, Zeit- u. Entfernungsberechnungen. Mit Fig. (Bd. 341. 526.)

—    Mathemat. Spiele. 93.Dr. W. Ahrens.

3.    Ausl. M. Tiielb. u. 77 Fig. (93b. 170.) — s. a. Arithmetik, Disf.- u. Jntegral-rechn.. Geometrie, Jnfinitesimalrechn., Perspektive, Planim. Projektionslehre, Trigon.

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A.

v. Jhering. 2 93be. I: Die Mechanikd. fest. Körper. Mit 61 Abb. II: D. Mech. b. flüss. Körper. 34 Abb. (93b. 303.304.)

—T Aufgaben aus d. technischen Mechanik für b. Schul- u. Selbstunterr. 93. Prof.

N. Schmit t. I. Bewegungslehre. S a-tik. 156 Aufg. u. Lösungen. M za Ir. Fig. i. T. II. Dynamik. 140 Ausg. u Lösungen. M. zahlr. Fig. i. T.

—    siehe auch Statik. [(93b. 558/559.) Medizin s. Aberglaube in der Medizin. Meer. Das M., s. Erforsch, u. s. Leben. Bon

Prf.vr.O.J a n s o N.3.A.M.40F. (Bd-30.) Mensch it. Erde. Skizzen von den Wech-selbeziehungen zwischen beiden. Von weil. Pros. Dr. A. Kirchhofs. 4. A. (Bd. 31.)

—    s. auch Eiszeit, Entwicklungsgeschichte,

—    Natur u. Mensch siehe Natur.

Menschl.Körper. Bau u.Tätigkeit d.menschl.

K. Einführung in die Physiol. b. Menschen. Von Prof. Dr. H. Sachs. 4.Ausl. Mt 34 Abb.    (93b. 32.)

—    {. auch Anatomie, Arbeitsleistungen, Auge. Blut, Gebiß, Herz. Fortpflanzg., Nervensystem. Ph. siol., Sinne, 93er6ilb.

Mikroskop. Das. Allgemeinverständl. dargestellt. Von Prof. Dr. W. Scheffe r. Mit 99 Abb. 2 Aufl.    (Bd. 35.)

—    s. auch Pflanzenwelt b. M.

Moleküle — Atome — Weltäther. V.Prof.

Dr. G. Mie. 4. A. M. Fig. (Bd. 58/59.) Mond, Der. Von Prof. Dr. I. Frau z.

Mit 34 Abb. 2. Aufl.    (Bd. 90 )

Nahrungsmittel, Die. ihre Zusammensetzung, Herstellung und Prü ung. Von Dr. H. Kühl Mit Abb. (93b. 599.)

—    s. a. Ernährung u. Votksnahrungsmitt. Natur u. Mensch. 93. Direkt. Prof. Dr. M.

G. Schmidt. Mit 19 Abb. (93b. 458.) Naturlehre. Die Grundbegriffe der modernen N. Einführung in die Physik. Von Hofrat Prof. Dr. F. Auerbach.

4.    Aurl. Mit 71 Fig.    (Bd. 40.)

Naturphilosophie, Die mod. V. Privatdoz.

(Bd. 491)

Naturwissenschaft und Religion. R. und N. Physiologie siehe auch Arbeitsleistungen, in Kampf und Frieden. Von Plärrer Menfchl. Körper, Pflanzenphysiologie. Dr. A Pfannkuche. 2. A (Bd. 141.) Pilze. Die. Von vr. A. Eichinger. Mit Naturwissenschaft und Technik. Am sau- — s. a. Bakterien. [64 Abb (Bd. 334.) senden Webstuhl der Zeit. Übersicht über Planeten, Die. Von weil. Prof. Dr. B. Wirkung der Entwicklung der N. u. T. Peter. Mit 18 Fig.    (Bd.240.)

auf das gesamte Kulturleben. B Vr^f. Planimetrie z. Selbstunterricht. V. Prof. Dr. W-La un Hardt. 4. Aufl. neubearb. P. Crantz. Mit 99 Fig. (Bd. 340.) von Geh. Reg.-Rat M. G eitel Mit Praktische Mathematik f. Mathematik. Abbildungen.    (Bd.    23.)    Projektionslehre. Die rechtwinklige Paral-

—    N. ii. Math. i. klaff. Altert. B- Pr. f. lelproiettwn und ihre Anwend, aut die Dr. I. L. He i be r g. 2 Fig. (Bd. 370.) Darstell. techn. Gebilde nebst Anhang

Nerven. Vom Nervensystem, sein Bau u. über die schiefwinklige Parallelproektion sein. Bedeutung süc Leib u. See.e im ge-    in kurzer leichtfaßlicher Darstellung für

fund. u. krank. Zustande. V. Prof. Dr. R.    S:th unterr. u. Sckulgebr. V. Zeichens.

Zander. 2. Aufl. Mit 27 Fig. (Bd. 48.) A.Schudeisky. M. Fig. (Bd. 564.) •— siehe auch Ana omie.    Radium und Radioaktivität. Bon Dr. M.

Optik. Die out. Innrumente. V. Prof. Dr. Centnerszwer. M 33 Abb. (Bd.405 ) M. v. Rohr. 2. A M. 84 Abb. (Bd. 88.) Rechenmaschinen. Die, und das Maschinen-

—    s. a. Auge. Brille. Kinemat., L cht u. rechnen. Bon Reg.-Rat Dipl.-Ing. K.

Farbe, Mikrof ., Spektroskopie,S rahlen. Lenz. Mit 43 Abb.    (Bd. 490.)

Organismen. D. Welt d. O. In Cntwickl. Relativitätstheorie. Von Dr. W B ^ och. u. Zusammenhang bärgest. V. Prof. Dr.    (Bd. 618.)

K. Lampe rt. Mit 52 Abb. (Bd. 236.) Röntgenstrahlen. D. R. n.ihre Anwendg.V.

—    siehe auch Lebewesen.    Dr. msä. G Bncky. M. Abb. (Bd. 556.)

Paläozoologie siehe Tiere der Vorwelt. Säugling. Der. s.Ernährung u. [.Pflege. Perspektive. Grundzüge der P. neb't An- V. Dr. W. Kaupe. Ml7Abb. (Bd. 154.)

wendg. V Prof. Dr. K D o e h le m an n. Schachspiel, Das. und seine strategischen Mit 91 Fig. u. 11 Abb. (Bd. 510 )    Prinzipien. Von Dr.    M.    Lang e.

Pflanzen. Vermehrung u. Serualität bei 2. Aufl. Mit 2 Bildn., 1 Schachbrettafel den Pfl. Bon Prof. Dr. E. K ü ste r. u. 43 Darst. v. Übungsbeispiel. (Bd. 281.) Mit 38 Abb.    (Bd. 112.) Schädlinge im Tier- und Pflanzenreich

■— Die fleischfressenden Pfl. B. Prof. Dr. und ihre Bekämpfung. Bon Prof. Dr. A. Wagner. Mit 82 Abb. (Bd. 344.)    K. Eckstein 3. Aufl. M    Fig.    (Bd. 18.)

—    Uns. Blumen u, Pfl. i. Garten. $.$rot.    schnllivgicne Von Prof. Dr L. B u r l> er -

Dr. U. $ a m m e r. M. ti9 21bb. (@b. 360.)    Nein 3. Au,l. Mit 43    Fig.    Md. 96.)

—    ll«i. Blumen u.Pfl. i. Zimmer. V.Prof. ?^ualbio »g,e s.Fortpslanzung,Pflanzen. Dr. U. $ ain iner. M.65Abb. U8b. 359.) *tr»elet6tf. B. Pros. Dr. H. E. Timer-

—    s. auch Botanik, Garten, Lebewesen, ^ t n g. .,    _    a (Bd. 592.)

Pilze, Schädlinge    Sinne d. Mensch., D. Srnnesoraane und

$f/i(dn'®at⁰63⁰5i₃5B !Br0f' D(S}f' 569 ) i.iÄr⁸e7b1i₃nbl,,M.®B3oit. (8ib.r'2?j

W lmEnmrl, brs WroiW. Die Ban Sonne^ Die. Von Dr. A. Krause. Mit Lelir.E. Reu kauf. IVVAbb. (Bd. 181.    ,^4 Abb. ^    m iBb. 357.

Photochcmic. Bon Prof. Dr. G. Küm-    $01t Dr- & ® * e,l£-J&f

mell. Mit 23 Abb.    (58b. 227.)    . ^ Abb    ®b.284.)

Photographie s Abt VI    ^jnel siehe mathem, Sprehe, Schachspiel.

Physik. Werdegang b. mod. PH. D- Oberl. Sprache. Entwicklung der Spr. und Hei-Dr.H.K oller. M.13Fig. (Bd. 343.)    lung ihrer Gebrechen bei Normalen,

—    Erperimentalphyfik. Bon Prof. Dr.    Schwachnnnigen und Schwerhörigen B

R. Börn st ein. M. 90 Abb. (Bd. 371.)    Lehrer K. Nickel.    -mb-ptä)

—    Physik in Küche und Hans. Von Prof " flehe auch Rhetorik, Sprache Abt. 111.

H. Speit kam p M. 51 Abb. (Bd. 478.) Statik. Mit Einschluß der Festigkeitslehre.

-— Die großen Physiker und ihre Leistun V- Baugewerkschuldirektor Reg.-B mm. gen. Von Prof. Dr. F. A. Schulze. A. Schau. Mit 149 Fig. i. T- (Bd. 497.)

2. Aufl. Mit 7 Tafeln. (Bd. 324.) — siehe auch Mechanik.

—    s. a. Energie, Naturlehre, Optik, Rela- Sterilisation siehe Desinfektion, tivitätstbeorie, Wärme: ebenso Elektro- Stickstoff s. ßmtfticfüorf.

technik Abt. VI.    Stimme. Die menschliche St. und ihre

Physiologie des Menschen. Von Privatdoz.    Hygiene. Von Prof. Dr. P.H. Gerber

Dr.A Lipschütz. 4 Bde. I: Allgem.Phy-    2. Aufl. Mit 20 Abb.    (Bd. 136.)

siologie II: Physiologie d. Stockwechsels. Strahlen, Sichtbare u. nnfichtb. V. Prof. III: PH. d. A-rnung. d. Kre o au,5 u d    Dr. R. Börnftein unb Prof. Dr. W.

Ausscheidung. IV: PH. der Bewegungen    M ar ckw al d. 2 A. M.85Abb. (Bd. 64.)

und der Empfindungen. (Bd.527—530.)    — s. auch Optik, Röntgenftrahlen.

Turnen. Das. Von Oberl. F. E ck a r d t.

—-- s. auch Leibesübungen. [(33b. 583.) Urtiere. Die. Einführung i. d. Wissenschaft vom Leben. Von Prof. Dr. R. Gold-schmidt. 2. A. M. 44 Abb (Bd. 160.) Urzeit. Der Mensch d. ll. Vier Vorlesung, aus der Entwicklungsgeschichte des Menschengeschlechts. Von Dr. A. Heil born. 2. Aufl. Mit rahlr. Abb. (Bd. 62.) Verbildungen, Körperliche, im Kindesalter u. ihre Verhütung. Von Dr. M. David. Mit 26 Abb.    (Sb. 321.)

Anatomie

Suggestion, Hypnotismus nnd Suggestion.

V Dr. E. T r ö m n e r. 2. Aufl. (Bd. 199.) Sützivasfer-P!a«.kton,DaS. Vweil.Prof. Dr.

OZacharias. 2.A.57Abb. (Bd. 156.) Thermodynamik s. Abt. VI.

Tiere. T. der Vorwelt. Von Prof. Dr. O. Abel. Mit 31 Abb.    (58b. 399.)

—    Fortpflanzung der T. V. Prof. Dr. R Goldschmibt. M. 77 Abb. (Bd. 253.)

—    Tierkunde. Eine Einführung in die Zoologie. V. weil. Privatdozent Dr. K. Hennings. Mit St Abb. (Bb. 142.1

Lebensbedingungen und Verbreitung der Tiere. V. weil. Prof Dr. O. Maas. Mit 11 Karten und Abb. (Bd. 139.)

Zwiegestalt der Geschlechter in der Tierwelt (Dimorphismus). Bon Dr. F r. Knauer. Mit 37 Fig. (Bd. 148.) —- s. auch Aguarium, Bakterien. Haustiere, Korallen, Krebs, Lebewesen, Schädlinge, Urtiere, Vogelleben, Vogelzug, Wirbeltiere.

Tierzucht siehe Abt. VI: Kleintierzucht, Tierzüchtung.

Trigonometrie. Ebene, z. Selbstunterr. V.

Prof. P Crantz. M. 50 Fig. (Bb. 431.) Tuberkulose. Die. Wesen, Verbreitung, Ursache, Verhütung und Heilung. Von Generalarzt Prof. Dr. W. S ch u m b u r g. 2. Aufl. M. 1 Taf. u. 8 Fig. (Bd. 47.)

Vererbung. Erp. AbstammgS.- u. D.-Lehre.

Bon Prof. Dr. ($. Lehmann. Mit 20 Abbildungen.    (Bd. 379.)

—- Geistige Veranlagung u. V. Von Dr.

phil. et med. G Sommer. (Bd. 512.) Dogelleben, Deutsches. Von Prof. Dr. A.

Boigt.    (Bd. 221.)

Vogelzug und Vogelschutz. Von Dr. W. R.

Eckardt. Mit 6 Abb.    (Bd.218.)

Volksnahrungsmittel siehe Ernährung u.V. Wald. Der dtsche. V. Prof. Dr. H.H aus -rath. 2. Afl. M. Vilderanh. u. 2. Karten.

—    siehe auch Holz Abt. VI. [($8b. 153.) Wärm?. Die Lehre v. d. W. V. Prof. Dr.

R.Börn stein. M. 33 Abb. (Bd. 172.)

—    s. a. Luft, Wärmekraftmasch.. Wärmelehre. techn., Thermodynamik Abt. VI.

Walser. Das. Von Geb. Reg.-Rat Dr. O.

Anselmino. Mit 44 Abb. (93b. 291.) Weidwerk. D. dtsche. V. Forstmftr. G. Frhr.

o. N o r d e n f l y ch t- M. Titelb. (Bd-436.) Weltall. Der Bau des W. V. Prof. Dr. I Scheiner. 4. A. M. 26Fig. (Bd.24.) Weltäther siehe Moleküle.

Weltbild. Das astronomische W. im Wandel der Zeit. Bon Prof.Dr. S. Oppenheim. 2. Aufl. Mit 24 Abb. (Bd. 110.1

—    siehe auch Astronomie.

Wcltentftehung. Entstehung d. W. u.d.Erde

nach Sage u. Wissensch. V. Prof. Dr. M. B. Weinstein. 2. Aufl. (Bd. 223.) Weltuntergang. Untergang der Welt und der Erde nach Sage und Wissenschaft. V. Prof. Dr. M- B Weinstei n. (Bd. 470 ) Wetter. Gut und schlecht. Von Dr. R. Hen -nig. Mit 46 Abb.    (58b. 340.)

—    Einführung in dle Wetterkunde. Von

Prof. Dr. L. Weber. 2. Aufl. Mit 28 Fig. u. 3 Taf.    (Bd. 55.)

Wirbeltiere. Vergleichende Anatomie der Sinnesorgane der W. Von Prof. Dr. W. Lubosch. Mit 107 Abb. (93b. 282.) Zahnheilkunde siehe Gebiß.

Zellen- nnd Gewebelehre siehe des Menschen. Biologie.

VI. Recht, Wirtschaft und Technik.

Arbeiterschntz und Arbeiterversicherung. Von Prof.O^v.^Z wiedineck-Süden-

—    siehe auch soziale Bewegungen. Arbeitsleistungen des Menschen. Die. Einführ. in d. Arbeitsphysiologie. V Pros. Dr. H Boruttau. M.14Fig. (Bd.539.)

—    Berufswahl. Begabung u. A. in ihren gegenseitigen Beziehungen. Von W. I. Ruttmann. Mit 7 Abb. (Bd.522.)

Arzneimittel und Genuszmittel. Von Prof.

Dr O Schmiede derg. (Bd. 363 ) A?zt. Der. Seine Stellung und Aufgaben im Kulturleben der Gegenw. Von Dr. med. M. Fürst.    (93b. 265.)

Agrikulturchemie. Von Dr. P. Krische.

Mit 21 Abb.    (Bd. 314.)

hör st. 2

(Bd. 78.)

Alkoholismus. Der. Von Dr. G7B. Gru-ber. Mit 7 Abb.    (Bd. 103.)

■— Seine Wirkungen u. seine Bekämpfung.

Hrsg. v. Zentralverband z. Bemmpfuno d.A. in Berlin. III. Teil. (Bd. 145.)

(I. u. II. Teil s. Alkoholismus v. Gruber.)

Amerika. Aus dem amerik. Wirtschaftsleben. Bon Prof. I. L. L a u g h l i n.

Mit 9 graphisch. Darstellung. (Bd. 127.)

Angestellte siehe Kaufmännische A.

Antike Wirtschaftsgeschichte. Von Dr. O.

Neurath. 2. Aufl.    (Bd. 258.)

■— siehe auch Antikes Leben Abt. IV.

Jeder Band geheftet M. 120 RUS IttttUT Mtb GeistSSwett Jeder Sand gebunden M. 1.5Ü _Mathematik, Naturwissenschaften und Medizin — Nechr, Wirtschaft und Technik

(Bd. 333.)

Eisenhüttcursese«. B. weil.Geh.Bergr. Prof. Dr. H. Wedding. 5. Aufl v. Bergref. F. W Wedding. M Fig. (Bd 20) Elektrische Kraftübertragung, Die. B Ing. B. K ö b n. Mit 137 Abb. (Bd. 424.)

4. Aufl. M. 33 Abb.

— s. auch Klempnergewerbe.

Automobil. Das. Eine Eins. in d. Bau d. heutPersonen-KraftwagenK. V-Ob.-Jng. K. Blau. 3. Ausl. M. 98 Abb. u. Titelbild.    (Bb.    IBS.)

Bahnen s. Eisenbahnen, Klein- u. Straßenbahnen, Verkehrsentwicklung.

Baukunde. Der Eisenbetonban. V. Dipl.-Jng. E. Haimovici. 81 Abb. (23b.275.)

—    siehe auch Städtebau.

Baukunst siehe Abt.III.

eleuchrungswesen. Das moderne. Bo« Dr. H. Lux. Mit 54 Abb. (23b. 433.) ergbou. V. Bergreferendar F. W Wed -ding.    (Bd.    467.)

'ewegungslehre s. Mechan., Aufg. a. b. M. Bierbrauerei. Von Dr. A. Bau. Mit 47 Abb.

Bilanz s. Buchhaltung u. B.

Blumen. Unsere Bl. und Pflanze« ita Garten. Von Prof. Dr .U. Dämmer. Mit 69 Abb.    (Bd. 366.)

—    Uns. Bl. u. Pfl. t. Zimmer. V- Prof. Dr.U. Dämmer. M.65Abb. (Bd. 359.)

—    siehe auch Garten.

Brauerei s. Bierbrauerei.

Buch. Wie ein B. entsteht. V. Prof. A. 28. Unser. 4. Ausl. Mit 8 Taf. u 26 Abb. im Text.    (Bd. 175.)

—    s- a. Schrift- u. Buchwesen Abt. IV. Buchhaltung u. Bilanz. Kaufm., und ihre

Beziehungen z. buchhalter. Organisation, Kontrolle u. Statistik. V. Dr. P. Gerst -ner. M. 4 schemat. Darstell. (Bd. 50 7.) Ihemie in Küche und Haus. Von Dr.

I Klei». 3. Stuft.    (Bd. 76.)

■— s. auch Agrikulturchemie, Elektrochemie, Farben, Sprengstoffe, Technik; ferner Chemie Abt. V.

Dampfkessel siehe Feuerungsanlagen. Dampfmaschine. Die. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Wirkungsweise des Dampfes in Kessel und Maschine. 3. Aufl. Mit 45 Abb. (Bd. 393.) II: Ihre Gestaltung und ihre Verwendung. Mit 95 Abb. u. 1 Taf. (Bd. 394.) Desinfektion. Sterilisation und Konservierung. Von Reg.- und Med.-Rat Dr.

O. Solbrig. Mit 20 Abb. (Bd. 401.) Deutsch siehe Handel, Handwerk, Landwirtschaft, Reich, Reichsversicherung, Schiffahrt, Verfassung. Weidwerk, Wirtschaftsleben, Zivilprozeßrccht.

Drähte und Kabel, ihre Anfertigung und Auwend. in d. Elektrotechnik. 23. Telegr.-Ins». L. Brick. äß. 43 Abb (58b. 286.) Dynamik s. Mechanik. Aufg. a. d. M. 2. Bd..

ebenso Thermodynamik.

Eisenbahnwesen, Das. Von Eisenbahnbau-u. Betriebsinsp. a. D. Biedermann. 2. Aufl. Mit 56 Abb.    (Bd. 144.)

Eisenbetonbau. Von Dipl.-Jng. E. Hai-movici. Mit 81 Abb. (Bd.275.)

Elektrochemie. Bon Prof. Dr. K. Arndt.

Mir 38 Abb.    (25b. 234)

Elektrotechnik. Grundlagen der E. Von Obering. A. Rotth. 2. Aull. Mil 74 Abb.    (Bd. 391.)

—    s. auch Drähte u. Kabel. Telegraphie. Erbrecht. TestamentSrrrichtun« und E. Vs«

Prof. Dr. F. Leonhard. (Bd. 429.) Ernähr, u. Volksuahrungsmittel s. Abt. V. Farben u. Farbstoffe. I. Erzeug, u. Ver-toenb. B Dr.A. Zart. 31 Abb. (Bd. 483)

—    siehe auch Licht Abt. V. Fernsprechtechnik f. Telegraphie. Feuerungsanlagen, Jndustr.,n.DampffrsM.

V. Jng.J.E. Mayer. 88Abb (23b 348.) Finanzwissenschaft. Von Bros Dr. S. %

Altmann. 2 Bde. 2. Aufl. I. Allg. Teil. H. Bekond. Teil. (Bb. 549—550.)

—    siehe auch Geldwesen.

Frauenarbeit. Ein Problem b. Kapilalisw.

B. Pros Dr. R. W i l br an d t. (Bd. 106.)

—    siebe auch Frauenbewegung Abt. IV. Friedensbewegung. Die moderne. Bon L

H. Fried.    (Bd. 157.)

Funckentelegraphie siehe Telegraphie. Fürsorge f.Krgsbeschädigtenf.; Jgdf.Abt.I4 Garten. Der Meingarten. V. Redakt. I o h, Schneider. Mtt 80 Abb. (Bd. 498J

—    Der Hausgarten. Von Gartenarchire^

W.    Schubert, mt Abb. (Bd.502^

—    siehe auch Blumen.

Gartenkunst. Gcsch.d.G. V.Vaurat Dr.-Jng.

C br. R an ck. M. 41 Abb. (23b. 274.) Gartenstadtbewegung, Die. Von Generalsekretär H. Kampssmeyer. 2. Ausl. Mit 43 Abb.    (Bd. 259.1

Gesängniswesen s. Verbrechen.

Geldwesen, Zahlungsverkehr und VermS-gensverwalt. V. G. M a i e r. (Bd. 398J

—    s. a. Finanzwissensch.: Münze Abt. IV. Genutzmittel siehe Arzneimittel und Gs-

iiußmittel. Käme, Tabak.

Getränke siebe Kaffee. Tee, Kakao. Gewerblicher Rechtsschutz i.Deutschland. B» Patentanw. B. T o l k s d o r f. (Bd. 138.3

—    siehe auch Urheberrecht.

Graphische Darstell..Die. BHofratProf.De.

F. Auerbach. M. 100 Abb. (Bd. 437.) Handel. Geschichte d. Welth. Bon Direktor Prof. Dr. M. G. Schmidt.

3. Aufl.    (Bd. 1184

—    Geschichte des deutschen Handels. Vs« Prof. Dr W. Langende ck. (23b. 237.)

Handfeuerwaffen. Die. Entwickl. u. Tech«.

V.Mafor R Weiß. 69Abb. (Bd. 364.) Handwerk. D deutsche, in f. kulturgeschichtl. Entwicklg. V Geh. Schulr. Dr. E Otto.

(23b. 14)

rat Dr. M. Strau ß.

tiere,

(Bd. 621.)-

Haushalt s. Bakterien, Chemie, Desinfekt., Garten, Jurisprud., Physik: Nahrungsmittel Abt. IV.

Häuserbau siehe Baukunde, Beleuchtungs-Wesen, Heizung und Lüftung.

Hebezeuge. Hilfsmittel zum Heben fester, flüssiger und gasf. Körper. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2. Aufl. M. zahlr. Abb.    (Bd. 196.)

Heizung und Lüftung. Von Ingenieur I.

E.    Mayer. Mit 40 Abb. (Bd. 241.) Holz, Das H.. seine Bearbeitung u. seine

Verwendg. B- Jnsp. I. Groß mann. Mit 39 Originalabb. i. T. (Bd. 473.) Hotelwesen. Das. Von P Damm-Etienne. Mct 30 Abb. (2)0.331.) Hüttenwesen siehe Eisenhüttenwefen. Japaner, Die. i. d. Weltwirtschaft. V. Prof.

Dr. K 9? a tilgen. 2. Aufl. (Bd. 72) Jmmunitätslehre s. Abwehrkräfte Abt. V. Jngenieurtechnik. Schöp'ungen d. I. der Neuzeit. Von Geh. Regierungsrat M. G eitel. Mit 32 Abb.    (Bd. 28.)

Jnstallateurgewerbe s. Klempnergew. Instrumente siehe Optische I. Jurisprudenz i. Häusl. Leben. F. Familie und Haushalt. 23. R chtsanw. P Bie -ne n grübe r. 2 Bde. (Bd. 219.220.)

-— siehe auch M ete.

Kabel s. Drähte und K.

Kaffee. Tee, Kakao u. d. übrigen narkot. Getränke. Von Prof. Dr. A 2V ie le r. Mit 24 Abb. u. 1 Karte. (23b. 132.) Kälte, Die. ihr Wesen, ihre Crzenguna und Verwertung. Von Dr. H. Alt. Mit 45 Abb.    (Bd. 311)

Kaufmann. Das Recht des K. 23. Juftiz-(23b. 40.).)

Kaufmännische Angestellte. D. Recht d. k. §L Von Justizrat Dr. M. Strauß.

(23b. 361.)

Kinematographie. 23. Dr. H. Lehmann.

Mit 69 Abb.    (Bd. 358.)

Klein- u. Straßenbahnen. 23. Oberlehrer A. Liebmann. M. 85 Abb. (23b. 322.) Kleintierzucht. Von Redakteur Joh. Schneider. Mit 29 Fig. im Text u. 28 auf Tafeln.    (Bd.    604.)

—    siehe auch Tierzüchtung.

Klempner- und In mllateurgewerde, Das.

Von Dr. O. Kallenberg. (Bd. 615.) Kohlen, Unsere. 23. Berg aff. P. Kukuk.

—    s. auch Mittelstandsbewegung, Wirtschaftliche Organisationen.

Kraftanlagen siehe Feuerungsanlagen und Dampfkessel. Dampfmaschine, Wärmekraftmaschine, Wasserkraftmaschine. Kraftübertragung, Die elektrische. Don Jng.P Köhn. Mit 137Abb. (Bd. 424.) Krankenpflege in Haus n. Beruf 23 Chefarzt Dr. M. Berg. M. Abb (Bo. 533.) Krieg. Kulturgeschichte b. K. V Prof. Dr. K. Weule. Geh. Hofrat Prof. Dr. E. Bethe, Prof. Dr. V. Schmeidler, Prof. Dr. A. Doren, Prof. D. P. Herre.    (Bd. 561.)

Kriegsbeschädigtenfürs. In Verbrndg. nt. Med.-Rat Dr. Rebentisch, Gewerbe-schuldir. H Back, Dir. d. Stadt. Arbeitsamts Dr. P. Schlotter Hrsg, von Dr S. Kraus, Leiter b. S-ädt. Fürsorgeamts für Kriegshinterbliebene in Frankfurt a. M. '    (Bd. 523.)

Kriegsschiff. Das. Seine Entstehung und Verwend. V Geh. Marinebaurat a. D. E. Krieger. Mit 60 Abb. (Bd. 389.) Kriminalistik, Moderne. Von Amt richter Dr. A Hellwig.M.18Abb. (Bd. 476-)

—    s. a Verbrechen, Verbrecher.

Küche siehe Chemie in Küche und Haus. Kulturgeschichte des Krieges siehe Krieg. Landwirtschaft, D.deutsche. V.Dr.W.C l a a -feen. 2. Ausl. Mit l Karte (Bd 215.)

—    s. auch Agrikulturchemie, Kleintierzucht. Luftstickstoff, Tierzüchtung; Haus-

Tierkunde ‘kbt. V. Landwirtschaftliche Maschinenkunde. Von Prof. Dr. G. Fische r. Mit ^Abbild.

Luftfahrt, Die, ihre wissenschaftlichen Grundlagen und ihre tech ?i:che Entwicklung Von Dr. R. Nimf ü h r. 3. Aufl. v. Dr. F r. Huth. M. 60 Abb Bd. 350.) Luftftickstvff. Der, u. s. Verw. V. Prof.

Dr. K Kaiser. M 13 Abb (23b. 313.) Lüftung. Heizung und L. Von Ingenieur

I.    Mayer. SOiu 40 Abb. (8b. 241.) Marx. Von Dr. M. Adler.

—    s. auch Sozialismus.

Maschinen f. Hedezeuge, Dampfmaschine,

Landwirtsch. Maschi; enfunte, Wärmekraft mal ch., W asserkraf tm as ch. Maschinenelemente. Von Geh.Bergrat Prof.

R. Vater. 2. A. M. 175 Abb. (93b. 301.) Maße und Messen. Von Dr. W. Block.

Mit 34 Abb.    (Bd. 385.)

Mechanik. Von Kais. Geh. Reg.-Rat A. v. I he r i n g. I: Die Mechanik d. festen Körper. M 61 Abb. II: Die Mechanik b. flüff. K M. 34 Abb. (23b 303/304.)

—    Aufgaben aus der technischen M. f. d. Schul- u. Selbstunterr. B Prof. N. Schmitt. M. zahlr. Fig. I. Bcwe-gungsl.. Statik. 156 Aufg. u. Lösungen.

II. Dynam. 140A.u.Lös. (Bd. 558/559.) Messen siehe Maße und Meisen.

Zeder Band geheftet IN. 1.20 BUS titttur ttltb Geisteswelt Zeder Band gebunden M. 1.50 __ Recht. Wirtschaft und Technik _ _

Metalle. Die. Von Prof. Dr. K. Scheid. Schmuckst.. Die. ti. I. SÄmuckstrinindustr.

3. Aufl. Mit 11 Abb.    (Bd. 29.) V. Dr. A.Eppler. M 64 Abb. (Bd-376.)

Miete. Die. nach dem BGV. Von Justiz- Soziale Bewegungen und Theorien bis zur rat Dr. M. Strauß. (Bd. 194.) modernen Arbeiterbewegung. Von G. Mikroskop, Das. Gemeinverständlich dar- Maier. 4. Aufl.    (Bd. 2.)

gestellt von Prof. Dr. W. ScheNer — s. a.Arbeiterfchuy u. Arbeiterversicher.

5m Dr Sozialismus. Gesch. der sozialist. Ideen r. “wi/i f?    /IfoJ/j 19. Jrh. B. Privatdvz. Dr. Fr. Muckl e.

m'f m    lh    (Bo. 362.)    2.A. I: D. ration.Soz. ll: Proudhon u.d.

tcI8“‘Ä'?'⁸.“"⁰- $lt m#6Sh' i??¹? entroidlungggef<6i*tU5o$. (S8b.269.270.)

—    siehe Konsumgenoss.. Wirtschaft!. Org. ~    ^^0m'    ÄfimDfe

BemmiHroWaftra und Technik. Am sau-    ajju°35 Abb ***' (Bd 338)

lenden Web,in»I 6er Zeit. Übersicht über «7.?J1'.,,.L,    ^bb'«.«.    .    (i0l' ³:³⁸'⁾

Wirkungen d. N u. T auf das gesamte ^frtr5.v8 t0o>c' lhre Chemie m Techno-Kulturleben. Von Prof. Dr. W. L a u n - ^Jöle‘    Pros. Dr. R. Bieder.

Hardt. 3. Aufl. M. 16 Abb. (Bd.23.)    ™    ²-^uiIr F' ¹² %lQ' (33b- 286.)

Nautik. V Dr.J.M ö l l e r.50 Fig.(Bd.255.) Staat stehe Abt. IV.

Optischen Instrumente. Die. Von Prof. Stank. Mit Einschluß der Festigkeitslehre. Dr. M. v. Rohr. 2. Aufl. Mit 84 %on„

Abb.    (Bd. 88.) Schau. M. 149 Frg. i. T.. (Bd. 497.)

Organisationen. Die wirtschaftlichen. Von ~ siehe auch Mechanik. Aufg a. d. M. I.

Privatdoz. Dr. E. Lederer. (Bd. 428.) Statistik. Von Prozessor Dr. S. S ch o t t. Ostmark. Die. Eine Einführung in die , s m Probleme ihrer Wirtschaftsgesch Hrsg. Strafe und Verbrechen. Geschichte u Or-von Dr[. W. Mitscherlich. (Bd. 351.) Kants.d.Gelangniswes, V. Stramnstalts-Patente u. Patentrechr s. Gewerbl.Nechtssch. ^l\Drumueü’ h' £olLl ^    l?5,

Perpetuum mobile. Das. V. Dr. F r J ch a k.    nhpH    r®\eX% U* 3rai5Cn6*

Mit 38 Abb    fSRb 462 )    Bon Oberingenieur a. D. Oberieurer

«beteibemU Son Brok Dr G Kü m. ⁹¹ Sie 6 mann. M. 822Ibb. (Sa. 822.)

men. Mit 23 Abi.    %t. 227.)    o n°    Wn

Vhatograiibie. Die. ihre wissenschaftlichen    „ Ä

Grundlagen u. i Anwendung. V. Dr O.    «Dle chemische. Von Dr.A. Mül-

Prelinger. Mit 65 Abb. (Bd. 414.)    ler. Mit 24 Abb.    (Bd. 191.)

—    Die künstlerische Photographie. Von Dr. ~ f- ?• Elektrotechnik, Naturwiss. u. T. W. W a r st a t. M. 12 Tafeln. (Bd. 410.) Technologie siehe Sprengstoffe.

—    Angewandte Liebhaber-Photographie. Tee siehe Kaffee.

ihre Technik    und ihr Arbeitsfeld. Von    Telegraphie. Die. i. i. Entwicklg.    u. Bedeutg.

Dr. W Warstat. Mit Abb.    (Bd. 535.)    V.Posirat I. B r u u s. M-Fig. (Bd. 183.)

dhylik in Küche und Haus. Von Prof Dr. — Telegraphen- und Fernsprechtechnik in H.Speitkamp M. 51 Abb. (Bd. 478.)    ihrer Entwicklung. V- Oberpost-Jnfp.

—    siebe auch Physik in Abt. V    H. Brick 2. A Mit 64 Abb (Bd. 235.)

bostwesen. Das. Entwicklung und Bedeutg. — Die Funkentelegr. B Telegr.-Jnsp. H.

Von Postrat    I. Bruns.    (Bd. 165.)    Thurn. M. 51 Abb. 4. A    (Bd. 167.)

kiechenmaschinen. Die. und das Maschinen- — siehe auch Drähte und Kabel, rechnen. Von Reg-Rat Dipl.-Jng K Testamentserrichtung und Erbrecht. Von F?b.    (Bb. 490.)    (Bros Dr. 8. Seonbarb.    (Bb. 429.)

¹ afcdl...fiu*• ®c gr®f; ©eioerbl. Tbermobanamik. «iifgabcn aus d. T. B. MnftittrÜlrrä • ufm- Geb. Bergrat Prof. Dr. 81. Vater.

li?,e,tSeÄ    äetlmmf Rt Wik-b^ri'

*m1d!⁶3:7öTu?tt3 Sl®f®Cfäf“l28r)    Mit 30 Abb. Zi 12 Tafel,^ (Sb. 369 )

I.lli. td “ I- m „    128l) — siebe auch Kleintierzucht

^    « ®te* ®on /m5nöSa! Uhr. Die. Grundlagen und Technik der

^"Imann.    (Bd. 380.) Zeitmessung. Von Prof. Dr.-Ing. H.

K⁵toC5ft tCn' deutschen. Bon Dr. Bock. 2.. umgearb. Aufl. Mit 49 Abb. E. R reman n. Mit 27 Abb. (Bd. 407.)    (Bd. 216.)

—    siehe auch Geologie Abt V.    Urheberrecht. Das Recht an Schrift» und

chlNahrt. Deutsche, u. Schiffahrtspol. d. Kunstwerken. Von Nechtsanw. Dr. R. Ggnw.B Prof. Dr. K Thieß. (Bd.169) M o thes.    , (Bd. 435.)

chiffbau siehe Kriegsschiff.    — siehe auch gewerblich. MHsschuE^

'J i Jeder Band geheftet MN,2« BUS Uotur UNd G eisteswelt Jeder Band gebunden MN.Sb Verzeichnis der bisher erschienenen Bände innerhalb der Wissenschaften alphabetisch geordnet

Verbrechen. Strafe und D. Geschichte u.Or-ganisation d. Gefängniswesens. 83.Straf* anst.-Dir. Dr.med.9B. Kolli*. («8b. 328.)

Preis des GesteyS (für 509 Bände) auS dunkrldrau« geräuchertem Holz mit FnstM.90.— ohneFnßM82.50

Weiters Bände sind in Vorbereitung.

U

von Prof. Dr. K. 3)obe.

KftAKÖ W

Wirtschaftsgcsch. s. Antike W.. Ostmark.

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•— Verbrechen und Aberglaube. Skizzeu aus der votkc kundlichen Kriminaliftlk B. Amtsrichter Dr. A Hellwig. (Bd. 212 )

■— Moderne Kriminalistik. B Amtsrichter Dr.A. Hellwi g.M.18 Abb. (Bd. 476 ) Verbrecher. Die Psychologie des V. (Sri-miualpjych.) 33. Straf anst altäbir. Dr. med.

P.Pollitz. 2.21. M.L Diagr. (93b. 24Ä.)

—    s. a. Handschriftenbeurt. Abt. I. Verfassg. Grundz. d. V. d. Deutsch. Reiches.

V- Geheimrat Prof. Dr. E. Loening. e 4. Ausl.    (Bd. 34.)

Verfassg. und Verwaltung der deutschen Städte. Bon Dr. Matth. Schmid.

(Bd. 466J

—    Deutsch. Verfassgsr. i. geschicht!. Ent-wickl. V Pr.Dr.E.H u b r i ch. 2.A. (93b.80.)

Verkehrsentwicklung i. Deutsch!. 1800 b. z.

Gw. 93. Prof. Dr. 38-L o tz 3. A. (Bd. 15.) Versicherungswesen. Grundzügc des B. B. Pros. Dr. A Manes. 2.21. (93b. 105)

—    s. a. Arbeiterschutz, Reichsversicherung. Volksnahrungsmittel s. Ernähr.u.VAbt.V. Waffentechnik siehe Handfeuerwaffen. Wahlrecht. DaS. Von Reg.-Rat Dr. O.

Poensgen.    (93b. 249 )

Wald. Der deutsche. 33. Prof. Dt. H aus -rath. 2.Afl. Bilderanh.u.Kart. (93b. 153.) Wärmekraftmaschinen. Die neueren. Von Geh. Bergrat Prof. R. Vater. 2 Bde. I: Einführung in die Theorie u. d. Bau d. Gasmaschin. 4.A.M.42Abb. (93b-21.) II: Gaserzeuger, Großgasmasch., Dampf-u. Gasturbin. 3.A. M. 45 Abb. (Bd. 86.)

—    siehe auch Kraftanlagen.

Wärmelehre. Einführ. i. d. techn. (Thermodynamik). Von Geh. Bergrat Prof. R.Vater. M. 40Abb. i.Text. (Bd.516.)

■— s. auch Thermodynamik.

Wasser. Das. Von Geh. Reg.-Rat Dr. O. An selm in o. Mit 44 Abb. (93b. 291.)

—    s a. Luft. Mass.. Licht. Wärme Abt. V. Wasserkraftmaschinen u. d. Ausnützung d.

Wasserkräfte. V. Kais. Geh. Reg.-Rat A b. 3 bering. 2.A M.57Fig. (93b. 228.) Weibwerk. Das deutsche. Bon Forstmeister

G. Frhr. b. Nordenilycht. Mit 1 Titelbild.    (Bd. 436.)

Weinbau und Weinbereitung. Von Dr. F.

Schmitthenner. 34Abb. (Bd. 332.) Welthandel siehe Handel.

Wirtschaftliche Erdkunde. Bon weil. Pros. Dr. Chr. ©ruber. 2. Ausl Bearb.

(Bd. 122.)

Wirtschaftsleben. Deutsch. Auf geograph. Grundl. gesch. v. weil. Prof. Dr. Gru-ber. 3.A. v. Dr. H. Re i n l e i n. (93b. 4L)

—    Die Entwicklung des deutschen Wirtschaftslebens im letzten Jahrhundert. B. Prof. Dr. L Pohle. 3. Ausl. (Bd.57.)

—    Deutscht. Stellung i. d. Weltwirtsch. B- Pros. Dr. P Arndt. 2.21. (93b. 179.)

—    Aus dem amerikanischen Wirtschaftsl. Bon. Pros. I. L Laughlin Mit 9 graphischen Darstellungen. (Bd. 127.)

—    Die Japaner in d. Weltwirtschaft. V. Pros. Dr. K. N a t h g e n. 2. A. (Bd. 72.)

Wirtschaftlichen Organisationen. Die. Von Privatdoz. Dr. E. Lederer. (Bd. 428 )

—    f. Konsumgenoss.. Mittelstandsbeweg. Zeitungswesen. B. Dr. H Diez. (Bd.328.) Zivilprozetzrecht. Das deutsche. Bon In-

stizrat Dr. M. Strauß. (Bd. 315.)

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